Оглавление
Предисловие
Историко-социологические пролегомены ко всякому наукоучению
Глава 1. Взаимосвязь современной логики и методологии научного познания
Глава 2. Логика помогает принимать решения, анализировать технические и математические проблемы
Глава 3. Логика высказываний, или пропозициональная логика
Глава 4. Логика предикатов, или пропозициональных функций
Глава 5. Конструктивистская, или интуиционистская, логика
Глава 6. Модальная логика и теория вероятностей
Глава 7. Логическая семантика
Глава 8. Логика и кибернетика
Дополнительная литература
Таблица символов
Текст
                    ЛОГИКА
Учебное пособие для средних школ и вузов


Редакционная коллегия международной серии «BIBLIOTHECA STUDIORUM» Онищенко А. С. (председатель) — академик НАН Украины, доктор философских наук; Жоль К. К. (зам. председателя) — доктор философских наук; Филюшин В. А. (ученый секретарь) — кандидат философских наук; Кудрявцев В. Н. — академик РАН, доктор юридических наук (Россия); Николаева Т. М. — член-корреспондент РАН, доктор филологических наук (Россия); Пивоваров Ю. С. — член-корреспондент РАН, доктор политических наук; Пирожков С. И. — академик НАН Украины, доктор экономических наук; Синев В. Н. — академик АПН Украины, доктор педагогических наук; Топорнин Б. Н. — академик РАН, доктор юридических наук (Россия); Шемшученко Ю. С. — академик НАН Украины, доктор юридических наук; Аверьянов В. Б. — доктор юридических наук; Андрийко О. Ф. — доктор юридических наук; Белодед А. И. — доктор филологических наук; Демьянков В. 3. — доктор филологических наук (Россия); Грыко Ч. — доктор социологических наук (Польша); Грязнов А. Ф. — доктор философских наук (Россия); Гуменюк Б. И. — доктор исторических наук; Киселев Н. Н. — доктор философских наук; Кодалле К.-М. — доктор философии (Германия); Костенко А. Н. — доктор юридических наук; Криса- ченко В. С. — доктор философских наук; Крымский С. Б. — доктор философских наук; Кубко Е. Б. — доктор юридических наук; Кудрявцева Л. А. — доктор филологических наук; Огин Е. С. — доктор филологических наук; Петришин А. В. — доктор юридических наук; Филатов В. П. — доктор философских наук (Россия); Чурилов Н. Н. — доктор социологических наук; Яковенко Ю. И. — доктор социологических наук. Ответственный редактор А. Е. Конверский — доктор философских наук, профессор СПРАВКА ОБ АВТОРЕ ЖОЛЬ Константин Константинович — 1949 г. рождения, доктор философских наук, дважды лауреат Всесоюзных конкурсов молодых ученых-обществоведов (1978, 1981), лауреат Всесоюзного конкурса на лучшее произведение научно-популярной литературы (1989), автор книг: Сравнительный анализ индийского логико-философского наследия. — К.: Наукова думка, 1981. — 208 с; Мысль, слово, метафора. Проблемы семантики в философском освещении. — К.: Наукова думка, 1984. — 304 с; Наука, религия, общество. — К.: Политиздат Украины, 1986. — 160 с. (В соавторстве); Куда бредет пилигрим. — К.: Молодь, 1988. — 232 с. (В соавторстве); Язык как практическое сознание. (Философский анализ). — К.: Выща школа, 1990. — 240 с; Под знаком вечности. — К.: Молодь, 1991. — 320 с; Информация, общественные науки, управление: Философско-эко- номический анализ. — К.: Наукова думка, 1991. — 282 с. (В соавторстве); Введение в современную логику. — К.: Выща школа, 1992. — 126 с. (На укр. яз.); Философия для любознательных. — М.: Просвещение, 1993. — 192 с; Логика в лицах и символах— М.: Педагогика-Пресс, 1993. — 256 с; Логика. Введение в современную символическую логику. — К.: Стилос, 2000. — 563 с; Социология в систематическом изложении. — К.: Стилос, 2000. — 656 с; Философия и социология права. — К.: Юринком Интер, 2000. — 480 с; Методы научного познания и логика (для юристов). - К.: Атака, 2001. - 288 с.
к.к. жоль ЛОГИКА Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Рецензенты: доктор философских наук, профессор А. Т. Ишмуратов; доктор философских наук, профессор С. />. Крымский; доктор философских наук, профессор В.А. Рыжко Главный редактор издательства доктор экономических наук Н.Д. Эриашвшш Жоль К. К. Логика: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 399 с. — (Международная серия «Bibliotheca studiorum»). ISBN 5-238-00664-0 Дается изложение важнейших понятий, идей и методов современной символической логики, являющейся расширением математической логики. В общедоступной форме объясняются смысл и предметная направленность логических исследований, их связь с философией, кибернетикой и другими науками. Впервые в одной книге, имеющей характер учебного пособия, рассчитанного не только на студентов первых курсов вузов и колледжей и старшеклассников, а также всех, кто серьезно интересуется логикой и хочет иметь ясные представления о ней, излагаются не только основы классической логики, но и описываются неклассические логики, в отдельной главе дается характеристика логической семантики и демонстрируется практическая ценность логики для решения проблем, связанных с логическим программированием компьютеров. ISBN 5-238-00664-0 © Жоль К.К., 2004 © ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2004 Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издательства
ОГЛАВЛЕНИЕ 8 ПРЕДИСЛОВИЕ 12 ИСТОРИКО-СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЛЕГОМЕНЫ КО ВСЯКОМУ НАУКОУЧЕНИЮ 38 ГЛАВА 1 ВЗАИМОСВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ И МЕТОДОЛОГИИ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ Вводные замечания. - К вопросу о предметной области логики в прошлом и настоящем. - Мышление, язык логика. - Проблемная ситуация, проблема и задача как факторы, активизирующие деятельность познающего сознания. - Логика на- уки и задачи современной методологии научного познания. - Теория абстракции как фундамент теории определений и современной логики. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. 78 ГЛАВА 2 ЛОГИКА ПОМОГАЕТ ПРИНИМАТЬ РЕШЕНИЯ, АНАЛИЗИРОВАТЬ ТЕХНИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ Вводные замечания. - Технические системы и их роль в повышении эффективности принимаемых решений. - Логика решений, математическая теория игр и их научно- техническое обеспечение в виде электронно-вычислительных машин. - Что такое алгебра контактных цепей и какое отношение она имеет к теории чисел. - Элементарное введение в теорию множеств, являющуюся фундаментом современной математики и логики. - Теория множеств, топология, графы. - Аксиоматический метод как способ преодоления недостатков интуитивно-наглядного мышления. - К вопросу о парадоксах в классической теории множеств. - Аксиоматический метод и его связь с математической теорией множеств. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. 136 ГЛАВА 3 ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА Вводные замечания. - Из истории философского термина «представление». - Современная переоценка традиционной логической трактовки структуры суждения. - Основные понятия логики высказываний. - Логические законы: таблицы истинности и логические союзы. - Описание релейно-контактных схем в терминах логики высказываний. - Индуктивные и дедуктивные выводы. - Дедуктивные выводы в логике высказываний. - Понятие умозаключения в «школьной логике». - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
6 176 ГЛАВА 4 ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Вводные замечания. - Учимся у Аристотеля, знакомимся с логико-философским идеями стоиков и тем самым создаем необходимый фундамент для овладения современной символической логикой. - Отличительные черты логики предикатов. - О том, что такое дескрипция и термы. - Кванторы, их роль и особенности действия в логике предикатов. - Законы и правила логики предикатов. - Расширенный формализм: исчисление предикатов с равенством. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. 214 ГЛАВА 5 КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ, ИЛИ ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ, ЛОГИКА Вводные замечания. - Идеи математического интуиционизма и конструктивизма. - От математического понятия функции к логическому понятию лямбда- исчисления. - Актуальная и потенциальная бесконечности. - Борьба за торжество математики над логикой. — Конструктивные процессы и конструктивные объекты. - Строгие принципы построения конструктивистской (конструктивной) математической логики. - Конструктивистская математическая логика с точки зрения логики высказываний. - Алгорифмы и логико-математический анализ. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. 250 ГЛАВА 6 МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вводные замечания. - Модальности и модальная логика. - Исчисление алетичес- ких модальностей. - Временная логика. Аналогия с метрическим пространством и причинным анализом в статистических исследованиях. - Деонтическая и эпис- темическая логики. - Взаимосвязь эпистемической логики и логики умолчаний. - От эпистемической логики к логике эротетической. - Индуктивная логика и теория вероятностей с точки зрения модальной логики. - Нечеткая логика. - Современные аспекты теории вероятностей. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. 312 ГЛАВА 7 ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА Вводные замечания. - Предпосылки логического исследования семантики. «Семантический треугольник» и «семиотический треугольник». - Семантические понятия в естественных и формализованных языках. «Язык исследователя» и «язык- объект». - Концепция смысла и значения Г. Фреге. - Лейбницевская концепция «возможных миров» и ее современная логическая трактовка. - Семантическая информация. Что это такое? - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
340 ГЛАВА 8 ЛОГИКА И КИБЕРНЕТИКА Вводные замечания. - Современная кибернетика и теория информации. - Проблемы «искусственного интеллекта» в кибернетике. - Логический подход к «искусственному интеллекту». - «Экспертные системы». - Ассемблирование и компиляция в компьютерных программах. - Представление знаний в системах «искусственного интеллекта». - Логический вывод в «экспертных системах». - Метод резолюций и автоматическое доказательство теорем. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. 386 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА 398 ТАБЛИЦА СИМВОЛОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ Цель этой книги - ввести пытливого читателя, заканчивающего среднюю школу или занимающегося на первых курсах высших учебных заведений, в мир понятий и методов современной символической логики. Твердо придерживаясь того мнения, что логика сегодняшнего дня уже рабски не зависит от жесткого диктата философии, когда-то властно претендовавшей на «царицу всех наук», а в качестве самостоятельной научной дисциплины вооружает тех, кто стремится в науку, необходимыми для этого рациональными знаниями, я формулирую следующие задачи, ответы на которые должна дать предлагаемая книга и сам читатель. Во-первых, реализация поставленной цели предполагает прежде всего ясное понимание предмета логической науки, ее научных и практических функций. Без выполнения этого важного условия логика предстает в глазах начинающих знакомиться с ней чем-то абстрактно-туманным, требующим скучной и утомительной зубрежки, но никак не творческого полета мысли. Во-вторых, знакомство с логикой должно быть достаточно осознанным, ответственным и последовательным, поскольку логика, как и любая другая наука, не терпит верхоглядства и поспешности. Поэтому адекватное понимание научно-практического смысла логического инструментария предполагает методический характер изучения и освоения данного инструментария, когда от более простого осуществляется шаг за шагом переход к более сложному. В-третьих, уяснив себе суть и предназначение логики, а также согласившись с тем, что «без труда не выловить и рыбку из пруда», читатель моей книги должен сделать выбор между сиюминутной выгодой от использования приобретенных с помощью учителей или научной литературы знаний (скажем, для сдачи экзаменов, зачетов и прочих учебных «повинностей») и развитием этих знаний собственными силами в среде научного сообщества. Если такой выбор будет сделан в пользу науки, то данную книгу следует воспринимать как общее, предварительное введение в современную логику, позволяющее самостоятельно разобраться с теми учебниками, которые требуются для приобретения более углубленных логических знаний и выработки методических навыков работы с логическим инструментарием, а также сориентироваться в многочисленных и разнообразных направлениях современного логического поиска. С учетом всего этого строится композиция книги и в конце каждой главы дается список наиболее доступных литературных источников по данной теме. Завершает книгу обширный список дополнительной литературы на русском и английском языках, которая может быть использована студентами, аспирантами, преподавателями и научными работниками. Книга разбита на восемь глав. В первой главе характеризуется предмет логики, ее цели и задачи, показывается связь логики с философией и методологией научного познания. Во второй главе описывается связь логики с математикой и техникой. Третья глава посвящена базису современной логики, каковым является логика высказываний. Четвертая глава развивает темы третьей главы и как бы завершает достройку фундамента под то, что называется элементарной логикой, которая элементарна по названию, но не по сути. Из пятой главы читатель сможет узнать об альтернативных логических построениях. Шестая глава рисует перспективы развития современной логики, которая пытается применить свой
9 инструментарий для решения нетрадиционных задач. В седьмой главе набрасываются общие контуры проблемы «смысла» логических конструкций. Завершающая восьмая глава вводит читателя в ту область, где логика с успехом демонстрирует свою высокую практическую ценность на примере содружества с кибернетикой. Автор надеется, что его книга может быть прочитана без особых затруднений теми, кто имеет склонность к теоретическому мышлению и хочет всерьез посвятить себя науке. Каких-либо фундаментальных знаний, кроме тех, которые дает средняя школа старшеклассникам, не требуется для усвоения излагаемого материала. В данном случае требуется только способность к рациональным рассуждениям, терпеливость и упорство в постижении Истины. Однако наличие в книге многочисленных формул, таблиц и схем может насторожить неискушенного в математике читателя, слышавшего краем уха о том, что в старые, добрые времена учителя логики не обязаны были слыть сведущими в математических хитросплетениях, ибо с помощью особого словесного искусства «вправляли мозги» тем, кто желал «мыслить по науке» и «постигать истины в последней инстанции». Должен сразу предупредить такого читателя, что эти «золотые деньки» давно канули в Лету. Сегодня знание базисных понятий современной математики является свидетельством нового типа логической культуры, без наличия которой не может быть и речи о каком-либо профессионализме в данной области научных исследований, а также в преподавании логики. Из сказанного, однако, не следует, что математический аппарат, представленный в моей книге, требует глубоких знаний математики. Если не полениться и внимательно отнестись к предлагаемому тексту, то обнаружится, что используемые в нем логико-математические формулы скорее имеют иллюстративный характер, способствующий самообразованию К Короче говоря, математической и логической символики пугаться не стоит; пугаться следует только собственной вялости. Для более терпеливых, но не слишком искушенных в математике и математической логике читателей я пользуюсь тем, что можно назвать правилом повтора, то есть в разных главах рассматриваю одни и те же предметы, но под разными ракурсами, а также использую примеры из школьных учебников по математике, физике и химии. Это, на мой взгляд, помогает лучше понять и адекватно усвоить излагаемый материал. Хотя порядок изложения материала имеет систематический характер, но это не значит, что императивно требуется читать все подряд. Некоторые главы (особенно последние четыре) достаточно автономны. Поэтому рекомендую последовательно читать только первые четыре главы, чтобы получить относительно целостное представление о современной символической логике. Полагаю, что преподаватели средних и высших школ найдут в книге материал, подходящий для факультативных занятий или занятий в кружке. Сноски, которые даются в книге, призваны прежде всего обратить внимание читателя на имена авторов и сделать себе соответствующие «зарубки на память». Дополнительная литература в конце книги преследует аналогичную цель. В дальнейшем это поможет лучше ориентироваться в безбрежном море научной литературы, особенно на иностранных языках, без знания которых в современной логике делать нечего. 1 В данном случае мне очень пригодилась талантливо написанная книга Дмитрия Константиновича Фадцеева (1907-1989) и Ильи Самуиловича Соминского «Алгебра для самообразования» (3-е изд. - М: Наука, 1966. - 528 с), охватывающая почти все вопросы, включенные в программу курса алгебры средней школы. Эту книгу я настоятельно рекомендую использовать не только для самообразования в объеме средней школы или техникума, но и в качестве дополнительного учебного пособия для постижения основ и смысла современной алгебры логики, представленной в соответствующих курсах высшей школы. Что касается меня самого, то эта книга во многом помогла мне в школьные годы и помогла при написании данного учебного пособия, в котором часто использовался материал, заимствованный из «Алгебры для самообразования».
10 Я тешу себя мыслью, что предлагаемое учебное пособие во многом окажется полезным, хотя и потребует внимательного ее прочтения, соответствующих консультаций у специалистов из числа преподавателей логики и научных работников, а также привлечения более специальной литературы по различным разделам логики, часть из которой представлена в данной книге. Хочу выразить искреннюю благодарность рецензентам книги, чьи конструктивные замечания я тщательно учел, внеся в текст соответствующие исправления и уточнения. Полезными оказались и советы преподавателей логики, методологии и теории научного познания, которые дружески поделились со мной некоторыми секретами своего мастерства и методическими приемами, способствующими лучшему усвоению студентами наиболее сложных разделов логической науки. Если все будет складываться благополучно, то хотелось бы превратить данное учебное пособие в полноценный учебник, но решение этой задачи во многом будет зависеть не только от меня, но и от читателя, от его оценок авторской работы. Желаю читателю моей книги творческих успехов на нелегком пути, ведущем в Храм Науки. Киеву 9 июня 1998 г. Доктор философских наук К. К. ЖОЛЬ Киев, 29 ноября 2000 г.
■ ИСТОРИКО-СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЛЕГОМЕНЫ КО ВСЯКОМУ НАУКОУЧЕНИЮ
ИСТОРИКО-СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЛЕГОМЕНЫ КО ВСЯКОМУ НАУКОУЧЕНИЮ Скажи: Какой ты след оставишь? След, Чтобы вытерли паркет И посмотрели косо вслед, Или Незримый прочный след В чужой душе на много лет? Леонид Мартынов Поскольку моя книга обращена прежде всего к читателю, проживающему на просторах бывшего Советского Союза, территориального и культурного наследника великой Российской империи, то ему небезынтересно и небесполезно будет кое-что узнать из истории этих двух могучих держав, касающееся развития научной мысли, а также учреждений, способствующих данному развитию, и, разумеется, лиц, без которых существование любого учреждения лишается всякого смысла. Имеет ли это отношение к логике? Вопрос более чем уместен, но ответить на него однозначно не так-то просто. Слово «логика» обладает множеством значений не только в обыденной речи (например: «женская логика», «непредсказуемая логика», «тещина логика» и т. п.), но и в языке науки (например: «философская логика», «математическая логика», «символическая логика» и т. д.). Если мы имеем дело с научным пониманием логики, то есть с логикой как научной дисциплиной, то вправе ожидать, что эта научная дисциплина, способная приносить нам практическую пользу, ибо любая наука, пусть даже самая абстрактная, связана в конечном итоге с решением практически значимых проблем. Наука, оторванная от жизни, - пустой вымысел, фикция. Даже шарлатаны от науки в духе одержимых изобретателей «вечных двигателей» стремятся всячески подчеркнуть практическую полезность своих экстраординарных умозаключений. В известном смысле они более расчетливые прагматики, чем некоторые выдающиеся теоретики собственно науки, которые подчас совершенно равнодушны к прикладному значению своих абстрактных построений и склонны раздражать обывателя-утилитариста бескорыстным восхищением изяществом теоретических формулировок, а не их стоимостью на «рынке» идей. И все же наука в современном ее смысле, приобретенном относительно недавно, когда научное сообщество конституировалось в виде определенного социального института, приносит людям ощутимую практическую пользу. Банально перечислять все, что нас окружает и в чем воплощен научный гений. Не это важно, а важно то, что наука в современном мире завоевала прочный и очень весомый авторитет специфической производительной силы. Не случайно в разных странах нашей планеты и в межгосударственных отношениях усиливается с каждым годом законодательная основа авторских прав ученых, ибо с этими правами связаны большие деньги и высокие темпы промышленного развития. Не остается в стороне от столбовой дороги научно-технического прогресса и логика, представители которой растут, как говорится, в цене, ибо их профессиональные знания и опыт все шире используются в технике (например: проектирование сложных электромеханических устройств) и соответствующих
13 системах управления этой техникой (например, компьютерные программы), не говоря о других разнообразных областях приложения логической науки. Таким образом, сегодня логика не нуждается в особой рекламе, особенно в тех странах, где высок социальный престиж науки в силу научно-технической и промышленно-экономической развитости данных стран. К сожалению, в республиках бывшего Советского Союза, сделавших ставку не на конструктивное решение экономических и научно-технических проблем совместными силами, а на идеологию под эгидой опасно звучащего лозунга «государство превыше всего», престиж науки катастрофически упал, если не считать возросшего престижа диплома о юридическом или экономическом образовании (последнее не касается экономики и юриспруденции как научных дисциплин), но, к сожалению, зачастую этим все и ограничивается.. В свете сказанного я решил предпослать несколько неожиданное введение к своей книге, сделав ставку не на историю логической науки, эволюцию ее идей и понятий, а на историю тех учреждений и людей, которые обеспечивали развитие этой науки в общем контексте социально-экономического, политического и культурного развития общества. История - лучшее Введение в любую науку. Ведь для мудрецов не секрет, что многие вещи, идеи и слова, которые представляются нам чем-то незыблемым, неизменным, а порой и очень загадочным или трудно постижимым, являются на самом деле относительно простыми и доступными, ибо созданы были руками и разумом человека с целью облегчения и упрощения стоящих перед ним разнообразных жизненных задач. Но неумолимое Время идёт своей мерной поступью; вечно суетящиеся люди, одолеваемые прозаическими заботами будней, забывают о творческих муках первопроходцев, у них выветриваются из памяти методы решения задач и остаются лишь упования на некие авторитеты, которые знают если не всё, то многое, и в случае необходимости могут прийти на помощь. Так живое знание становится мертвящей догмой. Некоторые из этих догм я, ваш покорный слуга, следуя по стопам одного «ученого соседа», попытаюсь очень вежливо и очень деликатно оспорить, воспользовавшись надежным историческим материалом и довольно призабытым греческим словом «пролегомены» (prolegomena - предисловие, введение), не столь давно, впрочем, бывшим в широком употреблении. Помнится из прочитанных мною фолиантов, чуть более двух столетий тому назад один весьма уважаемый во всем просвещенном мире житель города Кенигсберга и член Петербургской Академии наук, о котором вскользь упоминал булгаковский «иностранец» с цветными глазами, не мудрствуя лукаво, взял да и назвал свою философическую книжку очень просто, а именно так: «Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей возникнуть в качестве науки». Прелестное название, не так ли? Логика, конечно, не метафизика, но тоже порой нуждается в пролегоменах, чтобы с помощью предварительной критики очистить наш разум от филистерского мусора, то есть от косности и самообмана, свойственных тем, кто «университетов не кончал». Честно говоря, можно было бы не оригинальничать и обойтись понятным всем словом «введение», предполагающим объяснение целей, задач и еще кое-чего важного для последующего уяснения излагаемого материала. Однако дело в том, что о целях и задачах своей книги, призванной по замыслу автора выступать в роли учебного пособия, я уже кратко сказал в предисловии, да к тому же необходимые предварительные объяснения даются в первой главе, которая в определенном смысле является собственно введением в проблематику современной логической науки. Дополнительное введение для читателя в виде своеобразных пролегоменов мне требуется для того, чтобы показать, как говорили бородатые классики, земные корни науки, включая логику. А земные корни научных изысканий - это не только практически зна-
14 чимые для людей проблемы, но и те организационные структуры, в рамках которых ставятся и решаются (или же не решаются) данные проблемы. Социологи обоснованно утверждают, что современный ученый неотделим от организации не только потому, что она обеспечивает его помещением, дорогостоящим оборудованием, соответствующими материальными и финансовыми условиями работы, но и потому, что изменения в самой струюуре научного труда превращают ученого в «человека организации» К Вот почему я считаю вполне оправданным совершить небольшое путешествие в прошлое тех социальных институтов, которые наиболее важны для плодотворного существования и развития логической науки. Назовем это отнюдь не простое путешествие Нашими Университетами. Что такое университетское образование? Если строго придерживаться терминологии римского права, а именно так поступили в свое время средневековые юристы, то университетом (нем. Universität от лат. imiversitas - совокупность) следует называть всякий организованный союз людей, всякую корпорацию (от лат. corpus - тело) или гильдию (нем. Gilde - объединение). В том же значении, что и слова «университет», «корпорация», «гильдия», в средневековой Западной Европе употреблялся еще один термин - «коллегия». Позднее коллегией стали называть отдельный союз внутри университетской корпорации. В Средние века от университетской корпорации (в смысле некоего корпоративного союза учителей и учеников) отличали обычную школу (лат. Studium - изучение) и даже сам университет как особую высшую школу. Тогда же получило прописку и латинское выражение «aima mater» (неоюная мать), заимствованное из литургического (богослужебного) языка и канонического (церковного) права. Средневековые университеты как корпорации имели много общего с ремесленными цехами (от нем. Zeche - союз, корпорация). Градации школяров, бакалавров и магистров (докторов) соответствовали цеховым градациям учеников, подмастерьев и мастеров. Желающий обучиться мастерству должен был поступить в обучение к определенному мастеру (магистру). После примерно двухлетнего изучения начальных основ ремесла мастер представлял своего ученика другим мастерам для испытания, выдержав которое, ученик становился подмастерьем (бакалавром). Бакалавр продолжал учиться, но в то же время начинал и сам учить других азам своего дела. Еще примерно через два года бакалавр становился мастером (магистром) 2. Университеты в Европе возникли из союзов учителей и студентов церковных школ. В течение XI в. слова «университет», «корпорация», «гильдия» использовались как синонимы для именования ассоциаций ремесленников, но уже к XIII в. термин «университет» приобрел специфическое значение и стал указывать на преподавательско-студенческую ассоциацию. Основной период формирования и конституирования европейских университетов как высших учебных заведений - это XII-XV вв. Отдельно можно выделить 1 См.: Koning J.M. The manager looks at research scientists. - Madison, Wisconsin: Sei. Tech. PubL, 1988. - XI, 89 p. 2 См.: Суворов H. Средневековые университеты. - Москва, 1898. - VII, 245 с; Dampier W. С. A history of science and its relations with philosophy and religion. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1966. - XXVIII, 544 p.; Hall R. The scholar and the craftsman in the scientific revolution // Critical problems in the history of science / Ed. by M. Clagett. - The Univ. of Wisconsin Press, 1959. - P. 3-23; Mason S. F. A history of the science. Main currents of scientific thought. - London: Routledge and Kegan Paul, 1953. - VIII, 520 p.; Price D. J. de S. Science since Babylon. - New Haven: Yale Univ. Press, 1961. - XI, 149 p.
15 XVI-XVII вв. и XVIII-XIX вв. Каждый из этих этапов развития высшей школы обусловлен конкретными социально-экономическими и политическими причинами и может быть предметом самостоятельного социологического анализа. На первом из указанных этапов сформировались три главных вида университетов. Первый и главный вид - это церковные университеты, в которых студенты и учителя объединялись в закрытую корпорацию во главе с ректором (Париж, Оксфорд, Кембридж). Второй вид - гражданские университеты, которые руководились ректорами, избираемыми студентами (Болонья, Падуя). Третий вид - государственные университеты, которые с разрешения Римского папы основывались монахами (например, известный испанский университет в Саламан- ке). Такова примерная схема функционирования типичной университетской корпорации. А теперь наполним эту несколько абстрактную схему живым конкретно-историческим содержанием, для чего обратимся за свидетельствами к историческим хроникам. В средневековых европейских школах главное место занимала риторика как объединяющая различные знания дисциплина. Высоко оценивая риторику, римляне включали в нее юриспруденцию и философию. С большим уважением относились к риторике и средневековые церковные проповедники, поскольку их проповеди нуждались в теоретическом и практическом подспорье для усиления воздействия на души верующих. Средневековая риторика постоянно испытывала влияние со стороны общего литературного процесса, происходившего в Западной Европе в IV-V вв. В этот период деятельность риторов приравнивается к творчеству поэтов, и такого рода симбиоз сохраняется на протяжении всех Средних веков как характерная черта этого отнюдь не темного времени. Риторика культивировалась также для целей юриспруденции. Согласно некоторым средневековым риторам, риторика - это прежде всего юридическое искусство. Особенно популярны эти взгляды были в Каролингские времена (VIII-X вв.). Вместе с грамматикой риторика являлась одним из основных предметов в церковных, монастырских и городских школах средневековой Западной Европы. Помимо риторики в школах преподавались математика, естественные науки, медицина, география, астрономия и музыка. Благодаря столь широкому охвату образовательных предметов средневековая школа служила важным посредником между миром языческой античности и христианской культурой. Под опекой церкви создавались общеобразовательные школы (artium liberalium), делившиеся на два курса - тривиум (trivium) и квадривиум (quadrivium). В первый курс входило преподавание грамматики, диалектики (логики) и риторики, а во второй - арифметики, геометрии, астрономии и музыки. В XII—XIII вв. занятия квадривиумом считались непременными для просвещенных лиц, особенно из числа художников, архитекторов и механиков. Как констатируют историки, без развития математических наук квадривиума невозможен был бы тот высокий уровень профессионального мастерства, которого достигли архитектура и механика эпохи Возрождения. К концу VI столетия почти повсеместно в Западной Европе были закрыты светские школы. Одновременно с этим резко возрастает удельный вес церкви в просвещении, воспитании и образовании в духе христианской веры. Позднее, с появлением университетов, университетские корпорации становятся главным оплотом церкви, хотя в них и преподаются такие светские науки, как римское право и медицина. В результате тотальной церковной опеки университеты до XVII в. практически игнорировали опытные, экспериментальные науки и культивировали главным образом гуманитарные или неприкладные дисциплины (скажем, математику как некую полуфилософскую дисциплину).
16 Это - Западная Европа. А что же Восточная? В X в. Киевская Русь стала крупнейшим и могучим государством средневековой Европы. Спустя столетие западноевропейские писатели восхищались Русью как христианской державой со своей письменностью и литературой. В те далекие времена русским по праву было чем гордиться и что славить. В городах той поры мы находим великолепные памятники зодчества и живописи. Грамотность была почти повсеместным явлением среди горожан, о чем, в частности, свидетельствуют находки берестяных грамот в городе, именуемом Господином Великим Новгородом. Когда древнерусское язычество сменилось христианством, произошли существенные изменения в грамотности и литературном языке. Киевская Русь приняла вместе с христианской рукописной книжностью славянскую азбуку, основанную на греческой азбуке, и литературный старославянский язык, в основу которого Константин (в монашестве Кирилл) и его старший брат Мефодий положили со- лунскую городскую 3 речь славян. Овладение славянской книжностью считалось в Киевской Руси задачей государственной важности. Показательно, что князь новгородский и киевский Владимир I (? - 1015) сразу же после своего крещения учредил в Киеве школу, о чем свидетельствует «Повесть временных лет». Период XIV-XV вв. - время формирования русской национальной культуры, время, когда крепнет единство русского языка, а грамотность получает широкое распространение. Книжные училища для детей упоминаются во многих письменных документах XIV-XV вв. Эти училища можно встретить и в крупных городах, и в отдаленных деревнях, и за крепкими монастырскими стенами. Здесь учили чтению, письму. Дети читали Часослов 4, Псалтырь 5 и другие книги религиозного содержания. С XVI в. предпринимаются первые попытки преподавать начатки философских знаний. В XVI в. Киев был обыкновенной пограничной крепостью, где находился военный гарнизон и ютилось небольшое количество мещан и монахов. О былой славе Киева напоминали старые, поросшие травой и кустарником развалины, да еще чудом уцелевшие монастыри - Печерский, Михайловский и Пустынно-Николаевский. На средства Печерского монастыря и при самом активном участии архимандрита Елисея Плетенецкого в 1617 г. была устроена типография. За последующие четырнадцать лет монастырская типография выпустила больше книг, чем их вышло до этого времени во всей Украине. Для ее нужды киевляне построили бумажную фабрику и организовали мастерскую. Одновременно с налаживанием печерской типографии в Киеве было основано религиозное Братство, в функции которого входило покровительство православию и просвещение народа. Первым ректором школы Киевского Братства являлся Иов (Иоанн) Борецкий, бывший сначала священником Воскресенской церкви в Киеве, а затем Киевским митрополитом (1620-1631). Для этой школы печерская типография спешно издала Часослов. В школе учились главным образом дети киевских мещан, духовных лиц и помещиков. Позднее школа влилась в Киево-Могилянскую коллегию, хотя 3 Город Солунь - Фессалоники, нынешний город и порт Салоники в Греции. 4 Часослов - церковно-богослужебная книга, содержащая псалмы, молитвы, песнопения и другие тексты суточного круга богослужения. Часослов предназначался для церковных чтецов и певчих, а также служил своеобразным учебником в церковных школах. 5 Псалтырь (гр. psalterion - книга псалмов) - одна из книг Библии, содержащая 150 молитвенных песнопений.
18 греко-славянская ориентация школы была диаметрально противоположна латинской ориентации коллегии. В 1633 г., находясь поверенным от Киевского митрополита Исаи Копинского в Варшаве при избрании и коронации польского короля Владислава IV (1595-1648), Петр Симеонович Могила (1596/1597-1647) испросил у него новую утвердительную грамоту на киевские школы и учреждение при них монастыря и типографии. После сейма новым Киевским митрополитом был избран Могила. Возвратившись в Киев в сане митрополита, Могила преобразовал киевские церковные школы в единую коллегию, а вместо школ основал низшее, подготовительное, училище в Виннице. Со временем в честь Могилы новую коллегию стали именовать Могилян- ской, или Киево-Могилянской коллегией. Могила много внимания уделял коллегии, стремясь сделать ее высшим учебным заведением на манер иезуитских коллегий 6, которые, кстати заметить, были иезуитскими отнюдь не в худшем смысле слова. С этой целью он направил группу молодых людей в заграничные коллегии (Львовскую, Римскую и другие) для подготовки к профессорскому званию. Кроме того, Могила начал активно добиваться у польского короля права и титула Академии для задуманной им коллегии. Король решительно отказал, боясь, по-видимому, что Академия в Киеве со временем может стать оплотом церковной оппозиции польской политике в землях восточных славян. Стоит отметить, что в древнеримском законодательстве слово «collegium» имело значение человеческого тела (корпуса). Позднее это слово использовалось для обозначения многих средневековых институций - различных организаций, союзов, гильдий и т. д. Часто коллегиями называли школы второй ступени. Например, английский учебные заведения второй ступени (secondary school) в Винчестере и Итоне (XIV в.) именовались коллегиями. С 1539 г. по 1773 г. иезуиты основали многочисленные коллегии в католических странах и колониях. В средневековой II • шя (например, Болонья) группа создателей некой организации (например, l/iko^ .-.»й) называлась коллегиумом (коллегией), а собственно студенческий корпус называ.. i университетским. Только в 1658 г. у Киевской коллегии появилась возможность получить высший титул Академии и быть уравненой в правах с Академией в Кракове. Это было связано с дальновидной политикой гетмана И. Е. Выговского (7—1664), замыслившего превратить Украину в республику и смело подписавшего Гадяч- ский договор 1658 г., по которому Украина переходила под опеку Польши. Именно он, Выговский, хотел возвысить Киево-Могилянскую коллегию до статуса Академии. С этой целью им было испрошено у польского короля и сейма 6 В XVI-XVIII вв. иезуиты заняли ведущие позиции в европейских странах в области образования, создав широкую сеть школ. Эта просветительская активность была обусловлена контрформаторской политикой католического Рима, весьма напуганного успехами рефор- мационного движения в Европе и пытавшегося различными способами воспрепятствовать схизме (гр. schisma - расщепление), то есть церковному расколу ( например, католики называли схизматиками последователей православия). В связи с этим особые надежды возлагались на орден иезуитов (лат. Societas Jesu - Общество Иисуса), созданный в 1534 г. Надо отдать должное проводимой иезуитами просветительской политике: в Польше, Литве, Украине они заводили школы и ничего не брали за обучение.Впрочем, как отмечал известный русский историк Н. И. Костомаров (1817-1885), при такой бессребренной раздаче умственных даров иезуиты не оставались в накладе, поскольку взамен денег брали у родителей учеников в виде подарков и приношений хлеб, рыбу, овощи, мед, полотно, сукна, сосуды и пр., получая таким образом столько, сколько им не могла дать определенная плата за учение, а между тем эта видимая бесплатность иезуитских школ поддерживала доброе о них мнение в народе. См.: КостомаровН. И. Собр. соч.-СПб., 1903.-Кн. 1.-Т. 1-3.-С. 624.
Киево-Могилянская Академия (рис. XIX в.) права Академии для коллегии, которое уравнивало бы Киевскую коллегию с Краковской Академией. Но в том же 1658 г., лишившись в результате восстания И. Богуна гетманской булавы, Выговский вынужден был отказаться от своих замыслов и бежать в Польшу, где его ожидал расстрел по обвинению в измене. Через три года польский сейм ликвидировал все статьи ГадячСкого договора, выгодные Украине, Киеву и Киевской коллегии. Полноправное же именование «Академия» Киево-Могилянская Коллегия получила от Петра I (1672-1725, царь с 1682 г., правил самостоятельно с 1689 г.) грамотой, которую царь прислал в Киев 26 сентября 1701 г. С тех пор это название сделалось более или менее постоянным. Киевская коллегия была устроена по образцу иезуитских коллегий. Являясь по духу православной, она по своему строю носила ярко выраженный латино-польский характер и в этом отношении не отличалась от других западноевропейских коллегий. Особое значение придавалось изучению латинского языка, поскольку в судопроизводстве и в европейской науке латынь была официальным языком. Не менее важное значение для обучающихся в коллегии имел и польский язык, так как был господствующим языком в Речи Посполитой. Значение Киевской коллегии как высшего учебного заведения со временем вышло за пределы Украины и России, хотя и не приобрело достаточно авторитетного влияния по сравнению с аналогичными учебными заведениями ближайших европейских соседей. С 1721 г. Киево-Могилянская Академия переходит в ведение Святейшего Синода, а в 1817 г. официально переименовывается в Киевскую Духовную Академию, просуществовавшую чуть более ста лет. пока в Советской Украине не восторжествовал дух «воинствующего атеизма». Постепенно, но неуклонно латино-польский язык вытеснял из официального делопроизводства украинский язык, который в первой половине XVII в. не
20 успел развиться до степени высокого литературного языка, являющегося символом и воплощением общенационального языка. Малопонятность книжного славянского языка широким слоям населения создавала почву для применения польского языка в западнославянской письменности и письменных сношениях отдельных лиц между собой. Не только светские лица, но и духовные лица весьма охотно пользовались польским языком. Польша неумолимо и по разным каналам, включая языковые, подчиняла себе Украину. После гибели в 1628 г. во время одного из турецких походов главы казачества гетмана М. Дорошенко противники унии и союза с Польшей оказались в сложном положении. Среди верхушки казачества, в церковных и светских кругах возобладали пессимистические настроения, усилились колебания. Колеблющихся попытался привлечь на свою сторону Мелетий Смотрицкий (ок. 1578-1633), крупный церковный и общественный деятель, богослов и писатель, автор ряда полемических церковных трудов и «Грамматики Славенской» (1619) 7. Он начал склонять православных к соглашению с католиками. Однако его демонстративный переход в унию возымел скорее обратное действие, поскольку большинство православных украинцев твердо стояло на стороне непримиримых противников всяких компромиссов с католиками и униатами. Лавируя, ища поддержку у власть имущих, Смотрицкий покидает Украину и перебирается в Москве, где издает свою «Грамматику». Спустя год в Москве перепечатывается изданный в Киеве краткий катехизис 8 П. Могилы. Тогда же под Москвой при содействии доверенного советника царя Ф. М. Ртищева организуется Андреевский монастырь, куда из Киево-Печерского и других монастырей вызываются до 30 ученых монахов. Этим монахам вменяется в обязанность переводить иностранные книги на русский язык и обучать желающих грамматике греческой, латинской и славянской, а также риторике, философии и другим словесным наукам. К приезжим старцам вскоре примкнули некоторые из московских монахов и священников. Так в Москве возникло первое ученое Братство 9. XVII столетие в России характеризуется общим ростом грамотности, появлением многочисленных церковных школ, распространением светской книги. По мнению историков, в XVII в. грамотными в России были всё белое духовенство, большая часть монахов, около половины землевладельцев, примерно четверть московского посадского населения. Немало было грамотных и среди стрельцов. Высшие слои московского общества не скупились на деньги для домашнего образования своих детей. Сам царь Алексей Михайлович (1629-1676, царь с 1645 г.), одаренный политик и весьма просвещенный муж, подавал им пример. В 1649 г. он вызвал в Москву киевских ученых монахов Епифания Славинецкого, Арсения Сатановского и Дамаскина Птицкого, поручив им перевести Библию с греческого языка на славянский. Киевляне, кроме исполнения главного заказа, составляли и переводили на русский язык разные западные книги географического, 7 Проуниатские взгляды Смотрицкого сформировались во время посещения им Константинополя. Отправляясь на Восток, он намеревался осуществить более точное изучение восточной веры и церкви, но вместо большей привязанности к бедствующей церкви, чьи страдания он с таким пылом описывал в своих литературных произведениях, Смотрицкий возвратился на родину с убеждением, что восточная церковь заражена протестантизмом. В 1628 г. он издал во Львове книгу «Apologia peregrinatiey do kraiow wschodnych», где излагался новый взгляд на восточную церковь и предлагалось православным принять унию. 8 Катехизис (от гр. katechesis - наставление, поучение) - краткое изложение христианского вероучения в форме вопросов и ответов. 9 Ключевский В. О. Соч. - В 9 т. - Т. 3: Курс русской истории. - Ч. III. - М.: Мысль, 1988. - С. 262.
21 космографического, медицинского характера, преимущественно выписываемые из Польши. Знакомству с западной литературой и наукой способствовали не только книги, но и постоянное общение с иностранными врачами, инженерами, военными. Кстати, врачи при дворе Алексея Михайловича были связаны с Лондонским Королевским Обществом, а это позволяло обмениваться научной информацией. Интерес к западной науке проявлялся и в предметах обихода. В домах знати появлялись часы, глобусы, зрительные трубки. В 1664 г. ко двору был вызван Симеон Полоцкий (в миру - Самуил Емельянова Петровский-Ситнианович, 1629-1680), воспитанник Киевской коллегии и белорус по национальности, для дальнейшего обучения царских старших сыновей. В 1665 г. трем подьячим из Тайного и Дворцового приказов велено было учиться «по-латыням» у Симеона Полоцкого, для чего в Спасском монастыре Москвы было построено здание, служившее «школой для грамматического учения». Спустя два десятилетия при участии царевны Софьи в Москве была открыта Славяно-греко-латинская Академия, просуществовавшая почти 130 лет 10. Многие из приглашенных московским боярством учителей были выходцами из Полыни и Украины. Они привозили с собой польские книги и учили польскому языку. По свидетельству архиепископа Лазаря Барановича, «царский синклит польского языка не гнушался, но читал книги и истории ляцкие в сладость». Анализируя потребность московского общества в новой науке, шедшей с Запада, известный русский историк В. О. Ключевский (1841-1911) писал, что эта потребность столкнулась с укоренившейся антипатией и подозрительностью ко всему, что исходило из католического и протестантского Запада. Нередки были случаи, когда одна часть учащейся молодежи порицала другую за воспитываемые новой наукой самомнение и заносчивость, проявляющиеся в критике признанных авторитетов. Эти нападки на новую ученость отражали глубинные установки русского церковного сознания. Не будем забывать, что наука и искусство ценились на Руси по их непосредственной связи с церковью. Если таковой связи не имелось, то знания и художественная деятельность рассматривались как праздное любопытство и несерьезная забава. Церковь либо молчаливо терпела эти «блудливые потехи», либо, вдруг очнувшись от ленивой и сытой спячки, строго порицала с амвона или, скажем, с печи опасные для православного духа увлечения, относя их если не к разряду прямых пороков, то к разряду слабостей греховной человеческой природы. Однако с западной ученостью было не так-то легко разделаться с помощью «богоугодной» брани и прочих «душераздирающих» средств квасного патриотизма. В Москве той поры западные ученые, инженеры и художники считались лицами весьма и весьма почтенными, которых признавала власть имущих во главе с царем. Судя по всему, не лыком шита была сия правящая верхушка москвитян. Но это лишь еще более тревожило определенную часть московского общества, представители которого ломали голову над вопросами безопасности веры, благонравия, вековых устоев национального быта. С середины XVII в. воспитанников Киевской коллегии стали все чаще вызывать на службу в Москву. Киевские ученые, регулярно соприкасаясь с западноевропейской наукой и культурой, несли в Москву философские знания и некоторые сведения естественнонаучного характера. Кстати будет заметить, что в Киевской коллегии преподавание логики занимало достаточно видное место п. 10 См.: Смирнов С. История Московской Славяно-греко-латинской Академии. - М., 1855. - 432 с. 11 См.: Москаленко Ф. Я. Учение об индуктивных выводах в истории русской логики. - Киев: Изд-во КГУ,1955.-219с.
22 Основные курсы логики читались на латинском языке. Впрочем, наука, преподававшаяся в коллегии, была во многом схоластической, оставлявшей мало места индивидуальному научному творчеству. В плане гуманистического просвещения значение коллегии было также не слишком велико. В Москве киевлян благосклонно встречал не только царь, но и властолюбивый патриарх Никон (Минов Никита, 1605-1681, патриарх с 1652 г.), своими церковными новшествами положивший начало церковному расколу. Религиозно-политический фактор был определяющим в развитии российской образованности. Это не > способствовало прогрессу наук, которые могли бы оказать практическую помощь русскому обществу в решении каких-либо технических проблем (скажем, проблем, связанных с перевооружением и оснащением русской армии на западноевропейский лад, а также с градостроительством). Необходимо было освободить научную мысль от церковного контроля, а это, в свою очередь, предполагало подчинение церкви государственной власти. Отчасти такие намерения попытался осуществить царь Алексей Михайлович, но окончательно сделал только Петр Великий. Новый этап в развитии науки и просвещения в России связан с государственной деятельностью царя Петра I, содействовавшего плодотворному влиянию западноевропейской культуры на культуру русскую, особенно в плане организации системы высшего образования в России. Что касается последнего, то вполне весомую, хотя и неопределяющую роль сыграл великий немецкий мыслитель Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). 18 марта 1700 г. Фридрих III, курфюрст Бранденбурга, подписал декрет, выражавший соизволение на основание в Берлине обсерватории и Академии наук. Авторство этого проекта всецело. принадлежало Лейбницу. 11 июля 1700 г. Лейбниц был назначен первым президентом Берлинского Научного Общества, позднее переименованного в Берлинскую Академию наук. Основывая Научное Общество в Берлине, Лейбниц мечтал о создании таких же научных организаций во всех просвещенных странах мира. Эти научные общества должны были поддерживать регулярные связи и стать «незримой республикой ученых» в форме федерации обществ ученых. Не был забыт и Петербург. В середине лета 1697 г. Лейбниц впервые встретился с русским царем Петром Великим в замке Копенбрюк, близ Ганновера. В это время двадцатипятилетний самодержец путешествовал по Европе, намереваясь посетить Голландию с целью изучения морского дела. Второй раз непоседливый русский царь и неугомонный немецкий философ встретились осенью 1711 г. при следующих обстоятельствах. Одна из принцесс брауншвейгской фамилии, София-Христина, вышла замуж за царевича Алексея (1690-1718). Дед невесты, Антон Ульрих, взял с собой Лейбница на торжества по этому поводу. Теперь Лейбниц увидел не молодого прожектера, а дальновидного политика, основателя Петербурга, победителя шведов под Полтавой. Беседы с русским царем были непродолжительными, но весьма содержательными. Петр живо общался с философом, внимательно выслушивая его идеи и предложения. Особенно его заинтересовал план реформы учебного дела и проект учреждения Академии наук в Петербурге. Осенью следующего года Петр I прибыл в Карлсбад. По желанию царя Лейбниц сопровождал его в Теплиц и Дрезден. Во время этого путешествия обсуждался и был разработан во всех деталях план русской Академии наук. Академия была основана уже после смерти Лейбница. Это свидание с Петром I имело важные следствия для Лейбница: он был принят на русскую службу в высоком звании тайного юстиц-советника с пенсией в 2000 гульденов. Роль Лейбница в учреждении Российской Академии наук аргументировано оспаривается академиком В. И. Вернадским (1863-1945). По мнению Вернадского,
23 Лейбниц не играл в истории образования Петербургской Академии той роли, какую имел в основании Берлинской, хотя в развитие идеи Российской Академии он внес определенный вклад. Окончательное же решение о создании Академии Петр I принял только после посещения Парижской Академии, и в январе 1724 г. это решение было воплощено в жизнь посредством утверждения царем проекта основания Российской Академии наук, составленного по его поручению лейб-медиком и заведующим Кунсткамерой Л. Блюментростом (1692-1755). Более сдержанную и осторожную оценку этого решения дает историк Российской Академии Ю. X. Копелевич 12. Однако, как мне кажется, главным в создании Российской Академии были не внешние влияния на Петра I и не посещение им Парижа, а факторы сугубо внутреннего порядка. Дело в том, что Академия знаменовала для царя- реформатора не только и даже не столько новый этап в развитии русской науки, сколько контроль за просвещением в интересах государственного строительства в духе абсолютной монархии. Для этого высшее образование и научные исследования необходимо было вывести из сферы церковного контроля, а сама церковь должна была безропотно подчиниться воле абсолютного монарха, отказавшись от всяких претензий на ту или иную форму государственной власти. Как довести до конца начатую в XVII в. борьбу абсолютной монархии за подчинение церкви светской власти и утверждение идеи светского, государственного суверенитета? Для этого требуется официально, на правительственном уровне закрепить зависимость «священства» от «царства». Подобное закрепление достигается учреждением в 1721 г. Духовной коллегии, вскоре переименованной в Синод. В Синод входили назначаемые царем церковные иерархи, за деятельностью которых присматривал обер-прокурор, назначаемый царем из числа офицеров (!), то есть из числа тех лиц, которые по своему государственному статусу призваны безоговорочно и четко выполнять государеву волю. Следует ли в новых условиях слепо копировать западноевропейский опыт, создавая университеты? Нет, не следует, ибо эти университеты во многом еще проникнуты духом схоластики и больше сил тратят на философско-богословские споры, чем на занятия практически значимыми научными изысканиями. Идея Академии в духе Лейбница больше импонирует царю своей практической нацеленностью и привязанностью к государственному аппарату. Очевидно, именно эти соображения повлияли на его решение создать в Российской Империи новый тип научного учреждения. Между прочим, само слово «академия» происходит от названия священной оливковой рощи, находившейся к северо-западу от Афин. Своим названием эта небольшая роща обязана мифическому афинскому герою Академу, который указал Диоскурам (сыновьям Зевса) место, где была укрыта их сестра Елена, похищенная Тесеем, сыном афинского царя. Считалось, что Академ похоронен именно в данной роще. Под сенью олив этой рощи великий древнегреческий философ Платон (427- 347 гг. до н. э.) обучал желающих философии. Постепенно слово «Академ» приобрело значение «высшая школа». В этом значении оно использовалось в эллинистическом Египте царем Птолемеем I (начало IV в. до н. э.) для указания на высшие учебные заведения Александрии, а также некоторыми средневековыми научными кружками арабского Востока, мусульманскими халифами Испании и европейскими королями, патронирующими науки и искусства. 12 Копелевич Ю. X. Основание Петербургской Академии наук. - Ленинград: Наука, 1977. - С. 32-38.
ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Петр I Г.В. Лейбниц [СКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
25 В Средние века академиями назывались небольшие союзы ученых мужей, объединенных любовью к философии, наукам, искусствам. Первые такие академии появились в средневековой Италии, члены которых прежде всего интересовались изучением классической литературы. Одной из самых ранних итальян-ских академий была Платоновская Академия, основанная во Флоренции в 1442 г. двумя просвещенными византийскими гуманистами и опекаемая герцогом Тосканским Козимой Медичи (1389-1464). В XVI-XVII вв. литературно-философские академии получили широкое распространение в Италии. Наиболее известной из них являлась Accademia délia Crusca, которая была основана во Флоренции в 1582 г. Первые научные академии начали появляться в Италии в XVI столетии. Например, Academia Secretorum Naturae была основана в Неаполе в 1560 г. Самой знаменитой из них была Римская Академия (Lincei Academia, 1603). В 1657-1667 гг. функционировала в Тоскане Academia del Cimento, с деятельностью которой связано прочное утверждение экспериментального направления в естествознании. В 1575 г. испанский король Филипп II (1527-1598, король с 1556 г.) основал в Мадриде Академию математических наук. В 1617 г. была создана Германская Академия (Fruchtbringende Gesellschaft) в Веймаре с целью развития литературного языка. В XVII столетии двумя наиболее крупными и авторитетными академиями Европы считались Королевское Научное Общество (Royal Society, 1662) в Англии и Академия наук (Académie Française, 1635,1666) во Франции. Прототип английской академии был так называемый «невидимый колледж» Лондона и Оксфорда, инициаторы создания которого начали осуществлять встречи ученых в 1645 г., а в 1662 г. участники этого «невидимого колледжа» вошли в состав Королевского Научного Общества. Французская Академия наук (Académie des Sciences) конституировалась по образцу уже существовавших к тому времени во Франции двух академий - Литературной Академии (1635), которую патронировал кардинал Ришелье (Арман Жан дю Плесси, 1585-1642, кардинал с 1622 г.), оказавший весьма существенное влияние на духовную жизнь своей страны, и Королевской Академии живописи и скульптуры (1648, 1663), ныне известной как Академия изящных искусств (Académie des Beaux-Arts). Эти три французские академии, вместе с двумя другими, сегодня называются Institut de France. Своим возникновением Французская Академия наук обязана генеральному контролеру (министру) финансов Франции Жану Батисту Кольберу (1619-1683), который, будучи весьма образованным человеком, стремившемся упрочить контакты с учеными (Р. Декарт, Б. Паскаль, П. Гассенди, М. Мерсенн и др.), начал привлекать прогрессивную научную общественность для обсуждения различных проблем науки и государственного строительства. Первая организованная им встреча ученых состоялась в королевской библиотеке (Париж). В 1699 г. собрания этого общества были перенесены в Лувр под названием Королевской Академии наук (Académie Royal des Sciences). В 1793 г. после Франузской революции Королевская Академия наук вместе с другими королевскими академиями была директивно упразднена, но вскоре французы опомнились, и уже в 1795 г. на базе существовавшей традиции научного сотрудничества ученых был создан Национальный Институт, в состав которого вошла бывшая Академия наук. Королевская Испанская Академия (Real Academia Espaüola) была основана в 1713 г. с целью сохранения и развития испанского литературного языка. Таким образом, к началу XVIII столетия многие европейские государства имели свои научные и литературные академии, в которых много внимания уделялось учебно-образовательной и педагогической деятельности.
27 В начале XVIII в. появились академии социальных наук, медицины, агрокультуры и т. д. На протяжении XIX-XX вв. в разных странах мира продолжали возникать академии, в результате чего многие европейские государства стали иметь по крайней мере одну академическую организацию. Просвещение и наука все прочнее утверждались в европейском культурном быту. Иначе дела обстояли в Соединенных Штатах, Канаде и в ряде других англоязычных странах, руководители и общественность которых считали, что культура, включая научную культуру, должна развиваться не под опекой государства, а благодаря инициативе частных лиц. Первое научное общество было основано в Северной Америке в 1743 г. известным просветителем, ученым и крупным государственным деятелем Бенджамином Франклином (1706-1790) и называлось Американским Философским Обществом (American Philosophical Society). Им же была основана первая в северо-американ- ских колониях публичная библиотека (1731) и Пенсильванский университет (1740). В 1779 г. появляется Американская Академия искусств и наук (American Academy of Arts and Sciences), а в 1863 г. в Вашингтоне создается Национальная Академия наук (National Academy of Sciences). Ведущими академиями в XVIII столетии были Парижская, Берлинская и Петербургская. Успехи этих академий в значительной мере определялись возможностями государственного финансирования научных исследований. Следует иметь в виду, что большая часть европейских академий относилась к числу государственных учреждений, деятельность которых субсидировалась, контролировалась и в некоторой степени направлялась правительствами. Что касается университетов того времени, то их значение в научных исследованиях было еще невелико, если не считать Англию и те государства, где академий не имелось, как, например, Швейцарию или отдельные немецкие княжества. К тому же ряд академий успешно конкурировал с университетами в учебном плане, поскольку академии имели в своем составе учебные заведения (например Петербургская), где велась подготовка учителей, научных работников, вспомогательного персонала и переводчиков. Первое место принадлежало академиям и в выпуске периодической литературы, а также научных монографий. Большой популярностью у европейской научной общественности пользовались академические петербургские «Записки», выходившие, как правило, ежегодно. Так, в течение XVIII столетия в изданиях Петербургской Академии было опубликовано более 700 статей и книг по математике. Для того времени масштаб отнюдь не малый, чего не скажешь о нынешних публикациях академий бывших республик СССР. Таким образом, создание Петербургской Академии наук позволило России выйти на одно из ведущих мест в мировой науке. Свою положительную роль в этом важном для страны деле сыграли такие первоклассные европейские математики, как Я. Герман (1678-1733), И. Бернул- ли (1667-1748), Д. Бернулли (1700-1782), Л. Эйлер (1707-1783) и ученые других специальностей. Заслуга в закладке прочного фундамента для развития российской науки и широкой образованности принадлежит не только Академии, но и университетам, которые хотя и с некоторым опозданием, но все же довольно активно включились в дело просвещения и научные исследования. Указ об учреждении первого в России университета (Московского) был подписан в 1755 г. в Татьянин день, ставший с того времени дорогим днем для всякого образованного русского. В начале XIX в. в России были основаны университеты в следующих городах: Дерпт (Тарту, 1802), Казань (1804), Харьков (1805), Петербург (1819), Киев (1834), Одесса (1865), Варшава (1869), Томск (занятия начались в 1888 г.).
29 Основная часть чиновников государственного аппарата подготавливалась в закрытых привилегированных учебных заведениях - лицеях. Старейшим лицеем был Александровский, основанный в 1810 г. в Царском селе и переведенный в 1844 г. в Петербург. Курс обучения в нем состоял из 6 классов гимназических и 3 университетских. Николаевский лицей, учрежденный в Москве в 1868 г., имел 8 классов гимназических и 3 лицейских. Лицеисты посещали Московский университет в качестве вольнослушателей и наравне со студентами университета сдавали экзамены. Демидовский лицей, основанный в 1833 г. в Ярославле, представлял собой специальное юридическое учебное заведение, программа обучения в котором совпадала с программой университета и окончание которого давало те же права, что и окончание юридического факультета университета. В начале XIX в. существовал Кременецкий лицей, позднее преобразованный в Киевский университет Св. Владимира. Ришельевский лицей был преобразован в Новороссийский университет (Одесса). В 1703 г., одновременно с основанием новой столицы Российской Империи - Санкт-Петербурга, выходит в свет книга преподавателя Московской школы математических и навигационных наук Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) «Арифметика, сиречь наука числительная» (Москва, 1703), явившаяся учебником арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Первым собственно русским трудом по логике считается книга М. В. Ломоносова (1711-1765) «Краткое руководство к красноречию» (1748), в которой доказывалось, что ключ к ораторскому искусству надо искать в логике. Годы учебы Ломоносова отчасти связаны с Киево-Могилянской Академией (1734), где в то время логика занимала довольно видное место в учебных курсах, входя первым компонентом в философию, делившуюся на три части - логику, физику (натурфилософию, то есть философию природы) и метафизику (философское учение о бытии как таковом). Логика в Киево-Могилянской Академии состояла из двух курсов. Первый, элементарный, курс назывался диалектикой, а другой, расширенный, - рациональной философией. Главными предметами логики являлись понятия, суждения и умозаключения. В первом разделе логики, посвященном учению о понятии, киевские профессора рассматривали свойства терминов, придерживаясь книги Петра Испанского (ок. 1210-1277) 13 «Summulae Logicales» («Суммулы»), представителя так называемой «новой логики»14. Затем излагалось учение древнегреческого философа 13 Пьетро Ребули-Юлиани, прозванный Испанцем, хотя был португальцем по происхождению, известен не только как логик, но еще и как Римский папа Иоанн XXI ( 1276-1277). В молодые годы изучал медицину и выполнял обязанности придворного врача папы Григория X. После избрания на папский трон принял имя Иоанна XXI в соответствии с ошибочной в тот период нумерацией. Согласно современному официальному ватиканскому списку, он должен был значиться Иоанном XIX. В продолжение полувека после изобретения книгопечатания его «Суммулы» издавались около 150 раз. По этой книге логика преподавалась в европейских школах более трех веков. 14 «Новая логика» («logica nova») появилась в XIII в., сменив «старую логику» («logica vêtus»), базирующуюся на философских трудах Боэция. Творцами «новой логики» были: Ламберт из Оксера (ок. 1250), автор «Свода логики»; Уильям Шервуд (ум. 1249), учившийся в Оксфорде (Англия) и преподававший логику в Париже, а также написавший учебник логики; ученик Шервуда Петр Испанский. С именем Петра Испанского связано появление «новейшей логики» («logica modernum»), представлявшей определенный шаг вперед по сравнению с аристотелевской логикой, которая в то время именовалась «древней логикой» («logica antigua»). См.: Соколов В. В. Средневековая философия. -М.: Высшая школа, 1979.-С. 379-380; Попов П. С, СтяжкинН. И. Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения. -М: Изд-воМГУ, 1974.-С. 185.
30 Киевский университет св. Владимира (рис. XIX в.) Аристотеля (384-322 гг. до н. э.) о категориях (предельно общих понятиях о бытии). Особое внимание уделялось схоластическому учению об универсалиях (общих понятиях). Во втором разделе логики, связанном с анализом структуры и типов суждений, рассматривались схоластические трактовки соответствующих аристотелевских разработок. Завершающим разделом логического курса являлось учение об умозаключениях (силлогизмах) как видах доказательного мышления. Позднее, уже будучи на учебе в Германии, Ломоносов имел хорошую возможность усовершенствовать свои логические, философские и естественнонаучные знания с помощью прогрессивного немецкого ученого, представителя раннего Просвещения Христиана Вольфа (1679-1754), ученика и друга Г. В. Лейбница, профессора в университетах Галле и Марбурга. Благодаря Вольфу он основательно познакомился с философией Лейбница и Рене Декарта (латинизированное имя - Картезий, 1596-1650), основоположника философии рационализма Нового времени. Из тесного общения с Вольфом Ломоносов вынес привычку к логическому мышлению, веру в огромное значение математики и рационалистическое отношение к спорным вопросам богословия. По стопам Ломоносова пошли Иваны Мочульские (братья Иван Большой и Иван Меньший), вахмистры лейб-гвардии конного полка, написавшие небольшую книжицу «Логика и риторика для дворян. Словеснословие и песнопение, то есть грамматика, риторика и поэзия в кратких правилах и примерах» (Москва, 1789). В эти же годы выходят книги: В. Т. Болотов. Детская логика, сочинения для употребления российского юношества (Москва, 1787); А. Никольский. Логика и риторика, кратким и для детского возраста удобопонятным образом расположенная (Петербург, 1790); И. С. Рижский. Умословие, или Умственная философия, написанная в Санкт-Петербургском горном училище в пользу обучающегося в нем юношества Иваном Рижским (Санкт-Петербург, 1790). В России первый переводной учебник по логике под названием «Логика Баумейстера» увидел свет в 1760 г. в издательстве Московского университета.
31 Перевод был сделан сержантом лейб-гвардии Измайловского полка и студентом Московского университета Александром Павловым. В нем кратко и популярно излагались основные положения учения Ф. X. Баумейстера (1708-1785), немецкого ординарного профессора философии в Йене (Германия), ректора училища в Герлице, верного последователя Лейбница и ученика Вольфа. Заслуживают упоминания и два анонимных перевода с немецкого, а именно: «Краткая логика, или Умословие, служащие в пользу Российскому юношеству» (Москва, 1788) и «Общенародная логика, или Исследование науки умственной, приноравливаясь к общему понятию людей» (Москва, 1789). В 1794 г. была издана в переводе с латинского «Логика» Иакова Факчиолати, падуанского филолога, последователя Вольфа. К переводной литературе по вопросам логики следует также отнести книгу Леонарда Эйлера «Письма о разных физических и философских материях к некоторой немецкой принцессе» (Санкт-Петербург, 1796), сочинение П. Вильо- ма «Практическая логика, или Деятельное умословие» (Санкт-Петербург, 1802) и трактат И. Ватса «Умственная наука, или Прямое употребление разума» (Санкт- Петербург, 1807). К числу русских специалистов по логике XVIII в. относится Я. П. Козельский (ок. 1728 - ум. после 1793), философ, секретарь Правительственного Совета. Считал логику частью философии. Одним из авторитетных русских преподавателей логики был А. С. Лубкин (1770-1815), ректор Петербургской армейской семинарии и профессор философии в Казанском университете (1812-1815). Считается, что Лубкину принадлежит первая в истории русской науки попытка перекинуть мост между дедуктивным и индуктивным разделами логики. Современником Лубкина был декан философско-исторического факультета Петербургского университета П. Д. Лодий, автор книги «Логические наставления, руководствующие к познанию и различению истинного от ложного» (Санкт- Петербург, 1815), в которой проблемы логики рассматриваются в связи с психологическими вопросами. До переезда в Петербург Лодий был профессором во Львове и Кракове. Родственные взгляды на логику отстаивали и харьковские преподаватели, в частности И. Любачинский в своей книге «Логика, или Умоучение» (Харьков, 1817). Знакомясь с научной литературой начала XIX в., мы обнаруживаем учебник профессора Московского университета И. И. Давыдова (1794-1863) «Начальные основания логики» (1819-1820), а также книгу Н. Ф. Рождественского (1802-1872) «Руководство к логике с предварительным изложением кратких психологических сведений» (1826), который читал логику, психологию и философию в Петербургском университете. К первой половине XIX в. относятся интересные логические разработки русского философа и логика А. И. Галича (1783-1848), учившегося в Германии, а затем преподававшего в Петербургском педагогическом институте (позднее - университете). Самобытностью отмечена и книга заведующего кафедрой логики, психологии и истории философии Киевского университета О. Новицкого (1806-1884) «Руководство к логике» (Киев, 1841), в которой автор призывает отделить логику от философской методологии, поскольку тесная связь с методологией препятствует логике быть самостоятельной дисциплиной. Идеи Новицкого воодушевили на логические изыскания И. Михневича, вылившиеся в книгу «Опыт постепенного развития действий мышления, как руководства для первоначального преподавания логики» (Одесса, 1847; второе, исправленное издание вышло в 1874 г. в Одессе под названием «Руководство к начальному изучению логики»). Перу выдающегося русского педагога К. Д. Ушинского (1824-1870) принадлежит книга «Первые уроки логики», в которой популярно излагаются основные понятия и правила логики.
32 Свое место в истории российской логической науки занимает философ и психолог М. М. Троицкий (1835-1899), профессор Казанского, Варшавского и Московского университетов, автор ряда публикаций, включая «Учебник логики с подробными >казаниями на историю и современное состояние этой науки в России и других странах» (1885) и «Законы логики» (1887). Нельзя не отметить четырехтомный труд профессора Киевской Духовной Академ™ (1841-1851) и Киевского университета (1851-1886) С С. Гогхвдсого (1813-1889) «Философский лексикон» (1857-1873), представляющий собой первую попытку создать в России энциклопедию по проблемам философии и логики. Определенной критичностью отмечены логические работы ректора Петербургского университета М. И. Владиславлева (1840-1890). В его книге «Логика, обозрение индуктивных и дедуктивных приемов мышления и исторические очерки логики Аристотеля, схоластической диалектики, логики формальной и индуктивной» (Санкт-Петербург, 1872; 2-е изд. в 1881 г.) мы находим вполне резонные замечания в адрес тех логиков, которые слепо придерживаются традиции и не желают видеть изменений в научном мышлении. В XIX в. традиционную логику попытался реформировать русский философ и психолог Н. Я. Грот (1852-1899), представитель психологизма в логике. В 1888 г. он стал председателем Московского психологического общества, а с 1889 г. - основателем и первым редактором журнала «Вопросы философии и психологии». Своей целью Грот ставил сведение логики к разделу психологии, демонстрируя при этом несостоятельность философско-спекулятивного и формально-психологического истолкования так называемых логических законов мышления. Логику можно развивать, но можно и сознательно тормозить это развитие. Примером последнего служит известный русский философ А. И. Введенский (1865— 1925), профессор Петербургского университета и председатель Петербургского философского общества (1899-1921). Его бойкому перу, помимо всего прочего, принадлежат книги «Логика» (Санкт-Петербург, 1910) и «Логика как часть теории познания» (Петроград, 1917). В XX в. по пути, которым шел Введенский, последовательный идеалист, начнут маршировать его критики в лице советских филосо- фовтматериалистов, доказывая, как В. И. Ленин (1870-1924) и сам Введенский, а еще ранее как И. Кант (1724-1804) и Г.В.Ф.Гегель (1770-1831), что «не надо 3-х слов» применительно к одной науке, именуемой логикой, диалектикой и теорией познания (В. И. Ленин). Иначе говоря, Введенский пытался растворить логику в теории познания, сделав ее зависимой и даже второстепенной философской дисциплиной. Аналогичные попытки будут предприниматься многими представителями диалектического материализма в СССР вплоть до конца 80-х гг. Правда, после развала Советского Союза некоторые из них вынуждены будут с отвращением взяться за преподавание формальной логики как самостоятельной и независимой от теории познания дисциплины. О temporal О mores! 15 В свое время 14 изданий (1871-1916) выдержал «Учебник формальной логики» профессора Петербургской Духовной Академии А. Е. Светилина (1842-1887). Этот учебник был наиболее распространенным руководством по логике в учебных заведениях Российской Империи XIX и начала XX в. Известным русским логиком был М. И. Каринский (1840-1917), профессор кафедры метафизики Петербургской Духовной Академии. В 1870 г. он отправляется в заграничную командировку. Находясь в Германии, слушает лекции известного немецкого историка древнегреческой философии Э. Целлера (1814-1908), автора классического труда «Философия греков в ее историческом развитии» (Тюбинген, 1844-1852). Посещает лекции знаменитого историка философии К. Фишера (1824- 1907), автора многотомной «Истории новой философии» (Мюнхен, 1852-1877), а «О времена! О нравы!» (Цицерон).
33 также лекции философа, врача и естествоиспытателя Р.ГЛотце (1817-1881), который ввел в философию такие исключительно важные для нее и социологии понятия, как «значимость» и «ценность». В 1880 г. Каринским была зищищена диссертация на тему «Классификация выводов». В 1884-1885 гг. читал логику на Бестужевских курсах (Высших женских курсах) в Петербурге. Наиболее важной его работой по логике является «Классификация выводов» (СПб, 1880) 16. По мнению историков логической науки, Каринский выступил новатором в логике, предложив интересную теорию умозаключений, которая близка по духу так называемой алгебре логики У. С. Джевонса (1835-1882) и У. Гамильтона (1788-1856), предшественников современной математической логики. Хорошо известно историкам логической науки в России и работы Л. В. Рут- ковского (1859-1920), верного последователя Карийского, читавшего свои лекции по истории философии и логике в Петербургском университете 17. Окончив в 1880 г. историко-филологический факультет Петербургского университета, он защитил диссертацию в Казани, затем работал внештатно при Петербургском университете, где читал лекции по английской эмпирической философии. После 1917 г. работал управляющим общим отделом Рабоче-крестьянской инспекции в Одессе. Весьма заметной фигурой в историческом ряду российских логиков является философ и психолог Г. И. Челпанов (1862-1936), профессор Киевского (1892-1906) и Московского (1907-1923) университетов, инициатор основания Московского института психологии. Ему принадлежит «Учебник логики», переиздававшийся 11 раз (последний раз - в 1946 г. с некоторыми сокращениями и исправлениями). Критичностью и обстоятельностью отличаются логические труды И. И. Яго- динского (р. 1869, год смерти неизвестен), приват-доцента Казанского университета. Его основными трудами по логике являются: «Генетический метод в логике» (Казань, 1909); «Сущность и основные типы суждений» (Казань, 1914). В Казанском университете преподавал выпускник медицинского факультета этого же университета, талантливый логик Н. А. Васильев (1880-1940), предвосхитивший некоторые положения так называемой конструктивной логики. Вопросами истории логики в России занималось небольшое количество ученых. Среди них можно отметить Е. А. Боброва, автора книг «Логика Аристотеля» (1906) и «Историческое введение в логику» (Варшава, 1913), и академика Ф. И. Щербатского (1866-1942), автора фундаментальных трудов по истории идийской теории познания и логики буддийского периода, а также соответствующих переводов («Теория познания и логика по учению позднейших буддистов». - В 2 ч. - СПб., 1903-1909; Buddhist Logic. - В 2 т. - Ленинград: Изд-во АН СССР, 1932). У истоков российской традиции логико-математических исследований стоит талантливый ученый П. С. Порецкий (1846-1907), астроном и математик, профессор Казанского университета. Он первым в России начал читать лекции по математической логике. Им же были обобщены и развиты теоретические положения алгебры логики англичанина Дж. Буля (1815-1864), логико-математические идеи У. С. Джевонса и Э. Шредера (1841-1902). Родился Порецкий в небольшом украинском городе Елисаветграде Херсонской губернии, в семье военного врача. Среднее образование успешно 16 См.: Каринский М. И. Классификация выводов // Избранные труды русских логиков XIX века. - М.: Изд-во АН СССР, 1956. - С. 3-177; Каринский М. И. Отрывок из литографированного издания «Логика» // Там же. - С. 179-192. 17 Рутковский Л.В. Критика методов индуктивного доказательства // Там же. - С. 193-264; Рутковский Л. В. Основные типы умозаключений // Там же. - С. 265-344.
34 завершил в Полтаве, после чего до 1870 г. учился на физико-математическом факультете Харьковского университета. Затем был оставлен при университете профессорским стипендиатом по кафедре астрономии. В 1876 г. избирается астрономом-наблюдателем Казанского университета. В 1886 г. ему присуждается ученая степень доктора астрономии и звание приват-доцента по сферической тригонометрии. Умер Порецкий в селе Жоведь Гроднянского уезда Черниговской губернии, куда он переехал из Казани, будучи уже тяжело больным. Логико-математические идеи Порецкого получили признание далеко не сразу. Это было вызвано сдержанным отношением российской научной общественности к математической логике в силу ее недостаточно строгой обоснованности и отсутствия ближайших перспектив практического приложения соответствующих логико-математических построений. Например, попытки Дж. Буля применить свой алгоритм в области статистики и теории вероятностей не дали ощутимого эффекта. Характерно, что Порецкий вынужден был опубликовать часть своих работ по математической логике на французском языке за границей. Лишь немногие русские ученые поддержали новаторскую деятельность Порецкого. Основательно математической логикой занимался русский математик и логик Е. Л. Буницкий (187Ф-1952), профессор Одесского университета (1818-1922), преподаватель Карлова университета в Чехословакии. Буницкий родился в Симферополе. Математическое образование получил в Новороссийском университете (Одесса), а затем в течении ряда лет преподавал математику в средних учебных заведениях Одессы, принимая активное участие в заседаниях математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей, одним из членов которого был пропагандист алгебры логики, профессор математики Новороссийского университета И. В. Следшнский. Следует отметить, что Сле- шинский осуществил перевод на русский язык «Алгебры логики» известного французского философа и логика Луи Кутюра (1868-1914), который одним из первых зарубежных ученых высоко оценил результаты работ Порецкого в области математической логики. Именно под влиянием Слешинского Буницкий познакомился с алгеброй логики. Буницкому принадлежат следующие статьи по логике, напечатанные в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» (Одесса): «Некоторые приложения математической логики к арифметике» (1896-1897,
35 № 247-248); «Число элементов в логическом многочлене» (1897, № 249); «Некоторые приложения математической логики к теории общего наибольшего делителя и наименьшего общего кратного» (1899, № 274). После 1900 г. Буницкий постепенно отходит от занятий в области алгебры логики. Профессором Одесского университета был и С. О. Шатуновский (1859-1929), талантливый математик, логик и педагог, автор ряда оригинальных логико- математических работ, которые, как и многие другие работы русских логиков, все еще ждут должной исторической оценки. Постепенно у российских ученых рос интерес к алгебре логики, что нашло отражение даже в консервативной учебной литературе. Свидетельством этого является учебник приват-доцента Петроградского университета К. Ф. Жакова «Логика» (СПб, 1912), один из разделов которого посвящен изложению основных принципов алгебры логики. Историки логики указывают также на книгу Г. И. Верев- ского «Математическое обоснование законов мышления» (Николаев, 1913). Одним из основоположников российской школы математической логики был И. И. Жегалкин (1869-1947), профессор Московского университета. Идеи математической логики нашли отражение в работах философа и логика С. И. Поварнина (1870-1952), который одним из первых русских ученых начал разрабатывать так называемую логику отношений, что нашло свое отражение в его книге «Логика отношений» (1917). После 1917 г. преподавание логики в бывшей Российской Империи начало свертываться. Как отмечают историки, отрицательные последствия исключения логики из числа школьных предметов не замедлили сказаться на общем уровне выпускников школы и на подготовке специалистов в области логики, в которых особенно нуждалась теоретическая и прикладная математика, юриспруденция и другие науки, включая науки технического профиля. В 1946 г. было вновь введено преподавание логики во всех средних школах и в некоторых высших учебных заведениях. Начали приниматься меры по подготовке преподавателей логики. Но через несколько лет логика опять оказывается в опале и вычеркивается из числа школьных дисциплин. В 60-70-е гг. логика с большим трудом пробивала себе дорогу в гуманитарных вузах СССР, ибо «подозрительно» тяготела к методологии логико-философского позитивизма. Несколько лучше дела обстояли с математической логикой, но и ей приходилось нелегко, так как давали о себе знать сталинские репрессии, обрушившиеся на представителей кибернетики и сочувствующих им математиков. Из числа советских философов и математиков послевоенного периода наиболее плодотворно на ниве логической науки трудились и трудятся такие ученые, как: А. С. Ахманов, Б. В. Бирюков, И. Н. Бродский, Е. К. Войшвилло, Ю. А. Гастев, Д. П. Горский, А. Г. Драгалин, А. А. Зиновьев, Н. И. Кондаков, А. Н. Колмогоров, А. О. Маковельский, А. А. Марков, И. С. Нарский, П. С. Новиков, П. С. Попов, Г. И. Рузавин, В. А. Смирнов, Е. Д. Смирнова, Н. И. Стяжкин, А. Л. Субботин, А. И. Уёмов, В. А. Успенский, С. А. Яновская и др. Ныне для развития логики нет политико-идеологических преград, но зато имеются другие преграды, связанные с тем, что в бывших республиках СССР резко упала престижность научной деятельности и тех учебных дисциплин в высшей школе, которые имеют преимущественно теоретическую ценность. Сегодня не каждый молодой человек решится посвятить себя науке, которая не обещает успехов на коммерческом поприще. Поэтому предлагаемая книга рассчитана на тех, кто все же отважится посвятить себя непрестижным наукам. Но поскольку не духом единым жив человек, то спешу еще раз уведомить бескорыстных любителей Истины, что хорошему специалисту в области логики доступен весьма высокий жизненный уровень, определяемый его участием, например, в составлении компьютерных программ (так называемое логическое программирование).
36 Однако в случае выбора жизненных путей необходимо все же помнить, что наука не терпит тех, кто относится к ней утилитарно и рассматривает ее в качестве средства для достижения вненаучных целей. Заканчивая свои историко-социологические пролегомены в современную логику, напоследок скажу следующее. Эти пролегомены написаны в нетрадиционной манере потому, что я хотел как бы провести читателя по историческим коридорам высших учебных заведений Западной Европы и России и познакомить его с теми учеными, научно-педагогическими и научно-исследовательскими организациями, появление которых было обусловлено вполне определенными потребностями социальной жизни. Последнее означает, что современное общество, в котором имеются подобные организации, лишившись их, будет не в состоянии удовлетворять соответствующие потребности и тогда ему придется туго. Иными словами, как бы мы ни трактовали предмет логики, ее теоретическую и практическую значимость, логика в качестве научной и педагогической дисциплины прочно укоренилась в обществе, и этим упрямым фактом нельзя пренебрегать. Организаторы науки должны считаться с ним, а идущим в науку полезно иметь в виду, что фактическое состояние дел определяет реальный диапазон их жизненного выбора. Чем уже этот диапазон, тем менее свободен человек и тем больше его зависимость от обстоятельств. Вряд ли кому-то понравится быть скованным осознаваемой необходимостью и обещаниями светлого будущего для грядущих поколений. Человек должен быть творцом своей судьбы, а не рабом фатально неизбежного. Вот почему нельзя позволять себе высокомерное или пренебрежительное отношение к вещам абстрактным и «материям тонким», ибо эти «тонкие материи» умеют беспощадно мстить доморощенным прагматикам. Короче, все профессии нужны, все профессии важны. Хорошенько это запомним и перейдем к рассмотрению собственно логических вопросов.
1 • ГЛАВА ПЕРВАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ И МЕТОДОЛОГИИ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
ГЛАВА ПЕРВАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ И МЕТОДОЛОГИИ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ Вводные замечания. - К вопросу о предметной области логики в прошлом и настоящем. - Мышление, язык, логика. - Проблемная ситуация, проблема и задача как факторы, активизирующие деятельность познающего сознания. - Логика науки и задачи современной методологии научного познания. - Теория абстракции как фундамент теории определений и современной логики. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. Вводные замечания. Серьезное, вдумчивое изучение логики предполагает знание основ философии и методологии научного познания. Без этих знаний логика предстает сухой, абстрактной дисциплиной, весьма далекой от реальных запросов практической деятельности людей. Конечно, можно ограничиться зазубриванием ее технических правил для решения школьных задачек, ответы на которые уже загодя известны, но подобное усвоение материала имеет косвенное отношение к собственно логической науке. Для тех же пытливых умов, которые хотят видеть реальные перспективы и возможные пути развития современной логической мысли, должен подчеркнуть следующее: принимаясь за изучение именно современной логики, очень важно постоянно иметь в виду, что логика в ее нынешнем виде возникла не в результате схоластических попыток научить всех желающих правильно мыслить и красиво рассуждать, а из решения довольно специфических задач, касающихся укрепления методологических основ математики и других наук, ориентированных на строгие и точные методы познания. Если речь заходит об основах научного знания, свои права на обсуждение соответствующих вопросов предъявляет философия, которая на протяжении многих веков занималась именно основными, фундаментальными идеями, понятиями и представлениями, так или иначе отражающими наши знания об окружающем мире и человеке. Правда, теперь, когда логика стала относительно самостоятельной научной дисциплиной, а философия потеряла многие свои полномочия, диалог между философами и логиками не выглядит как общение учителя с учеником. Сегодня они достаточно равноправные партнеры. Поскольку философия - многодисциплинарная наука, включающая в себя и определенную часть обширной логической науки, и теорию познания, и этику, и эстетику, и другие отрасли знания, постольку во всем своем объеме она не может быть введена в состав проблематики, непосредственно примыкающей к логике. В данном случае вполне достаточно ограничить эту проблематику предметной областью теории познания. Однако и здесь не все так просто, как это может показаться на первый взгляд. Прежде всего следует подчеркнуть, что нет единой теории познания для всех времен и народов. Кроме того, некоторые философы очень негативно относятся к конструированию теорий познания, ибо полагают, что для современной науки вполне достаточно разработок методологии научного познания. Несмотря на всю остроту полемики вокруг философских теорий познания, большинство ученых все же высоко оценивают роль данных теорий в решении фундаментальных научных проблем, ибо на собственном опыте не раз убеждались в необходимости осваивать незнакомые им методы познания при выходе на междисциплинарную проблематику, а это значит, что им приходилось сталкиваться с
Глава 1 39 теми задачами, которые так или иначе решались философами, специалистами в области гносеологии. Слово «гносеология» происходит от греческих слов «gnosis» {знание, познание) и «logia» {слово, учение). Иногда вместо этого термина используется, преимущественно в англосаксонских странах, термин «эпистемология» (гр. epistemo - знание + logia - слово, учение). Само выражение «теория познания», закрепляемое терминами «гносеология», «эпистемология», впервые было введено в философию шотландским философом Дж. Феррьером в 1854 г. Исключительно важным разделом гносеологии является методология научного познания. Долгое время в философской литературе по гносеологии основное внимание концентрировалось на общих характеристиках процесса познания, на выяснении его связей с формами поведения и практической деятельности людей, тогда как средствам и методам исследования в науке уделялось значительно меньше места в научных трактатах. В XX в. отношение к методологии научного познания существенно изменилось. Объективно обусловленное сближение разных наук для комплексного решения сложных научно-технических и социально-экономических проблем показало много общего в тех инструментах познания, которые еще недавно казались совершенно разными. Возникла настоятельная потребность изучить и классифицировать этот инструментарий, анализ которого и составил задачу современной методологии научного познания. В отличие от психологии научного творчества, которая изучает индивидуальные особенности познавательной деятельности ученого, методология рассматривает общие системы принципов и способов организации научного знания, описывает универсальные и специфические методы научных исследований, их уровни и т. д. Большую роль в этом деле играет логика, помогающая не только анализировать теоретические структуры научного знания, но и участвовать в его практической реализации. В предлагаемой главе читатель сможет познакомиться с различными трактовками предметной области современной логики, проследить ее связи с философией и методологией научного познания, а также с другими науками и научно обусловленной практикой социально-технического прогресса. К вопросу о предметной области логики в прошлом и настоящем. В некоторых учебниках по логике можно прочитать, что формальная логика изучает мышление. Я категорически не согласен с этим. Что же изучает логика и почему ее иногда называют «формальной»? Выражение «формальная логика» вошло в философский лексикон отнюдь не со времен древнегреческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н. э.), считающегося основоположником европейской логической традиции. Свою роль сыграли два выдающихся немецких философа XVIH-XIX вв. - И. Кант и Г. В. Ф. Гегель. Кант первым, но лишь изредка употреблял выражение «формальная логика». Гегель же постоянно пользуется этим выражением, противопоставляя свою диалектическую логику логике формальной, якобы имеющей дело с некими застывшими «сущностями». Ни Кант, ни Гегель не обогатили логической науки, но скорее внесли страшную путаницу в философские умы, используя слово «логика» не по назначению, а для указания на теорию познания (гносеологию). В результате до сих пор среди определенной части философов бытует традиция рассматривать формальную логику как нечто менее ценное по сравнению, скажем, с теорией познания. Любопытно, что термин «логика» для обозначения определенной предметной области философского знания начал употребляться не Аристотелем, а его последователями. Сам Аристотель хотя и пользовался словами «логический», «логически», но главным образом применительно к вероятному знанию, тогда
40 К.К. Жоль Логика как относительно достоверного знания он пользовался прилагательным «аналитическое». Должен подчеркнуть, что для древнегреческого мыслителя аналитика (логика) не была самоценной научной дисциплиной, предполагающей наличие особой группы профессионалов. В качестве чисто технического, подсобного учения она подчинялась метафизике, основным предметом познания которой является сущность всех природных явлений. Родословная логической науки тесно связана с философскими размышлениями о правилах спора, процедурах убеждений, доказательств вины или невиновности подсудимых. В этом отношении логика ближе к риторике и юриспруденции, чем к теории познания. Логика Аристотеля действительно была «формальной», но не в современном смысле слова, а в том смысле, который придавал этому слову греческий философ. Для него «форма» сливалась с «сущностью», то есть с чем-то главным, незыблемым в мире меняющихся вещей. Поскольку определение, по Аристотелю, есть словесное выражение сущности, он нередко высказывался так: «сущность в словесном выражении», или просто «логос» (слово, наука), для обозначения философски истолкованной формы. Покаянно согласись мы с тем, что философы почти обоготворили понятие «сущность» и приучили нас автоматически пользоваться этим полумистическим словом, намного проще было бы объяснять смысл выражения «формальная логика», опираясь на современные научные представления о так называемых языковых формах. Сейчас же нам приходится пробираться хотя и проторенными, но трудными путями истории философской мысли, чтобы развеять туман, окутывающий довольно простые вещи. С чего начинается формальная логика? Вопрос с подвохом, но ответ на него прост, если не мудрствовать лукаво.
42 К.К. Жоль Логика Формальная логика начинается отнюдь не с изучения мышления, как это декларируется в некоторых учебниках, а с изучения совсем других предметов, озадачивающих это самое мышление вроде бы «скучными», на первый взгляд, задачами, а именно: ставится «простенькая» задачка, скорее даже задание, заменить некоторые объекты их абстрактным описанием с помощью специального, в той или иной степени формализованного языка. Логикам хорошо известно, что формализованный язык, в противоположность обычному, естественному языку, следует за так называемой логической формой и порой слишком дотошно ее воспроизводит в ущерб краткости и легкости общения, но без этого не обойтись, особенно тогда, когда мы стремимся часть рутинной работы передать, допустим, компьютеру. Сегодня потребность в формальном описании различных языков (естественных и искусственных) особенно велика в связи со стремительным развитием кибернетики и компьютерной техники, требующей соответствующего программного обеспечения. Поэтому формализация различных типов грамматик, по справедливому мнению ученых, оказывается важным междисциплинарным предметом исследования, объединяющим представителей разных наук. Хотя истоки данных исследований коренятся в математике и в этом смысле имеют давнюю традицию, но сейчас процесс формализации научных языков приобретает актуальное звучание почти во всех науках, где предпринимаются попытки использовать компьютерные программы не только для хранения полученного знания, но и для автоматизированного построения гипотез, решения логико-математических задач, доказательства различных научных теорем, оказания помощи при переводе с одного естественного языка на другой. Вот почему теорию формальных языков все большее количество ученых резонно рассматривает как одну из важнейших областей современных научных исследований. Введение особого формализованного языка означает принятие специальной системы логического языка. В этом смысле формализованный язык не является каким-то выдуманным заменителем слов и предложений естественного языка. Разумеется, поскольку мы все-таки люди, а не роботы, то наш хотя и формализованный, но служащий человеку искусственный язык пытается копировать обычный язык, обставляя это массой различных и совершенно неизбежных оговорок. Таким образом, логика располагает своим формализованным языком, который удовлетворяет следующим требованиям: (1) все основные (простые, несоставные) знаки (символы) должны быть представлены в явном виде; (2) должны быть заданы правила введения новых знаков с помощью уже имеющихся; (3) должны быть заданы все правила построения формул (например: правила образования предложений из слов); (4) должны быть заданы все правила преобразования формул; (5) должны быть заданы правила интерпретации наших абстрактных построений. Так понятая формальная логика не учит красноречивых неофитов правильно мыслить и «озвучивать» свои «правильные мысли», но зато учит правильно решать определенные и весьма специфические типы научных задач. Ее точнее было бы называть символической логикой, что и делают многие ученые, отличая эту логику от сугубо математической логики, обслуживающую преимущественно математику. Свое название современная символическая логика получила благодаря широкому использованию точно определенных логических символов. Использование симво-
Глава 1 43 лов обнаруживает родство формальной логики, появившейся в недрах философии, с математикой. Такое родство касается способов правильных выводов (умозаключений) в логике и математике. На этой методологической основе некоторые ученые определяют современную символическую логику как науку о выводимости одних утверждений из других в процессе теоретических рассуждений. Символическая логика, проникая в сферу математических рассуждений, принимает вид математической логики. Однако не следует путать логико-математическую символику с математикой как особым способом рассуждений. Математическая форма еще не гарантирует, что мы имеем дело с собственно математикой. Иногда и слова естественного языка выражают достаточно точно суть математических идей. Достигается это за счет логического сцепления выражений естественного языка. Вообще-то надо заметить, что вычисления - отнюдь не главное, чем занимаются математики. На самом деле в чистой математике вычисления встречаются крайне редко. Чаще всего математические вычисления имеют место там, где собственно математическая работа закончена, и речь идет лишь о том, чтобы, руководствуясь известными логико-математическими правилами, выполнить определенный объем сугубо механической работы. Логику в ее нынешнем виде не интересует и не должно интересовать, как человек приобрел необходимые ему для логических рассуждений знания. Пусть этим занимается гносеология и психология. Логику же интересует лишь то, как можно чисто теоретическим образом получать новые знания на базе уже имеющихся. В связи с этим основной задачей современной логики является контроль за правильностью выводов. То, что не интересует логику как строгую, формальную дисциплину, не может не интересовать ее теоретиков, методологов и философов. Именно они выдвигают новые идеи и принципы построения логических систем, самых разнообразных и
44 К.К. Жолъ Логика порой весьма неожиданных. По справедливому мнению известного советского математика и логика А. А. Маркова (1903-1979), в идее неединственности логики нет ничего удивительного или крамольного. Практика свидетельствует, что все наши рассуждения не могут и не должны управляться одними и теми же законами. Для последнего нет никаких серьезных оснований. Поэтому попытки подогнать определение логики под единый шаблон выглядят, мягко говоря, занятием легкомысленным. Аналогичных взглядов на логику придерживался и известный американский ученый С. К. Клини (1909-1994), крупнейший специалист в области математической логики. По его словам, со времени открытия неевклидовой геометрии русским ученым Н. И. Лобачевским (1792-1856) в 1826 г. (опубликовано в 1829-1830) и венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860) в 1832 г. стало совершенно ясно, что мысленно равновозможны различные системы геометрий. Точно так же имеются и различные логики. Скажем, на базе одних и тех же математических постулатов можно построить разные теории, различия в которых обусловливаются той логической системой, с помощью которой осуществляется вывод. Подобно евклидовой геометрии, классическая логика является самой простой и наиболее употребительной логической системой (в математике, точных науках и в повседневной жизни), хотя порой ее слишком превозносят и наделяют несвойственными ей возможностями. И все же поскольку спекулятивно-схоластические определения логики регулярно встречаются в учебниках, имеет смысл проанализировать одно из них, а именно: «Формальная логика есть наука о формах, то есть структурах, мысли». Каковы же эти «формы» («структуры») мысли? Что такое мышление вообще? Мышление, язык, логика. Проблематику сознания и мышления обычно освещают философы и психологи. Логики же из числа математиков, пережив «головную боль» психологизма XIX в., когда психологию превозносили едва ли не как главную науку о человеке и его способах постижения истины, считают, что эта проблематика к ним не имеет никакого отношения. В определенном смысле они правы, но только в определенном смысле. Не будем забывать, что формированию такого убеждения способствовали философы-неопозитивисты, занимавшие в вопросах методологии и логики научного познания непримиримую антипсихологистскую позицию и надеявшиеся с помощью «позитивного» (конкретно-научного) знания решить все философские проблемы. Однако под напором усложнившихся внутренних проблем (скажем, проблемы логической семантики как науки об интерпретации абстрактно-логических построений) и факторов внешнего порядка, обусловленных развитием науки и техники XX столетия, неопозитивисты вынуждены были несколько смягчить первоначальные требования к языку и методам научного познания. Наиболее сильный и воистину неожиданный удар был нанесен неопозитивизму в послевоенный период. Удар обрушился оттуда, откуда его меньше всего ожидали именно философы-неопозитивисты, многие из которых пришли в философию, имея не философскую, а естественнонаучную или техническую подготовку. Сюрприз шокового характера был преподнесен научно-технической революцией: разработчики компьютерной техники поставили на повестку дня «запретную» для антипсихологи- стской логики проблему - проблему мышления (сознания). Исследования в области «искусственного интеллекта» требовали выработки нового взгляда на механизм функционирования познающего сознания. Анализируя этот механизм, ученые пришли к выводу, что каждый акт сознания есть индивидуальный акт, совершаемый отдельным человеком в своей нервно-мозговой системе, но этот акт всегда протекает в границах определенного социально- культурного поля значений и объективно действителен в той мере, в какой выразим в языке, являющимся масштабом (эталоном) для идентификации единичного и классификации его всеобщей (общей для всех) ценности, значимости. В этом смысле
Глава 1 45 тот или иной язык определяет не только направление деятельности индивидуального сознания, опосредствуя значениями степень важности элементов системы знания, но даже господствующие интеллектуальные навыки и манеру миропонимания. С современной научной точки зрения язык - это не внешняя оболочка мысли, а ее живая действительность. Иными словами говоря, язык как практически действующее сознание - это особый тип знаковой, смыслопорождающей деятельности, помогающей человеку решать разнообразные теоретические и практические задачи. Понимание языка как практической формы сознания {интеллекта) помогает существенно расширить горизонт традиционной гносеологии, покинуть узкие рамки индивидуального познания и выйти в сферу истории и теории научного познания. В традиции, идущей от выдающегося немецкого филолога В. фон Гумбольдта (1767-1835) через исключительно талантливого российско-польского ученого И. А. Бодуэна де Куртенэ (1845-1929) и швейцарского лингвиста Ф. де Соссюра (1857- 1913), принято различать язык и речь. Например, Соссюр определял язык (langue) как специфический вид знания, а именно как знание правил, которые лежат в основе живой (устной или письменной) речи. Эти знания в качестве «идеальных сущностей» противопоставляются «речи» (parole) как их материальной «являемости». И по сей день для многих лингвистов из числа последователей Соссюра, язык - это некоторая «идеальная вещь-в-себе». По этому поводу критики Соссюра пишут, что при обсуждении его учения спорным является не очевидное различие между речью и языком, само по себе неуязвимое (поскольку очевидно, что язык не есть то же самое, что речь), а антиномичный 1 характер, который придавал этому различию Соссюр, отрывая язык от речи. Споры вокруг соссюровской триады («язык», «речь», «речевая деятельность») показывают, что проблема языка (в широком смысле слова) - далеко не внутренняя проблема лингвистики. Язык - это основополагающая категория не только лингвистики, но в том числе и логики. Данная категория в рамках той или иной отдельной науки не может быть теоретическим образом раскрыта и удовлетворительно определена; для ее определения необходимо выйти в сферу гносеологии и методологии научного познания, учитывая запросы лингвистики, логики и семиотики2. Не менее острые споры ведутся вокруг понятий «мышление» и «сознание», которые «школьная» логика беззаботно включает в определение своего предмета. На примере дистинкции 3 «мышление/сознание» мы сталкиваемся с фундаментальными философскими вопросами. К их числу относятся вопросы о субстанциальности физического и психического, о тождестве мышления и бытия, о самотождественности человеческой личности, о единстве и субстанциальной основе душевной жизни человека, о взаимосвязи мышления и языка. Почему в философии проблема субстанции занимает столь видное место? Каким образом эта проблема связана с анализом душевных явлений? Субстанция4. Понятие субстанции выражает смысл единства в многообразии. Применительно к анализу душевных явлений проблема субстанции на протяжении длительного развития философии приобретала вид разнообразных вопросов: Что является фундаментом душевных процессов? Непрерывен ли опыт человеческого познания? Является ли самотождественной сущностью человеческий интеллект? Что такое память? 1 От гр. antinomia - противоречие в законе; неразрешимое противоречие. 2 От гр. semeion - знак, признак; semeiotike - учение о знаках. 3 От лат. distinctio - различение. 4 От лат. substantia - первооснова, основание, платформа, фундамент.
46 К. К Жоль Логика Несведущему в философии читателю эти вопросы могут показаться чем-то слишком абстрактным, оторванным от жизни. Попытаюсь переубедить его, воспользовавшись несколькими примерами. В беседе с Горацио на кладбище Гамлет, созерцая бренные останки, задается вопросом: «Что мешает вообразить судьбу праха Александра Македонского шаг за шагом, вплоть до последнего, когда этот прах идет на затычку бочки?» Итак, Александр Македонский умер, Александра похоронили, Александр стал прахом, прах - земля, из земли добывают глину. Почему глине, в которую он обратился, не оказаться в обмазке пивной бочки? И, наконец, знаменитые слова: «Пред кем весь мир лежал в пыли, торчит затычкою в щели». Теперь давайте пофантазируем и представим, что эти слова услышали уэллсовские марсиане. Не сочли бы они это за особую техническую хитрость землян, которые «демонтировали» своего кумира, а затем, плотно спрессовав все его молекулы в «пакет-затычку», спрятали в щель пивной бочки для отвода марсианских глаз? Понадобится, земляне призовут на помощь специалистов из числа инженеров человеческих душ, и те, вытащив «затычку», осуществят монтаж оригинала. А если эти земляне поступят таким же образом не только с Александром Македонским, а и со всем человечеством, «упаковав» его во все дырки и щели бочка-тары, дабы спастись от марсианских кровопийц? Ответ напрашивается сам собой: марсиане рискуют остаться в дураках. Возможны ли подобные «демонтажи» и «монтажи»? Известный польский писатель-фантаст Станислав Лем (р. 1921) в «Звездных дневниках» Ийона Тихого, знаменитого во всех галактиках звездопроходца, живописует прелюбопытный эпизод из жизни этого достославного доктора honoris causa 5 университетов обеих Медведиц. Однажды Тихий прочитал в труде профессора Тарантоги «Космозоология» о планете такой маленькой, что случись всем ее жителям одновременно покинуть 5 Honoris causa (лат.) - букв, ради почета; зз заслуги (например: ученая степень, присуждаемая за научные заслуги, без защиты диссертации).
Глава 1 47 свои жилища, они смогли бы поместиться на ее поверхности только в том случае, если бы каждый стоял на одной ноге. Тихий решил посетить эту удивительную планету. По прибытии на место он убедился, что действительно все обстоит именно так, как это изобразил профессор Тарантога. Особенно нашего звездопроходца порадовал высокий интеллект аборигенов, позволивший им успешно справиться с демографическими трудностями. В соответствующем учреждении с каждого жителя планеты посредством рентгеновских установок снимается «автограмма», то есть детальная схема всех материальных частиц, из которых построено его тело. Когда приходит время сна или скучного совещания, абориген несколько раз демонстративно зевает и немедленно влезает в специальный аппарат, где преспокойненько распыляется на атомы. В таком атомарном виде он занимает очень мало места. В назначенное время будильник включает аппарат, который на основании автограммы вновь соединяет все частицы в нужном порядке, и абориген возвращается к жизни. Удобства этой системы очевидны: отсутствие бессонницы, ночных кошмаров, скучного времяпрепровождения и т. д. и т. п. Что это? Сказка? Вымысел шутника-фантаста? Вряд ли отец кибернетики Норберт Винер (189Ф-1964) только шутил, выдвигая дерзкую идею возможности путешествовать по телеграфу. Тот факт, писал Винер, что мы не можем передавать телеграфно форму строения человека из одного места в другое, обусловлен главным образом техническими трудностями, в частности трудностями сохранения жизни организма во время такой радикальной перестройки. Сама же идея отнюдь не является чем-то абсолютно неосуществимым. Уже сегодня биологи способны методом клонирования 6 создавать организм буквально из одной его клетки. Поэтому оживление Александра Македонского или какого-нибудь скупердяя, унесшего в могилу тайну местонахождения спрятанного сундука, набитого золотом и драгоценностями, не является утопией. При знакомстве с такими чудесами у философа может возникнуть вопрос: «Позвольте, а как же быть с уголовным кодексом, чтимым законопослушными гражданами, и вообще с каким-нибудь кодексом чести?» Предположим, какой-то из описанных Лемом аборигенов не чтит уголовного кодекса и ведет себя крайне аморально. Преступив небрежно закон и пораскинув своими инопланетными мозгами, он может в случае, когда его «карта бита», срочно распылиться на атомы или даже на субатомные частицы. Кого тогда судить? Автограмму? Или же суду подлежит дубликат, полученный с помощью автограммы? Но не будет ли расправа над дубликатом проявлением чрезмерной кровожадности со стороны инопланетной Фемиды? Переводя все это на язык философии землян, озадачим себя таким вопросом: что такое самотождественность личности? Или: что такое человеческое Я? Из чего оно состоит? Какова его субстанциальная основа? В философии Нового времени проблема субстанциальности психического приобрела несколько неожиданный вид, вылившись в дискуссию о природе бессознательных умственных процессов. Философия Нового времени придала особый смысл представлениям о бессознательных душевных процессах в связи с жаркой полемикой вокруг учения основоположника рационалистической философии Рене Декарта о врожденных идеях (идеях, якобы изначально присущих человеческому мышлению и не зависящих от 6 Производное от слова «клон». Клон (от гр. klon - ветвь, побег, отпрыск) - генетически однородное потомство растения или животного, образовавшееся путем бесполого размножения.
48 К.К. Жолъ Логика опыта). Противники этого картезианского учения в лице известного англий-ского философа и крупного политического деятеля Дж. Локка (1632-1704), а также его последователей выдвинули весьма любопытное положение, которому в дальнейшем суждено было превратиться в сложнейшую проблему существования бессознательного в человеческой психике. Критики теории врожденных идей, особенно из числа приверженцев философии эмпиризма, вдохновляемые весомыми аргументами Локка, указывали на парадокс, согласно которому нечто может находиться в разуме и одновременно быть недоступным для него. Стремление избавиться от подобного рода парадоксов привело к ожесточенному спору о том, как следует понимать и переводить на различные национальные языки знаменитый декартовский термин «cogitatio» - как «мышление» или как «сознание». По мнению Декарта, субстанцией (основой) душевной жизни человека является мыслящая душа, способная не только сомневаться по поводу внешних телесных объектов, принимая при этом форму сознания, но и осознавать себя как сомневающуюся душу, а следовательно, как душу мыслящую. Отсюда вытекает, что у Декарта мышление понимается как нечто исходное, первичное, производным от которого является изменчивое сознание и его формы. Более оригинальный взгляд на интересующую нас проблему мы встречаем у выдающегося немецкого философа Г. В. Лейбница, во многом предвосхитившего базисные идеи современной символической логики и внесшего существенный вклад в развитие рационалистической философии. Одной из главных задач лейбницевской философии является доказательство того, что материя и дух едины. Если это единство возможно, необходимо создать такое учение о сознании, которое позволяло бы рассматривать сознание как психический центр одухотворенной природы. В соответствии с этим Лейбниц строит теорию о темных и ясных состояниях сознания, выделяя в психике перцепцию 7 и апперцепцию 8. Лейбницевская ревизия декартовского «cogitatio» сопровождалась закладкой фундамента нового философского учения о сознании, самосознании и бессознательном. В противовес Декарту Лейбниц утверждал, что в основе человеческого интеллекта лежит не мышление, а его прообраз (!) в виде малых восприятий (бессознательных перцепций). Из этого следовало, что область апперцепции (осознанных восприятий) занимает лишь небольшую часть психики. Благодаря Лейбницу впервые было намечено расхождение в понятиях «мышление» и «сознание». Как отмечал известный советский психолог А. Н. Леонтьев (1903-1979), развитие сознания не сводится к развитию мышления, поскольку сознание имеет свои собственные философские и психологические характеристики, установленные в результате теоретического анализа и экспериментальных исследований. Сопоставляя сознание и мышление, Леонтьев предлагает отбросить предвзятую идею о том, что сознание определяется мышлением. Разумеется, сознание и мышление тесно связаны, но это отнюдь не лишает их определенной автономии, тем более не означает первичности мышления по отношению к сознанию. Признание последнего влечет за собой реставрацию декартовского учения о врожденных идеях. Устранение понятия души из контекста философии и психологии XIX в. ставило под сомнение вопрос о субстанциальности и самотождественности внутреннего мира человеческой личности. Поэтому не будет преувеличением сказать, От лат. perceptio - восприятие. Лат. ad - при, к + perceptio - восприятие.
Глава 1 49 что философско-мировоззренческой причиной повышения интереса к проблеме соотношения сознания и бессознательного являются попытки сохранить принцип субстанциальности жизненного опыта и человеческой личности с учетом того, что деятельность сознания дискретна, поскольку имеет начало и конец, измеряемые краткими (по человеческим меркам) промежутками времени. С давних времен психическая деятельность рассматривалась как нечто прерывистое, обладающее вспышкообразным характером. Считалось, что в промежутках между этими «вспышками» психическая деятельность не осуществляется. По сравнению с психикой материальный мир представлялся непрерывным и независимым от человеческого индивидуума. В XIX в. наиболее отчетливое обоснование непрерывности психических процессов представлено в книге немецкого философа Э. фон Гартмана (1842-1906) «Философия бессознательного» (1868), где бессознательное рассматривается как вторая личность, скрытая под поверхностью нашего обычного сознания, но совершенно с ним сходная по своей структуре и функциям. Согласно Гартману, о сознании нельзя говорить, что оно «дремлет», а затем в какой-то момент «пробуждается». Сознание рождается не из «дремлющего сознания», а из бессознательного в момент внедрения в него новых представлений. Бессознательное как бы поражается необычному явлению, пытается оказать ему сопротивление, чтобы сохранить привычное состояние. Известный французский философ Анри Бергсон (1859-1941), изучая интеллектуальные процессы, обратил внимание на тот факт, что активизация сознания требует ситуации выбора. Там, где вырисовывается много равно возможных действий и нет ни одного действия реально возможного, там сознание бывает наименее активным, поскольку отсутствие выбора не требует умственного напряжения. Суммируя вышесказанное, отмечу, что человеческое сознание коренится не в спонтанной деятельности интеллекта. Оно развивалось постепенно из наиболее низших форм, проходя через этапы качественных изменений. При этом изменялось его содержание, изменялись формы, разнообразились функции. Сравнение интеллекта высокоразвитых животных и человека по формам и типам активности показывает, что основной функцией сознания является способность психики обеспечивать организму максимально выгодное для его жизни положение в изменяющейся среде. Иными словами, способность организма занять в среде более выгодное для его жизни положение составляет ту начальную биологическую основу, из которой развивались различные формы сознания, включая психику животных и человека. В данном случае речь шла о сознании как о свойстве высокоорганизованной материи - мозга. Но при этом не отождествлялось сознание как продукт мозга с содержанием сознания в форме знания. Что касается сознания как свойства высокоорганизованной материи, это свойство изучается представителями конкретных наук (физиологами, кибернетиками и т. д.), тогда как содержание сознания есть предмет философского анализа, от которого рукой подать до собственно логического. Но обратите внимание на то, что здесь имеется в виду уже не изучение сознания или мышления, а изучение знания с учетом его языкового функционирования. Анализируя знание как содержание и способ существования сознания, мы сталкиваемся с гносеологической и логико-методологической проблематикой, вынуждающей нас как бы выйти за пределы поля сознания и разобраться в структурах проблемных ситуаций, «запускающих» деятельность сознания, научного в частности. Проблемная ситуация, проблема и задача как факторы, активизирующие деятельность познающего сознания. Как свидетельствует научный опыт, для того чтобы увидеть научную проблему, ее надо выделить и оценить в форме гипотезы, точнее, в форме гипотетической теории, ибо, по резонному мнению современных ученых, необходимо решительно отказаться от давно устаревшей ее
50 K.K Жоль Логика интерпретации (например: гипотеза как отдельное предположение в форме отдельного «предложения» или их совокупности; гипотеза как научное допущение или предположение в кратко сформулированном виде, истинное значение которого неопределенно) и рассматривать научную гипотезу как концептуальную теорию. Процесс же выделения и оценки начинается с того, что ставится задача сохранить прежнюю теорию, устранив из нее противоречия, грозящие ее существованию. Для достаточно зрелой науки это обычное явление, ибо новые теории не возникают на пустом месте. Объективная проблемная ситуация воспринимается вначале как нечто субъективное, не представляющее реальной угрозы для традиционной теории. Следовательно, в логическом плане задача предшествует проблеме, хотя в обычном плане все выглядит наоборот: проблема предшествует задаче в виде проблемной ситуации, которая сразу не осознается, но ощущается и воспринимается как некоторые временные сбои в привычной теоретической деятельности. Схематично сказанное представлено на рис. 1. Взгляд на проблемность как на неотъемлемую черту активного сознания общепризнан. Положение о том, что начало деятельности познающего сознания коренится в проблемной ситуации, давно уже приобрело силу неоспоримого факта. Однако этот факт по-разному интерпретируется философами, логиками, психологами. Некоторые исследователи предпочитают отождествлять «проблему» и «задачу». Вследствие подобного отождествления возникает иллюзия, будто бы устраняется трудный вопрос о механизме появления и формулировки задачи (или задач), вопрос об условиях, породивших задачу или их комплекс, решение которых в отличие от проблем имеет более или менее алгоритмический характер. Напомню, что алгоритм, или алгорифм9, - это система операций (например, вычислений), применяемых по строго определенным правилам. В результате последовательного выполнения этих правил мы получаем решение поставленной задачи. Или, иначе говоря, алгоритм - это конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач. Рассматривая существующие методы решения задач, мы сталкиваемся с тем фактом, что большинство задач решается путем проб и ошибок, то есть поиск их решения осуществляется в так называемом пространстве возможных решений. Что собой представляет решение задачи методом поиска в пространстве возможных решений] Предположим, мы играем в шахматы. У нас имеется первоначальное состояние шахматной задачи, то есть исходное расположение шахматных фигур. Начальная и конечная (целевая) конфигурации представляют собой начальное и конечное (целевое) состояния шахматной задачи. Все эти состояния задачи, включая промежуточные, называются пространством состояний. В данном случае пространство ТЕОРИЯ ЗАДАЧА M ПРОБЛЕМАМ ГИПОТЕЗА I ПРОБЛЕМНАЯ СИТУАЦИЯ Рис. 1. 9 От algorithm, algorismus, латинская транслитерация имени среднеазиатского математика аль-Хорезми.
Глава 1 51 состояний состоит из всех тех конфигураций шахматных фигур, которые могут быть образованы в соответствии с правилами шахматной игры. Обычно говорят, что одно состояние той или иной задачи, в том числе шахматной, преобразуется в другое с помощью соответствующего оператора (правила). Пространство состояний, достижимых из начального состояния, можно представлять себе в виде так называемого графа, вершины (узлы) которого соответствуют этим состояниям и связаны между собой дугами, или ребрами, указывающими на определенные операции. Решение шахматной игры достигается посредством метода поиска (перебора) с применением определенного оператора (правила) к начальному состоянию. Применяя данный оператор, мы получаем новое состояние. К этому новому состоянию опять применяется оператор и т. д. Методы организации такого поиска целевого состояния удобнее всего объяснять посредством графа. Основы теории графов были заложены математиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером (1707-1783), швейцарцем по происхождению, много и плодотворно работавшем в России. Широкое развитие теория графов получила во второй половине XX в. под влиянием развития кибернетики, хотя серьезный интерес к проблематике того, что можно сегодня называется теорией графов, пробудился около середины XIX столетия. Существенное влияние на этот процесс оказали естественные и технические науки благодаря исследованию структур молекул, кристаллов и электрических сетей. Свою важную роль сыграла и логика, которая стимулировала изучение двоичных (бинарных) отношений в форме графов. В терминах теории графов относительно легко формулируются и решаются многие логико-математические задачи. Типичным примером графа служит сеть железных дорог, изображенных на географической карте, или план города, в котором так называемые ребра представляют улицы, а вершины - перекрестки. Что касается географических карт с изображением железных дорог, то здесь кружочки, обозначающие станции, являются вершинами графа, а соединяющие их пути - ребрами. Говоря в первом приближении, граф - это геометрическая конфигурация, состоящая из точек и соединяющих их линий. В данном случае не столь существенно, являются ли эти линии прямыми или криволинейными дугами, соединяющими две концевые точки. Существенно только то, что они соединяют две данные точки. В соответствии с геометрическими представлениями графа каждая конкретная пара (семейство) сочетаний вершин называется ребром данного графа. В определении ребра графа можно принимать или не принимать во внимание порядок расположения двух его концов. В данном случае все зависит от типа решаемой задачи. Так, если указанный порядок для нас несущественен, если допускается, что R = (а, Ь) = (Ь9 я), то говорят, что R есть неориентированное (ненаправленным) ребро; если же этот порядок в той или иной мере для нас все-таки существенен, то R называется ориентированным (направленным) ребром, для графического обозначения которого используются указательные стрелки (см. рис. 2 и рис. 3). Ориентированное ребро часто называется дугой, но слово «дуга» не следует понимать всегда и во всех случаях буквально, ибо графически такого рода дугу удобнее изображать прямой линией. Если а и Ъ (а, Ь) образуют (представляют) дугу (ребро), то говорят, что вершина а предшествует вершине 6, или вершина Ъ следует за вершиной а. Можно также говорить, что R есть ребро, выходящее из вершины а и входящее в вершину Ь. Говорят еще и так: если в графе существует путь из а в 6, то а считается предком Ь9 а Ъ - потомком а (см. рис. 4). Или: если некоторая дуга направлена от вершины а к вершине 6, то говорят, что вершина Ъ является дочерней вершиной для вершины a, a вершина а является родительской вершиной для Ъ.
52 К. К. Жоль Логика Рис. 2. Рис. 3. Ребро (дуга) О—^о предок потомок о о Дуга (ребро) Рис. 4. Подобные «предки», «потомки» и примкнувшие к ним другие математические «родственники» могут быть прямыми и непрямыми, то есть связь между «предками» («родителями») и «потомками» («дочерями») может быть опосредствованная (косвенная). Слово «связь» здесь имеет вполне строгий терминологический характер. Так, если для каждой пары «предок - потомок» (а и Ь) из некоторого множества «родственников» (некоторого определенного множества объектов) существует связь от «предка» (а) к «потомку» (Ь), то граф называется связным (или сильно связным, если существует определенный, точно установленный путь от а к Ъ, а не какой-то гипотетический маршрут). Теперь определим в первом приближении граф, а именно: граф - это множество объектов, называемых вершинами (узлами), на которых задано бинарное (двоичное) отношение. Данное множество может обозначаться так: G = (X, R). Отношение R задается множеством пар вершин, которое оно связывает. Например: Х= {1,2, 3,4, 5}, R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (3, 5)}. Иногда говорят, что пары вершин данного множества соединены с помощью дуг, которые направлены от одного члена этой пары к другому. Такие графы носят название направленных (ориентированных) графов. Когда две вершины являются дочерними друг для друга, то в этом случае пара направленных дуг иногда называется ребром графа. Более точной формулировкой ориентированного графа является следующая: ориентированным (направленным) графом называется тройка G = [N, A, f\, состоящая из множества N вершин, множества А дуг или ориентированных ребер и функции /, которая ставит в соответствие каждой дуге упорядоченную пару вершин, называемых концами этой дуги. Дуга с концами в одной и той же вершине называется петлей. Подобная петля напоминает собаку, которая кусает
Глава 1 53 КОРЕНЬ ВНУТРЕННИЙ УЗЕЛ % Рис. 5. Рис. 6. свой собственный хвост. Граф, у которого нет таких дуг, называется графом без петель. Особой разновидностью графов являются так называемые деревья, интуитивный образ которых давно укоренился в логике и математике. Некоторые графы принято рассматривать как деревья с корнями. Дерево с корнем - это такой граф, у которого имеется единственная вершина, называемая корнем. Из корня любая другая вершина достигается только по одному пути. В первом и самом общем приближении дерево можно определить как граф, содержащий единственный выделенный узел, именуемый корнем, в который не входит ни одной дуги (ориентированного ребра). В любой другой узел такого графа- дерева входит одна и только одна ориентированная дуга. Узлы, из которых не выходит ни одной дуги, называются листьями. Промежуточные между корнем и листьями узлы, имеющие входящую и выходящую дуги, называются внутренними узлами. Пример такого графа-дерева приведен на рис. 5. Следует подчеркнуть, что любой узел дерева может быть корнем поддерева, состоящего из данного узла и его потомков. Необходимо еще раз отметить, что в случае этого дерева категорически запрещены циклы {петли), то есть дуги, выходящие из одного узла и входящие в него же (рис. 6). Связный неориентированный граф также может называться деревом, если он не имеет циклов (не замыкается на себя). Граф без циклов есть граф, связные компоненты которого являются деревьями. Чтобы описать задачу с использованием пространства состояний, мы должны знать, что представляют собой состояния в данной задаче. В связи с этим рассмотрим преобразование алгебраического выражения х : z + s : у в выражение (ху + sz) : zy. В качестве состояний задачи здесь выступают соответствующие алгебраические выражения. Эти состояния можно описать посредством бинарных (двоичных) деревьев, используемых для представления графов. Неконцевые вершины (узлы) в таком дереве - это арифметические знаки (+, х, -s-), а концевые вершины (узлы) - это символы для обозначения переменных (х, у, s, z), фигурирующих в наших выражениях. Дерево, представляющее выражение (ху + sz) : zy, изображено на рис. 7. Здесь ветвь, отходящая влево от вершины, обозначенной символом дроби (+), представляет числитель дроби, а ветвь, отходящая вправо, - ее знаменатель. Применение законов алгебраических преобразований (операторов в пространстве состояний) приводит к преобразованию данного описания в другие описания. Задача, стоящая перед нами, заключается в преобразовании его в состояние, описываемое деревом, которое изображено на рис. 8. В данном случае операторы можно рассматривать как функции, определенные на некотором множестве состояний и принимающие значения из этого множества. Поскольку процессы решения задач базируются на работе с описанием состояний, постольку можно считать, что операторы - это функции данных описаний, преобразующие одни описания состояний в другие (Н. Нильсон).
54 К.К. Жоль Логика й Рис. 7. Рис. 8. В том случае, когда граф используется для представления пространства состояний, с его вершинами связывают описание состояний, а с его дугами - операторы. Таким образом, проблема нахождения последовательности операторов, преобразующих одно состояние в другое, эквивалентна задаче поиска пути на графе. Часто бывает удобно приписывать дугам графа вес {весомость, важность) или стоимость {ценность), отражающую значимость применения соответствующего оператора. Ценность пути между двумя вершинами определяется как сумма ценностей всех дуг, соединяющих вершины этого пути. Если мы имеем дело с задачами оптимизации, то возникает необходимость найти путь между двумя вершинами, имеющими минимальную ценность. Граф может быть задан как явным образом, так и неявным. При явном задании его вершины и дуги с соответствующими ценностями (стоимостями) должны быть перечислены с полной определенностью (скажем, в виде некоторой таблицы, которая может содержать перечень всех вершин графа, их дочерних вершин и ценностей всех связанных с ними дуг). Совершенно очевидно, что явное задание оказывается практически неприемлемым для больших графов, а для графов, имеющих бесконечное число вершин, оно невозможно даже теоретически. При неявном способе задания определяется некоторое конечное множество вершин, являющихся начальными вершинами. Кроме того, определяется специальный оператор, который, будучи примененным к любой вершине, дает все ее дочерние вершины в ценности (стоимости) соответствующей дуги. Процесс поиска в пространстве состояний той последовательности операторов, которая решает задачу, соответствует преобразованию в явную форму достаточно большой части неявно заданного графа. Выбор для данной задачи определенного представления в пространстве состояний определяет те поисковые усилия, которые необходимо приложить для ее решения. Предпочтительно делать представления задач с малым пространством состояний, то есть делать такие представления, графы которых имеют небольшое количество вершин. Значительным спросом метод построения деревьев пользуется у кибернетиков в связи с программным представлением задач, решаемых сведением к подзадачам, а также для моделирования строго формальным образом различных игр (например, шахматных). По мнению кибернетиков, поиск решения задач с помощью графов приводит к удобному представлению этих задач только в том случае, когда имеются соответствующие эвристические 10 функции, помогающие осуществлять данный по- 10 От ,гр. heurisko - нахожу, отыскиваю, открываю', приемы и методы получения нового знания, часто плохо формализуемые или формализуемые с большим трудом.
Глава 1 55 иск, и эффективные способы выделения подзадач. Формально-логический анализ поиска на графе решения интересующей нас задачи дает возможность установить определенные требования, предъявляемые к эвристической функции или способу определения подзадач. Эвристические функции и методы определения подзадач неизбежно зависят от характера решаемой задачи. Так, метод, хороший в одном случае, может оказаться совершенно неподходящим в другом случае. Поэтому необходимо иметь инструментарий не только для анализа внутренней структуры решаемой задачи, но и для классификации самих задач, а это предполагает нетрадиционную точку зрения на понятие «задача», позволяющую отличать задачи от проблем, формулировать по- новому условия задачи и т. п. Здесь мы выходим на уровень гносеологии и методологии научного познания. Научный опыт показывает, что решение задач при определенных условиях может привести к отчетливой формулировке проблемы в виде гипотезы. В качест-ве иллюстрации сказанному рассмотрим феномен коперниканской революции. К началу XVI в. католическая церковь была озабочена определением дня Пасхи. Пасхальное воскресенье - это первое воскресенье после первого полнолуния, наступающего после дня весеннего равноденствия. Задача сводится к определению дня весеннего равноденствия. Эта задача довольно успешно решалась в геоцентрической системе мира древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (ок. 90 - ок. 160 гг. н. э.), разработавшего элегантную математическую теорию движения планет вокруг неподвижной Земли. Однако к началу XVI столетия вследствие использования данной системы накопились досадные погрешности, увеличивающие ошибку в определении дня весеннего равноденствия. За решение задачи брались многие ученые, в том числе и польский астроном Николай Коперник (1473-1543). Перед Коперником и другими астрономами стоял чисто технический вопрос в виде достаточно ясно сформулированной задачи, предполагающей определенные методы ее решения в рамках уже существующей теории. Решая поставленную задачу, Коперник выполнял определенный социальный заказ, обусловленный той проблемной ситуацией, в которой оказалась католическая церковь в связи с необходимостью уточнения дня Пасхи. Поэтому дерзкое
56 К. К. Жоль Логика утверждение о вращении Земли вокруг Солнца получилось у него как промежуточное следствие решения узкоконкретной задачи, а не потому, что он якобы пытался ниспровергнуть теорию Птолемея п и тем самым крепко насолить церковным ортодоксам. Таким образом, возникновение коперниковской теории не зависело от той проблемы, которую она невольно ставила и решала. Более того, сама проблема могла быть сформулирована лишь тогда, когда теория (гипотетическая концептуальная теория) была уже создана. Парадоксальная, но вполне реальная для науки ситуация: начинать не с проблемы, а с задачи или задач, порожденных объективной проблемной ситуацией. Решая эти «решаемые» задачи или задачу, мы можем получить неожиданные теоретические результаты, свидетельствующие о наличии проблемной ситуации. Обычно анализом такого рода парадоксальных ситуаций в науке занимаются гносеологи и методологи. Но с недавних пор к ним подключились и логики. Чем это было вызвано? Все дело в том, что наши последовательные научные рассуждения о закономерностях объективного мира опираются на некоторую логику вывода одних фактов из других. Многочисленные логические системы, начиная с аристотелевской и кончая современными неклассическими, формализовали и продолжают формализовать множество различных логических рассуждений, чтобы облегчить и эффективизировать процесс получения истинного знания. Однако в ряде случаев это требует настолько большого объема рутинной работы, что отпадает всякое желание браться за осуществление подобной работы. И тут на помощь человеку приходят компьютеры. Программисты, обслуживающие их, утверждают, что они могут помочь своим коллегам из числа гносеологов и методологов, да и не только им, использовать современный логический инструментарий для весьма результативного анализа интересующих их вопросов, связанных с формулировкой Гипотез и принятием решений в условиях, когда мы обладаем неполной или неопределенной информацией о явлениях, представляющих для нас значительный интерес. К этому добавляется, что образование гипотез сегодня является одним из разделов исследований по «искусственному интеллекту». В широком плане логико-методологический вопрос «Может ли компьютер формулировать и проверять гипотезы?» является конкретизацией более общего философского вопроса по проблематике «искусственного интеллекта», а именно: «Может ли компьютер мыслить?» Пусть подобного рода вопросы не смущают неискушенного в философских дебатах читателя, хотя здесь есть над чем подумать. В данном случае эти вопросы не будут обсуждаться, хотя в последующих главах читатель будет иметь возможность более детально их рассмотреть. Сейчас же важно подчеркнуть другое: современные логики смело ставят на повестку дня вопрос исключительной практической значимости. Суть этого вопроса такова: можно ли рациональным образом понять природу эмпирических данных и эмпирических процессов, используя аппарат современной математической логики и статистики, чтобы попытаться создать рациональный образ наблюдаемого эмпирического мира? Примеров такого рода, подтверждающих все возрастающую практическую значимость современной символической логики, хватает в избытке. Но сейчас они не так важны, как важно то, что характеристики логики, определения ее предметной области, представленные в некоторых учебниках, до сих пор имеющих 11 О К. Птолемее и его реальном вкладе в науку см.: Ньютон Р. Р. Преступление Клавдия Птолемея: Пер. с англ. - М.: Наука, 1985. - 384 с; Гинзбург В. Л. Гелиоцентрическая система и общая теория относительности // Вопросы философии. - 1973. - № 8. - С. 112-129.
Глава 1 57 широкое хождение в средней и высшей школе, не соответствуют реальной ситуации в логической науке, не учитывают ее теоретической и практической направленности, игнорируют достижения в области гносеологии и методологии научного познания. Как следствие, мы имеем весьма расплывчатые рассуждения авторов подобных учебников и учебных пособий о мышлении, сознании, языке и других фундаментальных философских категориях. Следует учитывать, что многие базисные понятия логической науки не определяются в рамках той или иной конкретной логической системы. Для их определения и понимания необходимо выйти на уровень методологии научного познания и гносеологии. Поэтому знание хотя бы самых общих основ методологии научного познания является непременным условием вхождения в современную логику. К этому необходимо добавить еще и то, что в последние десятилетия достигнуты значительные результаты в области так называемой логики науки. Логика науки и задачи современной методологии научного познания. Применяя методы современной символической логики, ученые смогли тщательно исследовать проблемы, связанные с разработкой и эффективным использованием формализованных научных языков. Благодаря этому происходит сближение логики и методологии научного познания, их взаимное обогащение и развитие, но вместе с тем сохраняется и определенная автономия этих двух направлений изучения научного знания. Если основной задачей логики науки является анализ структуры готового, сформировавшегося знания, то методология научного познания анализирует средства и методы процесса познания, которые применяются для получения этого знания. Методология науки как общее учение о методах научного познания не сводится к описанию и классификации методов научных исследований. В данном случае главной целью является изучение возможностей и границ применения тех или иных научных методов в новых областях науки или в смежных научных дисциплинах, а также уяснение их роли и места в общем процессе научного постижения истины. По отношению к гносеологии методология научного познания выступает в известном смысле подчиненной дисциплиной, но подчиненной не в смысле диктата со стороны гносеологии, а в смысле анализа и объяснения более локальных вопросов научного освоения действительности. Иными словами говоря, если гносеология ставит своей целью изучение общих закономерностей процесса познания, его уровней и форм, то методология сосредоточивает свои усилия на исследовании конкретных средств и методов строго научного познания, чтобы выявить их скрытые возможности и тем самым расширить сферу их использования. При анализе методов познания нельзя не учитывать общих закономерностей процесса познания, но вместе с тем нельзя не учитывать и характерных особенностей научного инструментария, определяемых конкретной предметной областью. В конце концов главенствующая роль принадлежит предмету, а не методу, поскольку именно предмет познания или практического действия является нашей главной целью и определяет формы, способы и наши возможности по реализации поставленных целей. Метод не есть нечто абсолютно самостоятельное, в себе и для себя сущее. Познание есть всегда познание определенных предметов. Предметно не обусловленный метод - это пустой звук. Сила научных понятий, методов научного познания заключена в тех предметах объективной действительности, которые отражаются с помощью этих понятий и методов в нашем сознании. Иначе говоря, метод будет только тогда научно оправдан, когда его «технология» будет отражать закономерности объектов, вовлеченных в сферу человеческой практики и ставших объектами заинтересованного в них человека. Поэтому для
58 К.К. Жоль Логика анализа действительности следует обращаться к самой действительности, а не к желаемым представлениям о ней. Поскольку познание есть познание определенных предметов, то есть предметов, которым положен предел в пространстве, во времени или в наших представлениях о предметном мире, постольку в методологии научного познания и в логике большое значение играет теория определений. Эта важная роль теории определения все больше возрастает по мере того, как возрастают требования, предъявляемые к языку науки. С одной стороны, такие требования предъявляет сама жизнь, точнее, промышленная практика в условиях современного научно-технического прогресса (технологическая стандартизация, унификация научно-технической терминологии и т. п.), а с другой стороны, интеграция различных наук и научных дисциплин для решения комплексных теоретических и практических задач нуждается в нахождении общего языка между специалистами разной научной и технической ориентации. Естественно, в этих условиях теория определений становится весьма практически значимой теорией. По мнение ученых, следует различать два аспекта определений. Первый аспект связан с формально-логической теорией определений, изучающей общие условия и механизм выработки определений в языке научно-теоретического познания. Второй аспект касается конкретных способов применения определений в практике научных исследований, а также и в других формах практической деятельности людей. Именно реальная практика научных исследований свидетельствует, что в ряде случаев мы не только вводим с помощью определений новые термины, но и довольно часто с помощью аналогичных процедур определения исключаем из языка науки термины, связанные не только с устаревшими или ошибочными научными представлениями, но и с уровнями познания (соответствующие процедуры интерпретаций). Это непосредственно касается и самой логики как развивающейся науки. Если мы определяем ее как науку о формах мысли, то движемся вспять по направлению к эпохе схоластики. Если же мы определяем ее как теорию следования, доказательства, выводимости одних утверждений из других в процессе рассуждений, то идем в ногу со временем и способны его даже обгонять, участвуя в разработке новых научных теорий, а также в разработке перспективных научных программ по проблематике «искусственного интеллекта» и т. д. Но и это еще не все. Вопрос о введении или исключении научных терминов теснейшим образом связан с логико-методологическим вопросом о введении и исключении абстракций. Теория абстракции как фундамент теории определений и современной логики. Как писала С. А. Яновская (1895-1966), известный советский математик, логик и философ, чтобы наука могла служить решению практических задач людей, она должна не только уметь строить абстрактные объекты, но и заменять их конкретными представителями, то есть не только вводить абстракции, но и правильно исключать их. Образно говоря, нельзя съесть абстрактный «плод», можно съесть только конкретный объект, подпадающий под общее понятие. Из этого следует, что со всяким абстрактным понятием в науке должны быть связаны правила его введения и исключения. В некоторых случаях (особенно для простейших абстракций типа «плод», «мебель» и т. п.) правила введения и исключения абстракций формулируются без особых затруднений. Это зафиксировано в современных теориях определений, где различают правила введения новых абстракций по определению («определяющие аксиомы») и правило их исключения («правило сведения по определению»). Отыскание модели (или интерпретации) для теории, подчеркивала Яновская, представляет собой особенно важную задачу, известную как исключение абстракций. Это может показаться странным, но тем не менее следует иметь в виду, что
Глава 1 59 формализация теории и приведение поясняющих примеров также относится к числу способов исключения абстракций высоких порядков. Дело в том, что в данном случае формализация является как бы «выжимкой» из так называемой содержательной теории, той «выжимкой», которая исключает ряд абстрактных, но неформализуемых понятий, устанавливая тем самым возможные логические границы содержательной теории и значение ее формализуемых понятий. Не всякую абстракцию можно тем или иным образом исключить {интерпретировать), но это еще не является свидетельством ее ущербности. Невозможность подобных исключений свидетельствует лишь о том, что исходное введение абстракций представляет собой известное огрубление, упрощение, некоторую идеализацию действительности. Поэтому обратный путь к этой действительности, то есть путь от теории к практике, бывает весьма тернист. Иногда он лежит через ряд других теорий (теоретических моделей), а здесь без знания теории определений никак не обойтись. Именно теория определений помогает наводить мосты между различными теоретическими конструкциями. Необходимым методологическим фундаментом теории определений является теории абстракции. Обращение к теории абстракции для нас важно еще и потому, что данная теория проливает свет на один из центральных разделов формальной логики - на учение о понятии. По мнению многих современных философов и логиков, слово «понятие» является весьма неопределенным и многозначным, часто вводящим нас в заблуждение. В свое время нового взгляда на понятие требовал известный советский философ и логик В. Ф. Асмус (1894—1975), подчеркивавший, что алогизм (отрицание логики как средства научного познания) XX в. в лице французского философа А. Бергсона и американского психолога У. Джемса (1842-1910) зачастую принимает вид специальной критики понятий. Адвокаты алогизма в оценке познавательных возможностей понятий ясно представляли, что падение теоретического авторитета логики и интеллектуализма в целом во многом зависит от теоретических трактовок понятия. Если эти трактовки неубедительны, то под сомнение ставятся не только базисные положения логики, но и познавательная эффективность методов дискурсивного 12, то есть рассудочного, точнее, рассудительного, логического, мышления. Закономерно, что данная критика понятия выливается в инструменталистскую (прагматистскую) доктрину познания, согласно которой понятия науки рассматриваются только как служебные инструменты, лишенные предметного содержания. В истории философии мы не встретим ни одной сколько-нибудь оригинальной философской системы, создатели которой, прежде чем взяться за ее конструирование, не пытались бы уточнить собственные позиции по вопросу о понятиях и механизмах их образования. По словам Л. А. Заде, проблемы образования понятий и абстрагирования приобрели особенно большую значимость в результате бурного развития кибернетики. Он подчеркивает, что именно наше недопонимание существа процессов абстрагирования и вытекающая отсюда неспособность научить машину осуществлять такое абстрагирование лежат в основе большого числа нерешенных проблем в области программирования. Когда зародилась теория абстракции? Первая европейская теория абстракции была разработана Аристотелем. Эта теория легла в основу всех последующих разработок подобного типа. По Аристотелю, абстракция 13 означает изъятие или опущение некоторых составных частей нашего восприятия. Мы отвлекаемся от всего случайного и От лат. discursus — рассуждение. Гр. aphaeresis; от лат. abstractio - отвлечение.
60 K.K. Жоль Логика СУБСТАНЦИЯ Рис. 9. приводим наши мысли к их истинной и постоянной форме. Так, математика основывается на принципе абстракции, поскольку рассматривает лишь необходимые формы без всякого отношения к материи, из которой состоят предметы. Согласно аристотелевской теории абстракции, понятие - это определенный тип сравнения. Общие понятия образуются путем сравнения и отвлечения. Сравнивая ряд каких-либо предметов, мы замечаем имеющиеся в них черты сходства и несходства (различия). Сходные черты мы отвлекаем (абстрагируем) и фиксируем их посредством соответствующих имен различной степени общности, получая тем самым содержание понятия. Затем мы можем перейти от рассмотрения предметов, данных в непосредственном опыте, к анализу и сравнению самих понятий, образовывая еще более общие понятия. В логике со времен Аристотеля принято различать две стороны понятия - содержание и объем. Объем понятия - это совокупность предметов, к которым прилагается данное понятие (например: философы, воины). Содержание понятия - это мыслимые признаки предметов (например: железный, квадратный). По мере увеличения объема понятия уменьшается его содержание и наоборот. Большее по объему понятие называется родом по отношению к понятию меньшего объема (сравните: «наука» и «математика»). То, что отличает данное понятие от других смежных и более или менее одинаковых по объему, называется видовым различием (например: «физика» и «химия»). В свое время известным греческим философом-неоплатоником, глубоким знатоком и комментатором сочинений Аристотеля Порфирием из Тира (Малхом, ок. 232/3 - ок. 303/4 гг. н. э.) была предложена условная схема, которая графически выражает отношения подчинения между видовыми и родовыми понятиями при
Глава 1 61 Рис. 10. изменении их объема. Позднее эта схема получила название «дерева Порфирия». Кстати будет заметить, что до середины XII в. его логические труды входили в число основных учебных пособий по логике. «Дерево Порфирия» представляет собой схему движения мысли от «рода» («корни дерева») к виду и от вида к индивиду (метод индивидуации («листья дерева»)). На примере предлагаемой Порфирием схемы хорошо видно, что объем и содержание понятия находятся друг к другу в обратно пропорциональных отношениях. Классическое изображение «дерева Порфирия» (типичный образец графа), дошедшее до нас из глубины веков, было сделано известным французским философом П. Рамусом (Пьер де ла Раме, 1515-1572). На его схеме (рис. 9) субстанция есть summum genus (высший род («корни дерева»), имеющий минимум содержания), а низший вид («листья дерева») - species specialissima (индивиды: Сократ, Платон, Аристотель). Схема Порфирия соответствует его идеалистическим взглядам, которые находят свое выражение в платонистском методе индивидуации (principia individuationis). Согласно этому методу, познание движется не от единичного к общему, а от общего к единичному, индивидуализируя это общее. Современная схема «дерева Порфирия» соответствует ее эмпирической интерпретации (рис. 10), то есть она начинается индивидами (не «листьями», а «корнями дерева») и заканчивается высшими родами (не «корнями дерева», а «листьями»). Лестница понятий, изображаемая Порфирием, показывает, что индивидуа- ция рода сопровождается расширением содержания. Существуют ли самые общие, самые предельные по объему понятия? Ответы на подобные вопросы призвано дать учение о категориях. Аристотель полагал, что в каждом предложении сказуемое по объему шире своего подлежащего. Поэтому самый общий род он называет категорией 14. От гр. kategoria - высказываю.
Глава 1 63 Категории образуются посредством абстракции отождествления, когда сравниваются и идентифицируются (отождествляются) одинаковые свойства и отношения. Процесс абстрагирования заканчивается не по произволу, а лишь тогда, когда остается чистая родовая форма без примеси знаний материального, изменчивого. В аристотелевской интерпретации категории - это потенциальные понятия. Задача познания - актуализировать эти потенции, сделать возможное действительным. Подобная актуализация осуществляется посредством перехода от рода к виду, от родового понятия к видовому понятию. Получается странная картина: стремясь познать единичное, мы удаляемся от истинного знания, ибо в движении от рода к виду и далее мы отходим от истинных философских знаний (знаний «первых принципов», категорий), выражая сущность все более метафорическим образом. Для науки, ориентированной на практику, аристотелевские категории - пустые, бессодержательные абстракции. Они ничего не сообщают нам, как ими пользоваться. Но это не означает, что мысль Аристотеля зашла в тупик. Своей цели он достиг, показав, что все понятия могут быть сведены к ограниченному количеству категорий, в которых наиболее ярко воплощен идеалистический принцип тождества мышления и бытия, поскольку категории, по определению, являются одновременно высшими родами бытия и высшими родами сказыва- ния об этом бытии. По пути, проложенном древнегреческим философом, пошли все остальные европейские философы, ожесточенно споря друг с другом и внося свой посильный вклад в то, что сейчас называется традиционной теорией абстракции. Традиционная теория абстракции базируется на довольно наивном образе мира, где сходство вещей постепенно и неуклонно берет верх над их различиями. Эти сходства, повторяясь, запечатлеваются в нашей памяти, между тем как индивидуальные различия полностью стираются. Таким образом, в основе каждого познавательного шага лежат акты отождествления. Главные недостатки традиционной теории абстракции обусловлены не столько изъянами в логической технике, сколько спецификой философско-мировоз- зренческих установок, в соответствии с которыми догматически постулируется наличие «особой способности духа» выделять общее, сходное, тождественное в бесконечном многообразии окружающего нас мира. Если принять эту теорию абстракции, то мы столкнемся с неразрешимой проблемой: при образовании все более абстрактных понятий исчезает всякая возможность движения в обратную сторону, так как отброшенные признаки уже не учитываются в новом, более абстрактном понятии, они не оставляют и намека на способы их реконструкции15. Предвосхищая идеи нетрадиционной теории абстракции, известный немецкий астроном и математик И. Г. Ламберт (1728-1777) указывал на следующие преимущества математических понятий. В математических понятиях не уничтожается, а сохраняется во всей своей строгости определенность частных случаев, к которым они должны быть применимы. Более того, математик в своих обобщающих формулах не только сохраняет все частные случаи, но и позволяет выводить их из этой общей формулы. К математике, не опирающейся в своих построениях на данные чувственного опыта, традиционная теория абстракции применима лишь с очень большими натяжками. В реальной действительности нельзя указать ничего такого, что имело хотя бы малейшее сходство, например, с мнимыми или иррациональными чис- 1э См.: Кассирер Э. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции: Пер. с нем. - СПб.: Изд-во «Шиповник», 1912. - 454 с.
64 К. К. Жоль Логика лами. Если же ее все-таки применить к объяснению подобных математических объектов, то мы, следуя логике рассуждений, будем вынуждены отказать им в реальном математическом смысле и рассматривать их как чисто условные символы. От новой теории абстракции требуется не разобщать универсальные и индивидуальные признаки объектов, а раскрывать их внутреннюю необходимую связь, то есть не игнорировать индивидуальные различия конкретных явлений, а выводить их из управляющих ими общих законов. В связи с этим многие гносеологи и логики указывают на необходимость отличать анализ 16 от абстракции. Дело в том, что анализ может не переходить в абстракцию (отвлечение) и быть конкретным. Метод анализа, используемый для расчленения целого, способен в то же время возвратить нас к целому. Такого рода анализ не только разъединяет, изолирует, но и соединяет, указывая на взаимную связь моментов, на их, если угодно, «технологическую цепочку». Анализ - главный инструмент решения разнообразных задач, научных и так называемых житейских. Метод решения подавляющего большинства задач можно назвать составлением плана в обратном направлении (или продвижением от конца к началу). Древнегреческие геометры называли этот метод анализом, что по смыслу означает «решение от конца (конечной цели) к началу (начальному пункту достижения цели)». Если же мы продвигаемся в противоположном направлении, то такой метод решения называют составлением плана в прямом направлении (или продвижением от начала к концу), то есть синтезом 17. Решение всякой задачи связано с составлением определенного плана. Составление плана, как отмечал известный методолог науки Дж. Пойа (1887-1985), и его реализация идут в противоположных направлениях. Мы начинаем составление плана с учетом цели А и возможных действий по ее достижению. От гр. analysis - разложение, расчленение. От гр. synthesis - соединение, сочетание, составление.
Глава 1 65 Ближайшее действие (средство) обозначим буквой Б. Мы могли бы достичь А, если бы имели средство Б (или осуществили бы действие Б). Из мысли о Б может возникнуть мысль о средстве В, а из мысли о В может возникнуть мысль о средстве Г, и т. д. Составим следующий план: (1) А если Б, (2) Б если В, (3) В если Г. Этот план можно интерпретировать так: А - место работы, Б - один вид транспорта (метро), В - другой вид транспорта (автобус), Г - место жительства (дом). Чтобы попасть на работу, я должен воспользоваться услугами метрополитена. Чтобы добраться до станции метро, я должен некоторый путь проехать на автобусе. Чтобы втиснуться в автобус, битком набитый пассажирами, я должен выйти из квартиры. Таким образом, торжественный акт прибытия на работу предполагает довольно длинный ряд относительно самостоятельных действий, то есть, составляя план, я двигаюсь как бы вспять - от А к Г. Реализуя план, я двигаюсь в обратном направлении - от Г к А. Говоря другими словами, о нашей цели мы начинаем думать в самом начале, достигаем же ее в самом конце. Это тривиально, но с подобной тривиальностью в науке следует считаться самым серьезным образом. По поводу синтеза, как движения от Г к А, можно сказать словами старинной поговорки: «Не хватило гвоздя - подкова пропала, не хватило подковы - лошадь пропала, не хватило лошади - всадник погиб, не хватило всадника - сражение было проиграно». 1.0. Почему было проиграно сражение! 1.1. У всадника не было лошади, и это обрекло его на гибель. 2.0. Почему у всадника не было лошади! 2.1. Лошадь оказалась неподкованной, в результате чего не могла быть использована в битве. 3.0. Почему лошадь не подковали! 3.1. Отсутствовали гвозди для подков. Анализ причин проигранного сражения можно продолжить, но мы ограничимся фактом отсутствия гвоздей. Этого вполне достаточно, чтобы уяснить посредством анализа не только наличие в каждой шутке доли правды, но и алгоритмические особенности анализа. Данные особенности заключаются не в прямом, а в обратном движении от предмета нашего рассмотрения. Говоря философским языком, мы как бы распредмечиваем предмет, шаг за шагом раскрываем предпосылки его становления, его генезиса (исторического или логического). Можно сказать и по-другому: анализ всегда имеет отрицательный вектор, указывающий на движение от конца (данного факта, данного результата или желанной цели) к началу, тогда как синтез имеет всегда положительный вектор, указывающий на движение от начала (предпосылок) к концу. Так ли уж важно знать знать всё это? Для повседневной жизни с ее «проснулся», «умылся», «поел», «пошел на работу», «вернулся с работы», «поел», «заснул» всё это выглядит философской фанаберией. А вот в науке с подобной «фанаберией» приходится считаться самым серьезным образом? Почему? Потому что наука начинается с «почему».
66 К.К. Жоль Логика Рассмотрим простенький школьный пример. Почему стрелка компаса показывает направление с севера на юг? Для ответа на этот вопрос вначале давайте посмотрим на другой «компас», один конец «стрелки» которого указывает на «минус» («отрицательный вектор»: анализ), а другой - на «плюс» («положительный вектор»: синтез). Если мы выбираем «плюс», нам придется для ответа на вопрос «Почему стрелка компаса показывает направление с севера на юг?» отправиться на юг или на север, чтобы найти неведомую магнитную силу, определяющую поведение стрелки компаса. Согласитесь, что такого рода путешествие в «тридевятое царство» - далеко не лучший способ удовлетворения нашей любознательности. Следовательно, приходится выбирать «минус». Первый шаг в этом направлении мы делаем, вооружаясь, по совету учителя, двумя магнитными брусками, один из которых свободно подвешен на нитке, а другой находится в наших руках. Второй шаг мы делаем, поднося северный полюс магнита к северному полюсу подвешенного магнита. При этом замечаем, что подвешенный магнит отклоняется от вертикали, словно стремясь избежать встречи со своим магнитным собратом. Факт очевиден: северные полюсы магнитов отталкиваются друг от друга. Третий шаг мы делаем, поднося южный полюс магнита к южному полюсу подвешенного магнита. Картина аналогичная. Четвертый шаг мы делаем, поднося северный полюс магнита к южному полюсу подвешенного магнита. Происходит совершенно обратное: подвешенный магнит отклоняется от вертикали, словно стремясь «поцеловаться» со своим магнитным собратом. Факт очевиден: северные и южные полюсы магнитов притягиваются. Пятый шаг - вывод, а именно: одноименные полюсы отталкиваются, а разноименные притягиваются. Шестой шаг - ответ на главный вопрос «Почему компас показывает направление с севера на юг?» (заключительный аналитический вывод). Ответ (вывод) таков: поскольку северный конец стрелки указывает на север, постольку мы можем заключить, что где-то в этом направлении должен находиться противоположный магнитный полюс. Это дает нам вполне определенную путеводную нить для поиска источника магнитного притяжения, но здесь уже прекращается наш анализ и начинаются теоретически обеспеченные эмпирические исследования. А теперь обратимся к математике, чтобы установить некоторую математическую аналогию с анализом и синтезом. Эта аналогия нам в дальнейшим очень пригодится. Со школьной скамьи известно, что часто возникает необходимость в сравнении чисел по величине. Для записи результатов сравнения используются специальные знаки: > (больше) и < (меньше). Например, 5 > 3 или 3 < 5. Математические понятия «больше» и «меньше», распространяясь на все рациональные числа 18, имеют большое практическое значение в нашей повседневной жизни и в науке. Например, в зависимости от температуры воздуха на улице мы, покидая дом, надеваем пальто и шапку или, наоборот, оставляем теплую одежду на вешалке. Чем холоднее воздух, тем меньше его температура. Так, температура -4° меньше, чем +1°, а температура -10° меньше, чем -2°. Из сказанного напрашиваются следующие правила сравнения чисел: 18 Целые и дробные положительные числа, а также противоположные им отрицательные числа и 0 носят название рациональных чисел. Более подробно о рациональных числах будет сказано во 2-й главе.
Глава 1 67 Правило I. Любое положительное число больше любого отрицательного числа, а любое отрицательное число меньше любого положительного. Правило II. Любое положительное число больше нуля, а нуль меньше любого положительного числа. Правило III. Любое отрицательное число меньше нуля, а нуль больше любого отрицательного числа. Правило IV. Из двух различных отрицательных чисел меньше то, абсолютная величина 19 которого больше, а больше то, абсолютная величина которого меньше. Во всех случаях неравенства вида а > Ъ и Ь < а означают одно и то же. Неравенство а > 0 выражает, что а является положительным числом. Неравенство а < 0 выражает, что а является отрицательным числом. В ряде случаев знаков > и < бывает недостаточно. Особенно эта недостаточность дает знать о себе, когда вводятся некоторые ограничения по каким- либо границам. Для указания на данные границы используются знаки > (больше или равно) < (меньше или равно). Кроме перечисленных знаков неравенства, используется еще знак Ф (не равно). Например, 7*0. Этот знак необходим в тех случаях, когда требуется подчеркнуть только неравенство двух чисел без указания на направленность данного неравенства. Что следует понимать под направленностью какого-либо неравенства? Для ответа на поставленный вопрос откроем книгу Ильи Ильфа и Евгения Петрова «Золотой теленок». Из этой книги мы узнаем, что через провинциальный город Арбатов проходит дорога, ведущая в город Черноморск, куда спешит герой повествования Остап Бендер со своими друзьями, чтобы хорошенько раскошелить подпольного советского миллионера Корейко. Во время своего эпохального путешествия Остап Бендер и К° оказались невольными свидетелями автомобильного пробега Москва - Харьков - Москва. Не долго думая, благородные жулики, путешествующие на автомобиле под названием «Антилопа-Гну», решили принять посильное участие в борьбе с бездорожьем и разгильдяйством вместе с участниками этого автопробега. Итак, что мы имеем? Мы имеем тот факт, что из города Арбатова выехала «Антилопа» и проехала 50 км до города Удоева, где экипаж автомобиля беззастенчиво наполнил бак бесплатным бензином, вдобавок захватив три большого бидона горючего, а также помпу и домкрат. После Удоева путешественники проехала еще 40 км. Спрашивается: на каком расстоянии от города Арбатова оказался автомобиль? Водитель «Антилопы» Козлевич, человек технического склада ума, сказал бы, что формулировка этой задачи является неполной, поскольку отсутствует указание на то, в каком направлении проехал автомобиль последние 40 км - в том же, в котором он уже проехал 50 км, или в противоположном. Ведь в первом случае автомобиль оказывается в 90 км от Арбатова, а во втором - в 10 км. Таким образом, заключил бы Козлевич, для получения определенного ответа необходимо добавить к условиям задачи указание относительно направления движения «Антилопы» после остановки в городе Удоеве. Согласившись с Козлевичем, Остап Бендер мог бы добавить, что аналогичным образом обстоит дело в любой задаче, связанной с движением точки по Абсолютной величиной положительного числа и числа, равного нулю, называется само это число. Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютной величиной нуля является сам нуль. Например, абсолютная величина числа 7 равна 7, абсолютная величина -7 равна 7, абсолютная величина 0 = 0.
68 K.K. Жоль Логика AB CD Рис. 11. прямой. Иными словами говоря, если известно исходное положение точки, а также известна длина отрезка, пройденного точкой, то нужно знать еще направление движения для того, чтобы установить конечное положение точки. А что по этому поводу говорят наши школьные учителя? Они говорят, что отрезок на прямой линии, для которого задана не только длина, но и направление, называется направленным отрезком, или вектором 20. Направленный отрезок обозначается двумя буквами, соответствующими его началу и концу. При этом буква, обозначающая начало, ставится впереди буквы, обозначающей конец. Направленные отрезки считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Так, например, отрезки AB и CD (рис. 11) равны, а отрезки AB и ВА не равны, хотя их длины равны. Что касается отрезков AB и В А, то их неравенство определяется их разнонаправленностью, о чем свидетельствуют первые буквы {А и В). Для измерения направленных отрезков используются наряду с положительными числами отрицательные числа. С этой целью прямой, на которой располагаются направленные отрезки, тоже придается некоторое направление. Алгебраической величиной направленного отрезка на данной прямой называется его длина, измеренная в определенном, заданном масштабе и взятая со знаком + (плюс), если направление отрезка совпадает с направлением прямой, или со знаком - (минус), если направление отрезка и направление прямой противоположны. Направленные отрезки применяются в задачах, связанных с движением. Перемещение за некоторый промежуток времени точки, движущейся по прямой линии, целесообразно рассматривать как направленный отрезок. Алгебраическая величина этого отрезка называется алгебраической величиной пути, или ее- личиной перемещения точки. Величина перемещения двигающейся точки может быть как положительной, так и отрицательной. Задача. Автомобиль, едущий по дороге с постоянной скоростью v км/час, проехал через центр города Арбатова (А) в 0 часов. Где находится автомобиль в момент времени t часов? Решение. Условимся считать, что дорога пролегает с севера на юг. Рассмотрим ее как числовую ось, направленную с севера на юг, а автомобиль - как точку, равномерно двигающуюся по этой оси. За начала отсчета примем центр города Арбатова. Координату 21 автомобиля обозначим буквой s. Поскольку автомобиль Вектор (от лат. vector - везущий, несущий) - прямолинейный отрезок, которому придано определенное направление. Этот отрезок имеет началом точку, из которой он выходит, а концом служит точка, в которую он приходит. О векторе можно говорить как о величине, которая характеризуется не только числовым значением, но и направлением (например: действие силы, скорость и т. д.). 21 Координаты (лат. со(п) - с, вместе + ordinatus - упорядоченный, определенный) - числа, определяющие положение точки на плоскости или в пространстве. В свое время древнегреческий астроном Гиппарх (ок. 180 - 190-125 гг. до н. э.) предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами, введя соответствующие географические координаты - широту и долготу, обозначаемые числами. В XTV столетии французский математик Николай Орезм (ок. 1323-1382) ввел, по аналогии с географическими координатами, геометрические координаты на плоскости, предложив покрыть плоскость прямоугольной
Глава 1 69 г. Арбатов -90 км ^^^ +90 км Рис. 12. проходит за один час v километров, за t часов он пройдет v х t километров. Следовательно, s = v х t. Эта формула выводится с учетом того, что v и t - положительные числа. Однако по смыслу задачи v и t могут иметь и отрицательные значения. Условимся считать скорость равномерного движения отрицательной, если движение осуществляется в направлении, противоположном выбранному направлению прямой. Условимся и время считать отрицательным, если речь идет о времени, предшествующему моменту времени, принятому за начало отсчета. Рассмотрим следующий пример. Предположим, что v = -30 км/час, a t = 3 час. Тогда формула s = v х t дает s = -90 км. С учетом наших оговорок и допущений в данном результате нет ничего странного. В самом деле, v = -30 км/час означает всего лишь то, что автомобиль движется не с севера на юг, а с юга на север и через три часа окажется на 90 км севернее города Арбатова, то есть его координата будет равна -90 км (рис. 12). Предположим теперь, что v = 30 км/час, a t = -3 час. В этом случае мы должны ответить на вопрос: где находился автомобиль за три часа до того, как он проехал через центр города Арбатова (А), двигаясь по дороге со скоростью 30 км/час с севера на юг? Очевидно, он находился к северу от центра города, то есть его координата была равна -90 км. Наконец, предположим, что v = -30 км/час, t = -3 час. В этом случае автомобиль движется с юга на север, и вопрос заключается в следующем: где он находился за 3 часа до того, как проехал через центр города Арбатова. Очевидно, он находился на 90 км южнее от начала отсчета, то есть его координата равнялась 90 км в соответствии с формулой s = (-30) х (-3) = 90. Таким образом, правило умножения положительных и отрицательных чисел позволяет распространить формулу s = v х t на любые значения скорости и времени. Во всех рассмотренных нами примерах величины, для измерения которых привлекались наряду с положительными числами также и отрицательные числа, обладают следующим общим свойством. И температура воздуха, и скорость сеткой и называть широтой и долготой то, что теперь называется абсциссой и ординатой. На основе этого нововведения возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит выдающемуся французскому философу и математику Р. Декарту. Его систему координат, широко используемую ныне, стали называть декартовой. Точку пересечения перпендикулярных и направленных прямых называют началом, а сами направленные прямые - осями координат. При этом горизонтальная ось называется абсциссой, а вертикальная - ординатой (ось абсцисс, ось ординат). Если рассматривать только одну горизонтальную и направленную прямую, точки которой изображают числа, то она будет носить название числовой оси. Числовая ось называется также осью координат, а число, изображением которой является данная точка, называется координатой этой точки.
70 K.K. Жоль Логика или время движения автомобиля могут изменяться в двух противоположных направлениях от некоторого значения, принятого за начало отсчета. Например, при измерении времени относительно некоторого момента, принятого за начало отсчета, целесообразно считать положительным время событий, происшедших после начала отсчета, и отрицательным - время событий, происшедших до начала отсчета. Это делает возможным и удобным использование отрицательных чисел для измерения в направлении, противоположном тому, в котором результат измерения оценивается в качестве положительного. Кроме того, это позволяет использовать знаки плюс (+) и минус (-) для маркировки сугубо логико-математических и методологических процедур, как в случае с анализом и синтезом. Например, анализ можно рассматривать (по аналогии с отрицательными числами) как некую отрицательную ценность (стоимость, значимость, весомость), указывающую направление движения исследовательской мысли, а синтез - как некую положительную ценность {стоимость, значимость, весомость), не привнося при этом в слова «отрицательный» и «положительный» никаких побочных эмоционально-психологических моментов. Если ограничиться процедурно-логической характеристикой анализа и синтеза, то можно сформулировать следующие правило: синтез - это анализ со знаком плюс или с двумя знаками минус (минус на минус дает плюс), то есть синтез - это своеобразный анализ в квадрате. Говоря языком математики, по аналогии с абсолютной величиной абсолютной весомостью (ценностью, стоимостью, значимостью) анализа называется противоположный ему синтез. Например, как в математике абсолютная величина числа 7 равна 7, а величина -7 тоже равна 7, так и в логике синтез равен самому себе, а анализ равен синтезу, но только при условии их одинаковой весомости (ценности), то есть при условии их применения к одному и тому же предмету. Из этого следует, что синтез нельзя целиком и полностью сводить к анализу или растворять в анализе. Метод анализа, используемый для расчленения некоего целого, - это прежде всего именно расчленение, разложение, поэтапное движение от сложного к простому, от целого к его компонентам. Анализ будет только тогда действительно анализом, когда мы способны будем возвратиться назад к целому, то есть будем способны осуществить синтез расчлененных компонентов. Такого рода анализ не только разъединяет, изолирует, но и соединяет, указывая на взаимную связь моментов, этапов анализа. Предлагаемая трактовка анализа и синтеза согласуется с использованием этих понятий в химии, что служит дополнительным аргументом в пользу данной трактовки. В конце XVIII столетия известным французским химиком Ж. Л. Прустом (1754-1826) были осуществлены количественные исследования состава различных веществ. Эти исследования привели ученого к важному выводу, известному под названием закона постоянства состава и гласящему: «Каким бы путем не было получено данное химическое соединение, состав его всегда остается одним и тем лее». Закон постоянства состава явился результатом многократных анализов различных химических соединений. Однако состав химического соединения можно установить не только путем анализа, но и путем синтеза. Так, например, при разложении воды электрическим током примерно на одну весовую часть водорода всегда получается восемь весовых частей кислорода. И наоборот, если смешать водород и кислород в отношении 1 : 8 по весу и вызвать взрыв смеси, то эти газы соединятся без остатка. Если же одного из газов взять больше, чем в указанной пропорции, то его избыток не войдет в соединение. Таким образом, синтез подтверждает результаты анализа. Опыт химиков полезен для нас тем, что экспериментально-опытным путем подтверждает следующее: цена (стоимость, ценность), которую мы «платим» за
Глава 1 71 анализ, не должна быть выше или ниже цены (стоимости, ценности) синтеза, то есть весомость анализа и весомость синтеза должны быть одинаковыми. Предлагаемая трактовка анализа и синтеза наиболее приемлема для математики и логики. Но применима ли она к естественнонаучному познанию? Ведь любому ученому хорошо известно, что в эмпирических, опытных науках процесс индукции (процесс получения обобщенных знаний об эмпирических данных) никогда не бывает вполне надежным, а следовательно, трудно быть уверенным в том, что анализ и синтез окажутся «технологически» равноценными. В связи с этим давайте еще раз обратимся к химическому закону постоянства состава (закону постоянных отношений). Допустим, мы выполнили 100 анализов воды посредством соответствующего взвешивания водорода и кислорода, полученных при электролизе воды, взятой из различных источников. В результате нами было установлено одинаковое соотношение между водородом и кислородом в пределах известной точности проведенных опытов. С полным на то основанием мы делаем вывод, что вода из разных источников содержит кислород и водород в одинаковых весовых отношениях. На этом можно было бы поставить точку. Однако серия более скрупулезных экспериментов с водой свидетельствует, что открытая закономерность не соблюдается, если взвешивание выполняется с более высокой точностью. Этот факт был установлен в 1929 г. Уильямом Ф. Джиоком, открывшим, что существуют три вида атомов кислорода с различными массами (изотопы кислорода). Несколько позже Гарольд С. Юри обнаружил, что существуют два вида атомов водорода с разными массами (изотопы водорода). Естественно, был сделан новый вывод, а именно: вода, состоящая из молекул, построенных из водородных и кислородных атомов различного вида, должна содержать водород и кислород в разных весовых отношениях. Так возникла необходимость пересмотреть закон постоянства состава с тем, чтобы учесть существование изотопных видов атомов 22. Следует ли на основе этого пересмотреть предлагаемую трактовку анализа и синтеза? Нет, не следует, поскольку расширение и углубление наших знаний об окружающем мире не изменяет общего методологического смысла анализа и синтеза. Научный метод более универсален, чем наши технические возможности и конкретные методики того же анализа или синтеза. Понятие анализа можно уточнить посредством исключительно важного для логики понятия вывода. Говоря иначе, анализ вооружает нас правилами вывода, особенно необходимыми тогда, когда мы выводим индивидуальные различия конкретных явлений из знания об управляющих ими общих законах. Ранее мы уже рассматривали общую схему решения какой-либо задачи методом поиска в пространстве возможных решений. В школе нас учат решать математические задачи посредством поэтапных действий (действие первое, второе и т. д.). Эти поэтапные действия называются в математике пространством состояний (решаемой задачи). Пространство состояний имеет определенную ориентацию, определенную направленность (начальное состояние —> конечное состояние). Иначе оно не было бы пространством состояний. Ориентация (направленность) пространства состояний помогает нам преобразовывать одно состояние в другое, то есть переходить от одного действия решаемой задачи к другому действию. Такого рода преобразование осуществляется согласно определенному правилу, называемому оператором преобразования. Полит Л. Общая химия: Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. - С. 20.
72 К.К. Жоль Логика Пространство состояний, достижимых из начального состояния, можно представить в виде соответствующего графа. С учетом нашего рассмотрения математического понятия «вектор» наибольший интерес в данном случае представляет ориентированный {направленный) граф, то есть граф, у которого ребра строго ориентированы (направлены от одного узла (вершины) графа к другому). Как векторам присущи определенные величины, так и ориентированным ребрам {дугам) присущ определенный вес в смысле весомости, важности, значимости, ценности применения соответствующего оператора. Аналогичный вес (весомость, важность, значимость, ценность) можно придавать конкретным процедурам анализа и синтеза, моделируя анализ и синтез с помощью графов, а при необходимости используя соответствующую математическую калькуляцию, если, например, речь заходит о решении какой-либо задачи, требующей подстановки чисел. Все сказанное об анализе и синтезе в полной мере применимо к логике как науке о выводах. Грамматика естественного языка имеет аналитический характер в том смысле, что выражения естественного языка разлагаются на не поддающиеся дальнейшему разложению компоненты. При построении же логического языка мы движемся в обратном направлении, то есть берем совокупность исходных символов, а затем определяем различные категории выражений и свойства этих выражений в терминах исходных символов. Такое движение логической мысли соответствует выше указанному понятию синтеза. Следовательно, логический вывод имеет не аналитический, а синтетический характер. Что все это значит применительно к понятию? Это значит, что процесс образования абстрактных понятий (процесс абстрагирования) протекает в рамках сложной аналитико-синтетической деятельности, которая не только разлагает целое на его составные элементы, но и соединяет данные элементы, следуя логическим правилам и законам, хотя далеко не всегда эти правила и законы ясно осознаются. Так истолкованные научные понятия коренным образом отличаются от слов обычного языка и от научных терминов. Знания и значения - разные «вещи». О научном понятии точнее было бы говорить как о концепции, выраженной многими словами и закрепленной многими терминами. Собственно говоря, в данном случае мы имеем дело скорее с пространным научным текстом, именуемым концепцией 23. Если эта концепция имеет интерпретацию, то она превращается в апробированную теорию. В связи со сказанным должен заметить, что в традиционной формальной логике плохо различаются понятия и слова, обобщения и значения. Обобщающая функция слова давно не вызывает сомнений. Но, тем не менее, в значительном количестве логико-философских публикаций, касающихся вопросов образования понятий, наблюдается только послушная констатация этого факта или малосодержательные рассуждения, что чревато упрощением и даже искажением реальных процессов обобщений в обычной жизни и особенно в науке. Чем это грозит? Объясню на следующем примере, иллюстрирующем, что может произойти в том случае, когда люди возводят свои наивные представления в ранг политических догм и считают приверженность этим догмам верхом гражданского патриотизма. Речь пойдет об одном злополучном происшествии, описанном известным чешским писателем Ярославом Гашеком в его книге «Похождения бравого солдата Швейка». От лат. conceptio - понимание.
Глава 1 73 Как читателю известно, сверхосторожный пан Паливец, владелец трактира «У чаши», получил десять лет тюрьмы по приговору военного трибунала за оскорбление священной особы Государя Императора. Перед этим на вопрос агента тайной полиции Бретшнейдера, куда подевался ранее висевший в трактире портрет Государя Императора, пан Паливец ответил, что на портрет гадили мухи и его пришлось убрать на чердак. Этого было достаточно, чтобы Бретшнейдер с победоносным видом мог провозгласить, что трактирщику дорого обойдутся слова, будто на Государя Императора гадили мухи. Если портрет императора рассматривать как некоторое «имя», замещающее в трактире и других присутственных местах отсутствующего там в данный момент Франца-Иосифа I, то, доводя до абсурда пороки вульгарных трактовок языка, можно поставить вопрос: куда гадили мухи - на значение «имени» или на самого Франца-Иосифа I? Займи мы позицию тайного агента полиции Бретшнейдера, нам придется, вопреки элементарной жизненной логике и здравому смыслу, выводить на чистую воду таких «антипатриотов», как хозяин трактира «У чаши». В недавней истории государства Российского бывало и похлеще. Подобные абсурдные умозаключения и поступки неизбежны, если последовательно проводить линию на отождествление понятия и слова, знания и значения, да к тому же пользуясь теорией замещения в ее примитивной бретшней- доровской трактовке. Еще Аристотель достаточно высоко оценивал обобщающую функцию слова. По его мнению, научное знание является общим уже потому, что оно выражается в словах. Правда, именно поэтому полное восприятие единичного для нас невозможно. Но это не препятствует познанию единичного с помощью чувств или мышления. Здесь заслуживает внимания тот факт, что у Аристотеля общее не отождествляется только с мышлением. Общее древнегреческий философ отождествляет со словесным выражением мышления, то есть с речью. Чтобы яснее понять заслугу Аристотеля перед науками о человеке и его познавательных возможностях, надо иметь в виду, что мифологическое мышление нераздельно связывало имя (слово) с вещью, наделяя тем самым имя магическими свойствами. Эта традиция в приглушенном виде сохраняется и в античной философии, представители которой предпочитали рассуждать не о заместителях вещей (словах, знаках, символах), а о самих вещах. Поскольку имя непосредственно принадлежит вещи, для архаического мышления нет надобности относить имена к какой-либо сфере, отличной от сферы бытия вещей. При таком подходе к языку и его значениям многие слова оказывались вне поля зрения античных ученых, то есть слова, не имеющие непосредственного вещного значения, их просто не интересовали. Этот взгляд на язык нашел свое отражение в творчестве Платона и Аристотеля, но уже в существенно переосмысленном виде, а именно: слово отрывается от конкретной вещи, но не от вещности (чувственно данного как такового), и тем самым приобретает силу знака, который по «договору» (Платон и Аристотель придерживались так называемой договорной теории происхождения языка) приложим не ко всей вещи в целом, как имя собственное, а к ее отдельным свойствам, вернее, к одному и тому же свойству разных вещей (например: круглое яблоко, круглое лицо, круглое колесо и т. д.). Благодаря этому язык наделяется функцией обобщения. Аристотелевская высокая оценка обобщающей функции слова касается не значения как феномена языка, а только знакового характера языка. Подлинным же субъектом обобщений является мышление, вооруженное для этих целей речью, чтобы демонстрировать и закреплять в памяти знания общего. В эпоху Аристотеля слова «понимать», «понять», «понятие» означали «схватить умом», «овладеть мыслью». Однако платоновскую «идею» или аристотелевскую «сущность» руками не схватишь. Для этих философов «понятие» - синоним «знания», отличного от «чувственного знания», под которым подразумевается «ви-
74 К.К. Жоль Логика деть», «слышать», «ощущать». Из этого следовало, что теоретическое понятие - это такое понятие, которое как бы полагает предел (определяет), разделяет чувственное и сверхчувственное (сущности, идеи), о чем потом заявляется с помощью языка, демонстрирующего (доказывающего) существование сверхчувственной сущности. В XI-XII вв. в средневековой схоластической философии оформился номинализм 24 в качестве философского учения, отрицающего эмпирическое 25 значение универсалий (общих понятий), то есть утверждающего, что закономерности, фиксируемые нами в общих понятиях, существуют не в действительности, а только в мышлении. Представители номинализма восстановили в подновленном виде античную традицию в решении вопроса о соотношении единичного и общего. Сделали они это в пику представителям так называемого реализма 26, которые утверждали, опираясь на традицию, идущую от Платона, что общие понятия имеют реальное (объективное) существование. Номиналисты настаивали на том, что в действительности существуют только единичные вещи, о чем свидетельствуют наши чувственные восприятия. Общие же понятия - это только имена. Основное назначение имен-понятий - замещать единичные вещи, облегчая человеку ориентацию в окружающем его мире. Номиналисты, отождествляя понятие и слово, отдавали приоритет слову и тем самым растворяли знание в значении. Значение же трактовалось ими не как феномен языка, а как чувственный образ психики, обозначаемый посредством имен. Вследствие этого образная теория значения заменяла теорию познания. Разрабатывая теорию абстракции как теорию замещения, номиналисты не признавали отражательной силы общих понятий. В их интерпретации универсалии не отражают объективную действительность, а только заменяют (замещают) конкретные вещи этой действительности психическими образами различной степени яркости и определенности. Более умеренные номиналисты (концептуалисты) шли по пути своеобразной градуировки чувственных образов. Они упрощали и приспосабливали к своим познавательным идеалам аристотелевскую теорию абстракции, базирующуюся на видо-родовой иерархии понятий. Благодаря им закладывался фундамент эмпиристской (опытной) теории познания Нового времени. В отличие от номиналистов, проблема образования понятий не волновала неоплатоников-реалистов. Говоря современным языком, реалистов интересовала не проблема введения, а проблема исключения абстракций, которая принимала у них вид проблемы индивидуации (движение от общего к единичному). Новый этап в развитии теории абстракции связан с деятельностью представителей английского эмпиризма, одним из зачинателей которого стал Локк. По Локку, все богатство души обусловлено чувственным опытом. В нашем разуме нет ничего такого, чего ранее не было бы в ощущениях. У Локка впервые в философии Нового времени мы встречаем более ясное различие между «общими названиями» и «общими идеями». Причину разграничения «общих названий» и «общих идей» английский философ усматривает в историческом процессе отделения научного сознания от сознания обыденного. Одновременно происходит становление научного языка. Ведь языки, по словам Локка, во всех странах образовались гораздо раньше наук. Общие названия, которые в ходу у различных народов, созданы не философами и не логиками, а получили свое начало от людей неученых и необразованных, называвших вещи по тем чувственным качествам, которые они в них находили. От лат. nomen, род. падеж nominis - имя, наименование. От гр. empeiria - опыт. От позднелат. realis - вещественный, действительный.
Глава 1 75 На этом фундаменте и произросла традиционная теория абстракции Нового времени, догматически представленная в некоторых современных учебниках по формальной логике, особенно в разделах о понятиях и суждениях, где понятия мало чем отличаются от слов обычного языка. Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее: 1. Основная цель современной логики состоит в том, чтобы сообщать нам, что из чего следует в процессе научных рассуждений. Поэтому логику можно определить как теорию следования^ выводимости одних утверждений из других. 2. Логический вывод имеет синтетический характер в том смысле, что, соединив в единое целое исходные элементы (например формализованного языка), мы из уже известного получаем некоторые новые сведения только путем чисто логических рассуждений, без использования какой-либо дополнительной информации и без обращения к опыту. 3. Логикой научного познания называется использование разнообразных логических инструментов к изучению готовых результатов процесса научного познания. 4. Методологией научного познания называется изучение форм, уровней, средств и методов процесса научного познания, которые позволяют нам получать конкретно-научное знание. 5. Гносеологией (эпистемологией) называется изучение общих закономерностей процесса познания как на индивидуальном, так и на институциональном (наука как социальный институт) уровнях, а также изучение особенностей научно-практического преобразования действительности. 6. Теорией определения называются логико-методологические построения, отражающие общие условия и механизм выработки определений, используемых в различных сферах человеческой деятельности (наука, законодательная и юридическая практика и т. д.). 7. Теорией абстракции называются логико-гносеологические построения, отражающие процессы исторической и логической понятийной деятельности человека, то есть процессы возникновения, образования и функционирования понятий. 8. В науке понятиями называются концепции, то есть системы научных знаний, отражающие в обобщенной форме закономерности тех или иных предметных областей. КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ У. Чем отличается современная логика от традиционной формальной логики пред- шествующих эпох? 2. Кем было введено в философию название «формальная логика»? 3. Что отличает логику от гносеологии и методологии научного познания? 4. Существует одна или много логик? 5. Охарактеризуйте теорию определения и объясните смысл процедур введения и исключения терминов и абстракций. 6. Охарактеризуйте теорию абстракции и объясните отличие слов, терминов от понятий, включая научные. 7. Расскажите, как вы представляете себе процесс научного познания. С чего он начинается в условиях зрелой науки, какие стадии проходит и чем заканчивается в рамках науки? РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Баженов Л. Б. Строение и функция естественнонаучной теории. - М.: Наука, 1978. -231 с.
76 К.К. Жолъ Логика Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. - М.: Наука, 1989. - 400 с. Войшвилло Е. К. Понятие. - М.: Изд-во МГУ, 1967. - 288 с. Горский Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. - 352 с. Горский Д. П. Определение. - М.: Мысль, 1974. - 311 с. Горский Д. П. Обобщение и познание. - М.: Мысль, 1985. - 208 с. Зыков А. А. Основы теории графов. - М.: Наука, 1987. - 380 с. Ковальски Р. Логика в решении проблем: Пер. с англ. - М.: Наука, 1990. - 280 с. Лурия А. Р. Язык и сознание. - М.: Изд-во МГУ, 1981. - 320 с. Маковельский А. О. История логики. - М.: Наука. - 1967. - 502 с. Мегрелидзе К. Р. Основные проблемы социологии мышления. - Тбилиси: Мец- ниереба, 1973. - 440 с. Меркулов И. П. Гипотетико-дедуктивная модель и развитие научного знания. - М.: Наука, 1980. - 189 с. Меркулов И. П. Метод гипотез в истории научного познания. - М.: Наука, 1984. - 188 с. Ope О. Теория графов: Пер. с англ. - М.: Наука, 1968. - 352 с. Ope О. Графы и их применение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1980. - 336 с. Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. - М.: ГУПИ МП РСФСР, 1961. - 208 с. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание: Пер. с англ. - М.: Наука, 1970. - 452 с. Попа К. Теория определения: Пер. с рум. - М.: Прогресс, 1976. - 248 с. Поппер К. Р. Логика и рост научного знания: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1983. - 605 с. Рассел Б. Человеческое познание, его сфера и границы: Пер. с англ. - М.: Изд- во Иностранная литература, 1957. - 455 с. Рузавин Г. И. Методы научного исследования. - М.: Мысль, 1974. - 240 с. Рузавин Г. И. Научная теория. Логико-методологический анализ. - М.: Мысль, 1978. - 244 с. Сойер У. Путь в современную математику: Пер. с англ. - М.: Мир, 1972. - 259 с. Швырев В. С. Теоретическое и эмпирическое в научном познании. - М.: Наука, 1978. - 383 с. Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ - М.: Мир, 1973. - 304 с. Харари Ф., Пал мер Э. Перечисление графов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. - 324 с. Хилл Т. И. Современные теории познания: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1965. - 533 с. Яновская С. А. Методологические проблемы науки. - М.: Мысль, 1972. - 280 с.
I ГЛАВА ВТОРАЯ ЛОГИКА ПОМОГАЕТ ПРИНИМАТЬ РЕШЕНИЯ, АНАЛИЗИРОВАТЬ ТЕХНИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
ГЛАВА ВТОРАЯ ЛОГИКА ПОМОГАЕТ ПРИНИМАТЬ РЕШЕНИЯ, АНАЛИЗИРОВАТЬ ТЕХНИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ Вводные замечания. - Технические системы и их роль в повышении эффективности принимаемых решений. - Логика решений, математическая теория игр и их научно-техническое обеспечение в виде электронно-вычислительных машин. - Что такое алгебра контактных цепей и какое отношение она имеет к теории чисел. - Элементарное введение в теорию множеств, являющуюся фундаментом современной математики и логики. - Теория множеств, топология, графы. - Аксиоматический метод как способ преодоления недостатков интуитивно-наглядного мышления. - К вопросу о парадоксах в классической теории множеств. - Аксиоматический метод и его связь с математической теорией множеств. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. Вводные замечания. Еще относительно недавно, в XIX в., научные знания общество получало практически бесплатно. Поэтому никаких специальных средств на развитие науки не выделялось. Только во второй половине прошлого столетия наметилось незначительное и робкое использование некоторых научных достижений в химической промышленности и в ряде отраслей промышленного производства. Но уже в первые десятилетия XX в. ситуация начала существенно меняться: наука все активнее стала субсидироваться со стороны отдельных предпринимателей, а затем и государственных учреждений. Сегодня научный поиск все теснее смыкается с производственным процессом, вследствие чего научные знания делаются предметом особой хозяйственной заботы со стороны тех предпринимателей и государственных деятелей, которые способны видеть дальше собственного носа и выходить за рамки сиюминутных интересов. Научно-исследовательская деятельность становится планово-заказной и согласованной с потребностями промышленного производства и социально-экономического развития. Возросшая роль науки в системе современного промышленного производства требует, чтобы к науке применялись экономические критерии, выражающиеся в сопоставлении затрат на науку и доходов (или убытков) от науки. Для этого необходимо всесторонне осмыслить экономический механизм применения научных знаний в деле практического освоения действительности. Здесь-то и обнаруживается, что научная информация является специфическим ресурсом, все больше определяющим уровни и темпы социально-экономического, научно-технического и культурного развития. Эффективность промышленной эксплуатации информационных ресурсов в ближайшее время будет ощутимо сказываться на экономической мощи той или иной страны. Все дело в том, что разумная, хорошо спланированная эксплуатация этих ресурсов позволяет снизить потребность в дополнительном притоке традиционных ресурсов, перейдя на ресурсосберегающую технологию. Исключительно важную роль в эксплуатации научно-информационных ресурсов играют эксперты, то есть существенным компонентом использования данных ресурсов является консультативно-экспертный институт. Следует особо подчеркнуть, что функционирование подобного социального института является коренным отличием нового типа управления. Теперь функции управления ходом исследований и разработок, а также использованием научно-технических
Глава 2 79 достижений в практике промышленного производства сосредоточивается в руках экспертов, которые управляют не директивно, а консультативно. Эксперты уточняют цели научных исследований и опытно-конструкторских разработок (НИОКР), вносят исправления в программы действий, запланированные в проектной документации. В процессе экспертизы осуществляется сквозное планирование всего комплекса работ по достижению определенных целей. Экспертиза привносит планомерность в исследовательскую деятельность, обслуживает все стадии научно-производственного процесса, предусмотренные программой. Чтобы избежать волюнтаризма в принятии ответственных решений в условиях определенного риска, в рамках органа управления создается социальные институты экспертизы и разрабатываются соответствующие экспертные системы. Сегодня особенно интенсивно ведутся разработки экспертных систем, относящихся к области «искусственного интеллекта». По мнению специалистов в сфере кибернетики, в определенном смысле именно с логико-математических экспертных систем начинается эра «искусственного интеллекта», поскольку эти системы производят свои «умозаключения», обращаясь к так называемой базе знаний. Назначение компьютерных «экспертных систем» - аккумулировать профессиональные знания и использовать их для экспертных оценок и рекомендаций. Такого рода «экспертные системы» должны не только оценивать ситуации и предлагать варианты решений, но и давать в случае необходимости обоснования предлагаемых решений. Разработка «экспертных систем» повлекла за собой появление новой дисциплины - познавательной (когнитивной 1) инженерии. Когда компьютерные «экспертные системы» только начинали создаваться, никто не предполагал, что будут получены результаты большой теоретико-методологической значимости. Однако оказалось, что «экспертные системы» способны помочь систематизировать и усовершенствовать знания человека. Подобное усовершенствование человеческих знаний открывает перед логиками новые широкие горизонты и позволяет сблизить понятия «экспертная система» и «информационные ресурсы». Ведь широкое использование «экспертных систем» в различных областях знаний закладывает фундамент для целой отрасли промышленности, занимающейся обработкой информации. Заглянув еще глубже, мы увидим, что нас окружают колоссальные запасы знаний, большая часть которых нуждается в существенных уточнениях и упорядочении, а здесь без логики, математики и программного обеспечения компьютеров не обойтись. Будем надеяться, что со временем мы обретем возможность существенно пересмотреть и уточнить все это интеллектуальное богатство. Даже если только часть накопленной в мире практической мудрости удастся проанализировать и систематизировать, человечество получит замечательный подарок в виде точного и доступного всем знания. Проблема, сдерживающая сегодня создание новых «экспертных систем», связана с трудоемкостью выявления и кодирования новых правил вывода. На эти процедуры затрачивается слишком много времени и денег. Сказывается и нехватка специалистов по представлению знаний. Подготовка же новых специалистов затруднена малым количеством людей, способных осуществлять обучение. Нельзя не сказать и о том, что «экспертные системы» пока не способны к обновлению компьютерной базы знаний, которая определяет уровень экспертных оценок и точность решений. Но, как бы там ни было, «экспертные системы» - важный шаг на пути к автоматизации управленческой деятельности и практического применения научных знаний. Не случайно руководство многих американских корпораций рассматривают «экспертные системы» как стратегически важный фактор в конкурентной борьбе. От англ. слова «cognition» - познание, познавательная способность.
80 К.К. Жоль Логика Суммируя все выше сказанное, хочу обратить внимание читателя на то, что многие из перечисленных проблем (управление, принятие решений, прогнозирование, экспертиза, «экспертные системы», логическое программирование и т. д.) имеют к логике и математике самое прямое отношение. Чтобы это сделалось очевидным, обратимся к более конкретному рассмотрению того, как логика помогает принимать решения, конструировать технические системы, включая технические системы управления, и почему для успешного решения стоящих перед ней задач ей требуется математика. Технические системы и их роль в повышении эффективности принимаемых решений. Не секрет, что любая система управления (безотносительно к ее функциональной предназначенности) создается прежде всего с тем, чтобы существенно повысить эффективность принимаемых решений. Решение же - это всегда выбор оптимального пути движения к намеченной цели. Чтобы достичь интересующей нас цели самым экономным способом, необходимо попытаться разделить стоящие перед нами задачи на рутинные и нетривиальные. Рутинные задачи могут моделироваться по образцу конструируемых простых и сложных релейных 2 устройств. Изучением этих устройств мы сейчас и займемся. В научном смысле реле - это устройство для механического, электрического и другого управления и контроля за соответствующими техническими системами. Сегодня наиболее распространенным типом релейного устройства является электромагнитное реле, состоящее из релейного элемента с двумя состояниями устойчивого равновесия и группы электрических контактов, которые замыкаются или размыкаются при изменении состояния релейного элемента. Это замыкание и размыкание фиксируется смыслом французского слова «реле», указывающим на изменения в состояниях какого-либо технического устройства. История электромагнитных реле тесно связана со строительством больших железных дорог, надежность работы которых во многом зависит от быстрой передачи сообщений на дальние расстояния. Тогда-то и было обнаружено, что, замыкая и размыкая электрическую цепь, можно возбуждать магнитные силы притяжения. Установление этого факта навело ученых на мысль использовать электромагнетизм для передачи сообщений на огромные расстояния за ничтожно малое время. На горизонте замаячил телеграф. Время шло, техника неуклонно развивалась, и вот наступил исторически важный момент, когда американский художник и изобретатель С. Ф. Б. Морзе (1791-1872) продемонстрировал в первой половине XIX в. приемник, названный клопфером 3, и систему сигнализации, известную как «азбука Морзе». Чем интересна для нас эта «азбука»? Имеет ли она отношение к проблемам логики? Давайте детальнее разберемся с этим любопытным вопросом, приняв к сведению, что азбука Морзе была в известном смысле чем-то совершенно новым по сравнению с давно известными кодами, основное назначение которых традиционно заключалось в засекречивании соответствующих сообщений. В задачу кодирования по типу азбуки Морзе не входит засекречивание сообщений. Главная цель таких кодов состоит в быстрой и надежной передачи сообщений на большие расстояния. Реализация поставленной цели осуществляется специальным кодирующим устройством, которое сопоставляет символы передаваемого текста и определенную комбинацию символов, называемую кодом. Кодирование - это операция переводов сообщений в последовательность сигналов. Обратная операция называется декодированием. 2 Фр. relais (реле) от relayer - сменить, заменить. 3 Нем. Klopfer от klopfen - стучать.
Глава 2 81 Коды, использующие два различных элементарных сигнала (электрический импульс и паузу), называются двоичными. Обычно эти сигналы обозначаются математическими символами 0 и 1. Указанных символов вполне достаточно для кодирования любого множества сообщений. Интуиция подсказывает, что между двоичными кодами и релейными устройствами, работающими на принципе двоичности (замкнуто-разомкнуто), существует нечто общее. В чем это общее заключается? Схема простейшего релейного устройства очень похожа на схему первых телеграфных систем. Реле работает только как ключ, замыкающий и размыкающий электрическую цепь, в которую входят батарея и клопфер, берущий энергию от местного источника питания. В 30-е гг. XX в. реле и другие составные части телефонной техники были применены для создания сложного вычислительного устройства, которое могло складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа. Существенным шагом в повышении скорости вычислительных машин было создание сразу вскоре после 2-й мировой войны вычислительной машины на электронных лампах, а затем последовал новый шаг, когда вместо ламп стали применять транзисторы, то есть полупроводниковые приборы, имеющие обычно три вывода и служащие для генерирования и усиления электрических колебаний. Транзисторы справедливо считаются нервными клетками компьютеров. Столь высокую оценку они заслужили благодаря своему быстродействию и надежности. Блокируя и пропуская ток, они дают возможность логическим схемам компьютеров работать в двоичной системе: 1 (включение) и 0 (выключение). На этой системе основана обработка информации во всех современных компьютерах. Германиевые кристаллы величиной с булавочную головку помогли электронике начать движение в сторону все усиливающейся миниатюризации. Это позволяло конструкторам уменьшать габариты машин и внедрять электронно-вычислительную технику в ранее недоступные для нее области человеческой деятельности. Следующий барьер, который преодолела электроника, связан был с тем, что транзисторы, как и электронные лампы, приходилось вручную соединять и припаивать. Решение проблемы пришло тогда, когда стало ясно: резисторы, то есть сопротивления, и конденсаторы, обладающие свойством накапливать электрический заряд, можно делать из того же полупроводникового материала, что и транзисторы, а все компоненты изготавливать на одной и той же полупроводниковой основе. Так была заложена материальная база для создания знаменитых интегральных схем. Кремниевый кристалл стал рассматриваться как специфическое «цифровое» устройство, которое реагирует на информацию, передаваемую только в виде двоичных разрядов. В 1962 г. две американские фирмы начали массовое производство интегральных схем, вскоре прозванных чипами 4. Микрочип, или микропроцессор, - это крошечное вычислительное устройство, выгравированное на поверхности кремниевого кристалла. Работой такого микропроцессора управляют электрические импульсы, которые открывают и запирают его цепи тысячи и даже миллионы раз в секунду. Каждое открывание или запирание представляет собой единицу информации, закодированную в виде 1 или 0. Автоматизация производственных процессов является ведущей тенденцией в развитии современной техники. Большую роль в этом развитии играют релейные устройства. Еще совсем недавно они использовались лишь в узкой области техники. Прежде всего это касалось централизации и блокировки на 4 Англ. chip - щепка.
82 К. К. Жоль Логика железнодорожном транспорте, а также телеграфных и телефонных станций. В основе подобной техники лежали контактные релейные элементы. Во второй половине XX столетия получили широкое применение релейные устройства, основанные на бесконтактных релейных элементах. Развитие электронно-вычислительных машин (ЭВМ) рельефно выделило ту роль, которую играют релейные устройства в современной технике. С точки зрения быстродействия релейные устройства этих машин наиболее совершенны. Сегодня релейные устройства содержат колоссальное количество элементов. Поэтому интуитивные методы их технологического объединения совершенно непригодны. Как быть в этом случае? Спасение следует искать в математике и логике. Почему? Методы математического исследования релейных устройств появились сравнительно недавно. Одним из первых важный вклад в эту область науки сделал американский ученый Клод Элвуд Шеннон (1916-2001) своей статьей, опубликованной в 1938 г. Он построил теорию, основанную на ряде постулатов, которые описывают основные идеи теории релейных цепей. Кроме того, было показано, что предложенная теоретическая разработка вытекает из некоторых элементарных для логики положений так называемого исчисления высказываний, с которым мы познакомимся в следующей главе и которое обязано своим происхождением алгебре логики, созданной в XIX в. англичанином Джорджем Булем (1815-1864). А с чего все началось? После окончания Мичиганского университета в середине 30-х гг. Шеннон, получивший два диплома бакалавра (по электротехнике и по математике), направил свои стопы в Массачусетский технологический институт. Здесь, желая подработать, он начал выполнять обязанности оператора на весьма неуклюжем
Глава 2 83 механическом вычислительном устройстве под названием «дифференциальный анализатор». Эту громоздкую штуковину построил в 1930 г. научный руководитель Шеннона - профессор В. Буш. Машина Буша призвана была решать довольно сложные дифференциальные уравнения, которые позволяли предсказывать поведение таких движущихся объектов, как, например, самолет. Ранее на решение подобных уравнений уходили иногда целые месяцы. «Дифференциальный анализатор» существенно ускорял этот процесс. Главным его недостатком было то, что расчеты проводились в десятичной системе счисления, а это усложняло механику вычислительного устройства. Чтобы поставить машине задачу, оператор вынужден был вручную, пачкаясь в машинном масле, подбирать множество шестереночных передач. На это обычно уходило несколько дней изнурительной работы. В качестве темы диссертации Буш предложил Шеннону самым тщательным образом изучить логическую организацию своей машины. Соискатель настолько увлекся поставленной задачей, что решил усовершенствовать «дифференциальный анализатор». Как это сделать? Шеннон вспоминает булеву алгебру и поражается ее сходству с принципами работы электрических схем, которые гораздо удобнее шестеренок и валиков. Если построить электрические цепи в соответствии с принципами булевой алгебры, то можно будет не только выполнять сложные вычисления, но и выражать логические отношения, определяя истинность тех или иных формальнологических утверждений. Эти идеи Шеннон изложил в своей докторской диссертации, опубликованной в 1938 г. Данная работа по праву считается поворотным пунктом в развитии вычислительной техники. Трудами Шеннона и других ученых был заложен фундамент логического синтеза релейных устройств. Ранее же наиболее интересные релейные устройства проектировались и строились не на основе хорошо разработанной теории, а благодаря технической смекалке талантливых инженеров и ученых. Но прежде чем перейти к рассмотрению булевой алгебры логики, закончим рассмотрение вопроса о роли машин в решении управленческих задач. Одно из первых релейных устройств, используемое для сигнализации и блокировки на железных дорогах, не только повысило скорость движения поездов, но и помогло избежать многих аварий, которые были бы неизбежны при работе стрелочника в условиях большой интенсивности движения и наличия сложных пересечений железнодорожных путей. Сегодня человек имеет значительные возможности для решения такого рода задач благодаря релейным устройствам в виде цифровых электронно-вычислительных машин. Как и благодаря чему действуют подобные машины? Первые машины этого семейства действовали при помощи инструкций, вводимых последовательно с использованием длинной перфорированной 5 бумажной ленты. Закодированная на этой ленте программа предписывала, над какими числами и в какой последовательности нужно выполнять соответствующие операции. Идея перфорации при своем зарождении не имела ничего общего с механическими вычислительными устройствами. Вообще надо заметить, что многие из устройств, которые впервые использовались для ввода и вывода данных, были изобретены задолго до появления компьютеров. Ярким примером служат перфокарты, применявшиеся еще в XVIII в. для автоматизации ткацкого производства. В 1804 г. талантливый французский инженер Жозеф Мари Жаккар (1752-1834) 5 Лат. perforare - пробуравливать', перфорация - система отверстий на бумажной ленте или на листе картона, расположение которых соответствует коду записываемой информации для ввода ее в цифровую вычислительную машину.
84 К.К. Жоль Логика построил полностью автоматизированный станок, способный воспроизводить сложнейшие узоры. Работа станка программировалась колодой перфокарт. Переходя к новому рисунку на ткани, оператор заменял одну колоду перфокарт другой. Вызвав настоящую революцию в промышленном ткацком производстве, новый станок сыграл важную роль при создании программ для электронно-вычислительных машин. Этому предшествовали разработки английского математика XIX в. Чарльза Бэбиджа (1791-1871), который решил воспользоваться перфокартами Жак- кара для программирования парового механизма, названного Аналитической машиной. Однако подлинным отцом современной компьютерной перфокарты является американский изобретатель и предприниматель Герман Холлерит, который в 1890 г. разработал систему табуляции 6 перфокарт, используемых для обработки данных по переписи населения Соединенных Штатов Америки. Позднее он основал компанию по производству табуляционных машин. Со временем эта компания, слившись с несколькими другими фирмами, превратилась в гиганта современной компьютерной индустрии - в знаменитую на весь мир корпорацию ИБМ (IBM). Традиционная перфокарта представляла собой прямоугольник из жесткой бумаги. Информация фиксировалась на карте в виде небольших отверстий, которые располагались в строки и столбцы. Первой робкой альтернативой перфокартам стала перфорационная бумажная лента. Преимущество этой ленты заключалось в том, что закодированные данные записывались на непрерывный носитель. Однако и бумажная лента имела серьезные недостатки, главным из которых был тот, что она рвалась, особенно при высокой скорости считывания данных. Большим и очень важным подспорьем в решении трудоемких задач по вводу-выводу данных явилась магнитная лента, применявшаяся ранее в некоторых калькуляторах до создания цифрового компьютера. Научно-технический прогресс стремительно нарастал, и к середине 50-х гг. XX столетия специалисты уже вплотную занимались разработкой магнитных дисков для хранения значительных объемов информации. Компьютер становился все более и более «задумчивым». Следующим шагом в «одушевлении» машины был шаг, связанный с принятием машиной самостоятельных решений. Для этого необходимо было заставить машину возвращаться к более ранней части программы или использовать вспомогательную ленту для помощи в вычислениях. Можно ли заставить бездушную машину принимать решения, а затем действовать на основе этих решений? Можно, но для этого ее надо запрограммировать соответствующим образом. К сожалению, бумажная лента существенно ограничивала возможности программирования и, следовательно, суживала диапазон решений, принимаемых машиной. Потребовалось изменить машинную память, что и было сделано Джоном (Иоганном) фон Нейманом (1903-1957), одним из самых блестящих умов XX столетия. Нейман предложил вводить программу не на отдельную бумажную ленту, а прямо в память машины, чему благоприятствовал сам принцип функционирования электронно-вычислительных машин, где каждая цифра так называемого двоичного числа отображалась намагничиванием маленького магнитного сердечника. Память вычислительной машины состоит из групп таких сердечников, с помощью которых она может запоминать сотни и тысячи двоичных чисел, увеличивая тем самым возможность принятия самостоятельных решений. Последующий технологический прогресс привел к резкому 6 От лат. tabula - доска, таблица', составление математических таблиц, задание функций в виде таблиц.
Ч. Бэбидж Ж.М, Жаккар
86 K.K. Жоль Логика увеличению объема машинной памяти, что позволило перейти к решению более сложных задач, связанных с принятием решений в неординарных ситуациях. Этот факт очень важен для нас, поскольку касается проблем управления сложными производственными и даже социальными процессами, проблем, ранее казавшимися недоступными «рутинному интеллекту» машины. Вот вам и деление на рутинные и нетривиальные управленческие задачи. Нетривиальное делается рутинным, а в оценке экстраординарного существенно повышается планка. В последние десятилетия в сферу научного осмысления проблем управления и планирования все настойчивее вторгается математика. Это обусловлено широким применением современных технических средств управления. Примером такого рода тенденций в научном менеджменте, претендующем на теоретический анализ механизмов управления производственными, социально-экономическими и культурными процессами, служит исследование проблем организации и управления, получившее название «исследование операций». Это исследовательское направление сформировалось под влиянием кибернетики и практики использования ее достижений в управленческой деятельности. Важное место здесь отводится построению математических моделей управления. Поэтому данный тип исследований рассматривается некоторыми учеными в качестве особого раздела прикладной математики. Логика решений, математическая теория игр и их научно-техническое обеспечение в виде электронно-вычислительных машин. Многочисленные попытки логико-математических разработок рационального принятия важных управленческих решений в сложных ситуациях привели к созданию новой теории, получившей название теории игр, главными создателями которой по праву считаются американский экономист О. Моргенштерн (1902-1977) и математик Дж. фон Нейман, внесший большой вклад в создание первых электронно-вычислительных машин и разработку методов их применения. В качестве важнейшей составной части этой теории является рациональная теория решения, называемая также логикой решений. Теория решений имеет дело с решениями трех видов: (1) решения, принимаемые с уверенностью; (2) рискованные решения; (3) безосновательные решения. В соответствии с этими видами решений их теория распадается на три области, в каждой из которых работают логики, стремящиеся выявить общие структурные (рациональные) принципы поведения человека, принимающего те или иные решения. Не редко эти решения принимаются не просто в сложных, а в конфликтных ситуациях, которые пытается на свой манер смоделировать ученые в рамках теории игр, являющейся разделом математики. В этом разделе исследуются вопросы поведения и вырабатываются оптимальные правила (стратегии) поведения для каждого из участников конфликтной ситуации. В конфликтной ситуации имеется несколько заинтересованных сторон, каждая из которых старается получить максимальный выигрыш. Такие ситуации возникают во время спортивных состязаний, в экономической, политической, военной сферах и т. д. Анализ конфликтных противоречий с помощью теории игр осуществляется посредством логико-математического моделирования ситуаций в виде особых игр (матричные игры, позиционные игры, бесконечные антагонистические игры, игры типа дуэлей, многошаговые игры, деловые игры и т. д.), которые нуждаются в развитии новых логико-математических методов нахождения оптимальных решений. В решении игровых задач большую помощь оказывают электронно-вычислительные машины. Еще относительно недавно в силу ограниченных возможностей вычислительной техники и недостаточного развития логико-математического инструментария теории игр для многих типов конфликтных ситуаций невозможно было найти оптимальное решение. Однако с бурным развитием элект-
Глава 2 87 ронно-вычислительной техники, с развитием систем «искусственного интеллекта», частным случаем проблематики которого являются «экспертные системы», методы решения игровых задач совершенствовались и все большее значение придавалось аппарату современной символической логики. Вот в этих-то условиях и сформировалось такое направление логического поиска, как логика решений. Необходимо иметь в виду, что любое релейное устройство, включая компьютерную технику, можно рассматривать как некоторый преобразователь, который получает информацию одного вида и выдает информацию другого вида. Релейное устройство в качестве преобразователя информации должно функционировать в соответствии с определенными правилами, которые закладываются в него проектировщиком. Иными словами, в задачу проектировщика входит установление некоторой системы формальных правил, что, между прочим, является отличительной чертой формальной логики. Что такое алгебра контактных цепей и какое отношение она имеет к теории чисел. Правильно спроектированное релейное устройство есть своего рода логическое устройство, которое реализует логические соотношения между входами и выходами, установленными проектировщиками. В постулатах и теоремах так называемой алгебраической логики контактных (релейных) цепей цифры и переменные подчиняются правилам, которые в большинстве случаев совпадают с правилами обычной алгебры и арифметики. Однако существует ряд выражений, которые не подчиняются обычным правилам. Почему? Мысленно представим себе последовательную цепь, состоящую из трех сопротивлений (г, г2 и гз), батареи, вольтметров и амперметров. Токи через эти сопротивления обозначим как /j5 /2 и i, а соответствующие напряжения - как еи е2 и еу Е( и / обозначают соответственно напряжение на зажимах батареи и ток. Значение всех этих величин приведены в таблице 1.
88 K.K. Жоль Логика Рассмотрение второго столбца таблицы показывает, что сумма отдельных напряжений (20 + 30 + 50 = 100) равна напряжению на зажимах батареи, то есть Е< = ех + е2 + еУ Третий столбец показывает, что ток через первое сопротивление i (2а) равен току i"2 через второе и току i через третье сопротивление, а также равен току, измеренному у зажимов батареи. Иными словами, ток во всех участках цепи одинаков: I = i+ L + L /12 3 Данные четвертого столбца таблицы, вычисленные на основании закона Ома из данных, приведенных во втором и третьем столбцах, показывают, что все величины сопротивлений складываются, давая полное сопротивление, равное частному от деления полного напряжения (Е) на полный ток (/): R = г + г + г = Е : / . t 1 2 3 t t Поскольку все вышеописанные наблюдения были проведены на совершенно произвольной последовательности цепи, можно заключить, что прохождение электрического тока в такой цепи подчиняется следующим законам. Закон 1. Напряжение на зажимах батареи равно сумме напряжений на отдельных сопротивлениях: Е = е+ е+ е. /12 3 Закон 2. Ток во всех участках цепи одинаков: / = /, + /2 + /, Закон 3. Полное сопротивление цепи равно а) сумме всех отдельных сопротивлений или б) частному от деления напряжения батареи на ее ток: R = г + г + г или R = Е : I. Г 12 з t t t Алогичное имеет место при параллельном соединении проводников. Особенно важно подчеркнуть, что во всех ветвях параллельной цепи напряжение одинаково, а полный ток в параллельной цепи равен сумме токов во всех ее ветвях.
Глава 2 89 Этот мысленный физический эксперимент, который легко осуществить и на практике, хорошо показывает, что переменные в алгебре релейных цепей не имеют численного значения. Инженера, а точнее говоря, конструктора эти значения не интересуют 7. Он, конструктор, всегда может твердо сказать только одно: цепь замкнута или разомкнута. Его не волнует вопрос о том, насколько она замкнута или разомкнута, поскольку здесь нет места «половинчатой» замкнутости или разомкнутости. Вот почему алгебра релейных цепей является не алгеброй чисел, а алгеброй состояний. Используемые в ней цифры 0 и 1 не выражают количественных соотношений. Они символизируют лишь два возможных состояния проводимости - цепь либо замкнута, либо разомкнута. Цифру О, равно как и 1, можно использовать и для представления разомкнутого состояния цепи, и для представления замкнутой цепи. Привязанность к стереотипам мышления в данном случае только мешает понять самую простую вещь, а именно: бездушной машине в высшей степени безразлично, какой смысл люди вкладывают в свои цифры. Из сказанного сам собой напрашивается вывод: технические проекты должны базироваться на прочном теоретическом фундаменте, каковым в нашем случае является математическая логика, ибо явно просматривается аналогия между законами функционирования контактных электрических цепей и законами логики. Что касается электронно-вычислительных машин, то они представляют, в сущности, систему переключателей, имеющих два состояния - закрытое и открытое. Эти два состояния соответствуют условно принятым числовым значениям. Поскольку таких состояний только два, постольку необходимо найти способ преобразования чисел из десятичной системы в двоичную систему, в которой только и может работать современный компьютер. Известная всем нам система счисления называется позиционной. В данной системе каждая цифра занимает строго определенную позицию. В учебниках можно прочитать, что в основе почти всех разделов математики, изучаемых в средней и высшей школе, лежат понятия и свойства основных числовых систем. Эти системы образуют тот фундамент, на котором строятся сложные и многообразные конструкции различных областей математики. Поэтому читателю полезно кое-что знать из современной теории чисел, прежде чем будет продолжено рассмотрение интересующих нас вопросов. Исторически первым и главным понятием арифметики является понятие «натуральное число». Натуральные числа - это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Введение новых видов чисел в математику происходило сложно. Достаточно сказать, что только к началу XIX столетия математики подошли к созданию наиболее обширных из числовых систем - системы всех комплексных чисел. Тогда же была достигнута относительная ясность в понимании природы числа. И этому не следует удивляться, так как Великая Точная Наука, каковой является Математика, долгое время была обременена философскими и психологическими представлениями, мешавшими выявить логический смысл ее фундаментальных понятий и различных методов доказательств, а также мешавшими логике освободиться от оков философских предписаний и указаний, чем и как ей следует заниматься. Ведь совсем недавно одни ученые полагали, что понятие числа тесьо 7 Однако когда дело касается не алгебры релейных цепей, а проектирования реальных целей такого рода, то любой грамотный инженер никогда не будет пренебрегать, например, тем фактом, что параллельность цепи равносильна утолщению проводника, в результате чего полное сопротивление в этом случае должно быть меньше любой из ветей (сопротивлений). Говоря проще, сопротивление провода зависит от материала, его длины, площади поперечного сечения и температуры. Но от всего этого можно спокойно абстрагироваться, сохранив только чистую «логику» построения электрических или им подобных цепей.
90 К. К. Жолъ Логика связано с понятием последовательности во времени. Ярким представителем этой точки зрения был выдающийся немецкий философ И. Кант. Другие же, напротив, полагали, что понятие числа ближе стоит к пространственным представлениям. Третьи же с философским энтузиазмом утверждали, что понятие о числе является врожденным свойством человеческого духа. Освобождаясь от всех этих спекулятивно- философских шор, математики в конце концов вынуждены были обратиться к логике и выбрать подходящий для математического анализа инструментарий, названный впоследствии математической логикой. Представители математической логики осмелились публично выступить и провозгласить: если мы располагаем законами счета, то в рамках теоретической математики можем вести счет в буквах а, Ь, с и т. д., выражающих любые числа, совершенно не считаясь с тем числовым значением, которые буквы имеют как особые заместители числа. Иначе говоря, пусть а, Ъ, с, ... будут обозначением некоторых анонимных вещей, то есть вещей без всякого конкретного значения, точнее, вещей, о значение (конкретной природе) которых мы ничего не знаем. Положим также известным, что над этими буквенными заместителями математических «вещей» (например чисел) можно производить операции, соответствующие арифметическим законам, хотя бы эти операции и не приводили нас к числовым значениям. Тогда мы можем оперировать с подобными математическими объектами («буквами») совершенно так же, как и с обыкновенными числами. При этом возникает только один вопрос: не могут ли данные операции когда-либо привести к противоречию? Чтобы ответить на поставленный вопрос, надо доказать чисто логически, что при любых операциях над нашими символами, согласно основным законам арифметики, мы никогда не прийдем к противоречию, то есть убедимся с помощью логики, что арифметические законы логически совместны и не противоречат друг другу. Представители этого так называемого формального подхода к арифметике усматривают достоверность математики в том, что основные ее законы с чисто формальной точки зрения (независимо от их наглядного содержания) представляют логически цельную систему, не содержащую противоречия. Нельзя не согласиться с известным немецким математиком Феликсом Клейном (1849-1925), утверждавшим, что попытки совершенно изгнать из математики интуицию и наглядность, дабы удержать только нить сугубо логического анализа, неосуществима в полной мере никогда. Некоторый остаток интуиции (нашего как бы спрессованного жизненного опыта) будет всегда сохраняться, и с этим следует считаться, чтобы не витать в облаках абстрактного теоретизирования. Практика развития логико-математических исследований подтвердила правоту Клейна. Чисто логического обоснования арифметики в рамках определенной логической системы, конкурирующей с другими логическими системами, не получилось, хотя и были достигнуты очень интересные для теоретической математики и практической педагогики результаты, убедительно свидетельствующие о том, что логические построения (концепции) должны составлять прочные скелет современной математики. Поясню это на примере, для чего потребуется немного пофантазировать с привлечением известных литературных персонажей, каковыми в нашем случае будут благородный жулик Остап Бендер и бывший предводитель уездного дворянства Ипполит Матвеевич Воробьянинов, главные герои неувядающего романа И. Ильфа и Е. Петрова «Двенадцать стульев». Итак, уважаемый читатель, представим, что мы находимся на берегу великой русской реки Волги. Недалеко от пассажирских дебаркадеров (плавучих пристаней) стоит Великий Комбинатор со своим другом и ближайшим помощником Кисой Воробьяниновым. Они ожидают парохода «Скрябин». Пароход задерживается. Это очень беспокоит Ипполита Матвеевича. - Что вы переживаете, мой юный друг? - философически спрашивает Остап компаньона. - Давайте займемся арифметическими прогнозами. И для начала я
Глава 2 91 жду вашего ответа на следующий сермяжный вопрос: сколько времени требуется «Скрябину», чтобы пройти вверх по реке 120, 180 или 220 км, если скорость парохода в стоячей воде 10, 12 или 14 км/час, а скорость течения реки 2, 3, или 4 км/час? - Эти задачи невероятно трудны, - тяжело вздохнул Ипполит Матвеевич, - но я все же попытаюсь их решить. Вооружившись прутиком, он начал чертить на речном песке следующие формулы решения поставленных задач. Решение 1-й задачи. 1. Сколько километров пароход проходит за один час? 10 - 2 = 8 км. 2. За какое время пройдет пароход 120 км? 120 : (10 - 2) = 15 час. Решение 2-й задачи. 1. Сколько километров пароход проходит за один час? 12 - 3 = 9 км. 2. За какое время пройдет пароход 180 км? 180 : (12 - 3) = 20 час. Решение 3-й задачи. 1. Сколько километров пароход проходит за один час? 14 - 4 = 10 км. 2. За какое время пройдет пароход 220 км? 220 : (14 - 4) = 22 час. Взглянув на полученные результаты, Остап расцвел в педагогической улыбке и соизволил сообщить Ипполиту Матвеевичу, что выражения «120 : (10 - 2)», «180 : (12 - 3)» и «220 : (14 - 4)» называются формулой решения задачи. - Неужели? - изумился тот. - Да. Все три задачи составлены по определенной формуле. Сравнение этих формул показывает, что они в сущности имеют один и тот же вид. - Если, говорите, в сущности, то я не спорю, - пробормотал Председатель концессии по поиску сокровищ своей тещи, мадам Петуховой. - Более того, - назидательно добавил Остап. - Эти задачи отличаются одна от другой только своими числовыми данными. Услышанное заставило Ипполита Матвеевича затрепетать. Остап Бендер любил эффекты. Когда его компаньон уже не сомневался в том, что Волга впадает в Каспийское море, а решенные им с чудовищным трудом задачи отличаются только числами, Остап великодушно заметил: - Что вы стоите, как засватанный. Формулируйте общее правило решения данных задач. Ипполит Матвеевич набрал воздуха в легкие, выпучил глаза, но... В ответ раздался лишь жалкий писк. Сочувственно посмотрев на концессионера, Великий Комбинатор изрек: - Задачи, имеющие одинаковые условия и отличающиеся только числовыми данными, имеют одинаковые по своему строению формулы решения. Тем временем, разворачиваясь против течения, к берегу подходил пароход «Скрябин». Не обращая внимания на суету пассажиров, Остап невозмутимо продолжал: - Рассмотренные нами задачи решаются по такому правилу: для того чтобы узнать, сколько часов понадобится пароходу на прохождение данного расстояния против течения реки, достаточно из скорости парохода в стоячей воде
92 K.K. Жоль Логика (в км/час) вычесть скорость течения реки (в км/час), а затем расстояние (в км) pi оделить на полученную разность. - А попроще можно? - заискивающе пролепетал Ипполит Матвеевич. Остап недовольно нахмурился, но, сжав всю волю в кулак, сердито процедил сквозь зубы: - Можно. Для упрощения указанного правила необходимо обозначить расстояние, которое проходит пароход (в км\ большой латинской буквой 5, скорость парохода в стоячей воде (в км/час) - большой латинской буквой V, скорость течения реки (в км/час) - маленькой латинской буквой v. Буквенное выражение S : ( V - v) представляет собой общую формулу решения задач данного типа и служит кратким выражением общего правила их решения. Когда общая формула решения задач приведенного типа составлена, легко решить любую частную задачу подобного типа. Для этого достаточно подставить в общую формулу вместо букв соответствующие числа и произвести вычисления. - Ах, как прелестно! - восхищенно взвизгнул Ипполит Матвеевич. - Значит, каждый раз, когда я хочу получить общее правило решения задач некоторого типа, я должен смело брать быка за рога, то есть брать задачу сразу в общем виде? - Правильно, коллега. Только для этого в условиях задачи надо писать не числа, а буквы. Что касается рассмотренных нами задач, то в общем виде они выглядят следующим образом: сколько времени потребуется пароходу, чтобы пройти вверх по реке S км, если скорость парохода в стоячей воде - V км/час, а скорость течения реки - v км/час? - Решение! Давай решение! - заорал Ипполит Матвеевич, возбужденно пританцовывая и размахивая руками. - Решение таково. Поскольку буквы у нас обозначают числа, постольку решение задачи, поставленной в общем виде, будет осуществляться точно так же, как и решение задачи в частном виде. - А именно? - Во-первых, мы должны ответить на вопрос: сколько километров проходит пароход за 1 час? С этими словами Остап выхватил из дрожащих рук Ипполита Матвеевича прутик и начертил на песке формулу: (V - v) км. - Во-вторых, - сказал он, - мы должны ответить еще на один вопрос: за какое время пароход пройдет S км? Немедленно на песке появилась новая формула: S : (V- v) = t {час). - Вы, надеюсь, поняли меня, коллега? - обратился Великий Комбинатор к Председателю концессии. - Да, monsieur, я наконец-то понял, что обозначение чисел буквами дает возможность получать решение задач в общем виде, - облегченно вздохнул Ипполит Матвеевич. - Тогда доверительно сообщаю вам общее определение, - торжественно произнес Остап. - Выражение, в котором указано, какие действия и в каком порядке надо произвести над данными числами, называется алгебраическим выражением. Числа при этом обозначаются, как правило, буквами, хотя никто не мешает нам использовать и любые другие символы. Запомните также, коллега, что для обозначения действий в алгебре пользуются теми же знаками, что и в арифметике: сложение обозначается крестиком (+); вычитание - короткой горизонтальной черточкой (-); умножение - повернутым на бок крестиком (х), точкой
Глава 2 93 () или вовсе не обозначается; деление - двумя вертикально расположенными точками (:) или горизонтальной чертой разной длины. Только Остап закончил свою тираду, как пароход дал третий гудок, готовясь к отплытию, и наши безбилетные искатели сокровищ ринулись на приступ «Скрябина». Итак, возвращаясь к теории чисел, начнем с расширения понятия натурального (целого положительного) числа и введем понятие отрицательного числа. Ближайшим поводом для введения в язык математики отрицательных чисел является требование сделать вычитание операцией, выполнимой во всех случаях. Так, если а < Ь, то в области натуральных чисел разность а - Ъ не имеет смысла. Имеет смысл только выражение Ъ - а, то есть существует число с = Ъ - а. Однако мы можем позволить себе в качестве «эксперимента» допустить что а - b тоже имеет численное выражение вида: -с = а - Ъ. Полученное таким образом число (-с) назовем отрицательным числом. С представлением об отрицательном числе связана интерпретация целых чисел при помощи шкалы равноотстоящих точек на прямой, простирающейся безгранично в обе стороны и называемой числовой осью. Отрицательные числа не имеют ничего общего с наглядным образом некоего количества реальных предметов. Скажем, десять воробьев - это вполне осмысленная величина. Десять же «отрицательных» воробьев - это уже что-то из рода ненаучной фантастики. Производя действия над отрицательными числами, мы отвлекаемся от их физического или какого-либо другого конкретного смысла, то есть производим действия над ними как над некоторыми количествами, смысл которых весьма абстрактен. Тем самым незаметно осуществляется переход от математики реального физического (интуитивного) смысла к математике формальной (формально-логической) смысла, для полного уяснения которой нужно уметь абстрагироваться от очевидности целых положительных чисел. И тем не менее мы с успехом пользуемся отрицательными числами для счета некоторых вполне реальных предметов или состояний. Например, при измерении температуры в качестве начала отсчета выбирается температура тающего (при определенных условиях) льда, которая принимается за 0 градусов. Температура тела более теплого, чем 0 градусов, характеризуется положительным натуральным числом. Для характеристики более холодного, чем 0 градусов, тела или среды используются отрицательные числа. Так, например, когда говорят, что температура воздуха 5 градусов ниже нуля, то подразумевают, что данная температура имеет -5 градусов. Подобная измерительная шкала в свое время была предложена шведским астрономом и физиком А. Цельсием (1701-1744). Эти и другие примеры показывают необходимость расширения понятия числа и введения отрицательных чисел, а также числа 0, соответствующего началу отсчета. Не менее важной причиной использования нуля и отрицательных чисел явились требования собственно арифметической теории и ее приложений так расширить множество натуральных чисел, чтобы наиболее простое арифметическое действие (сложение) имело всегда выполнимое обратное действие (вычитание). К XVI столетию значение отрицательных чисел в математике становится несомненным. Но только в XIX столетии после работ немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) теория отрицательных чисел получила формальное обоснование, благодаря чему отрицательные числа заняли свое место наряду с другими числами в общей теории чисел. С натуральными числами связан принцип позиционной (поместной) их записи. Десятичная система использует 10 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. При этом каждый знак получает определенное значение в зависимости от положения его в записи.
94 К. К. Жоль Логика Двоичная система счисления оперирует только двумя цифрами - 0 и 1. Число различных цифр, используемых в любой системе счисления, называется основанием системы счисления. Например, в десятичной системе основание равно 10, а в двоичной - 2. Нет никаких принципиальных соображений против использования других оснований для построения систем счисления. Многие ученые считали более удобным основание 12, как имеющее больше делителей. В настоящее время в связи с использованием электронно-вычислительных машин широкое применение находят двоичная и восьмеричная системы счисления. Как уже отмечалось, в каждой системе счисления цифры упорядочены определенным образом в соответствии с их значениями (позициями, местами). Продвижением цифры принято называть замену ее следующей по величине. Так, в десятичной системе продвинуть цифру 0 - значит заменить ее цифрой 1, продвинуть цифру 1 - значит заменить ее цифрой 2 и т. д. В двоичной системе продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 означает замену ее на 0. Места слева от первой цифры всякого числа можно считать заполненными нулями в любом удобном для нас количестве. Математики условились считать, что в каждой системе счисления первым целым числом является число 0000. Применяя принятое правило счета, они утверждают, что второе целое число в любой системе счисления записывается в виде 0001. Следующие после 0001 целые числа в разных системах счисления имеют разные значения. Например, в десятичной системе это будет 0002, а в двоичной - 0010. В кибернетических устройствах используются помимо двоичной системы счисления и другие виды числовых кодов. Основная причина, по которой в вычислительной технике используется двоичный код (когда, например, отверстие, пробитое на определенном участке перфоленты, представляет собой запись единицы, а его отсутствие - запись нуля), заключается в той относительной легкости, благодаря которой можно аппаратно реализовать всего лишь два различных состояния. В уже упоминавшейся бинарной булевой алгебре, имеющей непосредственное отношение к анализу электрических схем, роль переменных могут играть контакты, которые мы обозначим малыми буквами латинского алфавита (а, Ъ, с,..). Каждая из переменных может принимать одно и только одно значение (из двух возможных). Произведением двух контактов (а, Ь) назовем схему, полученную в результате их последовательного соединения. Тогда будем иметь следующее: схема замкнута (равна 1) только в том случае, когда оба контакта замкнуты (равны 1) (рис. 1), то есть цепь а х Ъ пропускает ток лишь в том случае, если пропускают ток оба ее звена - а и Ъ. Суммой двух контактов (а, Ь) назовем схему, образованную при их параллельном соединении. В результате будем иметь следующее: схема замкнута (равна 1) только в том случае, когда замкнут (равен 1) хотя бы один из образующих схему контактов (рис. 2), то есть сумма а + Ъ пропускает ток только в том случае, если пропускает ток хотя бы один из элементов (а или Ь). Основной задачей алгебры контактных схем является задача разыскания схем, логически эквивалентных данной схеме. Это необходимо для того, чтобы выбрать из всех возможных вариантов наиболее простой. Поскольку универсального Рис. 1. Рис. 2.
Глава 2 95 критерия простоты схемы не существует, постольку в качестве одного из критериев простоты принимается следующий: схема будет самой простой среди всех логически ей эквивалентных, если соответствующее ей алгебраическое выражение содержит наименьшее по сравнению с остальными число вхождений букв (переменных). Тем самым задача упрощения схем сводится к задаче упрощения их переключательных функций или минимизации числа переменных. Условимся считать две контактные схемы эквивалентными (равными), если при одних и тех же значениях входящих в них контактов они будут одновременно замкнуты или разомкнуты. Говоря иначе, две схемы эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны представляющие их переключательные функции. Рассмотрим на конкретном примере, как используется логико-алгебраический инструментарий для анализа и построения контактных схем (рис. 3, 4, 5). Как известно школьникам, связь сложения с умножением устанавливается законом распределительности, или дистрибутивности, гласящим, что произведение алгебраической суммы на какое-либо число равно алгебраической сумме произведений отдельных слагаемых на это же число, например: а(Ь + с) = ab + ас. Применяя этот дистрибутивный закон к рассматриваемому выражению ас + ad + be + bd, мы получим выражение следующего типа: а(с + d) + b(c + d), изображаемое более простой схемой (рис. 4), логически эквивалентной первой (рис. 3). Вынося за скобки (с + d), получим выражение (а + Ь) • (с + d), которому соответствует схема (рис. 5), самая простая из всех трех логически эквивалентных схем. Практическое использование логики при проектировании цепей состоит не в дотошной деталировке схемы, а в выборе оптимальной структуры контура. Поэтому главная задача логического исчисления (если говорить языком математической логики) заключается в выявлении структуры взаимоотношений между членами некоторого множества. К понятию множества (класса) мы вернемся еще не раз, а сейчас запомним следующее. Необходимая для проектирования цепей алгебра множеств во многом отлична от традиционных алгебраических систем. Дело в том, что ряд законов обычной алгебры теряет свою силу при переходе к алгебре множеств. В связи с этим операции над множествами часто называют не суммой или произведением множеств, а объединением и пересечением, обозначая эти операции специальными знаками и и п , которые не подсказывают аналогий с операциями над числами. Рис. 3. Рис. 5.
96 К. К. Жоль Логика По имени математика, впервые рассмотревшего алгебраические системы, подобные алгебре множеств, указанные системы называют алгебрами Буля. Джордж Буль - автор всемирно известных произведений «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854). В «Исследованиях» представлена та алгебраическая система, которую сегодня называют алгеброй высказываний. Что же собой представляет булева алгебра? Изучение оснований математики, интенсивно проводимое в XIX в., не могло бы успешно развиваться без усилий, направленных на систематизацию тех частей логики, которые касаются сцепления математических выражений в их доказательную последовательность. Поэтому историю теории множеств, включая булеву алгебру множеств, и формализации математики нельзя отделить от истории математики и математической логики. Знакомясь с историей вопроса, мы узнаем, что развитие алгебры делало очевидным сходство между правилами формальной логики и правилами алгебры. Это сходство базировалось на том общем для данных наук свойстве, которое состоит в ориентации логического и алгебраического анализов на некоторые, так сказать, «X- объекты», от природы которых (физической или воображаемой) можно отвлечься без урона для существа дела. Несомненным создателем современной символической логики справедливо считается Буль. Его основная теоретическая идея заключалась в том, что в логике как строгой, точной науке надо иметь дело не с конкретными значениями высказываний, а с абстрактным множеством объектов неопределенной природы. Вследствие этого форма высказываний лишается своей специфики, обусловленной, например, использованием выражений естественного языка, и приобретает алгебраический вид. Теперь вновь вернемся к понятию числа, без уяснения которого трудно продвигаться по сложным лабиринтам современной логической науки, надеясь сделать логический инструментарий практически полезным и необходимым для решения разнообразных задач. Из простого житейского опыта мы знаем, что целые числа вполне обеспечивают потребности счета отдельных предметов. Однако насущные задачи измерения физических и других величин приводят нас к необходимости учитывать остатки (части) соответствующих единиц измерения. Возникает необходимость введения новых чисел, которые могли бы точно характеризовать части единиц измерения и совокупности таких частей. С точки зрения арифметической теории подобное расширение системы целых чисел делает действие деление выполнимым для любых чисел, кроме деления на нуль. Так формируются представления о дробных числах. Долгое время правила действий с дробями отличались большой запутанностью, что мешало их введению в состав так называемых рациональных чисел. Например, десятичные дроби были предложены европейской науке фламандским инженером и ученым Симоном Стевином (1548-1620) в 1585 г., хотя за столетие до этого самаркандским ученым Аль-Каши (? - ок. 1436 или 1437) уже были введены в оборот десятичные дроби, но его нововведение долго оставалось неизвестным европейским математикам. В начале XVII в. в качестве разделительного знака в десятичных дробях стали использовать запятую или точку. Окончательное утверждение десятичных дробей следует связывать с введением десятичной системы мер и весов, которая была введена после Французской революции 1789 г. Целые числа (положительные и отрицательные), дробные числа (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Целые числа оказались частным случаем рациональных, в определении которых на первое место выдвинулись представления о дробных числах.
Глава 2 97 О недостаточности рациональных чисел для решения многих практически значимых математических задач свидетельствовала геометрия. Уже давно было известно, что никаким рациональным числом нельзя оценить длину диагонали квадрата, сторона которого равна единице измерения. На этот факт указали еще древние греки, доказавшие, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Отсюда следовало, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Открытие несоизмеримых величин наложило очень сильный и глубокий отпечаток на развитие математики, которое долгое время осуществлялось в двух параллельных направлениях - развитие арифметики как науки о числах и развитие геометрии как науки о величинах (длинах, площадях, объемах). Все это наводило на мысль расширить числовую область, чтобы утвердить единство математики. И вот к рациональным числам были добавлены числа иррациональные с приставкой «вещественные» («действительные»). По своей десятичной записи рациональные и иррациональные числа различаются тем, что в записи рационального числа, начиная с некоторого места (позиции), неизменно повторяется одна и та же цифра или группа цифр, тогда как в записи иррационального числа такого повторения наступить не может. Так, 0,333...(= 1/3) - рациональное число, а 3,14159...(= я) - иррациональное число. По мнению Клейна, слово «иррациональный» ведет свое начало скорее всего от неправильного перевода греческого слова «осЛ,оуоа» на латинский язык. Это греческое слово, вероятно, означало «невыговариваемое число». Тем самым подчеркивалось, что новые (иррациональные) величины в виде отношения отрезков не могут быть выражены отношением двух целых чисел. Лишь непонимание переводчика объясняется то, что эти числа оказались «нелогичными» («нерациональными»). В 60-х гг. XIX столетия была признана актуальной потребность в точной теоретической обработке представлений об иррациональных числах, что и было выполнено известным немецким математиком К. Т. В. Вейерштрассом (1815-1897). Характерно, что общую теорию иррациональных чисел дал в 1879 г. и немецкий математик Г. Кантор (1845-1918), основатель учения о множествах, оказавшего исключительно большое влияние на развитие математики и логики. Рациональные и вещественные иррациональные числа со временем были объединены в понятие вещественных (или действительных) чисел. Произошло это во второй половине XIX в. Построение соответствующей математической системы определений и доказательств было выполнено известным немецким математиком Ю. В. Р. Дедекиндом (1831-1916), хотя почти одновременно с ним аналогичные обоснования вещественных (действительных) чисел сделали и другие математики. Появление понятия «иррациональное число» как бы спровоцировало появление нового понятия - «мнимое число». Впервые мнимые числа начали фигурировать в 1545 г. в трактате известного итальянского математика, врача и философа Джероламо Кардано (1501 или 1506 - 1576) при решении им кубического уравнения. По признанию самих математиков, мнимые числа долгое время сохраняли несколько мистическую окраску, которую они и теперь еще имеют в глазах учеников, впервые слышащих об этом удивительном феномене в виде i = V-T- Лишь XIX в. принес с собой логически ясное понимание мнимых чисел, польза от употребления которых становилась для математиков все более несомненной. Наиболее глубоко проник в сущность вопроса о мнимых числах великий Гаусс, давший им геометрическую интерпретацию. Он предложил вместо слова «мнимый» ввести в словарь математики термин «комплексный». Это предложение было принято научным сообществом, и с тех пор в математике прочно утвердился раздел о комплексных числах, включающих в себя весь комплекс вещественных и мнимых чисел. Это был завершающий этап в образовании целостной теории
98 К. К. Жоль Логика всех известных науке чисел. Дальнейшее расширение класса всех комплексных чисел теряло свой научный смысл, так как подобное расширение повлекло бы невосполнимые потери в тех свойствах математических объектов, набор которых делает каждый из рассматриваемых числовых классов самоценным и чрезвычайно важным инструментом математического анализа. Помимо упомянутых главных классов чисел, существуют и другие множества чисел, заслуживающие серьезного внимания. К ним относятся алгебраические и трансцендентные 8 числа. Алгебра и арифметика в первую очередь интересуются свойствами чисел, связанными с арифметическими действиями над числами (сложение, вычитание, умножение, деление) и с решением алгебраических уравнений, К алгебраическим числам принадлежат, в частности, все рациональные числа. Всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Существуют и другие алгебраические числа. Числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными, то есть трансцендентные числа - это числа, не удовлетворяющие никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами (таковы, например: я = 3,14159..., е = 2,71828...), выходящие за пределы указанных алгебраических уравнений (отсюда - трансцендентные). Истоком появления трансцендентных чисел является число я. Еще древнегреческие математики озадачили себя вопросом: можно ли построить число я при помощи циркуля и линейки? Отвечая на поставленный вопрос, они начали осуществлять это построение всевозможными способами, не догадываясь, что причиной постоянных неудач является принципиальная неразрешимость указанной задачи, получившей название «квадратуры круга». В более широком плане задача построения числа я при помощи циркуля и линейки сводится к тому, чтобы представить я как результат нескольких последовательных извлечений корня квадратного из рационального числа. Сегодня доказано не только то, что это невозможно, но и то, что число я вообще нельзя связать с целыми числами никакими алгебраическими соотношениями. Элементарное введение в теорию множеств, являющуюся фундаментом современной математики и логики. Деление математических объектов на группы, классы, множества и установление взаимосвязей между этими множествами делало необходимым изучение самого понятия математического множества. За это изучение взялся Георг Кантор, профессор в немецком городе Галле. Созданное им учение о совокупностях, или множествах, явилось теоретическим фундаментом современной математики. Если попытаться кратко охарактеризовать это учение, то можно сказать: данное учение пытается свести свойства целых чисел и операций над ними к общим свойствам некоторых абстрактных множеств и связанных с ними абстрактных отношений. Тем самым преследуется цель достигнуть возможно более глубокого обоснования теории чисел. Поскольку мы уже неоднократно имели дело с различными характерными собраниями (классами) чисел, пора их назвать числовыми совокупностями или множествами. В области чисел мы имели дело с такими множествами: 1) целые числа (натуральные числа, нуль, отрицательные числа); 2) рациональные числа, включающие целые числа, а также дробные положительные и отрицательные числа; 3) вещественные (действительные) числа, включающие рациональные числа, а также иррациональные положительные и отрицательные числа; 4) комплексные числа. От лат. transcendens (transcendentis) - выходящий за пределы.
Глава 2 99 Каждое из этих множеств содержит бесконечно много чисел. И вот возникает такой вопрос: нельзя ли сравнить между собой эти множества по величине или объему? Или: нельзя ли «бесконечность» одного множества считать большей, равной или меньшей, чем «бесконечность» другого множества? По словам Клейна, великой заслугой Кантора является то, что он с помощью точных формулировок и определений разрешил этот «крамольный» для большинства математиков и весьма туманный для многих вопрос, введя понятие мощности или кардинального числа. Два множества имеют одинаковую мощность (эквивалентны), если между ш элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то есть есль одно множество можно так отобразить на другое, что каждому элементу первого множества взаимно однозначно соответствует некоторый элемент второгс множества. Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность. Иначе говоря, Кантор поставил перед собой задачу определить те средства которые необходимы для сравнения бесконечных множеств. Для ее решения ov ввел понятие мощности (объема) множества, полагая, что два множества имеют одинаковую мощность, если члены любого из них можно сопоставить членам другого, образовав пары соответствующих элементов (членов). Идеи канторовской теории множеств привели к созданию самостоятельно? математической дисциплины - общей теории абстрактных множеств. Как отмечал известный польский математик В. Серпин(ь)ский (1882-1969) еще в первые годы XX в. не было даже и речи о преподавании теории мно жеств на математических факультетах университетов. Сегодня же теория мно жеств считается основой современного математического и логического анали за, знания ее обязательны для каждого математика и логика. На первый взгляд кажется естественным считать, что мощность множеств; натуральных чисел меньше мощности множества всех рациональных чисел, ко торое, в свою очередь, меньше множества всех вещественных чисел, а последне« меньше множества всех комплексных чисел. Однако в действительности тако< заключение лишено логического основания. Хотя всякое конечное множестве всегда имеет большую мощность, чем любая его собственная часть, но это утвер ждение ни в коем случае нельзя переносить на бесконечные множества.
100 К.К. Жоль Логика 0 12 3 4 5. mm 2 4 6 8 10 . Рис. 6. Убедимся на достаточно простом примере в том, что собственная часть бесконечного множества действительно может иметь равную с ним мощность. Для этого мы должны сравнить множество всех натуральных чисел с множеством, например, всех четных чисел (рис. 6). Наше сопоставление показывает, что всякому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества. Следовательно, согласно Кантору, множество натуральных чисел имеет такую же мощность, как и его собственная часть, состоящая из четных чисел. Множество, которое допускает взаимно-однозначное сопоставление его элементов с натуральным рядом чисел, называется счетным. При изучении множеств мы абстрагируемся от природы и порядка их элементов, а иногда абстрагируемся только природы, но не от порядка. Чем в таком случае отличаются друг от друга два абстрактных множества? Они отличаются своей численностью. Можно ли установить их равночисленность, не имея никакого понятия о числе? Можно. И не удивляйтесь этому, а просто возьмите и сравните попарно, скажем, содержимое двух коробков спичек. Вынем из каждого коробка по спичке и положим их рядышком. Будем повторять эту нудную процедуру до тех пор, пока один или оба сразу коробков не опустеют. Таким образом, желая убедиться, равночисленны ли два данных множества, не обязательно пересчитывать элементы этих множеств. Достаточно последовательно и совершенно механически брать попарно по одному элементу из каждого множества. Следовательно, два множества будут равночисленными не по счету, а в том случае, если выбирать попарно по одному элементу из каждого множества до тех пор, пока они не будут исчерпаны одновременно. Можно сказать иначе: два множества равночисленны в том случае, если их элементы соединяются в пары таким образом, чтобы в каждой паре было по одному элементу из каждого множества. Тогда говорят, что между элементами, образующими множества, установлено взаимно-однозначное (или одно-однозначное) соответствие. Если между элементами двух или более множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то математики говорят, что эти множества рав- номощны (или эквивалентны). Огромное количество разнообразных счетных множеств наводит на мысль, что вообще все бесконечные множества счетны. Но Кантор доказывает, что континуум всех действительных (вещественных) чисел представляет собой несчетное множество. Центральным пунктом этого доказательства является довольно простой прием, называемый «диагональным методом». Такой метод при любом счетном расположении всех действительных чисел дает действительное число, которое заведомо не содержится в данном расположении. Это приводит к противоречию. Следовательно, некоторое несчетное множество не может быть счетным.
Глава 2 101 Рис. 7. Напишем все наши числа 0 < х < 1 в виде десятичных дробей. Предположим, что все они расположены в счетный ряд, где а9 6, се ... - любая из цифр о ^ 9, взятых в произвольном порядке (рис. 7). Чтобы образовать десятичную дробь х\ отличную от всех чисел нашей схемы, выделим цифры а 9 Ъг, сз, ... , стоящие в отмеченной на схеме диагонали (отсюда и название этого метода), и поставим на первом десятичном месте числа х9 какую- нибудь цифру а9{9 заведомо отличную от а{9 на втором месте - какую-нибудь цифру Ъ9 9 отличную от 62, на третьем месте - цифру с9 9 отличную от с 9 и т. д. Получим х9 = 0, а\, Ь\, с\9 ... . Эти условия относительно выбора цифр а9 9 Ь9 9 с9 9 ... оставляют нам некоторую свободу действия. Например, мы можем распорядиться так, чтобы дс' (число) было равно правильной десятичной дроби, а также чтобы она (дробь) не прекращалась после некоторого конечного числа знаков. Но в таком случае х9 заведомо отлично от числа х , так как у них первые цифры неодинаковы, а между тем две бесконечные дроби могут быть равны между собой только в том случае, если у них одинаковы все соответствующие цифры. Точно так же х9 * х2 вследствие различия вторых цифр, х9 Ф хъ из-за третьих цифр, и таким образом, вообще число х99 будучи вполне определенной десятичной дробью, оказывается отличным от всех чисел х 9 х 9 *3, ... счетной схемы. Следовательно, мы пришли к противоречию, а это доказывает, что континуум несчетного множества представляет собой действительно несчетное множество. Таким образом обнаруживается существование трансцендентных чисел, ибо множество алгебраических чисел счетно и потому не может исчерпать несчетный континуум всех вещественных чисел. В свете этого можно утверждать, что мощность несчетных множеств превосходит мощность счетных множеств. По сравнению с бесконечными множествами конечные множества нумеруются. Проще говоря, множество называется конечным, если его элементы можно занумеровать натуральными числами от 1 до « так, чтобы различные элементы имели различные номера и чтобы все номера от 1 до п были использованы. В соответствии с этим элементы конечного множества А можно обозначить через а 9 ..., а\ А = Ц, ..., а). Любое конечное множество можно задать с помощью списка всех его элементов. Такой список часто заключается в фигурные скобки {} и называется табличной формой задания множества. Иной формой задания множества является задание признаком (или задание по признаку, свойству элементов множества). Этот способ задания множества
102 K.K. Жоль Логика позволяет определять множество по свойству, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, свойство быть целым положительным числом, меньшим семи, определяет множество, записываемое в табличной форме следующим образом: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. При этом руководствуются принципом, гласящим: если fix) - некоторое свойство объекта х, то существует множество, элементами которого являются в точности все объекты, обладающие данным свойством. Множество, определяемое свойством Дх), обозначается через {х: fix)}. Данное выражение читается так: множество всех объектов х, таких, что f справедливо для х. Запомним, что каждое множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Так например, множество всех целых чисел бесконечно. Итак, нам известно, что ряд натуральных чисел бесконечен. В соответствии с этим можно утверждать: множество, равномощное с множеством натуральных чисел, называется счетно бесконечным. Элементы счетно бесконечного множества могут быть перенумерованы так, что любое натуральное число появится в качестве номера ровно один раз. Конечные и счетно бесконечные множества объединяются названием «счетные множества». Когда мы имеем дело с такими счетными бесконечными множествами, мы должны уметь указывать, как перенумеровать их элементы и представить их в виде бесконечной последовательности. Например, множество N всех целых положительных чисел удобно записывать в виде N = {1, 2, 3, ...}. Понятие множества издавна использовалось в логике, хотя и не подвергалось точному анализу. Так называемые объемы терминов (понятий в традиционной логике) - это множество предметов, обозначенных данными терминами (подпадающих под данные понятия). Отношения между объемами терминов - это отношения между множествами. Известно, что логики используют такие базисные для своей науки понятия, как «все», «ни один», «некоторые», «существует». Рассмотреть эти понятия нам еще предстоит. Сейчас же только отмечу, что, например, с помощью слова «все» мы можем построить следующее высказывание: «Все х, для которых определена функция fix) (например: «jc умеет играть в покер»), образуют множество». В данном случае утверждается, что имеется область определения так называемой пропозициональной9 функции f. Ученые считают, что именно так математическое понятие множества входит в логику, хотя имеются и другие пути проникновения данного понятия в сферу логической науки. Что касается последнего, то можно указать на отправной пункт всех логико-математических рассуждений, каковым являются цифры, буквы или их комбинации. Свойства, которыми обладают эти символы (объекты) в контексте математики и логики, так или иначе приводят нас к понятию множества или класса. Возникновению и развитию канторовской теории множеств предшествовала разработка некоторых теоретико-множественных понятий в алгебре множеств Буля. Алгебра Буля может служить для описания операций над множествами. Сами же операции над множествами были введены Кантором. Сопоставление операций Буля над высказываниями с операциями Кантора над множествами показывает, что эти операции обладают общими свойствами, к числу которых относятся: (1) коммутативность (от лат. commutare - менять, переменять; переместительность), то есть неизменяемость суммы или произведения от перестановки слагаемых (например: а + b = b + а\ cd = de); (2) ассоциативность (от лат. associare - присоединять; сочетательность), то есть независимость суммы или произведения от замены некоторых слагаемых их суммой или 9 Лат. propositio - предложение, утверждение.
Глава 2 103 некоторых множителей их произведением (например: (а + Ь) + с = а + (Ь + с) = а + b + с; (ab)c = а(Ьс) = abc); (3) дистрибутивность (от лат. distributivus - распределительный; распределительность). Школьники знают, что в арифметике сложение подчиняется двум законам - пе- реместительному и сочетательному. Закон 1. Пер вместительный закон сложения. Сумма двух слагаемых не зависит от порядка расположения слагаемых. Например: 1+2 = Зи2+1=3. Пользуясь буквами для обозначения чисел, этот закон можно сформулировать так: каковы бы ни были числа а и Ь, а + b = b + а. Закон 2. Сочетательный закон сложения. Сумма трех слагаемых не зависит от того, какие два из них сложены вначале - первые или последние. Например: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3). Алгебраически этот закон можно сформулировать так: каковы бы ни были числа, обозначенные буквами а, Ь, с, (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Из этих двух законов сложения вытекает, что при сложении некоего множества чисел можно располагать слагаемые в любом порядке и соединять их в любые группы. Например: 1 + 2 + 3 + 1,2 + 2,5 + 100 = (1 + 2) + (3 + 1,2) + (2,5 + 100) = 3 + 4,2 + 102,5 = 109,7. Умножение в арифметике тоже подчиняется двум законам - переместитель- ному и сочетательному. Закон 1. Переместительный закон умножения. Произведение двух сомножителей не зависит от порядка расположения сомножителей, то есть каковы бы ни были числа, обозначенные буквами а и Ъ, а х b = b х а. Например: 3 х 4 = 12 и 4 х 3 = 12. Закон 2. Сочетательный закон умножения. Произведение двух сомножителей не зависит от того, какие два из них перемножены вначале - первые или последние, то есть каковы бы ни были числа, обозначенные буквами а, Ъ, с, (а х Ь) х с = а х (b х с). Например: (5 х 6) х 7 = 5 х (6 х 7). Из переместительного и сочетательного законов умножения вытекает, что при умножении некоего множества чисел разрешается располагать сомножители в любом порядке и соединять в любые группы. Например: 3 х 7 х 10 х 2 = 3 х 10 х 2 х 7 = (2 х 3) х (10 х 7) = 420. Таким образом, если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести несколько раз умножение и при этом других действий производить не нужно, то (1) все скобки можно опустить, (2) сомножители можно переписать в любом порядке, (3) можно скобки вновь расставить любым образом. Например: (axb)x(cxd)x(exfi = axbxcxdxe х/= axexcx bxd xf= (axexc)x(bxd xfi. Переходя от арифметики к алгебре, мы яснее начинаем понимать смысл операций над числами, но числа не исчерпывают всего множества математических
104 К. К. Жоль Логика объектов и возможных операций над ними, о чем свидетельствуют логико-математические построения Буля и Кантора. Оказывается, что некоторые свойства операций в алгебре логики Буля и в теории множеств Кантора не похожи на свойства операций над числами. Кстати, Буль первым высказал мысль о том, что операции над числами или величинами не характеризуют существа математики. По его мнению, возможны такие разделы этой науки, которые не имеют дела с числами и величинами. Примером подобного рода служит теория множеств, разрабатываемая как своеобразная алгебра, где переменные не означают ни чисел, ни величин. Эти идеи не были до конца реализованы их автором, так как Буль разрабатывал свою алгебру в форме, обычной для алгебры того времени. Элементами булевой алгебры множеств являются не числа, а некоторые абстрактные объекты, природа которых игнорируется. Для нас существенно лишь то, что все элементы алгебры, называемые множествами, являются частями одного и того же множества. Это исходное множество называется универсальным множеством и часто обозначается большой латинской буквой U (первая буква латинского слова «universalis» - общий, всеобщий). В естественном языке универсальное множество выражается словами «все», «всякий», «любой», «никакой». Геометрическим символом универсального множества является прямоугольник. Некоторые формулы алгебры множеств графически выражаются с помощью этого прямоугольника и кругов (рис. 8). Графический метод проверки формул алгебры множеств называется методом диаграмм Венна, по имени английского логика Джона Венна (1834-1923). В диаграммах Венна множества, за исключением универсального множества, символизируются с помощью кругов. Таким образом, особый раздел теории множеств занимает алгебра множеств, изучающая разные операции над абстрактными множествами. Хотя реальная природа элементов множества не принимается во внимание, тем не менее эти элементы должны обладать некоторыми свойствами, чтобы их можно было отличать от элементов других множеств. Поэтому, как уже отмечалось выше, множество может задаваться указанием характеристического свойства (признака) его элементов, то есть такого свойства, которым обладают все элементы данного множества. Чаще всего это свойство формулируется словами (например: множество всех философски образованных поросят, страдающих манией величия), но могут задаваться и абстрактно-теоретическим образом с учетом характера взаимосвязи их элементов. Так как множество может содержать любое число элементов, то оно может состоять и из одного единственного элемента. Такое множество называется единичным. Множество, каждый член которого не обладает определенным свойством, является множеством, где нет членов, обладающих данным свойством. Такое свойство называется нулевым или пустым и обозначается символом 0 (или О). 0©Л и Рис. 8.
Глава 2 105 Когда мы определяем множество, мы не можем знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Вот почему полезно рассматривать множества, не содержащие ни одного элемента, то есть пустые множества. Существуют различные способы выделения подмножеств из универсального множества, число элементов которого может быть как конечным, так и бесконечным. Одним из таких методов является полный перечень членов множества. Можно также выделять определенное множество как совокупность всех объектов, удовлетворяющих какому-то определенному требованию. Множество полностью определено, если можно сказать относительно любого предмета, является или не является он элементом этого множества. Обычно множества обозначаются прописными курсивными буквами латинского алфавита (А, В, С, D, ...), а их члены - строчными курсивными буквами того же алфавита (а, Ъ, с, d, ...). Хорошенько запомним, что правильное понимание связей между множествами является базой всех логических построений. Чтобы определить некоторое множество А, мы должны объяснить, как правильно отвечать на следующий вопрос: принадлежит данный объект а множеству А или не принадлежит? Основным понятием теории множеств является понятие принадлежности элемента множеству. Например, говорят: число 2 принадлежит множеству всех натуральных чисел. Принадлежность (или членство) есть отношение между предметами (членами, элементами) и множествами этих предметов (членов, элементов). В качестве обозначения того, что предмет а принадлежит множеству А, пишут: а е А, где е - символ принадлежности. Иногда эта формула читается так: множество А содержит элемент а. Вместо выражений «а не является элементом А», «множество А не содержит элемент а», «элемент а не принадлежит множеству А» пишут: а ё А, где ё - символ отсутствия принадлежности. Множество, как уже отмечалось, может состоять из одного единственного элемента и обозначаться следующим образом: {je}. Это единичное множество есть одноэлементное множество, единственным элементом которого является х. Другим важным отношением является отношение «быть включенным в», или «содержаться в», или «быть подмножеством». Например, множество всех русских писателей содержится в множестве (или включено в множество, или является подмножеством множества) всех писателей мира. Нельзя путать отношения принадлежности и отношения включения. Отношения принадлежности касаются отношений между элементами множества и самим этим множеством, тогда как отношения включения касаются отношений только между множествами. Таким образом, отношение между множествами, когда члены одного множества одновременно являются членами другого множества, называется включением. Для включения не обязательно, чтобы одно множество было меньше (больше) другого множества, так как тождественные множества также могут включаться друг в друга. Понятие включения множеств является фундаментальным принципом всех отношений между множествами. Существует пять возможных типов включения множеств: 1) взаимное включение, или тождество, 2) полное включение меньшего множества в большее; 3) частичное включение одного множества в другое; 4) полное включение двух или более множеств в одно большое множество, то есть сумма двух или более множеств образует одно множество; 5) полное взаимное исключение множеств.
106 К К. Жоль Логика Частичное включение представляет особый интерес для инженеров. На рис. 9 изображены два пересекающихся круга. Если считать, что один круг означает множество А, а другой - множество В, то очевидно, что существует область, включающая элементы А и В. Это означает, что существует по крайней мере один элемент, принадлежащий одновременно множеству А и множеству В. Элементы множества, входящие одновременно в оба множества А и 5, представляют собой так называемое произведение {пересечение) А и В, что, как мы уже знаем, важно учитывать при выборе структуры электропроводящего контура. Пересечение множеств А. (A^ А 9 ..., А) - это множество элементов, принадлежащих всем А. сразу (множество элементов, принадлежащих всем множествам одновременно),' что обозначается так: i 1 где П - еще один символ пересечения множеств. Логика записывает частичное включение одного множества в другое так: А & В (читается «А и В»), где & - символ конъюнкции 10. Математики предпочитают пользоваться выражением А п В, где п - символ пересечения множеств. Инженеры обычно имеют дело с выражениями А х В или А • В, где х и • - символы умножения. Говоря о произведении двух множеств, специалисты имеют в виду прежде всего то, что произведение двух множеств является формализацией наших представлений о классификации предметов в соответствии с одним или несколькими признаками. Частичное включение двух или более множеств на примере с кругами показывает, что два или более пересекающихся кругов могут образовывать новое множество, включающее те элементы, которые являются членами множества А9 членами множества В и членами обоих множеств одновременно. Множество (рис. 10) называется объединением (или суммой) множеств А и В. В математике объединение нескольких множеств обозначается символом и. Операция объединения имеет ряд свойств, близких к свойствам арифметической операции сложения. В логике эта операция называется дизъюнкцией п и записывается так: А V В (читается: А или В), где v - символ дизъюнкции. Более общее определение гласит, что объединение множеств А - это множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному А. Оно может обозначаться еще и так: U А-, i где U - еще один символ объединения множеств, призванный, как и символ пересечения множеств и, указывать на то, что объединение и пересечение можно определить не только для двух множеств А и 5, но и для семейства множеств Ц, А2, ..., А.,...). Множество А содержится в множестве В (или А включено в В) обозначается через А с 5, где с - символ включения. Множество А не содержится в множестве В (или А не включено в В) обозначается через A et В, где (Z - символ отрицания включения. Иногда для этих целей используется символ с, указывающий на отношения между подмножествами и множеством. В этом случае символ с отличают от символа с,. говоря, что символ с служит для указания на собственное подмножество некоторого множества. Что при этом имеется в виду? Два или более множеств считаются равными (тождественно равными) тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Данное Лат. conjunctio - связь, союз. Лат. disjunctio - разделение, разобщение.
Глава 2 107 определение равенства можно сформулировать иначе, используя понятие подмножества. Множество А называется подмножеством множества В или подмножеством в В (А çz В), если каждый элемент из А будет также элементом из В. Легко убедиться в том, что для любых множеств А и В А = В тогда и только тогда, когда А с В и В с А. В том случае, когда A çz 5, но при этом А Ф В, пишется А с В и считается, что Л является собственным подмножеством в 5. Таким образом, символ с имеет некоторое функциональное сходство с известным в математике символами > и <, указывающими одновременно и на отношения равенства. Поскольку отношения равенства (тождества) далеко не всегда очевидны и могут вызывать довольно жаркие споры, многие математики и логики предпочитают пользоваться для указания на отношения между множествами символами с или 3 вместо символов çz или з. Итак, A <z В означает, что каждый предмет я, принадлежащий А9 принадлежит и В. Иными словами, для каждого а из а е А следует, что а е В. Если же А с 5, но не А = 5, то А называют собственным подмножеством В. С помощью определенных операций из двух данных множеств А и В можно образовать: (1) их объединение (А и В); (2) их пересечение {А п В); (3) их разность (А \ В). A KJ В есть результат совместного рассмотрения обоих данных множеств в качестве одного множества. А п В есть общая часть данных множеств. А \ В есть результат удаления из множества А элементов, принадлежащих множеству В. Операции и и п подчиняются следующим законам: 1. Коммутативность операций и и п : A\jB = BuA\AnB = BnA. 2. Ассоциативность операций U и п : (А и В) и С = А и (В и С); (А п В) п С = Л п (5 п С). 3. Дистрибутивность операций и и п : (Л и В)In С = (А п С) и (5 п С); (^nfi)uC=(^uC)n(fiuQ. Законы ассоциативности гласят, что в выражениях вида АиВиСиАп В п С расположение скобок не играет роли. Здесь скобки можно спокойно опускать. Напротив, в таких выражениях, как (А и В) п С или А и (В п С), расположение скобок играет существенную роль. Как уже отмечалось, указанные законы очень похожи на обычные законы арифметики, относящиеся к операциям сложения (вместо и пишется +) и умножения (вместо п пишется • или х). Лишь для закона дистрибутивности нет соответствующего арифметического закона.
108 К. К. Жоль Логика Исключительно важную роль в теории множеств играет понятие «отображение». Данное понятие является обобщением понятия «функция». Функция - это связь между объектами или, точнее говоря, соответствие, сопоставляющее заданному объекту точно один другой объект. Подобное правило или операция сопоставления может схематично быть представлена по принципу «вход-выход» (рис. 11), как это делает математик Роберт Голдблатт. Используя этот принцип, мы вправе сказать, что математическая функция однозначно перерабатывает вход (например: поступление какой-либо информации) в выход. Входы называются аргументами функции, а выходы - значениями или образами входных данных. Так, например, предписание умножить 2 (вход, аргумент) на 6 дает 12 (выход, значение, образ). Если А - множество всех возможных входов (аргументов) функции f, a В - множество, включающее все /^образы (/^значения) элементов из А, то говорят, что / является функцией из множества А в множество В. Это выражается следующей записью: / :: А -» В или А L-+ В. Множество А называется областью определения или источником функции f, а В - областью значений или целью. Рассмотрим два числовых множества, одно из которых обозначим X, а другое Y. Установим закон, по которому каждому числу х, принадлежащему X, ставится в соответствие определенное число у, принадлежащее множеству Y. Такое соответствие принято называть функциональной зависимостью между независимой переменной х и зависимой у. Эту функциональную зависимость можно записать в виде формулы у = Дх), где буква / служит обозначением функциональной зависимости. Величина fix) меняется, как и зависимая переменная, в зависимости от переменной je. Говоря иначе, величина Дх) обозначает тот элемент у множества Y, который поставлен в соответствие элементу х множества X при данной функциональной зависимости / Теория множеству топология, графы. Попытаемся обобщить сказанное, использовав понятие «отображение». В связи с этим рассмотрим следующий пример. Пусть А - множество всех трехколесных велосипедов, В - множество всех людей, жаждущих кататься по пыльным проселочным дорогам именно на этих велосипедах без моторчика; / сопоставляет каждому трехколесному велосипеду его владельца. Под отображением / множества А в множество В понимается некоторое правило, посредством которого каждому элементу а множества А сопоставляется единственный для данного а элемент Ъ множества В. Это отношение между а из А и Ъ из В обозначается посредством уже известной формулы Ъ = J(a). Здесь а есть переменная, значения которой пробегают все множество А, а каждый Ъ из В является образом соответствующего а. Что же касается /, то он является символом, обозначающим данное конкретное отображение. Отображением / множества А в множество В называется отображением множества А на множество В (или накрывающим отображением), если каждый элемент множества В является образом некоторого элемента из А. Короче, / является накрытием, если каждый элемент множества В имеет по крайней мере один прообраз в множестве А. Отображение f множества А в множество В называется взаимно-однозначным (или одно-однозначным) отображением, если различным элементам множества А Выход |лг> Рис. 11.
Глава 2 109 сопоставляются различные образы множества В, то есть / взаимно-однозначно, если каждый элемент множества В имеет не более одного прообраза в множестве А. Разберемся еще с полезным для нас понятием упорядоченной пары математических объектов. Упорядоченная пара состоит из двух объектов, один из которых считается первым, а другой - вторым. Через (х, у) обозначается упорядоченная пара, имеющая в качестве первого элемента х и у - в качестве второго. Если R - некоторое отношение, определенное на множестве упорядоченных пар, и (х, у) g R (часто пишут xRy), то подразумевается, что элемент у сопоставлен элементу х с помощью связи, представленной отношением R. Например: отношение «меньше» устанавливает связь между числами и определяет множество {(х, у): х меньше у} или {(х, у): х < у}. Таким образом, всякая функция / задает отношение /= {(*, у): у есть /-образ (/^значение) х}. Хотя, по словам Голдблатта, это и другие определения приводят все в некоторый внешний порядок, тем не менее сохраняется устаревшее представление о функции как о множестве фиксированных, статичных объектов и не отражает операционный, преобразовательный аспект функции. Вот почему Голдблатт и ряд других современных математиков предлагают для преодоления указанного недостатка интерпретировать понятие функции в рамках так называемой кате- горной логики - нового ответвления математической науки, быстро развивающегося на стыке теории категорий, алгебраической геометрии и математической логики под эгидой математического понятия топоса, позволяющего решать некоторые сложные кибернетические проблемы. В свете сказанного пора углубить наши знания о решении разнообразных логико-математических задач с помощью теории графов, ко для этого вначале надо обратиться к теоретико-множественной характеристике такой математической науки, как топология, в рамках которой изучаются абстрактные свойства графов. Числовые множества - это такие множества, элементами которых являются числа. Если речь идет об изображении чисел точками на координатной прямой (числовой оси), то множество, например, действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, называется отрезком с концами а и b и обозначаются [а; Ь]. Понятие «точка» имеет вполне определенный математический смысл, связанный с представлениями о точечных множествах, интервалах и областях. Обычно о значениях переменной х (или объектов, которым соответствует значение х) говорят как о точках (х) прямой, а о множествах так представленных действительных чисел - как о линейных точечных множествах. Необходимо иметь в виду, что в разных разделах математики изучаются различные пространства, точнее, пространственные модели. Первой из таких моделей является модель евклидова пространства (трехмерное пространство), затем идут модели многомерных пространств и пространств бесконечно большого числа измерений, а также пространств, элементами которых являются функции, кривые и т. п. Для изучения всех этих пространств под одним углом зрения была создана теория так называемых метрических пространств. В этой теории теоремы, доказанные для метрических пространств, справедливы для любого частного случая моделируемых пространств. Поэтому отпадает необходимость доказывать данные теоремы для каждого случая отдельно. Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ъ, называется интервалом с концами а и Ъ и обозначаются (а; Ь). Открытые слева и справа промежутки с концами а и b обозначаются соответственно (я; Ь] и [а; Ь)
110 К.К. Жоль Логика и определяются неравенствами а < х < Ъ (открытый слева) и а < х < b (открытый справа). Множество точек (х), удовлетворяющих условиям а < х < Ь, а < х < b, а < х, х < а, называют полуоткрытыми интервалами. Переводя это на язык теории метрических пространств, можно сказать, что множество Т точек метрического пространства М, обладающее тем свойством, что для любой точки t из множества Т существует положительное число z такое, что каждая точка m пространства М9 расстояние которой от t меньше z, является элементом множества Т, называется открытым множеством данного пространства. Дополнения открытых множеств до метрического пространства M называют замкнутыми множествами этого пространства. Любая точка интервала (а, Ь) является точкой отрезка [а, Ь]. Иначе говоря, интервал (а, Ь) является подмножеством отрезка [а, 6], то есть (а, Ь) с [а, Ь]. Замкнутый интервал называется не только отрезком, но еще сегментом или замкнутым промежутком* Пусть х - переменная. Множество всех значений х (точек) должно удовлетворять следующим условиям: 1) а < х < b есть неограниченный открытый интервал (а, Ь); 2) а < х есть неограниченный открытый интервал (а, +«>, где «> - символ бесконечности); 3) х < а есть неограниченный открытый интервал (-°°, а); 4) а < х < b есть ограниченный замкнутый интервал [а, Ъ\ Определим теперь понятие окрестностей. Открытая ^-окрестность точки (а) в пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал вида (а - q, а + g), содержащий точку х = а. Иными словами, множество всех точек (дс), удовлетворяющих условию |jc - а I < q, где q - некоторое положительное число. Окрестность точки х = а есть любое множество, содержащее некоторую д-окрест- ность этой точки. В свете сказанного рассмотрим еще раз открытые и замкнутые множества и области. Точка р считается предельное точкой (точкой конденсации или точкой накопления) множества S с С, если каждая окрестность точки р содержит точки множества S, отличные от р. Точка р есть внутренняя точка множества S, если р имеет окрестность, целиком содержащуюся в S. Точка ре С, не являющаяся внутренней точкой ни множества S, ни его дополнения до С, есть граничная точка множества S. Точка р множества S является его изолированной точкой, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества S. Точечное множество S есть: (1) открытое множество, если оно состоит только из внутренних точек; (2) замкнутое множество, если оно содержит все свои предельные точки; (3) дискретное (изолированное) множество, если оно содержит только изолированные точки; (4) связное множество, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся множеств, каждое из которых не содержит предельных точек другого. Вооружившись этими знаниями, перейдем к рассмотрению некоторых основных положений топологии и теории графов. Здесь следует отметить, что существует особая логика топосов9 формализация которой была осуществлена в начале 70-х гг. XX столетия М. П. Фурманом и Д. Скоттом, а также другими учеными.
Глава 2 111 Топология в качестве самостоятельной математической дисциплины возникла во второй половине XIX в. в связи с изучением некоторых свойств геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия непрерывности. Характеризуя топологию, можно сказать: топология - это наука о свойствах и величинах, инвариантных (постоянных, неизменяющихся по сути) относительно так называемого топологического отображения. Иначе говоря, топология - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных форм и взаимного расположения фигур, то есть топология - это наука о таких свойствах геометрических объектов, которые не исчезают при взаимно-однозначных и непрерывных в обе стороны преобразований этих объектов. В качестве топологического примера можно указать на отображение f, переводящее непрерывно фигуру А в некоторую другую фигуру В. При этом «близкие» между собой точки фигуры А переходят в результате этого отображения в «близкие» точки фигуры В. Например, проектирование фигуры в плоскость (рис. 12) представляет собой непрерывное отображение. Как можно охарактеризовать это отображение? Отображение / фигуры А на всю фигуру В называется гомеоморфизмом п, если оно происходит без так называемых разрывов и склеиваний, то есть не только отображение /, но и обратное отображение /_1 являются непрерывными. Для нас обращение к топологии важно еще и тем, что топология имеет прямое отношение к проблеме машинного (компьютерного) распознавания образов, которая в более общем плане выглядит как проблема классификации различных объектов, установления их тождества и/или различия. Как известно, каждый из описываемых (изучаемых) объектов окружающего мира принадлежит одному или более классам из некоторого фиксированного множества. При классификации тех или иных образов (объектов действительности, отражаемых в нашем сознании) наблюдатель должен руководствоваться соответствующими правилами, чтобы решить, какому классу принадлежит наблюдаемый объект. В задаче распознавания образов это правило классификации должно вырабатываться на основе тщательного и всестороннего исследования множества объектов, известных своей принадлежностью определенным классам. Данные объекты в совокупности называются выборкой. Выработку процедуру классификации на основе фиксированной выборки обычно относят к статистике, а не к задачам, стоящим перед кибернетикой, представители которой занимаются, в частности, проблематикой «искусственного интеллекта». Тем не менее свои притязания на право осуществления выборки сегодня предъявляют и кибернетика. Составной частью последней является проблематика машинного распознавания образов. Многие проекты машинного распознавания образов вызваны желанием классифицировать двумерное изображение того или иного вида. Здесь кибернетикам приходит на помощь топология, позволяющая осуществлять классификацию изображений на плоскости с помощью так называемых топологически инвариантных предикатов. Рис. 12 От гр. homoiosis - подобный, одинаковый + morphe - вид, форма.
112 К.К. Жоль Логика Таким образом, изучение топологии полезно для логики не только обоснованием теории графов, находящей широкое применение в современных логико-математических исследованиях, но и в связи с проблемами логического программирования компьютеров (допустим, в связи с программным обеспечением машинного распознавания образов). В отличие от геометрии в топологии рассматриваются отображения более общего характера. Показательно, что в современной алгебре существует такой раздел, как топологическая алгебра. К этой алгебре мы сейчас и обратимся. Топологическая алгебра - это учение о топологических пространствах, в которых алгебраические операции имеют непрерывный характер. Топологическое пространство тесно связано с элементарными свойствами точечных множеств. Одно и то же множество может допускать несколько топологий, и при этом получаются различные топологические пространства. Предварительное и самое общее знакомство с топологией для нас важно прежде всего тем, что в топологии рассматриваются так называемые графы- фигуры (или просто графы), состоящие из конечного числа дуг. Как мы уже знаем, в графе имеется несколько вершин, часть из которых соединены непересекающимися дугами. С помощью графов можно моделировать различные формы связи в природе и обществе, технологические процессы и информационные потоки, химические формулы, многообразные знаковые (символьные) конструкции, включая алгоритмические, необходимые для автоматизированного (компьютерного) решения задач. Последнее для нас очень ценно тем, что в заключительной главе данной книги будет продемонстрировано прикладное значение графов для создания компьютерных программ по проблематике «искусственного интеллекта». Рассмотрим, как определяется отображение в теории графов. Пусть R - отображение данного множества X в У. При А с X образом множества А считается множество RA = ЦЯх. Если At, A^ ..., А - подмножество X, то мы имеем Отображения R\ R2, ... можно определить следующим образом: Rlx = R(Rx) R2x = R(R{x) R3x = R(R2x) Если взять в качестве X множество людей и для х е X обозначить через Rx множество «детей» лейтенанта Шмидта в виде гусекрада Паниковского или Шуры Балаганова, то будем иметь следующее: (1) Rlx - множество «внуков» je; (2) R'x - множество, состоящее из х и всех его законных и незаконных потомков; (3) R~{x - родители х.
Глава 2 ИЗ Изображая людей точками и рисуя стрелку, идущую из х в у, в случае, когда х является отцом или матерью у, мы получим родословное, или генеалогическое дерево. Граф, символически обозначаемый как R = (X, К), есть пара, состоящая из множества X и отображения R. С помощью графа определяются, например, отношения родства, правила шахматных игр, релейно-контактные схемы и т. п. Обычно элементы множества X изображаются точками на плоскости, а пары точек х и у, для которых у е Rx, соединяются непрерывной линией со стрелкой, указывающей на направление от х к у. Это позволяет называть каждый элемент множества X точкой, или вершиной графа, а пару элементов (х, у), в которой у е Rx, - дугой графа. Путем в некотором графе называется такая последовательность дуг, благодаря которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей. На рис. 13 изображено дерево с шестью вершинами. Корень обозначен числом 1. Дерево является двумерной структурой, но во многих случаях удобнее пользоваться лишь одномерными структурами данных. Глубиной (высотой) вершины дерева называется длина пути от корня до вершины. Так, глубина вершины 1 на рис. 13 равна 0, глубина вершины 3 равна 1, а вершины 6 равна 2. Используя скобки для указания глубины, можно представить изображение на рис. 13 в виде 1(2, 3 (4, 5, 6)). Такую запись называют левым скобочным представлением, поскольку поддерево представляется выражением, заключенным в скобки, а его корень записывается непосредственно слева от левой скобки. Это левое скобочное представление можно записать так: Lrep(D), где rep, сокращенная запись английского слова «representatio» (представление, изображение), означает репрезентацию (представление). Левое скобочное представление дерева D можно получить, применяя к нему следующие правила (А.Ахо, Дж.Ульман): 1. Если корнем дерева D служит вершина а с поддеревьями D, D, Dk (их корни прямые потомки вершины а), то Lrep(Z)) = a(Lrep(D ), Lrep(Z) ), 2. Если корнем дерева D служит вершина а, не имеющая прямых потомков, то Lrep(Z)) = а. Если в левом скобочном представлении убрать все скобки, получится прямой порядок вершин дерева. Аналогичным образом можно определить правое скобочное представление Лгер(Д) дерева D. Для дерева D на рис. 14 Агер(Д) = ((3, 4)2, ((7, 8, 9)6)5)1. В этом представлении прямой предок вершины расположен непосредственно справа от первой правой скобки, заключающей эту вершину. I Ль Ào 4 5 6 4 5 6 Рис. 13.
114 К.К. Жоль Логика 2/ \7 */\± 7 8 9 Рис. 14. Рис. 15. Другое представление дерева можно получить, составив список прямых предков его вершин 1, 2, ... , п именно в этом порядке. Чтобы опознать корень, будем считать, что его предок - это 0. Дерево, показанное на рис. 15, можно представить в виде 0122441777. Здесь 0 на первом месте указывает на то, что прямым предком вершины 1 является «вершина 0» (вершина 1 - корень). Число 1 на седьмом месте говорит о том, что прямым предком вершины 7 является вершина 1. Упорядоченным графом называется пара (А, К), где А обозначает множество вершин, a R - множество линейно упорядоченных списков дуг, каждый элемент которого имеет вид ((а, Ь{), (а, Ъ ), ... , (а, Ьп)). Из вершины а выходят п дуг. Первой из них считается дуга, входящая в вершину Ъ, второй - дуга, входящая в вершину Ь2, и т. д. Предположим, что задан неупорядоченный ориентированный граф, в котором каждой дуге, ведущей из вершины i в j, приписана ценность (или вес, весомость, важность, стоимость). Если из / в j не ведет ни одна дуга, ценность vtj считается бесконечной. С помощью алгоритма можно вычислить для каждой пары вершин минимальную ценность пути, ведущего из первой вершины пары во вторую вершину. На этом заканчивается наше знакомство с теорией графов, которое будет продолжено в последней главе данной книги, а сейчас вновь вернемся к алгебре Буля и к классической теории множеств, чтобы конкретнее оценить их сильные и слабые стороны. Аксиоматический метод как способ преодоления недостатков интуитивно- наглядного мышления. Хочу сразу обратить внимание читателей на то, что алгебра Буля имеет интерпретацию в различных теориях. По мнению ученых, это и составляет ее наибольшую теоретическую и практическую ценность. Ярким примером подобной интерпретации служит теория электрических цепей. Понятно, что эта интерпретация имеет большое практическое значение. Если осуществить строго формальный анализ булевой алгебры, то обнаружится, что она имеет аксиоматический характер. Это означает, что мы имеем дело с дедуктивной^ системой, а во всякой дедуктивной системе теоремы доказываются на основе аксиом и определений. Каким требованиям должна отвечать система аксиом? В результате отказа от ставки на непосредственную очевидность некоторых истин математики и логики было установлено, что.в формальном плане, где нет места образному мышлению, аксиомы должны отвечать прежде всего трем главным требованиям - требованиям непротиворечивости, полноты и независимости. Система аксиом называется непротиворечивой, если из этих аксиом нельзя сделать два взаимно исключающих друг друга вывода. 13 От лат. deductio - выведение', научный метод, позволяющий частные положения логически выводить из общих положений (аксиом, постулатов, правил, законов).
Глава 2 115 Система аксиом называется полной, если она допускает лишь одну-един- ственную реализацию, то есть если две любые модели этой системы аксиом совпадают, или, как говорят, изоморфны 14. Две модели аксиоматической системы считаются изоморфными, если между образующими эти модели элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Иными словами, две изоморфные модели представляют собой один и тот же абстрактный математический объект, только описанный разными (но «переводимыми») формальными языками. Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом этой системы нельзя вывести из других аксиом, то есть доказать как теорему, базируясь на всех остальных аксиомах системы. Совершенно напрасно искать в аксиомах математики или математической логики что-то наглядное, очевидное, не вызывающее никаких сомнений у жителей Земли, для которых Солнце «всходит» и «заходит». Математические или логические аксиомы истинны лишь в той мере, в какой удается доказать вытекающие из них теоремы. Интересно отметить, что принципу очевидности в познании был нанесен чувствительный удар не только математиками, но и психологами XIX-XX вв. Об этом стоит сказать особо. В конце XIX в. наблюдалось бурное развитие экспериментальной психологии. В числе лидеров этого направления исследований были немецкие психологи Вюрцбургской школы экспериментальной психологии. Свои исследования они начинали с изучения восприятия значений слов различными людьми, исходя из допущения, что в состав значений слов обязательно входят наглядные представления; иначе, как традиционно считалось, слова естественного языка не могут быть поняты. При этом в качестве аргументов фигурировали ссылки на Аристотеля, заявлявшего, что мысли не могут существовать без некоторого чувственного опыта. Однако эксперименты свидетельствовали о противоположном. Оценивая экспериментальные данные, один из ученых этой школы писал, что вплоть до XIX столетия слово не принималось за слово, если ему не хватало наглядности, благодаря которой и получило оно будто бы свой конкретный смысл. Во многих педагогических сочинениях наглядность оценивалась как альфа и омега всякого душевного развития. Уже упоминавшийся ранее Кант называл идеи без наглядности пустыми, а известный немецкий философ А. Шопенгауэр (1788-1860) хотел всю математику обосновать на конкретно-образных началах и изгнать формальные доказательства из геометрии. Крупный немецкий психолог и философ В. Вундт (1832-1920) в своей статье «Общее учение о математическом методе» настаивал на том, что ряд базисных понятий математики базируется на принципе наглядности. В связи с этим он критиковал платонизм в математике, согласно которому абстрактному понятию можно приписать реальное существование. По его мнению, эта концепция мистична, ибо за миром представлений она помещает новый мир совершенно непредставимых идей. Однако в данном случае остается непонятным, каким образом представленный объект может вызвать в сознании непредставимую идею. Вундт настаивает на необходимости устранения несоизмеримости между идеей и образом, вернув идее ее интуитивную природу и тем самым сделав понятным отношение идеи к чувственным объектам. В 30-е годы XX в. известный советский философ и психолог К. Р. Мегре- лидзе (1900-1944) напишет, что, осмысливая такие понятия, как «причина», «цель», «сила» и т. п., мы не найдем никакого конкретно-образного содержания в нашем сознании, но зато обнаружим, что в некоторых случаях сознание человека стремится принять известное общее расположение, направление, и при 14 От гр. isos - равный, одинаковый, подобный + от гр. morphe - форма; взаимно-однозначное отображение двух совокупностей, сохраняющее их структурные свойства.
116 К.К. Жоль Логика этом в нем будет отсутствовать предметно-чувственное содержание, не будет никаких образов и наглядных представлений. Придерживаясь этой точки зрения на функционирование абстрактных понятий, Мег- релидзе так характеризовал математику и ее задачи: математика должна заботиться не о согласовании с действительностью, а о том, чтобы не противоречить самой себе, своим основным постулам и определениям. Всякая чисто математическая дисциплина представляет систему условных рассуждений, взаимно связанных не смыслом реальной действительности, а смыслом, который мы им приписываем по тем или иным научно-теоретическим соображениям. Поэтому в математике нет истин в философском значении, а есть только формально-гипотетические истины. Лишив многие научные понятия их наблюдаемого или непосредственно очевидного содержания, мы не обеднили наш интеллект, а наоборот, усилили его мощь, сделав научные понятия более гибкими, универсальными и многофункциональными. Хотя после Лобачевского и Бояи большинство математиков признали возможность строить различные неевклидовы геометрии, некоторые из них так и не смогли понять, что другие аксиомы Евклида (365-300? гг. до н. э.) также являются в известном смысле произвольными предположениями. И все же росло число ученых, решившихся на эксперимент с математикой. Одни из них, отказавшись от дурной привычки к наглядности, попытались свести геометрию к упражнениям в так называемом логическом синтаксисе, а другие занялись исчислением соотношений между логическими переменными. Не остался в стороне от новых веяний в математике и выдающийся немецкий ученый Давид Гильберт (1862-1943), объяснявший своим любознательным студентам и пытливым коллегам, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют жестко закрепленного за ними смысла. Более того, свой строгий математический смысл они получают только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Гильберт безбоязненно утверждал, что даже название основных понятий математической теории могут быть выбраны произвольно. Эту мысль он остроумно сформулировал своим друзьям на вокзале в Берлине. «Следует добиться того, - наставлял он коллег, хитро улыбаясь, - чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках». Что Гильберт имел в виду? Если заменить слова «точка», «прямая» и «плоскость» словами «стол», «стул» и «пивная кружка», то в геометрии как абстрактно-теоретической науке ничего не изменится, ибо, независимо от названий, мы будем иметь дело с абстрактными объектами, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. Подобные новаторские идеи существенно затрагивали основы математики, радикально меняя воззрения на природу математических объектов, которые долгое время ассоциировались с величинами и геометрическими фигурами. Математики второй половины XIX в. начинают соглашаться с тем, что в сфере их науки вполне правомерно рассуждать об объектах, не имеющих никакой наглядной интерпретации. Новые взгляды на объекты математики способствовали широкому применению в ней аксиоматического метода, а вместе с тем - и символической логики. Задачу математики многие стали видеть в том, чтобы создать учение об отношениях между абстрактными объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, аксиоматически полагаемых в основание теории. Эти умонастроения достаточно ясно выразил английский логик и философ Бертран Рассел (1872-1970) в своей статье «Новейшие работы о началах мате-
118 К. К. Жоль Логика матики». По его мнению, «математика должна быть определена как доктрина, в которой мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим». Разъясняя эту мысль, Рассел писал: логика в строгом смысле слова отличается от других систем теоретического знания тем, что ее предложения могут быть представлены в форме, которая делает их применимыми к чему угодно. Очевидность, заявлял он, находится во вражде с точностью. Вот почему мы вынуждены изобретать новый и трудный символизм, в котором нет ничего очевидного, но который позволяет точно установить количество неопределяемых понятий и недоказуемых в данной системе предложений. Без логико- математического символизма это было бы трудно сделать. Поэтому вся чистая математика (арифметика, математический анализ и геометрия) может рассматриваться как построенная из сопряжения примитивных (простейших) идей логики, а ее теоретические предложения (теоремы) в таком случае должны пониматься как выводимые из общих аксиом логики. Вдохновляемый этими умонастроениями, Гильберт в своих знаменитых гетгин- генских лекциях «Основания геометрии» ясно наметил подход к ключевым проблемам математики, получивший название «метаматематика» (буквально: за пределами математики). Метаматематика - это весьма своеобразная «сверхматематика», главной задачей которой является доказательство непротиворечивости формализованных теорий, рассматриваемых как бы извне, как бы сверху, с головокружительной высоты полета логико-математической мысли. Естественно предположить, что ее методы должны быть в известном смысле «сверхформализованными», «сверхжесткими» для проникновения в гранит формализованных теорий. Особое значение Гильберт придавал требованию непротиворечивости аксиом, так как при новом понимании математической теории как системы теорем, выводимых дедуктивно из множества произвольно выбранных аксиом, понятие непротиворечивости теории было единственно эффективной заменой непосредственно очевидных математических истин. К вопросу о парадоксах в классической теории множеств. Первым попытался остудить пыл Великого Метаматематика доцент Геттингенского университета Эрнст Цермело (1871-1953), которого высоко ценил Гильберт и который предпочитал виски любой компании. Цермело указал Гильберту на досадный парадокс в теории множеств. Аналогичным образом поступил Бертран Рассел, указавший на этот же парадокс немецкому ученому Готлобу Фреге (1848-1925) в тот самый момент, когда Фреге готовился послать в печать свой труд по основаниям арифметики. Логики обычно говорят: данная теория содержит антиномию 15, или парадокс, если в ней доказуемы два противоречащих друг другу выражения. А что же математики? Увы, лишь немногие из них были обеспокоены возникновением антиномий, имеющих то или иное отношение к их теоретико-множественным представлениям. Большая часть считала, что антиномии - это философские «фокусы», а их эквивалент, парадоксы, - это то, что относится скорее к лингвистике, но никак не к математике, где имеют дело с трудностями в форме противоречий. Однако время показало, что проблемы антиномий и парадоксов не являются философско-лингвистическими «изобретениями»; они имеют самое прямое отношение к математике. Современные ученые различают логические и семантические {смысловые) антиномии. К логическим антиномиям относится известная антиномия Рассела, суть которой состоит в следующем. 15 От гр. antinomia - противоречие в законе, противоречие между положениями, каждое из которых признается логически доказуемым.
Глава 2 119 Для некоторого произвольного множества уместно выяснить, является оно своим собственным элементом или нет. Нам, скажем, совершенно ясно, что множество планет Солнечной системы не является одной большой планетой. Следовательно, множество планет не есть собственный элемент. Но множество может состоять из одного элемента. Такое множество является собственным элементом. Очевидно, собственным множеством должно являться и множество всех множеств («сверхмножество»). Проверим это утверждение, обозначив множество всех множеств большой буквой А/. Если M есть элемент M (элемент самого себя), то оно принадлежит множеству всех множеств, не являющихся собственными элементами. С другой стороны, если M не есть собственный элемент М, оно не принадлежит множеству всех множеств, не являющихся собственными элементами. Следовательно, M является собственным элементом. Отсюда вытекает: M есть элемент M в том и только в том случае, когда M не есть элемент М. Проиллюстрирую это противоречие на следующем весьма популярном примере. Допустим, живет в какой-то деревне цирюльник, бреющий только тех жителей деревни, которые не бреются сами. Если мы обозначим его буквой х и будем рассуждать уже известным образом, то придем к заключению: х бреет х в том и только в том случае, когда х не бреет х. Конечно, въедливый читатель сразу укажет на совершенно дурацкое условие, которому должен, по предположению, удовлетворять наш мучающийся «философским» вопросом небритый цирюльник (брить ли самого себя?). Это условие (жизненная ситуация) оказывается внутренне противоречивым, а следовательно, невыполнимым. Чтобы избежать противоречия, предлагается добавить всего лишь несколько слов к описанию ситуации, а именно: цирюльник бреет всех жителей деревни, не считая себя самого. В теоретической науке все обстоит не так просто, как в случае с деревенским цирюльником, что подчеркнули своими парадоксами Цермело и Рассел. По словам Гильберта, парадокс, сформулированный Расселом, произвел в математике эффект катастрофы. Один за другим выдающиеся специалисты в теории множеств бросали свои исследования в этой области. Нависла угроза над дедуктивными методами, так как становилось все более явным, что подобные парадоксы возникли как следствие используемых в математике дедуктивных методов. Защитников канторовской теории множеств начали обвинять в том, что они не понимают природы математики и необоснованно переносят на сферу бесконечного методы рассуждений, верные лишь применительно к области конечного. Гильберт был убежден, что существует способ избавиться от парадоксов, не жертвуя слишком многим. В связи с этим он предложил, чтобы само доказательство стало объектом логико-математического исследования. Так была оформлена идея метаматематики, или теории доказательств. Аксиоматический метод и его связь с математической теорией множеств. Понятие доказательства является важнейшим научным понятием. В современных теоретико-дедуктивных науках оно относится к процедурам установления истинности соответствующих теоретических высказываний (предложений). Эти процедуры являются существенным элементом того, что известно под названием аксиоматического метода, который широко используется в настоящее время для разработок и изложения математических дисциплин. Развитие аксиоматического метода можно рассматривать как выражение тенденции ограничить обращение к интуитивной очевидности, которая чревата субъективизмом и разночтением. Эта тенденция проявляется прежде всего в стремлении доказать как можно больше научно-теоретических положений и, следовательно, ограничить, насколько это возможно, число положений и постулатов, волюнтаристски принимаемых за истинные только в силу их интуитивной очевидности.
120 К.К. Жоль Логика Характерно, что вплоть до конца XIX столетия понятие доказательства имело преимущественно психологический смысл. Доказательство понималось как некоторая интеллектуальная деятельность, целью которой являлось убеждение самого себя и других в истинности ожидаемого предположения. На аргументы, применяемые при доказательствах, не накладывалось никаких ограничений, за исключением того, что они должны быть интуитивно убедительными. Однако, как подчеркивал известный польский логик А. Тарский (1902-1983), в какой-то период времени начала чувствоваться острая необходимость подвергнуть понятие доказательства более глубокому и систематическому анализу, который имел бы результатом ограничение ссылок на интуитивную очевидность. Отчасти это было связано с развитием некоторых специфических направлений в математике (скажем, открытие неевклидовой геометрии). Такой анализ был осуществлен логиками в содружестве с математиками, что привело к введению нового понятия в язык теоретической науки - понятия формального доказательства, которое оказалось адекватной заменой и существенным усовершенствованием прежнего понятия, обремененного грузом ошибочных психологических ассоциаций. В чем заключается суть формального доказательства? На первом этапе формального доказательства применяются правила вывода к аксиомам, в результате чего получаются новые высказывания (предложения, пропозиции), непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила применяют к новым высказываниям и т. д. Если после конечного числа шагов мы получаем некоторое завершающее наши рассуждения высказывание, то говорим, что оно формально доказуемо. Данную процедуру более точно можно выразить следующим образом: формальное доказательство некоторого высказывания S состоит в построении конечной последовательности высказываний, такой, что (1) первое высказывание есть какая-либо аксиома нашего формального языка, (2) каждое из последующих высказываний есть или некоторая аксиома, или непосредственно выводимо с помощью одного из правил вывода из каких-либо высказываний, предшествующих ему в этой последовательности, и (3) последним высказыванием в этой последовательности является 5. Ни одно высказывание не может рассматриваться здесь как теорема, если для него не может быть найдено соответствующее формальное доказательство.
Глава 2 121 Метод изложения формализованной теории является в сущности довольно простым, а именно: мы сначала перечисляем аксиомы, а затем строим теоремы в таком порядке, что каждое высказывание, не являющееся некоторой аксиомой, может быть непосредственно установлено как теорема. Это установление осуществляется посредством сравнения вида данного высказывания с видом высказывания, которое предшествует ему в списке. Гильберт, внесший огромный вклад в развитие логико-математической теории доказательств, намеревался осуществить свою программу в два этапа. На первом этапе вся математика должна быть формализована, то есть надо построить некоторую формальную систему, из аксиом которой с помощью четко определенных правил вывода можно было бы вывести по крайней мере основы математики. Такая система должна быть формальной в том смысле, что в ней следует учитывать только вид и порядок символов (их так называемый синтаксис), но никак не значение этих символов (их семантику). На втором этапе Гильберт собирался показать следующее: применение правил вывода к аксиомам никогда не сможет привести к противоречию при условии, что логические рассуждения будут носить настолько элементарный характер, чтобы в их правильности нельзя было усомниться. С помощью таких рассуждений должна быть точно установлена метатеорема о невозможности противоречия, то есть Гильберт предлагал исследовать методы математических доказательств средствами теории доказательств (метаматематики). Он настаивал на том, чтобы в теории доказательств разрешалось пользоваться только финитными 16 методами, которые позволяют избежать применения понятия «актуальная бесконечность». Новый подход должен был также позволить избежать использования «актуальной бесконечности» и в самой формулировке проблемы доказательства непротиворечивости, так как в любой теории имеется счетно-бесконечное множество доказательств, но в утверждении о ее непротиворечивости говорится лишь о произвольной паре доказательств, а не обо всем множестве доказательств как о завершенном объекте. «Никто, - заявлял с воодушевлением Гильберт, - не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором». Из «канторовского рая» математики действительно не были изгнаны, но правда и то, что этот «рай» оказался сущим «адом» для многих самонадеянных теоретиков математической науки. Ни Гильберту, ни его последователям не удалось выполнить намеченную программу во всем объеме, ибо они ошибались, преуменьшая глубину кризиса, в который ввергли математику антиномии. Несомненно, писал по этому поводу Тарский, что великим достижением современной логики была замена старого психологического понятия доказательства точным, ясным и простым понятием формального характера, но именно простота нового понятия оказалась его ахиллесовой пятой. Довольно быстро обнаружилось, что чрезмерная вера в формальное доказательство как адекватный и надежный инструмент для установления истины всех математических утверждений является необоснованной. Чтобы должным образом оценить понятие формального доказательства, нам необходимо выяснить его отношение к понятию истины, взятом не в условно- логическом смысле, а в философском. В таком случае прежде всего следует учитывать, что формальное доказательство является процедурой, стремящейся к получению новых истинных положений (теоретических высказываний). Такая процедура будет адекватной только тогда, когда все теоретические высказывания, полученные с помощью доказательства, будут истинными, а все истинные высказывания могут быть доказанными. В связи с этим естественно возникает вопрос: является ли на самом деле формальное доказательство адекватной 16 От лат. finitus - конечный.
122 К.К. Жоль Логика процедурой для получения истины? Или: совпадает ли множество всех формально доказуемых высказываний со множеством всех истинных высказываний? Логическое понятие множества истинных высказываний выражает, по словам Тар- ского, некий идеальный предел, который никогда не может быть достигнут, но к которому мы пытаемся приблизиться путем постепенного расширения множества доказуемых высказываний. А теперь в свете сказанного еще раз вернемся к «наивной» теории множеств Кантора, чтобы более ясно и полно представить ее роль в развитии математики, логики и кибернетики. Как уже выше отмечалось, теория множеств - это наука о множествах самой произвольной природы, о множествах как таковых. Синонимом «множества» являются: «совокупность», «набор», «класс», «группа» и т. п. В работах Кантора была изложена теория так называемых трансфинитных 17 кардинальных чисел. Эта теория основывалась на систематическом использовании математического понятия «актуальная бесконечность». До Кантора математики если и говорили о бесконечности, то только как о потенциальной бесконечности, бесконечности становящейся, которая может стать меньше или больше любой заданной величины, но которая в то же время сама всегда остается величиной конечной, как только мы называем или пытаемся назвать какую-либо огромную величину. Короче, потенциальная бесконечность - это вечно незавершенный процесс, а из незавершенного трудно сделать что-то завершенное, пригодное для практических целей. Теория множеств Кантора имеет дело с актуальной бесконечностью, соответственно чему автором данной теории предпринимается попытка создать математический аппарат для описания актуально бесконечных множеств. Но самое важное для нас в этой теории то, что в ней на операции с множествами и подмножествами не накладывается никаких ограничений, обусловленных природой объектов, составляющих множества. В таком случае понятия теории множеств сближаются с понятиями математической логики и аксиоматическим методом теоретических построений. Все было бы хорошо для математики и логики, если бы в теории множеств довольно быстро не были обнаружены некоторые существенные изъяны, вызванные парадоксами или антиномиями, то есть неразрешимыми противоречиями. Чем были вызваны эти неразрешимые противоречия? Обычно само множество не является одним из своих собственных элементов. Так, например, элементы множества всех ныне здравствующих писателей - не множества, а конкретные индивидуальности. Кажется ясным, что само множество не может принадлежать к числу своих собственных элементов. Множество писателей не есть писатель. Правда, мы сплошь и рядом имеем дело с такими множествами, элементами которых являются также множества. Скажем, в армии основными структурными элементами батальона являются роты, то есть определенные множества солдат. Но сам батальон не может быть отнесен к своим собственным элементам. Теперь объединим в единое актуальное множество все возможные множества. Получится нечто в высшей степени странное, а именно: мы будем иметь множество, которое является своим собственным элементом. Что говорят по этому поводу математики? Математики говорят, что упорядоченное множество не может обладать столь абсурдным свойством, ибо упорядоченным считается множество лишь в том случае, если оно не является ни одним из своих элементов. Здесь у нас немедленно возникает новый вопрос: что собой представляет упорядоченное множество в строгом математическом смысле? От лат. trans - сквозь, через + finitus - конечный', находящийся за пределами конечного.
Глава 2 123 Множество называется упорядоченным или линейно упорядоченным, если на его элементах определено отношение, удовлетворяющее следующим условиям: 1. Для любых двух элементов а и Ъ либо а < Ь, либо Ь > а, либо а = Ь. 2. Для любых двух элементов а и Ъ имеет место одно и только одно из соотношений: а < Ъ, Ъ < а, а = Ъ. 3. Из а < b и b < с следует а < с. Если предполагаются выполненными лишь второе и третье требования, то множество называется частично упорядоченным или полуупорядоченным. Если а < 6, то говорят, что а предшествует 6, a b следует за а или что а находится перед b, a b - после а. На основе этого определяется несколько производных отношений, а именно: а > b означает, что b < а\ а < b означает, что а < b или а = Ь; а > b означает, что а > b или а = Ь. В линейно упорядоченном множестве отношений а < b является отрицанием отношения а > b и точно так же отношение а > b является отрицанием отношения а < Ь. Если некоторое множество упорядочено или частично упорядочено, то и каждое его подмножество упорядочено или частично упорядочено тем же самым отношением. Как подчеркивает Б. Л. ван дер Варден, может случиться так, что упорядоченное или полуупорядоченное множество M обладает «первым элементом», который предшествует всем остальным (скажем, таково число 1 в ряду натуральных чисел). Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое непустое его подмножество имеет первый элемент. Не является вполне упорядоченным множеством множество целых чисел ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... , поскольку в нем нет первого элемента. Однако его можно вполне упорядочить, если расположить его элементы, например, таким образом: 0, 1, -1, -2, ... . Или, например, так: 1, 2, 3, ...; О, -1, -2, -3, ... , где все положительные числа предшествуют остальным. Является ли множество всех упорядоченных множеств упорядоченным? Если подобное «супермножество» является упорядоченным, оно должно находиться в одном ряду с прочими упорядоченными множествами, то есть находиться среди своих элементов (упорядоченных множеств). Но тогда данное «супермножество» перестает быть тем, на что претендует, - множеством всех упорядоченных множеств. Чтобы не затеряться в «толпе» множеств, оно должно уподобиться голому королю, то есть вынуждено перестать быть упорядоченным и, так сказать, облаченным в королевские одежды «супермножества». Все же допустим, что такое возможно. Что тогда? Если множество всех упорядоченных множеств не является упорядоченным, оно не может быть отнесено к разряду своих собственных элементов - упорядоченных множеств. Но ведь именно в этом случае мы и называем множество упорядоченным, так как под упорядоченным множеством понимается множество, которое не является ни одним из своих элементов. Итак, мы попали в какой-то замкнутый круг: если «супермножество» является упорядоченным, то это означает, что оно как бы изначально оплодотворено своей неупорядоченностью, а если оно в своей сущности не упорядоченное, то его можно упорядочить, сделав одним из многих множеств, но тогда следует забыть о королевской короне «супермножества». Что же делать? Как разорвать этот порочный круг?
124 К.К. Жоль Логика Увы, но здесь ничего не поделаешь. А раз так, то следует констатировать печальный для математиков факт: если теория множеств ошибочна в своей основе, го в математике не остается ничего неуязвимого. И тем не менее, как ни странно, нет оснований для паники. Это тоже парадокс, но парадокс объяснимый. Судите сами, одна из грандиозных проблем канторовской теории множеств связана с так называемой гипотезой континуума {континуум-гипотеза). Что собой представляет эта гипотеза? Если элементы двух множеств можно построить парами так, что ни один элемент одного из множеств не останется без партнера, то мы говорим, что эти множества имеют одинаковую мощность. А если сравниваемые множества бесконечны? Отвечая на этот вопрос, еще раз обратимся к натуральному ряду чисел. Как известно, натуральные числа представляют собой лишь часть множества рациональных чисел. Это понятно. Непонятно другое, а именно: мощность множества всех рациональных чисел равна мощности всех натуральных чисел. Подобный феномен объясняется тем, что логические принципы и понятия ведут себя достаточно самобытно, то есть они опираются не столько на опыт и наблюдения, сколько на свои внутренние законы, которым безразлично, что часть равна целому. Обратимся в качестве примера к множеству всех действительных (вещественных) чисел. Они расположены на числовой прямой непрерывно и словно слипаются. Поэтому мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума, где под словом «континуум» понимается непрерывность. По отношению к бесконечным множествам можно сформулировать вопрос: существует ли для каждой мощности мощность, непосредственно за ней следующая? Да, существует. Для такого утвердительного ответа Кантор обобщил понятие обычного числа и получил понятие трансфинитного числа, то есть выходящего за пределы конечного числа. Трансфинитные числа (бесконечные мощности) ведут себя так же, как, например, и натуральные числа. По отношению к трансфинитным числам или, -кажем, к комплексным числам наименьшей бесконечной мощностью является мощность множества натуральных чисел. Велика ли пропасть, разделяющая счетную и континуальную бесконечности? Для этого надо адекватно оценить тот математический мир, который существует между любыми соседними числами натурального ряда. Оказывается, в этом мире располагается бесконечное множество точек числовой прямой. Следовательно, пропасть между счетным множеством и континуум бесконечно велика. Согласиться с этим можно, ответив на вопрос: существует ли в этой пропасти промежуточные бесконечности? Кантор считал, что бесконечных множеств с промежуточной мощностью не существует. А может быть, все-таки существуют? Проблема! Называется она проблемой континуума. Эта проблема связана с вопросом о так называемой аксиоме выбора. Что вызвало к жизни данную аксиому? Исходные положения канторовской теории множеств не удовлетворяли одному из основных требований математической логики - непротиворечивости системы аксиом, о чем свидетельствовали выявленные в ней противоречия. Выход из этого кризиса ученые увидели в том, чтобы построить такую аксиоматику, которая давала бы все, что нужно, и ничего лишнего. И такая аксиоматика была построена. По имени своих авторов она получила название системы аксиом Цермело — Френкеля. Для успешной борьбы с противоречиями эти авторы ввели специальную ограничительную аксиому, запрещающую существование таких множеств, которые приводят к неразрешимым противоречиям. Из данной аксиомы следовала справедливость утверждения Кантора об отсутствии промежуточных мощностей между счетным множеством и континуумом.
Глава 2 125 Исследования в области теории множеств, проводимые Цермело, вызвали к себе пристальный интерес со стороны многих математиков. Особенно их заинтересовала теорема Цермело о вполне упорядоченных множествах, которая основывалась на принципе выбора. В чем же заключалась суть этого выбора? Еще до работ Цермело были обнаружены некоторые парадоксы теории множеств, связанные с неаксиоматизированным ее применением. В 1904 г. Цермело опубликовал доказательство теоремы, согласно которому всякое множество можно вполне упорядочить, опираясь при этом на «аксиому выбора». Благодаря этой аксиоме в любом подмножестве заданного множества можно зафиксировать его элемент (так называемый «отмеченный элемент»). Иначе говоря, Цермело первым заметил, что многочисленные математические исследования неявно опираются на некоторую аксиому, которую он сформулировал как аксиому выбора. Суть этой аксиомы состоит в следующем: если задано некоторое множество непустых множеств, то существует «функция выбора», то есть функция, которая каждому из этих множеств сопоставляет какой-либо его элемент. При этом считается, что каждое отдельно взятое множество предполагается непустым и, следовательно, из каждого множества всегда можно выбрать некоторый его элемент. Аксиома Цермело утверждает, что из всех таких множеств можно одновременно выбрать по элементу. Наиболее важным следствием аксиомы выбора является теорема Цермело о полном упорядочении, которая формулируется так: каждое множество может быть вполне упорядочено. Несколько упрощенно суть этой теории состоит в следующем. Пусть M - некоторое множество. Каждое собственное подмножество N в M имеет непустое дополнение M \ N. В силу аксиомы выбора существует функция ßJSf), которая каждому собственному подмножеству N сопоставляет некоторый элемент из M \ N. По нению ученых, важность вполне упорядоченных множеств состоит в возможности применения метода математической индукции в случае вполне упорядоченных множеств. Примером подобного рода индукции служит так называемая трансфинитная индукция. Так, чтобы доказать некоторое свойство Е для всех элементов вполне упорядоченного множества, можно рассуждать следующим образом: требуется доказать, что свойством Е обладает любой элемент при условии, что им обладают все элементы, предшествующие данному элементу. Тогда свойством Е должен обладать каждый элемент рассматриваемого множества. Иначе существовал бы элемент, не обладающий свойством Е. Более того, в этом случае существовал бы и первый элемент е среди не обладающих свойством Е. Все предшествующие элементы тогда обладали бы свойством £, но соответственно и элемент е обладал бы этим свойством, что дает противоречие. Такова суть доказательства с помощью трансфинитной индукции. Многие математики отвергли аксиому Цермело и выводы, полученные на ее основании. Однако были и такие, которые вполне приняли данную аксиому. К их числу относился и Гильберт. Разгоревшаяся дискуссия выявила наличие нескольких подходов к проблемам обоснования математики и необходимость уточнения используемого в математике логического инструментария. Она же стимулировала исследования по аксиоматике теории множеств и математической логике в целом. Цермело принадлежит первая система аксиом этой теории. Так противоречит или не противоречит аксиома выбора другим исходным аксиомам теории множеств? Отвечая на этот вопрос, немецкий ученый К. Гёдель (1906-1978) показал, что, принимая истинность континуум-гипотезы, мы не вводим никаких противоречий в теорию множеств. Но дело этим не ограничилось. В 1930 г. Гёдель со всей
126 К.К. Жоль Логика логико-математической строгостью доказал принципиальную неполноту формализованной теории чисел. При этом доказывалась теорема, из которой однозначно следовало, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения. Иными словами, вопрос о полноте формализма в том абсолютном смысле, который ему придавал Гильберт, был снят Гёделем, указавшим способ построения арифметических утверждений, истинность которых интуитивно очевидна, но они тем не менее не выводятся в рамках формализма. Эту проблему хорошо иллюстрирует пример, приводимый Тарским. Вначале выделяется два языка - предметный язык (или язык-объект) и язык исследователя {метаязык). Язык исследователя должен быть богаче предметного языка, чтобы было возможным понимать и ясно, точно, определенно выражать то, чему не всегда придается значение в предметном языке. Иными словами, язык исследователя не может совпадать с предметным языком или быть полностью переводимым в него, поскольку в противном случае оба языка окажутся разновидностью одного языка, а в результате различные парадоксы и антиномии не возможно будет проанализировать и объяснить, так как более богатая по своим выразительным возможностям языковая система окажется для нас чем-то недостижимым. С помощью языка исследователя изучается предметный язык. Например, аналогичное имеет место при изучении иностранных языков, когда в роли языка изучающего (исследователя) выступает родной язык, более богатый по сравнению со знаниями о языке, который предстоит еще изучить. Предположим, что в качестве предметного языка нам служит язык арифметики, а в качестве языка исследователя - язык математической логики. В языке исследователя выделим ряд высказываний (предложений): S S 9 ..., S . Эти высказывания, как мы видим, пронумерованы. Номера указывают на истинные высказывания. Условимся для краткости называть их доказуемыми номерами. Допустим взаимно-однозначное соответствие между высказываниями S{9 S 9 ..., S и рядом натуральных чисел 0, 1, 2, 3,..., и, которые будем называть истинными номерами. Теперь мы должны ответить на вопрос: являются ли тождественными множество доказуемых номеров и множество истинных номеров? Ответ будет отрицательным. Очевидно, что достаточно указать только одно свойство, которое принадлежит одному множеству и не принадлежит другому, чтобы воспрепятствовать установлению отношений тождества. Откуда может взяться это свойство? Из бесконечности или, по меньшей мере, из очень большого множества, практически бесконечного. В бесконечности или в гигантских множествах могут таиться самые неожиданные свойства, способные свести на нет все наши усилия в области теоретических построений. С учетом этого лучше проявить разумную осторожность, чем отправляться в путешествие по малоизученным мирам без карты и без компаса. И мы будем правы, ибо действительно множество доказуемых номеров не совпадает с множеством истинных номеров, поскольку то, что доказуемо на одном языке, не является таковым для другого языка. Таким образом, множество доказуемых высказываний в языке исследователя и множество истинных высказываний в предметном языке не совпадают друг с другом. Но что есть истинное высказывание? Или: что есть истина в нашем случае? Это не философский вопрос, хотя без знания философии нам не обойтись, когда затрагиваются проблемы, имеющие универсальный характер. Поскольку дефиниция истины сама по себе не обеспечивает нас практически ценным критерием истинности, но в то же время поиски истины справедливо рассматриваются как сущность научной деятельности, то проблема нахождения по крайней мере частичных критериев истины и разработки процедур, которые могли бы позволить нам признавать или отрицать истинность как можно большего количества научных высказываний, представляется исключительно важной.
Глава 2 127 Одним из таких критериев для установления логического понятия истины в контексте математической логики является разграничение языка исследователя и предметного языка, что позволяет доказывать следующее: все аксиомы арифметики являются истинными и все правила доказательства являются в известном смысле непогрешимыми. Из этого вытекает, что все доказуемые высказывания являются истинными, тогда как обратная формулировка не имеет силы. Итак, мы приходим к главному для нас выводу, а именно: существуют высказывания (предложения), сформулированные на языке арифметики (на предметном языке), которые являются истинными, но не могут быть доказаны формально на основе аксиом и правил доказательства, принятых в арифметике. В результате границы того, что заслуживало нашего доверия в математике и логике, стали размытыми и неопределенными. Чтобы придать им определенность, были расширены требования, предъявляемые к аксиомам, то есть к постулатам непротиворечивости, независимости и полноты был добавлен постулат разрешимости дедуктивной системы. Что такое разрешимость дедуктивной системы! Разрешимой является такая система, в которой по отношению к каждому правильно построенному высказыванию можно обосновать либо выводимость этого высказывания из аксиом системы, либо его невыводимость. Говоря другими словами, проблема разрешимости состоит в том, чтобы определить, возможно ли для данного формализованного языка вообразить некую механическую процедуру, которая позволяла бы для любого отношения из рассматриваемого формализма определить, истинно это отношение или нет. Данная проблема решаема для формализмов, содержащих мало первоначальных знаков и аксиом, но для более богатых систем это сделать невероятно трудно, если вообще возможно. Все в конечном счете упирается в проблему непротиворечивости. Таким образом, разрешениещ - это операция использования логических правил для проверки логических формул. Суть разрешения логической формулы состоит в исследовании того, при каких подстановках «истина» (или, например, «1») или «ложь» (или, например, «О») на место переменных формула превращается в истинное или в ложное высказывание, где «истина» и «ложь» понимаются в узко логическом смысле, а не в философском. Тем самым получается ответ на
128 К.К. Жолъ Логика вопрос, является ли логическая формула выполнимой, то есть переходит ли она хотя бы при одном подборе подстановок в истинное высказывание, и общезначимой (переходит ли она в истинное высказывание при любых подстановках). Рассмотрим несколько математических примеров. Как известно, вычитание - действие, обратное сложению. Деление - действие, обратное \он< жению. Лнал' кратных действий показывает, что они обладают одной характерной особенностью: данные действия не всегда выполнимы, в то время как прямые действия (сложение и умножение) выполнимы всегда. Частичная невыполнимость обратных действий объясняется тем, что вычитание можно производить во всех случаях, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого (больше или равно ему). Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, вычитание производить нельзя. Иначе говоря, выражение а - Ъ имеет смысл, если а не меньше Ъ (а > Ь); если же а меньше Ъ (а < Ь\ выражение а - Ъ не имеет смысла. Правда, вычитание из меньшего числа большего числа становится возможным, если к уже известному школьникам младших классов математическому знанию добавить знание отрицательных чисел. В таком случае выражение а - Ъ будет иметь смысл и при а меньше Ъ (а < Ь). В связи с этим целесообразно кое-что напомнить, а именно: отрицательное число, соответствующее некоему положительному числу, обозначенному буквой а, называется противоположным числу а и обозначается как -а. Например, число противоположное числу 10, обозначается как -10; число, противоположное числу 0,12, обозначается как - 0,12; число, противоположное числу 3/14, обозначается как -3/14; и т. д. Можно также говорить, что положительное число, соответствующее отрицательному числу, называется противоположным. Например, число, противоположное числу -13, есть 13. Из сказанного следует, что положительные и отрицательные числа взаимно противоположны. Что касается нуля, то за число, противоположное числу 0, принимается само число 0. Иногда бывает необходимым подчеркнуть противопоставление положительных чисел отрицательным. С этой целью перед положительным числом или его буквенным обозначением ставят знак +. Например, +17 обозначает просто число 17, а число +(-5) = -5. Но не так себе ведет операция вычитания. Например, число -(-9) противоположно числу 9, а потому -(-9) = 9. Таким образом, знакомясь с отрицательными числами, мы обнаруживаем, что введение в математику отрицательных чисел делает возможным действие, которое было невыполнимым в области положительных чисел и нуля. Например: что такое 11 - 16? Не зная отрицательных чисел, мы должны были бы рассуждать примерно так. Допустим, осуществляя операцию вычитания (11 - 16), мы каким-то невероятным образом получаем положительное число. Теперь надо проверить правильность вычитания. Для этого к полученному положительному числу следует прибавить 16 и в сумме получить 11. Всякому здравомыслящему школяру, даже не «отличнику» и не «хорошисту», ясно, что среди положительных чисел такого числа не существует, поскольку при прибавлении к числу 16 некоего положительного числа в сумме получится число большее, чем 11, в то время как 11 меньше 16. Однако, если мы знаем о существовании отрицательных чисел и о свойствах этих чисел, то можем спокойно осуществлять указанную операцию вычитания, в результате чего получим число -5. Если добавить это число к 16 (16 + (-5)), то получим 11. В результате мы приходим к важному выводу: если уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность есть отрицательное чи£ло, противоположное разности вычитаемого и уменьшаемого. Как видим, понятие выполнимости имеет вполне практическое значение, а не является какой-то особой выдумкой логиков. Аналогичное можно сказать и о понятии общезначимости.
Глава 2 129 Проблема разрешимости связана с логикой высказываний, которая будет рассмотрена в следующей главе. Стремительный рост популярности аксиоматического метода был вызван свободой в выборе способов определения математических объектов и отношений между ними. В этом случае ученый-теоретик не скован требованиями эмпирического изучения каких-либо физических объектов, но его теоретические изыскания могут иметь в конечном итоге вполне реальный физический или какой-либо иной практический смысл. Поэтому его теоретические утверждения хотя бы в идеале должны быть выполнимы для каких-то конкретных объектов. В основе подобных теоретических утверждений находятся первичные утверждения, которые тем или иным образом указывают на интересующие нас свойства объектов теоретического конструирования и тем самым выделяют их из бесконечного числа других возможных объектов. Эти базисные утверждения, выделяющие совокупность объектов, носят название аксиом. Если для какой-либо конкретной совокупности объектов некоторые введенные нами аксиомы оказываются истинными, то мы говорим, что данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих аксиом или является интерпретацией данной системы аксиом. Для практики научного познания особенно важно в использовании аксиоматического метода знать то, что, делая логические выводы из аксиом, мы можем получать утверждения, истинные для любой системы объектов, удовлетворяющей данным аксиомам. Совершенно ясно, что соответствие между аксиомами и предметами объективной реальности никогда не имеет прямого характера. Когда же ставится вопрос о подобном соответствий, отвечая на него, мы должны покинуть сферу чистого разума и выйти в сферу прикладных знаний, чтобы наполнить конкретным содержанием наши аксиоматические построения. Например, мы можем попытаться наполнить физическим содержанием аксиомы геометрии Евклида или Лобачевского. Но для этого необходимо указать на физические реалии, соответствующие, скажем, терминам «точка» или «прямая», которые содержатся в аксиомах. Только после этого аксиомы способны превратиться в физические утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке. При рассмотрении любой системы аксиом возникают специфические вопросы, которые решаются с помощью соответствующих процедур интерпретации. К числу этих вопросов относится вопрос о непротиворечивости системы аксиом. Появление несовместимых утверждений, выведенных нами из принятой системы аксиом, свидетельствует о том, что нашей системе аксиом не может удовлетворять никакая система объектов. Чтобы быть уверенными в надежности выбранной системы аксиом, в ее непротиворечивости, мы должны выработать методы точной интерпретации данной системы. Так же обстоит дело и с вопросом о независимости аксиом. Аксиома считается независимой в данной системе, если она невыводима из остальных аксиом этой системы, не дублирует их. Для доказательства независимости какой-либо аксиомы достаточно найти систему объектов, которая удовлетворяла бы всем аксиомам системы, кроме данной аксиомы. Следовательно, чтобы смело пользоваться системой аксиом, необходимо иметь такие объекты, которые могут служить точной интерпретации этой системы аксиом.. Откуда берутся методы интерпретации аксиом? Источником интерпретации на теоретическом уровне являются математические понятия, и в первую очередь понятия теории множеств, отражающие принципы построения множеств. К этим принципам относятся: 1. Если дано множество объектов, то посредством точно сформулированного признака можно выделить из него подмножество.
130 КК Жоль Логика 2. Если имеется совокупность множеств, то можно получить новое множество, объединив все элементы этих множеств. 3. Для каждого множества можно образовать множество всех его подмножеств. 4. Отношения между множествами могут иметь функциональный характер, то есть при наличии некоторого общего признака каждому элементу одного множества можно поставить в соответствие элемент другого множества. Это соответствие называется функцией. Интерпретация аксиоматических систем связана с очень важным для нас вопросом - с вопросом разрешимости абстрактно-теоретических построений. В логике принято считать, что разрешимая теория непременно является аксиоматизируемой. Так ли это? Зададим некоторое множество формул, называемых аксиомами, а также некоторое отношение между формулами, в силу которого формула считается следующей из некоторых других формул по определенным правилам вывода. Конечная последовательность формул называется доказательством, если каждая формула из этой последовательности либо является аксиомой, либо следует из предыдущих формул последовательности по правилам вывода. Формула, для которой существует доказательство, называется теоремой. Когда говорится о формуле некоторой теории, то имеется в виду не математическая формула, а некоторое выражение нашего теоретического языка, рассматриваемое как утверждение. Логический смысл этих утверждений станет понятен читателю из последующих глав, но уже сейчас можно отметить следующее. Если мы хотим эффективно систематизировать наши научные знания, нам необходимо научиться осуществлять процедуры вывода. Для этого нужно исходить из некоторой системы утверждений и выводить затем, прямо или косвенно, все остальные утверждения из этих исходных, то есть из аксиом. Аксиоматический метод состоит в такой организации научного знания, когда из всех истинных утверждений выбирается определенное подмножество, из которого можно вывести все остальные истинные утверждения данного раздела науки. Формулы-утверждения называются выполнимыми, если существует оценка, при которой данные формулы приобретают, например, значение «истина». Если же такой оценки не существует, то говорят, что указанные формулы невыполнимы, то есть их значение маркируется словом «ложь». Каждое выполнимое множество формул непротиворечиво. Верна и обратная теорема, а именно: каждое непротиворечивое множество формул выполнимо. Аксиоматизируемая теория разрешима тогда, когда имеется чисто механический способ проверки, приложимый к любой формуле. Пользуясь таким способом проверки, мы можем ответить на вопрос, принадлежит ли данная формула нашей теории. Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее: 1. Современная символическая логика является необходимым инструментом для решения ряда управленческих и технических задач, к числу которых относятся прежде всего те задачи, которые можно представить в формализованном логико-математическом виде, а полученные результаты использовать в автоматизации различных производственных процессов, включая управленческую деятельность (точнее говоря, некоторые ее аспекты) как одну из разновидностей этих процессов. 2. Алгеброй логики называется научная дисциплина, использующая правила обычной алгебры, арифметики и символической логики для теоретического моделирования состояний разнообразных теоретических устройств. При этом количественные характеристики имеют подчиненное значение.
Глава 2 131 3. Поскольку современные электронно-вычислительные машины - это сложные релейные устройства, представляющие систему переключателей, которые имеют два состояния (закрытое и открытое), постольку главным принципом их работы является функционирование по принципу бинарности, что отражается двоичной системой счисления (0 и 1). Для понимания теоретических и технических возможностей подобных систем требуются знания основных числовых систем, на базе которых сформировалась теория множеств, являющаяся фундаментом современной математики и логики. 4. В основе почти всех разделов математики лежит теория чисел. В качестве доказательной теории она строится по определенным логическим правилам, главным из которых является правило выводимости одних рассуждений из других в соответствии со строго определенными логическими законами. Благодаря этому различные системы чисел не только связываются в единую иерархическую структуру, но и в качестве своего фундамента опираются на математическую теорию множеств. 5. Математической теорией множеств называется раздел математики, сердцевиной которого является логико-математическая теория, абстрагирующаяся от конкретных числовых свойств, отношений и операций, чтобы получить предельно общие понятия, выявляющие наиболее устойчивые признаки подавляющего большинства математических объектов (прежде всего чисел), имеющих тенденцию устремляться в бесконечность (допустим, бесконечные множества). Иными словами, математическая теория множеств - это наука о множествах самой произвольной природы, в основе которой лежит аксиоматический метод теоретических построений. 6. Многие научно-теоретические понятия не являются непосредственно очевидными истинами, хотя в силу традиции и привычек могут казаться чем-то само собой разумеющимся. Их истинность обнаруживается в процессе формально-логических доказательств, зачастую имеющих аксиоматический характер. Поэтому в области абстрактно-теоретических построений ученые должны заботиться не о согласовании своих абстрактных конструкций с действительностью, а о том, чтобы их теории в формальном плане не противоречили своим основным постулатам и определениям. КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Какова одна из главных задач систем управления? 2. На какой теоретической базе сформировалась современная логика решений? 3. Что такое реле, для чего они создаются и где используются? 4. Какую роль играет современная логика в проектировании релейных устройств? 5. В чем заключается основная задача так называемой алгебры контактных цепей? 6. Какие числовые системы вы знаете? Перечислите и кратко охарактеризуйте их. 7. Что такое сумма и произведение двух или более релейных контактов? 8. Что понимается под логической эквивалентностью контактных схем? 9. Все ли законы обычной алгебры используются в математической теории множеств? 10. Какое отношение имеет теория множеств к арифметической теории чисел? 11. Приведите примеры таких множеств А и В, что х е А, но х ё В при условии, что А п В. 12. Приведите примеры таких множеств А, В и С, что у е А, у е В и у е С при условии, что А п В п С.
132 КК Жолъ Логика 13. Приведите примеры таких множеств А, В и С, что А с Д В с С, но не А с С. 14. Чем занимается топология и какое место в ней занимает теория графов? 15. Как теория множеств представлена в топологии и теории графов? 16. Является ли современная теория множеств аксиоматической теорией? 17. Должны ли быть логико-математические постулаты и определения самоочевидными? 18. Каким основным требованиям должна отвечать система аксиом? 19. Что такое метаматематика? Кто является ее создателем? 20. Как понятие множества входит в логику? РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, 1977. - 368 с. Берне К. Теория графов и ее применение: Пер. с фр. - М.: Изд-во Иностранная литература, 1962. - 320 с. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1982. - 160 с. Виноградов И. М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981. - 168 с. Гжегорчик А. Популярная логика: Пер. с польск. - М.: Наука, 1979. - 112 с. Зегет В. Элементарная логика: Пер. с нем. - М.: Высшая школа, 1985. - 256 с. Зыков А. А. Основы теории графов. - М.: Наука, 1987. - 380 с. Иваницкий И. П. Изобразительная статистика и венский метод. - Москва - Ленинград: ОГИЗ - ИЗОГИЗ, 1932. - 44 с. Калужнин Л. А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. - М.: Просвещение, 1978. - 87 с. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: Пер. с нем. - Т. 1. - М.: Наука, 1987. - 432 с. Клини С. К. Математическая логика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 480 с. Комаров В. Н. По следам бесконечности. - М.: Изд-во «Знание», 1974. - 192 с. Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применение. - М.: Наука, 1968. - 252 с. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - Т. 1: Числа. - М.: Просвещение, 1974. - 384 с. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. - М.: Наука, 1976. - 320 с. Налимов В. В. Логические основания прикладной математики. - М.: Изд-во МГУ, 1971. - 57 с. Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973. - 400 с. Ope О. Теория графов: Пер. с англ. - М.: Наука, 1968. - 352 с. Ope О. Приглашение в теорию чисел: Пер. с англ. - М.: Наука, 1980. - 128 с. Ope О. Графы и их применение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1980. - 336 с. Петер Р. Игра с бесконечностью: Пер. с нем. - М.: Молодая гвардия, 1967. - 368 с. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории: Пер. с англ. - М.: Просвещение, 1968 - 232 с. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук: Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранная литература, 1948. - 278 с. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - 136 с.
Глава 2 133 Френкель А. А., Бар-Хиллел Й. Основания теории множеств: Пер. с англ. - М.: Мир, 1966. - 556 с. Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 304 с. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. - 324 с. Шенфилд Дж. Р. Математическая логика: Пер. с англ. - М.: Наука, 1975. - 527 с. Штейнгауз Г. Задачи и размышления: Пер. с польск. - М.: Мир, 1974. - 400 с. Эдельман С. Л. Математическая логика. - М.: Высшая школа, 1975. - 176 с. * * * Александрова IL В, Математические термины: Справочник. - М.: Высшая школа, 1978. - 190 с. Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции: Пер. с англ. - В 2 т. - Т. 1: Синтаксический анализ. - М.: Мир, 1978. - 612 с; Т. 2: Компиляция. - М.: Мир, 1978. - 488 с. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 486 с. Горский Д. П., Ивин А. А,, Никифоров А. Л. Краткий словарь по логике. - М.: Просвещение, 1991. - 208 с. Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств: Пер. с англ. - М.: Просвещение, 1965. - 268 с. Колдуэлл С. Логический синтез релейных устройств: Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранная литература, 1962. - 737 с. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополнительные главы. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 120 с. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. - М.: Наука, 1975. - 720 с. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. - М.: Наука, 1978. - 831 с. Логический словарь ДЕФОРТ (дедуктивная формализация теорий) / Ред. А. А. Ивин, В. Н. Переверзев, В. В. Петров. - М.: Мысль, 1994. - 269 с. Никитин В. В. Сборник логических упражнений. Пособие для учителей математики. - М.: Просвещение, 1970. - 96 с. Нильсон Н. Искусственный интеллект. Методы поиска решений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 270 с. Переверзев В. Н. Логистика. Справочная книга по логике. - М.: Мысль, 1995. - 220 с. Рузавин Г. И. О природе математического знания. (Очерки по методологии математики). - М.: Мысль, 1968. - 302 с. Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. - М.: Наука, 1983. - 302 с. Серпинский В. О теории множеств: Пер. с польск. - М.: Просвещение, 1966. - 62 с. Слупецкой Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств: Пер. с польск. - М.: Прогресс, 1965. - 368 с. Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. - Ч. 2: Теория множеств. - М.: Наука, 1982. - С. 9-34. Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. - Ч. 4: Теория доказательств и конструктивная математика. - М.: Наука, 1983. - 392 с.
134 К. К. Жоль Логика Хейс Д. Причинный анализ в статистических исследованиях: Пер. с англ. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 256 с. Штегмюллер В. Рациональная теория решений (логика решений) // В кн.: Философия, логика, язык: Пер. с англ. и нем. - М.: Прогресс, 1987. - С. 318-329. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА
ГЛАВА ТРЕТЬЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА Вводные замечания. - Из истории философского термина «представление». - Современная переоценка традиционной логической трактовки структуры суждения. - Основные понятия логики высказываний. - Логические законы: таблицы истинности и логические союзы. - Описание релейно-контактных схем в терминах логики высказываний. - Индуктивные и дедуктивные выводы. - Дедуктивные выводы в логике высказываний. - Понятие умозаключения в «школьной логике». - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература. Вводные замечания. Исследование любой языковой системы, включая язык науки, обычно начинается с вопроса о том, как и для чего эта система используется. Кое-кому может показаться, что нет ничего проще ответа на поставленный вопрос. Однако история человечества свидетельствует, что кажущаяся современному человеку простота этого вопроса не была таковой еще относительно недавно и до сих пор не является чем-то пустяковым для специалистов, которые не торопятся делать скоропалительные выводы. В XIX в. многие филологи объявляли основной функцией языка его экспрессивную 1 функцию и тем самым язык автоматически превращался в «платье» мысли. Их оппоненты отстаивали совершенно противоположную точку зрения, выдвигая на первый план коммуникативную 2 функцию языка, подчиняющую себе экспрессивную. При этом доказывалось, что речетворчество - это вид практической (инструментальной) деятельности, превращающей сознание из потенциального в актуальное, активно-действительное сознание, из чего следовало, что основной и первичной социальной функцией языка является именно коммуникативная функция. Обеспечение общения составляет одну из основных функций так называемого языкового сознания, которое не могло бы осуществлять эту функцию, если бы в его основе не лежал общий способ осознания людьми социально значимых объектов. Язык способствует интенсивной социализации человека, выработке активно- практического и осмысленного отношения к окружающей действительности, ибо не только упорядочивает пространство восприятия, но и организует процессы, протекающие во времени, то есть делает обозримым как пространство, так и время. Дифференциация пространственных и временных параметров человеческой деятельности с помощью языка сопровождается в психологическом плане дифференциацией восприятия и внимания, ранее слитых в аморфное целое. В результате оказывается возможным строить в поле внимания конфигурации будущих ситуаций. Внимание указывает на цель возможных практических действий. Чтобы из возможных они стали действительными, цель должна быть представлена как задача-задание, то есть должна быть осознана, оценена, соответствующим образом Фр. expressif от лат. expressio - выразительность', выразительный. От лат. communicatio - сообщение, связь.
Глава 3 137 выражена (сформулирована) и принята в качестве руководства действия. Формулировку этой задачи и ее поэтапное решение берет на себя познавательная функция языкового сознания. Особенно явственно роль языка как практического сознания прослеживается в онтогенезе 3, когда буквально на глазах исследователя происходит постепенная интериоризация 4 речи как исходного средства связи между ребенком и взрослым. В этом процессе «сознание-для-других» становится «сознанием-для- себя». Внешнее коллективное сотрудничество многих субъектов социально-практической жизнедеятельности вследствие интериоризации приобретает вид внутреннего сотрудничества многих психических функций в лице отдельного человека. Иначе говоря, в процессе индивидуального психического развития происходит объединение таких функций, которые ранее были закреплены вовне за разными людьми. Вначале язык является средством связующего воздействия друг на друга разных лиц (допустим, родителей на ребенка). Интериоризуясь, он становится средством воздействия одной психической функции на другую. Какую ценность для логики представляют эти философские и психологические сведения? Ценность их весьма важна для методологического осмысления общих проблем логики, которая не может не учитывать современных достижений психологии и лингвистики. Ведь логика в своих построениях так или иначе отталкивается от существующих научно-теоретических трактовок естественного языка и его функций. Если это не учитывать, логическая наука рискует оказаться в плену у отживших идей спекулятивной философии языка. Чтобы не быть голословным, приведу пример из истории термина «представление», долгое время считавшегося полноправным элементом традиционного гносеологического и логического языка. Из истории философского термина «представление». Понятие «представление» служит своего рода камнем преткновения для логики, гносеологии и психологии Нового времени. С осмыслением этого коварного понятия связана ожесточенная дискуссия между представителями различных философских школ и направлений. Свою остроту эта дискуссия сохраняет и по сей день. Рассматриваемое нами понятие «представление» (нем. Vorstellung) впервые было введено в немецкий философский язык Христианом Вольфом (1679-1754), позаимствовавшим выражение «Vorstellung» из обыденной речи. Эта вольфов- ская традиция проходит красной нитью через всю классическую немецкую философию, через психологию XIX в. и завязывается узелком в философско-линг- вистических сочинениях ряда современных авторов, пытающихся построить формальные модели естественного языка. В русле немецкой философской культуры Вольф является родоначальником так называемой теории душевных способностей, под влиянием которой психология, логика и философия в Германии находилась вплоть до начала XX в., а ныне ее отзвуки слышны в реанимируемым некоторыми лингвистами учении о «врожденных идеях». Сущность этой теории заключалась в поверхностной классификации душевных процессов. Память, фантазия, чувственность, рассудок принимались за основные способности души. К числу этих способностей Вольф относил и представление, наполняющее наглядным содержанием так называемые априорные5 формы мышления. Один из основоположников физиологической психологии известный немецкий ученый В. Вундт трактовал представления как психические образы внешних 3 Гр. on (ontos) - сущее + genesis - происхождение, возникновение', индивидуальное развитие растения или живого существа от момента зарождения до окончания жизни. 4 От лат. interior - внутренний', переход извне внутрь. 5 От лат. a priori - из предшествующего', независимо от опыта, до опыта.
138 К.К. Жоль Логика Шйф ЗДрся* вшМЕЩ^ предметов. По его словам, представлением мы называем всякое состояние или процесс в душе, который относится нами к чему-либо реальному, лежащему вне нас в объективном мире. Представление как образ внешнего предмета можно разложить на составные элементы, не подлежащие дальнейшему разложению. Эти элементы представлений Вундт называл ощущениями. Вплоть до начала XX в. в философии отношения между субъектом и объектом познания, между ощущениями и представлениями рассматривались преимущественно как специфические отношения репрезентации 6, то есть как отношения замещения. Эти же взгляды распространялись и на различные знаковые системы, включая естественный язык. Субъект-объектные познавательные отношения при таком подходе приобретали искаженный вид: познающий субъект превращался в пассивного регистратора, который совершенно непонятным образом преобразует поступающую извне информацию в представления и понятия, замещающие то, что было вначале зафиксировано органами чувств, а затем облачающиеся в слова, чья форма безразлична мыслительному содержанию. Прототипом эмпиристско-психологического понятия «представление» служит идея рефлекторной (нервной) дуги как совокупности нервных образований, участвующих в передаче сообщений от органов чувств к мозгу. Эта идея была сформулирована в XVII столетии Рене Декартом. И в XX в. последователи Декарта продолжают понимать ощущение как нечто пассивное, являющееся аппаратом для регистрации внешних воздействий на организм. Рефлекс по схеме дуги импонировал многим ученым тем, что легко увязывался с механистической интерпретацией причинности. Наиболее уязвимым пунктом в учениях рефлексологов-механицистов, а также философов и психологов, ратующих за эмпирическую модель функционирования представляющего (репрезентативного) мышления, является вопрос о природе Фр. representation - представительство.
Глава 3 139 ощущений. В их интерпретации ощущение превращается в «черный ящик», внутри которого осуществляется какая-то работа, но какая и как - неизвестно. Деятельность же всех последующих узлов рефлекторной дуги чем-то напоминает сказочных демонов, которые при соответствующей активизации дуги начинают манипулировать с «клапанами», открывая их с тем, чтобы пропустить «сообщение», идущее со стороны «черного ящика» (ощущения). Обычно предполагается наличие нескольких «демонов» (уровней психики) с однотипными функциями (функциями представления, замещения, репрезентации). Определенный свет на рассматриваемый нами вопрос проливает ироничная критика традиционной теории замещения, осуществленная известным австрийским логиком и философом Л. Витгенштейном (1889-1951), с 1929 г. жившем в Великобритании. Как отмечал Витгенштейн, с давних пор считается чем-то само собой разумеющимся, что слово имеет значение только в том случае, если оно является именем чего-то внелингвистического. Предполагается, что слово - это своего рода указательный знак, изобретенный первобытным «мыслителем» для более эффективной обработки накопленной им информации. Следовательно, спрашивать о значении слова - значит спрашивать, что данное слово замещает. Если характеризовать усвоение языка с точки зрения, основывающейся на так называемых остенсивных1 определениях, характеризующихся молчаливым указующим жестом на предметы, с которыми кто-то хочет ознакомиться, то прежде всего можно указать на существительные типа «стол», «стул», а также на имена людей. На втором месте стоят имена чувственно наблюдаемых действий и свойств. Оставшиеся виды «абстрактных» слов как бы предоставляются самим себе. Полагаясь на здравый смысл и житейский опыт, мы относительно легко определяем значение таких слов, как «яблоко», «красный», но уже гораздо труднее Англ. ostensive - явный, наглядный, прямой.
140 К. К. Жоль Логика это сделать применительно к словам более абстрактного содержания (например: «пять», «функция», «красочность», «бесконечность» и т. д.). Мы в состоянии указать на яблоки, на красный цвет, хотя это тоже требует определенных оговорок, но не в силах аналогичным образом указать пальцем на бесконечность или на число пять (не путайте с математическим символом) как на нечто рядоположенное пяти красным яблокам. Согласно Витгенштейну, некоторые философы ошибались, полагая, что значение каждого слова зависит от замещаемой им чувственной или образной предметности. В ряде случаев мы вполне можем представить себе такую языковую ситуацию, где имеются все основания для утверждения, что значением слова является вещь, на которую данное слово указывает. Но как быть в тех случаях, когда требуется отдать приказ, выразить сочувствие, гнев, задать вопрос и т. д.? Здесь подобные наивные концепции из области спекулятивной философии языка демонстрируют полную беспомощность. Вот почему Витгенштейн не без оснований настаивает на том, что язык можно считать более или менее усвоенным, когда некто в состоянии использовать слово согласно определенным целям (например: задавать вопросы, отдавать приказы, клясться и т. п.), а не как вербальную 8 этикетку. В связи с этим Витгенштейн приводит остроумный пример следующего содержания. Когда умирает мистер X, говорят, что умирает носитель имени, а не значение имени. Будет верхом бессмысленности сказать, что если имя по каким-то причинам перестает иметь значение, это должно означать, что мистер X умер. Вот почему мы обычно не спрашиваем: «Что означает имя Джон?», а говорим: «Кто является Джоном?» Витгенштейновская критика теории замещения направлена не только против «картинной» теории языка, но и против широко бытовавших в филологии, философии и психологии представлений, относящихся к первым десятилетиям XX в. (например: образная теория значения). Традиционные филология и философия языка, не будучи обеспеченными научными концепциями генезиса языка и его структуры, заполняли теоретические пробелы информацией экстралингвистического характера. Чаще всего эта информация заимствовалась из сферы психологии, к тому же, психологии фило- софско-спекулятивной ориентации. Поэтому закономерно, что решая вопросы лингвистики и логики, филологи и философы обращались за помощью к таким понятиям, которые уже получили апробацию в философии, эстетике, психологии в качестве понятий, выражающих особенности чувственного познания. К их числу относились «образ», «воображение», «продуктивное воображение», «представление» и т. п. Наиболее привлекательными для построения филологических и логико-философских теорий казались понятия «образ» и «представление». Интуитивный смысл понятий «образ» и «представление» основывался на противопоставлении выражений, обладающих конкретно-чувственными значениями, выражениям абстрактным, не пробуждающим в нашем сознании чувственно-наглядных представлений. Однако дальше «гениальной» интуиции и декларативных сентенций дело не шло. Основная неразрешимая трудность образной теории значения состоит в отсутствии какого-либо инструмента, позволяющего нам фиксировать наличие идей, их сходство и различие, ибо они должны быть внутренне различимыми единицами сознания. Отсутствие подобного средства отождествления идей в головах различных людей приводит к ситуациям, когда слова совершенно различного содержания сопровождаются неотличимыми умственными представлениями, Лат. verbalis - устный, словесный.
Глава 3 141 и наоборот: когда употребление слова с одним и тем же значением сопровождается различными умственными образами. Наличие такого рода ситуаций достаточно ясно свидетельствует о том, что слова связаны с идеями отнюдь не тем способом, на котором настаивали филологи и философы недалекого прошлого. Анализ понятия «представление» и связанных с ним теоретико-познавательных и логических учений показывает, что мы имеем поучительный пример попыток упростить сложные вопросы науки о языке, гносеологии и логики, заменив их квазипсихологическими «хитростями разума». Это важно учитывать, поскольку мы переходим к рассмотрению основных понятий современной логики. Например, аналогичная картина наблюдается и с таким фундаментальным для традиционной формальной логики понятием, как «суждение», укоренившемся в логике со времен античности. Современная переоценка традиционной логической трактовки структуры суждения. Суждение определялось древнегреческими философами как словесно оформленная мысль, утверждающая или отрицающая что-либо о чем-либо. Суждение состоит из субъекта, предиката и глагола-связки. Так, в суждении «Хома Брут есть киевский философ» имя «Хома Брут» является субъектом (5), выражение «киевский философ» - предикатом (Р\ а глагол «есть» - связкой. В грамматике этому делению (S - Р) соответствует подлежащее и сказуемое в предложении. В конце XIX в. немецкий математик и логик Г.Фреге подверг резкой критике традиционную трактовку структуры суждения. Свое критическое отношение к этой отжившей традиции он демонстрирует на примере двух предложений: (1) Греки нанесли поражение персам при Платеях. (2) Персы были разбиты греками при Платеях. Грамматическое различие между этими предложениями состоит в изменении активной формы [(1) «греки нанесли»] на пассивную форму [(2) «разбиты греками»], то есть в предложении (1) субъектом являются греки, а в предложении (2) - персы. Но в таком случае различие имеет лингвистический характер,
142 К. К. Жоль Логика а не строго логический. Тем не менее данные предложения имеют одно и то же значение истинности. В связи с этим Фреге подчеркивает, что словесный порядок, опирающийся на грамматическое разграничение субъекта и предиката, не представляет интереса для логики. Немецкий ученый совершенно прав, настаивая на том, чтобы субъект-предикатное разграничение рассматривалось не как логический, а как лингвистический феномен. Логика может спокойно игнорировать это разграничение, которое плохо отражает потребности не только логической науки, но и теоретической грамматики. В живой речи часто бывает так: в реальном процессе языкового общения то, что ранее выступало в роли субъекта (подлежащего), относительно легко может стать предикатом (сказуемым), и наоборот. Стремление избавиться от подобных неопределенностей вынуждает Фреге переосмыслить сущность именования в логике, введя математические понятия «функция» и «аргумент». По его мнению, некоторое номинативное выражение (имя в широком смысле слова) можно разделить не только на субъект и предикат, но также на функцию и аргумент, что более соответствует символической логике, ориентированной на математику. При этом Фреге неоднократно подчеркивал, что функция и аргумент лишь маркируют структурные особенности некоторого выражения, не затрагивая его смыслового содержания. Предлагаемый взгляд на процесс номинации был полезен для логики тем, что открывал реальную возможность пользоваться при логическом анализе теоретико-множественными представлениями (например: функция как отображение одного множества в другом множестве), следствием чего явилось рассмотрение предиката в качестве так называемой пропозициональной функции вида F(x). По мнению известного английского лингвиста Дж. Лайонза, термин «пропозиция» 9 используется в английском языке в смысле предложения или утверждения. В результате некоторые авторы отождествляют пропозицию с повествовательным видом предложения, а другие - с различного рода утверждениями. Что понимает сам Лайонз под пропозицией? По его мнению, пропозиция - это то, что выражается с помощью повествовательного предложения для утверждения чего-либо о чем-либо. Различные предложения данного языка могут выражать одну и ту же пропозицию. Бывает и наоборот, когда одно предложение выражает несколько пропозиций (например: писатель выражает одно, а читатели понимают другое). В более широком контексте пропозицию можно рассматривать как некоторую теоретическую конструкцию, как некоторую инвариантную 10 сущность, которая не меняется при изменении языковых систем. Такая же характеристика может быть дана логическому понятию «высказывание». В известном смысле «высказывание» и «пропозиция» - синонимы. Поэтому понятие «пропозициональная функция» соответствует понятиям «функция- высказывание», «высказывательная функция». Пропозициональная функция - это выражение, содержащее переменный символ х. Чтобы такое выражение обрело смысл, вместо х следует подставить что- то более определенное, а именно: Иван Грозный, Сивка-Бурка, корова, 13, зеленое и т. д. Например, пропозициональной функцией является выражение «jc умеет играть в покер». Если вместо х подставить имя «Буратино», получится вполне осмысленное высказывание (истинное или ложное). Еще раз замечу, что благодаря понятию пропозициональной функции в сферу логики проникает математическое понятие множества. Для нас, устанавливающих связь логики с математикой, это важно хорошенько запомнить. } Лат. propositio - предложение. 0 Фр. invariant - неизменяющийся.
Глава 3 143 Итак, пропозициональная функция определяется как языковая конструкция, содержащая переменную. Эта конструкция при подстановке какого-либо значения для данной переменной превращается в высказывание. Иначе говоря, пропозициональная функция - это функция, соотносящая представителей некоторой предметной области с областью значений истинности (например: «истина» или «ложь»). Не помешает еще раз рассмотреть выражение типа «х есть существо без перьев». Данное выражение является именно выражением, а не логическим высказыванием, которое, по определению, претендует на истинностное значение. Следовательно, это выражение с переменной я: представляет собой пропозициональную функцию, которая получает значение «истина», скажем, при аргументе «человек» и «ложь» при аргументе, например, «глупая курица». Говоря более строго, выражение вида F(x) (где F обозначает свойство некоторого индивида) представляет собой элементарную пропозициональную функцию, из которой получается элементарное (простое) высказывание посредством замены переменной х обозначениями конкретных индивидов (например: F(x) может быть представлено как выражение «х обладает скверным нравом», которое, в свою очередь, может быть представлено как высказывание «Соловей-разбойник обладает скверным нравом»). Из сказанного следует, что пропозициональная функция может стать высказыванием тогда и только тогда, когда аргумент (переменная) приобретает конкретное предметное значение. Таким образом, введение понятия «пропозициональная функция» позволяет привнести математическую строгость в логический анализ высказываний, а через логику - и в математическую лингвистику. Это лишний раз подтверждает уже высказанную мысль о содружестве логики с лингвистикой, их обоюдном влиянии друг на друга и на кибернетику. Основные понятия логики высказываний. Вооружившись этими знаниями исключительной методологической значимости, мы можем перейти к тому, что считается наиболее развитой частью современной логики. Таковой считается логика высказываний {пропозициональная логика), являющаяся основой всего здания символической логики. Главным предметом изучения логики высказываний являются простые высказывания типа: «Мистер Твистер был не хилым министром»', «Число три больше числа два»', «На Луне живут лунатики»', «Крокодилы летают очень низко». Эти высказывания показывают, что они не обязательно должны быть истинными с точки зрения здравого смысла, то есть логики обычно не обращают внимания на смысловое содержание высказываний, имеющее внелогический характер. Глубоко теоретический вопрос о сущности летающих крокодилов должен волновать зоологов, но никак не логиков. Логическая наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний. Она абстрагируется от конкретных обстоятельств, от содержания высказываний, предпочитая с олимпийским спокойствием иметь дело с идеализированной картиной реальной или вымышленной действительности. Ее ученые мужи, конечно, удивятся, узнав, что на какой-то далекой планете крокодилы действительно могут летать, но... очень низко. Однако, как логикам, им этот потрясающий факт безразличен. В данном случае следует хорошенько себе уяснить и запомнить, что логики, как правило, занимаются анализом высказываний безотносительно к их связям с выражениями естественного языка, то есть занимаются тем, что принято называть исчислением высказываний. Высказывания для них выступают в роли своеобразных
144 К.К. Жоль Логика языковых (знаковых, символических) объектов, наподобие объектов алгебры, с которыми работают по определенным правилам построения и преобразования этих объектов в другие объекты. Слово «исчисление» здесь используется не в собственном смысле, так как логики - не бухгалтеры и не занимаются калькуляцией «истин», а в указательном смысле, отмечающем связь логики с математикой. Для логических формул, как и для формул алгебры, важно уметь обнаруживать сходство и различие представляемых объектов, чтобы правильно осуществлять доказательства, доводя их до заключительной стадии, позволяющей сделать вывод о решаемости (разрешимости) или нерешаемости (неразрешимости) определенной задачи. Методы, используемые для этих целей, подразумевают прежде всего изучение различных способов представления в нашем поле сознания абстрактно-теоретических объектов. Помимо всего прочего в логике высказываний абстрагируются от составных частей и структуры простых высказываний, но это не означает, что в других разделах логики наблюдается аналогичное. Для высказываний вводятся соответствующие переменные, называемые пропозициональными (высказывательными) переменными. Они обычно обозначаются строчными буквами латинского алфавита {а, Ъ, с и т. д.). Надо заметить, что среди терминов и символов, встречающихся в математике и логике, мы различаем переменные и постоянные. Например, в математике мы встречаем такие постоянные термины, как: «три» (3), «сумма» (+) и т. д. Каждый из этих терминов имеет точно определенное значение, считающееся неизменным в ходе математических рассуждений. Переменные, в противоположность постоянным, не обладают константным значением сами по себе. Согласитесь, нелепо звучит вопрос: является ли х столицей шахматного мира? Но зато вполне уместен вопрос: являются ли Васюки столицей шахматного мира? Ввиду того что сами по себе переменные не имеют значения, выражение вида «х есть столица шахматного мира» не может являться высказыванием в логическом смысле, хотя в грамматическом плане оно имеет форму высказывания. Что из этого следует? Из этого следует, что под логическим высказыванием понимается вполне определенное утверждение, которое может быть доказано или опровергнуто. Например, если мы заменим в выражении «jc есть выдающийся ученый» х словом «баран» или «осел», получим ложное высказывание {«Баран есть выдающийся ученый», «Осел есть выдающийся ученый»), но в результате замены х именем «Ньютон» получим истинное высказывание {«Ньютон есть выдающийся ученый»). Как уже отмечалось, выражения, содержащие переменные и превращающиеся в высказывания при замене этих переменных постоянными, называются по- разному: пропозициональными функциями, высказывательными функциями, функциями-высказываниями и т. д. Помимо замены переменных постоянными есть еще и другой способ, посредством которого из пропозициональных функций могут быть получены высказывания. Рассмотрим следующую алгебраическую формулу: {х + у)2 = х2 + 2ху + у1. Говоря языком логики, мы имеем дело с пропозициональной функцией, содержащей переменные х и у, которым удовлетворяют произвольные пары чисел, то есть какими бы численными постоянными мы ни заменяли х и у, полученная формула всегда будет истинной. Таким образом, для всех чисел, символически обозначаемых х и у, истинно будет, что {х + у)2 = х2 + 2ху + у2. Рассмотрим теперь пропозициональную функцию вида х > у. Если вместо х подставить 10, вместо у - 9, получится истинное высказывание. Но если вместо х подставить 12, а вместо у - 13, получится ложное высказывание. Следовательно,
Глава 3 145 этой формуле не может удовлетворять любая пара чисел. Поэтому применительно к нашей формуле точнее будет говорить так: для некоторых чисел х и у справедливо, что х > у. Или в ином выражении: существуют числа х и у такие, что х > у. Выражения вида «для всех х, у, ...» или «существуют х, у, ... такие, что ...» называются кванторами. Quantum, quantity - количество. Quantify - определять количество. Quantifier (квантор) - отглагольное существительное. Кванторы (логические операторы) указывают на количественную характеристику значений той или иной переменной, для которой соответствующее высказывание истинно. В данном случае мы имеем дело с двумя кванторами - универсальным, или квантором всеобщности («для всех х, у, ...»), и экзистенциальным, или квантором существования («существуют х9 у, ... такие, что ...»). Высказывания, содержащие переменные, - это общая форма многих логических высказываний, которую называют логической формулой. Если подстановка какого-либо значения переменной в логическую формулу превращает ее в истинное высказывание, то говорят, что данное высказывание истинно для всех значений х. Выражение «истинно для всех значений х» обозначается так: ух. Символ V называется квантором всеобщности. Этот символ, служащий аналогом слова «все», представляет собой перевернутое латинское А, напоминающее о немецком слове «alle» (все) или об английском слове «all» (все). Если только некоторые значения переменной превращают логическую формулу в истинное высказывание, то говорят, что высказывание истинно для некоторых значений х, то есть существуют некоторые значения х, при которых высказывание истинно. Символически это записывается с помощью квантора существования 3 в виде Зх. Этот символ, служащий аналогом слова «существовать», представляет собой повернутую в противоположном направлении латинскую букву Е. Данная буква напоминает о немецком слове «existieren» (существовать) или об английском слове, «to exist» (существовать). Хотя в повседневной речи мы не пользуемся переменными и кванторами, но тем не менее в естественных языках постоянно встречаются их эквиваленты. Например, в русском языке имеются слова, близкие по своим функциям кванторам: все, всякий, любой, никакой, некоторый и т. д. Так, выражение «Некоторые люди хитры» имеет примерно такой же смысл, что и высказывание «Существует х такой, что х является человеком и хитрым». Благодаря кванторам пропозициональные функции автоматически превращаются в высказывания, а переменные лишаются своей свободы, то есть становятся связанными переменными (кажущимися переменными). Там, где кванторы отсутствуют и мы имеем дело только с пропозициональной функцией, переменные называются свободными или несвязанными переменными. Переменные и кванторы играют исключительно важную роль в формулировке математических теорем. Что же касается переменных, то смело можно сказать: их изобретение составляет поворотный пункт в истории математики, а в дальнейшем и логики. Поясню сказанное на следующим примере из курса школьной алгебры. Допустим, в одном кармане пирата Джона Сильвера, персонажа знаменитой книги Р. Л. Стивенсона «Остров сокровищ», находится m полновесных золотых дублонов, в другом - п дублонов, а в обоих карманах в сумме находится р дублонов. Джентльменов удачи, особенно из числа несостоявшихся научных работников, страшно интересует: чему равно р, если m = 10, а п = 15? Для удовлетворения их флибустьерской любознательности Джон Сильвер порекомендовал заполнить специальную таблицу (табл. 1).
146 К.К. Жоль Логика Таблица 1. m 10 п 15 Р 25 А как быть в том случае, если известна общая сумма прикарманенных Джоном Сильвером дублонов и количество золотых монет в одном из карманов? - Ха! - вырывается из луженой глотки морского волка. - Составляйте, каторжники и висельники, новую таблицу. И вот таблица составлена (табл. 2). Таблица 2. m 10 п 15 Р 25 25 В полном соответствии с таблицей ответ будет таков: 1. Если п = 15, р = 25, то в первый столбец первой строки таблицы нужно вписать 10 (m = 10). 2. Если m = 10, р = 25, то во второй столбец второй строки таблицы нужно вписать 15 (п = 15). Войдя в азарт, пираты потребовали от Джона Сильвера под угрозой «черной метки», то есть под угрозой отлучения от власти, сформулировать еще одну задачу. - Пусть будет по вашему, - обреченно махнул рукой главарь пиратской шайки. - Допустим, у меня имеется в сундуке m дублонов, а площадь пещеры, в которой мы находимся, составляет Q м2. Спрашивается: чему равно Q, если m равно 10? От такого подлого вопроса пиратам стало дурно. Только Томас Морган - сто чертей ему в печенку! - злобно оскалился и прохрипел: - Клянусь сокровищами Флинта! Эту задачу решить нельзя. - Молодец, приятель! - криво усмехнулся Джон Сильвер. - Действительно, эту задачу решить нельзя, поскольку величины m и Q не связаны между собой, то есть являются независимыми. Величины же m, п и р в первой задаче связаны самим условием задачи так, что, зная любые две из них, можно определить третью. Иными словами, между величинами /я, п и р в первой задаче существует зависимость, что можно выразить с помощью квантора существования (3). В чем же, джентльмены вы мои удачливые, заключается зависимость между /я, п и р в первой задаче? Пираты угрюмо промолчали. - А я вам скажу, - самодовольно произнес Джон Сильвер. - Зависимость между т, п и р заключается в том, что р равно сумме m и я, то есть р = m + п. К этому следует добавить: если джентльмены хотят высказать утверждение, что два алгебраических выражения равны, то данные выражения соединяются знаком равенства (=). Любознательных пиратов охватил полнейший умственный паралич от явного математического превосходства их главаря над простым флибустьерским интеллектом.
Глава 3 147 Тайно подслушивающий пиратский диспут доктор Ливси сделал следующую запись в своих мозговых извилинах: существуют т, п и р такие, что m + п = р, или 3 m, п, р (F(m) + F(ri) = F(p)), где большая латинская буква F указывает на свойство «быть золотым дублоном», а не чем-либо другим (скажем, квадратными метрами или фальшивыми пиастрами). Примем это к сведению и двинемся дальше. Внутри логики высказываний различают двузначную и многозначную логику. Двузначная логика оперирует только двумя значениями, которые условно именуют истина и ложь, но могут именовать и по-другому (например: белое I черное, красивое I уродливое, кружка пива I кружка кваса, 1 / 0, 0 / 1 и т. д.). Следует постоянно помнить, что в логике священное для философов слово «истина» часто употребляется отнюдь не в священном смысле, а лишь для совершенно условного обозначения логического свойства: либо истинно, либо ложно {либо включено, либо выключено; либо любит, либо не любит; и т. д.). Если же высказывание логически ложно, оно, как говорят логики, имеет значение истинности ложъ. Хотя последнее звучит непривычно, но тут уж ничего не поделаешь, приходится привыкать к своеобразию логической терминологии. Конечно, кого-то может очень смутить выражение «значение истинности» применительно к слову «ложь». Люди обычно различают истину и ложь, а здесь мы имеем дело с каким-то странным словосочетанием. Эта странность кажущаяся. Вспомним великого Гильберта, который, полушутя-полусерьезно говорил о возможности замены в математике слов «точка», «прямая», «плоскость» словами «стол», «стул», «пивная кружка». В его шутке есть доля правды. Дело в том, что математические символы и термины зависят не от ассоциаций обычного человека, а от выбора аксиом и определений. Так, если мы определим математическое поведение пивной кружки как поведение геометрической точки, то математики вскоре перестанут обращать внимание на несколько неудачный выбор выражения и непривычное станет привычным. В свое время немецкий математик и логик Эрнст Шредер (1841-1902), стремясь избежать побочных психологических или философских ассоциаций, связанных с употреблением слов «истина», «ложь», предложил ноль в качестве знака для значения ложного высказывания в логике. С точки зрения математической логики каждое ложное высказывание отождествляется не с ошибочным отражением действительности, а, например, с пустым множеством. Соответственно, каждое истинное высказывание отождествляется с некоторым непустым множеством элементов. Представителю математической логики в большинстве случаев незачем знать о содержании высказываний. Ему вполне достаточно тех знаний, границы и смысл которых определяется понятийным аппаратом теории множеств. Поэтому он вполне довольствуется знаниями об условиях истинности (непустом множестве) или ложности (пустом множестве) этих высказываний (высказываний, выражающих наши знания о множествах). Большинство истинных утверждений, относящихся к повседневной жизни, являются относительно истинными. В логике такая относительность чаще всего неприемлема. Логики предпочитают иметь дело с «абсолютными» истинами. Истинное и ложное употребляется ими в смысле возможной логической оценки суждений, которые представляются нам как носители некоторого смыслового содержания, облаченного в форму высказывания. В логике высказываний смысловое содержание высказываний жестко ограничивается тем, что логики называют истинностным значением, не вкладывая в это понятие философский смысл. Если высказывание логически истинно, оно имеет значение истинности истина. Это положение не вызывает сомнения у неспециалистов, хотя на самом деле оно далеко не бесспорно, что быстро обнаруживается, когда логики начинают «издеваться» над здравым смыслом.
148 К К. Жоль Логика Вместо «Высказывание р истинно» или «Высказывание р ложно» можно сказать: «Высказывание р имеет истинностное значение истина» (или: «Высказывание р имеет истинное значение истинности»)', «Высказывание р имеет истинностное значение ложь» (или: «Высказывание р имеет ложное значение истинности»). Для истинностного значения (значения истинности) истина может использоваться в качестве метки русская буква и (и) или математический символ 1, а для истинностного значения (значения истинности) ложь - русская буква л (л) или математический символ 0. Логика высказываний требует, чтобы для каждого высказывания выполнялось условие его истинности или ложности. Тем самым закладывается фундамент так называемой логической семантики, то есть той предметной области логики, которая позволяет осуществлять процедуры интерпретации языковых конструкций логики. Интерпретация в логике высказываний - это (функциональное) отображение, сопоставляющее каждому элементарному высказыванию некоторое значение истинности. Интерпретация, при которой истинное значение логической формулы есть «истина», называется моделью этой формулы. Интерпретация определяется разбиением множества значений истинности на два подмножества высказываний - истинных и ложных, каждое из которых содержит элементы из пары противоположных друг другу высказываний (истина и неистина (ложь)). Чтобы охватить общей логической схемой все разновидности простых единичных высказываний (высказываний о единичном), описывающих отдельные предметы или указывающих на них с помощью соответствующих единичных имен, вводится форма F(x\ где х - переменная для единичного имени, a F - символическое обозначение свойств данного индивида. Таким образом, F(x) - это функция высказывания (пропозициональная функция), включающая переменную, подстановка на место которой постоянного значения дает собственно высказывание. Например, если х - дыня, a F - желтая, мы будем иметь высказывание типа «Дыня желтая». В логике все отдельные строчные буквы (р, g, г,...), символизирующие переменные, а также их те или иные комбинации, представляющие собой форму высказываний, являются булевыми функциями высказываний. Запись этих функций называется формулой. Другими словами, булевой функцией высказываний будет выражение, полученное в результате конечного числа шагов, записанных в символах булевой алгебры высказываний. Эта точка зрения на формулы высказываний согласуется с известными нам законами элементарной алгебры. Разница состоит лишь в том, что в элементарной алгебре рассматриваются числовые функции, а в логике высказываний - логические (булевы) функции. Булева функция высказываний выражает логический закон тогда, когда она принимает истинное значение при всех возможных комбинациях значений переменной. Проверка того, выражает ли данная функция логический закон, осуществляется с помощью так называемой таблицы истинности. Логические законы: таблицы истинности и логические союзы. Табличный (матричный) метод проверки формул логики высказываний освобождает исследователей от необходимости строить аксиоматические системы, в которых теоремы обосновываются путем выведения их из системы аксиом. Кроме того, данный метод является важнейшим методом интерпретации в логике исчисления высказываний. Необходимо знать, что имеется ряд формул, которые принимают значение истина при любых значениях истинности входящих в них переменных. Эти формулы называются общезначимыми, или тождественно истинными, или же тавтологиями п логики исчисления высказываний. Говоря более строго, Гр. tauto - то же самое + logia - учение.
Глава 3 149 пропозициональная формула, которая истинна независимо от того, какие значения принимают встречающиеся в ней пропозициональные переменные, называется тавтологией. Пропозициональная формула является тавтологией тогда и только тогда, когда соответствующая истинностная функция принимает только значение «истина» (и). Пропозициональная формула, которая ложна при всех возможных истинностных значениях ее пропозициональных переменных, называется противоречием (или необщезначи- мой формулой). Если, например, формула F(x) истинна при некоторой интерпретации, то говорится, что эта интерпретация удовлетворяет F(x) или F(x) выполнена в данной интерпретации. С другой стороны, если формула F(x) ложна при данной интерпретации, то говорится, что эта интерпретация опровергает F(x) или F(x) опровергается в данной интерпретации. Когда некоторая интерпретация удовлетворяет соответствующей логической формуле, эта интерпретация называется моделью логической формулы. Данные формулы являются логическими законами, которыми постоянно руководствуются как теоретики, так и практики (допустим, конструкторы сложных релейных устройств). Словесным примером общезначимой формулы в исчислении высказываний может служить следующее предложение: «Если вода мокрая, то она мокрая». Тавтологичность подобного утверждения очевидна. Поэтому кое-кому общезначимые формулы (тавтологии) покажутся информационно никчемными и совершенно бесполезными для науки, но на самом деле это не так. Опыт развития логики и использование ее инструментария в практических целях свидетельствуют: общезначимые формулы чрезвычайно важны для логики как доказательной науки, чьи рациональные конструкции с большим успехом применяются в самых различных сферах человеческой деятельности. Иначе говоря, тавтологии важны для установления нетавтологий, которые опровергают наши логические рассуждения, делая их противоречивыми. Для указания на общезначимость логической формулы используется символ ^, придуманный известным американским математиком и логиком С. К. Клини в 1956 г. Например, формула ^ В читается: В общезначима. Говоря более обобщенно, если А - множество формул, то запись А \ В означает, что при всех интерпретациях, при которых истинны все формулы из А, истинна также формула В. Формула В называется логическим следствием из А. В этих случаях говорят, что В следует из А или является следствием из А в логико-математическом исчислении высказываний. Менее жесткие требования в символической логике предъявляются к выполнимым формулам, которые принимают значение «истина» лишь при некоторых наборах значений входящих в них переменных. Общезначимые формулы всегда выполнимы. Итак, среди логических формул выделяются выполнимые и невыполнимые (тождественно ложные) формулы. Формулы, принимающие значение ложь при всех значениях входящих в них переменных, относятся к разряду тождественно ложных (невыполнимых) формул. Как уже отмечалось, тождественно ложные формулы - это противоречия, то есть противоречия - это формулы логики высказываний, которые при любом наборе значений своих пропозициональных переменных принимают значение ложь. Все формулы логики высказываний, не являющиеся противоречиями, считаются выполнимыми. Способ, с помощью которого относительно любой формулы символической логики можно определенно решить, к какому виду формул она относится, называется разрешающей процедурой. Для логики высказываний такими способами являются построения таблиц истинности, а также преобразование исследуемой формулы в одну из так называемых нормальных форм, о чем будет сказано ниже. Табличный метод проверки логических формул предполагает знание логических союзов, превращающих простые высказывания в сложные.
150 К.К. Жоль Логика Если, допустим, простое высказывание истинно тогда и только тогда, когда оно утверждает существование некоторого безусловного факта, имеющего место в действительности (например: Земля обращается вокруг Солнца), то ответ на вопрос об истинности сложного высказывания требует не только учета фактов, но и рассмотрения смысла логической связки, при помощи которой это высказывание было образовано (приведу такой пример, а именно: если Земля обращается вокруг Солнца, то вокруг Солнца обращается и Марс). С учетом этого необходимо рассмотреть все логические союзы (связки), использование которых определяет название сложных высказываний. В грамматике сложное предложение, составные части которого объединены оборотом если ..., то ..., называется условным предложением. В логике его аналог называется импликацией 12 или условным высказыванием. С помощью союза если ..., то ... в естественном языке обычно выражают тот факт, что одно явление служит основанием (условием) для другого. В логике часть высказывания, которому предпослано выражение если, называется антецедентом {предыдущим), а другая часть, начинающаяся с выражения то, называется консеквентом {последующим). Поскольку логики стремятся избегать двусмысленных аналогий, они предлагают рассматривать импликацию как вполне осмысленное высказывание даже в том случае, когда не существует никакой смысловой связи между двумя простыми высказываниями, образующими единое целое - сложное высказывание. Например: «Если пингвины осенью летят на юг, то Волга впадает в Каспийское море». Здесь, как и в случае с планетами, обращающимися вокруг Солнца, грамматический оборот если ..., то ... провоцирует нашу мысль на решение внелогических проблем (например: зависит ли обращение Марса вокруг Солнца от обращения Земли вокруг светила? зависит ли впадение Волги в Каспийское море от осеннего перелета нелетающих пингвинов?). Поэтому логики с ироничной улыбкой формулируют внешне нелепый вопрос об импликации примерно так: Если 2 + 2 = 5, то не является ли Черное море Тихим океаном! Для чего требуются эти шокирующие вопросы? Разумеется, не для того, чтобы отвратить от «страшных тайн» логики здравомыслящих людей. Просто логики хотят в очередной раз подчеркнуть, что в логике высказываний (пропозициональной логике) содержание высказываний не имеет никакого значения, кроме того, которое задано в рамках используемой логической семантики (моделей интерпретации). В связи с этим логики разграничивают материальную и формальную импликации. Понятие материальной импликации (менее строгой в логическом смысле) шире понятия формальной импликации (более логически строгой). Каждая истинная формальная импликация является в то же время истинной материальной импликацией, но не наоборот. Замечу, что оборот если ..., то ... часто используется в языке науки. Наиболее употребим он в математике, чьи теоремы тяготеют к форме импликаций. Логическая операция импликации чаще всего обозначается символом —», который называется на языке логики функтором. Символическим изображением импликации, состоящей из простых высказываний р и q, будет р -» q. Выражение р —» q может читаться так: р имплицирует q\ р включает q; всегда, если р, то q; если р, то q. Еще раз во избежание путаницы подчеркну, что логическое высказывание вида р —» q не всегда совпадает по смыслу с выражением естественного языка типа если ..., то ... . Вот почему целесообразно читать сложное высказывание вида р —» q не как если р, то q, а как р имплицирует q и понимать данную Лат. implicatio - сплетение, переплетение.
Глава 3 151 операцию только под углом зрения соответствующей таблицы истинности или соответствующих аксиом и определений. Но прежде чем разобраться с таблицами истинности, включая таблицу для импликации, уясним себе хорошенько следующее. В умозаключениях повседневной жизни и в науке мы пользуемся только такими импликациями, в которых предыдущий член (антецедент) и последующий член (консек- вент) связаны по содержанию и по форме. Например: Если идет радиоактивный дождь, то берите свинцовый зонтик, выходя на улицу. Или: Если эксперимент по выращиванию гомункулусов в пробирке будет успешным, то гипотеза о марсианских пришельцах не подтвердится. Импликации же, в которых нет этой содержательной связи, обычно не представляют для нас какого-либо интереса, кроме, быть может, специалистов по психическим патологиям. Логики же, силясь прояснить логические характеристики связок (так называемых логических союзов), идут на значительные упрощения и отвлекаются от содержания высказываний. Впрочем, ничто человеческое им не чуждо, и поэтому они не страшатся заглядывать в содержание высказываний на естественном языке, особенно если речь идет о первых шагах обучения логическому искусству школьников и студентов. Рассмотрим вместе с ними следующий пример: Если пиво отпускается только членам профсоюза, то остальные граждане города Арбатова удовлетворяются кислым квасом. Предположим, что все обстоит именно так, как об этом заявлено. Тогда наша импликация истинна. Если же пиво, вопреки высокому предписанию, отпускается не только членам профсоюза, то наше заключение ложно. Может оказаться и так, что, несмотря на самый строжайший запрет продавать пиво нечленам профсоюза, городские власти могут издать очень мудрый указ о премировании кружкой пива некоторых нечленов профсоюза за их пчелиное трудолюбие. В результате этого директивного решения высказывание оказывается истинно и в том случае, когда общее предписание относительно пива не имеет абсолютно жесткого характера. Наконец, если пиво и квас отсутствуют и все пьют водопроводную воду, то нет никаких нарушений предписания и повода для начальственного гнева. Следовательно, предписание действует, хотя и не выполняется в силу объективных причин. Таким образом, мы видим, что наша импликация может оказаться ложной только тогда, когда посылка (антецедент) истинна, а заключение (консеквент) ложно. В трех остальных случаях импликация истинна. Говоря более строго, импликация является ложной тогда и только тогда, когда ее посылка истинна, а заключение ложно. Запишем все четыре случая следующим образом: Если р = 1 (и) и q = 1 (и), то (р —> q) = 1 (и); Если р = 1 (и) и q = 0 (л), то (р —» q) = 0 (л); Если р = О (л) и q = 1 (и), то (р —> q) = 1 (и); Если р = 0 (л) и q = О (л), то (р —> q) = 1 (и). В импликации (табл. 3) все это выглядит гораздо проще. Рассмотренный пример с импликацией демонстрирует один из возможных типов логических связей между высказываниями. Знание этих связей нам необходимо, если мы для решения теоретико-познавательных и научно-практических задач стремимся разнообразить наш исследовательский инструментарий в виде соответствующих логических систем. Предлагаемая таблица импликации является примером материальной импликации. Обычно под материальной импликацией понимается функтор —>, определяемый вышеприведенной таблицей истинности. Поскольку материальная импликация противопоставляется формальной импликации, то материальная импликация трактуется как условное высказывание,
152 К. К. Жоль Логика Таблица 3. р ] 1 0 [ 0 я 1 а 1 0 j р~+ч 1 1 1 о 1 i 1 1 i 1 тогда как формальная импликация трактуется как условная функция высказывания. Хорошо известно, что материальная импликация истинна в тех случаях, когда истинен ее консеквент или когда ложен ее антецедент, а также ложны и тот и другой одновременно. Таковы правила «игры». Сложности и неясности возникают при чтении функтора импликации как если ..., то ... . Вследствие этого происходит резкое расхождение между логическими условиями истинности импликации и фактическими условиями истинности содержательного условного высказывания. Например, с логической точки зрения импликация «Если снег бел, то 2 + 2 = 4» является истиной по отношению к таблице истинности, но с обыденной точки зрения такое условное высказывание «режет слух». Чтобы избежать подобных нелепостей, известный американский ученый К. И. Льюис (1883-1964) ввел функтор так называемой строгой импликации, который должен был до известной степени соответствовать роли условного союза в обыденной речи. Исчисление высказываний охватывает не все способы построения сложных высказываний, а только так называемые экстенсиональные связи, то есть такие связи, в которых логическое значение целого зависит не от различий в содержании высказываний, а исключительно от формально-логического значения составляющих высказываний 13. Такого рода значения исчисляются с помощью таблиц истинности, аналогом которых являются таблицы состояний для релейных устройств. Функции высказываний подобного типа называются истинностными функциями. Простыми методами записи условий работы соответствующих релейных устройств являются так называемые таблицы состояний. Таблицы состояний - это своего рода градусник. С помощью такого «градусника» каждая из п (многочисленных) входных переменных может принимать два и только два значения - 0 или 1 (разомкнуто или замкнуто). Соответственно, число возможных комбинаций переменных будет равно 2п. Эти комбинации удобно записывать в виде таблицы, используя 1 для представления наличия входного воздействия и О - для его отсутствия. Аналогичное имеет место и в таблицах истинности. Так, например, если в пропозициональной форме имеется п различных букв, то возможны 2п различных распределений истинностных значений для букв, обозначающих пропозиции (высказывания), и, следовательно, истинностная таблица для такой формы будет содержать 2" строк. Существенной особенностью таблицы состояний является то, что она обеспечивает проектировщику автоматическую проверку полноты описания работы релейного устройства. Эта таблица позволяет анализировать контактную 13 Помимо экстенсиональных сложных высказываний имеются еще интенсиональные сложные высказывания. Сегодня логики активно обсуждают вопрос о том, можно ли интенсиональные сложные высказывания сводить к экстенсиональным. Некоторые из них считают, что сделать это невозможно. Дело в том, что значение истинности интенсионального сложного высказывания зависит не только от значений истинности составляющих его высказываний, но и от других факторов, которые не поддаются оценке с экстенсиональной точки зрения, но обо всем этом речь еще впереди.
Глава 3 153 Таблица 4. Таблица 5. технологическую структуру путем записи в систематическом порядке состояний ее выходов для всех возможных состояний входов. «Таблица состояний» и «таблица истинности» - разные названия одного и того же. Число возможных состояний переменных (соответственно, строк таблицы) равно 2". В свете сказанного рассмотрим операцию дизъюнкции 14. Эта операция применяется к высказываниям, называемым соединительно-разъединительными. Как и многие другие логические операции, операция дизъюнкции, функтором которой служит символ V , имеет свой аналог в естественном языке в виде союза или. Символ функтора дизъюнкции происходит от первой буквы латинского слова «vel» (или). В естественном языке предложение с союзом или указывает на существование двух возможных событий, одно из которых вполне может произойти. Иногда вместо выражения или используется выражение либо в разделительном значении. Союз или во многих европейских языках имеет два различных значения - исключающее и неисключающее. Так, если даны высказывания р и q, которые ложны, то сложное высказывание вида р или q следует считать ложным. Если же р истинно, a q ложно, то р или q следует рассматривать как истинное высказывание, что вполне соответствует смыслу слова «или» в русском языке. Труднее дело обстоит, когда оба простых высказывания истинны. В связи с этим в логической литературе иногда встречаются формулировки типа р или/и q, р или (также) q. Это означает, что сложное дизъюнктивное высказывание будет истинным и тогда, когда оба простых высказывания являются одновременно истинными. Но иногда случается так, что осуществление одной из возможностей исключает осуществление другой. Тогда употребляется формулировка вида либо р, либо q. Подобное сложное высказывание является строгой (сильной) разделительной дизъюнкцией, функтор которой выражается символом у. Иногда говорят, что в данном случае мы имеем дело с исключающе-разъединительной (разделительной) или исключающей (сильной, строгой) дизъюнкцией. Учитывая все это, логики предлагают считать, что дизъюнкция двух простых высказываний ложна тогда и только тогда, когда ложны оба простых высказывания. Эта дизъюнкция квалифицируется как неисключающая (табл. 4). Совсем иначе выглядит таблица для строгой дизъюнкции (табл. 5). Сильная дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда простые высказывания имеют разные значения истинности. Сложное высказывание может состоять из двух и более простых высказываний, соединенных связкой, которая эквивалентна союзу и в естественном языке. Эта логическая связка обозначается символом & (или л). Выражение р & q называется конъюнкцией^5 и читается так: р и q. Высказывая некоторую конъюнкцию, мы формулируем такое утверждение, которое выполняется, скажем, для событий, описываемых как бы перечислительным 14 Лат. disjunctio; disjunctive - разделительный. 15 От лат. conjunctio - союз, связка.
154 К.К. Жоль Логика образом с помощью простых высказываний, образующих в сумме (в итоге) сложное высказывание. Например: Васисуалий Лоханкин, большой души либерал и демократ, постоянно думал о значении русской интеллигенции в мировом масштабе и часто из-за этих самых дум забывал тушить свет в коммунальной уборной. Для операции конъюнкции таблица истинности имеет соответствующий вид (табл. 6). Из таблицы истинности для конъюнкции видно, что конъюнкция р & q ложна, если хотя бы одно из двух высказываний ложно. Иными словами, конъюнкция р & q истинна в том и только в том случае, если оба высказывания р и q имеют значение истина (1). Поскольку соединительная связка & является двухместной (объединяет два простых высказывания), постольку для конъюнктивного соединения трех и более простых высказываний полезно использовать скобки. Например: (р & q) & с или р & (q & с). Что касается скобок, то сначала определяется истинностное значение высказывания, находящегося в скобках. Затем определяется значение истинности всего выражения (пример в табл. 7). Данная таблица истинности показывает, что конъюнкция, состоящая из трех высказываний, является истинной тогда и только тогда, когда все три соединенных высказывания истинны. Простейшей операцией логики высказываний является операция отрицания, которой в русском языке соответствует частица не. В естественном языке эту частицу обычно присоединяют к глаголу или заменяют ее выражением неверно, что, когда хотят иметь отрицание в начале предложения. Например: Паников- ский не является сыном лейтенанта Шмидта. Или: Неверно, что Паниковский - сын лейтенанта Шмидта. Логики предпочитают иметь дело с выражением неверно, что, поскольку тем самым подчеркивается отрицание всего высказывания. Производя отрицание истинного высказывания, они указывают на то, что полученное в результате отрицания высказывание является ложным. Например: Неверно, что Аристотель - греческий философ. Если же высказывание ложно изначально, то его отрицание дает истинное высказывание. Например: Неверно, что Волга впадает в Черное море. Функтор операции отрицания часто обозначается следующими символами: -i, ~, .В электротехнике популярен символ , который ставится над малыми буквами латинского алфавита, условно обозначающими простые высказывания. По определению, если р - некоторое простое высказывание, то его отрицание —р (не-р) будет сложным высказыванием, что подчеркивается оборотом неверно, что. Действие операции отрицания можно представить в виде таблицы истинности для отрицания (табл. 8). Дважды или четырежды отрицавшееся высказывание имеет то же самое значение истинности, что и соответствующее не отрицавшееся. Трижды отрицавшееся
Глава 3 155 Таблица 8. 1 р 1 1 [о 1 11р 1 О 1 Ï 1 высказывание имеет то же самое значение истинности, что и отрицавшееся один раз. Операция отрицания (инверсии 16), конъюнкции (логического умножения) и дизъюнкции (логического сложения) иногда называют булевыми операциями. Они являются основными в применении логики высказываний в электронике, автоматике и теории вычислительных устройств. Еще одной важной логической операцией является операция эквиваленции (эквивалентности), функтор которой соответствует употреблению выражения тогда и только тогда,, когда или если и только если и обозначается символами: s, <-> , ~ . Эквивалентность высказываний предполагает, что каждое из двух простых высказываний является необходимым и достаточным условием для другого, то есть операция эквиваленции используется при желании выразить взаимную обусловленность простых высказываний, входящих в состав сложных. Например: Бу~ ратино может стать умненьким и благоразумненьким тогда и только тогда (если и только если), когда начнет прилежно посещать школу. В данном случае утверждается следующее: если Буратино возьмется за свой деревянный ум и начнет протирать штанишки, сидя за школьной партой, то в этом случае он будет иметь кое-какие сомнительные шансы стать умненьким и благоразумненьким. Иными словами, одно предполагает другое, обусловливает его. Эквивалентность, состоящая из высказываний р и q, в этой книге будет символически изображаться как р <r> q. Выбор символа <-» обусловлен тем, что операция эквиваленции близка в известном смысле операции импликации, символом которой является знак —>. Охарактеризуем с помощью таблицы истинности операцию эквиваленции, предварительно воспользовавшись для иллюстрации уже знакомым высказыванием, но в новой редакции, а именно: Пиво можно получить тогда и только тогда (если и только если), когда станешь членом профсоюза. Если какой-то любитель пива стал членом профсоюза, то очевидно, что наше высказывание относительно этого гражданина истинно. Если обещанное пиво не предоставлено его любителю, являющемуся членом профсоюза, то вопиющий обман налицо, то есть наше высказывание является ложным. Если пиво обманным путем выпито нечленом профсоюза, то наше заявление ложно. Если трудолюбивый контрреволюционер дядя Вася не стал членом профсоюза по идейным соображениям и в отместку был лишен кружки пива, то никаких претензий к градоначальству у него быть не может. Условия истины соблюдены. Таким образом, видно, что эквивалентность двух простых высказываний истинна только тогда, когда оба этих высказывания либо'одновременно истинны, либо одновременно ложны. В случае же, когда одно из простых высказываний истинно, а другое ложно, эквивалентность ложна. Короче, эквивалентность 16 От лат. inversio - переворачивание, перестановка.
истинна тогда и только тогда (если и только если), когда оба ее члена одновременно либо истинны, либо ложны. Запишем все четыре случая следующим образом: Если р = 1 и q = 1, то (р <-» q) = 1; Если р = 1 и q = 0, /по (/? <-» #) = О» £с/ш р = 0 и q = I, то (р <r> q) = 0; Если р = 0 и q = 0, то (р <г+ q) = I. В таблице эквиваленции это выглядит соответствующим образом (табл. 9). Таблицы истинности (истинностные таблицы) позволяют ответить на многие важные вопросы, касающиеся истинностно-функциональных связок, но тем не менее более сложные вопросы логики не могут быть решены с помощью данных таблиц. Для решения этих вопросов требуется метод формальных теорий, то есть аксиоматический метод исчисления высказываний. Формальная (аксиоматическая) теория считается определенной, если выполнены следующие условия:
Глава 3 157 1. Задано некоторое счетное множество символов теории, конечные последовательности которых называются выражениями этой теории. 2. Имеется множество выражений теории, называемых формулами. 3. Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории. 4. Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода. Формула аксиоматической теории называется теоремой, если существует вывод, в котором последней формулой является данная теорема. Такой вывод называется выводом формулы. Эффективно аксиоматизируемой теорией называется теория, для которой существует алгоритм вывода теорем из аксиом. Теория, для которой такой алгоритм существует, называется разрешимой. В противном случае теория называется неразрешимой. Будем иметь в виду, что очень часто в приложениях логики высказываний к электротехнике пользуются формулами, содержащими только три символа логических операций, а именно: &, v, (или -i). Объясняется это тем, что некоторые логические операции можно выразить через другие. Например, операция эквиваленции выражается через импликацию и конъюнкцию, а импликацию и конъюнкцию можно выразить с помощью отрицания и дизъюнкции. Дизъюнкция же выражается через конъюнкцию и отрицание. Продемонстрирую сказанное на следующих примерах: 2) Р -> q = пР v Я\ 3) Р v q s -y? & -nq; 4) p & q = —p v -*7; 5) -i нР = P- Выразимость одних логических операций через другие предполагает оценку формул логики высказываний на их равносильность. В связи с этим принято считать, что две формулы логики высказываний, представляющие одну и ту же булеву функцию, признаются равносильными. Равносильность формул записывается с помощью символа =. Формулы считаются равносильными, если их значения истинности при любом наборе значений входящих в них переменных совпадают. Как уже ранее отмечалось, для логики высказываний разрешающей процедурой является не только построение таблиц истинности, но и преобразование исследуемого выражения в так называемую нормальную форму, с помощью которой устанавливается, является ли выражение общезначимым или не является, выполнимо оно или нет. Еще раз напомню, что общезначимые выражения - это такие выражения логики высказываний, которые при каждом значении встречающихся в них пропозициональных переменных принимают значение истина. К этому следует добавить, что выражения в нормальной форме могут содержать только отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию, то есть все остальные логические константы должны быть сведены к ним. Рассмотрим преобразование импликации в дизъюнкцию. Импликация р —» q может быть преобразована ö дизъюнкцию -пр v q, так как данные импликация и дизъюнкция имеют одинаковый порядок значений истинности, что хорошо видно из табл. 10. Таким образом, формула р —» q равносильна формуле —p v q. Записывается это уже знакомым нам образом, а именно:
158 К. К. Жолъ Логика Таблица 10. p ^ q = -p v q. Равносильность формул логики высказываний аналогична тождествам элементарной алгебры. Например: (х + у)2 = je2 + Ъсу + f. В данном случае тождественное равенство двух различных по виду формульных выражений означает, что они принимают одинаковые числовые значения, какие бы числа мы ни подставляли вместо переменных х и у. Для установления, к какому именно классу выражений принадлежит некоторое выражение логики высказываний, его сначала приводят к нормальной форме. Последняя должна удовлетворять следующим условиям: 1. Нормальная форма должна быть равносильна исходному выражению. 2. Из связок логики высказываний в ней должны содержаться только символы отрицания, конъюнкции