Титульный лист
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ко второму изданию
Глава I. Основные понятия функционального анализа
§ 2. Линейные топологические, метрические, нормированные и банаховы пространства
§ 3. Линейные функционалы
§ 4. Сопряженные пространства
§ 5. Линейные операторы
§ 6 Пространства с базисом
Глава II. Функциональные пространства
§ 2. Пространства аналитических функций
§ 3. Банаховы пространства измеримых функций
§ 4. Векторнозначные функции
Глава III. Линейные операторы в банаховом пространстве
§ 2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория
§ 3. Функции от операторов, операторное исчисление
§ 4. Интерполяция линейных операторов
§ 5. Линейные интегральные операторы
§ 6. Операторы, порожденные краевыми задачами
Глава IV. Линейные операторы в гильбертовом пространстве
§ 2. Линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве
§ 3. Спектральное разложение самосопряженных операторов
§ 4. Симметрические операторы
§ 5. Теория возмущений
§ 6. Диссипативные операторы
§ 7. Обыкновенные дифференциальные операторы
§ 8. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка
§ 9. Гильбертова шкала пространств
§ 10. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве
§ 2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором
§ 3. Корректные задачи для дифференциальных уравнений
§ 4. Уравнение с переменным оператором
§ 5. Уравнения второго порядка
Глава VI. Нелинейные операторные уравнения
§ 2. Существование решений
§ 3. Качественные методы в теории ветвления решений
Глава VII. Коммутативные банаховы алгебры
§ 2. Общие свойства
§ 3. Алгебры с равномерной сходимостью
§ 4. Максимальные подалгебры
§ 5. Групповые алгебры. Гармонический анализ
§ 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах
Глава VIII. Операторы в пространствах с конусом
§ 2. Линейные положительные функционалы
§ 3. Линейные положительные операторы
§ 4. Нелинейные операторы
Глава IX. Операторы квантовой механики
§ 2. Конкретные квантовомеханические системы
§ 3. Спектр оператора Шредингера и некоторых родственных дифференциальных операторов
§ 4. Непрерывный спектр оператора энергии и задача рассеяния
Глава X. Обобщенные функции
§ 2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы
§ 3. Некоторые обобщенные функции нескольких переменных
§ 4. Преобразование Фурье обобщенных функций
§ 5. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения
§ 6. Обобщенные функции в комплексном пространстве
Библиография
Обложка
Текст
                    СПРАВОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
Под общей редакцией
С. Г. КРЕЙНА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972


517.2 Φ 94 УДК 517.4(083) АВТОРЫ: Μ. Ш. БИРМАН, Η. Я. ВИЛЕНКИН, Е. А. ГОРИН, П. П. ЗАБРЕИКО, И. С. ИОХВИДОВ, М. И. КАДЕЦ, А. Г. КОСТЮЧЕНКО, М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ, С. Г. КРЕИН, Б. С. МИТЯГИН, Ю. И. ПЕТУНИИ, Я. Б. РУТИЦКИИ, Е. М. СЕМЕНОВ, В. И. СОБОЛЕВ, В. Я. СТЕЦЕНКО, Л. Д. ФАДДЕЕВ, Э. С. ЦИТЛАНАДЗЕ Функциональный анализ, изд. 2, переработанное и дополненное (серия «Справочная математическая библиотека»), коллектив авторов, редактор С. Г. Крейн. Настоящее издание характеризуется расширением объема материала и его большей специализацией. Добавлены новые главы по теории функциональных пространств, по теории линейных операторов в банаховом пространстве. Заново написаны главы, относящиеся к теории коммутативных банаховых алгебр и к теории операторов квантовой механики. Значительно пополнены главы, посвященные операторам в гильбертовом пространстве, в пространствах с конусом и др. В ряде мест изложение доведено до уровня современных исследований. Книга предназначена для математиков, механиков и физиков. В ней найдут много полезного для себя студенты и аспиранты соответствующих специальностей. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ под общей редакцией С. Г. Крейна (Серия: «Справочная математическая библиотека») М., 1972 г., 544 стр. с илл. Редакторы В. Ф. Гапошкин, Г. #. Пирогова Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор Л. Н. Боровина Сдано в набор 1/ХН 1971 г. Подписано к печати 15/VI 1972 г. Бумага 60Χ907ιβ. тип. № 2. Физ. печ. л. 34. Усл. печ. л. 34. Уч.-изд. л. 34,39. Тираж 29 000 экз. Т-10544. Цена книги 1 р. 85к. Заказ № 1389. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпромэ Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29. 2-2-3 74-72
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора ко второму изданию 10 Глава I. Основные понятия функционального анализа 13 § 1. Линейные системы 13 1. Понятие линейной системы (13). 2. Линейная зависимость и независимость (14). 3. Линейные многообразия и фактор-системы (15). 4. Произведения линейных систем (16). 5. Выпуклые множества (18). § 2. Линейные топологические, метрические, нормированные и банаховы пространства 19 1. Линейное топологическое пространство (19). 2. Локально выпуклое пространство (21). 3. Линейное метрическое пространство (22). 4. Линейное нормированное пространство (24). 5. Примеры линейных нормированных пространств (26). 6. Полнота метрических пространств, банахово пространство (30). 7. Компактные множества (31). 8. Сепарабельные пространства (34). 9. Изометрия, изоморфизм, гомеоморфизм (34). § 3. Линейные функционалы 36 1. Понятие линейного функционала. Гиперплоскость (36). 2. Непрерывные линейные функционалы (36). 3. Продолжение линейных непрерывных функционалов (37). 4. Примеры линейных функционалов (38). § 4. Сопряженные пространства 39 1. Двойственность линейных систем (39). 2. Сопряженное пространство к линейному нормированному пространству (40). 3. Слабая сходимость, слабые топологии (43). 4. Выпуклые множества, крайние точки (46). 5. Фактор-пространство и ортогональные дополнения (47). 6. Произведения нормированных пространств (47). 7. Рефлексивные банаховы пространства (49). 8. Геометрия сферы,банахова пространства (51). 9. Универсальные пространства (52). 10. Вложения пространств (52). 11. Нормированные пространства, связанные с локально выпуклым пространством. Ядерное пространство (53). § 5. Линейные операторы . 55 1. Линейные ограниченные операторы (55). 2. Примеры линейных ограниченных операторов (57). 3. Сходимость последовательностей операторов (58). 4. Обратный оператор (59). 5. Пространство операторов. Алгебра операторов (60). 6. Сопряженный оператор (61). 7. Вполне непрерывные операторы (61). 8. Операторы в произведении пространств (63). 9. Замечание о комплексных пространствах (65). § 6 Пространства с базисом 65 1. Полнота и минимальность системы элементов (65). 2. Понятие базиса (66). 3. Признаки базисов (68). 4. Безусловные базисы (69). 5. Устойчивость базиса (70). 6. Базисы суммирования (71).
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава II. Функциональные пространства 72 § 1. Пространства дифференцируемых функций 72 1. Обозначения (72). 2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций, (72). 3. Обобщенные функции (74). 4. Преобразование Фурье (76). 5. Банаховы пространства обобщенных дифференцируемых функций. Теоремы вложения (79). § 2. Пространства аналитических функций 83 1. Пространства функций, аналитических в области (83). 2. Пространства локально аналитических функций (84). 3. Пространства HP (85). § 3. Банаховы пространства измеримых функций 88 1. Пространство измеримых функций (88). 2. Примеры банаховых пространств измеримых функций (89). 3. Идеальные пространства (91). 4. Двойственные пространства (93). 5. Симметричные и однородные пространства (94). § 4. Векторнозначные функции 96 1. Непрерывность, дифференцируемость (96). 2. Интеграл Ри- мана (97). 3. Аналитические функции (98). 4. Интеграл Брхнера. Суммируемые функции (99). Глава III. Линейные операторы в банаховом пространстве 103 § 1. Теория линейных уравнений 103 1. Уравнения в конечномерных пространствах (103). 2. Основные понятия (104). 3. Уравнение с замкнутым оператором (105). 4. Сопряженное уравнение (106). 5. /г-нормальные и d-нормальные уравнения (107). 6. Априорные оценки (1С8). 7. Нетеровы уравнения (109). 8. Фредгольмовы уравнения (110). 9. Линейные преобразования уравнений (111). 10. Линейная замена переменного (112). И. Устойчивость свойств уравнения (ИЗ). § 2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория 114 1. Спектр и резольвента оператора (114). 2. Спектральное разложение замкнутого оператора (118). 3. Классификация точек спектра (120). 4. Вполне непрерывные операторы (122). § 3. Функции от операторов, операторное исчисление 123 1. Функции от ограниченного оператора (123). 2. Функции от неограниченного оператора (125). 3. Дробные степени операторов (127). 4. Экспоненциальная функция, группы операторов (131). 5. Экспоненциальная функция, полугруппы операторов (133). 6. Эргодическая теория (137). § 4. Интерполяция линейных операторов 141 1. Интерполяционные пространства (141). 2. Вещественные методы конструирования интерполяционных пространств (142). 3. Комплексные методы (145). 4. Интерполяционные семейства и шкалы пространств (147). 5. Интерполяция в пространствах суммируемых функций (149). б. Интерполяция в пространствах дифференцируемых функций (153). § 5. Линейные интегральные операторы 154 1. Общие свойства линейных интегральных операторов (154). 2. Линейные ^/-ограниченные и £/-коограниченные операторы (156). 3. Резольвента (Фредгольма) линейного интегрального оператора (158). 4. Интегральные операторы с симметричным ядром (160). 5. Интегральные операторы в пространстве непрерывных функций (161). 6. Важные примеры линейных интегральных операторов (162). 7. Сингулярный интегральный оператор (164). ξ 6. Операторы, порожденные краевыми задачами 165 1. Эллиптическое дифференциальное выражение (165). 2. Граничные дифференциальные выражения. Регулярная эллиптическая краевая
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 задача (166). 3. Формула Грина и формально сопряженная задача (167). 4. Неравенства коэрцитивности. Нетеровость эллиптических задач (169). 5. Полный набор гомеоморфизмов, осуществляемых эллиптическим оператором (170). 6. Спектр и резольвента эллиптического оператора (172). 7. Эллиптические системы (175). 8. Индекс эллиптического оператора (176). Глава IV. Линейные операторы в гильбертовом пространстве . . . .179 § 1. Абстрактное гильбертово пространство 179 1. Понятие гильбертова пространства (179). 2. Примеры гильбертовых пространств (180). 3. Ортогональность. Проекция на подпространство (181). 4. Линейные функционалы (182). 5. Слабая сходимость (182). 6. Ортонормальные системы и базисы. Размерность гильбертова пространства (183). § 2. Линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве . .185 1. Линейный ограниченный оператор. Сопряженный оператор. Полу- торалинейная форма (185). 2. Унитарные операторы (188). 3. Самосопряженные операторы (190). 4. Представления операторов через самосопряженные (190). 5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы (191). 6. Вполне непрерывные операторы (193). 7. Ядерные операторы и операторы Гильберта — Шмидта (198). 8. Проекционные операторы (201). 9. Алгебры операторов (203). 10. Опера- ' торы во внешнем произведении гильбертовых пространств (203). § 3. Спектральное разложение самосопряженных операторов 204 1. Операции над самосопряженными операторами (204). 2. Разложение единицы, спектральная функция (206). 3. Функция от самосопряженного оператора (208). 4. Неограниченные самосопряженные операторы (208). 5. Спектр самосопряженного оператора (210). 6. Кратность спектра самосопряженного оператора (212). 7. Абсолютно непрерывная и сингулярная части оператора (214). 8. Обобщенные собственные элементы (215). § 4. Симметрические операторы 217 1. Понятие симметрического оператора, индексы дефекта (217). 2. Самосопряженные расширения симметрических операторов (218). 3. Самосопряженные расширения полуограниченных операторов (219). 4. Обобщенные расширения и спектральные функции симметрических операторов. Обобщенные резольвенты (222). § 5. Теория возмущений 224 1. Общие свойства (224). 2. Конечномерные,, вполне непрерывные и ограниченные возмущения (226). 3: Возмущения полуограниченных операторов (228). 4. Абсолютно непрерывный спектр. Волновые операторы (229). 5. Абсолютно непрерывный спектр. Гладкие возмущения (230). § 6. Диссипативные операторы о · 232 1. Максимальный диссипативный оператор (232). 2. Полуторалиней- ные формы и неограниченные операторы (233). 3. Диссипативные расширения консервативных операторов (234). § 7. Обыкновенные дифференциальные операторы 235 1. Самосопряженные дифференциальные выражения (235). 2. Регулярный случай (236). 3. Сингулярный случай (237). 4. Критерии самосопряженности оператора Л0 на (— оо, оо) (239). 5. Характер спектра самосопряженных расширений (240). 6. Разложение по собственным функциям (241). 7. Примеры (243). 8. Обратная задача Штурма — Лиувилля (245). § 8. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка .... 246 1. Самосопряженное эллиптическое дифференциальное выражение (246). 2. Минимальный и максимальный операторы. L-гармони-
6 ОГЛАВЛЕНИЕ ческие функции (247). 3. Самосопряженные расширения, отвечающие основным краевым задачам (248). § 9. Гильбертова шкала пространств 250 1. Гильбертова шкала и ее свойства (250). 2. Пример гильбертовой шкалы. Пространства W% (252). 3. Операторы в гильбертовой шкале (253). 4. Теоремы о следах (254). § 10. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой . . 255 1/ /-пространства (255). 2. Линейные операторы в /-пространствах (257). 3. Примеры (262). Глава V. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве 265 § 1. Линейные уравнения с ограниченным оператором 265 1. Линейные уравнения 1-го порядка. Задача Коши (265). 2. Однородное уравнение с постоянным оператором (265). 3. Случай гильбертова пространства (267). 4. Уравнение второго порядка (267). 5. Однородное уравнение с переменным оператором (268). 6. Уравнение с периодическим оператором (271). 7. Неоднородное уравне- • ние (272). § 2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором 273 1. Задача Коши (273). 2. Равномерно корректная задача Коши (276). 3. Ослабленная задача Коши (278). 4. Абстрактное параболическое уравнение (280). 5. Обратная задача Коши (281). 6. Уравнения в гильбертовом пространстве (282). 7. Неоднородное уравнение с постоянным оператором (284). 8. Возмущенное уравнение (286). § 3. Корректные задачи для дифференциальных уравнений 286 1. Задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами (286). 2. Краевые задачи для параболических систем (289). 3. Симметрические гиперболические системы (290). 4. Уравнение Шредингера (291). 5. Уравнение с запаздывающим аргументом (291). § 4. Уравнение с переменным оператором 292 1. Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный оператор (292). 2. Устойчивая аппроксимация эволюционного оператора (293). 3. Ослабленная задача Коши, корректная на D (Л) (294). 4. Абстрактное параболическое уравнение с оператором, имеющим переменную область определения (296). 5. Неоднородное уравнение с переменным оператором (298). 6. Абстрактное параболическое уравнение в семействе подпространств (298). § 5. Уравнения второго порядка 300 1. Уравнение гиперболического типа (300). 2. Уравнение эллиптического типа (301). 3. Полное уравнение второго порядка, параболический случай (304). Глава VI. Нелинейные операторные уравнения 306 § 1. Нелинейные операторы и функционалы 307 1. Непрерывность и ограниченность оператора (307). 2. Дифферен- цируемость нелинейного оператора (308). 3, Оператор Урысона в пространствах С и Lp (310). 4. Оператор / (312). 5. Оператор Гаммерштейна (313). 6. Производные высших порядков (313). 7. Потенциальные операторы (315). § 2. Существование решений 317 1. Метод последовательных приближений (317). 2. Принцип сжатых отображений (318). 3. Единственность решения (319). 4. Уравнения с вполне непрерывными операторами. Принцип Шаудера (320). 5. Использование теории вполне непрерывных векторных полей (322). 6. Уравнения с монотонными операторами (326). 7. Вариационный метод (328). 8. Преобразование уравнений (328). 9. Примеры (329).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 § 3. Качественные методы в теории ветвления решений 332 1. Продолжение решений, теорема о неявной функции (332). 2. Точки ветвления (333). 3. Точки бифуркации, принцип линеаризации (334). 4. Примеры из механики (338). 5. Уравнения с потенциальными операторами (341). 6. Рождение больших решений (341). 7. Уравнение разветвления (342). 8. Построение решений в виде рядов (343). Глава VII. Коммутативные банаховы алгебры , 346 § 1. Основные понятия 346 1. Определения и примеры (346). 2. Группа обратимых элементов, теорема о непустоте спектра (349). 3. Максимальные идеалы и мультипликативные функционалы (350). 4. Пространство максимальных идеалов, гельфандов гомоморфизм (352). § 2. Общие свойства 353 1. Аналитические операции над элементами алгебры (353). 2. Алгебраическая интерпретация некоторых топологических характеристик пространства максимальных идеалов (354). 3. Граница Шилова пространства максимальных идеалов (355). 4. Алгебры с инволюцией (357). 5. Регулярные алгебры (359). § 3. Алгебры с равномерной сходимостью 361 1. Симметрия, антисимметрия и близкие свойства (362). 2. Некоторые характеристические свойства алгебры С (X) (364). 3. Эквивалентность Глисона (365). 4. Компактные расширения (337). 5. Алгебраические уравнения в С (X) (368). § 4. Максимальные подалгебры 370 1. Постановка задачи, примеры (370). 2. Максимальные подалгебры алгебры С (X) (371). 3. Максимальные подалгебры в алгебрах с инволюцией (372). § 5. Групповые алгебры. Гармонический анализ 374 1. Групповая алгебра (374). 2. Характеры дискретной группы и максимальные идеалы групповой алгебры (376). 3. Компактные группы. Принцип двойственности (378). 4. Локально компактные группы (378). 5. Преобразование Фурье (379). 6. Спектральный синтез. Эндоморфизмы групповых алгебр (380). 7. Гиперкомплексные системы (381). § 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах 382 1. Идеалы в алгебрах степенных рядов (382). 2. Структурные теоремы (383). Глава VIII. Операторы в пространствах с конусом 385 § 1. Конусы в линейных пространствах 385 1. Конус в линейной системе (385). 2. Полуупорядоченные пространства (386). 3. /С-линеалы, миниэдральные конусы (387). 4. /(- пространства (387). 5. Конусы в банаховом пространстве (389). 6. Правильные конусы (391). 7. Теоремы о реализации полуупорядоченных пространств (392). § 2. Линейные положительные функционалы 393 1. Положительные функционалы (393). 2. Продолжение линейных положительных функционалов (394). 3. Равномерно положительные функционалы (395). 4. Ограниченные функционалы на конусе (395). 5. Сходимость последовательности положительных функционалов (396). § 3, Линейные положительные операторы 397 1. Понятие положительного оператора (397). 2. Неразложимые операторы (399). 3. Спектральные свойства положительных операторов (400). 4. Позитивные собственные числа (401). 5. Положительные операторы на миниэдральном конусе (403). 6. Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора (405). 7. Существование вторых положительных собственных значений (409).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ 8. Сравнение спектральных радиусов и собственных значений положительных операторов (410). 9. Неоднородное линейное уравнение (411). 10. Существование положительного обратного' оператора (413). 11. Инвариантные функционалы и собственные векторы сопряженных операторов (414). 12. Сходимость последовательности положительных операторов (415). § 4. Нелинейные операторы 418 1. Основные понятия (418). 2. Существование положительных решений (418). 3. Существование ненулевого положительного решения (419). 4. Непрерывная ветвь положительных собственных векторов (420). 5. Вогнутые операторы (421). 6. Сходимость последовательных приближений (422). Глава IX. Операторы квантовой механики 423 § 1. Общие положения квантовой механики 423 1. Состояния и наблюдаемые величины (423). 2. Совместно наблюдаемые величины (424). 3. Примеры пространств состояний (425). 4. Развитие системы со временем (427). 5. Квантование классической механики (428). 6. Основные задачи квантовой механики (429). § 2. Конкретные квантовомеханические системы 430 1. Оператор Шредингера модельных задач (430). 2. Простейшие свойства спектра оператора Шредингера (431). 3. Многоэлектрон- ный атом (433). § 3. Спектр оператора Шредингера и некоторых родственных дифференциальных операторов 435 1. Условия дискретности спектра (436). 2. Предельный спектр (437). 3. Отрицательный дискретный спектр (438). 4. Абсолютно непрерывный спектр (439). 5. Самосопряженность оператора Шредингера (440). 6. Спектр оператора Шредингера с убывающим потенциалом (441). 7. Оператор Шредингера с периодическим потенциалом (442). § 4. Непрерывный спектр оператора энергии и задача рассеяния .... 443 1. Частица во внешнем поле (443). 2. Система нескольких частиц (444). 3. Волновые операторы (446). 4. Стационарная постановка (447). 5. Интегральное уравнение теории рассеяния (449). 6. Случай сферической симметрии (450). 7. Общий случай (452). 8. Обратная задача теории рассеяния (452). Глава X. Обобщенные функции 455 § 1. Обобщенные функции и действия над ними 455 1. Вводные замечания (455). 2. Обобщенные функции (456). 3. Другие теории обобщенных функций (458). 4. Действия над обобщенными функциями (458). 5. Дифференцирование и интегрирование обобщенных функций (459). 6. Предел последовательности обобщенных функций (461). 7. Локальные свойства обобщенных функций (463). 8. Прямое произведение обобщенных функций (464). 9. Свертка обобщенных функций (465). 10. Общий вид обобщенных функций (466). И. Теорема о ядре (467). 12. Аналитические представления обобщенных функций одного переменного (467). 13. Обобщенные функции как граничные значения голоморфных функций (468). § 2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы 470 1. Регуляризация расходящихся интегралов (470), 2. Регуляризация функций х3^, jc^L, x~n и их линейных комбинаций (472). 3. Регуляризация функций со степенными особенностями (475). 4. Регуляризация в конечном промежутке (477). 5. Регуляризация на бесконечности (478). 6. Неканонические регуляризации (480). 7. Обобщенные
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 функции л:^, лс и им аналогичные как функции от параметра λ (482). 8. Однородные обобщенные функции (485). 9. Таблица производных некоторых обобщенных функций (486). 10. Дифференцирование и интегрирование произвольного порядка (486). 11. Выражение некоторых специальных функций в виде производных дробного порядка (488). § 3. Некоторые обобщенные функции нескольких переменных 489 1. Обобщенная функция г (489). 2. Обобщенные функции, связанные с квадратичными формами (491). 3. Обобщенные функции (Р + ί0)λ и (Ρ — /0)λ (493). 4. ■ Обобщенные функции вида &Kf (&, λ) (494). 5. Обобщенные функции на гладких поверхностях (496). § 4. Преобразование Фурье обобщенных функций 499 I. Мультипликаторы и свертыватели (499). 2. Пространств типов S и & (500). 3. Предельные случаи пространств типа 5 и <§? (503). 4. Таблица преобразований Фурье обобщенных функций одного переменного (505). 5. Положительно определенные обобщенные функции (509). 6. Условно положительно определенные функции (510). 7. Теорема Пэли — Винера — Шварца (511). 8. Спектральные функции для голоморфных функций (511). 9. Теорема об острие клина (512). 10. Преобразование Радона основных функций и его свойства (515). II. Преобразование Радона обобщенных функций (514). § 5. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения 515 1. Фундаментальные решения (515). 2. Фундаментальные решения для некоторых дифференциальных уравнений (518). 3. Построение фундаментальных решений для эллиптических уравнений (519). 4. Фундаментальные решения однородных регулярных уравнений (522). 5. Фундаментальное решение задачи Коши (523). § 6. Обобщенные функции в комплексном пространстве 525 1. Обобщенные функции одного комплексного переменного (525). 2. Обобщенные функции т комплексных переменных (528). ия 532
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Функциональный анализ, зародившийся в начале нынешнего столетия и оформившийся в самостоятельную математическую науку в 20—30-х годах, развивается быстро и бурно. После выхода в свет знаменитой книги польского математика С. Банаха (Банах, Theorie des operations lineaires, Warszawa, 1932, есть украинский перевод, см. [3]) идеи и язык функционального анализа стали проникать в самые различные разделы математики и ее приложений. Процесс этого проникновения зашел в настоящее время так далеко, что иногда трудно отделить функциональный анализ от тех дисциплин, в которых он применяется. С другой стороны, рамки классического функционального анализа в некоторых вопросах оказались узкими, что привело к пересмотру его отправных позиций, к детальному анализу его аксиоматики. Этот процесс, протекавший особенно бурно в последние 15 лет, нельзя еще считать законченным. В связи с этим можно напомнить, что проблемный доклад по функциональному анализу на IV Всесоюзном математическом съезде в 1961 г. был начат И. М. Гельфандом пессимистическими 'словами: «У нас еще нет хорошего определения пространства, у нас нет хорошего определения оператора». Перед коллективом авторов настоящего справочника были две опасности: заблудиться в многочисленных логических и идейных истоках функционального анализа или расплыться по бесчисленным рукавам в дельте функционального анализа при впадении его в море математических наук. Чтобы избежать этих опасностей, авторы старались не уходить далеко от основного русла — теории операторов и операторных уравнений. Этой теории посвящен основной материал справочника. Предыдущий текст взят из предисловия к первому изданию справочника. Он приведен для того, чтобы подчеркнуть, что основные идейные установки ' авторского коллектива остались прежними. Годы, прошедшие после первого издания, характеризовались бурным ростом издаваемой литературы по функциональному анализу. Сюда относятся как общие курсы функционального ана-
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Ц лиза, так и монографии, посвященные специальным его вопросам. Настоящее издание отличается от первого большим объемом материала и его большей специализацией. Введены две новые главы и содержание оставшихся глав существенно переработано и дополнено. В ряде мест изложение доведено до уровня современных исследований. Естественно, что при этом стали больше сказываться вкусы авторов, так как изложение всех вопросов функционального анализа на современном уровне является невыполнимой задачей. В написании гл. I принимали участие М. И. Кадец, С. Г. К ρ е й н, Ю. И. Петунии, Э. С. Цитланадзе; гл. II — П. П. За брей ко, С. Г. Крейн, Я. Б. Рутицкий, Ε. Μ. Семенов; гл. III —П. П. За брей ко, С. Г. Крейн, Ю. И. Пе- т у н и н, Е. М. С е м е н о в; гл. IV — М. Ш. Б и ρ м а н, И. С. И о х- видов, А. Г. Ко ст ючен ко, С. Г. Крейн, В. И. Соболев; гл. V — С. Г. К ρ е й н; гл. VI — П. П. 3 а б ρ е й к о, Μ. Α. Κ ρ а с- носельский, Я- Б. Рутицкий; VII — Е. А. Горин и Б. С. Μ и τ я г и н; VIII— М. А. КрасносельскийиВ. Я. Сте- ц е н к о; IX — М. Ш. Б и ρ м а н, Л. Д. Φ а д д е е в; X.— Н. Я. В и- л е н к и н. Читатель, знакомый с содержанием первого издания, заметит, что во втором больше внимания уделено линейным топологическим пространствам и геометрии банаховых пространств. Детально рассмотрены важнейшие классы функциональных пространств. Достаточно полно изложена теория линейных уравнений, спектральная теория и операторное исчисление в банаховом пространстве. Приведены основные факты эргодической теории. Исследованы дифференциальные и интегральные операторы. Шире развернута теория вполне непрерывных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, изложена теория расширений симметрических операторов, теория возмущений. Включен новый раздел об операторах в пространствах с индефинитной метрикой. Заново написана глава о коммутативных банаховых алгебрах, при этом описано современное состояние почти всех вопросов из этой области (пожалуй, не охваченной осталась лишь теория однородных алгебр). Много результатов, полученных в последнее время, включено в главу об операторах в пространстве с конусом. Значительно переработано содержание главы по квантовой механике. Здесь больше внимания уделено спектральной теории операторов квантовой механики. Авторам кажется, что расширение и осовременивание материала справочника не слишком испортило стиль его изложения.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Читатель, который интересуется лишь основами функционального анализа, найдет их изложенными достаточно популярно. По-прежнему в справочник не вошли такие разделы как теория представлений групп, теория некоммутативных операторных алгебр, теория банаховых многообразий, приближенные методы решения операторных уравнений и дрГЛишь частично затронута общая теория полуупорядоченных пространств. При пользовании справочником следует иметь в виду, что в нем отсутствуют леммы и теоремы и нет занумерованных формул. Элементарными частицами изложенного материаяа следует считать пункты, отмеченные в оглавлении. Для получения справки рекомендуется разыскать пункт по оглавлению, либо по алфавитному указателю и прочитать весь пункт. В нем обычно содержится связное и относительно замкнутое изложение цикла вопросов. Идя навстречу критике, авторы изменили методику составления списка литературы. Все утверждения, имеющиеся в книге, можно найти в учебной и монографической литературе или в специальных статьях, при этом ссылки на соответствующую литературу, помещенную в библиографии, даны в конце каждого пункта. Если результаты какой-либо статьи уже помещены в учебнике или монографии, то в список литературы она не вносится, поэтому литературные ссылки ни в какой степени не могут служить для выяснения исторических и приоритетных вопросов. Мы приносим извинения тем читателям, которых больше всего интересуют эти вопросы. Всем лицам, помогавшим созданию этой книги, мы выражаем глубокую благодарность. Особенно полезной была критика и помощь, которую оказал редактор обоих изданий справочника В. Ф. Гапошкин. С. Крейн
ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА § 1. Линейные системы 1. Понятие линейной системы. Понятие линейной системы является одним из основных в функциональном анализе. Множество Ε называется вещественной (комплексной) линейной системой или векторным пространством, если для каждых двух его элементов хну определена их сумма χ + у — элемент того же множества — и для любого элемента χ и вещественного (комплексного) числа λ определено произведение λχ, являющееся также элементом множества £, причем эти операции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам): 1) (х + #) + z=x-\-(y + ζ) (ассоциативность сложения); 2) х + у=У + х (коммутативность сложения); 3) в Ε существует такой элемент Θ, что для любого х&Е будет Οχ==θ; 4) (λ + μ) χ = λχ + μ*, 5) λ (* + */) = λ*+ λ# 6) (λμ)χ=λ(μχ) (ассоциативность умножения); 7) lx=x. По своей природе линейная система является алгебраической структурой, в которой отражены свойства, связанные со сложением и умножением на числа векторов евклидова пространства. В линейной системе Ε можно ввести операцию, обратную к операции сложения элементов, которую естественно назвать вычитанием: под разностью х-—у понимают выражение х-^< Н-(-1)*/· Примеры линейных систем. а) Пусть Еп есть совокупность всех векторов /г-мерного евклидовча пространства. Операции сложения двух векторов χ β Ни Ъ> · · · уЫ и у = {τ]ι, η2, ..., ηη} из множества Еп и умножения вектора # = {ξι,ξ2> ..., In) на вещественное число λ вводятся естественным образом: * + # = {ξι + ηι> ξ2 + η2> ···> 1п + Цп)> λχ = {λΙΐ9 λ|2, ..., λξ„}. (дистрибутивность);
14 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Множество Еп, наделенное этими операциями, становится вещественной линейной системой. б) Примером комплексной линейной системы является множество Л всевозможных комплексных последовательностей х= = {ξι, ξ2, ..., ξη, · · ·}, в котором операции сложения элементов *={ξι, Ы . · ·, ξη,.. ·} и у={к\и Чь..., г)п,.. } и умножения элемента χ на комплексное число λ определяются аналогичным образом: λΛΤ = {λξ1, λξ2> ···> λξΛ, . . .}. в) Множество С (0, 1), состоящее из всевозможных непрерывных функций, определенных на отрезке [0, 1], становится вещественной линейной системой, если ввести обычным образом операцию сложения функций и умножения функции на число. 2. Линейная зависимость и независимость. Система элементов хи *ь · ·., х-гх называется линейно независимой, если соотно- п шение вида 2 λ^'=θ возможно лишь при λι = λ2= ... =λη = 0. k=\ В противном случае элементы Хи #2, ..., Хп называются линейно зависимыми. Бесконечная система элементов называется линейно независимой, если любой конечный набор различных элементов этой системы линейно независим. Линейно независимая система {ха} называется алгебраическим базисом или базисом Хамеля линейной системы £, если всякий элемент хе£ может быть представлен в виде линейной комбинации конечного числа элементов из {ха}: η X = 2j λ,ιΧα.. Так как алгебраический базис является линейно независимой системой, то указанное представление элемента χ определяется единственным образом. Всякая линейная система обладает алгебраическим базисом. Любые два алгебраических базиса линейной системы Ε имеют одно и то же кардинальное число χ. Это кардинальное число называется размерностью линейной системы Е. Линейная система Ε называется конечномерной, если ее размерность есть натуральное число п. В этом случае алгебраический базис состоит из η элементов ей е2, ..., еп и обычно называется просто базисом. Каждый элемент х^Е однозначно представим в виде η χ = 2 λ^·.
έ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 15 Числа %i называются координатами элемента χ в базисе {ej. В случае бесконечного χ линейная система Ε называется бесконечномерной. Пусть {еа} — произвольное множество символов еа. Рассматривается совокупность символов вида 2λαβα, где числа λα отличны от нуля лишь для конечного числа индексов а. Эта совокупность становится линейной системой Е, если в ней определить действия: 2 Кеа + 2 λα^α = 2 (λα + λό) ^α И λ 2 λα£α = 2 (λλα) *α· Каждому символу еао отвечает элемент системы 2 λαβα, для которого λα = 0 при α Φ α0 и λ^=1. Таким образом произвольная система символов {еа} отождествляется с алгебраическим базисом линейной системы Е. Построенную систему Ε называют свободной линейной системой, построенной по множеству {еа}. Литература: [25], [29], [51]. 3. Линейные многообразия и фактор-системы. Непустое подмножество Μ линейной системы Ε называется линейным многообразием, если всякая линейная комбинация λι*ι + ta*2 любых двух элементов Х{, х2 из множества Μ также принадлежит М. Пусть S — произвольное подмножество элементов из Е. Совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов S образует линейное многообразие, называемое линейной оболочкой множества 5. Линейное многообразие Μ называется максимальным, если оно не совпадает со всей системой £ и не содержится ни в каком другом линейном многообразии, кроме Е. Линейная оболочка максимального линейного многообразия и любого не принадлежащего ему элемента совпадает с Е. Если S и Г —два подмножества линейной системы, то под алгебраической суммой S+ Τ множеств S и Τ понимается множество, состоящее из всех элементов вида х-}- у, где ^gS и у^Т. Два линейных многообразия Μ и N называются алгебраически дополнительными, если Μ [] Ν = θ и Μ -\- N = Е. В этом случае говорят, что Ε разложено в прямую сумму Μ и N. Для всякого линейного многообразия линейной системы Ε существует; алгебраически дополнительное линейное многообразие. Классом смежности по линейному многообразию Μ называется совокупность элементов X = χ -\-М, где χ— фиксированный элемент из Е. Два класса смежности либо совпадают, либо не пересекаются. Совокупность классов смежности будет линей- йой системой, если под суммой классов X и Υ понимать класс К -J- Υ, построенный по элементу χ -f у, где χ η у — какие-либр
16 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ элементы классов X и Y. Аналогично класс XX строится по элементу λ*, где х е X. Эта линейная система называется фактор- системой Е/М линейной системы Ε по линейному многообразию М. При переходе к фактор-системе все элементы каждого класса смежности отождествляются и рассматриваются как один новый элемент. С помощью понятия фактор-системы решается следующая задача: дано произвольное множество символов {еа}. Требуется отождествить эти символы с элементами 8а некоторой линейной системы так, чтобы элементы &а удовлетворяли заданной системе линейных соотношений Σμξ0Γβ = θ (β sB) (μβ отличны от нуля лишь для конечного числа а). По множеству {еа} строится свободная линейная система Е. В ней рассматривается линейное многообразие Μ всех линейных комбинаций, составленных из элементов 2 Μ^α Φ е В)· Пусть Е\ = = Е/М и &а — класс, содержащий элемент еа е Е. Тогда соответствие еа->8а решает поставленную задачу. При этом существенным является то, что между элементами &а не будет никаких линейных соотношений, кроме заданных и получающихся из них линейными комбинациями. (Если заданных соотношений «слишком много», то система Еа может состоять только из Θ). Литература: [27], [29], [30], [39], [78]. 4. Произведения линейных систем. По двум заданным линейным системам Ε и F различными способами можно строить линейную систему G так, чтобы каждой паре элементов χ е Ε и we F отвечал бы некоторый элемент из G, называемый произведением χ и и. Самый простой способ состоит в рассмотрении формальных символов хи (х^Е, u^F) и построении по ним свободной линейной системы G. Однако получающееся при этом произведение хи не обладает никакими алгебраическими свойствами, при построении G алгебраические операции в Ε и F никак не учитываются. «Разумные» определения произведения получаются, если потребовать, чтобы эта операция удовлетворяла определенным алгебраическим соотношениям. Этого можно добиться, производя факторизацию G по некоторым линейным многообразиям, как это описано в предыдущем пункте. 1) Прямое произведение. Факторизация G производится по многообразию М, состоящему из всех линейных комбинаций элементов вида *,и, + х2"2 — (*ι Н- х2) («ι + и2) или {Хх\){Хи{) — λ{χ{, щ) {χι<εξЕ, Ui^F).
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 17 Оказывается, что каждый класс смежности при этом содержит один и только один элемент хи и поэтому обозначается {х, и). Алгебраические операции над классами определяются равенствами {*,, щ) + {х2у и2} = {хх + х2, и{ + и2}, λ{х{, и{} = {λχ{9 Ких]. Под прямым произведением Ε X F линейных систем Ε и F и понимают совокупность пар {x,w}(jiG£,wGF), для которых алгебраические операции определены указанным выше способом. Совокупность Ег элементов вида {χ, Θ} может быть отождествлена с системой Я, а совокупность F' элементов вида {Θ, и)— с системой F. Тогда Ε Χ F является прямой суммой Ег и F'. Если Ε и F конечномерны, то размерность Ey^F равна сумме размерностей Ε и F. Аналогично определяется прямое произведение конечного числа линейных систем. 2) Тензорное произведение. Факторизация G производится по многообразию Ми состоящему из всех линейных ^комбинаций элементов вида > Х\Щ + Х2Щ — (*| +Х2)Щ9 ХХЩ 4- X{U2 — Х{ (щ + и2)у λ (х{щ) — (λχχ) щ9 λ (Х\Щ) — Х\ (λιΐι) {xi^E, ut<=F). Класс, отвечающий элементу хи, обозначается через л;®и. Однако теперь такого вида классы не исчерпывают всю совокупность классов смежности. Любой класс смежности предста- k вим неоднозначно в виде 2 *ι ® и{ {х\ е Е, щ gF, k = — 1, 2, ...). Справедливы соотношения Χχ + Х2) ® Щ = Х{ ® Щ + Х2<8>Щ, Χι® {Щ + U2) = Х{ ® U{ + Х{ ® U2, λ (л:! ® ^!) = (λ^) ® щ == х{ ® (Ли 0. Полученная линейная система называется тензорным произведением E<8>F линейных систем Ε и F. Пусть Ε и F конечномерны, {ej* и '{fijj"— базисы в этих пространствах. Тогда элементы ei®fh (ί=1, ...·, я, Α=1, ..., m) образуют базис в f®/7, размерность £®F равна nm. Аналогично определяется тензорное произведение конечного числа линейных систем. 3) Внешнее произведение. Пусть линейные системы Ε и F совпадают. К многообразию Λίι, рассмотренному в 2), добавляются еще элементы вида хх (х^Е) и их линейные комбинации с элементами М\. Фактор-система по полученному многообразию Λί2 называется внешним произведением ЕЛЕ. Классы смежности, отвечающие элементам хуу обозначаются χ Λ у,
18 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ к Любой класс смежности представим в виде 2 х% Ayi(xi> yi^E9 k=\y 2, ...). Произведение х А у, кроме свойств тензорного произведения, обладает еще свойством χ Λ у = — у Λ χ и, в частности, χ Λ χ = θ. Если Ε конечномерно с базисом {е*}", то базисом в Ε Α Ε будет служить система элементов вида eiAej (/</). Размерность ЕЛЕ равна м(м — 1)/2. Аналогично определяется внешнее произведение Е{Г) = ЕЛЕЛ ... ЛЕ. г Его элементами будут формальные суммы элементов вида Χι А %г Λ .:. Λ xr (Xi e Ε). Произведение Χι А Хг Λ ... Λ хг аддитивно и однородно по каждому множителю при фиксированных остальных и равно нулю, когда какие-либо два множителя одинаковы. Как следствие получается, что произведение Х\ А Хг Λ... ... Λ хг равно нулю тогда и только тогда, когда элементы хи Хъ · ·., Хг линейно зависимы. Если Ε конечномерно с базисом {ejp то Е(г} = 0 при г > п. Если г ^ я, то базисом в £(г) будет служить система элементов вида eix Λ £ι2 Λ ... Λ e*r> где k < i2 < ... < *V· Если элементы Яй (й=1, ..., г) имеют в базисе {е*} координаты λ^ (i = = 1, 2, ..., η), то координата μ, , элемента *ι Λ Хг Λ ... ... Λ χη отвечающая элементу базиса et Λ £/2 Λ ... Λ £* , есть минор порядка г матрицы λιΛ, составленный из строк этой матрицы с номерами /i, k, .."., *V. Дитература: [23], [25], [56], [78]. 5. Выпуклые множества. Под отрезком, определяемым элементами χ и у линейной системы, понимается совокупность всех элементов вида а*+(1 — а) у, где Ο^α^Ι. Множество S линейной системы Ε называется выпуклым, если оно целиком содержит отрезок, определяемый любыми двумя его элементами. Простейший пример выпуклого множества представляет собой любое линейное многообразие МаЕ. Для произвольного множества S а Е существует наименьшее выпуклое множество S, содержащее S, называемое выпуклой оболочкой множества S. Выпуклая оболочка S состоит из
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 19 всевозможных элементов вида η χ— 2j akxk> η где α/j^O и 2α& = 1> Xk^S, n — любое натуральное число. Множество 5 называется уравновешенным, если для любого x^S и |λ| ^ 1 элемент ЯхеМ. Выпуклое уравновешенное множество называется абсолютно выпуклым. Множество S называется поглощающим, если для каждого xg£ существует β > 0 такое, что-g-xeS. Вводится функция р(х) = inf β (*е£). β>0, 4"^^5 Ρ Если множество 5 — абсолютно выпуклое и поглощающее, то р(х) обладает свойствами: 1) ρ (χχ) = | χ | ρ (χ) для всех λ й χ е £; 2) р(х + #)<р(х) + р(#) для всех х, #е£. Функция со свойствами 1), 2) называется полунормой или преднормой. Полунорма, построенная по абсолютно выпуклому поглощающему множеству, называется его калибровочной функцией или функционалом Минковского. Литература: [5], [27], [30], [51], [56]. § 2. Линейные топологические, метрические, нормированные и банаховы пространства 1. Линейное топологическое пространство. Линейное топологическое пространство является сложной структурой. Порождающие ее структуры — линейная система и топологическое пространство. В понятии топологического пространства отражены свойства, связанные с интуитивными понятиями окрестности, предела и непрерывности в обычном евклидовом пространстве. В линейном топологическом пространстве обе структуры связаны между собой. Эта связь отражает свойства непрерывности алгебраических операций над векторами в евклидовом пространстве. В фун:£циональном анализе в основном изучаются бесконечномерные линейные топологические пространства, которые наряду со свойствами, общими с евклидовым пространством, имеют ряд качественно новых свойств. Пусть ΖΓ—линейная система, наделенная отделимой (хаус- дорфовой) топологией, задаваемой системами окрестностей {Vx}
20 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (х^Е) *). Множество Ε называется линейным топологическим пространством, если алгебраические операции непрерывны в топологии £, т. е.: 1) для каждой пары элементов х, у^Е и окрестности Vx+y элемента х + у найдутся окрестность Vx элемента χ и окрестность Vy элемента у такие, что Vx + VycVx+y·, 2) каковы бы ни были элемент χ е £, число λ и окрестность V^x элемента λχ, найдутся окрестность Vx элемента χ и число δ > 0 такие, что μνχςζνλχ при |μ — λ |< δ. В линейном топологическом пространстве задание системы {Vea)} окрестностей нуля полностью определяет топологию этого пространства — любая окрестность V{x] элемента χ получается из некоторой окрестности нуля Vea) путем ее «сдвига» на элемент х: V(xa) = x + V(ea\ Всякая окрестность нуля является поглощающим множеством. В ней содержится уравновешенная окрестность нуля. Простейшим примером линейного топологического пространства является конечномерное евклидово пространство Rn с обычной топологией. Другие примеры' линейных топологических пространств. а) В линейную систему Л всех комплексных последовательностей (см. пример б) § 1) топологию вводят с помощью системы окрестностей следующим образом: окрестностью элемента ^ο = |ξθ, |0f ###) gof ##tj называется совокупность, содержащая все элементы χ={ξι, £г,..., ξη,.. }, координаты которых удовлетворяют условию **· l+||0_|n|<8' *) Система $ίχ подмножеств Vx называется системой окрестностей точки χ при выполнении условий: а) x^Vx для любой Vx^$lx; б) если Vx1)€eWx и V^eST,, то Vx{)(\Vf^Kx; в) если ^εϊχ и V=>VX, то Ve^; г) если Uxcz$tx, то существует VX^WX такое, что Ux^^ty для любого у ^Vx. Топология; задаваемая системами окрестностей $£χ(χε£), называется отделимой, если любые две различные точки Ε имеют непересекающиеся окрестности.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 21 где ε — некоторое положительное число. Линейная система Λ, наделенная этой топологией, становится линейным топологическим пространством, которое обозначается через s. б) Линейную систему С (0, 1) непрерывных на отрезке числовых функций (см. пример в) § 1) можно превратить в линейное топологическое пространство, введя систему окрестностей: окрестностью функции x0(t)^C{0,l) называется совокупность, содержащая все функции Jf(i)eC(0,I), для которых \xo(i) — x(i) | < ε при всех / е [0, 1] и некотором ε > 0. Элемент Хо называется предельной точкой для множества S топологического пространства Е, если всякая окрестность Хо содержит элемент из множества S. Множество всех предельных точек множества S называют замыканием множества S и обозначают 5. "Последовательность {хп} элементов топологического пространства Ε называется сходящейся к элементу х0, если для любой окрестности V*„ элемента Xq найдется такое натуральное число N, что хп ^ VXa при всех п> N. Следует отметить, что в линейном топологическом пространстве замыкание множества S не всегда совпадает с множеством пределов всевозможных сходящихся последовательностей элементов из S. Однако для ряда частных видов линейных топологических пространств, например, для линейных метрических и нормированных пространств, замыкание множества совпадает с совокупностью пределов всех сходящихся последовательностей элементов из этого множества. Если замыкание множества S совпадает со всем топологическим пространством £, то множество 5 называется всюду плотным. Литература: [5], [25], [27], [29], [51]. 2. Локально выпуклое пространство. Множество Г = {V^} окрестностей элемента χ называется фундаментальной системой или базисом окрестностей этого элемента, если всякая окрестность χ содержит окрестность из множества Г. Линейное топологическое пространство Ε называется локально выпуклым, если оно обладает фундаментальной системой окрестностей нуля, каждая из которых выпукла. Пространства Rn, C(0, 1) и s локально выпуклы. В локально выпуклом пространстве существует фундаментальная система окрестностей нуля, являющихся абсолютно выпуклыми, поглощающими множествами. Этой системе окрестностей отвечает семейство полунорм. Если на линейной системе Ε задано произвольное семейство Г полунорм ра{х), то на Ε можно определить (не обязательно отделимую) локально выпуклую топологию, принимая за базис окрестностей нуля
22 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ семейство всех абсолютно выпуклых множеств, определяемых соотношениями max ρα/(*)<ε при произвольных натуральных η, ε > 0 и /?α/ΕΓ, Эта топология будет отделимой тогда и только тогда, когда для каждого элемента Хо φ θ (хо е £) найдется полунорма /?а ^Г такая, что Каждая локально выпуклая топология в линейной системе может быть задана указанным способом с помощью соответствующего семейства полунорм. Бочкой в локально выпуклом пространстве называется всякое его абсолютно выпуклое, поглощающее и замкнутое множество. Локально выпуклое пространство называется бочечным, если каждая бочка в нем является окрестностью нуля. Примеры линейных локально выпуклых топологических пространств. а) Пространство С(—оо, <х>) всех непрерывных на оси (—-оо, оо) функций x(t). За определяющую систему полунорм принимают рп(х)= max \x(t)\ (я = 1, 2, ...). Сходимость в соответствующей топологии совпадает с равномерной сходимостью на каждом ограниченном множестве. б) Пространство С°°(0, 1) всех бесконечно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t) с определяющей системой полунорм рт(х)= max \x{m)(t)\. Сходимость является равномерной на [0, 1] сходимостью вместе со всеми производными. в) Пространство С°°(—оо, оо) всех бесконечно дифференцируемых на оси функций x(t) с определяющей системой полунорм рпт{х)= max \x{m)(t)l m = 0, 1,2,...; /г=1,2,... Литература: [5], [27], [46], [51]. 3. Линейное метрическое пространство. Важным частным случаем топологического пространства является метрическое пространство. Множество Ε называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х, у поставлено в соответствие действительное число ρ (х, у)—расстояние между элементами χ и у — удовлетворяющее условиям (аксиомам): 1) р(*,#)>0; ρ(*,*) = 0, и если р(*, у) = О, то χ = у\
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 23 2) ρ (я, у) = р(у,х) (аксиома симметрии); 3) р(х, У) <р(*,2) +р(г,у) (x,y,zeEE) (неравенство треугольника). Элементы метрического пространства называются также точками; если введением расстояния множество Ε превращается в метрическое пространство, то говорят, что в множестве Ε введена метрика или также что множество Ε метризовано. Если Xn^E, JiG£ и р(*п, х)->0 при дг->оо, то говорят, что хп сходятся к #: хп-+х. Расстоянием между множествами А к В метрического пространства называется inf p(x, у). χζ=Α, i/eB Линейная система Ε называется линейным метрическим пространством, если она метризована, причем так, что алгебраические операции непрерывны в метрике Е, т. е.: 1) из того, что хп-+х> Уп~*У, следует хп + Уп~»х + У\ 2) если хп-*х> λη-*λ, то ληχ<η-+λχ. Пример линейного метрического пространства. В линейном топологическом пространстве 5 (см. пример а) п. 1) можно ввести расстояние между элементами х = — {ξι, Ъ, ···> In, ...} и у = {ηι, η2, . .., ηη, .. } с помощью формулы 0(х ^ = yj 16»"%I 9{X> У) 2U 2" Ι+|ξΛ-η„Γ /ι=1 Метрика в' множестве Ε порождает {индуцирует) в нем естественным образом топологию: если принять за базис окрестностей V*0 (0 < ε < оо) точки х0 совокупности всех элементов у^Е таких, что р(хо, У) <. г при заданном ε > О, то множество Ε становится топологическим пространством. Это пространство может не быть локально выпуклым. Топологическое пространство Ε называется метризуемым, если в нем можно ввести метрику так, что топология, индуцируемая в Ε этой метрикой, совпадает с исходной топологией топологического пространства Е. Если Ε — линейное метризуемое пространство, то метрика всегда может быть сделана инвариантной относительно сдвига. Справедлив следующий критерий метризуемости линейных локально выпуклых топологических пространств: для того чтобы локально выпуклое линейное топологическое пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы его топологию можно было задать счетным множеством полунорм.
24 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Во всех приведенных выше примерах локально выпуклые пространства метризуемы. Важные примеры неметризуемых линейных топологических пространств будут приведены ниже (см. §4, п. 3). Литература: [5], [27], [29], [39]. 4. Линейное нормированное пространство. В геометрии, анализе, а также в ряде других разделов математики, кроме понятия алгебраических операций, большую роль играет понятие длины или нормы вектора. Линейная система Ε называется линейным нормированным пространством, если каждому элементу χε£ поставлено в соответствие вещественное число ||д:|| ^ 0, называемое нормой элемента *, причем соблюдены следующие условия (аксиомы линейного нормированного пространства): 1) \\χ\\ = 0 тогда и только тогда, когда χ = θ; 2) ||λ*|| = |λ|||*|| (однородность нормы); 3) II* + у\\ ^ 11*11 + Ш\ (неравенство треугольника). Величина р(*> у)=\\х — у\\=\\у — х\\ обладает всеми свойствами метрики, поэтому линейные нормированные пространства представляют собой частный вид метрических пространств, а значит^и топологических пространств. В них определяются понятия предела последовательности, замыкания множества, окрестности и др. Ввиду того что основным объектом в дальнейшем будут линейные нормированные пространства, здесь формулируются все эти понятия непосредственно в терминах линейных нормированных пространств. Последовательность {*п} элементов линейного нормированного пространства Ε называется сходящейся (по норме) к элементу х0, если ||*о —*я11--*0 при п—>оо. Открытым (замкнутым) шаром S(x0,r) радиуса г >0 с центром в точке *о называется множество всех точек * е Ε таких, что ||*о —*Н < г (||*0 —*|| < г). Под окрестностью точки Хо понимается всякое подмножество Vx^czEy содержащее открытый шар некоторого радиуса с центром в точке *о. Элемент *о называется предельной точкой для множества ТаЕ, если всякая окрестность Хо содержит элементы из множества Г. Для того чтобы элемент *о был предельной точкой множества Т9 необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {хп} с Т, сходящаяся к *о. Множество ТаЕ называется замкнутым, если все предельные точки Τ принадлежат Т,
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 25 Множество Τ α Ε называется открытым, если каждая его точка внутренняя, т. е. содержится в Τ вместе с некоторой окрестностью. (Иначе говоря, если для любой точки х0бГ при некотором г > О будет S(x0f r) с= Т.) Шар S(x0,r) радиуса г с центром в точке х0 является выпуклым множеством; кроме того, из определения окрестности точки Хо вытекает, что шары S(xo, r) образуют фундаментальную систему окрестностей точки Хо, когда г пробегает множество всех положительных действительных чисел. Отсюда следует, что линейное нормированное пространство является локально выпуклым линейным трпологическим пространством. Замкнутой выпуклой оболочкой множества Τ линейного нормированного пространства Ε называется наименьшее замкнутое выпуклое множество из Е, содержащее множество Т. Пусть в линейной системе Ε введены две нормы II IIι и || ||2. Они называются эквивалентными, если для любого элемента хе£ выполняется неравенство C2IUb<IUIb<C1|Ulh, где Си Сг > 0 и не зависят от х. Эквивалентные нормы порождают одну и ту же топологию в пространстве Е. Линейное топологическое пространство Ε называется нормируемым, если в Ε можно ввести норму так, что топология, которую индуцирует эта норма в множестве Е, совпадает с исходной топологией пространства Е. Естественно возникает вопрос: при каких условиях линейное топологическое пространство Ε является нормируемым? Ответ формулируется с помощью понятия ограниченного множества в линейном топологическом пространстве. Множество VaE называется ограниченным, если для любой последовательности элементов хп е V и любой числовой последовательности %п —► О последовательность элементов {ληΧη} сходится к нулю. Для того чтобы линейное топологическое пространство было нормируемым, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала выпуклая ограниченная окрестность нуля (А. Н. Колмогоров). Пространства s, С(—00,00), С°°(0, 1) дают примеры ненор- мируемых линейных топологических пространств. Замкнутое линейное многообразие Μ линейного нормированного пространства называют подпространством. Всякое конечномерное линейное многообразие Μ замкнуто и является потому подпространством. Всякое линейное многообразие Μ в линейном нормированном пространстве Ε является само линейным нормированным пространством относительно нормы пространства Е.
26 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Если подпространство является максимальным линейным многообразием (см. § 1, п. 3), то оно называется гиперподпространством. Говорят, что пространство Ε разложено в прямую сумму своих подпространств Λίι и Λί2, Ε = Λίι φ Λί2, если любой элемент χ ^ Ε допускает единственное представление χ — х{-{- х2, Χι <ξ Λίι, х2 е Λί2. В этом случае Λί2 называется замкнутым дополнением к Μι. Не всякое подпространство линейного нормированного пространства имеет замкнутое дополнение. Так, например, подпространство Со не имеет замкнутого дополнения в пространстве m (см. п. 5 примеры 4 и 6). Литература: [23], [25], [39], [97]. 5. Примеры линейных нормированных пространств. 1. Евклидово пространство Rn- Пусть Еп — линейная система, состоящая из всевозможных n-мерных векторов χ = = Пи Ы · · · у In}- В Еп можно ввести норму по формуле Линейная система Еп с этой нормой называется евклидовым пространством Rn. Неравенство треугольника (3-я аксиома) следует из известного неравенства Минковского для конечных сумм Г п 1\/р Г η Ί [Slb + Tbl'J <[2lblpJ Up + η ΤΙ/ρ ΣΙ тип (р>1) при р =5= 2. 2. Пространство mn. Для вектора х = {ξι, ξ2, ..., ξη} из Εη можно определить норму другим образом: 11*11 = max \lt\. 1<ί</ι Линейная система Еп с этой нормой называется пространством тп. 3. Пространства lp (р^\). Элементами пространства Ip(P^l) являются все такие числовые последовательности оо х = Ни Ъ> ..., ξη, ...}, для которых сходится ряд 2 I h Г Из неравенства Минковского следует, что 1Р образует линейную систему. После введения нормы ( оо yip \\χ\\=[Σ\ΐι\ρ\ lp становится линейным нормированным пространством.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 27 4. Пространство т (или /«>). Пусть т — множество, состоящее из всевозможных ограниченных последовательностей χ = {gb ξ2, .. ·, ξη, ...}. Если положить ||*|| = sup|&|. i rro m становится линейным нормированным пространством. 5. Пространство с. Из пространства т выделяется пространство с, элементами которого являются все сходящиеся последовательности. Норма в с определяется так же, как и в т. Пространство с является линейным подпространством пространства т. 6. Пространство со. Линейное подпространство пространства с, состоящее из всех последовательностей, сходящихся к нулю, называется пространством с0. 7. Пространство Lp(0, 1). Аналогом пространства 1Р среди функциональных пространств является пространство £р(0, 1) (/?^5 1), состоящее из всех функций*), суммируемых с р-й степенью в промежутке [0, 1], т. е. таких измеримых функций x(t)9 что ι j\x(t)\pdt<oo. о Из интегрального неравенства Минковского [1 -,1/р г- 1 -,1/р г- 1 -,1/р j\x(t) + y(t)\pdt\ <\j\x(t)\pdt\ +\j\y(t)\pdt следует, что Lp(0,1) становится нормированным, если положить il/p [1 η Ι/ρ Сходимость в Lp(0, 1) является сходимостью в среднем с показателем р. Именно, хп~*Хо означает, что ι j\Xn{t)-Xo{t)fdt-+0. О 8. Прюстр анств'о С(0, 1). В линейной системе С(0, 1) (см. § 1, п. 26)) состоящей из всех непрерывных на отрезке *) В пространствах Lp, а также в пространствах Μ и L^ (см. примеры 10 и 14) функции, совпадающие друг с другом почти всюду на [0, 1], отождествляются.
28 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [О, 1] функций, норма функции x(t) определяется следующим образом: ||*||= max |*(/)|. 0<*<1 Расстояние между двумя функциями ρ(λ-, у)= max \x(t) — y(t)\ 0<*<1 есть максимальное расстояние между лх графиками. Сходимость последовательности {хп} точек пространства С(0, 1) к точке Хо означает равномерную сходимость последовательности функций xn(t) к функции Xo(t). 9. Пространство С^(0, 1). Элементами этого пространства являются всевозможные функции, определенные на отрезке [0,1] и имеющие на этом отрезке непрерывные производные до 1-й включительно. Алгебраические операции — операции сложения и умножения функции на число — определяются обычным образом. Норму элемента x(t) eCW(0, 1) можно определить по формуле || χ || = 2 max | *<*> (/) | (х<°> (/) = χ (/)). fe=0 0<ί<1 Сходимость в О')(0, 1) означает равномерную сходимость как последовательности самих функций, так и последовательностей их производных fe-ro порядка (k = 1, 2, ..., /). 10. Пространство Μ(0, 1) (или Loo(0,1)). Еще один пример функционального линейного нормированного пространства представляет множество Λί(0, 1) всех измеримых и ограниченных почти всюду на отрезке [0, 1] функций x(t), в котором алгебраические операции определяются обычным образом, а норма определяется равенством II * || = vrai max | *(f)l= inf { sup \x(t)\}. 0<*<1 m£=0 *<=[0, l]\E Сходимость в Λί(0, 1) есть равномерная сходимость почти всюду. 11. Пространство У(0, 1). Пусть x(t)—конечная функция, заданная на отрезке [0, 1]. Рассматривается произвольное разбиение τ отрезка [0,1] (0 = U < tt < ... </п = 1) и образуется выражение Ox=jl\x(tk)--x(tk-i)\· Если совокупность сумм vXy отвечающих всевозможным подразделениям τ отрезка [0, 1], ограничена, то функция x(t) назы-
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 29 вается функцией ограниченной вариации на отрезке [0, 1], а величина ι V {х) = sup όχ О τ называется полной вариацией функции x(t). Пусть У (0,1)—множество всех функций ограниченной вариации. Если в множестве У(0, 1) ввести обычным образом алгебраические операции, то оно станет линейной системой; если, кроме того, положить для хеК(0,1) IUII = U(0)|+VW, о то V(0, 1) становится линейным нормированным пространством. 12. Пространство См(—°°у °о). Элементами его являются непрерывные и ограниченные на всей числовой прямой функции. Норма x(t) в См(—оо, оо) вводится формулой II -ж И — sup \x(t)\. — 00<f <00 Сходимость последовательности в См{— <*>, обозначает равномерную сходимость на всей числовой прямой. 13. Пространство Гельдера Са(0,1). Пусть Са(0, 1) — множество всех функций x(t), заданных на отрезке [0, 1] и удовлетворяющих условию Гельдера (или Липшица) с показателем α (0 < a ig 1) \x{ti)-xitu\<C\tx-U\* (/„ f2e[0, 1]). Норма x(t) e Ca(0,1) определяется с помощью формулы ||*|| = |*(0)|+ sup U{^~*(^ . 14. Пространство A(D) всех аналитических в единичном круге D функций, непрерывных в замкнутой области Б. Норма определяется формулой ||*||= max|*(z)|. Выше для простоты были приведены примеры функциональных пространств, состоящих из функций, определенных на отрезке [0,1]. Аналогично определяются пространства LP(Q) и M(Q) функций, заданных на множестве Q с абсолютно аддитивной мерой; пространство C(Q) непрерывных ограниченных функций на топологическом пространстве Q; пространства CW(G), Ca(G) и A(G) функций, определенных в области G я-мерного евклидова пространства. Литература: [19], [23], [25], [27], [29], [39].
30 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 6. Полнота метрических пространств, банахово пространство. Последовательность точек {хп} метрического пространства Ε называется фундаментальной (или сходящейся в себе), если для любого ε>0 найдется натуральное число Ν = Ν(ε) такое, что р(*т, Хп) < ε при т, п^ N. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна, од- - нако обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В самом деле, пусть в метрическом пространстве /?, состоящем из рациональных чисел с метрикой ρ (л:, //) = | л: — у\, последовательность {хп} сходится к некоторому иррациональному числу. Последовательность {хп} фундаментальна в метрике R, однако в R не существует элемента, который бы являлся ее пределом. Если в метрическом пространстве Ε каждая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу того же пространства, то Ε называется полным пространством, Метризуемое полное локально выпуклое пространство называется пространством Фреше. Пространство Фреше является бочечным. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством. В терминах нормы тот факт, что последовательность {хп} фундаментальна, означает, что \\хп — xm\\ m „^^О· Поэтому условие полноты линейного нормированного пространства Ε выглядит так: из того, что \\хт — хп \\т „^^О, вытекает существование такого Хо е Я, что || хп — х01|-^—> 0. Все нормированные пространства, описанные в примерах 1—14, являются полными, а поэтому — банаховыми пространствами. Любое конечномерное линейное нормированное пространство полно и, следовательно, является банаховым. Бесконечномерное банахово пространство имеет размерность не меньше континуума. В банаховом пространстве справедлив принцип вложенных стягивающихся шаров: пусть дана последовательность вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, тогда эти шары имеют единственную общую точку. Этот принцип играет важную роль при доказательстве различных теорем существования. В неполных пространствах этот принцип несправедлив, в связи с чем ряд теорем существования в таких пространствах не имеет места. Аналогично тому, как множество рациональных чисел пополняется до множества всех вещественных чисел, всякое метрическое пространство может быть расширено до полного пространства.
I 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 31 Пополнением Ε метрического пространства Ε называется полное метрическое пространство, содержащее Ε в качестве всюду плотного подмножества. Всякое метрическое пространство обладает пополнением. Приведем пример. 15. Пространство Wlp(G). Пусть G —область в tt-мер- ном пространстве с гладкой границей и C^(G)—линейная система всех / раз непрерывно дифференцируемых функций x(t) в области G. В норме, которая определяется равенством \\x\\ = f\\x(i)\pdtfP + пространство C^(G) не полно. Пополнение этого пространства называется пространством Wlp(G). Пространства Wpl)(G) были введены С. Л. Соболевым и играют важную роль в различных задачах теории уравнений в частных производных. Литература: [23], [27], [30], [39], [53]. 7. Компактные множества. Множество Τ в метрическом пространстве Ε называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности {хп} а Т можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу χ е Е. Критерий компактности. Для компактности множества Τ метрического пространства Ε необходимо, а в случае полноты Ε и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала конечная ε-сеть, т. е. такое конечное множество элементов Х\, ..., хп е Е, что для каждого элемента JiGi найдется элемент Xk, находящийся от χ на расстоянии меньше ε: ρ (*, xk) < ε. В линейном нормированном пространстве компактность множества означает, что его можно с любой точностью приблизить множеством, лежащим в конечномерном подпространстве. Полезными являются утверждения: если множество компактно, тощего выпуклая оболочка также компактна; замыкание компактного множества компактно. В конечномерном банаховом пространстве всякое ограниченное множество компактно. Линейное нормированное пространство, в котором какой-либо шар компактен, является конечно- мерным.
32 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЙ Признаки компактности. 1) Компактность в С(0, 1). Для компактности множества ГсС(0, 1) необходимо и достаточно, чтобы функции x(t) Gi были равномерно ограничены и равностепенно непрерывны (критерий Арцела). При этом равномерная ограниченность означает, что существует константа К такая, что \x(t)\ ^ К для всех x(t) еГи /е[0, 1], а равностепенная непрерывность означает, что для всякого ε > О существует δ = = δ(ε) такое, что |*(/ι) —*(&) | < ε для любых th /2e[0, 1] при \t\ — t2\ < δ и для любой функции x(t)^ Т. 2) Компактность в См{—°о, оо). Для компактности множества ТаС(—оо, оо) необходимо и достаточно, чтобы функции x(t) были равномерно ограничены и чтобы для каждого ε > 0 существовало покрытие оси (—оо, оо) конечным числом открытых множеств, в каждом из которых колебание любой функции χ(ί)^ Τ меньше ε. 3) Компактность в Lp(0, 1)(р>1). Для компактности множества Τ cz Lp (О, 1) необходимо и достаточно, чтобы это множество было ограничено β Lp(0, 1) и чтобы для любого ε > > 0 существовало δ > 0 такое, что при h < δ для любой функции x(t) еГ расстояние р(х,Хн) < ε, где t+h х^=ж JчX^dx t-h (вне отрезка [О,1] функция x(t). полагается равной нулю) (критерий А. Н. Колмогорова). 4) Другой признак компактности в Lp(0, Ι) (ρ ^ ^ 1). Для компактности множества TczLp(X), 1) необходимо и достаточно, чтобы это множество было ограниченным в Lp(0,1) и чтобы для любого ε > 0 существовало δ >0 такое, что ι j\x(t + h) — x(t)fdt<B о при \h\ <δ (критерий Μ. Рисе а). 5) Компактность в /р(р^1). Для компактности некоторого множества Τ czlp необходимо и достаточно, чтобы Τ было ограниченным и чтобы для произвольного ε > О существовал, номер Ν = Ν(ε) такой, что для всех х = {ξι, ξ2, ..., ξη, «..}εΓ оо имеет место неравенство 2 I It \p < ε· В последние . годы усиленно изучались количественные характеристики «массивности» компактных множеств. Через N?\T) обозначают минимальное число точек во всевозможных
§ 2. Линейные топологические пространства 33 ε-сетях множества Т. Число He(T) = log2Ne(T) называется ь-энтропией множества Т. Название это связано с идеями теории информации. Энтропия множества сообщений при передаче с определенной точностью есть число двоичных знаков, требуемых для восстановления с этой точностью любого сообщения. Если считать компактное множество Τ множеством сообщений, а под воспроизведением точки л: из Г с нужной точностью понимать указание некоторой точки х' из ε-окрестности точки х, то оба понятия энтропии приобретают аналогичный смысл. Другой количественной характеристикой массивности Τ является ε-емкость. Она определяется формулой Сг(Т) = log2 Λίβ(Γ), где Мг(Т)—максимальное число точек с взаимными расстояниями больШе ε, которое можно разместить в компактном множестве Т. С помощью ε-емкости можно оценивать снизу ε-энтропию, так как M2e(T)<Ne(T). Для ряда важных классов компактных множеств имеются асимптотические оценки ε-энтропии при ε—>0. Для куба Q в га-мерном пространстве Еп H*(Q) „ lim β->ο iog2 В пространстве C(G), где G— Замкнутая ограниченная n-мерная область с гладкой границей, рассматривается компактное множество Vif a(Cit C2), состоящее из всех функций, имеющих частные производные порядка /, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем а, 0<а^1, и таких, что производные до порядка / ограничены числом Сь а константы Гельдера 1-х производных — числом С2. Тогда / ι \η/(/+α) / ι чя/(/+а) а{\) <He(Vt,a(CuC2)Xb(±) где а>0и6>0не зависят от ε. Значительно менее массивными в C(G) являются множества аналитических функций. Если через AQ(d) обозначить множество всех функций из C(G), допускающих аналитическое продолжение в фиксированную область Q га-мерного пространства и остающихся в ней ограниченными некоторым числом 'Си то αlog2"+1(l/ε)<Яε(ЛQ(C·1))<61og2»+Чl/ε). Литература: [23], [39], [77], [83].
34 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 8. Сепарабельные пространства. Линейное нормированное пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество. Пространства #п, /Р, с, с0, Lp (О, 1), С (О, 1), № (0, 1), W{p (G) сепарабельны, в то время как пространства т, Μ (О, 1), V(О, 1), Са(0, 1) дают примеры несепарабельных пространств. Литература: [23], [25], [39]. 9. Изометрия, изоморфизм, гомеоморфизм. Линейные нормированное пространства Ε и F называются изометричными^ если существует взаимно однозначное соответствие χ «*-► у между элементами χ и у (χε£, y^F), удовлетворяющее следующим условиям: 1) если *ι <г+ уи х2 «-> ί/2, то и λχΧχ -f" λ2#2 <<r"> ^ij/j + λ2Ζ/2 для любых чисел λι, %ι\ 2) если χ -*-> г/, то ||х|| = ||#||. При изометрии сохраняются все свойства пространства, связанные с алгебраическими операциями и нормой элементов, так что различия между изометричными пространствами могут быть лишь только в природе их элементов. В абстрактном функциональном анализе, при изучении линейных нормированных пространств, интересуются как раз теми свойствами пространства, которые связаны с особенностями алгебраических операций и нормы этого пространства, и вовсе не исследуют природу самих элементов. Поэтому изометрические линейные нормированные пространства просто отождествляются. В приложениях функционального анализа обычно приходится иметь дело с конкретными линейными нормированными пространствами, в которых игнорировать природу элементов нельзя. Перевод всех полученных фактов с «языка» одного пространства на «язык» изометричного ему пространства часто является практически неосуществимым. В этом случае отождествление изометричных пространств является нерациональным. Пространство L2(0,1) изометрично пространству /2. Вообще изометрия линейных нормированных пространств — явление редкое. Можно ослабить требование сохранения нормы. Говорят, что два линейных нормированных пространства Ε и F изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, обладающее свойством линейности 1) и такое, что 2') существуют постоянные Ci > О и Сг > О, не зависящие от элементов χ и у такие, что для χ ·<-> у CilliM|<||*||<C2||H
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 35 При изоморфизме сохраняются лишь те свойства, которые зависят от природы алгебраических операций и топологической структуры пространств. В га-мерном пространстве Еп можно вводить норму различными способами, но все полученные при этом нормированные пространства изоморфны. Если С\(С2)—наибольшее (наименьшее) возможное значение константы в предыдущем неравенстве, то величина -=β-^1 характеризует степень отклонения изоморфизма от изометрии. Величина _ d(E, f) = inf£-f w где infimum берется по всевозможным изоморфным соответствиям между Ε и F, характеризует близость двух изоморфных пространств. Если Ε и F изометричны, то d(E,F) = 1. Однако это равенство может выполняться и для не изометричных пространств, которые тогда называются почти изометричньши. Если Q — несчетное метрическое компактное множество (компакт), то пространство C(Q) всех непрерывных на Q функций изоморфно С(0, 1). Существует полная изоморфная классификация пространств C(Q) на счетных компактах. Если d(C(Q\), С(0г)) < 2, то компакты Q\ и Q2 гомеоморф- иы, а пространства C(Qi),C(Q2) изометричны. Пространство С®(1п), где 1п — га-мерный куб, при /^1 и п>2 не изоморфно С(0, 1). Пространства №(0,1) (/^0) попарно изоморфны. Пространство A(D^) (п^2)у где D(n) — единичный полицилиндр в ^-мерном комплексном пространстве (z: \\Zi\\ ^ 1), не изоморфно пространству A(D) (см. п. 5, пример 14). Пространства Lv попарно не изоморфны; то, же верно для /р. Пространства LPl и 1Рг не изоморфны, за исключением случая Ρι = р2 = 2. Неизвестно, изоморфно ли каждое бесконечномерное банахово пространство своему гиперподпространству. Недавно положительно решена проблема Банаха: если в /г-мерном банаховом пространстве при каждом k (1 < k < η) все подпространства размерности k изометричны, то пространство гильбертово (см. гл. III). Рассмотрение взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображений нормированных пространств (т. е. отображений, сохраняющих только их топологическую структуру без сохранения алгебраических операций) приводит к понятию гомеоморфизма нормированных пространств. Неполное нормированное пространство не гомеоморфно никакому банахову пространству. Недавно решена знаменитая
36 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ проблема Банаха: все сепарабельные бесконечномерные банаховы пространства гомеоморфны. Проблема гомеоморфизма не- сепарабельных банаховых пространств данного веса (вес — минимальная размерность всюду плотного множества) еще не решена. Единичная сфера и единичный шар бесконечномерного банахова пространства Ε гомеоморфны Е. Литература: [2], [9], [23], [72], [74], [80], [81], [84], [85], [87], [88], [89], [93]. § 3. Линейные функционалы 1. Понятие линейного функционала. Гиперплоскость. Пусть Ε — вещественная (или комплексная) линейная система. Если каждому элементу χ е Ε поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число f{x), то говорят, что на Ε определен функционал f(x). Функционал f(x) называется линейным, если • f(ax + № = af (x) + β/ (у) (х, у €= Ε). Если f{x)—линейный функционал, то совокупность элементов, для которых f(x) = 0, образует максимальное линейное многообразие. Всякое максимальное линейное многообразие имеет уравнение f(x) = 0, где f(x) —линейный функционал. Гиперплоскостью называется совокупность элементов, для которых f(x)=c. Каждая гиперплоскость L получается из некоторого максимального линейного многообразия Μ сдвигом на некоторый элемент L = х0-\- М. Литература: [23], [25], [39], [51]. 2, Непрерывные линейные функционалы. Функционал f(x), определенный на линейном нормированном пространстве Е, называется непрерывным в точке х0 е £, если /(*η)->/4*ο) при Хп * -^0· Функционал f(x) называется непрерывным линейным функционалом, если он одновременно является линейным и непрерывным на Е. Из непрерывности линейного функционала в одной точке следует его непрерывность всюду. Говорят, что линейный функционал ограничен на £, если существует такое неотрицательное число с, что для всех Jie£ Наименьшее из чисел с, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой ограниченного линейного функционала f(x) и обозначается ||/||. Справедлива формула Ш-supi^-sup |/W|. *€=е 11*11 iixiM
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 37 Понятия линейного непрерывного функционала и ограниченного линейного функционала оказываются эквивалентными: для того чтобы линейный функционал f(x) был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным. Для того чтобы линейный функционал f(x) был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы определяемая им гиперплоскость Lf = {χ :f(x) = 0} была подпространством (замкнутым!) линейного нормированного пространства Е. Для непрерывного линейного функционала справедлива формула р(*. Ч) = Щ$Г (*^Е)> где р(х, Lf)—расстояние от точки χ до подпространства L/, равное inf \\x — у\\, когда у пробегает все Lf. Эта формула аналогична известной формуле аналитической геометрии для расстояния от точки до плоскости. Если линейный функционал f(x)y определенный на всем пространстве Е, не является непрерывным функционалом, то гиперплоскость Lf всюду плотна в пространстве Е. Литература: [25], [39]. 3. Продолжение линейных непрерывных функционалов. Пусть f(x)—линейный функционал, определенный на линейном многообразии Μ линейной системы Е. Линейный функционал f(x)> определенный на всем пространстве Е, называется продолжением функционала f(x), если f(x) = f(x) для всех х^М. Фундаментальным является следующее утверждение. Теорема Хана — Банаха. Пусть ρ (χ) — полунорма на линейной системе Ε, Μ — линейное многообразие в Ε и f — линейный функционал на Μ такой, что \f{x)\ ^р(х) для всех χ <= М. Тогда существует продолжение J функционала f на все Ε такое, что \f(x) | ^ р(х) для всех χ ^Е. Для линейных нормированых пространств сформулированная теорема приводит к таким следствиям: 1. Если на пространстве Λί, являющемся линейным многообразием в линейном нормированном пространстве Е, задан непрерывный линейный функционал f(x), то существует непрерывный линейный функционал J(x), являющийся продолжением f(x) на все пространство Ε и такой, что норма его равна норме функционала f(x): \\f\\ = \\f\\· 2. Ка^ов бы ни был отличный от нулевого элемент Хо линейного нормированного пространства Е, существует линейный непрерывный функционал f (χ) на Ε такой, что llfll=l и f(*o) = ll*oll.
38 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 3. Пусть Τ — непустое выпуклое открытое множество в линейном нормированном пространстве Ε и Μ — линейное многообразие, не пересекающееся с Т. Существует замкнутая гиперплоскость, содержащая Μ и не пересекающаяся с Т. Литература: [23], [25], [39]. 4. Примеры линейных функционалов. Математический анализ дает много примеров линейных функционалов. Функционал N f(*)=S Ciklk является непрерывным линейным функционалом на пространствах /р, т, с, Со, элементами которых являются последовательности χ = {ξι, ξ2, ..., ξη, ...}. Если последовательность {ап} ограничена, то функционал оо f(x) = ^aklk будет непрерывным линейным функционалом на пространстве оо /ι. Если 2l<2fcl<°°> то этот линейный функционал непреры- k—\ вен и на пространствах 1Р и т, а значит, и на подпространствах с, Со пространства т. На пространстве с непрерывным является функционал f(*)= Urn lh- &->оо Его норма равна единице. На функциональных пространствах Lp(0, 1), Μ (О, 1), С(0,1) примером непрерывного линейного функционала служит определенный интеграл о При этом интеграл Лебега, определенный на Li(0, 1), можно рассматривать как продолжение функционала, порожденного интегралом Римана на пространстве С(0, 1) czLi(0, 1). Более общий вид имеет линейный функционал Р(х)= j x(t)a{t)dt. . о Если α (0—ограниченная измеримая функция, то он также непрерывен в пространствах Lp(0, 1), Λί(0, 1), C(0, 1).
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39 6 пространстве С(0, 1) значение функции χ(ί) в фиксированной точке U будет непрерывным линейным функционалом с нормой, равной единице: f(x) = x(to), \\f\\=l. Аналогично значение &-й производной x^(to) в точке ίο будет непрерывным линейным функционалом в пространстве CW(0, 1) при &</. Если рассмотреть функционал x(t0) в пространствах Wf(G), то оказывается, что при />— (п — размерность области G) 1 этот функционал определен на WP{G) и непрерывен. Если же /< —, то этот функционал, определенный на Cil) (G), не будет непрерывен в норме W{p {G). Нормы ряда рассмотренных функционалов будут указаны в следующем параграфе. Литература: [39], [53]. § 4. Сопряженные пространства 1. Двойственность линейных систем. Функционал В(х,у) Определенный на прямом произведении Ε Χ F линейных систем Ε и F, называется билинейным, если он линеен относительно каждой из переменных х, у, т. е. В (а,*! + а2х2, у) = а, Я (х{, у) + а2В {х2, у), В (хг, щух + а2у2) = α,θ (χ, ух) + а2В {χ, у2). Говорят, что билинейный функционал B(xty) приводит линейные системы Ε и F в двойственность или что Ε и F находятся в двойственности (относительно В), если выполнены следующие два условия: 1) для каждого χ φ Θ из Ε существует y^F такой, что В(*,у)Ф0; 2) для каждого у φ θ из F существует χ е Ε такой, что В(х,У) ФО. Пусть Ε — линейная система над полем вещественных или комплексных чисел и Ε — множество всех линейных функционалов f(x), определенных на Ε. Β Ε можно ввести операций сложения^ элементов f и g и умножения элемента f на число λ следующим образом: 1) h = f -f- g есть функционал на Ε такой, что h(x)=f(x) + g(x) (*ξξ£)>
40 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2) fi = Xf (λ — числовой множитель, f^E) означает: Μ*) = λί(*). Множество Ё становится при этом линейной системой, которую называют алгебраическим сопряженным пространством к пространству Е. Если определить на Ε^ζΕ билинейный функционал B(x,f) = f{x), то Ε и Ε приводятся с помощью этого билинейного функционала в двойственность. Литература: [5], [25], [51]. 2. Сопряженное пространство к линейному нормированному пространству. Множество Е' всех непрерывных линейных функционалов, определенных на линейном нормированном пространстве £, является линейным многообразием алгебраически сопряженного пространства Ε поскольку сумма двух непрерывных линейных функционалов и произведение непрерывного линейного функционала на число являются непрерывными линейными функционалами. За норму элемента fe£' принимают норму ||f|| функционала f(x)\ при этом Е' становится линейным нормированным пространством, которое называется сопряженным пространством к пространству Е. Пространство Е/ полно, так что сопряженное пространство к линейному нормированному пространству всегда является банаховым пространством. Понятие непрерывного линейного функционала для линейных метрических пространств можно определить точно так же, как это сделано для линейных нормированных пространств. Однако здесь нет утверждения типа следствия 2 п. 3 § 3, гарантирующего существование нетривиального непрерывного линейного функционала. Более тогр, существуют примеры линейных метрических пространств £, для которых сопряженное пространство Ег состоит всего лишь из одного непрерывного линейного функционала, тождественно равного нулю на Е. Необходимым и достаточным условием существования нетривиального функционала в Ε является наличие в Ε выпуклой окрестности нуля. Для конкретных линейных нормированных пространств часто возникает задача об описании их сопряженных пространств. Постановку этой задачи следует уточнить. Дело в том, что само определение сопряженного пространства уже дает его описание. В узком смысле под описанием сопряженного пространства понимают указание конкретного банахова пространства, изометричного пространству Е\ сопряженному к данному пространству £, и способа вычисления значения f{x) функционала f^E' на элементе х^Е. Однако так поставленная задача не
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41 имеет определенного ответа, так как конкретные пространства, изометричные пространству Е\ можно строить различными способами. Например, пусть в Еп введена норма i^n=iiii + 2iift+1-y. Если линейные функционалы на Еп представлять в виде f(x) = aili + Zak(lk+i-lk)> то сопряженным пространством к Еп будет пространство Е\ с нормой 11/11= max \ак\. Если же линейные функционалы представлять в обычном виде η f(*) = 2 bkik, k=l то сопряженным пространством будет пространство Еп с нормой η 11/11= max 2&, I i=k Пространства Е1п и ΕΔη изометричны. Соответствие между η ними задается соотношением ak <-> 2 ^t· Задача об описании сопряженного пространства становится определенной, если заранее задаться аналитическим способом вычисления значений функционала или, как говорят, видом функционала. При этом по аналогии с линейными формами линейные функционалы обычно ищут в виде сумм произведений или интегралов от произведений. Примеры. 1. Пространство 1Р (р>1). Произвольный непрерывный линейный функционал, определенный в пространстве /р, может быть представлен в виде f(x)=IifiL· / °° \Ш где {foe/,, l/p+ 1/9=1 и \\ί\\ = \Σχ \U\q] ·
42 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Пространство, сопряженное к пространству /р, изометрично пространству lq, где \\р + 1/<7 = 1. 2. Пространство U. Всякий непрерывный линейный функционал в U может быть представлен в виде оо где Ц/11 = sup |/, |< оо. ККоо Сопряженное пространство к 1{ изометрично пространству т. 3. Пространство с0. Линейный непрерывный функцио- нал в со может быть задан равенством оо £=1 где ||f||= Σ Ι/,Κοο. Сопряженное пространство к с0 изометрично пространству /ι. 4. Пространство Lp(0, 1), /? > 1. Любой непрерывный линейный функционал в пространстве Lp(0, 1) может быть представлен в виде ι f(x)= $ x(t)a(t)dt, о где a(t)<=Lq(Ot 1), q = p/(p—l). Норма функционала / определяется формулой ll/ll={j|a(f)P<« Сопряженное пространство к Lp(0, 1) изометрично пространству 1,(0, 1) (l/p+l/q=l). 5. Пространство Li(0, 1). Непрерывный линейный функционал в Li(0, 1) может быть представлен в виде ! f(x)= J x(t)a(t)dt, о где a(t)—почти всюду на отрезке [0,1] ограниченная функция и ||/|| = vrai max| α(ί)Ι· 0<f<l Сопряженное пространство к пространству Li(0, 1) изометрично пространству Μ (О, 1). чч
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43 6. Пространство С(0, 1). Всякий непрерывный линейный функционал в С (0, 1) может быть представлен в виде интеграла Стилтьеса ι f(x)=jx(t)dg(t), о где g(t)—функция ограниченной вариации. Функционал f(x) не изменится, если к функции g(t) добавить любую константу, поэтому полагают g(0) = 0. Однако и при этом условии разные функции g(t) могут порождать одинаковые функционалы. Эти функции могут отличаться значениями в точках разрыва, лежащих внутри отрезка [0, 1]. Если, например, рассматривать только такие функции g(t), для которых g(Qgag(* + o) + gtf-o) при ie(0fl)f то соответствие между функционалами f(x) и функциями g(t) становится взаимно однозначным. При этом llfll=Vte). о Сопряженное пространство к пространству С(0, 1) изомет- рично подпространству Ко(0, 1) пространства V(0, 1), состоящему из всех функций g(i)GK(0,l), удовлетворяющих условиям: g(0) =0 и g(t) =ll2\g(t + 0)+g(t-0)] при f€=(0, l). Литература: [23], [27], [30], [39], [51]. 3. Слабая сходимость, слабые топологии. Говорят, что последовательность χι, х2, ..., хп, ... элементов линейного нормированного пространства Ε слабо сходится к элементу Хо е Ε (и обозначают *л—->*0)» если lim / {х^ = f (х0) для всякого П->ар непрерывного линейного функционала / е Е'. В отличие от слабой сходимости сходимость последовательности по норме пространства Ε называют сильной сходимостью. Сильная сходимость последовательности элементов всегда влечет слабую сходимость, однако обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В конечномерном банаховом пространстве сильная и слабая сходимости эквивалентны. Однако существуют и бесконечномерные пространства, например пространство /ι, в которых обе сходимости эквивалентны. ^Последовательность {хп} называется слабо фундаментальной, если для всякого f ^ Е' существует конечный предел Ит f(xn). Пространство называется секвенциально слабо полным, если всякая слабо фундаментальная последовательность
44 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ слабо сходится к элементу Е. Слабо фундаментальная последовательность всегда ограничена по норме. В локально равномерно выпуклом пространстве (см. п. 8) из слабой сходимости хп-*хо и сходимости норм \\хп\\ —* ll*oll следует сильная сходимость хп к х0. Однако этим свойством обладают и некоторые другие пространства (например /ι). Для того чтобы последовательность {хп} слабо сходилась к элементу Хо, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и чтобы соотношение lim / (хп) = / (х0) выпол- /1->оо нялось для всюду плотного в Е' множества линейных функционалов. Слабая сходимость в пространствах 1Р {р^\) и с0 означает ограниченность последовательности норм и сходимость всех координат. Пространства /р (р>1) секвенциально слабо полны, а Со — нет. Пространства Lp(0, 1) (ρ ^ 1) секвенциально слабо полны. Слабая сходимость последовательности функций xn(t) к функции x(t) в Lp при ρ > 1 означает ограниченность последовательности норм \\хп\\ь и сходимость J xn(x)dx-> Г x(x)dx при о о любом £е[0, 1], а при ρ = 1 означает равномерную ограниченность последовательности4 \\xn\\L и сходимость [ xn(x)dx-> е -> | χ (τ) dx для всех измеримых множеств е с [0, 1]. е В пространстве С(0,1) слабая сходимость означает равномерную ограниченность последовательности функций и сходимость в каждой точке отрезка [0, 1]. Это пространство не является секвенциально слабо полным. Последовательность функционалов fn ^ Е' называется слабо сходящейся к функционалу f0^E\ если Vim fn(x)=f0(x) для /1->оо всякого х^Е. Из сильной сходимости последовательности функционалов следует ее слабая сходимость; обратное, вообще говоря, неверно. Если Ε — банахово пространство, то из 'Существования предела lim fn (x) при каждом ш£ следует, что «->оо последовательность fn слабо сходится к некоторому функционалу f0e£', при этом H/olKlimll/Jl· Если Ε — банахово пространство, то для слабой сходимости /„—->/о необходимо и достаточно, чтобы последовательность ||/п11 была ограниченной и чтобы соотношение lim fn (χ) = /0 (χ) П->оо имело место на всюду плотном множестве элементов χ е Е.
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45 Выделение класса сходящихся последовательностей еще не превращает пространство в топологическое. Оказывается, что в линейном нормированном пространстве Ε можно ввести топологию так, чтобы сходящимися в смысле этой топологии последовательностями были слабо сходящиеся последовательности и только они. Через W(fu .··, /ν, α) (fu ..., fn e E\ a > 0) обозначают множество точек x^E таких, что |/^(χ) | <ζ α. Окрестностью нуля пространства Ε называют всякое множество, содержащее множество W(fu ..., fn; α) при некотором наборе функционалов fu ..., fn и положительном а. Всякая окрестность элемента χ получается из некоторой окрестности нуля VQ путем ее сдвига на χ: Vx = χ 4- VQ. Получаемая таким образом топология называется ослабленной топологией σ(£, Ε') и обладает указанным свойством. Аналогично в сопряженном пространстве Ег определяется топология с помощью множеств W(xu ..., хп\ а) (Хг ^ Ε, α > 0), состоящих из всех j^E' таких, что |/(*f) | ^ а. Окрестностью нуля называется всякое множество, содержащее некоторое W(хи ..., Χη',α). Получаемая топология в Ε называется слабой топологией о(Е',Е). Сходящимися последовательностями функционалов в этой топологии будут слабо сходящиеся последовательности и только они. Слабая и ослабленная топологии согласованы с алгебраическими операциями в Е' и £, они являются локально выпуклыми, так как множества W(x\, ..., хп\ а) и W(f\, ··., ίη\ά) выпуклы. В случае бесконечномерного пространства Ε ослабленная топология σ(£, £') представляет собой пример неметризуемой топологии; слабая топология о(Е',Е) также неметризуема, если пространство Ε бесконечномерно и банахово. Ослабленная топология в бесконечномерном линейном нормированном пространстве всегда слабее исходной топологии*). Множество S топологического пространства Ε называется компактным, если из всякого покрытия S открытыми множествами пространства Ε можно выделить конечное покрытие**). Это определение компактного множества для метрического пространства эквивалентно определению замкнутого компактного множества (п. 7 § 2). Для ослабленной топологии в банаховом пространстве Ε имеет место следующий глубокий факт: для того чтобы замыкание множества Τ в ослабленной топологии было компактным, необходимо и достаточно, чтобы из каждой последовательности *) Одна топология называется слабее другой, если система окрестностей любой точки в первой топологии является частью системы ее окрестностей во второй топологии. Вторая топология в этом случае сильнее первой. **) Множество, компактное в отделимой топологии, в русской литературе часто называют бикомпактом*
46 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ элементов можно было выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу Ε (В. Ф. Э б е ρ л е и н — В. Л. Шмуль- ян). Таким образом, несмотря на то, что Ε в ослабленной топологии неметризуемо, компактность множества можно проверять так же, как в метрическом пространстве. Литература: [2], [5], [23], [27], [30], [39], [51], [58], [73]. 4. Выпуклые множества, крайние точки. Выпуклое множество в линейном нормированном пространстве Ε имеет рдно и то же замыкание как в исходной топологии пространства, так и в ослабленной топологии. Отсюда, в частности, вытекает, что для слабо сходящейся последовательности хп —->*0 найдется последовательность Kk [Kk ^ 0> 2λΛ* = ΐ) такая, что lim ΣλΛ**Λ = *0· Для пространств Lp(0, 1) (ρ > 1), lv (ρ > 1) можно утверждать даже больше: из всякой слабо сходящейся последовательности xrt—>#о можно выделить последовательность xnk> для которой ν lim ΊγΥαχ*η = χ* Замкнутая выпуклая оболочка компактного в ослабленной топологии множества банахова пространства сама компактна в этой топологии. Пусть Τ — выпуклое множество в линейной системе Е. Говорят, что точка хеГ есть крайняя или экстремальная точка множества Г, если в Τ нетх никакого открытого отрезка, содержащего х. В евклидовом пространстве Rn каждая граничная точка единичной сферы крайняя, в пространстве С(0, 1) единичная сфера содержит только две крайние точки x(t) ξ= 1 и x(t) = £ξ — 1, а единичные сферы в пространствах c0i Li(0, 1) вообще не содержат крайних точек. Каждое компактное выпуклое множество в линейном топологическом локально выпуклом пространстве Ε есть замкнутая выпуклая оболочка множества своих крайних точек. (М. Г. К ρ е й н — Д. П. Μ и л ь м а н). В пространстве £', сопряженном к линейному нормированному пространству £, каждый замкнутый шар компактен в слабой топологии σ(Ε',Ε). Если Ε сепарабельно, то каждый
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 47 шар Е' в топологии σ(Ε',Ε) является метризуемым компактным множеством. Из предыдущего следует, что единичный шар S бесконечномерного сопряженного банахова пространства Е' содержит бесконечное множество экстремальных точек; поэтому пространства С(0, 1), Со, Li(0, 1) являются банаховыми пространствами, неизометричными никаким сопряженным банаховым пространствам. Литература: [23], [27], [30], [39]. 5. Фактор-пространство и ортогональные дополнения. Пусть Μ— подпространство (замкнутое!) банахова пространства Е. В фактор-пространстве Е/М (§ 1 п. 3) вводится норма 11*11= inf II* ||. Относительно этой нормы фактор-пространство Е/М является банаховым пространством. Через М1 обозначается совокупность всех непрерывных линейных функционалов на £, обращающихся тождественно в нуль на М. Совокупность М1 является слабо замкнутым (т. е. замкнутым в топологии σ(Ε',Ε)) подпространством сопряженного пространства Ег и называется ортогональным дополнением к подпространству М. Обратно, каждое слабо замкнутое подпространство М'аЕ' является ортогональным дополнением к подпространству Μ а £, состоящему из всех элементов, на которых обращается в нуль любой функционал из М\ Соотношение f(x) = F(X) (xe*) устанавливает взаимно однозначное соответствие между функционалами / е М1 и непрерывными линейными функционалами F на Е/М (Fе (Е/М)'). При этом соответствии пространство, сопряженное к фактор-пространству Е/М, изометрично пространству М1. Каждый функционал из Е' естественно порождает непрерывный функционал на М\ функционалы из Λί1 порождают на Μ нулевые функционалы. Обратно, всякий непрерывный функционал на Μ может быть расширен без увеличения нормы на все Е. Пространство М', сопряженное к пространству Λί, изометрично пространству Е'/М1. Литература: [27], [39], [58]. 6. Произведения нормированных пространств. В прямое произведение Ε Χ F двух линейных нормированных пространств норму можно ввести, например, по формулам || {*, и} ||, = || χ ||р -f || и \\F или \\ {х, и} [\2 = max {|| χ Ife, · || и \\F}%
48 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Обе эти нормы эквивалентны. Если Ε и F—банаховы, то Ε Χ F также банахово. Сопряженным к пространству Ε Χ F будет пространство Е' X F', при этом двойственность между Ε Χ F и Ег χ F' определяется функционалом if. «Hi*. *}) = /(*) + *(") (хеЯ, «gF, /€=£', geF'). Нормам || Hi и || ||2 соответственно отвечают нормы || {f, g} ||, = max {|| / ||£„ || g Ц,,} и || {f, g} ||2 = || /1|£, +1| g |μ Пусть теперь £ ® F — тензорное произведение нормированных пространств Ε и F. Каждый элемент его ζ представим (нега однозначно) в виде 2=2**®^. Норму b£®F можно вве- ί;=1 сти по формуле \\ζ\\{ = ΊηϊΣ\\Χι\\Ε\\^\\Ρ, η где inf берется по всевозможнымпредставлениям ζ = 2 Xi&Ui· Эта норма обладает тем свойством, что ||х ®'и|| == ||х|Ы1#||*·, и является максимальной из всех норм, обладающих этим свойством (скрещенных норм). Пространства Ε ® F и Ε' ® F' приводятся в двойственность с помощью билинейного функционала (z, h) = %fi(Xi)gi(Ui), i, ί где ζ = 2 Χι ® Щ и А = 2 f/ ® £/· i . / В пространстве Е ® i7 рассматривается и другая норма ||z||2 = sup|<z, /®£)| при ||/||£,= 1, ||g||^=l. Норма II lb является также скрещенной, она слабее первой нормы: \\ζ\\2 ^ \\ζ\\ι. Норма || ||2 обладает тем свойством, что она является минимальной из тех скрещенных норм, для которых двойственные нормы в Er ® F' являются скрещенными. Двойственной нормой к || Hi в пространстве E®F является норма II ||2 в пространстве Er ® F\ Сопряженное пространство к пространству Ε ® F в норме II Hi изоморфно пространству всех билинейных функционалов на Ε Χ Fy непрерывных по совокупности переменных. Пространство Ε ® F, вообще говоря, неполно по каждой из введенных норм, даже если пространства Ε и JF банаховы. Поэтому рассматривают пополнения Ε ® F и Ε ® F пространства Ε ® F соответственно по нормам \\ζ\\χ и ||ζ||2.
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 49 Следующий пример показывает, что пространства £ ® F и Ε ® F, вообще говоря, не совпадают. Если F = /ι, то пространство Ε ® /ι изоморфно пространству всех абсолютно сходящихся рядов в £, т. е. таких рядов с» оо 2 Xk (*k е Е)> Для которых 2 II ** IK °°· оо При этом нормой ряда является величина 2 IU&JI· Про- странство Ε ® F изоморфно пространству всех безусловно сходящихся рядов, т. е. рядов, сходимость которых не нарушается при любой перестановке их членов. Норма такого ряда определяется как sup|2ffc*fc||> где все \tk\ ^ 1. Теорема Дворецкого — Роджерса. Совокупность абсолютно сходящихся рядов совпадает с совокупностью безусловно сходящихся рядов в банаховом пространстве Ε тогда и только тогда, когда Ε конечномерно. Таким образом, если банахово пространство Ε бесконечномерно, то Ε ® /ι Φ Ε ® /i. Произведение £®С(0, 1) совпадает с пространством всех непрерывных на [0,1] функций со значениями в пространстве Ε с нормой ||х||= max ||x(0L. В частности, С(0, 1) ® С(0, 1) = 0<*<1 = С(/2)—пространство всех непрерывных функций на единичном квадрате. Произведение £®Li(0, 1) дает пространство всех интегрируемых по Бохнеру (см. гл. II § 4) функций на [0, 1] со значениями в Е. В частности, U (0, 1) ® U (0,1) = U (I2). Таким образом, тензорное произведение дает абстрактную схему для построения пространств функций нескольких переменных по соответствующим пространствам функций одной переменной. Однако при этом существенно пополнять тензорное произведение по надлежащей норме. В дальнейшем будут приведены и другие реализации тензорных произведений пространств. Литература: [25], [46], [90], [98]. 7. Рефлексивные банаховы пространства. Пусть Ε — линейное нормированное пространство и Ег — пространство, сопряженное к Е. Поскольку Е' является банаховым пространством, то имеет смысл говорить о пространстве Е" = {Е)', сопряженном'к £'. Каждый элемент Xq^ E порождает на Е' непрерывный линейный функционал FXo(f)y определяемый равенством FXQ(f) = ~f (#g). Таким образом, устанавливается взаимно однозначное
50 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ соответствие между элементами пространства Ε и некоторым подмножеством п(Е) пространства Е". Это соответствие является изометрией между пространствами Ε и я (Я) и называется естественным отображением пространства Ε в пространство Е". Подпространство я(£) всюду плотно в Е" в слабой топологии пространства £", однако может с ним не совпадать. Банахово пространство Ε называется рефлексивным, если оно оказывается изометричным при естественном отображении своему второму сопряженному пространству £", т. е. если п(Е) = Е". Так как соответствие, осуществляющее изометрию, имеет в данном случае специальный вид (элементу χ е Ε сопоставляется элемент Fx(f) ^E"), то наличие изометрии между пространствами Ε и Е" еще не позволяет сделать вывод о том, что пространство Ε рефлексивно. Существуют так называемые ква- зирефлексивные банаховы пространства Е, для которых В" = *= π(Ε)φ Еп, где Еп я-мерно. Эти пространства Ε изоморфны пространствам Ε", но не являются рефлексивными. Существуют примеры нерефлексивных квазирефлексивных пространств Е, изометричных пространствам Е". Всякое подпространство Μ рефлексивного (квазирефлексивного) пространства Ε рефлексивно (квазирефлексивно); фактор- пространство Е/М рефлексивно (квазирефлексивно). Рефлексивное пространство секвенциально слабо полно. Рефлексивность или нерефлексивность пространства связаны с топологией единичного шара. Критерии рефлексивности банахова пространства. Для того чтобы банахово пространство было рефлексивным: 1) необходимо и достаточно, чтобы его единичный шар был компактен в ослабленной топологии σ(£, £') или, что то же, чтобы из всякой ограниченной последовательности элементов Ε можно было выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу Е\ 2) необходимо и достаточно, чтобы его единичный шар был замкнутым множеством в любой нормируемой топологии, сравнимой с топологией исходного пространства*). 3) необходимо и достаточно, чтобы всякий непрерывный линейный функционал f(x), определенный в Е, достигал supre- mum'a на единичной сфере пространства Е, т. е. чтобы существовал элемент Xf такой, что ||#/||= 1 и /(х/)=||/||. Конечномерное пространство и пространства lp, Lp(0, 1) при ρ > 1 рефлексивны. Все остальные пространства, рассмотрен- *) Т. е. более слабой или более сильной.
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 51 ные в п. 5 § 2, являются нерефлексивными банаховыми пространствами. Литература: [23], [25], [27], [30], [82], [91], [92]. 8. Геометрия сферы банахова пространства. Банахово пространство Ε называется строго нормированным, если для любых его элементов χ и у из условий И*И = Ш=1 и ||х + 0|| = 2 следует, что * = у. Геометрически это означает, что единичная сфера не содержит прямолинейных отрезков. Каждая точка единичной сферы является крайней точкой единичного шара. Строго нормированные пространства обладают следующим характеристическим свойством: пусть Μ — конечномерное подпространство Е, тогда для всякого *0 е £ существует единственный элемент уо ^ Μ такой, что inf ||*о —0II = Н*о —Уо II· у&М Элемент у0 называется элементом наилучшего приближения к *0, а величина ||*о — #о11 — наилучшим приближением к х0. Банахово пространство называется локально равномерно выпуклым, если из условий 11*11 = 11*1*11=1 и ||* + *я|1->2 при я->оо следует, что хп -> *· Если пространство сепарабельно, то оно изоморфно локально равномерно выпуклому. Существует несепарабельное банахово пространство, которое не изоморфно строго нормированному. Банахово пространство называется равномерно выпуклым, если из условий II ** II = 11 Уп 11=1 и ||*я + 0я||->2 при п->оо следует, что || хп — уп || -> 0. Всякое равномерно выпуклое банахово пространство рефлексивно. Однако имеются примеры рефлексивных банаховых пространств, не являющихся равномерно выпуклыми. Если пространство Е'" строго нормированно или Е" локально равномерно выпукло, то Ε рефлексивно. Единичная сфера пространства Ε называется гладкой, если норма пространства является функционалом, дифференцируемым по Фреше (гл. VI, § 1, п. 2). Геометрически это означает существование в каждой точке сферы касательной гиперплоскости.
52 ίΤΙ. ί. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Если сопряженное пространство Е' локально равномерно выпукло, то сфера в пространстве Ε гладкая. Если сфера сопряженного пространства гладкая, то пространство рефлексивно. Литература: [5], [25], [27], [39], [73]. 9. Универсальные пространства. Постоянство G называется универсальным в некотором классе пространств 2Я, если G <= Ш и если для каждого Ε <ξ WI найдется подпространство G, изо- метричное Е. Пространство С (О, 1) универсально в классе сепарабельных пространств, (Отрезок [0, 1] можно заменить любым несчетным компактным метрическим множеством Q.) Этим же свойством универсальности обладает пространство A(D), хотя оно не изоморфно никакому C(Q). В классе рефлексивных сепарабельных пространств универсального пространства нет. Можно ввести другое понятие универсального пространства, потребовав, чтобы для любого Ε е Ш нашлось фактор-пространство пространства G, изометричное Е. В этом смысле универсальным в классе сепарабельных пространств является /ι. Литература: [2], [86], [94], [96]. 10. Вложения пространств. Говорят, что линейное топологическое пространство F вложено в линейное топологическое пространство £, если задано взаимно однозначное отображение (оператор вложения) F на линейное многообразие в £, непрерывное и сохраняющее алгебраические операции. Если пространства Ε к F нормированы и χ +-> х/ (jieF, x'^E), то из условия непрерывности вытекает, что \\x'h<C\\x\\F, где С не зависит от х. Если С= 1, то вложение называется нормальным. Часто само пространство F и его образ в Ε обозначают одной и той же буквой. Если образ F всюду плотен в £, то говорят, что F плотно вложено в Е. Если каждое ограниченное множество в F имеет образ с компактным замыканием в £, то' F компактно вложено в Е. Основные факты анализа часто удобно формулировать в терминах вложения пространств. Например, тот факт, что пространство Ο!)(0, 1) плотно и компактно вложено (при тождественном отображении) в пространство С(0, 1), означает, что непрерывно дифференцируемые функции непрерывны, что каждую непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать последовательностью непрерывно дифференцируемых функций и, наконец, что последовательность функций с равномерно ограниченными производными компактна в смысле равномерной сходимости.
§ 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 53 Нормированное пространство F ядерно вложено в нормированное пространство £, если существуют последовательности элементов х'п^Е и функционалов fn <ξ F' такие, что для образа х' любого элемента χ <ξ F справедливо разложение χ' = Σίη(χ)χ'η, причем Σ\\ίη\\ΡΜΧη\\Ε<οο. Ядерное вложение всегда компактно. Пример. Пространство О2>(0, 1) ядерно вложено в С(0, 1). Действительно, для всякой функции x(s)^ Ο2>(0, 1) справедливо разложение оо x(s) = x(0)(l — s) + *(l)s — ^-^2 bnsinms, ι где b" — коэффициенты разложения в ряд по синусам функции x"(s). Разложение обладает требуемыми свойствами, при этом роль функционалов на пространстве С<2)(0, 1) играют #(0), х(\) и -j-f bn, роль элементов пространства С(0, 1) — функции 1 — s, s, —sin π ns. Если нормированное пространство F вложено в нормированное пространство £, то сужение на образ F каждого непрерывного линейного функционала на Ε естественно порождает непрерывный линейный функционал на F. Если при этом F плотно вложено в Е, то функционалы, не равные на Е, порождают не одинаковые функционалы на F. Таким образом, пространство Е' взаимно однозначно с сохранением алгебраических операций отображается в пространство F'. Это отображение непрерывно, т.е. Е' вложено в F'. Может случиться, что Е' не плотно вложено в F'. Если F компактно (ядерно) вложено в £, то Е' компактно (ядерно) вложено в F'. Литература: [23], [27], [47]. 11. Нормированные пространства, связанные с локально выпуклым пространством. Ядерное пространство. Пусть Ε — локально выпуклое линейное топологическое пространство, U, V — замкнутые абсолютно выпуклые окрестности нуля этого пространства, а ри(х) и Pv(x) —отвечающие им полунормы. Совокупность элементов, на которых ри(х) обращается в нуль, образует линейное многообразие Ми в Е. В фактор-системе Е/Мц можно ввести норму ||J||=4nf Pu(x). χε=Χ
54 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Полученное нормированное пространство обозначается Еи. Таким образом с каждым локально выпуклым пространством Ε связывается система нормированных пространств £V. Если окрестность U содержит окрестность V, то pv(x)7^Pu{x) и MydiWc/. Поэтому каждый класс смежности Xv no Mv содержится только в одном классе смежности Хи по Ми. Это порождает естественное отображение Εν -* EUt которое сохраняет алгебраические операции и обладает тем свойством, что для соответствующих классов Локально выпуклое пространство называется ядерным, если в нем существует такая фундаментальная система замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей нуля, что для каждой окрестности U этой системы найдется такая окрестность V этой системы, что V cz U и отображение Εν-^Ευ ядерно. Это означает, что найдутся последовательность элементов хп е Ε и последовательность функционалов fneЕ'у такие, что для любого х^Е lim pJx—Jb fn(x)xn) = 0> причем 2ШЫКИ£ <oo. В приложениях часто полунормы ри являются нормами, и оо тогда x=lafn(x)xtf /ι=1 Нормированное пространство является ядерным в том и только в том случае, когда оно конечномерно. Ядерные пространства занимают в известном смысле промежуточное положение между конечномерными и бесконечномерными нормированными. Всякое ограниченное множество в ядерном пространстве имеет компактное замыкание. Если {£&}-— базис в ядерном пространстве Фре- ше Еу то в разложении любого элемента л: = 2 ^kek РЯД сходится абсолютно. Всякое подпространство ядерного пространства ядерно. Фактор-пространство ядерного пространства по замкнутому подпространству ядерно. Для локально выпуклых пространств Ε и F аналогично тому, как это описано в п. 6 для нормированных пространств, в тензорном произведении E<S)F вводятся две топологии. Если Е — локально выпукло, a F — ядерно, то E§)F = E<8>F. Это свойство является характеристическим для ядерных пространств, т. е. если оно выполнено для любого локально выпуклого Е, то F ядерно. Литература: [25], [27], [47].
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 55 § 5. Линейные операторы 1. Линейные ограниченные операторы. Пусть Ε и F — две линейные системы. Говорят, что на множестве D с= Ε задан опера- тор А со значениями в F (оператор, действующий из D в F), если каждому элементу χ е D поставлен в соответствие элемент у = Лхе F. Множество D называется областью определения оператора и обозначается через D(А). Совокупность всех элементов у из F, представимых в виде у = Ах (х <=D(A)), называется областью значений оператора А и обозначается через R(A). Подмножество прямого произведения Ε Χ F, состоящее из всех элементов вида {х, Ах} (х ^D(A)), называется графиком оператора. Примером оператора в пространстве С(0, 1) может служить оператор возведения в квадрат: Ax(t) = x2(t). Областью определения оператора служит все пространство С(0, 1), областью значений — совокупность всех неотрицательных функций из С(0, 1). Этот же оператор, рассматриваемый на пространстве /,г(0, 1), будет отображать его в совокупность неотрицательных функций из Li (0, 1). Оператор А называется линейным, если D(А) —линейное многообразие в £ и для любых хи x2^D(A) А (а{х{ + а2х2) = cl\Axi + а2Ах2. График линейного оператора является линейным многообразием в Ε Χ F. Примерами линейных операторов в любой линейной системе Ε служат: единичный или тождественный оператор /, ставящий в соответствие каждому элементу из Ε сам этот элемент: 1х=х\ оператор подобного преобразования: Ах = λχ (χ^Ε, λ —фиксированное число). В конечномерном пространстве Еп примерами линейных операторов служат линейные преобразования пространства. Такие операторы могут быть заданы с помощью квадратной матрицы (aih): если χ = {ξι, |2, · · · > L·) и у = {ηι, η2> · · ·, η™}, то η Аналогами таких операторов в функциональных пространствах являются интегральные операторы ι у(t) = Ax(t)=j К(t, s)x(s)ds. о
56 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Если, например, ядро K(t,s) непрерывно, то этот линейный оператор определен на всем пространстве С(0, 1) и отображает его в некоторую часть пространства С(0, 1). В пространстве С(0, 1) можно рассматривать линейный оператор дифференцирования: Ax(t) = x' (t), определенный на непрерывно дифференцируемых функциях: D(A) = О1)(0, 1). Областью значений этого оператора будет все пространство С(0, 1). Если этот оператор расширить на совокупность абсолютно непрерывных функций, то его областью значений будет пространство Li(0, 1). В теории обобщенных функций оператор дифференцирования расширяется на все пространство С(0, 1), при этом он отображает пространство С(0, 1) в некоторое пространство обобщенных функций. Для линейных операторов, отображающих линейную систему Ε в линейную систему F, естественным образом вводятся операции сложения и умножения на число. По определению А = а,\А\ + ο&2^2 есть оператор, для которого Ах = ахАхх + а2А2х (х е Е). Пусть теперь Ε и F —два линейных нормированных пространства. Оператор А называется непрерывным в точке х0& ^D(A), если из xn-+xo(xn ^D(A)) следует Ахп->Ах0. Если оператор А определен и непрерывен в каждой точке пространства Е, то его называют просто непрерывным оператором из Ε в F. Линейный оператор, определенный в Еу называется ограниченным, если II Л* II, «711*11* где С не зависит от выбора хе£ Для того чтобы линейный оператор, действующий из Ε в F, был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным. Наименьшее из чисел С в предыдущем неравенстве называется нормой оператора А и обозначается так: |ИНе_^. Если F совпадает с Е, то пишут просто ||Л||. Из определения следует II Лх L Hll£^^suPT7iT"= sup M*IIf· п^г χεξΕ ηχ\\Ε ΙΙ*|ΐ£=1 Если пространство Е разложено в прямую сумму двух подпространств: Ε = ΜιφΛ42, то можно определить линейный оператор Pi равенством р{х — х{ (а: = atj + a:2, xx^Mu х2^М2). Оператор Р4 ограничен и Р{ = Р{. Всякий линейный оператор Ρχ7 обладающий этими двумя свойствами, называется проещ-
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 57 тором. Каждому проектору отвечает разложение Ε в прямую сумму: Ε = Ρι£φ(/ — Pt)E. , Литература: [23], [27], [39]. 2. Примеры линейных ограниченных операторов. 1) Операторы в конечномерных пространст- в ах. Всякий линейный оператор Л, заданный матрицей (aik) в банаховом пространстве ЕПу является ограниченным. Норма его зависит от той нормы, которая введена в пространстве. Если ввести норму Если ||х||= max | ξ, |, то ||Л||= max J^[aik\ i 1<ί</ι fe=l η II* 11= Σ I h Ι. το || Л ||= max Σ\ ί=1 1<£</ι ί=1 (*ik Если ввести евклидову норму 11*11 = l/Si ξ/Р. то и л ц=/μι. ' ί—1 / где μι — наибольшее собственное число матрицы АА' (здесь A'=(aki)). Если матрица (aik) симметрична, то |/Γμ1 = λ1, где λι — наибольшее собственное число матрицы. 2) Интегральные операторы. Если линейный интегральный оператор с непрерывным ядром K{t,s) рассматривать как оператор из С(0, 1) в С(О, 1), то он ограничен и ι ||Л||С^С= max J|tf(f, s)\ds. Этот же оператор, как ограниченный оператор из Z>i(0, 1) в Li(0, 1), имеет норму \\A\\L.Li= max f|tf(f, 5)|Λ. 0<s<l0 3) Дифференциальные операторы. Линейные дифференциальные, операторы, рассматриваемые как операторы в одном и том же пространстве, как правило, являются неограниченными. Так, оператор производной не является ограниченным в пространстве С(0, 1); если же его рассматривать как оператор из О1*(0, 1) в С(0, 1), то он ограничен и его норма равна 1. Аналогично линейный дифференциальный оператор 1-го порядка с непрерывными коэффициентами можно рассматривать как ограниченный оператор из О*)(0, 1) в С(0, 1).
S8 tn. ι. основные понятия Для изучения линейных дифференциальных операторов в ча^ стных производных обычно привлекаются либо пространства Гельдера (классический подход), либо пространства Wp. Так, эллиптический оператор второго порядка η η /, /«=1 ί=Ι определенный в я-мерной области G, обычно рассматривается как ограниченный оператор из пространства WI(G)b пространство L2(G). Литература: [23], [30], [39]. 3. Сходимость последовательностей операторов. Пусть {Ап} — последовательность ограниченных линейных операторов, действующих из линейного нормированного пространства Е-в линейное нормированное пространство F. Последовательность {Ап} называется сходящейся по норме к линейному ограниченному оператору Л0 из Ε в F, если lim || Л0 - Ап \\Бш^р = 0. Я->оо Последовательность {Ап} называется сильно сходящейся к оператору Л0, если lim || А0х — Anx\\F = 0 при любом х^Е. П->оо Последовательность {Ап} называется слабо сходящейся к оператору Л о, если при любом Jie£ последовательность {Апх} слабо сходится к А0х. Из сходимости по норме следует сильная сходимость, из сильной— слабая. Обратные утверждения, вообще говоря, неправильны. Если последовательность {Ап} сильно сходится к Л0 и нормы операторов Ап ограничены в совокупности: [| Ап \\Ешш>р ^.М (лг =1,2, ...), то оператор Л0 также является линейным ограниченным оператором и 11Л)Ия-»г< ПтИЛЛ^. П->оо В случае, когда Ε является банаховым пространством, последнее утверждение значительно усиливается: если последовательность ограниченных линейных операторов Лп, действующих из банахова пространства Ε в линейное нормированное пространство F, сильно сходится к оператору Л0, то нормы операторов ограничены в совокупности, и следовательно, оператор Л0 также ограничен. Доказательство этого факта основано на принципе равномерной ограниченности: пусть на банаховом прост-
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 59 ранстве Ε определено семейство неотрицательных непрерывных функционалов φα(χ) (а^Л), обладающих свойствами: 1) Φα(* + ί/)<φα(*) + φα(#)> 2) Φα(λ*) = |λ|φα(χ). Если для каждого х^Е числовое множество {фа(х)}аел ограничено, то существует константа С такая, что Фа(*)<С||х|| (as Л). Для того чтобы последовательность ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства Ε в банахово пространство F, сильно сходилась к некоторому линейному ограниченному оператору, необходимо и достаточно, чтобы: 1) нормы операторов Ап были ограничены в совокупности; 2) последовательность {Апх'} была сходящейся при любом х' из некоторого всюду плотного множества D с= Е. Последняя теорема имеет многочисленные применения в вопросах, связанных со сходимостью и суммируемостью рядов и интегралов, сходимостью интерполяционных процессов, процессов механических квадратур и т. п. Литература: [23], [39]. 4. Обратный оператор. Пусть линейный оператор А отображает линейную систему Ε в линейную систему F. Если оператор А обладает тем свойством, что Ах = θ только при χ = θ, то каждому у из области значений R(A) оператора А соответствует только один элемент х, для которого у = Ах (решение уравнения у = Ах единственно). Это соответствие можно рассматривать как оператор В, определенный на R(A) со значениями, заполняющими Е. Оператор В — линейный. По определению В Ах = х, поэтому оператор В называется левым обратным к Л. Если R(A) = F, т. е. оператор А устанавливает взаимно однозначное соответствие между Ε и F, то оператор В определен на всем F, называется просто обратным оператором .к А и обозначается через Л-1. По определению А~1Ах = х (х^Е) и AA~ly = y {y^F). Одним из глубоких фактов теории банаховых пространств является следующее утверждение. Принцип открытости отображения: при непрерывном линейном отображении банахова пространства Ε на банахово пространство F образ каждого открытого множества есть снова открытое множество. Из этого принципа вытекает важное следствие.
60 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Если линейный ограниченный оператор А, отображающий банахово пространство Ε на все банахово пространство Ft имеет обратный Л-1, то оператор А~1 ограничен. (С. Банах). Эти утверждения перестают быть верными, если отказаться от полноты одного из пространств Ε или F. Теорема об обратном операторе, другими словами, означает, что из существования и единственности решения уравнения Ах = у при всякой правой части из F следует непрерывная зависимость решения χ = A~ly от правой части у. Если ограниченный линейный оператор А из банахова пространства Ε в банахово пространство F имеет обратный, то и близкие к нему линейные ограниченные операторы имеют обратные: если 118-""«^ те;· то оператор В имеет обратный β-1. Литература: [23], [30], [39]. 5. Пространство операторов. Алгебра операторов. Пусть L(E,F)—совокупность всех линейных операторов, отображающих линейную систему Ε в линейную систему F. Как отмечалось в п. 1, для операторов из L(E,F) естественно вводятся понятия сложения и умножения на число. Таким образом, L(E,F) является линейной системой. Если Ε и F нормированы, то' множество L(E,F) всех линейных непрерывных операторов может быть нормировано с помощью МИ^р. Если F полно, то L(E,F) банахово. Если рассматривать операторы, определенные и действующие в одном и том же пространстве £, то для них можно также ввести операцию умножения: по определению А = А{А2, если Ах = Ах (А2х). Умножение, вообще говоря, некоммутативно: возможно, что AiA2¥= A2Ai. Если ΑιΑ2 = А2Аи то говорят, что операторы Αι и А2 перестановочны. Если Α ι, А2 е L (£, Е), то и А е L (£, Ε), причем ΜΙΚΜ,ΙΙΙΙΑ,ΙΙ. Если в линейном нормированном пространстве введена операция умножения х-у так, что оно становится алгеброй и IU-i/IKIUIIIIi/ΙΙ, то оно называется нормированной алгеброй (см. гл. VII).
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 61 Пространство L(E,E) является нормированной алгеброй. Эта алгебра обладает единицей, роль которой играет тождественный оператор /. Если Ε банахово, то совокупность операторов, имеющих обратные, образует открытое множество в этой алгебре. Литература: [23], [27]. 6. Сопряженный оператор. Пусть Ε и F— линейные нормированные пространства и Л— ограниченный линейный оператор, действующий из Ε в F. Если g(y) — линейный непрерывный функционал на F (g <ξ е F'), то функционал f(x) = g(Ax) будет линейным непрерывным функционалом на Ε (f^E')f причем \\f\\E.<\\g\\F>\\A\\E^F. Таким образом, каждому функционалу g^F' ставится в соответствие функционал f^E', т. е. определяется оператор A'g — f. Этот оператор А' называется сопряженным оператором к оператору А *). Сопряженный оператор является линейным ограниченным оператором, причем ||Л'||=11ЛЦ. Если Λ,β<ΞΞΐ(£, F), то (λΑ)' = λΑ' и (А + В)'= А' + В'. Если Л, Βζξ L (£,£), то {АВ)'=В'А'. Если интегральный оператор с непрерывным ядром K(t,s) рассматривать, например, как ограниченный оператор из Lp(0, 1) в Lp(0, 1), то сопряженным к нему будет интегральный оператор с ядром К {t,s) = K(s,t), т. е. оператор 1 А'х = f K(s, t)x(s)ds, о рассматриваемый как оператор из Lg(0, 1) в Lg(0, 1) (1/р + + 1/<7=1). Если Ε и F банаховы, то для существования обратного оператора Л-1 необходимо и достаточно существование оператора (Л7)-1, причем (Л,)-1=(Л-1)/. Литература: [23], [27], [39], [58]. 7] Вполне непрерывные операторы. Пусть Ε и F — банаховы пространства. Линейный оператор, действующий из Ε в Ζ7, *) Иногда сопряженный оператор обозначается через Л* (см. также п. 9).
62 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ называется вполне непрерывным, если он отображлет всякое ограниченное множество пространства Ε в компактное множество пространства F. Из полной непрерывности линейного оператора следует его непрерывность. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, тождественный оператор / непрерывен, но в случае бесконечномерного пространства Ε он не является вполне непрерывным. Для полной непрерывности линейного оператора достаточно, чтобы он переводил единичный шар пространства Ε в компактное множество пространства F. Область значений вполне непрерывного оператора сепарабельна. Вполне непрерывный оператор переводит всякую слабо сходящуюся последовательность элементов в последовательность, сходящуюся по норме. Нижеследующее утверждение показывает, что полная непрерывность линейного ограниченного оператора есть не столько свойство самого оператора, сколько' свойство его области значений. Если А—линейный вполне непрерывный оператор, действующий из банахова пространства Ε в банахово пространство Ζ7, и В — линейный ограниченный оператор из Ε в F такой, что R(B)aR(A), то В — также вполне непрерывный оператор. Предел по норме последовательности вполне непрерывных операторов есть снова вполне непрерывный оператор. Сильный и тем более слабый предел последовательности вполне непрерывных операторов может быть не вполне непрерывным оператором. Пусть, например, Е — банахово пространство U. Операторы проектирования PN, ставящие в соответствие каждому х== =Йь &,..·, Sn, .. ·} элемент PNx = {|ь ..., ξΝ, 0, 0, ...}, будут вполне непрерывными, а их сильный предел равен единичному оператору /, который не' вполне непрерывен. Линейная комбинация вполне непрерывных операторов является вполне непрерывным оператором. Произведение вполне непрерывного оператора на ограниченный есть вполне непрерывный оператор. Если рассмотреть все вполне непрерывные операторы из L(E, £), то они образуют замкнутый идеал в нормированной алгебре L (£,£). Сопряженный оператор к вполне непрерывному является вполне непрерывным. Простейшим примером вполне непрерывного оператора является одномерный линейный оператор вида Ax=fx(x)yl9 где у\ — фиксированный элемент из F, а /ι (χ) — фиксированный функционал из Е'. Сокращенно одномерный оператор обозначают так: А = fi®#i.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 6$ Ёолее общий вид имеет произвольный конечномерный линейный оператор т Где i/jGF, а/{£ Ε'. По определению т Конечномерный оператор вполне непрерывен. Неизвестно, можно ли всякий вполне непрерывный оператор Представить как предел по норме конечномерных линейных операторов. Линейный оператор называется ядерным, если он представлен в виде оо Ах = 2 ft (x) Hi, do где yti=F, fte=E' и Σ \\h\\EA\yi\\F < <*>· Ядерные операторы представляют собой важный подкласс класса вполне непрерывных операторов. Многочисленные примеры вполне непрерывных операторов дают интегральные операторы. Если ядро интегрального оператора Ах= [ K(t, s)x(s)ds непрерывно, то он будет порождать вполне непрерывный оператор из С(0, 1) в С (0, 1). Если ядро удовлетворяет более слабому условию ι ι J $\K(t, s)fdtds<oo (q>l), О О то оператор будет вполне непрерывным, как оператор из/,р(0, 1) в Lp(0, 1) (1/р+ 1/^=1). Приведенное условие не является необходимым. Существуют примеры вполне непрерывных интегральных операторов, действующих из Lp(0, 1) в Lp(0, 1) (1 < < ρ <<*>), ядра которых как функции двух переменных не суммируемы ни с какой степенью, большей 1. Литература: [231, [27], [30], [34], [39], [52], [58]. 8. Операторы в произведении пространств. Если в линейных системах Ε и F определены операторы А и В соответственно, то
64 tVI. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ в прямом произведении Ε χ F естественно определяется линейный оператор ЛХЙ по формуле (Л X В){х, u} = {Axt Ви). Если пространства Ε и F — конечномерны, {е^ и {/J™ — базисы в этих пространствах, (ац)^ /sel и (bki)™ Utsl — матрицы операторов в этих базисах, то в базисе пространства £ХЛ составленном из всех векторов вида {eit θ} и {θ, fk}9 матрица оператора Αχ В состоит из блоков: На тензорном произведении пространств £®F определяется оператор Л®5 следующим образом: для элементов вида х®и полагают {А®В) (х®и) = Ах®Ви, а на остальных элементах 2#/®w* доопределяют оператор А® В так, чтобы он был линейным. Из свойств тензорного произведения (см. § 1, п. 4) вытекает, что оператор А®В будет однозначно определенным на всем E&F линейным оператором. Если Ε и F конечномерны, то в базисе £;®/а (* = 1,..., п, k = 1,..., т) матрица оператора А® В может быть составлена из блоков: Полученная таким образом матрица называется кронекеровским произведением матриц А и В. Для внешнего произведения ЕЛЕ соответствующее произведение операторов определяется так же, как и выше: (А А А) (хАу) = АхЛАу, а на остальных элементах AAA определяется линейно. В базисе е\ А е^ (ι < /, ί, / = 1,..., η) элементами матрицы оператора AAA будут всевозможные миноры второго порядка матрицы (а^·): {ΑΛΑ)(βιΛβ,)=Σ[ααΗί a")ekbet. k<i\uki ац/ Аналогично определяется r-я внешняя степень Лг оператора Л 6 пространстве Ег. В конечномерном случае матрица оператора Лг в естественном базисе (см. § 1, п. 4) будет составлена-из всевозможных миноров r-го порядка матрицы (аг;). Пусть теперь Ε и i7 —линейные нормированные пространства, а Л и В — действующие в них линейные ограниченные опера-^ торы. Тогда операторы Αχ В, А®В и А А А будут также ограниченными в соответствующих нормах. В пространстве Ε χ F для норм || ||4 и || ||2 (см. § 4, п. 6) получается ||ЛХ£Ч11 = тах{||Л|Ь, ||ЯЫ и МХД1Ь = 11Л||в + 1|ДЦ*.
§ 6. ПРОСТРАНСТВА^ С БАЗИСОМ 65 Для обеих норм в пространстве E®F \\A<8>B\\ = \\A\\E\\B\\F. Литература: [25], [57], [98]. 9. Замечание о комплексных пространствах. Пусть Ε — комплексное линейное нормированное пространство. Иногда удобнее операцию умножения линейного функционала f(x) на число λ вводить не так, как указано в § 4, п. 1, а следующим образом: /ι =λ/ означает, что fi(x) = Xf(x). Совокупность всех линейных непрерывных функционалов с так введенной операцией умножения на число обозначается через Е* и также называется сопряженным пространством к Е. Все понятия, введенные для пространства £', аналогично вводятся для пространства Е*. Все факты, справедливые в пространстве £', справедливы и для пространства £*, лишь в некоторые формулировки следует внести изменения: 1. Сопряженный к оператору А оператор, рассматриваемый как оператор из F* в Е*, обозначается через Л*. Тогда (λΑ)* = λΑ*. 2. Для интегрального оператора А с ядром K(tt s) сопряженный оператор А* имеет ядро K(s, t). Литература: [27]. § 6. Пространства с базисом 1. Полнота и минимальность системы элементов. Система {еь) элементов еи £2, ..., еп, ... называется полной в банаховом пространстве Е, если линейная оболочка этой системы элементов всюду плотна в Е. Полная система элементов может существовать только в сепарабельном пространстве. Для того чтобы система {ek} была полной в Е, необходимо и достаточно, чтобы не существовало линейного функционала f e E', отличного от нуля и равного нулю на всех элементах ek (&=1, 2, ...) (ортогонального всем ek). Система элементов {ek} называется минимальной, если ни один элемент этой системы не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных элементов. Для того чтобы система {еь) была минимальной, необходимо и достаточно, чтобы существовала система линейных функционалов, образующая с данной биортогональную систему, т. е. такая система {fk} с Е' (k = 1, 2, ...), что fi(ej) = б^*). Система {fk} называется часто сопряженной системой. Если система {еи\ является полной и минимальной, то система функционалов {fk} определяется единственным образом. *) бц = 0, если i Φ j и δα = lf
66 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В каждом сепарабельном банаховом пространстве имеется полная минимальная система. Более того, можно построить такую полную минимальную систему {е&}, что соответствующие ей функционалы fk образуют тотальное множество, т. е. из fk(x) =0 (χ е £, k = 1, 2, ...) следует, что χ = 0. Система {е/J называется равномерно минимальном, если р(еп, Е™)>у\\еп\\ (0<γ<1; /ι=1, 2, ...), где р(еп, £(п))—расстояние от еп до замкнутой линейной оболочки №> всех элементов ек с k Φ п. В каждом конечномерном пространстве существует полная минимальная система, для которой γ = 1. Полная минимальная система {e/J является равномерно минимальной тогда и только тогда, когда Ш\\ек\Ш\<со, где {fh} — сопряженная система. Литература: [2], [9], [25], [39], [79]. 2. Понятие базиса. Система элементов {ек} образует базис пространства £, если каждый элемент χ & Ε представим единственным образом в виде сходящегося ряда оо Всякий базис представляет собой полную равномерно минимальную систему. Однако полная равномерно минимальная система может не образовывать базиса в пространстве. Так, например, тригонометрическая система eo(t)— 1, e2n-\(t) = sinn/, e2n(t) = cos nt (n = 1, 2, ...) является полной равномерно минимальной системой в пространстве С(—π, π), но не образует базиса в нем. Примеры базисов. 1) В пространстве L2(atb)t как и в любом сепарабельном гильбертовом пространстве Я (см. гл. IV, § 1), всякая полная ортогональная система элементов образует базис. Так, тригонометрическая система функций образует базис в L2(—π, π). Можно строить и неортогональные базисы в гильбертовом пространстве. Например, если {ег·} — полная ортонормированная система в гильбертовом пространстве Я, то система элементов к Λ=Σλ*ι (*=Ь-2, ...)
§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ 67 образует базис в Я, если числа pi удовлетворяют условиям η Σ ή |Д|>0, Ц— <М (n = U 2, ...). Рп+\ Система функционалов, образующая с {gk} биортогональную систему, задается системой элементов из Я: t l l Ik — т~ ek ~ ek+\- pk Pk+\ 2) В координатных пространствах с0 и lp (p^l) система k—1 ортовek = {0, ..., 0, 1, 0, ...} образует базис. Эта же система в пространстве с не образует базиса и даже не является полной, так как элемент е0 = {1, 1, ...} не принадлежит замыканию линейной оболочки элементов ей (£=1, 2, ...). Система ео, £ъ е2, ... образует уже базис в пространстве с. 3) В пространстве непрерывных функций С(0, 1) можно построить базис следующим образом: пусть {г*} (I = 0, 1, 2, ...) — плотная на [0, 1] последовательность чисел, причем г0 = 0, г ι = 1, ГгФГ] при i Φ ]. Полагают е0(0=1 и e\(t)=t. Далее ek(t) определяются-по индукции. Пусть для / < k функции eu(t) определены и отрезок [0, 1] разбит точками Гг, ..., /V-i на k — 1 интервалов. Пусть Ги принадлежит одному из этих интервалов: rSl <rk< rS2, s\ < k, 52 < k. Тогда полагают: ek (rk) = 1, ek (rSl) = = 0, ek(rSl) = 0, а на отрезках [0, rSl], [r8l; rk], [rk, rS2] и [rS2> 1] функцию eh(t) линейно интерполируют. Система W(/)} (k = =0, 1, 2, ...) образует базис в С(0, 1). 4) В пространствах Lp(0, 1) (ρ ^ 1) базис образует система функций Хаара, определяемых так: 1, 0</<1/2, -1, 1/2 </-<!, χ8»(ί)-1; j#>(0 = 0, /=1/2; Δ > 2п+\ ^τ<* £rt+i ^— 1, Ζ, . . ., Ζ j, κ^ω = { -2"/2, ^=l<f<- 2k 2«+i ^ ^ 2rt+1 ' 0 для остальных значений t. Функции %{^{t) располагаются в простую последовательность {ei(t)} (i= l, 2, ...) в порядке возрастания номера n, a при одинаковом η в порядке возрастания k. Система {^(0)
68 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ является ортогональной и образует базис в любом пространстве 1р(0,1) (р>1). До сих пор не решена проблема Шаудера: каждое ли сепа- рабельное пространство обладает базисом? Более того, не ясно, обладает ли такое пространство полной равномерно минимальной системой. Литература: [20], [25], [39], [60], [71], [75], [79]. 3. Признаки базисов. В этом пункте всюду {ег} (ί= 1, 2,...) обозначает полную минимальную систему в банаховом пространстве Е, а {/г} — сопряженную систему функционалов. Для каждого х е Ε определен ограниченный линейный оператор η Sn*=ljfi(x)ei. Оператор Sn является проекционным оператором: S2n = Sn. Он проектирует все пространство на я-мерное пространство Ln, натянутое на элементы ей · · ·, еп. Для того чтобы система {ei} образовывала базис, необходимо и достаточно, чтобы операторы Sn были ограничены в совокупности, т. е. чтобы выполнялось неравенство \\Snx\\^\^Ji^)e^<M\\x\\ (*<=£), где Μ — константа. Если система {ег} не является базисом, то найдется такой элемент х, на котором ||Sn*ll ^ Μ при всех η = 1, 2, ..., но для которого ряд ΣΜ*) п=*\ ei расходится. Если последний ряд сходится при любом xg£, to система {ег·} — базис. Более того, если этот ряд слабо сходится при любом χ <= Е, то система {е*} — базис. Последнее утверждение иногда формулируют так: всякий слабый базис является сильным базисом. Если обозначить через Ln линейную замкнутую оболочку элементов еп, еп+и ..., а через оп — единичную сферу в подпространстве Ln, то для того, чтобы система {е$ была базисом, необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная константа а такая, что ρ(σ„, L")>a, где ρ — расстояние между оп и Ln, η = 1, 2, ...
§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ 69 Если {ei} — базис, то система {/*} является базисом в своей линейной замкнутой оболочке, которая может не совпадать с Е'. Если Ε рефлексивно, то эта оболочка совпадает с Ег и {fi} является базисом в Е\ Если {/*}— базис в сопряженном пространстве Е\ то {вг} — базис пространства Е. Литература: [20], [25], [39], [60], [79]. 4. Безусловные базисы. Система {^} называется безусловным базисом в пространстве £, если она остается базисом при любой перестановке ее элементов. Эквивалентным определением является следующее: базис {вг} называется безусловным, если ряд £=1 абсолютно сходится для любых χ е Ε и f ^E'. Для того чтобы базис был безусловным, необходимо и достаточно, чтобы проекционные операторы вида k Σ fnt (x) en при любых конечных наборах чисел (пи ..., пи) (п{ Φ ttj при i φ j) были равномерно ограничены. Если обозначить через Sn n .... пк единичную сферу в линейной оболочке элементов базисаеп , .. ., еПк, а через ЕПу '"' Пк— замкнутую линейную оболочку всех остальных элементов базиса, то для безусловности базиса необходимо и достаточно, чтобы существовала такая константа β > 0, что p(S«, nk, Ln> "*)>β при всех конечных наборах (αιι, ..., nh). Пусть U — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве Ε и имеющий ограниченный обратный. Если система {ei} — базис, то и система {(Jet) — базис. Если {ег}—безусловный базис, то и {Uei} — безусловный базис. В гильбертовом пространстве Η всякий ортогональный базис является безусловным. Оказывается, что любой безусловный базис в гильбертовом пространстве может быть представлен в виде {Ue'i}, где {е\} — ортогональный нормированный базис. Такие базисы были названы базисами Рисса. Их можно охарактеризовать следующими свойствами: существуют положительные числа т и Μ такие, что для любого xefl оо оо mSl(jr, β,)Ρ<||*|Ρ<Λί2!ΐ(*, е,)р.
70 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Системы ортов в пространствах с0 и 1Р (/? ^ 1) являются безусловными базисами. Система функций Хаара (см. п. 2) образует безусловный базис во всех пространствах Lp(0, 1) с /? > 1. В пространствах С[0, 1] и L[0, 1] не существует безусловного базиса. Тригонометрическая система функций является базисом в пространствах Lp(—π, π) (ρ>'\), но не безусловным. Неизвестно, в каждом ли банаховом пространстве есть бесконечномерное подпространство с безусловным базисом. Банаховы пространства с безусловным базисом обладают рядом специфических свойств. Например, такое пространство либо рефлексивно, либо содержит подпространство, изоморфное h или Со. Если система {£,·} — безусловный базис в Е, то сопряженная система функционалов {fi} при условии сепарабельности про-, странства Е' будет безусловным базисом в Е'. удет оезусл< к) и к) Два базиса [e'k] и [е%} в пространствах £Ί и Е2 называются эквивалентными, если соответствие в'к -■ *к (6 = 1, 2, ...) 141 KI может быть продолжено до изоморфизма между Е\ и Ег. В каждом из пространств 4, h и с0 и (с точностью до изоморфизма) только в них все безусловные базисы эквивалентны. Литература: [20], [25], [71], [79]. 5. Устойчивость базиса. Пусть система {ег·} образует базис в пространстве Е. Если {hi}— некоторая система элементов из £, то ставится вопрос о том, при каких условиях система {ег· + hi) будет также базисом в Е. Если {в{} — базис (безусловный базис) и элементы hi «достаточно малы» в том смысле, что SlI/illllA/IKl. то система {е* + Λ<ϊ образует базис (безусловный базис) в Е. Из последнего утверждения вытекает важное следствие: если пространство Ε обладает каким-то базисом (безусловным базисом) и {φ/J—полная в Ε система элементов, то в Ε существует базис (безусловный базис) вида ηι Например, .в пространстве С(0, 1) существует базис из степенных многочленов. Литература: [71], [79].
§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ П 6. Базисы суммирования. Для ряда конкретных пространств неизвестно, есть ли в них базисы (например, в пространстве A(D)). Базисы, построенные в важных для приложений пространствах, не всегда хорошо приспособлены к решению различных задач. В связи с этим возникло обобщение понятия базиса, так называемые Т-базисы или базисы суммирования. Пусть {tij}™ — матрица регулярного метода суммирования*). Система {ек}™ называется базисом суммирования для данного метода, если каждому элементу JiGf отвечает единственный ряд оо ι суммируемый этим методом к х. Тригонометрическая система в пространстве СР(—π, π) всех непрерывных периодических на [— π, π] функций (с нормой пространства С(—-π, π))—базис суммирования для методов Че- заро и Абеля. •Каждый базис суммирования — полная минимальная (не обязательно равномерно) система с тотальной сопряженной системой. Обратное не верно. Литература: [69], [71], [751 [76]. *) Метод суммирования называется регулярным, если он суммирует всякий сходящийся числовой ряд к его сумме.
ГЛАВА II ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Пространства дифференцируемых функций 1. Обозначения. В этом параграфе будут применяться следующие сокращенные обозначения: 1) s = (si, ..., sn) — точка пространства Rn\ 2) \s\=Vs\+ ... +s*; 3) q = {qu ...» Qn)> Як — целые, qk>0', 4) I <71 = <7ι + ... + qn\ 5) q\=q{l ... ?„!; 6) sq = sf ι ... #; (5, ξ) = s.g, + ... + snln\ 7) u{s) = u{slt ..., sn)\ 8) и<*>|$| сЛ+"+Чф, sn) dsq> ...dsqn», В этих обозначениях, например, ряд Тейлора для функции многих переменных пишется так же, как и для функций одной переменной: uiq) (s) hq u(s + h)= J] k|=o Кроме того, Аг-кратный интеграл по области Ω будет записываться как \ u{s)ds= \ ... J и(s{, ..., sn)ds{ ... dsn. Ω Ω 2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций. Естественные топологии, возникающие в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, как правило, являются не- нормируемыми.
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 73 Простейшим примером служит 1) Пространство С°°(0, 1) всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [0, 1]. Локально выпуклую топологию обычно вводят с помощью системы норм pr(u)= sup i\u^(s)\ (r = 0, 1, ...). 0<s<l fe=0 Сходимость в соответствующей топологии означает равномерную сходимость вместе со всеми производными. Пространство С°°(0, 1) полно, метризуемо, т.е. является пространством Фреше. Оно ядерно и, следовательно, ненормируемо. 2) Пространство 0°(Ω) всех бесконечно дифференцируемых функций в открытом множестве Ω пространства /?п. Пусть Кп — возрастающая последовательность ограниченных оо замкнутых множеств такая, что Ω= \jKn- В пространстве C°°(Q) вводится система полунорм pr(u)= sup Σ \uW{s)\ (г = 0, 1, ...) seK, \q 1=0 и по ней локально выпуклая топология, относительно которой C°°(Q) будет ядерным пространством Фреше. Сходимость в этом пространстве означает равномерную сходимость вместе со всеми производными на каждом компактном множестве в Ω. 3) Пространство S(Rn) всех бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности. При этом функция u(s), по определению, быстро убывает на бесконечности, если sup \s\p\uW{s)\<oo s<=Rn для всевозможных целочисленных неотрицательных векторов ρ и q. Пример такой функции дает £~is|2. Топологию в S(Rn) можно ввести с помощью системы полунорм M") = sup(l+M2/ Σ l"(?)(s)l (r = 0, 1, 2,...). Пространство S(Rn) явля'ется ядерным пространством Фреше. 4) Пространство Ο(Ω). Носителем (supp и) функции u(s), заданной в Ω, называется наименьшее замкнутое в Ω множество, вне которого функция u(s) равна нулю. Бесконечно дифференцируемая функция называется финитной в Ω, если ее носитель компактен. Простейшим примером финитной в /?.«
74 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА функции с носителем в шаре радиуса а является функция ( ехр (| s |2 — а2)"1 при | s |< а, ν ' 10 при |s |>а. Умножая эту функцию на любую бесконечно дифференцируемую функцию, можно получить более сложные примеры. Финитные функции образуют линейное многообразие в пространстве Ο(Ω), которое обозначается Со° (Ω). Пусть К — компактное множество в Ω и DK — совокупность всех финитных функций, носители которых содержатся в /С DK является локально выпуклым пространством относительно топологии, порожденной системой норм г pK,r(u) = sup 2 \uM(s)\ (r=l, 2, ...). Если /Ci id К, то DKx zd DK и исходная топология в пространстве DK совпадает с той, которую индуцирует в нем топология пространства D Кх. Таким образом, множество Co°(Q) является объединением локально выпуклых пространств DK> топологии которых согласованы указанным выше образом. В такое объединение пространств можно ввести топологию так называемого индуктивного предела. Фундаментальная система окрестностей нуля строится из всех абсолютно выпуклых поглощающих множеств, которые в пересечении с каждым из составляющих пространств дают в нем окрестности. Линейная система Co°(Q) после введения в нее топологии индуктивного предела превращается в локально выпуклое неметризуемое линейное топологическое пространство Ζ)(Ω). Сходимость последовательности ί/ηΕθ(Ω) κ Μο^ΰ(Ω) означает, что носители всех функций Uk(s) (k = 0, 1, ...) содержатся в одном компактном множестве К и un(s) вместе со всеми производными сходятся к uq(s) равномерно на /С. Пространство Ζ)(Ω) бочечно и ядерно. Каждый линейный ограниченный оператор в Ζ)(Ω) (переводящий ограниченные множества, в ограниченные) непрерывен. Всякое линейное непрерывное отображение Ω(Ω) на себя открыто. Литература: [13], [27], [47], [51], [60], [67], [107], [108]. 3. Обобщенные функции. В дальнейшем функции из £>(Ω) называются основными. Обобщенной функцией или распределением Л. Шварца называется всякий линейный непрерывный функционал Τ на Ω(Ω). Число Τ (и) называется значением обобщенной функции Τ на основной функции и. Линейный функционал Τ (и), заданный на линейной системе (?ο°(Ω), будет порождать обобщенную функцию тогда и только тогда, когда для
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 75 каждого компактного множества К α Ω найдутся число г и константа С такие, что \T(u)\^CpKtr(u) = Csup Σ \t№(s)\ s<=K \q\=0 для любой функции из DK. Пусть f(s) —локально суммируемая в Ω (т. е. суммируемая на каждом компактном множестве /((ζ:Ω) функция. Тогда она порождает обобщенную функцию по формуле Tf(u)= jf(s)u(s)ds. Локально суммируемым функциям, отличающимся на множестве положительной меры, отвечают различные обобщенные функции. Таким образом, множество локально суммируемых функций вкладывается во множество обобщенных функций. Обобщенная функция, порожденная локально суммируемой функцией, называется регулярной. Всякая борелевская σ-конечная мера на Ω также порождает некоторую обобщенную функцию Γμ(Μ)= \u{s)d\i. Ω В частности, когда единичная мера сосредоточена в точке s0gQ, to получается так называемая δ-функция Дирака: Иногда значения обобщенной функции записывают условно также в виде интеграла. Например, ΜΌ = J 6s,{s)u(s)ds. Ω Над обобщенными функциями вводятся действия (сложения и умножения на числа), как над функционалами из сопряженного к D(Q) пространства £>'(Ω). Последовательность обобщенных функций Тп называется сходящейся к обобщенной функции Г, если lim Тп (и) = Τ (и) для любой основной функции u^D(Q). Функционал — Τ (η£-) является линейным и непрерывным на Ζ?(Ω), поэтому он порождает обобщенную функцию, которая называется обобщенной производной по Si от обобщенной функции и. Таким образом, по определению
76 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА При таком определении производных каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема и T{q)(u) = (-l)l(ilT(u{q)). В частности, всякая локально интегрируемая функция имеет обобщенные производные всех порядков. Пример. При η = 1 функция Хевисайда (Y(s) = 1 при 5^0 и Y(s) = 0 при s < 0) как обобщенная функция имеет производную оо γ> (и) = j и' (s) ds = и (0) = δ0 (и) о или Y'{s) = 6o(s). Для кусочно гладкой функции одной переменной, имеющей разрывы первого рода в точках s<*> (k— 1, ..., Ν) со скачками hk> аналогично получается формула dT N Существенно, что операторы дифференцирования являются непрерывными относительно введенной сходимости обобщенных функций. Произведение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию φ(5) определяется естественным образом: q>T{u) = T{<$u)\ при этом учтено, что φι/Εθ(Ω), если «εΰ(Ω). Обобщенная функция Τ равна нулю в подобласти Ωι с: Ω, если Τ (и) = 0 для всякой функции и с носителем в Ωι. Носителем обобщенной функции называется наименьшее из замкнутых в Ω множеств, вне которых она равна нулю. Обобщенная функция называется финитной, если ее носитель компактен в Ω. Множество финитных обобщенных функций допускает простое описание: каждая финитная обобщенная функция представима в виде конечной суммы обообщенных производных от непрерывных в Ω функций (с компактным носителем). Теория обобщенных функций позволила создать мощный аналитический аппарат, являющийся расширением аппарата классического анализа. Одной из важных составных частей этого аппарата является преобразование Фурье. Литература: [12], [13], [27], [60], [67], [99], [111], [112]. 4. Преобразование Фурье. Пусть функция u(s) определена во всем пространстве Rn и принадлежит пространству S(Rn). Ее
§ 1/ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 77 преобразованием Фурье называется функция * (Б) = T^V ί *"'ίξ'% (5) d5 = F (α)' *л где 6 = (£lf ..., ξ„). Преобразование Фурье осуществляет линейное взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства S(Rn) на себя. Обратное отображение определяется сходной формулой Справедливо равенство Парсеваля J u(s)v(s)ds= J* u{l)v{l)dl Rn Rn или Ja(s)»(i)rfs= Js(i)s7l)rf|. Пространство D(Rn) плотно вложено в пространство S(Rn), поэтому существует естественное вложение сопряженных пространств S'(Rn)cz D'(Rn), т. е. всякий непрерывный линейный функционал на S(Rn) однозначно определяется некоторой обобщенной функцией, которая называется медленно растущей. Примерами регулярных медленно растущих обобщенных функций могут служить функции из С°°(/?п), у которых все производные имеют не выше чем степенной рост на бесконечности, или функции из пространств Lp(Rn) (ρ ^ 1). Равенство Парсеваля можно рассматривать как равенство двух линейных непрерывных функционалов (от и) на S(Rn). Это приводит к следующему обобщению преобразования Фурье (Л. Шварц): преобразованием Фурье от медленно растущей обобщенной функции Τ называется медленно растущая обоб-, щенная функция, определяемая равенством Т(и) = Т(й). Это преобразование будет линейно и взаимно однозначно отображать пространство S'(Rn) на себя. Пример. Пусть обобщенная функция Γι порождена функцией f ξξξ 1; тогда 60(") = бо(й) = й(0) = ^|ыа)й|==_1_жг1(и).
78 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Формула обращения приводит к равенству Γι = (2π)η/2δο. Для обобщенных производных справедливы формулы -г— = ISiT ИЛИ IStT = — -ГГ-. dsf ' 1 dlf Дальнейшее расширение понятия преобразования Фурье проводится по следующей общей схеме (И. М. Гельфанд, Г. Е. !Шилов). Рассматривается линейное топологическое пространство Е, плотно вложенное в пространство S(Rn). Для функций этого пространства определено преобразование Фурье F, которое отображает пространство Ε взаимно однозначно на линейное многообразие EczS(Rn). Отображение F индуцирует на Ε топологию: окрестностями в Ε называются образы окрестностей из Е. Сопряженное пространство S'(Rn) естественно вкладывается в пространство Е'. Для каждого функционала Фе£' определяется его преобразование Фурье Φ по формуле Φ(υ) = Φ(ϋ) (ое£). Прямое преобразование Фурье, так же как и обратное, отображает Ε на £, если предположить, что Ε с каждой функцией u(s) содержит функцию и(—5). Таким образом, преобразование Фурье от линейного непрерывного функционала на Ε есть линейный непрерывный функционал на ё. Оператор преобразования Фурье Е'—* ё' является сопряженным к оператору преобразования Фурье Е-+Е. Применение изложенной схемы позволяет ввести понятие преобразования Фурье для любой обобщенной функции. В случае, когда E = D(Rn)y многообразие Ε допускает точное описание: оно состоит из всех функций v(s) из S(Rn), которые могут быть аналитически продолжены до целых функций экспоненциального типа, обладающих тем свойством, что |2*1>(г)|<ОН'1, z = s + it, где постоянные С и α зависят от функции ό и показателя р. Пространство таких функций, наделенное соответствующей топологией, обозначают через Ζ. В этой топологии последовательность функций vk(z) сходится к нулю, если она сходится к нулю равномерно на каждом компактном множестве и если существуют такие константы Ср и а > 0, что |zpMz)l<<V*l<i (z = s + it) для всех значений k. Преобразование Фурье от любой обобщенной функции Τ определяется теперь как линейный непрерывный функционал на пространстве Ζ по формуле Τ(Ό) = Τ(ΰ) (oeZ).
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 79 Пример. Для локально суммируемой функции ebst которая не является медленно растущей, е*>* = ]/2π δ0 (s + ib) = γ2π δ_,6 (s). Этот пример иллюстрирует тот факт, что преобразование Фурье дает функционал, который уже не может быть вычислен для всех функций из S(Rn), а лишь для тех функций, которые допускают аналитическое продолжение в комплексную плоскость. Литература: [13], [27], [60], [67], [68], [111]. 5. Банаховы пространства обобщенных дифференцируемых функций. Теоремы вложения. Сначала рассматриваются функции, определенные во всем пространстве Rn. 1) Пространства С. Л. Соболева Wlp. Для целого / пространство Wp(Rn) = Wp (1</?<оо) состоит из всех функций и (s) с суммируемой р-и степенью вместе со своими производными до порядка I В нем вводится норма \\q\<l LPJ где производные понимаются в смысле обобщенных функций на Rn. Для 0</<1 пространство WJ, состоит из тех функций u e Lpy для которых конечна величина Я/г #п Норма равна корню /7-й степени из этой величины. Пусть теперь 1>\ и / = [/] + λ (0<λ< 1). Пространство w\ состоит из тех функций u e W[pl\ у которых все производные порядка [/] принадлежат пространству Wp. Норма вводится по формуле \\u\\wt=(\\u\\pw[i]+ Σ \\u^\\pwx)l,p. Наконец, при /<0 по определению полагают 2) Пространства Н1Р (бесселевы потенциалы). Пространство Hlp(Rn) = Ηр (— οο</<οο; /7>1) состоит из всех медленно растущих обобщенных функций из S'(Rn)y для которых где F — преобразование Фурье. Норма вводится по формуле \\u\\Hl = \F-^{\+\ltfF(u))\L-
80 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА При 1 = 0 пространство HP = LP. Пространство Н^1 можно отождествить с сопряженным к пространству Н1Р> в смысле обычного скалярного произведения. 3) Пространства О. В. Бесова 5р. Пространство Вр для нецелых / > 0 совпадает с пространством Wlp- Для целых /^5 1, /7 > 1 оно состоит из тех функций u^Wlp~~\ для kotq- рых конечна величина р р \Q\=tRnRn U У1 Для / < 0 полагают Вр =(Вр~'1)'. При / = 0 пространство В°р не совпадает с пространством Lv и определяется косвенным путем через интерполяцию (см. гл. III, § 4, п. 6). Пространства Wlp, Hp и Вр играют важную роль в теории уравнений в частных производных. Все эти пространства рефлексивны. Пространство финитных функций D(Rn) плотно вложено в каждое из этих пространств. Для /7 = 2 они совпадают при всех /: Wl2*=Hl= Βί Для целых I совпадают пространства Wlp и Н1ру для нецелых / и ρ Φ 2 они различны. По определению Wlp = Blp при нецелых /, при целых / и ρ φ 2 они различны. Для любого I справедливы вложения 0). Для любого / и \<р- при ρ ^ 2 справедливы обратные вложения. Пусть Ω — открытая область в Rn, граница которой Г является ориентируемым бесконечно дифференцируемым многообразием размерности η— Ϊ, относительно которого Ω находится локально по одну сторону. При / > 0 для определения пространств WlP{Q) (Ηιρ(Ω), 4 (Ω)) применяется следующая схема. В пространстве Wlp(Rn) {HlP{Rn), B[{Rn)) ilP+i cz WlP <p<2 Bp c: Hp c:tf£- и ε в1Р (ex ^Wlp;
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 81 рассматривается подпространство всех функций, аннулирующихся в области Ω, и пространством Wlp(Q) (#'Ρ(Ω), Blp{Q)) называется фактор-пространство пространства Wp(Hpy Blp) по этому подпространству. На языке обычного анализа это означает, что пространство Wlp(Q) (Ηιρ(Ω), ΒΡ(Ω)) (/>0) состоит из всех тех функций u(s), определенных в Ω, которые допускают продолжение на все пространство Rn до функций u(s)eEWlp(Hlp, Blp) NII^(Q) = inf|U7||^(V где infimum берется по всевозможным продолжениям и. Однако для приложений удобно иметь явные формулы для вычисления норм функций. Эквивалентные нормы в пространствах ΨΡ(Ω) и Βιρ (Ω) (/ > о) вычисляются по тем же формулам, что и в пространствах Wp (Rn) и Blp(Rn)c заменой области интегрирования Rn на область Ω. В случае ограниченной области Ω пространства Wlp (Ω) и Βιρ (Ω) могут быть определены как пополнение по соответствующей норме множества 0°(Ω) бесконечно дифференцируемых функций в Ω. Для введения пространств с отрицательными / имеются разные возможности. Сопряженное пространство к Wlp(Q) (Hlp(Q)> ^(Ω)) изометрично подпространству пространства Ψρ~>ι(Ηρ~>\ Βρ~>1), состоящему из всех элементов, которые как обобщенные функции в Rn имеют носители в Ω. Эти элементы, вообще говоря, могут не быть обобщенными функциями в Ω (например, они могут быть мерами, сосредоточенными на границе области). Для ряда задач удобно, чтобы пространства с отрицательными / состояли только из обобщенных функций в Ω. В связи с этим замыкание множества 6ο°(Ω) финитных в Ω функций в норме пространства Ψιρ{Ω) (#ρ(Ω), 5ρ(Ω)) (/>0) обозначают Wlp{Q) (Ηιρ(Ω), Βιρ(Ω)) И полагают ψ? (Ω) = (w1, (Ω)/* н;1 (Ω) = {η1αω))\ в;1 (ω)=(д£ (Ω))\
82 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА При таком определении все пространства с отрицательными / вложены в £>'(Ω). При 0</<1//? пространство D(Q) плотно вложено в пространства Ψιρ(Ω), Hlp(Q) и βρ(Ω), и поэтому ψιρ{Ω) = Ψρ{Ω), Ηιρ{Ω) = Ηρ(Ω). и Βρ(Ω) = Βρ(Ω)> а значит, и Wpl{Q) = {Wlp>{Q))' и т. п. Операторы дифференцирования -г— являются линейными непрерывными операторами из пространств Wp(Q)t Яр (Ω), Βιρ(Ω) соответственно в пространства Wlp~~l (Ω)> Яр"1 (Ω), Βιρ"1 (Ω), кроме того случая, когда /=1//?. Если Q = Rn, то последнее ограничение не нужно. На границе Г области Ω можно также рассмотреть пространства функций Wlp(Y\ Яр (Г), 5р(Г). Многообразие Г покрывается системой окрестностей, диффеоморфных (п— ^-мерному шару. Требуется, чтобы функции в каждой окрестности в соответствующей системе координат принадлежали определенным выше пространствам (более точное описание здесь не приводится). В теории граничных задач весьма важное значение имеет следующая теорема. Теорема о следах. Пусть функция ίφ)ΕΞ^ρ(Ω) (ΗΡ(Ω), Βιρ(Ω)) и l>l/p. Оператор γ0, ставящий в соответствие каждой гладкой функции u(s) в области Ω ее след φ (а) на границе Г (т. е. у(о) = и(а) (а е Г)), по непрерывности может быть расширен до линейного непрерывного оператора, отображающего все пространство Ψιρ(Ω) {Ηιρ(Ω), Βρ(Ω)) на пространство Βιρ~~ι,ρ(Υ). При этом для каждой φ ^ В1Р~1,Р (Г) найдется ue=WlP№) (ΗΡ(Ω), θρ(Ω)) такая, что γ0α = φ и 11 и Ц m {нр (Ω), в1р т) < С И ' hf»» (о» где С не зависит от φ. Аналогично для гладких в Ω функций можно рассмотреть операторы дуй ——j нормальных производных на границе Г. Если / —/>1/р, то оператор γ/ может быть также расширен по непрерывности на все пространство Wlp (Ω) (Нр (Ω), ΒΡ(Ω)) ц будет после этого отображать его на пространство Вр~]~ /Р(Г).
§ 2. ПРОСТРАНСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 83 При этом можно снова установить неравенство, аналогичное предыдущему. Если число / — \\р > О — нецелое, то пространство Wp (Ω) (#£(Ω), 5ρ(Ω)) состоит из всех функций, для которых и = = — = = д{1~1,Р]и _р па г dv ' " dv[/~1/p] Детально изучены взаимные связи между пространствами №р (Ω) при различных / и р. Соответствующие утверждения носят название теорем вложения. В дальнейшем предполагается, что область Ω ограничена. Размерностью нормы в пространствах Wlp (Ω) называется число κ = п/р — /. Пусть р\ ^ /?, если при этом κι ^ϊ κ, то пространство l^p (Ω) вложено в пространство Н^р, (Ω). В случае, когда κι > κ, вложение компактно. Аналогичные утверждения справедливы й для пространств Ηιρ(Ω) и В1р (Ω). Если размерность κ < 0, то пространство Wlp (Ω) вложено в пространство Ch(Q)y где β = [·— κ], если κ — дробное, и β = [—κ] — 1,-если κ — целое. Более того, производные порядка k от любой функции из Wlp{Q) удовлетворяют условию Гельдера порядка α = — κ — k. Перечисленные утверждения доказаны для областей, обладающих свойством конуса: каждой точки границы Г можно коснуться вершиной фиксированного кругового конуса, лежащего целиком в Ω. Пусть G — гладкое многообразие размерности m < п, лежащее в Ω. Тогда оператор γο взятия следа на G отображает при q ^ /?, & > О и κ' = — — k^K пространство Wlp (Ω) в простран- k ^ ство Wq(G), за исключением того случая, когда k — целое и ρ = q > 2. Для пространств Βιρ (Ω) утверждение будет верно без этого исключения. Литература: [27], [53], [102], [104], [106]. § 2. Пространства аналитических функций 1. Пространства функций, аналитических в области. Все функции /(ζ), аналитические в области О расширенной комплексной плоскости С, образуют линейную систему Η (О). Пусть Кп — возрастающая последовательность бесконечных замкнутых множеств в О такая, что любое замкнутое множество из О содержится в одном из Кп· По каждому Кп вводится норма Р*я(0 = max |/(С)|.
84 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Последовательность норм Pxn{f) определяет в Η (О) локально выпуклую метризуемую топологию. Сходимость в этой топологии означает равномерную сходимость на каждом компактном множестве из О. В силу классических теорем Вейерштрасса пространство Я (О) уполно и, значит, -является пространством Фреше. Пространство Η (О) ядерно и, следовательно, ненорми- руемо. Если Oi cz 02, то сужение всякой функции из #(Ог) на Οι дает естественное вложение пространства #(02) в пространство Η(Οι). Через А (О) обозначалось (гл. I, § 2) банахово пространство всех функций, аналитических в области О и непрерывных в замыкании О, с нормой ||f || = max | f (ζ) |. Пространство А (О) ^о вложено ^пространство Η (О). Если Οι с= 02, то пространство А(02) компактно вложено в пространство Л (Οι). Если О содержит точку оо, то через #о(0) (Л0(О)) обозначается подпространство всех функций из Η (О) (Л (О)), обращающихся в нуль в этой точке. Литература:' [19], [110]. 2. Пространства локально аналитических функций. Пусть 5 — бесконечное замкнутое множество в С, а 0„ — убывающая последовательность открытых множеств в С такая, что On+i cz Оп, On id S (η = 1, 2, ...J, и для любого открытого множества О id S при некотором η ΟηαΟ. Локально аналитической функцией на S называется последовательность функций fn^A(On) (n^N) такая, что /η(ζ)=Μζ) при m > η и ζ е Om. Совокупность всех локально аналитических фуцкций обозначается через H(S). Каждая функция из A(0N) порождает последовательность своих сужений на множества Оп при /г ^ N и, следовательно, локально аналитическую функцию. Таким образом определяются отображения пространств A(0N) в #(S), причем образы всех A(0N) (#=1, 2, ...) покрывают все H(S). Это позволяет ввести в H(S) топологию индуктивного предела. Получаемое локально выпуклое пространство H(S) бочечно и неметризуемо. Если 5 содержит оо, то пространство Я0(5) есть индуктивный предел пространств Л0(О^). Существует простое описание всех непрерывных линейных функционалов на пространстве И (О). Пусть S = C\0 и oo<=S. Всякий непрерывный линейный функционал (D(f) на Η (О) однозначно определяет некоторую локально аналитическую функцию gq>^Ho(S). При этом, если gN — одна из функ-
§ 2. ПРОСТРАНСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 85 ций последовательности, порождающей g<p, аналитическая в Ojv =э S, то значение функционала Ф(/) вычисляется по формуле г где кусочно гладкий контур Г лежит в О Π 0Ν. Обратно, всякая локально аналитическая функция из H0(S) порождает по приведенной формуле линейный непрерывный функционал на Η (О). Для построения go функционал Φ расширяется -до функционала Φ на некотором пространстве Α(0\0Ν) и полагают Последовательность gjv(z) порождает локально аналитическую функцию g<p. Аналогичным образом описываются непрерывные линейные функционалы на пространстве Я(5). Литература: [110]. 3. Пространства Нр. В этом пункте будут рассматриваться банаховы пространства функций, регулярных в единичном круге D. Через Нр обозначается совокупность всех таких функций, для которых sup [\f(reiQ)\pdQ<oo. o<r<i 0J Через Я00 обозначается совокупность всех регулярных и ограниченных в D функций. Величина при ρ ^ 1 обладает свойствами нормы. Пространство Я*> относительно этой нормы является банаховым. Если 0<р<1, то величина (llf — g\\p)p обладает свойствами метрики и Нр превращается в полное метрическое пространство. Пространство Н°° — банахово относительно нормы ll/L = suP|/(0|. В дальнейшем через Lv обозначается пространство функций на единичной окружности, суммируемых с р-й степенью,
86 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА с обычной нормой ( Τ V/p и пространство измеримых ограниченных функций (при ρ = оо) с нормой оо 0<θ<2π Каждая функция /(ζ) из пространства Я? (1^/?^оо) имеет почти везде на единичной окружности предельные граничные значения (по некасательным путям), которые определяют на окружности функцию f (eiQ) = \imf(reiQ), принадлежащую г->1 Lp. Таким образом, пространство Нр изометрично отображается на замкнутое подпространство в Lp, которое также обозначается через Я*>. Это подпространство состоит из всех функций из Lp, для которых равны нулю комплексные коэффициенты Фурье с отрицательными индексами, т. е. 2π Jf(eiQ)ein*dQ = 0 (n = ly 2, ...). о Пусть р>1 и 1//?+1//?' = 1 (// = 1, если р = оо). Функции еш ^ LP' (n^l)y их замкнутая линейная оболочка в LP' представляет собокх совокупность Но граничных значений всех функций из Нр, аннулирующихся в нуле; Но — подпространство LP'. Пространство Нр (р>1) можно рассматривать как ортогональное дополнение к подпространству Но пространства Lp' в сопряженном пространстве Lp. Это ортогональное дополнение изометрично сопряженному к фактор-пространству: HP = (LP,/H$y. Сложнее обстоит дело с пространством Я1. Замыкание линейной оболочки функций einQ по равномерной норме дает подпространство Л0 пространства С всех непрерывных на единичной окружности функций, состоящее из граничных значений регулярных вД и непрерывных в D функций, аннулирующихся в нуле. Каждый функционал из С, ортогональный к подпространству Ао (задающийся, вообще говоря, мерой на окружности), определяется функцией из Я1 (мера абсолютно непрерывна). Это утверждение составляет содержание известной теоремы М. Рисса и Ф. Рисса. Таким образом, пространство Я1 можно отождествить с сопряженным пространством к фактор-пространству С/Л0.
§ 2. ПРОСТРАНСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 87 При 1 < ρ < оо свойства пространств Нр близки к свойствам Lp\ эти пространства изоморфны. Пространства Нр (1 < ;</7<оо) рефлексивны, равномерно выпуклы, с гладкой сферой. Однако пространства Нр и Lv не изометричны. Подпространство Нр (1 <р< оо) имеет в пространстве Lv замкнутое дополнение. Соответствующий проектор задается естественным образом через разложение в ряд Фурье. Подпространства Я1 и Я°° в пространствах Li и L^ соответственно не имеют замкнутых дополнений. Свойства пространства Я1 резко отличны от свойств пространства Li. Единичный шар в Я1 имеет крайние точки. Более того, каждый элемент единичного шара принадлежит отрезку, соединяющему две крайние точки, а каждый элемент единичной сферы является серединой отрезка, соединяющего две крайние точки. Крайние точки допускают следующее описание. Для любой функции fGff1 такой, что f(0) Φ О, функция ln|f(ei9)| интегрируема по Лебегу и 2π ^/ΐη|Γ(β'β)|</θ>1η|/(0)|. о Крайними точками единичного шара в Я1 будут те и только те функции f е Я1 с \\ f ||я, = 1, для которых предыдущее неравенство переходит в равенство. Такие функции называются внешними, для них имеется аналитическое представление. Замыкание множества крайних точек состоит из всех функций единичной сферы, не имеющих нулей внутри круга D. Еще одно специфическое свойство пространства Я1: если последовательность функций fn(£)e Я1 сходится к функции f(£)e е Я1 равномерно на каждом компактном в D множестве и lim|| fn ||я, = || f ||я„ то fn-+f в норме, пространства Н\. В пространстве Я00 все крайние точки единичного шара совпадают с функциями, для которых |/(ζ) | ^ 1 и 2π Jln[l-|f (β'θ)|]ί/θ = -οο. о Множество непрерывных в Б функций, удовлетворяющих этим же условиям, совпадает с множеством крайних точек единичного шара в пространстве A(D). Пространство A(D) не изоморфно никакому пространству, сопряженному к банахову. Сопряженное пространство к Нр, в силу общих теорем гл. I, §4, п. 5, изометрично фактор-пространству L?/#o· Если 1</?<оо,
88 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА то Но имеет в If замкнутое прямое дополнение, которое изоморфно Z/'/#o'. В связи с этим каждый непрерывный линейный функционал Ф(!) на Η ρ (1 <р<оо) допускает однозначное представление ф^ = ш I Шеф (О Я. 1С 1=1 где §фейр. Для пространств Я1 и Я°° таких простых представлений нет. Литература: [19], [110]. § 3. Банаховы пространства измеримых функций 1. Пространство измеримых функций. Пусть Ω — некоторое множество, на σ-алгебре подмножеств которого определена положительная мера. Примерами таких множеств будут отрезок [0, 1], ось (—оо, оо), или, более общо, замкнутое множество конечномерного пространства с обычной лебеговой мерой, натуральный ряд чисел N={1, 2, 3, ...} с мерой, значение которой на каждом подмножестве Nicz N равно числу элементов Νι. Через 5(Ω) обозначается совокупность всех измеримых функций x(s) на Ω. При этом функции, отличающиеся друг от друга на множестве меры нуль, отождествляются и, строго г<?воря, элементами пространства являются классы таких функций. Совокупность 5(Ω) является линейной системой относительно обычных операций над функциями (классами). В S(Q) можно ввести метрику следующим образом: для ^gS(Q) через гпх(х) обозначается мера лебегова множества тех s, для которых \x(s) | > τ. Тогда полагают ρ (χ, у) = inf arctg (τ + mx-y (τ)). τ>0 Относительно этой метрики S(Q) является полным линейным метрическим пространством. Сходимость в этом пространстве эквивалентна сходимости по мере: последовательность {Xn(s)} сходится по мере к Xo(s), если lim mx х (х) = 0 rt->oo υ при каждом τ > 0. Если мера Ω конечна, то эквивалентная топология в пространстве S(Q) порождается метрикой PI*. У)-) \ + \x(s)-y(s)[as* а
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 89 В пространстве S(Q) имеется естественная полуупорядоченность: χ <ζ г/, если x(s) ^y(s) для почти всех s. Относительно этой полуупорядоченности S(Q) является /(-пространством (см. гл. VIII, § 1,п. 4). В дальнейшем рассматриваются различные банаховы пространства, вложенные в 5(Ω). При этом свойства норм этих пространств связаны со структурой полуупорядоченности пространства. Литература: [23]. 2. Примеры банаховых пространств измеримых функций. В дальнейшем предполагается, что мера является σ-конечной, т. е. она либо конечна, либо Ω есть объединение счетного числа· измеримых множеств конечной меры. В случае, когда Ω = Ν, рассматриваемые функциональные пространства переходят в пространства последовательностей. а) Пространства LP(Q) (1 ^ ρ ^ оо) введены в гл. I, § 2, п. 5 (примеры 3, 7). б) Пространства Орлича являются обобщением пространств Ζ,ρ(Ω). Четная выпуклая положительная при и Φ О функция Μ (и) называется N-функцией, если М(0) = 0 и lim-^4-=oo. М->оо U Для каждой М-функции равенством М*(и)= sup [uv — Μ (ν)] 0<ϋ<οο определяется дополнительная Af-функция. Дополнительной к Μ* (и) является сама Μ (и). Говорят, что Af-функция Μ (и) удовлетворяет ^-условию, если тг- М(2и) . lim ■ ,Λ / < оо, U + oo Μ (U) и к2~Условию в нУле, если тт- М(2и) ^ lim ./, ' < оо. Для измеримой функции x(s) обозначают . M(x)=JM(x(s))ds. Ω Пространством Орлича Lm(Q) называется совокупность всех измеримых на Ω функций, для каждой из которых при
00 гл. п. функциональные пространства некотором λ > 0 выполняется неравенство Μ(λχ) < оо. Норму в пространстве Lm(&) удобно вводить по одной из формул: || χ Ik = inf * 0<λ<οο Λ ИЛИ ||*||2 = inf{*:M(*/*)<l}. Обе нормы эквивалентны: IUII2<IUIIi<2|Ulb. Пространство Ζ,μ(Ω) в этих нормах является банаховым. ,_В случае, когда М(и) = и? (1 <р< оо), пространство Ор- лича L*m(Q) изоморфно пространству LP(Q). в) Пространства Марцинкевича и Лоренца. Пусть ψ(/) (0 ^ t < оо) — непрерывная функция, монотонно возрастающая вместе с функцией ψ*(/) =t/\p(t)f которая называется дополнительной к ψ(/). Пространством Марцинкевича Λίψ называется банахово пространство всех измеримых функций, для которых конечна норма D где supremum берется по всем измеримым D с конечной мерой. Пространством Лоренца Λψ называется банахово пространство всех измеримых функций, для которых оо Ψ (х) = J Ψ (ή* (τ)) ί/τ < оо. о Норма в Λψ определяется равенством ||* || = sup j x(s)y(s)ds, Ω где supremum берется по всем измеримым функциям у, для которых J|y(s)l<fe<*(mesZ)). В случае вогнутой функции ψ норма может быть определена более простой формулой II* II = *(*). Литература: [23], [32], [113].
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 91 3. Идеальные пространства. В общей теории нормированных пространств измеримых функций обычно предполагается выполненной следующая аксиома: из |*(/)| <|#(01> гДе у — функция из Е, а х — измеримая функция, вытекает, что χ также является функцией из Е, причем \\х\\Е ^ \\у\\е. Такие пространства называют предидеальными (или нормированными структурами). Каждое предидеальное пространство вложено в пространство измеримых функций непрерывно: из сходимости по норме этого пространства вытекает сходимость по мере. Говорят, что норма в предидеальном пространстве обладает свойством Рисса— Фишера, если из неравенства оо Σ II Хп We < °°> где Хп — неотрицательные функции из Е, вытекает, что функция оо х=^хп принадлежит Е. Свойство Рисса — Фишера эквива- лентно полноте пространства. Полные предидеальные пространства называются идеальными (или иначе, банаховыми структурами, банаховыми решетками, функциональными структурами). Существуют такие предидеальные пространства, пополнение которых не изоморфно никакому идеальному пространству. Тем не менее, для каждого предидеального пространства можно указать минимальное идеальное пространство Ε (насыщение £"), в которое Ε непрерывно вложено и, более того, IUb<IUIt (*e£). Именно, пространство Ε — это совокупность функций, для которых имеет смысл и конечна норма Здесь infimum берется по всем последовательностям неотрица- оо тельных функций хп из Е, для которых *Σ хп = \х\. Эквива- /г=1 лентность норм ||*||£ и \\x\\g означает, что пополнение Ε пространства Ε отождествляется с идеальным пространством. Говорят, что норма в предидеальном пространстве обладает свойством Фату, если из сходимости почти всюду ограниченной последовательности функций хп из Ε к функции χ вытекает, что #<=£ и . || χ ||g < lim || хп \\Е.
92 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Свойство Рисса — Фишера является следствием свойства Фату;· обратное неверно. Предидеальное пространство Ε называется совершенным, если норма в нем обладает свойством Фату. Каждое совершенное пространство полно. Пусть Ε — предидеальное пространство. Через Ε обозначается пространство всех измеримых на Ω функций, для которых имеет смысл и конечна норма ||х||£ =inf lim|Urt||£, где inf берется по всем последовательностям неотрицательных функций хп из £, сходящимся почти всюду к \х\. Пространство Ε является минимальным совершенным пространством, содержащим Ε и таким, что 11*11* <И*И£ (*е£). При этом £d£ и ll*fe<ll*lk (*е£). Говорят, что функция χ из Ε имеет абсолютно непрерывную норму, если Пт1|й>я*|| = о. Л->оо" П " где %d — характеристическая функция множества D, a Dn — любая убывающая последовательность измеримых множеств с пустым пересечением. Через Е° обозначается совокупность всех функций из £ с абсолютно непрерывной нормой. Линейное многообразие Е° может содержать только нуль* (например, в пространстве Ζ,οο(Ω)). Если Е° = £, то пространство называется правильным. Примерами правильных пространств служат пространства ΙΡ(Ω), пространства Лоренца, пространства Орлича, ^-функция которых удовлетворяет А2-условию. Наконец, Е° может быть правильным подпространством Е, содержащим ненулевые функции (например, в пространстве Марцинкевича или пространстве Орлича без А2-условия). Многообразие Е° является предидеальным пространством (идеальным, если Ε идеально). Во многих случаях Е° не имеет замкнутого дополнения в Ε (например, в пространствах Орлича без Дг-условия). Правильные пространства обладают рядом интересных свойств. Так, для сходимости последовательности функций хш из правильного пространства Ε к функции χ необходимо и достаточно, чтобы последовательность хш сходилась к χ по мере и чтобы нормы функций хт были равностепенно абсолютно непрерывными. Последнее означает, что limsup||xDn*m| = 0
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 93 для любой убывающей последовательности множеств Dn с пустым пересечением. Пусть Ε— идеальное пространство. Сепарабельность пространства Ε равносильна тому, что Ε — правильное, и мера на Ω сепарабельна (это означает, что существует такое счетное семейство 90Ϊ подмножеств Ω, что для любого измеримого Оси конечной меры и любого ε > 0 существует D0 е9й, для которого mes(D\D0(J D0\ D) < ε). Β частности, лебегова мера и мера на подмножествах натурального ряда Ν, указанная в начале этого параграфа, сепарабельны. Поэтому сепарабельность идеальных пространств функций, определенных на множествах конечномерного пространства, пространств последовательностей, равносильна их правильности. Литература: [100], [103]. 4. Двойственные пространства. Носителем предидеального пространства Ε называется минимальное подмножество Ω, вне которого аннулируются все функции χ из Е. Если Ε — идеальное пространство, то в £ существуют так называемые единицы — функции и0, положительные во всех точках носителя Е. Ниже через (х> у) обозначается число (*> у) = J x(s)y(s)ds. Ω Пусть Ε — предидеальное пространство. Двойственным (или иначе ассоциированным) к Ε пространством Е1 называется пространство аннулирующихся вне носителя Ε функций у, для которых (xt у) < оо при всех χ из Е. С нормой \\y\\Bi= sup {χ, у) ШБ<1 Ει является совершенным идеальным пространством, причем носители Ε и Ei совпадают. Пространство Ei можно рассматривать как подпространство сопряженного к Ε пространства £", так как каждая функция йеР определяет на Ε линейный непрерывный функционал h(x) = (х, Уо), причем Ш1£'==11#о11£1. Подпространство Е1 замкнуто в Е' и совпадает с Е' в том и только том случае, когда Ε — правильное. В случае, когда Ε не является правильным пространством, пространство Ег существенно шире ЕК В пространстве Ег существует проектор на Е{ с единичной нормой. Функционалы / из £', принадлежащие Е{, характеризуются специальным свойством непрерывности: они преобразуют сходящиеся почти всюду и ограниченные функцией из Ε последовательности в сходящиеся числовые последовательности.
94 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА По аналогии со вторым сопряженным пространством можно рассматривать второе двойственное пространство £и. Оказывается, что Еп=Е и ||*||£„ = ||*||g. В частности, для совершенных пространств Ε и Еп совпадают. Пространства Lp и Lp* (l/p+ \\р' = 1) являются двойственными друг другу, при этом для 1 ^ ρ < оо пространство LP' совпадает с сопряженным к Lp, а пространство L\ является замкнутым подпространством пространства (Loo)'. Пространства Орлича LM и Lm*, порожденные дополнительными друг другу N-функциями Μ (и) и М*(и), та'кже оказываются двойственными. Однако нормой, двойственной к первой (второй) норме пространства LM, будет вторая (первая) норма пространства L^*. Пространство Lm* совпадает с сопряженным к LM в том и только том случае, когда W-функция Μ (и) удовлетворяет Аг-условию. Пространства Λψ и Μψ также являются двойственными друг другу, при этом Μψ совпадает с сопряженным к Λψ. Литература: [32], [114]. 5. Симметричные и однородные пространства. Идеальное пространство Ε называется симметричным или перестановочно инвариантным, если вместе с каждой функцией χ оно содержит и все равноизмеримые с нею функции у, причем ||я|| = \\у\\ *). Пусть мера на Ω непрерывна, т. е. каждое множество положительной меры может быть разбито на две части одинаковой меры. Тогда равенством (P£(mesD) = |IXz>ll£ (%d -~ характеристическая функция множества D) определена на [0, mes Ω] так называемая фундаментальная функция φΕ(λ). Для пространства Lp "φ£ (λ) = λ1/ρ, для пространства Марцин- кевича φ^ .(λ) = ψ*(λ), для пространства Лоренца φΛ (λ) = ψ (λ). Фундаментальная функция каждого симметричного пространства на (0, η^Ω) не убывает вместе с функцией λ/φ£(λ); функции (ря(Л) и λ/φ#(λ) непрерывны на (0, ΐΉβεΩ). В случае mes Ω < оо функция φ#(λ) непрерывна и в нуле, если Ε Φ L^ функция λ/φΕ(λ) непрерывна в нуле, если Ε Φ L\. В симметричных пространствах множество Е° совпадает с замыканием множества ограниченных финитных функций. Для нетривиального симметричного пространства Ε всегда справедливы вложения Loo с: £ с L\. *) Функции χ и у называются равноизмеримыми, если пгх(х) = ту(х) для всех τ > 0.
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 95 Пространство £*, двойственное к симметричному пространству £, также симметрично; его фундаментальная функция совпадает с λ/φ£?(λ). Среди всех симметричных пространств с заданной фундаментальной функцией φ (λ) наиболее узким является пространство Лоренца Λφ, а наиболее широким Μφ* (φ*(λ)=λ/φ(λ)); при этом II * Имф. < II * Wb (* е Е)> II * Wb < II * К (* е Лф)· Пусть мера Ω конечна и ω={Ζ?ι, ..., Di} — разбиение множества Ω. Интегральный оператор ρωχ (s) = J* К (5, σ) χ (σ) da, где η К (s, σ) = J -£±щ %D{ (s) %Dl (o). является оператором проектирования, который принято называть проектором Хаара. Каждый проектор Хаара действует в любом симметричном пространстве Ε и имеет норму 1. Пусть con — последовательность разбиений ωη = \D\9 ..., Dj^} множества Ω, причем max mes Ω* -> 0. Тогда последовательность соот- ветствующих этим разбиениям проекторов Хаара Ρωη сильно сходится κ единичному оператору в каждом правильном симметричном пространстве £. Разбиения соп можно выбрать так, что последовательность Ρωη будет сильно сходиться к единичному оператору на наперед заданном произвольном сепарабель- ном подпространстве пространства Loo. Если пространство Ε не является правильным и £ ^ Loo, то при х^Е\Е° последовательность функций Р®пх некомпактна. При изучении симметричных пространств особую роль играют пространства Лоренца. Если норма симметричного пространства обладает свойством Фату (совершенное пространство), то она может быть представлена как supremum некоторого множества норм Лоренца. В пространствах Лоренца описаны все крайние точки единичных шаров. Например, если фундаментальная функция ψ (λ) строго вогнута, то крайними точками единичного шара являются все функции с нормой 1, модули которых принимают лишь одно ненулевое значение. Литература: [101], [109].
96 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 4. Векторнозначные функции 1. Непрерывность, дифференцируемость. В этом пункте будут рассматриваться функции x(t) вещественного аргумента, зйачения которых при каждом /е[а, β] являются элементами линейного нормированного пространства Ε (векторнозначные функции): x(t)<^E (<x<^t^ β). Такие функции являются обобщением обычных вектор-функций скалярного аргумента. Функция x(t) называется непрерывной в точке U, если \\x(t) —-*(fo)ll -*0 при t-+t0y и непрерывной на отрезке [α, β], если она непрерывна в каждой точке отрезка [α, β]. Норма непрерывной на [ос, β] функции есть скалярная непрерывная функция. Множество всех непрерывных на [α, β] функций со значениями в Ε образует линейную систему С(£;[а, β]). В этой системе можно ввести норму И*11с<£;[а.и)= max ||*(ί^, после чего она становится линейным нормированным пространством. Если Ε — банахово, то С(Е; [ос, β]) также банахово. Кроме введенного понятия (сильной) непрерывности функции x(t), можно ввести понятие слабой непрерывности. Функция x(t) называется слабо непрерывной (в точке, на отрезке), если для любого непрерывного линейного функционала f e E' скалярная функция f(x{t)) непрерывна (в точке, на отрезке). Из сильной непрерывности вытекает слабая. Обратное неверно. Слабо непрерывная на отрезке [ос, β] функция χ(ί) ограничена на нем: \\x(t)\\^M (α^/^β). Норма слабо непрерывной функции полунепрерывна снизу. Функция x(t) называется дифференцируемой в точке /0, если существует такой элемент у е £, что \j(x(t0 + h)-x{t0))- у\-+0 при А-*0. Элемент у называется производной функции x(t) в точке to и обозначается y = x'(t0). Функция дифференцируема на отрезке [α, β], если она дифференцируема в каждой его точке. Если при этом производная x'(t) непрерывна, то функция x(t) непрерывно дифференцируема. Если функция дифференцируема на отрезке [ос, β], то справедливо неравенство ΙΙ*Φ)-*(α)||<(β-α) sup ||*'(0ΙΙ· α<ί<β
§ 4. ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 97 Это неравенство остается справедливым, если производная существует на отрезке [α, β] всюду, за исключением счетного множества его точек. Говорят, что функция x(t) имеет в точке U слабую производную x'{U)y если -r[x(t0 + h)—х (t0)] слабо сходится при h-+0 к x'(to). Другими словами это означает, что при всяком f е Е' скалярная функция f{x(t)) дифференцируема в точке /0 и [f(x(to))Y = f(x'{fo))· Если функция x{t) имеет в каждой точке отрезка [α, β] слабую производную, то сохраняется написанная выше оценка нормы приращения функции. В частности, если слабая производная равна нулю во всех точках отрезка, то функция постоянна. Аналогично определяются производные любого порядка от векторнозначных функций. Литература: [35], [39], [58]. 2. Интеграл Римана. Если функция x(t) со значениями в банаховом пространстве Ε непрерывна на отрезке [α, β], то для нее можно определить интеграл Римана как предел интегральных сумм: Ν β lim^x(tk)Mk= j x(t)dt. Здесь предел понимается в смысле сходимости по норме пространства £, когда диаметр разбиения а = ^о < h < ... < ^jv = = β стремится к нулю. Предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка на части. Справедлива оценка β II β J x(t)dt\ < J||*(f)||df α II α и теорема о среднем β |*(ί)Λ = (β-α)*, α ■ где χ — элемент замкнутой выпуклой оболочки множества значений функции x(t) на отрезке [α, β]. Функция y(t) = J χ (τ) dx a является непрерывно дифференцируемой и y'(t)=x(t). Для лк> бой непрерывно дифференцируемой функции y(t) справедлива
98 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА формула Ньютона — Лейбница β \ί/(ί)άί = νφ)-ν(α). а Так же, как и в классическом анализе, вводится понятие несобственного интеграла. Например, если функция непрерывна на [α, β] при любом β > а, то под ее интегралом на [а, оо] понимают ί x(t)dt= lim \ x{t)dt. Если предел по норме пространства Ε существует, то говорят, что интеграл сходится. Интеграл абсолютно сходится, если \\\x{t)\\dt <оо. Из абсолютной сходимости интеграла следует обычная сходимость. ^Можно рассмотреть интегралы, зависящие от параметра. На них переносятся классические теоремы о непрерывной зависимости от параметра, об интегрировании и дифференцировании по параметру. Литература: [39], [58]. 3. Аналитические функции. Пусть G— область комплексной плоскости. Рассматриваются функции x(z)t определенные в G и принимающие значения в комплексном банаховом пространстве Е. Элемент x'(z0)^E называется производной функции χ (ζ) в точке 20, если при Дг->0. Функция χ (ζ) называется аналитической в области G, если она имеет в каждой точке этой области производную. Если χ(ζ) аналитична в G, то при любом линейном функционале f^E' скалярная функция f(x(z)) аналитична в G: Справедливо и обратное утверждение: из слабой аналитичности следует сильная. Эти обстоятельства позволяют получать свойства аналитических функций со значениями в £ из свойств скалярных аналитических функций. Аналитическая функция в окрестности каждой точки zQ e G разлагается в ряд Тейлора оо χ{ζ) = Σαη{ζ-ζ0)η,
§ 4. ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 99 где ап — элементы пространства £, равные (l/n\)x^(z0). Обратно, всякий ряд такого вида определяет аналитическую функцию внутри круга сходимости, радиус г которого находится из формулы Коши — Адамара ' П->оо Интеграл от непрерывной функции по спрямляемой жордано- вой кривой определяется аналогично тому, как определялся интеграл Римана в предыдущем пункте. Для аналитической в области G функции остается справедливой интегральная теорема Коши и вытекающая из нее интегральная формула Коши г где Г — спрямляемая жорданова кривая, ограничивающая область Gi такую, что Gi с G и ζ <= G\. Для производных функции х(г) справедливы формулы Х(»)(г) = ^-Г *«> , άζ. V 2π/ J (ζ-ζ)η+ι Функция х {z), аналитическая в кольце α<|ζ — ζ0|< β, допускает разложение в ряд Лорана оо *(*)= Σ an(z — zQ)n. Π——ΌΟ В частности, такое разложение имеет место в окрестности изолированной особой точки, что дает возможность провести обычную классификацию таких точек (существенно особая точка, полюс, устранимая особенность). Функция x(z) называется целой, если она аналитична во всей комплексной плоскости. Справедлива теорема Лиувилля: если целая функция ограничена, то она — константа. Норма ||*(2)|| аналитической в G функции χ {г) является логарифмически субгармонической функцией в G. В частности, отсюда вытекает, что функция IU(z)|| не может достигать максимума внутри области G. Литература: [27], [58]. 4. Интеграл Бохнера. Суммируемые функции. Наиболее употребительным обобщением интеграла Лебега для функций со значениями в банаховом пространстве является интеграл
100 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Бохнера. Здесь излагается конструкция этого интеграла для функций, заданных на отрезке; однако она почти без изменений переносится на функции, определенные на пространствах с мерой. Функция, заданная на отрезке [α, β], со значениями в банаховом пространстве Е, называется простой, если она принимает лишь конечное число значений Xj на измеримых множествах Δ,·: x(t)*=Xj (feAj), UAj = [α, β]. (При определении простой функции на множестве бесконечной меры требуется, чтобы mes(Aj)< оо и чтобы x(t) = 0 на дополнении к UAj.) Функция x(t) называется сильно измеримой, если существует последовательность простых функций xn{t), сильно сходящаяся почти всюду к функции x{t). Функция x(t) называется слабо измеримой, если для всякого f^E' скалярная функция f(x(t)) измерима на [α, β]. Для сепарабельного пространства Ε понятия слабой и сильной измеримости совпадают. В общем случае для сильной измеримости функции необходимо и достаточно, чтобы она была слабо измеримой и чтобы все ее значения, за исключением, быть может, совокупности значений на множестве меры нуль, принадлежали некоторому сепарабельному подпространству пространства Е. Если функция x(t) сильно измерима, то ее норма ||*(ί)|| является измеримой скалярной функцией. Для простой функции x(t) интеграл определяется естественным образом: β | χ (t) dt = \j Xj mes Δ/· α Функция x(t) называется суммируемой (или интегрируемой по Бохнеру) на отрезке [α, β], если существует сходящаяся в ней почти всюду последовательность простых функций xn{t) такая, что β lim f|U(t)-xn(t)\\dt = 0. α При этом интегралом от суммируемой функции χ(ί) называется β β lim Г Xn(t)dt= \ x{t)dt. Предел понимается в смысле сходимости по норме.
§ 4. ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 101 Для того чтобы функция x(t) была суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы она была сильно измеримой и чтобы ее норма Ik (О II была суммируемой. Интеграл по любому измеримому множеству ее [α, β] можно определить как β jb(t)x(t)dt=jx(t)dt, α е где %e(t) — характеристическая функция множества е. Интеграл Бохнера обладает многими обычными свойствами интеграла Лебега. Для него также справедлива оценка II β \\ x{t)dt Ι) α Функция y(t), представимая неопределенным интегралом t y(t) = J x(x)dx α от суммируемой функции х(х), почти во всех точках отрезка имеет (сильную) производную, причем в этих точках у (t) == = x(t). Теорема о том, что всякая абсолютно непрерывная функция представима в виде неопределенного интеграла от суммируемой, для функций со значениями в банаховом пространстве, вообще говоря, не верна. Если А — ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Ε в банахово пространство F, и x(t) — суммируемая функция со значениями в £, то Ax(t) — суммируемая функция со значениями в F и β β J Ax{t)dt = A j x(t)dt. a a Совокупность всех суммируемых на [α, β] функций со значениями в банаховом пространстве Ε образует линейную систему Li (Ε; [α, β]), в которой вводится норма β ■* к (я·, [«, ш) -Jii*wn<«- α β < J II*(OilΜ. о
102 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой норме пространство L\(E;[a, β]) банахово. Аналогично скалярному случаю вводятся банаховы пространства Μ£;[α,β]) (1<Р<оо) с нормой 11*11, ί β ?(Е:[а, β]) = j J \\x(t)\\pdt l/P при 1 <р < оо, "х к^(£; [а. и) = vrai sup II * (0II при ρ = °°· Литература: [27], [58].
ГЛАВА ΠΙ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Теория линейных уравнений 1. Уравнения в конечномерных пространствах. Систему из η линейных уравнений с η неизвестными можно'рассматривать как одно уравнение вида Ах = у в ^-мерном евклидовом пространстве Rn, где у — заданный вектор правых частей, χ ~ искомый вектор решений, А— линейное преобразование, определяемое матрицей системы. В алгебре устанавливаются следующие основные факты: 1. Уравнение Ах — у разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение Ах = θ имеет только тривиальное решение χ = θ. 2. Уравнение Ах = у разрешимо тогда и только тогда, когда сопряженное уравнение A'g = / (с транспонированной матрицей А') разрешимо при любой правой части. 3. Уравнения Ах = θ и A'g = θ имеют одинаковое число линейно независимых решений. 4. Если уравнение Ах—у разрешимо не при любой правой части, то те правые части у, для которых оно разрешимо, образуют подпространство в /?п, являющееся ортогональным дополнением к подпространству всех решений уравнения A'g = θ. Несколько более сложная картина возникает при рассмотрении т линейных уравнений с η неизвестными при η Φ т. Для записи ее в векторном виде Ах = у следует считать, что оператор А действует из я-мерного пространства Rn в m-мерное пространство Rm. В сопряженном уравнении A'g = f оператор А' будет действовать из Rm в Rn. Если, например, η > m, то однородное уравнение Ах = θ всегда имеет нетривиальное решение независимо от того, разрешима ли всегда система или нет. Таким образом, свойство 1 исчезает. Связь между разрешимостью уравнения и сопряженного к нему уравнения также нарушается»
104 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Вместо свойств 1—3 можно сформулировать такие: 1°. Уравнение Ах = у разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение A'g = θ имеет лишь тривиальное решение. 2°. Уравнение A'g = f разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда однородное уравнение Ах = θ имеет лишь тривиальное решение. 3°. Разность между максимальным числом линейно независимых решений однородного уравнения Ах = θ и максимальным числом линейно независимых решений сопряженного уравнения A'g = θ равна η — m. Число η — т называют индексом уравнения Ах = у. Оно может быть как положительным, так и отрицательным. Свойство 4 остается в силе. При рассмотрении линейных уравнений в бесконечномерных пространствах многообразие возможных случаев расширяется. Некоторые аналогии с конечномерным случаем теряются. Литература: [57]. 2. Основные понятия. Пусть на линейном многообразии D(A) банахова пространства Ε определен линейный оператор А, отображающий его в некоторое банахово пространство F. Множество D (А) называется областью определения оператора А. Рассматривается линейное уравнение Ах = у (*/е=Л x*=D{A))K (A) где у — заданный элемент пространства F, а х — искомый элемент из D(A). Совокупность всех y^F, для которых уравнение (А) разрешимо, является линейным многообразием в F и называется областью значений R(A) оператора А. Совокупность всех решений соответствующего однородного уравнения Ах = θ является линейным многообразием в £ и называется нуль-пространством или ядром Ν(Α) оператора А. Различные свойства уравнения (А) описываются следующими определениями. Уравнение (А) называется однозначно разрешимым нр R{A), если однородное уравнение Ах = θ имеет только нулевое решение, т. е. Л/(Л) = Θ. Уравнение (А) называется корректно разрешимым на R{A), если при x^D(A) справедливо неравенство \\x\\e ^ АЦЛхЦ^, где k не зависит от х. Уравнение (А) везде разрешимо, если R(A) = F; плотно разрешимо, если R(A) = F\ нормально разрешимо, если R{A) замкнута. Из однозначной разрешимости следует существование на R(A) левого обратного оператора Л~*. Корректная разреши-
§ 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 105 мость эквивалентна ограниченности оператора Л-1. В этом случае решение уравнения непрерывно зависит от правой части. Литература: [37]. 3. Уравнение с замкнутым оператором. Линейный оператор Л называется замкнутым, если из того, что хп-+Хо и Axn-*y0i следует, что х0 е D(A) и Ах0 = у0. Ограниченный оператор, определенный на всем пространстве Е, всегда замкнут. Весьма важным является тот факт, что и, наоборот, замкнутый оператор, определенный на всем банаховом пространстве, ограничен. Если оператор А имеет левый обратный оператор, ограниченный на замкнутом множестве R(A), то оператор А замкнут. В частности, только замкнутые операторы могут иметь ограниченные обратные, определенные на всем пространстве F. Расширением оператора А называется любой линейный оператор Ai такой, что D(Ai)iD D(A) и А{х = Ах для x^D(A). Сужением оператора А на линейное многообразие D называется оператор А2 такой, что D(A2) = D и А2х = Ах при χ <= D. Если оператор А не замкнут, то он допускает замкнутое расширение в том и только том случае, когда из хп -> θ (хп е D (А)) и Ахп-^у следует, что у = Θ. Среди замкнутых расширений тогда есть наименьшее Л, которое является_ сужением всякого другого замкнутого расширения. Оператор Л называется замыканием оператора А. Изучение замкнутых операторов иногда сводится к изучению ограниченных операторов следующим приемом: в области определения D(А) замкнутого оператора А вводится новая норма \\x\V^\\x\\e + \\Ax\\f (xt=D(A)). В этой норме D(А) становится банаховым пространством ЕА- Оператор А ограничен, как оператор из ЕА в F. Более того, любой линейный оператор В, действующий из D(А) в F и допускающий замыкание, будет ограничен, как оператор из ЕЛ в F: \\Bx\\p<C\\xI=C(\\x\\b + \\A4f). Нуль-пространство N(A) замкнутого оператора А является подпространством пространства Е. Имеют место утверждения: 1. Корректная разрешимость уравнения (А) с замкнутым оператором А эквивалентна его однозначной и нормальной разрешимости. 2. Уравнение (А) с замкнутым оператором А нормально разрешимо тогда и только тогда, когда для каждого x^D(A) найдется такой элемент x<=D(А),-что Ах= Ах и || х\\ ^ k\\Ax|| =? = fc|Mbe||, где k не зависит от выбора x<=D(A). Литература: [23], [27], [37], [58].
106 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 4. Сопряженное уравнение. Обычно в приложениях линейный оператор А имеет некоторую естественную область определения, являющуюся линейным нормированным пространством. Это пространство можно пополнить до банахова пространства Е. Тогда оператор А будет иметь всюду плотную в Ε область определения D(A), что в S-TOM пункте и предполагается. Пусть g— ограниченный линейный функционал на пространстве F (?ег); тогда на D(А) определен линейный функционал g(Ax). Если он ограничен, т. е. \g(Ax) | ^ C||*lb, то говорят, что g^D(A') и по определению полагают (A'g)(x) = g(Ax). Функционал A'g этой формулой определен только на D(А), но так как D(A) всюду плотно в Е, то он допускает единственное расширение по непрерывности на все пространство Е: если, Хп-+х (Xn^D(A)), то Afg{x) = lim g(Axn). Таким образом, Λ-*οο можно считать, что Аг отображает D(A')czF' в пространство Е'. Этот оператор линеен и называется сопряженным оператором к А. Сопряженный оператор всегда замкнут. Следует иметь в виду, что область определения сопряженного оператора может не быть всюду плотной в пространстве Ζ77. Если оператор А замкнут, то D (А') всюду плотно bFb слабой топологии σ(Ε',Ε). Если, кроме того, пространство F рефлексивно, то D (А') всюду плотно в F'. Наряду с уравнением (А) рассматривается сопряженное уравнение A'g = f (f€=£'f g^D(A% (АО Для него аналогично вводятся понятия однозначной и корректной разрешимости, везде и плотной разрешимости. Между свойствами уравнений (А) и (А7) имеются глубокие связи: 1. Для того чтобы уравнение (А) было плотно разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (А7) было однозначно разрешимо. 2. Для того чтобы уравнение (А) было однозначно разрешимо, достаточно, чтобы уравнение (А7) было плотно разрешимо. Последнее свойство лежит в основе одного из методов доказательства теорем единственности в теории дифференциальных уравнений: для доказательства достаточно показать, что сопряженное уравнение разрешимо для всюду плотного множества правых частей. Нуль-пространство N (А') сопряженного оператора А' является ортогональным дополнением к области значений R{A) оператора А. Отсюда вытекает
§ 1, ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 107 3. Требование нормальной разрешимости уравнения (А) эквивалентно требованию, чтобы оно было разрешимо для любой правой части, ортогональной всем решениям однородного уравнения A'g = θ. Множества Ν(Α) и R{A') также ортогональны, но каждое из них может не являться ортогональным дополнением к другому. В связи с этим для уравнения (А7) можно ввести два, вообще говоря, различных, понятия: уравнение (А7) называется замкнуто разрешимым, если R{A') замкнута; уравнение (А7) называется нормально разрешимым, если оно разрешимо для любой правой части, ортогональной ко всем решениям однородного уравнения Ах = Θ. Из нормальной разрешимости следует замкнутая разрешимость, но не наоборот. 4. Если уравнение (А) нормально разрешимо, то уравнение (А7) замкнуто разрешимо. Свойство замкнутой разрешимости уравнения А7 эквивалентно следующему свойству уравнения (А): существуют константа k > 0 и плотное в R(A) множество М, для каждого элемента у\ которого найдется решение X\^D(A) такое, что И*11К*1Ы1. 5. Для того чтобы уравнение (А) было везде разрешимым, необходимо, чтобы уравнение (А7) было корректно разрешимым из R(Af). 6. Уравнение (А7) везде разрешимо тогда и только тогда, когда уравнение (А) корректно разрешимо на R(A). Если оператор А замкнут, то замкнутая и нормальная разрешимость уравнения (А7) эквивалентны. Литература: [23], [27], [29], [37]. 5. я-нормальные и d-нормальные уравнения. Нормально разрешимое уравнение с замкнутым оператором А, имеющим нуль- пространство N(A) конечной размерности η (А), здесь называется п-нормальным (в этом случае оператор А называют Ф+-опе- ратором или я-нормальным оператором). Множество Μ банахова пространства Ε называется локально компактным в Е, если пересечение любого шара Ε с Μ компактно в Е. Для того чтобы уравнение (А) с замкнутым оператором А было п-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы при отображении А прообраз каждого компактного множества из R{A) был локально компактным. Нормально разрешимое уравнение с замкнутым оператором называется d-нормальным, если ортогональное дополнение к области значений оператора R(A) имеет конечную размерность d(A).
108 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В следующей таблице указаны основные связи между свойствами уравнений (А) и (А') с замкнутым оператором Л, имеющим всюду плотную область определения. Уравнение (А) Уравнение (А') однозначная разрешимость^ плотная разрешимость корректная разрешимость ФФвезде разрешимость везде разрешимость ^корректная разрешимость плотная разрешимость ^однозначная разрешимость нормальная разрешимость ФФзамкнутая разрешимость == нормальная разрешимость η-нормальность ^Фй-нормальность rf-нормальность ФФ/г-нормальность Литература: [37], [58], [139]. 6. Априорные оценки. Как уже говорилось, для произвольного оператора с плотной областью определения корректная разрешимость на R{A), т. е. наличие оценки 1\х\\в<Ь\\Ах\\Р (xe=D(A)) позволяет, утверждать, что сопряженное уравнение (А7) везде разрешимо. Для получения такой оценки не нужно знать, при каких правых частях разрешимо уравнение (А). С точки зрения теории уравнений ее содержание можно сформулировать так: если χ — какое-нибудь решение уравнения (А), .то для него справедливо неравенство \\х\\Е ^ k\\yL·- В связи с этим такие оценки получили название априорных. ' Для замкнутого оператора А наличие априорной оценки \\g\\F'^k\\A'g\\E, влечет за собой везде разрешимость уравнения (А). Таким образом, для замкнутого оператора А приведенные две априорные оценки являются необходимыми и достаточными условиями однозначной везде разрешимости уравнений (А) и {ΑΊ- Во многих случаях, однако, удается установить лишь более слабые априорные оценки. Пусть пространство Ε компактно вложено (см. гл. I, § 4, п. 10) в пространство E0t а линейный оператор А с областью определения D(A)cnE является замкнутым оператором из EbF. Априорная оценка, о которой идет речь, имеет вид \\x\\E<a\\x\\EQ + b\\x\\F (xeD(A)). В указанных условиях приведенная априорная оценка является необходимым и достаточным условием п-нормальности уравнения (А). Аналогичный критерий имеется и.для d-нормальности уравнения.
§ 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ № Если оператор Л замкнут, имеет плотную в Ε область определения и пространство F компактно вложено в банахово пространство G, то для d-нормальности уравнения (Л) необходимо и достаточно наличие априорной оценки \\g\\r<a\\g\\G + b\\A'g\\E, (g&D(A')). В приложениях часто пространство Е' трудно описывается, поэтому вместо сопряженного оператора А' можно рассматривать оператор Л7, являющийся сопряженным к Л, как оператору, действующему из Е0 в F (D(A) = Ε = Е0). Оператор А' действует из F' в £о и является сужением оператора А' на те функционалы g из D(Л7), для которых A'g^EO. Из замкнутой, нормальной разрешимости, я-нормальности, d-нормальности уравнения (А) соответственно следует замкнутая, нормальная разрешимость, /г-нормальность, d-нормальность уравнения (А7). При этом η (Α') = η (А') и й(Л7)<<*(Л7). Если Ε плотно вложено в Е0 и оператор Л замкнут, как оператор из Е0 в F, то свойства нормальной разрешимости, /г-нор- мальности и d-нормальности уравнения (А7) и (А7) эквивалентны. При этом d{A') = d(A') = η{Ά). Таким образом, при указанных условиях для изучения свойств уравнения (А) можно рассматривать лишь то из уравнений (А7) и (А7), которое исследуется проще. Литература: [37]. 7. Нетеровы уравнения. Уравнение (А) называется нетеровым, если оно я-нормально и ^-нормально. Оператор Л в этом случае называется нетеровым или Ф-оператором*). Число х(Л) = я(Л)-й(Л)**) называется индексом уравнения (А) или индексом оператора А ***). Весьма важным является следующее свойство индекса: если операторы А и В нетеровы и оператор В имеет всюду плотную область определения, то произведение ВА также является нетеровым оператором и его индекс равен сумме индексов А и В: κ (ЯЛ) = κ (Л) + κ (Я). Если D(A) = Еу то сопряженное к нетеровому уравнению (А) будет нетеровым и κ (Л7) = —κ (Л). *) Терминология не установилась и часто Ф-оператор называют фред- гольмовым. **) Иногда индексом называют число —к (А). ***.) Для «-нормального уравнения можно считать κ(Α) = — оо, для d-нормального уравнения к(А) = -f-oo,
по ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Пусть оператор А действует в пространстве Е, имеет всюду плотную в Ε область определения и является нетеровым. Тогда операторы А2, А3, "... также будут нетеровыми. Через Nh(A) обозначают подпространство N(Ah). Очевидно, Nk (А) cz Nk+i {А), и если Nk(A) = Nh+l{A), то Nk{A)= Nh+m(A) (m>l). Пусть Noo(A) является объединением всех подпространств Nh{A) (Λ= 1,2, ...)- Если Νοο{Α) конечномерно, то уравнение (А) имеет неположительный индекс (х(Л)^О). Если, кроме того, Ν00(Α/) конечномерно, то κ {А) = 0. Литература: [20], [371, [121]. 8. Фредгольмовы уравнения. Нетерово уравнение (А) и оператор А называются фредгольмовыми, если индекс х(Л)=0. В то время как нетеровы уравнения обладают свойствами, аналогичными свойствам системы алгебраических линейных уравнений с прямоугольной матрицей, фредгольмовы уравнения обладают всеми четырьмя свойствами, приведенными в п. 1 для алгебраической системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Фредгольмовы уравнения имеют следующую конструкцию: оператор А фредгольмов тогда и только тогда, когда он представим в виде А = и~х + Т, где U — ограниченный оператор, определенный на всем пространстве F и имеющий обратный ί/_1, α Τ — вполне непрерывный оператор, действующий из Ε в F. Более того, в указанном представлении оператор Τ может быть выбран конечномерным. Классическим примером фредгольмова уравнения является уравнение вида х+Тх = у, где Г—-вполне непрерывный оператор, действующий в пространстве Е. Здесь это уравнение и оператор А = I + Τ называются каноническими фредгольмовыми. Для канонического фредгольмова оператора Л = /+Г существует наименьшее число k0 такое, что Nk0(A) = Noo(A) (см. п. 7). Это же число k0 является наименьшим из тех чисел k, для которых R(Ah+i) — R(Ah) == Rk(A). Все пространство Ε разлагается в прямую сумму двух инвариантных относительно А подпространств: E = Rko(A) 4- Nk0(A). На подпространстве RkQ(A) оператор А имеет ограниченный обратный, определенный на всем /?£0(Л), подпространство Nk0(A) конечномерно и в нем оператор А имеет единственное собственное число, равное нулю. Для сопряженного уравнения (А7) 'имеет место такое же разло-
§ 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 111 жение пространства Е' с тем же числом й0, при этом размерности подпространств А^(Л) и А^(Л') при 1 -^Ck^C/to совпадают. Литература: [20], [37], [121]. 9. Линейные преобразования уравнений. Под линейным преобразованием уравнения Ах = у понимается переход от этого уравнения к уравнению ВАх=Ву с помощью линейного оператора 5, действующего из пространства F в банахово пространство G. Может оказаться, что уравнение В Ах = г (χεξΟ (ΒΑ), ζ е= G) (ΒΑ) проще исходного. Однако при этом переходе следует соблюдать известную осторожность. Если оператор В не всюду определен на F, то среди всех решений уравнения (ВА) могут не найтись те решения (А), которые соответствуют правым частям уёвО(В). Преобразованное уравнение может иметь и лишние решения. Для того чтобы уравнения Ах = у и ВАх = By были эквивалентными, т. е. чтобы всякое решение уравнения (А) было решением уравнения ВАх = By и обратно, необходимо и достаточно выполнение условий R(A)czD(B) и Ν(Β) = Θ. Первое из этих условий заведомо выполнено, если В — ограниченный на F оператор. При преобразовании уравнений следует иметь в виду следующее важное обстоятельство: даже при эквивалентном преобразовании уравнение с замкнутым оператором А может перейти в уравнение с незамкнутым оператором ВА. Часто при преобразовании оператор ВА допускает замыкание. В этом случае наряду с уравнением (ВА) можно исследовать уравнение ВАх = ζ. (ВА) Решения уравнения (ВА) обычно называют обобщенными решениями уравнения (А). Между свойствами уравнений (А), (ВА) и (ВА) имеются различные связи. Из однозначной разрешимости (ВА) следует однозначная разрешимость (А); если пространство N(BA) конечномерно, то и N(A) конечномерно. При ограниченном эквивалентном преобразовании из замкнутости ВА следует замкнутость Л, из нормальной разрешимости (ВА)—нормальная разрешимость (А). При ограниченном преобразовании уравнения с замкнутым оператором А из м-нормальности (ВА) вытекает м-нормаль- ность (А). Если уравнения (А) и (В) /г-нормальны, то и уравнение (ВА) д-нормально. Возникает вопрос о том, когда уравнение с неограниченным оператором может быть преобразовано к уравнению
112 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ с ограниченным оператором. Если оператор А замкнут, и уравнение (А) нормально разрешимо и подпространства N (А) и R(A) имеют прямые дополнения в Ε и F, то уравнение (А) может быть ограниченным преобразованием сведено к уравнению с ограниченным оператором. Ограниченный оператор В называется левым регуляризато- ром для уравнения (А), если оператор В А может быть расширен до канонического фредгольмова оператора. Левый регуля- ризатор В называется эквивалентным, если уравнение (ВА) эквивалентно уравнению (А), т. е. если Ν (Β) = θ. Из общего вида фредгольмова уравнения (см. п. 8) следует, что оно имеет всегда левый эквивалентный регуляризатор U. Справедливо более общее утверждение: всякое нетерово уравнение имеет левый регуляризатор и если индекс уравнения неотрицателен, то существует левый эквивалентный регуляризатор. Если оператор А 'замкнут, то для п-нормальности уравнения (А) достаточно, а в случае, когда R(A) имеет в F прямое замкнутое дополнение, и необходимо существование левого ре- гуляризатора. Уравнение с ограниченным оператором А, определенным на всем пространстве Е, имеет левый эквивалентный регуляризатор в том и только в том случае, когда оно нетерово и его индекс неотрицателен. Построение левых регуляризаторов является одним из важных методов доказательства га-иормальности уравнений. Литература: [37], [126], [131]. 10. Линейная замена переменного. В уравнении (А) можно сделать замену искомого элемента: x = Cs, где С — некоторый линейный оператор, действующий из банахова пространства Я в банахово пространство Е. Для нового искомого элемента получается уравнение ACs = y. (AC) Каждое решение s уравнения (АС) порождает решение Cs уравнения (А). Однако при этом может потеряться часть решений уравнения (А), а именно те решения, которые не пред- ставимы в виде Cs. Чтобы этого не произошло, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие D(A)czR(C). В этом случае говорят, что замена эквивалентная. При эквивалентной замене R(A)=R(AC)) поэтому оба уравнения (А) и (АС) одновременно будут или не будут нормально разрешимыми, d-нормальными, плотно или везде разрешимыми. Размерность нуль-пространства при эквивалентной замене не уменьшается. Если при этом оба уравнения ώ-нормаль-
§ 1. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 113 ны, то к(А) ^к(АС) (здесь допускается равенство индексов + оо). При любой линейной замене d(A) <c: d(AC), поэтому, если оператор А замкнут и уравнение (АС) d-нормально, то уравнение (А) d-нормально. Ограниченный оператор С, действующий из пространства F в пространство Е, называется правым регуляризатором уравнения (А), если полученное после замены уравнение (АС) является каноническим фредгольмовым в F. Он называется эквивалентным правым регуляризатором, если замена χ = Cs эквивалентная. Для того чтобы уравнение (А) с замкнутым оператором А было d-нормальным, достаточно, а если N(A) имеет замкнутое прямое дополнение, то и необходимо, чтобы у него существовал правый регуляризатор. Для того чтобы существовал эквивалентный правый регуляризатор, необходимо и достаточно, чтобы уравнение было нетеровым и имело неположительный индекс. Важным примером уравнения, для которого просто строится левый и правый эквивалентный регуляризатор, является уравнение x — Sx-=yy (S) где S — ограниченный оператор, действующий в пространстве Е, некоторая степень которого Sr вполне непрерывна. Можно выбрать такое достаточно большое число N, что операторы ги! — S (где ει, ..., ejv-i — все отличные от единицы корни степени N из единицы) имеют ограниченные обратные, определенные во всем пространстве Е. Если N ^ г, то оператор С = = (ει/ — S) ... (eN-J — S) будет эквивалентным левым и правым регуляризатором для уравнения (S). Его применение сводит уравнение (S) к виду χ — SNx = у. Уравнение (S) является фредгольмовым. Литература: [37]. 11. Устойчивость свойств уравнения. Наряду с уравнением (А) рассматривается возмущенное уравнение Ax + Qx = y (xt=D(A), y^F) (A + Q) Если какое-либо свойство уравнения (А) сохраняется для уравнения (А + Q) при всех операторах Q из некоторого класса, то говорят, что это свойство устойчиво по отношению к возмущениям данного класса. Здесь рассматриваются три класса возмущений. а) Малые возмущения. Оператор Q определен во всем пространстве Е, ограничен и имеет достаточно малую норму HQH^p. Оператор А + Q определен на D(А); если А замкнут, ТО ρ А + Q замкнут.
114 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Свойства корректной разрешимости, ^-нормальности, d-нор- мальности, нетеровости устойчивы по отношению к малым возмущениям. При достаточно малых возмущениях индекс уравнения не изменяется (при этом допускается, что κ (Л) = ±оо). Последнее свойство говорит о том, что индекс уравнения есть топологический инвариант. Задача о вычислении индекса конкретных уравнений весьма важна и часто трудна. б) Относительно малые возмущения. Оператор Q может быть неограниченным, он определен на D(A) и допускает замыкание. Как указано в п. 3, такой оператор будет ограниченным из пространства ЕА в F, где ЕА определяется введением в D(A) нормы 11^1^=11x11^ + 11^11^. Если норма || Q \\Еа^р достаточно мала, то говорят об относительно малых возмущениях уравнения (А). Свойства ^-нормальности, d-нормальности, нетеровости устойчивы по отношению к относительно малым возмущениям. При достаточно малых \\ Q \\Е _^р индекс уравнения при возмущении не изменяется. в) Вполне непрерывные и Л-вполне непрерывные возмущения. Оператор Q вполне непрерывен, как оператор из £ в F, или вполне непрерывен, как оператор из ЕА в F (Л-вполне непрерывен). Свойства м-нормальности, d-нормальности, нетеровости устойчивы по отношению к произвольным вполне непрерывным или Л-вполне непрерывным возмущениям. При этих возмущениях индекс уравнения не изменяется. Литература: [37], [121]. § 2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория В этом параграфе всюду предполагается, что Л — линейный оператор, определенный на линейном многообразии D(A) комплексного банахова пространства Ε и действующий в это же пространство Е. 1. Спектр и резольвента оператора. Понятие спектра оператора связано с рассмотрением уравнения Ах — λχ = у (x<=D (Л), у е £), (Αλ) где λ — комплексное число. Число λ называется регулярной точкой оператора Л, если уравнение (Αλ) корректно и плотно разрешимо. Совокупность всех регулярных точек называется резольвентным множеством оператора А. Дополнение на комплексной плоскости к резоль-
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ 115 вентнОму множеству называется спектром оператора А. Если оператор А замкнут, то его резольвентное множество состоит из тех и только тех точек λ, для которых существует ограниченный оператор (Α — λ/)-1, заданный во всем пространстве Е. Определенный при регулярных λ, оператор (Α —-λ/)-1 называется резольвентой оператора А и обозначается Rk(A) или короче: /?λ. Для замкнутого оператора резольвентное множество является открытым подмножеством комплексной плоскости, спектр — замкнутым. Произвольное замкнутое множество комплексной плоскости (в том числе и пустое) может быть спектром некоторого замкнутого оператора. Пример. В пространстве С[0, 1] непрерывных функций x(s) рассматривается операция дифференцирования d/ds. Замкнутый оператор Л, порождаемый операцией d/ds на множестве всех непрерывно дифференцируемых функций, имеет спектром всю комплексную плоскость. Спектр оператора Л0, порождаемого той же операцией на множестве непрерывно дифференцируемых функций, равных нулю в нуле, пуст. Спектр оператора Аи порождаемого той же операцией на множестве непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию х(0) = = х(1), состоит из точек вида λ = 2nin {η = 0, ±1, ±2, ...). Резольвента R% является на резольвентном множестве аналитической функцией со значениями в пространстве L(E,E) ограниченных операторов. Каждая связная компонента резольвентного множества является естественной областью голоморфности резольвенты, т. е. резольвента не допускает аналитического продолжения через границу этой области. Для любых двух регулярных точек λ и μ справедливо пер- вое резольвентное тождество или тождество Гильберта R% — R[i = (λ — μ) #λ^?μ· Из этого тождества выводятся формулы для производных Если на некотором подмножестве G комплексной плоскости определена оператор-функция /λ со значениями в L (£,£), удовлетворяющая уравнению h — Jix = (λ — μ) /χΛι (λ> μ e G)> то эта функция называется псевдорезольвентой. Все операторы /λ имеют общее нуль-пространство N(J) и общую область значений /?(/), они коммутируют друг с другом. Для того чтобы псевдорезольвента /λ служила резольвентой некоторого замкнутого оператора А} необходимо и достаточно, чтобы N (J) = Θ.
ΙΐΒ ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ При этом областью определения оператора Л служит /?(/) и Λ = λο/-(/0~! (λο^β). Если область определения D(A) замкнутого оператора всюду плотна в £, то резольвентное множество оператора А' совпадает с резольвентным множеством А и RX(A') =[RK(A)]\ Если оператор А ограничен, то весь его спектр лежит в круге |λ| ^ ||Л||. При |λ| > ||Λ|Γ для резольвенты справедливо разложение в ряд ь=-т(г+тА + т?# + ··■)· который сходится по норме операторов. Радиус наименьшего круга с центром в начале координат, содержащего спектр оператора Л, называется спектральным радиусом гА оператора А. Справедлива формула (И. М. Гель- фанд) rA= lim VlRl, /г->оо при этом предел всегда существует. Из предыдущего следует, η что гА ^ \\А\\. Более того, гА ^ у\\ Ап\\. На основании признака Коши ряд для резольвенты будет сходиться, если гА <. |λ|, и расходиться, если гА > |λ|. В частности, ряд (/-ЛГ1 = -#1=/ + Л + Л2 + ... сходится при гА < 1 и расходится при гА > 1. Спектр ограниченного оператора всегда не пуст. Если гА = = 0, то спектр состоит из одной точки λ = 0. Примером такого оператора в пространстве С[0, 1] является интегральный оператор Вольтерра Ах = j К (tt s) χ (s) ds, где K{ty s) — непрерывная в треугольнике 0 ^ 5 sg: t ^ 1 функция. Пусть λο — изолированная особая точка резольвенты /?λ зам* кнутого оператора Л. Тогда существует разложение резольвенты в ряд Лорана — оо При этом ограниченные операторы Ап(п = 0, ±1, ±2,...) коммутируют друг с другом и с оператором Л и удовлетворяют
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ 117 соотношениям AkAm = 0 (ft>0, m<-l), Ап = А%+{ (л>1), Л-p-^+i = - Л-рЛ.^ (ρ, ? > 1). Из последнего соотношения при ρ = q = 1 вытекает, что вычет функции R% в точке λο — оператор Л_1— обладает тем свойством, что — Л_1 является проекционным: (—Л_1)2 = ■—Л_1. Справедливы формулы (i4-VM« = Ai-i (л^О) и (Α-λ0Ι)Α0=Α^+Ι. Если λο—полюс порядка m резольвенты /?λ, то λο является собственным значением оператора А и, кроме того, R (Л-,) = W ((Л - λ0/Γ), tf (Л-i) = R ((Л - λ0/Γ) при всех п^ т. Пространство £ разлагается в прямую сумму Ε = Ν((Α- λ0Ι)η) + R((A- λ0Ι)η) (η > m). Для любого элемента R^x {x e £) справедливо разложение 1*х= е° | gl | ... | g*-* ι (λ — Яо) (Я — Яо) Я — Яо + Λ>+ (*-*<,)/,. ..., (λ-λοΤίη+ ..., где f„ = Апх, es = As-kx. Элемент е0 удовлетворяет уравнению Лео = λο^ο, и если е0 Φ 0, то е0 называется собственным элементом оператора Л, отвечающим собственному числу λο. Элементы ей ... ,.., еи-1 удовлетворяют соотношениям Аех = К0е{ + е0, Ае2 = Ке2 +е\> ...» ^k-\ = V*-i + ^-2 и называются присоединенными элементами к собственному элементу во. Если для ограниченного оператора Л точка λο —изолированная особая точка резольвенты и оператор Л-ι конечномерен, то λο — полюс резольвенты. Пусть Ρ—проекционный оператор. Тогда Отсюда, в частности, видно, что для ограниченного оператора вычеты в полюсах резольвенты могут быть и бесконечномерными. Для ограниченного оператора резольвента имеет на бесконечности нуль первого порядка; если оператор А неограничен,
118 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ то его резольвента имеет особую точку на бесконечности. Если эта особая точка изолированна, то она является существенно особой. Множество, состоящее из спектра неограниченного оператора А и бесконечно удаленной точки, называется расширенным спектром оператора А. Расширенный спектр оператора всегда не пуст. Пусть λ есть общая регулярная точка двух замкнутых линейных операторов А и В. Если D(B) zdD(A), to Я* (В) - Rk (А) = ϋλ (В) (А - В) /?λ (Л). Это соотношение называется вторым резольвентным тождеством. Если λ — регулярная точка А и D(B) =D(A), то λ является регулярной точкой В тогда и только тогда, когда оператор [/— (А — B)RK(A)]~i ограничен и определен на всем пространстве Е. При этом Я, (В) = RK (А) [1-(А- В) Rx (A)]'1. В частности, если || (А — В) Rx (А) || = q < 1, то ЫВ) = Ъ(А)Ъ[(А-В)Ъ(А)Г И \\Rk(B)^Rx(A)\\^T^j\\Rx(A)\\. Литература: [23], [27], [50], [58]. 2. Спектральное разложение замкнутого оператора. Часть Λι спектра Λ (Л) оператора А называется спектральным множеством, если она одновременно является замкнутым и открытым непустым подмножеством спектра. Пусть Λι — ограниченное спектральное множество. Тогда существует замкнутый спрямляемый жорданов контур Γι, лежащий целиком в резольвентном множестве оператора Л, содержащий внутри себя множество Λι и не содержащий внутри себя точек дополнения Λ2 = Λ — Λι. Ориентация контура Γι выбрана так, что при обходе множество Λι остается слева. Интеграл г, является проекционным оператором. Все пространство разлагается в прямую сумму двух подпространств £ = £ι-4-£2, где Ει = ΡιΕ и Ε2=(Ι — Ρι)Ε. Подпространство £Ί целиком лежит в области определения D(A) оператора А и является инвариантным относительно А. Спектр сужения Αι оператора А
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ 119 на подпространство £Ί совпадает с множеством Λι. Сужение А2 оператора А на множество (/ — Pi)D(A) является замкнутым линейным оператором, действующим в пространстве Е2, спектр которого совпадает с Л2. Таким образом, изучение оператора А сводится к изучению ограниченного оператора Αι и замкнутого оператора Л2. Если Ль ..., Л/г — несколько попарно непересекающихся ограниченных спектральных множеств, то оператор А разлагается на k ограниченных операторов Аи действующих в инвариантных подпространствах Εχ (ί=1, ..., й), и замкнутый оператор Ak+l. При этом, если оператор неограничен, то Ek+i Φ ^9 и Ak+i Φ 0. Соответствующие проекционные операторы Р\ (i = 1, ..., k) попарно ортогональны: P{Pj = 0 при i φ j. Спектром оператора Лг· служит множество Лг·. Пусть, например, расширенный спектр оператора А состоит из конечного- числа точек λΊ, ..., λ&, οο. В соответствии с предыдущим вводятся операторы где Tf — достаточно малые окружности с центром в точках Xt. Эти операторы обладают свойствами Р] = Ρ и Р{Р} = 0 при ι Φ /, Pi φ 0, /. Операторы Ai = APt ограничены. Резольвента ^(Л) допускает представление Функции P{RK {А) и R% {А) имеют лишь по одной особой точке, λ{ и оо соответственно, поэтому они допускают разложения где операторы АТ^{А1-Ы)?1 и Aoa^-^rJRt(A)f- Г (Г —контур, окружающий все точки λι, ..., λ*) являются ограниченными вольтерровыми операторами (спектр каждого из них состоит лишь из точки 0). Далее, PlRi (A) Rt (А) = /?λ+ (A) PiRK (А) = 0, ΛΓΑ* = А»ЛГ = 0, ATAJ = 0 при i φ j.
120 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Практически важным классом операторов являются операторы, у которых резольвента Rx0(A) является вполне непрерывным оператором. Из тождества Гильберта тогда вытекает, что и при любом регулярном λ резольвента Rx(A) вполне непрерывна. Оператор, имеющий вполне непрерывную резольвенту, является замкнутым неограниченным (в случае бесконечномерного пространства Е) и имеет спектр, состоящий из изолированных точек. Каждая точка спектра является полюсом резольвенты и собственным числом оператора Л. Нуль-пространство Nk(Ko) оператора (Л — Я0/)л, где λο — точка спектра, конечномерно, причем существует такое м0, что Nk (λο) = Νηο (λ0) при k^noy тогда как при k ^ п0 пространство Nk-i(Ko) является истинным подмножеством пространства Νη(λο). Если область определения D(A) всюду плотна в Е, то пространство нулей Λ^(λο) сопряженного оператора (A' — KoI)k имеет ту же размерность, что и Nk(Xo). Литература: [25], [27], [50], [58]. 3. Классификация точек спектра. Если λ принадлежит спектру оператора Л, то по определению это означает, что для уравнения с параметром Ах—-λχ — y нарушено одно из свойств однозначной, корректной или плотной разрешимости. Приняты следующие определения: если это уравнение неоднозначно разрешимо, то говорят, что λ принадлежит точечному спектру оператора А; если однозначно, но не плотно разрешимо, то λ принадлежит остаточному спектру оператора Л; если однозначно, плотно, но не корректно разрешимо, то λ принадлежит непрерывному спектру оператора Л. В первом случае оператор Л — — λ/ не имеет обратного, во втором этот обратный (Л—-λ/)""1 определен на неплотном множестве, в третьем—(Л — λ/)-1 определен на плотном в Ε множестве, но неограничен. Следует отметить, что эта классификация точек спектра достаточно груба и не отражает всего многообразия свойств разрешимости уравнения Ах — λχ = у. Таким образом, вся комплексная плоскость разлагается в сумму четырех взаимно непересекающихся множеств: резольвентное множество, точечный, остаточный и непрерывный спектры. Если оператор задан каким-либо аналитическим выражением, то структура его спектра существенно зависит от того пространства, в котором он исследуется. Например, операция дифференцирования порождает в пространствах функций f(s) на (—оо, оо) оператор, определенный как d/ds на множестве всех абсолютно непрерывных-на каждом конечном интервале функций, принадлежащих вместе со своей производной соответствующим пространствам. В пространствах См(—-оо, оо),
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ 121 Lp(—-оо, оо) (1 ^ ρ < оо) спектр этого оператора совпадает с мнимой осью. Этот спектр будет точечным в См{—сю, оо), остаточным в Li(—оо, оо) и непрерывным в Lp(—оо, оо) при Р>\. Если оператор Л расширяется до оператора А, действующего в том же пространстве Е, то точечный спектр Л остается в точечном спектре А, остаточный спектр при переходе от оператора А к оператору А может лишь сузиться, точки непрерывного спектра А либо остаются в непрерывном спектре А, либо переходят в его точечный спектр. Регулярные точки оператора А могут возникнуть либо из регулярных точек А, либо из точек остаточного спектра А. Иначе говоря, ни при каком расширении оператора А нельзя избавиться от его точек непрерывного и точечного спектров. Если оператор А имеет плотную область определения, то связь между свойствами уравнения Αχ — λχ = у и сопряженного уравнения A'g — hg = f (см. § 1, п. 4) приводит к следующим соотношениям: точечный спектр А содержится в объединении точечного и остаточного спектра Л', остаточный спектр А содержится в точечном спектре Л', непрерывный спектр А содержится в объединении остаточного и непрерывного спектра А'. Можно поставить вопрос о точках λ, при которых уравнение Ах — λχ = у будет нетеровым. Областью нетеровости оператора А здесь называется совокупность всех таких λ. Область нетерорости — открытое множество. В каждой связной компоненте области нетеровости операторы А— λ/ имеют один и тот же индекс. Если эта компонента содержит хотя бы одну регулярную точку оператора А, то индекс А—λ/ при всех λ из этой компоненты равен нулю, и оператор фредгольмов. Такая компонента G может содержать лишь изолированные точки спектра оператора Л, все они являются полюсами резольвенты /?λ(Λ), причем операторы, стоящие в главной части разложения резольвенты в ряд Лорана, конечномерны. Коротко этот факт выражают так: функция R\(A) в области G конечномероморфна. Если оператор А ограничен, то точки λ, где |λ| > гА, регулярны, и следовательно, существует компонента области нетеровости оператора Л, содержащая всю внешность спектрального кругами в этой компоненте оператор А — λ/ фредгольмов. Радиус ра наименьшего круга, вне которого оператор А — λ/ фредгольмов, называется радиусом Фредгольма оператора Л. ,Из предыдущего следует, что рА ^ г а- Для вполне непрерывного оператора рА = 0. Для получения формулы для радиуса Фредгольма в пространстве L(E,E) вводят, например, следующую полунорму: Нашили,
122 ГЛ. III, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где inf берется по всем подпространствам МаЕ, имеющим конечный дефект (конечномерное ортогональное дополнение), и А\м означает сужение оператора А на М. Тогда рд=Нт/|ГЛй1С". /г-»оо При получении свойств резольвенты в области нетерсвости не используется конкретный вид зависимости оператора А — λ/ от λ, а лишь ее аналитичность. Пусть в связной области G комплексной плоскости определена оператор-функция Α(λ) такая, что при каждом λ оператор Α (λ) ограничен и нетеров. Предполагается, что Α (λ) есть голоморфная в G функция со значениями в L(E,E). Тогда индекс оператора Α (λ) не зависит от λ. Размерность нуль-пространства Ν(Α(λ)) одинакова во всей области G за исключением, быть может, множества точек, не имеющих точек сгущения внутри области G. В точках этого множества размерность нуль-пространства больше, чем в остальных точках области. Если в точке λο е G существует определенный на всем Ε ограниченный обратный оператор [Л(Яо)]^1, то он существует во всех точках области, за исключением, быть может, множества с описанными выше свойствами. Оператор И (λ)]-1 является конечномероморфной функцией в G. Следует отметить, что предположение об ограниченности оператора Α (λ) введено для упрощения формулировок. Кроме того, аналогичные факты справедливы и для м-нормальных и d-нормальных операторов, голоморфно зависящих от параметра λ. Литература: [20], [23], [27], [58], [120], [135]. 4. Вполне непрерывные операторы. Пусть А — вполне непрерывный оператор. При λ φ 0 оператор Л —λ/ = —λ(/ —-т-Л] отличается лишь множителем от канонического фредгольмова и, следовательно, является фредгольмовым. Областью нетерово- сти является вся плоскость, возможно, без точки λ = 0; радиус Фредгольма ρ а = 0. Спектр вполне непрерывного оператора А представляет собою не более чем счетное множество точек, точкой сгущения которого может быть лишь точка 0. Отличные от нуля точки спектра {λ&} (/г =1,2, ...) являются полюсами резольвенты с кратностями {nth} и, значит, собственными числами оператора А. Нуль-пространство оператора A — %hI называется собственным подпространством, отвечающим собственно- му числу λ*. Его размерность называется собственной кратностью числа λ&. Как уже отмечалось, все пространство разлагается в прямую сумму подпространств N((A — XkI)mk) и
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 123 R ((А — %kI)mk), инвариантных относительно оператора А. Подпространство Nk=N ((А — XkI)mk) называется корневым под- пространством, отвечающим собственному числу λ&, а его размерность— алгебраической кратностью собственного числа λ*. В корневом подпространстве Nh может быть выбран базис из собственных и присоединенных векторов оператора А так, что в этом базисе матрица сужения оператора А на Nu имеет нормальную жорданову форму. Вопрос об условиях, при которых линейная оболочка всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих всем ненулевым собственным числам, плотна во всем пространстве, представляет собою трудную проблему полноты собственных и присоединенных векторов вполне непрерывного оператора. На пути ее решения для операторов в банаховом пространстве имеются лишь частные результаты. Для операторов в гильбертовом пространстве имеется большая содержательная теория (см. гл. IV, § 2, п. 6). Числа Xk являются также собственными числами сопряженного оператора А' и составляют его спектр, возможно, без точки λ = 0.» Они имеют ту же собственную и алгебраическую кратность. Более того, в корневом подпространстве, отвечающем Kh, оператор А' имеет ту же нормальную жорданову форму, что и оператор А в соответствующем своем корневом подпространстве. Для приложений важно, что всеми перечисленными спектральными свойствами обладают и операторы, для которых некоторые степени являются вполне непрерывными операторами. Литература: [20], [23], [27], [29], [30], [39], [60]. § 3. Функции от операторов, операторное исчисление* 1. Функции от ограниченного оператора. Пусть А — ограниченный линейный оператор, определенный на всем пространстве Ε и действующий в Е: А <= L{E, Е). Если f(X) — целая аналитическая функция переменного λ, разлагающаяся в ряд оо Σ α*λΛ, то можно определить функцию f(A) от оператора А с помощью формулы f(A) = %akAk. fc=0 Оператор f (А) будет также линейным и ограниченным. Важную роль играет, например, экспоненциальная функция от
124 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ оператора Введенное определение функции от оператора можно распространить на более широкий класс функций. Пусть F(A) — совокупность всех комплексных функций /(λ), каждая из которых голоморфна в некоторой окрестности спектра оператора Л. Эта окрестность может быть несвязной и, вообще говоря, зависит от функции /(λ). Пусть Г — контур из конечного числа спрямляемых замкнутых жордановых кривых, лежащих в области голоморфности функции /(λ), ограничивающей область, содержащую спектр оператора А и остающуюся слева при обходе контура в положительном направлении. Строится линейный ограниченный оператор г Этот интеграл является обобщением интеграла Коши. Он не зависит от выбора контура Г. Новое определение функции от оператора согласуется с предыдущими в следующем смысле: если функция f^F(A) раз- оо латается в ряд 2 β*λ*, сходящийся в некоторой окрестности /5=0 оо спектра оператора Л, то f(A) = ^akAk, причем ряд сходится β=0 по норме операторов. Пример. Если спектр оператора А не содержит и не окружает точку λ = 0, то можно провести разрез плоскости по кривой, соединяющей 0 и оо, и рассмотреть на плоскости с этим разрезом однозначную ветвь функции 1η λ. Тогда определен оператор \nA = --±f§\nXRh(A)dX, г где контур Г окружает спектр Л и не пересекается с разрезом. Если /, g^F(A) и α, β — комплексные числа, то α/ + β£^ <EF(A),fgeF(A) и af (Л) + β£ (Л) - (af + fig) (Л),' f(A)g(A)= fg (Л). Равенство f(A) = 0 (f^F(A)) имеет место в том и только том случае, когда /(λ)=0 во всех точках открытого множества, содержащего весь спектр оператора Л, за исключением, быть может, конечного числа полюсов резольвенты /?ь(Л), в ко-
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 125 торых функция /(λ) имеет нули, кратности которых превосходит порядки соответствующих полюсов. Если ft=F(A), то ft=F(A') и/(Л') =f(A)'. Справедлива теорема об отображении спектров: если Л(Л) — спектр оператора Л, то f(A(A)) — спектр оператора f{A). Если f€=F(A), gz=F(f(A)) и Α (λ) =£(/(λ)), то h^F(A) uh(A)=g(f(A)). Если fn^F(A), функции fnM голоморфны в некоторой фиксированной окрестности спектра оператора А и равномерно сходятся в этой окрестности к функции /(λ), то последовательность операторов fn(A) сходится по норме к оператору f{A). Перечисленные свойства дают основание говорить о том, что построено операторное исчисление для ограниченных операторов. Следует отметить,' что в этом исчислении фигурируют лишь аналитические функции. В ряде задач требуется умение определять непрерывные или достаточно гладкие функции от операторов. Это иногда удается сделать для специальных классов операторов, причем построение такой теории в банаховом пространстве встречает существенные трудности. Для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве теория функций от операторов продвинута чрезвычайно далеко (см. гл. IV, §3, п. 3). Литература: [23], [27], [58]. 2. Функции от неограниченного оператора. Переход от функции ограниченных операторов к функциям неограниченных операторов также встречает ряд затруднений. Если А—оператор с областью определения D(A), то естественно определяется оператор Л2, область определения которого состоит из всех тех х^Е, для которых хеО(Л) и Ax^D(A). Тогда полагают А2х = А (Ах). Область определения D(A2) оператора А2 будет, вообще говоря, уже, чем D(A). Аналогично определяется оператор Ап равенством Апх = А(Ап~1х) на тех x<=D(An~l)t для которых An"lx <zeD(A). Если χ (= D [Ап) и ρ (λ) = 2 ak\k — мно- η гочлен степени не выше п, то полагают ρ (Α) χ = 2 ctkAkx. k=o Важными являются следующие факты: если оператор А замкнут и имеет хотя бы одну регулярную точку, то оператор ρ (А) замкнут; если при этом D(A) плотна в Е, то и D(An) (η = = 1, 2, ...) плотны в Е\ спектр оператора ρ (А) совпадает с множеством р(А(А)). Другой подход к определению функций от замкнутого неограниченного оператора А состоит в следующем: если
126 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ оператор Л имеет регулярную точку λ=λο, то можно определить функции φ от резольвенты Rx0(A), голоморфные в окрестности ее спектра. Если теперь обозначить φ ί ) = f (λ), то естественно положить f(A) = <p(Rh(A)). Это определение дает возможность строить функции от оператора А для класса F(A) всех функций, голоморфных в некоторой окрестности спектра Лив бесконечности (т. е. голоморфных в окрестности расширенного спектра Л), и приводит к формуле / (А) = f (<χ>) I - JL £ f (λ) #λ μ) d%, Г где Г — контур из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, являющийся границей некоторой области, содержащей расширенный спектр оператора Л. Оператор f(A) будет линейным и ограниченным. Если /, g<=F(A), то (af + fig)(A) = af(A) + fig(A), fg(A) = f(A)g(A). Спектр оператора f(A) является образом при отображении /(λ) расширенного спектра оператора Л. Если функция /(λ) имеет на бесконечности нуль конечного порядка т и нигде на спектре оператора Л в нуль не обращается, то существует обратный оператор [/(Л)]-1, который, вообще говоря, неограничен и отображает область определения D(Am) на Е, Таким образом, в этом случае функции -туту можно поставить в соответствие оператор [/(Л)]-1. Имеются естественные связи между функциями от замкнутых неограниченных, операторов, порождаемыми классом функций F(A) и классом многочленов. Если x^D(An), ρ(λ)—многочлен степени не выше η и f^F(A), то f(A)p(A)x = = p(A)f(A)x. Если /(λ) имеет на бесконечности нуль порядка т; то область значений оператора /(Л) содержится в D(Am) и для всякого многочлена ρ (λ) степени не выше т справедливо соотношение ρ (Л) f(A) =pf(A). Если Λι — спектральное множество оператора Л, то проекционный оператор Рь описанный в § 2, п. 2, можно рассматривать как функцию от Л, построенную по скалярной функции, равной единице в окрестности Λι и нулю в окрестности Λ (Л) — — Λι. Эта функция принадлежит F(A). Из правил операторного исчисления вытекает, что сужение всякой функции f(A) (f^F(A)) или многочлена р(А) на подпространство Εχ =
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 127 = Р\Е является соответствующей функцией от сужения А{ оператора А на это подпространство. Если А — замкнутый оператор, имеющий регулярные точки, то наряду с уравнением а) Ах — Хх = у можно рассмотреть уравнение б) f(A) —μχ = у, где f^F(A) и μ = /(λ). Если уравнение а) неоднозначно разрешимо, то и уравнение б) неоднозначно разрешимо, т. е. если λ — собственное число оператора Л, то f(X) —собственное число оператора f(A). Если уравнение а) не плотно разрешимо, то и уравнение б) не плотно разрешимо; если уравнение а) не является корректно разрешимым, то и уравнение б) не будет корректно разрешимым. Таким образом, при отображении f(X) точечный спектр А переходит в точечный спектр f(A), остаточный спектр А переходит в объединение точечного и остаточного спектров f(A)\ точки непрерывного спектра могут перейти в любые точки спектра f(A). Если μ=^=/(οο) и /(λ) Φ μ ни в какой окрестности, содержащей точки спектра Л, то из невыполнимости одного из свойств однозначной, плотной, корректной разрешимости уравнения f(A)x — — μx=y следует невыполнение соответствующего свойства для уравнения Ах — λχ = у при некотором таком λ, что f(X) = μ. Пусть теперь μ=/(οο). Если А — неограниченный оператор, то уравнение б) f(A)x— μχ = у заведомо не будет корректно разрешимым. Если D (А) не плотно в £, то оно не будет плотно разрешимым. Пусть, кроме того, f(X) Φ μ ни на какой окрестности, пересекающей расширенный спектр Л; тогда μ будет собственным числом оператора f(A) лишь в том случае, если некоторое λ с f(X) = μ является собственным числом оператора А. Наконец, если D(А) плотно в Е, то в указанных условиях уравнение б) может не быть плотно разрешимым лишь тогда, когда при некотором λ с f (λ) = μ уравнение а) обладает этим же свойством. Литература: [23], [27], [58]. 3. Дробные степени операторов. Если оператор А ограничен и спектр его не содержит и не окружает точку λ = 0, то функция Аа (—оо < а < оо) может быть определена так же, как это сделано в п. 1 на примере логарифмической функции. Если оператор А неограничен, то схема, описанная в п. 2, для определения функции λ"α от этого оператора, при нецелом а, не подходит из-за того, что эта функция не аналитична в точке χ = оо. Если все же пытаться определять соответствующую функцию от оператора с помощью интеграла Коши, то для того, чтобы контуры интегрирования не пересекали разрез плоскости, соединяющий 0 и оо, их приходится выбирать проходящими через точку спектра λ = оо. Такая же картина будет, если спектр оператора (даже ограниченного) содержит точку 0.
128 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Для таких контуров интеграл Коши становится несобственным, и для его сходимости приходится налагать условия на поведение резольвенты вблизи особых точек (0 или оо). Здесь будут изложены результаты, полученные на одном из вариантов такого пути. Предполагается, что А — замкнутый оператор с плотной в Ε областью определения и что вся замкнутая отрицательная полуось лежит в резольвентном множестве оператора Л, причем справедливо неравенство ΙΙ/Μ^ΙΚΛία+μΐΓ1 при λ<0. Из этого неравенства и свойств, резольвенты вытекает, что она будет аналитичца в замкнутой области, содержащей отрицательную полуось и ограниченной лучами arg(K — a) = = ±(я —φ), где а — любое число из интервала (О, 1/М), а φ < sin 1/М Границу этой области Га и принимают за контур интегрирования в интеграле Коши, полагая i~aRK(A)dX (α>0). г" 2ш J Интеграл сходится и определяет ограниченный оператор. Если а = η — целому числу, то А~а = (Л-1)71. Для любого х^Е всегда А~ах-+х при а~>0. Выполняется основное полугрупповое свойство степеней: При 0 < а < 1 имеется вещественная запись оо О из которой, в частности, вытекает, что ||Л-а|| <g Λί при этих а. Если η— 1 < а < αζ, то можно записать --.а sin απ (η — 1)! (1-а)(2-а)... (л- 1-а) sn-l-a(A + sI)-n-ds. При этом последний интеграл формально получается из предыдущего интегрированием по частям. Положительные степени оператора А определяются как обратные к соответствующим отрицательным: Аа = (Л-01)-1. Эти обратные существуют и являются уже неограниченными операторами. При любых вещественных α и β справедливо соотношение АаА*х = А*Аах = А^х (xe=D (AY), у =* ma* {α, β, α + β}).
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 129 В исходном определении дробной степени можно считать а комплексным числом с Rea>0. Таким образом, функция А~а допускает продолжение до голоморфной в правой полуплоскости оператор-функции со значениями в L (£, £). Возникает вопрос о единственности оператор-функции Л (—ξ), голоморфной в правой полуплоскости, принимающей в точках η значения А~п и обладающей свойством Л(—ζι — ζ2) =Л(—ζι)^(—ζ2). Оказывается, что, если потребовать дополнительно, чтобы эта функция удовлетворяла условию β->οο ΙΡΙ то она определяется однозначно. Последнее условие выполнено для введенной функции л . Важным является вопрос о том, при каких условиях операторы л~(а_иР) сильно сходятся при а->0 к ограниченным операторам. Этот вопрос не выяснен, иначе говоря, не выделен класс операторов, для которых и чисто мнимые степени являлись бы ограниченными операторами. При любом вещественном β и 0<ос<1 справедливо правило возведения степени в степень (Л? =Ла<\ Имеет место важное неравенство моментов: для любых α< β<γ при x<=D{Ay) β-α V-β I Ah I < с (α, β, у) 1 Аух I У~а \\ Aax || v-« . При 0<α<1 формула *μΟΟ—^ί Х75-*х<4) 2ш J — μ + λ άΚ определяет резольвенту оператора Аа в точках отрицательной полуоси. Ее можно записать в вещественной форме D (Δα\ sin απ Γ saff__s (A) ds K-u \Ά ) — 2α . η a π J s 4- 2s u cos απ s a + 2sa и cos απ + и2 ν Резольвента допускает аналитическое продолжение в секторы α (π — φ) < | arg μ J ^ π, где φ — число, введенное в начале этого пункта. В каждом таком секторе справедлива оценка ||£μθ4α)|<Μαιφ(ΐ+|μΙΓ'. Для отрицательных μ = — и справедлива оценка \\R-u (.Да)|<
130 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Если оператор Л не имеет ограниченного обратного, то оценка резольвенты не мо'жет иметь тот вид, который был предположен вначале, и рассматривается случай, когда имеется более слабая оценка: ΙΙΛλΜΙΚΑίΙλΓ1 (λ = -5, 5>0). Из наличия такой оценки вытекает, что она имеет место и в некотором секторе, содержащем отрицательную полуось. Сокращенно говорят, что оператор имеет тип (ω, Μ), если приведенная оценка с константой Μ выполнена для всех отрицательных λ и (возможно, с другой константой) во всяком секторе, внутреннем к сектору π—-ω ^ |argλ,| ^ π. Для введения дробной степени Аа (0<!а<;1) возможны, например, два пути. При x^D(A) полагают Аах=- sa~lR-8(A)Axds, и замыкание так определенного оператора называют дробной степенью Ла оператора А. На другом пути за основу берут интеграл оо sin απ Γ saR_s{A)ds (μ) = —7" J T^T^^^iv ' который абсолютно сходится и является псевдорезольвентой (см. § 2, п. 2) в секторе απ < | arg μ | ^ π. Тогда оператор Аа определяется формулой /=[/(μ)Γ4μ/. Оба пути приводят к одному и тому же оператору Ла, который имеет тип (αω, Λί). Оператор Αε=Α-\-εΙ (ε > 0) имеет ограниченный обратный и к нему применимы построения, сделанные в первой части этого пункта. Оказывается, что D (Ле) = D (Ла) и операторы Αε сходятся на D(Aa) к оператору Аа при ε—>-0. Если а< β, то D(A*) zdD\A*). При 0 < α, β, α + β < 1 операторы Аа и ЛР коммутируют на £)(Ла+р) и АаА х = Аа+^х (х е D (Ла+Р)). Если 0<а< β<γ< 1и хей(^), то справедливо приведенное выше неравенство моментов. В дальнейшем снова предполагается, что ||/?_5(Л)||^ •^MO+s)""1 (s>0). Оператор В называется подчиненным оператору Л, если D(B)zdD(A) и ||Я*||< с\\Ах\\ (хеО(Л)), и подчиненным с порядком α (Ο^Ξα^Ι), если ||Яя||^ ^сЦл:!)1"01!! Αχ\γ- Справедливы утверждения: если В подчинен
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 131 дробной степени Аа оператора Л,_то он подчинен А с порядком а; если В допускает замыкание В и подчинен А с порядком а, то В подчинен дробной степени ЛР при β > а с порядком α/β. Если для оператора В также выполнено условие ||/?_в(5)||^ i^MO+s)-1 (s > 0) и он подчинен оператору Л, то дробная степень Ва подчинена всякой дробной степени А& при β > α. Для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве эти утверждения уточняются (см. гл. IV, § 9, п. 3). Литература: [34], [36], [58]. 4. Экспоненциальная функция, группы операторов. Если оператор Л, действующий в банаховом пространстве £, ограничен, то, как отмечалось в п. 1, можно ввести с помощью ряда экспоненциальную функцию еМ=1+М+^.Л2+ ... + ^-Л" + ... Эта функция непрерывна по t в смысле нормы оператора и удовлетворяет групповому соотношению Можно поставить более общий вопрос об изучении однопа- раметрических непрерывных по норме групп операторов, т. е. семейств операторов U(t) (■— оо < t < оо), непрерывно по норме зависящих от t и удовлетворяющих соотношению U(t)U(x) = U(t + x) (-«><*, τ<οο). Оказывается, что каждая такая группа представима в виде U(t) = etAt где А — ограниченный* оператор. Чтобы найти Л, можно заметить, что ί/(0) =/, поэтому при малых t оператор U(t) будет иметь спектр в окрестности единицы и для него можно построить InU(t). Оператор Л = (l/t) InU(t) не будет зависеть от ί и будет являться искомым. Другой подход основан на том, что группа U(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению для экспоненты поэтому оператор А можно определить как производную от группы U(t) в нуле. В связи с этим оператор А называется ин~ финитезимальным оператором или инфйнитезимальным производящим оператором или, короче, производящим оператором группы U(t). к Дальнейший важный шаг в исследовании экспоненциальной функции состоит в отказе от непрерывности ее по норме. Рассматриваются однопараметрические группы ограниченных операторов U(t) (—оо</<оо), непрерывные по t в сильной
132 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ операторной топологии. Этот объект оказывается значительно более богатым. Производящий оператор А снова вводится как производная группы в нуле, а точнее Ax=l\m±(U(h)-I)x на тех χ е £, для которых предел существует. Если группа не является непрерывной по норме, то оператор А неограничен, но является замкнутым с плотной областью определения. Группу U(t) можно рассматривать как экспоненциальную функцию от Л, например, в следующем смысле: существует всюду плотное множество элементов х, на котором U(t)x = x + tAx+ ... +·£ΓΑηχ+ ... Далее, при x^D(A) ™^JL=AU{t)x. Имеется полное описание производящих операторов: для того чтобы линейный оператор А был производящим оператором однопараметрической сильно непрерывной группы операторов, необходимо и достаточно, чтобы он был замкнутым с плотной в Ε областью определения D(A), имел спектр, расположенный в полосе [ Re Я| ^ со, и резольвенту R%(A), удовлетворяющую условиям |/?Г(Л)||<м(|Я|--соГт (λ — вещественно и |λ| > ω, m= 1, 2, ...), где константа Μ не зависит от т. Один из приемов построения группы по ее производящему оператору состоит снова в применении интеграла Коши, который в этом случае пишется в следующем виде: Ύ+ί'οο и^х==~ш j *fRM*a (ν>ω)· Υ—ί'οο При χ ^D(A) и t > 0 этот интеграл сходится в смысле главного значения и определяет на плотном в Ε множестве D(A) ограниченный оператор, который замыканием доопределяется на всем пространстве Е. При этом U(t) сильно сходятся к / при ί—+0. При t < О операторы U(t) можно определить аналогично, меняя знак у. Имеются и другие способы построения группы по производящему оператору, которые в п. 5 будут приведены в более общем случае. Для ограниченного оператора А функция -etA может быть определена тем же рядом и для комплексных t и является це-
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 133 лой аналитической функцией со значениями в L(E,E). Сильно непрерывная группа может уже не быть аналитической и даже как функция со значениями в L(E,E) может не быть дифференцируемой. Если такая группа аналитична, то она обязательно порождена ограниченным оператором и непрерывна по норме. Литература: [23], [27], [36], [58]. 5. Экспоненциальная функция, полугруппы операторов. Дальнейшее обобщение понятия экспоненциальной функции от оператора велось в том направлении, что отказались от требования, чтобы она была определена при отрицательных t. В связи с этим возникли следующие определения: семейство ограниченных операторов U(t) (ί>0), действующих в банаховом пространстве Е, называется сильно непрерывной однопарамет- ринеской полугруппой операторов, если U(t) сильно непрерывно .зависит от / и удовлетворяет условию U(t) U(x) = U(t -f τ) (t, τ>0). Если, кроме того, U(t)x—>х при t—*0 и любом хе£, то говорят, что U(t)—полугруппа с Сословием. Для полугруппы также вводится понятие производящего оператора как производной справа от полугруппы в нуле. Для того чтобы линейный оператор А был производящим оператором полугруппы U(t) с С0-условием, необходимо и до- статочно, чтобы он был замкнутым с плотной в Ε областью определения, имел спектр, лежащий в полуплоскости Re λ ^ ω, и резольвенту, удовлетворяющую условиям |/?ГИ)||<М(Я-соГт при λ>ω и т=1, 2, ..., где Μ не зависит от % и т. Условия на все степени резольвенты трудно проверяемы. Они заведомо будут выполнены, если ΙΙ/Μ^ΙΚίλ-ωΓ1 при λ>ω (условие Хилле — Иосида). Для полугруппы U(t) справедлива оценка II f/(О II < Ale»'; в частности, при условии Хилле — Иосида ΙΙ£/(0ΙΚ*ωί· Если еще ω ^ О, то полугруппа состоит из операторов сжатия, т. е. ||ί/(ί)||^1. Для этого необходима и достаточна оценка ||/?,(Л)||<Я-1 (λ>0). Построение полугруппы по производящему оператору можно произвести с помощью интеграла Коши, написанного выше для случая группы. Имеются и другие формулы, показывающие
134 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ связь между полугруппами и экспоненциальной функцией, например: 1) U(t)x=limeiAbx, где Ah = \(U (A) - /); h->0 n 2) U(t)x= lim β"λχ, где /λ = - λΐ - λ2#λ (Л); λ->οο Π-\ * 3) С/(Ох = 5;4гЛ^ + (^ГТ)!1 (^-τΓ"'ί/(τ)4'^Λ fe=0 0 (^О(Л); 4) ί/(f)*= Hmf/-4^) *· Ь_»оо V β / fc->oo Простейшие примеры групп или полугрупп возникают при рассмотрении операции сдвига аргумента в различных пространствах функций, определенных на вещественной оси или полуоси. Например, в пространствах Lp(—оо, оо) (1 ^р<оо) операторы сдвига U(t)f (s) = f(t -f- s) (—oo"</<oo) образуют сильно непрерывную группу. Эти же операторы обр4,зуют сильно непрерывную полугруппу операторов, удовлетворяющую Co-условию, в пространствах Lp(0, оо) (1-<р<оо). Все операторы U(t) являются операторами сжатия (\\U(t) \\ ^ 1). Группу или полугруппу с такими же свойствами образуют операторы сдвига в подпространствах пространств См(—оо, оо) и См(0, оо), состоящих из всех непрерывных ограниченных и равномерно непрерывных на оси (соответственно, на полуоси) функций. Производящим оператором групп или полугрупп сдвигов является оператор дифференцирования, определенный на всех абсолютно непрерывных на каждом конечном отрезке функциях с производными, принадлежащими тем пространствам, в которых рассматриваются эти группы или полугруппы. Первая из приведенных выше экспоненциальных формул, например, приводит к таким результатам. Если U(t) —оператор сдвига, то оператор ~Ahf=\[U{h)-I}f = \[f{s + h)-f{s)] = {bhf{s) дает первую разделенную разность функции /, а его п-я степень дает п-ю разделенную разность w=-ψ Σ (- {)n~k c»f (*+kh)=w^ w· 1 ϊ
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 135 Тогда справедлива формула /<*+„=1<т£-;^. п=0 Если функция ограничена и равномерно непрерывна на оси, то предел существует равномерно по s ^ ( — оо, оо) и по /, изменяющемся в конечном интервале. Если f^Lp( — 00,00) (1 sg: ^ ρ < оо), то предел существует в смысле сходимости в среднем в Lp. Написанная формула может рассматриваться как'пря- мое обобщение формулы Тейлора на неаналитические функции. Если полугруппа U(t) удовлетворяет С0-условию и дополнительно обладает тем свойством, что U(t)x^D(A) при />0 и любом х^Е, то функции U(t)x (χ <= Ε) бесконечно дифференцируемы при ί>0 и все операторы AnU(t) (n=\, 2, ...) являются ограниченными операторами в Е. Если, кроме того, выполнено неравенство ||Λί/(ί)|| ^ Nt-1 (О ^ t ^ 1), то полугруппа U(t) допускает аналитическое продолжение ί/(ζ) в сектор комплексной плоскости, содержащий положительную полуось: J arg ζ Ι < (eN)~l. В этом секторе ί/(ζ) голоморфна, обладает полугрупповым свойством ί/(ζι+ fe) = ί/(ζι)ί/(ζ2) и υ(ζ)χ—>- ~+ χ, когда ζ -* 0 в каждом внутреннем замкнутом секторе | arg ζ I ^q(eN)-1 (q < 1). Для всякой полугруппы с указанными свойствами \\AU(t)\\ = 0(ί_1). Следует отметить, что, если для полугруппы U(t) с Со-условием выполняется неравенство ϊϊϊτϊ t\\AU (t) \\<е~\ το i/(/)=eiA, где Л— ограниченный оператор. В главе V, § 2, п. 4—5 приведены характеристики резольвент производящих операторов, обеспечивающие сильную бесконечную дифференцируемость или аналитичность соответствующих полугрупп. Если U(t)—полугруппа с Co-условием в банаховом пространстве Е, то операторы (сопряженные) U'{t) образуют полугруппу ограниченных операторов в сопряженном пространстве £', при этом U'(t)f-+f при t-+0 и любом f<=E' лишь в смысле слабой топологии (см. гл. I, § 4, п. 3). Если А — производящий оператор U(t), то сопряженный оператор Аг будет слабым производящим оператором полугруппы U'(t) в том смысле, что D (А') состоит из тех и только тех f, для которых (в смысле слабой сходимости) существует предел (\lh)[U'(h) — — /]/ при /г-* 0, равный A'f. Область определения D(A') плотна в Е' в смысле слабой топологии и оператор А' замкнут в этой топологии. Если обозначить через Е'0 совокупность тех элементов из £', Для которых U'(t)f—>f при tz—^0 в сильном смысле, то E'Q
136 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ будет замкнутым подпространством £', инвариантным относительно всех операторов U'(t). В пространстве £о операторы U'(t) образуют сильно непрерывную полугруппу с Со-условием. Пространство Ео может быть также получено как замыкание в Ег множества D(Л7). Если исходное пространство рефлексивно, то Ео = Е\ Наличие экспоненциальной функции от оператора позволяет вычислять различные другие функции от оператора с помощью обобщения преобразования Лапласа. Так, для производящего оператора А полугруппы с С0-условием резольвента имеет вид оо /?μ (Л) = - J e-^U (t) dt (Re μ > ω). ο Если в оценке для полугруппы ω < 0, то можно определить степени оператора —-Л по формуле оо <-лГ=/^-с/<ол. о При 0<ос< 1 оператор —(—Л)а будет также производящим оператором сильно непрерывной полугруппы, допускающей аналитическое продолжение в сектор, содержащий положительную полуось. Вообще, если функция /(λ) представима в виде интеграла Лапласа — Стилтьеса /(A)=J>'dv, где ν — комплекснозначная борелевская мера на оси, то формально можно определить функцию от оператора /(Л) формулой f(A) = jU(t)dv. В зависимости от свойств меры ν и полугруппы U(t) этот интеграл будет в том или ином смысле сходиться и определять оператор f(A). Приведенный выше пример дробной степени оператора А показывает, что этим путем можно определять функции, не являющиеся голоморфными в оо, чего не позволяла делать схема, изложенная в п. 2. Если U(t) является группой, то можно применять двусторонние преобразования Лапласа.
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 137 Если семейство ограниченных операторов U(t) (О < t < оо) обладает полугрупповым свойством, то из измеримости функций U(t)x при каждом х^Е следует сильная непрерывность полугруппы U(t) при t > 0. Далее, из полугруппового свойства и сильной непрерывности следует существование предела ь. in и г/(он гл lim τ = ω, t->oo 1 называемого типом полугруппы. Таким образом, требование сильной непрерывности полугруппы при t > 0 является естественным и оно уже влечет за собой определенный характер поведения полугруппы на бесконечности. В связи с этим выделение новых типов полугрупп и их классификация в основном ведется по признаку того или иного поведения полугруппы в окрестности точки t = 0. Многочисленные результаты в этом направлении изложены в книге [58]. Литература: [23], [27], [36], [58], [61]. 6. Эргодическая теория. В эргодической теории исследуется поведение при Af->oo функции от линейного ограниченного оператора U: Если Ε — банахово пространство и операторы UN равномерно ограничены, то те элементы Ji££, для которых последовательность UnX сходится, образуют подпространство пространства £, совпадающее с множеством всех тех х, для которых UNx слабо компактна и ±-Unx->0 при п-^0. Поэтому равномерно ограниченная последовательность операторов UN сильно сходится тогда и только тогда, когда для некоторого всюду плотного множества элементов UNx слабо компактна, а 1 — U х->0 при п-*оо. При условии равномерной ограниченности для сильной сходимости Un в рефлексивномч пространстве Ε необходимо и достаточно, чтобы — Unx -> 0 при η -> оо для всюду плотного множества х. Наконец, последнее требование (как и условие равномерной ограниченности UN) всегда
138 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ выполнено, если степени оператора Un (n = 1,2,...) равномерно ограничены. Если сильный предел Ρ операторов UN существует, то он является проекционным оператором (Я2 = Р), его область значений состоит из всех неподвижных точек оператора U (Ux = x). Область значений дополнительного проекционного оператора / —Ρ является замыканием области значений оператора /— t/. Таким образом, справедливо разложение E==PE + R(I-U). Классические эргодические теоремы связаны со следующей задачей. Пусть Ω — некоторое множество, на σ-алгебре Σ подмножеств которого определена положительная мера μ. Для простоты изложения мера предполагается конечной. Пусть cp(s) (s <= Ω)—- отображение Ω в себя. Это отображение порождает на функциях, определенных на Ω, оператор Uf(s) = f(<e(s)). Если φ-1 {е) <ξ Σ при 6ΕΣ и μ (φ-1 (е)) = 0 при μ (е) = 0, то оператор U будет действовать в пространстве S(Q) всех измеримых на Ω функций (см. гл. II, § 3). Если, кроме того, μ (φ-1 (е)) λΛ . ГЛм^г-==м<0°· то оператор U будет линейным ограниченным оператором в пространствах Ζ,ρ(Ω) (1 ^ ρ ^ оо) с нормой М*1р. Задача состоит в нахождении условий существования предела средних Un от оператора U. Из приведенных выше фактов вытекает утверждение: Статистическая эргодическая теорема. Если отображение φ обладает свойством /1-1 /=о ,то операторы UN, построенные по оператору Uf(s) = f(y(s))1 сильно сходятся в пространстве LP(Q), 1 ^ ρ < оо. В частности, условия теоремы выполнены, если φ_1(Σ)(=:Σ и отображение qp" оставляет меру множества инвариантной: μ (μ (*)) = ,<Г*(е). Первые эргодические теоремы относились к тому случаю, когда Ω — фазовое пространство динамической системы, описываемой уравнениями Гамильтона. Движения системы определяют отображения yt(s) фазового пространства в себя, причем, в силу классической теоремы Лиувилля, эти преобразования
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 139 оставляют инвариантным «фазовый объем», т. е. некоторую меру. Для величин f, связанных с динамической системой, важным является вопрос о существовании средних τ lim .1 \f(%(s))dt. Более общая ситуация возникает при рассмотрении однородных марковских процессов. Здесь изменение системы не является детерминированным, а лишь задается вероятность P(t,s,e) перехода системы из состояния s в одно из состояний множества е за время t. Функции P(t,s,e) удовлетворяют уравнению Чеп- мена — Колмогорова Ρ (t + τ, s, e) = j Ρ {t, σ, e) Ρ (τ, s, da). Каждая функция P(t,s,e) порождает оператор U(t)f(s)=jf(o)P(t, s, da). Если, гамильтониан динамической системы не зависит от времени, то для соответствующих отображений φ*(φτ($)) =φ^+τ(5). Соответствующие операторы U(t) удовлетворяют полугрупповому соотношению U(t + τ) = U(t) U(x). Ставится вопрос о существовании предела τ hm -ψ- Τ->οο ξ U (t) f (s) dt. В начале этого пункта был рассмотрен дискретный аналог этой задачи, т. е. рассматривалась полугруппа степеней оператора и интегральное среднее заменялось средним арифметическим. Приведенные там утверждения обобщаются на сильно непрерывные полугруппы U(t) (t > 0) ограниченных операторов. При этом предполагается, что функции U(t)x локально суммируемы при любых χ е Ε и тогда определены ограниченные операторы τ £/rjt = -1 J" U(t)xdt (0 < Τ < oo). о Получаемые из общих утверждений эргодические теоремы называются статистическими потому, что они устанавливают существование соответствующих пределов в интегральных метриках пространств LP(Q). Более трудными, вообще говоря, являются индивидуальные эргодические теоремы, устанавливающие существование соответствующих пределов почти во всех
140 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ точках фазового пространства Ω. Ниже приводится точная формулировка статистической и индивидуальной эргодических теорем для марковских процессов (в дискретном варианте). Пусть на пространстве Ω с σ-алгеброй множеств Σ и конечной мерой μ определ-ена функция P(t,st е)^ 0 (/>0,S£Q,eeE), удовлетворяющая требованиям: при любых t и s функция P(tt s, е) абсолютно аддитивна относительно ееЕ uP(t,st Ω) ξ= ξξξ 1; при фиксированных t и е функция P(t,s,e) измерима по s; выполнено уравнение Чепмена — Колмогорова; мера μ инвариантна относительно P(t,s,e), т. е. J P(t, s, β)4Φ) = μ(έ>). Вводится оператор Uf(s)=jf(a)P(l,s, da). Статистическая эргодическая теорема. Для любой функции f^Lp(Q) (p= 1, 2) существует предел по норме пространства LP(Q) (ρ = 1,2 соответственно) N-l um ^ У ukf = r и иг = Г. Индивидуальная эргодическая теорема. Для любой функции /^Ζ,ι(Ω) почти всюду существует конечный предел ΛΓ-1 и, кроме того, Ιί(8)άμ=\Γ(8)άμ. В ряде задач физики особенно интересен вопрос об условиях, при которых справедлива эргодическая гипотеза Больцмана о том, что пределы f*(s), являющиеся средними по времени, равны средним по пространству. Если f*(s)= С/, то из последнего равенства вытекает, что cf==lΓW.ff{s)φ, т. е. /* равно среднему по пространству от функции /. Таким образом, для справедливости гипотезы Больцмана нужно, чтобы собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному числу λ= 1, было одномерным (и тогда оно состоит из констант). В марковских процессах это обеспе-
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 141 чивается условием метрической транзитивности или неразложимости процесса: Ω нельзя представить в виде объединения двух множеств положительной меры Ωι и Ω2 так, чтобы P(l,s, е) = 0 для всякого seQ{ и ecflj (i φ j). τ Наряду со средними арифметическими Сх (U) = -γ \ U (t) dt о детально изучались также средние по Чезаро любого порядка а>0 t Са (U) = аГа J (t - τ)α"! U (τ) dx о и средние по Абелю оо A(U)=X \e~^U{x)dx. о Литература: [23], [27J, [58]. § 4. Интерполяция линейных операторов 1. Интерполяционные пространства. Для линейных операторов, встречающихся в различных математических задачах, сама природа оператора (способ его аналитического задания) указывает на достаточно широкое пространство (обычно линейное топологическое пространство), к элементам которого можно пытаться применять этот оператор. Так, для интегрального оператора таким пространством естественно считать пространство всех измеримых функций (см. гл. II, § 3, п. 1), для дифференциального оператора — пространство обобщенных функций или распределений (см. гл, II, § 1, п. 3) и т. п. Однако для исследования «количественных» свойств оператора его обычно изучают в некоторых банаховых пространствах Е, содержащихся в указанном линейном топологическом пространстве 51. Теория интерполяции линейных операторов ставит перед собою следующую цель: зная свойства линейного оператора в двух банаховых пространствах £0, £Ί с: 91, найти его свойства в других банаховых пространствах Ε а 91. Пусть 91 — линейное топологическое пространство. Два банаховых пространства Е0 и Еи вложенные (см. гл. I, § 4, п. 10) в пространство 91, называются интерполяционной парой. Линейные многообразия Е0 [) Е{ и £0 + £ι наделяются нормами II * Ие.пе. == тах (IIх и*.' Ι *'U (* е £°n £l)' II χ 11*+*,=inf (Ρ *о \\в. + II χι У (χ е Ео + £ι)>
142 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где infimum берется по всем представлениям x = x04~*i (#o s е£0, Χι^Ει). Пространства Е0 Π £ι и £0 + £ι с этими нормами являются банаховыми. Промежуточным пространством между Е0 и £Ί называется всякое банахово пространство £, для которого Ε0()Ει<=:ΕαΕ0 + Ει (знак d здесь и в дальнейшем означает непрерывное вложение (см. гл. I, § 4, п. 10)). В важном частном случае, когда £Ί вложено в £о, для промежуточных пространств E0zd E id Elt Если Ei плотно вложено в £0> то и £ плотно вложено в Е0. Если А — линейный оператор, определенный на £0 + £Ί, и его сужения на £0 и £гявляются ограниченными операторами в £0 и Ει соответственно, то оператор А будет ограниченным в £ο + £ι и его сужение Ha.£of)£i будет также ограниченным в £0 П Et. Промежуточное пространство Ε называется (линейным) интерполяционным между £0 и Е{ пространством, если оно инвариантно относительно всех операторов А описанного выше типа. При этом сужение каждого оператора Л на £ будет ограниченным оператором в £, причем существует константа МЕ такая, что ЦЛ||£'<Л4£тах(||Л||£о, ||Лу. Легко проверяется, что можно положить МЕо(]Е =Λί£ο+Ε =1. Говорят, что линейное интерполяционное между* £0 и Ει пространство Ε имеет тип Θ, если \\A\\E<CE\\A\\]r°\\A\f>Ei, где СЕ не зависит от А. Константа СЕ не может быть меньше единицы. Если СЕ = 1, то говорят, что пространство имеет нор· -мальный тип Θ. Литература: [61], [101], [102], [104], [142]. 2. Вещественные методы конструирования интерполяционных пространств. Для интерполяционной пары £0, Е\ на множестве Ео + Ει вводится функционал X(t,x)= inf fl|*oll£e + *ll*ill£) (x&E0 + El9 x0^E0, xl^El). При каждом х функция K(t,x) непрерывна, монотонно возрастает и вогнута.
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 143 Пусть 0 < θ < 1. Через (£о, Е{) q, p, к обозначается совокупность всех элементов из Е0-\-Еи для которых конечна норма at lo J И*1Ьрк = SUP Г*К(*> *) ПРИ Р300· ' μ* Ч 0 < * < оо Относительно введенных норм пространство (Ε0ι Ει) θ> Pj K — банахово. Оно является промежуточным и интерполяционным между Е0 и Ei пространством с нормальным типом Θ. При ρ = оо можно тем же способом, что и выше, определить пространства (£о, £ι)ο, оо, к и (£0, £ι)ι,οο, к- При этом £oCZ с: (Е0, £ι) о, оо, я и Е\ с= (£0, £ι) ι, оо, к. Имеется ряд других методов определения пространств (Ео, Ei)QtptK. Один из них основан на введении функционала / (t9 χ) = max (|| χ \\Eq, t \\ χ у . (χ е= Е0 П £0. Через (£0, £ι)θ, ρ, j (0<θ<1, 1<Ср^оо) обозначается совокупность всех элементов χ е Е0 + £ь для каждого из которых существует сильно измеримая функция u(t) со значениями в пространстве Е0 Π £ι такая, что о оо «(Of- и |(r9/(i)U(0))Pf- < оо. .... t о Пространство (£0, £Ί)Θ> p> j является банаховым с нормой р. \Чр ρ dt \xhP,j = ml\](reJ(t,u(t)))P^ Ιο σο где inf берется по всем представлениям х= u(t)- dt_ t ' о При 0<θ<1 и 1<р<оо пространства (E0,E{)QtP>K и (£о> £ik,w изоморфны. При р = 1 определяются также пространства (£Ό, £ι)ο, ьу и (£0, Е\)и ι,/· При этом (£0> £i)o, ι, у<=£0 и (£0> £i)i, ι./'<=:£,/ Важное значение имеет теорема о реитерации: пусть F0 и F{— два банаховых пространства, причем (Я0, E{)QoUJczF0cz(E0l Ε{)ΘΰθοΚ (£0, £ι)θ|.ι./<=^<=(£0, Ε{)ΘιθοΚ (0<θ0<θ,<1).
144 гл. in. линейные операторы Тогда при О < Θ' < 1 и 1 < ρ < оо где θ = (1 — θ') θ0 + θ'θι> Κ' — функционал, построенный по пространствам F0 a Fu и равенство понимается как изоморфизм- Для применения теоремы о реитерации полезно отметить, что вложения (£0, E{)Qt u j c= F с: (£0, £Ί)Θ, оо, к имеют место тогда и только тогда, когда норма в пространстве F а% удовлетворяет неравенствам K{t, x)<c{t4x\\F{x<=F) и t*\\x\\F^c2J(t, x) (xt=E0f\E{). При 0<θ<1 и l^p^oo для пространства (Е0, £Ί)Θ, Ρί κ справедливы последние неравенства и соответствующие вложения. Для пространства Е0 они справедливы при θ = 0, для Е{ — при θ = 1. Если Ео Π Ει плотно в пространствах Е0 и £Ί, то сопряженные пространства Ε'Ό и Е\ вложены в пространство (Ео(]Е1)/ и, следовательно, образуют интерполяционную пару. При 0 < θ < 1 и 1 ^ ρ < оо справедливо соотношение (£0, Ei)'QtPtK = (E'l9 Е'ъ){^р,г Если Ео и Ει рефлексивны, то (£0, £Ί)θ ν к рефлексивно при 0<θ<1, 1<ρ<οο. Под пространством средних S(9, pQ, £0; θ — 1, ри Ех) (О < < θ < 1, 1 ^ Ро, Pi < оо) понимают совокупность всех элементов χ из Ео + Ε и для которых существует представление оо я= u(f)AL7 где и(ί) — сильно измеримая функция со значе- о ниями в Ео Π £ι, обладающая свойствами оо °° J pil и (0 iyPi4 <ю " ί Ρ"' II« W U" -т < °°- о о Пространство S(0, /?0, £о; θ— 1, рь £ι) является банаховым относительно нормы И* I'S(0, ро. £0;θ-1,ρ,,£,) ^ ί = inf max < оо |1/ро I оо о J Lo 1/Pi I I· где inf берется по всевозможным представлениям х в указанном выше виде.
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 145 Пространства средних определяются и для тех случаев, когда одно из чисел ро, Pi или оба они равны оо. В этом случае Lp- нормы заменяются на vrai sup. Пространства средних на самом деле зависят лишь от двух параметров: S(6, р0, £о; θ — 1, р„ E{) = S(Q, ρ, Ε0; Θ--1, ρ, Ε{) = ^S(0, ρ, Е0, Ε{), где l/p = (1 — θ)/ρ0 + θ/ρι. Пространство S(9, ρ; £0, £ι) изоморфно пространству (£0, £ι)θ, ρ, я (0< θ < 1, 1·<ρ^ίοο). Для ρ = 1 можно определить тем же способом пространства S(0, 1; £о, Εή и S(l, 1; £0, £ι); при этом S(0, 1; £0, £ι) совпадает с замыканием Е0[) Ει в пространстве Е0> a S(l, 1; £Ό, £ι) — с замыканием £о Π ^ι в пространстве £Ί. Литература: [61], [101], [104], [145], [148], [149]. 3. Комплексные методы. Пусть £0, Е\ — интерполяционная пара комплексных банаховых пространств. Рассматривается пространство s£(E0lEi) всех функций φ (ζ) (0 sg: Re г ^ 1) со значениями в £0+ Еи голоморфных внутри полосы 0 < Re ζ < 1, непрерывных и ограниченных в замкнутой полосе 0 <: Re ζ ^ 1. При этом предполагается, что функция φ(/ + ίχ) (—оо < % < < оо) принимает значения из Ej и непрерывна и ограничена в Ej (/= 0, 1). Пространство si>{Eo,Ei) является банаховым относительно нормы || φ||= max i sup ||φ(/ + ix) \\E \. /=0, 1 l-oo<T<oo /j Через [£o, Ei]Q (0 < θ < 1) обозначается множество всех элементов х^ Ео + Еи представимых в виде χ = φ(θ), где φε ^s£(Eo, Εή. Пространство [Е0> Ei]Q становится банаховым, если в нем ввести норму по формуле \\x\\Q = inf || φ ||^. Пространство [Е0, Е{\е является промежуточным и интерполяционным между £Ό и £Ί пространством с нормальным типом Θ. Выполняется соотношение симметрии [Е0> £Ί]Θ = [Еи £ο]ι-θ. Пространство Е0 Π £ι плотно вложено в [£0, £ι]θ (0 < θ < 1). Если Ео Π Ει плотно в пространствах Ej и одно из пространств Ej рефлексивно, то сопряженное пространство^ [Ео, Е\]'е изоме- трично пространству [£ί, Ео]х_е. При этом все пространства [£0, £Ί]θ (0 < θ < 1) рефлексивны. Если Ео =э Еи то [Е0> E{]qzd id [EQi £Ί]Θ (0<θ0<θ!<1). Справедлива теорема о рейтер а ци и: [[£о> Ει]^ [Е0> ^ι]θ1]θ/ = 1£ο» £ι]θ
146 ГЛ. Ill" ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ при 0<θ0<θι< 1, 0<θ'< 1 и θ = (1 — ΘΟΘο'+Θ'Θγ, равенство пространств здесь понимается как изометрия. Если Ει вложено в Е0 компактно, то [Е0у E\]Q компактно вложено в [Е0, Ε{]θο (0<θ0<θ1<1). Другой метод построения интерполяционных пространств состоит в том, что рассматривается пространство s&(E0lEi) всех функций φ (г) (0 ^ Re г г^ 1) со значениями в £0 + £ь голоморфных внутри полосы 0<Rez<Cl, непрерывных в замкнутой полосе Os^Rez<: 1 и удовлетворяющих неравенству \\<v(z)\\Eu+El<c(l+\z\). Кроме того, предполагается, что функции φ(/ + /тгО — <ρ(/+ι'τ2) принимают значения из пространств Ej и справедливы неравенства II φ (/ + "ι) — Φ (/ + tx2) IK Λί Ι τ! — τ21. В пространстве j$(£0, £i) вводится полунорма c<ooii tj — τ2 || φ \\ж = max/ sup Λ /=o, ι Ι -οο<τ< Факторизация пространства s£(Eo,Ei) по подпространству констант приводит к банахову пространству, обозначаемому снова через st(Eo,Ei). Рассматривается множество [Ε0ι £Ί]Θ всех элементов χ е £0+ + Еи представимых в виде х = —fg—» где φ е ^ (£о, £ι). Относительно нормы ||х|р= inf II φ Ц^- [£о, £"ι]θ является банаховым пространством, интерполяционным между £0 и £ι с нормальным типом Θ. Если одно из пространств Ej (/=0, 1) рефлексивно, то [£Ό,£Ί]θ изометрично [E0f £Je. В общем случае пространство [£0, £ι]θ нормально вложено в пространство [£Ό, £ι]θ (см. гл. I, § 4, п. 10). Если £0 Π £ι плотно вложено в Ej (j = 0, 1), то сопряженное пространство [E0t Ei]'e изометрично пространству [Е'0у E\ft Исследовались также промежуточные пространства, состоящие не из всех значений функций φ (ζ) из st(Eo, Е{) при ζ = θ, а из значений некоторых обобщенных функций на функциях φ (ζ) из s$(Eo, £i), например, значений обобщенных функций β(η)(χ — θ) : (δη, φ) = φ<η)(θ). При этом рассматривались как об-
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 147 общенные функции на интервале (0, 1), так и обобщенные функции в полосе 0 < Re ζ < 1. Литература: [101], [104], [128]. 4. Интерполяционные семейства и шкалы пространств. Пусть Ео, Ei (F0, Fi) — интерполяционные пары пространств и Ea(Fa) — семейства банаховых пространств, зависящих от параметра ае ^[0,1], причем при 0 < α < 1 пространства Ea(Fa) являются промежуточными между Е0 и Ei(F0 и Ft). Говорят, что семейство Еа относительно семейства Fa обладает 1) интерполяционным свойством, если для всякого линейного оператора, действующего из £0 + £Ί в Fo + Fu сужение которого на Ej является ограниченным оператором из Ej в Fj (/ = 0, 1), сужение на пространство Еа дает ограниченный оператор из Еа в Fа (0<а< 1); 2) нормально интерполяционным свойством, если, кроме того, \\A\\E^Fa^{\\A\\E^FuY-a{\\A\\E^Fi}a-, 3) строго интерполяционным свойствам, если для всяких ао, αϊ е [0,1] семейство пространств 5α = 5α0(ΐ-α)+α1α обладает нормально интерполяционным свойством относительно семейства Fa = FaQ(\-a)+ala (O^Ct^l); 4) почти интерполяционным свойством, если сужения на пространства Еа оператора, описанного в 1), являются ограниченными из Еа в любое пространство £β (0 < β < α < 1). Семейство банаховых пространств Еа (0 ^ α ^ 1) называется шкалой пространств, если: 1) пространство Е$ плотно вложено в Еа при β > α, и \\х\\Е ^с(а, β)||χ||£ ; 2) существует конечная во всех точках области 0^α<β<γ^ 1 функция с (α, β, у) такая, что II*И* <Ф, β, у)\\х\\Г^\\х\\^ для любого х^Еу. Если с (α, β) = ^(α,'β, у) = 1, то шкала называется нормальной. Говорят, что нормальная шкала непрерывна, если || χ L = lim || χ |L (χ е ЕЛ. *ι а->1 а Пусть пространство £Ί нормально вложено в пространство^. Эти пространства называют родственными, если существует непрерывная нормальная шкала Еа, соединяющая их (т. е. £а=0 = = Е0 и Εα==ι= Ει). Для того чтобы пространства £Ί и Е0 (£Ί нормально вложено в £0) были родственными, необходимо и достаточно, чтобы единичный шар пространства £Ί был замкнутым в топологии, индуцируемой в £Ί нормой пространства Е0. При выполнении этого условия непрерывная нормальная шкала,
148 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ соединяющая Е0 и £Ί, может быть составлена из пространств £α1ιη, получающихся пополнением линейного пространства Е\ по нормам II х ll£mi„ = sup .. 'Л*?'а (х = Ех, О < α < 1). f^4 imi£/ ιι/ιι^ Эта шкала называется минимальной. Любые две минимальные шкалы обладают нормально интерполяционным свойством по отношению друг к другу. Непрерывная нормальная шкала Еа (0 ^ α ^ 1) называется правильной, если функция ln||ff| / выпукла при любом f e Eq. Для любой правильной шкалы пространство Еа нормально вложено в пространство £™ιη. Всякая правильная шкала обладает строго интерполяционным свойством относительно любой минимальной шкалы. Всякая шкала Еа, вложенная в минимальную (Еа cz £™1п), и в частности, всякая правильная шкала обладает почти интерполяционным свойством относительно любой шкалы Fa, соединяющей родственные пространства F0 и F\. Среди всех нормальных шкал Еа (О ^ а ^ 1), соединяющих два нормально вложенные банаховы пространства Е0 и Еи существует максимальная шкала £ΓΧ, τ. е. такая, что \\Х\\Е <\\ХКmax (*€=£lf OG[0, 1]). Максимальная шкала £™ах обладает строго интерполяционным свойством относительно любой нормальной шкалы Fa. Семейство Еа= [£0, £Ί]α> построенное методом комплексной интерполяции в п. 3, обладает строго интерполяционным свойством по отношению к любому другому такому семейству Fa = = [^о, Fι]α. Если Eq и £Ί родственны, то пространства [£0, £i]a образуют непрерывную нормальную шкалу, соединяющую Е0 и Ει. Шкала [Е0, Ех]а вложена в минимальную и поэтому обладает почти интерполяционным свойством относительно произвольной шкалы Fa, соединяющей родственные пространства F0 и F\. Семейство пространств (£0, £Ί)α, ρ>κ при каждом ре[1,оо] обладает нормально интерполяционным свойством относительно любого семейства (^о, Λ)α> р>я- Семейство пространств средних. S(a, Pq\ a— 1, /?ι, £Ί) также обладает нормально интерполяционным свойством относительно любого семейства S(a, /?0, FQ\ а— 1, ри Fi). Если Ει нормально вложено в £0, то любое семейство пространств Еа такое, что £β плотно вложено в Еа при β > а и S(a, оо, £0; а—1, Еи а)=э£а :=>S(a, 1, Е0\ а—1, 1, £Ί), образует
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 149 шкалу. Шкала S(a, 1; £0; α— Ι, Ι, £Ί) вложена в любую другую шкалу, соединяющую пространства EQ и £V Любая шкала S(a, /?о, £Ό; α— Ι, /?ι, £Ί) вложена в минимальную и поэтому обладает почти интерполяционным свойством относительно любой шкалы Fa, соединяющей родственные пространства F0 и F\. Литература: [101]. 5. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Пусть Ω — множество, на котором задана σ-конечная мера (см. гл. II, § 3, п. 2). Пространства Ιι(Ω) и LOQ(Q) вложены в линейное метрическое пространство S(Q) всех измеримых функций на Ω и, следовательно, образуют интерполяционную пару. Для χ е eS(Q) была введена функция тх(х) = mes{s : |*(s)|>t}. Обратная к этой функции функция x*(t) =inf {τ : тх(%) ^t} (0 ^ <; t < оо) называется не возрастающей перестановкой функции x(s). Для того чтобы промежуточное пространство Ε между Ζ,ι(Ω) и Ιοο(Ω) было интерполяционным, необходимо и достаточно, чтобы оно обладало свойством: если х<=Е, y^S(Q) и г г J у* {t) Λ < J x*{t) dt (0 <r < oo), 0 * 0 то // ε £. Если, кроме того, из последнего неравенства .вытекает, что IMIe^Me, to константа МЕ в определении интерполяционного пространства (см. п. 1) равна 1. Справедливо более общее утверждение. Если Ωι — другое пространство с σ-конечной мерой, то для того, чтобы всякий линейный оператор, ограниченно действующий из Ι^Ω) в Ζ,ι(Ωι) и из £οο(Ω) в ί,οο(Ωι), действовал из промежуточного между Ζ,ι(Ω) и ΐοο(Ω) пространства Ε в промежуточное между £ι(Ωι) и Ιοο(Ωι) пространство F, необходимо и достаточно, чтобы из написанного неравенства для х^Е и y<=S(Qi) вытекало, что yt=F. Для пространств Ι^Ω) и Ιοο(Ω) функционал K{t,x) из п. 2 имеет вид tf(/, x)= j x*(x)d%. о Если ввести обозначение о
150 гл· "Ι· ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ то пространство Lpq (Ω) =±= (Lx (Ω), ^(Ω))^^ q κ, построенное по функционалу K{t, χ), будет состоять из всех функций из L\ (Ω) + ^οο (Ω), обладающих конечной нормой - оо Ί1Λ7 '^„ю" L0 (1 < ρ < оо, 1 <<7 < оо), sup (tlW(t)) (1<р<оо, q = oo). 0<t<oo При /? = # пространства LPP(Q) (1 < ρ < оо) изоморфны пространствам LP(Q) и ll^lLp(S)<IUIISp(S)<Mp-i)IUIItp(£2). Пространства Ιΐοο(Ω) и ^^(Ω) изометричны соответственно пространствам Lx (Ω) и ^(Ω). В случае 1 < ρ < оо, q = оо пространства Lpoo (Ω) совпадают с пространствами Марцинкевича Μψ = Λίρ с ^ = tl"Ap (см. гл. II, § 3, п. 2), состоящими из всех функций, для которых sup (tl/Px*(t)) < оо. Наконец, при 1 < ρ < оо и q=l полу- 0<*<оо чаются пространства Лоренца Lpl (Ω) = Λ^(Ω) с ψ = ρ/1^. Из теоремы о реитерации п. 2 следует, что пространство (LJQ), Ьр2(ЩвдК (1<Л1<р2<оо, 1 <</<«>) изоморфно пространству Lpq(Q) с l/p = (l-Q)/Pl + Q/p2. Первыми результатами в теории интерполяции линейных операторов были классические теоремы М. Рисса — Торина и Марцинкевича, которые здесь приводятся. Если линейный оператор А определен на множестве простых комплекснозначных функций на Ω (т. е. функций, принимающих лишь конечное число ненулевых значений на множествах конечной меры), действует в S{Q{) и обладает свойствами WAx\q {ftx)<M^xkpm (K/V <7, <«>./ = 0, 1), то этот оператор может быть расширен по непрерывности до ограниченного оператора, действующего из LP(Q)(Q) в Ις(θ)(Ωι), где 1/ρ(θ) = (1-θ)/ρ0 + θ/ρι, l/q(Q) = (1 - Q)/q0 + θ/qi (0 < ^ θ ^ 1), и при этом (теорема М. Рисса — Торина).
§ 4 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 151 Пусть 1 < Pj < tfj < оо (/ = 0,1), Ρο<Ρι и ЯоФЯь Если линейный оператор А определен на простых функциях на Ω, действует в S(Qi) и обладает свойствами sup tl"4(Ax)'(t)^Mj\\x\\ 0< * < αο Pfy ' то^ он допускает расширение по непрерывности до ограниченного оператора, действующего из LP(Q)(Q) в Δς(θ)(Ωι) (0 < θ < 1), и при этом !ΐ^Ιΐ,ί7(θ)(Ω1)<(:^^"θ^ι|χ^(θ,(Ω)· где С(6)->оо при θ->0αθ->1 (теоремаМарцинкевича). В условиях этой теоремы можно потребовать, чтобы исходные неравенства выполнялись не на всех простых функциях, а лишь на характеристических функциях множеств конечной меры. Для сравнения теорем М. Рисса — Торина и Марцинкевича следует отметить, что при тех показателях pj, q^ когда последняя теорема справедлива, в ней на оператор А налагаются меньшие требования (так как tl,cfy*(t) <||i/ ||L (Ω Λ при этом, однако, само утверждение несколько слабее (наличие константы С(в)). Теоремы М. Рисса — Торина и Марцинкевича получаются из общих интерполяционных теорем для семейства Lpq(Q) с некоторыми потерями. Однако общие рассмотрения позволили внести в эти теоремы и существенные уточнения. Оказалось, что при 1 sg: р0 < Pi ^ °° " 1 < #о, #ι ^ оо, #о Φ qu из условий теоремы Марцинкевича вытекает, что оператор А может быть по непрерывности расширен до ограниченного оператора, действующего из пространства Lm)r(Q) в пространство Ι9(θ)Γ(Ωι) (0 < θ < 1, 1 <ζ г < оо). При некоторых ограничениях на меры в пространствах Ω и Ωι (например, меры непрерывны или чисто атомные с равными мерами всех точек)', последнее утверждение является точным в следующем смысле: каковы бы ни были промежуточные между Ζ,ι(Ω) и Ζ,οο(Ω) (^(Ωι) и Ιοο(Ωι)) пространства E(F) такие, что при некоторых Θε(Ο,Ι) и г^[1,оо] пространство Lp^)r(Q) вложено в £, а пространство F вложено в Ζ^(θ)Γ(Ωι) и хотя бы одно из этих вложений не тождественное, найдется оператор Л, удовлетворяющий условиям теоремы Марцинкевича, который не может быть расширен по непрерывности до ограниченного оператора из Ε в F. В последнее время получены обобщения приведенных интерполяционных теорем в некоторых классах симметричных пространств измеримых функций (см. гл. II, § 3, п. 4). Пусть Ε —
152 ГЛ. III. ЛИЛЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ симметричное пространство функций на пространстве Ω с непрерывной мерой, норма в котором задается формулой II * II* = Φ (**(*)). где Φ — функционал, определенный на всех неотрицательных функциях на (0, оо) принимающий конечные или бесконечные значения. Предполагается, что выполнено следующее условие: а) Φ(χ*(αί)) <С\\х\\Е sup , м для всех йе(0, оо) и о<н<оо ЧЕ\ап) *<=£, где φ (А)—фундаментальная функция пространства Е. Условие а) выполнено в пространствах Lp, Лоренца, Марцинке- вича, Орлича. Рассматривается совокупность £α, β всех измеримых на Ωι функций, для которых Фа.р(У)=Ф(уЧ'в)'"Р)<00· Пусть линейный оператор А является ограниченным оператором, действующим из любого пространства £Ρ<θ)(Ω) в LQ(Q)(Q\) (0<θ<1, 1/ρ(θ) = (1 — θ)/ρ0 + 6/plf 1Α/(Θ) = (1-θ)/ΐ7ο+θ/^> l^p^^oo, 1 ^qi^oo). Тогда он определен на всяком симметричном пространстве, удовлетворяющем условию а), фундаментальная функция которого q>E(t) обладает свойствами 2i/,<lim^L и ШЪ™<2»», j^o ф£(0 ^о Ф£(0 и действует в Eat β, где При этом а = —η —» Р= -ι -ι % -Я\ % —Я\ Фа, р(Ах)<С(Е)\\х\\Е. Функционал Φα, β(ί/), вообще говоря, не является нормой, но в пространстве Еа> β можно ввести норму, эквивалентную функционалу Φα, β (у), в которой оно становится банаховым. В частном случае (ро = #о = 1 и pi = <7ι = °°, Ω = Ωι = = [0, 1]) получается важное утверждение: для того чтобы всякий линейный оператор, непрерывно действующий в каждом пространстве LP(0, 1) (1 < ρ < оо), был непрерывен в симметричном пространстве Ε с вогнутой фундаментальной функцией *) *) Вогнутость фя(0 всегда можно обеспечить эквивалентной перенормировкой пространства.
§ 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 153 φ£(/), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Из конкретных интерполяционных теорем здесь приводится еще одна для пространств Lv с весом. Пусть задана неотрицательная локально суммируемая на Ω функция p(s). Тогда через LPjP(Q) обозначается пространство всех измеримых на Ω функций с конечной нормой ll*llw^={Jl*(s)lpp(s)ds}1/p. Если линейный оператор А является ограниченным оператором из Lp.y р. (Ω) в Lq.t(J. (Ωι), то он будет ограниченным опера- тором из Lp{Qh ρίθ)(Ω) в Lqm σ(θ)(Ωι), где 1/ρ(θ) = (1 — θ)/ρ0 + θ/Ρι, 1/<7(θ) = (1-θ)Α7ο + ΘΑ7ι, ρ(θ) = ρ(Ι-θ)/?(θ)//?ορ^(θ)/Ρ·, σ(θ) = σ(Ι-θ)^θ^σ^(θ)/ί7ι# 0 < θ < 1. Литература: [23], [61], [101], [104], [127], [130], [136], [138], [144], [150], [151]. Q. Интерполяция в пространствах дифференцируемых функций. Здесь будут рассматриваться интерполяционные свойства семейств пространств Wlp, Нр, Blp, введенных в гл. II, § 1. Для действительного метода интерполяции (·, ·) θ, Ρι κ (0 < < θ < 1) (или, что то же, S(6, р, ·, ·) при любых вещественных /, m и 1 < ρ < оо справедливы следующие соотношения: «(/?„>, w7 (Rnik р,к = 4(1-θ)+,ηθ (/?„), {Н1Р (Rn), Щ (Rn)\, PtK = вр{1~м (Rn), (4 (Ra), B™ (Rn))e> P,K = Blp(1-M (Ra). При этом по определению полагается Вр(Rn) = (Bp~ilp(Rn), Β~ρλ,Ρ(&,)),_,„,κ· Аналогичные соотношения справедливы и для пространств Wp(Q), Яр (Ω), 5ρ(Ω) функций в области Ω, но лишь для положительных значений / и т. Если применять комплексный метод интерполяции [·, ·]θ (0<θ< 1), то [Blp(Rn)> B?(Rn)]0 = Blp{{-M(R„).
154 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Из этих соотношений, в частности, видна неэквивалентность вещественных и комплексных методов интерполяции. Интерполяционные методы нашли широкое применение в различных задачах теории уравнений в частных производных (см , например, теоремы о гомеоморфизмах в § 6, п. 5). Литература: [102], [104]. § 5. Линейные интегральные операторы 1. Общие свойства линейных интегральных операторов. Пусть Ωι и Ω2 — два ограниченных замкнутых множества конечномерных пространств. Под мерой на этих множествах понимается мера Лебега. Пусть Е — идеальное пространство измеримых функций, определенных на Ωι, Τ7 — идеальное пространство функций, определенных на Ω2 (см. гл. II, § 3). Действующий из Ε в F линейный оператор К называется интегральным оператором, если он допускает представление Kx(t)= J k{t, s)x(s)ds; Ω, здесь k(t, s)— измеримая по совокупности переменных функция, называемая ядром интегрального оператора К. Интегральные операторы, действующие из одного идеального пространства в другое, обладают многими важными свойствами. В частности, каждыц действующий из Ε в F линейный интегральный оператор К непрерывен. Пусть К — действующий из Ε в F линейный интегральный оператор. Для любой функции y(t) из двойственного пространства Fi (см. там же) всегда существует такая функция My{t), что справедливо равенство J7 J k(t, s)x(s)ds\y(t)dt = J x(s)hy(s)ds. Ω2 \Ω, / Ω, В этом случае линейный оператор К^у = hy действует из F1 в £*; оператор /С1 называется двойственным к оператору К. Он, очевидно, является сужением на F1 сопряженного к К оператора /С7, если последний преобразует F* в Е1. Оператор /С1 не обязательно сам является интегральным даже для случая, когда Ε = F = = Ζ,2(Ωι). Через ## обозначается линейный интегральный оператор K*y{s)=\k{t, s)y(t)dt9 который в отличие от оператора К действует из пространств функций, определенных на Ω2, в пространства функций, опреде-
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 155 ленных на Ωι; оператор /С# называется транспонированным к оператору К. Если для некоторой функции у е F1 функция k(t,s)y(t) суммируема по t почти при всех s, т. е. если /(* на у определен, то Таким образом, вела /С*определен на всем F1, то К{ = /С*. Линейный интегральный оператор /С, действующий из £ в F, называется регулярным, если он представим в виде разности двух действующих из Ε в F линейных интегральных операторов с положительными ядрами. Условие регулярности К равносильно тому, что К преобразует множества пространства £, ограниченные по упорядоченности, в множества пространства F, также ограниченные по упорядоченности. Действующий из Ε в F линейный интегральный оператор К с ядром k(t,s) является регулярным в том и только том случае, когда из Ε в F действует линейный интегральный оператор \К\\ \K\x(t)=\\k(U s)\x{s)ds. Ω, Для регулярных интегральных операторов транспонированный всегда действует из F* в Е1, и поэтому для регулярных интегральных операторов двойственный оператор также является интегральным. Через Q(E,F) обозначается совокупность всех функций z(t,s) двух перемейных ^εΩ2, seQi, для которых линейный интегральный оператор с ядром \z(t, s)\ действует из Ε в F. Очевидно, Q(E,F) является линейным пространством, которое превращается в идеальное, если в нем ввести норму И г Нои? f)= SUP \ \z(tt s)\x(s)ds\ . vv * II χ II ^ 1 ^ Если пространство F — совершенное, то эту формулу можно писать в виде QiE'F) ||*1И^<Ч ω, Пространство Q(E,F) называют пространством ядер операторов, действующих из Ε в F. Ниже через PD, P& и Ps обозначаются операторы умножения на· характеристические функции хд, х<? и xs множеств D с= Ωι, ^cz Ω2 и Sc Ω2Χ Ωι. Интегральные операторы, действующие из одного идеального пространства в другое, обладают некоторыми специальными свойствами компактности. Оказывается, что действующий из
156 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ пространства Ε в пространство F линейный интегральный оператор К преобразует множества из пространства Е, ограниченные по упорядоченности (а если пространство Е1 — правильное, то и множества, ограниченные по норме), в множества, компактные по мере. При несущественных дополнительных ограничениях интегральные операторы оказываются вполне непрерывными. Например, для полной непрерывности действующего из Ε в F линейного интегрального оператора К достаточно выполнения одного из условий: а) lim \\Р?К\\Б+Р = lim \\КРо\\Б+Р = 0; б) пространство Ε1 правильное и mestf'-X) в) оператор К регулярен, действует из Ε в F0 (см. гл. II, § 3), оператор /С1— из F1 в (Е1)0 и Нт || Ρ,ΚΡ, 11^ = 0. Проверка этих условий обычно затруднений не вызывает. При выполнении условий в) ядро оператора К содержится в пространстве [Q(£, Z7)]0, т. е. для него выполнено свойство Hm \\Psk(t, 5)||QiEP) = 0. mesS->0 че \ . / Линейные интегральные операторы с такими ядрами называются абсолютно компактными. Так как [Q(£, F)]°—идеальное пространство, то имеет место следующий принцип мажорантности свойства компактности линейных интегральных операторов: если \k(t, s)|<M*. s) и оператор Ко с ядром ko(t9s) абсолютно компактен, то и оператор К с ядром k(t,s) абсолютно компактен. Литература: [2], [28], [100], [114], [122], [146]. 2. Линейные £/-ограниченные и 1/-коограниченныеоператоры. К сожалению, неизвестно описание в простых терминах необходимых и достаточных свойств функции k(t, s), при наличии которых линейный интегральный оператор К с ядром k(t,s) действует из данного идеального пространства Ε в другое идеальное пространство F\ неизвестно и простое описание пространства ядер Q(E,F) регулярных интегральных операторов К, действующих из Ε в F. В связи с этим представляют интерес различные достаточные признаки того, что интегральный оператор К с ядром k(tts) действует из пространства Ε в пространство F.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 157 Приводимые в настоящем пункте достаточные признаки действия интегрального оператора из одного пространства в другое выделяют два важных класса линейных интегральных операторов. Действующий из пространства Ε в пространство F линейный оператор К называется U-ограниченным, если он преобразует множества из пространства £, ограниченные по норме, в множества пространства F, ограниченные по упорядоченности; {/-ограниченность оператора К равносильна неравенству 1*С*(01<М011*11е (*е£)> где iio(t)—некоторая функция из F. Ясно, что каждый линейный {/-ограниченный оператор непрерывен. Пусть Μ и N — идеальные пространства функций, определенных соответственно на Ωι и Ω2. Через {Λί, Ν} обозначается пространство измеримых по совокупности переменных функций z(t, s) (s g Ωι, ί G Ω2) с нормой fl*fc«)iU.Aiel«*(''s>U,· а через {Ν, Μ}-— пространство с нормой Uz(t'Sn{N,u) = \\\\z(t,s)\\N\\M. Пространства {Λί, /V} и {Ν,Μ} идеальны. Линейный интегральный оператор К с ядром k(t,s) действует из Ε в F и {/-ограничен, если k(t,s)^ {£*, F}. Более того, действующий из Ε в F линейный интегральный оператор {/-ограничен в том и только том случае, когда k(t, s) <ξ {Ε1, F}. Интересно отметить, что в случае квазиправильного*) пространства Ε каждый действующий из Ε в F линейный {/-ограниченный и обладающий двойственным оператор К является интегральным. В частности, каждый линейный непрерывный оператор /С, действующий из правильного пространства Ε в £«,, является интегральным. Действующий из Ε в F линейный интегральный {/-ограниченный оператор К вполне непрерывен, если Ei и F— правильные пространства. Действующий из' пространства Ε в пространство F линейный оператор К называется U-коограниченным, если для него выполняется неравенство *) Пространство Ε называется квазиправильным, если в нем по мере плотно подпространство Е° функций с абсолютно непрерывной нормой.
158 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где v0 — некоторая функция из Ei. Ясно, что каждый линейный £/-коограниченный оператор непрерывен. Линейный интегральный оператор К с ядром /C(^,s) действует из Ε в F и {/-коограничен,- если k(t, s)e{/% E1}. Более того, действующий из Ε в F линейный интегральный оператор К является {/-коограниченным в том и только том случае, когда k(t, s)^{F, Ε1}. Если F — квазиправильное пространство, то каждый действующий из Ε в F {7-коограниченный оператор является интегральным. В частности, каждый линейный непрерывный оператор, действующий из пространства Li в пространство F, дополнительное к которому правильное, является интегральным. Действующий из Ε в F линейный £/-коограниченный оператор К вполне непрерывен, если Е1 и F — правильные пространства. Свойства ^-ограниченности и fZ-коограниченности линейных операторов двойственны друг другу: линейный интегральный оператор {/-ограничен в том и только том случае, когда двойственный оператор ίΖ-коограничен. Литература: [28], [100], [119], [124]. 3. Резольвента (Фредгольма) линейного интегрального оператора. Пусть Κι—линейный интегральный оператор, действующий из идеального пространства Ε функций, определенных на Ωι, в идеальное пространство F функций, определенных на Ω2, а Кг— линейный интегральный оператор, действующий из пространства F в идеальное пространство G функций, определенных на Ω3. Действующий из Ε в G линейный оператор К = К2К1 не обязательно является интегральным. Но если Κι и Кг— регулярные интегральные операторы, то и К является интегральным оператором, и его ядро k(t,s) определяется равенством k (/, s) = J k2(t, σ) k{ (σ, s) do, Ω2 где ki(t,s) и kz(tys)—ядра интегральных операторов К\ и /С2. В частности, для линейного регулярного интегрального оператора /С, действующего в пространстве £, итерации Кп также являются линейными интегральными операторами с ядрами К (*» *) = { · · · { k (*> si)k (si> s^ ... k (sn-l9 s) ds{ ... dsn-{. - Ω Ω Пусть К — регулярный интегральный оператор, действующий в идеальном пространстве Е. Оператор Μλ, Κ) = λ№λ(Κ),
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 159 определенный прл всех λ из резольвентного множества Λ (К) оператора К (см. гл. III, § 2), принято называть резольвентой Фредгольма оператора /С; обычная резольвента R^(K) выражается через резольвенту Фредгольма равенством /?λ(/() = λ"1[/ + λ"^(λ> К)]. Пусть Л°(/С)—множество тех λ&Λ(/(), при которых оператор L (λ, /С) является регулярным интегральным оператором: ЦК, К)= J/(λ;' t, s)x(s)ds. Ω Множество Л°(/С) открыто; если λ0^Λ°(/(), то Я<=Л°(/() при II II < J_ 1_ Я Яо r(\R(Xo,K)\) (г(Г) — спектральный радиус оператора Т) и оо /(λ; t, 8) = Σ(-ΐΤ(γ--%)Ί1η)(λ0; t, s), /1=0 причем ряд сходится по норме пространства Q(E,E) и, в частности, по мере. Ядра 1(λ\ί, s) и /(μ;ί, s) при любых λ, μ^Λ°(/() связаны тождеством Фредгольма μλ[/(λ; f, s) — /(μ; f, <?)] = (μ — λ) J/(λ; ί, σ)/(μ; σ, s) da. Ω Между ядрами k(t,s) и /(λ; ί, s) имеется соотношение /(λ; ί, δ) = λ J ft(f, σ)/(λ; σ, s)da+*(f, s) = Ω = λ J/(λ; ί, σ)*(σ, s)rfa + ft(i, 5). Ω Множество Л°(/С) не пусто; оно содержит внешность круга |Я|>г(|^С|), в котором ядро /(λ; /, s) представимо в виде ряда /(λ; t, s) = ^jnkn+l(t, 5), 1 /1=0 также сходящегося в норме Q(E, E). Множество А0 (К) совпадает с резольвентным множеством оператора /С, если некоторая итерация Кп оператора К является ^/-ограниченным оператором. Подобная ситуация имеет место
160 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ всегда для важного класса операторов типа потенциала (см. п. 6), для функций Грина дифференциальных операторов и т. д. Литература: [124], [152] 4. Интегральные операторы с симметричным ядром. В этом пункте рассматриваются некоторые специальные свойства интегральных операторов Kx(t)= J* k(U s)x(s)ds Ω с симметричным ядром k(t, s) : k(t, s) = k(s, t). Предполагается, что оператор К действует из двойственного к некоторому идеальному пространству Ε пространства Е1 в Е. В этом случае- оператор К обладает свойством симметричности: J7J k(t, s)x(s)ds\y(t)dt= Uj k(t, s)y(s)ds\x(t)dt. Ω \Ω / Ω \Ω / Оператор К называется положительно определенным, если J7J k(U s)x(s)ds\x(t)dt>0 (χε=Ε1). Оператор К положительно определен, если он допускает расщепление К = СС\ где С — действующий из L2 в Ε оператор, а С1 — двойственный С оператор, действующий из Ei в L2. Верно и обратное утверждение, если только множество функций D0 = {χ s L2: Kx s L2} имеет носитель, совпадающий с носителем пространства Е\ по- среднее, в частности, имеет место всегда, когда Ε ^ L2. Пусть К — положительно определенный и симметричный интегральный оператор. Тогда операторы С и С1 обладают важными специальными свойствами компактности: оператор С преобразует ограниченные по норме множества пространства L2 в множества, компактные по мере, а оператор С1 преобразует множества пространства £, ограниченные по упорядоченности, в множества, компактные в L2. Если К как оператор из Ei в Ε вполне непрерывен, то вполне непрерывны и операторы С и С1 как операторы соответственно из L2 в Ε и из Е1 в L2. Следует отметить, что достаточным условием полной непрерывности оператора К является условие »т \\PDKPD\\El_>E = 0. mesD->0 Если Ε — правильное пространство, это условие является и необходимым для полной непрерывности /С
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 161 Оператор С, вообще говоря, не является интегральным. Достаточным условием того, что оператор С допускает интегральное представление, является неравенство \k(t, s)\^u0(t)u0(s), где u0(t)—некоторая измеримая функция. Ядро c(t,s) оператора С при этом удовлетворяет оценке Jc2(f, s)ds^ul(t). Ω Если К вполне непрерывен'как оператор в L2, то это же условие может быть выражено неравенством оо Σλ„Κ(')|2<"Η0. /1=1 где λι, ..., λη— собственные значения /С, a 6i(f)» ..., бп(0» · · · — отвечающие им собственные функции. Другим достаточным условием того, что С допускает интегральное представление, является ядерность оператора К (см. гл. I, § 5, п. 7). Литература: [124], [125], [129]. 5. Интегральные операторы в пространстве непрерывных функций. Пространство C(Q) непрерывных функций не является идеальным. Однако оно является замкнутым подпространством идеального пространства Loo(Q) и поэтому многие изложенные выше утверждения переносятся на операторы, действующие из идеального пространства Ε в пространство C(Q2). Для операторов, действующих в пространство С, можно дать полное описание. Линейный интегральный оператор Kx(t)= Jfe(i, s)x(s)ds Ω, с ядром k(t,s) действует из пространства Ε в пространство C(Q2) в том и только том случае, когда выполнены условия: а) при всех /ей2 функция k(t, s) принадлежит пространству Е1\ б) функция и0(t) = \\k(t,s) И£/ ограничена; в) для любого измеримого подмножества DcQi и любого to e Ω2 справедливо равенство lim f k (f, s) ds = ί k (ί0, s) ds.
162 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ При выполнении этих условий оператор К непрерывен и ||/CII=sup||*(f, 5)||£1. При этом оператор К вполне непрерывен в том и только том случае, когда выполнено более сильное, чем в), условие lim||A(/, s)-k(t0, s)||£1 = 0. Сформулированные утверждения полностью описывают операторы, действующие из £ в С. Следует, наконец, заметить, что операторы, действующие в пространстве C(Q), всегда можно рассматривать и как операторы, действующие из Ζ,οο(Ω) в С(&). Литература: [133]. 6. Важные примеры линейных интегральных операторов. В настоящем пункте описываются функциональные пространства, в которых действуют классические интегральные операторы. 1. Операторы типа потенциала. На функциях, определенных на ограниченном замкнутом множестве Ω Аг-мерного пространства, рассматривается линейный интегральный оператор К с ядром V ; |ί-5|λ где λ — некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0 < < λ < л, a q(t,s)— непрерывная при ίΦβ функция, удовлетворяющая при любом ε > 0 условиям \\m\t-~s\*q(ty s) = 0, &->s lim 11 — s \~Bq(t, s) = oo. Говорят, что оператор К имеет показатель λ, если О < m < q (£, s) < Μ < oo; показатель λ — 0, если \im q(t, s) = 0, и показатель λ + 0, если lim q(t, s) = oo. К операторам типа потенциала относятся функции Грина эллиптических дифференциальных операторов. Оператор типа потенциала К с показателем λ всегда определен на пространстве L\ и преобразует его в пространство Map-
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 163 цинкевича Μψ, где ψ = ίλ/η, и, тем самым, в любое Lp с 1/р > > λ/η. В дальнейшем в связи с идеальным пространством Ε будет использоваться пространство £λ, которое состоит из всех измеримых на Ω функций, для которых конечна величина Цх* (т)т~я||^, где я* (τ)—перестановка функции χ(ί). Оператор К типа потенциала с показателем λ действует из каждого пространства £, вложенного в пространство Лоренца Λψ с ψ = fi-Vn (в частности, из любого симметричного пространства Ε с условием а) (см. § 4, п. 5, стр. 152), фундаментальная функция которого удовлетворяет условию t->o φ (0 в пространство С и вполне непрерывен. Из любого симметричного пространства £, фундаментальная функция которого удовлетворяет условию а) и условию он действует в пространство Е% и непрерывен (но не вполне непрерывен). Оператор К типа потенциала с показателем λ — 0 действует из каждого симметричного пространства £, фундаментальная функция которого удовлетворяет условию *-»о Ф(0 в пространство С и вполне непрерывен. Из любого симметричного пространства Ε с условием а), фундаментальная функция которого удовлетворяет условию »-Ч*<КтШ<ШШ<2, jz^ Ф(0 *->о ф(0 он действует в пространство Ελ и вполне непрерывен. Наконец, оператор К типа потенциала с показателем λ + 0 действует из каждого симметричного пространства £, фундаментальная функция φ(ί) которого удовлетворяет условию *-»о Ф(0 в пространство С непрерывных функций и вполне непрерывен, а из симметричного пространства Ε с условием а), фундаментальная функция φ(ί) которого удовлетворяет условию 2i-V» < lim -2М < Шй -£М < 2, ^ <р(0 <->о Ф(0
164 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ в каждое пространство Εμ с μ < λ и также вполне непрерывен. 2. Оператор Римана — Лиувилля. Так называется линейный интегральный оператор, действующий, например, на функциях, определенных на [0, 1], с ядром k(t s) = [rr(t-s)r"\ если 0<5<ί<1, 1 0, если 0<f<s<l. Число г > О называется порядком оператора Римана — Лиувилля. Оператор Римана — Лиувилля действует в каждом симметричном пространстве Ε с условием а), фундаментальная функция которого удовлетворяет условиям l<lim^<ito^<2; t->0 φ (0 *_»() Φ (0 он не является вполне непрерывным. 3. Оператор Хард и. На функциях на [0, 1] определяется интегральный оператор с ядром и и \ (tr~ls~r> если 0<s<f<l, 1 0, если 0<f<s<l. Он действует в каждом симметричном пространстве £", фундаментальная функция которого удовлетворяет условиям а) и и также не является вполне непрерывным. Литература: [53], [123], [136], [138]. 7. Сингулярный интегральный оператор. Ядра сингулярных интегральных операторов имеют несуммируемые особенности. Простейший пример такого оператора дает преобразование Гильберта ^ К*- I T^Tds, s где интеграл понимается в смысле главного значения. Оказывается, что этот оператор является ограниченным оператором, действующим из Lp(—оо, оо) в Lp(—оо, оо) при 1 < < ρ < оо. Более того, он действует в любом симметричном пространстве с условием а), для фундаментальной функции которого справедливы неравенства 1<цтЛШ<ШШ<2. 7=п Φ (0 <-»0 Φθ ί-»0
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ 165 Многомерным (n-мерным) сингулярным оператором называется интегральный оператор с ядром вида *('» s)= |/_ s\n > где q{t,x) как функция второго аргумента τ является однородной функцией нулевой степени, интеграл от которой по единичной сфере S равен нулю. Если интеграл от \q{t, x)\p по сфере S равномерно по t ограничен, то сингулярный оператор является ограниченным оператором из Lv(Rn) в Lv(Rn) при 1 < ρ < оо (1/р + 1/р'= 1) (Кальдерон — Зигмунд). § 6. Операторы, порожденные краевыми задачами 1. Эллиптическое дифференциальное выражение. Рассматривается дифференциальное выражение порядка г с постоянными коэффициентами A(D)= Σ, aaDa, |а|<г где α —(αϊ, ..., αη) — мультииндекс, | α | = αι + α2 + ... + <хя, ~Da = Dal^a2*...DyyDk = id/dxk(k = l,2y...yn))x = (xu...,xn)- точка /г-мерного пространства Rn, aa — заданные комплексные числа. Главной частью дифференциального выражения называется выражение A'(D)= Σ aaDa. |а|=г Каждому дифференциальному выражению ставится в соответствие однородный многочлен от η вещественных переменных (Sit ·. · t Sn) = ξ Λ'(Ι) = 2 «αΐα. |<х|=г гдеГ = |Г' •••Οί· Дифференциальное выражение A(D) называется эллиптическим, если Л'(ξ) =7^= 0 при любом Ι φ 0. Если я > 2, то порядок эллиптического выражения четен: г = 2т. При αζ = 2 этого может не быть. Например, оператор Коши — Римана -г (-/-г— эллиптичен и порядка 1. Функция А'(%'-{-τζ") при фиксированных линейно независимых векторах ξ' и ξ" не обращается в нуль при вещественных τ. Как многочлен от τ она имеет г комплексных корней. Дифференциальное выражение A(D) называется правильно эллиптическим, если г = 2т и при любых линейно независимых \ и ξ"
166 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ многочлен А'(1' + τξ") имеет ровно т корней τ]1" (ξ', ξ"), ... ...,τ+(ξ', ξ") с положительной мнимой частью (и значит, столько же с отрицательной). Если η > 2, то каждое эллиптическое выражение является правильно эллиптическим, при η = 2 это также имеет место, если коэффициенты A'(D) вещественны и г = 2т. Выражение Л(£>) при г — 2т называется сильно эллиптическим, если существуют комплексное число γ и константа а > О такие, что Ке(уЛ'(Ю)>аШ2т при любом !<=/?„. Если коэффициенты эллиптического выражения Л'ф) вещественны, то оно является сильно эллиптическим. Пусть теперь Ω — ограниченная область в Rn с границей Г, представляющей собою бесконечно дифференцируемое многообразие размерности η—1. Предполагается, что Ω локально лежит по одну сторону от Г. Пусть в замкнутой области Ω = Ω U U Г заданы бесконечно дифференцируемые функции аа(х) *). Дифференциальное выражение А(х, D)= Σ aa(x)D* |а|<г называется эллиптическим, правильно эллиптическим, сильно эллиптическим в Ω, если при каждом фиксированном х0 <ξ Ω выражение Σ аъ(хо)Ва с постоянными коэффициентами соот- ветственно эллиптично, правильно эллиптично, сильно эллиптично. Литература: [3], [102]. 2. Граничные дифференциальные выражения. Регулярная эллиптическая краевая задача. Выражение вида B(s, D)= Σ bAs)D\ I3l<m p где b$(s) — заданные на границе Г бесконечно дифференцируемые функции, называется граничным дифференциальным выражением. Говорят, что система из m граничных дифференциальных выражений Bj(s,D)= Σ bjAs)D* (/ = 0, ..., m-1) |P|<my *) Бесконечная дифференцируемость границы и коэффициентов предположена для упрощения изложения.
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ 167 накрывает дифференциальное выражение A(x,D) или удовлетворяет условию дополнительности по отношению к А(х, D)t если выполнено следующее: пусть для каждой точки границы s е Г через ν обозначен орт нормали к поверхности Г, а через ξ — какой-либо касательный вектор в этой точке s, тогда многочлены В) (s, ξ + τν) от переменного τ должны быть линейно m независимыми по модулю многочлена Ц (τ — τ+ (s, ξ)), где %ι (s, ξ) — все корни многочлена A'(s, ξ + τν), имеющие положительную мнимую часть (другими словами, никакая линейная комбинация многочленов ZJ/(s, ξ + rv) с ненулевыми коэффициентами не делится на этот многочлен). Алгебраические условия дополнительности играют важную роль и служат для согласования дифференциальных выражений внутри области и на ее границе. Будет рассматриваться краевая задача (АУВ)\ А(х, D)u = f в Ω, BJ(s)D)u = gj на Г (/ = 0, ..., m — 1). Система граничных выражений B3{s,D) (/= 0, ..., m — 1) называется нормальной, если порядки m,j этих операторов все различны, не превосходят 2пг — 1 и 2 Ь}& (s) v^^O при любой IP \=rnj sgTh нормальном к Г векторе v. Если дифференциальное выражение A(x,D) правильно эллиптично в Ω, а система граничных операторов Bj(s,D) (j = = 0, ..., m — 1) нормальна и удовлетворяет условию дополнительности, то краевая задача {А, В) называется регулярной краевой эллиптической задачей. Для всякого правильно эллиптического дифференциального выражения A(x,D) регулярной краевой задачей является задача Дирихле, поставленная с помощью граничных выражений B,is,D) = £, д где -г производная по внутренней нормали в точке s. Литература: [3], [102], [115], [147]. 3. Формула Грина и формально сопряженная задача. На финитных в области Ω функциях справедливо тождество J Auv dx = J uA*v dx, где выражение A*(x,D)v= Σ Da(aa(x)v) |a|<r
168 ГЛ. III, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ называется сопряженным дифференциальным выражением к A(x/D). Иногда удобно исходное дифференциальное выражение записывать в виде A(x,D)= Σ Dy{ay6(x)D6), Ι Υ 1,1 б |<m и тогда сопряженное выражение имеет вид A'(x,D)= Σ Dy{a6y(x)D6). lYl. |6|<m Пусть А (х, D)—эллиптическое дифференциальное выражение и Bj(s9D) — нормальная система граничных выражений. Тогда можно (не единственным образом) найти нормальную систему граничных выражений Sj(s,D) (/= 0, ..., т—1) порядков μ^· (таким образом, что порядки системы выражений {В0) ..., Вт-и S0, ..., Sm_i} пробегают все числа от 0 до 2т— 1). По выражениям В} и Sj уже единственным образом строятся нормальные системы граничных выражений Bf и Sf (/= 0, ..., т—1), обладающие свойствами: порядок Bf равен 2т—1 — μ./, порядок sf равен_ 2т—1—ntj и для любых бесконечно дифференцируемых в Ω функций справедливо тождество т—\ m—1 f Auvdx — f u/Fvdx = ^ j SjuBfvds — JJ J" BjuSfvds. Ω Ω /=0 Γ /=0Γ Это тождество называется формулой Грина, система выражений Bf (s, D) называется сопряженной системой к системе Bj(st D). Сопряженная система определяется неоднозначно, но все сопряженные системы эквивалентны в следующем смысле: если Bf (s, D) и Bf (s, D) — две сопряженные к Bj(s,D) системы, то множества всех бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям Bfu = О (/ = 0, ..., m — 1) или Bfu = 0 (/ = 0, ..., m — 1) совпадают. Формально сопряженной краевой задачей (Л+, В+) к исходной называется задача А+(х, D)O=f в Ω, Bf{s,D)v = gf на Г (/ = 0, ..., т— 1). Если исходная задача является регулярной эллиптической, то и сопряженная является регулярной эллиптической. Сопряженной к задаче Дирихле является задача Дирихле для сопряженного дифференциального выражения. Литература: [3], [102], [143], [147].
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ 169 4. Неравенства коэрцитивное™. Нетеровость эллиптических задач. Операторы, порождаемые на бесконечно дифференцируемых функциях и(х) выражениями А(х, D) и {Bj(sf £))}, отображают каждую такую функцию в набор из т + 1 функций / = = Л(х, D)u и gj(s) = Bj(s1 D)u (/ = 0, .... m—1) и определяют оператор 51 (Л,В): и->{/,g0l...,gm-{}. Вопрос о разрешимости краевой задачи сводится к описанию линейного множества правых-, частей {/, g0i..., §"w_i}, принадлежащих области значений оператора 51 (Л,В). При такой постановке вопроса правые части могут быть только бесконечно дифференцируемыми, однако для многих практических целей этого недостаточно. Поэтому в множестве наборов {/, g0, ... ..., gm_x} <= С00 (Ω) X С°° (Г) χ ... ХС°°(Г)_вводят какую-либо норму, в пространстве функций «eC°°(Q)—другую норму, пополняют эти множества до банаховых пространств, оператор 51 (Л, В) замыкают как оператор из одного пространства в другое и после этого пытаются описать область- значений полученного замкнутого оператора. _ Поскольку множества С°° (Ω) и С°° (Г) входят во все естественные функциональные пространства, то выбор пространств, в которых исследуется краезая задача, чрезвычайно разнообразен. Здесь будут за основу взяты шкалы пространств Нр (Ω) и В1р{Т) (1 <р<оо) (см. гл. II, § 1, п. 5). Замыкание оператора 51 (Л, В) в различных пространствах будет обозначаться теми же буквами, это замыкание часто достигается переходом в выражениях для А(х, D) и {Sj(s, D)} от обычных производных к обобщенным. Для решений регулярной эллиптической краевой задачи справедлива априорная оценка, получившая название «неравенство коэрцитивности»: при любом s>0 и р^(1,оо) / m-l lMIH2m+s(Q)<Cs,p(|| Аи\\да{а)+ Д||5/"11в2т^тг1/р+5 + ||^|Ц(й) (производные в выражениях А и Bj понимаются как обобщенные). Из неравенств коэрцитивности для данной задачи и для формально сопряженной задачи вытекает основное утверждение (см. § 1, пп. 6, 7) замыкание оператора 51 (Л, В) как оператора, дейстёующего из пространства H2pm+S (Ω) в пространство HSP (Ω) Χ Π BPm-mrltp+s (Γ) (s > 0), /=ο является нетеровым оператором. Нуль-пространство Л/(51) оператора 51 (Л, В) конечномерно и состоит из бесконечно дифференцируемых функций, следовательно, его размерность не зависит от s ^ 0.
170 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Область значений оператора % (Л, В) описывается следующим образом: рассматривается нуль-пространство N(%+) формально сопряженного оператора ЭД(Л+, 5+), состоящее также из бесконечно дифференцируемых функций. Область значений оператора 51 (Л, β) состоит из тех и только тех наборов Ф = {/. ЙГО gm-l) €Ξ HSP (Ω) Χ Π θ*»-*/-1'"* (Γ) , для которых (φ, υ) = J fv dx + J) J gjSfvds = 0 Ω /=0 Γ при любой ν <^ N(%+) (здесь операторы Sf те же, что и в формуле Грина, см. п. 3). Таким образом, исходная краевая задача разрешима, если набор Φ правых частей удовлетворяет конечному числу условий ортогональности (Ф, vk) = 0, где vh — какой-нибудь базис в конечномерном пространстве Ν(*Ά+). Нетеровость оператора 21(Л,5), отвечающего эллиптической краевой задаче, установлена в тех же пространствах (при достаточно большом s) также и в том случае, когда система граничных выражений {Bj(s,D)} не обладает свойством нормальности. Здесь сопряженная задача уже не будет дифференциальной. Доказательство я-нормальности получается снова из неравенства коэрцитивности. Для доказательства конечности дефекта области значений либо устанавливается аналогичное неравенство для сопряженного оператора, действующего в сопряженных пространствах (с отрицательными индексами), либо строится правый регуляризатор (см. § 1, пп. 5, 6, 9, 10). Литература: [3], [102], [1151, [132]. 5. Полный набор гомеоморфизмов, осуществляемых эллиптическим оператором. Для регулярной эллиптической задачи можно ввести оператор Я ортогонального проектирования (в смысле обычного скалярного произведения функций в Ω) параллельно подпространству yV(9l). Оказывается, что оператор Ρ действует и непрерывен во всех пространствах #Ρ(Ω) (— оо < / < оо) *). Аналогично можно ввести оператор ортогонального проектирования Q+ (в смысле скалярного произведения (Φ, ν), введенного *) Если не оговорено противное, то под пространством Hsp (Ω) (Hsp (Г)) с отрицательным s понимается сопряженное пространство ко всему пространству H~s (Ω) {H~p~s (Г)) в смысле обычного скалярного произведения функций в Ω (Г) (см. гл. II, § 1, п. 5),
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ 171 в предыдущем пункте) наборов Φ = {/, go, ..., gm-i) параллельно подпространству наборов V = {υ, So"и, ..., Sm-ιν], где υ пробегает Λ/(91+). Оператор Qm-ι также действует и непрерывен во всех пространствах m-l Ηιρ (Ω) Χ Π Hlm~mr^1 (Г) (- оо < I < оо). /=о Основное утверждение предыдущего пункта можно теперь сформулировать так: для регулярной эллиптической краевой задачи-замыкание оператора % (Л, В) при s ^ 0 взаимно одно- значно и взаимно непрерывно (г. е. гомеоморфно) отображает пространство PH2pm+s(Q) на пространство I m-l Q+{HSP(Q)X ПЯрт~т'~1/Р+'(Г) Во многих задачах приходится решать эллиптические уравнения, содержащие в правых частях негладкие функции или даже обобщенные функции. Так, например, задача об отыскании функции Грина, отвечающей эллиптическому дифференциальному выражению А(х, D) и системе граничных выражений Bj(s,D)f имеет вид А (х, D) и = 6Xq (χ) и Bj(s1D)u = 0 / = (0, ..., т — 1), где δχο (х) — функция Дирака (см. гл. II, § 1, п. 3). В связи с этим описанный выше набор гомеоморфизмов требуется расширить. Ниже описываются некоторые результаты, полученные в этом направлении. __ Вводится пространство ΗΡ(Ω) как пополнение С°°(Ω) по норме 2т—1 . \ 1/р «иЧ«,-("и^«,+ §||7 в£-/-1/Р(г); Если /^2т, то, в силу теоремы о следах (см. гл. II, § 1, п. 5) эта норма эквивалентна норме в Ηιρ(Ω) и поэтому Ηιρ(Ω) = — Ηιρ(Ω) при l^2tn. При 0 < / < 2т пространство Ηιρ(Ω) изо- т-1 метрично подпространству пространства Ηιρ(Ω) Χ Π Яр""/_1/р(Г), /=/ при /<0 Яp(Ω) изометрично пространству- Нр (Ω) Χ 2т-1 Χ Π Ηιρ~!~λ1ρ (Г). Введенная норма удобна тем, что любое дифференциальное выражение порядка г-<2га или граничное выражение порядка r-<2m—1 порождает на множестве 0°°(Ω) оператор, замыкание которого является ограниченным
172 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ оператором, действующим из пространства Hlp(Q) в пространстве #ρ~Γ(Ω) или Яр~г"1/р(Г) соответственно. Предельным переходом формула Грина (см. п. 3) обобщается на тот случай, когда i/GtfJ(Q) и υ е Нр~2т (Ω), где /-—любое целое число. На пространствах Ηιρ(Ω) также определяется проекционный оператор Р, о котором выше шла речь. При любом целом s оператор 21 (Л, В) осуществляет гомеоморфное отображение пространства PH2pm+s (Ω) на пространство Q+ [н8р (Ω) X Ц Bf-mr^+s (Г) Интерполяционные теоремы (см. § 4, п. 3) показывают, что оператор 21 (Л, В) при нецелых s гомеоморфно отображает на пространство / m-l Q+[HSP{Q)X Д^и-иг1/"+'(Г) пространство, полученное методом комплексной интерполяции между пространствами PH2pm+s(Q) и ΡΗ[Ρ + 1](Ω). При этом, если s^O или s^—-2/7Z, то это промежуточное пространство снова совпадает с Ρ#^+5(Ω). Таким обрлзом удается определить, как меняется при отображении 21 (Л, В) прообраз пространства / m-l Q+ ί Hsp (Ω) Χ Π B2pm-mrl/p+s (Γ) при всех вещественных s. Для характеристики пространств H2pm+S{Q) можно указать, что они получаются из C°°(Q) пополнением по норме 11«11йГ5(£2) = 11«11яГ+,(£2) + Н«||Яр(£2). Литература: [102], [134]. 6. Спектр и резольвента эллиптического оператора. В этом пункте рассматривается оператор, порожденный регулярной краевой эллиптической задачей с однородными краевыми условиями А(х, D)u = f в Ω, Bj(s,D)u = 0 на Г (/ = 0, ..., т— 1).
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ 173 Оператор А рассматривается как оператор, действующий в пространстве LP(Q) (1 < ρ < оо), заданный формулой Аи = = A(x,D)u на области определения #ρ™Γρ(Ω). Это линейный замкнутый неограниченный оператор. Может случиться, что оператор А не имеет ни одной регулярной точки. Если у него существует хотя бы одна регулярная точка λ0, то из неравенства коэрцитивности для оператора A(xyD) — λο и теорем вложения немедленно вытекает, что резольвента /?л0 (А) = (А —- λο/)""1 является вполне непрерывным оператором и, следовательно, спектр оператора А является чисто точечным и дискретным. Резольвента R%{A) является меро- морфной функцией, операторы в главной части ее разложения в ряд Лорана конечномерны. Имеется следующий достаточный критерий существования регулярных точек: пусть для некоторого θ (—π ^ θ ^ π) выполнены условия: 1) |л'(%|)| ^ eiQ пРи всех l^Q и х е Ω; 2) многочлены В] (s, ξ + τν) от переменного τ линейно независимы по модулю каждого многочлена m Π (*-#(* 1> λ)). 1=1 в котором avg% = θ, a tf (s, ξ, λ) —корни многочлена A'{s, | + Η-τν) —λ, лежащие в верхней полуплоскости. Тогда все достаточно большие по модулю значения λ на луче argA = 6 являются регулярными точками оператора Л. Для его резольвенты в пространстве LP(Q) справедлива оценка Ык(Л)\\<с\КГ1 (агёЯ = 6, |λ|>α). В пространстве Ζ,2(Ω) условия 1), 2) являются и необходимыми для справедливости приведенной оценки на резольвенту. Условия 1), 2) допускают эквивалентную формулировку. В (п + 1) -мерном пространстве точек (x,t) рассматривается цилиндрическая область ΩΧ(—оо, оо) и в ней дифференциальное выражение Условие 1) означает, что это выражение эллиптично. Условие (2) равносильно тому, что граничные выражения Bj(s,D) во всех точках границы ГХ(—оо, оо) удовлетворяют условию на- крывания относительно этого эллиптического выражения.
174 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Оценка на резольвенту выводится из более общего неравенства, являющегося следствием неравенства коэрцитивное™ для написанного выражения от а -\- 1 переменного: 2|Я|1-//2т||Ы||йг^<с||(Л-Я/)и|| Пусть теперь существуют N лучей argλ = θ^ (k = 1, ..., Ν), для каждого из которых выполнены условия 1), 2) и которые делят комплексную плоскость на секторы с углами, не превосходящими 2тп/п. Тогда собственные функции оператора А и присоединенные к ним будут одними и теми же в пространствах LP(Q) (1 < ρ < оо). Они образуют полную систему в каждом пространстве LV(Q) и, более того, они образуют полную систему и в каждом пространстве #ртгр (Ω). Если для некоторого луча arg?u = 0o не выполнено хотя бы одно из условий 1) или 2), а для всех лучей в окрестности этого луча выполняются условия 1) и 2), то в направлении луча avgK = Qo происходит сгущение собственных чисел оператора/!. Если исходная задача является формально самосопряженной, т. е. А (*, D) = А+ (х, D) и Bf {χ, D) = β/~ (*, D) (/ = 0, ... ..., га — 1), то условия 1) и 2) выполнены при всех θ (кроме, быть может, 6 = 0 и θ = π), и оператор А является самосопряженным и имеет вещественный дискретный спектр. В этом случае коэффициенты Л7 (я, ξ) вещественны и можно предположить, что А' (х, |) > 0 (ξ φ 0). Тогда для того, чтобы собственные числа были ограниченными снизу, необходимо и достаточно, чтобы условия 1) и 2) выполнялись при θ = π. Бывают регулярные самосопряженные эллиптические краевые задачи, в которых спектр неограничен снизу и сверху. Если главные части операторов А(х, D) и {Bj(siD)} образуют формально самосопряженную систему, то, так как условия 1) и 2) зависят только от главных частей, они будут снова выполнены при 0<|θ|<π. Собственные и присоединенные функции оператора А образуют полную систему во всех пространствах LP(Q) и #pmrp(Q) (1<р<оо). Положительная полуось (при условии А'(х, ξ) ;> 0) является направлением сгущения собственных чисел. Отрицательная полуось не является или является направлением сгущения в зависимости от того, выполнены или не выполнены условия 1), 2) при θ = π. В любом секторе Ό <С ε ^ | arg λ | ^ π — ε имеется лишь конечное число собственных чисел и для достаточно больших по модулю |λ| справедлива оценка Ык(Л)\\<се\ХГ\ Литература: [116], [140].
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ 175 7. Эллиптические системы. Рассматривается система линейных дифференциальных выражений Σ Atk{x, D)uk{x) (/=1, ..., Ν). Этой системе отвечает полиномиальная по ξ матрица {Aih(x, ξ)), по которой строится квадратная /V χ N матрица главных частей (A'tk {χ, I)) с определителем χ{χ, l) = det{A'ik{x, I)). Пусть T = (ku ···, kN)—какая-либо перестановка из чисел (1, ..., Ν) и R(T) = alk + ··· + aNk > где «fft — порядок многочлена A'ik(x> Ό- Через R обозначается максимум R(T) по всем перестановкам. Система называется невырожденной, если число R совпадает с порядком многочлена %{х,1). Число R называется порядком системы. Система называется эллиптической в области Ω, если она невырождена и главная часть χο(χ, ξ) характеристического многочлена χ(χ, ξ) не равняется нулю при любых χ^Ω и ξ Φ 0. Для эллиптической системы можно подобрать целые числа 5„ . .., sN, tlt ..., tN так, что aik^Si + tk и s, + ... + sN + + *ι + · · · + *лг = R- Главной частью матрицы (Aik(x, ξ)) называется* матрица (A°ik {χ, ξ)), где Л?* (я, ξ) — сумма всех членов многочлена Aik {χ, ξ), порядок которых равен st· + ^ (если таких членов нет, то А% = 6). Для эллиптической системы %0{х, ξ) = = detU?*(*> ξ)). Условие правильной эллиптичности требует, чтобы многочлен %о{х, ξ) был четным (/? — 2т) и чтобы при любых фиксированных линейно независимых векторах ξ' и ξ" и любом χ <= Ω многочлен χο(ξ' + τξ") οτ τ имел ровно m корней в верхней полуплоскости. Рассматривается m граничных дифференциальных выражений N ΣΒΙ(Ι(81 D)uq (j = U ..., m; 5εΓ). (7=1 Пусть m/i7 — порядок многочлена β/^(5, |). Вводятся числа т/ = max (mjq — tq). Тогда mjq ^ /П/ + ^. В каждом много- 1<<7<ЛГ члене Biq(st ξ) отбрасываются все члены, имеющие порядок меньше, чем m7· + tr Матрица из оставшихся многочленов (5/^(5, ξ)) называется главной частью матрицы {B,jq(sy ξ)).
176 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Условие накрывания или условие дополнительности состоит в том, чтобы строки /ηΧΛί матрицы (В% (5, ξ + τν)) · {%lt (s, ξ + τν)), где ^°ki{sf ξ) — алгебраическое дополнение к A°ik(s, Q в матрице (A°ik{s, ξ)), были линейно независимыми как многочлены от τ m по модулю многочлена Π (τ —τ^ (5, £)), где т+ (5, I) — все корни многочлена χ0(5, ξ + τν), лежащие в верхней полуплоскости. Здесь ν —- орт нормали к поверхности Г. Краевой задаче ΣΑίΗ(χ, D)uk = fi в Ω (/=1, ..., ΛΟ, k 2iBjq{s, D)uq = gi на Г (/=1, ..., m) q отвечает оператор 51 (Л, β), отображающий набор функций (Ui9...9uN), в котором ^еЯ^(й) (1</7<оо), в набор функций (ft, ..., /ν» gi, ..., gm), в котором ϊ.ς=Ηι~8ι(Ω) и ^^^^"^(Г). При этом предполагается, что /^0 и l>maxmk, и поэтому все числа / — mk — 1/р > 0. Один из основных результатов теории эллиптических систем состоит в том, что при выполнении условий эллиптичности и правильной эллиптичности системы и условий накрывания для граничных выражений оператор 51 (Л, В) является нетеровым N как оператор из пространства Д Wlp+tk (Ω) в пространство N m Π Wl~si (Ω) Χ Π Wl~mrЧр (Г). Для оператора, порожденного краевой задачей для эллиптической системы, также имеются теоремы о наборе осуществляемых им гомеоморфизмов. Литература: [118], [137], [141]. 8. Индекс эллиптического оператора. Поскольку оператор 51 (Л, В), порожденный эллиптической краевой задачей, является нетеровым, то возникает вопрос о вычислении его индекса (см. § 1, п. 7). Индекс не изменяется при малых изменениях коэффициентов эллиптической задачи, т. е. является ее топологическим инвариантом. В п. 6 для оператора, порожденного одним эллиптическим выражением, были приведены достаточные условия того, что резольвента его вполне непрерыц-
§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ 177 на, и следовательно, оператор имеет индекс 0. Решение проблемы о вычислении индекса операторов эллиптических задач было одним из замечательных достижений алгебраической топологии последнего времени. Оно требует привлечения большого топологического аппарата и здесь изложено быть не может. Однако ниже этот вопрос излагается при некоторых упрощающих предположениях, которые позволяют свести проблему к обозримым топологическим утверждениям. Правильно эллиптическая система дифференциальных выражений N Σ Aik(x,D)uk (ί=1, ..., Ν) рассматривается во всем пространстве /?п. Предполагается, что при больших значениях χ (\x\^k) система переходит в следующую простую систему (_Δ+1)*α, (/ = 1> ..., N)y η где Δ —оператор Лапласа У ~гт · Матрица 2 * {Aik(x, ξ)) £! дхя (8 + *' будет невырожденной при |*|2 + |ξ|2 = &. Таким образом, возникает отображение сферы S2n_1 2я-мерного пространства в группу GL(N, С) неособенных комплексных матриц порядка Ny^N. Всевозможные такие отображения распадаются на классы гомотопных друг другу отображений, т. е. переходящих друг в друга с помощью непрерывной деформации. Совокупность всех таких гомотопических классов приводится во взаимно однозначное соответствие с муожеством всех целых чисел следующим образом: для каждого отображения Φ определяется его степень degCD, являющаяся целым числом; если степени двух отображений равны, то отображения гомотопны. Степень отображения S п~~ —->GL{N> С), порожденного эллиптической системой, равна индексу нетерова оператора % (Л), порожденного этой системой. Для описания процесса вычисления степени отображения Φ следует предварительно заметить, что путем дописывания к системе новых независимых простых дифференциальных выражений можно число N увеличить, чтобы было Ν ^ п. В этом случае матрицу Ф(х, ξ) = (Gtft(x, ξ)) можно непрерывной деформацией преобразовать к матрице вида
178 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где Я = {Hik (χ, Ι)) — унитарная матрица порядка п. Рассматривается, например, первая строка этой матрицы (Яп(лг, ξ),. . . ..., Hln(x,Q). В силу унитарности 2| Hik (χ, ξ) |2== 1. Таким k образом, точка с координатами (Re Hu, 1тЯп, ..., ReHln, Im Я1/г) = Ψ (χ, I) лежит на сфере S2n~l пространства R2n. Исходное отображение Φ (я, Q порождает отображение Ψ(χ, ξ) сферы S2n~l в сферу S2n~K Для такого отображения известно понятие его степени, которая, грубо говоря, равна алгебраическому числу точек первой сферы, переходящих в одну и ту же точку второй сферы. Тогда Сформулированное выше предложение об индексе оператора 91 (А) относится к оператору, порожденному системой дифференциальных выражений, например, в пространствах Wl2(Rn) (см. гл. II, § 1, п. 5). Литература: [117].
ГЛАВА IV ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Абстрактное гильбертово пространство 1. Понятие гильбертова пространства. Пусть Η — линейная система с умножением на комплексные числа, каждой паре элементов которой поставлено в соответствие комплексное число (х,у), обладающее свойствами: а) (*,#) = (#>*)> в частности, (х, х) вещественно; б) (*!+ х2, У) = (х\,у) + (Х2, у)\ в) (λχ, у) = λ(χ, у) для любого комплексного числа λ; г) (х, х) ^ 0, причем (л:, х) = 0 только при χ = θ. Число {χ, у) называется скалярным произведением. Если Η — линейная система, допускающая лишь умножение на вещественные числа, то скалярное произведение предполагается вещественным. Из аксиом а) — г) вытекают следствия: 1) (х, У\ + У2) = (х> У\) + (х> ifc); . 2) (χ, Ху) = λ (χ, у); 3) неравенство Буняковского — Шварца \{χ, y)\<VW^)V{y7Vy По скалярному произведению в Η можно ввести норму \\x\\ = V(x7x), после чего <Н становится линейным нормированным пространством. Если Η бесконечномерно и полно по введенной норме, то оно называется гильбертовым пространством (комплексным или вещественным). Из определения видно, что всякое гильбертово пространство является банаховым. Если Η бесконечномерно, но не полно, то его часто называют предгильбертовым пространством. Пополнение предгильбертова пространства будет гильбертовым, Литература: [1], [9], [39], [52].
180 I Л, IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2. Примеры гильбертовых пространств. Как известно, в я-мер- ном евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов х = Ци Ь, -·, In} и у — {ци Л2, ..., Цп} обычно находится по формуле η (χ> у) = Σ Ыи а в Аг-мерном унитарном (комплексном евклидовом) пространстве— по формуле η (*· у)=Ъ ΙΑι- Аналогично вводится скалярное произведение в ряде бесконечномерных пространств, после чего они становятся гильбертовыми. 1. Комплексное пространство /2 становится гильбертовым, если положить оо (х, У)= Σ Ιίήί. 2. Пространство L2(a,b) комплекснозначных функций становится гильбертовым, если положить ъ (х, y)=\x{t)W)dt. а 3. Комплексное пространство L2>p{ayb) функций, измеримых на отрезке [а, Ь] и имеющих на этом отрезке суммируемый с весом p(t)(p(t)>0 почти всюду) квадрат модуля, будет гильбертовым, если положить ь (х, y)=jx(t)W)9(t)dt. а 4. Пространства W[(G) С. Л. Соболева (см. гл. II, § 1, п. 5) будут гильбертовыми по отношению к скалярному произведению а а \|ам / Здесь
§ Т. АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 181 5. Пространство функций x(t), определенных и измеримых на всей оси (—оо, оо) и таких, что существует предел τ Hm-oF il*(0l2^<°°> т->оо г1 JT будет гильбертовым, если положить τ (χ, у)= lim -^r x^'ylJidt. г-»оо Ζί JT Пространства из примеров 1—4 сепарабельны, пространство из примера 5 не сепарабельно. Литература: [1], [9], [39], [52]. 3. Ортогональность. Проекция на подпространство. Два элемента χ и у гильбертова пространства называются ортогональными, χ А. у, если (х, у) =0. Элемент JiGff называется ортогональным подмножеству GczH, xLG, если (χ, у) = 0 для любого у <ξ G. Наконец, два подмножества G и Г пространства Я называются ортогональными, GJ-Γ, если любой элемент xgG ортогонален любому элементу у <= Г. Пусть L — подпространство Я. Совокупность всех элементов, ортогональных к L, образует подпространство М, называемое ортогональным дополнением к L. Подпространства L и Μ имеют общим лишь один элемент Θ. Одним из основных свойств гильбертова пространства является следующее. Если L — подпространство пространства Я, то для всякого JieW существует единственное представление x = y + z, где у е L, a zLL. Элемент у называется проекцией χ на L. Он обладает тем свойством, что по сравнению с другими элементами L находится на наименьшем расстоянии от х. Каждый элемент Я разлагается в сумму элементов из подпространства L и его ортогонального дополнения М. Иначе говорят, что Я разлагается в ортогональную сумму L и М: Я = = L-j-M· в соответствии с этим обозначают M = H — L. Из предыдущего вытекает весьма полезное следствие: для того чтобы линейное многообразие L было всюду плотно в пространстве Я, необходимо и достаточно, чтобы не существовало элемента, отличного от нулевого и ортогонального всем элемент там множества L. Литература: [1], [9], [39], [52].
182 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 4. Линейные функционалы. Из неравенства Буняковского —- Шварца следует, что линейный функционал f(x) = (x, и) при фиксированном и<= Η является ограниченным. Оказывается, что этим исчерпываются все линейные ограниченные функционалы на Я, т.е. для всякого f(x)^H* найдется единственный элемент и е Η такой, что f(x) = (x, и), при этом || Л|я· = II и ||я. Таким образом, сопряженное пространство #* изометрично самому пространству Н. Сопряженное пространство рассматривается здесь в смысле, изложенном в гл. I, § 5, п. 9. Гильбертово пространство является самосопряженным и, следовательно, рефлексивным. Всякий линейный функционал f, определенный на L2(a9b), может быть представлен в виде f(x)=j x(t)u(t)dt, а Ь χ 1/2 где tf(f)GL2(c, Ь) и ||Л|=(||и(0Рл] Всякий линейный функционал f, определенный на /2, может быть представлен в виде i=l 1/2 оо / оо где 2|с,Р<оо и ||/||= Σ I с, I2 £=ι \г«=1 Замечание. Иногда удобно линейные функционалы на гильбертовом пространстве Η представлять не через скалярное произведение пространства Н, а через скалярное произведение в некотором другом гильбертовом пространстве. Тогда сопряженное к Η пространство Я* будет уже реализоваться с помощью элементов другой природы. Например, в пространствеW2(G) удобно линейный функционал f(x) представлять через скалярное произведение в L2(G)y т. е. в виде / (Х) = Г χ (/) a {t) dt. G При этом и(t) будет уже, вообще говоря, обобщенной функцией (см. гл. II, § 1, п. 3). Совокупность этих функций образует пространство W% = Литература: [1], [9], [39], [52]. 5. Слабая сходимость. В соответствии с общим определением слабой сходимости (см. гл. I, § 4, п. 3) последовательность эле-
§ ί. АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 183 ментов {хп} сг Η называется слабо сходящейся к элементу х0 (в себе), если (хП9 у)-+(х0, у) (соответственно (хп+р, у) — — (Хпу #)—*0) Для любого элемента у εξ //. Из рефлексивности гильбертова пространства вытекают следующие свойства слабой сходимости: 1) Если последовательность {хп} слабо сходится к х0 и И*п11 -* lUolli то \\хп — ^οΙΙ-^Ο, т.е. последовательность {хп} сходится к х0 сильно. 2) Пространство Η слабо секвенциально полно, т. е. последовательность {хп}, слабо сходящаяся в себе, слабо сходится к некоторому пределу. 3) Из любого ограниченного по норме бесконечного множества элементов пространства Η можно выделить слабо сходящуюся последовательность. Литература: [1], [39], [52]. 6. Ортонормальные системы и базисы. Размерность гильбертова пространства. Система ЦеЛ элементов гильбертова пространства Η (А — произвольное множество индексов) называется ортонормальной (или ортонормированной), если где δαια2 — известный символ, равный единице при αΙ = α2 и нулю при ctj φ α2. Примерами таких (счетных) систем могут служить тригонометрическая система 1 1 1 1 1 cos/, -γ=τ sin /, -7=-cos2t1 —=-sin2/, ... /2π ' Vn ' Vn ' Vn ' VH в вещественном пространстве L2(—π, π) или система е2пш9 /г = 0, ±1, ±2, ... в комплексном пространстве L2(0, 1). В пространстве из примера 5 п. 2 существует континуальная ортонормальная система *° /-οο<λ<οο* Если в Η дана произвольная счетная система линейно независимых элементов hu /г2, ..., hn, ..., то из нее легко можно получить ортонормальную систему с помощью так называемого процесса ортогонализации Шмидта, Именно, полагают е{ — .. ' .. , затем подбирают с2\ так, чтобы h2— с2\е\ было ортогонально еи что всегда возможно, и полагают е2 = „,2 ~~ С2{6{ . Далее под- II "2 ~ ^21^1 || бирают с32 и °ъ\ так, чтобы h3 — с32е2 — c3[ei было ортогонально h-x — £32^2 — ^31^1 е2 и е\9 и полагают е^ = -1Гг ££-J „ и т. д. Ь 3 \\h^-cZ2e2-c^ex\\
184 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Пример. Если в пространстве L2{—1,1) ортогонализовать систему степеней 1, tf t2, ..., tn, ..., то получится система нормированных полиномов Лежандра. Ортогонализация этой системы в пространстве L2,р(—оо, оо) с весом p(t) = e~f2 дает систему полиномов Чебышева — Эрмита. Если {еа} — ортонормальная система в Я, то числа са = = (х, еа) называются коэффициентами Фурье элемента χ по этой системе. Какова бы ни была мощность системы {еа}, для каждого ^£Й среди коэффициентов Фурье са имеется не более чем счетное множество отличных от нуля. Этот факт связан с тем, что линейная комбинация 2 £*£α· Дает наилучшую аппрокси- i=\ l η мацию χ по сравнению с другими комбинациями вида 2 у.еа , т. е. *» 2 Са,еа> ί=1 < X_2V'S Иначе говоря, 2 Са.еа. есть проекция элемента χ на под- пространство Ln, натянутое на элементы еа, £а2> ..., еап. Для б„ справедлива формула б«=и*и2-2К12> из которой и следует утверждение о конечности или счетности множества отличных от нуля коэффициентов са. Выражение 2са*а представляет собой ряд (или конечную сумму), назы- α ваемый рядом Фурье для элемента х\ коэффициенты са удовлетворяют неравенству Бесселя: 2К12<1ИР· α Элемент хг =2^α^α есть проекция χ на замкнутую линей- α ную оболочку L системы {еа}. Если L совпадает со всем Я, т. е. линейная оболочка системы {еа} плотна в Я, то система {еа} называется полной (или замкнутой). Необходимым и достаточным условием полноты является равенство Парсеваля Н*1Р = 2К12 α для любого хей.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 185 Полная ортонормальная система {еа} называется^еще орто· нормальным базисом гильбертова пространства Я. Любой вектор Jietf единственным образом разлагается в ряд Фурье а который сходится по норме пространства Я. Во всяком гильбертовом пространстве Я существует орто- нормальный базис. Более того, любую ортонормальную систему векторов в Я можно «достроить» до ортонормального базиса. В данном пространстве Я все ортонормальные базисы равно- мощны. Эта общая мощность совпадает с размерностью Я. Все гильбертовы пространства одной размерности попарно изомет- ричны. Сепарабельность гильбертова пространства Я равносильна существованию в Я счетного ортонормального базиса {eJ^L,, который является и базисом Я в смысле определения из гл. I, § 6. Приведенные выше примеры ортонормальных систем в пространствах L2(—π, π), L2(0, )) и др. были одновременно примерами ортонормальных базисов в этих пространствах. Литература: [1], [9], [39], [48], [52]. § 2. Линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве 1. Линейный ограниченный оператор. Сопряженный оператор. Полуторалинейная форма. Для линейцого ограниченного оператора Л, действующего в гильбертовом пространстве Я, согласно общему определению, || Л ||= sup ||Лх ||= sup Y(Ax, Ax)= sup l/i*M*L. ||*||=1 (*, *)«1 хе=Я г Кх* X) Если в скалярном произведении (Ах, у) зафиксировать //, то получится линейный функционал от х: f(x) = (Ax, у), причем \f(x)\ = \(Ax, 0)|<||А||||*||||у||. Этот функционал может быть представлен в виде (Ах, у) = (х, и), где и е Я. Соответствие у-+и порождает линейный ограниченный оператор и = А*у. По определению (Ах, у) = (х, А*у).
186 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Оператор Л* называется сопряженным оператором к Л. Это определение согласуется с приведенным в гл. I, §5, п. 9. Функция 1(х,у) от двух элементов χ и у гильбертова пространства Η называется полуторалинейной формой, если она линейна по χ и антилинейна по у, т. е. если / (а{х{ + а2х2, у) = а{1 (х{, у) + <х2/ (х2, у) и I (*. βιί/ι + β2ί/2) = [V (*. 0ι) + Ы (х, 02)· Примером полуторалинейной формы является скалярное произведение (х, у) в Н. Полуторалинейная форма называется ограниченной сверху, если \1(х, У)\<с\\х\\\\у\1 при этом наименьшее возможное значение константы с в этом неравенстве называется нормой полуторалинейной формы. Если Л— линейный ограниченный оператор, то форма I (х> У) = (Аху у) полуторалинейна и ограничена. Обратно, всякой ограниченной полуторалинейной форме соответствует единственный линейный ограниченный оператор Л, для которого справедливо предыдущее равенство. При этом норма полуторалинейной формы равна норме оператора. Полуторалинейная форма ограничена снизу, если при любом χ е Η \l(x, x)\>k\\x\\2, k>0. Оператор, отвечающий форме, в этом случае имеет ограниченный обратный оператор. Значения формы 1(х, у) = (Ах, у) вполне определяются значениями соответствующей квадратичной формы (Ах, х). Действительно, 1{х> У) = U (хи Х\) — I (*2> *2)] + i[I (хз> Хз) — 1 (х4> х*)]> где *ι = 72(* + #); Х2 = 1/2(х — У)\ *з = 72(* + Ч/); *4 = 1/2(*—iy)- Оператор А однозначно определяется своей квадратичной формой (Αχ,χ): если (Αχ,χ) — (Βχ,χ), то А = В *). Форма 1*(х, у)=1(у,х) называется сопряженной к форме 1(х,у). Если форме 1(х,у) отвечает оператор Л, то форме 1*(х,у) отвечает оператор Л*. *) Последние утверждения справедливы лишь в комплексном гильбертовом пространстве.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 187 Пусть пространство Η сепарабельно и {et}— ортонормальный базис в Я. Тогда оо Aek = 2 aikeh при этом aik = (Aek, et). оо оо Если #=2ΐ/0/ и у=2'П/е/» т0 /=1 /=1 оо оо Αχ = Σι 2 S/fli/^/ и (Лх, #) = 2 «ί/ξ/ήί. /<=1 ί=1 /, /=1 Матрица (αίΛ) называется матрицей оператора А в базисе {вг}. Матрицей сопряженного оператора А* будет матрица (a>ik) = (uki)- Для ограниченности оператора А (а значит, и оператора Л*) необходимо, чтобы оо оо 2l^fel2<°° и 2|α^Ι2<°° (/=1,2,...). Эти условия не являются, однако, достаточными для ограниченности оператора, заданного матрицей. Примерами достаточных условий являются: 1. Если 2|fli*l<Ai и 2|я«1<А1 (/=1,2,...), где Μ не зависит от /, то оператор А ограничен. 2. Если 2 |a*J2< °°> 1/2 называют ино- то оператор А ограничен. Число I 2 I сци Ι2 ί I t. fe=l J гда абсолютной нормой оператора Л (см. п. 7). Эффективно проверяемые необходимые и достаточные условия ограниченности оператора, заданного в матричной форме, неизвестны. В функциональном пространстве L2(a,b) наиболее распространенным классом ограниченных линейных операторов являются интегральные операторы вида ъ Ах = [ K(t, s)x(s)ds.
188 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Для ограниченности интегрального оператора в гильбертовом пространстве L2(a,b) достаточно, чтобы существовало число Μ такое, что ъ ъ j\K(x, y)\dy<M и j\K(x, y)\dx<M. а а Достаточным условием ограниченности является также суммируемость квадрата ядра K(t,s) по двум переменным: ъ ь J \\K(U s)\2dtds <oo а а (СМ. П. 7). Литература: [1], [39], [50], [52]. 2. Унитарные операторы. Линейный оператор U, отображающий все гильбертово пространство Я на все Я с сохранением нормы: \\Ux\\ = \\x\\, называется унитарным. Примером унитарного оператора в координатном гильбертовом пространстве /2 служит оператор, переводящий элемент а: в элемент у путем фиксированной перестановки координат элемента х. В комплексном пространстве L2(a,b) унитарным оператором является оператор умножения на функцию еш, с — действительное число. В пространстве L2(—оо, ос) унитарным является оператор сдвига Asx = x(t 4- 5). Действительно, оо оо J|*(*)P<tt= j\x(t + s)\2dt. — 00 —00 Аналогичные унитарные операторы возникают при рассмотрении операторов сдвига функций, определенных на группах с инвариантной мерой или на динамических системах. Унитарные операторы обладают свойствами: 1) (£/*, Uy) = {x,y) (χ, ye Η). 2) Существует оператор ί/"1, обратный к унитарному, причем
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 189 (это свойство может служить определением унитарного оператора). 3) Произведение унитарных операторов есть снова унитарный оператор. Унитарные операторы образуют группу. Если λ есть собственное число унитарного оператора ί/, τ. е. существует элемент е Φ θ такой, что Ue = Ke, то |λ| = 1. В пространстве L2{a, b) можно дать аналитическое описание всех унитарных операторов (см. [50]). Ряд функциональных преобразований, применяемых в анализе, порождает унитарные операторы. Из них особенно важным является преобразование Фурье — Планшереля, задающееся для функций f e L2{—оо, оо) формулой оо — оо или более простой формулой (см. гл. II, § 1, п. 4) оо — оо в которой интеграл нужно понимать как предел в среднем по t (в норме L2(—оо, оо)) интеграла от —N до N при N—>оо. Оператор У является унитарным в L2(—оо, оо). Обратный к нему оператор задается формулой оо &~lg(t) = f(t) = yL· \e«'g{$)ds. —оо Обобщением унитарного оператора является изометрический оператор. Это линейный оператор, отображающий с сохранением скалярного произведения, а следовательно, и нормы, подпространство Н\ гильбертова пространства Η на подпространство #2 того же или другого гильбертова пространства. В случае, когда И\ = #2 = Н, изометрический оператор превращается в унитарный. Частично изометрическим оператором называется линейный оператор в гильбертовом пространстве Я, который на подпространстве H{czH изометричен, а на его ортогональном дополнении Н — Н\ обращается в нуль. Если U частично изометричен, то и оператор U* частично изометричен. Оператор U*U является оператором проектирования на подпространство Н\. Литература: [1], [39], [48], [50], [52].
190 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 3. Самосопряженные операторы. Линейный ограниченный оператор, совпадающий со своим сопряженным, Л=Л*, называется самосопряженным. Для самосопряженного оператора (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х). Полуторалинейная форма, обладающая тем свойством, что 1(х, у) = 1{у, х), называется эрмитовой. Всякой ограниченной эрмитовой форме соответствует ограниченный самосопряженный оператор. Квадратичная форма (Ах, х), соответствующая самосопряженному оператору, вещественна. Нижней и верхней границами самосопряженного оператора называются соответственно числа m= inf (Ах, х) и М= sup (Ax, х). 11*11=1 II лс Ц—1 Норма оператора А равна наибольшему из чисел \т\ и |M|i || А || = max (| т |, | Μ \) = sup | (Αχ, χ) |. II х 11=1 Если нижняя граница неотрицательна, т. е/ (Ах, х)>0 при любом χ е Η и А Ф 0, то оператор называется положительным. Если ограниченный оператор задан матрицей (aih), то он будет самосопряженным в том и только в том случае, когда соответствующая ему матрица эрмитова, т. е. Ограниченный интегральный оператор в L2(a,b) с ядром K(t,s) будет самосопряженным, если K(t, s) = K(s,t). Всякий ограниченный самосопряженный оператор в L2(a,b) может быть представлен в виде интегрального оператора, но под ядром K(t,s) уже следует понимать не обычную функцию, а обобщенную (см. гл. II, § 1, п. 3). Собственные числа самосопряженного оператора вещественны, собственные элементы, соответствующие различным собственным числам, взаимно ортогональны. Литература: [1], [39], [50], [52]. 4. Представления операторов через самосопряженные. Любой линейный ограниченный оператор А можно представить в виде _ л + Л* а-А* Л~ 2 ^ Τι '
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 191 при этом операторы Re А = -^{А + Л*), Im Л = -^-(Л — Л*) называются действительной и мнимой частью оператора А и являются самосопряженными. Если Re Л = у(Л + Л*) является отрицательным оператором, то оператор А называется диссипативным. Линейный ограниченный оператор Л называется нормальным, если операторы Л и Л* коммутируют. В этом случае операторы Re Л и 1тЛ также коммутируют. Для любого линейного ограниченного оператора Л операторы АА* и А*А являются самосопряженными и положительными. Важную роль играет полярное представление оператора: всякий линейный ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве может быть представлен в виде A = UR, где R — положительный самосопряженный оператор, a U — частично изометрический оператор. Оператор R определяется единственным образом как УА*А (определение корня квадратного из положительного оператора см. ниже в § 3, п. 1) и часто обозначается через |Л|. Оператор U изометрически отображает замыкание области значений оператора Л* на замыкание области значений оператора Л. Справедливо представление Л* = RXU, где U — тот же оператор, что и выше, a Rx = ]/АА* . Если оператор Л нормален, то в его полярном представлении оператор U можно выбрать унитарным. Операторы \А\ и U коммутируют между собой и коммутируют с каждым оператором, коммутирующим с Л и Л*. Литература: [1], [24], [39]i [43]. 5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы. Если самосопряженный оператор Л вполне непрерывен, то все пространство Η может быть разложено в ортогональную сумму двух подпространств: Я = #0-j- Н\ так, что Ах0 = О при любом Хо^Н0, а в пространстве #' существует ортонормальный базис {Xi}, состоящий из собственных элементов оператора Л, соответствующих ненулевым собственным числам λ* φ 0. Таким образом, для любого хеЯ X = X0+2ci*i=*0+2j(*> Xi)Xi i ί И Ах = 2 hctXi = 2 λ; (χ, χι) xt. В частности, отсюда следует, что самосопряженный вполне непрерывный оператор, не аннулирующийся на всем пространстве,
192 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ имеет по крайней мере одно собственное число, отличное от нуля. Пространство Я0 состоит из собственных векторов оператора Л, отвечающих собственному значению λ = 0. Выбирая в этом пространстве произвольный ортонормальный базис {^}, мы получим ортонормальный базис {^} + [е^ в пространстве Я, состоящий из собственных векторов оператора Л. Собственные числа и собственные векторы самосопряженного вполне непрерывного оператора могут быть получены следующим процессом: форма (Ах, х) на единичной сфере пространства Я достигает наибольшего по абсолютной величине значения на * некотором элементе Х\. Оказывается, что Ах\ = = λι*ι, где К = 04*i, *i) = ± max | (Ах, х) \ = ± \\ А \\ II χ 11=1 (знак + или — совпадает со знаком (Ахи Χι)). Пусть Η ι — ортогональное дополнение к хх в Я. Подпространство Н\ инвариантно относительно оператора Л. Если оператор А аннулируется на любом элементе из Яь то процесс на этом останавливается; если же Αχ Φ 0, то форма (Лаг, х)Ф0 и достигает на единичной сфере пространства Нх наибольшего по абсолютной величине значения на элементе лг2. При этом Ах2 = λ2*2> где λ2 = ± max | (Ах, х)\ и х2 е Нх. ||* ||=Ι; же Я, Из построения следует, что |λ2|^|λι|. Продолжение процесса приводит к конечной или очетной полной в Я' системе собственных элементов оператора Л. Пусть %f, %t, ... — положительные собственные числа оператора Л, расположенные в порядке убывания, а λΓ, λΓ, ... — отрицательные собственные числа, расположенные в порядке возрастания (кратные собственные числа повторяются столько раз, какова их кратность). Собственные числа обладают следующим минимаксимальным свойством: пусть zu ..., zn— любые элементы Я и Μ(ζ\>ζ2, ..., ζη) — максимум формы (Ах, х) на всех элементах х, удовлетворяющих условиям || χ || = 1 и (χ, ζ{) = (χ, ζ2) = ... = (χ, ζη) = 0. Тогда наименьшее значение функции Μ(ζχ, ζ2, ..., ζη) при всевозможных системах (z[y z2, ..., zn) элементов из Я будет равно λί+ь Аналогично λη+\ — maxmfo, z2, ..., ζη), где m(zx, z2, ..., zn) — минимум формы (Αχ, χ) на элементах х, удовлетворяющих предыдущим условиям.
$ 2 ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 193 Самосопряженный вполне непрерывный оператор будет положительным тогда и только тогда, когда все его собственные числа неотрицательны. Свойства самосопряженных вполне непрерывных операторов являются обобщением свойств интегральных операторов с симметрическим ядром, рассматриваемых в теории интегральных уравнений. Обобщением интегрального уравнения является уравнение χ — μ Ах = у. Если А — самосопряженный вполне непрерывный оператор, и число l/μ не совпадает ни с одним из его собственных чисел, то для решения написанного уравнения справедлива формула Если Ι/μ совпадает с одним из собственных чисел оператора Л, то решение существует лишь при том условии, что элемент у ортогонален всем собственным элементам, соответствующим собственному числу l/μ. В этом случае одно из решений может быть получено по т.ой же формуле, если в ней отбросить члены, содержащие λ* = 1/μ. Литература: [1], [45], [50], [52]. 6. Вполне непрерывные операторы. Кроме основного определения вполне непрерывного оператора, согласно которому оператор называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество в компактное, для гильбертова пространства существуют эквивалентные определения. 1. Линейный оператор А вполне непрерывен, если он переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся, т. е. если из хп сл·^ х0 следует Ахп-+Ах0 по норме. 2. Линейный оператор А вполне непрерывен, если для любых последовательностей {хп} и {уп}, слабо сходящихся к xq и г/о, справедливо равенство lim (Axn, Уп) = (Ах0> Уо)> П->оо г. е. форма (Ах, у) является слабо непрерывной функцией χ и у. Если А вполне непрерывен, то и А* вполне непрерывен. Полезным является утверждение: если АА* вполне непрерывен, то и А вполне непрерывен»
194 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Конечномерный оператор в гильбертовом пространстве И может быть представлен в виде η или подробнее η Ах = 2 (х, Ч) Ук, где xk и tjh (k = 1,2,..., /г) — фиксированные элементы Я. Если система уъ (k = 1,2,..., η) линейно независима, то число /г, равное размерности области значений оператора Л, называется рангом конечномерного оператора Л. Для вполне непрерывных операторов возможно представление, аналогичное написанному выше. Числа μ > 0, при которых существуют ненулевые решения системы Αχ = μ#, А*у = μχ, называются особыми значениями (или характеристическими числами) оператора Л, а соответствующие решения х, у — со- юзными фундаментальными элементами Шмидта. Числа μ2 совпадают с собственными числами положительных самосопряженных вполне непрерывных операторов АА* и А*А, поэтому существует лишь счетное множество таких чисел. Особые значения μ, повторенные в соответствии с их кратностями и занумерованные в невозрастающем порядке, называются s-числами вполне непрерывного оператора Л и обозначаются через Si(A). Если оператор Л не является конечномерным, то Si(A) —>0 при г'—юо. Справедливо разложение Шмидта оо Л = 2 Si(A)xt ® yl9 где xiy yi — союзные фундаментальные элементы, соответствующие числам μί = Si(A). Ряд сходится по норме операторов. В развернутой форме разложение Шмидта имеет вид оо Ax=J$St(A)(x, xi)yt. Системы {Xi} и {yi} являются ортонормированными. Для сопряженного оператора имеет место аналогичное представление оо ί=1
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 195 Если А самосопряжен, то ** = #г·, и получается рассмотренное в п. 5 представление. Свойства s-чисел: 1) st(A) = st(A*); 2) для любого ограниченного оператора 5£(БЛ)^||Б||5г(Л) и 5(04£?)<||В||5г(Л). Для двух вполне непрерывных операторов: 3) ί|+Η(Η5)<!(μ) + ϊ/(δ); 4) si+Hl(AB)^si(A)sl(B); 5) |5/(Л)-5Д5ЖЦЛ-Б||; 6) iuu + sxiuc^ + iUis); i=l ί=1 *=1 7) Пмла)<Пмл)Пмя). i=l ί=1 ί=1 Последние неравенства допускают обобщения: 6') если f (s) (O^s < оо) — неубывающая выпуклая функция и f(0) = 0, то tf(Si(A + B)xtf(Si(A) + Si(B)) (л— 1, 2,...); ί=1 . i=l 7') если f(s) (0^5<oo, f(0) = 0) после подстановки s = ef (— oo ^.t < оо) становится выпуклой, то tf(st(AB))^tf(st(A)st(B)) (л = 1, 2, ...)· *=i *=i Имеются соотношения между s-числами оператора А и его собственными числами Яг(Л), занумерованными в порядке убывания модулей с учетом их кратности. Справедливы неравенства | λ, (Л) ... ЯП(Л)|<5,(Л) ... sn(A), Σ\Κ(Α)\Ρ<Σ3Ϊ(Α) (n=l, 2, ..., ρ>1) i=\ 1=1 и более общее неравенство Σί(\λί(Α)\)<Σί(5ί(Α)) (η = 1, 2,...), ί=1 ί=1 где f (s) (0 ^ s < oo,f (0) = 0)— функция, которая становится выпуклой после подстановки s = еК_
196 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Многие свойства s-чисел вытекают из минимаксимального принципа sn+\(A) = min max II Αχ ||/|| χ|| (в частности, s{ (Α) =\\ A ||) ζν...,ζη χ±ζν...,ζη и следующего аппроксимационного свойства: sn+l(A) = min\\A — K\\„ где минимум берется по всем конечномерным операторам /С, ранг которых не превосходит п. Быстрота убывания s-чисел вполне непрерывного оператора характеризует близость его к конечномерным операторам. Однако так же, как и сами свойства вполне непрерывности (см. гл. I, § 5, п. 7) и конечномерности, свойство той или иной быстроты убывания s-чисел оператора есть не столько свойство самого оператора, сколько свойство его области значений. Пусть Hi — гильбертово пространство, компактно вложенное в гильбертово пространство Η (см. гл. I, § 4, п. 10), и / — соответствующий оператор вложения: J χ = χ (χ <= Η\). Оператор PJ будет положительным самосопряженным вполне непрерывным оператором в Н\. Пусть рт — собственные числа этого оператора, занумерованные в порядке убывания с учетом их кратности. Тогда для любого линейного ограниченного оператора Л в Я с областью значений R(A)a H{ Важный пример: пусть А—линейный ограниченный в L2(G) оператор (G — ограниченная область с гладкой границей в Rn) такой, что область его определения R (А) с: W[{G) (см. пример 4), тогда 5т(Л) = 0(т-П Важным в теории вполне непрерывных операторов является вопрос о полноте системы собственных и присоединенных элементов вполне непрерывного оператора (см. гл. III, § 2, п. 4). Для самосопряженного вполне непрерывного оператора существует базис из собственных векторов. Однако если к самосопряженному вполне непрерывному оператору добавить конечномерный, то полученный оператор уже может не иметь полной системы собственных и присоединенных векторов. Так, например, если к интегральному оператору с симметрическим ядром ί (t — l)s при s </, v ' l(s—l)f при s>/ v '
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 197 добавить одномерный оператор ι / J (1 — s)x(s)ds, о то получится оператор Вольтерра t Г (/ — s) χ (s) ds, 0 который вообще не имеет собственных функций. Из имеющегося ряда критериев полноты здесь приводятся следующие: пусть А—такой вполне непрерывный оператор, что значения формы (Ах,х) при любом хеЯ содержатся в секторе комплексной плоскости ξ: |arg||<^- (р>1). Система собственных и присоединенных элементов оператора А полна в пространстве Н, если его особые числа μη, расположенные в порядке убывания, обладают свойством lim η^μη = 0, /1->оо в частности, если сходится ряд Эти условия не очень удобны тем, что в них фигурируют особые числа оператора А. При ρ > 1 в этих условиях можно особые числа заменить на собственные числа вещественной A _l д* а А* \ или мнимой части оператора А (операторов—=-*— или—γ.— I. При ρ = 1, т. е. для диссипативного оператора, система собственных и присоединенных элементов полна, если он имеет конечный след Σ Vn < °°. Однако это утверждение становится несправедливым, если заменить особые числа на собственные числа" вещественной или мнимой части оператора А. Если же и вещественная, и мнимая части диссипативного оператора А имеют конечный след, то система его собственных и присоединенных элементов полна в Н. Вполне непрерывный оператор может вообще не иметь собственных векторов. В связи с приведенным выше примером такие операторы называются вольтерровыми. Спектр вольтеррова
198 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ оператора состоит из точки λ = 0. Глубоким является тот факт, что всякий вольтерров оператор в гильбертовом пространстве (и даже в банаховом пространстве) имеет хотя бы одно нетривиальное (отличное от Η и Θ) инвариантное подпространство. Этот факт позволил построить для вольтерровых операторов теорию, аналогичную приведению матриц к треугольному виду (см. [21,4]). Литература: [1], [20], [21], [24], [48], [50], [176]. 7. Ядерные операторы и операторы Гильберта— Шмидта. Через (2>р обозначается класс всех вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве Я, для которых оо Σ*?И)< оо. Каждый класс ©р является идеалом в алгебре всех ограниченных операторов в Н. Относительно нормы / оо \1/Р \\Α\\ρ=[Σ*ηΑ)) пространство ©р является банаховым. Очевидно, ©р с= ©7 при Р<4- Операторы класса ©ι называются ядерными. Для них оо 2 Si (А) < оо. Из разложения Шмидта (п. 6) следует, что это определение согласуется с общим определением ядерного оператора (см. гл. I, § 5, п. 7). Следом ядерного оператора называется сумма всех его собственных чисел *) оо tri4=2lM4). След обладает свойствами: 1) tr(aA + №) = atr A + fitr В (Л, Ве^); 2) tr A* = trA; 3) tr(AB) = tr(BA); 4) tr(B~lAB) = trA, где В — ограниченный и ограниченно обратимый оператор в Н. След является непрерывным линейным функционалом на банаховом пространстве ©ь *) Иногда след обозначается через sp А.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 199 Весьма важной является следующая формула для следа: tr А = Σ (Аеа, еа), а где {еа}— произвольный ортонормальный базис в Я. Справедливо неравенство причем равенство в нем имеет место в том и только том случае, когда при θ = arg(trЛ) оператор e~iQA самосопряжен и положителен. Для ядерного оператора сходится произведение чисел 1 — — λ*(Л), которое естественно назвать определителем оператора 1-А: det (/ — Λ) = Π (1 — λ, (Λ)). ι Это произведение может состоять из конечного или бесконечного числа сомножителей в зависимости от количества ненулевых собственных чисел у оператора Л. Для вольтеррова ядерного оператора det (/ — Л)«= 1. Определитель det(/—Л) является непрерывным функционалом на пространстве ©ь Если Л — вполне непрерывный, В — ограниченный операторы в Я и Л5^©ь 5Л^@ь то det (/ — АВ) = = det(/ — ΒΑ). Для любых Л, BeSi имеет место равенство det [(I — A) (I —В)] = det [(I —В) (I —A)]. Если {еп} — ортонормированный базис в сепарабельном пространстве Я, то - det (/ - Л) = lim det (δ/Λ - (Aeh ek))nr Π->οο Характеристическим определителем ядерного оператора А называется άθί(/-ζΛ) = Π(1-*ΜΛ)). i Характеристический определитель является целой функцией комплексного переменного ζ, обращающейся в нуль в точках г{ = Ι/λ* (Л). При этом справедлива оценка \det(I -гА)\<ехр(\г\\\А\\{). Характеристический определитель непрерывен в норме пространства ©ι, равномерно на каждом ограниченном множестве комплексной плоскости ζ. Если /(λ) — функция, аналитическая в окрестности спектра ядерного оператора Л и /(0) = 0, то оператор f(A) (см. гл. III» § 3, п. 1) будет также ядерным.
200 ГЛ IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Операторы класса ©2 называются операторами Гильберта — Шмидта. Если А — оператор Гильберта — Шмидта, то оператор А*А будет ядерным и Ιτ(Α'Α) = Σή(Α) = \\Α\ζ. Для любого ортонормированного базиса {еа} в Η 1|Л||2 = {|||Л^|р}1/2 и Mik={2i(A>a. *β)ΐ2}1/2. Для собственных чисел оператора /1g62 справедливо неравенство 21МЛ)|2<||л|. Произведение двух операторов Гильберта — Шмидта является ядерным, поэтому для Л, В е ©2 определена величина (Л, B) = tr(4fi·), обладающая всеми свойствами скалярного произведения. Относительно этого произведения пространство ©2 является гильбертовым. Если оператор А задан матрицей (а,·*) в пространстве /2, то он будет оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда оо H\aik\2< «>. i, к Интегральный оператор Л, заданный в пространстве L2(a,b) измеримым на [a, b]X[a, b] ядром K(tfs), будет тогда и только тогда оператором Гильберта — Шмидта, когда ь ъ J J|/C(f, s)\2dtds <oo, a a причем величина, стоящая слева, равна ЦЛЦг. Если Л — оператор Гильберта — Шмидта, то величины det (/ — Л) и det(/ — zA) могут уже не иметь смысла. В связи с этим вводится понятие регуляризованного определителя оператора Л е ©2 det2 (/ _ Л) =-; Π (1 - λ, (Л)) ^λ^(Л)
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 201 и регуляризованного характеристического определителя det2(/ - г А) = П (1 - гЯ£(Л))е^(Л). Функция det2(/ — zA) является целой аналитической, и справедлива точная оценка |det2(/-^)|<exp(V2^|2M|g). Функционал det2(/ — zA) непрерывен по норме пространства ©2, равномерно на каждом ограниченном множестве ζ. Пусть Rx(Α) = (Α —λ/)-1 — резольвента (см. гл. III, § 2, п. 1) оператора Гильбера — Шмидта А. Функция det2(/ — — 1/λΑ) имеет нули в полюсах резольвенты R%(A) той же кратности. Поэтому функция det(/—l/KA)R%(A) будет в этих точках иметь устранимые особенности. Весьма важным является неравенство Карлемана |det2(/—i^)/?xH)|<U|exp[{(l+i^)]. справедливое во всех регулярных точках λ оператора А. В частности, для вольтеррова оператора Гильберта — Шмидта l|/?xM)||<|X|exp[i(l+^Jr)]. Литература: [20], [24]. 8. Проекционные операторы. Самосопряженными операторами, имеющими наиболее простую структуру, являются проекционные операторы. Пусть L — подпространство пространства Н. Оператором проектирования на подпространство L или, короче, проекционным оператором PL называется оператор, ставящий в соответствие каждому элементу χ его проекцию г/ на подпространство L: у = PLx. Для элемента χ ε L, по определению, PLx = χ. Проекционный оператор самосопряжен, его квадрат равен ему самому, и следовательно, он положителен. Наоборот, если линейный ограниченный оператор Ρ обладает свойствами Р* = = Ρ и Р2 = Я, то он является оператором проектирования пространства Η на свою область значений. Норма проекционного оператора равна 1. Если L конечномерно, то PL конечномерен и, следовательно, вполне непрерывен. Если L бесконечномерно, то Рь не вполне Непрерывен.
202 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Если L\ и L2 — ортогональные подпространства, то Pl1Pl* = = 0, и наоборот. В этом случае операторы Рц и Pl2 называются ортогональными. Свойства проекционных операторов: 1) Для того чтобы сумма проекционных операторов PL] и PLl была проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были ортогональными. Если это условие выполнено, то "ι, ~>~ ^ζ,,^^ζ,,+ζ,ζ- 2) Для того чтобы произведение двух проекционных операторов Pl} и Pl2 было проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы операторы Р^ и PLi были перестановочны. Если это условие выполнено, то ΡιΛ.^Ρι,ηι,· Проекционный оператор Pi является частью проекционного оператора Р2, если ΡιΡ2 = Ρ*Ρι = Ρι. 3) Проекционный оператор Pi является частью проекционного оператора Р2 тогда и только тогда, когда подпространство L\ есть часть подпространства L2. 4) Для того чтобы проекционный оператор Pl2 был частью проекционного оператора Pl^ необходимо и достаточно, чтобы для всех' χ <ξ Η выполнялось неравенство II Pi,* II < II Pi,* II- 5) Разность PL] — PL2 двух проекционных операторов есть проекционный оператор тогда и только тогда, когда PLi есть часть Р^,. Если это условие выполнено, то PLi — Р^г есть оператор проектирования на L{ — L2 (ортогональное дополнение L2 до L{). 6) Ряд попарно ортогональных проекционных операторов оо всегда сильно сходится, и'сумма его есть проекционный оператор Р. Подпространство L, на -которое этот оператор проектирует, называется ортогональной « суммой подпространств Ln, на которые проектируют операторьгРл: оо Ь-2 +Ln. Литература: [1], [39], [50], [52].
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 203 9. Алгебры операторов. Алгебра всех ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Я, обозначается через 3?(Н). Пусть Зй — некоторое подмножество 2?(Н). Коммутантом WI' множества Ш называется совокупность всех операторов, коммутирующих с любым оператором из 2Ю. Коммутант содержит единичный оператор и является подалгеброй алгебры 3? (Я). Коммутант 9Й" коммутанта 2)£' содержит исходное множество операторов TL Оказывается, что W" = W и ЗЯ"" = Ж". Если 51 — некоторая подалгебра 3?(Я), то она называется *-алгеброй, если вместе с оператором А е 51 и оператор А* е 51. Алгеброй Неймана называется всякая *-алгебра 51с=57(Я) такая, что 51 = 51". Это определение эквивалентно следующему: алгеброй Неймана называется *-алгебра с единицей, замкнутая в слабой операторной топологии. Если множество 9Й инвариантно относительно операции ·*, то W — алгебра Неймана, a W — наименьшая алгебра Неймана содержащая 90Ϊ. Пусть для любого WI через 9Я* обозначена совокупность всех сопряженных операторов к операторам из Ж и 31 = 90Ϊ U 9К*. Тогда говорят, что $Д" —алгебра Неймана, порожденная Ж. Центром алгебры Неймана 51 называется подалгебра 51 Π Π 5Г. Фактором называется алгебра Неймана, центр которой состоит из операторов, пропорциональных единичному. Факторы представляют собою наиболее простые алгебры Неймана. Если 51 —фактор, то 51 U 5Г порождает !?(#). Если самосопряженный оператор А входит в алгебру Неймана 51, то любая непрерывная функция /(Л)е51. Спектральная функция Е% также принадлежит 51. Для того чтобы оператор А <= 51 был положительным, необходимо и достаточно, чтобы он представлялся в виде А = S*S, где 5е51. В полярном представлении A = U\A\ любого оператора А из 51 операторы U и \А\ принадлежат 51. Алгебра Неймана порождается своими проекторами. Литература: [44], [63]. 10. Операторы во внешнем произведении гильбертовых пространств. Для гильбертова пространства Я можно построить пространство HW (см. гл. I, § 1, п. 4), элементы которого являются линейными комбинациями одночленов вида ^ιΛλ^Λ ,А ... Ахи (^еЯ). В этом пространстве можно ввести скалярное произведение, положив его на одночленах равным (*i/A х2 Λ ... Λ xk> У\ Λ у2 Λ ... Λ yk) = det [(xh *//)]*/м и доопределив линейно на всем пространстве. Полученное пространство .в ./бесконечномерном случае будет предгильбертовым,
204 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ его пополнение будет гильбертовым пространством Шк\ называемым гильбертовым внешним произведением k экземпляров пространства Н. Всякий линейный ограниченный оператор А в пространстве Η порождает линейный оператор А^ в пространстве #(*), определенный на одночленах формулой А (хх Λ х2 Λ ... Axk) = Ах{ Л Ах2 Л ... Λ Ахк и распространенный на остальные элементы по линейности и непрерывности (см. гл. I, § 5, п. 8). Если А самосопряжен, то и Л<й> самосопряжен. Если А вполне непрерывен, то и Д(*) вполне непрерывен. Норма вполне непрерывного оператора Ak вычисляется по формуле \\Ah\\ = = S[(A) ... Sh{A), где Si(A), ..., sk(A) — первые s-числа оператора А. Отсюда вытекает известное неравенство Г. В ей л я det ((Axr Ах $ < s* (А) ... s\ (A) det ((*,, *,)), где хи ..., Xh — произвольный набор элементов из Я, а определители, стоящие слева и справа, являются определителями Грама. Литература: [3], [20]. § 3. Спектральное разложение самосопряженных операторов 1. Операции над самосопряженными операторами. Сумма двух ограниченных самосопряженных операторов есть снова самосопряженный оператор. Более того, любая линейная комбинация самосопряженных операторов с вещественными коэффициентами является самосопряженным оператором. Сумма положительных операторов есть также положительный оператор. Произведение ограниченных самосопряженных операторов будет самосопряженным в том и только том случае, когда эти операторы перестановочны. Если при этом сомножители положительны, то и произведение положительно. Совокупность самосопряженных операторов замкнута относительно слабой сходимости, т. е. предел слабо сходящейся (см. гл. I, § 5, п. 3) последовательности самосопряженных операторов есть самосопряженный оператор. В совокупности самосопряженных операторов можно ввести соотношение порядка, полагая А ^ β, если А — В — положительный оператор. При этом неравенства между операторами обладают основными свойствами обычных неравенств между вещественными числами. Однако, если для двух разных веще-
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 205 ственных чисел одно всегда больше другого, то этого в общем случае нельзя сказать о двух различных самосопряженных операторах, так как возможен случай, когда форма ((А — В)х,х) для одних χ будет больше, а для других χ меньше нуля. В этом случае операторы А и В называются несравнимыми. Так как существуют и сравнимые и несравнимые самосопряженные операторы, то говорят, что в множестве всех самосопряженных операторов имеется частичное упорядочение или полуупорядочение. Наличие полуупорядочения позволяет ввести в множестве самосопряженных операторов обычным путем ряд понятий, как, например, ограниченные сверху или снизу множества операторов, нижние и верхние грани ограниченного множества операторов, монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности операторов и др. Важным свойством ограниченных последовательностей самосопряженных операторов является следующее: Если {Ап} — монотонно возрастающая последовательность самосопряженных операторов, ограниченная сверху самосопряженным оператором В, то последовательность {Ап} сильно сходится к самосопряженному оператору Α <ζ В и 4 = sup An. η Каждому самосопряженному оператору А соответствует полуупорядоченная алгебра Кл всех ограниченных самосопряженных операторов, перестановочных с А. Алгебра /Сл, вообще говоря, некоммутативна. Эта алгебра содержит сам оператор А и любой многочлен Ρ(Α) = α0 + αιΑ + α2Α2+ ... + апАп от Л с вещественными коэффициентами. Соответствие многочленов от оператора многочленам от вещественной перехменной линейно и мультипликативно, т. е. если P(t) = aQ(t) + №(*)> то P(A) = aQ(A) + №(A), и если P(t) = Q(t)R(t), то P(A) = Q(A)R(A). Более глубоким фактом является положительность этого соответствия в том смысле, что если P(t) ^ 0 на [пг9М]9 где m и Μ — нижняя и верхняя границы оператора Л, то Ρ (Α) ^ 0. Из положительности соответствия следует, что если монотонно возрастающая последовательность многочленов {Pn(t)}9 ограни-
206 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ченных в совокупности на отрезке [т, Λί] числом /С, сходится к функции F(t), то последовательность многочленов {Рп(А)} также монотонно возрастает, ограничена оператором /С/ и, следовательно, имеет сильный предел В = 1\тРп(А). Этот оператор η естественно обозначить через F(A) и назвать функцией от оператора А. Оператор F(A) принадлежит Ка и, более того, перестановочен с любым оператором из Ка- В частности, для положительного оператора А можно ввести функцию В = Υ А. Оператор В положителен, и52 = А_Он однозначно определяется этими свойствами. Определить Υ А можно как предел последовательности многочленов ВПу определяемых из рекуррентного соотношения Βη+ι = Βη + 4%(Α-Β*). Для любого самосопряженного оператора А оператор А2 положителен, поэтому естественно обозначить Υ А2 =| А |. Литература: [1], [39], [45], [50], [52]. 2. Разложение единицы, спектральная функция. Важнейшим классом функций от операторов являются функции, соответствующие характеристическим функциям интервалов вещественной оси. Так как квадрат характеристической функции равен ей самой, то и квадрат соответствующего самосопряженного оператора будет равен ему самому, т. е. оператор будет проекционным. Через Ελ обозначают оператор, соответствующий характеристической функции полуоси (— оо, λ) (τ. е. функции, равной нулю при /^1и единице при t < λ). Семейство проекционных операторов £λ(— оо <; λ < оо) называется разложением единицы, если 1) Ελ ίζ £μ или, что то же, £λ£μ = Ελ при λ < μ; 2) оператор Εχ сильно непрерывен по λ слева, т. е. Ελ-0 = = lim Ελ = Ελ; λ->λ-0 3) существуют числа m и Μ такие, что Ελ = 0 при λ^(—оо, m) и Ελ = I при λ^(Λί, οο). Как было описано выше, всякому ограниченному самосопряженному оператору отвечает разложение единицы £λ. Оператор- функция Е% при этом называется спектральной функцией оператора А. По спектральной функции строится спектральная мера: мерой полуинтервала Δ = [α, β) называется оператор ЕА = = Е$— Еа, мерой точки λ0 называется оператор Εχ0+0 — Ελ0, дающий скачок спектральной функции в этой точке. Спектральная мера обладает замечательным свойством ортогональности:
§ 3 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 207 £д1,пд, = £,\1£'д2 и, в частности, £,д,па2 = 0, если At П А2 = 0. Спектральная мера естественным образом рс :пространяется на наименьшую σ-алгебру множеств, содержащую все точки и полуинтервалы (например, мера отезка [α, β] равна £β+ο— Еа). Спектральная функция £λ перестановочна с любым оператором из Ка- Оператор А может быть восстановлен по своей спектральной функции или мере по формуле м+о А= J λάΕλ, т где справа стоит абстрактный интеграл Стилтьеса. Под абстрактным интегралом Стилтьеса ь J f (λ) dEh a по спектральной мере понимается предел по норме операторов интегральных сумм где Δ^ — частичные полуинтервалы, на которые разбит отрезок [a, b\ avft — произвольная точка внутри Δ&. Обратно, всякому разложению единицы Ελ отвечает ограниченный самосопряженный оператор, построенный в виде интеграла Стилтьеса, для которого Ελ является ^спектральной функцией. Из спектрального представления оператора следуют формулы м+о Ах= \ λάΕλχ, m М+0 (Ах, х)= \ λά(Ελχ, χ); m М+0 || Λ*|р = J λ2ά(Ελχ,χ). m Литература: [1], [24], [39], [45], [50], [52].
208 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 3. Функции от самосопряженного оператора. Спектральное представление оператора позволяет ввести более широкий класс функций от оператора, включающий ранее определенные функции. Полагают Λ4+0 f(A)= J ϊ(λ)άΕλ, т если последний интеграл существует. В частности, он существует для любой непрерывной функции. Соответствие между функциями вещественной переменной и функциями от оператора обладает следующими свойствами: 1) Если /(λ) = α/ί(λ) + &Μλ), то f(A) = af{(A)+bf2(A). 2) Если /(λ) = Μλ)Μλ), то f(A) = f{(A)f2(A). 3) f(A) = [f(A)]*, где черта над функцией означает переход к комплексно сопряженной функции. 4) II f(A) || < max |/(λ)|. 5) Из АВ = ΒΑ следует f(A)В = Bf(A) для любого линейного ограниченного оператора В. 6) Если /(λ) < φ (λ) всюду на [га, Λί], то f(A) < ср(Л). Литература:[1], [24], [39], [45], [50], [52]. 4. Неограниченные самосопряженные операторы. Если А — линейный неограниченный оператор с всюду плотной в Η областью определения D(Л), то его сопряженный оператор А* будет определен на тех элементах у, для которых функционал (Ах, у) является ограниченным (см. гл. III, § 1, п. 4). В гильбертовом пространстве это означает, что (Аху у) = (х, у*), где {/*еЯиЛ*{/ = у*. Неограниченный оператор называется самосопряженным, если А = А*. В отличие от случая ограниченных операторов это означает не только наличие тождества (Ах, у) = (х, Ау) (х, y<EED (Л)), но и совпадение областей определения D(А) и D(A*) операторов А и А*. Таким образом, при проверке самосопряженности оператора необходимо для каждого элемента у, для которого функционал (Ах,у) ограничен, показать, что y^D(A), а затем проверить справедливость предыдущего тождества. Неограниченный самосопряженный оператор всегда замкнут. Для неограниченных самосопряженных операторов остаются верными с некоторыми видоизменениями основные результаты
§ 3 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 209 спектральной теории, изложенной выше для ограниченных самосопряженных операторов, в частности, верна спектральная теорема. А именно: пусть А — неограниченный самосопряженный оператор с областью определения D(A). Тогда этот оператор порождает семейство проекционных операторов Ελ, — оо < λ < <; + °°> обладающих свойствами: 1) £λ<£μ для λ <μ; 2) Ελ сильно непрерывен слева; 3) £-.оо= Пт £λ = 0, £,+00= lim Εχ = Ε\ λ->-~οο λ->·+οο 4) ΒΕλ = Εφ, если В — любой ограниченный оператор, перестановочный с А. При этом ограниченный оператор В называется перестановочным (или коммутирующим) с неограниченным оператором Л, если из x^D(A) следует Bx^D(A) и АВх = ВАх. Элемент χ принадлежит D(А) тогда и только тогда, когда оо J λ2 ά(Ελχ> χ) < оо. — оо Для этих χ оо оо Ах = J λάΕλχ и || Л* IP = j K2d(Ehx, χ). — оо —оо оо Интеграл Ι λάΕλχ понимают как предел собственного инте- — оо ь грала J λάΕλχ в смысле сильной сходимости при α->·— оо, a N Ь —> оо. Самосопряженный оператор А называется полуограниченным снизу, если (Αχ,χ)^ a(x,x) при всех x^D(A). В этом случае оо Лх= J λάΕλχ. а Аналогично определяется полуограниченный сверху оператор. Если функция /(λ) конечна и измерима по отношению ко всем мерам, порожденным функциями σ(λ) = (Εχζ,ζ) (ζ<=Η), то можно определить оператор f{A). Этот оператор, вообще говоря, не ограничен. Его областью определения D(f(A)) служит совокупность элементов х, для которых оо J \!{λ)?ά(Ελχ, χ)<οο.
210 ГЛ IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Множество D(f(A)) плотно в //, оператор f(A) задается формулой оо (/ (Л) х, у) = J / (λ) d (Ελχ, у) (x^D (f (A)), yt=H) — OO и является самосопряженным (для вещественной функции /(λ)). Если функция /(λ) ограничена (— оо < λ < оо), то оператор f(A) будет также ограниченным. Важнейшим примером ограниченной функции от оператора является резольвента. Если λ0 не принадлежит спектру оператора Л, то для резольвенты Rx0 справедливо спектральное представление оо **.*= \ γ^ΛΕ%χ. — оо Отсюда, в частности, следует оценка резольвенты: ΙΙ#λο*ΙΙ<^ΙΙ*ΙΙ, где d — расстояние от точки λο до спектра оператора А. При этом d ^ | Im λο I и, следовательно, || RxQ || ^ 1/| Im λ01. Если оператор А полуограничен снизу, то ограниченным оператором будет функция е~А: оо е-ах = J" β-λ dE^Xt а В случае сепарабельного гильбертова пространства совокупность всех функций от самосопряженного оператора А допускает «внешнее» описание. Если через Ка обозначить совокупность всех линейных ограниченных операторов, коммутирующих с Л, то множество функций от А совпадает с совокупностью всех замкнутых операторов, коммутирующих с любым оператором из Ка- Литература: [1], [24], [39], [45], [50], [52]. 5. Спектр самосопряженного оператора. Спектр самосопряженного оператора А представляет собой замкнутое множество вещественной оси, состоящее из всех точек роста функции Е%. Скачки функции Ελ соответствуют собственным числам оператора Л; оператор £λ+ο — Ελ-0 является оператором проектирования на собственное подпространство, отвечающее собственному числу λ. Собственные числа образуют точечный спектр оператора Л. Остаточный и точечный спектры самосопряженного оператора (см. гл. III, § 2, п. 3) совпадают.
§ 3 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 211 Если собственные векторы оператора А образуют полную систему в пространстве Н, то говорят, что оператор имеет чисто точечный спектр. В этом случае спектр оператора состоит из множества собственных чисел и предельных точек этого множества. В общем случае пространство Η может быть разбито в ортогональную сумму инвариантных относительно А подпространств Hi и #2 таких, что в Hi оператор А имеет чисто точечный спектр, а в Я2 не имеет собственных элементов. Спектр оператора А в подпространстве Я2 называется непрерывным спектром. Непрерывный спектр и точечный могут пересекаться. Непрерывный спектр замкнут. Точки непрерывного спектра, предельные точки множества собственных чисел и собственные числа бесконечной кратности образуют предельный спектр оператора А. Предельный спектр самосопряженного оператора состоит из одной точки 0 лишь в том случае, когда оператор вполне непрерывен. ' Все собственные значения конечной кратности, не принадлежащие предельному спектру, образуют дискретный спектр. Говорят, что в данном интервале спектр дискретен, если все точки спектра, лежащие внутри этого интервала, принадлежат дискретному спектру *). Пример. В пространстве L2 [О, 1] интегральный оператор с симметрическим ядром K(t, τ), обладающим тем свойством, что 1 \\K(t,x)fdx О существует при почти всех t^[0, 1], порождает самосопряженный оператор, называемый оператором Карлемана. Этот оператор может быть неограниченным. Точка 0 всегда является точкой предельного спектра оператора Карлемана. Для того чтобы точка λο была точкой спектра самосопряжен- ного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность элементов xn^D(A) с \\хп\\ = 1 такая, что \\Ахп — λοΧη\\ -* 0. Для того чтобы λ0 была точкой предельного спектра, необходимо и достаточно, чтобы существовала слабо сходящаяся к нулю последовательность элементов хп, обладающая предыдущими свойствами. Пусть Δ = (λ0 — δ, λ0 + δ) — некоторый интервал и £д — его спектральная мера. Размерность инвариантного для А подпространства ЕАН совпадает с максимальной размерностью *) Классификация точек спектра еще не вполне установилась, и принятая здесь несколько отличается от той, которая была в 1-м издании.
212 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ линейных многообразий ФсО(Л), на элементах которых выполнено неравенство ||(Λ-λο/)χ||<δ||χ|| (*€=Ф). В частности, если последнее неравенство выполнено для какого- либо элемента χ φ О, то Δ содержит точки спектра А. Если спектр А в Δ — дискретный, то максимальная размерность многообразий Φ совпадает с числом собственных значений (с учетом кратности) оператора Л, лежащих в Δ. Литература: [1], [39], [45], [52]. 6. Кратность спектра самосопряженного оператора. Спектр самосопряженного оператора А называется простым, если существует элемент «еЯ такой, что линейная замкнутая оболочка всех элементов вида ЕАи, где Δ — произвольный интервал вещественной оси, совпадает с Я. При этом элемент и называется производящим. Если самосопряженный оператор А имеет простой спектр, то существует элемент оеЯ, на котором определены все степени оператора А и такой, что линейная оболочка элементов Αηυ (м = 0, 1» · · ·) плотна в Я. Всякий элемент υ, обладающий указанными свойствами, будет производящим. Если оператор А имеет простой спектр, то для любых χ и у е Я справедливы формулы оо оо х= \ f(h)dEKu, У= I g{K)dEKu — оо —оо и оо (х,у)= J f(K)g(K)do(l), — оо где σ(λ) = (Еки,и), а /(λ) и g(K) —некоторые функции с интегрируемым квадратом модуля по мере da {λ). Функция σ(λ) является неубывающей функцией ограниченной ъариации на, (— оо, оо) и называется спектральной функцией оператора А. Оказывается, что любой функции f(X) (— оо < λ < оо) с интегрируемым квадратом модуля по мере da (λ) соответствует некоторый элемент х, для которого оо х= J f{%)dExu. — оо Таким образом, последняя формула устанавливает изометрическое соответствие между пространством Я и пространством
§ 3 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 213 L2,do всех функций f(X) на оси (— оо, оо), для которых оо IIfit „ = ί \ f (λ) f da (λ)<οο. ь2, do J — оо Для оператора А справедлива формула оо Ах= j Kf{K)dEku — оо и, следовательно, при изометрическом соответствии он переходит в оператор Λ умножения на независимую переменную λ: Λ/(λ) = λ/(λ), определенный на всех функциях f(K)^L2, do, для которых λ/(λ) eEL2,do· Совокупность элементов ult и^ ..., ип называется порождающим базисом- для оператора Л, если линейная замкнутая оболочка множества всех элементов EAUh (k = 1, 2, ..., η) совпадает с Н. Спектр оператора А называется п-кратным, если минимальное число элементов в порождающем базисе оператора А равно п. Соответствующий базис называется минимальным порождающим базисом. Многочисленные примеры самосопряженных операторов с ко- нечнократным спектром дают обыкновенные дифференциальные операторы (см. § 7). Если Μι, ..., ип — минимальный порождающий базис оператора А, то справедливы формулы П оо η оо * = Σ j fkMdEtMk, ί/ = Σ J" gk(K)dE%uk k=\ — оо k=\ — оо и П оо (*></)= Σ /Μλ)£Ηλ)*Ή(λ), ί, /=1 — οο где <*//(λ) = (£>*, И/). Матрица σ(λ) = (σ^·(λ)) эрмитова при каждом λ(—οο<λ<οο), непрерывна слева, и разность σ(μ)—σ(λ) при μ>λ—неотрицательно определенная матрица. Пространство Η изометрично гильбертову пространству Ι2,<*σ вектор-функций /(λ)= {/ι(λ), ... • · · ι ίη (λ)} (—οο < λ < οο), для которых Π οο 11 f t σ = Σ ί^ Μ №) ^/ W < °° ί. /=Ι -οο
214 ГЛ IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ и скалярное произведение введено по формуле П оо i, /=1 —оо причем интегралы следует понимать в особом смысле (см. [1]). Оператор Л при изометрическом соответствии переходит снова в оператор умножения всех компонент вектор-функции f(K) на независимую переменную λ: П оо k=\ —оо В общем случае для самосопряженного оператора, действующего в сепарабельном гильбертовом пространстве Я, пространство можно представить в виде ортогональной суммы подпространств Hh (k = 1,2,...) так, что каждое подпространство Ни инвариантно относительно оператора Лив нем оператор А имеет простой спектр. В заключение следует отметить, что иногда удобно пользоваться несобственными порождающими элементами (см. [1,45]). В этом случае все формулы не изменяются, но функции σ(λ) могут иметь неограниченную вариацию на (— оо, оо). Литература: [1]. 7. Абсолютно непрерывная и сингулярная части оператора. Пусть А—самосопряженный оператор и Ελ—отвечающее ему разложение единицы. Элемент χ называется регулярным относительно Л, если функция (Е%х, χ) абсолютно непрерывна на (—оо, оо), и сингулярным, если абсолютно непрерывная часть функции (Εχχ, χ) равна нулю. Совокупность всех абсолютно непрерывных элементов образует подпространство Яа, называемое абсолютно непрерывным подпространством оператора Л; сингулярные элементы образуют .сингулярное подпространство Hs оператора А. Подпространства На и Hs взаимно ортогональны иН = На-\-Н8. Подпространства На и Hs приводят оператор А *). Сужение «оператора А на На называется абсолютно непрерывной частью Ла оператора Л, сужение на Hs — сингулярной частью As оператора А. Спектр оператора Аа называется абсолютно непрерывной частью спектра оператора Л, спектр As — сингулярной частью спектра оператора Л. Собственные числа входят в сингулярную часть спектра. Как отмечалось в п. 5, пространство Hs может быть разложено в ортогональную сумму инвариантных *) Говорят, что подпространство приводит оператор Л, если РА = АР для оператора ортогонального проектирования на это подпространство.
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 215 относительно As подпространств так, что в одном из них оператор As имеет чисто точечный спектр, а в другом только непрерывный спектр. В соответствии с этим в сингулярной части спектра выделяется точечная и непрерывная компоненты. Говорят, что оператор А имеет лебегов спектр в Δ = [α, β], если спектр сужения оператора А на подпространство ЕАН абсолютно непрерывен и имеет постоянную кратность. Если Δ = (— оо, оо), то говорят, что оператор А имеет лебегов спектр. Литература: [1], [49]. 8. Обобщеннные собственные элементы. В § 2, п. 6 отмечалось, что если А — вполне непрерывный самосопряженный оператор, то его собственные элементы ей (k = 1,2,...) образуют базис в пространстве Я, т. е. при любом χ е Η оо х= Σ ckek. Формула оо χ = I dEKx ·—оо является обобщением предыдущей на случай любого самосопряженного оператора. Более естественным обобщением была бы такая формула: оо х = j eKdp(K)f — оо где ех — элемент Я, удовлетворяющий уравнению Αβλ = λβλ (собственный либо равный Θ), а вес dp (λ) играет роль коэффициентов Ch в разложении в ряд. Однако самые простые не вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, такие, как оператор умножения на χ в L2(a,b) или оператор дифференцирования в L2(—оо, оо), не имеют собственных векторов в этих пространствах. В самом деле, если для некоторой функции у(х)^ L2{a,b) выполняется соотношение ху(х) = Ку(х), то функция у(х) должна равняться нулю при х φ χ и может быть отлична от нуля лишь при χ = λ. Но в пространстве L2(a,b) нет ненулевого элемента, обладающего этим свойством. Все же оператор умножения на χ имеет собственные функции, именно дельта-функции δ (л: — λ), которые являются обобщенными функциями (см. гл. II, § 1, п. 3) и не принадлежат L2(a,b). Приведенные примеры натолкнули на мысль искать разложения по собственным элементам, не принадлежащим пространству Н. Трудность, -состоящая з том, чтобы, располагая только
216 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ понятиями, связанными с пространством Я, строить элементы, ему не принадлежащие, была преодолена следующим образом: в исходном гильбертовом пространстве Η строится более узкое линейное топологическое (или банахово, или гильбертово) пространство Ф. Топология в Φ вводится так, что функционалы (φ, h) (h s H) являются непрерывными на Ф, тогда пространство Η оказывается погруженным в более широкое пространство Ф*, в котором и ищутся собственные элементы оператора Л. Собственные элементы оператора Л, принадлежащие Ф* и не принадлежащие Я, называются обобщенными собственными элементами *). Оказывается, что пространство Ф* может быть построено по пространству Η так, чтобы каждый самосопряженный в Η оператор имел в Ф* полную систему собственных элементов. В случае самосопряженного оператора А с простым спектром и порождающим элементом и разложение по обобщенным собственным элементам имеет при любом φεΦ вид оо Ф = \ g&)eKdo(X), — оо где σ(λ) = (Екиуи). а функция g(K) определяется из равенства #(λ) = (φ, £?λ). Последние формулы аналогичны формулам обращения в теории преобразования Фурье, где роль £λ играют функции eiKx и σ(χ) =χ (см. § 2, п. 2). Справедлив аналог равенства Парсе- валя оо оо IIΦ IF = (Ф. Ф)= { Ι ёГ (Я) Ι2 ί/οτλ = J" | (φ, е%) f daK. — оо —оо Для оператора с произвольным спектром формулы приобретают более сложный вид: оо оо i=[ -со и оо оо ιΐφΐι2=2 ί Κ^'ΤΉ0· 1=1 — оо *) Тройку пространства Φ, Η и Φ* (Φ с Η с: Φ*) называют оснащенным гильбертовым пространством·
§ 4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 217 Если оператор Л имеет лебегов спектр, то во всех формулах можно заменить άσ(λ) на ρ(λ)άλ с суммируемой на любом конечном интервале функцией ρ (λ). Литература: [3], [14], [15]. § 4. Симметрические операторы 1. Понятие симметрического оператора, индексы дефекта. Линейный оператор Л с всюду плотной областью определения D(A) называется симметрическим, если (Ах, у) = {х, Ау) при любых х, у <= D(A). Всякий самосопряженный оператор является симметрическим, но не наоборот. Область определения оператора Л*, сопряженного к симметрическому оператору Л, может быть шире, чем область определения оператора А. На D(Л), очевидно, Ах = А*х, поэтому оператор Л* является расширением оператора Л. Симметрический оператор всегда допускает замыкание, и его замыкание является снова симметрическим оператором. Если симметрический оператор определен во всем пространстве, то он ограничен. Если область значений симметрического оператора совпадает со всем пространством, то он самосопряжен. Точка λο называется точкой регулярного типа для оператора Л, если \\Ax — K0x\\^k\\x\\, k>0, при всех хе!)(Л). Другими словами, это означает, что оператор Л —λ0/ имеет ограниченный левый обратный. Если, кроме того, оператор Л замкнут, то область значений 3№а0 оператора Л —λ0/ будет замкнутым множеством. Если 3№а0 совпадает со всем пространством, то точка λ0 будет регулярной точкой оператора Л. Ортогональное дополнение Э^я0 к подпространству 2)ΐλο называется дефектным подпространством. Размерность 51&0 дефектного подпространства 9ΐλ0 называется дефектным числом оператора Л в точке λ0. Если для симметрического оператора дано связное множество точек регулярного типа, то во всех точках этого множества дефектные числа одинаковы. Все невещественные числа являются для симметрического оператора точками регулярного типа, поэтому дефектные числа п+ во всех точках верхней полуплоскости будут одинаковы. Аналогично одинаковы дефектные числа /г_ во всех точках нижней полуплоскости. Числа п+ и п- называются индексами дефекта симметрического оператора. Если на вещественной оси имеется хотя бы одна точка регулярного типа, то п+ = я_.
218 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Замкнутый симметрический оператор будет самосопряжен- ным в том и только в том случае, когда его индексы дефекта равны нулю. Пара чисел (п+, п_) (конечных или бесконечных) показывает степень отклонения симметрического оператора от самосопряженного. Следует отметить, что дефектные подпространства %,0 состоят из всех решений уравнения А*у = К0у. Таким образом, индекс дефекта пк0 совпадает с числом линейно независимых решений этого уравнения. Литература: [1], [24], [45]. 2. Самосопряженные расширения симметрических операторов. Возникает вопрос о том, можно-ли всякий симметрический оператор расширить до самосопряженного. Ответ следующий: для того чтобы симметрический оператор можно было расширить до самосопряженного, необходимо и достаточно, чтобы индексы дефекта п+ и я_ оператора были одинаковы. Как указывалось выше, это, например, будет иметь место, если на вещественной оси имеются точки регулярного типа. Следует отметить, что здесь шла речь о расширении оператора в исходном гильбертовом пространстве Я. В п. 4 будут рассмотрены расширения с выходом из пространства Н. Пусть Л0— замкнутый симметрический оператор. Всякое симметрическое и, в частности, самосопряженное расширение оператора Л0 является сужением оператора А*0. Поэтому при построении такого расширения возникает вопрос не о том, как его доопределить на новых элементах, а только о том, какова его область определения, т. е. на каких элементах из D{jQ его следует доопределить. Чтобы найти самосопряженные расширения оператора Л0, нужно в О(Л0) найти такие линейные подмножества, содержащие D(A), на которых оператор Ло порождает самосопряженный оператор. Оказывается, что множество D(A*) имеет следующую структуру: D(A*) = D(A)®KKmv где λ— какое-либо невещественное число. Сумма, стоящая справа, является прямой, т. е. любой элемент jgD(/1*) представим единственным образом в виде У = х + гк + Ч> где χ е D (Л), ζλ <ξ 3\ и ζλ е 9^.
§ 4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 219 Если индексы дефекта п+ и /г_ равны, то любое самосопряженное расширение А оператора Л0 может быть построено следующим образом: выбирается некоторый линейный оператор 1/, изометрически отображающий пространство 9ft λ на SR^. Тогда область определения D(Ά) оператора А будет состоять из веек элементов вида y = x-\-zK+ VzK, где .vgD (Л) и ζλ €= %. Как уже отмечалось выше, значения оператора Ά будут совпадать со значениями оператора Л*, т. е. Ау = А0х + λζλ + λΙΛζλ. Если индексы дефекта не равны и, например, я+ < я_, то приведенная конструкция дает все максимальные симметрические расширения оператора Л0, т. е. такие симметрические расширения, которые не могут быть дальше расширены с сохранением симметричности. Описанный здесь метод построения самосопряженных расширений принадлежит Дж. Нейману. Практически он является мало эффективным, так как требует нахождения решений уравнения А*у = Ху и построения изометрического оператора V. В следующем пункте рассматриваются другие методы построения самосопряженных расширений. Литература: [1], [24], [45]. 3. Самосопряженные расширения полуограниченных операторов. Симметрический оператор А0 называется полу ограниченным снизу, если при любом хеО(Л0) (А0ху х)^а(х, х). Все вещественные числа, не превосходящие числа а, будут точками регулярного типа, поэтому индексы дефекта оператора Л0 одинаковы. При построении самосопряженных расширений оператора А0 без ограничения общности можно считать его положительно определенным, т. е. таким, что а > 0. В противном случае можно перейти к оператору Л0 + kl с достаточно большим положительным k. Если AQ-\-kl будет самосопряженным расширением этого оператора, то А0 + kl— kl будет самосопряженным расширением оператора Л0. Пусть оператор Л0 положительно определен. В его области определения Ь(Л0) можно ввести новое скалярное произведение по формуле [х> У] = (А0х, у).
220 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Пополнение D(Aq) по норме, порождаемой этим Скалярным произведением, будет гильбертовым пространством Я0. Оказывается, что присоединяемые при пополнении элементы естественным образом отождествляются с некоторыми элементами из Я, и поэтому Я0 можно рассматривать как линейное подмножество пространства Я. На пересечении этого подмножества Я0 с областью определения сопряженного оператора D(A*o) оператор Ло является самосопряженным. Таким образом, получается самосопряженное расширение А^ оператора Л0, являющееся сужением сопряженного оператора Л0 на D(All) = H0f\ Π D(A*o). Оператор Лц называют фридрихсовым или жестким расширением оператора Л0. Оператор Лц положительно определен и имеет ту же нижнюю грань, что и оператор Л0: (А^х, χ)^α(χ, х). Жесткое расширение Лд является наиболее простым. Для его построения ничего не нужно знать, кроме формы (А0х> х), порождаемой оператором Л0. В связи с этим метод Фридрихса построения самосопряженных расширений стал одним из основных в теории уравнений с частными производными. Для более детального описания области определения жесткого расширения приходится более детально изучать характер сходимости, порождаемой нормой V(A0x, x) на D(A0), и структуру области определения оператора Ло (см. §§ 7 и 8). Множество Но является областью определения корня квадратного из оператора Ли: H0 = D{An Для любого положительного самосопряженного расширения А оператора Л0 область определения Ό(Αι,ή содержит множество Но. Жесткое расширение обладает следующим экстремальным свойством: для любого самосопряженного положительно определенного расширения Ά оператора А0 (Λμ1*, JC)<(^_1JC, x). Существенную роль играет оператор 5 = Л~~1 — А^\ который в силу предыдущего является ограниченным положительным самосопряженным оператором. На R(A0) оператор В равен нулю и, следовательно, его можно рассматривать как оператор, действующий в ортогональном дополнении U к R(Ao): H = R(A0)@U и BUczU. Подпространство U является дефектным подпространством 5fto, оно состоит из всех решений уравнения А*и = 0 в Я.
§ 4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 221 Справедливы следующие утверждения: 1) Область определения сопряженного оператора Ао разлагается в прямую сумму: D{A*o) = D(A0)®A»lU@U. 2) Область определения любого положительно определенного самосопряженного расширения А оператора А0 разлагается в прямую сумму D(A) = D(A0)®(A»l + B)U, где В — некоторый ограниченный самосопряженный положительный оператор, действующий в подпространстве U. 3) Для любого оператора В, обладающего описанными выше свойствами, сужение оператора Ао на множество D(Ao)@ ®{Αμ1 + B)U является самосопряженным положительно определенным оператором. Таким образом, знание жесткого расширения /1μ позволяет свести описание любого положительно определенного самосопряженного расширения к описанию оператора В. Оператор В действует в более узком, чем Н, пространстве U. В теории граничных задач для уравнений в частных производных подпространство U естественным образом взаимно однозначно отображается на некоторое пространство функций, заданных на границе области, и оператор В связывается с операторами граничных условий. С помощью оператора В можно описать и структуру области определения корня квадратного из любого самосопряженного положительно определенного расширения А оператора Л0: D (Л1/2) = D (О φ R (Б1'2) = Но φ R (S'/2). Важность теории полуограниченных симметрических операторов иллюстрируется следующим примером. Пусть в м-мерной области G евклидова пространства с достаточно гладкой границей задано самосопряженное дифференциальное выражение порядка 2т: Lu = {-\)m Σ Da(aafiD*u), где л1в| α = (αι, ..., α„), Ι α Ι = «ι + α2 + ... + α„, Da = — — dx*i ... дхапп и аналогично определены β, |β| и DP. Коэффициенты ααβ предполагаются достаточно гладкими функциями χ = (хи . ·., хп) и αα3 = α&α· Выражение L называется эллиптическим, если при
222 ГЛ. ιν· ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ любых вещественных ξι, ..., ξη справедливо неравенство где λ > 0 и не зависит от χ е G. Оператор L0, определенный равенством L0w = La на множестве D(L0) всех финитных функций и(х) (т. е. бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю вблизи границы области G), является симметрическим и полуограниченным в пространстве Η = L2{G). Более того, существуют константы с > О и & такие,'что для оператора Л0 = L0 -f &/ (AQu, u)= j {Lu-u + ku^dx^ci j J] |Daa|2d*+ J | a |2rfjc G L G I a l=w G Метрика, вводимая с помощью формы (А0и,и) на D(L0), оказывается эквивалентной метрике пространства W™ Соболева. о Пространство Я0 является подпространством W™ пространства W™. Решение уравнения A]ku = f9 где Лц — жесткое расширение оператора Л0 и f^L2{G), называется обобщенным решением первой краевой задачи для уравнения Lu -\- ku = f. Более подробно теория расширения иллюстрируется на примере эллиптического выражения 2-го порядка в § 8. Литература: [1], [24], [43], [153], [165], [170]. 4. Обобщенные расширения и спектральные функции симметрических операторов. Обобщенные резольвенты. В случае, когда индексы дефекта п+ и п- симметрического оператора А различны, этот оператор не допускает в данном гильбертовом пространстве Η самосопряженных расширений (см. п. 2). Однако действующий в Η симметрический оператор А с произвольными индексами дефекта (п+, nJ) всегда может быть расширен до самосопряженного оператора Л+, действующего в более широком гильбертовом пространстве Я+(эЯ). Здесь Η—(замкнутое) подпространство пространства Н+. Если Н+ = Η (и, очевидно, п+ = м_), то получаются обычные расширения—так называемые расширения I рода. При п+фп- всегда можно выбрать #+ и Л+ так, чтобы D(A) = = D(A+) С\Н φ D(A+). Такие расширения А+ называют расширениями II рода. Все прочие обобщенные самосопряженные расширения А+ суть расширения Ц1 рода. Однопараметрическое семейство ограниченных операторов Fx(—οο<λ<οο) называют обобщенным разложением едини- цы, если
§ 4. СИЛШЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ 223 1) ^μ-Ρλ>0 дли λ<μ; 2) Fi-Q = Fk, \ пч . ^ т } в смысле сильной сходимости. 3) F-oo =0, Foo = I J В отличие от разложений единицы Еъ встречавшихся в § 3, операторы f\ уже не обязательно проекционные. Обобщенное разложение единицы F% называют спектральной функцией симметрического оператора А в Н, если для любых x^D(A) Ηί/G Η оо (Ах, у)= \ld(Fxx, у), — оо оо \\Axf= jl2d(FKx, x). — оо В частном случае, когда А — самосопряженный оператор, его спектральная функция f\( = Ελ) определяется единственным образом (§ 3, п. 4). В общем случае существование и полное описание всех спектральных функций симметрического оператора А устанавливается следующей теоремой. Пусть А+ — (обычное или обобщенное) самосопряженное расширение симметрического оператора A (D(A) а Я), действующее в гильбертовом пространстве Я+(эЯ), a Et — спектральная функция А+: оо А+= jXdE£. — оо Через Р+ обозначим проекционный оператор, (ортогонально) проектирующий И+ на Н. Тогда Εχ = Ρ+Εχ (рассматриваемая как оператор-функция з Н) есть спектральная функция симметрического оператора А, и таким путем (из всевозможных А+) получаются все спектральные функции оператора А. Так же, как и в случае самосопряженного оператора (см. § 3, п. 4), из χ е D(A) следует оо J" l2d(Fxx, х)< οο, — оо где F% — любая спектральная функция симметрического оператора А. Однако обратное заключение справедливо в том и только том случае, когда FK порождается (в описанном выше смысле) некоторым самосопряженным расширением А+ II рода. Если R+ =(А+ — zl) —резольвента обобщенного расширения А+ симметрического оператора Л, то RZ = P+R? (как
224 ГЛ IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ оператор в Н) называется обобщенной резольвентой симметрического оператора Л, порожденной самосопряженным расширением Л+. Подобно обычной резольвенте самосопряженного оператора (см. § 3, п. 4), Rz связана с соответствующей спектральной функцией ί\ = Ρ+£λ соотношением со — со Для симметрических операторов с равными и конечными индексами дефекта имеются формулы, описывающие все обобщенные резольвенты (и все спектральные функции). Литература: [1]. § 5. Теория возмущений Эта теория изучает изменения спектральных свойств операторов при слабых (в том или ином смысле) их изменениях. 1. Общие свойства. Пусть дано семейство самосопряженных операторов Л (ε), зависящее от параметра ε, и пусть D — множество х, для которых существует предел lim Α(ε)χ = Α0χ. ε->0 (Предполагается, что χ ^ D(A(z)) при 0<ε<ε0(#).) Если самосопряженный оператор А является замыканием оператора Ао, то для спектральных функций £\(ε) и /^операторов Л (ε) и А справедливо соотношение £λ = Ππι£λ(ε) . 8->0 при любом λ, не принадлежащем точечному спектру оператора А. Предел понимается в сильном смысле. Равномерная сходимость £χ(ε) κ Εγ, (по норме операторов) в указанных условиях, вообще говоря, не имеет места. Ее может не быть даже, если потребовать, чтобы операторы Л (ε) были ограниченными и равномерно сходились к оператору А. Если в области определения D(A) самосопряженного оператора А ввести новую норму ||*||i = ||*|| + 1И*||, то в этой норме D(A) будет банаховым пространством Hi (см. гл. I, § 5, п. 10). Если все операторы Л (ε) определены на D(A) и сходятся к Л равномерно относительно нормы ||x||i: ||i4(e)*-i4*KCeNi (xefl(4 где Се->0 при ε-^O, то спектральная функция Ελ(ε) равномерно сходится к функции Е% в любой точке λ, не принадлежащей
§ 5. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 225 спектру оператора Л, т. е. Ηηι||£λ(ε)-£λ|| = 0. ε-»0 Если λο—изолированная точка спектра, являющаяся собственным числом конечной кратности т, и Δ — интервал, отделяющий ее от остальной части спектра, то в предыдущих условиях при достаточно малом ε спектр оператора Л (ε) в интервале Δ состоит из т собственных значений (с учетом их кратности). Эти собственные числа λ&(ε) (k = 1, 2,..., т) стремятся к точке λο при ε->0. Следует, однако, иметь в виду, что, хотя £Δ(ε) равномерно сходится к £Δ, собственные элементы ек(г), отвечающие собственным числам λ&(ε), могут не иметь предела при ε -* 0. Если λο — простое собственное число, то собственный элемент е(г) оператора Л (ε) стремится к собственному элементу е оператора Л. Оператор Л (ε) называется аналитической функцией ε, если Α(ε) = Α + εΑ{+ε*Α2+ ..., где операторы Лг· и Л действуют из #ι в Я, Ω(Αή = D(A) = Hi и ряд сходится по норме операторов. Тогда £λ(ε) также является в окрестности ε = 0 аналитической функцией ε при каждом λ, не принадлежащем спектру оператора Л. Для рассмотренного выше случая изолированного собственного числа λο кратности m λΛ(ε)==λο + ελ^1) + ε2λ?)+... и ek(e) = ek + ee%) + e2ef+ ... Пусть оператор Л имеет полную систему собственных элементов {еп} с соответствующими собственными числами %п· Если λη — изолированное простое собственное число оператора Л, то можно получить формулы для определения коэффициентов разложения по степеням ε собственного числа λη(ε) оператора Л (ε) = Л + Л16. Здесь приводятся лишь формулы первого и второго приближения: λ„(ε) = λ„ + ελίί) + ε2λίι2)+ ..., где λ^ = (Αιβη,βη) и b? = YK«-if m (штрих при знаке суммы означает, что пропускается член с m = η). Для собственного элемента еп{г) справедливо разложение · еп(ε) = еп + ее{п} + е2е(п + ... ,
226 гл· Ιν· ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ где „<!>_ V7 Μι**. ет) Σ' (Axent em λ/г — Ял еп — /1 ~ι - ϊ ei "17V 'т Zj (λ„ -; (Л^, еп)(Ахет, еп) „ 1 л \У \(Ахеп, ет)\2 вп АЛ 2j (λη - Xk) (λη -\m) 6 Σ' (Axent en)(Axem, en) _ 1 V" {λη - Ят)2 *m 2^nZd (λη - Ят)2 ** 2 "» ^J (λ„ - Ят)2 * m m Эти формулы получили в физике название формул теории возмущений. Если оператор А имеет участки непрерывного спектра, то имеются аналогичные формулы, в которые, кроме сумм, входят еще и интегралы. В случае m-кратного собственного числа для получения коэффициентов прц степенях ε приходится находить собственные функции и собственные числа m-мерных операторов. Задачи теории возмущений являются частным случаем более общей задачи изучения поведения функции f(A (ε)) при изменении ε, где /(λ) — заданная функция. Функция £\(ε) есть как раз функция такого типа (см. п. 2). Для разложения по степеням ε таких функций естественно применить формулу Тейлора, предполагая функции f(K) и Л (ε) достаточно гладкими. Тогда /(Л(е)) = /(Л) + е^£)) 2 d*f (Α (ε)) "Г ° Ιε=0 + *г—4* + 1е=0 Для производных функций от операторов по параметру имеются специальные формулы. Здесь приводится лишь формула для первой производной, которая справедлива в предположении, что оператор А является оператором Гильберта — Шмидта (см. §2, п. 7). Если x = ^ckek, то к df(A(e)) de >-ΣΣ«.·"ϊ5№Ια ·-) где при m = k предполагается, что λ __д k = f'{hk). Литература: [50], [160]. 2. Конечномерные, вполне непрерывные и ограниченные возмущения. Пусть А и β — самосопряженные операторы, D(A) = = D(B) и V = В — А — конечномерный оператор ранга г (см. § 2, п. 6). Если λ — собственное значение кратности а ^ оо для Л, то для В точка λ — собственное значение кратности Ь> а — Γϊζέ^α + Γ. Отсюда следует, что собственные значения
§ 5. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 227 бесконечной кратности сохраняются при конечномерных возмущениях. Если Δ —какой-либо интервал и рА = d\mEA(A)H, рв = d\mEA(B)H, то ρ а — г ^ рв ^ Ра + г. В частности, если спектр Л в интервале Δ состоит из собственных значений конечной суммарной кратности рА, то спектр В в Δ состоит из собственных значений суммарной кратности рв и рА — г ^ рв ^ <Ра + г. Более существенные изменения в спектре могут произойти, если возмущение V = В — А вполне непрерывно. Однако при вполне непрерывных возмущениях не меняется предельный спектр самосопряженного оператора. В частности, если интервал Δ не содержит точек спектра Л, то спектр В в А может быть лишь дискретным. Все приведенные выше утверждения сохраняют силу и при более общих предположениях. Достаточно, например, чтобы конечномерным (соответственно вполне непрерывным) был не оператор В — Л, а оператор (В — г/)-1 — (А — г/)-1, где ζ— регулярная точка для А и В. Следует заметить, что ранг оператора (В — г/)-1—(А — г/)-1 не превосходит числа т, если А и В — различные самосопряженные расширения одного и того же симметрического оператора с конечными индексами дефекта (mym). Пусть оператор V = В — А вполне непрерывен и V > 0. Если в интервале Δ нет точек спектра оператора Л, то лежащие в Δ собственные значения оператора В не могут скапливаться к правому концу интервала Δ. Пусть оператор V = В — Л ограничен и а|И2<-(Юс, *)<β||*|Ρ для любых χ е Я. Если Δ = (λ0 — δ, λ0 + δ) и Δ = (λ0 — δ + α, λο + δ + β), το при любых λο и δ > 0 справедливо неравенство dim Ег (Β) Η > dim EA (A)H. В частности, если λο принадлежит предельному спектру оператора Л, то сегмент [λ0 + α, λο + β] содержит хотя бы одну точку предельного спектра оператора В. Если || V|| = ν, то можно положить α = —ν, β = υ. Далее, если интервалы (λο — δ — d, λο — δ), (λο + δ, λο + δ + d) свободны от спектра оператора А и d > 2vy то dimEz(B)H = dimEA(A)H. Пусть λο—изолированное собственное значение кратности Ρ < оо для оператора Л, причем в интервале (λο — d, λο + d) нет других точек спектра Л и d > 2υ. Из предыдущего утверждения вытекает, что в сегменте [λο — ν, λο + ν] спектр В состоит
228 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ из собственных значений, суммарная кратность которых равна р. Литература: [1], [50], [158]. 3. Возмущения полуограниченных операторов. Для полуограниченных самосопряженных операторов утверждения теории возмущений удобно формулировать в терминах соответствующих квадратичных форм (определения и обозначения см. в § 6, п. 2). Пусть А и В — полуограниченные снизу самосопряженные операторы; А[х, х\ В[х, х] — соответствующие квадратичные формы с областями определения D[A] и D[B]. Говорят, что А > β, е£ли D[A] с: D[B] и А[х, χ] ^ В[ху х] для любых χ е D[A]. Если А > В и спектр В в интервале (— оо, μ) — дискретный (μ ^ оо), то спектр А в (— оо, μ) — также дискретный. Лежащие в (— оо, μ) собственные значения операторов Л и θ, занумерованные (с учетом кратности) в порядке возрастания, удовлетворяют условиям λη{Β) ^ λη{Α). Пусть оператор А положителен. Множество D[A]t наделенное скалярным произведением (х, у)А = А [х, у] + (х, у), является полным гильбертовым пространством. Если на D[A] задана некоторая вещественная квадратичная форма V[x, x] и Wlx,x]\<C\\x\fA, то в D[A] действует ограниченный самосопряженный оператор Q такой, что V [х, х] = (Q*, х)А.. Форма V[x, x] называется вполне непрерывной в D[A], коль скоро вполне непрерывен в D [А] соответствующий оператор Q. Если форма V[x,x] вполне непрерывна в D[A] и С [xt х] = А [х, х] + V [х, х]у то форма С[х, х] с областью определения D [C]=D [А] полуограничена снизу и замкнута. Связанный с С[х,х] самосопряженный оператор С имеет тот же предельный спектр, что и оператор А. В частности, отрицательный спектр оператора С дискретен. В случае, когда «возмущающая» форма отрицательна, последнее утверждение может быть дополнено. Пусть V[x, х] ^ 0 и для любых а > 0 форма С [х, х] = А [х, х] + aV [χ, χ] (xgeD [A]) полуограничена снизу, замкнута и отрицательный спектр оператора С дискретен. Тогда форма V[x, x] вполне непрерывна в D[A], и, .следовательно, предельный спектр у операторов А и С один и тот же.
§ 5. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 229 Если А[х, х] > О при χ Φ О, то D[A] является предгильбертовым пространством относительно скалярного произведения А [х, у]. Пополнение D [А] по этому скалярному произведению требует выхода из основного пространства Я. Полученное при пополнении гильбертово пространство обозначается через НА. Если вещественная форма V[x> x] вполне непрерывна в НАу то отрицательный спектр оператора С, отвечающего форме С [χ, х] = А [χ, x] + V [χ, χ] (x^D [A]), состоит из собственных значений, суммарная кратность которых конечна. Литература: [154], [158]. 4. Абсолютно непрерывный спектр. Волновые операторы. В п. 2 отмечалось, что вполне непрерывные возмущения самосопряженных операторов сохраняют предельный спектр. При этом без дополнительных предположений нельзя утверждать, что сохраняются отдельные категории точек спектра, образующих предельный спектр (непрерывный спектр, собственные значения бесконечной кратности и т. д.). Более того, спектр каждого самосопряженного оператора можно превратить в чисто точечный добавлением вполне непрерывного самосопряженного оператора, имеющего сколь угодно малую норму. Однако абсолютно непрерывный спектр (см. п. 7 § 3) обладает устойчивостью относительно самосопряженных ядерных (см. п. 7 § 2) возмущений. Это вытекает из следующей теоремы Розенблюма — К а то. Пусть V = В — А — ядерный оператор, На(А) и На{В)— абсолютные непрерывные подпространства операторов А и В, РА— проектор на На(А). Тогда существуют сильные пределы (волновые операторы) W± = W±(Bt А) = lim eitBe~itAPA. Операторы W± изометрически отображают На{А) на На(В), причем W±A = BW±. Таким образом, волновые операторы устанавливают унитарную эквивалентность абсолютно непрерывных частей операторов А и В. Отсюда, в частности, следует совпадение абсолютно непрерывных спектров А и В. Идея построения волновых операторов и их использования в теории возмущений на непрерывном спектре возникла в квантовой механике при изучении так называемых задач рассеяния. По поводу физического смысла волновых операторов см. § 4 гл. IX. Условие ядерности оператора В—А в формулировке теоремы Розенблюма — Като можно заменить более общими условиями, что существенно для приложений. Достаточно, например, чтобы
230 ГЛ, IV, ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ядерным был оператор * (В — zl)~l—(4 — zl)~l при каком-либо целом />0 и lmz=£0. Если Л>0 и В > 0, то можно в этом условии положить ζ = —1; тогда / > 0 — не обязательно целое число. При D(B) = D(A) достаточно также потребовать, чтобы ядерным был оператор V{A — zl)~l. Большое число достаточных признаков, обеспечивающих справедливость утверждений теоремы Розенблюма — Като, содержится в так называемом принципе инвариантности волновых операторов. Пусть Δ — совокупность конечного числа непересекающихся интервалов (ak,bk), ak < bk ^ flft+ь k = I, ..., т (не исключаются случаи а{ = — оо, Ьт = +°°)· Пусть функция φ (λ) вещественна и внутри каждого из интервалов (ahtbk) дважды непрерывно дифференцируема, причем (ρ/(λ)>0. Очевидно, существуют пределы (конечные или бесконечные) аь. = ср(#ь + 0), Ъъ. = = cp(6fc — 0). Предполагается, что интервалы (α&, bk) попарно не пересекаются. Если йк = —оо или bk = +°о, то соответствующий конец ah или bk интервала (ah,bh) называется особым для функции φ (λ). Ясно, что не может быть более одного левого и одного правого особого конца. Функция φ (λ) с перечисленными свойствами здесь называется допустимой для пары операторов А и В, если их спектры содержатся в замыкании множества Δ, а собственные значения не совпадают с особыми концами. Принцип инвариантности. Пусть функция φ (λ) является допустимой для пары операторов А и В и пусть ядерным является оператор (φ (Л) -г/)"1 -(φ (В) -г/)"1. Тогда для пары Л, В выполнены утверждения теоремы Розенблюма — Като, причем W±(B,A)*= W±(q>(B), <р(Л)). Важным понятием для теории возмущений на непрерывном спектре является так называемый оператор рассеяния (S-onepa- тор), определяемый для пары Л, В формулой S = W\W-. В условиях теоремы Розенблюма — Като (или ее обобщений, указанных выше) S-оператор существует, унитарен в На{А) и перестановочен с оператором А. Сведения о квантово-механическом смысле S-оператора и о его построении в важных конкретных случаях приведены в гл. IX. Литература: [1], [65], [155], [156]. 5. Абсолютно непрерывный спектр. Гладкие возмущения. Другой подход к теории возмущений на непрерывном спектре основан на изучении модельных задач в конкретных функциональных пространствах. Наиболее удобна модель, где невозмущенный оператор есть оператор умножения на независимую переменную в пространстве L2, а возмущение есть интегральный оператор с достаточно гладким ядром. Этими предположениями охватывается большое число важных конкретных задач, причем
§ 5. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 231 спектр возмущенного оператора удается исследовать полнее, нежели в предположениях п. 4. Пусть Η—некоторое сепарабельное гильбертово пространство; скалярное произведение в Η обозначим через (/, g), а норму через |/|. Рассматривается какой-либо отрезок / = [а, Ь] вещественной оси (возможно, неограниченный). Пусть L2(#; /) — множество измеримых на / функций f(x) со значениями в Я, для которых конечна величина U(-)i2=j\f(x)\2dx. I /,г(#; /) является полным сепарабельным гильбертовым пространством со скалярным произведением (/(·)> g(-))=~l<f(x), g(x))dx. Оператор А умножения на независимую переменную определяется соотношением (Af) (χ) = xf (χ) ( J (1 + χη I / (χ) p dx < «Λ. Оператор А самосопряжен в L2(H'f /). Возмущающий оператор V задается интегральным оператором {Vf){x)=\v{xyy)f{y)dy. ι «Ядро» υ (χ, у) при всяких χ и у есть вполне непрерывный оператор в Н. Норма υ(χ, у) обозначается через \v(x,y)\, сопряженный оператор — через υ*(χ, у). Предполагается, что ядро υ(χ, у) эрмитово, т. е.' Ό*(Χ, y) = O(y, X), и что- при некоторых Я > 1/2, μ > 1/2, Μ > О выполнены условия: \O{x,y)\^M(l+\x\ + \y\)-\ \O{x + h, y + k)-v{x, у) |<М (| h |μ + I kf){\+ 1*1 + \y\y\ Требуется также, чтобы υ (χ, a) = v(x,b) = O(a, y) = v{b, y) = 0, что автоматически выполняется в случае бесконечных концов (если промежуток / конечен, то в предыдущих условиях можно, разумеется, положить λ = 0). При сделанных предположениях оператор В = А + V само- сопряжен в L2{H\l) и D(B) = D(A). Оператор А унитарно
232 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ эквивалентен абсолютно непрерывной части оператора В, причем унитарная эквивалентность устанавливается волновыми операторами W±(ByA). Для последних могут быть указаны сравнительно простые явные выражения. Сингулярное подпространство оператора В конечномерно. Это означает, что у оператора В непрерывный сингулярный спектр отсутствует, а точечный спектр состоит разве лишь из конечного числа конечнократных собственных значений. Собственные значения могут лежать как внутри, так и вне /. Абсолютно непрерывный спектр операторов А и В заполняет отрезок / и имеет постоянную кратность, равную размерности пространства Я. Литература: [173], [175]. § 6. Диссипативные операторы 1. Максимальный диссипативный оператор. Линейный оператор А с областью определения D(A), плотной в гильбертовом пространстве Я, называется диссипативный, если Re (Ах, х)<0 при хеД(Л), и максимальным диссипативным, если он диссипативен и не имеет нетривиальных диссипативных расширений. Диссипативный оператор всегда допускает замыкание, которое также будет диссипативным оператором. Поэтому максимальный диссипативный оператор замкнут. Для диссипативного оператора все точки λ с Re λ > 0 будут точками регулярного типа, при этом \\Ax-Xx\\^ReK\\x\\. Диссипативный оператор замкнут тогда и только тогда, когда при Re λ > 0 область значений R(A — λ/) оператора А — λ/ замкнута. Если для замкнутого диссипативного оператора R (А — λοί) φ Я (Re λο > 0), то он допускает . нетривиальные диссипативные расширения. Одно из этих расширений строится, например, так: пусть Η = R(A — λ&1) 4- #, тогда на множестве D(A) + N определяется оператор Ά равенством А(х + и) = Ах — Х0и (xeD (Л), и е N). Оператор Ά будет максимальным диссипативным расширением оператора А. Из предыдущего вытекает, что всякий диссипативный оператор допускает расширение до максимального диссипативного оператора. Диссипативный оператор максимально диссипативен тогда и только тогда, когда при любом λ с Re λ > 0 область значений R(A — λ/) совпадает со всем пространством Я,
§ 6. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 233 Удобным для практической проверки является следующий критерий максимальной диссипативности: для того чтобы линей- ный оператор А с плотной в пространстве Η областью 0(А)был максимальным диссипативным; необходимо и достаточно, чтобы он был замкнутым и выполнялись неравенства Re (Ах, х)<0 (*<=/) (Л)) и Re{A*y, #)<0 {yt=D(A% Диссипативный оператор называется консервативным, если Re (Лх, х) = 0 (xe=D(A)). Максимальный диссипативный оператор А консервативен тогда и только тогда, когда он представим в виде А = iB, где В — самосопряженный оператор. Максимальный диссипативный оператор, для которого существует константа с > 0, удовлетворяющая условию c\lm(Axy x)|<|Re(i4x, χ) |, называется регулярно диссипативным. Литература: [36], [174]. 2. Полуторалинейные формы и неограниченные операторы. В § 2 п. 1 было описано взаимно однозначное соответствие между ограниченными линейными операторами и ограниченными полуторалинейными формами. При рассмотрении неограниченных линейных операторов естественно возникают полуторалинейные формы (Ах, у), определенные не на всем пространстве Η и неограниченные. Полуторалинейная форма А(х, у), определенная на некотором линейном множестве D [А] гильбертова пространства Н, называется замкнутой, еслимз того, что хп ->х [хп^ D[А], хеЯ) и А (хп — хш, хп — хт) —► 0, вытекает, что ,νεΰ [А] и А(хп,хп)->А{х,х)'. Для произвольной полуторалинейной формы А (х, у) форма А*(х, у) = А (у, х) называется сопряженной. Вещественной и мнимой частью формы А(х, у) называются соответственно формы Ar(x> */)=72И(*> У)+А*{х, у)] и Aj(x, ί/)=72'Ή(*, У)-Аш(х, у)]. Форма называется эрмитовой, если А*(х, у)==А(х, у). Для самосопряженного положительно определенного оператора форма (Ах, у), определенная при х, у <= D(A), может быть предельным переходом расширена до замкнутой эрмитовой формы, которая будет обозначаться через А[х,у]. Область определения этой формы D[A] совпадает с областью определения D(Alb) оператора Л1/*.
234 гл· IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В § 4, п. 3 было указано, что для симметрического положительно определенного оператора А форма (Ах, у) также расширяется до замкнутой формы, область определения которой совпадает с областью определения оператора Αμ2, где А^ — жесткое самосопряженное расширение оператора А. Приведенные там построения можно обобщить следующим образом: пусть на линейном плотном в гильбертовом пространстве Η множестве D [А] задана полуторалинейная форма А(х, у), которая эрмитова и неотрицательна: А(х, х)>0. Рассматриваются те элементы χ е D[A], для которых величина А (х, у) является непрерывным функционалом от у по норме пространства Н. Совокупность этих элементов обозначается через D(А). На элементах x^D(A) полагают А (х, у) = (Ах, у), где Ах — однозначно определенный элемент из Н. Оператор А оказывается линейным самосопряженным и положительным. Область определения формы D[A] совпадает с D(Ali*). Полуторалинейная форма А(х, у) с линейной плотной в Η областью определения называется регулярно диссипативной, если ее вещественная часть замкнута и неположительна: AR(x,x)4^09 а мнимая часть удовлетворяет неравенству c\Aj(xt χ) Κ - AR (χ, χ) (с > 0). Пусть снова через D(A) обозначается совокупность всех х, при которых А (х, у) непрерывна по у в норме пространства Я. Тогда при χ <= D(A) hj/e D[A] справедливо равенство А (х, у) = = (Ах,у). Оператор А оказывается максимальным диссипатив- ным и, более того, регулярно диссипативным оператором в Н. Полученный таким образом оператор А допускает представление А = S'/2(—/ + iQ)S1/*, где 5 — положительный самосопряженный оператор, a Q — самосопряженный ограниченный оператор. Литература: [36], [174]. 3. Диссипативные расширения консервативных операторов. Пусть В0 = iAo — консервативный оператор. В ряде задач возникает вопрос о построении диссипативных расширений оператора Во, причем наиболее интересными являются максимальные диссипативные расширения. Область определения сопряженного оператора В0 может быть разложена в прямую сумму D(B*o) = D(Bo)®V+®V-, где V± — совокупность всех решений уравнения BoV= ± v.
§ 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 935 Разложение является ортогональным в метрике [х, у] = {А*оХ, Aly) + (х, у) (x9ye=D (Ло) = D (fij)). Можно указать общий вид максимальных диссипативных расширений оператора B0t являющихся сужениями оператора Во. Для этого достаточно описать их область определения. Для любого максимального диссипативного расширения В а Во оператора В0 область определения имеет вид D(B) = D(B0)®(I + C)V-, где С — сжимающий оператор (т. е. ||С||^ 1), действующий из V- в V+. Для любого такого оператора С оператор Вх = В0х на множестве указанного вида является максимальным диссипатив- ным -расширением оператора В0. Литература: [174]. § 7. Обыкновенные дифференциальные операторы 1. Самосопряженные дифференциальные выражения. Обыкновенным линейным дифференциальным выражением п-то порядка называется выражение вида l(y) = qo(x)yin) + qi(x)y{n-{)+ ... +Яп(х)У с вещественными коэффициентами q%{x) (i = О, 1, ..., η). Сопряженным дифференциальным выражением называется выражение /*(i/) = (-ir(wf) + (-ir'(W""1)+ ... +Япу. Выражение 1{у) называется самосопряженным, если /(#) = вГ(!/). Всякое самосопряженное дифференциальное выражение с достаточным числом раз дифференцируемыми коэффициентами может быть представлено в виде i{y) = (-i)n(PoyM)in) + {-i)n-l(p^n-l)f-1)+ ... +Рпу. В дальнейшем предполагается, что коэффициенты Рг(х) (i — 0, 1, ..., п) определены на конечном или бесконечном интервале [а, Ь] и имеют на [а, Ь] непрерывные производные "порядка η — i. Кроме того, предполагается, что функция 1/ро{х) суммируема на каждом конечном отрезке [α, β] cz (а, Ь).
236 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Удобно называть квазипроизводными функции у, соответствующими 1(у), выражения, определяемые формулами: г/101 = г/. i/w = -£f( при k = \, 2, .... я-1, у Р° dx"· У[п+к] = Рк^^~^У[П+к~^ ПРИ А = 1. 2, .... я. Из определения следует, что 1(у) = Ут. На каждом отрезке [α, β] с: (а, 6) справедливо тождество Л а- гранжа β β j l(y)zdx- j yl(z)dx = [yf z]fa; a a где [у, Z]=2{/"11ZPta-*I-»P,|-*1Z1*-11}. В гильбертовом пространстве L2[a,b] рассматривается линейное всюду плотное множество DO, состоящее из финитных функций, т. е. бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю вне некоторого отрезка [α, β] (своего для каждой функции), заключенного целиком в интервале [a, b]. Ha Do определяется оператор Lo равенством LOy = l(у). Из формулы Лагранжа следует, что Оператор Lo будет симметрическим оператором. Замыкание Л0 оператора Lo будет также симметрическим оператором. В теории дифференциальных операторов изучаются самосопряженные расширения оператора Л0. Литература: [24], [45]. 2. Регулярный случай. Самосопряженное выражение 1(у) называется регулярным, если интервал (а, Ь) конечен и функция 1/ро(х) суммируема на всем интервале (а, Ь). Если 1(у) регулярно, то область определения D(A0) состоит из всех функций, имеющих на [а, Ь] абсолютно непрерывные квазипроизводные до (2п—1)-го порядка включительно и квазипроизводную порядка 2я, принадлежащую L2[a, b\ и удовлетворяющих граничным условиям yW(a) = yW(b) = 0 при k = 0, 1, ..., 2лг — 1.
§ 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 237 Индексы дефекта оператора Л0 равны 2п. Сопряженный оператор задается равенством Аоу — 1(у) и определен на множестве d(Aq) всех функций, имеющих на [а, Ь] абсолютно непрерывные квазипроизводные до (2п — 1)-го порядка включительно и квазипроизводную #t2nl e L2[a, b]. Всякое самосопряженное расширение А оператора Л0 задается равенством Ау = 1(у) на функциях из D(Aq), удовлетворяющих системе граничных условий Г,у = Σ [а/*У(*-1] («) + β/^"11 (b)] = 0 (/=1,2,..., 2n), где /г ZJ [ct/vafe, 2/i-v-W — а/, 2n-v±\Ukv\ == Vs=l η = 2j Ιβ/νβ^.2η-ν+1 '"'β/, 2tt-v + liWI (/» ^ = 1, 2, ..., 2fl). Наоборот, яри любых щч и β^, удовлетворяющих последним условиям, на множестве всех функций из D(Aq), удовлетворяющих системе граничных условий {Tjy = 0}, оператор Ау = 1(у) порождает самосопряженный оператор. Если ро(х)> 0, то оператор Л0 полуограничен снизу. Жесткое расширение оператора А0 соответствует системе граничных условий y[k](a) = o и уШ(Ь) = 0 при Л = 0, 1, ..., я—1. Резольвента любого самосопряженного расширения оператора Л0 есть интегральный оператор типа Гильберта — Шмидта (см. § 2, п. 7). Следовательно, резольвента любого самосопряженного расширения А является вполне непрерывным оператором, спектр оператора А является дискретным, оператор А имеет полную систему собственных элементов. Литература: [24], [45]. 3. Сингулярный случай. Если интервал (а, Ь) бесконечен или функция 1/ро(х) не суммируема на (а,£>), то выражение 1(у) называется сингулярным. В этом случае картина получается значительно более сложной. Область определения D(Aq) оператора Ло получается такой же, как и в регулярном случае; Область определения самого оператора А0 не всегда допускает описание с помощью граничных условий. Непосредственно из тождества Лагранжа
238 гл· Ιν· ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ следует, что D(A0) состоит из всех функции у из D (Ло), для которых при всех ζ е D (Ло). Индексы дефекта /г+ и /г_. оператора Л0 всегда одинаковы (вследствие вещественности коэффициентов выражения 1(у)) и могут равняться любому целому числу т, заключенному между 0 и 2п\ О ^ т ^ 2п. Следует напомнить, что индекс дефекта равен числу т линейно независимых решений уравнения 1{у)=Ку при невещественном λ, принадлежащих L2[a, b]. Описание всех самосопряженных расширений оператора уже не удается сделать с помощью системы граничных условий. Условия, выделяющие область определения самосопряженного расширения из множества £)(Л0)> пишутся в неявной форме (см. [45]). Резольвента всякого самосопряженного расширения является интегральным оператором с ядром Карлемана (см. § 3, п. 5). Если индекс дефекта оператора Л0 равен 2п, то ядро является ядром Гильберта — Шмидта. В этом случае спектр любого самосопряженного расширения дискретен. В общем случае спектр состоит из дискретной и непрерывной части. Непрерывная часть спектра у всех самосопряженных расширений одинакова. Несколько больше можно сказать в случае, когда выражение 1{у) на одном из концов интервала (а, Ь) регулярно. Пусть а конечно и 1/ро(х) суммируема на всяком интервале (а,с), где а < с < Ь. Тогда область определения оператора Л0 состоит из всех функций из D (Ло), для которых i/[fe](a) = 0, k = Q, 1, ..., 2/1—1 и [//> z]b = 0 при всех z^D(Al). Индекс дефекта может быть любым целым числом между η и 2п: η <ξ т ^ 2п. Если индекс дефекта равен п, то второе условие [у, z]b = О выполняется для всех у, ζ е D (Ло), поэтому область определения D[Ao) описывается лишь первыми условиями yW(a) = 0 (k = О,1,... ,2az — 1). В этом случае любое самосопряженное расширение также описывается с помощью граничных условий на регулярном конце: область определения расширения состоит
§ 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 239 из всех функций из D (Ло), удовлетворяющих условиям Г,у=%а,куЧ*-Ч(а) = 0 (/=1, 2, ..., л), где η 2j [α/ν«£, 2/ι-ν+ι—α/, 2m-v+i«/a] = 0 (/> k = l9 2, ..., /г). V=l Обратно, написанная система граничных условий выделяет из D (Ло) область определения самосопряженного расширения оператора Л0, если а^ удовлетворяют последней системе равенств. Если выражение 1(у) сингулярно на обоих концах (а,Ь), то ^интервал (а, Ь) можно разбить внутренней точкой с на два интервала: (а, с) и (с, Ь), в каждом из которых 1(у) будет регулярным в конце с. Если обозначить через Ло" и Ло" операторы, порождаемые 1(у) на интервалах (с, b) и (а, с), и через т+ и /77— — индексы дефекта операторов Ло" и Ло", то для индекса дефекта оператора Л0 на всем интервале (а, Ь) справедлива важная формула т = т+ + тг — 2/г. В частности, если индексы дефекта операторов Ло" и Л<Г равны я, то оператор Л0 на (а,Ь) будет самосопряженным. Обратно, если Л0 на (а, Ь) самосопряжен, то, поскольку всегда m+>AZ и т~>я, операторы Ло" и Ло" имеют индексы дефекта п. Литература: [24], [45]. 4. Критерии самосопряженности оператора А0 на (— оо, оо). В этом пункте приводится ряд простых критериев, позволяющих по коэффициентам выражения 1(у) устанавливать самосопряженность оператора Л0, порождаемого 1(у) на всей оси — оо<л:<оо. Как было указано выше, эти критерии одновременно являются критериями того, что на полуосях [0, оо) и (—οο,Ο] соответствующие операторы Ло" и Ло" имеют индексы дефекта, равные п.' Если коэффициенты выражения 1(у) постоянны: р0(х) = а0фО, рх(х) = а{, ..., рп(х) = ап, то это выражение принимает вид d2nu d2n~2u
240 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Оператор Л0, порожденный на (—οο,οο) выражением 1(у) с постоянными коэффициентами, самосопряжен. Ряд критериев устанавливает, что оператор А0 самосопряжен, если его коэффициенты в известном смысле близки к постоянным. Оператор А0 на (—οο,οο) самосопряжен в каждом из перечисляемых ниже случаев: 1) существуют пределы \\т р0 = а0ф0, limp1=a1, ... #->оо Х->оо ..,, lim pn = an\ *-»оо * 2) функции 1/р0, Pi» ···> Рп отличаются от некоторых чисел 1/а0, аи ..., ап на суммируемые на (— оо, оо) функции; 3) функции (1/роУ, Pi, р2> ..., Рп ''суммируемы на (— оо, оо) и lim p0(x) > 0. *->оо Все эти критерии могут быть соответственно обобщены, если воспользоваться следующим свойством: при прибавлении к коэффициенту рп(х) ограниченной на (—οο,οο) функции индекс дефекта оператора Л0 не изменяется. Отсюда, в частности, вытекает самосопряженность оператора Л0, порожденного на (—οο,οο) выражением l(y) = (-l)n^r + q(x)y, где q(x)— ограниченная на (—οο,οο) функция. Более сильные утверждения справедливы при η = 2, т. е. для выражения Оператор Л0, порожденный этим выражением на (—οο,οο), будет самосопряженным, если функция q(x) ограничена только снизу или, более общо, ,если при достаточно больших \х\ q(x)>-kx2 (k>0). Оператор Л0 также самосопряжен, если q(x)^ L2{—оо, оо). Другие критерии самосопряженности и несамосопряженности оператора Л0, порожденного самосопряженным дифференциальным выражением 1(у), см. в гл. 9, § 3, п. 5. Литература: [24], [45]. 5. Характер спектра самосопряженных расширений. Как указывалось, в сингулярном случае спектр самосопряженных расширений может быть и дискретным, и непрерывным. Если рассмотреть выражение 1(у) на [0, оо), то при выполнении условия 3) предыдущего пункта непрерывная часть спектра всякого самосопряженного расширения оператора А0 на [0, оо) совпадает со всей положительной полуосью λ ^ 0. Точки дис-
§ 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 241 кретного спектра могут находиться как на отрицательной, так и на положительной части полуоси. Если ро(х)>0 и выполнены условия 1) предыдущего пункта, причем аи ^2, ···, tfn-i положительны, то в интервале (—оо, ап) может находиться только дискретная часть спектра. Единственной точкой сгущения дискретного спектра на (—оо, ап) может быть лишь точка λ = ап. Вопрос о характере спектра является одним из важнейших в теории дифференциальных операторов. Особое значение он имеет в задачах квантовой механики. Для дифференциальных операторов квантовой механики он изложен в гл. IX. Литература: [24], [45]. 6. Разложение по собственным функциям. В регулярном случае для самосопряженного расширения А существует полная "ортонормированная система собственных функций, по которой разлагается в ряд Фурье любая функция из L2(a,b). Если эта функция принадлежит области определения, самосопряженного расширения, т. е. является достаточно гладкой и удовлетворяет соответствующим граничным условиям, то ее ряд Фурье сходится равномерно. В сингулярном случае у самосопряженного расширения может появиться непрерывный спектр и вместо разложения в ряды появляются разложения в интегралы, которые также называются разложениями по собственным функциям дифференциального оператора 1(у). Пусть ιΐ\{χ, λ)", и2(х, λ), ..., и2п(х, λ) — система решений уравнения /(#) = λ#, удовлетворяющая начальным условиям г* п/ ч / 1 ПРИ ' = *' 1 ν °' 10 при ]фк, где х0 — фиксированная точка из (а, Ь). Для всякого самосопряженного расширения А оператора Л0, порожденного выражением 1(у), существует матричная функция * (λ) = (σ/Λ (λ)) (/, β = 1, 2, ..., 2η) такая, что для любой функции /(#)<= L2 (а, 6) справедлива формула оо 2п ϊ Μ = J 2 Φ/ (λ) uk (χ, λ) daJk (λ), -оо k=l причем интеграл сходится в среднем квадратичном (подробнее см. [45]). Вектор-функция φι (λ), .,,, ψ2(λ)) принадлежит L2ida.
242 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Для нее справедливы формулы обращения ь Φ/(λ)= jf(x)uj(x, %)dx (/=1, 2, ..., 2я), α где интеграл сходится в L2, da- Имеет место аналог равенства Парсеваля: Ъ оо 2/г J*|f(x)pdx= J J] Φ/(λ)φΠλ)*>τ/*(λ). a —оо /, fe=l Кратность спектра оператора А не превосходит 2лг. Ядро резольвенты оператора А задается формулой Ϊ хг\ uk <*' λ> uj <s> λ> K(x,s, μ)= J 2j λΊΓ£ rfor/*M> -оо /, /г=1 где интеграл сходится в L2(a,b) по каждой из переменных χ и s при фиксированной другой. В случае, когда выражение 1(у) регулярно на одном из концов интервала (а, £>), например на конце а, и соответствующий оператор Л0 имеет индекс дефекта п, предыдущие разложения упрощаются. Всякое самосопряженное расширение в этом случае описывается с помощью системы из η граничных условий на конце а. В разложениях можно брать тогда не все решения и(х, λ) уравнения 1{у) = %у, а только те, которые удовлетворяют на конце а соответствующим граничным условиям. Из них линейно независимыми будут η решений. Матрица распределения σ(λ) будет порядка п. Так, для выражения второго порядка на интервале (а, оо) (а > — оо) разложения принимают вид оо f(x)= Г φ (λ) и (χ, λ) da (λ) — оо и оо φ (λ) = J f (x) и {х, λ) dx, a где σ(λ)—числовая неубывающая функция, а и(х, λ)—решение уравнения 1(у) = Ху, удовлетворяющее граничному условию
§ 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 243 Вещественный коэффициент θ соответствует данному самосопряженному расширению. Функция σ(λ) может быть найдена следующим образом: пусть и\(х,λ) и u2(xtX)— два решения уравнения 1(у) = Ку такие, что их{ау %)= 1, р(а)и\(а> λ) = 0, и2 (а> λ) = О, ρ (а) и2(а, λ) = — 1. Так как индекс дефекта равен единице, то при каждом невещественном λ лишь одна комбинация вида щ{х, λ)+ [~\- М(К)и2(х, λ) принадлежит L2(a, b). По функции Λί(λ) находится функция σ(λ): δ+λ σ(λ)= lim lim -^ Ιπι[Μ(λ + ie)]dh. 6->+o ε->+0 j Литература: [24], [45]. 7. Примеры. 1. Пусть дифференциальное выражение т=-у* рассматривается на интервале (0, оо). Линейно независимыми решениями уравнения —у" = iy будут yi = eii-t)x/YT и у2==е-(\-»х/УГф Из них только y2^L2(0y оо). Индекс дефекта соответствующего оператора А0 равен 1. Самосопряженные расширения определяются граничными условиями </'(0) = θ</(0), где θ — вещественное число. Решением уравнения l(y) = Xyt удовлетворяющим этому условию, будет и(х, X) = cosYKx + -^=-sin Υ λ χ. Подсчет показывает, что Αί(μ)= θ - ί ]/μ Если θ>0, то σ(λ) = 0 при λ < 0 и σ' (λ) = r Q2) . Следова- тельно, самосопряженные расширения при Θ^Ο имеют простой непрерывный лебегов спектр на (0, оо). Разложения по собственным функциям имеют вид оо Н*)=т ί φ<λ> {cos ΫΤχ + yrsin νϊχ}τ^άλ>
244 ГЛ. IV ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ где φ(λ)= J f (x) {cos l/λ JC + T^-sin V% x\dx. При θ = 0 получаются формулы преобразования Фурье по косинусам. 2. Дифференциальное выражение Бесселя имеет вид ПУ)=-У" + ^1±У (v>0). Если это выражение, рассматривать на интервале (0, <х>), то оно будет сингулярным на обоих концах. При ν ^ 1 соответствующий оператор А0 будет самосопряженным, при 0^ν< 1 он будет иметь индекс дефекта (1, 1). Так как общее решение уравнения I(у) = \у имеет вид y.= AVx Jv{χ Υλ) + В Υ χ Υν(χ ΐΛΓ), то эти факты легко устанавливаются по асимптотическому по- ведению^функций Бесселя при г->0 и г->оо. На интервале (0, 1) все самосопряженные расширения оператора А0 имеют дискретный спектр. На интервале (1, оо) индекс дефекта А0 равен 1, непрерывный спектр самосопряженных расширений заполняет положительную полуось. Если рассмотреть самосопряженное расширение, соответствующее граничному условию г/(1) = 0, то разложение по собственным функциям имеет вид оо f/v Г л г- h (χ УХ) κν (Ух) - Ку (χ Ух~) /у (Ух) ф(и ., fW=J Ух 2(п(Ух) + гКУх)) Φ{λ)άλ' 2(i*(VX) + yI(Vx)) где φ(λ) = j Ух {jv(xYK)Yv(VK)-Y4{xVK)jv(VK)}f(x)dx. Эти формулы называются формулами обращения Вебера, На интервале (0, оо) при ν ^ 1 разложения имеют вид оо f(x)=j 1/7 /ν {χ Υ λ) Φ (λ) άλ, ο где оо Φ (λ) = J* V7 /ν (χ Υ λ) f (x) dx. ο Эти формулы задают преобразования Ханкеля. Литература: [24], [45].
§ 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 245 8. Обратная задача Штурма — Лиувилля. Обратными задачами в спектральной теории дифференциальных операторов^ называются задачи о восстановлении дифференциального выражения данного порядка по тем или иным спектральным характеристикам самосопряженного оператора, порожденного этим выражением. Здесь рассматривается один вариант постановки обратной задачи. Пусть для некоторого дифференциального выражения второго порядка Цу) = -у" + ч(х)у известна спектральная функция σ(λ), соответствующая некоторому самосопряженному расширению А оператора Л0, порожденного выражением 1(у) на (0, оо). Требуется найти коэффициент q(x) в выражении 1(у) и вид граничного условия, соответствующего оператору А. Для этой задачи имеется несколько методов решения, один из которых здесь излагается. Полагают ί σ(λ) — — VI при λ>0, τ(λ) = ( π Ι σ (λ) при λ < 0 и наводят функции оо г· / ч Γ sin УХ" x sin V% у . /Λ ч Fix* У)= J 1 -άχ(λ) —оо f(x,y)^-d2F(x'y) дхду Интегральное уравнение X Ϊ(χ, У)+ \f(y, s)K(x, s)ds + K(x, y) = 0 0 при каждом фиксированном χ имеет единственное решение К(х,у). Функция q(x) определяется по формуле «W-i^iH- Граничное условие, определяющее данное самосопряженное расширение, имеет вид tf (0) - Qy (0) = 0, где θ = К (0, 0). Собственные функции и(х,Х) уравнения 1(у) = Ху, удовлетворяющие граничным условиям и(0, λ) = 1 и и'(0, λ) = Θ,
246 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ можно найти по формуле χ φ(χ, Я) = со8 |/Т х + j К(х, t)cos Υλ tdt. о Описанные здесь построения удается обосновать при условиях: 1) интеграл JV'M*ifoft) существует при любом вещественном х, 2) функция оо / ч Г cos V % χ ι /л ч а(х)= τ αχ (λ) имеет непрерывные производные до 4-го порядка включительно. Если функция q(x) имеет непрерывную производную, то указанные условия необходимы для разрешимости обратной задачи. Литература: [24], [45]. § 8. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка 1. Самосопряженное эллиптическое дифференциальное выражение. Пусть задано дифференциальное выражение второго порядка в самосопряженной форме: η i, ft=l l Ч Λ где х = (Х\,...,Хп) — точка /z-мерного пространства. Предполагается, что коэффициенты aih(x) и с(х), а следовательно, и все выражение 1и определены в некоторой области G и на ее границе Г. Матрица (aik(x)) — симметрическая. Выражение 1и называется эллиптическим, если все собственные числа матриц (aih(x)) ограничены снизу положительной константой равномерно на G + Г. Это определение согласуется с общим определением (см. § 4, п. 3). В дальнейшем предполагается: область G ограничена, граница Г достаточно гладкая; коэффициенты aih(x) обладают частными производными первого порядка, непрерывными в зам-
§ 8. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР 247 кнутой области G + Г; функция с(х) непрерывна в G + Γ и с(х)^0. Для функций из класса №(G + r) (см. гл. I, § 1, п. 5) интегрированием по частям получается формула Грина jluvdx= julvdx- f(*LO-u*L}ds. G G Τ Здесь -^ — дифференцирование по направлению конормали в точке границы Г: η 17 = Σ aik(x)cos(n, Ч)^> где через п обозначен единичный вектор внешней нормали к поверхности Г. Литература: [3], [43]. 2. Минимальный и максимальный операторы. L-гармониче- ские функции. В гильбертовом пространстве L2(G) рассматривается множество DO, состоящее из финитных в G функций. Равенством LOu = lu на DO определяется линейный оператор, который в силу формулы Грина будет симметричным. Оператор Lo является положительно определенным. Замыкание LQ оператора Lo будет также симметричным оператором, который называется минимальным оператором, порожденным выражением 1и. Область определения минимального оператора состоит из всех тех функций из пространства W2 (G) (см. гл. II, § 1, п. 5), для которых и\г = 0 и -^н =0. * Оператор L = Lo, сопряженный к L0 в пространстве L2(G), называется максимальным оператором. Оператор L может быть получен как замыкание оператора L', определенного формулой IJv = lv на множестве всех бесконечно дифференцируемых в G + Г функций v(x). Индекс дефекта оператора L0 равен оо. Дефектное подпространство ί/, ортогональное к области значений оператора L0, состоит из всех решений уравнения Lu = 0. Эти решения называются L-гармоническими функциями. Гладкая L-гармони- ческая функция и определяет на границе Г некоторую функцию φ, значения которой совпадают с граничными значениями функции и: q){s) = u(s) (sgT). Оператор γ, реализующий соответствие w-χρ, может быть расширен по непрерывности на все пространство U. Таким
248 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ образом, каждой L-гармонической функции взаимно однозначно ставится в соответствие ее «обобщенное» граничное значение уи. Для характеристики обширности дефектного пространства U можно указать, что совокупность граничных значений всех L-гармонических функций содержит в себе пространство Ь2(Г) и даже LP(Y) при ρ ^ 2(п —- 1)//г, когда η > 2, и при ρ > 1, когда η = 2. Полностью совокупность граничных значений может быть охарактеризована н терминах обобщенных функций. В связи со сложной природой граничных значений L-гармонических функций области определения самосопряженных расширений оператора L0, вообще говоря, не допускают описания с помощью граничных условий в классической форме. Эти области описаны с помощью граничных операторов, не допускающих в общем случае представления в рамках математического анализа. Здесь приводится лишь описание самосопряженных расширений, отвечающих трем- основным краевым задачам математической физики. Литература: [3], [43], [157], [170]. 3. Самосопряженные расширения, отвечающие основным краевым задачам. Жесткое расширение Ζ,μ оператора L0 определяется формулой L^u = lu на множестве всех функций из W\ (G),- обращающихся в нуль на границе Г. 1/2 Областью определения корня квадратного Ζ,μ из жесткого' о j расширения Ιμ является множество W2 (G), состоящее из всех функций из W2{G)y обращающихся в нуль на Г. Таким образом, D (£μ) и D (Ζ,μ2) характеризуются одним и тем же граничным условием, но разными условиями гладкости. Решения уравнения L^u = f называются решениями первой однородной краевой задачи для уравнения 1и = /. Для этих решений справедливо важное неравенство С1\\и\\^\\Ь^и\\ь^С2\\и\\^. Для области определения сопряженного к L0 оператора L справедливо представление D(L) = D(Lo)@L^U@U (см. § 4, п. 3). Функции из D{L0) и L^lU принадлежат W2(G)> следовательно, «негладкость» функций из области определения D(L) может возникать только за счет L-гармонических слагаемых из U. Оператор L°u = lu, определяемый на всех функциях из Wl(G)y удовлетворяющих граничному условию -~-=Ό, опре-
§ 8 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР 249 деляет другое ' самосопряженное расширение оператора L0. Если с(х)Ф0, то оператор L0 является положительно определенным в L2(G)\ если с(х) = 0, то он положительно определен на подпространстве L2(G), ортогональном к функции, тождественно равной 1. Область определения корня квадратного из оператора L0 совпадает с пространством W2{G). Таким образом, здесь при переходе от D(L°) к D((L°),/?) граничное условие снимается. Решения уравнения L°u = / называются решениями второй однородной краевой задачи для уравнения lu = f. Для этих решений также справедливо неравенство c.ii"M,o)<iiL0"ii,2(G)<^ii"M(G)· Если в ψ\ (G) рассмотреть совокупность всех функций, удовлетво- /}// I ряющих граничному условию -г 1- σ (s) u\ = 0, где функция a(s)^0 и является достаточно гладкой, то оператор L°t определенный равенством Lau = lu на этой совокупности, будет самосопряженным и будет обладать теми же свойствами, что и L·0. Если же функция o(s) только непрерывна или, более общо, измерима, то картина значительно усложняется. Область определения соответствующего самосопряженного расширения может уже содержать функции, не принадлежащие W\ (G), для которых понятие производной по · конормали может быть не определено не только в классическом смысле, но и в смысле Соболева. В связи с этим оператор дифференцирования по конормали расширяется. На функциях из W\ (G) он определяется с помощью обычных обобщенных производных. Дополнительно он определяется на некотором множестве «не гладких» L-гармонических функций. Пусть <p(s)—граничное значение L-гармонической функции и(х) из W%(G): φ = γί/, ί/ = γ-1φ. Тогда определен оператор ди P'(v„)=/>>=jL(rM dv Оператор Ρ', определенный на таких функциях φ, является симметрическим и положительным в L2(T). Его индекс дефекта равен нулю. Замыкание Ρ оператора Р' является положительным самосопряженным оператором. Каждой функции <peZ)(P) соответствует L-гармоническая функция γ-1φ. Совокупность Up(G) всех этих L-гармонических функций уже содержит все функции, на которых нужно доопределить оператор дифференцирования по конормали. Если w = υ + ti, где ν е W2 (G), a u<=UP(G), то полагают dv Dvw = -^ + P(yu). Оказывается, что оператор L, рассматриваемый на всех тех функциях изч области определения оператора Dv, для которых Dvw (s) + σ (s) w (s) = 0 (s e= Γ), порождает самосопряженный оператор Ζ/7»
250 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Решения уравнения LGw = f называются решениями третьей краевой задачи для уравнения lu — f. Эти решения .уже могут не принадлежать ψ\ (G), но заведомо принадлежат W2 (G). Решения w(x) обладают «сильной производной по конормали» в .том смысле, что их можно аппроксимировать в Wx2 (G) гладкими функциями так, чтобы dwn ■ Dvw\\ -> 0. dv Н£ЛГ) Приведенное построение теории третьей краевой задачи проходит не только при ограниченных измеримых функциях o(s), но и при σ^Ζ.2η_ο(Γ). Область определения корня квадратного из оператора L° совпадает с пространством W\(G). Описанное расширение оператора дифференцирования по конормали до оператора Dv оправдывается также тем, что при этом сохраняет силу формула Грина J (Lw)vdx= J \^aik(x)^^ + CWU\dx — J (Dvw)vds, G G Li, k i k J г справедливая при любой функции w из области определения оператора Dv Все рассмотренные самосопряженные расширения оператора L0 имеют вполне непрерывные резольвенты, поэтому спектр каждого из расширений дискретен, собственные функции образуют ортогональный базис в L2(G). Резольвента будет оператором Гильберта — Шмидта, если число независимых переменных η <ζ 3. При η > 3 лишь некоторая степень резольвенты будет оператором Гильберта — Шмидта. Литература: [3], [153], [157], [164]. § 9. Гильбертова шкала пространств 1. Гильбертова шкала и ее свойства. Как уже отмечалось в предыдущих параграфах, для ряда задач рамки одного гильбертова пространства становятся узкими, и для исследования различных сторон задачи приходится вводить различные гильбертовы пространства. В связи с этим в последнее время было введено понятие гильбертовой шкалы пространств. Пусть #0— гильбертово пространство и /—неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор в Н0 такой, что (/*, *)>(*, х) (xsfl(/)). Через На при а ^ 0 обозначается область определения степени /а оператора /: Ha = D(ja)
§ 9. ГИЛЬБЕРТОВА ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ 261 (определение /а см. в § 3, п. 3). Пространство Яа является гильбертовым по отношению к скалярному произведению (X, У)а = (Гх, ГУ)· При а<0 по этой же формуле вводится скалярное произведение в пространстве Я0, и пространство, полученное пополнением Я0 но соответствующей норме, обозначается' через На (а<0). Полученное семейство гильбертовых пространств {На} (—оо < а < оо) называется гильбертовой шкалой пространств. Гильбертова шкала пространств обладает свойствами: 1) Если а < β, то Н$аНа, пространство Н$ всюду плотно в пространстве На и ΙΙ*ΙΙα<ΙΙ*ΙΙβ· 2) Если а < β < γ, то при χ <ξ Ну справедливо неравенство \\х%<\\х\\Г^\\х\\^. 3) Пространства На и Я_а являются взаимно сопряженными по отношению к скалярному произведению в Я0. В частности^ | (χ, у\ \<\\χ 11а II у La (х^на,'уе я_а). (Под функционалом (х,у)о понимается скалярное произведение в Я0, если x,i/G//o, и его расширение по непрерывности, если χ е Яа и у е Я_а.) Пусть Я0 и Я! — два гильбертовых пространства со скалярными произведениями (х,у)о и (χ, ί/)ι и нормами ||х||0 и \\х\\\ соответственно. Предполагается, что Я ι а Я0, Я! всюду плотно в Я0 и || * ||0 < ||* И! (*€=#,)· Оказывается, что существует неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор / в Я0 такой, что областью определения его служит пространство Н\ и II * Hi = II/* Но- Оператор / называется порождающим для пары (Н^Н\)% По оператору / можно построить гильбертову шкалу пространств, включающую пространства Я0 и Н\. Оператор /, первоначально определенный на пространстве Hi и отображающий его на пространство Я0, может быть расширен на пространства Яа. Таким образом, оператор J можно считать расширенным до оператора J, определенного на всех пространствах Яа (—оо < а < оо) и отображающего взаимно однозначно Яа на Яа_ь Любой оператор J1 (/>0) порождает
252 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ту же гильбертову шкалу пространств и также может быть расширен дс оператора, определенного на всей шкале и отображающего Яа на Ηα-ι. Литература: [3], [101]. 2. Пример гильбертовой шкалы. Пространства W2- За пространство #о принимается пространство L2(Rn)f где Rn — n-мерное пространство. Через й(£) обозначается преобразование Фурье функции u(x)^L2(Rn): й{1)· (2п)п/2 e-^x'^u(x)dx. Пусть J— оператор, ставящий в соответствие функции и(х) функцию v(x), преобразование Фурье которой имеет вид Γα(1) = υ(1) = νΤ+\ΪΥ й(1). Гильбертова шкала, построенная по оператору /, может быть описана так: пространства На при а ^ 0 состоят из всех функций, для которых ll«ll« = J(l + lil2)aU(|)N| < оо. При а<0 пространства На получаются пополнением L2(Rn) по написанной выше норме. Полученная шкала пространств обозначается через [W2 (Rn)) (см. гл. II, § 1, п. 5), она является важной для многих задач анализа и теории уравнений в частных производных. Возникает вопрос о том, существует ли гильбертова шкала пространств, содержащая пространства Соболева W\{G), определенные в области G Аг-мерного пространства. Ответ на этот вопрос неизвестен. Однако для каждого N можно построить гильбертову шкалу пространств Н^\ содержащую все пространства Wl2 (G) при 0 ^ / ^ N. Построение такой шкалы можно провести с помощью продолжения на все пространство Rn функций, заданных в области G, с сохранением гладкости. Нормы в пространствах Н{а] будут при 0<a<Af эквивалентны нормам в пространствах W2(G): при a==m, где /п — целое: \\u\\wm= f !н2 + Σ \D*u\2\dx; 2 G Κ |,β|=1 J
§ 9. ГИЛЬБЕРТОВА ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ 253 при α = т + λ, где т — целое и 0 < λ < 1: |P|=mG G *' При отрицательных индексах эффективного описания нормы, нет, но она может быть определена как норма в сопряженном пространстве I и IL-o = sup ^2 ||о|| =1 J u (χ) υ (χ) dx (α > 0). Таким образом, в любом наборе с ограниченными индексами а, пространства W% обладают свойствами пространств гильбертовой шкалы. В частности: 1. При α<β пространство Wl{G) содержится и всюду плотно в пространстве W* (G) и \\иКа<С\\и\\^ (ueWt). 2. При α < β < γ имеет место неравенство IIи\\wl <C\\u\t;f«-* ||и||(^α)/(ν-α) (и s W1 (О)). Константы С в последних неравенствах зависят от вида области G и от максимального модуля индекса норм фигурирующих в них пространств. Последнее неравенство часто удобно применять в эквивалентной форме: II и Ц < С (ε-<β-°>/<ν-α> || „ \\ψί + e(v-e)/<v-) || „ ,ц у где ε — любое положительное число. Литература: [3], [101], [102]. 3. Операторы в гильбертовой шкале. Для гильбертовых шкал справедлива следующая интерполяционная теорема:- пусть имеются две гильбертовы шкалы {На} и {Fa} и линейный оператор А, являющийся ограниченным оператором, действующим из пространства #а„ в пространство Fa, и из пространства H$Q в пространство F$r Тогда оператор А является ограничен- ным оператором, действующим из любого пространства #а„м в пространство Fai(n), где ОоО*) —О — μ)α0 + μβ0 и а{ (μ) = — (1 — μ)α! + μβι·
254 гл. ιν, операторы в гильбертовом пространстве В связи с указанным обстоятельством большинство операторов, возникающих в приложениях, естественно рассматривать не как операторы, действующие из одного пространства в другое, а как операторы, действующие из серии пространств одной шкалы в соответствующую серию пространств другой шкалы. Так, например, оператор γ, ставящий в соответствие L-гармонической функции ее граничное значение (см. § 8), является ограниченным оператором, осуществляющим взаимно однозначное отображение любого пространства шкалы W%(G) ι са>0 в пространство W2 2 (Г). Из сформулированной интерполяционной теоремы можно получить важное неравенство Гайнца: пусть А и В— положительные самосопряженные операторы, действующие в гильбертовых пространствах Η и Н{ соответственно. Если Τ — ограниченный оператор с нормой Λί, действующий из // в #1, такой, что TD(A)czD(B) и UBTxU^MJAxU (*€=£> (Λ)), то TD(Aa)c:D(B<*) и \\ваТх{ <Μ1"αΜ?|| Аах\\ (0 <а < 1). В случае, когда Η = Н\ и Τ = /, получается следствие: если А и В — положительные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Я такие, что D{B)zdD(A) и \\Вх\\ ^ <||Лх|| (*<=£>(Л)),то ||Яах||< ||Л«*||, 0< α < 1. Литература: [36], [101], [102]. 4. Теоремы о следах. Пусть пространства {На} образуют гильбертову шкалу. Рассматриваются функции x(t) (—оо < / < <; оо) со значениями в гильбертовом пространстве Нх и имеющие непрерывную производную /-го порядка в пространстве Я0 (в смысле нормы пространства Я0 (см. гл. III, § 4, п. 1)). В множестве Ш всех таких функций вводится норма оо n*i£= Ли'Юй.+Нйт-Г }dL —оо I "^° > Пространство 5R пополняется по этой норме, и ставится вопрос о том, что можно сказать о значениях полученных функций и их производных порядка ниже / в любой точке вещественной оси, например, в точке / = 0. Иначе этот вопрос можно еще поставить так: если последовательность функций xn(t)^y\ является фундаментальной в норме этого пространства, то что можно сказать о сходимости значений этих функций и их производных в точке t = 0?
§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ 255 Оказывается, что операторы, ставящие в соответствие функции* x(t)^%l элементы хк(0) (k = 0, 1, ..., /—1), являются непрерывными операторами из пространства SR в пространства Нп , где с^ = 1 2/—· Таким образом, можно говорить о значениях в точке самой функции и ее_производных порядка ниже / для любой функции из пополнения У1 пространства -Л. Эти значения принадлежат соответственно пространствам Hak- Обратно, если дан набор элементов х0, хи ..., Χι-{ таких, что xk^Ha, то можно построить функцию χ(/)^9ΐ, для которой xk(0) = xk (A = 0, 1,...,/—1). Предложения указанного типа получили название теорем о следах (см. гл. II, § 1, п. 5). Литература: [102], [104]. § 10. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой 1. /пространства. Пусть //и—гильбертово пространство, Я = = Я+-}- Я_— некоторое его разложение в ортогональную сумму подпространств Я±, а Р± — соответствующие проекционные операторы (ортопроекторы): Р±Н = Н±. Оператор J = Р+ — Р_ является одновременно самосопряженным и унитарным оператором в Я, причем Ρ = I. В Я вводится полуторалинейная форма [х> У] = (Jx> У) (х> У S Я). Эрмитова форма [х,у] в случае, когда Р± φ 0, индефинитна. Пространство Я с формой [х, у] называется /-пространством или пространством с индефинитной метрикой. В зависимости от того, положительно, отрицательно или равно нулю число [х, х], вектор χ <ξ Я называется соответственно положительным, отрицательным или нейтральным. Линеал, т.е. линейное многообразие 3? о Я, называется неотрицательным (положительным), если [х, х]^0 ([х, х] > 0) для всех χ е 3? (л;=^=В). Аналогично определяются неположительные (отрицательные) и нейтральные линеалы. Положительные и отрицательные линеалы называют дефинитными, неположительные и нейтральные — семидефинитными. Для всякого линеала 9? каждого из перечисленных выше типов существует содержащий его максимальный линеал 3? того же типа. Неотрицательный (неположительный) линеал 3? отображается проекционным оператором Р+(Р-) в Н+(Н-) взаимно однозначно и взаимно непрерывно. При этом 3 будет максимальным неотрицательным (неположительным) тогда и только
256 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ тогда, когда Р+2 = Н+ (Р~2 = #_). Ясно, что в этом случае 2 замкнут, т. е. является подпространством в Η (замыкание и все другие топологические термины понимаются по отношению к гильбертовой норме в Н). При этом dim2 = dim H+ (d\m2 = = dim//_) — закон инерции. Для произвольных же неотрицательных (неположительных) подпространств имеем dim 2 <С dim H+ (dim Н-). Совокупность %Л+ = {2} всех максимальных неотрицательных подпространств 2 /-пространства Η находится во взаимно однозначном соответствии с множеством ίϊ = {К} всех нерастя- гивающих линейных операторов К (\\К\\ ^ 1), отображающих Н+ в Н-. Это соответствие выражается формулой 2 = {х+ -\- + Кх+}х еЯ . К 'называется угловым оператором подпространства 2 относительно #+. Аналогично определяются совокупность Ш- = {2"} и угловой оператор К' максимально неположительного подпространства 2' относительно Н-. Векторы *,#<=# называются J -ортогональными, если' [х, у] = = 0. Естественно определяются /-ортогональность вектора χ и линеала 9? и двух линеалов 9 и М; соответствующие обозначения: х[А-]у> х[±.]2, 2[±.]М. Пара подпространств {2,М}, 2[λ-]Μ, из которых одно неотрицательно, а другое неположительно, называется дуальной парой. Подпространство 2[±\ состоящее из всех векторов х^Н, /-ортогональных линеалу 2, называется J-ортогональным дополнением линеала 9. Линеал 20 = 2 [\2] называется изотропным линеалом линеала 2, а векторы х^2о— изотропными векторами линеала 2. Если 20 = {0}, то линеал 9 называется невырожденным. Если подпространство 9 е Ш определяется угловым оператором /<, то 2[1] s 9№_ и 2[±] определяется угловым оператором К* (и обратно). Здесь 2 и 2[1] составляют максимальную дуальную пару. Подпространство 2 называется проекционно полным, если Η = 2 0 2[1]. В этом случае 2 необходимо невырожденно. Если невырожденность любого подпространства 2 достаточна для его проекционной полноты, то κ '= min {dim #+, dim //_} ·< < oo. /-пространство Η, у которого ранг индефинитности κ конечен (κ<οο), называется пространством Понтрягина и обозначается Πκ (в дальнейшем для определенности считается, что κ = dim#+). Для дефинитных подпространств 2 проекционная полнота эквивалентна равномерной дефинитности, т. е. свойству | [χ, χ] \ ^> ^ а# (х, х) (а# > 0, х<=2). Последнее условие, для 2 е 2Я+ равносильно требованию \\К\\ < 1, где К — угловой оператор
§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ 257 подпространства J?, и аналогично для 9? е 50ΐ_. Если же S g SW+ дефинитно, но ||/С|| = 1, то можно лишь утверждать, что 2 φ 2^ = Я. Два линеала «?, Μ из й называются кососвязанными, если ^ηΛί111 = i?[J"1 Π Αί = {0}. Нейтральные линеалы & и Λί косо- связаны тогда и только тогда, когда 3? © Λί — невырожденный линеал. /-пространства представляют частный случай гильбертовых пространств с более общей, так называемой G-метрикой: [х,у] = = (Gx, у) (х, j/еЯ), где G — произвольный ограниченный самосопряженный оператор в Η (оператор Грама). Еще более общими являются линейные пространства Ε (не наделенные никакой топологией), на которых задана индефинитная эрмитова полуторалинейная форма [х, у]. В ряде вопросов, приводящих к таким пространствам, удается для формы [х,х] задать на Ε положительно определенную форму (х,х) (мажоранту) со свойством | [х, х] | 5ζ (χ, χ) {х^Е) и включить таким образом Ε в некоторое гильбертово пространство Η с G-метрикой. Тривиальным случаем, когда существует мажоранта (х, х), является случай разложимости пространства Ε: Ε = £+© £-, где Е+ [JL]£_, Е+ (£_) — положительный (отрицательный) линеал. Здесь достаточно для каждого вектора χ = х+ + Х- {х±^Е±) положить (х, х) = [х+, х+] — [x-,xJ\. Однако наличие мажоранты не гарантирует существование канонического разложения Ε = Литература: [159], [166]. 2. Линейные операторы в /-пространствах. Линейный оператор V с областью определения D(V) и множеством значений R(V) в /-пространстве Я = Я+ 4- Я- называется плюс-оператором, если [Vx, Vx]^0 для всех x^D(V) с [х,х]^0. Ясно, что это определение содержательно лишь тогда, когда в D(V) имеются неотрицательные векторы, в частности, при D(V)f] Π Я+ Φ 0. Если для всех χ ^ D(V) имеем [Vx, Vx] ^ [χ, χ] ([Vx, Vx] = [χ, χ]), то такой плюс-оператор V называется 1-не- сжимающим (соответственно J -изометрическим). Аналогично определяются минус-операторы и J-нерастягивающие операторы, /-изометрический оператор U с D(U)= H называется J-полуунитарным и называется J-унитарным в случае, когда UH = Я. /-унитарность равносильна требованию: UJU* = = U4U = /. Для любого линейного оператора Τ с плотной в Я областью определения D (Г) существует оператор Т° = /Г*/, называемый J-сопряо/сенным для оператора Т: [Тх, у] = [х, Т°у] для всех χεξΟ(Τ), y<=D(V>).
258 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Свойства /-сопряженного оператора Т° вполне аналогичны соответствующим свойствам обычного сопряженного оператора Т*. В частности, оператор Т° всегда замкнут. Оператор U /-унитарен тогда и только тогда, когда UH = Η и U0 = ί/"1. Отсюда следует, что /-унитарные операторы U и ί/"1 всегда ограничены. Этого нельзя сказать о произвольном плюс-операторе V, даже при D(V) = H. Однако в последнем случае для плюс-оператора V имеет место индефинитная κβαμιι- ограниченность снизу; т. е. существует константа μ(Κ) ^^-{Кта- кая, что [Vx, νχ]>μ{ν)[χ, х] (*€=//). При μ(Κ)>0 плюс-оператор V называется строгим. В этом случае он «коллинеарен» /-несжимающему оператору V\ = Если V — плюс-оператор и D(V) Г) Η+ Φ О, то для ограниченности V достаточно, чтобы был ограничен оператор P+V. Если же D(V) = H = UX9 то для ограниченности плюс-оператора V достаточно, чтобы он не аннулировал ни одного положительного вектора. В частности, /-несжимающие операторы, заданные всюду в UH (в том числе все /-полуунитарные операторы в Πκ), ограничены. Если же D(V)czIIx> то /-несжимающий оператор V ограничен тогда и только тогда, когда он допускает замыкание, т. е. у него существует замкнутое расширение V. /-несжимающий оператор V с D(V)— Η называется двояко J-несжимающим (другие названия: двусторонний /-несжимающий, J-бинесжимающий), если V ограничен и V* является /-несжимающим (это равносильно тому, что V0 — /-несжимающий). Для того чтобы J-несжимающий оператор V был двояко J-несжимающим, необходимо и достаточно, чтобы (А.— — P+V)H = Η. Если /-несжимающий оператор V ограничен, то для того чтобы он был двояко /-несжимающим, необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора V°V был неотрицательным и подпространство N(V°) нулей оператора V0 было равномерно отрицательным. Спектр /-унитарного оператора U симметричен относительно окружности |λ| = 1. /-унитарный оператор U называется устойчивым, если \\Un\\^C (η = 1, 2, ...). Для устойчивости U необходимо и достаточно, чтобы Η распадалось в прямую сумму Η = 3S\ Θ 22 подпространств 3>и j?2> составляющих инвариантную относительно U максимальную дуальную пару (см. п. 1). /-унитарный оператор U называется сильно устойчивым, если можно указать такую его окрестность \\U\ — ί/|| < ε, что все /-унитарные операторы U\ из этой окрестности устойчивы.
§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ 259 Для сильной устойчивости оператора U необходимо и достаточно, чтобы Η = 2?\® 3?2, где {«2Ί, 3?£ — максимальная дуальная пара, инвариантная относительно ί/, и σ(ί//^,)ησ(ί//^2)=0, где e{UI3?i) — спектр сужения U на S\ (i = 1, 2). В этом случае говорят, что оператор / имеет строго дефинитный спектр. Одной из центральных проблем теории является вопрос о существовании у плюс-оператора V инвариантных подпространств класса ЗЯ+, а в случае положительного ответа—ха- рактеризация спектра сужения V на такое подпространство. Основная теорема. Пусть V — ограниченный плюс- оператор, заданный всюду в Н. Если оператор P+VP- вполне непрерывен, то существует подпространство SO <= ЭД?+, инвариантное относительно V. Если, кроме того, Vx φ О для χ Φ О с [х, х] ^ 0 и для некоторого S\ <= Ш+ имеем VS\ e 3W+, то и для любого S е 9ГО+ будет VS <= JW+ и, стало быть, VSo = S0. В частности, если U— /-унитарный оператор и P+UP- вполне непрерывен, то вполне непрерывен и Ρ_ί/Ρ+ и у оператора U существуют инвариантные подпространства как в классе ЗЙ+, так и в классе 9ЭТ_. /-унитарные операторы ί/, для которых Ρ+ί/Ρ_ вполне непрерывны, составляют подгруппу Г группы всех /-унитарных операторов в Я. Всякий оператор ί/еГесть возмущение обычного унитарного оператора вполне непрерывным. Поэтому часть спектра оператора ί/, не лежащая на единичной окружности (неунитарный спектр), может состоять лишь из изолированных собственных чисел конечной алгебраической кратности (полюсов резольвенты). Каждому такому собственному числу λ (|λ| φ 1) отвечает нейтральное корневое подпространство 2?x(U) и кососвязанное с ним корневое подпространство 21-\ (£/). Для любого /-изометрического оператора при μ Φ λ"1 корневые линеалы Sx(V) и S]X(V) /-ортогональны, а, значит, при |λ| Φ 1 корневой линеал S^(V) нейтрален. Если неунитарный спектр oHeyu(U) оператора i/sT произвольным образом разбить на две непересекающиеся части σι и ац, симметричные относительно единичной окружности, то инвариантные относительно U подпространства S± е 5Ш± можно выбрать таким образом, чтобы oHeyH(U/S+) = σ„ анеун (U/&-) =.ог„. Оператор A (D (А) = Н) называется J-самосопряженным, если А0 = А, что равносильно обычной самосопряженности оператора J А. Спектр /-самосопряженного оператора А симметричен относительно вещественной оси. Если ζ и ζ — регулярные точки оператора А = Л°, то его преобразование Кэли
260 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ U = (А—ζΐ) (Α — ζ/)-1 есть /-унитарный оператор. При этом условие полной непрерывности Р+АР- достаточно для включения ί/εΓ. Если /-самосопряженный оператор ограничен (D(A)= Я), то в силу преобразования Кэли для него справедливы точные аналоги всех приведенных выше предложений об инвариантных подпространствах и спектре (с заменой неунитарного спектра невещественным). Соответствующие теоремы справедливы и для неограниченных /-самосопряженных операторов Л, если только H+czD(A) и вполне непрерывен оператор Р+АР- (последнее условие допускает некоторое ослабление). В частном случае, когда Η = Υίκ (пространство Понтряги- на), условие ί/^Γ (и соответствующее условие для /-самосопряженных операторов) в силу конечномерности подпространства //+ автоматически выполняется для всех /-унитарных (/-самосопряженных) операторов. Поэтому у всех этих операторов в ΐϊκ существуют κ-мерные неотрицательные инвариантные подпространства, а стало быть, и (неотрицательные) собственные векторы (а возможно, и присоединенные векторы). Здесь видно отличие от обычных унитарных и самосопряженных операторов, которые в бесконечномерном гильбертовом пространстве могут вообще не иметь точечного спектра, а при наличии собственных векторов никогда не имеют присоединенных векторов. Для любого /-самосопряженного оператора А в Η линейная оболочка Λ всех корневых линеалов 3?\(А) с Ιιτιλ>0 нейтральна, а значит, dimA^x в случае Η = Πκ. Подпространство Λ кососвязано с Л'—линейной оболочкой всех 3?\{А) с Ιιτιλ<0, так что инвариантное относительно А подпространство ΛφΛ' невырождено, а спектр сужения А на/-ортогональное дополнение к Λ φ Λ' веществен. Для любого вещественного собственного числа λ оператора А = Л° в Πκ корневой линеал 9?\(А) может быть разложен в прямую сумму 9?к(А) = 9?\@9?" инвариантных подпространств, где 3!\ состоит только из собственных векторов, а &\ конечномерно. Таким образом, непростые элементарные делители (иначе говоря, жор- дановы цепочки из присоединенных векторов) возможны у оператора А только в конечномерном подпространстве 5?λ. Хотя разложение &λ(Α) = = SB'b φ 3?" не определяется однозначно, порядки {dj} элементарных делителей (т. е. длины жордановых цепочек) А в 3?λ не зависят от выбора этого разложения и
§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ 261 Пусть {kh} — произвольный набор собственных чисел оператора А =Л° в Π κ и Im Kh ^ 0 (^0) для всех к. В случае вещественных λ =λ& под ρ (λ*) понимается введенная выше величина, а для невещественных λ полагается ρ (λ^) = dim 2* (Л). Тогда 2 Ρ (Ч) < κ· Приведенные результаты остаются верными не только для /-самосопряженных операторов А в Πκ, но и для любых J-симметрических (или иначе J-эрмитовых) операторов А в Πκ: ЩА) = Πκ> [Лл;, г/] = [*, Ау] (х% у е= D (Л)). Справедливы также аналоги этих предложений для любых однозначно обратимых /-изометрических и, в том числе, /-унитарных операторов V в Πκ (с заменой вещественной оси единичной окружностью). Наличие у /-унитарных (/-самосопряженных) операторов в Πκ конечномерных максимальных семидефинитных инвариантных подпространств лежит в основе так называемого метода дефинизации. Если ^(λ) есть минимальный многочлен сужения υ/2?κ (где 9?^ — инвариантное относительно /-унитарного оператора U в Πκ неотрицательное κ-мерное подпространство), то оператор &(U) (дефинизирующий оператор) обладает тем свойством, что линеал ^(ί/)Πκ семидефинитен (неположителен). Это позволяет в ряде случаев сводить решение задач в пространстве Πκ к известным результатам обычной теории. В частности, метод дефинизации приводит к следующему результату. Для /-самосопряженного оператора А в Πκ с чисто вещественным спектром (что не является существенным ограничением) имеет место аналог обычного спектрального разложения: АЕАх = J λ dEkx (х e= Πκ). Δ Здесь (/-самосопряженная) спектральная оператор-функция Ελ определена не на всей оси (—<х>, оо), а лишь вне конечного числа (^κ) так называемых критических точек, £λ£,μ = £ηιΙη<λ,μ)> Е%-0 = Ελ> Ε(—Οθ) = 0, Ε (+ °°) = /, Δ — любой интервал (α, β) вещественной оси, не содержащий критических точек, ЕА = £(β) — Ε (а). Критические точки спектральной функции Е\ являются собственными значениями сужения оператора А на я-мерное неотрицательное инвариантное подпространство (существующее в силу основной теоремы). Хотя последнее определяется не единственным образом, множество критических точек определяется оператором А однозначно. Если ограниченный оператор А в /-пространстве Η /-неотрицателен, т. е. [Αχ, χ] ^ 0 для всех х, то спектр А веществен. Для
262 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ таких операторов в любом // (не только в Πκ) имеет местр спектральное разложение со Ах = Sx + J λ άΕλχ (χ €= #), — οο где Е\ — спектральная функция с единственной критической точкой 0 (интеграл понимается как несобственный), a S — неотрицательный оператор со свойствами: S2 = 0, SEA = EAS = 0 (Ο^έΔ), AS = SA. Спектральные разложения, указанные выше для некоторых классов /-самосопряженных операторов, позволяют построить для этих классов функциональное операторное исчисление. Другим примером применения спектральных разложений является устанавливаемое с их помощью полярное представление ограниченного строгого плюс-оператора А. Так называется представление А = VR, где: 1) R— ограниченный /-самосопряженный оператор с неотрицательным спектром и такой, что R2 = A°A, а N(R) = N(A°A) (N(U)— множество нулей оператора U). 2) V — частично /-изометрический оператор, т. е./-изометрический на некотором проекционно полном подпространстве Η ι с: Η и равный нулю на #2 = #111. Для того чтобы ограниченный строгий плюс-оператор А допускал полярное представление А = VR, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 1) спектр а(А°А) неотрицателен; 2) подпространство Ν(Α°) проекционно полно. При этом R определяется единственным образом, а V определяется единственным образом в том и только том случае, когда выполнено хотя бы одно из условий: а) ЛГ(Л) = {0}. б) Л/(Л») = {0}; в) подпространство Ν(Α°) равномерно положительно. В ряде задач возникает необходимость рассмотрения семейств коммутирующих /-унитарных или ограниченных /-самосопряженных операторов, а также алгебр ограниченных операторов в /-пространствах. В случае пространства Πκ основная теорема об инвариантном подпространстве допускает обобщен ние: любое семейство /-унитарных' (или ограниченных /-самосопряженных) коммутирующих операторов имеет общее для всего семейства инвариантное κ-мерное неотрицательное под: пространство. Литература: [22], [161], [162], [163], [166], [167], [168], [169], [171], [172]. 3. Примеры. Из многочисленных приложений изложенной теории здесь приводятся два примера.
§ 10. ПРОСТРАНСТВА С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ 263 а) Канонические системы. Рассматривается каноническое дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве: ■^- = UH(t)x, где / = Я+ — Р- — оператор Грама, задающий индефинитную метрику [x,y]=(Jx,y), а гамильтониан H(t) системы — ограниченный самосопряженный оператор. Пусть для любых х, у функция (H(t)xty) измерима в каждом конечном интервале и и \ \\ Η(t)\\dt < оо для любых tu t2^0. и Обобщая подход, развитый ниже в гл. V, § 1, рассматривают слабые решения системы, т.е. вектор-функции x(t), удовлетворяющие при любом у соотношению почти всюду по t. При выполнении условия периодичности Η(ί + ω) = Η(ί) (О ^ t < оо) оператор монодромии ί/(ω) (см. гл. V, §1, п. 6) оказывается /-унитарным оператором и справедлив следующий критерий: для того чтобы все слабые решения x(t) канонической системы были ограниченными на полуоси 0^^<оо, необходимо и достаточно, чтобы оператор монодромии ί/(ω) был устойчивым J-унитарным оператором (критерий устойчивости U см. в п. 2). Линейное пространство Ж гамильтонианов H(t), удовлетворяющих перечисленным выше условиям, можно нормировать, положив ω II н (t) \\ж= J ιι я (он dt. Каноническая система называется устойчивой, если все ее (слабые) решения ограничены на полуоси 0 ^ t < оо и остаются ограниченными при достаточно малых возмущениях гамильтониана: m(t)-H(t)\\9€<s. Для того чтобы каноническая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы ее оператор монодромии ϋ(ω) был сильно устойчивым /-унитарным оператором (соответствующий критерий см. в п. 2). б) Квадратичные операторные пучки. Различные задачи математической физики приводят к изучению квадратичного пучка Ι(λ) = λ2/ + λΒ -f- С, где β, С — некоторые
264 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ замкнутые линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н. В большинстве задач В = В* и D(B)czD(C), что и предполагается в дальнейшем. При λ φ О оператор L(X) определен на D(B) и совокупность p(L) всех регулярных точек пучка (т.е. точек λ φ О, для которых существует непрерывный обратный оператор /г1 (λ)) является открытым множеством. Его дополнение a(L) в комплексной плоскости называется спектром пучка L(K). Если С = С*, то a(L) симметричен относительно вещественной оси. Основным для изучения спектральных свойств пучка L(X) оказывается изучение операторного квадратного уравнения L(Z) = Z2 + BZ + C = 0. Пусть оператор В = В* ограничен, а С — вполне непрерывный неотрицательный оператор. Рассматривается прямая ортогональная сумма Й = #ι φ #2 двух экземпляров Н\ и #2 исходного гильбертова пространства Η и соответствующие орто- проекторы Pf Hj = PjJJ (/= 1, 2). β можно рассматривать как /-пространство, где J = Р{ — Р2. В Η задается оператор Я операторной матрицей Ά = (Ajk) (здесь Ajk = PjAPk (/, k == = 1, 2), где Лц = 0, i4i2 = Cf/a — (вполне непрерывный) неотрицательный корень из С, А2\ =*=—С'/* и Л22 = —В). Оператор Ά /-самосопряжен и к нему применима основная теорема (см. п. 2) об инвариантном подпространстве Μ класса Ш+. Это позволяет установить следующее основное для всей теории квадратичных пучков предложение. Пусть a0{L) — невещественная часть спектра пучка £(λ). При любом разбиении o0(L) на две непересекающиеся симметрично расположенные относительно вещественной оси части Λί/Λ = σ0(ί) — Λ у квадратного уравнения L(Z) = 0 найдется вполне непрерывный корень 2л, обладающий следующими свойствами: 1) Z^Z^^C и 2) невещественная часть спектра c(Za) совпадает с Λ. Корень Ζ л получается здесь по формуле Ζλ = КмС1/*, где Км — угловой оператор (см. п. 1) упомянутого выше инвариантного подпространства Μ е ЯЯ+. Литература: [22], [166].
ГЛАВА V ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Линейные уравнения с ограниченным оператором 1. Линейные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид *L = A(f)x + f(t), где /(0 —заданная функция со значениями в банаховом пространстве Е, x = x(t)—искомая функция со значениями в £, A(t) (при каждом фиксированном t) — линейный оператор, действующий в пространстве Е. Производная понимается как предел по норме пространства Ε разностного отношения —5——~ — при Δ/->0. В этом параграфе'рассматривается тот случай, когда A(t) является при каждом / ограниченным оператором. При этом условии свойства решений линейного уравнения аналогичны свойствам решений системы линейных дифференциальных уравнений, которые можно рассматривать как линейные уравнения в конечномерном банаховом пространстве. Задачей Коши для рассматриваемого уравнения называется задача о нахождении решения уравнения при 0 ^ t < оо, удовлетворяющего заданному условию х(0) = х0. Линейное уравнение называется однородным, если /(/) = θ. 2. Однородное уравнение с постоянным оператором. Для однородного уравнения с постоянным ограниченным оператором А решение задачи Коши существует, единственно и может быть записано в виде х (t) = eAtx{
266 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оператор eAi определяется рядом (гл. III, § 3, п. 4) ^в/ + м + ^+...+-££+..., который сходится по норме операторов. Оценка каждого члена ряда по норме дает неравенство 11^|К^||Л". Операторы eAt при различных / (—оо < t < оо) образуют о днапара метрическую группу, ограниченных операторов eAteAx _ eA(t+x) ^ Оценка нормы оператора eAt, приведенная выше, является грубой, так как она учитывает лишь норму оператора Л и не учитывает расположение его спектра. Более точная оценка содержится в следующем утверждении: если вещественные части всех точек спектра оператора А меньше числа σ, то ||еАЧ1<М^. Обратно, из выполнения этого неравенства следует, что действительные части точек спектра оператора А не превосходят а В частности, для ограниченности всех решений уравнения на полуоси 0 <g t < оо необходимо, чтобы спектр оператора А лежал в замкнутой левой полуплоскости, и достаточно, чтобы он лежал в открытой левой полуплоскости. Для ограниченности всех решений на всей оси —оо < t <С оо необходимо, чтобы спектр оператора А лежал на мнимой оси. Это условие не является достаточным, что можно проверить на примере конечномерного оператора с кратными элеметар- ными Целителями. Пусть λο — собственное число оператора Л, которому соответствует собственный элемент е0 и присоединенные элементы έ>ι, έ?2, ..., em-\ (см. гл. III, § 2, п. 1). Тогда уравнение имеет частные решения вида Хо (t) = е™е0, х{ (t) = е^ (е{ + te0), ..., xm_x(f) = = e^(em^ + tem-2+ ... +-£=^е0). Если собственные и присоединенные элементы оператора Л образуют базис в пространстве Ε (см. гл. I, § 6), то любое решение может быть представлено в виде ряда из частных решений указанного вида. В частности, если собственные векторы
§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 267 {еп} оператора А образуют базис в Е, то общее решение уравнения имеет вид Литература: [22], [179], [185]. 3. Случай гильбертова пространства. Пусть однородное уравнение с постоянным оператором рассматривается в гильбертовом пространстве Н. Если оператор А — самосопряженный, то и оператор etA тоже самосопряженный и положительно определенный. Если - А = iB, где В— самосопряженный оператор, то оператор eiBt — унитарный. Для того чтобы все решения однородного уравнения в гильбертовом пространстве были ограниченными на всей оси, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был подобен оператору iB, где В — самосопряженный оператор, т. е. A = Q(iB)Q-\ где операторы Q и Q-1 ограничены. Как и в общем случае, для ограниченности всех решений на полуоси 0 ^ t < оо достаточно, чтобы спектр А лежал в открытой левой полуплоскости. В гильбертовом пространстве можно дать критерий, обобщающий известную теорему Ляпунова: для того чтобы спектр оператора А лежал в открытой левой полуплоскости, не- обходимо и достаточно, чтобы существовал такой ограниченный самосопряженный положительно определенный оператор W, что оператор WA + A*W являлся бы , отрицательно определенным. Иначе говоря, необходимо и достаточно существование положительно определенной формы (Wx, χ), для которой d(Wx. χ) <^^{Xt χ) (ρ>0) при любом решении x(t) дифференциального уравнения. Литература: [22], [179]. 4. Уравнение второго порядка. Для уравнения второго порядка с ограниченным линейным оператором В в банаховом пространстве Ε задача Коши состоит в нахождении решения по начальным данным: #(0) = *о и х/(0) = х1.
268 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Решение этой задачи дается формулой χ (0 = cos t V~Bx0 + sinJ-B xl9 у в где ограниченные операторы cos t YВ и sin определены сходящимися по норме операторов рядами >*Ув=1-'-2Г + —1 6Г+ ···· COSi sin tVb __tt£B_ ι t5B2 , /7£3 /θ 3! 5! 7! Для того чтобы все решения уравнения второго порядка были ограниченными на всей оси —оо < / < оо, необходимо и достаточно, чтобы оператор sin/—— был равномерно по t огра- ничейным. В гильбертовом пространстве для ограниченности всех решений на оси —оо < t < оо необходимо и достаточно, чтобы оператор 5 был подобен положительно определенному оператору. Литература: [22], [179]. 5. Однородное уравнение с переменным оператором. Пусть теперь в уравнении £-A(t)x ограниченный в банаховом пространстве Ε оператор A(t) непрерывно зависит от t. Решение задачи Коши для этого уравнения существует и единственно. Оно может быть получено методом последовательных приближений, примененным к интегральному уравнению х (t) = х0 + J Α (τ) χ (τ) dx. о Окончательно решение можно записать в виде x(t)=U(t)x09 где оператор U(t) является суммой сходящегося по норме операторов ряда t t χ £/(*) = / + J A(x)dx + J Α (τ) J A (xx) dxx dx + ... 0 0 0 Для ограниченного оператора U(t) справедлива грубая оценка f max || Л (τ) || || U (OIK β °<τ<* .
§.1. УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 269 Оператор U(i) можно рассматривать как решение задачи Кош и M- = A(t)U, U(0)=J для дифференциального уравнения в пространстве ограниченных операторов, действующих в Е. При каждом t существует ограниченный обратный оператор V(t) = ί/_1(/). Этот оператор является решением задачи Коши для операторного дифференциального уравнения ^=-1Л4(/), 1/(0) = /, которое называется сопряженным к предыдущему. Если рассмотреть для исходного уравнения более общую задачу Коши, в которой начальное условие задается не в момент времени t = 0, а в любой момент t0. х (*о)= *о> то ее решение можно записать в виде x(t) = U(t)U-l(t0)xQ = U(t, t0)x0. Оператор U(t, τ) = U(t) ί/_1(τ) называется эволюционным оператором. Он обладает свойствами U(t, s)U(s, τ) = [/(*, τ) и U (t, t) = L В случае, когда A(t) постоянен: Α (ί) === Л, эволюционный оператор U (t, x) = eA(f-"l). В дальнейшем в этом параграфе предполагается, что оператор A(t) (0 ^ / < оо) равномерно ограничен: ||Л(/)Н ^ М. Тогда для решений исходного уравнения справедлива оценка IU(0IK^IU(0)I|. Показателем экспоненциального роста решения называется число ,— in || *(/) || cr = lim — w " . *->оо ' Всегда σ s£I Μ. Точную верхнюю грань чисел σ для всех решений уравнения называют старшим показателем as. Для него справедлива формула « π^ 1η II и (0II Gs = \\m τ . t->oo l Существенно важной характеристикой уравнения является особый показатель, определяемый формулой г In II £/(/, τ) || τ, /-τ ->οο ' τ
270 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Для всякого решения при любом ε> Ο справедливо неравенство \\x(t)\\<Nee(°*+W-u)\\x{t0)\\ (t^t0), где Nf> зависит только от ε. Между старшим и особым показателями имеется соотношение Os ^ σ*. Если оператор Α(ί) постоянен, то старший и особый показатели совпадают. В общем случае они не совпадают. Например, для обыкновенного уравнения -^ = (sin In/ + cos Int) χ старший показатель равен 1, а особый равен ]/2. Старший и особый показатели не изменяются при сдвиге аргумента, т.е. при переходе к уравнению -£· = A(t-\-а) х. Если в уравнении сделать замену искомой функции χ = Q(t)y, где оператор Q(t) равномерно ограничен на полуоси 0 ^ t < оо, имеет производную -Jh обратный оператор Q_1(/),непрерывные и равномерно ограниченные на этой полуоси, то функция у удовлетворяет уравнению IHq-Uq-q-^·),,, у которого старший и особый показатели такие же, как и у исходного уравнения. Уравнение называется приводимым, если описанной выше заменой оно сводится к уравнению с постоянным оператором. Для приводимого уравнения старший и особый показатели совпадают. Величина особого показателя существенно зависит от поведения оператор-функции A(t) на бесконечности. Если существует предел AQQ = \\mA{t) и спектр оператора Аоо лежит в открытой t->oo левой полуплоскости, то особый показатель отрицателен. Если операторы A(t) (О ^ t < оо) образуют компактное множество в пространстве операторов, спектры всех предельных при /~>оо операторов А^ *) лежат в полуплоскости Ηβλ^ —ν (ν > 0) и существует производная A'(t), стремящаяся к нулю при /->оо, то особый показатель также отрицателен. Последнее условие по A'(t) можно ослабить, потребовав, чтобы при достаточно больших t норма 1И'(/)|| была меньше достаточно малой величины б, согласованной с v. Наконец, вместо существования *) Оператор А^ называется предельным для A(t) при *->оо, если существует последовательность U ->■ оо такая, что lim || А (//) — Ло© || == 0.
§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 271 производной можно потребовать, чтобы оператор-функция Α(ί) при достаточно больших t удовлетворяла условию Липшица I!Л (t) — A (ti) || ^ ε11 — ti\ с достаточно малым коэффициентом ε. В гильбертовом пространстве можно дать следующий критерий отрицательности особого показателя. Если существует эрмитова форма (V(t)x, у) такая, что 0<ccjCx;, x)^(V(t)x, х)<а2(л;, х) и 4г (у (0 х (0. * №) < - β (* (0. * (0). β > 0> для любого решения x(t) однородного уравнения, то особый показатель отрицателен. Наоборот, для всякого однородного уравнения с отрицательным особым показателем можно построить форму (V(t)x, у) с указанными свойствами. Оператор V(t) может быть получен, например, по формуле оо V(t)= J ί/*(τ, t)U(x, t)dx. t Литература: [22], [36], [179], [185]. 6. Уравнение с периодическим оператором. Пусть в уравнении оператор-функция A(t) периодична с периодом ω: Α{ί + ω) = Α(ή (0<ί<οο). Эволюционный оператор U(t, 0) = U(t) обладает свойством U (t + ω) = U (t) U (ω). Оператор ί/(ω) называется оператором монодромии уравнения с периодическим оператором. Старший и особый показатели уравнения с периодическим оператором совпадают и равны логарифму спектрального радиуса оператора монодромии (см. гл. III, § 2, п. 1), деленному на период ω В частности, чтобы особый показатель был отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора монодромии Лежал внутри единичного круга.
272 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Если спектр оператора монодромии не окружает нуля, то уравнение с периодическим оператором приводимо. Оно может быть сведено заменой x = Q{t)y к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью оператора Q(0 = t/(0^lnc,(ft>). (Логарифм оператора U определен в гл. III, § 3, п. 1.) В гильбертовом пространстве можно дать оценки для показателей σ экспоненциального роста решений через границы формы Re (Л (t)x, χ). Если ctj (t) (х> χ) < Re {A {t) χ, χ) < α2 {t) (x> χ), το ω ω ■1-/οΙ(/)Λ<σ<-ΐ/α2(/)Λ. 0 0 Литература: [22], [179], [185]. 7. Неоднородное уравнение. Для неоднородного уравнения £L=A(f)x + f(t) решение задачи Коши с начальным условием х(0) = х0 можно записать с помощью эволюционного оператора U(t, τ) для соответствующего однородного уравнения в виде t x(t)=U{t, 0)x0+ j U(tt x)f(x)dx. о Для неоднородного уравнения важным является вопрос об ограниченности его решений на (0, оо) при условии ограниченности f(t): sup Ш0Н<оо. 0</ < оо Для того чтобы при каждой ограниченной функции f(t) решение задачи Коши с нулевым начальным условием х(0) = θ для неоднородного уравнения было ограниченным на полуоси (О, оо), необходимо и достаточно, чтобы старший показатель однородного уравнения был отрицательным. При выполнении последнего условия все решения неоднородного уравнения будут ограниченными на (0, оо). Если дополнительно известно, что оператор-функция Α (ί) ограничена на полуоси, то необходимое условие можно усилить: для ограниченности на полуоси (0, оо) решения задачи Коши с условием x(0) = Q при любой ограниченной f(t) необходимо (и? конечно, достаточно), чтобы особый показатель однородного
§ 2 УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 273 уравнения был отрицательным. Существуют примеры неограниченных на полуоси оператор-функций A(t) таких, что при любой ограниченной f(t) все решения неоднородного уравнения ограничены, а особый показатель положителен*). Критерии ограниченности решений задачи Коши на полуоси (—оо, 0) получаются из приведенных критериев заменой знака старшего или особого показателя на противоположный. Поэтому вопрос об ограниченности на всей оси всех решений неоднородного уравнения при любой ограниченной функции f(t) бессмыслен. Можно ставить вопрос о существовании хотя бы одного или только одного ограниченного решения при любой ограниченной f(t). На последний вопрос в случае постоянного оператора A(t) =A имеется окончательный ответ: для того, чтобы каждой ограниченной f(t) (—оо < t < оо) отвечало одно и только одно ограниченное на всей оси решение неоднородного уравнения с постоянным оператором А, необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора А не пересекался с мнимой осью. Нелинейное дифференциальное уравнение вида *L = A(f)x + f(t, x), где f(t, χ) при каждом t, вообще говоря, — нелинейный оператор от х, можно рассматривать как линейное со свободным членом f(t, x(t)). Тогда формула для решения задачи Коши дает уравнение t x(t) = U(t, 0)x0+ jU(t, τ)/(τ, x(x))dx. о Если известны оценки роста для эволюционного оператора U(t, τ), в частности, если известен особый показатель σ*, то из полученного интегрального уравнения можно получать оценки решений нелинейного уравнения. Таким способом получаются аналоги теорем Ляпунова о равномерной и асимптотической устойчивости решений нелинейного уравнения. Литература: [36], [58]. § 2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором 1. Задача Коши. В этом параграфе рассматривается дифференциальное уравнение *) Для неограниченных на полуоси оператор-функций A(i) старший и особый показатели определяются так же, как для ограниченных,
274 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ с линейным оператором Л, имеющим всюду плотную в банаховом пространстве Ε область определения D(A). Решением уравнения на отрезке [О, Т] называется функция x{t), удовлетворяющая условиям: 1) значения функции x(t) принадлежат области определения D(Л) оператора А при всех t е [О, Т]\ 2) в каждой точке t отрезка [О, Т] существует сильная производная x'(t) функции x{t)\ 3) уравнение x'(t) = Ax(t) удовлетворяется при всех t е [О, Т]. Под задачей Коши на отрезке [О, Т] понимают задачу о нахождении решения уравнения на [О, Г], удовлетворяющего начальному условию х (0) = х0 <= D (Л). Если для линейного уравнения с ограниченным оператором вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при / —► оо, то для уравнения с неограниченным оператором перечисленные вопросы становятся центральными. Говорят, что задача Коши поставлена корректно на отрезке [0, Г], если: 1) при любом x0^D(A) существует ее единственное решение и 2) это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из х0,п —* θ(*ο, η ^ D(A)) для соответствующих решений xn(t) следует *η(/)->θ при каждом *€=[о, η. В силу постоянства оператора А из корректности задачи Коши на каком-либо отрезке [0, Т\ следует ее корректность на любом отрезке [0, Γι] (Γι>0), т. е. корректность на всей полуоси [0, оо). Пусть U(t) —оператор, ставящий в соответствие каждому элементу x0<^D(A) значение решения x(i) задачи Коши х(0) = = х0 в момент времени /. Если задача Коши корректно поставлена, то оператор U(t) определен на D(A), линеен и ограничен. Поэтому он может быть по непрерывности расширен до линейного ограниченного оператора, определенного на всем пространстве £, который также обозначается через U(i). Семейство операторов U(i) образует сильно непрерывную при t > 0 полугруппу (см. гл. III, § 3, п. 5). Таким образом решения корректно поставленной Задачи Коши можно записать в виде x(t) = U(t)x0 (x0*eD{A))9 где U(t) —сильно непрерывная полугруппа ограниченных операторов. Оператор А может быть расширен до производящего Оператора 17(0) полугруппы U{t)n
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 275 Если Хо не принадлежит области определения D(А) оператора Л, то функция U(i)x0 может быть недифференцируемой и ее значения могут не принадлежать D(A). Функцию U(i)xo можно назвать обобщенным решением уравнения х' = Ах. Как указывалось в гл. III, § 3, для сильно непрерывной полугруппы iim t->oo «°n;ffli,m<00t поэтому обобщенное решение задачи Коши растет на бесконечности не быстрее экспоненты; экспоненциальные типы решений ограничены сверху. Число ω называется типом полугруппы U(t) и типом задачи Коши. Ограниченность экспоненциальных типов решений позволяет к их исследованию применять преобразование Лапласа. Если задача Коши корректна, имеет тип ω и оператора замкнут и имеет хотя бы одну регулярную точку, то при Re λ > ω он имеет резольвенту Rk(A). Если U(t)xo локально суммируема, резольвента выражается через полугруппу U(t) с помощью преобразования Лапласа: оо £(λ)*0 = — § e-xtU(t)x0dt. о Формулы обращения тогда приводят к утверждению/ если обобщенное решение U(t)x0 локально суммируемо на [О, оо), то для него справедливо представление (y+ioo ч γ~ too / Если на каком-либо отрезке функция U(t)x абсолютно непрерывна, то внутри этого отрезка Υ—ίοο В частности, последняя формула имеет место для решения задачи Коши при всех / > 0. Если заранее неизвестно, что задача Коши корректна, то можно пытаться находить ее решения с помощью обратного преобразования Лапласа. Трудность заключается в том, что резольвента не может убывать быстрее, чем 1/|λ|, и даже в наиболее благоприятных случаях последний интеграл не будет абсолютно сходящимся. Однако на некоторых элементах х0 резольвента быстро убывает на бесконечности, интеграл сходится и дает
276 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ решение задачи Коши. Например, если резольвента оператора А определена при ИеЯ>а и ее норма удовлетворяет неравенству Ι|/?(λ)||<Λ1(1+|λ|)* при некотором k ^ —1, то последняя формула определяет решение задачи Коши при любом х0 <= D(AW+3) ([k]—наибольшее целое число, не превосходящее k). Для уравнения с комплексным параметром ζ совокупность Ка всех ζ, при которых задача Коши корректна, называется множеством корректности задачи Коши для оператора А. Это множество состоит из лучей, исходящих из точки ζ = 0. Каждому ζ <ξ Ка отвечает сильно непрерывная полугруппа Ui(t), дающая решения задачи Коши. Если обозначить U(ζ) = ί7ζ(1), то оператор-функция ί/(ζ) определена на Ка, аналитична во всех внутренних точках Ка и обладает полугрупповым свойством: если £ь ζι и ζι + ζ&<= Ка, то ί/(ζι)ί/(ζ2) = = υ(ζι-\-ζ2). Если оператор А неограничен и имеет хотя бы одну регулярную точку, то его множество корректности лежит в некоторой полуплоскости. Литература: [36], [38]. 2. Равномерно корректная задача Коши. Корректно поставленная задача Коши называется равномерно корректной, если для ее решений из хп (0)-► θ следует, что *η(^)->θ равномерно по / на каждом промежутке [0, Т]. Полугруппа U{t), отвечающая равномерно корректной задаче Коши, обладает тем свойством, что U(t)xo—>Xo при любом х0<=Е, т. е. удовлетворяет С0-условию (см. гл. III, § 3, п. 5). Обратно, если U(t) —полугруппа операторов с С0-условием, то для уравнения задача Коши равномерно корректна. Если для уравнения х/ = Ах задача Коши равномерно корректна, то замыкание оператора А совпадает с производящим оператором U'(0) полугруппы U(t) с С0-условием. Необходимыми и достаточными условиями равномерной корректности задачи Коши для уравнения х' = Ах с замкнутым оператором А являются неравенства 1№(А)\\<(ЯеХМ-аГ (ReA>co) (m = l, 2, ...),
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 277 где Μ не зависит от т. Достаточным условием является неравенство 11^И)11<т4^г (λ>ω)· Имеются примеры, показывающие недостаточность условия ΙΙΛλΜΙΚΜ/ίλ-ω)-1 (λ>ω). В некоторых случаях из существования и единственности решений задачи Коши следует ее корректность. Если замкнутый оператор А имеет регулярные тоуки и для каждого x0^D(A) существует единственное решение задачи Коши, непрерывно дифференцируемое на [О, Г], то задача Коши равномерно корректна. Более того, если при том же условии на оператор А при каждом x0^D(An) (n фиксировано) существует единственное η раз непрерывно дифференцируемое на [О, Т] решение задачи Коши, то задача Коши равномерно корректна. Аналогично тому, как делалось в предыдущем пункте, можно ввести множество Ка равномерной корректности, состоящее из тех комплексных ζ, при которых задача Коши для уравнения хг = ζΑχ равномерно корректна. Множество Ка представляет собой замкнутый или открытый сектор с углом раствора ψ: Ο 5ξ ψ sg: π, либо прямую. Если задача Коши равномерно корректна для ζι и ζζ с arg ξι = φι и arg ζ2 = φ2 (φι φ φ2), то ее решения допускают аналитическое продолжение в сектор φι < arg ζ < q>2. Соответствующая полугруппа ί/(ζ) будет аналитической внутри этого сектора, и справедлива оценка Ι|£/(ζ)ΙΙ<Λί^ιει. Следует отметить, что для того чтобы полугруппа {У (ζ) обладала перечисленными свойствами в секторе φι<3^ζ<φ2, необходимо, чтобы задача Коши для уравнения χ' = ζΑχ была равномерно корректной на лучах &τ£ζ = ψι и arg ζ = φ2. Одним из простейших примеров равномерно корректной задачи Коши является задача Коши для уравнения теплопроводности: W^^' ν(0, х) = ср(х) (— оо <х<оо, 0<ί<οο). Пространством Ε здесь служит пространство См(—оо, оо), состоящее из всех непрерывных ограниченных функций на оси Ох, а оператором А является оператор второй производной по х, определенный на плотном в См(—оо, оо) множестве D(A), состоящем из всех дважды непрерывно дифференцируемых функций v(x), для которых o/g См(— оо, оо).
278 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задача Коши равномерно корректна, т. е. при любой функции феО(Л) существует единственное решение v(tfx) уравнения теплопроводности, обладающее тем свойством, что Iim u(t, χ) = φ(χ) равномерно по х. При этом, если φη(*) ^ *->+о ей(Л) равномерно сходятся к ср(х)е£)(Л), то решения vn(t, л;)-> v(t, χ) равномерно по χ и t на всяком конечном промежутке [О, Т] изменения t. Соответствующая полугруппа U(t) ограниченных операторов задается интегральной формулой Пуассона [U(t)V](x) = -^=r je~JL^~(p(s)ds (t>0) — оо и состоит из сжимающих операторов. Другие примеры будут приведены в § 3. Литература: [27], [36], [58]. 3. Ослабленная задача Коши. Для многих приложений приходится расширять понятие решения задачи Коши. Ослабленным решением уравнения х' = Ах на отрезке [О, Т] называется функция x(t), непрерывная на [О, Г], сильно непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению на (О, Г], Как видно из определения, здесь отказываются от того, чтобы уравнение удовлетворялось при t = 0. Под ослабленной задачей Коши на [0, Т] понимают задачу о нахождении ослабленного решения, удовлетворяющего начальному условию х(0) = Хо (элемент Хо может не принадлежать области определения оператора А). Ес/ш отвлечься от вопроса о существовании решения задачи Коши, то можно указать достаточно общие условия его единственности. Для единственности решения ослабленной задачи Коши достаточным является условие λ->οο Λ (написанный предел всегда неотрицателен). При этом решение единственно на [0, Г — h] и может разветвляться при t > Τ — h. Если h = 0, то решение ослабленной задачи Коши на всей полуоси (0, оо) единственно. С другой стороны, для всякой функции ρ (λ) > 0, удовлетворяющей условию п р« -> оо (λ -> оо), существует дифференциальное уравнение хг — Ах с оператором^, для которого ||)?ь(Л) II < ρ(λ), имеющее нетривиальное решение с начальным условием х(0) = Θ. Если оператор А замкнут и имеет регулярную точку λο, то между обычным и ослабленным решениями уравнения х' = Ах
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 279 имеется простая связь. Если x(t)—ослабленное решение, то Xi (t) = Rx0(A) x(t) будет обычным решением, имеющим непрерывную первую производную на [О, Т] и непрерывную вторую производную при t > 0. Обратно, всякое решение Xi(t)y непрерывно дифференцируемое на [0, Т] и дважды непрерывно дифференцируемое на (0, Г], по формуле x(t) = (А — KoI)Xi(t) порождает ослабленное решение на [0, Г]. Пусть Μ — линейное множество из Е. Ослабленная задача Коши корректна или равномерно корректна для множества Μ на [0, Г], если она однозначно на [0, Т] разрешима для начальных данных из Μ и решение непрерывно зависит от начальных данных при каждом t е [0, Т] или равномерно по ^е[0, Т]. Следует отметить, что здесь существенным является указание отрезка [0, Г], на котором задача Коши корректна или равномерно корректна, так как она может иметь решения, которые непро- должимы или неоднозначно продолжимы за этот отрезок. Если ослабленная задача Коши корректна на множестве Μ zd D(A) при всех t e (0, <х>), то коротко говорят, что она корректна на D(А). Решения ослабленной задачи Коши, корректной на D(A)t задаются формулой x(t)=U(t)x0y где U(t) — сильно непрерывная полугруппа ограниченных операторов. При Xo^D(A) справедливо соотношение U(t)x0-+Xo. Если при этом задача Коши не является равномерно корректной, то нормы операторов U(t) неограниченно растут при t'->0. Если оператор А имеет резольвенту R^(A) при Re λ ^ γ, для нормы которой справедлива оценка ΙΙΛχ(Λ)ΙΙ<Λί(1 + |λ|) «βλ>γ), то всякое ослабленное решение уравнения х' = Ах представимо в виде обратного преобразования Лапласа Υ + ί'οο Υ-too Если выполнена более сильная оценка \\Rx(A)\\<M(l+\lmX\r? (0<β<1, ίίελ^γ), то ослабленная задача Коши корректна на D(А). Все ее решения бесконечно дифференцируемы при />0и для их производных справедливы оценки |^||<Af0cfeg^Hfe+i)/fir/fe + 1^M|ljc(0)ll (k = 0, 1, ...)· Если эта оценка на резольвенту выполнена при β = 1 || ^(Л)||<М(1+111^1)-' (ReA^y),
280 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ то все обобщенные решения уравнения х' = Ах будут аналитическими в секторе, состоящем из точек t -f- is, для которых |s/f|< l/Λί, и в любом секторе \s/t\^q/M (0 < # < 1) справедлива оценка || * (/ + is) || < M'ev{ In (е + 1 ) II χ (0) ||. При доказательстве перечисленных утверждений существенно используется тот факт, что из той или иной оценки для резольвенты вдоль прямой Re λ = γ следует существование резольвенты и ее оценка вдоль некоторой бесконечной кривой Г, лежащей в полуплоскости Re λ < γ. Это позволяет записать искомое решение в виде x{t) = --±r\e^R{X)x{b)dU г где интеграл обладает значительно «лучшими свойствами», чем исходный интеграл по прямой Rek = y. Оказывается, что свойства гладкости функции x(t) определяются в основном характером кривой Г. Если резольвента, например, ограничена на контуре Г с уравнением σ = —Ψ(Μ) (α + ί'τεΓ) и функция ψ растет на бесконечности как логарифмическая, то у функции x(t) будет увеличиваться гладкость с возрастанием t\ если функция ψ растет как' степенная с показателем, меньшим единицы, то функция x(t) бесконечно дифференцируема при t > 0; если растет как Ι τΙ ' , . , то x(t) принадлежит квазианалитическому классу; наконец, если растет как линейная, то x(t) аналитична. Во всех случаях x(t) удовлетворяет уравнению х' = Ах. Литература: [36], [58]. 4. Абстрактное параболическое уравнение. Уравнение хг =Ах называется абстрактным параболическим, если для него ослабленная задача Коши однозначно разрешима при любом х0 е Е. Если для абстрактного параболического уравнения оператор А замкнут и имеет регулярные точки, то для этого уравнения задача Коши равномерно корректна. Обратно, если задача Коши равномерно корректна и все ее решения дважды непрерывно дифференцируемы при t > 0, то уравнение является абстрактным параболическим. Для того чтобы равномерно корректная задача Коши обладала этим свойством, достаточно, чтобы lim 1η|τ|||/?(α + ίτ)||==0 при некотором а. |τ|->οο *
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 281 Всякое обобщенное решение абстрактного параболического уравнения является бесконечно дифференцируемым, операторы AkU(t) ограничены при каждом t > 0 и k = I, 2, ... Для приложений важным является утверждение: если оператор А имеет резольвенту при Re λ > ω и ΙΙ*λ(Λ)ΙΚ ,λ^ω| (1*еЯ>со), то уравнение χ' = Ах является абстрактным параболическим. Все обобщенные решения уравнения аналитичны в некотором секторе, содержащем положительную полуось, и справедливо неравенство \\x'{t)\\<^\\xA (0</<оо). Обратно, если задача Коши равномерно корректна и для соответствующей полугруппы U(t) выполнено неравенство Μί/ίοικ^τ". то для резольвенты справедлива оценка приведенного выше типа, и полугруппа допускает аналитическое продолжение в сектор, содержащий полуось t > 0. Литература: [27], [36]. 5. Обратная задача Коши. Обратной задачей Коши называется задача о нахождении решения уравнения х' = Ах на промежутке [0, Т] по заданному конечному значению χ (Τ) = хт е <=Д(Д). Заменой аргумента обратная задача Коши для уравнения хг = Ах сводится к задаче Коши для уравнения х' = —Ах. Если задача Коши для уравнения корректна, то обратная задача Коши, вообще говоря, не корректна: для некоторых хт решение не будет существовать вообще, для других оно будет обрываться, не доходя до нуля; решения не будут непрерывно зависеть от начальных данных. Если для уравнения прямая и обратная задачи Коши равномерно корректны, то операторы U(t) определены и ограничены для всех t (—оо < t < оо) и образуют группу, причем U(—t) = = £/1(0. Для того чтобы прямая и обратная задачи Коши с замкнутым оператором А были равномерно корректными, необходимо и достаточно, чтобы существовали постоянные Μ и ω > 0 такиеу что Ι*£(Λ)Ι< (|Я1%" («=b 2> 3>···)
282 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ при всех действительных λ с |λ|>ω. Спектр оператора А при этом лежит внутри полосы |λ| < ω. Можно отвлечься от вопроса о существовании решения обратной задачи Коши и рассмотреть только вопрос о единственности решения и его непрерывной зависимости от конечных значений. Обратная задача Коши называется корректной на [О, Т] в классе ограниченных решений, если для всяких положительных Μ, ε и /0^(0, Т) найдется такое δ = δ (ε, Μ, /0), что для любого ослабленного решения на [О, Г], удовлетворяющего условиям \\x(t) II ^ Μ (О ^ t ^ Т) и \\х(Т) || ^ ε, выполнено неравенство || jc (ίο) II ^ δ. Если все обобщенные решения уравнения х' = Ах анали- тичны в некотором секторе, то обратная задача Коши корректна в классе ограниченных решений на любом отрезке [О, Т]. Этот факт вытекает из неравенства \\хУо)\\<М\\х(0)\\1-<*ш\\х(Т)\Гт9 где непрерывная функция ω(ί), Ο ^ ω{ί) ^ 1, не зависит от выбора обобщенного решения. Литература: [36]. 6. Уравнения в гильбертовом пространстве. Простейшим примером абстрактного параболического уравнения является дифференциальное уравнение хг = —Вх в гильбертовом пространстве Я с неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором 5. Задача Коши для этого уравнения равномерно корректна и соответствующая ей полугруппа U(t) может быть записана в виде U(t) = e-Bt, где функция e~Bt определяется с помощью спектрального разложения оператора А (см. гл. IV, § 3, п. 4): оо е-*= j e-KtdEx. Ρ Полугруппа U(t) будет сжимающей, ||ί/(ί)|| ^ 1. Все обобщенные решения x(t) = e~Btx0 (х0еЯ) являются решениями ослабленной задачи Коши и допускают аналитическое продолжение в правую полуплоскость Re г > 0. Можно изучить более детально поведение ослабленных решений при t-+0. Произвольная (не целая) степень оператора В
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 283 определяется с помощью спектрального разложения оо Ва= |λαί/£λ. о Если х(0) е D(Ba), a > 0, то для решения ослабленной задачи Коши справедливо неравенство \\Χ"(ί)\\<-βα\Βαχ(0)1 В случае α = 7г решения допускают более точную характеристику: для того чтобы производная x'(t) решения x(t) имела на [О, Т] интегрируемую с квадратом норму τ j\\x'(t)\?dt <оо, - о необходимо и достаточно, чтобы х(0) £fl(Bl/2), Следует еще отметить полезное неравенство ι-ί- ± II * (О И < II* (0)11 T\\x(T)\\T, справедливое для любого обобщенного решения. В гильбертовом пространстве могут быть полностью описаны производящие операторы ряда важных классов полугрупп. При этом описание делается в терминах, связанных с самим оператором, а не с его резольвентой. 1) Для того чтобы оператор А порождал сильно непрерывную сжимающую полугруппу операторов, необходимо и достаточно, чтобы он был максимальным диссипативным оператором (см. гл. IV, § 6, п. 1). Иначе этот критерий- еще можно сформулировать так: для того чтобы замкнутый оператор с всюду плотной областью определения был производящим оператором сильно непрерывной сжимающей полугруппы операторов, необходимо и достаточно выполнение условий Re (Ах, х)< О (х е= D (А)) и Re (А*х, *)< О (xt=D (A*)). 2) Если операторы А и А* имеют одинаковую всюду плот- А 4- Л* ную область определения и оператор Re А = —~— ограничен, то оператор А является производящим оператором полугруппы U(t) класса (Со), для которой справедлива оценка \\U(t)\\ ^ еш, где ω — верхняя грань оператора Re Л. 3) Для того чтобы оператор А являлся производящим оператором сильно непрерывной полугруппы изометрических преобра-
284 ГЛ V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ зований (||ί7(ί)ΙΙ = 1), необходимо и достаточно, чтобы он был максимальным диссипативным консервативным оператором с плотной областью определения. В этом случае А = iB, где В — максимальный симметрический оператор. 4) Для того чтобы оператор А был производящим оператором сильно непрерывной группы унитарных операторов, необходимо и достаточно, чтобы А = iB, где В — самосопряженный оператор. Группа операторов U(i) может быть представлена с помощью спектрального разложения оператора В в виде оо U(t)=eiBi= jeiMdEx. — оо Прямая и обратная задачи Коши равномерно корректны на всей оси. Обобщенные решения U(t)x0 являются дифференцируемыми лишь тогда, когда Хо^ D(A). 5) Если для максимального диссипативного оператора выполнено условие \lm(Ax, x)\^$\Re(Ax, x)\, то он является производящим оператором полугруппы, допускающей аналитическое продолжение в сектор |arg^|<n/2 — — arctg β. Для резольвенты оператора справедлива оценка в секторе | argλ| =ζ π — arctg β — ε при любом ε > 0. Уравнение χ' = Αχ является абстрактным параболическим уравнением, свойства его решений аналогичны свойствам решений уравнения х' = —Вх с самосопряженным положительно определенным оператором В. В последнее время многие из перечисленных критериев перенесены на некоторые классы банаховых пространств. Литература: [27], [36], [174]. 7. Неоднородное уравнение с постоянным оператором. Рассматривается неоднородное уравнение ^-=Ax + f(t), где f(t) —заданная непрерывная функция со значениями в Е. Так же как и для однородного уравнения, вводятся понятия решения, ослабленного решения, задачи Коши и ослабленной задачи Коши.
§ 2. УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 285 Если U(t)—полугруппа операторов, отвечающая однородному уравнению х' = Ах, то формальное применение метода вариации произвольной постоянной приводит к формуле г x{t) = U{t)x{0)+ \ U{t-s)f(s)ds. о Первое слагаемое справа есть решение однородного уравнения. Второе слагаемое для сокращения в этом пункте называется разрешающим выражением. Если ослабленная задача Коши для однородного уравнения хг = Ах корректна на D(A) и оператор А замкнут и имеет регулярные точки, то всякое ослабленное решение неоднородного уравнения представимо в указанном выше виде. Обратное утверждение для любой непрерывной f(t), вообще говоря, не справедливо. В предыдущих предположениях удается доказать, что разрешающее выражение дает частное решение неоднородного уравнения, если выполнено одно из следующих условий: 1) Функция f(t) дважды непрерывно дифференцируема и выполнено условие согласования /(0) е D(А); 2) функция f(t) имеет непрерывную первую производную f'(i), причем f'(t) ^D(A) и функция Af'(t) непрерывна при t >0\ 3) функция f(t) такова, что f(t) ^D(A2) и функция A2f(t) непрерывна при t > 0. Если выполнено условие 1) без условия согласования, то можно утверждать, что разрешающее выражение дает ослабленное решение неоднородного уравнения. Если задача Коши для однородного уравнения равномерно корректна, то требования на f(t) смягчаются: разрешающее выражение дает решение неоднородного уравнения, если или функция f(t) — непрерывно дифференцируемая, или функция f(t) такова, что f(t) еЬ(Л) и функция Af(t) непрерывна. Если оператор А является производящим оператором аналитической полугруппы с Co-условием, то разрешающее выражение дает ослабленное решение неоднородного уравнения, если функция f(t) удовлетворяет условию Гельдера \\f(t)~f(s) \\<C\t-s? при некотором γ > 0. Если, кроме того, полугруппа, порожденная оператором Л, имеет отрицательный тип, то можно ввести дробные степени оператора Л, и разрешающее выражение будет давать решение неоднородного уравнения, если f(t) e D(Aa) и Aaf(t) ограничена на [0, Т] при некотором а > 0.
286 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Наконец, если для резольвенты оператора А выполнено условие II Rk (Л) II < я- (Re λ >0), λ ' 1 + |ΐπιλ|β 2 гдер>-д-, то для функции /(/), удовлетворяющей условию Гельдера с показателем γ>2(1/β — 1), разрешающее выражение также дает ослабленное решение неоднородного уравнения. Литература: [36]. 8. Возмущенное уравнение. Если свойства задачи Коши для уравнения х' = Ах известны, то ставится вопрос о выделении такого класса операторов 5, что эти свойства сохраняются для уравнения х' = Ах + Вх (возмущенное уравнение). Если задача Коши для уравнения хг = Ах равномерно корректна, а оператор В ограничен, то задача Коши для возмущенного уравнения хг = (А Л- В)χ также равномерно корректна. Если оператор А удовлетворяет условию [1£λ(Λ)ΙΙ<γ,+^λ|)β (ReA>(o, 0<β<1), а оператор В подчинен оператору А с порядком α < β (см. гл. III, § 3, п. 3), то для уравнения х' = (А + В)χ ослабленная задача Коши корректна на D(А) и все ее решения бесконечно дифференцируемы. Если уравнение хг = Ах является абстрактным параболическим и соответствующая ему полугруппа аналитична в секторе, содержащем положительную полуось, а оператор В подчинен оператору А (см. там же) и для достаточно малых η справедливо неравенство Ι|β*ΙΙ<ΦηΜ + ηΙΗ*||, где Φη(χ) —непрерывный выпуклый функционал от х^Е, то возмущенное уравнение х'=(А-\-В)х также является абстрактным параболическим. Задача Коши для него равномерно корректна. Соответствующая полугруппа аналитична в секторе, содержащем положительную полуось. Литература: [36]. § 3. Корректные задачи для дифференциальных уравнений 1. Задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Рассматривается дифференциальное уравнение вида
§ 3. КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 287 где υ = (νи ·. ·, vm)—вектор-функция от t и χ, χ = (хи ..., хп)— точка п-мерного пространства Rn, A(D)= Σ AaDa, |а|<г α = (а1э ..., αη) — мультииндекс, | α | = α! + α2 4- ... + α„, Da= = D*1 ... Dln, Dk = i -q— (k = 1, 2, ..., /г), Ла — заданные матрицы с постоянными коэффициентами порядка тХ п. Число г называется порядком системы. Задана Коти для рассматриваемого уравнения состоит в нахождении его решения v = v(tyx), удовлетворяющего условию υ(0, χ) = φ(χ), где вектор-функция φ(χ) задана во всем пространстве Rn. Здесь будет предполагаться, что φ^Ζ,2(/?η), и решения ищутся такими, что υ е Lb{Rn) при каждом t ^ 0. Если через ν (ί, ρ) (ρ = (pi,..., ρη)) обозначить результат обратного преобразования Фурье, примененного к функции v(t,x) по переменной χ (см. гл. II, § 1, п. 4), то для ν получится уравнение и начальное условие £(0, ρ) = φ(ρ)9 где φ—обратное преобразование Фурье от φ. Рассмотрения исходной задачи Коши в пространстве L2(Rn) и полученной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром ρ в пространстве L2(Rn) функций от ρ равносильны, в силу равенства Парсеваля (см. там же). Решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений при каждом ρ задается формулой v(t, р)4е'Л(Р)Ф(р). Таким образом возникает задача об исследовании семейства операторов U(t) умножения на матрицу е*А (Р) вектор-функции от ρ в пространстве L2(/?n)· Для того чтобы оператор U(t) умножения на etA^) был ограниченным в L2(Rn), необходимо, чтобы для собственных чисел μι (ρ), ..., μ™(ρ) матрицы А (р) выполнялись неравенства Re μι (ρ) < с (i= 1, ..., га). Для исходной системы это условие называется условием корректности по Петровскому.
288 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Корректность по Петровскому не является достаточной для ограниченности оператора U(t). Простейший пример этого дает система, полученная из уравнения колебании струны ~щ- = = —^-. Для нее соответствующие матрицы А(р) и etAW имеют вид / 0 1\ / cos pt ^LEL\ МР) = [_П2 о (μι>2=±ιρ) и е"<*> = P . \ Ρ υ/ \ — ρ sin pt cos pt J Достаточным условием для ограниченности U(t) является параболичность по Шилову. ReMp)<-c|p|A + & (/=1, ..., m)% где /ι > 0, с > 0 и /? — константы. Если система параболична по Шилову, то семейство U(t) операторов умножения на е/Л {Р) является бесконечно дифференцируемой при t>Q полугруппой ограниченных в L2(Rn) операторов. Условие параболичности по Шилову обеспечивает «хорошие» свойства полугруппы U(t) при / > 0, однако оно не гарантирует «хорошего» поведения полугруппы U(t) при ί—►О. Например, для системы с матрицей норма полугруппы etAW оценивается величиной c(t)/fi, где β = тах[й/2 — 1,0], и таким образом при й>2 полугруппа не является ограниченной, хотя условие параболичности по Шилову выполнено при любом k. Если показатель параболичности h совпадает с порядком г системы, то задача Коши равномерно корректна в пространстве L2(Rn). Имеются необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи Коши в L2(Rn), которые в виду их громоздкости здесь не приводятся. Тот факт, что такие простые системы, как система, отвечающая уравнению колебаний струны, приводят к неограниченным в L2(Rn) операторам etA^\ наводит на мысль о том, что норма L2(Rn) не является естественной для таких систем. И, действительно, для уравнения колебаний струны естественной является норма, квадрат которой совпадает с интегралом энергии. *) Можно показать, что это выполнено, если Re μ* (/?)->■—оо при
§ 3. КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 289 В образах Фурье эта норма имеет вид ( «» ]1/2 J b213il2 + |32lW I — оо J и не эквивалентна норме в L2(Rn)· Им-еет место следующий важный факт: для каждой корректной по Петровскому системы существует гильбертова норма, вычисляемая по вектор-функции υ и некоторым ее производным, в которой задача Коши является равномерно корректной. Для того чтобы существовала некоторая норма (описанной структуры), в которой полугруппа ί7(ζ) = ^Α(ρ) аналитична в секторе, содержащем положительную полуось, и удовлетворяет в нем неравенству II £/(О II <Afe«m (|argU<(po), необходимо и достаточно, чтобы для собственных чисел щ{р) матрицы А (р) выполнялось неравенство Ι^μ,ΟσΧ — |Irr^,(p)|tg<po + & (* = 1, ..., m) (6 — константа). Литература: [14], [36], [177], [181]. 2. Краевые задачи для параболических систем. В ограниченной области & /г-мернс^го пространства с достаточно гладкой границей Г рассматривается уравнение 4т- = Л(*, D)v, где υ — /n-мерная вектор-функция от / и х> и А(х, D)= Σ Aa(x)Day |а|<г Αα(χ)— квадратные матрицы порядка ту^ту элементы которых являются! достаточно гладкими функциями от χ в замкнутой области 9. Главной частью A(x,D) называется дифференциальное выражение А'(х, £>)= Σ Aa(x)Da. Рассматривается соответствующая полиномиальная матрица А'(х,р). Пусть г = 2s— четное число. Если матрица А'(х,р) при каждом JiE? и p^Rn порождает в конечномерном пространстве диссипативный оператор, так что Re(A'(x, р)й, й)т<0 (йфО),
1 дп О, 290 ^Л. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ то оператор А(х,D) называется сильно эллиптическим, а исходная система — сильно параболической. Оператор Л0, порожденный дифференциальным выражением A(x,D) на гладких функциях, удовлетворяющих условиям первой краевой задачи ди \ |г "" dns~l допускает замыкание А в L2{§), для которого оператор Α — со/ при некотором ω является максимальным диссипативным оператором. Отсюда вытекает, что задача о нахождении решения системы, удовлетворяющего условиям первой краевой задачи и начальному условию α(0, χ) = ф(^)еО(Л), равномерно корректна в пространстве L2{&). Для соответствующей полугруппы справедлива оценка \\U(t)\\ ^еыК Аналогичное обстоятельство имеет место и в пространстве ^р(^) (Р>1)» ПРИ этом полугруппа U(t) является аналитической. Литература: [36], [116], [140], [184], [188]. 3. Симметрические гиперболические системы. Пусть в системе, рассматривавшейся в предыдущем пункте, A(x,D) является дифференциальным выражением первого порядка: η Л (χ, 0) = ΣΜχ)-§γ + Β{χ)ό. i=\ l Матрицы Ai(x) и В (χ) предполагаются теперь вещественными и симметрическими. Для дифференциального оператора первого порядка однородные краевые условия естественно задавать в виде уравнений (и, шу)|г = 0 (/=1, 2, ..., /), где Wj(x)—непрерывные векторные поля, заданные на границе Г области !?. Иначе говоря, вектор и(х) при х^Т должен принадлежать некоторому подпространству N(x) всего m-мерного пространства; N(x) ортогонально векторам Wj(x). Вводятся предположения: 1) условие диссипативности β+β<-Σ^τ<°; dAi ι η 2) ранг матрицы А{п) (х) = 2 At (χ) щ (χ) не изменяется, ι когда χ пробегает границу Г;
§ 3. КОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 291 3) подпространство N(x) является максимальным подпространством, на котором форма (А^и, и)^: 0. При этих предположениях оператор Л0, заданный дифференциальным выражением А (х, D) на непрерывных в 9 функциях, удовлетворяющих краевым условиям и имеющих интегрируемые с квадратом первые производные, допускает замыкание до максимального диссипативного оператора. Задача о нахождении решения системы удовлетворяющего краевым условиям и начальному условию ν(0,χ) — ф(х)еД(Л), равномерно корректна в L2(9). Соответствующая полугруппа будет сжимающей. Литература: [36], [174], [190]. 4. Уравнение Шредингера. В трехмерном пространстве R$ рассматривается уравнение где Δ —оператор Лапласа. При определенных условиях на функцию υ(χ) оператор Я, получаемый замыканием" оператора, определенного дифференциальным выражением — Δ + υ(χ) на финитных функциях, будет самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве £2(#з). Прямая и обратная задачи Коши равномерно корректны на всей оси. Уравнение порождает группу унитарных операторов U(t) = e~iHt (см. гл. IX, § 1). Литература: [36], [173]. 5. Уравнение с запаздывающим аргументом. Здесь будет рассмотрен простейший пример такого уравнения y'(t) = ay(t-l) (0<f<oo). Для нахождения решения этого уравнения при всех t > О необходимо задать функцию у на отрезке [—1,0]. После этого решение находится последовательным интегрированием на отрезках [п,п + 1]. Пусть функция Xo(s) = y(s) непрерывна, т. е. лг0еС(—1,0). Вводятся функция χ (t, s) = у (t -f- s), рассматриваемая при каждом t как элемент пространства С(—1, 0), и полугруппа операторов U(t)x0{s) = x(tys) = y(t + s). Полугруппа U(t) сильно непрерывна и удовлетворяет С0- условию. Производящим оператором ее является оператор дифференцирования по s, заданный на всех непрерывно
292 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ дифференцируемых на [—1, 0] функциях x(s), удовлетворяющих краевому условию х'(0) = ах(—1). Функция x(t, s) удовлетворяет уравнению дх дх dt ~ ds ' поэтому исходную задачу можно трактовать как задачу о нахождении решения этого гиперболического уравнения, удовлетворяющего на прямых s — ■— 1 и s == 0 написанному выше нелокальному краевому условию. Эта задача равномерно корректна в С(—1,0). Интересно, что гладкость полугруппы U(t) увеличивается с возрастанием ί: на отрезке η < t ^ η + 1 решения U(t)x0 имеют η + 1 производную. § 4. Уравнение с переменным оператором 1. Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный оператор. При рассмотрении дифференциального уравнения ^ = A(t)x (0<ί<Γ) предполагается, что при каждом t оператор A(t) линеен, замкнут и имеет плотную в Ε область определения. Сначала делается упрощающее предположение, что эта область определения одинакова для всех операторов A(t) (O^t^T): D(A(t)) = D(A). При этом предположении на [0, Т] определена функция A(t)Xo при любом Xo^D(A) и можно говорить о той или иной степени ее гладкости. Если при x0^D(A) функции A(t)x0 имеют определенную гладкость, то говорят, что оператор A (t) имеет такую же гладкость на D(A). Предполагается, что оператор Α(ί) непрерывен на D(A), имеет при каждом ί ограниченный обратный и || А(0) A"1 (s) 1 <Μ (0<5<Γ). Из этих условий вытекает, что оператор-функция А(/)·A~l(s) ограничена и сильно непрерывна по t и s в квадрате 0 ^ s, f < Г. Задача Коши в треугольнике ТА: 0 -< s ·< t <С Τ заключается в нахождении при каждом фиксированном s <ξ [0, Т] решения x(tts) уравнения xr = A(t)x на отрезке [s, Г], удовлетворяющего заданному начальному условию χ(s, s) = xQ^ D(A). Задача Коши называется равномерно корректной, если: 1) при любом Xq^D(A) существует единственное ее решение;
§ 4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 293 2) функция x(tyS) и ее производная x'(t, s) непрерывны по совокупности переменных в треугольнике ΓΔ; 3) решение непрерывно зависит от начальных данных, т. е. из сходимости #o,n^D(A) к нулю следует равномерная в Та сходимость к нулю соответствующих решений xn(tys). Если задача Коши равномерно корректна, то можно ввести линейный оператор U(t,s) (O^s^/^Γ), ставящий в соответствие каждому элементу x0^D(A) значение решения задачи Коши на отрезке [s, 7] в точке t, т. е. U(t, s)x0 = x(t,s). Оператор U(t,s) определен на D(A), но допускает расширение по непрерывности на все пространство Е. Полученный ограниченный оператор U(tts) называется эволюционным. Эволюционный оператор равномерно корректной задачи Коши обладает свойствами: 1. Оператор U(t,s) равномерно ограничен и сильно непрерывен в треугольнике Та- 2. Справедливо тождество4 V(U s) = U(t, τ) С/(τ, 5), U(t9 t)=l (0<s<T<i<T). 3. Оператор U(t,s) отображает область D(A) в себя, оператор V(t, s) = A(t)U(t9 s)A~l(s) ограничен и сильно непрерывен в Та- 4. На области D(A) оператор U(t9s) сильно дифференцируем по t и по s, причем для x0^D(A) dU%a)*-A(t)U{t, s)x0, dU^ss)x°=-U(t, s)A(s)x0. Литература: [36]. 2. Устойчивая аппроксимация эволюционного оператора. Одним из методов исследования уравнения x'(t) = A(t)x является переход от него к некоторой последовательности уравнений ^f=An(t)x с ограниченными операторами An(t), в определенном смысле приближающейся к исходному уравнению. Пусть операторы An(t) на D(A) равномерно по t^[0,T\ сильно сходятся к оператору A(t), удовлетворяющему условиям предыдущего пункта. Пусть Un(t,s) — эволюционные операторы, отвечающие ограниченным операторам An(t). Если \\Un(t> S)\\^M (Μ не зависит от п, t и s), то говорят, что оператор A(t) устойчиво аппроксимируется операторами Л η (О·
294 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Если для уравнения x' = A(t)x задача Коши равномерно корректна, и она устойчиво аппроксимируется операторами An(t), то эволюционные операторы Un(t, s) равномерно по t и s сильно сходятся к эволюционному оператору U(t,s). Пусть оператор A(t) удовлетворяет предположениям п. 1 и, кроме того, непрерывно дифференцируем на D(A) и устойчиво аппроксимируется операторами An(t), которые при каждом t коммутируют с A(t) на Ь(Л). Если эволюционные операторы Un(t,s) равномерно по t и s сильно сходятся при я-*оо к оператору U(t,s), то задача Коши для уравнения #'= = A(t)x равномерно корректна, и U(t,s) .является отвечающим ей эволюционным оператором. Имеет место полезное утверждение о повышении гладкости решения. Если, кроме предыдущих условий, выполнено еще одно из двух условий: оператор A (t)A'(t)A~2(t) определен, ограничен и сильно непрерывен при t е [О, Т], или оператор A(t) дважды непрерывно дифференцируем на D(A), то при х0^ D(A2(s)) решение задачи Коши дважды непрерывно дифференцируемо по t. Одним из методов доказательства равномерной корректности задачи Коши является построение устойчивой аппроксимации оператора A(t) с описанными выше свойствами. На этом пути получено важное утверждение: если оператор A(t) удовлетворяет условию \\Ъ(АШ<т±ь при λ>0 и непрерывно дифференцируем на D(A), то задача Коши для уравнения х' = A (t)x равномерно корректна. Литература: [36]. 3. Ослабленная задача Коши, корректная на D(A). Ослабленным решением уравнения х' = A(t)x на отрезке [s>T] (О ^ s < Т) называется функция x(t), непрерывная на [s, Г], непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению на (s, T]. Под ослабленной задачей Коши в треугольнике Гд.' О ^ '^ 5 <i t ^ Τ понимается задача о^ нахождении при каждом фиксированном s е [О, Г] ослабленного решения x{t,s) уравнения x' = A(t)x, удовлетворяющегр заданному начальному условию χ (s, s) = х0. Ослабленная задача Коши называется корректной на D(A)y если: 1) при любом x0^D(A) существует единственное ее решение x(tyS); 2) функция x(t,s) непрерывна по совокупности переменных t, s в треугольнике ТА; 3) производная x'(t, s) непрерывна по совокупности переменных t, s в полуоткрытом треугольнике 0 ^ s < t ^ Г; 4) решение непрерывно зависит
§ 4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 295 от начальных данных в том смысле, что из сходимости Хо, п ^ еО(Л) к нулю следует сходимость к нулю соответствующих решений xn(t,s) равномерно в каждой области t —- s ^ δ > 0. Для ослабленной задачи Коши, корректной на D(A), также вводится ограниченный эволюционный оператор такой, что при Xo^D(A) функция x(t,s) = U(t,s)x0 является ослабленным решением задачи Коши. В каждой области t — s ^ 6J> 0 оператор U(t,s) равномерно ограничен и сильно непрерывен. Справедливо тождество U(t9 s)=U(t9 τ)ί/(τ, s) (0<s < τ < ί <Γ). Оператор U(t,s) отображает D(А) в себя и непрерывно дифференцируем на D (А) при t > s. При x0^D(A) и t > s функция U(t, s)x0 удовлетворяет уравнению —Jp- = A (t) Ux0 и начальному условию lim U(t> s)x0 = Xq. Оператор A (t) U(t, s)A~l(s) сильно непрерывен по t и s при t> s. Уравнение хг = A(t)x называется абстрактным параболическим, если для всякого Хо е Ε существует единственное решение ослабленной задачи Коши, обладающее свойствами 2)—4), перечисленными в определении ослабленной задачи Коши, корректной на D(A). Здесь будет описан метод доказательства существования решений ослабленной задачи Коши, основанный на так называемом «замораживании» коэффициента. Предполагается, что при каждом t0 е [0, Т] задача Коши для уравнения ■§—A(t0)x с «замороженным» коэффициентом A(t0) в определенном смысле корректна. Пусть ей отвечает полугрупповой оператор UA(t0)(t). Записывая исходное уравнение в виде x' = A(U)x + }\-(A(t)—A(tQ))x и рассматривая последний член как известный, приходят к интегральному уравнению, которому должен удовлетворять искомый эволюционный оператор t U(t, s) = UAiU)(t-s)+ \ UA{to)(t-x)[A(x)-A(t0)]U(x, s)d%. s Затем полагают t0 = t и получают уравнение t U(U s)=UA{t)(t-s)+ \ UA{t)(t-x)[A(x)-A(t)]U(x, s)dx.
296 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Аналогично приходят к симметричному уравнению t U (/, s) = Uа („ (/ - s) + J U (t, τ) [Α (τ) - A (s)] UA („ (τ - s) dx. S Если ядра этих интегральных уравнений имеют слабую особенность (типа 0((t — δ)-μ) с μ< 1), то решения U(t,s) интегральных уравнений существуют, и при определенных условиях удается доказать, что U(t,s) является эволюционным оператором, отвечающим исходной задаче Коши. На описанном пути получены, например, следующие результаты. Пусть оператор A (t) удовлетворяет условиям: 1) при ИеЯ^О где константы Μ и β не зависят от t и 0<β^1; 2) || [Л (0 — Л (s)] Л-1 (0) || ^ с U — s |р и 0<р<1; 3) при x0^D(A) \A-l(t)[A(s)-A(t)]x0\<c\t-sf\xQl Если β>"3" и ρ > 2ί-g— lj, то ослабленная задача Коши для уравнения x' = A(t)x корректна на D(A). Если, кроме того, уравнение с «замороженным» коэффициентом при всяком to является абстрактным параболическим и полугруппа £/л(*0)(0 ограничена равномерно по /0, то уравнение x'==*A(t)x является абстрактным параболическим. Задача Коши для него равномерно корректна. В частности, условия последнего утверждения выполнены, если где Λί не зависит от t, и удовлетворяются условия 2) и 3) с каким-либо ρ > 0. Литература: [36], [186]. 4. Абстрактное параболическое уравнение с оператором, имеющим переменную область определения. Если A(t)—дифференциальный оператор, то его область определения состоит из достаточно гладких функций, удовлетворяющих некоторым краевым условиям. Предположенная выше независимость области определения D(A(t)) от t означает в приложениях независимость от t коэффициентов в граничных условиях, по-
§ 4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 297 этому снятие этого условия представляет значительный интерес. Если область определения A(t) зависит от t, то теряют смысл понятие непрерывности или дифференцируемое™ оператора Α(ί) на D(А), оператор A(t)A-l(s) может не быть определенным на всем пространстве или даже на его плотном подмножестве. Однако в ряде случаев некоторая дробная степень Aa(t) оператора A(t) (см. гл. III, § 3, п. 3) имеет область определения, состоящую из функций, не стесненных никакими граничными условиями, и следовательно, не зависящую от t. Результаты предыдущего пункта удалось перенести на эти случаи, заменив условия 2), 3) гладкости оператора,. A (t) на условия гладкости его дробной степени. Однако проверка гладкости дробных степеней дифференциальных операторов встречает ряд трудностей. В связи с этим полезно следующее утверждение, в котором условия гладкости налагаются на резольвенту оператора Α(ί). Пусть выполняются следующие условия: 1) уравнение xr = A(t0)x с «замороженным» коэффициентом является абстрактным параболическим и выполнено неравенство 1^(/1(аКтТШ" (ReX>0); 2) ограниченный оператор A~x(t) непрерывно дифференцируем на [О, Т] и 1^Г^- ^(g)|<*l'"s|g ft *e[0f71)f 0<α<1; 3) существуют константы N и ρ (О^р < 1) такие, что -£- R λ(Α (t\) I < —-pj- при |3Γδλ|<π~φ, Ф<у. Тогда ослабленное решение задачи Коши при любом х0 ^ Ε существует и единственно, и можно построить соответствующий эволюционный оператор U(t,s). Для общей краевой задачи для параболического уравнения -§7- = Л(/, х, D)o, 0(0, χ) = φ(χ), B,(t9 χ, D)t4r = 0 (/=1, 2, ..., 5), для которой при каждом t выполнены условия, перечисленные в § 2, п. 2, и условия гладкой зависимости всех коэффициентов от t, проверяются требования 1)—3) (при этом даже в последнем неравенстве ρ = 0). Литература: [36], [189].
298 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5. Неоднородное уравнение с переменным оператором. Для неоднородного уравнения x' = A(t) + f(t) с переменным оператором формальные рассуждения приводят к формуле x(t, s) = £/(*, s)x(s, s) + J" U(t, x)f(x)dx, s где U(tt x)—эволюционный оператор, отвечающий однородному уравнению хг = A (t)x. Если задача Коши для однородного уравнения равномерно корректна и оператор A (i) непрерывен на D(A), то всякое решение неоднородного уравнения представимо в написанном выше виде. Если, кроме того, оператор A(t) непрерывно дифференцируем на D(A) и функция f(t) имеет непрерывную производную, то разрешающее выражение J U {t, x)f{x)dx дает решение не- S однородного уравнения. Аналогичное утверждение справедливо в случае, когда определена и непрерывна функция A (t)f(t) (без требования дифференцируемое™ оператора A(t)). Формула для решения неоднородного уравнения также обосновывается и в тех случаях, когда существует эволюционный оператор U(t,s), дающий решение ослабленной задачи Коши. Так, например, в условиях теоремы существования п. 4 разрешающее выражение дает ослабленное решение неоднородного уравнения, если функция f(t) удовлетворяет условию Гельдера с произвольным показателем γ > 0. Литература: [36]. 6. Абстрактное параболическое уравнение в семействе подпространств. До сих пор дифференциальные уравнения рассматривались в фиксированном банаховом пространстве. В приложениях, когда оператор А — дифференциальный, это означает, что область изменения пространственных координат не изменяется со временем или, иначе, что область изменения (t,x) является цилиндрической. Однако многие дифференциальные уравнения эволюционного типа изучаются и в нецилиндрических областях. В абстрактной схеме это соответствует тому, что решение x(t) при каждом t принадлежит своему банахову пространству E(t). В разработке теории таких уравнений лишь сделаны первые шаги, один из которых описывается ниже.
§ 4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ 299 Пусть задано банахово пространство Ε с нормой Ц...Ц и сильно непрерывное в нем семейство ограниченных проекционных операторов P(t) (Ο^ί^Τ). Через E(t) обозначается подпространство P(t)E. Различные функции x(t)> которые при каждом t принимают .значения из £(/), можно рассматривать как функции со значениями в £, и поэтому для них естественным образом определены понятия непрерывности, дифференцируемое™ и т. п. Если В (t) является при каждом t линейным ограниченным оператором, определенным и действующим в подпространстве E(t), то его можно продолжить до оператора на всем Ε по формуле S(t) = B(t)P(t). Рассматривается дифференциальное уравнение где A(t) (0^.t^.T) — замкнутый линейный оператор с плотной в E(t) областью определения D(A(t))9 действующий в E(t). Аналогично тому, как в п. 3, вводится понятие ослабленного решения уравнения на отрезке [s> T] (с той лишь разницей, что требуется принадлежность x{t) и x'(t) подпространству E(t) при каждом t <= [s, T]) и понятие ослабленной задачи Коши. На оператор A(t) налагаются следующие ограничения: 1) при veED(A(t)) lim — ' — ϋ = θ; 2) существует ограниченный обратный A~l(t), причем fi-i/,x P{t + M)-P(t) At+Q ПтЛ-'^Г^дГ {)v = * при любом υ & Ε; 3) оператор A~l{t) сильно дифференцируем по / и его производная удовлетворяет условию 4) для резольвенты /?λ (A (/)) = {A {t) — λΐ (t))~l справедливо неравенство (где/(0—единичный оператор в пространстве E(t));
300 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5) продолжение резольвенты /?Я(Л(/)) сильно дифференцируемо по t и тИтйг <°<р<1> Jl^(A(t)) в секторе | arg λ | ^ π — φ (φ < π/2). При этих условиях, являющихся прямым обобщением условий п. 4, удается также построить эволюционный оператор U(t, s) с обычными свойствами и отображающий подпространство E(s) в подпространство E(t). Литература: [180]. § 5. Уравнения второго порядка 1. Уравнение гиперболического типа. Простейшим примером такого уравнения является % = ВЧ (0</<Г), где В— замкнутый неограниченный линейный оператор с плотной в Ε областью определения D(B), имеющий регулярные точки. Решением уравнения здесь будет называться функция χ (t) со значениями в D(B2), дважды непрерывно дифференцируемая, удовлетворяющая уравнению на отрезке [0, Т\ и обладающая тем свойством, что функция Bx'(t) определена и непрерывна на [0, Т]. Для гиперболического уравнения ставится задана Коши, т. е. задача о нахождении его решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям х(0) = х0 и х''(0) = х'0. Для того чтобы задана Коши имела единственное решение при любых x0^D (В2) и х'0<^ D(B)f}R (В), необходимо и до- статочно, чтобы оператор В был производящим оператором сильно непрерывной группы (см. гл. III, § 3, п. 4) операторов U(t) (—оо</<оо). Решение задачи Коши дается формулой χ (0 = j [и (t) + и (-*)] χ0 +1 [и (t) - и (-/)] и» где уо — какое-либо решение уравнения Ву0 = х'0. Если оператор В имеет ограниченный обратный B~l (R(B) = E)t то эта формула принимает вид xW^MuW+Ui-mxo + UuW-Ui-tKB-'x'o
§ 5. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 301 и является прямым обобщением формулы Даламбера для решения уравнения колебания струны. Если в предыдущих условиях рассмотреть неоднородное уравнение *± = B*x + f(t) (0<ί<7), где f(t) — непрерывно дифференцируемая функция или такая функция, что определена и непрерывна Bf(t)t то задача Коши для этого уравнения при x0^D(B2) и x'0<=D(B) имеет единственное решение, определяемое по формуле *(*) = ъ W (0.+ и (-')] *o + jW (t) + и (-01 Β-ιχΌ + t + ^[U(t-s)-U(s-t)] β"'/ (s) ds. 0 К сожалению, для операторов в банаховом пространстве не найден удовлетворительный ответ на вопрос о том, когда оператор А будет квадратом производящего оператора В сильно непрерывной группы. Поэтому теория абстрактных гиперболических уравнений интенсивнее развивалась для уравнений в гильбертовом пространстве. Пусть для уравнения §- = Α(ήχ в гильбертовом пространстве оператор A(t) при каждом t является самосопряженным отрицательно определенным. Тогда оператор B(t) = i(—A(t))4* будет при каждом t производящим оператором группы унитарных операторов. Если область определения оператора A(t) не зависит от t и он непрерывно дифференцируем на Ь(Л), то задача Коши для уравнения я"= = A(t)x имеет единственное решение при любых xQ&D(A) и Литература: [36]. 2. Уравнение эллиптического типа. Рассматривается уравнение $- = Л* (0<*<Г), где А — замкнутый оператор с плотной в Ε областью определения и !**(4)ll<TTjTT (λ<0)· Последнее неравенство позволяет определить дробные степени оператора А (см. гл. III, § 3, п. 3) и, в частности,
302 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ оператор —Л1/з, который будет производящим оператором аналитический полугруппы V(t), удовлетворяющей С0-условию (См. там же, п. 5). Задача Коши для эллиптического уравнения не является корректной. Общий вид .решения уравнения можно найти с помощью такого приема: заменой и = -^ (х — Л~1/2х'), w = γ [х + А~Х12х) уравнение сводится к системе уравнений 1 = -Л"2« и ^ = Л«»«. Для первого уравнения системы корректна задача Коши, для второго корректна обратная задача Коши, поэтому решение можно записать в виде x(t) = V(t)u0 + V(T-t)wTy где и0 и wt — заданные элементы из Е. Функцию x(t) такого вида называют обобщенным решением исходного уравнения. Обобщенное решение является аналитической функцией от t при 0 < / < Т. Если элементы и0 и a/TeD(yl,/j), то обобщенное решение обладает следующими свойствами: оно имеет непрерывную первую производную на отрезке [0, Т] и вторую производную на интервале (0, Г); значейия x(t)<=D(A) на (0, Г); функция Al>*u(t) непрерывна ка [0, Г]; уравнение х" — Ах удовлетворяется на {0,7"). Такое решение в дальнейшем называется ослабленным. Формула для решения показывает, что для уравнения разрешима краевая задача с начальными условиями: γ[χ(0)-Α-ι/2χ'(0)] = α0 и ±[χ(0) + Α-υ2χ'(0)] = ν0. Можно развить теорию общих краевых задач вида ί Lx (х) - апх (0) + сс12*' (0) + β„* (Τ) + β12χ' (Τ) = flt I L2 (χ) = a2lx (0) + α22*' (0) + β21χ (Τ) + β22χ' (Τ) = /2, где α//, β// — комплексные числа, ft — заданные элементы Ε (i, /-1, 2). Существенную роль при изучении таких задач играет характеристический определитель α,ιΑ^-α,,Ζ+β,,ν (Γ) Λ-^-β,,ν (Г) anV (Τ) A-lP+alfV (η+β,,Α-^+βιι/ Ι α:ιΑ~ν2-α22Ι+β3ιν (Τ) A-W-faV (Τ) a2lV (Τ) A-l/4a22V ί^+β,,^-^+βι,/ Γ элементами которого являются коммутирующие друг с другом ограниченные операторы.
§ 5. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 303 Однородная краевая задача Li(x) — 0, L2(x)=0 для уравнения х" — Ах имеет ненулевое решение тогда и только тогда» когда характеристический определитель Δ как оператор в пространстве Ε не имеет обратного. Если Аг — сопряженный А оператор, то в сопряженном пространстве £" можно рассмотреть сопряженное уравнение Если обозначать через (у, х) результат применения функционала у^Е' к элементу xg£, to справедлива формула Грина τ J [(У, Ε (χ)) - (Ζ/ {у), χ)] dt = (ут, х'т) - (yj,, χτ) - (ί/0, χζ) + (*/£, χ0)9 ο где L (χ) = χ" — Αχ и U (у) = у" — А'у. Граничные выражения Е\(у) и L2{y) называются сопряженными к выражениям L\(x) и Е2(х), если для любой пары гладких функций, удовлетворяющей условиям Ех(х) = L2(x) = 0 и Е[(у) — L2(y) — 0, правая часть в формуле Грина равна нулю. Предполагается, что область определения D(A') плотна в Е'. Тогда в классе сопряженных граничных выражений можно найти такие, что характеристический определитель Δ(Α')> составленный для этих условий, как оператор в Е' будет сопряжен к характеристическому определителю Δ (Л), составленному по исходным граничным выражениям: Δ(Α') = [Δ(Α)]'. Если D (А') плотна в £', то для того чтобы однородная сопряженная краевая задача имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы область значений #(Δ) оператора Δ не была плотной в пространстве Е. Проведено сравнительно полное исследование корректности рассматриваемого класса краевых задач. Рассматривая уравнение х" = Ах на полуоси [0, оо), можно одно из краевых условий ставить на бесконечности. Так, например, для всякого Хо^Е существует единственное ограниченное на полуоси [0, оо) обобщенное решение уравнения х" = = Ах% удовлетворяющее начальному условию χ(0) = χ0. Оно задается формулой x(t)= V(t)x0. Для решения неоднородного уравнения ■S—At + fW имеется формула τ x(t) = V (t)u0 + V (T -t)wT + \ J ν(|/-τ|)Λ-1/2/(τ)ί/τ.. О
304 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В последнее время получен ряд интересных результатов для эллиптического уравнения с переменным оператором А. Литература: [36], [182], [183], [187]. 3. Полное уравнение второго порядка, параболический случай. Поведение решений и характер задач, которые естественно ставить для полного однородного уравнения второго порядка где A(t) и B(t) — линейные операторы с плотными в Ε областями определения, зависят от того, какой из членов, стоящих справа, является главным. Если таким будет второй член, то уравнение может быть гиперболическим или эллиптическим в зависимости от свойств оператора B(t). Если главным является первый член, то свойства решений тесно связаны со свойствами решений уравнений первого порядка с оператором A(t). Этот случай и рассматривается в настоящем пункте. Подчиненность второго слагаемого справа первому при этом характеризуется свойствами оператора Α{(ί) = B(t)A-{(0) в сравнении с оператором A(t). Если оператор A(t) имеет область определения D(A), не зависящую от /, непрерывно дифференцируем на D(A) и удовлетворяет условию |Ях(Л(0)1<-т4т при' λ>0 и /е[0, Г], а оператор Ax(t) ограничен и сильно непрерывно дифференцируем по ί, то задача Коши *(0) —х0) л:/(0) = ^для уравнения х" = A(t)x' + B(t)x имеет единственное решение при любых х0, x'0 e D (А). В дальнейших формулировках для простоты операторы А и В считаются постоянными и уравнения имеют вид Рассматриваются следующие возможности: I. Оператор А\ = ВА~Х подчинен оператору Л, т. е. ИЛ^Ц ^ < с||Лх|| при x<=D(A). II. Оператор А\ подчинен Л, и для достаточно малых η справедливо неравенство ΚχΚΦηΜ + ημ*! (xgD(4 где Φη(Λ;) — выпуклый ограниченный функционал на Е. III. Оператор А{ подчинен оператору А с порядком α (<х<1).
§ 5. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 305 Имеют место утверждения: 1) Если операторы А и Лх являются производящими операторами аналитических полугрупп и выполнено II, то для всяких Xo^ D(B)C\ D(A) и ^gD(/1) существует единственное решение задачи Коши для уравнения х" = Ах' + Вх. Для Xo^D(A) и xJg£ существует единственное ослабленное решение задачи Коши, аналитическое в секторе, содержащем положительную полуось. 2) Если выполнено только I, то те же утверждения справедливы для уравнения х" — Αχ'-\-ζΒχ при достаточно малом ε. 3) Если операторы А и А\ удовлетворяют условиям |ΛλΜ)Ι<Αί(1+|λΙΓβ,|/?χ(ΛΙ)|<Αί(1+|λ|Γβ| (Κζλ>ω) β + βι>1 и выполнено III с α<β + βι—1, то при любых x0^D(B)[) D(A) и x'0^=D(A) существует единственное ослабленное решение задачи Коши для уравнения х" = Ах' + Вх. Это решение бесконечно дифференцируемо при t > 0. Если α=β + βι —1, то предыдущие утверждения справедливы для уравнения х" = Ах'-\-яВх при достаточно малом ε. Литература: [36].
ГЛАВА VI НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В этой главе рассматривается уравнение X — /\Ху где А— оператор (вообще говоря, нелинейный), определенный в некотором банаховом пространстве Ε с областью значений в том же пространстве. Примером оператора А может служить оператор Ax(t)= j K[tf 5, x(s)]ds о и, в частности, оператор Ax(t)= j K(ty s)f(s, x(s))ds. Первый из них принято называть оператором Урысона, второй — оператором Гаммерштейна. Первый вопрос, возникающий при изучении указанного уравнения, это вопрос о существовании решения. Э^от вопрос часто формулируют в такой форме: существует ли неподвижная точка при преобразовании Л? Оператор А может оказаться определенным на части Τ пространства Е — тогда речь идет о неподвижных точках этого оператора, принадлежащих Г. Если требуется найти решение, обладающее дополнительным свойством, то выделяется подмножество Т0а Τ элементов, обладающих этим свойством, и неподвижная точка ищется в Г0. Например, в задачах, где ищутся неотрицательные решения, полагают Т0 = Τ f] КУ где К — соответствующий конус неотрицательных элементов Ε (см. гл. VIII). Второй вопрос — это вопрос о единственности решения, т. е. единственности (в Т0) неподвижной точки преобразования Л. Для нелинейных уравнений во многих случаях основной интерес представляют теоремы неединственности, т. е. теоремы о существовании двух и более решений. Например, в различных
§ I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ 307 задачах теории устойчивости и теории волн заранее известно одно (тривиальное) решение задачи, и основной целью является разыскание других (нетривиальных) решений. В тех случаях, когда решение не единственно, ставится вопрос о количестве решений или об оценке этого количества сверху и снизу. Часто приходится рассматривать уравнение х = А(х; λ), где оператор А(х; λ) зависит от числового параметра λ (в некоторых задачах параметр также может являться элементом некоторого пространства). Для уравнений с параметром возникает ряд новых задач, связанных с изменением количества решений при изменении параметра. Особый интерес представляют те критические значения параметра λ, при которых решения разветвляются или сливаются. Простейший пример ^уравнения с параметром дает задача о собственных числах и собственных элементах линейного оператора, т. е. задача о решениях уравнения X —- "т~ /\Xf где А—линейный оператор. Здесь при всех λ φ 0 имеется тривиальное решение χ = 0. Те значения λ, при которых появляются другие решения, и называются собственными числами. Аналогично для нелинейного оператора λ называется собственным числом, если уравнение Ах = λχ имеет решение χ Φ θ, χ называется собственным элементом оператора А. § 1. Нелинейные операторы и функционалы 1. Непрерывность и ограниченность оператора. Пусть оператор А определен на множестве Τ банахова пространства Еу а его значения принадлежат банахову пространству £Ί. Оператор А называется непрерывным в точке ^0еГ, если из \\хп — *oll->0 (Хп е Т) следует, что \\Ахп — Ах0\\ -* 0. Оператор А называют слабо непрерывным в точке хо, если из слабой сходимости последовательности хп к х0 следует слабая сходимость Ахп к Ахо. Иногда рассматриваются операторы А усиленно непрерывные, преобразующие слабо сходящиеся последовательности, элементов в последовательности, сильно сходящиеся, и операторы А — ослабленно непрерывные, преобразующие сильно сходящиеся последовательности элементов в последовательности, слабо сходящиеся.
308 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Если пространство Е\ — числовая прямая, то операторы со значениями в пространстве £Ί называются функционалами. Оператор А органичен на Г, если sup || Лх|| < оо. хе=Г В отличие от линейных операторов из ограниченности нелинейного оператора на некотором шаре не вытекает его непрерывность. Из непрерывности оператора А на некотором множестве Τ вытекает его ограниченность в окрестности каждой точки {локальная ограниченность), однако непрерывный в каждой точке замкнутого шара оператор А может не быть ограниченным на всем шаре (если пространство Ε бесконечномерно). Примером такого оператора может служить оператор, определенный на всем пространстве 4 равенством Ax = \t)V |2, ..., feJJ, ...J, (я = (|р ξ2, ..., ξΛ, ·..))· Этот оператор непрерывен в каждой точке пространства k, но не является ограниченным ни на одном шаре S(6, г) при г > 1. Если множество Τ компактно, то непрерывный на этом множестве оператор А является ограниченным. Оператор А вполне непрерывен на Г, если он непрерывен и каждую ограниченную часть множества Τ преобразует в компактное множество пространства £Ί. Оператор А удовлетворяет на Τ условию Липшица, если ЦЛ*! — Ακ2||^£||χι — χ2ΙΙ (*ι· *2S кооператор Л, удовлетворяющий условию Липшица, непрерывен. .Литература: [6], [29], [31], [32], [34], [39], [58]. 2. Дифференцируемость нелинейного оператора. Операторы, определенные на множествах числовой прямой, называются абстрактными функциями. Пусть x(t) (a ^ t ^ Ь) — абстрактная -функция со значениями в банаховом пространстве Е. Производная x'(t) функции x(t) определяется как предел при Δί —> 0 ко- нечноразностного отношения: χ (t)= lim ——■—-^ — Δί-»0 Δί Если рассматривается предел по норме пространства £, то производная называется сильной, если рассматривается предел в смысле слабой сходимости в пространстве £, то производная называется слабой. Оператор А, действующий из банахова пространства Ε в банахово пространство Еи дифференцируем по Фреше в точке Xq>
§ 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ если существует линейный ограниченный оператор Л'(#и;, действующий из Ε в Ει и такой, что А {х0 + К) - А (х0) = А' {х0) А + ω (х0; А), где цац-»о Ι|Λ" Оператор А'(х0) называется производной Фреше оператора А в точке Хо. Говорят, что оператор равномерно дифференцируем на шаре Τ = {||х|| ^ а}, если 1ΙΛΐΐ->ο ΙΙΛ» равномерно относительно JiGi. Линейный ограниченный оператор Л'(*о) называется производной Гато оператора А в точке х0, если Л' (*0) h = lim Λ (*. + <*)-Л (s.) при всех А е £. Другими словами, А'(хо) называется производи ной Гато, если A (x0)h является сильной производной в точке- / = О функции А (х0 ^ th) переменной t со значениями в пространстве Ει: А'(х0)к = -^А(х0 + щ\ . Производная Фреше оператора Л, если она существует, является также и производной Гато. Если в окрестности точки Хэ существует производная Гато А'(х), непрерывная в точке Хо как операторная функция от х, то она является производной Фреше. Выражение A'(xo)h называют дифференциалом Фреше (соответственно дифференциалом Гато) оператора А в точке- хо. Если оператор А вполне непрерывен, то его производная Фреше А'(хо) является вполне непрерывным линейным оператором. Если оператор А имеет на выпуклом множестве Τ производную Гато А'(х), то для каждой пары точек χ, χ + А <= Г, и каждого линейного функционала / из сопряженного к Ει προ- * странства Е\ имеет место равенство I (А (х + А) - Ах) = I (Α' (χ + τΑ) А), где т = т(/)е(0, 1). Это равенство называют формулой Лаг- ранжа.
310 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оператор А называется асимптотически линейным, если он определен на всех элементах χ с достаточно большой нормой и если существует такой линейный оператор Л'(оо), что 11*ц-»оо II *« Оператор Л'(сю) называют производной на бесконечности опе- ратора А. Литература: [6], [29], [31], [32], [34], [39], [58]. 3. Оператор Урысона в пространствах С и Lp. Пусть функция K{t,s,x) непрерывна по совокупности переменных (0 sg: t, s s^ 1, \x\ ^ г). Тогда оператор Урысона ι Ax(t)=fx[t, 5, x(s)]ds 0 определен на всех функциях из шара 5(9, г) пространства С, и его значения принадлежат С. Оператор А вполне непрерывен на 5(Θ,γ). Если существует непрерывная производная Kx(t, sy x), то оператор А дифференцируем по Фреше в каждой внутренней точке Xo(t) шара S(Q,r). Его производная А'(х0) определяется формулой А'(х0)h(t)=\ К'х[/, 5, х0(s)]h(s)ds. о Для асимптотической линейности оператора А достаточно, чтобы функция K(tySyX) удовлетворяла условию 1/С(/, 5, x) — K„(t9 s)*|<q>(*) (0</, 5<1,· —оо<л:<оо), где lim Ш = 0. Оператор Л'(оо) выражается при этом формулой 1 Л'(оо)й(0= j Koo(t, s)h(s)ds. о Для рассмотрения оператора Урысона на всем пространстве С или в пространстве Lp необходимо, чтобы функция /((/,s,х) была определена при всех значениях 0 ^ /, 5^1, — оо<л:< < оо. Если эта функция по переменной χ растет быстрее' любой степенной (например, содержит экспоненциальные нелинейности), то оператор Урысона не будет определен ни на каком
§ 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ 311 пространстве Lp. В связи с этим' налагаются ограничения на рост функции K(t, 5, χ) по χ. Пусть \K(t, 5, *)|</?(f, s)(a + b\xp) (0</, 5<1, — оо<х<оо), где ао ^ 0, а функция R(t,s) суммируема по совокупности переменных с некоторой степенью β0 > 1: ι ι J j\R(t, s)f*dtds<oo. о о Если α0<βο— Ι» го оператор Урысона действует и вполне непрерывен в каждом пространстве Lp, где ρ > \ и αοβο ^ п ^-о В некоторых случаях оператор Урысона удобно рассматривать как оператор, действующий из одного пространства LPl в другое LP2. Оператор Урысона действует из LPl в LVt и вполне непрерывен, если />■>!. Ρι>-β7=Τ- 1<'Λ<βο· Условие αο ^ βο—1 здесь, естественно, не предполагается вы-' полненным. Если функция K{t,s,x) содержит существенно нестепенные нелинейности, то в ряде случаев оператор Урысона вполне непрерывен в некотором пространстве Орлича. Как и в случае пространства С, производную оператора Урысона, действующего в пространстве Lp, естественно искать в виде интегрального оператора с ядром Kx{t> s> x0(s)). Однако дифференцируемость оператора Урысона как оператора, действующего в LPf не вытекает из непрерывной дифференцируемое™ по переменной χ функции K(tystx). Например, оператор ι Ax{t)= j sin(e*<*>)ds (0<f <1) о действует и вполне непрерывен в любом LPy однако оператор Г ex*{s) cosex*{s) h(s)ds о даже не определен на Lp, если функция e*o(s) несуммируетма.
312 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Для того чтобы интегральный оператор с ядром Kx[t,s, xo(s)] являлся производной Фреше оператора Урысона, действующего s пространстве Lp (ρ > 1), достаточно, чтобы функция Кх (t, 5, χ) была непрерывна по χ и чтобы выполнялось неравенство \K'x(t, 5, х)\<а + Ь\х\р~1 (0<ί, 5<1, -oo<jc<oo). Литература: [29], [31], [32], [33], [34]. 4. Оператор /. Пусть функция f(t, χ) определена при Os^/^l, — оо <: χ <ζ оо. Всюду в дальнейшем предполагается, что функция f(ty χ) непрерывна по χ и измерима по t при каждом х. Равенство fx(t) = f[t, х(Щ определяет оператор /. Если f(t, x) непрерывна по совокупности переменных, то оператор f действует в пространстве С, непрерывен и ограничен на каждом шаре. Если оператор f действует из пространства LPl в пространство LP2, то он непрерывен и ограничен на каждом шаре. Для того чтобы оператор f действовал из LPx в LPi, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство \f(t, x)\<a(t) + b\xtlp\ яде a(t) e LPt. Следует иметь в виду, что оператор f не обладает свойством полной непрерывности (кроме тривиального случая, когда f(t>x) яе зависит от х). Если функция f(t, x) вместе со своей производной fx(t, x) непрерывна по совокупности переменных, то оператор /, рассматриваемый как оператор в пространстве С, дифференцируем по Фреше. Его производная Фреше имеет вид f'(*o)A(0 = f#. *oW]A(0· Пусть f действует из LPl в LP2. Из существования непрерывной производной f'x(t, x) не вытекает дифференцируемости по Фреше оператора f. Достаточным условием, при котором оператор умножения на f'x[t, х0(Щ является производной Фреше оператора /, действующего из LPl в LP29 где pi>p2, служит неравенство \K{t, x)\<al(t) + bl\x\pl/p'-1, meai(t)<=LPiPi/{Pi_p2).
§ 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ 313 В некоторых случаях оператор / дифференцируем в одних. точках пространства LPx и недифференцируем в других. Литература: [6], [31], [32], [34]. 5. Оператор Гаммерштейна. Если ядро K(t> s) непрерывно,, то линейный оператор Kx(t)=JK(t, s)x(s)ds действует из любого пространства Lv и из пространства С в каждое пространство LPx и в пространство С и является вполне не- прерывным оператором. Для того чтобы этот оператор действовал из ЬРх в LP2 и был вполне непрерывен, достаточно выполнения неравенства ι ι J [\K(U s)\Tdtds<oo, о о гдег = тах|/?2> р*1_\ }- Оператор Гаммерштейна Ax(t) = Kfx(t)=JK(t, s)f[s, x(s)]ds о является частным случаем рассмотренного выше оператора. Урысона. Возможность представления оператора Гаммерштейна в виде произведения Kf позволяет указать менее ограничительные условия полной непрерывности этого оператора в про^ странствах Lp. Для полной непрерывности оператора Гаммерштейна в пространстве Lp достаточно, чтобы оператор f действовал из Lp в некоторое пространство LPl, а линейный оператор, К был вполне непрерывным оператором, действующим из LPx в Lp. Если оператор /, рассматриваемый как оператор из Lp & LPl, дифференцируем в точке х0, а оператор К действует из- LPx в Lp, то оператор Гаммерштейна А = Kf также дифференцируем в точке х0, причем A'(x0)h(t) = Kf'(x0)h(t)= j K(t, s)f'x[s, x0(s)\h(s)ds. . 0 Литература: [6], [31], [32], [34], [100]. 6. Производные высших порядков.- Производные высших порядков от абстрактных функций определяются обычным путем. Сложнее обстоит дело с производными высших порядков*
314 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ от операторов. Здесь этот вопрос выясняется на производной второго порядка. Оператор В(хих2) (Χι,χ2^Ε) со значениями в пространстве Е\ называется билинейным, если он является линейным ограниченным оператором по каждому переменному. Бидиней- ный оператор В(хих2) называется симметрическим, если В{хи х2) = В(х2, хх). Если в симметрическом билинейном операторе В(хих2) положить Х\ = х2 = х, то получится оператор В2 (х) = В (χ, χ), который называют квадратичным. Оператор Л, действующий из банахова пространства Ε в банахово пространство Еи называется дважды дифференцируемым по Фреше в точке х0, если А (х0 + К) + А (х0) = Вх (А) + V2S2 (h) + ω2 (*0; Λ), где Βι = B\(xQ) — линейный относительно h оператор, В = = В2(хо) — квадратичный относительно h оператор, а ι. Ι|ω2(*0; h)\\ n 11П1 μ , ||2 U· цлц->о II n II Квадратичный оператор В2(х0) называется второй производной Фреше оператора А в точке Xq\ В2{х0) = А"(х0). Выражение В2(х0) (Λ) называется вторым дифференциалом Фреше оператора А в точке х0. Иногда рассматривают вторую последовательную производную Фреше оператора А — производную Фреше от первой производной Фреше. Вторая последовательная производная Фреше является билинейным оператором относительно приращений h и h\. Если непрерывная по совокупности переменных функция K(t, s,x) дважды непрерывно дифференцируема по х, то оператор Урысона, действующий в пространстве С, имеет вторую производную Фреше A»(xQ)h=j К'Ь['. 5, х0(s)]h2(s)ds. о Вторая последовательная производная Фреше оператора Урысона определяется формулой Λ" (*о) {hi, h2) = J* К* [t, 5, х0 (s)] hx (s) h2 (s) ds.4 - о
§ I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ 315 Квадратичный оператор B(x0)(h) называется второй производной Гато оператора А в точке х0, если для любого /ig£ %-A(x0+th)\ =B(x0)(h). dt2 *=o Выражение B(x0)(h) называется вторым дифференциалом Гато оператора А в точке х0. Вторая последовательная производная Гато оператора А определяется как производная Гато от первой производной Гато. Она является билинейным оператором. Следует иметь в виду, что из существования второй производной Фреше оператора А не вытекает, вообще говоря, существования второй производной Гато. Например, скалярная функция f (t) = t2 cos -rf имеет в точке t =0 вторую производную Фреше, равную нулю, но не имеет в этой точке второй производной Гато. Литература: [29], [34], [39], [100], [191]. 7. Потенциальные операторы. Дифференцируемые функционалы являются частным случаем дифференцируемых операторов. Если Ф(х)—дифференцируемый по Фреше нелинейный функционал, определенный на банаховом пространстве £, то Ф(х + h) -Ф{х)=1 (h) + ω (χ; Λ), где /—линейный функционал, зависящий от χ, а ^,. Ι ω (л:; Λ) Ι λ nftii->o "ΛΙΙ Если функционал Φ (χ) дифференцируем в каждой точке х некоторого множества Τ с: £, то равенство Г(*) = / определяет оператор, действующий из Г с £ в сопряженное пространство Е*. Этот оператор называют градиентом Фреше функционала Ф(х): Φ(χ + /ι)-Φ(χ)=Γ(χ)(/ι) + ω{χ; h). Функционал Φ (χ) называется равномерно дифференцируе- гг | ω (χ; h) [ мым на множестве Г, если стремление к нулю отношения—щ—■ происходит равномерно относительно хеГ. Примером дифференцируемого функционала в гильбертовом пространстве Я является норма
-,316 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В этом случае при ||х|| Φ О Дифференцируемым функционалом является также норма в пространствах Lp(p > 1): если 1/Р j\x(s)\pds\ -то при ||х\\Ф О Градиент Гато функционала Ф(х) определяется равенством ±Ф(Х + Ш)\ =T(x)h. αϊ \ts=0 Операторы, которые являются градиентами некоторых функ- ционалов^ называются потенциальными. Примером потенциального оператора может служить ограниченный линейный самосопряженный оператор Л, действующий в гильбертовом пространстве Н. Он является градиентом функционала Ф(х) = ί/2(Αχ,χ). Другим примером потенциального оператора может служить оператор f: fx(t) = f[t, x(t)l действующий из Lv в LV' (l/p + l/p' = 1). Он является градиентом так называемого функционала Гаммерштейна — Го- ломба 1 г х (*> ф(х)= J J f(t, u)du \dt, о Lo J юпределенного на пространстве Lv. Пусть В — линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства Ε в банахово пространство Ει. Пусть Φ (у)—дифференцируемый функционал, определенный на Eit Тогда функционал F(x) = <D(Bx)9 определенный на £, также дифференцируем и gr ad Φ (χ) = Β* gr ad Φ {Bx)t где В* — сопряженный к В оператор. Литература: [6], [31], [39].
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ 317 § 2. Существование решений 1. Метод последовательных приближений. Пусть дано уравнение X — г\Х , где А — некоторый нелинейный оператор. Основным способом доказательства существования решений этого уравнения, т. е. доказательства существования неподвижной точки оператора Ау остается метод последовательных приближений. Он заключается в том, что по некоторому начальному элементу Хо конструируется последовательность хп = Ахп—\ (/2=1, 2, . л.), доказывается, что эта последовательность сходится к некоторому элементу х*, а затем устанавливается равенство лг* = Ах*. Пример (существование решения у уравнения Вольтерра). Пусть в нелинейном уравнении Вольтерра x(t)= $ K[t, s, x(s)]ds о функции K(ti 5, χ) и Kx{t, 5, х) непрерывны по совокупности переменных /, s ^г 0, —оо < χ <οο, и пусть \K(t, 5, χ)|<φ(4 где φ (χ)—неубывающая функция на [0, оо). Если дифференциальное уравнение имеет на отрезке [0, ω] решение, удовлетворяющее условию и(0) = 0, то и уравнение Вольтерра имеет решение x*(t), определенное на [0, ω]. Если положить x0(t) =0, то последовательные приближения t *п (')=/# [t> s^ xn-{ (s)] ds (n = 1, 2, ...) о будут равномерно на [0, ω] сходиться к некоторой функции x*(t), являющейся решением уравнения Вольтерра. Это вытекает из того, что все xn(t) не выходят из области —u(t) ^ x(t)^ u(t) и удовлетворяют соотношению |χ»(ί)-^.(<)ΐ<τ^ (Λ=1· 2· ••·)· где Μ и L — такие постоянные, что \K{t, s, 0)|<M (0<ί, s<co)
318 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И \K(t, 5, xx) — K{t, 5, х2) К L\xi— х21 (0<ί, 5^ω, — u(s)^xu χ2^Ξ"(5))· Литература: [29], [35]. 2. Принцип сжатых отображений. В большинстве случаев применимость метода последовательных приближений сводится к проверке ^условий следующего общего принципа. Принцип сжатых отображений. Пусть Τ — замкнутое множество банахова пространства Е. Пусть оператор А преобразует Τ в себя и является оператором сжатия, т. ё. удовлетворяет условию Липшица ||Ахх —- Л*21^<7||*ι — ^21 (*ι> Х2^Т) с постоянной q <' \. Тогда уравнение χ = Ах имеет на Τ единственное решение х*, которое является пределом последовательных приближений хп = Αχη-ι при любом начальном приближении х0 е Т. В условиях этого принципа роль Τ обычно играет либо все пространство £, либо некоторый шар S(6, r). В некоторых случаях множество Τ приходится конструировать специальным образом. Пример. Пусть в интегральном уравнении ι x(t)=JK[t, s, x(s)]ds + f(t) о функции KityS.x) и f(t) непрерывны и K(t, s, χ) удовлетворяет по переменной χ условию Липшица с константой q < 1. Это интегральное уравнение можно рассматривать как операторное уравнение в пространстве С непрерывных на [0, 1] функций. Оператор, определенный правой частью уравнения, удовлетворяет условию Липшица с константой q < 1. Поэтому в силу принципа сжатых отображений интегральное уравнение имеет непрерывное решение, которое является пределом последовательных приближений *я(0= J *[*. 5, xa-ds)\ds + f(t) (я = 1, 2, ...). о Иногда удобно пользоваться следствием из принципа сжатых отображений: пусть оператор 'β также преобразует замкнутое множество Τ пространства Ε в себя и коммутирует с оператором А, удовлетворяющим условиям принципа сжатых отображений, т. е. В Ах = АВх {χ εξ Г).
§ 2. СУЩЕСТВОВАЙИЕ РЕШЕНИЯ 319 Тогда неподвижная точка оператора А является неподвижной точкой {возможно, неединственной) оператора В. В частности, если некоторая итерация Вп оператора В удовлетворяет на множестве Τ условиям принципа сжатых отображений, то неподвижная точка л^ оператора Вп является неподвижной точкой и оператора 5. В этом случае х* является единственной неподвижкой точкой оператора В, Принципом сжатых отображений не исчерпываются все случаи, когда решение нелинейного уравнения может быть получено как предел последовательных приближений. Пусть оператор А действует в метрическом^ пространстве R с метрикой p(xt у). Оператор А называется обобщенным сжатием, если ρ (Αχ, Ay) < q (α, β) ρ (χ, у) при α < ρ (χ, у) < β, причем q(a, β)< 1 (0<α<β<οο). Оператор А будет обобщенным сжатием, если, например, ρ (Ах, Ay) < ρ (χ, у) — γ [ρ (x, y)l где у[и] — непрерывная положительная при и > 0 функция. Принцип обобщенного сжатия. Пусть оператор А .преобразует β себя полное метрическое пространство R и является обобщенным сжатием. Тогда уравнение χ — Ах имеет в R единственное решение х*, которое является пределом последовательных приближений хп = Αχη-ι при любом начальном приближении х0 е R. Общность принципа обобщенного сжатия характеризуется тем, что он допускает естественное обращение в случае, когда пространство R имеет конечный диаметр: пусть непрерывный оператор А преобразует в себя полное метрическое пространство R и пусть уравнение χ = Ах имеет в R единственное решение, к которому сходятся последовательные приближения хп = Ахп равномерно относительно начальных приближений х0 е R, тогда в R можно ввести такую эквивалентную метрику, при переходе к которой оператор А становится обобщенным сжатием. Обобщением принципа сжатых изображений является также следующее утверждение: если в равномерно выпуклом банаховом пространстве Ε оператор А оставляет инвариантным выпуклое ограниченное замкнутое множество Τ и А = Ло + D, где \\AqX — Аоу\\ ^ ||х — у\\ и D — усиленно непрерывный оператор, то уравнение χ = Ах имеет в Τ по крайней мере одно решение. Литература: [29], [31], [35], [39], [58], [198]. 3. Единственность решения. В условиях принципа сжатых отображений решение уравнения χ = Ах в Τ единственно. Однако из единственности решения в Г не следует единственности
320 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ решения вообще. Например, уравнение x{t)= $ x*(t)dt о в шаре |U|| ^ *Д пространства С удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений и имеет в нем единственное решение x0(t) =0; однако, это уравнение имеет второе непрерывное решение Xi(t) ΞΞΞ 1. Следует еще иметь в виду, что из единственности решения некоторого операторного уравнения в банаховом пространстве Ε не следует единственности решения этого уравнения, рассматриваемого в более широком пространстве. Существуют примеры линейных интегральных уравнений Вольтерра, которые, кроме единственных непрерывных решений, имеют и несуммируемые решения. Литература: [29], [31], [35], [39]. 4. Уравнения с вполне непрерывными операторами. Принцип Шаудера. Принцип сжатых отображений налагает на непрерывный оператор жесткое ограничение строгого сжатия. Если рассматривать вполне непрерывные операторы, то это условие можно значительно ослабить. Принцип Шаудера. Пусть оператор А вполне непрерывен и преобразует в себя ограниченное замкнутое выпуклое множество Т. Тогда уравнение χ = Ах имеет в Τ по крайней мере одна решение (единственность решения не гарантируется). Если множество Τ компактно, то достаточно, чтобы оператор А был непрерывным. При применении принципа Шаудера к изучению конкретных уравнений в первую очередь приходится строить пространство £, в котором оператор А вполне непрерывен. За выпуклое множество Τ обычно принимают некоторый шар пространства Е. При этом радиус и центр этого шара нужно подобрать так, чтобы оператор А отображав этот шар в себя. Пусть, например, вполне непрерывный оператор А обладает свойством \\Αχ\\*ζα + ϋ\\χ\\α (хе=Е, α, a, b > 0). Если существует число г > 0, удовлетворяющее условию а + bra < г, то к оператору А в шаре S(9, r) применим принцип Шаудера. Такое число г всегда существует при α < 1 и при α = 1 и b < 1. Если α > 1, то г существует при условии, что min (6sa — sX — a. 0<5<oo
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ 321 Принцип Шаудера утверждает лишь существование решения и не дает метода для его нахождения. В случае, когда оператор А— линейный, можно указать способ нахождения решений.^Начиная с некоторого Хо е Г, строят последовательные приближения хп = Axn-i (η = 1, 2, ...). В условиях принципа Шаудера последовательность элементов ЛГ-1 %N == ~~fj j£j Xn компактна и все ее предельные точки являются решениями уравнения χ = Ах. Можно сформулировать утверждение, частными случаями которого являются как принцип Шаудера, так и принцип сжатых отображений. Комбинированный принцип. Пусть определенный на ограниченном замкнутом выпуклом множестве Τ оператор допускает представление А = Αι -f Л2, где Αι вполне непрерывен, а Л2 удовлетворяет условию Липшица с постоянной q < 1. Если оператор А преобразует Τ в себя, то уравнение χ = Ах имеет на Τ по крайней мере одно решение. Принцип Шаудера доказывается топологическими методами. Эти же методы (см. п. 5) позволяют его усилить. Усиленный принцип Шаудера. Если вполне непрерывный оператор А на границе Г ограниченного замкнутого выпуклого множества Г, содержащего θ в качестве внутренней точки, не имеет собственных векторов с собственным числом, большим 1, то в Τ существует решение уравнения χ = Ах. Таким образом, можно не требовать, чтобы граница области Г преобразовывалась оператором А снова в Т. Достаточно, чтобы на ней только не было векторов, которые оператор А «растягивает» {Ах = ря, ρ > 1). Последнее условие часто проверяется значительно легче. Если, например, для каждой точки х0 границы Г существует такой линейный функционал /о(*), что Ы*о) >0 и fo(Axo) ^ Ы*о), то условие усиленного принципа Шаудера выполнено. В частности, если вполне непрерывный оператор А определен на шаре S(0, r) гильбертова пространства Я и обладает тем свойством, что (Ах, *)<(*, х) (\\х\\ =г), то для него справедлив усиленный принцип Шаудера. Пусть Μ — ограниченное множество в метрическом пространстве R с метрикой p(xt у). Мерой некомпактности χ(Μ) этого множества называется infimum тех ε, при которых в Μ есть конечная ε-сеть. Действующий в R . оператор А называется уплотняющим, если для каждого некомпактного ограниченного
322 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ множества Μ ^ R выполнено неравенство χ(ΑΜ)<χ(Μ). Основным примером уплотняющих операторов в банаховых пространствах являются операторы, которые можно представить как сумму вполне непрерывного оператора и обобщенного сжатия. Принцип неподвижной точки для уплотняющих операторов. Пусть уплотняющий оператор А преобразует в себя выпуклое замкнутое ограниченное множество Τ банахова пространства. Тогда уравнение х = Ах имеет на Τ по крайней мере одно решение. В условиях принципа Шаудера и его различных обобщений решение может быть неединственным. В общем случае трудно дать описание структуры множества всех решений уравнения х = Ах. Однако можно указать важный класс уравнений, множество решений которых связно, и поэтому у таких уравнений либо решение единственно, либо множество решений континуально. Оператор Л, действующий в банаховом пространстве Е, называется сглаживаемым на множестве Г, если по каждому ε > О может быть построен такой оператор ле, что \\Ах — Агх\\ < ε при хеГи уравнение х = Аех -f h при \\h\\ ^Се имеет на Τ не более одного решения. Оператор Аг называется при этом сглаживанием оператора А. Принцип связности. Пусть Τ — выпуклое ограниченное и замкнутое множество, А — уплотняющий оператор, который преобразует Τ в себя. Пусть А имеет на Τ сглаживание, которое также является уплотняющим оператором. Тогда множество решений уравнения х = Ах, лежащих в Г, связно. Принцип связности позволяет доказывать утверждения типа известной теоремы Кнезера о структуре интегральной воронки решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Литература: [23], [29J, [31], [33], [34], [35], [39], [197]. 5. Использование теории вполне непрерывных векторных полей. Пусть на границе Г шара S банахова пространства Ε задан вполне непрерывный оператор А. Совокупность элементов вида х — Ах (χεΓ) называется вполне непрерывным векторным полем на Г. Решение уравнения х = Ах (х е Г) называется нулем поля. Каждому вполне непрерывному векторному полю х — Ах без нулей на Г ставится в соответствие некоторое целое число γ (Г), называемое вращением векторного поля. Вращение может быть положительным, отрицательным или нулевым. Принцип ненулевого вращения. Если А — вполне непрерывный оператор на шаре S и вращение векторного поля
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ 323 χ — Ах на границе Г шара S отлично от нуля, то в S существует решение уравнения χ = Ах. Принцип Шаудера и усиленный принцип Шаудера являются частными случаями принципа ненулевого вращения, так как в условиях этих принципов вращение равно 1. Два векторных поля χ — А0х и χ — А{х называются гомотопными на Г, если существует такой вполне непрерывный по совокупности переменных оператор А (х; а) (хеГ,0<а<1), что А{х\ 0) = А0х, А{х; l) = A{x (xgT) и Α (χ; α) φ χ (χ €= Γ, 0 < а < 1). Непрерывный по обеим переменным оператор А [х\ а) (х е Г, Ο^α^Ι) будет, в частности, вполне непрерывным, если он вполне непрерывен при каждом фиксированном α и непрерывен по а равномерно относительно xgT. Вращения гомотопных вполне непрерывных векторных полей одинаковы. Этот факт позволяет применить следующий метод доказательства существования решения уравнения χ = Ах с вполне непрерывным оператором А. Вводится параметр α(0 5ζ α ^ 1) таким образом, что оператор А(х, а) вполне непрерывен и А(х, 1) = Ах (например, А(х9 а)= аАх). Для всех решений уравнения А (и, а) = и (О ^ а ^ 1) получают априорную оценку \\и\\ ζζ. /?о. Тогда на границе Г шара S радиуса /? > /?о выполняется условие А (л:, α) φ х, и если вращение векторного поля χ — А(х, 0) на Г отлично от нуля (например А(х, 0) удовлетворяет условиям принципа Шаудера или еще в более частном случае А{ху 0) == 0), то и вращение векторного поля χ — А (х, 1) = χ — Ах на Г отлично от нуля. Из принципа ненулевого вращения вытекает существование в шаре S хотя бы одного решения уравнения χ = Ах. Этот метод доказательства, центральной частью которого является получение априорной оценки решений, называется методом Лере — Шаудера. Вычисление или оценки вращения векторных полей проводятся методами топологии. Важными являются различные частные признаки отличия вращения от нуля. Вращение линейного поля. Пусть В— линейный вполне непрерывный оператор и β0 — сумма алгебраических кратностей всех положительных собственных чисел оператора 5, больших чем 1. Пусть 1 не является собственным числом оператора В. Тогда вращение поля /— В на границе Г любого шара, содержащего точку-θ, равно (-— 1)β°. Вращение полей, близких к нечетным. Пусть вполне непрерывный оператор А удовлетворяет условию .у — Ах _^_ — л; — А(— х) п. „ ч •Ιχ-Αχΐ ** \\х + а(-х)\\ И!*" — П
324 ГЛ. VI НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ (в симметричных точках сферы векторы поля не направлены одинаково). Тогда вращение поля / — Л на сфере ||*|| =г нечетно, и поэтому уравнение χ = Ах имеет в шаре \\х\\ ^ г по крайней мере одно решение. Пусть Ахо = х0 и в некоторой окрестности точки х0 уравнение х = Ах не имеет отличных от Хо решений. Тогда векторное поле χ — Ах на всех сферах \\х — аг0Ц = г достаточно малого радиуса г имеет одинаковое вращение. Это общее вращение γ(*ο) называют индексом неподвижной точки Хо оператора А. Если в точке х0 оператор А дифференцируем, причем линейный оператор А/ (хо) не имеет единицу собственным значением, то где β — сумма алгебраических кратностей собственных значений оператора А'(х0), больших чем 1. Если 1 является собственным значением оператора Л'(х0), то вычисление индекса γ(#ο) существенно усложняется. Разработан алгоритм, позволяющий (в случае достаточно гладких операторов) свести вычисление индекса γ(#ο) неподвижной точки Хо вполне непрерывного векторного поля Φ = / — А к вычислению вращения некоторого в явном виде выписываемого поля на единичной сфере конечномерного подпространства £Ό собственных векторов линейного оператора А (х0), отвечающих собственному значению 1. Если размерность Е0 равна 1 или 2, то вычисление индекса всегда может быть выполнено фактически. Если размерность Е0 больше чем 2, то вычисление индекса остается трудной задачей. Ниже приводится один из наиболее простых результатов. Пусть вполне непрерывный оператор А допускает в окрестности неподвижной точки х0 представление A(xQ + h) — Ax0 = B{h + B2h + ... +Bkh + Ch, где Βι=Α'(χ0) —линейный вполне непрерывный оператор, Bi — однородные операторы порядка i: BiXh = XiBh, а С содержит члены высшего чем k порядка малости: Пусть 1 — собственное, значение оператора Ви которому соответствует корневое подпространство Е0, состоящее только из собственных векторов, и Ρ — оператор проектирования на £0, коммутирующий с В^ Предполагается, что РВ2 = РВ3= ... = ΡβΛ_1 = 0, а РВкхфО при хе£0и хфО. Тогда Xq является изолированной
§ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ 325 неподвижной точкой оператора Л и ее индекс γ(#ο) определяется формулой Y(*o) = (-DNo. где βο — сумма алгебраических кратностей положительных собственных значений оператора Ви больших чем 1, а γ0 — вращение на единичной сфере в пространстве Е0 поля PBhP. Теорема об алгебраическом числе неподвижных точек. Пусть β шаре S уравнение χ = Ах имеет конечное число решений хи ..., xh. Тогда вращение γ (Г) поля χ — Ах на Г связано с индексами точек хи .. ·, Хн равенством γ(Γ) = γ(*,)+ ... +γ(4 Это свойство вращения может быть применено для доказательства георем единственности. Если вращение γ (Г) векторного поля χ — Лх на Г по модулю равно 1 и если индекс каждого возможного решения имеет один и тот же знак, то решение в силу предыдущего единственно. Наоборот, если известно вращение γ (Г) и индекс γ(#ο) известного решения Хо оказывается отличным от γ (Г), то уравнение χ — Ах имеет на S кроме хо по крайней мере еще одно решение. Пример (существование второго решения у уравнения Урысона). Пусть оператор Л, определенный правой частью уравнения Урысона 1 x(t)=JK[t, s, x(s)]ds, о вполне непрерывен в ίρ и дифференцируем в нуле этого пространства, причем ι A'(Q)h(t)=j K'x(t, s, 0)h(s)ds. о Если оператор А удовлетворяет на шаре S(9, r) условиям принципа Шаудера, то вращение γ(Γ) поля л: — Ах на сфере 11*11 = г равно 1. Пусть K(t, s, 0) з= 0. Тогда уравнение имеет нулевое решение. Если единица не является собственным значением линейного вполне непрерывного оператора Α'(θ) и сумма кратностей его собственных значений, больших чем 1, нечетна, то γ(θ)=—1. Таким образом, γ(Γ)=5^γ(θ) и уравнение Урысона имеет по крайней мере одно ненулевое решение в S(0, r). Решение х0 уравнения χ = Ах, имеющее ненулевой индекс, может быть приближенно найдено проекционными методами. Пусть Рп — последовательность операторов проектирования на конечномерные подпространства Еп такая, что \\Рпх — *||-+0
326 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ при п -> оо для всех χ е Е. Тогда при достаточно больших η уравнения χ — РпАх в некоторой окрестности точки х0 разрешимы и при η —► оо соответствующие решения хп сходятся к х0. Если при этом 1 не является собственным значением оператора А'(х0), то ||хп — *oll ^ k\\PnXo — αγοΙΙ; в общем случае оценки сходимости грубее. Литература: [29], [31], [33], [34], [35], [39]. 6. Уравнение с монотонными операторами. Действующий из банахова пространства Ε в сопряженйое пространство Е* оператор Φ называется монотонным, если (Фх-Фг/, χ —#)>0 (χ, //<=£), и строго монотонным, если (Фх-Фу, х-у)>0 (х, у €= Ε, χ φ у) ((ζ, х) здесь означает значение функционала геР на элементе χ <= Е). Принцип Браудера. Пусть Ε — рефлексивное пространство, α Φ — ослабленно непрерывный монотонный (строго монотонный) оператор, удовлетворяющий условию (Фх, х)>0 (||х|| =/?). Тогда уравнение Фх = 0 имеет в шаре \\х\\ ^ R по крайней мере одно (соответственно,1 единственное) решение. Непосредственным следствием сформулированного принципа является следующее более удобное утверждение: если действующий из рефлексивного пространства Ε в сопряженное пространство Е* ослабленно непрерывный и монотонный (строго монотонный) оператор φ удовлетворяет условию то уравнение Фх = h имеет по крайней мере одно (соответственно, единственное) решение при любом h e E*. Если Φ монотонен в следующем усиленном смысле: (Фх-Φ/Λ x-y)>L(\\x-y\l)\\x-y\\, где L(u)—монотонная непрерывная функция такая, что из L(u) = О следует и = 0, то оператор, обратный Ф, непрерывен. Принцип Браудера переносится на операторы Φ вида Φ = = Фо + D, где Фо — монотонный оператор, a D — усиленно непрерывный. Исследование уравнений с монотонными операторами стимулировалось следующей задачей из теории квазилинейных эллип-
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ 327 тических уравнений. В ограниченной области G n-мерного пространства задано уравнение Lu= Σ hlfuXis, Dyu) = h(s)t \ a|<m где a = (ai, ..., an) — целочисленный мультииндекс дифференцирования, (01 = 0,+ ... + оя, Da = D«> ...£>>, Я, = -^-; то же самое относится κ γ и далее к ω. Функции Aa(s, ξγ), вообще говоря, нелинейны и зависят от переменных ξγ со всевозможными мультииндексами γ с |γ| ^ т. Требуется найти решение уравнения, удовлетворяющее на границе Г области G условиям . £>ω"ΙΓ = /ωΟΟ> *'€=Γ, |ω|</η-1. Вводится понятие обобщенного решения задачи, как функции и е W™ (G), удовлетворяющей интегральному тождеству Σ (Аа(х, D4\ Dav) = (h, υ) (a|<m о о при любой функции υ из W™ (G) и условию и — f<=W™(G)> где / — некоторая функция из W™(G)f причем такая, что βω/|Γ== = ϊω(χ/) (относительно пространств W см. гл. И, § 1, п. 5). На коэффициенты уравнения налагаются условия следующего типа: I. Функции Аа(х, ξγ) определены для x^G и любых ξγ, непрерывны по а: и ξγ и удовлетворяют неравенству Ύ \|Y|<m Ύ / где ρ > 1 и с- постоянные. II. Для любых функций и> v&W™(G) таких, что и —- υ е о •е W™(G), справедливо неравенство Σ {А* (х, D4) - Аа (vt D'v\ Da(u-v))>a\\u-v \fm (fl>0). Условие I обеспечивает то, что оператор L действует из пространства W™(G) в пространство W^m{G) (ср. § 1, п. 4). Условие II называется условием сильной эллиптичности] оно обеспечивает монотонность оператора L. Для его проверки имеются достаточные алгебраические критерии.
328 ГЛ VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Из теории уравнений с монотонными операторами вытекает существование единственного обобщенного решения краевой задачи при любых hy f^W'p{G). Литература: [35], [192], [194]. 7. Вариационный метод. Вариационный метод доказательства теорем существования решений заключается в том, что решение операторного уравнения конструируется, как эстремальная точка некоторого функционала. Функционал F(x)f определенный на банаховом пространстве Z7, называется слабо непрерывным, если он непрерывен в ослабленной топологии σ(£, Ε') в пространстве Ε (см. гл. I, § 4, п. 3). Если пространство Ε рефлексивно, то в силу компактности любой сферы Ε в ослабленной топологии слабо непрерывный функционал принимает на каждой сфере наименьшее и наибольшее значения. Градиент гладкого слабо непрерывного функционала в гильбертовом пространстве является вполне непрерывным оператором. Пусть А — потенциальный оператор в гильбертовом пространстве Я. Вариационный принцип. Если оператор А является градиентом слабо непрерывного функционала F(x) и 2F(x)^(xtx) (||х|| = /г), то в шаре \\x\\^R существует точка лг0, в которой функционал ik{x, х) —F(x) принимает свое наименьшее значение и которая является решением уравнения χ = Ах. Литература: [6], [311, [39], [125]. 8. Преобразование уравнений. При изучении операторных уравнений часто приходится преобразовывать уравнения к виду, удобному для применения того или иного принципа, из которого следует существование решения, или для применения некоторого приближенного метода нахождения решения. Основные виды преобразований операторных уравнений такие же, как и для обычных уравнений: а) добавление к обеим частям уравнения одного и того же элемента; б) применение к обеим частям уравнения одного и того же оператора («умножение на оператор»); в) замена переменного. При первом преобразовании уравнение переходит в эквивалентное. Если к обеим частям уравнения применяется линейный ограниченный оператор S, то всякое решение исходного уравнения будет решением и нового уравнения. Обратное будет верно, если существует обратный оператор В"1. Таким образом, переход к новому уравнению при преобразовании б) может добав-
§ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ 329 лять лишние решения, если нуль является собственным значением линейного оператора В (см. гл. III, § 1, п. 9). Если в уравнении производится замена переменного вида χ = Су, где С — некоторый оператор, и находятся решения г/* нового уравнения, то для получения решения х* исходного уравнения нужно проверить, что у* находится в области определения оператора С и тогда х* = Су*. Кроме того, при преобразовании в) часть решений может теряться. Это имеет место, если имеются решения г*, не представимые в виде Су. Преобразование в) бывает полезным тем, что оператор С может действовать в пространство £, в котором ищется решение х*, из другого пространства Ει. Поэтому новое уравнение (относительно у) естественно рассматривать в пространстве Ε ι. Иногда оказывается, что в Ει уравнение получается более простым. Как уже отмечалось в § 1, гл. III, при преобразовании уравнений в бесконечномерных пространствах приходится сталкиваться с такой специфической ситуацией: преобразованное уравнение содержит операторы, которые не замкнуты, но допускают замыкание. Естественно при этом изучать уравнения с замкнутыми операторами. При этом могут появляться новые решения, которые обычно называют обобщенными решениями. Основной трудностью часто является доказательство того, что обобщенное решение принадлежит области определения операторов, входящих в уравнение, до их замыкания и, следовательно, является истинным решением. Литература: [31], [35]. 9. Примеры. 1. Подготовка уравнения к применению метода последовательных приближений. Пусть в уравнении Bx = f оператор В линеен, ограничен и имеет спектр, лежащий внутри правой полуплоскости ReA>0 комплексной плоскости λ. После умножения обеих частей уравнения на число k и прибавления к обеим частям элемента χ оно приводится к виду x = (I — kB)x + kf. При достаточно малом k оператор / — kB будет иметь спектр, лежащий внутри единичного круга, и следовательно, для отыскания решения нового уравнения (эквивалентного старому) применим метод последовательных приближений. Аналогичное преобразование уравнения иногда удобно применять, заменяя умножение на число k умножением на подходящим образом подобранный оператор /С.
330 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2. Уравнения, близкие к линейным. Уравнение χ = Ах с вполне непрерывным оператором А преобразуется к виду χ—Вх = Ах — Вху где В — линейный вполне непрерывный оператор. Если число 1 не является собственным числом оператора S, то это уравнение эквивалентно уравнению х = (1-ВГ1(А-В)х. Если на сфере \\х\\ = г оператор (/ — β)"1 {А — В) не имеет собственных векторов, соответствующих собственным числам,, большим единицы, то 7в силу усиленного принципа Шаудера полученное уравнение имеет хотя бы одно решение в шаре IMI^r. Таких собственных векторов заведомо не будет, если оператор А близок к оператору В в том смысле, что \\Ах — Вх\\^\\х — Вх\\. Это же обстоятельство будет иметь место, если нелинейный вполне непрерывный оператор А асимптотически линеен и 1 не является собственным числом его производной Л'(оо). 3. Расщепление операторов. Пусть в уравнении х = ВСх оператор В является линейным и допускает «расщепление» на два множителя: В = ΒίΒ2, где 5ι и В2 — линейные операторы. Всякое решение уравнения представимо в виде χ = Biy. Эта замена сводит уравнение к эквивалентному у = В2СВ{у. Часто удобным является специальный вид расщепления оператора: В = ВаВ1~а, где Ва и В1~~а — дробные степени оператора В. (О дробных степенях линейных операторов см. гл. ΙΙΙ„ § 3, п. 3.) Простейшим примером уравнения рассматриваемого типа является уравнение Гаммерштейна ι x{t)= \ K(t, s)f[s9 x{s)]ds. о Пусть ядро K{t, s) симметрично, ограничено и положительна определено. Оно порождает в гильбертовом пространстве L2[0, 1] вполне непрерывный положительно определенный оператор В. Если {ei(t)} — полная ортонормированная система собственных функций оператора В, a ii— соответствующие собственные числа, то оператор Вх1> определяется формулой оо Βν2χ(ή--Σ /W,(0. й=1
§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ 331 где d — коэффициенты Фурье функции x(t): ct= J ei(s)x(s)ds. о Заменой χ = В1/*у уравнение Гаммерштейна сводится к виду y = Bll2fBil2y. Можно показать, что оператор ВХЬ действует из пространства L2[0, 1] в пространство Λί[0, 1]. Поэтому если функция f(t,x) непрерывна, то оператор \Вх^у будет непрерывным оператором, действующим из L^O, 1] в Λί[0, 1]. Оператор ВЦВХ1* в этом случае вполне непрерывен в L2[0, 1]. Для оператора ΒχΐήΒχΙ* в L2 удобно проверять условия усиленного принципа Шаудера в форме, указанной в конце п. 5. Действительно, (BV2y,y) = W% В*у). Если функция f (t, x) не слишком быстро растет по х, то (fBil2y,Bil2y)<(y,y) на сфере достаточно большого радиуса г: \\у\\ = г. Поэтому уравнение у = ВЦВх^у в силу указанного принципа имеет хотя бы одно решение у* внутри шара \\у\\ sg: г. Тогда #* = Вх^у* будет решением уравнения Гаммерштейна. При этом у* е L2[0, 1] и, следовательно, х* е Л1[0, 1]. Приведенное доказательство существования ограниченного решения у уравнения Гаммерштейна удается, например, провести, если функция f(t, x) удовлетворяет неравенству xf (tt χ) *ζαχ2 + ϋ {t) I χ |2~γ + с (t)t где 0<γ<2, M0ei2/Y[0, 1], c(i)e=L,[0, 1] и а < 1/λ1β В рассмотренном примере оператор 51/з действовал из L2 в М. В более общих случаях он действует из L2 в Lv (ρ > 2) и вполне непрерывен. Кроме того, он может быть* естественно расширен до оператора (51/з)*, который действует из L'P' в L2(l//? + + 1//?' = 1). Если нелинейный оператор f действует из Lv в LP', то уравнение y = {BuyfBmy будет уравнением в L2 с вполне непрерывным оператором, и к нему применимы приведенные выше рассуждения. Если y*^L2 будет решением этого уравнения, то х* = ВхЬу* б!ри является решением уравнения χ = β1ί2(β,/2)>.
332 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оператор βΙ/2(β1/2)* является расширением оператора В, рассматриваемого первоначально на пространстве L2. Поэтому решения последнего уравнения можно рассматривать как обобщенные решения исходного уравнения. В случае уравнения Гам- мерштейна они оказываются истинными решениями. Литература: [31], [33], [125], [195], [196]. § 3. Качественные методы в теории ветвления решений В этом параграфе рассматривается уравнение χ = Α {χ, μ), где μ вещественно. Всюду предполагается, что оператор А непрерывен по μ равномерно относительно элементов χ из любого ограниченного множества. Если на основании одного из принципов, изложенных в предыдущем параграфе, удается установить существование решения уравнения при μ = μο, то в большинстве случаев удается доказать существование решения и при близких значениях параметра μ, так как условия применимости соответствующего принципа не нарушаются при малых изменениях оператора А(х, μο). Для определения величины отрезка [μο — α, μο + b]y на котором сохраняются эти условия, нужно оценивать \\А{х, μ) —A(xt μ0) ||, для чего часто требуются априорные оценки решений соответствующих уравнений. 1. Продолжение решений, теорема о неявной функции. Если #о — решение уравнения х = А(ху μ0), то естественно ожидать, что при значениях параметра μ, близких к μ0, уравнение χ = = Α (χ, μ) будет иметь решение #(μ), близкое к х0. В установлении этого факта важную роль играет общая теорема о неявной функции. Пусть в уравнении F (x, u) = Q х — элемент банахова пространства Еи и— элемент банахова пространства Е2, a F(x, и) —оператор со значениями в банаховом пространстве Е3. Под решением этого уравнения понимается оператор Х{и)у определенный на некотором множестве элементов и g £2 со значениями в £Ί и такой, что F(X(u), и) гз Θ. Имеет место аналог обычной теоремы существования неявной функции: если F(x0, и0) = Θ, оператор F(x, и) непрерывен и непрерывно дифференцируем по Фреше по переменному χ при II* — *о11 ^ а, \Ы — "оII ^ b и линейный оператор F'x(x0, tf0) имеет ограниченный обратный, то в некоторой окрестности точки
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 333 щ определено решение Х(и) уравнения F(x, и) = Θ. Это решение единственно. Оператор Х(и) непрерывен. Если оператор F(x,u) имеет производные Фреше по и определенного порядка, то оператор Х(и) имеет производные Фреше того же порядка. При применении теоремы о неявной функции к уравнению х = А(х, μ) требование обратимости оператора F'x(xQ, и0), естественно, заменяется требованием, чтобы единица не принадлежала спектру оператора Ах(х0, μ0). При выполнении этого условия и непрерывности по {χ, μ) оператора А'х(х, μ) в окрестности точки (хо, μο) существует единственное непрерывное решение *(μ) уравнения χ = Α (χ, μ) такое, что χ{μο) = Xq. Литература: [7], [29], [31], [35], [39], [198]. 2. Точки ветвления. Если в уравнении χ = Α(χ, μ) оператор Α (χ, μ) при каждом μ вполне непрерывен, то к исследованию поведения решений при изменении μ можно применить топологические методы. Пусть Хо—изолированное решение уравнения χ = А(х, μο), имеющее ненулевой индекс. На достаточно малой сфере S, окружающей точку х0у вращение поля χ — Α (χ, μ0) будет отличным от нуля. Следовательно, при μ, близких к μ0, и вращение поля χ — А(х, μ) будет отличным на S от нуля. Из принципа ненулевого вращения следует, что внутри S имеется по крайней мере одно решение χ(μ) уравнения х = А(х, μ), Уменьшая радиус сферы S, можно так выбирать решение χ (μ), что lim || χ (μ) — *oll = 0. μ->μ0 В этом смысле можно говорить о непрерывности решения χ(μ) в точке μ0. « Пара (λ'ο, μο) называется точкой ветвления для уравнения χ = Α(χ, μ), если для каждого ε>0 можно указать такое μ, что |μ — μ0| < ε и уравнение χ = Α {χ, μ) имеет по крайней мере два решения, лежащие в ε-окрестности точки х0. Из рассуждений предыдущего пункта вытекает, что пара (хо, μ0) не является точкой ветвления, если в окрестности точки (хо, μο) существует оператор Αχ (χ, μ), непрерывный по (χ, μ), и единица не является точкой спектра оператора Α'χ(χ0, μ0). Если же предполагать только существование оператора Α'χ(χ0, μ0), не имеющего единицу точкой спектра, и не предполагать существования оператора А'х(х, μ) в окрестности точки (хо, μο), то пара (*о> μο) может оказаться точкой ветвления. Пусть внутри сферы 5 при каждом μ, близком к μ0 и отличном от него, уравнение χ = Α(χ> μ) имеет только конечное число
334 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ решений, причем в точках-решениях существует оператор Αχ (χ, μ) и единица не является его собственным значением. Число таких решений тогда отличается от вращения поля χ — Α (χ, μ) на сфере на четное число (индекс каждого решения ±1, сумма индексов равна вращению поля). Поскольку вращение поля χ — Α (χ, μ) на S при изменении μ вблизи μ0 не изменяется, то число решений уравнения χ = А(х, μ) при переходе μ через μο может измениться лишь на четное число. Это утверждение называется принципом сохранения четности числа решении. Если индекс решения х0 равен нулю, то при μ, близких к μ0, решение χ (μ) уравнения χ = A(xt μ) в окрестности точки Xq может вообще не существовать. Решения могут «втекать» в лг0 при μ-^μο — 0 и не существовать при μ > μο; тогда пара (*о, μο) называется точкой прекращения решений. Решения могут не существовать при μ < μ0 и «вытекать» из точки Хо при μ—^μο + 0; тогда пара (хо, μο) называется точкой рождения решений. Литература: [6], [7], [29], [31], [33], 135], [198]. 3. Точки бифуркации, принцип линеаризации. Близким к точке ветвления является понятие точки бифуркации. Допустим, что Л(0, μ) = θ. Тогда уравнение χ = Α (χ, μ) имеет нулевое решение χ = θ при всех значениях параметра μ. Число μ0 называется точкой бифуркации для этого уравнения (или для операторов Α (χ, μ)), если любому ε > 0 соответствует такое значение параметра μ из промежутка |μ — μο|<ε, при котором уравнение имеет по крайней мере одно ненулевое решение χ(μ), удовлетворяющее условию ||*(μ)|| < ε. В отличие от определения точки ветвления в определении точки бифуркации предполагается априори известным одно семейство решений, определенное при всех значениях параметра — речь идет об «ответвлении» решений от заданного семейства. В определении точки бифуркации не говорится о том, при каких значениях параметра уравнение имеет малые ненулевые решения. Эти значения могут образовывать дискретное множество или даже совпадать с μο. Общность понятия точки бифуркации позволяет получить общие простые теоремы о методах отыскания этих точек. В то же время понятие точки бифуркации достаточно полно описывает появление ненулевых решений. Для линейного уравнения χ = μΒχ с линейным вполне непрерывным оператором В точки бифуркации совпадают с характеристическими значениями оператора В (значения, обратные собственным числам). Если оператор A(xt μ) непрерывно дифференцируем по Фре- ше, то в силу теоремы о неявной функции его точками бифурка-
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 335 ции могут быть лишь те значения μ, при которых единица является точкой спектра оператора AX(Q, μ). Пусть Αχ(θ, μ) = μβ> где В — вполне непрерывный линейный оператор, не зависящий от μ. Если единица является собственным значением оператора μβ, то μ является характеристическим числом оператора В. Итак, в этом случае точки бифуркации являются характеристическими значениями оператора В. Возникает вопрос о том, каждое ли характеристическое значение оператора В является точкой бифуркации? В общем случае, как показывают примеры, ответ отрицателен. Принципом линеаризации называют принцип, согласно которому отыскание точек бифуркации сводится к определению характеристических значений линейного оператора В. Обоснованием этого принципа служит следующее утверждение: если вполне непрерывный оператор A (xt μ) (Α (θ, μ) = θ) имеет в точке θ производную Фреше Αχ(θ, μ) = μβ, то каждое нечет- нократное (в частности, простое) характеристическое значение оператора В является точкой бифуркации оператора Α (*, μ). Если характеристическое значение оператора В имеет четную кратность, то требуется дополнительный анализ, использующий не только главную линейную часть μΒ оператора А(х, μ). Пусть вполне непрерывный оператор допускает представление А (Ху μ) = μΒχ + С (xf μ) + D (xf μ), где β, как и выше, — линейный вполне непрерывный оператор, оператор С(я, μ) состоит из членов k-το порядка малости, k > 1 — целое число, т. е. С (алг, μ) = (Λ?(*, μ) и ||C(xlf μ) — С(*2, μ) IK <7. (ρ) ΙΙ*ι— *2ΙΙ (ΙΙ*ι IK Ρ, 11*2 IK Ρ, q(9) = 0(p*-*)); оператор D(xf μ) состоит из членов более высокого порядка малости \\D{x, μ)|Κ^ΙΙ*ΙΙ*+Ι. Пусть μ0 является характеристическим значением оператора В четной кратности β, пусть элементы еи ..., е$ образуют базис в собственном подпространстве оператора 5, соответствующем собственному числу 1/μ0, а элементы gu ..., gp образуют базис в собственном подпространстве оператора В*, соответствующем этому же собственному числу (μ0 вещественно). Важную роль играет векторное поле F в β-мерном векторном пространстве, определенное равенством Р{Ъ\> ...» ξβ} = {ηι. ···> ηβΚ
336 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ где Щ = — (C(liex+ ... +l^^μ0)9gi) (i = l, ...,β). Пусть это поле не вырождено (т. е. обращается в нуль лишь в точке ξι = ξ2 = ·. · = ξβ = 0) и его вращение на единичной сфере равно ус- Имеет место следующее утверждение: Если ус Φ 1, то μο является тонкой бифуркации оператора Α(χ9μ). Для приложений этого утверждения нужно уметь конструировать поле Ft уметь доказывать, что это поле не вырождено, и уметь вычислять вращение ус. При вычислении вращения полезно знать, что вращение четного (F(x) =/7(— л:)) поля есть четное число. Пусть, например, k = 2 и μο является характеристическим значением оператора В второй кратности (β = 2). В этом случае поле F будет иметь две компоненты гц и η2, каждая из которых будет квадратичной формой относительно ξι и ξ2: \=bnl2l + 2bl2l{l2+b22H Если одна из этих форм положительно или отрицательно определена, то поле F не вырождено и его вращение равно нулю. Если ни одна из этих форм не знакопостоянна, то для невырожденности поля достаточно, чтобы прямые ξι = αξ2, на которых аннулируется одна из форм, состояли из точек, на которых вторая форма принимает ненулевые значения. Угловые коэффициенты αϊ и а2 прямых, на которых аннулируется первая квадратичная форма, определяются из квадратного уравнения ап + 2аХ2а + α22^2 = 0. Пример (точки бифуркации уравнения Гам- мерштейна). Пусть в уравнении ι *(*) = μ \K(U s)f[x(s)]ds о с ограниченным симметричным ядром K{t, s) функция f(x) достаточное число раз дифференцируема, f(0) =0 и f'(0) = 1. Линеаризация этого уравнения приводит к линейному интегральному уравнению с ядром K(t, s). Если характеристическое значение μο ядра K{t, s) имеет нечетную кратность, то оно будет точкой бифуркации для исходного уравнения.
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 337 Пусть μο имеет кратность 2 и e{(t), e2(t) —соответствующие ему собственные функции. Если f"(0) φ О, то оператор С будет иметь вид ι C(x(t), μ) =μ J/C(i, s)x2(s)ds. о Поэтому компоненты векторного поля F определятся равенствами ι ι ι 4ι = Я J" е\ W dt + 2U2 J e] (t) e2 (t) dt + Щ \ e{ (t) e\ (t) dt, 0 0 0 I I 1 η2 = ^ J e\ (0 e2 (t) dt + 2|,|2 J e, (f) ^ (t) dt + |* J е* (/) Λ. 0 0 0 Если, например, e{(t) = l, e2(t) = y2cos2jif, то η1=ξ2 + ξ22, η2 = 2^2 + ξ22. Первая из квадратичных форм положительно определена, вращение поля F равно нулю и, следовательно, μ0 является точкой бифуркации для уравнения Гаммерштейна. Интересным является вопрос о том, при каких значениях параметра μ, больших или меньших μ0, уравнение χ = Α(χ\μ) имеет малые ненулевые решения. Пусть μ0 — простое характеристическое значение линеаризованного уравнения χ = μΒχ, е — соответствующий собственный вектор, g— собственный вектор сопряженного оператора, причем (e,g) = 1. Векторное поле F в этом случае определяется числом κ = — (С(е, μο), g). Имеют место следующие утверждения: 1) Если порядок k малости оператора С — четное число, то уравнение χ = Α(χ, μ) имеет малые ненулевые решения при μ < μο и при μ > μο. Если оператор Α (χ, μ) — достаточно гладкий, то при каждом μ (вблизи μο) ненулевое решение единственно. 2) Если k нечетно, то при к < 0 малые ненулевые решения существуют при μ > μ0 и отсутствуют при μ < μ0, если κ > 0, то малые ненулевые решения существуют при μ < μ0 и отсутствуют при μ > μ0. При соответствующих значениях μ существует по два ненулевых решения. Литература: [31], [33], [35], [195], [196].
338 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4. Примеры из механики. а) Задача Эйлера об устойчивости при изгибе стержня. Прогиб у (ξ) стержня единичной длины с переменной жесткостью под действием продольной силы μ определяется решением дифференциального уравнения уГ (I) + μρ (ξ) у (I) Vl-t/(l) = О при нулевых граничных условиях У(0) = у(\) = 0 (см. рис. 1). Функция ί(1-η)ξ> есл^ ξ<η, *№> η)-\(1_ι)η> если ι>Άι является функцией Грина оператора у" при нулевых граничных условиях. Дифференциальное уравнение изгиба стержня сводится к интегральному уравнению заменой ίΤ(6) = -φ(ξ). -/* Тогда ι рис. ι. */(£)= j К(Ъ> η)φ(η)βίη о и уравнение для φ (ξ) принимает вид Φ(ξ) = μρ(ξ) J /C(g, η)φ(η)£ίηΐ/ 1- \ K\{h η) <Ρ (η) άΆ ο Lo Это уравнение имеет нулевое решение при всех значениях параметра μ. При' некоторых нагрузках μ уравнение может иметь ненулевые решения, которыми определяются формы потери устойчивости. Нагрузку μ0 называют критической нагрузкой Эйлера, если при некоторых близких к μο нагрузках уравнение имеет малые ненулевые решения. Иначе говоря, критическая нагрузка Эйлера — это точка бифуркации для уравнения изгиба стержня. Одной из важных задач теории упругости является отыскание критической нагрузки. Полученное интегральное уравнение можно рассматривать как операторное уравнение вида я = Л(л;, μ) с вполне непре-
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ 339 рывным оператором в пространстве С. Линеаризация приводит к уравнению φ(ξ) = μρ(ξ)/*(δ. η) φ (η) Αι. ο Если β(ξ)—ненулевое решение этого уравнения при μ = μ0, то функция ι y(l)=JK(l> Ц)еЫач\ о будет решением уравнения ίΤ(ξ) + μοΡ(δΜ6) = 0, удовлетворяющим нулевым граничным условиям. Отсюда вытекает, что каждое характеристическое значение линеаризованного уравнения является простым и, следовательно, является точкой бифуркации. Соответствующие значения μ дают критические нагрузки. Оператор С для рассматриваемого уравнения имеет вид С (х (ξ), μ) = - -^ψ- J К {ξ, Ц) Χ (η) Αϊ Μ Κ\ (ξ, η) Χ (η) dJ и, следовательно, имеет третий порядок малости (k = 3). Здесь и^-у/*8® f^(S. η)*(η)</η ^<°· поэтому ненулевые решения появляются при μ > μ0. Это вполне соответствует физическому смыслу задачи: потеря устойчивости происходит тогда, когда нагрузка превосходит критическое значение. Иногда в литературе встречается другое уравнение для изгиба стержня: y"(t) + w(t)tj{t)[i+y'2(t)]m=o при граничных условиях У(0) = У(1) = 0. Оно соответствует тому, что кривизна выражена не как функция длины дуги ξ, а как функция координаты t. При этом приближенно считается, что ρ(ξ) = ρ(/), и в граничных условиях не учитывается изменение координаты незакрепленного конца стержня, представляющее собою величину третьего порядка
340 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ малости по сравнению с прогибом стержня. Однако эта величина третьего порядка сказывается на знаке κ. В этом случае для κ получится выражение 1 Г 1 -12 κ = |]%2(0 I J" /Ci (/, s)e(5)d5 - dt>0f у соответствующего интегрального уравнения ненулевые решения появляются при μ < μο, что противоречит физическому смыслу задачи. Таким образом, пренебрежение в уравнениях величинами третьего порядка малости приводит к неправильному описанию задачи о формах потери устойчивости сжатого стержня. б) Волны на поверхности идеальной несжимаемой тяжелой жидкости. Разыскание таких волн сведено А. Н. Некрасовым к решению интегрального уравнения 2π К (t, s) sin x (s) *(0 = μ J ds, 1 + sin л; (и) du о где μ — числовой параметр, а оо sin nt sin ns *c *)=τΣ η Это уравнение можно рассматривать как операторное уравнение в пространстве С на отрезке [0, 2π]. При всех значениях μ оно имеет нулевое решение. Точки бифуркации этого уравнения соответствуют значениям параметров, при которых возникают волны. Линеаризованное уравнение имеет вид 2π χ(ί) = μ \ К (t, s) x (s) ds. 0 Его характеристическими значениями будут числа μη = Зп с соответствующими собственными функциями en(t) = sin nt. Все характеристические значения простые, поэтому они и только они будут точками бифуркации для уравнения Некрасова. Оператор С имеет вид 2π s C(x(t), μ) = -μ2 J/C(/, s)x(s)j x(x)dxds.
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 341 При малых χ он является величиной второго порядка малости (# = 2), поэтому уравнение Некрасова имеет малые ненулевые решения и при μ < μη, и при μ > μη, где μη— любая точка бифуркации. х Литература: [31], [195], [196], [198]. 5. Уравнения с потенциальными операторами. Для уравнения χ = μ Ах, где А — вполне непрерывный оператор, являющийся градиентом слабо непрерывного функционала в гильбертовом пространстве, принцип линеаризации для отыскания точек бифуркации значительно усиливается. Если Α (θ) = Θ, оператор А непрерывно дифференцируем и его производная Α'(θ) = В является вполне непрерывным самосопряженным оператором, то каждое характеристическое значение оператора В, независимо от его кратности, является точкой бифуркации нелинейного уравнения χ = μΑχ. В качестве примера можно снова рассмотреть уравнение Гаммерштейна с симметричным ограниченным положительно- определенным ядром: ι χ(ί) = μ\κ(ί, s)f[s, x(s)]ds, f(s, 0) —0, f'(s, 0)^1. 0 Так же, как и в § 2, п. 9, его можно преобразовать к виду Оператор Bl,2fBl/2 является градиентом функционала ι вШх φ (χ) = Г ds f f (s, u) du. о о Если оператор / дифференцируем, то производная Фреше оператора Bl/*fBx/* в точке θ является линейным интегральным оператором В с ядром K(t> s). Все характеристические значения этого оператора являются точками бифуркации для уравнения у = μΒχΐήΒχΙ^. Обратная замена Вх1*у = χ показывает, что точки бифуркации последнего уравнения совпадают с точками бифуркации исходного уравнения Гаммерштейна. Литератур а:*[6], [31]. 6. Рождение больших решений. В п. 2 была описана общая схема изменения решений при изменении значений параметра. ота схема относилась к тому случаю, когда рассматривались
342 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ решения в некотором шаре. В более общем случае при изменении значений параметра нормы решений могут неограниченно возрастать. Может встретиться такой случай, когда решения с •большими нормами возникают при значениях параметра, больших, чем некоторое критическое число. Здесь приводится одна теорема, описывающая появление решений с большими нормами. Пусть оператор Α (χ, μ) асимптотически линеен, причем Жо(оо, μ) = μβ. Пусть μ0 — нечетнократное характеристическое значение линейного вполне непрерывного оператора В. Тогда при любых ε, R > 0 может быть указано такое μ, которое удовлетворяет неравенству | μ — μο | < ε и при котором уравнение χ = Α (χ, μ) имеет по крайней мере одно решение, норма которого больше чем R. 7. Уравнение разветвления. Пусть единица является собственным значением производной А'х (х0, μ0) вполне непрерывного и непрерывно дифференцируемого оператора А(х, μ). Для простоты рассматривается случай, когда инвариантное подпространство Ε о, соответствующее этому собственному значению, состоит только из собственных векторов. Через Е° обозначается дополнительное к Е0 инвариантное подпространство оператора Αχ{χ0, μ0). Каждый элемент х^Е представляется в виде χ = и + ν (и <= Е0, ν ^ Е°). Пусть Ρ и Q — операторы проектирования на Е0 и Е°, определенные равенствами Рх = и, Qx = υ. Уравнение х = А(х, μ)' можно переписать в виде системы у = РА(х0 + у + г, μ) — Ρχ0, ζ = QA (x0 + у + ζ, μ) — QxQ, -где у = Р(х — х0), z = Q(x — Xo). Если у и μ — μ0 достаточно малы, то второе уравнение имеет единственное малое решение z = R(y, μ). Поэтому вопрос о разрешимости и о построении решения уравнения х = А(х, μ) эквивалентен вопросу о разрешимости уравнения y = PA{xQ + y + R(y, μ), μ) — Рх0- Последнее уравнение — это уравнение в конечномерном пространстве. Оно называется уравнением разветвления. Для его исследования могут быть применены как аналитические, так и топологические методы. Приведенный вывод уравнения разветвления восходит к А. М. Ляпунову. Переход к конечномерному уравнению можно провести и другими методами, например, методом Э. Шмидта.
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 343 В предыдущих условиях рассматривается вспомогательное уравнение χ=Α(χ, μ) + Ρ(χ — Χο) — 1> где ξ — неизвестный элемент из Е0у играющий роль параметра. Это уравнение при малых ξ и μ — μο имеет единственное решение χ = 5(μ, ξ), близкое к х0. Это решение будет решением первоначального уравнения в том и только том случае, когда ξ = Ρ5(μ, 1)-Рх0. Последнее уравнение и есть уравнение разветвления Шмидта. Уравнения разветвления Ляпунова и Шмидта естественно эквивалентны в том смысле, что по их решениям однозначна определяются решения исходного уравнения. Однако следует подчеркнуть, что правые части этих уравнений разветвления различны. Литература: [7], [35]. 8. Построение решений в виде рядов. Пусть Хо — решение уравнения х = А(х, μ0). Пусть оператор А(ху μ) в окрестности точки (хо, μο) аналитичен в том смысле, что его можно представить в виде ряда Тейлора А(х, μ) = Λ:0+ Σ (μ — μο)'^/(* — *ο)> где Cij(h) (i ^ 0, / ^ 0) —операторы, имеющие /-й порядок малости относительно Λ; в частности, do(h) = См — некоторые фиксированные элементы из Е. Как и выше, особую роль играет линейный оператор Ст = = А'х(х0, μ0). Пусть оператор Л (л:, μ) вполне непрерывен. Тогда вполне непрерывен и оператор С0{ = Α'χ(χ0, μ0). Если единица не является собственным значением оператора С01, то при близких к μ0 значениях μ уравнение χ = Α(χ, μ) имеет единственное решение χ(μ). Это решение, как оказывается, представимо рядом *(μ) = хо + (μ — μο) χ\ + (μ — μο)2*2 +. ·. Для определения элементов хи #2, ... этот ряд подставляется в уравнение, затем правая часть раскладывается в ряд по степеням (μ —μ0) и коэффициенты при одинаковых степенях (μ —μο) приравниваются. В результате приходят к системе- уравнении Х\ — Coi \Х\) ~Ь Сю> Х2 = Cqi + Сп (Χι) + С 02 \X[) + ^20>
344 ГЛ. VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Выписанные линейные уравнения можно последовательно решать. Ряд для χ(μ) будет сходиться при достаточно малых |μ — μο|. Для оценки радиуса сходимости обычно конструируют мажорантные числовые ряды. Пусть теперь единица — собственное значение линейного оператора С0ь В этом случае вопрос о количестве решений уравнения х = А(х, μ) при близких к μ0 значениях μ становится более сложным. Такие решения иногда можно найти в виде ряда χ (μ) = х0 + (μ — μ0)1/^ι + (μ — μο)!/**2 + . . . по дробным степеням (k — натуральное число) приращения μ — μο. Для определения элементов хи Хг, ... ряд для χ(μ) снова подставляют в уравнение и сравнивают коэффициенты при одинаковых дробных степенях μ — μ0. Для случая k = 2, например, получаются уравнения х\ = Он (x\)t х2 = С01 (х2) ~Ь С\)2 (*l) "Ь ^10» Первое из этих уравнений — однородное линейное уравнение. Его решение имеет вид xl = a{el + ... +ases, где eiy ..., es — базис в подпространстве Е0 собственных векторов, отвечающих собственному значению 1, а αϊ, ..., as — произвольные числа. Для определения чисел αϊ, ..., as используют условия разрешимости второго уравнения. Эти условия можно записать в виде ЫС<>2(<*!*!+ ... + ases) + Сю] = 0 (/=1, 2, ..., s), где fi, ..., f8 — полная система собственных векторов (линейных функционалов) сопряженного с Coi оператора C0i, соответствующих собственному значению, равному 1. Условия разрешимости — это система s нелинейных уравнений с s неизвестными. Если ее можно решить, то элемент найден. Одновременно можно утверждать, что второе уравнение (относительно Хг) разрешимо. Его решение снова определяется с точностью до 5 произвольных постоянных: *2 = *ϋ + βΑ+ ··· +βΑ· Коэффициенты βι,..., β8 определяются из условия разрешимости третьего уравнения и т. д.
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 345 Определение элементов х1у х2, ... становится более сложным, если коэффициенты αϊ, ..., аг нельзя определить из условия разрешимости второго уравнения. Здесь приходится привлекать условия разрешимости последующих уравнений. Если не удается построить решение в виде ряда по степеням μ — μ0, (μ —μο)1/2, то пробуют строить решение в виде ряда по степеням (μ—- μο)1/3 и т. д. Описанный метод построения рядов называют методом неопределенных коэффициентов. Если полученный ряд по степеням величины ν= (μ — μο) * сходится в некоторой окрестности нуля, то он является (по построению) решением уравнения х = А(х, μ). Основной прием установления сходимости и определения области сходимости этих рядов заключается, как обычно, в конструировании соответствующих скалярных мажорантных рядов. Известны и некоторые общие теоремы о сходимости рядов по степеням ν=(μ — μο) Λ . Например, если подпространство Е0 собственных векторов линейного оператора А'(х0), соответствующих собственному значению 1, одномерно или двумерно и если при некотором фиксированном k можно построить методом неопределенных коэффициентов лишь конечное число рядов по степеням ν = (μ — μο) k , то каждый из этих рядов сходится в- некоторой окрестности точки μο. Литература: [7], [35], [195].
ГЛАВА VII КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ § 1. Основные понятия 1. Определения и примеры. Алгеброй над полем комплексных чисел называется комплексное линейное пространство, для элементов которого введена операция умножения ab, перестановочная с умножением на комплексные числа и дистрибутивная относительно сложения. Если умножение коммутативно, т. е. аЬ = Ьа, то алгебра называется коммутативной. Линейное подпространство С алгебры А называется подалгеброй, если для любых a, b ^ С элемент ab <= С. Если алгебра А является банаховым пространством и произведение ab непрерывно по каждому из сомножителей, то А называется банаховой алгеброй. В дальнейшем в основном будут рассматриваться коммутативные банаховы алгебры. В большинстве вопросов общей теории можно ограничиться рассмотрением алгебр с единицей, т. е. с таким элементом еу что ае = а для любого а из алгебры. Если в алгебре нет единицы, то ее можно присоединить, причем так, что расширение будет банаховой алгеброй (с единицей), содержащей исходную алгебру в качестве замкнутой подалгебры коразмерности 1. В любой банаховой алгебре А с единицей е можно так изменить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись соотношения ||ab|| ^ ||α||||6||, ΙΗΙ = 1. Для этого достаточно каждому элементу сопоставить линейный оператор умножения на этот элемент, а затем в качестве новой нормы рассмотреть норму соответствующего оператора. Ввиду перечисленных обстоятельств, в дальнейшем обычно предполагается наличие в алгебре единицы и считаются выполненными приведенные выше соотношения для нормы. Множество S элементов алгебры А называется системой образующих, если наименьшей замкнутой подалгеброй с единицей в Л, содержащей множество S, служит сама алгебра А. Единица в число образующих обычно не включается. Если существует
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 347 конечная система S с указанным свойством, то А называется алгеброй с конечным числом образующих. Числом образующих алгебры А называют в этом случае наименьшее возможное число элементов в допустимой системе образующих. Примеры коммутативных банаховых алгебр. 1. Пусть X — произвольный компакт и С(Х)—совокупность всех непрерывных комплексных функций на X. Тогда С(Х) является банаховой алгеброй относительно поточечных операций и нормы ||/1| = max | / (л:) |. Х€=Х Аналогичным способом превращается в коммутативную банахову алгебру совокупность всех ограниченных непрерывных комплексных функций на любом топологическом пространстве. 2. Множество всех ограниченных линейных операторов, действующих в банаховом пространстве, образует банахову алгебру относительно обычных операций сложения и умножения линейных операторов и равномерной нормы. Если исходное пространство не одномерно, то эта алгебра не является коммутативной. Можно, однако, получить примеры коммутативных банаховых алгебр, если, отправляясь от некоторого семейства коммутирующих операторов, рассмотреть в алгебре всех ограниченных операторов наименьшую замкнутую подалгебру, содержащую все операторы семейства. 3. Пусть Ω — ограниченная область в я-мерном комплексном пространстве Сп. Совокупность #°°(Ω) ограниченных голоморфных функций на Ω образует банахову алгебру относительно поточечных операций и естественной нормы sup. В этой алгебре имеется замкнутая подалгебра Α(Ω), состоящая из тех принадлежащих ей функций, которые допускают непрерывное продолжение на замыкание области Ω. Простейшим примером является алгебра непрерывных в круге |г| ^ 1 функций, аналитических при |ζ| < 1. 4. Различные примеры . коммутативных банаховых алгебр можно получить, рассматривая в ограниченных областях вещественного евклидова пространства Rn множества функций, обладающих тем или иным набором ограниченных непрерывных производных (внутри или в замыкании области). 5. Пространство Lx(—оо, оо) = L\(Rl) образует коммутативную банахову алгебру, если за умножение принять свертку оо а * Ь (t) = \ a(t — τ) b(x) dx. — оо При этом ||α*6|| *< ||α|| ||£>||. В алгебре L{(R{) нет единицы. Через Vi(Ri) обозначается алгебра, получающаяся путем формального присоединения kL1(R1) единицы.
348 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ Изоморфное представление алгебры Ll(R{) получится, если перейти от функций из L^/?1) к их преобразованиям Фурье, при этом возникает некоторая алгебра непрерывных на оси (—оо, оо) функций, и операциям в Ll(Rl) соответствуют поточечные операции в алгебре преобразований Фурье. 6. Аналогично предыдущему в пространстве Ll(Z) последовательностей а = {ап}™00 со сходящейся суммой оо |αΙ=Σ|α»Ι<«> — оо можно ввести умножение как свертку оо (α*ϋ)η=Σι cin-mbm. — оо Относительно введенных обычных линейных операций, нормы и умножения Ll(Z) — коммутативная банахова алгебра. Изоморфное представление этой алгебры дает множество непрерывных на окружности 0^θ<^2π функций α(θ), разлагающихся в абсолютно сходящиеся ряды Фурье α(θ)=Σαηβ^ (||α||=Σΐα„|<οο) — ОО \ —ОО / с поточечными операциями. Полученная алгебра называется винеровской. Алгебры примеров 5, 6 являются частными случаями групповых алгебр, которые аналогично строятся на любой локально компактной абелевой группе (см. § 5). 7. Пусть a(t)—положительная функция, определенная и непрерывная на R1, удовлетворяющая условию α (t + τ)< α (ί) α (τ) (—οο < t, τ < οο). Через Ll(R\a) обозначается алгебра всех измеримых функций a(t), для которых оо II«|| = j\a(t)\a{t)dt<<x>, —оо и умножением снова служит свертка. 8. Через Lx+(r\ a) обозначается совокупность всех измеримых на [0, оо) функций, для которых оо 1*1= $\a(f)\a(t)dt<oo, о где а(/) —та же функция, что и в примере 7, но рассматриваемая при t ^ 0. Пространство L+(/?\ a) образует коммутатив-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 349 ную банахову алгебру относительно умножения, определенного по формуле (a*b)(t)= J x(t-x)y(x)d%. о Если α(ί)=1, то L+(r\ l) обозначается через L1 (/?+). Конструкция алгебр примеров 7, 8 также переносится на любую локально компактную абелеву группу G и ее полугруппу S. Список разнообразных примеров можно было бы расширить. Коммутативные банаховы алгебры составляют абсолютно непрерывные функции, функции с ограниченной вариацией, почти периодические функции на локально компактной группе, решения некоторых дифференциальных уравнений (удовлетворяющие тем или иным дополнительным условиям) и т. д. Ниже некоторые из этих примеров будут рассмотрены более подробно. Л и τ е ρ а т у ρ а: [11], [38], [44], [204], [231], [244], [249]. 2. Группа обратимых элементов, теорема о непустоте спектра. Пусть А — коммутативная банахова алгебра. Рассматривается множество Ε (А) тех элементов из Л, которые обладают обратным относительно умножения. Ясно, что Ε (А) есть группа. Эта группа содержит, в частности, шар Не·— а\\ < 1, так как ряд (Неймана) Σ (е-а)" сходится и определяет элемент, обратный к а. Отсюда следует, что Ε (А) образует открытое множество в А. Далее, функция α—>α-1, определенная на Ε (А), оказывается непрерывной. Совокупность экспонент, т. е. элементов вида оо Σαη /ι=0 образует подгруппу Ει(Α), являющуюся связной компонентой единицы. Для любого элемента ае/1 совокупность тех комплексных чисел λ, для которых элемент а — Хе имеет обратный в Л, есть открытое множество, содержащее в частности все λ с |λ|> ||α||. Более того, функция λ>—>(α — Хе)~1 является непрерывной и даже аналитической там, где она определена. Эта функция называется резольвентой элемента а. Дополнение к области определения резольвенты называется спектром этого элемента. Резольвента ограничена на бесконечности, ее область
350 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ определения, в силу теоремы Лиувилля, не может содержать всей комплексной плоскости. Поэтому спектр о (а) любого элемента а не пуст. Из теоремы о непустоте спектра сразу вытекает, что банахово поле изометрически изоморфно полю комплексных чисел. Можно доказать, что max |λ|= lim \\anfn λεσ(α) и->оо (предел справа всегда существует). Число тах|Я| назы- λ€=σ(α) вается спектральным радиусом элемента а. Литература: [11], [38], [44], [58], [204], [208], [226], 1231], [244], [249]. 3. Максимальные идеалы и мультипликативные функционалы. Множество / элементов алгебры А называется идеалом* если / есть линейное подпространство в Л и ab^I при любых а^А в b^I. В дальнейшем под идеалом всегда понимается собственный идеал, т. е. идеал, который не сводится к одному только нулевому элементу и не совпадает со всей алгеброй. Поэтому никакой идеал не может содержать обратимого элемента и, следовательно, ни одного элемента из некоторого открытого шара с центром в е. С другой стороны, всякий необратимый элемент либо принадлежит некоторому идеалу (например, идеалу, порожденному этим элементом), либо этот элемент нулевой. Замыкание любого идеала есть снова идеал. Фактор-пространство А/1 по любому замкнутому идеалу /, естественно, наделяется структурой коммутативной банаховой алгебры, которая называется фактор-алгеброй. Всякий идеал содержится в максимальном, т. е. в таком идеале Λί, который не может быть собственной частью другого идеала. Максимальный идеал автоматически замкнут. Элемент а^ А тогда и только тогда обратим, когда он не .принадлежит ни одному из максимальных идеалов. Фактор-алгебра по максимальному идеалу не содержит ни одного собственного идеала и, следовательно, является банаховым полем. Отсюда вытекает, что всякий максимальный идеал является ядром некоторого линейного непрерывного мультипликативного функционала, т. е. такого <р^Л', что φ(α6) = = φ(α)φ(&) (α, b<=A). Обратно, всякий линейный мультипликативный функционал на коммутативной банаховой алгебре непрерывен, имеет норму 1, а его ядром служит максимальный идеал. Пусть Φ—множество всех линейных мультипликативных функционалов на А. Из сказанного выше следует, что элемент а^А тогда и только тогда обратим, когда φ (α) фО для всех
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 351 ^рбФ. Более того, о (а) состоит в точности из чисел вида φ (α). (Любопытно отметить, что если линейный непрерывный функционал ψ таков, что ψ(α)Εσ(α) для любого аеЛ, то ψ мультипликативный функционал; для алгебр над полем вещественных чисел это, вообще говоря, уже неверно). Ниже приводится несколько примеров, в которых описание максимальных идеалов достигается простыми средствами. 1. Пусть А = С(Х) —алгебра всех непрерывных функций на компакте X. Если лг0 — фиксированная точка из X, то совокупность тех f еА, для которых f(xo) = О, образует максимальный идеал (предполагается, что X содержит более одной точки). В А нет других максимальных идеалов. Для доказательства этого достаточно установить, что для любого идеала Ια А найдется такая точка лго^Х, что f(xo) = 0, если /<=/. В предположении противного можно указать такой конечный набор функций /i,...,fnS/, ЧТО 0<fifi+ ... +fnfn^I, а это приводит к противоречию. 2. Пусть X — компакт на комплексной плоскости и А = = R(X)—замкнутая подалгебра в С(Х), состоящая из тех функций, которые равномерно аппроксимируются на X рациональными функциями с полюсами вне X. Максимальные идеалы в R(X) устроены так же, как и в С(Х), однако предыдущее рассуждение здесь уже не проходит, потому что функция / может не принадлежать к R(X), когда f^R(X). 3. Для алгебры Li(Z) значение любого мультипликативного функционала находится по формуле оо — оо где 0<^θ^2π, и таким образом множество максимальных идеалов является окружностью. Применение к этому примеру одного из предыдущих утверждений приводит к доказательству известной теоремы Винера: если функция f(t) разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд и не обращается в нуль, то l/f(t) также разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд. Эта идея применима к кратным рядам Фурье и во многих других случаях. Зачастую в конкретных случаях описание максимальных идеалов совсем не так просто и может приводить к увлекательным аналитическим задачам. В качестве примеров можно указать алгебру функций с ограниченной вариацией на вещественной
352 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ оси, в которой умножением служит свертка оо (h*f2)(x)= lfdx-l)df2(l), — оо и алгебру ограниченных аналитических функций в простейших ограниченных областях пространства Сп. Если в первом из этих примеров имеется достаточно удовлетворительное описание максимальных идеалов, то во втором (при п>1) остается еще много неясных вопросов. Л и τ е ρ а т у ρ а: [11], [38], [44], [204], [224], [231], [244], (249]. 4. Пространство максимальных идеалов, гельфандов гомоморфизм. Поскольку мультипликативные функционалы имеют норму, равную 1, каждому такому функционалу соответствует точка на единичной сфере сопряженного пространства. Возникающее при этом множество Ш замкнуто в слабой топологии сопряженного пространства. Так как единичный шар сопряженного пространства представляет собой компакт в слабой топологии сопряженного пространства, то и Ш является компактом. Компакт Ш называется пространством максимальных идеалов исходной алгебры А. Алгебра А допускает следующее каноническое отображение в алгебру С(2Й), называемое гельфандовым гомоморфизмом. Если аеЛ и хе1, то полагают ά{χ) = φ(α), где φ — мультипликативный функционал, соответствующий точке х. Ядром гомоморфизма а ь-^d служит совокупность тех а, которые принадлежат всем максимальным идеалам. Это множество называется радикалом алгебры А. Ясно (см. п. 2), что радикал составляют обобщенные нильпотентные элементы, т. е. те аеД для кото- \_ рых ||ап|| п —►О при п—►оо. Спектр элемента а совпадает с множеством значений функции а на 5ДО. Как уже отмечалось, а <= А тогда и только тогда обратим, когда ά(χ) ф0 при всех лгеЯЙ. Если в алгебре нет обобщенных нильпотентов, кроме а = Θ, то гельфандов гомоморфизм оказывается изоморфизмом. Алгебры, для которых это имеет место, называются полупростыми или алгебрами функций. Алгебра функций называется алгеброй с равномерной сходимостью, если норма в ней определяет сходимость, эквивалентную равномерной сходимости функций а на пространстве максимальных идеалов. Достаточным условием на норму (близким к необходимому) является условие ||а2|| = ||а||2. Чаще всего алгебры с равномерной сходимостью возникают, когда рассматрн- вается замкнутая подалгебра в алгебре ограниченных непрерывных функций на некотором топологическом пространстве. Л и τ е ρ а т у ρ а: [11], [38], [44], [204], 1231[, [244], [249].
§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 353 § 2. Общие свойства 1. Аналитические операции над элементами алгебры. Пусть А — полупростая алгебра, реализованная в виде алгебры непрерывных функций на 991 (τ. е. здесь отождествляются а и а). Если а^А и f — какая-нибудь функция, заданная на спектре элемента а (т. е. на множестве значений функции ά = α), то f(a) есть некоторая функция на SK. В столь общей ситуации включение f(a)&A, конечно, не обязано выполняться. Если, однако, f — целая функция, то f(a) ^A для любого аеЛ. Использование интегральной формулы Коши позволяет существенно усилить этот результат: если функция f регулярна в некоторой окрестности спектра элемента а, то f(a) бА Действительно, γ где ν — любой спрямляемый контур, охватывающий спектр элемента а и лежащий в области регулярности функции /, и интеграл, стоящий справа, представляет элемент алгебры Л. Интегральная формула Коши дает гомоморфное отображение алгебры функций, аналитических в окрестности спектра элемента а, в алгебру А. Это утверждение остается справедливым и без предположения о полупростоте А. Хотя класс функций, аналитических в окрестности спектра данного элемента, представляется довольно узким, уже в случае A = Li(Z) его, вообще говоря, нельзя расширить: если f(a) e ^Ll(Z) для всех а^№{1), спектр которых принадлежит отрезку [0, 1], то / аналитична в некоторой окрестности этого отрезка. Можно рассмотреть функции от нескольких элементов алгебры. Совместным спектром σ(αι, ..., ап) элементов αϊ,..., ап^А называется множество точек λ = (λι, ..., λη) ^ Сп, для которых Aj = <p(aj), ΙζζΙ^η, где φ пробегает SK. Точка (λι, ..., λη) тогда и только тогда не принадлежит множеству о(аи ...,αη), когда для некоторых Ьи ..., Ьп^А (αϊ —М)&!+ ... +(ап — Кпе)Ьп = е. Для полупростых алгебр f(au ..., αη) еЛ, если функция /(λι, ..., λη) голоморфна в некоторой окрестности совместного спектра элементов αϊ, ..., αη. Более сложным является вопрос о многозначных функциях. Вот некоторые типичные примеры. Пусть А — алгебра непрерывных функций в круге \ζ\ ^ 1, аналитических при |ζ|<·1 и удовлетворяющих условию f'(0)=0. Единичный круг естественно идентифицируется с пространством максимальных
354 ГЛ. VTI. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ идеалов этой алгебры. Непрерывная на пространстве максимальных идеалов функция fi(z) ξζ не принадлежит алгебре Л, однако эта функция является решением квадратного уравнения f\ — ζ2 = О, причем z2 e Л. Имеется более сложный пример такой алгебры Л с равномерной сходимостью и к тому же обладающей конечной системой образующих, которая обладает следующим свойством: некоторая непрерывная на пространстве максимальных идеалов функция в окрестности каждой точки этого пространства совпадает с функцией из Л (своей для окрестности), но сама эта функция не является элементом А. Конечно, такая функция является решением некоторого алгебраического уравнения с коэффициентами из Л. С другой стороны, если Л — полупростая алгебра с пространством максимальных идеалов X, если f e С(Х) и p(f) = f+ αιΓ~4 ... +ая-0, а;Е=Л, причем р' (f) е Ε (Л) (простой корень), то f ^ Л. Аналогично, если }<=С(Х) и ехр/^Л, то f<=A. Литература: [И], [23], [38], [44], [202], [203], [204], [211], [220], [225], [240], [244], [249]. 2. Алгебраическая интерпретация некоторых топологических характеристик пространства максимальных идеалов. Если алгебра Л содержит нетривиальный идемпотент, т. е. такой элемент /, что f2 = f, то пространство X максимальных идеалов этой алгебры несвязно. Обратно, если X представимо в виде объединения двух непересекающихся замкнутых множеств Х0 и Х\, то в алгебре Л имеется (в точности один) такой элемент /\ для которого f\Xo = 0, a f\Xi=l. В частности, пространство максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры тогда и только тогда связно, когда эта алгебра не Может быть представлена в виде прямой суммы двух своих нетривиальных идеалов. Структура алгебры С(Х) тесно связана с топологическими свойствами компакта X. По теореме Брушлинского — Эйленберга имеется ^канонический изоморфизм между группой когомологий Hl(X,Z) компакта X и факторгруппой E(C)/Ei(C) (см. § 1, п. 2). Оказывается, этот изоморфизм естественно индуцирует изоморфизм между Hl(X,Z) и Ε(Α)/Ει(Α), где А — любая коммутативная банахова алгебра, для которой X служит пространством максимальных идеалов. В ряде случаев близкую интерпретацию допускают группы HQ(X,Z) с нечетным q. Пусть V—некоторая ограниченная область в Сп и А—замкнутая подалгебра алгебры С (У), состоящая из функций, голоморфных при z^V. Известно, что в достаточно общих предположениях относительно V любой максимальный идеал алгебры Л, отвечающий точке ζ = (zji ..., zJeF»
§ 2 ОБЩИЕ СВОЙСТВА 355 конечно порожден, а именно, порождается функциями ft = zt — z\ (аналог теоремы Хефера для областей голоморфности). Доказано, что это утверждение допускает следующее локальное обращение. Пусть А — полупростая алгебра с пространством максимальных идеалов X и пусть максимальный идеал, соответствующий некоторой точке х0 ^ X, порожден конечным набором элементов flt ..., fn ^ А. Тогда максимальные идеалы, соответствующие точкам из некоторой· окрестности точки х0, порождаются элементами вида fi — λ,-e, отображение ψ: χ ι—^(^(л:), ..., /η(*)) взаимнооднозначно в некоторой окрестности точки лго, функции goijr1 для любого g^A голоморфны в некоторой фиксированной окрестности начала координат в Сп и X вблизи Хо допускает введение в этом смысле естественной аналитической структуры. Если fu ..., fn — система образующих некоторой алгебры, то отображение х\—>(fi(x), ..., fn (x)) осуществляет гомеоморфизм пространства максимальных идеалов этой алгебры на некоторый компакт К пространства Спу являющийся полиномиально выпуклым, т. е. для каждой точки гШК найдется такой полином р, что | ρ (ζ) Ι > max | ρ (λ) |. Примерами полиномиально выпуклых компактов являются полиномиальные полиэдры, задаваемые конечным набором полиномиальных неравенств |Pi(ft)|^Cj. Оказывается, что всякий полиномиально выпуклый компакт в Сп служит пространством максимальных идеалов некоторой алгебры (например, алгебры пределов полиномов относительно равномерной сходимости на этом компакте). Пространство максимальных идеалов алгебры с η образующими, кроме тривиального условия dim X ^ 2п, подчиняется некоторым менее очевидным требованиям. Например, И1(Х,С)=0 при i ^ п. Из этого, в частности, следует, что минимальное число образующих в алгебре C(Sn), где Sn —сфера размерности п, есть η + 1. Аналогичный факт имеет место для любого «-мерного компактного многообразия. В этой связи интересно отметить, что для любого конечного клеточного «-мерного полиэдра X алгебра С(Х) допускает систему из η + 1 образующей. Другими словами, такой полиэдр можно так погрузить в Сл+1, чтобы на его образе любая непрерывная функция допускала равномерную аппроксимацию полиномами от Ζ\ ζη+ι. Изучение алгебр с равномерной сходимостью, обладающих конечным числом образующих, очевидным образом связано с проблемами равномерной аппроксимации в комплексном пространстве. В этой связи следует отметить, что для любого компакта X а Сп алгебра R(X) равномерных пределов на X рациональных функций с особенностями вне X допускает систему из η + 1 образующей. Тем самым, общие проблемы аппроксимации полиномами или рациональными функциями в известном смысле эквивалентны. Литература: [И], [23], [38], [44], [203], [204], [206], [208], [216], [220], [223], [226], [244], [245], [247]. 3. Граница Шилова пространства максимальных идеалов. Наименьшее замкнутое множество TczX, где X — пространство максимальных идеалов алгебры Л, на котором все функции \f\ достигают максимума, называется кольцевой границей или границей Шилова пространства X. Такое множество для любой
356 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ алгебры Л существует и единственно. Название границы оправдано тем, что в случае алгебр аналитических функций кольцевая граница зачастую (однако не всегда) совпадает с топологической. Точка Хо^Х тогда и только тогда принадлежит Г, когда для любой ее окрестности U существует такой элемент [еЛ, для которого max | f | = 1, но \ f (χ) | < 1 вне U. Последнее утверждение допускает следующее полезное усиление. Пусть U — некоторое открытое множество в X. Если существуют такое замкнутое множество Fcf/ и такой элемент g ^ Л, что | £ (х) | < max | g | для точек х^ U\ F, то пересече- F ние Г Π U непусто. Простое следствие: если X = [0, 1], то Г = X. Если алгебра А изометрически вложена в некоторую более широкую алгебру В, то, конечно, всякий непрерывный линейный функционал может быть продолжен с сохранением нормы с А на В. При этом, однако, свойство функционала быть мультипликативным может нарушаться. Это означает, что, вообще говоря, не всякий максимальный идеал алгебры А есть пересечение этой алгебры с некоторым максимальным идеалом алгебры В. Однако все максимальные идеалы алгебры Л, соответствующие точкам границы Шилова, расширяются до максимальных идеалов любой более широкой алгебры В. Для алгебр с равномерной сходимостью можно указать такое расширение В, до максимальных идеалов которого продолжаются только «граничные» максимальные идеалы исходной алгебры. Таким расширением служит, например, В = С(Г). С понятием границы и расширением максимальных идеалов тесно связано понятие обобщенного делителя нуля. Элемент' f e Л называется обобщенным делителем нуля, если существует такая последовательность gn ^ Л, что \\gn\\ = 1, но fgn-+0. Элемент, являющийся обобщенным делителем нуля, не обратим ни в каком изометрическом расширении В. Вместе с тем, для всех остальных элементов такое расширение существует. Для любого мультипликативного линейного функционала φ справедливо неравенство | φ(/) |<max| f |, где X — пространство максимальных идеалов. В этом неравенстве, по определению границы Шилова, можно заменить X на Г. Поэтому из теоремы Хана — Банаха и общего вида линейного функционала на пространстве С (Г) вытекает, что существует такая положительная регулярная мера μ на Г, что для любого f^A Г
~§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 357 Для случая алгебры аналитических функций в круге эта формула сводится к классической формуле Пуассона. Следует отметить, что среди представляющих мер имеется такая, которая удовлетворяет неравенству Иенсена, т. е. log|f(<J>)|< Jloglfl^. Г Если А есть алгебра с равномерной сходимостью, а ее пространство максимальных идеалов метризуемо, то среди всех кольцевых границ (не только замкнутых) имеется минимальная Го, замыканием которой служит граница Шилова. Минимальная граница Г0 состоит из «точек пика». При этом точка х0 называется точкой пика, если существует такая функция f <ξ Л, что |f (χ) Ι < |f (xo) | для всех χ φ Xq. В рассматриваемом случае для любой точки из пространства максимальных идеалов существует представляющая мера, сосредоточенная на Г0. Полупростая алгебра называется аналитической (точнее ^ыло бы говорить квазианалитической), если всякая функция из этой алгебры, равная нулю на непустом открытом подмножестве пространства максимальных идеалов, равна нулю тождественно. Аналогично определяются алгебры, аналитические относительно границы. Всякая аналитическая алгебра является аналитической относительно границы Шилова (обобщение известного факта из теории аналитических функций), но обратное, вообще говоря, не верно. Литература: [11], [23], [38], [44], [203], [204], [244], [249]. 4. Алгебры с инволюцией. Банахова алгебра называется алгеброй с инволюцией, если в ней задана операция f »—>/*, обладающая следующими свойствами: О (fT=f, 2) (λϊ + μ§Υ = λϊ*+μ§*, 3) (fgT-gT· Последнее свойство записано в таком виде, в котором оно распространяется на некоммутативные алгебры. Наиболее важным примером некоммутативной алгебры с инволюцией является алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. В этом случае инволюция представляет собой переход к сопряженному оператору. В алгебре операторов инволюция связана с нормой соотношением 4) IfflMlfHfll·
358 ГЛ. VII КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ Всякая банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей соотношению 4), изометрически изоморфна подалгебре алгебры операторов в гильбертовом пространстве (теорема Гель- фанда — Наймарка). Простейшим примером коммутативной банаховой алгебры с инволюцией, отвечающей переходу к комплексно-сопряженной функции, служит алгебра всех непрерывных функций на компакте. Здесь инволюция также удовлетворяет соотношению 4). Этот пример является общим в том смысле, что всякая коммутативная банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей соотношению 4), естественно изоморфна алгебре всех непрерывных функций на своем пространстве максимальных идеалов. Частным случаем этой теоремы является известная теорема Стона — Вейерштрасса: если замкнутая подалгебра алге- 'бры С(Х) на компакте X вместе с функцией f(x) содержит f(x) и, кроме того, для любых двух различных точек xif х2^Х содержит функцию, принимающую в этих точках различные значения, то эта подалгебра совпадает с С(Х). В общем случае инволюция не обязана удовлетворять соотношению 4). Например, в алгебре аналитических функций в единичном круге, непрерывных вплоть до границы, имеется инволюция f*(z)=f(ζ), а в Ll(R{) —инволюция f*(x)=f(—^соответствующая переходу к комплексно-сопряженной функции в преобразованиях Фурье. В этих примерах инволюция изометрична. Теорема о коммутативных алгебрах с инволюцией, удовлетворяющей соотношению 4), в применении к алгебре операторов в гильбертовом пространстве, коммутирующих с данным самосопряженным или нормальным оператором, позволяет получить аналог спектрального разложения. Инволюция называется симметричной, если для любого f <^A элемент e + f*f обратим в А. Линейный функционал ψ, определенный на алгебре А с инволюцией, называется положительным, если ψ (f*f) ^ 0 для всех fe=A. Каждый положительный функционал на коммутативной банаховой алгебре А с симметричной инволюцией однозначно продолжается до положительного функционала на алгебре С(Х), где X — пространство максимальных идеалов алгебры А. Всякий такой функционал в силу этого обстоятельства представим в виде- Al>(f)=Jf(*)^. χ где μ — положительная мера на X, которую можно считать сосредоточенной на множестве точек, отвечающих симметричным
§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 359 максимальным идеалам (т. е. идеалам, содержащим /* вместе с/)· Если для каждого ненулевого элемента f еЛ существует такой положительный функционал ψ, что ψ(/*/) φ О, то алгебра А — полупростая. Литература: [И], [23], [38], [44], [203], [204], [244], [249]. 5. Регулярные алгебры. Регулярной называется алгебра А без радикала, т. е. алгебра функций, в которой для любого замкнутого множества F в пространстве X максимальных идеалов и любой не содержащейся в F точки Хо найдется такая функция /<=Л, что f(x)= 1 для всех xgFh f(xo) = 0. Всякая регулярная алгебра нормальна, т. е. аналогичное свойство отделимости выполняется для любой пары непересекающихся замкнутых множеств. Более того, в регулярной алгебре для любого конечного открытого покрытия {Ui}, 1 ^ i ^ п, пространства X имеется «разбиение единицы», т.е. система функций /ь ..., /пеЛ, для которых Μ*)+·...+Μ*)-ι и fi(x) = 0 при χ φ щ. Функция g, по определению, локально принадлежит алгебре Л, если для каждой точки х0 е X существует такая окрестность, в которой эта функция совпадает с некоторой функцией из алгебры. Наличие разбиения единицы для всякого конечного открытого покрытия пространства X позволяет устанавливать, что всякая (непрерывная) функция, локально принадлежащая алгебре, сама является элементом этой алгебры. В общем случае, как уже отмечалось в п. 1, это не верно даже для алгебр с равномерной сходимостью, обладающих конечным числом образующих. Более того, «нелокальность» такого типа нельзя, вообще говоря, исправить следующими естественными средствами: пусть А — некоторая алгебра с равномерной сходимостью, реализованная как замкнутая подалгебра алгебры С(Х) на своем пространстве максимальных идеалов, и Αι — замыкание в С(Х) множества всех непрерывных функций на X, локально совпадающих с элементами из А\. Можно доказать, что пространство максимальных идеалов алгебры Αι снова совпадает с X. Однако, вообще говоря, алгебра Αι не обязана быть локальной: некоторая непрерывная функция в окрестности каждой точки из X может совпадать с элементами из Аи но не принадлежать к А\. Элемент алгебры называется вещественным, если функция f(x) вещественна при всех х.
360 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ Достаточное условие регулярности: алгебра с вещественными образующими fa регулярна, если оо J loglexpftfelyipr <°° — оо для каждой fa- Алгебры C(X)t Ll(Z), Cr(0, 1) и многие другие регулярны. С другой стороны, алгебры голоморфных функций обладают противоположным свойством (см. § 3, п. 1). Среди идеалов банаховой алгебры особый интерес представляют примарные идеалы, т. е. такие, которые содержатся только в одном максимальном идеале. В случае регулярных алгебр функций в каждом максимальном идеале имеется наименьший замкнутый примарный идеал, а все ©стальные идеалы заключены между ним и максимальным. Этот наименьший замкнутый примарный идеал J(x0) есть замыкание идеала, образованного из функций f ^ Л, равных нулю в некоторой (своей для каждого /) окрестности точки Хо. В алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье с присоединенной единицей всякий замкнутый примарный идеал совпадает с максимальным. Из последнего факта вытекает, в частности, тауберова теорема Винера: если преобразование Фурье fo(a) функции f0(t) eL^/?1) не обращается в нуль ни при каком вещественном значении о и если g(t)—такая ограниченная измеримая функция, что оо оо jfo(t-x)g(t)dt^c lf0(t)dt — оо —оо то оо оо jf(t—t)g(f)dt-+c \f(t)dt — оо —оо для любой функции f e I1 (R). Алгебра, у которой есть только один максимальный идеал, называется примарной. Фактор-алгебра по примарному идеалу является примарной алгеброй. В алгебре Сг(0, 1) наименьший замкнутый примарный идеал /(/) (соответствующий максимальному идеалу, состоящему из функций, обращающихся в нуль в точке /) состоит из функций, имеющих нуль порядка г. Фактор-алгебра Cr/J(t) конечномерна и изоморфна алгебре (с одной образующей) полиномов степени ^ г (см. § 6, п. 1). Пусть Л и β — регулярные алгебры функций с одним и тем же пространством максимальных идеалов X, причем Л с: β и Л при |τ|-*οο, при | τ | -> оо
§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ 36ί плотно в В. Пусть J и /'— наименьшие замкнутые примарные идеалы в этих алгебрах, отвечающие фиксированной точке Хо^Х. Тогда фактор-алгебра A/J допускает естественный гомоморфизм в фактор-алгебру B/J'. Если при этом фактор-алгебра A/J' конечномерна, то фактор-алгебра B/J' конечномерна как гомоморфный образ A/J и имеет размерность не выше размерности А/Г. Например, если алгебра функций на отрезке (или на окружности) содержит все бесконечно дифференцируемые функции в качестве всюду плотного множества, то она автоматически содержит Сг для некоторого конечного г, и фактор-алгебра по любому наименьшему замкнутому примарному идеалу в ней конечномерна. Любому замкнутому идеалу / с: А отвечает замкнутое множество FaX, на котором все функции из / обращаются в нуль. Если в случае регулярной алгебры зафиксировать замкнутое множество F и рассмотреть совокупность всех идеалов, которым отвечает это множество, то среди них найдется наименьший J(F)\ он состоит из функций, которые являются пределами (в смысле сходимости по норме) функций из Л, обращающихся в нуль в некоторой окрестности множества F. Этот факт в ряде случаев позволяет описывать всевозможные замкнутые идеалы. Так, в С(Х) каждый замкнутый идеал есть пересечение максимальных, в Сг(0, 1) каждый замкнутый идеал есть пересечение примардных идеалов. Впрочем, задача описания всех замкнутых идеалов еще далека от своего окончательного решения даже в случае сравнительно простых регулярных алгебр. Например, до сих пор не известно, как устроены замкнутые идеалы в алгебре абсолютно сходящихся рядов Фурье. Оказывается, даже в этом случае одно и то же замкнутое множество может отвечать бесконечному числу различных вложенных друг в друга замкнутых идеалов (см. § 5, п. 6). Можно зафиксировать замкнутое множество F с: X и рассмотреть замкнутый идеал 1(F), содержащий все функции /е Л, равные нулю на F. Если F не связно, то фактор-алгебра A/I(F) обладает нетривиальными идемпотентами, т. е. такими элементами /?, что р2 = р. Если для всякого F существует такая константа c(F), что ИрII ^ c(F) для всех идемпотентов ρ ^ A/1(F), то А совпадает с С(Х). Литература: [11], [23], [38], [44], [203], [204], [222], [244], [249]. § 3. Алгебры с равномерной сходимостью Всюду в этом параграфе под алгеброй с равномерной сходимостью понимается замкнутая подалгебра алгебры С(Х)9 где X — некоторый компакт (не обязательно пространство
362 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ максимальных идеалов). Исключение будет сделано только в одном из последних пунктов. Кроме того, там, где не оговорено противное, предполагается, что рассматриваемая алгебра разделяет точки компакта X, т. е. что для любых двух различных точек Х\, *2 ^ X существует такая функция / из алгебры, для которой f(x\) Φ f(x2). 1. Симметрия, антисимметрия и близкие свойства. Алгебра с равномерной сходимостью называется симметричной, если вместе с функцией f(x) к ней принадлежит и функция f(x). В силу упомянутой выше теоремы Стона — Вейерштрасса всякая симметричная алгебра с равномерной сходимостью совпадает с С(Х). Полярным к симметрии служит свойство алгебры быть антисимметричной. Алгебра А называется антисимметричной, если из условия f^A следует J φ А, кроме того случая, когда / сводится к константе. Антисимметричными являются алгебры аналитических функций и некоторые другие. Следует заметить, что из аналитичности на I в смысле § 2 п. 3 для алгебр с равномерной сходимостью вытекает антисимметричность, но не обратно. В точности промежуточным свойством является свойство быть областью целостности (отсутствие нетривиальных делителей нуля). Для максимальных (определение см. в § 4) подал^ гебр алгебры С(Х) эти три свойства эквивалентны. Подмножество S с= X называется множеством антисимметрии (относительно алгебры Л), если любая функция [е/1, вещественная на S, постоянна на этом множестве. Согласно этому определению алгебра А антисимметрична, если все X является множеством антисимметрии. Замыкание множества антисимметрии есть снова множество антисимметрии и объединение двух пересекающихся множеств антисимметрии также есть множество антисимметрии. Поэтому X разбивается в объединение непересекающихся замкнутых максимальных множеств антисимметрии. Сужение А \ Υ алгебры А на максимальное множество антисимметрии Υ является замкнутой (антисимметричной) подалгеброй алгебры C(Y). Если X есть пространство максимальных идеалов алгебры Л, то максимальные множества антисимметрии связны. Возможен следующий «конструктивный» метод получения максимальных множеств антисимметрии. Пусть А0 — максимальная симметричная подалгебра в А. Подалгебра Л0, вообще говоря, уже не разделяет точки компакта X, в результате чего X разбивается на непересекающиеся замкнутые классы эквивалентности. Сужение алгебры А на каждый такой класс К есть замкнутая подалгебра в С (К), и можно снова применить ту же процедуру выделения максимальной симметричной подалгебры. Продолжая дальше этот процесс (возможно, по трансфинитам),
§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ 363 получают предельные классы, которые в точности совпадают с максимальными множествами антисимметрии. Процесс выделения последовательных классов может не стабилизироваться ни на каком конечном шаге. Если рассмотреть множество N всех функционалов из единичного шара сопряженного к С(Х) пространства, ортогональных к алгебре Л, то оно окажется выпуклым и компактным в слабой топологии. Поэтому оно обладает порождающим его множеством крайних точек N0 (см. гл. I, § 4, п. 4). Оказывается, что минимальный носитель меры, соответствующей точке из No, является множеством антисимметрии и, следовательно, содержится в одном из максимальных множеств антисимметрии. Использование этого факта приводит к важному утверждению: если непрерывная функция такова, что на каждом максимальном множестве антисимметрии она совпадает с некоторой функцией из алгебры А, то и сама эта функция принадлежит к А. Эта теорема является обобщением теоремы Стона — Вейер- штрасса, так как в случае симметричной алгебры максимальные множества антисимметрии одноточечны. Сказанное выше позволяет в принципе свести изучение произвольных алгебр с равномерной сходимостью к изучению антисимметричных алгебр такого типа. Более того, минимальные носители мер, отвечающих функционалам из No, являются множествами слабой аналитичности: если функция /еЛ такова, что |f(x)|sgl 1 на таком множестве и f(x) = 1 на некотором его непустом открытом подмножестве, то во всех точках множества f(x) = 1. В ряде вопросов это обстоятельство позволяет ограничиться рассмотрением слабо аналитических алгебр (т. е. таких, в которых невозможно одновременное нарушение принципа максимума и теоремы единственности). Вместе с тем, изучение произвольных алгебр с равномерной сходимостью, по-видимому, ни в каком разумном смысле не может быть сведено к аналитическим алгебрам: имеется пример алгебры типа R(X) (см. пример 2, п. 3 § 1), не совпадающей с С(Х), но обладающей свойством регулярности. Трудные аналитические задачи возникают при описании идеалов в подалгебрах голоморфных функций с равномерной сходимостью. Описаны все замкнутые идеалы алгебры аналитических функций в круге |λ| ^ 1, непрерывных вплоть до границы |λ|=Μ. Для алгебры В равномерно ограниченных голоморфных в открытом единичном круге |λ|< 1 функций пространство максимальных идеалов содержит в себе круг как плотное подмножество (проблема короны). Не известно, верно ли аналогичное утверждение для алгебр функций в полицилиндре (шаре). Литература: [19], [199], [201], [207], [229], [232], [236], [237], [240], [243].
364 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ 2. Некоторые характеристические· свойства алгебры С(Х)~ Здесь перечисляется несколько теорем, в большинстве из которых утверждается, что некоторая алгебра с равномерной сходимостью совпадает с С(Х). Посылками в этих теоремах служат тривиально проверяемые свойства алгебры всех непрерывных функций. Известные доказательства этих утверждений существенно опираются на указанную в предыдущем пункте возможность свести дело к антисимметричному случаю. Пусть А — алгебра с равномерной сходимостью на компакте X. Через Re Л мы будем обозначать вещественное пространство функций вида Ref, где [бА Если Re Л является кольцом, то А = С(Х). Если Re A замкнуто в С(Х), то А = С(Х). Пусть Υ—некоторое замкнутое подмножество в X. Тогда сужение ReA|K является замкнутым (вещественным) подпространством пространства С (У) в том и только том случае, если A\Y = С (Υ). Следствие: если X метризуем, и I cz A — некоторый замкнутый идеал, то А + /* (где звездочка означает комплексное сопряжение) в том и только том случае замкнуто, когда /* = /. Через С+(Х) обозначается совокупность всех (строго) положительных непрерывных функций на X, и пусть \Е(А) |—множество функций вида |/|, где f^E(A) (Ε(А) —группа обратимых элементов алгебры А). Оказывается, если X метризуем и если \Е(А) | = С+(Х), то А = С(Х). Предположение о метризуемости компакта X здесь существенно. Результаты такого сорта допускают одно существенное прямое усиление. В частности, если А — любая (не обязательно с равномерной сходимостью) банахова алгебра непрерывных функций на компакте X и если Re Л замкнуто по равномерной сходимости на X, то А = С(Х). Отсюда сразу следует, например, «трудная» теорема Вика: если замкнутое множество на окружности таково, что любая непрерывная функция на нем продолжается до функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье, то любая непрерывная функция продолжается с неё и до функции с абсолютно сходящимся рядом Тейлора. Пусть X — локально связный компакт и пусть в алгебре А для любого g g/1 разрешимо уравнение f2 = g. Тогда А = = С(Х). Представляющееся несколько стеснительным в этой геореме условие локальной связности существенно в следующем смысле: если, например, X — метризуемый связный компакт и в С(Х) разрешимо любое уравнение вида f2 = g, то X локально связан. Из приведенного выше предложения, в частности, вытекает, что на любой простой жордановой дуге в С2 либо множество значений всякой голоморфной функции содер-
§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ 365 жит внутренние точки, либо голоморфные функции плотны в алгебре всех непрерывных функций. Литература: [19], [207], [221], [228], [229], [239]. 3. Эквивалентность Глисона. Если А — алгебра с равномерной сходимостью на компакте X, то X можно рассматривать как порцию пространства максимальных идеалов. Поэтому, наряду с гельфандовой топологией, на X наводится метрика, индуцированная вложением в сопряженное пространство. Расстояние в смысле этой метрики между точками хи х2 обозначается через рл(*ь *г). Ясно, что всегда рл(*ь *2) ^2. Отношение Ра(*ь*2)<2 является отношением эквивалентности, и классы эквивалентности называются долями Глисона. Ценность этого понятия видна уже на следующем простейшем примере. Пусть X — круг |λ|<1 1 и А—замкнутая подалгебра в C(X)t состоящая из аналитических при |λ|<1 функций. В этом случае метрика рА тесно связана с неевклидовой, а долями Глисона служат внутренность круга и одноточечные множества на границе. Этот и подобные примеры наводили на мысль, что доли Глисона всегда обладают какой-то внутренней аналитической структурой. В некоторых случаях это предположение оправдалось (см. ниже). С другой стороны, оказалось, что всякое σ-ком- пактное вполне регулярное (эти условия необходимы) пространство гомеоморфно доле Глисона пространства максимальных идеалов некоторой алгебры, причем сужение алгебры на эту долю содержит всякую ограниченную непрерывную функцию. Говоря о долях Глисона, разумно предполагать, что X совпадает с пространством максимальных идеалов. Для любого множества F с X через dA(F) обозначается диаметр F в смысле метрики рА, т. е. sup Рл(#1> *г)· Xl, X2&F Если F есть множество пика или пересечение таких множеств, то сужение A\F является замкнутой подалгеброй алгебры C(F), причем F совпадает с пространством максимальных идеалов алгебры A\F9 если X совпадает с пространством максимальных идеалов алгебры А. Для любых двух точек xit x2> принадлежащих такому множеству F, имеет место равенство Ра|И*ь*2) =Ра(*ь*2). Поэтому dA\F(F) = dA(F) и, следовательно, dA (F) = 0 или 2. В частности, последнее выполняется для максимальных множеств антисимметрии и для общих линий уровня вещественных функций из А. Теперь можно привести обобщение одной из теорем, сформулированных в предыдущем пункте. Пусть Аи А2 — две алгебры с равномерной сходимостью на X, причем Л ι с= Л2. Для того чтобы выполнялось включение ReAiczReA2y необходимо и достаточно существование такого неотрицательного числа с < 2,
365 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ что cIax (F) ^ с для каждого множества F, являющегося общим множеством уровня вещественных функций из А2. Из этой теоремы вытекает, что А = С(Х), если Re Л замкнуто. Действительно, если Αι = А2 = А, то dA{F) = 0. Принадлежность двух точек к одной и той же доле Глисона может быть охарактеризована в терминах представляющих мер (на границе Шилова): две эквивалентные точки обладают взаимно абсолютно непрерывными представляющими мерами (с ограниченными производными). В целом для всей доли Глисона, вообще говоря, не существует системы взаимно абсолютно непрерывных представляющих мер, однако такая система мер имеется, если ИеЛ|Г является подпространством конечной коразмерности в Ся(Г) —пространстве всех вещественных непрерывных функций на Г — границе Шилова. Алгебры, для которых ИеЛ|Г плотно в Сд(Г), называются алгебрами Дирихле. В случае алгебр Дирихле о долях Глисона можно сказать гораздо больше, чем в общем случае. Если Ρ — доля Глисона в пространстве максимальных идеалов алгебры Дирихле, состоящая более чем из одной точки, то существует такое непрерывное взаимно однозначное отображение ψ круга |λ|< 1 на Р, что для любой функции f^A функция /(ψ(λ)) аналитична при |λ|< 1. Таким образом, Ρ обладает структурой, относительно которой функции f^A аналитичны. Отображение ψ, вообще говоря, не является гомеоморфизмом, если использовать гельфандову топологию. Однако φ — гомеоморфизм, если Ρ рассматривать в метрике- рл- Аналогичный результат имеет место и при более слабых предположениях относительно алгебры. Например, ^достаточно, чтобы функции log|f| cf^E(A) были плотны в CR(T) или даже чтобы каждая точка χ из X \ Г обладала единственной представляющей мерой. Близкие теоремы доказаны и для алгебр, обладающих тем свойством, что пространство вещественных ортогональных к ним мер на границе Шилова конечномерно. Конечно, в таком случае доли Глисона могут содержать особые точки (пример: пределы полиномов от λι, λ2 на множестве {| λι | = 0, Ι λ2 К 1} U {I ^ | ^ 1, Ι λ21 = 0} с= С2). Введенные выше понятия оказались полезными в теории приближений на плоскости. Например, для совпадения R(X) (§ 1, п. 3, пример 2) с С(Х) необходимо и достаточно выполнения каждого из условий: R(X) есть алгебра Дирихле на X, каждая точка из X есть точка пика, каждая доля Глисона одноточечна. Для произвольных алгебр с равномерной сходимостью одно- точечность долей Глисона не ведет к совпадению с С(Х), Литература: [19], [205], [207], [229], [235].
§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ 367 4. Компактные расширения. Пусть X — некоторое вполне регулярное топологическое пространство. Алгебра С(Х) всех ограниченных непрерывных функций на X является банаховой алгеброй относительно sup-нормы. Каждая точка Jiel порождает некоторый мультипликативный функционал, т. е. максимальный идеал в С(Х). Тем самым, X оказывается вложенным в компакт SW — пространство максимальных идеалов исходной алгебры. Образ при этом вложении всюду плотен в 27i. Пространства максимальных идеалов различных подалгебр рассмотренной алгебры С(Х) могут давать другие компактные расширения пространства X. Все такие замкнутые подалгебры характеризуются условиями симметричности и регулярности (см. § 2, п. 5). В анализе встречаются компактные расширения и более общего типа: для данного пространства X указывается взаимно однозначное и непрерывное отображение на всюду плотное подмножество некоторого компакта X (обратное отображение не обязательно непрерывно). Ясно, что X служит при этом пространством максимальных идеалов некоторой замкнутой подалгебры алгебры С(Х). Вот один характерный пример. Пусть G — топологическая группа. Левой почти периодической функцией на G называется такая ограниченная непрерывная комплексная функция, семейство левых сдвигов которой относительно компактно в равномерной норме. Аналогично определяются правые почти периодические функции. Впрочем, эти свойства эквивалентны, и поэтому можно просто говорить о почти периодических функциях. Совокупность всех почти периодических функций образует в равномерной норме коммутативную банахову алгебру с инволюцией, удовлетворяющей условию 4) § 2, п. 3. В силу приведенного там результата алгебра почти периодических функций изоморфна и изометрична алгебре С(Ш) всех непрерывных функций на компакте 39Ϊ ее максимальных идеалов. Уже из этого простого замечания можно извлечь некоторые содержательные следствия. Например, если почти, периодическая функция неотрицательна, то почти периодической будет и суперпозиция ее с любой функцией, непрерывной на замыкании множества значений исходной функции. Оказывается, компакт 9И естественно наделяется структурой компактной группы и существует такое непрерывное гомоморфное отображение ψ группы G на плотную подгруппу группы G = 27i, что функция f na G тогда и толвко тогда почти периодична, когда f(x) = Α (ψ (χ)), где h e C(G). _ Если группа G коммутативна, то компактная группа G также коммутативна и допускает следующее простое описание. Груп-
368 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ па G канонически отождествляется с группой характеров 6d, группы G, где d означает, что она взята в дискретной топологии. Группа G связана, если G— локально компактная связ< ная коммутативная группа. Согласно классической теореме Г. Бора всякая почти периодическая функция на вещественной оси, удовлетворяющая условию inf |/| > 0, допускает представление / (х) = ехр [ίλχ + h (x)]t где h — почти периодическая функция. В силу сказанного выше, этот результат вытекает из следующей теоремы ван Кам- п е н а. Пусть X — связная компактная группа, f e С(Х) и f(*) Φ О при всех х. Тогда f=χexph, где χ — характер группы X и ht= С(Х). Теорема.ван Кампена допускает такое обобщение. Пусть G — связная компактная группа и g»—■> Tg — непрерывное представление группы G в группу автоморфизмов коммутативной банаховой алгебры Л, наделенную сильной операторной топологией. Элемент k^E(A) называют квазисобственным, если существует такое представление g »—> t(g) группы G в группу Ε (А), что Tgk = t(g)k для всех g^G. Оказывается, каждый элемент f^E(A) допускает представление f = kexph, где k — квазисобственный элемент. Если в алгебре А нет идемпотентов, т. е. ее пространство максимальных идеалов связно (см. § 2, п. 2), то в последнем утверждении k можно считать-собственным элементом (t(g)—характер группы G). Теорема ван Кампена получается, если положить А = C(G) и рассмотреть регулярное представление. Литература: [19], [207], [208], [229]. 5. Алгебраические уравнения в С(Х). В этом пункте предполагается, что X — связный метризуемый компакт (хотя для части результатов то или иное из этих предположений не существенно). Рассматривается алгебраическое уравнение λη + αι{χ)λη-{+ ... +ап{х) = 0 С коэффициентами аг· gC(X), где С(Х) — алгебра всех комплексных непрерывных функций. Если интересоваться не отдельным уравнением, а классами уравнений, то в первую очередь возникает вопрос об описании тех компактов, на которых разрешимо в непрерывных функциях в целого любое такое уравнение. В этом случае алгебру С(Х) называют алгебраически замкнутой. Если X есть отрезок вещественной оси, то любое уравнение указанного вида на X разрешимо. С другой стороны, если X — окружность или X — график функции s = sin(l/t), 0 < t ^ 1, дополненный предельным отрезком, то на X, вообще
§ 3. АЛГЕБРЫ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ 369 говоря, не разрешимы даже квадратные уравнения. Отсюда следует, что компакт, для которого алгебра всех непрерывных функций алгебраически замкнута, не может содержать ни подмножеств, гомеоморфных окружности, ни подмножеств, гомеоморф- ных указанному графику, дополненному отрезком. Вместе с тем, два указанных компакта содержат по существу всю информацию о возможных препятствиях к разрешимости уравнений. Компакт X называется уникогерентным, если его нельзя представить в виде объединения двух связных замкнутых множеств, пересечение которых несвязно. Компакт X называется наследственно уникогерентным, если всякое его замкнутое подмножество уникогерентно. Алгебра С(Х) тогда и только тогда алгебраически замкнута, когда X локально связен и наследственно уникогерентен. В рассматриваемом случае достаточным условием разрешимости всех алгебраических уравнений служит условие разрешимости квадратных уравнений. Рассматривалась также задача о разрешимости тех алгебраических уравнений, для которых при каждом фиксированном х0^ X соответствующее уравнение с числовыми коэффициентами имеет простые корни. Класс таких уравнений степени η здесь обозначен через %п(Х). Под разрешимостью понимается для простоты полная разрешимость — наличие η различных решений (т. е. возможность разложения левой части уравнения на линейные множители) . Необходимым условием разрешимости всех уравнений класса %п(Х) является возможность решить любое из простейших уравнений λΛ = f, k ^ я, ί(χ)Φ 0. Это условие в точности означает (см. § 2, п. 2), что в (аддитивной) группе Ηι(Χ,Ζ) возможно деление на п\. Возникает вопрос, в какой степени оно является достаточным для полной разрешимости всех уравнений класса %п(Х). Здесь следует различать несколько случаев. Пусть сперва X — конечный полиэдр. В этом случае условие на Ηι(Χ,Ζ)Ψ приведенное выше, эквивалентно условию Нот (πι (Χ), Ζ) = 0. Если это условие выполняется, то на X вполне разрешимы все уравнения класса Шп(Х) с я,- равным 3 и 4, но, вообще говоря, может существовать уравнение 5-й степени, не имеющее ни одного непрерывного решения. Полная разрешимость всех уравнений класса Шп(Х) эквивалентна отсутствию нетривиальных гомоморфизмов группы П\(Х) в артинову группу кос В(п) из η нитей. Эта группа В(п) обладает следующим копредставлением: fa.···. σΛ-ιΙσίσί+ισίβσί+ισΛ+ι· σίσί = σίσί ПРИ 1/-Л>1}. Известно, что группа В(п) не имеет элементов конечного порядка, и отсюда следует, что достаточным условием разрешимости всех уравнений класса 4ίη(Χ) для любого η является, например, конечность группы τίι(Χ). Следует заметить, что из полной разрешимости всех уравнений класса Шп(^) вытекает, что каждое такое уравнение стягиваемо в этом классе к уравнению с постоянными коэффициентами (если компакт X не является полиэдром, то это, вообще говоря, неверно). В случае произвольного компакта из условия делимости в группе H{(XyZ) вытекает полная разрешимость уравнений степени 3, но уже для 4-й степени это не так. Вместе с тем, указанное условие делимости равносильно полной разрешимости для тех компактов, которые аппроксимируются обратным спектром
370 ГЛ. VIТ. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ связных конечных полиэдров с коммутативными (или конечными) фундаментальными группами. В частности, это имеет место для многих однородных пространств, и в том числе для связных компактных групп. В последнем случае условие делимости в группе одномерных когомологий эквивалентно аналогичному условию в группе одномерных характеров, поскольку эти группы изоморфны (§ 2, п. 2, § 3, п. 4). Имея в виду этот факт и результаты предыдущего пункта, можно судить о разрешимости в почти периодических функциях алгебраических уравнений с почти периодическими коэффициентами. При помощи соображений § 2, п. 2 приведенные здесь результаты относительно разрешимости распространяются на' уравнение с коэффициентами из произвольной банаховой алгебры: если индуцированное при помощи гель- фандова гомоморфизма уравнение в непрерывных функциях обладает «простым корнем» в классе непрерывных функций, то это непрерывное решение порождается некоторым решением исходного уравнения, принадлежащим алгебре. Литература: [19], [207], [209], [221], [229], [234]. § 4. Максимальные подалгебры 1. Постановка задачи, примеры. Пусть В — коммутативная банахова алгебра с единицей и Л — некоторая ее замкнутая подалгебра. Алгебра Л называется максимальной подалгеброй алгебры В, если В не содержит никакой замкнутой собственной подалгебры, содержащей Л и не совпадающей с Л. Всякая достаточно широкая алгебра В содержит максималь- ^ ные подалгебры с единицей и даже такие замкнутые подалгеб- ' ры Л, что dimS/Л = 1. Действительно, пусть φι, ψ2 — два различных гомоморфизма алгебры В в поле комплексных чисел и ψ = φ4 — φ2. Тогда ядро функционала ψ представляет собой замкнутую подалгебру алгебры В коразмерности 1. Аналогично, ядро «точечного дифференцирования», т. е. такого функционала ψ, что Ψ (fg) = Ψ (f) φ (g) + Ψ(#)φ(Π» гДе Ф — некоторый мультипликативный функционал, есть подалгебра коразмерности К В комплексном случае этим исчерпываются всевозможные подалгебры коразмерности 1. В частности, всякая такая подалгебра алгебры С(Х) не разделяет точки компакта X, так как на С(Х) нет никаких (даже разрывных) дифференцирований. Близкое описание допускают вообще все подалгебры конечной коразмерности. Первая нетривиальная теорема о максимальности подалгебры бесконечной коразмерности утверждала, что алгебра А тех не- прерывных функций на единичной окружности Г= {λ||λ|= 1}, которые допускают аналитическое распространение в единичный круг, является максимальной подалгеброй алгебры С (Г) (Дж. Вер мер). Эта теорема может рассматриваться как обобщение классической теоремы Вейерштрасса, которая с функционально- алгебраической точки зрения означает, что замкнутая подалгебра
§ 4. МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ 371 алгебры С (Г), содержащая А и функцию λ, обязана совпадать сС(Г). Вот еще несколько нетривиальных примеров максимальных подалгебр (ниже эти примеры будут включены в общие схемы). Алгебра Ll(R+) является замкнутой максимальной подалгеброй алгебры L^/?1) (см. пример 8 в п. 1, § 1). Пусть а — иррациональное число и алгебра Аа сестоит из всех тех непрерывных функций на двумерном торе, коэффициенты Фурье которых сШп = 0 при т -f па < 0. Эта алгебра является максимальной подалгеброй алгебры всех непрерывных функций на торе. Тор служит границей Шилова относительно Аа, и Аа есть алгебра Дирихле. Если тор реализовать в виде остова единичного бицилиндра в С2, то пространство максимальных идеалов идентифицируется с подмножеством бицилиндра, которое описывается уравнением | ζ{ | = | ζ2 |α. Точка (0,0) не принадлежит границе Шилова, но представляет собой одноточечную долю Глисона. Алгебра Аа аналитична на пространстве максимальных идеалов в смысле определения § 2 п. 3, хотя ее пространство максимальных идеалов имеет вещественную размерность 3. В противоположность алгебре Ла, более естественный аналог алгебры аналитических функций в круге — алгебра тех непрерывных функций на n-мерном торе, которые допускают голоморфное распространение внутрь соответствующего полицилиндра, при η > 1 далека от максимальности. Однако эта алгебра является максимальной в классе подалгебр, инвариантных относительно голоморфных автоморфизмов тора (см. п. 3). Литер а'тур а: [246]. 2. Максимальные подалгебры алгебры С(Х). В этом пункте рассматриваются замкнутые подалгебры алгебры С(Х) и предполагается, что функции из подалгебры разделяют точки компакта X и что константы принадлежат подалгебре. Будет изучаться свойство максимальности подалгебры, поэтому нигде не будет предполагаться совпадения компакта X с пространством максимальных идеалов (не известно вообще ни одного примера, когда совпадение имеет место в данной ситуации). Проблема изучения произвольных максимальных подалгебр допускает следующую редукцию к случаю подалгебр, обладающих некоторыми специфическими свойствами. Пусть А — максимальная подалгебра алгебры С(Х) и пусть Υ— некоторое замкнутое подмножество в X. Через Αγ обозначается замыкание в С(Х) сужения Л на У и пусть В = = {/ е С(Х) |/| У е Αγ}. Тогда В — замкнутая подалгебра в С(Х), причем ЛсВс С(Х). Так как подалгебра А максимальна, то либо В = С(Х) и, следовательно, Αγ = С (Υ), либо А = В,
372 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ а это означает, что фактически А есть максимальная подалгебра в C(Y). Среди замкнутых подмножеств У, для которых А¥ФС(У\ имеется единственное минимальное подмножество Е. Оно называется существенным множеством относительно А. Если Ε = Ху то алгебра А называется существенной максимальной подалгеброй алгебры С(Х). Если А удовлетворяет последнему условию, то она является проникающей подалгеброй: Αγ = C(Y) для любого замкнутого подмножества, не совпадающего с X. Для максимальных подалгебр свойства быть антисимметричной, аналитической, областью целостности, существенной и проникающей являются эквивалентными. Последнее замечание позволяет указать пример подалгебры, которая не содержится ни в одной максимальной. Такой подалгеброй служит, в частности, алгебра R(X) (см. § 1, п. 3, пример 2), если она регулярна, но не совпадает с С(Х). С другой стороны, всякая собственная проникающая подалгебра алгебры С(Х) на несвязном X содержится в некоторой существенной максимальной подалгебре. Это обстоятельство позволяет построить максимальную подалгебру, например, в алгебре всех непрерывных функций на канторовом совершенном множестве, а также указать нестандартные примеры максимальных подалгебр в алгебре всех непрерывных функций на окружности. В заключение этого пункта приводится весьма общий аналитический вариант теоремы Вермера о максимальности. Пусть R— открытая риманова поверхность и O(R) —алгебра голоморфных функций на R. Компакт К d R называется О(R)-выпуклым, если для любой точки p^R\K существует такая функция /е £?(/?), что \f(p) \> max|/|. Полагается к X = К \ int /С, где int К — совокупность внутренних точек компакта К- Пусть К является О (R)-выпуклым компактом, int /С связно и плотно в /С, для каждой точки ρ е int К имеется только одна представляющая мера Иенсена (см. § 2, п. 2) на X относительно замыкания O(R) no равномерной сходимости на /(. В этих предположениях замыкание O(R) no , равномерной сходимости на X является максимальной подалгеброй алгебры С(Х). Литература: [246]. 3. Максимальные подалгебры в алгебрах с инволюцией. Теорема Вермера допускает обобщения совсем другого типа, чем указанное в конце предыдущего пункта. Именно, можно отправляться не от того факта, что внутренность круга обладает одномерной аналитической структурой, а использовать то обстоя-
§ 4. МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ 373' тельство, что его граница представляет собой связную компактную абелеву группу. Предварительно здесь приводятся некоторые сведения об упорядоченных группах. Пусть G — дискретная абелева группа. Группа G может быть упорядочена в том и только том случае, когда она не имеет элементов конечного порядка. В последнем случае при дополнительном ограничении на мощность она допускает введение архимедовой упорядоченности и сохраняющий порядок изоморфизм на некоторую подгруппу группы R1 (взятой в дискретной топологии). Архимедов порядок на группе индуцируется максимальными полугруппами и только ими. В силу сказанного в этом абзаце описанная ниже ситуация достаточно обща. Пусть G — подгруппа группы R1, рассматриваемой в дискретной топологии, и X — двойственная компактная группа. Пусть В — полупростая банахова алгебра с пространством максимальных идеалов X, в которой плотны тригонометрические полиномы, т. е. линейные комбинации характеров. Через 5+ обозначается совокупность тех элементов из В, которые ортогональны к характерам, отвечающим точкам отрицательной полуоси (напоминание: X = G a R1). Тогда В+ есть максимальная подалгебра алгебры В. Эта теорема позволяет доказывать максимальность подалгебр типа ^(S) в ^(G), где G — локально компактная абелева группа, a S — полугруппа в G (см. замечание к примерам 7, 8 в п. 1 § 1). В частности, отправляясь от нее, нетрудно объяснить максимальность в примерах, приведенных в конце п. 1. С другой стороны, алгебра L*(S) не обязана быть максимальной даже в том случае, когда S — максимальная полугруппа в G (достаточно рассмотреть пример открытой правой "полуплоскости с присоединенным началом координат в /?2). Вообще, если S — борелевская полугруппа в G и если Ll(S) —максимальная подалгебра алгебры Ll(G), то Sfl(—S) может содержать только нулевой элемент группы G, а сама S содержится в замкнутой полугруппе, индуцирующей на G архимедову упорядоченность. Ниже формулируется еще несколько результатов, касающихся максимальности, в которых не предполагается, что исходная алгебра полупроста. Пусть В— коммутативная банахова алгебра с инволюцией (см. § 2, п. 4). Пусть инволюция на В эрмитова, т. е. спектр самосопряженных элементов (/* = /) лежит на вещественной оси, и в алгебре В имеется некоторая группа G унитарных (//* = е) элементов, служащих системой образующих этой алгебры (§2, п. 2), причем в G содержится такая полугруппа G+, что G = G+ U G+ и G+ Π Λ = {е}, где А — замкнутая подалгебра алгебры Ву порожденная системой G+. В этой ситуации любой характер группы G, рассматриваемой в дискретной топологии, имеет вид g\—>φ(#), где φ— линейный мультипликативный
374 Γ Л VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ функционал на В. В частности, пространство максимальных идеалов алгебры В естественно наделяется структурой компактной абелевой группы. Если полугруппа G+ максимальна в и, то совокупность тех элементов f из В, для которых f ортогонально (по мере Хаара на пространстве максимальных идеалов) ко всем £, g e G\G+, образует максимальную подалгебру алгебры В, о которой очень часто можно утверждать, что она совпадает с А. Например, пусть X — компакт и G — группа непрерывных функций на X, равных по модулю 1, причем линейная оболочка группы G плотна в С(Х). Пусть в группе G имеется полугруппа G+, индуцирующая на G архимедову упорядоченность, и А—замкнутая подалгебра алгебры С(Х), порожденная элементами из G+. Тогда либо А антисимметрична (и в этом случае она максимальна), а X допускает структуру компактной абелевой группы, либо А = С(Х). В частности, А = С(Х), если X не может быть компактной абелевой группой. Рассмотрим снова банахову алгебру В с эрмитовой инволюцией, порожденную группой G унитарных элементов. Пусть на В действует полугруппа Σ линейных операторов, удовлетворяющих условиям Те = еу Tfg = Tf-Tgy a также осуществляющих взаимно однозначное отображение G на себя. Предполагается, что в группе G имеется полугруппа F с единицей, причем выполняются условия: f*Tf принадлежит к F для всех / е F и ΓεΣ; если g s= G\F, то (Tg)*^F для некоторого ΓεΣ; F* f] Α = {е}, где А — подалгебра в В, порожденная элементами из F. Тогда пространство максимальных идеалов алгебры В снова оказывается в естественной двойственности с группой G, а в случае, когда F—максимальная Σ-инвариантная полугруппа в G, построенная, как и выше, подалгебра В+ оказывается максимальной Σ-инвариантной подалгеброй в В. В описанную схему естественно укладывается пример, приведенный в конце п. 1. Литература: [246]. § 5. Групповые алгебры. Гармонический анализ 1. Групповая алгебра. Пусть G — группа с конечным числом элементов и пусть R — линейная система,- полученная из формальных линейных комбинаций элементов группы: х = Σ xgg (х е= R), ε где xg — произвольные комплексные числа. В системе R естественным образом можно ввести операцию умножения элементов: если x = ^xgg и y = ^ygg, то ху = (Σ Xg'g')(ΣУё-g") = ΣΣXg'iJg-g'g". Если обозначить произведение g'g" = g, то g" = (g^^g и •формула для умножения примет вид При введенной операции умножения система R становится алгеброй, которая называется групповой алгеброй конечной группы G.
§ 5. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 375 В дальнейшем рассматриваются коммутативные группы и для групповой операции применяется аддитивная запись. Формула для умножения записывается в виде g \g' I Групповая алгебра комутативной группы коммутативна. Формулу для умножения можно записать в координатной форме: g' Групповая алгебра является конечномерной коммутативной банаховой алгеброй с нормой ιι*ιι = Σι*,ι. При этом 11*0||<11*И-Ш· Аналогично строится групповая алгебра дискретной коммутативной группы G с бесконечным числом элементов. Здесь удобнее элементы групповой алгебры R считать комплексно- значными функциями x(g) от элементов группы. Умножение в R вводится по формуле {*y){g)^x{g')y{e-e'), g а норма — по формуле ιι*ιι=Σι*ωι. g Алгебра R состоит из всех функций x(g), для которых. t|x||< oo; она будет уже бесконечномерной коммутативной банаховой алгеброй. При рассмотрении непрерывных групп в предыдущих формулах суммы заменяются интегралами. Предполагается, чта на группе существует инвариантный интеграл, т. е. интеграл, обладающий свойством J" *{g + go)dg = J* x(g)dg при любом g0e=G. Алгебра R представляет собой пространство ^(G) суммируемых функций x(g) с нормой ll*IJ=Jl*(i)|rf* и с операцией умножения в виде свертки {xy){g)=[x{g')y{g~gc)dg'.
376 ГЛ. VTI. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ Групповая алгебра дискретной группы обладает единицей. Единицей служит функция ί 1, если g = 0; e(g)~{0t если ёФ0. Алгебра ^(G) недискретной непрерывной группы не содержит единицы (так как функция e(g) в L{(G) эквивалентна нулю). Поэтому групповой алгеброй в этом случае называют алгебру V(G), получаемую путем формального присоединения единицы к алгебре ^(G). Формально присоединенную единицу можно трактовать как δ-функцию на группе G. Частным случаем групповой алгебры является алгебра, соответствующая группа R1 всех вещественных чисел. В групповых алгебрах можно ввести инволюцию. По определению x*(g)^=zx(— g) и е* — е для единицы алгебры. Оказывается, что групповые алгебры не имеют радикала, т. е. радикал их состоит лишь из нулевого элемента. Таким образом, групповая алгебра изоморфна алгебре функций на пространстве 27Ϊ максимальных идеалов. Л и τ е ρ а т у ρ а: [212], [213], [217], [238], [242], [246]. 2. Характеры дискретной группы и максимальные идеалы .групповой алгебры. Характером дискретной группы называется функция %(g) φ 0, обладающая свойствами: %(g + h) = %(g)%(h) и χ*(#) = χ(— g) = %(g). Из определения следует, что \%(g)\= 1. Тривиальным характером является функция %(g) ss 1. Говорят, что группа имеет достаточное множество характеров, если для каждого ненулевого go^G найдется характер χ0 такой, что Xo(go) Φ Ι. По характеру группы можно построить мультипликативный функционал на групповой алгебре. Если группа дискретна, то мультипликативный функционал строится по формуле <f(x) = Hx(g)%(g)· S Оказывается, что этим исчерпываются все мультипликативные функционалы групповой алгебры. Таким образом, между мультипликативными функционалами и характерами, а следовательно, и между максимальными идеалами и характерами, устанавливается взаимно однозначное соответствие. Максимальный идеал Μ состоит из всех функций, ортогональных некоторому характеру 2*te)x(«r)-o. 8
§ 5. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 377 Характер восстанавливается по мультипликативному функционалу по формуле χ (go) = φ (е«,). где при g = g0, I 1 при g = ee. = e0(g-go) = \0 при еф Пространство ЗЙ максимальных идеалов есть компакт в слабой топологии, поэтому и пространство X характеров группы будет компактом в соответствующей топологии. Эта топология определяется с помощью фундаментальной системы окрестностей элементов χ0: ^ = (Хо> *ι» ···> хп> е), где {*1,..., хп) — произвольный конечный набор элементов групповой алгебры и ε > 0. Характер χ принадлежит U{%Q, х\, · · · ι Хп, ε), если \Σχη№Ιχ№-Κ>(β)]\<*> * = !> 2> · > «· I s I Указанная топология совпадает с топологией, введенной Л. С. Понтрягиным с помощью фундаментальной системы окрестностей ί/(χο;%Λε), состоящих из характеров χ, для которых Ι κ (sr) — хо (fir) К« при ^Ef, и F пробегает любые конечные подмножества группы G. В множестве характеров χ естественно вводится операция умножения: произведение χι(ί)χ2(ί) двух характеров группы будет снова характером группы. Операция умножения непрерывна в топологии пространства X. Итак, пространство характеров дискретной группы является компактной топологической коммутативной группой. Простейшим примером дискретной группы является группа Ζ целых чисел. Групповая алгебра состоит из последовательностей χ = {ст} с законом умножения + оо \Х* У/т == ^Л Cm'dm—m' m'=—σο и нормой ιι*ιι=Σι*«ι. Эта алгебра изоморфна и изометрична винеровской алгебре абсолютно сходящихся рядов Фурье (см. пример 6, § 1, п. 1). Характерами группы будут функции eim*. При Φ, отличающихся на целое кратное 2π, характеры совпадают, поэтому можно считать, что 0<-θ-^2π, и изображать характеры точками
378 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ единичной окружности: группой характеров группы целых чисел является единичная окружность. Мультипликативные функционалы строятся по формуле оо — оо и совпадают, как это отмечалось выше, со значениями функции винеровской алгебры в точке Ф. Литература: [212], [213], [217], [238], [242], [246]. 3. Компактные группы. Принцип двойственности. На компактной группе G существует инвариантный интеграл, поэтому для нее можно построить групповую алгебру V(G). Элементы этой алгебры имеют вид %e-\-x(g), где е — формально присоединенная единица, a x(g)-e ^(G). В алгебре V(G) имеется тривиальный максимальный идеал Λί«> = ^(G) и соответствующий ему мультипликативный функционал φοο(λ£ + *) = X. Характеры группы определяются так же, как и для дискретной группы с дополнительным требованием непрерывности. Характер определяет мультипликативный функционал (максимальный идеал) по формуле φ(λβ + χ) = λ+ j x(g)%(g)dg. Q Оказывается, что это построение дает возможность получить все нетривиальные максимальные идеалы. Пространство максимальных идеалов после отбрасывания одной точки Λίοο становится дискретным множеством. Таким образом, группа характеров компактной группы является дискретной группой. Компактная группа имеет достаточное множество характеров, образующих на группе полную ортогональную систему функций. Если для группы характеров X построить ее группу .характеров G', то эта группа будет компактной; G' изоморфно исходной группе G. Изоморфизм задается равенством χ(*) = φ*(χ). где φ* — элемент группы G'. Топология в группе характеров Gr совпадает с топологией исходной группы. Таким образом, группы G и Gr можно отождествлять. Если рассмотреть дискретную группу G, ее группу характеров X и группу характеров G' группы X, то группы G и G' также изоморфны. Последние утверждения составляют содержание принципа двойственности Л. С. Π о н τ ρ я г и н а. Литература: [212], [213], [217], [238], [242], [246]. 4. Локально компактные груцпы. Группа G называется локально компактной, если у нее существует компактная окрест-
§ 5. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 37£ ность нуля. На локально компактной группе также существует инвариантный интеграл. Элементы группового кольца V(G) имеют такой же вид, как и в случае компактной группы. Пространство максимальных идеалов после изъятия из него тривиального идеала Λί«, = ^(G) перестает быть компактным. Таким образом, группа характеров локально компактной группы сама является локально компактной группой. Локально компактная группа имеет достаточное множество характеров, для нее также справедлив принцип двойственности Л. С. Понтрягина. Отличие от случая компактной группы состоит еще в том, что характеры не принадлежат алгебре L*(G) и их следует рассматривать как элементы сопряженного пространства. Простейшим примером локально компактной группы является группа R1 всех вещественных чисел. Групповой алгеброй является алгебра V^/?1). Характерами группы являются функции еш при любом вещественном s. Группа характеров также является группой вещественных чисел. Представление элемента групповой алгебры в виде функции на пространстве максимальных идеалов оо £{Мг)= lx(t)eistdt — оо соответствует переходу от функции из L^/?1) к ее преобразованию Фурье. Аналог преобразования Фурье можно строить и на любой локально компактной группе с помощью ее характеров. Литература: [212], [213], [217], [238], [242], [246]. 5. Преобразование Фурье. Преобразованием Фурье называется переход от функции на группе G к функции на ее группе характеров X по формуле Τχ(χ) = jx(g)%(g)dg. Q Имеет место теорема единственности: если преобразования Фурье двух функций совпадают, то сами функции совпадают почти при всех g e G. Оператор Г, рассматриваемый на пересечении пространств L*(G) и L2(G), допускает замыкание до оператора, изометрически отображающего пространство L2(G) на пространство L2(X). Обратный оператор на Ь*(Х)Г\Ь2(Х) задается формулой r~7te)= J/(%)*(*) *χ· х
380 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ Важный класс функций на группе G образуют положительно определенные функции, т. е. такие функции ψ(#), что для любого конечного набора элементов gif ..., gn группы G и любых комплексных чисел ξι, ..., ξη выполнено неравенство Σ 2*(ft-ft)Ui>o. По каждой положительно определенной функции на группе можно построить линейный положительный функционал на групповой алгебре по формуле • Μλ* + χ) = λψ(0)+ jx(g)*(-g)dg. χ Каждый положительный функционал f на V(G) представим в виде f(te + x) = kp + fi(be + x), где ψ — однозначно определяемая по функционалу / положительно определенная функция на G, а р ^ 0. Из теоремы о представлении положительного функционала (§ 2, п. 4) следует теорема о представлении положительно определенной функции на группе: непрерывная функция на коммутативной локально компактной группе положительно определена тогда и только тогда, когда она является преобразованием Фурье неотрицательной меры (on- ределяемой по ψ однозначно) на группе характеров: *(g)=$%(g)dO(%). Литература: [212], [213], [217], [238], [242], [246]. 6. Спектральный синтез. Эндоморфизмы групповых алгебр. Говорят, что в полупростой алгебре разрешима проблема спектрального синтеза, если всякий замкнутый идеал в этой алгебре есть пересечение максимальных идеалов. Например, так обстоит дело в алгебрах С(Х) всех непрерывных функций на компактах. По отношению к групповым алгебрам локально компактных абелевых групп проблема спектрального синтеза приводит к нетривиальным аналитическим задачам. Первый пример неразрешимости проблемы спектрального синтеза в этой ситуации относился к алгебре V(R3). В некотором смысле полное решение вопроса дается следующей теоремой: проблема спектрального синтеза в групповой алгебре V(G) локально компактной абелевой группы О тогда и только тогда разрешима, когда группа G компактна (другими словами, когда группа характеров дискретна).
§ 5 ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 381 Имеется другой подход к проблеме спектрального синтеза в групповых алгебрах, основанный на теории тензорных произведений. Главная лемма утверждает при этом, что проблема синтеза эквивалентна в различных группах. Отсюда вытекает общий результат о неразрешимости для всех некомпактных групп, так как для группы V(R3) имеется (простой) пример замкнутого идеала, не являющегося пересечением максимальных. Среди других вопросов о групповых алгебрах локально компактных абелевых групп интересен вопрос о допустимых заменах переменных, т. е. об эндоморфизмах таких алгебр. Оказывается, в ряде случаев допустимые замены переменных сводятся к афинным. Пусть, например, Г1—единичная окружность и γ — такое отображение Г1 в Г1, что функция f(y(t)) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье для любой f (t), обладающей этим свойством. Тогда y(t) = eim(f+t*), где т — целое, U—вещественное. Аналогичный результат имеется и в общем случае. Для рядов Фурье функций одной переменной исследован также случай алгебр типа L*(G, а) (см. § 1, п. 1, пример 8). Литература: [210], [214], [248]. 7. Гиперкомплексные системы. Более общим объектом, чем групповые алгебры, являются гиперкомплексные системы. В конечномерном случае гиперкомплексные системы являются линейными системами с заданным законом перемножения элементов базиса этой системы: eiej = '^ciJkek. k Здесь, в отличие от случая групповой алгебры, произведение элементов базиса может, не являясь элементом базиса, быть некоторым элементом алгебры. Константы djh (называемые структурными) должны обладать свойствами, обеспечивающими необходимые свойства операций в алгебре. Если djk = Сцк, то гиперкомплексная система коммутативна. Формула для перемножения элементов χ = {Xj} и у = {у^} гиперкомплексной системы имеет вид (xy)k=2iXiyjCilk. Эта формула может рассматриваться как обобщение формулы свертки для групповой алгебры. В непрерывном случае роль базиса играет некоторое топологическое пространство Q, элементами гиперкомплексной системы являются функции на Q, умножение задается с помощью обобщенной свертки.
382 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ При определенных условиях, накладываемых на структурные константы djh в дискретном случае и на структурную меру в непрерывном случае, удается ввести аналог понятия инвариантной меры, характеров и изучить алгебры суммируемых по этой мере функций столь же детально, как и групповые алгебры. Теория этого класса алгебр позволяет изучать разложения по решениям уравнения Штурма — Лиувилля и по некоторым классам ортогональных полиномов. Литература: [200]. § 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах Гельфандовская теория хорошо приспособлена для изучения полупростых алгебр — один из основных ее результатов дает изоморфное представление полупростой алгебры в алгебру непрерывных функций на пространстве максимальных идеалов (п. 4 § 1). Об общих алгебрах с радикалом известно гораздо меньше, чем о полупростых. 1. Идеалы в алгебрах степенных рядов. Легко описать все идеалы в алгебре комплексных полиномов степени, не превосходящей т. Эта алгебра состоит из формальных полиномов 1 = а0 + а1Х+ ... +атХт, которые перемножаются по обычным правилам, но с учетом соотношения Xm+i = 0. Алгебра конечномерна, все нормы в ней эквивалентны и любой идеал замкнут. Ясно, что совокупность /^ тех ξ, для которых α,· = 0 при j^kt образует замкнутый идеал. Других идеалов в этой алгебре нет. Нетрудно проверить, что всякая алгебра с единственным нетривиальным идеалом изоморфна алгебре полиномов первой степени. Однако до сих пор не известно, верно ли это для алгебр с единственным замкнутым нетривиальным идеалом. Естественным бесконечномерным аналогом алгебр полиномов служат алгебры бесконечных комплексных формальных степенных рядов 1 = α0 + αιΧ + α2Χ2+ ... с обычными операциями и нормой оо 11111 = 2 |а*|о4, где afc — положительная последовательность* удовлетворяющая условию a,h+i ^ ahUi. Если α^Λ—>0 при & —► оо, то единственным нетривиальным гомоморфизмом алгебры в поле комплексных чисел служит ξ»—^αο. Таким образом, h является единствен-
§ 6. ЗАМЕЧАНИЯ О НЕПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБРАХ 383 ным максимальным идеалом, и этот идеал совпадает с радикалом. Конечно, идеалы /&, определяемые как и в конечномерном случае, дают счетный набор различных замкнутых идеалов. При некоторой регулярности последовательности а* (например, если последовательность ak+\lak монотонна) этим набором исчерпываются все замкнутые идеалы. В общем случае положение сложнее: алгебра может допускать континуальное семейство различных замкнутых идеалов. При подходящем подборе последовательности а& в рассматриваемой алгебре можно задать ненулевое непрерывное дифференцирование, т. е. такой ограниченный линейный оператор D, что £)ξη = (Ζ)ξ) η + ξ Φη)· В полупростых алгебрах нет нетривиальных дифференцирований, причем для непрерывных это сразу следует из того общего факта, что в любой (некоммутативной) алгебре №η = -}τΣ {-\)k+n[nk)ln-kDnt, если ξ и Οζ коммутируют. В частности, D£ есть обобщенный нильпотент, если оператор D непрерывен. Литература: [215], [240]. 2. Структурные теоремы. Согласно классической теореме Дж. Веддерберна любая конечномерная алгебра разлагается в прямую сумму радикала и полупростой подалгебры. В бесконечномерном случае аналогичное утверждение, вообще говоря, перестает быть верным даже для коммутативных банаховых алгебр. Кроме того, здесь приходится различать случаи алгебраической и сильной (топологической) разложимости. Оказывается, никакие условия, наложенные только на радикал, не обеспечивают даже алгебраической разложимости: радикал может быть одномерным и аннулирующим некоторый максимальный идеал и, тем не менее, не выделяться в качестве прямого слагаемого хотя бы в алгебраическом смысле. С другой стороны, если радикал конечномерен, а фактор-алгебра есть алгебра всех непрерывных функций (или ее некоммутативный аналог — алгебра операторов в гильбертовом пространстве с естественной инволюцией, см. § 2, п. 4), то имеется сильная разложимость. В тех же предположениях относительно фактор-алгебры в коммутативной ситуации по существу полностью исследован случай сингулярного радикала, т. е. такого, в котором квадрат любого элемента равен нулю. Пусть 91 — исходная алгебра, R — ее радикал и А = %/У?. Важным является здесь то обстоятельство, что сингулярность радикала обеспечивает наличие на R естественной структуры Л-модуля. Это позволяет привлечь гомологические методы. Наиболее
384 ГЛ. VII. КОММУТАТИВНЫЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ простые результаты: сильная разложимость имеет место, если предположить наличие у R банахова дополнения, или, без этого предположения, если пространство максимальных идеалов алгебры 51 удовлетворяет 1-й аксиоме счетности в каждой точке. Полностью исследован также случай, когда фактор-алгебра по радикалу изоморфна алгебре всех непрерывных функций на вполне несвязном компакте. Необходимое и достаточное условие сильной разложимости состоит в равномерной ограниченности идемпотентов исходной алгебры. Можно дать достаточное условие в терминах роста норм элементов радикала: для сильной разложимости достаточно, чтобы соотношение jj rn \\1!п ~> О выполнялось равномерно по элементам радикала с ||r|| ^ 1. Например, сильная разложимость имеется, если гп = 0 для всех г (= R при некотором фиксированном п. Аналогичный результат верен и для того случая, когда фактор-алгебра изоморфна k с покоординатным умножением. Существует конструкция, позволяющая, исходя из данной коммутативной банаховой алгебры Л без единицы, дать описание всех (с точностью до эквивалентности) ее аннуляторных расширений, т. е. таких коммутативных банаховых алгебр % с радикалом R, что 51/7? = Л, причем аг = О для всех аеЯ и г е R. Конструкция состоит в том, что алгебре А сопоставляется тензорный квадрат А ® Л, дополнительно профакторизованный по соотношениям коммутативности и ассоциативности, и линейный оператор т, естественно отображающий Α β А на линейную оболочку произведений ab, где а, бе Л. Используя оператор τ, можно определить «группы расширений», тривиальность которых означает ту или иную разложимость всех расширений 91. Одно из простейших следствий: аннуляторные расширения алгебр А=1Р (1 ^ ρ ^ оо) с покоординатным умножением сильно разложимы лишь при р=\ и /? = оо. Литература: [218], [219], [241].
ГЛАВА VIII ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ § 1. Конусы в линейных пространствах 1. Конус в линейной системе. Выпуклое множество К элементов вещественной линейной системы называется конусом, если это множество содержит вместе с каждым элементом х (χ φ θ) все элементы вида tx при / > 0 и не содержит элемента — х*). Примеры. 1. Совокупность всех неотрицательных функций x(t) (/<=[0, 1]) пространства С[0, 1] образует в этом пространстве конус**). Аналогично множества всех неотрицательных функций пространства Lp[0, 1], пространства Λί[0, 1] и пространства Орлича образуют конусы в этих пространствах. 2. В пространстве ограниченных линейных самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, множество положительных операторов образует конус. 3. В координатных пространствах lp, т, с конусами будут множества элементов с неотрицательными координатами. 4. В функциональных пространствах иногда приходится изучать конусы более узкие, чем конус, состоящий из всех неотрицательных функций. Эти конусы выделяются системой дополнительных однородных неравенств. Например, конус неотрицательных неубывающих функций: *('i)<*('2) (t{<t2) и конус неотрицательных выпуклых вверх функций: *) Если последнее условие не выполнено, то множество называется клином. **) Определение пространства см. гл. I, § 2, п. 5.
386 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ Конус К линейной системы Ε называется воспроизводящим, если любой элемент х^Е представим в виде разности двух элементов из конуса: χ = Х\ — х2 (*ь А;2еК). Конус неотрицательных функций пространства С[0, 1] — воспроизводящий: каждую функцию x(t) εφ, 1] можно представить в виде разности неотрицательных функций x+{t)y x~(t): χ (t) = x+ (t) — x- (/), где ί χ (t), если х (0^0, χ+№ = { 0, если x(t)<09 f 0, если *(f)>0, *"W_ \ -*(f), если x(t)<0. Все конусы, рассмотренные в примерах 1—3, являются воспроизводящими. Не каждый конус обладает свойством воспроизводимости. Так, например, конус неотрицательных неубывающих функций (пример 4) в пространстве С[0, 1] не является воспроизводящим, так как в виде разности неубывающих функций могут быть представлены лишь функции ограниченной вариации. Литература: [268]. 2. Полуупорядоченные пространства. Вещественная линейная система Ε называется линейным полуупорядоченным пространством, если для некоторых пар элементов х, у^Е определено соотношение χ < у и если знак < обладает обычными свойствами знака неравенства. Речь идет о следующих свойствах: 1) из х<^у вытекает, что tx <^ty при / ^ 0 и ty<^tx при /<0, 2) из* <#и#<х вытекает, что χ = у, 3)~ из Xi<j/iHX2^Уг вытекает, что Х\ + x2 Kyi + #2, 4) из^<{/ и {/<г вытекает, что χ <ζ ζ. Соотношение < обычно называют неравенством; говорят, что χ меньше или равен у, если х<^у. Если χ > θ, то говорят, что х- — положительный элемент. Следует отметить, что знак ^ устанавливает в пространстве вещественных чисел отношение полной упорядоченности в том смысле, что любые два числа могут быть соединены этим знаком (либо а ^ £>, либо а ^ Ь)\ знак ^ в линейном пространстве этим свойством, вообще говоря, не обладает. Именно с этим обстоятельством связано происхождение термина «полуупорядоченность». Совокупность К всех элементов χ полуупорядоченного пространства, удовлетворяющих соотношению λ'>θ, образует конус в этом пространстве. Наоборот, если в линейной системе Ε
§ 1. КОНУСЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 387 задан конус К, то в этой системе можно ввести полуупорядоченность, полагая χ<ζ> у, если у — х^К. Таким образом, рассмотрение линейных полуупорядоченных пространств эквивалентно рассмотрению линейных систем с конусом. Если /( — конус неотрицательных функций в пространстве С (или Lp), то соотношение полуупорядоченности приобретает простой смысл: х<^уу если x(t) ^y(t) при всех (или почти всех) значениях /. Литература: [28]. 3. /(-линеалы, миниэдральные конусы. Линейное полуупоря* доченное пространство называется К-линеалом, если выполняется следующее условие: 5) для любых двух элементов ху у е £ существует такой элемент z^E, что x<^z, у <ζ,ζ и г < ζ для всякого элемента ζ, обладающего тем же свойством: χ<ζ, ί/<ζ. Элемент ζ называется точной верхней границей или supremum'oM элементов χ и у и обозначается ζ = sup(x, у). Из существования в К-линеале supremum'a для любых элементов х, у вытекает существование для любой пары (х, у) infimum'a этих элементов, т. е. такого элемента и, который обладает следующими свойствами: u^xt и<^у и если ν <^χ> и<#, то υ<^ιι. При этом пишут u = ini(x, у). Имеет место равенство: Ы{х,у) = (х + у) — sup(x, у). Конус, образованный положительными элементами /(-линеала, называется миниэдральным. Если обозначить через Ки совокупность элементов вида χ + и (х <= /(), то миниэдральность конуса означает, что для любых #,#<=£ может быть указан такой элемент ζ, что Кх Π Ку = Кг. При этом ζ = sup (χ, у). Каждый элемент /(-линеала допускает * представление х = х+ —х-, где x+ = sup(x, θ), x_ = sup(—χ, θ). Элемент Ι λ: I = χ+ + χ- называется модулем элемента х. Конусы неотрицательных функций в пространствах С, Lp, M миниэдральны. Конусы неотрицательных последовательностей в пространствах lPf m, С также миниэдральны. Конус неотрицательных функций в пространстве С*[0, 1] непрерывно дифференцируемых функций свойством миниэдральности не обладает. Конус положительных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, также не миниэдрален. Литература: [28], [268]. 4. /(-пространства. Пусть MzsE — некоторое подмножество полуупорядоченного пространства Е. Если все элементы из Μ не превышают некоторый элемент ze£ (χ<ζ,ζ при jcgM),to2
388 ГЛ VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ называется верхней границей множества М, а само множество Μ называется ограниченным сверху. Верхняя граница множества -называется точной верхней границей Μ (пишется ζ = = supM), если для всякой другой верхней границы ζ множества Μ выполняется соотношение ζ>£. Аналогично вводятся определения ограниченности снизу, нижней границы и точной нижней границы множества элементов из £. Если пространство Ε является /(-линеалом, то существует точная верхняя граница у каждого конечного набора элементов. /(-линеал Ε называется К-пространством, если всякое его ограниченное сверху непустое подмножество имеет точную верхнюю грань. В /(-пространстве всякое ограниченное снизу непустое множество элементов имеет точную нижнюю грань. Конус положительных элементов /(-пространства иногда называют сильно миниэдральным. Пространства Lp, Λί, lPt m являются /(-пространствами; /(-линеалы С и с не являются /(-пространствами по отношению к конусу К соответственно неотрицательных функций и неотрицательных последовательностей. В /(-пространствах может быть введена сходимость по упорядочению, которая называется (о)-сходимостью. Для удобства ее описания к /(-пространству присоединяют два новых «несобственных элемента» оо и — оо, относительно которых считают, что — оо<#<оо для всех элементов х^Е. Тогда для неограниченного сверху множества Λί cz Ε полагают sup Μ = оо, а для неограниченного снизу множества infM = —оо. Кроме того, если-в число элементов множества Λί, кроме собственных элементов χ ^ £, входит оо, то считают sup Λί = оо, а если входит — оо, то считают inf Λί = —оо. Пусть хп (п = 1, 2, ...)—произвольная последовательность элементов /(-пространства Я. Наибольшим и наименьшим пределами этой последовательности называются элементы, определяемые соотношениями lim xn = inf [sup (xn, xn+l, ...)], П->оо Π Hm ^ = sup[inf(x„, xn+{, ...)]. П->оо η Эти элементы могут быть конечными, либо равными оо или — оо. Если lim хп = lim xn, то последовательность хп назы- П-*оо /г->оо вается (о)-сходящейся, а общее значение ее наибольшего и наименьшего пределов называется {о)-пределом и обозначается (о)- lim xn. П->оо
§ 1. КОНУСЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 389 Основным видом сходимости в /(-пространстве является (о) -сходимость; (о) -сходящиеся последовательности обладают рядом привычных свойств сходящихся последовательностей. Например, если (о)-\\тхп = х и {о)Л\туп = у и оба предела конечны, то последовательность хп + Уп является (о)-сходящейся, причем (о)- lim (хп + уп) = (o)-lim xn + (о)- lim yn. П->оо П-*оо Для того чтобы (о)-lim хп = ху необходимо и достаточно, /1->оо чтобы (о)-lim \xn — jc J == Θ. Последовательность хп называется (о)-фундаментальной, если (о)-lim [ sup |*л — хт|] = 9. /г-»оо k, m^n Важным свойством /(-пространства является свойство пол- боты относительно (о)-сходимости. Для того чтобы последовательность хп имела конечный [о)-предал, необходимо и достаточно, чтобы она была (о)-фундаментальна. Последовательность хп называется (t)-сходящейся к элементу ху если из любой ее подпоследовательности хП1 можно •выделить частичную подпоследовательность хп так, что {о)-lim xn. = х. Если последовательность (о)-сходится, то юна и {t) -сходится; обратное заключение в общем случае неверно. В /(-пространствах Μ Lv (о) -сходимость последовательности элементов xn(t) совпадает со сходимостью почти всюду при дополнительном условии, что все функции xn(t) ограничены в совокупности одной функцией из того же пространства, а (t) -сходимость означает сходимость по мере при том же дополнительном условии. В /(-пространствах 1Р (1 </? < со), m (о)-сходимость последовательности хп равносильна тому, что лоследовательность хп покоординатно сходится и ограничена некоторым элементом пространства. Литература: [28]. 5. Конусы в банаховом пространстве. Если система £ является банаховым пространством, то под конусом в банаховом пространстве Ε понимается всякий конус линейной системы Е, являющийся одновременно замкнутым множеством в пространстве Е. Если конус К в банаховом пространстве Ε является воспроизводящим, то существует константа Μ такая, что для каждого
390 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ хе£ имеется представление χ = Χι — χ2 (хи х2е/(), в котором ||*ι||<Λ1Μ и \Ш\^М\\х\\. Частным случаем воспроизводящего конуса является телесный конус. Конус называется телесным, если он содержит по крайней мере один внутренний элемент. Примером телесного конуса может служить конус неотрицательных функций пространства С[0, 1]. Внутренними элементами этого конуса являются функции с положительным минимумом. Конус из примера 2 п. 1 и конус неотрицательных последовательностей пространства m телесны. Конусы неотрицательных последовательностей пространства lv (l^p<oo) и неотрицательных функций пространства Lp(0,1) (1^Р<°°) свойством телесности не обладают. Таким образом, не каждый воспроизводящий конус телесен. В конечномерном пространстве каждый воспроизводящий конус телесен. Конус К называется нормальным, если существует такое б > 0, что для любых ей е2^К, Ι|βιΙΓ= lleall = 1 выполняется неравенство \\в\ + е2\\ ^ δ. Конусы в примерах 1—3 п. 1 нормальны. Примером конуса, не обладающего свойством нормальности, может служить конус неотрицательных функций в пространстве С4[0, 1] непрерывно дифференцируемых функций x{t). Класс нормальных конусов является весьма важным. Если конус К нормален, то полуупорядоченность, установленная в Ε этим конусом, обладает следующим свойством: в Ε можно ввести такую новую норму || ||ι, эквивалентную первоначально заданной норме, что для любых х, у^Е из соотношения —у<^ <х<# следует неравенство ||χ||ι ·< \\y\U. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение. В силу эквивалентности норм II Hi и || || это свойство нормальности конуса можно сформулировать в виде следующего критерия: конус К нормален тогда и только тогда, когда из неравенства θ ^х^у следует скалярное неравенство \\х\\ ^ М\\у\\, где Μ — постоянная. Существует еще несколько критериев нормальности конуса. Один из них связан с понятием ^0-нормы. Пусть щ — некоторый фиксированный ненулевой элемент из конуса К. Элемент х^Е называют и0-измеримым, ,если при некоторых неотрицательных tu t^ —tiU0<zX <4а0. Пусть EUo — линейное множество всех αο-измеримых элементов, а(х)—нижняя грань чисел tif β (χ)—нижняя грань чисел /а для χ е £Ма. Если положить для всех элементов ху у из Ещ IU||Mo = max{a(x), β (χ)}, то множество EUo становится нормированным пространством,, а число IUIU называется щ-нормой элемента х.
§ 1. КОНУСЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 391 Для нормальности конуса К необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство \\х\\Е<М\\х\\и^\\щ\\Е (х^Еш, щевК, и0Ф<3)у где постоянная Μ не зависит от χ и и0. Из последнего критерия следует, что нормальность конуса К обеспечивает полноту пространства^,, по и0-норме. Банахово пространство Ε с миниэдральным конусом К называется структурой, если норма в Ε удовлетворяет следующему условию: из #<£ и \х\ <*\у\ вытекает, что ||х|| ^ \\у\\. Литература: [33], [268]. 6. Правильные конусы. Конус К называется правильным, €сли порождаемая им полуупорядоченность обладает тем свойством, что для любой последовательности хп (п = 1, 2, ...) из соотношений Х\ < *2 < · · · < Хп ^ и хп<,и (п=1, 2, ...), где и — некоторый элемент пространства Е, вытекает сходимость последовательности хп по норме пространства Е. Иными •словами, конус К правилен, если сходится по норме каждая монотонная (по конусу) и ограниченная (также по конусу) последовательность элементов пространства. Конус К а Е называется вполне правильным, если сходится aio норме каждая монотонная (по конусу) и ограниченная по норме последовательность элементов. Каждый вполне правильный конус правилен, а каждый правильный конус нормален. Примером вполне правильного конуса может служить конус неотрицательных функций пространства Lp[0, 1] (1 ^ ρ < оо) или конус неотрицательных последовательностей в пространстве /р (1 ^ ρ <. оо). Конус неотрицательных последовательностей в пространстве с0 правилен, но не вполне •правилен. Конус неотрицательных последовательностей в пространстве m и конус неотрицательных функций в пространстве С[0, 1] свойством правильности не обладают. В пространствах Орлича конус неотрицательных функций вполне правилен, если Μ (и) удовлетворяет Аг-условию; в противном случае этот конус не обладает даже свойством правильности. Правильный конус является вполне правильным при выполнении одного из следующих условий: 1) конус К телесен; '2) пространство Ε слабо секвенциально полно. Функционал f(x) (не обязательно линейный) называется положительным, если f(x) ^ 0 при х^К\ функционал f(x) называется строго положительным, если f(x) >0 при x^Kt хф&.
392 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ Функционал f(x) называется монотонным относительно конуса /С, если соотношение 0<х<# влечет неравенство f{x) ^ <;/(#). Положительный функционал f(x) называется строго растущим, если для любых hn^K (/г = 1, 2, ...) из ||Λη|| ^ ε > > 0 (п = 1, 2, ...) вытекает, что lim/(A1 + A2 + ... + йя)=со. /г-»оо Если на конусе К может быть определен монотонный строго растущий функционал, то конус К правилен. Если на конусе К может быть определен строго растущий и ограниченный на каждом шаре функционал f{x), то конус К вполне правилен. Примером строго растущего на конусе неотрицательных функций пространства Lp[0, 1] и ограниченного на каждом шаре функционала является /7-я степень нормы элемента. Справедлив следующий результат отрицательного характера: телесный миниэдральный конус в бесконечномерном пространстве не может быть правильным. Литература: [28], [33]. 7. Теоремы о реализации полуупорядоченных пространств. Пусть К — нормальный конус сепарабельного банахова пространства Е. Тогда существует взаимно однозначное линейное и непрерывное отображение пространства Ε в подпространство пространства С[0, 1], при котором элементы из К и только они переходят в неотрицательные функции. Если Ε не сепарабельно, то справедливо аналогичное утверждение с заменой С[0, 1] на пространство C(Q) непрерывных функций, заданных на некотором бикомпакте Q. В случае, когда в банаховом пространстве Ε имеется телесный нормальный и миниэдральный конус К, существует линейное взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства Ε на все пространство C(Q), где Q — некоторый бикомпакт, при котором К переходит в множество Kq всех неотрицательных на Q функций. Частным случаем последнего утверждения является следующий результат: если К — миниэдральный телесный конус в п-мер- ном пространстве, то существует такой базис {е\,е2, ..., еп)> что множество векторов χ = ξ^ + £г^2 + · · · + lnen c неотрицательными координатами ξ^Ο (i = 1, 2, ..., η) совпадает с К. Если в сепарабельном банаховом пространстве Ε задан миниэдральный конус К и ||х + у\\ = ||*|| + \\у\\ при ху у е /С, то существует линейное взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства Ε на пространство L[0, 1], при котором
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 393 К переходит в множество почти всюду неотрицательных функций из L[0, 1]. Если Ε не сепарабельно, то L[0, 1] заменяется пространством L(Q) на некотором бикомпакте Q с мерой. § 2. Линейные положительные функционалы 1. Положительные функционалы. Наиболее важным классом положительных функционалов являются линейные положительные функционалы. Если конус К в банаховом пространстве является воспроизводящим, то каждый линейный положительный функционал непрерывен. В дальнейшем под линейным положительным функционалом понимается непрерывный функционал. Для каждого нетривиального конуса существует ненулевой линейный положительный функционал. Более того, для каждого χ <ξ Κ, χ Φ θ можно указать такой положительный линейный функционал f, что f(x) > 0. Если пространство Ε сепарабельно, то можно построить такой линейный непрерывный функционал f(x), что f(x) > 0 для всех х<=К (χφθ). Для несепарабельных пространств последнее утверждение не имеет места. Если конус К телесен и и0 — его внутренний элемент, то /("о) >0 для каждого ненулевого положительного функционала /. Для элемента ϋο^Κ, не являющегося внутренним элементом телесного конуса /С, найдется по крайней мере один такой положительный функционал / (/ Φ 0), что f(v0) = 0. На элементе, не принадлежащем конусу /С, по крайней мере один из положительных функционалов принимает отрицательное значение. Таким образом, каждый конус К однозначно описывается множеством К положительных линейных функционалов, т. е. К = {хеЕ: f(x)>0 (Vfe/Ob Множество К положительных линейных функционалов выпукло, замкнуто уС содержит вместе с каждым функционалом / элементы // для всех t ^ 0. Однако полугруппа К' может не быть конусом: из / е К' и / Φ θ еще не следует, что —f e К'. Оказывается, что К' является конусом тогда и только тогда, когда замыкание в Ε линейной оболочки 3?(К) конуса К совпадает с Е: 3?(К) = Е. В этом случае конус К называется почти воспроизводящим. Множество К' называют сопряженной полугруппой (соответственно сопряженным конусом). Исходя из общего вида линейного функционала в конкретных пространствах, как правило, нетрудно установить общий вид положительных линейных функционалов. Так, например, в случае конуса К неотрицательных функций пространства С(0, 1)
394 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ полугруппа К' совпадает с множеством неубывающих функций в пространстве функций ограниченной вариации, в случае конуса К неотрицательных функций пространства Lp(0, 1) (1</7<оо) конус К! совпадает с множеством неотрицательных функций пространства Lq(0, I) (q = ρ/{ρ — 1)). Для того чтобы сопряженная полугруппа К' была воспроизводящей, необходимо и достаточно, чтобы конус К был нормаль- ным. Для того чтобы конус К был воспроизводящим, необходимо недостаточно, чтобы конус К' был нормальным. Если конус К миниэдрален, то конус К' миниэдрален и, более того, сильно миниэдрален. Литература: [33], [268]. 2. Продолжение линейных положительных функционалов. Пусть Ε — банахово пространство, а £0с:£ — некоторое его подпространство, Ко и К—конусы соответственно в Е0 и £, причем /Со = К Π Е0. Пусть f — линейный непрерывный функционал, определенный на Е0, положительный относительно конуса Ко (f(x)^O при х^Ко)- Линейный непрерывный функционал F, определенный на £ и положительный относительно конуса /С, называется положительным продолжением функционала f с подпространства Е0 на пространство Е, если F(x) = = f{x) при ^g£0, Пусть для любого элемента Jie£ существует представление х = xt — χ2ι где Χι е /Со, *2 е К. Тогда для всякого линейного непрерывного положительного функционала f, определенного на £Ό, существует положительное продолжение F на все пространство Е. При этом все линейные положительные'продолжения F функционала / на пространство Ε ограничены и нлкилкси/н, где С — постоянная. Близкое утверждение можно сформулировать для пространств, являющихся /(-линеалами. Пусть Е0 — линейное многообразие в /(-линеале Е, обладающее тем свойством, что для любого JiGf найдется такой элемент х' е Е0, что \х\ <х'. Тогда каждый положительный линейный функционал, заданный на Ε о, может быть продолжен до положительного линейного функционала, определецного на всем пространстве Е. Пусть 9?j — подпространство нулей функционала f. Имеет место следующий критерий: для того чтобы линейный положительный функционал f, у которого Κοφ3?ι, можно было бы продолжить с Ео на Ε с сохранением линейности иположитель- ности, необходимо и достаточно, чтобы Κ®Ε0φΚ@3?ι- Литература: [28], [250], [251], [252], [268].
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 395 3. Равномерно положительные функционалы. Положительный линейный функционал называется равномерно положительным, если существует такое положительное число а, что f(x)>a\\x\\ (*€=/С). В пространстве Ι(Ω) суммируемых на некотором множестве Ω функций с конусом К неотрицательных функций равномерно положительным будет функционал f(x) = J x(t)dt. Ω В пространствах LP(Q) при ρ > 1 и в пространстве Ο(Ω) нет равномерно положительных линейных функционалов на конусе К неотрицательных функций. Если существует равномерно положительный функционал, то конус нормален и, более того, вполне правилен. Для того чтобы существовал равномерно положительный функционал, необходимо и достаточно, чтобы конус К можно было заключить в другой конус К\ так, чтобы каждый ненулевой элемент Хо е К содержался в Κι вместе со своей шаровой окрестностью радиуса q\\xo\\, где число q не зависит от выбора Хо<= К. Последним свойством всегда1 обладает конус K(F), построенный по замкнутому ограниченному выпуклому множеству F, не содержащему нуля, следующим образом: K{F) состоит из всех элементов χ е £, которые допускают представление χ = tz, где t^O и z^F. Этим же свойством обладает конус К (ν), состоящий из всех таких элементов χ <= К, которые удовлетворяют соотношению *>||*||ι>; здесь υ — фиксированный ненулевой элемент из К. Литература: [269]. 4. Ограниченные функционалы на конусе. Аддитивный и однородный функционал f(x), определенный только на элементах •конуса К банахова пространства Е, называется ограниченным, если 11/11+= sup |/(*)|<oo. х е К, \\х ||=1 Если аддитивный и однородный функционал задан на воспроизводящем конусе и неотрицателен на Нем, то он ограничен. Ограниченный аддитивный и однородный функционал, заданный на воспроизводящем конусе, однозначно продолжается до линейного непрерывного функционала, заданного на всем пространстве £, равенством f(x) = f(x\)— /(^2), где χ = Х\ — х2 и xlt x2 e К. Если конус не является воспроизводящим, то при
396 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ указанном продолжении функционала на линейную оболочку конуса может получиться уже неограниченный функционал. При условии нормальности конуса каждый ограниченный, аддитивный и однородный на К функционал f(x) мажорируется на бонусе К некоторым линейным непрерывным положительным функционалом, т. е. существует Ф(х) е К' такой, что 1/МКФМ (*е=*). Если норма в Ε введена так, что ||я|| ^ \\у\[ при Q<^x<^y, то функционал Φ может быть выбран таким образом, что ||Ф|| = = II/H+ при неотрицательном / и ||Ф|| ^ 2Ц/Ц+ в общем случае. Литература: [262], [263]. 5. Сходимость последовательности положительных функционалов. Говорят, что ненулевой функционал / е /С отвечает точке Хо е К> если f(xo) =в 0. Ненулевую точку х0 е К называют точкой гладкости (конуса /С), если ей отвечает единственный (с точностью до множителя) функционал. В случае, когда К — конус неотрицательных функций пространства С(0, 1), точками гладкости являются те и только те неотрицательные функции, которые принимают нулевое значение лишь в одной точке. Если x0(t) —точка гладкости и χ0(ί0) = = 0, то Xo(t) отвечает функционал f(x) = x(t0) (*(/)€= С (0, 1)). В конусе неотрицательных функций пространства Lp[0, 1] точек гладкости нет. Положительные функционалы /о, отвечающие точкам гладкости, обладают следующим замечательным свойством. Пусть положительный линейный функционал /о отвечает точке гладкости Хо конуса К и Χι — такая точка пространства Е, что fo(xi) Ф0. Пусть последовательность положительных линейных функционалов fn имеет равномерно ограниченные нормы и удовлетворяет соотношениям lim fn (x0) = 0, lim fn (x{) = f0 (xx). П->оо П->оо Тогда последовательность fn слабо сходится на всем пространстве и имеет место равенство lim fn(x) = f0(x) {xt=E). rt->oo Следствием из этого утверждения является предложение: пусть конус К телесен, а монотонная последовательность линейных функционалов сходится в двух точках х0 и Χι, первая из которых является точкой гладкости конуса К, а вторая — вну-
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 397 тренней точкой К. Тогда последовательность функционалов сходится на всем пространстве Е. Например, пусть в пространстве С(0, 1) с конусом неотрицательных функций x0 = Xo(t)—неотрицательная функция, обращающаяся в нуль лишь в одной точке to, а Χι = Xi(t) = 1. Если последовательность положительных линейных функционалов /п удовлетворяет условиям lim /я(х0) = 0, lim fn(xx)=\, то для каждой непрерывной функции χ(t) справедливо равенство Mm fn(x) = x(t0). /г->оо § 3. Линейные положительные операторы 1. Понятие положительного оператора. Пусть £ь Е2— банаховы пространства с конусами Ки Кг соответственно. Линейный оператор А, действующий из £Ί в £2, называется положительным, если он преобразует конус Κι в конус Къ\ AKi cz Кг- Положительный линейный оператор обладает свойством монотонности: для любых элементов х, у^Е из х<^у вытекает, что Αχ<ζ. <Ау. Если конус Ki cz Ei является воспроизводящим, а конус Кг с= cz Е2 нормальным, то каждый линейный положительный опера- тор Α(Ει-+Ε2) непрерывен, В частности, каждый линейный оператор А(Е-+Е), оставляющий инвариантным воспроизводящий и нормальный конус /С, непрерывен. В дальнейшем под линейным положительным оператором понимается непрерывный оператор. В случае конечномерных пространств с конусом, составленным из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрицательными элементами. Важным примером линейных положительных операторов, действующих в различных пространствах функций, являются линейные интегральные операторы Αφ(ή= '\ K(t, s)y(s)ds Ω с неотрицательными ядрами K(t,s) (t, s e Ω; Ω — ограниченное замкнутое множество конечномерного пространства). Если ядро K{t,s) удовлетворяет условиям, при которых оператор действует в соответствующем пространстве, то при конусе К
398 гл. νια. операторы в пространствах с конусом неотрицательных функций этот оператор является линейным положительным оператором в данном пространстве. Если конус К телесен и для каждого ненулевого х^К найдется такое п = п(х), что Апх является внутренним элементом конуса, то оператор А называется сильно положительным. Если интегральный оператор действует в пространстве С и некоторая итерация ядра K(t,s) KN(U s)=j ... J/C(<, *,)/С(*|э t2)...K(t„-lf s)dtl ...dt^x положительна, то этот оператор будет сильно положительным в пространстве С. Линейный положительный оператор А называется неограниченным снизу {и0 — фиксированный ненулевой элемент из /С), если для каждого ненулевого χ е К можно указать такое натуральное п = п(х) и такое положительное число <х = а{х), что аио<^Апх. Оператор А называется uo-ограниченным сверху, если для каждого χε£ найдутся такие п = п(х) и β = β(λγ), что Апх < βα0. Если оператор А ^-ограничен сверху и снизу, το для каждого х^К при некоторых m = m(x)9 α {χ) > 0, β {χ) > 0 выполняется соотношение α (χ) и0 < Amx < β (χ) кооператоры, удовлетворяющие последнему соотношению, называются ио-положительными. Важные примеры и0-положительных операторов представляют интегральные операторы, ядра которых являются функциями Грина некоторых краевых задач для дифференциальных операторов. Так, функция Грина G(t> s) первой краевой задачи для уравнения эллиптического типа второго порядка (при естественных предположениях относительно гладкости границы области и коэффициентов) является Wo-положительным оператором относительно конуса неотрицательных функций, где u0(t) = = j G{t7 s)ds (te= Ω). Ω Если для каждого лге-ΖΓ выполняется соотношение —Ьио<^! <,Anx<iauo для некоторых п = п(х), α = α(χ)>0, b=b(x)>0, то оператор А называется щ-ограниченным в пространстве Е. Пусть интегральный оператор действует в LP(Q) (p^?l). Если при этом ядро K(t9s) удовлетворяет неравенству K(t, s)>u0{t)^0 (t, seQ), где uo(t) ^ LP(Q) и u0(t) принимает положительные значения на некотором множестве соей положительной меры, то one-
$ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 399 ратор будет ^-ограниченным снизу (и0 ss u0(t)). При этом оператор может не обладать свойством а0-ограниченности сверху. Оператор А называется и^непрерывным, если он преобразует каждую сходящуюся по норме пространства Ε последовательность в последовательность, сходящуюся по «0-норме. Всякий аддитивный, однородный, положительный и ^-ограниченный ^ в пространстве Ε оператор А обладает тем свойством, что некоторая его степень Ап° является ^о-непрерывным оператором. Элемент и0 е К называется квазивнутренним элементом конуса /С, если f(uo) > О для каждого ненулевого f е/('. В случае телесного конуса К множество квазивнутренних элементов совпадает с множеством внутренних элементов /С. В сепарабельном пространстве каждый почти воспроизводящий конус содержит квазивнутренние элементы, в несепарабельном пространстве не каждый воспроизводящий конус имеет квазивнутренние элементы. Литература: [33], [258], [268]. 2. Неразложимые операторы. Пусть конус К с= Ε содержит квазивнутренние элементы. Линейный положительный оператор А называется неразложимым, если каждый элемент χ е /С, χ Φ 6Г удовлетворяющий при некотором а>0 соотношению ах^>Аху является квазивнутренним элементом конуса /С. В случае конечномерных пространств с конусом, составленным из векторов с неотрицательными компонентами, неразложимые операторы определяются неразложимыми матрицами с неотрицательными элементами. Каждый сильно положительный или ^-ограниченный снизу оператор, в случае,. когда ί/ο-квазивнутренний элемент /С, является неразложимым оператором. В случае интегрального оператора с непрерывным неотрицательным ядром и связной областью интегрирования Ω неразложимость эквивалентна сильной положительности. В случае несвязного множества Ω класс неразложимых интегральных операторов с неотрицательными ядрами шире класса сильно положительных интегральных операторов. Для неразложимости линейного интегрального оператора с непрерывным неотрицательным ядром K(t,s) и связной областью интегрирования Ω необходимо и достаточно, чтобы при любом разбиении множества Ω на два непустых непересекающихся множества F и Q, из которых F замкнуто, для некоторых to^F и Sq^Q выполнялось неравенство К (to, s0) > 0. Для неразложимости интегрального оператора, ядро которого неотрицательно и суммируемо на Ω Χ Ω, действующего
400 г л viii. операторы в пространствах с конусом в одном из пространств LP(Q) (1 ^ ρ < оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий: 1) при любом разбиении множества Ω на два непустых непересекающихся измеримых множества Qi и Q2 ненулевой меры существует такое измеримое подмножество ώ cz Q{ X Q2, mes ώ > > 0, что почти при всех (t, s) <ξ ώ имеет место неравенство K(t,s) >0; 2) для любых двух измеримых множеств Q4, Q2 cz Ω ненулевой меры существуют такое множество ώ cz Q{ X Q2, mes ώ > 0, w такое я, что почти при всех (i, s)e ώ выполняется неравенство Кп (t,s)> 0. 3<Эес& /Сп (i, s) — итерация ядра K(t, s). Литература: [270], [271], [281], [282]. 3. Спектральные свойства положительных операторов. Пусть Л—положительный линейный оператор, г(А) —спектральный радиус оператора Л, RK = (λ/ — Л)-1 — резольвента оператора А. Если для некоторого элемента Хо, принадлежащего линейной оболочке /С, выполняется при некотором m и α > 0 соотношение m Amx0^>aXo, то г (Α)^γα у т. е. оператор А имеет ненулевые точки спектра. Если конус К—воспроизводящий и нормальный и г (А) > 0, то.число Ко = г(А) принадлежит спектру оператора Л. Последнее утверждение не имеет места (даже при телесном конусе /С), если конус К не обладает свойством нормальности. В случае телесного и нормального конуса К и г(А) > 0 число г{А) является собственным значением сопряженного оператора Л', причем этому собственному значению отвечает по крайней мере один собственный вектор, принадлежащий сопряженному конусу /С'. Аналогичное утверждение имеет место и для нормального конуса, если при этом оператор А является ^-ограниченным в пространстве Е. Если конус не является нормальным, аналогичными свойствами обладает частичный спектральный радиус ρ (Л), определяемый равенством П->оо τ где \AnU= sup \\Апх\\. Х<=К, ||х||=1 Пусть Ε — банахова структура и Л — положительный неразложимый оператор, у которого спектральный радиус положителен и является полюсом резольвенты /?*.. Тогда часть спектра оператора, лежащая на окружности |λ| = г (А), состоит из точек etr(A) (i = 1, 2, ..., k)y где Si — корни &-й степени из еди-
§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 401 ницы (число k определяется оператором А); при этом каждая такая точка спектра является простым полюсом резольвенты Rh. Литература: [33], [268], [270], [271], [278], [279]. 4. Позитивные собственные числа. Собственное число λο Φ Φ 0 положительного оператора А называется позитивным, если •ему соответствует хотя бы один собственный элемент е0 из конуса К. Этот элемент называется положительным собственным элементом оператора А. Позитивное собственное число очевидно положительно. Позитивное собственное число обладает важным свойством: если оператор А является щ-положительным и ^-ограниченным в пространстве £, то позитивное собственное число простое и больше абсолютных величин остальных собственных чисел. Это утверждение, вообще говоря, теряет силу, если опустить условие ^о-положительности оператора А, даже в случае неразложимого оператора. Если элемент и0 сам является собственным элементом оператора А, то вместо wo-положительности достаточно требовать ^-ограниченности А в пространстве Е. Пусть А — линейный положительный оператор, г(А) >0 и спектр оператора А на окружности |λ| = г (А) состоит из конечного числа полюсов конечной кратности. Пусть замыкание 3? {К) линейной оболочки 9? (К) конуса есть все пространство Е. Тогда число г (А) является позитивным собственным значением как оператора А, так и оператора А'. В частности, если линейный положительный вполне непрерывный оператор А имеет собственные числа, отличные от нуля и 3! (/()==£, то г (А) является позитивным собственным значением как оператора А, так и оператора А'. Аналогично, если линейный положительный оператор А преобразует каждое ограниченное по норме множество элементов конуса К в компактное множество и имеет положительный частичный спектральный радиус р(А), то р(А) —позитивное собственное значение оператора А (при этом не обязательно, чтобы выполнялось соотношение 3?{К) = Е). Практически удобно пользоваться следующим утверждением: пусть для линейного положительного вполне непрерывного оператора А существует такой элемент и, что и = ν — w (υ, w ^ К, υ Φ θ) и Ари^>аи (α > 0) при некотором натуральном ρ; тогда оператор А имеет позитивное собственное число λο, при- р _ чем λ0^ Υ а . Если конус К—нормальный, миниэдральный и воспроизводящий, А — линейный неразложимый оператор и число г (А) — позитивное собственное значение операторов А, А', то собственное
402 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ значение г (А) просто. В случае рефлексивного пространства Ε г(А) является также простым собственным значением оператора А'. Предыдущие результаты получают дальнейшее развитие, если оператор А является «о-положительным. Пусть линейный вполне непрерывный щ-ограниченный в пространстве Ε оператор А щ-положителен. Тогда-. 1) оператор А имеет в К один и только один (нормированный) собственный вектор х0: Ах0 = λο*ο (h > 0> «α0 < л:0 < βί*0; α, β > 0); 2) сопряженный оператор А' имеет в К' один и только один нормированный собственный элемент ψ: при этом ψ — строго положительный функционал-, 3) соответствующее этим элементам собственное значение λα является простым и превосходит модуль всякого другого собственного числа оператора А. Обратно, если вполне непрерывный и0-ограниченный в пространстве Ε оператор А (АКаК) обладает свойствами 1), 2), 3), то он ио-положителен относительно /С. Условия сформулированого утверждения выполнены, если конус К телесен, а оператор А вполне непрерывен и сильно положителен. Предположение о полной непрерывности оператора А можно заменить условием: спектр оператора А на окружности |Я| = г (А) состоит из конечного числа полюсов конечной кратности. Теоремы существования позитивных собственных чисел можно проиллюстрировать на интегральном уравнении Фредгольма ь j K(t, s)y(s)ds=:Kq)(t) а с неотрицательным непрерывным в квадрате а <: /, s <; Ь ядром K(t, s). Если существует такая система точек si, $2, ..·, sp из (α, b), что K(sx, s2)K{s2l s3) ... К (Spy s{) > 0, то уравнение имеет положительное собственное число, не меньшее модуля всякого другого его собственного числа. Этому числу λο отвечает по крайней мере одно неотрицательное решение (собственная функция) интегрального уравнения.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 403 Если для всякой непрерывной неотрицательной функции φ(5), не равной тождественно нулю, найдется такая итерация KnO, s), что ь [KN(t> s)y(s)ds>0 (α<*<6), а то уравнение Фредгольма имеет единственную положительную собственную функцию. Транспонированное уравнение ъ \ K{s, t)y(s)ds = k$(t) а имеет единственное положительное решение, отвечающее тому же положительному собственному числу λο· Собственное число λο больше модулей остальных собственных чисел интегрального уравнения. Пусть теперь в интегральном уравнении Фредгольма ядро /С(/, s) —неотрицательная измеримая в квадрате а ^ t> $ ^ Ь функция, удовлетворяющая условию ь ъ \ \ K2{t, s)dtds <oo. а а Если неравенство K(s{, s2)K{s2, s3) ... K(spi s{)>0 выполняется при некотором р ^ 2 на множестве точек положительной меры в соответствующем р-мерном кубе, то в этом случае интегральное уравнение имеет по крайней мере одно собственное число, причем среди наибольших по модулю собственных чисел имеется положительное. Последнему отвечает по крайней мере одна неотрицательная собственная функция из L2. Если при этом для каждого ε > 0 найдется такое натуральное N = #(е), что итерация Kn(s, t) обращается в нуль на множестве точек меры не больше ε, то интегральное уравнение имеет в L2 единственную неотрицательную собственную функцию. Отвечающее ей собственное значение больше модулей остальных собственных значений ядра /((/, s). Литература: [33], [253], [254], [268], [271]. 5. Положительные операторы на миниэдральном конусе. Пусть К — миниэдральный конус, А —линейный положительный вполне непрерывный оператор, имеющий в конусе К собственный вектор υ-^Αυ = v. Пусть оператор А ϋ-ограничен в пространстве Ε, Εν = Ε, где Ευ состоит из всех χ е Е, на которых определена и-норма.
404 гл. νιπ. операторы в пространствах с конусом Тогда собственные числа оператора Л, равные по модулю единице, являются корнями целой степени из единицы. Множества неподвижных векторов операторов А и А' имеют базисы v\, V2> ..., vr и, соответственно, грь ψ2, ...» ψτ-, обладающие свойствами: 1) системы υϊ9 ν2, ..., vr и \fr, ψ2, ..., ψΓ биортогональны: ♦ί(θ/) = βί/ С /=1» 2, ..., r)\ 2) для всякой пары ιΦ\ (/, /=1, 2, ..., г) ίηί(ψί, ψ/) = θ; 3) линейные комбинации 2ct-tij и Σ^Ψ* являются неотри- i i дательными в том и только том случае, когда все коэффициенты Сг неотрицательны. В линейном многообразии М\ всех собственных и присоединенных элементов оператора Л, отвечающих всем собственным числам, равным по модулю единице, можно выбрать базис, также обладающий свойством 3). Оператор А допускает разложение А = U\ + Au где оператор Ut отображает все пространство Ε на Μι и элементы базиса переводит друг в друга, оператор Αι имеет спектральный радиус меньше единицы. Предположение ^-ограниченности оператора А и равенства Εν = Ε, очевидно, выполнены, если конус К телесен и ν — внутренний элемент К. В конечномерном случае приведенные утверждения применимы к так называемым стохастическим матрицам, т. е. к матрицам с неотрицательными элементами, удовлетворяющими условиям η Σ а**=1 (/= 1, 2, ..., я). Для интегрального уравнения ь j K{t, s)q>(s)ds = Xcp{t) а с непрерывным неотрицательным ядром, удовлетворяющим условию ь J K{tt s)ds^l (α < t < £>), a получаются следующие утверждения: а) Все собственные числа, по модулю равные единице, суть натуральные корни из единицы. б) Множество собственных функций, отвечающих значению λ = 1, имеет базис, состоящий^ из неотрицательных функций
§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 405- <pi(s), ф2($), ..·> фг(«) и обладающий следующими свойствами: Г. Для каждой функции <pj{s) (/ = 1, 2, ..., г) существует в (а, Ь) по крайней мере одна точка, в которой данная функция положительна, а остальные функции базиса равны нулю. 2°. Для каждой точки из интервала (а, Ь) найдется по крайней мере одна функция базиса, положительная в этой точке. в) Множество собственных функций транспонированного уравнения, отвечающих значению λ= 1, имеет базис, состоящий из неотрицательных функций ψι($), 4>г(5)> ..., ^r(s), биортогональ- ный с базисом qpi(s),<p2(s), ...» фг($) и обладающий тем свой- ством, что Ψ*(s)Ψ/(s)«в0 (α<5<6, ΙΦή /, /=1, 2, ..., г). Пусть теперь неотрицательное и измеримое в квадрате а ^ /,. 5^6 ядро K(t, s) обладает следующими свойствами: 1) функция K{ty s) ограничена почти всюду; 2) для некоторой почти всюду положительной функции φ(0· ь \K{t, s)q{s)ds = q{t), а и для некоторого постоянного L > 0 ъ $ K(t, s)ds^Lq>{t). а Тогда имеют место свойства а), в) предыдущего утверждения и более слабое, чем б), свойство: 6ι) Множество собственных функций, отвечающих значению λ=1, имеет базис, состоящий из неотрицательных функций <pi(s), q>2(s), ···» Фг(«). Литература: [255], [259]. 6. Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора. В п. 2 уже отмечалось, что для линейного положительного оператора А из справедливости для некоторого m и Хо е £, Хо = и — υ (и, υ е /С, α ^ Θ) соотношения Лтх0 Ξ> а*о (а > 0) вытекает следующая оценка снизу спектрального ра- m диуса г (A): r(A)^Ya . В отличие от оценки спектрального радиуса 9низу, соотношение Апи0<^$и0 {и0^К, и0Ф Θ) не обеспечивает (без дополнительных условий) оценку спектрального- радиуса г (А) сверху. Для того чтобы из неравенства
406 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ где т — некоторое натуральное- число, и0 — фиксированный ненулевой элемент К,- следовало неравенство m /·04)<ϊ/β. достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий: 1) конус К телесен и нормален, ио — внутренний элемент; 2) конус К нормален, оператор А и^ограничен сверху в пространстве Е; 3) конус К нормален и воспроизводящий, оператор А ио-ограничен сверху, и0 — квазивнутренний элемент К; 4) спектр оператора А на спектральной окружности \λ\ = = г (А) состоит из конечного числа полюсов конечной кратности, и0 — квазивнутренний элемент /С Если А — неразложимый оператор и AmuQ<^$u0, причем Агпи0Ф$и0, то при выполнении одного из условий 1)—4) имеет m место строгое неравенство г (А) < |/β . В качестве примера можно рассмотреть интегральный оператор Ax(t)= j K(t> s)x{s)ds, Ω (Ω — ограниченное замкнутое множество конечномерного пространства) с неотрицательным ядром. Пусть оператор А действует и вполне непрерывен в одном из пространств Lp {l^p <C < оо). Пусть для некоторой почти всюду положительной функции ио(<) ^LP(Q) выполняется почти при всех <ей неравенство JK(t, *)0ο(*)ώ<βΜ/).- Ω Тогда г(А) ^ β. Если при этом ядро K{t, s) порождает неразложимый интегральный оператор в пространстве Lv и почти при всех t из некоторого измеримого подмножества юс Ω, mescoX), \K(U s)v0(s)ds<$v0(t), Ω то r(A) < β. ^Пусть конус К нормален, оператор А щ — ограничен сверху, Auo<.bu0. Пусть βη — наименьшее из всех чисел β, для которых η выполняются неравенства Апио<^$и0. Тогда lim |/^rt = г(Л), /1->оо причем для всех /г = 1, 2, ... имеют место неравенства η г (А) <[ γβη . Если при этом оператор А является также а0-огра-
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 407 ничейным снизу и имеет в К собственный вектор, Ащ^>аиъУ а ап — наибольшее из чисел ос, для которых Antio^>aUo, то η η lim γαη = г(Л), причем γαη <г(Л) (лг = 1, 2, ...)· Пусть Ω (А) — множество таких чисел λ, для которых хотя бы при одном χ е /С, χ Φ θ, для линейного положительного оператора А выполняется неравенство Αχ^>λχ и Я (А) = sup {λ: λ<=Ω(Λ)}. Аналогично, пусть Ω (Л) — множество таких чисел λ, для которых хотя бы при одном χ е /С, х φ θ, выполняется неравенство Лх <λχ и λ(Α) = ιηί{λ: λ€=Ω(Λ)}. Соответствующим образом определяются числа Х(А*)У λ(Α*). Пусть конус К телесен. Тогда λ(Λ)>λ(ΛΤ), λ(Α*)>λ(Α). Если при этом оператор неразложим, то λ(Α) = λ(Α*), λ(Α*) = λ(Α). Пусть конус К содержит квазивнутренние элементы, а спектр оператора Л на окружности |λ| = г (А) состоит из конечного· числа полюсов конечной кратности. Тогда г (А) = λ (Α) > λ (Л), г (Л) = λ (Л*) > λ (Л*). Если к тому же оператор Л неразложим, то г (Л) = λ (Л) = λ (Л) = λ (Л*) = λ (Л*). В случае, когда конус К нормален и миниэдрален, Л — ^-положительный оператор, такой, что для всех достаточно малых ε > 0 отрезок [г(А) —ε, г(А)] содержит по крайней мере одну регулярную точку оператора Л, справедливо соотношение г(А)=%(А)=К(А).
408 ГЛ VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ Пусть А — неотрицательная неразложимая матрица, ρ (А) — положительное собственное значение матрицы А. Тогда из сказанного выше вытекает, что η η p(A)= max min if i=~{ = min max l'/=1 x^O yt>0 v «/г->0 χ.-^Ο ^ (x, x)=l (y, y)=\ Za χΜί (у, y)=\ (x, x)=\ Za ΧΜ*> i=\ i=\ Вопрос об оценке сверху спектрального радиуса произволь- «ого оператора может быть сведен к аналогичной задаче для положительного оператора. А именно, имеет место следующее утверждение: пусть линейный оператор В и линейный положительный оператор А связаны соотношением Пусть конус К — нормальный и воспроизводящий. Тогда г(А)<г(Л). При оценке сверху спектрального радиуса линейного оператора является полезным утверждение: пусть £, £Ί — банаховы пространства, причем £ι полуупорядочено конусом Ки φ (А) — отображение пространства линейных операторов, действующих в £, в пространство линейных операторов, действующих в £Ί. Пусть выполнены следующие условия: Г ср(Л)>9; 2° y(tA) = \t\(p(A) для всех комплексных t; 3° ч>(А« + АтХ<р(Ап) + <р(Ат) (п, m=i, 2, ...); /4° Ф(Ля)<фя(Л) (п=1, 2, ...); 5° из ||(р(Л„)||-*0 следует, что ||Л„|->0. Тогда г (Л) < г [φ (Л)]. В качестве применения последнего утверждения можно рассмотреть задачу оценки сверху спектрального радиуса линейного интегрального оператора Ax(t)= \ K(t, s)x(s)ds о с непрерывным в квадрате 0^1, 5^1 ядром K(t> s). Пусть 0 = /0<Ί< ... </я-1</я=1 —произвольное разбиение сегмента [0, 1] и y(A) = (Mik) (/, k = lt 2, ..., η),
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 409 где Mik= max i \K(t, s)\ds (/, k=\y 2, ..., n). Тогда г(Л)<г[<р(Л)]. Литература: [261], [272], [273], [274], [275]. 7. Существование вторых положительных собственных значений. Пусть Ε — вещественное банахово пространство с телесным конусом К, А — линейный вполне непрерывный неразложи- мый оператор. Тогда оператор А имеет в К собственный вектор хи отвечающий простому собственному значению λι = г(А) = = г (А') этого оператора. Рассматривается внешнее произведение Ε2 = Ε Α Ε пространства Ε на себя (см. гл. I, § 1, п. 4), нормированное так, чтобы произведение χ А у было непрерывным по обоим множителям. Предполагается, что оператор А2 = Α А А ограничен πσ этой норме; в пространстве Е2 выделен телесный конус К{2) и А2—неразложимый относительно /С(2) оператор. Тогда оператор А имеет второе вещественное и простое собственное значение λ2: 0 < λ2 < λι. В кольце λ2 < |λ| < λι нет точек спектра оператора А. Собственному значению λ2 отвечает такой собственный вектор х2 е Е, что Χι Α х2 с: /С<2>. Аналогичным способом формулируется утверждение о существовании третьего простого собственного значения %$ оператора Л: 0<λ3<λ2 <λι. В конечномерном случае конусы KSr) в пространствах Ёг можно выбирать из всех векторов с неотрицательными координатами. Элементами матриц Аг будут всевозможные миноры г-го порядка матрицы А (см. гл. I, § 5, п. 8). Если матрицы А1" (Ι 5ζ г ^ ρ *ζη) неразложимы, то исходная матрица А имеет ρ положительных простых собственных значений λι>λ2> > ... >λρ > 0, которым отвечают собственные векторы хи х2, ..., Хр. При этом х{ <= /С, ^ιΛ^εК{2\ ..., Х\ А х2 А ... ... АХр^К(Р и являются внутренними элементами соответствующих конусов. Пользуясь тем, что координаты вектора Х\ А х2 А ... Ахг являются минорами соответствующих матриц (см. гл. I § 1, п. 4), можно показать, что из последних включений следует наличие в ряду координат вектора хг точно г— I перемен знака. При р = п отсюда вытекают свойства осцилля- ционных матриц, имеющих только положительные миноры всех порядков. Литература: [260], [280].
410 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ 8. Сравнение спектральных радиусов и собственных значений положительных операторов. Пусть конус К нормален и воспроизводящий, Л, β — линейные положительные операторы, действующие в Е, причем Α<ζ.Β (т. е. Ах < Вх для всех χ е /С). Тогда г (А) ^ г (В). Если к тому же конус К содержит квазивнутренние элементы, а операторы А и В неразложимы и вполне непрерывны, причем А Φ В, то г (А) < г (В). В частности, если В — неотрицательная неразложимая матрица и Л (А Ф В) — неотрицательная матрица, элементы которой не превосходят соответствующих элементов матрицы В, то наибольшее по модулю неотрицательное собственное значение матрицы А меньше наибольшего положительного собственного значения матрицы 5. Будем писать χ < у, если у — χ ё= К* Пусть линейный оператор А неразложим и удовлетворяет одному из двух условий: 1. А вполне непрерывен, £>(К) = Е; 2. А αο-ограничен сверху, конус К—воспроизводящий и нормальный. Пусть для некоторого элемента w0 е К, Wq φ θ выполнено соотношение Aw0 > λ0α;0 (λ0 > 0). Тогда для каждого ненулевого ^е/(« каждого λ: 0 ^ λ < <λ0 _ Ах < λχ. Если конус К обладает свойством нормальности и миниэдраль- ности, то из неравенства Ах0 < λ0χ0 {х0 €= К, х0Ф Θ) следует, что Хо = cw0 для некоторого постоянного с > 0 и AXq = AqXq. Пусть положительный оператор А щ-ограничен снизу, причем Аи0^>10и0. Тогда для любого ненулевого х^К при λ < λ0 Αχ < λχ, а из Αχ < λο* (λ: е К) следует, что χ = ku0, Аи0 = К0и0. Сформулированные здесь теоремы можно применить к сравнению собственных значений двух операторов.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 41 Г Пусть Αι и А2— два линейных оператора, ΑιΧ<^Α2χ при хеА', оператор Αι ^-ограничен снизу, причем /4ια0>λο"ο. Тогда каждое позитивное собственное значение λ2 оператора А2 не меньше λο. В частности, если оператор Αι Wo-положителен, то всякое позитивное собственное значение оператора Αι не превосходит позитивного собственного значения оператора А2. Пусть конус К—нормальный и воспроизводящий, А — линейный положительный оператор, г (А) < 1 и А = А1 + А2, где Αι и А2— положительные операторы. Пусть операторы Αι и А «о-положительны. Тогда имеет место неравенство г[(1-АГ1А2]<г(А). Последнее неравенство показывает, что приближения xn+\ = Alxn+l + A2xn + f (я = 0, 1,...) сходятся к решению уравнения χ = Ах + / быстрее, чем последовательные приближения уп+х = Ауп + f. Это неравенство также имеет место, если оператор А неразложим, операторы Л, (/ — А{)~1А2 вполне непрерывны и A{u>Q для каждого квазивнутреннего элемента и конуса К. Литература: [33], [275]. 9. Неоднородное линейное уравнение. Пусть А — линейный положительный оператор. Тогда неоднородное уравнение χ = Ах + f при г (А) < 1 для каждого f^E имеет единственное решение х* е Е. При этом х* е /С, если / е К. Если г (А) > 1 и оператор А неразложим, то при всех / е /С, / Φ θ неоднородное уравнение не имеет решений в конусе. Аналогичное утверждение имеет место уже при г (А) ^ 1, если оператор А вполне непрерывен и неразложим. Конусным отрезком {и, υ) назовем совокупность всех элементов xt для которых и << χ <ξ υ. Пусть А—линейный положительный оператор и г (А) < 1; Ио, ν0 (Ио ^ ^о) — такие два элемента из Е, что и0 << Аи0 + /, Αυ04- f ^Vo- Последние неравенства означают, что оператор ΑιΧ а Ах + / оставляет инвариантным конусный отрезок {tio, v0). Отсюда, в частности, вытекает, что единственное решение х* неоднородного уравнения принадлежит {и0, υ0). Элементы щу щ называются приближениями к х* соответственно по недостатку и по избытку. Исходя из инвариантного относительно преобразования А{х = Ах + f конусного отрезка, можно образовать новый более узкий инвариантный конусный отрезок {utt vi) cz (u0t щ).
-412 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ Для этого достаточно положить Ui = Ащ + f, Vi = Aoq + f- Если при этом неотрицательные числа pi и qt таковы, что Щ — и0 > р{ (υ0 — ό{), Vq — v^ qx (щ — и0), то отрезок (а[, у^с^р г^), где также инвариантен относительно оператора Аи т. е. для решения х* имеют место оценки и0 < их < и\ < χ* < υ\ < uj < ι>0. Исходя из отрезка (wj, ^j), можно получить аналогичным образом новый инвариантный конусный отрезок (и*2, ϋ2) и т. д. Возникает задача о построении исходного инвариантного относительно оператора At отрезка {щ, v0). Пусть х0— произвольный элемент из Е. Положим Х\ = Ах0 + /, δι = х± — хо. Если для некоторых элементов v, w > θ выполняются соотношения Лу^р^, р2до<^Лдо, где р!, р2< 1 и qw < δι < Qu (q, Q > 0), то конусный отрезок инвариантен относительно оператора Л. Пусть теперь в уравнений χ = ВХ + / линейный оператор В допускает представление В = Bt — β2, где Βι и В2 — линейные положительные операторы, и пусть «о <: vq — такие элементы, для которых выполняются соотношения и < B{uQ — В2щ + /, Вхщ — ^2"о + / < »ο·. Если r(Bi + В2) < 1, то единственное решение х* уравнения х = Вх + / удовлетворяет неравенству Но <* ** ^ Vo и может быть получено методом последовательных приближений. Последовательные приближения и«+1 = B{un — B2vn + f, οΛ+1 = β^ — β2«Λ + f монотонно сходятся к решению χ* соответственно «по недостатку» и «по избытку», т. е.
§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 413 Т1ри этом из неравенств Un+ι — un^>m{vn — Όη+ι), (νη — υη+ι) > m {un+l — un)9 m>0, следуют неравенства "«+i< r+^ <* < TTJft <<W Литература: [33], [276]. 10. Существование положительного обратного оператора. Пусть Еи Е2 — банаховы пространства, полуупорядоченные соответственно конусами Κι и Кг (в частности, может быть, что E\ = E2t ПО.К1ФК2). Пусть Л и В — линейные операторы, действующие из £Ί в Еъ. Оператор Л называется положительно обратимым, если существует оператор Л-1, определенный на Е2 и действующий в Ε и такой, что А~1Кг <=: Κι. Пусть конус К\ содержит квазивнутренние элементы, а операторы А, В связаны соотношением Вх<.Ах (xt=Ki), причем оператор А положительно обратим. Пусть для некоторых квазивнутренних элементов υο, υ ι е Κι и некоторого α > 0 выполняется неравенство Buq^xxAui. Тогда оператор В положительно обратим, если выполнено одно из условий: 1) оператор А^1 (А — В) вполне непрерывен; 2) оператор Л4 (Л — В) щ-ограничен сверху (и0 ε /G), конус К\ нормален. Можно привести и признаки обратимости «большего» оператора Л, в предположении, что «меньший» оператор В положительно обратим. Пусть для некоторого элемента щ е К\ ("ο=Η=θ) и некоторого е > 0 выполняется неравенство Аи^ < (2 — ε) BuQ и одно из условий: 1) конус /Ci телесен и нормален, и0 — внутренний элемент Κι; 2) оператор В~х (Л — В) вполне непрерывен, и0 — квазивнутренний элемент нормального конуса Κι] 3) оператор В~1(А — В) wo-ограничен сверху (w0^Ki), ко- нус К\ нормален, и0 — квазивнутренний элемент Κι. Тогда оператор А обратим. При этом из неравенства AB-lf<2f (ft=K2) следует, что A~lf e Κι.
414 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ Ниже приводится еще одно утверждение о существовании положительного обратного оператора. Пусть конус /Ci — воспроизводящий и нормальный, а линейные операторы А, В, С удовлетворяют соотношению Сх<,Вх<, Αχ {χ €= Κι), причем операторы Л, С положительно обратимы, а оператор Л"1 (Л — С) вполне непрерывен. Тогда оператор В положительно обратим. Для уравнения Ах = f с положительно обратимым оператором сравнительно просто могут быть указаны приближения к решению х* по недостатку и по избытку и оценена близость этих приближений к решению. Этим, в основном, определяется та роль, которую играют положительно обратимые оператора в численных методах. Пусть найдены такие элементы и, v, w е Ε, что Av<if — Au^Aw. Тогда υ <. χ* <* w. В случае телесного конуса /С± в качестве элементов v, w удобно брать элементы вида υ = az0, w = βζ0, где ζ0 — некоторый внутренний элемент конуса Κι. Литература: [264]. 11. Инвариантные функционалы и собственные векторы сопряженных операторов. Линейный непрерывный функционал f(x) называется инвариантным относительно ограниченного оператора Л, если f(x) = f(Ax). Иначе говоря, инвариантный функционал есть неподвижный вектор для сопряженного оператора: . Весьма важным является утверждение: если совокупность ограниченных положительных коммутирующих друг с другом операторов {Ah} имеет общий неподвижный элемент внутри телесного конуса /С, то существует положительный функционал F(x), инвариантный относительно всех операторов А'н. Пример. Пусть G—коммутативная группа, Ε — пространство ограниченных на G функций x(g), операторы Ah (h^G) определяются равенством Ahx(g)=x(g +h). Функция u(g) гз ξ= 1 является внутренним элементом конуса всех неотрицательных функций из Е, остающимся неподвижным при преобразованиях А^ Поэтому существует инвариантный функционал F(x(g + h)) = F(x(g)) (AeC).
§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 415 Если в группе G введена топология, то при определенных условиях функционал F(a) представим в виде интеграла, т. е. на группе существует инвариантный интеграл. Более общим, чем теорема о существовании инвариантного функционала, является утверждение: для всякой совокупности {Ah} коммутирующих друг с другом ограниченных линейных операторов, преобразующих внутренность телесного конуса К в свою часть, существует положительный функционал φ, являющийся общим собственным вектором всех сопряженных операторов: ΑΉφ = λΗφ (λΑ>0). Предположение о том, что операторы Ah преобразуют внутренность К в свою часть, можно ослабить, заменив его условием положительности операторов Ah. Однако при этом нельзя, вообще говоря, гарантировать выполнимость неравенства Xh>0. Литература: [268]. 12. Сходимость последовательности положительных операторов. Пусть £0—подпространство банахова пространства Ε с конусом /С, F(Eo,K) —совокупность нормированных функционалов из К\ отвечающих точкам гладкости конуса /С, лежащим в Е0 (см. § 2, п. 5). Функционал |*|* = sup \f(x)\ (x<=E) f&F(E<>, К) является полунормой. Если ||· II» является нормой, то Е0 называется насыщенным пространством или подпространством, насыщенным точками гладкости. Насыщенное подпространство называется равномерно насыщенным или равномерно насыщенным точками гладкости, если норма 11-11* эквивалентна основной норме пространства. Для телесных конусов в конечномерных пространствах понятия насыщенного и равномерно насыщенного подпространства совпадают. Аналогичная ситуация имеет место и для пространства С непрерывных на компакте Ω функций с конусом К неотрицательных функций. В общем случае из насыщенности подпространства не вытекает его равномерная насыщенность. Равномерно насыщенное подпространство Е0 называется вполне насыщенным, если F(E0, К) содержит такое подмноже·* ство F0{E0y К) (возможно совпадение F0(E0, К) = F(E0, К)), что:
416 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ 1. Формула ll*L= sup I/(*) I (*€=£) f<=F0(E0, Ю определяет норму, эквивалентную норме пространства Е. 2. Каждая последовательность функционалов fn^Fo(Eo,K) имеет предельную в слабой топологии точку вида λο/ο, где λο > О vfo<=F(E0,K). В пространстве С непрерывных на компакте Ω функций с конусом К неотрицательных функций подпространство Е0аС вполне насыщено тогда и только тогда, когда F(E0y К) содержит все функционалы вида χ (to), где ίο^Ω. В частности, если Ω = = [я, Η то подпространство Е3 с базисом ejssl, e2 = t, e3 = t2 (α </<;&) вполне насыщено, так как оно содержит все функции (t — to)2 (a ^.t ^ ft), являющиеся точками гладкости конуса. Этим точкам гладкости отвечают функционалы f(x) s==x(to). Трехмерное подпространство Εψ с базисом , . 2π/ 2π/ 1 ' * b — a ' ό b — a насыщено, но не обладает свойством равномерной насыщенности, так как F(E$\ К) содержит все функционалы f(x) — = x(t0) при /ое (α, b), но не содержит функционалов fa(x) — = х(а), fb(x) =x(b). В конечномерном пространстве (с конусом векторов с неотрицательными компонентами) понятия насыщенного, равномерно насыщенного и вполне насыщенного подпространства совпадают. Пусть £Ό — насыщенное подпространство, А — положительный линейный оператор, удовлетворяющий условию Ах = χ (xg £Ό). Тогда Αχ —χ (хе Е). Следующее утверждение обобщает результаты п. 5 § 2 на последовательности операторов: Пусть К — телесный конус, а £о — вполне насыщенное подпространство. Пусть последовательность линейных положительных операторов Ап сильно сходится на Е0 к единичному оператору: lim || Апх — jc || = 0 (х е Е0).
§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 4\7 Тогда последовательность Ап сильно сходится к единичному оператору на всем пространстве \\m\AnX — *1 = 0 (*€=£). При переходе к нетелесным конусам возникает дополнительное предположение об ограниченности норм операторов Ап- В связи с приведенными утверждениями приобретает интерес описание насыщенных и вполне насыщенных подпространств и, особенно, конечномерных подпространств. В этом направлении достаточно полный анализ проведен для пространства C(Q) непрерывных функций на компакте Ω с конусом К неотрицательных функций. Для того чтобы в C(Q) существовали k-мер- ные вполне насыщенные подпространства, необходимо и достаточно, чтобы компакт Ω можно было гомеоморфно вложить в (k — 2) -мерную сферу. Пусть Ε — вещественное банахово пространство с телесным конусом /С, Ρ — аддитивный однородный оператор, действующий из Ε в линейное топологическое пространство X, со счетной базой окрестностей нуля. Пусть ЗГ — система множеств нормированных положительных линейных функционалов, отвечающих точкам гладкости /С, обладающая тем свойством, что пересечение любой последовательности множеств из !F содержит множество из ST. Пусть выполнены условия: 1) Если Pxn-+Q (Xn^E), то найдется такая подпоследовательность Хпг что f (х^)->0 при всех / из некоторого Fg?". •2) Пусть Un — Pxn (Xn^K) принадлежит замыканию Р/С множества Ρ К в X, где «ηΕί — последовательность, сходящаяся вХ к некоторому элементу из Ρ К. Пусть f (#n)->/(**) при всех f из некоторого Fg^. Тогда Рхп-+Рх*. Имеет место следующее важное утверждение. Пусть Ео — сепарабельное подпространство Е, содержащее внутренний элемент х0 конуса К. Пусть множество £Г(Е0) нормированных линейных положительных функционалов, отвечающих точкам гладкости, лежащим в Е0, содержит некоторое множество Fg^". Тогда для каждой последовательности положительных линейных операторов Ап из Апх->Рх (х^Е0) вытекает соотношение Апу —> Ρ у для всех у е Е. Из этого утверждения вытекает следствие: в пространстве €(Ω) непрерывных на конечномерном компакте Ω функций существует такой конечный набор функций, что из сходимости значений на них последовательности линейных положительных операторов к ним самим (по мере, или почти всюду, или по норме некоторого пространства Лебега, или равномерно на некотором замкнутом подмножестве) вытекает сходимость значений
418 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ операторов на любой непрерывной функции к ней самой (в соответствующем смысле). Литература: [263], [265], [277]. § 4. Нелинейные операторы 1. Основные понятия. Положительность и монотонность для нелинейных операторов определяются так же, как и для линейных операторов. Оператор А положителен, если АКаК, и монотонен, если из х<{/ следует Ах<.Ау. В отличие от линейных операторов в рассматриваемом случае монотонность не следует из положительности. Оператор A cuaohq дифференцируем по конусу К в точке Хо, если для всех /г^К А (х0 + К) — Ах0 = А' (х0) h + ω (х0, /г), где А' (х0) — линейный оператор, а lim ИтгЧИ- Линейный оператор А'(хо) называется сильной производной по конусу оператора А в точке Хо- Сильная производная A'(xq) по конусу К от вполне непрерывного оператора преобразует каждое ограниченное множество элементов в компактное, а сильная производная по воспроизводящему конусу К от вполне непрерывного оператора является вполне непрерывным оператором. Важную роль при исследовании нелинейных операторов наряду с производной по конусу играет производная на бесконечности. Оператор А называется сильно дифференцируемым на бесконечности по конусу К, если существует такой линейный непрерывный оператор Л'(оо), для которого г М*-Л'(°°)*11 л lim sup - „ ,| " =ΰ. Д->°о \\x\\>R, x^K И*» При этом Л'(оо) называется сильной асимптотической производной ησ конусу /С Литература: [33]. 2. Существование положительных решений. Рассматривается уравнение х = Ах с положительным оператором А. Решения этого уравнения будут неподвижными элементами оператора А.
§ 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 419 Пусть непрерывный положительный оператор А имеет сильную асимптотическую производную Л'(оо) по конусу и пусть спектральный радиус оператора Л'(оо) меньше единицы. Для существования в конусе К по крайней мере одной неподвижной точки достаточно, чтобы выполнялось одно из условий: а) оператор А вполне непрерывен, б) оператор А — монотонный и конус К вполне правилен, в) пространство Ε рефлексивно, оператор А слабо непрерывен. Для вполне непрерывного оператора условие существования Л'(оо) можно заменить следующим условием: существует такое R > О, что Л*>(1 + е)х (xs=Kj \\x\\>R) при всех β > 0. Другая серия теорем существования решения содержится в утверждении: для существования у монотонного на отрезке (хо, Uo) оператора А по крайней мере одной неподвижной точки достаточно, чтобы он отображал (хо, Uo) в себя и чтобы выполнялось одно из следующих условий: а) конус К сильно миниэдрален; б) конус К правилен, оператор К непрерывен-, в) конус К нормален, оператор А вполне непрерывен; г) конус К нормален, пространство Ε рефлексивно, оператор А слабо непрерывен. При выполнении условий б)—г) неподвижная точка оператора может быть получена как предел последовательности xn = Axn-.i (n—l, 2, ...). Если дополнительно известно, что в {хо, Uo) лежит единственная неподвижная точка оператора Л, то в случаях б)—в) последовательные приближения уп = Лyn-i (/г = 1,2, ...) сходятся по норме к решению, каково бы ни бЫЛО j/oG (Хо, U0). Литература: [33]. 3. Существование ненулевого положительного решения. В тех случаях, когда Лв = Θ, нередко возникает вопрос о существовании в конусе вторых (отличных от Θ) неподвижных точек у положительного оператора Л. Говорят, что положительный оператор Л (Л9 = Θ) является сжатием конуса на участке от г до R (0 < г < R), если Ах^х (х*=К, 1*||<г, χ Φ&) и при^всех β > 0 Ах>{\ +г)х {х&К, \\x\\>R). Оператор А (Лθ = θ) называется растяжением конуса на участке конуса от г до R (0 < г < R), если для всех β > 0 Ах>(\+г)х {хе=К, И<г, хфд)
420 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ и Ах<,х {χζξΚ, \\x\\>R)l Имеет место следующее важное утверждение: если положительный вполне непрерывный оператор А является оператором сжатия (растяжения) на некотором участке конуса /<, то он имеет на К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку. Еще одна теорема существования: пусть оператор Α (ΑΘ = = Θ) монотонен и вполне непрерывен на конусе К и для некоторого элемента ν* щ /С, ν* φ θ f->oo ' Пусть для каждого Jie К Αχ>\\Αχ\\·υ* и для некоторого г > 0 Ах>х (хе=К, |*||<г, χφθ). Тогда оператор А имеет по крайней мере одну неподвижную точку х* е /С, χ* φ θ, χ* > ||х*||и*. Литература: [33], [266]. 4. Непрерывная ветвь положительных собственных векторов. Пусть Г — граница открытого ограниченного множества йс£, внутренней точкой которого является Θ. Пусть на Г Π К определен положительный вполне непрерывный оператор А, причем inf ||Лх||>0. *еГП#С Тогда оператор А имеет на Г Π К по крайней мере один собственный вектор х0: Ах0 = λ0χ0, которому соответствует положительное собственное значение λο. Говорят, что положительные собственные векторы положительного оператора А образуют непрерывную ветвь длины г, если совокупность 2Я всех собственных векторов, лежащих в конусе, имеет непустое пересечение с границей Г каждого открытого множества, содержащего θ и содержащегося вместе со своим замыканием в шаре ||х|| < г. Из приведенного утверждения вытекает, что положительные собственные векторы положительного оператора А образуют не- прерывную ветвь некоторой длины г, если А вполне непрерывен и удовлетворяет условию Αθ = Θ.
§ 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 421 Другое важное следствие: Пусть для положительного вполне непрерывного оператора А существует такой монотонный оператор В, что Ах>Вх (хе=/С, ||x ||< г), где г > О — некоторое число. Пусть существует элемент и = = υ — w (v, w е /С), υ φ θ и B{tu)>atu (0<*<γ), где у— такое число, что из x^>tu (t^O) и из \\х\\ ^ г вытекает, что t ^ у. Тогда оператор А имеет в конусе К непрерывную ветвь собственных векторов длины г. Литература: [33]. 5. Вогнутые операторы. Пусть и0 — фиксированный ненулевой элемент из К. Оператор А называется щ-вогнутым на /С, если он положителен и монотонен и для любого ненулевого χ е К существуют такие положительные числа α и β, что <ш0 < Ах < βα0, а для любого х^К с условием х^>уи0 (у > 0) и для каждого сегмента [а, Ь] с: (0, 1) найдется такое η = ц(х, a, b) > 0, что A (tx) >( 1 + η) tAx (a < t < b). Множество тех λ, при которых уравнение Αχ = λχ с вполне непрерывным и0-вогнутым оператором имеет ненулевое решение в конусе К, образует некоторый интервал (α, β). Для каждого λΕ (α, β) уравнение не может иметь в конусе К более одного отличного от θ решения. При λι > λ2 (λι, λ2 е ^ (α, β)) для соответствующих решений Хи Х2^К уравнения справедливо неравенство: х1-^х2. Если ΑΘ = θ и сильная производная по конусу Л'(Э) является вполне непрерывным оператором, то верхняя грань β является положительным собственным значением оператора Л'(6). Если при этом Λ'(θ) является и0-положительным, то β совпадает с единственным позитивным собственным числом оператора Л'(0). Если оператор А имеет сильную асимптотическую производную Л'(оо) по конусу, являющуюся вполне непрерывным и0-по- ложительным оператором, то а является собственным числом оператора Л'(оо). Важным частным случаем и0-вогнутого. оператора является равномерно щ-вогнутый оператор, т. е. такой, что для любого
422 ГЛ. VIII. ОПЕРАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С КОНУСОМ хеК, х φ θ, удовлетворяющего неравенствам μα0 < х < vu0 (μ, ν>0), при всех t из каждого отрезка [a, b] a (О, 1) выполняется неравенство A(t9 x)>(l + η)Μχ, где положительное число η зависит только от μ, ν, α и b. Для равномерно и0-вогнутого оператора А теорема существования в конусе неподвижного вектора справедлива без предположения о полной непрерывности оператора А; достаточно предположить, что А преобразует некоторый конусный отрезок (бм<ь κα0) (δ, κ > 0) в себя. Примером нелинейного положительного оператора в пространстве С(0, 1) может служить интегральный оператор Уры- сона ι Ax(t)= J K[t, 5, x(s)]ds, о в котором функция K(tyStu) непрерывна и K(t, s, α) ^ 0 при и ^ 0. Этот оператор монотонен, если функция K(t, s, и) не убывает с возрастанием и. Если, кроме того, K{t, s, 0) =0 и при иг > Wi неравенство 1*1 ί*2 выполняется при каждом ί почти при всех s, то интегральный оператор будет и0-вогнутым. При этом и0=1. Литература: [33], [256], [257], [267]. 6. Сходимость последовательных приближений. Пусть уравнение χ = Ах с ао-вогнутым оператором А на нормальном конусе К имеет единственное ненулевое решение х* е /С Тогда последовательные приближения хп = Αχη-ι (η=1, 2, ...) сходятся к х*, каково бы ни было ненулевое начальное приближение Хо е К; последовательные приближения будут сходиться и в αο-норме, которая, как было указано в § 1, п. 5, сильнее исходной нормы пространства Е. Условие αο-вогнутости можно ослабить, требуя лишь выполнения неравенства A(tx)^>tAx (O^t^.1). Тогда последовательные приближения (при любом ненулевом начальном приближении из К) будут сходиться, если конус К правилен или если оператор А вполне непрерывен, Литература: [33]f
ГЛАВА IX ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ § 1. Общие положения квантовой механики 1. Состояния и наблюдаемые величины. Основными характеристиками физической системы в квантовой механике являются наблюдаемые величины и состояния. Удобный способ математического описания этих объектов состоит в следующем: наблюдаемым величинам соответствуют самосопряженные операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве ф, состояниям — классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Элементы внутри каждого класса отличаются друг от друга только комплексным множителем, равным единице по модулю. Пространство φ называется пространством состояний, его нормированные элементы — векторами состояния, наблюдаемые величины часто принято называть просто наблюдаемыми. Физический смысл введенных объектов дает следующая интерпретация. Пусть А— самосопряженный оператор, отвечающий наблюдаемой величине, ψ — вектор состояния, Еа (—<*> < < а < оо)—спектральная функция оператора А (см. гл. IV, § 3, п. 2). Мера dmA^{a) = d{Ea^ ψ) задает распределение вероятности возможных значений наблюдаемой А в состоянии ψ. В частности, если величины {А\^{А^ ψ); (Δ4^-([Λ-<Λ>φ1*, [Α-{Α)^) конечны, то они имеют смысл среднего значения и дисперсии наблюдаемой А в состоянии ψ. Для любых двух наблюдаемых Л, В и состояния ψ справедлива оценка Здесь и всюду ниже используется обозначение [Л, В] = АВ — ВА (коммутатор операторов А и В). Выписанная формула называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из нее,
424 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ в частности, следует, что в квантовой механике не существует таких состояний, в которых все наблюдаемые имеют исчезающую дисперсию. Имеющая физический смысл величина (Лф, ψ) не изменяется, если наблюдаемые и векторы состояния подвергнуть произвольному унитарному преобразованию так что одна и та же квантовомеханическая система описывается при помощи различных реализаций пространства состояний, которые называются его представлениями. Литература: [289], [292], [294], [302]. 2. Совместно наблюдаемые величины. Совокупность операторов Ль ..., Ак образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются следующие условия: 1. Коммутативность: [AiyAd] = 0 для всех i и /. 2. Взаимная независимость: ни один из операторов Лг· не может быть представлен в виде функции остальных. 3. Полнота: не существует оператора В, коммутирующего со всеми Л г (i = 1, ..., k) и· не являющегося функцией от них. По заданному такому набору пространство состояний может быть реализовано как пространство функций ψ(#ι, ..., αΑ) со скалярным произведением, определяемым при помощи некоторой меры άμ (аи ..., α*), (Ψι> ψ2)=/ψι(«ι> ·.·» «fc)*2(fli. ···> αΗ)άμ(α{, ..., ak). При этом операторы Ль ..., Ah являются операторами умножения на соответствующие переменные: Ai^(alf ..., ak) = atf(a{, ..., ak), r=l, ..., k. Для каждого нормированного элемента ψ мера dmAl Ak, ψ (α{, ..., ак) = \$(аи ..., ak)\2d\i{a[y ..., ak) имеет смысл совместного распределения значений наблюдаемых Аи ..., Ah в состоянии ψ. Ясно, что существуют состояния, в которых дисперсии этих величин имеют сколь угодно малые значения. Описанную конструкцию называют представлением, приспособленным κ данному полному набору совместно наблюдаемых величин. Кратко можно сказать, что такое представление реализуется как пространство функций на спектре наблюдаемых, образующих набор. Литература: [289], [292], [294], [302].
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 425 3. Примеры пространств состояний. Простейшей системой в классической механике является одна бесструктурная частица. Основными величинами, описывающими поведение частицы, являются ее координаты xit х2, Хз и импульсы ри Рь рз- Все остальные характеристики частицы являются функциями этих величин. В квантовой механике наблюдаемые координат Χι, Χ2, Хз и импульсов Ри f*2, Рз также играют основную роль при описании частицы. Пространство ее состояний строится по следующему принципу. 1. Совокупности координат или импульсов каждая в отдельности образуют полный набор совместно наблюдаемых величин. 2. Выполняются перестановочные соотношения [*/. Pk] = ih6ik, /, k=l, 2, 3. Здесь 6jk — кронекеровский символ, h — фундаментальная константа квантовой механики, имеющая размерность действия и называемая постоянной Планка. Представление пространства состояний частицы, приспособленное к координатам, образовано квадратично интегрируемыми функциями ψ(*ι, *2> #з) переменных xjf —оо < Xj < оо, / = = 1,2,3. Скалярное произведение имеет вид (Φι» Фг)= J Φι(*ι» *2> *з)Ф2(*1> *2> Хз)ах{ах2е1х3. — оо Операторы координат действуют как операторы умножения Λ/ψ(^1> #2> Хз)*** X]ty\X\9 %2> #з)> j==11> 2, 3, а операторы импульсов — как операторы дифференцирования Ρ/ψ(*ι, х2у Χ3)=-~ίίι-0—ψ(Χι> х2> *з)> /=1> 2, 3. Это представление пространства состояний частицы иногда называется представлением Шредингера. Сформулированный выше общий принцип определяет пространство состояний и операторы импульсов и координат частицы однозначно с точностью до унитарной эквивалентности. Действительно, после некоторого уточнения этого принципа, которое необходимо сделать в связи с неограниченностью рассматриваемых операторов, можно доказать, что все удовлетворяющие ему наборы операторов унитарно эквивалентны операторам Xj, Pj (j = 1, 2, 3) в представлении Шредингера. Можно рассмотреть, например, представление, приспособленное к импульсам. Пространство состояний образовано
426 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ квадратично интегрируемыми функциями ψ(/?ι, /?2, Рз)> операторы координат и импульсов действуют следующим образом: */Ψ(Ρι. ft. Λ) = 'Α^-ψ(ρι, /?2, /?j); Р$(Р\> Ръ Рз) = Р$(Р\> Р2> Рз)· Связь двух представлений осуществляется посредством преобразования Фурье ψ(/?ι> №» ft) = (l/*)(Pi. Р2> /?з) = \ϋπ~) J У\Х\, Х2> Xz)dXidx2dxv причем XJ=UXJU"\ Pl = UPjU-\ /=1, 2, 3. Другой пример пространства состояний дает комплексное двумерное пространство. Векторы состояния ψ образованы парой комплексных чисел ψ = (ξι, £г)> причем |ξι|2+ |^2|2= 1. Наблюдаемым величинам соответствуют самосопряженные матрицы 2X2. Существуют всего четыре такие линейно независимые матрицы, в качестве которых можно взять единичную матрицу и так называемые матрицы Паули °ι = [ι ο)· σ24/ ο)· σ3=(ο -ι)' Полный набор совместно наблюдаемых величин состоит из одной матрицы. Очевидно, что рассматриваемое представление приспособлено к матрице аз. Действительно, пару (ξι, ξ2) можно рассматривать как функцию ψ(σ) переменной σ, принимающей два значения σ = ±1. При этом σ3ψ(σ) = σψ(σ). Рассмотренное пространство используется для описания степени свободы, называемой спином; при этом наблюдаемые σι, σ2 и аз называются вектором спина. Например, состояние частицы, обладающей спином, представляется функциями ψ(*ι, Хъ, Хг, а) ее координат Хи Хг, Хз и спиновой переменной σ. Примером частицы со спином является электрон. Пространство состояний системы нескольких частиц вкладывается в тензорное произведение пространств состояний для каждой отдельной частицы и состоит, таким образом, из функций ψ(ζι, ···> ζη), где символ £j означает совокупность переменных, которые пробегают спектр полного набора совместно наблюдаемых величин, характеризующих частицу с номером /; η — число частиц. Состояния одинаковых частиц описываются функциями, удовлетворяющими определенным условиям симметрии. Различают
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 427 два типа частиц. Состояния бозе-частиц, или просто бозонов, описываются полностью симметричными функциями Φ(ζι» ···. £«) = *(£/,. ···> ζ/„). где /ι, ..., /η — произвольная перестановка индексов 1, ..., п. Состояниям ферми-частиц, или фермионов, соответствуют антисимметричные функции ψ(ζι» .... ζπ)=±ψ(ζ/|> ..., ζ/J. Знак в правой части определяется четностью перестановки /ι, ..., /п. Электрон является ферми-частицей. Литература: [289], [292], [294], [302]. 4. Развитие системы со временем. Классическая механическая система считается заданной, если известно ее фазовое пространство Г и выделена функция h на Г, которая называется функцией. Гамильтона и определяет динамику системы, например, при помощи уравнений Гамильтона. Значения функции Гамильтона— это возможные значения энергии системы. Аналогично, в квантовой механике система задается посредством указания пространства состояний φ и выделенной наблюдаемой Я, называемой оператором энергии. Существует несколько способов описания динамики в квантовой механике. Вводится однопараметрическое семейство унитарных операторов -Lm U(t) = e h . Первый способ (картина Шредингера) состоит в том, что векторы состояния меняются со временем по закону φ(0 = ί/(ί-*ο) + (*α). а наблюдаемые величины остаются неизменными. При втором способе (картина Гейзенберга) изменяются только наблюдаемые A(t) = U(t0-t)A(t0)U(t-t0). Имеющая физический смысл форма (Лф, ψ), конечно, меняется со временем одинаково в обеих картинах. Приведенные выражения представляют собой решения дифференциальных уравнений /Ai4iiL = tfi|>(0; ih^A(t) = [A(t), H], которые называются соответственно уравнением Шредингера и уравнением Гейзенберга. Литература: [289], [292], [294], [302].'
428 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 5. Квантование классической механики. Фазовое пространство Г системы η частиц в классической механике представляет собой бя-мерное евклидово пространство, точка (х, р) которого определяется координатами Xj и импульсами pj, / = 1, ..., η, всех частиц. Для сокращения записи используется векторное обозначение χ, ρ для троек (хи х2, х3), (ри Pi, Рг)· Функция Гамильтона частиц, взаимодействующих между собой и с внешним полем, имеет вид η η η /«=1 ΚΙ /-1 Здесь mi, ..., тп — массы частиц, функции u{j(x) описывают взаимодействие частиц с номерами i и /, a uj(x) —взаимодействие частицы с номером / с внешним полем. Состояния соответствующей квантовомеханической системы в координатном представлении описываются квадратично интегрируемыми функциями ψ(#ι, ..., χη). Оператор энергии определяется дифференциальным выражением, которое называют оператором Шредингера η η η ^=-λ2Σ"2^7δ/ + Σ μ^-^+Σ0/**')· /«ι Ki /=i Здесь Aj — оператор Лапласа по переменным Xj. Нетрудно убедиться, что это выражение получается, если сделать формальную подстановку p->-7--j- в классическую функцию Гамильтона. Этот факт, так же как и принцип, сформулированный в п. 3, является частным случаем постулата квантования классической механики, который часто формулируют следующим образом: пусть имеется классическая система с фазовым пространством, точка (q, p) которого определяется обобщенными координатами qu ..., qi и импульсами рь ..., pit и пусть h(q,p)—соответствующая функция Гамильтона. Пространство состояний квантовомеханической системы является гильбертовым пространством, в котором действует совокупность операторов Qi, ..., Qi, Р\, ···> Ри удовлетворяющих соотношениям коммутации [Q*>Q/] = 0; [PkyPf] = 0; [Qfy Pk] = ih6kf. Оператор энергии Я получается как функция h(Q, P) от этих операторов. Сформулированный рецепт не является достаточно полным в случае нелинейного фазового пространства и функции Гамильтона общего вида. В частности, не существует однозначного определения функции от некоммутирующих операторов. В рас-
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 429 смотренном выше случае эти трудности не проявляются, так как функция Гамильтона представляет собой сумму двух слагаемых, одно из которых зависит только от импульсов, а другое — только от координат. Взаимоотношение классической и квантовой механики двоякое. С одной стороны, по заданной классической системе можно во многих интересных случаях однозначно построить ее кванто- вомеханический аналог. С другой стороны, классическая механика является в некотором смысле пределом квантовой механики при h —► 0. Иллюстрацией этого общего положения является следующий конкретный результат: рассматривается система, описывающая одномерную частицу во внешнем поле с потенциалом υ(χ), так что функция Гамильтона имеет вид/ι (л;, р) = = -я—ρ2 + ν (х). Векторы ψ состояний квантовомеханической системы реализуются как квадратично интегрируемые функции ψ(χ) или ψ (ρ) в координатном и импульсном представлениях соответственно. Оператор энергии Η определяется однозначно, h2 d2 например, в координатном представлении Η = — 2m" Τ2 ^~ ϋ Μ" Задается последовательность ψ^ векторов состояния, таких, что при А —► 0 | ψΛ (χ) |2 -> δ (χ - χ0); | ψΛ(φ |2 -> δ (ρ - /70). Пусть ψΛ(χ, /) и ψΛ(ρ, t) представляют решение уравнения Шредингера ^ΨΛ(0 = #ΨΛ(0; ψΛ(0) = φΛ. Тогда при А-->0 1*л(*. t)?-+6{x-x{f)); ΙΨλ(ρ, 0Р-**(р-р(0). где x(t) и p(t) являются решениями классических уравнений Гамильтона ±χ(Ι)=,ΟψΙ; £„(0__*£Δ. i(D)-«p(0)-,„. Литература: [289], [292], [294], [295], [302]. 6. Основные задачи квантовой механики. Квантовая механика, во-первых, объясняет существование стабильных связанных комплексов частиц (атомы, молекулы, ядра) и, во-вторых, описывает процессы, происходящие при столкновении этих комплексов. Математическое решение обеих задач использует спектральные характеристики оператора энергии системы. Так, стабильным комплексам соответствует дискретный спектр этого
430 ГЛ. IX ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ оператора. Действительно, пусть ψ—нормированный собственный вектор: #ψ = £ψ (ψ, ψ)=1. Зависимость от времени вектора состояния ψ(/)> совпадающего в некоторый момент t = t0 с ψ, дается формулой ^(t) = e h ψ. Вектор ψ(/) отличается от ψ лишь тривиальным фазовым множителем, так что описываемое этим вектором состояние не меняется со временем. Вторая задача связана с непрерывным спектром оператора энергии. Нормированные «линейные комбинации собственных функций» непрерывного спектра описывают движение отдельных связанных компонентов, при котором последние могут расходиться со временем сколь угодно далеко. Более подробно это будет пояснено в § 4. Приведенный краткий обзор основных положений квантовой механики не может, конечно, дать представление о всех физических аспектах этой теории. Включение его в настоящий справочник по функциональному анализу преследует единственную цель: пояснить читателю, почему важно весьма-подробное исследование спектральных характеристик столь конкретного дифференциального оператора, каковым является оператор Шредингера. Все следующие параграфы посвящены различным вопросам спектральной теории этого оператора. Для сокращения записи всюду в дальнейшем, если только это не оговорено особо, полагается h = 1. Множители типа -*— также часто опускаются. Литература: [289], [292], [294], [302]. § 2. Конкретные квантовомеханические системы 1. Оператор Шредингера модельных задач. Наиболее общий дифференциальный оператор, с которым приходится иметь дело в квантовой механике системы η частиц, имеет вид При определенных условиях на потенциалы Vij(x) и Vj(x) этот дифференциальный оператор порождает самосопряженный оператор с всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций ψ(*ι, ..., хп). Подробнее об этом будет сказано ниже в § 3.
§ 2. КОНКРЕТНЫЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 431 Выписанный оператор очень сложен. При приближенных подходах к решению конкретных задач большую роль играют простые модельные системы, важнейшей из которых является частица во внешнем поле. Оператор энергии этой системы имеет вид Η3=-Δ + ν(χ) и действует в пространстве квадратично интегрируемых функций ψ(#) переменной χ = (хи х2, *з). Индекс 3 подчеркивает наличие трех переменных. Этот же оператор соответствует системе двух взаимодействующих частиц. Исследование оператора Я3 значительно упрощается в случае, если потенциал υ(χ) допускает разделение переменных. Типичные примеры этой ситуации следующие: 1) Одномерный случай: υ\χ) = ν{ζ), где ζ = х3. Задача сводится к изучению оператора "ι--& + "<*>■ 2) Радиальный случай:ν(χ) = υ(г), г = {х\ + х\ + #з)1/2. Задача сводится к изучению семейства операторов Η" = -?τ + ί1ψ1 + ν{Γ), ζ-ο, 1,2,... При 1 = 0 ставится граничное условие ψ(0) = 0, при / > 0 гра- ничных* условий накладывать не надо. Литература: [289], [292], [302]. 2. Простейшие свойства спектра оператора Шредингера. Здесь рассматривается несколько типичных признаков зависимости характера спектра оператора Шредингера от поведения потенциала ν и они иллюстрируются конкретными примерами. Потенциал предполагается ограниченным в каждом конечном интервале, различия в спектре обусловливаются его поведением на бесконечности. Одномерный оператор: а) Растущий потенциал, υ(ζ)-+οο при \ζ\ —>>οο. Спектр дискретный, однократный. Примером является гармонический осциллятор, υ (ζ) = ζ2. Собственные значения и собственные функции имеют вид λη = 2η+1, qn(z) = e-z2/2Hn(z), п = 0, 1, 2, ... , где #п (г) — полиномы Эрмита. б) Потенциал, растущий в одну сторону, и(г)-*оо при. г_>—оо и ν(ζ)-+α при ζ -> оо, причем υ(ζ) —α = 0(ζ~ι-Ε)> ε > 0. Спектр — однократный лебеговский в интервале α<λ< <: оо, при λ < а возможен конечный однократный дискретный
432 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ спектр. Примером является потенциал Морса v(z) = = A(e-2z — 2e~z), для которого собственные функции выражаются явно в терминах гипергеометрической функции переменной u = 2YAe-z. в) Стабилизирующийся потенциал, v(z)-+a при г—»оо и υ (ζ) -> b при г—►—оо, b ^ α, причем так же, как и выше, предельные значения достигаются достаточно быстро. Спектр в интервале а <С λ < оо — двукратный лебеговский, в интервале b < λ < а — однократный лебеговский и при λ < b — спектр дискретный, состоящий из конечного числа однократных собственных значений. Пример дает потенциал вида о (z) = A (ch 2μ - sh 2μ th ζ + |j£), так что а = Ае2^ и Ъ = Ае~2^. Собственные функции явно выражаются через гипергеометрическую функцию переменной и = ez + e~z ' г) Периодический потенциал, ν (ζ + 1) = ν (ζ). Спектр — двукратный лебеговский, заполняет отдельные интервалы вещественной оси. Подробнее см. ниже § 3, п. 7. В случае радиального оператора Н® свойства спектра во многом аналогичны, однако лебеговский спектр всегда однократен. а) Растущий потенциал, у(г)->оо при г -> оо. Спектр — однократный, дискретный. Пример также дает гармонический осциллятор v(r)=r2t собственные значения и собственные функции имеют вид λ(0 = 4м + 21 + 3; ψ(|) (г) = rle~^F {-η, Ι + 3/2, г2). Здесь F(a, b,z)—вырожденная гипергеометрическая функция. б) Убывающий потенциал, о(г)->0 при г->оо. Интервал О < λ < оо заполнен непрерывным спектром, отрицательный спектр дискретен. Пример дает кулоновекий потенциал ν (г) = —- 1/г. Положительный спектр — однократный лебеговский, отрицательный состоит из бесконечного числа собственных значений λ„} = {η -f /)~2, м=1, 2, ..., накапливающихся к λ — 0. Соответствующие собственные функции имеют вид где Lm(p)— полиномы Лагерра. Для собственных функций непрерывного спектра также можно выписать явное выражение в терминах гипергеометрической функции. в) Быстро убывающий потенциал, v{r) = О (г~1_е), ε > 0. Положительный спектр — однократный лебеговский, отрица-
§ 2. КОНКРЕТНЫЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 433 тельный состоит из конечного числа однократных собственных значений. При / > 0 точка λ = 0 также может быть дискретным собственным значением. При / = О существует много потенциалов, для которых можно найти собственные функции в явном виде. Примерами являются экспоненциальный потенциал υ (г) = е~г, потенциал Хюльтена υ (г) = е~г(\ + е~г)-1 и многие другие. Для трехмерного оператора Н3 здесь приводятся лишь простейшие признаки, сходные со сформулированными выше в одномерном случае. Более подробно оператор Я3 рассмотрен ниже в § 3. а) Если область, где выполняется условие υ(χ)— λ<^0, конечна, то λ или точка дискретного спектра, или не принадлежит спектру. Левее λ спектр только дискретный. б) Растущий потенциал, υ(χ) —* оо при г—►оо. Спектр чисто дискретный. в) Убывающий потенциал, υ(χ) —► 0 при г—>оо. Вся полуось О < λ < оо заполнена непрерывным спектром. г) Быстро убывающий потенциал, ν (х) = О (а*"2~е), ε > 0. Положительный спектр — лебеговский, бесконечнократный. При λ ^ 0 может быть разве лишь конечное число собственных значений конечной кратности. Полный набор собственных функций непрерывного спектра содержит в точности по одной собственной функции для каждого ft = (&ь &2, &з). Подробнее об этом см. § 4. Существует очень мало примеров, когда можно дать явные выражения для собственных функций трехмерного оператора Шредингера. Один пример дает кулоновский потенциал, другой — так называемый точечный потенциал. Собственные функции в последнем случае имеют вид v ' ' π2 α + ik с ' k = (k\ + k\ + kl)l,2y (ft, x) = k{xx + k2x2 + k3x3. Сам точечный потенциал является некоторым пределом операторов умножения на функцию, сосредоточенную в окрестности начала координат. Параметр а характеризует способ этого предельного перехода. Литература: [158], [292], [299]. 3. Многоэлектронный атом. Конкретный пример многочастичной системы — это η электронов в поле положительного заряда Ζ, сосредоточенного в начале координат (ядро атома). В координатном представлении состояния описываются функциями ψ(#ι>(7ι> ···> *n> On) координат и спиновых переменных всех
434 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ электронов, причем при перестановке любой пары совокупностей переменных (*, σ) функция ψ меняет знак. Оператор энергии действует только на координаты электронов и задается дифференциальным оператором η η η /-ι t<l J Hi Здесь Гц = \xi — *,·(. Пространство состояний ξ> распадается в прямую сумму подпространств §s, 5 = 0, ..., η — 1, отвечающих состояниям с определенным полным спином. Каждое из этих подпространств приводит оператор энергии и может быть реализовано как пространство функций, зависящих только от координат, удовлетворяющих некоторым условиям симметрии. Эти условия, вообще говоря, менее тривиальны, чем просто полная симметрия или антисимметрия. Возможные типы симметрии находятся в однозначном соответствии с некоторыми представлениями симметричной группы Sn (группы перестановок η элементов) и описываются достаточно сложно. В случае системы двух электронов имеются два возможных значения для полного спина системы и, соответственно, два типа пространств £s функций от координат; пространство фо состоит из симметричных функций: ψ(*ι, Хъ) = ψ(#2, #ι), пространство §ι — из антисимметричных: ψ(χι,*2) =—ψ(#2>#ι). Полное пространство состояний |) разлагается в прямую сумму, в которую фо входит один раз, а φι — три раза. Дискретные собственные значения оператора энергии соответствуют различным состояниям атома, образованного ядром и электронами. Наименьшее из этих значений описывает основное состояние атома, все остальные — возбужденные состояния. Если Ζ ^ п, т. е. если система заряжена положительно или нейтральна, то спектр оператора непрерывен на интервале —μ <λ<οο с некоторым, вообще говоря, положительным μ и состоит из бесконечной серии собственных значений, накапливающихся к —μ. В различных подпространствах ф5 значения μ могут быть разными. При этом дискретный спектр оператора энергии в одном из этих подпространств может налагаться на непрерывный спектр в другом подпространстве. Таким образом, на части отрицательной полуоси спектр оператора энергии смешанный, собственные значения лежат на непрерывном спектре. Положительных, собственных значений оператор энергии не имеет. Случай Ζ < η исследован менее детально. Примеры показывают, что дискретный спектр может быть конечным и даже вообще отсутствовать. Однако это положение не доказано в общем случае.
§ 3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА 435 При η = 1, Ζ = 1 получается система, описывающая атом водорода. Соответствующий оператор рассмотрен выше в п. 2. Его дискретный спектр отрицательный, накапливающийся к точке λ = 0. Основное состояние имеет собственное значение λ = -1. При η = 2 и Ζ = 2 система описывает состояния атома гелия. Основное состояние принадлежит пространству ф0· Значения μ = 1 одинаковы в пространствах ф0 и ф4. Бесконечные серии собственных значений накапливаются к λ = —1 в обоих подпространствах. Случай η = 2 и Ζ = 1 используется при описании системы, состоящей из электрона и атома водорода. Физики считают, что в подпространстве ф0 имеется одно собственное значение, описывающее отрицательный ион водорода. В подпространстве ξ>ι дискретный спектр отсутствует. Строго доказана только конечность дискретного спектра. Эффект налегания дискретного спектра на отрицательный непрерывный спектр может иметь место, начиная с η = 3. Литература: [292], [298]. § 3. Спектр оператора Шредингера и некоторых родственных дифференциальных операторов Выше было отмечено, что спектральный. анализ оператора Шредингера имеет основное значение для квантовой механики. В § 2 были приведены некоторые сведения о спектре оператора Шредингера. Здесь эти сведения будут существенно дополнены. С общей точки зрения оператор Шредингера представляет собой пример оператора эллиптической сингулярной краевой задачи. Поэтому наряду с описанием спектра оператора Шредингера здесь приводятся аналогичные факты о дифференциальных операторах несколько более общего вида. Рассматриваются дифференциальные выражения 1пУ = (-1Гъ$г + о(х)у NJ?,), Ми = —Ды -f- υ (χ) и Μηιι = {-1)ηΔηιι + υ(χ)ιι т i, Λ=1 Предполагается, что функция ν (χ) полуограничена снизу, вещественная матрица а (х) = {aik (х)}™ fes=1 — положительно определенная. Коэффициенты не имеют особых точек на конечном (х ei?m, m > 2),
436 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ расстоянии*). Операторы Λί, Λίη, А определяются первоначально на достаточно гладких финитных в Rm функциях, а затем расширяются по Фридрихсу до самосопряженных операторов в L2{Rm) (см. тл. IV, § 4, п. 3). Дифференциальное выражение 1пу аналогичным образом связывается с оператором 1п в L2(/?i), а также с оператором 1°п в L2(0, oo) при условиях у(0) =у'(0) =...== i/(n-D(0) =0. Очевидно, U = HU /? = Я(0), и Μ = #з при m = 3. 1. Условия дискретности спектра. Без ограничения общности считается, что υ(χ)^1. Если υ(χ)—^ оо при \х\—^ос, то спектр каждого из операторов /°, lnt Λί, МПУ А — дискретный. Для оператора А дискретность спектра может быть обусловлена также поведением коэффициентов ciih(x) при |л:|—><х>. Пусть v{x)—наименьшее собственное число матрицы а(х) и μ(0 = = inf ν (χ). Спектр А — дискретный, если Γ~2μ(τ) -> оо при 1*1=г г-> оо. Условие lim f v{y)dy->oot U|->oo , J \У-Х\<а выполненное при сколь угодно малых а >> 0, необходимо для дискретности спектра операторов /Л, In, Λί, Λίη. Оно также достаточно для операторов /°, 1п и для'\Л1п при 2п > т. При 2η<ζηι критерий**) дискретности спектра оператора Λίη не допускает элементарной формулировки. В частности, критерий дискретности спектра оператора Μ формулируется в терминах гармонической емкости (см. [293]). При дополнительных ограничениях на υ(χ) известно асимптотическое поведение собственных значений. Пусть Ν(λ) — число собственных значений, меньших λ. Для операторов /,°г, 1п при условиях υ'(χ)>0, υ"(χ)>§ и υ (χ)—^оо при \х\—^оо справедлива асимптотическая формула Ν{λ)~± j [λ-υ(χ)]ι/2ηάχ. ι>(χ)<λ Для оператора Λί аналогичное асимптотическое соотношение п—т_.—т/2 р "(М -7~г Г [*-о(х)1"я<& ■(■*+.). (*)<λ *) Это условие ниже считается выполненным на протяжении всей главы, если специально не оговорено противное. **) Здесь и ниже критерием называется условие, одновременно необходимое и достаточное.
§ 3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА 437 имеет место при некоторых условиях, обеспечивающих «достаточно правильный» рост υ(χ) при \х\—><х>. Литература: [158], [285], [299]. 2. Предельный спектр. Предельный спектр дифференциальных операторов обладает устойчивостью относительно «достаточно слабых» возмущений коэффициентов. В частности, предельный спектр операторов /rt, ln, Λί, Μη, А -не меняется при замене v(x)^l на υ (х) + ц (χ), если ц{х) = ο(υ(χ)) при \х\—> оо. Для оператора А допустимы также возмущения матрицы а(х). Пусть матрица а(х) -j-b(x) положительно определена и у{х)—наибольшее по абсолютной величине собственное число матрицы [а(х)У1Ь(х). Предельный спектр оператора А не меняется при замене а(х) на а(х)Л- Ь(х), если у(х)—► () при \х\—^оо. Другой тип возмущений дифференциальных операторов связан с введением границы и постановкой граничных условий на ней. Пусть Ω — внешность ограниченной области в Rm с кусочно-гладкой границей Г. Дифференциальное выражение Аи и какие-либо классические граничные условия на Г, например м|г = 0 или -д \-аи\ -= 0 (ем. гл. IV, § 6, п. 3), порождают 0/7- \т1 в Ζ.2(Ω) полуограниченный самосопряженный оператор A q Предельный спектр оператора Aq совпадает с предельным спектром оператора А и, следовательно, не зависит от области Ω и граничных условий на Г. Конкретные сведения о предельном спектре операторов '«> U> Μ и Мп можно получать, рассматривая член v(x)u как возмущение и пользуясь тем, что при ν(χ) ξ= 0 спектр каждого из рассматриваемых операторов совпадает с полуосью [0,оо). Если υ(χ)—>0 при \х\—^оо, то предельный спектр каждого из операторов #, 1П9 М, Мп совпадает с полуосью [0, оо). Для операторов 1°П9 1П9 а также для Мп при 2п > m то же верно при более слабом условии Hm f \u(y)\dy = 0. В случае 2п ^ m результат остается в силе при дополнительном условии ограничейности υ(χ). Для отрицательных потенциалов υ(χ) приведенные условия являются в известном смысле окончательными (см. ниже п. 3). При υ(χ)^0 это не так. Совпадение предельного спектра
438 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ с [0, оо) для ln> In, M гарантируется, например, условием lim j-r—r v2(x)dx = 0y *-><» ΙΔ/Η J w 4 выполненным для некоторой последовательности кубов Δα неограниченно возрастающего объема |Δ&|. Без предположения υ(χ) ^0 указанное условие обеспечивает принадлежность полуоси [0, оо) предельному спектру. Для операторов /„, lni M при υ(χ)^0 принадлежность точки λ = 0 предельному спектру гарантирует его совпадение с[0,оо). Пусть υ(χ) при \х\—>-оо не стремится к нулю (в каком- либо смысле), но существуют конечные величины α = lim inf ν (χ), β = lim sup ν (χ). |*|-»οο U|->oo Если δ = β — α, 2σ = α + β> то для операторов /„, ln. Μ, Μη любой отрезок [λ, λ + δ] полуоси [σ, оо) содержит хотя бы одну точку предельного спектра. Литература: [158], [285]. 3. Отрицательный дискретный спектр. Здесь рассматривается отрицательный спектр операторов 1°пу 1п> М, Мп в предполр- жении υ(χ) ^ 0. Какое-либо свойство спектра указанных операторов будет называться устойчивым, если оно сохраняется при замене υ(χ) на αυ(χ) при любом α > 0. Большинство формулируемых ниже утверждений вытекает из абстрактных результатов гл. IV, § 4, п. 3. Если отрицательный спектр одного из операторов 1Пу 1т Мп устойчиво дискретен (т. е. ограничен снизу и состоит из конеч- нократных изолированных собственных значений), то предельный спектр совпадает с полуосью [0, оо). Из сказанного в п. 2 теперь следует, что для устойчивой дискретности отрицательного спектра fn> /n, Мп необходимо условие lim f \v(y)\dy = 0, lx^°°\y-x\<i которое также достаточно для 1ПУ 1п и для Мп при 2п > т\ при 2n^Lm это условие достаточно, если функция υ(χ) ограничена. Число отрицательных собственных значений может быть конечным или бесконечным. Критерием устойчивой конечности отрицательного спектра операторов ln, U служит условие lim ρ2""1 ί \v(t)\dt = 0.
§ 3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДИН ГЕРА 439 Для оператора Μ устойчивая конечность отрицательного спектра обеспечивается условиями lim ρ f I υ (r, ω) | dr = 0 (m > 3), Э->оо * Ρ οο lim In ρ Γ г Ι ν (г, ω) | dr = 0 (m = 2), p->oo выполненными равномерно по ω; здесь v(rf ω)=υ(χ), r = = |*|, ω = г~^х. Эти условия являются и необходимыми при v(x)=v(r). (Для произвольных υ(χ) соответствующий критерий формулируется в терминах гармонической емкости.) Критерием устойчивой бесконечности отрицательного спектра операторов 1°ПУ 1п является условие lim sup ρ2""1 ί \v(t)\dt=oo. P^°° U\>9 Для устойчивой бесконечности отрицательного спектра оператора Μ при т ^ 3 достаточно условие lim sup ρ ί \v(x)\\x\] m dx·· П -> QO У p->oo . \x\>9 которое также необходимо при υ (χ) = ν(\χ\). Для некоторых случаев известны простые оценки, ограничивающие сверху число пг собственных значений -(с учетом кратности), лежащих левее точки λ = — ε2 ^ 0. В частности, для операторов Н° = 1\° и Н3 справедливы неравенства оо «,(/?)< (&Г1 J (1 - *-*0l о ШЛ, 0 пв(Н3) < (ΙβπΤ1 \\\υ{χ)υ (у) \е-2г1х'у]\х-у \'2dxdy. Для числа отрицательных собственных значений оператора #Ю справедлива оценка оо n№t))<-1ppr\t\v{t)\dt. о Литература: [158], [285], [293]. 4. Абсолютно непрерывный спектр. Для операторов А и Лр (см. п. 2) совпадает не только предельный спектр, но? при
440 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ достаточно гладких коэффициентах, также и абсолютно непрерывный спектр. Более того, при изменении границы и граничных условий, а также при финитных возмущениях коэффициентов абсолютно непрерывная часть оператора А& сохраняется с точностью до унитарной эквивалентности. Эта унитарная эквивалентность осуществляется волновыми операторами (см. гл. IV, §5, п. 4). Волновые операторы для пары Л, AQ можно определить, если предварительно расширить Aq до самосопряженного оператора в L2(Rm). Это можно сделать, доопределяя, например, AQ нулем в L2(Rm\Q). При этом абсолютно непрерывная часть оператора ΑΩ, очевидно, сохранится. В некоторых случаях абсолютно непрерывная часть дифференциального оператора сохраняется при возмущениях коэффициентов более сильных, нежели финитные. Для оператора Шредингера Н3 соответствующие результаты приводятся в п. 6. Литература: [286]. 5. Самосопряженность оператора Шредингера. Выше речь шла о спектре полуограниченных операторов, которые первоначально определялись на гладких финитных функциях, а затем расширялись до самосопряженных операторов по Фридрихсу. При этом оставлялся в стороне вопрос о существовании других самосопряженных расширений. Если такие самосопряженные расширения существуют, то выделение какого-либо из них требует постановки граничных условий в бесконечно удаленной точке. Для оператора Шредингера нет физически оправданных аргументов, позволяющих ставить в бесконечности граничные условия. Поэтому представляют интерес признаки существенной самосопряженности оператора Шредингера, т. е. признаки, гарантирующие самосопряженность замыкания оператора Я3, определенного первоначально на гладких финитных функциях. В этом случае замыкание будет единственным самосопряженным расширением. Оператор Н3 — в существенном самосопряженный, если он полуограничен снизу. В частности, это так, если полуограничен снизу потенциал ν(χ), т. е. miv{x) > —оо (это условие не является необходимым для полуограниченности Я3 снизу). Оператор Н3 является в существенном самосопряженным и тогда, когда v(x) не слишком быстро стремится к — сю. Именно, пусть Q(r) —неубывающая положительная функция и оо Г dr = оо J VoJF) °°' Если v(x) ^ — Q(\x\), то оператор Я3 — в существенном самосопряженный. В частности, это так, если v(x) ps — А\х\2 — В.
§ 3. СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЕДЙНГЁРА 441 В то же время замыкание оператора Я3 может не быть самосопряженным, если υ(χ) ^ — С|х|2+е (ε > 0). До сих пор предполагалось, что ν(χ) не имеет особых точек на конечном расстоянии. Пусть для какого-либо значения R >> 0 Г v2 (x) dx < оо \x\<R и при \х\ >R выполнено одно из указанных выше условий: например, v(x) ^ —- А \х\2—· В. Тем самым на конечном расстоянии (при \х\ ^ R) допускаются изолированные особые точки, вблизи которых υ(χ) = 0(\χ — #ο|~γ), Υ < 3/г. При указанных предположениях оператор Я3, определенный на гладких финитных функциях, в существенном самосопряженный. Достаточный признак существенной самосопряжённости оператора Шредингера η η #= — ΣΔ/+Σ να {xt - xj) + Σ vj (xj) для системы п частиц (см. § 2, п. 1): Пусть при некоторых постоянных Μ и R выполнены условия J vljix) dx < оо, J v2} (x) dx < оо \x\<R \x\<R и при I χ I ^ R \Vij(x)\<M9 Iti/WKM, /, /= 1, 2, ..., n, i < /. Тогда оператор Шредингера Я, определенный на гладких финитных функциях, в существенном самосопряженный. Область определения его замыкания совпадает η с областью определения замыкания оператора— 2 Δ/. Литература: [158], [304], [305]. 6. Спектр оператора Шредингера с убывающим потенциалом. Если потенциал υ(χ) оператора Н3 стремится к нулю при \х\ ->оо, то предельный спектр Н3 совпадает с полуосью λ^Ο (см. п. 2). Дальнейшие заключения о свойствах спектра можно сделать при наличии дополнительных сведений о скорости убывания υ(χ). Условие υ(χ) =o(\x\"i) при \х\—*оо обеспечивает отсутствие положительных собственных значений. В этом случае положительный спектр — чисто непрерывный. Другой признак отсутствия у оператора Я3 положительных собственных значений состоит в том, что ν(χ)-*-0 при |*|-*оо и вне какой-либо сферы выполнено условие д\х\ <0·
442 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Если выполнено более сильное условие υ(χ) = 0(\х\"2"6), δ > 0, то положительный спектр оператора Н3— лебеговский бесконечнократный. (В п. 2 § 2 отмечалось, что при сделанном предположении оператор Н3 имеет разве лишь конечное число конечнократных неположительных собственных значений). При этом положительная часть оператора Н3 унитарно эквивалентна оператору — Δ. Унитарная эквивалентность осуществляется волновыми операторами (определение волновых операторов см. в гл. IV, § 4, п. 4). Построение волновых операторов в явном виде для рассматриваемого случая описано в § 4, п. 4. Литература: [291], [303], [304]. 7. Оператор Шредингера с периодическим потенциалом. При условии υ(χ) = ϋ(χ+ 1) спектр оператора #ι можно описать следующим образом. В 1г(0, 1) рассматриваются два оператора, отвечающих дифференциальному выражению —y"-\~v(x)y и, соответственно, «периодическим» граничным условиям у(0) = *= у (1), у' (0) = у' (1) либо «антипериодическим» условиям у (О) = — у(1), у'(0) = — у'(1). Оба оператора имеют дискретный спектр. Пусть {^/J^Lo и №п}™=*\ — последовательные' собственные значения периодической и антипериодической задач. Для них справедливы неравенства λ0 < μι < V>2 < λι < λ2 < μ3 < μ4 < λ3 < λ4 < ... Последовательности λη и μη позволяют охарактеризовать спектр оператора #ι, действующего в L2(—со, оо). Именно, оператор #ι имеет двукратный абсолютно непрерывный спектр, заполняющий промежутки [λ0, μι], [μ2> λ\]> [λ2, Цз] и т. д. Интервалы (μι, μ2), (λι, λ2), (μ3, μ4) и т. д. образуют лакуны в спектре. Некоторые из собственных значений λη или μη могут быть двукратными. Тогда в спектре #4 соответствующие лакуны, отсутствуют. Существуют непостоянные периодические потенциалы v(x)y для которых число лакун конечно. В общем случае длина лакун стремится к нулю при η -> со, причем скорость убывания длины лакун определяется гладкостью потенциала υ(χ). Полный спектральный анализ оператора #ι сводится к исследованию в /-г(0,1) оператора — y" + v(x)y при «квазипериодических» граничных условиях y(0) = e-2niky(l), */'(0)-<Г2я'У(1) (0<Л<1), (периодические и антипериодические условия соответствуют значениям k = 0 и k =1/2). При всяком фиксированном к спектр квазипериодической граничной задачи дискретен. Объединение всех этих спектров, отвечающих всевозможным значениям k, образует спектр оператора #ι. Совокупность всех собственных функций <рп(х,я) (k Φ 0, k φ \/2) квазипериодических задач образует «полную систему собственных функций» для оператора Η ι. Аналогичным образом проводится спектральный анализ оператора #з с трояко-периодическим потенциалом ν(χ).
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ 443 Если периодический потенциал v(x) возмутить непериодическим потенциалом η(χ), удовлетворяющим, например, условию + 0О j \h\(t)\dt <oof — 00 то характер непрерывного спектра оператора #ι не изменится. При этом левее точки λο и в каждой лакуне появится разве лишь конечное число собственных значений, а в достаточно далеких лакунах возникнет не более двух собственных значений. Если ч\(х) сохраняет знак и + 0О J ί2|η(01^<οο, — 00 то можно утверждать, что в каждой достаточно далекой лакуне возникнет ровно одно собственное значение. Литература: [290], [297], [299]. § 4. Непрерывный спектр оператора энергии и задача рассеяния 1. Частица во внешнем поле. Простейшую систему, на примере которой можно проиллюстрировать основные положения теории рассеяния, представляет собой частица в поле фиксированного источника, описываемого потенциалом ν(χ). При больших расстояниях от центра потенциал исчезает. Оператор энергии в координатном представлении действует в £2(/?з) как дифференциальный оператор Я = #о + V; #0ψ (*) = -Δ* (*); V^ (χ) = ό(χΗ (*)· Математически задача рассеяния состоит в следующем. Пусть задан нормированный вектор φ(_). Требуется: 1. Построить решение ψ (t) уравнения Шредингера '■зг+(0-я+(0. удовлетворяющее начальному условию lim ||ψ(0 —e-'*ty->|| = 0. f-> — OO 2. Доказать, что существует такой нормированный вектор <р(+)э что для полученного решения ψ (0 справедлива асимптотика при f-*oo Нт||яК0-*-'я,У+Ч1 = 0.
444 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 3. Показать, что существует такой унитарный оператор S, что φί+) = 5φ(-). Для интерпретации сформулированной задачи следует заметить, что в координатном представлении любой вектор вида φ(ή = β~ίΗοίφ можно записать следующим образом: φ (*, t) = [-^Y J с (k) е-1кЧе1 <*· *> dk, где j\c(k)\2dk=l. При этом для любой ограниченной области D J|q>(*, t)\2dx->0 D ПрИ \ί\ -*00. Вектор ψ(ί) описывает движение свободной частицы, при котором вероятность того, что частица остается в ограниченной области, исчезает с ростом времени. Можно говорить, что при этом движении частица со временем уходит на бесконечность. Участвующие в постановке задачи рассеяния векторы φ(_)(0 и φ(+)(0 описывают асимптотическое движение частицы далеко от центра до (—) и после (+) рассеяния. Решение ψ(ί) уравнения Шредингера описывает сам процесс рассеяния. Основной интерес представляет связь между характеристиками свободного движения частицы до и после рассеяния. Вся информация об этой связи содержится в операторе S, который называется оператором рассеяние. Литература: [54]. 2. Система нескольких частиц. В системе нескольких частиц существует, вообще говоря, много различных типов асимптотического движения, отвечающих разбиению всей системы на несколько подсистем. Каждой подсистеме естественным образом сопоставляется свой оператор энергии. Дискретный спектр этого оператора описывает различные состояния связанного комплекса, образованного частицами подсистемы. Асимптотическое движение, соответствующее взятому разбиению системы, представляет собой свободное движение таких далеко разведенных комплексов. Различные типы асимптотического движения называют каналами реакций, возможных в рассматриваемой системе, или просто каналами. Более формально канал определяется заданием пары Яа, Ра, где На — оператор энергии канала, Ра—проектор. Опера-
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ 445 тор На получается из оператора энергии всей системы, если опустить члены взаимодействия частиц, принадлежащих разным подсистемам; Ра проектирует на собственное подпространство #а, соответствующее дискретному спектру операторов энергии подсистемы. Вектор состояния, описывающий асимптотическое движение в канале а, имеет вид где (ЛхФа» Φα)=1· Процесс рассеяния, возбужденный в канале а, описывается решением уравнения Шрединг&ра удовлетворяющим начальному условию ^imJ^-e-'Vp^-^o, (Peq/->, <-))=l. При t-+oo решение ψ(0 имеет асимптотику lim Ι ψ (0 - Σ <Г'Vpp<p|)+) Ι = О, f->oo II β И где β Семейство линейных операторов Spa, таких, что образует оператор рассеяния. Например, для системы трех частиц оператор энергии в координатном представлении действует в L2(Rd) как дифференциальный оператор + ν[2 (Х[ — Хо) + ν23 (х2 — *з) + Оз1 (Хз — *ι)· Здесь хи Х2> *з — координаты частиц, ти т2, т3—их массы, потенциалы Vij(x) описывают взаимодействие частиц с номерами i и /. Возможные подсистемы состоят из одной или двух частиц. Соответствующие операторы энергии задаются в Ь2(Яз) дифференциальными операторами 1 1 tnitrij
446 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ где ί, /= 1, 2, 3 — номера частиц, входящих в подсистему. Если все три оператора кц имеют по одному простому собственному значению —кц с собственными функциями ψϋ(*), τ0 имеется всего четыре канала. Один из них (ос = 0) соответствует свободному движению всех трех частиц в отдельности. Три других (а =12, 23, 31) описывают свободное движение двух частиц в связанном состоянии и третьей частицы. Операторы энергии каналов На и соответствующие проекторы Ра определяются следующим образом: Ηα=Η0+να(χα), α= 12, 23, 31; Ро совпадает с единичным оператором, Р12 проектирует на функции вида Ψΐ2(*ι — *2)ω(*ι + χ2, х3)> где ω (л:, у) —произвольная функция из L2(Re); Ргз и Ρ3ι определяются аналогично. Литература: [284]. 3. Волновые операторы. Сформулированные постановки задачи рассеяния обосновываются при помощи теорем о волновых операторах (абстрактное определение см. гл. IV, § 5, п. 4). В случае рассеяния частицы на центре подходящее утверждение формулируется следующим образом: пусть v(x) —ограниченная функция и при г-^оо ν (х) = О (α*-2-8), ε > 0. Тогда существуют сильные пределы Urn Л"ш°' =иш, t->±oo которые являются изометрическими операторами: U{±)*U{±) = Ε, ί/(±)ί/(±)* = Ε — Ρ. Здесь Ρ — проектор на инвариантное подпространство оператора Я, соответствующее дискретному спектру. Для всякой ограниченной функции φ (5) справедливо соотношение φ(Η)υ(±)=υ(±)φ(Η0). Операторы UM и СЛ-) называются волновыми операторами. Из их свойств следует, что оператор s=={/(+).{/(_) унитарен и коммутирует с произвольной функцией оператора Н0,
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИЙ 447 Решение ψ(ί) задачи рассеяния дается формулой Действительно, при /—*— оо |ψ(0_^-^φ(-)|==|1ί/(-)_^ν<Η.<]φ(-,|μ0ι При этом φ(+)= [/^^(0) = Ui+)'Ui'W') = Scpi-'\ так что оператор 5 является оператором рассеяния. Теорема о волновых операторах в многочастичном случае должна выглядеть следующим образом: при определенных-условиях на потенциалы, описывающие взаимодействие частиц, существуют сильные пределы t->±oo которые являются частично изометрическими операторами: При этом проекторы Q^' = C/<β:t)ί/£t,* обладают свойством a где Ρ совпадает с проектором на подпространство, соответствующее связанным состояниям всех частиц системы. Существование волновых операторов С/(а±) доказано в общем случае примерно при таких же условиях на потенциалы, как в случае одной частицы. Свойство проекторов Q{*J доказано в настоящее время только для системы трех частиц. Оператор рассеяния определяется в терминах набора операторов Литература: [54], [65], [300]. 4. Стационарная постановка. Приведенные выше формулы приобретают более явный вид, если использовать конкретный набор «собственных функций» непрерывного спектра оператора энергии. В случае рассеяния частицы на центре такой набор образуют решения уравнения Ли (χ, k) + k2u (χ, k) — v (χ) и {χ, k), k = (k\, &2, &з), k = ftl -f-&2 + ^3> .
448 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ удовлетворяющие условию излучения и (х, к) = е1 (*· *) + w {χ, к), (ft, χ) = k{x{ + k2x2 + kjX3; w (χ, ft) — Ο ί-γ); lim r i-^r — ikr\ w {x, ft) = 0. Существование этих решений можно доказать при тех же условиях на потенциалы, при которых существуют волновые операторы. Функции и(х, ft) образуют полную ортонормированную систему собственных функций оператора энергии Н. Более точно это значит, что по каждой функции ψ(χ) из £2(/?з) можно определить коэффициенты Фурье / J \3/2 Г * (*) = \2л) J ψ W и (χ> *) dx; при этом разность ψ Μ "~ (w) J * Wll (*' ® dk принадлежит собственному подпространству оператора Я, образованному его собственными функциями. Все выписанные интегралы сходятся в среднем. В терминах решений и(х, к) можно дать явное выражение для волновых операторов. Так, коэффициент Фурье φ (ft) определяет импульсное представление элемента φ= ί/^ψ, если функция ψ (χ) задает координатное представление элемента ψ. Опера- тор 0<+) описывается аналогично при помощи функций и(х, -—к). Если υ (χ) = О (гг"е), ε > 0, при больших г, то w(x,k) имеет асимптотику ш(ж,й) = -^/(й;а, β) + ο(1); a = -f, β=-|. Функция f (ft; α, β) называется амплитудой рассеяния. Оператор рассеяния в импульсном представлении явно через нее выражается: s$ (*) = Ψ (*) + -ε- J f (ft; 4·τ)δ (fe2 -/2) * W dt' δ-функция в этой формуле отражает тот факт, что операторы 5 и #о коммутируют. Унитарность оператора S приводит к следующему соотношению для амплитуды рассеяния: /(*; «> β)-/(*;β, «) = Д-//(*; «> j)t[k\ β, {)b(P-k*\dt.
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ 449 Кроме того, выполняется условие симметрии f(k;a, « = /(*; -β, -α), которое является следствием вещественности потенциала в координатном представлении. Аналогичная связь между волновыми операторами и полным набором собственных функций непрерывного спектра оператора энергии должна существовать и в случае системы нескольких частиц. До сих пор она установлена только для системы трех частиц. В остальной части параграфа рассматривается только случай одной частицы в поле фиксированного центра. Литература: [292], [296], [303]. 5. Интегральное уравнение теории рассеяния. Основу всех подходов для построения решений и(ху k) и амплитуды рассеяния /(&;. α, β) составляет интегральное уравнение ι Г Jk I х-у | и{х, к) = еЧ*'*>—± J %_y| O(y)u(y, k)dy, которое часто называют уравнением Липпмана — Швингера. По известному решению и(х, к) амплитуда /(£; α, β) определяется формулой f(k; α, β) = - -L· | е-щх. α)υ {х) и {Xf щ dXm Можно выписать интегральное уравнение, эквивалентное уравнению для и(х, fe), из которого f(k\ α, β) определяется более непосредственно. Для этого надо рассмотреть ядро t(k9t) = — — j е-1 <*· xh {χ) и {χ, I) dx. Функция /(£; α, β) получается из t(k, l) при k = /. Уравнение для t(k, l) имеет вид t(k9 t) = ϋ {k - /) - j υ (ft - m) {m2 -I2 - ЮГ1 t{m, t)dm, д{к) = -^^е-Кк>*^(х)ах. Здесь (т2 -- I2 — i0)~l — известная обобщенная функция, (ζ-ιΌΓ^Ργ + ιπδίζ), где индекс Р показывает, что сингулярность понимается в смысле главного значения (см. гл. X, § 2, п. 1)* Литература: [288].
450 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 6. Случай сферической симметрии. Задача значительно упрощается, когда υ(χ) зависит только от радиуса; ν(χ) = ν (г). В этом случае решение и(х, к) и амплитуда f{k\ α, β) разлагаются в ряды по полиномам Лежандра: оо и(Х, *)=42(2/+ΐ)/Μ'. *)^(-%г·); /«=0 f(A;«, β)=Σ(2ί+1)Μ*)Ρ/((α, Р)). Здесь функции Ri(ry k) являются собственными функциями непрерывного спектра радиальных операторов Шредингера Я«)#/(г, к)**[-£ + Щ^ + v(r)]Rt(r, k) = kZRt(ry k); функции fi(k) связаны с асимптотикой этих решений при больших г: R'(r> k) = -^Wk'--{--\)le-^] + fi{k)e"r + o{\). Условие унитарности оператора рассеяния в терминах коэффициентов fi(k) выглядит следующим образом: fi(k)-h(k) = 2ik\ft(k)\\ откуда ясно, что fi(k) можно записать в виде ft(k)—a-[W>-l], где i\i(k)—вещественные функции, носящие название асимптотических фаз. Это название связано с тем, что асимптотику Ri(r, k) можно переписать в виде Rt (г, k) = At (k) sin [кг-Ц- + η, (k)) + о (1), ι <Ч/») Al{k) = ^-W—. Для решений Ri(ry k) можно выписать интегральные уравнения, аналогичные уравнению для и(ху k). Однако более удобно иметь дело с другими решениями. Если ввести в рассмотрение решение gi(r> *) уравнения H®gi = k2gi с условием gi(r, k) = elkr + o(l), r->oo,
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ 451 то интегральное уравнение для gi(r, k) примет вид оо 8t{r. k) = {t)l+lh^{kr)-\jl{k\ r, t)v(t)gt{t, k)dt, Г /, (k; r, t) = S=^L [jt (kr) Л<» (kt) - j, (kt) A|» (kr)]. Здесь jt(t) и h{p(t) — функции Бесселя и Ханкеля. В случае /0(fe;r,fl=sin*(;-°. Фазы y\i{k) определяются с'помощью функций оо Mi(k)=l+-\il(kr)O(r)gt(r, k)dr о по формуле St(k)-e ι ___. Основное удобство выбора решений gi(ry k) заключается в воль- терровости соответствующего интегрального уравнения, вследствие которой разрешимость задачи исследуется очень легко. Другой способ, также связанный с уравнением типа Вольтерра, состоит в нахождении решения φ/(г, k)y удовлетворяющего условию Пт (2/+1)1 т , -ν , lim щ—φ/(г, /г)=1. Соответствующее интегральное уравнение имеет вид г <Ρζ (г, k) = -^г- + J J ι (k; r, t) v (t) φ, (/, k) dt. Для функций Mi(k) справедливо представление оо Mi (k) = 1 + J Ар (fer) о (г) φ/ (r, k) dr. о Вольтерровость уравнений для gt и φ/ обеспечивает сходимость метода последовательных приближений для них, если ν (г) удовлетворяет единственному условию оо J r\ v(r)\dr < оо, о Литература: [292], [301].
452 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 7. Общий случай. В общем случае несимметричного потенциала, по-видимому, не существует упрощения задачи, связанного с вольтерровостью интегральных уравнений. Основу для' нахождения f(k\ α, β) составляет само интегральное уравнение теории рассеяния. Сходимость последовательных приближений для этого уравнения при всех k можно показать также при условии, что потенциал υ(χ) удовлетворяет какому-нибудь условию малости, например, max X ν (у) η τ dy < 4π· KJ/ Ι χ — у I * ^ При этом условии оператор Η совсем не имеет дискретного спектра. Если же дискретный спектр присутствует, то последовательные приближения заведомо сходятся не при всех k. В то же время при достаточно больших k последовательные приближения всегда сходятся, независимо от величины потенциала. Этот факт является оправданием так называемой формулы Борна для амплитуды рассеяния, которая получится, если в выражение для f(k; α, β) (см. п. 5) подставить вместо и(х, к) ее нулевое приближение — соответствующую плоскую волну: fв (k; α, β) = - -i- J e~ik {x> a)v (x) eik <*> *> dx. Точное утверждение состоит в том, что при больших k f(k\a9 fi)-fB(k;a9 β) = ο(1) равномерно по α и β, причем если υ (χ)—дифференцируемая функция и | grad ν (χ) \ = О (г~2-8), ε > 0, то вместо о(1) здесь можно поставить 0(l/k). Иногда Дв(&, α, β) называют первым борновским приближением, называя борновским рядом ряд, который получится, если в выражение для f(k\ α, β) подставить ряд последовательных приближений для решения и(х, k). Последовательные приближения интегрального уравнения для t(k, I) (см. п. 3) дают выражение высших борновских приближений через первое, т. е. через преобразование Фурье от потенциала v{k). Интегральное уравнение теории рассеяния позволяет применить также и другие приближенные методы для определения амплитуды f(k\ α, β). Например, схема метода Галеркина для этого уравнения тесно связана с так называемым вариационным методом Швингера для задачи рассеяния. Литература: [288], [292]. 8. Обратная задача теории рассеяния. Описанная задача нахождения оператора рассеяния по потенциалу может быть названа прямой задачей теории рассеяния. Можно поставить и
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ 453 обратную задачу, т. е. задачу восстановления потенциала по некоторым характеристикам рассеяния. Эта задача полностью решена для случая сферически симметричного потенциала оо v(x) = v(r), удовлетворяющего условию J r\ υ (г) \dr < оо. о Потенциал определяется по заданной при всех k одной из фаз y\i(k). Класс фаз, соответствующих потенциалам с этим условием, полностью охарактеризован. Если соответствующий радиальный оператор Шредингера Н® имеет дискретный спектр, то потенциал определяется по фазе r\i(k) неоднозначно. Оператор Н® не имеет дискретного спектра при достаточно больших /; таким образом, потенциал определяется однозначно по фазе r\i{k) при достаточно большом /. Здесь приводится схема одного из методов решения обратной задачи для случая / = 0. Функция SQ {k) = β"2/η°{k) обладает следующими свойствами: 1) lSo(fe)l = So(Q) = So(oo) = i; 2) S0(-k) = S0(k) = S^(k); оо 3) S0(k)=l+ J F (*)<?-«* Л, —оо где оо оо j\F(t)\dt<°°, J t\F'(t)\dt <oo; —оо 0 4) ^gS0(k)Coo = 4nm1 где m — число дискретных собственных значений соответствующего оператора #(°>, потенциал которого удовлетворяет указанному выше условию. Пусть теперь задана функция S0(fe), обладающая перечисленными свойствами. Составим функцию m /1=1 где Ьп и %п — произвольные положительные числа, причем среди Кп нет совпадающих. Интегральное уравнение оо A(r,t) = Fl(r + t)+lA(r,u)Fi(u + t)du, r<t, Г разрешимо при всех г ^ 0. Функция v(r) = ~2-^-A(r,r)
454 ГЛ. IX. ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ удовлетворяет условию оо J r\v(r)\dr < оо, о и So(k) является S-функцией для оператора #<°) с ν (г) в качестве потенциала. Решение go(r, k) дается формулой оо go(r, k) = eih'+ j A(r, t)etMdt. Г Для случая / >· 0 разработан аналог этой схемы. Необходимые и достаточные условия 1)—4), которым должна удовлетворять фаза ηο(6), остаются в силе при / > 0. Интегральное уравнение для А (г, t) допускает явное решение в случае, когда So(k)—рациональная функция. Решения и потенциал получаются в этом случае в виде рациональных функций от тригонометрических и гиперболических функций. Простейший пример дает функция 5ο(*)=4±£4ΐ|. «>ο. р>0· Соответствующий потенциал имеет вид / ч _ о β2 (β2 ~ α2) ν (Г) —ζ (β ch рл+ α sh pr)2 . Обратная задача изучена также для систем уравнений с ра* диальными операторами и для одномерного уравнения Шредин- гера. Литература: [283], [301],
ГЛАВА X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ § 1. Обобщенные функции и действия над ними 1. Вводные замечания. Некоторые физические величины (например, плотность сосредоточенной нагрузки) не могут быть выражены при помощи обычных функций. Поэтому в физике и технике давно применялись обобщенные или сингулярные, функции, выражающие такие величины. Примером сингулярной функции является так называемая δ-функция, определяемая следующим свойством: Для любой непрерывной функции φ (л;) выполняется равенство оо J 6(x)y(x)dx = <p(0). — оо Очевидно, что δ-функция не является обычной функцией. В самом деле, из определения следует, что δ(χ) = О при хфО и оо \ 6(x)dx=l.Ho ни одна классическая функция не обладает —оо такими свойствами. Можно лишь построить последовательность обычных функций fn(x) такую, что для любой непрерывной функции <р(х) имеем lim Г fn (χ) φ (*) dx = φ (0). п. -Ь оо * Например, можно положить ί η/2 при |x|<l/tt, Г"(х>-\ 0 при |*|>1/л или п2х> ш=тке~2 ·
456 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Такие последовательности функций называются δ-образными последовательностями. Во многих случаях, в которых, по сути дела, речь шла о δ-функции (например, в вопросах, связанных с точечными источниками и стоками, функцией Грина и т. д.), вместо δ-функции применялись б-образные последовательности, после чего выполнялся соответствующий предельный переход. Это столь же осложняло математическую физику, как осложнила бы математический анализ систематическая замена всех производных пределами разностных отношений, а интегралов — пределами интегральных сумм. Устранение этих трудностей оказалось возможным лишь после построения строгой теории сингулярных функций, установления правил действий над ними и создания достаточно развитого алгоритмического аппарата. Такое построение было проведено на базе изучения непрерывных линейных функционалов в некоторых линейных топологических пространствах. 2. Обобщенные функции. Через D обозначают пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, заданных в Rn и принимающих комплексные значения. Последовательность функций {щ} из D называют сходящейся к нулю, если: а) все функции щ(х) обращаются в нуль вне одного и того же шара \х\ ^ /?; б) для любого q имеет место равенство lim q>Jrt(x) = 0. /г->оо Этим задается сходимость в пространстве D. Можно задать топологию в D системой окрестностей (см. гл. II, § 1, п. 2). Обобщенной функцией (по Л. Шварцу) называют непрерывный линейный функционал в пространстве D. Обобщенная функция F называется вещественной, если для всех вещественных функций у(х) из пространства D значение (F, φ) вещественно. Каждой локально суммируемой функции f(x) (т. е. функции, суммируемой в любом шаре Ωη) соответствует обобщенная функция (/, φ), задаваемая формулой (/, ф)= jf(x)9(x)dx. При этом, если fi(x) и fi(x) —локально суммируемые функции, причем для всех функций φ(χ) из D имеем (/ι, φ) = (/г, φ), то почти для всех χ выполняется равенство fi(x) = fzix). Таким образом, соответствие /:-*(/, ·) определяет вложение пространства локально суммируемых функций в пространство обобщенных функций. Обобщенные функции, соответствующие локально суммируемым функциям, называются регулярными обобщенными
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 457 функциями. Примером регулярной обобщенной функции может служить функция скачка (θ, φ), задаваемая формулой оо (θ, φ)= j <p(x)dx. о Она соответствует функции ί 0, если χ < О, θ(*)= 1 ^Л х J 11, если х>0. Непрерывные линейные функционалы в пространстве D, не представимые в интегральном виде с локально · суммируемой функцией f(x), называют сингулярными обобщенными функциями. Примером сингулярной обобщенной функции является уже упоминавшаяся δ-функция. Соответствующий функционал задается равенством (δ, φ) = φ(0). Заметим, что это равенство определяет функционал не только в пространстве Ζ), но и в более широком пространстве D(°> непрерывных финитных функций. Через DW обозначают пространство, состоящее из финитных функций^ имеющих непрерывные производные до β-го порядка включительно. Последовательность {фт} функций из /)<*> называют сходящейся к нулю, если для любого q, 0^ \q\ ^ &, последовательность (ф^Ч*)} равномерно сходится к нулю и существует шар, вне которого все функции ут{х) равны нулю. Назовем обобщенную функцию F функцией k-го порядка, если функционал (F, φ) можно продолжить до непрерывного функционала в пространстве D^h\ Для этого необходимо и достаточно выполнение следующего условия: если последовательность функций {ут(х)} из D сходится к нулю в топологии пространства D{k\ то lim (F, qpm) = 0. m->oo Таким образом, δ-функция является обобщенной функцией нулевого порядка. Любая обобщенная функция F нулевого порядка задается некоторой мерой μ в Rn, имеющей конечную вариацию в каждом шаре Ωη: (F, φ) = J φ {χ) άμ (χ). Интеграл понимается здесь в смысле Стилтьеса. В частности, мера μ может быть любой положительной мерой, такой, что μ-мера любого шара конечна. Единичная мера, сосредоточенная в точке χ = 0, соответствует б-функции.
458 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Сингулярные обобщенные функции часто обозначают тем же символом F(x)t что и обычные функции, и пишут (Л φ)= j F(x)q>{x)dx. Следует иметь в виду, что обобщенные функции, вообще говоря, не имеют значения в отдельных точках. Литература: [12], [67], [68]. 3. Другие теории обобщенных функций. Наряду с описанной выше трактовкой обобщенных функций как линейных функционалов в D, встречаются иные подходы к этому понятию. Последовательность непрерывных функций {(рт(#)}, определенных в фиксированном открытом множестве Ω из Rn, называют фундаментальной, если для любого компактного подмножества К в Ω существуют целое число й>0 и последовательность непрерывных функций {Fm(x)}f определенных на /С, такие, что а) FM(x) = cpm(x) up* xe=K, б) {Fm{x)} равномерно сходится. Если при этом для любого К с= Ω соответствующая последовательность {Fm(x)} такова, что lim Fm(x) = 0, х^К, то го- т-»оо ворят, что фундаментальная последовательность {<рт{х)} эквивалентна нулю. Две фундаментальные последовательности {<Рт(#)} и {ψτη(#)} относят к одному классу, если их разность эквивалентна нулю. Такие классы последовательностей называют обобщенными функциями. Если число k можно выбирать независимо от выбора подмножества /С, получаются обобщенные функции конечного порядка. При указанном подходе действия над обобщенными функциями сводятся к действиям над обычными функциями. Литература: [40], [41]. 4. Действия над обобщенными функциями. Сумма обобщенных функций определяется равенством а произведение обобщенной функции на комплексное число α — равенством (α/, φ) = α(/, φ). Если обобщенные функции регулярны, то эти определения совпадают с обычными определениями суммы функций.\и произведения функции на число. Вообще, при определении действий над обобщенными функциями требуют, чтобы для регулярных обобщенных функций
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 459 эти определения совпадали с обычными. Например, из тождества f (/ {х) α {χ)) φ (х) dx = J / (χ) (α (χ) φ (χ)) άχ вытекает, что произведение обобщенной функции f(x) на бесконечно дифференцируемую функцию <х(х) задаемся формулой Ы, <p) = (f> αφ). Произведение двух обобщенных функций, вообще говоря, не определено, так что, например, обобщенная функция 62(х) не имеет смысла. В некоторых случаях можно производить замену переменной в обобщенной функции. Сдвигом обобщенной функции f(x) на вектор h называют обобщенную функцию, задаваемую формулой (f(*-A), <p) = (f(*)> ф(* + а». Например, (δ (χ - h), φ) = (δ (χ), φ (χ + h)) = φ (Α). Если U — линейное преобразование в я-мерном пространстве, то полагают <f(Ux),<p{x)) = \U\(f,<p(U-lx)), где \U\—определитель преобразования. Так, преобразование подобия при α > 0 определяется формулой (f(ax), Ф) = еф <р(|-)). Если а{х)—бесконечно дифференцируемая функция, все нули которой простые, то полагают Π где суммирование распространено на все нули функции а{х). Например, β(*ι_1)-·ί£ρ!> + *ΐ£+0, β (sin*) = £.в (*-*!). \ /Ιϊ=—оо Литература·4 [12], [67], [68]. 5. Дифференцирование и интегрирование обобщенных функций. В соответствии с равенством j fw (*) φ (x) dx = (- \)q J f (x) y{q) (x) dx
460 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ определяют q-ю производную обобщенной функции f от одного переменного формулой (/(<7). φ) = (-1)<?σ, φ№). Для функций многих переменных имеет место аналогичная формула (f("U)=(-i)""(/. ф(?))· Например, {№, φ)=(_ΐ)ΐ"ΐ(δ( φ(«>)=(-ΐ)'"φ">(0). See обобщенные функции бесконечно дифференцируемы, поскольку функции φ(χ) из пространства D бесконечно дифференцируемы. В частности, любая локально суммируемая функция бесконечно дифференцируема в обобщенном смысле. Однако следует иметь в виду, что если функция f (χ) имеет почти всюду обычную производную, то определяемый последней функционал может не совпадать с производной от f(x) как обобщенной функции. Производные высшего порядка от обобщенных функций не зависят от порядка дифференцирования. Пример. Обобщенная функция (θ', φ) задается формулой оо (θ', φ) = - (θ,. φ0 = - J Φ' (X) dx = φ(0) = (δ, φ). ο Поэтому β'(χ) =δ(χ). Пользуясь этой формулой, можно продифференцировать в обобщенном смысле любую функцию f(x), имеющую разрывы первого рода и локально суммируемую производную в точках непрерывности. Именно, если разрывы функции f(x) находятся в точках Хи .. ·, Хп и скачки в этих точках равны hh, то П оо (Г, φ) = 2 /tfcq> (xk) + J /' (Χ) φ (x) dx. k=l -оо Если α (χ)—бесконечно дифференцируемая функция, имеющая простые нули, то δ(9)[«ωι=Στ^τ(^)ΐΓδ^-^ η где суммирование распространено на все нули функции а{х). Для каждой обобщенной функции f одного переменного существует определенная с точностью до постоянного слагаемого первообразная обобщенная функция fu т. е. такая функция, что fj = /. Она определяется равенством (fi><P') = -(f><P)
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 461 на всех функциях, являющихся производными функций из D. Эти функции образуют подпространство, отличающееся от D на одно измерение. Поэтому можно положить (fi, Ч>о) = С оо для фиксированной функции ψ0(*) из D такой, что ψ0(χ)άχφ — оо Φ О, после чего обобщенная функция fi будет однозначно определена. Литература: [12], [67], [68]. 6. Предел последовательности обобщенных функций. Последовательность {fk} обобщенных функций называется сходящейся к обобщенной функции /, если для любой функции ср(х) из пространства D имеет место равенство lim (fk, φ) = (/, φ). &->οο Для каждой обобщенной функции / можно построить сходящуюся к ней последовательность функций {ψ&(#)} из пространства D, т. е. такую последовательность, что для всех функций φ(χ) из D lim Г ψ* (χ) φ (χ) dx = (/, φ). &->οο J Если последовательность (Ы*)} локально суммируемых функций такова, что lim [\f(x)-fk(x)\dx = 0, то обобщенные функции (fk, φ) сходятся к обобщенной функции (/, φ). Однако из того, что в любой точке χ выполнено равенство lim fk (x) = / (χ), не вытекает, что lim (fk, φ) = (f, φ). Напри- k->oo fe->oo мер, при всех значениях χ ι · £R X r\ Однако для любой функции φ (л;) из пространства К имеем оо ι. 2kz Г x2w(x)dx /лч !Т~— Jtt+W=(p(0)· — оо и поэтому в смысле обобщенных функций 2k3x2 Ji™ (i + W=6W·
462 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Последовательность регулярных обобщенных функций, сходящаяся к δ-функции, называется δ-образной последовательностью. Примерами δ-образных последовательностей для функций одного переменного могут служить: а) /«(*) = jt(l + т2д:2) ' б) f.M—j-^· в) ш-±ауи. Еще два примера δ-образных последовательностей указаны в п. 1. оо Рад 2 fk> состоящий из обобщенных функций, называется /г=1 сходящимся к обобщенной функции f, если lim ij/* = /. /->оо fc=i Например, ряд оо 1 + 2 [cos kx —- cos (k — Ι) χ] сходится в обобщенном смысле к нулю, поскольку для любой функции φ(χ) из пространства D lim 1 + 2 tcos kx — cos (k —- 1) χ], φ = /->oo\ fe=l / оо = lim (cos jx, φ) = lim | φ (χ) cos jx dx = 0. /->oo f-*°°_oo Сходящийся ряд обобщенных функций можно почленно диф- оо ференцировать. Иными словами, если 2/fc = /> το ПРИ любом ^ имеем оо оо Пример. Ряд 2 £***' сходится в обобщенном смысле /г=й—оо оо к обобщенной функции 2π 2 δ(χ —2π&). Если применить это /г—— оо равенство к функции φ(χ) из пространства D, то получится формула Пуассона: оо оо Σ.ψ(6) = 2π 2 φ(2π*), kt=z—oo /fs=—оо
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 463 где оо ψ(λ) = ^φ(χ)βιλχάχ — ОО — преобразование Фурье функции φ(χ). Далее, из равенства оо оо Σ elkx = 2n Σ b(x-2nk) ks=— ОО k=S— OO вытекает, что оо оо γ + У\ cos kx = π V δ (χ — 2π&). fc*=l fc=*-oo Дифференцирование этого равенства дает оо оо &=1 ft=s— oo Точно так же из равенства вытекает, что где производная в правой части этого равенства понимается в обобщенном смысле. Литература: [12], [67], [68]. 7. Локальные свойства обобщенных функций. Говорят, что обобщенная функция f(x) равна нулю в области Ω, если (Д φ) = 0 для любой функции φ(χ) из пространства D, равной нулю вне замкнутого множества Л, лежащего в Ω. Например, обобщенная функция δ(χ) равна нулю в области Ω, получаемой из пространства Rn «выкалыванием» точки χ = 0. Обобщенная функция f(x) называется сосредоточенной на замкнутом множестве В, если она равна нулю на дополнении к этому "множеству. Наименьшее замкнутое множество, на котором сосредоточена обобщенная функция f{x)> называется носителем этой функции. Например, носителем обобщенной функции δ(χ) и всех ее производных является точка χ = 0. Носителем регулярной функции f(x) является замыкание* множества точек, в которых эта функция отлична от нуля. 2sin|
464 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Обобщенная функция называется финитной, если она сосредоточена в одном из шаров \х\ <ζ а. Любую финитную обобщенную функцию можно распространить до непрерывного функционала на пространстве C°°(Rn) бесконечно дифференцируемых функций. Обобщенные функции fi(x) и f2(#) называют совпадающими в открытой области Ω, если /^ —· f2 = 0 в этой области. В частности, обобщенная функция f(x) называется регулярной в от- крытой области Ω, если в этой области она совпадает с некоторой обычной локально суммируемой функцией. В этом случае можно говорить о значениях обобщенной функции f (x) в точках множества Ω. Например, обобщенная функция δ(χ) регулярна в дополнении к точке χ = О и равна нулю в этом дополнении. Литература: [12], [67], [68]. 8. Прямое произведение обобщенных функций. Пусть f(x) — обобщенная функция в пространстве Dx функций φ (л;) от m переменных, a g(y)— обобщенная функция в пространстве Dy функций ψ(ί/) от η переменных. Через f(x) Xg(y) обозначают обобщенную функцию в пространстве DXtV функций χ(χ, у) от m + n переменных, задаваемую формулой (fX* x) = (f. te." χ (*.*)))· Эта обобщенная функция называется прямым произведением обобщенных функций f(x) и g(y). Если функция χ(χ, у) из пространства Dx>y имеет вид %(х, у) =φ(*)ψ(ί/), где φ(χ) еОж, ψ (у) e=Dy, то (fXff. X) = (f. Φ)(*Ψ). Имеют место следующие формулы для прямого произведения обобщенных функций: f(x)Xg(y) = g(y)Xf(x), f Μ X fe (У) X h (ζ)} = {f (χ) X g (у)} X h (ζ). Если обобщенная функция f(x, у) инвариантна относительно сдвигов по переменным χ (т. е. если (/, φ(χ + К У)) = (f, φ (*, У)) для любого h), то она имеет вид f(*> y)=hXg(y)> где g(y) — обобщенная функция в пространстве Dyialx — обобщенная функция в пространстве DXl задаваемая формулой О*» ф(*))= J«p(*)rf*. Литература: [12], [67], [68].
§ 1 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 465 9. Свертка обобщенных функций. Пусть f(x) и g(x)—обобщенные функции одного переменного, причем выполнено одно из следующих условий: а) одна из функций f{x), g{x) имеет ограниченный носитель; б) носители обобщенных функций f(x) и g(x) ограничены с одной и той же стороны (например, f (χ) = О при χ < α, g(x) = = 0 при χ < b). Тогда для любой функции φ(χ) из пространства D определено выражение (/WXib), φ(* + */)), которое обозначается через (f*g, φ). Обобщенную функцию f*g называют сверткой обобщенных функций f(x) и g{x). Если обобщенные функции f(x) и g(x) регулярны и удовлетворяют одному из условий а), б), то обобщенная функция /*g также регулярна и задается функцией f*s(x)= jf(x — y)e(y)dy. Примеры. 1. Если f(x)—любая обобщенная функция, то б*/(х) =f(x). Таким образом, δ-функция играет роль единицы относительно операции свертывания. В частности, δ * δ (χ) = δ (χ). 2. Свертка обобщенной функции f(x) с b{x — h) равносильна сдвигу f{x) на А: 6(x — h)*f(x) = f(x — h). Справедливы равенства f*g(x) = g*f(x) и (f*g)*h(x) = f*(g*h) (x)t выражающие коммутативность и ассоциативность свертки обобщенных функций. Формула дифференцирования свертки имеет вид Если \'\mfv = f, то lim /v *g = f*g при каждом из следую- V->oo V-»oo щих предположений: а) все обобщенные функции fv(x) сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве; б) обобщенная функция g сосредоточена на ограниченном множестве; в) носители обобщенных функций fv(x) и .g(x) ограничены с одной и той же стороны, и притом не зависящей от ν постоянной.
466 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Отсюда вытекает, что если обобщенная функция ^(л;) зависит от параметра / и дифференцируема по этому параметру, то формула ■£<&·*<*)>—$-·*(*> справедлива, если ft(x) и g(x) удовлетворяют одному из предположений а)—в). Свертка обобщенных функций f(x) и g(x) от нескольких переменных определяется точно так же, как и для функций одного переменного. При этом требуется, чтобы хоть один из сомножителей, например f(x), был свертывателем, т. е. обладал тем свойством, что для любой функции φ (л;) из пространства D функция f *<P=*(») = (f. <р(х + У)) принадлежит тому же пространству, и из φν->0 следует / *qpVr>0. Свертка свертывателя ^(х) с обобщенной функцией g(x) определяется формулой (f * sr» φ) = te» f * φ)· Если f(x) — регулярная функция и φ(*)^ А то f * φ (χ) = J f (у — χ) φ (у) dy. Литература: [12], [13], [67], [68]. 10. Общий вид обобщенных функций. Пусть обобщенная функция f(x) финитна. Тогда найдется параллелепипед dj^Xj^bj, 1^/^/г, на котором сосредоточена эта обобщенная функция. Можно показать, что для любого ε > 0 найдутся целое число р>0 и непрерывные функции fqz{x)y 0 < |<7| </?, обращающиеся в нуль при dj — ε ^Ξ Xj ^ bj -f- ε и удовлетворяющие соотношению Таким образом, каждая финитная обобщенная функция является линейной комбинацией производных от непрерывных финитных функций (причем, разумеется, производные понимаются в обобщенном смысле). Аналогично, каждый линейный функционал в пространстве D(a) бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 46? в нуль при \х\ ^ а, имеет вид (f, φ) = (/™, Ф)-(-1)Ы//Ч*)Ф(*Ч*)^ где f(A:) —непрерывная функция в шаре \х\ ^ а. Если f(x)—любая обобщенная функция, то можно построить такую последовательность финитных обобщенных функций U(x), -<.,fn(x)\ ...,.что 1) limfn(x) = f(x); Л->00 2) для каждого а > О найдется такое Λί, что при п^ Nr т^ N имеем fn(x) = fm(x) в области |х| ^ а. Особенно простое строение имеют обобщенные функции, сосредоточенные в одной точке. Например, все обобщенные функции, сосредоточенные в точке χ = 0, являются конечными линейными комбинациями δ-функции и ее производных, т. е. имеют вид /(*)= Σ сщь«Цх). \я 1=0 Литература: [13], [67], [68]. 11. Теорема о ядре. Во многих приложениях обобщенных функций оказывается полезной следующая теорема: Теорема о ядре. Пусть В (φ, ψ) — билинейный функционал такой, что ср(х) пробегает пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций от m переменных, α ψ (у) пробегает аналогичное пространство функций от η переменных. Если функционал β (φ, ψ) непрерывен по каждому из аргументов φ и ψ, то существует такая обобщенная функция f(x, у) в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций от m + η переменных, что В (φ, Ψ) = (Λ φ(*)Ψ(ίΟ). Аналогичная теорема справедлива и для пространства S быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (см. гл. II, § 1, п. 2). Литература: [15]. 12. Аналитические представления обобщенных функций одного переменного. Для любой обобщенной функции одного переменного F из D' существует функция F(z), аналитическая в плоскости zy за исключением носителя F, такая, что для всех φθΰ имеем (Λ Ф) = \ [F (х + /0) ~F(x- /О)] φ (χ) dx.
468 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Любую такую функцию F(z) называют аналитическим пред- ставлением F. Аналитическое представление обобщенных функций неединственно, поскольку написанное выше равенство сохраняется, если прибавить к F(z) любую .целую функцию. Если F финитна, то ее аналитическое представление можно задать с помощью ядра Коши: Ясно, что F(z) аналитична в дополнении к носителю F и что для любой функции феС°° имеем оо (F, φ) = j* [F (χ + Ю) — F(x— iO)] φ (χ) dx. — оо Примерами аналитических представлений могут служить δ(η) = (-П л+1 п\ {χ + iO)' -{ (Χ - £'0)Α при при при при 2πίζη+{ lmz> О, lmz<0; Imz>0, lmz<0; х~" = θ = 1 ι -τζ~ при при Γ1ηζ + 2т* — -К-Г- In ζ 2m Imz > О, lmz<0; при lmz>0, при lmz<0. Литература: [306]. 13. Обобщенные функции как граничные значения голоморфных функций. Конусом С с= Rn (с вершиной в нуле) называют такое множество, что, если у <= С и λ > 0, то Ху <= С. Пересечение конуса С с единичной сферой \у\ = 1 называется его проекцией и обозначается пр. С. По определению компактным под- конусом конуса С является такой подконус С, что пр. С с пр. С. Через С* обозначается сопряженный конус: С* = β:(!,»)>0, г/еС}. Если С = С*, то конус самосопряжен. Примерами самосопряженных конусов могут служить октант Г° == {у: yk > 0, 1 ^
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 469 ^ k ^ п}, световой конус будущего Г+ = {г/: у{ > |/у\ + ... + у2Л и световой конус прошлого [у: ух < — Уу\ + ... + #2} (названия связаны с геометрией пространства Минковского). Конус Тс = Rn-\-iC, где С —открытый конус в Rn, называют трубчатым конусом, а если при этом конус С — связный, то — трубчатой радиальной областью. Положим CR = С Π Qr (Ωβ — шар радиуса R с центром в начале координат). Пусть функция f(z) голоморфна в трубчатой области Rn + iCRt причем для любого конуса С', компактного в С, и любого R' < R выполняется оценка \f(x + iy)\<A(R',C')\y\-a(l+\x\)\ ze=Rn + i(C'()QR)9 где числа а^Оир^Оне зависят от /?' и С. Тогда для любой функции φ(χ) из пространства S существует предел lim i f (χ + iy) φ (χ) dx = (f(x + ГО),» (при этом считается, что у—*0 в некотором конусе С, компактном в С). Этим определяется обобщенная функция (непрерывный функционал) f(x + iO) в пространстве S, являющаяся граничным значением для f(z). Всякая функция f(z), удовлетворяющая сделанным только что предположениям, представима в виде интеграла f (ζ) = (2π)~* \ Κ (ζ - t)f(t + ГО) Л. Здесь /(^Ц-ГО) —граничное значение функции f(z) и ядро /((г) определяется формулой /C(z)= JV^dg. с* Если С = Го, то /C(z) = —-^—. Если С = Г+, то 2*-1г(|)я<«-2)/2 ^ ^ == 7 2,2, , 2\«/2 * При αζ = 1 эти ядра превращаются в ядро Коши. Литература: [306], [307].
470 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ § 2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы 1. Регуляризация расходящихся интегралов. В ряде задач математической физики возникают расходящиеся интегралы. С помощью аппарата обобщенных функций можно получить .алгоритм, позволяющий приписывать некоторым расходящимся интегралам определенное числовое значение, и, оперируя с ним, шолучать решения задач. Этот алгоритм называется регуляризацией расходящегося интеграла. Пусть f(x) —некоторая функция. Точку х0 называют точкой локальной суммируемости функции f(x), если существует окрестность U(xo) этой точки, в которой функция f(x) суммируема. Точки, не являющиеся точками локальной суммируемости, называются особыми точками. Здесь рассматриваются функции, имеющие на любом интервале лишь конечное множество особых точек. Пусть Df — подпространство в Z), состоящее из функций <р(#) eD, обращающихся в нуль в некоторой окрестности любой особой точки функции f(x). Последовательность функций iq>m(x)} из пространства Df сходится к нулю, если все функции <Рт(#) сосредоточены на одном и том же компактном множестве, не содержащем особых точек функции /(#), причем для любого q выполняется равенство lim sup ΙφΜ (χ) 1 = 0. m->oo χ ' ' Для любой функции φ (χ) из пространства Df интеграл \ f(x)y(x)dx сходится, причем равенство (/> Ф)= jf(x)<p(x)dx определяет линейный функционал в пространстве Df. Этот функционал можно распространить на все пространство D*). Значение (jF, φ) этого функционала для какой-нибудь функции <р(х) гиз пространства D называют регуляризованным значением интеграла J f(x)y(x)dx (если функция <р(х) не принадлежит подпространству Df, то этот интеграл может, вообще говоря, расходиться). Обобщенную функцию (/, φ), получаемую при описан- 1Ном распространении, называют регуляризацией функции f(x). Регуляризация функции f(x) совпадает с f (x) на множестве то- *чек, дояолнительном к множеству особых точек. *j) Продолжение непрерывного линейного функционала с подпространства на все ир&ограяство возможно в линейном локально1 выпуклом топологическом пространстве (ср. гл. I, § 3, п. 3).
§ 2, РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 471 Пример. Равенство оо (| х \-\ φ) = Γ Φ(«) + φ(-«)-8φ(0) ^ о '*' 2 задает регуляризацию обобщенной функции | х\~\ Вообще говоря, одна и та же функция может иметь различные регуляризации. При этом регуляризации различных функций могут быть не согласованы друг с другом, так что, например, может нарушаться равенство (/ι + /2, φ) = (/ι, φ)-+ (/г, φ). Вводится понятие канонической регуляризации. Пусть L — линейное пространство, состоящее из функций f(x) (вообще говоря, не локально суммируемых), каждая из которых имеет дискретное множество особых точек и бесконечно дифференцируема на дополнении к этому множеству. Предполагается, что пространство L содержит вместе с каждой функцией f(x) все ее производные (на дополнении к множеству особых точек) и все функции a(x)f(x), где а(х)—бесконечно дифференцируемые функции. Пусть каждой функции f(x) из пространства L сопоставлен линейный функционал (/, φ) — регуляризация этой функции. Эта регуляризация называется канонической, и функционал обозначается через к.р. f(x), если выполнены следующие условия: 1) к. р.[λιΛ (χ) + K2f2(χ)] = λι κ. p. fx (χ) + λ2κ. p.f2(x); 2)κ-Ρ·(ΐ)-^·Ρ·/«)ϊ здесь слева -з производная от функции в обычном смысле, а справа — производная от обобщенной функции; 3) для любой бесконечно дифференцируемой функции <х(х) к. р. (а (х) f (χ)) = а (х) к. p. f (x). Примером пространства функций, для которого существует каноническая регуляризация, служит класс функций со степенными особенностями. Точка Хо называется степенной особой точкой функции f(x), если в окрестности этой точки функцию f(x) можно представить в виде m f (*) = Σ α7 (χ) hj (*), где a,j{x)—бесконечно дифференцируемые функции, a bj(x)— одна из следующих функций: (х — #o).f» \№ -ίολί» \Х — Xq) * λ Tt=· — 1* 2, ..%
472 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Функция х^_ определяется равенством а функция х\ χ ί χλ Ή ο — равенством *Ч\ Ч χ Ιλ при х>0, при х<0, при х>0, при х<0. Функция f(x) называется функцией со степенными особенно- стями, если она имеет на любом интервале конечное множество степенных особых точек. Для того чтобы определить каноническую регуляризацию в пространстве функций со степенными особенностями, сначала решают вопрос о регуляризации функций ХК+, Х^у Х~п Литература: [12]. 2. Регуляризация функций х^, х7^, х~п и их линейных комбинаций. 1) Если Re λ > — 1, то интеграл (*+> φ) = J *λφ Μ dx сходится для произвольной функции φ(χ) из пространства D и задает линейный функционал в этом пространстве. Чтобы определить функционал (χλ+> φ) при Re λ < — 1, используют условие 2) канонической регуляризации. Пусть Re λ >—η—1, λφ— 1,—2, ..., —η, ... Тогда Re(X + tt)> — 1 и потому функционал (χλ^η, φ) определяется равенством (**+", φ) = j χλ+ηφ (χ) dx. Γ(λ+1) Но х\ = га+ 4- η (*++Λ)(η)· Поэтому в силу условия 2) должно иметь место равенство (Ч>Ф)=г(Гл(+и)1)[№Г>ф] = оо _(_ η" Γ(λ + ') Г γλ+η w(n)] _ /_ If Γ(λ + 1) Γ χλ+ηφ(η) (χ\ Ну κ > Γ(λ + «+ιμ*+ ,φ J κ 1) Γ(λ+«+0 J χ φ \χ>αχ·
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 473 Таким образом, при ReA>— η— 1 функционал (jc^, φ) задается формулой оо (д* , φ) = (-1)" Г(;(*+;)1) J ** V> (Χ) dx. О Можно проверить, интегрируя по частям, что эта формула равносильна следующей: ι (4> ф)= Jχλ [φW-ф(0)-*ф'(0)- ... о 00 /г 1 fc=l При — η— l<ReA< — η можно воспользоваться более простой формулой: оо (4> ф) = { χλ [φ (*) - φ (0) - «φ7 (θ) - ... - -j^i-φ*"-0 (θ)] rfjc. о Приведенные формулы и задают регуляризацию функций χλ при Re λ < — 1. Следует отметить, что эта обобщенная функция не определена при λ = — 1, — 2, ..., — л, ... 2) Обобщенная функция (**, φ) задается при ReX>^—n—ly λ φ — 1, "—2, ..., — η> ..., формулой ι (*!. Φ)={*λ[φ(-*)~Φ(0) + *Φ'(0)-- ... ο --(-ΐ)"-1^ φ'-' (ο)]*+J *4(-*)^+Σ V* - οΓΙΓ+1? ■ и при — η— l<Reλ<-— η более простой формулой: оо (*1, ф)=/**[ф(-*)-ф(0) + о + *<р'(0)- ... -(-ΐΓ'-^^-φ^'ίΟ)]^. 3) Наряду с обобщенными функциями х\ и χλ__ иногда полезно рассматривать их линейные комбинации (при
474 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ λΦ-1,-2, ...): Ι χ Ιλ = *+ + *L> Ι χ Ιλ sign χ = χλ+ — χ^, (α: + /0)λ = lim (л: + /ε)λ = χ\ + β/λπΑ:^, β-»+ο ■*" (λ: — /0)λ = lim (χ — /ε)λ = χ\ + в~аял:^. Для этих линейных комбинаций можно указать более удобные формулы. Так, при — 2т — 1 <С Re λ <С — 2т + 1 оо (Ι*Ιλ*φ) = /*λ{φ(*) + φ(-*)- О -2[φ(0)+4φ'/(°)+ ··' +"(£жЧ)(2т-2)Н)^· —2т При λ = — 2т пишут \х\ =х-2т, так что оо (*-*», <р) = J" Χ"2"1 { φ (Χ) + φ (- *) - О - 2 [φ (0) + -^φ" (0) + · · · + (2^Г22}| Ф(2т-2) (0)] } dx. В частности, {х-ш, φ) = |Ф(Х) + Ф(-Х)-2Ф(0)^ О При — 2/п — 2<ReA< — 2m имеет место формула оо (\х |λ sign χ, φ) = J χλ J φ (χ) — φ (— χ) — ο - 2 [χφ' (0) + -J φ(» (0) + ... + ^"^, <P{2m~l) (0)] ) <fc. При λ = — 2т— 1 пишут |xr2m-Isignx = *"2m~I, так чт0 оо (χ-*»-1, φ) = f Х~2т-1 { φ (х) - φ (- χ) — о - 2[xtf (0) + -f Ф(3) (0) + · · · + (2tГ!), Ф^-0 (0)]} rf*.
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 475 В частности, оо (гч,ф)-/у(<)7("х)^. о оо (*-», φ)= Γ φ(χ)-φ(-χ)-2^(0) ^ о Выражение (лг1, φ) называется главным значением интеграла оо JLLE ^ β смысле Коши. — оо При λ ==—η обобщенная функция (#+/0)λ определяется равенством (х+юг - *-" - '^-у β*-1» ω. а обобщенная функция (х— Ю)~п— равенством U - /or - *"" + '"ll0")!' s'*-" W. где (агп, φ) для четных и нечетных η определено выше. Литература: [12]. 3. Регуляризация функций со степенными особенностями. Пусть функция f(x) имеет единственную особую точку х = 0 и может быть записана в виде η f Μ = Σ α7 (χ) Α/ (χ), /«ι где α/ (χ) — бесконечно дифференцируемые функции, а Λ/ (χ) — одна из функций х\, х\, х~п, λ Φ — 1, 2, ... Тогда (f> φ) = Σ (Λ/, ayq>). Так как α, (χ) φ (а:) —функции из пространства Д то все слагаемые в правой части имеют смысл. Этим определяется регуляризация функции f(x). Аналогично определяется регуляризация функции f(x), имеющей степенную осЪбую точку χ = х0. Для любой функции f (x) со степенными особенностями можно построить такие функции fk(x), 1 ^ k < оо, что / = Σ/&> каждая из функций fh(x) имеет одну особую точку, причем на каждом отрезке |*| ^а
476 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ лишь конечное число функций fh(x) отлично от нуля. Тогда полагают оо (Λ φ) = Σ (f*, φ). Можно показать, что значение (f, φ) не зависит от способа разбиения и что приведенная формула определяет каноническую регуляризацию в пространстве функций со степенными особенностями. Таким образом, построен алгоритм для регуляризации интегралов вида J f(x)y(x)dxf где f(x) —любая функция со степенными особенностями, а у(х) —функция из пространства D. Полученные формулы применимы к более широкому классу функций. Например, если функция f(x) имеет степенной рост (т. е. если существуют такие α, ρ и С, что \f(x) | ^ С(\ + |*|2)р при \х\ ^а), то формулы регуляризации применимы ко всем бесконечно дифференцируемым функциям, убывающим вместе со всеми производными при |х|—>оо быстрее любой степени \х\. Пример 1. Пусть бесконечно дифференцируемая функция φ(χ) обращается в нуль вне отрезка [-—π/2, π/2]. Из формул регуляризации следует, что оо (ctg j , φ (*)) = J [φ (x) — φ (— χ)] ctg y dx. о Аналогично . 9 X sm τ ή-1 φ (χ) + φ (- χ) _ 8φ (0) 1 ^ ■ ■. χ sin τ Пример 2. Известное интегральное выражение оо Γ(λ)= j xx~le-*dx для Г-функции сходится лишь при ИеЯ>0. Однако оно сохраняет силу при любых значениях λ, λ φ — 1, — 2, ..., если понимать интеграл в обобщенном смысле. При этом, если — η > >ReA> — η — 1, то формула в развернутом виде записы-ν вается так: г (λ)=J j^-1 U"x—2 о L - - Литература: [12], (-l)kxk kl dx.
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 477 4. Регуляризация в, конечном промежутке. Пусть ί χλ при χ е [0, 6], *Р>.*] = \ 0 при хё[0, 6]. Поскольку функция φ(χ) может не равняться нулю в точке χ — Ь, формулы п. 2 не применимы в данном случае. При Re λ> —η— 1, λ φ —1, —2, ..., имеет место формула вида ь (Чо. ьу φ)=\χλ [φ (χ) - φ (°) - · · · - jBia ф(л_1) Η **+ ο + φ(ο)^ΓΓ+...+φ(«-.)(ο)7Ι?|ΓΤ-Γ. Эту формулу можно рассматривать как регуляризацию инте- ь грала j χλφ{χ)άχ. Если — /г — 1 < Re λ < — η, то при Ь -» оо о формула переходит в одну из формул п. 2. Пример. При любом значении λ, отличном от —1, —2, .., _...,— я, ..., 6λ+ι о (при ReX< — 1 этот интеграл расходится и выражение в правой части дает регуляризованное значение интеграла). Полезно отметить, что при 0 < с < Ь для любой функции φ (л:) из пространства D выполняется равенство ь с ь ί χλφ {χ) dx = ί χλφ (χ) dx + j #λφ (*) d*> О 0 с если под первыми двумя интегралами понимать указанное выше регуляризованное значение. Аналогично предыдущему можно регуляризовать интегралы вида ь j (х — α)λ α (χ) φ (χ) dx j (b — χ)λ α (χ) φ (χ) dx, где α (χ)—бесконечно дифференцируемая функция, а φ (χ) — функция, совпадающая на отрезке [а, Ь] с функцией из пространства D.
478 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Если точки а и Ъ являются особыми точками для .функции fix), то полагают Ь с Ъ \ Ϊ (х) φ (*) dx= j f {χ) φ{χ) dx + j f (χ) φ (χ) dx, а а с регуляризуя слагаемые справа указанным выше способом. Полученный результат не зависит от выбора точки с. Примеры. 1. Равенство ι В (λ, μ)= $ xl·-1 (I - χ)*"1 dx, о справедливое в классическом смысле при Re λ > О, Re μ > О, остается справедливым при всех λ и μ, кроме значений — 1, — 2, ..., если понимать интеграл в смысле регуляризованного значения. Однако в развернутом виде эта формула при Reλ> > — k, Re μ > — s имеет такую громоздкую запись: Β(λ,μ)=|^-'[(1-^)μ-|-Σ(-^)%,Γ((μμίΓ)1^ + о L r=o J +/(,_хГ.г,«_з(_,ггэд££1л+ V2 L r=0 J fc-1 5-1 , у (~1)ΓΓ(μ) , у (-ΡΓΓ(λ) ίΞο 2Γ+λΓΐ Γ (μ ~* Г) (Г + λ) ^ 2Γ+μΗ Γ (λ - г) (г + μ) ' 2. Интегральное представление сферической функции φ-«ω = с-'»"2 f о-*»>«-* dt *P 2« Vn Г (^ + V.) -Ji (* + * Vs=i)Q-p ' \x\>U справедливое в классическом смысле при Re<7>" — 7г, сохраняет силу при всех q, q φ — 7г, — 3/г, ..., если рассматривать регуляризованные значения интегралов. Литература: [12]. 5. Регуляризация на бесконечности. Пусть b > О и D(b, оо) — класс всех функций φ(#), каждая из которых определена и бесконечно дифференцируема при всех ji>6 и такова, что преобразование инверсии у(х) г*ср(1/#) переводит ее в функцию
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 479 ψ(χ), совпадающую на интервале (0, 1/6) с некоторой функцией из пространства D. При λ φ — 1, 0, 1, ... по определению J x%y(x)dx = J ίΓλ-2φ(1/ί/) dy, ъ о где интеграл в правой части понимается в смысле, указанном в п. 4. Если функция f(x) имеет вид xxg{x)y где g {χ) — функция класса D(by оо), то полагают оо оо ί ϊ (χ) φ (*) dx = Γ xKg {χ) φ {χ) dx. ь ь Аналогичным образом регуляризуются функции на интервале (— оо, — 6). Для регуляризации функции на всей оси полагают оо — Ь Ъ оо J f Μ Ψ (x) dx= J f (χ) φ (χ) rfλ: + Γ / (χ) φ (χ) fif* + J ϊ (χ) Φ (*) dx, — оо —оо —6 & применяя к отдельным слагаемым указанные выше формулы. Примеры. 1. Подстановка у = 1/х показывает, что при λ φ — 1 1 6 О (ср. пример'п. 4). Поэтому при λ φ — 1 оо Ь оо Г χλ d^ = Г χλ dx + J χλ dx = 0. о о & 2. Равенство оо ι/σ J X^dx= j y-%~2 dy= — γψ- Β (λ, μ) = J χλ~] (1 + χ)~λ~μ dx, о справедливое в классическом смысле при ReA>0, Ι?6μ>0, остается справедливым при всех значениях λ и μ (кроме λ, μ = = — 1, —2, ...), если понимать интеграл в смысле регуляризо- ванного значения. 3. Интегральное представление функции Макдональда (*ΥΓ[±Υ °° ι *ρ (*) = / \V ί е-* φ - 1)Р" Λ,
480 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ справедливое в классическом смысле лишь при Rep > — V2, сохраняет силу для всех р{рф— 7г, — 3/г, ...)> если понимать интеграл в смысле регуляризованного значения. Литература: [12]. 6. Неканонические регуляризации. В некоторых случаях оказываются полезными неканонические регуляризации расходящихся интегралов. 1) Пусть х+п ~~ функция, задаваемая равенствами х"п при х>0, Х+П \θ при х<0. Ей соответствует функционал (*+л, φ) вида оо {χ-\ φ) = J" лг» [φ (*) - φ (0) - *φ' (0) - ... ...-^^^-'Ч0)--^¥п-Ч0)Н1-х)}с1х, где θ(χ) = 0 при х<0 и θ(χ)=1 при х > 0. Этот функционал не является значением функционала χλ+ при λ = — п. 2) Функции ί 0 при *>0, *■" _I \х\"п при х<0 соответствует обобщенная функция оо {х-пг φ)= ^«-«^(-^-φ^ + χφ^Ο)- ... о Она также не является значением обобщенной функции х\ при λ = — п. 3) Функции \х\~2т~х соответствует обобщенная функция оо {\хГ2т-\ ψ)= j x-2m-l{<f(x) + 4>(-x)- -2[φ(0) + -£φ"(0)+ ... +-^φ<*»>(0) θ (1-*)]}</*. Эта функция не является значением обобщенной функции \χ\λ при λ = — 2/п — 1,
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 481 4) Функции | л: resign* соответствует обобщенная функция оо (| X Г2т Sign χ, φ) = J Х~2т { φ (χ) - φ (- χ) - ο -2[χφ'(0)+-|-φ,"(0)+ ... +(2^ΓΪ)ϊΦ(2β,*,)(0)θ(1-χ)]}^. Эта функция не является значением обобщенной функции |*|4ignx при λ = — 2т. 5) Функции ί хк\пт χ при х>0, ^lnwx+ = | О при х<0 соответствует при Κελ> —η— Ι, λφ — 1, —2, ..., обобщенная функция (x\\nmx+,q>) = 1 = \χλ 1пт * [<р(х) - φ(0) - *φ'(0) - ... - j~T^^n-l) (0)] dx + о При — м — 1 <1?еЯ < — η ее можно задать более простой формулой: оо {х\ \пт Х+, φ) = J *λ In"» X [φ (χ) - φ (0) - ο — -«|/(0)— ... -^^ίΐΙ.φ^-ΟίΟ)]^. Последняя формула получается из формулы для х^ (см. п. 2) заменой χλ на хх\птх. Точно так же обобщенная функция л;Мптх_ задается формулой, получаемой из формулы для х\ заменой χλ на хк\пт х. Аналогичное замечание справедливо для обобщенных функций х~п\птх+, xzn\nmx_, \х\х\пт\х\У | χ |λsignxlnm| χ |. Они определяются формулами, получаемыми из формул для *+"> xZn> Ι*Ιλ> Ι χ\λ sign χ соответственно заменой х~п (или х%) на х~п\птх (или хЧптх).
482 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 6) Обобщенные функции In (л: + /0) и In (л: — /0) определяются формулами: In (χ + ДО) = lim In {χ + /ε) == In | χ \ + /πθ (— χ), ε->+0 1η (χ — /0) = lim In (χ — /ε) = 1η | χ | — /πθ (— χ), ε->+ο где, как и выше, θ (л;) = 0 при χ < 0 и θ (л;) = 1 при χ > 0. 7) Обобщенные функции (л: + /0)Чп(*4-*0) и (х—/0)Чп(л;—/0) задаются формулами: (х + /0)Чп(х + /0) = *+ In х+ + теапх\ + eiKnx\ In х_ при λ Φ — /г, (_1)»/я*=я+ (_!)»-■ ^^ при Я=-я; (х-/0)Чп(*-/0) = *+ In х+ — те~"апхк_ш + ^-/λπΛ:5ι In х_ при λ Φ —п, (-l)n-linxZn + (-1)я"! 4^Ж + Jc—ln|jc| приЯ=-/г. Литература: [12]. 7. Обобщенные функции **_, *^ и им аналогичные как функции от параметра λ. 1) Регуляризация функции χλ+ была основана на равенстве (χ\)' = λχ^~ι. Существует другой путь регуляризации этой функции (приводящий к тому же результату), который основан на идее аналитического продолжения. Если φ(χ) —фиксированная функция из пространства Ζ), то выражение (х^., φ) является аналитической функцией от λ в полуплоскости Re λ >—1. Продолжая эту функцию аналитически на всю плоскость λ, получают значения выражения {χλ+, φ) и при Re λ ^—1. Оказывается, что при Reλ>-— п — 1, λφ — 1, —2, ..., —пу значение этого аналитического продолжения даетея формулой п. 2, а при —η—1 < Re λ < — η — более простой формулой, приведенной там же. Аналитическая функция (х^_, φ) имеет простые полюсы при λ = — 1, —2, ..., —ky ... Вычеты в этих полюсах даются формулами шлч^+, φ) (*_!)! · Можно сказать, что обобщенная функция х^ является аналитической функцией, зависящей от λ, с полюсами в точках
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 483 λ = —1, ..., — k, ..., причем Выч х\ = ("^*"i 6{k-l) (x), k = 1, 2, ... λ^-k Удобно нормировать обобщенную функцию χλ+, рассматривая вместо нее функцию χΧ/Γ(λ+1). Эта функция является целой аналитической функцией от λ, принимающей при λ= ■— 1, ..., — ky ... значения 6{k~l)(x) (поскольку функция Γ(λ+ 1) имеет полюсы в тех же точках, что и функция xty. Разложение функции х\ по степеням λ — λ0, λ0 Φ — 1, .. . ..., — k, ..., имеет вид χ\ = χ*£ + (λ-λ0)χ>ϊ\ηχ++ ... + (λ^°Γ^1π"Λ:4,+ ... Разложение же хк+ по степеням λ + k имеет вид λ _ (-1)»-'а<»-»(д) ι k Х+~ (^ — 1)1 λ + k ^*+ ^ + (λ + έ)^Μηχ++ ... + {X+Jr x+k\n™x++ ... Аналогичные утверждения справедливы для функции х\ Она имеет полюсы при λ = — 1, ..., — k, ... с вычетами /α— i\t · Нормированная функция Γ(λ ;L η является целой аналитической функцией от λ, принимающей при λ = — 1, .. . .... — я, ... значения (-l)*-1^-1»^). Имеют место формулы: ^ = ^ + (λ-λ0)χ4ηχ_ + _ + (λ^°Γ *Μη"*.,+ ..., m! λο =7^= — 1 > — 2, ..., — k9 ..., и - (Α;-1)! λ + * ^ - ^ + (λ + ^)χιΜη^+ ... + (λ + *Γxzk\nmx_+ .. 2) Обобщенная функция | χ |λ является аналитической функцией от λ, имеющей простые полюсы при λ = — 1, —* 3, ... • .., — 2k — 1, ... с вычетами вы, иГ-ЗЙр.
484 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Ι χ Ιλ Нормированная функция г ' ' ^ — целая аналитическая функция от λ, принимающая при λ=— 2k — 1 значение (-\)k'k\6{2k) (χ) (2k)\ Справедливы формулы: Ι*|λΜ*|λο + (λ-λ0)|χ|λο1η|*| + ... ... +^(λ-λ0Π*ΙλοΐηΊ*Ι+ ..., λφ — 1, — 3, ..., — 2k — 1, ..., и m (2*)! λ+ 26-Ы ^m ^ + (X + 2fe + l)Ur2""1lnUI+ ... ... +(>+yi)*urtt-|in"u1+--- λ. 3) Обобщенная функция |х| signx также аналитична, имеет простые полюсы при λ = — 2, — 4, ..., — 2k> ... с вычетами Вьи1*Г sign*--2^^.. Нормированная функция / «1 + 2У2) является Дел°й аналитической функцией от λ, принимающей при λ = — 2, — 4, .. . .., — 2k, ... значения / nfe <fe-l)to<2*-])(*), V U (2Λ— 1)! Справедливы формулы: |x|xsignjf = |^f,esignx + (X —X0)|x|XilnU|slgnj:+ ··· ...+^|^°lnm|*|sign* + ..., λ^ — 2, — 4, ..., ~2ft, ...,
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 485 + (A + 2fe)|A:r2felnU|signx+ ... . (λ + 2k)m , ,-2/г ι m ι ι . ι ... + ml 1*1 lnw|x|sign.*;-f ... 4) Обобщенные функции (χ + Ю) и (x — iO) являются целыми аналитическими функциями 9Т λ. Они принимают при λ= — 1, — 2,..., -—&,... значения (,+ю)-^^-/я/-_1);;'б(й-1)^) и (х-ЮГ' = х-'+**{-Х1 6™(х) (k-i)\ соответственно. Литература: [12]. 8. Однородные обобщенные функции. Обобщенная функция f(x) одного переменного называется однородной функцией степени λ, если для любого а > О выполняется равенство f(ax) = = axf(x). При каждом λ однородные обобщенные функции степени λ являются линейными комбинациями двух линейно независимых однородных функций. В качестве этих функций можно взять, например, (χ + ίΟ)λ и (χ — Ю)\ При λ =й= —1, —2, ... ..., —ky ... можно взять функции х\ и #_, а при λ = —k — функции x~k и 6(k"1} (χ). Обобщенная функция f(x) называется присоединенной однородной функцией степени λ и порядка т, если имеет место равенство f (ах) = αλϊ (χ) + αλ In"1 af0 (x)9 где fo{x)—присоединенная однородная обобщенная функция степени λ и порядка m — 1 (однородные обобщенные функции степени λ совпадают с присоединенными однородными функциями той же степени и нулевого порядка). При любом значении λ существуют две линейно независимые присоединенные однородные обобщенные функции степени λ и порядка т, линейными комбинациями которых являются все такие функции. При любом λ можно выбрать (χ + Ю)Чпт(* + /0) и (х — Ю)Чпт(х — Ю). При λφ — l, ..., — k, ... можно взять функции х\lnmх+ и х%__lnm*_, а при λ = — 1, ..., -~k, ... — функции x~k\nmx+ и xzk\nmx„. Литература: [12].
486 гл· χ· ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 9. Таблица производных некоторых обобщенных функций. 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 f (*) χλ χ+ χ± \χ\λ 1 Assign x (χ + ίθ)λ (χ - /0)λ x~k xZk \x\-2k~l \x \~2k sign x In {χ + Ю) In (λ: — /0) In #+ In jc_ In |*| θ (*) Г U) Λ/Χι у К Ф^ —* 1» """* ^> · · — λ**"1, λ φ - 1, -2, λΙ*!*""1 sign*, λ =^ — 1, - λίΛΓ^-1, λ φ -2, -4, ... λίΛΓ + ίΟ^-1 λίΛτ-ΖΟ)^1 kx-k-l>(-l)kb{k)(x) »-ΐ 6<*>(*) — (2^ + 1) | λ: |~2Λ-2 sign a: -2^иг2Ы (лг + ЮГ1^ — — /πδ(*) (л: — /Ο)"* β h /πδ (л:) ^ я!1 л:-1 δ Μ .,—*,... ь ■3, ..., -2fc- 1, ... , - 2*, ... Следует еще отметить, что ^-кратная первообразная от функции \χ\λ задается формулой $...j\xtdxr- I'^'P")' 1<//2J <7-2fc (λ + 1)...(λ + ?) Σ*4 (2^—1)1(9 1 fe=l 26)! λ + 2£ Литература: [12]. 10. Дифференцирование и интегрирование произвольного порядка. Пусть f(x)—функция, равная нулю на полуоси (—оо, 0) и интегрируемая на любом конечном отрезке полуоси (0, оо). Тогда ее <7"кРатная первообразная функция, обращающаяся
§ 2. РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ 487 в нуль на полуоси (—оо, 0), задается формулой Коши: χ f dt о Эту формулу можно записать в виде M*)-f(*)-£. По аналогии с этим равенством первообразная порядка λ от обобщенной функции /(#), равной нулю на полуоси (—оо, 0), определяется следующей формулой: M*)=f(*)*4fe-· Обобщенная функция ТТГГ обозначается через Ф\(х). В п. 7 было показано, что Ф-*(*)- Hm 1±w = 6ik)(x) (k = 0, 1, ...). Поэтому Lk (χ) = f(x)* ф_й (χ) = ϊ (χ) * s(fe) (χ) = /(fe) (*). Таким образом, первообразная порядка — k есть не что иное, как производная порядка k от обобщенной функции f(x). В соответствии с этим полагают для любого λ Справедлива формула dx*\dxV dxt+v вытекающая из равенства Для функции Φμ(χ) Φβ*Φν = Φρ+γ. dx (χ\-ι\_ χ%-κ-1 В частности, d^\Y{v)j Γ (μ-λ) άλθ(χ) ^ χ+λ UxK Γ(1-λ)
488 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ dx' r(6,s,W) -£_Я-1 Г (- к - λ) <г Λ-k-l dx* \ Г (λ - k) Интегральное уравнение Абеля = 6{k) (χ). о(х) = L_f fWdt iW Γ(1-α) J (*-/)α 41-о) J (*-/)a можно записать в виде £(*)=/(*)*φλ(*), где λ == —a + 1. В силу формулы для свертки функций Ф\(х) g(x)*0^(x) = f(x)*OK(x)*0^K(x) = f(x)*6(x) = f(x). При 0 < a < 1 получается формула X О где интеграл понимается в смысле регуляризованного значения. Если g(x)—дифференцируемая функция, то последнее равенство можно записать так: X ^W=i4o"i{x~°a"Ig'(i) dt. Литература: [12]. 11. Выражение некоторых специальных функций в виде производных дробного порядка. Пользуясь операциями дифференцирования и интегрирования дробного порядка, можно кратко записать интегральные представления некоторых специальных функций. Например, для гипергеометрической функции справедливы следующие равенства: Л-' Γ(γ) *?-'(1-*)α+β~Ύ Г (Υ) ^(α,β, γ,χ) = J0-Y Λ-1 χρ+-'(\-χ)+° Γ (β) F (α, β, γ; χ) — 0<*<1, *~ dx-Ь Ι Γ(γ-β) 0<*<1.
§ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 489 Для бесселевой функции справедливо равенство 2°Улхр121р(]Гх) = .а " ''' рХГ '~ dx-P-'A COS vn ΥΊ Пользуясь формулами дифференцирования и интегрирования, можно получить из этих выражений ряд соотношений для гипергеометрической и бесселевой функций. Например, беря производную порядка —q—1 от обеих частей последнего равенства, получают В интегральной форме это равенство означает следующее: 2?+VP+,+,y2/p+9+i {у-х) _ J fnJp{yT)A!_^i_du О Литература: [12]. § 3. Некоторые обобщенные функции нескольких переменных 1. Обобщенная функция гК Аналогом обобщенной функции \χ\λ для функций многих переменных является обобщенная функция г\ г = γχ\ 4- ... + х\ . При Re λ > —η она задается формулой (Λ φ) = J* >*λφ (х) dx = -/(*? + ··· +x2$l2<v{xv ..., xn)dxx...dxa. Выражение (г\ φ) является аналитической функцией от λ в области Re λ >—п. Продолжая аналитически эту функцию, получают оо (/·\φ) = Ω„{ r*+*^S9(r)dr, О где Ω„ = Γ( '. площадь поверхности единичной сферы n-мерного пространства, S^(r) —среднее значение функции φ(#) на сфере радиуса г и интеграл в правой части понимается в смысле регуляризованного значения (как (г^"1-"""1, 5φ (г))). В точках % = —п9 —η —2, ..., — п — 2&, ... обобщенная
490 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ функция гк имеет простые полюсы. Разложение в ряд Лорана в окрестности полюса λ = —η — 2k имеет вид Г ~1гп[ {2k)\ К + п + 2к+Г ^ + (X + n + 2k)r~n-2klnr+ ...]. Функционалы 6{2k) (r), r~n~2ky r~n~2hlnmr применяются к функции S<p(r) и понимаются как (o(2fc) (г), S, (r)), (r;"-2fc, S, (г)), (гГ"М lnm r+, S<p (r)). Величина (δ(24 Ξφ) выражается через функцию φ(χ) и ее производные по формуле (*(2k) Q \ ____ Q(2fe) /Пч (26)1 Δ*φ (0) V> э^-4, (0)- 2*Л1я(я + 2)_(я + 2Л_2)' где Δ — оператор Лапласа. 2г^ Обобщенная функция о г ((λ 4- )/2) является Целой аналитической функцией от λ, причем в точке λ = —η — 2k значение этой функции равно (- 1)* Δ*δ(*) 2kk\n(n + 2) ... (л + 2* —2) ' Формула справедливая в классическом смысле лишь при ИеЯ>—п + 2у сохраняет смысл при всех значениях λ, λ=Η=— η—2k, &=0,1, ..., если рассматривать обе части равенства как обобщенные функции. Во многих задачах полезно разложить функцию ή по функциям, принимающим постоянные значения^ на плоскостях. Это разложение имеет вид *7фщ-+-»*{Ц1.)Ут*+ "· +"Λ^Ά где точка (он, ..., ωη) пробегает единичную сферу Ω. В частности, при η нечетном AW»' '/'.Г ίδ("-1)(ω,^+ ... +ωηΧη)άΩ, 2 (2π) J четном 6 Μ = H°Xr""1)! J <ω^' + · · · + «W Λλ 2 (2π) а при αζ четном
§ 3. ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 491 При любом η справедлива формула Ω Из первой формулы для δ (χ) вытекает, что da0y Ω ΣωΛ=0 где άσο — элементарная площадка в плоскости 2%*& = 0, а -^ дифференцирование по направлению ортогонального к ней вектора ω. Аналогично из второй формулы следует, что Ф(0) = (~1)"(/22J)»~1)! J* ((ω,*, + ·.. + <*пХпГя, Ω $(щх{+ ... + ωηχη))άω9 где положено *(') = J <p(x)dot9 ΣωΛ=ί dot — элементарная площадка в плоскости 2 ЩХк = *· Литература: [12]. 2. Обобщенные функции, связанные с квадратичными фор- п мами. Пусть Р = 2 ёавхахв ~~ положительно определенная α, β=1 р р квадратичная форма. С помощью невырожденного линейного преобразования эта форма может быть приведена к виду Ρ = η = 2 У2а· Поэтому рассмотрение обобщенных функций вида Ρλ a=l в случае положительно определенных квадратичных форм Ρ сводится к рассмотрению обобщенной функции г2\ проведенному в п. 1. Сложнее обстоит дело для неопределенных квадратичных η форм Р = 2 ga,RxaxR> поскольку в этом случае функция Ρλ a, fc=l р р не является однозначно определенной. Формы с комплексными коэффициентами можно записать в виде & = Pi + 1Р2, где Pi и Р2 — вещественные квадратичные формы. Пусть «верхняя полуплоскость» — множество всех квадратичных форм Pi + iP2j для которых форма Р2 положительно определена, а «нижняя
492 ГЛ. X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ полуплоскость» — множество форм вида Pi — 1Р2, где Рг положительно определена. Если квадратичная форма 3> принадлежит верхней полуплоскости, то полагают где 0 < arg^ < π, и вводят обобщенную функцию (&\ φ)= j Φλφ(χ)άχ (интегрирование ведется по всему пространству Rn). Функция &λ(χ) однозначно определена, а интеграл сходится при ReA>0 и является аналитической функцией от λ. Аналитически продолжая эту функцию по λ, определяют функционал '(&*λ, φ) для других значений λ. Рассматривая обобщенную функцию Φλ при Pi = 0, получают обобщенную функцию (1Рг)х- Поскольку форма Рг положительно определена, изучение этой обобщенной функции сводится к проведенному выше изучению обобщенной функции г2\ Аналитически продолжая выражение вычетов формы (/Рг)я по коэффициентам формы Р2, находят выражение вычетов для формы &>\ Результат формулируется следующим образом: η Если Ф = 2 ёайхахй~~ произвольная квадратичная форма a, fr=l р р с положительно определенной мнимой частью, то обобщенная функция &>λ является регулярной аналитической функцией от λ всюду, за исключением точек λ = — /г/2, — лг/2 — 1, ..., —n/2 — k, в которых эта функция имеет простые полюсы. При этом -πηί/4 я/2 Выч ^λ = -τ - Л Lk6(x). Ь—п/2тл 4*Л! Г (л/2 + k) V(~ i)n\g\ W Здесь через L обозначен дифференциальный оператор ^=Σ **. д' дха дха ' α, β=ΐ ρ коэффициенты которого связаны с коэффициентами квадратичной формы φ соотношениями η 2 δ"αβ£βΥ = δγ (δγ — символ Кронекера). Через \g\ обозначен дискриминант формы 3*.
§ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 493 Функция У"(— if I g I задается формулой V(-i)n\g\= VYbfd -M),A... (i -λ„ον'. Здесь |£>|— определитель матрицы ||6αβ|| преобразования с вещественными коэффициентами: ха — 2j ^αβί/β> β=Ι - Р Р приводящего формы Pi и Р2, ^ = Pi + iPi, к виду Ρ, = λ^+ ... +λχ а значения квадратных корней задаются формулами ι У ζ —\z\2e2 , — Jt<arg2<ji;. Если форма 9> = Р\ — iP2 принадлежит нижней полуплоскости, то ее вычеты в точках λ = —/г/2, ..., —п/2 — k, ... задаются аналогичными формулами с заменой i на —L Литература: [12]. 3. Обобщенные функции (Ρ + *Ό)λ и (Р — Й))\ Пусть η Р= 2j £αβ*α*β α, β=1 μ μ — невырожденная квадратичная форма с вещественными коэффициентами, в каноническую запись которой входят ρ положительных и q отрицательных членов. Рассматриваются квадратичные формы Pi + /еРг, где Р2 — положительно определенная квадратичная форма с вещественными коэффициентами, а е > 0. Полагают (Ρ + /0)λ = lim (P + UP2f ε-»+0 (обобщенная функция (Р + /еРг)л определена в п. 2). Аналогично (Ρ-ί0)λ= lim (Ρ-ίεΡ2)\ ε-»+0 Обобщенная функция · (Ρ + /0)\ рассматриваемая как функция от λ, имеет простые полюсы в точках λ = —η/2, —αζ/2 — 1, ..., —η/2 — k, ... с вычетами π . η ~ qt Τ Выч (Ρ + /0)λ = ' π Lkb (χ), K~-n/2-k 4*fcl Γ (η/2 + k) V | Δ | где Δ — дискриминант формы Р.
494 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Функция (Ρ— ί0)λ имеет полюсы в тех же точках с вычетами, получаемыми из последней формулы заменой / на —L Полагают ρλ _ e"nXi (Ρ + /0)λ - enU (Ρ -г ί0)λ + — 2/ sin πλ ' ρ\^ = (Ρ + /0)λ-(Ρ-/0)λ 2* sin πλ При ReX>—η обобщенная функция Ρ+ совпадает с регулярной обобщенной функцией, задаваемой формулой (Р+, φ) = j P\(x)dx, а Р- — с регулярной обобщенной функцией, задаваемой формулой (p!f ф)= J ι р(*)1*ф (*)<**. Р <0 Литература: [12]. 4. Обобщенные функции вида PKf(Py λ). Пусть f(zf λ) —целая функция от 2 и λ. Если &—комплексная квадратичная форма с положительно определенной мнимой частью, то при Re λ > 0 полагают (&>λί (Ρ, λ), φ (х)) = J &>λϊ (Ρ, λ) φ {χ) dx. С помощью аналитического продолжения определяется обобщенная функция 3*λϊ(£Ρ>λ) для других значений λ. Аналогично определяется обобщенная функция 0>Чпт&Т(РЛ). Обобщенная функция (Ρ + ίΟ)λ/(Ρ + ίΟ,λ) задается равенством (Р + ί0)λ f (Ρ + /0, λ) = lim (P + /εΡ2)λ f (Ρ + /εΡ2, λ), 8->+0 где Рг — положительно определенная квадратичная форма. Аналогично (Р - /0)λ f (Ρ — /О, λ) = lim (Ρ - /εΡ2)λ f (Ρ - /εΡ2, λ). ε-»+0 Если форма Р положительно определена, то (Ρ + *Ό)λ f (Ρ + Я), λ) = (Ρ - /0)λ f (Ρ - /0, λ) = Ρλ/ (Ρ, λ). Далее, f(P+iO,K) = f(P-iO,l) = f(P,b).
§ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 495 Справедливы равенства (Р + iOf f (Ρ, λ) = P\f (Ρ+> λ) + eanP\f (P_, Я) и (ρ - iof f (Ρ, λ) = p\f (Ρ+, λ) + β" ίλπΡ-ϊ (Ρ-, λ), дающие выражения наших обобщенных функций через аргументы Р+, Р_. К рассмотренному классу обобщенных функций относятся, например, такие функции, как Ζλ [(Ρ + iOf], (Ρ + iO)~W Ζλ [(Ρ + ίΟ)'Α], где Ζ%(χ) —цилиндрическая функция. Каждой вещественной невырожденной квадратичной форме η Р= 2 ёа&хахъ соответствует сопряженная с ней форма α, β=1 Q= Σ £afVP> α, β«1 ρ η где 2?αβ^ΡΥ = δο (α' Υ==1> 2> ···» η)· в дальнейшем будет β=1 использована обобщенная функция (Q +„«**> · где с — положительное число. Она определяется при нецелых λ разложением Knl2+x[c(Q + iO)4 __ (Q + iOJ^M L/n=0 (c/2)2m (Q + Ю)" π(φ)ηΙ2+λ 1 γ (с/2)-^-"+2т(Q + ю)-я-"/2+т 2 sin (η/2 + λ) π L· m! Γ (— λ — η/2 + m + 1) -ί№=0 -Σ /ηΙΓ(λ + η/2 + /η+1) m=0 При λ = s, s > О, эта функция имеет полюс с вычетом Выч *"/*+* [c(Q + '0)'/a] (Q + iO)2V2 ' (- 1)«я»^ (φΥ~ηΙ2 е-п^'2У\ Δ| у (-l)m (с/2Г2от гЖ>,.д 2 2i 4"'m!(s-m)! L °W' m! (s — m)t
493 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ где q — число отрицательных членов в канонической записи формы Q. „ Kn/2+s[c(Q + iO)4 Через —— γγ^—г- обозначают правильную часть рас- сматриваемой обобщенной функции при λ = 5. Литература: [12]. 5. Обобщенные функции на гладких поверхностях. Пусть поверхность S в /г-мерном пространстве задается уравнением Р(хи ..., Хп) =0, где Ρ — бесконечно дифференцируемая функция, такая, что grad Ρ φ 0 при Ρ = 0 (т. е. на поверхности Р = 0 нет особых точек). Обобщенную функцию δ(Ρ) определяют следующим образом. В достаточно малой окрестности Ux любой точки χ поверхности S вводят новые координаты, положив щ = Ρ и выбрав остальные координаты Иг, ..., ип произвольно, с тем лишь ограничением, что якобиан £м ^) отличен от нуля в Ux. Если функция φ(χ) обращается в нуль вне Ux, то полагают (δ (Ρ), φ) == J ψ (0, м2, ..., un) du2 ... dun, Ψ("ι, ..., ия) = Φι (MIf ..., ия)я(*), Φι (Hi, ..., ня) = ф(*1, ..., хп)- В общем случае разлагают функцию ψ(χ) на слагаемые φ&(#), обращающиеся в нуль вне окрестностей UXh. Можно показать, что обобщенная функция δ(Ρ) зависит только от функции Р, но не зависит от выбора координат ии · ·. > tin- Эту функцию можно определить также следующим образом. Пусть Θ(Ρ) —обобщенная функция (Θ(Ρ), φ)= J <p(x)dx. Тогда δ (Ρ) = θ'(Ρ) в том смысле, что для любого /' Для обобщенных функций 6{к) (Р) полагают (δ(/ϊ) (Ρ), φ) = = (—l)k j ψ® (0, uv ..., un)du2 ... dun. Всякий функционал / где вида ** %/ l * n Λν4 Λ/β t,+ ... +in<k P==0 ^1 ··· axn
§ 3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 497 выражается через б(Р), ..., 6{k)(P) следующим образом: k /=о При этом запись однозначна: если / = 0, то Справедлива формула дифференцирования сложной функции Далее, имеют место равенства Рб(Р) = 0, P6ik) (Ρ) + k6{k~l) (P) = 0, 6=1,2,... Если поверхности Р = 0и<2 = 0не пересекаются и Q обладает теми же свойствами, что и Р, то 6(PQ) = P-16(Q) + Q~16(P). Если функция α (а:) не обращается в нуль, то ; а*(х)\а(х)\ Пусть теперь в гс-мерном пространстве поверхность S имеет размерность η — k и задается k уравнениями P\\X\i ..., хп)— 0, ..., Pk\x\> ···> χη) — 0> где Pj(^i, ..., #η)—бесконечно дифференцируемые функции, причем поверхности Pi = 0, ..., Ρ& = 0 образуют правильную сетку. Иными словами, предполагается, что в окрестности любой точки χ поверхности S можно ввести систему координат ti\, ..., ип так, что Uj = Pj, l ^Cj^k, и якобиан D ( χ 1 отличен от нуля. Тогда полагают (6(Plf ..., Рк), Ф) = | Ψ (0, ..., О, αΛ+1> ..., un)duk+l ... dun и ди,1 ... duh
498 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Можно показать, что и эти обобщенные функции не зависят от выбора координат uit ..., ип. Для введенных функций справедливы следующие равенства: * я(р гм__У дд(Ри ..., Рк) dPi -dJTO(Fl9 ..., Fk) — 2j щ -fir, PMPu .... Pk) = 0, PxP2...Pkb{Pu ..., Ph) = 0. Справедливы также тождества, получаемые формальным дифференцированием последних равенств. Примеры. 1. Обобщенная функция δ (ал + ...+ <хпХп) задается равенством (δ (ал + · · · + αΛ), φ) = J* φ da, η где da— элементарная площадка плоскости 2 afe^ = 0. 2. Обобщенная функция δ(*ί/— с) при с ^ О задается формулой (в(*У-с), q>)--J φ (*,-£■)-£-. /г 3. Обобщенная функция δ (г —с), где г2=2*!»с>0, задается формулой (δ (г— с), φ)= j <pdQCf % где </Ω, — элементарная площадка поверхности сферы Ω0 радиуса с. Ту же сферу можно задать уравнением г2 = с2. Тогда (б(г2-С2), φ) = ^- /φ <ίΩ„ 4. Если P = X\ — f{x2, ..., α:^), то имеет место равенство (δ(Ρ), <р)= J" φ[/(*2, ·.., xn)r x2y ..·> xn] dx2 ... άχψ Литература: [12].
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 499 § 4. Преобразование Фурье обобщенных функций 1. Мультипликаторы и свертыватели. В главе II, § 1, п. 4 дано определение преобразования Фурье обобщенных функций, рассматриваемых как функционалы над линейным пространством £, плотно вложенным в S. Это преобразование определяется формулой (Λφ) = (Λφ), где φ—преобразование Фурье основной функции φ. Есть иное определение преобразования Фурье обобщенных и быстро растущих функций. Пространства растущих функций интерпретируются как пространства мультипликаторов в некоторых пространствах быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций. Пусть Φ и Ψ — линейные топологические локально выпуклые пространства функций или функционалов, и £(Ф, Ψ)—пространство линейных непрерывных операторов из Φ в Ψ с топологией ограниченной сходимости. Пусть Λί(Φ, Ψ)—замыкание в £(Ф, Ψ) пространства операторов умножения на функции из S. Например, M(D,D) —пространство С°° всех бесконечно дифференцируемых функций, M(S, S) —пространство бесконечно дифференцируемых функций, имеющих вместе с производными любого порядка степенной рост, Μ(Ζ,Ζ)—пространство целых аналитических функций экспоненциального типа, имеющих на вещественной оси степенной рост (вместе со всеми производными). Пусть С(Ф, Ψ) —замыкание в Ι(Φ, Ψ) операторов свертки с функциями из S. Например, C(S,S) —пространство линейных функционалов в S, т. е. S'. Элементы из Λί(Φ, Ψ) называются мультипликаторами (из Φ в Ψ), а элементы из С(Ф, Ψ) — свер- тывателями. Топология в Λί(Φ, Ψ) и С (Φ, Ψ) задается топологией пространства Δ(Φ, Ψ). Для краткости Λί(Φ, Φ) обозначается через Λί(Φ), а С(Ф, Ф) через С(Ф). Пусть пространство Φ состоит из непрерывных суммируемых функций и через Φ обозначено пространство преобразований Фурье функций из Ф, а через Ф* — сильно сопряженное с Φ пространство. Топология в Φ индуцируется топологией в Ф. Преобразованием Фурье оператора χ из Ι(Φ, Ψ) называют оператор χ из Ζ,(Φ, Ψ), определяемый равенством χ(Φ) = Х(ф) (ф^Ф)· Таким образом, Ζ(Φ, ψ) ^ Ι(Φ, Ψ). При этом изоморфизме М(Ф, Ч0~С(Ф, Ψ) и, в частности, М(Ф) « С(Ф).
500 ГЛ X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Определим оператор Xf умножения на /, действующий из Ψ* в Ф*, как оператор, сопряженный оператору χ. умножения на /, действующему из Φ в Ψ. Отображение χ -> X непрерывно. Если в Φ определено и ограничено отображение φ->φ, то соответствие χ ->Х порождает непрерывное вложение Λί(Φ,ψ) то Ί Λί(Ψ* Φ*). Если, кроме того, Φ и Ψ рефлексивны, Λί(Φ, Ψ)~Μ(Ψ*, Φ*), С (Φ, Ψ) «С (Ψ*, Φ*). Отметим еще, что Μ (Λί (Φ)) : С (С (Φ)) Литература: [13], [308]. 2. Пространство типов S и <§. Пространство S замкнуто относительно операций умножения на независимые переменные, дифференцирования, умножения и свертки - функций. Построен широкий класс пространств, обладающих указанными свойствами. Пусть А М(Ф), С(Ф). *а, АУ >м-(т е0. а (х) = { l/α 1, ), а>0, UK л, Ι χ | > А. Через SU обозначают банахово пространство, состоящее из бесконечно дифференцируемых функций, для которых конечна норма Ιί ΦIU = sup X, q -a, A (X) q>{q) (x) Bqqq$ а через &а, а — пространство бесконечно функций, имеющих конечную норму дифференцируемых ΙΦ \tA = sup X, q <α, Α (Χ) ^q)(x) Здесь для краткости положено Bq = B^q\ qq^ = \qf^q\ где \Ч\ = Ч\+ ··· +Яп> Ч = (Я\> ···> Чп)· Функции из этих пространств бесконечно дифференцируемы. При а = 0 функции пространства Щ, а рассматриваются лишь при |х|<Л. Функции из 5а,л убывают не медленнее экспоненты порядка Ι/α, а при а = 0 равны нулю вне шара |х|<Л. Функции из <§Га',л растут не быстрее экспоненты порядка l/α. При β< 1 функции-
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 501 гР.в из Sa,A и $а, а ~ целые аналитические, причем | φ (ζ) |< С ехр Ζ=Χ+ίί/ !/α + 1-β Bey I '-Ρ ΠρΗβ=1 эти функции аналитичны в полосе \у\<1/Ве, причем | φ (г) |< С ехр (+ -?-|τΓ)(1 ~ ВеУ^· Если В{>В и А{> А, то существует непрерывное вложение Sa, л -* So, % а если В{>В, А\<А, то вложение ЙГо,л-> a d ft D ft D ~»<§Пх,л!· Всегда есть непрерывное вложение So, л-^^α',Α. Пространства типа <ЁГ определяются так: &1\= lim ind^fa'J, a>0, β->οο Л->0 ρβ-. Ρβ, Β rg= = lim pr KX β>0, β->0 Л->оо Α ί; ρβ."- >α, + ■ ■ lim pr lim ind^S; S» Л->оо β->οο : lim ind lim pr &u\a* β -> oo Λ -> oo • lim pr lim ind <$a, л, a > 0, β > 0, β->0 Л->0 irg: + =lfmindlimprir8;3, «>0, β>0. Л->0 β->0 Здесь lim ind —- индуктивный предел пространств (см. гл. II, § 1, п. 2), а lim pr — проективный предел. В определении пространств типа S надо заменить <$ на S, lim ind на lim ind, а limpr на limpr. Л-»0 Л-»оо Л->оо Л->0 Между пространствами типа <$ есть соотношения, выражаемые схемой: \ six t · rfc- >a+' *£- Λ» ^ϊ<- f„ #fc 4 Здесь стрелка означает вложение. Аналогичная схема имеет место для пространств типа S. Пространства типа S нетривиальны в следующих случаях: а) Sa+: если α + β>1, исключая случаи α = 0, β=1 и а=1, β = 0;
502 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ б) sit, Sit: если α + β> 1 и α>0; в) s£+, S%+: если α + β>1 и β>0; г) sSl: если α + β>1, α>0, β>0. В остальных случаях эти пространства состоят лишь из нулевого элемента. Пространства типа & всегда нетривиальны' (все они содержат, например, функцию <р(х) а 1). Но при α + β < 1 они вырождены в том смысле, что имеют место «лишние» изоморфизмы, а именно (V) (V) (£ρβ(±) _ (5?β(±) _ ;ρρβ<±) 0α- w 0o+ *** ©1-β(±). При α + β = 1 имеет место вырождение Во всех пространствах типа S и^ определены и ограничены операторы дифференцирования, умножения на независимые переменные, сдвига и умножения на expi(a, χ), где σ — вещественное число. Пространства #а+> <^а-> Sa+, Sal и сильно сопряженные к ним обладают следующими свойствами: они полны и ядерны (гл. I, § 4, п. 11). Чтобы получить для них сильно сопряженные пространства, надо заменить lim ind на lim pr, а банаховы пространства Sb,A> ^а,л~на сильно сопряженные к ним пространства. Например, (#&)*« Пт pr (***)'. Чтобы получить пространство Λί(Φ) для пространства Φ типа S, надо: 1) Заменить S на 8. 2) Сохранить знак наверху и поменять его внизу; если при этом получатся одинаковые знаки, то добавить сверху знак V; если же получатся разные знаки, то сверху никакого знака не писать. Например, M(Sat)~<fe, Ai(sg+)~ffft. Чтобы получить для любого пространства Φ типа S пространство С(Ф), надо: 1) Заменить S на ^ и добавить знак * (переход к сильно сопряженному пространству).
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 503 2) Сохранить знак наверху и поменять его внизу; если при этом получатся разные знаки, то добавить сверху знак Л, а если одинаковые знаки, то сверху не писать ничего. Например, с(&?)~ (*fc)\ Чтобы получить пространство Φ для пространства типа S, надо поменять местами α и β вместе со знаками. Например, οβ+ ^ οα- ο·β+ са+ Аналогичное правило верно для пространств, сопряженных с пространствами типа 5. Чтобы получить пространство Φ для пространств Φ типа S, надо: 1) Поменять местами индексы и знаки, заменив после этого знаки на обратные. 2) Заменить V на Л и обратно. 3) Перейти к сопряженному пространству. Например, при a^f- β ^ 1 имеем: Таким образом, система пространств S и <§ и их сопряженных замкнута относительно перехода к пространствам преобразований Фурье, пространствам мультипликаторов и свертыва- телей. Литература: [13], [308]. 3. Предельные случаи пространств типа S и έΓ. Наряду с пространствами типов S и ^ вводятся их предельные случаи. Через <$\ь? обозначают банахово пространство с нормой а через и через а, А - >(<7) Ik) — ll<pll = sup(|*|+l)-* х, q Bqqqb - пространство с нормой II φ 11= sup ez\{x)\$4x)\ x.\l\<Q ' с нормой ΠφΙΙ— sup (|*Ι+1Γ*Ιφ(/)ΜΙ *. |/l<<7 Аналогично определяются пространства S(%B, So?л, S{$. Беря индуктивные пределы при £ -* оо? 4 -* 0, 5 -> оо и проек-
504 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ тивные пределы при q -* оо, А —► оо, В -> 0, получают пространства <Τβ+ = lim ind «#}, йГо-= lim рг^л». q, Л->оо ЙГ = lim pr lim ind ^f^ gr->oo fc->oo и т. д. Беря индуктивные пределы при А -> оо, β -> оо и проективные пределы при q->oo, β->οο, Л->0, θ-^0, получают пространства ου- ΐϊ_ „ е.. Sp~ = lim pr 5frB B->0, fe-»oo S«- = Hm pr S^A, q->oo, Л->0 Sp+ = lim pr lim ind sfif, &->oo B->oo 5 = lim pr S\t q->oo, k-><x> Для введенных здесь пространств имеют место утверждения, аналогичные утверждениям о пространствах типа S и <§, их пространствах мультипликаторов, свертывателей и преобразований Фурье. Эти утверждения можно получить предельным переходом из соответствующих утверждений о пространствах типов S и <ЁГ, если принять во внимание, что (XL., (XL., (Χ) (Χ). <*( + )> g*{±)=#*J%V x#e(T)=*>- (λ) (λ) (λ) (λΙ,,., (Χ) (Χ) Q < χ(=ρ) — ο α(τ)> Q ΟΟ — Q QOO — α(=ρ)— ο α(τ)> *->—Οοο—· Описанные в пп. 2, 3 пространства охватывают наиболее важные в приложениях функциональные пространства. Например, <?Γα+α)+ -— пространства целых функций порядка не выше, чем 1/а, и конечного типа, а <§Γα-α — пространства целых функций порядка не выше, чем 1/а, минимального типа; <§\l -— простран- ство всех целых функций; ^- — пространство функций, каждая из которых аналитична в некоторой полосе вида | у | ^С; &ot — пространство функций, аналитичных в Rn\ S — пространство
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 505 функций, быстро убывающих вместе с производными любого порядка; S0+— пространство D финитных бесконечно дифференцируемых функций; 5о+—пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций с более слабой топологией, Ч"ем в D\ &Ό—пространство С°° всех бесконечно дифференцируемых функций; 5α ζμ(&α+) — пространство бесконечно дифференцируемых функций, которые вместе со всеми производными убывают не медленнее, чем ехр (— Ххш) (возрастают не быстрее, чем ехр (Ял:1/а)); Sp **" (£ГР +) — пространство функций класса Жеврея порядка β, быстро убывающих вместе со всеми производными (медленно растущих вместе со всеми производными). Литература: [13], [308]. 4. Таблица преобразований Фурье обобщенных функций одного переменного. Значения функций Α(λ), θ(λ), С(Я), D(l) и коэффициентов а^\ и т. д. приведены в конце таблицы 1. Здесь и в дальнейшем приняты стандартные обозначения: Νλ № = Жы fcos λπ/λ Μ "~ 7-λ W> где —πλί /λ(*) = β 2 /λ(ΪΖ), #i2)(ζ)=Ί\(ζ) — ϊΝλ(ζ), λ —не целое. Функции Л (λ), β (λ), С (λ), D(X) задаются равенствами: in) -ι A(X) = ie 2Γ(λ+1) = τ^Γ + 4") + α(»)(λ + «)+ ..., β(λ) = -/β 2Γ(λ + 1) = τ^Γ + 6ί,")+&(Γ)(λ + η)+ . λπ с{1\ С (λ) = - 2sin-2- Πλ + 1) ^χ^Γττ + 4Я) + <f >(A -f «) +
506 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Таблица 1 п/п Обобщенная функция f {x) Ее преобразование Фурье f (s) Обычная интегрируемая функция f (χ) δ (χ) xX (λ^-l, -2, ...) θ(*) (λ^-1, -2, ...) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (* + /О)* (a: - *Ό)λ \χ\λ (λ^-1, -3,...) \x\ks\gnx (λ^-2, -4, ...) 1*1 —2/η c ,-2m-l χ -"' sign x *+lnx+ (λ^-1, -2, ...) /?[/] = J f(x)eixsdx Λ (λ) (s + /О)"*-1 = Α (λ) s^-1 + + B(X)sZK~l in+ln\s-n-] + (-i)nndln)(s) is"1 + πδ (s) Β (λ) (s - Ю)-*-1 = Л (λ) С*"1 + (-0я+1л!*-,|-1 + 'яяо(,1)(*) π /λ- 2πβ Γ(- 2яе 2 •λ) s ■α-f- -λ-1 .-λ-1 Γ (-λ) °+ Ш (λ) |s resigns 2 (— i)m nb{m) (s) /π sign s — ji|s| c(2m+l)s2m_c(2m+l)s2mln)s| /rf<2'"»s2m-1-W<!fS2m-Iln|S| ie -J [Γ'(λ+ 1) + + /γΓ(λ+1)](β + /0Γλ-'- - Γ (λ + 1) (s + ίΌ)_λ-1 In (s + <Ό) Ι
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 507 Продолжение табл. 1 № п/п 18 19 20 21 22 1 Обобщенная функция f (X) Х- 1П Х_ (Хф-1, -2, ...) 1п*+ 1пх_ |*|Мп|*| (λΦ-l, -2, ...) | л: |λ1η | χ | sign x (λΦ-\, -2, ...) I Ее преобразование Фурье Τ (s) \-ΐβ J [ Γ(λ + ΐ) - -;£Γ(λ+1)](5-ίΌΓλ-1- - Γ (λ + 1) (s - ί0)-λ-' In (s - Ю) 1 - (s + Ю)-1 In (s+ «))]} -i{(r'(i)-/f)[(s-ior'- -(5-/0)-11п(5-<0)]| /е ^ Γ'(λ+1) + + ί|·Γ(λ+ΐ)](5 + /0Γλ-'- - Γ (λ + 1) (s + ίΌ)-λ-1 In (s + Ю) | - - ie { [Γ (λ + 1) - -/'Ι-Γίλ + Ι)]^-*))-*-1- - Γ (λ + 1) (s - ίΟΓλ_ι In (s - /Ο)} αΤίΓ ie -[[Γ'(λ+1) + + ί|-Γ(λ+1)](5 + ίΌΓλ-1- - Γ (λ + 1) (s + ίΟΓλ-11η (5 + i0) j + + le Ι [Γ'(λ -Ь О — -/|·Γ(λ + 1)](5-ί0Γλ-'- - Γ (λ + 1) (s - /0)_λ~1 In (s - ί0)ί
508 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ № η/π 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 I 35 36 1 37 38 Обобщенная функция f (x) х-2т\п\х\ x-2m-lln\x\ \хГ2т~11п\х\ | χ Г2т \n\x\ sign χ (ι-χψ+ (A^-l, -2, ...) 6(«-D(,_/) (1+*2)λ (*2-i)V (λ*.-Ι, -2, ...) u2— oq. ebx exV2 6<2m) (*) 6<2m+1)(*) sin 6* COS 6* Многочлен Р (ж) Продолжение табл. 1 Ее преобразование Фурье τ («) c<2m)|s)2m-l_c<2m)|s)2m-lln)s| /d(2m+l)s2msigns_ -/42т+1>52т1пи|818П5 cfn+Us2m_c(2m+l)s2m]nlsl + + ±cil!?+i)s2m\n2\s\ /rf(2m)s2m-l_w(2m)s2m-l,n|s| + + |.d(2m)s2m-lln2ls| /πΓ(λ+1)(-|-) /λ+1/2(5) /— / S \П~'1г Щ±) /_„+Vi(s) 2ΐΛί /Ί5|Γλ_νν Meh _Γ(λ + ΐ)/1ϊ|γ|~ ли_,Л(М) 2*<-ΐ)·(ι+·£)"«Μ + + (-!)"+·/π (|)~""'/2/„+1/2(s) 2πδ (s — ib) Функционал (f, φ) = = -2π [ eii/2$(s)rfs —ί οο (-l)ms2m (-i)mis2m+l - in [6 (s + b) - 6 (s - 6)] π [δ (s + b) + δ (s - 6)] 2nP{-lir)b(s) 1
§ 4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 509 Коэффициенты aS*\y a^ и а\п) имеют вид: .п-\ Мп) _ _J -ι (л- ΐ)ί ' ^-1~пг[» +1+ ... +-J_ + iv(i) + ,».], α{"> (я-1)! 2i j2 ~^ 2u jk 8 + + (l+j+ ... +^гг)г'(1)+Г"(1) + + 'f[1 + ?+-+-dn-+IV0)]}. Коэффициенты b^\ и т. д. выражаются через αψ по формулам: bin) = aw, ^ = 2 Re a%\ df = 21 m a<fett). В частности, -1 (лг — 1)! ' -1 (лг — 1)! C0S^ l) 2 ' Литература: [12], [309], [310], [311]. 5. Положительно определенные обобщенные функции. Пусть Ε — функциональное пространство, содержащее вместе с любой функцией ψ(χ) функцию φ*(χ) = φ(— χ), а вместе с любыми двумя функциями φ и ψ их свертку φ*ψ. Линейный функционал F в Ε называется положительно определенным, если для любой функции <р(х) из Ε выполняется неравенство (F, φ*φ*) > 0. Для того чтобы обобщенная функция в пространстве D была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы она являлась преобразованием Фурье положительной меры степенного роста. Положительно определенные обобщенные функции в пространстве Ζ являются преобразованиями Фурье положительных мер. Обратно, преобразование Фурье любой положительной меры является положительно определенной обобщенной функцией в пространстве Ζ. При λ > —1 обобщенные функции — - 2 sin -у- Г (λ +. 1) | * Γλ-\ ie 2 Г (λ + 1) (χ + /О)"*'"1. πλί -ie 2 Γ(λ+1){χ-ί0)~λ-1
510 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ положительно определены (они являются преобразованиями Фурье положительных обобщенных функций | χ |\ χ+, χί). Любая положительно определенная обобщенная функция может быть представлена в виде F= (1 —A)m/(x), где f(x) — положительно определенная непрерывная функция, Δ — оператор Лапласа. Свертка двух положительно определенных обобщенных функций положительно определена. Отмеченные результаты позволяют получить описание инвариантных относительно сдвигов положительно определенных эрмитовых функционалов. Функционал В (φ, ψ) называют эрмитовым полуторалинейным, если при фиксированном ψ он линеен и непрерывен относительно φ, а при фиксированном φ он антилинеен и непрерывен относительно ψ. Функционал β (φ, ψ) инвариантен относительно сдвигов, если Β(φ(χ + Η)9 ψ (χ + К)) = В (φ, ψ). Если Ζ? (φ, φ) X), то функционал называется положительно определенным. Всякий положительно определенный инвариантный относительно сдвигов эрмитов полуторалинейный функционал в пространстве D имеет вид β (φ, Ψ) = |φ(λ)ψ(λ)ί/μ(λ), где μ (λ)—некоторая положительная мера степенного роста, а φ (λ) и ψ(λ)—соответственно преобразования Фурье функции φ(χ) и ψ(χ). Литература: [15]. 6. Условно положительно определенные функции. Обобщенную функцию F называют условно положительно определенной порядка s, если неравенство (AAF, φ*φ*)>0 выполняется для всех основных функций и всех линейных однородных дифференциальных операторов А порядка s с постоянными коэффициентами. Всякая условно положительно определенная обобщенная функция порядка s в пространстве D имеет вид (Λ φ)-/Γφ(λ)-«(λ) 2f -^λψμ(λ)+ | α>^. Ω0 L |fe|=0 J lfe|=0 Здесь Ω0 = Rn —■ {0}, φ (λ) — преобразование Фурье функции φ(*)> μ — такая положительная мера степенного роста, что |λ|2^μ(λ)<+οο, ο<μι<ι
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 511 а^ при | k | = 25 — такие числа, что эрмитова форма положительно определена, аъ при 0 ^ \k\ ^ 2s — 1 —произвольные числа (зависящие от F), α (λ) —такая функция из пространства Ζ, что α (λ) — 1 имеет при λ = 0 нуль (2s + 1)-го порядка. Пусть эрмитов функционал В (φ, ψ) таков, что для любого однородного линейного дифференциального оператора А порядка s с постоянными коэффициентами функционал ВА (φ, ψ) = see Β(Αφ,Αψ) инвариантен относительно сдвигов и положительно определен. Тогда для любых бесконечно дифференцируемых финитных функций <р(х) и ψ(χ), все моменты которых до (s — 1)-го порядка включительно равны нулю, справедливо равенство θ(φ.+)-/φ(λ)?(λ)£/μ(λ)+ J] aUJ Ф(° W *(/) <°> , где μ и ah имеют тот же смысл, что и выше. Литература: [15]. 7. Теорема Пэли — Винера — Шварца. Существует тесная связь между носителем обобщенной функции и аналитическими свойствами ее преобразования Фурье. Если обобщенная функция F сосредоточена в области G&: |х|-<^&, то ее преобразованием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа <£>. Обратно, пусть f{z) = f{zlf ..., ζη) — целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа Ό, которая возрастает при |х|->оо не быстрее некоторой степени \x\q, и (/> Ф) = \ f (х) Ψ (*) dx — соответствующий этой функции функционал в пространстве Z. Тогда преобразование фурье / функционала / сосредоточено в области Gb> Литература: [13], [67], [68]. 8. Спектральные функции для голоморфных функций. Пусть функция f(z) голоморфна в трубчатой области Тв = Rn + iB. Спектральной функцией для f(z) называют обобщенную функцию g^D' такую, что а) g(5)eMU)eS при всех у^В, б) f{z)=jg(l)e'<*-Udl
512 ГЛ X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ при всех ζ<=Γβ. Функция f(z) называется преобразованием Фурье — Лапласа спектральной функции g(l). Носитель g(l) назовем спектром функции f(z). Для того чтобы функция f(z), голоморфная в трубчатой области Гв, была преобразованием Фурье — Лапласа некоторой спектральной функции, достаточно, чтобы для любого компакта К с: В существовали такие числа m и М, что |/(ζ)|<Μ(1+|*ΙΓ> ze=Rn + iK, и необходимо, чтобы f(z) была голоморфной в выпуклой оболочке Тв и удовлетворяла вместе с производными любого порядка этой оценке. Литература: [307]. 9. Теорема об острие клина. Если носитель обобщенной функции F лежит в объединении светового конуса прошлого и светового конуса будущего, то преобразование Фурье для F равно разности двух функций Φι и Фг, одна из которых анали- тична в трубе будущего, а вторая — в трубе прошлого. Совместная граница трубы будущего и трубы прошлого — это пространство Rn- Если F обращается в нуль в некоторой области пространства /?п, то функции Φι и Ф2 являются аналитическими продолжениями друг друга. Эта .теорема называется теоремой об «острие клина». Более точная формулировка этой теоремы такова: Пусть функция f(z) голоморфна β открытом множестве T% = {z:\z\ < R, у е С}, где С — открытый конус. Пусть, далее, открытое множество G cz Rn содержится в шаре \х\ < R. Если существует f(x + /Ό), то функция f(z) голоморфна и однозначна в области Tr[}(G П Г0(С)), где О(С) —выпуклая оболочка ко- нуса С, a G — комплексная окрестность множества G, имеющая вид G= (J {*:|χ-*|<ΘΔ0(ί». Здесь θ < 1 — положительное число, не зависящее от t, G, R и f, и Ac(t) — расстояние от / до границы области G. Литература: [307]. 10. Преобразование Радона основных функций и его свойства. Преобразование Фурье функций нескольких переменных разлагается на два преобразования: на интегрирование преобразуемой функции по плоскостям /г-мерного пространства и на одномерное преобразование Фурье. Именно, если f(l)= J/(*)*'«■*><**,
§ 4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 513 где (ξ, χ) = ΙχΧχ + ... + tnxn9 το оо где положено }(l>p)=]f(*)b(p-(l,x))dx (относительно значения символа δ (ρ — (ξ, л:)) см. § 3, п. 5). Функцию f (|, ρ) называют преобразованием Радона функции f(x). Основные свойства преобразования Радона выражаются следующими формулами: 1) f(a|, α/7) = Ι α Г1 f (|, ρ) для любого α φ 0; 2) tf(* + a)f = f(6, ρ + (ξ, α)); 3) {/ (Л"'1л:))" = | det Л |f (Л'|, /?), где А — невырожденное линейное преобразование и А' — сопряженное ему преобразование; 4>{(«.-&)/«}"-<* »^: 5) ±{(а, *)/(*))' - - (а, -щ)((М. />)! ОО 6) (/.*/2г= /Ms. t)h(i,P-t)dt. —оо Функция f(x) выражается через /(!, р) по формуле Г если я нечетно, и по формуле Г \-оо / если η четно. Через Г здесь обозначена произвольная поверхность, окружающая начало, и через άω — дифференциальная форма на этой поверхности, определяемая равенством Интеграл по ρ надо понимать в смысле регуляризованного значения (см. § 2, п. 2).
514 Г Л X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Аналог формулы Планшереля для преобразования Радона имеет следующий вид: / ОО ^——————-^—— ^ ^ Г -со для пространства нечетной размерности и / JL / OO OO χ = (~0(2π)"~1)! J N I^(ξ' P№&~p5(Pi - P2)"1 dp, dp\d<* г \ — для пространства четной размерности (интеграл по рь р2 также следует понимать в смысле регуляризованного значения). Литература: [16]. 11. Преобразование Радона обобщенных функций. Пусть S — пространство бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих вместе со всеми производными, и пусть число переменных η нечетно. Через S обозначено пространство функций ψ (ξ, ρ) вида ψ (ξ, p) = f{p~l){h Ρ)> гДе /WeS. Это пространство состоит из таких функций ψ (ξ, ρ), что: 1) ψ(αξ, ар) = |α|"ηψ(ξ, ρ) для любого а ф 0; 2) функции ψ (ξ, ρ) бесконечно дифференцируемы по ξ и по ρ при ξ φ 0; 3) для любого й>0 при |р | —> оо имеет место оценка |·ψ(ξ, р)| =о(р~к) равномерно по ξ, когда ξ пробегает произвольную ограниченную замкнутую область, не содержащую точки ξ = 0; та же оценка имеет место для производных функции ψ; 4) для любого целого числа k ^ 0 интеграл / Ψ (ξ, р) Pfe dp является однородным многочленом от ξ степени k — /г + 1 (при β < π — 1 интеграл равен нулю). Каждой обобщенной функции (F, f) в пространстве S сопоставляется функционал F в S, такой, что .к-1 2 ЛП-^ггЛ»).
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 515 Этот функционал можно распространить на пространство всех функций ψ(|, р), удовлетворяющих условиям 1)—3), однако при этом он будет определен не однозначно, а лишь с точностью до линейных комбинаций функций вида ρ^α_Α_ι (ξ), где при k < η — 1 a-k-i (I) — произвольная функция, удовлетворяющая условию однородности α-Λ-ι Ш = «-^ | α Γ1 а-к-х (ξ); при &^s/i—1, кроме условия однородности, должно еще выполняться условие f flHk-i(a/V,H-i(£)d<o = 0 г для любого однородного многочлена P/t_n+1(|) степени й — я + 1. Особый интерес представляют преобразования Радона характеристических функций неограниченных областей. Дело в том, что для ограниченных областей преобразование Радона S (ξ, ρ) характеристической функции области V дает площадь сечения этой области плоскостью (ξ, χ) = р. Поэтому преобразование Радона характеристической функции неограниченной области можно рассматривать как регуляризованное значение площадей сечений этой области. Литература: [16]. § 5. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения 1. Фундаментальные решения. Пусть Г\дх) Г\дх{ ' •", дхп ) линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Фундаментальным решением, соответствующим этому оператору, называется обобщенная функция Е(х), удовлетворяющая уравнению Ρ[ηΓ-)Ε(χ) = δ(χ). Эта функция определена с точностью до решения однородного уравнения Ρ(-=— J и{х) = 0. Если μ(χ)—такая обобщенная функция, что имеет смысл свертка Ε*μ(χ), то эта свертка является решением дифференциального уравнения Ρ ί -g—1 и (χ) = μ (χ). Например, оператору Лапласа Δ = -^+ + -£-
516 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ при п > 2 соответствует фундаментальное решение — -, ттг"> j 12 \п "~" ^) i,Jrt где г = (х\ + ... + х2п) , ΩΛ — площадь поверхности единичной сферы, а при η = 2 соответствует решение —у-In —. Поэтому решением уравнения Пуассона Аи = μ при условии, что массы μ(χ) сосредоточены в ограниченной области, служит при η > 2 функция „л, уч 1 Г μ(Ει, ■■■, £*)<*Ει ··· tfbi [(*ι-ξι)2 + ... + (*/г-Ы2] 2 Пусть теперь уравнение содержит время t. Пусть Р[-я-» ■лг) —- линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, имеющий относительно t порядок га. Соответствующим ему фундаментальным решением задачи Коши называют обобщенную функцию E(xyt) такую, что P[-g—, ~дГ)£(*> 0 = 0 и выполняются начальные условия £<*.0>=0 ^Г>=о, """Ι*01-«и- Решение задачи Коши для уравнения р(-^-1-^r)u(xf t) = Q с начальными условиями «ф,о)=о,..., ^:2:ifo)=o, имеет вид и (х, t) = E (x, t) * wm^! (λ:) (при условии, что свертка имеет смысл). Решение задачи Коши с начальными условиями и(х ω-O dm-2u(x.Q) „.,, ы дт-1и(х,0) _Q κι*, υ; —υ, ...,-^^—~«m-2W. ^pTi — υ также можно выразить через функцию Е(х, t). Для этого полагают v{x, t) = E{x, t)*um..2(x) и обозначают йт-{{х) = дт-^(х,о) г = —7т^\ · Тогда решение указанной задачи Коши имеет вид δυ (#, t) n , ,v / ν
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 517 Аналогично получается решение задачи Коши, если отлична от нуля производная (т -- £)-го порядка. Решение задачи Коши в общем случае является суммой таких решений. Для одномерного уравнения теплопроводности -^- = -|-^ 01 ОХ фундаментальное решение задачи Коши имеет вид Поэтому решение задачи Коши при начальном условии и(х, 0) = = и0(х) дается формулой ι Γ -£■ и(х, f) = E(x, t) * и0 (χ) — у— J e * «о (х — |) d%. —оо Для волнового уравнения ~f72"==~rT Фундаментальное решение задачи Коши имеет вид E{x>t)Ji при "К'· 10 при \x\>t. Пользуясь им, легко получить решение задачи Коши для этого уравнения в форме Даламбера. Отметим следующее утверждение: Если E(xtt) является фундаментальным решением задачи Коши для дифференциального уравнения ди(х, t) п(. д \ , ,ч Λ то функция ί ° при t < 0, /) при t ^ 0 является фундаментальным решением для оператора -гт — P\i -3—)f τ· е- удовлетворяет уравнению <"ψ±-ρ(ΐ£)Εο(χ,ί)-6(χ,ί). Определение функции E0(x,t) означает, что для любой функции ψ(χ,ί) из пространства К оо (Е0(х, ή, ψ (χ, t))=j (E (χ, t), φ {χ, t))dt.
518 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В левой части равенства Е0(х, t) применяется к основной функции двух переменных <р(х, t), в правой части под знаком интеграла E(x,t) при каждом фиксированном t>0 применяется к основной функции одного переменного φ(χ, t). Литература: [12], [67], [68]. 2. Фундаментальные решения для некоторых дифференциальных уравнений. Для итерированного оператора Лапласа Δ™ фундаментальное решение имеет вид [ (_i)« (2n)n c4f 0 r2m-nlnr, если 2га > η и η — четное, Е{х) = \ {—\)т{2п)пС-2тг2т-п в остальных случаях, где Cx = 2x+V^r(r(^+^2) и Cuf- вычет Ск при Я = -2т. Для волнового уравнения д2и а2и , , д2и dt2 дх\^ " ' ^ а,* в нечетномерном пространстве, η = 2m + 3, га = 0, 1, 2, фундаментальное решение задачи Коши дается формулой ясо-У^Й-Г^ -о (Ω„_ι — площадь поверхности (п—1)-мерной единичной сферы). Поэтому при начальном условии «(*, о)=о, ϋί£«.-Ν*) решение задачи Коши имеет вид и{х, t) = /Έ 1 ( d \m b(r~-t) ., ч Ί /π" Ω„ / d \m 4п-2жж /А где Λί<(/) означает среднее от функции f(x — ξ) по сфере 111='· Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в n-мерном пространстве дается формулой \Х\* I / * X" Е(х, *) = · при f<0. / 1 \" -^
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 519 Фундаментальные решения для дифференциальных операторов вида Lh, где U L·^ дхадх»' α,β=1 ' имеют следующий вид: 1) Если η — нечетное число, или если η — четное число и k < η/2, то Е{{х) = (-1)к К- Ч (Ρ+ίΟ) 2 . 4k(k-~ 1)!π2 где η η р= Σ 8цх*ху Σ§α^ = δΙ α, ρ=ι ρ=ι (относительно обозначений, связанных с квадратичными формами Я, см. § 3, п. 2). Второе фундаментальное решение имеет вид Е2(х) = Е{{х). 2) Еоли η — четное число и k ^ az/2, to Е2 (х) = Е1 (х). Литература: [12]. 3. Построение фундаментальных решений для эллиптических уравнений. Пусть Ρΐ-^—)-—дифференциальный оператор порядка 2т с постоянными коэффициентами, Р0— главная часть этого оператора, содержащая лишь производные порядка 2т. Оператор Ρ называется эллиптическим, если при замене в Ро символов -д—, ..., -г— переменными ωι, ..., ωη получается ΟΧ ι ОХп многочлен Р0( ωι, ..., ωη), не обращающийся в нуль при ω Φ О (ω = (ωι, . . . , ωη)). Для получения фундаментального решения Е(хи х%, ..., хп), соответствующего эллиптическому оператору Р, заменяют уравнение р(£)Е{х) = й(х) уравнением «■№)■
520 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ После этого разлагают обобщенную функцию г1 на плоские волны (см. § 3, п. 1) и решают уравнения ρ(JL\ Г| — Ιωι*ι + ··· +ω„*„|λ Ω„π Γ 2-^/λ + Ι т Интегрируя эти решения по ω и полагая λ = — /г, получают искомое фундаментальное решение (поскольку при λ = — η 2rx обобщенная функция 7Т~г—τ равна б(х)). Таким путем ω„γ(Α±^) получают Ε (*,, ..., хп) = J" οω (ω^! + ... + ωηχη, — η) dQ, Ω где Ω — единичная сфера, οο οω(|, λ) = ^τ /ββ-η, ω) | η Γ 6?η, Ω„π Γ ^—g-J и />(«>, ^- cd„^)g (|, со) = 6(|). В случае нечетного числа' измерений Б{* xJ-cJi^JH-rfQ, Ω ё где /г-1 с,- (-!) 2 Qn (2π) 2 1 · 3 ... (л — 2) Для однородного эллиптического дифференциального оператора (Р = Яо) решение уравнения дается формулой и (г у ι— * Γί Ιω^ι+ ... +ω»*„|λ+2"' «4*ι, ..., *nj ^Π J\ (λ+1) ...(λ + 2/n) "*" й„„^-г(А±1) « + ft (Σ "^'J } ρ (.„f..«,)·
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 521 где Ql (S) = ^j (26- 1)!(2т-2£)!(ЯЧ-26) ' При λ = — η получаем фундаментальное решение, соответствующее оператору Р. В фундаментальном решении можно оставить лишь те члены многочлена <2χ(ξ), которые нужны, чтобы получаемая функция не имела полюса при λ = — п. Если η нечетно и 2га ^ п, то фундаментальное решение имеет вид Е(хи ..., хп) = п-\ = Ь^ Γ|ω,χ1+ ... +»ιΛιΓ- «* 4(2л)Р~1(2т-п)\ J р (®ι· ···» ω«) Если /г четно и 2га ^ /г, то Υ"1 £(*!,-■■,*„)= (2я)(7(2}т-л)| J 1 «>ι*ι + ... +соЛ|2т-лХ Ω Χ1η|ωΛ+ ... +<*nXn\P((uif®tt(un) Если п нечетно и 2т < гг, то .с \Λ^ι, ..., хп) = /г-1 2(2π) 2 Ώ и если /г четно и 2т <п, то Ε* \Χ\ι . · · > -^«; == ω„) ' (_1)2 (n-2m-l)t f. , , ,-η+аи rfQ Ω Фундаментальное решение является обычной функцией, ана- литичной при χ Φ О и удовлетворяющей в окрестности начала координат соотношениям Г О (r2m"rt In г), если /г четно и 2га >п, / [ 0(г2т~п) в остальных случаях. При 2т > η функция £(#) имеет в начале координат непрерывные производные до порядка 2га —п— 1. Литература: [12].
522 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 4. Фундаментальные решения однородных регулярных уравнений. Линейный дифференциальный оператор Ρ (-^—) с постоянными коэффициентами называется регулярным, если он однороден (т. е. все члены являются производными одного и того же порядка т) и если на конусе Ρ(ωι, ..., ωη) = 0 градиент функции Я(соь ..., ωη) не обращается в нуль при ω φ 0. Для регулярного оператора фундаментальное решение имеет вид щх{, ...,хп) — J p{ ии } , Ω где Ω — единичная сфера, а функция fmn{x) имеет следующие значения: 1) если η четно и т ^ м, то JL-i fmn (х) = (2π)Λ (m - п)\ *'*"" ln ' Х '; 2) если η четно и т < п, то "· ι 1тп\Х)— (2я)я 3) если η нечетно и m ^ /г, то 2 уГП — П· /т/г (X) = л/п \nJ, Хт'п Sign χ; 4(2к)п^1 (т — п)\ 4) если η нечетно и т < м, то /г—1 'w,lW 2(2π)^1 W' При этом интеграл понимается в смысле регуляризованного значения: Е(х{, ..., ^) = lim£8(.\;1, ..., хп), ε-»0 где inn (Σ χ№)№ /у χ \— [ fmn ^ */е ;№, . .., хп) — j ρ((ΰΐ) ^ Здесь через Ω8 обозначено множество точек на единичной сфере, для которых | Ρ (coi, ..., ωη) Ι > ε. Литература: [12].
§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 523 5. Фундаментальное решение задачи Коши. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами p(JL JL д \ _п порядка т по переменному L Пусть дифференциальный оператор ρ (A JL\—p(JL А А\ ^ω [dt ' dl I ~ и \dt ' ω' д\ ' · · ·' ω" dl I таков, что для уравнения задача Коши корректна. Тогда фундаментальное решение задачи Коши для исходного уравнения имеет вид Ε (t, χ) = J υω (f, x{(u{ + ... + χηωη, — η) rfQ, где οο »„(<, ξ, λ)= ^ /θω(Μ-η)|η|λίίη, Ω„π 2 γ(*+1) - a Gffl(ii ξ)—фундаментальное решение задачи Коши для уравнения Ρω("3Γ» 1ϊ")ϋ = 0, В случае нечетного числа переменных получается более простая формула: Ωηπ 2 (η- 1)! й Однородный линейный оператор с постоянными коэффициентами <Р(-зт> -β~τ > ...» -*—) называется гиперболическим, η если при любых значениях со., ..., со , 2ωΙ = 1> уравнение ш-го порядка относительно о: Ρ(ϋ, ωΜ ..., ω„) = 0, имеет m вещественных и различных корней. Решение гиперболического уравнения
524 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ при начальных условиях dku (xt 0) dtk = 0, 0<fe<m —2, дт~1и(х, 0) 2г^ дГ т—\ имеет вид и{х{, ..., дгя> t) = Г- χ X #=о е- ■ r(A±i) + /|λ+«-1 (λ + 1) (λ + 2) ... (λ + m - 1) где f ί it Γλ-η ΙΣ чи+* Γ""1 sign (Σ * α + 'Γ1 , J Ι (Я+ 1)(λ + 2) ... (λ + m-l) "Τ" " =ο + QV—ίϊΤ— Qx(6)= Σ ω, fcm-2fe-l (2£ — 1)! (m - 2/fe - 1)! (λ - 2k) ' через Я (ξι, ,.., ξη) обозначена функция Р(1, ξι, ..., ξη) и через ω — выражение Жг | grad Я | sign I ^ ξΛ -^ц- (rfa — элемент поверхности Я = 0). При λ = — η получается фундаментальное решение задачи Коши. Если η нечетно, то решение имеет вид я + 1 2 -c(#i, ...» #я) = я_! — X 2(2π) (т—п — 1)! X J (Σ **δ* + /Г-*"1 [sign (J] xft|fc + ί)] m-1 ω; #=o если же η четно, то решение имеет вид Е{х» ..., хп) = _ 2(-1) (2л)л(т-л-1)! J (Σ *Л + Τ""-11" #=o Σ xkh +t 2uxkh ω
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 525 (формулы Герглотца — Петровского). Когда порядок m уравнения меньше, чем п— 1, формулы для фундаментального решения задачи Коши приобретают вид //=0 при нечетном η и η F(Xx )=(-D2(tt-m)l Г hKXx Хп) (art» J при четном п. Все интегралы в этих формулах понимаются в смысле регу- ляризованного значения. Л и тер ату ра: [12]. § 6. Обобщенные функции в комплексном пространстве 1. Обобщенные функции одного комплексного переменного. При рассмотрении функций комплексного переменного используются операторы dz ~ 2 \ дх 1 ду ) ' dz ~ 2 \дх + Ь ду ) ' где ζ = χ + iy. Например, ряд Маклорена пишется так: где положено /"·"<·■ о-·*^ ■ ^^ΗΨ·1^)- Для аналитических функций ^- = 0 (это следует из условий Коши — Римана). При интегрировании функций f(z, z) пользуются дифференциальной формой dzdz = — 2i dxdy. Пусть D — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций φ (ζ, ζ). Пусть λ и μ — такие комплексные числа, что η = λ — μ — целое число. Тогда при Ι^λ + μ) >— 2 сходящийся интеграл (ζλζν, (р) = у ζλζμφ(ζ, z)dzdz
526 ГЛ. X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ определяет обобщенную функцию ζλζ^ в D. Эта функция однородна, а именно: для любой функции φ(2, ζ) из D справедливо равенство ίζλζ*\ φί^-, -|)) = αλ+1αμ+1(ζλζμ, φ (г, г)). При Re(X + μ) <. —2 обобщенная функция ζλ£μ определяется с помощью аналитического продолжения по 5 = λ+μ: _ Г* т—1 ,, ,. (ζ4»,Ψ) = ± J z4» U {ζ, ζ)- J Ф fe,!,°,0)^ |ζ|<1 L k+l=0 ι* — т—^ (ь 1\ +4 j z4^{z,z)dzdz+2n 2 Ш|(д;+(^+2), |ζ|>1 fc+/=0 где Re(K + μ) > — т — 2. Обобщенная функция ζλ£μ регулярна всюду, за исключением точек λ, μ = — 1, — 2, ... В этих точках функция ζλ£μ, как функция от s = λ + μ при фиксированном η = λ — μ, имеет простые полюсы. При этом dzdz + Выч ζλζ» = 2π^*+1 *{k'l) μ=-/-1 kill 6кт'»(г, г), где /s \ /л m s(fe, /) / -\ dk l6 (Ζ, Ζ) (δ, φ) = φ (0, 0) и δ[ ' (г, г) = - / _, Нормированная обобщенная функция / s+l"l + 2\ является целой аналитической функцией от s = λ + μ при фиксированном η = λ— μ. При λ = — & — 1, μ, = — / — 1 имеем *V Tts + \n\ + 2\ π(-1)*+/+//1 x{k.l) λ=—fe—1 μ=-/- 1 kill 6"'"(г, г), где / = min (k, I). Обобщенная функция z-k-1 является частным случаем ζλζμ. Ее можно определить равенством При этом V ' At dzk d(z-k~l) dz .(-1)»-£-βΛ0)(ζ,*) *l
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 527 (производная не равна нулю, так как г~к~^ не аналитична в точке ζ = 0). Так же, как и в вещественном случае, вводятся присоединенные однородные функции ζλζ1λlnm \z\: (z*z*4nm|z|, φ) = -?τ J z*z*4nm|z|(p(z, z)dzdz, где интеграл надо понимать в смысле регуляризованного значения. Присоединенной однородной функцией является и функция L i+/=o -Θ(Ι-Ι,Ι) Σ ^f<^> i+i=k+i dzdz. Преобразованием Фурье функции φ (ζ, ζ) называют функцию φ (α;, а;) = γ φ (ζ, ζ) eiRez™ dz dz. Преобразование Фурье обобщенной функции F определяется равенством (Λ φ) = 4π2(Λ φ,), где φ, (ζ, ζ) = φ(—ζ, —ζ). Имеет место формула ζλζμ _ 9λ+μ+2 .| λ-μ I w^'1 w"K""1 r/s + |/i| + 2- ~Z Ш L) r(^lil)' где 5 = λ + μ, η = λ — μ. Так же вводятся обобщенные функции вида ^λ(ζ)/μ(ζ), где /(ζ)—мероморфная функция и η = λ — μ — целое число. Если финитная функция φ (ζ, ζ) сосредоточена в области, содержащей один нуль кратности k функции f(z) и не содержащей полюсов этой функции, то интеграл (fT, φ) = γ { f" (*> fμ W Φ (*' *>rf* dz при заданном λ— μ сходится в области Яе(Я + μ) > 0. При Κ6(λ + μ)<0 его значение определяют путем аналитического продолжения по s = λ + μ. Единственными особенностями этого интеграла как аналитической функции от λ и μ являются простые полюсы в точках (λ, μ) = (—p/k, —#/&), ρ, q = 1,2, ... (λ — μ — целое).
528 ГЛ X ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Точно так же, если функция φ (ζ, ζ) сосредоточена в области, содержащей один полюс порядка / функции f(z) и не содержащей нулей этой функции, то интеграл сходится при Ι^λ+μ) <0. При Ι^λ + μ) >0 его значение определяется путем аналитического продолжения по 5 = λ + η. Единственными особенностями этого интеграла как функции от λ и μ являются простые полюсы в точках (λ, μ) = (ρ//, q/l), p, q = 1,2, ... В общем случае интеграл определяют путем разбиения функции φ (ζ, ζ) на конечное число слагаемых, каждое из которых сосредоточено в области, содержащей не более одного нуля или полюса функции f(z). Литература [16]. 2. Обобщенные функции т комплексных переменных. Пусть S — поверхность в m-мерном комплексном пространстве, задаваемая уравнением Р(г)*Е*Р(гх„..., zm) = 0*), где Ρ (ζ)—бесконечно дифференцируемая функция от ζ и ζ. Предполагается, что дифференциальная форма dP dP не обращается в нуль на поверхности 5. Дифференциальную форму άω порядка 2т — 2 определяют соотношением (1)" dz dz = у dP dP άω и полагают (δ(Ρ), φ)= J φάω. Здесь приняты обозначения \j) dz dz = \^J dzx dzx ... dzm dzn Пусть ' dPkdPl Для этой обобщенной функции остаются справедливыми свойства, установленные в вещественном случае (см. § 3, п. 5): *) Чтобы не усложнять записи, функции т комплексных переменных часто обозначают через Ρ (ζ) вмеето Ρ (ζ, г).
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 529 1)-^-δι ;(Р) = —δ (Ρ) + -^-δ (Ρ), и аналогичная формула для -^r~ 6ik'l) (Р); 2) Ρδ(Ρ) = Ρδ(Ρ) = 0, P6(fe,/)(P) + fe6(^1,/)(P) = 0, P6(fe,/)(P) + Z6(fe'/"1)(P) = 0; 3) если поверхности Р = 0, Q = 0 не имеют особых точек и не пересекаются, то δ (PQ) - Ρ~ψ-ιδ (Q) + Q~lQ-l6 (P). В частности, если функция α (ζ) не обращается в нуль, то 6{аР) = а-1а-1Ь{Р). Если функция Ρ аналитична (-р- = 0), то δ(*·,)(αΡ) = α-*-|δ-'-|δ(*·/)(Ρ) для всех функций α (г), нигде не обращающихся в нуль. Пусть G(z) —целая аналитическая функция от т комплексных переменных zu ..., zm. Если λ— μ == η — целое число, то полагают (Ολβμ, q>) = (//2)w J" σλ(ζ)<3μ(ζ)φ(ζ, z)dzdz, где ^,λ^Γμ _ , ρ ,λ+μ i (λ-μ) arg G Если поверхность G (ζ) = 0 не имеет особых точек, то единственными особенностями обобщенной функции GXG^ рассматриваемой как функция от λ, μ, являются простые полюсы в точках (λ, μ) = (—Λ— 1, —/—1), k, / = 0, 1, ..., с вычетами Выч GKG» = (-l)h+l -я^6{к-1)(в). μ=-/-1 Пусть Ρ (ζ)—невырожденная квадратичная форма от т комплексных переменных: m
530 ГЛ. X. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Рассматривается (ρλρ», φ) = (//2)m J" Ρλ {ζ) Ρμ (^) φ (г, ζ) rfz dz. Этот интеграл сходится_при Re (λ 4- μ) > 0. Чтобы выразить Ρλρν при 1?е(Я+М<) < 0» вводят дифференциальные операторы m m -» * г- V ϊϋ_ϋ_ **- Σ «"таг· ь- Σ ? дгг dz где ί. /=ι ' 7 i./-i ' 7 2 *''*/* = **· Хогда при Ие(Я+ μ) > — ft — / определяют Р\Р^ формулой ΡλΡμ = (;(λ, ft) С (μ, /) Ζ^β>Ρλ+*Ρμ+/, где С (ν, ρ) = {4'(ν + 1) ... (ν + ρ) (ν + m/2) ... (ν + т/2 + ρ - Ι)}"1. Обобщенная функция Ρ Ρα имеет две серии особых точек: (λ, μ) = (—ft - 1, —/ — 1), ft, / = 0, 1, 2, ... И (Я, μ) = (— т/2 — ft, — т/2 — /), ft, Ζ = 0, 1, ... Если точка_ (λ, μ) принадлежит только одной из этих серий, то в ней Ρ Ρμ имеет простой полюс; если же (λ, μ) принадлежит обеим сериям, то Ρ Ρμ имеет в ней полюс порядка 2. В случае, когда точка Л = — ft—- 1, μ = —/—1 принадлежит только первой серии, Выч Ρ Ρμ есть обобщенная функ- ция, сосредоточенная на поверхности Р = 0. Определяют 5(U,(P)sl(-l)*+,*!/| Выч Ρ'Ρμ. μ=-/-1 Если точка (λ, μ) принадлежит только второй серии, т. е. Я = —-га/2 — ft, μ = — т/2 — /, причем га — нечетное число, то Выч ΡλΡμ в этой точке равен m-l / η 2 n-m-2k-2l+\m+\ u . _i=Ji 2^ 2_ L* L£, δ (г)> Ш!Г(^+*)г(^ + /)|Д| где Л — дискриминант квадратичной формы Р.
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 531 С помощью обобщенных функций вида ΡλΡμ можно построить фундаментальные решения уравнений Lku = f{z), где Σ JI д2 дг, дг, ι, /=i i 1 и матрица \\gli\\ не вырождена. Именно пусть № т р = ^84**1* где |^% = ^· В случае пространства нечетной размерности фундаментальным решением является функция т—\ ,-,) ■ w*-»r(f)r(.f-.)ui в_-Wir. пт+х (ft - 1)! *= .m+.:. ... —-—^ ^-«Γ _»1,д, _^+й__^ Д-._- \ ^ / ρ 2 Ύ*ρ 2 Если m — четное число и k ^ m/2, то фундаментальное решение имеет вид ■у Наконец, если m — четное число и β < -γ, то фундаментальное решение имеет вид т—\ 4 я"1-1 (ft-1)1 V ' Литература: [16].
БИБЛИОГРАФИЯ Монографии и учебники по функциональному анализу 1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1966. 2. Б а н а х С, Курс функционального анализу, «Радянська школа», КиТв, 1948. 3. Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, «Наукова думка», Кшв, 1965. 4. Бродскичй М. С, Треугольные и жордановы представления линейных операторов, «Наука», 1969. 5. Б у ρ б а к и Н., Топологические векторные пространства, «Наука», 1966. 6. Вайнберг М. М* Вариационные методы исследования нелинейных операторов, Физматгиз, 1956. 7. В а й н б е ρ г Μ. Α., Треногий В. Α., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, «Наука», 1969. 8. Вулих Б. 3., Теория полуупорядоченных пространств, Физматгиз, 1961. 9. Вулих Б. 3., Введение в функциональный анализ, изд. 2-е, «Наука», 1967. 10. Гальперин И., Введение в теорию обобщенных функций, ИЛ, 1954. 11. Гельфанд И. М., Райков Д. Α., Шилов Г. Е., Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1960. 12. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 1: Обобщенные функции и действия над ними, изд. 2-е, Физматгиз, 1959. 13. ГельфандИ. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 2: Пространства основных и обобщенных функций, Физматгиз, 1958. 14. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 3: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1958. 15. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции, вып. 4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, Физматгиз, 1961. 16. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции, вып. 5: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений, Физматгиз, 1962. 17. Гельфанд И. М., Граев М. И., Пят ец к и й-Ш а п и ρ о И. И., Обобщенные функции, вып. 6: Теория представлений и автоморфные функции, «Наука», 1966. 18. Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный линейный анализ в задачах, «Наука», 1969. 19. Гофман К., Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, 1963. 20. Г о χ б е ρ г И. Ц., К ρ е й н М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, «Наука», 1965. 21. Го хб ер г И. Ц., Крейн М. Г., Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, «Наука», 1967. 22. Д а л е ц к и й Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, «Наука», 1970.
БИБЛИОГРАФИЯ 533 23 ДанфордН., Шварц Дж. Т., Линейные операторы (общая теория), ИЛ, 1962. 24. Д а н φ ο ρ д Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы (спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве), «Мир», 1966. 25. Дей Μ. Μ., Нормированные линейные пространства, ИЛ, 1961. 26. Дьедонне Ж., Основы современного анализа, «Мир», 1964. 27. И о с и д а К., Функциональный анализ, «Мир», 1967. 28 Канторович Л. В., В у л и χ Б. 3., Π и н с к е ρ А. Г., Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, Гостехиздат, 1950. 29. Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959. 30. К о л м о г о ρ о в А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, «Наука», 1968. 31. Красносельский Μ. Α., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, Гостехиздат, 1956. 32. Красносельский Μ. Α., Ρ у τ и ц к и й Я. Б., Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, 1958. 33. К ρ а с н о с е л ь с к и й Μ. Α., Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, 1962. 34. Красносельский Μ. Α., 3 а б ρ е й к о П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, «Наука», 1966. 35. Красносельский Μ. Α., Вайникко Г. М., 3 а б ρ е й к о П. П., Ρ у τ и ц к и й Я. Б., С τ е ц е н к о В. Я., Приближенное решение операторных уравнений, «Наука», 1969. 36. К ρ е й н С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, «Наука», 1967. 37. Крейн С. Г., Линейные.уравнения в банаховом пространстве, «Наука», 1971. 38. Л ю м и с Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, 1956. 39. Люстерник Л. Α., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, изд. 2-е, «Наука», 1965. 40. Микусинский Я., Сикорский Р., Элементарная теория обобщенных функций, вып. 1, ИЛ, 1959. 41. Микусинский Я., Сикорский Р., Элементарная террия обобщенных функций, вып. 2, ИЛ, 1963. 42. Μ и с ю ρ к е е в И. В., Введение в нелинейный функциональный анализ, Пермь, 1968. 43. Морен К-, Методы гильбертова пространства, «Мир», 1965. 44. Η а й м а р к Μ. Α., Нормированные кольца, «Наука», 1968. 45. Η а й м а р к Μ. Α., Линейные дифференциальные операторы, изд. 2-е, «Наука», 1969. 46. Π е л ч и н с к и й Α., Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения к линейной топологической классификации пространств непрерывных функций, «Наука», 1970. 47. Π и ч Α., Ядерные локально выпуклые пространства, «Мир», 1967. 48. Π л е с н е ρ А. И., Спектральная теория линейных операторов, «Наука», 1965. 49. Райков Д. Α., Векторные пространства, Физматгиз, 1962. 50. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1964. 51. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж., Топологические векторные пространства, «Мир», 1967. 52 Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. V, Физматгиз, 1959. 53. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Изд. ЛГУ, 1950.
534 БИБЛИОГРАФИЯ 54. Фридрихе К-, Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве, «Мир», 1969. 55. X а л и л о в 3. И., Основы функционального анализа, Баку, 1949. 56. X а л м о ш П., Гильбертово пространство в задачах, «Мир», 1970. 57. X а л м о ш П., Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, 1963. 58. X и л л е Э., Φ и л л и π с Р., Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, 1962. 59. Шилов Г. Е., Математический анализ. Конечномерные линейные пространства, «Наука», 1969. 60. Эдварде Р., Функциональный анализ (Теория и приложения), «Мир», 1969. 61. В u t ζ е г P. L., В е г е η s HM Semi-Groups of Operators and Approximation, Springer-Verlag, 1967. 62. G о 1 d b e г g S., Unbounded linear operators, Theory and Applications, London — Toronto — New York, 1966. 63. Dixmier J., Les algebres d'operateurs dans l'espace Hilbertien, 2ed., Gauthier — Villars; Paris, 1969. 64. Dixmier J., Les C*-algebres et leur representations, 2 ed., Gauthier — Villars; Paris, 1969. 65. К a t о Т., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966. 66. Przeworska-Rolewicz D. and Rolewicz S., Equations in linear spaces, PWN, Warszawa, 1968. 67. Schwarz L., Theorie des distributions, I, Hermann, Paris 1950. 68. Schwarz L., Theorie des distributions, II, Hermann, Paris, 1951 Дополнительная литература к главе I 69. Г а п о ш к и н В. Ф., О базисах суммирования, Научные доклады Высшей школы (ф.-м. науки), № 2 (1958), 24—27. 70. Г е л ь φ а н д И. М., Замечание к статье Н. К. Бари «Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве», Уч. зап. МГУ 148, Математика, 4 (1951), 224—225. 71. Г уте ρ Р. С. и У л ь я н о в П. Л., О новых результатах в теории ортогональных рядов, Обзорная статья в книге [75]. 72. Дворецкий Α., Некоторые результаты о выпуклых телах в банаховых пространствах, сб. переводов. «Математика» 8, № 1 (1964), 70—102. 73. К а д е ц М. И., О слабой и сильной сходимости, ДАН СССР 122, 1 (1958), 13—16. 74. К а д е ц М. И., Доказательство топологической эквивалентности всех сепарабельиых бесконечномерных пространств Банаха, Функц. анализ и его прилож. 1, 1 (1967), 61—70. 75. К а ч м а ж С. и Ш τ е й н г а у з Г., Теория ортогональных рядов, Физматгиз, 1958. 76. Козлов В. Я., Об одном обобщении понятия базиса, ДАН СССР 73, (1950), 643—646. 77. К о л м о г о ρ о в А. Н. и Тихомиров В. М., ε-энтропия и ε-емкость множеств в функциональных пространствах, УМН 14: 2 (1959), 3—86. 78. Л е н г С, Алгебра, «Мир», 1968. 79. Μ и л ь м а н В. Д., Геометрическая теория пространств Банаха, УМН 25:3 (1970), 113—174. 80. Μ и л ю τ и н Α. Α., Изоморфизм пространств непрерывных функций на компактах континуальной мощности, Теория функций, функц. анализ и их прилож. 2 (1966), 150—156. 81. Митягин Б. С., Об изоморфизмах пространств гладких и голоморфных функций [46] (дополнение). 82. Π е τ у н и н Ю. И., Критерий рефлексивности банахова пространства, ДАН СССР 140 : 1 (1967), 56—58.
БИБЛИОГРАФИЯ 535 83. Τ и м а н Α. Φ., Теория приближения функций действительного переменного, Физматгиз, 1960. 84. X е н к и н Г. М., Неизоморфность некоторых пространств функций от разного числа переменных, Функц. анализ и его прилож., 1, 4 (1967), 57—68, 85. X е н к и н Г. М., Банаховы пространства аналитических функций в шаре и в бицилиндре неизоморфны, Функц. анализ и его прилож. 2, 4 (1968), 82—91. 86. В ana ch S., Mazur S., Zur Theorie der linearen Dimension, Studia Math. 4 (1933), 100—112. 87. В ess a ga C, Pelczynski Α., Spaces of continuous functions (IV), Studia Math. XIX (1960), 53—62. 88. В e s s a g a C. and Pelczynski Α., The estimated extension theorem, homogeneous collections and skeletons, and the topological classification of linear metric spaces and convex sets, Fundamenta Math. LXIX (1970), 153—190. 89. Cambern M., A generalized Banach-Stone theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 17, 2 (1960), 396—400. 90. Grothendick Α., Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Mem. Amer. Math. Soc, № 16 (1955). 91. James R. C, A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate, Proc. Nat. Acad. Sci (USA) 37 (1951), 174—177. 92. James R. C, Characterizations of reflexivity, Studia Math. XXIII, № 3 (1964), 205—216. 93. К1 e e V. L., Invariant metrics in groups, Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 484—487. 94. Lindenstrauss J., On nonlinear projections in Banach spaces, Mich. Math. Journ. 11 (1964), 263—287. 95. Lindenstrauss J., Pelczynski Α., Absolutely summing operators in Lp-spaces and their applications, Studia Math., XXIX (1968), 275—326. 96. Ρ e 1 cz у η s k i Α., On simultaneous extension of continuous functions, Studia Math. XXIV (1964), 285—304. 97. Phillips R. S., On linear transformation, Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940), 516—541. 98. Shatten R., A theory of cross-spaces, Ann. Math. Studies, № 26 (1950), Дополнительная литература к главе II 99. В л а д и м и ρ о в В. С, Уравнения математической физики, «Наука», 1967. 100. Забрейко П. П., Нелинейные интегральные операторы, Труды сем. по функц. ан., Воронеж, в. 8 (1966), 1—148. 101. Крейн С. Г., Петунии Ю. И, Шкалы банаховых пространств, УМН 21 : 2 (1966), 89—168. 102. Лионе Ж- Л., Μ а д ж е н е с Э., Неоднородные задачи и их приложения, «Наука», 1971. 103. Л о з а н о в с к и й Г. Я., О проекторах в некоторых банаховых структурах, Матем. заметки 4, 1 (1968), 41—44. 104. Мадженес Э., Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных, УМН 21, 2 (1966), 109—218. 105. Митягин Б. С, Шварц А. С, Функторы в категориях банаховых пространств, УМН 19 :2 (1964), 65—130. 106. Η и к о л ьск и й С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, «Наука», 1969. 107. Райков Д. Α., Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике [51] (приложение 1). 108. Райков Д. Α., Некоторые линейно-топологические свойства пространств О и Dr [51] (приложение 2).
536 БИБЛИОГРАФИЯ 109. Семенов Ε. Μ., Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций, ДАН СССР 156, 6 (1964), 1292—1295. 110. Хавин В. П., Пространства аналитических функций, Итоги науки, Ма- тем. анализ 1964, Москва, 1966. 111. Шварц Л., Математические методы для физических наук, «Мир» 1965. 112. Шилов Г. Е., Математический анализ, Второй специальный курс, «Наука», 1965. ИЗ. Lor en z G. G., Some new functional spaces, Ann. Math. 51 (1950), 37—55. 114. L u xem b u r g W. A. J., Zaanen A. C, Notes on Banach function spaces, KonigL Proc. Acad. Sci. Amsterdam 66, 2 (1963), 135—153. Дополнительная литература к главе III 115. Агмон С, Дуглас Α., Ниренберг Л., Оценка решений эллиптических уравнений вблизи границы, ИЛ, 1962. 116. А гр а н о в ич М. С, Виши к М. И., Эллиптические граничные задачи с параметром и параболические задачи общего вида, Успехи матем. наук 19:3, (1964), 53—161. 117. Атья Μ. Φ., Алгебраическая топология и эллиптические операторы, Сб. переводов «Математика» 12:5 (1968), 139—150. 118. В о лев и ч Л. Р., Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем, Матем. сб. 68, 3 (1965), 373—416. 119. Гельфанд И. М., Abstrakte Funktionen und Lineare Operatoren, Матем. сб. 4 (46) (1938), 235—286. 120. Гольдештейн Л. С, Гохберг И. Ц., Маркус А. С, Исследования некоторых свойств линейных ограниченных операторов в связи с их ^-нормой, Уч. зап. Кишиневского ун-та, сер. ф.-м., 29. (1957), 29—36. 121. Гохберг И. Ц., К ρ е й н М. Г., Основные положения о дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных операторов, УМН XII, 2 (1957), 43—118. 122. Грибанов Ю. И., Непрерывность линейных интегральных операторов в метризуемых векторных топологических пространствах измеримых функций, Уч. зап. (Казанск. у-т), Функциональный анализ и теория функций, сб. 4 (1967), 110—113. 123. Д и к а р е в В. Α., Мацаев В. И., Точная интерполяционная теорема, ДАН СССР 168 : 5 (1966), 986—988. 124. Забрейко П. П., Исследования по теории интегральных операторов, Докторская диссертация, Воронеж, 1968. 125. Забрейко П. П., Паволоцкий А. И., К теории уравнений Гам- мерштейна, Укр. матем. ж. 22, 2 (1970), 150—162. 126. Забрейко П. П., К о шел ев А. И. и др., Интегральные уравнения СМБ, «Наука», 1968. 127. Зигмунд Α., Тригонометрические ряды, т. II, «Мир», 1965. 128. Кальдерон А. П., Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод, Сб. переводов «Математика» 9:3 (1965), 56—129. 129. Короткое В. Б., Об интегральных операторах с ядрами типа Карле- мана, ДАН СССР 165, № 4 (1965), 748—751. 130. Μ и τ я г и н Б. С, Интерполяционная теорема для модулярных пространств, Матем. сб. 66 : 4 (1965), 473—482. 131. Михлин С. Г., Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Физматгиз, 1962. 132. Петре Ж., О новом подходе к граничным задачам для эллиптических уравнений, Сб. переводов «Математика» 7:1 (1963), 43—65. 133. Радон И., О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях, УМН, в. 1 (\9Щ, 200—227.
БИБЛИОГРАФИЯ 537 134. Ρ о йт бе ρ г Я. Α., Теорема о гомоморфизмах, осуществляемых эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкости обобщенных решений, Укр. матем. ж. 17:5 (1965), 122—129. 135. Седа ев Α. Α., Структура некоторых линейных операторов, Матем. иссл. 5 : 1(1970), 166—175. 136. Семенов Ε. М., Одна новая интерполяционная теорема, Функц. анализ и его прилож. 2, в. 2 (1968), 68—80. 137. С о л о н н и к о в В. Α., Об общих краевых задачах, эллиптических в смысле А. Даглиса — Л. Ниренберга, I, Изв. АН СССР, сер. мат. 28, 3 (1964), 665—706; II, Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова, ХСП, «Наука» (1966), 233—297. 138. Хард и Г. Г., Литтяьвуд Д. Е., Полиа Г., Неравенства, ИЛ, 1948. 139. X а у с д о ρ φ Φ., Теория множеств, ОНТИ, 1936. 140. Agmon S., On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems, Comm. Pure Appl. Math. 15 (1962), 119—147. 141. Agmon S., D о u g 1 i s Α., Ν i r e η b e r g L., Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, II, Comm. Pure Appl. Math., 17 (1964), 35—92. 142. A r ο η s ζ a j η Ν., Gagliardo Ε., Interpolation spaces and interpolation methods, Ann. Mat. Pure Appl. (4), 68 (1965), 51—118. 143. Aronszajn N., Mil gram A. N., Differential operators on Riemanian manifolds, Rend. Circ. Mat. Palermo 2 (1952), 1—61. 144. Calderon A. P., Spaces between L1 and L°° and the theorem of Mar- cinkiewicz, Studia Math. XXVI (1966), 273—299. 145. Lions J. L., Peetre JL, Sur une classe d'espaces d'interpolation, Inst. Hautes Etudes Scient., Publ. Math. 19 (1964), 5—68. 146. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C, Compactness of integral operators in Banach function spaces, Math. Ann. 149, 2 (1963), 150—180. 147. Nee as J., Les methodes directes dans la theorie des equations elliptiques, Ed. Acad. Tchecoslovaque de Sciences, Prague, 1967. 148. Peetre J., Sur le nombre de parametres dans la definition de certains espaces d'interpolation, Rich. Mat. 12 (1963), 248—261. 149. Schechter M., Interpolation spaces by complex methods, Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 526—533. 150. Stein Ε. Μ. — Weiss G., Interpolation of operators with change of measures, Trans. Amer. Math. Soc. 87 (1958), 159—172. 151. Stein E. M. — Weiss G., An extension of a theorem of Marcinkiewicz and some of its applications, J. Math. Mech. 8 (1959), 263—284. 152. Zaanen A. C, Linear Analysis, New York — Amsterdam, 1963. Кроме того, см. [100], [101], [102], [104]. Дополнительная литература к главе IV 153. Бирман М. Ш., К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов, Матем. сб. 38 (80) (1956), 431—450. 154. Бирман М. Ш., О спектре сингулярных граничных задач, Матем. сб. 55 (97): 2 (1961), 125—173. 155. Б и ρ м а н М. LLL, Об условиях существования волновых операторов, Изв. АН СССР, сер. мат. 27 : 4 (1967). 156. Бирман М. Ш., Локальный признак существования волновых операторов, Изв. АН СССР, сер. мат. 32 : 4 (1968). 157. В и шик М. И., Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений, Труды Матем. о-ва 1 (1952), 187—246.- 158 Глазман И. М., Прямые методы качественного спектрального аня- лиза сингулярных дифференциальных операторов, Физматгиз, 1963,
538 БИБЛИОГРАФИЯ 159. Гинзбург Ю. П., Иох видов И. С, Исследование по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой, Успехи матем. наук 17:4 (106), (1962), 3—56. 160. Далецкий Ю. Л., Крейн С. Г., Интегрирование и дифференцирование функций эрмитовых операторов и приложение к теории возмущений, Воронеж, Тр. семинара по функциональному анализу 1 (1956), 81—105. 161. И ох в идо в И. С, О банаховых пространствах с /-метрикой и некоторых классах линейных операторов в этих пространствах, Изв. АН Молд. ССР, № 1 (1968), 60—80. 162. Иох видов И. С, Об одной лемме К. Фана, обобщающей принцип неподвижной точки А. Н. Тихонова, ДАН СССР 159:3 (1964), 501—504. 163. И о χ в и д о в И. С, Крейн М. Г., Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, I, Труды Моск. матем. о-ва 5 (1956), 367—432; II, там же 8 (1959), 413—496. 164. Козлов О. М., О решениях некоторых краевых задач с разрывными коэффициентами граничных условий, Укр. матем. ж. 16:2 (1964), 143—156. 165. Крейн М. Г., Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения, I, Матем. сб., 20 (62) (1947), 431—498; II, там же 21 (63) (1947), 365—404. 166. Крейн М. Г., Введение в геометрию индефинитных /-пространств и теорию операторов в этих пространствах, Вторая летняя матем. школа, I, Киев, 1965, 15—92. 167. Крейн М. Г., Лангер Т., О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Πκ, ДАН СССР 152:1 (1963), 39—42. 168. Крейн М. Г., Шмульян Ю. Л., О плюс-операторах в пространстве с индефинитной метрикой, Матем. иссл. 1 : 1 (1966), 131—161. 169. Крейн М. Г., Шмульян Ю. Л., /-полярное представление плюс-операторов, Матем. иссл. 1 :2 (1966), 172—210. 170. Михлин С. Г., Проблема минимума квадратичного функционала, Физ* матгиз, 1952. 171. Наймарк Μ. Α., On commuting unitary operators in spaces with indefinite metric, Acta Sci. Math. 24 (1963), 177—189. 172. Понтрягин Л. С, Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой, Изв. АН СССР, сер. мат. 8 (1944), 243—280. 173. Фаддеев Л. Д., О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра, Труды матем. ин-та им. В. А. Соколова 73 (1964), 292—313. 174. Филлипс Р. С, Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных, Сб. переводов «Математика» 6:4 (1962), 11—70. 175. Фридрихе К., Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве, «Мир», 1969. 176. Beals R., Classes of compact operators and eigenvalue distributions for elliptic operators, Amer. J. Math. 89 (1967), 1056—1072. Кроме того, см. [116], [140]. Дополнительная литература к главе V 177. Горин Ε. Α., Об асимптотических- свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных, УМН 16:1 (1961), 91—118. 178. Красовский Η. Η., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959. 179. Крейн М. Г., Лекции по устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1965.
БИБЛИОГРАФИЯ 539 180. К рей н С. Г., Лаптев Г. И., Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецилиндрических областях, Дифф. уравнения V, 8 (1969), 1458—1469. 181. К ρ ей с Г., О корректности задачи Коши для систем линейных уравнений с частными производными, сб. переводов «Математика» 7:2 (1963), 39—55. 182. Лаптев Г. И., Сильно эллиптические уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве, Литов. матем. сб. 8, 1 (1968), 87—99. 183. Левитан Б. М., Исследования функции Грина уравнения Штурма — Лиувилля с операторным коэффициентом, Матем. сб. 76 (118), 2 (1968), 239—270. 184. Лянце В. Э., Об одной краевой задаче для параболических систем дифференциальных уравнений с сильно эллиптической правой частью, Матем. сб. 35, 2 (1954), 357—368. 185. Массера X., Шеффер X., Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства, «Мир», 1970. 186. Соболевский П. Е., Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве, Труды Моск. матем. о-ва 10 (1961), 297—350. 187. Соболевский П. Е., Исследование общих граничных задач для параболических уравнений методом дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, ДАН СССР, 170 : 5 (1966). 188. Соломяк М. 3., Оценка нормы резольвенты эллиптического оператора в пространствах Lp, Успехи матем. наук, 15:6 (1960), 141—148. 189. Kato Т., Τ a n a b е Η., On the abstract evolution equation, Osaka Math. J. 14 (1962), 107—133. 190. Lax P. D., Phillips R. S., Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 13:3 (1960), 427—455. Кроме того, см. [116], [140], [174]. Дополнительная литература к главе VI 191. Гавурин М. К., Аналитические методы исследования нелинейных функциональных преобразований, Уч. зап. ЛГУ, сер. матем. 19 (1950). 192. Д у б и н с к и й Ю. Α., Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка, УМН XXIII, 1, 45—90. 193. Забрейко П. П., Красносельский Μ. Α., Вычисление индекса особой точки векторного поля. Сиб. матем. ж. 5:3 (1964), 509—532. 194. Качуровский Р. И., Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах.Успехи матем. наук XXIII, 1, 121—168. 195. Некрасов А. И., Точная теория волн на поверхности тяжелой жидкости, Москва, 1951. 196. Ляпунов А. М., О фигурах равновесия вращающейся жидкости 4, Физматгиз, 1959. 197. Садовский Б. Н., О мерах некомпактности и уплотняющих операторах, Проблемы матем. анализа сложных систем 2, Воронеж, 1968. 198. Смирнов Н. В., Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений, ОНТИ, 1936. Кроме того, см. [100], [125]. Дополнительная литература к главе VII 199. А р е н с о н Е. Л., О некоторых свойствах алгебр непрерывных функций, ДАН СССР 171, 4 (1966), 767—769. 200. Березанский Ю. М. и Крейн С. Г. Гиперкомплексные системы с непрерывным базисом, УМН 12, 1 (73) (1957), 147—152. 201. Бишоп Э., Обобщение теоремы Стона — Вейерштрасса, сб. переводов «Математика» 7, 3 (1963), 91—96.
540 БИБЛИОГРАФИЯ 202. Варшавский А. Д., Функциональная алгебра второй степени нелокальности, УМН 24, 2 (1909), 223—224 (см. также статью в Мат. сб.). 203. В е ρ м е ρ Ж., Банаховы алгебры и аналитические функции (см. [207]. 204. Ганнинг Р. и Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, «Мир», 1969. 205. Глис зн Α., Алгебры функций, сб. переводов «Математика» 5, 2 (1961), 161-166. 206. Г л и с о н Α., Конечно порожденные идеалы в банаховых алгебрах, сб. переводов «Математика» 9:4 (1965), 119—127. 207. Гончар А. А. (ред.), Некоторые вопросы теории приближений (сб. переводов), ИЛ, 1963. 208. Горин Ε. Α., Функционально-алгебраический вариант теоремы Бора — ван Кампена, Матем. сб. 82, № 2 (1967), 260—272. 209. Горин Ε. Α., Лин В. Я., Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос, Матем. сб. 78 (120), 4 (1969), 579—610. 210. Гурарий В. П., Спектральный анализ ограниченных функций на полуоси, Теория функций, функц. анализ 5 (1967), 210—231. 211. И л ь я ш е н к о Ю. С, Многозначные аналитические функции от элементов коммутативного нормированного кольца, Вестник МГУ, сер. мат., 5 (1969), 8—11. 212. Корен б л юм Б. И., Обобщение тауберовой теоремы Винера и гармонический анализ быстро растущих функций, Труды ММО 7 (1958), 121 — 148. 213. Крейн М. Г., О некоторых новых банаховых алгебрах и теоремах типа теорем Винера — Леви для рядов и интегралов Фурье, Матем. иссл. 1, 1 (1966), АН Молд. ССР, Кишинев, 82—109. 214. Лейбензон 3. Л., О гомоморфизмах колец А(ссп), УМН 20, 4 (1965), 201—203. 215. Никольский Н. К-, Об инвариантных подпространствах взвешенных операторов сдвига, Матем. сб. 74, 2 (1967), 171—190. 216. Новодворский Μ. Ε., О некоторых гомологических инвариантах пространства максимальных идеалов, Матем. заметки 1, 4 (1967), 487— 494. 217. Π о н τ ρ я г и н Л. С, Топологические группы, Гостехиздат, 1954. 218. X е л ем с к ий А. Я., Аннуляторные расширения коммутативных бана- ховских алгебр, Изв. АН СССР, сер. мат. 29, 4 (1965), 945—956. 219. Хелемский А. Я., О сингулярных расширениях алгебры всех непрерывных функций на компакте, Сиб. мат. ж. 10, 3 (1969), 671—684. 220. Хёрвдандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, «Мир», 1968. 221. Чирка Ε. Μ., Приближение непрерывных функций голоморфными на жордановых дугах в Сп, в сб. «Современные проблемы теории аналитических функций», «Наука», 1966. 222. Шилов Г. Е., О регулярных нормированных кольцах, Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова 21 (1947). 223. Шилов Г. Е., О разложении коммутативного нормированного кольца в прямую сумму идеалов, Матем. сб. 32 (1953), 353—364. 224. Ш ρ е й д е ρ Ю. Α., Строение максимальных идеалов в кольцах мер со сверткой, Матем. сб. 27 (1950), 297—318. 225. Эйдлин В. Л., О топологической характеристике пространства максимальных идеалов банаховой алгебры, Вестник ЛГУ 13 (1967), 173—174. 226. А г е η s R., To what extent does the space of maximal ideal determine the algebra? (см. [229]). 227. Bade W. G., Curtis P. C, The Wedderburn decomposition of commutative Banach algebras, Am. J. Math. 4 (1960), 851—866.
БИБЛИОГРАФИЯ 541 228. Bernard Α., Une caracterisation de C(X) parmi les algebres de Banach, С R. Acad. Sci. 287, № 18, A634—A635 (1968). 229. Birtel F. Т. (ред.), Function algebras (Труды международного симпозиума, Tulane Un., 1965). 230. Β ο η s a 11 F. F., Maximal subalgebras of Banach * — algebras, J. London Math. Soc. 40 (1965), 540—550. 231. Bourbaki N., Theories spectrales (ch. 1 et 2), Paris, 1967. 232. С a r 1 e s ο η L., Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem, Ann. Math. 76, 3 (1962). 233. Cohen P., A note on constructive methods in Banach algebras, Proc. Am. Math. Soc. 12 (1961), 159—163. 234. Countryman R. S. (Jr.), On the characterization of compact Hausdorf X for which C(X) is algebraically closed, Pacif. J. Math. 20, 3 (1967), 433—448. 235. Garnet J., A topological characterisation of Glieson parts, Pacif. J. of Math. 30, 1 (1967), 59—63. 236. Glicksberg I., Measures orthogonal to algebras and sets of antisymmetry, Trans. Am. Math. Soc. 105 (1962), 415—435. 237. Glicksberg I., Maximal algebras and a theorem of Rado, Pacif. J. of Math. 14 (1964), 919—941. 238. Hewitt E., Ross Κ- Α., Abstract harmonic analysis, I (1963), II (1970), Springer — Verlag. 239. Hoffman K-, Wermer J., A characterisation of C(X), Pacif. J. of Math. 12 (1962), 941—944. 240. Kallin E., A nonlocal function algebra, Proc. Nat. Acad. USA 49, 6 (1963), 821—824. 241. К a mo wit ζ G., Cohomology groups of commutative Banach algebras, Trans. Am. Math. Soc. 102, 2 (1962), 352—372. 242. Katznelson I., Sur le calcul symboliqiie dans quelques algebres de Banach, Ann. Ecole Norm. Sup. 76 (1959), 83—123. 243. McKissik R., A non trivial sup norm algebra, Bui. Am. Math. Soc. 69, 3 (1963), 391—395. 244. Rickart C. E., General theory of Banach algebras, van Nostrand, N.-Y., 1960, pp. 433—448. 245. Royden H., Функциональные алгебры, сб. переводов «Математика» 9, 2 (1965), 98—114. 246. Rudin W., Fourier analysis on groups, Int., N.-Y., 1962. 247. Rudin W., Polinomially and rationally convex sets, Acta Math. 109 (1963), 256—289. 248. Varopulos N. Th. Algebres tensorielles et applications a l'analyse harmonique, Summer scholH Bruges, 1966. 249. Ζ e 1 a z k о W., Algebry Banacha, Warszawa, 1968. Дополнительная литература к главе VIII 250. Бахтин И. Α., К задаче о продолжении линейных положительных функционалов, ДАН СССР 179, 4 (1968), 759—762. 251. Бахтин И. Α., О продолжении линейных положительных функционалов, Сиб. матем. ж. 9 : 3 (1968), 475—484. 252. Бахтин И. Α., О продолжении одного класса линейных положитель- , ных функционалов, Сиб. матем. ж. 10:6 (1969), 1197—1205. 253. Бахтин И. Α., О существовании общего собственного вектора у коммутативной' совокупности линейных положительных операторов, Матем. сб. 67 (109) :2 (1965). 254. Бахтин И. Α., О существовании собственных векторов у линейных положительных не вполне непрерывных операторов, Матем. сб. 64 (106): 1 (1964).
542 БИБЛИОГРАФИЯ 255. Бахтин И. Α., О положительных линейных операторах и гиперкомплексных системах. Укр. матем. ж. 17, 4 (1965). 256. Бахтин И. Α., О нелинейных уравнениях с вогнутыми и равномерно вогнутыми операторами, ДАН СССР 126, 1 (1959). 257. Бахтин И. Α., О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами, Сиб. матем. ж. 4, 2 (1963). 258 Бахтин И. Α., Красносельский Μ. Α., Стеценко В. Я., О непрерывности положительных операторов, Сиб. матем. ж. 3, 1 (1962). 259. Боголюбов Η. Η., Крейн С. Г., Про позитивш щлком неперервш оператори, Зб1рник праць 1нституту Математик! АН УРСР IX, 1946. 260. Г а н τ м а х е ρ Φ. Р., Крейн Μ. Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем, Гостехиздат, 1950. 261. Забрейко П. П., Красносельский Μ. Α., Стеценко В. Я., Об оценках спектрального радиуса линейных положительных операторов, Матем. заметки 1, 4 (1967). 262. К о ρ о в к и н П. П., Линейные операторы и теория приближений, Физ- матгиз, 1959. 263. Красносельский Μ. Α., Климов В. С, Лифшиц Ε. Α., О сходимости положительных функционалов и операторов, ДАН СССР 2 (1962), 258—261. 264. Красносельский Μ. Α., Лифшиц Ε. Α., Покорный Ю. В., Стеценко В. Я., Признаки положительной обратимости линейных операторов, Матем. сб. (1971). 265. Красносельский Μ. Α., Климов В. С, Лифшиц Ε. Α., Точки гладкости конуса и сходимость положительных функционалов и операторов, Труды Моск. матем. о-ва 15 (1966), 55—69. 266. Красносельский Μ. Α., Покорный Ю. В., О ненулевых решениях уравнений с сильными нелинейностями, Матем. заметки 5 (2), 1969. 267. Красносельский Μ. Α., Стеценко В. Я., К теории уравнений с вогнутыми операторами, Сиб. матем. ж. 10:3 (1969), 565—572. 268. Крейн М. Г., Ρ у τ м а н Μ. Α., Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха, УМН 3, вып. 1 (23) (1948). 269. К рейв С. Г., Левин Б. Я., О сильной представимости функций сингулярными интегралами, ДАН СССР 60 (1948), 195—198. 270. Стеценко В. Я., Критерии неразложимости линейных операторов, УМН 21, 5 (131) (1966), 255—256. 271. Стеценко В. Я., Об одном спектральном свойстве неразложимого рператора, УМН 22, вып. 3 (135) (1967), 242—244. 272. Стеценко В. Я., Об оценке спектра некоторых классов линейных операторов, ДАН СССР 157, 5 (1964), 1054—1057. 273. Стеценко В. Я., Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейных положительных операторов, Матем. сб. 67 (109): 2, (1965), 210—219. 274. Стеценко В. Я., Об одном способе оценки спектра линейного оператора, УМН 19, вып. 2 (1964), 199—200. 275. Стеценко В. Я., О спектральных свойствах неразложимых операторов, ДАН СССР 178, 3 (1968). 276. Стеценко В. Я., Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов, ДАН СССР 178, 5 (1968). 277. Ш а ш к и н Ю. Α., Системы Коровкина в пространствах непрерывных функций, Изв. АН СССР, сер. матем. 26, 4 (1962), 495—512. 278. В о η s а 11 F. F., Linear operators in complete positive cones, Proc. London Math. Soc. 8 (1958), 53—75. 279. Β ο η s a 11 F. F., Endomorphisms of a partially ordered vector space without ordered unit, J. London Math. Soc. 30 (1955).
БИБЛИОГРАФИЯ 543 280 К а г 1 i n S., The existence of eigen-values for integral operators, Trans. Amer. Math. Soc. 113, 1 (1964), 1—17. 281 Schaefer H., Some Spectral properties of positive linear operators, Pacific J. Math., 10 (I960), 1089—1019. 282. Schaefer H., Spectraleigenschaften positiver linearer operatoren, Math. Zeitschrift 82, 4 (1963), 303—313. Дополнительная литература к главе IX 283. Агранович Μ. С, Марченко В. Α., Обратная задача квантовой теории рассеяния, Физматгиз, 1959 284. Б е ρ е з и н Φ. Α., Μ и н л о с Р. Α., Фаддеев Л. Д., Квантовая механика систем с большим числом степеней свободы, Труды IV Всесоюзн. матем. съезда 1961 г., II, 532—540; «Наука» (1964). 285. Бирман М. Ш., О спектре сингулярных граничных задач, Матем. сб. 55 (97) :2 (1961), 125—173. 286. Бирман М. Ш., Возмущения непрерывного спектра сингулярного эллиптического оператора при изменении границы и граничных условий, Вестник ЛГУ, № 1, сер. мат., мех., астр. 2 (1962), 22—55. 287. Бирман М. Ш , Г л а з м а н И. М., Спектры сингулярных дифференциальных операторов, Труды IV Всесоюзн. матем. съезда 1961 г., II, 253—261; «Наука» (1964). 288. Гольбергер М. и Ватсон К., Теория рассеяния, «Мир», 1967. 289. Дирак П. Α., Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960. 290. Желудев В. Α., О собственных значениях возмущенного оператора Шредингера с периодическим потенциалом, Сб. «Проблемы матем. физики», 2, Издательство ЛГУ, 1967. 291. К а то Т., Рост решений приведенного волнового уравнения с переменным коэффициентом, сб. переводов «Математика» 5:1 (1961), 115—135. 292. Ландау Л. Д. и Л и φ ш и ц Ε. Μ., Квантовая механика, Физматгиз, 1963. 293. Μ а з ь я В. Г., К теории многомерного оператора Шредингера, Изв. АН СССР, сер. матем. 28:5 (1964), 1145—1172. 294. Μ а к к и Дж., Лекции по математическим основам квантовой механики, «Мир», 1965. 295. Μ а ел о в В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во МГУ, 1965. 296. Повзнер А. Я., О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора — Ды +cuy Матем. сб., 32 (74) : 1 (1953), 109—156. 297. Рофе-Бекетов Ф. С, Признак конечности числа дискретных уровней, ДАН СССР 156:3 (1964). 298. Сигалов А. Г., Об основной математической задаче теории атомных спектров 22 : 2 (1967), 3—21. 299. Титчмарш Э., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, ИЛ, т. I, 1960; т. II, 1961. 300. Фаддеев Л. Д., Математические вопросы теории рассеяния для системы трех частиц, Труды МИ АН 63, 1963. 301. Фаддеев Л. Д., Обратная задача квантовой теории рассеяния, Успехи матем. наук 14 (1959). 302. Φ о к В. Α., Начала квантовой механики, Ленинград, 1932. 303. Ikebe Т., Eigenfunctions expansions associated with the Schroedinger operators and their applications to scattering theory, Arch. Rat. Mech. and Analysis, 5 (1960), 1—34. 304. К a to Т., Some mathematical problems in quantum mechanics, Progr, Theoret. Phys. Suppl., № 40 (1967), 3—19. 305. Sears P. В., Note on the uniqueness of Green's functions associated with certain differential equations, Canadian J. Math. 2 (1950), 314—325.
544 БИБЛИОГРАФИЯ Дополнительная литература к главе X 306. Бремерман Г., Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье, «Мир», 1968. 307. Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, «Наука», 1964. 308. Π а л а м о д о в В. П., Преобразования Фурье быстро растущих- бесконечно дифференцируемых функций, Труды Моек матем. о-ва 11 (1962), 309—350. 309. L а ν о i n e J., Calcul symbolique des distributions et des pseudo-fonctions, Centre nat. de la recherche scient., Paris, 1959. 310. Lavoine J., Transformation de Fourier des pseudo-fonctions, Centre nat. de la recherche scient., Paris, 1963. 31b Ζ em a ni a n Α., Generalized integral transformations, Interscience Publ., New York, 1968.
г» (I ) ) т Iti