Автор: Жоль К.К.
Теги: логика эпистемология теория познания методология и логика науки учебники и учебные пособия по логике математическая логика
ISBN: 5-238-00664-0
Год: 2004
Текст
ЛОГИКА
Учебное пособие для средних школ и вузов
Редакционная коллегия международной серии
«BIBLIOTHECA STUDIORUM»
Онищенко А. С. (председатель) — академик НАН Украины, доктор философских
наук; Жоль К. К. (зам. председателя) — доктор философских наук; Филюшин В. А.
(ученый секретарь) — кандидат философских наук; Кудрявцев В. Н. — академик
РАН, доктор юридических наук (Россия); Николаева Т. М. — член-корреспондент
РАН, доктор филологических наук (Россия); Пивоваров Ю. С. —
член-корреспондент РАН, доктор политических наук; Пирожков С. И. — академик НАН Украины,
доктор экономических наук; Синев В. Н. — академик АПН Украины, доктор
педагогических наук; Топорнин Б. Н. — академик РАН, доктор юридических наук
(Россия); Шемшученко Ю. С. — академик НАН Украины, доктор юридических наук;
Аверьянов В. Б. — доктор юридических наук; Андрийко О. Ф. — доктор
юридических наук; Белодед А. И. — доктор филологических наук; Демьянков В. 3. — доктор
филологических наук (Россия); Грыко Ч. — доктор социологических наук (Польша);
Грязнов А. Ф. — доктор философских наук (Россия); Гуменюк Б. И. — доктор
исторических наук; Киселев Н. Н. — доктор философских наук; Кодалле К.-М. —
доктор философии (Германия); Костенко А. Н. — доктор юридических наук; Криса-
ченко В. С. — доктор философских наук; Крымский С. Б. — доктор философских
наук; Кубко Е. Б. — доктор юридических наук; Кудрявцева Л. А. — доктор
филологических наук; Огин Е. С. — доктор филологических наук; Петришин А. В. —
доктор юридических наук; Филатов В. П. — доктор философских наук (Россия);
Чурилов Н. Н. — доктор социологических наук; Яковенко Ю. И. — доктор
социологических наук.
Ответственный редактор
А. Е. Конверский — доктор философских наук, профессор
СПРАВКА ОБ АВТОРЕ
ЖОЛЬ Константин Константинович — 1949 г. рождения,
доктор философских наук, дважды лауреат Всесоюзных
конкурсов молодых ученых-обществоведов (1978, 1981),
лауреат Всесоюзного конкурса на лучшее произведение
научно-популярной литературы (1989), автор книг:
Сравнительный анализ индийского логико-философского
наследия. — К.: Наукова думка, 1981. — 208 с; Мысль, слово,
метафора. Проблемы семантики в философском
освещении. — К.: Наукова думка, 1984. — 304 с; Наука, религия,
общество. — К.: Политиздат Украины, 1986. — 160 с. (В
соавторстве); Куда бредет пилигрим. — К.: Молодь, 1988. —
232 с. (В соавторстве); Язык как практическое сознание.
(Философский анализ). — К.: Выща школа, 1990. — 240 с;
Под знаком вечности. — К.: Молодь, 1991. — 320 с;
Информация, общественные науки, управление: Философско-эко-
номический анализ. — К.: Наукова думка, 1991. — 282 с. (В соавторстве); Введение в
современную логику. — К.: Выща школа, 1992. — 126 с. (На укр. яз.); Философия
для любознательных. — М.: Просвещение, 1993. — 192 с; Логика в лицах и
символах— М.: Педагогика-Пресс, 1993. — 256 с; Логика. Введение в современную
символическую логику. — К.: Стилос, 2000. — 563 с; Социология в систематическом
изложении. — К.: Стилос, 2000. — 656 с; Философия и социология права. — К.:
Юринком Интер, 2000. — 480 с; Методы научного познания и логика (для
юристов). - К.: Атака, 2001. - 288 с.
к.к. жоль
ЛОГИКА
Рекомендовано Учебно-методическим центром
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Рецензенты:
доктор философских наук, профессор А. Т. Ишмуратов;
доктор философских наук, профессор С. />. Крымский;
доктор философских наук, профессор В.А. Рыжко
Главный редактор издательства
доктор экономических наук Н.Д. Эриашвшш
Жоль К. К.
Логика: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. —
399 с. — (Международная серия «Bibliotheca studiorum»).
ISBN 5-238-00664-0
Дается изложение важнейших понятий, идей и методов современной
символической логики, являющейся расширением математической логики. В
общедоступной форме объясняются смысл и предметная направленность логических
исследований, их связь с философией, кибернетикой и другими науками.
Впервые в одной книге, имеющей характер учебного пособия, рассчитанного не
только на студентов первых курсов вузов и колледжей и старшеклассников, а
также всех, кто серьезно интересуется логикой и хочет иметь ясные
представления о ней, излагаются не только основы классической логики, но и
описываются неклассические логики, в отдельной главе дается характеристика
логической семантики и демонстрируется практическая ценность логики для
решения проблем, связанных с логическим программированием компьютеров.
ISBN 5-238-00664-0 © Жоль К.К., 2004
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2004
Воспроизведение всей книги или любой
ее части запрещается без письменного
разрешения издательства
ОГЛАВЛЕНИЕ
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
12
ИСТОРИКО-СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОЛЕГОМЕНЫ КО ВСЯКОМУ
НАУКОУЧЕНИЮ
38
ГЛАВА 1
ВЗАИМОСВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ
И МЕТОДОЛОГИИ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
Вводные замечания. - К вопросу о предметной области логики в прошлом и
настоящем. - Мышление, язык логика. - Проблемная ситуация, проблема и задача
как факторы, активизирующие деятельность познающего сознания. - Логика на-
уки и задачи современной методологии научного познания. - Теория абстракции
как фундамент теории определений и современной логики. - Заключение. -
Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
78
ГЛАВА 2
ЛОГИКА ПОМОГАЕТ ПРИНИМАТЬ РЕШЕНИЯ,
АНАЛИЗИРОВАТЬ ТЕХНИЧЕСКИЕ И
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
Вводные замечания. - Технические системы и их роль в повышении эффективности
принимаемых решений. - Логика решений, математическая теория игр и их научно-
техническое обеспечение в виде электронно-вычислительных машин. - Что такое
алгебра контактных цепей и какое отношение она имеет к теории чисел. -
Элементарное введение в теорию множеств, являющуюся фундаментом
современной математики и логики. - Теория множеств, топология, графы. -
Аксиоматический метод как способ преодоления недостатков интуитивно-наглядного
мышления. - К вопросу о парадоксах в классической теории множеств. -
Аксиоматический метод и его связь с математической теорией множеств. - Заключение. -
Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
136
ГЛАВА 3
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ,
ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Вводные замечания. - Из истории философского термина «представление». -
Современная переоценка традиционной логической трактовки структуры
суждения. - Основные понятия логики высказываний. - Логические законы: таблицы
истинности и логические союзы. - Описание релейно-контактных схем в
терминах логики высказываний. - Индуктивные и дедуктивные выводы. - Дедуктивные
выводы в логике высказываний. - Понятие умозаключения в «школьной логике». -
Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
6
176
ГЛАВА 4
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ,
ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Вводные замечания. - Учимся у Аристотеля, знакомимся с логико-философским
идеями стоиков и тем самым создаем необходимый фундамент для овладения
современной символической логикой. - Отличительные черты логики предикатов. -
О том, что такое дескрипция и термы. - Кванторы, их роль и особенности
действия в логике предикатов. - Законы и правила логики предикатов. -
Расширенный формализм: исчисление предикатов с равенством. - Заключение. -
Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
214
ГЛАВА 5
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ,
ИЛИ ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ, ЛОГИКА
Вводные замечания. - Идеи математического интуиционизма и
конструктивизма. - От математического понятия функции к логическому понятию лямбда-
исчисления. - Актуальная и потенциальная бесконечности. - Борьба за торжество
математики над логикой. — Конструктивные процессы и конструктивные
объекты. - Строгие принципы построения конструктивистской (конструктивной)
математической логики. - Конструктивистская математическая логика с
точки зрения логики высказываний. - Алгорифмы и логико-математический
анализ. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
250
ГЛАВА 6
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вводные замечания. - Модальности и модальная логика. - Исчисление алетичес-
ких модальностей. - Временная логика. Аналогия с метрическим пространством
и причинным анализом в статистических исследованиях. - Деонтическая и эпис-
темическая логики. - Взаимосвязь эпистемической логики и логики умолчаний. -
От эпистемической логики к логике эротетической. - Индуктивная логика и
теория вероятностей с точки зрения модальной логики. - Нечеткая логика. -
Современные аспекты теории вероятностей. - Заключение. - Контрольные
упражнения. - Рекомендуемая литература.
312
ГЛАВА 7
ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА
Вводные замечания. - Предпосылки логического исследования семантики.
«Семантический треугольник» и «семиотический треугольник». - Семантические
понятия в естественных и формализованных языках. «Язык исследователя» и «язык-
объект». - Концепция смысла и значения Г. Фреге. - Лейбницевская концепция
«возможных миров» и ее современная логическая трактовка. - Семантическая
информация. Что это такое? - Заключение. - Контрольные упражнения. -
Рекомендуемая литература.
340
ГЛАВА 8
ЛОГИКА И КИБЕРНЕТИКА
Вводные замечания. - Современная кибернетика и теория информации. -
Проблемы «искусственного интеллекта» в кибернетике. - Логический подход к
«искусственному интеллекту». - «Экспертные системы». - Ассемблирование и
компиляция в компьютерных программах. - Представление знаний в системах
«искусственного интеллекта». - Логический вывод в «экспертных системах». - Метод
резолюций и автоматическое доказательство теорем. - Заключение. -
Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
386
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
398
ТАБЛИЦА СИМВОЛОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги - ввести пытливого читателя, заканчивающего среднюю
школу или занимающегося на первых курсах высших учебных заведений, в мир
понятий и методов современной символической логики. Твердо придерживаясь
того мнения, что логика сегодняшнего дня уже рабски не зависит от жесткого
диктата философии, когда-то властно претендовавшей на «царицу всех наук»,
а в качестве самостоятельной научной дисциплины вооружает тех, кто
стремится в науку, необходимыми для этого рациональными знаниями, я
формулирую следующие задачи, ответы на которые должна дать предлагаемая книга и
сам читатель.
Во-первых, реализация поставленной цели предполагает прежде всего ясное
понимание предмета логической науки, ее научных и практических функций.
Без выполнения этого важного условия логика предстает в глазах начинающих
знакомиться с ней чем-то абстрактно-туманным, требующим скучной и
утомительной зубрежки, но никак не творческого полета мысли.
Во-вторых, знакомство с логикой должно быть достаточно осознанным,
ответственным и последовательным, поскольку логика, как и любая другая
наука, не терпит верхоглядства и поспешности. Поэтому адекватное понимание
научно-практического смысла логического инструментария предполагает
методический характер изучения и освоения данного инструментария, когда от
более простого осуществляется шаг за шагом переход к более сложному.
В-третьих, уяснив себе суть и предназначение логики, а также согласившись
с тем, что «без труда не выловить и рыбку из пруда», читатель моей книги
должен сделать выбор между сиюминутной выгодой от использования
приобретенных с помощью учителей или научной литературы знаний (скажем, для
сдачи экзаменов, зачетов и прочих учебных «повинностей») и развитием этих
знаний собственными силами в среде научного сообщества. Если такой выбор
будет сделан в пользу науки, то данную книгу следует воспринимать как
общее, предварительное введение в современную логику, позволяющее
самостоятельно разобраться с теми учебниками, которые требуются для приобретения
более углубленных логических знаний и выработки методических навыков
работы с логическим инструментарием, а также сориентироваться в
многочисленных и разнообразных направлениях современного логического поиска. С
учетом всего этого строится композиция книги и в конце каждой главы дается
список наиболее доступных литературных источников по данной теме.
Завершает книгу обширный список дополнительной литературы на русском и
английском языках, которая может быть использована студентами, аспирантами,
преподавателями и научными работниками.
Книга разбита на восемь глав. В первой главе характеризуется предмет
логики, ее цели и задачи, показывается связь логики с философией и методологией
научного познания. Во второй главе описывается связь логики с математикой и
техникой. Третья глава посвящена базису современной логики, каковым
является логика высказываний. Четвертая глава развивает темы третьей главы и как
бы завершает достройку фундамента под то, что называется элементарной
логикой, которая элементарна по названию, но не по сути. Из пятой главы читатель
сможет узнать об альтернативных логических построениях. Шестая глава рисует
перспективы развития современной логики, которая пытается применить свой
9
инструментарий для решения нетрадиционных задач. В седьмой главе
набрасываются общие контуры проблемы «смысла» логических конструкций. Завершающая
восьмая глава вводит читателя в ту область, где логика с успехом демонстрирует
свою высокую практическую ценность на примере содружества с кибернетикой.
Автор надеется, что его книга может быть прочитана без особых затруднений
теми, кто имеет склонность к теоретическому мышлению и хочет всерьез посвятить
себя науке. Каких-либо фундаментальных знаний, кроме тех, которые дает средняя
школа старшеклассникам, не требуется для усвоения излагаемого материала. В
данном случае требуется только способность к рациональным рассуждениям,
терпеливость и упорство в постижении Истины. Однако наличие в книге многочисленных
формул, таблиц и схем может насторожить неискушенного в математике читателя,
слышавшего краем уха о том, что в старые, добрые времена учителя логики не
обязаны были слыть сведущими в математических хитросплетениях, ибо с помощью
особого словесного искусства «вправляли мозги» тем, кто желал «мыслить по науке» и
«постигать истины в последней инстанции». Должен сразу предупредить такого
читателя, что эти «золотые деньки» давно канули в Лету. Сегодня знание базисных
понятий современной математики является свидетельством нового типа логической
культуры, без наличия которой не может быть и речи о каком-либо профессионализме в
данной области научных исследований, а также в преподавании логики. Из
сказанного, однако, не следует, что математический аппарат, представленный в моей книге,
требует глубоких знаний математики. Если не полениться и внимательно отнестись к
предлагаемому тексту, то обнаружится, что используемые в нем
логико-математические формулы скорее имеют иллюстративный характер, способствующий
самообразованию К Короче говоря, математической и логической символики пугаться не
стоит; пугаться следует только собственной вялости. Для более терпеливых, но не
слишком искушенных в математике и математической логике читателей я
пользуюсь тем, что можно назвать правилом повтора, то есть в разных главах
рассматриваю одни и те же предметы, но под разными ракурсами, а также использую примеры
из школьных учебников по математике, физике и химии. Это, на мой взгляд, помогает
лучше понять и адекватно усвоить излагаемый материал.
Хотя порядок изложения материала имеет систематический характер, но это не
значит, что императивно требуется читать все подряд. Некоторые главы (особенно
последние четыре) достаточно автономны. Поэтому рекомендую последовательно
читать только первые четыре главы, чтобы получить относительно целостное
представление о современной символической логике. Полагаю, что преподаватели
средних и высших школ найдут в книге материал, подходящий для факультативных
занятий или занятий в кружке. Сноски, которые даются в книге, призваны прежде
всего обратить внимание читателя на имена авторов и сделать себе
соответствующие «зарубки на память». Дополнительная литература в конце книги преследует
аналогичную цель. В дальнейшем это поможет лучше ориентироваться в
безбрежном море научной литературы, особенно на иностранных языках, без знания
которых в современной логике делать нечего.
1 В данном случае мне очень пригодилась талантливо написанная книга Дмитрия
Константиновича Фадцеева (1907-1989) и Ильи Самуиловича Соминского «Алгебра для
самообразования» (3-е изд. - М: Наука, 1966. - 528 с), охватывающая почти все вопросы,
включенные в программу курса алгебры средней школы. Эту книгу я настоятельно
рекомендую использовать не только для самообразования в объеме средней школы или
техникума, но и в качестве дополнительного учебного пособия для постижения основ и смысла
современной алгебры логики, представленной в соответствующих курсах высшей школы.
Что касается меня самого, то эта книга во многом помогла мне в школьные годы и
помогла при написании данного учебного пособия, в котором часто использовался
материал, заимствованный из «Алгебры для самообразования».
10
Я тешу себя мыслью, что предлагаемое учебное пособие во многом окажется
полезным, хотя и потребует внимательного ее прочтения, соответствующих
консультаций у специалистов из числа преподавателей логики и научных работников, а
также привлечения более специальной литературы по различным разделам логики, часть
из которой представлена в данной книге.
Хочу выразить искреннюю благодарность рецензентам книги, чьи
конструктивные замечания я тщательно учел, внеся в текст соответствующие
исправления и уточнения. Полезными оказались и советы преподавателей логики,
методологии и теории научного познания, которые дружески поделились со мной
некоторыми секретами своего мастерства и методическими приемами,
способствующими лучшему усвоению студентами наиболее сложных разделов
логической науки. Если все будет складываться благополучно, то хотелось бы
превратить данное учебное пособие в полноценный учебник, но решение этой
задачи во многом будет зависеть не только от меня, но и от читателя, от его
оценок авторской работы.
Желаю читателю моей книги творческих успехов на нелегком пути,
ведущем в Храм Науки.
Киеву 9 июня 1998 г. Доктор философских наук К. К. ЖОЛЬ
Киев, 29 ноября 2000 г.
■
ИСТОРИКО-СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЛЕГОМЕНЫ
КО ВСЯКОМУ НАУКОУЧЕНИЮ
ИСТОРИКО-СОЦИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЛЕГОМЕНЫ
КО ВСЯКОМУ НАУКОУЧЕНИЮ
Скажи:
Какой ты след оставишь?
След,
Чтобы вытерли паркет
И посмотрели косо вслед,
Или
Незримый прочный след
В чужой душе на много лет?
Леонид Мартынов
Поскольку моя книга обращена прежде всего к читателю, проживающему на
просторах бывшего Советского Союза, территориального и культурного
наследника великой Российской империи, то ему небезынтересно и небесполезно будет
кое-что узнать из истории этих двух могучих держав, касающееся развития
научной мысли, а также учреждений, способствующих данному развитию, и,
разумеется, лиц, без которых существование любого учреждения лишается всякого
смысла.
Имеет ли это отношение к логике?
Вопрос более чем уместен, но ответить на него однозначно не так-то
просто. Слово «логика» обладает множеством значений не только в обыденной речи
(например: «женская логика», «непредсказуемая логика», «тещина логика» и т.
п.), но и в языке науки (например: «философская логика», «математическая
логика», «символическая логика» и т. д.). Если мы имеем дело с научным
пониманием логики, то есть с логикой как научной дисциплиной, то вправе
ожидать, что эта научная дисциплина, способная приносить нам практическую пользу,
ибо любая наука, пусть даже самая абстрактная, связана в конечном итоге с
решением практически значимых проблем. Наука, оторванная от жизни, -
пустой вымысел, фикция. Даже шарлатаны от науки в духе одержимых
изобретателей «вечных двигателей» стремятся всячески подчеркнуть практическую
полезность своих экстраординарных умозаключений. В известном смысле они
более расчетливые прагматики, чем некоторые выдающиеся теоретики
собственно науки, которые подчас совершенно равнодушны к прикладному значению своих
абстрактных построений и склонны раздражать обывателя-утилитариста
бескорыстным восхищением изяществом теоретических формулировок, а не их
стоимостью на «рынке» идей.
И все же наука в современном ее смысле, приобретенном относительно
недавно, когда научное сообщество конституировалось в виде определенного
социального института, приносит людям ощутимую практическую пользу.
Банально перечислять все, что нас окружает и в чем воплощен научный гений. Не
это важно, а важно то, что наука в современном мире завоевала прочный и
очень весомый авторитет специфической производительной силы. Не
случайно в разных странах нашей планеты и в межгосударственных отношениях
усиливается с каждым годом законодательная основа авторских прав ученых, ибо
с этими правами связаны большие деньги и высокие темпы промышленного
развития. Не остается в стороне от столбовой дороги научно-технического
прогресса и логика, представители которой растут, как говорится, в цене, ибо их
профессиональные знания и опыт все шире используются в технике (например:
проектирование сложных электромеханических устройств) и соответствующих
13
системах управления этой техникой (например, компьютерные программы), не
говоря о других разнообразных областях приложения логической науки.
Таким образом, сегодня логика не нуждается в особой рекламе, особенно в
тех странах, где высок социальный престиж науки в силу научно-технической
и промышленно-экономической развитости данных стран. К сожалению, в
республиках бывшего Советского Союза, сделавших ставку не на конструктивное
решение экономических и научно-технических проблем совместными силами, а
на идеологию под эгидой опасно звучащего лозунга «государство превыше
всего», престиж науки катастрофически упал, если не считать возросшего
престижа диплома о юридическом или экономическом образовании (последнее не
касается экономики и юриспруденции как научных дисциплин), но, к сожалению,
зачастую этим все и ограничивается..
В свете сказанного я решил предпослать несколько неожиданное введение к
своей книге, сделав ставку не на историю логической науки, эволюцию ее идей
и понятий, а на историю тех учреждений и людей, которые обеспечивали
развитие этой науки в общем контексте социально-экономического,
политического и культурного развития общества.
История - лучшее Введение в любую науку. Ведь для мудрецов не секрет,
что многие вещи, идеи и слова, которые представляются нам чем-то
незыблемым, неизменным, а порой и очень загадочным или трудно постижимым,
являются на самом деле относительно простыми и доступными, ибо созданы были
руками и разумом человека с целью облегчения и упрощения стоящих перед
ним разнообразных жизненных задач. Но неумолимое Время идёт своей
мерной поступью; вечно суетящиеся люди, одолеваемые прозаическими заботами
будней, забывают о творческих муках первопроходцев, у них выветриваются
из памяти методы решения задач и остаются лишь упования на некие
авторитеты, которые знают если не всё, то многое, и в случае необходимости могут
прийти на помощь. Так живое знание становится мертвящей догмой.
Некоторые из этих догм я, ваш покорный слуга, следуя по стопам одного
«ученого соседа», попытаюсь очень вежливо и очень деликатно оспорить,
воспользовавшись надежным историческим материалом и довольно призабытым
греческим словом «пролегомены» (prolegomena - предисловие, введение), не столь
давно, впрочем, бывшим в широком употреблении.
Помнится из прочитанных мною фолиантов, чуть более двух столетий тому
назад один весьма уважаемый во всем просвещенном мире житель города
Кенигсберга и член Петербургской Академии наук, о котором вскользь упоминал
булгаковский «иностранец» с цветными глазами, не мудрствуя лукаво, взял да
и назвал свою философическую книжку очень просто, а именно так:
«Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей возникнуть в качестве науки».
Прелестное название, не так ли?
Логика, конечно, не метафизика, но тоже порой нуждается в пролегоменах,
чтобы с помощью предварительной критики очистить наш разум от
филистерского мусора, то есть от косности и самообмана, свойственных тем, кто
«университетов не кончал». Честно говоря, можно было бы не оригинальничать и
обойтись понятным всем словом «введение», предполагающим объяснение
целей, задач и еще кое-чего важного для последующего уяснения излагаемого
материала. Однако дело в том, что о целях и задачах своей книги, призванной
по замыслу автора выступать в роли учебного пособия, я уже кратко сказал в
предисловии, да к тому же необходимые предварительные объяснения даются
в первой главе, которая в определенном смысле является собственно
введением в проблематику современной логической науки. Дополнительное введение
для читателя в виде своеобразных пролегоменов мне требуется для того,
чтобы показать, как говорили бородатые классики, земные корни науки, включая
логику. А земные корни научных изысканий - это не только практически зна-
14
чимые для людей проблемы, но и те организационные структуры, в рамках
которых ставятся и решаются (или же не решаются) данные проблемы.
Социологи обоснованно утверждают, что современный ученый неотделим от
организации не только потому, что она обеспечивает его помещением, дорогостоящим
оборудованием, соответствующими материальными и финансовыми условиями
работы, но и потому, что изменения в самой струюуре научного труда превращают
ученого в «человека организации» К Вот почему я считаю вполне оправданным
совершить небольшое путешествие в прошлое тех социальных институтов, которые
наиболее важны для плодотворного существования и развития логической науки.
Назовем это отнюдь не простое путешествие Нашими Университетами.
Что такое университетское образование?
Если строго придерживаться терминологии римского права, а именно так
поступили в свое время средневековые юристы, то университетом (нем.
Universität от лат. imiversitas - совокупность) следует называть всякий
организованный союз людей, всякую корпорацию (от лат. corpus - тело) или гильдию (нем.
Gilde - объединение). В том же значении, что и слова «университет»,
«корпорация», «гильдия», в средневековой Западной Европе употреблялся еще один
термин - «коллегия». Позднее коллегией стали называть отдельный союз внутри
университетской корпорации.
В Средние века от университетской корпорации (в смысле некоего
корпоративного союза учителей и учеников) отличали обычную школу (лат. Studium -
изучение) и даже сам университет как особую высшую школу.
Тогда же получило прописку и латинское выражение «aima mater» (неоюная
мать), заимствованное из литургического (богослужебного) языка и
канонического (церковного) права.
Средневековые университеты как корпорации имели много общего с
ремесленными цехами (от нем. Zeche - союз, корпорация). Градации школяров,
бакалавров и магистров (докторов) соответствовали цеховым градациям учеников,
подмастерьев и мастеров. Желающий обучиться мастерству должен был
поступить в обучение к определенному мастеру (магистру). После примерно
двухлетнего изучения начальных основ ремесла мастер представлял своего ученика
другим мастерам для испытания, выдержав которое, ученик становился
подмастерьем (бакалавром). Бакалавр продолжал учиться, но в то же время начинал и
сам учить других азам своего дела. Еще примерно через два года бакалавр
становился мастером (магистром) 2.
Университеты в Европе возникли из союзов учителей и студентов
церковных школ.
В течение XI в. слова «университет», «корпорация», «гильдия»
использовались как синонимы для именования ассоциаций ремесленников, но уже к XIII в.
термин «университет» приобрел специфическое значение и стал указывать на
преподавательско-студенческую ассоциацию.
Основной период формирования и конституирования европейских
университетов как высших учебных заведений - это XII-XV вв. Отдельно можно выделить
1 См.: Koning J.M. The manager looks at research scientists. - Madison, Wisconsin: Sei. Tech.
PubL, 1988. - XI, 89 p.
2 См.: Суворов H. Средневековые университеты. - Москва, 1898. - VII, 245 с; Dampier W. С.
A history of science and its relations with philosophy and religion. - Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1966. - XXVIII, 544 p.; Hall R. The scholar and the craftsman in the scientific
revolution // Critical problems in the history of science / Ed. by M. Clagett. - The Univ. of
Wisconsin Press, 1959. - P. 3-23; Mason S. F. A history of the science. Main currents of
scientific thought. - London: Routledge and Kegan Paul, 1953. - VIII, 520 p.; Price D. J. de S.
Science since Babylon. - New Haven: Yale Univ. Press, 1961. - XI, 149 p.
15
XVI-XVII вв. и XVIII-XIX вв. Каждый из этих этапов развития высшей школы
обусловлен конкретными социально-экономическими и политическими причинами и
может быть предметом самостоятельного социологического анализа.
На первом из указанных этапов сформировались три главных вида
университетов. Первый и главный вид - это церковные университеты, в которых
студенты и учителя объединялись в закрытую корпорацию во главе с ректором
(Париж, Оксфорд, Кембридж). Второй вид - гражданские университеты,
которые руководились ректорами, избираемыми студентами (Болонья, Падуя).
Третий вид - государственные университеты, которые с разрешения Римского папы
основывались монахами (например, известный испанский университет в Саламан-
ке).
Такова примерная схема функционирования типичной университетской
корпорации. А теперь наполним эту несколько абстрактную схему живым
конкретно-историческим содержанием, для чего обратимся за свидетельствами к
историческим хроникам.
В средневековых европейских школах главное место занимала риторика как
объединяющая различные знания дисциплина. Высоко оценивая риторику,
римляне включали в нее юриспруденцию и философию. С большим уважением
относились к риторике и средневековые церковные проповедники, поскольку их
проповеди нуждались в теоретическом и практическом подспорье для усиления
воздействия на души верующих.
Средневековая риторика постоянно испытывала влияние со стороны
общего литературного процесса, происходившего в Западной Европе в IV-V вв. В
этот период деятельность риторов приравнивается к творчеству поэтов, и
такого рода симбиоз сохраняется на протяжении всех Средних веков как
характерная черта этого отнюдь не темного времени.
Риторика культивировалась также для целей юриспруденции. Согласно
некоторым средневековым риторам, риторика - это прежде всего юридическое
искусство. Особенно популярны эти взгляды были в Каролингские времена
(VIII-X вв.).
Вместе с грамматикой риторика являлась одним из основных предметов в
церковных, монастырских и городских школах средневековой Западной Европы.
Помимо риторики в школах преподавались математика, естественные науки,
медицина, география, астрономия и музыка. Благодаря столь широкому охвату
образовательных предметов средневековая школа служила важным посредником между
миром языческой античности и христианской культурой.
Под опекой церкви создавались общеобразовательные школы (artium
liberalium), делившиеся на два курса - тривиум (trivium) и квадривиум
(quadrivium). В первый курс входило преподавание грамматики, диалектики
(логики) и риторики, а во второй - арифметики, геометрии, астрономии и
музыки. В XII—XIII вв. занятия квадривиумом считались непременными для
просвещенных лиц, особенно из числа художников, архитекторов и механиков. Как
констатируют историки, без развития математических наук квадривиума
невозможен был бы тот высокий уровень профессионального мастерства, которого
достигли архитектура и механика эпохи Возрождения.
К концу VI столетия почти повсеместно в Западной Европе были закрыты
светские школы. Одновременно с этим резко возрастает удельный вес церкви в
просвещении, воспитании и образовании в духе христианской веры. Позднее, с
появлением университетов, университетские корпорации становятся главным
оплотом церкви, хотя в них и преподаются такие светские науки, как римское
право и медицина. В результате тотальной церковной опеки университеты до
XVII в. практически игнорировали опытные, экспериментальные науки и
культивировали главным образом гуманитарные или неприкладные дисциплины
(скажем, математику как некую полуфилософскую дисциплину).
16
Это - Западная Европа. А что же Восточная?
В X в. Киевская Русь стала крупнейшим и могучим государством средневековой
Европы. Спустя столетие западноевропейские писатели восхищались Русью как
христианской державой со своей письменностью и литературой.
В те далекие времена русским по праву было чем гордиться и что славить.
В городах той поры мы находим великолепные памятники зодчества и
живописи. Грамотность была почти повсеместным явлением среди горожан, о чем,
в частности, свидетельствуют находки берестяных грамот в городе, именуемом
Господином Великим Новгородом.
Когда древнерусское язычество сменилось христианством, произошли
существенные изменения в грамотности и литературном языке. Киевская Русь приняла
вместе с христианской рукописной книжностью славянскую азбуку, основанную
на греческой азбуке, и литературный старославянский язык, в основу которого
Константин (в монашестве Кирилл) и его старший брат Мефодий положили со-
лунскую городскую 3 речь славян.
Овладение славянской книжностью считалось в Киевской Руси задачей
государственной важности. Показательно, что князь новгородский и киевский
Владимир I (? - 1015) сразу же после своего крещения учредил в Киеве школу, о
чем свидетельствует «Повесть временных лет».
Период XIV-XV вв. - время формирования русской национальной
культуры, время, когда крепнет единство русского языка, а грамотность получает
широкое распространение.
Книжные училища для детей упоминаются во многих письменных
документах XIV-XV вв. Эти училища можно встретить и в крупных городах, и в
отдаленных деревнях, и за крепкими монастырскими стенами. Здесь учили чтению,
письму. Дети читали Часослов 4, Псалтырь 5 и другие книги религиозного
содержания. С XVI в. предпринимаются первые попытки преподавать начатки философских
знаний.
В XVI в. Киев был обыкновенной пограничной крепостью, где находился
военный гарнизон и ютилось небольшое количество мещан и монахов. О
былой славе Киева напоминали старые, поросшие травой и кустарником
развалины, да еще чудом уцелевшие монастыри - Печерский, Михайловский и
Пустынно-Николаевский.
На средства Печерского монастыря и при самом активном участии
архимандрита Елисея Плетенецкого в 1617 г. была устроена типография. За
последующие четырнадцать лет монастырская типография выпустила больше книг, чем
их вышло до этого времени во всей Украине. Для ее нужды киевляне построили
бумажную фабрику и организовали мастерскую.
Одновременно с налаживанием печерской типографии в Киеве было
основано религиозное Братство, в функции которого входило покровительство
православию и просвещение народа.
Первым ректором школы Киевского Братства являлся Иов (Иоанн) Борецкий,
бывший сначала священником Воскресенской церкви в Киеве, а затем Киевским
митрополитом (1620-1631). Для этой школы печерская типография спешно издала
Часослов. В школе учились главным образом дети киевских мещан, духовных
лиц и помещиков. Позднее школа влилась в Киево-Могилянскую коллегию, хотя
3 Город Солунь - Фессалоники, нынешний город и порт Салоники в Греции.
4 Часослов - церковно-богослужебная книга, содержащая псалмы, молитвы, песнопения
и другие тексты суточного круга богослужения. Часослов предназначался для церковных чтецов
и певчих, а также служил своеобразным учебником в церковных школах.
5 Псалтырь (гр. psalterion - книга псалмов) - одна из книг Библии, содержащая 150
молитвенных песнопений.
18
греко-славянская ориентация школы была диаметрально противоположна латинской
ориентации коллегии.
В 1633 г., находясь поверенным от Киевского митрополита Исаи Копинского в
Варшаве при избрании и коронации польского короля Владислава IV (1595-1648), Петр
Симеонович Могила (1596/1597-1647) испросил у него новую утвердительную
грамоту на киевские школы и учреждение при них монастыря и типографии.
После сейма новым Киевским митрополитом был избран Могила.
Возвратившись в Киев в сане митрополита, Могила преобразовал киевские церковные школы
в единую коллегию, а вместо школ основал низшее, подготовительное, училище в
Виннице. Со временем в честь Могилы новую коллегию стали именовать Могилян-
ской, или Киево-Могилянской коллегией.
Могила много внимания уделял коллегии, стремясь сделать ее высшим
учебным заведением на манер иезуитских коллегий 6, которые, кстати заметить,
были иезуитскими отнюдь не в худшем смысле слова. С этой целью он
направил группу молодых людей в заграничные коллегии (Львовскую, Римскую и
другие) для подготовки к профессорскому званию. Кроме того, Могила начал
активно добиваться у польского короля права и титула Академии для
задуманной им коллегии. Король решительно отказал, боясь, по-видимому, что
Академия в Киеве со временем может стать оплотом церковной оппозиции польской
политике в землях восточных славян.
Стоит отметить, что в древнеримском законодательстве слово «collegium»
имело значение человеческого тела (корпуса). Позднее это слово
использовалось для обозначения многих средневековых институций - различных
организаций, союзов, гильдий и т. д. Часто коллегиями называли школы второй
ступени. Например, английский учебные заведения второй ступени (secondary
school) в Винчестере и Итоне (XIV в.) именовались коллегиями. С 1539 г. по
1773 г. иезуиты основали многочисленные коллегии в католических странах и
колониях. В средневековой II • шя (например, Болонья) группа создателей некой
организации (например, l/iko^ .-.»й) называлась коллегиумом (коллегией), а собственно
студенческий корпус называ.. i университетским.
Только в 1658 г. у Киевской коллегии появилась возможность получить
высший титул Академии и быть уравненой в правах с Академией в Кракове. Это
было связано с дальновидной политикой гетмана И. Е. Выговского (7—1664),
замыслившего превратить Украину в республику и смело подписавшего Гадяч-
ский договор 1658 г., по которому Украина переходила под опеку Польши.
Именно он, Выговский, хотел возвысить Киево-Могилянскую коллегию до
статуса Академии. С этой целью им было испрошено у польского короля и сейма
6 В XVI-XVIII вв. иезуиты заняли ведущие позиции в европейских странах в области
образования, создав широкую сеть школ. Эта просветительская активность была обусловлена
контрформаторской политикой католического Рима, весьма напуганного успехами рефор-
мационного движения в Европе и пытавшегося различными способами воспрепятствовать
схизме (гр. schisma - расщепление), то есть церковному расколу ( например, католики называли
схизматиками последователей православия). В связи с этим особые надежды возлагались на орден
иезуитов (лат. Societas Jesu - Общество Иисуса), созданный в 1534 г. Надо отдать должное
проводимой иезуитами просветительской политике: в Польше, Литве, Украине они заводили школы и
ничего не брали за обучение.Впрочем, как отмечал известный русский историк Н. И. Костомаров
(1817-1885), при такой бессребренной раздаче умственных даров иезуиты не оставались в накладе,
поскольку взамен денег брали у родителей учеников в виде подарков и приношений хлеб, рыбу,
овощи, мед, полотно, сукна, сосуды и пр., получая таким образом столько, сколько им не могла дать
определенная плата за учение, а между тем эта видимая бесплатность иезуитских школ поддерживала
доброе о них мнение в народе. См.: КостомаровН. И. Собр. соч.-СПб., 1903.-Кн. 1.-Т. 1-3.-С. 624.
Киево-Могилянская Академия (рис. XIX в.)
права Академии для коллегии, которое уравнивало бы Киевскую коллегию с
Краковской Академией. Но в том же 1658 г., лишившись в результате восстания И.
Богуна гетманской булавы, Выговский вынужден был отказаться от своих
замыслов и бежать в Польшу, где его ожидал расстрел по обвинению в измене.
Через три года польский сейм ликвидировал все статьи ГадячСкого договора,
выгодные Украине, Киеву и Киевской коллегии. Полноправное же именование
«Академия» Киево-Могилянская Коллегия получила от Петра I (1672-1725, царь
с 1682 г., правил самостоятельно с 1689 г.) грамотой, которую царь прислал в
Киев 26 сентября 1701 г. С тех пор это название сделалось более или менее
постоянным.
Киевская коллегия была устроена по образцу иезуитских коллегий. Являясь по
духу православной, она по своему строю носила ярко выраженный латино-польский
характер и в этом отношении не отличалась от других западноевропейских коллегий.
Особое значение придавалось изучению латинского языка, поскольку в
судопроизводстве и в европейской науке латынь была официальным языком. Не менее важное
значение для обучающихся в коллегии имел и польский язык, так как был
господствующим языком в Речи Посполитой.
Значение Киевской коллегии как высшего учебного заведения со временем
вышло за пределы Украины и России, хотя и не приобрело достаточно
авторитетного влияния по сравнению с аналогичными учебными заведениями
ближайших европейских соседей.
С 1721 г. Киево-Могилянская Академия переходит в ведение Святейшего
Синода, а в 1817 г. официально переименовывается в Киевскую Духовную
Академию, просуществовавшую чуть более ста лет. пока в Советской Украине не
восторжествовал дух «воинствующего атеизма».
Постепенно, но неуклонно латино-польский язык вытеснял из
официального делопроизводства украинский язык, который в первой половине XVII в. не
20
успел развиться до степени высокого литературного языка, являющегося символом
и воплощением общенационального языка. Малопонятность книжного славянского
языка широким слоям населения создавала почву для применения польского языка
в западнославянской письменности и письменных сношениях отдельных лиц между
собой. Не только светские лица, но и духовные лица весьма охотно пользовались
польским языком.
Польша неумолимо и по разным каналам, включая языковые, подчиняла себе
Украину. После гибели в 1628 г. во время одного из турецких походов главы
казачества гетмана М. Дорошенко противники унии и союза с Польшей
оказались в сложном положении. Среди верхушки казачества, в церковных и светских
кругах возобладали пессимистические настроения, усилились колебания.
Колеблющихся попытался привлечь на свою сторону Мелетий Смотрицкий (ок. 1578-1633),
крупный церковный и общественный деятель, богослов и писатель, автор ряда
полемических церковных трудов и «Грамматики Славенской» (1619) 7. Он начал
склонять православных к соглашению с католиками. Однако его
демонстративный переход в унию возымел скорее обратное действие, поскольку большинство
православных украинцев твердо стояло на стороне непримиримых противников
всяких компромиссов с католиками и униатами.
Лавируя, ища поддержку у власть имущих, Смотрицкий покидает Украину
и перебирается в Москве, где издает свою «Грамматику». Спустя год в Москве
перепечатывается изданный в Киеве краткий катехизис 8 П. Могилы. Тогда же
под Москвой при содействии доверенного советника царя Ф. М. Ртищева
организуется Андреевский монастырь, куда из Киево-Печерского и других
монастырей вызываются до 30 ученых монахов. Этим монахам вменяется в
обязанность переводить иностранные книги на русский язык и обучать желающих
грамматике греческой, латинской и славянской, а также риторике, философии
и другим словесным наукам. К приезжим старцам вскоре примкнули
некоторые из московских монахов и священников. Так в Москве возникло первое
ученое Братство 9.
XVII столетие в России характеризуется общим ростом грамотности,
появлением многочисленных церковных школ, распространением светской книги.
По мнению историков, в XVII в. грамотными в России были всё белое
духовенство, большая часть монахов, около половины землевладельцев, примерно
четверть московского посадского населения. Немало было грамотных и среди
стрельцов.
Высшие слои московского общества не скупились на деньги для домашнего
образования своих детей. Сам царь Алексей Михайлович (1629-1676, царь с
1645 г.), одаренный политик и весьма просвещенный муж, подавал им пример.
В 1649 г. он вызвал в Москву киевских ученых монахов Епифания Славинецкого,
Арсения Сатановского и Дамаскина Птицкого, поручив им перевести Библию с
греческого языка на славянский. Киевляне, кроме исполнения главного заказа,
составляли и переводили на русский язык разные западные книги географического,
7 Проуниатские взгляды Смотрицкого сформировались во время посещения им
Константинополя. Отправляясь на Восток, он намеревался осуществить более точное изучение
восточной веры и церкви, но вместо большей привязанности к бедствующей церкви, чьи страдания
он с таким пылом описывал в своих литературных произведениях, Смотрицкий возвратился
на родину с убеждением, что восточная церковь заражена протестантизмом. В 1628 г. он
издал во Львове книгу «Apologia peregrinatiey do kraiow wschodnych», где излагался новый
взгляд на восточную церковь и предлагалось православным принять унию.
8 Катехизис (от гр. katechesis - наставление, поучение) - краткое изложение
христианского вероучения в форме вопросов и ответов.
9 Ключевский В. О. Соч. - В 9 т. - Т. 3: Курс русской истории. - Ч. III. - М.: Мысль, 1988. -
С. 262.
21
космографического, медицинского характера, преимущественно выписываемые из
Польши.
Знакомству с западной литературой и наукой способствовали не только книги, но
и постоянное общение с иностранными врачами, инженерами, военными. Кстати,
врачи при дворе Алексея Михайловича были связаны с Лондонским Королевским
Обществом, а это позволяло обмениваться научной информацией. Интерес к
западной науке проявлялся и в предметах обихода. В домах знати появлялись часы,
глобусы, зрительные трубки.
В 1664 г. ко двору был вызван Симеон Полоцкий (в миру - Самуил
Емельянова Петровский-Ситнианович, 1629-1680), воспитанник Киевской коллегии
и белорус по национальности, для дальнейшего обучения царских старших
сыновей.
В 1665 г. трем подьячим из Тайного и Дворцового приказов велено было
учиться «по-латыням» у Симеона Полоцкого, для чего в Спасском монастыре
Москвы было построено здание, служившее «школой для грамматического
учения». Спустя два десятилетия при участии царевны Софьи в Москве была
открыта Славяно-греко-латинская Академия, просуществовавшая почти 130 лет 10.
Многие из приглашенных московским боярством учителей были выходцами
из Полыни и Украины. Они привозили с собой польские книги и учили польскому
языку. По свидетельству архиепископа Лазаря Барановича, «царский синклит
польского языка не гнушался, но читал книги и истории ляцкие в сладость».
Анализируя потребность московского общества в новой науке, шедшей с
Запада, известный русский историк В. О. Ключевский (1841-1911) писал, что эта
потребность столкнулась с укоренившейся антипатией и подозрительностью ко
всему, что исходило из католического и протестантского Запада. Нередки были
случаи, когда одна часть учащейся молодежи порицала другую за
воспитываемые новой наукой самомнение и заносчивость, проявляющиеся в критике
признанных авторитетов. Эти нападки на новую ученость отражали глубинные
установки русского церковного сознания.
Не будем забывать, что наука и искусство ценились на Руси по их
непосредственной связи с церковью. Если таковой связи не имелось, то знания и
художественная деятельность рассматривались как праздное любопытство и несерьезная
забава. Церковь либо молчаливо терпела эти «блудливые потехи», либо, вдруг
очнувшись от ленивой и сытой спячки, строго порицала с амвона или, скажем, с
печи опасные для православного духа увлечения, относя их если не к разряду
прямых пороков, то к разряду слабостей греховной человеческой природы.
Однако с западной ученостью было не так-то легко разделаться с помощью
«богоугодной» брани и прочих «душераздирающих» средств квасного патриотизма.
В Москве той поры западные ученые, инженеры и художники считались
лицами весьма и весьма почтенными, которых признавала власть имущих во
главе с царем. Судя по всему, не лыком шита была сия правящая верхушка
москвитян. Но это лишь еще более тревожило определенную часть московского
общества, представители которого ломали голову над вопросами безопасности
веры, благонравия, вековых устоев национального быта.
С середины XVII в. воспитанников Киевской коллегии стали все чаще
вызывать на службу в Москву. Киевские ученые, регулярно соприкасаясь с
западноевропейской наукой и культурой, несли в Москву философские знания и
некоторые сведения естественнонаучного характера. Кстати будет заметить, что в
Киевской коллегии преподавание логики занимало достаточно видное место п.
10 См.: Смирнов С. История Московской Славяно-греко-латинской Академии. - М., 1855. - 432 с.
11 См.: Москаленко Ф. Я. Учение об индуктивных выводах в истории русской логики. - Киев: Изд-во
КГУ,1955.-219с.
22
Основные курсы логики читались на латинском языке. Впрочем, наука,
преподававшаяся в коллегии, была во многом схоластической, оставлявшей мало места
индивидуальному научному творчеству. В плане гуманистического просвещения значение
коллегии было также не слишком велико.
В Москве киевлян благосклонно встречал не только царь, но и
властолюбивый патриарх Никон (Минов Никита, 1605-1681, патриарх с 1652 г.), своими
церковными новшествами положивший начало церковному расколу.
Религиозно-политический фактор был определяющим в развитии российской
образованности. Это не > способствовало прогрессу наук, которые могли бы
оказать практическую помощь русскому обществу в решении каких-либо
технических проблем (скажем, проблем, связанных с перевооружением и оснащением
русской армии на западноевропейский лад, а также с градостроительством).
Необходимо было освободить научную мысль от церковного контроля, а это, в свою
очередь, предполагало подчинение церкви государственной власти. Отчасти
такие намерения попытался осуществить царь Алексей Михайлович, но
окончательно сделал только Петр Великий.
Новый этап в развитии науки и просвещения в России связан с
государственной деятельностью царя Петра I, содействовавшего плодотворному влиянию
западноевропейской культуры на культуру русскую, особенно в плане
организации системы высшего образования в России. Что касается последнего, то
вполне весомую, хотя и неопределяющую роль сыграл великий немецкий
мыслитель Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
18 марта 1700 г. Фридрих III, курфюрст Бранденбурга, подписал декрет,
выражавший соизволение на основание в Берлине обсерватории и Академии
наук. Авторство этого проекта всецело. принадлежало Лейбницу.
11 июля 1700 г. Лейбниц был назначен первым президентом Берлинского
Научного Общества, позднее переименованного в Берлинскую Академию наук.
Основывая Научное Общество в Берлине, Лейбниц мечтал о создании таких
же научных организаций во всех просвещенных странах мира. Эти научные
общества должны были поддерживать регулярные связи и стать «незримой
республикой ученых» в форме федерации обществ ученых. Не был забыт и Петербург.
В середине лета 1697 г. Лейбниц впервые встретился с русским царем
Петром Великим в замке Копенбрюк, близ Ганновера. В это время
двадцатипятилетний самодержец путешествовал по Европе, намереваясь посетить
Голландию с целью изучения морского дела.
Второй раз непоседливый русский царь и неугомонный немецкий философ
встретились осенью 1711 г. при следующих обстоятельствах. Одна из принцесс
брауншвейгской фамилии, София-Христина, вышла замуж за царевича Алексея
(1690-1718). Дед невесты, Антон Ульрих, взял с собой Лейбница на торжества по
этому поводу. Теперь Лейбниц увидел не молодого прожектера, а
дальновидного политика, основателя Петербурга, победителя шведов под Полтавой. Беседы с
русским царем были непродолжительными, но весьма содержательными. Петр живо
общался с философом, внимательно выслушивая его идеи и предложения.
Особенно его заинтересовал план реформы учебного дела и проект учреждения Академии
наук в Петербурге.
Осенью следующего года Петр I прибыл в Карлсбад. По желанию царя
Лейбниц сопровождал его в Теплиц и Дрезден. Во время этого путешествия
обсуждался и был разработан во всех деталях план русской Академии наук.
Академия была основана уже после смерти Лейбница.
Это свидание с Петром I имело важные следствия для Лейбница: он был
принят на русскую службу в высоком звании тайного юстиц-советника с
пенсией в 2000 гульденов.
Роль Лейбница в учреждении Российской Академии наук аргументировано
оспаривается академиком В. И. Вернадским (1863-1945). По мнению Вернадского,
23
Лейбниц не играл в истории образования Петербургской Академии той роли, какую
имел в основании Берлинской, хотя в развитие идеи Российской Академии он внес
определенный вклад. Окончательное же решение о создании Академии Петр I принял
только после посещения Парижской Академии, и в январе 1724 г. это решение было
воплощено в жизнь посредством утверждения царем проекта основания Российской
Академии наук, составленного по его поручению лейб-медиком и заведующим
Кунсткамерой Л. Блюментростом (1692-1755).
Более сдержанную и осторожную оценку этого решения дает историк
Российской Академии Ю. X. Копелевич 12.
Однако, как мне кажется, главным в создании Российской Академии были
не внешние влияния на Петра I и не посещение им Парижа, а факторы сугубо
внутреннего порядка. Дело в том, что Академия знаменовала для царя-
реформатора не только и даже не столько новый этап в развитии русской науки,
сколько контроль за просвещением в интересах государственного
строительства в духе абсолютной монархии. Для этого высшее образование и научные
исследования необходимо было вывести из сферы церковного контроля, а сама
церковь должна была безропотно подчиниться воле абсолютного монарха,
отказавшись от всяких претензий на ту или иную форму государственной власти.
Как довести до конца начатую в XVII в. борьбу абсолютной монархии за
подчинение церкви светской власти и утверждение идеи светского,
государственного суверенитета?
Для этого требуется официально, на правительственном уровне закрепить
зависимость «священства» от «царства». Подобное закрепление достигается
учреждением в 1721 г. Духовной коллегии, вскоре переименованной в Синод. В
Синод входили назначаемые царем церковные иерархи, за деятельностью
которых присматривал обер-прокурор, назначаемый царем из числа офицеров (!),
то есть из числа тех лиц, которые по своему государственному статусу
призваны безоговорочно и четко выполнять государеву волю.
Следует ли в новых условиях слепо копировать западноевропейский опыт,
создавая университеты?
Нет, не следует, ибо эти университеты во многом еще проникнуты духом
схоластики и больше сил тратят на философско-богословские споры, чем на
занятия практически значимыми научными изысканиями. Идея Академии в духе
Лейбница больше импонирует царю своей практической нацеленностью и
привязанностью к государственному аппарату. Очевидно, именно эти
соображения повлияли на его решение создать в Российской Империи новый тип
научного учреждения.
Между прочим, само слово «академия» происходит от названия священной
оливковой рощи, находившейся к северо-западу от Афин. Своим названием
эта небольшая роща обязана мифическому афинскому герою Академу,
который указал Диоскурам (сыновьям Зевса) место, где была укрыта их сестра
Елена, похищенная Тесеем, сыном афинского царя. Считалось, что Академ
похоронен именно в данной роще.
Под сенью олив этой рощи великий древнегреческий философ Платон (427-
347 гг. до н. э.) обучал желающих философии.
Постепенно слово «Академ» приобрело значение «высшая школа». В этом
значении оно использовалось в эллинистическом Египте царем Птолемеем I
(начало IV в. до н. э.) для указания на высшие учебные заведения Александрии,
а также некоторыми средневековыми научными кружками арабского Востока,
мусульманскими халифами Испании и европейскими королями,
патронирующими науки и искусства.
12 Копелевич Ю. X. Основание Петербургской Академии наук. - Ленинград: Наука, 1977. -
С. 32-38.
ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Петр I
Г.В. Лейбниц
[СКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
25
В Средние века академиями назывались небольшие союзы ученых мужей,
объединенных любовью к философии, наукам, искусствам. Первые такие академии
появились в средневековой Италии, члены которых прежде всего интересовались
изучением классической литературы. Одной из самых ранних итальян-ских академий была
Платоновская Академия, основанная во Флоренции в 1442 г. двумя просвещенными
византийскими гуманистами и опекаемая герцогом Тосканским Козимой Медичи
(1389-1464).
В XVI-XVII вв. литературно-философские академии получили широкое
распространение в Италии. Наиболее известной из них являлась Accademia délia
Crusca, которая была основана во Флоренции в 1582 г.
Первые научные академии начали появляться в Италии в XVI столетии.
Например, Academia Secretorum Naturae была основана в Неаполе в 1560 г.
Самой знаменитой из них была Римская Академия (Lincei Academia, 1603). В
1657-1667 гг. функционировала в Тоскане Academia del Cimento, с деятельностью
которой связано прочное утверждение экспериментального направления в
естествознании.
В 1575 г. испанский король Филипп II (1527-1598, король с 1556 г.) основал
в Мадриде Академию математических наук. В 1617 г. была создана Германская
Академия (Fruchtbringende Gesellschaft) в Веймаре с целью развития
литературного языка.
В XVII столетии двумя наиболее крупными и авторитетными академиями
Европы считались Королевское Научное Общество (Royal Society, 1662) в
Англии и Академия наук (Académie Française, 1635,1666) во Франции.
Прототип английской академии был так называемый «невидимый колледж»
Лондона и Оксфорда, инициаторы создания которого начали осуществлять
встречи ученых в 1645 г., а в 1662 г. участники этого «невидимого колледжа»
вошли в состав Королевского Научного Общества.
Французская Академия наук (Académie des Sciences) конституировалась по
образцу уже существовавших к тому времени во Франции двух академий -
Литературной Академии (1635), которую патронировал кардинал Ришелье (Арман
Жан дю Плесси, 1585-1642, кардинал с 1622 г.), оказавший весьма существенное
влияние на духовную жизнь своей страны, и Королевской Академии живописи и
скульптуры (1648, 1663), ныне известной как Академия изящных искусств
(Académie des Beaux-Arts). Эти три французские академии, вместе с двумя
другими, сегодня называются Institut de France.
Своим возникновением Французская Академия наук обязана генеральному
контролеру (министру) финансов Франции Жану Батисту Кольберу (1619-1683),
который, будучи весьма образованным человеком, стремившемся упрочить
контакты с учеными (Р. Декарт, Б. Паскаль, П. Гассенди, М. Мерсенн и др.),
начал привлекать прогрессивную научную общественность для обсуждения
различных проблем науки и государственного строительства. Первая
организованная им встреча ученых состоялась в королевской библиотеке (Париж). В
1699 г. собрания этого общества были перенесены в Лувр под названием
Королевской Академии наук (Académie Royal des Sciences).
В 1793 г. после Франузской революции Королевская Академия наук вместе
с другими королевскими академиями была директивно упразднена, но вскоре
французы опомнились, и уже в 1795 г. на базе существовавшей традиции
научного сотрудничества ученых был создан Национальный Институт, в состав
которого вошла бывшая Академия наук.
Королевская Испанская Академия (Real Academia Espaüola) была основана в
1713 г. с целью сохранения и развития испанского литературного языка.
Таким образом, к началу XVIII столетия многие европейские государства
имели свои научные и литературные академии, в которых много внимания
уделялось учебно-образовательной и педагогической деятельности.
27
В начале XVIII в. появились академии социальных наук, медицины,
агрокультуры и т. д. На протяжении XIX-XX вв. в разных странах мира продолжали
возникать академии, в результате чего многие европейские государства стали иметь по
крайней мере одну академическую организацию.
Просвещение и наука все прочнее утверждались в европейском культурном
быту.
Иначе дела обстояли в Соединенных Штатах, Канаде и в ряде других
англоязычных странах, руководители и общественность которых считали, что
культура, включая научную культуру, должна развиваться не под опекой государства,
а благодаря инициативе частных лиц.
Первое научное общество было основано в Северной Америке в 1743 г.
известным просветителем, ученым и крупным государственным деятелем Бенджамином
Франклином (1706-1790) и называлось Американским Философским Обществом
(American Philosophical Society). Им же была основана первая в северо-американ-
ских колониях публичная библиотека (1731) и Пенсильванский университет (1740).
В 1779 г. появляется Американская Академия искусств и наук (American Academy
of Arts and Sciences), а в 1863 г. в Вашингтоне создается Национальная Академия
наук (National Academy of Sciences).
Ведущими академиями в XVIII столетии были Парижская, Берлинская и
Петербургская. Успехи этих академий в значительной мере определялись
возможностями государственного финансирования научных исследований.
Следует иметь в виду, что большая часть европейских академий относилась к числу
государственных учреждений, деятельность которых субсидировалась,
контролировалась и в некоторой степени направлялась правительствами. Что
касается университетов того времени, то их значение в научных исследованиях было
еще невелико, если не считать Англию и те государства, где академий не
имелось, как, например, Швейцарию или отдельные немецкие княжества. К тому
же ряд академий успешно конкурировал с университетами в учебном плане,
поскольку академии имели в своем составе учебные заведения (например
Петербургская), где велась подготовка учителей, научных работников,
вспомогательного персонала и переводчиков.
Первое место принадлежало академиям и в выпуске периодической
литературы, а также научных монографий. Большой популярностью у европейской
научной общественности пользовались академические петербургские «Записки»,
выходившие, как правило, ежегодно. Так, в течение XVIII столетия в изданиях
Петербургской Академии было опубликовано более 700 статей и книг по
математике. Для того времени масштаб отнюдь не малый, чего не скажешь о
нынешних публикациях академий бывших республик СССР.
Таким образом, создание Петербургской Академии наук позволило России
выйти на одно из ведущих мест в мировой науке.
Свою положительную роль в этом важном для страны деле сыграли такие
первоклассные европейские математики, как Я. Герман (1678-1733), И. Бернул-
ли (1667-1748), Д. Бернулли (1700-1782), Л. Эйлер (1707-1783) и ученые других
специальностей.
Заслуга в закладке прочного фундамента для развития российской науки и
широкой образованности принадлежит не только Академии, но и университетам,
которые хотя и с некоторым опозданием, но все же довольно активно
включились в дело просвещения и научные исследования.
Указ об учреждении первого в России университета (Московского) был
подписан в 1755 г. в Татьянин день, ставший с того времени дорогим днем для
всякого образованного русского.
В начале XIX в. в России были основаны университеты в следующих
городах: Дерпт (Тарту, 1802), Казань (1804), Харьков (1805), Петербург (1819), Киев
(1834), Одесса (1865), Варшава (1869), Томск (занятия начались в 1888 г.).
29
Основная часть чиновников государственного аппарата подготавливалась в
закрытых привилегированных учебных заведениях - лицеях. Старейшим лицеем был
Александровский, основанный в 1810 г. в Царском селе и переведенный в 1844 г. в
Петербург. Курс обучения в нем состоял из 6 классов гимназических и 3
университетских.
Николаевский лицей, учрежденный в Москве в 1868 г., имел 8 классов
гимназических и 3 лицейских. Лицеисты посещали Московский университет в качестве
вольнослушателей и наравне со студентами университета сдавали экзамены.
Демидовский лицей, основанный в 1833 г. в Ярославле, представлял собой
специальное юридическое учебное заведение, программа обучения в котором
совпадала с программой университета и окончание которого давало те же
права, что и окончание юридического факультета университета.
В начале XIX в. существовал Кременецкий лицей, позднее
преобразованный в Киевский университет Св. Владимира.
Ришельевский лицей был преобразован в Новороссийский университет (Одесса).
В 1703 г., одновременно с основанием новой столицы Российской Империи -
Санкт-Петербурга, выходит в свет книга преподавателя Московской школы
математических и навигационных наук Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739)
«Арифметика, сиречь наука числительная» (Москва, 1703), явившаяся учебником
арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии.
Первым собственно русским трудом по логике считается книга М. В.
Ломоносова (1711-1765) «Краткое руководство к красноречию» (1748), в которой
доказывалось, что ключ к ораторскому искусству надо искать в логике.
Годы учебы Ломоносова отчасти связаны с Киево-Могилянской Академией
(1734), где в то время логика занимала довольно видное место в учебных
курсах, входя первым компонентом в философию, делившуюся на три части -
логику, физику (натурфилософию, то есть философию природы) и метафизику
(философское учение о бытии как таковом).
Логика в Киево-Могилянской Академии состояла из двух курсов. Первый,
элементарный, курс назывался диалектикой, а другой, расширенный, -
рациональной философией.
Главными предметами логики являлись понятия, суждения и умозаключения.
В первом разделе логики, посвященном учению о понятии, киевские
профессора рассматривали свойства терминов, придерживаясь книги Петра Испанского
(ок. 1210-1277) 13 «Summulae Logicales» («Суммулы»), представителя так
называемой «новой логики»14. Затем излагалось учение древнегреческого философа
13 Пьетро Ребули-Юлиани, прозванный Испанцем, хотя был португальцем по
происхождению, известен не только как логик, но еще и как Римский папа Иоанн XXI ( 1276-1277). В молодые
годы изучал медицину и выполнял обязанности придворного врача папы Григория X. После
избрания на папский трон принял имя Иоанна XXI в соответствии с ошибочной в тот период нумерацией.
Согласно современному официальному ватиканскому списку, он должен был значиться Иоанном
XIX. В продолжение полувека после изобретения книгопечатания его «Суммулы» издавались
около 150 раз. По этой книге логика преподавалась в европейских школах более трех веков.
14 «Новая логика» («logica nova») появилась в XIII в., сменив «старую логику» («logica vêtus»),
базирующуюся на философских трудах Боэция. Творцами «новой логики» были: Ламберт из
Оксера (ок. 1250), автор «Свода логики»; Уильям Шервуд (ум. 1249), учившийся в Оксфорде
(Англия) и преподававший логику в Париже, а также написавший учебник логики; ученик Шервуда
Петр Испанский. С именем Петра Испанского связано появление «новейшей логики» («logica
modernum»), представлявшей определенный шаг вперед по сравнению с аристотелевской
логикой, которая в то время именовалась «древней логикой» («logica antigua»). См.: Соколов В. В.
Средневековая философия. -М.: Высшая школа, 1979.-С. 379-380; Попов П. С, СтяжкинН. И.
Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения. -М: Изд-воМГУ, 1974.-С. 185.
30
Киевский университет св. Владимира (рис. XIX в.)
Аристотеля (384-322 гг. до н. э.) о категориях (предельно общих понятиях о
бытии). Особое внимание уделялось схоластическому учению об универсалиях
(общих понятиях).
Во втором разделе логики, связанном с анализом структуры и типов суждений,
рассматривались схоластические трактовки соответствующих аристотелевских
разработок.
Завершающим разделом логического курса являлось учение об
умозаключениях (силлогизмах) как видах доказательного мышления.
Позднее, уже будучи на учебе в Германии, Ломоносов имел хорошую
возможность усовершенствовать свои логические, философские и
естественнонаучные знания с помощью прогрессивного немецкого ученого, представителя
раннего Просвещения Христиана Вольфа (1679-1754), ученика и друга Г. В.
Лейбница, профессора в университетах Галле и Марбурга. Благодаря Вольфу он
основательно познакомился с философией Лейбница и Рене Декарта
(латинизированное имя - Картезий, 1596-1650), основоположника философии
рационализма Нового времени. Из тесного общения с Вольфом Ломоносов вынес
привычку к логическому мышлению, веру в огромное значение математики и
рационалистическое отношение к спорным вопросам богословия.
По стопам Ломоносова пошли Иваны Мочульские (братья Иван Большой
и Иван Меньший), вахмистры лейб-гвардии конного полка, написавшие
небольшую книжицу «Логика и риторика для дворян. Словеснословие и
песнопение, то есть грамматика, риторика и поэзия в кратких правилах и примерах»
(Москва, 1789). В эти же годы выходят книги: В. Т. Болотов. Детская логика,
сочинения для употребления российского юношества (Москва, 1787); А.
Никольский. Логика и риторика, кратким и для детского возраста
удобопонятным образом расположенная (Петербург, 1790); И. С. Рижский. Умословие, или
Умственная философия, написанная в Санкт-Петербургском горном училище в
пользу обучающегося в нем юношества Иваном Рижским (Санкт-Петербург, 1790).
В России первый переводной учебник по логике под названием «Логика
Баумейстера» увидел свет в 1760 г. в издательстве Московского университета.
31
Перевод был сделан сержантом лейб-гвардии Измайловского полка и студентом
Московского университета Александром Павловым. В нем кратко и популярно
излагались основные положения учения Ф. X. Баумейстера (1708-1785),
немецкого ординарного профессора философии в Йене (Германия), ректора училища в
Герлице, верного последователя Лейбница и ученика Вольфа. Заслуживают
упоминания и два анонимных перевода с немецкого, а именно: «Краткая логика,
или Умословие, служащие в пользу Российскому юношеству» (Москва, 1788) и
«Общенародная логика, или Исследование науки умственной, приноравливаясь
к общему понятию людей» (Москва, 1789). В 1794 г. была издана в переводе с
латинского «Логика» Иакова Факчиолати, падуанского филолога,
последователя Вольфа. К переводной литературе по вопросам логики следует также отнести
книгу Леонарда Эйлера «Письма о разных физических и философских материях
к некоторой немецкой принцессе» (Санкт-Петербург, 1796), сочинение П. Вильо-
ма «Практическая логика, или Деятельное умословие» (Санкт-Петербург, 1802) и
трактат И. Ватса «Умственная наука, или Прямое употребление разума» (Санкт-
Петербург, 1807).
К числу русских специалистов по логике XVIII в. относится Я. П.
Козельский (ок. 1728 - ум. после 1793), философ, секретарь Правительственного
Совета. Считал логику частью философии.
Одним из авторитетных русских преподавателей логики был А. С. Лубкин
(1770-1815), ректор Петербургской армейской семинарии и профессор
философии в Казанском университете (1812-1815). Считается, что Лубкину
принадлежит первая в истории русской науки попытка перекинуть мост между
дедуктивным и индуктивным разделами логики.
Современником Лубкина был декан философско-исторического факультета
Петербургского университета П. Д. Лодий, автор книги «Логические
наставления, руководствующие к познанию и различению истинного от ложного» (Санкт-
Петербург, 1815), в которой проблемы логики рассматриваются в связи с
психологическими вопросами. До переезда в Петербург Лодий был профессором
во Львове и Кракове.
Родственные взгляды на логику отстаивали и харьковские преподаватели, в
частности И. Любачинский в своей книге «Логика, или Умоучение» (Харьков, 1817).
Знакомясь с научной литературой начала XIX в., мы обнаруживаем
учебник профессора Московского университета И. И. Давыдова (1794-1863)
«Начальные основания логики» (1819-1820), а также книгу Н. Ф. Рождественского
(1802-1872) «Руководство к логике с предварительным изложением кратких
психологических сведений» (1826), который читал логику, психологию и
философию в Петербургском университете.
К первой половине XIX в. относятся интересные логические разработки
русского философа и логика А. И. Галича (1783-1848), учившегося в Германии, а
затем преподававшего в Петербургском педагогическом институте (позднее -
университете).
Самобытностью отмечена и книга заведующего кафедрой логики,
психологии и истории философии Киевского университета О. Новицкого (1806-1884)
«Руководство к логике» (Киев, 1841), в которой автор призывает отделить логику от
философской методологии, поскольку тесная связь с методологией препятствует
логике быть самостоятельной дисциплиной. Идеи Новицкого воодушевили на
логические изыскания И. Михневича, вылившиеся в книгу «Опыт постепенного
развития действий мышления, как руководства для первоначального
преподавания логики» (Одесса, 1847; второе, исправленное издание вышло в 1874 г. в Одессе
под названием «Руководство к начальному изучению логики»).
Перу выдающегося русского педагога К. Д. Ушинского (1824-1870)
принадлежит книга «Первые уроки логики», в которой популярно излагаются
основные понятия и правила логики.
32
Свое место в истории российской логической науки занимает философ и
психолог М. М. Троицкий (1835-1899), профессор Казанского, Варшавского и
Московского университетов, автор ряда публикаций, включая «Учебник логики с подробными
>казаниями на историю и современное состояние этой науки в России и других
странах» (1885) и «Законы логики» (1887).
Нельзя не отметить четырехтомный труд профессора Киевской Духовной
Академ™ (1841-1851) и Киевского университета (1851-1886) С С. Гогхвдсого (1813-1889)
«Философский лексикон» (1857-1873), представляющий собой первую попытку
создать в России энциклопедию по проблемам философии и логики.
Определенной критичностью отмечены логические работы ректора
Петербургского университета М. И. Владиславлева (1840-1890). В его книге
«Логика, обозрение индуктивных и дедуктивных приемов мышления и исторические
очерки логики Аристотеля, схоластической диалектики, логики формальной и
индуктивной» (Санкт-Петербург, 1872; 2-е изд. в 1881 г.) мы находим вполне
резонные замечания в адрес тех логиков, которые слепо придерживаются
традиции и не желают видеть изменений в научном мышлении.
В XIX в. традиционную логику попытался реформировать русский философ и
психолог Н. Я. Грот (1852-1899), представитель психологизма в логике. В 1888 г.
он стал председателем Московского психологического общества, а с 1889 г. -
основателем и первым редактором журнала «Вопросы философии и психологии».
Своей целью Грот ставил сведение логики к разделу психологии, демонстрируя
при этом несостоятельность философско-спекулятивного и
формально-психологического истолкования так называемых логических законов мышления.
Логику можно развивать, но можно и сознательно тормозить это развитие.
Примером последнего служит известный русский философ А. И. Введенский (1865—
1925), профессор Петербургского университета и председатель Петербургского
философского общества (1899-1921). Его бойкому перу, помимо всего прочего,
принадлежат книги «Логика» (Санкт-Петербург, 1910) и «Логика как часть теории
познания» (Петроград, 1917). В XX в. по пути, которым шел Введенский,
последовательный идеалист, начнут маршировать его критики в лице советских филосо-
фовтматериалистов, доказывая, как В. И. Ленин (1870-1924) и сам Введенский, а
еще ранее как И. Кант (1724-1804) и Г.В.Ф.Гегель (1770-1831), что «не надо 3-х
слов» применительно к одной науке, именуемой логикой, диалектикой и теорией
познания (В. И. Ленин). Иначе говоря, Введенский пытался растворить логику в
теории познания, сделав ее зависимой и даже второстепенной философской
дисциплиной. Аналогичные попытки будут предприниматься многими
представителями диалектического материализма в СССР вплоть до конца 80-х гг. Правда,
после развала Советского Союза некоторые из них вынуждены будут с
отвращением взяться за преподавание формальной логики как самостоятельной и
независимой от теории познания дисциплины. О temporal О mores! 15
В свое время 14 изданий (1871-1916) выдержал «Учебник формальной
логики» профессора Петербургской Духовной Академии А. Е. Светилина (1842-1887).
Этот учебник был наиболее распространенным руководством по логике в
учебных заведениях Российской Империи XIX и начала XX в.
Известным русским логиком был М. И. Каринский (1840-1917), профессор
кафедры метафизики Петербургской Духовной Академии. В 1870 г. он отправляется
в заграничную командировку. Находясь в Германии, слушает лекции известного
немецкого историка древнегреческой философии Э. Целлера (1814-1908), автора
классического труда «Философия греков в ее историческом развитии» (Тюбинген,
1844-1852). Посещает лекции знаменитого историка философии К. Фишера (1824-
1907), автора многотомной «Истории новой философии» (Мюнхен, 1852-1877), а
«О времена! О нравы!» (Цицерон).
33
также лекции философа, врача и естествоиспытателя Р.ГЛотце (1817-1881),
который ввел в философию такие исключительно важные для нее и социологии понятия,
как «значимость» и «ценность». В 1880 г. Каринским была зищищена диссертация
на тему «Классификация выводов». В 1884-1885 гг. читал логику на Бестужевских
курсах (Высших женских курсах) в Петербурге. Наиболее важной его работой по
логике является «Классификация выводов» (СПб, 1880) 16. По мнению историков
логической науки, Каринский выступил новатором в логике, предложив интересную
теорию умозаключений, которая близка по духу так называемой алгебре логики У. С.
Джевонса (1835-1882) и У. Гамильтона (1788-1856), предшественников современной
математической логики.
Хорошо известно историкам логической науки в России и работы Л. В. Рут-
ковского (1859-1920), верного последователя Карийского, читавшего свои
лекции по истории философии и логике в Петербургском университете 17.
Окончив в 1880 г. историко-филологический факультет Петербургского
университета, он защитил диссертацию в Казани, затем работал внештатно при
Петербургском университете, где читал лекции по английской эмпирической
философии. После 1917 г. работал управляющим общим отделом Рабоче-крестьянской
инспекции в Одессе.
Весьма заметной фигурой в историческом ряду российских логиков является
философ и психолог Г. И. Челпанов (1862-1936), профессор Киевского (1892-1906)
и Московского (1907-1923) университетов, инициатор основания Московского
института психологии. Ему принадлежит «Учебник логики», переиздававшийся
11 раз (последний раз - в 1946 г. с некоторыми сокращениями и
исправлениями).
Критичностью и обстоятельностью отличаются логические труды И. И. Яго-
динского (р. 1869, год смерти неизвестен), приват-доцента Казанского
университета. Его основными трудами по логике являются: «Генетический метод в
логике» (Казань, 1909); «Сущность и основные типы суждений» (Казань, 1914).
В Казанском университете преподавал выпускник медицинского
факультета этого же университета, талантливый логик Н. А. Васильев (1880-1940),
предвосхитивший некоторые положения так называемой конструктивной логики.
Вопросами истории логики в России занималось небольшое количество
ученых. Среди них можно отметить Е. А. Боброва, автора книг «Логика
Аристотеля» (1906) и «Историческое введение в логику» (Варшава, 1913), и академика
Ф. И. Щербатского (1866-1942), автора фундаментальных трудов по истории
идийской теории познания и логики буддийского периода, а также
соответствующих переводов («Теория познания и логика по учению позднейших
буддистов». - В 2 ч. - СПб., 1903-1909; Buddhist Logic. - В 2 т. - Ленинград: Изд-во
АН СССР, 1932).
У истоков российской традиции логико-математических исследований
стоит талантливый ученый П. С. Порецкий (1846-1907), астроном и математик,
профессор Казанского университета. Он первым в России начал читать лекции
по математической логике. Им же были обобщены и развиты теоретические
положения алгебры логики англичанина Дж. Буля (1815-1864),
логико-математические идеи У. С. Джевонса и Э. Шредера (1841-1902).
Родился Порецкий в небольшом украинском городе Елисаветграде
Херсонской губернии, в семье военного врача. Среднее образование успешно
16 См.: Каринский М. И. Классификация выводов // Избранные труды русских логиков XIX
века. - М.: Изд-во АН СССР, 1956. - С. 3-177; Каринский М. И. Отрывок из
литографированного издания «Логика» // Там же. - С. 179-192.
17 Рутковский Л.В. Критика методов индуктивного доказательства // Там же. - С. 193-264;
Рутковский Л. В. Основные типы умозаключений // Там же. - С. 265-344.
34
завершил в Полтаве, после чего до 1870 г. учился на физико-математическом
факультете Харьковского университета. Затем был оставлен при университете
профессорским стипендиатом по кафедре астрономии. В 1876 г. избирается
астрономом-наблюдателем Казанского университета. В 1886 г. ему
присуждается ученая степень доктора астрономии и звание приват-доцента по
сферической тригонометрии. Умер Порецкий в селе Жоведь Гроднянского уезда
Черниговской губернии, куда он переехал из Казани, будучи уже тяжело больным.
Логико-математические идеи Порецкого получили признание далеко не
сразу. Это было вызвано сдержанным отношением российской научной
общественности к математической логике в силу ее недостаточно строгой обоснованности
и отсутствия ближайших перспектив практического приложения
соответствующих логико-математических построений. Например, попытки Дж. Буля
применить свой алгоритм в области статистики и теории вероятностей не дали
ощутимого эффекта. Характерно, что Порецкий вынужден был опубликовать часть
своих работ по математической логике на французском языке за границей. Лишь
немногие русские ученые поддержали новаторскую деятельность Порецкого.
Основательно математической логикой занимался русский математик и
логик Е. Л. Буницкий (187Ф-1952), профессор Одесского университета (1818-1922),
преподаватель Карлова университета в Чехословакии. Буницкий родился в
Симферополе. Математическое образование получил в Новороссийском
университете (Одесса), а затем в течении ряда лет преподавал математику в средних
учебных заведениях Одессы, принимая активное участие в заседаниях
математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей, одним
из членов которого был пропагандист алгебры логики, профессор математики
Новороссийского университета И. В. Следшнский. Следует отметить, что Сле-
шинский осуществил перевод на русский язык «Алгебры логики» известного
французского философа и логика Луи Кутюра (1868-1914), который одним из первых
зарубежных ученых высоко оценил результаты работ Порецкого в области
математической логики. Именно под влиянием Слешинского Буницкий познакомился
с алгеброй логики. Буницкому принадлежат следующие статьи по логике,
напечатанные в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики»
(Одесса): «Некоторые приложения математической логики к арифметике» (1896-1897,
35
№ 247-248); «Число элементов в логическом многочлене» (1897, № 249);
«Некоторые приложения математической логики к теории общего наибольшего делителя и
наименьшего общего кратного» (1899, № 274). После 1900 г. Буницкий постепенно
отходит от занятий в области алгебры логики.
Профессором Одесского университета был и С. О. Шатуновский (1859-1929),
талантливый математик, логик и педагог, автор ряда оригинальных логико-
математических работ, которые, как и многие другие работы русских логиков,
все еще ждут должной исторической оценки.
Постепенно у российских ученых рос интерес к алгебре логики, что нашло
отражение даже в консервативной учебной литературе. Свидетельством этого
является учебник приват-доцента Петроградского университета К. Ф. Жакова
«Логика» (СПб, 1912), один из разделов которого посвящен изложению основных
принципов алгебры логики. Историки логики указывают также на книгу Г. И. Верев-
ского «Математическое обоснование законов мышления» (Николаев, 1913).
Одним из основоположников российской школы математической логики был
И. И. Жегалкин (1869-1947), профессор Московского университета.
Идеи математической логики нашли отражение в работах философа и
логика С. И. Поварнина (1870-1952), который одним из первых русских ученых
начал разрабатывать так называемую логику отношений, что нашло свое
отражение в его книге «Логика отношений» (1917).
После 1917 г. преподавание логики в бывшей Российской Империи начало
свертываться. Как отмечают историки, отрицательные последствия исключения
логики из числа школьных предметов не замедлили сказаться на общем уровне
выпускников школы и на подготовке специалистов в области логики, в которых
особенно нуждалась теоретическая и прикладная математика, юриспруденция и
другие науки, включая науки технического профиля. В 1946 г. было вновь
введено преподавание логики во всех средних школах и в некоторых высших учебных
заведениях. Начали приниматься меры по подготовке преподавателей логики.
Но через несколько лет логика опять оказывается в опале и вычеркивается из
числа школьных дисциплин.
В 60-70-е гг. логика с большим трудом пробивала себе дорогу в
гуманитарных вузах СССР, ибо «подозрительно» тяготела к методологии
логико-философского позитивизма. Несколько лучше дела обстояли с математической логикой,
но и ей приходилось нелегко, так как давали о себе знать сталинские
репрессии, обрушившиеся на представителей кибернетики и сочувствующих им
математиков.
Из числа советских философов и математиков послевоенного периода наиболее
плодотворно на ниве логической науки трудились и трудятся такие ученые, как: А.
С. Ахманов, Б. В. Бирюков, И. Н. Бродский, Е. К. Войшвилло, Ю. А. Гастев,
Д. П. Горский, А. Г. Драгалин, А. А. Зиновьев, Н. И. Кондаков, А. Н. Колмогоров,
А. О. Маковельский, А. А. Марков, И. С. Нарский, П. С. Новиков, П. С. Попов,
Г. И. Рузавин, В. А. Смирнов, Е. Д. Смирнова, Н. И. Стяжкин, А. Л. Субботин,
А. И. Уёмов, В. А. Успенский, С. А. Яновская и др.
Ныне для развития логики нет политико-идеологических преград, но зато
имеются другие преграды, связанные с тем, что в бывших республиках СССР резко
упала престижность научной деятельности и тех учебных дисциплин в высшей
школе, которые имеют преимущественно теоретическую ценность. Сегодня не
каждый молодой человек решится посвятить себя науке, которая не обещает
успехов на коммерческом поприще. Поэтому предлагаемая книга рассчитана на
тех, кто все же отважится посвятить себя непрестижным наукам. Но поскольку
не духом единым жив человек, то спешу еще раз уведомить бескорыстных
любителей Истины, что хорошему специалисту в области логики доступен весьма
высокий жизненный уровень, определяемый его участием, например, в
составлении компьютерных программ (так называемое логическое программирование).
36
Однако в случае выбора жизненных путей необходимо все же помнить, что наука
не терпит тех, кто относится к ней утилитарно и рассматривает ее в качестве
средства для достижения вненаучных целей.
Заканчивая свои историко-социологические пролегомены в современную логику,
напоследок скажу следующее. Эти пролегомены написаны в нетрадиционной
манере потому, что я хотел как бы провести читателя по историческим коридорам
высших учебных заведений Западной Европы и России и познакомить его с теми
учеными, научно-педагогическими и научно-исследовательскими организациями,
появление которых было обусловлено вполне определенными потребностями социальной
жизни. Последнее означает, что современное общество, в котором имеются
подобные организации, лишившись их, будет не в состоянии удовлетворять
соответствующие потребности и тогда ему придется туго. Иными словами, как бы мы ни
трактовали предмет логики, ее теоретическую и практическую значимость, логика в
качестве научной и педагогической дисциплины прочно укоренилась в обществе, и
этим упрямым фактом нельзя пренебрегать. Организаторы науки должны
считаться с ним, а идущим в науку полезно иметь в виду, что фактическое состояние дел
определяет реальный диапазон их жизненного выбора. Чем уже этот диапазон, тем
менее свободен человек и тем больше его зависимость от обстоятельств. Вряд ли
кому-то понравится быть скованным осознаваемой необходимостью и обещаниями
светлого будущего для грядущих поколений. Человек должен быть творцом своей
судьбы, а не рабом фатально неизбежного. Вот почему нельзя позволять себе
высокомерное или пренебрежительное отношение к вещам абстрактным и «материям
тонким», ибо эти «тонкие материи» умеют беспощадно мстить доморощенным
прагматикам. Короче, все профессии нужны, все профессии важны. Хорошенько это
запомним и перейдем к рассмотрению собственно логических вопросов.
1 •
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВЗАИМОСВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ
И МЕТОДОЛОГИИ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВЗАИМОСВЯЗЬ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ
И МЕТОДОЛОГИИ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
Вводные замечания. - К вопросу о предметной области логики в прошлом и
настоящем. - Мышление, язык, логика. - Проблемная ситуация, проблема и
задача как факторы, активизирующие деятельность познающего сознания. -
Логика науки и задачи современной методологии научного познания. -
Теория абстракции как фундамент теории определений и современной логики. -
Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
Вводные замечания. Серьезное, вдумчивое изучение логики предполагает
знание основ философии и методологии научного познания. Без этих знаний логика
предстает сухой, абстрактной дисциплиной, весьма далекой от реальных запросов
практической деятельности людей. Конечно, можно ограничиться
зазубриванием ее технических правил для решения школьных задачек, ответы на которые
уже загодя известны, но подобное усвоение материала имеет косвенное
отношение к собственно логической науке. Для тех же пытливых умов, которые хотят
видеть реальные перспективы и возможные пути развития современной
логической мысли, должен подчеркнуть следующее: принимаясь за изучение именно
современной логики, очень важно постоянно иметь в виду, что логика в ее нынешнем
виде возникла не в результате схоластических попыток научить всех желающих
правильно мыслить и красиво рассуждать, а из решения довольно специфических задач,
касающихся укрепления методологических основ математики и других наук,
ориентированных на строгие и точные методы познания.
Если речь заходит об основах научного знания, свои права на обсуждение
соответствующих вопросов предъявляет философия, которая на протяжении
многих веков занималась именно основными, фундаментальными идеями,
понятиями и представлениями, так или иначе отражающими наши знания об
окружающем мире и человеке. Правда, теперь, когда логика стала относительно
самостоятельной научной дисциплиной, а философия потеряла многие свои
полномочия, диалог между философами и логиками не выглядит как общение учителя с
учеником. Сегодня они достаточно равноправные партнеры.
Поскольку философия - многодисциплинарная наука, включающая в себя
и определенную часть обширной логической науки, и теорию познания, и
этику, и эстетику, и другие отрасли знания, постольку во всем своем объеме она
не может быть введена в состав проблематики, непосредственно примыкающей
к логике. В данном случае вполне достаточно ограничить эту проблематику
предметной областью теории познания. Однако и здесь не все так просто, как
это может показаться на первый взгляд. Прежде всего следует подчеркнуть,
что нет единой теории познания для всех времен и народов. Кроме того,
некоторые философы очень негативно относятся к конструированию теорий
познания, ибо полагают, что для современной науки вполне достаточно разработок
методологии научного познания.
Несмотря на всю остроту полемики вокруг философских теорий познания,
большинство ученых все же высоко оценивают роль данных теорий в решении
фундаментальных научных проблем, ибо на собственном опыте не раз убеждались в
необходимости осваивать незнакомые им методы познания при выходе на
междисциплинарную проблематику, а это значит, что им приходилось сталкиваться с
Глава 1
39
теми задачами, которые так или иначе решались философами, специалистами в
области гносеологии.
Слово «гносеология» происходит от греческих слов «gnosis» {знание,
познание) и «logia» {слово, учение). Иногда вместо этого термина используется,
преимущественно в англосаксонских странах, термин «эпистемология» (гр. epistemo -
знание + logia - слово, учение). Само выражение «теория познания»,
закрепляемое терминами «гносеология», «эпистемология», впервые было введено в
философию шотландским философом Дж. Феррьером в 1854 г.
Исключительно важным разделом гносеологии является методология
научного познания. Долгое время в философской литературе по гносеологии
основное внимание концентрировалось на общих характеристиках процесса познания,
на выяснении его связей с формами поведения и практической деятельности
людей, тогда как средствам и методам исследования в науке уделялось значительно
меньше места в научных трактатах. В XX в. отношение к методологии научного
познания существенно изменилось.
Объективно обусловленное сближение разных наук для комплексного
решения сложных научно-технических и социально-экономических проблем
показало много общего в тех инструментах познания, которые еще недавно казались
совершенно разными. Возникла настоятельная потребность изучить и
классифицировать этот инструментарий, анализ которого и составил задачу
современной методологии научного познания.
В отличие от психологии научного творчества, которая изучает
индивидуальные особенности познавательной деятельности ученого, методология
рассматривает общие системы принципов и способов организации научного
знания, описывает универсальные и специфические методы научных исследований,
их уровни и т. д. Большую роль в этом деле играет логика, помогающая не
только анализировать теоретические структуры научного знания, но и
участвовать в его практической реализации.
В предлагаемой главе читатель сможет познакомиться с различными
трактовками предметной области современной логики, проследить ее связи с
философией и методологией научного познания, а также с другими науками и
научно обусловленной практикой социально-технического прогресса.
К вопросу о предметной области логики в прошлом и настоящем. В
некоторых учебниках по логике можно прочитать, что формальная логика изучает
мышление. Я категорически не согласен с этим.
Что же изучает логика и почему ее иногда называют «формальной»?
Выражение «формальная логика» вошло в философский лексикон отнюдь
не со времен древнегреческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н. э.),
считающегося основоположником европейской логической традиции. Свою роль
сыграли два выдающихся немецких философа XVIH-XIX вв. - И. Кант и Г. В.
Ф. Гегель. Кант первым, но лишь изредка употреблял выражение «формальная
логика». Гегель же постоянно пользуется этим выражением, противопоставляя
свою диалектическую логику логике формальной, якобы имеющей дело с
некими застывшими «сущностями».
Ни Кант, ни Гегель не обогатили логической науки, но скорее внесли
страшную путаницу в философские умы, используя слово «логика» не по
назначению, а для указания на теорию познания (гносеологию). В результате до сих
пор среди определенной части философов бытует традиция рассматривать
формальную логику как нечто менее ценное по сравнению, скажем, с теорией
познания.
Любопытно, что термин «логика» для обозначения определенной
предметной области философского знания начал употребляться не Аристотелем, а его
последователями. Сам Аристотель хотя и пользовался словами «логический»,
«логически», но главным образом применительно к вероятному знанию, тогда
40
К.К. Жоль Логика
как относительно достоверного знания он пользовался прилагательным
«аналитическое».
Должен подчеркнуть, что для древнегреческого мыслителя аналитика
(логика) не была самоценной научной дисциплиной, предполагающей наличие
особой группы профессионалов. В качестве чисто технического, подсобного
учения она подчинялась метафизике, основным предметом познания которой
является сущность всех природных явлений.
Родословная логической науки тесно связана с философскими
размышлениями о правилах спора, процедурах убеждений, доказательств вины или
невиновности подсудимых. В этом отношении логика ближе к риторике и
юриспруденции, чем к теории познания.
Логика Аристотеля действительно была «формальной», но не в современном
смысле слова, а в том смысле, который придавал этому слову греческий
философ. Для него «форма» сливалась с «сущностью», то есть с чем-то главным,
незыблемым в мире меняющихся вещей. Поскольку определение, по Аристотелю,
есть словесное выражение сущности, он нередко высказывался так: «сущность в
словесном выражении», или просто «логос» (слово, наука), для обозначения
философски истолкованной формы.
Покаянно согласись мы с тем, что философы почти обоготворили понятие
«сущность» и приучили нас автоматически пользоваться этим
полумистическим словом, намного проще было бы объяснять смысл выражения
«формальная логика», опираясь на современные научные представления о так
называемых языковых формах. Сейчас же нам приходится пробираться хотя и
проторенными, но трудными путями истории философской мысли, чтобы развеять
туман, окутывающий довольно простые вещи.
С чего начинается формальная логика?
Вопрос с подвохом, но ответ на него прост, если не мудрствовать лукаво.
42
К.К. Жоль Логика
Формальная логика начинается отнюдь не с изучения мышления, как это
декларируется в некоторых учебниках, а с изучения совсем других предметов,
озадачивающих это самое мышление вроде бы «скучными», на первый взгляд,
задачами, а именно: ставится «простенькая» задачка, скорее даже задание,
заменить некоторые объекты их абстрактным описанием с помощью специального,
в той или иной степени формализованного языка. Логикам хорошо известно, что
формализованный язык, в противоположность обычному, естественному языку,
следует за так называемой логической формой и порой слишком дотошно ее
воспроизводит в ущерб краткости и легкости общения, но без этого не
обойтись, особенно тогда, когда мы стремимся часть рутинной работы передать,
допустим, компьютеру.
Сегодня потребность в формальном описании различных языков (естественных и
искусственных) особенно велика в связи со стремительным развитием кибернетики и
компьютерной техники, требующей соответствующего программного обеспечения.
Поэтому формализация различных типов грамматик, по справедливому мнению ученых,
оказывается важным междисциплинарным предметом исследования, объединяющим
представителей разных наук. Хотя истоки данных исследований коренятся в
математике и в этом смысле имеют давнюю традицию, но сейчас процесс формализации
научных языков приобретает актуальное звучание почти во всех науках, где
предпринимаются попытки использовать компьютерные программы не только для хранения
полученного знания, но и для автоматизированного построения гипотез, решения
логико-математических задач, доказательства различных научных теорем, оказания
помощи при переводе с одного естественного языка на другой. Вот почему теорию
формальных языков все большее количество ученых резонно рассматривает как одну
из важнейших областей современных научных исследований.
Введение особого формализованного языка означает принятие специальной
системы логического языка. В этом смысле формализованный язык не является каким-то
выдуманным заменителем слов и предложений естественного языка. Разумеется,
поскольку мы все-таки люди, а не роботы, то наш хотя и формализованный, но
служащий человеку искусственный язык пытается копировать обычный язык, обставляя
это массой различных и совершенно неизбежных оговорок.
Таким образом, логика располагает своим формализованным языком, который
удовлетворяет следующим требованиям:
(1) все основные (простые, несоставные) знаки (символы) должны быть
представлены в явном виде;
(2) должны быть заданы правила введения новых знаков с помощью
уже имеющихся;
(3) должны быть заданы все правила построения формул (например:
правила образования предложений из слов);
(4) должны быть заданы все правила преобразования формул;
(5) должны быть заданы правила интерпретации наших абстрактных
построений.
Так понятая формальная логика не учит красноречивых неофитов правильно
мыслить и «озвучивать» свои «правильные мысли», но зато учит правильно
решать определенные и весьма специфические типы научных задач. Ее
точнее было бы называть символической логикой, что и делают многие ученые,
отличая эту логику от сугубо математической логики, обслуживающую
преимущественно математику.
Свое название современная символическая логика получила благодаря
широкому использованию точно определенных логических символов. Использование симво-
Глава 1
43
лов обнаруживает родство формальной логики, появившейся в недрах философии, с
математикой. Такое родство касается способов правильных выводов
(умозаключений) в логике и математике. На этой методологической основе некоторые ученые
определяют современную символическую логику как науку о выводимости одних
утверждений из других в процессе теоретических рассуждений.
Символическая логика, проникая в сферу математических рассуждений,
принимает вид математической логики. Однако не следует путать
логико-математическую символику с математикой как особым способом рассуждений.
Математическая форма еще не гарантирует, что мы имеем дело с собственно математикой.
Иногда и слова естественного языка выражают достаточно точно суть
математических идей. Достигается это за счет логического сцепления выражений
естественного языка. Вообще-то надо заметить, что вычисления - отнюдь не главное, чем
занимаются математики. На самом деле в чистой математике вычисления
встречаются крайне редко. Чаще всего математические вычисления имеют место там,
где собственно математическая работа закончена, и речь идет лишь о том, чтобы,
руководствуясь известными логико-математическими правилами, выполнить
определенный объем сугубо механической работы.
Логику в ее нынешнем виде не интересует и не должно интересовать, как
человек приобрел необходимые ему для логических рассуждений знания. Пусть
этим занимается гносеология и психология. Логику же интересует лишь то, как
можно чисто теоретическим образом получать новые знания на базе уже
имеющихся. В связи с этим основной задачей современной логики является контроль
за правильностью выводов.
То, что не интересует логику как строгую, формальную дисциплину, не может
не интересовать ее теоретиков, методологов и философов. Именно они
выдвигают новые идеи и принципы построения логических систем, самых разнообразных и
44
К.К. Жолъ Логика
порой весьма неожиданных. По справедливому мнению известного советского
математика и логика А. А. Маркова (1903-1979), в идее неединственности логики нет
ничего удивительного или крамольного. Практика свидетельствует, что все наши
рассуждения не могут и не должны управляться одними и теми же законами. Для
последнего нет никаких серьезных оснований. Поэтому попытки подогнать
определение логики под единый шаблон выглядят, мягко говоря, занятием
легкомысленным. Аналогичных взглядов на логику придерживался и известный американский
ученый С. К. Клини (1909-1994), крупнейший специалист в области
математической логики. По его словам, со времени открытия неевклидовой геометрии русским
ученым Н. И. Лобачевским (1792-1856) в 1826 г. (опубликовано в 1829-1830) и
венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860) в 1832 г. стало совершенно ясно, что
мысленно равновозможны различные системы геометрий. Точно так же имеются и
различные логики. Скажем, на базе одних и тех же математических постулатов
можно построить разные теории, различия в которых обусловливаются той
логической системой, с помощью которой осуществляется вывод. Подобно евклидовой
геометрии, классическая логика является самой простой и наиболее употребительной
логической системой (в математике, точных науках и в повседневной жизни), хотя
порой ее слишком превозносят и наделяют несвойственными ей возможностями.
И все же поскольку спекулятивно-схоластические определения логики регулярно
встречаются в учебниках, имеет смысл проанализировать одно из них, а именно:
«Формальная логика есть наука о формах, то есть структурах, мысли». Каковы же эти
«формы» («структуры») мысли? Что такое мышление вообще?
Мышление, язык, логика. Проблематику сознания и мышления обычно
освещают философы и психологи. Логики же из числа математиков, пережив «головную
боль» психологизма XIX в., когда психологию превозносили едва ли не как главную
науку о человеке и его способах постижения истины, считают, что эта
проблематика к ним не имеет никакого отношения.
В определенном смысле они правы, но только в определенном смысле. Не
будем забывать, что формированию такого убеждения способствовали
философы-неопозитивисты, занимавшие в вопросах методологии и логики научного познания
непримиримую антипсихологистскую позицию и надеявшиеся с помощью
«позитивного» (конкретно-научного) знания решить все философские проблемы. Однако под
напором усложнившихся внутренних проблем (скажем, проблемы логической
семантики как науки об интерпретации абстрактно-логических построений) и факторов
внешнего порядка, обусловленных развитием науки и техники XX столетия,
неопозитивисты вынуждены были несколько смягчить первоначальные требования к
языку и методам научного познания.
Наиболее сильный и воистину неожиданный удар был нанесен неопозитивизму в
послевоенный период. Удар обрушился оттуда, откуда его меньше всего ожидали
именно философы-неопозитивисты, многие из которых пришли в философию, имея
не философскую, а естественнонаучную или техническую подготовку. Сюрприз
шокового характера был преподнесен научно-технической революцией: разработчики
компьютерной техники поставили на повестку дня «запретную» для антипсихологи-
стской логики проблему - проблему мышления (сознания). Исследования в области
«искусственного интеллекта» требовали выработки нового взгляда на механизм
функционирования познающего сознания.
Анализируя этот механизм, ученые пришли к выводу, что каждый акт сознания
есть индивидуальный акт, совершаемый отдельным человеком в своей
нервно-мозговой системе, но этот акт всегда протекает в границах определенного социально-
культурного поля значений и объективно действителен в той мере, в какой выразим
в языке, являющимся масштабом (эталоном) для идентификации единичного и
классификации его всеобщей (общей для всех) ценности, значимости. В этом смысле
Глава 1
45
тот или иной язык определяет не только направление деятельности индивидуального
сознания, опосредствуя значениями степень важности элементов системы знания,
но даже господствующие интеллектуальные навыки и манеру миропонимания.
С современной научной точки зрения язык - это не внешняя оболочка мысли,
а ее живая действительность. Иными словами говоря, язык как практически
действующее сознание - это особый тип знаковой, смыслопорождающей
деятельности, помогающей человеку решать разнообразные теоретические и практические
задачи.
Понимание языка как практической формы сознания {интеллекта) помогает
существенно расширить горизонт традиционной гносеологии, покинуть узкие рамки
индивидуального познания и выйти в сферу истории и теории научного познания.
В традиции, идущей от выдающегося немецкого филолога В. фон Гумбольдта
(1767-1835) через исключительно талантливого российско-польского ученого И. А.
Бодуэна де Куртенэ (1845-1929) и швейцарского лингвиста Ф. де Соссюра (1857-
1913), принято различать язык и речь. Например, Соссюр определял язык (langue)
как специфический вид знания, а именно как знание правил, которые лежат в
основе живой (устной или письменной) речи. Эти знания в качестве «идеальных
сущностей» противопоставляются «речи» (parole) как их материальной «являемости».
И по сей день для многих лингвистов из числа последователей Соссюра, язык
- это некоторая «идеальная вещь-в-себе». По этому поводу критики Соссюра
пишут, что при обсуждении его учения спорным является не очевидное различие между
речью и языком, само по себе неуязвимое (поскольку очевидно, что язык не есть
то же самое, что речь), а антиномичный 1 характер, который придавал этому
различию Соссюр, отрывая язык от речи.
Споры вокруг соссюровской триады («язык», «речь», «речевая деятельность»)
показывают, что проблема языка (в широком смысле слова) - далеко не
внутренняя проблема лингвистики. Язык - это основополагающая категория не только
лингвистики, но в том числе и логики. Данная категория в рамках той или иной
отдельной науки не может быть теоретическим образом раскрыта и
удовлетворительно определена; для ее определения необходимо выйти в сферу
гносеологии и методологии научного познания, учитывая запросы лингвистики, логики и
семиотики2.
Не менее острые споры ведутся вокруг понятий «мышление» и «сознание»,
которые «школьная» логика беззаботно включает в определение своего предмета.
На примере дистинкции 3 «мышление/сознание» мы сталкиваемся с
фундаментальными философскими вопросами. К их числу относятся вопросы о
субстанциальности физического и психического, о тождестве мышления и бытия, о
самотождественности человеческой личности, о единстве и субстанциальной основе душевной
жизни человека, о взаимосвязи мышления и языка.
Почему в философии проблема субстанции занимает столь видное место?
Каким образом эта проблема связана с анализом душевных явлений?
Субстанция4. Понятие субстанции выражает смысл единства в многообразии.
Применительно к анализу душевных явлений проблема субстанции на протяжении
длительного развития философии приобретала вид разнообразных вопросов: Что является
фундаментом душевных процессов? Непрерывен ли опыт человеческого познания?
Является ли самотождественной сущностью человеческий интеллект? Что такое
память?
1 От гр. antinomia - противоречие в законе; неразрешимое противоречие.
2 От гр. semeion - знак, признак; semeiotike - учение о знаках.
3 От лат. distinctio - различение.
4 От лат. substantia - первооснова, основание, платформа, фундамент.
46
К. К Жоль Логика
Несведущему в философии читателю эти вопросы могут показаться чем-то
слишком абстрактным, оторванным от жизни. Попытаюсь переубедить его,
воспользовавшись несколькими примерами.
В беседе с Горацио на кладбище Гамлет, созерцая бренные останки, задается
вопросом: «Что мешает вообразить судьбу праха Александра Македонского шаг за
шагом, вплоть до последнего, когда этот прах идет на затычку бочки?»
Итак, Александр Македонский умер, Александра похоронили, Александр
стал прахом, прах - земля, из земли добывают глину. Почему глине, в которую
он обратился, не оказаться в обмазке пивной бочки?
И, наконец, знаменитые слова: «Пред кем весь мир лежал в пыли, торчит
затычкою в щели».
Теперь давайте пофантазируем и представим, что эти слова услышали
уэллсовские марсиане. Не сочли бы они это за особую техническую хитрость
землян, которые «демонтировали» своего кумира, а затем, плотно спрессовав все
его молекулы в «пакет-затычку», спрятали в щель пивной бочки для отвода
марсианских глаз? Понадобится, земляне призовут на помощь специалистов из
числа инженеров человеческих душ, и те, вытащив «затычку», осуществят монтаж
оригинала. А если эти земляне поступят таким же образом не только с
Александром Македонским, а и со всем человечеством, «упаковав» его во все дырки и
щели бочка-тары, дабы спастись от марсианских кровопийц? Ответ
напрашивается сам собой: марсиане рискуют остаться в дураках.
Возможны ли подобные «демонтажи» и «монтажи»?
Известный польский писатель-фантаст Станислав Лем (р. 1921) в «Звездных
дневниках» Ийона Тихого, знаменитого во всех галактиках звездопроходца,
живописует прелюбопытный эпизод из жизни этого достославного доктора honoris causa
5 университетов обеих Медведиц.
Однажды Тихий прочитал в труде профессора Тарантоги «Космозоология» о
планете такой маленькой, что случись всем ее жителям одновременно покинуть
5 Honoris causa (лат.) - букв, ради почета; зз заслуги (например: ученая степень,
присуждаемая за научные заслуги, без защиты диссертации).
Глава 1
47
свои жилища, они смогли бы поместиться на ее поверхности только в том случае,
если бы каждый стоял на одной ноге. Тихий решил посетить эту удивительную
планету.
По прибытии на место он убедился, что действительно все обстоит именно так,
как это изобразил профессор Тарантога. Особенно нашего звездопроходца
порадовал высокий интеллект аборигенов, позволивший им успешно справиться с
демографическими трудностями.
В соответствующем учреждении с каждого жителя планеты посредством
рентгеновских установок снимается «автограмма», то есть детальная схема всех
материальных частиц, из которых построено его тело. Когда приходит время сна или
скучного совещания, абориген несколько раз демонстративно зевает и
немедленно влезает в специальный аппарат, где преспокойненько распыляется на атомы.
В таком атомарном виде он занимает очень мало места. В назначенное время
будильник включает аппарат, который на основании автограммы вновь
соединяет все частицы в нужном порядке, и абориген возвращается к жизни. Удобства
этой системы очевидны: отсутствие бессонницы, ночных кошмаров, скучного
времяпрепровождения и т. д. и т. п.
Что это? Сказка? Вымысел шутника-фантаста?
Вряд ли отец кибернетики Норберт Винер (189Ф-1964) только шутил,
выдвигая дерзкую идею возможности путешествовать по телеграфу. Тот факт, писал
Винер, что мы не можем передавать телеграфно форму строения человека из
одного места в другое, обусловлен главным образом техническими
трудностями, в частности трудностями сохранения жизни организма во время такой
радикальной перестройки. Сама же идея отнюдь не является чем-то абсолютно
неосуществимым.
Уже сегодня биологи способны методом клонирования 6 создавать
организм буквально из одной его клетки. Поэтому оживление Александра
Македонского или какого-нибудь скупердяя, унесшего в могилу тайну
местонахождения спрятанного сундука, набитого золотом и драгоценностями, не является
утопией.
При знакомстве с такими чудесами у философа может возникнуть вопрос:
«Позвольте, а как же быть с уголовным кодексом, чтимым законопослушными
гражданами, и вообще с каким-нибудь кодексом чести?»
Предположим, какой-то из описанных Лемом аборигенов не чтит
уголовного кодекса и ведет себя крайне аморально. Преступив небрежно закон и
пораскинув своими инопланетными мозгами, он может в случае, когда его
«карта бита», срочно распылиться на атомы или даже на субатомные частицы. Кого
тогда судить? Автограмму? Или же суду подлежит дубликат, полученный с
помощью автограммы? Но не будет ли расправа над дубликатом проявлением
чрезмерной кровожадности со стороны инопланетной Фемиды?
Переводя все это на язык философии землян, озадачим себя таким
вопросом: что такое самотождественность личности? Или: что такое человеческое Я?
Из чего оно состоит? Какова его субстанциальная основа?
В философии Нового времени проблема субстанциальности психического
приобрела несколько неожиданный вид, вылившись в дискуссию о природе
бессознательных умственных процессов.
Философия Нового времени придала особый смысл представлениям о
бессознательных душевных процессах в связи с жаркой полемикой вокруг учения
основоположника рационалистической философии Рене Декарта о врожденных идеях
(идеях, якобы изначально присущих человеческому мышлению и не зависящих от
6 Производное от слова «клон». Клон (от гр. klon - ветвь, побег, отпрыск) -
генетически однородное потомство растения или животного, образовавшееся путем бесполого
размножения.
48
К.К. Жолъ Логика
опыта). Противники этого картезианского учения в лице известного англий-ского
философа и крупного политического деятеля Дж. Локка (1632-1704), а также его
последователей выдвинули весьма любопытное положение, которому в дальнейшем
суждено было превратиться в сложнейшую проблему существования бессознательного в
человеческой психике.
Критики теории врожденных идей, особенно из числа приверженцев
философии эмпиризма, вдохновляемые весомыми аргументами Локка, указывали на
парадокс, согласно которому нечто может находиться в разуме и одновременно быть
недоступным для него. Стремление избавиться от подобного рода парадоксов
привело к ожесточенному спору о том, как следует понимать и переводить на
различные национальные языки знаменитый декартовский термин «cogitatio» - как
«мышление» или как «сознание».
По мнению Декарта, субстанцией (основой) душевной жизни человека
является мыслящая душа, способная не только сомневаться по поводу внешних
телесных объектов, принимая при этом форму сознания, но и осознавать себя
как сомневающуюся душу, а следовательно, как душу мыслящую. Отсюда
вытекает, что у Декарта мышление понимается как нечто исходное, первичное,
производным от которого является изменчивое сознание и его формы.
Более оригинальный взгляд на интересующую нас проблему мы встречаем
у выдающегося немецкого философа Г. В. Лейбница, во многом
предвосхитившего базисные идеи современной символической логики и внесшего
существенный вклад в развитие рационалистической философии.
Одной из главных задач лейбницевской философии является доказательство
того, что материя и дух едины. Если это единство возможно, необходимо
создать такое учение о сознании, которое позволяло бы рассматривать сознание
как психический центр одухотворенной природы. В соответствии с этим
Лейбниц строит теорию о темных и ясных состояниях сознания, выделяя в психике
перцепцию 7 и апперцепцию 8.
Лейбницевская ревизия декартовского «cogitatio» сопровождалась закладкой
фундамента нового философского учения о сознании, самосознании и
бессознательном.
В противовес Декарту Лейбниц утверждал, что в основе человеческого
интеллекта лежит не мышление, а его прообраз (!) в виде малых восприятий
(бессознательных перцепций). Из этого следовало, что область апперцепции
(осознанных восприятий) занимает лишь небольшую часть психики.
Благодаря Лейбницу впервые было намечено расхождение в понятиях
«мышление» и «сознание».
Как отмечал известный советский психолог А. Н. Леонтьев (1903-1979),
развитие сознания не сводится к развитию мышления, поскольку сознание имеет
свои собственные философские и психологические характеристики,
установленные в результате теоретического анализа и экспериментальных исследований.
Сопоставляя сознание и мышление, Леонтьев предлагает отбросить
предвзятую идею о том, что сознание определяется мышлением. Разумеется, сознание
и мышление тесно связаны, но это отнюдь не лишает их определенной
автономии, тем более не означает первичности мышления по отношению к сознанию.
Признание последнего влечет за собой реставрацию декартовского учения о
врожденных идеях.
Устранение понятия души из контекста философии и психологии XIX в.
ставило под сомнение вопрос о субстанциальности и самотождественности
внутреннего мира человеческой личности. Поэтому не будет преувеличением сказать,
От лат. perceptio - восприятие.
Лат. ad - при, к + perceptio - восприятие.
Глава 1
49
что философско-мировоззренческой причиной повышения интереса к проблеме
соотношения сознания и бессознательного являются попытки сохранить принцип
субстанциальности жизненного опыта и человеческой личности с учетом того, что
деятельность сознания дискретна, поскольку имеет начало и конец, измеряемые
краткими (по человеческим меркам) промежутками времени.
С давних времен психическая деятельность рассматривалась как нечто
прерывистое, обладающее вспышкообразным характером. Считалось, что в промежутках
между этими «вспышками» психическая деятельность не осуществляется. По
сравнению с психикой материальный мир представлялся непрерывным и независимым
от человеческого индивидуума.
В XIX в. наиболее отчетливое обоснование непрерывности психических
процессов представлено в книге немецкого философа Э. фон Гартмана (1842-1906)
«Философия бессознательного» (1868), где бессознательное рассматривается как
вторая личность, скрытая под поверхностью нашего обычного сознания, но
совершенно с ним сходная по своей структуре и функциям.
Согласно Гартману, о сознании нельзя говорить, что оно «дремлет», а
затем в какой-то момент «пробуждается». Сознание рождается не из
«дремлющего сознания», а из бессознательного в момент внедрения в него новых
представлений. Бессознательное как бы поражается необычному явлению, пытается
оказать ему сопротивление, чтобы сохранить привычное состояние.
Известный французский философ Анри Бергсон (1859-1941), изучая
интеллектуальные процессы, обратил внимание на тот факт, что активизация сознания
требует ситуации выбора. Там, где вырисовывается много равно возможных действий
и нет ни одного действия реально возможного, там сознание бывает наименее
активным, поскольку отсутствие выбора не требует умственного напряжения.
Суммируя вышесказанное, отмечу, что человеческое сознание коренится не
в спонтанной деятельности интеллекта. Оно развивалось постепенно из
наиболее низших форм, проходя через этапы качественных изменений. При этом
изменялось его содержание, изменялись формы, разнообразились функции.
Сравнение интеллекта высокоразвитых животных и человека по формам и
типам активности показывает, что основной функцией сознания является
способность психики обеспечивать организму максимально выгодное для его жизни
положение в изменяющейся среде. Иными словами, способность организма
занять в среде более выгодное для его жизни положение составляет ту
начальную биологическую основу, из которой развивались различные формы
сознания, включая психику животных и человека.
В данном случае речь шла о сознании как о свойстве высокоорганизованной
материи - мозга. Но при этом не отождествлялось сознание как продукт мозга с
содержанием сознания в форме знания. Что касается сознания как свойства
высокоорганизованной материи, это свойство изучается представителями конкретных наук
(физиологами, кибернетиками и т. д.), тогда как содержание сознания есть
предмет философского анализа, от которого рукой подать до собственно логического.
Но обратите внимание на то, что здесь имеется в виду уже не изучение сознания
или мышления, а изучение знания с учетом его языкового функционирования.
Анализируя знание как содержание и способ существования сознания, мы
сталкиваемся с гносеологической и логико-методологической проблематикой,
вынуждающей нас как бы выйти за пределы поля сознания и разобраться в
структурах проблемных ситуаций, «запускающих» деятельность сознания, научного в
частности.
Проблемная ситуация, проблема и задача как факторы, активизирующие
деятельность познающего сознания. Как свидетельствует научный опыт, для того
чтобы увидеть научную проблему, ее надо выделить и оценить в форме
гипотезы, точнее, в форме гипотетической теории, ибо, по резонному мнению
современных ученых, необходимо решительно отказаться от давно устаревшей ее
50
K.K Жоль Логика
интерпретации (например: гипотеза как отдельное предположение в форме
отдельного «предложения» или их совокупности; гипотеза как научное допущение или
предположение в кратко сформулированном виде, истинное значение которого
неопределенно) и рассматривать научную гипотезу как концептуальную теорию.
Процесс же выделения и оценки начинается с того, что ставится задача сохранить
прежнюю теорию, устранив из нее противоречия, грозящие ее существованию. Для
достаточно зрелой науки это обычное явление, ибо новые теории не возникают на
пустом месте.
Объективная проблемная ситуация воспринимается вначале как нечто
субъективное, не представляющее реальной угрозы для традиционной теории.
Следовательно, в логическом плане задача предшествует проблеме, хотя в обычном
плане все выглядит наоборот: проблема предшествует задаче в виде
проблемной ситуации, которая сразу не осознается, но ощущается и воспринимается
как некоторые временные сбои в привычной теоретической деятельности.
Схематично сказанное представлено на рис. 1.
Взгляд на проблемность как на неотъемлемую черту активного сознания
общепризнан. Положение о том, что начало деятельности познающего сознания
коренится в проблемной ситуации, давно уже приобрело силу неоспоримого факта.
Однако этот факт по-разному интерпретируется философами, логиками,
психологами. Некоторые исследователи предпочитают отождествлять «проблему» и
«задачу». Вследствие подобного отождествления возникает иллюзия, будто бы
устраняется трудный вопрос о механизме появления и формулировки задачи (или задач),
вопрос об условиях, породивших задачу или их комплекс, решение которых в отличие
от проблем имеет более или менее алгоритмический характер. Напомню, что
алгоритм, или алгорифм9, - это система операций (например, вычислений), применяемых
по строго определенным правилам. В результате последовательного выполнения этих
правил мы получаем решение поставленной задачи. Или, иначе говоря, алгоритм -
это конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую
конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач.
Рассматривая существующие методы решения задач, мы сталкиваемся с тем
фактом, что большинство задач решается путем проб и ошибок, то есть поиск их
решения осуществляется в так называемом пространстве возможных решений.
Что собой представляет решение задачи методом поиска в пространстве
возможных решений]
Предположим, мы играем в шахматы. У нас имеется первоначальное
состояние шахматной задачи, то есть исходное расположение шахматных фигур.
Начальная и конечная (целевая) конфигурации представляют собой начальное и конечное
(целевое) состояния шахматной задачи. Все эти состояния задачи, включая
промежуточные, называются пространством состояний. В данном случае пространство
ТЕОРИЯ
ЗАДАЧА M
ПРОБЛЕМАМ ГИПОТЕЗА
I
ПРОБЛЕМНАЯ
СИТУАЦИЯ
Рис. 1.
9 От algorithm, algorismus, латинская транслитерация имени среднеазиатского
математика аль-Хорезми.
Глава 1
51
состояний состоит из всех тех конфигураций шахматных фигур, которые могут быть
образованы в соответствии с правилами шахматной игры.
Обычно говорят, что одно состояние той или иной задачи, в том числе
шахматной, преобразуется в другое с помощью соответствующего оператора
(правила).
Пространство состояний, достижимых из начального состояния, можно
представлять себе в виде так называемого графа, вершины (узлы) которого
соответствуют этим состояниям и связаны между собой дугами, или ребрами, указывающими
на определенные операции.
Решение шахматной игры достигается посредством метода поиска
(перебора) с применением определенного оператора (правила) к начальному
состоянию. Применяя данный оператор, мы получаем новое состояние. К этому
новому состоянию опять применяется оператор и т. д. Методы организации
такого поиска целевого состояния удобнее всего объяснять посредством графа.
Основы теории графов были заложены математиком, физиком и
астрономом Леонардом Эйлером (1707-1783), швейцарцем по происхождению, много
и плодотворно работавшем в России. Широкое развитие теория графов
получила во второй половине XX в. под влиянием развития кибернетики, хотя
серьезный интерес к проблематике того, что можно сегодня называется теорией
графов, пробудился около середины XIX столетия. Существенное влияние на этот
процесс оказали естественные и технические науки благодаря исследованию
структур молекул, кристаллов и электрических сетей. Свою важную роль
сыграла и логика, которая стимулировала изучение двоичных (бинарных) отношений
в форме графов. В терминах теории графов относительно легко
формулируются и решаются многие логико-математические задачи. Типичным примером
графа служит сеть железных дорог, изображенных на географической карте, или
план города, в котором так называемые ребра представляют улицы, а вершины -
перекрестки. Что касается географических карт с изображением железных
дорог, то здесь кружочки, обозначающие станции, являются вершинами графа, а
соединяющие их пути - ребрами.
Говоря в первом приближении, граф - это геометрическая конфигурация,
состоящая из точек и соединяющих их линий. В данном случае не столь
существенно, являются ли эти линии прямыми или криволинейными дугами,
соединяющими две концевые точки. Существенно только то, что они соединяют две
данные точки.
В соответствии с геометрическими представлениями графа каждая
конкретная пара (семейство) сочетаний вершин называется ребром данного графа.
В определении ребра графа можно принимать или не принимать во
внимание порядок расположения двух его концов. В данном случае все зависит от
типа решаемой задачи. Так, если указанный порядок для нас несущественен,
если допускается, что R = (а, Ь) = (Ь9 я), то говорят, что R есть
неориентированное (ненаправленным) ребро; если же этот порядок в той или иной мере для нас
все-таки существенен, то R называется ориентированным (направленным)
ребром, для графического обозначения которого используются указательные
стрелки (см. рис. 2 и рис. 3). Ориентированное ребро часто называется дугой, но
слово «дуга» не следует понимать всегда и во всех случаях буквально, ибо
графически такого рода дугу удобнее изображать прямой линией.
Если а и Ъ (а, Ь) образуют (представляют) дугу (ребро), то говорят, что
вершина а предшествует вершине 6, или вершина Ъ следует за вершиной а.
Можно также говорить, что R есть ребро, выходящее из вершины а и входящее в
вершину Ь. Говорят еще и так: если в графе существует путь из а в 6, то а
считается предком Ь9 а Ъ - потомком а (см. рис. 4). Или: если некоторая дуга
направлена от вершины а к вершине 6, то говорят, что вершина Ъ является дочерней
вершиной для вершины a, a вершина а является родительской вершиной для Ъ.
52
К. К. Жоль Логика
Рис. 2. Рис. 3.
Ребро (дуга)
О—^о
предок потомок
о о
Дуга (ребро)
Рис. 4.
Подобные «предки», «потомки» и примкнувшие к ним другие математические
«родственники» могут быть прямыми и непрямыми, то есть связь между
«предками» («родителями») и «потомками» («дочерями») может быть опосредствованная
(косвенная). Слово «связь» здесь имеет вполне строгий терминологический
характер. Так, если для каждой пары «предок - потомок» (а и Ь) из некоторого
множества «родственников» (некоторого определенного множества объектов) существует
связь от «предка» (а) к «потомку» (Ь), то граф называется связным (или сильно
связным, если существует определенный, точно установленный путь от а к Ъ, а не
какой-то гипотетический маршрут).
Теперь определим в первом приближении граф, а именно: граф - это
множество объектов, называемых вершинами (узлами), на которых задано бинарное
(двоичное) отношение. Данное множество может обозначаться так: G = (X, R).
Отношение R задается множеством пар вершин, которое оно связывает.
Например:
Х= {1,2, 3,4, 5},
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (3, 5)}.
Иногда говорят, что пары вершин данного множества соединены с помощью
дуг, которые направлены от одного члена этой пары к другому. Такие графы
носят название направленных (ориентированных) графов.
Когда две вершины являются дочерними друг для друга, то в этом случае
пара направленных дуг иногда называется ребром графа.
Более точной формулировкой ориентированного графа является следующая:
ориентированным (направленным) графом называется тройка G = [N, A, f\,
состоящая из множества N вершин, множества А дуг или ориентированных ребер
и функции /, которая ставит в соответствие каждой дуге упорядоченную пару
вершин, называемых концами этой дуги. Дуга с концами в одной и той же
вершине называется петлей. Подобная петля напоминает собаку, которая кусает
Глава 1
53
КОРЕНЬ
ВНУТРЕННИЙ
УЗЕЛ
%
Рис. 5. Рис. 6.
свой собственный хвост. Граф, у которого нет таких дуг, называется графом без
петель.
Особой разновидностью графов являются так называемые деревья,
интуитивный образ которых давно укоренился в логике и математике.
Некоторые графы принято рассматривать как деревья с корнями. Дерево с
корнем - это такой граф, у которого имеется единственная вершина, называемая
корнем. Из корня любая другая вершина достигается только по одному пути.
В первом и самом общем приближении дерево можно определить как граф,
содержащий единственный выделенный узел, именуемый корнем, в который не
входит ни одной дуги (ориентированного ребра). В любой другой узел такого графа-
дерева входит одна и только одна ориентированная дуга. Узлы, из которых не
выходит ни одной дуги, называются листьями. Промежуточные между корнем и
листьями узлы, имеющие входящую и выходящую дуги, называются внутренними
узлами. Пример такого графа-дерева приведен на рис. 5.
Следует подчеркнуть, что любой узел дерева может быть корнем поддерева,
состоящего из данного узла и его потомков. Необходимо еще раз отметить, что в
случае этого дерева категорически запрещены циклы {петли), то есть дуги,
выходящие из одного узла и входящие в него же (рис. 6).
Связный неориентированный граф также может называться деревом, если он
не имеет циклов (не замыкается на себя). Граф без циклов есть граф, связные
компоненты которого являются деревьями.
Чтобы описать задачу с использованием пространства состояний, мы должны
знать, что представляют собой состояния в данной задаче. В связи с этим
рассмотрим преобразование алгебраического выражения х : z + s : у в выражение (ху
+ sz) : zy. В качестве состояний задачи здесь выступают соответствующие
алгебраические выражения. Эти состояния можно описать посредством бинарных
(двоичных) деревьев, используемых для представления графов. Неконцевые вершины (узлы)
в таком дереве - это арифметические знаки (+, х, -s-), а концевые вершины (узлы) -
это символы для обозначения переменных (х, у, s, z), фигурирующих в наших
выражениях. Дерево, представляющее выражение (ху + sz) : zy, изображено на рис. 7.
Здесь ветвь, отходящая влево от вершины, обозначенной символом дроби (+),
представляет числитель дроби, а ветвь, отходящая вправо, - ее знаменатель.
Применение законов алгебраических преобразований (операторов в пространстве
состояний) приводит к преобразованию данного описания в другие описания. Задача,
стоящая перед нами, заключается в преобразовании его в состояние, описываемое
деревом, которое изображено на рис. 8.
В данном случае операторы можно рассматривать как функции, определенные
на некотором множестве состояний и принимающие значения из этого множества.
Поскольку процессы решения задач базируются на работе с описанием состояний,
постольку можно считать, что операторы - это функции данных описаний,
преобразующие одни описания состояний в другие (Н. Нильсон).
54
К.К. Жоль Логика
й
Рис. 7. Рис. 8.
В том случае, когда граф используется для представления пространства
состояний, с его вершинами связывают описание состояний, а с его дугами - операторы.
Таким образом, проблема нахождения последовательности операторов,
преобразующих одно состояние в другое, эквивалентна задаче поиска пути на графе.
Часто бывает удобно приписывать дугам графа вес {весомость, важность)
или стоимость {ценность), отражающую значимость применения
соответствующего оператора. Ценность пути между двумя вершинами определяется как
сумма ценностей всех дуг, соединяющих вершины этого пути. Если мы имеем
дело с задачами оптимизации, то возникает необходимость найти путь между
двумя вершинами, имеющими минимальную ценность.
Граф может быть задан как явным образом, так и неявным. При явном задании
его вершины и дуги с соответствующими ценностями (стоимостями) должны быть
перечислены с полной определенностью (скажем, в виде некоторой таблицы, которая
может содержать перечень всех вершин графа, их дочерних вершин и ценностей всех
связанных с ними дуг). Совершенно очевидно, что явное задание оказывается
практически неприемлемым для больших графов, а для графов, имеющих бесконечное
число вершин, оно невозможно даже теоретически.
При неявном способе задания определяется некоторое конечное множество
вершин, являющихся начальными вершинами. Кроме того, определяется специальный
оператор, который, будучи примененным к любой вершине, дает все ее дочерние
вершины в ценности (стоимости) соответствующей дуги.
Процесс поиска в пространстве состояний той последовательности
операторов, которая решает задачу, соответствует преобразованию в явную форму
достаточно большой части неявно заданного графа.
Выбор для данной задачи определенного представления в пространстве
состояний определяет те поисковые усилия, которые необходимо приложить для
ее решения. Предпочтительно делать представления задач с малым
пространством состояний, то есть делать такие представления, графы которых имеют
небольшое количество вершин.
Значительным спросом метод построения деревьев пользуется у
кибернетиков в связи с программным представлением задач, решаемых сведением к
подзадачам, а также для моделирования строго формальным образом различных
игр (например, шахматных).
По мнению кибернетиков, поиск решения задач с помощью графов
приводит к удобному представлению этих задач только в том случае, когда имеются
соответствующие эвристические 10 функции, помогающие осуществлять данный по-
10 От ,гр. heurisko - нахожу, отыскиваю, открываю', приемы и методы получения нового
знания, часто плохо формализуемые или формализуемые с большим трудом.
Глава 1
55
иск, и эффективные способы выделения подзадач. Формально-логический анализ
поиска на графе решения интересующей нас задачи дает возможность установить
определенные требования, предъявляемые к эвристической функции или способу
определения подзадач.
Эвристические функции и методы определения подзадач неизбежно зависят от
характера решаемой задачи. Так, метод, хороший в одном случае, может оказаться
совершенно неподходящим в другом случае. Поэтому необходимо иметь
инструментарий не только для анализа внутренней структуры решаемой задачи, но и для
классификации самих задач, а это предполагает нетрадиционную точку зрения на
понятие «задача», позволяющую отличать задачи от проблем, формулировать по-
новому условия задачи и т. п. Здесь мы выходим на уровень гносеологии и
методологии научного познания.
Научный опыт показывает, что решение задач при определенных условиях
может привести к отчетливой формулировке проблемы в виде гипотезы. В
качест-ве иллюстрации сказанному рассмотрим феномен коперниканской
революции.
К началу XVI в. католическая церковь была озабочена определением дня
Пасхи. Пасхальное воскресенье - это первое воскресенье после первого
полнолуния, наступающего после дня весеннего равноденствия. Задача сводится к
определению дня весеннего равноденствия.
Эта задача довольно успешно решалась в геоцентрической системе мира
древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (ок. 90 - ок. 160 гг. н. э.),
разработавшего элегантную математическую теорию движения планет вокруг неподвижной
Земли. Однако к началу XVI столетия вследствие использования данной системы
накопились досадные погрешности, увеличивающие ошибку в определении дня
весеннего равноденствия. За решение задачи брались многие ученые, в том числе
и польский астроном Николай Коперник (1473-1543).
Перед Коперником и другими астрономами стоял чисто технический вопрос
в виде достаточно ясно сформулированной задачи, предполагающей
определенные методы ее решения в рамках уже существующей теории.
Решая поставленную задачу, Коперник выполнял определенный социальный
заказ, обусловленный той проблемной ситуацией, в которой оказалась
католическая церковь в связи с необходимостью уточнения дня Пасхи. Поэтому дерзкое
56
К. К. Жоль Логика
утверждение о вращении Земли вокруг Солнца получилось у него как
промежуточное следствие решения узкоконкретной задачи, а не потому, что он якобы пытался
ниспровергнуть теорию Птолемея п и тем самым крепко насолить церковным
ортодоксам.
Таким образом, возникновение коперниковской теории не зависело от той
проблемы, которую она невольно ставила и решала. Более того, сама
проблема могла быть сформулирована лишь тогда, когда теория (гипотетическая
концептуальная теория) была уже создана. Парадоксальная, но вполне реальная
для науки ситуация: начинать не с проблемы, а с задачи или задач,
порожденных объективной проблемной ситуацией. Решая эти «решаемые» задачи или
задачу, мы можем получить неожиданные теоретические результаты,
свидетельствующие о наличии проблемной ситуации.
Обычно анализом такого рода парадоксальных ситуаций в науке
занимаются гносеологи и методологи. Но с недавних пор к ним подключились и
логики. Чем это было вызвано?
Все дело в том, что наши последовательные научные рассуждения о
закономерностях объективного мира опираются на некоторую логику вывода одних
фактов из других. Многочисленные логические системы, начиная с
аристотелевской и кончая современными неклассическими, формализовали и
продолжают формализовать множество различных логических рассуждений, чтобы
облегчить и эффективизировать процесс получения истинного знания. Однако в
ряде случаев это требует настолько большого объема рутинной работы, что
отпадает всякое желание браться за осуществление подобной работы. И тут на
помощь человеку приходят компьютеры. Программисты, обслуживающие их,
утверждают, что они могут помочь своим коллегам из числа гносеологов и
методологов, да и не только им, использовать современный логический
инструментарий для весьма результативного анализа интересующих их вопросов,
связанных с формулировкой Гипотез и принятием решений в условиях, когда мы
обладаем неполной или неопределенной информацией о явлениях,
представляющих для нас значительный интерес. К этому добавляется, что образование
гипотез сегодня является одним из разделов исследований по «искусственному
интеллекту».
В широком плане логико-методологический вопрос «Может ли компьютер
формулировать и проверять гипотезы?» является конкретизацией более общего
философского вопроса по проблематике «искусственного интеллекта», а
именно: «Может ли компьютер мыслить?»
Пусть подобного рода вопросы не смущают неискушенного в философских
дебатах читателя, хотя здесь есть над чем подумать. В данном случае эти
вопросы не будут обсуждаться, хотя в последующих главах читатель будет иметь
возможность более детально их рассмотреть. Сейчас же важно подчеркнуть другое:
современные логики смело ставят на повестку дня вопрос исключительной
практической значимости. Суть этого вопроса такова: можно ли рациональным
образом понять природу эмпирических данных и эмпирических процессов,
используя аппарат современной математической логики и статистики, чтобы
попытаться создать рациональный образ наблюдаемого эмпирического мира?
Примеров такого рода, подтверждающих все возрастающую практическую
значимость современной символической логики, хватает в избытке. Но сейчас
они не так важны, как важно то, что характеристики логики, определения ее
предметной области, представленные в некоторых учебниках, до сих пор имеющих
11 О К. Птолемее и его реальном вкладе в науку см.: Ньютон Р. Р. Преступление
Клавдия Птолемея: Пер. с англ. - М.: Наука, 1985. - 384 с; Гинзбург В. Л.
Гелиоцентрическая система и общая теория относительности // Вопросы философии. - 1973. - № 8. -
С. 112-129.
Глава 1
57
широкое хождение в средней и высшей школе, не соответствуют реальной ситуации
в логической науке, не учитывают ее теоретической и практической
направленности, игнорируют достижения в области гносеологии и методологии научного
познания. Как следствие, мы имеем весьма расплывчатые рассуждения авторов
подобных учебников и учебных пособий о мышлении, сознании, языке и других
фундаментальных философских категориях.
Следует учитывать, что многие базисные понятия логической науки не
определяются в рамках той или иной конкретной логической системы. Для их
определения и понимания необходимо выйти на уровень методологии научного
познания и гносеологии. Поэтому знание хотя бы самых общих основ
методологии научного познания является непременным условием вхождения в
современную логику. К этому необходимо добавить еще и то, что в последние
десятилетия достигнуты значительные результаты в области так называемой
логики науки.
Логика науки и задачи современной методологии научного познания.
Применяя методы современной символической логики, ученые смогли тщательно
исследовать проблемы, связанные с разработкой и эффективным использованием
формализованных научных языков. Благодаря этому происходит сближение
логики и методологии научного познания, их взаимное обогащение и развитие,
но вместе с тем сохраняется и определенная автономия этих двух направлений
изучения научного знания. Если основной задачей логики науки является анализ
структуры готового, сформировавшегося знания, то методология научного
познания анализирует средства и методы процесса познания, которые
применяются для получения этого знания.
Методология науки как общее учение о методах научного познания не
сводится к описанию и классификации методов научных исследований. В данном
случае главной целью является изучение возможностей и границ применения
тех или иных научных методов в новых областях науки или в смежных
научных дисциплинах, а также уяснение их роли и места в общем процессе
научного постижения истины.
По отношению к гносеологии методология научного познания выступает в
известном смысле подчиненной дисциплиной, но подчиненной не в смысле
диктата со стороны гносеологии, а в смысле анализа и объяснения более
локальных вопросов научного освоения действительности. Иными словами говоря,
если гносеология ставит своей целью изучение общих закономерностей
процесса познания, его уровней и форм, то методология сосредоточивает свои усилия
на исследовании конкретных средств и методов строго научного познания,
чтобы выявить их скрытые возможности и тем самым расширить сферу их
использования.
При анализе методов познания нельзя не учитывать общих
закономерностей процесса познания, но вместе с тем нельзя не учитывать и характерных
особенностей научного инструментария, определяемых конкретной предметной
областью. В конце концов главенствующая роль принадлежит предмету, а не
методу, поскольку именно предмет познания или практического действия
является нашей главной целью и определяет формы, способы и наши возможности
по реализации поставленных целей.
Метод не есть нечто абсолютно самостоятельное, в себе и для себя сущее.
Познание есть всегда познание определенных предметов. Предметно не
обусловленный метод - это пустой звук. Сила научных понятий, методов научного
познания заключена в тех предметах объективной действительности, которые
отражаются с помощью этих понятий и методов в нашем сознании. Иначе
говоря, метод будет только тогда научно оправдан, когда его «технология» будет
отражать закономерности объектов, вовлеченных в сферу человеческой
практики и ставших объектами заинтересованного в них человека. Поэтому для
58
К.К. Жоль Логика
анализа действительности следует обращаться к самой действительности, а не к
желаемым представлениям о ней.
Поскольку познание есть познание определенных предметов, то есть предметов,
которым положен предел в пространстве, во времени или в наших представлениях о
предметном мире, постольку в методологии научного познания и в логике большое
значение играет теория определений. Эта важная роль теории определения все
больше возрастает по мере того, как возрастают требования, предъявляемые к языку
науки. С одной стороны, такие требования предъявляет сама жизнь, точнее,
промышленная практика в условиях современного научно-технического прогресса
(технологическая стандартизация, унификация научно-технической терминологии и т. п.),
а с другой стороны, интеграция различных наук и научных дисциплин для решения
комплексных теоретических и практических задач нуждается в нахождении общего
языка между специалистами разной научной и технической ориентации.
Естественно, в этих условиях теория определений становится весьма практически значимой
теорией.
По мнение ученых, следует различать два аспекта определений. Первый
аспект связан с формально-логической теорией определений, изучающей
общие условия и механизм выработки определений в языке
научно-теоретического познания. Второй аспект касается конкретных способов применения
определений в практике научных исследований, а также и в других формах
практической деятельности людей.
Именно реальная практика научных исследований свидетельствует, что в
ряде случаев мы не только вводим с помощью определений новые термины, но
и довольно часто с помощью аналогичных процедур определения исключаем
из языка науки термины, связанные не только с устаревшими или
ошибочными научными представлениями, но и с уровнями познания (соответствующие
процедуры интерпретаций). Это непосредственно касается и самой логики как
развивающейся науки. Если мы определяем ее как науку о формах мысли, то
движемся вспять по направлению к эпохе схоластики. Если же мы определяем
ее как теорию следования, доказательства, выводимости одних утверждений из
других в процессе рассуждений, то идем в ногу со временем и способны его
даже обгонять, участвуя в разработке новых научных теорий, а также в
разработке перспективных научных программ по проблематике «искусственного
интеллекта» и т. д.
Но и это еще не все. Вопрос о введении или исключении научных терминов
теснейшим образом связан с логико-методологическим вопросом о введении и
исключении абстракций.
Теория абстракции как фундамент теории определений и современной логики.
Как писала С. А. Яновская (1895-1966), известный советский математик, логик и
философ, чтобы наука могла служить решению практических задач людей, она
должна не только уметь строить абстрактные объекты, но и заменять их
конкретными представителями, то есть не только вводить абстракции, но и
правильно исключать их. Образно говоря, нельзя съесть абстрактный «плод»,
можно съесть только конкретный объект, подпадающий под общее понятие. Из
этого следует, что со всяким абстрактным понятием в науке должны быть связаны
правила его введения и исключения.
В некоторых случаях (особенно для простейших абстракций типа «плод»,
«мебель» и т. п.) правила введения и исключения абстракций формулируются без
особых затруднений. Это зафиксировано в современных теориях определений,
где различают правила введения новых абстракций по определению
(«определяющие аксиомы») и правило их исключения («правило сведения по определению»).
Отыскание модели (или интерпретации) для теории, подчеркивала Яновская,
представляет собой особенно важную задачу, известную как исключение
абстракций. Это может показаться странным, но тем не менее следует иметь в виду, что
Глава 1
59
формализация теории и приведение поясняющих примеров также относится к числу
способов исключения абстракций высоких порядков. Дело в том, что в данном
случае формализация является как бы «выжимкой» из так называемой содержательной
теории, той «выжимкой», которая исключает ряд абстрактных, но неформализуемых
понятий, устанавливая тем самым возможные логические границы содержательной
теории и значение ее формализуемых понятий.
Не всякую абстракцию можно тем или иным образом исключить
{интерпретировать), но это еще не является свидетельством ее ущербности.
Невозможность подобных исключений свидетельствует лишь о том, что исходное
введение абстракций представляет собой известное огрубление, упрощение,
некоторую идеализацию действительности. Поэтому обратный путь к этой
действительности, то есть путь от теории к практике, бывает весьма тернист. Иногда
он лежит через ряд других теорий (теоретических моделей), а здесь без знания
теории определений никак не обойтись. Именно теория определений помогает
наводить мосты между различными теоретическими конструкциями.
Необходимым методологическим фундаментом теории определений
является теории абстракции. Обращение к теории абстракции для нас важно еще и
потому, что данная теория проливает свет на один из центральных разделов
формальной логики - на учение о понятии.
По мнению многих современных философов и логиков, слово «понятие»
является весьма неопределенным и многозначным, часто вводящим нас в заблуждение.
В свое время нового взгляда на понятие требовал известный советский
философ и логик В. Ф. Асмус (1894—1975), подчеркивавший, что алогизм
(отрицание логики как средства научного познания) XX в. в лице французского
философа А. Бергсона и американского психолога У. Джемса (1842-1910) зачастую
принимает вид специальной критики понятий. Адвокаты алогизма в оценке
познавательных возможностей понятий ясно представляли, что падение
теоретического авторитета логики и интеллектуализма в целом во многом зависит
от теоретических трактовок понятия. Если эти трактовки неубедительны, то
под сомнение ставятся не только базисные положения логики, но и
познавательная эффективность методов дискурсивного 12, то есть рассудочного,
точнее, рассудительного, логического, мышления. Закономерно, что данная
критика понятия выливается в инструменталистскую (прагматистскую) доктрину
познания, согласно которой понятия науки рассматриваются только как
служебные инструменты, лишенные предметного содержания.
В истории философии мы не встретим ни одной сколько-нибудь
оригинальной философской системы, создатели которой, прежде чем взяться за ее
конструирование, не пытались бы уточнить собственные позиции по вопросу о
понятиях и механизмах их образования.
По словам Л. А. Заде, проблемы образования понятий и абстрагирования
приобрели особенно большую значимость в результате бурного развития
кибернетики. Он подчеркивает, что именно наше недопонимание существа процессов
абстрагирования и вытекающая отсюда неспособность научить машину
осуществлять такое абстрагирование лежат в основе большого числа нерешенных
проблем в области программирования.
Когда зародилась теория абстракции?
Первая европейская теория абстракции была разработана Аристотелем. Эта
теория легла в основу всех последующих разработок подобного типа.
По Аристотелю, абстракция 13 означает изъятие или опущение некоторых
составных частей нашего восприятия. Мы отвлекаемся от всего случайного и
От лат. discursus — рассуждение.
Гр. aphaeresis; от лат. abstractio - отвлечение.
60
K.K. Жоль Логика
СУБСТАНЦИЯ
Рис. 9.
приводим наши мысли к их истинной и постоянной форме. Так, математика
основывается на принципе абстракции, поскольку рассматривает лишь
необходимые формы без всякого отношения к материи, из которой состоят предметы.
Согласно аристотелевской теории абстракции, понятие - это определенный
тип сравнения. Общие понятия образуются путем сравнения и отвлечения.
Сравнивая ряд каких-либо предметов, мы замечаем имеющиеся в них черты
сходства и несходства (различия). Сходные черты мы отвлекаем (абстрагируем) и
фиксируем их посредством соответствующих имен различной степени
общности, получая тем самым содержание понятия. Затем мы можем перейти от
рассмотрения предметов, данных в непосредственном опыте, к анализу и
сравнению самих понятий, образовывая еще более общие понятия.
В логике со времен Аристотеля принято различать две стороны понятия -
содержание и объем. Объем понятия - это совокупность предметов, к которым
прилагается данное понятие (например: философы, воины). Содержание
понятия - это мыслимые признаки предметов (например: железный, квадратный).
По мере увеличения объема понятия уменьшается его содержание и наоборот.
Большее по объему понятие называется родом по отношению к понятию
меньшего объема (сравните: «наука» и «математика»). То, что отличает данное
понятие от других смежных и более или менее одинаковых по объему, называется
видовым различием (например: «физика» и «химия»).
В свое время известным греческим философом-неоплатоником, глубоким
знатоком и комментатором сочинений Аристотеля Порфирием из Тира (Малхом, ок.
232/3 - ок. 303/4 гг. н. э.) была предложена условная схема, которая графически
выражает отношения подчинения между видовыми и родовыми понятиями при
Глава 1
61
Рис. 10.
изменении их объема. Позднее эта схема получила название «дерева Порфирия».
Кстати будет заметить, что до середины XII в. его логические труды входили в
число основных учебных пособий по логике.
«Дерево Порфирия» представляет собой схему движения мысли от «рода» («корни
дерева») к виду и от вида к индивиду (метод индивидуации («листья дерева»)). На
примере предлагаемой Порфирием схемы хорошо видно, что объем и содержание
понятия находятся друг к другу в обратно пропорциональных отношениях.
Классическое изображение «дерева Порфирия» (типичный образец графа),
дошедшее до нас из глубины веков, было сделано известным французским
философом П. Рамусом (Пьер де ла Раме, 1515-1572). На его схеме (рис. 9)
субстанция есть summum genus (высший род («корни дерева»), имеющий минимум
содержания), а низший вид («листья дерева») - species specialissima (индивиды:
Сократ, Платон, Аристотель).
Схема Порфирия соответствует его идеалистическим взглядам, которые
находят свое выражение в платонистском методе индивидуации (principia
individuationis). Согласно этому методу, познание движется не от единичного к
общему, а от общего к единичному, индивидуализируя это общее.
Современная схема «дерева Порфирия» соответствует ее эмпирической
интерпретации (рис. 10), то есть она начинается индивидами (не «листьями», а
«корнями дерева») и заканчивается высшими родами (не «корнями дерева», а
«листьями»).
Лестница понятий, изображаемая Порфирием, показывает, что индивидуа-
ция рода сопровождается расширением содержания.
Существуют ли самые общие, самые предельные по объему понятия?
Ответы на подобные вопросы призвано дать учение о категориях.
Аристотель полагал, что в каждом предложении сказуемое по объему шире своего
подлежащего. Поэтому самый общий род он называет категорией 14.
От гр. kategoria - высказываю.
Глава 1
63
Категории образуются посредством абстракции отождествления, когда
сравниваются и идентифицируются (отождествляются) одинаковые свойства и
отношения. Процесс абстрагирования заканчивается не по произволу, а лишь тогда,
когда остается чистая родовая форма без примеси знаний материального,
изменчивого.
В аристотелевской интерпретации категории - это потенциальные понятия.
Задача познания - актуализировать эти потенции, сделать возможное
действительным. Подобная актуализация осуществляется посредством перехода от рода
к виду, от родового понятия к видовому понятию. Получается странная
картина: стремясь познать единичное, мы удаляемся от истинного знания, ибо в
движении от рода к виду и далее мы отходим от истинных философских знаний
(знаний «первых принципов», категорий), выражая сущность все более
метафорическим образом.
Для науки, ориентированной на практику, аристотелевские категории -
пустые, бессодержательные абстракции. Они ничего не сообщают нам, как ими
пользоваться. Но это не означает, что мысль Аристотеля зашла в тупик. Своей
цели он достиг, показав, что все понятия могут быть сведены к ограниченному
количеству категорий, в которых наиболее ярко воплощен идеалистический
принцип тождества мышления и бытия, поскольку категории, по определению,
являются одновременно высшими родами бытия и высшими родами сказыва-
ния об этом бытии.
По пути, проложенном древнегреческим философом, пошли все остальные
европейские философы, ожесточенно споря друг с другом и внося свой
посильный вклад в то, что сейчас называется традиционной теорией абстракции.
Традиционная теория абстракции базируется на довольно наивном образе
мира, где сходство вещей постепенно и неуклонно берет верх над их
различиями. Эти сходства, повторяясь, запечатлеваются в нашей памяти, между тем как
индивидуальные различия полностью стираются. Таким образом, в основе
каждого познавательного шага лежат акты отождествления.
Главные недостатки традиционной теории абстракции обусловлены не столько
изъянами в логической технике, сколько спецификой философско-мировоз-
зренческих установок, в соответствии с которыми догматически постулируется
наличие «особой способности духа» выделять общее, сходное, тождественное в
бесконечном многообразии окружающего нас мира.
Если принять эту теорию абстракции, то мы столкнемся с неразрешимой
проблемой: при образовании все более абстрактных понятий исчезает всякая
возможность движения в обратную сторону, так как отброшенные признаки
уже не учитываются в новом, более абстрактном понятии, они не оставляют и
намека на способы их реконструкции15.
Предвосхищая идеи нетрадиционной теории абстракции, известный
немецкий астроном и математик И. Г. Ламберт (1728-1777) указывал на следующие
преимущества математических понятий. В математических понятиях не
уничтожается, а сохраняется во всей своей строгости определенность частных случаев, к
которым они должны быть применимы. Более того, математик в своих
обобщающих формулах не только сохраняет все частные случаи, но и позволяет
выводить их из этой общей формулы.
К математике, не опирающейся в своих построениях на данные
чувственного опыта, традиционная теория абстракции применима лишь с очень
большими натяжками. В реальной действительности нельзя указать ничего такого, что
имело хотя бы малейшее сходство, например, с мнимыми или иррациональными чис-
1э См.: Кассирер Э. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о
функции: Пер. с нем. - СПб.: Изд-во «Шиповник», 1912. - 454 с.
64
К. К. Жоль Логика
лами. Если же ее все-таки применить к объяснению подобных математических
объектов, то мы, следуя логике рассуждений, будем вынуждены отказать им в
реальном математическом смысле и рассматривать их как чисто условные
символы.
От новой теории абстракции требуется не разобщать универсальные и
индивидуальные признаки объектов, а раскрывать их внутреннюю необходимую связь,
то есть не игнорировать индивидуальные различия конкретных явлений, а
выводить их из управляющих ими общих законов. В связи с этим многие гносеологи
и логики указывают на необходимость отличать анализ 16 от абстракции. Дело
в том, что анализ может не переходить в абстракцию (отвлечение) и быть
конкретным. Метод анализа, используемый для расчленения целого, способен в то
же время возвратить нас к целому. Такого рода анализ не только разъединяет,
изолирует, но и соединяет, указывая на взаимную связь моментов, на их, если
угодно, «технологическую цепочку».
Анализ - главный инструмент решения разнообразных задач, научных и так
называемых житейских. Метод решения подавляющего большинства задач можно
назвать составлением плана в обратном направлении (или продвижением от
конца к началу). Древнегреческие геометры называли этот метод анализом, что
по смыслу означает «решение от конца (конечной цели) к началу (начальному
пункту достижения цели)». Если же мы продвигаемся в противоположном
направлении, то такой метод решения называют составлением плана в прямом
направлении (или продвижением от начала к концу), то есть синтезом 17.
Решение всякой задачи связано с составлением определенного плана.
Составление плана, как отмечал известный методолог науки Дж. Пойа (1887-1985),
и его реализация идут в противоположных направлениях. Мы начинаем
составление плана с учетом цели А и возможных действий по ее достижению.
От гр. analysis - разложение, расчленение.
От гр. synthesis - соединение, сочетание, составление.
Глава 1
65
Ближайшее действие (средство) обозначим буквой Б. Мы могли бы достичь А,
если бы имели средство Б (или осуществили бы действие Б). Из мысли о Б
может возникнуть мысль о средстве В, а из мысли о В может возникнуть мысль
о средстве Г, и т. д.
Составим следующий план:
(1) А если Б,
(2) Б если В,
(3) В если Г.
Этот план можно интерпретировать так: А - место работы, Б - один вид
транспорта (метро), В - другой вид транспорта (автобус), Г - место
жительства (дом). Чтобы попасть на работу, я должен воспользоваться услугами
метрополитена. Чтобы добраться до станции метро, я должен некоторый путь
проехать на автобусе. Чтобы втиснуться в автобус, битком набитый пассажирами,
я должен выйти из квартиры.
Таким образом, торжественный акт прибытия на работу предполагает
довольно длинный ряд относительно самостоятельных действий, то есть,
составляя план, я двигаюсь как бы вспять - от А к Г. Реализуя план, я двигаюсь в
обратном направлении - от Г к А. Говоря другими словами, о нашей цели мы
начинаем думать в самом начале, достигаем же ее в самом конце. Это
тривиально, но с подобной тривиальностью в науке следует считаться самым
серьезным образом.
По поводу синтеза, как движения от Г к А, можно сказать словами
старинной поговорки: «Не хватило гвоздя - подкова пропала, не хватило подковы -
лошадь пропала, не хватило лошади - всадник погиб, не хватило всадника -
сражение было проиграно».
1.0. Почему было проиграно сражение!
1.1. У всадника не было лошади, и это обрекло его на гибель.
2.0. Почему у всадника не было лошади!
2.1. Лошадь оказалась неподкованной, в результате чего не могла быть
использована в битве.
3.0. Почему лошадь не подковали!
3.1. Отсутствовали гвозди для подков.
Анализ причин проигранного сражения можно продолжить, но мы
ограничимся фактом отсутствия гвоздей. Этого вполне достаточно, чтобы уяснить
посредством анализа не только наличие в каждой шутке доли правды, но и
алгоритмические особенности анализа. Данные особенности заключаются не в
прямом, а в обратном движении от предмета нашего рассмотрения. Говоря
философским языком, мы как бы распредмечиваем предмет, шаг за шагом
раскрываем предпосылки его становления, его генезиса (исторического или
логического). Можно сказать и по-другому: анализ всегда имеет отрицательный вектор,
указывающий на движение от конца (данного факта, данного результата или
желанной цели) к началу, тогда как синтез имеет всегда положительный
вектор, указывающий на движение от начала (предпосылок) к концу.
Так ли уж важно знать знать всё это?
Для повседневной жизни с ее «проснулся», «умылся», «поел», «пошел на
работу», «вернулся с работы», «поел», «заснул» всё это выглядит философской
фанаберией. А вот в науке с подобной «фанаберией» приходится считаться
самым серьезным образом?
Почему?
Потому что наука начинается с «почему».
66
К.К. Жоль Логика
Рассмотрим простенький школьный пример.
Почему стрелка компаса показывает направление с севера на юг?
Для ответа на этот вопрос вначале давайте посмотрим на другой «компас»,
один конец «стрелки» которого указывает на «минус» («отрицательный вектор»:
анализ), а другой - на «плюс» («положительный вектор»: синтез).
Если мы выбираем «плюс», нам придется для ответа на вопрос «Почему стрелка
компаса показывает направление с севера на юг?» отправиться на юг или на север,
чтобы найти неведомую магнитную силу, определяющую поведение стрелки
компаса. Согласитесь, что такого рода путешествие в «тридевятое царство» - далеко не
лучший способ удовлетворения нашей любознательности. Следовательно,
приходится выбирать «минус».
Первый шаг в этом направлении мы делаем, вооружаясь, по совету учителя,
двумя магнитными брусками, один из которых свободно подвешен на нитке, а
другой находится в наших руках.
Второй шаг мы делаем, поднося северный полюс магнита к северному
полюсу подвешенного магнита. При этом замечаем, что подвешенный магнит
отклоняется от вертикали, словно стремясь избежать встречи со своим
магнитным собратом. Факт очевиден: северные полюсы магнитов отталкиваются друг
от друга.
Третий шаг мы делаем, поднося южный полюс магнита к южному полюсу
подвешенного магнита. Картина аналогичная.
Четвертый шаг мы делаем, поднося северный полюс магнита к южному
полюсу подвешенного магнита. Происходит совершенно обратное:
подвешенный магнит отклоняется от вертикали, словно стремясь «поцеловаться» со
своим магнитным собратом. Факт очевиден: северные и южные полюсы магнитов
притягиваются.
Пятый шаг - вывод, а именно: одноименные полюсы отталкиваются, а
разноименные притягиваются.
Шестой шаг - ответ на главный вопрос «Почему компас показывает
направление с севера на юг?» (заключительный аналитический вывод). Ответ
(вывод) таков: поскольку северный конец стрелки указывает на север, постольку
мы можем заключить, что где-то в этом направлении должен находиться
противоположный магнитный полюс. Это дает нам вполне определенную
путеводную нить для поиска источника магнитного притяжения, но здесь уже
прекращается наш анализ и начинаются теоретически обеспеченные эмпирические
исследования.
А теперь обратимся к математике, чтобы установить некоторую
математическую аналогию с анализом и синтезом. Эта аналогия нам в дальнейшим очень
пригодится.
Со школьной скамьи известно, что часто возникает необходимость в
сравнении чисел по величине. Для записи результатов сравнения используются
специальные знаки: > (больше) и < (меньше). Например, 5 > 3 или 3 < 5.
Математические понятия «больше» и «меньше», распространяясь на все
рациональные числа 18, имеют большое практическое значение в нашей
повседневной жизни и в науке. Например, в зависимости от температуры воздуха на
улице мы, покидая дом, надеваем пальто и шапку или, наоборот, оставляем
теплую одежду на вешалке. Чем холоднее воздух, тем меньше его температура.
Так, температура -4° меньше, чем +1°, а температура -10° меньше, чем -2°.
Из сказанного напрашиваются следующие правила сравнения чисел:
18 Целые и дробные положительные числа, а также противоположные им
отрицательные числа и 0 носят название рациональных чисел. Более подробно о рациональных
числах будет сказано во 2-й главе.
Глава 1
67
Правило I. Любое положительное число больше любого отрицательного
числа, а любое отрицательное число меньше любого положительного.
Правило II. Любое положительное число больше нуля, а нуль меньше
любого положительного числа.
Правило III. Любое отрицательное число меньше нуля, а нуль больше
любого отрицательного числа.
Правило IV. Из двух различных отрицательных чисел меньше то,
абсолютная величина 19 которого больше, а больше то, абсолютная величина
которого меньше.
Во всех случаях неравенства вида а > Ъ и Ь < а означают одно и то же.
Неравенство а > 0 выражает, что а является положительным числом.
Неравенство а < 0 выражает, что а является отрицательным числом.
В ряде случаев знаков > и < бывает недостаточно. Особенно эта
недостаточность дает знать о себе, когда вводятся некоторые ограничения по каким-
либо границам. Для указания на данные границы используются знаки >
(больше или равно) < (меньше или равно).
Кроме перечисленных знаков неравенства, используется еще знак Ф (не
равно). Например, 7*0. Этот знак необходим в тех случаях, когда требуется
подчеркнуть только неравенство двух чисел без указания на направленность
данного неравенства.
Что следует понимать под направленностью какого-либо неравенства?
Для ответа на поставленный вопрос откроем книгу Ильи Ильфа и Евгения
Петрова «Золотой теленок». Из этой книги мы узнаем, что через
провинциальный город Арбатов проходит дорога, ведущая в город Черноморск, куда
спешит герой повествования Остап Бендер со своими друзьями, чтобы
хорошенько раскошелить подпольного советского миллионера Корейко.
Во время своего эпохального путешествия Остап Бендер и К° оказались
невольными свидетелями автомобильного пробега Москва - Харьков - Москва.
Не долго думая, благородные жулики, путешествующие на автомобиле под
названием «Антилопа-Гну», решили принять посильное участие в борьбе с
бездорожьем и разгильдяйством вместе с участниками этого автопробега.
Итак, что мы имеем?
Мы имеем тот факт, что из города Арбатова выехала «Антилопа» и
проехала 50 км до города Удоева, где экипаж автомобиля беззастенчиво наполнил
бак бесплатным бензином, вдобавок захватив три большого бидона горючего,
а также помпу и домкрат. После Удоева путешественники проехала еще 40 км.
Спрашивается: на каком расстоянии от города Арбатова оказался автомобиль?
Водитель «Антилопы» Козлевич, человек технического склада ума, сказал бы,
что формулировка этой задачи является неполной, поскольку отсутствует
указание на то, в каком направлении проехал автомобиль последние 40 км - в том
же, в котором он уже проехал 50 км, или в противоположном. Ведь в первом
случае автомобиль оказывается в 90 км от Арбатова, а во втором - в 10 км.
Таким образом, заключил бы Козлевич, для получения определенного
ответа необходимо добавить к условиям задачи указание относительно
направления движения «Антилопы» после остановки в городе Удоеве.
Согласившись с Козлевичем, Остап Бендер мог бы добавить, что
аналогичным образом обстоит дело в любой задаче, связанной с движением точки по
Абсолютной величиной положительного числа и числа, равного нулю, называется само
это число. Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное
ему положительное число. Абсолютной величиной нуля является сам нуль. Например,
абсолютная величина числа 7 равна 7, абсолютная величина -7 равна 7, абсолютная
величина 0 = 0.
68
K.K. Жоль Логика
AB CD
Рис. 11.
прямой. Иными словами говоря, если известно исходное положение точки, а
также известна длина отрезка, пройденного точкой, то нужно знать еще направление
движения для того, чтобы установить конечное положение точки.
А что по этому поводу говорят наши школьные учителя?
Они говорят, что отрезок на прямой линии, для которого задана не только длина,
но и направление, называется направленным отрезком, или вектором 20.
Направленный отрезок обозначается двумя буквами, соответствующими его
началу и концу. При этом буква, обозначающая начало, ставится впереди
буквы, обозначающей конец.
Направленные отрезки считаются равными, если они имеют одинаковую
длину и одинаковое направление. Так, например, отрезки AB и CD (рис. 11) равны,
а отрезки AB и ВА не равны, хотя их длины равны. Что касается отрезков AB
и В А, то их неравенство определяется их разнонаправленностью, о чем
свидетельствуют первые буквы {А и В).
Для измерения направленных отрезков используются наряду с
положительными числами отрицательные числа. С этой целью прямой, на которой
располагаются направленные отрезки, тоже придается некоторое направление.
Алгебраической величиной направленного отрезка на данной прямой
называется его длина, измеренная в определенном, заданном масштабе и взятая со
знаком + (плюс), если направление отрезка совпадает с направлением прямой,
или со знаком - (минус), если направление отрезка и направление прямой
противоположны.
Направленные отрезки применяются в задачах, связанных с движением.
Перемещение за некоторый промежуток времени точки, движущейся по прямой
линии, целесообразно рассматривать как направленный отрезок.
Алгебраическая величина этого отрезка называется алгебраической величиной пути, или ее-
личиной перемещения точки. Величина перемещения двигающейся точки может
быть как положительной, так и отрицательной.
Задача. Автомобиль, едущий по дороге с постоянной скоростью v км/час,
проехал через центр города Арбатова (А) в 0 часов. Где находится автомобиль
в момент времени t часов?
Решение. Условимся считать, что дорога пролегает с севера на юг.
Рассмотрим ее как числовую ось, направленную с севера на юг, а автомобиль - как
точку, равномерно двигающуюся по этой оси. За начала отсчета примем центр
города Арбатова. Координату 21 автомобиля обозначим буквой s. Поскольку автомобиль
Вектор (от лат. vector - везущий, несущий) - прямолинейный отрезок, которому
придано определенное направление. Этот отрезок имеет началом точку, из которой он
выходит, а концом служит точка, в которую он приходит. О векторе можно говорить
как о величине, которая характеризуется не только числовым значением, но и
направлением (например: действие силы, скорость и т. д.).
21 Координаты (лат. со(п) - с, вместе + ordinatus - упорядоченный, определенный) - числа,
определяющие положение точки на плоскости или в пространстве. В свое время
древнегреческий астроном Гиппарх (ок. 180 - 190-125 гг. до н. э.) предложил опоясать на карте
земной шар параллелями и меридианами, введя соответствующие географические
координаты - широту и долготу, обозначаемые числами. В XTV столетии французский
математик Николай Орезм (ок. 1323-1382) ввел, по аналогии с географическими координатами,
геометрические координаты на плоскости, предложив покрыть плоскость прямоугольной
Глава 1
69
г. Арбатов
-90 км ^^^ +90 км
Рис. 12.
проходит за один час v километров, за t часов он пройдет v х t километров.
Следовательно, s = v х t.
Эта формула выводится с учетом того, что v и t - положительные числа.
Однако по смыслу задачи v и t могут иметь и отрицательные значения.
Условимся считать скорость равномерного движения отрицательной, если
движение осуществляется в направлении, противоположном выбранному направлению
прямой.
Условимся и время считать отрицательным, если речь идет о времени,
предшествующему моменту времени, принятому за начало отсчета.
Рассмотрим следующий пример. Предположим, что v = -30 км/час, a t = 3
час. Тогда формула s = v х t дает s = -90 км. С учетом наших оговорок и
допущений в данном результате нет ничего странного. В самом деле, v = -30 км/час
означает всего лишь то, что автомобиль движется не с севера на юг, а с юга на
север и через три часа окажется на 90 км севернее города Арбатова, то есть его
координата будет равна -90 км (рис. 12).
Предположим теперь, что v = 30 км/час, a t = -3 час. В этом случае мы
должны ответить на вопрос: где находился автомобиль за три часа до того, как
он проехал через центр города Арбатова (А), двигаясь по дороге со скоростью
30 км/час с севера на юг? Очевидно, он находился к северу от центра города, то
есть его координата была равна -90 км.
Наконец, предположим, что v = -30 км/час, t = -3 час. В этом случае
автомобиль движется с юга на север, и вопрос заключается в следующем: где он
находился за 3 часа до того, как проехал через центр города Арбатова.
Очевидно, он находился на 90 км южнее от начала отсчета, то есть его координата
равнялась 90 км в соответствии с формулой
s = (-30) х (-3) = 90.
Таким образом, правило умножения положительных и отрицательных
чисел позволяет распространить формулу s = v х t на любые значения скорости и
времени.
Во всех рассмотренных нами примерах величины, для измерения которых
привлекались наряду с положительными числами также и отрицательные
числа, обладают следующим общим свойством. И температура воздуха, и скорость
сеткой и называть широтой и долготой то, что теперь называется абсциссой и
ординатой. На основе этого нововведения возник метод координат, связавший геометрию с
алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит выдающемуся
французскому философу и математику Р. Декарту. Его систему координат, широко
используемую ныне, стали называть декартовой. Точку пересечения перпендикулярных и
направленных прямых называют началом, а сами направленные прямые - осями
координат. При этом горизонтальная ось называется абсциссой, а вертикальная - ординатой
(ось абсцисс, ось ординат). Если рассматривать только одну горизонтальную и
направленную прямую, точки которой изображают числа, то она будет носить название
числовой оси. Числовая ось называется также осью координат, а число, изображением
которой является данная точка, называется координатой этой точки.
70
K.K. Жоль Логика
или время движения автомобиля могут изменяться в двух противоположных
направлениях от некоторого значения, принятого за начало отсчета. Например,
при измерении времени относительно некоторого момента, принятого за
начало отсчета, целесообразно считать положительным время событий,
происшедших после начала отсчета, и отрицательным - время событий, происшедших до
начала отсчета. Это делает возможным и удобным использование
отрицательных чисел для измерения в направлении, противоположном тому, в котором
результат измерения оценивается в качестве положительного. Кроме того, это
позволяет использовать знаки плюс (+) и минус (-) для маркировки сугубо
логико-математических и методологических процедур, как в случае с анализом и
синтезом. Например, анализ можно рассматривать (по аналогии с отрицательными
числами) как некую отрицательную ценность (стоимость, значимость, весомость),
указывающую направление движения исследовательской мысли, а синтез - как
некую положительную ценность {стоимость, значимость, весомость), не
привнося при этом в слова «отрицательный» и «положительный» никаких
побочных эмоционально-психологических моментов.
Если ограничиться процедурно-логической характеристикой анализа и
синтеза, то можно сформулировать следующие правило: синтез - это анализ со
знаком плюс или с двумя знаками минус (минус на минус дает плюс), то есть
синтез - это своеобразный анализ в квадрате.
Говоря языком математики, по аналогии с абсолютной величиной
абсолютной весомостью (ценностью, стоимостью, значимостью) анализа называется
противоположный ему синтез. Например, как в математике абсолютная
величина числа 7 равна 7, а величина -7 тоже равна 7, так и в логике синтез равен
самому себе, а анализ равен синтезу, но только при условии их одинаковой
весомости (ценности), то есть при условии их применения к одному и тому же
предмету. Из этого следует, что синтез нельзя целиком и полностью сводить к
анализу или растворять в анализе. Метод анализа, используемый для
расчленения некоего целого, - это прежде всего именно расчленение, разложение,
поэтапное движение от сложного к простому, от целого к его компонентам.
Анализ будет только тогда действительно анализом, когда мы способны будем
возвратиться назад к целому, то есть будем способны осуществить синтез
расчлененных компонентов. Такого рода анализ не только разъединяет, изолирует,
но и соединяет, указывая на взаимную связь моментов, этапов анализа.
Предлагаемая трактовка анализа и синтеза согласуется с использованием
этих понятий в химии, что служит дополнительным аргументом в пользу
данной трактовки.
В конце XVIII столетия известным французским химиком Ж. Л. Прустом
(1754-1826) были осуществлены количественные исследования состава
различных веществ. Эти исследования привели ученого к важному выводу,
известному под названием закона постоянства состава и гласящему: «Каким бы путем
не было получено данное химическое соединение, состав его всегда остается
одним и тем лее».
Закон постоянства состава явился результатом многократных анализов
различных химических соединений. Однако состав химического соединения
можно установить не только путем анализа, но и путем синтеза. Так, например,
при разложении воды электрическим током примерно на одну весовую часть
водорода всегда получается восемь весовых частей кислорода. И наоборот, если
смешать водород и кислород в отношении 1 : 8 по весу и вызвать взрыв смеси,
то эти газы соединятся без остатка. Если же одного из газов взять больше, чем
в указанной пропорции, то его избыток не войдет в соединение. Таким
образом, синтез подтверждает результаты анализа.
Опыт химиков полезен для нас тем, что экспериментально-опытным путем
подтверждает следующее: цена (стоимость, ценность), которую мы «платим» за
Глава 1
71
анализ, не должна быть выше или ниже цены (стоимости, ценности) синтеза, то
есть весомость анализа и весомость синтеза должны быть одинаковыми.
Предлагаемая трактовка анализа и синтеза наиболее приемлема для
математики и логики. Но применима ли она к естественнонаучному познанию? Ведь любому
ученому хорошо известно, что в эмпирических, опытных науках процесс индукции
(процесс получения обобщенных знаний об эмпирических данных) никогда не
бывает вполне надежным, а следовательно, трудно быть уверенным в том, что анализ и
синтез окажутся «технологически» равноценными. В связи с этим давайте еще раз
обратимся к химическому закону постоянства состава (закону постоянных
отношений).
Допустим, мы выполнили 100 анализов воды посредством
соответствующего взвешивания водорода и кислорода, полученных при электролизе воды,
взятой из различных источников. В результате нами было установлено одинаковое
соотношение между водородом и кислородом в пределах известной точности
проведенных опытов. С полным на то основанием мы делаем вывод, что вода из
разных источников содержит кислород и водород в одинаковых весовых
отношениях.
На этом можно было бы поставить точку. Однако серия более скрупулезных
экспериментов с водой свидетельствует, что открытая закономерность не
соблюдается, если взвешивание выполняется с более высокой точностью. Этот факт
был установлен в 1929 г. Уильямом Ф. Джиоком, открывшим, что существуют
три вида атомов кислорода с различными массами (изотопы кислорода).
Несколько позже Гарольд С. Юри обнаружил, что существуют два вида атомов
водорода с разными массами (изотопы водорода). Естественно, был сделан
новый вывод, а именно: вода, состоящая из молекул, построенных из
водородных и кислородных атомов различного вида, должна содержать водород и
кислород в разных весовых отношениях. Так возникла необходимость
пересмотреть закон постоянства состава с тем, чтобы учесть существование изотопных
видов атомов 22.
Следует ли на основе этого пересмотреть предлагаемую трактовку анализа
и синтеза?
Нет, не следует, поскольку расширение и углубление наших знаний об
окружающем мире не изменяет общего методологического смысла анализа и синтеза.
Научный метод более универсален, чем наши технические возможности и
конкретные методики того же анализа или синтеза.
Понятие анализа можно уточнить посредством исключительно важного для
логики понятия вывода. Говоря иначе, анализ вооружает нас правилами вывода,
особенно необходимыми тогда, когда мы выводим индивидуальные различия
конкретных явлений из знания об управляющих ими общих законах.
Ранее мы уже рассматривали общую схему решения какой-либо задачи
методом поиска в пространстве возможных решений. В школе нас учат решать
математические задачи посредством поэтапных действий (действие первое,
второе и т. д.). Эти поэтапные действия называются в математике пространством
состояний (решаемой задачи).
Пространство состояний имеет определенную ориентацию, определенную
направленность (начальное состояние —> конечное состояние). Иначе оно не было
бы пространством состояний.
Ориентация (направленность) пространства состояний помогает нам
преобразовывать одно состояние в другое, то есть переходить от одного действия
решаемой задачи к другому действию. Такого рода преобразование осуществляется
согласно определенному правилу, называемому оператором преобразования.
Полит Л. Общая химия: Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. - С. 20.
72
К.К. Жоль Логика
Пространство состояний, достижимых из начального состояния, можно
представить в виде соответствующего графа. С учетом нашего рассмотрения
математического понятия «вектор» наибольший интерес в данном случае представляет
ориентированный {направленный) граф, то есть граф, у которого ребра строго
ориентированы (направлены от одного узла (вершины) графа к другому).
Как векторам присущи определенные величины, так и ориентированным
ребрам {дугам) присущ определенный вес в смысле весомости, важности,
значимости, ценности применения соответствующего оператора.
Аналогичный вес (весомость, важность, значимость, ценность) можно
придавать конкретным процедурам анализа и синтеза, моделируя анализ и синтез
с помощью графов, а при необходимости используя соответствующую
математическую калькуляцию, если, например, речь заходит о решении какой-либо
задачи, требующей подстановки чисел.
Все сказанное об анализе и синтезе в полной мере применимо к логике как
науке о выводах.
Грамматика естественного языка имеет аналитический характер в том
смысле, что выражения естественного языка разлагаются на не поддающиеся
дальнейшему разложению компоненты. При построении же логического языка мы
движемся в обратном направлении, то есть берем совокупность исходных
символов, а затем определяем различные категории выражений и свойства этих
выражений в терминах исходных символов. Такое движение логической мысли
соответствует выше указанному понятию синтеза. Следовательно, логический вывод
имеет не аналитический, а синтетический характер.
Что все это значит применительно к понятию?
Это значит, что процесс образования абстрактных понятий (процесс
абстрагирования) протекает в рамках сложной аналитико-синтетической
деятельности, которая не только разлагает целое на его составные элементы, но и
соединяет данные элементы, следуя логическим правилам и законам, хотя далеко не
всегда эти правила и законы ясно осознаются.
Так истолкованные научные понятия коренным образом отличаются от слов
обычного языка и от научных терминов. Знания и значения - разные «вещи».
О научном понятии точнее было бы говорить как о концепции, выраженной
многими словами и закрепленной многими терминами. Собственно говоря, в
данном случае мы имеем дело скорее с пространным научным текстом,
именуемым концепцией 23. Если эта концепция имеет интерпретацию, то она
превращается в апробированную теорию.
В связи со сказанным должен заметить, что в традиционной формальной
логике плохо различаются понятия и слова, обобщения и значения.
Обобщающая функция слова давно не вызывает сомнений. Но, тем не
менее, в значительном количестве логико-философских публикаций, касающихся
вопросов образования понятий, наблюдается только послушная констатация
этого факта или малосодержательные рассуждения, что чревато упрощением и
даже искажением реальных процессов обобщений в обычной жизни и
особенно в науке.
Чем это грозит?
Объясню на следующем примере, иллюстрирующем, что может произойти в
том случае, когда люди возводят свои наивные представления в ранг
политических догм и считают приверженность этим догмам верхом гражданского
патриотизма. Речь пойдет об одном злополучном происшествии, описанном известным
чешским писателем Ярославом Гашеком в его книге «Похождения бравого
солдата Швейка».
От лат. conceptio - понимание.
Глава 1
73
Как читателю известно, сверхосторожный пан Паливец, владелец трактира
«У чаши», получил десять лет тюрьмы по приговору военного трибунала за
оскорбление священной особы Государя Императора. Перед этим на вопрос
агента тайной полиции Бретшнейдера, куда подевался ранее висевший в
трактире портрет Государя Императора, пан Паливец ответил, что на портрет
гадили мухи и его пришлось убрать на чердак. Этого было достаточно, чтобы
Бретшнейдер с победоносным видом мог провозгласить, что трактирщику
дорого обойдутся слова, будто на Государя Императора гадили мухи.
Если портрет императора рассматривать как некоторое «имя», замещающее
в трактире и других присутственных местах отсутствующего там в данный
момент Франца-Иосифа I, то, доводя до абсурда пороки вульгарных трактовок
языка, можно поставить вопрос: куда гадили мухи - на значение «имени» или на
самого Франца-Иосифа I? Займи мы позицию тайного агента полиции
Бретшнейдера, нам придется, вопреки элементарной жизненной логике и здравому
смыслу, выводить на чистую воду таких «антипатриотов», как хозяин трактира
«У чаши». В недавней истории государства Российского бывало и похлеще.
Подобные абсурдные умозаключения и поступки неизбежны, если
последовательно проводить линию на отождествление понятия и слова, знания и
значения, да к тому же пользуясь теорией замещения в ее примитивной бретшней-
доровской трактовке.
Еще Аристотель достаточно высоко оценивал обобщающую функцию
слова. По его мнению, научное знание является общим уже потому, что оно
выражается в словах. Правда, именно поэтому полное восприятие единичного для
нас невозможно. Но это не препятствует познанию единичного с помощью
чувств или мышления. Здесь заслуживает внимания тот факт, что у Аристотеля
общее не отождествляется только с мышлением. Общее древнегреческий
философ отождествляет со словесным выражением мышления, то есть с речью.
Чтобы яснее понять заслугу Аристотеля перед науками о человеке и его
познавательных возможностях, надо иметь в виду, что мифологическое мышление
нераздельно связывало имя (слово) с вещью, наделяя тем самым имя
магическими свойствами. Эта традиция в приглушенном виде сохраняется и в античной
философии, представители которой предпочитали рассуждать не о
заместителях вещей (словах, знаках, символах), а о самих вещах. Поскольку имя
непосредственно принадлежит вещи, для архаического мышления нет надобности
относить имена к какой-либо сфере, отличной от сферы бытия вещей.
При таком подходе к языку и его значениям многие слова оказывались вне
поля зрения античных ученых, то есть слова, не имеющие непосредственного
вещного значения, их просто не интересовали. Этот взгляд на язык нашел свое
отражение в творчестве Платона и Аристотеля, но уже в существенно
переосмысленном виде, а именно: слово отрывается от конкретной вещи, но не от
вещности (чувственно данного как такового), и тем самым приобретает силу знака,
который по «договору» (Платон и Аристотель придерживались так называемой
договорной теории происхождения языка) приложим не ко всей вещи в целом,
как имя собственное, а к ее отдельным свойствам, вернее, к одному и тому же
свойству разных вещей (например: круглое яблоко, круглое лицо, круглое колесо
и т. д.). Благодаря этому язык наделяется функцией обобщения.
Аристотелевская высокая оценка обобщающей функции слова касается не
значения как феномена языка, а только знакового характера языка.
Подлинным же субъектом обобщений является мышление, вооруженное для этих
целей речью, чтобы демонстрировать и закреплять в памяти знания общего.
В эпоху Аристотеля слова «понимать», «понять», «понятие» означали
«схватить умом», «овладеть мыслью». Однако платоновскую «идею» или
аристотелевскую «сущность» руками не схватишь. Для этих философов «понятие» - синоним
«знания», отличного от «чувственного знания», под которым подразумевается «ви-
74
К.К. Жоль Логика
деть», «слышать», «ощущать». Из этого следовало, что теоретическое понятие -
это такое понятие, которое как бы полагает предел (определяет), разделяет
чувственное и сверхчувственное (сущности, идеи), о чем потом заявляется с помощью
языка, демонстрирующего (доказывающего) существование сверхчувственной
сущности.
В XI-XII вв. в средневековой схоластической философии оформился
номинализм 24 в качестве философского учения, отрицающего эмпирическое 25
значение универсалий (общих понятий), то есть утверждающего, что закономерности,
фиксируемые нами в общих понятиях, существуют не в действительности, а
только в мышлении. Представители номинализма восстановили в
подновленном виде античную традицию в решении вопроса о соотношении единичного
и общего. Сделали они это в пику представителям так называемого реализма 26,
которые утверждали, опираясь на традицию, идущую от Платона, что общие
понятия имеют реальное (объективное) существование.
Номиналисты настаивали на том, что в действительности существуют
только единичные вещи, о чем свидетельствуют наши чувственные восприятия.
Общие же понятия - это только имена. Основное назначение имен-понятий -
замещать единичные вещи, облегчая человеку ориентацию в окружающем его мире.
Номиналисты, отождествляя понятие и слово, отдавали приоритет слову и
тем самым растворяли знание в значении. Значение же трактовалось ими не как
феномен языка, а как чувственный образ психики, обозначаемый посредством
имен. Вследствие этого образная теория значения заменяла теорию познания.
Разрабатывая теорию абстракции как теорию замещения, номиналисты не
признавали отражательной силы общих понятий. В их интерпретации
универсалии не отражают объективную действительность, а только заменяют
(замещают) конкретные вещи этой действительности психическими образами
различной степени яркости и определенности.
Более умеренные номиналисты (концептуалисты) шли по пути
своеобразной градуировки чувственных образов. Они упрощали и приспосабливали к
своим познавательным идеалам аристотелевскую теорию абстракции,
базирующуюся на видо-родовой иерархии понятий. Благодаря им закладывался
фундамент эмпиристской (опытной) теории познания Нового времени.
В отличие от номиналистов, проблема образования понятий не волновала
неоплатоников-реалистов. Говоря современным языком, реалистов
интересовала не проблема введения, а проблема исключения абстракций, которая
принимала у них вид проблемы индивидуации (движение от общего к единичному).
Новый этап в развитии теории абстракции связан с деятельностью
представителей английского эмпиризма, одним из зачинателей которого стал Локк.
По Локку, все богатство души обусловлено чувственным опытом. В нашем
разуме нет ничего такого, чего ранее не было бы в ощущениях.
У Локка впервые в философии Нового времени мы встречаем более ясное
различие между «общими названиями» и «общими идеями». Причину
разграничения «общих названий» и «общих идей» английский философ усматривает
в историческом процессе отделения научного сознания от сознания
обыденного. Одновременно происходит становление научного языка. Ведь языки, по
словам Локка, во всех странах образовались гораздо раньше наук. Общие
названия, которые в ходу у различных народов, созданы не философами и не
логиками, а получили свое начало от людей неученых и необразованных,
называвших вещи по тем чувственным качествам, которые они в них находили.
От лат. nomen, род. падеж nominis - имя, наименование.
От гр. empeiria - опыт.
От позднелат. realis - вещественный, действительный.
Глава 1
75
На этом фундаменте и произросла традиционная теория абстракции Нового
времени, догматически представленная в некоторых современных учебниках по
формальной логике, особенно в разделах о понятиях и суждениях, где понятия мало чем
отличаются от слов обычного языка.
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. Основная цель современной логики состоит в том, чтобы сообщать нам,
что из чего следует в процессе научных рассуждений. Поэтому логику можно
определить как теорию следования^ выводимости одних утверждений из других.
2. Логический вывод имеет синтетический характер в том смысле, что,
соединив в единое целое исходные элементы (например формализованного
языка), мы из уже известного получаем некоторые новые сведения только путем
чисто логических рассуждений, без использования какой-либо дополнительной
информации и без обращения к опыту.
3. Логикой научного познания называется использование разнообразных
логических инструментов к изучению готовых результатов процесса научного
познания.
4. Методологией научного познания называется изучение форм, уровней,
средств и методов процесса научного познания, которые позволяют нам
получать конкретно-научное знание.
5. Гносеологией (эпистемологией) называется изучение общих
закономерностей процесса познания как на индивидуальном, так и на институциональном
(наука как социальный институт) уровнях, а также изучение особенностей
научно-практического преобразования действительности.
6. Теорией определения называются логико-методологические построения,
отражающие общие условия и механизм выработки определений,
используемых в различных сферах человеческой деятельности (наука, законодательная и
юридическая практика и т. д.).
7. Теорией абстракции называются логико-гносеологические построения,
отражающие процессы исторической и логической понятийной деятельности человека,
то есть процессы возникновения, образования и функционирования понятий.
8. В науке понятиями называются концепции, то есть системы научных
знаний, отражающие в обобщенной форме закономерности тех или иных
предметных областей.
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
У. Чем отличается современная логика от традиционной формальной логики пред-
шествующих эпох?
2. Кем было введено в философию название «формальная логика»?
3. Что отличает логику от гносеологии и методологии научного познания?
4. Существует одна или много логик?
5. Охарактеризуйте теорию определения и объясните смысл процедур введения и
исключения терминов и абстракций.
6. Охарактеризуйте теорию абстракции и объясните отличие слов, терминов
от понятий, включая научные.
7. Расскажите, как вы представляете себе процесс научного познания. С чего он
начинается в условиях зрелой науки, какие стадии проходит и чем
заканчивается в рамках науки?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Баженов Л. Б. Строение и функция естественнонаучной теории. - М.: Наука,
1978. -231 с.
76
К.К. Жолъ Логика
Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. - М.: Наука, 1989. - 400 с.
Войшвилло Е. К. Понятие. - М.: Изд-во МГУ, 1967. - 288 с.
Горский Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий. - М.: Изд-во АН СССР,
1961. - 352 с.
Горский Д. П. Определение. - М.: Мысль, 1974. - 311 с.
Горский Д. П. Обобщение и познание. - М.: Мысль, 1985. - 208 с.
Зыков А. А. Основы теории графов. - М.: Наука, 1987. - 380 с.
Ковальски Р. Логика в решении проблем: Пер. с англ. - М.: Наука, 1990. - 280 с.
Лурия А. Р. Язык и сознание. - М.: Изд-во МГУ, 1981. - 320 с.
Маковельский А. О. История логики. - М.: Наука. - 1967. - 502 с.
Мегрелидзе К. Р. Основные проблемы социологии мышления. - Тбилиси: Мец-
ниереба, 1973. - 440 с.
Меркулов И. П. Гипотетико-дедуктивная модель и развитие научного знания. -
М.: Наука, 1980. - 189 с.
Меркулов И. П. Метод гипотез в истории научного познания. - М.: Наука,
1984. - 188 с.
Ope О. Теория графов: Пер. с англ. - М.: Наука, 1968. - 352 с.
Ope О. Графы и их применение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1980. - 336 с.
Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. - М.: ГУПИ МП РСФСР, 1961. - 208 с.
Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия,
изучение и преподавание: Пер. с англ. - М.: Наука, 1970. - 452 с.
Попа К. Теория определения: Пер. с рум. - М.: Прогресс, 1976. - 248 с.
Поппер К. Р. Логика и рост научного знания: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1983. -
605 с.
Рассел Б. Человеческое познание, его сфера и границы: Пер. с англ. - М.: Изд-
во Иностранная литература, 1957. - 455 с.
Рузавин Г. И. Методы научного исследования. - М.: Мысль, 1974. - 240 с.
Рузавин Г. И. Научная теория. Логико-методологический анализ. - М.: Мысль,
1978. - 244 с.
Сойер У. Путь в современную математику: Пер. с англ. - М.: Мир, 1972. - 259 с.
Швырев В. С. Теоретическое и эмпирическое в научном познании. - М.:
Наука, 1978. - 383 с.
Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ - М.: Мир, 1973. - 304 с.
Харари Ф., Пал мер Э. Перечисление графов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. -
324 с.
Хилл Т. И. Современные теории познания: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1965. -
533 с.
Яновская С. А. Методологические проблемы науки. - М.: Мысль, 1972. - 280 с.
I
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЛОГИКА ПОМОГАЕТ ПРИНИМАТЬ РЕШЕНИЯ,
АНАЛИЗИРОВАТЬ ТЕХНИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПРОБЛЕМЫ
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЛОГИКА ПОМОГАЕТ ПРИНИМАТЬ РЕШЕНИЯ,
АНАЛИЗИРОВАТЬ ТЕХНИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
Вводные замечания. - Технические системы и их роль в повышении
эффективности принимаемых решений. - Логика решений, математическая
теория игр и их научно-техническое обеспечение в виде
электронно-вычислительных машин. - Что такое алгебра контактных цепей и какое
отношение она имеет к теории чисел. - Элементарное введение в теорию
множеств, являющуюся фундаментом современной математики и логики. -
Теория множеств, топология, графы. - Аксиоматический метод как способ
преодоления недостатков интуитивно-наглядного мышления. - К вопросу о
парадоксах в классической теории множеств. - Аксиоматический метод и
его связь с математической теорией множеств. - Заключение. -
Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
Вводные замечания. Еще относительно недавно, в XIX в., научные знания
общество получало практически бесплатно. Поэтому никаких специальных
средств на развитие науки не выделялось. Только во второй половине
прошлого столетия наметилось незначительное и робкое использование некоторых
научных достижений в химической промышленности и в ряде отраслей
промышленного производства. Но уже в первые десятилетия XX в. ситуация начала
существенно меняться: наука все активнее стала субсидироваться со стороны
отдельных предпринимателей, а затем и государственных учреждений.
Сегодня научный поиск все теснее смыкается с производственным
процессом, вследствие чего научные знания делаются предметом особой
хозяйственной заботы со стороны тех предпринимателей и государственных деятелей,
которые способны видеть дальше собственного носа и выходить за рамки
сиюминутных интересов. Научно-исследовательская деятельность становится
планово-заказной и согласованной с потребностями промышленного производства
и социально-экономического развития.
Возросшая роль науки в системе современного промышленного
производства требует, чтобы к науке применялись экономические критерии,
выражающиеся в сопоставлении затрат на науку и доходов (или убытков) от науки. Для
этого необходимо всесторонне осмыслить экономический механизм
применения научных знаний в деле практического освоения действительности. Здесь-то
и обнаруживается, что научная информация является специфическим ресурсом,
все больше определяющим уровни и темпы социально-экономического,
научно-технического и культурного развития.
Эффективность промышленной эксплуатации информационных ресурсов в
ближайшее время будет ощутимо сказываться на экономической мощи той или
иной страны. Все дело в том, что разумная, хорошо спланированная
эксплуатация этих ресурсов позволяет снизить потребность в дополнительном притоке
традиционных ресурсов, перейдя на ресурсосберегающую технологию.
Исключительно важную роль в эксплуатации научно-информационных
ресурсов играют эксперты, то есть существенным компонентом использования
данных ресурсов является консультативно-экспертный институт. Следует особо
подчеркнуть, что функционирование подобного социального института является
коренным отличием нового типа управления. Теперь функции управления
ходом исследований и разработок, а также использованием научно-технических
Глава 2
79
достижений в практике промышленного производства сосредоточивается в
руках экспертов, которые управляют не директивно, а консультативно. Эксперты
уточняют цели научных исследований и опытно-конструкторских разработок
(НИОКР), вносят исправления в программы действий, запланированные в
проектной документации. В процессе экспертизы осуществляется сквозное
планирование всего комплекса работ по достижению определенных целей.
Экспертиза привносит планомерность в исследовательскую деятельность, обслуживает
все стадии научно-производственного процесса, предусмотренные программой.
Чтобы избежать волюнтаризма в принятии ответственных решений в
условиях определенного риска, в рамках органа управления создается социальные
институты экспертизы и разрабатываются соответствующие экспертные системы.
Сегодня особенно интенсивно ведутся разработки экспертных систем,
относящихся к области «искусственного интеллекта». По мнению специалистов в сфере
кибернетики, в определенном смысле именно с логико-математических
экспертных систем начинается эра «искусственного интеллекта», поскольку эти системы
производят свои «умозаключения», обращаясь к так называемой базе знаний.
Назначение компьютерных «экспертных систем» - аккумулировать
профессиональные знания и использовать их для экспертных оценок и рекомендаций.
Такого рода «экспертные системы» должны не только оценивать ситуации и
предлагать варианты решений, но и давать в случае необходимости
обоснования предлагаемых решений.
Разработка «экспертных систем» повлекла за собой появление новой
дисциплины - познавательной (когнитивной 1) инженерии.
Когда компьютерные «экспертные системы» только начинали создаваться,
никто не предполагал, что будут получены результаты большой
теоретико-методологической значимости. Однако оказалось, что «экспертные системы»
способны помочь систематизировать и усовершенствовать знания человека.
Подобное усовершенствование человеческих знаний открывает перед
логиками новые широкие горизонты и позволяет сблизить понятия «экспертная
система» и «информационные ресурсы». Ведь широкое использование
«экспертных систем» в различных областях знаний закладывает фундамент для целой
отрасли промышленности, занимающейся обработкой информации.
Заглянув еще глубже, мы увидим, что нас окружают колоссальные запасы
знаний, большая часть которых нуждается в существенных уточнениях и
упорядочении, а здесь без логики, математики и программного обеспечения
компьютеров не обойтись. Будем надеяться, что со временем мы обретем
возможность существенно пересмотреть и уточнить все это интеллектуальное
богатство. Даже если только часть накопленной в мире практической мудрости
удастся проанализировать и систематизировать, человечество получит
замечательный подарок в виде точного и доступного всем знания.
Проблема, сдерживающая сегодня создание новых «экспертных систем»,
связана с трудоемкостью выявления и кодирования новых правил вывода. На эти
процедуры затрачивается слишком много времени и денег. Сказывается и
нехватка специалистов по представлению знаний. Подготовка же новых
специалистов затруднена малым количеством людей, способных осуществлять обучение.
Нельзя не сказать и о том, что «экспертные системы» пока не способны к
обновлению компьютерной базы знаний, которая определяет уровень экспертных
оценок и точность решений. Но, как бы там ни было, «экспертные системы» -
важный шаг на пути к автоматизации управленческой деятельности и
практического применения научных знаний. Не случайно руководство многих
американских корпораций рассматривают «экспертные системы» как стратегически
важный фактор в конкурентной борьбе.
От англ. слова «cognition» - познание, познавательная способность.
80
К.К. Жоль Логика
Суммируя все выше сказанное, хочу обратить внимание читателя на то, что
многие из перечисленных проблем (управление, принятие решений,
прогнозирование, экспертиза, «экспертные системы», логическое программирование и т. д.)
имеют к логике и математике самое прямое отношение. Чтобы это сделалось
очевидным, обратимся к более конкретному рассмотрению того, как логика
помогает принимать решения, конструировать технические системы, включая
технические системы управления, и почему для успешного решения стоящих перед
ней задач ей требуется математика.
Технические системы и их роль в повышении эффективности принимаемых
решений. Не секрет, что любая система управления (безотносительно к ее
функциональной предназначенности) создается прежде всего с тем, чтобы
существенно повысить эффективность принимаемых решений. Решение же - это всегда
выбор оптимального пути движения к намеченной цели.
Чтобы достичь интересующей нас цели самым экономным способом,
необходимо попытаться разделить стоящие перед нами задачи на рутинные и
нетривиальные. Рутинные задачи могут моделироваться по образцу
конструируемых простых и сложных релейных 2 устройств. Изучением этих устройств мы
сейчас и займемся.
В научном смысле реле - это устройство для механического,
электрического и другого управления и контроля за соответствующими техническими
системами. Сегодня наиболее распространенным типом релейного устройства
является электромагнитное реле, состоящее из релейного элемента с двумя
состояниями устойчивого равновесия и группы электрических контактов, которые
замыкаются или размыкаются при изменении состояния релейного элемента. Это
замыкание и размыкание фиксируется смыслом французского слова «реле»,
указывающим на изменения в состояниях какого-либо технического устройства.
История электромагнитных реле тесно связана со строительством больших
железных дорог, надежность работы которых во многом зависит от быстрой
передачи сообщений на дальние расстояния. Тогда-то и было обнаружено, что,
замыкая и размыкая электрическую цепь, можно возбуждать магнитные силы
притяжения. Установление этого факта навело ученых на мысль использовать
электромагнетизм для передачи сообщений на огромные расстояния за
ничтожно малое время. На горизонте замаячил телеграф.
Время шло, техника неуклонно развивалась, и вот наступил исторически
важный момент, когда американский художник и изобретатель С. Ф. Б. Морзе
(1791-1872) продемонстрировал в первой половине XIX в. приемник,
названный клопфером 3, и систему сигнализации, известную как «азбука Морзе».
Чем интересна для нас эта «азбука»? Имеет ли она отношение к проблемам
логики?
Давайте детальнее разберемся с этим любопытным вопросом, приняв к
сведению, что азбука Морзе была в известном смысле чем-то совершенно новым
по сравнению с давно известными кодами, основное назначение которых
традиционно заключалось в засекречивании соответствующих сообщений.
В задачу кодирования по типу азбуки Морзе не входит засекречивание
сообщений. Главная цель таких кодов состоит в быстрой и надежной передачи
сообщений на большие расстояния. Реализация поставленной цели
осуществляется специальным кодирующим устройством, которое сопоставляет символы
передаваемого текста и определенную комбинацию символов, называемую
кодом. Кодирование - это операция переводов сообщений в последовательность
сигналов. Обратная операция называется декодированием.
2 Фр. relais (реле) от relayer - сменить, заменить.
3 Нем. Klopfer от klopfen - стучать.
Глава 2
81
Коды, использующие два различных элементарных сигнала (электрический
импульс и паузу), называются двоичными. Обычно эти сигналы обозначаются
математическими символами 0 и 1. Указанных символов вполне достаточно
для кодирования любого множества сообщений.
Интуиция подсказывает, что между двоичными кодами и релейными
устройствами, работающими на принципе двоичности (замкнуто-разомкнуто),
существует нечто общее. В чем это общее заключается?
Схема простейшего релейного устройства очень похожа на схему первых
телеграфных систем. Реле работает только как ключ, замыкающий и
размыкающий электрическую цепь, в которую входят батарея и клопфер, берущий
энергию от местного источника питания.
В 30-е гг. XX в. реле и другие составные части телефонной техники были
применены для создания сложного вычислительного устройства, которое
могло складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа.
Существенным шагом в повышении скорости вычислительных машин было
создание сразу вскоре после 2-й мировой войны вычислительной машины на
электронных лампах, а затем последовал новый шаг, когда вместо ламп стали
применять транзисторы, то есть полупроводниковые приборы, имеющие обычно
три вывода и служащие для генерирования и усиления электрических
колебаний.
Транзисторы справедливо считаются нервными клетками компьютеров.
Столь высокую оценку они заслужили благодаря своему быстродействию и
надежности. Блокируя и пропуская ток, они дают возможность логическим
схемам компьютеров работать в двоичной системе: 1 (включение) и 0
(выключение). На этой системе основана обработка информации во всех современных
компьютерах.
Германиевые кристаллы величиной с булавочную головку помогли
электронике начать движение в сторону все усиливающейся миниатюризации. Это
позволяло конструкторам уменьшать габариты машин и внедрять
электронно-вычислительную технику в ранее недоступные для нее области человеческой
деятельности.
Следующий барьер, который преодолела электроника, связан был с тем, что
транзисторы, как и электронные лампы, приходилось вручную соединять и
припаивать. Решение проблемы пришло тогда, когда стало ясно: резисторы, то
есть сопротивления, и конденсаторы, обладающие свойством накапливать
электрический заряд, можно делать из того же полупроводникового материала, что
и транзисторы, а все компоненты изготавливать на одной и той же
полупроводниковой основе. Так была заложена материальная база для создания
знаменитых интегральных схем. Кремниевый кристалл стал рассматриваться как
специфическое «цифровое» устройство, которое реагирует на информацию,
передаваемую только в виде двоичных разрядов.
В 1962 г. две американские фирмы начали массовое производство
интегральных схем, вскоре прозванных чипами 4. Микрочип, или микропроцессор, - это
крошечное вычислительное устройство, выгравированное на поверхности
кремниевого кристалла. Работой такого микропроцессора управляют электрические
импульсы, которые открывают и запирают его цепи тысячи и даже миллионы
раз в секунду. Каждое открывание или запирание представляет собой единицу
информации, закодированную в виде 1 или 0.
Автоматизация производственных процессов является ведущей тенденцией
в развитии современной техники. Большую роль в этом развитии играют
релейные устройства. Еще совсем недавно они использовались лишь в узкой
области техники. Прежде всего это касалось централизации и блокировки на
4 Англ. chip - щепка.
82
К. К. Жоль Логика
железнодорожном транспорте, а также телеграфных и телефонных станций. В
основе подобной техники лежали контактные релейные элементы.
Во второй половине XX столетия получили широкое применение релейные
устройства, основанные на бесконтактных релейных элементах.
Развитие электронно-вычислительных машин (ЭВМ) рельефно выделило ту
роль, которую играют релейные устройства в современной технике. С точки
зрения быстродействия релейные устройства этих машин наиболее совершенны.
Сегодня релейные устройства содержат колоссальное количество элементов.
Поэтому интуитивные методы их технологического объединения совершенно
непригодны. Как быть в этом случае? Спасение следует искать в математике и
логике. Почему?
Методы математического исследования релейных устройств появились
сравнительно недавно. Одним из первых важный вклад в эту область науки сделал
американский ученый Клод Элвуд Шеннон (1916-2001) своей статьей,
опубликованной в 1938 г. Он построил теорию, основанную на ряде постулатов,
которые описывают основные идеи теории релейных цепей. Кроме того, было
показано, что предложенная теоретическая разработка вытекает из некоторых
элементарных для логики положений так называемого исчисления высказываний, с
которым мы познакомимся в следующей главе и которое обязано своим
происхождением алгебре логики, созданной в XIX в. англичанином Джорджем
Булем (1815-1864).
А с чего все началось?
После окончания Мичиганского университета в середине 30-х гг. Шеннон,
получивший два диплома бакалавра (по электротехнике и по математике),
направил свои стопы в Массачусетский технологический институт. Здесь, желая
подработать, он начал выполнять обязанности оператора на весьма неуклюжем
Глава 2
83
механическом вычислительном устройстве под названием «дифференциальный
анализатор». Эту громоздкую штуковину построил в 1930 г. научный руководитель
Шеннона - профессор В. Буш.
Машина Буша призвана была решать довольно сложные дифференциальные
уравнения, которые позволяли предсказывать поведение таких движущихся
объектов, как, например, самолет. Ранее на решение подобных уравнений уходили
иногда целые месяцы. «Дифференциальный анализатор» существенно ускорял этот
процесс. Главным его недостатком было то, что расчеты проводились в
десятичной системе счисления, а это усложняло механику вычислительного устройства.
Чтобы поставить машине задачу, оператор вынужден был вручную, пачкаясь в
машинном масле, подбирать множество шестереночных передач. На это обычно
уходило несколько дней изнурительной работы.
В качестве темы диссертации Буш предложил Шеннону самым тщательным
образом изучить логическую организацию своей машины. Соискатель настолько
увлекся поставленной задачей, что решил усовершенствовать
«дифференциальный анализатор». Как это сделать?
Шеннон вспоминает булеву алгебру и поражается ее сходству с принципами
работы электрических схем, которые гораздо удобнее шестеренок и валиков.
Если построить электрические цепи в соответствии с принципами булевой
алгебры, то можно будет не только выполнять сложные вычисления, но и
выражать логические отношения, определяя истинность тех или иных
формальнологических утверждений. Эти идеи Шеннон изложил в своей докторской
диссертации, опубликованной в 1938 г. Данная работа по праву считается
поворотным пунктом в развитии вычислительной техники.
Трудами Шеннона и других ученых был заложен фундамент логического
синтеза релейных устройств. Ранее же наиболее интересные релейные устройства
проектировались и строились не на основе хорошо разработанной теории, а
благодаря технической смекалке талантливых инженеров и ученых.
Но прежде чем перейти к рассмотрению булевой алгебры логики, закончим
рассмотрение вопроса о роли машин в решении управленческих задач.
Одно из первых релейных устройств, используемое для сигнализации и
блокировки на железных дорогах, не только повысило скорость движения поездов,
но и помогло избежать многих аварий, которые были бы неизбежны при
работе стрелочника в условиях большой интенсивности движения и наличия
сложных пересечений железнодорожных путей.
Сегодня человек имеет значительные возможности для решения такого рода
задач благодаря релейным устройствам в виде цифровых
электронно-вычислительных машин. Как и благодаря чему действуют подобные машины?
Первые машины этого семейства действовали при помощи инструкций,
вводимых последовательно с использованием длинной перфорированной 5
бумажной ленты. Закодированная на этой ленте программа предписывала, над
какими числами и в какой последовательности нужно выполнять соответствующие
операции.
Идея перфорации при своем зарождении не имела ничего общего с
механическими вычислительными устройствами. Вообще надо заметить, что многие из
устройств, которые впервые использовались для ввода и вывода данных, были
изобретены задолго до появления компьютеров. Ярким примером служат
перфокарты, применявшиеся еще в XVIII в. для автоматизации ткацкого
производства. В 1804 г. талантливый французский инженер Жозеф Мари Жаккар (1752-1834)
5 Лат. perforare - пробуравливать', перфорация - система отверстий на бумажной
ленте или на листе картона, расположение которых соответствует коду записываемой
информации для ввода ее в цифровую вычислительную машину.
84
К.К. Жоль Логика
построил полностью автоматизированный станок, способный воспроизводить
сложнейшие узоры. Работа станка программировалась колодой перфокарт.
Переходя к новому рисунку на ткани, оператор заменял одну колоду перфокарт
другой.
Вызвав настоящую революцию в промышленном ткацком производстве, новый
станок сыграл важную роль при создании программ для
электронно-вычислительных машин. Этому предшествовали разработки английского математика XIX в.
Чарльза Бэбиджа (1791-1871), который решил воспользоваться перфокартами Жак-
кара для программирования парового механизма, названного Аналитической
машиной. Однако подлинным отцом современной компьютерной перфокарты
является американский изобретатель и предприниматель Герман Холлерит, который в 1890
г. разработал систему табуляции 6 перфокарт, используемых для обработки данных
по переписи населения Соединенных Штатов Америки. Позднее он основал
компанию по производству табуляционных машин. Со временем эта компания,
слившись с несколькими другими фирмами, превратилась в гиганта современной
компьютерной индустрии - в знаменитую на весь мир корпорацию ИБМ (IBM).
Традиционная перфокарта представляла собой прямоугольник из жесткой
бумаги. Информация фиксировалась на карте в виде небольших отверстий, которые
располагались в строки и столбцы.
Первой робкой альтернативой перфокартам стала перфорационная бумажная
лента. Преимущество этой ленты заключалось в том, что закодированные данные
записывались на непрерывный носитель. Однако и бумажная лента имела серьезные
недостатки, главным из которых был тот, что она рвалась, особенно при высокой
скорости считывания данных.
Большим и очень важным подспорьем в решении трудоемких задач по
вводу-выводу данных явилась магнитная лента, применявшаяся ранее в некоторых
калькуляторах до создания цифрового компьютера.
Научно-технический прогресс стремительно нарастал, и к середине 50-х гг. XX
столетия специалисты уже вплотную занимались разработкой магнитных дисков для
хранения значительных объемов информации. Компьютер становился все более и
более «задумчивым».
Следующим шагом в «одушевлении» машины был шаг, связанный с принятием
машиной самостоятельных решений. Для этого необходимо было заставить машину
возвращаться к более ранней части программы или использовать вспомогательную
ленту для помощи в вычислениях.
Можно ли заставить бездушную машину принимать решения, а затем
действовать на основе этих решений?
Можно, но для этого ее надо запрограммировать соответствующим образом. К
сожалению, бумажная лента существенно ограничивала возможности
программирования и, следовательно, суживала диапазон решений, принимаемых машиной.
Потребовалось изменить машинную память, что и было сделано Джоном (Иоганном)
фон Нейманом (1903-1957), одним из самых блестящих умов XX столетия. Нейман
предложил вводить программу не на отдельную бумажную ленту, а прямо в память
машины, чему благоприятствовал сам принцип функционирования
электронно-вычислительных машин, где каждая цифра так называемого двоичного числа
отображалась намагничиванием маленького магнитного сердечника. Память вычислительной
машины состоит из групп таких сердечников, с помощью которых она может
запоминать сотни и тысячи двоичных чисел, увеличивая тем самым возможность принятия
самостоятельных решений. Последующий технологический прогресс привел к резкому
6 От лат. tabula - доска, таблица', составление математических таблиц, задание
функций в виде таблиц.
Ч. Бэбидж
Ж.М, Жаккар
86
K.K. Жоль Логика
увеличению объема машинной памяти, что позволило перейти к решению более
сложных задач, связанных с принятием решений в неординарных ситуациях. Этот
факт очень важен для нас, поскольку касается проблем управления сложными
производственными и даже социальными процессами, проблем, ранее казавшимися
недоступными «рутинному интеллекту» машины. Вот вам и деление на рутинные и
нетривиальные управленческие задачи. Нетривиальное делается рутинным, а в оценке
экстраординарного существенно повышается планка.
В последние десятилетия в сферу научного осмысления проблем управления
и планирования все настойчивее вторгается математика. Это обусловлено
широким применением современных технических средств управления. Примером
такого рода тенденций в научном менеджменте, претендующем на теоретический
анализ механизмов управления производственными, социально-экономическими
и культурными процессами, служит исследование проблем организации и
управления, получившее название «исследование операций». Это исследовательское
направление сформировалось под влиянием кибернетики и практики
использования ее достижений в управленческой деятельности. Важное место здесь
отводится построению математических моделей управления. Поэтому данный тип
исследований рассматривается некоторыми учеными в качестве особого раздела
прикладной математики.
Логика решений, математическая теория игр и их научно-техническое
обеспечение в виде электронно-вычислительных машин. Многочисленные попытки
логико-математических разработок рационального принятия важных
управленческих решений в сложных ситуациях привели к созданию новой теории,
получившей название теории игр, главными создателями которой по праву считаются
американский экономист О. Моргенштерн (1902-1977) и математик Дж. фон
Нейман, внесший большой вклад в создание первых электронно-вычислительных
машин и разработку методов их применения. В качестве важнейшей составной
части этой теории является рациональная теория решения, называемая также
логикой решений.
Теория решений имеет дело с решениями трех видов: (1) решения,
принимаемые с уверенностью; (2) рискованные решения; (3) безосновательные решения.
В соответствии с этими видами решений их теория распадается на три
области, в каждой из которых работают логики, стремящиеся выявить общие
структурные (рациональные) принципы поведения человека, принимающего те или
иные решения. Не редко эти решения принимаются не просто в сложных, а в
конфликтных ситуациях, которые пытается на свой манер смоделировать
ученые в рамках теории игр, являющейся разделом математики. В этом разделе
исследуются вопросы поведения и вырабатываются оптимальные правила
(стратегии) поведения для каждого из участников конфликтной ситуации. В
конфликтной ситуации имеется несколько заинтересованных сторон, каждая из
которых старается получить максимальный выигрыш. Такие ситуации
возникают во время спортивных состязаний, в экономической, политической, военной
сферах и т. д.
Анализ конфликтных противоречий с помощью теории игр осуществляется
посредством логико-математического моделирования ситуаций в виде особых
игр (матричные игры, позиционные игры, бесконечные антагонистические игры,
игры типа дуэлей, многошаговые игры, деловые игры и т. д.), которые
нуждаются в развитии новых логико-математических методов нахождения
оптимальных решений.
В решении игровых задач большую помощь оказывают
электронно-вычислительные машины. Еще относительно недавно в силу ограниченных
возможностей вычислительной техники и недостаточного развития
логико-математического инструментария теории игр для многих типов конфликтных ситуаций
невозможно было найти оптимальное решение. Однако с бурным развитием элект-
Глава 2
87
ронно-вычислительной техники, с развитием систем «искусственного
интеллекта», частным случаем проблематики которого являются «экспертные системы»,
методы решения игровых задач совершенствовались и все большее значение
придавалось аппарату современной символической логики. Вот в этих-то
условиях и сформировалось такое направление логического поиска, как логика
решений.
Необходимо иметь в виду, что любое релейное устройство, включая
компьютерную технику, можно рассматривать как некоторый преобразователь, который
получает информацию одного вида и выдает информацию другого вида. Релейное
устройство в качестве преобразователя информации должно функционировать в
соответствии с определенными правилами, которые закладываются в него проектировщиком.
Иными словами, в задачу проектировщика входит установление некоторой системы
формальных правил, что, между прочим, является отличительной чертой формальной
логики.
Что такое алгебра контактных цепей и какое отношение она имеет к
теории чисел. Правильно спроектированное релейное устройство есть своего рода
логическое устройство, которое реализует логические соотношения между
входами и выходами, установленными проектировщиками.
В постулатах и теоремах так называемой алгебраической логики
контактных (релейных) цепей цифры и переменные подчиняются правилам, которые в
большинстве случаев совпадают с правилами обычной алгебры и арифметики.
Однако существует ряд выражений, которые не подчиняются обычным
правилам. Почему?
Мысленно представим себе последовательную цепь, состоящую из трех
сопротивлений (г, г2 и гз), батареи, вольтметров и амперметров. Токи через эти
сопротивления обозначим как /j5 /2 и i, а соответствующие напряжения - как
еи е2 и еу Е( и / обозначают соответственно напряжение на зажимах батареи и
ток. Значение всех этих величин приведены в таблице 1.
88
K.K. Жоль Логика
Рассмотрение второго столбца таблицы показывает, что сумма отдельных
напряжений (20 + 30 + 50 = 100) равна напряжению на зажимах батареи, то есть
Е< = ех + е2 + еУ
Третий столбец показывает, что ток через первое сопротивление i (2а)
равен току i"2 через второе и току i через третье сопротивление, а также равен
току, измеренному у зажимов батареи. Иными словами, ток во всех участках
цепи одинаков:
I = i+ L + L
/12 3
Данные четвертого столбца таблицы, вычисленные на основании закона Ома
из данных, приведенных во втором и третьем столбцах, показывают, что все
величины сопротивлений складываются, давая полное сопротивление, равное
частному от деления полного напряжения (Е) на полный ток (/):
R = г + г + г = Е : / .
t 1 2 3 t t
Поскольку все вышеописанные наблюдения были проведены на
совершенно произвольной последовательности цепи, можно заключить, что
прохождение электрического тока в такой цепи подчиняется следующим законам.
Закон 1. Напряжение на зажимах батареи равно сумме напряжений на
отдельных сопротивлениях:
Е = е+ е+ е.
/12 3
Закон 2. Ток во всех участках цепи одинаков:
/ = /, + /2 + /,
Закон 3. Полное сопротивление цепи равно а) сумме всех отдельных
сопротивлений или б) частному от деления напряжения батареи на ее ток:
R = г + г + г или R = Е : I.
Г 12 з t t t
Алогичное имеет место при параллельном соединении проводников.
Особенно важно подчеркнуть, что во всех ветвях параллельной цепи напряжение
одинаково, а полный ток в параллельной цепи равен сумме токов во всех ее ветвях.
Глава 2
89
Этот мысленный физический эксперимент, который легко осуществить и на
практике, хорошо показывает, что переменные в алгебре релейных цепей не
имеют численного значения. Инженера, а точнее говоря, конструктора эти
значения не интересуют 7. Он, конструктор, всегда может твердо сказать только
одно: цепь замкнута или разомкнута. Его не волнует вопрос о том, насколько
она замкнута или разомкнута, поскольку здесь нет места «половинчатой»
замкнутости или разомкнутости. Вот почему алгебра релейных цепей является не
алгеброй чисел, а алгеброй состояний. Используемые в ней цифры 0 и 1 не
выражают количественных соотношений. Они символизируют лишь два
возможных состояния проводимости - цепь либо замкнута, либо разомкнута. Цифру О,
равно как и 1, можно использовать и для представления разомкнутого
состояния цепи, и для представления замкнутой цепи. Привязанность к стереотипам
мышления в данном случае только мешает понять самую простую вещь, а
именно: бездушной машине в высшей степени безразлично, какой смысл люди
вкладывают в свои цифры.
Из сказанного сам собой напрашивается вывод: технические проекты должны
базироваться на прочном теоретическом фундаменте, каковым в нашем случае является
математическая логика, ибо явно просматривается аналогия между законами
функционирования контактных электрических цепей и законами логики.
Что касается электронно-вычислительных машин, то они представляют, в
сущности, систему переключателей, имеющих два состояния - закрытое и
открытое. Эти два состояния соответствуют условно принятым числовым
значениям. Поскольку таких состояний только два, постольку необходимо найти
способ преобразования чисел из десятичной системы в двоичную систему, в
которой только и может работать современный компьютер.
Известная всем нам система счисления называется позиционной. В данной
системе каждая цифра занимает строго определенную позицию.
В учебниках можно прочитать, что в основе почти всех разделов
математики, изучаемых в средней и высшей школе, лежат понятия и свойства основных
числовых систем. Эти системы образуют тот фундамент, на котором строятся
сложные и многообразные конструкции различных областей математики.
Поэтому читателю полезно кое-что знать из современной теории чисел, прежде
чем будет продолжено рассмотрение интересующих нас вопросов.
Исторически первым и главным понятием арифметики является понятие
«натуральное число». Натуральные числа - это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).
Введение новых видов чисел в математику происходило сложно. Достаточно
сказать, что только к началу XIX столетия математики подошли к созданию
наиболее обширных из числовых систем - системы всех комплексных чисел. Тогда
же была достигнута относительная ясность в понимании природы числа. И
этому не следует удивляться, так как Великая Точная Наука, каковой является
Математика, долгое время была обременена философскими и психологическими
представлениями, мешавшими выявить логический смысл ее фундаментальных
понятий и различных методов доказательств, а также мешавшими логике
освободиться от оков философских предписаний и указаний, чем и как ей следует
заниматься. Ведь совсем недавно одни ученые полагали, что понятие числа тесьо
7 Однако когда дело касается не алгебры релейных цепей, а проектирования реальных
целей такого рода, то любой грамотный инженер никогда не будет пренебрегать,
например, тем фактом, что параллельность цепи равносильна утолщению проводника, в
результате чего полное сопротивление в этом случае должно быть меньше любой из
ветей (сопротивлений). Говоря проще, сопротивление провода зависит от материала,
его длины, площади поперечного сечения и температуры. Но от всего этого можно
спокойно абстрагироваться, сохранив только чистую «логику» построения
электрических или им подобных цепей.
90
К. К. Жолъ Логика
связано с понятием последовательности во времени. Ярким представителем этой
точки зрения был выдающийся немецкий философ И. Кант. Другие же, напротив,
полагали, что понятие числа ближе стоит к пространственным представлениям.
Третьи же с философским энтузиазмом утверждали, что понятие о числе является
врожденным свойством человеческого духа. Освобождаясь от всех этих спекулятивно-
философских шор, математики в конце концов вынуждены были обратиться к
логике и выбрать подходящий для математического анализа инструментарий,
названный впоследствии математической логикой.
Представители математической логики осмелились публично выступить и
провозгласить: если мы располагаем законами счета, то в рамках
теоретической математики можем вести счет в буквах а, Ь, с и т. д., выражающих любые
числа, совершенно не считаясь с тем числовым значением, которые буквы
имеют как особые заместители числа. Иначе говоря, пусть а, Ъ, с, ... будут
обозначением некоторых анонимных вещей, то есть вещей без всякого конкретного
значения, точнее, вещей, о значение (конкретной природе) которых мы ничего
не знаем. Положим также известным, что над этими буквенными
заместителями математических «вещей» (например чисел) можно производить операции,
соответствующие арифметическим законам, хотя бы эти операции и не
приводили нас к числовым значениям. Тогда мы можем оперировать с подобными
математическими объектами («буквами») совершенно так же, как и с
обыкновенными числами. При этом возникает только один вопрос: не могут ли
данные операции когда-либо привести к противоречию?
Чтобы ответить на поставленный вопрос, надо доказать чисто логически, что
при любых операциях над нашими символами, согласно основным законам
арифметики, мы никогда не прийдем к противоречию, то есть убедимся с помощью
логики, что арифметические законы логически совместны и не противоречат друг
другу. Представители этого так называемого формального подхода к арифметике
усматривают достоверность математики в том, что основные ее законы с чисто
формальной точки зрения (независимо от их наглядного содержания)
представляют логически цельную систему, не содержащую противоречия.
Нельзя не согласиться с известным немецким математиком Феликсом
Клейном (1849-1925), утверждавшим, что попытки совершенно изгнать из математики
интуицию и наглядность, дабы удержать только нить сугубо логического анализа,
неосуществима в полной мере никогда. Некоторый остаток интуиции (нашего как
бы спрессованного жизненного опыта) будет всегда сохраняться, и с этим
следует считаться, чтобы не витать в облаках абстрактного теоретизирования.
Практика развития логико-математических исследований подтвердила
правоту Клейна. Чисто логического обоснования арифметики в рамках
определенной логической системы, конкурирующей с другими логическими системами, не
получилось, хотя и были достигнуты очень интересные для теоретической
математики и практической педагогики результаты, убедительно свидетельствующие
о том, что логические построения (концепции) должны составлять прочные
скелет современной математики. Поясню это на примере, для чего потребуется
немного пофантазировать с привлечением известных литературных персонажей,
каковыми в нашем случае будут благородный жулик Остап Бендер и бывший
предводитель уездного дворянства Ипполит Матвеевич Воробьянинов, главные
герои неувядающего романа И. Ильфа и Е. Петрова «Двенадцать стульев».
Итак, уважаемый читатель, представим, что мы находимся на берегу
великой русской реки Волги. Недалеко от пассажирских дебаркадеров (плавучих
пристаней) стоит Великий Комбинатор со своим другом и ближайшим
помощником Кисой Воробьяниновым. Они ожидают парохода «Скрябин». Пароход
задерживается. Это очень беспокоит Ипполита Матвеевича.
- Что вы переживаете, мой юный друг? - философически спрашивает Остап
компаньона. - Давайте займемся арифметическими прогнозами. И для начала я
Глава 2
91
жду вашего ответа на следующий сермяжный вопрос: сколько времени
требуется «Скрябину», чтобы пройти вверх по реке 120, 180 или 220 км, если скорость
парохода в стоячей воде 10, 12 или 14 км/час, а скорость течения реки 2, 3, или
4 км/час?
- Эти задачи невероятно трудны, - тяжело вздохнул Ипполит Матвеевич, - но
я все же попытаюсь их решить.
Вооружившись прутиком, он начал чертить на речном песке следующие
формулы решения поставленных задач.
Решение 1-й задачи.
1. Сколько километров пароход проходит за один час?
10 - 2 = 8 км.
2. За какое время пройдет пароход 120 км?
120 : (10 - 2) = 15 час.
Решение 2-й задачи.
1. Сколько километров пароход проходит за один час?
12 - 3 = 9 км.
2. За какое время пройдет пароход 180 км?
180 : (12 - 3) = 20 час.
Решение 3-й задачи.
1. Сколько километров пароход проходит за один час?
14 - 4 = 10 км.
2. За какое время пройдет пароход 220 км?
220 : (14 - 4) = 22 час.
Взглянув на полученные результаты, Остап расцвел в педагогической улыбке
и соизволил сообщить Ипполиту Матвеевичу, что выражения «120 : (10 - 2)»,
«180 : (12 - 3)» и «220 : (14 - 4)» называются формулой решения задачи.
- Неужели? - изумился тот.
- Да. Все три задачи составлены по определенной формуле. Сравнение этих
формул показывает, что они в сущности имеют один и тот же вид.
- Если, говорите, в сущности, то я не спорю, - пробормотал Председатель
концессии по поиску сокровищ своей тещи, мадам Петуховой.
- Более того, - назидательно добавил Остап. - Эти задачи отличаются одна
от другой только своими числовыми данными.
Услышанное заставило Ипполита Матвеевича затрепетать.
Остап Бендер любил эффекты. Когда его компаньон уже не сомневался в
том, что Волга впадает в Каспийское море, а решенные им с чудовищным
трудом задачи отличаются только числами, Остап великодушно заметил:
- Что вы стоите, как засватанный. Формулируйте общее правило решения
данных задач.
Ипполит Матвеевич набрал воздуха в легкие, выпучил глаза, но... В ответ
раздался лишь жалкий писк.
Сочувственно посмотрев на концессионера, Великий Комбинатор изрек:
- Задачи, имеющие одинаковые условия и отличающиеся только числовыми
данными, имеют одинаковые по своему строению формулы решения.
Тем временем, разворачиваясь против течения, к берегу подходил пароход
«Скрябин».
Не обращая внимания на суету пассажиров, Остап невозмутимо
продолжал:
- Рассмотренные нами задачи решаются по такому правилу: для того
чтобы узнать, сколько часов понадобится пароходу на прохождение данного
расстояния против течения реки, достаточно из скорости парохода в стоячей воде
92
K.K. Жоль Логика
(в км/час) вычесть скорость течения реки (в км/час), а затем расстояние (в км)
pi оделить на полученную разность.
- А попроще можно? - заискивающе пролепетал Ипполит Матвеевич.
Остап недовольно нахмурился, но, сжав всю волю в кулак, сердито процедил
сквозь зубы:
- Можно. Для упрощения указанного правила необходимо обозначить
расстояние, которое проходит пароход (в км\ большой латинской буквой 5, скорость
парохода в стоячей воде (в км/час) - большой латинской буквой V, скорость течения
реки (в км/час) - маленькой латинской буквой v. Буквенное выражение S : ( V - v)
представляет собой общую формулу решения задач данного типа и служит кратким
выражением общего правила их решения. Когда общая формула решения задач
приведенного типа составлена, легко решить любую частную задачу подобного типа.
Для этого достаточно подставить в общую формулу вместо букв соответствующие
числа и произвести вычисления.
- Ах, как прелестно! - восхищенно взвизгнул Ипполит Матвеевич. - Значит,
каждый раз, когда я хочу получить общее правило решения задач некоторого типа,
я должен смело брать быка за рога, то есть брать задачу сразу в общем виде?
- Правильно, коллега. Только для этого в условиях задачи надо писать не
числа, а буквы. Что касается рассмотренных нами задач, то в общем виде они
выглядят следующим образом: сколько времени потребуется пароходу, чтобы
пройти вверх по реке S км, если скорость парохода в стоячей воде - V км/час,
а скорость течения реки - v км/час?
- Решение! Давай решение! - заорал Ипполит Матвеевич, возбужденно
пританцовывая и размахивая руками.
- Решение таково. Поскольку буквы у нас обозначают числа, постольку
решение задачи, поставленной в общем виде, будет осуществляться точно так
же, как и решение задачи в частном виде.
- А именно?
- Во-первых, мы должны ответить на вопрос: сколько километров
проходит пароход за 1 час?
С этими словами Остап выхватил из дрожащих рук Ипполита Матвеевича
прутик и начертил на песке формулу:
(V - v) км.
- Во-вторых, - сказал он, - мы должны ответить еще на один вопрос: за
какое время пароход пройдет S км?
Немедленно на песке появилась новая формула:
S : (V- v) = t {час).
- Вы, надеюсь, поняли меня, коллега? - обратился Великий Комбинатор к
Председателю концессии.
- Да, monsieur, я наконец-то понял, что обозначение чисел буквами дает
возможность получать решение задач в общем виде, - облегченно вздохнул
Ипполит Матвеевич.
- Тогда доверительно сообщаю вам общее определение, - торжественно
произнес Остап. - Выражение, в котором указано, какие действия и в каком
порядке надо произвести над данными числами, называется алгебраическим
выражением. Числа при этом обозначаются, как правило, буквами, хотя никто не
мешает нам использовать и любые другие символы. Запомните также, коллега, что
для обозначения действий в алгебре пользуются теми же знаками, что и в
арифметике: сложение обозначается крестиком (+); вычитание - короткой
горизонтальной черточкой (-); умножение - повернутым на бок крестиком (х), точкой
Глава 2
93
() или вовсе не обозначается; деление - двумя вертикально расположенными
точками (:) или горизонтальной чертой разной длины.
Только Остап закончил свою тираду, как пароход дал третий гудок, готовясь к
отплытию, и наши безбилетные искатели сокровищ ринулись на приступ
«Скрябина».
Итак, возвращаясь к теории чисел, начнем с расширения понятия натурального
(целого положительного) числа и введем понятие отрицательного числа.
Ближайшим поводом для введения в язык математики отрицательных чисел является
требование сделать вычитание операцией, выполнимой во всех случаях. Так, если а <
Ь, то в области натуральных чисел разность а - Ъ не имеет смысла. Имеет смысл
только выражение Ъ - а, то есть существует число с = Ъ - а. Однако мы можем
позволить себе в качестве «эксперимента» допустить что а - b тоже имеет
численное выражение вида: -с = а - Ъ. Полученное таким образом число (-с) назовем
отрицательным числом.
С представлением об отрицательном числе связана интерпретация целых
чисел при помощи шкалы равноотстоящих точек на прямой, простирающейся
безгранично в обе стороны и называемой числовой осью.
Отрицательные числа не имеют ничего общего с наглядным образом некоего
количества реальных предметов. Скажем, десять воробьев - это вполне
осмысленная величина. Десять же «отрицательных» воробьев - это уже что-то из рода
ненаучной фантастики.
Производя действия над отрицательными числами, мы отвлекаемся от их
физического или какого-либо другого конкретного смысла, то есть
производим действия над ними как над некоторыми количествами, смысл которых
весьма абстрактен. Тем самым незаметно осуществляется переход от математики
реального физического (интуитивного) смысла к математике формальной
(формально-логической) смысла, для полного уяснения которой нужно уметь
абстрагироваться от очевидности целых положительных чисел. И тем не менее мы с
успехом пользуемся отрицательными числами для счета некоторых вполне реальных
предметов или состояний. Например, при измерении температуры в качестве
начала отсчета выбирается температура тающего (при определенных условиях) льда,
которая принимается за 0 градусов. Температура тела более теплого, чем 0
градусов, характеризуется положительным натуральным числом. Для
характеристики более холодного, чем 0 градусов, тела или среды используются
отрицательные числа. Так, например, когда говорят, что температура воздуха 5 градусов
ниже нуля, то подразумевают, что данная температура имеет -5 градусов.
Подобная измерительная шкала в свое время была предложена шведским
астрономом и физиком А. Цельсием (1701-1744).
Эти и другие примеры показывают необходимость расширения понятия
числа и введения отрицательных чисел, а также числа 0, соответствующего началу
отсчета.
Не менее важной причиной использования нуля и отрицательных чисел
явились требования собственно арифметической теории и ее приложений так
расширить множество натуральных чисел, чтобы наиболее простое арифметическое
действие (сложение) имело всегда выполнимое обратное действие (вычитание).
К XVI столетию значение отрицательных чисел в математике становится
несомненным. Но только в XIX столетии после работ немецкого математика
К. Гаусса (1777-1855) теория отрицательных чисел получила формальное
обоснование, благодаря чему отрицательные числа заняли свое место наряду с другими
числами в общей теории чисел.
С натуральными числами связан принцип позиционной (поместной) их записи.
Десятичная система использует 10 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. При этом
каждый знак получает определенное значение в зависимости от положения его
в записи.
94
К. К. Жоль Логика
Двоичная система счисления оперирует только двумя цифрами - 0 и 1.
Число различных цифр, используемых в любой системе счисления, называется
основанием системы счисления. Например, в десятичной системе основание равно
10, а в двоичной - 2. Нет никаких принципиальных соображений против
использования других оснований для построения систем счисления. Многие ученые считали
более удобным основание 12, как имеющее больше делителей. В настоящее время
в связи с использованием электронно-вычислительных машин широкое применение
находят двоичная и восьмеричная системы счисления.
Как уже отмечалось, в каждой системе счисления цифры упорядочены
определенным образом в соответствии с их значениями (позициями, местами).
Продвижением цифры принято называть замену ее следующей по величине. Так, в
десятичной системе продвинуть цифру 0 - значит заменить ее цифрой 1,
продвинуть цифру 1 - значит заменить ее цифрой 2 и т. д. В двоичной системе
продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 означает замену ее на 0.
Места слева от первой цифры всякого числа можно считать заполненными
нулями в любом удобном для нас количестве. Математики условились считать,
что в каждой системе счисления первым целым числом является число 0000.
Применяя принятое правило счета, они утверждают, что второе целое число в
любой системе счисления записывается в виде 0001. Следующие после 0001
целые числа в разных системах счисления имеют разные значения. Например, в
десятичной системе это будет 0002, а в двоичной - 0010.
В кибернетических устройствах используются помимо двоичной системы
счисления и другие виды числовых кодов. Основная причина, по которой в
вычислительной технике используется двоичный код (когда, например,
отверстие, пробитое на определенном участке перфоленты, представляет собой
запись единицы, а его отсутствие - запись нуля), заключается в той
относительной легкости, благодаря которой можно аппаратно реализовать всего лишь
два различных состояния.
В уже упоминавшейся бинарной булевой алгебре, имеющей непосредственное
отношение к анализу электрических схем, роль переменных могут играть
контакты, которые мы обозначим малыми буквами латинского алфавита (а, Ъ, с,..).
Каждая из переменных может принимать одно и только одно значение (из двух
возможных).
Произведением двух контактов (а, Ь) назовем схему, полученную в
результате их последовательного соединения. Тогда будем иметь следующее: схема
замкнута (равна 1) только в том случае, когда оба контакта замкнуты (равны
1) (рис. 1), то есть цепь а х Ъ пропускает ток лишь в том случае, если
пропускают ток оба ее звена - а и Ъ.
Суммой двух контактов (а, Ь) назовем схему, образованную при их
параллельном соединении. В результате будем иметь следующее: схема замкнута
(равна 1) только в том случае, когда замкнут (равен 1) хотя бы один из
образующих схему контактов (рис. 2), то есть сумма а + Ъ пропускает ток только в том
случае, если пропускает ток хотя бы один из элементов (а или Ь).
Основной задачей алгебры контактных схем является задача разыскания схем,
логически эквивалентных данной схеме. Это необходимо для того, чтобы выбрать
из всех возможных вариантов наиболее простой. Поскольку универсального
Рис. 1. Рис. 2.
Глава 2
95
критерия простоты схемы не существует, постольку в качестве одного из
критериев простоты принимается следующий: схема будет самой простой среди всех
логически ей эквивалентных, если соответствующее ей алгебраическое выражение
содержит наименьшее по сравнению с остальными число вхождений букв
(переменных). Тем самым задача упрощения схем сводится к задаче упрощения их
переключательных функций или минимизации числа переменных.
Условимся считать две контактные схемы эквивалентными (равными), если при
одних и тех же значениях входящих в них контактов они будут одновременно
замкнуты или разомкнуты. Говоря иначе, две схемы эквивалентны тогда и
только тогда, когда эквивалентны представляющие их переключательные функции.
Рассмотрим на конкретном примере, как используется
логико-алгебраический инструментарий для анализа и построения контактных схем (рис. 3, 4, 5).
Как известно школьникам, связь сложения с умножением устанавливается
законом распределительности, или дистрибутивности, гласящим, что произведение
алгебраической суммы на какое-либо число равно алгебраической сумме
произведений отдельных слагаемых на это же число, например: а(Ь + с) = ab + ас.
Применяя этот дистрибутивный закон к рассматриваемому выражению
ас + ad + be + bd, мы получим выражение следующего типа: а(с + d) + b(c + d),
изображаемое более простой схемой (рис. 4), логически эквивалентной первой
(рис. 3).
Вынося за скобки (с + d), получим выражение (а + Ь) • (с + d), которому
соответствует схема (рис. 5), самая простая из всех трех логически
эквивалентных схем.
Практическое использование логики при проектировании цепей состоит не
в дотошной деталировке схемы, а в выборе оптимальной структуры контура.
Поэтому главная задача логического исчисления (если говорить языком
математической логики) заключается в выявлении структуры взаимоотношений
между членами некоторого множества.
К понятию множества (класса) мы вернемся еще не раз, а сейчас запомним
следующее. Необходимая для проектирования цепей алгебра множеств во
многом отлична от традиционных алгебраических систем. Дело в том, что ряд
законов обычной алгебры теряет свою силу при переходе к алгебре множеств. В
связи с этим операции над множествами часто называют не суммой или
произведением множеств, а объединением и пересечением, обозначая эти операции
специальными знаками и и п , которые не подсказывают аналогий с операциями
над числами.
Рис. 3.
Рис. 5.
96
К. К. Жоль Логика
По имени математика, впервые рассмотревшего алгебраические системы,
подобные алгебре множеств, указанные системы называют алгебрами Буля.
Джордж Буль - автор всемирно известных произведений «Математический
анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли, на которых основаны
математические теории логики и вероятностей» (1854). В «Исследованиях» представлена та
алгебраическая система, которую сегодня называют алгеброй высказываний.
Что же собой представляет булева алгебра?
Изучение оснований математики, интенсивно проводимое в XIX в., не могло бы
успешно развиваться без усилий, направленных на систематизацию тех частей
логики, которые касаются сцепления математических выражений в их доказательную
последовательность. Поэтому историю теории множеств, включая булеву алгебру
множеств, и формализации математики нельзя отделить от истории математики и
математической логики.
Знакомясь с историей вопроса, мы узнаем, что развитие алгебры делало
очевидным сходство между правилами формальной логики и правилами алгебры. Это
сходство базировалось на том общем для данных наук свойстве, которое состоит в
ориентации логического и алгебраического анализов на некоторые, так сказать, «X-
объекты», от природы которых (физической или воображаемой) можно отвлечься
без урона для существа дела.
Несомненным создателем современной символической логики справедливо
считается Буль. Его основная теоретическая идея заключалась в том, что в логике
как строгой, точной науке надо иметь дело не с конкретными значениями
высказываний, а с абстрактным множеством объектов неопределенной природы. Вследствие
этого форма высказываний лишается своей специфики, обусловленной, например,
использованием выражений естественного языка, и приобретает алгебраический вид.
Теперь вновь вернемся к понятию числа, без уяснения которого трудно
продвигаться по сложным лабиринтам современной логической науки, надеясь сделать
логический инструментарий практически полезным и необходимым для решения
разнообразных задач.
Из простого житейского опыта мы знаем, что целые числа вполне
обеспечивают потребности счета отдельных предметов. Однако насущные задачи
измерения физических и других величин приводят нас к необходимости учитывать
остатки (части) соответствующих единиц измерения. Возникает необходимость
введения новых чисел, которые могли бы точно характеризовать части единиц
измерения и совокупности таких частей. С точки зрения арифметической теории
подобное расширение системы целых чисел делает действие деление
выполнимым для любых чисел, кроме деления на нуль. Так формируются представления
о дробных числах.
Долгое время правила действий с дробями отличались большой запутанностью,
что мешало их введению в состав так называемых рациональных чисел. Например,
десятичные дроби были предложены европейской науке фламандским инженером и
ученым Симоном Стевином (1548-1620) в 1585 г., хотя за столетие до этого
самаркандским ученым Аль-Каши (? - ок. 1436 или 1437) уже были введены в оборот
десятичные дроби, но его нововведение долго оставалось неизвестным европейским
математикам. В начале XVII в. в качестве разделительного знака в десятичных дробях стали
использовать запятую или точку. Окончательное утверждение десятичных дробей
следует связывать с введением десятичной системы мер и весов, которая была введена
после Французской революции 1789 г.
Целые числа (положительные и отрицательные), дробные числа
(положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных
чисел. Целые числа оказались частным случаем рациональных, в определении
которых на первое место выдвинулись представления о дробных числах.
Глава 2
97
О недостаточности рациональных чисел для решения многих практически
значимых математических задач свидетельствовала геометрия. Уже давно было
известно, что никаким рациональным числом нельзя оценить длину диагонали
квадрата, сторона которого равна единице измерения. На этот факт указали еще древние
греки, доказавшие, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Отсюда
следовало, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы
выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Открытие несоизмеримых величин наложило очень сильный и глубокий
отпечаток на развитие математики, которое долгое время осуществлялось в двух
параллельных направлениях - развитие арифметики как науки о числах и
развитие геометрии как науки о величинах (длинах, площадях, объемах).
Все это наводило на мысль расширить числовую область, чтобы утвердить
единство математики. И вот к рациональным числам были добавлены числа
иррациональные с приставкой «вещественные» («действительные»). По своей
десятичной записи рациональные и иррациональные числа различаются тем, что в
записи рационального числа, начиная с некоторого места (позиции), неизменно
повторяется одна и та же цифра или группа цифр, тогда как в записи
иррационального числа такого повторения наступить не может. Так, 0,333...(= 1/3) -
рациональное число, а 3,14159...(= я) - иррациональное число.
По мнению Клейна, слово «иррациональный» ведет свое начало скорее
всего от неправильного перевода греческого слова «осЛ,оуоа» на латинский язык.
Это греческое слово, вероятно, означало «невыговариваемое число». Тем
самым подчеркивалось, что новые (иррациональные) величины в виде
отношения отрезков не могут быть выражены отношением двух целых чисел. Лишь
непонимание переводчика объясняется то, что эти числа оказались
«нелогичными» («нерациональными»).
В 60-х гг. XIX столетия была признана актуальной потребность в точной
теоретической обработке представлений об иррациональных числах, что и было
выполнено известным немецким математиком К. Т. В. Вейерштрассом (1815-1897).
Характерно, что общую теорию иррациональных чисел дал в 1879 г. и немецкий
математик Г. Кантор (1845-1918), основатель учения о множествах, оказавшего
исключительно большое влияние на развитие математики и логики.
Рациональные и вещественные иррациональные числа со временем были
объединены в понятие вещественных (или действительных) чисел. Произошло это во
второй половине XIX в. Построение соответствующей математической системы
определений и доказательств было выполнено известным немецким математиком
Ю. В. Р. Дедекиндом (1831-1916), хотя почти одновременно с ним аналогичные
обоснования вещественных (действительных) чисел сделали и другие математики.
Появление понятия «иррациональное число» как бы спровоцировало
появление нового понятия - «мнимое число». Впервые мнимые числа начали
фигурировать в 1545 г. в трактате известного итальянского математика, врача и
философа Джероламо Кардано (1501 или 1506 - 1576) при решении им
кубического уравнения. По признанию самих математиков, мнимые числа долгое
время сохраняли несколько мистическую окраску, которую они и теперь еще
имеют в глазах учеников, впервые слышащих об этом удивительном феномене
в виде i = V-T-
Лишь XIX в. принес с собой логически ясное понимание мнимых чисел, польза
от употребления которых становилась для математиков все более несомненной.
Наиболее глубоко проник в сущность вопроса о мнимых числах великий Гаусс,
давший им геометрическую интерпретацию. Он предложил вместо слова
«мнимый» ввести в словарь математики термин «комплексный». Это предложение
было принято научным сообществом, и с тех пор в математике прочно утвердился
раздел о комплексных числах, включающих в себя весь комплекс вещественных и
мнимых чисел. Это был завершающий этап в образовании целостной теории
98
К. К. Жоль Логика
всех известных науке чисел. Дальнейшее расширение класса всех комплексных
чисел теряло свой научный смысл, так как подобное расширение повлекло бы
невосполнимые потери в тех свойствах математических объектов, набор которых
делает каждый из рассматриваемых числовых классов самоценным и
чрезвычайно важным инструментом математического анализа.
Помимо упомянутых главных классов чисел, существуют и другие множества
чисел, заслуживающие серьезного внимания. К ним относятся алгебраические и
трансцендентные 8 числа.
Алгебра и арифметика в первую очередь интересуются свойствами чисел,
связанными с арифметическими действиями над числами (сложение,
вычитание, умножение, деление) и с решением алгебраических уравнений, К
алгебраическим числам принадлежат, в частности, все рациональные числа. Всякое
значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим
числом. Существуют и другие алгебраические числа.
Числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными, то
есть трансцендентные числа - это числа, не удовлетворяющие никакому
алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами (таковы, например: я = 3,14159...,
е = 2,71828...), выходящие за пределы указанных алгебраических уравнений
(отсюда - трансцендентные).
Истоком появления трансцендентных чисел является число я. Еще
древнегреческие математики озадачили себя вопросом: можно ли построить число я
при помощи циркуля и линейки? Отвечая на поставленный вопрос, они начали
осуществлять это построение всевозможными способами, не догадываясь, что
причиной постоянных неудач является принципиальная неразрешимость
указанной задачи, получившей название «квадратуры круга».
В более широком плане задача построения числа я при помощи циркуля и
линейки сводится к тому, чтобы представить я как результат нескольких
последовательных извлечений корня квадратного из рационального числа. Сегодня
доказано не только то, что это невозможно, но и то, что число я вообще нельзя
связать с целыми числами никакими алгебраическими соотношениями.
Элементарное введение в теорию множеств, являющуюся фундаментом
современной математики и логики. Деление математических объектов на группы,
классы, множества и установление взаимосвязей между этими множествами
делало необходимым изучение самого понятия математического множества. За
это изучение взялся Георг Кантор, профессор в немецком городе Галле.
Созданное им учение о совокупностях, или множествах, явилось теоретическим
фундаментом современной математики. Если попытаться кратко
охарактеризовать это учение, то можно сказать: данное учение пытается свести свойства
целых чисел и операций над ними к общим свойствам некоторых абстрактных
множеств и связанных с ними абстрактных отношений. Тем самым
преследуется цель достигнуть возможно более глубокого обоснования теории чисел.
Поскольку мы уже неоднократно имели дело с различными характерными
собраниями (классами) чисел, пора их назвать числовыми совокупностями или
множествами.
В области чисел мы имели дело с такими множествами:
1) целые числа (натуральные числа, нуль, отрицательные числа);
2) рациональные числа, включающие целые числа, а также дробные
положительные и отрицательные числа;
3) вещественные (действительные) числа, включающие рациональные
числа, а также иррациональные положительные и отрицательные числа;
4) комплексные числа.
От лат. transcendens (transcendentis) - выходящий за пределы.
Глава 2
99
Каждое из этих множеств содержит бесконечно много чисел. И вот возникает
такой вопрос: нельзя ли сравнить между собой эти множества по величине или
объему? Или: нельзя ли «бесконечность» одного множества считать большей, равной
или меньшей, чем «бесконечность» другого множества?
По словам Клейна, великой заслугой Кантора является то, что он с помощью
точных формулировок и определений разрешил этот «крамольный» для большинства
математиков и весьма туманный для многих вопрос, введя понятие мощности или
кардинального числа.
Два множества имеют одинаковую мощность (эквивалентны), если между ш
элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то есть есль
одно множество можно так отобразить на другое, что каждому элементу
первого множества взаимно однозначно соответствует некоторый элемент второгс
множества. Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют
различную мощность.
Иначе говоря, Кантор поставил перед собой задачу определить те средства
которые необходимы для сравнения бесконечных множеств. Для ее решения ov
ввел понятие мощности (объема) множества, полагая, что два множества
имеют одинаковую мощность, если члены любого из них можно сопоставить
членам другого, образовав пары соответствующих элементов (членов).
Идеи канторовской теории множеств привели к созданию самостоятельно?
математической дисциплины - общей теории абстрактных множеств.
Как отмечал известный польский математик В. Серпин(ь)ский (1882-1969)
еще в первые годы XX в. не было даже и речи о преподавании теории мно
жеств на математических факультетах университетов. Сегодня же теория мно
жеств считается основой современного математического и логического анали
за, знания ее обязательны для каждого математика и логика.
На первый взгляд кажется естественным считать, что мощность множеств;
натуральных чисел меньше мощности множества всех рациональных чисел, ко
торое, в свою очередь, меньше множества всех вещественных чисел, а последне«
меньше множества всех комплексных чисел. Однако в действительности тако<
заключение лишено логического основания. Хотя всякое конечное множестве
всегда имеет большую мощность, чем любая его собственная часть, но это утвер
ждение ни в коем случае нельзя переносить на бесконечные множества.
100
К.К. Жоль Логика
0 12 3 4 5.
mm
2 4 6 8 10 .
Рис. 6.
Убедимся на достаточно простом примере в том, что собственная часть
бесконечного множества действительно может иметь равную с ним мощность. Для
этого мы должны сравнить множество всех натуральных чисел с множеством,
например, всех четных чисел (рис. 6).
Наше сопоставление показывает, что всякому элементу одного множества
соответствует один и только один элемент другого множества. Следовательно,
согласно Кантору, множество натуральных чисел имеет такую же мощность,
как и его собственная часть, состоящая из четных чисел.
Множество, которое допускает взаимно-однозначное сопоставление его
элементов с натуральным рядом чисел, называется счетным.
При изучении множеств мы абстрагируемся от природы и порядка их
элементов, а иногда абстрагируемся только природы, но не от порядка. Чем в
таком случае отличаются друг от друга два абстрактных множества?
Они отличаются своей численностью.
Можно ли установить их равночисленность, не имея никакого понятия о
числе?
Можно. И не удивляйтесь этому, а просто возьмите и сравните попарно,
скажем, содержимое двух коробков спичек. Вынем из каждого коробка по спичке
и положим их рядышком. Будем повторять эту нудную процедуру до тех пор,
пока один или оба сразу коробков не опустеют.
Таким образом, желая убедиться, равночисленны ли два данных множества, не
обязательно пересчитывать элементы этих множеств. Достаточно последовательно
и совершенно механически брать попарно по одному элементу из каждого
множества. Следовательно, два множества будут равночисленными не по счету, а в
том случае, если выбирать попарно по одному элементу из каждого множества
до тех пор, пока они не будут исчерпаны одновременно. Можно сказать иначе:
два множества равночисленны в том случае, если их элементы соединяются в пары
таким образом, чтобы в каждой паре было по одному элементу из каждого
множества. Тогда говорят, что между элементами, образующими множества,
установлено взаимно-однозначное (или одно-однозначное) соответствие.
Если между элементами двух или более множеств можно установить
взаимно-однозначное соответствие, то математики говорят, что эти множества рав-
номощны (или эквивалентны).
Огромное количество разнообразных счетных множеств наводит на мысль,
что вообще все бесконечные множества счетны. Но Кантор доказывает, что
континуум всех действительных (вещественных) чисел представляет собой несчетное
множество. Центральным пунктом этого доказательства является довольно
простой прием, называемый «диагональным методом». Такой метод при любом
счетном расположении всех действительных чисел дает действительное число,
которое заведомо не содержится в данном расположении. Это приводит к
противоречию. Следовательно, некоторое несчетное множество не может быть счетным.
Глава 2
101
Рис. 7.
Напишем все наши числа 0 < х < 1 в виде десятичных дробей. Предположим,
что все они расположены в счетный ряд, где а9 6, се ... - любая из цифр о ^
9, взятых в произвольном порядке (рис. 7).
Чтобы образовать десятичную дробь х\ отличную от всех чисел нашей схемы,
выделим цифры а 9 Ъг, сз, ... , стоящие в отмеченной на схеме диагонали (отсюда и
название этого метода), и поставим на первом десятичном месте числа х9 какую-
нибудь цифру а9{9 заведомо отличную от а{9 на втором месте - какую-нибудь
цифру Ъ9 9 отличную от 62, на третьем месте - цифру с9 9 отличную от с 9 и т. д.
Получим
х9 = 0, а\, Ь\, с\9 ... .
Эти условия относительно выбора цифр а9 9 Ь9 9 с9 9 ... оставляют нам
некоторую свободу действия. Например, мы можем распорядиться так, чтобы дс'
(число) было равно правильной десятичной дроби, а также чтобы она (дробь)
не прекращалась после некоторого конечного числа знаков. Но в таком случае
х9 заведомо отлично от числа х , так как у них первые цифры неодинаковы, а
между тем две бесконечные дроби могут быть равны между собой только в
том случае, если у них одинаковы все соответствующие цифры. Точно так же
х9 * х2 вследствие различия вторых цифр, х9 Ф хъ из-за третьих цифр, и таким
образом, вообще число х99 будучи вполне определенной десятичной дробью,
оказывается отличным от всех чисел х 9 х 9 *3, ... счетной схемы. Следовательно,
мы пришли к противоречию, а это доказывает, что континуум несчетного
множества представляет собой действительно несчетное множество.
Таким образом обнаруживается существование трансцендентных чисел, ибо
множество алгебраических чисел счетно и потому не может исчерпать
несчетный континуум всех вещественных чисел. В свете этого можно утверждать, что
мощность несчетных множеств превосходит мощность счетных множеств.
По сравнению с бесконечными множествами конечные множества
нумеруются. Проще говоря, множество называется конечным, если его элементы
можно занумеровать натуральными числами от 1 до « так, чтобы различные
элементы имели различные номера и чтобы все номера от 1 до п были
использованы. В соответствии с этим элементы конечного множества А можно
обозначить через а 9 ..., а\
А = Ц, ..., а).
Любое конечное множество можно задать с помощью списка всех его
элементов. Такой список часто заключается в фигурные скобки {} и называется
табличной формой задания множества.
Иной формой задания множества является задание признаком (или задание
по признаку, свойству элементов множества). Этот способ задания множества
102
K.K. Жоль Логика
позволяет определять множество по свойству, которым обладают все элементы
данного множества и только они. Например, свойство быть целым положительным
числом, меньшим семи, определяет множество, записываемое в табличной форме
следующим образом: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. При этом руководствуются принципом,
гласящим: если fix) - некоторое свойство объекта х, то существует множество,
элементами которого являются в точности все объекты, обладающие данным свойством.
Множество, определяемое свойством Дх), обозначается через {х: fix)}. Данное
выражение читается так: множество всех объектов х, таких, что f справедливо
для х.
Запомним, что каждое множество, не являющееся конечным, называется
бесконечным. Так например, множество всех целых чисел бесконечно.
Итак, нам известно, что ряд натуральных чисел бесконечен. В соответствии с
этим можно утверждать: множество, равномощное с множеством натуральных
чисел, называется счетно бесконечным. Элементы счетно бесконечного множества
могут быть перенумерованы так, что любое натуральное число появится в
качестве номера ровно один раз.
Конечные и счетно бесконечные множества объединяются названием
«счетные множества».
Когда мы имеем дело с такими счетными бесконечными множествами, мы
должны уметь указывать, как перенумеровать их элементы и представить их в
виде бесконечной последовательности. Например, множество N всех целых
положительных чисел удобно записывать в виде N = {1, 2, 3, ...}.
Понятие множества издавна использовалось в логике, хотя и не
подвергалось точному анализу. Так называемые объемы терминов (понятий в
традиционной логике) - это множество предметов, обозначенных данными терминами
(подпадающих под данные понятия). Отношения между объемами терминов -
это отношения между множествами.
Известно, что логики используют такие базисные для своей науки понятия,
как «все», «ни один», «некоторые», «существует». Рассмотреть эти понятия нам
еще предстоит. Сейчас же только отмечу, что, например, с помощью слова «все»
мы можем построить следующее высказывание: «Все х, для которых определена
функция fix) (например: «jc умеет играть в покер»), образуют множество». В
данном случае утверждается, что имеется область определения так называемой
пропозициональной9 функции f. Ученые считают, что именно так
математическое понятие множества входит в логику, хотя имеются и другие пути
проникновения данного понятия в сферу логической науки. Что касается последнего,
то можно указать на отправной пункт всех логико-математических
рассуждений, каковым являются цифры, буквы или их комбинации. Свойства,
которыми обладают эти символы (объекты) в контексте математики и логики, так или
иначе приводят нас к понятию множества или класса.
Возникновению и развитию канторовской теории множеств предшествовала
разработка некоторых теоретико-множественных понятий в алгебре множеств Буля.
Алгебра Буля может служить для описания операций над множествами. Сами
же операции над множествами были введены Кантором.
Сопоставление операций Буля над высказываниями с операциями Кантора
над множествами показывает, что эти операции обладают общими свойствами,
к числу которых относятся: (1) коммутативность (от лат. commutare - менять,
переменять; переместительность), то есть неизменяемость суммы или
произведения от перестановки слагаемых (например: а + b = b + а\ cd = de); (2)
ассоциативность (от лат. associare - присоединять; сочетательность), то есть
независимость суммы или произведения от замены некоторых слагаемых их суммой или
9 Лат. propositio - предложение, утверждение.
Глава 2
103
некоторых множителей их произведением (например: (а + Ь) + с = а + (Ь + с) = а
+ b + с; (ab)c = а(Ьс) = abc); (3) дистрибутивность (от лат. distributivus -
распределительный; распределительность).
Школьники знают, что в арифметике сложение подчиняется двум законам - пе-
реместительному и сочетательному.
Закон 1. Пер вместительный закон сложения. Сумма двух слагаемых
не зависит от порядка расположения слагаемых.
Например: 1+2 = Зи2+1=3.
Пользуясь буквами для обозначения чисел, этот закон можно
сформулировать так: каковы бы ни были числа а и Ь, а + b = b + а.
Закон 2. Сочетательный закон сложения. Сумма трех слагаемых не
зависит от того, какие два из них сложены вначале - первые или последние.
Например: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3).
Алгебраически этот закон можно сформулировать так: каковы бы ни были
числа, обозначенные буквами а, Ь, с, (а + Ь) + с = а + (Ь + с).
Из этих двух законов сложения вытекает, что при сложении некоего множества
чисел можно располагать слагаемые в любом порядке и соединять их в любые
группы. Например:
1 + 2 + 3 + 1,2 + 2,5 + 100 = (1 + 2) + (3 + 1,2) + (2,5 + 100) = 3 + 4,2 + 102,5 = 109,7.
Умножение в арифметике тоже подчиняется двум законам - переместитель-
ному и сочетательному.
Закон 1. Переместительный закон умножения. Произведение двух
сомножителей не зависит от порядка расположения сомножителей, то
есть каковы бы ни были числа, обозначенные буквами а и Ъ, а х b = b х
а.
Например: 3 х 4 = 12 и 4 х 3 = 12.
Закон 2. Сочетательный закон умножения. Произведение двух
сомножителей не зависит от того, какие два из них перемножены вначале -
первые или последние, то есть каковы бы ни были числа, обозначенные
буквами а, Ъ, с, (а х Ь) х с = а х (b х с).
Например: (5 х 6) х 7 = 5 х (6 х 7).
Из переместительного и сочетательного законов умножения вытекает, что
при умножении некоего множества чисел разрешается располагать
сомножители в любом порядке и соединять в любые группы. Например:
3 х 7 х 10 х 2 = 3 х 10 х 2 х 7 = (2 х 3) х (10 х 7) = 420.
Таким образом, если для вычисления алгебраического выражения требуется
произвести несколько раз умножение и при этом других действий производить
не нужно, то (1) все скобки можно опустить, (2) сомножители можно переписать в
любом порядке, (3) можно скобки вновь расставить любым образом. Например:
(axb)x(cxd)x(exfi = axbxcxdxe х/= axexcx bxd xf= (axexc)x(bxd xfi.
Переходя от арифметики к алгебре, мы яснее начинаем понимать смысл
операций над числами, но числа не исчерпывают всего множества математических
104
К. К. Жоль Логика
объектов и возможных операций над ними, о чем свидетельствуют
логико-математические построения Буля и Кантора.
Оказывается, что некоторые свойства операций в алгебре логики Буля и в
теории множеств Кантора не похожи на свойства операций над числами. Кстати, Буль
первым высказал мысль о том, что операции над числами или величинами не
характеризуют существа математики. По его мнению, возможны такие
разделы этой науки, которые не имеют дела с числами и величинами. Примером
подобного рода служит теория множеств, разрабатываемая как своеобразная алгебра,
где переменные не означают ни чисел, ни величин. Эти идеи не были до конца
реализованы их автором, так как Буль разрабатывал свою алгебру в форме,
обычной для алгебры того времени.
Элементами булевой алгебры множеств являются не числа, а некоторые
абстрактные объекты, природа которых игнорируется. Для нас существенно
лишь то, что все элементы алгебры, называемые множествами, являются
частями одного и того же множества. Это исходное множество называется
универсальным множеством и часто обозначается большой латинской буквой U
(первая буква латинского слова «universalis» - общий, всеобщий). В
естественном языке универсальное множество выражается словами «все», «всякий»,
«любой», «никакой».
Геометрическим символом универсального множества является прямоугольник.
Некоторые формулы алгебры множеств графически выражаются с помощью
этого прямоугольника и кругов (рис. 8). Графический метод проверки формул
алгебры множеств называется методом диаграмм Венна, по имени английского
логика Джона Венна (1834-1923). В диаграммах Венна множества, за исключением
универсального множества, символизируются с помощью кругов.
Таким образом, особый раздел теории множеств занимает алгебра множеств,
изучающая разные операции над абстрактными множествами.
Хотя реальная природа элементов множества не принимается во внимание, тем
не менее эти элементы должны обладать некоторыми свойствами, чтобы их
можно было отличать от элементов других множеств. Поэтому, как уже отмечалось
выше, множество может задаваться указанием характеристического свойства
(признака) его элементов, то есть такого свойства, которым обладают все элементы
данного множества. Чаще всего это свойство формулируется словами
(например: множество всех философски образованных поросят, страдающих манией
величия), но могут задаваться и абстрактно-теоретическим образом с учетом
характера взаимосвязи их элементов.
Так как множество может содержать любое число элементов, то оно может
состоять и из одного единственного элемента. Такое множество называется
единичным.
Множество, каждый член которого не обладает определенным свойством,
является множеством, где нет членов, обладающих данным свойством. Такое
свойство называется нулевым или пустым и обозначается символом 0 (или О).
0©Л
и
Рис. 8.
Глава 2
105
Когда мы определяем множество, мы не можем знать заранее, содержит ли
оно хотя бы один элемент. Вот почему полезно рассматривать множества, не
содержащие ни одного элемента, то есть пустые множества.
Существуют различные способы выделения подмножеств из универсального
множества, число элементов которого может быть как конечным, так и бесконечным.
Одним из таких методов является полный перечень членов множества. Можно
также выделять определенное множество как совокупность всех объектов,
удовлетворяющих какому-то определенному требованию.
Множество полностью определено, если можно сказать относительно
любого предмета, является или не является он элементом этого множества.
Обычно множества обозначаются прописными курсивными буквами
латинского алфавита (А, В, С, D, ...), а их члены - строчными курсивными буквами
того же алфавита (а, Ъ, с, d, ...).
Хорошенько запомним, что правильное понимание связей между
множествами является базой всех логических построений.
Чтобы определить некоторое множество А, мы должны объяснить, как
правильно отвечать на следующий вопрос: принадлежит данный объект а
множеству А или не принадлежит?
Основным понятием теории множеств является понятие принадлежности
элемента множеству. Например, говорят: число 2 принадлежит множеству всех
натуральных чисел. Принадлежность (или членство) есть отношение между
предметами (членами, элементами) и множествами этих предметов (членов, элементов).
В качестве обозначения того, что предмет а принадлежит множеству А,
пишут: а е А, где е - символ принадлежности. Иногда эта формула читается так:
множество А содержит элемент а.
Вместо выражений «а не является элементом А», «множество А не содержит
элемент а», «элемент а не принадлежит множеству А» пишут: а ё А, где ё -
символ отсутствия принадлежности.
Множество, как уже отмечалось, может состоять из одного единственного
элемента и обозначаться следующим образом: {je}. Это единичное множество
есть одноэлементное множество, единственным элементом которого является х.
Другим важным отношением является отношение «быть включенным в», или
«содержаться в», или «быть подмножеством». Например, множество всех
русских писателей содержится в множестве (или включено в множество, или
является подмножеством множества) всех писателей мира.
Нельзя путать отношения принадлежности и отношения включения.
Отношения принадлежности касаются отношений между элементами множества и
самим этим множеством, тогда как отношения включения касаются
отношений только между множествами.
Таким образом, отношение между множествами, когда члены одного
множества одновременно являются членами другого множества, называется включением.
Для включения не обязательно, чтобы одно множество было меньше
(больше) другого множества, так как тождественные множества также могут
включаться друг в друга.
Понятие включения множеств является фундаментальным принципом всех
отношений между множествами.
Существует пять возможных типов включения множеств:
1) взаимное включение, или тождество,
2) полное включение меньшего множества в большее;
3) частичное включение одного множества в другое;
4) полное включение двух или более множеств в одно большое множество,
то есть сумма двух или более множеств образует одно множество;
5) полное взаимное исключение множеств.
106
К К. Жоль Логика
Частичное включение представляет особый интерес для инженеров. На рис. 9
изображены два пересекающихся круга.
Если считать, что один круг означает множество А, а другой - множество В, то
очевидно, что существует область, включающая элементы А и В. Это означает, что
существует по крайней мере один элемент, принадлежащий одновременно множеству А
и множеству В. Элементы множества, входящие одновременно в оба множества А и 5,
представляют собой так называемое произведение {пересечение) А и В, что, как мы
уже знаем, важно учитывать при выборе структуры электропроводящего контура.
Пересечение множеств А. (A^ А 9 ..., А) - это множество элементов, принадлежащих
всем А. сразу (множество элементов, принадлежащих всем множествам
одновременно),' что обозначается так:
i 1
где П - еще один символ пересечения множеств.
Логика записывает частичное включение одного множества в другое так:
А & В (читается «А и В»), где & - символ конъюнкции 10. Математики
предпочитают пользоваться выражением А п В, где п - символ пересечения множеств.
Инженеры обычно имеют дело с выражениями А х В или А • В, где х и • -
символы умножения. Говоря о произведении двух множеств, специалисты
имеют в виду прежде всего то, что произведение двух множеств является
формализацией наших представлений о классификации предметов в соответствии с
одним или несколькими признаками.
Частичное включение двух или более множеств на примере с кругами
показывает, что два или более пересекающихся кругов могут образовывать новое
множество, включающее те элементы, которые являются членами множества
А9 членами множества В и членами обоих множеств одновременно.
Множество (рис. 10) называется объединением (или суммой) множеств А и В.
В математике объединение нескольких множеств обозначается символом и.
Операция объединения имеет ряд свойств, близких к свойствам арифметической
операции сложения. В логике эта операция называется дизъюнкцией п и
записывается так: А V В (читается: А или В), где v - символ дизъюнкции. Более
общее определение гласит, что объединение множеств А - это множество
элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному А. Оно может
обозначаться еще и так:
U А-,
i
где U - еще один символ объединения множеств, призванный, как и символ
пересечения множеств и, указывать на то, что объединение и пересечение
можно определить не только для двух множеств А и 5, но и для семейства
множеств Ц, А2, ..., А.,...).
Множество А содержится в множестве В (или А включено в В) обозначается
через А с 5, где с - символ включения. Множество А не содержится в множестве
В (или А не включено в В) обозначается через A et В, где (Z - символ
отрицания включения. Иногда для этих целей используется символ с, указывающий
на отношения между подмножествами и множеством. В этом случае символ с
отличают от символа с,. говоря, что символ с служит для указания на
собственное подмножество некоторого множества. Что при этом имеется в виду?
Два или более множеств считаются равными (тождественно равными)
тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Данное
Лат. conjunctio - связь, союз.
Лат. disjunctio - разделение, разобщение.
Глава 2
107
определение равенства можно сформулировать иначе, используя понятие
подмножества. Множество А называется подмножеством множества В или подмножеством
в В (А çz В), если каждый элемент из А будет также элементом из В. Легко
убедиться в том, что для любых множеств А и В А = В тогда и только тогда, когда А
с В и В с А.
В том случае, когда A çz 5, но при этом А Ф В, пишется А с В и считается,
что Л является собственным подмножеством в 5.
Таким образом, символ с имеет некоторое функциональное сходство с
известным в математике символами > и <, указывающими одновременно и на
отношения равенства.
Поскольку отношения равенства (тождества) далеко не всегда очевидны и
могут вызывать довольно жаркие споры, многие математики и логики
предпочитают пользоваться для указания на отношения между множествами
символами с или 3 вместо символов çz или з.
Итак, A <z В означает, что каждый предмет я, принадлежащий А9
принадлежит и В. Иными словами, для каждого а из а е А следует, что а е В.
Если же А с 5, но не А = 5, то А называют собственным подмножеством В.
С помощью определенных операций из двух данных множеств А и В
можно образовать: (1) их объединение (А и В); (2) их пересечение {А п В); (3) их
разность (А \ В).
A KJ В есть результат совместного рассмотрения обоих данных множеств в
качестве одного множества. А п В есть общая часть данных множеств. А \ В есть
результат удаления из множества А элементов, принадлежащих множеству В.
Операции и и п подчиняются следующим законам:
1. Коммутативность операций и и п :
A\jB = BuA\AnB = BnA.
2. Ассоциативность операций U и п :
(А и В) и С = А и (В и С); (А п В) п С = Л п (5 п С).
3. Дистрибутивность операций и и п :
(Л и В)In С = (А п С) и (5 п С);
(^nfi)uC=(^uC)n(fiuQ.
Законы ассоциативности гласят, что в выражениях вида АиВиСиАп
В п С расположение скобок не играет роли. Здесь скобки можно спокойно
опускать. Напротив, в таких выражениях, как (А и В) п С или А и (В п С),
расположение скобок играет существенную роль.
Как уже отмечалось, указанные законы очень похожи на обычные законы
арифметики, относящиеся к операциям сложения (вместо и пишется +) и
умножения (вместо п пишется • или х). Лишь для закона дистрибутивности нет
соответствующего арифметического закона.
108
К. К. Жоль Логика
Исключительно важную роль в теории множеств играет понятие «отображение».
Данное понятие является обобщением понятия «функция».
Функция - это связь между объектами или, точнее говоря, соответствие,
сопоставляющее заданному объекту точно один другой объект. Подобное
правило или операция сопоставления может схематично быть представлена по
принципу «вход-выход» (рис. 11), как это делает математик Роберт Голдблатт.
Используя этот принцип, мы вправе сказать, что математическая функция
однозначно перерабатывает вход (например: поступление какой-либо информации)
в выход. Входы называются аргументами функции, а выходы - значениями или
образами входных данных. Так, например, предписание умножить 2 (вход,
аргумент) на 6 дает 12 (выход, значение, образ).
Если А - множество всех возможных входов (аргументов) функции f, a В -
множество, включающее все /^образы (/^значения) элементов из А, то говорят,
что / является функцией из множества А в множество В. Это выражается
следующей записью:
/ :: А -» В или А L-+ В.
Множество А называется областью определения или источником функции f,
а В - областью значений или целью.
Рассмотрим два числовых множества, одно из которых обозначим X, а
другое Y. Установим закон, по которому каждому числу х, принадлежащему X,
ставится в соответствие определенное число у, принадлежащее множеству Y.
Такое соответствие принято называть функциональной зависимостью между
независимой переменной х и зависимой у. Эту функциональную зависимость
можно записать в виде формулы у = Дх), где буква / служит обозначением
функциональной зависимости. Величина fix) меняется, как и зависимая переменная, в
зависимости от переменной je. Говоря иначе, величина Дх) обозначает тот
элемент у множества Y, который поставлен в соответствие элементу х множества
X при данной функциональной зависимости /
Теория множеству топология, графы. Попытаемся обобщить сказанное,
использовав понятие «отображение». В связи с этим рассмотрим следующий
пример. Пусть А - множество всех трехколесных велосипедов, В - множество всех
людей, жаждущих кататься по пыльным проселочным дорогам именно на этих
велосипедах без моторчика; / сопоставляет каждому трехколесному велосипеду
его владельца. Под отображением / множества А в множество В понимается
некоторое правило, посредством которого каждому элементу а множества А
сопоставляется единственный для данного а элемент Ъ множества В. Это отношение между
а из А и Ъ из В обозначается посредством уже известной формулы Ъ = J(a).
Здесь а есть переменная, значения которой пробегают все множество А, а
каждый Ъ из В является образом соответствующего а. Что же касается /, то он
является символом, обозначающим данное конкретное отображение.
Отображением / множества А в множество В называется отображением
множества А на множество В (или накрывающим отображением), если каждый
элемент множества В является образом некоторого элемента из А. Короче, /
является накрытием, если каждый элемент множества В имеет по крайней мере
один прообраз в множестве А.
Отображение f множества А в множество В называется взаимно-однозначным
(или одно-однозначным) отображением, если различным элементам множества А
Выход |лг>
Рис. 11.
Глава 2
109
сопоставляются различные образы множества В, то есть /
взаимно-однозначно, если каждый элемент множества В имеет не более одного прообраза в
множестве А.
Разберемся еще с полезным для нас понятием упорядоченной пары
математических объектов. Упорядоченная пара состоит из двух объектов, один из
которых считается первым, а другой - вторым. Через (х, у) обозначается
упорядоченная пара, имеющая в качестве первого элемента х и у - в качестве второго.
Если R - некоторое отношение, определенное на множестве упорядоченных
пар, и (х, у) g R (часто пишут xRy), то подразумевается, что элемент у
сопоставлен элементу х с помощью связи, представленной отношением R.
Например: отношение «меньше» устанавливает связь между числами и определяет
множество {(х, у): х меньше у} или {(х, у): х < у}.
Таким образом, всякая функция / задает отношение
/= {(*, у): у есть /-образ (/^значение) х}.
Хотя, по словам Голдблатта, это и другие определения приводят все в
некоторый внешний порядок, тем не менее сохраняется устаревшее представление о
функции как о множестве фиксированных, статичных объектов и не отражает
операционный, преобразовательный аспект функции. Вот почему Голдблатт и ряд
других современных математиков предлагают для преодоления указанного
недостатка интерпретировать понятие функции в рамках так называемой кате-
горной логики - нового ответвления математической науки, быстро
развивающегося на стыке теории категорий, алгебраической геометрии и
математической логики под эгидой математического понятия топоса, позволяющего решать
некоторые сложные кибернетические проблемы.
В свете сказанного пора углубить наши знания о решении разнообразных
логико-математических задач с помощью теории графов, ко для этого вначале
надо обратиться к теоретико-множественной характеристике такой
математической науки, как топология, в рамках которой изучаются абстрактные
свойства графов.
Числовые множества - это такие множества, элементами которых являются
числа. Если речь идет об изображении чисел точками на координатной прямой
(числовой оси), то множество, например, действительных чисел,
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, называется отрезком с концами а и b и
обозначаются [а; Ь].
Понятие «точка» имеет вполне определенный математический смысл,
связанный с представлениями о точечных множествах, интервалах и областях.
Обычно о значениях переменной х (или объектов, которым соответствует
значение х) говорят как о точках (х) прямой, а о множествах так
представленных действительных чисел - как о линейных точечных множествах.
Необходимо иметь в виду, что в разных разделах математики изучаются
различные пространства, точнее, пространственные модели. Первой из таких
моделей является модель евклидова пространства (трехмерное пространство), затем
идут модели многомерных пространств и пространств бесконечно большого числа
измерений, а также пространств, элементами которых являются функции,
кривые и т. п. Для изучения всех этих пространств под одним углом зрения была
создана теория так называемых метрических пространств. В этой теории
теоремы, доказанные для метрических пространств, справедливы для любого частного
случая моделируемых пространств. Поэтому отпадает необходимость доказывать
данные теоремы для каждого случая отдельно.
Множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ъ,
называется интервалом с концами а и Ъ и обозначаются (а; Ь). Открытые слева
и справа промежутки с концами а и b обозначаются соответственно (я; Ь] и [а; Ь)
110
К.К. Жоль Логика
и определяются неравенствами а < х < Ъ (открытый слева) и а < х < b (открытый
справа). Множество точек (х), удовлетворяющих условиям а < х < Ь, а < х < b, а
< х, х < а, называют полуоткрытыми интервалами.
Переводя это на язык теории метрических пространств, можно сказать, что
множество Т точек метрического пространства М, обладающее тем свойством,
что для любой точки t из множества Т существует положительное число z
такое, что каждая точка m пространства М9 расстояние которой от t меньше z,
является элементом множества Т, называется открытым множеством
данного пространства.
Дополнения открытых множеств до метрического пространства M называют
замкнутыми множествами этого пространства.
Любая точка интервала (а, Ь) является точкой отрезка [а, Ь]. Иначе говоря,
интервал (а, Ь) является подмножеством отрезка [а, 6], то есть (а, Ь) с [а, Ь].
Замкнутый интервал называется не только отрезком, но еще сегментом или
замкнутым промежутком*
Пусть х - переменная. Множество всех значений х (точек) должно
удовлетворять следующим условиям:
1) а < х < b есть неограниченный открытый интервал (а, Ь);
2) а < х есть неограниченный открытый интервал (а, +«>, где «> - символ
бесконечности);
3) х < а есть неограниченный открытый интервал (-°°, а);
4) а < х < b есть ограниченный замкнутый интервал [а, Ъ\
Определим теперь понятие окрестностей. Открытая ^-окрестность точки (а) в
пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал вида (а - q,
а + g), содержащий точку х = а. Иными словами, множество всех точек (дс),
удовлетворяющих условию |jc - а I < q, где q - некоторое положительное число.
Окрестность точки х = а есть любое множество, содержащее некоторую д-окрест-
ность этой точки.
В свете сказанного рассмотрим еще раз открытые и замкнутые множества и
области.
Точка р считается предельное точкой (точкой конденсации или точкой
накопления) множества S с С, если каждая окрестность точки р содержит точки
множества S, отличные от р. Точка р есть внутренняя точка множества S, если
р имеет окрестность, целиком содержащуюся в S. Точка ре С, не являющаяся
внутренней точкой ни множества S, ни его дополнения до С, есть граничная
точка множества S. Точка р множества S является его изолированной точкой,
если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества S.
Точечное множество S есть:
(1) открытое множество, если оно состоит только из внутренних точек;
(2) замкнутое множество, если оно содержит все свои предельные точки;
(3) дискретное (изолированное) множество, если оно содержит только
изолированные точки;
(4) связное множество, если его нельзя представить в виде объединения
двух непересекающихся множеств, каждое из которых не содержит
предельных точек другого.
Вооружившись этими знаниями, перейдем к рассмотрению некоторых
основных положений топологии и теории графов. Здесь следует отметить, что
существует особая логика топосов9 формализация которой была осуществлена
в начале 70-х гг. XX столетия М. П. Фурманом и Д. Скоттом, а также другими
учеными.
Глава 2 111
Топология в качестве самостоятельной математической дисциплины возникла
во второй половине XIX в. в связи с изучением некоторых свойств геометрических
фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия непрерывности.
Характеризуя топологию, можно сказать: топология - это наука о свойствах и
величинах, инвариантных (постоянных, неизменяющихся по сути) относительно так
называемого топологического отображения. Иначе говоря, топология - это
раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных форм и
взаимного расположения фигур, то есть топология - это наука о таких
свойствах геометрических объектов, которые не исчезают при
взаимно-однозначных и непрерывных в обе стороны преобразований этих объектов.
В качестве топологического примера можно указать на отображение f,
переводящее непрерывно фигуру А в некоторую другую фигуру В. При этом «близкие»
между собой точки фигуры А переходят в результате этого отображения в
«близкие» точки фигуры В. Например, проектирование фигуры в плоскость (рис. 12)
представляет собой непрерывное отображение.
Как можно охарактеризовать это отображение?
Отображение / фигуры А на всю фигуру В называется гомеоморфизмом п,
если оно происходит без так называемых разрывов и склеиваний, то есть не
только отображение /, но и обратное отображение /_1 являются непрерывными.
Для нас обращение к топологии важно еще и тем, что топология имеет
прямое отношение к проблеме машинного (компьютерного) распознавания
образов, которая в более общем плане выглядит как проблема классификации
различных объектов, установления их тождества и/или различия.
Как известно, каждый из описываемых (изучаемых) объектов окружающего
мира принадлежит одному или более классам из некоторого фиксированного
множества. При классификации тех или иных образов (объектов
действительности, отражаемых в нашем сознании) наблюдатель должен руководствоваться
соответствующими правилами, чтобы решить, какому классу принадлежит
наблюдаемый объект. В задаче распознавания образов это правило
классификации должно вырабатываться на основе тщательного и всестороннего
исследования множества объектов, известных своей принадлежностью определенным
классам. Данные объекты в совокупности называются выборкой.
Выработку процедуру классификации на основе фиксированной выборки обычно
относят к статистике, а не к задачам, стоящим перед кибернетикой,
представители которой занимаются, в частности, проблематикой «искусственного
интеллекта». Тем не менее свои притязания на право осуществления выборки сегодня
предъявляют и кибернетика. Составной частью последней является
проблематика машинного распознавания образов.
Многие проекты машинного распознавания образов вызваны желанием
классифицировать двумерное изображение того или иного вида. Здесь
кибернетикам приходит на помощь топология, позволяющая осуществлять
классификацию изображений на плоскости с помощью так называемых топологически
инвариантных предикатов.
Рис. 12
От гр. homoiosis - подобный, одинаковый + morphe - вид, форма.
112
К.К. Жоль Логика
Таким образом, изучение топологии полезно для логики не только обоснованием
теории графов, находящей широкое применение в современных
логико-математических исследованиях, но и в связи с проблемами логического программирования
компьютеров (допустим, в связи с программным обеспечением машинного
распознавания образов).
В отличие от геометрии в топологии рассматриваются отображения более
общего характера. Показательно, что в современной алгебре существует такой
раздел, как топологическая алгебра. К этой алгебре мы сейчас и обратимся.
Топологическая алгебра - это учение о топологических пространствах, в
которых алгебраические операции имеют непрерывный характер. Топологическое
пространство тесно связано с элементарными свойствами точечных множеств.
Одно и то же множество может допускать несколько топологий, и при этом
получаются различные топологические пространства.
Предварительное и самое общее знакомство с топологией для нас важно
прежде всего тем, что в топологии рассматриваются так называемые графы-
фигуры (или просто графы), состоящие из конечного числа дуг. Как мы уже
знаем, в графе имеется несколько вершин, часть из которых соединены
непересекающимися дугами.
С помощью графов можно моделировать различные формы связи в природе и
обществе, технологические процессы и информационные потоки, химические
формулы, многообразные знаковые (символьные) конструкции, включая
алгоритмические, необходимые для автоматизированного (компьютерного) решения задач.
Последнее для нас очень ценно тем, что в заключительной главе данной книги
будет продемонстрировано прикладное значение графов для создания
компьютерных программ по проблематике «искусственного интеллекта».
Рассмотрим, как определяется отображение в теории графов.
Пусть R - отображение данного множества X в У. При А с X образом
множества А считается множество
RA = ЦЯх.
Если At, A^ ..., А - подмножество X, то мы имеем
Отображения R\ R2, ... можно определить следующим образом:
Rlx = R(Rx)
R2x = R(R{x)
R3x = R(R2x)
Если взять в качестве X множество людей и для х е X обозначить через Rx
множество «детей» лейтенанта Шмидта в виде гусекрада Паниковского или
Шуры Балаганова, то будем иметь следующее:
(1) Rlx - множество «внуков» je;
(2) R'x - множество, состоящее из х и всех его законных и незаконных
потомков;
(3) R~{x - родители х.
Глава 2
ИЗ
Изображая людей точками и рисуя стрелку, идущую из х в у, в случае, когда х
является отцом или матерью у, мы получим родословное, или генеалогическое
дерево.
Граф, символически обозначаемый как R = (X, К), есть пара, состоящая из
множества X и отображения R. С помощью графа определяются, например, отношения
родства, правила шахматных игр, релейно-контактные схемы и т. п.
Обычно элементы множества X изображаются точками на плоскости, а пары
точек х и у, для которых у е Rx, соединяются непрерывной линией со стрелкой,
указывающей на направление от х к у. Это позволяет называть каждый элемент
множества X точкой, или вершиной графа, а пару элементов (х, у), в которой у е
Rx, - дугой графа.
Путем в некотором графе называется такая последовательность дуг,
благодаря которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей.
На рис. 13 изображено дерево с шестью вершинами. Корень обозначен
числом 1.
Дерево является двумерной структурой, но во многих случаях удобнее
пользоваться лишь одномерными структурами данных.
Глубиной (высотой) вершины дерева называется длина пути от корня до
вершины. Так, глубина вершины 1 на рис. 13 равна 0, глубина вершины 3 равна 1,
а вершины 6 равна 2. Используя скобки для указания глубины, можно
представить изображение на рис. 13 в виде 1(2, 3 (4, 5, 6)). Такую запись называют
левым скобочным представлением, поскольку поддерево представляется
выражением, заключенным в скобки, а его корень записывается непосредственно
слева от левой скобки. Это левое скобочное представление можно записать так:
Lrep(D), где rep, сокращенная запись английского слова «representatio»
(представление, изображение), означает репрезентацию (представление).
Левое скобочное представление дерева D можно получить, применяя к нему
следующие правила (А.Ахо, Дж.Ульман):
1. Если корнем дерева D служит вершина а с поддеревьями D, D, Dk
(их корни прямые потомки вершины а), то Lrep(Z)) = a(Lrep(D ), Lrep(Z) ),
2. Если корнем дерева D служит вершина а, не имеющая прямых
потомков, то Lrep(Z)) = а.
Если в левом скобочном представлении убрать все скобки, получится
прямой порядок вершин дерева.
Аналогичным образом можно определить правое скобочное представление
Лгер(Д) дерева D.
Для дерева D на рис. 14 Агер(Д) = ((3, 4)2, ((7, 8, 9)6)5)1. В этом
представлении прямой предок вершины расположен непосредственно справа от первой
правой скобки, заключающей эту вершину.
I
Ль Ào
4 5 6 4 5 6
Рис. 13.
114
К.К. Жоль Логика
2/ \7
*/\±
7 8 9
Рис. 14. Рис. 15.
Другое представление дерева можно получить, составив список прямых
предков его вершин 1, 2, ... , п именно в этом порядке. Чтобы опознать корень,
будем считать, что его предок - это 0.
Дерево, показанное на рис. 15, можно представить в виде 0122441777. Здесь
0 на первом месте указывает на то, что прямым предком вершины 1 является
«вершина 0» (вершина 1 - корень). Число 1 на седьмом месте говорит о том,
что прямым предком вершины 7 является вершина 1.
Упорядоченным графом называется пара (А, К), где А обозначает множество
вершин, a R - множество линейно упорядоченных списков дуг, каждый элемент
которого имеет вид ((а, Ь{), (а, Ъ ), ... , (а, Ьп)). Из вершины а выходят п дуг.
Первой из них считается дуга, входящая в вершину Ъ, второй - дуга, входящая
в вершину Ь2, и т. д.
Предположим, что задан неупорядоченный ориентированный граф, в
котором каждой дуге, ведущей из вершины i в j, приписана ценность (или вес,
весомость, важность, стоимость). Если из / в j не ведет ни одна дуга, ценность vtj
считается бесконечной.
С помощью алгоритма можно вычислить для каждой пары вершин
минимальную ценность пути, ведущего из первой вершины пары во вторую вершину.
На этом заканчивается наше знакомство с теорией графов, которое будет
продолжено в последней главе данной книги, а сейчас вновь вернемся к
алгебре Буля и к классической теории множеств, чтобы конкретнее оценить их
сильные и слабые стороны.
Аксиоматический метод как способ преодоления недостатков интуитивно-
наглядного мышления. Хочу сразу обратить внимание читателей на то, что
алгебра Буля имеет интерпретацию в различных теориях. По мнению ученых,
это и составляет ее наибольшую теоретическую и практическую ценность.
Ярким примером подобной интерпретации служит теория электрических цепей.
Понятно, что эта интерпретация имеет большое практическое значение.
Если осуществить строго формальный анализ булевой алгебры, то
обнаружится, что она имеет аксиоматический характер. Это означает, что мы имеем
дело с дедуктивной^ системой, а во всякой дедуктивной системе теоремы
доказываются на основе аксиом и определений.
Каким требованиям должна отвечать система аксиом?
В результате отказа от ставки на непосредственную очевидность некоторых
истин математики и логики было установлено, что.в формальном плане, где нет
места образному мышлению, аксиомы должны отвечать прежде всего трем
главным требованиям - требованиям непротиворечивости, полноты и независимости.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из этих аксиом нельзя
сделать два взаимно исключающих друг друга вывода.
13 От лат. deductio - выведение', научный метод, позволяющий частные положения
логически выводить из общих положений (аксиом, постулатов, правил, законов).
Глава 2
115
Система аксиом называется полной, если она допускает лишь одну-един-
ственную реализацию, то есть если две любые модели этой системы аксиом
совпадают, или, как говорят, изоморфны 14. Две модели аксиоматической системы
считаются изоморфными, если между образующими эти модели элементами можно
установить взаимно-однозначное соответствие. Иными словами, две изоморфные
модели представляют собой один и тот же абстрактный математический объект,
только описанный разными (но «переводимыми») формальными языками.
Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом этой
системы нельзя вывести из других аксиом, то есть доказать как теорему,
базируясь на всех остальных аксиомах системы.
Совершенно напрасно искать в аксиомах математики или математической
логики что-то наглядное, очевидное, не вызывающее никаких сомнений у
жителей Земли, для которых Солнце «всходит» и «заходит». Математические или
логические аксиомы истинны лишь в той мере, в какой удается доказать
вытекающие из них теоремы.
Интересно отметить, что принципу очевидности в познании был нанесен
чувствительный удар не только математиками, но и психологами XIX-XX вв.
Об этом стоит сказать особо.
В конце XIX в. наблюдалось бурное развитие экспериментальной
психологии. В числе лидеров этого направления исследований были немецкие психологи
Вюрцбургской школы экспериментальной психологии. Свои исследования они
начинали с изучения восприятия значений слов различными людьми, исходя из
допущения, что в состав значений слов обязательно входят наглядные
представления; иначе, как традиционно считалось, слова естественного языка не могут
быть поняты. При этом в качестве аргументов фигурировали ссылки на
Аристотеля, заявлявшего, что мысли не могут существовать без некоторого
чувственного опыта. Однако эксперименты свидетельствовали о противоположном.
Оценивая экспериментальные данные, один из ученых этой школы писал, что
вплоть до XIX столетия слово не принималось за слово, если ему не хватало
наглядности, благодаря которой и получило оно будто бы свой конкретный
смысл. Во многих педагогических сочинениях наглядность оценивалась как
альфа и омега всякого душевного развития. Уже упоминавшийся ранее Кант
называл идеи без наглядности пустыми, а известный немецкий философ А.
Шопенгауэр (1788-1860) хотел всю математику обосновать на конкретно-образных
началах и изгнать формальные доказательства из геометрии.
Крупный немецкий психолог и философ В. Вундт (1832-1920) в своей статье
«Общее учение о математическом методе» настаивал на том, что ряд базисных
понятий математики базируется на принципе наглядности. В связи с этим он
критиковал платонизм в математике, согласно которому абстрактному
понятию можно приписать реальное существование. По его мнению, эта концепция
мистична, ибо за миром представлений она помещает новый мир совершенно
непредставимых идей. Однако в данном случае остается непонятным, каким
образом представленный объект может вызвать в сознании непредставимую
идею. Вундт настаивает на необходимости устранения несоизмеримости между
идеей и образом, вернув идее ее интуитивную природу и тем самым сделав
понятным отношение идеи к чувственным объектам.
В 30-е годы XX в. известный советский философ и психолог К. Р. Мегре-
лидзе (1900-1944) напишет, что, осмысливая такие понятия, как «причина»,
«цель», «сила» и т. п., мы не найдем никакого конкретно-образного
содержания в нашем сознании, но зато обнаружим, что в некоторых случаях сознание
человека стремится принять известное общее расположение, направление, и при
14 От гр. isos - равный, одинаковый, подобный + от гр. morphe - форма;
взаимно-однозначное отображение двух совокупностей, сохраняющее их структурные свойства.
116
К.К. Жоль Логика
этом в нем будет отсутствовать предметно-чувственное содержание, не
будет никаких образов и наглядных представлений.
Придерживаясь этой точки зрения на функционирование абстрактных понятий, Мег-
релидзе так характеризовал математику и ее задачи: математика должна
заботиться не о согласовании с действительностью, а о том, чтобы не
противоречить самой себе, своим основным постулам и определениям. Всякая чисто
математическая дисциплина представляет систему условных рассуждений, взаимно
связанных не смыслом реальной действительности, а смыслом, который мы им
приписываем по тем или иным научно-теоретическим соображениям. Поэтому в
математике нет истин в философском значении, а есть только формально-гипотетические
истины.
Лишив многие научные понятия их наблюдаемого или непосредственно
очевидного содержания, мы не обеднили наш интеллект, а наоборот, усилили его
мощь, сделав научные понятия более гибкими, универсальными и
многофункциональными.
Хотя после Лобачевского и Бояи большинство математиков признали
возможность строить различные неевклидовы геометрии, некоторые из них так и
не смогли понять, что другие аксиомы Евклида (365-300? гг. до н. э.) также
являются в известном смысле произвольными предположениями. И все же
росло число ученых, решившихся на эксперимент с математикой. Одни из них,
отказавшись от дурной привычки к наглядности, попытались свести
геометрию к упражнениям в так называемом логическом синтаксисе, а другие
занялись исчислением соотношений между логическими переменными.
Не остался в стороне от новых веяний в математике и выдающийся
немецкий ученый Давид Гильберт (1862-1943), объяснявший своим любознательным
студентам и пытливым коллегам, что прямая, точка и плоскость, как их
определял Евклид, не имеют жестко закрепленного за ними смысла. Более того,
свой строгий математический смысл они получают только в связи с теми
аксиомами, которые для них выбираются.
Гильберт безбоязненно утверждал, что даже название основных понятий
математической теории могут быть выбраны произвольно. Эту мысль он
остроумно сформулировал своим друзьям на вокзале в Берлине. «Следует добиться
того, - наставлял он коллег, хитро улыбаясь, - чтобы с равным успехом можно
было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных
кружках».
Что Гильберт имел в виду?
Если заменить слова «точка», «прямая» и «плоскость» словами «стол», «стул»
и «пивная кружка», то в геометрии как абстрактно-теоретической науке ничего
не изменится, ибо, независимо от названий, мы будем иметь дело с
абстрактными объектами, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами.
Подобные новаторские идеи существенно затрагивали основы математики,
радикально меняя воззрения на природу математических объектов, которые
долгое время ассоциировались с величинами и геометрическими фигурами.
Математики второй половины XIX в. начинают соглашаться с тем, что в сфере их
науки вполне правомерно рассуждать об объектах, не имеющих никакой
наглядной интерпретации.
Новые взгляды на объекты математики способствовали широкому
применению в ней аксиоматического метода, а вместе с тем - и символической
логики. Задачу математики многие стали видеть в том, чтобы создать учение об
отношениях между абстрактными объектами, о которых ничего не известно,
кроме описывающих их некоторых свойств, аксиоматически полагаемых в
основание теории.
Эти умонастроения достаточно ясно выразил английский логик и философ
Бертран Рассел (1872-1970) в своей статье «Новейшие работы о началах мате-
118
К. К. Жоль Логика
матики». По его мнению, «математика должна быть определена как доктрина,
в которой мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни того, верно ли то,
что мы говорим». Разъясняя эту мысль, Рассел писал: логика в строгом
смысле слова отличается от других систем теоретического знания тем, что ее
предложения могут быть представлены в форме, которая делает их применимыми к
чему угодно. Очевидность, заявлял он, находится во вражде с точностью. Вот
почему мы вынуждены изобретать новый и трудный символизм, в котором нет
ничего очевидного, но который позволяет точно установить количество
неопределяемых понятий и недоказуемых в данной системе предложений. Без логико-
математического символизма это было бы трудно сделать. Поэтому вся чистая
математика (арифметика, математический анализ и геометрия) может
рассматриваться как построенная из сопряжения примитивных (простейших) идей
логики, а ее теоретические предложения (теоремы) в таком случае должны
пониматься как выводимые из общих аксиом логики.
Вдохновляемый этими умонастроениями, Гильберт в своих знаменитых гетгин-
генских лекциях «Основания геометрии» ясно наметил подход к ключевым
проблемам математики, получивший название «метаматематика» (буквально: за
пределами математики).
Метаматематика - это весьма своеобразная «сверхматематика», главной
задачей которой является доказательство непротиворечивости формализованных
теорий, рассматриваемых как бы извне, как бы сверху, с головокружительной
высоты полета логико-математической мысли. Естественно предположить, что
ее методы должны быть в известном смысле «сверхформализованными»,
«сверхжесткими» для проникновения в гранит формализованных теорий.
Особое значение Гильберт придавал требованию непротиворечивости аксиом,
так как при новом понимании математической теории как системы теорем,
выводимых дедуктивно из множества произвольно выбранных аксиом, понятие
непротиворечивости теории было единственно эффективной заменой
непосредственно очевидных математических истин.
К вопросу о парадоксах в классической теории множеств. Первым
попытался остудить пыл Великого Метаматематика доцент Геттингенского
университета Эрнст Цермело (1871-1953), которого высоко ценил Гильберт и который
предпочитал виски любой компании. Цермело указал Гильберту на досадный
парадокс в теории множеств. Аналогичным образом поступил Бертран Рассел,
указавший на этот же парадокс немецкому ученому Готлобу Фреге (1848-1925)
в тот самый момент, когда Фреге готовился послать в печать свой труд по
основаниям арифметики.
Логики обычно говорят: данная теория содержит антиномию 15, или
парадокс, если в ней доказуемы два противоречащих друг другу выражения. А что
же математики?
Увы, лишь немногие из них были обеспокоены возникновением антиномий,
имеющих то или иное отношение к их теоретико-множественным
представлениям. Большая часть считала, что антиномии - это философские «фокусы», а
их эквивалент, парадоксы, - это то, что относится скорее к лингвистике, но
никак не к математике, где имеют дело с трудностями в форме противоречий.
Однако время показало, что проблемы антиномий и парадоксов не являются
философско-лингвистическими «изобретениями»; они имеют самое прямое
отношение к математике.
Современные ученые различают логические и семантические {смысловые)
антиномии. К логическим антиномиям относится известная антиномия Рассела,
суть которой состоит в следующем.
15 От гр. antinomia - противоречие в законе, противоречие между положениями,
каждое из которых признается логически доказуемым.
Глава 2
119
Для некоторого произвольного множества уместно выяснить, является оно
своим собственным элементом или нет. Нам, скажем, совершенно ясно, что
множество планет Солнечной системы не является одной большой планетой.
Следовательно, множество планет не есть собственный элемент. Но множество
может состоять из одного элемента. Такое множество является собственным
элементом. Очевидно, собственным множеством должно являться и множество всех
множеств («сверхмножество»).
Проверим это утверждение, обозначив множество всех множеств большой
буквой А/. Если M есть элемент M (элемент самого себя), то оно принадлежит
множеству всех множеств, не являющихся собственными элементами. С другой
стороны, если M не есть собственный элемент М, оно не принадлежит
множеству всех множеств, не являющихся собственными элементами. Следовательно, M
является собственным элементом. Отсюда вытекает: M есть элемент M в том и
только в том случае, когда M не есть элемент М. Проиллюстрирую это
противоречие на следующем весьма популярном примере.
Допустим, живет в какой-то деревне цирюльник, бреющий только тех
жителей деревни, которые не бреются сами. Если мы обозначим его буквой х и
будем рассуждать уже известным образом, то придем к заключению: х бреет х
в том и только в том случае, когда х не бреет х.
Конечно, въедливый читатель сразу укажет на совершенно дурацкое
условие, которому должен, по предположению, удовлетворять наш мучающийся
«философским» вопросом небритый цирюльник (брить ли самого себя?). Это
условие (жизненная ситуация) оказывается внутренне противоречивым, а
следовательно, невыполнимым. Чтобы избежать противоречия, предлагается добавить
всего лишь несколько слов к описанию ситуации, а именно: цирюльник бреет
всех жителей деревни, не считая себя самого.
В теоретической науке все обстоит не так просто, как в случае с деревенским
цирюльником, что подчеркнули своими парадоксами Цермело и Рассел.
По словам Гильберта, парадокс, сформулированный Расселом, произвел в
математике эффект катастрофы. Один за другим выдающиеся специалисты в теории
множеств бросали свои исследования в этой области. Нависла угроза над
дедуктивными методами, так как становилось все более явным, что подобные
парадоксы возникли как следствие используемых в математике дедуктивных методов.
Защитников канторовской теории множеств начали обвинять в том, что они не
понимают природы математики и необоснованно переносят на сферу
бесконечного методы рассуждений, верные лишь применительно к области конечного.
Гильберт был убежден, что существует способ избавиться от парадоксов, не
жертвуя слишком многим. В связи с этим он предложил, чтобы само
доказательство стало объектом логико-математического исследования. Так была
оформлена идея метаматематики, или теории доказательств.
Аксиоматический метод и его связь с математической теорией множеств.
Понятие доказательства является важнейшим научным понятием. В
современных теоретико-дедуктивных науках оно относится к процедурам установления
истинности соответствующих теоретических высказываний (предложений). Эти
процедуры являются существенным элементом того, что известно под
названием аксиоматического метода, который широко используется в настоящее время
для разработок и изложения математических дисциплин.
Развитие аксиоматического метода можно рассматривать как выражение
тенденции ограничить обращение к интуитивной очевидности, которая чревата
субъективизмом и разночтением. Эта тенденция проявляется прежде всего в
стремлении доказать как можно больше научно-теоретических положений и,
следовательно, ограничить, насколько это возможно, число положений и
постулатов, волюнтаристски принимаемых за истинные только в силу их интуитивной
очевидности.
120
К.К. Жоль Логика
Характерно, что вплоть до конца XIX столетия понятие доказательства имело
преимущественно психологический смысл. Доказательство понималось как некоторая
интеллектуальная деятельность, целью которой являлось убеждение самого себя и
других в истинности ожидаемого предположения. На аргументы, применяемые при
доказательствах, не накладывалось никаких ограничений, за исключением того, что
они должны быть интуитивно убедительными. Однако, как подчеркивал известный
польский логик А. Тарский (1902-1983), в какой-то период времени начала
чувствоваться острая необходимость подвергнуть понятие доказательства более глубокому и
систематическому анализу, который имел бы результатом ограничение ссылок на
интуитивную очевидность. Отчасти это было связано с развитием некоторых
специфических направлений в математике (скажем, открытие неевклидовой геометрии). Такой
анализ был осуществлен логиками в содружестве с математиками, что привело к
введению нового понятия в язык теоретической науки - понятия формального
доказательства, которое оказалось адекватной заменой и существенным
усовершенствованием прежнего понятия, обремененного грузом ошибочных психологических
ассоциаций.
В чем заключается суть формального доказательства?
На первом этапе формального доказательства применяются правила вывода
к аксиомам, в результате чего получаются новые высказывания (предложения,
пропозиции), непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила
применяют к новым высказываниям и т. д. Если после конечного числа шагов мы
получаем некоторое завершающее наши рассуждения высказывание, то
говорим, что оно формально доказуемо. Данную процедуру более точно можно
выразить следующим образом: формальное доказательство некоторого
высказывания S состоит в построении конечной последовательности высказываний,
такой, что (1) первое высказывание есть какая-либо аксиома нашего
формального языка, (2) каждое из последующих высказываний есть или некоторая
аксиома, или непосредственно выводимо с помощью одного из правил вывода из
каких-либо высказываний, предшествующих ему в этой последовательности, и
(3) последним высказыванием в этой последовательности является 5. Ни одно
высказывание не может рассматриваться здесь как теорема, если для него не
может быть найдено соответствующее формальное доказательство.
Глава 2
121
Метод изложения формализованной теории является в сущности довольно
простым, а именно: мы сначала перечисляем аксиомы, а затем строим теоремы в
таком порядке, что каждое высказывание, не являющееся некоторой аксиомой,
может быть непосредственно установлено как теорема. Это установление
осуществляется посредством сравнения вида данного высказывания с видом высказывания,
которое предшествует ему в списке.
Гильберт, внесший огромный вклад в развитие логико-математической теории
доказательств, намеревался осуществить свою программу в два этапа. На первом
этапе вся математика должна быть формализована, то есть надо построить некоторую
формальную систему, из аксиом которой с помощью четко определенных правил
вывода можно было бы вывести по крайней мере основы математики. Такая система
должна быть формальной в том смысле, что в ней следует учитывать только вид и
порядок символов (их так называемый синтаксис), но никак не значение этих
символов (их семантику).
На втором этапе Гильберт собирался показать следующее: применение правил
вывода к аксиомам никогда не сможет привести к противоречию при условии, что
логические рассуждения будут носить настолько элементарный характер, чтобы в
их правильности нельзя было усомниться. С помощью таких рассуждений должна
быть точно установлена метатеорема о невозможности противоречия, то есть
Гильберт предлагал исследовать методы математических доказательств средствами
теории доказательств (метаматематики). Он настаивал на том, чтобы в теории
доказательств разрешалось пользоваться только финитными 16 методами, которые
позволяют избежать применения понятия «актуальная бесконечность». Новый
подход должен был также позволить избежать использования «актуальной
бесконечности» и в самой формулировке проблемы доказательства непротиворечивости,
так как в любой теории имеется счетно-бесконечное множество доказательств, но
в утверждении о ее непротиворечивости говорится лишь о произвольной паре
доказательств, а не обо всем множестве доказательств как о завершенном объекте.
«Никто, - заявлял с воодушевлением Гильберт, - не изгонит нас из рая,
созданного для нас Кантором».
Из «канторовского рая» математики действительно не были изгнаны, но
правда и то, что этот «рай» оказался сущим «адом» для многих самонадеянных
теоретиков математической науки. Ни Гильберту, ни его последователям не
удалось выполнить намеченную программу во всем объеме, ибо они ошибались,
преуменьшая глубину кризиса, в который ввергли математику антиномии.
Несомненно, писал по этому поводу Тарский, что великим достижением
современной логики была замена старого психологического понятия
доказательства точным, ясным и простым понятием формального характера, но
именно простота нового понятия оказалась его ахиллесовой пятой. Довольно
быстро обнаружилось, что чрезмерная вера в формальное доказательство как
адекватный и надежный инструмент для установления истины всех математических
утверждений является необоснованной.
Чтобы должным образом оценить понятие формального доказательства, нам
необходимо выяснить его отношение к понятию истины, взятом не в условно-
логическом смысле, а в философском. В таком случае прежде всего следует
учитывать, что формальное доказательство является процедурой, стремящейся
к получению новых истинных положений (теоретических высказываний).
Такая процедура будет адекватной только тогда, когда все теоретические
высказывания, полученные с помощью доказательства, будут истинными, а все
истинные высказывания могут быть доказанными. В связи с этим естественно
возникает вопрос: является ли на самом деле формальное доказательство адекватной
16 От лат. finitus - конечный.
122
К.К. Жоль Логика
процедурой для получения истины? Или: совпадает ли множество всех формально
доказуемых высказываний со множеством всех истинных высказываний?
Логическое понятие множества истинных высказываний выражает, по словам Тар-
ского, некий идеальный предел, который никогда не может быть достигнут, но к
которому мы пытаемся приблизиться путем постепенного расширения множества
доказуемых высказываний.
А теперь в свете сказанного еще раз вернемся к «наивной» теории множеств
Кантора, чтобы более ясно и полно представить ее роль в развитии математики,
логики и кибернетики.
Как уже выше отмечалось, теория множеств - это наука о множествах самой
произвольной природы, о множествах как таковых. Синонимом «множества»
являются: «совокупность», «набор», «класс», «группа» и т. п.
В работах Кантора была изложена теория так называемых трансфинитных 17
кардинальных чисел. Эта теория основывалась на систематическом
использовании математического понятия «актуальная бесконечность».
До Кантора математики если и говорили о бесконечности, то только как о
потенциальной бесконечности, бесконечности становящейся, которая может стать
меньше или больше любой заданной величины, но которая в то же время сама
всегда остается величиной конечной, как только мы называем или пытаемся
назвать какую-либо огромную величину. Короче, потенциальная бесконечность -
это вечно незавершенный процесс, а из незавершенного трудно сделать что-то
завершенное, пригодное для практических целей.
Теория множеств Кантора имеет дело с актуальной бесконечностью,
соответственно чему автором данной теории предпринимается попытка создать
математический аппарат для описания актуально бесконечных множеств. Но
самое важное для нас в этой теории то, что в ней на операции с множествами
и подмножествами не накладывается никаких ограничений, обусловленных
природой объектов, составляющих множества. В таком случае понятия теории
множеств сближаются с понятиями математической логики и аксиоматическим
методом теоретических построений.
Все было бы хорошо для математики и логики, если бы в теории множеств
довольно быстро не были обнаружены некоторые существенные изъяны,
вызванные парадоксами или антиномиями, то есть неразрешимыми противоречиями.
Чем были вызваны эти неразрешимые противоречия?
Обычно само множество не является одним из своих собственных элементов.
Так, например, элементы множества всех ныне здравствующих писателей - не
множества, а конкретные индивидуальности. Кажется ясным, что само множество не
может принадлежать к числу своих собственных элементов. Множество писателей
не есть писатель. Правда, мы сплошь и рядом имеем дело с такими множествами,
элементами которых являются также множества. Скажем, в армии основными
структурными элементами батальона являются роты, то есть определенные множества
солдат. Но сам батальон не может быть отнесен к своим собственным элементам.
Теперь объединим в единое актуальное множество все возможные множества.
Получится нечто в высшей степени странное, а именно: мы будем иметь
множество, которое является своим собственным элементом.
Что говорят по этому поводу математики?
Математики говорят, что упорядоченное множество не может обладать столь
абсурдным свойством, ибо упорядоченным считается множество лишь в том
случае, если оно не является ни одним из своих элементов. Здесь у нас немедленно
возникает новый вопрос: что собой представляет упорядоченное множество в
строгом математическом смысле?
От лат. trans - сквозь, через + finitus - конечный', находящийся за пределами конечного.
Глава 2
123
Множество называется упорядоченным или линейно упорядоченным, если на
его элементах определено отношение, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Для любых двух элементов а и Ъ либо а < Ь, либо Ь > а, либо а = Ь.
2. Для любых двух элементов а и Ъ имеет место одно и только одно из
соотношений: а < Ъ, Ъ < а, а = Ъ.
3. Из а < b и b < с следует а < с.
Если предполагаются выполненными лишь второе и третье требования, то
множество называется частично упорядоченным или полуупорядоченным.
Если а < 6, то говорят, что а предшествует 6, a b следует за а или что а
находится перед b, a b - после а.
На основе этого определяется несколько производных отношений, а именно:
а > b означает, что b < а\
а < b означает, что а < b или а = Ь;
а > b означает, что а > b или а = Ь.
В линейно упорядоченном множестве отношений а < b является
отрицанием отношения а > b и точно так же отношение а > b является отрицанием
отношения а < Ь.
Если некоторое множество упорядочено или частично упорядочено, то и
каждое его подмножество упорядочено или частично упорядочено тем же
самым отношением.
Как подчеркивает Б. Л. ван дер Варден, может случиться так, что
упорядоченное или полуупорядоченное множество M обладает «первым элементом»,
который предшествует всем остальным (скажем, таково число 1 в ряду
натуральных чисел).
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое
непустое его подмножество имеет первый элемент. Не является вполне
упорядоченным множеством множество целых чисел ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... , поскольку в нем нет
первого элемента. Однако его можно вполне упорядочить, если расположить его
элементы, например, таким образом: 0, 1, -1, -2, ... . Или, например, так: 1, 2,
3, ...; О, -1, -2, -3, ... , где все положительные числа предшествуют остальным.
Является ли множество всех упорядоченных множеств упорядоченным?
Если подобное «супермножество» является упорядоченным, оно должно
находиться в одном ряду с прочими упорядоченными множествами, то есть
находиться среди своих элементов (упорядоченных множеств). Но тогда данное
«супермножество» перестает быть тем, на что претендует, - множеством всех
упорядоченных множеств. Чтобы не затеряться в «толпе» множеств, оно должно
уподобиться голому королю, то есть вынуждено перестать быть
упорядоченным и, так сказать, облаченным в королевские одежды «супермножества».
Все же допустим, что такое возможно. Что тогда?
Если множество всех упорядоченных множеств не является упорядоченным,
оно не может быть отнесено к разряду своих собственных элементов -
упорядоченных множеств. Но ведь именно в этом случае мы и называем множество
упорядоченным, так как под упорядоченным множеством понимается множество,
которое не является ни одним из своих элементов.
Итак, мы попали в какой-то замкнутый круг: если «супермножество»
является упорядоченным, то это означает, что оно как бы изначально
оплодотворено своей неупорядоченностью, а если оно в своей сущности не упорядоченное,
то его можно упорядочить, сделав одним из многих множеств, но тогда
следует забыть о королевской короне «супермножества».
Что же делать? Как разорвать этот порочный круг?
124
К.К. Жоль Логика
Увы, но здесь ничего не поделаешь. А раз так, то следует констатировать
печальный для математиков факт: если теория множеств ошибочна в своей основе,
го в математике не остается ничего неуязвимого.
И тем не менее, как ни странно, нет оснований для паники. Это тоже парадокс,
но парадокс объяснимый.
Судите сами, одна из грандиозных проблем канторовской теории множеств
связана с так называемой гипотезой континуума {континуум-гипотеза). Что собой
представляет эта гипотеза?
Если элементы двух множеств можно построить парами так, что ни один
элемент одного из множеств не останется без партнера, то мы говорим, что эти
множества имеют одинаковую мощность. А если сравниваемые множества
бесконечны?
Отвечая на этот вопрос, еще раз обратимся к натуральному ряду чисел. Как
известно, натуральные числа представляют собой лишь часть множества
рациональных чисел. Это понятно. Непонятно другое, а именно: мощность множества
всех рациональных чисел равна мощности всех натуральных чисел. Подобный
феномен объясняется тем, что логические принципы и понятия ведут себя
достаточно самобытно, то есть они опираются не столько на опыт и наблюдения,
сколько на свои внутренние законы, которым безразлично, что часть равна целому.
Обратимся в качестве примера к множеству всех действительных
(вещественных) чисел. Они расположены на числовой прямой непрерывно и словно
слипаются. Поэтому мощность множества всех действительных чисел называется
мощностью континуума, где под словом «континуум» понимается непрерывность.
По отношению к бесконечным множествам можно сформулировать вопрос:
существует ли для каждой мощности мощность, непосредственно за ней
следующая? Да, существует. Для такого утвердительного ответа Кантор обобщил
понятие обычного числа и получил понятие трансфинитного числа, то есть
выходящего за пределы конечного числа.
Трансфинитные числа (бесконечные мощности) ведут себя так же, как,
например, и натуральные числа. По отношению к трансфинитным числам или,
-кажем, к комплексным числам наименьшей бесконечной мощностью является
мощность множества натуральных чисел.
Велика ли пропасть, разделяющая счетную и континуальную бесконечности?
Для этого надо адекватно оценить тот математический мир, который
существует между любыми соседними числами натурального ряда. Оказывается, в этом
мире располагается бесконечное множество точек числовой прямой.
Следовательно, пропасть между счетным множеством и континуум бесконечно велика.
Согласиться с этим можно, ответив на вопрос: существует ли в этой пропасти
промежуточные бесконечности?
Кантор считал, что бесконечных множеств с промежуточной мощностью не
существует. А может быть, все-таки существуют? Проблема! Называется она
проблемой континуума. Эта проблема связана с вопросом о так называемой
аксиоме выбора. Что вызвало к жизни данную аксиому?
Исходные положения канторовской теории множеств не удовлетворяли
одному из основных требований математической логики - непротиворечивости
системы аксиом, о чем свидетельствовали выявленные в ней противоречия.
Выход из этого кризиса ученые увидели в том, чтобы построить такую
аксиоматику, которая давала бы все, что нужно, и ничего лишнего. И такая
аксиоматика была построена. По имени своих авторов она получила название системы
аксиом Цермело — Френкеля. Для успешной борьбы с противоречиями эти авторы
ввели специальную ограничительную аксиому, запрещающую существование
таких множеств, которые приводят к неразрешимым противоречиям. Из данной
аксиомы следовала справедливость утверждения Кантора об отсутствии
промежуточных мощностей между счетным множеством и континуумом.
Глава 2
125
Исследования в области теории множеств, проводимые Цермело, вызвали к себе
пристальный интерес со стороны многих математиков. Особенно их заинтересовала
теорема Цермело о вполне упорядоченных множествах, которая основывалась на
принципе выбора. В чем же заключалась суть этого выбора?
Еще до работ Цермело были обнаружены некоторые парадоксы теории
множеств, связанные с неаксиоматизированным ее применением. В 1904 г.
Цермело опубликовал доказательство теоремы, согласно которому всякое
множество можно вполне упорядочить, опираясь при этом на «аксиому выбора».
Благодаря этой аксиоме в любом подмножестве заданного множества можно
зафиксировать его элемент (так называемый «отмеченный элемент»). Иначе
говоря, Цермело первым заметил, что многочисленные математические
исследования неявно опираются на некоторую аксиому, которую он сформулировал
как аксиому выбора. Суть этой аксиомы состоит в следующем: если задано
некоторое множество непустых множеств, то существует «функция выбора»,
то есть функция, которая каждому из этих множеств сопоставляет какой-либо
его элемент.
При этом считается, что каждое отдельно взятое множество предполагается
непустым и, следовательно, из каждого множества всегда можно выбрать
некоторый его элемент. Аксиома Цермело утверждает, что из всех таких множеств
можно одновременно выбрать по элементу.
Наиболее важным следствием аксиомы выбора является теорема Цермело о
полном упорядочении, которая формулируется так: каждое множество может
быть вполне упорядочено.
Несколько упрощенно суть этой теории состоит в следующем. Пусть M -
некоторое множество. Каждое собственное подмножество N в M имеет
непустое дополнение M \ N. В силу аксиомы выбора существует функция ßJSf),
которая каждому собственному подмножеству N сопоставляет некоторый элемент
из M \ N.
По нению ученых, важность вполне упорядоченных множеств состоит в
возможности применения метода математической индукции в случае вполне
упорядоченных множеств. Примером подобного рода индукции служит так
называемая трансфинитная индукция. Так, чтобы доказать некоторое свойство Е
для всех элементов вполне упорядоченного множества, можно рассуждать
следующим образом: требуется доказать, что свойством Е обладает любой
элемент при условии, что им обладают все элементы, предшествующие данному
элементу. Тогда свойством Е должен обладать каждый элемент
рассматриваемого множества. Иначе существовал бы элемент, не обладающий свойством Е.
Более того, в этом случае существовал бы и первый элемент е среди не
обладающих свойством Е. Все предшествующие элементы тогда обладали бы свойством
£, но соответственно и элемент е обладал бы этим свойством, что дает
противоречие. Такова суть доказательства с помощью трансфинитной индукции.
Многие математики отвергли аксиому Цермело и выводы, полученные на
ее основании. Однако были и такие, которые вполне приняли данную аксиому.
К их числу относился и Гильберт.
Разгоревшаяся дискуссия выявила наличие нескольких подходов к
проблемам обоснования математики и необходимость уточнения используемого в
математике логического инструментария. Она же стимулировала исследования по
аксиоматике теории множеств и математической логике в целом. Цермело
принадлежит первая система аксиом этой теории.
Так противоречит или не противоречит аксиома выбора другим исходным
аксиомам теории множеств?
Отвечая на этот вопрос, немецкий ученый К. Гёдель (1906-1978) показал, что,
принимая истинность континуум-гипотезы, мы не вводим никаких
противоречий в теорию множеств. Но дело этим не ограничилось. В 1930 г. Гёдель со всей
126
К.К. Жоль Логика
логико-математической строгостью доказал принципиальную неполноту
формализованной теории чисел. При этом доказывалась теорема, из которой однозначно следовало,
что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной
системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения. Иными
словами, вопрос о полноте формализма в том абсолютном смысле, который ему
придавал Гильберт, был снят Гёделем, указавшим способ построения арифметических
утверждений, истинность которых интуитивно очевидна, но они тем не менее не
выводятся в рамках формализма.
Эту проблему хорошо иллюстрирует пример, приводимый Тарским. Вначале
выделяется два языка - предметный язык (или язык-объект) и язык
исследователя {метаязык). Язык исследователя должен быть богаче предметного
языка, чтобы было возможным понимать и ясно, точно, определенно выражать то,
чему не всегда придается значение в предметном языке. Иными словами, язык
исследователя не может совпадать с предметным языком или быть полностью
переводимым в него, поскольку в противном случае оба языка окажутся
разновидностью одного языка, а в результате различные парадоксы и антиномии не
возможно будет проанализировать и объяснить, так как более богатая по своим
выразительным возможностям языковая система окажется для нас чем-то
недостижимым.
С помощью языка исследователя изучается предметный язык. Например,
аналогичное имеет место при изучении иностранных языков, когда в роли языка
изучающего (исследователя) выступает родной язык, более богатый по сравнению со
знаниями о языке, который предстоит еще изучить.
Предположим, что в качестве предметного языка нам служит язык
арифметики, а в качестве языка исследователя - язык математической логики. В языке
исследователя выделим ряд высказываний (предложений): S S 9 ..., S . Эти
высказывания, как мы видим, пронумерованы. Номера указывают на
истинные высказывания. Условимся для краткости называть их доказуемыми
номерами. Допустим взаимно-однозначное соответствие между высказываниями S{9 S 9
..., S и рядом натуральных чисел 0, 1, 2, 3,..., и, которые будем называть
истинными номерами. Теперь мы должны ответить на вопрос: являются ли
тождественными множество доказуемых номеров и множество истинных номеров?
Ответ будет отрицательным. Очевидно, что достаточно указать только одно
свойство, которое принадлежит одному множеству и не принадлежит другому,
чтобы воспрепятствовать установлению отношений тождества.
Откуда может взяться это свойство? Из бесконечности или, по меньшей мере,
из очень большого множества, практически бесконечного. В бесконечности или в
гигантских множествах могут таиться самые неожиданные свойства, способные
свести на нет все наши усилия в области теоретических построений. С учетом
этого лучше проявить разумную осторожность, чем отправляться в путешествие
по малоизученным мирам без карты и без компаса. И мы будем правы, ибо
действительно множество доказуемых номеров не совпадает с множеством истинных
номеров, поскольку то, что доказуемо на одном языке, не является таковым для
другого языка. Таким образом, множество доказуемых высказываний в языке
исследователя и множество истинных высказываний в предметном языке не
совпадают друг с другом. Но что есть истинное высказывание? Или: что есть истина в
нашем случае? Это не философский вопрос, хотя без знания философии нам не
обойтись, когда затрагиваются проблемы, имеющие универсальный характер.
Поскольку дефиниция истины сама по себе не обеспечивает нас практически
ценным критерием истинности, но в то же время поиски истины справедливо
рассматриваются как сущность научной деятельности, то проблема нахождения
по крайней мере частичных критериев истины и разработки процедур, которые
могли бы позволить нам признавать или отрицать истинность как можно
большего количества научных высказываний, представляется исключительно важной.
Глава 2
127
Одним из таких критериев для установления логического понятия истины в контексте
математической логики является разграничение языка исследователя и предметного
языка, что позволяет доказывать следующее: все аксиомы арифметики являются
истинными и все правила доказательства являются в известном смысле
непогрешимыми. Из этого вытекает, что все доказуемые высказывания являются истинными,
тогда как обратная формулировка не имеет силы. Итак, мы приходим к главному для
нас выводу, а именно: существуют высказывания (предложения), сформулированные
на языке арифметики (на предметном языке), которые являются истинными, но не
могут быть доказаны формально на основе аксиом и правил доказательства,
принятых в арифметике.
В результате границы того, что заслуживало нашего доверия в математике и
логике, стали размытыми и неопределенными. Чтобы придать им определенность,
были расширены требования, предъявляемые к аксиомам, то есть к постулатам
непротиворечивости, независимости и полноты был добавлен постулат
разрешимости дедуктивной системы.
Что такое разрешимость дедуктивной системы!
Разрешимой является такая система, в которой по отношению к каждому
правильно построенному высказыванию можно обосновать либо выводимость
этого высказывания из аксиом системы, либо его невыводимость. Говоря другими
словами, проблема разрешимости состоит в том, чтобы определить, возможно ли
для данного формализованного языка вообразить некую механическую
процедуру, которая позволяла бы для любого отношения из рассматриваемого
формализма определить, истинно это отношение или нет. Данная проблема решаема
для формализмов, содержащих мало первоначальных знаков и аксиом, но для
более богатых систем это сделать невероятно трудно, если вообще возможно.
Все в конечном счете упирается в проблему непротиворечивости.
Таким образом, разрешениещ - это операция использования логических правил
для проверки логических формул. Суть разрешения логической формулы состоит
в исследовании того, при каких подстановках «истина» (или, например, «1»)
или «ложь» (или, например, «О») на место переменных формула превращается
в истинное или в ложное высказывание, где «истина» и «ложь» понимаются в
узко логическом смысле, а не в философском. Тем самым получается ответ на
128
К.К. Жолъ Логика
вопрос, является ли логическая формула выполнимой, то есть переходит ли она
хотя бы при одном подборе подстановок в истинное высказывание, и
общезначимой (переходит ли она в истинное высказывание при любых подстановках).
Рассмотрим несколько математических примеров.
Как известно, вычитание - действие, обратное сложению. Деление - действие,
обратное \он< жению.
Лнал' кратных действий показывает, что они обладают одной характерной
особенностью: данные действия не всегда выполнимы, в то время как прямые
действия (сложение и умножение) выполнимы всегда.
Частичная невыполнимость обратных действий объясняется тем, что вычитание
можно производить во всех случаях, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого
(больше или равно ему). Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, вычитание
производить нельзя. Иначе говоря, выражение а - Ъ имеет смысл, если а не меньше
Ъ (а > Ь); если же а меньше Ъ (а < Ь\ выражение а - Ъ не имеет смысла. Правда,
вычитание из меньшего числа большего числа становится возможным, если к уже
известному школьникам младших классов математическому знанию добавить знание
отрицательных чисел. В таком случае выражение а - Ъ будет иметь смысл и при а
меньше Ъ (а < Ь).
В связи с этим целесообразно кое-что напомнить, а именно: отрицательное
число, соответствующее некоему положительному числу, обозначенному буквой
а, называется противоположным числу а и обозначается как -а. Например,
число противоположное числу 10, обозначается как -10; число, противоположное
числу 0,12, обозначается как - 0,12; число, противоположное числу 3/14,
обозначается как -3/14; и т. д. Можно также говорить, что положительное число,
соответствующее отрицательному числу, называется противоположным.
Например, число, противоположное числу -13, есть 13. Из сказанного следует, что
положительные и отрицательные числа взаимно противоположны. Что касается
нуля, то за число, противоположное числу 0, принимается само число 0.
Иногда бывает необходимым подчеркнуть противопоставление
положительных чисел отрицательным. С этой целью перед положительным числом или его
буквенным обозначением ставят знак +. Например, +17 обозначает просто
число 17, а число +(-5) = -5. Но не так себе ведет операция вычитания. Например,
число -(-9) противоположно числу 9, а потому -(-9) = 9.
Таким образом, знакомясь с отрицательными числами, мы обнаруживаем,
что введение в математику отрицательных чисел делает возможным действие,
которое было невыполнимым в области положительных чисел и нуля. Например:
что такое 11 - 16? Не зная отрицательных чисел, мы должны были бы
рассуждать примерно так. Допустим, осуществляя операцию вычитания (11 - 16), мы
каким-то невероятным образом получаем положительное число. Теперь надо
проверить правильность вычитания. Для этого к полученному положительному
числу следует прибавить 16 и в сумме получить 11. Всякому здравомыслящему
школяру, даже не «отличнику» и не «хорошисту», ясно, что среди
положительных чисел такого числа не существует, поскольку при прибавлении к числу 16
некоего положительного числа в сумме получится число большее, чем 11, в то
время как 11 меньше 16. Однако, если мы знаем о существовании
отрицательных чисел и о свойствах этих чисел, то можем спокойно осуществлять
указанную операцию вычитания, в результате чего получим число -5. Если добавить
это число к 16 (16 + (-5)), то получим 11.
В результате мы приходим к важному выводу: если уменьшаемое меньше
вычитаемого, то их разность есть отрицательное чи£ло, противоположное разности
вычитаемого и уменьшаемого.
Как видим, понятие выполнимости имеет вполне практическое значение, а
не является какой-то особой выдумкой логиков. Аналогичное можно сказать и
о понятии общезначимости.
Глава 2
129
Проблема разрешимости связана с логикой высказываний, которая будет
рассмотрена в следующей главе.
Стремительный рост популярности аксиоматического метода был вызван
свободой в выборе способов определения математических объектов и
отношений между ними. В этом случае ученый-теоретик не скован требованиями
эмпирического изучения каких-либо физических объектов, но его
теоретические изыскания могут иметь в конечном итоге вполне реальный физический или
какой-либо иной практический смысл. Поэтому его теоретические
утверждения хотя бы в идеале должны быть выполнимы для каких-то конкретных
объектов. В основе подобных теоретических утверждений находятся первичные
утверждения, которые тем или иным образом указывают на интересующие нас
свойства объектов теоретического конструирования и тем самым выделяют
их из бесконечного числа других возможных объектов. Эти базисные
утверждения, выделяющие совокупность объектов, носят название аксиом. Если для
какой-либо конкретной совокупности объектов некоторые введенные нами
аксиомы оказываются истинными, то мы говорим, что данная совокупность
объектов удовлетворяет системе этих аксиом или является интерпретацией
данной системы аксиом.
Для практики научного познания особенно важно в использовании
аксиоматического метода знать то, что, делая логические выводы из аксиом, мы можем
получать утверждения, истинные для любой системы объектов, удовлетворяющей
данным аксиомам.
Совершенно ясно, что соответствие между аксиомами и предметами
объективной реальности никогда не имеет прямого характера. Когда же ставится вопрос о
подобном соответствий, отвечая на него, мы должны покинуть сферу чистого
разума и выйти в сферу прикладных знаний, чтобы наполнить конкретным
содержанием наши аксиоматические построения. Например, мы можем
попытаться наполнить физическим содержанием аксиомы геометрии Евклида или
Лобачевского. Но для этого необходимо указать на физические реалии,
соответствующие, скажем, терминам «точка» или «прямая», которые содержатся в аксиомах.
Только после этого аксиомы способны превратиться в физические утверждения,
которые можно подвергнуть экспериментальной проверке.
При рассмотрении любой системы аксиом возникают специфические
вопросы, которые решаются с помощью соответствующих процедур интерпретации. К
числу этих вопросов относится вопрос о непротиворечивости системы аксиом.
Появление несовместимых утверждений, выведенных нами из принятой системы
аксиом, свидетельствует о том, что нашей системе аксиом не может
удовлетворять никакая система объектов. Чтобы быть уверенными в надежности
выбранной системы аксиом, в ее непротиворечивости, мы должны выработать методы
точной интерпретации данной системы.
Так же обстоит дело и с вопросом о независимости аксиом. Аксиома
считается независимой в данной системе, если она невыводима из остальных аксиом
этой системы, не дублирует их. Для доказательства независимости какой-либо
аксиомы достаточно найти систему объектов, которая удовлетворяла бы всем
аксиомам системы, кроме данной аксиомы. Следовательно, чтобы смело
пользоваться системой аксиом, необходимо иметь такие объекты, которые могут
служить точной интерпретации этой системы аксиом..
Откуда берутся методы интерпретации аксиом?
Источником интерпретации на теоретическом уровне являются
математические понятия, и в первую очередь понятия теории множеств, отражающие
принципы построения множеств. К этим принципам относятся:
1. Если дано множество объектов, то посредством точно
сформулированного признака можно выделить из него подмножество.
130
КК Жоль Логика
2. Если имеется совокупность множеств, то можно получить новое
множество, объединив все элементы этих множеств.
3. Для каждого множества можно образовать множество всех его
подмножеств.
4. Отношения между множествами могут иметь функциональный характер,
то есть при наличии некоторого общего признака каждому элементу одного
множества можно поставить в соответствие элемент другого множества.
Это соответствие называется функцией.
Интерпретация аксиоматических систем связана с очень важным для нас
вопросом - с вопросом разрешимости абстрактно-теоретических построений.
В логике принято считать, что разрешимая теория непременно является
аксиоматизируемой. Так ли это?
Зададим некоторое множество формул, называемых аксиомами, а также
некоторое отношение между формулами, в силу которого формула считается
следующей из некоторых других формул по определенным правилам вывода.
Конечная последовательность формул называется доказательством, если
каждая формула из этой последовательности либо является аксиомой, либо следует
из предыдущих формул последовательности по правилам вывода. Формула, для
которой существует доказательство, называется теоремой.
Когда говорится о формуле некоторой теории, то имеется в виду не
математическая формула, а некоторое выражение нашего теоретического языка,
рассматриваемое как утверждение. Логический смысл этих утверждений
станет понятен читателю из последующих глав, но уже сейчас можно отметить
следующее. Если мы хотим эффективно систематизировать наши научные
знания, нам необходимо научиться осуществлять процедуры вывода. Для этого
нужно исходить из некоторой системы утверждений и выводить затем, прямо
или косвенно, все остальные утверждения из этих исходных, то есть из
аксиом. Аксиоматический метод состоит в такой организации научного знания,
когда из всех истинных утверждений выбирается определенное подмножество,
из которого можно вывести все остальные истинные утверждения данного
раздела науки.
Формулы-утверждения называются выполнимыми, если существует оценка,
при которой данные формулы приобретают, например, значение «истина». Если
же такой оценки не существует, то говорят, что указанные формулы
невыполнимы, то есть их значение маркируется словом «ложь».
Каждое выполнимое множество формул непротиворечиво. Верна и обратная
теорема, а именно: каждое непротиворечивое множество формул выполнимо.
Аксиоматизируемая теория разрешима тогда, когда имеется чисто
механический способ проверки, приложимый к любой формуле. Пользуясь таким
способом проверки, мы можем ответить на вопрос, принадлежит ли данная
формула нашей теории.
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. Современная символическая логика является необходимым инструментом
для решения ряда управленческих и технических задач, к числу которых
относятся прежде всего те задачи, которые можно представить в формализованном
логико-математическом виде, а полученные результаты использовать в
автоматизации различных производственных процессов, включая управленческую
деятельность (точнее говоря, некоторые ее аспекты) как одну из разновидностей
этих процессов.
2. Алгеброй логики называется научная дисциплина, использующая
правила обычной алгебры, арифметики и символической логики для теоретического
моделирования состояний разнообразных теоретических устройств. При этом
количественные характеристики имеют подчиненное значение.
Глава 2
131
3. Поскольку современные электронно-вычислительные машины - это сложные
релейные устройства, представляющие систему переключателей, которые имеют два
состояния (закрытое и открытое), постольку главным принципом их работы
является функционирование по принципу бинарности, что отражается двоичной системой
счисления (0 и 1). Для понимания теоретических и технических возможностей
подобных систем требуются знания основных числовых систем, на базе которых
сформировалась теория множеств, являющаяся фундаментом современной математики
и логики.
4. В основе почти всех разделов математики лежит теория чисел. В качестве
доказательной теории она строится по определенным логическим правилам,
главным из которых является правило выводимости одних рассуждений из других в
соответствии со строго определенными логическими законами. Благодаря этому
различные системы чисел не только связываются в единую иерархическую структуру,
но и в качестве своего фундамента опираются на математическую теорию
множеств.
5. Математической теорией множеств называется раздел математики,
сердцевиной которого является логико-математическая теория, абстрагирующаяся от
конкретных числовых свойств, отношений и операций, чтобы получить
предельно общие понятия, выявляющие наиболее устойчивые признаки подавляющего
большинства математических объектов (прежде всего чисел), имеющих
тенденцию устремляться в бесконечность (допустим, бесконечные множества). Иными
словами, математическая теория множеств - это наука о множествах самой
произвольной природы, в основе которой лежит аксиоматический метод
теоретических построений.
6. Многие научно-теоретические понятия не являются непосредственно
очевидными истинами, хотя в силу традиции и привычек могут казаться чем-то
само собой разумеющимся. Их истинность обнаруживается в процессе
формально-логических доказательств, зачастую имеющих аксиоматический характер.
Поэтому в области абстрактно-теоретических построений ученые должны
заботиться не о согласовании своих абстрактных конструкций с
действительностью, а о том, чтобы их теории в формальном плане не противоречили своим
основным постулатам и определениям.
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Какова одна из главных задач систем управления?
2. На какой теоретической базе сформировалась современная логика решений?
3. Что такое реле, для чего они создаются и где используются?
4. Какую роль играет современная логика в проектировании релейных устройств?
5. В чем заключается основная задача так называемой алгебры контактных
цепей?
6. Какие числовые системы вы знаете? Перечислите и кратко охарактеризуйте их.
7. Что такое сумма и произведение двух или более релейных контактов?
8. Что понимается под логической эквивалентностью контактных схем?
9. Все ли законы обычной алгебры используются в математической теории
множеств?
10. Какое отношение имеет теория множеств к арифметической теории чисел?
11. Приведите примеры таких множеств А и В, что х е А, но х ё В при
условии, что А п В.
12. Приведите примеры таких множеств А, В и С, что у е А, у е В и у е С
при условии, что А п В п С.
132
КК Жолъ Логика
13. Приведите примеры таких множеств А, В и С, что А с Д В с С, но не А с С.
14. Чем занимается топология и какое место в ней занимает теория графов?
15. Как теория множеств представлена в топологии и теории графов?
16. Является ли современная теория множеств аксиоматической теорией?
17. Должны ли быть логико-математические постулаты и определения
самоочевидными?
18. Каким основным требованиям должна отвечать система аксиом?
19. Что такое метаматематика? Кто является ее создателем?
20. Как понятие множества входит в логику?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.:
Наука, 1977. - 368 с.
Берне К. Теория графов и ее применение: Пер. с фр. - М.: Изд-во Иностранная
литература, 1962. - 320 с.
Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1982. -
160 с.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981. - 168 с.
Гжегорчик А. Популярная логика: Пер. с польск. - М.: Наука, 1979. - 112 с.
Зегет В. Элементарная логика: Пер. с нем. - М.: Высшая школа, 1985. - 256 с.
Зыков А. А. Основы теории графов. - М.: Наука, 1987. - 380 с.
Иваницкий И. П. Изобразительная статистика и венский метод. - Москва -
Ленинград: ОГИЗ - ИЗОГИЗ, 1932. - 44 с.
Калужнин Л. А. Элементы теории множеств и математической логики в
школьном курсе математики. - М.: Просвещение, 1978. - 87 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: Пер. с нем. - Т. 1. -
М.: Наука, 1987. - 432 с.
Клини С. К. Математическая логика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 480 с.
Комаров В. Н. По следам бесконечности. - М.: Изд-во «Знание», 1974. - 192 с.
Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применение. - М.: Наука, 1968. -
252 с.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - Т. 1: Числа. - М.:
Просвещение, 1974. - 384 с.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. - М.: Наука,
1976. - 320 с.
Налимов В. В. Логические основания прикладной математики. - М.: Изд-во
МГУ, 1971. - 57 с.
Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973. - 400 с.
Ope О. Теория графов: Пер. с англ. - М.: Наука, 1968. - 352 с.
Ope О. Приглашение в теорию чисел: Пер. с англ. - М.: Наука, 1980. - 128 с.
Ope О. Графы и их применение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1980. - 336 с.
Петер Р. Игра с бесконечностью: Пер. с нем. - М.: Молодая гвардия, 1967. -
368 с.
Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории: Пер. с англ. - М.:
Просвещение, 1968 - 232 с.
Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук: Пер. с англ. -
М.: Изд-во Иностранная литература, 1948. - 278 с.
Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической
логики. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - 136 с.
Глава 2
133
Френкель А. А., Бар-Хиллел Й. Основания теории множеств: Пер. с англ. - М.:
Мир, 1966. - 556 с.
Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 304 с.
Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. - 324
с.
Шенфилд Дж. Р. Математическая логика: Пер. с англ. - М.: Наука, 1975. - 527
с.
Штейнгауз Г. Задачи и размышления: Пер. с польск. - М.: Мир, 1974. - 400 с.
Эдельман С. Л. Математическая логика. - М.: Высшая школа, 1975. - 176 с.
* * *
Александрова IL В, Математические термины: Справочник. - М.: Высшая
школа, 1978. - 190 с.
Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции:
Пер. с англ. - В 2 т. - Т. 1: Синтаксический анализ. - М.: Мир, 1978. - 612 с;
Т. 2: Компиляция. - М.: Мир, 1978. - 488 с.
Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. -
486 с.
Горский Д. П., Ивин А. А,, Никифоров А. Л. Краткий словарь по логике. - М.:
Просвещение, 1991. - 208 с.
Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств: Пер. с англ. -
М.: Просвещение, 1965. - 268 с.
Колдуэлл С. Логический синтез релейных устройств: Пер. с англ. - М.: Изд-во
Иностранная литература, 1962. - 737 с.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с.
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополнительные
главы. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 120 с.
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. - М.: Наука, 1975. - 720 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров: Пер. с англ. - М.: Наука, 1978. - 831 с.
Логический словарь ДЕФОРТ (дедуктивная формализация теорий) / Ред. А. А. Ивин,
В. Н. Переверзев, В. В. Петров. - М.: Мысль, 1994. - 269 с.
Никитин В. В. Сборник логических упражнений. Пособие для учителей
математики. - М.: Просвещение, 1970. - 96 с.
Нильсон Н. Искусственный интеллект. Методы поиска решений: Пер. с англ. -
М.: Мир, 1973. - 270 с.
Переверзев В. Н. Логистика. Справочная книга по логике. - М.: Мысль, 1995. -
220 с.
Рузавин Г. И. О природе математического знания. (Очерки по методологии
математики). - М.: Мысль, 1968. - 302 с.
Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. - М.: Наука,
1983. - 302 с.
Серпинский В. О теории множеств: Пер. с польск. - М.: Просвещение, 1966. -
62 с.
Слупецкой Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория
множеств: Пер. с польск. - М.: Прогресс, 1965. - 368 с.
Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. - Ч. 2: Теория
множеств. - М.: Наука, 1982. - С. 9-34.
Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. - Ч. 4: Теория
доказательств и конструктивная математика. - М.: Наука, 1983. - 392 с.
134
К. К. Жоль Логика
Хейс Д. Причинный анализ в статистических исследованиях: Пер. с англ. - М.:
Финансы и статистика, 1981. - 256 с.
Штегмюллер В. Рациональная теория решений (логика решений) // В кн.:
Философия, логика, язык: Пер. с англ. и нем. - М.: Прогресс, 1987. - С.
318-329.
Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989. -
352 с.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ,
ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ,
ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА
Вводные замечания. - Из истории философского термина «представление». -
Современная переоценка традиционной логической трактовки структуры
суждения. - Основные понятия логики высказываний. - Логические законы:
таблицы истинности и логические союзы. - Описание релейно-контактных
схем в терминах логики высказываний. - Индуктивные и дедуктивные
выводы. - Дедуктивные выводы в логике высказываний. - Понятие
умозаключения в «школьной логике». - Заключение. - Контрольные упражнения. -
Рекомендуемая литература.
Вводные замечания. Исследование любой языковой системы, включая язык
науки, обычно начинается с вопроса о том, как и для чего эта система
используется. Кое-кому может показаться, что нет ничего проще ответа на
поставленный вопрос. Однако история человечества свидетельствует, что кажущаяся
современному человеку простота этого вопроса не была таковой еще
относительно недавно и до сих пор не является чем-то пустяковым для специалистов,
которые не торопятся делать скоропалительные выводы.
В XIX в. многие филологи объявляли основной функцией языка его
экспрессивную 1 функцию и тем самым язык автоматически превращался в «платье»
мысли. Их оппоненты отстаивали совершенно противоположную точку зрения,
выдвигая на первый план коммуникативную 2 функцию языка, подчиняющую
себе экспрессивную. При этом доказывалось, что речетворчество - это вид
практической (инструментальной) деятельности, превращающей сознание из
потенциального в актуальное, активно-действительное сознание, из чего следовало,
что основной и первичной социальной функцией языка является именно
коммуникативная функция.
Обеспечение общения составляет одну из основных функций так
называемого языкового сознания, которое не могло бы осуществлять эту функцию, если
бы в его основе не лежал общий способ осознания людьми социально
значимых объектов.
Язык способствует интенсивной социализации человека, выработке активно-
практического и осмысленного отношения к окружающей действительности, ибо
не только упорядочивает пространство восприятия, но и организует процессы,
протекающие во времени, то есть делает обозримым как пространство, так и
время.
Дифференциация пространственных и временных параметров человеческой
деятельности с помощью языка сопровождается в психологическом плане
дифференциацией восприятия и внимания, ранее слитых в аморфное целое. В
результате оказывается возможным строить в поле внимания конфигурации
будущих ситуаций.
Внимание указывает на цель возможных практических действий. Чтобы из
возможных они стали действительными, цель должна быть представлена как
задача-задание, то есть должна быть осознана, оценена, соответствующим образом
Фр. expressif от лат. expressio - выразительность', выразительный.
От лат. communicatio - сообщение, связь.
Глава 3
137
выражена (сформулирована) и принята в качестве руководства действия.
Формулировку этой задачи и ее поэтапное решение берет на себя познавательная
функция языкового сознания.
Особенно явственно роль языка как практического сознания
прослеживается в онтогенезе 3, когда буквально на глазах исследователя происходит
постепенная интериоризация 4 речи как исходного средства связи между ребенком и
взрослым. В этом процессе «сознание-для-других» становится «сознанием-для-
себя». Внешнее коллективное сотрудничество многих субъектов
социально-практической жизнедеятельности вследствие интериоризации приобретает вид
внутреннего сотрудничества многих психических функций в лице отдельного
человека. Иначе говоря, в процессе индивидуального психического развития
происходит объединение таких функций, которые ранее были закреплены вовне за
разными людьми. Вначале язык является средством связующего воздействия
друг на друга разных лиц (допустим, родителей на ребенка). Интериоризуясь,
он становится средством воздействия одной психической функции на другую.
Какую ценность для логики представляют эти философские и
психологические сведения?
Ценность их весьма важна для методологического осмысления общих проблем
логики, которая не может не учитывать современных достижений психологии и
лингвистики. Ведь логика в своих построениях так или иначе отталкивается от
существующих научно-теоретических трактовок естественного языка и его
функций. Если это не учитывать, логическая наука рискует оказаться в плену у
отживших идей спекулятивной философии языка. Чтобы не быть голословным, приведу
пример из истории термина «представление», долгое время считавшегося
полноправным элементом традиционного гносеологического и логического языка.
Из истории философского термина «представление». Понятие
«представление» служит своего рода камнем преткновения для логики, гносеологии и
психологии Нового времени. С осмыслением этого коварного понятия связана
ожесточенная дискуссия между представителями различных философских школ
и направлений. Свою остроту эта дискуссия сохраняет и по сей день.
Рассматриваемое нами понятие «представление» (нем. Vorstellung) впервые
было введено в немецкий философский язык Христианом Вольфом (1679-1754),
позаимствовавшим выражение «Vorstellung» из обыденной речи. Эта вольфов-
ская традиция проходит красной нитью через всю классическую немецкую
философию, через психологию XIX в. и завязывается узелком в философско-линг-
вистических сочинениях ряда современных авторов, пытающихся построить
формальные модели естественного языка.
В русле немецкой философской культуры Вольф является родоначальником
так называемой теории душевных способностей, под влиянием которой
психология, логика и философия в Германии находилась вплоть до начала XX в., а
ныне ее отзвуки слышны в реанимируемым некоторыми лингвистами учении о
«врожденных идеях». Сущность этой теории заключалась в поверхностной
классификации душевных процессов. Память, фантазия, чувственность, рассудок
принимались за основные способности души. К числу этих способностей Вольф
относил и представление, наполняющее наглядным содержанием так
называемые априорные5 формы мышления.
Один из основоположников физиологической психологии известный
немецкий ученый В. Вундт трактовал представления как психические образы внешних
3 Гр. on (ontos) - сущее + genesis - происхождение, возникновение', индивидуальное
развитие растения или живого существа от момента зарождения до окончания жизни.
4 От лат. interior - внутренний', переход извне внутрь.
5 От лат. a priori - из предшествующего', независимо от опыта, до опыта.
138
К.К. Жоль Логика
Шйф ЗДрся* вшМЕЩ^
предметов. По его словам, представлением мы называем всякое состояние или
процесс в душе, который относится нами к чему-либо реальному, лежащему
вне нас в объективном мире. Представление как образ внешнего предмета можно
разложить на составные элементы, не подлежащие дальнейшему разложению.
Эти элементы представлений Вундт называл ощущениями.
Вплоть до начала XX в. в философии отношения между субъектом и
объектом познания, между ощущениями и представлениями рассматривались
преимущественно как специфические отношения репрезентации 6, то есть как
отношения замещения. Эти же взгляды распространялись и на различные знаковые
системы, включая естественный язык. Субъект-объектные познавательные
отношения при таком подходе приобретали искаженный вид: познающий субъект
превращался в пассивного регистратора, который совершенно непонятным образом
преобразует поступающую извне информацию в представления и понятия,
замещающие то, что было вначале зафиксировано органами чувств, а затем
облачающиеся в слова, чья форма безразлична мыслительному содержанию.
Прототипом эмпиристско-психологического понятия «представление»
служит идея рефлекторной (нервной) дуги как совокупности нервных
образований, участвующих в передаче сообщений от органов чувств к мозгу. Эта идея
была сформулирована в XVII столетии Рене Декартом. И в XX в.
последователи Декарта продолжают понимать ощущение как нечто пассивное, являющееся
аппаратом для регистрации внешних воздействий на организм. Рефлекс по
схеме дуги импонировал многим ученым тем, что легко увязывался с
механистической интерпретацией причинности.
Наиболее уязвимым пунктом в учениях рефлексологов-механицистов, а также
философов и психологов, ратующих за эмпирическую модель
функционирования представляющего (репрезентативного) мышления, является вопрос о природе
Фр. representation - представительство.
Глава 3
139
ощущений. В их интерпретации ощущение превращается в «черный ящик», внутри
которого осуществляется какая-то работа, но какая и как - неизвестно.
Деятельность же всех последующих узлов рефлекторной дуги чем-то напоминает
сказочных демонов, которые при соответствующей активизации дуги начинают
манипулировать с «клапанами», открывая их с тем, чтобы пропустить «сообщение»,
идущее со стороны «черного ящика» (ощущения). Обычно предполагается
наличие нескольких «демонов» (уровней психики) с однотипными функциями
(функциями представления, замещения, репрезентации).
Определенный свет на рассматриваемый нами вопрос проливает ироничная
критика традиционной теории замещения, осуществленная известным
австрийским логиком и философом Л. Витгенштейном (1889-1951), с 1929 г. жившем в
Великобритании.
Как отмечал Витгенштейн, с давних пор считается чем-то само собой
разумеющимся, что слово имеет значение только в том случае, если оно является
именем чего-то внелингвистического. Предполагается, что слово - это своего рода
указательный знак, изобретенный первобытным «мыслителем» для более
эффективной обработки накопленной им информации. Следовательно, спрашивать о
значении слова - значит спрашивать, что данное слово замещает. Если
характеризовать усвоение языка с точки зрения, основывающейся на так называемых
остенсивных1 определениях, характеризующихся молчаливым указующим жестом
на предметы, с которыми кто-то хочет ознакомиться, то прежде всего можно
указать на существительные типа «стол», «стул», а также на имена людей. На
втором месте стоят имена чувственно наблюдаемых действий и свойств.
Оставшиеся виды «абстрактных» слов как бы предоставляются самим себе.
Полагаясь на здравый смысл и житейский опыт, мы относительно легко
определяем значение таких слов, как «яблоко», «красный», но уже гораздо труднее
Англ. ostensive - явный, наглядный, прямой.
140
К. К. Жоль Логика
это сделать применительно к словам более абстрактного содержания
(например: «пять», «функция», «красочность», «бесконечность» и т. д.). Мы в
состоянии указать на яблоки, на красный цвет, хотя это тоже требует определенных
оговорок, но не в силах аналогичным образом указать пальцем на
бесконечность или на число пять (не путайте с математическим символом) как на нечто
рядоположенное пяти красным яблокам.
Согласно Витгенштейну, некоторые философы ошибались, полагая, что
значение каждого слова зависит от замещаемой им чувственной или образной
предметности.
В ряде случаев мы вполне можем представить себе такую языковую
ситуацию, где имеются все основания для утверждения, что значением слова
является вещь, на которую данное слово указывает. Но как быть в тех случаях, когда
требуется отдать приказ, выразить сочувствие, гнев, задать вопрос и т. д.? Здесь
подобные наивные концепции из области спекулятивной философии языка
демонстрируют полную беспомощность. Вот почему Витгенштейн не без
оснований настаивает на том, что язык можно считать более или менее усвоенным,
когда некто в состоянии использовать слово согласно определенным целям
(например: задавать вопросы, отдавать приказы, клясться и т. п.), а не как
вербальную 8 этикетку. В связи с этим Витгенштейн приводит остроумный пример
следующего содержания.
Когда умирает мистер X, говорят, что умирает носитель имени, а не
значение имени. Будет верхом бессмысленности сказать, что если имя по каким-то
причинам перестает иметь значение, это должно означать, что мистер X умер.
Вот почему мы обычно не спрашиваем: «Что означает имя Джон?», а говорим:
«Кто является Джоном?»
Витгенштейновская критика теории замещения направлена не только
против «картинной» теории языка, но и против широко бытовавших в филологии,
философии и психологии представлений, относящихся к первым десятилетиям
XX в. (например: образная теория значения).
Традиционные филология и философия языка, не будучи обеспеченными
научными концепциями генезиса языка и его структуры, заполняли теоретические
пробелы информацией экстралингвистического характера. Чаще всего эта
информация заимствовалась из сферы психологии, к тому же, психологии фило-
софско-спекулятивной ориентации. Поэтому закономерно, что решая вопросы
лингвистики и логики, филологи и философы обращались за помощью к таким
понятиям, которые уже получили апробацию в философии, эстетике, психологии
в качестве понятий, выражающих особенности чувственного познания. К их
числу относились «образ», «воображение», «продуктивное воображение»,
«представление» и т. п. Наиболее привлекательными для построения филологических и
логико-философских теорий казались понятия «образ» и «представление».
Интуитивный смысл понятий «образ» и «представление» основывался на
противопоставлении выражений, обладающих конкретно-чувственными
значениями, выражениям абстрактным, не пробуждающим в нашем сознании
чувственно-наглядных представлений. Однако дальше «гениальной» интуиции и
декларативных сентенций дело не шло.
Основная неразрешимая трудность образной теории значения состоит в
отсутствии какого-либо инструмента, позволяющего нам фиксировать наличие
идей, их сходство и различие, ибо они должны быть внутренне различимыми
единицами сознания. Отсутствие подобного средства отождествления идей в
головах различных людей приводит к ситуациям, когда слова совершенно
различного содержания сопровождаются неотличимыми умственными представлениями,
Лат. verbalis - устный, словесный.
Глава 3
141
и наоборот: когда употребление слова с одним и тем же значением сопровождается
различными умственными образами. Наличие такого рода ситуаций достаточно ясно
свидетельствует о том, что слова связаны с идеями отнюдь не тем способом, на
котором настаивали филологи и философы недалекого прошлого.
Анализ понятия «представление» и связанных с ним
теоретико-познавательных и логических учений показывает, что мы имеем поучительный пример
попыток упростить сложные вопросы науки о языке, гносеологии и логики,
заменив их квазипсихологическими «хитростями разума». Это важно учитывать,
поскольку мы переходим к рассмотрению основных понятий современной
логики. Например, аналогичная картина наблюдается и с таким
фундаментальным для традиционной формальной логики понятием, как «суждение»,
укоренившемся в логике со времен античности.
Современная переоценка традиционной логической трактовки структуры
суждения. Суждение определялось древнегреческими философами как словесно
оформленная мысль, утверждающая или отрицающая что-либо о чем-либо.
Суждение состоит из субъекта, предиката и глагола-связки. Так, в суждении
«Хома Брут есть киевский философ» имя «Хома Брут» является субъектом (5),
выражение «киевский философ» - предикатом (Р\ а глагол «есть» - связкой.
В грамматике этому делению (S - Р) соответствует подлежащее и сказуемое
в предложении.
В конце XIX в. немецкий математик и логик Г.Фреге подверг резкой критике
традиционную трактовку структуры суждения. Свое критическое отношение к
этой отжившей традиции он демонстрирует на примере двух предложений:
(1) Греки нанесли поражение персам при Платеях.
(2) Персы были разбиты греками при Платеях.
Грамматическое различие между этими предложениями состоит в
изменении активной формы [(1) «греки нанесли»] на пассивную форму [(2) «разбиты
греками»], то есть в предложении (1) субъектом являются греки, а в
предложении (2) - персы. Но в таком случае различие имеет лингвистический характер,
142
К. К. Жоль Логика
а не строго логический. Тем не менее данные предложения имеют одно и то же
значение истинности. В связи с этим Фреге подчеркивает, что словесный
порядок, опирающийся на грамматическое разграничение субъекта и предиката, не
представляет интереса для логики.
Немецкий ученый совершенно прав, настаивая на том, чтобы
субъект-предикатное разграничение рассматривалось не как логический, а как
лингвистический феномен. Логика может спокойно игнорировать это разграничение,
которое плохо отражает потребности не только логической науки, но и
теоретической грамматики. В живой речи часто бывает так: в реальном процессе
языкового общения то, что ранее выступало в роли субъекта (подлежащего),
относительно легко может стать предикатом (сказуемым), и наоборот.
Стремление избавиться от подобных неопределенностей вынуждает Фреге
переосмыслить сущность именования в логике, введя математические понятия
«функция» и «аргумент». По его мнению, некоторое номинативное выражение (имя в
широком смысле слова) можно разделить не только на субъект и предикат, но
также на функцию и аргумент, что более соответствует символической логике,
ориентированной на математику. При этом Фреге неоднократно подчеркивал, что
функция и аргумент лишь маркируют структурные особенности некоторого
выражения, не затрагивая его смыслового содержания.
Предлагаемый взгляд на процесс номинации был полезен для логики тем, что
открывал реальную возможность пользоваться при логическом анализе
теоретико-множественными представлениями (например: функция как отображение
одного множества в другом множестве), следствием чего явилось рассмотрение
предиката в качестве так называемой пропозициональной функции вида F(x).
По мнению известного английского лингвиста Дж. Лайонза, термин
«пропозиция» 9 используется в английском языке в смысле предложения или
утверждения. В результате некоторые авторы отождествляют пропозицию с
повествовательным видом предложения, а другие - с различного рода утверждениями.
Что понимает сам Лайонз под пропозицией?
По его мнению, пропозиция - это то, что выражается с помощью
повествовательного предложения для утверждения чего-либо о чем-либо.
Различные предложения данного языка могут выражать одну и ту же
пропозицию. Бывает и наоборот, когда одно предложение выражает несколько
пропозиций (например: писатель выражает одно, а читатели понимают другое).
В более широком контексте пропозицию можно рассматривать как
некоторую теоретическую конструкцию, как некоторую инвариантную 10 сущность,
которая не меняется при изменении языковых систем.
Такая же характеристика может быть дана логическому понятию
«высказывание». В известном смысле «высказывание» и «пропозиция» - синонимы.
Поэтому понятие «пропозициональная функция» соответствует понятиям «функция-
высказывание», «высказывательная функция».
Пропозициональная функция - это выражение, содержащее переменный
символ х. Чтобы такое выражение обрело смысл, вместо х следует подставить что-
то более определенное, а именно: Иван Грозный, Сивка-Бурка, корова, 13,
зеленое и т. д. Например, пропозициональной функцией является выражение «jc
умеет играть в покер». Если вместо х подставить имя «Буратино», получится
вполне осмысленное высказывание (истинное или ложное).
Еще раз замечу, что благодаря понятию пропозициональной функции в сферу
логики проникает математическое понятие множества. Для нас, устанавливающих
связь логики с математикой, это важно хорошенько запомнить.
} Лат. propositio - предложение.
0 Фр. invariant - неизменяющийся.
Глава 3
143
Итак, пропозициональная функция определяется как языковая конструкция,
содержащая переменную. Эта конструкция при подстановке какого-либо значения для
данной переменной превращается в высказывание. Иначе говоря, пропозициональная
функция - это функция, соотносящая представителей некоторой предметной
области с областью значений истинности (например: «истина» или «ложь»).
Не помешает еще раз рассмотреть выражение типа «х есть существо без
перьев». Данное выражение является именно выражением, а не логическим
высказыванием, которое, по определению, претендует на истинностное значение.
Следовательно, это выражение с переменной я: представляет собой
пропозициональную функцию, которая получает значение «истина», скажем, при аргументе
«человек» и «ложь» при аргументе, например, «глупая курица».
Говоря более строго, выражение вида F(x) (где F обозначает свойство
некоторого индивида) представляет собой элементарную пропозициональную
функцию, из которой получается элементарное (простое) высказывание посредством
замены переменной х обозначениями конкретных индивидов (например: F(x)
может быть представлено как выражение «х обладает скверным нравом», которое, в
свою очередь, может быть представлено как высказывание «Соловей-разбойник
обладает скверным нравом»).
Из сказанного следует, что пропозициональная функция может стать
высказыванием тогда и только тогда, когда аргумент (переменная) приобретает
конкретное предметное значение.
Таким образом, введение понятия «пропозициональная функция»
позволяет привнести математическую строгость в логический анализ высказываний, а
через логику - и в математическую лингвистику. Это лишний раз
подтверждает уже высказанную мысль о содружестве логики с лингвистикой, их
обоюдном влиянии друг на друга и на кибернетику.
Основные понятия логики высказываний. Вооружившись этими знаниями
исключительной методологической значимости, мы можем перейти к тому, что
считается наиболее развитой частью современной логики. Таковой считается
логика высказываний {пропозициональная логика), являющаяся основой всего
здания символической логики.
Главным предметом изучения логики высказываний являются простые
высказывания типа:
«Мистер Твистер был не хилым министром»',
«Число три больше числа два»',
«На Луне живут лунатики»',
«Крокодилы летают очень низко».
Эти высказывания показывают, что они не обязательно должны быть
истинными с точки зрения здравого смысла, то есть логики обычно не обращают
внимания на смысловое содержание высказываний, имеющее внелогический характер.
Глубоко теоретический вопрос о сущности летающих крокодилов должен
волновать зоологов, но никак не логиков. Логическая наука интересуется весьма
своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний. Она
абстрагируется от конкретных обстоятельств, от содержания высказываний, предпочитая с
олимпийским спокойствием иметь дело с идеализированной картиной реальной
или вымышленной действительности. Ее ученые мужи, конечно, удивятся, узнав,
что на какой-то далекой планете крокодилы действительно могут летать, но...
очень низко. Однако, как логикам, им этот потрясающий факт безразличен. В
данном случае следует хорошенько себе уяснить и запомнить, что логики, как
правило, занимаются анализом высказываний безотносительно к их связям с
выражениями естественного языка, то есть занимаются тем, что принято называть
исчислением высказываний. Высказывания для них выступают в роли своеобразных
144
К.К. Жоль Логика
языковых (знаковых, символических) объектов, наподобие объектов алгебры, с
которыми работают по определенным правилам построения и преобразования
этих объектов в другие объекты. Слово «исчисление» здесь используется не в
собственном смысле, так как логики - не бухгалтеры и не занимаются
калькуляцией «истин», а в указательном смысле, отмечающем связь логики с
математикой.
Для логических формул, как и для формул алгебры, важно уметь обнаруживать
сходство и различие представляемых объектов, чтобы правильно осуществлять
доказательства, доводя их до заключительной стадии, позволяющей сделать вывод о
решаемости (разрешимости) или нерешаемости (неразрешимости) определенной
задачи. Методы, используемые для этих целей, подразумевают прежде всего
изучение различных способов представления в нашем поле сознания
абстрактно-теоретических объектов.
Помимо всего прочего в логике высказываний абстрагируются от
составных частей и структуры простых высказываний, но это не означает, что в
других разделах логики наблюдается аналогичное.
Для высказываний вводятся соответствующие переменные, называемые
пропозициональными (высказывательными) переменными. Они обычно обозначаются
строчными буквами латинского алфавита {а, Ъ, с и т. д.).
Надо заметить, что среди терминов и символов, встречающихся в
математике и логике, мы различаем переменные и постоянные. Например, в
математике мы встречаем такие постоянные термины, как: «три» (3), «сумма» (+) и т. д.
Каждый из этих терминов имеет точно определенное значение, считающееся
неизменным в ходе математических рассуждений.
Переменные, в противоположность постоянным, не обладают константным
значением сами по себе. Согласитесь, нелепо звучит вопрос: является ли х
столицей шахматного мира? Но зато вполне уместен вопрос: являются ли Васюки
столицей шахматного мира?
Ввиду того что сами по себе переменные не имеют значения, выражение вида
«х есть столица шахматного мира» не может являться высказыванием в
логическом смысле, хотя в грамматическом плане оно имеет форму высказывания. Что
из этого следует?
Из этого следует, что под логическим высказыванием понимается вполне
определенное утверждение, которое может быть доказано или опровергнуто.
Например, если мы заменим в выражении «jc есть выдающийся ученый» х
словом «баран» или «осел», получим ложное высказывание {«Баран есть
выдающийся ученый», «Осел есть выдающийся ученый»), но в результате замены х
именем «Ньютон» получим истинное высказывание {«Ньютон есть
выдающийся ученый»).
Как уже отмечалось, выражения, содержащие переменные и
превращающиеся в высказывания при замене этих переменных постоянными, называются по-
разному: пропозициональными функциями, высказывательными функциями,
функциями-высказываниями и т. д.
Помимо замены переменных постоянными есть еще и другой способ,
посредством которого из пропозициональных функций могут быть получены
высказывания. Рассмотрим следующую алгебраическую формулу: {х + у)2 = х2 + 2ху + у1.
Говоря языком логики, мы имеем дело с пропозициональной функцией,
содержащей переменные х и у, которым удовлетворяют произвольные пары
чисел, то есть какими бы численными постоянными мы ни заменяли х и у,
полученная формула всегда будет истинной. Таким образом, для всех чисел,
символически обозначаемых х и у, истинно будет, что {х + у)2 = х2 + 2ху + у2.
Рассмотрим теперь пропозициональную функцию вида х > у. Если вместо х
подставить 10, вместо у - 9, получится истинное высказывание. Но если вместо х
подставить 12, а вместо у - 13, получится ложное высказывание. Следовательно,
Глава 3
145
этой формуле не может удовлетворять любая пара чисел. Поэтому
применительно к нашей формуле точнее будет говорить так: для некоторых чисел х и у
справедливо, что х > у. Или в ином выражении: существуют числа х и у такие,
что х > у.
Выражения вида «для всех х, у, ...» или «существуют х, у, ... такие, что ...»
называются кванторами.
Quantum, quantity - количество. Quantify - определять количество. Quantifier
(квантор) - отглагольное существительное.
Кванторы (логические операторы) указывают на количественную
характеристику значений той или иной переменной, для которой соответствующее
высказывание истинно.
В данном случае мы имеем дело с двумя кванторами - универсальным, или
квантором всеобщности («для всех х, у, ...»), и экзистенциальным, или
квантором существования («существуют х9 у, ... такие, что ...»).
Высказывания, содержащие переменные, - это общая форма многих
логических высказываний, которую называют логической формулой. Если
подстановка какого-либо значения переменной в логическую формулу превращает ее
в истинное высказывание, то говорят, что данное высказывание истинно для
всех значений х. Выражение «истинно для всех значений х» обозначается так:
ух. Символ V называется квантором всеобщности. Этот символ, служащий
аналогом слова «все», представляет собой перевернутое латинское А,
напоминающее о немецком слове «alle» (все) или об английском слове «all» (все).
Если только некоторые значения переменной превращают логическую
формулу в истинное высказывание, то говорят, что высказывание истинно для
некоторых значений х, то есть существуют некоторые значения х, при которых
высказывание истинно. Символически это записывается с помощью квантора
существования 3 в виде Зх. Этот символ, служащий аналогом слова
«существовать», представляет собой повернутую в противоположном направлении
латинскую букву Е. Данная буква напоминает о немецком слове «existieren»
(существовать) или об английском слове, «to exist» (существовать).
Хотя в повседневной речи мы не пользуемся переменными и кванторами,
но тем не менее в естественных языках постоянно встречаются их эквиваленты.
Например, в русском языке имеются слова, близкие по своим функциям кванторам:
все, всякий, любой, никакой, некоторый и т. д. Так, выражение «Некоторые люди
хитры» имеет примерно такой же смысл, что и высказывание «Существует х
такой, что х является человеком и хитрым».
Благодаря кванторам пропозициональные функции автоматически
превращаются в высказывания, а переменные лишаются своей свободы, то есть
становятся связанными переменными (кажущимися переменными). Там, где
кванторы отсутствуют и мы имеем дело только с пропозициональной функцией,
переменные называются свободными или несвязанными переменными.
Переменные и кванторы играют исключительно важную роль в
формулировке математических теорем. Что же касается переменных, то смело можно
сказать: их изобретение составляет поворотный пункт в истории математики, а
в дальнейшем и логики. Поясню сказанное на следующим примере из курса
школьной алгебры.
Допустим, в одном кармане пирата Джона Сильвера, персонажа
знаменитой книги Р. Л. Стивенсона «Остров сокровищ», находится m полновесных
золотых дублонов, в другом - п дублонов, а в обоих карманах в сумме находится
р дублонов.
Джентльменов удачи, особенно из числа несостоявшихся научных
работников, страшно интересует: чему равно р, если m = 10, а п = 15?
Для удовлетворения их флибустьерской любознательности Джон Сильвер
порекомендовал заполнить специальную таблицу (табл. 1).
146
К.К. Жоль Логика
Таблица 1.
m
10
п
15
Р
25
А как быть в том случае, если известна общая сумма прикарманенных
Джоном Сильвером дублонов и количество золотых монет в одном из карманов?
- Ха! - вырывается из луженой глотки морского волка. - Составляйте,
каторжники и висельники, новую таблицу.
И вот таблица составлена (табл. 2).
Таблица 2.
m
10
п
15
Р
25
25
В полном соответствии с таблицей ответ будет таков:
1. Если п = 15, р = 25, то в первый столбец первой строки таблицы нужно
вписать 10 (m = 10).
2. Если m = 10, р = 25, то во второй столбец второй строки таблицы нужно
вписать 15 (п = 15).
Войдя в азарт, пираты потребовали от Джона Сильвера под угрозой
«черной метки», то есть под угрозой отлучения от власти, сформулировать еще
одну задачу.
- Пусть будет по вашему, - обреченно махнул рукой главарь пиратской
шайки. - Допустим, у меня имеется в сундуке m дублонов, а площадь пещеры,
в которой мы находимся, составляет Q м2. Спрашивается: чему равно Q, если
m равно 10?
От такого подлого вопроса пиратам стало дурно. Только Томас Морган -
сто чертей ему в печенку! - злобно оскалился и прохрипел:
- Клянусь сокровищами Флинта! Эту задачу решить нельзя.
- Молодец, приятель! - криво усмехнулся Джон Сильвер. - Действительно, эту
задачу решить нельзя, поскольку величины m и Q не связаны между собой, то есть
являются независимыми. Величины же m, п и р в первой задаче связаны самим
условием задачи так, что, зная любые две из них, можно определить третью.
Иными словами, между величинами /я, п и р в первой задаче существует
зависимость, что можно выразить с помощью квантора существования (3). В чем же,
джентльмены вы мои удачливые, заключается зависимость между /я, п и р в
первой задаче?
Пираты угрюмо промолчали.
- А я вам скажу, - самодовольно произнес Джон Сильвер. - Зависимость
между т, п и р заключается в том, что р равно сумме m и я, то есть р = m + п.
К этому следует добавить: если джентльмены хотят высказать утверждение, что
два алгебраических выражения равны, то данные выражения соединяются
знаком равенства (=).
Любознательных пиратов охватил полнейший умственный паралич от
явного математического превосходства их главаря над простым флибустьерским
интеллектом.
Глава 3
147
Тайно подслушивающий пиратский диспут доктор Ливси сделал следующую
запись в своих мозговых извилинах: существуют т, п и р такие, что m + п = р,
или 3 m, п, р (F(m) + F(ri) = F(p)), где большая латинская буква F указывает на
свойство «быть золотым дублоном», а не чем-либо другим (скажем,
квадратными метрами или фальшивыми пиастрами).
Примем это к сведению и двинемся дальше.
Внутри логики высказываний различают двузначную и многозначную логику.
Двузначная логика оперирует только двумя значениями, которые условно
именуют истина и ложь, но могут именовать и по-другому (например: белое I черное,
красивое I уродливое, кружка пива I кружка кваса, 1 / 0, 0 / 1 и т. д.).
Следует постоянно помнить, что в логике священное для философов слово
«истина» часто употребляется отнюдь не в священном смысле, а лишь для
совершенно условного обозначения логического свойства: либо истинно, либо
ложно {либо включено, либо выключено; либо любит, либо не любит; и т. д.). Если же
высказывание логически ложно, оно, как говорят логики, имеет значение
истинности ложъ. Хотя последнее звучит непривычно, но тут уж ничего не
поделаешь, приходится привыкать к своеобразию логической терминологии.
Конечно, кого-то может очень смутить выражение «значение истинности»
применительно к слову «ложь». Люди обычно различают истину и ложь, а здесь мы
имеем дело с каким-то странным словосочетанием. Эта странность кажущаяся.
Вспомним великого Гильберта, который, полушутя-полусерьезно говорил о
возможности замены в математике слов «точка», «прямая», «плоскость» словами
«стол», «стул», «пивная кружка». В его шутке есть доля правды. Дело в том,
что математические символы и термины зависят не от ассоциаций обычного
человека, а от выбора аксиом и определений. Так, если мы определим
математическое поведение пивной кружки как поведение геометрической точки, то
математики вскоре перестанут обращать внимание на несколько неудачный
выбор выражения и непривычное станет привычным.
В свое время немецкий математик и логик Эрнст Шредер (1841-1902),
стремясь избежать побочных психологических или философских ассоциаций,
связанных с употреблением слов «истина», «ложь», предложил ноль в качестве
знака для значения ложного высказывания в логике.
С точки зрения математической логики каждое ложное высказывание
отождествляется не с ошибочным отражением действительности, а, например, с
пустым множеством. Соответственно, каждое истинное высказывание
отождествляется с некоторым непустым множеством элементов. Представителю
математической логики в большинстве случаев незачем знать о содержании
высказываний. Ему вполне достаточно тех знаний, границы и смысл которых
определяется понятийным аппаратом теории множеств. Поэтому он вполне
довольствуется знаниями об условиях истинности (непустом множестве) или ложности
(пустом множестве) этих высказываний (высказываний, выражающих наши знания
о множествах).
Большинство истинных утверждений, относящихся к повседневной жизни,
являются относительно истинными. В логике такая относительность чаще всего
неприемлема. Логики предпочитают иметь дело с «абсолютными» истинами.
Истинное и ложное употребляется ими в смысле возможной логической оценки
суждений, которые представляются нам как носители некоторого смыслового
содержания, облаченного в форму высказывания. В логике высказываний
смысловое содержание высказываний жестко ограничивается тем, что логики называют
истинностным значением, не вкладывая в это понятие философский смысл.
Если высказывание логически истинно, оно имеет значение истинности
истина. Это положение не вызывает сомнения у неспециалистов, хотя на самом деле
оно далеко не бесспорно, что быстро обнаруживается, когда логики начинают
«издеваться» над здравым смыслом.
148
К К. Жоль Логика
Вместо «Высказывание р истинно» или «Высказывание р ложно» можно
сказать: «Высказывание р имеет истинностное значение истина» (или:
«Высказывание р имеет истинное значение истинности»)', «Высказывание р имеет
истинностное значение ложь» (или: «Высказывание р имеет ложное значение
истинности»). Для истинностного значения (значения истинности) истина может
использоваться в качестве метки русская буква и (и) или математический символ
1, а для истинностного значения (значения истинности) ложь - русская буква л (л)
или математический символ 0.
Логика высказываний требует, чтобы для каждого высказывания
выполнялось условие его истинности или ложности. Тем самым закладывается
фундамент так называемой логической семантики, то есть той предметной области
логики, которая позволяет осуществлять процедуры интерпретации языковых
конструкций логики.
Интерпретация в логике высказываний - это (функциональное) отображение,
сопоставляющее каждому элементарному высказыванию некоторое значение
истинности. Интерпретация, при которой истинное значение логической формулы
есть «истина», называется моделью этой формулы. Интерпретация определяется
разбиением множества значений истинности на два подмножества
высказываний - истинных и ложных, каждое из которых содержит элементы из пары
противоположных друг другу высказываний (истина и неистина (ложь)).
Чтобы охватить общей логической схемой все разновидности простых
единичных высказываний (высказываний о единичном), описывающих отдельные
предметы или указывающих на них с помощью соответствующих единичных имен,
вводится форма F(x\ где х - переменная для единичного имени, a F -
символическое обозначение свойств данного индивида. Таким образом, F(x) - это функция
высказывания (пропозициональная функция), включающая переменную, подстановка
на место которой постоянного значения дает собственно высказывание. Например,
если х - дыня, a F - желтая, мы будем иметь высказывание типа «Дыня желтая».
В логике все отдельные строчные буквы (р, g, г,...), символизирующие
переменные, а также их те или иные комбинации, представляющие собой форму
высказываний, являются булевыми функциями высказываний. Запись этих
функций называется формулой. Другими словами, булевой функцией высказываний
будет выражение, полученное в результате конечного числа шагов, записанных
в символах булевой алгебры высказываний.
Эта точка зрения на формулы высказываний согласуется с известными нам
законами элементарной алгебры. Разница состоит лишь в том, что в
элементарной алгебре рассматриваются числовые функции, а в логике высказываний -
логические (булевы) функции.
Булева функция высказываний выражает логический закон тогда, когда она
принимает истинное значение при всех возможных комбинациях значений
переменной. Проверка того, выражает ли данная функция логический закон,
осуществляется с помощью так называемой таблицы истинности.
Логические законы: таблицы истинности и логические союзы. Табличный
(матричный) метод проверки формул логики высказываний освобождает
исследователей от необходимости строить аксиоматические системы, в которых теоремы
обосновываются путем выведения их из системы аксиом. Кроме того, данный метод
является важнейшим методом интерпретации в логике исчисления высказываний.
Необходимо знать, что имеется ряд формул, которые принимают
значение истина при любых значениях истинности входящих в них переменных.
Эти формулы называются общезначимыми, или тождественно истинными, или
же тавтологиями п логики исчисления высказываний. Говоря более строго,
Гр. tauto - то же самое + logia - учение.
Глава 3
149
пропозициональная формула, которая истинна независимо от того, какие значения
принимают встречающиеся в ней пропозициональные переменные, называется
тавтологией. Пропозициональная формула является тавтологией тогда и только тогда, когда
соответствующая истинностная функция принимает только значение «истина» (и).
Пропозициональная формула, которая ложна при всех возможных истинностных значениях
ее пропозициональных переменных, называется противоречием (или необщезначи-
мой формулой). Если, например, формула F(x) истинна при некоторой интерпретации,
то говорится, что эта интерпретация удовлетворяет F(x) или F(x) выполнена в
данной интерпретации. С другой стороны, если формула F(x) ложна при данной
интерпретации, то говорится, что эта интерпретация опровергает F(x) или F(x)
опровергается в данной интерпретации. Когда некоторая интерпретация удовлетворяет
соответствующей логической формуле, эта интерпретация называется моделью логической
формулы. Данные формулы являются логическими законами, которыми постоянно
руководствуются как теоретики, так и практики (допустим, конструкторы сложных
релейных устройств).
Словесным примером общезначимой формулы в исчислении высказываний
может служить следующее предложение: «Если вода мокрая, то она мокрая».
Тавтологичность подобного утверждения очевидна. Поэтому кое-кому
общезначимые формулы (тавтологии) покажутся информационно никчемными и
совершенно бесполезными для науки, но на самом деле это не так. Опыт
развития логики и использование ее инструментария в практических целях
свидетельствуют: общезначимые формулы чрезвычайно важны для логики как
доказательной науки, чьи рациональные конструкции с большим успехом
применяются в самых различных сферах человеческой деятельности. Иначе говоря,
тавтологии важны для установления нетавтологий, которые опровергают наши
логические рассуждения, делая их противоречивыми.
Для указания на общезначимость логической формулы используется символ ^,
придуманный известным американским математиком и логиком С. К. Клини в
1956 г. Например, формула ^ В читается: В общезначима. Говоря более
обобщенно, если А - множество формул, то запись А \ В означает, что при всех
интерпретациях, при которых истинны все формулы из А, истинна также формула В.
Формула В называется логическим следствием из А. В этих случаях говорят, что
В следует из А или является следствием из А в логико-математическом
исчислении высказываний.
Менее жесткие требования в символической логике предъявляются к
выполнимым формулам, которые принимают значение «истина» лишь при
некоторых наборах значений входящих в них переменных. Общезначимые формулы
всегда выполнимы.
Итак, среди логических формул выделяются выполнимые и невыполнимые
(тождественно ложные) формулы. Формулы, принимающие значение ложь при
всех значениях входящих в них переменных, относятся к разряду
тождественно ложных (невыполнимых) формул. Как уже отмечалось, тождественно
ложные формулы - это противоречия, то есть противоречия - это формулы логики
высказываний, которые при любом наборе значений своих
пропозициональных переменных принимают значение ложь. Все формулы логики
высказываний, не являющиеся противоречиями, считаются выполнимыми.
Способ, с помощью которого относительно любой формулы символической
логики можно определенно решить, к какому виду формул она относится,
называется разрешающей процедурой. Для логики высказываний такими
способами являются построения таблиц истинности, а также преобразование
исследуемой формулы в одну из так называемых нормальных форм, о чем будет
сказано ниже.
Табличный метод проверки логических формул предполагает знание
логических союзов, превращающих простые высказывания в сложные.
150
К.К. Жоль Логика
Если, допустим, простое высказывание истинно тогда и только тогда, когда оно
утверждает существование некоторого безусловного факта, имеющего место в
действительности (например: Земля обращается вокруг Солнца), то ответ на вопрос об
истинности сложного высказывания требует не только учета фактов, но и
рассмотрения смысла логической связки, при помощи которой это высказывание было
образовано (приведу такой пример, а именно: если Земля обращается вокруг Солнца,
то вокруг Солнца обращается и Марс). С учетом этого необходимо рассмотреть
все логические союзы (связки), использование которых определяет название
сложных высказываний.
В грамматике сложное предложение, составные части которого объединены
оборотом если ..., то ..., называется условным предложением. В логике его
аналог называется импликацией 12 или условным высказыванием. С помощью союза
если ..., то ... в естественном языке обычно выражают тот факт, что одно
явление служит основанием (условием) для другого.
В логике часть высказывания, которому предпослано выражение если,
называется антецедентом {предыдущим), а другая часть, начинающаяся с
выражения то, называется консеквентом {последующим).
Поскольку логики стремятся избегать двусмысленных аналогий, они
предлагают рассматривать импликацию как вполне осмысленное высказывание даже
в том случае, когда не существует никакой смысловой связи между двумя
простыми высказываниями, образующими единое целое - сложное высказывание.
Например: «Если пингвины осенью летят на юг, то Волга впадает в Каспийское
море». Здесь, как и в случае с планетами, обращающимися вокруг Солнца,
грамматический оборот если ..., то ... провоцирует нашу мысль на решение
внелогических проблем (например: зависит ли обращение Марса вокруг Солнца от
обращения Земли вокруг светила? зависит ли впадение Волги в Каспийское море
от осеннего перелета нелетающих пингвинов?). Поэтому логики с ироничной
улыбкой формулируют внешне нелепый вопрос об импликации примерно так: Если 2 + 2
= 5, то не является ли Черное море Тихим океаном!
Для чего требуются эти шокирующие вопросы?
Разумеется, не для того, чтобы отвратить от «страшных тайн» логики
здравомыслящих людей. Просто логики хотят в очередной раз подчеркнуть, что в
логике высказываний (пропозициональной логике) содержание высказываний
не имеет никакого значения, кроме того, которое задано в рамках
используемой логической семантики (моделей интерпретации). В связи с этим логики
разграничивают материальную и формальную импликации. Понятие
материальной импликации (менее строгой в логическом смысле) шире понятия
формальной импликации (более логически строгой). Каждая истинная формальная
импликация является в то же время истинной материальной импликацией, но не
наоборот.
Замечу, что оборот если ..., то ... часто используется в языке науки.
Наиболее употребим он в математике, чьи теоремы тяготеют к форме импликаций.
Логическая операция импликации чаще всего обозначается символом —»,
который называется на языке логики функтором. Символическим
изображением импликации, состоящей из простых высказываний р и q, будет р -» q.
Выражение р —» q может читаться так: р имплицирует q\ р включает q; всегда, если р,
то q; если р, то q.
Еще раз во избежание путаницы подчеркну, что логическое высказывание
вида р —» q не всегда совпадает по смыслу с выражением естественного языка
типа если ..., то ... . Вот почему целесообразно читать сложное высказывание
вида р —» q не как если р, то q, а как р имплицирует q и понимать данную
Лат. implicatio - сплетение, переплетение.
Глава 3
151
операцию только под углом зрения соответствующей таблицы истинности или
соответствующих аксиом и определений. Но прежде чем разобраться с
таблицами истинности, включая таблицу для импликации, уясним себе хорошенько
следующее.
В умозаключениях повседневной жизни и в науке мы пользуемся только такими
импликациями, в которых предыдущий член (антецедент) и последующий член (консек-
вент) связаны по содержанию и по форме. Например: Если идет радиоактивный
дождь, то берите свинцовый зонтик, выходя на улицу. Или: Если эксперимент по
выращиванию гомункулусов в пробирке будет успешным, то гипотеза о
марсианских пришельцах не подтвердится. Импликации же, в которых нет этой
содержательной связи, обычно не представляют для нас какого-либо интереса, кроме, быть
может, специалистов по психическим патологиям. Логики же, силясь прояснить
логические характеристики связок (так называемых логических союзов), идут на
значительные упрощения и отвлекаются от содержания высказываний. Впрочем, ничто
человеческое им не чуждо, и поэтому они не страшатся заглядывать в содержание
высказываний на естественном языке, особенно если речь идет о первых шагах обучения
логическому искусству школьников и студентов. Рассмотрим вместе с ними
следующий пример: Если пиво отпускается только членам профсоюза, то остальные
граждане города Арбатова удовлетворяются кислым квасом.
Предположим, что все обстоит именно так, как об этом заявлено. Тогда
наша импликация истинна. Если же пиво, вопреки высокому предписанию,
отпускается не только членам профсоюза, то наше заключение ложно. Может
оказаться и так, что, несмотря на самый строжайший запрет продавать пиво
нечленам профсоюза, городские власти могут издать очень мудрый указ о
премировании кружкой пива некоторых нечленов профсоюза за их пчелиное
трудолюбие. В результате этого директивного решения высказывание оказывается
истинно и в том случае, когда общее предписание относительно пива не имеет
абсолютно жесткого характера. Наконец, если пиво и квас отсутствуют и все
пьют водопроводную воду, то нет никаких нарушений предписания и повода
для начальственного гнева. Следовательно, предписание действует, хотя и не
выполняется в силу объективных причин.
Таким образом, мы видим, что наша импликация может оказаться ложной
только тогда, когда посылка (антецедент) истинна, а заключение (консеквент)
ложно. В трех остальных случаях импликация истинна. Говоря более строго,
импликация является ложной тогда и только тогда, когда ее посылка истинна,
а заключение ложно.
Запишем все четыре случая следующим образом:
Если р = 1 (и) и q = 1 (и), то (р —> q) = 1 (и);
Если р = 1 (и) и q = 0 (л), то (р —» q) = 0 (л);
Если р = О (л) и q = 1 (и), то (р —> q) = 1 (и);
Если р = 0 (л) и q = О (л), то (р —> q) = 1 (и).
В импликации (табл. 3) все это выглядит гораздо проще.
Рассмотренный пример с импликацией демонстрирует один из возможных
типов логических связей между высказываниями. Знание этих связей нам
необходимо, если мы для решения теоретико-познавательных и
научно-практических задач стремимся разнообразить наш исследовательский инструментарий в
виде соответствующих логических систем.
Предлагаемая таблица импликации является примером материальной
импликации. Обычно под материальной импликацией понимается функтор —>,
определяемый вышеприведенной таблицей истинности.
Поскольку материальная импликация противопоставляется формальной
импликации, то материальная импликация трактуется как условное высказывание,
152
К. К. Жоль Логика
Таблица 3.
р
]
1
0
[ 0
я
1
а
1
0 j
р~+ч
1 1 1
о 1
i 1
1 i 1
тогда как формальная импликация трактуется как условная функция
высказывания.
Хорошо известно, что материальная импликация истинна в тех случаях, когда
истинен ее консеквент или когда ложен ее антецедент, а также ложны и тот и
другой одновременно. Таковы правила «игры». Сложности и неясности возникают при
чтении функтора импликации как если ..., то ... . Вследствие этого происходит
резкое расхождение между логическими условиями истинности импликации и
фактическими условиями истинности содержательного условного высказывания.
Например, с логической точки зрения импликация «Если снег бел, то 2 + 2 = 4» является
истиной по отношению к таблице истинности, но с обыденной точки зрения такое
условное высказывание «режет слух». Чтобы избежать подобных нелепостей, известный
американский ученый К. И. Льюис (1883-1964) ввел функтор так называемой
строгой импликации, который должен был до известной степени соответствовать роли
условного союза в обыденной речи.
Исчисление высказываний охватывает не все способы построения сложных
высказываний, а только так называемые экстенсиональные связи, то есть такие связи,
в которых логическое значение целого зависит не от различий в содержании
высказываний, а исключительно от формально-логического значения составляющих
высказываний 13. Такого рода значения исчисляются с помощью таблиц
истинности, аналогом которых являются таблицы состояний для релейных устройств.
Функции высказываний подобного типа называются истинностными функциями.
Простыми методами записи условий работы соответствующих релейных
устройств являются так называемые таблицы состояний. Таблицы состояний -
это своего рода градусник. С помощью такого «градусника» каждая из п
(многочисленных) входных переменных может принимать два и только два
значения - 0 или 1 (разомкнуто или замкнуто). Соответственно, число возможных
комбинаций переменных будет равно 2п. Эти комбинации удобно записывать в
виде таблицы, используя 1 для представления наличия входного воздействия и
О - для его отсутствия. Аналогичное имеет место и в таблицах истинности.
Так, например, если в пропозициональной форме имеется п различных букв,
то возможны 2п различных распределений истинностных значений для букв,
обозначающих пропозиции (высказывания), и, следовательно, истинностная
таблица для такой формы будет содержать 2" строк.
Существенной особенностью таблицы состояний является то, что она
обеспечивает проектировщику автоматическую проверку полноты описания
работы релейного устройства. Эта таблица позволяет анализировать контактную
13 Помимо экстенсиональных сложных высказываний имеются еще интенсиональные
сложные высказывания. Сегодня логики активно обсуждают вопрос о том, можно ли
интенсиональные сложные высказывания сводить к экстенсиональным. Некоторые из
них считают, что сделать это невозможно. Дело в том, что значение истинности
интенсионального сложного высказывания зависит не только от значений истинности
составляющих его высказываний, но и от других факторов, которые не поддаются
оценке с экстенсиональной точки зрения, но обо всем этом речь еще впереди.
Глава 3
153
Таблица 4. Таблица 5.
технологическую структуру путем записи в систематическом порядке
состояний ее выходов для всех возможных состояний входов.
«Таблица состояний» и «таблица истинности» - разные названия одного и
того же. Число возможных состояний переменных (соответственно, строк
таблицы) равно 2".
В свете сказанного рассмотрим операцию дизъюнкции 14. Эта операция
применяется к высказываниям, называемым соединительно-разъединительными.
Как и многие другие логические операции, операция дизъюнкции,
функтором которой служит символ V , имеет свой аналог в естественном языке в виде
союза или. Символ функтора дизъюнкции происходит от первой буквы
латинского слова «vel» (или).
В естественном языке предложение с союзом или указывает на существование
двух возможных событий, одно из которых вполне может произойти. Иногда
вместо выражения или используется выражение либо в разделительном значении.
Союз или во многих европейских языках имеет два различных значения -
исключающее и неисключающее. Так, если даны высказывания р и q, которые
ложны, то сложное высказывание вида р или q следует считать ложным. Если
же р истинно, a q ложно, то р или q следует рассматривать как истинное
высказывание, что вполне соответствует смыслу слова «или» в русском языке.
Труднее дело обстоит, когда оба простых высказывания истинны. В связи с этим в
логической литературе иногда встречаются формулировки типа р или/и q, р или
(также) q. Это означает, что сложное дизъюнктивное высказывание будет
истинным и тогда, когда оба простых высказывания являются одновременно
истинными. Но иногда случается так, что осуществление одной из возможностей
исключает осуществление другой. Тогда употребляется формулировка вида либо
р, либо q. Подобное сложное высказывание является строгой (сильной)
разделительной дизъюнкцией, функтор которой выражается символом у. Иногда
говорят, что в данном случае мы имеем дело с исключающе-разъединительной
(разделительной) или исключающей (сильной, строгой) дизъюнкцией.
Учитывая все это, логики предлагают считать, что дизъюнкция двух простых
высказываний ложна тогда и только тогда, когда ложны оба простых
высказывания. Эта дизъюнкция квалифицируется как неисключающая (табл. 4).
Совсем иначе выглядит таблица для строгой дизъюнкции (табл. 5).
Сильная дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда простые
высказывания имеют разные значения истинности.
Сложное высказывание может состоять из двух и более простых
высказываний, соединенных связкой, которая эквивалентна союзу и в естественном
языке. Эта логическая связка обозначается символом & (или л). Выражение р & q
называется конъюнкцией^5 и читается так: р и q.
Высказывая некоторую конъюнкцию, мы формулируем такое утверждение,
которое выполняется, скажем, для событий, описываемых как бы перечислительным
14 Лат. disjunctio; disjunctive - разделительный.
15 От лат. conjunctio - союз, связка.
154
К.К. Жоль Логика
образом с помощью простых высказываний, образующих в сумме (в итоге)
сложное высказывание. Например: Васисуалий Лоханкин, большой души либерал и
демократ, постоянно думал о значении русской интеллигенции в мировом масштабе
и часто из-за этих самых дум забывал тушить свет в коммунальной уборной.
Для операции конъюнкции таблица истинности имеет соответствующий вид
(табл. 6).
Из таблицы истинности для конъюнкции видно, что конъюнкция р & q
ложна, если хотя бы одно из двух высказываний ложно. Иными словами,
конъюнкция р & q истинна в том и только в том случае, если оба высказывания р и q
имеют значение истина (1).
Поскольку соединительная связка & является двухместной (объединяет два
простых высказывания), постольку для конъюнктивного соединения трех и
более простых высказываний полезно использовать скобки. Например: (р & q) & с
или р & (q & с). Что касается скобок, то сначала определяется истинностное
значение высказывания, находящегося в скобках. Затем определяется значение
истинности всего выражения (пример в табл. 7).
Данная таблица истинности показывает, что конъюнкция, состоящая из трех
высказываний, является истинной тогда и только тогда, когда все три
соединенных высказывания истинны.
Простейшей операцией логики высказываний является операция отрицания,
которой в русском языке соответствует частица не. В естественном языке эту
частицу обычно присоединяют к глаголу или заменяют ее выражением неверно,
что, когда хотят иметь отрицание в начале предложения. Например: Паников-
ский не является сыном лейтенанта Шмидта. Или: Неверно, что Паниковский -
сын лейтенанта Шмидта.
Логики предпочитают иметь дело с выражением неверно, что, поскольку тем
самым подчеркивается отрицание всего высказывания. Производя отрицание
истинного высказывания, они указывают на то, что полученное в результате
отрицания высказывание является ложным. Например: Неверно, что Аристотель -
греческий философ. Если же высказывание ложно изначально, то его отрицание дает
истинное высказывание. Например: Неверно, что Волга впадает в Черное море.
Функтор операции отрицания часто обозначается следующими символами:
-i, ~, .В электротехнике популярен символ , который ставится над малыми
буквами латинского алфавита, условно обозначающими простые высказывания.
По определению, если р - некоторое простое высказывание, то его
отрицание —р (не-р) будет сложным высказыванием, что подчеркивается оборотом
неверно, что.
Действие операции отрицания можно представить в виде таблицы
истинности для отрицания (табл. 8).
Дважды или четырежды отрицавшееся высказывание имеет то же самое
значение истинности, что и соответствующее не отрицавшееся. Трижды отрицавшееся
Глава 3
155
Таблица 8.
1 р 1
1
[о 1
11р 1
О
1 Ï 1
высказывание имеет то же самое значение истинности, что и отрицавшееся один
раз.
Операция отрицания (инверсии 16), конъюнкции (логического умножения) и
дизъюнкции (логического сложения) иногда называют булевыми операциями. Они
являются основными в применении логики высказываний в электронике, автоматике и
теории вычислительных устройств.
Еще одной важной логической операцией является операция эквиваленции
(эквивалентности), функтор которой соответствует употреблению выражения
тогда и только тогда,, когда или если и только если и обозначается символами:
s, <-> , ~ .
Эквивалентность высказываний предполагает, что каждое из двух простых
высказываний является необходимым и достаточным условием для другого, то есть
операция эквиваленции используется при желании выразить взаимную
обусловленность простых высказываний, входящих в состав сложных. Например: Бу~
ратино может стать умненьким и благоразумненьким тогда и только тогда
(если и только если), когда начнет прилежно посещать школу. В данном случае
утверждается следующее: если Буратино возьмется за свой деревянный ум и
начнет протирать штанишки, сидя за школьной партой, то в этом случае он
будет иметь кое-какие сомнительные шансы стать умненьким и
благоразумненьким. Иными словами, одно предполагает другое, обусловливает его.
Эквивалентность, состоящая из высказываний р и q, в этой книге будет
символически изображаться как р <r> q. Выбор символа <-» обусловлен тем, что
операция эквиваленции близка в известном смысле операции импликации,
символом которой является знак —>.
Охарактеризуем с помощью таблицы истинности операцию эквиваленции,
предварительно воспользовавшись для иллюстрации уже знакомым
высказыванием, но в новой редакции, а именно: Пиво можно получить тогда и только
тогда (если и только если), когда станешь членом профсоюза.
Если какой-то любитель пива стал членом профсоюза, то очевидно, что
наше высказывание относительно этого гражданина истинно.
Если обещанное пиво не предоставлено его любителю, являющемуся
членом профсоюза, то вопиющий обман налицо, то есть наше высказывание
является ложным.
Если пиво обманным путем выпито нечленом профсоюза, то наше
заявление ложно.
Если трудолюбивый контрреволюционер дядя Вася не стал членом
профсоюза по идейным соображениям и в отместку был лишен кружки пива, то никаких
претензий к градоначальству у него быть не может. Условия истины соблюдены.
Таким образом, видно, что эквивалентность двух простых высказываний
истинна только тогда, когда оба этих высказывания либо'одновременно истинны,
либо одновременно ложны. В случае же, когда одно из простых высказываний
истинно, а другое ложно, эквивалентность ложна. Короче, эквивалентность
16 От лат. inversio - переворачивание, перестановка.
истинна тогда и только тогда (если и только если), когда оба ее члена
одновременно либо истинны, либо ложны.
Запишем все четыре случая следующим образом:
Если р = 1 и q = 1, то (р <-» q) = 1;
Если р = 1 и q = 0, /по (/? <-» #) = О»
£с/ш р = 0 и q = I, то (р <r> q) = 0;
Если р = 0 и q = 0, то (р <г+ q) = I.
В таблице эквиваленции это выглядит соответствующим образом (табл. 9).
Таблицы истинности (истинностные таблицы) позволяют ответить на
многие важные вопросы, касающиеся истинностно-функциональных связок, но тем
не менее более сложные вопросы логики не могут быть решены с помощью
данных таблиц. Для решения этих вопросов требуется метод формальных
теорий, то есть аксиоматический метод исчисления высказываний.
Формальная (аксиоматическая) теория считается определенной, если
выполнены следующие условия:
Глава 3
157
1. Задано некоторое счетное множество символов теории, конечные
последовательности которых называются выражениями этой теории.
2. Имеется множество выражений теории, называемых формулами.
3. Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории.
4. Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых
правилами вывода.
Формула аксиоматической теории называется теоремой, если существует
вывод, в котором последней формулой является данная теорема. Такой вывод
называется выводом формулы.
Эффективно аксиоматизируемой теорией называется теория, для которой
существует алгоритм вывода теорем из аксиом. Теория, для которой такой
алгоритм существует, называется разрешимой. В противном случае теория
называется неразрешимой.
Будем иметь в виду, что очень часто в приложениях логики высказываний
к электротехнике пользуются формулами, содержащими только три символа
логических операций, а именно: &, v, (или -i). Объясняется это тем, что
некоторые логические операции можно выразить через другие. Например,
операция эквиваленции выражается через импликацию и конъюнкцию, а
импликацию и конъюнкцию можно выразить с помощью отрицания и дизъюнкции.
Дизъюнкция же выражается через конъюнкцию и отрицание.
Продемонстрирую сказанное на следующих примерах:
2) Р -> q = пР v Я\
3) Р v q s -y? & -nq;
4) p & q = —p v -*7;
5) -i нР = P-
Выразимость одних логических операций через другие предполагает оценку
формул логики высказываний на их равносильность. В связи с этим принято
считать, что две формулы логики высказываний, представляющие одну и ту
же булеву функцию, признаются равносильными. Равносильность формул
записывается с помощью символа =.
Формулы считаются равносильными, если их значения истинности при
любом наборе значений входящих в них переменных совпадают.
Как уже ранее отмечалось, для логики высказываний разрешающей
процедурой является не только построение таблиц истинности, но и преобразование
исследуемого выражения в так называемую нормальную форму, с помощью
которой устанавливается, является ли выражение общезначимым или не является,
выполнимо оно или нет.
Еще раз напомню, что общезначимые выражения - это такие выражения
логики высказываний, которые при каждом значении встречающихся в них
пропозициональных переменных принимают значение истина. К этому следует
добавить, что выражения в нормальной форме могут содержать только отрицание,
конъюнкцию и дизъюнкцию, то есть все остальные логические константы
должны быть сведены к ним.
Рассмотрим преобразование импликации в дизъюнкцию. Импликация р —» q
может быть преобразована ö дизъюнкцию -пр v q, так как данные импликация
и дизъюнкция имеют одинаковый порядок значений истинности, что хорошо
видно из табл. 10.
Таким образом, формула р —» q равносильна формуле —p v q. Записывается
это уже знакомым нам образом, а именно:
158
К. К. Жолъ Логика
Таблица 10.
p ^ q = -p v q.
Равносильность формул логики высказываний аналогична тождествам
элементарной алгебры. Например:
(х + у)2 = je2 + Ъсу + f.
В данном случае тождественное равенство двух различных по виду
формульных выражений означает, что они принимают одинаковые числовые
значения, какие бы числа мы ни подставляли вместо переменных х и у.
Для установления, к какому именно классу выражений принадлежит
некоторое выражение логики высказываний, его сначала приводят к нормальной
форме. Последняя должна удовлетворять следующим условиям:
1. Нормальная форма должна быть равносильна исходному выражению.
2. Из связок логики высказываний в ней должны содержаться только
символы отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
3. Встречающиеся символы отрицания должны относиться только к
пропозициональным переменным, но не к сложным выражениям.
Приведем к нормальной форме следующее выражение:
-п(р V -nq) -> -.(пр & q).
Вначале необходимо избавиться от импликации, а затем от символов
отрицания перед скобками.
Существует общее правило превращения любой импликации в дизъюнкцию.
Продемонстрирую это на следующем примере:
Указанное правило гласит: импликация преобразуется в дизъюнкцию с таким
же порядком значений истинности. Если ее антецедент отрицается, константа
(функтор) импликации заменяется константой (функтором) дизъюнкции, а кон-
секвент берется без изменений.
Избавляясь от импликации в выражении -i (p v -i q) -» -i( -i p & q), мы
получаем -i -ч(р v -^q) v —{—p & q). Поскольку левый член дизъюнкции
отрицается дважды, то наше выражение может быть упрощено до (p v —q) v —(-ф & q).
Теперь надо избавиться от символа отрицания перед скобками правого члена
дизъюнкции. Для этого он сам превращается в дизъюнкцию, и мы имеем:
Глава 3
159
(р V -, q) v -, -<-, -у р v -л q).
После сокращения двойного отрицания получается (р v -i q) v (р v —i q),
являющееся нормальной формой выражения -ч(р v —, q) —» -i(-i /? & q).
Выражение логики высказываний является общезначимым, если в каждой
дизъюнкции его конъюнктивной формы любая пропозициональная переменная один раз
встречается с отрицанием, а другой раз - без отрицания. Если же этого нет хотя
бы в одной дизъюнкции, то выражение не будет общезначимым.
Преобразования некоторой формулы в эквивалентную ей нормальную форму
породили понятия «дизъюнкт», «конъюнкт», «дизъюнктивная нормальная форма» и
«конъюнктивная нормальная форма».
Дизъюнктом называется дизъюнкция конечного числа «атомарных»
высказываний вида
(Р{ v Р2 v - v РпУ
Эту формулу иногда записывают как
v{p. | i=l, 2, ... , п}.
Понятие дизъюнкта важно для решения практических задач. Дело в том,
что описание соответствующих алгоритмов в терминах дизъюнктов составляет
основу логического программирования вообще и языка ПРОЛОГ в частности.
Конъюнктом называется конъюнкция конечного числа «атомарных»
высказываний вида
(р{&р2& ... & р).
Эта формула записывается аналогично дизъюнкту, а именно
&{pi | I = 1, 2, ... , л}.
Дизъюнктивная нормальная форма - это дизъюнкция строго конечного
числа конъюнктов.
Конъюнктивной нормальной формой называется конъюнкция строго
конечного числа дизъюнктов.
Описание релейно-контактных схем в терминах логики высказываний.
Попытаемся применить накопленные нами знания в области логики высказываний к
анализу релейно-контактных схем. Для построения релейно-контактных схем,
реализующих формулы логики высказываний, следует знать, что конъюнкция
реализуется последовательным включением контактов, а дизъюнкция - параллельным
включением. Например, релейно-контактная схема (рис. 1) срабатывает тогда и
только тогда, когда выполняется формула р & q (логическое умножение), а
другая релейно-контактная схема (рис. 2) срабатывает тогда и только тогда, когда
выполняется формула р v q (логическое сложение).
160
К.К Жолъ Логика
Число контактов в любой релейно-контактной схеме равно числу
пропозициональных переменных в соответствующей формуле. Однако представление этих контактов
в формульном виде может быть совершенно разным. Задача состоит в том, чтобы
минимизировать формулы, точнее, максимально их упростить, следуя требованиям и
законам логики. Попытаемся решить ее с помощью языка логики высказываний.
Итак, мы имеем некоторую контактную схему (рис. 3), которую требуется
упростить. Формульно она выглядит так:
(р & q) V (р & q) V (р & q) v (р & q).
Даже при первом взгляде на эту простенькую схему ясно, что данное
соединение будет токопроводящим тогда, когда по меньшей мере два последовательных
контакта будут проводить ток. Последовательное включение контактов
представляет конъюнкция двух элементов. Остальные контакты могут не быть под током.
Следовательно, в нашей формуле перед тремя из четырех пар скобок смело можно
ставить символ отрицания, в результате чего получится:
(р & q) v -i(p & q) v ~i(p & q) v -i(p & q).
Схема минимизирована. Более того, она слишком минимизирована, то есть
в случае каких-то неполадок (скажем, вдруг перестал работать один из
контактов) мы можем оказаться у разбитого корыта. Чтобы не очутиться в столь
скверной ситуации, полезно подстраховаться. Для подстраховки достаточно
иметь дизъюнкцию вида (р & q) v (-р & -iq). В таком случае наша контактная
схема будет выглядеть следующим образом (рис. 4).
Очень важно знать, что с помощью логики высказываний мы можем
относительно легко установить сходные черты у внешне различных релейно-кон-
тактных схем. Например, посмотрим на схемы, представленные рис. 5 и 6.
Формульно схема на рис. 5 будет выглядеть так:
(p&q)v(p&q& -jP)-
Схема же, изображенная на рис. 6, будет выглядеть несколько иначе, а именно:
р & (q v (q & пр)).
С помощью таблиц истинности мы проверяем эти формулы и
устанавливаем, что они, как оказывается, представляют одну и ту же булеву функцию (табл.
10, 11).
По таблицам истинности видно, что наши выражения (формулы)
выполнимы, то есть электросоединения при определенных условиях проводят ток.
1—ф х 5^ I
Рис. 3.
Рис. 4.
Глава 3
161
Насколько эффективным оказывается синтез релейно-контактных схем
средствами логики высказываний?
Реальная практика современного научно-технического развития со всей
очевидностью свидетельствует о высокой эффективности подобного подхода не только к
созданию чрезвычайно сложных электронно-вычислительных машин, но и к
«одушевлению» их за счет повышения уровня программного обеспечения. Что касается синтеза
релейно-контактных схем, то для логиков это значит одно: найти такое сложное
высказывание с таблицей истинности, в котором из логических констант имеются только
отрицание, конъюнкция и дизъюнкция. Данная задача вполне разрешима, ибо все
константы логики высказываний можно свести к указанным. Следовательно, логика
высказываний может служить чрезвычайно полезным и совершенно необходимым
инструментом для проникновения в суть задач сугубо технического характера. Этот
инструмент значительно облегчает работу инженеров, которым вовсе не
обязательно иметь дело с проводами и контактами, а достаточно воспользоваться
операциями с логическими символами для конструирования определенного типа машин. И
здесь мы вплотную приближаемся к проблеме «интеллектуальных машин»,
способных осуществлять процедуры «умозаключений».
Индуктивные и дедуктивные выводы. Логики справедливо считают, что
процесс вывода в естественном языке нельзя представить с помощью чисто
формальных операций, покуда выражения естественного языка не переведены на
162
K.K. Жоль Логика
язык символов, специально приспособленных к возможностям формальной логики.
Только после того, как исходные утверждения переведены на соответствующий
формальный язык, выводы, полученные по правилам формальной логики, перестают
расходиться с выводами, основанными на здравом смысле.
Обработка текстов на естественных языках для программирования
«интеллектуальных машин» предполагает создание особых логических языков. Но и
это еще не все. Дело в том, что попытки применить законы дедуктивного
вывода непосредственно к высказываниям на естественном языке могут быть
обречены на неудачу даже в том случае, когда мы заменим выражения
естественного языка символами формальной логики. Проблема состоит в том, чтобы из
аппарата формальной (символической) логики отобрать наиболее полезное для
работы на вычислительной машине. Отчасти эта проблема уже решена, о чем
будет сказано ниже.
Как считает директор Института имени Алана Тьюринга в Глазго (Англия)
Дональд Мичи, логическое программирование может сыграть в исследованиях
по «искусственному интеллекту» такую же фундаментальную роль, как
дифференциальное исчисление в механике.
Главным фокусом логического программирования является проблема
вывода, состоящая в том, что каждый компьютер должен быть обеспечен
собственным базовым механизмом логического вывода. В данном случае одного логико-
математического теоретизирования мало. Требуются и технические знания.
Логика знает два основных вида умозаключений - индуктивные и
дедуктивные. В корректном дедуктивном выводе заключение с необходимостью следует
из исходных посылок. В связи с этим в современной логике под дедукцией
понимается получение из данных истинных посылок заключения, которое так
же достоверно, так же истинно, как и посылки. Структуру этого вывода можно
кратко охарактеризовать следующим образом: дедуктивный вывод - это
условное высказывание, антецедент которого представляет собой конъюнкцию всех
посылок нашего рассуждения, а консеквент - его заключение. Корректным этот
дедуктивный вывод будет тогда, когда условное высказывание будет логически
истинно.
С характеристикой индуктивного вывода дело обстоит гораздо сложнее.
Индукция часто противопоставляется дедукции на том основании, что последняя
якобы совершается от общего к единичному, в то время как индукция якобы
совершается иначе - от единичного к общему. По мнению известного логика и
философа Рудольфа Карнапа (1891-1970), такой взгляд на индукцию и
дедукцию является ошибочным упрощением, ибо хорошо известно, что существуют
виды дедуктивных умозаключений иные, чем от общего к единичному. Нельзя
забывать и о том, что индукция также содержит много различных видов
умозаключений. Поэтому традиционное разграничение форм выводов
(умозаключений) вводит нас в заблуждение, так как предполагается, что индукция и
дедукция являются просто двумя разделами единой логики.
Многие современные логики безуспешно пытаются дать точное определение
корректному индуктивному выводу. Дело в том, что заключение индуктивного
вывода, нацеленного на получение обобщенного знания, утверждается не жестко
и однозначно, а лишь с некоторым правдоподобием или вероятностью. Это
является характерной, но не обязательной чертой индуктивных рассуждений.
Другой характерной чертой подобных рассуждений является то, что полученные с
их помощью выводы (заключения) часто выходят за рамки исходных посылок,
то есть содержат в себе больше информации, чем ее заключено в посылках.
Короче, об истинности индуктивного заключения никогда нельзя говорить с
полной уверенностью. Даже если посылки предполагаются истинными и вывод
является правильным индуктивным умозаключением, результат может
оказаться ложным хотя бы в силу того, что изучаемая предметная область вследствие из-
164
K.K. Жолъ Логика
менившихся обстоятельств может начать функционировать совсем по другим
законам. Поэтому самое большое, что мы можем сказать относительно
индукции, не вселит в нас большого оптимизма. Судите сами, по отношению к
данным посылкам индуктивное заключение имеет всего лишь некоторую степень
вероятности. Правда, при этом индуктивная логика оказывает нам
определенную помощь, говоря о том, как вычислить значение данной вероятности, но не
с абсолютной точностью. Тем не менее многие логики сторонятся индукции,
ибо ее проблемы выходят далеко за рамки «чистой» логики. С учетом этих
трудностей отложим рассмотрение вопроса об индуктивном выводе до
следующих глав данной книги, а сами обратимся к особенностям выводов в логике
высказываний.
Дедуктивные выводы в логике высказываний. Главная особенность
интересующих нас выводов состоит в том, что в логике высказываний анализируются
только структурно сложные высказывания, простые же высказывания
считаются структурно неразложимыми («атомарными»). Поэтому в логике
высказываний корректные дедуктивные выводы строятся только на основе установления
логических связей между высказываниями.
Будем использовать большие буквы латинского алфавита для обозначения
формул логики высказываний, которые включают в себя простые
(«атомарные») и сложные («молекулярные») высказывания. Так, например, буква А
может обозначать импликацию вида jc —> у, но с таким же успехом может
обозначать и простое высказывание вида jc. Логическая форма высказывания берется
в скобки, перед которыми ставится соответствующая большая буква. Чтобы
упростить нашу запись формул логики высказываний, будем считать, что они
предполдгают определенный порядок своих переменных, находящихся в
скобках. В таком случае формулу можно записывать следующим образом:
А(хх, х2,..., хп).
Из формул А , А ,..., Ап можно сделать заключение В. Логики говорят:
из А{9 А 9..., Ап выводится (следует) В.
Или:
В является следствием формул А , А ,..., А^.
Иногда это записывается так:
А , А ,..., Ап f= В, где |= - символ операции вывода.
Данный символ можно читать: «влечет». Но, кроме того, как мы помним,
данный символ указывает на общезначимость некоторых логических формул. Для
логической теории доказательств это означает, что формула доказуема, если она
общезначима. В известном и строго ограниченном смысле доказуемость и
общезначимость допустимо рассматривать как синонимы.
С учетом соответствующих уточнений логики порой говорят, что
доказательство и доказуемость являются частным случаем вывода и выводимости. В
связи с последним используется символ |-, введенный в 1879 г. Фреге. Этот
символ можно читать так: «выводится». В таком случае А ^ В означает, что
В является следствием формулы А, то есть что В дает истину во всех
табличных строках, где А дает истину. Что же касается А \- В9 то эта формула
означает, что В выводимо из А.
В теории доказательств в целях минимизации научного словаря и
упрощения инструментария логического анализа сводят понятие выводимости к
понятию доказуемости подобно тому, как сводят отношение следования к понятию
Глава 3
165
общезначимости. При этом доказывается, что ^ С и (- С равносильны. Такое
доказательство позволяет заменять повсюду ^ на |- . Здесь используются две
теоремы.
Теорема 1. Всякая доказуемая формула общезначима (если f-C, то кС).
Теорема 2. Всякая общезначимая формула доказуема (если |= С, то ]• С).
В корректном дедуктивном выводе между конъюнкцией посылок и
заключением имеет место отношение логического следования, которое можно записать так:
Ах & А2 & ... & Ап f= В, или так: А} & А2 & ... & Ащ \ В.
Поскольку различные виды доказательств, строящиеся на принципах
дедуктивного вывода, тяготеют к форме импликации, то нашу запись логического
следования (вывода) можно преобразовать таким образом:
1= А & А & ... & А -> В
1 1 2 п
или таким образом:
I- А & А & ... & А -> В .
•12 п
Самой короткой записью данного логического следования (вывода) будет:
п
V &А -* в.
В логике высказываний правильность или неправильность наших
рассуждений, имеющих характер дедуктивного вывода, определяется только тем,
следует заключение из посылок или не следует. Если рассуждение правильно и все
его посылки истинны, то и заключение будет истинным.
Логическая формула в логике высказываний будет адекватно понята
только тогда, когда мы поймем суть аксиоматической формулировки исчисления
высказываний. Поэтому вместо таблиц истинности необходимо пользоваться
определенными правилами вывода. В данном случае аксиомы должны
рассматриваться как исходные выводимые формулы. Тогда под выводом следует
понимать образование выводимой формулы из аксиом (исходных выводимых
формул) путем применения соответствующих правил вывода.
Чем отличается этот взгляд на аксиомы от общеизвестного?
Характерная черта предлагаемой точки зрения определяется, так сказать,
сверхаксиоматической трактовкой аксиом, то есть на аксиомы мы начинаем
смотреть как бы сверху, с позиций метаматематики. Следуя советам Клини,
объявим аксиомами системы логики высказываний все формулы, имеющие один
из видов, указанных после символа f= . О каких видах (разновидностях) формул
идет речь?
Вспомним о выражении ^ А{ & А2 & ... & Ап —> В. Условимся считать часть
этого выражения, находящуюся перед символом" импликации, аксиомами
логики высказываний. Формульный вид этой части общего выражения назовем
схемами аксиом или аксиоматическими схемами. Иначе их и не назовешь. В самом
деле, о каких конкретных аксиомах мы можем здесь говорить, если
предполагается, что каждая схема аксиом содержит бесконечное число аксиом? Для чего
все это нам требуется?
166
К.К. Жолъ Логика
Чтобы сделать доказательство, как таковое, объектом научного анализа в
рамках теории доказательств {метаматематики). Это предполагает более
строгое определение исходных терминов как в исследуемом (исходном) языке
(например в языке логики высказываний), так и в языке исследования (языке теории
доказательств). Вот почему делается вполне обоснованное различие в терминах
«доказательство» и «вывод», а затем изучается связь между этими логическими
понятиями.
Таким образом, говоря о доказательстве, мы будем называть исходные
допущения аксиомами, которые предполагаются истинными в рассматриваемой теории.
Что же касается вывода как логического процесса, то условимся говорить о
выводе только в том случае, когда жестко не предполагается, что исходные посылки
сохраняют свой статус истинных. Образно говоря, исходная истина за
доказательством, а последнее слово за дедуктивным выводом.
В метаматематике в качестве единственного надежного правила вывода,
называемого правилом отделения, принимается процедура перехода от двух формул вида
А и А —> В к одной формуле В. В выводе по этому правилу А и А —> В являются
посылками, а В - заключением.
Упомянув о правиле отделения, следует заметить, что данное правило,
известное под латинским названием modus ponens (утверждающий модус),
устанавливает следующее: если истинны два высказывания, из которых одно имеет
форму импликации {а —> b), а другое является антецедентом (а) этой импликации,
то и высказывание, составляющее консеквент (Ь) импликации, истинно. В
данном случае мы как бы отделяем антецедент от консеквента, что и выражено
выше переходом от двух формул А и А —> В к формуле В.
В свете приобретенных нами знаний охарактеризуем совокупность правил
построения исчисления высказываний. Начнем прежде всего с базиса этого
исчисления, согласно которому всякое высказывание в логике исчисления
высказываний является формулой. Расширим данный базис за счет признания того,
что если р и q - формулы, то —р, (р & q), (р v q), (р —> q) и (р s q) - тоже
формулы. Здесь круглые скобки ( ), иногда включающие в себя запятую (,),
указывают на порядок, в котором применяются правила логического построения
(правила построения логических объектов). Например, в формуле (р & (q v г))
первым шагом построения из формул q и г является формула {q v г), а вторым
шагом с использованием формулы р является формула (р & (q v г)). Скобки
здесь, как и в арифметике, указывают на последовательность осуществления
операций. Вначале осуществляется операция дизъюнкции, потом -
конъюнкции. Обратим внимание на то, что употребление скобок является следствием
древовидной структуры логических формул, равно как и арифметических.
Описанное в базисе правило (базисное правило) сопоставляет высказывания узлам
дерева, а правило, расширяющее положения исходного базиса за счет
признания нового вида формул, порождает дерево, растущее из некоторого узла
(логической связки) и построенное на основе одного из двух ранее
сформированных деревьев (рис. 7). Корневой узел (корень) дерева высказываний,
соответствующего некоторой формуле, является логической связкой. Эту связку называют
главной связкой формулы.
С использованием графов в логике исчисления высказываний тесно связана
алгоритмическая точка зрения на данное исчисление, позволяющая эффективно
распознавать выполнимость и общезначимость формул.
Выявление выполнимости или общезначимости соответствующей формулы
исчисления высказываний с помощью таблиц истинности может оказаться слишком
долгой и утомительной процедурой. Поэтому целесообразно иметь более
эффективный алгоритм проверки, чем последовательность просмотра всех табличных
интерпретаций. Поиск такого алгоритма обнаруживает, что явно или неявно
различные алгоритмы в логике используют понятие семантического дерева. Это
Глава 3
167
Рис. 7.
понятие более детально будет рассмотрено в дальнейшем. Сейчас же я ограничусь
только краткой его характеристикой.
Пусть дано конечное или счетное множество следующих высказываний:
Р = {/V Р* -' Ря> /Vi'-b
В таком случае семантическое дерево - это бинарное {двоичное) корневое
дерево, удовлетворяющее следующим условиям (рис. 8):
1. Каждая дуга помечена символом переменной (литерой, считающейся
элементарным высказыванием), указывающим на элемент множества Р.
При этом один из символов записывается со знаком отрицания (-\).
2. Символы {литеры), которыми помечены две дуги, выходящие из одного
узла, противоположны по своей истинностной интерпретации.
3. Никакая ветвь не содержит более одного вхождения каждого символа
(литеры).
4. Никакая ветвь не содержит пару противоположных символов {литер).
Если множество Р конечно, то все соответствующие ему семантические
деревья обязательно конечны. Если Р бесконечно, то признается (наряду с
существованием конечных деревьев) существование так называемых бесконечных
деревьев.
Каждому узлу п семантического дерева соответствует частичная
интерпретация, то есть функция /„, которая сопоставляет истинностное значение некоторым
элементам из Р. Частичная интерпретация /„ сопоставляет значение истина или
ложь высказыванию р, если некоторая дуга пути, соединяющая п с корнем,
помечена символом р (соответственно -р). Частичная интерпретация не
определена для р, если ни одна из переменных р и -р не встречается на этом пути.
Рис. 8.
168
К.К. Жолъ Логика
Конечное семантическое дерево полно, если каждый его концевой узел {лист)
соответствует некоторой всюду определенной интерпретации. Бесконечное
семантическое дерево полно, если каждая ветвь, выходящая из корня, всюду определяет
интерпретацию. Полное семантическое дерево, соответствующее множеству Р,
является конечным тогда и только тогда, когда Р тоже конечно. В противном
случае все его ветви бесконечны.
Для определения, выполнима ли некая формула исчисления высказываний,
алгоритм требует просмотра некоторого полного семантического дерева,
соответствующего (конечному) множеству высказываний, встречающихся в данной
формуле. Для каждого концевого узла (листа) этого дерева формула
исчисления высказываний оценивается согласно соответствующей интерпретации.
Формула выполнима, если по крайней мере для одного из концевых узлов
(листьев) получается значение «истина».
Хотя этот алгоритм имеет свои преимущества, но и он не лишен
существенных недостатков. Так, например, как и табличный метод интерпретации,
данный метод неэффективен, когда формула логики исчисления высказываний
содержит п различных высказываний, ибо в этом случае нужно рассматривать 2"
интерпретаций. Поэтому были предприняты попытки усовершенствовать
данный алгоритм за счет расширения некоторой частичной интерпретации
исследуемых формул, принимающих одно и то же истинностное значение. Однако
быстро обнаружилось, что бесполезно строить поддерево, исходящее из узла,
который соответствует этой частичной интерпретации. Тогда было
предложено использовать так называемый алгоритм редукции 18.
Алгоритм редукции позволяет доказывать общезначимость формул логики
высказываний с помощью метода приведения к абсурду {reductio ad absurdum).
Это особенно удобно, когда формула содержит много импликаций.
Рассмотрим общезначимость формулы
{{р & q) -> г) -> (р -> {q -> г)).
Допустим, что при некоторой интерпретации эта формула принимает
значение ложъ. Согласно таблице истинности импликации, условное
высказывание ложно тогда и только тогда, когда его заключение ложно, а посылка
истинна. Из этого правила получаем:
(p-*(q-+r)) = 0 (л);
«р & q) -> г) = 1 (и);
То же самое правило, примененное к первой строке данного результата,
позволяет определить интерпретацию «атомарных» высказываний, а именно:
Р = 1 (и);
q = 1 (и);
г = О (л).
Подобная интерпретация противоречит {(р & q) —» г) = 1(и). Но в таком
случае это противоречие означает общезначимость исходной формулы.
К сожалению, легко найти примеры, для которых все эти алгоритмы не
слишком эффективны. Подобные факты указывают на ничтожную вероятность
существования эффективного общего алгоритма для проверки выполнимости
или общезначимости формул логики исчисления высказываний. И все же, как
От лат. reductio - возвращение, отодвигание назад; сведение сложного к более простому.
Глава 3
169
считают специалисты, в большинстве частных случаев возможно эффективное
решение столь трудной проблемы. Достигается это с помощью метода резолюций,
позволяющего распознавать общезначимость и невыполнимость формул. Об этом
методе речь пойдет в заключительной главе.
Понятие умозаключения в «школьной логике». Теперь опустимся с высот
теоретических абстракций на уровень так называемой школьной логики, чтобы
сохранить в памяти некоторые важные характеристики умозаключений в логике,
которые на более высоком научном уровне преобразуются в ранее описанные понятия.
Однако, приземляя наши теоретические рассуждения, сделаем себе зарубку на
память: без знания подобного рода абстракций нечего и помышлять о творческой
деятельности в сфере компьютерного программирования.
Итак, начнем с простейшего определения умозаключения. Умозаключение -
это получение высказываний (заключений), исходя из уже имеющихся
высказываний (посылок). Предполагается, что между посылками и заключением
существует определенная связь, ибо заключение должно следовать из посылок. Что можно
сказать об этой связи? Связь между посылками и заключением отражается в
правилах вывода, функция которых заключается в указаниях на то, каким
способом исходные высказывания с установленной истинностью могут быть
видоизменены так, чтобы дать при этом новые истинные высказывания.
Когда мы имеем дело с правилами дедуктивного умозаключения, должно
соблюдаться следующее условие: если истинны посылки, то и заключение
истинно.
Посылка 1. Все люди смертны.
Посылка 2. Сократ - человек.
Вывод. Сократ смертен.
У этого силлогизма 19 приличный возраст. Его формулировку обычно
приписывают Аристотелю, но в действительности авторство принадлежит
средневековому английскому философу и логику У. Оккаму (ок. 1285-1349).
Что повторяется в высказываниях данного умозаключения?
В нашем случае дважды упоминается бренность человеческого
существования (Люди смертны, Сократ смертен). Обозначим этот весьма прискорбный факт
буквой С. Дважды встречается и упоминание о человеческих существах (люди,
человек). Этот факт обозначим буквой Ч. Поскольку Сократ был известным
древнегреческим философом, обозначим этот факт буквой Ф. Теперь запишем
силлогизм, используя минимальное число выражений русского языка.
Посылка 1. Все Ч есть С
Посылка 2. Некоторые Ф есть Ч.
Вывод. Некоторый Ф есть С
Полученное выражение «Некоторый Ф есть С» можно прочитать так:
«Философ Сократ есть смертное существо».
Это глубокомысленное умозаключение явно свидетельствует о том, что мы,
конечно же, не лыком шиты и кое-что кумекаем в логике, которая позволяет
нам установить по всем правилам тот неоспоримый медицинский факт, что и
философы смертны.
19 Гр. syllogismos - умозаключение, состоящее из двух суждений (посылок), из которых
следует третье суждение (вывод).
170
К. К. Жоль Логика
Рис. 9.
Графически данный силлогизм представлен на рис. 9.
В целях наглядности правила умозаключений схематически записываются с
помощью черты, над которой размещаются посылки, а под ней - заключение
(вывод). Если посылок две и более, они пишутся друг под другом.
Некоторые правила умозаключений соответствуют константам логики
высказываний (конъюнкции, дизъюнкции, импликации). Поэтому в ряде случаев
для определения истинности заключения к ним можно применять таблицы
истинности, но число таких случаев крайне ограничено.
Построим одну из наглядных схем умозаключения, а именно:
Р
Я
p&q
В заключении (под чертой) мы имеем дело с конъюнкцией. Поэтому смело
можем воспользоваться таблицей истинности для конъюнкции.
Исходя из условий истинности конъюнкции можно судить об истинности
посылок р и q. Например:
p&q
Р
Для умозаключения из импликации применимо одно из важнейших правил
логики, уже известное нам под названием modus ponens, а именно:
Р 'Я
Р
Я
Заменим пропозициональные переменные в этом умозаключении
конкретными высказываниями и посмотрим, что из этого получится.
Посылка 1. Если на Луне живут лунатики, то 2 + 2 = 4.
Посылка 2. Лунатики не живут на Луне.
Вывод. 2 + 2*4.
Получается абсурд, если следовать логике посылок, обращая внимание на
содержание высказываний. В этом случае таблица истинности явно не
срабатывает. Хотя импликация первой посылки истинна, но она противоречит
здравому смыслу. Чтобы не запутаться в этих логических хитросплетениях,
предлагается рассматривать правила умозаключений в логике высказываний,
отвлекаясь от значений истинности посылок и заключения. Что тогда вселяет в нас
уверенность в истинности заключения?
Глава 3
171
Во-первых, следует запомнить, что фундаментом правила умозаключения
является импликация, которая должна быть общезначимой. По определению,
общезначимыми выражениями логики высказываний являются такие
выражения, которые при каждом наборе встречающихся в них пропозициональных
переменных принимают значение истина.
Во-вторых, если импликация общезначима, то можно получить надежную
информацию о составных частях этой импликации (простых высказываниях) и о
связи между их значениями истинности. Например: если р —» q и р являются
истинными высказываниями, то q также является истинным высказыванием {modus
ponens). На основе этого мы получаем интересующее нас правило
умозаключения, гласящее: из истинности р —» q и р можно заключить об истинности q.
Научившись правильно мыслить, как того требует «школьная логика»,
рассмотрим еще раз уже знакомое нам умозаключение.
Случай А
Посылка 1. Все люди смертны.
Посылка 2. Сократ - человек.
Вывод. Сократ смертен.
Используя этот силлогизм, один остроумный человек придумал
своеобразную лингвистическую ловушку.
Случай Б
Посылка 1. Людей много.
Посылка 2. Сократ - человек.
Вывод. Сократов много.
Что думают по поводу такого силлогизма логики?
Логики считают, что процесс вывода в естественном языке нельзя
представить с помощью чисто формальных операций, покуда выражения естественного
языка не переведены на язык символов, специально приспособленных к
возможностям символической логики. Только после того, как исходные утверждения
будут переведены на соответствующий формальный язык, выводы, полученные
по правилам логики, перестанут расходиться с выводами, основанными на
здравом смысле. Например, на языке логике предикатов, о которой речь пойдет в
следующей главе, приведенный выше парадокс с Сократом специалисты
представляют следующим образом.
Случай I
Посылка 1. Для всех х: из принадлежит {х, люди) следует
смерт-ный (х).
Посылка 2. Принадлежит {Сократ, люди).
Вывод. Смертный {Сократ).
Случай II
Посылка 1. Многочисленный {люди).
Посылка 2. Принадлежит {Сократ, люди).
Вывод.?! (Никакого вывода).
Обработка текстов на естественных языках для программирования
«интеллектуальных машин» предполагает создание особых логических языков,
необходимых, в частности, для того, чтобы избежать парадоксов, подобных парадоксу
с Сократом. Но и это еще не все. Дело в том, что попытки применить законы
дедуктивного вывода непосредственно к высказываниям на естественном языке
172
К.К. Жоль Логика
могут быть обречены на неудачу даже в том случае, когда мы заменим
выражения естественного языка символами логики. Чтобы этого не случилось, мы
должны учитывать, что исчисление высказываний позволяет формализовать лишь
малую часть наших рассуждений. Так, в приведенном выше силлогизме («Все
люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен»)
содержатся три высказывания, которые формульно можно записать следующим
образом:
(р & q) -> г.
Эта формула необщезначима, из чего вытекает, что логика высказываний не
позволяет корректно выразить наш силлогизм. Дело в том, что логика
высказываний имеет дело с неделимыми «атомарными» высказываниями, не ставя перед
собой цели проникнуть, так сказать, на «субатомарный» уровень, то есть на
уровень внутренней структуры высказываний, хотя интуитивно ясно, что значения
высказываний зависят не только от используемых логических связок и моделей
интерпретаций, но и от функций значений компонентов высказываний. Эти
недостатки логики высказываний пытается устранить логика предикатов.
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. В логике под пропозицией (высказыванием) понимается особая
теоретическая конструкция, абстрагирующаяся от содержательных свойств
высказываний на естественном языке, но не от строго определенных значений истинности,
разрешенных в данной логической системе. Если в этой системе каждое
высказывание принимает только одно из двух значений истинности («истина» или
«ложь»), такую логику называют двузначной.
2. Логическое понятие «пропозиция» («высказывание») необходимо отличать
от понятия «пропозициональная функция» («функция-высказывание», «высказы-
вательная функция»). Пропозициональная функция - это особый тип
логического выражения, под которым (выражением) понимается формула логики
высказываний. Отличительной особенностью пропозициональной функции является то,
что она содержит так называемые пропозициональные (высказывательные)
переменные. Значениями этих пропозициональных переменных служат
высказывания (пропозиции), утверждающие соответствующее истинностное значение.
Таким образом, пропозициональную функцию можно определить как
формализованную языковую конструкцию, содержащую хотя бы одну переменную,
подстановка в которую какого-либо конкретного значения дает нам высказывание.
Иначе говоря, пропозициональная функция - это функция, соотносящая
некоторую предметную область с областью значений истинности (например: «истина»
или «ложь»).
3. Двузначная логика высказываний требует, чтобы для каждого
высказывания выполнялось условие его истинности или ложности.
4. Общезначимыми формулами (или тождественно истинными, или
тавтологиями) в логике высказываний называются такие формулы, которые принимают
значение истина при любых значениях истинности входящих в них переменных.
5. Тождественно ложными (невыполнимыми) формулами в логике
высказываний называются такие формулы, которые принимают значение ложь при
любых значениях истинности входящих в них переменных.
6. Разрешающей процедурой в логике называются способы, с помощью
которых относительно любой формулы можно решить, к какому виду формул
(выполнимым или невыполнимым) она относится. Для логики высказываний
такими способами являются построения таблиц (матриц) истинности, а также
преобразование исследуемой формулы в одну из нормальных форм, с помощью
которой устанавливается, является ли выражение общезначимым или не является,
выполнимо оно или нет.
Глава 3
173
7. Логические союзы - это операторы (функторы), превращающие простые
высказывания в сложные.
8. В современной логике под дедукцией понимается получение из данных
истинных посылок заключения, которое так же истинно, как и посылки. В логике
высказываний корректные дедуктивные выводы строятся только на основе
установления логических связей между высказываниями.
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
/. Чем отличается суждение от высказывания в пропозициональной логике?
2. Что такое пропозициональная функция? Приведите примеры
пропозициональных функций.
3. Что собой представляет двузначная логика?
4. Перечислите и охарактеризуйте логические союзы.
5. Переведите на язык символической логики следующие высказывания:
«Умные пингвины не желают летать в поднебесье, и никто их за это не
осуждает».
«Если Шерлок Холмс не курит свою любимую эпиковую трубку, то в
свободное от расследований криминальных дел время он музицирует на скрипке».
«Мистер Джон Ланкастер Бек очень любит кожаные перчатки, которые
позволяют не оставлять отпечатков, или майор Пронин глубоко
ошибается, приписывая указанному мистеру шпионские повадки».
«Эксперимент по выращиванию лунатиков в земных условиях возможен
тогда и только тогда, когда доктор Айболит полетит на Луну за лунатиками.
«Неверно, что Иванушка-дурачок живет без царя в голове».
6. Проявите фантазию и переведите на обычный язык следующие логические
высказывания:
/>->(? v г);
р & (g V -, г);
(р -> q) V г;
р <-> (q & г).
7. Для чего требуются таблицы истинности?
8. Постройте таблицу истинности для сложных высказываний вида:
(p&q)->(-np&s);
р V q <-> q v р;
(р -> q & r)v (-, р & q);
p&q->(q&—iq—>r&q).
9. Нарисуйте релейно-контактную схему для следующего выражения:
(( /7 v q) &r)v ((р &r)&-y q)).
10. Какие формулы логики высказываний можно считать выполнимыми или
невыполнимыми? Что такое разрешающая процедура и общезначимые формулы
логика высказываний?
11. Каковы характерные особенности дедуктивного вывода в логике высказываний?
12. Что собой представляет простейший силлогизм?
174
К. К. Жоль Логика
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Башилова Т. А., Кириллов В. И., Орлов Г. А., Фокина Н. И. Упражнения по
логике. - М.: Высшая школа, 1990. - 159 с.
Гжегорчик А. Популярная логика: Пер. с польск. - М.: Наука, 1979. - 112 с.
Жоль К. К. Логика в лицах и символах. - М.: Педагогика-Пресс, 1993. - 256 с.
Зегет В. Элементарная логика: Пер. с нем. - М.: Высшая школа, 1985. - 256 с.
Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. - М: Физико-математическая литература, 1995. - 255
с.
Столяр А. А. Элементарное введение в математическую логику. Пособие для
учителей. - М.: Просвещение, 1965. - 163 с.
Успенский В. А., и др. Вводный курс математической логики. - М.: Изд-во
МГУ, 1991. - 136 с.
* * *
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и
формализация арифметики: Пер. с нем. - М.: Наука, 1979. - 558 с.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств: Пер. с
нем. - М.: Наука, 1982. - 652 с.
Клини С. К. Математическая логика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 480 с.
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Б. Введение в математическую логику. - М.:
Изд-во МГУ, 1982. - 120 с.
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополнительные
главы. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 120 с.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. - М.: Наука,
1976. - 320 с.
Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973. - 400 с.
Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики: Пер. с англ. - М.:
Наука, 1972. - 591 с.
Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. - Ч. 1 : Теория
моделей. - М.: Наука, 1982. - С. 13-54.
Фреге Г. Логические исследования: Пер. с нем. - Томск: Изд-во «Водолей»,
1997. - 127 с.
Чёрч А. Введение в математическую логику: Пер. с англ. - М.: Изд-во
Иностранная литература, 1960. - 486 с.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ,
ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ,
ИЛИ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Вводные замечания. - Учимся у Аристотеля, знакомимся с
логико-философским идеями стоиков и тем самым создаем необходимый фундамент
для овладения современной символической логикой. - Отличительные
черты логики предикатов. - О том, что такое дескрипция и термы. -
Кванторы, их роль и особенности действия в логике предикатов. - Законы и
правила логики предикатов. - Расширенный формализм: исчисление
предикатов с равенством. — Заключение. - Контрольные упражнения. -
Рекомендуемая литература.
Вводные замечания. Современная логика имеет длительную историю своего
развития, знание которой проливает дополнительный свет на некоторые
проблемы, волнующие нынешних логиков и методологов научного познания. Ее
многие понятия, принципы и законы становятся ясными, если мы не поленимся
открыть Книгу Истории, чтобы обнаружить, в сущности, довольно простые вещи,
лежащие в основе весьма замысловатых теоретических построений логиков XX
столетия. А ведь порой эти построения, имеющие не только теоретическую, но
и большую практическую значимость, отпугивают своей абстрактностью и
непривычной терминологией тех, кто хотел бы создавать оригинальные
программы для компьютеров, конструировать эти компьютеры и делать еще много
другого полезного для себя и окружающих. Вот здесь-то нам на помощь должны
прийти исторические знания, проливающие свет на самые темные места
монографий и учебников по логике, которые берет в руки недостаточно
подготовленный читатель. Поэтому в качестве вводной части к данной главе
предлагается совершить краткий экскурс в историю логики, который позволит нам
сравнить традиционную формальную логику с логикой современной.
Учимся у Аристотеля, знакомимся с логико-философским идеями стоиков и
тем самым создаем необходимый фундамент для овладения современной
символической логикой. Выдающийся древнегреческий философ Аристотель,
заложивший в IV в. до н. э. фундамент европейской логической традиции, являлся
автором группы трактатов по логике, объединенных общим названием
«Органон», что по-гречески значит «орудие». В данном случае имеется в виду орудие
как инструмент познающего мышления. Название «Органон» для шести
аристотелевских трактатов («Категории» - сочинение, не всеми исследователями
признаваемое подлинным; «Об истолковании» - сочинение, приписываемое
Аристотелю; «Первая Аналитика», «Вторая Аналитика», «Топика», «Об
опровержении софистических аргументов») было дано не самим Аристотелем, а его
преемниками, которые, руководствуясь заветами своего учителя, считали логику
орудием философского познания.
Наиболее ранним аристотелевским произведением по логике считается
«Топика», довольно обширный трактат о вероятных доказательствах и о
диалектике как искусстве спора. В этом трактате философ говорит о логических
рассуждениях как о таких, которые содержат не достоверное, а лишь вероятное
знание, то есть авторы подобных логических рассуждений исходят из
вероятных посылок, которые кажутся истинными без аналитического исследования
оснований, придающих этим посылкам характер истинных знаний.
Глава 4
177
Хотя логические рассуждения строятся по определенным правилам,
которые принято называть правилами логики, но в силу вероятности посылок они
не ведут с необходимостью к истине. Истину Аристотель определяет как
соответствие наших знаний действительности. Подобные рассуждения относятся к
разряду недоказывающих. Доказывающими рассуждениями считаются только
такие, которые вытекают из необходимо истинных положений, строятся по
правилам логики и в результате дают необходимую истину.
Подобное отношение к логическим рассуждениям продиктовано прежде всего
тем, что Аристотель в своих первоначальных логических изысканиях
ориентировался больше на риторику и судебную практику, чем на что-либо другое.
Изучая риторику и судебную практику, Аристотель намеревался выявить
законы всякого спора, в связи с чем большое значение придавал установлению
так называемых законов мышления, обладающих общеобязательным
характером. Он преследовал цель показать, что человеческое мышление в своем
«чистом» виде подчиняется правилам, имеющим общечеловеческий характер. Эти
правила должны всегда соблюдаться в спорах по установлению истины. Чтобы
их выявить, необходимо «очистить» мышление от словесной оболочки, ибо слова
тяготеют к множеству значений, уводящих нас от установления достоверной
истины. Замечу, что так формировался ошибочный взгляд на связь мышления
с языком (язык рассматривался как «платье» мысли) и закладывался базис
рассмотрения логики как науки о законах и правилах внеязыкового мышления.
Что касается доказывающих (аналитических) рассуждений, то они
исследуются Аристотелем в «Первой Аналитике», где мы знакомимся с учением об
умозаключении (силлогизме), и во «Второй Аналитике», где излагается учение
о доказательстве. «Аналитики» являются основными логическими трактатами
философа, в которых логика начинает фигурировать как относительно
самоценная философская дисциплина, призванная стать наукой о средствах
установления не вероятной, а необходимой истины. Для этого требуется
использование надежных критериев различения истины и лжи. Устанавливая эти
критерии, Аристотель предлагает понимать истину как соответствие утверждения или
отрицания реальной действительности, а ложь - как несоответствие.
Установить в доказательстве истину или ложь какого-либо положения -
значит привести такие основания, в силу которых отрицание установленного
оказывалось бы невозможным, а установление истины становилось бы необходимым.
Если соответствие мысли действительности устанавливается необходимым
образом, то мы имеем дело с доказательством в собственном смысле слова, то
есть с аподейктикой 1. Задача аподейктического доказательства состоит в
установлении того, что некоторый предикат с необходимостью принадлежит
субъекту суждения.
Если соответствие мысли действительности устанавливается только как
вероятное (допускающее возможность отрицания), мы имеем дело с диалектикой
как искусством спора. Здесь мы тоже сталкиваемся с доказательством, но с
доказательством особого вида, нацеленным на получение вероятного
{правдоподобного) знания не совсем научными методами, а именно методами
диалектических рассуждений, которые скорее являются методами исследования, но
не доктринального изложения непререкаемых истин. Иными словами говоря,
предметом диалектического исследования является не сама истина как
соответствие знания предмету, а только установление отсутствия противоречия между
терминами суждений, а также между положениями, высказанными участниками
спора. Этим подготовительным методом установления общего через частное
является индукция.
1 Гр. apodeiktikos - достоверный, основанный на логической необходимости,
неопровержимый.
178
К. К. Жоль Логика
Индуктивный метод впервые достаточно полно был разработан Аристотелем,
использовавшим специальный технический термин для обозначения данного метода
движения мысли от единичного к общему в процессе обучения (!) научному
знанию, то есть в процессе «наведения» {индукции), нацеливания нашего ума на
необходимые и всеобщие истины.
Сопоставляя дедукцию с индукцией, философ подчеркивал, что только
дедукция способна возвысить наш ум до сферы подлинно доказательной науки;
индукция же не идет дальше постановки вопроса о факте существования чего-
либо, то есть не устанавливает причин этих фактов, чем занимается
дедуктивное доказательство.
Если соответствие мысли действительности - это только видимость
вероятного, мы имеем дело с софистикой как искусством спора ради спора. Для
разоблачения подобной видимости также требуются доказательства, базирующиеся на
правилах опровержения, как бы испытывающих соответствующие суждения на
их истинность.
Всякое доказательство опирается на некоторые исходные начала, которые, в
свою очередь, могут выводиться из других предшествующих начал посредством
доказательств. В основе всех этих доказательств находятся в конечном итоге
недоказуемые начала, которые Аристотель делит на три вида: (1) аксиомы, (2)
предположения, (3) постулаты.
Аксиомы - это положения, обусловливающие возможность истинного
знания в любой науке. У Аристотеля слово «аксиома» используется в трех
значениях: во-первых, оно означает первые принципы любой науки; во-вторых, оно
означает базисные законы всякого знания (например закон противоречия); в-
третьих, оно иногда означает некоторое определенное высказывание
(суждение). Здесь надо учитывать, что греческое слово «аксиома» (гр. axioma)
происходит от глагола, означающего «признавать» или «принимать что-либо за
истинное». По своему первоначальному смыслу слово «аксиома» означает любое
высказывание (суждение), принимаемое за истину. Позднее в философии стали
называть аксиомой то самоочевидное, что не требует никакого доказательства.
Предположения - это положения, которые сами по себе доказуемы, но в
пределах данного типа рассуждений принимаются без доказательства.
Постулаты - это положения, которые принимаются в пределах данных
рассуждений на веру и обычно используются в процессе обучения.
Знание общего и необходимого является отличительной способностью
человеческого ума или мышления, которое подразделяется на два вида:
(1) мышление о «неделимом», то есть о таком едином, которое не
является соединением отдельных мыслей;
(2) мышление о «делимом», то есть о том, что получается в результате
соединения мыслей.
Мышление о «неделимом» относится к той области, где не может быть лжи.
Ошибки или ложные заключения появляются только при соединении разных
мыслей в единое суждение, утверждающее или отрицающее нечто о действительности.
Хотя у Аристотеля нет понятия «форма мысли», но тем не менее
возможность такого понимания логического мышления у него присутствует, так как
греческий философ противопоставляет «форму» («общее», «неизменное»,
«необходимое») понятию «материя» («единичное», «изменчивое», «случайное»), то
есть в аристотелевской философии материи отводится чисто пассивная роль, а
форма наделяется чертами определяющего материю неизменного начала. С точки
зрения познаваемого нами бытия предметов форма является сущностью этих
предметов, а с точки зрения самого процесса познания форма выступает как
понятийное определение данной сущности. Соответственно этому разумную душу
180
К. К. Жоль Логика
Аристотель характеризует как местопребывание форм (общих, истинных понятий),
которые «оформляют» (сцепляют) наши мысли в единое суждение. Именно
«формы» позволяют установить то, в чем мысли могут быть сходны при всем различии
их предметов и содержаний.
В аристотелевской логике главной «формой» мысли является суждение,
точнее, высказывание (высказывающая речь), или апофансис (термин,
производный от глагола и имеющий значения: «обнаруживаю», «открываю», «выражаю»).
Термин «суждение», используемый в традиционной формальной логике, более
позднего происхождения.
Всякое высказывание (суждение) есть утверждение или отрицание.
Каждому утверждению противостоит отрицание, и каждому отрицанию -
утверждение. Утверждение и отрицание одного и того же по поводу данного предмета
относятся друг к другу как истина и ложь. Это деление суждений на
утвердительные и отрицательные в традиционной логике квалифицируется как деление
суждений по качеству. Но, кроме того, суждения делятся еще и по количеству,
поскольку мы можем высказываться как о многом, так и об одном (например: «Все
люди смертны»; «Сократ - человек»). Деление суждений по количеству в
традиционной логике дает следующую классификацию: (1) единичные суждения
(например: «Тиберий Горобецъ - киевский бурсак»), (2) частные суждения (например:
«Некоторые школьники являются отпетыми лодырями»), (3) общие суждения
(например: «Все школьники не должны быть прогульщиками»). Наконец,
Аристотель делит суждения еще и по модальности 2, то есть делит их в зависимости
от характера устанавливаемой суждением достоверности (выражает ли оно
возможность, действительность или необходимость). Соответствующие суждения в
традиционной логике называются проблематическими (например: «Возможно, что
мессир Воланд страдает хронической потливостью ног»), ассерторическими
3 (например: «М А. Булгаков - известный русский писатель») и
аподиктическими (например: «Необходимо, что 2 + 2 = 4»).
Если, сопоставляя связи разных по содержанию суждений (высказываний),
мы находим сходство этих связей в том, что в них истинность или ложность
одного суждения следует из истинности или ложности других суждений, то тем
самым устанавливаем новую «форму» мысли, называемую умозаключением
(силлогизмом).
В отличие от грамматики логика находит «формы» мысли и устанавливает
их правила, абстрагируясь не от конкретных слов или их сочетаний, а от
конкретных мыслей, составляющих смысловую сторону речи.
Во всех случаях «форма» мысли устанавливается как особый тип связи
элементов мысли между собой или мыслей друг с другом.
Когда найдена какая-либо «форма» мыслей, то ее логический анализ
должен преследовать цель отделить устойчивое от изменчивого, то есть отличить
некоторую логическую константу от соответствующих логических переменных.
Учение Аристотеля о суждении и силлогизме было попыткой выделить
логические формы и константы, позволяющие нам посредством правильных
рассуждений устанавливать истину.
Отличив логические формы от содержания, логические константы от
логических переменных, Аристотель первым ввел специальные обозначения для тех
и других. Логические константы он выражал словесно, а логические
переменные обозначал буквами греческого алфавита.
По мнению историков логической науки, введение в логику переменных
явилось одним из величайших открытий Аристотеля.
Фр. modalité от лат. modus - способ, наклонение.
От лат. assertorius - утвердительный.
Глава 4
181
Таким образом, логику Аристотеля можно назвать формальной логикой в
том широком смысле, в котором это название указывает на предмет
философски обусловленного изучения так называемых «форм мыслей». Однако с
современной точки зрения выражение «форма мышления» применительно к целям и
задачам логики звучит весьма некорректно. В частности, на эту некорректность
указывал известный польский логик Ян Лукасевич (1878-1956), автор
фундаментального исследования «Аристотелевская силлогистика с точки зрения
современной формальной логики» (1951). Он неоднократно подчеркивал, что
подобное ошибочное понимание смысла логики обязано чрезмерной
психологизации ряда базисных логических понятий. Исследовать, как мы действительно
мыслим, не является задачей логики. Логика имеет дело с мышлением не более,
чем математика или любая другая наука. По мнению Лукасевича, психологизм
в логике - признак деградации логической науки, но за это Аристотель не несет
той ответственности, которую ему пытаются приписать лица, плохо знакомые с
историей философии и современной логикой. Аналогичной точки зрения
придерживаются и другие историки философии, подчеркивающие, что формальная
логика есть незаконное детище аристотелевской логики. Они указывают на
то, что, отказавшись от философской основы логики Аристотеля, представители
так называемой формальной логики не создали своей собственной новой и
оригинальной логической системы, но лишь воспользовались неадекватным
толкованием логического учения Аристотеля, тем самым еще более извратив логико-
философское наследие великого древнегреческого ученого.
Освобождая логику Аристотеля от напластований ошибочных ее
интерпретаций, Лукасевич не только восстанавливал историческую истину, но и
способствовал отделению символической логики от той формальной логики, которая
была обременена чрезмерными философскими спекуляциями и
квазипсихологическими рассуждениями.
По мнению многих ученых, разграничение старой формальной логики и
логики новой, символической, ориентированной на математику (!), позволило
ответить на несколько принципиально важных вопросов, включая вопрос о том,
что такое логика, каковы ее цели и задачи в современных условиях. Для нас
это важно иметь в виду, поскольку в данной главе будет рассматриваться то,
182
К. К. Жолъ Логика
что в свое время было заложено Аристотелем и продолжает успешно развиваться
по сей день. Речь идет о логике предикации.
В отличие, скажем, от логики стоиков (стоицизм - школа древнегреческой
философии III—I вв. до н. э.), которая была в основном логикой связей предложений
{суждений), логика Аристотеля есть в основном логика предикации (сказывания
чего-то о предмете мысли), исследующая логические связи элементов предикации
в виде терминов, то есть в виде логических переменных.
В историческом плане логика Аристотеля является первой теорией логических
«форм», необходимых для постижения истины, и поэтому может быть
охарактеризована как логико-философская теория рассуждающего, исследовательского
мышления или как логико-философская теория познания, отличная от риторических и
софистических теорий убеждений. В этой теории на первом месте стоит
суждение, поскольку данная «форма» мысли может иметь значение истины или лжи.
За учением о суждении следует учение о понятии, которое позволяет нам иметь
знание сути бытия в виде определения. Затем мы переходим к изучению
умозаключений как связей следования одних мыслей из других. Учение об умозаключении
(силлогизме) завершается учением о доказательстве, так как в логике Аристотеля
умозаключение рассматривается прежде всего в качестве важного средства
доказывания для установления необходимой истины.
В философии Аристотеля доказательное знание - это знание всеобщего и
необходимого. Научное доказательство состоит в получении истинного
заключения из истинных и необходимых начал. Так понимаемое доказательство не-
• возможно ни о случайном, ни о преходящем и изменчивом. Истинное
доказательство возможно лишь об общем и необходимом.
Каждое научное суждение должно отличаться необходимостью своего
содержания и всеобщностью своего применения. Чтобы это требование
безусловно соблюдалось, мы должны, по Аристотелю, строго придерживаться
всеобщих законов мышления, главенствующими из которых являются закон
противоречия и закон исключенного третьего {среднего). Традиционная логика
добавила к этим законам еще два, хотя неявно они присутствовали и в
рассуждениях Аристотеля, а именно: закон тождества и закон достаточного основания.
Современная символическая логика существенно уточнила эти законы,
предложив называть законами логики схемы построения истинных сложных
высказываний {пропозиций). Эти законы на языке символической логики иногда
называются теоремами.
Как уже отмечалось, утверждение и отрицание связаны друг с другом
таким образом, что всякому утверждению соответствует одно отрицание и,
наоборот, всякому отрицанию соответствует одно утверждение (например: если
истинно утверждение чего-либо, то ложно отрицание того же, и, наоборот, если
ложно утверждение о существовании чего-либо, то истинно утверждение,
отрицающее факт этого существования).
В силу закона противоречия, гласящего, что нельзя одновременно утверждать
и отрицать что-либо в одном и том же отношении о каком-то определенном
предмете, наши рассуждения (особенно научные) не должны быть
противоречивыми, если мы стремимся утвердить истину. Современные логики предпочитают
говорить не о законе противоречия, а о законе непротиворечивости, который
формулируется ими следующим образом:
Неверно, что р и не-р.
Например, высказывание «Неверно, что великий комбинатор Остап Бендер
пересек румынскую границу, торопясь в город своей хрустальной мечта Рио-де-
Жанейро, и что великий комбинатор Остап Бендер не пересек румынскую
границу, торопясь в город своей хрустальной мечты Рио-де-Жанейро» представляется
Глава 4
183
истинным. Всякий просвещенный читатель, которому палец в рот, pardon, не
клади, охотно признает тот «медицинский» факт, что нельзя одновременно
пересечь и не пересечь румынскую границу, устремляясь в заморский город Рио-де-
Жанейро, жители которого все поголовно ходят в белых штанах. Короче говоря,
всякий здравомыслящий гражданин, принимая какое-либо высказывание за
истинное, должен принимать отрицание этого высказывания за ложное. В
противном случае с ним неинтересно будет разговаривать на всякие чрезвычайно
умные философские темы.
Если вы подумаете, что нынешние логики очень дорожат этим законом, то смею
вас заверить: вы, друзья мои любезные, изрядно заблуждаетесь. По мнению наиболее
искушенных в математической логике профессоров и доцентов, из закона
непротиворечивости получается очень мало интересных теорем. Вот так-то.
Закон исключенного третьего (принцип tertium non datur, букв. - третьего не
дано; одно из двух; или - или) является дополнением закона противоречия, его
своеобразным уточнением, способствующим устранению из наших рассуждений
неопределенностей, двусмысленностей и т. п. Согласно этому закону, одно из
противоречащих друг другу положений (суждений) должно быть непременно
верным. Например, из высказываний (1) «Все космопроходимцы плуты» и (2)
«Неверно, что все космопроходимцы плуты» истинным является только (2). Никакого
«третьего» («срединного») высказывания, которое было бы истинным, между ними
образовать нельзя. Закон исключенного третьего можно записать так, используя
логические переменные:
р или (неверно, что р).
Если вместо р подставить высказывание «Прокуратор Иудеи Понтий
Пилат был лучшим другом проповедника Иешуа из Назарета», то получим ложное
высказывание:
«Прокуратор Иудеи Понтий Пилат был лучшим другом проповедника
Иешуа из Назарета или (неверно, что прокуратор Иудеи Понтий Пилат
был лучшим другом проповедника Иешуа из Назарета)».
Каждый признает это сложное высказывание истинным, поскольку должна
выполняться одна из возможностей: либо старина Понтий - лучший друг
иудейского проповедника, либо он не является таковым.
Закон тождества (лат. lex identitatis), на который в текстах сочинений
Аристотеля встречаются намеки, в традиционной логике формулируется так: любое
суждение (высказывание), имеющее определенное истинностное значение, должно
сохранять свою первоначальную форму и значение на протяжении всего процесса
рассуждения. Закон тождества принято выражать в логике формулой А = А. Этот
закон можно рассматривать сквозь призму математического закона равенства.
Предполагается, что выполнение закона тождества обеспечивает точность и
определенность наших рассуждений, позволяет различать и отождествлять соответствующие
знаковые выражения в тех или иных языковых системах. Что касается самого
Аристотеля, то он не придавал этому закону роль основного закона логики.
Закон достаточного основания (лат. principium sive lex rationis sufficientis), как
считают некоторые историки логики, является едва ли не главным стержнем всей
логики Аристотеля, тесно связанной с его философскими
теоретико-познавательными построениями, в которых истина и ложь - не условные понятия из
области логической семантики, а понятия, характеризующие нашу способность
познавать окружающий мир. По этой же причине большинство современных логиков
не считают закон достаточного основания собственно логическим законом. В
лучшем случае они согласны его признать одним из возможных методологических прин-
184
K.K. Жоль Логика
ципов конкретно-научного познания. Такая оценка закона достаточного основания
вполне соответствует аристотелевскому пониманию процесса познания. Аристотель
полагал, что в природе существует закон причинности, которому в нашем
познающем мышлении соответствует то, что мы называем законом достаточного
основания. Этот закон явно был сформулирован только в XVII в. Г. В. Лейбницем,
придавшим ему не столько логический смысл в плане построения доказательных
научных рассуждений, сколько внелогический, преимущественно методологический.
Характеризуя закон достаточного основания, Лейбниц отмечал, что в отыскании
убедительных оснований для наших научных, доказательных рассуждений не
нуждаются арифметика и геометрия, которые базируются на положениях, подпадающих под
критерий отсутствия противоречий, но зато нуждаются физика и механика, которые
требуют различать необходимое и случайное, истины разума и истины факта.
Говоря обобщенно, закон (или принцип) достаточного основания выражает
требование исчерпывающего учета всех оснований для каждой доказываемой истины. К
числу достаточных оснований могут быть отнесены не только аксиомы, постулаты,
принципы, определения, но и наблюдения, эксперименты, то есть многое из того,
что выводит нас далеко за пределы логики. Поэтому логики спокойно обходятся в
своих построениях без закона достаточного основания, отдавая его на откуп гносе-
ологам и методологам науки, а сами предпочитают иметь дело с законами и
правилами логической науки, которые менее всего перегружены внелогическим
содержанием.
Возвращаясь к аристотелевским логическим построениям, отмечу, что
аристотелевский силлогизм состоит из трех суждений (предложений), называемых
посылками и заключением. Посылка - это предложение (суждение), утверждающее или
отрицающее что-либо о чем-либо. В связи с этим мы вправе заявить, что
заключение любого силлогизма также является в определенном смысле посылкой, ибо в
заключении тоже высказывается что-либо о чем-либо.
Каждая посылка в виде суждения состоит из субъекта и предиката, которые
Аристотель называет терминами, определяя термин как то, на что разлагается
посылка. Кстати, первоначальное значение греческого слова для обозначения
термина - «граница», «межа». Аналогичный смысл имеет и латинское слово «terminus».
Данный смысл указывает на то, что термины любой посылки {субъект и
предикат) - это границы посылки, ее начало и конец. Замечу, что от указанного слова
ведет свою родословную логическое понятие «терм», играющее важную роль в языке
современной логики. Его смысл будет раскрыт ниже.
Следует иметь в виду, что высказывание (пропозиция) состоит из терминов. В
логике выделяют два вида терминов - имена и предикаты. Имена - это термины,
указывающие на индивидуумов (индивидов). Понимание «индивидуума» зависит от
точки зрения. Индивидуумом может быть отдельная личность, животное,
неодушевленный предмет, а также абстрактные сущности (например: врожденная идея или -
7). Исчисление предикатов является нейтральным по отношению к тому, что следует
считать индивидуумом. Предикат - это термин, который мы используем в
комбинации с именем или с именами для того, чтобы получить некоторую информацию об
индивидууме, обозначенном данным именем.
Говоря об именах и предикатах как о логических терминах, необходимо
учитывать, что мы имеем дело с пропозициями (высказываниями) в логическом
смысле, а не с грамматической структурой предложения. Если же мы пожелаем
применить логические имена и предикаты к предложениям на русском языке, то можно
будет сказать, что собственные имена типа «Иван» или «Петр» тождественны
логическим именам, но такого отождествления нельзя делать по отношению к гпаго-
лам типа «бежать», «сидеть», «кушать» и т. д., к прилагательным типа «высокий»,
бледный», «неряшливый» и т. д., а также по отношению к общим именам
существительным типа «человек», «город», «река» и т. д.
Глава 4
185
В правильных силлогизмах все термины представлены буквами, то есть
переменными.
Ближайшие преемники Аристотеля, следуя по стопам своего учителя,
утверждали, что область логики ограничивается лишь теми силлогистическими законами,
которые выражены в переменных, и не распространяется на конкретное значение
терминов. Конкретные значения логических переменных относятся к так
называемой материи силлогизма, но не к его логической форме. Если удалить из
силлогизма все конкретные термины (его материю), заменив их буквами, останется то,
что может быть названо формой силлогизма.
К форме силлогизма относятся прежде всего логические постоянные, две из
которых («и», «если») являются вспомогательными выражениями, а четыре («быть
присущим всякому», «не быть присущим ни одному», «быть присущим
некоторому», «не быть присущим некоторому») являются отличительными
характеристиками аристотелевской логики. Средневековые логики обозначили их буквами А,
Е, I и О. Буква А (первая буква латинского слова «affirmo» - утверждаю)
указывает на общеутвердительные суждения, которые являются общими с точки
зрения количества и утвердительными с точки зрения качества (например: «Все
мухоморы, растущие на Марсе, морят мух голодом»). Буква Е (первая гласная
буква латинского слова «nego» - отрицаю) указывает на общеотрицательные
суждения, которые являются общими с точки зрения количества и отрицательными с
точки зрения качества (например: «Ни один леший не является упырем»). Буква /
(вторая гласная буква латинского слова «affirmo») указывает на частноутвер-
дителъные суждения, которые являются частными с точки зрения количества и
утвердительными с точки зрения качества (например: «Некоторые комарики
летают на воздушном шарике»). Буква О (вторая гласная буква латинского слова
«nego») указывает на частноотрицательные суждения, которые являются
частными с точки зрения количества и отрицательными с точки зрения качества
(например: «Некоторые раки не любят кататься верхом на хромых собаках»). Вся
аристотелевская теория силлогизма построена на этих четырех выражениях с
помощью соединительных союзов «и» и «если».
Вслед за Лукасевичем мы можем сказать, что логика Аристотеля - это
теория отношений А, Е, I и О в сфере общих терминов. Очевидно, что такая
теория имеет с нашим мышлением не больше общего, чем, например, теория
отношений «больше» и «меньше» в области чисел.
В Средние века эти отношения в сфере общих терминов изображали в виде
квадрата (рис. 1), в котором указывались отношения контрарности (от лат.
contrarius - противоположный, противный), противоречия (контрадикторности,
от лат. contradictorius - противоречивый, противоречащий), субконтрарности и
подчинения между суждениями А, Е, I, О с одинаковыми терминами.
«Логический квадрат» показывает, что суждения А и I, Е и О находятся в
отношениях подчинения. При этом суждения А и Е являются подчиняющими, а
суждения I и О - подчиненными. Так, например, если общее суждение истинно,
то истинно и подчиненное ему частное суждение, но не наоборот. Суждения Е
и I, А и О находятся в отношениях противоречия, то есть они относятся друг к
другу как утверждение и отрицание. Поэтому в каждом из этих двух суждений
одно является обязательно истинным, а другое - обязательно ложным.
Суждения А и Е находятся в отношении контрарности. Это значит, что при условии
истинности одного из противоположных (контрарных) суждений другое
обязательно ложно. Отношения между суждениями I и О - это отношения
субконтрарности, то есть данные суждения могут быть одновременно истинными, но
могут быть и одновременно ложными.
Подобные классификации имели для традиционной формальной логики едва
ли не сакральное значение, что мешало увидеть в сочинениях Аристотеля
смелые попытки аксиоматизировать его логику, выделив группу так называемых
186
К. К. Жолъ Логика
Рис. 1.
совершенных силлогизмов, которые не доказываются и не нуждаются в
доказательствах аналогично аксиомам дедуктивной системы. В доказательствах нуждаются
только так называемые несовершенные силлогизмы. В конце концов философ выделяет
два наиболее совершенных, по его мнению, силлогизма (позднее известных под
именами Barbara и Celarent), необходимых в качестве аксиом для построения всей
теории силлогизма, но допускает при этом ряд серьезных ошибок, которые затрудняют
решение стоящей перед ним задачи.
Кроме аристотелевской логической системы (логики терминов), в
античности существовала еще и другая система логики, более фундаментальная, чем
теория силлогизма. Это была логика высказываний, или, говоря современным
языком, пропозициональная логика, образующая фундамент нынешней
логической науки, которая отчасти уже была нами рассмотрена в предыдущей главе.
В отличие от логики терминов, где значениями переменных являются
номинативные выражения типа «человек», «животное», в логике высказываний
значениями переменных являются пространные высказывания-предложения
(пропозиции). Это различие между переменными терминами и переменными
предложениями является основным различием между двумя системами логик.
Первая система пропозициональной логики была разработана стоиками
спустя несколько десятилетий после смерти Аристотеля. Так называемый modus
ponens {Если р, то q; и р; следовательно, q) является одним из наиболее важных
и основных правил логики стоиков. Переменные р и q - это
пропозициональные переменные, так как на их место могут быть подставлены только
высказывания (пропозиции, предложения).
Стоицизму принадлежат большие заслуги в деле разработки логической
проблематики. Они внесли существенный вклад в развитие теории умозаключений
и в логическую семантику. Даже сам термин «логика» в качестве названия для
одного из основных разделов философии был введен в философский лексикон
стоиками. Они делили философию на три главные части: (1) логику, (2) физику и
(3) этику. Логика включала в себя грамматику и риторику, то есть была не
совсем той логикой, о которой принято говорить сегодня, имея в виду
самостоятельную научную дисциплину.
Глава 4
187
По учению стоиков, признаком всякого истинного научного положения является
его логическая доказуемость. Поэтому, как считали они, главным разделом
логики является учение о доказательстве. Любое доказательство состоит из
умозаключений, а те, в свою очередь, состоят из суждений. Именно суждениям
принадлежит признак истинности или ложности, тогда как главным признаком
умозаключений является их формальная правильность или неправильность.
Поскольку научное познание постоянно оперирует умозаключениями для
получения истинного знания на основе истинных посылок (суждений), постольку логика
в известном смысле есть наука о правильных выводах. Начинается эта наука с
изучения условных суждений, которые имеют наиболее естественную и простую
форму вывода. Характерно, что в стоической логике впервые была разработана
теория импликации как теория необходимого следования одних высказываний из
других. Изучая сложные суждения, необходимые нам для логически доказательных
выводов, стоики постепенно сводят все умозаключения к пяти элементарным
типам условной и дизъюнктивной форм.
Основным законом логики стоики считали закон противоречия.
Стоики оказали большое влияние на все последующее развитие логических
исследований.
Современная система пропозициональной логики, фундамент которой
заложили стоики, была создана в 1879 г. великим немецким логиком Г. Фреге.
Другой выдающийся логик XIX столетия, американец Ч. С. Пирс (1839-1914),
сделал важный вклад в эту науку своим открытием логических таблиц {матриц)
истинности (1885).
Благодаря Фреге были исправлены те ошибки, которые древнегреческая
грамматическая наука передала Аристотелю, а тот, в свою очередь, передал их в
препарированном виде последующим поколениям философов и логиков. В основе
этого отрицательного влияния со стороны Аристотеля на все последующее
развитие логической науки лежал, по мнению Лукасевича, предрассудок, что каждое
предложение имеет субъект и предикат, наподобие посылок аристотелевской
логики. Между тем уже некоторые античные философы знали о том, что
существует большой класс предложений, не имеющих ни субъекта, ни предиката (таковы
импликации, дизъюнкции, конъюнкции и т. д.).
Здесь уместно напомнить, что античный философ, интересующийся языком,
знал два основных предмета исследования грамматической науки - слово {имя)
и предложение. На основе этого развивалось учение о грамматической структуре
предложения, состоящего из имени и глагола. Отталкиваясь от данного учения,
философы заявляли, что высказывание (предложение) состоит из субъекта и
предиката. Этой традиции следовал и Аристотель, а вслед за ним и бездумные
апологеты его искаженного временем творческого наследия.
На всем этом акцентируется внимание по той простой причине, что сейчас
мы переходим к знакомству с логикой предикатов.
Отличительные черты логики предикатов. Символическая логика
подразделяется на логику высказываний {пропозициональную логику) и логику предикатов
{логику пропозициональных функций). Логика высказываний лежит в основе
логики предикатов.
Если логика высказываний игнорирует структуру простых высказываний,
интересуясь только правильностью связей между высказываниями, то логика
предикатов сосредоточивает свое внимание именно на структуре высказываний.
В логике предикатов различают логику предикатов первой ступени
{порядка) и логику предикатов более высоких ступеней {порядков).
Логика высказываний и логика предикатов первой ступени образуют
элементарную логику, которая в последнее время особенно интересует
специалистов по «искусственному интеллекту», занимающихся логическим
программированием.
188
К.К. Жоль Логика
При формализации логики, включая исчисление предикатов первого порядка,
необходимо точно описать формальный язык.
Формальный язык первого порядка включает следующее.
1. Константы:
1.1. Индивидные константы: а, Ь, с, ... .
1.2. Предикатные константы: F, Р, Ä, ... .
1.3. Функциональные константы: / g, h, ... .
2. Переменные:
2.1. Свободные переменные.
2.2. Связанные переменные.
3. Логические символы:
-■(не), & (и), V (или), -» (импликация), «-> (эквиваленция), V (для всех),
3 (существует).
4. Вспомогательные символы:
левая скобка (правая скобка), запятая и др., определяемые выбранной
логической системой.
Обычно в логике говорится, что задан некоторый язык первого порядка, если
заданы все его константы. Дополнительно уточняется, что всякая конечная
последовательность символов (в данном случае из языка первого порядка) называется
выражением (этого языка).
Как правило, в формализованных языках соблюдается следующее соглашение:
связка —I (отрицание) имеет преимущество перед каждой из связок &
(конъюнкция) и V (дизъюнкция), а последние имеют преимущество перед связками -»
(импликация) и <-» (эквиваленция), то есть мы можем выстроить наши связки,
как солдатиков или чиновников, в ряд по убывающим «рангам» в следующем
порядке «старшинства», где на первом месте будут стоять «старшие» (более
сильные, не нуждающиеся в преимуществах), а на последних - «младшие».
Например: —> , & , V , -I .
Следует заметить, что применение различных алфавитов для свободных и
связанных переменных не имеет принципиального значения, и поэтому выбор
Глава 4
189
алфавитов делается по соображениям технических удобств, что, впрочем,
нуждается в соответствующих оговорках, разъяснениях и уточнениях, ибо логика не любит
недомолвок.
Что касается вспомогательных символов таких, как, например, скобки, то часто
разъясняется, что скобки будут опускаться всякий раз, когда смысл использования
логических символов ясен и без них. Чаще всего опускаются внешние скобки, если
четко определены преимущества одних логических связок перед другими (например: р
& q -> q & z означает сокращение скобок для (р & q) —» (q & z), а р <-> q & z —»
р означает сокращение скобок для р <-> ((q & z) —» /?)). Унарный 4 оператор -и
имеет наименьший ранг, так что, например, —*pvq означает (-р) v q, а не -ip v q).
Скобки опускаются также и в случае двойного отрицания (например: —т-лр есть
сокращение для -i(-jP))- Подобная практика привычна по школьной алгебре, где
действие умножения (х) предшествует действию сложения (+). Вспомним, что в логике,
по аналогии с алгеброй, операцию & называют логическим умножением, а
операцию v - логическим сложением. Таким образом, действие логического умножения
предшествует действию логического сложения, а действия логического сложения и
логического умножения предшествуют действиям —» и <->. Кроме того, считается,
чю знак -I, стоящий перед формулой, делает излишними скобки, в которые
заключена эта формула. Так, например, формула -i(p & q) будет пониматься как формула
-р & —q.
Как мы уже знаем, логические операции &, v, —>,<-> и -i не являются
независимыми друг от друга. Одни из них можно выражать через другие так, что при
этом устанавливаются равносильные формулы. Например, знак <-> может быть
выражен через знаки —» и & на основании соотношения: р <-> q = (р —» q) & (q —> р).
Знак импликации —> может быть выражен через знаки v и -i, а именно: /?—><? =
-р v q. Знак эквиваленции <-> может быть выражен через знаки &, v, -i, а
именно: р <-» q = (-jP v q) & {-iq v p). Или: p<r^q=p&qv-np& —q. Можно
пойти еще дальше, исключив знак & или v. Знак конъюнкции & может быть
выражен через знаки v и п. На основании зависимости -ip v q) = —р & —q мы
имеем: -i-i/?&-i-i# = -{-jP v -»?)• Отбросив двойное отрицание на основании
-л -л р = р получаем следующее: р & q = Ч(-*р v -q). Аналогичным образом,
используя равносильность —(р & q) = —p v -q, можно все операции заменить на & и -i.
Отличительные черты логики предикатов. Хотя в предшествующей главе,
посвященной логике высказываний, рассматривались кванторы в связи с
характеристикой переменных, но операции с кванторами имеют место только в
логике предикатов, поскольку они связаны с особенностями этой логики. В
логике предикатов столь велика роль кванторов, что иногда исчисление
предикатов называют теорией квантификации. Однако прежде чем перейти к их
рассмотрению, зададим вопрос: что такое предикат?
Ответ на поставленный вопрос частично дан в предшествующей главе в
связи с критикой Фреге субъект-предикатной структуризации предложения.
Немецкий ученый был совершенно прав, настаивая на том, чтобы
субъект-предикатное разграничение рассматривалось не как логический, а как
лингвистический феномен. Для математической логики более подходящими инструментами
анализа формализованных высказываний являются не субъект и предикат, а
функция и аргумент, которые не затрагивают смыслового содержания тех или
иных выражений. В результате мы имеем понимание предиката как
пропозициональной функции вида F(x).
Условимся называть предикатом всякую пропозициональную функцию вида
Дх, х2, ..., х ) с любым числом п > 0 независимых переменных. Если п = 0, то
предикат оказывается высказыванием (предельный случай); если п = 1, то предикат
4 От лат. unus(uni) - один.
190
К. К. Жоль Логика
соответствует тому, что называется свойством (F, Р, ...); если п = 2, то предикат -
это бинарное отношение (например: R(x, у)); если п = 3, то это тернарное
отношение (например: R(x, у z)) и т. д.
Предикаты могут считаться специфическими логическими операторами, с
помощью которых из логических имен конструируются пропозиции
(высказывания).
Предикаты условно могут быть разделены на собственно предикаты
(предикаты в смысле логических операторов) и так называемые предикатные
константы. Последние, в отличие от предикатов в собственном смысле слова, не меняют
значения истинности и связаны с определенными параметрами, называемыми
термами 5. Эти параметры зависят от конкретной предикатной константы.
Предикатная константа вместе с соответствующим числом термов называется
предикатной формой. Таким образом, предикатная форма - это предикатная
константа, соединенная с соответствующим числом термов. Например, если R -
предикатная «-местная константа и t, 19 ..., t - термы, то соответствующая
предикатная форма обычно обозначается через "R(tx, 19 ..., t). При п = 0 пишут просто
R вместо R( ), где внутри скобок ничего нет.
В естественном языке константами являются имена собственные, а также
кванторы и такие обороты речи, которые взаимозаменимы (например: «является
умным» можно заменить на «умеет оригинально и глубоко мыслить»; «обладает
сильной волей» можно заменить на «обладает твердым характером» и т. п.).
Поскольку язык предикатов более богат, чем язык логики высказываний, он
включает в свой состав и терминологию исчисления высказываний. С точки
зрения логики предикатов высказывание (пропозиция), как таковое («чистая»
пропозиция), есть не что иное, как предикатная константа без аргументов
(значений) или, точнее, предикатная константа с нулевым числом мест (аргументов).
По мнению логиков, удобно и оправдано заменить понятие индивидной
константы более общим понятием функциональной константы, ибо
функциональная константа с определенным числом мест - это то же самое, что и
предикатная константа. Соответственно, индивидная константа - это просто нулъмест-
ная функциональная константа.
Переменные, высказывания (пропозиции), а также предикатные
(пропозициональные) константы, индивидные константы и функциональные константы
обычно обозначаются как различными строчными группами букв латинского
алфавита, так и большими буквами этого же алфавита. Например:
(1) р, q, г - высказывания;
(2) х, у, z - переменные;
(3) Р, Q, R - предикатные константы;
(4) f> g> h - функциональные константы;
(5) а, Ъ, с - индивидные константы.
Если мы хотим построить сложную пропозициональную функцию, то для
этого нам необходимо осуществить некоторые операции. В логике символы
этих операций называются кванторами, а сами операции - квантификацией
пропозициональных функцией.
Замечу, что идея квантификации принадлежит Фреге, тогда как автором
терминов «квантор» и «квалификация» является Пирс. Символ квантора
существования 3 был введен итальянским математиком Дж. Пеано (1858-1932), а первую
символику для квантора всеобщности ввели известные английские философы и
5 Англ. terni, франц. terme, от лат. terminus - граница, предел; позднее - определение,
мысленное полагание пределов, описание основных свойств и отношений.
Глава 4
191
логики Б. Рассел и А. Н. Уайтхед (1861-1947), но только в 1920 г. появился
современный символ для квантора всеобщности.
Почему логики столь большое значение придали кванторам?
Прежде всего они столкнулись с тем фактом, что имеются такие логические
рассуждения, которые не обосновываются в рамках исчисления высказываний.
Например:
(1) «Всякий друг моего друга есть мой друг» - гласит очень старинная
поговорка. Доктор Ватсон является другом знаменитого английского
сыщика Шерлока Холмса. Следовательно, все друзья доктора Ватсона
являются друзьями Шерлока Холмса.
(2) Все либералы не спят по ночам. Мистер Попкинс - либерал.
Следовательно, он не спит по ночам и думает либеральные думы.
Корректность этих умозаключений зависит не только от
истинностно-функциональных отношений между входящими в них предложениями и от
внутренней структуры этих предложений, но также и от понимания таких выражений,
как «все», «всякий» и т. п. Чтобы сделать более прозрачной структуру сложных
высказываний с выражениями типа «все», «всякий», «существует», вводятся
кванторы. Например, запись 3xF(x) означает, что «существует предмет х,
обладающий свойством F». А запись v xF(x) означает, что «все х обладают свойством F».
Тогда запись первого умозаключения может выглядеть следующим образом:
3*(F(x,f) -+F(x,m))
F(v, h)
3 x (F(x, v)->F (x, h))
где v обозначает доктора Ватсона, h - Шерлока Холмса, / - друзей, m -
местоимение мой. При этом пропозициональная функция вида F(x,y) читается: «jc
есть друг у».
Запись второго умозаключения будет выглядеть так:
V*(/>(x)-*ß(x))
Р(х)
Q(x)
где Р(х) обозначает «jc страдает бессонницей», a Q(x) - «х есть либерал».
Использование пропозициональных функций и кванторов существенно
упростило и прояснило методы логического анализа, позволив точно формулировать и
строго доказывать многие принципы логики, на основании которых одни
высказывания можно корректно выводить из других.
Казалось бы, с понятием «предикат» в логике покончено раз и навсегда, но
не тут-то было. Такой закоренелый «формалист», как Д. Гильберт, постоянно
пользуется термином «предикат» для обозначения пропозициональной
функции. Аналогичным образом поступает С. К. Клини и многие другие логики.
Решение о сохранении давно скомпрометированного термина «предикат»
было продиктовано не консерватизмом традиции, а скорее традиционализмом
в использовании старых терминов, но уже с новым смысловым содержанием,
эксплицируемым понятием «пропозициональная функция». Важным
теоретическим подспорьем в данном случае служили кванторы.
6 От лат. singularis - отдельный, особый.
192
К. К. Жоль Логика
О том, что такое дескрипция и термы. В свое время логики разделили
термины на единичные {сингулярные 6), общие и пустые. Если термин обозначает
один объект, он считается единичным. Общим он считается тогда, когда
обозначает какое-то множество объектов. Пустой термин - это термин, который не
обозначает ни одного объекта.
С помощью предикации осуществляется соединение единичного и общего
терминов. Данная предикация схематически выражается так: х есть F (в
традиционной логике это выглядит как S есть Р). С помощью символов
пропозициональной функции предикация записывается следующим образом: F(x).
Для того чтобы единичный термин использовался для обозначения
индивидуального объекта (индивида), он должен определенным способом выделять
данный объект из их совокупности. Это делается посредством описания
индивидуального объекта, благодаря чему указываются его отличительные свойства.
Такое описание называется дескриптивным 7. Другим способом является
приписывание единичному объекту собственного имени. Собственное имя, в
отличие от дескрипции, осуществляет прямое указание на объект.
Оператор (квантор) дескрипции (йотя-оператор) обозначается чаще всего
перевернутой и повернутой в противоположную сторону греческой буквой i
(йота). В данном случае эта греческая буква будет заменена большой латинской
буквой D (первой буквой слова «description») и вместо название «йота-опера-
тор» для квантора дескрипции будет использовано название «дэ-оператор».
Дескриптивный способ представления сингулярных (единичных) терминов,
основанный на использовании общих терминов, позволяет обойтись без
собственных имен, включая не только собственные имена типа Фердыщенко или
Сильвер, но и такие имена, как репа, изба, золото, ром и т. д. Это особенно
важно иметь в виду, когда мы указываем на объект, имя собственное которого
нам по тем или иным причинам неизвестно (например: вечерняя звезда, учитель
Александра Македонского, вещество, состоящее из двух атомов водорода и
одного атома кислорода). Дескрипция позволяет нам оперативнее выявлять
искомый объект и соответствующим образом его идентифицировать.
Следует знать, что сингулярные термины делятся на определенные и
неопределенные. Определенные сингулярные термины указывают на конкретные
объекты из их совокупности, тогда как неопределенные сингулярные термины
указывают просто на представителя данного множества объектов, не подчеркивая
его индивидуальность (например: градоначальник, пират, шпага и т. д.).
В логике вместо неопределенных сингулярных терминов используют
символы, называемые переменными. Что в таком случае может выражать форма Djc?
Данная форма читается так: тот х, который.
Как связана сингулярная пропозициональная форма F(x) с <Зэ-оператором?
Когда используется <)э-оператор, то некоторая сингулярная
пропозициональная форма F(x) принимает значение истина только для одного значения
переменной х. Например, пусть х обозначает пирата Сильвера, одного из главных
персонажей книги известного английского писателя Р. Л. Стивенсона «Остров
сокровищ», a F - любит пиастры и другие денежки. Тогда получаем: пират
Сильвер любит деньги. Но любителей дензнаков на этой грешной земле
хватает, включая разных там пиратов, корсаров и флибустьеров. Мы же должны
выделить из них только одного человека, а именно того, который искал не
просто пиратские сокровища, а сокровища пирата Флинта и был к тому же
одноногим. В этом случае необходимо воспользоваться оператором дескрипции, и мы
получим, например, форму DxF(x). Однако символ F указывает лишь на одно
свойство х (скажем, искатель сокровищ). Естественно, возникает вопрос: кто именно
тот искатель сокровищ, которого мы разыскиваем?
7 Англ. description - описание.
Глава 4
193
Для ответа на поставленный вопрос необходимо добавить указание еще на
одно или несколько свойств (их конъюнкция), находящихся в знаково
выраженной форме справа от дэ-операгора (например: Р(х), где Р есть свойство одноногий).
Теперь нашу дескрипцию можно записать так: Dx(F(x) & Р(х)). В этом случае
нам уже легче догадаться, что речь идет о пирате Сильвере.
Итак, оператор дескрипции позволяет конструировать имя для предмета,
который еще не назван именем собственным, но для описания и
характеристики которого в нашем распоряжении имеются необходимые знания и
соответствующий словарь.
Обычно дескрипции «такой, что» или «тот, который», а также им подобные,
используются в тех случаях, когда с их помощью описывается какой-либо
уникальный объект (единственный в своем роде). Общая форма подобного
определенного описания формулируется примерно так: «тот предмет х, для которого
F(x)» или «тот х, для которого F(x)». Если F(x) является предикатом от
единственной переменной х, то дескрипция называется собственной тогда и только
тогда, когда в некоторой предметной области Р имеется ровно один объект х,
такой, что F(x). Это может быть выражено формулой DxF(x).
Если F(x) - это предикат, зависящий от других переменных, каковыми могут
быть термы, обозначающие соответствующие объекты (мира реального или мира
идеальных теоретических конструкций), то есть 19 *2, ..., 19 дескрипция называется
собственной тогда и только тогда, когда при всяком наборе f, *2, ..., t из Р
существует в Р единственный х, для которого F(t, 19 ..., t, х). С помощью кванторов
всеобщности V и существования 3 это утверждение можно записать так:
V/,V t2... Vt3xDxF(tl9 t2, ..., tn, x).
В данном случае мы имеем дело с неявной постановкой вопроса,
касающегося интерпретации термов и переменных, которые являются частным случаев
термов. Эта интерпретация должна специфицировать (конкретизировать)
множество объектов, называемое областью интерпретации термов, ибо понятие
«переменная», используемое на интуитивном уровне в логике высказываний,
нуждается в существенном уточнении в контексте логики предикатов, в связи с чем
и вводится понятие терма, указывающее на более широкий класс объектов
логического анализа.
Почему в логике оператор дескрипции тесно связан с процедурами кванти-
фикации?
Когда что-либо описывается, то имеется в виду либо реально
существующий объект (допустим, город Конотоп), либо объект, существующий только в
нашем воображении (допустим, конотопская ведьма). Следовательно, вопрос о
критериях существования не может не волновать логиков, хотя и не в том
смысле, в каком он волнует философов или богословов (например: доказательство
бытия (существования) Бога). В чем заключается смысл проблемы
существования в логике?
Кванторы, их роль и особенности действия в логике предикатов. В работах
90-х гг. XIX столетия основатель всемирно известной Львовско-Варшавской
логико-философской школы Казимеж Твардовский (1866-1938), продолжая линию
своего предшественника, немецкого философа Ф. Брентано (1838-1917), настаивал
на необходимости различать содержание целенаправленной (интенциональной 8)
интеллектуальной деятельности и объект этой деятельности. Он доказывал, что
содержание и объект интеллектуальной деятельности не тождественны. Например,
От лат. intentio - стремление.
94
К. К Жоль Логика
2сли некто высказывает истинное суждение, отрицающее наличие объекта типа
«вечный двигатель», этот некто должен иметь хотя бы какое-то представление о данном
эбьекте, пусть даже бредовое. Следовательно, на вполне законных основаниях некто
вполне здравомыслящий может иметь представление о таких предметах, которые не
существуют в действительности (например: огнедышащий дракон, кентавр и т. п.) и
даже невообразимы (скажем, круглый квадрат). Это служит аргументом в пользу
необходимости отличать содержание наших умственных представлений от так
называемых интенциональных объектов, которые как бы имеются в виду, то есть
допускаемы не только нашим рассудком, но и фантазией.
Усиливая свою аргументацию, Твардовский указывал на то, что объекты
нашего мышления имеют самые разные свойства и находятся в самых разных
отношениях друг к другу. Скажем, гора - это некоторая протяженная физическая
вещь, тогда как идея горы не имеет пространственного и физического
существования. Или: Пегас - это мифический крылатый конь, а таких коней в
действительности не существует, хотя мы в своей фантазии можем соединить свойства
лошади и свойства птицы, получив в результате некий сборный образ - образ
крылатого коня. Короче, Пегас - это фантастическое существо, тогда как идея
Пегаса отнюдь не фантазия, а реальный факт нашего воображения.
Когда Твардовский сравнивает свойства идей, как психических феноменов,
со свойствами их объектов, он приходит к выводу, что несуществующие
объекты (скажем, круглые квадраты), равно как и существующие, обладают
свойствами. Так, круглый квадрат является одновременно круглым и квадратным в
одном из возможно-невозможных миров.
Еще великий Лейбниц отмечал, что бытие присуще всему мыслимому.
Реальное же существование - это частный случай бытия, то есть бытие не в
мысли, а в действительности. Например, Пегас или сказочный персонаж Джанни
Родари луковичный Чиполлино не имеют реального существования, но имеют
бытие {мыслимое бытие, которое может быть не только представлено в нашем
воображении, но и воплощено на картине, в скульптуре или на киноэкране), а
следовательно, имеют и свою особую сущность. Сущности идеальных объектов
типа Пегас или «вечный двигатель», будучи умственными конструктами,
должны соответствовать хотя бы одному требованию идеального конструирования -
Глава 4
195
требованию непротиворечивости, то есть с логической точки зрения идеальные
объекты не должны содержать внутреннего противоречия или, говоря другими словами, не
должны противоречить исходным правилам нашей интеллектуальной «игры».
Истинность таких конструктивных объектов не зависит от случайных, фактических истин,
она доказывается непротиворечивостью внутренней струюуры подобных объектов,
представленных в символической форме, в форме определенного языка (допустим, языка
математической логики или языка искусства).
В конце XIX - начале XX в. лейбницевские рассуждения по данному вопросу
были воспроизведены К. Твардовским и австрийским философом А. Мейнонгом
(1853-1920). Эти ученые разграничивали то, что слова выражают, и то, что
они замещают. Выражаемое словом - это некоторая идея. Замещаемое словом -
это некий внеязыковый объект (реальный или фантастический). Например,
слово «Солнце» замещает в нашей голове Солнце как звезду. Но это же слово
выражает идею Солнца. В последнем случае слово «Солнце» - это знак идеи.
На основе таких теоретических допущений Мейнонг строит новый вариант
логико-философского учения о бытии, как таковом (онтологию 9), где
предикат существования (но не бытия) относится только к реально существующему.
Но что есть реально существующее?
Ведь во времена Аристотеля существование олимпийских богов, кентавров
и «пегасов» было безусловным фактом для большинства греков. А в наше
время такими «фактами» могут служить если не крылатые кони, то различные и
не менее любопытные «оккультные фокусы», не говоря о прочих «интересных
штучках», включая «серьезные» политические обещания.
Расширяя и модифицируя традиционную онтологию, мы одновременно
должны вводить более четкую градуировку уровней бытия, учитывая бытие сугубо
мыслимых объектов, включая объекты логико-математического
конструирования. В этом случае снимается запрет на использование термина «свойство»
применительно к идеальным сущностям различных уровней абстрактности, но
одновременно вводится запрет на использование термина «взаимодействие»,
относимого к сфере реально сущего. Термин «взаимодействие» заменяется более
нейтральным термином «отношение» («взаимоотношение»). Аналогичные
преобразования могут и должны быть проделаны с понятием «истина», которое
на логическом уровне допустимо рассматривать в качестве некоторой
логической ценности, некоторого значимого для логики абстрактного объекта
(логического индивида), под которым понимается значение логических переменных.
Как видим, уже Лейбниц, а затем и многие другие философы заметили, что
понятия «существовать», «бытъ» и им подобные могут использоваться в
различных значениях. Естественно, логики, оперирующие кванторами, не могли
пройти мимо этого факта. Они должны были закрепить за кванторами,
особенно за квантором существования, одно и только одно логическое значение,
полностью и ясно выразимое в соответствующих определениях.
Что касается вопроса о кванторе существования, то этот каверзный вопрос
должен быть разрешен посредством доказательства истинности логических
формул с квантором существования. Иначе говоря, логиков не должен беспокоить
вопрос о том, существуют ли крылатые кони или летающие крокодилы. Их
заботы состоят в другом, а именно: логические конструкции с квантором
существования не должны быть противоречивыми. Так, если упыри, проблема
существования которых остро волновала прогрессивно мыслящего киевского
философа Хому Брута, не противоречат нашим теоретическим допущениям и
остаются в различных позициях логического текста именно упырями, не имея
порочной наклонности стать заурядными домовыми или вечно мокрыми русалками,
то они вполне устроят нас в качестве особых указательных местоимений (в
9 Гр. on (ontos) - сущее + logia - учение', философское. учение о бытии.
196
К.К. Жоль Логика
I
, Experiontià fcdlàx, Judicium di.
Опыт обмодч ив> суждение
л1г
Ч!1
г«
А- Мейыоыг
значении иметь точно определенные места (позиции) в тексте той или иной логической
системы). Такие местоимения должны указывать на повторение одинаковых мест
в логическом тексте, точнее, должны указывать на одно и то же значение
истинности (на один и тот же логический объект). У логических переменных, которых
вынуждают стать «местоимениями», от прежней свободы и бескванторного
существования остается лишь дым. Приобретая власть над логическими «упырями»
(переменными) нрава строптивого, мы становимся воистину «дьявольски» всесильными в том
логически возможном мире, где правят бал кванторы. Выглядит все это следующим
образом.
В естественном языке мы нередко встречаем такие выражения, которые
ставят нас перед проблемой: является ли данное выражение обозначением чего-либо
в действительности? Подобные философские «вопросики» логики безжалостно
пресекают. Они допускают только одно: существует (подчеркиваю - существует!)
некоторое выделенное определенным образом (способ выделения зависит от
логической системы) непустое множество, под которым понимается набор
логически допустимых объектов с твердо фиксированными свойствами. Это множество
(М) называется предметной областью, которую пробегает каждая из переменных
наших пропозициональных функций, то есть предметная область - это, как уже
отмечалось, особые логические объекты (конструкции), допустимые в качестве
значений переменных. Такие логически сконструированные объекты не следует
путать с объектами в обычном понимании слова.
Рассмотрим полюбившееся нам старинное умозаключение:
Посылка 1. Все люди смертны.
Посылка 2. Сократ - человек.
Вывод. Сократ смертен.
Если А/, включающее в себя такого индивидуума, как говорливый афинский
философ Сократ, - это множество людей, то вторая посылка совершенно
излишняя. К тому же если множество M всех объектов (людей) состоит именно из
смертных объектов, то все наше умозаключение - просто банальность. Поэтому
лучше мыслить M как множество всех живых существ, включая людей и
различных биологических козявок.
Глава 4
197
Введем следующие обозначения: Ч (х) вместо х есть человек; С (х) вместо х
смертен; ф вместо философ Сократ. С учетом выбранных обозначений запишем
наше умозаключение так
х (Ч(х) -> С(х)
Ч(ф)
С(ф)
Это умозаключение можно записать еще и так:
х (Ч(х) -> С(х)1 Ч(ф) h С(ф).
Требование, чтобы все объекты принадлежали некоторому непустому
множеству М, не мешает нам говорить об элементах других множеств
среди которых есть множество бегемотов, муравьев, ослов, баранов и прочей
живности. Но для нас важно лишь то, что все множества
FF F
должны содержаться в M как его подмножества. Тогда можно считать, что в
случае нашего умозаключения мы имеем дело с тремя выделенными
множествами, а именно: M = {существа}, Ч = {человеческие индивидуумы} = {те х из
М, для которых Ч(х)} = Dx4(x), С = {смертные} = {те х из М, для которых
С(х)} = DxC(x).
Данная символическая запись показывает, что для любого одноместного
предиката (пропозициональной функции вида F(x)9 чья свободная переменная
пробегает всю предметную область М) можно определить подмножеств F множества М,
элементы которого - это именно те х, для которых форма F(x) служит формой
правильного высказывания. Символически это записывается так: F = DxF(x\ где
оператор дескрипции D перед х читается: те х из А/, для которых.
Множество F = DxF (х) можно назвать экстенсионалом10 (объемом)
предиката F(x). В данном случае под объемом понимается объем (множество) тех х,
для которых верно F(x).
Предикат трактуется в логике как интенсиональный11 объект, поскольку он
определяет смысловое содержание (интенсионал) понятия (суждения) о чем-либо.
В противоположность интенсионалу экстенсионалом является логическая
функция, то есть экстенсионал - это множество объектов, которые имеет в
виду (предполагает) предикат.
Рассмотрим связь предикатов с переменными.
В логике принято считать, что предикат с одной переменной выражает
свойство предмета. Например: х есть толстый грек; х есть простое число; х есть
проявление закона Ньютона; и т. д.
Но предикат может выражать не только свойства, а и отношения. Такие
предикаты являются пропозициональными функциями нескольких переменных.
Рассмотрим предложение «Паниковский любит жареных гусей». Это
предложение, анализируемое средствами логики предикатов, можно рассматривать
как выражение значения одной из трех пропозициональных функций, а именно:
От лат. extensio - протяжение, расширение.
От лат. intensio - усиление; «то, что имеется в виду», «предполагается».
198
К К Жоль Логика
(1) х любит жареных гусей; (2) Паниковский любит у; х любит у. Здесь
грамматическим сказуемым является выражение «любит жареных гусей». С логической
точки зрения сказуемым является выражение «х любит жареных гусей».
Выражения же «Паниковский любит у» и «х любит у» не являются грамматическими
сказуемыми. Однако то, что не устраивает филологов, вполне устраивает логиков,
холодному разуму которых безразлично, кто кого любит. Логики считают предикатами
(логическими сказуемыми) всякую пропозициональную функцию с любым числом
независимых переменных. Поэтому их интересует только вопрос о том, между каким
числом объектов устанавливаются отношения. В связи с этим различаются
двухместные, трехместные и т. д. отношения. В общем случае говорят о n-местных
отношениях. Предикаты-свойства считаются частным случаем предикатов-отношений, то есть
предикат-свойство - это одноместный предикат.
Таким образом, по числу мест предикаты делятся на одноместные и
многоместные. В качестве предикатных переменных обычно используются заглавные
латинские буквы (А, В, С, ...). Индивидные переменные обозначаются
маленькими буквами латинского алфавита (а, Ъ, с, ...).
Пусть, например, А - множество членов семьи. Выразим родственные
отношения предикатами в форме следующих выражений: х - отец у; у - сын х. Тогда
предикат R(x, у), где R - отношения родства, может обозначать: х - отец у; у -
сын х. Функция R(x, у) после подстановки вместо х и у имен определенных
людей принимает значение истинно или ложно в зависимости от того, являются ли
указанные люди родственниками (членами множества А).
Как нам уже известно, одним из важных способов получения высказывания
из пропозициональной функции является связывание свободных переменных с
помощью кванторов. Например, из пропозициональной функции х - бравый
солдат с помощью квантора существования 3 получается высказывание:
Эх (х - бравый солдат).
Данное высказывание читается: существует по крайней мере один
индивидуум, для которого верно, что х - бравый солдат.
Используя квантор существования, запишем более строго высказывание
«Швейк - бравый солдат». Пусть Р{х) - предикат х есть бравый солдат.
Запишем следующую формулу с квантором существования: ЗхР(х). Теперь
определим значение этой формулы как истину, если существует элемент некоторой
предметной области, для которого Р(х) истинно, и как ложь в противном
случае. Тогда, если Р(х) - определенная формула логики предикатов, то формула
ЗхР(х) также определена и от значения х не зависит. Почему не зависит?
Формула ЗхР(х) читается: существует такой х, что Р от х. Использование
этой формулы позволяет утверждать, что ЗхР(х) - форма истинного
высказывания для всех предикатов Р(х), кроме одного - ложного. Дело в том, что в
формулах вида ЗхР(х) или \/хР(х) кванторы связывают переменную х, то есть,
несмотря на то, что в записях формул ЗхР(х) или ухР(х) встречается буква х,
обозначающая переменную, обе эти формулы обозначают именно
высказывания, а не пропозициональные функции. Следовательно, эти формулы больше
не зависят от переменной х. Попадая в область действия квантора, данная
переменная утрачивает свою свободу и оказывается связанной (несвободной)
переменной. Фактически связанная переменная не является переменной в
собственном смысле слова. Ее присутствие в формуле необходимо лишь для того,
чтобы указать, из какого предиката данное высказывание образовано. Значение
этой псевдопеременной строго определено и уже не зависит от контекста, ибо
такова доля всех «рабов» кванторов.
Из пропозициональной функции х - повар-оккультист с помощью квантора
всеобщности можно получить высказывание обо всех индивидуумах, знакомьте с
Глава 4
199
особым состоянием голодных духов и с рискованной для психического здоровья
трансмиграцией душ, а именно:
ух(х - повар-оккультист).
Данное высказывание читается: все х обладают свойством быть поваром-
оккультистом. Запишем это высказывание так: ухР(х).
Эта формула читается: все х обладают свойством Р(х). Применительно к
поварам-оккультистам наша формула расшифровывается так: все солдаты являются
(в душе) поварами-оккультистами (обладают свойством быть
поваром-оккультистом). Кое-кому из критически и атеистически мыслящих прапорщиков понятно,
что сие прелюбопытное высказывание не соответствует прозе действительности и,
следовательно, является ложным.
Заменив квантор всеобщности на квантор существования, мы получим истинное
высказывание типа: существует по крайней мере один индивидуум, для которого
верно, что Р от х. Или: существует по крайней мере один индивидуум (солдат)
по имени Юрайда, для которого верно, что Юрайда - повар-оккультист.
С помощью квантора всеобщности выражается мысль о том, что каждый
индивид определенной предметной области обладает общим для всех индивидов этой
области свойством. Иначе говоря, общее высказывание - это высказывание, которое
констатирует, что каждый индивид данной предметной области обладает
определенным свойством. Оно истинно только тогда, когда при любом наборе значений его
переменных из содержащейся в нем пропозициональной функции получается истинное
высказывание.
Переводя это на теоретико-множественный язык, можно сказать: если
некоторое множество состоит из конечного числа объектов, то высказывание об
этих объектах по формуле ухР(х) легко записывается в виде конъюнкции
единичных (простых) высказываний.
Несмотря на то, что квантор всеобщности можно использовать
применительно к бесконечным множествам, в практических целях удобно представлять
дело так, что квантор всеобщности является обобщением некоторого
конечного числа единичных высказываний.
Подобно квантору всеобщности, квантор существования также обобщает,
но обобщает не операцию конъюнкции, а операцию дизъюнкции.
В некоторых высказываниях могут встречаться оба типа кванторов.
Например: yx3yR(x, у).
Хорошенько запомним, что кванторы связывают все находящиеся в области
их действий переменные. Поэтому наличие кванторов позволяет легко и быстро
определять, являются ли выражения логики предикатов высказываниями или
пропозициональными функциями. Для этого требуется только проверить,
находится ли каждая встречающаяся в пропозициональной функции переменная
в области действия квантора. Как эта проверка осуществляется?
Пусть R(x, у) - некоторый двухместный предикат, определенный на
некотором множестве М. Кванторы \/ и 3 можно применять к этому предикату как
для переменной jc, так и для переменной у, а именно: yxR(x, у); yyR(x, у);
3xR(x, у)\ 3yR(x, у). Переменная, к которой применяется квантор, считается
связанной, а другая переменная - свободной, но может быть и так, что обе
переменные будут связанными (например: yx3yR(x, у); ууЗх(х, у)).
Необходимо иметь в виду, что во всех случаях применения квантора по
одной из переменных двухместного предиката вида R(x, у) происходит
превращение этого предиката в одноместный, ибо одна переменная не включается в
сферу действия квантора. Аналогичное имеет место и для других
многоместных предикатов, то есть применение квантора по всем, кроме одной, из
переменных превращает «-местный предикат в (л-1)-мсстный.
200
К.К. Жоль Логика
Между кванторами v и 3 имеют место отношения, позволяющие сводить один
квантор к другому. Например:
V* Р(х) = Зх-Р(х);
Зх Р(х) = \/х-^Р(х).
По старшинству (в отношении расположении скобок) кванторы, несмотря
на свой «деспотический характер» относительно логических переменных,
располагаются последними по ранжиру. Так, например: формулу v*^ (*) -* Р(х)
следует читать как (yxF(x)) -» Р(х))9 а не как yx(F(x) -» Р(х)).
Когда речь заходит о свойствах и отношениях вообще, возникает насущная
потребность в расширении логики предикатов и ее символики. Это
расширение заключается в том, что символы логики предикатов могут использоваться
как переменные и связываться кванторами, то есть символы, обозначающие
свойства и отношения, могут выполнять роль переменных, вступающих, так
сказать, в схватку с деспотичными кванторами. В соответствии с этим
высказывание «Существуют свойства, присущие всем индивидам» может быть
выражено формулой
ЗР\/хР{х).
Высказывание «3xF(x) ложно» равносильно высказыванию: «существует
элемент х, для которого F(x) ложно», или, что то же, «существует элемент х,
для которого —\ F{x) истинно». Следовательно, выражение -~(ухР(х))
равносильно выражению 3jc—i F(x).
Для получения высказываний из пропозициональных функций, в которых
имеются предикатные переменные, указывающие на свойства и отношения,
необходимо придерживаться следующего правила: высказывание получается из
пропозициональной функции тогда и только тогда, когда все имеющиеся в ней
свободные переменные, включая переменные для обозначения свойств и отношений,
заменяются конкретными логическими именами индивидных постоянных или
связываются кванторами. При этом вместо предикатной переменной
подставляются не имена собственные, а общие имена, которые могут отличать элементы
одного класса от элементов другого класса или классов.
Выражения, в которых не только индивидные переменные, но и предикатные
переменные связаны кванторами v и 3, относятся не к элементарной логике
предикатов, а к логике предикатов второй ступени (порядка). К тому же логика
предикатов второй ступени содержит предикаты предикатов, что увеличивает
выразительные возможности логики предикатов. Что касается предикатов предикатов,
то здесь имеется в виду следующее: свойства индивидов сами обладают
некоторыми свойствами, находящимися в определенных отношениях друг с другом.
Таким образом, кроме свойств индивидов, существуют:
(1) свойства свойств;
(2) свойства отношений;
(3) отношения между свойствами;
(4) отношения между отношениями;
(5) отношения между свойствами и отношениями.
Все многообразие свойств и отношений охватывается расширенной логикой
предикатов, то есть логикой предикатов более высокой ступени. В частности,
предикаты второй ступени (предикаты предикатов) отражают свойства, которые
присущи свойствам индивидов. Эту иерархию можно продолжать сколько угодно,
но логики обычно обходятся предикатами первой и второй ступеней.
Глава 4
201
Учтя характерные черты логики предикатов, перейдем к рассмотрению
применения операций логики высказываний к предикатам и начнем с простейшего случая
одноместных предикатов.
Пусть M - некоторое множество, на котором определяются предикаты.
Назовем это множество областью. Каждому одноместному предикату вида F{x)
можно поставить в соответствие множество тех элементов а из области М, для
которой F(a) истинно. Обозначим это подмножество как N и проделаем обратную
операцию, а именно: каждому множеству, содержащемуся в М, можно поставить в
соответствие предикат Р(х), представляющий собой высказывание, истинное тогда
и только тогда, когда х е N. Предикат Р(х) принимает значение истина на N и
значение ложь вне N. Следовательно, N есть NP. Это соответствие между
подмножествами множества M и одноместными предикатами, определенными на
множестве М, взаимно-однозначно.
Булевы операции &, v и -i над одноместными предикатами соответствуют
операциям над множествами. Эти операции называются перечислением,
объединением и дополнением.
Законы и правила логики предикатов. Если законы логики высказываний
имеют в виду выражения, которые при любом распределении значений истинности
своих пропозициональных переменных принимают значение истина, то с
некоторыми поправками аналогичные законы действуют и в логике предикатов. Что
касается поправок, то в данном случае будем учитывать следующее: если
превращение пропозициональной функции вида х обладает свойством Р в истинное
высказывание зависит прежде всего от выбранной индивидной области, то
законы логики предикатов нужно искать в таких выражениях, которые не зависят от
той или иной области индивидов в качестве значений переменных, но значимы
для любых непустых областей. Дело в том, что логика предикатов занимается
предикатами вообще, то есть она интересуется структурой высказываний
независимо от их конкретного смыслового содержания. Поэтому законы логики
предикатов заявляют о себе в таких выражениях, которые не зависят от конкретных
значений предикатных переменных, а верны для любых их значений.
Одним из таких законов является закон исключенного третьего.
Подчеркну, что в логике имеются две формулировки получения
правильных умозаключений. Первая формулировка предстает в виде правил вывода, а
вторая - в виде логических законов.
Логические правила - это своеобразные директивные предписания,
базирующиеся на логических законах и позволяющие признавать правильными
высказывания, образованные в результате вывода из истинных посылок.
Законами логики высказываний и предикатов называются схемы построения
истинных сложных высказываний. Иначе говоря, законы логики высказываний и
предикатов - это такие выражения, которым всегда соответствует истинное
высказывание, какие бы подстановки значений мы ни делали вместо переменных.
Эти законы называются еще теоремами. К ним относятся:
1. Закон исключенного третьего: р v—p \р или не-р].
2. Закон непротиворечивости: —\(р & —р) [неверно, что р и не-р].
3. Законы двойного отрицания: -i -тр -» р [если не-не-р, то р].
4. Закон контрапозиции: (р —> q) -» {-^q —> пР) [если {если р, то q) то {если не
q, то не-р)].
5. Законы, характеризующие конъюнкцию. Например:
(р & q) —» {q & р) [если (р и q), то {q и р)].
6. Законы импликативных силлогизмов.
7. Законы, характеризующие дизъюнкцию. Например:
(Р v <i) -> (Я v Р) [если (р или q), то {q или р)].
8. Законы, характеризующие эквиваленцию (эквивалентность). Например:
202
К.К. Жоль Логика
(р <-> q) -» (q <-> р) [если (р тогда и только тогда, когда q), то (q тогда
и только тогда, когда р)].
9. Законы де Моргана п.
Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми
логиками. В начале XX в. некоторые из них (Л.Э.Я. Брауэр, Г.Вейль, А.Гейтинг)
отвергли закон исключенного третьего как универсальный закон логики. Они отказались
также от закона двойного отрицания.
Мало кого интересует и закон непротиворечивости, так как из данного
закона получается весьма скудное количество нетривиальных теорем.
Одним из интересных законов логики является закон контрапозиции.
Обычно этот закон записывается так:
Р -> я
-« я -> -> Р
На законе контрапозиции основано так называемое косвенное
доказательство, или reductio ad absurdum, то есть вместо того, чтобы доказывать р -> q,
мы можем доказать —igr —> —,/7.
Говоря о законах, характеризующих конъюнкцию, будем иметь в виду, что
конъюнкция перестановочна (коммутативна 13), постольку ее члены можно
менять местами. При этом принимается следующая логическая теорема:
если (р и q), то (q и р).
Например:
Если ((Федор Никитич Хворобьев - заядлый монархист) и (Одесса -
ч стольный град)), то ((Одесса - стольный град) и (Федор Никитич
Хворобьев - заядлый монархист)).
Имея истинную конъюнкцию, мы можем признать истинным любой из ее
членов. Например:
если (р и q), то р;
если (р и q), то q.
Примем также теорему, согласно которой, признавая истинными два
высказывания, мы признаем истинной их конъюнкцию, а именно:
если pt то (если q, то (р и q)).
Импликации могут быть как посылками умозаключений, так и
заключениями. Поэтому в логических рассуждениях придается большое значение таким
теоремам логики, которые позволяют из двух посылок, являющихся импликациями,
12 Огастес де Морган (Morgan, 27 июня 1806 г., Мадура, Индия - 18 марта 1871 г., Лондон,
Англия) - шотландский математик и логик, сделавший большой вклад в логическую науку
(сформулировал законы математической логики, названные его именем, а также заложил
основы логики отношений). Учился в Кембридже (Trinity College). В 1828 г. стал профессором
математики в Лондонском университете (University College in London), где, за исключением
пятилетнего периода (1831-1836), преподавал до 1866 г. В 1866 г. принял участие в создании
Лондонского математического общества (London Mathematical Society) и стал его первым президентом.
13 Лат. commutatio - перемена.
Глава 4
203
делать некоторые выводы, также являющиеся импликациями. Подобные теоремы
называются импликативными силлогизмами.
Признавая в качестве двух посылок два импликативных высказывания с одним и
тем же условием истинности, мы в качестве заключения получаем импликацию (им-
пликативное высказывание) с тем же самым условием истинности, и, кроме того,
монсеквент данной импликации будет представлять собой конъюнкцию консеквентов
обеих посылок. Соответственно, в качестве теоремы логики признается следующее
выражение:
Если {{если р, то q) и {если р, то г)),
то {если ру то {q и г)).
Или:
Р -> Я
р —> г
Р ~*(q&r)
Еще одной ценной теоремой логики этой группы теорем является такое
выражение:
Если {{если ру то q) и {если г, то s)),
то {если {р и г), то {q и s)).
Или:
Р -> Я
г -> s
(p&r)-+{q&s)
Важнейшей из теорем для импликативных силлогизмов является следующая
теорема:
Если {{если pt то q) и {если q, то г)),
то {если (р, то г)).
Ч -> г
р —» г
Этот закон выражает свойство транзитивности 14 условного высказывания.
В математике транзитивность - это свойство величин, состоящее в том, что
если первая величина сравнима со второй, а вторая - с третьей, то первая
сравнима с третьей. Алгебраически это выглядит так: если а = Ъ и Ъ = с, то а = с.
Нелья не сказать еще об одной логической теореме, связанной с имплика-
тивным силлогизмом, а именно:
Если {{если р то q) и {если г, то q)),
то {если {р или г), то q).
Или:
От лат. transitas - переход.
204
К.К. Жоль Логика
Р -> Ч
г —> q
(р vr)-> q
Логики говорят, что дизъюнкция является коммутативной
{перестановочной). Например, если кто-то шепотом заявляет, что Паниковский - ярко
выраженный прихватизатор чужой собственности или Паниковский - сын
героического лейтенанта Шмидта, то в равной мере справедливо утверждение:
Паниковский - сын героического лейтенанта Шмидта или Паниковский -
прихватизатор чужой собственности, В данном случае мы переходим от одного
высказывания к другому на основании теоремы:
Если (р или q), то (q или р).
Или:
(pvq)->(qvp).
Не менее значимой теоремой, характеризующей дизъюнкцию, является
следующая теорема:
Если (р или q\ то (если не-р, то q).
Или:
( Р v Я) -> (пР -> ?)•
Как и дизъюнкция, эквиваленция является коммутативной, а именно:
Если ( р тогда и только тогда, когда q),
то (q тогда и только тогда, когда р).
Или:
Главными теоремами, характеризующими эквиваленцию, являются
следующие теоремы:
Если (р тогда и только тогда, когда q),
то (если р, то q).
Или:
( р <-> q) -» (р -> q).
Если ( р тогда и только тогда, когда q),
то (если q, то р).
Или:
( Р <-> q)->(q -» РУ
Необходимо отметить, что в математике и в математической логике часто
приходится иметь дело с отношениями, выражающими то или иное сходство
между рассматриваемыми объектами. В математике таковыми объектами
являются, например, подобные геометрические фигуры, а в логике - эквивалентные
Глава 4
205
высказывания. Отношения подобия называются отношениями эквивалентности.
Их нельзя смешивать с отношениями эквиваленции (эквивалентности) в логике.
Рассматриваемым отношениям эквивалентности присущи следующие свойства.
15 От лат. reflexio - отражение.
16 От лат. symmetria - соразмерность.
Указанное отношение эквивалентности может быть выражено формулами
логики предикатов. Для этого надо записать в виде аксиом рефлексивность,
симметричность и транзитивность. Соответствующие инструкции даны в любом
приличном учебнике по математической логике. В данном случае мы ограничимся
готовыми результатами, характеризующими рефлексивность, симметричность и
транзитивность эквиваленции, а именно:
В математике все эти три свойства (рефлексивность, симметричность и
транзитивность) математических объектов часто называют характеристическими
свойствами отношения равенства. Но при этом, как подчеркивал Гильберт, речь
обычно идет не о равенстве в смысле тождественности, а скорее только о некотором
роде совпадения. Данное совпадение современные логики называют отношением
эквивалентности {эквиваленции). В самом деле, любое отношение между двумя
объектами, имеющее характер какого-либо совпадения в смысле
эквивалентности (например: подобие геометрических фигур, параллельность прямых,
равенство длин отрезков и т. п.), обладает указанными тремя свойствами. Что
касается равенства, то оно выделяется из других логико-математических отношений
206
К.К. Жоль Логика
тем, что означает не какое-нибудь одностороннее совпадение, а совпадение вообще, то
есть эквивалентность. Эта полнота совпадения (эквивалентности) находит свое
выражение в соответствующей аксиоме равенства.
Необходимо сделать себе зарубку на память и постоянно иметь в виду, что
исчисление предикатов с равенством, о чем речь пойдет ниже, относится к
расширению формализма исчисления предикатов.
Видное место в группе логических законов (теорем) занимают законы
Моргана, который, независимо от Буля, пришел к основным идеям математической
логики. К законам Моргана относятся:
(Не-(р либо q)) тогда и только тогда, когда ((не-р) и (не-q)).
Или:
(Не-(р и q)) тогда и только тогда, когда ((не-р) или (не-q)).
Или:
^(p&?)H(-i/)V-n?).
В теоретико-множественном плане это выглядит так:
-i (А п В) = -. А и -. В;
-, (А и В) = -, А п -. В.
Все эти законы с успехом работают в логике высказываний и предикатов.
Поэтому пусть читатель не смущается тем, что их символическая запись дана
на языке логики высказываний.
Из общезначимых импликаций и эквиваленций логики высказываний и
предикатов можно получить правила умозаключения. Например, из закона
логики предикатов yxF(x) —> F(y) получается следующее правило умозаключения:
VjcF(jc)
F(y)
Или:
\/xF(x) ÏF(y).
Из F(y) —» 3xF(x) получается следующее правило умозаключения:
F(y)
F( у) (= 3xF(x).
Согласно этому правилу, если какой-то индивид обладает каким-либо
свойством, то можно заключить, что имеется по крайней мере один индивид,
обладающий этим свойством. Это может показаться банальностью, но логика
предпочитает быть в некоторых случаях «банальной», чем полагаться на
пресловутый «здравый смысл» или «интуицию», которые, нет-нет, да и подводят нас,
когда затрагиваются сложные вопросы, требующие тщательной, кропотливой и
осторожной проработки. Что касается приведенного выше закона, то в качестве
Глава 4
207
иллюстрации можно сослаться, скажем, на «отрицательные» результаты в научных
исследованиях, когда в единичном, случайном угадывалось общее, необходимое,
закономерное, которое затем опровергалось в теории или на практике, заставляя
раздосадованных исследователей резко менять свой курс.
В отличие от логических законов, которые императивно требуют, чтобы за-клю-
чение было всегда истинным, логические правила менее жестки, хотя и директивны
в известном смысле. Логические правила предоставляют нам возможность
признавать истинными новые высказывания в зависимости от того, какой вид имеют
высказывания-посылки, уже признанные истинными.
Одним из основных правил умозаключения является уже знакомое нам
правило - правило отделения (modus ponens), говорящее о том, что умозаключение
правильно, если из двух истинных посылок мы получаем истинное заключение.
Более строго это правило звучит так: если истинна некоторая импликация и
истинно ее условие, то должно быть истинным и ее заключение. Рассмотрим
следующий пример:
Посылка 1. Если Пузатый Пацюк умеет заставлять галушки прыгать
ему в рот, то, судя по всему, он знается с самим чертом.
Посылка 2. Пузатый Пацюк умеет «телепортировать» галушки себя в
рот прямо из миски, стоящей на кадушке поодаль от него.
Вывод. Пузатый Пацюк знается с самим чертом.
Или: Р -> Я
Р
Я
Данное правило является схемой правильного умозаключения в том смысле,
что, подставляя в эту схему вместо букв р и q конкретные высказывания, мы
получим в результате правильное заключение, то есть правильность нашего
умозаключения с логической точки зрения состоит в том, что мы принимаем во
внимание только вид участвующих в нем посылок, отвлекаясь от их содержания.
Необходимо иметь в виду, что в логике предикатов не существует такого
простого способа разрешения умозаключений, как таблицы истинности в
логике высказываний. Более того, вообще не существует универсального способа,
который можно было бы смело использовать для разрешения любых
выражений логики предикатов. Обычно разрешаемое выражение пытаются свести к
выражению логики высказываний.
Таким образом, одной из интересных и сложных проблем логики
предикатов является проблема аксиоматизации, которая упирается в проблему
разрешимости. Данная проблема заключается в нахождении способа, с помощью
которого конечным числом шагов можно решить, является ли логическое
выражение общезначимым, выполнимым или противоречивым. Будущим логикам
есть над чем поломать голову.
Если для какой-то области логических построений не существует
разрешающей процедуры, то обычно пытаются решить, являются ли данные
выражения общезначимыми. При этом учитывается, что каждое выражение,
полученное из общезначимого выражения, само общезначимо. Короче, если из
общезначимых выражений удается получить разрешаемое выражение посредством
соответствующих преобразований, следуя правилам вывода, то с полным
правом считается, что найдено индивидуальное доказательство для данного
выражения. Однако на практике найти индивидуальное доказательство для какого-
либо выражения часто бывает очень и очень трудно. Дело в том, что в случае
индивидуального доказательства многое зависит от человеческого фактора, то
208
К.К. Жоль Логика
есть от профессионального опыта, интуиции и т. п., не говоря уже об уровне
мастерства.
Расширенный формализм: исчисление предикатов с равенством. Особое
место в логике пропозициональных функций занимает исчисление предикатов с
равенством (тождеством). С какими трудностями мы можем столкнуться в этой
области логики?
Допустим, имеются два очень похожих друг на друга человека (не
обязательно близнецы). Один из них - очень хороший человек, а другой - сущий
злодей и вообще большая бяка. По каким признакам их следует отличать друг
от друга?
Обозначим злодея латинской буквой z, а добряка - латинской буквой d. Их
внешнее сходство будем обозначать буквой Р (подобие).
Если z = d , то, воспользовавшись одноместным предикатом Р> это
равенство можно определить так: (z = d) s {для всякого Р имеет место P(z) <-» P(d)}.
Последнее означает, что выражения P(z) и P(d) являются формой одного и того
же высказывания относительно некоторого множества М, состоящего из
добрых и злых людей.
Если же мы допустим, что d и z - различные элементы из М, то,
следовательно, должны быть какие-то предикаты, которые их отличают, то есть
предикаты должны быть такими, что P(d) истинно, когда P(z) ложно, и наоборот.
Короче, P(d) <-> P(z) будет иметь место не при любом Р.
Когда-то Лейбниц изрядно покорпел над проблемой тождества,
предельным случаем которого является математическое равенство, и пришел к такому
любопытному выводу: «Полагать две вещи неразличимыми означает полагать
одну и ту же вещь под двумя именами».
Если согласиться с немецким философом, то возникает вопрос: не имеем ли
мы дело с двуликим Янусом, который прячется под личиной добряка, а на
самом деле является отъявленным злодеем? А может быть все обстоит
наоборот? Добрейшего человека оклеветали, очернили...
Подброшу глубокомысленному читателю еще одну задачку. Пусть он
попробует догадаться, о ком идет речь, когда говорят победитель при Иене и
побежденный при Ватерлоо.
Знаток истории сразу же выпалит, что речь идет о Наполеоне.
Тогда еще один вопрос: что астрономы имеют в виду, говоря утренняя звезда
и вечерняя звезда?
Несколько веков тому назад на этот вопрос трудно было дать
вразумительный ответ. Сегодня каждый школьник знает, что речь идет о планете Венера.
Таким образом, если нельзя указать никакого свойства F, по отношению к
которому d и z различны, тогда следует признать, что d и z тождественны.
Будем иметь в виду, что данное признание (характеристика, определение)
имеет место только в логике предикатов второй ступени.
Будем иметь в виду и то, что контекст, в котором фигурируют внешне
неразличимые элементы (предметы) обычно называется экстенсиональным. В
экстенсиональных контекстах законным считается замена, скажем, d на z. Контексты
же, где такая замена невозможна, называются интенсиональными. В связи с этим
рассмотрим следующий пример.
Пусть п - число планет Солнечной системы. В прошлые века люди не
знали, что п > 8, так как девятая планета была открыта только в 1930 г. Значит,
человек XIX в. не знал, что 9 > 8.
Получается нечто в высшей степени абсурдное, если не учитывать, что
истинностное значение фразы «человек XIX в. не знал, что - > 8» (черточка в
данной фразе означает пропуск выражения) зависит не от буквального ее
понимания, а от подразумеваемого смысла соответствующего выражения. Ведь
речь идет не просто о числах, а о числе планет Солнечной системы. Поэтому
Глава 4
209
замена п на 9 на основании равенства п = 9 во фразе «человек XIX в. не знал, что
п > 8» является в этом интенсиональном контексте незаконной. Отсюда следует, что
в интенсиональных контекстах замена равного равным не всегда дает ожидаемый
эффект, то есть в подобных контекстах требуется принимать во внимание не только
истинностное значение высказывания, но еще что-то такое, что не учитывается в
экстенсиональном контексте.
Наличие неэкстенсиональных контекстов подчеркивает разницу между
равенством и отношением эквивалентности. Дело в том, что если мы попытаемся учесть
неучтенное, то нам придется изрядно повозиться с элементами экстенсионального
(объемного) множества M В результате мы получим новое множество N В новом
множестве мы уже будем иметь дело не с равенством, как в случае с M, а с
отношением эквивалентности. Например, если строить множество M как
множество планет Солнечной системы, известных человеку XIX в., а не как множество
вещественных чисел, то п = 9 не будет истинным, поскольку п и 9 - это
совершенно различные мыслимые предметы. Такие поправки и дополнения
восстанавливают пошатнувшийся статус экстенсиональности, но одновременно намекают на то,
что логика предикатов с равенством должна быть существенно расширена и
обогащена за счет исследования неэкстенсиональных контекстов, о чем речь пойдет в
следующих двух главах. Здесь же, вслед за Клини, отмечу, что лейбницевское
определение тождества заставляет говорить о применимости некоторого свойства
F к предметам je, то есть заставляет рассматривать истинность или ложность
значений F(x) некоторого предиката до того, как сами предметы х будут отчетливо
выделены. В теории Клини, начинающейся с предположения о существовании
некоторой предметной области, вопрос о том, равны предметы или нет, зависит от
той картины логического мира, исходя из которой построена данная предметная
область. Таким образом, вопрос о том, равна ли утренняя звезда х (тождественна
ли, является ли той же самой) вечерней звезде у, относится к вопросу о том, имеет
ли место равенство в той предметной области, которая является областью
небесных объектов, изучаемых астрономией, где утренняя и вечерняя звезда - это
планета Венера. Для людей же прошлых эпох, признающих иные картины мира,
утренняя и вечерняя звезда - совершенно различные явления природы.
При лейбницевском определении тождества, согласно которому х = у означает
V F(F(x) <-» F(y)\ несколько иначе выражается то, что Клини назвал «свойством
замены для равенства». Это свойство включает замену в области действия
кванторов. Иногда это же свойство называют экстенсиональностью, для того чтобы
характеризовать те контексты, в которых равенство х = у позволяет заменить х на у.
Если контекст неэкстенсионален относительно замены равных, это значит,
что не было кое-что учтено при логическом построении конкретной
предметной области. Анализируя эти элементы, мы можем получить новую область, в
которой равенство станет отношением эквивалентности и таким образом
принцип экстенсиональности будет восстановлен в своих правах.
Однако следует учитывать, что «равенство» и «отношение
эквивалентности» не являются синонимами. По этому поводу Клини ссылается на некоторых
авторов учебников по планиметрии, которые часто пишут, что
перпендикулярные друг другу отрезки AB и CD равны, чтобы тем самым сообщить читателю,
что данные отрезки имеют одну и ту же длину. Однако въедливому и
придирчивому к терминам логики читателю ясно, что нельзя заменить AB на СД ибо
они перпендикулярны, то есть в некотором отношении не равны. Поэтому при
переводе в точные логические символы надо внимательно следить за тем,
является термин «равно» аналогом математического смысла символа = или
логическим отношением эквивалентности (эквиваленции).
Из общезначимых выражений логики предикатов можно получить
общезначимые выражения логики предикатов с равенством, заменяя двухместный
предикат символом равенства.
210
К.К. Жоль Логика
Обратим внимание на то, что в логике предикатов мы имеем дело не с
высказываниями определенного истинностного значения, а только с выражениями
(пропозициональными функциями), которые при соответствующей интерпретации становятся
высказываниями. Выражение же логики предикатов с равенством не содержат
свободных переменных, ибо все они связаны кванторами, и не имеют иных предикатов,
кроме предиката равенства. Следовательно, это выражение изначально является
высказыванием.
Используя кванторы всеобщности и существования, можно сказать, что
существует точно определенное количество индивидов с определенным свойством.
В повседневной жизни если нам требуется отличить один предмет от
другого (установить отношения неравенства ( Ф ), нетождества), мы можем
воспользоваться именами собственными. Но можно делать и по-другому, описав
отличительный признак или признаки данного предмета. Для этого используется
квантор (оператор) дескрипции. Этот квантор как бы дополняет нашу теорию
исчисления предикатов с равенством, подчеркивая важную роль учета
отношений неравенства. Как говорят философы, одно познается через свое другое (свою
противоположность), то есть отношения равенства познаются через отношения
неравенства и наоборот.
Таким образом, возвращаясь к вопросу о дескрипции, уже ранее
рассмотренному, мы замыкаем круг изучения интересующих нас предметов,
относящихся к логике предикатов (пропозициональных функций).
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. Основой логики предикатов (пропозициональных функций) является
логика высказываний (пропозициональная логика). Главным предметом
изучения логики предикатов является структура высказываний.
2. Поскольку в логике предикатов чрезвычайно велика роль кванторов,
постольку исчисление предикатов может быть названо теорией квантификации.
3. Дескрипция - это способ описания индивидуальных объектов, благодаря
которому указываю _ч их о i шчительные свойства. В символической логике
имеют дело с out ктами, св. отва которых заданы в соответствии с
требованиями данной логической системы. Задача логической дескрипции состоит в том,
чтобы логическими средствами идентифицировать указанные объекты, проверив
их на соответствие заданным свойствам. Решение этой задачи осуществляется с
помощью оператора (квантора) дескрипции, который позволяет
пропозициональной функции принимать значение истина только для одного значения входящей
в нее переменной.
4. Законами (теоремами) логики высказываний и логики предикатов
называются схемы построения истинных сложных высказываний.
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Чем отличается логика предикатов от логики высказываний?
2. Что понимается под предикатом в символической логике?
3. Расскажите о проблеме существования в философии и логике. Что такое
кванторы и для чего они нужны?
4. Укажите, какими кванторами и какие вхождения переменных связаны.
(a) УхЗу ((Щх, у) & VjcP(jc, z)) -> R(x));
(b) Зхуу (F(x, y) v V*P(y, x, z)).
5. Для каких целей используется оператор дескрипции?
6. Что такое терм?
Глава 4
211
7. Переведите в логическую символику, а потом проверьте, истинны или нет
полученные высказывания:
(1) «Максим Горький - автор пьесы «На дне». Алексей Максимович
Пешков - автор пьесы «На дне». Следовательно, Максим Горький и
Алексей Максимович Пешков - одно и то же лицо». (А может быть, это
разные лица, одно из которых украло у другого пьесу «На дне»?)
(2) «Остап Бендер был зарезан Ипполитом Матвеевичем Воробьяниновым
«вчера». «Сегодня» Остап Бендер познакомился с Шурой Балагановым, от
которого узнал о наличии в городе Черноморске подпольного советского
миллионера и принял решение о начале охоты за подпольными миллионами.
Следовательно, существует такой Остап Бендер, который одновременно
и мертв, и жив». (А может быть, это однофамильцы?)
8. Каким общим законам подчиняются логика высказываний и логика предикатов?
9. Существует ли разрешающая процедура для всей области логики предикатов?
10. Общезначимы ли нижеследующие формулы?
(a) 3xF(x) -> yxF(x);
(b) VjcF(jc) -> 3xF(x);
(c) 3y(F(y) v Vx(F(x) -> P(z)).
11. Что такое логика предикатов с равенством? Имеет ли к ней отношение
оператор дескрипции?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Асмус В. Ф. Античная философия. - М.: Высшая школа, 1976. - 544 с.
Ахманов А. С. Логическое учение Аристотеля. - М.: Изд-во
Социально-экономической литературы, 1960. - 314 с.
Башилова Т. А., Кириллов В. И., Орлов Г. А., Фокина Н. И. Упражнения по
логике. - М.: Высшая школа, 1990. - 159 с.
Гжегорчик А. Популярная логика: Пер. с польск. - М.: Наука, 1979. - 112 с.
Жоль К. К. Логика в лицах и символах. - М.: Педагогика-Пресс, 1993. - 256 с.
Зегет В. Элементарная логика: Пер. с нем. - М.: Высшая школа, 1985. - 256 с.
Маковельский А. О. История логики. - М.: Наука, 1967. - 502 с.
Клини С. К. Математическая логика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 480 с.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной
формальной логики: Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранная литература, 1959. - 312 с.
Никольская И. Л. Математическая логика. - М.: Высшая школа, 1981. - 127 с.
Рассел Б. Дескрипции // Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XIII: Логика
и лингвистика. (Проблемы референции): Пер. с англ. и фр. - М.: Радуга, 1982. -
С. 41-54.
Столяр А. А. Элементарное введение в математическую логику. Пособие для
учителей. - М.: Просвещение, 1965. - 163 с.
Успенский В. А., и др. Вводный курс математической логики. - М.: Изд-во
МГУ, 1991. - 136 с.
Чёрч А. Введение в математическую логику: Пер. с англ. - М.: Изд-во
Иностранная литература, 1960. - 486 с.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и
формализация арифметики: Пер. с нем. - М.: Наука, 1979. - 558 с.
212
К.К. Жоль Логика
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Б. Введение в математическую логику. - М.:
Изд-во МГУ, 1982. - 120 с.
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополнительные
главы. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 120 с.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с агл. - М.: Наука,
1976. - 320 с.
Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973. - 400 с.
Справочная книга по математической логике: Пер. с англ. - Ч. 1 : Теория
моделей. - М.: Наука, 1982. - С. 13-54.
ГЛАВА ПЯТАЯ
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ,
ИЛИ ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ, ЛОГИКА
ГЛАВА ПЯТАЯ
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ,
ИЛИ ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ, ЛОГИКА
Вводные замечания. - Идеи математического интуиционизма и
конструктивизма. - От математического понятия функции к логическому понятию
лямбда-исчисления. - Актуальная и потенциальная бесконечности. - Борьба
за торжество математики над логикой. - Конструктивные процессы и
конструктивные объекты. - Строгие принципы построения
конструктивистской (конструктивной) математической логики. - Конструктивистская
математическая логика с точки зрения логики высказываний. -
Алгорифмы и логико-математический анализ. - Заключение. - Контрольные
упражнения. - Рекомендуемая литература.
Вводные замечания. Новые научные идеи и технологические открытия
появляются чаще всего тогда, когда в них есть та или иная потребность. Эти
потребности могут быть удовлетворены любыми из нескольких доступных
способов, которые не обязательно должны быть похожими друг на друга.
Разработки различных научных методов и технических способов практического
освоения действительности могут продолжаться до тех пор, пока одни из них не
станут доминирующими. Если же этого не происходит, то вполне могут
сосуществовать вместе несколько конкурирующих методов или технологий.
Вряд ли создатели современной математической логики, занятые
укреплением основ математики, могли себе представить, что их идеи и методы найдут свое
применение не только в проектировании сложных релейно-контактных устройств,
но и в программном обеспечении компьютеров (особенно это касается
разработок в области «искусственного интеллекта»). Тем не менее сегодня это является
безусловным фактом, который никем не оспаривается.
Если бы можно было должным образом оценивать предвосхищающие свое
время сигналы о появлении новых научных и технических идей, развитие
общества имело бы совершенно другой характер и темпы. Но старушка История не
любит торопиться, и мы с грустным вздохом должны признаться себе в том, что
многое из того, что сейчас происходит в науке, не дано будет нам увидеть при
жизни воплощенным в практику. Но это, разумеется, не должно означать, что
ученые могут позволить себе не слишком далеко заглядывать в будущее. Эксперт,
занимающийся прогнозированием, обязан держать руку на пульсе
зарождающегося нового и контролировать все сектора окружающей науку обстановки, а также
обстановку в самой науке. Любые сигналы о научных или технических новинках
должны быть зафиксированы и хотя бы в самом общем виде определены еще до
того, как будет принято решение что-либо выдвигать на первый план научно-
технического развития, а с чем-то повременить. Конечно, иногда подобные
сигналы как бы тонут в информационных «шумах», но это отнюдь не оправдывает
просчеты экспертов, которые в силу специфики своей профессии призваны
создавать достаточно мощные «фильтры» для очистки главного от второстепенного.
В такого рода «фильтрации» нуждается и история математической логики,
которая полна еще нераскрытыми возможностями, могущими оказаться
чрезвычайно практически ценными. Это подтверждается и тем, что логическая
наука не является железобетонным монолитом, а распадается на множество
логических систем, теорий, направлений, каждое из которых способно эффективно
решать задачи, с трудом или плохо решаемыми иными логическими методами.
Глава 5
215
К разряду перспективных направлений логического поиска относится
современная конструктивистская (конструкционистская) логика, которую обычно
принято называть конструктивной. По сугубо филологическим соображениям я
предпочитаю говорить именно о конструктивистской (или конструкционистской)
логике, таким способом отличая обиходный смысл слова «конструктивный» от
специфического метода логического исследования и его философско-методологичес-
ких принципов. Тем более что своими корнями эта логика восходит не к
интуитивной (по аналогии с со словом «конструктивной»), а к интуиционистской
математике, которая не имеет прямого отношения к доктринам философского
интуитивизма и соответствующим спекуляциям по поводу роли интуиции в
познании, хотя и не лишена определенных философских предпосылок.
К большому сожалению, творцы конструктивистской {интуиционистской, по
своему исходному названию) логики в пылу теоретической полемики со своими
оппонентами из числа сторонников формализма Д. Гильберта настолько
увлеклись введением новых абстракций и логико-математических символов, что в
конце концов получилась ситуация «вавилонского столпотворения», когда они
с трудом начали понимать друг друга, не говоря уже об учениках, у которых
от этого логического «многословия» вполне могли «опухнуть» мозги. Однако
потребности современной информационной технологии, базирующейся на
использовании мощных электронно-вычислительных машин, настоятельно
требуют не только унификации, но и упрощения языка конструктивистской логики,
чтобы сделать его переводимым на языки логического программирования.
Такая попытка частичного упрощения языка конструктивистской логики будет
предпринята в данной главе. Хотя это сопряжено с определенным риском, тем
не менее я иду на этот риск, учитывая, что всякое новое должно пройти через
горнило очищающего огня критики.
В предлагаемой главе читатель сможет познакомиться с историей появления
на свет конструктивистской математической логики, ее современным состоянием
и практической ценностью полученных в ней теоретических результатов. Это
знакомство будет ему полезно еще и по той причине, что нынешние учебники и
учебные пособия по логике почти полностью игнорируют роль
интуиционистской математики и логики в развитии современного научно-теоретического
мышления. Подобного рода перекосы в учебной литературе совершенно
непростительны, поскольку суживают горизонты логической науки и препятствуют
выбору направлений научного поиска у тех, кто готовится войти в науку.
Идеи математического интуиционизма и конструктивизма. Переходя к
главному предмету рассмотрения, начну с того, что в конце 1-й мировой войны
молодой голландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966) публично
высказал крамольное сомнение в том, что законы классической логики имеют
абсолютную истинность. Более того, им была предложена дерзкая программа,
призванная вернуть математикам уверенность и покончить с кризисом
основания математического знания, вызванного открытием парадоксов и антиномий в
теории множеств. Новая программа получила название интуиционизма.
Голландский ученый, уже успевший внести значительный вклад в
математику, был убежден, что в основе математики лежат не логические конструкции,
столь превозносимые Гильбертом, а интуиция1, делающая математические
понятия и выводы непосредственно ясными.
Казалось бы, в свете идей неевклидовой геометрии и бурного расцвета
математической логики интуиционизм как доктрина, воспевающая самоочевидность
непосредственно данного, уже не может быть воскрешен в той математике,
которую оплодотворили идеи закаленных рационализмом ученых типа Гильберта. И
От лат. intueri - пристально, внимательно смотреть', чутье, проницательность.
216
К.К. Жоль Логика
тем не менее он воскрес, но в совершенно новом виде. Правда, со временем
оказалось, что слово «интуиция» и связанный с ним термин «интуиционизм»
не являются позитивными указателями нового направления развития
математической мысли. Но в конце концов чем они хуже гильбертовских «пивных
кружек», если дело сделано и работа уже кипит? Результаты этой работы
налицо: Брауэр решительно крушит ставшие традиционными представления о
логике и ее связях с математикой. Своим интуиционистским «молотом» он
беспощадно колошматит закон исключенного третьего {среднего).
Со времен античности считалось, что процесс познания должен
завершаться утверждением или отрицанием относительно изучаемой предметной
области, то есть истинным должно оказаться одно из двух противоположных
суждений (р или не-р), третьего не дано. Брауэр же настаивает на том, что существует и
«третья» возможность постижения Истины.
Следуя его логике рассуждений, рассмотрим один пример. Пусть в
некотором множестве M существует элемент со свойством F. Если это множество
конечно, то в принципе можно перебрать все его элементы и однозначно
определить: или в M существует элемент со свойством F, или все элементы из M этим
свойством не обладают. Таким образом, не слишком ломая голову, мы быстро
доказываем справедливость закона исключенного третьего для конечных
(счетных) множеств. Но справедлив ли этот закон для бесконечных множеств?
Брауэр полагал, что данный закон не годится для понимания бесконечных
множеств. Аргументация проста: мы даже в принципе не можем перебрать
элементы бесконечного множества. Но допустим все же, что мы решились на
такой безумный перебор. И что же? А ровным счетом ничего. Даже если в
процессе перебора мы найдем элемент со свойством F, то будем знать весьма мало,
а именно: первая альтернатива выполнена. Достаточно ли этого для
абсолютной уверенности в справедливости закона исключенного третьего? Нет,
недостаточно, так как мы имеем дело с бесконечным множеством, в безднах
которого может таиться все что угодно. Поэтому о второй альтернативе ничего
определенного сказать нельзя.
Глава 5
217
Замечу, что в математике теоремы, вызывающие сомнения, обычно
доказываются приведением отрицания доказываемой теоремы к противоречию.
Следовательно, без закона исключенного третьего обойтись вроде бы никак нельзя.
Что же предлагает Брауэр вместо этого закона?
По Брауэру, математические утверждения, согласно которым объект,
обладающий данным свойством, существует, сообщают нам, что известен метод,
позволяющий хотя бы в принципе построить такой математический объект.
Пусть читателю не покажется странным, но фактически Гильберт, этот
принципиальный противник философской идеологии интуитивизма в математике,
полностью согласен с Брауэром относительно того, что подавляющее
большинство математических утверждений зиждется на интуитивной очевидности.
Однако Гильберт настаивает на том, что ряд утверждений, не имеющих
интуитивного (содержательного) смысла, совершенно необходимы для математики.
Его настойчивость объясняется не попытками доказать истинность какого-либо
фрагмента математического знания, а стремлением доказать непротиворечивость
всей системы математики. Но как можно убедиться в том, что гильбертовская
формализация способна преодолеть все, без исключения, противоречия?
На этом вопрос обескураживающий ответ был дан Куртом Гёделем,
доказавшим, что формализация - далеко не всесильное средство.
Интуиционизм, основанный Брауэром, представляет собой яркое проявление
так называемой конструктивной тенденции в математике. Эта тенденция
сформировалась до и независимо от интуиционизма Брауэра. Сюда следует отнести
работы немецкого математика Л. Кронекера (1823-1891), французского
математика, физика и философа Ж. А. Пуанкаре (1854-1912) и других ученых.
Математическая интуиция в понимании Брауэра не есть умосозерцание чего-
то ставшего, застывшего, а есть понимание процесса становления как процесса
построения умозрительного (теоретического) объекта. Такое
умозрительно-теоретическое построение интуиционисты часто называли конструированием или кон-
струкцией, соответственно чему свою логику именовали конструктивной.
Конструктивность математической интуиции требует совершенно нового
взгляда на научные понятия, ибо для интуиционистов понятие не может быть
какой-то особой категорией познания, выражающей всегда одну и ту же
застывшую сущность. С точки зрения математического интуиционизма понятие есть
прежде всего понимание, то есть особый вид интеллектуальной деятельности
познающего сознания, стремящегося сориентироваться на конкретные цели и кон-
структивное решение задач по достижению этих целей.
Математические понятия не имеют того самобытного смысла, который
навязывается им под эгидой канторовской теории множеств и такого ее
идейного стержня, как «актуальная бесконечность». Будучи оторванными от
конкретного смысла математических объектов, они превращаются в бессмысленную
отвлеченность. Поэтому истинность математических понятий в трактовке
интуиционистов заключается в конструктивном воспроизведении реальных
закономерностей, присущих миру математических объектов, доступных интуиции
здравого научного рассудка. Математические понятия рассматриваются ими не
сами по себе, а в зависимости от конкретных задач, то есть рассматриваются
функционально.
Функционализм как характеристика идеологии математического
интуиционизма имеет под собой вполне реальные основания. Концептуальная
трактовка функционализма как теории и методологии научного познания сложилась в
XX в. Философы-прагматисты, рассматривавшие истинность наших знаний о мире
с точки зрения их утилитарной ценности, полезности, отстаивали функциональную
(инструментальную) точку зрения на научные понятия, то есть эти понятия
являются, по их мнени, всего лишь инструментами для достижения конкретно
поставленных целей, а не истинными или ложными отражениями действительности. Не
218
К. К. Жоль Логика
отражая реальности, понятия выступают в роли субститутов (замещающих
знаков), содержащих в себе указания на определенные этапы, которые нужно
пройти, чтобы достигнуть цели, то есть понятия - это своеобразные алгоритмы,
позволяющие решать нам определенные классы задач. Таким образом,
познавательное значение наших понятий заключено не в их содержании, а в их
функциях. Подобный взгляд на научные понятия ближе духу формализма в математике,
но никак не интуиционизму, который отнюдь не собирается сбрасывать со
счетов содержательный (интуитивный смысл) математических понятий.
Если прагматисты рядополагают «деятельность» и «инструмент», а
«формалисты» в математике не придают никакого значения философскому понятию
«деятельность», то интуиционисты рассматривают свои математические понятия
одновременно и как инструмент, и как деятельность по конструированию
математических объектов. Из сказанного следует, что интуиция в их трактовке - это не
только познавательный инструмент, но и способ действия по выявлению
базисных математических понятий, в которых должны быть отражены операции по
конструированию математических объектов. Отсюда столь велика для
конструктивистов роль исследований в области математических алгоритмов (алгорифмов).
Функциональный анализ объектов любой природы - эффективное
познавательное средство. Как подчеркивал известный психолог Л. С. Выготский (1896-1934),
игнорирование функционального момента в познании есть непринятие в расчет
того, что понятие - не застывшее образование, а живой процесс сложной
интеллектуальной деятельности, выполняющей в зависимости от ситуации ту или иную
функцию (обобщения, конструирования, интерпретации и т. д.). Фактически эти
идеи воплощены в принципе математической интуиции как исключительно
важного средства познания, но явно не сформулированы интуиционистами. Однако
требовать от них подобных формулировок - значит требовать сверх всякой
разумной меры, забывая о том, что мы имеем дело не с философами, а с
философски мыслящими математиками, занятыми решениями своих математических
проблем. Обратимся к этим проблемам.
В 1918-1919 гг. Брауэр приступил к построению интуиционистской
математики, отбросив догмат о пригодности классической логики Аристотеля для
успешной работы со всеми математическими объектами. В дальнейшем к развитию
интуиционистской математики присоединились многие крупные ученые.
Чем больше всего раздосадовала аристотелевская логика главного
застрельщика интуиционистской математики?
Естественно, это был прежде всего закон исключенного третьего. В
аристотелевской формулировке он выглядел так: ничего не может быть посредине между
двумя противоречащими друг другу суждениями, одно из которых должно с
«железной» необходимостью утверждаться, а другое отрицаться.
Для чего потребовалось Стагириту усиливать закон противоречия за счет
введения закона исключенного третьего?
Закон противоречия оставлял открытым вопрос о том, возможно ли нечто
среднее между утверждением и отрицанием. Отрицательная часть закона
противоречия (неверно, что А и в то же время не-А), равно как и его позитивная, ничего не
говорят нам о реальном положении вещей или состоянии дел, а именно на
установление таких реалий и была нацелена логика Аристотеля. Что касается
отрицательной части формулы закона исключенного третьего (р или не-р), то она
устанавливает, что нет возможности быть средним (третьим) между утверждением и
отрицанием. Однако из отрицательной части еще не следует положительная часть.
Другими словами, если кроме утверждения и отрицания нет ничего среднего, то
этим еще не исключается случай, когда утверждение и отрицание могут быть
одновременно истинными или одновременно ложными, например: (1) «Или верно, что
все лебеди белые, или существует по крайней мере один лебедь (черный), для
которого не верно, что все лебеди обладают указанным свойством»', (2) «Или
220
К.К. Жоль Логика
верно, что все кентавры - большие почитатели литературного творчества
Зевса, или существует по крайней мере один кентавр, для которого не верно,
что все кентавры запоем читают философские трактаты Зевса».
По Аристотелю, отношение между законом противоречия и законом
исключенного третьего таково, что отрицание закона противоречия влечет за собой
отрицание закона исключенного третьего, то есть закон противоречия является
необходимой предпосылкой закона исключенного третьего. Однако это еще не
свидетельствует о том, что из закона противоречия можно вывести закон
исключенного третьего. В данном случае закон исключенного третьего имеет
самостоятельное значение, против чего яростно восстают представители интуициониствдй
математики XX в.
У Аристотеля закон исключенного третьего не ограничивается только
сферой логики; этот закон имеет своим основанием закономерности самой
материальной действительности. Более того, закон исключенного третьего
мыслится Аристотелем прежде всего как закон бытия и лишь затем как закон
мышления. Мы можем говорить о бытии или небытии, но ни о чем промежуточном
(среднем, третьем) между ними. В соответствии с этим древнегреческий
философ развивает свое учение об истине, по отношению к которой ложь - это
отрицание истины, тогда как сама истина - это отрицание лжи. Такое
понимание истины и лжи служит у Аристотеля необходимой предпосылкой
доказательства закона исключенного третьего, а именно: поскольку истинные и
ложные суждения высказываются обо всем, что есть или не есть, то отсюда
вытекает, что суждение, которое выражает нечто среднее между бытием и
небытием и, следовательно, не высказывается ни о бытии, ни о небытии, то есть не
является ни истинным, ни ложным, логически невозможно.
Познавательная интуиция вполне соответствовала философско-мировоззренчес-
ким установкам Аристотеля, которые могли показаться наивными философски
мыслящим математикам XX в. из числа интуиционистов. Последних не
устраивало то, что закон исключенного третьего не гарантировал четкого (интуитивно
четкого!) разграничения истины и лжи. Они пытались найти конструктивные
подходы к построению математических теорий, отличные от теоретико-множественных.
В 30-х гг. конструктивная тенденция в математике проявилась в виде общей
теории так называемых конструктивных процессов или алгоритмов для
вычисления функций (разрешения предикатов). Эту теорию принято называть теорией
общерекурсивных функций в связи с одним из математических определений
класса теоретико-числовых функций. О том, что собой представляет эта теория,
будет сказано в конце данной главы, но уже сейчас полезно кое-что запомнить.
От математического понятия функции к логическому понятию
лямбда-исчисления. Понятие функции является одним из фундаментальных математических и
общенаучных понятий. Функция выражает зависимость между переменными
величинами. Математики рассматривают эти величины в отвлеченном
(логико-алгебраическом) виде. Их прежде всего интересуют различные законы взаимосвязи
между такого рода абстрактными математическими объектами. Законы данной
взаимосвязи называются функциональными зависимостями, или функциями.
Следует учитывать, что числовые функции являются далеко не
единственным видом функций.
Математическое описание понятия функциональной зависимости (функции)
состоит в следующем. Пусть M и N являются некоторыми непустыми
множествами. Говорят, что имеется функция, определенная на множестве M со
значениями в множестве N, если в силу некоторого закона / каждому элементу х е M
соответствует определенный элемент у е N. В этом случае множество M
называется областью определения функции. Символ je, указывающий на элемент
множества М, называется аргументом функции или независимой переменной. Значением
этого аргумента будет у из N\ он называется значением функции и обозначается
Глава 5
221
так: у = fix). Поскольку при изменении значений аргумента х меняется значение у,
постольку величину у = fix) называют зависимой переменной.
Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует
единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному
значению аргумента соответствует два или более значений функции.
Понятие «функция» в различных отделах математики имеет различные
терминологические выражения («соответствие», «отображение», «оператор»,
«функционал» и т. д.), обладающие своей характерной символикой. Так, для
функции в смысле отображения в математике приняты уже известные нам
следующие обозначения:
/■ M -> N
или
Если из контекста ясно, каковы область определения и область значений
функций, то используются также обозначения х —» fix) или у = fix), а иногда
обозначают функцию одним лишь символом /.
Когда функцию fi M -> N называют отображением, значение fix) е N,
которое она принимает на элементе х из M (х е М), обычно называют образом
элемента х. Образом множества Р, являющимся подмножеством множества M
(Р с М), при отображении f: M -> N называют множество fiP) тех элементов
N, которые являются образами элементов множества Р.
Оператором называют такую функцию, которая преобразует одни функции
в другие. Операторы и функционалы изучаются в разделе современного
математического анализа, называемого функциональным анализом. Числовые же
функции изучаются в разделах математического анализа, объединяемых названием
«теория функций».
Функционалом называется числовая (действительная или комплексная)
функция, определенная на некотором множестве функций.
Если х и у рассматривать как координаты на плоскости, то функция у = fix)
часто изображается графиком функции у от jc.
Задание функции предполагает указание определенного алгоритма или
точное описание того, как по фиксированному значению аргумента находить
значение функции. Алгоритмическое задание функций является основным для
расчетов, выполняемых с помощью компьютеров.
Функция мыслится нами как эффективно вычислимая, если имеется некая
механическая процедура, следуя которой, можно найти значение этой функции всякий
раз, как только даны значения ее аргументов. Выражение «механическая
процедура» указывает на наличие алгоритма для нахождения функции. Если алгоритм
отсутствует, то возникает задача либо его отыскать, либо доказать, что не
существует эффективной процедуры для решения соответствующей задачи или их типа.
Когда мы беремся доказывать, что соответствующая функция не является
эффективно вычислимой, то мы прежде всего должны дать точное
математическое определение понятию «эффективная вычислимость». Давая определение,
мы сталкиваемся с проблемой выбора языка, посредством которого это
определение будет сформулировано. Проблема языка, в свою очередь, ставит нас
перед проблемой выбора соответствующей логической системы. Таким
образом от проблемы эффективно вычислимой функции перебрасывается мостик к
математической логике.
Понятие функции является настолько важным для математики, что ни один
теоретик математики, включая конструктивистов или интуиционистов, не может
пройти мимо него, не проверив возможностей своих теоретических
разработок, включая логические.
222
К.К. Жоль Логика
Несмотря на столь важную роль понятия «функция» в математике и логике,
введение обозначений для функций, первыми из которых были функциональные символы
Г. В. Лейбница и И.Бернулли, проходило не без трудностей. Причем, как
подчеркивает известный французский ученый Жан-Луи Лорьер, крупный специалист в области
исследований систем «искусственного интеллекта», единогласия в этой области нет
еще и до сих пор. Постоянно смешивается сама функция / и ее значения J{x).
Производная функция почти всегда смешивается с ее значением. Эта и другие ошибки
вызываются принятыми обозначениями. Проблема обозначений усложняется, когда
требуется рассматривать выражение как функцию от одной ее составляющих. Так,
например, в физике или механике пишут y(t), рассматривая у как функцию времени, а
затем записывают у(х), рассматривая ее как функцию положения, и, наконец, пишут
просто у как функцию вообще. Такие обозначения, по мнению Лорьера, являются
неприемлемыми из-за непоследовательности и сложности для начинающих. С другой
стороны, проблема усложняется тем, что практически невозможно ввести свой символ
для каждой функциональной зависимости. От такого множества символов зарябило
бы в глазах даже у специалистов с большим опытом работы и великолепной
памятью.
В 1950 г. элегантное решение проблемы было предложено двумя известными
математиками, А. Чёрчем (1903-1995)2 и X. Б. Карри, которые выдвинули и
развили идею Агзаписи (функционального лямбда-оператора). Суть этой записи
состоит в том, что символы Ях, стоящие перед каким-либо выражением,
трансформируют его в функцию от je. Линейная функция от х записывается в виде hc{ax + b).
Здесь лежит начало языка программирования ЛИСП, созданного в 1960 г.
А теперь опустимся с теоретических высот на грешную землю и заглянем в
школьные учебники. Эти учебники сообщают нам, что в различных науках часто
приходится иметь дело с переменными, связанными функциональной зависимостью,
которая предполагает, что изменение одной переменной влечет за собой
определенное изменение другой переменной. В обобщенном виде данную зависимость
можно определить так: если каждому значению одной переменной соответствует
одно вполне определенное значение другой, то первая переменная называется
независимой переменной, или аргументом, а вторая - функцией от этой независимой
переменной. Например, площадь квадрата есть функция от длины его стороны.
Простейшим видом функциональной зависимости является прямо
пропорциональная зависимость, которая характеризуется тем, что значения функции
пропорциональны значениям независимой переменной.
Прямо пропорциональная зависимость переменных х и у выражается
уравнением у = кх, где к - постоянный коэффициент.
2 Чёрч был одним из американских пионеров в области математической логики. Он
сделал большой вклад в кибернетику, в частности благодаря своей теории алгоритмов.
Получил образование в Принстонском университете, был стипендиатом Гарвардского
университета и год провел в университете Гетингена (Германия). После возвращения в США
преподавал математику и философию в Принстонском университете (1929-1967). Его
учениками были: А. М. Тьюринг, С. К. Клини, Дж. Кемени, Р. М. Смульян, М. Дэвис и др.
Многие из его научных инноваций относятся к 30-м гг. В то время им было разработано
теория лямбдя-исчисления, которая позднее сыграло очень важную роль в развитие
кибернетике. Чёрч и Тьюринг, независимо друг от друга, сформулировали идею, гласящую,
что функция вычислима, если она рекурсивна. Так называемый «тезис Чёрча-Тьюринга»
помог К. Гёделю в его математических исследованиях. Как известно, в 1931 г. Гёдель
доказал, что в элементарной математике имеются истины, которые не могут быть
доказаны или опровергнуты на базе соответствующих аксиом внутри данной системы. В
1936 г. Чёрч принял участие в создании «Журнала Символической Логики» («Journal of
Symbolic Logic»), редактором которого оставался до 1979 г. Его перу принадлежит
хорошо известный во всем мире учебник «Введение в математическую логику» («Introduction
to Mathematical Logic», 1956).
Глава 5
223
О
л
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис.3.
Графиком функции у = кх является прямая линия, проходящая через начало
координат (рис. 1).
Если значения функции изменяются обратно пропорционально
независимой переменной, то такая функциональная зависимость называется обратно
пропорциональной зависимостью.
При обратно пропорциональной зависимости значения функции
выражаются через значения независимой переменной по формуле
к
у = ->
х
где к - данный коэффициент.
Графиком данной функции при положительном к является гипербола (рис. 2).
Линейной функцией называется функция у9 значения которой выражаются
через значения независимой переменной в виде линейного двучлена кх + Ъ.
Двучленом первой степени от jc, или линейным двучленом от jc, называется
выражение вида кх + Ь9 где к и Ъ - некоторые постоянные. Например: 2х + 5.
Графиком некоторой линейной функции является всякая прямая, не
параллельная оси ординат (например, рис. 3).
Линейную алгебраическую функцию / можно записать, например, так:
Дх) = х + 6.
Однако же эту функцию с помощью Я-записи (лял*бдя-оператора) можно
выразить иначе, а именно:
/ = Лх.х + 6.
224
КК. Жолъ Логика
В данном случае х указывает не на абстрактный объект, а на место для
объекта. Поэтому можно без особой головной боли переобозначить это
«указательное местоимение», то есть заменить два вхождения х в приведенной
формуле, например, на у. При этом необходимо придерживаться того правила, что
нельзя заменить только одно вхождение х9 а другие оставить без изменений.
Такой тип замены называется одновременной подстановкой. Одновременная
подстановка объясняется тем, что х является связанной переменной, то есть первое
вхождение х вводит (описывает, осуществляет кванторную дескрипцию) связь,
которой подчинено второе вхождение х.
Переименование связанной переменной здесь вполне допустимо, ибо
главным для нас является сохранение количества однотипных переменных до и после
вховдения, то есть сколько было различных вхождений переменных до
одновременной подстановки, столько же должно остаться и после. Например,
алгебраическое выражение
Хху.х х у
равняется
Àzy.z х у9
но не
ÀZZ.Z X Z.
Область действия некоторой квантификации (лямбда-оператора) есть
формула, к которой применяется эта квантификация (лямбда-оператор).
Следует иметь в виду, что вхождение переменной х свободно, если оно не
является ни квалифицированным, ни связанным каким-либо другим образом.
На базе лямбда-оператора, используемого не только в математике в связи с
расширенной трактовкой понятия «функция», но и в логике, некоторые ученые
предлагают строить лял*бда-исчисление (Я-исчисление), в котором множество
описывается следующим образом:
Ах (логическая формула, содержащая переменную je],
Глава 5
225
где скобки ( ] указывают на открытый слева и закрытый справа интервал
некоторого множества (например: множества состояний из некоторого пространства
состояний как аналога топологического пространства).
Рассмотрим следующее высказывание: «Остап Бендер засыпал подпольного
советского миллионера шокирующими телеграммами». Переведем это
высказывание на язык логики предикатов и получим: Засыпать {Остап Бендер, Корей-
ко, телеграммы).
(1) Выражение, называемое Х-выражением или Х-абстракцией, вида
телеграммы [Засыпать {Остап Бендер, Корейко, телеграммы)]
определяет характеристическую функцию множества объектов (предположим,
что мы не знаем, в какой почтовой форме Остап Бендер заставлял трепетать
Корейко, и обозначим форму пересылаемых объектов черех jc), посылаемых
Великим Комбинатором Великому Подпольному Миллионеру. Тогда будем
иметь
(2) Хх [Засыпать {Остап Бендер, Корейко, х)].
Корейко не знает, от кого исходит для него угроза в форме телеграмм.
Соответственно этому будем иметь выражение
(3) Ху [Засыпать (у, Корейко, телеграммы)].
Выражение (2) определяет характеристическую функцию множества
объектов, посылаемых Остапом Бендером подпольному советскому миллионеру
Корейко.
Выражение (3) определяет характеристическую функцию множества
индивидуумов, посылающих объекты Корейко.
Выражение
(4) Хх, у [Засыпать {у, Корейко, х)]
определяет характеристическую функцию множества пар (отправитель,
посылаемые объекты), для которых Корейко является получателем.
Если F - формула, то XxF указывает описанное с помощью F множество,
на элементах которого, являющихся конкретизацией для х, формула F
истинна. Оператор Я, как и кванторы всеобщности и существования, служит для
связывания вхождений переменных.
В логической литературе, в которой развиваются идеи лямбда-исчисления,
дается следующее формализованное определение Я-выражения (Я-абстракции):
«-арное Я-выражение Хх{9 *2, ..., xj? состоит из логической формулы F,
называемой телом выражения, и множества п переменных х{, х2, ..., jc^,
являющихся формальными параметрами выражения. Следующий за Я список
параметров служит для того, чтобы отличить формальные параметры от других
аргументов формулы F.
Телом Я-выражения является формула логики предикатов. Как только
задаются значения п формальных параметров, Я-выражение станет л-арным
предикатом, принимающим значения «истина» или «ложь» в зависимости от того,
какие индивидуальные значения присвоены формальным параметрам.
Интересно отметить, что в некоторых компьютерных системах баз данных
Л-выражение используется для постановки вопросов-заданий. Например,
выражение (4) соответствовало бы вопросу в форме запроса: «Назовите посланные
для Корейко объекты и соответствующего отправителя (или отправителей)».
226
К. К. Жолъ Логика
Таким образом, сказанного более чем достаточно для того, чтобы убедиться в
благотворном влиянии математических исследований по проблематике рекурсивных
функций на современное развитие логической науки.
Определение общерекурсивных функций было дано в 1934 г. Гёделем. В 1936 г.
Чёрчем было предложено отождествить общерекурсивные функции с эффективно
вычислимыми функциями.
Хотя интуиционизм возник на 25 лет раньше теории общерекурсивных
функций, все же первоначальное развитие данной теории происходило независимо
от интуиционизма. В 1950 г. Клини высказал мысль, что использование
рекурсивных функций могло бы помочь брауэровскому анализу стать более
приемлемым для многих математиков. Но после появления в 1956 г. книги А. Гей-
тинга «Интуиционизм» необходимость в такой помощи, по словам Клини, была
резко уменьшена.
Такова ближайшая предыстория интуиционизма и конструктивизма в
математике, но есть и более отдаленные исторические предпосылки формирования
новых математических идей и методов, не упомянуть о которых просто нельзя.
Актуальная и потенциальная бесконечности. Без преувеличения можно
уверенно сказать, что различные попытки обоснования математики в
существенной степени зависят от подхода к решению проблемы бесконечности.
Наука знает два понятия бесконечности - «потенциальная» и «актуальная».
Понятие актуальной бесконечности (завершенной бесконечности) является
абстракцией абсолютной осуществимости. Эта абстракция получается посредством
метода идеализации, то есть о бесконечном множестве мы рассуждаем по
аналогии с конечными множествами.
В отличие от абстракции актуальной бесконечности, где все элементы даны
одновременно, при использовании абстракции потенциальной бесконечности
следует учитывать прямо обратное, а именно: элементы потенциальной
бесконечности не существуют одновременно, а последовательно возникают в процессе
построения.
Если сравнить эти две абстракции, то бросается в глаза, что смысл
потенциальной бесконечности интуитивно более ясен, чем смысл понятия
актуальной бесконечности. Не случайно идея потенциальной бесконечности возникла
в математике раньше идеи актуальной бесконечности.
Впервые идею потенциальной бесконечности в античной науке мы
встречаем у греческого философа Анаксагора (ок. 500-428 гг. до н. э.) Эта идея
основывалась на допущении возможности бесконечной делимости континуума.
Идея потенциальной бесконечности породила понятие математического
предела, прообразом которого явился так называемый метод исчерпывания. Метод
исчерпывания связан с именами древнегреческих ученых Евдокса (ок. 406 - ок.
355 гг. до н. э.) и Архимеда (ок. 287-212 гг. до н. э.). Показательно, что
Аристотель называл потенциальной ту бесконечность, которая представлена евдок-
совой теорией пропорций. Главная идея метода исчерпывания состоит в том,
что если от какой-нибудь величины отнять ее половину или больше, а с
остатком поступить точно также и продолжать аналогичным образом действовать и
дальше, то в конце концов мы получим величину, которая будет меньше
любой заданной.
Часто используемое в учебной литературе понятие математического
предела является производным от одного из основных понятий математики -
понятия последовательности.
Простейшим примером последовательности служит последовательность всех
натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... .
Каждое число, входящее в последовательность, называется членом
последовательности.
Последовательности могут быть как бесконечными, так и конечными.
Глава 5
227
Член последовательности, находящийся на первом месте, называется первым
членом этой последовательности; член последовательности, находящийся на
втором месте, называется вторым членом последовательности; и т. д. Таким
образом, каждый член последовательности имеет свой номер, который указывает
место этого члена в последовательности. Если последовательность задана и нам
известен номер места, которое занимает число в этой последовательности, то известно
и само число.
В математике обычный способ задания последовательности состоит в том,
что дают формулу ее общего члена. С этой целью члены последовательности
обозначаются буквами. Например, их - первый член, и2 - второй член, и т. д.
Таким образом, последовательность имеет вид
их, и2, и3, ...
Если теперь указать, как ип, называемый общим членом последовательности,
выражается через свой номер п, то последовательность будет задана.
Например, общий член последовательности 1, 2, 3, ... определяется формулой
ип = п.
Общий член последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,... определяется формулой
и = \1п.
п
Иногда последовательность обозначается так:
При любом способе задания последовательности каждый член ее
определяется номером занимаемого им места.
Каждый член последовательности является соответствующим значением
функции. Например, последовательность {1/«} получится, если в выражении XIп
давать аргументу п значения 1, 2, 3, ... .
Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий
член ее не меньше предыдущего, то есть если
и, , > и,.
к+\ к
Последовательность называется строго возрастающей, если каждый
последующий член ее больше предыдущего, то есть если
Последовательность называется убывающей, если каждый последующий член
ее не больше предыдущего, то есть если
uL, < и.
M к
Последовательность называется строго убывающей, если каждый
последующий член ее меньше предыдущего, то есть если
ие
228
К.К. Жоль Логика
Последовательность называется ограниченной, если все члены ее по абсолютной
величине меньше некоторого числа. Например, последовательность -1/2, 1/4, -1/8, 1/16,
..., общий член которой и = (-1/2)", является ограниченной, поскольку все члены этой
последовательности по абсолютной величине меньше единицы.
Последовательность называется неограниченной, если для любого числа M
найдется такой член последовательности, который по абсолютной величине
больше М. Например, последовательность
-1, 2, -3, 4, -5, 6, ... ,
общий член которой ип = (-1)п х п, является неограниченной.
Последовательность называется постоянной, если все члены ее равны между
собой. Например, последовательность 7, 7, 7, ... , общий член которой ип = 1,
является постоянной.
В математике применяются главным образом те (бесконечные)
последовательности, которые имеют предел.
Рассмотрим в качестве примера последовательность
1, -0,5, 0,33..., -0,25, 0,2, ... ,
общий член которой (_1)Л + 1
и = .
п п
Эта последовательность изображена на рис. 4. По расположению точек на
прямой можно заметить, что они все ближе и ближе подходят к нулю, накапливаясь
около нуля.
Теперь сделаем некоторое обобщение. Пусть е - любое положительное
число. Возьмем на числовой оси отрезок длиной 2е с центром в точке 0. Найдется
такой номер N, что всякая точка последовательности с номером, большим N,
будет находиться внутри этого отрезка. Почему?
Число N зависит от числа е. Чем меньше е, тем больше будет N. Например,
если е = 1/10, за N можно принять 10, а затем проверить, действительно ли все
получается так, как мы определяем. Проверка показывает, что, действительно,
точки 1/11, -1/12, 1/13, -1/14, ... находятся внутри отрезка (-1/10, 1/10).
Суммируя все наши наблюдения, мы можем сформулировать следующие
определение: число а называется пределом последовательности, если для каждого
положительного числа е, сколь бы мало оно ни было, существует такой номер N, что
все точки последовательности, у которых номер больше N, будут находиться от а
на расстоянии, меньшем чем е.
-0,25 0 0,2 0,33
Рис. 4.
Глава 5
229
Для того чтобы точка b находилась на числовой оси на расстоянии, меньшем е
от точки а, необходимо и достаточно, чтобы
I b - а | < е.
На основании этого можно сформулировать более общее определение предела,
а именно: число а будет называться пределом последовательности
и,, и2, ... , ип ... ,
если для каждого положительного числа е, сколь бы мало оно ни было,
существует такой номер N9 что все значения и , у которых номер п > N, удовлетворяют
неравенству
\и - а | < е.
п
Таким образом, если число а является пределом последовательности и , «2, ...,
и, ... , то члены последовательности отличаются от а сколь угодно мало, если
только их номера достаточно велики.
Тот факт, что а является пределом последовательности
и{9 и2, ... , ия, ... ,
записывают так:
и —» а, если л —» °°, где ©о - символ бесконечности.
п
Или записывается еще так:
lim и = а.
п
Читается: «предел ип равен а».
Если число а является пределом последовательности, то говорят, что
последовательность сходится к а.
Таким образом, последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными
{монотонно возрастающими и монотонно убывающими). В данном случае
весьма важное значение имеет теорема, гласящая, что всякая монотонная и
ограниченная последовательность имеет предел. При этом необходимо подчеркнуть
следующее: если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Обратная теорема не верна, то есть не всякая ограниченная последовательность имеет
предел. Например, последовательность 1, 0, 1, 0, 1, 0, ..., общий член которой
1 + (-1)Л + 1
ограничена, а предела не имеет.
Вооружившись школьными знаниями, примем к сведению следующее:
теория пределов попыталась изгнать понятие актуальной бесконечности из науки,
заменив его понятием предельного перехода и положив в свою основу идею
потенциальной бесконечности.
Канторовские разработки математической теории множеств вновь
возродили спор о потенциальной и актуальной бесконечности. Подавляющее
большинство современников Кантора признавали только один вид бесконечных
величин - величину, способную к безграничному увеличению и служившую примером
230
К. К. Жоль Логика
потенциальной бесконечности. Вразрез с общепринятыми взглядами Кантор
доказывал, что наряду с понятием потенциальной бесконечностью свои права на
существовании в математике имеет и понятие актуальной бесконечности. По словам
немецкого ученого, потенциально бесконечное - это вспомогательное понятие
нашего мышления, заключающее в себе идею изменчивости и указывающее на
сверхконечное (transfinitum).
Кантор не призывал полностью отказаться от понятия потенциальной
бесконечности в математике. Более того, признавая определенную плодотворность
данного понятия для науки, он возражал против именования потенциальной
бесконечности «дурной бесконечностью», под которой понимается мысленное
полагание неких пространственных пределов и постоянный выход за них.
Актуально бесконечным Кантор называл такое количество, которое
неизменно во всех своих частях и представляет собой некую истинную постоянную
величину.
«Внутри» сферы актуально бесконечного Кантор различал трансфинитное
актуально бесконечное и абсолютное актуально бесконечное. Трансфинитная
бесконечность - это такая бесконечность, которая способна еще увеличиваться.
Абсолютная бесконечность не способна увеличиваться и поэтому математически
неопределима. Из последнего следует, что доступным предметом
математического исследования является только трансфинитная бесконечность, которая как
бы отрывается от потенциальной бесконечности, но не превращается в
неопределимую абсолютную бесконечность. Почему не превращается?
Дело в том, что подобному множеству присуща некоторая определенность, а
именно - определенная последовательность его элементов. Соответственно этому
фундаментальным понятием канторовской теории множеств становится понятие
вполне упорядоченного множества. Под таким вполне упорядоченным множеством
Кантор понимает всякое строго определенное множество, элементы которого
связаны между собой некоторой вполне определенной последовательностью.
Канторовская теория множеств создала условия для разработки теории
пределов, позволяющей обосновать математический анализ. Кроме того, она
способствовала возникновению таких новых разделов математики, как, например,
функциональный анализ, который изрядно озадачил представителей
интуиционистской математики, попытавшихся его переосмыслить в терминах, отличных от
языка математической теории множеств, базирующейся на идее актуальной
бесконечности.
Новый импульс идея потенциальной бесконечности получила в XX
столетии благодаря теории алгориф(т)мов и рекурсивных функций, что вылилось в
разработку принципов конструктивистской {конструктивной) математики.
Вместе с переоценкой смысла понятия потенциальной бесконечности,
которое потеснила канторовская теория множеств, где основная ставка делалась на
понятие актуальной бесконечности, серьезно переоценено было и понятие
«существование» в математике. Замечу, что в математическом языке это понятие
используется для указание на наличие объектов, обладающих определенными
математическими свойствами.
Для интуиционистов понятие существования в математике связывается с
построением какого-либо объекта. «Существовать» означает «быть построенным»
(А. Гейтинг).
Отождествляя существование математических объектов с возможностью их
построения, интуиционисты и саму математику рассматривают не просто как
теорию, а как особый род теоретической деятельности. Эта деятельность
состоит в умственном построении определенных математических объектов.
Борьба за торжество математики над логикой. В противовес
аксиоматическому построению математики интуиционисты не придают логике того значения,
которое ей придают «формалисты» типа Гильберта. По мнению инуиционистов,
Глава 5
231
математические построения должны быть такими ясными, что могут не нуждаться
в каком-либо другом обосновании. Поэтому для них логика - это часть
математики, а не наоборот, как у логицистов, которые пытались вывести математику из
логики.
Воюя с актуальной бесконечностью, интуиционисты, соответственно,
заменяют термин «множество» терминами «поток» (Л. Э. Я. Брауэр),
«последовательность» (Г. Вейль) и т. п.
Признавая единственно правомерным понятие потенциальной
(становящейся) бесконечности, интуиционисты полагают, что в контексте так понимаемой
бесконечности лишен смысла вопрос о существовании в нем элемента (члена)
определенного рода, пока этот математический элемент не построен.
Развитие идей математического конструктивизма (конструирования
математических объектов на базе идеологии математического интуиционизма)
привело Брауэра к тому, что в своей знаменитой работе 1908 г. о недостоверности
логических принципов он отбрасывает традиционное убеждение о пригодности
классической логики для математики. Через десять лет Брауэр приступает к
построению интуиционистской математики, отличной от традиционной в духе
формализма Гильберта.
Согласно Брауэру, математика должна состоять из интуитивных
рассуждений на основе математически ясного смысла предложений (высказываний),
относящихся к математическим объектам, а не принимать исключительно вид
формальной дедукции из формально установленных аксиом.
Основатель интуиционизма был убежден, что математическое мышление -
это особый процесс мысленного построения математических объектов, процесс,
не зависящий от эмпирического опыта и базирующийся на фундаментальной
математической интуиции. Математические мысли (идеи) не подчиняются
какому-либо языку, ибо уходят своими корнями в глубины неязыкового
человеческого разума. Поскольку логика относится к особому виду искусственного языка,
она не может конкурировать с математической интуицией, то есть не может быть
надежным инструментом для открытия математических истин. Логика произ-
водна, зависима от математики, а не наоборот. Придя к такому заключению,
Брауэр начинает во всеуслышание отвергать математическую задачу вывода всех
заключений из аксиом. Это значит, что он отвергает в принципе тотальную
аксиоматизацию математики и тем самым бросает вызов сторонникам
формализации математического знания.
Если усвоение математических истин не требует знания только
формальных доказательств, то парадоксы, обнаруженные Расселом и другими учеными
в теориях, ценность которых чужда Брауэру, являются скорее дефектами
логики, а не собственно математики. Следовательно, проблема
непротиворечивости для Брауэра - это псевдопроблема, если ее ставить во главу угла всей
математики.
Брауэр, исходя из философских предпосылок, считал, что разнообразие
математических конструкций не может быть ограничено рамками какой-либо
фиксированной формальной системы.
Итак, по мнению интуиционистов, математическому рассмотрению
подлежат только конструктивные объекты и понятия о них. Для этого необходимо
указать метод, позволяющий построить (сконструировать) тот или иной объект
за конечное число шагов.
Пытаясь избавиться от некоторых крайностей доктрины интуиционизма, часть
математиков, симпатизировавших интуиционизму, попыталась примирить
классическую логику с конструктивными тенденциями в контексте интуиционизма.
Этих математиков можно окрестить конструктивистами (конструкционистами).
Развитие ими идей интуиционизма приняло вид так называемого
конструктивизма (конструкционизма). Конструктивистам удалось добиться определенных
232
К. К. Жоль Логика
успехов, но эти успехи были весьма скромны. Поэтому многие математики
считают, что перспективы распространить конструктивистский подход на всю
современную математику нельзя считать обнадеживающим. К тому же базисное для
конструктивизма понятие «конструктивность» отнюдь не является четким и
однозначным, что периодически вызывает бурную полемику в рядах интуиционистов и
конструктивистов.
В 1930 г. Гейтинг, считающийся наиболее выдающимся представителем
интуиционизма после Брауэра, опубликовал интересную работу с изложением
формальных правил интуиционистской логики, которая явилась своеобразным
символическим выражением намерения наладить отношения взаимопонимания с
представителями формальной логики.
В логике Гейтинга из истинности высказывания вида р следует: неверно,
что р ложно. Однако из утверждения «неверно, что р ложно» еще не следует,
что р истинно, так как высказывание вида р может оказаться
неконструктивным, то есть закон исключенного третьего в логике Гейтинга не используется.
Формализация Гейтинга не была единственной. Уже в середине 30-х гг. Г. Ген-
цен осуществил новую формализацию интуиционистской логики. Позднее было
доказано, что часть интуиционистской математики может быть выражена в
том же языке, что и соответствующий фрагмент классического
математического анализа.
Ученые, взявшиеся за дело создания формальной системы, в которой, по их
мнению, могла быть развернута интуиционистская математика, исходили из
того, что Брауэр не требовал обязательного отказа от использования
формальных методов дедукции в целях экономии труда. Возражения Брауэра
относились только к тем формальным рассуждениям, которые не могли быть
выполнены в терминах интуитивно ясного смысла математических формулировок.
Исходя из вполне разумных философских предпосылок, Брауэр резонно
утверждал, что все разнообразие математических конструкций не может быть
ограничено рамками какой-либо одной фиксированной формальной системы. Эту
позицию он занял задолго до того, как она получила подтверждение в знаменитом
доказательстве Гёделя (1931) того, что всякий формализм неполон.
Доказательство Гёделя, изрядно смутившее Гильберта, не только подтвердило взгляды
Брауэра, но и раздосадовало брауэровцев тем, что система интуиционистской
математики также не может быть полной даже для той части математического
конструирования, которая выразима в ее символизме.
И все же формальное описание части интуиционистской математики
возможно. Как уже отмечалось, эту возможность реализовал Гейтинг в своих
работах 1930 г. Формализация интуиционистской логики, осуществленная им,
привела к разнообразным и довольно интересным результатам в области
теории доказательств (метаматематики) и логической семантики, выходящим
далеко за рамки интуиционизма.
В 1934-1935 гг. аналогичную работу проделал Генцен, выполнивший
формализацию интуиционистской логики, отличающуюся от классической логики
одной схемой аксиом (схемой для устранения отрицания).
Позднее было убедительно доказано, что определенная часть
интуиционистской математики может быть достаточно полно выражена в том же языке, что и
соответствующий фрагмент классического математического анализа.
Конструктивные процессы и конструктивные объекты. Особо следует отметить
вклад в развитие конструкционистской математики и логики Андрея Андреевича
Маркова.
Марков, как и Брауэр, резко критически относился к канторовской теории
множеств. Он отказывался признавать теорию множеств в качестве основы для
построения математики и предлагал строить ее конструктивно.
Что конкретное имеется в виду, когда говорится о конструктивности?
Глава 5
233
На этот вопрос Марков отвечает следующим образом. Самым простым
примером конструктивного процесса является построение ряда вертикальных
черточек IIIIII посредством начертания слева направо одной черточки за другой.
Результатом подобного конструктивного процесса является так называемый
конструктивный объект, изображаемый в нашем случае шестью черточками.
Ряды вертикальных черточек вроде наших, включая пустой ряд, в состав
которого не входит ни одна черточка, можно назвать не черточками, а, например,
натуральными числами. Тогда натуральное число, представленное шестью
черточками, можно изобразить с помощью арабской цифры 6. Натуральное число,
представленное пустым рядом, будем называть нулем и изображать цифрой 0.
Вместо черточек можно использовать знаки других типов. Конструктивный
процесс будет тем же самым, то есть мы напишем первый элементарный знак,
затем припишем к нему справа другой элементарный знак и т. д. К разряду
таких элементарных знаков можно отнести буквы какого-либо алфавита. Как
подчеркивал Марков, сами буквы мы не будем определять в духе Аристотеля
(скажем, через ближайший род и видовое отличие). Философский вопрос о том,
что такое буква вообще, хладнокровно опускается. Конструктивистов вполне
устроит, что всякий раз, начиная что-то строить, мы будем считать: такие-то и
такие-то знаки являются элементарными, имея в виду, что требующиеся нам
выражения будут строиться из этих элементарных знаков.
Конечный набор букв может задаваться тем или иным списком. Такие списки
условимся называть алфавитами.
Ряды букв алфавита назовем словами. Подобным образом построенные
«слова» будут примером конструктивных объектов. Нас, как математиков, а не
лингвистов, не должно волновать, что некоторые из слов конструктивного словаря
будут чем-то совершенно бессмысленным для любого человека, умеющего
читать и писать (например цурипопик).
Пустой ряд букв условимся называть пустым словом.
Вводимые таким образом «буквы» для построения конструктивных объектов
имеют прежде всего логико-математический смысл. Это надо учитывать, чтобы
не путаться в аналогиях по поводу естественного языка. Соответственно,
«словом» в данном контексте будет считаться конструкция из «букв». Данное
«слово» может быть настолько большим, что внешне оно может уподобляться
некоторому тексту, особенно если мы признаем в качестве букв знаки препинания,
пробелы и т. п. «Слова» могут связываться между собой, образуя
«предложения». Для этого должны быть заданы соответствующие способы связи,
обозначаемые теми или иными символами, вводимыми посредством определений.
Строгие принципы построения конструктивистской (конструктивной)
математической логики. Данная характеристика алфавита и слов как
конструктивных объектов может быть отнесена к разряду так называемой канонической
системы конструктивного анализа, изобретенной в 1941 г. Э. Л. Постом.
Согласно канонической системе предполагается, что дан список знаков
(символов), называемых переменными, а также дан список знаков (символов),
отличных от знаков для переменных и используемых для обозначения термов,
частным случаем которых являются переменные. Тогда терм - это любая
цепочка знаков, включая знаки для переменных. Производящая термы схема имеет
следующий вид:
tx,t2,:.,tn
t
где все t, то есть /, f, ..., tn (п > 0), суть термы. Термы t}9 t2, ..., t называются
посылками, a t - заключением производящей схемы. Схема без посылок (п = 0)
называется аксиомой.
234
К.К. Жолъ Логика
Таким образом, каноническая схема (или система Поста) состоит из (а) списка
знаков (символов), (Ь) списка переменных и (с) конечного множества схем,
включающих термы. Знаки образуют алфавит канонической системы.
Мы можем также рассматривать конструктивные объекты, построенные
нелинейным способом. К числу таких нелинейных конструктивных объектов
относятся деревья (рис. 5).
Часто применяется такой способ описания конструктивных процессов, в
основе которого лежит понятие исчисления. В современной математике и
математической логике это понятие является одним из важнейших.
Когда говорится об исчислении, предполагается наличие аксиом
(некоторых конструктивных объектов), а также правил вывода, позволяющих на основе
уже полученных объектов строить новые.
Объект считается выводимым в рамках конструктивистского исчисления, если
может быть построен его конечный вывод в этом исчислении, то есть вывод
данного объекта может рассматриваться как его построение.
Множество конструктивных объектов эффективно перечислимо (исчислимо),
если мы можем дать предписание, указывающее нам, как порождать элементы
данного множества один за другим чисто механическим путем. Это и есть
понятие рекурсивного перечислимого (исчислимого) множества.
Конструктивистская математическая логика с точки зрения зрения логики
высказываний. Что должно означать в контексте конструктивистской
математической логики соединение математического термина «исчисление» с
логическим термином «высказывание»?
Слово «высказывание» заимствовано из естественного языка. Интуиция
подсказывает, что исчисление высказываний - это особого рода
логико-математический язык.
В логических языках правила построения высказываний формулируется
достаточно четко, но по-разному. При этом некоторые правила квалифицируют
определенные логические слова, точнее, квалифицируют логические выражения
как высказывания. Другие правила позволяют строить новые высказывания из
уже построенных. В конструктивистской математической логике
высказываниями считаются те объекты, которые могут быть построены по данным
правилам. Эти правила образуют синтаксис нашего искусственного логического
языка. В грамматике естественных языков под синтаксисом понимаются
соединения и сочетания слов в предложении.
Однако мало знать правила синтаксиса естественного или искусственного
языка. Мы всегда хотим знать, что выражает то или иное высказывание. Ставя
вопрос о понимании высказывания, мы переходим от синтаксиса языка к его
семантике, то есть к смысловой стороне языка.
Чтобы высказывания стали для нас понятными, особенно когда дело
касается иностранных языков или различных научных языков, включая язык логики,
нам следует заключить некоторые семантические соглашения. Такие соглашения
помогают понять, о чем повествует (сообщает) то или иное высказывание.
Рис. 5.
Глава 5
235
Понимание высказываний позволяет ставить вопрос об их истинности, то
есть вопрос о том, действительно ли имеет место то, о чем высказывание нас
информирует. Высказывание считается истинным, если то, о чем оно сообщает,
действительно существует в соответствующем предметном мире, включая
логически возможный мир наших теоретических рассуждений. Высказывание
считается ложным, если то, о чем оно сообщает, не имеет места в одном из этих миров.
Необходимо запомнить, что семантические соглашения образуют семантику
данного языка.
Таким образом, любой язык можно рассматривать как состоящий из двух
частей - синтаксиса и семантики. В логике синтаксис и семантика - это весьма
специфические понятия, отличные от их аналогов в грамматике естественного
языка. Отличие настолько существенно, что логики, которым в чувстве юмора
не откажешь, рассматривают естественные языки как плохие искусственные
языки. Тем самым неявно подчеркивается, что к «хорошим» искусственным
языкам типа языка математической логики применимо понятие исчисления, то есть
язык логики может быть использован математиками, включая представителей
конструктивистской (интуиционистской) математики.
В чем состоит специфика конструктивистской логики высказываний?
Как отмечал академик Петр Сергеевич Новиков (1901-1975), один из
основателей российской научной школы математической логики, конструктивистская
логика была порождена попытками освободить математическое мышление от
неэффективных методов.
Что такое неэффективность в данном контексте?
Типичными примерами неэффективности в классической математике
являются такие доказательства существования математических объектов с заданными
свойствами, которые не позволяют осуществить конструктивное построение
индивидуального объекта с этими же свойствами. Другим распространенным типом
неэффективности результатов в математике являются теоремы об истинности
высказываний, построенных в виде дизъюнкции. Дело в том, что традиционные методы
доказательства не позволяют однозначно установить, какой член дизъюнкции
действительно истинен. Препятствием на этом пути является, как легко можно
догадаться, закон исключенного третьего. Новиков иллюстрирует это следующим
примером. Пусть р обозначает высказывание «Великая теорема Ферма истинна».
Применяя закон исключенного третьего, мы должны считать доказанным
высказывание вида р V —р. Однако такое доказательство ни на шаг не продвигает нас к
знанию того, какой же на самом деле член этой дизъюнкции истинен. Понятно,
если бы подобное знание было получено, то проблема Ферма была бы решена.
Поэтому конструктивистский подход диктует иное, чем в классической
математике, осмысление основных логических понятий. В связи с этим
конструктивисты стремятся на свой манер реабилитировать понятие потенциальной
бесконечности, которое попытался торпедировать Кантор.
Осуществляя конструктивные процессы, писал Марков, мы часто
наталкиваемся на препятствия, связанные с нехваткой времени, места и материала. К
сожалению, наши конструктивные возможности далеко не безграничны. Тем
не менее кое-чем можно пренебречь и рассуждать так, как если бы этих
препятствий не существовало. Это отвлечение (абстрагирование) от
ограниченности наших реальных возможностей принято называть абстракцией
потенциальной осуществимости.
Хорошенько запомним, что данная абстракция позволяет нам рассуждать о
сколь угодно длинных конструктивных процессах и сколь угодно больших
конструктивных объектах.
Классическая математика использует абстракции, во много раз превосходящие
абстракции конструктивной математики. Так, классическая математика
пользуется абстракцией «актуальная бесконечность», позволяя тем самым говорить о
236
К. К. Жолъ Логика
бесконечных множествах как о законченных, но неконструктивных (непостроенных)
объектах.
Особое место в классической и неклассической математике занимают
теоремы существования, утверждающие существование абстрактных объектов,
которые удовлетворяют соответствующим требованиям. Что касается
конструктивистской математики, то проблему существования она решает, исходя из того,
что построение конструктивных объектов потенциально осуществимо, то есть
мы владеем определенным способом их построения.
Конструктивная трактовка теоремы существования расходится с их
пониманием в классической математике. Например, классики считают возможным
утверждать существование абстрактного объекта тогда, когда удается
посредством доказательства reductio ad absurdum (приведение к нелепости)
опровергнуть предположение о том, что ни один объект не удовлетворяет выдвинутому
требованию. Характерно, что конструктивный способ построения искомого
абстрактного объекта может при этом и не быть известен, но потенциально он
допустим.
Как уже ранее указывалось, в логическом плане конструктивистская
математика и математическая логика отличается от своих классических конкурентов в
их теоретико-множественных интерпретациях пониманием дизъюнкции. В
конструктивистской математической логике дизъюнкция понимается как
осуществимость указания ее истинного элемента. Иначе говоря, в данном случае
дизъюнкция трактуется как потенциальная осуществимость конструктивного процесса,
дающего один из элементов дизъюнкции, который будет истинным. Классики
же считают дизъюнкцию истинной тогда, когда им удается опровергнуть
предположение о том, что ни один из ее элементов ре истинен. По этому поводу
Марков иронично замечает, что классики не утруждают себя объяснениями
понимания дизъюнкции и, как следствие, не заботятся об умении находить
истинный элемент дизъюнкции.
Из сказанного явствует, что конструктивная математика нуждается в
особой логике, существенно отличной от логики, базирующейся на
теоретико-множественных представлениях, в основе которых лежит понятие актуальной
бесконечности.
Глава 5
237
Конструктивистский подход диктует иное, чем в классической математике,
осмысление основных логических понятий. Рассмотрим с этой точки зрения связки
логики высказываний (пропозициональные связки).
В конструктивистской логике по крайней мере две из четырех логических
связок («и», «или», «если ..., то ...», «неверно, что ...») понимаются иначе, чем в
классической. Естественно, иное понимание логических связок предполагает и
другие правила действия с ними.
Начнем с конъюнкции (связка «и»; символ & или л). Связка «и» не создает
никаких проблем для конструктивистов. Обычное ее понимание вполне
пригодно для конструктивистской математики и логики. Как и в логике
высказываний, конъюнкция будет истинной при условии истинности обоих ее членов
или всех членов, если их больше.
Рассмотрим импликацию (материальную), в которой связкой является
оборот «если ..., то ...» (символ —»). Этот оборот часто провоцирует ошибочные для
логики аналогии, заимствованные из повседневной жизни. Например, в
обычных рассуждениях высказывание «Если у человека три волосатых уха и четыре
близоруких глаза, то Киев расположен на берегах Днепра» звучит нелепо и
бессмысленно, то есть вроде бы не имеет никакого отношения к истинностной
характеристике, но для логиков из числа «классиков» данное высказывание имеет
вполне определенное истинностное значение. Чтобы избежать путаницы и
ошибок, они подчеркивают следующее: импликация в классической логике
высказываний имеет весьма косвенное отношение к естественному языку и не имеет
никакого отношения к повседневному житейскому опыту. Это значит, что если
посылка (антецедент импликации) имеет конвенциональное (условное) значение
ложь, а заключение (консеквент импликации) имеет значение истина, то
импликация в целом обладает истинностным значением истина (см. таблицу истинности
для импликации, согласно которой для импликации вида р —» q ложным будет
только одно высказывание, у которого антецедент имеет значение истина, а
консеквент - ложь). Правда, надо иметь в виду, что импликацию р -» q не следует
воспринимать в строгом смысле слова как отношение выводимости q из р, хотя
между импликацией и логическим понятием вывода связь все же имеется, о чем
свидетельствует правило отделения (modus ponens). Так, если истинны
высказывания р и р —» q, то истинно и высказывание q,
В классической математической логике импликация легко сводится к
дизъюнкции по законам логики высказываний. Так, например, если импликация р -» q
может быть преобразована в дизъюнкцию вида —\р v q, то оба сложных
высказывания имеют одинаковый порядок значений истинности, что хорошо видно из
таблицы истинности (табл. 1).
Таким образом, импликация преобразуется в дизъюнкцию с таким же
порядком значений истинности, если ее антецедент отрицается, константа импликации
заменяется константой дизъюнкции, а консеквент берется без изменений.
В соответствии с этим допустимы, например, следующие преобразования:
(1) Р -> -1 Я = -1 Р v -1 Ч\
(2) -I р ->-,9 = -r-,pv -»?;
Таблица 1.
238
К.К. Жоль Логика
(3) -, (р -> q) = -, (-, /7 V 9);
(4) (р & 9) -> г = -, (р & q) V г.
Если при таких преобразованиях возникают выражения, отрицающиеся
несколько раз, то их можно упростить. Например, выражение —,—» р v -, q
упрощается до выражения вида р v -, q. Из этого следует, что понимание
импликации сводится к пониманию дизъюнкции и отрицания.
Конструктивистская математическая логика отличается от классической
математической логики прежде всего пониманием дизъюнкции. В
конструктивистской логике дизъюнкция понимается как осуществимость построения ее
верного (истинного) члена, то есть как потенциальная осуществимость
конструктивного процесса, дающего один из членов дизъюнкции, который будет верным
(истинным).
По мнению конструктивистов, их оппоненты из числа представителей
классической математической логики не дают исчерпывающего объяснения своему
пониманию дизъюнкции; они считают дизъюнкцию верной (истинной) уже
тогда, когда им удается опровергнуть предположение о том, что ни один из ее
членов не верен. Умения находить верный член дизъюнкции при этом не
требуется. Что же предлагают конструктивисты?
Они предлагают начать с построения (конструирования) истинного
(верного) объекта (элемента) дизъюнкции, а потом на основе списка всех
конструктивных объектов интересующего их вида заниматься выявлением
существующих конструктивных объектов той или иной многочленной дизъюнкции.
С точки зрения конструирования (умения строить, а не разрушать)
представители этой неклассической логики весьма подозрительно относятся к операциям
отрицания, так как считают, что наивная трактовка отрицания может вывести
их за пределы математики. Желая оставаться в этих пределах, они пытаются
дать положительное понимание отрицания, то есть такое понимание, при
котором отрицание высказывания (пропозиции) тоже свидетельствовало бы о какой-
то нашей конструктивной способности.
По словам Маркова, проблема положительного понимания отрицания в
некоторых случаях решается просто. Например, так обстоит дело с
высказываниями об одинаковости и различии букв данного алфавита. Скажем, отрицать, что
р и q одинаковы, значит утверждать, что р и q различны, и наоборот. Такого
рода высказывания свидетельствуют о нашей способности осуществлять
некоторые конструктивные акты. Более того, классическое требование
несовместимости высказывания со своим отрицанием здесь соблюдено, как и соблюден
закон исключенного третьего, то есть верна дизъюнкция, второй член которой
есть данное высказывание, а первый - его отрицание. Конечно, данная
дизъюнкция должна пониматься конструктивно. Это означает, что мы должны быть в
состоянии (способны) конструктивно указать, какое из высказываний является
истинным.
В том случае, когда высказывания р и q таковы, что их конъюнкция ложна
(в классической логике для этого достаточно, чтобы хотя бы один из членов
двухместной конъюнкции был ложен), а дизъюнкция истинна (в классической
логике ложной является двухместная дизъюнкция, у которого оба члена имеют
значение ложь), конструктивисты предлагают говорить, что q есть прямое
отрицание р. В связи с этим о р утверждается, что оно разрешимо, когда удается
подобрать к нему прямое отрицание.
В случае разрешимости р появляется способ распознать, верно ли р. Это
распознается при установлении истинности дизъюнкции р или q, где q - прямое
отрицание р.
Как все сказанное приложимо к конструктивной трактовке материальной
импликации?
Глава 5
z^y
Марков предлагает понимать материальную импликацию как дизъюнкцию,
первый член которое есть прямое отрицание посылки импликации, а второй - ее
заключения.
Итак, материальной импликацией с посылкой р и заключением q, где р -
разрешимое выражение, называется импликация «если р, то q», понимаемая
как дизъюнкция вида «г или q», где г - прямое отрицание р.
Согласно этому определению материальная импликация всегда имеет
разрешимую посылку.
Конструктивисты считают, что для установления истинности материальной
импликации достаточно доказать истинность ее заключения, предполагая при
этом истинность ее посылки.
Допустим, мы умеем доказывать истинность заключения q материальной
импликации, предполагая при этом истинность ее посылки р. Мы знаем, что р -
разрешимое выражение, то есть мы владеем методом распознавания
истинности или ложности р. Применим этот метод. Если в результате окажется, что р
истинно, то мы сумеем доказать истинность q. Если же окажется, что р ложно,
то истинным будет отрицание р. Таким образом, мы всегда найдем верный
член дизъюнкции «отрицание р или q», то есть установим истинность
материальной импликации.
Предлагаемая конструктивистская характеристика материальной
импликации расходится с ее трактовкой в классической математической логике, где из
ложности двух высказываний р и q (или из ложности р при значении истина
для q) следует заключение, дающее нам значение истина. Но зато она больше
соответствует интуиции здравого смысла.
Чтобы подчеркнуть отличительные особенности конструктивистской логики,
предлагается ввести новые обозначения для пропозициональных связок. Введем,
например, такие связки: к - для конъюнкции, d - для дизъюнкции, н» - для
импликации, для отрицания.
Характеризуя связки для конструктивистской логики, Новиков отмечает, что
математическое суждение (высказывание) может быть не только истинно, но и
каким-то определенным образом установимо {обосновано, построено).
Всякий частный, конкретный случай аксиом классического исчисления
высказываний установим {конструируем), если при этом всюду в
соответствующих формулах символ классической импликации —> заменить на удобный нам
символ (например н>) с соответствующим способом его конструктивистского
понимания. Кроме того, надо запомнить, что сам принцип аксиоматизации
относится к классическому исчислению высказываний, то есть аксиоматизация
определяет задание языка, конкретных аксиом и правил вывода классического
исчисления высказываний.
Конструктивное исчисление высказываний является формализацией
конструктивистских (интуиционистских) принципов понимания логических связок. В связи
с этим Новиков ссылается на работы академика А. Н. Колмогорова (1903-1987),
который в своей публикации 1932 г. предложил весьма интересную
интерпретацию этого исчисления. Так, например, согласно Колмогорову, наряду с
традиционной логикой, систематизирующей схемы доказательств теоретических
истин, возможна также логика, систематизирующая схемы решения задач
(допустим, геометрических задач на построение). При этом понятие «задачи» и
«решения задачи» считаются исходными, базисными.
Следует подчеркнуть, что логика, систематизирующая схемы решения задач,
представляет особую ценность в связи с современными исследованиями по
«искусственному интеллекту». Поэтому полезно более детально рассмотреть
теоретические построения Колмогорова.
В контексте предлагаемой теории Колмогоров рассматривает
пропозициональные переменные как переменные по задачам, а логические связки - как операторы,
240
К.К. Жоль Логика
позволяющие получать новые задачи из уже имеющихся задач. Так, например,
если р k q (аналог р & q) означает задачу, то мы имеем дело с требование
решить обе задачи р и q. Выражение р f-> q (аналог р —> q) означает требование
решить следующую задачу: предположив, что дано решение задачи /?, найдите
решение задачи q, то есть сведите задачу q к задаче р. Выражение ~р (аналог
-лр) означает требование решить следующую задачу: предположив, что дано
решение задачи /?, прийдите к противоречию. Константа 0 {ложь) понимается
как задача, решение которой заведомо невозможно. Очевидно, что ~р
равносильно р \-> 0.
Таким образом, всякая формула логики высказываний вида А(р]У р2, ..., рп)
порождает, так сказать, «заданную функцию», а общезначимость этой
формулы трактуется как наличие общего метода, позволяющего решить любую задачу
известного типа.
По словам Новикова, совершенно ясно, что в логике задач закон
исключенного третьего не может быть принят, поскольку он утверждал бы возможность
общего метода, позволяющего для любой задачи дать ее решение либо привести
к противоречию предположение о существовании такого решения.
С точки зрения логики задач аксиомы конструктивного исчисления
высказываний представляют собой некоторые классы решенных задач, а правила вывода
позволяют получать из них новые решенные задачи. Таким образом,
конструктивное исчисление высказываний трактуется как исчисление задач.
Сравнение классического и конструктивного исчисления высказываний
показывает, что символы ~ , k, d , н и 0 в языке конструктивного исчисления
высказываний и символы —■ , & , v , —> , 0 языка классической логики
высказываний формализуют родственные содержательные связки естественного
языка «не», «и», «или», «если ..., то ...» и понятие «ложь». В связи с этим возникает
вопрос о том, что представляют собой выводимые формулы конструктивного
исчисления высказываний с точки зрения классической логики высказываний,
а также вопрос о силе конструктивного и классического исчисления.
Сравнительный анализ свидетельствует, что конструктивное исчисление
высказываний достаточно корректно с точки зрения классической логики. Вместе
с тем не все тавтологии (тождественно истинные формулы) могут быть получены
Глава 5
241
с помощью конструктивного исчисления высказываний. Это обстоятельство
указывает на то, что конструктивистское исчисление высказываний слабее
классического исчисления высказываний.
Аналогичный анализ свидетельствует и о том, что в конструктивном
исчислении высказываний невыводимы формулы, выражающие закон исключенного
третьего и закон снятия двойного отрицания. Для доказательства
невыводимости указанных формул (р d ~р и —р \-> р) используется метод интерпретации
(метод моделей).
Понятие «интерпретации» (или «модели») для пропозициональных исчислений
как классического, так и для конструктивного исчисления высказываний, вводится
следующим образом. Элементарные формулы (пропозициональные переменные)
классического исчисления высказываний интерпретируются как переменные,
принимающие значения из некоторого фиксированного множества М. Константы
(например 0) интерпретируются в качестве некоторых фиксированных элементов из
М. Один из элементов M объявляется выделенным. Пропозициональные связки
исчисления (одноместные и двухместные) интерпретируются как некоторые функции
(одноместные и двухместные) из M в М. После этого всякая формула
пропозиционального исчисления естественным образом интерпретируется как вполне
определенная функция из M в М. Если данная формула оказывается
интерпретируемой посредством функции, тождественно равной выделенному элементу, то
говорят, что эта формула тождественно истинна или общезначима в данной модели.
При этом от всякой модели данного пропозиционального исчисления требуется,
чтобы в ней были общезначимы все аксиомы этого исчисления и чтобы свойство
общезначимости сохранялось при переходе от одних формул к другим по
правилам вывода данного исчисления. Модель (интерпретация) пропозиционального
исчисления называется точной моделью (точной интерпретацией) этого исчисления,
если всякая общезначимая в ней формула выводима в данном исчислении.
Будем иметь в виду следующее: если в классической логике высказываний
различие между положительными и отрицательными высказываниями несущественно
в том смысле, что всякая элементарная формула вида р эквивалентна формуле
вида -л -л /?, то в конструктивистской логике высказываний это не так, ибо
здесь не всякое высказывание можно представить в виде отрицания какого-
нибудь другого высказывания.
По сравнению с логикой высказываний в логике предикатов делается
следующий шаг в направлении анализа логической структуры и взаимосвязи
научных высказываний в процессе доказательных рассуждений. При этом
независимо от исходных методологических установок подходящие формальные
языки и исчисления можно строить стандартным образом на основе уже
построенных языков и исчислений логики высказываний.
Как подчеркивал Новиков, единственное существенное различие в
определениях классической и конструктивистской логики предикатов не выходит за
рамки фрагментов возможных определений и состоит только в том, что в
конструктивистской логике предикатов не действуют законы исключенного третьего и
снятие двойного отрицания.
Алгорифмы и логико-математический анализ. Знакомство с неклассической
конструктивистской логикой мы завершим рассмотрением некоторых важных
аспектов теории алгорифмов, которая предполагает знание логических
принципов конструктивистской (интуиционистской) математики. Знание этих
аспектов полезно для нас прежде всего тем, что позволяет затронуть современную
проблематику, связанную с языком описания работы
электронно-вычислительных машин, а также с языком программирования.
Никто из современных ученых не станет оспаривать тот факт, что важное
значение математической логики и математики в современной науке определяется
точностью и высокой степенью универсальности используемых ими познавательных
242
К. К. Жоль Логика
инструментов. Эти инструменты позволяют строить такие теоретические модели,
которые не только отражают общие закономерности изучаемых предметных
областей, но и обеспечивают нас надежными путеводителями для осуществления перехода
от науки к практике.'
К числу подобного рода моделей относятся математические модели,
связанные с понятием алгорифма (алгоритма) в его конструктивистском истолковании.
Современная теория алгорифмов имеет самое непосредственное отношение
к математической логике, то есть математическая логика, наряду с другими
математическими дисциплинами, является одной из основных областей
приложения теории алгорифмов. Иначе говоря, важнейшим разделом современной
математической логики является теория алгорифмов, которая в короткое
время превратилась в самостоятельную логико-математическую дисциплину.
В математическом обиходе под алгорифмом понимается точное предписание
(метод, способ), определяющее вычислительный процесс, ведущий от исходных
данных к искомому результату. В качестве типичного примера алгорифма в
учебной литературе обычно приводят пользующийся всеобщей известностью
алгорифм Евклида для разыскания наибольшего общего делителя двух натуральных
чисел. Этот алгорифм называется частичным алгорифмом. Частичный алгорифм
состоит из конечного числа команд, каждая из которых может выполняться
механически за фиксированное время и с фиксированными затратами.
У частичного алгорифма может быть любое число так называемых входов
и выходов. Под входом и выходом понимается как набор входных (выходных)
переменных (аргументов) алгорифма с указанием их типа, так и любое
конкретное значение входной (выходной) переменной или набор значений всех
переменных.
Рассмотрим указанный выше алгорифм Евклида для определения общего
делителя двух положительных целых чисел р и q.
АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА
Вход: р и q - положительные целые числа.
Выход: g - наибольший общий делитель чисел р и q.
Метод определения общего делителя двух положительных целых чисел.
Шаг 1: найти г, остаток от деления р на g.
Шаг 2: если г = О, положить g = г и остановиться. В противном случае
положить р = q, затем q = г и перейти к шагу 1.
Наш алгорифм состоит из конечного множества команд (каждый шаг
алгорифма можно считать одной командой) и имеет вход и выход.
Процесс решения данной задачи состоит в следующем:
(1) делим р на q, находим остаток г и смотрим, равен ли он 0 или нет.
Если равен, то процесс обрывается и q - искомый наибольший общий
делитель;
(2) если же г > О, то делим q на г, и находим остаток t . Если t = О, то
процесс обрывается и г - искомый наибольший делитель;
(3) если t > О, то делим г на t и т. д.
Поскольку q > г > t > ... > О, постольку указанный процесс должен
оборваться через п шагов, и мы найдем требуемый наибольший общий делитель
чисел р и q.
Можно ли каждую команду выполнить механически с фиксированными
затратами времени и наших интеллектуальных усилий?
Глава 5
243
Строго говоря, ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Если р и q
достаточно велики, то затраты, которые могут потребоваться для вычисления
остатка от деления р на q, будут в каком-то смысле пропорциональны величинам р и
Ч-
Мы можем заменить первый шаг последовательностью «шажков», которые
в совокупности вычисляют остаток от деления р на q. Число повторений
каждого шага возрастает вместе с р и q.
Таким образом, мы допускаем, чтобы каждый шаг частичного алгорифма
сам был частичным алгорифмом.
При столь свободном рассмотрении алгорифма Евклида его можно считать
частичным алгорифмом.
Частичный алгорифм определяет некоторое отображение множества всех
подходящих входов во множество выходов. Отображение, определяемое
частичным алгорифмом, называется частично рекурсивной 3 функцией или просто
рекурсивной функцией. Если алгорифм всюду определен, то отображение
называется общерекурсивной функцией.
Рекурсивные функции - это такие функции, значение которых для данного
аргумента вычисляются с помощью значений для предшествующих аргументов.
Следует запомнить, что понятие функции является центральным понятием
теории алгорифмов.
Как правило, в повседневной деятельности математиков не возникают
вопросы о максимальной точности используемых ими алгорифмов. Так дело обстоит до
тех пор, пока речь идет о решении относительно рутинных задач по уже
известным алгорифмам. Но как только мы сталкиваемся с неразрешимостью какой-либо
математической задачи, алгорифм которой всего лишь предполагается,
предпринимаются попытки доказать, что предполагаемое действительно имеет место.
Таким образом возникает необходимость уточнения понятия алгорифма и его
стандартизации. Иными словами, чтобы иметь возможность доказать
несуществование алгорифма для решения интересующей нас задачи, мы должны прежде всего
разобраться с самой этой задачей, то есть уяснить себе тип математического
объекта, предположение существования которого может быть опровергнуто.
С первых шагов построения общей теории алгорифмов, датируемых
серединой 30-х гг., начались исследования, направленные на выяснение степени
эффективности ряда фундаментальных понятий и методов математического анализа.
Со временем эти исследования привели к созданию так называемого
конструктивного математического анализа, который опирается не на традиционные
концепции теории множеств, а на конструктивное уточнение понятия алгорифма.
В качестве основы изложения в данной главе приняты так называемые
нормальные алгорифмы Маркова, представляющие собой уточнение общего понятия
алгорифма. Замечу, что последующие изыскания в этом русле показали
эквивалентность нормальных алгорифмов рекурсивным функциям. Понятие
нормального алгорифма, наряду с понятием рекурсивной функции и машины Тьюринга,
сегодня прочно вошло в общую теорию алгорифмов.
В рамках математического конструктивизма алгорифм в самых общих
чертах определяется как предписание, однозначно определяющее ход некоторых
конструктивных процессов.
Для формулировки алгорифма необходим тот или иной язык. Марков
предлагает условиться считать язык алгорифма письменным и линейным. Это
означает, что язык данного алгорифма имеет свой специфический алфавит, состоящий
из элементарных знаков {букв), с помощью которых мы строим
соответствующие слова (высказывания, названия, предписания и т. п.). Конструируемые нами
От лат. recursio - возвращение
244
К. К. Жоль Логика
слова представляют собой линейные ряды букв. В данном случае рассмотрение
алгорифмов сводится к рассмотрению так называемых вербальных алгорифмов,
под которыми подразумеваются алгорифмы, работающие над словами в каком-
нибудь данном алфавите.
Запомним, что обычно описание важнейших классов алгорифмов
производится в терминах логико-математической теории слов (не путать со словами
естественного языка!), которые строятся на основе некоторого алфавита
соответствующего научного языка.
Процесс работы вербального алгорифма в алфавите языка L состоит в
последовательном порождении слов, состоящих из элементов данного алфавита. Это
порождение (генерирование) должно подчиняться ранее сформулированному
предписанию. Перед началом указанного процесса выбирается некоторое исходное
слово. Процесс может закончить порождением некоторого другого слова, которое
объявляется результатом работы используемого алгорифма над исходным словом.
Будем говорить, что алгорифм применим к данному слову, если процесс его
работы над данным словом успешно заканчивается, то есть если имеется
результат его работы над исходным словом.
Специальными типами вербальных алгорифмов являются так называемые
нормальные алгорифмы.
Понятие нормального алгорифма обладает большой степенью общности.
Ввиду этого естественно возникает вопрос: в какой мере точное понятие
нормального алгорифма соответствует более общему, но менее точному понятию
вербального алгорифма? Пли: нельзя ли заменить всякий вербальный алгорифм
в алфавите языка L нормальным алгорифмом, вполне эквивалентным ему
относительно L?
Марков полагает, что на этот вопрос следует ответить утвердительно и
формулирует следующий принцип нормализации алгорифмов: всякий вербальный
алгорифм в алфавите языка L вполне эквивалентен относительно L некоторому
нормальному алгорифму над L.
В чем заключается конструктивный смысл данного принципа?
Этот принцип утверждает, что всякий раз, когда положительно решается
вопрос, считать ли алгорифмом какое-либо конкретное предписание,
появляется реальная возможность нормализовать данное предписание, то есть заменить
его эквивалентным относительно нашего алфавита языка нормальных
алгорифмов. Формулировка принципа нормализации позволяет нам предсказывать нор-
мализуемость тех или иных алгорифмов.
Как полагает Марков, в этом отношении принцип нормализации подобен,
например, физическому закону. Всякий физический закон тоже является основанием
для предсказаний будущих явлений. Кроме того, в отрицательной форме
соответствующий закон утверждает невозможность, скажем, изобретения (появления)
«вечного двигателя». Аналогично этому принцип нормализации предсказывает
нормализуемость всякого алгорифма, который будет изобретен, и одновременно
указывает на невозможность изобретения ненормализуемого алгорифма.
Опыт, подтверждающий принцип нормализации, имеет как исторические
корни (за несколько тысячелетий существования математики не известно ни одного
ненормализуемого алгорифма), так и логико-методологические характеристики.
Что касается последнего, то имеется в виду построение новых алгорифмов по
нескольким заданным. Это построение называется сочетанием алгорифмов.
Существующие способы сочетания (построения) новых алгорифмов дают
нормализуемые алгорифмы только в том случае, если исходные алгорифмы были
нормализуемы. Для построения ненормализуемого алгорифма, если вдруг появится
подобное сумасшедшее желание, необходимо использование таких «оригинальных»
средств, которые даже в кошмарном сне не могут привидеться самым
необузданным гениям математики.
Глава 5
245
Идея ставдартизация алгорифмов лежит в основе современных математических
теорий. После того, как в 30-е гг. XX в. были выработаны первые стандартные понятия
алгорифма (К. Гёдель, А. Чёрч, С. К. Клини, А. М. Тьюринг, Э. Л. Пост и др.), удалось
установить, что все предложенные стандартизации эквивалентны друг другу.
Поэтому сегодняшним математикам при рассмотрении известных алгорифмов
безразлично, какой именно стандартизацией пользоваться. Марков предлагает пользоваться
нормальным алгорифмом.
В литературе принцип, утверждающий пригодность некоторых конкретных
уточнений понятия алгорифма, называется тезисом Чёрча. Принцип
нормализации Маркова фактически представляет собой вариант тезиса Чёрча,
относящийся к нормальным алгорифмам.
По мнению Маркова, который, между прочим, не только постоянно
интересовался развитием теоретической кибернетики, но и внес в этот раздел науки
существенный вклад, особого внимания заслуживает вариант тезиса Чёрча,
относящийся к машине Тьюринга.
Что такое машина Тьюринга?
В XX в. кибернетиков логика заинтересовала прежде всего в связи с так
называемыми конечными автоматами, являющимися в известном смысле
продуктом развития логико-математических систем.
Затрагивая вопрос о конечных автоматах, мы возвращаемся к уже
известной нам теории релейных устройств, которую еще называют теорией
дискретных автоматов. Создание подобной теории во многом обусловлено поиском
различных возможностей переработки информации в кибернетических
системах, а также анализом и синтезом сложных релейных схем и
конструированием электронно-вычислительных машин. Кстати, методы теории автоматов
используются для доказательства теорем, связанных с основаниями математики.
Если рассмотреть работу простейшего из дискретных автоматов, входные и
выходные величины которого обозначаются двумя символами - 0 и 1, то можно
легко убедиться, что преобразования таким автоматом входных величин в
выходные эквивалентны преобразованиям, совершаемым в математической логике.
Вот почему их можно еще назвать логическими автоматами, а функции,
описывающие данные преобразования, можно назвать логическими функциями. Из
элементарных логических функций составляются сложные логические функции,
которые описывают свойства различных логических автоматов.
Большой вклад в теорию логических автоматов внес Алан Мэтисон Тьюринг
(1912-1954), еще в 30-е гг. доказавший, что так называемая универсальная
вычислительная машина теоретически возможна и ей по силам решение практически
неограниченного числа различных логико-математических задач. Своей идеей
воображаемого вычислительного устройства, названного универсальной машиной (или
машиной Тьюринга), он предвосхитил главные свойства современных
компьютеров. Воображаемое механическое устройство было названо универсальным
потому, что «машина» должна была справляться с любой теоретически разрешимой
задачей, будь то задача математическая или логическая.
Подчеркну, что машина Тьюринга - это не машина в собственном смысле
слова, а ее теория. Данная теория имеет исключительно большое значение для
выяснения таких важных вопросов, как существование алгоритма (алгорифма)
решения соответствующего класса задач и определение тех функций, которые
могут или не могут выполняться автоматически.
В существенном работа машины Тьюринга достаточно адекватно описывает
поведение некоторого воображаемого математика-вычислителя, занятого
выполнением данного ему предписания. Находясь в определенном состоянии
решения задачи, вычислитель предписанным ему способом изменяет имеющуюся
у него информацию и переходит к новому состоянию решения задачи. То же
самое способна делать и машина Тьюринга, хотя ее шаги в деле решения задачи
Глава 5
247
носят более локальный характер, чем действия реального математика-вычислителя.
Тем не менее это различие не слишком существенно для теоретиков математики,
поскольку они допускают в абстракции, что каждый шаг работы вычислителя может
быть промоделирован серией «мелких шажков» машины Тьюринга.
Каковы же в данном случае возможные применения принципа нормализации?
Во-первых, полагает Марков, этот принцип может быть использован для
распознавания правильных формулировок математических высказываний.
Во-вторых, нам предоставляется возможность доказать теорему о том, что
не существует нормального алгорифма для решения некоторой задачи, то есть
вообще не существует алгорифма для решения интересующей нас задачи, и она
тем самым теряет статус реальной научной задачи.
В-третьих, принцип нормализации может быть использован для выработки
точных определений тех математических понятий, которые в той или другой
форме учитывают различные соображения эффективности {вычислимости,
конструктивности). Обычно в таких определениях естественно возникают
ограничения, требующие наличия определенных алгорифмов. Принимая во внимание
принцип нормализации, мы можем придать нашему определению характер
точной математической формулировки.
Воодушевленный примером универсальной машины Тьюринга, Марков
развивает теорию универсального алгорифма. По отношению к универсальному
алгорифму применяется тот же самый метод, что и в современных
электронно-вычислительных машинах дискретного действия, то есть не только исходные данные,
но и предписания, устанавливающие последовательность применяемых действий,
записываются в виде слов в надлежащем алфавите и вводятся в машину,
способную различать в записанных предписаниях команды-инструкции и выполнять
их. Возможность такой записи предписаний обеспечивается их стандартизацией,
чему соответствуют у Маркова схемы нормальных алгорифмов.
Понятие универсального алгорифма является центральным пунктом общей
теории алгорифмов.
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. Интуиционизм в логике и математике представляет собой проявление
конструктивной тенденции в математических дисциплинах, согласно которой
математическая интуиция есть понимание процесса построения (конструирования)
некоего математического объекта. Конструктивная тенденция привела к
созданию теории конструктивных процессов или алгоритмов (алгорифмов) для
вычисления функций. Эту теорию принято называть еще теорией
общерекурсивных функций.
2. Алгоритм - это точное предписание, определяющее вычислительный
процесс, ведущий от исходных данных к искомому результату. Центральным
понятием теории алгоритмов является понятие функции, которое вносит в
понятие алгоритма строгий и точный математический смысл.
3. Рекурсивные функции - это такие функции, значение которых для
данного аргумента вычисляется с помощью значений для предшествующих
аргументов. Более строгое их определение связано с использованием логического
аппарата, отражающего конструктивные тенденции в математике.
4. В конструктивном исчислении высказываний невыводимы формулы,
выражающие закон исключенного третьего и закон сцятия двойного отрицания.
5. В конструктивистской логике дизъюнкция понимается как осуществимость
построения ее верного (истинного) члена, то есть как потенциальная
осуществимость конструктивного процесса, дающего один из членов дизъюнкции,
который будет верным.
6. В классической математической логике дизъюнкция считается верной
(истинной) тогда, когда удается опровергнуть предположение о том, что ни один
из ее членов не верен. Умения находить верный член дизъюнкции не требуется.
248
К. К Жоль Логика
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Почему представители интуиционизма в математике отвергают закон
исключенного третьего и переосмысливают роль отрицания в логике?
2. Как в аристотелевской логике связаны закон противоречия и закон
исключенного третьего?
3. Что такое конструктивные тенденции в математике и логике?
4. Попытайтесь объяснить себе и другим научную ценность лямбда-исчисления.
5. Приведите примеры конструктивных процессов и объектов.
6. Чем отличаются логические союзы в классической логике и в конструктивистской?
7. Какова связь понятия «алгоритм» («алгорифм») с понятийным аппаратом
конструктивистской логики?
8. Охарактеризуйте понятие «эффективно вычислимая функция» и приведите
примеры.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике. - М.: Мысль,
1965. - 312 с.
Варпаховский Ф. Л. Элементы теории алгоритмов. - М.: Просвещение, 1970. -
24 с.
Гейтинг А. Интуиционизм. Введение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1965. - 200 с.
Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. - М.: Физико-математическая литература, 1995. - 255 с.
Марков А. А. О логике конструктивной математики. - М.: Изд-во «Знание»,
1972. - 47 с.
Панов М. И. Методологические проблемы интуиционистской математики. -
М.: Наука, 1984. - 224 с.
Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. - М.: Наука,
1983. - 302 с.
Успенский В. А., Семенов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и
приложения. - М.: Наука, 1987. - 288 с.
Алферова 3. В. Теория алгоритмов. - М.: Статистика, 1973. - 164 с.
Барендрегт X. П. Ламбда-исчисление: Его синтаксис и семантика: Пер. с англ. -
М.: Мир, 1985. - 606 с.
Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию
доказательств. - М.: Наука, 1979. - 256 с.
Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. - М.: Наука,
1980. - 415 с.
Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций: Пер. с
англ. - М.: Мир, 1983. - 256 с.
Клини С, Весли Р. Основания интуиционистской математики: Пер. с англ. -
М.: Наука, 1978. - 272 с.
Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М.: Наука, 1986. - 368 с.
Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. - М.: Наука, 1984. - 432 с.
Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике: Пер. с англ. - М.: Мир,
1975. - 136 с.
Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения
классической. - М.: Наука, 1977. - 328 с.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ГЛАВА ШЕСТАЯ
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вводные замечания. - Модальности и модальная логика. - Исчисление але-
тических модальностей. - Временная логика. Аналогия с метрическим
пространством и причинным анализом в статистических исследованиях. -
Деонтическая и эпистемическая логики. - Взаимосвязь эпистемической
логики и логики умолчаний. - От эпистемической логики к логике эротети-
ческой. - Индуктивная логика и теория вероятностей с точки зрения
модальной логики. - Нечеткая логика. - Современные аспекты теории
вероятностей. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая
литература.
Вводные замечания. Разнообразие логических систем не исчерпывается теми
задачами и проблемами, которые стоят перед математикой или техникой.
Логическому анализу доступны и другие сферы рациональной человеческой
деятельности, с которыми нам предстоит познакомиться в данной главе. Этому
знакомству целесообразно предпослать введение философского характера,
поскольку вопросы, которые будут здесь рассматриваться, прежде всего
озадачили философов, а потом стали предметами собственно логических
исследований. Что же это за вопросы?
В истории философии большинство интересных теоретических построений
самым тесным образом были связаны с осознанным отношением их авторов к
фундаментальным проблемам бытия, которые обычно принято называть
онтологическими проблемами. Многие логические системы прошлого, какими бы
отвлеченно-умозрительными они не казались, не могли игнорировать этот
исходный онтологический уровень витиеватых философских размышлений. Ярким
примером тому служит Аристотель, который умышленно предпосылал своим
теоретико-познавательным изысканиям в области способов и методов познания
анализ в сфере общих проблем бытия. И он был прав. Я не могу не согласиться с
теми учеными, которые считают, что древние мыслители, не разделявшие
гносеологию и онтологию непроходимой пропастью, поступали мудрее, чем кое-кто из
современных философов, которые пытаются ограничить задачи философии,
например, сферой логики и методологии научного познания. Поиски
закономерностей только в пределах познавательной деятельности «абстрактного» человека,
оторванного от живых людей, их потребностей, интересов, культурных
ценностей, выхолащивает практический смысл подобных поисков, а это крайне
затрудняет нахождение путей и методов практической реализации познанного.
История философии знает давнюю традицию спора по поводу
закономерностей в бытии и в познании. Каждая из спорящих сторон предлагала свою
картину мира, на основе которой разрабатывался методологический
инструментарий и строились логические системы. Ими являлись и продолжают быть
представители так называемой рационалистической философии, ведущей свое
происхождение от философского учения Р. Декарта, и представители философии
эмпиризма, сформировавшейся несколько раньше.
Отправным пунктом эмпиризма является положение о том, что всякое
знание состоит в конечном итоге из суммы отдельных ощущений.
Отправным пунктом рационализма является положение о том, что основу
нашего знания образуют если не «врожденные идеи» (Декарт), то некие
априорные (доопытные) принципы.
Глава 6
251
Конечно, эти характеристики эмпиризма и рационализма очень условны и
схематичны, но тем не менее они отражают общие доминирующие тенденции,
присущие идеологии указанных философских течений. В реальной истории
философии они подчас переплетались и дополняли друг друга. Например,
представители эмпиризма, отказываясь в ходе полемики от крайностей своего
учения, признавали, что наш чувственный опыт нуждается в рациональной
обработке на базе априорных форм сознания. Представители рационализма тоже не
могли не считаться с тем, что априорные схемы познания так и останутся
пустыми схемами, если их не наполнить реальным чувственным опытом.
Каковы онтологические предпосылки эмпиризма и рационализма? Или:
каким видится мир представителям эмпиризма и рационализма?
Согласно эмпиризму, реальность мира - это реальность наших ощущений.
Поскольку поток ощущений носит хаотичный характер, постольку закономерности
этого эмпирического мира даны нам в самом приблизительном и смутном виде.
Обобщения, понятия в системе подобных воззрений на мир являются скорее
полезными инструментами-шаблонами познания, которые накладываются на
хаотический мир нашего чувственного опыта и как-то упорядочивают его, а не служат
реальным отражением каких-либо закономерностей объективной действительности.
В основе последовательно рационалистической философии лежит допущение
тождества мышления и бытия, то есть лежит допущение, что все
существующее, будь то мир чувственных вещей или мир наших умозрительных идей, имеет
в своей глубинной (сущностной) основе нечто вечное, незыблемое,
непреходящее, напоминающее некую логическую необходимость, которая изгоняет из
своего кристально ясного царства любую призрачную тень случайного.
Соответственно этому постулировался тезис: действительность во всех формах своего
проявления разумна. Перефразируя слова выдающегося нидерландского
философа Б. Спинозы (1632-1677), не менее выдающийся представитель классической
немецкой философии Г. В. Ф. Гегель скажет: «Все действительное разумно, и все
разумное действительно».
Характерно, что развитие рационалистического положения о
неслучайности всего существующего приводит к утверждению принципа абсолютной
необходимости всего происходящего. Поэтому в системе строго последовательной
рационалистической философии (такой, например, как гегелевская)
невозможно говорить о познании, не говоря в то же самое время о бытии. В этой
системе логика, гносеология и онтология сливаются воедино. Подобное единство
имеет свои крупные недостатки. Во-первых, логика и гносеология теряют не
только свою самостоятельность, но и свой реальный научный смысл.
Во-вторых, онтология настолько рационализируется, что превращается в свою
противоположность, становясь разновидностью философии религии.
Сравнивая рационализм и эмпиризм, мы замечаем то очевидное, что
бросается в глаза, а именно: представители двух философских направлений
одинаково считали случайное беспричинным, незакономерным и объявляли его мерой
человеческого невежества. Подобная оценка случайности приводила к
обеднению научных представлений о причинной связи явлений, в результате чего нам
навязывались чрезмерно жесткие, чрезмерно механистические схемы трактовок
причинно-следственных связей, превращающие понятия «возможность»,
«вероятность» в разновидность еще неуточненного понятия «необходимость», то есть
в разновидность чего-то субъективного, иллюзорного. Такое толкование
причинности противоречило реальной практике научного познания и
научно-техническому освоения действительности. Естественно, оно не могло долго
продержаться в науке, которая в XIX в. начала энергично освобождаться от оков
спекулятивных философских доктрин. Тогда-то и появилась на свет
философия позитивизма, призванная раскрепостить научный интеллект и помочь
научно-технической интеллигенции утвердить новые философские ценности.
252
К.К. Жоль Логика
Представители логического позитивизма заострили внимание на таких
традиционных для философии и логики понятиях, как «возможность»,
«действительность», «необходимость», «случайность», «вероятность» и т. п., тем самым
стимулировав не только разработки проблем общеметодологического
характера, но и собственно логических под эгидой так называемой модальной логики.
Модальности и модальная логика. Слово «модальность» происходит от
латинского слова «modus» {мера, образ, способ, отношение). Посредством слова
«модальность» в логике и грамматике обозначается определенный способ
отношения высказывающегося субъекта к предмету высказывания.
Когда-то И. Кант, следуя традиции, относил к разряду модальных
суждений ассерторические суждения (суждения действительности, утверждающие
факты, но не выражающие их непреложную логическую необходимость),
суждения проблематические (суждения возможности) и суждения аподиктические
(суждения необходимости, выражающие необходимую связь между
предметами). Эти три вида суждений не исчерпывают все богатство возможных
отношений модальности. Например, просьбы, приказы, команды, клятвы и т. д. тоже
выражают определенные отношения высказывающегося к предметам
высказывания, но в традиционной логике они не находят себе места. К тому же далеко
не всегда и не так просто установить различия между действительным и
необходимым, так как подчас случайность приобретает статус действительности,
посрамляя необходимость. Поэтому какое-то время представители
математической логики считали, что модальность есть скорее предмет
психологического, а не строго логического исследования. Но в XX в. отношение логиков к
модальности резко изменилось.
Развитие идей модальной логики обычно связывают с тремя периодами. К
первому периоду относится античная и средневековая логика. Второй период
датируется началом XX в. Наконец, третий период, начало которого
датируется 50-60-ми гг. XX столетия, продолжается и поныне.
Логический анализ модальностей впервые был осуществлен Аристотелем на
базе метафизического учения о бытии. Согласно этому учению существует про-
хивоположность между миром изменчивых вещей и миром неизменных
сущностей. В мире изменчивых вещей нет места для строгой необходимости; здесь
царствует возможность (вероятность). Чистая, подлинная необходимость имеет
место только в мире умопостигаемых вечных сущностей.
Столь жесткие философские принципы Аристотель существенно смягчает,
когда переходит к логическому анализу модальностей и выделяет три
толкования понятия «возможность». Первое толкование касается взаимосвязи
возможности и необходимости, когда считается, что под формой возможного
скрывается суть необходимого. Второе толкование характеризует возможность как то,
что лишено необходимости. Третье толкование превращает возможность в то,
что может быть, а может и не быть. Это толкование сближает понятие
возможного с понятием вероятного.
Если отвлечься от логических разночтений и нюансов в понимании
Аристотелем возможности, то следует выделить два уровня трактовок возможности.
В философской трактовке возможность выглядит как то, что может приводить
в движение или изменять что-либо. В логической трактовке, подчиняющейся
философской, суждение возможности должно каким-то образом отражать это
становление, движение, изменение, но каким именно, Аристотель не уточняет.
В этой недоговоренности и довольно путанных рассуждениях
древнегреческого философа многие историки логики усматривают явную слабость его
модальной логики суждений (высказываний). С такой оценкой не согласен Я. Лукасевич,
который считает, что в силу неразвитости современной модальной логики трудно
было дать основу для сколько-нибудь удовлетворительной интерпретации и
оценки соответствующих исследований Аристотеля. Стремясь заполнить эти пробелы,
Глава 6
253
польский логик попытался построить систему модальной логики, отличную от
ранее известных и к тому же исходящую из аристотелевских идей.
По словам Лукасевича, модальная логика терминов предполагает
модальную логику высказываний (предложений), что не было достаточно ясно
Аристотелю, чья модальная силлогистика фактически является логикой терминов. Тем
не менее, считает Лукасевич, можно говорить и об аристотелевской модальной
логике высказываний, так как некоторых теорем Аристотеля достаточно для
того, чтобы охватить все виды высказываний. Аристотель в своих сочинениях
пользуется четырьмя модальными терминами - «необходимо», «невозможно»,
«возможно» и «случайно».
Обозначим через р некоторое атомарное высказывание и условимся читать
его так: «Необходимо, что р» (например: «Необходимо, что человек есть живое
существо», где р - это символ, замещающий высказывание «человек есть
живое существо»). Выражение типа: «Необходимо, что р» обозначим через Lp.
Выражение типа: «Возможно, что р» обозначим через Мр.
Lp и Мр Лукасевич называет модальными функциями, a L и Р называет
модальными функторами (операторами), которые соответствуют выражениям
«необходимо, что» и «возможно, что». По отношению к модальным функциям
р выполняет роль их аргумента.
Высказывания (предложения), начинающиеся с L, или их эквиваленты
называются Лукасевичем аподиктическими, а высказывания (предложения),
начинающиеся с М, или их эквиваленты называются им проблематическими. Соответственно,
немодальные высказывания (предложения) называются ассерторическими.
По мнению Лукасевича, Аристотель в своем сочинении «Об истолковании»
ошибочно утверждал, что возможность подразумевает отсутствие
необходимости (например: «Если возможно, что р, то не необходимо, что р»). Исправляя
свои ошибки, греческий мыслитель в конце концов приходит к тому, что
начинает рассматривать отношение возможности к необходимости сквозь призму
эквивалентности (эквиваленции), а именно:
Возможно, что р, если и только если не необходимо, что не р.
Из этого Лукасевич заключает, что отношение необходимости к
возможности, которое дается в сочинении «Об истолковании» в виде импликации, также
означает эквивалентность и может быть представлено в форме:
Необходимо, что р, если и только если не возможно, что не р.
Если обозначить функтор (оператор) «если и только если» через Q, ставя
этот функтор перед модальными функциями Мр и Lp, а через N обозначить
отрицание «не», то символически можно выразить отношения «возможно, что»
и «необходимо, что» так:
(1) QMpNLNp, то есть Мр - если и только если - NLNp;
(2) QLpNMNp, то есть Lp - если и только если - NMNp.
Как подчеркивает Лукасевич, вышеприведенные формулы являются
основными в любой системе модальной логики.
Исчисление алетических модальностей. Надо иметь в виду, что только в XX в.
модальности стали предметом всестороннего, глубокого и систематического
логико-философского анализа. В данном случае первый и самый весомый вклад
был сделан американским философом и логиком Кларенсом Ирвингом
Льюисом (1883-1964), который во всеоружие современной ему символической логики
вплотную занялся изучением модальностей. В своих публикациях 1916 и 1932 гг.
254
К.К Жоль Логика
он представил формализованную систему классических модальностей и
попытался построить теорию строгой импликации.
Основная идея Льюиса состояла в проведении различия между связками,
выражающими логическую необходимость, и связками, не выражающими таковую.
В результате было явственно намечено разграничение между материальной
(интуитивно-содержательной) импликацией и строгой (необходимой) импликацией.
Строя свою теорию модальностей, Льюис попытался испытать на прочность
разные аксиоматические системы. Позднее эти системы получили название систем:
SI, S2, S3.
В дальнейшем идеи Льюиса были развиты в логических системах S4 и S5.
При этом логики обратили внимание на один давно известный факт,
касающийся так называемых суперпозиций модальностей вида: необходимо, что
необходимо...; необходимо, что возможно... . Подобные суперпозиции могут
показаться обыденному сознанию чем-то слишком замысловатым, но в этих
замысловатостях коренится много ценнного для логики и ее практических
приложений. Поэтому логики попытались сформулировать аксиомы, позволяющие
сводить (редуцировать) указанные модальности к их простейшим прототипам.
Если упростить вышеизложенное, можно сказать следующее: Льюисом были
построены исчисления так называемых алетических х модальностей {близких к
истине), позволяющих изучать проблемы логического следования, ибо Льюис
полагал, что логическое следование тесно связано с понятиями необходимости
и возможности. Правда, позднее оказалось, что построенные им исчисления
строгой импликации не вносят существенной ясности в проблему логического
следования, но тем не менее имеют большое значение для совершенствования
логического инструментария.
В 1948 г. известный английский логик Р. Фейс в содружестве со своим
коллегой Дж. Маккинси, умершем спустя 5 лет, начал работу над книгой
«Модальная логика». Работа над книгой продолжалась около 13 лет, но так и не
была завершена, поскольку в 1961 г. Фейс скончался. Однако сделано было
многое, и поэтому друзья ученого решили издать рукописное наследие Фейса.
В 1965 г. книга Фейса «Модальная логика» увидела свет.
По мнению Фейса, модальная логика, или логика модальностей, - это
логика, которая изучает не только утверждения и отрицания, но и так называемые
сильные и слабые утверждения и отрицания. К сильным относятся утверждения
типа: «Это необходимо истинно»', «Это необходимо ложно». К слабым относятся
утверждения типа: «Это возможно истинно»; «Это возможно ложно».
Сегодня модальная логика - весьма развитая отрасль формализованной
логики. Логический анализ свидетельствует, что модальности можно
использовать не только для разъяснения некоторых трудных логических понятий, но и
с успехом применять в логическом программировании компьютеров.
В модальной логике изучаются такие рассуждения, в состав которых входят
выражения, аналогичные словам «необходимо», «возможно» и т. п. Эти
логические константы называются модальностями или модальными операторами.
Модальные операторы тесно связаны с пониманием сути импликации.
Импликация «Если р, то q», считающаяся ложной только тогда, когда р
истинно, a q ложно, получила название материальной импликации.
Материальная импликация преподносит порсш сюрпризы не только
недостаточно посвященным, но и мэтрам логической науки. Так, с точки зрения
классической математической логики абсурдное по смыслу высказывание «Если
ныне здравствующий французский король лыс, то Париж: - столица Франции»
является истинным, поскольку истинным (согласно таблице истинности для
1 От гр. aletheia - истина.
Глава 6
255
исчисления высказываний) является простое высказывание (консеквент) «Париж -
столица Франции». В этом для нас, поднаторевших в логике, нет ничего
удивительного. Удивительное начинается тогда, когда мы применяем модальности
«необходимо», «возможно» и т. п. Например, понятия типа «р необходимо» и
«q возможно» возникают в тех областях логических рассуждений, где, по
словам Клини, допускают два вида «истинности», один из которых имеет более
универсальный и принудительный характер, чем другой. Зоолог, пишет Клини,
может утверждать, что существование саламандр, живущих в огне,
невозможно; однако возможно, хотя и неправдоподобно, что существует снежный
человек. Изучением этих причуд занимается модальная логика, в развитие которой
внесли большой вклад X. Мак-Колл, К. И. Льюис, К. Г. Лэнгфорд и др.
Логики давно стремились сделать более ясным отношение «если ..., то ...»,
играющее, как мы знаем, важную роль в формулировке научных законов, в
конструировании релейных схем, в логическом программировании и т. д.
Данную задачу они видели в том, чтобы превратить материальную
(содержательную) импликацию в формальную (строгую). Именно с этой целью Льюис и
построил ряд логических систем, содержащих модальные операторы.
К основным модальностям относят оператор необходимости, символически
обозначаемый квадратиком о, и оператор возможности, обозначаемый
небольшим ромбиком о. Модальные операторы указанного вида соответственно
читаются: необходимо, что ...; возможно, что ... .
Для строгой импликации и строгой эквиваленции (эквивалентности)
используются символы => и <=>.
Модальную логику высказываний (модальную пропозициональную логику)
можно построить в виде расширения логической системы немодального
(классического) пропозиционального исчисления (немодальной логики
высказываний). Для этого берутся уже известные нам переменные, связки, аксиомы и
правила вывода, к которым добавляются символы о (необходимо) и О (возможно)
и соответствующие им постулаты. Идея этих постулатов состоит в том, что
высказывания модальной логики являются не категорически истинными или
ложными, а истинными или ложными в некоторых случаях или во всех
случаях. Иначе говоря, логическое значение истинности сложных высказываний, в
которых используются модальные операторы, не определяется однозначно, как
это имеет место в классической логике высказываний. Например, рассмотрим
следующее высказывание: «Число планет Солнечной системы равно 9». Любой
школьник, поверхностно знакомый с астрономией, скажет, что это
высказывание истинно. Теперь рассмотрим другое высказывание, а именно:
«Необходимо, что число планет Солнечной системы равно 9». Каждому мало-мальски
образованному и здравомыслящему человеку ясно, что в реальном физическом
мире не действует столь жесткая необходимость.
Таким образом, в модальной логике значение истинности сложного
высказывания не определяется однозначно значением истинности высказывания, к
которому применяется модальный оператор. Поэтому модальные операторы
не обеспечивают функции истинности.
Рассмотрим простые высказывания вида р (р необходимо) и о р
(необходимо, что р необходимо). Если р ложно, что о р также ложно. Но если р истинно,
то а р может быть или истинным, или ложным. Например, если высказывание
вида р выражает, что 2 + 2 = 4, то р и а р оба истинны. Но если высказывание
вида р выражает какой-то эмпирический факт (например: «Необходимо признать,
что гипотеза о существовании снежного человека, подтвержденная рассказами
«очевидцев», необходимо истинна»), то весьма сомнительно, что высказывание
вида □ р выражает непреложность и безусловность данного факта. В качестве
дополнительной иллюстрации рассмотрим следующее высказывание: «Этот еад-
кий лебеденок хотя и грязен, но в сущности бел». Обязательно ли фигурирующий
256
КК Жоль Логика
в нашем высказывании лебеденок будет белым на протяжении всей своей
жизни? Весьма вероятно, что действительно он будет иметь белое оперение.
Однако не следует сбрасывать со счетов и тот факт, что некоторые лебеди имеют
черный цвет. Это допускает пусть незначительную, но возможность того, что в
результате каких-то мутаций белый лебеденок может стать из гадкого
замарашки красивым черным лебедем.
Следовательно, если р ложно, то о Р также ложно, но если р истинно, то о Р
или истинно, или ложно в зависимости от ситуации. Вот почему q р не есть
функция истинности от р. Из этого вытекает, что модальный оператор о
(необходимо) не является функционально истинностным.
Аналогично, но только в обратном смысле ведет себя модальный оператор
возможности о. Так, если р истинно, то Ор также истинно, но если р ложно, то
Ор или истинно, или ложно. Например, если р - ложное высказывание вида
«Каждый, кто не бывал в Одессе, не читал рассказа А. И. Куприна «Гамбринус»,
то это не означает, что в одном из воображаемых (возможных) миров, в
котором какой-нибудь городской глава с замашками самостийного диктатора
запретит всем прибывающим из ближнего и дальнего зарубежья в этот черноморский
город читать указанный рассказ, высказывание вида ОР также будет ложно.
Модальные операторы о и О не обязательно должны пониматься как
символы, указывающие на необходимость в смысле законов объективной
действительности и на возможность в смысле объективно возможного. В некоторых
случаях слово «необходимо» понимается как доказуемо, а слово «возможно» - как
неопровержимо. Тогда выражение «необходимо, что р» означает, что р выводимо
или доказуемо в некоторой научной теории. Соответственно, выражение
«возможно, что р» означает, что не-р (—р) не выводимо или не доказуемо. В одном и
другом случаях мы имеем дело с логикой так называемых алетических
модальностей (близких к истине логических рассуждений), которые позднее
трансформировались в другие виды систем модальной логики.
Как уже отмечалось, началом развития современной модальной логики в
рамках классической символической логики следует считать работу Льюиса
«Очерк символической логики» (1918), а также статью Лукасевича
«Трехзначная логика» (1920).
В своем «Очерке символической логики» Льюис изложил принципы
модальной системы, позднее названной им системой S3. Целью построения этой системы
было создание новой теории логического следования взамен теории материальной
импликации Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда. Льюис попытался избавиться от
парадоксов материальной импликации и в результате создал первую в истории
математической логики систему модального пропозиционального исчисления.
В 1932 г. в книге «Символическая логика», написанной совместно с К. Лэнг-
фордом, Льюис весьма подробно изложил логическую систему, названную им
системой строгой импликации. Там же представлены пять его главных
модальных систем S1-S5.
Развивая теорию строгой импликации, Льюис писал в «Символической
логике», что намерен построить такое исчисление высказываний, которое будет
базироваться на использовании слова «влечет» в смысле «выводимо», то есть
выражение «р влечет q» для него должно быть синонимично выражению «q
выводимо из р».
Идеи Льюиса расходятся с представлениями тех логиков, которые имеют
дело с классическим исчислением высказываний. Чем чреваты подобные
представления, демонстрируют следующие парадоксы: (1) «Ложное суждение
влечет истинное суждение»; (2) «Истинное суждение следует из ложного
суждения» (вспомним таблицу истинности для материальной импликации).
Льюис хотел развить такое исчисление высказываний, чтобы оно
соответствовало обычному значению слова «влечет» и никого не шокировало тем, что
258
К. К. Жоль Логика
истина совместима с ложью. Иначе говоря, основной задачей Льюиса являлось
построение такого логического исчисления, в котором операция импликации
обладала бы свойствами, находящимися в согласии с нашей интуицией в
постижении истины, то есть с обычным пониманием содержательного смысла
процедур следования (выводимости одного истинного знания из другого). Это
значит, что «выводимое суждение» должно быть тождественно понятию
«истинное суждение», то есть утверждать суждение р - значит утверждать, что р
истинно, а утверждать его отрицание - значит утверждать, что р ложно.
Исходные положения предлагаемой Льюисом логической теории таковы:
1. Строчные буквы латинского алфавита (р, q, г, ...) используются для
обозначения простых (атомарных) высказываний (суждений).
2. Операция отрицания (—■ /?), которая читается как «не-р» или «р ложно».
3. Логическое произведение (р х q или р & q\ которое читается как «р и q»
или «р истинно и q истинно».
4. Возможность (0р\ которая читается как «р возможно» или
«возможно, чтобы р было истинным». Последнее эквивалентно высказыванию
(суждению): «Ложно, что р влечет свое отрицание».
5. Логическая эквиваленция: р = q.
Если воспользоваться современной символикой, то отношение строгой
импликации (=>) можно записать так:
р => q = —iO(p & -ч
Заданная формула имеет следующий смысл: «Высказывание «р истинно и q
ложно» не самопротиворечиво». Или: «Ложно, что возможно, чтобы р было
истинно, a q ложно».
Задав исходные положения своей системы, Льюис вводит соответствующие
аксиомы и устанавливает правила доказательства. С помощью этих правил он
выводит теоремы системы, после чего приступает к сравнению систем строгой
и материальной импликации.
Оценивая полученные Льюисом результаты, ученые отмечают, что автору
логической системы строгой импликации частично удалось выполнить
поставленные задачи. Прежде всего Льюису удалось преодолеть известные парадоксы
материальной импликации. В связи с этим не вызывает сомнения тот факт, что
льюисовская система строгой импликации лучше соответствует теории
интуитивно ясного логического следования, чем система материальной импликации.
Однако победа досталась дорогой ценой, так как в новой системе возникли
парадоксы строгой импликации, которые, подобно парадоксам материальной
импликации, противоречили нашим интуитивным представлениям о
логическом следовании.
Чем для нас поучителен опыт льюисовский опыт построения системы
строгой импликации?
Во-первых, Льюиса и представителей интуиционистской математики во
многом сближает стремление восстановить в своих правах интуицию здравого смысла
и вернуть многим логико-математическим понятиям их исходный смысл, то есть
тот смысл, который не противоречит практическому предназначению науки.
Во-вторых, изначальной целью логических исследований Льюиса не
являлось создание модальной логики. Модальные понятия были введены им как
необходимые средства для создания системы строгой импликации.
В-третьих, введение модальных понятий в логическую систему,
оправдывающую интуицию здравого смысла, указывает на родство модальной логики с интуи-
тивистской логикой, а это наводит на мысль углубить логико-методологические
Глава 6
259
исследования концептуальных основ двух указанных направлений логического поиска
и попытаться выявить общие для них принципы.
Можно ли использовать кванторы в модальной логике?
Да, можно, но делать это надо осторожно. Присоединение модальных
операторов к формулам, содержащим кванторы, порождает определенные проблемы,
связанные с использованием кванторов в модальных контекстах. Анализ
показывает, что для модальных операторов □ и О верны следующие соотношения:
xuF(x) = D \/xF(x); 3xQF(x) = d3jcF(jc).
xnF(x) -» n3xF(jc); $ \/xF(x) -^ \/x()F(x).
Запомним, что данные соотношения оправдываются стандартной теорией
квантификации. И тем не менее нельзя закрывать глаза на определенные
трудности при построении теории квантификации именно для модальной логики.
Как отмечает Фейс, модальная логика второй половины XX в. является
весьма формализованной дисциплиной, хотя вопрос о ее интерпретации остается
открытым (достаточно спорным) и по сей день.
Временная логика. Аналогия с метрическим пространством и причинным
анализом в статистических исследованиях. Попытаемся вслед за Фейсом оценить
предложение построить модальную пропозициональную логику в виде
расширения классического исчисления высказываний (пропозиционального
исчисления). Для этого возьмем уже знакомые нам пропозициональные переменные р,
q, г, ... , те же самые логические связки, а именно: отрицание (—■), конъюнкция
(&), дизъюнкция (v), материальная (интуитивно-содержательная) импликация
(->), материальная (интуитивно-содержательная) эквиваленция (<->). Сюда
присовокупим те же самые аксиомы и правила вывода. К ним добавляются только
символы (операторы) d (необходимо) и о (возможно), которые, естественно,
нуждаются в поддержке со стороны определенных постулатов.
Для введения данных постулатов Фейс предлагает воспользоваться
вспомогательной логикой, которую он называет модальной логикой,
интерпретированной посредством кванторов.
В чем заключается главная идея этой логики?
В сущности идея достаточно тривиальна. Ею руководствуются многие
логики. Состоит она в том, что высказывания (предложения) модальной логики
не являются категорически истинными или категорически ложными. Они
являются истинными или ложными в определенных случаях или во всех случаях.
Другими словами говоря, если классическое пропозициональное исчисление в
своей интерпретации может иметь дело с утверждениями о вполне
определенных фактах, то модальная логика при аналогичной интерпретации может
рассматривать различные типы событий, которые могут происходить, а могут и
не происходить в силу тех или иных случайных обстоятельств.
Выражения «случай», «случайные обстоятельства» не подразумевают какой-
то определенной привязки к внелогическим проблемам, имеющим, как говорят
философы, вполне конкретный онтологический смысл (например: конкретность
момента времени, места и т. п.). Но тем не менее интуиция провоцирует нас на
некоторые аналогии, которые усиливаются за счет более «размытого» понятия
«истинностное значение» в контексте модальной логики. Поэтому
целесообразно различать пропозициональные переменные, используемые в классической
логике высказываний, и пропозициональные переменные, имеющие отношения
к тому, что можно условно назвать видами фактов. Для переменных,
указывающих на подобные «факты», Фейс предлагает использовать прямые латинские
буквы р, q, г, ..., которые следует отличать от уже знакомых нам курсивных букв
р, q, г, ... . Кроме того, вводится еще один буквенный символ для указания на
260
К.К. Жоль Логика
«случайные обстоятельства» (или просто «случай»), которые имеют свои условные
«временные масштабы». Этим символом служит курсивная латинская буква /,
отличная от переменных для высказываний (предложений) и предикатов
(пропозициональных функций), которые приписывают свойства индивидным
переменным (или просто индивидам).
Соответственно сказанному выражение «Событие р происходит в случае t»
записывается так: pt. Выражение pt можно сравнить с выражением F(x\ где
одноместный предикат (свойство F) приписывается индивидной переменной (jc).
Утверждение «Событие р происходит с необходимостью» выразимо
посредством «tçt, которое читается так: для любого t событие р происходит в случае t.
Утверждение «Событие р возможно» выразимо посредством 3/р/, которое
читается так: для некоторого / событие р произойдет в случае /.
Вышесказанное можно прокомментировать словами признанного авторитета
в области модальной логики, каковым является известный финский логик и
философ Георг Хенрик фон Вригт. Замечу, что свою научную карьеру он начал
с логико-философского исследования проблем индукции и вероятности. В
послевоенные годы много и успешно занимался усовершенствованием логической
техники, щедро делясь знаниями со своими учениками, одним из которых является
талантливый финский ученый Якко Хинтикка (р. 1929), также внесший большой
вклад в развитие модальной логики.
Занимаясь индуктивной и модальной логиками, Вригт обратил внимание
на проблему времени в философии и науке под углом зрения ее логического
анализа. По его словам, формальная логика традиционно имела дело с
концептуальными построениями статического мира. Считалось обычным
рассматривать высказывания как неизменно истинные или неизменно ложные.
Потребность в логике, которая изучала бы концептуальную структуру динамического,
изменяющегося мира, возникла довольно поздно, лишь в XX в.
Как только логическая теория в лице своих творцов вышла за рамки
статического мира в мир человеческих действий и меняющихся состояний
окружающей действительности, проблемы времени вызвали усиленный интерес у
логиков. Отправным пунктом исследований данной проблемы явилась модальная
логика, то есть логика возможности и необходимости, которая имеет
исключительное значение для философов и других ученых, занимающихся
концептуальным анализом.
Честно говоря, вначале не ожидалось, что понятия, обозначаемые словами
«до», «после», «сейчас», «следующий», «всегда», «иногда» и т. п., подойдут под
формальные схемы модальной логики. Но это все же произошло, в чем
состоит великая заслуга такого известного ученого, как Артура Н. Прайора,
создателя нового направления логического анализа, получившего название
временной логики.
Обнаружение сходства между модальными и временными понятиями
вызвало удивление у многих логиков, привыкших смотреть на проблему времени как
на сугубо онтологическую проблему, относящуюся к внелогическим вопросам
бытия, которые решаются философией и конкретными науками.
Вригт выделяет две доминирующие точки зрения логиков на проблему
времени. Первая касается изучения темпоральных 2 событий. При этом ставятся
такие вопросы, как: является ли темпоральный порядок событий линейным или
круговым? Можно ли представить темпоральные события ветвящимися в
различных направлениях? Вторая точка зрения касается природы так называемой
временной субстанции. Слово «субстанция» призвано в данном случае
подчеркнуть следующую проблему: является ли время дискретным или континуальным?
2 От лат. tempus - время.
Глава 6
261
Можно провести также различие между макровременем и микровременем.
Макровремя - это время, текущее из неопределенно далекого прошлого в
неопределенно далекое будущее. Микровремя - это время, ограниченное
определенными и вполне измеримыми интервалами, которые при желании можно
интерпретировать с точки зрения математики, точнее, с точки зрения понятия
метрического пространства, с которым мы уже знакомы, но тем не менее еще
раз кое-что напомню.
Метрическим пространством называется класс объектов Р (точек) р 9 р2, ..., если
для каждой упорядоченной пары точек р{ и р2 из Р определено действительное
число d(p]9 р2), то есть расстояние (метрика) между р] и р2, такое, что
(1) d(p{, р2) = О в том и только в том случае, если рх = р2;
(2) d(pl9 р2) < d(p{9 р3) + d(p2, ръ) для любых рх, р2, ръ из Р.
Из этого определения вытекает
(3)ф1)Р2)>0;
(4) Ф,, Р2) = ф, Р2)
для всех р и р2 из Р.
С понятием метрического пространства связаны понятия интервала и
окрестности некоторого множества точек, также уже известные нам по второй главе.
Согласно определению множество всех значений р (точек) в некоторых интервалах
должны удовлетворять следующим условиям:
1) а < р < b есть ограниченный открытый (слева и справа) интервал,
обозначаемый круглыми скобками (а, Ь)\
2) а < р есть неограниченный открытый (слева и справа) интервал,
обозначаемый круглыми скобками (а, -н»);
3) р < а есть неограниченный открытый (слева и справа) интервал,
обозначаемый круглыми скобками (-©о, а);
4) а < р < Ъ есть ограниченный замкнутый (слева и справа) интервал,
обозначаемый квадратными скобками [а, Ь].
Множество точек (р\ удовлетворяющих условиям а < р < b [а9 Ь)9 а < р < b
(а9 Ь]9 а < р [а9 р)9 р < а [р9 а)9 называются полуоткрытыми интервалами.
Окрестность точки (а) в пространстве действительных чисел есть любой
открытый интервал, содержащий точку t = а. Иначе говоря, окрестность точки t = а
есть любое множество, содержащее некоторую окрестность данной точки.
Если воспользоваться аналогией и применить математические понятия
интервала и окрестности, то в контексте временной (темпоральной) логики
математические знаки <, >, < и > можно рассматривать как своеобразные
модальные операторы. В таком случае временная логика получает свою
математическую интерпретацию, что немаловажно для ее использования в логическом
программировании и нахождении соответствующих алгоритмов.
Временная логика имеет дело главным образом с микровременем и с
вопросами измеримого темпорального порядка.
Вригт не обходит своим вниманием и проблему кванторов для временной
логики, вводя понятия так называемых темпоральных кванторов. Под
темпоральными кванторами он понимает выражения «всегда», «когда-либо» и «никогда».
В свете сказанного рассмотрим три фундаментальных закона классической
логики (закон (не)противоречия (непротиворечивости), закон исключенного
третьего и закон двойного отрицания) на следующих примерах:
262
К.К. Жоль Логика
(1) Истинно, что завтра будет морское сражение или завтра не будет
морского сражения!
(2) Истинно, что завтра будет морское сражение, или истинно, что
завтра не будет морского сражения?
В первом случае мы имеем дело с дизъюнктивным утверждением, а во
втором имеем дело с дизъюнктивным вопросом.
Утверждение (1) можно квалифицировать как применение закона
исключенного третьего к высказыванию, что завтра будет морское сражение. Под
законом исключенного третьего здесь понимается принцип логики, который
гласит, что дизъюнкция любого данного высказывания и его отрицание
является необходимо истинной.
Вопросительное высказывание (2) тоже является дизъюнктивным. Его
можно преобразовать в утверждение, заменив во втором члене дизъюнкции
«истинно, что не» на «ложно, что». В результате получается:
(3) Истинно, что завтра будет морское сражение, или ложно, что завтра
будет морское сражение.
Как указывает Вригт, всеобщий принцип, гласящий, что любое данное
высказывание или истинно, или ложно, то есть имеет одно из двух истинностных
значений «истина» или «ложь», известен как принцип (закон) бивалентности.
Утверждение принципа бивалентности принадлежит Лукасевичу, который отвергал закон
исключенного третьего в следующей слишком жесткой формулировке: каждое
высказывание либо истинно, либо ложно.
Высказывание о завтрашнем морском сражении служит примером
возможного вмешательства случая в ход будущих событий. Применение законов
логики, включая закон исключенного третьего, к высказываниям о будущем
требует либо принять жесткий детерминизм3 в трактовке причинно-следственных связей,
либо с учетом случайных факторов отнести этот детерминизм к разряду наших
иллюзий. Склоняясь в пользу последнего, Вригт указывает на следующую
проблему: как рассеять иллюзию жесткого детерминизма?
В свое время Лукасевич отмечал, что закон исключенного третьего в его
упрощенной трактовке (принцип бивалентности) абсолютно не годится для
высказываний о будущем, ибо такие высказывания не имеют строго истинностного
значения, которое демонстрирует нам классическая логика высказываний с помощью
таблиц истинности. В высказывании о предстоящем морском сражении два члена
дизъюнкции не находятся в противоречащем отношении друг к другу, то есть ни
один из них не является отрицанием другого. Каждому понятно, что морское
сражение может состояться, если ему не помешают природные катаклизмы, если все
участники его не заболеют поголовно жесточайшим расстройством желудка, если...
Понятно и то, что морское сражение может не состояться, если случится какой-нибудь
чудовищный природный катаклизм, если все участники его заболеют дизентерией,
если...
Фраза «Это есть истинно» и ее временные варианты («Это было истинно»,
«Это будет истинно», «Сейчас истинно», «Сегодня истинно», «Уже истинно»,
«Еще не истинно»), когда применяется к единичным высказываниям о
фактических событиях, имеет темпоральное значение и не может быть
безоговорочно сведена к «вечным истинам» типа: мир бесконечен в пространстве и во
времени, Солнце обращается вокруг Земли (геоцентрическая система мира), Земля
обращается вокруг Солнца (гелиоцентрическая система мира) и т. д.
3 От лат. determinare - определять', философская концепция, признающая причинную
обусловленность всех явлений объективной действительности.
Глава 6
263
Рассмотрим какое-нибудь конкретное темпоральное высказывание. Например:
«То, что завтра будет морское сражение, уже сейчас истинно постольку,
поскольку адмиралы окончательно решили, что флот будет сражаться именно
завтра». Слово «истинно» в данном высказывании можно заменить близкими
ему по прагматическому смыслу словами, а именно: «несомненно»,
«безусловно», «ясно», «установлено» и т. п. Все эти разговорные варианты нашего
убеждения в истинности предстоящего, могут быть выражены философским
значимым словом «необходимо».
Но и это еще не все. Когда фраза «истинно, что» используется в подлинно
темпоральном смысле, недостаточно заменить слово «истинно» словами
«несомненно» или «необходимо». Строго говоря, его надо заменить составными
выражениями типа: «несомненно истинно», «необходимо истинно». Второй
компонент указанных составных выражений {«истинно») имеет нетемпоральный
характер или, образно говоря, имеет характер «вечной (вневременной) истины».
Первые компоненты («несомненно» , «необходимо») имеют прямое отношение к
модальной логике и к таким ее понятиям, как «возможно» и «действительно».
Интуиция подсказывает, что компоненты «несомненно» и «необходимо»
ответственны за темпоральный характер соответствующих наших фраз.
Как видим, временная (темпоральная) логика - не одна из причуд
логической фантазии, а естественное следствие развитие современной модальной
логики. Более того, научная практика свидетельствует, что временная логика
может стать весьма ценным инструментом для анализа такого фундаментального
научного понятия, как «время». Чтобы не быть голословным, сошлюсь на
работы известного немецкого философа и логика Г. Рейхенбаха (1881-1953),
прославившегося своими исследованиями теоретико-методологических основ
геометрии, логической структуры теории относительности, логики науки,
причинности, статистических и динамических закономерностей.
В своей книге «Философия пространства и времени» (1928, 1958) Рейхенбах
отмечал, что проблемы времени в философии науки исследовались значительно
меньше, чем проблемы пространства. Время обычно рассматривалось как некая
упорядочивающая схема, подобная пространству, но более простая, так как имеет
всего лишь одно измерение, то есть сравнительно с пространством время
представлялось менее проблематичным, поскольку не было связано с многомерностью.
Несмотря на то что концепция пространства и времени как четырехмерного
многообразия оказалась весьма плодотворной для математической физики, ее
эффект в более широком научном контексте сводился к банальностям, только
запутывающим существо вопроса, поскольку создавалось превратное
впечатление, что время может пониматься как один из видов пространства. На самом
же деле, соединяя пространство и время в четырехмерное многообразие, мы
только выражаем факт, что для определения того или иного события нам
требуется четыре числа (три для пространственного измерения и одно для
временного). Подобная трактовка времени не вносила ничего нового и содержательного
в само понятие времени и не могла стимулировать развитие особой временной
логики. К тому же она усложняла проблему измерения времени. Ведь время -
это не пространственные линейные отрезки, которые можно сравнить, например,
наложением друг на друга. Тем не менее сравнение по длине сущест-вует и для
времени. Некоторые интервалы времени физики считают равными по длине.
Вращение Земли - один из основных примеров такого рода. Предполагается, что
временные интервалы, необходимые для одного полного обращения Земли
вокруг своей оси, одинаковы, то есть считается, что обороты Земли имеют
равную длительность, поскольку они относятся к периодам одного и того же типа.
Утверждая, что периоды колебания маятника равны по длительности, мы
используем тот же самый принцип. Подсчет периодов маятника является
наиболее естественным методом измерения времени.
264
К. К. Жоль Логика
Для дополнительного деления временных интервалов, как в случае вращения
Земли вокруг своей оси, используется метод измерения углов. Мы принимаем
временные интервалы за равные, если они соответствуют равным углам вращения
Земли. В этом случае равное время измеряется с помощью равных пространственных
величин.
Сведение временных измерений к пространственным имеет место и в инер-
циальном движении. Закон инерции гласит, что если на свободно движущееся
тело не действуют силы, то оно будет проходить равные расстояния за равные
промежутки времени. В данном случае мы используем движение как меру
равномерности и определяем как равные времена прохождения телом равных
расстояний.
Таким образом, существуют два основных метода измерения времени, один
из которых состоит в подсчете периодических процессов, а другой - в
измерении пространственных расстояний, соответствующих определенным
непериодическим процессам.
Наиболее наглядным примером подсчета периодических процессов служат
механические часы. Часы для измерения равных промежутков времени являют
собой механизм, обладающий ярко выраженной периодичностью. В случае с
часами измерение времени основывается на приложении наших научных
знаний о принципе работы некоего механизма.
Можно ли с помощью часов сравнить два следующих друг за другом
периода времени?
Нет, нельзя. Каждому здравомыслящему человеку понятно, что мы не
можем вернуть прошедший временной интервал и совместить его с более
близким нам.
Для темпоральных сравнений требуется нечто другое. Что именно?
Временное сравнение соответствующих событий (например: вспышка молнии
и гром) возможно только тогда, когда сигнал, посланный из одного места в
другое, представляет собой причинную цепь. «Звенья» этой «цепи» служат
своеобразными эталонами измерения времени. Данные «эталоны» получаются посредством
вывода. Иначе говоря, имея ряд некоторых сигналов, следующих друг за другом
в причинно-следственном ряду, мы можем установить время некоторого
удаленного от нас события только с помощью вывода.
В качестве иллюстрации к сказанному можно сослаться на модный ныне
причинный анализ в статистических исследованиях, который близок графовому
представлению задач в пространстве состояний. Данный вариант
логико-математического анализа в социологии и эконометрии преследует цель дать такое
описание взаимозависимых переменных, при котором можно указать
«переменные», являющиеся «причинами», и переменные, являющиеся «следствиями», а
также прогнозировать вторые по первым. В этом узкоспециальном смысле и
употребляется выражение «причинный анализ», смысл которого отличается от
смысла философских представлений о причинности.
Обычно в логико-математической литературе под причинным анализом
понимается определенная система представления знания, формализованная в виде
линейной модели взаимозависимостей между переменными. Однако имеются и
другие логико-математические подходы к причинно-следственным
отношениям, когда отношения между переменными могут быть нелинейными и сугубо
вероятностными, что особенно важно учитывать при составлении прогнозов,
отталкивающихся от фактора времени.
Переход (превращение) причины в следствие можно в абстракции
представить как некоторую операцию. Например, умножив 2 на 2 (причина) получим
4 (следствие). Символом этой операции является оператор умножения (х).
Если обобщить частные случаи, можно сказать, что любая операция по
превращению причины в следствие осуществляется с помощью соответствующего
Глава б
265
оператора, указывающего не на знак или вещь, а на их функцию в
причинно-следственном ряду.
Причинная связь не обязательно зависит от одного оператора. Фактически
она определяется множеством операторов.
Отношение «X является причиной У» символически выражается так: X —> У.
Выражение «х—-—»У » означает, что X есть причина У, а символ к
характеризует тип операции, которая преобразует X в Y. В данном случае
предполагается, что преобразование линейно. Символ к выполняет роль коэффициента
структурной трансформации (структурного преобразования),
характеризующего линейное преобразование причины в следствие.
Выражение «х—Ьнс—>у » означает то же самое, что и выше, но здесь
структурно-трансформационный коэффициент определен индексами, где на
первом месте стоит следствие (У), а на втором - причина (X).
Выражение «х —=^—>Х » означает, что X есть причина X, a k2l - структурно-
трансформационный коэффициент, где на первом месте стоит числовой индекс
2 (следствие), а на втором - числовой индекс 1 (причина).
Диаграмма на рис. 1 означает, что X - непосредственная причина для Y и
для Z. Кроме того, Z является непосредственной причиной У.
Всякий раз, когда некоторая переменная (следствие) не просто пассивно
зависит от своих причин (переменных), но и влияет на одну или нескольких из
них (причин), появляется так называемая причинная петля. Если пара
переменных образует петлю, переменные связываются двумя стрелками (прямыми или
дугообразными), указывающими противоположные направления.
-±^
Выражение «^ Y » означает, что X есть причина У, a Y - причина X.
Диаграмма на рис. 2 означает: Y зависит от X, Z зависит от У, а X
зависит от Z.
Теперь перейдем к составлению уравнений. Прежде всего составим
уравнение для выражения «X——>Y ». Оно будет иметь вид: У = кХ. Здесь значение
переменной У, определяемой одним входом, равно значению выхода (X),
умноженному на структурно-трансформационный коэффициент к.
Рассмотрим случай (рис. 3), когда значение переменной Z (следствие),
определяемой двумя переменными (причинами X и У), равно сумме входных значений,
умноженных на их структурно-трансформационные коэффициенты, а именно:
Z = аХ+ bY.
Диаграмма, изображенная на рис. 4, означает, что
Y=kX+UY=kX+UY
™* Y=UY + kX
Разные системы оказывают возмущающее влияние друг на друга. В
причинном анализе статистических явлений возмущающие члены обычно
обозначаются большой латинской буквой U с нижним индексом, определяемым той
переменной, на которую действует данное возмущение.
о цр о в "в
Рис. 1.
Рис. 2.
266
К.К. Жоль Логика
Рис. 3. Рис. 4.
Если одна переменная определяет вторую переменную, а другая определяет
третью, то значение третьей переменной может быть выражено как значение
первой переменной, умноженное на произведение
структурно-трансформационных коэффициентов. Этот же принцип применяется, когда цепь имеет более
чем два звена.
Таким образом, выражение
X —?—> Y—^Z
означает: Z = аЪХ.
Это можно переписать как Z = {аЪ)Х, что соответствует выражению
X—2L+Z.
Правильный вывод предполагает ясное понимание логических операций
соответствующих умозаключений. И здесь мы, отвлекаясь от изучения
физического времени и причинно-следственных связей в природе, сталкиваемся с
проблемами импликации (материальной и строгой).
Как видим, в этом «тесном мире» все взаимопереплетено. Поэтому не
следует пренебрегать философией и логикой, решая конкретные научные
проблемы, которые на первый взгляд могут показаться весьма далекими от логико-
философских полемик.
Деонтическая и эпистемическая логики. Одним из важных разделов
современной модальной логики является так называемая деонтическая 4 логика,
изучающая выражения типа «обязательно», «позволено», «запрещено» и т. п. В
деонтической логике слово «необходимо» используется в смысле «должно», а слово
«возможно» - в смысле «допустимо». В контекстах, где имеет место такая
смысловая трансформация слов «необходимо» и «возможно», «должно» и
«допустимо», мы обычно имеем дело с моральным или юридическим
долженствованием, допустимостью тех или иных действий, поступков 5. Следует подчеркнуть,
что нормативные выражения составляют особый предмет изучения
деонтической логики.
По Вригту, деонтическая логика может быть названа логикой того, что
должно, можно и нельзя делать. В этом смысле она является логикой норм.
В том, что может считаться предысторией современной деонтической
логики, Вригт выделяет две основные традиции. Одна из этих традиций восходит к
4 От гр. deontos - нужное, должное. См., например: Aqvist L. Introduction to deontic logic
and the theory of normative system. - Napoli: Bibliopolis, 1987. - 280 p.
5 По поводу логико-методологических проблем права и нормативных суждений см.:
Alexy R. A. A theory of legal argumentation: The theory of rational discourse as theory of
legal justification. - Oxford: Clarendon Press, 1989. - Х1П, 323 p.; Soeteman A. Logic in law:
Remarks on logic and rationality in normative reasoning especially in law. - Dordrecht: Kluwer,
1989. - XII, 326 p.
Глава 6
267
философии Лейбница, а другая - к работам английского философа и юриста И. Бен-
тама (1748-1832). Но все же основные идеи деонтической логики были явно и
впервые предвосхищены именно Лейбницем, который еще в 1672 г. заявил о так
называемых модальностях права.
Под «модальностями права» (juris modalia) Лейбниц, будучи, кстати
заметить, юристом по образованию, понимал деонтические категории
«обязательно», «позволено», «запрещено» и «безразлично».
Особый раздел модальной логики представляет собой так называемая эписте-
мическая 6 логика, в которой изучаются модальности типа: знаю, верю, сомневаюсь
и т. п. Данные модальности обычно являются компонентами выражений типа:
некто знает, что ...; некто верит в то, что ...; некто сомневается в том, что ... .
С самого начала своего существования логическая наука была
сосредоточена на изучении структуры знания и способов его получения. Поэтому логику
можно было бы назвать эпистемической в самом широком смысле слова.
Однако бурное развитие модальной логики во второй половине XX в. внесло
уточнение в использование греческого слова «эпистема» (знание), адресовав его тем
исследованиям в сфере модальной логики, которые связаны с «субъективным
фактором», точнее, с различными интеллектуальными состояниями знающего
субъекта. Этот субъект может быть невежественен, может заблуждаться,
может иметь свое особое мнение, может верить во что-то или не верить, может
быть убежденным, уверенным в чем-то или сомневаться в чем-то и т. д.
Градации знания знающего субъекта и составляют основной предмет исследования
эпистемической логики, хотя, как мы увидим, она этим не ограничивается.
Характеризуя эпистемическую логику, можно сказать еще и так: если
первейшей функцией модальной логики является формализация модальностей
«возможность» и «необходимость», то следующей важной функцией является
логическое моделирование и анализ круга понятий, связанных с нашими
представлениями о знании и вере (убеждениях, мнениях и т. п.). Для последнего
используются формальные языки с модальными операторами, соответствующими
понятиям «знание» и «вера».
Если классическая логика формализует строго корректные (точно
определенные в рамках данной логической системы) рассуждения, то модальная
логика стремится расширить границы этого формализма, поскольку жизненный опыт
лучше всяких умных слов свидетельствует, что наш интеллект способен
строить достаточно последовательные и практически полезные рассуждения в
условиях той или иной степени неопределенности. Имея дело с такими условиями,
то есть с неполной или изменчивой информацией, мы учитываем, что наши
практически полезные рассуждения не стремятся претендовать на
убедительность теоретических истин, ибо зачастую имеют предположительный или
правдоподобный характер, но тем не менее они помогают нам ориентироваться в
сложных ситуациях и принимать правильные решения. Все это свидетельствует
в пользу исследований в сфере модальной логики, включая такую ее
важнейшую часть, как эпистемическая логика.
Рассмотрим следующий пример. Предположим, мы знаем, что
подавляющее большинство ангелов может летать во сне и наяву и что некто Баба-Яга -
далеко не ангел, хотя и уверяет всех командно-административным басом в
противоположном. Полагаясь на свои близорукие глаза, я робко и про себя
заключаю, что Баба-Яга не способна летать. Этот вывод кажется мне вполне
приемлемым. Между тем ой не является абсолютно корректным и общезначимым с
точки зрения современных богоискателей и вневероисповедных мистиков, ибо, по
мнению всей этой разношерстной братии, не учитывает возможных исключений.
6 От гр. episteme - знание.
268
К. К. Жоль Логика
Следовательно, с их точки зрения, он неточен и подлежит серьезному
пересмотру. Я заикнулся уточнить, что если некоторые ангелы подобны страусам
или пингвинам, то они не могут летать, а это служит оправданием того факта,
что Баба-Яга очень смахивает на страуса или пингвина (ступа в расчет не
принимается, так как подавляющее большинство неангелов может летать на
самолетах, вертолетах, а также во сне).
Таким образом, классическая логика, ограничивающаяся формализацией
общезначимых рассуждений, не подходит для формализации нестрогих и
относительно легко модифицируемых рассуждений.
Неадекватность формальных систем дедукции классической логики для
формализации модифицируемых рассуждений объясняется, в частности, тем, что
правила этих рассуждений являются лишь позволяющими, а не предписывающими.
Например, можно вывести р из множества посылок F, но как только новая
информация q будет добавлена к F, мы вынуждены будем переоценить р,
поскольку новая модель расширенных посылок может не подтверждать р. Так,
заключение «Баба-Яга все-таки летает» не является общезначимым выводом из двух
посылок: «Большинство ангелов летает» и «Баба-Яга - летающий страус».
Указанное заключение может считаться в лучшем случае только выполнимым, но не
общезначимым. Следовательно, данное заключение принадлежит к возможно
выполнимому, а не к необходимо выполнимому. Более того, требование возможной
выполнимости не может игнорировать модифицируемости наших рассуждений
под влиянием поступления новой информации, которая может сделать наши
предположения абсолютно невыполнимыми. Скажем, узнав, что Баба-Яга -
мошенница, мы решительно отвергнем утверждение, что Баба-Яга летает.
Взаимосвязь эпистемической логики и логики умолчаний. Любого человека
смутит ситуация в логике, когда логическая формула сначала выводится, а потом
отвергается, в результате чего утрачивается «жесткость» аксиоматических
систем. Чтобы вернуть этому индивидууму чувство уверенности в собственном
психическом здоровье, логики просто обязаны принять соглашение о некоторых
устойчивых множествах утверждений, на которые не должны покушаться
разные скептики и нигилисты из числа несостоявшихся модальных логиков. В этом
случае доказательство логических теорем сводится к установлению существования
для соответствующей логической формулы устойчиво выполнимого множества
предположений (посылок). На подобной любопытной основе строится так
называемая логика умолчаний (или логика типичного), которую можно рассматривать
как разновидность модальной эпистемической логики.
Логика умолчаний, идея которой была введена и развита американским
ученым Р. Рейтером (70-80-е гг.), нацелена на формализацию рассуждений,
являющихся всего лишь выполнимыми. Эта логика строится с учетом того, что при
неполной информации мы вынуждены получать только правдоподобные,
только предположительные заключения. Учитывает она и то, что все общие
правила имеют свои исключения. Так, если Баба-Яга является, по утверждению
господина Фердыщенко, лол-страусом, то подчиненные ему лакеи могут
беззаботно заключить, что Баба-Яга летает, если ей это не запрещено господином
начальником Фердыщенко. Поскольку утверждение «Баба-Яга летает»
выполнимо с точки зрения лакеев господина Фердыщено, а также с точки зрения
самого Фердыщенко, то все верноподданные должны, немедленно заключить: «Баба-
Яга летает», ибо сие наиболее естественно с точки зрения инстинкта
самосохранения и здравого обывательского смысла. Это и есть рассуждения с умолчаниями.
Логика умолчаний позволяет формализовать вышеприведенные
умозаключения (рассуждения) в виде правил вывода, называемых умолчаниями'.
рМг
Ч
Глава 6
269
Смысл этой формулы таков: если мы верим в /? и если г выполнимо вместе со
всем, во что мы верим, то можно верить и в q.
Например, высказывание «Ангелы вообще-то летают» можно записать еле-
дующим образом: Ангел (х): M Летает (х)
Летает (х)
Читается: если х - ангел и если выполнимо «х летает», то выводимо «х
летает». Общее правило с учетом исключений гласит, что нечто типичное
(допустим, ангелы или другие крылатые существа с перьями) летают. Это правило
умолчания позволяет обрабатывать исключения без их предварительной
идентификации (отождествления с объектами вполне определенного класса).
Логика умолчаний представляет собой систему, состоящую из некоторого
множества особо выделенных формул и правил вывода. В ней содержатся формулы
логики предикатов и правила умолчаний, отражающие различные утверждения,
касающиеся исключений из правил классической логики.
Если обозначить через L язык предикатов первого порядка, то правило
умолчания S в общем виде будет выглядеть так:
р(х)\Мгх(х), ...,Мгп(х)
(1) р(х), г^х), ..., гп(х) и q(x) - формулы языка L, свободные переменные
для которых выбраны среди х = (х , *2, ..., хп);
(2) р (х) называется требованием умолчания S, г (х) - обоснованием
умолчания S (i = 1, 2, ... , ri), q(x) - следствием умолчания S;
(3) M - некий символ метаязыка.
Свободные переменные умолчания считаются V -квантифицированными.
Область действия этих кванторов распространяется на все члены умолчания.
Соответственно, умолчание S называется замкнутым тогда и только тогда, когда р
(х), г (х), ..., гп(х) и q (х) не содержат свободных переменных. Незамкнутое
умолчание называется открытым и представляет собой общую схему вывода.
Конкретизацией открытого умолчания является замкнутое умолчание, полученное
заменой всех свободных переменных открытого умолчания на константы языка L.
Связь логики умолчаний с эпистемической логикой настолько очевидна, что
не требует дополнительных объяснений. Важно подчеркнуть только, что
посредством логики умолчаний эпистемическая логика имеет один из выходов на
решение проблем «искусственного интеллекта», то есть имеет выход на
логическое программирование.
Рассмотрим некоторые особенности элементарных модальных систем
эпистемической логики. Пусть L - модальный язык высказываний, р и q - метапе-
ременные, представляющие формулы в языке L. Модальные операторы этого
языка обозначим символами А (оператор общности, соответствующий V ) и Е
(модальный оператор существования, соответствующий 3).
Условимся считать нормальной модальной системой четверку, состоящую из:
1) множества всех теорем логики высказываний, область действия
которых распространяется на формулы модального языка высказываний;
2) схемы аксиомы дистрибутивности L(p —> q) —> (Lp —> Lq);
3) правило отделения {modus ponens);
4) модального правила вывода необходимости («р необходимо истинно»
при условии, что «р истинно»).
270
К. К. Жоль Логика
Выбор модальной системы зависит от моделируемого модального понятия. Так,
если мы желаем охарактеризовать знания некоторого субъекта, обладающего
способностью к логическому самоанализу относительно того, что ему известно и что
неизвестно, то следует выбрать так называемую немонотонную логику Д. Мак-
Дермотта и Дж. Дойла, отличающуюся от логики умолчаний Р. Рейтера по
нескольким пунктам, касающимся понимания необходимости и возможности, а также
использования аксиоматических систем и соответствующих формул. В данном
случае под монотонностью понимается свойство формальных систем дедукции
классической логики, препятствующее прямой формализации модифицируемых
рассуждений. Построение немонотонной логической системы вывода делает необходимым
ослабление свойств дедуктивных систем классической логики. Для построения
немонотонной логики нужно определить отношение вывода, позволяющее получать
заключения, которые подтверждаются не во всех моделях для посылок данного
вывода.
Одной из разновидностей немонотонной эпистемической логики является так
называемая автоэшстемическая логика, где компонент «авто» указывает на свой
исходный смысл 7, то есть имеется в виду своеобразная автонимия 8. Автоэписте-
мическая логика ставит своей целью формализацию субъективного самоанализа в
форме соответствующих рассуждений {интроспективных рассуждении) об
исходном множестве предположений. Данной формализации подлежат выражения типа:
«Если я не предполагаю, что р подтверждается, то подтверждается q».
Подобные рассуждения немонотонны, ибо множество основных
предположений субъекта может со временем меняться, что чревато противоречиями для
некоторых выводов. Для формализации такого рода рассуждений особенно
подходят модальные логики знания и веры, то есть различные разновидности
эпистемической логики.
Что касается автоэпистемической логики, то она, по мнению специалистов,
может быть с успехом использована в логическом программировании, когда,
например, запрашивается база данных или база знаний компьютера об их
собственных пределах знаний.
Ом эпистемической логики к логике эротетической. Анализ знаний
знающего субъекта выводят нас на проблематику логики вопросов (эротетической
логики или логики эротематической 9).
Формулировка и решение познавательных задач связаны с постановкой
определенных вопросов. Собственно говоря, любая задача начинается с вопроситель-
ности.
Одними из первых заострили внимание на логике вопросов представители так
называемого генетического метода в логике, который является разновидностью
психологистского понимания сущности логической науки, широко
распространенного в XIX в. Их рассуждения по данной теме выглядели следующим образом.
Смысл существования каждой личности заключается в активных попытках
разобраться в окружающих явлениях. В процессе индивидуального и
общественно-исторического развития мы наблюдаем переход от случайного опыта ко все
более методически упорядоченному опыту. Так постепенно формируется
исследовательский тип психики. Его главными компонентами являются: (1)
стремление от незнания к знанию; (2) неудовлетворенность имеющимися знаниями,
которая активизирует психическую деятельность; (3) суждения возможности
7 «Авто...» от гр. autos - сам; первая составная часть сложных слов, соответствующая
по значению словам «свой», «собственный» или на основе «само...» (например:
автобиография, автограф и т. п.).
8 Авто... + гр. onoma, onyma - имя; указывающий сам на себя; полное адекватное имя
автора, пишущего под псевдонимом.
9 От гр. erotematicos - в форме вопроса.
272
К.К. Жоль Логика
(модальные суждения), позволяющие проявляться этой неудовлетворенности в
форме вопросов.
По словам русского логика XIX-XX вв. И. И. Ягодинского, вопрос есть
альфа и омега всякого исследования, а следовательно, и всей методологии познания.
Это особенно хорошо понимал немецкий философ Г. Тейхмюллер (1832-1888),
который утверждал, что логика со времен Аристотеля страдает отсутствием
понятия вопроса. Между тем вопрос должен быть душой новой философии,
ибо, как утверждал Тейхмюллер, с философской точки зрения у человека
разумная жизнь начинается тогда, когда он ставит вопросы. Согласно учению
Тейхмюллера, вопрос - это желание перейти от неопределенного познания к
познанию определенному, организованному, упорядоченному.
Ягодинский считал, что вопрос нельзя оценивать в качестве полной
логической функции научного исследования. Таковой является единство гипотезы и
вопроса.
Проблематика логики вопросов вновь актуализировалась во второй
половине XX в. Современная вопросно-ответная логика получила название эроте-
тической логики. Выражение «эротетическая логика» было предложено для
обозначения предметной области логики вопросов в 1955 г. А. и М. Прайорами.
Эротетическая логика - это прежде всего формальная теория, стремящаяся
к максимально точному логическому прояснению своих основных понятий и
методов. Поэтому сфера приложения ее довольно узка.
Существуют два подхода к построению формальной теории вопросов,
которые условно называются (а) лингвистическим и (Ь) компьютерным. Согласно
первому подходу, материалом для уточнения вопросов служат реально
существующие вопросы естественного языка. Согласно второму подходу, исходным
материалом для формализации вопроса служит сам формальный язык, используемый
в информационных системах, ориентированных на решение некоторой
совокупности информационно-поисковых задач. В рамках этого подхода вопрос
понимается как запрос (например: найти все статьи по заданной теме).
Первые обобщающие работы по эротетической логики были написаны Т. Ку-
биньским, Н. Белнапом, Т. Стилом, а также Л. Аквистом, Дж. Катцем, Я. Хин-
тиккой и др.
Белнап, Стил и Катц ограничивали свои задачи формальным анализом (в
русле лингвистического подхода) вопросно-ответных отношений такого типа,
которые используются в самых простейших ситуациях. С помощью подобного
рода формального анализа авторы хотели приблизить нас к пониманию
эротетической «глубинной структуры» естественного языка.
В эротетической логике формальным аналогом понятия «вопрос» служит
понятие интеррогатива 10. Интеррогатив - это логическая имитация структуры
вопросов простейшего типа. Данная имитация связана с делением вопроса на
две части: (1) субъект вопроса и (2) предпосылка вопроса.
В первом приближении можно считать, что субъект вопроса задает
множество альтернатив, из которых отвечающий должен произвести выбор.
Например, субъект вопроса: «Является ли стекло жидкостью при температуре 70°F?»
предполагает две альтернативы: (1) «Стекло является жидкостью при
температуре 70°F» и (2) «Стекло не является жидкостью при температуре 70°F».
Предпосылка вопроса определяет, какое количество истинных альтернатив
желательно иметь в ответе, а также какого рода требования должны быть
предъявлены к полноте и различимости.
В предпосылке вопроса выделяют три компонента, а именно:
Англ. interrogative - вопросительный.
Глава 6
273
1. Спецификация выбора числа альтернатив.
2. Спецификация требования полноты. Этот компонент указывает на то,
желает ли спрашивающий, чтобы ответ содержал утверждение о степени
своего соответствия первому компоненту предпосылки.
3. Спецификация требования различения. Этот компонент требует,
чтобы в ответе было указано, являются ли альтернативы реально или
номинально различимыми (скажем, «7» в отличие от «VII»).
Классифицируя вопросы, Белнап и Стил делят их на два класса. В первый
класс попадают вопросы, которые задают ограниченное число альтернатив. Во
второй класс попадают вопросы, задающие слишком большое количество (даже
практически бесконечное) число альтернатив. Однако в целях своего анализа
наши исследователи обращают внимание преимущественно не на количество
представляемых вопросами альтернатив, а на способ задания этих альтернатив.
В соответствии с этим вопросы делятся на (1) лм-вопросы (вопросы, субъекты
которых представляют определенный конечный список альтернатив типа: «Идет
ли Джон домой?») и на (2) какой-вопросы (вопросы, субъекты которых
представляют большое множество альтернатив типа: «Какое натуральное число
является наименьшим нечетным простым?»).
Естественно, такое деление не охватывает даже самой малой разновидности
вопросов, но для нас важен сам принцип классификации, ориентированный на
способ их аналитического задания, на способ их представления по характеру и
количеству альтернатив.
В проблемной ситуации мы не сразу формулируем точный вопрос, не
говоря уже о возможных ответах на еще несформулированное. Ответ загодя
предполагается только в стереотипных ситуациях (например: «Как вы поживаете!
Как дела?.. - Спасибо, хорошо»). В реальной проблемной ситуации вопросы не
лежат на поверхности, а с трудом формулируются в соответствии с целью и
конкретной задачей по реализации данной цели, то есть цели предшествует ее
выделение и оценка, а задаче - формулировка вопросов, представляющих
проблемную ситуацию в виде условий задачи.
Здесь необходимо сделать отступление и рассмотреть некоторые концепции
из области физиологии и психологии, чтобы рельефнее выделить
практическую обусловленность логико-методологических исследований
вопросно-ответных ситуаций.
В XIX столетии внимание биологов все больше начало концентрироваться
на биоэнергетике (изучение обмена веществ, развитие биологической химии,
создание теории пищеварения, дыхания и т. д.). В физиологии, еще
недостаточно теоретически оснащенной и не накопившей соответствующего опыта, это
проявилось в изучении равновесных, покоящихся состояний организма и в
аналитическом исследовании искусственно изолированных функций организма.
Символом этой физиологии, вписанной в контекст механистических взглядов
на биологический организм, была оборванная в начале и на конце
рефлекторная дуга.
В XX в. вместо изучения организма в состоянии покоя на первое место
выдвигается изучение организма в работе, в состоянии активности.
Новое понимание физиологических процессов, протекающих в организме,
развивалось параллельно новым психологическим теориям. Все это вынуждало
переоценить философские взгляды на познавательные возможности человека,
на процессы, связанные с переработкой поступающей извне информации.
Основные споры разразились вокруг идей классической рефлекторной
теории, восходящей к философии Декарта. Согласно Декарту, изучение поведения
животных возможно на основе механико-аналитического метода.
Отталкиваясь от этих идей, великий русский физиолог И. П. Павлов (1849-1936) взялся
274
К. К. Жоль Логика
освежить декартовскую теорию, связанную с представлениями о так называемой
рефлекторной дуге.
Влияние декартовских идей на Павлова сказалось в том, что им и многими
его учениками ощущение трактовалось как нечто пассивное.
Отстаивая рациональные моменты рефлекторной теории, академик П. К.
Анохин (1898-1974) писал, что обычно условный рефлекс рассматривается как нечто
ставшее, законченное, застывшее. Это явно ошибочный взгляд. Научное
понимание сущности условного рефлекса связано с изучением происхождения и развития
рефлексов в филогенезе 1] и онтогенезе п.
Специфика взаимодействия органических образований с неорганическим
миром прежде всего проявляется во временной асимметрии, когда внешние
факторы, имеющие ту или иную степень периодичности, отражаются в
химических реакциях организма со скоростью, превосходящей скорость протекания
событий во внешнем мире.
В результате длительной исторической эволюции выявляется одна
универсальная закономерность в приспособлении организмов к внешним условиям
среды обитания - быстрое отражение в цепных химических реакциях
медленно развертывающихся событий внешнего мира. Анохин иллюстрирует это
следующим примером.
Допустим, мы имеем два ряда событий. Первый ряд - это события во внешнем
мире (А -> Б -* В -* Г), а второй ряд - события во внутренней структуре организ-
ма (а -> б -* в -* г). Данные ряды событий будем считать взаимодействующими.
Предположим, что на протяжении длительного времени ряд событий
внешнего мира систематически воздействуют на некоторый организм, имея при этом
существенное значение для его обменных процессов, в результате чего внутри
организма формируются стабильные цепи химических реакций. Между
отдельными звеньями этих химических реакций устанавливается органическая связь.
Стабильный характер подобного рода химических реакций позволяет
первичному организму отражагь в микроинтервалах времени такие последовательности
событий внешнего мира, которые возможны лишь в макроинтервалах времени.
Сравнение особенностей взаимодействия организма с неорганической
природой позволяет говорить об опережающем отражении организмом
повторяющихся событий внешнего мира. Например, после воздействия внешнего фактора А
из ряда событий внешнего мира, активизирующего внутреннее событие а из ряда
событий во внутренней структуре организма, данный организм осуществляет всю
цепную реакцию (а -* б -* в -* г), не дожидаясь факторов Б, В, Г.
Логику рассуждений академика Анохина можно представить следующим
образом (рис. 5).
(1) РЯД СОБЫТИЙ ВО ВНЕШНЕМ МИРЕ:
А->Б->В->Г
V ^ / ь
Т
где Т - время длительности данных событий.
(2) РЯД СОБЫТИЙ ВО ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЕ ОРГАНИЗМА:
а—>б—>в—>г
4 V
где t - время длительности событий.
11 Гр. phyle - племя, род, вид + genesis - происхождение, возникновение; историческое
развитие организмов, классов, отрядов, семейств; эволюция органического мира.
12 Гр. on (ontos) - сущее + genesis; индивидуальное развитие растения или животного.
Глава 6
275
(3) Т - t = Т*, где Т* - время протекания событий или время
запаздывания события Г по сравнению с событием г.
(4) ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОБЫТИЙ (1) И (2).
По словам Анохина, без опережающего развертывания химических реакций
невозможно представить функционирование и развитие первичных организмов.
Поэтому факт появления сигнальности и временных связей может быть
признан одной из древнейших закономерностей развития живой материи.
Принцип опережающего отражения внешнего мира, как подчеркивает
Анохин, является фундаментальным законом жизни. Признак же
предупредительности (сигнальности) - наиболее характерное свойство условного рефлекса
животных, обладающих нервной системой. А сам условный рефлекс - это
частный случай предупредительной деятельности организмов в форме
опережающего отражения действительности. В условном рефлексе опережающее
отражение действительности приобретает наиболее ярко выраженный и наиболее
специализированный вид.
Установленный ныне факт регуляции и контроля всех отправлений
организма по принципу обратной связи заставляет признать необходимость замены
рефлекторной дуги, не замкнутой на периферии, понятием рефлекторного
кольца. В таком случае на место автоматизированной цепочки элементарных
рефлексов ставится непрерывный циклический процесс взаимодействия с
изменяющимися условиями внешней и внутренней среды.
В отличие от разомкнутой дуги кольцевой процесс одинаково легко может
быть начат с любого пункта кольца. Признание этого положения предполагает,
что организм не просто реагирует на ситуацию, а сталкивается с ней, то есть
ситуация ставит его перед необходимостью выбора наиболее эффективных путей
действия, а это требует оценки биологического смысла информации. С подобной
физиологической моделью согласуется тот факт, что кольцевые процессы
низших уровней управления не достигают высших уровней психики именно
потому, что им предоставлена большая степень самостоятельности. Н.А.Бернштейн
считает, что этим низовым уровням организма и психики, по-видимому,
доступно принятие срочных тактических решений в ситуациях, не оставляющих времени
на «запрос» верховных центров по соответствующему межуровневому кольцу.
От физиологии активности перейдем к рассмотрению психологии активности на
примере выдвинутой А. Н. Леонтьевым (1903-1979) и А. В. Запорожцем (1905-1981)
весьма интересной гипотезы о генезисе и природе чувствительности (1936).
|т«1*Т* |
Рис. 5.
276
К. К. Жоль Логика
Самой простейшей формой субъект-объектных отношений в органическом мире
является раздражимость, суть которой выражается процессами ассимиляции
(синтеза) и диссимиляции (распада). В ходе развития раздражимости организмы
делаются способными использовать для поддержания своей жизни не только
увеличивающееся число источников (новых свойств среды), но и координировать
количество органов, обеспечивающих обмен веществ.
Всякая достаточно сложная система с необходимостью осуществляет
функцию контроля и управления процессами, протекающими внутри нее. Поэтому
системы такого типа предполагают появление качественно новых функций,
совершенно отличных от функций обмена веществ. Организмы становятся
раздражимыми по отношению к воздействиям, которые сами по себе не в
состоянии определить ни положительно, ни отрицательно их обмен веществ с
внешней средой. Более того, новые функции вызывают дополнительный расход
энергии. Чтобы их работа не повлекла за собой энергетического банкротства
организма, новые функции должны стимулировать более интенсивную деятельность
по обмену веществ. Это может произойти при условии, если организм
окажется способным к активному поиску энергетических ресурсов. Но поиск ресурсов
не является прямым продолжением функции обмена веществ. Поисковая
функция возникает не как прямая реакция на простое увеличение источников
питания, а опосредствуется координированной системой функций по обмену веществ
и ее энергетическим потребностям.
В результате исторической эволюции простейших организмов возникает
качественно новый тип деятельности, специфическая особенность которой
заключается в том, что ее предмет не имеет прямого отношения к элементарной
энергетической жизни организма. Таким образом, основный смысл рассматриваемой
гипотезы Леонтьева и Запорожца заключается в том, что функция процессов,
опосредствующих жизнедеятельность организма, есть не что иное, как функция
чувствительности (способности ощущения), которая ориентирует организм в
среде, осуществляя сигнализацию.
Сигнальный характер чувствительности является фундаментальным
психическим прототипом всех последующих типов сигнальных систем, включая
эмоциональный «язык» животных и полифункциональную речь человека.
Чувствительность достаточно адекватно информирует организм о
событиях во внешнем мире. Это - первый и самый примитивный тип решения задач
на выживаемость.
Деятельность ощущений как деятельность по решению жизненно важных
задач имеет свои конкретные формы. Суть этих форм состоит в том, что
осуществляется своеобразный процесс объективирующей оценки субъективных
состояний организма, фокусировка деятельности на предметах, препятствующих
или обеспечивающих жизнь организма.
Вслед за стадией элементарной сенсорной 13 психики идет стадия так
называемой перцептивной 14 психики, которая характеризуется способностью
отражения действительности не в форме разрозненных ощущений, а посредством
их координированной системы. На этом этапе развития мы имеем первую
собственно психическую систему функций.
На стадии перцептивной психики опосредствующая сигнальная деятельность
становится еще более сложной, требуя от организма дополнительных
энергетических затрат. Обостряется проблема накопления и сохранения энергии.
Сохранение и контролируемый расход энергии возможны лишь при условии, если
перцептивная психика будет совершенно по-новому осуществлять свою деятельность,
13 От лат. sensus - чувство, ощущение; чувствующий.
14 От лат. perceptio - восприятие.
Глава 6
277
а именно - не непрерывно, а дискретно, включаясь в работу при особо важных
для организма обстоятельствах. Вероятно, это является отличительной чертой
перцептивной психики и всех последующих формаций психики, включая
интеллект и его уровни.
Предложенная Леонтьевым и Запорожцем гипотеза развития и
функционирования психики эффективно развенчивает отжившие взгляды на процесс познания
и деятельность познающего сознания. Согласно этой гипотезе, ощущения и
восприятия передают далеко не всю информацию интеллекту. Если задачи доступны
их решению, то деятельность сознания является необязательной. Следовательно,
содержание сознания образуют не ощущения ши восприятия, его формируют
задачи, с которыми не справились сенсорная и перцептивная психика. Решение
неразрешимых для нижних этажей психики задач дает совершенно новый тип
информации, новый тип психического отражения действительности - знание в собственном
смысле слова, то есть знание как содержание и способ существования сознания.
Таким образом, функционирование интеллекта можно представит как
стремительное нарастание конфликта в виде неразрешимой для ощущений и
восприятий задачи. Ощущение не может оценить эту задачу и представляет
восприятию ее условия. В случае неудачи перцептивная психика озадачивает интеллект
и тем самым способствует образованию функциональных структур, известных
нам как структуры сознания.
Предлагаемая характеристика функционирования психики в связи с
решением определенного типа задач согласуется с основными идеями и
принципами теории информации.
Решение задач с необходимостью предполагает выбор из некоторого
множества вариантов решения, включая альтернативные. Если этот выбор
отсутствует, то разрешимость задачи на одном уровне психики «гасит» ее значение
для высших уровней.
Количество информации, которое несет в себе сообщение, возрастает при
увеличении количества неопределенности относительно того, какое сообщение из
всех возможных будет выбрано. Здесь «информацией» называется количество
непредсказуемого, содержащегося в сообщении. Чем более предсказуема «единица»
сообщения, тем меньше значения она несет. Поэтому трансляцию информации
от сенсорной психики к интеллекту можно представить как трансляцию
непредсказуемого, как сообщение о неразрешимости задач имеющимися в
распоряжении сенсорной и перцептивной психики средствами.
Специализация психических функций в процессе исторического развития
сопровождается усложнением «анатомии» психофизической деятельности живого
существа: деятельность дробится на действия, а действия - на операции (А. Н.
Леонтьев). Поэтому каждому уровню психического соответствует свое качественно
отличное содержание, определяемое не простым суммированием информации
нижних этажей, а типом решаемых задач по обеспечению практической
жизнедеятельности организма.
Таким образом, если задача не решается (не имеет алгоритма решения) в
рамках данной логико-математической системы, нам предстоит ответить на вопрос: а
имеет ли она вообще решение (/ш-вопрос)? Отвечая на поставленный вопрос, мы
возвращаемся к общей проблеме алгоритмов, поставленной в предыдущей главе.
Но поскольку в данном случае нас интересуют не столько алгоритмы, сколько
вопросно-ответная логика, следует отметить, что, вероятно, классификация
вопросов по степени их сложности должна строиться не по принципу «дуги», а по
принципу «кольца» (своеобразной «спирали»). Иными словами, если вопрос слишком
сложен для некоторой вопросно-ответной системы, она должна отвечать на него
не просто в отрицательной форме, а в форме с отрицанием своих
познавательных возможностей (например: «не в состоянии ответить потому-то и потому и
посему адресую вопросительность вопросно-ответной системе высшего уровня»).
278
К К. Жоль Логика
Собственно говоря, высшей логической инстанции передается даже не вопрос, а
предпосылка вопроса, так как отсутствие ответов на него может являться
свидетельством полного непонимания вопроса, вплоть до неотождествления его в качестве
вопроса. Системе под силу оценить только вопросительность ситуации, о чем она и
сообщает более богатой и более сильной вопросно-ответной системе.
Свою интересную трактовку вопросов в контексте эпистемической логики
предлагает Хинтикка, для которого вопросы являются требованием получения
необходимой информации. В вопросительных ситуациях спрашивающий
просит обеспечить его некоторой информацией для того, чтобы обладать знанием
об определенном предмете. Таким образом, считает финский ученый, все, что
имеется в логике вопросов, есть комбинация логики знания {эпистемической
логики) с логикой требований {императивов).
Проблемную ситуацию Хинтикка отождествляет с некоторым состоянием дел.
Логико-эпистемическое описание проблемной ситуации (некоторого состояния
дел) - это такое описание, которое осуществляется, так сказать, под давлением
обстоятельств, вынуждающих нас задумываться над состоянием дел,
осмысливать и оценивать проблемную ситуацию. Императивный характер проблемной
ситуации следует отличать от предпосылок вопроса или вопросов, а также от
возможных ответов на отдельный вопрос или их совокупность. В связи с этим
Хинтикка выдвигает предположение, что логические свойства требуемого вопроса
определяются уже на этапе логико-эпистемического описания проблемной
ситуации. Но это не просто уже знакомая нам дескрипция, где действует
соответствующий оператор дескрипции, а такая дескрипция, которая предполагает наличие
императивного оператора описания проблемной ситуации, то есть оператора,
относящегося к логике команд {требований). Синтез эпистемической логики с
логикой команд дает нам императивно-эпистемическую логику. Оценим этот вариант
модальной логики на таком примере:
Предположим, в поселке золотоискателей прошел слух, что старого
забулдыгу Робина Кука кто-то собирается отправить на тот свет. Кто же
покушается на Робина Кука?
Проездом в этом поселке оказался немного обнищавший профессор
логики, сызмальства интересовавшийся вопросно-ответной логикой и разными
любопытными модальностями. Узнав о готовящемся покушении на Кука, он
поправил пенсне и с важным видом сказал:
- Допускаю, что Робин Кук будет зверски убит. Господа, сделайте так,
чтобы я мог знать, кто именно убьет беднягу Кука.
- Не требуйте от меня невозможного! - огорченно вскричал шериф и метко
выстрелил в муху, яростно барражирующую над озабоченной головой
профессора.
Если должным образом оценить профессорский вопрос и ответ шерифа, то
в первом случае легко просматривается разновидность знакомого нам
модальное выражение «знаю, что», а во втором - императив, относящийся к логике
команд (требований). Профессорский вопрос можно квалифицировать как что-
вопрос из разряда кто-, где-, почему- и когдя-вопросы. Вопрос, заданный
шерифу, я бы назвал «зудящим» вопросом, а не академическим. Профессор просто
жаждет узнать, у кого поднимется рука на старину Кука, и он даже готов
держать пари, что должен быть человек, готовый продырявить шкуру Кука из
револьвера сорок пятого калибра. Дело остается за малым: «знать, кто», то
есть получить ответ на ребром (императивно) поставленный к/ио-вопрос.
Итак, профессор озабочен получением ответа на кто-вопрос, но, увы,
шериф не знает, кто намерен убить Кука. Обозначим спрашивающего субъекта
буквой р, отвечающего субъекта буквой s, а искомую информацию (ответ) в
форме утвердительного высказывания (предложения), в котором фигурирует
имена собственные убийцы, его жертвы и описание, например, намерений («х
Глава 6
279
намерен убить Кука»), обозначим большой буквой А. Относительно профессора
мы можем сказать так: «субъект р хочет знать, что А», то есть профессор
хочет знать, что некое вполне определенное лицо намерено лишить Кука жизни.
Относительно шерифа скажем так: «s не знает, что А», то есть шериф не знает, что
Кука хочет убить некто вполне конкретный.
Обозначим выражение типа «р знает, что ...» буквенной конструкцией Кр,
а выражение типа «s верит (или подозревает), что ...» обозначим буквенной
конструкцией Bs. Введенные нами символы Кр и Bs назовем эпистемическими
операторами и запомним, что логическая теория, характеризующая свойства
таких операторов, называется эпистемической логикой.
Пропозициональная эпистемическая логика строится посредством
присоединения к пропозициональной модальной (алетической) логике эпистемических
операторов, соответствующих правил построения и так называемых таблиц
редукции, которые позволяют нам определить логические союзы (отрицание,
конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию).
Индуктивная логика и теория вероятностей с точки зрения модальной
логики. Даже самое предварительное знакомство с эпистемической логикой
наводит на мысль о ее связи с индуктивными рассуждениями, позволяющими нам
строить эмпирические гипотезы (например, как в случае с покушением на жизнь
Робина Кука). В данном случае нельзя отождествлять два значения термина
«индукция». Так, рассуждения методом математической индукции имеет на
самом деле дедуктивный характер и подчиняется соответствующей аксиоматике.
Метод математической индукции можно представить себе как метод
доказательства справедливости различных свойств натуральных чисел. Его идея
состоит в том, что мы сперва доказываем справедливость рассматриваемого
свойства, например, для числа 1, затем, пользуясь тем, что число 1 обладает
доказанным свойством, доказываем справедливость свойства для числа 2, а потом,
пользуясь справедливостью для чисел 1 и 2, доказываем справедливость
свойства для числа 3 и т. д. Поскольку осуществить подобное доказательство для
всех натуральных числе невозможно, постольку речь должна идти о выработке
удовлетворительного общего доказательства.
В современной индуктивной логике, ориентированной на математику,
исследуются так называемые отношения подтверждения {вероятности) и отношения
принятия (принятие вероятных допущении), которые могут рассматриваться как
обобщение отношения доказательства, являющегося основным объектом
дедуктивной логики (метаматематики как теории логико-математических
доказательств). Например, на основании определенного свидетельства,
подтверждающего что-либо (скажем, какую-нибудь гипотезу), мы с некоторой степенью
уверенности принимаем данное свидетельство, а затем по правилам дедукции
выводим то или иное следствие. Такой метод научных исследований и рассуждений
называется гипотетико-дедуктивным.
Использование гипотез в качестве основы научных рассуждений является
постоянным приемом научных рассуждений Аристотеля, хотя он и не
признавал гипотезы в качестве посылок силлогистических доказательств, поскольку
последние должны были быть всеобщими и необходимыми, то есть абсолютно
истинными. Для него гипотеза выступает несиллогистическим
предположением, которое служит исходным пунктом диалектической аргументации, дающей
нам всего лишь вероятное знание. Принятие или отрицание гипотезы зависит
от подтверждения ее следствий.
Древнегреческие математики, опыт которых учитывал Аристотель, широко
применяли в качестве метода математического доказательства дедуктивный
мысленный эксперимент, включающий в себя выдвижение гипотез и вывод из них
с помощью аналитической дедукции следствий с целью проверки исходных
предположений. Однако ни древнегреческие математики, ни Аристотель не сделали
:so
К К. Жоль Логика
метод выдвижения гипотез предметом логико-методологического анализа. Только в
конце XVII в. ученые начали осознавать важную роль гипотез для развития
научного знания, прежде всего естествознания.
В процессе современных научных исследований гипотезы используются для (а)
объяснения полученных фактов и для (Ь) предсказания новых фактов. Задача
ученых состоит в том, чтобы оценить степень вероятности {правдоподобия) гипотез,
поскольку они выступают результатами некоторого вероятностного рассуждения.
Выведение проверяемых тем или иным образом следствий из гипотез служит
одним из важнейших методов проверки их истинности. В данном случае гипотезы
выступают в качестве посылок {предположений) некоторых гипотетических
{правдоподобных) рассуждений.
С современной точки зрения даже математические аксиомы могут быть
рассмотрены как некоторого рода гипотезы, из которых чисто логически выводится
вся совокупность теорем. Поскольку в рамках формальной аксиоматической
теории такие «гипотезы» не доказываются, постольку их называют аксиомами,
которые в качестве исходных теоретических допущений должны отвечать набору
соответствующих формальных требований (например: полнота,
непротиворечивость, независимость), ибо к содержанию данных «гипотез», которое и делает их
собственно гипотезами, а не аксиомами, никаких претензий не предъявляется. С
этой точки зрения правомерно рассматривать аксиоматическо-дедуктивный
метод как особую разновидность гипотетико-дедуктивного метода, под которым
понимается метод научных рассуждений, базирующийся на выведении
(дедукции) заключений из гипотез, истинность которых находится под вопросом.
Таким образом, термин «индукция» в математическом смысле
(«математическая индукция») не может быть механически вписан в контекст модальной
логики. Его использование в данном контексте предполагает определенную
концептуальную коррекцию, вызванную тем, что в модальных рассуждениях
заключения всегда носят проблематический {вероятностный) характер, хотя и
осуществляются по законам дедуктивной теории, то есть осуществляются по законам
гипотетико-дедуктивного метода.
Познакомимся с понятием «вероятность» на примере математической
теории вероятностей.
Допустим, уже знакомый нам Робин Кук все-таки стал жертвой некоего
грабителя по кличке Черный Пудель. Как все это случилось?
Когда про кого-нибудь из гангстеров говорят, что он при данных условиях
стрельбы дает 99% попаданий, то это означает, что из сотни револьверных
выстрелов, произведенных им при некоторых определенных условиях, в
среднем бывает примерно 99 удачных. Этого нельзя было сказать о Черном
Пуделе, который был слеп на один глаз и близорук на другой. Даже при самых
благоприятных условиях стрельбы он редко достигал 1% попаданий. Конечно,
не каждому дано быть метким стрелком, и не в каждой сотне выстрелов будет
I удачный выстрел; иногда их может быть 2 и даже 3, а может быть и 0. Но в
среднем при многократном повторении стрельбы в тех же самых
благоприятных условиях, когда, скажем, бедняга Робин Кук привязан к дереву, а Черный
Пудель стреляет в упор, не открывая свой близорукий глаз, процент
попаданий будет оставаться более или менее неизменным, покуда с течением времени
не произойдет каких-нибудь существенных изменений (например: Робин Кук
привяжет вместо себя огородное пугало, а Черный Пудель повысит свое
мастерство, доведя средний процент попаданий с 0 до 13). Цифра 13%, служащая
показателем мастерства Черного Пуделя, обычно стабилизируется и какое-то
время сохраняет свою устойчивость.
В этом и ему подобных случаях мы видим, что при однородных массовых
операциях (многократная стрельба по пугалу вместо хитрого Робина Кука;
массовое производство гангстеров и рэкетиров, а также пуговиц для подштанников
Глава 6
281
и фальшивых денежных знаков) процент результативных действий при данных
неизменных условиях почти всегда бывает примерно одним и тем же. Эта
средняя цифра является характерным показателем определенной массовой
операции. Само собой понятно, что знание таких средних показателей очень
важно не только для Робина Кука, но и для пуговичного производства, для
подготовки высококвалифицированных гангстеров и рэкетиров, а также для
многообещающих экономических прогнозов, гарантирующих «райскую жизнь» в
нерайских условиях.
Если Черный Пудель в данных условиях стрельбы умудряется попадать в цель
в среднем 13 раз из 100 выстрелов, то профессор логики мог бы смело сказать,
что для этого стрелка и в этих конкретных условиях вероятность попадания
составляет 13%. Если, говоря словами шерифа, в данных благоприятных условиях на
каждые 100 выстрелов приходится в среднем 87 бракуемых, то есть 87
непопаданий, то вероятность брака составляет для Черного Пуделя 87%.
Что называется вероятностью событий в данной массовой операции?
Массовая операция всегда состоит из повторения большого числа подобных
между собою единичных операций (стрельба состоит из отдельных выстрелов,
массовое производство пуговиц из изготовления отдельных пуговиц и т. д.).
Поэтому процент результативности для данной массовой операции мы
называем вероятностью ожидаемых результатов.
Если массовая операция такова, что событие Z (попадание в цель)
наблюдается в среднем х раз среди у единичных операций (выстрелов), то
вероятность события Z в данных условиях составляет:
х х
Чаще всего, когда говорится о целенаправленно наблюдаемой или
исследуемой вероятности, подразумевается некоторое испытание {планируемое
исследование), имеющее более чем один возможный исход и не имеющее прямого
отношения к эмпирическому опыту. В статистике множество всех исходов
называется выборочным пространством, хотя, по мнению ряда ученых, точнее было
бы называть их множеством возможностей.
Знакомое нам понятие множество используется здесь в своем точном
математическом смысле, то есть как совокупность объектов различной природы или
совокупность так называемых абстрактных сущностей, являющихся элементами
данного множества. В статистике эти элементы иногда называют точками
выборочного пространства.
В данном случае уже упоминавшееся понятие «испытание» служит для
охвата любой реально возможной процедуры, которой соответствует выборочное
пространство, включающее в себя более одного исхода (более одной возможности).
Выборочное пространство всегда состоит из возможных исходов всего
испытания в целом, несмотря на то, что это испытание может включать в себя много
отдельных попыток.
Вероятностью результативного исхода единичной операции называется
отношение числа результативных исходов к числу всех единичных операций,
составляющих данную массовую операцию.
Вероятность события всегда есть положительное число или нуль. Она не
может быть больше единицы, так как у дроби, которой определяется эта
вероятность, числитель не может быть больше знаменателя, то есть число
результативных операций не может быть больше числа всех осуществленных операций.
Условимся обозначать через P(S) вероятность события S. Каково бы ни
было это событие, мы будем иметь 0 < P(S) < 1. Чем больше P(S), тем чаще
наступает событие S. Например, чем больше у Черного Пуделя вероятность
попадания в цель, тем чаще у него удачные выстрелы, тем выше его мастерство.
282
К.К. Жоль Логика
Если вероятность события очень мала, оно, естественно, наступает редко. Если
P(S) = 0, то событие S либо никогда не наступит, либо его наступление можно
считать практически невозможным. Если P(S) = 1, то событие S наступает всегда
или почти всегда, из чего следует, что наверняка можно рассчитывать на его
наступление.
Как подчеркивал известный советский математик А. Я. Хинчин (1894-1959),
наука всегда стремится создать общие правила, знание которых позволило бы
механически или почти механически решать отдельные, но похожие друг на
друга задачи. В области массовых явлений наука, которая берет на себя
составление таких общих правил, называется теорией вероятностей.
Размышления о случайных и вероятных событиях имеют очень давнюю
традицию. Математические исчисления вероятностей зафиксированы в
письменных источниках, относящихся к XV в. В известной мере эти исследования были
стимулированы анализом азартных игр.
Игра в кости была самой популярной азартной игрой до конца Средних
веков. Само слово «азарт» также относится к игре в кости, поскольку
происходит от арабского слова «al-zar», переводимого как «игральная кость».
Карточные же игры стали популярны в Европе лишь в XIV в., тогда как игра в кости
пользовалась успехом еще в Древнем Египте.
Существует не то легенда, не то полуправдивая история о том, как известный
французский игрок шевалье де Мере встретил однажды Блеза Паскаля (1623-1662),
одного из знаменитейших ученых XVII в. Де Мере поставил перед Паскалем две
задачи, связанные с азартными играми. Первая задача была связана с игрой в
кости, а вторая касалась раздела приза между игроками. Обе эти задачи
Паскаль обсуждал в 1654 г. в своей переписке с Пьером де Ферма (1601-1665),
другим выдающимся ученым XVII столетия, жившем в Тулузе. Решая
поставленные задачи, ученые пришли к одинаковым результатам. Суть этих
результатов такова.
При четырех бросаниях одной игральной кости вероятность того, что по
крайней мере один раз выпадет цифра 1, больше 0,5. В то же время при 24 бросаниях
двух костей вероятность выпадения двух цифр 1 одновременно меньше 0,5.
Глава 6
283
Если правильную игральную кость бросать п раз, то число возможных (и
равновероятных) исходов равно 6". В 5" случаях из этих 6" кость не ляжет на шестерку,
и, следовательно, вероятность выпадения по крайней мере один раз единицы при п
бросаниях равна
6"-5" _(5 ?
что больше 0,5, если п = 4, но, с другой стороны, величина 1 - (35/36)", которая
получается аналогичным образом, все еще меньше 0,5, начиная с п = 25.
Поэтому критическое значение для одной кости равно 4, а для пары костей равно
25. Это правильное решение не удовлетворило шевалье де Мере, поскольку ответ
он уже знал по опыту, но из предложенного решения так и не понял, почему
ответ не согласуется с так называемым правилом пропорциональности
критических значений, утверждающим, что если вероятность уменьшается в шесть раз,
то критическое значение возрастает в шесть раз (4 : 6 = 24 : 36).
Спустя несколько десятилетий было доказано, что правило
пропорциональности критических значений недалеко от истины, поскольку если Р - вероятность
некоторого события (допустим, вероятность выбросить единицу есть Р = 1 : 6),
то критическое значение п можно найти, решая уравнение
(1 _ ру = о,5.
Это уравнение имеет решение, если Р заключено строго между 0 и 1.
Критическое значение п есть наименьшее целое число, превосходящее х.
Решение приведенного выше уравнения дается формулой
-logl log!
logfX - Р) ' р2
Р + — + ...
2
где log означает натуральный логарифм (по основанию е = 2,71... , где е -
трансцендентное число). Из представленного решения ясно, что если Р2
пренебрежимо мало, то Р убывает почти пропорционально возрастанию
критического значения, как шевалье де Мере и предполагал, опираясь на собственный
опыт.
Следует отметить, что существуют некоторые так называемые случайные
величины, которые подчиняются указанному правилу пропорциональности.
Некоторые из этих случайных величин играют важную роль в ядерной физике, в
которой критическое значение называется полураспадом. Период полураспада
обратно пропорционален постоянной распада, которая соответствует Р.
Итак, история свидетельствует, что первоначально теория вероятностей
развивалась для описания очень ограниченного круга явлений, связанных с
азартными играми, и, соответственно, основные усилия были направлены на
вычисление вполне определенных вероятностей. Однако полезно иметь в виду, что вовсе
не отыскание этих численных значений вероятностей является главной целью
общей теории вероятностей. Ее целью является раскрытие общих законов и
зависимостей, а также построение абстрактных моделей, которые могут в
удовлетворительной степени описывать объективные процессы и явления.
Интуитивное понятие вероятности связано с индуктивными
умозаключениями и высказываниями следующего вида: «Вероятно, счастливые от чтения
философских трактатов поросята не знают забот». Или: «Вероятно, и на Марсе
будут кактусы цвести». Подобные высказывания, представляющие интерес для
философов, фермеров и космонавтов, являются вполне законными объектами
математических исследований.
284
К.К. Жолъ Логика
Необходимо подчеркнуть, что на протяжении нескольких страниц читатель
будет иметь дело не с модальностями индуктивных умозаключений, а с тем, что
может быть названо объективной статистической вероятностью. Эта
вероятность относится не к разряду мнений, изучаемых философами, социологами и
психологами, а к возможным исходам мысленного эксперимента, отражающего
ситуацию в реальном мире, который требует определенных измерений, чтобы можно было
ориентироваться во всем его бесконечном многообразии.
Статистический (эмпирический) подход к вероятности в XX в. был развит
главным образом английским статистиком и генетиком Р. Э. Фишером (1890-1962) и
немецким математиком Р. фон Мизесом (1883-1953). Кстати, понятие
«пространство элементарных событий» (немецкий термин «Merkmalraum», то есть
пространство меток) идет именно от Мизеса. Это понятие сделало возможным
построение строгой математической теории вероятностей на основе теории меры.
В 30-е гг. аксиоматический подход к математическому понятию вероятности
был разработан А. Н. Колмогоровым, основателем научной школы,
представители которой занимались проблемами теории вероятностей и теории функций.
Между прочим, на заре своего существования статистика называлась
«государственной арифметикой». Само слово «статистика» происходит от
латинского слова «status» {государство). Наукой статистика стала в XVII столетии. Ее
основоположниками являются англичане Дж. Граун (1620-1674) и сэр Уильям
Петти (1623-1687). В книге Граунта «Естественные и политические
наблюдения, сделанные над бюллетенями смертности» (1662) исследовались вопросы
народонаселения. В книгах Петти «Трактат о налогах» (1662) и «Наблюдения
над дублинскими записями смертности» (1681) были использованы идеи и
результаты исследований Граунта. В работе Петти «Политическая арифметика»,
опубликованной в 1689 г. после смерти автора, Англия, Голландия и Франция
сравниваются по их населению, торговле и судоходству.
Таким образом, термин «политическая арифметика» по праву считается
предвестником термина «статистика».
Каков статус нынешний статистики в многоликом мире научных
дисциплин? Чем преимущественно занимаются ее ведущие теоретики?
Сегодня математическая статистика - самостоятельная и авторитетная
область математики. Ее основной целью является получение верной и полезной
информации из результатов наблюдений и соответствующих измерений,
называемых статистической выборкой. В этом акспекте математическая статистика
тесно примыкает к теории информации, которая весьма интересует многих
современных логиков, пытающихся использовать ее понятийный аппарат для
построения логико-математических моделей смыслового содержания различных
знаковых систем, включая системы естественных языков.
Любая наука обязательно предполагает терминологическую точность.
Этого же правила придерживается и математическая теория вероятностей,
оперирующая таким понятием, как «событие», под которым понимаются результаты
опытов и наблюдений.
Целесообразно различать сложные (составные, разложимые) и
элементарные (простые, неразложимые) события, совокупность которых образует так
называемое пространство элементарных событий, а сами элементарные события
являются точками этого пространства. Аналогом понятия «пространство
элементарных событий» служит понятие статистической механики «фазовое
пространство» 15. В статистической механике каждое возможное состояние системы
15 Фазовый - прилагательное от слова «фаза»; от гр. phasis - появление; момент,
отдельная стадия в развитии какого-либо явления или процесса; физическая величина,
характеризующая состояние колебательного процесса в каждый момент времени.
Глава 6
285
называют точкой фазового пространства. Под таким углом зрения фазовое
пространство является пространством элементарных событий в теории вероятностей и
математической статистике, а точки фазового пространства - это элементарные
события.
Понятия «пространство элементарных событий» и «точки фазового
пространства» являются исходными и неопределяемыми в рамках теории
вероятностей, так же как понятия «точка» и «прямая» остаются неопределяемыми при
аксиоматическом построении евлклидовой геометрии. В данном случае природа
элементарных событий не играет никакой роли.
Пространство элементарных событий служит моделью некоего
идеализированного опыта, соответственно чему мыслимый исход этого опыта, согласно
определению, должен описываться одной и только одной точкой данного
пространства.
В контексте теоретико-множественного подхода к теории вероятностей
термины «событие» и «элементарное событие» равносильны терминам «точечное
множество» и «точка».
Обычно для обозначения событий в теории вероятностей используются
заглавные латинские буквы (А, 5, С, ...), написанные курсивом.
Пусть задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных
событий S. Тот факт, что точка х содержится в событии А, обозначим так: х е А.
Соответственно, для любой точки х имеем х е S. Будем считать, что А = В в
том и только в том случае, когда эти события состоят из одних и тех же точек.
С любыми двумя событиями А и В можно связать два новых события,
определенных условиями: (1) «имеют место и А, и В»; (2) «имеют место или А, или В,
или и А, и В». Эти события будут обозначаться как А п В (эквивалентно А х 5,
А & В) и А и В (эквивалентно А + 5, A v В). Событие А и В означает, что
хотя бы одно из событий А или В произошло, то есть событие А и В
называется объединением событий А и В. Событие А п В означает одновременное
осуществление событий А и В. По стандартной логико-математической
терминологии событие А п В называют (логическим) пересечением (умножением)
событий А и В.
Событие А п В содержит все точки, общие событиям А и В. Если события А
и В взаимно исключают друг друга, то они, следовательно, не имеют общих точек
и, таким образом, событие А п В невозможно. Данное положение вещей
описывается формулой А п В = О, которая читается так: «события А и В несовместны».
Любой совокупности событий А, В, С, ... можно сопоставить два новых
события следующим образом. Множество, состоящее из элементарных событий
(точек), принадлежащих одновременно всем заданным (указанным) событиям,
обозначим через А п В п С... и назовем пересечением (или одновременным
осуществлением) событий А, В, С, ... . Множество, состоящее из элементарных событий,
каждое из которых принадлежит хотя бы одному из заданных (указанных)
событий, обозначим через А и В и С и ... и назовем объединением (суммой) заданных
(указанных) событий (или осуществлением хотя бы одного из них). События А, В,
С, ... попарно несовместны {взаимно исключают друг друга), если никакие два из
них не имеют общих точек, то есть если А п В = О, А п С = О, В п С = 0 а т. д.
Если событие В является следствием события А, это означает, что каждая
точка события А содержится в событии В. Примером может служить множество
всех философов, являющееся частью множества всех ученых. Символически это
можно выразить следующим образом: А —> В (читается: «событие А влечет за
собой событие В») или В <— А (читается: «событие В является следствием
события А»),
Пространство элементарных событий называется дискретным, если оно
состоит из конечного числа точек или из бесконечного числа точек, которые
могут быть занумерованы в простую последовательность Ть Тъ ... .
286
К.К. Жоль Логика
Вооружившись этими теоретическими знаниями, рассмотрим правила сложений
и умножений вероятностей.
При проведении некоторой массовой операции установлено, что в каждой серии
из х единичных операций наблюдаются в среднем следующие результаты:
ос раз наблюдается результат Sl9
х2 раз наблюдается результат 52,
*
х раз наблюдается результат S .
Говоря теоретико-множественным языком, объединением (суммой) двух
множеств называется множество всех элементов, принадлежащих или одному из
этих множеств, или сразу двум одновременно. Для объединения используется
известный нам символ u. А теперь переведем это общее положение на язык
статистики и получим: если объединение двух событий составляет все
выборочное пространство, то говорят, что эти события образуют полную группу,
то есть события S{ и S2 образуют полную группу, когда Sx и S2 = S 9 где
символ G внизу буквы указывает на полную группу.
Таким образом, вероятность наступления интересующих нас событий
(результатов) будет такова:
вероятность события S равна je : у,
вероятность события S2 равна х2 : у,
вероятность события S равна х : у.
Как велика вероятность того, что в некоторой единичной операции
наступит какой-либо один из результатов S, S, S3, ..., S' ?
Поскольку мы имеем дело с некоторым множеством ожидаемых событий
(S, vS2 vS3 v...vSe, где v- символ строгой (сильной) дизъюнкции (либо ..., либо
...), постольку интересующее нас событие (например: появление трамвая,
который произведет отделение головы председателя правления МАССОЛИТА
Михаила Александровича Берлиоза от его вполне упитанного туловища) в серии
из у операций (появление других транспортных средств, включая трамваи с
другими номерами, которые почему-то не способны осуществить подобную
«вивисекцию») наступает хх + х2 + хз +...+ хп раз. Следовательно, искомая
вероятность равна
X. +JC, +JC, +...+ JC X. х, хх х„
А 2_ __з п_ = _L + _?_ + _L + _+ _!L
у У У У У
Это равенство можно записать следующей формулой:
P(S]vS2vS3v...vSJ=P(SJ+P(S2)+P(SJ+... + P(SJ.
Предполагается, что любые из рассматриваемых результатов (5, S, S3, ..., 5 )
несовместны между собою, то есть не могут наблюдаться в одной и той же
единичной операции (например: подошедший к остановке трамвай не может быть
одновременно нужного и ненужного маршрута, то есть он либо удовлетворяет
кровожадным потребностям мессира Воланда, либо не удовлетворяет).
Предположение о взаимной несовместности очень важно иметь в виду,
поскольку без него правило сложения вероятностей становится совершенно
неверным. Так, например, если вероятность появления мессира Воланда в час
Глава 6
287
жаркого весеннего заката на Патриарших прудах равна 0,9, а вероятность
появления в то же самое время и там же председателя МАССОЛИТА тов. М. А. Берлиоза
в компании с молодым пролетарским поэтом тов. И. Н. Поныревым,
пишущим под псевдонимом Бездомный, равна 0,5, то, стань мы механически
применять правило сложения, обнаружится, что искомая вероятность их встречи
на Патриарших прудах в час жаркого весеннего заката равна 0,9 + 0,5 = 1,4.
Получается явно нелепый результат, так как вероятность события не может
быть больше единицы.
А как же правильно надо осуществлять операцию сложения вероятностей?
Согласно вышеприведенной формуле. Так, например, вероятность непоявления мессира
Воланда на Патриарших прудах равна 0,1, тогда как вероятность непоявления там же
представителей советской творческой интеллигенции равна 0,5. На 100 случаев мес-
сир Воланд может позволить себе «промахнуться» только 10 раз, тогда как нашим
литераторам разрешается «промахнуться» 50 раз. Следовательно, в 10 случаях
«дьявольского промаха» удача будет сопутствовать труженикам советского
литературного фронта в 5 случаях. Не трудно подсчитать, что на сотню попаданий в «яблочко»,
тов. М.А.Берлиоз окажется без головы примерно в 95 случаях (90 + 5 = 95). Таким
образом, мы получаем число 0,95, то есть вероятность встречи на Патриарших
прудах представителя нечистой силы с носителями идей социалистического реализма
равно 95%.
Правило сложения должно читаться так:
Вероятность наступления некоторого события из множества возможных
(5, 5, S 9 ..., S) равна сумме вероятностей этих событий, если каждое из
них несовместно друг с другом.
В данном случае вновь затрагивается вопрос из области теории множеств,
касающийся пересечения двух множеств. Два события, пересечением которых
является пустое множество, называются несовместными событиями, то есть
события Sl и S2 несовместны, если
Sx n S2 = 0.
Если два события несовместны, то относительная частота их объединения
должна равняться сумме отдельных относительных частот.
Взяв пределы этих относительных частот, мы приходим к правилу сложения
вероятностей для несовместных событий, а именно:
P(SX и S2) = P(S{) + P(S2), если St n S2 = 0.
Теперь рассмотрим правила умножения вероятностей. Начнем с примера.
Допустим, что небезызвестный персонаж «Золотого теленка» Васисуалий Ло-
ханкин, злостный нарушитель порядка в коммунальной уборной (забывал
гасить свет), возжелал разобраться с проблемой электрических лампочек,
которые постоянно норовили перегореть. Дотошный Васисуалий узнал, что оные
лампочки производятся на двух заводах, один из которых поставляет 70%, а
второй 30% всей потребляемой городом Черноморском продукции. Он
установил также, что из каждых 100 лампочек завода «Красный фонарь»
стандартными являются в среднем 80 лампочек, а из 100 лампочек завода
«Пролетарский светильник» стандартными являются 60 лампочек. С большим
поэтическим вдохновением он подсчитал, что в среднем на каждые 100 электрических
лампочек, приобретаемых советским потребителем, приходится 74 стандартных
(0,7 х 80 + 0,3 х 60 = 74). Но это число не учитывает того факта, где изготовлена
приобретаемая лампочка. Если окажется, что завод «Пролетарский светильник»
288
К.К. Жоль Логика
решил перепрофилироваться на выпуск трудов классиков марксизма-ленинизма,
тогда вероятность приобретения стандартной лампочки производства завода «Красный
фонарь» будет составлять
80
- =0,8
100
Этот пример показывает, что уточнение общих условий покупки лампочки
может существенно изменить вероятность того или иного исхода покупки.
Таким образом, мы имеем несколько различных вероятностей одного и того же
события.
Обозначим через S событие (покупку стандартной лампочки), через R
событие (выпуск электрических лампочек заводом «Красный фонарь»), через P(S)
вероятность события 5, а через PR(S) вероятность того же события (покупка
стандартной лампочки) при условии, что лампочка выпущена заводом
«Красный фонарь».
Предположим, что из каждой 1000 продаваемых лампочек заводом
«Красный фонарь» производится в среднем 300 лампочек, из которых стандартными
оказываются в среднем 180. Отсюда мы получаем, что вероятность
производства лампочки заводом «Красный фонарь» (событие R) равна
300
P(R) = = 0,3
1000
Вероятность стандартного качества данной лампочки равна
180
РД5) = — =0,6
300
Поскольку из каждой 1000 лампочек 180 изготовлены заводом «Красный
фонарь» и в то же время имеют стандартное качество, то вероятность
совместного наступления событий S и R равна
180 300 180
P(S&R)= = х — =P(R)xPJ?(S)
1000 1000 300 к
Это правило умножения легко распространяется и на общий случай. Пусть
в каждой серии из п операций результат Q наступает в среднем m раз, а в
каждой серии из m таких операций, где результат Q наблюдался, / раз
наступает результат S. Тогда в каждой серии из п операций совместное наступление
событий Q и S будет наблюдаться в среднем / раз. Таким образом, мы имеем
P(Q)=m, P0(S) = -,
n ^ m
P(S Aß) = - = -x-=P<ß)*P0(S).
n n m и
Правило умножения гласит:
Вероятность совместного наступления двух событий равна
произведению вероятности первого события на условную вероятность второго,
вычисленную, исходя из предположения, что первое событие состоялось.
Под условной вероятностью будем понимать вероятность, вычисленную,
исходя из предположения, что, кроме общей для всех данных операций
совокупности условий, выполняются еще и те, которые точно оговорены в качестве
дополнительных условий. Если же никаких дополнительных условий мы не
Глава 6
289
предполагаем, то вероятность соответствующего общего результата будет
называться безусловной.
Таким образом, условная вероятность события 5" при условии появления
события Q определяется так:
, P(Qr^s)
p(ß\Q>- -7ST-
Отсюда следует, что P(Q с\ S) = P(Q) х P(S \Q). Поэтому если известно,
что P(Q\S) = P(S), то события Q и S независимы. Аналогичным образом,
поменяв местами символы Q и S, получим, что из равенства P(Q\S ) = P(Q)
следует независимость событий Q и S, откуда в свою очередь следует
равенство P(S\Q) = P(S). Здесь будем иметь в виду, что нельзя определить
независимость событий, исходя из свойства P(S\Q) = P(S), поскольку величина P{S\Q)
не существует, если событие S имеет нулевую вероятность. В то же время из
определения независимости событий ясно, что если P(Q) = 0, то событие Q не
зависит от любого другого события.
Проиллюстрирую сказанное на следующем примере. Допустим, что на
преуспевающем капиталистическом предприятии «Рога и Копыта» 90% изделий из
рогов и копыт признаются пригодными на экспорт в бывшие советские
республики (событие S). Допустим также, что из каждой партии 100 годных изделий
в среднем 15 оказывается более или менее сносного сорта (событие Q). Перед
нами стоит задача найти вероятность того, что изделие, изготовленное на
предприятии «Рога и Копыта», окажется не слишком откровенным браком.
Вначале ищется P(S & Q), поскольку для того, чтобы изделие было
подходящим в качестве «гуманитарной помощи», предназначенной для
обнищавшего населения самостийных государств бывшего СССР, надо, чтобы оно было
хотя бы с трудом, но пригодным для «потребления» (событие S) и не самого
худшего сорта (событие Q).
В силу условий задачи
P(S) = 0,9; PS(Q) = 0,15
мы имеем
Р (S & Q) = 0,9 х 0,15 = 0,135.
Хорошенько запомним, что понятие условной вероятности является
основным исследовательским инструментом теории вероятностей. Его общее
определение таково. Пусть Т - событие положительной вероятности. Для любого
события S будем писать
Так определенная нами величина называется условной вероятностью S при
условии Т (или при заданном (указанном) Т ).
Теперь рассмотрим понятие «независимые события», используемое в теории
вероятностей. И вновь начнем с примера.
Допустим, что при испытании на прочность двух подков, изготовленных в
разных деревнях, кузнец Вакула обнаружил, что первая подкова выдерживает
стандартную лошадиную нагрузку с вероятностью 0,8, то есть из десяти
образцов, взятых в одной кузнице, в среднем 8 подков выдерживают такую
лошадиную нагрузку, а 2 подковы не выдерживают и гнутся. Обнаружил он также и то,
что вторая подкова выдерживает цагрузку с вероятностью 0,7. Задача состоит в
следующем: найти вероятность того, что два образца подков, взятых из двух
разных кузниц, в состоянии выдержать стандартную лошадиную нагрузку.
Обозначим через S событие, связанное с испытанием на прочность
подковы из первой кузницы, а через Z аналогичное событие для образца из второй
290
K.K. Жоль Логика
кузницы. Поскольку ищется P(S & Z), мы можем применить правило умножения, а
именно:
P(S & Z) = P{S) х Ps(Z).
Очевидно, что P(S) = 0,8. Но что такое PS(Z)?
Согласно общему определению условных вероятностей, PS(Z) - это
вероятность того, что образец подковы из второй кузницы выдержит стандартную
лошадиную нагрузку, если такую нагрузку выдержал образец из первой
кузницы. Но вероятность события Z не зависит от того, произошло или нет событие
5, хотя бы потому, что свои испытания кузнец Вакула может производить
одновременно, а образцы подков выбираются из совершенно различных их куч
(одна куча в первой кузнице, а другая во второй). Практически это означает,
что процентный показатель испытаний, во время которых подкова из второй
кузницы выдержит стандартную нагрузку, не зависит от того, какой прочности
окажется образец из первой кузницы, то есть
PS(Z) = P(Z) = 0,7.
Отсюда следует, что
P(S & Z) = P(S) х P(Z) = 0,8 x 0,7 = 0,56.
В данном случае вероятность результата Z не изменяется от того, что к
общим условиям прибавляется требование, чтобы состоялось событие S. Иначе
говоря, условная вероятность PS(Z) равна безусловной вероятности P(Z). А это
значит, что событие Z не зависит от события S.
Конечно, любознательному кузнецу Вакуле легко можно убедиться, что если
Z не зависит от S, то и S не зависит от Z. В самом деле, если PS(Z) = P(Z), то в
силу формулы, выражающей правила умножения вероятностей (P(S) x PS(Z) =
P(Z) x PZ(S)\ мы имеем Pz(S) = P(S). Это значит, что событие S не зависит от
события Z. Таким образом, для взимно независимых событий правило
умножения получает следующий простой вид:
P(S & Z) = P(S) x P(Z).
Подобно тому как при всяком применении правила сложения необходимо
предварительно установить взаимную несовместность данных событий, так и
при всяком применении данного правила необходимо убедиться в том, что
события S и Z взаимно независимы. Пренебрежение этим указанием приводит к
большому числу ошибок. Так, если события S и Z взаимно зависимы, то наша
формула не верна и должна быть заменена более общей формулой.
Из всего сказанного следует, что вероятность совместного наступления
любого числа взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих
событий.
Иными словами, два события независимы, если, говоря
теоретико-множественным языком, вероятность их пересечения равна произведению вероятностей
каждого события в отдельности. Это и есть формулировка правила умножения
вероятностей для независимых событий, а именно:
P(S} n S2) = PiS^ x P(S2) тогда и только тогда, когда S и S2 независимы.
Понятие независимых событий проливает дополнительный свет на правило
сложения вероятностей. Рассмотрим следующий пример. Допустим, что Шура
Глава 6
291
Балаганов обслуживал несколько областей Советского Союза в качестве «сына»
героического лейтенанта Петра Петровича Шмидта, руководителя восстания 1905
г. на крейсере «Очаков». Вероятность того, что в течение определенного интерн
вала времени какая-либо из областей не потребует к себе пристального
внимания со стороны Балаганова, равна для первой области 0,9, для второй 0,8 и для
третьей 0,7. Попытаемся установить вероятность того, что в течение
«эталонного» интервала времени ни одна из областей не потребует к себе балагановс-
кого внимания.
Считая, что области процветают и благоухают независимо друг от друга в
плане удовлетворения своих духовных потребностей, находим по формуле
P(S & Z & W ) = F\S) х F\Z) х P(W), что искомая вероятность равна 0,9 х 0,8 х 0,7 = 0,504.
А теперь попытаемся в нашем примере найти вероятность того, что по
крайней мере одна из областей не потребует внимания Шуры Балаганова в
течение, скажем, месяца.
В этом случае речь должна идти о вероятности вида
P(S V Z V W).
Как известно нам из пропозициональной логики, дизъюнкция близка к
свойствам арифметической операции сложения. И в нашем примере мы имеем дело
с правилом сложения вероятностей. Однако здесь это правило неприменимо,
так как любые два из трех рассматриваемых событий совместны друг с другом
(ничто не мешает двум областям спокойно прожить в течение месяца, не
обременяя себя заботами о должном приеме «сына» Буревестника Революции). Кроме
того, бросается в глаза, что сумма трех данных вероятностей значительно
превышает единицу, а поэтому никакой вероятностью быть не может.
Для решения интересующей нас задачи необходимо допустить следующее:
вероятность того, что какая-либо область потребует к себе внимания Шуры
Балаганова, равна 0,1 для первой области, 0,2 для второй и 0,3 для третьей.
Поскольку эти три исторических события взаимно независимы, то вероятность
того, что осуществятся все три события, по правилу
P(S & Z & W) = P(S) x P(Z) x P(W) равна 0,1 x 0,2 x 0,3 = 0,006.
Очевидно, что события «все три области одновременно потребуют к себе
внимания Шуры Балаганова» и «по крайней мере одна из областей этого не
потребует» представляют собой пару противоположных событий. А что это
значит «пара противоположных событий»!
Когда в городе Арбатове будущий участник автопробега по бездорожью и
разгильдяйству Паниковский удирал от толпы преследователей с украденным
гусем под мышкой, он имел вероятность успеха близкую к нулю (допустим 1/100),
не окажись рядом сердобольного Остапа Бендера в машине Козлевича.
Благодаря Судьбе, снисходительно наблюдавшейся за «марафонскими» ужимками
закоренелого гусекрада, шансы на спасение повысились у Паниковского с 1/100 до
98/100 (1/100 попытался «съесть» своими возражениями насчет спасения грешной
души Шура Балаганов, который, как читатель должен помнить, не мог простить
конкурирующему «сыну» лейтенанта Шмидта вторжения на чужую территорию).
Когда возражения Балаганова были отклонены Командором автопробега, шанс
на спасения увеличился у Паниковского до 99/100. Итак, проигрыш и выигрыш
в забеге Паниковского - это два противоположных события, то есть такие два
интересных события, из которых одно и только одно обязательно наступает для
зарвавшегося гусекрада. Сумма их вероятностей будет
292
К.К Жоль Логика
1 99
-+ =1.
100 100
Если S и Z - два противоположных события и если в серии из t операций
событие S наступает п раз, а событие Z - m раз, то очевидно, что п + m = t.
Но
P(S) = nlt, Р (Z) = mit,
так что
P(S) + P(Z) = nit + mit = (n + m) : t = 1.
Можно получить тот же результат и из правила сложения. Поскольку
противоположные события несовместны между собой, то
P(S) + P(Z) = P(S v Z),
где v - символ строгой дизъюнкции.
Так как одно из событий (S либо Z) есть событие достоверное, что следует
из определения противоположных событий, то оно должно наверняка
наступить. Поэтому вероятность его равна 1, и мы снова получаем
P(S) + P(Z) = 1.
ч
Таким образом, сумма вероятностей двух противоположных событий равна
единице.
Если нам требуется найти вероятность события S> для этого из единицы
надо вычесть вероятность события Z.
Как подчеркивает Хинчин, это правило допускает весьма важное
обобщение, которое доказывается аналогичным способом. Пусть имеется п событий
S 9 52, 53, ..., Sn таких, что в каждой единичной операции обязательно должно
наступить одно" и только одно из событий. Условимся такую группу событий
называть полной системой. Всякая пара противоположных событий образует
полную систему.
По определению, сумма вероятностей событий, образующих полную
систему, равна единице.
Это правило сложения выглядит следующим образом:
P(S,) + P(S2) + ... + P(Sn) = P(Sî </S2 V...VSJ-
Правая часть этого равенства есть вероятность достоверного события и
потому равна единице. Следовательно, для полной системы будем иметь
P(Sx) + P(S2) + ... + P(S) = 1.
Теперь мы имеем полное право вернуться к оценке вероятных поступков
Шуры Балаганова, связанных с выбором мест посещения «сыном» лейтенанта
Шмидта закрепленных за ним областей. Поскольку, как мы помним, «все три
области одновременно потребуют к себе внимания Шуры Балаганова» и «по
крайней мере одна из областей этого не потребует» представляют собой пару
противоположных событий, постольку сумма их вероятностей будет равна
единице, и, следовательно, искомая вероятность равна
1 - 0,006 = 0,994.
Глава 6
293
Когда вероятность события столь близка к единице, данное событие
практически можно считать достоверным. Это означает, что в течение определенного
времени одна из трех областей может жить и трудиться спокойно, не готовясь к
приему «сына» лейтенанта Шмидта.
На практике каждая вероятность может быть истолкована как условная
вероятность, соответствующая некоторым условиям, определяемым и учитываемым при
проведении конкретного испытания (исследования).
Завершая наше знакомство с теорией вероятностей, рассмотрим знаменитую
формулу Реверенда Томаса Байеса (1702-1761), которая принадлежит
малоизвестному английскому священнику, чью теорию вероятностей a posteriori 16 (так ее
называли) спас от забвенья и заново сформулировал П. С. Лаплас (1749-1827),
известный французский астроном, физик и математик. Название этой теории
объясняется тем, что, принимая какое-либо решение, скажем, после того или
иного эксперимента, мы всегда используем как вновь полученные знания, так
и предыдущие знания об изучаемом явлении. До постановки эксперимента у
исследователя всегда есть какие-то знания, которые могут быть выражены на
вероятностном языке. Мы можем это условно назвать априорной (доопытной)
вероятностью (вероятностью a priori) или субъективной (персональной)
вероятностью. Теорема Байеса позволяет формализовать процесс принятия решения,
моделируя процедуру, в которой используется как априорная информация, так
и апостериорная (послеопытная) информация, то есть информация, полученная
из опыта. Конечный ответ выдается в виде апостериорной вероятности.
Отсюда и название теория вероятностей a posteriori.
Таким образом, байесовская теория позволяет решать некоторый класс
задач посредством выбора одного из возможных объяснений на основе уже
имеющихся данных. Выбор этого объяснения представляет собой процедуру
принятия решения.
Довольно простая формулировка теоремы Байеса заключается в следующем.
Пусть А и В - произвольные события, имеющие вероятность Р(А) > 0 и Р(В) > 0.
Обозначим через Р(А, В) вероятность совместного наступления событий А и В.
При этом пусть Р(А\В) есть условная вероятность А, если известно, что В уже
произошло. Составим список обозначений вероятностей появления различных
комбинаций событий, а именно:
1) Р(А) - вероятность появления события А.
2) Р(А, В) - вероятность совместного появления событий А и В.
3) Р(В\А) - вероятность появления события В при условии, что
произошло событие А.
Тогда совместная вероятность двух независимых событий равна
Р(АВ) P(a\B)P(B)
Следовательно, если существуют попарно непересекающиеся события,
имеющие положительные вероятности (вероятности с положительными исходами), и
одно из них происходит всегда (или по крайней мере с вероятностью 1), то мы
получаем формулу Байеса, показывающую, как по априорным (субъективным)
вероятностям найти апостериорные (объективные) вероятности (после того, как
событие А произошло). Если рассматривать событие В как причину события А, то
формула Байеса представляет собой теорему о вероятностях причин.
От лат. a posteriori - из последующего; на основании опыта, из опыта.
294
K.K. Жоль Логика
В байесовском решении задачи по выявлению вероятности наступления того или
иного события исходным является фиксированное множество гипотез Я = {Я}, которые
определяют все возможные состояния мира и при этом исключают друг'друга,
поскольку мир должен находиться только в одном состоянии. С каждой гипотезой Я
связана априорная (субъективная) вероятность Р(Н) того, что она на самом деле
выполняется. Отсюда следует, что
Р (Я, Я) = О (взаимно исключающие друг друга события);
!/>(#,)= 1 (полнота).
Истинна гипотеза Я. или нет, нельзя проверить простым наблюдением. Вмес-то
этого предполагается, что можно провести эксперимент, дающий множество £ = /£ч
щеу = 1, 2, ... , л, наблюдаемых исходов. Таким образом, с каждой гипотезой H
связана некоторая вероятность наблюдения каждого из возможных исходов
эксперимента, то есть P(Ej I Я). Поскольку эксперимент может иметь только один исход,
события, обозначенные как £., являются взаимно исключающими, то есть при
P(Ej ' Hi)>0nP(EfEf I Я,) = 0
мы имеем
Так как мир должен в данное время быть только в одном состоянии из реально
возможных, то мы имеем
Р(Е)= ±P{Ej |Я,)хР(Я|).
Чтобы полнее представить научный смысл формулы Байеса, начнем с событий
5, S_, ..., S , которые представляют собой полную систему результатов некоторой
операции. Если тогда Q обозначает произвольный результат данной операции, то по
правилу умножения мы имеем
PiS, &Q) = P(S( х Ps(Q) = P(Q) x Pe(S) (1 < / й n),
откуда
P(S,)xPs(Q)
или, выражая знаменатель полученной дроби по формуле полной уверенности,
имеем
P(S )хЯ (Q)
Р (S) = ' S|-~- (1 < I < /).
Q ' iP(Sr)xPs(Q)
Это и есть один из вариантов записи формулы (или теоремы) Байеса,
имеющей широкий спектр приложений в практике вычисления вероятностей и
вычислительной технике, когда речь заходит о составлении соответствующих
программ для компьютеров. Ее можно представить и по-другому. Так, пусть
S, S2, ... - последовательность попарно несовместных событий, образующих
полную группу, то есть S u S2 и ... = G. Тогда для каждой пары событий 5.,
S имеет место формула Байеса
Глава 6
295
_P(S,nS)_ P{St)xP{S 1 S,)
P(S) lP(St)xP(S | 5 )'
Эта формула позволяет вычислять апостериорные вероятности Р(5 I 5)
через априорные вероятности P(S) гипотез Ht.
Предположим, Дуремар встретил Буратино и стал жаловаться ему на отсутствие
пиявок в окрестных болотистых лужах. Буратино, к тому времени поднабравшийся
ума-разума в школе, решил продемонстрировать старому знакомому свои
недюжинные познания в области теории вероятностей. Быстренько подсчитав в уме
количество пригородных болотистых луж, он доверительно сообщил Дуремару, что оных
насчитывается три. Тот в ответ только хмыкнул и сказал, что луж не три, а
четыре, но главное не в этом, а в том, что он точно не знает местонахождения пиявок.
Огорченный услышанным, Буратино удалился восвояси, чтобы основательно
порыться в городском архиве и побеседовать с цирюльниками, ставящими пиявок своим
посетителям. На следующий день он разыскал Дуремара и радостно сообщил ему,
что доподлинно знает вероятность наличия преотменных пиявок в четырех
болотистых лужах. Эти вероятности таковы:
1) Р (М) = 0,45;
2) Р (fr-2) = 0,3;
3) Р (6-3) = 0,15;
4) Р (М) = 0,1,
где через fr-1, fr-2, fr-З, Ъ-Л обозначены так называемые события, то есть
наличие пиявок в болотистых лужах, общая вероятность которых равна единице.
Из-за старческой неловкости пиявкодобывательство Дуремара может не сразу
достичь своей цели. Поэтому пусть вероятность удачной охоты (событие Q) за
пиявками в разных болотистых лужах будет:
0,46, если пиявки находятся в болоте Ь-\\
0,24, если пиявки находятся в болоте Ъ-2\
0,18, если пиявки находятся в болоте Ъ-Ъ\
0,12, если пиявки находятся в болоте Ъ-А.
Допустим, Дуремару крупно повезло, и он за один присест перевыполнил
дневной план по пиявкам, сразу наткнувшись на богатую этими кровососами
болотистую лужу, и тем самым достиг долгожданной цели (состоялось
событие Q). В результате вероятностные оценки ситуации (прогнозы),
предложенные априорно Буратино, должны быть переоценены. Короче, перед нами стоит
задача найти точное выражение вероятностей PQ(b - 1), PQ(b - 2), PQ(b - 3),
PQ(b - 4) различных возможных состояний дел на пиявочном «фронте» при
условии, что Дуремар с первого захода выполнил и даже перевыполнил
дневную норму. Формула Байеса сразу дает ответ на интересующий нас вопрос, а
именно:
PQ{b-\) = ДМ) х P^{Q) х [Р (М) х PJQ) + Р 0-2) х PJQ) + Р(Ь-3) х PJQ) +
ДМ) х PJQ)Y * 0,65.
Мы видим, что PQ(b-\) действительно больше, чем Р (Ь-1), то есть
предполагаемая Буратино вероятность Р(ЪА) оказалась меньше фактической, так как
Дуремару повезло сразу.
2)
Р. -(0
6-2v
3) PJL0 =
4) pjm =
296 К.К. Жоль Логика
Общую схему подобного рода ситуаций Хинчин описывает так. Условия
определенной операции содержат некоторый неизвестный элемент, относительно
которого может быть сделано п гипотез: Н{, #2, ..., H. Эти гипотезы образуют полную
систему событий.
Допустим, что в силу определенных причин нам известны вероятности Р(Щ
указанных гипотез. Известно также, что гипотеза Н( «сообщает» некоторому
событию Q (например: попадание в цель при стрельбе из пушки по воробьям)
вероятность PHi(Q% где 1 < i < п. В данном случае PHi(Q) есть вероятность события Q,
вычисленная при условии, что справедлива гипотеза Н(. Если в результате опыта (а
posteriori) событие Q наступило, то это вызывает переоценку вероятностей гипотез
Hi и задача состоит в том, чтобы найти новые вероятности Рс(Щ этих гипотез.
Ответ также дается формулой Байеса.
Для сокращения записи сделаем следующее:
Р(Н) = Р, PHi(Q)=Pr (1 <i±n\
в результате чего формула Байеса получает более простой вид, а именно:
1=1
По мнению ученых, сама по себе теорема Байеса бесспорна, но в
большинстве ее применений вероятность В, обусловливающая вероятность А
неизвестна. В таком случае обычно считается, что поскольку отсутствует
предварительная информация о причинах события В, постольку все вероятности из ряда
Р(В) равны. Однако такой подход кое-кого смущает и даже расценивается как
неприемлемый. Почему?
Байес использовал свою теорему для тех случаев, когда априорные
вероятности были вероятностями распределения в интервале [0, 1]. Согласно данной
теореме, если в п + m наблюдениях событие, имеющее неизвестную вероятность Р,
произошло п раз, то вероятность того, что Р принадлежит подынтервалу (я, Ь)
интервала [0, 1] равна ь
jxn(l-x)m dx
ИЛИ i
jxn(\-x)mdx ,
о
Таким образом была выдвинута идея, согласно которой если у нас нет
никакой предварительной информации о Р, то априорная вероятностная
плотность параметра Р равномерна на всем интервале [0, 1]. Например, если п = 1,
m = 0, а = 0,5 и Ъ = 1, то шансы того, что искомая вероятность Р больше 0,5,
равна 0,75. По словам венгерского математика Г. Секейя, до сих пор лишь
немногие ученые доверяют этому результату, поскольку сомневаются в
равномерности априорного распределения. Незнание этого распределения оказалось
столь разрушительным для обоснованности статистических выводов из
теоремы Байеса, что теорема была почти исключена из статистических
исследований. Однако во второй половине XX в. байесовский подход к оценке
вероятностных событий получил новое развитие, в котором свою позитивную роль
сыграла кибернетика и юриспруденция 17. Сегодня все более утверждается мысль о
17 О применении вероятностной логики в доказательном праве с учетом байесовской
трактовки вероятностей см., например: Probability and inference in the law of evidence: The
uses and limits of Bayesianism / Ed. by P. Tillers. - Dordrecht: Kluwer, 1988. - XI, 345 p.
Глава 6
297
том, что последовательное применение формулы Байеса снижает роль исходного
априорного распределения вероятностей, так как после многократного пересчета
обнаруживается, что исходное распределение не оказывает существенного влияния на
заключительное апостериорное распределение.
Субъективный выбор априорных распределений вероятностей порождает
философский вопрос о том, можно ли вообще объективно определять неизвестные
вероятности и вероятностные распределения независимо от наших наблюдений и измерений
или они имеют смысл только благодаря нашей субъективной точке зрения.
Некоторые ученые утверждают, что вероятность не существует объективно в отличие,
скажем, от пространства и времени. Однако большая часть ученых утверждает, что
объективная случайность и объективная вероятность существуют и являются
проявлениями объективных закономерностей действительности. Секей подчеркивает, что
это утверждение отстаивал и лауреат Нобелевской премии Макс Борн (1882-1970),
выдающийся немецкий физик, который ввел понятие объективной вероятности в
квантовую физику.
Условная вероятность Байеса, предполагающая вероятность наступления
какого-либо события р при условии, что уже наступило другое событие q, нашла
свое применение в так называемой нечеткой логике, которую можно
рассматривать в контексте индуктивной и модальной логики. Что собой представляет
нечеткая логика?
Нечеткая логика. Нечеткая логика - это логика, опирающаяся на теорию
нечетких подмножеств, создателем которой является американский ученый
Лотфи А. Заде (L. A. Zadeh, родился в 1921 г. в Баку (Азербайджан), учился в
Иране, а затем переехал в США), придающий большое методологическое
значение понятиям «неточность» (imprecision) и «случайность» (randomness). Эти
понятия образуют категориальный стержень его теории.
Обычно принимается интуитивное допущение об отождествляемости
неточности (независимо от ее природы) со случайностью. По мнению Заде и Р.Беллма-
на, это допущение является спорным. Очевидно, считают они, наступило время
существенно уточнить содержание таких терминов, как «случайность»,
«неточность» и «расплывчатость» (fiizziness).
Под «расплывчатостью» предлагается понимать тип неточности, связанный
с такими множествами объектов (элементов), в которых нельзя указать резкую
границу, отделяющую объекты, принадлежащие данному множеству, и
объекты, ему не принадлежащие. Например, расплывчатыми являются классы,
элементы которых характеризуются словами: «большой», «маленький», «веселый»,
«печальный», «приближенный», «точный», «случайный», «необходимый».
Фактически, подчеркивает Заде, большинство классов в реальном мире, в
противоположность понятию класса или множества в математике, не имеют
четких границ, которые отделяли бы входящие в класс объекты от объектов,
не входящих в него.
Однако самое удивительное заключается в том, что, несмотря на неточность
большинства наших языковых выражений, мы хорошо понимаем друг друга и
успешно осуществляем наши практические действия (скажем, создаем в
неточных условиях весьма точно работающие машины, приборы и т. п.).
С точки зрения Беллмана и Заде, одно из основных различий между
человеческим мышлением и «искусственным интеллектом» компьютеров заключается в
том, что в отличие от современных компьютеров люди обладают способностью
оперировать расплывчатыми понятиями и выполнять расплывчатые инструкции.
Заде полагает, что теория нечетких подмножеств - это важный шаг на пути
сближения точности классической математики и всепроникающей неточности
реального мира.
В классической математике понятие множества (совокупности объектов,
элементов...) является базисным понятием в виде соответствующего идеального
298
К.К. Жолъ Логика
конструкта. В реальном же познании мы часто имеем дело с такими множествами
объектов, которые нельзя назвать множествами в классическом смысле. Их скорее
следует считать классами с нечеткими границами, когда переход от принадлежности
классу к непринадлежности происходит не резко, а постепенно.
По-видимому, логика живых человеческих рассуждений основывается не на
классической двузначной или даже многозначной логике, а на логике с
нечеткими значениями истинности, с нечеткими связками и нечеткими правилами
вывода. Чтобы как-то зафиксировать и выразить эту логику, требуются новые
понятия и методы, в системе которых нечеткость принимается как универсальная
реальность человеческого существования. Как подчеркивает Заде, одна из
основных проблем в данном случае заключается в том, чтобы понять, как можно
оперировать с нечеткими множествами внутри довольно жестких рамок
классической математики.
По замыслу Заде, нечеткая логика, которая еще недостаточно изучена и
аппарат которой находится в начальной стадии разработки, призвана сыграть
основную роль в понимании способности человеческого мышления оценивать и
выбирать из широкого информационного потока сведения, имеющие хотя бы
какое-то отношение к анализируемым задачам. Особенно это касается
способности человека извлекать полезную ему информацию в процессе использования
естественного языка.
В сущности говоря, замечает Заде, отказываясь от использования
количественных переменных и опираясь на словесные описания типа тех, которыми
оперирует человек в своей повседневной жизни, мы приобретаем способность
анализировать системы настолько сложные, что они недоступны обычному
математическому анализу.
Развивая идеи Заде, известный французский ученый Арнольд Кофман,
автор первого в мировой литературе систематического и всестороннего
изложения теории нечетких множеств (подмножеств), пишет, что человек в отличие от
компьютера в процессе решения интересующих его задач способен принимать в
расчет параллельные соображения как общего, так и сопутствующего характера.
Эти привходящие соображения являются нечеткими, несфокусированными, полисе-
мичными.
Рассмотрим некоторые характерные черты теории нечетких подмножеств.
ПОНЯТИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Пусть M есть множество, а N - подмножество M (N с М).
Тот факт, что элемент х множества M есть одновременно элемент
подмножества N (принадлежит N), обычно выражается так: х е N, где е - символ
принадлежности.
Для выражения указанной принадлежности можно использовать понятие
характеристической функции \iN. Эта функция указывает, является ли (да или нет)
х элементом N:
[\, если л: eN,
^лДО = [0 если* eN.
В качестве примера рассмотрим конечное множество из пяти элементов:
M = {xl9 х2, *3, х4, х5}
и пусть
N = {х2, х3, дс5}.
Глава 6
299
Выпишем для каждого элемента из M степень его принадлежности множест-ву
N:
Это позволяет представить N через все элементы множества М, сопроводив
каждый из них значением его функции принадлежности:
Итак, каждый из пяти элементов множества M или принадлежит или не
принадлежит подмножеству N. Характеристическая функция принимает только
значение 0 или 1.
ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОГО ПОДНОЖЕСТВА
Теперь представим, что характеристическая функция принимает любое
значение в интервале [0, 1]. В соответствии с этим элемент х множества M может не
принадлежать N(p,N = 0), может быть элементом N в небольшой степени (\iN близко
к 0), может более или менее принадлежать N (\iN не слишком близко к 0 и не
слишком близко к 1) и может быть элементом N ([iN = 1).
Математический объект, определяемый выражением
где — символ нечеткости, помещаемый под буквой, обозначающей нечеткое
подмножество; х - элемент универсального множества M, а число после
вертикальной черты дает значение характеристической функции на этом элементе, будем
называть нечетким подмножеством множества M и обозначать так:
300
К.К. Жоль Логика
Принадлежность нечеткому подмножеству обозначим следующим образом:
xeN, yeN, zeN
0,2 ~ 1 ~ 0 ~ *
Определенное здесь нечеткое подмножество N содержит в небольшой степени
х{9 не содержит *2, содержит хз в немного большей степени, чем х2, полностью
содержит х4 и в значительной мере - х-
Из сказанного видно, что мы в состоянии создать некую математическую
структуру, которая позволяет оперировать с относительно определенными
элементами и принадлежность которой к данному подмножеству лишь в какой-то
мере иерархически упорядочена. Более того, появляется возможность подвести
новый теоретико-множественный базис под теорию вероятностей и
индуктивную логику.
Теперь дадим более строгое определение понятию «нечеткое подмножество».
Пусть M есть множество (счетное или нет), ах- элемент М. Тогда нечетким
подмножеством N множества M будет называться множество упорядоченных пар,
а именно:
{(x\\iN(x))}, V* е М9
где \iN (х) - степень принадлежности х в N, то есть где ( \iN х) -
характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения в некотором
вполне упорядоченном множестве Р. Эта функция указывает степень или
уровень принадлежности элемента х подмножеству N. Множество Р будем
называть множеством принадлежностей.
Если Р = [0, 1], то нечеткое подмножество N будет рассматриваться как
обычное подмножество.
Таким образом, как отмечают специалисты в области нечетких подмножеств,
понятие нечеткого подмножества связано с понятием множества в обычном
его смысле и позволяет изучать нестрого определенные понятия, используя
привычные математические структуры.
С учетом сказанного обратимся к нечеткой логике.
НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
(нечеткие утверждения и их функциональная репрезентация)
В сочетании слов «нечеткий» и «логика», пишет Кофман, есть что-то
необычное и даже шокирующее. Под «логикой» принято понимать нечто строгое,
предельно рациональное (например: рассуждения, поддающиеся экспликации и
формализации). Однако исследования XX в. в области математики и математической
логики показали, что в действительности существует не одна логика, а множество,
определяемое типом решаемых задач.
Загадочное человеческое мышление - это удивительное совмещение
строгости и дерзкой интуиции. С одной стороны, пользуясь аналогиями, человек
мыслит нечетко, но, с другой стороны, он упрямо пытается избегать логических
противоречий-ловушек, стремится мыслить последовательно. «Законы мышления»,
которые мы, пишет Кофман, захотели бы включить в компьютерные
программы, должны быть обязательно формальными. Пресловутые «законы мышления»,
проявляемые в диалоге человека с человеком, - нечеткие законы.
Можно ли утверждать, что теория нечетких подмножеств в ее обобщенной
форме хорошо приспособлена к человеческому диалогу?
На этот вопрос Кофман дает утвердительный ответ, одновременно
подчеркивая следующее: если математическое обеспечение, разработанное с учетом
302
К.К. Жоль Логика
нечеткой логики, станет операционным и сможет быть технически реализовано, тс
человеко-машинное общение станет намного более удобным, быстрым и лучше
приспособленным к решению сложных проблем.
Будем использовать следующие обозначения для нечетких переменных:
Р = Vn (*)> Я = VN (х) и т. д.,
где х - элемент универсального множества M, a N - нечеткое подмножество
этого универсального множества.
В бинарной (двузначной) булевой алгебре переменные могут принимать только
одно из двух значений - истина (1) или ложь (0). В нечеткой логике это
требование не соблюдается, вернее, чаще всего не соблюдается, ибо переменные могут
принимать любое значение в интервале истина-ложъ (1-0), а этот интервал, как
хорошо известно математикам, бесконечно велик, настолько велик, что может
повергнуть в ужас даже самого бесстрашного и неподкупного фининспектора.
Функции, построенные с помощью нечетких переменных, называются
функциями нечетких переменных, если выполнено следующее условие.
Пусть Дх, у, ...) есть функция от аргументов р, q, ... . Чтобы эту функцию
можно было назвать функцией нечетких переменных, необходимо и
достаточно, чтобы / зависела только от нечетких переменных и чтобы 0 < / < 1.
В отличие от булевых функций для систематического анализа функций от
нечетких аргументов нельзя воспользоваться методом составления таблиц
истинности. Поэтому нечеткая логика опирается не на таблицы истинности, а на
операции, производимые на нечетких множествах.
В реальной жизни нам постоянно приходится сталкиваться со множеством
случаев, когда мы просто обязаны учитывать неясность и неточность
информации о явлениях и процессах окружающего мира. Концепция нечеткой
логики, предложенная Заде в 60-е гг. этого столетия, - это многообещающая
попытка наметить решение проблем, в которых субъективные оценки и суждения
играют значительную роль при учете факторов неясности и неопределенности.
Как уже отмечалось, Заде противопоставляет двузначной и многозначной
логике традиционного образца логику с нечеткой истинностью, нечеткими
связями и нечеткими выводами. По его мнению, именно такая нечеткая логика
играет основную роль в способности человека выбирать и оценивать только те
сведения, которые имеют хотя бы косвенное отношение к решаемой задаче.
Особенно это касается способности человека извлекать полезную ему
информацию из сообщений, формулируемых на естественном языке.
ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННАЯ
В связи с таким взглядом на естественный язык американский ученый
вводит понятие лингвистической переменной. Лингвистическая переменная
определяется им как такая переменная, значениями которой являются выражения
естественного языка или языка искусственного. Так, например, если высокий, очень
высокий, невысокий и т. д. суть значения слова «высота», то высота считается
лингвистической переменной, поскольку ее, так сказать, высотность
варьируется в довольно широком диапазоне.
Идея лингвистической переменной была выдвинута в 1972 г. Эта идея
служила указанием на лингвистические аспекты отношения принадлежности в
нечетких подмножествах, то есть указывала на принадлежность какому-либо
нечеткому подмножеству некоего предмета, характеристика которого дается
словами естественного языка. Скажем, если высказывание о некотором факте несет
Глава 6
303
оттенок неуверенности, то данное высказывание можно охарактеризовать как не
очень истинное, не совсем ложное и т. п.
Позже Заде предложил ввести в рассмотрение нечеткую логику с
лингвистическими, а не числовыми (1,0) значениями истинности. Согласно этому предложению
высказывание может принимать истинностное значение типа: истинно, ложно,
абсолютно ложно, абсолютно истинно, относительно ложно, относительно
истинно и т. п.
Говоря более конкретно, лингвистической переменной можно назвать
такую переменную, значениями которой являются выражения естественного или
искусственного языка. Например, «возраст» - лингвистическая переменная, если она
принимает лингвистические, а не числовые значения (например: молодой, не
молодой, очень молодой, вполне молодой, не очень молодой, старый, очень
старый и т. д.). С помощью лингвистических переменных можно приближенно
описывать явления, которые настолько сложны или плохо определены, что не
поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. Это и
послужило причиной создания так называемой нечеткой логики, которая, по словам
Заде, служит более реалистической схемой живых человеческих рассуждений,
чем традиционная двузначная логика. Характерно, что с точки зрения
нечеткой логики вероятности тоже можно считать лингвистическими переменными
со значениями вероятно, очень вероятно, вполне вероятно, маловероятно,
невероятно и т. д.
Совокупность значений лингвистической переменной образует то, что
можно назвать терм-множеством этой переменной. Данное множество
потенциально имеет бесконечное число элементов. Например, терм-множество
лингвистической переменной «возраст» можно записать так, используя знак + для
обозначения не арифметического суммирования, а логического объединения,
эквивалентного нестрогой дизъюнкции (v):
Т ( ВОЗРАСТ ) = молодой + очень молодой + не совсем молодой + очень
молодой +...+ пожилой + очень пожилой + ... + старый + очень старый +
чрезвычайно старый +...
Более точно лингвистическая переменная описывается набором (X, Т (X), U,
G, М), в котором X - название этой переменной; Т (X) - терм-множество X, то
есть совокупность ее лингвистических значений; U - универсальное множество;
G - синтаксическое правило, порождающее термы множества Т (X); M -
семантическое правило, которое каждому лингвистическому значению X ставит в
соответствие его смысл М{Х) (при этом М(Х) - обозначает нечеткое подмножество
множества U).
Смысл лингвистического значения X характеризуется функцией
совместимости с: U —> [0, 1], которая каждому элементу и е U ставит в соответствие
значение совместимости этого элемента с X. Так, например, совместимость возраста
20 лет со значением молодой может быть равна 0,9, а возраста 30 лет - 0,5.
Назначение семантического правила - связать совместимости так называемых
первичных термов в составном лингвистическом значении с совместимостью
этого составного значения (скажем, первичные термы «молодой» и «старый»
необходимо связать со значениями в составном лингвистическом выражении
«не очень молодой и не очень старый»).
Лингвистическую переменную можно представить графически (рис. 6).
Переменная X при этом представляется деревом с корнем, обозначенным X, и
ребрами, обозначенными названиями значений переменной X, то есть X, X, ... .
Например, в случае переменной «возраст» изображаемые ребра можно
обозначить как «молодой», «старый», «не молодой» и т. д., а смысл каждого такого
названия можно представить в виде графика функции принадлежности нечеткого
304
К.К. Жоль Логика
О
#зр^
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8.
подмножества (рис. 7). В более общем случае граф лингвистической переменной
может иметь вид более сложного дерева (рис. 8).
Важной областью приложения понятия лингвистической переменной является
теория вероятностей. Если вероятность рассматривать как лингвистическую
переменную, то ее терм-множество могло бы иметь примерно следующий вид:
Т ( ВЕРОЯТНОСТЬ ) = правдоподобно + весьма правдоподобно + очень
правдоподобно + неправдоподобно + совершенно неправдоподобно +...+
вероятно + более или менее вероятно + невероятно + совершенно
невероятно +...
Как отмечает Заде, допустив использование лингвистических значений
вероятности, мы получаем возможность ответить на вопрос: «Какова вероятность
того, что ровно через неделю будет теплый день?» Ответ будет следующим:
«Вероятность этого события весьма высока». Этот ответ заменяет числовое
значение вероятности (например: «Вероятность данного события равна 0,8»). Ответ с
использованием лингвистического значения вероятности более реалистичен и
больше соответствует нашему жизненному опыту, поскольку теплый день -
нечеткое событие. Кроме того, мы еще недостаточно понимаем динамику погоды
и не может делать определенных количественных выводов о значениях
вероятностей подобных событий.
Глава 6
305
Понятие лингвистической переменной можно применять к вероятностям,
производя соответствующие вычисления. Однако из-за того, что численные
значения вероятностей в сумме должны давать 1, вычисления с лингвистическими
переменными связаны с решением задач нелинейного программирования и не
так просты, как вычисления с численными значениями вероятностей.
В конце 70-х гг. Заде обновил интерпретацию понятий теории нечетких
множеств, вернее, подмножеств и наметил новые перспективы развития своей
теории, сформулировав так называемую теорию возможностей. В контексте этой
теории нечеткие множества (подмножества) рассматриваются как
распределение возможностей, то есть как множества более или менее возможных
значений переменной.
По мнению одного из последователей Заде, предложенная теория
возможностей представляет собой обобщение обычной модальной семантики.
Что дает нам знание теории вероятностей применительно к проблемам
модальной логики?
Современные аспекты теории вероятностей. Обращение логиков к
математической теории вероятностей еще не имеет систематического характера по той
простой причине, что данная теория очень молода, а разработки в русле
проблематики модальной логики во многом имеют «сырой» характер. Что касается
теории вероятностей, то она только относительно недавно осознала свое место в
ряду других математических дисциплин. Значительный вклад в это дело внес
Александр Яковлевич Хинчин, по праву считающийся одним из
основоположников современной теории вероятностей. С его именем связан важный этап
формирования теоретико-множественного подхода к построению ее основ, а также
закладка фундамента общей теории стационарных случайных процессов.
По словам Хинчина, еще относительно недавно во многих руководствах и
книгах, посвященных теории вероятностей, безраздельно господствовала
старая, без всяких изменений перенятая от Лапласа теория. Сегодня уже нет
никаких сомнений в том, что данная теория не соответствует тому уровню, на
который поднялась со времен Лапласа математическая наука, хотя порой и ныне
встречаются авторы, пишущие о равновозможных и благоприятных случаях в
духе лапласовского учения.
Первая теория вероятностей, ныне называемая классической, была
разработана в XVIII столетии. Я. Бернулли написал трактат по этой теории, а Байес
сделал в нее исключительно важный вклад. К концу XVIII в. Лаплас написал
обширное сочинение, в котором дал математическую разработку теории
вероятностей. По словам Р. Карнапа, это сочинение может рассматриваться как
вершина классического периода.
В классической теории вероятностей, появившейся на свет в результате
математического анализа азартных игр и начало которой было положено
работами Ферма, Паскаля, Бернулли и Лапласа, вероятность рассматривалась как
отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу всех
равновозможных (равновероятных). Например, при бросании игральной кости,
имеющей 6 граней, выпадение каждой из них можно ожидать с вероятностью,
равной 1/6, так как ни одна грань не имеет преимуществ перед другой. Однако в
реальных ситуациях подобная равновозможность встречается крайне редко.
Поэтому со временем классическая интерпретация вероятности уступила место
так называемой статистической концепции вероятности, в основе которой
лежит не воображаемая, а реальная практика научных исследований,
учитывающая относительную частоту наблюдаемых событий.
Определение вероятности с помощью равновозможных случаев представляет,
по мнению современных ученых, бессодержательное утверждение. Одним из
первых обратил на это внимание Рихард фон Мизес. В 1920 г. он и Г. Рейхенбах
подвергли классическую теорию вероятностей резкой и во многом обоснованной
306
К.К. Жоль Логика
критике. Мизес утверждал, что «равновозможность» не может быть понята иначе,
чем в смысле «равновероятности». Но тогда мы попадаем в порочный круг,
определяя вероятность через вероятность (равновероятность).
Мизес и Рейхенбах предложили определять вероятность не как относительную
частоту конечной последовательности случаев, а как предел относительной
частоты в бесконечной последовательности. Новое определение хорошо подходило к
статистическим явлениям. Здесь следует иметь в виду, что классическая теория
вероятностей абстрагировала свои основные положения не от статистических
совокупностей и повторных процессов, а от специфических свойств отдельных объектов,
участвующих в этих процессах. Современные же математические теории признают
смысл за понятием вероятности только в связи с изучением массовых явлений и
поэтому разработчики данных теорий настаивают на том, чтобы в обосновании
теории вероятностей этот момент массовости играл основную роль. Такое
требование впервые было отчетливо сформулировано в частотной теории
вероятностей.
По мнению Хинчина, теория вероятностей как математическая наука о
массовых явлениях должна быть тесно увязана с теорией множеств, являющейся
учением о совокупностях самого общего вида. Это должно помочь в осуществлении
формализации теории вероятностей и построения соответствующих
аксиоматических систем.
Следующий важный шаг в истории развития теории вероятностей был сделан
в русле логической концепции данной теории. Эта концепция была предложена
известным британским экономистом Джоном Мейнардом Кейнсом (1883-1946),
который рассматривал вероятность как логическое отношение между двумя
высказываниями.
Вторым ученым, внесшим существенный вклад в современный логический
подход к вероятности, был английский астроном и геофизик Гарольд Джеф-
фрис (1891-1989), изложивший свои взгляды в работе «Теория вероятности»
(1939). Он солидареь был с Кейнсом в том, что вероятность характеризуется не
частотой, а к логическим отношением.
Карнап разделяет точку зрения Кейнса и Джеффриса, что логическая
вероятность представляет собой логическое отношение. Так, если высказывается
суждение, утверждающее, что для данной гипотезы логическая вероятность по
отношению к данному свидетельству есть 0,7, тогда полное утверждение является
аналитическим. Это означает, что утверждение следует из определения логической
вероятности или из аксиом логической системы без ссылки на что-либо, кроме
логической системы, то есть без ссылки на структуру действительного мира.
В концепции Карнапа логическая вероятность представляет собой
логическое отношение, сходное с логической импликацией. Он полагает, что
вероятность может рассматриваться как частичная логическая импликация. Например,
если свидетельство является таким сильным, что гипотеза логически следует из
него (логически имплицируется им), тогда мы имеем один крайний случай, при
котором вероятность равна 1. Подобным же образом, если отрицание гипотезы
логически имплицируется свидетельством, тогда вероятность гипотезы есть 0.
Между ними имеется континуум случаев, о которых дедуктивная логика не
говорит нам ничего, кроме отрицательного утверждения, а именно: ни гипотеза, ни
ее отрицание не могут быть выведены из свидетельства. В этом континууме
должна занять свое место индуктивная логика. Тогда с помощью логического
анализа установленной гипотезы и соответствующего свидетельства мы заключаем,
что данная гипотеза не логически имплицируется, а частично имплицируется
свидетельством в такой-то степени. В этом пункте вероятности может быть приписано
численное значение.
Карнап подчеркивает, что он не отрицает, как Кейнс и Джеффрис,
частотное понятие вероятности. Более того, он утверждает, что частотное понятие
Блез Паскаль
Арифметическая
машина Паскаля
» ~г
308
К.К. Жоль Логика
вероятности, называемое также статистической вероятностью, является
хорошим научным понятием, вводится ли оно путем явного определения или же
определяется с помощью аксиом и правил практического применения, как это
делается в современной математической статистике. Признание научной
законности понятия статистической вероятности не должно препятствовать
расширению границ теории вероятностей за счет логики. Именно логика предполагает
использование такого понятия, как «логическая вероятность», которое в рамках
индуктивной логики может быть преобразовано в понятие «индуктивная
вероятность».
Развитие индуктивной логики как логики обоснования научных гипотез
пошло по линии построения теории количественной оценки оправданности этих
гипотез, основанной на применении математического исчисления вероятностей.
Карнап и Рейхенбах в разработке своих концепций исходили из того, что
степень обоснованности той или иной научной гипотезы (Карнап называет ее
«степень подтверждения», а Рейхенбах - «весомость» гипотезы) представляет
собой вероятность соответствующей гипотезы относительно подтверждающих ее
свидетельств. Исходя из этого, они усматривают специфику индуктивной логики
в обосновании гипотез на базе непосредственно данного эмпирического знания в
его вероятностной интерпретации. Индуктивная логика не противопоставляется
ими дедуктивной логике - как логика открытия противопоставляется
логике доказательств, а развивается ими как логика вероятного вывода
сравнительно с логикой достоверного вывода, то есть сравнительно с дедуктивной
логикой.
Однако между вариантами построения вероятностной логики Карнапом и Рей-
хенбахом имеются существенные различия. Для последнего вероятность вы-сказы-
вания является неполной истинностью, некоторым промежуточным значением
истинности в интервале между полной истинностью и ложностью. Вводя понятие
вероятности высказывания, Рейхенбах строит шкалу значений истинности как
непрерывный ряд дробных значений вероятности между верхним пределом 1
(истинность) и нижним пределом 0 (ложность). Связь математической теории
вероятностей с логикой устанавливается Рейхенбахом посредством определения Р(х, у)
(«вероятность у при условии х») через вероятностную импликацию («у следует из х
с вероятностью Р»).
Карнап идет другим путем. Он понимает вероятность некоторой гипотезы
h по отношению к некоторому свидетельству е как относительную вероятность
P(h, е), которую он называет степенью подтверждения гипотезы h
свидетельством е - С(А, е). Иначе говоря, он трактует вероятность гипотезы h не как
неполную ее истинность, а как частичное, неполное знание об истинности. Это
знание устанавливается через анализ отношения, показывающего, в какой
степени условия истинности свидетельствующих высказываний совпадают с
условиями истинности гипотезы. Для установления данного отношения не требуется
никакой дополнительной информации о действительности, кроме той, которая уже
заключена в гипотезе и высказываниях-свидетельствах. Таким образом, степень
подтверждения рассматривается Карнапом как отношение между высказываниями,
а не между фактами. Поэтому он сравнивает отношение «степень подтверждения»
с отношением следования (импликации), когда «если р, то q».
Вероятностная (индуктивная) логика Карнапа выступает модификацией
дедуктивной логики. При этом понятие строгого следования сменяется понятием
нестрогого (частичного) следования.
Как мы помним, с проблемы импликации, которая интересовала Льюиса,
началось развитие современной модальной логики. Нечто аналогичное имеет
место и в карнаповской индуктивной логике, которая объективно выводит нас
на проблематику модальной индуктивной логики, строящейся в некоторых
случаях по образцу дедуктивной теории со своими аксиомами.
Глава 6
309
По всей видимости, границы этой вероятностной логики могут быть расширены
за счет логики возможностей Заде, которая блестяще подтверждает себя в области
логического программирования, то есть в исследованиях по «искусственному
интеллекту», о чем речь пойдет в последней главе данной книги.
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. Современная модальная логика является формализованной логикой, строящейся
по образцу дедуктивных систем.
2. Модальную пропозициональную логику можно строить в виде
расширения логической системы немодального пропозиционального исчисления.
3. Если классическое пропозициональное исчисление в своей интерпретации
может иметь дело с утверждениями о вполне определенных фактах, то
модальная логика при аналогичной интерпретации может рассматривать различные типы
событий, которые могут происходить или не происходить в силу случайных
обстоятельств.
4. В модальной логике значение истинности сложного высказывания не
определяется значением истинности высказывания, к которому применяется
модальный оператор. Поэтому модальные операторы не обеспечивают функции
истинности.
5. Одним из важных направлений развития современной модальной логики
являются исследования проблематики индуктивной логики с опорой на математическую
теорию вероятностей.
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое модальности?
2. Какие вы знаете модальные операторы? Каковы их функции?
3. Чем прежде всего было обусловлено создание аксиоматических систем
модальной логики К.И.Льюиса?
4. Что собой представляют алетические модальности?
5. Приведите пример модальных суперпозиций.
6. Используются ли кванторы в модальной логике?
7. Укажите, какие из следующих высказываний ложны, а какие истинны, и
объясните почему:
a) «Если необходимо, что А, то -i А» (аА —> -i А);
b) «Необходимо, что А, тогда и только тогда, когда невозможно, что
не-не-А» ( пА <-> -пф —i—i А );
c) «Возможно, что А, тогда и только тогда, когда не необходимо, что
не~А» (0А <-> -I а-« А).
8. Чем занимается временная логика?
9. Кратко охарактеризуйте деонтическу, эпистемическую и эротетическую логики.
10. Каковы отличительные черты современной математической теории
вероятностей?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов: Пер. с англ. - М.: Прогресс,
1981. - 288 с.
Броуди М. Б. О статистическом рассуждении: Пер. с англ. - М.: Статистика,
1968. - 70 с.
310
К.К. Жоль Логика
Гнеденко Б, В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. -
М.: Наука, 1982. - 156 с.
Вригт Г. X. фон. Логико-философские исследования: Пер. с англ. - М.: Прогресс,
1986. - 595 с.
Джини К. Логика в статистике: Пер. с итал. - М.: Статистика, 1973. - 128 с.
Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 166 с.
Ивин А. А. Логика норм. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - 122 с.
Карнап Р. Значение и необходимость. Исследования по семантике и модальной
логике: Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранная литература, 1959. - 382 с.
Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.: Наука, 1974. -
119 с.
Колмогоров А. Н. и др. Введение в теорию вероятностей. - М.: Наука, 1982. -
159 с.
Костюк В. Н. Элементы модальной логики. - Киев: Наукова думка, 1978. — 180 с.
Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с фр. - М.: Радио и
связь, 1982. - 432 с.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной
формальной логики: Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранная литература, 1959. - 312 с.
Мизес Р. Вероятность и статистика: Пер. с нем. - Москва - Ленинград: ГИЗ,
1930. - 266 с.
Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с
англ. - М.: Радио и связь, 1986. - 408 с.
Павлов В. Т., Ишмуратов А. Т., Омельянчик В. И. Модальная логика. - Киев:
Выща школа, 1982. - 112 с.
Рейхенбах Г. Философия пространства и времени: Пер. с англ. - М.: Прогресс,
1985. - 344 с.
Слинин Я. А. Современная модальная логика. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1976. -
104 с.
Фейс Р. Модальная логика: Пер. с англ. - М.: Наука, 1974. - 520 с.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с англ. - В
2 т. - Т. 1. - М.: Мир, 1984. - 528 с; Т. 2. - М.: Мир, 1984. - 752 с.
Хейс Д. Причинный анализ в статистических исследованиях: Пер. с англ. - М.:
Финансы и статистика, 1981. - 255 с.
Хинчин А. Я. Частотная теория Р.Мизеса и современные идеи теории
вероятностей // Вопросы философии. - М., 1961. - № 1. - С. 92-102.
Хинчин А. Я. Частотная теория Р.Мизеса и современные идеи теории
вероятностей // Вопросы философии. - М., 1961. - № 2. - С. 77-89.
Хинтикка Я. Вопрос о вопросах // В кн.: Философия в современном мире.
Философия и логика. - М.: Наука, 1974. - С. 303-362.
Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования: Пер. с англ. - М.:
Прогресс, 1980. - 448 с.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ЛОГИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА
Вводные замечания. - Предпосылки логического исследования семантики.
«Семантический треугольник» и «семиотический треугольник». -
Семантические понятия в естественных и формализованных языках. «Язык
исследователя» и «язык-объект». - Концепция смысла и значения Г. Фреге. - Лейбни-
цевская концепция «возможных миров» и ее современная логическая
трактовка. - Семантическая информация. Что это такое? - Заключение. -
Контрольные упражнения. - Рекомендуемая литература.
Вводные замечания. Семантика х - молодая дисциплина, хотя корни ее
следует искать в античности, в первых опытах этимологического анализа слов.
Ближайшая история семантики охватывает промежуток немногим более 100
лет. В XIX в. французский филолог М. Ж. А.Бреаль (1832-1915) ввел в научный
обиход термин «семантика». Правда, спорадически попытки в этом ключе
делались и раньше. Так, в 1825 г. немецкий ученый Х.Райзиг, преподаватель
латинской филологии, весьма определенно высказался о необходимости исследований
в области семантики. В своих лекциях он говорил о насущной потребности
развивать новое направление лингвистических исследований - семасиологию,
представители которого должны изучать принципы, регулирующие эволюцию
значений слов. Сам он, однако, не развил эту идею в деталях. Его лекции,
опубликованные посмертно, были известны очень узкому кругу специалистов. Прочное
утверждение идей семантики в филологии связано с именем Бреаля, который не
только дал имя новой науке, но и внес существенный вклад в ее теоретическое
обоснование. В одной из своих программных статей французский ученый
доказывал, что, помимо исследований формальных элементов человеческой речи
(фонетики и морфологии), существует также наука о значении лингвистических
выражений, которую он предложил называть «la sémantique».
Вскоре после работ Бреаля усилиями философов, логиков и психологов
значение термина «семантика» было значительно расширено. Семантику стали
рассматривать уже не как отрасль лингвистики, а как отрасль «общей науки о
знаках» {семиотики) 2.
Ко времени, когда семантика стала оформляться в полноправную научную
дисциплину, наука о языке была исключительно исторической дисциплиной,
прочными узами связанной со сравнительно-исторической грамматикой. Поэтому и
семантика некоторое время носила сугубо исторический характер. Ее основной
целью являлась классификация изменений значений в историческом плане
согласно логическим, психологическим и социологическим критериям, а также
обнаружение некоторых закономерностей, которым подчиняются эти изменения.
После опубликования в 1916 г. знаменитого соссюровского «Курса общей
лингвистики» произошла существенная переоценка взглядов на язык и
лингвистическую теорию. Новая концепция языка, предложенная Ф. де Соссюром,
1 Лучшим обзорным исследованием по вопросам семантики и ее истории является
двухтомник известного английского ученого Дж. Лайонза. См.: Lyons J. Semantics. - Vol. 1-
2. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1977. - XIV, 897 p.
2 См.: Семиотика / Составление, вступ. ст. и общ. ред. Ю. С. Степанова. Пер. с
разных яз. - М.: Радуга, 1983. - 636 с.
Глава 7 .3
получила название структуралистской. Представление о том, что мир скорее
состоит из отношений, чем из «незыблемых вещей», является исходной
установкой того способа мышления, который мы называем структуралистским.
Посредством этого подчеркивалось, что природа отдельного элемента в любой
ситуации не имеет значения сама по себе. Элемент определяется через отношения
ко всем другим элементам, включенным в некоторую ситуацию. Эта
методологическая установка явилась следствием критики традиционной лингвистики,
рассматривающей язык как механический агрегат отдельных единиц, называемых
«словами», каждое из которых имеет свое отдельное, стабильное значение.
Структуралистская теория языка значительно подчеркнула роль
синтаксиса, тем самым стимулируя развитие таких направлений в лингвистике, как
генеративно-трансформационная грамматика. Что же касается семантики, то в
этой сфере структуралисты испытали серьезные трудности, в результате чего
большинство из них сосредоточили свои усилия на анализе в областях
фонологии и грамматики. Это и понятно. Дело в том, что фонетические и даже
грамматические ресурсы того или иного естественного языка являются хорошо
организованными и ограниченными в своем количественном составе. Лексический
же словарь - это весьма разрозненное собрание многочисленных элементов.
Так, например, некоторые современные авторы утверждают, что в английском
языке имеется 44 или 45 фонем, тогда как Оксфордский словарь содержит
свыше 400 000 слов. Помимо того, фонетическая и грамматическая системы
относительно стабильны в определенный промежуток времени, словарь же
непрерывно изменяется. Поэтому естественно, что слова не могут анализироваться с
той строгостью и точностью, с какой это делается в фонологии и грамматике.
Эти и другие причины на некоторое время затормозили развитие
лингвистической семантики.
В русле структурно-лингвистической традиции проблематику семантики
одним из первых попытался реабилитировать известный французский учечьтй
Эмиль Бенвенист (1902-1976). Согласно Бенвенисту, фундаме» льнск, ï
чие между семантикой и семиотикой состоит в следующем: семиотика как
наука о знаковых системах занимается изучением внутрили^гвг еских
отношений, тогда как семантика в качестве учения о значениях изучает отношение
между знаками и обозначенными вещами самой разной природы, то есть
семантика имеет дело с отношениями между языком и миром.
Предпосылки логического исследования семантики. «Семантический треугольник»
и «семиотический треугольник». Своеобразной уточняющей демонстрацией
подобных взглядов на семантику служит знаменитый «семантический треугольник»
(рис. 1), или «треугольник отнесения», Ч. К. Огдена (1889-1957) и А. А. Ричард-
са (1893-1979), авторов нашумевшей в свое время книги «Значение значения»,
которая начала писаться в 1910 г., а была издана в 1923 г.
Рис. 1.
314
К. К. Жоль Логика
В данном случае между мыслью и символом (словами естественного языка)
устанавливаются определенные причинно-следственные отношения. Между мыслью
и объектом также имеются аналогичные отношения, более или менее прямые
(когда мы думаем о чем-либо) или косвенные (когда мы указываем на что-либо).
В последнем случае цепь символов-ситуаций может быть очень длинной,
растянутой между мыслительным актом и объектом (объективной ситуацией). Между
символом и объектом нет иного отношения, кроме косвенного.
Проще говоря, предлагаемый «семантический треугольник» основывается
на допущении существования трех различных систем: (1) система субъекта,
ассоциированная с человеческим мышлением; (2) система словесных знаков; (3)
система мира вещей. В этом «треугольнике» все подчиняется деятельности
мышления, которое выступает как бы главным посредником между «словами» и
«вещами», приписывая им определенные отношения.
Сегодня эта схема выглядит весьма наивной и крайне условной, но на
первых порах знакомства с семантической проблематикой она помогает начать
обсуждение более серьезных вопросов.
Подчеркну, что Огден и Ричарде совершенно правильно полагали: значение
не может корректно трактоваться без удовлетворительной теории знаков. Этот
взгляд на теорию значения противопоставляется ими традиционному подходу
к семантике, который основывался на личных психологических наблюдениях и
на логическом анализе суждений в русле формальной логики. В качестве
своего ближайшего предшественника ученые указывают на Ч. С. Пирса, который
еще в 1867 г. пытался определить логику как учение о формальных условиях
истинности символов, обознающих определенные объекты.
Как видим, изучение интересующих нас проблематики началось
действительно недавно, хотя, если основательно покопаться в архивах Истории, то можно
обнаружить, что уже в трактатах средневековых философов представлены
довольно интересные идеи по вопросам семантики и семиотики 3. Характерно, что
к ним за опытом обращался и Пирс, один из родоначальников современной
семиотики 4. Однако в задачу данной книги не входят исторические изыскания 5.
Поэтому, вкратце описав ситуацию, предшествующую современным
исследованиям в области логической семантики, перейдем к рассмотрению конкретных
логико-семантических вопросов.
Повышенное внимание к семантическим проблемам в рамках логической
науки проявилось в конце XIX в. в связи с рядом проблем, включая
выявленные логиками парадоксы и антиномии, обусловленные попытками построить
все здание математики на логико-математической основе.
Логики шли своим путем, но результаты, полученные ими, оказались
полезными и для многих других дисциплин, включая лингвистику. Они тоже
построили свой «логический треугольник» для объяснения семантической
проблематики. Этот «треугольник» точнее будет назвать «семиотическим треугольником»,
включающим в себя синтаксис, семантику и прагматику. Данная
классификация восходит к работам Пирса, но впервые ясно была представлена известным
3 См., например: Geach Р. Т. Reference and generality. An examination of some medieval
and modem theories. - Ithaca, New York: Cornell Univ. Press, 1962. - XX, 202 p.; Varto J.
Formal and philosophical logic in early medieval logic. - Tampere: Univ., 1989. - 122 p.;
Ashworth E. J. Language and logic in the postmedieval period. - Dordrecht-Holland:
Dordrecht Reidel Publishing Company, 1974. - XV, 304 p.
4 См., например: Boler J. F. Ch.Peirce and scholstic realism. A study of Peirce's relation to
John Duns Scotes. - Seattle: Univ. of Washington Press, 1963. - XII, 178 p.
5 О семантике и ее месте в мировой философии от И. Канта до Р. Карнапа и
Венского кружка (1925-1935) см.: Coffa J. A. The semantic tradition from Kant to Carnap: To
the Vienna Station. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991. - XI, 445 p.
Ф. де Соссюр
316
К. К. Жолъ Логика
американским ученым Ч. У. Моррисом (1901-1978), крупнейшим семиотиком
XX столетия. Затем эта идея была подхвачена и развита Р. Карнапом.
В своих ранних работах 30-х гг. Моррис определял прагматику как
исследование отношений символов к интерпретаторам, то есть к тем, кто их
интерпретирует. Семантика определялась им как отношение символов к объектам, к
которым эти символы применимы. Наконец, под синтаксисом понималось
исследование формальных отношений символов друг к другу. Позднее в эти определения
были внесены некоторые уточнения (1946), соответственно чему прагматика
стала рассматриваться как часть семиотики, которая имеет дело с
происхождением, использованием и результатами использования символов в человеческом
поведении. Семантика же характеризовалась как то, что имеет дело с
обозначающей функцией знаков. Синтаксису отводилась роль того, что имеет дело с
комбинациями символов безотносительно к их специфическим обозначениям.
Карнаповская трактовка этих трех областей семиотики близка моррисов-
ской ранней формулировке, за исключением того, что у Морриса она
ограничена преимущественно анализом естественных языков. По Карнапу, синтаксис
исследует, как символы той или иной знаковой системы относятся друг к другу',
семантика исследует, как эти символы относятся к вещам', прагматика изучает
использование символов людьми. Для Карнапа различие между семантикой и
прагматикой сводится к различию между логическим исчислением и использованием
соответствующих знаковых систем, то есть семантика и прагматика являются
принципиально различными формами анализа значений выражений. Если, скажем,
прагматика имеет дело с эмпирическими исследованиями исторически данных
естественных языков, то чистая семантика занимается искусственными
языковыми системами типа логического исчисления. Согласно Карнапу, так
называемая дескриптивная семантика, то есть семантика, ориентированная на
изучение естественных языков, должна рассматриваться как часть прагматики. По
отношению к дескриптивной семантике чистая семантика является ее
логической моделью.
По мнению Дж. Лайонза, выделение внутри семиотики синтаксиса,
семантики и прагматики, как это делали Моррис и Карнап, не может полностью
удовлетворить запросы лингвистики. Лайонз считает, что разграничение прагматики
и семантики относительно анализа значений в естественных языках является
спорным. Спорным является и моррисовско-карнаповская трактовка синтаксиса,
совершенно не учитывающая различий между грамматическими формами,
лексемами и выражениями. К этому можно добавить, что современная модальная
логика с ее семантическими проблемами не совсем вписывается в моррисовско-
карнаповский «семиотический треугольник».
И все же, как и в случае с «семантическим треугольником» Огдена-Ричард-
са, в известных пределах «семиотический треугольник» полезен, поскольку в
относительно простых и непроблематичных случаях позволяет отсекать все
лишнее, прямо не относящееся к определенным типам логических рассуждений.
Семантические понятия в естественных и формализованных языках. «Язык
исследователя» и «язык-объект». Следующей важной классификационной
схемой не только для логики, но и для лингвистики, а также и для многих других
наук является разграничение языка исследователя {метаязыка) и предметного
языка {языка-объекта), частично охарактеризованное в предыдущей главе. Эта
классификация важна для понимания сути современной логико-семантической
проблематики.
Одна из самых характерных черт естественного языка заключается в том, что
он способен указывать на самого себя и описывать самого себя. Например, в
предложении «Имя «Хома» имеет четыре буквы» слово «Хома» используется
не для указания на киевского философа Хому Брута, описанного Н. В. Гоголем,
а для указания на само имя. Если не пользоваться кавычками или другими
Глава 7
317
условными обозначениями, можно легко запутаться и оказаться в
«семантических капканах», которые философы называют парадоксами и семантическими
антиномиями.
Рассмотрим следующее предложение:
(1) Все, что написано в этой книге, есть ложь.
В целях удобства заменим это предложение латинской буквой Р. Что
получается? А получается, что Р является истинным тогда и только тогда, когда все
написанное в этой книге не является истинным, то есть
(2) Р является истинным тогда и только тогда, когда Р не является
истинным.
В данном случае мы имеем одну из формулировок классического парадокса
«Лжец». Чтобы разобраться с этим парадоксом, мы должны проанализировать
предпосылки, на которых базируется наш парадокс. Анализ показывает, что
язык, в котором встречаются подобные парадоксы, содержит не только
исходные выражения (типа «Все, что написано в этой книге, есть ложь»), но также их
имена (типа Р), не говоря уже о том, что постоянно перед глазами маячит коварное
слово «истина». Иными словами говоря, мы незаметно для себя смешиваем
высказывания о некоторых «фактах» с высказываниями о подобных высказываниях. А.
Тарский называет языки с такими свойствами «семантически замкнутыми
языками». Чтобы избежать парадоксов (семантических антиномий), мы должны
отказаться от использования семантически замкнутого языка, непрерывно
порождающего противоречия. В естественных языках это осуществить невозможно, ибо они
всегда способны подложить нам неожиданную «свинью». Очевидно, необходимо
разделить наш исходный язык на два языка. Первый из них будет являться языком,
который позволит нам врать без всякого зазрения совести. Вторым языком будет
язык, позволяющий достаточно корректно формулировать высказывания о языке-
объекте, на котором предпочитают общаться все вруны и большая часть
политиков, обещающих «золотые горы» своим согражданам. Этот вторый язык и
называется метаязыком. Следует иметь в виду, что язык исследователя, то
есть метаязык, не является универсальным языком, годным для анализа
любых языков-объектов; он применим только по отношению к вполне
определенному языку-объекту. Подобный исследовательский язык должен удовлетворять
следующим требованиям:
(a) все выражения языка-объекта должны быть выразимы в метаязыке;
(b) метаязык должен содержать так называемые семантические понятия,
посредством которых мы интерпретируем результаты нашего
исследования (например: «истина», «ложь»).
Таким образом, язык исследователя (метаязык) - это специфический язык,
содержащий термины для идентификации и указания на элементы предметного
языка (языка-объекта), а также содержащий определенное количество
семантических и технических терминов, которые могут быть использованы для
семантической оценки и описания отношений между этими элементами (как они
могут соединяться, комбинироваться, сочетаться и т. д.).
Для логики разграничение языка исследователя и языка-объекта важно тем,
что позволяет с помощью метаязыка строить некоторый формализованный язык
как язык-объект. В противном случае мы не смогли бы формулировать
основные правила построения языка-объекта и осуществлять те шаги, которые
предполагает это построение.
А. Тарский
Глава 7
319
Построение логическими средствами формализованного языка состоит из двух
основных этапов - синтаксического и семантического. Синтаксический этап - это
построение неинтерпретированного формализованного языка. Семантический этап
- это этап интерпретации формализованного языка.
На синтаксическом уровне описания формальной логической системы
интерпретация не является чем-то существенным. В данном случае мы
рассматриваем формальные символы как простые знаки, а не как символы, которые что-
либо означают. Предполагается только, что мы умеем распознавать каждый
формальный знак как тот же самый при каждом его использовании и отличать
его от других формальных знаков.
С синтаксической точки зрения формализованная языковая система может
выглядеть, например, следующим образом:
1. Класс исходных символов {словарь), включающий переменные,
константы и вспомогательные символы. Конечная последовательность
символов называется выражением.
2. Класс термов 6 как подкласс класса всех выражений. При этом
каждая переменная считается термом.
3. Класс формул как подкласс всех выражений, а именно:
Если р и q - термы, то р v q - формула.
Если р - формула, то и —i р - формула.
Если р и q - формулы, то р & q - формула.
4. Класс аксиом есть подкласс класса всех формул.
5. Конечный класс правил вывода, согласно каждому из которых
формула, именуемая заключением, выводима из конечного класса формул,
называемых посылками.
Правила, определяющие принадлежность первым трем из перечисленных
классов, называются правилами образования, а те, которые определяют
принадлежность к последним двум классам, - правилами преобразования. Правила
преобразования превращают формальную логическую систему в дедуктивную
теорию.
Формализация логической системы имеет целью дать явное определение
понятия доказательства в данной системе.
Достаточно ли всего этого для получения формализованного языка?
Нет, недостаточно. Мы не будем иметь формализованного языка до тех
пор, пока не будет указана его интерпретация. А для процедур интерпретации
требуется наличие метаязыка.
С помощью метаязыка, более богатого по сравнению с конструируемым
формализованным языком (языком-объектом), мы формулируем определенные
семантические правила. Посредством этих правил для каждой правильно построенной
формулы определяется то, каким образом данная формула принимает значение
(например: истина или ложь), то есть семантические правила, указывающие
интерпретацию, должны быть такими, чтобы аксиомы нашего формализованного
языка всегда имели соответствующее истинностное значение.
Интерпретация формализованной языковой системы будет считаться
правильной, если при этой интерпретации все аксиомы будут всегда принимать значение
«истина». В противном случае интерпретация считается-неправильной.
Формализованный язык называется правильным или неправильным в
зависимости от того, правильна или неправильна интерпретация, при помощи которой он
получен в рамках определенной логической системы.
В данном случае «терм» является аналогом существительного в грамматике.
320
K.K. Жоль Логика
Применительно к логике вопросы семантики должны формулироваться весьма
специфическим образом с учетом следующего общего положения: изучение
интерпретации искусственного языка именно как интерпретации называется логической
семантикой (А. Тарский, А. Чёрч).
Если мы строим язык исчисления высказываний с использованием уже
знакомых нам логических операторов (-i (не), & (и), v (или), —> (если ..., то ...)), то
в качестве логических операторов метаязыка должны использовать другие
символы, чтобы не возникло путаницы, могущей спровоцировать семантические
парадоксы и антиномии.
Чёрч предлагает нам представить себе людей, пользующихся
формализованным письменным языком, а также представить себе сторонних наблюдателей,
которые не только не понимают этого языка, но и вообще не верят, что это
язык. Таких скептиков не стоит переубеждать. Лучше предложить им поиграть в
одну любопытную игру, связанную с конструированием логического языка.
Вначале мы должны рассказать ему о синтаксических критериях, в соответствии с
которыми формулы конструируемого языка признаются правильно
построенными. Затем мы должны познакомить их с критериями, в соответствии с которыми
последовательность правильно построенных формул признается в качестве
вывода или доказательства.
На этом уровне наблюдатель-скептик вполне довольствуется тем, что
используемые символы искусственного языка имеют такое смысловое
содержание, которым обладают, например, различные фигуры в шахматах. Для него
формула языковой игры аналогична позиции на шахматной доске и имеет
значение лишь как один из этапов игры. Поэтому, пока он будет смотреть на
использование какого-либо научного языка просто как на игру, мы не выйдем
за рамки синтаксиса данного языка. Не случайно, когда дело доходит до
семантики, наш скептик становится до неприличия раздражительным. И его
можно понять. Представьте себе такую фантастическую картину: вы передвигаете
шахматную фигуру, а у нее на этот счет есть свое особое мнение, и она
начинает вытворять то, что ей заблагорассудится. В области логической семантики
случается и не такое, хотя это именно логическая семантика, а не семантика
неформализованных естественных языков.
Что же относится к семантике формализованного языка?
К этому типу семантики относится все то, что можно понять, зная следую-,
щее: правильно построенные формулы обладают вполне определенным
смысловым содержанием, то есть они могут тем или иным способом принимать
задаваемые им значения. Принять значение в логическом контексте - значит
осуществить вполне определенные логические процедуры интерпретации.
Изучение средствами логики интерпретации формализованного языка
относится к компетенции логической семантики. Этим логическая семантика
отличается от семантического анализа естественного языка. Говоря проще,
логической семантикой молено назвать науку, занимающуюся связыванием
логических символов с некоторыми логически сконструированными предметами
(объектами), выступающими в роли значения (референта 7).
Логическая семантика не занимается изучением всего круга семантических
проблем. Она занимается лишь теми проблемами, которые изучаются
строгими логико-математическими методами с использованием метаязыка.
Сужение круга семантических проблем, решение которых доступно
логической семантике, определяется выбором способов избавления от семантических
7 От лат. referens (referentis) - сообщающий; в лингвистике и логике под референтом
понимается предмет (значение), с которым соотносятся определенные знаки,
приобретающие благодаря этому определенное значение.
Глава 7
321
парадоксов. Этот выбор позволяет оценить логическую эффективность той или иной
семантической теории.
Концепция смысла и значения Г. Фреге. Исключительно большой вклад в
развитие идей логической семантики был сделан известным немецким
математиком и логиком Готлобом Фреге 8.
Исследователи творческого наследия Фреге считают, что его научную
карьеру можно разделить на шесть периодов. Первый период длился с 1879 по 1883 г.
В 1879 г. им был написан фундаментальный труд «Исчисление понятий». В
течение последующих четырех лет он пытался максимально отшлифовать
логическую систему, представленную в этой работе.
Второй период начинается с 1884 г. и длится до 1890 г. В 1884 г. Фреге издал
работу «Основания арифметики», в которой было поднято большинство
главных тем, интересовавших его. В частности, подчеркивалась центральная роль
предложений в языке, ибо он считал, что только в контексте предложения слово
имеет свое конкретное значение. Одновременно резкой критике была
подвергнута так называемая образная теория значения.
Третий период охватывает 1891-1904 гг. В 1891 г. были опубликованы его
лекции «Функция и понятие», а через два года вышел в свет первый том
капитального труда «Основные законы арифметики». Второй том был опубликован в
1903 г. Именно в этот период было осуществлено разграничение смысла (нем.
Sinn) и значения (нем. Bedeutung), что нашло отражение в статье «О смысле и
значении».
Четвертый период - 1905-1913 гг. Этот период был самым непродуктивным в
творчестве Фреге, что обусловливалось крахом программы выведения арифметики
из логики. Он даже не попытался опубликовать третий том «Основных законов
арифметики».
Пятый период длился четыре года - с 1914 г. по 1918 г. Весной 1914 г.
Фреге написал, но не опубликовал статью «Логика в математике».
Наконец, шестой период (1919-1925) - это период окончательного
смирения с крахом своей грандиозной логицистской программы. За это время он
ничего не опубликовал.
Творчество Фреге - последний шаг в математизации логики в XIX
столетии. Несмотря на многие неудачи, Фреге внес большой вклад в развитие
математической логики и логической семантики. Своими трудами по логике он
стремился заложить новый научный фундамент для арифметики, алгебры и
математического анализа.
Первые фрегевские произведения были нацелены на разработку
формальной системы, внутри которой могут быть выполнены математические
доказательства. Это было вызвано тем, что в конце XIX столетия математика
находилась в кризисном состоянии, и Фреге посвящает большую часть своей жизни
преодолению этого кризиса. Поставленная цель заставила его вплотную заняться
вопросами логики. Существующий аппарат логических систем, методы и
теории было невозможно использовать в математике. Поэтому Фреге пришлось
приложить значительные усилия для разработки адекватного математике
логического инструментария. Одновременно он обратился к философским основам
традиционной логики.
8 Лучшими из зарубежных исследований логико-философских и семантических аспектов
творчества Г. Фреге являются работы английского ученого, профессора логики в
Оксфордском университете М.Дамметга (р. 1925). См.: Dummett M Frege. Philosophy of language. -
Duckworth, 1973. - XXV, 698 p.; Dummett M. Truth and other enigmas. - Cambridge,
Massachusetts: Harvard Univ. Press, 1978. - LVIII, 470 p.; Dummett M. The interpretation of Frege's
philosophy. - Cambridge, Massachusetts: Harvard Univ. Press, 1981. - XVIII, 621 p.
322
К. К. Жоль Логика
Семантическая концепция Фреге произросла на основе анализа имен
собственных. Его ближайшим предшественником по данному вопросу был
английский философ и логик Дж. Ст. Милль (1806-1873), чье сочинение «Система
логики» представляет собой индуктивистскую трактовку логики как общей
методологии наук.
В «Системе логики» Милль различает коннотативные 9 и неконнотативные
имена. По его мнению, коннотативаные имена - это такие имена, которые
обозначают предметы и подразумевают их атрибуты. Например, «девушка» - это кон-
нотативное имя, обозначающее предмет, который предполагает атрибуты,
выражаемые такими словами, как: «ребенок», «взрослый», «женщина» и т. д. По мнению
Милля, все конкретные общие имена являются коннотативными. Например, слово
«человек» приложимо к Петру, Джону и т. д. Что же касается собственных имен,
то они не являются коннотативными именами, поскольку ими обозначаются
индивидуумы, которые только называются, но при этом не указываются их атрибуты. На
это оппоненты Милля возражали следующим образом. Допустим, собственные имена
не выражают познавательно значимой информации. Следовательно, Наполеон,
Веллингтон и Ватерлоо соответственно не выражают подобного рода информации.
Но почему же в таком случае выражает информацию высказывание: «Наполеон
был разбит Веллингтоном при Ватерлоо»! Казалось бы, исходя из взглядов Милля,
можно безболезненно заменить в указанном высказывании собственные имена
одного вида на собственные имена другого вида без особого ущерба для значения
высказывания. Но это очевидный нонсенс. Выход из создавшегося положения был
предложен Фреге, а затем и другими логиками, которые попытались
дифференцировать обычные собственные имена и логические собственные имена. Впрочем,
справедливости ради стоит отметить, что Фреге никогда не затруднял себя
попыткой дать точную характеристику имени собственного.
Фреге приписывает логически уточненным собственным именам не только
значение (Bedeutung), но и смысл (Sinn), поскольку значение (в широком смысле
слова) высказывания может быть существенно изменено посредством замещения
9 От англ. connotation - дополнительный оттенок значения', то, что подразумевается',
соозначение.
Глава 7
323
одного собственного имени другим, хотя и с тем же самым значением (Bedeutung).
Из этого он делает вывод, что собственные имена должны иметь две
семантические функции. Во-первых, они должны обозначать (bedeuten) объекты.
Во-вторых, они должны выражать (drücken aus) смысл. Например, рассмотрим два
имени, а именно: «вечерняя звезда» и «утренняя звезда». В одном и другом случаях
имеется в виду один и тот же объект - планета Венера. Однако хотя их значения
(планета Венера) совпадают, но по смыслу они различаются, так как фигурируют
разные семантические ситуации (утренняя и вечерняя звезда). Обратимся еще к
одному примеру. Есть два имени - Вальтер Скотт и автор «Вэверлея».
Известно, что король Георг IV интересовался, является ли Вальтер Скотт автором
«Вэверлея». Если говорить только об объектах упомянутых имен, то получается
абсурд: Георг IV хотел знать, является ли Вальтер Скотт Вальтером Скоттом. Во
избежание подобных недоразумений и вводится дистинкция «смысл/значение».
Таким образом, Фреге разграничивает смысл (Sinn) и значение (Bedeutung)
собственных имен. Собственные имена с одним и тем же смыслом имеют одно и то же
значение, но, с другой стороны, имея одно и то же значение, они далеко не всегда
совпадают по смыслу. Кроме того, Фреге признает право на существование (но
только не в языке науки!) за такими именами, которые имеют смысл, но не имеют
значения (скажем, крылатый конь Пегас).
В свое время нечто аналогичное предвосхитил гениальный Лейбниц,
сформулировавший ряд идей современной математической логики и логической
семантики.
У Лейбница отчетливо прослеживается тенденция, получившая в свете
разработок Фреге название логицизм. Суть логицизма состоит в том, чтобы из логики
вывести математику. Для представителей логицизма характерен повышенный
интерес к проблемам логической семантики. Этот интерес наблюдается и у
Лейбница, который за неимением лучшего вынужден интерпретировать формальные
исчисления на материале естественного языка посредством подстановки
соответствующих определений вместо символов универсального логического языка. В
связи с этим доказательство как формальное следование в системе логического
исчисления заменяется доказательством как умением оперировать определениями. Это
умение заключается в замене эквивалентного эквивалентным. Здесь Лейбниц
сталкивается с феноменом синонимии в его логически препарированном виде.
Исходя из чисто формальных представлений о тождестве (в смысле
математического равенства), можно было бы ожидать, что синонимы взаимозаменяемы
в любом контексте. Однако детальный анализ показывает, что это далеко не так.
Каждый контекст как бы вынуждает их по-разному светиться. Поэтому
Лейбниц различает вещь, о которой идет речь, и способ ее понимания, иллюстрируя
данное различие на следующем примере. Петр и апостол, отрекшийся от
Христа, обозначают одну и ту же личность. Следовательно, одно имя может быть
поставлено на место другого в силу понятия равенства и правила замены
равного (эквивалентного) равным (эквивалентным), но только при условии, что мы не
будем рассматривать способ понимания одного и того же индивидуума в разных
ситуациях. Учитывая последнее, мы получаем, что высказывание «Петр, поскольку
он был апостолом, отрекшимся от Христа, согрешил», имеющее смысл и
являющееся истинным, становится ложным и бессмысленным при подстановке вида:
«Петр, поскольку он был Петром, согрешил».
Лейбницевский пример анализа феномена синонимии с учетом способа
понимания, обусловленного тем или иным контекстом, может быть
переформулирован так: полагать две вещи неразличимыми означает полагать одну и ту
лее вещь под двумя именами. Эта формулировка содержит в себе идею фрегев-
ской дистинкции «смысл/значение».
Проблема соотношения смысла и значения получила интересную трактовку в
работах такого крупного немецкого философа, как Эдмунд Гуссерль (1859-1938).
324
К. К. Жоль Логика
Гуссерль усматривает основную черту сознания в том, что с понятием «сознание»
сопряжены такие понятия, как «иметь смысл», «обладать чем-либо осмысленно». В
осмысливающем сознании им выделяются ядерная и периферийная зоны. Ядро
сознание - это чистый, предметно нацеленный смысл, как бы окутанный различными
слоями (моментами) смысла. Чистый смысл характеризуется своей
самотождественностью, инвариантностью, устойчивостью.
Гуссерлевское понятие «смысл» указывает не просто на некое смысловое
поле, которое по желанию субъекта можно «сгустить», «сфокусировать» на
некотором предмете, а на свою функциональную предназначенность. Иными
словами, любой смысл содержит в себе функциональный заряд.
По мнению известного российского ученого Густава Густавовича Шпета
(1879-1937), «смысл» у Гуссерля является очень расширенным «значением».
Поэтому гуссерлевскую дистинкцию «Bedeutung I Gegenstand» точнее переводить
на русский язык «значение I предмет», а не «значение I смысл». Действительно,
для Гуссерля «значение» (Bedeutung) и «смысл» (Sinn) являются синонимами.
Термин же «предмет» (Gegenstand) им трактуется расширительно, охватывая
сферы материального и идеального (например: предмет физического
воздействия, предмет мысли, умосозерцания).
Согласно Гуссерлю, каждое выражение выполняет две функции: оно (1) нечто
обозначает и (2) говорит о чем-то, выделяя в обозначенном некоторый аспект, делая
выражение конкретно-предметным. Зная значение, мы можем при
соответствующих обстоятельствах отнести это значение к определенному предмету.
В данном случае гуссерлевское «значение» (Bedeutung) соотносимо с фре-
гевским «смыслом» (Sinn), а гуссерлевское понятие «предмет» (Gegenstand)
родственно фрегевскому понятию «значение» (Bedeutung).
Содержание своей дистинкции «значение/предмет» Гуссерль раскрывает на
примере следующих выражений: «победитель при Иене» и «побежденный при
Ватерлоо». Эти выражения обладают разными значениями, но указывают на один
и тот же предмет, каковым является Наполеон..
Глава 7
л.**
Учитывая, что понятие значения у Гуссерля функционально заряжено, его
дистинкцию «значение / предмет» можно представить как дистинкцию
«функциональное значение / предмет» и даже проще - как «функция / предмет», но помня
при этом, что в данном случае «функция» - это семантическое понятие.
Предположим, представители модально-эротетической логики обратились к нам с
кто-вопросом, а именно: кто командовал битвами (выполнял соответствующие
командные функции) при Иене, Бородино и Ватерлоо? В этом вопросе можно выделить
запрос (найти того-то) и требование идентификации (идентифицировать или
различить командующих указанными битвами).
Проблема идентификации выводит нас на центральную проблему фрегев-
ской логики, которая в свое время остро волновала Лейбница, - проблема
тождества.
Какова природа тождества? Является ли тождество отношением между
вещами или отношением между именами (знаками)?
Анализируя понятие тождества, Фреге отдает предпочтение тождеству
между именами вещей. Это объясняется тем, что он пытается объяснить
информативность тождественно-истинных утверждений.
До Фреге, если не считать наброски Лейбница, отношение тождества обычно
ассоциировалось с отношением между вещами, тогда как познавательная роль
различных языковых систем практически игнорировалась. Так, например,
«вечерняя звезда» и «утренняя звезда» {«вещь X» и «вещь У») после того, как было
установлено, что речь идет о планете Венера, рассматривались как целиком
взаимозаменимые имена, поскольку тождество понималось как самотождественность
некоторой вещи. Однако, утверждая, что X = У, мы неявно выделяем
обозначающую функцию знаков. Следовательно, отношение тождества связано не только
с вещами, но и со знаками, эти вещи обозначающие.
В XX в. Лейбница и Фреге кое-кто обвинил в том, что они плохо
дифференцировали и неправильно понимали соотношение знаков и объектов, ошибочно
объясняя тождество как отношение между знаками, а не как отношение между
наименованными объектами. Критики Лейбница и Фреге при этом ссылались
на крайности радикально настроенных философов, утверждавших, что,
например, уравнение 1 = 1 должно быть ложно по той причине, что левая и правая
стороны уравнения являются пространственно различными.
И все же понятие тождества у Лейбница и Фреге гораздо богаче, чем это
пытаются представить некоторые авторы. Рассмотрим уравнение 2 + 2 = Vl6. В
первых классах средней школы дети знакомятся с простейшими
арифметическими операциями по типу левой части уравнения, тогда как в старших классах они
узнают о существовании иных математических дисциплин, более абстрактных и
более сложных. Поэтому левая и правая части уравнений указанного типа несут
разную познавательную информацию. К тому же объединение этих
математических выражений (2 + 2 и vl6 ) в одно уравнение сообщает дополнительную
информацию о единстве разных отделов математического знания.
Таким образом, если мы согласимся с тем, что акт обозначения в известном
смысле произволен, зависит от индивидуальных прихотей, то выражение X = У
будет касаться не сути дела, а только принятого нами способа обозначения, что
влечет за собой путаницу в голове и препятствует передаче полезной
информации. Поэтому Фреге и предлагает дополнить понятия «знак» и «значение»
понятием «смысл», которое является в определенном плане отражением способа
представления обозначаемого данным знаком содержания (значения), но только в
том случае, когда значение уже установлено. В реальной познавательной
практике мы чаще всего движемся от слитности смысла и значения к их
разграничению, то есть к установлению точного значения чего-то осмысленного (например:
люди долгое время не знали, что утренняя и вечерняя звезда - это планета Венера).
Здесь просматривается вполне уместная аналогия между функциональностью
326
К.К. Жоль Логика
гуссерлевского значения (Bedeutung) и функциональностью фрегевского смысла
(Sinn), что, по всей видимости, нашло свое выражение в критике традиционной
логической трактовки суждения и замене понятия предиката понятием
пропозициональной функции, являющейся своеобразной моделью дистинкции «смысл/значение»
(«функция/аргумент»). По этому поводу исследователи творческого наследия Фреге
писали, что Фреге попытался значительно расширить традиционное понятие функции,
рассматривая аргумент функции не только сквозь призму такого семантического
понятия, как «значение», но и сквозь призму понятия «истинностное значение». Поэтому
существенной характеристикой фрегевского расширения понятия функции является то,
что в него включаются объекты всех видов, а не только числа в качестве
возможных аргументов таких функций.
Говоря иначе, если отношения тождества целиком зависят от отношений
между значениями (предметами, референтами) тождественных выражений, то
форма выражения не имеет познавательного значения. Следовательно, если
выражение А = А не расширяет нашего знания, то не может расширить нашего
знания и выражение А = В. Тем не менее интуитивно ясно, что два указанных
выражения отличаются по своей познавательной ценности: если А = А не
сообщает нам ничего нового, то А = В что-то новое сообщает. С учетом этой
интуиции можно заключить, что тождество не является отношением только между
значениями (референтами).
Допустим, что тождество - это отношение между формами выражений. В таком
случае форма выражения А = В сообщает нам, что знаки А и В используются для
представления одного и того же предмета. Иными словами, тождественные
утверждения должны сообщать нам не только информацию о знаках и их комбинациях, но и
нечто о реальном мире или, говоря обобщенно, о некотором предметном мире
(реальном или воображаемом). Поэтому тождество не может быть отношением только
между выражениями.
Как же разрешить эту задачу?
Согласно Фреге, помимо формы выражений и их значений следует
принимать в расчет еще третий фактор - способ, посредством которого значение
представляется. Поскольку один и тот же объект познания может быть
представлен различными теориями, то утверждение тождества типа А = В
безусловно сообщает нам больше, чем утверждение типа А = А.
Что это нам дает для решения конкретных семантических проблем?
Психологи описывают эксперименты с малолетним ребенком, который без
особого труда усваивал слова: «стол», «стул», «шкаф» и т. д. Каждое новое
слово в этом ряду воспринималось им относительно легко. Но он оказывался не в
состоянии усвоить слово «мебель», являющееся более общим по своему
значению относительно выше перечисленных слов. Совершенно очевидно, что
усвоить слово «мебель» означает для ребенка не только прибавить новое слово к
ряду уже имеющихся, а и нечто принципиально новое - овладение новой
формой движения по «вертикали». Как отмечал по этому поводу Л. С. Выготский, с
функциональной стороны мера общности значения определяет всю совокупность
возможных операций интеллекта с данным значением.
А теперь попытаемся исключить абстракцию «мебель», опредметив ее в
конкретных значениях. Исключая данную абстракцию, мы указываем не на
конкретный стол или стул, а на их функции (предмет для приема пищи, чтения,
рисования и т. д.; предмет для сидения), являющиеся социально-культурными
признаками (свойствами) мебели. Знание этих функций позволяет идентифицировать
стол именно как стол, стул именно как стул и т. д. В языке данные функции
представлены как значение некоторой ценностной предметности. Переходя от
значения слова «мебель» к значению слова «стол», мы переходим к ожидаемой
функции, которая может быть воплощена как в привычных предметах, так и в
неожиданных (например: тумба вместо стола), подпадающих под характеристику
Глава 7
327
мебели. Получение ожидаемого значения (функции) от неожиданного в данной
функции предмета повышает его ценностную характеристику, повышает ценностную
ориентацию смыслового поля соответствующего выражения (например, «мебель»).
Аналогичное можно сказать и по поводу идентификации Наполеона как командующего в
битвах при Иене, Бородино и Ватерлоо.
Мы хорошо знаем, что синонимы в естественных языках обычно легко
взаимозаменяемы во многих текстах. Однако дотошный логический анализ
показывает, что все обстоит не так просто, как это кажется на первый взгляд.
Чёрч предлагает сравнить различные виды повествовательных предложений,
обладающих одной и той же предметной отнесенностью, но по-разному
выражающих свой предмет. Это сравнение обнаруживает, что чем дальше мы удаляемся
от «оригинала», тем сильнее различие в смыслах предложений (вплоть до полной
их смысловой несравнимости). Чёрч иллюстрирует это следующим примером:
(1) Сэр Вальтер Скотт есть автор «Вэверлея».
(2) Сэр Вальтер Скотт есть человек, который написал все 29 Вэверлеев-
ских новелл.
(3) Число, равное числу всех написанных сэром Вальтером Скоттом
новел, есть 29.
(4) Число, равное числу графств в штате Юта, есть 29.
Замена выражений с одним и тем же значением (референтом) происходит
по следующей схеме. Выражение (1) заменяется выражением (2). Затем
выражение (2) заменяется выражением (3). Наконец, выражение (3) заменяется
выражением (4).
Несмотря на то, замечает Чёрч, что в соответствии с приведенной цепочкой
наших рассуждений предложение «Сэр Вальтер Скотт есть автор «Вэверлея» и
предложение «Число, равно числу графств в штате Юта, есть 29» имеют одно
и то же значение (денотат 10), внешне они имеют очень мало общего. Легче
всего обнаруживается то сходство между ними, что оба они истинны.
Рассмотрение примеров такого рода приводит нас к правдоподобному заключению,
что все истинные предложения имеют одно и то же значение (денотат).
Например, предложение «Сэр Вальтер Скотт не есть автор «Вэверлея» должно
иметь то же самое истинностное значение, что и предложение «Сэр Вальтер
Скотт не есть сэр Вальтер Скотт».
Абстрагируясь от смысла подобного рода предложений, можно попытаться
установить критерий тождества их референтов (Bedeutung, по Фреге; денотатов,
по Расселу). Согласно Фреге, таковым критерием является «истинностное
значение» предложений (высказываний), то есть истина и ложь. Фреге считал, что
благодаря этому преодолевается психологизм в логике, поскольку референт из
чувственно воспринимаемой вещи, восприятие которой отличается от индивида к
индивиду, превращается в общезначимый абстрактный предмет, подчиняющийся
логико-семантическому принципу тождества истинностных значений
предложений. Для данного типа логической семантики важно лишь то, что два или
больше выражений считаются одинаковыми, если они всегда могут подставляться
одно вместо другого так, чтобы не изменялось истинностное значение. Смысл (Sinn)
выражений в таком случае приносится в жертву их истинностному значению.
В понимании фрегевской дистинкции «смысл/значение» чрезвычайно важно
учитывать, что смысл - это не способ представления (репрезентации) уже известного
значения, а способ движения к искомому предмету, способ своеобразного
сужения динамичной смысловой зоны.
10 Денотат (от англ. denotation - обозначение; знак; значение; предметная
отнесенность; от лат. denotatum обозначаемое), по терминологии Рассела.
328
К. К. Жоль Логика
По мнению Дамметта, Рассел переворачивает фрегевскую семантическую
концепцию с ног на голову, делая центральным понятием «референт» («денотат», по
Расселу) в духе английского эмпиризма (Дж.Локк и др.). Если смысл рассматривать
только как репрезентацию изначально данного референта, тогда мы лишаемся опоры
и разумного понимания того, что, например, местоимение «я», используемое
рядовыми людьми, имеет постоянный смысл, но разную референцию.
Фундаментом фрегевских семантических разработок является принцип:
собственные имена (так называемые сингулярные термины) замещают (нем. bedeutun;
англ. stand for) объекты, точнее, такой вид объектов, которые мы интуитивно
понимаем в качестве носителя данного имени. Не случайно Фреге начинает с
допущения, что значение имени - это его носитель.
Как считает Дамметт, вряд ли стоит сомневаться в том, что для Фреге
отношение «имя - носитель (имени)» было прототипом отношения референции
(связи между знаком и обозначаемым им предметом).
Дамметт правильно улавливает изъяны фрегевской семантической
концепции, обращаясь к критическому рассмотрению не понятия «смысл», а понятия
«значение». Большая же часть философов, включая Рассела, основной огонь
своей критики сосредоточили на фрегевском понятии «смысл», меньше обращая или
почти совсем не затрагивая понятие «значение», тогда как именно с понятием
«значение» связана одна из наиболее традиционных и наиболее сомнительных
сейчас теорий - теория замещения.
Слабость многих теорий референции есть результат игнорирования
элементов традиционной теории замещения, которые явно или неявно допускаются в
основу современных разработок по проблематике референции. В частности, это
проявляется в слишком упрощенном понимании соотношения знака и
значения, как, например, в работах Карнапд.
Исследователи типа Карнапа в своих логико-семантических изысканиях
базируются на следующей интуиции: смысл (нем. Sinn; англ. sense) выражается, а
референт (нем. Bedeutung; англ. referent; лат. nominatum) обозначается.
Глава 7
329
Предположим, мы имеем некоторое имя. Это имя находится в бивалентном
отношении к двум сущностям (референтам). Первую сущность (Bedeutung) оно
обозначает, а вторую сущность (Sinn) выражает. Если мы хотим высказаться
о второй сущности, нам необходимо иметь новое имя, которое будет обозначать
данную сущность (Sinn), превращающийся тем самым в референт (Bedeutung), и
выражать свой новый, собственный смысл (Sinn). Получается движение в дурную
бесконечность.
Против подобных взглядов на дистинкцию «смысл/значение» правильно
выступает Дамметт, призывая подвести под логико-семантический анализ
прочный эпистемологический фундамент, то есть прочный
теоретико-познавательный и философско-методологический фундамент.
Лейбницевская концепция «возможных миров» и ее современная логическая
трактовка. Чтобы яснее представить логический механизм перехода от смысла (Sinn)
к значению (Bedeutung), обратимся еще раз к Лейбницу и рассмотрим его
философское учение о «возможных мирах», которое благодаря работам
известного логика С.Крипке получило свое закрепление в логических исследованиях
под названием «семантики возможных миров».
Главными философскими сочинениями Лейбница считаются «Новые
опыты о человеческом разуме», «Теодицея» и «Монадология».
Начнем с последнего сочинения, задав себе вопрос: что такое монада?
Монада п - это не единица в арифметическом смысле слова. Монада - это
не материальный атом. Монада - это некое подобие математической точки,
которая лишена пространственной протяженности. Физический смысл монады
состоит в том, что она есть своеобразный центр физических сил. Монады не
возникают и не гибнут. Их возраст равен возрасту мира.
Лейбницевская монадология связана с его учением о предустановленной
гармонии и с понятием Бога. По Лейбницу, существование мира само по себе не
доказывает существования Бога. Существование Бога выводится из наличия
мирового порядка, связывающего воедино бесчисленное множество монад. Бог -
это наивысшая монада, наивысший центр силового притяжения. Если нет иного
силового центра, то наш мир, подчиняющийся закону мировой гармонии, есть
наилучший из возможных миров.
Как объяснить зло, царящее в этом наилучшем из возможных миров?
Отвечая на это вопрос, Лейбниц разрабатывает учение о теодицее
(богооправдании). Проблематика теодицеи - это лейбницевский вариант традиционной
проблематики христианского богословия, в фокусе которой находится вопрос о том,
как снять с Бога ответственность за зло, царящее в мире.
О философской или богословской стороне лейбницевской трактовки
возможных миров можно спорить до бесконечности. Нам же достаточно
запомнить одно: лейбницевская идея возможных миров была взята в XX в. на
вооружение логиками, занимающимися вопросами семантики и модальной логики.
В логике понятие возможного мира соответствует понятию модели, которое
используется в связи с логико-семантическими процедурами интерпретации.
Специфика этих процедур интерпретации объясняется тем, что с теоретико-
познавательной точки зрения множество истинных и ложных событий можно
разделить на (1) случайно истинные (которые истинны, но могли бы оказаться
ложными при другом стечении обстоятельств), (2) случайно ложные, (3)
необходимо истинные (которые не зависят от игры случайных сил; таковы, например,
математические и логические истины), (4) необходимо ложные.
Будем предполагать, что необходимая истина в данном реальном мире
сохраняет свою силу независимо от изменения обстоятельств, меняющихся со временем,
От гр. monas (monados) - единица, неделимое, цельное.
330
K.K. Жоль Логика
то есть каждый следующий момент времени можно рассматривать как один из
возможных миров, для которых необходимая истина остается всегда одной и той же.
Напротив, возможная истина будет во многом определяться обстоятельствами и
подтверждаться далеко не во всех возможных мирах. Необходимо ложное
событие не подтверждается ни в каком из возможных миров, тогда как случайно
ложное событие ложно в одном или нескольких возможных мирах, но не во всех.
Если кратко попытаться охарактеризовать семантику возможных миров, то картина
будет выглядеть следующим образом. Имеется некоторый универсум W, являющийся
множеством возможных миров, которые связаны отношением доступности R. Пусть
а и b - два мира из универсума W. Тоща факт доступности мира Ъ после
«посещения» мира а обозначается как aRb. Пара (W, R) называется структурой. Свойства
отношения R задают различные схемы модальных аксиом, общезначимых в
рассматриваемой логике. Оценка V - это отображение из W х L (L - язык логической
системы) в {И, Л}, которое для каждого мира w из универсума W сопоставляет
каждой пропозициональной константе из L определенное значение истинности. Тройка
(W, R, V) называется моделью.
Для полного понимания семантики возможных миров необходимо
прибегнуть к матричному методу, то есть к построению таблиц истинности. Как
подчеркивает Лукасевич, этот метод может быть применен ко всем логическим
системам, в которых встречаются функции истинности, то есть функции,
значения истинности которых зависят только от истинности их аргументов.
Классическое исчисление высказываний предполагает два значения
истинности - истину (1) и ложь (0). Этому исчислению высказываний
удовлетворяют не только двузначные таблицы истинности, но и многозначные матрицы
(таблицы истинности).
Формальные зависимости между модальностями Лукасевич записывает
следующим образом:
(1) QMpNL,
(2) QLpNMNp,
(3) CLpp,
(4) СрМр,
где L обозначает необходимость, M - возможность, С - следование, Q -
эквивалентность, N - отрицание, р - переменную.
Рассмотрим матрицу для импликации и отрицания (табл. 1).
Каждую цифру в данной матрице следует рассматривать как некоторое
значение истинности. Цифра 1 обладает значением истинности «истина». Цифра 4
обладает значением истинность «ложь». Поэтому ее можно заменить на 0, то есть
таким цифровым символом, который, как правило, используется для обозначения
значения истинности «ложь» (табл. 2). Цифры 2 и 3 обладают некоторым
промежуточным значением истинности.
Таблица 1.
Глава 7
331
Таблица 2.
Рис. 2.
Логическим значениям цифровых символов 1, 2, 3, 0 (4) можно сопоставить
модальные выражения «необходимо истинно» (1), «случайно (похоже) истинно» (2),
«случайно (похоже) ложно» (3) и «необходимо ложно» (0 или 4). Такая оценка событий
может быть схематично представлена следующим образом (рис. 2).
Семантику возможных миров можно представить на примере семантики с
двумя «мирами» - существующий мир X и возможный мир У. Каждому
высказыванию припишем одно из логических значений: 1 (и), 2 («и), 3(~л), 0(л).
Тогда получим:
(a) истинно в X и в У {необходимо истинно);
(b) истинно в X и ложно в У (случайно, но не необходимо истинно);
(c) ложно в X и истинно в У (случайно, но не необходимо ложно);
(d) ложно в X и в У (необходимо ложно).
Это можно представить в виде таблиц истинности для отрицания,
конъюнкции и операторов d и о (табл. 3, 4, 5).
Следует отметить, что операторы отрицания и конъюнкции,
представленные таблицами 4 и 5, производны от аналогичных операторов из бинарной
системы {0, 1}. Это проверяется с помощью двоичного кодирования
логических значений 1(и), 2(«и), 3(«л), 0(л), а именно:
1(и) = (1, 1);
2(~и) = (1, 0);
3(«л) = (0, 1);
0(л) = (0, 0).
Предположим, что у нас есть некоторый формализованный язык L. Обычно
допускается определенный универсум (или, если угодно, логическая вселенная),
332
К.К. Жоль Логика
Таблица 3.
который является совокупностью всех возможных моделей L (или всех
возможных миров, о которых можно говорить в L). Для этого языка подходят только
такие знаки {имена), которые имеют ту же самую интерпретацию во всех
возможных мирах, какую они имеют в актуальном {нашем) мире. Другие знаки и
их комбинации, интерпретация которых в разных мирах может отличаться от
интерпретации, имеющей место в актуальном мире, не являются знаками нашего
языка L.
Структура возможных миров семантически характеризует различные
модальные системы в зависимости от свойств отношения доступности R,
являющимся отношением эквивалентности {эквиваленции). Отношение доступности
связывает различные возможные миры между собой и указывает последовательность
различных моментов времени, в которые рассматривается изменяющийся во
времени мир (каждое состояние этого мира - одно из возможных). Здесь мы
сталкиваемся с временной {темпоральной) логикой. В связи с этим полезно
рассмотреть некоторые временные операторы, к числу которых, например, относятся:
(1) G: всегда (в будущем). Так, G А истинно, если А останется истинным
навсегда.
(2) Н: всегда (в прошлом). Так, НА истинно, если А всегда было истинным.
(3) F: иногда (в будущем). Так, FA истинно, если А иногда будет истинным.
(4) Р: иногда (в прошлом). Так, РА истинно, если А иногда оказывалось
истинным.
(5) U: до тех пор, пока. Так, U{A, В) истинно, если А истинно (начиная
с текущего момента) до тех пор, пока В не'станет истинным в
некоторый момент в будущем.
Надо принимать во внимание тот факт, что некоторые временные логики
учитывают только будущее. В этом случае часто употребляются обозначения
а и о для операторов G и F.
Семантический анализ модального выражения зависит от параметров,
неявно вносимых этими операторами. Например, формула □ р эквивалентна
334
К. К. Жолъ Логика
формуле V t\ D p(i). Семантический анализ этой формулы должен осуществляться с
учетом неявно подразумеваемого параметра t в модальном операторе □.
Будем иметь в виду следующее: фундаментальным принципом семантики
является принцип выбора, принцип возможности селекции альтернатив, что в
наибольшей мере отражено в лейбницевской идеи возможных миров.
Семантическая информация. Что это такое? Рассмотрим ситуацию, в
которой прославленный во всех общепитовских трактирах профессор Кислых Щей
описывает некоторое состояние дел на кулинарном фронте поваренку Сыроеж-
кину. Допустим, это состояние дел описывается с помощью четырех пропозиций
Р\9 Р29 Pf Ра' Поваренку милостиво разрешено задать вопрос, действительно ли
каждое из четырех описываемых блюд (а, Ь, с, d) содержит в себе кислую капусту
или не содержит. По отношению к этому провокационному вопросу профессор
Кислых Щей обладает минимальными знаниями. Существует 16 состояний дел
(если наши четыре пропозиции рассматривать с помощью таблицы истинности
для дизъюнкции), каждое из которых может быть реальным (актуальным)
состоянием дел. Рассмотрим теперь эффект от сообщения поваренку Сыроежкину
одной из четырех пропозиций (например рх\ согласно которой блюдо а содержит
непревзойденную по своей кислости кислую капусту. Если поваренок признает это
сообщение истинным, он должен будет заложить данную информацию в свой мозг
в качестве фактуального знания. В сущности, он будет устранять из множества 16
возможных состояний дел 8 состояний дел (теперь в нашем распоряжении
остается только три гипотетических пропозиции, рассматриваемые с помощью таблицы
истинности для дизъюнкции), которые несовместимы с тем фактом, что блюдо а
содержит кислую капусту. Таким образом будут сокращены наполовину его
сомнения относительно реального состояния дел. Предположим, затем поваренок
узнает (пропозиция р2) от профессора, что и второе блюдо Ъ содержит кислей-
шую капусту. Попробовав блюдо на вкус, он убеждается в истинности
сообщенной ему информации. Следовательно, множество состояний дел из оставшихся
уменьшается еще в два раза (остается 4).
Примерно таковы идеи, которые Карнап и Бар-Хиллел развивали,
отталкиваясь от понятия «семантическая информация» 12.
Зарождение семантической теории информации в известном смысле было
обусловлено негативной реакцией на замечания Шеннона, неоднократно
подчеркивавшего, что значение сообщений не имеет никакого отношения к его
теории информации.
Напомню, что в 40-е гг. Шеннон опубликовал работу под названием
«Математическая теория связи», где изложил идеи, которые впоследствии легли в
основу новой отрасли науки - теории информации. Автором был предложен
оригинальный метод, позволяющий определять информацию в
математических терминах, точнее, измерять информацию, сводя ее к выбору между двумя
значениями: 1 и 0. Довольно быстро двухсимвольное представление информации было
принято за основу языка электронно-вычислительных машин. Начиная с 50-х гг.
практически во всех цифровых вычислительных машинах применялась уже двоичная
система.
Шенноновскую математическую теорию связи не случайно рассматривают
в качестве фундамента теории информации. Объясняется это тем, что теория,
12 См.: Carnap R., Bar-Hillel Y. (1952) An outline of a theory of semantic information //
Technical Report 247. - M.I.T. Research Laboratory of Electronics; Bar-Hillel Y. Language
and information. Selected essays on their theory and application. - Jerusalem: Jerusalem Acad.
Press, 1964. - X, 388 p.; Bar-Hillel Y. Aspects of language. Essays and lectures on philosophy
of language, linguistics and methodology of linguistics. - Amsterdam: North-Holland Publishing
Company, 1970. - 381 p.
Глава 7
335
возникшая в результате изучения электрической связи, не ограничивается сферой
физики. Благодаря абстрактной математической форме она имеет широкую
область применения. Однако не следует преувеличивать ее возможности. Полезно
иметь в виду, что не сбылись надежды тех, кто без всяких уточнений пытался
применять данную теорию, не заботясь о соответствии метода предмету
исследования.
И все же джинн был выпущен из бутылки, то есть между понятиями «информация»
и «знание» {знание как содержание сознания) был поставлен знак приблизительного
равенства. Поскольку интерес возник, то отделаться от него одним запретом было
невозможно, тем более что теоретические разработки английского физика Дж. К.
Максвелла (1831-1879), создателя классической электродинамики, затрагивали вопрос о
знании в форме взаимосвязанных понятий - «энергия» и «информация». Возникла
потребность установить, так ли это на самом деле. Первая попытка в данном ключе была
предпринята Карнапом и Бар-Хиллелом (1952), которым мы и обязаны появлением
термина «семантическая информация».
Логические исследования Карнапа и Бар-Хиллела опирались на
индуктивную теорию вероятностей. Это объясняется тем, что шенноновская теория
информации отталкивалась от частотной концепции вероятности. Отличие
теории информации Шеннона от логико-семантической теории информации
Карнапа и Бар-Хиллела заключается не только в различии между так называемой
логической вероятностью и так называемой частотной вероятностью.
Различие между двумя теориями намного глубже, чем принято думать.
Базисной идеей концепции семантической информации является то, что
семантическая информация эквивалентна устранению неопределенности.
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с факторами
неопределенности, но не всегда это приводит нас в трепет. Используя накопленный опыт, мы
либо устраняем эту неопределенность, либо как-то упорядочиваем наш выбор в
неопределенных ситуациях, если они доступны нашим знаниям.
В повседневной жизни людям легче справиться с неопределенностями, а вот
с логиками дела обстоят гораздо сложнее, ибо они стремятся представить в
логически ясном виде решаемые ими задачи, устранив или сведя к минимуму
неопределенность их условий и решений.
Карнап и Бар-Хиллел прежде всего определили некое состояние-описание (а
state-description) как полное множество пропозиций, описывающих некоторое
возможное состояние дел. Иными словами, состояние-описание дает полное
описание возможного состояния универсума индивидов относительно всех свойств
и отношений, выраженных соответствующими предикатами. По словам
Карнапа, состояния-описания представляют» собой возможные миры Лейбница или
возможные положения вещей Витгенштейна. Так как состояния-описания
представляют возможные миры, в каждом из которых истина остается одной и той
же, то это значит, что предложение (высказывание) считается логически
истинным, если оно выполняется во всех состояниях-описаниях. Затем они
определили семантическое содержание пропозиции, заключающееся в том, чтобы быть
множеством состояний-описаний, которые соответствующим образом должны
устраняться. Что это значит, ясно из следующего. Например, если нам говорят,
что некто либо женат, либо холост, ничего полезного для себя из этой
альтернативы мы не получаем. Неинформативным является и противоречие
(например: некто одновременно женат и холост), поскольку оно сбивает нас с толку.
Следовательно, два состояния-описания указанного типа толжны быть
устранены из наших рассуждений. Если класс состояний-описаний, исключаемый
пропозицией /?, включает в себя класс состояний-описаний, исключаемый
пропозицией <7, тогда р является более семантически информативным, чем q. Таким
образом, высказывание вида р & q более семантически информативно, чем
высказывание вида р V q, где v - символ строгой (разделительной) дизъюнкции.
336
К.К. Жолъ Логика
Карнап и Бар-Хиллел попытались дать определение количественной стороне
смысла, содержащегося в некотором предложении. При этом главная ставка
делалась на использование метода экстенсионала и интенсионала. Данный
метод был разработан Карнапом, который хотел критически распространить
семантическую концепцию Фреге на все языковые выражения, преодолевая при
этом то, что ему казалось ошибочным во фрегевской концепции. Разрабатывая
этот метод, Карнап осуществил определенную корректировку базисных понятий
фрегевской концепции. Вместо понятия «значение» (Bedeutung) он ввел понятие
«экстенсионал», а вместо понятия «смысл» (Sinn) - понятие «интенсионал».
Данным понятием в аристотелевской логике соответствуют понятия «объем».и
«содержание». Карнап близок к этой традиции. В своей работе «Значение и
необходимость» он пишет, что понятия экстенсионала и интенсионала аналогичны
обычным понятиям класса и свойства, но применяются более общим способом,
соответствующим современной символической логике.
Предлагаемая концепция была обусловлена попытками построить такие
абстрактные объекты, которые могли бы соответствовать смыслу и значению, но не
выглядели бы посторонними языку сущностями. Иначе говоря, нам предлагалось
построить в уме воображаемые идеальные объекты, которые можно было бы
характеризовать как экстенсионал (значение) или как интенсионал (смысл)
соответствующего языкового выражения.
Близкие по духу идеи представлены в работах финских логиков во главе с
Я. Хинтиккой, которые в своих исследованиях семантической информации
отталкиваются от идеи возможных миров Лейбница. С их точки зрения семантическо-
информационное содержание высказывания тем богаче, чем большее количество
альтернатив или возможных миров данное высказывание не допускает или
исключает, то есть семантическо-информационное содержание высказывания
определяется не тем, что содержит данное высказывание, но тем, что оно исключает.
И все же усилия сторонников концепции семантической информации не
намного продвинули вперед теоретические разработки логиков, если не считать
стимуляцию исследований по модальной логике, включая вопросно-ответную
логику. Некоторые скептики считают, что теорию семантической информации
нельзя построить в принципе.
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. «Семиотический треугольник» (синтаксис, семантика, прагматика) имеет
общее методологическое значение для символической логики, связывая ее
посредством проблематики методологии научного познания с гносеологией
(эпистемологией). Если этого не учитывать, то мы рискуем либо слишком сузить сферу
логической семантики, либо размыть границы между семантикой и прагматикой.
2. Важным методологическим дополнением, существенно уточняющим
сложную взаимосвязь синтаксиса, семантики и прагматики, является разграничение
языка исследователя (метаязыка) и предметного языка (языка-объекта).
3. Язык исследователя (метаязык) - это язык, содержащий термины для
идентификации и указания на элементы предметного языка (языка-объекта), а
также содержащий определенное количество семантических и технических
терминов, которые могут быть использованы для семантической оценки и описания
отношений между этими элементами. Метаязык богаче языка-объекта.
4. Для логики дистинкция «метаязык / язык-объект» важна тем, что позволяет
с помощью метаязыка строить некоторый формализованный язык как язык-объект.
5. Формализация логической системы имеет целью дать явное определение
понятия доказательства в данной системе.
6. Построение формализованного языка состоит из двух этапов -
синтаксического и семантического. Синтаксический этап - это построение неинтерпрети-
рованного формализованного языка. Семантический этап - это этап
интерпретации формализованного языка.
Глава 7
337
7. Логическая семантика занимается связыванием логических символов с
некоторыми логически сконструированными предметами (объектами), выступающими в
роли значения.
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Что такое «семантический треугольник»? Кто его авторы?
2. Что такое «семиотический треугольник»? Кто его авторы?
3. В чем заключается специфика языка исследователя (метаязыка) и
предметного языка (языка-объекта) с семантической точки зрения?
4. Для чего требуется формализация логических систем?
5. В каком случае формализация соответствующей логической системы
считается правильной?
6. В чем заключается основная роль логической семантики?
7. Что относится к семантике формализованного языка?
8. Что в логике понимается под «возможными мирами»?
9. Кто и с какой целью ввел в научный оборот понятие «семантическая
информация»?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Бенвенист Э. Общая лингвистика: Пер. с фр. - М.: Прогресс, 1974. - 448 с.
Войшвилло Е. К. Семантическая информация. Понятие экстенсиональной и
интенсиональной информации // В кн.: Кибернетика и современное научное
познание. - М.: Наука, 1976. - С. 165-179.
Жоль К. К. Мысль, слово, метафора. Проблемы семантики в философском
освещении. - Киев: Наукова думка, 1984. - 304 с.
Жоль К. К. Язык как практическое сознание. (Философский анализ). - Киев:
Выща школа, 1990. - 238 с.
Жоль К. К. Логика в лицах и символах. - М.: Педагогика-Пресс, 1993. - 256 с.
Карнап Р. Значение и необходимость. Исследования по семантике и
модальной логике: Пер.с англ. - М.: Изд-во Иностранная литература, 1959. - 382 с.
Лайонз Дж. Введение в теоретическую лингвистику: Пер. с англ. - М.:
Прогресс, 1978. - 543 с.
Мулуд Н. Анализ и смысл: Пер. с фр. - М.: Прогресс, 1979. - 348 с.
Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. X: Лингвистическая семантика: Пер. с
англ. - М.: Прогресс, 1981. - 568 с.
Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XIII: Логика и лингвистика.
(Проблемы референции): Пер. с англ. - М.: Радуга, 1982. - 432 с.
Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XVI: Лингвистическая прагматика:
Пер. с разных яз. - М.: Прогресс, 1985. - 500 с.
Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XXIII: Когнитивные аспекты языка:
Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1988. - 320 с.
Павилёнис Р. И. Проблема смысла. - М.: Мысль, 1983. - 288 с.
Петров В. В. Проблема указания в языке науки. - Новосибирск: Наука, 1977. -
128 с.
Петров В. В. Структуры значения. - Новосибирск: Наука, 1979. - 142 с.
Петров В. В. Семантика научных терминов. - Новосибирск: Наука, 1982. - 128 с.
Семантика модальных и интенсиональных логик. - М.: Прогресс, 1981. - 424 с.
Семиотика / Общ. ред., составление и вступ. ст. Ю. С. Степанова. Пер. с
разных яз. - М.: Радуга, 1983. - 636 с.
338
К. К. Жоль Логика
Смирнова Е. Д. Логическая семантика и философские основания логики. - М.:
Изд-во МГУ, 1986. - 161 с.
Смирнова Е. Д. Основы логической семантики. - М.: Высшая школа, 1990. -
144 с.
Соссюр Ф. де. Труды по языкознанию: Пер. с фр. - М: Прогресс, 1977. - 696 с.
Тондл Л. Проблемы семантики: Пер. с чеш. - М.: Прогресс, 1975. - 484 с.
Философия, логика, язык: Пер. с англ. и нем. - М.: Прогресс, 1987. - 336 с.
Фреге Г. Избранные работы: Пер. с нем. - М.: Дом интеллектуальной книги,
Русское феноменологическое общество, 1997. - 160 с.
Целищев В. В. Философские проблемы семантики возможных миров. -
Новосибирск: Наука, 1977. - 192 с.
Чейф У. Л. Значение и структура языка: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1975. -
432 с.
Шенк Р. К. Обработка концептуальной информации: Пер. с англ. - М:
Энергия, 1980. - 361 с.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ЛОГИКА И КИБЕРНЕТИКА
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ЛОГИКА И КИБЕРНЕТИКА
Вводные замечания. - Современная кибернетика и теория информации. -
Проблемы «искусственного интеллекта» в кибернетике. - Логический
подход к «искусственному интеллекту». - «Экспертные системы». -
Ассемблирование и компиляция в компьютерных программах. - Представление знаний
в системах «искусственного интеллекта». - Логический вывод в
«экспертных системах». - Метод резолюций и автоматическое доказательство
теорем. - Заключение. - Контрольные упражнения. - Рекомендуемая
литература.
Вводные замечания. 26 ноября 1894 г. в Колумбии (США) родился Норберт
Винер, названный впоследствии отцом кибернетики. Его родители, польские
евреи, были подданными Российской империи. Перебравшись в США, отец
Норберта стал профессором славянских языков и литературы Гарвардского
университета.
Окончив начальную школу в 1906 г., Норберт поступает в Тафтс-колледж,
где через три года получает звание бакалавра. Затем на протяжении
нескольких лет он слушает лекции в Гарвардском и Корнуэльском университетах. В
возрасте 18 лет Винер защищает в Гарвардском университете докторскую
диссертацию по философии математики. А вскоре в качестве стипендиата этого
же университета едет в Англию и Германию.
В Кембридже его главным учителем и наставником становится Бертран
Рассел. Под его руководством юноша изучает математическую логику и осваивает
новые идеи философии науки. Расселу удалось убедить своего ученика в том,
что нельзя заниматься философией математики, не овладев глубоко самой
математикой.
Весной 1914 г. Винер отправляется в Германию в Геттинген, где его
учителями становятся Давид Гильберт и Эдмунд Ландау (1877-1938). Летом того же
года Винер вернулся в Соединенные Штаты. В Европе уже тянуло гарью 1-й
мировой войны.
Во время 2-й мировой войны Винер участвует в разработке и применении
электронно-вычислительной техники для баллистических расчетов, связанных с
задачами управления артиллерийским огнем. Занимаясь решением этих задач,
он постепенно приходит к идеям, изложенным позднее в книге «Кибернетика».
Умер Норберт Винер 19 марта 1964 г.
Упорно трудясь над рукописью книги, посвященной вопросам управления и
связи в животном мире и в мире машин, Винер был озадачен проблемой
названия для будущей книги. Вначале ему пришла в голову мысль использовать
слово «ангел» ' для обозначения идеи «передающий сообщение», так как ангел - это
посланник Бога. Однако данное слово уже было записано за церковью. Тогда он
стал искать нужное слово среди терминов, связанных с областью управления и
регулирования. Вскоре было найдено греческое слово «kybernetes»,
обозначающее рулевой, штурман, кормчий.
В слове «кибернетика» Винера привлекало то, что оно больше всех
подходило для выражения идеи всеобъемлющего искусства регулирования и управления,
применяемого в самых разнообразных областях. Широкое распространение это
1 Гр. angelos, лат. angélus - вестник.
Глава 8
341
слово в качестве научного термина получило в 1948 г., после выхода в свет
книги Винера «Кибернетика» с характерным подзаголовком «Управление и связь
в животном и машине».
Один из первых теоретиков кибернетики У. Р. Эшби однажды совершенно
точно заметил, что кибернетика относится примерно так же к реальным
машинам, как геометрия - к физическим объектам. По его словам, современная
геометрия не ограничивается представлениями о трехмерных земных делах и их
отражением в двумерном пространстве чертежей. Она свободно рассматривает
многообразие форм и пространств. Это многообразие далеко превосходит
возможности нашего наглядного мышления. Аналогичное можно сказать и о
кибернетике. Ее предметом является область всех возможных машин, а не только
тех, которые доступны современной промышленности. Поэтому кибернетики
не боятся критиков, указывающих на то, что некоторые из кибернетических
идей сегодня не имеют реального физического смысла. Парируя такого рода
критику, кибернетики ссылаются на теорию информации, которая
характеризуется тем, что всегда имеет дело с некоторым множеством возможностей.
Что же такое кибернетика?
Если судить по книге Винера, то кибернетика включает в себя следующие
теории: теорию информации, отрицательной обратной связи, автоматов,
сложных машин и еще ряд других теорий. Позднее ученые скажут, что Винер
первым понял необходимость выделить и тщательно изучить задачи, являющиеся
общими для проблем управления и связи, которые живо интересуют физиков,
электротехников, математиков, философов, психологов, биологов и т. д. По
мнению Винера, все эти задачи имеют общие свойства, изучаемые кибернетикой.
Поэтому о кибернетике можно говорить как о междисциплинарной науке,
цементирующим началом которой является математика и математическая логика.
Кибернетиков логика заинтересовала в первую очередь в связи с так
называемыми конечными автоматами, являющимися в известном смысле
продуктами развития логико-математических систем.
342
К.К. Жоль Логика
Затрагивая вопрос о конечных автоматах, мы возвращаемся к уже
известной нам теории релейных устройств, которую еще называют теорией
дискретных автоматов. Создание подобной теории во многом обусловлено поиском
различных возможностей переработки информации в кибернетических
системах, а также анализом и синтезом сложных релейных схем и
конструированием цифровых электронно-вычислительных машин.
Одной из главных задач кибернетики является имитация деятельности
человеческого интеллекта. Именно в этой сфере логики могут и вносят
существенный вклад в развитие идей и методов кибернетики.
В предлагаемой главе читатель ознакомится с целями и задачами
современной кибернетики, с проблематикой «искусственного интеллекта» и с
возможностями логического подхода к данной проблематике.
Современная кибернетика и теория информации. Итак, кибернетика
занимается изучением различных систем управления и связи с целью обобщенного их
представления в логико-математическом виде. Понятие «связь» в данном
случае указывает прежде всего на математическую теорию связи. Не случайно,
что иногда кибернетику называют информатикой, информационной наукой,
информационной технологией. Поэтому свое знакомство с кибернетикой и ее
проблемами мы начнем с теории информации.
Теория информации, являясь преимущественно математической теорией,
которая базируется на математической теории связи К. Шеннона, не сводится
полностью к какой-либо конкретно-научной теории типа физической или
логико-лингвистической, хотя и может быть интерпретирована в их терминах.
Современная теория связи, лежащая в основе теории информации, выходит
далеко за рамки проблем техники связи. Поиски ее исторических предпосылок
приводят нас к термодинамике и статистической механике, где используется
величина, называемая энтропией 2. Первым понятие «энтропия» ввел немецкий
физик Р. Ю. Клаузиус (1822-1888), один из основателей термодинамики и молеку-
лярно-кинетической теории теплоты. Он утверждал, что добавил частицу «en» к
слову «trope», чтобы это слово звучало аналогично «энергии». Но греческое слово
«evîpOTcri» имеет вполне самостоятельное значение - «повернуть голову в сторону».
«Энтропия» в теории связи и «энтропия» в статистической механике -
разные по содержанию понятия, сопоставимые лишь посредством математической
аналогии. Так, энтропия в термодинамике - это показатель обратимости
физических процессов, примером чему служит газ, помещенный в
теплоизолирующий цилиндр с поршнем (толкая поршень, газ расширяется и охлаждается, а
при движении в обратном направлении газ сжимается и нагревается). В таком
обратимом процессе энтропия газа остается постоянной, тогда как энергия
изменяется. Следовательно, если энтропия неизменна, то процесс обратимый. Если
физические явления необратимы, происходит возрастание энтропии.
Проблема обратимости-необратимости в классической механике и
термодинамике интересно решается с помощью так называемой марковской цепи.
В 1907 г. физики П. и Т. Эренфесты создали модель, разъясняющую
проблему обратимости-необратимости с помощью цепей Маркова.
В 1906-1908 гг. академик Российской Академии наук Андрей Андреевич
Марков (1856-1922), автор известных трудов по теории вероятностей,
опубликовал серию статей, в которых использовалось понятие «цепь» для
статистического анализа (скажем, для статистического анализа распределения букв в
знаменитой поэме А. С. Пушкина «Евгений Онегин»). Позднее выражение «цепь
Маркова» было введено в научный оборот по инициативе А. Я. Хинчина. С
тех пор «цепь Маркова» является важнейшим математическим понятием.
2 Гр. en - в, внутрь + trope - поворот, превращение.
Глава 8
343
~^J A.A. Марков
В цепях Маркова рассматриваются системы, которые могут с теми или иными
вероятностями переходить из одного состояния в другое.
В наши дни цепи Маркова играют большую роль в естественных,
технических и гуманитарных науках. Велика их роль и в строгом научном понимании
информационных процессов, которые будут рассмотрены ниже.
Физический смысл энтропии состоит в том, что ее увеличение означает
уменьшение упорядоченности и возрастание непредсказуемости (с точки зрения
статистической механики) положений и скоростей молекул. Чем детальнее наши
знания о состоянии физической системы, тем меньше неопределенность и энтропия.
И наоборот, чем больше неопределенность, тем больше энтропия.
Что же в таком случае представляет собой энтропия с точки зрения теории
информации?
Теория информации утверждает, что количество информации, которое
несет в себе сообщение, возрастает при увеличении количества неопределенности
относительно того, какое сообщение из всех возможных будет выбрано.
Соответственно, энтропия в математической теории связи есть мера этой
неопределенности, то есть данная неопределенность (энтропия) берется в качестве меры
количества информации, которое несет в себе то или иное сообщение. Чем больше
известно о том, какое сообщение будет получено, тем меньше неопределенность,
тем меньше энтропия и тем меньше количество информации.
Помимо понятия энтропии в теории информации исключительно важное
место занимает понятие «бит» 3. Соответственно, это понятие играет
исключительно важную роль в кибернетике. Бит считается минимальной единицей
информации в компьютере. Бит может быть либо «включен» (при этом его
значение равно единице), либо «выключен» (тогда его знаСчение равно нулю).
Группа из девяти битов представляет собой байт, восемь бит которого содержат
данные и один бит содержит контроль на четность. Под контролем на четность
понимается то, что количество включенных в байт битов всегда должно быть нечетно.
Если количество включенных битов четное, компьютер выдает сообщение об ошибке.
3 Bit - сокращение от англ. binary digit - двоичный разряд.
344
К.К. Жоль Логика
Восемь бит обеспечивают основу для двоичной арифметики и для представления
различных символов (допустим, таких, как буква А). К тому же эти восемь бит
дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний в работе
компьютера - от «все выключены» (00000000) до «все включены» (11111111).
Например, сочетание включенных и выключенных битов для представления буквы А
выглядит как 01000001.
Число 210 равно 1024, что составляет один килобайт и обозначается большой
буквой К. Например, компьютер с памятью в 512 Кбайт содержит 512 х 1024, то
есть 524288 байт.
Таким образом, бит - это единица измерения количества информации. Чтобы
понять взаимосвязь этих понятий («информация» и «бит»), необходимо
представлять суть кодирования с точки зрения математической теории связи. В этой
теории под кодированием понимается отображение одного сигнала другим
(например: радиоволны могут отображать звуки голоса). Кодирование сообщений -
постоянный атрибут любого способа связи. Код представляет собой комплекс
правил сравнения символов одного алфавита с символами другого алфавита.
При выборе кодов ставка делается на наиболее экономичный для данной
передачи сообщений код, поскольку экономичный код требует минимального числа
символов и, что самое главное, минимального времени на передачу сообщения.
Правильное и унифицированное кодирование имеет большое значение для
человеческого общества, особенно в плане экономии времени и энергоресурсов.
В любом источнике сообщений постоянно осуществляется выбор. Если бы
этого не происходило, то сообщения были бы полностью предсказуемы и
никаких теорий информации нам не понадобилось бы. Но в реальной жизни все
выглядит иначе и сложнее. Так как при создании сообщений осуществляется
выбор, это отражается и на деятельности адресата, который также
сталкивается с выбором, ибо вынужден исследовать сообщение, идентифицируя
получаемые знаки.
Теория информации является обобщенным выражением того, что
происходит при передаче тех или иных сообщений по различным каналам связи
(телеграф, радио, телевидение и т. д.). Эта теория помогает разрабатывать методы
и средства для измерения потока информации, емкости и других
характеристик каналов связи.
Простейшая схема предметной области, изучаемой с помощью теории
информации, представлена на рис. 1.
Источником информации могут быть объекты природы, человек, компьютер
и т. д. Сообщения - это данные, в которых заключена информация источника.
Канал связи - это система связи между источником и получателем. Поскольку
реальная работа канала связи несовершенна, постольку данные на выходе могут
значительно отличаться от данных на входе. Об этом явлении говорят как о
Получатель
информации
Рис. 1.
Глава 8
345
шумах в канале связи. Кодирование, являясь преобразованием информации перед
ее поступлением в канал связи, служит эффективным средством для борьбы с
шумами, а также для уменьшения стоимости передачи. Декодирование - это
обработка информации с целью перевода ее в форму, приемлемую для получателя.
Что такое приемлемая для получателя информация?
Обратимся к понятию избыточной информации. Согласно теории
информации, степень влияния ограничивающих условий внешней среды на
сообщаемую информацию характеризуется величиной, называемой избыточностью.
Избыточность выражается следующей формулой:
Я
где H - количество действительной информации, а Нтах - максимальное
количество информации, которое можно передать, если бы все символы были
равновероятными.
Избыточность - это разница между числом знаков в сообщении и их
минимальным числом, необходимым для передачи того же количества информации.
Понятность (приемлемость информации для получателя) сообщения во многом
зависит от его избыточности. Для наиболее банального сообщения
избыточность имеет максимальную величину и нулевую - для самого оригинального.
С точки зрения теории информации нулевая избыточность чревата
абсолютным непониманием информации ее получателем. Отправителем такой
«ультраоригинальной» информации вполне может оказаться обезьяна, печатающая
«послание» на пишущей машинке.
Все реальные сообщения, которыми обмениваются люди, расположены в
том или ином промежутке между двумя полярными точками - абсолютной
банальностью и абсолютной оригинальностью. Любое сообщение в этом
промежутке до какой-то степени оригинально и предсказуемо, то есть понятно и
информативно в одно и то же время. Оно может нечто сообщать получателю в
той мере, в какой оно подчиняется определенным правилам, позволяющим
получателю с той или иной вероятностью предугадывать его грамматическую,
логическую и смысловую структуру.
Проблема избыточности сообщения тесно связана с вопросом о передаче
сообщения без помех. Вследствие помех количество информации в
передаваемом сообщении всегда уменьшается, то есть количество принятой информации
может быть лишь в идеальном случае таким же, как и количество переданной
информации. Это возможно только в канале связи без шума, вызывающего
искажения сообщений и рост их неопределенности. Поэтому при передаче
сообщения по каналу связи необходимо знать, насколько сигнал превышает шум,
так как при действии помех стираются некоторые различия между сигналами,
в результате чего последние становятся неразличимыми.
Одним из способов преодоления помех в канале связи является использование
информационно избыточных сообщений. Например, избыточность в естественном
языке обеспечивает помехоустойчивость речи.
Из неизбыточного сообщения нельзя изъять ни одного знака без вреда для
сообщения. Если же мы имеем дело с избыточным сообщением и желаем
установить степень его избыточности, то должны начать убирать знаки и продолжать
это делать до тех пор, пока сообщение не лишится своей понятности.
Таким образом, выявление избыточности того или иного текста
осуществляется посредством своеобразной ампутации фрагментов данного текста. Здесь
имеется в виду устранение каких-то частей текста с целью установления предела
его понимаемости и меры избыточности.
Нетрудно заметить, что проблема избыточности имеет прямое отношение к
проблеме хранения и воспроизведения информации или, говоря иначе, к проблеме
346
К. К Жоль Логика
памяти. Любой вид памяти производит сжатие информационного содержания
зафиксированных сообщений, снижая их избыточность и сохраняя только самое
существенное. Некоторые ученые предлагают рассматривать память (в широком
смысле слова) как систему обусловленных вероятностей. Это значит, что чем теснее
связь запомнившегося информационного содержания, тем больше упорядоченность
в памяти и тем меньше ее избыточность.
Память является важнейшей частью любого компьютера. В памяти
машины записываются команды и данные. Последовательность команд образует то,
что называется программой. Поскольку внешне команды и данные
неотличимы друг от друга («с точки зрения» машины каждая команда, как и данные,
является числом), постольку перед машиной стоит задача следить за тем, где
записаны команды, а где - данные. Решение этой задачи осуществляется с
помощью счетчика команд. В счетчике содержится адрес команды.
Закодированные в виде чисел команды электронно-вычислительной
машины образуют ее машинные коды. В принципе программы для машин можно
составлять прямо в машинных кодах, но это слишком трудоемко и
чрезвычайно сложно для программиста. Во избежание этих трудностей были изобретены
машинные языки, где выражения естественного языка представлены машинным
кодом с помощью особой программы, записанной в памяти машины.
Наиболее распространенные языки программирования содержат многие слова
естественного языка. Например, в языке АЛГОЛ используются слова: «начать»,
«конец», «для», «если», «то», «иначе» и др. Некоторые из этих слов включены
также в машинные языки ФОРТРАН и БЕЙСИК. Языки программирования,
содержащие такие слова, существенно облегчают задачи программирования.
В данном случае мы имеем дело с некоторыми результатами развития идей
А. М. Тьюринга. Его теория «универсальной машины» имеет большое
значение для выяснения таких важных вопросов, как существование алгоритмов
решения соответствующего класса задач, включая задачи по программному
обеспечению компьютеров, и определение тех функций, которые могут или не
могут выполняться автоматически.
Проблемы «искусственного интеллекта» в кибернетике. К концу 50-х гг.
сформировалась новая самостоятельная ветвь научно-технического поиска,
получившая название «искусственный интеллект» (ИИ).
Термин «искусственный интеллект» (artificial intelligence) сейчас
общепринят, хотя некоторые исследователи в данной области кибернетики относятся к
нему скептически, учитывая, что не сбылись утопические прожекты
относительно машинного моделирования человеческого разума. Предлагалось даже
заменить этот термин термином «когнология» 4. Но тем не менее термин
«искусственный интеллект» не только прижился в области научных исследований,
а и закрепился в качестве названия для учебных программ во многих высших
учебных заведениях мира. Например, в университетах США действует более
100 учебных программ в области вычислительных наук, каждая из которых
включает курс под названием «искусственный интеллект».
Наиболее вдумчивые исследователи, работающие в области ИИ, довольно
рано обнаружили, что проблематика по ИИ вплотную касается философии,
психологии, лингвистики и, конечно же, логики. Они соглашались с тем, что
самой трудной проблемой, стоящей перед ними и современной наукой вообще,
является познание процессов функционирования человеческого интеллекта, а
не просто техническая имитация его работы. Однако нашлись ученые с
инженерным складом ума, которые, мало заботясь о выяснении механизма
мышления, самонадеянно полагали, что для их работы по ИИ нет особой пользы от
От англ. cognition - познание.
Станок Жаккара
ш m
348
K.K. Жоль Логика
философских споров. Но время все расставило по своим местам. Столкнувшись с
серьезными трудностями, технократы от кибернетики поубавили свой пыл, а
некоторые из них даже впали в пессимизм и переключились на решение более
скромных задач.
Первые попытки построить машины, способные к сравнительно разумным
действиям, были в значительной мере вдохновлены Норбертом Винером. Под
влияние его воодушевляющих идей попал и нейрофизиолог Уоррен Мак-Кал-
лок. В соавторстве с блестящим математиком Уолтером Питтсом он
разработал теорию деятельности головного мозга, на основе которой сформировалось
мнение, разделяемое многими учеными, что функции компьютеров и мозга в
значительной мере сходны. Эта аналогия базировалась на гипотезе, согласно
которой нейроны можно упрощенно рассматривать как устройства,
оперирующие двоичным кодом. Американские ученые предложили конструкцию сети из
электронных нейронов и показали, что подобная сеть может выполнять
числовые и даже логические операции. Затем было выдвинуто предположение, что
данная сеть в состоянии обучаться и обобщать, то есть осуществлять
интеллектуальные действия.
По пути, намеченному Мак-Каллоком и Питтсом, уверенно зашагал Фрэнк
Розенблат, чья докторская диссертация была посвящена проблемам
экспериментальной психологии. В середине 1958 г. он продемонстрировал
компьютерную модель электронного устройства, названного им перцептроном. Эта
модель должна была имитировать процессы человеческого восприятия.
Считается, что перцептрон Розенблата оказался наивысшим достижением
нейромодельного метода создания ИИ.
Вдохновленный идеями Мак-Каллока, но не разделяя взгляды его
последователя и своего однокашника, будущий профессор Массачусетсского
технологического института Марвин Минский в соавторстве с южноафриканским
математиком Сеймуром Пейпертом написал книгу «Перцептроны», в которой
доказывалось, что перцептроны, подобные розенблатовским, принципиально не могут
выполнять многие из приписываемых им функций. Правда, позднее Минский,
испытавший на собственном опыте вся тяготы исследований в области ИИ,
публично выразил сожаление относительно своей критики в адрес Розенблата. Он
даже заявил, что для реального прорыва вперед в создании «разумных машин»
потребуется устройство, во многом похожее на перцептрон.
Каков реальный смысл идеи перцептрона?
Речь идет о распознавании зрительных образов, то есть с помощью
компьютера ученые пытаются воспроизвести сложные процессы зрительного восприятия
(перцепции).
Сегодня системы машинного зрения используются в различных областях
человеческой деятельности. Например, с их помощью осуществляется технический
контроль и сортировка деталей на конвейерном производстве. Это не может не
радовать ученых и предпринимателей, но вместе с тем нельзя закрывать глаза
на то, что большинство из этих машин работают лишь в строго определенных
условиях. Такая ограниченность снижает эффективность затрат. Судите сами,
машина, запрограммированная для распознавания объекта в некотором
определенном ракурсе, не срабатывает, когда ракурс меняется или меняется освещение.
Если машина будет гоняться за тенью от объекта, а не за самим объектом, то
плакали наши денежки.
Логический подход к «искусственному интеллекту». Некоторые ученые,
раздосадованные неудачами своих коллег, пытаются, не отказываясь от
проблематики по ИИ, сфокусировать внимание на тех вопросах, которые они называют
обработкой сложной информации. Так, в частности, поступили два известных
американских ученых - Аллен Ньюэлл и Герберт А. Саймон. Они изрядно
сомневались в том, что развитие исследований в области ИИ должно идти по
Глава 8
349
пути имитации нейронов мозга средствами электроники. Основную ставку они
делали на программное обеспечение компьютеров, утверждая, что программы легче
изменять, чем тратить деньги на дорогостоящие, но малоэффективные технические
устройства, грубо копирующие человека.
В январе 1956 г. профессор Школы промышленной администрации
Технологического института Карнеги Саймон радостно заявил своим слушателям,
что им совместно с Ньюэллом и Дж. К. Шоу изобретена мыслящая машина.
Конечно, речь шла не о машине, а о программе для компьютера под
названием «ЛОГИК-ТЕОРЕТИК». Эта программа могла доказывать теоремы
символической логики.
За тринадцать лет до этого в Чикагском университете Саймоном была
получена степень доктора политических наук. В основу диссертации он положил
свои исследования методов принятия решений. Впоследствии эти исследования
позволили ему построить теорию ограниченного рационализма, доказывающую,
что при решении проблем управления промышленностью иррациональные
мотивы играют не меньшую роль, чем рациональные. Эта оригинальная теория
принесла Саймону Нобелевскую премию по экономике за 1978 г.
Возможности компьютеров для анализа проблем принятия решений
Саймон открыл для себя в 1952 г. Своим энтузиазмом он заразил Ньюэлла и Шоу,
работавших в «Рэнд корпорейшн», куда Саймон был приглашен, чтобы
оказать помощь в разработке программы-тренажера для компьютерной системы
противовоздушной обороны (ПВО). Через несколько лет сдружившиеся ученые
задались целью создать программу, которая моделировала бы человеческие
рассуждения. Центральной фигурой в группе Саймона стал Шоу, проявивший
блестящий талант программиста.
Первоначально отважная тройка первопроходцев намеревалась составить
программу для игры в шахматы, но потом ученые переключились на вопросы
геометрии. Однако геометрические задачи оказались тоже слишком сложными
для программирования, и тогда все внимание было обращено на
символическую логику.
Результатом логических изысканий и стала программа
«ЛОГИК-ТЕОРЕТИК». Ее авторам казалось, что потенциальные возможности компьютера в
350
К.К. Жоль Логика
плане манипуляции логическими символами безграничны. Они поспешили заявить о
способности компьютера, вооруженного программой «ЛОГИК-ТЕОРЕТИК»,
заниматься решением сложных проблем, используя эмпирические правила и общие стратегии
так, как это делал бы склонный ошибаться человек. При этом свое кредо они
сформулировали следующим образом: «Нас не интересуют методы, которые гарантируют
получение решения за счет гигантских вычислений. Мы хотели бы понять, каким
образом, например, математик может доказывать теорему, не зная заранее, как он
это сделает и сделает ли вообще».
«Экспертные системы». Замысел на то время был явно претенциозным и
неосуществимым. Возникшие вскоре трудности и проблемы уводили далеко в
сторону от намеченного маршрута. В этот период часть исследователей
сосредоточилась на программах, получивших название «экспертных систем» (ЭС).
Данные программы сохраняли известную связь с
«ЛОГИКОМ-ТЕОРЕТИКОМ», но решали более узкий круг вопросов.
Своеобразной точкой отсчета по созданию ЭС специалисты считают 1965 г.,
когда ученые из американского Стэнфордского научно-исследовательского
института Эдвард Фейгенбаум и Брюс Бучанан вместе с нобелевским лауреатом
Джошуа Ледербергом приступили к созданию компьютерной системы,
предназначенной для определения молекулярной структуры химических соединений. При
построении этой системы они создали программу, основанную на
аристотелевской логике. В программе формулировалась серия вопросов типа если —> то,
которые описывали правила атомных связей в молекулах.
Надо заметить, что Фейгенбаум заинтересовался проблематикой ИИ в
середине 50-х гг., будучи студентом электротехнического факультета
Технологического института Карнеги. Интерес этот был пробужден Саймоном, который
читал студентам выпускной курс по математическому моделированию и в один из
январских дней сообщил своим слушателям о создании
«ЛОГИКА-ТЕОРЕТИКА». Позднее Фейгенбаум рассказывал, что в исследованиях по ИИ его прежде
всего заинтересовало, как, имея набор исходных данных, построить гипотезу,
которая объясняла бы эти данные.
Там, где царит эмпирия, действует индуктивный метод сбора и обработки
фактического материала. Этот метод непригоден для машинного «мышления»,
ибо даже самая «умная» машина не в состоянии делать «алогичный скачок» от
суммы фактов к их обобщенному представлению. Машина обрабатывает
сообщаемые ей многочисленные факты по заранее установленным правилам
дедуктивного характера. Аналогичным образом решаются задачи с помощью ЭС.
С чего начинались разработки ЭС?
В создании ЭС Фейгенбаум шел по пути изучения эмпирических знаний
ученых-естествоиспытателей. В данном случае ими были химики. Свою роль в
выборе химии сыграл Ледерберг, работавший над программой, призванной помочь
химикам в определении молекулярной структуры плохо изученных органических
соединений. Данная программа обладала одним существенным недостатком: она
предсказывала значительно больше разнообразных моделей, чем может
существовать в природе. Ледерберг понял, что изобилие предлагаемых программой
возможных химических моделей следует ограничивать, используя для этого
эмпирические знания химиков. Тогда-то он и привлек к работе Фейгенбаума. Их
сотрудничество завершилось созданием ЭС под названием ДЕНДРАЛ.
Назначение компьютерных ЭС типа ДЕНДРАЛ состоит в том, чтобы
аккумулировать профессиональные знания и использовать их для экспертных оценок и
рекомендаций. Такого рода ЭС должны не только оценивать ситуацию и
предлагать варианты решений, но и давать в случае необходимости обоснования
предлагаемых решений. Что касается ДЕНДРАЛА, то, когда основа системы была
готова, ее наполнили сведениями о конкретных химических соединениях и способах
рассуждений, который приводят химиков к правильным выводам. Эти сведения
352
К.К. Жоль Логика
были получены посредством опроса многих ученых, подробно рассказывавших, как
они анализируют и оценивают возникающие перед ними проблемы.
Программа ДЕНДРАЛ строилась на активном использовании правила
логической импликации (если ..., то ...), то есть в данной программе
представление всех необходимых для нее знаний осуществлялось в виде импликации.
Первая часть импликации (если) указывает на некоторую ситуацию и представляет
собой соответствующую последовательность символов, которые компьютер
применяет для сопоставления. Вторая часть (то) указывает на соответствующее
действие, обусловленное предшествующей ситуацией (ес/ш-ситуацией).
Например, в ситуации, если идет дождь, то я беру зонтик, то есть действую с учетом
плохой погоды.
Составленные таким образом компьютерные программы характеризуются в
качестве программ, основанных на правилах. Это значит, что в процессе работы
программа сортирует символы в поисках сочетания, сопоставляемого с первой
частью импликации если из имеющихся правил. После того как сопоставимое
сочетание обнаружено, пускается в ход соответствующее правило, благодаря
которому выполняется определенное действие (например: устанавливается
определенный медицинский диагноз, выводимый на экран компьютера).
Понятие «правило» имеет в данном случае следующий формальный вид:
образ —> действие. Образ рассматривается как конъюнкция элементарных
восприятий, а действие - как множество элементарных действий. Каждое
восприятие можно представить списком ряда переменных, характеризующих тот или
иной атрибут некоторой предметной области. Этим переменным можно
придать константный вид, наделив их конкретными значениями. В результате
действий происходит либо изменение значений, либо их ввод-вывод. Все действия
программы представимы как последовательность вызовов правил.
Правила, содержащиеся в том, что мы называем базой знаний,
эквивалентны некоторой прикладной программе и могут иметь множество так называемых
форматов. Примером последних служит следующий формат:
если [условие], тогда (то) [действие].
Компонента «тогда» (или «то») может представлять выводы, утверждения,
указания и т. п. Правило может потребовать выполнения ряда условий прежде,
чем действие будет разрешено.
В такой системе правила представляют знания, а метаправила (правила более
высокого уровня) служат для манипулирования правилами.
Как считает Д. Мичи, в данном случае наиболее сложной и трудоемкой
проблемой является выявление и кодирование новых правил для их
последующего использования в ЭС.
Работы с ЭС принесли интересные научные результаты, обогатившие
методологию исследований по ИИ. В частности, учеными было обнаружено
следующее: если из программы удалить так называемую базу знаний, то есть всю
конкретно-научную (прикладную) информацию, остается лишь чистая логика,
связывающая воедино фактическое знание. Эта логика получила название
машины вывода. Данная «машина» работает благодаря использованию правил
логического вывода.
Как уже отмечалось во второй главе, разработки ЭС повлекли за собой
появление новой научно-технической дисциплины - познавательной
(когнитивной) инженерии. Это понятие ввел в научный обиход Фейгенбаум в 1977 г.
Ассемблирование и компиляция в компьютерных программах. Согласитесь,
составление программ было бы делом чрезвычайно сложным и утомительным, если
бы для этого использовались нули и единицы двоичного кода. Но тем не менее
эти нули и единицы - единственный доступный компьютеру способ работы.
Глава 8
353
Чтобы упростить общение с бездушной машиной, необходимо связать воедино языки
программирования высокого уровня, которые позволяют конструировать наборы
машинных команд, не пользуясь двоичными символами, с языком самого нижнего
уровня (собственно машинный язык, иначе называемый объектным кодом {языком)
конкретной электронно-вычислительной машины), где эти символы являются главным и
единственным кодом. Интересующая нас связь человека с машиной осуществляется
посредством так называемого языка АССЕМБЛЕРа, который разрешает вместо
единиц и нулей использовать мнемонические 5 коды для обозначения соответствующих
команд.
Устав кодировать каждую инструкцию на двоичном языке, создатели
вычислительной техники занялись поисками более удобного способа общения с
машиной. В конечном итоге на свет появились новые коды, составленные из
букв и коротких слов, взятых из естественного языка. Видную роль в этом деле
сыграл Морис Уилкс, работавший в Кембриджском университете. Он-то и
считается создателем одного из первых языков ассемблера. Такого типа язык обычно
состоит из команд с легко запоминающимися символами, которые заменяют в
программе длинную цепочку нулей и единиц. Данные символы автоматически
преобразуются в двоичные коды машинного языка при помощи специальной
программы, называемой АССЕМБЛЕРОМ 6. Другими словами, программа
называется АССЕМБЛЕРОМ, если она преобразует мнемонику языка ассемблера
непосредственно в двоичные коды машинных команд.
Программа, написанная символическими мнемокодами, которые используются
в языке АССЕМБЛЕР, представляют собой так называемый исходный модуль.
Для формирования исходного модуля применяют программу DOS EDLIN или
любой другой подходящий экранный редактор. Затем с помощью программы
ассемблерного транслятора исходный текст транслируется в машинный код,
известный как объектная программа (по аналогии с языком-объектом).
Недостатком АССЕМБЛЕРа является то, что он ближе к языку машины,
чем к естественному языку, а это создает трудности в работе с программами.
И все же принцип Ассемблера - это важный шаг на пути от базы данных к
базам знаний, так как общение с машиной на квазичеловеческом языке
открывало возможность применения компьютера для обработки текстов, включая
тексты на естественных языках.
Использование программистами языков высокого уровня предполагает
наличие так называемого ТРАНСЛЯТОРа, являющего собой специальную
программу. ТРАНСЛЯТОР состоит из компилятора и/или интерпретатора.
Компилятор читает все программу целиком и делает ее перевод на язык, доступный
машине. После того как программа откомпилирована, исходная программа
больше не нужна. Затем начинается работа интерпретатора, который выполняет
загруженную в компьютер программу строка за строкой. Но такая
последовательность присуща далеко не всем языкам. Большинство языков ориентировано либо
на компиляцию, либо на интерпретацию. Эта ориентация зависит от того, для
каких целей создавался язык. Например, ФОРТРАН обычно реализуется с
помощью компилятора, а БЕЙСИК - с помощью интерпретатора. В отличие от
интерпретирующей программы, которая должна работать параллельно с
интерпретируемой, компилирующую программу можно удалять из памяти
компьютера перед выполнением компилированной программы. Дело в том, что
интерпретатор преобразует лишь небольшой фрагмент исходной программы в машинные
команды, а затем, дождавшись, когда компьютер их выполнит, переходит к
обработке следующего фрагмента. В противовес этому компилятор транслирует
всю программу и помещает команды в память компьютера, не выполняя их.
От гр. mnemonikon - искусство запоминания', от гр. mneme - память.
Англ. Assembler; от англ. assemble - созывать, собирать, составлять, складывать.
354
К.К. Жоль Логика
Компиляция играет исключительно важную роль в языках
программирования, поскольку связана с решением сложной проблемы отображения одного
алгоритма в другой в виде компиляции исходной программы, написанной на
языке программирования высокого уровня, в объектный код (язык)
вычислительной машины. Отображение одних алгоритмов в другие называется трансляцией
алгоритмов.
Предположим, что компилятор задан как множество пар {jc, у}, где х -
программа в исходном языке, а у - программа в том языке, на который нужно
перевести х. Допускается, что мы заранее знаем это множество и наша главная
задача состоит в построении эффективного устройства (алгоритма), которое по
данному входу х выдает выход у. Можно условиться называть множество пар
{jc, у} переводом. Если х - символьная цепочка в алфавите Аъ у - аналогичная
цепочка в алфавите В, то перевод - это отображение множества А в В.
При определении и реализации подобных переводов удобно рассматривать
их {компилятивную трансляцию) как композицию двух отображений. Первое
отображение называется синтаксическим отображением, связывающим с
каждым входом (программой в исходном языке) некоторую структуру, которая
служит аргументом второго отображения, называемого семантическим.
В качестве примера того, как для символьных цепочек строятся так
называемые древовидные структуры, рассмотрим разбиение произвольного
предложения на синтаксические категории согласно грамматическим правилам.
Предложение «Этот водолюб сидит в грязной луже» имеет грамматическую
структуру, представленную в виде дерева (рис. 2). Вершины этого дерева
помечены синтаксическими категориями, а его «корни» (или «листья», в
зависимости от вида древовидной структуры) помечены так называемыми
терминальными {концевыми) символами, которые в данном случае являются словами
русского языка.
Подобным же образом программу, написанную на исходном языке
программирования (на языке высокого уровня), можно расчленить на синтаксические
компоненты в соответствии с теми особыми синтаксическими правилами,
которые управляют этим искусственным (формальным) языком.
Вторая часть перевода (компилятивной трансляции) называется
семантическим отображением. В данном случае имеется в виду отображение
структурированного входа в выход. Последний обычно является программой в машинном
Рис. 2.
Глава 8
355
(объектом) языке. Таким образом, под семантикой языка программирования здесь
будет пониматься отображение, связывающее с синтаксической структурой
каждой входной символьной цепочки символьную цепочку в некотором программном
языке (возможно, в том же самом).
Задание синтаксиса и семантики языка программирования - задача не из
легких, поскольку универсальных методов здесь не существует. Тем не менее
имеются два базисных понятия, которые обычно используются
программистами. Первым из них является понятие контекстно-свободной грамматики, где
значение отдельных «слов» не зависит от «текста» (скажем, от структуры
«предложения»). В виде контекстно-свободной грамматики можно формализовать
большую часть правил, предназначенных для описания синтаксической
структуры.
Вторым понятием является схема синтаксически управляемого перевода, с
помощью которой можно задавать отображение одного языка в другой.
В процессе такого рода перевода компилятор превращает язык исходного
программирования из цепочки символов в цепочку битов (объектный код). Этот
процесс состоит из следующих компонентов:
(1) лексический анализ;
(2) работа с таблицами;
(3) синтаксический анализ, или разбор;
(4) генерация кода, или трансляция в промежуточный код
(например, язык АССЕМБЛЕРа);
(5) оптимизация кода;
(6) генерация объектного кода (например ассемблирование).
Работа лексического анализатора состоит в том, чтобы сгруппировать
определенные терминальные символы в единые синтаксические объекты,
называемые лексемами. Какие объекты считать лексемами, зависит от определения
языка программирования.
Таким образом, лексический анализатор - это транслятор, входом которого
служит цепочка символов, представляющая исходную программу, а выходом -
последовательность лексем. Данный выход образует вход синтаксического
анализатора.
Синтаксический анализатор исследует только типы лексем.
Дополнительная информация о каждой лексеме используется на более позднем этапе
процесса компиляции для генерации машинного кода.
Синтаксический анализ, или разбор, - это процесс, в котором исследуется
цепочка лексем и устанавливается, удовлетворяет ли она структурным
условиям, явно сформулированным в определении синтаксиса языка
программирования. В некотором отношении синтаксический анализ программы напоминает
обычный разбор предложений естественного языка.
Знание характера синтаксической структуры данной символьной цепочки
важно учитывать и при генерации машинного кода. Например, синтаксическая
структура выражения а + Ъ х с должна отражать тот факт, что сначала
перемножаются Ъ и с, а потом результат складывается с а. При любом другом
порядке операций нужное вычисление не получится..
Выходом синтаксического анализатора служит дерево, которое
представляет синтаксическую структуру, присущую исходной программе.
Проиллюстрирую сказанное на следующем примере. Допустим, что
выходом лексического анализатора является цепочка лексем {идентификаторов)
<ид>1 = (<ид>2 + <ид>з) х <ид>4.
356
К.К. Жоль Логика
Эта цепочка, воспроизводящая на свой манер алгебраическое выражение а
= (Ь + с) х d, передает информацию о том, что необходимо точно выполнить
следующее:
(1) <ид>2 прибавить к <ид>3;
(2) результат сложения умножить на <ид>4;
(3) результат умножения поместить в ячейку,
зарезервированную для <ид>г
Данную последовательность шагов можно представить с помощью дерева
(рис. 3).
Вершины дерева указывают на те действия, которые следует выполнить.
Концы дерева указывают на аргументы, к которым нужно применить действие.
Дерево, построенное синтаксическим анализатором, используется для того,
чтобы получить перевод входной программы. Этот перевод может быть
программой в машинном языке, но чаще он бывает программой в промежуточном
языке (таком, как язык АССЕМБЛЕРа) или «трехадресный код». Последний
образуется из простых операторов, каждый из которых включает не более трех
идентификаторов (например: А = В, А = В + С или GOTO А).
После того как лексемы (идентификаторы) распознаны
(идентифицированы) лексическим анализатором, информация о них собирается и записывается
в одной или нескольких таблицах, которые называются таблицами имен
{таблицами идентификаторов или таблицами символов). Какова эта интерпретация
и как она будет представлена в таблицах, зависит от конкретного языка
программирования.
С помощью дерева, а также информации, хранящейся в таблице имен
(идентификаторов), можно построить объектный код (язык). На практике построение
дерева и генерация кода часто осуществляется одновременно, но методически
удобнее считать, что они происходят последовательно.
Существует несколько методов построения промежуточного кода по
синтаксическому дереву. Один из них называется синтаксически управляемым переводом
(трансляцией) и, по мнению специалистов, считается наиболее эффективным.
Во многих ситуациях желательно иметь компилятор, который создает
эффективно работающие объектные программы. Это требует оптимизации кода.
Под оптимизацией кода в данном случае понимается эффективизация
объектных программ, когда они начинают быстрее работать или становятся более
компактными.
а
о
Рис. 3.
Глава 8
357
Одной из возможностей оптимизации является замена прежнего алгоритма
новым с помощью компилятора. Но эта возможность чрезвычайно трудно
реализуется, так как нет алгоритмического способа нахождения самой короткой или самой
быстрой программы, эквивалентной данной. С другими возможностями дела
обстоят не лучше. Поэтому некоторые программисты предпочитают говорить не об
оптимизации, а об улучшении кода.
Чтобы компьютер мог пользоваться информацией, хранящейся в его
памяти, каждая ячейка памяти обозначается определенным двоичным адресом. В
программе на АССЕМБЛЕРе для представления информации программист
использует легко запоминающиеся имена.
Схема ассемблирования, компоновки и выполнения программы
представлена на рис. 4.
Языки программирования - это тщательно составленные
последовательности чисел, букв, слов и мнемотехнических сокращений. Каждый язык имеет свою
грамматику и свой синтаксис. Языки программирования, имитирующие
естественные языки, принято считать языками высокого уровня. Этими языками обычно
пользуются для представления базы знаний.
Представление знаний в системах «искусственного интеллекта».
Существует несколько типов моделей представления знаний. Одной из них является
логическая модель, в которой для представления знания используется логика
предикатов первой ступени {порядка).
Основное преимущество использования логики предикатов для
представления знаний заключается в том, что она обладает хорошо отработанным
механизмом вывода, который относительно легко может быть запрограммирован.
С помощью этих программ из имеющихся формализованных знаний могут быть
получены новые знания.
Специалисты по ИИ придерживаются следующего соглашения:
автоматическое преобразование предложений, написанных на естественном языке, в язык
358
К.К. Жоль Логика
Н. Хомский
формальных систем типа логики предикатов называется пониманием
естественного языка. Исследования в этой области, проводимые с 60-х гг., не
сопровождались впечатляющими успехами, так как проблема перевода с
естественного языка на искусственный оказалась чрезвычайно сложной, требующей не
только развитого логического аппарата, но и новых лингвистических теорий,
объясняющих структуру и внутренний механизм функционирования
естественного языка.
Надо иметь в виду, что со второй половины 50-х гг. большинство
лингвистических теорий разрабатывалось как теории синтаксиса.
О том, что собой представляет понятие «синтаксиса» в современной
лингвистике, можно сказать словами Дж. Лайонза, а именно: синтаксис
естественного языка - это определенное множество правил, которые объединяют
распределение словоформ в предложениях. Данная характеристика синтаксиса
предполагает отнесение каждой словоформы к одному или более классам
форм. Классы форм нельзя смешивать с частями речи (существительное,
глагол, прилагательное и т. д.), поскольку части речи являются классами лексем
(например: мальчик, бежать), а не классами словоформ (например: мальчик,
мальчики; бежит, бегут).
Большую роль в развитии лингвистической теории как теории синтаксиса
сыграли во второй половине этого столетия два знаменитых американских
лингвиста - Ричард Монтегю (1930-1971) и Ноам Хомский (р. 1928).
Наиболее ярым сторонником синтаксической теории языка был Монтегю,
согласно которому синтаксис является отраслью математики (!). По его
мнению, синтаксис английского - в той же мере часть математики, как геометрия
или теория чисел. Эта позиция предопределяет стратегию Монтегю относительно
исследований естественных языков, а именно: он их исследует, пользуясь
техникой, которая аналогична технике математиков, изучающих
формализованные логико-математические языки.
Доктрина Монтегю не оказала такого сильного влияния на лингвистов и
специалистов по ИИ, какое оказала генеративно-трансформационная
грамматика Хомского, чье понимание синтаксиса приближено к реальной практике
лингвистических исследований.
Глава 8 359
Говоря о предпосылках для создания совершенно нового типа грамматик,
представленных работами Монтегю и Хомского, следует отметить, что эти предпосылки
были заложены в 30-е гг. благодаря математической теории рекурсивных функций,
созданию «машины Тьюринга» и т. п. Впрочем, новые модели грамматики не
являются вполне адекватными моделями для машинного программирования, хотя
Монтегю и Хомский так или иначе ориентировались на технологический подход к
построению абстрактно-теоретических моделей грамматик.
Характерно, что в некоторых диалоговых программах 60-х гг. упор делался
не на семантику, а на синтаксис. В последнем случае большое влияние на
программистов оказали разработки Монтегю и Хомского. Вдохновляемые их
идеями и методами, исследователи ИИ при создании своих систем исходили
преимущественно из математики и логики, что проще для машины, ибо не
требуется знать значения слов. Однако этих энтузиастов ждало разочарование,
поскольку один синтаксический подход к естественному языку давал весьма мало
для работы с машиной в диалоговом режиме.
Генеративная (порождающая) грамматика выходит далеко за рамки
традиционной грамматики, которая не обеспечивает себя точными и полными
правилами, но только иллюстрирует регулярности структуры предложений с
помощью примеров и контрпримеров без точного определения границ, внутри
которых эти правила являются действенными.
Имеется много типов генеративных грамматик, но сегодня доминируют два
из них - (1) грамматика, которая различает глубинные и поверхностные
структуры, и (2) грамматика, которая этого не делает.
Глубинная структура - это исходная структура, определяющая смысловое
содержание предложения. Поверхностная структура - это физическая форма
актуальных (реальных) высказываний в виде звучащей речи, письменного
текста и т. д.
Одна и та же глубинная структура может быть по-разному реализована в
различных естественных языках, то есть считается, что глубинная структура
является в формальном плане общей всем языкам мира. Трансформационные
правила, которые превращают глубинные структуры в поверхностные, могут
отличаться от одного языка к другому. Среди трансформационных правил имеются
такие, которые позволяют образовывать вопросы, утверждения, приказы и т. д.
Прототипом генеративной грамматики послужила так называемая
марковская грамматика, представляющая собой простые, линейные (слева направо)
модели (рис. 5).
Каждая точка на схемах (рис. 5) отмечает ситуацию выбора. Конечная
точка - это индикатор полного грамматического предложения, которое мы строим.
360
К. К. Жоль Логика
Рис. 6.
Модель (1) может быть расширена за счет лексикона (списка слов), из
которого в любой данной точке должен делаться один выбор. Модель (2) также
может быть расширена за счет включения одной или больше «замкнутых
петель» в различных точках нашей графической схемы (рис. 6).
Добавляя подобные «петли», мы в состоянии конструировать модели
грамматики, которые способны описывать рекурсивность и таким образом порождать
бесконечно длинные предложения. Теоретически данная модель могла бы
включать в свой состав достаточное количество частных моделей для описания
бесконечного числа грамматических предложений в том или ином естественном языке.
Если мы допустим возможность построения такого рода модели, то с
необходимостью должны будем признать, что она относится к разряду очень
мощных и универсальных грамматик. Однако Хомский выступает против
подобных упований. По его мнению, марковский тип порождающей грамматики не
является универсальным, поскольку данная грамматика не в состоянии
описать все возможные предложения в реальном языке. Например, в этой
грамматике отсутствует объяснение грамматических взаимозависимостей между
несмежными элементами. Рассмотрим предложение («Паниковский, который, хотя он
и болен, представляется себе здоровым, выглядит унылым гусекрадом»),
представленное на рис. 7.
Глава 8
361
Здесь а соотносится с а\ Ъ соотносится с Ъ\ с - самотождественно.
Марковский тип порождающей грамматики не может дать адекватную
лингвистическую характеристику, поскольку между подлежащим «Паниковский» и
глаголом «выглядит» вклинивается ряд других выражений. А именно этот вид
взаимозависимости между элементами речи свойственен естественным языкам.
Поэтому, согласно Хомскому, необходимо создать более гибкую грамматику,
осуществив фундаментальную ревизию порождающих (генеративных) грамматик.
С синтаксической точки зрения генеративная грамматика начинается с
решения задачи конструирования грамматики языка L как системы правил, с
помощью которых множество грамматически правильных предложений в L
могут быть порождены. Отсюда ее название - генеративная (порождающая в
смысле логико-математического конструирования) грамматика. Генеративная
грамматика подчеркивает, что синтаксические правила должны образовывать
систему точных правил.
В 1965 г. была опубликована работа Хомского «Аспекты теории синтаксиса»,
в которой выдвигалась более всеохватывающая теория
генеративно-трансформационной грамматики. Эта теория получила название стандартной теории.
Если в «Синтаксических структурах» (1957) утверждалось, что семантический
анализ не имеет прямого отношения к синтаксическому описанию предложений,
то в «Аспектах теории синтаксиса» утверждается, что значение предложения
может и должно подчиняться тому же самому виду точного, формального анализа,
как и его синтаксическая структура. Следовательно, семантика должна быть
включена в качестве интегральной части в грамматический анализ.
Последующее развитие «стандартной теории» привело к созданию новой
версии генеративно-трансформационной грамматики, названной расширенной
стандартной теорией.
С точки зрения генеративно-трансформационной лингвистики грамматику
естественных языков можно было бы оценивать как своего рода машину, которая
приводит в движение конечное число «внутренних состояний». Процесс
осуществляется от «исходного состояния» к «конечному состоянию». Однако Хомский
считает, что грамматика «конечных состояний» слишком упрощает реально
наблюдаемое. Доказательство ее неадекватности он дает в работе «Синтаксические
структуры», одновременно предлагая взамен грамматику фразовых структур.
Рассмотрим формализацию Хомским структурно-фразовой грамматики на
примере предложения «The man hit the ball» («Этот человек бьет по этому мячу»):
(1) предложение (5) —► TVP (фразовое существительное) +
VP (фразовый глагол);
(2) VP—^ Г (определенный артикль в английском языке [the]) +
(существительное);
(3) VP ► Verb (глагол) + NP;
(4) Г—>the;
(5) N ► {man (человек), ball (мяч),...};
(6) Verb —^ {hit (ударять), take (брать),...}.
Это множество правил образует относительно простую
структурно-фразовую грамматику. Данные правила способны порождать небольшую часть
предложений английского языка. Замечу, что современных логиков в содружестве с
программистами этот уровень структурно-фразового анализа естественного
языка вполне удовлетворяет, чего нельзя сказать о лингвистах.
Каждое из указанных правил сводимо к форме X » У, где X - единичный
элемент, a Y - ряд, состоящий из одного или более элементов. Стрелка ( »)
интерпретируется как инструкция по замещению элемента, находящегося слева
от данной стрелки, элементом, находящимся справа от нее. Правила (5) и (6)
362
К.К. Жоль Логика
пользуются связующими скобками ({ ... }), чтобы заключать в них элементы,
только один из которых может быть выбран.
Говоря о генеративной грамматике, Хомский часто пользуется выражением
«терминальные элементы» 7. Терминальные элементы - это такие элементы,
которые имеют место в реальных предложениях. К первому виду терминальных
элементов относятся слова на синтаксическом уровне анализа, ко второму -
фонемы на фонологическом уровне анализа. Все остальные термины и
символы, используемые в формулировке грамматических правил, могут быть
охарактеризованы как вспомогательные элементы (auxiliari elements).
Терминальный ряд синтаксического уровня анализа, порождаемый с помощью
соответствующих генеративных правил, можно представить так: the + man + hit +
the + ball
Чтобы породить этот ряд слов, необходимо сделать 9 шагов. Каждый шаг
связан с определенным терминальным рядом. Множество из 9 рядов (включая
исходный ряд, терминальный ряд и 7 промежуточных рядов) образуют
деривацию 8 предложения «The man hit the ball» в терминах структурно-фразовой
грамматики. Например, ряд NP + VP порождается с помощью правила (1). Этот ряд
можно заключить в скобки и квалифицировать как предложение вида (NP + VP).
Затем мы получаем ряд
ъгп Verb+NP
NP + .
VP
На этом этапе мы имеем дело с предложением вида (NP + VP (Verb + NP)).
Весь указанный выше процесс порождения можно представить с помощью
дерева (рис. 8).
Порождающая грамматика с точки зрения логических формализмов
образует наиболее важный класс генераторов языка. В этом смысле грамматика
является своеобразной логико-математической системой, определяющей язык.
Одновременно она является специфическим устройством, которое придает
символьным цепочкам (словам, предложениям) языка определенную структуру.
Ttti1*Mlï#*l
ПРЕДЛОЖЕНИЕ ( SH.NTENCF.»
О
JV'
ALL l
| THE MAN HIT TUB BALL
Рис. 8.
7 Terminal elements; лат. terminalis от terminus - предел, конец; в математической
лингвистике терминальный символ - это символ, который является конечным результатом при
построении предложения, то есть является словоформой или морфемой, в отличие от
нетерминальных (вспомогательных) символов.
8 От лат. derivatio - отведение, отклонение; образование, возникновение; в грамматике
под деривацией понимается образование новых слов при помощи
словообразовательных средств и в соответствии со словообразовательными моделями данного языка.
Глава 8
363
В грамматике, определяющей язык L, используются два конечных и
непересекающихся множества символов, называемых множествами нетерминальных и
терминальных символов. Нетерминальные символы обозначим буквой N, а
терминальные - буквой Т. Из терминальных символов образуются слова (цепочки)
определяемого языка.
Сердцевину грамматики составляет конечное множество Р правил
образования, которые описывают процесс порождения парных цепочек языка.
Например, правилом может быть пара (AB, CDE). Если уже установлено, что
некоторая цепочка х порождается грамматикой (или «выводится» в ней) и х содержит
AB, то есть левую часть этого правила, в качестве своей подцепочки, то можно
образовать новую цепочку у, заменив вхождение AB в х на CDE. Тогда
говорят, что у выводится в данной грамматике.
Язык, определяемый грамматикой, - это множество цепочек, которые
состоят только из терминалов и выводятся, начиная с одной особой цепочки,
состоящей из одного выделенного символа, обычно обозначаемого S.
Дадим теперь формальное определение грамматике, а именно:
грамматикой называется четверка G = (N, Т, Р, S ), где
(1) N - конечное множество нетерминальных символов, или
нетерминалов (иногда называемых вспомогательными символами, синтаксическими
переменными или понятиями);
(2) Г-не пересекающееся с N конечное множество терминальных
символов, или просто терминалов.
(3) Р - конечное подмножество множества (N и Т )* N (N и Т )* х (N и Т )*,
где * - символ, указывающий на множество, содержащее все символьные
цепочки (= слова, = строки, = предложения) в некотором алфавите,
включая пустые цепочки (е), не содержащие ни одного символа (например: если
N- бинарный алфавит {0, 1}, то N* = {е, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, ...}).
Каждый язык в некотором алфавите (например в алфавите N ) является
подмножеством некоторого множества (например множества N*). Элемент
(х, у) множества Р называется правилом (или продукцией) и записывается в
виде х > у.
(4) S - выделенный символ из N, называемый начальным (или исходным)
символом.
Грамматика определяет язык рекурсивным образом. Рекурсивность
проявляется в задании особого рода цепочек, называемых выводимыми цепочками
грамматики G = (N, Т, H, S ):
(a) S - выводимая цепочка;
(b) Если xyz - выводимая цепочка и у >q содержится в Р, то aqz -
тоже выводимая цепочка.
Знание всех этих теоретических тонкостей совершенно необходимо для
понимания механизма компьютерной обработки естественного языка. Чтобы
компьютер «понимал» язык, нужно не только разбить язык на его основные
элементы, но и разработать соответствующие программы, которые смогут
обрабатываться современными электронно-вычислительными машинами.
Если техника позволяет нам создавать приемлемые для нее программы по
обработке естественного языка, то нам необходимо заняться
конструированием анализатора естественного языка, учитывая при этом, что основными
функциями анализа языка являются: (1) лексический анализ, (2) синтаксический
анализ и (3) семантический анализ. При лексическом анализе требуется точно
364
КК Жолъ Логика
выделять корни, приставки и окончания слов, чтобы избежать
двусмысленности и неопределенности. Затем надо перевести правила грамматики и
синтаксиса в форму, доступную компьютеру.
Как мы уже знаем, синтаксическая структура может быть представлена
графически в виде так называемого дерева. Но предварительно мы должны
осуществить определенный синтаксический анализ, базирующийся на том, что
обычное предложение (П) состоит из группы существительного (ГС) и группы
глагола (ГГ). Отношения между этими двумя группами в составе предложения
можно представить так:
П-
->ГС, ГГ.
Группа существительного может быть разбита на две подгруппы, в одну из
которых будут входить прилагательные, местоимения и т. д., а вторую
подгруппу будет составлять существительное. Обозначим первую подгруппу буквой О
(первая буква слова «определение»), а вторую - буквой С. Тогда получим:
ГС »О, С.
Группу глагола можно разбить на глагол и, например, на группу
существительного, если за ним следует дополнение, выраженное другой группой
существительного. Получаем:
ГГ >Г, ГС.
Группа существительного может быть представлена единственным членом,
а именно:
ГС-
->С.
Рассмотрим предложение: «Небрезгливый крокодил любит завтракать
мухами». Графически это предложение представлено на рис. 9.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ
ГС,
ГГ
опрглглгмиг
о
существительное
о о
глагол
существительное
Небрезгливым крокодил любит завтракать муками
Рис. 9.
Разбив с помощью синтаксического анализатора указанное предложение на
его составные части, компьютер должен провести семантический анализ. Для
этого имеются соответствующие правила в базе знаний, осуществляющие с помощью
семантического анализатора интерпретацию данного предложения. Схематично
это выглядит так:
Глава 8
365
ПРАВИЛО 1.
ЕСЛИ определение стоит на первом месте и за ним идет существительное,
ТО существительное является подлежащим.
ПРАВИЛО 2.
ЕСЛИ за подлежащим следует глагол,
ТО этот глагол является сказуемым и поясняет, что делает подлежащее.
ПРАВИЛО 3.
ЕСЛИ за подлежащим следует сказуемое, а за ним идет существительное,
ТО это существительное является дополнением.
ПРАВИЛО 4.
ЕСЛИ предложение имеет следующий порядок слов: подлежащее, глагол,
дополнение,
ТО вся фраза говорит о том, что подлежащее делает (действие,
выражаемое сказуемым) по отношению к дополнению.
В случае с данным предложением семантический анализатор должен
обратиться к 1-му правилу, с помощью которого определяется, что слово
«крокодил» является подлежащим. С помощью 2-го правила определяется, что слова
«любит завтракать» указывают на глагольную группу. Объект действия,
выраженный словом «мухами», устанавливается с помощью 3-го и 4-го правил.
Можно ввести соответствующее правило для прилагательного «небрезгливый»,
а также для более сложных комбинаций слов в тех или иных предложениях.
В перспективе машинная обработка естественного языка обещает человеку
облегчить его общение с разными машинами, механизмами и
технологическими процессами, доступными контролю со стороны компьютера. Кроме того,
машинная обработка естественного языка может освободить пользователя
компьютера от необходимости изучать сложные языки программирования и
создавать программы более естественным и легким способом. Но для нас с вами это
все пока перспективы. Чтобы воплотить желаемое в реальность, требуется
приложить еще очень много усилий.
По Хомскому, грамматическая теория, если она стремится быть адекватной
реальному опыту, должна объяснять не только факты языка, но и
лингвистическую интуицию говорящего. В этом плане новая лингвистическая теория является
одновременно описанием и объяснением языковой компетенции, то есть того типа
грамматического знания, который каждый говорящий имеет в своей голове. Но
в таком случае со всей определенностью намечается выход за рамки
лингвистики в сферу философии и психологии. Этого не отрицает и сам Хомский,
который в работах 60-х гг. начинает оценивать лингвистику как отрасль когнитивной
(познавательной) психологии и ратовать за реабилитацию декартовского учения о
врожденных идеях с целью окончательного объяснения механизма усвоения
ребенком родного языка.
Из истории философии нам известно, что родоначальник
рационалистической философии Нового времени Рене Декарт преобразовал схоластическую
теорию универсалий (общих понятий) в теорию врожденных идей. Он полагал,
что в душе человека с самого начала имеется некоторый запас как бы дремлющих
идей, которые ожидают удобного момента, чтобы, пробудившись, выступить в роли
регуляторов психической жизни человека.
366
К. К. Жоль Логика
Учение Декарта о врожденных идеях вначале возбудило негодование
католического духовенства. Но когда в этом учении богословы почувствовали более
устойчивое выражение «универсальных начал» схоластики, то всякие возражения
против него были сняты, а критические поползновения в адрес Декарта были
объявлены покушением на веру и религию.
Идея «универсальной грамматики» Хомского сродни «универсальным началам»
схоластики. Это родство подтверждается попытками в духе Декарта
трансформировать принципы «универсальной грамматики» в сомнительную гипотезу о
генетическом {биологическом) фонде языковых способностей. Согласно Хом-скому,
проверку этой гипотезы можно осуществлять не только физиологически, но и
лингвистически, выявляя врожденные свойства интеллекта посредством
конструирования «универсальной грамматики». Правила подобной грамматики образуют
своеобразную проекцию существенных свойств человеческого интеллекта.
По словам видного американского кибернетика Дж. Вейценбаума,
наиболее серьезное значение в разработках Хомского имеют не систематические
записи грамматических правил естественных языков, а гипотеза, согласно
которой человек генетически наделен высокоспециализированными способностями
и соответствующим набором ограничений, совместно определяющих число и
характер степеней свободы, направляющих и устанавливающих границы
развития языка человека, но это же представляет собой и наиболее уязвимый пункт
концептуальной идеологии Хомского.
Специфика концептуальных взглядов Хомского состоит в том, что
грамматика рассматривается им как средство, которое отражает или даже точно
воспроизводит внутреннее бессознательное лингвистическое знание человека,
пользующегося этим знанием для продуцирования и понимания бесконечно
большого числа предложений.
Уход Хомского от лингвистики в сферу психологии и даже биологии
подтверждает чрезвычайную трудность решения проблемы автоматического
преобразования предложений, написанных на естественном языке, в язык
формальных систем. Пока же не редкость случаи, когда машина выдает сообщения
такого рода: «Согласно вашим инструкциям, я родила двойню, что и посылаю в
том же письме».
И тем не менее упрямые головы стремятся разработать программы,
которые позволили бы пользователю общаться с компьютером на естественном
языке. К их числу принадлежит Джон Маккарти, которым первым ввел в научный
оборот выражение «искусственный интеллект».
Представление знаний в системах «искусственного интеллекта».
Возглавляемая Маккарти группа исследователей разработала в 1960 г. хорошо известный
язык программирования ЛИСП (от английского выражения Lisp Processing -
обработка списков), предназначенный для работы с нечисловыми символами (со
словами и фразами английского языка). В программе на ЛИСПе любые данные
формулируются в виде списка, то есть в виде множества, состоящего из одного
или более элементов, обычно заключенных в скобки.
Надо подчеркнуть, что среди языков программирования ЛИСП занимает
особое место. Наиболее популярен он в среде специалистов по ИИ в США, где в
качестве стандартного получил распространение его диалект COMMONLISP. К
его достоинствам специалисты относят точность, определенность, лаконичность
и удобство в работе. По мнению французского кибернетика Ж.-Л. Лорьера,
ЛИСП - хорошее средство для графического представления так называемых
древовидных структур, которые служат основой символьной обработки,
составляющей базу большинства программ в области ИИ. Именно поэтому подавляющее
большинство программ по ИИ составлено на языке ЛИСП.
Следует однако отметить, что в настоящее время полезным и достаточно
эффективным инструментарием для обработки так называемых списков обладают
Глава 8
367
и такие развитые языки программирования, как ФОРТРАН, ПЛ/1, ПАСКАЛЬ,
АДА и др.
Во второй половине 60-х гг. на авансцене исследований по ИИ появился Терри
Виноград, начавший работать над интересной программой под названием SHRDLU
(совершенно бессмысленное буквосочетание). С помощью этой программы он ввел в
компьютер знания о неком примитивном игрушечном мире. По мнению специалистов
в области кибернетики, данная программа явилась в известном смысле поворотным
пунктом в развитии исследований по ИИ. Дело в том, что Виноград объединил
функции синтаксиса, семантики и способности к логическим рассуждениям в единое
целое. Благодаря этому программа SHRDLU явилась предшественницей ряда
современных программ, в которых используется естественный язык. Однако, несмотря на
свои впечатляющие эффекты, программа Винограда оказалась во многом бессильной
за пределами своего простенького игрушечного мира. Более того, даже в пределах
этого мирка она не мота понять вопрос, если он не был сформулирован на английском
языке самым строжайшим образом, без каких-либо намеков на двусмысленность и
возможное разночтение.
В программах подобного типа самым сложным является способ
организации знаний и их представления {репрезентации) в удобном для машины виде.
В конце 60-х гг. М. Росс Куиллиан попытался представить память человека в
виде огромной паутины, которую он назвал семантической сетью. Эта сеть
состоит из узлов, соответствующих понятиям-словам и имеющих имена, и связей между
узлами. Связи указывают на природу зависимостей между узлами. В компьютере
узлы соответствуют группам ячеек памяти, а связи - указателям, содержащим коды
адресов памяти, посредством которых программа находит нужные ячейки.
В семантических сетях наиболее важны связи типа «есть некоторое» (ISA),
позволяющие построить в сети иерархию понятий, в которых узлы низких
уровней наследуют свойства узлов более высоких уровней. Наследование свойств
помогает экономить места в памяти компьютера и дает возможность
проводить дедуктивные рассуждения.
Первоначально казалось, что семантические сети весьма перспективны, но
время внесло свои безжалостные коррективы. В частности, психологические
исследования показали, что сами по себе сети не являются хорошими
психологическими моделями. Кибернетики же столкнулись с малоприятными
формальными трудностями, вытекающими из того, что по мере рассмотрения более
сложных данных ранее применявшиеся сети оказываются недостаточными.
Как бы там ни было, концепция семантических сетей стимулировала
разработки аналогичных подходов к представлению знаний. Так, например, в 1974 г.
Марвин Минский высказал предположение, что человеческий разум
интерпретирует соответствующие объекты посредством особых структур памяти, которые
он назвал фреймами9. Фрейм - это пакет знаний, хранимый в мозгу человека или
в памяти компьютера. Подобно семантическим сетям, фреймы могут
образовывать иерархические структуры.
Любопытно отметить, что основные идеи теории фреймов были навеяны
Минскому работами психолога Ф.Бартлета (учение о схемах), относящимися к 30-м гг.
XX в., и исследованиями известного американского историка науки Т. Куна
(понятие парадигмы).
9 Англ. frame - каркас, остов, костяк, скелет, структура, рамка. См.: Минский М.
Структура для представления знания // Психология машинного зрения / Редактор П. Уинстон: Пер.
с англ. - М.: Мир, 1978. - С. 249-338; Филлмор Ч. Фреймы и семантика понимания //
Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XXIII: Когнитивные аспекты языка: Пер. с
англ. - М: Прогресс, 1988. - С. 52-92; Lormand Е. Framing the frame problem // Synthese.
An international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht,
Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 82. - 1990. - No. 3. - P. 353-373.
368
К.К. Жоль Логика
Отправным пунктом данной теории является не анализ естественного языка,
а более локальная задача - объяснить в приемлемых для кибернетики
терминах способность видеть, то есть проблема, заинтересовавшая Минского,
заключалась в том, чтобы смоделировать посредством компьютерной программы
способность человека, входящего в какое-либо помещение, охватить все еди-
4hi\i взглядом.
Суть теории фреймов кратко можно охарактеризовать следующим образом: когда
человек сталкивается с новой ситуацией или существенно меняет точку зрения на
известные ему предметы (задачи), он извлекает из памяти структуру, называемую
фреймом.
Фрейм можно представить в виде обладающей глубиной сети, состоящей из
узлов и отношений. «Верхние уровни» фрейма фиксированы и содержат факты,
всегда истинные в предполагаемой ситуации. «Нижние уровни» содержат
много терминалов, то есть «ячеек», которые следует заполнить конкретными
данными (значениями, фактами). В каждом терминале могут перечисляться
условия, которым присваиваемые значения обязаны удовлетворять. Обычно эти
значения относятся к разряду подфреймов.
Группы родственных фреймов объединяются в систему фреймов. В
зависимости от ситуации возможны определенные преобразования между фреймами
одной системы.
В тех случаях, когда некоторый фрейм не удается привести в соответствие с
имеющейся ситуацией, из системы фреймов с помощью
информационно-поисковой системы (сети) извлекается новый, более приемлемый фрейм. По
утверждению Минского, такие межфреймовые структуры открывают новые
возможности для представления знания о фактах, использования сравнений, аналогий
и т. д.
Оригинальным аспектом теории фреймов, сближающим ее с
вопросно-ответной (эротетической) логикой, является то, что фреймы - не безжизненные
хранилища информации; они содержат информацию о ситуациях в виде
вопросов. По Минскому, фрейм - это множество вопросов, которые необходимо
задать в гипотетической ситуации. Более того, фрейм определяет темы, которые
следует рассмотреть, и методы, которыми следует пользоваться для раскрытия
темы.
Исследователи в области ИИ часто используют идею фреймов в своих
попытках научить компьютеры понимать естественные языки и обучаться с
помощью аналогий.
Большой вклад в исследования по ИИ сделал признанный лидер
факультета информатики Иельского университета в США Роджер Шенк. Получив
степень доктора лингвистики в Техасском университете, он на протяжении ряда
лет преподавал лингвистику и одновременно проводил исследования по ИИ. В
этот период им была выдвинута оригинальная теория концептуальной
зависимости, с помощью которой он попытался объяснить, как люди воспринимают
естественный язык. По Шенку, человек не просто сравнивает слова и понятия,
а переводит их в базовые концептуальные структуры, придающие смысл
услышанному или прочитанному.
Применив свою теорию к программированию, Шенк изобрел довольно
любопытный язык, позволяющий свести обычный язык к элементарным
концепциям, которые можно представить в машине. Созданный им язык сводил
тысячи английских глаголов, обозначающих действия, к одиннадцати
синтетическим словам, называемым семантическими примитивами.
Интересно, что программа Шенка разбирала предложения не в
традиционной для лингвистики манере, расчленяя их на глаголы и существительные, а
совершенно иначе, выявляя базовые семантические элементы, которые
помогают машине расшифровывать взаимосвязи в предложениях.
Глава 8
369
В сотрудничестве с профессором психологии Робертом Абельсоном Шенк
разработал схему представления знаний, называемую скриптами ш или сценариями.
Скрипт - это нечто вроде мини-сценария, описывающего действия, которые
человек совершает в повседневной жизни. В скрипте предусматривается учет
контекста, то есть учет информации о том, что человек обычно ожидает при данных
обстоятельствах. Это позволяет машине заполнять пробелы в информации,
исходя из контекста ситуации.
В дальнейшем Шенк и его ученики выдвинули и начали развивать идею
пакета организации памяти - МОП (МОР - Memory Organization Packets). В
отличие от скриптов, которые представляли собой раздельные блоки знаний,
МОПы связаны в более сложные переплетения, позволяющие распознавать
аналогии между событиями, относящимися к различным контекстам.
Бросается в глаза, что теория фреймов Минского, разработки Винограда,
Р. Куиллиана, Шенка перекликаются с психологической концепций
бессознательного известного грузинского психолога, академика Д. Н. Узнадзе (1886/
1887-1950). Кстати, сам Минский указывал на возможность выхода с помощью
теории фреймов в сферу проблем психологии бессознательного.
Согласно Узнадзе, для того чтобы соответствующий предмет был нами
воспринят, сознание должно находиться в специфическом состоянии и быть
пронизано специфической установкой, которая объявляется сознанию в виде
первичного значения предмета. Аналогичное и у Минского: когда человек
сталкивается с новой, но не слишком экстраординарной ситуацией, он полагается на
соответствующую установку - фрейм.
Концепция установки Узнадзе позволяет взглянуть на психическую жизнь
человека не как на механическую сумму разрозненных психических
переживаний, а как на особое целостное состояние психической жизнедеятельности.
Благодаря этому человек рассматривается как существо, не пассивно реагирующее
на внешние раздражители, но активно взаимодействующее с окружающей средой.
Подобная активность предполагает осмысленную ориентировку в
разнообразных жизненных ситуациях, наличие целенаправленной, разумной деятельности,
порождаемой проблемной ситуацией. Однако проблемная ситуация является хотя
и важным, но недостаточным условием осмысленной деятельности. Не менее
важным условием выступает преднастроенность к соответствующему типу
поведения, то есть установка, как и фрейм, предвосхищает модель будущего
поведения. Данное предвосхищение следует понимать не как «прорицание» грядущего
состояния дел, а как наличие психических функций, занятых решением известных
по предыдущему опыту задач. Озадаченность этих психических функций
определяет целесообразность и смысл активности установки, которая репрезентирует
свои варианты решений задач нижним уровням психики в виде задач-заданий.
Сказанное подтверждается данными физиологии активности.
Физиологические опыты в этом ключе показали, что в процессе оценки проблемной
ситуации индивидуум решает задачи, содержащие в себе больше информационного
материала, нежели в восприятии данной ситуации. Решение задачи (например
двигательной задачи) есть создание программы в виде соответствующего знания
о том, чего еще нет, но что должно быть. В связи с этим известный
российский создатель физиологии активности Н. А. Бернштейн (1896-1966),
предвосхитивший ряд положений кибернетики, выдвинул гипотезу, согласно которой
мозг не только отражает реалии внешнего мира, но и как бы предугадывает не
ставшую еще действительностью ситуацию непосредственно предстоящего.
Сложный биологический организм не просто реагирует на ситуацию, а
сталкивается с ней. Эта ситуация ставит его перед необходимостью прогнозирования
Англ. script - сценарий, рукопись, манускрипт.
370
К.К. Жоль Логика
и выбора. Поэтому реакцией организма и его верховных управляющих систем на
проблемную ситуацию является не спонтанное действие, а предварительное
принятие решения относительно возможного действия.
Объективная действительность не может прямо влиять на сознание,
поскольку для осмысленного восприятия этой действительности необходимо, чтобы она
что-то значила для воспринимающего ее субъекта. Для этого должна возникнуть
ситуация, затрудняющая удовлетворение потребностей, вследствие чего
начинает функционировать механизм сознание.
Активизация сознания совпадает с первыми актами выделения объектов
действительности как идентифицируемых объектов. Этот специфический акт
сознательной деятельности Узнадзе называет актом объективации, имея в виду
наличие в действительности объектов, на которые нацеливаются эти акты с
тем, чтобы повторно заметить и в этом смысле объективировать их.
Деятельность сознания начинается не как реакция на стимул, исходящий от
объекта, а как реакция на трудности в удовлетворении потребностей. Оценка
этих трудностей и есть акт объективации структуры проблемной ситуации с
входящими в нее объектами-компонентами.
Психологическое понятие установки в данном случае интересно не только
своим сходством с кибернетическим понятием фрейма, но и тем, что оно
проливает дополнительный свет на некоторые исследования по проблемам ИИ в связи
с моделированием естественного языка для общения человека с машиной.
Анализ речи с точки зрения психологической концепции установки ясно
показывает наличие специфического состояния предвосхищения того, что мы
собираемся сказать, то есть свидетельствует о наличии замысла. При этом
обнаруживается, что процесс речевой деятельности регулируется
соответствующей речевой установкой, точнее, темой речи, являющейся программой речевого
поведения.
В данном случае мы имеем весьма интересную и многообещающую попытку
уточнить неопределенное понятие «мышление» применительно к
конкретно-научным запросам (скажем, к запросам кибернетики). В свое время на это обратил
внимание известный советский психолог и нейрофизиолог А. Р. Лурия (1902-1977),
который существенно уточнил соотношение мышления и языка на уровне так
называемой внутренней речи, заменив неотчетливое понятие «мысль» более
адекватным предмету исследования понятием «замысел».
Замена понятия «мысль» понятием «замысел» вполне согласуется с идеями
Узнадзе. Так, по его мнению, установка в речевом поведении человека
выполняет ту роль, которую известный немецкий филолог В. фон Гумбольдт
отводил внутренней форме языка. Иными словами говоря, установка - это своего
рода глубинная семантическая «запись», которую можно рассматривать как
замысел возможной темы актуального речетворчества. По отношению к
установкам-замыслам язык выполняет роль своеобразного «компьютера»,
призванного обеспечить эффективность решения более или менее ординарных (известных
по опыту) задач, то есть в ряде случаев язык облегчает деятельность сознания,
беря на себя осуществление задач-заданий, ставших достоянием деятельности
бессознательных установок, родственных фреймам. В таком случае отпадает
всякая надобность постулировать наличие «врожденных идей» для объяснения
лингвистической компетенции, как это делает- Хомский.
Обращение к психологии вызвано не только бросающимися в глаза
аналогиями между разработками некоторых психологов и кибернетиков, но еще и
тем, что, как подчеркивал Д.Мичи, вопрос о том, что предшествует чему (язык
мышлению или мышление языку), ныне приобретает все большее практическое
значение. В связи с этим он указывает на то, что сегодня явно недостает
надежной и хорошо формализованной теории знаний, которая подвела бы под
исследования по ИИ прочный научный фундамент. |
Глава 8
371
На определенный вклад в решение проблем ИИ претендует и теория нечеткой
логики Л. А. Заде. Так, например, в рамках этого подхода были разработаны новые
языки нечеткого программирования, которые обеспечили благоприятные
возможности для эффективного представления и оперирования нечеткими данными и
нечеткими знаниями. Проблема состоит в том, чтобы соответствующие нечеткие
знания были удовлетворительно формализованы и могли быть прочитаны машиной. Пока
этого не сделано, нечеткие знания не могут быть использованы в компьютерных
программах. Сегодня специалистам еще далеко не все ясно относительно того, можно ли
создать унифицированные методы обработки нечетких знаний различного типа, но тем
не менее, двигаясь путем, указанным Заде, они на практике достигают некоторых
интересных результатов.
Суммируя сказанное, к сфере исследований по ИИ следует отнести:
(1) проблему восприятия и распознавания образов; под распознаванием
образов в кибернетике понимается обработка поступающих на
соответствующий приемник сигналов;
(2) доказательство теорем и решение задач; здесь исключительно
важную роль играет математическая логика;
(3) понимание естественного языка.
Как видим, будущим программистам открывается широкое поле деятельности
для решения проблем, контуры которых намечены здесь в самых общих чертах.
В этой части главы основное внимание будет уделено решению задач в
связи с потребностями ЭС.
Как правило, компьютерные программы предназначены прежде всего для
решения строго определенных задач. В рамках исследований по ИИ ситуация
выглядит несколько иначе, так как задачи, для которых известен алгоритм
решения, не представляют особого интереса для специалистов по ИИ; они
предпочитают иметь дело с задачами, алгоритм решения которых еще неизвестен. К
числу таких задач относится игра в шахматы, перевод с одного естественного языка
на другой, медицинская диагностика и многое другое. Таким образом, к сфере
ИИ относятся такие задачи, для которых мы не имеем абсолютно точного
метода решения и которые обладают двумя характерными особенностями:
(a) в них используется информация в символьной форме (буквы, слова,
рисунки и т. п.), что отличает область ИИ от традиционных областей
компьютерных программ, имеющих дело с обработкой данных в
числовой форме;
(b) при отсутствии четкого алгоритма предполагается наличие выбора
между многими вариантами возможного решения задачи в условиях
неопределенности.
Как отмечает известный специалист по ИИ, профессор университета штата
Вашингтон (США) Э. Хант, выражение «решение задач» употребляется в сфере
исследований по ИИ в весьма ограниченном смысле, то есть имеется в виду, что
существуют такие задачи, реальное решение которых отличается от желаемого.
Естественно, сразу же возникает вопрос: насколько точно наше решение задачи
соответствует реальной ситуации? При этом следует учитывать, что слово
«точность» имеет одно значение для человека и совершенно другое для машины. Вот
почему для тех, кто занимается проблемами ИИ, решение задач понимается не в
строго логико-математическом смысле, а в смысле эвристическом, то есть речь
скорее должна идти о постановке, анализе и представлении конкретных
проблемных ситуаций, чем о самом решении задачи, которая, может случиться так,
вообще не имеет решения.
372
К. К. Жоль Логика
Складывается странная ситуация, когда кибернетики, вооруженные
математикой и логикой, начинают говорить каким-то «философским», туманным языком,
вместо того, чтобы искать приемлемые для работы машины алгоритмы.
Так ли это на самом деле?
Очевидно, отвечая на поставленный вопрос, необходимо уточнить наше
понимание задачи.
В научной литературе по кибернетике, да и не только по кибернетике,
обычно отождествляют задачу и проблему. Лорьер пишет, что смысл слова «задача»
как синоним слову «проблема» происходит от значения греческого слова «бал-
лейн» (бросать). В буквальном смысле задача - это «объект, брошенный
вперед». Интересно, что это слово «баллейн» на французском языке (problème)
родственно таким словам, как «бал» (bal), «парабола» (parabole), «гипербола»
(hyperbole) и «символ» (symbole).
Известные американские ученые А. Ахо и Дж. Ульман отождествляют
понятие «проблема» и понятие «вопрос». По их мнению, проблема обычно
формулируется как вопрос. В связи с этим утверждается, что отображение множества
частных случаев проблемы во множество {да, нет} называется решением
проблемы. Если данное отображение можно задать алгоритмом, то проблема называется
(алгоритмически) разрешимой. Если же алгоритма, определяющего это
отображение, не существует, то проблема называется (алгоритмически) неразрешимой.
В первой главе этой книги было показано, что, во-первых, задача и
проблема не тождественны, во-вторых, проблему следует отличать от проблемной
ситуации и, в-третьих, задача предшествует формулировке проблемы, а задаче,
в свою очередь, предшествует проблемная ситуация, озадачивающая нас рядом
вопросов. Если бы задача была полностью определена, как это имеет место в
школьных учебниках, где в конце книги помещены ответы на задачи, тогда в
реальной практике научного познания на первое место следовало бы помещать
проблему, поскольку реальная жизнь - это не школьные учебники. Однако и в
реальной жизни мы сталкиваемся не сразу с проблемами, а с задачами, не
являющимися полностью определенными, о чем свидетельствует множество
вопросов, на которые мы должны ответить, прежде чем будут ясно сформулированы
условия задачи и намечено ограниченное количество вариантов ее решения. Как
известно, поставить задачу означает прежде всего понять условия задачи,
удалив при этом неполноту, избыточность и неоднозначность ответов на
поставленные вопросы, касающиеся данной задачи.
На языке кибернетики постановка задачи означает соответствующее ее
представление. Согласно определению, данному французскими специалистами по
представлению знаний, представление (репрезентация) - это действие, делающее
некоторое понятие воспринимаемым посредством соответствующего символизма.
Говоря более строго, представление (репрезентация) знаний - это формализация
соответствующего знания (претендующего на истинность) посредством
определенного символизма. Такая формализация должна быть распознаваема
электронно-вычислительной машиной. Здесь сразу же возникает вопрос о представлении
знаний в памяти компьютера, то есть о создании языков и формализмов
представления знаний, пригодных для ввода и обработки в компьютере. Результат
формализации знаний должен быть представлен множеством инструкций для
машины, составляющих часть языка программирования.
Кибернетическая трактовка представления знаний опирается на
гносеологическую (эпистемологическую) трактовку процесса познания. Это подчеркивают
и сами специалиста по ИИ, отмечающие, что знание должно рассматриваться не
как нечто пассивное в виде таблиц или архивов, а как активные операции,
позволяющие не только запоминать, но и воспроизводить, извлекать из памяти
приобретенные знания для последующих рассуждений на их основе. Из этого
следует, что истоки кибернетической трактовки представления знания коренятся в
Глава 8
373
теории познания, а конечной целью представления знаний являются программные
средства кибернетики.
Логический вывод в «экспертных системах». При характеристики
некоторой области кибернетического представления знаний обычно употребляется
выражение «область экспертизы». Анализ этой области имеет несколько
уровней, главными из которых являются эмпирический и теоретический. На
эмпирическом уровне проводятся (в зависимости от целей экспертного анализа)
наблюдения, собеседования, тестирования и т. п. На теоретическом уровне
завершающая обработка накопленной информации осуществляется с помощью
использования определенного символизма, каковым обычно является язык
символической логики, ориентированной на математику. Этот формализованный язык
позволяет осуществлять описание знаний в форме, одновременно близкой форме
обычного символического языка и языку программирования. Активными
операциями представления знания на теоретическом уровне являются правила
логического вывода, позволяющие получать новые знания из уже имеющихся. В
силу этого символическая логика в виде математической логики лежит в основе
различных представлений знаний в области исследований по ИИ.
На эмпирическом уровне экспертного анализа мы имеем дело с некоторыми
фактами и правилами их оценки, В результате соответствующей оценки фактов
получаются некоторые оценочные знания об этих фактах. Данные знания мы храним в своей
памяти и пользуемся этими знаниями для распознавания и сравнения различных других
фактов. Процесс использования знания о фактах осуществляется по определенным
правилам, которые принято называть логическими правилами, главными из которых
являются правила вывода. В исследованиях по ИИ под правилами понимаются
команды-данные, представленные с помощью импликации или в иной эквивалентной
логической форме.
Знания о фактах, или просто факты, составляют важную часть ИИ. Под
фактами здесь понимаются данные, представленные соответствующими
предикатами. Поскольку разные факты обладают разной ценностью для человека, он
стремится отразить это и в соответствующих компьютерных программах,
отделяя главное от второстепенного. Для указания на различные ценностные
характеристики фактов, да и не только их, человек не поленился создать науку о
ценностях (аксиологию п) и затем преобразовать некоторые ее понятия для
использования в программном обеспечении машин. Так на свет появилось понятие веса
{важности) или стоимости (ценности) факта. Чем больше у определенного факта
вес, тем большее значение имеет этот факт при решении соответствующей задачи.
Образно говоря, компьютер как бы «взвешивает» различные факты (прикидывает
их «стоимость») в зависимости от организации программы и выдачи ответов на
предполагаемые вопросы, диапазон которых определяется программой. В
компьютерных программах числа, указывающие на весомость фактов, называются
весами (стоимостями, ценностями) или весовыми (стоимостными, ценностными)
факторами фактов. При написании программы они обычно берутся в скобки.
Факты, поступающие в машинную память и содержащие конкретную
информацию, называются данными. Эти факты-данные являются ответами в форме
«да/нет» на соответствующие вопросы-запросы.
Факты-данные и правила (команды-данные) работы с ними, ядерную часть
которых составляют логические правила вывода, образуют базу знаний.
Методы ИИ предполагают высокую степень независимости отдельных
частей программы, каждая из которых реализует определенный шаг решения
одной или нескольких задач. Такая гибкость придает процессу реализации
программы большую эффективность, позволяя упрощать решение задачи или их
От гр. axios - ценный + logia - наука, учение; учение о ценностях.
374
К.К. Жоль Логика
комплекса в зависимости от важности соответствующих шагов для достижения
определенной цели. Например, если какая-то часть данных из базы знаний имеет
минимальный или даже нулевой информационный вес, эта часть может быть
безболезненно пропущена.
Механизм упрощения решения задач можно представить с помощью
правил, блокирующих информацию, не имеющую прямого отношения к решаемой
в данный момент задаче, то есть механизм упрощения способствует
достижению цели кратчайшим путем.
Правила в системе ИИ помогают верно оценить факты-данные и достичь
цели оптимальным способом.
После того, как определены общие факты-данные, необходимые для
достижения цели, надо конкретизировать эти данные применительно к конкретным
условиям решения той или иной задачи и присвоить значение некоторым переменным.
В кибернетике присваивание значений переменным называется инициализацией.
Рассмотрим теперь задачу, схематично демонстрирующую работу
специалиста по ИИ.
Великий Комбинатор Остап Бендер задумал протестировать гражданина Ко-
рейко на предмет наличия у последнего неправедно нажитых миллионов. С этой
целью борец с подпольными советскими миллионерами решил выяснить, (а)
хитер ли гражданин Корейко, (б) глуп ли оный гражданин или же (в) у него мозги
заурядной личности.
Обозначим нашего подпольного миллионера переменной ГРАЖДАНИН и
сформулируем на БЕЙСИКе следующие задачи:
Хитер ли ГРАЖДАНИН?
Глуп ли ГРАЖДАНИН?
Зауряден ли ГРАЖДАНИН?
При ответах на поставленные л^-вопросы переменной ГРАЖДАНИН будет
присвоено конкретное имя. На БЕЙСИКе это осуществляется так:
INPUT «Введите имя»; ГРАЖДАНИН
При выполнении компьютером этого предложения на экране появится
надпись:
Введите имя?
В ответ надо ввести имя Корейко.
Тестирование интеллекта Корейко предполагает, что он должен уметь или
не уметь:
1. Считать до 10 000 000, учитывая подпольную коммерцию (2).
2. Считать себя ничтожной личностью (1).
3. Считать деньги в чужих карманах, не мечтая о миллионах (1).
Числа в скобках указывают относительную важность (вес) фактов,
использующихся при оценке интеллекта ГРАЖДАНИНА.
Теперь можно браться за составление программы на БЕЙСИКе, которая
будет схематично (не фактически!) выглядеть примерно так:
5 REM Переменная ГРАЖДАНИН - имя подпольного миллионера
10 INPUT «Введите имя подпольного миллионера»; ГРАЖДАНИН
15 REM в Sl$ будет храниться ответ (да/нет) на следующий вопрос:
Глава 8
375
20 PRINT» «Умеет ли «;ГРАЖДАНИН;» считать до 10 000 000 без ошибок»
25 INPUT Sl$
30 REM в S2$ будет храниться ответ (да/нет) на следующий вопрос:
35 PRINT» «Умеет ли «;ГРАЖДАНИН;» считать себя ничтожной личностью»
40 INPUT S2$
45 REM в S3$ будет храниться ответ (да/нет) на следующий вопрос:
50 PRINT» «Умеет ли «;ГРАЖДАНИН;» считать деньги в чужих карманах,
не мечтая о миллионах»
55 INPUT S3$
Программа в режиме диалога выводит на экран монитора вопросы, ответы
на которые будут использоваться для оценки интеллекта подпольного
советского миллионера Корейко. Ниже приводится диалог с компьютером.
ВВЕДИТЕ ИМЯ ГРАЖДАНИНА? Корейко
УМЕЕТ КОРЕЙКО СЧИТАТЬ ДО 10 000 000 БЕЗ ОШИБОК? Да
УМЕЕТ КОРЕЙКО СЧИТАТЬ СЕБЯ НИЧТОЖНОЙ ЛИЧНОСТЬЮ? Нет
УМЕЕТ КОРЕЙКО СЧИТАТЬ ДЕНЬГИ В ЧУЖИХ КАРМАНАХ, НЕ
МЕЧТАЯ О МИЛЛИОНАХ? Нет
Теперь все проинициализированные переменные становятся частью базы
данных.
Получив сумму весовых факторов для отрицательных ответов на
дополнительные вопросы, можно узнать, как велики у Корейко трудности для
беззаботной жизни в качестве подпольного советского миллионера. Например:
Доволен ли своим питанием Корейко? Доволен ли своими брюками Корейко?
Доволен ли своей работой Корейко? Формулировка вопросов и ответов
аналогична вышеприведенному образцу программы. В результате мы получим,
например, следующую оценку трудностей советского жития-бытия Корейко:
Sl$ (2) да 0
S2$ (1) нет 1
S3$ (1) нет 1
Общий весовой фактор = 2.
Общий весовой фактор при ответах «нет» на большинство вопросов имел
бы максимальное значение, указывающее на несовместимость идеалов
гражданина Корейко с социалистической действительностью в СССР.
Правила в системе ИИ помогают верно оценить данные и достичь
поставленной цели, собирая компромат на гражданина Корейко не в папочку с
ботиночными тесемками, а занося его в память компьютера.
Сформулируем правило, позволяющее оценить психологическую
несовместимость гражданина Корейко с реалиями советской жизни:
ЕСЛИ общий весовой фактор больше 1,
ТО у ГРАЖДАНИНА есть трудности существования в СССР.
Значение 1 в данном правиле называется граничным уровнем решения.
Результирующий весовой фактор у Корейко равен 2. В соответствии с
приведенным выше правилом можно сделать вывод: гражданин Корейко
действительно испытывает трудности в реализации своих подпольных миллионов и
светлых капиталистических идеалов.
Иногда вместо формулировки правил можно воспользоваться
фактами-данными, охватывающими все возможные варианты, при которых общий весовой
376
К.К. Жоль Логика
фактор больше 1. Например, гражданин Корейко не умеет быть преданным
идеалам социалистического реализма человеком, если:
1. (Sl$=HeT) И (82$=да) И (83$=да) общий весовой фактор = 2
2. (Sl$=HeT) И (82$=да) И (S3$=hct) общий весовой фактор = 3
3. (Sl$=HeT) И (S2$=HeT) И (83$=да) общий весовой фактор = 3
4. (Sl$=HeT) И (S2$=HeT) И (S3$=HeT) общий весовой фактор = 4
5. (81$=да) И (S2$=HeT) И (83$=нет) общий весовой фактор = 2
В списке представлено 5 различных совокупностей фактов-данных.
Сформулированное правило включает в себя все эти факты. Поэтому их не надо специально
программировать. Намного легче запрограммировать одно правило, включающее
все факты, чем несколько отдельных фактов, применение которых ограничено.
Таким образом, наша программа состоит из:
(1) определения цели;
(2) определение фактов, имеющих отношение к цели;
(3) получения данных, соответствующих фактам;
(4) оценки данных на основе использования правила вывода.
Процесс достижения цели посредством движения от данных к логическому
заключению называется прямой цепочкой рассуждений или прямой дедукцией. В
системах прямой дедукции новые знания получают, применяя выводы к фактам
и правилам. Алгоритм завершает работу при получении некоторого знания,
эквивалентного цели.
Процесс, в котором заключение используется для поиска подтверждающих
его фактов-данных, называется обратной цепочкой рассуждений или обратной
дедукцией. В данном случае используется следующее правило:
ЕСЛИ гражданин Корейко испытывает серьезные трудности по
реализации своих подпольных миллионов,
ТО общий весовой фактор будет у него больше 1.
Весовые факторы выбираются не случайно. Они представляют собой
знания, полученные в результате исследования проблемной ситуации.
Используемый в данном случае язык БЕЙСИК был разработан в 1963 г.
профессорами Дартмутского колледжа (США) Дж.Кемени и Т.Куртцем. Основным
достоинством этого языка считается простота обучения и применения. Собственно
говоря, именно с этой целью он и разрабатывался. Данный тип программного
языка хорош для написания относительно коротких и простых программ, но не
очень удобен для программирования больших и сложных задач.
Наиболее надежным логическим инструментом представления знаний
является логика предикатов первого порядка, допускающая, как мы знаем, четыре
типа выражений, в том числе:
1. Константы. Они служат именами индивидуумов в отличие от имен
совокупностей. Константы представляются символьно вроде Козлевич_2, где
добавление цифры 2 указывает на вполне определенного человека среди
людей с такими же фамилиями.
2. Переменные. Обозначают имена совокупностей. Переменные
представляются символьно вроде Автомобиль 13. Цифра 13 указывает на вполне
определенный экземпляр автомобильного производства, а слово
«автомобиль» указывает на множество всех автомобилей. Символами х, у, z
представлены имена совокупностей, то есть определенных множеств.
Глава 8
377
3. Предикатные имена (предикатные константы). Они задают
правила соединения констант и переменных (например: правила грамматики,
логики, математические операции). Предикатными именами могут быть
выражения типа: «текст», «писать», «плюс», «умножить».
Представление знаний в системах ИИ должно исключать всякую
двусмысленность языка. Вот почему имена индивидуумов содержат цифры,
приписываемые к именам совокупностей. Например, Иван! и Иван_2 представляют
двух людей с одинаковыми именами.
Рассмотрим синтаксис логики предикатов первого порядка, сопоставляя
русским фразам их переводы на язык логического формализма.
По-русски: Бендер посылает телеграмму Корейко.
Логически: Посылка (Бендер_2, Корейко_3, Телеграмма 13).
По-русски: Все одесситы любят свой город.
Логически: V х(Одессит (х) —> Любит Свой Город).
По-русски: Некоторые одесситы любят баклажаны.
Логически: Зх(Одессит (х) & Любит Баклажаны).
Сравнивая два последних примера, мы видим, что замена слова «все» на
слово «некоторые» при переводе влечет не только замену квантора V на квантор 3,
но и замену связки —> на связку &, поскольку быть одесситом - еще не значит
быть любителем баклажан, то есть одно не влечет (не имплицирует) другое.
В свете сказанного рассмотрим факты и правила, касающиеся
представления знания. Например, мы имеем дело со служащими погребальной конторы
«Милости просим». Говоря языком кибернетики, персонал этой конторы
составляет множество фактов.
Факт 1.
По-русски: Безенчук - служащий конторы «Милости просим».
Логически: Служ (Конт, Безенчук!).
Факт 2.
По-русски: Служащий конторы «Милости просим» Безенчук пьет
горькую и закладывает гробы в городском ломбарде.
Логически: Служ: (Пьянь, Гроб, Ломб, Безенчук_2).
Правило 1.
По-русски: Если х - служащий погребальной конторы «Милости
просим, который пьет горькую и закладывает гробы в ломбарде, то он
может быть гробовых дел мастером Безенчуком.
Логически: [Служ: (х) & Пьянь (х) & Гроб (х)] —> Без (х).
Метод резолюций и автоматическое доказательство теорем. Для
представления знаний можно комбинировать логику предикатов первого порядка с такими
эффективными механизмами вывода, как метод резолюций (иногда говорят
метод резольвенций или метод резолюции). Что это за принцип и что это за метод?
Если говорить кратко, то принцип (правило) резолюций (резольвенций или
резолюции), с которым связан соответствующий метод, является обобщением
аристотелевского правила отделения (modus ponens) для дедуктивного вывода. В
принципе методом резолюций можно доказать любую теорему, которую
удается сформулировать на языке логики предикатов первого порядка.
Как мы уже знаем, исчисление предикатов первого порядка - это логическая
система, в которой можно выразить большую часть того, что относится к
математике, а также к фрагментам разговорного языка. И самое главное: эта система
378
К.К. Жоль Логика
содержит правила логического вывода, позволяющие делать верные логические
построения новых утверждений, исходя из некоторого заданного их множества. Благодаря
своей общности и логической силе исчисление предикатов может, по мнению
кибернетиков, всерьез претендовать на эффективное его использование в целях
машинного построения выводов.
Пусть А, В и С - формулы. Предположим, что две формулы (A v С) и
(В v —\С) истинны. Если С тоже истинно, то отсюда можно заключить, что В
истинно. Наоборот, если С ложно, то можно заключить, что А истинно. В
обоих случаях формула {A v В) истинна. В результате получается правило
(A v С, В v -nQ У A v В,
которое можно также записать в виде
ЬС -> А, С -> В) |= A v В.
Это правило называется правилом (или принципом) резолюций. Оно охватывает
довольно широкий спектр возможностей использования метода резолюций.
Особенно важен этот метод для ИИ, когда дело касается доказательства
невыполнимости некоторых логических формул. Почему это так важно?
В 1930 г. французский математик Ж. Эрбран (1903-1931) в докторской
диссертации по математике предложил оригинальный метод доказательства
теорем в формально-логических системах первого порядка. Общая идея его
метода состоит в том, чтобы получить некоторое заключение С, исходя из гипотез
#1, HI, ..., Нп, то есть чтобы доказать теорему Т
Hl & Hl & ... & Нп -> С,
достаточно доказать противоречивость формулы F
Hl & Hl & ... & Нп & -nC,
в которой отрицание заключения добавлено к исходным гипотезам. Такое
доказательство может быть осуществлено посредством прямого дедуктивного
вывода.
Короче, для доказательства противоречивости формулы F достаточно
показать, что F является лол-теоремой (ие-теоремой), так как в ней содержится
подвыражение вида (р & -р). Эрбран предложил эффективный способ
доказательства за конечное число подстановок в формулу F, когда исходное
выражение Т является теоремой.
Доказательство противоречивости формулы F основывается на
использовании отрицания. Теорема Эрбрана гарантирует, что существующее
противоречие может быть всегда достигнуто за конечное число шагов, каковы бы ни
были значения истинности, даваемые функциям, присутствующим в гипотезах
и заключениях.
Принцип резолюций (резольвенций) тесно связан с логическими понятиями
общезначимости и выполнимости. На чем базируется эта связь?
Одним из важных классов выражений в исчислении предикатов является класс
правильно построенных формул. Говорят, что правильно построенные формулы
принимают значение «истина» или «ложь» в зависимости от того, являются ли
соответствующие высказывания (пропозиции, утверждения) истинными или
ложными. Для того чтобы правильно построенной формуле придать
содержательный смысл, ее надо интерпретировать как некоторое утверждение, касающееся
выбранной области интерпретации. В математической логике такой областью
Глава 8
379
может служить некоторое непустое множество (например: множество целых
чисел, множество всех дрессированных львов, множество всех приват-доцентов и т.
д.).
Если некоторая правильно построенная формула имеет значение истинности
«истина» при всех ее интерпретациях, такую формулу называют общезначимой.
С помощью таблиц (матриц) истинности относительно легко можно определить,
общезначима ли данная правильно построенная формула, не содержащая
кванторов. Когда появляются кванторы, общезначимость или ее отсутствие не
всегда можно установить. Логики обнаружили, что общего метода нахождения
значений всех бесконечных формул, содержащих кванторы, не существует. По этой
причине исчисление предикатов, взятое в целом, называют неразрешимым.
Можно установить общезначимость лишь некоторых типов формул, содержащих
кванторы, и поэтому мы имеем право говорить только о разрешимых подклассах
исчисления предикатов.
Если некоторая правильно построенная формула на самом деле общезначима,
то, следовательно, существует процедура проверки ее общезначимости. В связи с
этим исчисление предикатов точнее будет называть полуразрешимым.
Факт полуразрешимости исчисления предикатов означает, что при заданной
правильно построенной формуле р и произвольном множестве правильно
построенных формул S не существует эффективной процедуры, позволяющей всегда
решать, следует ли логически р из 5. Если р действительно следует из S, то
существуют процедуры, которые в конце концов сообщат нам этот радостный факт.
Однако если р не следует из S, то те же процедуры, к большому нашему
сожалению, не всегда могут это установить.
Умение продемонстрировать, что р логически следует из S весьма ценно не
только для логиков, но и для кибернетиков, стремящихся автоматизировать
некоторые процедуры доказательств теоретических положений, чтобы освободить
человеческий разум от решения хотя и сложных, но в сущности рутинных задач.
Предположим, что р логически следует из S. Тогда любая интерпретация,
удовлетворяющая 5, удовлетворяет также р. Но эти же интерпретации не
могут удовлетворять -пр. Следовательно, никакая интерпретация не
удовлетворяет включению {—I/?} в S. Таким образом, если некоторое множество правильно
построенных формул не удовлетворяется ни при какой интерпретации, оно
называется невыполнимым (или неудовлетворимым).
Для того чтобы показать, что некоторое множество правильно
построенных формул невыполнимо, надо доказать, что нет такой интерпретации, при
которой каждая из правильно построенных формул в этом множестве имеет
значение «истина».
Хотя Чёрч и Тьюринг независимо друг от друга доказали, что не
существует общей разрешающей процедуры, то есть не существует алгоритма,
проверяющего общезначимость формул в логике первого порядка, тем не менее было
обнаружено, что существуют алгоритмы поиска доказательства, которые могут
подтвердить, что формула общезначима, если она на самом деле общезначима.
Очень важный вклад в решение этой проблемы был сделан Эрбраном. По
определению, общезначимая формула есть формула, которая истинна при всех
интерпретациях. Эрбран разработал алгоритм нахождения интерпретации,
которая опровергала данную формулу. Однако если данная формула на самом
деле общезначима, то никакой подобного рода интерпретации не существует и
алгоритм заканчивает работу за конечное число шагов. Метод Эрбрана
послужил основой для большинства современных автоматических (компьютерных)
алгоритмов поиска доказательства.
Процедуры поиска доказательства по Эрбрану являются процедурами
поиска опровержения, то есть вместо доказательства общезначимости формулы
доказывается, что отрицание формулы противоречиво.
380
K.K. Жолъ Логика
По определению множество дизъюнктов невыполнимо тогда и только тогда,
когда оно ложно при всех интерпретациях на всех областях. Поскольку
неудобно и невозможно рассматривать все интерпретации на всех областях, было бы
гораздо лучше, если бы мы могли фиксировать одну такую специальную
область Я, что S невыполнимо тогда и только тогда, когда S ложно при всех
интерпретациях на этой области. Действительно, такая область существует. Ее
называют эрбрановским универсумом множества S и определяют следующим
образом.
Пусть #о - множество констант, встречающихся в S. Если никакая
константа не встречается в S, то Н0 состоит из одной константы (например, Н0= {а}).
Для п - 0, 1, 2, ... пусть #„+1 есть объединение Нп и множество всех термов
вида f*(t 9 t2, ..., tj (при всех т) принадлежит Н. Тогда каждое Нп называется
множеством констант п-то уровня для S, а //ш называется эрбрановским
универсумом S.
Теперь дадим определение понятию «эрбрановский базис». Пусть S есть
множество дизъюнктов. Тогда множество основных атомарных высказываний вида
/*(/, /, .., tj для всех л-местных предикатов /*, встречающихся в S, называется
множеством атомарных высказываний множества S или эрбрановским базисом S.
Эрбрановский универсум и эрбрановский базис связаны с понятием
семантического дерева, то есть нахождение доказательства для множества дизъюнктов
эквивалентно построению семантического дерева.
Пусть S - множество дизъюнктов, а В - его эрбрановский базис.
Семантическое дерево для S есть растущее вниз дерево Г, в котором каждому ребру
приписано конечное множество атомарных высказываний (пропозиций) или
отрицаний атомарных высказываний из В таким образом:
1. Из каждого узла N выходит только конечное число ребер Lu L2, ..., Ln.
Пусть Qi - конъюнкция всех литер, приписанных к Lh i = 1, 2, 3, ..., п.
Тогда Qx V Q2 v ... v Qn - общезначимая пропозициональная формула.
2. Пусть для каждого узла N I(N) есть объединение всех множеств,
приписанных ребрам ветви, ведущей к N. Тогда I(N) не содержит
контрарных пар типа А и -А.
Рассмотрим еще один пример. Пусть А = {Ръ Q9 R} - эрбрановский базис
множества S. Тогда дерево на рис. 10 есть полное семантическое дерево для S.
По мнению ученых, теорема Эрбрана - очень важная теорема
математической логики. Эта теорема является основой большинства современных машинных
алгоритмов доказательства теорем. Согласно данной теореме, чтобы проверить,
Рис. 10.
Глава 8
381
является ли множество дизъюнктов невыполнимым, нам необходимо
рассмотреть только интерпретации над эрбрановским универсумом S. Если S ложно при
всех интерпретациях над эрбрановским универсумом S, то можно заключить,
что S невыполнимо. Поскольку существует много, возможно бесконечное число,
таких интерпретаций, постольку их организуют некоторым систематическим
образом. Это можно сделать, используя семантические деревья.
Доказательства невыполнимости логических формул очень важны в
исследованиях по ИИ. Способы таких доказательств, основанные на принципе резолюций,
выделяются среди прочих тем, что дают возможность использовать средства
автоматического доказательства, применяемые в логическом программировании.
Первым реализовал на компьютере идеи Эрбрана математик Дж.Робинсон
в 1963 г. Хотя Робинсон использовал только один подход к доказательству
теорем в формальной логике, но этот подход, по мнению Э.Ханта, можно
применять фактически к любой ситуации, которую мы обычно связываем с
решением задач. Основная идея данного подхода достаточно проста, а именно:
истинность любого утверждения можно обосновать, показав, что его отрицание
ложно. Например, в задачах доказательства теорем надо установить, что
утверждение А —> В истинно (здесь А - условие задачи, а В - искомое заключение).
Предположим теперь, что А и В - множество утверждений. Если бы мы
пожелали доказать истинность утверждения А —> В с помощью подхода Ньюэлла и
Саймона, то должны были бы начать с множества А0 аксиом и применить
некоторые правила вывода для получения нового множества Ах аксиом и
утверждений-следствий. Затем необходимо было бы применить правила
вывода к Ах для получения множества ^ и т. д., пока не обнаружилось бы, что
некоторое множество Ап содержит в качестве своего подмножества В, то есть
множество утверждений, подлежащих доказательству.
Другой способ доказательства истинности утверждения А —> В состоит в
том, чтобы показать, что его отрицание ложно:
(А -> В) = -п(-п А V В) = (А & -п В).
Это можно осуществить, показав, что одновременная истинность А и —i В
приводит к противоречию. Робинсон предложил применить для этого правило
вывода по принципу резолюций. В качестве примера этого вывода рассмотрим
следующую ситуацию:
ЕСЛИ эта дама приходится Чарли тетей,
ТО она должна прийти с Чарли. Но ее никогда не видели вместе с Чарли.
Переведем это предложение на язык символической логики и получим:
ВЫСКАЗЫВАНИЕ 1:
(Тетя (дама, Чарли) —> Присутствует (дама, Чарли))
ВЫСКАЗЫВАНИЕ 2:
(—Присутствует (дама, Чарли))
Пусть А обозначает «Тетя (дама, Чарли)», а В - «Присутствует (дама,
Чарли))». Высказывания 1 (В-1) и 2 (В-2) представляют собой аксиомы задачи.
Гипотезой здесь является то, что дама не приходится Чарли тетей (на самом
деле «она» была переодетым Чарли), и это записывается как -л А. Для
доказательства данной гипотезы с помощью резолюции мы должны взять отрицание
гипотезы и добавить к аксиомам полученные в результате пропозиции. Тогда
переписав пропозицию В-1 в дизъюнктивной форме, получим пропозиции
382
К.К. Жоль Логика
В-1 (-1 А V В\
В-2 (-, В),
В-2 (А).
Исследуем теперь второй этап вьшода по методу Робинсона. Пусть два
высказывания имеют форму (A v В) и (—A v С).Тогда
(А V В) & (-,А V С) ^> (В V С).
Вывод такого рода называется резолюцией высказываний (пропозиций),
стоящих слева от символа импликации —>, а высказывание справа - резольвентой.
Если объединяются два высказывания вида А и —А, то получается
противоречие. Формально можно считать резольвентой двух таких высказываний
пустое высказывание (с точки зрения теории множеств). Вывод пустого
высказывания показывает, что исходное множество содержало противоречие.
Полезно знать, что работы Робинсона привели к следующему: основное
внимание в исследованиях по ИИ переместилось от попытки воспроизвести
решение задач на компьютере к разработке машинно-ориентированных методов.
Кроме того, был возрожден интерес к практическим приложениям методов
доказательства теорем, в особенности к автоматизированному
информационному поиску.
Метод доказательства, основанный на принципе резолюции, имеет не только
свои преимущества, но и свои недостатки, к числу которых относится то, что он
предназначен лишь для доказательства теорем и не пригоден для того, чтобы,
скажем, придумывать новые предложения (высказывания, пропозиции), а затем
доказывать их. Поэтому следует помнить, что метод резолюций интересен
благодаря простоте и систематичности, но применим к ограниченному числу
случаев. Иными словами, хотя в области автоматического доказательства теорем
наблюдается значительный прогресс, но все же следует признать, что программы
доказательств теорем, основанные на резолюциях, порождают слишком много
предложений (пропозиций), а также исследуют слишком много бесполезных путей.
Как считают специалисты, легко указать задачи, для решения которых не
хватает памяти и быстродействия существующих в настоящее время
компьютеров. Поэтому предлагается использовать возможности машины в единстве с
возможностями человека, который мог бы «подсказывать» компьютеру
некоторые шаги в процессе доказательства теорем. По словам Ханта, это вызвано
тем, что обычно электронно-вычислительные устройства, обеспеченные
соответствующими программами, оказываются не в состоянии решить задачу из-за
того, что слишком много «усилий» тратится на проведение определенной
линии доказательства уже после того, как человеку «становится очевидна»
невозможность найти решение на этом пути. В ряде проектов делались попытки
использовать данную идею, однако без большого успеха. Трудность
эффективного функционирования человеко-машинных систем состоит еще и в том, что
для таких систем требуется язык, на котором человек может общаться с
машиной. По мнению Ханта, сомнительно, чтобы для этого был достаточен какой-
нибудь общепринятый язык программирования, известный в настоящее время,
хотя некоторые возможности просматриваются..
Заключение. Подводя итоги, можно отметить следующее:
1. В кибернетике под теорией информации понимается обобщение того, что
происходит при переходе разнообразных сообщений по различным каналам
связи (если не учитывать хранения информации).
2. Исследования в области «искусственного интеллекта» по проблематике
«экспертных систем» привели к появлению новой научно-технической
дисциплины, названной когнитивной {познавательной) инженерией.
Глава 8
383
3. В языках программирования исключительно важную роль играет компиляция,
связанная с решением проблемы отображения одного алгоритма в другой
посредством компиляции исходной программы, написанной на языке программирования
высокого уровня, в объектный язык (код) электронно-вычислительной машины. С
помощью КОМПИЛЯТОРОВ создается эффективно работающие объектные
программы.
4. Представление (репрезентация) знаний в системах «искусственного
интеллекта» - это формализация соответствующего знания посредством
определенного символизма, приемлемого для языков программирования высокого
уровня. При этом кибернетическая трактовка представления знаний опирается
на гносеологическую (эпистемологическую) трактовку процесса познания.
5. В исследованиях по «искусственному интеллекту» под правилами
представления знаний, включая логические знания правил вывода, понимаются
команды-данные, выраженные с помощью импликации или в иной
эквивалентной логической форме.
6. Принцип (правило) резолюций (резольвенций) является обобщением
логического правила отделения (modus ponens) для дедуктивного вывода. Методом
резолюций можно доказать любую теорему, которую удается сформулировать
на языке классической логики предикатов первого порядка.
КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Опишите предметную область кибернетики.
2. В чем заключается различие между программами высокого уровня и
машинным кодом?
3. Охарактеризуйте язык Ассемблер. Каково основное назначение
ассемблирования и компиляции по отношению к языкам программирования?
4. Какая логика используется в логических моделях компьютерного
представления знаний?
5. Что такое принцип (правило) резолюций (резольвенций)?
6. Чем занимаются представители когнитивной (познавательной) инженерии?
7. В чем заключаются отличительные черты «экспертных систем»?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Абель П. Язык Ассемблера для IBM PC и программирования: Пер. с англ. -
М: Высшая школа, 1992. - 447 с.
Бирюков Б. В. Кибернетика и методология науки. - М.: Наука, 1974. - 416 с.
Грэй П. Логика, алгебра и базы данных: Пер. с англ. - М: Машиностроение,
1989. - 359 с.
Дейтел X. М., Дейтел П. Дж. Как программировать на C++: Пер. с англ. - М.:
ЗАО Изд-во БИНОМ, 2000. - 1024 с.
Джордж Ф. Основы кибернетики: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1984. - 272 с.
Кершан Б., Новембер А., Стоун Дж. Основы компьютерной грамотности: Пер.
с англ. - М.: Мир, 1989. - 256 с.
Кормен Т., Лейзерсон Ч^ Ривест. Алгоритмы: построение и анализ: Пер. с англ. -
М.: МЦНМО, 2000. - 960 с.
Левин Р., Дранг Д., Эделсон Б. Практическое введение в технологию
искусственного интеллекта и экспертных систем с иллюстрациями на Бейсике: Пер. с
англ. - М.: Финансы и статистика, 1990. - 240 с.
Логический подход к искусственному интеллекту. От классической логики к
логическому программированию / А. Тейз, П. Грибомон, Ж. Луи и др.: Пер. с
фр. - М.: Мир, 1990. - 430 с.
384
К.К. Жоль Логика
Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта: Пер. с фр. - М.: Мир, 1991. -
568 с.
Пирс Дж. Символы, сигналы, шумы. Закономерности и процессы передачи
информации: Пер. с англ. - М.: Мир, 1967. - 334 с.
Представление и использование знаний / Под ред. Х.Уэно, М.Исидзука: Пер.
с англ. - М.: Мир, 1989. - 220 с.
Салтыков А. И., Семашко Г. Л. Программирование для всех. - М.: Наука,
1980. - 160 с.
Страуструп Б. Язы программирования C++: Пер. с англ. - СПб.; М.: Изд-во
Невский Диалект - Изд-во БИНОМ, 1999. - 991 с.
Уинстон П. Искусственный интеллект: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 520 с.
Уолш Б. Программирование на Бейсике: Пер. с англ. - М.: Радио и связь,
1988. - 336 с.
Файнстейн А. Основы теории информации: Пер. с англ. - М.: Изд-во
Иностранная литература, 1960. - 140 с.
Хант Э. Искусственный интеллект: Пер. с англ. - М.: Мир, 1978. - 558 с.
Чарняк Ю. Умозаключения и знания. (Часть I) // Новое в зарубежной
лингвистике. - Вып. XII: Прикладная лингвистика: Пер. с англ. - М.: Радуга, 1983. -
С. 171-207.
Чарняк Ю. Умозаключения и знания. (Часть II) // Там же. - С. 272-317.
Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство
теорем: Пер. с англ. - М.: Наука, 1983. - 358 с.
* * *
Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции:
Пер. с англ. - В 2 т. - Т. 1: Синтаксический анализ. - М.: Мир, 1978. - 612 с;
Т. 2: Компиляция. - М.: Мир, 1978. - 488 с.
Бенерджи Р. Теория решения задач: Пер. с англ. - М.: Мир, 1972. - 224 с.
Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения:
Пер. с англ - М.: Изд-во «Конкорд», 1992. - 519 с.
Минский М. Вычисления и автоматы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1971. - 336 с.
Скрэгг Г. Семантические сети как модели памяти // Новое в зарубежной
лингвистике. - Вып. XII: Прикладная лингвистика: Пер. с англ. - М.: Радуга, 1983. - С.
228-271.
Слокум Дж. Обзор разработок по машинному переводу: история вопроса,
современное состояние и перспективы развития // Новое в зарубежной лингвистике. -
Вып. XXIV: Компьютерная лингвистика: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1989. -
С. 357-406.
Стауструп Б. Язык программирования C++: Пер. с англ. - М.: Радио и связь,
1991. - 352 с.
Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. - М.: Советское радио,
1977. - 488 с.
Хэмминг Р. В. Теория кодирования и теория информации: Пер. с англ. - М.:
Радио и связь, 1983. - 174 с.
Чиссар И., Кернер Я. Теория информации. Теоремы кодифицирования для
дискретных систем без памяти: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 397 с.
Шенк Р., Лебовиц М., Бирнбаум Л. Интегральная понимающая система //
Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XII: Прикладная лингвистика: Пер. с
англ. - М.: Радуга, 1983. - С. 401-^49.
Шенк Р., Бирнбаум Л., Мей Дж. К интеграции семантики и прагматики //
Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XXIV: Компьютерная лингвистика: Пер.
с англ. - М.: Прогресс, 1989. - С. 32-47.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Бродский И. Н. Элементарное введение в символическую логику. - Ленинград:
Изд-во ЛГУ, 1972. - 62 с.
Войшвилло Е. К. Символическая логика (классическая и релевантная): Фило-
софско-методологические аспекты. - М.: Высшая школа, 1989. - 150 с.
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А Математическая логика. - М.: Наука, 1979. - 320 с.
Костюк В. Н. Логика. - Киев, Одесса: Вища школа, 1975. - 112 с.
Лазарева Е. А Элементы математической логики. - М: Изд-во МГУ, 1979. - 61 с.
Мельников В. Н. Логические задачи. - Киев - Одесса: Вища школа, 1989. - 335 с.
Никитин В. В. Сборник логических упражнений. Пособие для учителей
математики. - М.: Просвещение, 1970. - 96 с.
Никольская И. Л. Математическая логика. - М.: Высшая школа, 1981. - 127 с.
Переверзев В. Н. Логистика. Справочная книга по логике. - М.: Мысль, 1995. -
220 с.
Попов А. И. Введение в математическую логику. - Ленинград: Изд-во ЛГУ,
1959. - 108 с.
Столяр А. А. Элементарное введение в математическую логику. Пособие для
учителей. - М.: Просвещение, 1965. - 163 с.
Уёмов А. И. Основы практической логики с задачами и упражнениями. -
Одесса: Изд-во Одесского госуниверситета, 1997. - 380 с.
Шенфилд Дж. Р. Математическая логика: Пер. с англ. - М.: Наука, 1975. - 527 с.
Эдельман С. Л. Математическая логика. - М.: Высшая школа, 1975. - 176 с.
Basson А. Н., O'Connor D. J. Introduction to symbolic logic. - London: Univ.
Tutorial Press, 1962. - 175 p.
Bochenski I. M. A history of formal logic. - Notre Dame, 1961. - XXII, 567 p.
Cohen M. R., Nagel E. An introduction to logic. - New York: Burlingame, 1962. -
XIII, 225 p.
Bostock D. Intermediate logic. - Oxford: Oxford Univ. Press, 1997. - 336 p.
Copi I. M. Intoduction to logic. - New York: Macmillan, 1958. - XVI, 472 p.
Epstein R. L. The semantic foundations of logic. - Vol.1: Propositional logics. -
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990. - 416 p.
Gamut L. T. Logic, language, and meaning. - Vol.1: Introduction to logic. - Chicago,
London: Univ. of Chicago Press, 1991. - XI, 282 p.
Kneale W., Kneale M. The development of logic. - London, Oxford: Clarendon,
1962. - 761 p.
Schipper E. W., Schuh E. A first course in modern logic. - New York: Holt, 1960. -
XVIII, 398 p.
Sherwood J. С Discourse of reason. A brief handbook of semantics and logic. -
New York: Harper & Row, 1960. - 112 p.
Simonds R. Beginning philosophical logic. - Lanham: Univ. Press of Amer., 1988. -
187 p.
Wojcicki R. Theory of logical calculi: Basic theory consequence operations. -
Dordrecht: Kluwer, 1988. - XVIII, 473 p.
Wolfram S. Philosophical logic: An introduction. - London, New York: Routledge,
1989. - XIV, 290 p.
* * *
Аналитическая философия. Избранные тексты / Составление, вступ. ст. и
примечания А. Ф. Грязнова. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 182 с.
Литература
387
Батыгин Г. С. Обоснование научного вывода в прикладной социологии. - М.:
Наука, 1986. - 272 с.
Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // В сб.:
Вопросы анализа и процедуры принятия решений. - М.: Мир, 1976. - С. 172-215.
Вартофскйй М. Модели. Репрезентация и научное понимание: Пер. с англ. -
М.: Прогресс, 1988. - 508 с.
Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов
принятия решений // В сб.: Математика сегодня. - М.: Изд-во «Знание», 1974. -
С. 5^9.
Зиновьев А. А. Философские проблемы многозначной логики. - М.: Наука,
1960. - 139 с.
Зиновьев А. А. Логика высказываний и теория вывода. - М.: Изд-во АН СССР,
1962. - 152 с.
Зиновьев А. А. Основы логической теории научных знаний. - М.: Наука, 1967. -
260 с.
Зиновьев А. А. Комплексная логика. - М.: Наука, 1970. - 203 с.
Зиновьев А. А. Логика науки. - М.: Мысль, 1971. - 279 с.
Зиновьев А. А. Логическая физика. - М.: Наука, 1972. - 190 с.
Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика: Пер. с англ. - М.: Прогресс,
1978. - 376 с.
Колядко В. И. Бернард Больцано. - М.: Мысль, 1982. - 200 с.
Кольман Э. Бернард Больцано. - М.: Изд-во АН СССР, 1955. - 224 с.
Крайзель Г. Исследование по теории доказательств: Пер. с англ. - М.: Мир,
1981. - 289 с.
Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы: Пер.
с англ. - М.: Наука, 1967. - 152 с.
Ледников Е. Е. Проблема конструктов в анализе научных теорий. - Киев: На-
укова думка, 1969. - 148 с.
Непейвода Н. Н. Выводы в форме графов // Семиотика и информатика. - Вып.
26. - М.: ВИНИТИ, 1985. - С. 52-82.
Серебряков О. Ф. Эвристические принципы и логические исчисления. - М.:
Наука, 1970. - 83 с.
Смирнов В. А. Формальный вывод и логические исчисления. - М.: Наука, 1972. -
271 с.
Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. - М.: Наука, 1967. - 507 с.
Субботин А. Л. Традиционная и современная формальная логика. - М.: Наука,
1969. - 160 с.
Урсул А. Д. Природа информации. Философский очерк. - М.: Политиздат, 1968. -
288 с.
Федоров Б. И. Логика Бернардо Больцано. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1980. -
160 с.
Финн В. К. Логические проблемы информационного поиска. - М.: Наука, 1976. -
152 с.
Фреге Г. Избранные работы: Пер. с нем. - М.: Дом интеллектуальной книги,
Русское феноменологическое общество, 1997. - 160 с.
Фрейденталь X. Язык логики: Пер. с англ. - М.: Наука, 1969. - 135 с.
Хинтикка Я., Хинтикка М. Шерлок Холмс против современной логики: к
теории поиска информации с помощью вопросов // В сб.: Язык и моделирование
социального взаимодействия: Пер. с разных яз. - М.: Прогресс, 1987. - С. 265-
281.
Alexander P. A preface to the logic of science. - London, New York: Sheed, 1963. -
144 p.
Allwood J., Andersson L.-G., Dahl O. Logic in linguistics. - Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1979. - X, 185 p.
388
К. К. Жоль Логика
Ambrose A., Lazerowitz M. Logic: The theory of formal inference. - New Yoirlc:
Holt, 1961. - 78 p.
Ammer man R. R. Classics of analytic philosophy. - New York: McGraw-Hill, 1965. -
X, 413 p.
Analitical philosophy / Ed. by R.J.Butler. - New York: Barnes, 1962. - 235 p.
Angell R. B. Reasoning and logic. - New York: Appleton-Centurty-Crofts, 1964. -
XVI, 625 p.
Ayer A. J. Language, truth and logic. - London: Gollancz, 1958. - 160 p.
Ayer A. J. Probability and evidence. - New York: Columbia Univ. Press, 1972. - X,
144 p.
Beth E. W. Formal methods. An introduction to symbolic logic and to the study of
effective operations in arithmetic and logic. - New York: Gordon, 1962. - XTV, 170 p.
Beth E. W. Aspects of modern logic. - Dordrecht-Holland: Dordrecht Reidel
Publishing Company, 1970. - XI, 176 p.
Bigelow J. Real possibilities // Philosophical Studies. An international journal for
philosophy in the analytic tradition. - Dordrecht & Boston: D. Reidel Publishing
Company. - Vol. 53. - 1988. - No. 1. - P. 37-64.
Bridgman P. W. The way things are. - Cambridge, Massachusetts: Harvard Univ.
Press, 1959. - 333 p.
British analytical philosophy / Ed. by B. W. Williams. - London: Routledge, 1966. -
346 p.
Brody B. A. Identity and Essence. - Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press,
1980. - IX, 165 p.
Burkhardt H. Modalities in language, thought and reality in Leibniz, Descartes and
Crusius // Synthese. An international journal for epistemology, methodology and
philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. -
Vol. 75. - 1988. - No. 2. - P. 183-215.
Butchvarov P. Resemblance and identity. An examination of the problem of universals. -
Bloomington, London: Indiana Univ. Press, 1966. - XIV, 208 p.
Carnap R. The logical structure of the world. Problems in philosophy. - London:
Routledge, 1967. - XXVI, 364 p.
Chisholm R. M. The status of epistemic principles // Nous. - Bloomington, Indiana:
Published by Indiana Univ. - Vol. XXIV. - 1990. - No. 2. - P. 209-215.
Cocchiarella N. B. Predication versus membership in the distinction between logic as
language and logic as calculus // Synthese. An international journal for epistemology,
methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer
Academic Publishers. - Vol. 77. - 1988. - No. 1. - P. 37-72.
Copi I. M., Gould J. A. Contemporary readings in logical theory. - New York:
Macmillan, 1967. - 344 p.
Deutsch H. Contingency and modal logic // Philosophical Studies. An international
journal for philosophy in the analytic tradition. - Dordrecht, London, Boston: Kluwer
Academic Publishers. - Vol. 60. - 1990. - No. 1-2. - P. 89-102.
Dickoff J., James P. Symbolic logic and language. - New York: McGraw-Hill, 1965. -
XII, 390 p.
Doepke F. The step to individuation // Synthese. An international journal for
epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London:
Kluwer Academic Publishers. - Vol. 78. - 1989. -.No. 2. - P. 129-140.
Etchemendy J. The concept of logical consequence. - Cambridge, Massachusetts,
London: Harvard Univ. Press, 1990. - 174 p.
Frege G. Conceptual notation and related articles / Ed. by T.W.Bynum. - Oxford:
Oxford Univ. Press, 1979. - 300 p.
Fuhrmann A. Reflective modalities and theory change // Synthese. An international
journal for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 81. - 1989. - No. 1. - P. 47-133.
Литература
389
Fuhrmann Gy. «Prototypes» and «Fuzziness» in the logic of concepts // Synthese.
An international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 75. - 1988. - No.
3. - P. 317-347.
Gibbard A. Wise choices, apt feelings: A theory of normative judgment. - Cambridge,
Massachusetts: Harvard Univ. Press, 1990. - X, 346 p.
Grim P. Logic and limits of knowledge and truth // Nous. - Bloomington, Indiana:
Publisher quaterly by Indiana Univ. - Vol. XXII. - 1988. - No. 3. - P. 341-367.
Gross B. R. Analytic philosophy. An historical introduction. - New York: Pegasus,
1970. - 245 p.
Guttenplan S. The language of logic: An introduction. - Oxford, New York: Blackwell,
1987. - X, 336 p.
Haaparanta L. Analysis as the method of logical discovery: some remarks on Frege
and Husserl // Synthese. An international journal for epistemology, methodology
and philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic
Publishers. - Vol. 77. - 1988. - No. 1. - P. 73-97.
Hansson S. O. Preference-based deontic logic // Journal of Philosophical Logic. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 19. - 1990. - No.
1. - P. 75-93.
Hartland-Swann J. An analysis of knowing. - London: Allen and Unwin, 1958. -
141 p.
Hasenjaeger G. Introduction to the basic concepts and problems of modern logic. -
Dordrecht-Holland: Dordrecht Reidel Publishing Company, 1972. - 180 p.
Hesse M. The structure of scientific inference. - London: Macmillan, 1974. - VII, 309 p.
Hilpenen R. Rules of acceptance and inductive logic. - Amsterdam: North-Holland
Publ, 1968. - 134 p.
Hintikka J. Knowledge and belief. An introduction to the logic of the two notions. -
Ithaca, New York: Cornell Univ. Press, 1962. - X, 179 p.
Hintikka J. Logic, language-games and information. Kantian themes in the philosophy
of logic. - Oxford: Clarendon Press, 1973. - X, 291 p.
Hintikka J. The Cartesian cogito, epistemic logic and neuroscience: some surprising
interrelations // Syhthese. An international journal for epistemology, methodology
and philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. -
Vol. 83. - 1990. - No. 1. - P. 133-157.
Hugly Ph., Sayward Ch. Moral relativism and deontic logic // Synthese. An
international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 85. - 1990. - No.
1. - P. 139-152.
Hunter G. Metalogic. An introduction to the metatheory of standart first oder logic. -
London - Basingstoke: Macmillan, 1971. - XIII, 288 p.
Kearns J.T. The principles of deductive logic. - Albany, New York: State Univ. of
N.Y. Press, 1988. - XII, 471 p.
Kevelson R. How's of why's and why's of how's: relation of method and cause in
inquiry // Synthese. An international journal for epistemology, methodology and
philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academmic Publishers. -
Vol. 74. - 1988. - No. 1. - P. 91-106.
Kleiner S. Erotetic logic and scientific inquiry // Synthese. An international journal
for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academmic Publishers. - Vol. 74. - 1988. - No. 1. - P. 19-46.
Körner S. Conceptual thinking. A logical inquiry. - New York: Dover, 1959. - 301 p.
Koura A. An approach to why-questions // Synthese. An international journal for
epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London:
Kluwer Academic Publishers. - Vol. 74. - 1988. - No. 2. - P. 191-206.
Logical positivism / Ed. by A. J. Ayer. - Glencoe: Free Press, 1959. - 455 p.
390
K.K. Жоль Логика
Materna P. On problems. (Semantic study). - Praha, 1970. - 63 p.
Menzel Ch. Actualism, ontological commitment, and possible world semantics //
Synthese. An international journal for epistemology, methodology and philosophy of
science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 85. -
1990. - No. 3. - P. 355-389.
Montague R. Formal philosophy. Selected papers of Richard Montague / Ed. and
with introduction by R.H.Thomason. - New Haven and London: Yale Univ. Press,
1974. - 369 p.
Morrill G., Carpenter B. Compositionality, implicational logics, and theories of
grammar // Linguistics and Philosophy. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. -
Vol. 13. - 1990. - No. 4. - P. 383-392.
Mortimer H. The logic of induction. - Chichester: Horwood. - 1988. - 182 p.
Parkinson G. H. R. Logic and reality in Leibniz's metaphysics. - Oxford: At the
Clarendon Press, 1965. - X, 196 p.
Prazak M. Language and logic. - New York: Philos. Libr., 1963. - 154 p.
Putnam H. Philosophy of logic. - New York: Harper & Row, 1971. - 76 p.
Quine W. Methods of logic. - New York: Holt, 1959. - XIX, 272 p.
Quine W. World and object. - New York: Wiley, 1960. - XV, 294 p.
Quine W. Set theory and its logic. - Cambridge, Massachusetts: Harvard Univ. Press,
1963. - XV, 359 p.
Quine W. Ontological relativity and other essays. - New York and London: Columbia
Univ. Press, 1969. - IX, 165 p.
Quine W. Philosophy of logic. - New York: Prentice-Hall, 1970. - XIII, 109 p.
Ramsey F. P. Philosophical papers / Ed. by D. H. Mellor. - Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1990. - XXVII, 257 p.
Reichenbach H. Experience and prediction. An analysis of the foundations and the
structure of knowledge. - Chicago: Univ. Press, 1961. - X, 408 p.
Reichenbach H. The theory of relativity and a priori knowledge. - Berkeley, Los
Angeles: Unif. of California Press, 1965. - XLVI, 116 p.
Salmon W. C. The foundations of scientific inference. - Pittsburgh: Univ. Press,
1967. - 157 p.
Schlesinger G. The intelligibility of nature. - Aberdeen: Univ. Press; Atlantic Highlads;
New Jersey: Humanities Press, 1985. - XVIII, 136 p.
Scholz R.W. Cognitive strategies in stochastic thinking. - Dordrecht: Reidel, 1987. -
X, 218 p.
Skolem T. Selected works in logic. - Oslo, 1970. - 732 p.
Snyder P. D. Modal logic and its applications. - New York: Reinhold, 1971. - XTV,
335 p.
Soeteman A. Logic in law: Remarks on logic and rationality in normative reasoning
especially in law. - Dordrecht: Kluwer, 1989. - XII, 326 p.
Sternfeld R. Frege's logical theory. - Carbondale and Edwardsville: Southern Illinois
Univ. Press, 1966. - XIII, 200 p.
Suppes P.A. A probabilistic theory of causality. - Amsterdam: North-Holland, 1970. -
130 p.
Takashi Yagisawa. Beyond possible worlds // Philosophical Studies. An international
journal for philosophy in the analytic tradition. - Dordrecht, London, Boston: Kluwer
Academic Publishers. - Vol. 53. - 1988. - No. 2. - J\ 175-204.
Van Fraassen В. C. Formal semantics and logic. - New York, London: Macmillan,
1971. - XIII, 225 p.
Walker J. D. B. A study of Frege. - Oxford: Basil Blackwell, 1965. - XIV, 201 p.
Weinberg H. L. Levels of knowing and existence. Studies in general semantics. -
New York: Harper & Row, 1959. - XIV, 274 p.
Weinberg J. R. An examination of logical positivism. - New Jersey: Little field,
1960. - 311 p.
Литература
391
Williams D. The ground of induction. - New York: Rüssel, 1963. - 213 p.
Woods J. The logic of fiction. - Paris: The Hague, 1974. - 152 p.
Wright G.H. The logical problem of induction. - Oxford: Blackwell, 1965. - XII,
249 p.
Zierer E. The theory of graphs in linguistics. - Paris: The Hague, 1970. - 62 p.
»
Бейкер А. Пресуппозиция и типы предложений // Новое в зарубежной
лингвистике. - Вып. XVI: Лингвистическая прагматика: Пер. с разных яз. - М.:
Прогресс, 1985. - С. 406-418.
Бирвиш М. Семантика // Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. X:
Лингвистическая семантика: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1981. - С. 177-199.
Витгенштейн Л. Философские исследования // Новое в зарубежной
лингвистике. - Вып. XVI: Лингвистическая прагматика: Пер. с разных яз. - М.:
Прогресс, 1985. - С. 79-128.
Грайс Г.П. Логика и речевое общение // Новое в зарубежной лингвистике. -
Вып. XVI: Лингвистическая прагматика: Пер. с разных языков. - М.: Прогресс,
1985. - С. 217-237.
Грязное Б. С. О лейбницевском понимании равенства и синонимии // Вопросы
философии. - М., 1965. - № 6. - С. 124-126.
Даммит М. Что такое теория значения // Философия, логика, язык: Пер. с англ.
и нем. - М.: Прогресс, 1987. - С. 127-212.
Доннелан К. С. Референция и определенные дескрипции // Новое в зарубежной
лингвистике. - Вып. XIII: Логика и лингвистика. (Проблемы референции): Пер.
с англ. и фр. - М.: Радуга, 1982. - С. 134—160.
Звегинцев В. А. Предложение и его отношение к языку и речи. - М.: Изд-во
МГУ, 1976. - 308 с.
Катц Дж. Семантическая теория // Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. X:
Лингвистическая семантика: Пер. с англ. - М: Прогресс, 1981. - С. 33-49.
Кифер Ф. О роли прагматики в лингвистическом описании // Новое в
зарубежной лингвистике. - Вып. XVI: Лингвистическая прагматика: Пер. с разных яз. -
М.: Прогресс, 1985. - С. 333-348.
Козлова М. С. Философия и язык. - М.: Мысль, 1972. - 256 с.
Конрад Р. Вопросительные предложения как косвенные речевые акты // Новое
в зарубежной лингвистике. - Вып. XVI: Лингвистическая прагматика: Пер. с
разных яз. - М.: Прогресс, 1985. - С. 349-383.
Куайн У. О. Референция и модальность // Новое в зарубежной лингвистике. -
Вып. XIII: Логика и лингвистика. (Проблемы референции): Пер. с англ. и фр. -
М.: Радуга, 1982. - С. 87-108.
Лакофф Дж. О порождающей семантике // Новое в зарубежной лингвистике. -
Вып. X: Лингвистическая семантика: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1981. - С.
302-349.
Лакофф Дж. Прагматика в естественной логике // Новое в зарубежной
лингвистике. - Вып. XVI: Лингвистическая прагматика: Пер. с разных яз. - М.:
Прогресс, 1985. - С. 439^70.
Патнэм X. Значение и референция // Новое в зарубежной лингвистике. - Вып.
XIII: Логика и лингвистика. (Проблемы референции): Пер. с англ. и фр. - М:
Радуга, 1982. - С. 377-390.
Стросон П. Ф. О референции // Новое в зарубежной лингвистике. - Вып. XIII:
Логика и лингвистика. (Проблемы референции): Пер. с англ. и фр. - М.:
Радуга, 1982. - С. 55-86.
Asher N. Semantic competence, linguguistic understanding, and a theory of concepts //
Philosophical Studies. An international journal for philosophy in the analytic tradition. -
392
К. К. Жолъ Логика
Dordrecht & Boston: D. Reidel Publishing Company. - Vol 53. - 1988. - No. 1. -
P. 1-36.
Austin J.L. Philosophical papers. - Oxford: At the Clarendon Press, 1961. - 242 p.
Austin J. L. Sense and sensibilia. - Oxford: At the Clarendon Press, 1962. - IX, 144 p.
Balzer W., Lauth В., Zoubek G. A static theory of reference on science // Synthese. An
international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht,
Boston, London: Kluwer Academmic Publishers. - Vol. 79. - 1989. - No. 3. - P. 319-360.
Bogen J. Wittgenstein's philosophy of language. Some aspects of its development. -
London: Rotledge, 1972. - 244 p.
Chiara M. L. D. An approach to intensional semantics // Synthese. An international
journal for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 73. - 1987. - No. 3. - P. 479-496.
Clack R. J. Bertrand Russel's philosophy of language. - Paris: The Hague, 1969. -
100 p.
Cohen L. J. The diversity of meaning. - London: Methuen, 1962. - XI, 340 p.
Dillon G. L. Introduction to contemporary linguistic semantics. - Englewood Cliffs,
New York: Prentice-Hall, 1977. - XIII, 150 p.
Dinsmore J. The inheritance of presupposition. - Amsterdam: John Benjamins B.V.,
1981. - VI, 98 p.
Dudman V. H. Grammar, semantics and conditionals // Analysis. - Oxford and
Cambridge: Basil Blackwell. - Vol. 50. - 1990. - No. 4. - P. 214-224.
Finch H. Le R. Wittgenstein - The later philosophy. An exposition of the
«Philosophical investigations». - Atlantic Highlands, N.J.: Humanities Press, 1977. -
XV, 284 p.
Fodor J. A. The language of thought. - Massachusetts: Harvard Univ. Press, 1975. -
X, 214 p.
Fodor J. D. Semantics: Theories of meaning in generative grammar. - New York:
Harper & Row, 1977. - XI, 225 p.
George F. H. Semantics. - London: The English Univ. Press, 1964. - XII, 172 p.
Hand M. Game-theoretical semantics, Montague semantics, and questions // Synthese.
An international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 74. - 1988. - No.
2. - P. 207-222.
Handbook of philosophical logic / Ed. by D. Gabbay. - Vol. 4: Topics in the philosophy
of Language. - Dordrecht: Reidel, 1989. - XII, 717 p.
Harrison B. Meaning and structure: An essay in the philosophy of language. - New
York: Harper & Row, 1972. - X, 318 p.
Hintikka J. Language understanding and strategic meaning // Synthese. An
international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 73. - 1987. - No. 3. -
P. 497-529.
Jahren N. Can semantic be syntactic? // Synthese. An international journal for
epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston, London:
Kluwer Academic Publishers. - Vol. 82. - 1990. - No. 3. - P. 309-327.
Katz J. J. Semantic theory. - New York: Harper & Row, 1972. - XXVIII, 464 p.
Kempson R. M. Presupposition and the delimitation of semantics. - Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 1975. - XI, 235 p.
Kroon F. Circles and fixed points in description theories of reference // Nous. -
Bloomington, Indiana: Published by Indiana Univ. - Vol. XXIII. - 1989. - No. 3. -
P. 373-382.
Kutschera F. von. Philosophy of language. - Dordrecht-Holland / Boston - USA:
Dordrecht Reidel Publishing Company, 1975. - VII, 305 p.
Langholm T. Partiality, truth and persistence. - Stanford, California: Center for the
study of lang, and inform., 1988. - 151 p.
Литература
393
Lyons J. Language, meaning and context. - England: Fontana Paperbacks, 1981. -
256 p.
Malpas J.E. The intertranslatability of natural languages // Synthese. An international
journal for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 78. - 1989. - No. 3. - P. 233-264.
Maslow A. A study in Wittgenstein's Tractatus. - Berkeley, Los Angeles: Univ. of
California Press, 1961. - XXII, 162 p.
McDermott M. The narrow semantics of names // Mind. A quarterly revew of
philosophy. - Oxford: Oxford Univ. Press. - Vol. XCVII. - 1988. - No. 386. - P.
224-237.
Moore T., Carling Ch. Understanding language. Towards a post-Chomskyan
linguistics. - London: Macmillan Press, 1982. - X, 225 p.
New Ch. Permissions and illocutionary act taxonomy // Analysis. - Oxford and New
York: Basil Blackwell. - Vol. 48. - 1988. - No. 4. - P. 209-216.
Nieuwint P. Implication in natural language and in logic // Methodology and Science.
International journal for the empirical study of the foundations of science and their
methodology. - Vol. 23. - 1990. - No. 4. - P. 200-216.
Ogden C. K., Richards I. A. The meaning of meaning. A study of the influence of
language upon thougth and of the science of symbolism. With supplementary essays
by B.Malinowski and F.G.Crookshank. - London: Routledge & Kegan Paul, 1956. -
XXII, 359 p.
Palmer F. R. Semantics. A new outlins. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1977. -
164 p.
Papineau D. Theory and meaning. - Oxford: Clarendon Press, 1979. - VIII, 210 p.
Parret H. Language and discourse. - Paris: The Hague, 1971. - 292 p.
Perry J. Cognitive significance and new theories of reference // Nous. - Bloomington,
Indiana: Published quaterly by Indiana Univ. - Vol. XXII. - 1988. - No. 1. - P. 1-18.
Peterson P. L. Concepts and language. An essay in generative semantics and the
philosophy of language. - Paris: The Hague? 1973. - 186 p.
Platts M. Ways of meaning. An introduction to a philosophy of language. - London,
Henley and Boston: Routledge & Kegan Paul. - 1979. - XII, 272 p.
Pole D. The later philosophy of Wittgenstein. - London: Athlone Press? 1958. - 132 p.
Recanati F. Rigidity and direct reference // Philosophical Studies. An international
journal for philosophy in the analytic tradition. - Dordrecht & Boston: D. Reidel
Publishing Company. - Vol 53. - 1988. - No. 1. - P. 103-117.
Reinhart T. Anaphora and semantic interpretation. - London and Canberra: Croom
Helm, 1983. - VI, 223 p.
Representation and processing of natural language / Ed. by L. Bole. - Berlin: Akademie -
Verlag, 1980. - 376 p.
S0rensen H.S. The meaning of proper names. - Copenhagen: G. E. С Gad Publisher,
1963. - 117 p.
Stenlund S. On the concept of language in some recent theories of meaning // Synthese.
An international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 79. - 1989. - No.
1. - P. 51-98.
Tyler S. A. The said and the unsaid. - New York: Academic Press, 1978. - XII, 489 p.
Ulmann S. Semantics. - Oxford: Blackwell, 1970. - 278' p.
Van Benthem J. Essays in logical semantics. - Dordrecht: Reidel, 1986. - XI, 225 p.
Van Benthem J. Meaning: Interpretation and inference // Synthese. An international
journal for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht,
Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 73. - 1987. - No. 3. - P.
451^70.
Waismann F. The principles of linguistic philosophy. - London: Macmillan, 1965. -
XII, 422 p.
394
К.К. Жолъ Логика
Wierzbicka A. Lingua mentalis. The semantics of natural language. - Academic Press
Australia, 1980. - XI, 367 p.
Wilson J. Language and the pursuit of truth. - Cambridge: Cambridge Uiv. Press,
1958. - 105 p.
Wittgenstein L. Philosophy and language / Ed. by A. Ambrose. - London: Allen and
Unwin, 1972. - 325 p.
Whyte J. T. Success semantics //Analysis. - Oxford and Cambridge: Basil Blackwell. -
Vol. 50. - 1990. - No. 3. - P. 149-157.
Ziflf P. Semantic analysis. - New York: Cornell Univ. Press, 1962. - XI, 255 p.
Грин Д. X., Кнут Д. Э. Математические методы анализа алгоритмов: Пер. с
англ. - М.: Мир, 1987. - 119 с.
Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: Пер. с англ. - М.:
Сатистика, 1973. - 392 с.
Кейслер Г. Дж. Теория моделей: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. - 614 с.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с.
Кульбак С. Теория информации и статистика. - М.: Наука, 1967. - 408 с.
Маслов П. П. Статистика в социологии. - М.: Статистика, 1971. - 248 с.
Математические методы анализа и интерпретация социологических данных. -
М.: Наука, 1989. - 173 с.
Математические методы в социальных науках, - М.: Прогресс, 1973. - 351 с.
Плотинский Ю.М. Математическое моделирование динамики социальных
процессов. - М.: Изд-во МГУ, 1992. - 133 с.
Практикум по общей теории статистики. - М.: Финансы и статистика, 1981. -
278 с.
Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгебры: Пер. с англ. -
М.: Наука, 1967. - 376 с.
Стюарт Я. Концепции современной математики: Пер. с англ. - Минск: Вышэй-
шая школа, 1980. - 382 с.
Толстова Ю.Н. Логика математического анализа социологических данных. -
М.: Наука, 1991. - 111 с.
Трауб Дж. Ф., Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов: Пер.
с англ. - М.: Мир, 1983. - 382 с.
Фелингер А. Ф. Статистические алгоритмы в социологических исследованиях. -
Новосибирск: Наука, 1985. - 208 с.
Цермело Э. О. О применении теории множеств к теории шахматной игры //
Матричные игры. - М.: Физматгиз, 1961. - С. 170-200.
Цыба В. Т. Математико-статистические основы социологических исследований. -
М.: Финансы и статистика, 1981. - 255 с.
Brady M. Е. J.M.Keynes's position on the general applicability of mathematical,
logical and statistical methods in economics and social science // Synthese. An
intrnational journal for epistemology, methodology and philosophy of science. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 76. - 1988. - No.
1. - P. 1-24.
Chihara Ch. Tharp's «Myth and mathematics» // Synthese. An international journal
for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 81. - 1989. - No. 2. - P. 153-165.
Cooper W. Set theory and syntactic description. - London: Mouton & Co., 1964. -
52 p.
Davis F.J., Hersh R. Descartes dream: The world according to mathematics. - San
Diego: Jovanovich; Brighton: Harvester, 1986. - .81 p.
Литература
395
Frege G. The basic laws of arithmetic. Exposition of thesystem / Translated and
edited, with an introduction by M. Furth. - Berkeley and Los Angeles: Univ. of
California Press, 1964. - LXIII, 143 p.
Johnstone P. T. Notes on logic and set theory. - Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1987. -X, 110 p.
Kemeny J. G., Snell J. 1. Mathematical models in the social sciences. - Boston: Gin,
1962. - 145 p.
Körner S. The philosophy of mathematics. An introductory essays. - London:
Hutchinson, 1960. - 198 p.
Parsons Ch. The structuralist view of mathematical objects // Synthese. An
international journal for epistemology, methodology and philosophy of science. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 84. - 1990. - No.
3. - P. 303-346.
Shapiro S. Logic, ontology, mathematical practice // Synthese. An international journal
for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 79. - 1989. - No. 1. - P. 13-50.
Tharp L. Myth and mathematics: A conceptualistic philosophy of mathematics I //
Synthese. An international journal for epistemology, methodology and philosophy of
science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 81. -
1989. - No. 2. - P. 167-201.
The philosophy of mathematics / Ed. by W.D.Hart. - Oxford: Oxford Univ. Press,
1996. - 320 p.
Van Heijenoort J. From Frege to GÖdel. A source book in mathematical logic. 1879—
1931. - Cambridge, Massachusetts: Harvard Univ. Press, 1967. - X, 660 p.
* * *
Гаек П., Гавранек Т. Автоматическое образование гипотез: Пер. с англ. - М:
Наука, 1984. - 280 с.
Boden M. A. Artificial intelligence and Piagetian theory // Synthese. An international
journal for epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 38. - 1978. - No. 3. - P. 389^14.
Computational semantics. An introduction to artificial intelligence and natural language
comprehension / Ed. by E. Charniak and Y.Wilks. - Amsterdam, New York, Oxford:
North-Holland Publishing Company, 1978. - VII, 294 p.
Computers, brains and minds: Essays in cognitive science / Ed. by P. Slezak. -
Dordrecht: Kluwer, 1989. - X, 255 p.
Dasgupta S. Computational and cognitive explorations of technological originality. -
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994. - 370 p.
Dietrich E. Semantics and the computational paradigm in cognitive psychology //
Synthese. An international journal for epistemology, methodology and philosophy of
science. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 79. -
1989. - No. 1. - P. 119-141.
Genesereth M. R., Nilsson N. Logical foundations of artificial intelligence. - Los
Altos, California: Kaufmann, 1987. - XVIII, 406 p.
Linguistic theory and computer applications / Ed. by P. Whitelock. - London: Acad.
Press, 1987. - X, 329 p.
Nowakowska M. Cognitive sciences: Basic problems, new perspectives, and implications
for artificial intelligence. - S. Diego: Acad. Press, 1986. - XII, 379 p.
Philosophical logic and artificial intelligence / Ed. by R. H. Thomason. - Dordrecht:
Kluwer, 1989. - 222 p.
Philosophy, language, and artificial intelligence: Resources for processing natural
language / Ed. by J. Kulas. - Dordrecht: Kluwer, 1988. - XII, 421 p.
396
К.К. Жолъ Логика
Pollock J.L. Defeasible reasoning // Cognitive Science. A multidisciplinary journal
incorporating artificial intelligence, linguistics, neurosciece, philosophy, psychology. -
Norwood, New Jersey: ABLEX Publishing Corporation. - Vol. 11. - 1987. - No. 4. -
P. 481-518.
Reif F. Interpretation of scientific or mathematical concepts: Cognitive issues and
instructional implications // Cognitive Science. A multidisciplinary journal incorporating
artificial intelligence, linguistics, neurosciece, philosophy, psychology. - Norwood, New
Jersey: ABLEX Publishing Corporation. - Vol. 11. - 1987. - No. 4. - P. 395-416.
Shankar N. Mathematics, machines, and Gödel's proof. - Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1994. - 248 p.
Stachniak Z. Many-valued computational logic // Journal of Philosophical Logic. -
Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 18. - 1989. - No.
3. - P. 257-273.
Talmy L. Force dynamics in language and cognition // Cognitive Science. A multi-
disciplinary journal incorporating artificial intelligence, linguistics, neurosciece,
philosophy, psychology. - Norwood, New Jersey: ABLEX Publishing Corporation. -
Vol. 12. - 1988. - No. 1. - P. 49-100.
The philosophy of artificial intelligence /Ed. by W. D. Hart. - Oxford: Oxford Univ.
Press, 1996. - 320 p.
Thomason R. Philosophical logic and artificial intelligence // Journal of Philosophical
Logic. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 17. - 1988. -
No. 4. - P. 321-327.
Waern Y. Cognitive aspects of computer supported tasks. - Chichester: Wiley, 1989. -
XXII, 327 p.
Wilks Y. Form and content in semantics // Synthese. An international journal for
epistemology, methodology and philosophy of science. - Dordrecht, Boston,
London: Kluwer Academic Publishers. - Vol. 18. - 1989. - No. 3. - P. 339-351.
* * *
Александрова H. В. Математические термины: Справочник. - М.: Высшая
школа, 1978. - 190 с.
Горский Д. П., Ивин А. А., Никифоров А. Л. Краткий словарь по логике. - М:
Просвещение, 1991. - 208 с.
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. - М.: Наука, 1975. - 720 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров: Пер. с англ. - М: Наука, 1978. - 831 с.
Логический словарь ДЕФОРТ (дедуктивная формализация теорий) / Ред. А. А.
Ивин, В. Н. Переверзев, В. В. Петров. - М.: Мысль, 1994. - 269 с.
Энциклопедический словарь юного математика. - М: Педагогика, 1989. - 352 с.
ТАБЛИЦА СИМВОЛОВ
ТАБЛИЦА СИМВОЛОВ
и (или ) - объединение (соединение, сумма) множеств
п (или ) - пересечение (произведение) множеств
\ - разность (удаление из одного множества элементов, принадлежащих
другому множеству)
с (или с) - включение одного множества в другое
з (или з) - одно множество включает другое
g - принадлежность (членство) множеству
£ - отрицание принадлежности множеству
0 - пустое множество
{а} - единичное множество
{} - фигурные скобки, в которые берутся члены множества
р, q, г, ... - логические переменные
F, Р, Q, ... - предикатные переменные
F(x) - предикатная (пропозициональная) функция
-г (или ~, или ) - функтор отрицания
& (или а) - функтор конъюнкции
V - функтор неисключающей дизъюнкции
V- функтор сильной (строгой) дизъюнкции
—> - функтор материальной импликации
=> - функтор сильной (строгой) импликации
<-> - функтор эквиваленции (эквивалентности)
<=> - функтор сильной (строгой) эквиваленции (эквивалентности)
= - равносильность логических формул
V - квантор всеобщности (общности)
3 - квантор существования (экзистенциальный квантор)
D - квантор (оператор) дескрипции (описания), эквивалентный йояш-оператору
^ - оператор вывода (символизирует семантические отношения)
|- - оператор дедуктивного доказательства (символизирует синтаксические
отношения)
□ - модальный оператор необходимости
О - модальный оператор возможности
©о - бесконечность
> - больше
< - меньше
> - больше или равно
< - меньше или равно
X- сумма
П - произведение
у - корень
[ - интеграл неопределенный
ь
) - интеграл определенный с нижним пределом а и верхним пределом b
Учебное пособие
Жоль Константин Константинович
ЛОГИКА
Обложка, оригинал-макет, редакция выполнены автором
Лицензия серия ИД № 03562 от 19.12.2000 г.
Подписано в печать 01.12.2003 (с готовых ps-файлов)
Формат 70x100 1/16. Усл. печ. л. 32,5. Уч.-изд. л. 26,5
Тираж 20 000 экз. (1-й завод - 3 000). Заказ № 5182
ООО «ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА»
Генеральный директор В.Н. Закаидзе
123298, Москва, ул. Ирины Левченко, 1
Тел. (095) 194-00-15. Тел/факс (095) 194-00-14
www.unity-dana.ru E-mail: unity@unity-dana.ra
• Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14