под ред. М.И.Сканави
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ ВО ВТУЗЫ
(С РЕШЕНИЯМИ). Кн. 1. Алгебра
Книга написана в соответствии с программой по алгебре для поступающих в
вузы. Настоящее издание F-е — 1992 г.) существенно переработано и дополнено.
Задачи объединены по принципу однородности тем, типов, методов решения и
разбиты на три группы по уровню их сложности. Ко многим задачам даны
подробные решения. В жаждой главе приведены сведения справочного характера
и примеры решения задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Тождественные преобразования
алгебраических выражений
Глава 2. Алгебраические уравнения
Глава 3. Применение уравнений к решению задач
Глава 4. Тождественные преобразовании
тригонометрических выражений
Глава 5. Тригонометрические уравнения
Глава 6. Прогрессии
Глава 7. Логарифмы. Показательные и
логарифмические уравнения
Глава 8. Неравенства
Глава 9. Комбинаторика и бином Ньютона
Глава 10. Дополнительные задачи по алгебре
Глава 11 Начала математического анализа
Элементы
теории,
примеры
3
5
35
56
102
136
160
169
192
213
220
241
Условия
задач
9
39
59
108
140
162
175
199
214
222
245
Решения,
указания,
ответы
260
284
316
333
360
400
406
436
467
471
509

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее (седьмое) издание «Сборника задач по математике для
поступающих во втузы» выходит в двух книгах (книга 1 — «Алгебра»,
книга 2 — «Геометрия»). При этом сохранены почти весь массив задач
пятого и шестого (стереотипного) изданий, теоретические сведения спра-
справочного характера и примеры решения задач с объяснением применя-
применяемых методов. Сохранено также разделение задач на три группы (А, Б,
В) по их возрастающей трудности в тех главах, где такое разделение
было осуществлено и в предыдущих изданиях «Сборника».
Хотя такое деление имеет более или менее условный характер,
авторы полагают, что умение решать задачи из группы А должно
определять минимально необходимый уровень подготовки учащихся
к вступительным экзаменам во втузы. Успешное решение задач из
группы Б определяет более высокое качество усвоения школьной про-
программы. К группе В отнесены задачи повышенной трудности. Однако
практика решения таких задач полезна для развития и укрепления
способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогаще-
обогащения математической культуры и может быть использована в школе и на
факультативных занятиях.
Существенной переработке подверглось расположение задач в каж-
каждой главе внутри разделов А, Б и В. Теперь задачи сгруппированы по
типам, методам решения и заново пронумерованы. Кроме того, в каж-
каждом из разделов А, Б и В к наиболее типичным задачам даны полные
решения или указания, помещенные в конце книги. Тем самым «Сбор-
«Сборник» приобретает новое качество — он становится дополнительным
к школьным учебникам пособием для самообучения в процессе подго-
подготовки к вступительным экзаменам по математике во втузы.
В соответствии со школьной программой обучения математике
в «Сборнике» рассматриваются только области действительных чисел:
действительные корни функций, уравнений, систем уравнений.
В «Сборнике» приняты следующие обозначения: начало и конец
решения примера отмечаются соответственно знаками ? и ¦, а вместо
слова «Указание» употребляется знак ф.
Начиная с третьего издания работа над «Сборником» выполнялась
коллективом авторов без участия самого активного соавтора и научного
редактора его первого и второго изданий М. И. Сканави, умершего
в 1972 г. Специальное редактирование третьего и последующих изданий
было возложено на Б. А. Кордемского. За годы, прошедшие после
выхода в свет шестого издания «Сборника», авторский коллектив поте-
3

рял еще двух своих коллег: И. Ф. Орловскую и Р. И. Позойского. Мы
сохраним светлую память о них.
Авторы сердечно благодарят учащихся и преподавателей школ, под-
подготовительных курсов и факультетов вузов, рецензентов «Сборника»,
высказавших критические замечания и добрые советы, предложивших
поправки. В особенности авторы признательны Р. И. Борковскому
(г. Челябинск), приславшему наибольшее количество пожеланий и заме-
замечаний, учтенных при подготовке настоящего издания.
Авторы

ГЛАВА 1
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства степеней
Для любых х, у и положительных аи Ь верны равенства:
«°-1; A-1)
а'-а'-а'+'; A.2)
а':а'-а'-'; A.3)
(аУ—*; A.4)
(л6)*-а*Д* A.5)
-x 1
a =—. гл у\
a
Многочлены
Для любых а, Ь и с верны равенства:
а2-Ь2=*(а-Ь) (а+Ь); A.8)
A.9)
A.10)
A.11)
A.12)
A.13)
-*3-(в-*) (а2+аЬ+Ь2); A.14)
где х\-яхг— корни уравнения ах2+Ьх+с=0.

Свойства арифметических корней
Для любых натуральных пик, больших 1, и любых неотрицательных
аяЬ верны равенства:
A.17)
A.19)
Сл/а)"=а (о>0); . A.21)
a<"*Jb, если O^a<b; A-22)
f а при
A.23)
—а при a<0;
A.25)
Пример 1. Упростить выражение
x*+2x2-3x+\
D Обозначим дробь через А, а выражение в скобках — через В; тогда
заданное выражение примет вид А+2В. Заметим, что для •Jlx и 6л/27дг3 до-
допустимыми являются только значения х>0, при которых знаменатель дроби А не
равен нулю. Поэтому и для заданного выражения допустимыми являются только
значения д:>0.
Используя формулу A.9), выделяем в числителе дроби А полный квадрат:
Так как х>0, то в силу равенства A.21) имеем Зх=(у/3хJ. Тогда полученное
выражение с помощью формулы A.8) можно разложить на множители как
разность квадратов:
Следовательно,

Далее, на основании формулы A.20) имеем *n/27jcj—*n/CacK>«n/3jc, откуда
В~^/Зх—. Итак, A + 2B~x2-y/3x+l+2 у/Зх-1~х2 + ^/Зх. Я
Пример 2. Упростить выражение
Ja2-4ab+4b2 Sab 26
— + , 0<а<2й.
y/a2+4ab+4b2 a2-4b2 a-2b
П Имеем >/а1-4аЬ+4Ь1-у/(а-2ЬУ2ш\а-2Ь\ш2Ь-а. ,/а2+4вй+-4й2-|а +
j 2fc; здесь были использованы формулы A.9), A.10) и A.23). Следоаате-
у/а2-4аЬ+Ьг 2b-a
льно, —. -_-„, _ Теперь находим
2Ъ-а Sab 26 Bb-a) (a-2b)-&ab+2b (а+Щ а
2b+a ,a2-4b2+a-2b"° в2-4й2 =2Ь-а
Пример 3. Упростить выражение
х2+4х-5 + (х-5) Jx2-l
х2-4х-5+(х+5) у/х2-1
G Используя формулу A.IS), разложим на множители квадратные трехчле-
трехчлены в числителе и знаменателе дроби:
/(*)•
Так как х>\, то в силу соотношения A.21) имеем x-l =<J{x— IJ
и х+1 - V(* + О2- Значит,
откуда после сокращения получим/(
V * + 1
Пример 4. Не прибегая к приближенным вычислениям, упростить числовое
выражение
D Используя формулы A.16), A.8), A.20) и A.10), находим:
Г * /2\/3-1 . /12-1
/ъ J /— -4 s / -4;

, . , , (l-v- -, , г 12-473 + 1
2)'Jl3+4j3 6 /{— =6 /A3+4„/3)
/A3+4^3) A3-4V3),. /169-48^
=6 /A3+4^3) A3-4V3),. /
V H2 V 121
Окончательно получим ,4=4—1=3. ¦
Пример 5. Проверить справедливость равенства
П Положим 3>/38 + \/1445+3\/з8-\/1445=*- Возведем в куб обе части
этого равенства. Используя формулу A-11), получаем
или х3+3х—76=0. Подстановкой jc=4 убеждаемся в том, что jc=4 является
одним из корней полученного кубического уравнения: 64+12—76=0.
Преобразуем кубическое уравнение: дг—64=3 D— дс); (дс—4) (дс2+4дс+16)+
+3 (дс-4)«=0; (дс-4) (дс2+4дс+19)=0. Но множитель дса+4х+19 не имеет дейст-
действительных корней. Значит, 4 — единственное возможное действительное значение
для х, чем и доказано требуемое равенство (поскольку очевидно, что
V38+7144*+V38 - >/М45 — действительное число). ¦
Пример 6. Проверить справедливость равенства
i г ,
-V3=2.
4-0
D Рассмотрим равенство
^2+73.
4-V3
Очевидно, что если оно верно, то верно и заданное равенство. Пусть а
г
, A—2+V3. Легко установить, что в>0 и Ь>0. Если при
= ¦=
4-V3
этом выполняется равенство а*=>Ь2. то a=i. Находим
. G+473H9-873) G+473H9-873) .-
в2 = j т =7+4 V3;
D-73J 19-873
Так как а2=Ь2, то а=6, т. е. заданное равенство справедливо.
Этот пример можно решить быстрее, если догадаться, что оба подкоренных
выражения в условии являются квадратами положительных чисел, а именно:
7+47з-B+73J и 19-8 73=D-73J- Тогда левая часть заданного равенства
B+73") D-73) /-
есть -р v •**
4-73
8

Првмер 7. Чему равна сумма выражений -JlA—t1 я -Ji—t1, если известно,
что их разность равна 2 (значение переменной / находить не нужно)?
? Согласие условию, *j2A—t1—y/i—t1=2. Используя формулу
аг-Ь2 . . 24-8
а+Ьш , получим J2A-r+Ji-t2» «8. ¦
а-Ь 2
Группа А
Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения
параметров A.001—1.124):
1 1
а Ь+с { Ь1+сг-а1\ а-Ь-с
1.001. 1 +— 1: ; а=0,02, *= -11,05, с= 1,07.
1 1 \ Tbc ) abc
а Ь+с
1.002. I ~~z Ь~~ Ь~т I
\<J+3/+2 rJ+4r+3 /2 + 5*+6/
1.003.
2
а*+Ь'+а2Ь*+а3Ь2
{a+bJ-ab {аъ+Ь*+а2Ь+аЬ2) (а3-Ь3)
i-i
1.004.
1.005.
a—b a2+b2+a
1.006. ^ b 2al+ab
2
1.007.
За2+2ах—х2 ах—Ъх2
1.008. 2+10- -.
Qx+a)(a+x) a2-9x2
y-xj x*—xy J x2y2-y*
((\ 1 \ /1 1 \\ / Ь2+с2-а2\
1.010. ((-+ ):( |):(l+ I
\\a b+cj \a b+cJJ \ 2bc /
a=l-,b=0,625,c=3,2.
40

1.011.
+)) :
2 у xJJ 1+yx-
/ 3 2 1 \ ra
f At] / I . '
\2x—j» 2x+j» Zx—5yJ Ax2—y2
1.013. (Wlx-HH-2) : (X+l-^^\ x=7,C)
\ Здс+l/ \ 3jc+1 /
(
v
1.014. ( 6a2 + 5a-l+—) : ( 3a-2+—\
l.ulS.
Opq) + Zq3pq 4p3pg
1.016. ^ ;.,*, : -^; P=0,78; ,=7/25.
4fl2-
26+a
a
1.017.
bi+2ab2-3a1b a2-b2
/1 1 2c\
\a b ab) 5
1.018. ; a=7,4, b- .
1 1 2 Ac2 37
e-* a2b2 fa2-b2\-1
1.019.— -: ( ;
в-'+Л (a+bJ-3ab\ ab )
1.020.
b (abc+a+c) 1
a-\
1
b
1.021. B-
lax J a-\
a+b
(—+-—)); a=0,75, ft-4/3.
10

1.025.
1.026.
2-9\2
)
3/2
1.027.
V3
a
3/4-1/3 4/3
6 49*
-.5
-30
1.028.
1.029.
l» (-
x~°
l-2-i;x>a>o.
1.031.
1.032.
1.033. ((*Jp-'
1\-э
_,э + э
1.034.
1.035.
a Ib
/(a + o)""'4 c1/2\4/3 / *3^ V"
: ;
\ 2-л -Э/4 / \ Ъ \i-tnl
4 a b ' \a+b) a '
> = 0,04.
1.036.
2x
-1/3
2/3
x
x+l
x' -3x
1.037.

1.038.
2 (m-n)
— Ъу/пт.
1.040.
2 1+-
1 +
1.041. v
1+4
2—Jt+A
tt+A
1.042.
1.043. ^z!_:fL±V2
1/2 1,5 -0,5
JC+JC +1 X — 1 AC
1.044.
1.045.
1/4 1/4
/ +JC
1/4 -1/4
3/4 1/2 1/4 1/2 1/2
x +дс у х +у
1/2 1/4 1/4 1/2.
x -2x j» +j>
ъ,
' (л-яI+4|ня
. «.^ « / "•—я т I т'—я'
1.046. у : у
1.047.
1
, 1/2 1/4
JC— 1 X +JC 1/4
3/4 1/2 1/2
x +x дс +1
j. 1
1.050. / ==•» /-
k+i/a+4/a1
12

1.051.
1.052.
4х
/x2-\)*-l
yfx-2\yfx
1.053. *у/бх E + 2^6) • у/Ъу/Тх-2у/Ъх.
1.054. *J4x(\\ + Ayf6)-3
1,055.
1.056.
1.057.
1.058.
*-а-2Ь-Ь*/а
b \
а-й/
\-xJ2-x1
а1 у/х+а 1
1.059. К2+Л + 2-в24^-2^
1.
1.061.
1.062.
1.063.
1.064.
1.UO3.
7/3 5/3
а —2а
5/3 4/3 1/3
а —в о
.2/3 .4/3
b +ab
.2/3 2/3
— 00 +в
— ^
а
а'/3
Л*
13

1.067.
(S/з-S/S)'
1.068.
. l/m l
(a — a
, 21m 2/я , m I m+1 я / я+1
(в -а )( Vе + V в )
1.069.
L070.
Lori.
V45-4V3
'-2 V'+2
a-b
(a-y/a2-b2 a+y/a1-b2\ 4y/a*-a2b2
1.072. v ^ : ^ .
WvV-i2 a-Ja2-b2) EftJ
1.073.
1.074.
1.075.
з_ /з
r
3у/п-
ln_, (е-*K Wa+y[bY3 + 2ay[a+by[b 3(
I.U/O. — — it— 4
1/6 1/6 „ 1/3 1/3 i M , /
—j» (jc +y ) —4 Зу;
a-b
L077.
1/2 1/3 1/6 5/6 1/3 1/2 2/3
JC +X J» Ж у —X у
L078.
(*+iJ
V.'
1.080.
- ]— л/т'
14

p-3 12 3
1.081. z'I+3':z»-'l.r3'-'
1.082.
1.083.
jabc+4 Ibc
/ +4 /—
; a=0,04.
1.084.
1.085. 1 —
/e-1
/a+lJa2-!
1.086.
a 2
-+-
1.087. (*y/36mn2p+m —-
1.088.
.092. ^ V+_V \+/1+ +_
1.094.
f РЧ3 2РЧ1 ] РЧ \ . / Р2 РХЧ \
\р+Ч)'Р (Р+Ч)*2 VW' W/ (Р+9O/2/
15

1.095. —
a V*
1.096. Ul-j
1.097. ((l-p
а*-Ь
a=4,91, A=0,09.
: B-x2-2^/l-x2).
A-p*)".
1.099.
4 1
1 1 * (abc+a+c)
i а+ь
b+-
c
-112
uoo.
1.101.
1.102.
1.103.
-l
\ 2/
16

1.107.
1.
)Ш
1):B ((аЬ)Ш-Ь) (а-Ь)'1).
Л08. ft з /,_^_flJ з l± ± 1
1.109.
1.110.
a'-U6
г+4аЬ+Ь2
д=4/3, А = 0,25.
L11L (-4а 'У^
1.112. -^—7= / + /- ; c-2,
д-3-, x=0,28.
1/4.
1.113.
(х +х ) -2х (х +х ) х +1
LU4.
, -1/2 , -ЗД -1/2 -ЗД
Зв +2л а +3e
1.115. 4aZ>+
1.116. II
W
m+
[-^-) +{-t-)
^r #»v/n) :3у/тпу/тп—
->JmnJ m—n )
1.117.
1.118.
(-4—
V3-i
-1/21
l-+-^T
-2 3-V3
17

1.119. 5
In »^-
1.120.
\/ш
4/б4э /--
1.122. V3
1.123. l<ji
1.124. 5 sv
Проверить справедливость равенств A.125—1.134):
1.125.
1.126. 4:Н),6 3 /-J-10 4л/п:@,25 V216
1.127.
1.12*. ^/з—
1.129.
1.130. ^-~~^- — + -j:
1.131.
3 4
д» Д31Э* f- f "t" »-
Y
10+7V2
18

Сделать указанную подстановку и результат упростить
A.135—1.145):
1.135.
; дс=а
2/3 -1/2
1-й , г V*
1.136. —- хг-2х+ у/Ь; х=-^-р.
¦у/Ь 1-у/Ь
/х + 2Ь
1.137.
\x~2b
х+2а\ х 4ab
+ ):-;*= ¦
2b х-Ъа) 2 а+Ь
1.138. (x+1) (x+2) (x+3) (x+4); x=-
, „„ (z-l)(z+2)(z-3)(z+4)
23
1.142.
1 1
.— .)—
2
1.143. -
2Ьу/х2-1 1
!Ц; х=
1.144. —
/в /А
х=- ( / /
HVi VeJ
\-ах 1+Ьх 1 Па-Ь
1.145. / ; х=- / ; 0<Ь2<а<Ь.
l+ax\jl-bx a\J b
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
A.146—1.151):
1.146.
1.148.
2+V2-V3
4
—7= p. 1.149.

1.150.
1.151.
e-1
т.
yVV V V
1.152. Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и произ-
произведение соответственно равны 11 и 21.
1.153. Показать, что если
то z3 + 3bz-2a=0.
1.154. Если -у/8—а + -у/5 + а=5, то чему равен y/(S— а) E +а)?
1.155. Чему равна сумма -«/25 — д;2 + -У15 —дс2, если известно, что
разность у/25 — х1 — т/\5—х1 = 2 (величину дс находить не нужно)?
1.156. Преобразовать (аг + Ь2) (c2 + d2) так, чтобы получилось
(ac+bdJ + (ad~bcJ.
1.157. Вычислить значение выражения:
z3
a) -j-z, z=3
б)дс3
Группа Б
Упростить выражения и вычислить их, если даны значения парамет-
параметров A.158—1.292):
1.158.
1.159.
L160.
p3+4p2+\Op+l2 p3-3p*
Р3-р2+2р+16
6г+(г-2J
23-8
г—2/ г —
3-4х+Ъх2-\1
(дг4+5х3 + 15х—9 9\ дс3
+ .. _
х -\-Зх х /
// , 1 у /Л2 \ *
.162. (дс4-7дс2+1) 2 11 х2 + — -14 (дс+- +77 ; дс=-
\\ х ) \ *) )
125
1.163.
1.164.
1.165.
bx+4+—
bx
Dx2-b2)- \
b \bx
2b+(b2-4)x-2bx2 (b+2xJ-Sbx I 2
: (n2
п-1 m-2) \ п-\
2д4+в*+4в*+в+2
2л3-в2+в-2
m-l
20

1.166.
1.167.
1.168.
a*-a2-2a-l a*+2a3-a-2
a3-2a2 + l
4 4
(аЬ (х2+у2)+ху (а*+/>*)) ((ax+byJ-4abxy)
ab{x2-y2)+xy{a2-b2)
х3+5х2+Ъх-9
x3+x2—5x+3
1.169. X +* +X**1+1-xy/l.
1.170. ?—? "*"
l 2
;а>\,аф—т.
l V3
1.171.
+\lab
,3/42/3
ab
1.172. (<
r
x+y x-y
1.173.
1.174.
1.175.
1.176.
1.177.
-yfxy
y-yfxy+x
Jx-^fy
ijxy
x+y x—y
b2-A+b+2
b+2
fcl
/(x+\K-y/(x-\K
3y/x9-X6y3
1.178.
fox6 I ys
-'lV7"bl+J7V'1"?
x+y
21

t | (
3x
1.180.
Ba2-b2-ab) 6y
a3b2 • V*2 ( 3a* °* "\
^b* ' \2a2-ab-b2 a-b)
' n ' \ ' о
a+8 2/3 i/3 / 2/:
' a —2a +V I—a
4/3 1/3 2/3
+ 8a 5-fl
2/3 1/3
ai 1+a
1Л82. vWiEfL
1.183.
-2x 4-х2 2x+4 /
/„ 4 /^
1.184.
1Л85.|Ь^ +
1.186.
1.187.
1.188.
(x+2).
59
1.189.
V32' Л-*.
2-*Jlx3
1.1911.
2 (a
(a-b)"'6 (a+2)
22

1.191. 3
1.192.
1.193.
A+x) Vl-x 3 /Зл/l-x1
Ix-Jx
a
1.194. хгу/2ху/ху-хфх~у6^х3у0^^Л)-
1.195.
1.196.
fl+6 / ЪаЬ-b^Jab+a-Jab-'ib2
y
1.197.
1.198.
1.199.
1.200.
1.201.
1.202.
/а+л/fl-l
,
3y/m+n2) -^-—j j-?j j
/rot J+n-n*»» J-n3
1/3
+1
23

1.203.
1/3
1.204.
1 Л  A ltl I  1Ч1
l-a+4a -4a (a -1)
1.205.
1.206.
1.207.
1.208.
(х+27)-9х-27
vVs-v^ ¦ Ч^8+2\/is-V*
1.209.
/ 3-Jmn1+i-JmIn г m-n
. —p^ t^ 7=-23y/n+—7=
1.2Ю.
1.211.
1.Z12.
4m—л
1-
1.213. (z2-
l\2 \l/2
1.214.
L215.
=;x=3.
24

l+y/l+z 1-Vl-z
1
-,-Jo+\
1.217.
1.218.
la-\
a+\
x-1
1.220. -
1.221.
1.222.
a (a-2)-b (b+2)+y/ab (b-a+2)
a + b—y/ab
1.223.
.224. (— —, I -(V2a+1-Va) v/«+2-
\ 3fl+l-2V2a2+a /
1.
1.225.
к-ч/ху
la*
/
\j b
b с
a ab
; a=4,8; b=\,Z.
1.228. ((fl-
25

1.229.
-V*)
-1/4
1230
Л /!fl±^!±2iZ_3 /^'-24^+18,4 /13 /2, lV'
' \ V 2z-3 V 2z+3 / V2 V27 6z/
1.231.
4Ti+r
-P 9 P -4
P 4 Ipq
—-{p-q)
Р-Ч Р+Ч P -4
1.232.
1.233.
B+%/flAJ-
// by
/(l+-J
= ; a»2,25.
1.234.
1.235.
1.236.
/ 3/4
/a+e
1.238.
V 1/2
3/4 1/2 1/4 3/2
6 +a i
1/2 _
ai +2o
1/4.1/2
6
/Г 1/2 ч_,/з
, /- /- Ъ-Jbia —b) \ '
Cy/a+y/b) +—i-i 1- :
VV V 1/4 1/4 /-J
-1/4 1/4
ai (e —
1J39 (/a-"K
3
26

1.240.
1.241.
1.242.
1.244.
1.246.
1.248.
1.249.
1.251.
1.253.
1.255.
1.257.
1.259.
1.261.
1.263.
pq'l-p'yq
\b-\\ 2
+ b\b-\\+2—
A-2+-
b
-. 1.243.
2x-x|x-l|+x|x|+3
W + x1 '
|x-2|. 1.245.
1.247. \x2-
x-\\ , |x+l|
x2-2x- +2х
l
x-l
x+l
-A : \x-2\.
/4X+4+X
a\a+2\~a2+4
(х3-4х2 + Зх)|х-2|
|x-l| + |x|+*
3x2-4x+l
25
2 |а + 5|-ан—
a
За2 + 10а -25 '
к-1| И
r2-r+\-\r\
1 250 Л
л
1.252.
1.254.
1.256.
1.258.
1.260.
1.262.
1.264.
А
к3-
(от
а-
а3-
х\
-5х2 + 7х—3
m \m — 3|
2 —т—6) |то|
>_4-|а-2|
х-3|+х2-<
2х3-3х2-9х
х-
\х
\
J-l+|x + l|
М (х-2)
2-1|+х2 |
2х2-1
/ х
2
i
х-1
х-1
1 |v

1.267.
1.268.
1.269.
1.270.
2 /-
1.271. -5
1 z 1
1.273.
1.274.
1.275.
/ 1 / 1
1.276.
Л
) ~3
-1/2
1.277.
x»-2«1-4r+8

1.279. D*-1)(-(G8^1
\Sx uv
1.280.
1.281.
1.282.
1.283.
x2y-2-xy'l+-(xy~2+y 3/2)
2x2-y -xy+lxy
i (y+b)
V(fl2-i6)(a-4)/
1.285.
1.286.
fw-2
m + 2
/m+2 lm-2
\jm-2 \j m+2
1.287.
1.288.
i-2Ja2-b2
x-3 x-5
1/2
l+3x l+5x
(x-5) (x-3)
-1/2
1.291.
//i /l \ '/2 3i
• \\\—,+ъ г—,-2) >х=^т-;-
29

1.292.
—7=
V*
Проверить справедливость равенств A.293—1.306):
1.293.
V26-15V3
^/5-2^/6 E + 2^/6) D9-20у/б) 1
1.ZV7. p: p: ¦= jz — 1.
1.302.
1.303.
1.304.
1.305.
1.306.
4+V5
¦-ъ-ф..
1.307. Преобразованием левой части проверить, что:
a) V7+5V2-V5\/2-7=2;
б)
30

1.308. Упростить выражение у=-^х+2у/х—\ + у/х—Ъу/х—\, а за-
затем построить график функции у для 1 <*< оо.
1309. При каком значении к многочлен х2+2 (к-9) х+(к2 + Ък+4)
можно представить в виде полного квадрата?
1.310. Проверить, что число дс= -^4+^/80 — '-у/увО—4 является
корнем уравнения х3+ 12х—8 = 0.
1.311. Исключив к и v из равенств и—\ = а, u2—\2 = b, u3—\3 = c,
найти соотношение между а, Ь и с.
1.312. Преобразовать сумму
111 1
12 2 3 34 '" л(л + 1)
к наиболее простому виду.
1.313. Показать, что
111 1 л
б 12 20 л2 + Зл + 2 2я+4
1.314. Доказать, что если а+А=1, то
а Ъ 1 (Ь-а)
Ь3-1~а3-1~а2Ь2+3
1.315. Определить А, В и С так, чтобы для всех допустимых значений
х имело место равенство
х2+5 ABC
х3-Зх+2~х+2 (х-1J х-Г
1.316. Число 19 представить в виде разности кубов натуральных
чисел. Показать, что такое представление единственно.
1.317. Доказать, что: а) сумма кубов трех последовательных натура-
натуральных чисел делится на 9; б) число р*—р делится на 5 при любом
натуральном значении pj в) число к3 + 5к делится на 3 при ke'N.
1.318. Многочлен х —16 представить в виде произведения много-
многочленов второй степени.
1.319. При каких значениях а и А трехчлен \6х2+ 144х+(а+Ь) пред-
представляет собой полный квадрат, если известно, что Ь—а= —11
Группа В
Упростить выражения. Найти области допустимых значений параме-
параметров, если они не указаны A.320—1.356):
-1/2
(х+\J-х / 1\
(х-ПЧх \~х)>
1311. (x+2yj2x-4) l/2+(*-;
31

1322.
4Я!2Я2
Л ОТ \ 1/2
2+-+-
т п
Атп-т2-Ап2 4 1 4
т— 2л
1323. I Jx*-a*-
lj-Л I _/^2_-2
^" + fli 1 V* "в
У
о2 / л/х2+в2
X2
1.324.
f(a
г2+2J-8а2.
1325. -+—-2+ -!—+—+-.
\] х Лх'1 V4* * 2
п*-2я3+Лп2+2п-5
„*_3и3+7л2-5л
1327.
1328.
1329.
a+2y/b+---Jla-
Vt
2-4у
4 4
¦s/зх+Юу/з
-2x+x
1331.
1332.
1333.
1334.
г (x+jr—s/jk2+2xy) • (x^-
32

1.335.
%Дх->--6 B 3y/xTy-3
3 + 2
L336. ( f
М (п1-
¦Мг
1/2
1.337.
1.338.
1.339.
1.340.
1.341.
1.342.
1.343.
2_9 V*+Vx-3
1.344. (За+у/ба-l)
1.345.
l-2p
1.347.
1.348.
1.349.
1-362
8 16
^ТЗ)-J.
33

М-41*1
х2-\ '
1.350.
1.351. 4±^Й*~
-1/2
1.356.
2х-
1.357. Разложить на множители x (y2~z2)+y (z1—x2) + z (x2—y2).
1.358. Доказать, что если для чисел х, у, х, т, п, р выполняются
х у г т п р
равенства —I—1-- = 1, —I—1-- = 0, то для них выполняется также и ра-
т п р х у z
х2 у1 z2
венство 1—--i—-= 1.
т2 п2 р2
1.359. Разложить на множители х1 (y—z)+y2 (z—x) + z2 (x—y).
1.360. Среднее арифметическое двух положительных чисел
а я Ъ (а>Ъ) в т раз больше их среднего геометрического. Доказать, что

ГЛАВА 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1°. Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту
переменную (ее иногда называют неизвестным).
Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается
верное равенство, называется корнем (или решением) уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
2°. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым; при этом
используют следующие правила преобразования уравнения в равносильное ему:
а) какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в дру-
другую с противоположным знаком;
б) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же
отличное от нуля число;
в) уравнение вида =0 можно заменить равносильной системой
() ,
или решить уравнение /(х)=0, а затем отбросить те из найденных
корней, которые обращают в нуль знаменатель g (дг).
3°. Пусть в результате преобразования уравнения
/iW-ftW B-1)
получено уравнение
/iW=SjW. B.2)
Если каждый корень уравнения B.1) является корнем уравнения B.2), то уравне-
уравнение B.2) называют следствием уравнения B.1).
Корни уравнения B.2), не удовлетворяющие уравнению B.1), называются
посторонними корнями уравнения B.1) и не считаются решениями этого ура-
уравнения.
К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязате-
обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квадрат (или другую четную
степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебра-
алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т. п.
4°. Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посто-
посторонние корни исходного уравнения, необходимо проверить каждый из найденных
корней подстановкой его в исходное уравнение.
Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять
промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принад-
принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброше-
отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой
в исходное уравнение.
5°. Если уравнение имеет вид f(x) h(x)=g (x)h (x), то деление обеих его
частей на h (х), как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере
корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения h (х)=0, если они
существуют.
35

Уравнение не считается решенным как в случае, когда ответ содержит
посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы
один корень.
2 1 6
Пример 1. Решить уравнение (--— .
3-х 2 хC-х)
D Перенесем все члены уравнения в левую часть и преобразуем полученное
*712
х7х+12
выражение к виду =0. Из уравнения дс —7дс-н12=0 находим xi»3,
2хC-х)
х2=4. При х=3 знаменатель обращается в нуль; значит, 3 не является корнем.
Итак, получаем ответ: х=4. ¦
Пример 2. Решить уравнение *Jx—2=x—4.
D Возведем обе части уравнения в квадрат:
0, xi=3, Х2=б.
Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Если дг=3,
то получаем 1»= —1—неверное равенство; если х»6, то получаем 2=2 —
верное равенство. Значит, заданное уравнение имеет единственный корень х=Ь.
Отметим, что можно было сначала найти область определения данного
Гх-2»0,
уравнения. Для этого решим систему неравенств < откуда х>4. Тогда
сразу видно, что х\=Ъ — посторонний корень исходного уравнения. Проверкой
убеждаемся, что х=Ь удовлетворяет заданному уравнению. Итак, х=6. ¦
Пример 3. Решить уравнение y/l-4x+2~y/Bx+lJ-Sx.
D Преобразуя правую часть уравнения, получаем:
у/l -4х+2-у/Bх-1I; у/\ -4х+2=|2х-1|.
Это уравнение имеет решение лишь при условии 1—4х>0, т. е. х<1/4. Тогда
\2х—1|=«1— 2х (а не 2х— 1, так как это верно только при дс>1/2, что противоречит
условию дс<1/4). Значит, ^/l — 4х+2«1 — 2х, откуда
Область возможных значений х определяется системой неравенств
f l-4x»0,
т. е. дг < -1/2. Возведя обе части уравнения (*) в квадрат, получим
f l-
(.-1-
0, дс2= -2.
Корень xi  не удовлетворяет условию х< —1/2 и поэтому является посто-
посторонним; корень дг2=-2 удовлетворяет неравенству дг^-1/2, но его следует
проверить. Подставив х= — 2 в исходное уравнение, получим верное равенство:
3+2—5. Итак, заданное уравнение имеет единственный корень х<- —2. ¦
При решении уравнений часто используются метод разложения на множи-
множители и метод замены переменной.
Пример 4 Решить уравнение (*+1) (х2+2)+(х+2) (ха + 1)-2.
D Раскрыв скобки и приведя подобные члены, имеем 2x3 + 3x
Разложим левую часть уравнения на множители. Сначала группируя члены
уравнения, а затем используя формулу A.13), получаем
36

(x+l)Bx2+x+2)=0.
Последнее равенство верно при условии, что по крайней мере один из
сомножителей равен нулю: х+1=0, откуда х« — 1, или 2х2+х+2=0. Однако
дискриминант последнего уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет
корней. Итак, х= — 1. ¦
Пример 5. Решить уравнение 7 I хн— 1—2 I х2н—- 1—9.
\ х/ \ х2}
1 / 1\2 ,
П Введем переменную z, полагая хН—=z. Тогда I хн— ] =г , откуда по
х \ х)
формуле A.9) находим х2+2Н—=z2.
х2
Заменив в данном уравнении выражение в первой скобке на г, а во второй —
на z2—2, получим
7z-2 (z2-2)=9; 2z2-7z+5=0; z,=5/2, z2 = l.
Для отыскания х следует решить два квадратных уравнения:
15, 1
хн— «¦-, 2х2-5х+2=0; х.=2; х2=-;
х 2 2
хн— = 1, х2—х+1=0; ХХО — корней нет.
х
Итак, получаем ответ: Х] = 2; хг = 1/2. ¦
Пример 6. Решить уравнение -Jx+l+-j4x+U =Jlx+\2.
D Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
x+l+4x+13+2V(*+l)Dx+13)=3x+12;
Еще одно возведение в квадрат привело бы к уничтожению иррациональ-
иррациональности, однако здесь нет необходимости в этом преобразовании. Замечаем, что
полученное уравнение-следствие может иметь решение только при условии
jc+1<0. Вместе с тем одним из условий существования решения исходного
уравнения является требование х+1 >0. Оба условия совместны в единственном
случае, если х+1<=0, откуда х- — 1. Это значение х, как легко проверить,
удовлетворяет исходному уравнению. Так как уравнение-следствие других корней
не имеет, то других корней не имеет и исходное уравнение. Итак, х= — 1. ¦
Прмер 7. Решить уравнение %/E+хJ+4 VE-xJ«5 3v/25-x2.
D Так как х=5 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно
разделить на 3,JE—xJ, причем потери корней не произойдет. Получаем уравне-
уравнение, равносильное исходному:
//5+ху , /5+х
/( ) +4=5 J "
/5-f-jc
Полагая s / —z, приходим к квадратному уравнению z2 — 5z+4=0, от-
V 5-х
/5+х
куда i\=\, Z2»4. Для отыскания х имеем два уравнения: / = 1
Y5-X
37

и э J- =4. Возведя в куб обе части каждого из них, получим = 1, откуда
5+х
х=0, и—-=64, откуда х=63/13. Итак, xi=0; x2=63/13. ¦
5—х
Пример 8. Решить уравнение
D Запишем уравнение в следующем виде:
Положим -Jlx1 -Ъх + 2 — z; отметим, что пригодными могут быть только
значения z>0. Произведя указанную замену, получим уравнение z1 — 2z+\=0,
откуда z=l —это пригодное значение z и поэтому уравнение ,/2х2 —Зх+-2 = 1
или 2х2-Зхч-1=0 равносильно заданному. Корни Х[ = 1/2, хг=\ этого квадрат-
квадратного уравнения являются корнями исходного уравнения. Ш
Пример 9. Решить уравнение
? Положим \/х— 1 =z и заметим, что z>0, х> 1, x=z2 +1. Тогда на основа-
формулы A.23) иолучим -</х + 3— 4^/х— 1 = v/z2~-4z4-4 = |z~-2|;
б-Ух-1 =-v/z3 —6z + 9 = |z-3i. Исходное уравнение примет вид
Используя определение модуля, рассмотрим следующие случаи:
1) если z<2, то 2—z+-3—z= 1, откуда z=2;
2) если 2^z<3, то z— 2 + 3 — z=l, откуда 1 = 1, т. е. все значения z, принад-
принадлежащие промежутку [2, 3), удовлетворяют уравнению;
3) если z>3, toz—2+z —3 = 1, откуда z=3.
Объединяя эти решения, заключаем, что уравнению (•) удовлетворяют все
значения z, для которых 2<<3
Так как z = -Jx-l, то 14,Jx-\ ^3; значит, 4^ х- 1г?9, откуда 5^x^10.
Пример 10. Решить систему уравнений
? Эту систему линейных уравнений можно решать методом последователь-
последовательного исключения (методом Гаусса), однако проще поступить так: сложив уравне-
уравнения, получим 4 (х+>>+г)=24, откуда х+>Ч-г=б. Последовательно вычитая это
уравнение из каждого уравнения системы, находим х=1,>>=2, z=3. ¦
Пример 11. Решить систему уравнений
\х2у+у2х=20.
D Возведем в квадрат обе части первого уравнения:
х2у+у2х+2хуу/ху=Ъ6.
38

Вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, получаем xy-Jxy—% или
(луI—64, т. е. лги—4. Это уравнение и второе уравнение заданной системы
образуют систему
fjty-4, fxy-4,
{ или <
иу(дс+^)-20 U+>-5.
Отсюда находим две пары решений: *i«4, j», — 1 и хг — 1, Уг=4- Проверкой
убеждаемся, что обе пары удовлетворяют исходной системе уравнений. ¦
Груши А
Решить уравнения* B.001—2.066):
2.001.
2.003.
2.005.
2.007.
2.009.
х-3
х-1
ах2
х-1
X
а + Ь
Ь
х—а
х+2
х+3
х+1
= (я+1
2а-х
а~Ь
а
х~Ь
х+б
х + 2
а+Ь
X
=2.
х+6 х+10
+ + =
X—
X—
=6.
6
2.002.
2
2.004.
2.006.
2.008.
2.010.
Х2 + 1
х-4
дс+- =
X
а2-1
ах-1
х+л
т+л
xJ-l
х+3
= 23.
т2+п2
~т2-п2'
а—х
а
т—п
х—л
7 (х-2) (х-3)
= 1.
х+р т—р
т+р х—р
11
х+1 х+3 х+5
5а 4а Зд
2.011. + + = 8.
у+а у+2а у+За
2.013. (х+3K-(х + 1K = 56.
2.015.
2.017. (x+l)
Bх-7)(х+2)(х-6)
/x2 + 6V / 5х V
2.012. = .
\x2-4j \4-x2J
<2) \ +x)~ •
2.014. (x-aK-(x-
2.016. 3
x
x2 b3 b b2
= 2. 2.018. —+—=-+—
a x a a
x-2 x+2 x-4 x+4 28 xJ+x-5 3x
2.019. + = + . 2.020. +-: ;+4=0.
2.021.
x-1 x+1 x-3 x+3 15
(x-aiJ+x(x-a)+x2 19
2.022.
x2+x-5
5
-=2.
2.023.
1
1
1
х3+2 х3+312'
Х025.
1
1
1
х (х+2) (х+1J 12
2.024.
2.026. x*-
x—a x—b
x—b x—a
50
2х4-7
2,5.
= 14.
'Величины а. Ь. с, р, q, т, п, как правило, считаются постоянными, а х, у. х,
u, v, иг — переменными.
39

2.027.
2.029.
21
2.028.
- = 2,9.
2.031. J\S-x+Jb^x=6.
2.032. ^3x4-7-^+1
2.033.2^7^:0,6 3 /-=10
2x-\2. 2.037.
2.046. \+J\+Xy/x1-2A=x. 2.047.
2.055. 3
2.057. y/x*+32-2
6. 2.059.
40

2.062.
2.064.
¦' /- = 2,5.
'' 16z
V*+2 5
2.065. x2 + 3x-
2.066. x2-4x-
Решить системы уравнений B.067—2.119):
2.067.
2.069.
2.071.
2.073.
2.075.
U=3.
(x-y)xy =30,
(x+y)xy= 120.
fx 1+y 1 =
1.077. ^ _, _,
[x +y =
2.079.
2.081.
2.083.
2.085.
2.068.
2.070.
2.080.
2.082.
-yJ + x=0,l25+y.
({x~y)(x2-y2)=45,
\x+y=5.
Cx+y x-y 13
2.084. <x~y x+y 6'
2.086. <y x 6
41

2.087.
2.089.
2.091.
{
х
х+у+-
У
(х+у) х
= 20.
(х2у+ху2 =
2.093. \Х_+У .65>
{х1у+ху1 = 20.
2.095.
Гх3+>-3 = 35,
[х+у-5.
{2х+ у+ z = 7,
х+2у+ z = 8,
х+ y+2z=9.
fv-«=l,
2.098. < tv-v=l,
l(«-lK + (v-2K + ()v-J
2.099.
2.101.
2.103.
2.105.
глт.
2.109.
"V 8 V 12
1 1 4
\х2у+у2х=*20.
2.088.
Z090.
2.092.
2.094.
f«3+v3 + l=/n,
|«3v3= — т.
\ху=2.
Г x+2y+3z=3,
2.096. <3х+ >>+2z=7,
( z=2.
2.100.
2.102.
—ух- v—8.
2.110.
42

^^ЕЬ 2.115. K
6y/(x+yK (x -yf = 8. Iw + v = Juv + 3
2.120. He решая уравнения ax2
X\ и *2 — корни данного уравнения.
1 1
2.121. Составить квадратное уравнение с корнями — и —, где
Х\ и Xj — корни уравнения a
2.122. Составить уравнение второй степени, один из корней которого
равен сумме, а другой — произведению корней уравнения ах2 + Ьх + с=
= 0.
2.123. Составить уравнение второй степени, корни которого были бы
на единицу больше корней уравнения ax2 + bx + c=0.
2.124. Определить коэффициенты квадратного уравнения х2+рх+
+ д=0 так, чтобы его корни были равны рад.
2.125. Найти коэффициенты А и В уравнения х2 + Ах+В = 0, если
известно, что числа А и В являются и его корнями.
2.126. При каком целом значении к один из корней уравнения
4х2 — (ЗА: + 2) х + (к2 — 1) = 0 втрое меньше другого?
2.127. При каком целом значении р уравнения Ъх2—Ах+/7—2=0
и х2 — 2рх + 5 = 0 имеют общий корень? Найти этот корень.
2.128. Найти все значения а, при которых сумма корней уравнения
х2 — 2а (лс — 1) —1=0 равна сумме квадратов корней.
2.129. При каком значении а уравнения х2 + ах+8 = 0 и х2+х+а=0
имеют общий корень?
2.130. В уравнении х2 — 2* + с=0 определить то значение с, при
котором его корни х\ и xi удовлетворяют условию 1хг~4xi =47.
2.131. Не решая уравнения х2—Bд+1) х+а2 + 2=0, найти, при ка-
каком значении а один из корней в 2 раза больше другого.
2.132. При каком значении р отношение корней уравнения
*2+;мс-16=0 равно -4?
43

2.133. Не решая уравнения Зхг — 5х—2=0, найти сумму кубов его
корней.
2.134. При каком целом значении Ь уравнения 2х2 + (ЗА — 1) х— 3 = 0
и бх2— BА—3) х— 1 =0 имеют общий корень?
2.135. При каком положительном значении с один корень уравнения
8х2 — 6х+9с2 = 0 равен квадрату другого?
Груша Б
Решить уравнения B.136—2.182):
2136 fr-^fr-^fr-fl (*-«)_t
' (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)
х—/и jc+л» х—2/и х + 2/и 6 (т — 1)
"> | Т | I
«iXJ/t "f — "I" •
x-l x+l x-2 x+2 5
z-4 z+8 z-8
2.140.
z+l z4 z+8 z8
2.138. + = + +6.
z-1 z+1 z-2 z+2
2.139. ax*-x3 + a2x-a=0.
2.141.
2.142.
)
4500.
2.143.
2.145.
2.147.
2.148.
|x| + |x-
x+l
и2
г+-
-i|=:
xJ+2
x-2
(x+:
и
= -2.
= 2.
2.144.
2.146.
J(x-2)=12.
x+l x+2 25
+ + =-.
,jc+1 x+2 x 6
+
2-й2 2-й
2.149. x3-(a+b + c) x1
x2+l x
2.150. + = -2,5.
* l
ac+bc) x-abc=0.
x x
1 1
I i
2
10
( \\ ( , 1\
2.151. 7 I x+- -2 { x2+— =9.
\ x) \ x1)
(x+2I 9
2.153. 2 (x-lJ-5 (x-l) (х-а)+2(х-аJ=0.
2 154
2.155.
2.157.
2.159.
T
2.156.
+
(x+2) (x-l)(x+4)
za-z+l z2-z-2
1. 2.158. (x2-6xJ-2(x-3
44

2.160. 20
) -51 ) +48-— = 0.
\x+lj \x-\J х2-1
(x+y/x2-l)s (х-у/х2-1K = 1.
Решить системы уравнений B.183—2.243):
2.183. .
л + х—6.
i \Л
45

2.185. K^-20 = °-
[х+у2-20 = 0.
2.187. \*У*У2=^'
{Зх2у+у3=-185.
(х2+у2 = 34,
2.189. \ У
[х+у + ху=23.
2.191.
2x2-3xy + y2 = 3,
2.186.
2.188.
2.190.
2.192.
{х2-2ху=-3.
X
ху —
У
у
ху —
X
16
== —
3
9
2
2.193.
2.195.
2.197.
2.199.
2.200.
2.194
2.196.
2.198.
(х-у)(х1-у1) =
(х+у)(х2+у2) =
4 5 5
(x-yJ-2y=3-2x.
2.201. <Х+У x-
2.203.
2.205.
2.207.
= 3,
-х+^-1 2х-у + 3 5
1 ab + l
2.204.
2.206.
х2—ху уг—ху б'
3 б
—ху у2—ху 5
(x-D0'-l)=2.
46

fx+j'+z=3,
2.211. <x+2y-z=2,
2.212. < 2* + 3_y+z=0,
(x+y+z=2,
(x+y+z=6,
2.213.
(x+y+z=O,
2.215. < c
l
2.214.
{x—ay+a2z=a3,
x-by+b2z=b3,
x—cy+c2z=c3; афЬ, Ьфс, сфа.
{ax+by+cz=k,
a1x+b2y+c1z=k2,
а*х+Ь*у+с3г=к3; афЪ, Ьфс, сфа.
2.218. <yz=b,
<zx — c; abc>0.
3 15
-+— = 2,
uv vw
2.220. \ —+—=
2.219. N - + ±+_ = 3,
2.221.
гх-\ у+Ъ z-\
[2x + 3y-5z+l9=0.
47

2.224. < '_
l\6x
~5y~
2.225.
V x+y V x+l
y + 2
2.226.
IM-
u-v_ 12
и+v u+v
2.227.
2.228.
2.230.
2.232. <
2.234.
2.236.
2.238.
-•А з Г . _ -1/2
[3x+2y=4.
2.229.
2.231.
2.233.
' ' ' 2.235.
mv=64.
2 237
'^-2'/-l-l,
-{;
= 19,
2.241.
2.242.
2x+y=*2.
.V „ 2.243. <Vj
3,
/лг-у+2=3,
х n У 5
-+2+—-,
x 2
2.244. Решить уравнение
48

2.245. Найти коэффициентыт и п квадратного трехчленахг+тх+п,
если известно, что его остатки при делении на двучлены х—т и х—п
соответственно равны тип.
2.246. Квадратное уравнение ах2 + Ьх+с=0 имеет два корня. Со-
Составить новое квадратное уравнение, у которого один из корней на
единицу меньше большего корня, а другой — на единицу больше мень-
меньшего корня данного уравнения.
2.247. Определить, при каких значениях т один из корней уравнения
г3 — (/и2—т + Т) г— (Зш2 — Ът -6) = 0 равен — 1. Отыскать два остальных
корня уравнения при этих значениях т.
2.248. Показать, что если коэффициенты а, Ь, с уравнения ах2 + Ьх +
+ с = 0 связаны условием 2Ьг — 9ас — 0, то отношение корней уравнения
равно 2.
2.249. Показать, что если а и b — корни уравнения х2+рх+\=0,
а А и с — корни уравнения x2 + qx + 2 = 0, то (b — a) (b — c)=pq — 6.
2.250. При каких значениях а уравнения х2+ах+1 =0 и хг + х+а=0
имеют общий корень?
2.251. При каком положительном значении р корни уравнения
5х2— 4 (р + 3) х+4=р2 противоположны по знаку? Найти эти корни.
2.252. Найти коэффициенты уравнения x2+px+q=0 при условии,
что разность корней уравнения рг.вна 5, а разность их кубов равна 35.
2.253. Составить квадратное уравнение с корнями (а + b) и (а—ЬJ,
если а и b — корни уравнения x2+px + q = 0.
2.254. Пусть а и ft — корни уравнения Зх2 + 7х+4 = 0. Не решая
данного уравнения, составить новое квадратное уравнение с числовыми
i P
коэффициентами, корни которого равны и .
2.255. Показать, что среди корней уравнения х*+5хэ+\5х — 9 = 0
есть только один положительный и только один отрицательный (сами
корни находить не обязательно).
Группа В
Решить уравнения B.256—2.302):
2.256. (х3 + х-3) + (х2 + х-2 1
2.257. (х + 3)*+(х+5L=16.
2.258. (лг-1M + (х+3)' = 242
2.259. (х-2N + (л:-4N = 64.
2.260. 27
, Six2
2.261. х2+ = 40.
(9+хJ
2.262. х3-х2 г^—г = 2.
32
2.263. 2(х2 + х+\J-7 (х-1J = 13 (х3-\).
2.264. 10х3-Зх2-2х+1=0.
2.265. хэ-Bа+1) х2+(а2+а) х-(аг-а) = 0.
49

2.266. иэ-Bв+1) и2 + (а2 + 2а-Ь2) и+(Ь2-а2) = О.
2.267. х3-(р2-р + 1) х-3 (р2-р-2}=0.
2.268. х3 — Bв+1) х2 + (а2 + 2а—т) х—(а2-т) = О.
2.269. х3-3ax2 + Ca2-b)x-(a3-ab)=0; Ь>0.
2.270. Ах*— 16дс3 + 3дс2 + 4дс—1=0.
2.271. x3-2au2 + (a2 + 2v/3a-9)x-Be2v/3-12e+6v/3) = 0.
2.272. х3-2х2-(а2-а-1);е+(а2-а) = 0.
2.273. x3-Ca-l) x2 + Ba2-3a) x + 2a2=0.
2.274. z3-Bp+\) z2 + (p2 + 2p-q) z-(p2-q) = Q.
2.275. л/х—,
2.276.
2.277.
(ограничиться отысканием положительных корней).
2.278.
2 + х
50

2.294.
V*-i
1 1
2.295. -= f+-7=—
2.296.
/2x+15
-. + J2x + I5 = 2x.
2.297. X4l5-lx-215
2.298. 8,4 'V*3'
2.299. VB^xj*4
2.300. 4/*-2 + \/'
C4-хK ^
,-13 '7. 2 „ 1 2 /v 1 1
= 3.
2.301.
2.302.
j = 30
-x) (x -6) + 'ч
49
Решить системы уравнений B.303—2,341):
f + -4 Bx+y + z=0,
2.303. Г У *~ ' 2Л04.
I2xv —г =16.
Bx+y+z=6,
^
2.305.
2307.
2309.
2311. (*'¦"'-*->-«*
/'x у г
b + z + x = 3>
2.306. "< Z+f4.f=3
( у г
{e+A *+c c+a
+ =1,
x+y y+z z+x
й+b b+c c+a
I =i)
x+y y+z z+x
a+b b+c c+a
+ + =1.
x+y y+z z+x
1 _3
2.3Ю.
fx x x
+72+73~ '
2.312.
ttx+y)(.x+2y)(x+3y)=60,
\(У+x) (y + 2x) (y+ 3x) = 105.
51

2.313.
4 (x3+y3 = 2,
\2ху2-хгу=]
.с3+у3--
2.314. I . ' (ограничиться отысканием целочисленных
/ решений).
¦х*+6х2уг+уА=П6, f9(«*+v*)=17(M + vJ,
2.315. f . . ' 2.316. ,
[3mv=-2(« + v).
2.317. < * 2.318.
2.319. ^ / 2.320. ; ;
x
flO (x*+v*)= -17 (л-3у+ху3), fx3 + v3 =
2.321. ^ , , V 2.322. ^ 7ч
, , 5 (x + y+z=2,
2.323. ^- + -+-=1,5, 2.324.
x у z
6, Гх>-+;>>г=8,
2325. ^je2+j>a+z2=14, 2.326. <72+гл:=9,
J ух2и> = 24 (ограничиться отысканием положительных
2328. < , ' решений).
j xztv«=12,
2329. Г, , ¦;- ' 2.330.
9. j ^ +*_У
2331. ¦{ ^ _ (ограничиться отысканием целочисленных
13-v/x+3vJ'=5 решений).
52

2.332.
2.334.
2.336.
2.338.
2.340.
-y/xyz=\.
2.342. 1. Пусть числа хи хг и Хз служат корнями многочлена
b + bx2 + cx+d. В таком случае имеет место тождество
с—Х\) (х—Хг) (х—Хз).
Воспользоваться этим тождеством для получения формул, связывающих
корни и коэффициенты данного многочлена.
2. С помощью формул, полученных в п. 1, найти корни хи
х2 и Хз уравнения 8дс3 — 20х2 — 10дс+33 = 0, составив и решив новое куби-
кубическое уравнение с корнями Х\ + хг, х2 + хъ и x3 + Xi.
2.343. Решить уравнение Здг3 + 2Л/3 х2 — 2\х + 6^3 = 0, если известно,
что произведение двух его корней равно 1.
2.344. Решить уравнение 2ах3~Bа2 + а + 2) х2 + (а2 + 2а+\) л:-а = 0,
если известно, что произведение двух его корней равно единице.
2.345. Для уравнения х3 + ах2 + Ьх+ 1=0 произведение суммы его
корней на сумму их обратных величин выразить через коэффициенты
аи Ь.
2.346. Решить уравнение Sx3 + 4x2 — 34x4-15 = 0, если известно, что
два из его корней х\ и х2 удовлетворяют соотношению 2xi — 4x2 = 1 •
2.347. Доказать, что если корни уравнения x3 + ax2 + bx + c=0 со-
составляют геометрическую прогрессию, то один из них равен — 3-Jc.
2.348. Решить уравнение 64х3 — 24х2 —6х+1=0, если известно, что
его корни образуют геометрическую прогрессию.
2.349. Решить уравнение ax34-Z>x24-cx4-d=0, если его коэффициен-
коэффициенты а, Ь, с u d в указанном порядке составляют геометрическую прогрес-
прогрессию с заданным знаменателем д.
53

2.350. Решить уравнение х* — 6х3 + 1х2 + 6х — 2 = 0, если известно, что
оно имеет по крайней мере одну пару корней, разность между которыми
равна 1.
2.351. Найти коэффициенты аи Ь уравнения х* + х3 — 18х2 + ах + Ь —
= 0, если известно, что среди его корней имеются три равных целых
числа.
2.352. Числа xt, хг, х-± служат корнями уравнения x3+px2 + qx+r—0.
Требуется: 1) составить уравнение с корнями х{х7, х2х3, х3х}; 2) восполь-
воспользоваться результатом п. 1 для отыскания корней уравнения
/ /
/
2.353. Найти коэффициенты р и ц уравнения х* ~\Qx3-Jr27x1+px +
+ q=G, гели известно, что среди его корней имеются две пары равных
между собой чисел.
2.354. Показать, что корни уравнения х+х ~! =-- 2 cos 40° являются
также корнями уравнения х* + х~* — 2cos 160°.
2.355. Решить уравнение 2xs — х* — 2х3 + х7 — 4x-t2 = 0, если извест-
известно, что оно имеет три корня, из которых два являются противополож-
противоположными числами (противоположными называются два числа, сумма кото-
которых равна нулю).
2.356. Решить уравнение х*—4х3 + Здг2 + 8х-10 = 0, если известно,
что два его корня отличаются друг от друга только знаком.
2.357. Решить уравнение 12х3 + 4х1—Пх+6 = 0, если известно, что
среди его корней имеются два числа, обратных по абсолютной величине
и противоположных по знаку.
2.358. Составить уравнение с целыми коэффициентами возможно
более низкой степени, одним из корней которого было бы число
f
ф
2.359. Решить уравнения 2х3~5хг + Ьх-2 = 0 и 6х3-3х2~?х+ 1 =0,
если известно, что они имеют один общий корень.
2.360. Найти все значения а, при которых уравнения ад:3 — х2~-х —
— (Я +1} — 0 и кх2 — х — (Х+ 1) = 0 имеют общий корень, и найти этот
корень.
2.361. Решить уравнения хэ-6х2-39х-10= 0 и x3+x2-2Ox-5O =
= 0, воспользовавшись тем, что один из корней первого уравнения
в 2 раза больше одного из корней второго уравнения.
2.362. Решить уравнения х3-7х2+ 12х-Ю = 0 и x3~10x2-2j: +
+ 20 = 0, если известно, что один из корней первого уравнения в 2 раза
меньше одного из корней второго уравнения.
2.363. Решить уравнения x*-.x3~22x2+16x+96 = 0 и х3-2х2-
— Зх+10 = 0, воспользовавшись тем, что у них есть общий корень.
2.364. Показать, что равенство ab = c выражает необходимое и до-
достаточное условие того, что среди корней уравнения x3 + ax2 + bx + c—0
имеются два числа, сумма которых равна нулю.
2.365. Показать, что условие kb1 — (k+lJ ac=0 (kjtO) является не-
необходимым и достаточным для того, чтобы отношение корней уравне-
уравнения ax2 + bx+c=0 было равно к.
2.366. Найти все три корня уравнения ax3 + bx2 + cx+d=Q, если его
коэффициенты удовлетворяют условию ad=bc.
54

2.367. Составить уравнение третьей степени по его корням х\, xtx2
x\, если числа Х\ и хг являются корнями уравнения x2+px+q=0.
2.368. Показать, что уравнение ^/х* + х—2+*у/х*+х—2=6 имеет
единственный положительный корень, и найти этот корень.
2.369. Дано уравнение ах2+Ьх+с=0. Пусть S,,=a"+)ff", где а и Р —
корни уравнения. Найти зависимость между Sn, Sn+l, Sn+2-
2.370. Показать, что для всякого натурального числа л выполняется
1 1 1 л+1
равенство 1 I-...H = , и с его помощью решить
1-2 23 (п + 1)(п+2) л+2
уравнение
:(-+-+... + —) = 342.
V2 6 342/

ГЛАВА 3
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Пример 1. В направлении от А к В автомобиль ехал некоторое время с посто-
постоянной скоростью V[ = 60 км/ч. Остальную часть пути он проехал за такое же
время, но со скоростью V2=40 км/ч. В противоположном направлении автомо-
автомобиль ехал одну половину пути со скоростью v3=8O км/ч, а другую полови-
половину — со скоростью V4=45 км/ч. Какова средняя скорость рейса: а) из А в В1
б) из В в А1
D а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежутков времени ехал
v,+v2 60+40
с каждой из указанных скоростей, то vCD= = = 50 (км/ч).
2 2
б) Обратный рейс состоит из двух равных частей пути (предположим, что
каждая из них равна s км), которые пройдены автомобилем в неравные проме-
промежутки времени; поэтому было бы неверно считать, что
v3 + v4 80+45
vqj = = =62,5 (км/ч). Пусть автомобиль ехал х часов со скоростью
v3 и у часов — со скоростью v4. Тогда vjx=V4V=s, откуда х=—. Следовательно,
v3
средняя скорость
Is 2v4y 2v3v4 2-80 45
v_= = = = = 57,6 (км/ч). ¦
x+y У4у/уз+у v3+v4 125
Промер 2. Бригада рабочих выполнила некоторое задание. Если бригаду
уменьшить на 20 человек, то такое же задание она выполнит на 5 дней позже, чем
при первоначальном составе, а если бригаду увеличить на 15 человек, то она
выполнит задание на 2 дня раньше. Сколько рабочих было в бригаде первонача-
первоначально и за сколько дней они выполнили задание?
D Пусть х рабочих выполнили задание за у дней; тогда по условию
ху=(х-20) (у + 5) и ху = (х + 15) (у-2).
х-20 у х+15 у
Запишем оба равенства в виде пропорций: = и = . Каж-
х у+5 х у—2
а с а — Ь c—d
дую пропорцию вида -=- заменим равносильной пропорцией вида = .
b d Ь d
-20 5 15 2 *
Тогда получим = и — = . Теперь легко находим, что х=60и.у=10.
х у+5 х у-2
Итак, в бригаде было 60 человек, которые выполнили задание за 10 дней. ¦
Пример 3. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одно-
одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй —
через 2 ч после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м3 воды,
а второй и третий вместе 28 м3. Какое количество воды выкачивает за час
¦•ят-диД насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м3 больше,
чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м3?
56

D Пусть первый и второй насосы выкачивают за час соответственно
х и у м3, тогда третий выкачивает за час (х+3) м3. Второй и третий насосы
выкачали соответственно 2у и B8—2у) м3 воды. Первый насос работал 9/х часов,
9 28-2у
третий B8 — 2у)/(х+3) часов. Согласно условию, -= и 2х+у+3 = 14. Решая
х х+3
систему уравнений, находим х=3, у=5. Итак, получаем ответ: 3, 5 и б м3. ¦
Прамер 4. Пешеход, идущий из совхоза на железнодорожную станцию, прой-
пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин,
если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со
скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно
расстояние от совхоза до станции и с какой постоянной на всем пути скоростью
пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда?
? Составим следующую таблицу:
Пешеход пришел бы
на станцию
Точно
С опозданием
С опережением
Расстояние, ем
X
х-3
х-3
Скорость, км/ч
V
3
4
Время, ч
X
V
х-3
3
х-3
4
Уравнивая промежутки времени, записанные в первой и второй, в первой
и третьей строках, получаем систему уравнений
х х—3 2 х х—3 1
— it — , — IT T
v 3 3 v 4 4
x-2 x+2
нля = , откуда х=14. Итак, получаем ответ: х=14 км, v=3,5 км/ч. ¦
3 4
Пример 5. Расстояние между точками Аи В равно 270 м. Из А в В равномер-
равномерно движется тело; достигнув В, оно сразу же возвращается назад с той же
скоростью. Второе тело, выходящее из В в А через И с после выхода первого из
А, движется равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается
с первым дважды: через 10 и 40 с после своего выхода из В. Найти скорость
движения каждого тела.
? Удобная модель задачи — график равномерного движения в системе ко-
координат «путь» (s — в метрах), «время» (I — в секундах). Пусть АС (рис. 3.1) —
график движения из А в В со скоростью V[ =tga (ось времени At); CD — график
движения из В в Л того же тела с той же скоростью vj =tga (ось времени Bt);
EF — график движения из В в Л со скоростью v2 = tg/f, /j<a (ось времени Bt).
Промежуток времени ??—11, промежуток времени до первой встречи
ЕН= 10, между первой и второй встречами ЯЛГ—30; тогда NM\yu HM** 10v2,
KF-40v2, Ш+HM-AB-VO, т. е.
21v, + 10v2-270. (•)
Промежуток времена #C«#A//v,«10v2/v,; промежуток времени CK"KF/vt-
-40v/v,. Так как НС+СК-30, то IOvj/vi +4OV2/V! -30, откуда
57

5v2 = 3vi.
Решая совместно уравнения (*) и (**), находим v, = 10 м/с, v2=6 м/с.
V I
Рис. 3.1
Рис. 32
Првмер 6. Из А в В вышла машина с почтой. Через 20 мин по тому же
маршруту вышла вторая машина, скорость которой 45 км/ч. Догнав первую
машину, шофер передал пакет и немедленно поехал обратно с той же скоростью
(время, затраченное на остановку и разворот, не учитывается). В тот момент,
когда первая машина прибыла в В, вторая достигла лишь середины пути от места
встречи ее с первой машиной до пункта А. Найти скорость первой маптиы если
расстояние между Аи В равно 40 км.
? Рассмотрим систему координат «путь» (s — в километрах), «время» (* —
в часах). Пусть АС (рис. 3.2) — график движения первой мяглины с искомой
скоростью v=tg a; DE и EF — график движения «туда — обратно» второй маши-
машины со скоростью tg/f=45; Л2) = 1/3. Известно, что АВ*=40 и G — середина пути
АН. Пусть AG=NK=y. Тогда промежуток времени DK==yltgP=y/4S. Геомет-
Геометрически ясно, что DK=>KL=LAf, поэтому промежуток времени движения первой
1 Ъу
АМ=-Л—, откуда
3 45
-+— v=40.
1 2у
Промежуток времени АЬ=-Л—, LE=AH=2y, поэтому
3 45
\3 45/
С)
(**)
Решая совместно уравнения (*) и (**), находиму=--\5 км и v = 30 км/ч. ¦
Прамер 7. Из колбы, содержащей раствор соли, отливают 1/л раствора
в пробирку и выпаривают до тех пор, рока процентное содержание соли в пробир-
пробирке не повысится вдвое. После этого получившийся раствор выливают в колбу
и смешивают с оставшимся в ней раствором. В результате содержание соли
в растворе повысилось на р%. Определить процентное содержание соли в перво-
первоначальном растворе.
D Пусть в колбе было первоначально л литров раствора, содержащего х%
соли, что составляет лх/100 л соли. В пробирку отлили - л —1 л раствора. По
л
условию после выпаривания процентное содержание соли в пробирке повысилось
вдвое; так как выпаривается только вода, а количество соли остается неизмен-
неизменным, то затем в колбу вылили только 0,5 л раствора. Тогда в колбе окажется
л— 1 +0,5—и—0,5 л раствора, в котором по-прежнему содержится кх/100 л соли.
58

Согласно условию, имеем пх/100 = {х+р) (л — 0,5)/100, или пх = (х+р) (л—0,5),
откуда х=р Bл— 1). ¦
Пример 8. Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых
обладает следующими свойствами: первая цифра числа в три раза меньше суммы
двух других его цифр; разность между самим числом и числом, получающимся из
него перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится на 81.
? Пусть искомое число имеет вид 100х+10у+г, где х, у, z — его цифры.
Согласно условию, ix=y+z и число 100x+10_y+z — (lOOx+lOz-Ky) делится на 81.
Упрощая, получаем, что 9 (у —z) делится на 81, т. е. у — z кратно числу 9. Так как
у и z —цифры, то последнее возможно лишь в двух случаях: 1) у—z = 0
и 2) y-z = 9.
В первом случае имеем систему < , откуда Зд- = 2у, что возможно при
(_F-Z = O
х = 2, y = z = 3 (искомое число 233), при х = 4, y = z = 6 (искомое число 466) и при
jc = 6, y = z = 9 (искомое число 699). Во втором случае имеем систему
Второе уравнение системы возможно лишь яри z — О, у = 9; тогда х = 3
и искомое число раано 390. Кгак, получаем ответ: 233, 390, 466, 699. ¦
Группа А
Деление на часть:, пропорции, проценты
3.001. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой
как 1/5 : 1/3:1/20 , а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти
числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.
3.002. Вкладчик* снял со своего счета в Сбербанке сначала 1/4
вклада, затем 4/9 оставшихся и еще 64 000 руб. После этого у него
осталось на сберкнижке 3/20 всех его денег. Как велик был вклад?
3.003. Сумма первых трех членов пропорции равна 58. Третий член
составляет 2/3, а второй — 3/4 первого члена. Найти четвертый член
пропорции и записать ее.
3.004. Трое сотрудников получили премию в размере 297 000 руб.,
причем второй получил 1/3 того, что получил первый, и еще 18 000 руб.,
а третий получил 1/3 денег второго и еще 13 000 руб. Какую премию
получил каждый?
3.005. Длина Дуная относится к длине Днепра как 19/3:5, а длина
Дона относится к длине Дуная как 6,5:9,5. Найти протяженность каждой
из рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км.
3.006. В двух бидонах находится 70 л молока. Если из первого
бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в первом
бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров молока
в каждом бидоне?
3.007. Тракторист вспахал три участка земли. Площадь первого
равна 2/5 площади всех трех участков, а площадь второго относится
к площади третьего как 3/2:4/3. Сколько гектаров было во всех трех
участках, если в третьем было на 16 га меньше, чем в первом?
3.008. В библиотеке имеются книги на английском, французском
¦Указанные в условии задач числовые значения, характеризующие сто-
стоимость, величину заработка, размер премии, кредитные и другие денежные опера-
операции, не претендуют на совпадение с их реальными прототипами в современной
действительности.
59

и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на
иностранных языках, французские — 75% английских, а остальные 185
книг — немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?
3.009. В магазин для продажи поступили учебники по физике и мате-
математике. Когда продали 50% учебников по математике и 20% учебников
по физике, что составило в общей сложности 390 книг, то учебников по
математике осталось в 3 раза больше, чем по физике. Сколько учебников
по математике и сколько по физике поступило в продажу?
3.010. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После
того как первый рабочий повысил производительность труда на 15%,
а второй — на 25%, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей.
Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повыше-
повышения производительности труда?
3.011. На полях, выделенных агролаборатории для опытов, с двух
участков собрали 14,7 ц зерна. На следующий год после применения
новых методов агротехники урожай на первом участке повысился на
80%, а на втором — на 24%, благодаря чему с этих же участков было
собрано 21,42 ц зерна. Сколько центнеров зерна собирают с каждого
участка после применения новых методов агротехники?
3.012. Найти два числа, сумма которых равна 44, причем меньшее
число отрицательно. Процентное отношение разности между большим
и меньшим числами к меньшему числу совпадает с меньшим числом.
3.013. Найти три числа, если первое составляет 80% второго, второе
относится к третьему как 0,5:9/20, а сумма первого и третьего на 70
больше второго числа.
3.014. На вступительном экзамене по математике 15% поступающих
не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками,
а число решивших все задачи верно относится к числу не решивших
вовсе как 5:3. Сколько человек экзаменовались по математике в этот
день?
3.015. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5,
а знаменатели пропорциональны соответственно числам 1, 3, 7. Среднее
арифметическое этих дробей равно 200/441. Найти эти дроби.
3.016. Площади трех участков земли находятся в отношении
3 5 3
2 -: 3 -: 1 -. Известно, что с первого участка собрано зерна, на 72 ц
больше, чем со второго. Найти площадь всех трех участков, если сред-
средняя урожайность составляет 18 ц с 1 га.
3.017. Расстояние между Москвой и Смоленском по железной дороге
равно 415 км. На этом пути расположены города Можайск и Вязьма.
Расстояние между Москвой и Можайском относится к расстоянию меж-
между Можайском и Вязьмой как 7:9, а расстояние между Можайском
и Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой и Смоленском.
Найти расстояния между каждыми двумя соседними городами.
3.018. Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Масса серы
должна относиться к массе селитры как 0,2:1,3, а масса угля должна
составлять 11 -% массы серы и селитры вместе. Сколько пойдет каж-
каждого из веществ на приготовление 25 кг пороха?
3.019. Музыкальный театр объявил конкурс для поступления в ор-
оркестр. Первоначально предполагалось, что число мест для скрипачей,
60

виолончелистов и трубачей распределится в отношении 1,6:1:0,4. Одна-
Однако затем было решено увеличить прием, и в результате скрипачей было
принято на 25% больше, а виолончелистов на 20% меньше, чем ранее
намечалось. Сколько музыкантов каждого жанра было принято в ор-
оркестр, если всего приняли 32 человека?
3.020. Первое из неизвестных чисел составляет 140% второго, а от-
отношение первого к третьему равно 14/11. Найти эти числа, если разность
между третьим и вторым на 40 единиц меньше числа, составляющего
12,5% суммы первого и второго чисел.
3.021. Заработки рабочего за октябрь и ноябрь относились как
Ъ12:А1Ъ, а за ноябрь и декабрь как 2:8/3. За декабрь он получил на
45 000 руб. больше, чем за октябрь, и за перевыполнение квартального
плана рабочему начислили премию в размере 20% его трехмесячного
заработка. Найти размер премии.
3.022. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На схолько процентов
нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках
заработная плата возросла на 5%?
3.023. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска
готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем
в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план
выпуска продукции?
3.024. В первый день спортивных соревнований не выполнили зачет-
зачетные нормы и выбыли из дальнейшей борьбы 1/6 состава команды
юношей и 1/7 состава команды девушек. В течение остального периода
соревнований из обеих команд выбыло из-за невыполнения норм оди-
одинаковое количество спортсменов. Всего к концу испытаний не выпол-
выполнили зачетные нормы 48 человек из команды юношей и 50 человек из
команды девушек, но из общего количества спортсменов, выполнивших
зачетные нормы, девушек оказалось вдвое больше, чем юношей. Какова
была первоначальная численность команд?
3.025. Денежная премия была распределена между тремя изобрета-
изобретателями: первый получил половину всей премии без 3/22 того, что полу-
получили двое других вместе. Второй получил 1/4 всей премии и 1/56 денег,
полученных вместе двумя остальными. Третий получил 300 000 руб. Как
велика была премия и сколько денег получил каждый изобретатель?
3.026. В первую неделю отпускного путешествия друзья израсходо-
израсходовали на 6000 руб. меньше, чем 2/5 количества взятых с собой денег; во
вторую неделю 1/3 остатка и еще на билеты в театр 1200 руб.; в третью
неделю 3/5 нового остатка и еще на морские прогулки 3120 руб., после
чего у них осталось 42 000 руб. Сколько денег было израсходовано за
три недели путешествия?
3.027. За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана
выпуска автомашин. Число машин, выпущенных за второй, третий
и четвертый кварталы, оказалось пропорционально числам 11,25, 12
и 13,5. Определить перевыполнение годового плана в процентах, если во
втором квартале автозавод дал продукции в 1,08 раза больше, чем
в первом.
3.028. Обувная фабрика за первую неделю выполнила 20% месяч-
месячного плана, за вторую — 120% количества продукции, выработанной за
первую неделю, а за третью неделю — 60% продукции, выработанной
за первые две недели вместе. Каков месячный план выпуска обуви, если
известно, что для его выполнения необходимо за последнюю неделю
месяца изготовить 1480 пар обуви? .
3.029. Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену
61

снизили еще на 15% и, наконец, после пересчета произвели снижение еще
на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену
товара?
3.030. Вследствие реконструкции оборудования производительность
труда рабочего повышалась дважды в течение года на одно и то же
число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз произ-
производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше
вырабатывал изделий на 2S 000 руб., а теперь на 28 090 руб.?
3.031. В штате гаража числится 54 шофера. Сколько свободных дней
может иметь каждый шофер в месяц C0 дней), если ежедневно 25%
автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического
ремонта?
3.032. Три бригады рабочих сделали насыпь. Вся работа оценена
в 3255 тыс. руб. Какую зарплату получит каждая бригада, если первая
состояла из 15 человек и работала 21 день, вторая — из 14 человек
и работала 25 дней, а число рабочих третьей бригады, работавшей 20
дней, на 40% превышало число рабочих первой бригады?
3.033. В два сосуда одинаковой массы налита вода, причем масса
сосуда А с водой составляет 4/S массы сосуда В с водой. Если воду из
сосуда В перелить в сосуд А, то масса его вместе с водой станет в 8 раз
больше массы сосуда В. Найти массу сосудов и количество воды в них,
зная, что в сосуде В содержится воды на 50 г больше.
3.034. Имеются три сосуда, содержащих неравные количества жид-
жидкости. Для выравнивания этих количеств сделано три переливания.
Сначала 1/3 жидкости перелили из первого сосуда во второй, затем 1/4
жидкости, оказавшейся во втором сосуде, перелили в третий и, наконец,
1/10 жидкости, оказавшейся в третьем сосуде, перелили в первый. После
этого в каждом сосуде оказалось 9 л жидкости. Сколько жидкости было
первоначально в каждом сосуде?
3.035. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12%.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
3.036. На сколько процентов следует увеличить длину радиуса круга,
чтобы площадь круга стала больше на 96%?
3.037. В трех секциях спортивной школы было 96 спортсменов.
Число членов конькобежной секции составляло 0,8 числа членов лыж-
лыжной, а число членов хоккейной секции составляло 33 -% суммарного
числа членов двух первых секций. Сколько спортсменов было в каждой
секции?
Отношения «больше — меньше»
3.038. Один фермер получил средний урожай гречихи 21 ц с 1 га,
а другой, у которого под гречихой было на 12 га меньше, добился
среднего урожая 25 ц с 1 га. В результате второй фермер собрал на
300 ц гречихи больше, чем первый. Сколько центнеров гречихи было
собрано каждым фермером?
3.039. На вагоноремонтном заводе в определенный срок должно
быть отремонтировано 330 вагонов. Перевыполняя план ремонта в сред-
среднем на 3 вагона в неделю, на заводе уже за две недели до срока
отремонтировали 297 вагонов. Сколько вагонов в неделю ремонтиро-
ремонтировали на заводе?
3.040. На расстоянии s км грузовой автомобиль расходует бензина
на о л больше, чем легковой. Расходуя 1 л бензина, грузовой автомо-
62

биль проходит по тоё же дороге на Ь км меньше, чем легковой. Каков
расход бензина каждого из этих автомобилей на расстоянии s км?
3.041. По обе стороны улицы длиной 1200 м лежат прямоугольные
полосы земли, отведенные под участки, одна — шириной SO м, а дру-
другая — 60 м. На сколько участков разбит весь поселок, если более узкая
полоса содержит на S участков больше, чем широкая, при условии, что
на узкой полосе каждый участок на 1200 м меньше, чем каждый
участок на широкой полосе?
3.042. Груз массой 60 кг давит на опору. Если массу груза умень-
уменьшить на 10 кг, а площадь опоры уменьшить на S дм2, то масса, прихо-
приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг.
Определить площадь опоры.
3.043. В зрительном зале клуба было 320 мест, расположенных
одинаковыми рядами. После того как число мест в каждом ряду увели-
увеличили на 4 и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест.
Сколько стало рядов в зрительном зале?
3.044. Запас сена таков, что можно ежедневно выдавать на всех
лошадей 96 кг. В действительности ежедневную порцию каждой лошади
смогли увеличить на 4 кг, так как две лошади были переданы соседнему
колхозу. Сколько лошадей было первоначально?
3.045. Сочинение писали 108 экзаменующихся. Им было роздано 480
листов бумаги, причем каждая девушка получила на один лист больше
каждого юноши, а все девушки получили столько же листов, сколько все
юноши. Сколько было девушек и сколько юношей?
3.046. На машиностроительном заводе разработали новый тип дета-
деталей для генераторов. Из 875 кг металла изготовляют теперь на три
детали нового типа больше, чем деталей старого типа изготовляли из
900 кг. Какова масса детали нового и старого типов, если две детали
нового типа по массе меньше одной детали старого типа на 0,1 т?
3.047. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребо-
затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на
каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполага-
предполагалось, поэтому было дополнительно затребовано 4 машины. Какое коли-
количество автомашин было затребовано первоначально?
3.048. Город С, расположенный между пунктами А и В на одной
прямой, снабжается газом из этих пунктов, расстояние между которыми
500 км. Из резервуара А в каждую минуту откачивается 10 000 м3 газа,
а из резервуара В — на 12% больше. При этом утечка газа в каждой
магистрали составляет 4 м3 в минуту на километр трубы. Зная, что
в город С газ поступает из резервуаров А и В поровну, найти расстояние
между городом С и пунктом А.
3.049. В четырех ящиках лежит чай. Когда из каждого ящика вынули
по 9 кг, то во всех вместе осталось столько же, сколько было в каждом.
Сколько чая было в каждом ящике?
3.050. Два парка общей площадью 110 га разбиты на равное количе-
количество участков. Участки каждого парка по площади равны между собой,
но отличаются от участков другого. Если бы первый парк был разбит на
участки такой же площади, как второй, то он имел бы 73 участков, а если
бы второй был разбит на такие же участки, как первый, то он содержал
бы 108 участков. Определить площадь каждою парка.
3.051. В семье отец, мать и три дочери; всем имеет? 90 лет. Разница
в возрасте у девочек — 2 года. Возраст матери на 10 лег больше суммы
возрастов дочерей. Разность лет отца и матери равна возрасту средней
дочери. Сколько лет каждому члену семьи?
63

3.052. В кинозале имеется две двери, широкая и узкая. Через обе
двери после сеанса зрители выходят из зала в течение 3 мин 45 с. Если
зрителей выпускать через одну широкую дверь, то выход из зала займет
на 4 мин меньше, чем в том случае, если зрителей выпускать только
через одну узкую дверь. Сколько времени требуется для выхода зрителей
из кинозала через каждую дверь в отдельности?
3.053. Два сосуда с раствором соли поставлены для выпаривания.
Ежедневно выпариваемые порции соли постоянны для каждого сосуда.
Из первого сосуда получено 48 кг соли, а из второго, стоявшего на
6 дней меньше, — 27 кг. Если бы первый сосуд стоял столько же дней,
сколько второй, а второй столько, сколько первый, то из обоих рас-
растворов получилось бы одинаковое количество соли. Сколько дней стоял
каждый раствор?
3.054. В швейный цех поступило три кипы бельевого материала,
всего 5000 м. В первой кипе количество материала, было в 3 раза
меньше, чем во второй, а в третьей — 22% всего количества. Из матери-
материала первой кипы сшили 150 простыней и 240 наволочек. Для изготовле-
изготовления одной простыни требовалось на 3,25 м больше материала, чем для
изготовления одной наволочки. Из скольких метров материала шьется
одна наволочка?
3.055. От трех кафедр института поступили заявки на приобретение
дополнительного оборудования лабораторий. Стоимость оборудования
в заявке первой кафедры составляет 45% от заявки второй кафедры,
а стоимость оборудования в заявке второй кафедры — 80% от заявки
третьей. Стоимость оборудования в заявке третьей кафедры превышает
заявку первой на 640 млн. руб. Какова общая стоимость оборудования
в заявках всех трех кафедр?
3.056. Сумма квадратов корней уравнения х2 — Зах + а2 = 0 равна
1,75. Найти значение а.
Геометрические и физические задачи
3.057. Для спортплощадки отвели участок в форме прямоугольника
с диагональю, равной 185 м. При выполнении строительных работ
длину каждой стороны уменьшили на 4 м. При этом прямоугольная
форма была сохранена, но площадь оказалась уменьшенной на 1012 м2.
Каковы действительные размеры спортплощадки?
3.058. Участок прямоугольной формы обнесен изгородью. Если от
него отрезать по прямой некоторую часть так, что оставшаяся часть
окажется квадратом, то при этом его площадь уменьшится на 400 м2,
а изгородь уменьшится на 20 м. Определить первоначальные размеры
участка.
3.059. Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, длина
которого на Ь м больше ширины. Площадка окаймлена дорожкой оди-
одинаковой ширины вам. Каковы размеры спортивной площадки, если ее
площадь равна площади окаймляющей ее дорожки?
3.060. Фотокарточка размерами 12 х 18 см вставлена в рамку посто-
постоянной ширины. Определить ширину рамки, если ее площадь равна
площади самой карточки.
3.061. На ровной горизонтальной площадке стоят две мачты равной
высоты на расстоянии 5 м друг от друга. На высоте 3,6 м от площадки
к каждой мачте прикреплено по одному концу куска проволоки длиной
13 м. Проволока натянута в плоскости расположения мачт и при-
прикреплена к площадке, как показано на рис. 3.3. На каком расстоянии
64

от ближайшей мачты находится точка прикрепления проволоки к пло-
площадке?
3.062. Имеется лист жести в форме прямоугольника, у которого
отношение длины к ширине равно 2:1. Из этого листа изготовлена
открытая сверху коробка таким образом, что по углам листа вырезано
по квадрату со стороной 3 см и получившиеся края загнуты. Определить
размеры листа жести, если объем коробки оказался равным 168 см3.
в
Рис. 3.3 Рис. 3.4
3.063. На рис. 3.4 изображены окружность, касающаяся двух взаим-
взаимно перпендикулярных осей Ох и Оу, и прямая АВ, касающаяся окружно-
окружности в точке Р. Радиус окружности Л =10 см, а площадь треугольника
ОАВ равна 600 см2. Найти координаты точек А, В, Р, учитывая, что
ОА>ОВ.
3.064. Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120 м
делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если окружность переднего
колеса увеличить на 1/4 ее длины, а окружность заднего — на 1/5 ее
длины, то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота
больше, чем заднее. Найти длины окружностей переднего и заднего
колес.
3.065. На пути от села до поля колесо грузовика делает на 100
оборотов меньше, чем колесо велосипеда, и на 150 оборотов больше,
чем гусеница трактора. Найти расстояние между селом и полем, если
известно, что длина окружности колеса грузовика составляет 4/3 длины
окружности колеса велосипеда и на 2 м короче гусеницы трактора.
3.066. По наклонной плоскости длиной 6 м катятся два цилиндра,
у одного из которых длина окружности равна 3 дм, а у другого 2 дм.
Можно ли увеличить длины окружностей обоих цилиндров на одну и ту
же величину так, чтобы на том же пути один из них сделал на 3 оборота
больше другого?
3.067. По двум окружностям равномерно вращаются две точки.
Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая,
и поэтому успевает сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько
оборотов в минуту совершает каждая точка?
3.068. Две силы приложены к одной точке и направлены под прямым
углом. Модуль одной из них на 4 Н больше модуля другой, а модуль
равнодействующей на 8 Н меньше суммы модулей данных сил. Найти
модули данных сил и их равнодействующей.
3.069. К материальной точке приложены две силы, угол между кото-
которыми равен 30°. Модуль одной из приложенных сил в 7-у/З раза больше
модуля другой, а модуль равнодействующей силы на 24 Н больше, чем
модуль меньшей силы. Определить модули меньшей и равнодейству-
равнодействующей сил.
3.070. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно на-
наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заме-
3-362
65

тили, что первый из них за 3 мес. дал такой же прирост массы, как
второй за 7 мес. Однако по истечении года оказалось, что первый
кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, второй — на 5%.
Найти отношение первоначальных масс этих кристаллов.
3.071. Кусок платины, плотность которой равна 2,15 • 10* кг/м3, свя-
связан с куском пробкового дерева (плотность 2,4-102 кг/мэ). Плотность
системы равна 4,8'102 кг/м*. Какова масса куска дерева, если масса
куска платины составляет 86,94 г?
3.072. В лаборатории измеряется скорость, с которой распространя-
распространяется звук вдоль стержней, сделанных из разных материалов. В первом
опыте оказалось, что весь путь, состоящий из трех последовательно
соединенных стержней, звук проходит за время а с, а путь, состоящий из
второго и третьего стержней, звук проходит в 2 раза быстрее, чем один
первый стержень. В другом опыте второй стержень заменили новым,
и тогда последовательное соединение из трех стержней звук прошел за
время Ъ с, а соединение из первого и второго стержней — вдвое медлен-
медленнее, чем один третий стержень. Найтн скорость распространения звука
в новом стержне, если его длина / м.
Торгово-денежные отношения
3.073. Некоторый товар был куплен осенью и за него было уплачено
825 000 руб. Килограмм этого товара осенью на 1000 руб. дешевле, чем
весной, и поэтому на ту же сумму весной было куплено на 220 кг
меньше. Сколько стоит 1 кг товара весной и сколько его было куплено
осенью?
3.074. Перевозка тонны груза от пункта М до пункта N по железной
дороге обходится на Ь руб. дороже, чем водным путем. Сколько тонн
груза можно перевезти от М до N по железной дороге на сумму а руб.,
если водным путем на эту же сумму можно перевезти на к т больше, чем
по железной дороге?
3.075. Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобились
4 различные почтовые марки на общую сумму 84 руб. Определить
стоимости марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости
составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5
раза дороже самой дешевой.
3.076. Стоимость 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров
второго тома составляет 27 000 руб. В действительности за все эти
книги уплатили только 23 700 руб., так как была произведена скидка: на
первый том в размере 15%, а на второй — в размере 10%. Найти
первоначальную цену этих книг.
3.077. Две шкурки общей стоимостью в 2250 тыс. руб. были прода-
проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки,
если от первой было получено прибыли 25%, а от второй — 50%?
3.078. Рабочий час мастеров А л В оплачивается неодинаково, но оба
мастера работали одинаковое число часов. Если бы А работал на 1 ч
меньше, а В — на 5 ч меньше, то А заработал бы 72 000 руб., а В —
80 000 руб. Если бы, наоборот, А работал на 5 ч меньше, а В — на 1 ч
меньше, то В заработал бы на 36 000 руб. больше, чем А. Какую сумму
получил уаждуй мастер за все время работы?
3.079. В магазин привезли яблоки 1-го сорта на сумму 228 000 руб.
и яблоки 2-го сорта на сумму 180 000 руб. При разгрузке привезенные
яблоки случайно перемешались. Подсчет показал, что если теперь про-
66

давать все яблоки по одной цене — на 900 руб. ниже цены килограмма
яблок 1-го сорта, то будет выручена ранее намеченная сумма. Сколько
килограммов яблок привезено, если известно, что яблок 2-го сорта было
на 5 кг больше, чем 1-го сорта?
3.080. Имеющиеся на складе 300 кг товара проданы в неравных
количествах двум организациям по цене 37 500 руб. за 1 кг. Первая
организация перевозит купленный товар на расстояние 20 км, а вто-
вторая — на 30 км. Перевозка 10 кг товара обходится в 1 500 руб. за 1 км
пути. Зная, что вторая организация заплатила за покупку и перевозку
товара на 2 млн. 700 тыс. руб. больше первой, определить, сколько
килограммов товара купила каждая организация и какую сумму она
заплатила за товар и его перевозку.
Соотношения между натуральными числами
3.081. Однозначное число увеличили на 10 единиц. Если полученное
число увеличить на столько же процентов, как в первый раз, то получит-
получится 72. Найти первоначальное число.
3.082. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу
прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, ио
в обратном порядке. Найти исходное число.
3.083. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от
этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами,
но в обратном порядке. Найти исходное число.
3.084. Даны два двузначных числа, из которых второе обозначено
теми же цифрами, что и первое, но написанными в обратном порядке.
Частное от деления первого числа на второе равно 1,75. Произведение
первого числа на цифру его десятков в 3,5 раза больше второго числа.
Найти эти числа.
3.085. Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого
числа. Если к этому числу прибавить 18, то получится число, написанное
теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число.
3.086. Найти двузначное число, частное от деления которого на
произведение его цифр равно 8/3, а разность между искомым числом
и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке,
равна 18.
3.087. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то
в частном получится 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на
произведение его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 5. Найти
исходное число.
3.088. Ученику надо было найти произведение числа 136 на некото-
некоторое двузначное число, в котором цифра единиц вдвое больше цифры
десятков. По рассеянности он поменял местами цифры двузначного
числа, отчего и получил произведение на 1224 больше истинного. Чему
равно истинное произведение?
3.089. Если неизвестное двузначное число разделить на число, изоб-
изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном
получится 4 и в остатке 3. Если же искомое число разделить на сумму его
цифр, то в частном получится 8 и в остатке 7. Найти это число.
3.090. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в 3 раза
больше произведения своих цифр. Найти это число.
3.091. Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее перенести
в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первона-
первоначального. Найти это число.
67

3.092. Задумано целое положительное число. К его записи присо-
присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат
задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого остатка и еще
вычли задуманное число. В окончательном результате получили нуль.
Какое число задумано?
3.093. Определить целое положительное число по следующим дан-
данным: если его записать цифрами и присоединить справа цифру 4, то
получится число, делящееся без остатка на число, большее искомого на
4, а в частном получится число, меньшее делителя на 27.
3.094. Было задано целое число. Требовалось увеличить его на
200 000 и полученное число утроить. Вместо этого приписали к циф-
цифровой записи заданного числа справа цифру 2 и получили правильный
результат. Какое число было задано?
3.095. Сумма всех четных двузначных чисел разделилась на одно из
них без остатка. Полученное частное отличается от делителя только
порядком цифр, а сумма его цифр равна 9. Какое двузначное число
являлось делителем?
3.096. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2 и 3,
а обратные величины соответствующих знаменателей пропорциональны
числам 1, 1/3 и 0,2. Найти эти дроби, если их среднее арифметическое
равно 136/315 .
3.097. Если бы ученик правильно перемножил два написанных на
доске числа, то получил бы в произведении 4500. Но, переписывая
с доски сомножители, в одном из них ученик вместо последней цифры
5 написал цифру 3 и после умножения в результате получил 4380. Какие
числа должен был перемножить ученик?
3.098. В рукописи задачника по арифметике был помещен пример,
в котором данное число надо умножить на 3 и от полученного резуль-
результата отнять 4. В типографии допустили опечатку: вместо знака умноже-
умножения поставили знак деления, а вместо минуса — плюс. Тем не менее
конечный результат от этого не изменился. Какой пример предполагали
поместить в задачнике?
3.099. Одна из двух дробей вдвое больше другой. После возведения
каждой из дробей в квадрат и сложения этих результатов получается
некоторая сумма. Та же сумма получается после возведения каждой из
дробей в куб и сложения этих результатов. Найти данные дроби.
Движение: путь, скорость, время
3.100. От пристани в город отправилась лодка со скоростью
12 км/ч, а через полчаса после нее в том же направлении вышел пароход
со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если
пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?
3.101. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком
10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на
путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько
плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел пешком, то
эти расстояния были бы равны. Сколько времени он шел пешком
и сколько времени плыл по реке?
3.102. Экспресс проходит путь от Москвы до Санкт-Петербурга на
3 ч 30 мин быстрее пассажирского поезда, так как за 1 ч он проходит на
35 км больше. Сколько километров в час проходит каждый из них, если
расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом принять с округлени-
округлением равным 650 км?
68

3.103. Группа студентов во время каникул совершила поход по
Подмосковью. Первые 30 км они прошли пешком, 20% оставшейся
части маршрута проплыли на плоту по реке, а затем опять шли пешком,
пройдя расстояние в 1,5 раза больше того, которое проплыли по реке.
Остальной путь проехали за 1 ч 30 мин на попутном грузовике, кото-
который шел со скоростью 40 км/ч. Какова длина всего маршрута?
3.104. Искусственный водоем имеет форму прямоугольника с раз-
разностью сторон 1 км. Два рыбака, находящиеся в одной вершине этого
прямоугольника, одновременно отправились в пункт, расположенный
в противоположной вершине. При этом один рыбак поплыл на лодке
напрямик по диагонали, а второй пошел пешком вдоль берега. Опреде-
Определить размеры водоема, если каждый рыбак передвигался со скоростью
4 км/ч и один из них прибыл к месту назначения на 30 мин раньше
другого.
3.105. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше,
чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на
2 ч больше, чем мотоциклист. Вычислить скорость каждого из них.
3.106. Расстояние от А до В по железной дороге равно 88 км, а по
реке оно составляет 108 км. Поезд из А выходит на 1 ч позже теплохода
и прибывает в В на 15 мин раньше. Найти среднюю скорость поезда,
если известно, что она на 40 км больше средней скорости теплохода.
3.107. По одной из трамвайных линий начали курсировать трамваи
новой конструкции. Рейс протяженностью 20 км продолжается теперь
на 12 мин меньше, так как средняя скорость трамвая новой конструкции
на 5 км/ч больше средней скорости трамвая устаревшей конструкции.
Сколько- времени затрачивает на рейс трамвай новой конструкции и ка-
какова его средняя скорость?
3.108. Два автобуса одновременно выехали с фабрики и направились
в зону отдыха, к озеру. Расстояние между фабрикой и озером 48 км.
Первый автобус прибыл к озеру на 10 мин раньше второго, причем
средняя скорость второго меньше средней скорости первого на 4 км/ч.
Вычислить скорости автобусов.
3.109. Из порта одновременно вышли два теплохода, причем один из
них пошел на юг, а другой на восток. Через 2 ч расстояние между ними
составило 174 км. Найти среднюю скорость каждого теплохода, если
известно, что один из них в среднем за каждый час проходил на 3 км
больше, чем второй.
3.110. Расстояние между поселками А и В равно s км. Из А от-
отправились в В одновременно по одной и той же дороге два автотуриста,
которые должны были прибыть в В в одно и то же время. В действитель-
действительности первый турист прибыл в В на п ч раньше срока, а второй на Ъп ч
опоздал, так как последний проезжал за каждый час в среднем на г км
меньше первого. Определить среднюю скорость каждого автотуриста.
3.111. От станции железной дороги до турбазы можно пройти по
шоссе или тропинкой, причем тропинкой ближе на 5 км. Два товарища
условились, что один пойдет по шоссе, строго выдерживая намеченную
скорость v км/ч, а второй — тропинкой со скоростью 3 км/ч. Второй
пришел на турбазу раньше первого на 1 ч. Найти расстояние от станции
до турбазы по шоссе и скорость v первого товарища, если известно, что
v — целое число.
3.112. Скорости пассажирского и товарного поездов относятся как
а:Ь. Пассажирский поезд вышел со станции Л на 0,5 ч позже товарного,
а прибыл на станцию В на 0,5 ч раньше его. Найти скорости поездов,
если расстояние между А и В равно s км.
69

3.113. В отверстие трубы вошла одна материальная частица, а спу-
спустя 6,8 мин в то же отверстие вошла вторая частица. Войдя в трубу,
каждая частица немедленно начинает поступательное движение вдоль
трубы: первая частица движется равномерно со скоростью S м/мин,
а вторая в первую минуту пробегает 3 м, а в каждую следующую
минуту на 0,5 м больше, чем в предыдущую. За сколько минут вторая
частица догонит первую?
3.114. Два брата имели билеты на стадион, расположенный в 20 км
от их дома. Чтобы добраться до стадиона, они решили воспользоваться
своим велосипедом и договорились, что отправятся одновременно, один
на велосипеде, а другой пешком; проехав часть пути, первый оставит
велосипед, а второй, дойдя до места, где будет оставлен велосипед,
дальше поедет на нем и догонит первого у входа на стадион. Где должен
оставить велосипед первый брат и сколько времени уйдет на дорогу,
если каждый из братьев будет идти равномерно со скоростью 4 км/ч,
а ехать в 5 раз быстрее?
3.115. Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со скоростью
16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первона-
первоначальной скоростью. Спустя 4 ч после отправки в дорогу первого туриста
вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью
56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист
догонит первого?
3.116. Два брата взяли свои велосипеды и одновременно тронулись
в путь с намерением проехать 42 км. Старший брат на всем пути
сохранял одну и ту же скорость, а младший брат каждый час отставал от
старшего на 4 км. Но так как старший брат отдыхал в пути целый час,
а младший — только 20 мин, то к финишу они прибыли одновременно.
Сколько времени продолжалась поездка?
3.117. Самолет должен пролететь 2900 км. Пролетев 1700 км, он
сделал вынужденную посадку на 1 ч 30 мин, после чего полетел со
скоростью, на 50 км/ч меньшей, чем раньше. Найти первоначальную
скорость самолета, если известно, что он прибыл на место через 5 ч
после вылета.
3.118. Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на
расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на
15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
3.119. Через 2 ч после выезда с фабрики шофер посмотрел на спидо-
спидометр и заметил, что проехал только 112 км. Он прикинул мысленно, что
если и дальше поедет с той же скоростью, то на 30 мин опоздает
с доставкой груза на станцию. Поэтому шофер увеличил скорость
и прибыл на станцию даже на 30 мин раньше срока. Определить началь-
начальную и последующую скорости движения автомобиля, если расстояние от
фабрики до станции по спидометру составляет 280 км.
3.120. Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В, отстоящий от
Л на 120 км. Обратно он выехал с той же скоростью, но через час после
выезда должен был остановиться на 10 мин. После этой остановки он
продолжал путь до А, увеличив скорость на 6 км/ч. Какова была
первоначальная скорость мотоциклиста, если известно, что на обратный
путь он затратил столько же времена, сколько на путь от Л до Д?
3.121. Велосипедист проехал 60 км из пункта А в пункт В. На
обратном пути он первый час проехал с прежней скоростью, после чего
сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он увеличил ско-
скорость на 4 км/ч а поэтому потратил на путь из В в А столько же
времени, сколько и на путь из А в В. Определить скорость велосипедиста
на пути из А в В.
3.122. Из поселка, расположенного в 60 км от города, сегодня до-
70

лжен приехать отец студентки, который хотел посетить воскресную
лекцию. Однако лекция перенесена на другой день. Чтобы предупредить
отца об этом, дочь поехала по шоссе ему навстречу. При встрече
выяснилось, что отец и дочь выехали на мопедах одновременно, но
средняя скорость дочери была вдвое большей. Возвращаясь после встре-
встречи, каждый из них увеличил первоначальную скорость на 2 км/ч, и дочь
прибыла в город на 5 мин позже, чем отец в поселок. С какой средней
скоростью отец и дочь ехали первоначально?
3.123. Две группы туристов должны идти навстречу друг другу из
турбаз А и В, расстояние между которыми 30 км. Если первая группа
выйдет на 1 ч раньше второй, то они встретятся через 2,5 ч после
выхода второй группы. Если же вторая группа выйдет на 2 ч раньше,
чем первая, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первой
группы. С какой средней скоростью идет каждая группа?
3.124. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно на-
навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км,
и встречаются спустя 2 ч после отправления. Затем они продолжают
путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем
пешеход в В. Найти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что
они все время оставались неизменными.
3.125. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 120 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два автобуса. В пути первый сделал
остановку на 10 мин, второй — на 5 мин. Первый автобус прибыл
в Л на 25 мин раньше, чем второй прибыл в А. Можно считать, что
скорости движения автобусов были постоянными, причем скорость пер-
первого автобуса превышала скорость второго автобуса на 20 км/ч. Сколь-
Сколько времени продолжалась поездка пассажиров каждого из этих автобу-
автобусов между пунктами А и В1
3.126. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг дру-
другу из двух мест, расстояние между которыми равно 270 км. Второй
проезжает в час на 1,5 км меньше, чем первый, и встречается с ним через
столько часов, сколько километров в час делает первый. Определить
скорость каждого велосипедиста.
3.127. Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг
другу. Они встретятся на половине пути, если поезд из А выйдет на 2 ч
раньше, чем поезд из В. Если же оба поезда выйдут одновременно, то
через 2 ч расстояние между ними составит 1/4 расстояния между А и В.
За какое время каждый поезд проходит весь путь?
3.128. Турист А отправился из города М в город ТУ с постоянной
скоростью 12 км/ч. Турист В, находившийся в городе N, получив сигнал,
что А уже проехал 7 км, тотчас выехал навстречу ему и проезжал
каждый час 0,05 всего расстояния между Ми N. С момента выезда В до
его встречи с А прошло столько часов, на сколько километров в час
продвигался В. Найти расстояние между городами М и N, если оно не
меньше 100 км.
3.129. Моторная лодка и парусник, находясь на озере на расстоянии
30 км друг от друга, движутся навстречу друг другу и встречаются через
1 ч. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и до-
догоняла его, то на это потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определить скоро-
скорости лодки и парусника, полагая, что они постоянны и неизменны в обоих
случаях.
3.130. В один и тот же час навстречу друг другу должны были выйти
А из поселка М и В из поселка N. Однако А задержался и вышел позже
на 6 ч. При встрече выяснилось, что А прошел на 12 км меньше, чем В.
71

Отдохнув, они одновременно покинули место встречи и продолжили
путь с прежней скоростью. В результате А пришел в N через 8 ч,
а В пришел в М через 9 ч после встречи. Определить расстояние MN
и скорости пешеходов.
3.131. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, расстоя-
расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м,
а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую.
Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движе-
движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как
начало двигаться первсе тело, они встретятся?
3.132. Кошка, гнавшаяся за мышкой вдоль длинного коридора,
догнала ее через а с после начала погони. Первоначальное расстояние
между ними / м. Если при таком же начальном расстоянии мышка
с перепугу побежала бы не от кошки, а навстречу ей, то была бы
схвачена через Ь с. Полагая, что в том и в другом случае кошка
и мышка прилагали бы максимальные усилия, найти средине скорости
каждой из них.
3.133. На учениях разведывательный катер подошел к головному
кораблю эскадры и получил приказание произвести разведку впереди
эскадры по направлению ее движения на расстоянии 70 км. Определить,
через какое время катер вернется к головному кораблю эскадры, продол-
продолжающей идти вперед, с:ли известно, что скорость катера 28 км/ч, а эска-
эскадра должна двигаться со скоростью 14 км/ч.
3.134. По сигналу дрессировщика два пони одновременно побежали
равномерно вдоль внешней окружности арены цирка в противополож-
противоположных направлениях. Первый пони бежал несколько быстрее второго
и к моменту встречи пробежал на 5 м больше, чем второй. Продолжая
бег, первый пони подбежал к дрессировщику, остававшемуся на том
месте, от которого начали бежать пони, через 9 с после встречи со
вторым пони, а второй — через 16 с после их встречи. Каков диаметр
арены?
3.135. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч
20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка,
которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если
известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на
12 км/ч?
3.136. Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч,
прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не
останавливаясь, за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами 60 км.
Определить скорость течения реки.
3.137. Сначала катер шел а км по течению реки, а затем вдвое
большее расстояние — по озеру, в которое река впадает. Весь рейс
продолжался 1 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость
течения реки с км/ч.
3.138. Катер отошел от причала одновременно с плотом и прошел
вниз по реке 40/3 км. Не делая остановки, он развернулся и пошел вверх
по реке. Пройдя 28/3 км, он встретился с плотом. Если скорость течения
реки 4 км/ч, то какова собственная скорость катера?
3.139. В 9 ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла
в пункт В; 2 ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась
в обратный путь и прибыла в А в 19 ч 20 мин того же дня. Предполагая,
что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи
все время постоянна, определить, когда баржа прибыла в пункт В.
Расстояние между Аи В равно 60 км.
72

3.140. Два приятеля в одной лодке прокатились по реке вдоль берега
и вернулись по той же трассе через 5 ч с момента отплытия. Весь рейс
составил 10 км. По их подсчетам получилось, что на каждые 2 км
против течения в среднем им требовалось столько же времени, сколько
на каждые 3 км по течению. Найти скорость течения, время проезда
туда и время проезда обратно.
3.141. Над пунктом А вертолет был в 8 ч 30 мин. Пролетев по
прямой s км, вертолет оказался над пунктом В. Продержавшись 5 мин
в воздухе над пунктом В, вертолет пошел обратным курсом по той же
трассе. К пункту А он вернулся в 10 ч 35 мин. От А к В он летел по
ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время была постоян-
постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость вертолета также
все время постоянна и при безветрии равна v км/ч. При каком соот-
соотношении между заданными величинами задача имеет решение?
Работа
3.142. Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Произ-
Производительность первого станка на 40% больше производительности вто-
второго. Сколько деталей было обработано за смену на каждом станке,
если первый работал в эту смену 6 ч, а второй — 8 ч, причем оба станка
вместе обработали 820 деталей?
3.143. Одна мельница может смолоть 19 ц пшеницы за 3 ч, другая
32 ц за 5 ч, а третья 10 ц за 2 ч. Как распределить 133 т пшеницы
между этими мельницами, чтобы, одновременно начав работу, они
окончили ее также одновременно?
3.144. На одном из двух станков обрабатывают партию деталей на
3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработка
этой партии деталей каждым станком в отдельности, если известно, что
при совместной работе на этих станках в три раза большая партия
деталей была обработана за 20 дней?
3.145. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за 8 ч.
Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на 12 ч скорее,
чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов каждый
из них, работая порознь, может выполнить задание?
3.146. Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении
нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производитель-
производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов
больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установлен-
установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении сколь-
скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
3.147. При испытании двух двигателей было установлено, что пер-
первый израсходовал 300 г, а второй 192 г бензина, причем второй работал
на 2 ч меньше, чем первый. Первый двигатель затрачивает в час на 6 г
бензина больше, чем второй. Какое количество бензина в час расходует
каждый из двигателей?
3.148. На уборке снега работают две снегоочистительные машины.
Первая может убрать всю улицу за 1 ч, а вторая — за 75% этого
времени. Начав уборку одновременно, обе машины проработала вместе
20 мин, после чего первая машина прекратила работу. Сколько еще
нужно времени, чтобы вторая машина закончила работу?
3.149. Две бригады, работая одновременно, обработали участок зем-
земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из
73

бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами
относятся как 3:2?
3.150. Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой
бригаде для выполнения той же работы нужно 75% этого времени.
После того как в течение 5 дней работала только первая бригада, к ней
присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней
работали бригады вместе?
3.151. За 3,5 ч работы один штамповочный пресс может изготовить
42% всех заказанных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может
изготовить 60% всех деталей, а скорости выполнения работы на третьем
и на втором прессах относятся как 6:5. За какое время будет выполнен
весь заказ, если все три пресса будут работать одновременно?
3.152. Каждая из двух машинисток перепечатывала рукопись объ-
объемом 72 страницы. Первая машинистка перепечатывала 6 страниц за то
же время, за которое вторая перепечатывала S страниц. Сколько страниц
перепечатывала каждая машинистка в час, если первая закончила работу
на 1,5 ч быстрее второй?
3.153. Две машинистки должны перепечатать рукопись, состоящую
из трех глав, из которых первая вдвое короче второй и втрое длиннее
третьей. Работая вместе, машинистки перепечатали первую главу за 3 ч
36 мин. Вторая глава была перепечатана за 8 ч, из которых 2 ч работа-
работала только первая машинистка, а остальное время они работали вместе.
Какое время потребуется второй машинистке для того, чтобы одной
перепечатать третью главу?
3.154. Ученик токаря вытачивает шахматные пешки для определен-
определенного числа комплектов шахмат. Он хочет научиться изготовлять ежед-
ежедневно на 2 пешки больше, чем теперь; тогда такое же задание он
выполнит на 10 дней быстрее. Если бы ему удалось научиться изготов-
изготовлять ежедневно на 4 пешки больше, чем теперь, то срок выполнения
такого же задания уменьшился бы на 16 дней. Сколько комплектов
шахмат обеспечивает пешками этот токарь, если для каждого комплекта
нужно 16 пешек?
3.155. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по
обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада
учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада
слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет
выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде
учеников для самостоятельного выполнения данного задания?
3.156. Некоторое задание А выполняет в срок, на а дней больший,
чем В, и на Ь дней больший, чем С. Работая вместе, А а В выполняют
задание за столько же дней, что и С. Определить время, за которое
каждый выполняет задание отдельно. При каком соотношении между
заданными величинами задача имеет решение?
3.157. Бригада рабочих должна была изготовить 8000 одинаковых
деталей в определенный срок. Фактически эта работа была окончена на
8 дней раньше срока, так как бригада делала ежедневно на 50 деталей
больше, чем было намечено по плану. В какой срок должна была быть
окончена работа и каков ежедневный процент перевыполнения плана?
3.158. Три машины разных систем выполняют некоторую счетную
работу. Если всю работу поручить только одной второй или одной
первой машине, то одна вторая машина затратит на выполнение всей
работы на 2 мин больше, чем одна первая. Одна третья машина может
выполнить всю работу за срок, вдвое больший, чем одна первая. Так как
части работы однотипны, то всю работу можно поделить между тремя
74

машинами. Тогда, работая вместе и закончив работу одновременно, они
выполнят ее за 2 мин 40 с. За какое время может выполнить эту работу
каждая машина, действуя отдельно?
3.159. Чан наполняется двумя кранами А а В. Наполнение чана
только через кран А длится на 22 мин дольше, чем через хран В. Если же
открыть оба крана, то чан наполнится за 1 ч. За какой промежуток
времени каждый кран отдельно может наполнить чан?
3.160. В одном бассейне имеется 200 м3 воды, а в другом — 112 м3.
Открывают краны, через которые наполняются бассейны. Через сколько
часов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если во второй
бассейн вливается в час на 22 м3 больше воды, чем в первый?
3.161. Через 1 ч после начала равномерного спуска воды в бассейне
ее осталось 400 м3, а еще через 3 ч — 250 м3. Сколько воды было
в бассейне?
3.162. В лабораторной установке некоторая жидкость поступает
в сосуд через три входных крана. Если открыть все краны одновременно,
то сосуд наполнится за 6 мин. Если же наполнять сосуд только через
второй кран, то на это потребуется 0,75 того времени, за которое может
наполниться сосуд только через один первый кран. Через один третий
кран этот сосуд наполняется на 10 мин дольше, чем через один второй
кран. На какое время надо открывать каждый кран в отдельности для
наполнения сосуда?
3.163. Бассейн для плавания имеет три трубы разного сечения для
отвода воды с помощью равномерно откачивающего насоса. Через
первую и вторую трубы вместе при закрытой третьей трубе наполнен-
наполненный бассейн опорожняется за а мин, через первую и третью вместе при
закрытой второй — за А мин, а через вторую и третью трубы при
закрытой первой — за с мин. За какое время наполненный бассейн
опорожняется через каждую трубу в отдельности?
Смеси, сплавы
3.164. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т цел-
целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содер-
содержанием 75% воды?
3.165. Морская вода содержит 5% соли по массе-. Сколько пресной
воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли
составляла 1,5%?
3.166. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди.
Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный
новый сплав содержал 60% меди?
3.167. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше,
чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого
серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально
содержавшегося в сплаве, то получился бы новый сплав, содержащий
83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процент-
процентное содержание в нем серебра?
3.168. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. По-
После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5%
железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое
количество железа осталось еще в руде?
3.169. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным а по-
получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора
было взято?
75

3.170. Некоторое вещество впитывает влагу, увеличивая при этом
свою массу. Чтобы впитать 1400 кг влаги, требуется взять нераздроб-
нераздробленного вещества на 300 кг больше, чем раздробленного. Сколько про-
процентов от массы вещества составляет масса впитанной влаги в случае
раздробленного вещества и в случае нераздробленного, если во втором
случае это число процентов на 105 меньше, чем в первом?
Группа Б
Отношения, проценты
3.171. Одна из трех бочек наполнена водой, а остальные пустые.
Если вторую бочку наполнить водой из первой бочки, то в первой
останется 1/4 бывшей в ней воды. Если затем наполнить третью бочку из
второй, то во второй останется 2/9 количества содержавшейся в ней
воды. Если, наконец, из третьей бочки вылить воду в пустую первую, то
для ее наполнения потребуется еще 50 ведер. Определить вместимость
каждой бочки.
3.172. По трем сосудам распределено 24 л жидкости. Сначала из
первого сосуда перелили в два другие столько, сколько было в каждом
из них. Затем из второго перелили в два другие столько, сколько стало
в каждом из них после первого переливания. Наконец, из третьего
перелили в остальные столько, сколько стало в каждом из них после
второго переливания. В результате в каждом сосуде оказалось оди-
одинаковое количество жидкости. Сколько жидкости было в каждом сосуде
первоначально?
3.173. Объем вещества А составляет половину суммы объемов ве-
веществ В и С, а объем вещества В составляет 1/5 суммы объемов
веществ А и С. Найти отношение объема вещества С к сумме объемов
веществ А а В.
3.174. Инженер в первую неделю отпуска израсходовал несколько
меньше, чем 3/5 количества взятых с собой денег; во вторую неделю 1/4
остатка и еще 3000 руб.; в третью неделю 2/5 нового остатка и еще
1200 руб., после чего осталось 6/35 от количества взятых денег. Извест-
Известно также, что количество денег, оставшихся неизрасходованными к кон-
концу первой, второй и третьей недель, убывало в арифметической прогрес-
прогрессии. Сколько денег было израсходовано за три недели отпуска?
3.175. Найти четыре числа, образующих пропорцию, если известно,
что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11,
а сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.
3.176. Было намечено разделить премию поровну между наиболее
отличившимися сотрудниками предприятия. Однако выяснилось, что
сотрудников, достойных премии, на три человека больше, чем пред-
предполагалось. В таком случае каждому пришлось бы получить на
40 000 руб. меньше. Профсоюз и администрация нашли возможность
увеличить общую сумму премии на 900 000 руб., в результате чего
каждый премированный получил 250 000 руб. Сколько человек получи-
получили премию?
3.177. Известно, что разность переменных величин z та. у пропорци-
пропорциональна величине х, а разность величин х и г пропорциональна величине
у. Коэффициент пропорциональности одни и тот же в равен целому
положительному числу к. Некоторое значение величины z в 5/3 раза
76

больше разности соответствующих значений х и у. Найти числовое
значение коэффициента к.
¦ 3.178. Трое рабочих участвовали в конкурсе. Первый и третий из них
произвели продукции в 2 раза больше, чем второй, а второй и тре-
третий — в 3 раза больше, чем первый. Какое место занял каждый рабочий
в конкурсе? В каком отношении находятся количества выработанной
ими продукции?
3.179. Население города ежегодно увеличивается на 1/50 наличного
числа жителей. Через сколько лет население утроится?
3.180. Стрелку в тире были предложены следующие условия: каждое
попадание в цель вознаграждается пятью жетонами, но за каждый
промах отбирается три жетона. Стрелок был не очень метким. После
последнего (л-го) выстрела у него не осталось ни одного жетона. Из
скольких выстрелов состояла серия и сколько было удачных выстрелов,
если 10<л<20?
3.181. Цистерну в течение S ч наполнили водой. При этом в каждый
следующий час поступление воды в цистерну уменьшалось в одно и то
же число раз по сравнению с предыдущим. Оказалось, что в первые
четыре часа было налито воды вдвое больше, чем в последние четыре
часа. Каков объем цистерны, если известно еще, что за первые два часа
в нее было налито 48 м* воды?
3.182. Бригада рыбаков планировала выловить в определенный срок
1800 ц рыбы. В течение 1/3 этого срока был шторм, вследствие чего
плановое задание ежедневно недовыполнялось на 20 ц. Однако в оста-
остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать на 20 ц больше
дневной нормы, и плановое задание было выполнено за один день до
срока. Сколько центнеров рыбы планировалось вылавливать ежедневно?
3.183. Два рабочих были приняты на один и тот же срок выполнения
сезонной работы с разной оплатой каждому за один день труда. Первый
работал на а дней меньше срока и получил г руб., а второй проработал
на а дней больше срока и получил s руб. Если бы первый работал
столько дней, сколько второй, а второй столько дней, сколько первый,
то они получили бы поровну. Определить установленный срок работы.
3.184. Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый
груз в течение 6 ч. Второй автомобиль задержался в гараже, и когда он
прибыл на место погрузки, первый перевез уже 3/5 всего груза; оста-
остальную часть груза перевез второй автомобиль, и весь груз был перевезен
таким образом за 12 ч. Сколько времени нужно было каждому автомо-
автомобилю в отдельности для перевозки груза?
3.185. Из металла определенной марки изготовлено несколько шари-
шариков, равных по массе, для подшипников и несколько поршневых колец,
также равных по массе. Если бы число, выражающее массу каждого
шарика в граммах, было на 2 меньше числа сделанных колец, а число,
выражающее массу каждого кольца в граммах, на 2 больше числа
сделанных шариков, то число, выражающее их общую массу, превышало
бы удвоенную разность числа колец и шариков на 800, а если бы число,
выражающее массу каждого предмета в граммах, было равно числу
сделанных предметов того же рода, то общая их масса была бы равна
881 г. Сколько было сделано шариков и колец?
3.186. Три мальчика А, Б а В условились, что при совместном
путешествии на катере каждый побывает в должности капитана, причем
величина времени пребывания каждого в этой должности будет пропор-
пропорциональна числу очков, которые он получит, участвуя в географической
викторине. В итоге А получил на 3 очка больше, чем В; Б я В вместе
77

получили 15 очков. Число, выражающее 1/10 всего времени путешествия
(в часах), на 25 больше числа очков, полученных мальчиками. Сколько
времени были капитанами А и В, если Б исполнял эту обязанность
160 ч?
3.187. Для перевозки груза из одного места в другое было затребова-
затребовано некоторое количество грузовиков одинаковой вместимости. Ввиду
неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т
меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно были затребова-
затребованы 4 такие же машины. Масса перевезенного груза была не менее 55 т,
но не превосходила 64 т. Сколько тонн груза было перевезено на
каждом грузовике?
3.188. Около дома посажены липы и березы, причем их общее коли-
количество более 14. Если количество лип увеличить вдвое, а количество
берез на 18, то берез станет больше. Если же количество берез увеличить,
не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько лип
и сколько берез было посажено?
3.189. Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом, если
он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если
по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист останется пустым.
Если же школьнику подарить еще такой же альбом, на каждом листе
которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок.
Сколько листов в альбоме?
3:190. Уголь, привезенный на склад, предназначен для двух заводов.
На первый завод начали доставлять уголь с 1-го июня по т т ежедневно,
не исключая воскресений, на второй завод — с 8-го июня по л т ежед-
ежедневно, не исключая воскресений. К концу дня 16-го июня на складе
осталась половина первоначального количества угля. Какого числа был
вывезен со склада весь уголь, если оба завода получили угля поровну?
3.191. Из молока, жирность которого составляет 5°/;, изготовляют
творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью
0,5%. Сколько творога получается из 1 т молока?
3.192. Мастер дает сеанс одновременной игры в шахматы на не-
нескольких досках. К концу первых двух часов он выиграл 10% от числа
всех играемых партий, а 8 противников свели вничью свои партии
с мастером. За следующие два часа мастер выиграл 10% партий у оста-
оставшихся противников, 2 партии проиграл, а остальные 7 партий закончил
вничью. На скольких досках шла игра?
3.193. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции еже-
ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно,
что за два года объем выпускаемой продукции возрос в 2 раза.
3.194. Первоначальная себестоимость единицы продукции была рав-
равна 500 руб. В течение первого года производства она повысилась на
некоторое число процентов, а в течение второго года снизилась (по
отношению к повышенной себестоимости) на такое же число процентов,
в результате чего она стала равной 480 руб. Определить проценты
повышения а снижения себестоимости рдиницц продукции.
3.195. На один продукт два раза была снижена цена, каждый раз на
15%. На другой продукт, имевший первоначально ту же цену, что
и первый, снизили цену один раз на х%. Каким должно быть число х,
чтобы после всех указанных снижений оба продукта снова имели одну
и ту же цену?
3.196. Для изготовления пшеничного хлеба взято столько килограм-
килограммов муки, сколько процентов составляет припек на эту муку. Для
изготовления ржаного хлеба взято на 10 кг муки больше, т. е. столько
78

килограммов, сколько процентов составляет припек на ржаную муку.
Сколько килограммов взято той и другой муки, если всего выпечено
112,5 кг хлеба?
Геометрические и физические задачи
3.197. Согнутые из проволоки окружность и прямоугольник прила-
прилажены так, что окружность проходит через две вершины А и В и касается
стороны CD (рис. 3.5). Найти отношение сторон прямоугольника, если
известно, что его периметр в 4 раза больше радиуса окружности.
Рис. 3.5
Рис. 3.6
3.198. В плоское кольцо, образованное двумя концентрическими
окружностями, вложено семь равных соприкасающихся дисков (рис. 3.6).
Площадь кольца равна сумме площадей всех семи дисков. Доказать, что
ширина кольца равна радиусу одного диска.
3.199. Два шарика помещены в цилиндрическую банку, диаметр ко-
которой 22 см (рис. 3.7). Если влить в банку 5 л воды, то покроются ли
полностью водой оба шарика, диаметры которых 10 и 14 см?
3.200. Квадрат и равносторонний треугольник заполнены одинако-
одинаковым количеством равных кругов, касающихся друг друга и сторон этих
фигур. Сколько кругов для этого потребуется, если к стороне треуголь-
треугольника примыкает на 14 кругов больше, чем к стороне квадрата (рис. 3.8)?
3.201. Прибор, применяемый для определения диаметра крупной
детали (D>2 м), указывает высоту Н сегмента, отсекаемого плоско-
плоскостью, касательной к шаровым опорам прибора, при постоянном рассто-
расстоянии 2L между центрами опорных шариков прибора (рис. 3.9). Требуется
выразить формулой соответствие между искомым диаметром D детали
и измеряемой' высотой Н ее сегмента при постоянных Lad, где
d — диаметр каждого из опорных шариков.
3.202. По внутренней области угла 60° прямолинейно движется мате-
материальная точка. Выйдя из вершины этого угла, она через некоторый
Рис. 3.7
Рис. 3.9
79

промежуток времени оказалась на расстоянии а от одной стороны
угла и на расстоянии Ь от другой стороны. Далее она изменила
направление движения и по кратчайшему пути просто упала на
ту сторону, к которой она была ближе. Найти длину пути, пройденного
точкой, если а<Ъ.
3.203. Сооружается участок железнодорожной насыпи длиной 100 м,
поперечным сечением которого является равнобедренная трапеция с ни-
нижним основанием 5 м, верхним основанием, не меньшим 2 м, и углом
откоса 45°. Какую высоту h должна иметь эта насыпь, чтобы объем
земляных работ составил не менее 400 м3, но не более 500 мэ?
3.204. В некотором механизме три шестеренки разных диаметров
связаны между собой так, что большая из них касается обеих меньших,
прячем асе три шестеренки вместе имеют 60 зубцов. Когда ббльшая
шестеренка до полных четырех оборотов не доходит на 20 зубцов,
вторая н третья делают соответственно 5 и 10 полных оборотов. Сколь-
Сколько зубцов имеет каждая шестеренка в отдельности?
3.205. Два колеса соединены бесконечным ремнем; меньшее из них
делает на 300 оборотов в минуту больше второго. Большое колесо
совершает 10 оборотов в промежуток времени, на 1 с больший, чем
время такого же числа оборотов меньшего колеса. Сколько оборотов
в минуту совершает каждое колесо?
3.206. Две сцепляющиеся шестерни А я В насажены плотно: пер-
первая — на вал 0i, а вторая — на вал О2. Шестерня А имеет на 10 зубцов
больше, чем В. При некоторой скорости вращения вала. О\ вал О2 совер-
совершает 63 оборота в минуту. Если шестерни поменять местами, то при той
же скорости вала О\ вал Ог совершит 28 оборотов. Определить число
зубцов каждой шестерни.
3.207. Два зубчатых колеса находятся в сцеплении. Колесо А имеет
12 зубьев, а колесо В — 54. Сколько оборотов сделает каждое колесо до
того, как оба они вернутся в исходное положение?
3.208. Модули двух сил, действующих на материальную точку под
прямым углом, и модуль их равнодействующей составляют ариф-
арифметическую прогрессию. Определить, в каком отношении находятся
модули сил.
3.209. Нужно было взять несколько литров жидкости при температу-
температуре о и другое количество литров той же жидкости при температуре Ь,
чтобы получить температуру смеси с. Однако второй жидкости было
взято столько, сколько предполагалось взять первой, и наоборот. Какая
температура смеси получилась?
ЗЛЮ. Спортсмен стреляет в мишень, отстоящую от него вв. d и.
Наблюдатель, находящийся на расстоянии а м от стрелка и й м от
мишени, слышит одновременно звук выстрела и звук удара пули в ми-
мишень. Найти скорость пули, если скорость звука равна v м/с.
ЗЛИ. Известно, что свободно падающее тело проходит в первую
секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в преды-
предыдущую. Если два тела начали падать с одной высоты спустя 5 с одно
после другого, то через какое время они будут друг от друга на расстоя-
расстоянии 220,5 м?
3.212. Мяч падает с высоты 2 м43 см и, ударяясь о землю, отскаки-
отскакивает вновь, поднимаясь всякий раз на 2/3 высоты, с которой он в очеред-
очередной раз падает. После скольких ударов мяч поднимется на высоту
32 см?
3.213. Мяч катится перпендикулярно боковой линии футбольного
80

поля. Предположим, что, двигаясь равномерно замедленно, мяч
прокатился в первую секунду 4 м, а в следующую секунду на 0,75 м
меньше. Футболист, находящийся первоначально в 10 м от мяча, побе-
побежал в направлении движения мяча, чтобы догнать его. Двигаясь равно-
равномерно ускоренно, футболист пробежал в первую секунду 3,5 м, а в сле-
следующую секунду на 0,5 м больше. За какое время футболист догонит
мяч и успеет ли он сделать это до выхода мяча за боковую линию, если
к линии поля футболисту надо пробежать 23 м?
Торгово-денежные отношения
3.214. Имеются два одинаковых куска разных тканей. Стоимость
всего первого куска на 12 600 руб. больше стоимости второго. Сто-
Стоимость четырех метров ткани из первого куска на 13 500 руб. превышает
стоимость трех метров ткани из второго куска. Покупательница приоб-
приобрела 3 м ткани из первого куска а 4 м ткани из второго куска и заплати-
заплатила за все 38 250 руб. Сколько метров ткани было в каждом из этих
кусков? Какова стоимость одного метра ткани каждого куска?
3.215. В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей
ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м
больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Известно также,
что стоимость 4,5 м черной ткани равна стоимости 3 м зеленой и 0,5 м
синей вместе. Сколько метров ткани было в каждом куске?
3.216. Красный карандаш стоит 27 руб., синий — 23 руб. На покуп-
покупку карандашей можно затратить не более 940 руб. Необходимо закупить
максимально возможное суммарное количество красных и синих каран-
карандашей. При этом красных карандашей нужно закупить как можно
меньше, но число синих карандашей не должно отличаться от числа
красных карандашей более, чем на 10. Сколько красных и сколько синих
карандашей следует закупить при указанных условиях?
3.217. Несколько студентов решили купить импортный магнитофон
ценой от 170 до 195 долларов. Однако в последний момент двое от-
отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся при-
пришлось внести на 1 доллар больше. Сколько стоил магнитофон?
Соотношения между натуральными числами
3.218. Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на
11 и больше их удвоенного произведения на 5?
3.219. Сумма двух трехзначных чисел, написанных одинаковыми
цифрами, но в обратном порядке друг относительно друга, равна 1252.
Найти эти числа, если сумма цифр каждого из них равна 14, а сумма
квадратов цифр равна 84.
3.220. Цифры некоторого трехзначного числа составляют геомет-
геометрическую прогрессию. Если в этом числе поменять местами цифры сотен
и единиц, то новое трехзначное число будет на 594 меньше искомого.
Если же в искомом числе зачеркнуть цифру сотен и в полученном
двузначном числе переставить его цифры, то новое двузначное число
будет на 18 меньше числа, выраженного двумя последними цифрами
искомого числа. Найти это число.
3.221. Найти трехзначное число, цифры которого образуют геомет-
геометрическую прогрессию, если известно, что после его уменьшения на 495
получается число, записанное такими же цифрами, какими записано
81

искомое число, но расположенными в обратном порядке; если цифры
числа, получившегося после вычитания, уменьшить (слева направо) со-
соответственно на 1, на 1 и на 2, то получится арифметическая прогрессия.
3.222. Имеются три положительных двузначных числа, обладающих
следующим свойством: каждое число равно неполному квадрату суммы
своих цифр. Требуется найти два из них, зная, что второе число на SO
единиц больше первого.
3.223. При умножении двух положительных чисел, из которых одно
на 75 больше другого, по ошибке получилось произведение на 1000
меньше истинного. Вследствие этого, деля (при проверке) ошибочное
произведение на меньший из множителей, получили в частном 227
и в остатке 113. Найти оба числа.
3.224. При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше
другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков произведе-
произведения на 4. При делении полученного произведения на меньший множи-
множитель для проверки ответа он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти
множители.
3.225. Если двузначное число разделить на произведение его цифр,
то в частном получится 3 и в остатке 8. Если число, составленное из тех
же цифр, но записанных в обратном порядке, разделить на произведение
цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти это число.
3.226. Результат умножения двух положительных чисел, полученный
вычислителем, показался ему сомнительным. Для проверки он решил
разделить результат на больший сомножитель. В частном получилось 17
и в остатке 8. Тогда вычислитель понял свою ошибку: оказалось, что
цифра десятков, записанная им в произведении, больше истинной цифры
десятков на 6. Какие числа перемножал вычислитель, если известно, что
их разность равна 36?
3.227. Задумано целое положительное число. К его цифровой записи
приписали справа какую-то цифру. Из получившегося нового числа
вычли квадрат задуманного числа. Разность оказалась в 8 раз больше
задуманного числа. Какое число задумано и какая цифра была при-
приписана?
3.228. К цифровой записи некоторого задуманного двузначного чис-
числа приписали справа это же число и из полученного таким образом
числа вычли квадрат задуманного числа. Разность разделили на 4% от
квадрата задуманного числа; в частном получили половину задуманного
числа, а в остатке — задуманное число. Какое число задумано?
3.229. К цифровой записи некоторого задуманного положительного
числа приписали справа еще какое-то положительное однозначное число
ж нз полученного таким образом нового числа вычли квадрат задуман-
задуманного числа. Эта разность оказалась больше задуманного числа во сто-
столько раз, сколыо составляет дополнение приписанного числа до 11.
Доказать, что так будет получаться тогда и только тогда, когда припи-
приписанное число равно задуманному.
3.230. Найти два двузначных числа А и В по следующим условиям.
Если число А написать впереди записи числа В и полученное четырехз-
четырехзначное число разделить на число В, то в частном получится 121. Если же
число В написать впереди числа А и полученное четырехзначное число
разделить на: А, то в частном получится 84 и в остатке 14.
3.231. Найти два числа по следующим условиям: сумма их равна
1244; если в конце обозначения первого числа приписать цифру 3,
а в конце обозначения второго числа отбросить цифру 2, то получатся
два равных числа.
8?,

3.232. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту
цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок оста-
остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше
первоначального. Найти первоначальное число.
3.233. Найти два двузначных числа, обладающих следующим свой-
свойством: если к большему искомому числу приписать справа нуль и за ним
меньшее число, а к меньшему числу приписать справа большее число
и затем нуль, то из полученных таким образом двух пятизначных чисел
первое, будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в остатке 590.
Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего
искомого числа и утроенного меньшего, равна 72.
3.234. Основание степени увеличили в к раз, а показатель степени
уменьшили во столько же раз, в результате чего сама степень не измени-
изменилась. Найти основание степени, обладающей таким свойством.
3.235. Знаменатель дроби меньше квадрата ее числителя на 1. Если
к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет
больше 1/4; если от числителя и знаменателя первоначальной дроби
отнять по 3, то значение дроби будет равно 1/12. Найти эту дробь.
Движение: путь, скорость, время
3.236. Путь от А до В пассажирский поезд проходит на 3 ч 12 мин
быстрее товарного. За то время, что товарный поезд проходит путь от
А до В, пассажирский проходит на 288 км больше. Если скорость
каждого увеличить на 10 км/ч, то пассажирский пройдет от А до В на
2 ч 24 мин быстрее товарного. Определить расстояние от А до В.
3.237. Два спортсмена начинают бег одновременно — первый из
А в В, второй из В в А. Они бегут с неодинаковыми, но постоянными
скоростями и встречаются на расстоянии 300 м от А. Пробежав дорожку
АВ до конца, каждый из них тотчас поворачивает назад и встречает
другого на расстоянии 400 м от В. Найти длину АВ.
3.238. Два мотоциклиста отправляются одновременно навстречу
друг другу из пунктов А а В, расстояние между которыми равно 600 км.
В то время как первый проходит 250 км, второй проходит 200 км.
Найти скорости движения мотоциклистов, считая их движения равно-
равномерными, если первый мотоциклист приходит в В на 3 ч раньше, чем
второй в А.
3.239. Из пунктов А и С в пункт В выехали одновременно два
всадника и, несмотря на то, что С отстоял от В на 20 км дальше,
чем А от В, прибыли в В одновременно. Найти расстояние от С до
В, если всадник, выехавший из С, проезжал каждый километр на
1 мин 15 с скорее, чем всадник, выехавший из А, который приехал
в В через 5 ч.
3.240. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 2400 км,
навстречу друг другу выходят одновременно пассажирский и скорый
поезда. Каждый из них идет с постоянной скоростью, и в некоторый
момент времени они встречаются. Если бы оба поезда шли со скоростью
скорого поезда, то их встреча произошла бы на 3 ч раньше фактического
момента встречи. Если бы оба поезда шли со скоростью пассажирского
поезда, то их встреча произошла бы на 5 ч позже фактического момента
встречи. Найти скорости поездов.
3.241. Один турист вышел в 6 ч, а второй — навстречу ему в 7 ч.
Они встретились в 8 ч и, не останавливаясь, продолжили путь. Сколько
времени затратил каждый из них на весь путь, если первый пришел в то
83

место, из которого вышел второй, на 28 мин позже, чем второй пришел
в то место, откуда вышел первый? Считается, что каждый шел без
остановок с постоянной скоростью.
3.242. Расстояние между станциями А и В равно 360 км. В одно и то
же время из А и из В навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд,
вышедший из А, прибывает на станцию В не ранее чем через 5 ч. Если
бы его скорость была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он
встретил бы второй поезд раньше, чем через 2 ч после своего выхода из
А. Скорость какого поезда больше?
3.243. Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул
назад и через 1 ч 12 мин после выхода из В увеличил скорость на
16 км/ч. В результате на обратный путь он затратил на 48 мин меньше,
чем на путь от А до В. Найти первоначальную скорость автомобиля.
3.244. Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал.
При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем предполагал
проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью он ехал?
3.245. По шоссе от завода С до станции В железной дороги на 28 км
дальше, чем до станции А той же дороги. Расстояние от А до В через
С на 2 км больше, чем длина участка АВ железной дороги. Доставка
тонны груза из С в А стоит 130 тыс. руб., а по железной дороге из
А в В — 260 тыс. руб. Перевозка тонны груза на 1 км автотранспортом
стоит на 32 тыс. руб. дороже, чем по железной дороге. Определить
расстояния АС, ВС, АВ.
3.246. Учебный самолет летел со скоростью 220 км/ч. Когда ему
осталось пролететь на 385 км меньше, чем он пролетел, самолет увели-
увеличил скорость до 330 км/ч. Средняя скорость на всем пути оказалась
равной 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет?
3.247. Юноша возвращался домой из отпуска на велосипеде. Снача-
Сначала на несколько километров пути он потратил на один день больше
половины числа дней, оставшихся после этого до конца отпуска. Теперь
у юноши две возможности проехать остальной путь так, чтобы прибыть
домой точно к сроку: проезжать ежедневно на А км больше, чем перво-
первоначально, или сохранить прежнюю норму ежедневного пути, превысив
ее лишь один раз — в последний день пути — на 2Л км. За сколько дней
до конца отпуска отправился юноша домой?
3.248. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомо-
автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребова-
потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался
в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил
второй автомобиль, если он проходил в минуту на 1/6 дистанции
больше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за
10 мин?
3.249. От пункта А вдоль шоссе удаляется гонщик, поддерживающий
все время постоянную скорость а км/ч. Спустя 30 мин из того же пункта
стартовал второй гонщик с постоянной скоростью 1,25а км/ч. Через
сколько минут после старта первого гонщика был отправлен из того же
пункта третий гонщик, если известно, что он развил скорость 1,5а км/ч
и одновременно со вторым гонщиком догнал первого?
3.250. В полдень из пункта А в пункт В вышел пешеход и выехал
велосипедист, и в полдень же из В в А выехал верховой. Все трое
отправились в путь одновременно. Через 2 ч велосипедист и верховой
встретились на расстоянии 3 км от середины АВ, а еще через 48 мин
встретились пешеход и верховой. Определить скорость каждого и рас-
84

стояние АВ, если известно, что пешеход движется вдвое медленнее
велосипедиста.
3.251. С одного старта в одном и том же направлении одновременно
начали гонки два мотоциклиста: один со скоростью 80 км/ч, другой —
со скоростью 60 км/ч. Через полчаса с того же старта и в том же
направлении отправился третий гонщик. Найти его скорость, если изве-
известно, что он догнал первого гонщика на 1 ч 15 мин позже, чем второго.
3.252. Два велосипедиста стартовали одновременно из одного и того
же места в одном направлении. Следом за ними, через 10 мин с того же
места начал путь третий велосипедист. Сначала он обогнал первого
велосипедиста, после чего находился в пути еще 20 мин, пока догнал
второго. Начиная от самого старта и до конца пути каждый вело-
велосипедист шел с постоянной скоростью: а км/ч — первый велосипедист,
Ь км/ч — второй. Найти скорость третьего велосипедиста.
3.253. Дорога от почты А до поселка В идет сначала в гору на
протяжении 2 км, потом по ровному месту 4 км и затем под гору 3 км.
Почтальон проходит от А до В за 2 ч 16 мин, а обратно — за 2 ч
24 мин. Если бы конечный пункт его пути был расположен по той же
дороге, но вдвое ближе к А, то на весь путь туда и обратно почтальону
было бы достаточно 2 ч 19 мин. Сколько километров в час проходит
почтальон, когда он идет: а) в гору; б) по ровному месту; в) под гору?
3.254. Расстояние между городом А и станцией F по железной дороге
равно 185 км. Пригородный электропоезд идет от А первые 40 км
в гору, следующие 105 км по ровному месту и остальные 40 км снова
в гору. В гору поезд идет на 10 км/ч медленнее, чем по ровному месту.
На этом пути имеются станции В, С, D и Е на расстояниях 20, 70, 100
и 161 км от Л, и на каждой из них поезд стоит 3 мин. Найти время
прихода поезда в В, С, D и Е, если известно, что он вышел из А в 8 ч
и пришел в F в 10 ч 22 мин того же дня.
3.255. Юноша пошел к железнодорожной станции, до которой от его
дома было 10,5 км. Через полчаса из того же дома вслед за юношей по
той же дороге вышел его брат, который, идя со скоростью 4 км/ч,
догнал юношу, передал ему забытую им вещь, тут же повернул обратно
и пошел с прежней скоростью. С какой скоростью шел юноша, если
известно, что шел он всю дорогу равномерно, а его брат вернулся домой
в тот момент, когда юноша подошел к станции?
3.256. Турист возвращался из отпуска на велосипеде. На первом
участке пути, составляющем 246 км, он проезжал в среднем за каждый
день на 15 км меньше, чем проезжал за каждый день на последнем
участке пути, составляющем 276 км. Он прибыл домой точно в срок —
к концу последнего дня отпуска. Известно также, что на преодоление
первого участка пути ему потребовалось на один день больше половины
числа дней, оставшихся после этого до конца отпуска. За сколько дней до
конца отпуска отправился турист домой?
3.257. Расстояние между пунктами А и В равно 308 м. Из А по
направлению к В движется точка, которая в первую секунду проходит
15 м, а в каждую следующую секунду на 1 м меньше. Из В в проти-
противоположном направлении движется точка, которая в первую секунду
проходит 20 м, а в каждую следующую на 3 м больше. На каком
расстоянии от А произойдет встреча, если точка, вышедшая из В, начала
двигаться на 3 с позже точки, вышедшей из пункта А1
3.258. Пункт С расположен в 12 км от пункта В вниз по течению.
Рыбак отправился на лодке в пункт С из пункта А, расположенного
выше пункта В. Через 4 ч он прибыл в С, а на обратный путь затратил
85

6 ч. В другой раз рыбак воспользовался моторной лодкой, увеличив тем
самым собственную скорость передвижения относительно воды втрое,
и дошел от А до В за 45 мин. Требуется определить скорость течения,
считая ее постоянной.
3.259. На реке, скорость течения которой 5 км/ч, в направлении ее
течения расположены пристани А, В и С, причем В находится посередине
между А и С. От пристани В одновременно отходят плот, который
движется по течению к пристани С, и катер, который идет к пристани А,
причем скорость катера в стоячей воде равна v км/ч. Дойдя до пристани
А, катер разворачивается и движется по направлению к пристани С.
Найти все те значения v, при которых катер приходит в С позже, чем
плот.
3.260. Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость
этого поезда равна 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить
встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный
поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встреч-
встречного поезда, если известно, что его длина 75 м.
3.261. Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходил с по-
постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с
и затратил 25 с на то, чтобы пройти с той же скоростью вдоль платфор-
платформы длиной 378 м.
3.262. Два контрольных пункта делят лыжную трассу на три участка
одинаковой длины. Известно, что путь, состоящий из первого и второго
участков вместе, лыжник прошел со средней скоростью а м/мин; путь,
состоящий из второго и третьего участков вместе, он прошел со средней
скоростью Ь м/мин. Средняя скорость лыжника на втором участке была
такой же, как средняя скорость для первого и третьего участков вместе.
Какова средняя скорость лыжника по всей трассе в целом и на каждом
участке этой трассы в отдельности? Провести анализ условий сущест-
существования реального решения задачи.
3.263. Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной
50 м, немедленно повернуть обратно и вернуться к месту старта. Снача-
Сначала стартует первый, через 5 с — второй, еще через 5 с — третий. В неко-
некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, пловцы оказа-
оказались на одном расстоянии от старта. Третий пловец, доплыв до конца
дорожки и повернув назад, встретил второго в 4 м от конца дорожки,
а первого — в 7 м от конца дорожки. Найти скорость третьего пловца.
3.264. Из А в В через равные промежутки времени отправляются три
автомашины. Они прибывают в В одновременно, затем выезжают
в пункт С, находящийся на расстоянии 120 км от В. Первая машина
прибывает туда через час после второй. Третья машина, прибыв в С,
сразу поворачивает обратно и в 40 км от С встречает первую машину.
Определить скорость первой машины, считая, что по всей трассе ско-
скорость каждой машины была неизменной.
3.265. Два автомобилиста встретились на полпути между городами
Аи. В. При встрече выяснилось, что первый из А выехал раньше, чем
второй из В, на столько часов, сколько составит половина того времени
(также в часах), которое прошло бы до их встречи при одновременном
выезде из тех же пунктов, по той же дороге, с теми же скоростями,
постоянными на всем пути. Во сколько раз второй автомобилист ехал
быстрее первого?
3.266. Навстречу движущемуся трамваю шла девушка — знакомая
юноши, сидевшего у окна трамвая. Через 8 с после того, как она
поравнялась с окном, юноша вышел из трамвая и пошел следом за ней.
Сколько прошло времени с этого момента до того, как он догнал
86

девушку? Скорость юноши в 2 раза больше скорости девушки и в 5 раз
меньше скорости трамвая.
3.267. Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот
же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образу-
образуют равносторонний треугольник, а после того как второе судно прошло
80 км — прямоугольный треугольник.* В момент прибытия первого суд-
судна в порт второму остается пройти 120 км. Найти расстояние между
судами в начальный момент времени.
3.268. Расстояние между станциями А в В равно 103 км. Из
А в В вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан,
а потому оставшийся до В путь проходил со скоростью, на 4 км/ч
большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если
известно, что оставшийся до В путь был на 23 км длиннее пути, прой-
пройденного до задержки, и на прохождение пути после задержки было
затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до задержки.
3.269. Пароход через 2 ч после отправления от пристани А останав-
останавливается на 1 ч и затем продолжает путь со скоростью, равной 0,8
первоначальной, вследствие чего опаздывает к пристани В на 3,5 ч. Если
бы остановка произошла на 180 км дальше, то при тех же остальных
условиях пароход опоздал бы в В на 1,5 ч. Найти расстояние АВ.
3.270. Для того чтобы подняться на обычном лифте на последний
этаж восьмиэтажного дома (высота 33 м) при двух б-секундных проме-
промежуточных остановках, нужно затратить столько же времени, сколько его
потребуется, чтобы подняться на лифте высотного здания при одной
7-секундной промежуточной остановке на 20-й этаж (высота 81 м).
Определить подъемную скорость лифта в высотном здании, зная, что
она превышает скорость обычного лифта на 1,5 м/с, но не достигает
5 м/с.
3.271. В Одессу должны прибыть два теплохода с разрывом в 1 ч.
Оба теплохода идут с одинаковой скоростью, но обстоятельства сложи-
сложились так, что первый теплоход опоздал бы на /j мин, а второй на /2 мин.
Получив по радио указание о необходимости прибыть без опоздания,
оба капитана одновременно увеличили скорости теплоходов: первый —
на V] км/ч, второй — на v2 км/ч, в результате чего оба теплохода при-
прибыли в Одессу точно по расписанию. С какой скоростью шли теплоходы
до получения сигнала по радио?
3.272. По графику поезд проходит перегон в 120 км с одной и той же
скоростью. Вчера поезд прошел половину перегона с этой скоростью
и вынужден был остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в ко-
конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона при-
пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Сегодня повторилась
остановка поезда на середине того же перегона, только задержка про-
продолжалась 9 мин. С какой скоростью машинист вел поезд сегодня на
второй половине перегона, если в конечный пункт этого перегона поезд
снова прибыл по расписанию?
3.273. Из двух пунктов, расстояние между которыми 28 км, од-
одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. Если бы первый
не задержался на 1 ч на расстоянии 9 км от места своего отправления,
то встреча пешеходов произошла бы на полпути. После остановки
первый пешеход увеличил скорость на 1 км/ч и встреча произошла
на расстоянии 4 км от того места, где задержался первый. Найти
скорости пешеходов.
3.274. На участке шоссе протяженностью 10 км, лишенном перекре-
87

стков, автобус останавливается только для входа и выхода пассажиров.
Всего он делает 6 промежуточных остановок, затрачивая на каждую из
них по 1 мин, а движется всегда с одной и той же скоростью. Если бы
автобус двигался без остановок, то тот же путь он прошел бы со
скоростью, превышающей среднюю скорость своего движения с оста-
остановками на 5 км/ч. Сколько минут автобус находится в движении на
этом участке шоссе?
3.275. Через 2 ч после отправления поезд остановился на 30 мин. На
оставшемся до станции участке пути производились ремонтные работы
и поезду была разрешена скорость, составляющая 1/3 первоначальной
скорости, вследствие чего поезд пришел на станцию с опозданием на 1 ч
10 мин. На другой день остановка поезда произошла на 14 км ближе
к конечной станции и при тех же условиях опоздание сократилось до
50 мин. Определить расстояние между станциями и скорость поезда.
3.276. Длина круговой дорожки ипподрома равна Ь км. Из двух
наездников А и В, начавших скачки одновременно, наездник А прибыл
к финишу на 2 мин раньше. В другой раз наездник В увеличил скорость
на с км/ч, в то время как наездник А уменьшил скорость на с км/ч
и потому В прибыл к финишу на 2 мин раньше, чем А. Найти скорости
наездников в первом заезде.
3.277. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стади-
стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый
тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего
старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую
часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый бегун?
3.278. По двум концентрическим окружностям равномерно враща-
вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее,
чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту
больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окру-
окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между
лучами через 1 с.
3.279. Меньшая дуга между точками A is. В, находящимися на окру-
окружности, равна ISO м. Если точки начнут двигаться навстречу друг другу
по меньшей дуге, то встретятся через 10 с, а если по большей дуге, то
встреча произойдет через 14 с. Определить скорости движения точек
н длину окружности, если известно, что точка А может обежать всю
окружность в то время, как В пройдет только 90 м.
3.280. Часовая и минутная стрелки совпадают в полночь, и начина-
начинается новый день. В котором часу этого нового дня впервые снова
совпадут часовая и минутная стрелки, если допустить, что стрелки часов
движутся без скачков?
3.281. Предполагая, что стрелки часов движутся без скачков, устано-
установить, через сколько минут после того, как часы показывали 8 ч, минут-
минутная стрелка догонит часовую.
3.282. От станции железной дороги до пляжа 4,5 км. Мальчик и рей-
рейсовый автобус одновременно отправились от станции к пляжу. Через
15 мин мальчик встретил автобус, возвращающийся от пляжа, и успел
пройти еще 9/28 км от места первой встречи с автобусом, как его догнал
тот же автобус, который дошел до станции и опять отправился к пляжу.
Найти скорости мальчика и автобуса, считая, что они постоянны и ни
мальчик, ни автобус в пути не останавливались, ио у пляжа и на станции
автобус делал остановки продолжительностью в 4 мин каждая.
3.283. На пристани с теплохода сошли два пассажира и направились
в один и тот же поселок. Один из них первую половину пути шел со
88

скоростью 5 км/ч, а вторую половину — со скоростью 4 км/ч. Другой
шел первую половину времени со скоростью 5 км/ч, а вторую полови-
половину — со скоростью 4 км/ч и пришел в поселок на 1 мин раньше первого.
За какое время каждый из них прошел весь путь и каково расстояние
между пристанью и поселком?
3.284. Дежурный монтер спустился по движущемуся вниз эскалатору
метро. Весь "его путь от верхней площадки до нижней продолжался
24 с. Затем он поднялся и в том же темпе снова спустился вниз,
но теперь уже по неподвижному эскалатору. Известно, что спуск
продолжался 42 с. За сколько секунд спустился бы человек по дви-
движущемуся вниз эскалатору, стоя на ступеньке?
3.285. Велосипедист отправляется из А в В. Расстояние от Л до
В равно 60 км; скорость велосипедиста постоянна. Затем он едет обрат-
обратно с той же скоростью, но через час после выезда из В делает остановку
на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на
4 км/ч. В каких границах заключена скорость v велосипедиста, если
известно, что на обратный путь от В до А он потратил не больше време-
времени, чем на путь от А до Ш
Работа
3.286. Обычно к выполнению некоторого задания привлекаются од-
одновременно два механизма. Производительность этих механизмов не
одинакова и при совместном действии задание выполняется ими за 30 ч.
Однажды совместная работа двух мехаанизмов продолжалась только
6 ч, после чего первый механизм был остановлен н всю остальную часть
задания выполнил второй механизм за 40 ч. За какое время такое же
задание может выполнить каждый механизм, работая отдельно с прису-
присущей ему производительностью?
3.287. Можно изготовить 9000 деталей на нескольких новых станках
одинаковой конструкции и одном станке старой конструкции, работа-
работающем вдвое медленнее каждого из новых станков. Можно н этот старый
станок заменить новым станком той же конструкции, что и остальные.
Тогда по второму варианту на каждом станке изготовлялось бы на 200
деталей меньше, чем на одном новом станке по первому варианту.
Сколько было работающих станков?
3.288. Некоторый заказ выполняют в мастерской № 1 на 3,6 ч до-
дольше, чем в мастерской № 2, и на 10 ч дольше, чем в мастерской № 3.
Если при тех же условиях работы мастерские № 1 и № 2 объединятся
для выполнения заказа, то срок его выполнения окажется таким же, как
в одной мастерской № 3. На сколько часов больше или меньше одного
семичасового рабочего дня длится выполнение указанного заказа в ма-
мастерской № 3?
3.289. Рукопись в 80 страниц отдана двум машинисткам. Если пер-
первая машинистка начнет перепечатывать рукопись через 3 ч после вто-
второй, то каждая из них перепечатает по половине рукописи. Если же обе
машинистки начнут работать одновременно, то через 5 ч останутся
неперепечатанными IS страниц. За какое время может перепечатать
рукопись каждая машинистка в отдельности?
3.290. Двум рабочим было поручено задание, второй рабочий при-
приступил к нему на 1 ч позже первого. Через 3 ч после того, как первый
приступил к заданию, им осталось выполнить 9/20 всего задания. По
окончании работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего
89

задания. За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить
все задание?
3.291. Два цеха молокозавода совместно должны обработать поров-
поровну определенное количество литров молока. Второй цех приступил
к выполнению задания на а рабочих дней позже, но обрабатывал ежед-
ежедневно на ж л молока больше, чем первый. Прошло еще 5а/9 рабочих
дней от начала совместной работы этих цехов и осталась невыполненной
1/3 всего задания. Сколько рабочих дней потребовалось для выполнения
задания, если работа была окончена одновременно и каждый цех об-
обработал половину заданного количества литров молока?
3.292. Если выполнение заказа по набору нескольких книг возложить
на одного из трех наборщиков, то первый справится с работой на 10 ч
быстрее, а третий — на 6 ч быстрее, чем второй. Если же одну аз
заказанных книг будет набирать первый наборщик, а другую книгу
одновременно будет набирать второй, то за 9 ч они наберут столько
страниц, сколько за 10 ч наберут второй и третий, работая вместе при
тех же условиях. Сколько времени потребуется каждому наборщику для
набора всех заказанных книг при раздельной работе?
3.293. Два «механических крота» разной мощности при одновремен-
одновременной работе с разных концов тоннеля могли бы прорыть его за 5 дней.
В действительности же оба «крота» были применены последовательно
с одной стороны тоннеля, причем первый прорыл 1/3, а второй — оста-
остальные 2/3 его длины. На выполнение всей работы ушло при этом 10
дней. За сколько дней каждый «крот», работая самостоятельно, мог бы
прорыть' тоннель?
3.294. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых
деталей; после того как первый проработал а ч, а второй 0,6а ч, оказа-
оказалось, что они выполнили 5/л всей работы. Проработав совместно еще
0,6а ч, они установили, что им осталось изготовить еще 1/л всей партии
деталей. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, выполнит
всю работу? Число л натуральное; найти его.
3.295. При разгрузке баржи сначала 2 ч действовали четыре подъем-
подъемных крана одинаковой мощности. Затем добавочно ввели в действие еще
два крана меньшей, но одинаковой мощности. После этого для оконча-
окончания разгрузки потребовалось еще 3 ч. Если бы все эти краны начали
работать одновременно, то разгрузка была бы произведена за 4,5 ч.
Если бы один кран большей и один кран меньшей мощности работали
совместно, то за какое время они разгрузили бы баржу?
3.296. Два экскаваторщика должны выполнить некоторое задание.
После того как первый проработал 15 ч, начинает работать второй
и заканчивает это задание за 10 ч. Если он при раздельной работе
первый выполнил 1/6, а второй — 1/4 всего задания, то для его оконча-
окончания потребовалось бы еще 7 ч их совместной работы. За сколько часов
может выполнить задание каждый экскаваторщик в отдельности?
3.297. В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна — рав-
равномерно подающая, другая — равномерно отводящая воду, причем че-
через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую
опорожняется. При заполненном иа 1/3 бассейне были открыты обе
трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя
отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?
3.298. Два одинаковых бассейна одновременно начали наполняться
водой. В первый бассейн поступает в час на 30 м3 больше воды, чем во
второй. В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько
воды, сколько составляет объем каждого из них. После этого через 2 ч
90

40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин — второй.
Сколько воды поступало в час в каждый бассейн?
3.299. Для гидродинамических исследований изготовлена небольшая
модель канала. К этой модели подведено несколько труб одинакового
сечения, вводящих воду, и несколько труб другого, но тоже одинакового
сечения, предназначенных для удаления воды. Если сразу открыть четы-
четыре вводящие и три выводящие трубы, то через 5 ч в модели прибавится
1000 мэ воды. Если одновременно открыть на 2 ч две вводящие и две
выводящие трубы, то увеличение объема воды составит 180 м3. Сколько
воды пропускает за час одна вводящая и сколько пропускает одна
выводящая труба?
3.300. Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнит-
наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была открыта только
первая труба в течение 1/4 времени, которое необходимо второй трубе,
чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала вторая
труба также в течение 1/4 времени, которое необходимо первой, чтобы
одной наполнить бассейн, после чего оказалось, что остается наполнить
11/24 полной вместимости бассейна. Сколько времени необходимо для
наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?
Смеси, сплавы
3.301. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием
меди в каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди
в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содер-
содержание меди во втором сплаве. Затем оба эти сплава сплавили вместе,
после чего содержание меди составило 36%. Определить процентное
содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг,
а во втором — 12 кг.
3.302. Сплавили два сорта чугуна с разным процентным содержани-
содержанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше другого, то процент-
процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит процентное содержание
хрома в меньшей из сплавляемых частей. Если же взять одинаковое
количество обоих^сортов, то сплав будет содержать 8% хрома. Опреде-
Определить процентное содержание хрома в каждом сорте чугуна.
3.303. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количе-
количества этих металлов находятся в отношении 1:2, в другом — 2:3. Сколь-
Сколько граммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 19 г сплава,
в котором золото и серебро находятся в отношении 7:12?
3.304. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля
5 и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы
получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля?
3.305. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова.
Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди.
Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково.
Сплавив ISO кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав,
в котором оказалось 30% цинка. Сколько олова содержится в получен-
полученном новом сплаве?
3.306. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в от-
отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3.
Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий
сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
3.307. Некоторый сплав содержит металлы А я В в отношении т: п,
другой — те же металлы в отношении р: q. Какие количества первого
91

и второго сплавов нужно взять, чтобы получить 1 кг третьего сплава
с равным содержанием металлов А я В?
3.308. Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота,
причем на долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из
этого сосуда выпускают некоторое количество смеси и впускают такое
же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как и в пер-
первый раз, количество смеси и опять добавляют столько же азота. В новой
смеси кислорода оказалось 9%. Какое количество смеси каждый раз
выпускалось из сосуда?
3.309. Примеси составляют 20% от общего объема раствора. Каково
наименьшее число фильтров, через которые нужно пропустить раствор,
чтобы окончательное содержание примесей не превышало 0,01%, если
каждый фильтр поглощает 80% примесей? (Известно, что lg2«0,30.)
3.310. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают
его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар
обычно содержит около 70% воды, а полученный из него мед содержит
только 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перераба-
перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда?
Груша В
3.311. Электронная вычислительная машина получила задание ре-
решить последовательно несколько задач. Регистрируя время выполнения
задания, заметили, что на решение каждой следующей задачи машина
затрачивала в одно и то же число раз меньше времени, чем на решение
предыдущей. Сколько было предложено задач и сколько времени затра-
затрачено машиной на решение всех задач, если на решение всех задач, кроме
первой, затрачено 63,5 мин, на решение всех задач, кроме последней,
затрачено 127 мин, а на решение всех задач, кроме двух первых и двух
последних, затрачено 30 мин?
3.312. Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину.
Первая свеча была зажжена на 1 ч раньше двух других, зажженных
одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи
оказались имеющими одинаковую длину, а через 2 ч после этого оди-
одинаковую длину стали иметь первая и вторая свечи. За сколько часов
сгорает первая свеча, если вторая сгорает за 12 ч, а третья — за 8 ч?
3.313. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Брил-
Бриллиант массой р карат был разбит на две части, после чего его стоимость
уменьшилась в к раз. Найти массу частей, на которые был разбит
бриллиант A карат=0,2 г). Доказать, что наибольшая потеря в сто-
стоимости бриллианта происходит в том случае, когда обе его части равны
по массе.
3.314. На складе имеется некоторое число бочек двух образцов об-
общей вместимостью 7000 л. Если бы все бочки были первого образца, то
вместимость всех бочек увеличилась бы на 1000 л. Если .бы все бочки
были второго образца, то вместимость уменьшилась бы на 4000 л.
Вычислить вместимость всех бочек каждого образца в отдельности.
3.315. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья брига-
бригады обработали древесины в 2 раза больше, чем вторая, а вторая
и третья — в 3 раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом
соревновании?
3.316. Имеется п мензурок с жидкостью. Из первой мензурки перели-
перелили 1/л имеющейся там жидкости во вторую мензурку, затем из второй
92

мензурки 1/л -оказавшейся там после переливания из первой мензурки
жидкости перелили в третью мензурку и т. д. Наконец, из л-й мензурки
перелили 1/л оказавшейся в ней после переливания из предыдущей
мензурки жидкости снова в первую мензурку. После этого в каждой
мензурке оказалось по а см3 жидкости. Сколько жидкости было перво-
первоначально в каждой мензурке?
3.317. Арбузы, привезенные на базу, предназначены для двух магази-
магазинов. Первый магазин сразу приступил к перевозке арбузов и перевозил
их ежедневно одинаковыми по массе порциями. Второй магазин присту-
приступил к перевозке арбузов на а дней позже и также перевозил их ежедневно
одинаковыми по массе, но иными, чем первый магазин, порциями. Через
b дней, прошедших от начала перевозочных операций, на базе осталась
половина первоначального количества арбузов. За сколько дней были
вывезены все арбузы с базы, если перевозка закончилась одновременно
и масса арбузов, полученных первым магазином, равна массе арбузов,
полученных вторым магазином?
3.318. В колбе имеется раствор соли. Из колбы отливают 1/л рас-
раствора в пробирку, а раствор, оставшийся в колбе, выпаривают до тех
пор, пока процентное содержание соли не повысится вдвое. После этого
вливают в колбу раствор из пробирки. В результате содержание соли
в растворе повысилось на р% по сравнению с первоначальным. Опреде-
Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе. Какую
часть первоначального раствора следовало отлить, чтобы в результате
описанной процедуры процентное содержание соли увеличилось в 1,5
раза?
3.319. Известно, что разность переменных величин у и z пропорци-
пропорциональна величине х, а разность величин z и х пропорциональна величине
у. Коэффициенты этих пропорциональностей равны соответственно
к\ и к2. Некоторое значение величины z в 3 раза больше разности
соответствующих значений хну. Доказать, что если каждый из коэф-
коэффициентов Jfcj и к.2 увеличить на 3, то произведение полученных чисел
будет равно числу 8 (предполагается, что величины х и у не принимают
нулевых значений).
3.320. Если искомое двузначное число увеличить на 46, то получится
число, произведение цифр которого равно 6. Найти это число при
условии, что сумма его цифр равна 14.
3.321. На какое целое положительное число надо разделить 180,
чтобы остаток составлял 25% от частного?
3.322. Доказать, что куб наибольшего из трех последовательных
натуральных чисел не может быть равен сумме кубов двух других чисел.
3.323. Искомое число больше 400 и меньше 500. Найти его, если
сумма его цифр равна 9 и оно равно 47/36 числа, изображенного теми же
цифрами, но написанными в обратном порядке.
3.324. Найти трехзначное число, зная, что число его десятков есть
среднее геометрическое числа сотен и единиц. Если в его записи поме-
поменять местами цифры сотен и единиц и вычесть новое число из искомого,
то разность будет равна 297.
3.325. Искомое трехзначное число оканчивается цифрой 1. Если ее
стереть и затем ее же приписать в качестве первой цифры числа, то
полученное новое трехзначное число будет меньше искомого на
10 а V* . Найти это число.
3.326. Разность логарифмов цифр сотен и десятков трехзначного
числа равна логарифму разности тех же цифр, а сумма логарифмов цифр
сотен и десятков равна логарифму суммы тех же цифр, увеличенной в 4/3
93

раза. Если из этого трехзначного числа вычесть число, имеющее обрат-
обратный порядок цифр, то их разность будет равна положительному числу,
у которого цифра сотен совпадает с цифрой десятков данного числа.
Найти это число.
3327. Искомое трехзначное число начинается с цифры 1. Если ее
стереть и затем ее же приписать в качестве последней цифры числа, то
полученное новое трехзначное число будет больше искомого на 9а '".
Найти число.
3.328. В былое время комиссионный магазин как-то принял для
продажи фотоаппараты, часы, авторучки и радиоприемники на сумму
240 руб. Сумма цен приемника и одних часов на 4 руб. больше суммы
цен фотоаппарата и авторучки, а сумма цен одних часов и авторучки
на 24 руб. меньше суммы цен фотоаппарата и приемника. Цена ав-
авторучки равна целому числу рублей, не превосходящему 6. Количество
принятых фотоаппаратов равно цене одного фотоаппарата в рублях,
деленной на 10; количество принятых часов равно числу приемников,
а также числу фотоаппаратов. Количество авторучек в 3 раза больше
числа фотоаппаратов. Сколько всего предметов указанных наимено-
наименований было принято магазином?
3.329. В магазин поступил товар 1-го и 2-го сортов на общую сумму
в 450 млн. руб. Дополнительная экспертиза установила, что весь посту-
поступивший товар можно продавать только по цене 2-го сорта, в результате
чего фирма потерпела бы убыток в сумме SO млн. руб. Продавцы
магазина безвозмездно не только устранили дефекты в товаре 1-го
сорта, но и товар 2-го сорта довели до кондиции 1-го сорта. Получив
после этого разрешение продавать весь товар по цене 1-го сорта, мага-
магазин дал фирме прибыль в сумме 30 млн. руб. В какую сумму оценивался
первоначально весь товар 1-го сорта и весь товар 2-го сорта отдельно?
3.330. Куплено несколько килограммов товара двух сортов: 1-го
сорта на 4500 руб. и 2-го на 2000 руб., причем 1-го сорта куплено на
1 кг больше. Стоимость 1 кг товара 1-го сорта на 100а руб. выше
стоимости 1 кг товара 2-го сорта. Сколько килограммов товара каж-
каждого сорта куплено? Определить число решений в зависимости от воз-
возможных значений а.
3.331. Уголь, добываемый в пункте А, продается по q руб. за тонну,
а добываемый в пункте В — на р% дороже. Пункты А в В соединяет
дорога длиной з км. В какой зоне этой дороги АВ расположены потре-
потребители угля, для которых закупка и доставка угля из В обходится
дешевле, чем из А, если перевозка 1 т угля на расстояние 1 км обходится
в г руб.? В каком месте дороги АВ расположено предприятие, расходы
которого на потребление угля не зависят от выбора пункта А или ВП
Исследовать возможные случаи.
3332. Предприятие А, потребляющее лед, закупает его в пункте В по
цене в руб. за тонну. Иногда этому предприятию приходится закупать
лед в другом пункте С по цене 1,5а руб. за тонну. Оба изготовителя сами
доставляют потребителю А закупленный им лед, начисляя за перевозку
по р руб. за тонно-километр. Потеря в массе, происходящая при транс-
транспортировке от таяния льда, составляет от/1000 его начальной массы на
километр пути. Предприятие А расположено между В л С, л каждая
тонна фактически полученного льда обходится предприятию А оди-
одинаково (в рублях) при доставке как из пункта В, так и из пункта С. Во
сколько рублей обходится предприятию А тонна получаемого льда, если
известно, что расстояние от В по С через А равно s км?
3.333. Из двух пунктов А и В одновременно выехали два инспектора
94

к месту происшествия, в пункт С. Первый инспектор примчался в С через
а мин. Если второй инспектор будет стремиться попасть из В в С одно-
одновременно с первым, то ему придется на проезд каждого километра
затрачивать на с мин меньше, чем первому, так как расстояние от В до
С на b км больше расстояния от Л до С. На каком расстоянии от пункта
А случилось происшествие?
3.334. Из одного и того же пункта одновременно в одном направле-
направлении по прямолинейному участку шоссе с постоянными, но различными
скоростями вышли два пешехода. Через 2 ч расстояние между ними
было s км. После этого пешеходы стали идти быстрее и затрачивать на
каждый километр пути на 10 мин меньше. Еще через 2 ч расстояние
между ними стало равным 3.? км. Найти расстояния, пройденные пеше-
пешеходами за первые два часа движения.
3.335. Три мотоциклиста проезжают с постоянными, но различными
скоростями один и тот же участок АВ дороги. Сначала пункт А проехал
первый мотоциклист, а 5 с спустя в том же направлении — второй
и третий. Через некоторое время первого мотоциклиста обогнал третий,
а еще через 10 с его обогнал и второй. За какое время первый мотоцик-
мотоциклист проедет расстояние АВ, если второй проехал это расстояние за
1 мин, а третий — за 40 с?
3.336. К берегу водохранилища подошли трое: А, В и С; А отправил-
отправился на противоположный берег вплавь со скоростью v км/ч; одновремен-
одновременно В и С отправились на моторной лодке со скоростью 10v км/ч. Через
некоторое время С решил остаток пути преодолеть вплавь и поплыл
с той же скоростью, что и А. В тот же момент В повернул назад, чтобы
взять в лодку А, который быстро садится в нее и продолжает путь вместе
с В. На противоположном берегу все трое оказываются одновременно.
Определить время переправы, если известно, что ширина водохранили-
водохранилища равна Ь км (скорость течения предполагается равной нулю).
3.337. Между пунктами А я В, удаленными друг от друга на 3,01 м,
совершает колебательное движение материальная частица т\. Скорость
ее постоянна по величине, и на конечных пунктах она не задерживается.
Через 11 с после выхода частицы гп\ из пункта А другая частица
гп2 начинает двигаться из пункта В также с постоянной, но меньшей
скоростью. Эта частица, двигаясь в направлении пункта А, дважды
встречается с частицей mu а именно через 10 и 45 с после выхода второй
частицы. Определить скорости частиц.
3.338. Из Москвы в город N пассажир может отправиться поездом.
В этом случае он пробудет в пути 20 ч. Если же он дождется отправле-
отправления самолета (а ждать придется более 5 ч после отправления поезда), то
пассажир доберется до города N через 10 ч, включая и время ожидания.
Протяженности трассы самолета и железнодорожного пути одинаковы.
Во сколько раз скорость самолета превышает скорость поезда, если
известно, что самолет окажется над этим поездом через 8/9 ч после
отправления из аэропорта и пролетит к этому моменту столько же
километров, сколько пройдет поезд?
3.339. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стади-
стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожай первый
тратит на а с меньше, чем второй. Если они начинают пробе; с общего
старта и в одном направлении, то сходятся через каждые b с. Через
какое время они встретятся, если побегут в противоположных направле-
направлениях по той же дорожке с прежними скоростями?
95

3.340. Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной
50 м, немедленно повернуть обратно и вернуться к месту старта. Снача-
Сначала стартует первый, через ас — второй, еще через ас — третий. В неко-
некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, пловцы оказа-
оказались на одном расстоянии от старта. Третий пловец, доплыв до конца
дорожки и повернув назад, встретил второго в s м от конца дорожки,
а первого — в г м от конца дорожки. Найти скорости первого и третье-
третьего пловцов и установить связь в виде неравенств между параметрами
ras так, чтобы задача имела решение.
3.341. Из аэропорта к центру города вышел автомобиль, одновре-
одновременно из центра города в аэропорт вышел автобус-экспресс. Когда
первый прошел половину пути, второму осталось до конца маршрута
19,2 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось до
конца маршрута 12 км. Сколько километров остается пройти автобусу
после того, как автомобиль закончит свой маршрут? Предполагается,
что скорости автомобиля и автобуса постоянны на всем пути.
3342. Расстояние между двумя точками равно d. Под действием
некоторых сил обе точки начинают равномерное движение навстречу
друг другу. Чтобы они встретились на середине пути, первой точке
нужно начать движение на / единиц времени раньше второй. Если же
точки начнут сближение одновременно, то через Т единиц времени
расстояние между ними составит к-ю часть (к>\) первоначального
расстояния. Найти скорости движения точек.
3.343. Два брата имели билеты на стадион, расположенный в 10 км
от их дома. Сначала они собирались идти на стадион пешком, но
изменили намерение и решили воспользоваться своим велосипедом,
договорившись, что один отправится на велосипеде, а другой одновре-
одновременно с ним — пешком. Проехав часть пути, первый оставит велосипед,
а второй, дойдя до оставленного велосипеда, поедет на нем дальше
и догонит первого у входа на стадион. Сколько времени выигрывают
братья при этом по сравнению с первоначальным намереннем идти весь
путь пешком, если каждый из них на велосипеде преодолевает каждый
километр на 12 мин быстрее, чем пешком?
д, ~ 3.344. Спортсмен, тренируясь
¦ 2 z в быстрой ходьбе вдоль шоссе, за-
заметил, что каждые 6 мин его до-
догоняет троллейбус, и каждые
3 мин проходит встречный трол-
троллейбус. Требуется найти, через ка-
какие промежутки времени отправ-
отправляются троллейбусы с конечных
пунктов и во сколько раз медлен-
медленнее троллейбуса шел спортсмен,
если допустить, что в обе стороны
Рис- 3<1° троллейбусы отправляются через
одинаковые промежутки времени, идут без остановок с постоянной
и одинаковой скоростью. Спортсмен также идет без остановок с посто-
постоянной скоростью (рис. 3.10, где АВ— график движения спортсмена,
прямые M\N\ || M2N2 и P\Q\ || Ргйг — графики движения каких-либо по-
последовательно идущих один за другим троллейбусов попутно спортс-
спортсмену и навстречу ему).
3345. По расписанию учебно-тренировочных занятий сначала из
пункта А должен выехать один связист, а через б ч — второй связист
с такой скоростью, чтобы нагнать первого в 180 км от пункта А. Однако
в момент отправления первый связист получил распоряжение ехать со
96
s,

скоростью, на а км/ч большей, чем намечалось первоначально. Второму
же связисту не разрешалось увеличивать скорость, намеченную расписа-
расписанием, поэтому, чтобы точно выполнить задание, ему пришлось выехать
из пункта А на 3 ч раньше, чем намечалось. Сколько времени будет
в пути каждый связист? Доказать, что задача имеет смысл только при
а<30.
3.346. Два приятеля собрались на охоту. Один из них живет в 46 км
от охотничьей базы, другой, имеющий «Москвич», в 30 км от базы —
между этой базой и домом своего приятеля. Они тронулись в путь
одновременно, причем владелец «Москвича» поехал навстречу своему
приятелю, идущему пешком. Встретившись, они вместе поехали на базу
и прибыли туда через час после выхода из дома. Если бы пешеход вышел
из дома на 2 ч 40 мин раньше владельца «Москвича», то приятели
встретились бы в 11 км от дома пешехода. Какова скорость автомоби-
автомобиля? Скорости движения пешехода и автомашины считать постоянными.
3.347. На шоссе последовательно расположены пункты D, А, С и В.
Из А и В одновременно выехали мотоциклист и велосипедист в пункты
С и D соответственно. Встретившись в Е, они обменялись машинами
и каждый продолжал свой путь. В результате первый затратил иа
поездку от А до С 6 ч, а второй затратил на поездку от В до D 12 ч.
Определить длину пути АВ, если известно, что каждый едущий на
мотоцикле развивает скорость 60 км/ч, а на велосипеде — 25 км/ч, и,
кроме того, средняя скорость движения первого на пути АС равна
средней скорости движения второго на пути BD.
3.348. К цветущей яблоне полетел шмель со скоростью v, м/мин.
Одновременно к другой яблоне полетела пчела со скоростью v2 м/мин.
При этом шмелю нужно было преодолеть расстояние в 2а м, а пчеле —
расстояние в 1Ь м. Предположим, что траектории их полета — взаимно
перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке, делящей пополам
и путь шмеля, и путь пчелы. Найти формулу, выражающую зависимость
расстояния у между шмелем и пчелой от времени х их полета. Устано-
Установить момент, когда в полете шмеля и пчелы расстояние между ними
достигает наименьшего значения. Исследовать, пролетит ли пчела или
шмель точку пересечения их траекторий к моменту, когда будет достиг-
достигнуто наименьшее расстояние между шмелем и пчелой.
3.349. Два велосипедиста выезжают одновременно из пункта А с раз-
различными (но для каждого постоянными) скоростями н едут к пункту В.
Достигнув его, они тотчас же едут обратно. Первый велосипедист,
ехавший быстрее второго, на обратном пути встретил второго на рас-
расстоянии а км от В; затем, достигнув А, едет снова по направлению к В,
и, пройдя к-ю часть пути АВ, встречаёт'г второго велосипедиста, воз-
возвращающегося из В. Найти расстояние от%9Л до В.
3.350. Со станции А отошли два электропоезда с интервалом
в 12 мин и практически сразу развили одинаковую скорость 50 км/ч.
Они едут в одном направлении без остановок, сохраняя указанную
скорость неизменной. С какой постоянной скоростью шел встречный
поезд, если он повстречал эти электропоезда через 5 мин один после
другого?
3.351. Два поезда длиной в 490 и 210 м равномерно движутся на-
навстречу друг другу по параллельным путям. Машинист одного из них
заметил встречный состав на расстоянии 700 м; после этого через 28 с
поезда встретились. Определить скорость каждого поезда, если извест-
известно, что один из них проезжает мимо светофора на 35 с дольше другого.
3.352. Кортеж автомобилей с космонавтами равномерно движется
по проспекту со скоростью v км/ч. Протяженность кортежа постоянно
сохраняется равной ж м. Букет цветов, брошенный из окна дома, попал
4-362 97

в коляску мотоциклиста, ехавшего сзади кортежа. Мотоциклист проехал
вперед, передал букет космонавту, находившемуся в первом автомобиле,
и тотчас отправился обратно. На проезд туда и обратно вдоль движуще-
движущегося кортежа мотоциклисту потребовалось t мин. Вычислить скорость
мотоциклиста, если она на воем пути была одинакова.
3353. На соревнованиях авиамоделей с моторчиками лучшими ока-
оказались две модели. При встречном ветре первая модель продержалась
в воздухе на т мин меньше второй, но пролетела на Л м дальше.
Скорость ветра равна с м/мин, но на продолжительность полета модели
ветер не влияет, от ветра зависит только дальность полета. Предполага-
Предполагается, что собственная скорость каждой модели все время постоянна.
Какая ш этих моделей пролетит большее расстояние при безветренной
погоде?
3354. Из пункта А отправилась моторная лодка вверх по Волге, а из
пункта В одновременно вышел плот по течению. Через а ч они встрети-
встретились и далее двигались без остановок. Дойдя до пункта В, лодка, не
задерживаясь, повернула обратно и догнала плот в пункте А. Пред-
Предполагается, что собственная скорость лодки была все время неизменной.
Сколько времени находились в плавании плот и лодка?
3.355. Два человека одновременно начали спускаться по движущему-
движущемуся вниз эскалатору метро, причем один шел вдвое быстрее другого. Один
из них насчитал 60 ступенек, а второй — 40. Сколько ступенек пришлось
бы им отшагать по неподвижному эскалатору?
3.356. Сначала катер шел а км по озеру, а затем половину этого
расстояния по реке, впадающей в озеро. Весь рейс продолжался 1 ч.
Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки равна
с км/ч.
3.357. На участке реки от А до В течение так невелико, что им можно
пренебречь; на участке от В до С течение оказывает заметное влияние на
движение лодки. Лодка покрывает расстояние вниз от А до С за б ч,
а вверх от С до А за 7 ч. Если бы на участке от А до В течение было бы
таким же, как на участке от В до С, то весь путь от А до € занял бы
5,5 ч. Сколько времени в этом случае понадобилось бы той же лодке на
движение вверх от С до Л? Собственная скорость лодки принимается
неизменной во всех случаях.
3358. На расстоянии / м от моста А вниз по течению реки располо-
расположен мост В. Когда спортсмен проплывал мимо моста А, направляясь
к мосту В, ему бросили два мяча. Первый мяч он подхватил, а второй
оставил плыть по течению. Проплыв с мячом некоторый участок реки,
спортсмен оставил этот мяч и поплыл вверх по реке за вторым мячом.
Подхватив второй мяч, снова повернул по направлению ж мосту В и до-
достиг его одновременно со свободно плывшим первым мячом. Какое
расстояние пришлось проплыть спортсмену, если его собственная ско-
скорость все время была в к раз больше скорости течения?
3359. Несколько рабочих выполняют задание за 14 дней. Если бы их
было на 4 человека больше и »я-игдий работал бы в день на 1 ч дольше,
это же задание было бы выполнено за 10 дней. Если бы их было еще на
6 человек больше и каждый работал бы еще на 1 ч в день дольше,
задание было бы выполнено за 7 дней. Сколько было рабочих и сколько
часов в день они работали?
3.360. В бригаде землекопов каждый работает ежедневно по оди-
одинаковому числу часов. Известно, что производительно пь труда оди-
одинакова у всех рабочих бригады и при этом бригада может вырыть канаву
для укладки кабеля за 6 дней. Однако еще до начала работы выяснилось
98

что рабочий день сокращается на 1 ч, а состав бригады уменьшается на
5 человек. В таком случае канава может быть вырыта за 9 дней.
В действительности эту канаву рыли 12 дней, так как рабочий день был
сокращен не на 1 ч, а на 2 ч и два человека не вышли на работу по
болезни. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и сколько
часов в день они работали?
3.361. Три мятпиилл производят некоторую работу. Если эту работу
будет выполнять одна первая, то она кончит работу на а дней позже, чем
при работе всех машин вместе. Если же эту работу будет выполнять
вторая, то она кончит ее на Ь дней позже, чем все вместе, а если третья,
то ей потребуется в с раз больше времени, чем всем машинам вместе. За
сколько дней выполняет работу каждая из них в отдельности?
3.362. Партия одинаковых деталей обрабатывалась на трех станках
разных конструкций в такой последовательности: сначала действовал
только I станок столько часов, сколько потребовалось бы для совмест-
совместного выполнения всей работы на II и III станках; затем действовал
только II станок столько часов, сколько потребовалось бы для совмест-
совместного выполнения всей работы на I и III станках. Остальная часть партии
деталей была обработана на III станке в течение стольких часов, сколько
потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на I и II
станках. Во сколько раз быстрее была бы выполнена эта работа, если бы
действовали совместно все три станка?
3.363. Для наполнения водой бассейна были поставлены два насоса.
Один первый насос может наполнить бассейн на 8 ч скорее, чем один
второй. Сначала был открыт только один второй насос на время, равное
удвоенному количеству времени, которое потребовалось бы для напол-
наполнения бассейна при одновременном действии обоих насосов. Затем
открыли также первый насос и через 1,5 ч после того, как был открыт
первый насос, бассейн наполнился водой. За сколько часов каждый из
насосов, работая порознь, может наполнить бассейн?
3.364. Пройдя через пористый фильтрующий материал, жидкость
равномерной струей вливается в 40-ведерную бочку и может выливаться
через кран, имеющийся в дне бочки. Если этот кран открыт, то приток
и отток жидкости таковы, что за каждые 4 мин в бочке убавляется одно
ведро. За какое время отфильтрованная жидкость наполнит пустую
бочку при закрытом нижнем кране, если известно, что для этого потре-
потребуется на 3 мин меньше того времени, за которое открытый нижний
кран способен пропустить 66 ведер?
3.365. В куске сплава массой 6 кг содержится медь. В куске другого
сплава массой 8 кг содержится медь в ином процентном отношении, чем
в куске первого сплава. От первого куска отделили некоторую часть, а от
второго — часть, вдвое большую по массе, чем от первого. Каждую из
отделенных частей сплавили с остатком другого куска, после чего полу-
получили два новых сплава с одинаковым процентным содержанием меди.
Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков первоначальных
сплавов?
3.366. От двух кусков сплава одинаковой массы, ио с различным
процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каж-
Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего
процентное содержание меда в обоих кусках стало одинаковым. Во
сколько раз отрезанный кусок меньше целого?
3367. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава
отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся
сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от
99

первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в этом новом
сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах
состав первоначального сплава.
3.368. Смешав по 2 см3 трех веществ, получили 16 г смеси. Извест-
Известно, что 4 г второго вещества занимают объем, на 0,5 см3 больший, чем
4 г третьего вещества. Найти плотность третьего вещества, если извест-
известно, что масса второго вещества в смеси вдвое больше массы первого.
3.369. Даны две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, а также
точка А (а; а), где а>0. Требуется найти координаты такой точки М на
оси Ох и такой точки Р на оси Оу, чтобы треугольник AMP был
равносторонним.
3.370. Сравнивая два бруска, имеющих форму прямоугольного па-
параллелепипеда, установили, что длина, ширина и высота второго бруска
соответственно на I см больше, чем у первого бруска, а объем и полная
поверхность второго бруска соответственно на 18 см* и 30 сма больше,
чем у первого. Какова величина полной поверхности первого бруска?
3.371. Вместимости трех сосудов А, В, С, каждый из которых имеет
форму куба, относятся как 1:8:27, а объемы налитой в них воды —
как 1:2:3. После переливания частя воды из сосуда А в сосуд В и из
сосуда В в сосуд С во всех трех сосудах получили слой воды одинаковой
4
глубины. Затем перелили 128 ~ л воды из сосуда С в сосуд В, а после
этого из сосуда В в сосуд А столько, что глубина воды в сосуде А стала
вдвое больше, чем в сосуде В. При этом оказалось что в сосуде А имеет-
имеется теперь на 100 л воды меньше, чем было первоначально/ Сколько
воды было первоначально в каждом сосуде?
3.372. Зная длины сторон треугольника, ученик выразил его площадь
и обратил внимание на то, что значениями длин сторон и площади этого
треугольника являются соответственно четыре последовательных целых
числа. Каковы длины сторон треугольника?
3.373. На столе стоит цилиндрическая банка с водой. Радиус основа-
основания банки равен R. Если в банку опустить шарик радиуса г, то он ляжет
на дно банки, а поверхность воды при этом поднимется настолько, что
окажется касательной к шарику. Доказать, что произойдет то же самое,
если в эту банку с тем же количеством воды опустить вместо данного
шарика шарик другого радиуса. Найти радиус нового шарика и устано-
установить условия, при которых он будет больше или меньше радиуса дан-
данного шарика.
3.374. На сторонах равностороннего треугольника ABC между его
вершинами расположены точки А\, В\ и С, так, что ААх — ВВ\ = ССх=х.
Сторона треугольника равна а. Найти такое значение х, при котором
отношение площадей треугольников А\ВХСХ и ABC было бы равно
данному положительному числу т. В каких пределах можно изменять
величину т, чтобы выполнялось условие задачи?
3.375. Точка Р расположена на диаметре окружности радиуса R меж-
между концами диаметра АВ. Из этой точки Р движутся три единичные
массы по направлениям отрезков РА, РВ и PC так, что PC — полухорда,
перпендикулярная диаметру АВ. На каком расстоянии от А находится
точка Р, если известно, что скорости движения постоянны и за единицу
времени первая масса достигла точки А, вторая — точки В, а третья —
точки С? При этом кинетическая энергия (/nva/2) в сумме составляет а2
единиц. В каких пределах можно к-" менять величину а1, чтобы выпол-
выполнялось условие задачи?
100

3.376. Самоходный каток, употребляемый для ремонта дорог, в со-
состоянии укатывать полосу шириной 0,85 м, причем каждая следующая
полоса перекрывает предыдущую на 1/4 ее ширины. С какой скоростью
должен двигаться этот каток, чтобы за время, не большее б ч и не
меньшее 5 ч, можно было дважды провести укатку участка шоссе дли-
длиной 750 м и шириной 6,5 м?
3.377. Вдоль сторон прямого угла по направлению к вершине дви-
движутся два шара с радиусами 2 и 3 см, причем центры этих шаров
перемещаются по сторонам угла с неравными, но постоянными ско-
скоростями. В некоторый момент времени центр меньшего шара находится
на расстоянии 6 см от вершины, а центр большего — на расстоянии
16 см. Через 1 с расстояние между центрами стало 13 см, а еще
через 2 с шары ударились, не дойдя до вершины. Найти скорости шароз.
3.378. Две точки А я В, первоначальное расстояние между которыми
равно а, одновременно начали двигаться по разным сторонам прямого
угла к его вершине с одной и той же постоянной скоростью v. Точка
В достигает вершины на t единиц времени раньше, чем точка А (все
измерения выполнены в одной системе единиц). Определить, сколько
времени двигалась точка А. Кахое значение надо придать величине а,
чтобы искомое время приняло наименьшее из возможных его значений?
3.379. Три фермы расположены не на одной прямой, но соединены
прямолинейными дорогами. Расстояние от первой фермы до третьей
через вторую вчетверо длиннее прямолинейного пути между ними;
расстояние от первой фермы до второй через третью на а км длиннее
прямолинейного пути; расстояние от второй фермы до третьей через
первую равно 85 км. В каком интервале находятся все значения а, для
которых было бы возможным указанное расположение ферм? Вычис-
Вычислить расстояние между фермами при а—5.
3.380. Если при начале отсчета времени было т0 г вещества
А н Ъщ г вещества В, то через любое число / лет, в результате радиоак-
тивного распада, этих веществ останется соответственно т = гщщ2
и М= 2/щ '2 2, где Х\ и кг —; постоянные, зависящие от природы ве-
веществ. Вычислить период полураспада каждого из этих веществ, т. е.
найти, через сколько лет от каждого вещества останется только полови-
половина его первоначального количества, если известно, что период полурас-
полураспада вещества В в 2 раза меньше, чем вещества А, и что через 20 лет
общая масса этих веществ уменьшается в 8 раз.

ГЛАВА 4
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента
(здесь и в дальнейшем запись neZ означает, что л — любое целое число)
sm2jc+cos2x«l; D.1)
tgx=—. хф- Bл+ IX neZ; D.2)
cosjc 2
COS*
D.3)
m
tgxctgjc-l,jf#—, neZ; D.4)
2
1 H-tg2*-——, дс#- Bд+1), neZ; D.5)
cos2x 2
1 H-ctg2*——-, x#wi, neZ. D6)
sin2*
Формулы сложения
sin (x+y)**siaxcosy+cosxsiay, D.7)
«ш (лг-,у)-апдгсо8.у-со8дгипя D.8)
cos (x + у) ^ cos x cos у—sin x sin у; D.9)
cos (jc—^—cosxcos^+sinjcsiny; D-10)
tgx+tgj» ж
,x,y, х+уФ-+яп, neZ; D.11)
2
,,y, х+уФ
1-tgxtgj- 2
t?JC—tgy Я
tg {x-y)=— -, x, у. х~уФ-+тлеЪ. D.12)
1+tgJftgj» 2
Формулы двойного аргумента
an2x-2sra.xcosjc; D.13)
co*2x-co81x-sm1x-2coe2x-l-l-2sin2x; D.14)
2tgjt я я я
tg2x- —,x*-+-k,keZ,x*-+m,neZ. D.15)
l-tg*x 4 2 2
102

Формулы половинного аргумента
(для функций sin и cos — формулы понижения степени)
X 1—COSX
sin1-- ; D.16)
. X 1+COSJC
СМ 2 Г"' DЛ?)
х sinx 1—cosx
tg-=? = , хфп+2пп, neZ. D.18)
2 1 +cos x sin x
Формулы преобразования суммы в произведение
х+у х-у
sinx+siny=2sin cos ; D.19)
х+у х—у
sin х—sin у=2 cos sin ; D.20)
2 2
х+у х—у
cos x+cos >>=2 cos cos ; D.21)
x+y jc—у
cosx—cos j>= —2sin —— sin ; D.22)
sin (х+у) п
tgx+tgj>= , x, уф- + -т, neZ; D.23)
cosxcosy 2
sin (x—у) л
tgx-tg>= , x, уф- + т, neZ. D.24)
cos x cos у 2
Формулы преобразования произведения в сумму
1
sinxsiny=- (cos (х—у) —cos (.х+у)); D.25)
1
cosxcosy=- (cos (x—y)+cos (х+у)); D.26)
1
sinxcosy=- (sin (x—j>)+sin (x+y)). D.27)
X
Соотношения между sinx, cosx и tg -
X
2tg-
( 1) п, neZ; D,28)
1+tg2-
D.29)
103

Формулы приведения
Название функции
не изменяется
sin
cos
tg
ctg
—a
—sin a
cos a
-tga
я
-ctg a
a#7tn
я—a
sin a
— cos a
-tga
B/1 + 1), n
-ctg a
, neZ
я+а
— sin a
—cos a
tga
eZ
ctg a
Название функции
изменяется на сходное
я
— a
2
cos a
sin a
ctg a
tga
я
—l-a
2
cos a
—sin a
—ctga
-tga
я
a*-B
Зя
a
2
— cos a
— sin a
ctga
л, neZ
tga
л+l), ne'i
Зя
—+a
—cos a
sin a
-ctga
-tga
I
Промер 1. Доказать тождесчо
tg2a+ctg2*+tg6a+ctg6a=
8 cos24a
sin 12a
D Применяя последовательно к левой части равенства формулы D.2), D.3),
D.1) и D.13), находим
sin 2а cos 2а sin 6а cos 6а
y4-»tg2a+ctg2a+tg6a-|-ctg6a= 1 1 Н =
cos 2а sin 2a cos 6a sin 6а
2 2
smJ2a+cos22a sm26a+cosJ6a I 1
-Ч »¦ +
sin 2a cos 2ot sin 6a cos 6a sin 2a cos 2a sin 6a cos 6a sin 4a sin 12а
2 (sin 12а+sin 4a)
sin 4a sin 12а
4 sin 8a cos 4a
Преобразуя сумму синусов по формуле D.19), получаем А" ——;———. Так как
sm8a-2sm4acos4a, то
104
sin 4a sin 12a
8sin4acoe24a 8 cos2 4a
sin 4a sin 12a tin 12а

Пример 2. Упростить выражение
(я «\ /я а\ а
) sin I sin-.
6 4/ \3 4/ 4
D К произведению первых двух сомножителей применим формулу D.27).
Тогда получим
1 / /я Л я\ а 1 / а 1\ а 1
=- I sin l+sin - I sin -=- I cos -+- I sin-=-
2\ \2 2/ 6/ 4 2\ 2 2/ 4 2
а а 1 а
cos - sin - +- sin -.
2 2 4 4 4
Снова используя формулу D.27), находим
1 / а За\ 1 а 1 За
ш- I —sin -т-sin — )+•- sin -=- sin —.
4V 4 4/4444
Промер З. Представить в виде произведения
П Согласно формуле D.14), имеем 2cos2 3a— I =cos 6a. Следовательно,
,- /1 y[i \
^=cos6«-(-V3sin6«=2 ( - cos 6a Ч sin 6a 1=
(я я \
cos - cos 6a + sin - sin 6а 1.
Так как выражение в скобках — развернутая формула D.10) для косинуса раз-
разности, то А
е-}
Пример 4. Проверить, что tg20o+4sin20<> = 4/3.
D Применив формулы D.2), D.13) и D.19), получим
sin 20°+4 sin 20" cos 20" sin 20°+2 sin 40°
Л =tg 20°+4 sin 20°= = .
cos 20" cos 20°
(sin 20°+sin 40°)+an 40° 2 sin 30° cos 10°+sin 40° cos 10°+sin 40°
cos 20° cos 20" cos 20°
Заменив по формуле приведения cos 10° на sin 80° и снова используя формулу
D.19), находим
sin 80°+sin 40° 2 sin 60° cos 20° y/i .-
2/з Ш
A2у/з Ш
2 coe20° 2
л:
Прамер 5. Найти значение tg-, если известно, что sinx—cos* =1,4.
О Удобно воспользоваться формулами D.28) и D.29), учитывая, что они
верны только при хфкBп+1), neZ. Однако в данном случае х не может
105

принимать эти значения. Действительно, если бы х—ж Bл+1), то sin (я Bл+
+ l))-cos (ж Bя+1))«0-(-1)#1,4. Выразив sinx и саддг через tg (дс/2), перепи-
даем данное равенство в виде
X , X
г*- г-*-
-1,4.
Полагая tg -»»z, получаем уравнение z — 5z+6=0, откуда zj »2, Z2=3. Итак,
Пример б. Упростить выражение
A"- sin* Bа+—)-2(cos*a+sin*a)+2(cos6a+sm6a).
2 \ 2/
/ Зя\
П По формуле приведения имеем sin2! 2а Ч—1= cos2 2a. Преобразуем
cos6 a+sin6 a как сумму кубов по формуле A.13):
cos6 a+sin6 a=(cos2 aK + (sin2 aK=(cos2 a+sin2 a) (cos* a+sin* а—cos2 a sin2 a),
откуда, учитывая формулы D.1) и D.13), находим cos* a+sin6 a—cos* a+sin* a—
— sin2 2a. Использовав полученные результаты, перепишем заданное выражение
в виде
А«- cos22a-2 (cos*a+sin*a) +2 (cos*a+sin*a— sin22a j.
1,1,1
После приведения подобных членов получим Л-=- cos22a— sin22a=- cos4a [на
2 2 2
1
основании тождества D.14)]. Итак, А=- cos4a. ¦
Пример 7. Упростив выражение
sin8a+sin9a+sinl0a+sinlla+sml2a
А'
cos8a+cos9a+cosl0a+coslla+cosl2a
найти его значение, если tg5a -cos 20° cos 40° cos 80°.
? Перегруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и воспользуемся
формулами D.19) и D.21). Тогда получим
(sin 8a+sin 12а)+(sin 9а+sin lla)+sin 10a
(cos 8а+cos 12a)+(cos9a+cos lla)+cos 10a
2rin 10a cos 2a 4-2 sin 10a cos a+sin 10a
2 cos 10a cos 2a-f 2 cos lOacosa+cos 10a
106

sinl0aBcos2a+2cosa+l) 2tg5a
'tglOa*
cosl0aBcos2a+2cosa+l) l-tg25a
[применена формула D.IS)]. Теперь правую часть заданного равенства tg5a=
=cos 20° cos 40° cos 80° умножим и разделим на sin 20°; трижды применяя формулу
D.13), находим
(sin 20° cos 20°) cos 40° cos 80° (sin 40° cos 40°) cos 80°
tg5a= = =
sin 20° 2 sin 20°
sin80°cos80° sml60° sin A80°-20°) sin20° 1
4sin20° 8sin20o 8sin20° 8sin20°8'
1
2-
2tg5a 8 16
Следовательно, A= = =—. ¦
l-tg^Sa 1 63
64
Пример 8. Доказать, что для любого числа к слагаемых и любого
(neZ) справедливы равенства:
fca
sin — cos
2
cosa+cos2a+cos3a+...+cosfca =
a ч '
sin-
2
fca (fc+l)a
sin — sin
2 2
. F)
ОС
sin-
2
Эти формулы удобно использовать для преобразования суммы косинусов или
синусов при большом количестве слагаемых.
D Пусть 5^ (a)=cos a+cos 2a+... + cos fca. Умножив обе части этого равенст-
a
ва на 2 sin -, получим
2
a a a a a
2Sk (a) sin-=2sin- cosa+2sin- cos2a+2sin- cos3a + ...+2sin - cos&a.
2 2 2 2 2
Применяя формулу D.27), имеем
a / 3a a\ / 5a 3a\
25* (a) sin -=( sin sin-)+(sin sin—1+
2 V 2 2/ I 2 2/
/ 7a 5a\ / aBJt+l) aBJt-l)\
+(sin sin— +...+ ( sin sin .
V 2 2} \ 2 2 J
Замечаем, что первое слагаемое в каждой скобке взаимно уничтожается со
вторым слагаемым в следующей скобке. Таким образом, правая часть последнего
107

aBJt+l) a
равенства есть разность sin sin -. Преобразовав ее по формуле D.20),
a has (*+l)a
получим ZSjt (a) sin -a2sin — cos , откуда следует равенство для 5* (a),
т. е. формула (а).
Аналогично доказывается справедливость равенства (б). ¦
Замечания. 1. Вместо приведенного способа решения можно применить ме-
метод математической индукции.
2. Запоминать полученные формулы нет необходимости, однако показанный
здесь прием преобразования тригонометрических выражений может оказаться
эффективным в практике решения аналогичных задач.
Группа А
Доказать тождества D.001—4.062):
4.001. (l+cos~12a + tg2a)(l-cos~12a+tg2a)
4.002. [cos2a+ctg / —+2се J J ctg / — -a ) = 1.
cos (Зя-2а) / 5я\
4.003. -=tg ( a .
2sinM —+ «] ч '
* мл tg2ot+ctg3/» tg2a
4.004.
ctg23+tg3/?
4.005. cos a+cos 2a + cos 6a + cos 7a=4 cos (a/2) cos Ea/2) cos 4a.
4.006. sin9a+sinl0a + sinlla + sinl2a=4cos (a/2) cosasin B1a/2).
4.007. cos 2a—cos 3a—cos 4a + cos 5a = —4 sin (a/2) sin a cos Ga/2).
4.008. sin4a— sin5a—sin6a+sin7a =— 4sin (a/2)sinasin (Па/2).
4.009. cos a+sin a + cos 3a + sin 3a = 2y/l cos a sin |- + 2a|.
8 cos22a
4.010. tga + ctga+tg3a + ctg3a= .
sin 6a
4.011. (sina)-1 + (tga)-1=ctg(a/2).
/« \
sin I - + 3a I
\2 / /Sn ЗиЛ
4.012. ^--ctg —+- I.
l-sinCa-n) \4 2/
sin 2a—sin 3a+sin 4a
4.013. = tg 3a.
cos 2*—cos 3a+cos 4a
4.014. 2sin2 (Зя-2а) cos2 Eя+2а)<
1 1 . /5it \
» sin 8a I.
4 4 \2 J
4.015. sin2a (l+tg2atga)+-^^«=tg2a+tg2 (-+-).
1-sina \4 2/
108

/Зя \
4.016. l-sin4a+ctgl 2alcos4a=0.
..«.- • в a 6 a йп2а-4
4017. sin6--cos6- = cos a.
2 2 4
| —l-4a ] + sin
U )
4.018. cos I— + 4a 1 + sin (Зя—8a) -sin Dя- 12a) = 4 cos 2a cos 4a sin 6a.
/5я \
cos I 6а 1+sin (я+4а)+яп (Зя-а)
4.019. — = tgo.
/5я \
sin I 1-6а 1 + cos Da—2я) + со8 (а + 2я)
/ Зя\ /Зя
4.020. — — - = - tg2a.
ctga+tga 2
/ 14я\ / 8я\
4.021. sina + sinfa4—j + sinla | = 0.
cos2 a—cos2 в
4.022. ctg2 a-ctg2p= —!-.
sm asm p
4.023. (cos о - cos PI + (sin a - sin fif = 4 sin1 -—.
(tga+cos a) (cosa-ctga)
(cosa+ctga) (tga-cos"'a)
sin 4a cos 2a /Зя \
4.025. =ctg a .
l+cos4a l+cos2a \2 /
4.026. cos2 (a - 90°) + ctg2 (a - 270°)=
sin2(a+90°)
l-tg(90°+a) tgA80°-
4.027.
1 + ctg C60" - a) ctg B70° - a) -1
4.029. 2fsin~14a-tg[—+4aj j + tg Ew+a)=ctga.
a-/?
4.031. (cosa—совДJ—(siaa—sin/fJ= —4sin2 cos
109

4.032. sin* [ 2aJ—sin2 I 2a)=—^.
\» / \8 / y/i
4.033. cos4a—sin 4a ctg 2a=cos 2a—2 cos2 a.
, /9я a\ , /7я a\ sin (a/2)
4.034. sin2 |— + -)-sin2 (— + -)=—^-.
\8 4 \* V ^
2 tga
4.035. cos4atg2a—sin4a=— .
tg*a-l
4.036. sin22a-cos j--2a) sin ( 2a—)=-.
/я \ /я \ 1
4.037. sin2a+cosl—a I cos I- + a 1=-.
tg3a 1-ctg* 3a
4.038. —5 —=1.
tg*3a-l ctg 3a
4.039. cos4a-sin4actg2a=-l.
1—cos 4a 1+cos 4a
4.040. + = 2.
cos"* 2a-1 sin *2a-l
tga—cos a
4.041. = tga cos 'a.
cos a—ctg a
4.042. cos2 D5°-a)-cos2 F0° +a)-cos75°sin G5°-2a)=sin2a.
1— 2 sin2 a 1—tga
4.043.
1 +sin 2a 1+tga
sin 2a+ sin 5a — sin 3a
4.044. = 2sina.
с os a+1 — 2 sin2 2a
ctg* 2a—1
4.045. cos 8a ctg 4a=sin 8a.
2ctg2a
cos 4a+1 1
4.046. =- sin 4a.
ctga-tga 2
cos 4a
4.047. ctg D5° + 2a) = .
1+sin 4a
(sin*a+tg*a+l) (cos* a - ctg* a+1)
' (cos*a+ctg*a+l)(sin*a+tg*a-l)
sina+cosa / sin2a
4050. sin2 D5o + a)-sin2 C0°-a)-sin 15°cos A5°+2a) = sin2a.
4.051. sin6a+cos6a+3an2acos2a=l.
110

4.052. **L±l!!!±.
tga l-3tg2a
(* \ x
4.053. sin a' sin (x—a) + sin2 I — a I = sin2 -.
4.054. cos2a—sin22a=cos2acos2a—2sin2acos2a.
sin 7a
4.055. 2 (cos 2a + cos 4a+cos 6a) —1=0.
sin a
4.056. sin2 a — sin2 /?= sin (a+/?) sin (a—ft).
4.057. cos*x+sin2j'+- sin22x-l=sin (y + x) sin (y^x).
4
ctg(^ + a]tgBji-2«)
\2 / /- /я \ /я \
4.058. 2V3sin|- + a sin —a
ctgB«Jtga
tg(я¦^-2a)ctg
4.059.
tg2
/Зя \
ictgl—+ a .
\2 У /я \ /я \
h2cos I —a I cos I - + a
a-tgat \4 / V4 /
= 2sinBa—).
in I—2a J.
cos 2a+sin 2a
4.060. tg4a + cos '4a = .
cos 2a—sin 2a
4.061. ^^+^^
(« (
4.062. 1 — sin2 2a + cos 2a=cos2 a + cos4 a.
4
Упростить вьфажения D.063—4.113):
4.063. 1-sin { --Зл j-cos2 - + sin2 -.
\2 / 4 4
4.064. + cos2a.
/ 5n)
cos Bа- -2я) otg 1 a ,
cos14
4.065. —
/9n a\ / , /5я «\ , /3a ?я\\
sin [—?- ) I tg2 I }- tgs [ I
111

sin
4.066.
cos
/ a\ a / a\
in I 2я+- 1 ctg—cos I 2я+-1
/a \ % (In a\
I —Зя ) ctg-+cos I
\4 /8 \2 4/
4.067. cosa (l+cos^a + tga) (l-cos~!a + tga).
4.068. sin2a A + sin a + ctga) (l-sin-'a+ctga).
1—cos (8а-3я)
4.069.
tg2a-ctg2a
(n a\ fit a\ a
I sm sin -.
6 27 \3 l) 2
4.071. яп
cos2jc+sin2xtg2at
4.072.
l+cos4x
4.073. cos2 (o + 2/7) + sin2 (a-2/J) -1.
4.074. sin2(a+20) + sin2(a-2/J)-l.
4.075. (cos<x-cos20
A - cos 2a) cos D5°+2я)
4.076.
2sin22!«—sin 4a
/Зя а\ , (Un a\
4.077. cos2 -cos2 — + - .
4.078. ctg I 45°-
\
l+ctg2actga
4.079.
4.080.
tga+ctga
cos ma—cos na
sin na—sin ma
4.081. sin2 (a—- j (l-tg^a) tg f-+ajcos~2 (-
4.082. 1
4.083.
cos a+coe P
tgacos /J+tg/Jco» a
112

tgg-gj+tg^+g)
4.084.
4.085. 1: *
l-tg(»t-2ot) tga
4.086. — L±_.
/3* \
tg —-a +tga
Ct|
4.087. —
ctgB70°-a) ctg2 C60° - a)-1
4.088. ' ¦—.
l-tgJ(«-180") ctgA80° + a)
cos2 (a-270°) sin2 (a+ 270°)
4.089.
4.090.
-1 cos-2(a-90°)-l
A+tg2 (a-90°)) (sin'2 (a-270°)-1)
A +ctg2 (a + 270°)) cos-2 (a + 90°)
in2 I—l-al-cos1 fa—j
sin
4.091.
4092 tg (a/2)-ctg (a/2)
' tg (a/2)+ctg (a/2)'
cos2 a—ctg2a+l
4.093.
4.094.
si^a+tg^a-l
cos2 Bя-90°)+с1^ (90° + 2я) + 1
sm2 B«-270°)+tg2 B70°+2а)+Г
sm-1
4.095. -
113

4.096. 1 +J—•«¦—
3* 4 , / n\ sin32a / 3*4 / Зя
cos2a+2sjn2 (a—ж) cos2a+4sma+sin2 (а+я)
4.097. 1-
4.099.
cos1 (a—4ж) cos a Dsina+l)
/ Зя\ /I
I 2a j+cos[2a—
4 sin2 (а-5я)-ип2 Ba+я)
/ Зя\ / 8я\ /2я \
4.098. sin 2a +cos 2a )+cos I —+ 2а .
cos2 I 2я ]-4+4sin2a
, /9я \ , /17я \
4.100. sin2 —+a -sin2/ а).
\« / V» /
4.181. ctg Dа-я) (cos4 (— -2a)-sin4 (— -2а )).
cos' | 1л \-sar | ^
4.102.
/а аЧ/ / аЧ /я аЧЧ
I cos- + sin- cos 2я— 1+cos ( -+- I I sir
V 2 г)\ \ г) \г г))
(l+sin2a)
\ 4 /
4.103.
cos I ^
tg2«
t«4e-tg2e*
sin 6a cos Fa—я)
4.105. + : '.
sin 2a cos 2a
: -*-л-« D«--2я)+со$ I 4a— 1
4ifti, _ ..^. "'
4.107.
4108.
"¦ +cc.i s,i-n-Ji)-t-cos I 4a-I—
an Ba+2«)+2sih Dа-я)+яп Fa f 4я)
cos Fя-2a)+2 cos Da - я)+cos (б«-4я)
/5я Ч
4sin I —-f-ej

ЯП
4.109.
/3* \
in Bв+й)+яп Ba-B)-cos 1 2а I
\2 /
/Зя У
Ba+/»)+cos Bа-Д-мп I —+2а]
4110.
COS
cos За+cos 4a+cos Sa
sin 3a+sin 4a +sin Sa
/5*
cos" I 1
4.111.
1+cos Da-rt)-8sinJ Eж-а)
cos
4.112.
/5я \ /я «\
——a I sin I -+- I
\2 ) \2 1)
/я-а\/ я-а /Зя \\
( 2sin +cos I a
V 4 A 2 \2 УУ
4.113.
cos*
1 + cos a+cos 2a+cos 3a
cosa+2cos2a-l
Преобразовать в произведение D.114—4.147):
4.114. sin4a-2cos22a+l. 4.115. tg- + ctg- + 2.
te*a—te*a
4.116. cos"*a-sina. 4.117.
ctg^a-ct^a
4.118. l-3tg2(a+270°). 4.119. 1 — 3tg2 (a-180°).
4.120. tg
4.121. 3sin1(a-270°)-cos2(a+270°).
4.122. sin2 (a + 90°) - 3 cos2 (a - 90°).
4.123. sin2 (/»-^_cos2 («-y)-
4.124. 3-
4.125. 3-
4.126. 1+cos (- + 3a)-sin/—-3a J+ctgf —
4.127. 1+cos Ba+270°)+sinBa+450°).
4.128. l-cosBa-270°)+sinBa+270°).
.„ . (in _ \ „ . , /_ 3n\
4.129. sm(-—2aj+2sm2l2a 1—1.
115

4.130. 1-cos Bа-я) —cos Da+»c) + cos (ба-2я).
4.131. l+ctg[ —-Да^ + яп ( —+ 4a\
sin a— 2 cos 3a—sin 5a
4.132. .
cos a—2 sin 3a—cos 5a
4.133.
sin 4a+sin 5a + sin 6a
cos4a+cos 5a+cos 6a
4.135. - cos 5a cos 4a—cos 4a cos 3a + 2 cos2 2a cos a.
4.136. sin 10a sin 8a + sin 8a sin 6a — sin 4a an 2a.
cos7a—cos 8a—cos9a+cos 10я
4.137. -.
sin 7a—sin 8a—sin 9я + sin 10a
4.138. sin5a—sin6a — sin7a+sin8a.
4.139. cos 3a—cos 4a — cos 5a + cos 6a.
sinl3a + sin 14a+sin 15a + sin 16a
4.140. .
cosl3a+cos 14a+cos 15a+cos 16a
4.141. sin 2a+sin 4a + sin 6a. -
4.142. sin 5a+sin 6a + sin 7a + sin 8a.
4.143. cos 5a+cos 8a + cos 9a + cos 12a.
4.144. 3 + 4cos4a + cos8a.
4.145. ^/tga+sina—->/\%л — sin a, 0<а<я/2.
4.146. l+sin2a-cos2a-tg2a.
4.147. sin2a+sin4a—sin6a.
Доказать справедливость равенств D.148—4.152):
4.148. (sinl60° + sin40o)(sinl40°+sin20o) +
+ (sin50°-sin70°) (sinl30°-smll0o)=l.
4.149. (COS340)-1 +(tg56°)=ctg28o.
cos 28° cos 56° cos 2° cos 4° V3sm38°
4.150. + =— .
sin 2° sin 28° 4 sin 2° sin 28°
4.151. 1-2 sin 50° = 0,5 cos'460°.
4.152. (cos 70° +cos 50°) (cos 310° +cos 290°) +
+ (cos40° + cos 160°) (cos 320°-cos380°)= 1.
Вычислить D.153—4.166):
4.153. sin2 (я/8)+cos2 Cn/8) + sin2 Err/8) + cos2 Grr/8).
4.154. tg435°+tg375°.
4.155. tg255°-tgl95°.
4.156. sin (—-2arctg -Y
116

13я 5я
4.157. ctg ctg—.
12 12
4.158. sin ( 2a+— J, если tga=-.
( 5я\
I. sin I 2a+—I,
Bа+т)
4.159. cos Ba+-^), если ctga=-.
4.160. , если tga = 0,2.
6+7sin2a
4.161. , ecmtgo = 0,2. '
3+4cos2a
4.162. sin а, если sin (a/2) + cos (a/2) = 1,4.
4.163. sin 2a, если sin a — cos a =p.
4.164. 2-13cos2a + sin2a, если ctga=-1/5.
4.165. l + 5sin2a-3cos2a, если tga=-2.
/5я \ /5я \ /7я \ 9
4.166. tg I j + a l-tg I --a I, если tg I y+ 2a )=-.
4.167. Найти число a 6 (rt/2, я), если известно, что tg2a= —12/5.
4.168. Доказать, что если А а В — острые углы некоторого прямо-
прямоугольного треугольника, то sin 1А + sin 2В=4 sin A sin В.
4.169. Найти число р (я/2</?<я), если известно, что tg (a + /f) = 9/19
и tga= —4.
4.170. Найти sin4a + cos4a, если известно, что sin a—cosa= 1/2.
4.171. Дано: ctg a = 3/4, ctgj8=l/7, 0<а<я/2, О<0<я/2. Найти a + /?.
4.172. Найти ctg 2a, если известно, что sin (a—90°)= —2/3
и270°<а<360°.
4.173. Доказать, что если а и /? удовлетворяют неравенствам
0<а<я/2, 0<^<я/2 и cosа=7/^/50, tg/?=l/3, то а+2/3=я/4.
4.174. Найти tg2a, если известно, что cos (я—90°) = 0,2
и90°<а<180°.
4.175. Доказать, что если а и Р удовлетворяют неравенствам
0<а<я/2, 0</?<я/2 и tga = 5, ctg/J = 2/3, то а+0=Зя/4.
4.176. Дано: ctga = 4, ctg^=5/3, 0<а<я/2, 0<Р<п/2. Найти а + ^.
4.177. Вычислить A + ctga) (l+ctg^), если а + /?=Зя/4.
4.178. Вычислить A+tga) (l+tgp), если а+0=я/4.
4.179. Доказать, что если япа=1У21/7, sin^^v^V^ и a, fi —
острые углы, то а+/?=60°.
. .„« ^ sina+tga
4.180. Показать, что выражение неотрицательно в области
cos a+ctg a
определения.
4.181. Исключить а из равенств x=tg2a, >>=sin2a
4.182. Доказать, что cos 2—cos 8 <0.
4.183. Величины a, p, у составляют арифметическую прогрессию.
117
_ smesiny
Доказать, что =ctg p.
cos у-cos я

4.184. Дана дробь . Преобразовать подко-
1 + S/32cos* IS'-lO-S^/i
ренное выражение к более простому виду, после чего дробь сократить.
4.185. Выразить tg4a+ctg4a через т, где m=tga+ctga.
Группа Б
Доказать тождества D.186—-4.239):
4.186. *t'W<>'-'J.
sin6a+cos6a— I 3
/я \ /я \ sin За
4.187. 4cos I —a I sin —а = .
\6 ) \3 / sina
4.188. sin-^sm F0°-2а) sin F0°+2а) = 4sin6a.
cos6a—cos7a—cos 8a+cos 9a 15a
4.189. = ctg—.
япба—sin7a—sin 8a+sin 9a 2
, /Зя \
sin2 (Зя-4а)+4аи2 I 2aj-4
4.190. — - ctg42a.
()^?)
4.191.
¦';•(•<¦ (?-:)-«¦(?-?))
cos
/я ос\/ /Зя \\
tgl 1-cos a ]cos~1a-2cos2a ,
м А4 \2Л „ A+Л „ (._ :\
/я а\ \6 / \ 6/
tgl I A+sin DR+a))cosa+2cos2a
\4 2/
4.m
2cos (--2a)-
змп (—-2a]
COS I '
4194. tga+cos"^—1
m
V4 1)
V 2 cos a
4.195. l + ctga+sin~ a=
а /я e\
2sdn- sin I I
2 V4 2У
118

A+sina) ctg I
4.196. - V2 4
In a\ /5*
4.197. <tf°-1° -3cos' ^-2a)=4sin (*-2a) sin f-
, /Зя a\ , /5я
4cos2 (а-я)-4яп2 )+3cosM a
4.198. VVi^
tg
/я а\ /7я \ 2
4sin2 -+- -cosM a)
V2 Я/ \2 /
8Dа-2я) = 4со8 2асо8 f- + a)cos (—a).
4.200. sin2 (^-a) (tg2a-l) ctg L-j) sin (^
4.199. 1-cos Bа-я
cos* (а-я) 1
4.201. = — ctg2 a.
/ Зя\ / Зя\ 2
cos* a +яп* aH— -1
\ 2/ V 2/
4.202. tg(a—^J(l-sin2a)=cos2a.
4.203.
cos 4a ctg 2a+sin 4a
4.204. ctg Da—^J+cos Da-3n) = ctg f 2a--).
4.205. sin a+sin^+siny—sin (a + /J) cosy —
—cos (a + p) siny = 4sin sin sin .
2cos:
4.206.
2sin22a+-v/3sin4a-
sin I 4a н— I
;in4a-l \ 6/
1~ • Л «V
sin I 4a— I
V 6/
4.207. 3-4cos Da-3»c)-cosEjt+8a)
1 +cos Ba+630°)+sin Ba+810°)
4.208. =ctga.
1 -cos Ba-630°)+sin B»+630°)
.-« 3+4cos4«+cos8a .„
4.209. ctg4 2a.
3—4cos4a+cos8a
119

/ Зя\ / 5я\
4.210. 3 + 4sin{4a+— +sin 8а+— }=8sin*2a.
4.211. cos~6a-tg'a=3tg2acos~2a+l.
l-2sin22a l+tg2a
4.212.
1-sin 4a l-tg2a
sin2 A35°-a)-sin3 B10°-a)-sinl95°cos A65°-2a)_
'cos2 B25° + a) -cos2 B10° - a)+sin 15° sin G5° - 2a) ~~
4.214. т ° /--=ctg I —(
Vctga-ytga \4
, 2cos (B-a) sin2 (a-/?)
4.215. ctg2a+ctg2/J . . . +2- . , . " •
sin asm/? an asur/7
4.216. sin 2a B cos 4a +1) ctg C0° - 2a) ctg C0°+2a) = sin 6a ctg 2a tg 6a.
/An \ /in \ I
4.217. sin (я+а) sin I—t-a I sin I—j-a I=- sin 3a.
sin 6a+sin 7a+sin 8a+sin 9a 15a
4.218. = tg—.
cos 6a+cos 7a+cos 8a+cos 9a 2
In a\ /n a\ a
; j )-sin[ I tg -
V2 4/ \2 Aj * 8
/7я а\ /а \ а
sin I +sin I —Зж J tg -
\2 4J \4 / *8
cos I
\2 4/ \2 4/ ~8 a
4.219. : i = -tg -.
'" ' a 8
sin I
1+cos Ba-2ji)+cos Dа+2я)-ссв Fа-я)
4.220. =2 cos 2a.
cos Bя-2а)+2и»2 Bа+я)-1
4.221. Ctga-tga-2tg2a-4tg4«=8ctg8a.
4.222. ctga-tga-2tg2a=4ctg4a.
4.223. 4cosacos^>cos (a—<p)—2cos2 (a—<p)— cos2<p
4.224. sm2<p—cos2 (a—^>)+2 cos a cos ^> cos (a—<p)=cos2a.
4.225. cosJfl>+cos2 (a—q>) — 2cosacos^>cos (a—^>) = sin2a.
4.226. tg6/J-tg4/J-tg2/J=tg6/Jtg4/Jtg2/J.
cos I
4.227. — =tg4a.
в*(т+2в)A~в0'(т+4в))
4Д28. = — = ctg2a.
H)
120

4229
sin 2a—cos 2a
4.230. tg4a-cos~x4a= .
sin 2a+cos 2a
5+3cos4a
4.231. cos6 a+sin6 a=
4.232. cos8 a—sin8 a=
8
cos 2a C+cos 4a)
4
4.233. ctg C0°-a) ctg A50°-a) ctg B70° + a) = tg3a.
4.234. 4sin Ba 1 sin l- + 2a) sin |--2a ) = cos6a.
4.235. = 1.
2tgf2a--^
4.236. 16sinsa — 20 sin3 a+5sin a = sin 5a.
(n a\ 1
4.237. tg (- + - -tga = .
\4 2/ cos a
4.238. 1+sin/з (a + -)Jcos2a +
+ 2sin3acos Crt-a)sin (a-rt) = 2sin2 Ea/2).
4.239. (sin a-sin Д (sina+sin/J) = sin (a-/S) sin (a
Упростить выражения D.240—4.284):
/ cos 2a
1. / ;
Vctg2a-tg2a
/ cos 2a
4.241. / ;90°<a<135°.
V22
4.242.
4.243. (cos 8a tg 4a - sin 8a) (cos 8a ctg 4a+sin 8a).
4.244. sin22a+sin2/J+cosBa+/J)cosBa--0).
sin Ba-3jr)+2cos (—-
4.245.
2cos I—2a J+-N/3cosBa-3«)
\б /
cos 2a-cos 6a+coe 10a-cos 14a
sin 2a+sin 6a+sin Юа+sin 14a
121

4.247. (l-ctg2 (—-2a]Ysin2 (- + 2aJ tg{ —-2a] + cos
/Зя \ / я\
4sin (я—2x) sin2 I—Hjc 1 sin 3x cos л+3 sin л sin I x—1
4.248. : - +
~1+cos8jc cosMjs
/ я\
sin I 4a— I
V 2)
4 sin
4.249. :—=: 1.
(l+tg2aJ-2tg22a .
4.250. sm4a—1.
12
4.251.
4.252.
cos I 4«— | sin | —
4.253.
4smB0°+a)sraG0"-a)
cos2 Dа-3я)-4сов2 Bа-я)+3
cos2 Dа+3я)+4сс»2 Bа+я)-Г
A +cos2a) A +cos4a)
4.254. 4cos(a--)sin3(-+a)-4sin(— -a] cos3 (— + a).
4.255. cos* 2a - 6 cos* 2a sin* 2a+sin* 2a.
4.256.
sin2 (а-я)-4сов2 (—--
4.257.
cos'
/ 5я\ /я a\
2 j a }-4+4cos2 I -+- J
\ 2) \2 1)
4.258. cos~24a—tg2 (Зя+4ас)—2со82 a—v/icos/ 2a J.
4.259. —— —-^ -.
l-2cos24a
122

4 sin* I a
4.260.
/ 5я\ / 5я\
in* I a J+cos* I aH— I-1
/ 5я\
sin I4aH—j
4.261. —.
1+cos I 4a )
4.262. (tg 255° - tg 555°) (tg 795° + tg 195°).
4.263. .
tg795o+tg735°
cos
4.264.
/ A /3« \ / 3*\
I 2x+- I sin I 3jc l-cos Bx-5rt)cos I 3jcH— I
sin I jcjcos4x+sinxcos I—1-4x1
4.265. sin Bдс-л) cos (jc-3;t) + sm { 2x 1 cos { jc+-I.
/ 7я\ /Зя \ / 5я\
4.266. sin (oc+2;0cosl 2x 1 + sin I x I sin I 2x 1.
4.267
4.268. э
3cos2 (a+270o)-sm2 (a-270°)
4.269.
4.270.
3sin2(a-90o)-cos2(a+90o)
sin 2a+cos 2a—cos 6a—sin 6a
sin 4a+2 sin2 2a—1
4.271.
4.272. .-=, 0<a<- и аэ*-.
2 4
4^73. cos
123

A VIA 1 Ц__
sin (a—/f) sin (fi—a)
/2 sin a—sin 2a
4.275. / , если: а) 0<<х<я; б) п«х<2п.
V 2 sin a+sin 2a
4.276. cos2 D5° +a)-cos2 C0° - а) + sin 15° sin G5°-2а).
4.277. sin1 A35°-2а)-sin1 B10°-2а)-sin 195°cos A65°-4a).
1+ sin a /l — sin a
4.278. / / , если: а) 90°<а<180°; б) 270°<a<360°.
V 1-sine V 1+sina
* iit* 1, *-Зя\ я-а
4.279. I + cos ctg .
\ 2/4
sin24a+4sin*2a~4sin22acos22a
4-sin14a~ 4 sin2 2a
4.281. sin [ — + 4a )-sin6 ( — + 2a | + cos6 ( —-2a ).
sin8«+sin9a+sinl0a+sinlla cos8a—cos9a—coslOa+coslla
4.282. • :—.
cos8a+cos9a + cosl0a+coslla sin8a—sin9a—sin 10a4-sin lla
4.283. cos B70°-2a) ctg C0°-2a) tg B40°-2a) B cos 4a-1).
l+cos2x
l-cos2x
Преобразовать в произведение D.285—4.331):
4.285. sin6a—2Vjcos13a + Vj-
4.286. —j. sin 4a +1 - 2 cos2 2a.
4.287. 3-4cos4a + cos8a-8cos*2a.
428S. tgsx-tg2x-3tgx + 3.
4.289. tg*x-4fgJjc+3.
4290. 6sin12a-l-cos4a.
4.291. Vl+sin (a/2)-4/l-sin (a/2), если 0°<a< 180°.
4.292. 2 cos2 2a+ 3 cos 4a ~3.
4.293. cos»1 a+cosJ f} - 2 cos a cos 0 cos (a - (I).
anBx-fl) ssnfi
4,2*4. — -+—-.
cos4a cos 2a
sin1 (*+Р)-ааг*-^тгр
sina (и+f) ~ cos1 a - cos2 fi
4.296. sin1 (a - 2/0 - cos1 a - cos2 2/».
4.297. sin2Ba-^)~sin12a-sin2^
4.298. 2+ctg (^^\ A+cos —) cos ^--2я]-4со82 ("-Зя\
124

4.299. 2,
sin* 2a—cos* 2a
4.300. 2-tg4a-ctg4a.
2cosJ2a-l
4.301. tg 2a + cos 2a-sin 2a.
/я \ /Зя \
()()
4.302.
l+tg4atg2a
4.303. l-sin2a-sin2/f+2sinasin/Jeos (a-/?).
/ Зя\ / Зя\ /я \
4.304. 1 +cos I 2a 1 + sin { 2a+— j-ctg I - + 2ac I.
4.305. 4cos2 [2a j + cos Ba-7t) + sin ( 6a j.
•v/l +sina+-v/l — sin a
4.306. V _ V —, если: а) 0°<a<90°; 6) 90°<a<180°.
y/\ +sina—y/\ — sin a
r 4tg2a(l-tg22a)
4.307. 2sin22a+v/3sin4a — *—-.
sin8a(l+tg22aJ
4.308. cos2 (a-2P)-cos2 (a-- J-cos2 Bfi-n).
4.309. l-cos(»t-8a)-cosGt+4(x).
4.310. cos 2a—sin 4a—cos 6a.
4.311. sin3 I - + a j + cos3 I - + a 1-cos la l + sin I —ha J.
4.312. 2cos22a+V^sin4a-l.
/9я \ / 5я\
in I 2a) + 2sin2 I 2a J--1
V2 ) \ г
sin
4.313.
/ я\ / я\ / Зп\
1+sin I 2a+- j —sin I 4a— 1 + sin I 6a 1
cos 2a—sin 4a—cos 6a
4.314. .
cos 2a+sin 4a—cos 6a
4.315. cos 2a+sin 4a—cos 6a.
4.316. sin2 (— -2a)-sin2 | — + 2a j.
COS"
4.317.
sin
\ 2/ \2 /
125

4.318.
-'¦«"Иг)
4.319. sin2a+cos2a—cos6a—sin6a.
l-2sin2a
4.321. cos1 Z^+aVsin2 (— + a\
/9я \ / 7я
2cos2 I a! sinlaH—
4.322.
1+cos -+2a) sin(a+-J
\2 / \ A)
4.323. sinasin2 (a-270°) (l+tgaa)+cosacos2 (a+270°) (l+ctg2a).
4.324. sm 2a+cos 4a—sin 6a.
4.325. cos22a-3sin2 2a.
4.326. cos2 (na/2)-sin2 (»ia/2).
4.327. l+tg^-'j + cos
cos
4.328.
1 |2a+—).
/ Зя\ /Пя \
(e+TJ+2co4T-aJ
2sin 1-+а)+л/зsin ( a)
4.329. cos2 [—-2a J-cos2 (— + 2a).
4 4
4.330. sin a-
4.331, tg 210°+ctg 210° + tg 220°+ctg 220°.
Доказать справедливость равенств D332—4.354):
sin 24° cos 6° - sin 6° sin 66°
4332. =-1.
sm21°cos39°-sin39°coe21°
sin 20° cos 10° +cos 160" cos 100°
4333. = 1.
Sin21°cos9°+cosl59°cos99°
cos 63° cos 3° - cos 87° cos 2Г
4334. = -tg24°.
С0в132°а»72о-со842°со818°
126

- - cos64°cos4°-cos86°cos26°
4.335. = -1.
cos71°cos41°-cos49°cosl9°
cos 66° cos 6°+cos 84° cos 24°
4.336. = 1.
cos 65° cos 5° +cos 85° cos 25°
4.337. sin2 70° sin2 50° sin210° = 1/64.
yfb-yfl
4.338. a) sin 15°=- —; 6) cos 15° =
4
4.339. a) cos36°=- ; 6) sin 18°=— .
4 4
4.340. ctg 10° ctg 50° ctg 70° = ctg 30°.
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°
4.341. = 3.
sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°
4.342. sinl0osin30°sin50osin70°=l/16.
4.343. sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3/16.
Зя я 1
4.344. sm sin —=-.
10 10 2
я 2я 4я бя 1
4.345. cos -+cos —l-cos —l-cos —= —.
4.346. ctg 60° + tg 60° + ctg 50° + tg 50°=-7= cos 20°.
V3
4я 2я я
4.347. 8 cos — cos —cos - = 1.
9 9 9
4.348. tg 9° + tg 15° - tg 27° - ctg 27°+ctg 9° + ctg 15°
sin I a
' " \4 71
¦I.
( SA
l+cos a
V l)
4.350.. cos 70° + 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos135°.
/Зя \ , За , Зя г За /За л\
4.351. l-cos I За -sin2 — + cos*— ~-='UJ2cos — sin {—+-).
\2 ) 2 2 ^ 2 \2 4/
/ я\ /5я \
I 2a—- j+sin (Зя—4а)—cos I—-»-6« 1
:21^icos2a
cos
4.352. —
4 sin Eя—За) cos (а—2ж)
JV^4
sin 10° cos 50°
4.354. cos36°-sm 18°«sin30°.
127

Вычислить D355—4.367):
. п _ Зя А 5я , 7я
4.355. sin -+cos4—(-sin4— + cos4—.
8 8 8 8
4.356. sin 20° cos 50° sin 60° cos 10°.
4.357. cos (Зл/5) cos Fл/5).
cos 68° cos 8° - cos 82° cos 22°
4.358.
4.359.
cos 53° cos 23° - cos 67° cos 37°
cos 70° cos 10°+cos 80° cos 20°
cos69°cos90 + cos8rcos21°'
cos 67° cos 7°-cos 83° cos 23°
4.360. tgl64°.
cos 128° cos 68° - cos 38° cos 22°
sin 22° cos 8°+cos 158° cos 98°
4.361.
sin 23° cos 7°+cos 157° cos 97°
6sina—7cosa + l a
4.362. , если tg - = 4.
8sina+9cosa-l 2
(Sn \ Ля \ /Зя \ 3
4.363. tg I — 4-х ) + tg I xl если tg I — 4-х ) = -.
at+P a+P 21 27
4.364. sin и cos , если sina+sinp= ; cosa + cosp=-—;
2 2 65 И 65
5n n
— <а<3яи —<и<0.
2 2
a-P 27 a+p 7 5n
4.365. cos , если sma + sin/>= ; tg = -, —<а<3я
и --</»<0.
4.366. sin3a—cos3а, если sina—cosa=n.
2sin2e-3cos2a
4.367. , если tga=3.
4 sin 2a+5 cos 2a
Зная, что А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника,
доказать справедливость равенств D.368—4.374):
ЛВС
4.368. suii4 + sin5+sinC=4cos-cos-cos-.
2 2 2
япА + апВ+апС А В
4.369. =ctg - ctg -.
апА+апВ-ааС 2 2
4370.
sin С
4.371.
cmAcoiB
128

ЗА ЪВ ЪС
4.372. sin3v4 + sin3.S+sin3C= -4cos — cos — cos —.
2 2 2
4.373. sin 4Л + sin AB+sin 4C= - 4 sin 2A sin 2B sin 2C.
А В В С С А
4.374. tg - tg - + tg - tg -+tg - tg -= 1.
4.375. Найти tg (x/2), если известно, что sinx+cosx=l/5.
l-2sm2(a/2)
4.376. Зная, что tg (a/2)=m, найти .
1+sina
l+cos2a
4.377. Найти значение выражения , если известно, что
ctg(a/2)-tg(a/2)
sin a + cos a = m.
sin (a+/0 р
4.378. Известно, что =-. Найти ctg/J.
sin (a—/0 q
4.379. Зная, что sin a+cos a=m, найти sin6 a+cos6 a.
4.380. Известно, что tga=p/q. Найти sin 2a, cos 2* и tg2a.
4.381. Найти cos2a, если известно, что 2ctg2a+7ctg«+3 = 0 и число
а удовлетворяет неравенствам: а) Зя/2<а<7тг/4; б) 7тс/4<а<2тг.
4.382. Найти sin2a, если известно, что 2tg2a-7tga+3 = 0 и число
а удовлетворяет неравенствам: а) тг<а<5я/4; б) 5я/4<а<Зя/2.
cos (а+Р) в
4.383. Известно, что =-. Найти
cos (a— P) q
4.384. Доказать, что выражение
1-
-2sra2(a-—\+^/lcosBa+— j
sin (—2a J
\6 J
nn n
не зависит от a, где a#—|—.
a В у а В у
4.385. Доказать, что tg -+tg - + tg - = tg - tg - tg -, если a+fl+y = 2n.
4.386. Доказать, что выражение tg{2a—)sinDa+-) + cosDa+
V V \ V \
5я\ я
— I не зависит от а, если аф- Dл+3).
2/ 8
4.387. Доказать, что выражение
/ Зя\ / Зя\
-со»4 I a l-sn* I aH— 1
\ г) \ г)
1-
sin'a+cos'a-l
не зависит от а, если афт/2.
5-362 129

4.388. Доказать, что выражение sin B50° +a) cos B00°-а)-
—cos 240° cos B20°—2а) не зависит от а.
4.389. Доказать, что выражение cos2a+cos2<p + cos2 (a + <p)—
- 2 cos a cos <p cos (a+q>) не зависит ни от a, ни от (р.
4.390. Вывести формулу cos (л+1) a ¦= 2 cos a cos ла—cos (л—1) а, где
л — любое действительное число, и с ее помощью представить cos За
и cos 4а в виде многочленов от cos a.
4.391. Доказать, что
4ып( 30°+-Isin ' —° -' -jCa/2)
яп (з/0°+-\ si
\ г)
cos (a/2)
4.392. Дано sina + sinfl=2sin (<х + /Г); а+/?#2ял (neZ). Найти
tg(a/2)tg$/2).
4.393. Показать, что если р постоянно, то функция /(а) =
/>cossa—cos3a />sin3a+sm3a
= 1 также является постоянной.
cos a ana
4.394. Дана функция /(х)=cos* x+sin*x. Найти/(а), если известно,
что sin 2а=2/3.
4.395. Доказать, что если а+/?=60° (а>0, Р>0), то tgatg/?<l/3.
Группа В
Доказать тождества D.396—4.409):
3-4cos2«+cos4a
4.396. = tg*a.
3+4cos2«+cos4a
4.397. ctg B70° - 2a)+ctg B10° - 2a) + ctg A50° - 2a) = 3 tg 6a.
4.398. ctg (- + a) [ 1 +cos { 2a-- J) cos2a+2cos Dа-2я)
4.399. 8 cos* a - 4 cos3 a - 8 cos2 a + 3 cos a +1 = - 2 sin Ga/2) sin (a/2).
4.400. cos (a+/Q cosy + cosa+cos/f+cosy—sin (a + j8) siny =
a+fi a+y jS+y
= 4cos cos cos .
2 2 2
4.401. cos I 6a j sin3 (я—2a)-cos Fа-я) sin3 [--2a J = cos34a.
4.402. 8 cos* a+4 cos3 a - 8 cos2 a - 3 cos a +1 = 2 cos Ga/2) cos (a/2).
4.403. sin2 a+sin2 /f—2 sin a sin /f cos (a-/Q = sin2 (a—P).
8cos*e-4cos*a-8cos2«+3cosa+l 7« a
4.404. ; ; = -tg — tg -.
8coe*a+4cos3a-8cos2«-3cosa+l 2 2
sina+sin/J+siny-sm(at4-/J+y) а+Д /?+у y+a
4.405. = tg — tg tg .
coea+cos/?+cosy+cos(a+/>+y) 2 2 2
4.406. ctga-tga-2tg2a-4tg4a...-2"tg2"a=2*+'ctg2*+'a, л —лю-
—любое натуральное целое или 0.
130

sin2na
4.407. cosa + cos3a + cos5a+... + cos Bл — 1) a= , л — число сла-
2 sin a
гаемых.
cos (л + 1) a sinna л
4.408. cos a + cosi2e + ... + cosina= \—, n — число
2 sin a 2
слагаемых.
n cos (n +1) a sinna
4.409. sin a + sin 2a+... + sin na = , л — число
2 2 sin a
слагаемых.
Упростить выражения D.410—4.412):
4.410. sin3 2a cos 6a + cos3 2a sin 6a.
4.411. 3 sin a cos 3a + 9 sin a cos a—sin 3a cos 3a —3 sin 3a cos a.
4.412. 4 (sin* x+cos4*)-4 (sin6x+cos6x)-l.
Преобразовать в произведение D.413—4.415):
4.413. sin3 a cos 3a + cos3 a sin 3a.
1 / l-cos2a l+cos2a\
4.414. - +— ) + ctg2a + cos2« + sin2a.
2\cos-2a-l sin^a-l/
4.415. cos22a+3cosl8a+3cosl4a + cosl0a.
Доказать справедливость равенств D.416—4.440):
я 2я 4я 8я 16я 1
4.416. cos — cos — cos — cos — cos — = —.
33 33 33 33 33 32
4.417. 3sin
2я 4л 8л 16я 32я 1
4.418. cos — cos — cos — cos — cos — = —.
31 31 31 31 31 32
4.419. tg20°cos20°tg40clcos~140°tg60ocos60°tg80ocos80o =
= 48.
4.420. sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° sin 50° sin 60° sin 70° sin 80° = 3/256.
л 2л Зл 12л 13л 14л
4.421. cos — cos — cos —...cos — cos — cos —= —1/2 .
15 15 15 15 15 15
я 2л Зл 4я 5л 6я 7л
4.422. cos — cos — cos — cos — cos — cos — cos — = 1/2'.
15 15 15 15 15 15 15
2л
.—
17
+ sin
4я
—
17
— sin
6я
—
17
1
—
2
sin
8я ,
— = 8 sin3
17
2я
—
17
cos2
л
—
17
4.423. Sinl0° + sin20° + sin30° + sin40° + sin50° = 0Msin25°sin~1 5°.
4.424. ctg 80° ctg 70° + ctg 70° ctg 30° + ctg 30° ctg 80° = 1.
4.425. ctg 70°+ 4 cos 70° = ^.
4.426. tg9o-tg27°-ctg27o+ctg9°=tgl5° + ctgl5°.
4.427. cos 50° + 8 cos 200° cos 220° cos 80° = 2 sin2 65°.
4.428. sml8osm54°=l/4.
4.429. sina (arctg3-arcctg (—l/2))=l/2.
4.430. sin2 (arcctg (l/2)-arcctg (-1/3))= 1/2.
131

(¦ Л Л 15\ 7
4.431. sin I 2arctg- l + tg I - arcsin — 1=-.
( Л Л 1Л 1
4.432. sin I 2arctg-l-tg I-arcsin—1=-.
4.433. cos Barctg2)-sin Darctg3) = 9/25.
36 15 я 4
4.434. arccos arccos—=—arcsm-.
85 17 2 5
15 / 3\
—I-arccos I — .
17 V V
я 36
4.435. - + arccos — = arccos —\- arccos I
2 85
4.436. cos Barcctg7) = sin Darcctg3).
4.437. cos (llrt/5)-cos B*/5)=l/2.
4.438. sin 84° sin 24° sin 48° sin 12° = 1/16.
4.439. tg 830° + tg 770° + tg 740° = tg 470° • tg 410° ¦ tg 380°.
4.440. tg 12° tg 24° + tg 24° tg 54° tg 12° = 1.
Вычислить D.441—4.462):
/Пя 1
4.441. ctg I 1— arccos
2b\ /Пя 1 2b\
— + ctg I arccos — .
a) \4 2 a)
A% 1 2o\ /7я 1 2o\
4.442. tg I—V - arccos — l + tg I arccos —I.
5я , /5я 1 lJl-\\
4.443. ctg 2sin11 —Y- arcsm I.
,/Зя 1 3\ ,/5л 1 . 4\
4.444. cos6 ( arcsin - -cos6 (—I— arcsin - I.
\2 2 5j V2 2 Sj
1 ./5« i 4\
4.445. --cos* I —I— arccos - .
4 \2 2 5)
1 ,/3« 1 3\
4.446. —cos* I arcsin - I.
4 \2 2 b)
4.447. arccos (cos Barcctg (V^-l))).
4.448. arcsin (cos Barcctg (л/2-l))).
/1 a \
4.449. tg I arccos , + arccos . 1, где а<0.
/
tg I
\
4.450. cos
4.451. cos 260° sin 130° cos 160°.
132

/5я 1 / 4\\
4.453. ctg I —I— arccos I — II.
4.454. sin2 I arcctg —arctg j — j J.
4.455. tg I 2 arccos —==—arcsin — I.
\ \/26 '3/
A 4 \
- arcsin —2 arctg (—2) I.
4.457. ctg I - arccos —2 arcctg I — J J.
4.458. tg (- arccos — 3 arcctg (- 2) J.
/14 / 1\\
4.459. cos I - arcsin —2 arcctg I — 11.
4.460. cos I - arccos —2arctg (—2) J.
/5я 1 b\ /5n 1 b\
4.461. tg I —I— arccos - \ + tg arccos - .
*\* 2 a) *\4 2 a)
4.462. tg ( - arccos — 2 arctg (- 2) J.
x \+2yfl
4.463. Найти ctg -, если известно, что sinx—cosx= .
4.464. Доказать, что если sina=l/3, 5т/?=1/C-у/П)> siny = 3/-v/Tl (a,
и у — острые положительные углы), то a + /J+y = 90°.
4.465. Зная, что tga=m, найти sin2 I—\-а\—sin2 (—a)— cos — х
inl 2a j.
хяп
4.466. Известно, что cos 2a=т. Найти sin6 a+cos6 a.
4.467. Найти cos8 a—sin8 a, если известно, что cos 2a=т.
sin 4a+sin 10a—sin 6a
4.468. Найти значение выражения , если известно,
cos2a+l-2sin24a
что sina—cosa=m.
/ 3it\ 4 я х 5х
4.469. Зная, что cos I x J= — и что 0<jc<-, найти sin - cos —.
\ 2/ 5 2 2 2
4.470. Пусть Л, В и С — внутренние углы некоторого треугольника.
Доказать, что sina^+sina5+sinaC—2 cos Л cos Д cos С=2.
133

4.471. Доказать, что если cos 2а=cos 2/J cos 2y, то 1+ctg (а-
xctg (a-j8) = sin)i.
4.472. Пусть А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника.
Доказать, что
sin B«+l)v4 + sinB« + l).B+sinBrt+l) C=
. 2л+1 2л+1 2л+1
= (—1) 4cos Л cos 2?cos С,
2 2 2
где я — целое число.
4.473. Пусть А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника.
Доказать, что
sin 2nA + sin 2«.5 + sin 2лС=( — 1)" 4 sin nA sin «2?sin nC,
где л — целое число.
4.474. Доказать, что равенство (sin<p)*+(cos<p)*=l выполняется для
всех (ре@, я/2) в том и только в том случае, если л:=2.
4.475. Доказать, что выражение 4cosacos<pcos (a — <p) + 2sin2 (а —
— q>)—co&2q> не зависит от q>.
4.476. Найти наибольшее значение выражения sin1! 4а 1 —
/17я \
—sin I 4а 1 при 0<а<я/8.
. ._ „ „. ctg2a-tg2a
4.477. Наиги наименьшее значение выражения при
/5я \
1+sin I 8a I
0<a<7t/8.
4.478. Доказать следующее утверждение: для того чтобы в треуголь-
треугольнике ABC один из углов был равен 60°, необходимо и достаточно, чтобы
вьшолнялось равенство sin ЗА + sin 3.5+sin ЪС= 0.
4.479. Доказать следующее утверждение: для того чтобы в треуголь-
треугольнике ABC один из углов был равен 36° или 108°, достаточно, чтобы
выполнялось равенство sin 5А + sin 5B+ sin 5C= 0.
4.480. Доказать следующее утверждение: для того чтобы один из
углов треугольника ABC был равен 36° или 108°, необходимо, чтобы
вьшолнялось равенство sin 5A + sin 5B+ sin 5C= 0.
ctga—tg«
4.481. Найти наименьшее значение выражения при
cos 4a+1
0<а<я/4.
cos2a+l
4.482. Найти наибольшее значение выражения при
ctg (a/2)-tg (a/2)
0<а<п/2.
4.483. Доказать, что если tgatg/J=l, то sin2а=sin2^ и cos2а=
= — cos 2^.
134

(Зя л 4 х 5х
х )=- и 0<д:<я/2, найти cos - cos —.
2/3 22
4.485. Найти наибольшее значение выражения — — при
sin6a-t-cos'«
4.486. Найти наибольшее значение выражения при
sin* a+cos* a
4.487, Зная, что sin ( х)—-, найти sin - sin —.
\l ) 5' 2 2
4.488. Доказать, что если для некоторых чисел а, р и у выполняется
равенство A-sina) A-sin/f) (I — sin у) = A4- sin a) (l+sin/Г) (l+siny), то
каждая из частей этого равенства равна |cosacos/?cosy|.
4.489. Доказать, что для чисел <р, удовлетворяющих неравенствам
0<<р<п/4, выполняется равенство
2 sin (я/4+<!>)
4.490. Найти наименьшее значение выражения sin6 a+cos6 a при
4.491. Найти наименьшее значение выражения sin* a+cos* a при
</2
4.492. Показать, что если а постоянно, то функция f{x) = cos2 x +
+ cos2 (a + дс) — 2 cos a cos х cos (a+x) также является постоянной.
4.493. Найти сумму 1 + cos 4a + cos 8a +... + cos 4na.
4.494. Показать, что если x=tg5°, >» = tg20° и z=tg65°, то
xy+yz+zx= 1.
4.495. Доказать, что tgl42°30' +-ч/б+ >/з-ч/2 есть целое число.
4.496. Пусть А, В, С — углы треугольника. Доказать, что
8 sin (A/2) sin (В/2) sin (C/2)<1.
4.497. Показать, что если arctgjc+arctg>' + arctgz = n, то x+y+z =
= xyz.
4.498. Показать, что если arctgx + arctg>'+arctgz=»t/2> то
xy+yz+zx= 1.
4.499. Пусть А, В, С — углы треугольника. Доказать, что 8 cos A x
xcos.flcosC< 1.
4.500. Пусть А, В, С — углы треугольника. Используя неравенство
cos,4cos.BcosC<l/8, доказать, что sin1v4 + sm25+sinaC<9/4.

ГЛАВА 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1°. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения
вида sin .г=л (где |а|<1), cosx=a (где M^l), tgx=a (где — со<я< -(-оо), ct%x=a
(где — оо<о< + оо). Формулы решений этих уравнений имеют следующий вид
(здесь и в дальнейшем л е Z означает, что л — целое число):
sin с=а; дг=(— 1) arcsin а+rat, neZ; E.1)
cosjc=e; r=" ±arccosa+2nn, neZ; E.2)
tgjc«=a; Jt=arctge+J«i, neZ; E.3)
ctgjr—а; jc=arcctge+7tn, neZ. E.4)
В частных случаях при а=0, а=1,а= — 1 получаются следующие формулы:
япдг=0; дг=»ял, лей; E.5)
sinx=l; дс-я/2+2ял, neZ; E.6)
; х=-я/2+2ял, neZ; E.7)
cosjc=0; х=я/2+ял, neZ; E.8)
cosjc= 1; x=2nn, neZ; E.9)
—1; дс=я + 2ял, neZ; E.10)
tgx=0; x=nn, neZ; E.11)
O; x-nl2 + nn. neZ. E.12)
Уравнения вида sin (озх+д>)=а, cos (cox+<p)=a, tg (cox + <p)=b,
ctg {cox+q>)=b Qa{<\, w^O, <p, b — любые действительные числа) также относят-
относятся к простейшим. Их следует решать сразу по формулам E.1)—E.4), заменив х на
шх+<р.
Пршмер 1. Решить уравнение si
\°
я к V3
D Согласно формуле E.1), имеем —2дс=(-1) arcsin Ьял. Так как
_ б 2
•%J 3 Я Я л Я я Я Я ТЕЛ
arcsin—ш-, то -—2jc«(—1) - + ял, откуда дг= — (— 1) -Л 1— или
2 3 6 3 6 12 2
A)+
6 12
Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных
преобразований его нужно свести с одному или нескольким простейшим уравне-
уравнениям, совокупность которых равносильна заданному.
2°. При решении тригонометрических уравнений часто используются раз-
разложение на множители и введение новой переменной (метод подстановки).
Пример 1 Решить уравнение sin*-sin2* со»3х
О Применив к linix формулу D.13), получим
япдс-2япхсо«лсо»3дс, ипх A-2co*.xcos3jc)-0.
136

Так как оба множителя в левой части этого уравнения имеют смысл при любых
значениях х, то оно равносильно совокупности двух уравнений: апдг=0
и 1—2cosjccos3jc=0.
Согласно формуле E.5), первому уравнению удовлетворяют" значения
х=ял, neZ.
Для решения второго уравнения преобразуем произведение косинусов в сум-
сумму по формуле D.26); имеем 1-(cos4jc+cos2jc)=0. Так как 1—cos4jc-2anJ2x
[см. формулу D.16)], то уравнение принимает вид 2sin22x—cos2x-0 или
2 A — cos22x)—cos2x'=»0, откуда получим 2cos22x+cos2jc—2=0— квадратное
уравнение относительно cosZx. Полагая cos2x=z, имеем 2т2+z—2=0. Решая это
l+i/l7 l,/l7
уравнение, находим i\•= , 2i" . Так как |z2|
4 4
> 1, то
уравнение cos2x=Z2 не имеет решений. Остается решить уравнение
cos2jc= . По формуле E.2) находим 2х= ±arccos \-2nk, к el.
4 4
1 ,/17-1
Итак, получаем ответ: х=т, х= ±- arccos hnk, n, keZ. ¦
2 4
При решении уравнения методом разложения на множители оно может не
быть равносильным полученной совокупности уравнений, так как возможно
появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно ис-
исключить из полученных значений неизвестного те, для которых заданное уравне-
уравнение не имеет смысла.
Прамер 3. Решить уравнение A—sinx) (tgJ;r—3)=0.
D Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1 — sin.r=0
и tgJ х— 3 =0; если апдс= 1, то по формуле E.6) получим
x=n/2+2nk,keZ; (*)
если tg2 jr=3, т. е. tgjc= ±^/з, то по формуле E.3) имеем
х= ±п/3+пп, neZ. (•*)
Однако было бы ошибочным считать ответом объединение решений (•)
и (••). Дело в том, что исходное уравнение не имеет смысла для значений
х=п/2 + тт (neZ), поэтому первое из предполагаемых решений непригодно и от-
ответом является только второе решение х= ±п/3 + пп (neZ). ¦
Прамер 4. Решить уравнение cosxcosZxcos4.г= 1/8.
D Наиболее быстрый способ решения — умножение правой и левой частей
равенства на 8 sin .г, хотя при этом возможно появление посторонних корней.
Чтобы избежать этого, следует учитывать, что в окончательное решение не
должны входить значения х, для которых sin х=0, т. е. значения х=ял (я б Z), так
как они не удовлетворяют исходному уравнению.
После умножения на 8 sin x уравнение примет вид
8sin.rcos.vcos2xcos4.r=sin.v
Последовательно трижды применив формулу синуса двойного аргумента
D.13), получим сначала 4sin2xcos2xcos4x=sinx, затем 2sin4xcos4x=smx и да-
далее sin8x=sinx или sin8.r—sinx=0. Преобразуя по формуле D.20) разность
7х 9х
синусов в произведение, получаем sin — cos —=0.
7jc 7jc 2ji*
Пусть sin —=0; тогда —«я* (*eZ), откуда х=— (*eZ), причем следует
исключить значения х - 2лл (n e Z), получающиеся при к=7л, как посторонние для
9х 9х п
исходного уравнения. Пусть теперь cos—=0; тогда ——-+mn (meZ), откуда
2 2 2
137

nBm + l)
x« (meZ), прячем следует исключить значения *«я Bл+1) (neZ), по-
лучающиеся при т-9л+4 (neZ), как посторонние для исходного уравнения.
2ж* яBт+1)
Итак, получаем ответ: *——, где целое k+ln, neZ; *— , где целое
7 9
mj*9n+4, neZ. ¦
3°. Однородными уравнениями называются уравнения следующего вида:
esinJt*+icosJt*-0; E.13)
esin2Jtx+isinJfcxcosJtx+ccos2fa;-0; E.14)
asinsfo;+Asin2foccosfoc+csinfoccosJfor+rfcos3fo;=0. E.15)
Уравнение
при </»*0 не является однородным, но его можно привести к однородному
уравнению вида (S.14), заменив число d тождественно равным ему выражением
d (sin2**+cos2 fee)-
Для решения уравнений E.13)—E.15) в случае а/0 рассмотрим такие значе-
значения х, при которых cos for=0. Тогда из каждого уравнения следует, что при тех же
значениях х должно быть и sin for=0, а это невозможно. Значит, решениями этих
уравнений могут быть только такие значения х, при которых cos for/0. Поэтому
если (при а 9*0) разделить обе части уравнения (S.13) на cos for, уравнения E.14) —
на cosr*x, уравнения E.15) — на cos**x, то потери корней не произойдет.
В результате получается алгебраическое уравнение относительно tgfor, для
решения которого следует произвести подстановку tgfor=z.
Пример 5. Решить уравнение
3sin2xcos I—hjc 14-3sin2xcos jc—sinxcos2x—sin2 I x— I cos*=0.
? Используя формулы приведения, получаем
3 sin1 x+3 sin2 x cos x—sin x cos2 x—cos3 x=0.
Это однородное уравнение относительно sin* и cos*, причем а/0, т. е. значения
*, при которых cos*—0, не являются решениями заданного уравнения. Разделив
члены уравнения на cos x, имеем:
3tg3x+3tg2*-tg*-l-0;_Ctg2*-l)(tg*+l)=0;
Ф я
с—1 -0, tg*-± , *— Fn±l), neZ;
3 6
tg* + l -0, tg*- -I, x— D*:-l), keZ.
4
я я
Итак, получаем ответ х—- Fд± 1) и х=- DJt— 1), л, keZ. Ш
6 4
При решении уравнений E.13)—E.15) в случае а=0 деление на cosJtx недопу-
недопустимо, так как оно приводит к потере корней — тех значений *, при которых
cos foe=0.
При а—О уравнение E.13) становится простейшим, а для решения уравнений
E.14) и E.15) следует применить метод разложения на множители.
4°. Другие приемы решения тригонометрических уравнений рассмотрим при
решении примеров.
/* я\
Прямее С Решить уравнение 3 со»2 I )-2со»х«4.
\2 4/
О Дри решеяии таких уравнений удобно использовать формулы
138

X 1—COSX X 1+COSX
степени D.16) и D.17), которые имеют вид siir-= , cos2-= .
2 2 2 2
3 A +cos (х-я/2))
Воспользуемся второй из них: 2cosx=4 и после очевидных
преобразований получим уравнение
Зяпдг—4cosx = 5. (¦)
х
Оно легко приводится к алгебраическому уравнению относительно tg - с помо-
2tg(x/2) I-tg3(x/2)
щью формул D.28) и D.29), т. е. равенств sinx= , cosx= ,
l+tg>(*/2) 1-f-tg2 (дг/2)
верных для всех х*п+2пп, neZ. Отметим, что замена sinx и cos .г выражениями,
содержащими tg (х/2), может привести к потере корней вида х=п+2пп, пеЪ.
Удовлетворяют ли эти значения х исходному уравнению, выясняется проверкой.
Выполнив в уравнении (*) подстановку tg (x/2)=z, которую называют «уни-
«универсальной», получим уравнение z2~6z+9—0. Оно имеет решение z=3. Воз-
Возвращаясь к переменной х, получим tg(x/2) = 3, откуда x=2arctg3+2nn, neZ.
Остается проверить, не удовлетворяют ли уравнению (*) числа х=я4-2ял, neZ.
Имеем 3sin (я4-2ял)-4сов (п + 2пп)Ф5; значит, числа х=я+2лл не являются
решениями уравнения (•).
Итак, получаем ответ: x=2arctg3 + 2nn, neZ. ¦
Прямер 7. Решить уравнение sin6x+cos6x=a (a — заданное число).
? Преобразуем левую часть уравнения по формуле A.13) как сумму кубов:
sin* х+cos* x=(sin2 хK + (cosJ xK =
=(sin2x4-cos2x) (sin*x4-cos*x— sin2xcos2 x) =
1
= (sin* x + cos* x + 2 sin2 x cos2 x) - 3 sin2 x cos2 x -
=(sin2x4-cos2xJ - 3 sin2 xcos2 x= 1 — 3 sin2 x cos2 x.
1
1
Согласно формуле D.13), имеем sin xcos x = - sin2x. Тогда получим равно-
3 , 4A-a)
сильное исходному уравнение 1 — sin22x=a, откуда sin22x= . Если
4 3
4A-*) . 1 _. . . .2
<1, т. e. -<a<l, то уравнение sin2x=±- V3 A—a) имеет решение
3 4 3
1 /2 , \ к
x=±- arcsin I - V3 A— a) \+~ n, neZ.
В частности, при а=\ решением уравнения an6x4-cos6x=l являются числа
x=nn/2(neZ). Однако это уравнение, как и многие другие, можно решить
быстрее, используя неравенства |sinx|<l, |cosx|<l (см. примеры 8 и 9).
Промер 8. Решить уравнение sin x+cos x=l (JfceN).
D Легко догадаться, что числа x=nnj2 (neZ) являются решениями уравне-
уравнения. Однако еще следует доказать, что других решений нет. Предположим, что
существуют решения х=а/лл/2 (neZ). Так как |sinaj < 1 и |cosaj < 1, то sin2 a< 1
и cos2 a < 1. Поэтому для любого целого положительного к справедливы неравен-
. 2*+2 . , 2*+2 , _ . 2*+2
ства sin a<sin2a и cos a<cosza. Складывая их, получаем sin a+
139

+cos «<sura+cos*a. Ho un2a+corot»l: следовательно, sin x+
+cos дс<1 для всех значений х-а*кп/2 (neZ).
Значит, заданное уравнение (в частности, уравнение sin**+cos* х— 1) не имеет
решений, отличных от дс—яя/2 (neZ). Ш
Пример 9. Решить уравнение sin (ncos2x)~l.
я 1
О По формуле E.6) находнм ясо«2х~-+2я*, т. е. со»2х«-+2*. keZ. Но
2 2
1 п
|cos2x|<l, поэтому *-0. Имеем cos2jc--, 2х- ±-+2ял (neZ), откуда получаем
и
ответ: х-- Fя± I), neZ. Ш
6
Группа А
Решить уравнения E.001—5.175):
5.001. gos3x—вшдс^-у/з (cosx—sin3x).
5.002. sin3z-
5.003. sm2z+cbs2z
5.004. 2 (cos4*-sin
5.005. sin2xsm6jc—cos2*cos6*
5.006. sin - cos —; = sin2z=sin — cos -.
2 2^ 22
5.007. tg2xcos3jc+sin3jc+v/2sin5jc=0.
5.008. cosfsin i-+6r J+cos I—/ j sin 6r=cos 6/+cos 4/.
5.009. sin (-+2ДС j ctg3x+sin (n+2x)—fi cosSx-0.
v'i i
5.010. япЗдМ sin 5x+- cos5x»0.
2 2
5.011. cos 4л: cos (я+2х)—sin 2x cos I—4x j=— sin4x.
5.012. (sm2x+v^cos2x)a=2—2cos{ x).
5.013. sin3jc+sm5jc—sin4x
5.014. cosx-cos3x—sin2x.
5.015. cosx-cos2x=sin3x.
5.016. cos5jc+coe7jc=cos'(n+6jc).
5.017. cosj-+5xj+sinx-2cos3jc.
5.018. sinдс+sin--sin ( x+-j.
я \ %)
140

5.019. cosjc—v3sinjc=cos3jc.
5.020. у/1 sin2x+cos5jc-cos9x=0.
5.021. -v/^c<>s^+cos2x+cos4x=0.
5.022. ш^Ъх—ьхаТх^ч/ъ sin2jc.
5.023. sin2x+sin (я—8x)=v^ cos3jc.
5.024. sin {- + 3jc j-sin (n—5x) = y/i (cos5jc-sin3jc).
5.025. sin A5° + jc)+sin D5°-x)=l.
5.026. cos B0°+x) + cos A00° - x) = 1 /2.
5.027. sin A5°+x)+cos D5°+x) + 0,5=0.
5.028. sin5x=cos4x.
5.029. tg G0°+x) + tg B0°-x) = 2.
5.030. sm6x+sin2x=0,5tg2x.
5.031. tgx+tg2x-tg3x=0.
5.032. sm9x=2 sin3x.
5.033. cos3x=2sin(— Л
5.034. sin3jc=2cos I
5.035. cos6jc-2sin
H
(—+2x j.
5.036. sinz+sin22+sin3z=cosz+cos2z+cos3z.
5.037. cos9x—cos7x+cos3x—cosx=0.
5.038. sinx—sin2x+sin5x+sin8x=0.
5.039. cos Ix+sin 8x=cos 3x - sin 2x.
5.040. sinx—sin3x—sin5x+sin7x=0.
5.041. sin x+sin 7x - cos 5x+cos (Зх- 2я)=О.
5.042. sin2x—sin3x+sin8x=cos I 7xH—}.
5.043. 1—cos6x=tg3x.
5.044. A-f cos4x) sin2x=cos12x.
5.045. 1—cos (я+х)—sin =0.
5.046. cos4x+2cos2x=l.
5.047. l+cosf+cos2/+cos3f=0.
5.048. l+sm2x=(cos3x+sm3xJ.
5.049. l-sin3x=
5.050. l+cos7x
=\ sm —cos- I .
(. 3x 3*V
=| sm cos — I .
V 2 2)
141

5.051. sin3jc+sin5jc=2 (cos22x-sin23x).
5.052. 0,5 (cos5x4-cos7x)-cos22x4-sin23x=0.
3x
5.053. l4-sinx—cos5x—sin7x=2cos2—.
5.054. cos2x4-cos6x4-2 sin2x=i.
5.055. cos23x4-cos24x4-cos25x=l,5.
x 3x
5.056. cos2 -+cos2 sin22x-sin24x=0.
2 2
5.057. cos2x4-cos22x—cos23x—cos24x=0.
5.058. sin23x4-sin24x=sm25x4-sin26x.
5.059. sin22z+sin23z+sm24z+sin25z=2.
5.060. sin7jc+sin9x=2 [cos2 |--x j-cos2 |"+2дгj j.
5.061. 8 cos z cos F0° - z) cos F0° 4-z) 4-1 = 0.
5.062. sinzsin F0°-z) sin F0°+z)=l/8.
5.063. sin2xsin6x=cosxcos3x.
5.064. sinxsin3x4-sin4xsin8x=0.
5.065. sin3jccos3x=sin2x.
5.066. cos 3x cos 6x=cos 4x cos 7x.
5.067. cos(jc+l)sin2(jc+l) = cos3 (x+1) sin4(x+l).
5.068. tg3/-tgr-4sin/=0.
5.069. v/3-tgx=tg
5.070. (cos 6x -1) ctg 3x=sin Здг.
ix
5.071. cosx+ctg3x=ctg—.
5.072. cosxcos2x=sin —\-x sin —l-4x +
V ) \4 /
/Зя \ /7я \
—h4x cos I 5x ].
\4 / V4 /
+ sin
5.073. sin3x—4sinjccos2x=0.
7x 3x x 5x
5.074. sin — cos—hsin-cos—hsin2xcos7x=0.
2 2 2 2
x 3x
5.075. cos - cos sinxsin3x—sin2xsin3x=0.
2 2
5.076. sin |-+5x) cos {-+2x)=sin (-4-х I sin I—6x).
(n \ (n \
5.077. sinxcos2x4-cosxcos4x=sin I—f-2xlsinl—3x1.
142

5.078. ctg/-sinf=2sin2-.
>.2(tg-;-i}
5.079. 2ltg — 1 l=cos/.
5.080. l + sin2x=sinx+cos;e.
5.081. cos2jc=-^/2 (cosx—sinx).
5.082. 2ctg2xcos2x+4cos2x-ctg2;t-2
5.083. si
5.084. cos3 x+ cos2 x - 4 cos2 - = 0.
2
5.085. 2tg3x-2tg2x+3tg*-3 = 0.
5.086. cos4x+2sin2x=0.
5.087. 3sin2 2x+1 cos 2x- 3 = 0.
5.088. 6ctg2Jt-2cos2*=3.
5.089. cos2jc-5sinjc-3 = 0.
5.090. cosDx+2)+3sinBx+l) = 2.
5.091. 2cos2x+5sinjc-4=0.
5.092. 6sin2x+2sin22x=5.
5.093. 25sin2jc+100cosx=89.
5.094. cos 2x+sin2 x+ sin x= 0,25.
5.095. cos2x+3sin*=2.
5.096. 2tg43x-3tg23jc+l=0.
5.097. cos42x+6cos22x=25/16.
5.098. ctg42z+sin-*2z=25.
5.099. 2sin2z+tg2z = 2.
5.100. 2+tgxctg-+Ctgxtg- = 0.
5.101. sin*x+cos*.r=cos22x+0,25.
5.102. sin*2x+cos*2x=sin2xcos2*.
5.103. sin*jc+cos*x=sin2jc—0,5.
5.104. 7 + 4sinxcosx+l,5
5.105. 4tg23.x-cos3jc=2.
5.106. 3 + 2sin2x=tgx+ctgx
5.107. tgx+ctgje^Zeos-Mx.
5.108. 2cos2jc+2tg2x=5.
5.109. sin22x+sin2K=9/16.
5.110. 2sin3x-cos2jc—sinjc=0.
5.Ш. ct
5.111.
sin i
5.113. = 2-ctgr.
1 +cos*
5.114. cos"a2r -SP"a2r
143

5.115. sin2*—2sinxcosx=3cos2x.
5416, sm23x=3cos23x.
5.117. 3cos2x=sin2x+sin2x.
5.118. sin3x+sinx=4sm3x.
5.119. acos2—(a+2b) sinJ-=acosx-*sinx; A/0.
2 2
5.120. sinz—sin2z=cosJz—cosz.
5.121. 2anz-cosz=2/5.
5.122. cos2x=»l-sin2x.
5.123. 3sin2x+2cos2x=3.
5.124. 4sinJc+cosx=4.
5.125. sin2r-4cos2z=4.
5.126. 4sinxcos I—x J+4sin (n+x) cosx+
. . /Зя \
+ 2sin I x I cc
/Зя \ In \
5.127. 2sinxcos I—yx I—3sin (я—x) cosx+sin I-4-х I cosx=0
5.128. 6sin2x+smxcosjc—cos2x=2.
5.129. 4sin3z+-cos3z = 3.
3
5.130. 3sin5z-2cos5z=3.
5.131. cos3r-6cos3r=4sin3/.
5.132. sin* —sin2 - cos—3sin- cos2- + 3cos3 - = 0.
3 3 3 3 3 3
5.133. 2sin3jc+2sin2jccosjc—sinxcos2*—cos3x=0.
1— cos*
5.134. = 2.
x
sin-
2
5.135. ctgf—+xj-tg2jc=(cos2x-l)cos~2x
f—+xj-tg2
/Зя \ ,
x -ctg2
\2 )
/Зя \ , l+cos2x
5.136. Ctg x -ctg2x+ = 0.
\2 ) sin2x
5.137. (sin~1z+cosz) (sinz+cosz)+2=0.
5.138. tgxtg20o+tg20°tg40<4tg40otg;c=l.
5.139. tgx+tg50o+tg70o=tgxtg50otg70o.
5.140. tg(—+jc]-3tgax=(cos2x-l)cos~2x
5.141. cos Bf-18°) tg50o+sin B/-18°)=
2cosl30°
144

5.142. cos Cx-30°)-sin Cx-30°) tg30°
5.143. sinjccosxcos2xcos8x=- sin 12*.
4
ьь
2cos210°
5.144. sin3zcosz—sic
5.145. (sin4/+cos4fJ=16sin2rcos32/—8sin2/cos2f.
5.146. ctgx-tgx+2 ( +-
\tgx+l tgx-
x
tg- tgjc+l
cosx 2 r
5.147. = V3.
2tg-cosJ- tg- + ctgx
2 2 2
5.148. —= - = sin2r.
V3-tgr v3+tgr
5.149. (l+sinx)tgl ]=cosx-cosjc.
4ctgx
5.150. ^—+sin22x+l=0.
l+ctgJx
5.151. ctgx+tg2x+l=4cos2xH 2cos2x.
sinx
5.152. 2 A -cos2x) = v/3 tgx.
5.153. *Jl A +cosx) = ctg -.
5.154. 5 (l+cosx)==2+sin*jc—cos*x.
5.155. sin2jc=cos*—sin*-.
2 2
5.156. 3(l-sinO+sin*f=l+cos*/.
_,_ sinax-2 x
5.157. -=tg2-.
sin2 x—4 cos2 -
2
sinl-
5.158. ^—: ^-^- = 3.
cos
(-+x)cos|—x)
4 / V4 J
5.159. tg(-+xj-ctg2x+smjc(l+cos2x)=0.
145

5.160. tg23je-2sin23;c=0.
sin12x-4 sin1*
5.161. — + l=2tg2x
sin22x+4snrx-4
Зх-7я л-Зх Зх
5.162. sm (-cos =cos —.
2 2 2
/3n \
i x
\2 ;
2cos(b+x)-5cosI
5.163.
(Ъп \ 2
cos I—+x 1-cos (я-х)
5.164. = 1 + cos Ax.
1 1 16
l+sin2z 11
5.166. sin4x+cos4x=5/8.
5.167. 2tgx-2ctg;c=3.
5.168. sin2 |-+M=sin/+sin2 (--/1.
5.169. 2 cos2—I=sin3x.
5.170. cosx— smjc=4cosxsin2x
5.171. sinx+sin3x=4cos3x
5.172. tg(x-15°)ctg(x+15°) = l/3.
5.173.
t It , t ,Ъ1
5.174. tg- ctg—hcos - sin — 1.
5.175. i«*
Группа Б
Решить уравнения E.176—5.385):
5.176. I+lgxtg5x—N/5tg2xcos3xcos5x=0.
5.177. ^/3
5.17f. tg6xcos2jc—sin2*-2sin4x»0.
5.180. 22
5.181. tgx*tg2x+t$$x<-0.
5.182. ш2хяа6хст*х+~ eosl2x«0.
\2 J

1
5.183. cosjccos2xsin3x=-sin2jc.
4
5.184. 4 cos jc cos 2* cos 3x=cos 6*.
5.185. 4sin2jcsin5xsin7x—sin4x=0.
5.186. sin3x+sinjc—sin2x=2cosx (cosjc—1).
5.187. tg A20°+3*)-tg A40°-x) = 2sin (80°+2x).
5.188. ctg (x-25°)+tg Cx+15°)=2sin Bx-50°).
3x x
5.189. tg tg- = 2sinjc.
5.190. tg3f+tgf=2sin4/.
5.191. tg2x-ctg3x+ctg5x=0.
5.192. tg5z-tg3z-2tg2z=0.
t g / t g 5/
5.193. —-t —=0.
2 5 2
tg2/ tg/
5.194. — =— = 0.
cos21 cos2 2/
cos23< cos2/
5.195. + =0.
5.196.
cos2 5/
tg2/
cos2/
cos23/
tg'
cos2/
tg'
cos2 2/
cos2/
tg3/
ctg/
5.197. tgx —-=sin6jc.
5.198. tgztg (z+60°) tg (z+120°) = y^.
5.199. sinf-sin2/=sin~14f.
5.200. tgC5° + x)ctgA0°-;c) = 2/3.
5.201. cos2 (*+40°)+cos2 (x-40°)-sin II
5.202. 4 sin 5x cos 5x (cos* x—sin* x) = sin Ax.
5.203. Bcos2f+5)cos*/-Bcos2/+5)sin*/=3.
5.204. tg*x=36cos22x
5.205. cos~*z=64cos22z.
5.206. tg*3r=sin26r.
5.207. cos"*z= 2sinz(ctg2zctgz+l).
4sin*z ,
5.208. 2 cos z-1=0.
(l+cos2z)J
_ 8sin2x+l . 4
5.209. ; r=Ctg2x+-.
cos 1x+tg'x 3
5.210. |cosz-tg6z—J (sinz+cosz+2) =
5.211. tg3z+ctg3z-8sin-32z=12.
147

5.212. 2sin*V(sin2/-3)-2sin2f (sin2f-3)-l = 0.
5.213. sin2x+2ctgx=3.
5.214. 2sin2x+3tgx=5.
5.215. (cos 2*+(cos x+sin*J) (tg*+ctgje)=O.
5.216. 2sinxcos2 |—x 14-3 cos2 (—\-x I cos*—5cos2*sin [-4-х 1=0.
\2 ) \2 ) \2 )
5.217. sin*2x4-sin32xcos2x-8sin2xcos32x-8cos*2x=0.
x /Зл x\ x x x , x
5.218. 3sin - cos I —I— +3sm - cos —sin - cos2 - =
2 \2 2) 2, 2 2 2
¦ l fn x\
=sm I —\—
\2 2)
(Ъп \ . /Зя \
5.219. sin22xcos I 2x +3sin2xsin2 —|-2дс +2cos32x=0.
U У \2 /
5.220. 3sin2zcos2 |- + z ]— sin22z-5cos*z+2cos2z=0.
\2 У 2
x
cos -.
2
5.221. sin4jc Csin4x—2cos4A:) = sin22x—16sin2xcos2Accos22jc+
+cos22x
5.222. 4sin*x+cos4jc=l + 12cos*x.
5.223. 2 sin* x+1,25 sin2 2*-cos* x= cos 2*.
5.224. 5sin*2z-4sin22zcos22z-cos*2z+4cos4z=0.
5.225. 2coszsin31 zl —5sin2zcos2z+sinzcos3 I—hz) = cos2z.
6cos32/+2sin32f
5.226. = cos4/.
3cos2<-sin2f
40 (sin3--cos1-)
\ 2 2/
5.227. — = sin t.
1 t
16 sin —25 cos-
2 2
sin2/+sin2»-l
5.228. tg/=— .
cos21—sin 2f+1
sin
5.229. ctg*=
in2x-2sin2 (—x)
V4 J_
cos2 x+2 cos2
2(cos3x+2sinJx) .
5.230. = sin2*.
2sinx+3cosx
5.231. = cos2x.
2cosx—smx
148

tgJC+CtgJC
5.232. — = 6cos2*+4sin2x.
ctgx-tgx
5.233. cos2/+sin2/+cos-12rsin2/-5 = 0.
5.234. 2+sin/=3tg-.
2
5.235. 8cos*x-8cos2x-cosx+l=0.
5.236. l+sinz+cosz+sin2z+cos2z=0.
1 +smjc+cosx+sin2x+cos2jc
5.237. = 0.
2
5.238.
5.239. (cosx—sinjcJ+cos*x—sin* x= 0,5 sin 4x.
5.240. 2A+ sin 2x)
-«(H
5.241. sin2jt+2sin2 --2sinxsin2 -4-ctgx=0.
2 2
5.242. cos3x+0,5sin2jc-cos^sin3x+4sinx+4=0.
5.243. 2cos62/-cos*2/4-l,5sin24/-3sin22/=0.
5.244. 0,5 sin Ax sin x+sin 2x sin x = 2 cos2 x.
5.245. 2sin23x+sin26x=(sin2x+sin4^) cos^xsin 3x.
(In
COS I 1
5.246. tg x + : - = 2.
\2 ) 1+cosx
5.247. 3-v/3tgxsinx—ctgxcosjc+9sinx—3-v/3cosx=0.
5.248. sin2x-2cos2*+4 (sinjc-cosx+tgx-l)=0.
5.249. y/2 (cos* 2x - sin* 2x) = cos 2x+ sin 2x.
5.250. 1—sin2jc=cos^—sinx.
5.251. ctgx—tgjc=sinx+cosx.
5.252. cos2jc= (cosjc + sinx).
5.253. sin2z+5(sinz+cosz)+l=0.
5.254. 2 cos2 - (l-sinx) + cos2x=0.
5.255. sin*x-sin2x+4 (sinx+l) = 0.
5.256. 2sin5 2t-sin3 2t-6 sin2 2/4- 3 = 0.
cos2z(l+ctgz)-3
5.257. = 3cosz.
sin z—cos i
. 2sin2»+sm4r
5.258. tg2/ =2ctg2/.
2 sin 2<-sin 4/
149

3 (cos Зле-cosлс)
5.259. ctg2 2x4-— -4-2=0.
sin3x—sinx
4 j-
5.260. sin2xtgjc4-cos2xctgx+2sinxcos^=-V3-
5.261. 2tgx+tg2x+2tgxtg3x+tg2jctg3x=0.
5.262. (ctgz-1) A +sin2z) = 1 +ctgz.
5.263. — = ctg / A + 2 cos 2/).
sin(
4 sin2—1
5.264. = tg/(l-2cos/).
cost
sin3 —cos3 -
2 2 1
5.265. =- cos*.
2+anx 3
yfl ( . (n \ . (n \\
=— sin —x -sin —3x }.
(sin x+cos xf — 2 sin2
5.266.
l+ctg^
5.267. 11^4-2^-3 = 0.
1— sin2x 1— tgx
1—sin'z—cos6z
5.268. = 2cos23z.
1— sin i—cos*z
cosx—sinx
5.269. ctgx-tgx= .
0,5 sin 2x
5.270. 1 1-2=0.
ctgz ctg2z
5.271.
tg2z tg4z 2
5.272. 3(COS2X+Ctg2x)-2 (sin2x4-1)^0.
ctg2x—cos2x
5sinx—5tgx
5.273. ^-4-4 (l-cosx)=0.
sinx+tgx
5.274. ctg x 4- ctg 15° 4- ctg (x + 25°) = ctg 15° ctg (x 4- 25°) ctg x.
z
4tg-
5215. ctg--tg-4-4cos~12z=
2 2 2z
2
ISO

5.276. ™X l'< 2CtgX
1Л
8\
l+ctg2x
5.277.
x
1+tgxtg-
+
cos2x x
ctgx+tg-
5.278. tg2/=ctg/-4cosfcos3f.
5.279. tg2 -4-sin2 - tg -+cos2 - ctg -4-ctg2 -4-sin x=4.
2 2 2 2 2 2
5.280. htgx-ctgx-4=0.
inJ2
5.281. tg5x
5.282. 3tg3x-4tg2x=tg22xtg3x.
5.283. tgx-ctgx=sin^-cos~1 x.
5.284. 37tg3x=lltgx
82
5.285. tg*x+ctg*x=—(tgA:tg2x+l) cos2x.
5.286. 3ctgf-3tgf+4sin2/=0.
5.287. ctg^-tg^-2tg2x-4tg4x+8 = 0.
5.288. tg2JC+ctg2jc+3tgjc+3ctgJc+4=0.
5.289. tg2- + ctg2--2=4tgz.
2 2
5.290. (tgr-ctg/+2tg2/) A+cos3/)=4sinЗл
5.291. tg4x+tg2x+ctg4jc--ctg2jc= 106/9.
5.292. tg*x+ctg4jc+tg2jc+ctg2x=4.
5.293. sin2ftg/4-cos2/ctg/—2sinrcos/=l+tgr+ctg/.
5.294. cos2xtg2x+sin~22xctg2x= hlOsin
sin34x
5.295. tg3r+6sin2r=8sin~32/-3ctgr.
5.296. sin 6x+2=2 cos 4x.
5.297. cos9x-2cos6x=2.
5.298. (cos~22;c+tg22x)
3y/i
5.299. sin3z4-sin3z=-^—sin2z.
4
5.300. cos3z-cos3z4-0,75sin2z=0.
5.301. cos B2°-/) cos (82e-/L-cos A12°-/) cos A72°-0=
-0,5 (sin /+ cos t).
5.302. sin2 (/+45°)-8Ш2 (/-30o)-sml5ocos B/4-15°)=0,5sin6/.
5.303. cos z cos 2z cos 4z cos 8z=1/16.
151

5.304. cos x cos 2* cos 4* cos 8x=- cos 15*.
8
5.305. sin3zsin3z+cos3zcos3z=cos34z.
5.306. со
5.307. 4sm3xcos3x+4cos3jcsm3x=3sin2jc.
5.308. sin3xcos3x+cos3xsin3x+0,375 = 0.
sm2/-t-2cos2/-l
5.309. = cos/.
co8i-cos3/+sin3/-sm/
5.310. sin 2/ cos It (sin* It+cos* It -1) = 0,5 sin2 At.
5.311. cos10x+2cos24jc+6cos3xcosjc=cosjc+8cosxcos33x.
5.312. 2cosl3x+3cos3x+3cos5x-8cosxcos34;e=0.
5.313. cos8jc+3cos4x+3cos2x=8cosjccos33x-0,5.
5.314. cos6x+sin6x-cos22x=l/16.
5.315. sin62/+cos62r=l,5 (sin*2t+cos*It)+0,5 (sinr+cosr)-
5.316. 2 (sin6x+cos6x)—3 (sin*jc+cos*x)=cos2x
5.317. sin*3/+sin* |-+3M = 0,25.
5.318. sin6x+cos6x=7/16.
5.319. sin32/+cos32/+0,5sin4/=l.
5.320. tg32x+ctg32x + 6s
l
5.321.
t
ctg5x+ctg2x
5.322. + ctg27z=
tg3?+tg4z
8cosrctg2<
5.323. sm3/—sinf=
5.324.
5.325.
2tg2<+l 8+sin22f
1 2
ctg22x+sin"J2jc 3
(n x\ 1 + sdn x г
I = V2cosjc.
4 2/ sinx
5.327. tgztg2z=tgz + tg2z.
5.328. cos2jc=cos2—.
2
5.329. ctgx A - 0,5 cos 2x) = 1.
cos2
G-")
5.330. -=cos-22/-l.
l+cos2r
152

5.331. 0,5 (tg2x+ctg2x)=l+—= ctg2x.
V3
5.332.
5.333.
1
sin3 - cos3
2
sinx+cos
sin 2/
X
2
XA
-6cos"
sin/
lx-
=tg3
X X
-+ctg3-.
2 2
5x ~ 2CtgX
5.334.
sin/l.
l+cos2/ 1+cos/
cos*2x+sin*2x -ч/з
5.335. 0,5 cos 4*=— sin  Ax.
сов^гд:—sirr2x 2
5.336. cos rsin r-tg3t-ctg3 r=2N/3cos2f.
5.337. 1 - 2 cos1 / (cos It - tg / sin It)—sin* f - cos* /.
2 (cos2ztgz—sin2r)
5.338. l+— -=cos2z.
cosг
5.339. sin3x(l-ctgx)+cos3x(l-tgx)
5.340. 4cos22/-tg4/ =
5.341.
(n \ /5я \
4sin I -+x 1 sin —1-х 1
\6 / \6 /
2sinx— sinZx , x 10
5.342. +ctg2 -=-.
2sinx+sin2jt 2 3
5.343. 4 (sinfcossf+cos/si
sin2/—tg2»
5.344. — Ц- + 2tgi3/+1=0.
COS2/—CtgZ/
CM'1 X — COSX
5.345. sin (Зя-xJ + tg (я+х) = .
2 sin*
2 (cos*/+sin*/)
5.346. -=cos2f+cos4f+l.
cos*/—sin*/
l+sin2jc+cos2x /, Л t
5.347. hsmxl 1+tgxtg- =4.
l+sin2jc-cos2x \ 2/
5.348. cos/ A -tg/) (sin/+cos/)=sin /.
5.349. sinjc (cosx—2) + tgx=2—cosx—cos x.
( A I A K
5.350. cos2jc-cosx+cos I x+- j+sin I x+- )=sm -—1.
\ V \ V 4
5.351. 5(l-sin2x)-16(sinx-cosx)+3=0.
5J52. tg(/2-/)ctg2=l.
5.353. tgxtg(x+l)-l.
153

5.354. tg (x+1) ctg Bx+3)= 1.
5355. ctg*jc=cos22x-l.
5.356. ctg*x=cos32x+l.
5.357. sin/2-sin/=0.
5.358. sin2r—sin6z+2=0.
Sx
5.359. cos3x+cos —=2.
5.360. cos2x+cos—-2=0.
4
5362. tgx-tg2x=sinx.
5363. (sinx+cosx)* + (sin.x—cosx)* = 3 —sin4x.
5.364. (sinx+cosx)*=2 (l+sin2x)-(sinx-cos*)*.
5.365. sin3x (l+ctgjc)+cos3jc i
5.366. cosz+sinz=v/l-2cos2z.
5.367. 1— cosx=^l— -s/4cos2x—
5.368. (l+cosx) tg--2+snx=2cosx.
5.370.
5.371. sin3jc=asinjc.
5372. cos3x—mcosx.
5.373. tgx+tga+l=tgxtga.
5.374. 12sinx+4^3cos
5.375. sin (x+2,5)+sin
5.376.
5.377.
5378.
5379.
5.380.
5.381.
154
1 . Г \
—во 1-—*;е
.у/г U '

5.382. 2
5.383.
-1+омлг—ом*лг+... + (-1
5.384. gD
5.385. 3 0°g2 sin xJ+log2 A - cos 2x) = 2.
5.386. Дано: A+tgx) (l+tg)>) = 2. Найти x+y.
5.387. Показать, что уравнение ctg2x+ctg3xH =
sin a sin 2* sin За
О не
имеет корней.
5.388. Один из углов прямоугольного треугольника удовлетворяет
уравнению sin3x+sinxsin2x— 3cos3x=0. Показать, что треугольник
равнобедренный.
5.389. Показать, что не существует треугольника, каждый угол кото-
которого удовлетворял бы уравнению Ccosx—2) A4 sin x+sin2x—12) = 0.
5.390. Показать, что существуют треугольники, у которых каждый
угол удовлетворяет уравнению F5 sin х—56) (80—64 sin x—65cos2x) = 0.
Найти эти углы.
5.391. Показать, что треугольник, каждый из углов которого удов-
удовлетворяет уравнению 3 tg х— 3 tg — 2^/3 = 0, является равносторонним.
5.392. Найти sin а, если cosa = tg/f, cos/f=tgy, cosy=tga @<а<я/2,
0<Р<л/2, 0<у<п/2).
5.393. Найти углы «Jhj первой четверти, если известно, что они
составляют арифметическую прогрессию с разностью ж/12, а их танген-
тангенсы составляют геометрическую прогрессию.
Решить системы уравнений E.394—5.405):
5394.
5396.
400 I
" ' I
[sin2 x+ cos2 у = 0,5.
|х-^=5я/3,
[sin х=2 sin .у.
s2 жх—sin2 ny = 1/2.
у/2%\ах=йау,
у/2 cos х=у/3.COS у.
5.395.
5.397.
'-81* =2.
fsinx cos ^=0,25,
[sin y cos x=0,75.
5.399.
5.401.
{tg*tg>>=l/6.
.2аях-2ая "=4.
5.404.
[cos2 х+cos2 у=0,25.
5.403. {™Х™У=°>15>
[tgxtgy=3.
5.405. \Х+У=Ф\,
[sin х sin у=0,25.
155

Группа В
Решить уравнения E.406—5.492):
5.406. (cos2x+cos-2x) (l+tg22>>) C + sin3z) = 4.
5.407. D-cos2*)B+3sin>0=12+13cos-23z.
5.408. C-sinje)D-sin-2;c)=12+cos2>>.
5.409
. J2+—— )
\ cos2*/
\ /
5.410. E + 3sinx)B-sin6x) =
sin x —~ ^Sl x
5.411. — — tg6^+tg4x-tg2x=0.
cosJx~ctgJx
5.412. tg2 x Ctg2 2x ctg 3x=tg2 x - ctg2 2x+ctg 3x.
5.413. 3tg2^-4tg3x=tg23xtg2x
3tg«-tg3r
(
5.414.
1—tg2/
tg» 2
5.415. (sin 3/ - sin 0= .
2-cos~2f ctg2f-3
5.416. tg 2x tg2 3x tg2 5x = tg 2x+tg2 3x - tg2 5x
5.417. tg2 x tg2 3x tg Ax=tg2 x - tg2 3x+tg 4x
5.418. cos2x2 (tgx2+2tgx)+tg3x(l-sin2;c2) B-tgxtgx2)=0.
5.419. 2tg^/2—tgnt+tgnt tg2rtf2 = O.
5.420. 2(tgx-sinx) + 3 (ctgx-cosx) + 5=0.
5.421. (cos*л:+2sin3x—2sinx+l) (sinx+cosx) = 0.
5.422. Bsinx—1) (cos*x+2cos3x+2cos2x—2cos;c+l) = 0.
5.423. tgx-sin2x-cos2x+2 Bcosx-cos"] x) = 0.
5.424. tg2x+tgx-3ctg2x-3ctgx-2=0.
5.425.
6л:
4+2cos —
5
2-cos~2x cos3x+cosx
5.426. tgx-sin2j:-cos2jc (l-2cos~1x) = 0.
5.427. 2sin2x+sinjc+sinj[:+2sinx=6.
5.428. 2(l-sinjc-cosx) + tgx+ctgjc=0.
5.429. 4ctg32x-12ctg2x+ctg2x+tg2;t-14=0.
5.430.
5.431.
5.432.
sinxcosx
2tgx+tg
1 / 1
-tg-+-
4 4 2
+
X
2
tg
2tg:
+ 4c
2j:+ctgJ4j: = 3.
tg2x=ctg3x
[gt=2v^+- ctg-.
4 4
5.433. 12cosA:+-ctg2x+10/2tgx+-ctgAcj=l.
156

s I .
\4 l)
5.434. 18cos2x+5
5.435. 4-4(cosz-sinz)-sin2z=0.
5.436. 5sin2r-ll (sinz+cosz) + 7 = 0.
5.437. tgx+ctgx+tg2x+ctg2x+tg3x+ctg3x=6.
5.438. tg3x+tg2x+ctg2x+ctg3x-4=0.
5.439. tgx+ctgx-cos4x=3.
5.440. 1+sin - sin/—cos-siir/=2cos
2 2
5.441. sin"^^—ctgjc = tg-.
5.442. C-tg2x) (cos3x+cosjc)
tg2x
5.443. -v/3 |cosr| = l+ctg/.
5.444. |sin/| + |cos/|=l,4.
5.445. |sin/+ cost\°*y/2.
5.446. |tg2/+ctg2/|=—.
5.447. cos*x+4cos;c-l=0.
5.448. cos"*x+8cosjc-7 = 0.
5.449. cos-*x-2cosx-12tgx-16 = 0.
5.450. ctg*2z=cos24z+l.
1— sra/ + ...+(-l) sin i+... 1—cos2f
l-cos2x+... + (-l)cos2it + ... 1
5.452. — =- tg*x.
1 +cos2x+...+cosx+...
ltgx+...+(l)tgx+...
5.453. —— =l+sin2jc.
5.454.
. , r... +Sin
5.455.
1-й, ! + ... + (-l)"rin"/+..."I+teJ''
5.456. sin10x+co810x=29/64.
5.457. sine2x+cose2jc=41/128.
4cos26x+sin26jr
157

5.459. tg GtcosO = ctg (я sin /).
5.460. tg (я ctg /)=ctg (n tg 0-
5.461. siniwt+siant=0.
5.462. cos-v/jc=cosjc.
5.463. ctg2w/2+ctg4w/=0.
5.464. cos~*x+cos*x=l + cos2x-2sin22x.
5x
5.465. cos 6x4-sin—=2.
2
5.466. sin4x+2cos3x+2sin2x—cosx+l=0.
5.467. sin5x+cos5;c = 2 —sin*x.
5.468. (tgx-tg2xJ-cos(x+4tg;c)=-l.
5.469.
5.470. coslx-- J(l-4cos22^)-2cos4x=3.
-+4x\.
5.471. (+y/) +
5.472. ^
5.473. 2sin2r=Vsin2 /— 16sin2 /cos21 cos22/+cos21.
5.474. cosx+Vsin2*—2sin2x+4cos2x=0.
5.475. Vl-2 sin 4л:+-^008 2^ = 0.
5.476. y/co& 2jc+^/l + sin 2x
5.479. *v/l0+8sin2x-4v/8cos2x-T=l.
5.480.
5.481. 3-s/2-tgx+3x/7+tgx=3.
5.485. cosx+vl,5—cos2x—cosxv/l.5—cos2x=l.
5.486. y/+ctg+ /
V3 2
5.487. cosz>/tg2z—sin2z+sinzv'ctg2z—cos2z=2sinz.
5.488. sin'
158

5.490.
5.491.
5.492,
5.493. Убедиться в том, что уравнение 2ctg2x—3ctg3x=tg2x не
имеет корней.
Решить системы уравнений E.494—5.499):
fcosx-cos>>=sin (x+y), I sinx-—= sm>->
5.494. 4 п 5.495. <
Ы+М=-- ) l
4 I cosx =cosj>.
v cosx
5.496. Г ° " " 5.497.
С ¦ ( 3Л
I tgx+ctgx=2sin \y I,
5.498. < ^ ^ 5.499. ¦< 2cos>-=3tgz,
|^tg>>4ctg>'=2sin (*+-)• l2cosz=3tgx
sinx sin у sin г
5.500. Найти х, у, z, если =—-j•— ,
y>0, z>0.

ГЛАВА б
ПРОГРЕССИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1° Арифметическая прогрессия (aj — первый член; d—разность;
л — число членов; ап — л-й член; 5„ — сумма л первых членов):
вя=в1+«/(л-1); Г6.П
ах+ая 2а,+«/(л1)
5„——— л- л; F.2)
F.3)
F.4)
2° Геометрическая прогрессия (Ь\—первый член; ^ — знаменатель
(?#0); л — число членов; й„ — л-й член (Дя1*0); Sn — сумма я первых членов):
*-"*" : F.5)
S,.*'A~g)(g,H); F.6а)
\-q
^,-яб, to-lX' F.66)
l. ^«2, 3,..., п-1; F.7)
F.8)
Если |<?| < 1, то при неограниченном увеличении л (л-юо) сумма 5„ стремится
*|
к числу , которое называют суммой бесконечной геометрической прогрессии
\~q
и обозначают буквой S:
S-—. F.?)
1-Я
Пример 1. Сумма трех первых члевов возрастающей арифметической про-
прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1,
а к третьему члену прибавить 2, то полученные три числа составят геометричес-
геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.
2л,+2«/
D Согласно формуле F.2), имеем Зэ- 3-21 или «i+rf-7. По усло-
условию, «1 — 1, ai+d—l, a\+2d+2 — три последовательных члена геометрической
прогрессии. Используя формулу F.7), получаем (ei+</-lJ«(ei+2</+2) (aj —1),
160

откуда после замены ax = l—d и раскрытия скобок приходим к квадратному
уравнению d2+3d—18=0, т. е. dx=3, d2=—6. Условию удовлетворяет только
d\=3; тогда в! =4. Далее, находим Ь\ = ах — 1 = 3, Ъг=at + d— I = 6 и, следователь-
следовательно, 9=2. Наконец, по формуле F.6) получим
1
?1 2-1
Пример 2. Найти сумму шести первых членов арифметической прогрессии,
у которой сумма любого числа членов равна учетверенному квадрату этого числа.
D Используя условие и формулу F.2), имеем
2ax+d(n-\)
п=4п2 или 2flj— rf=(8 —d) л.
Последнее равенство должно выполняться при определенных а\, d и при
любых значениях л, а это возможно только тогда, когда </=8. Значит, 01=4,
откуда находим
2en+Sd
56= 6=144. ¦
Пример 3. Известно, что при любом л сумма л первых членов некоторой
числовой последовательности {щ,} выражается формулой Sn=n2 + 2n. Найти девя-
девятый член этой последовательности и доказать, что {и„} является арифметической
прогрессией.
? Обозначим л-й член последовательности через ия. Тогда Sn=ut+u2 +
+ ... + и„; SH+l=SH+un+i, или un+l=SH+i-Sn. Следовательно, и,»^-^»
=92 + 18—82 —16=19. Далее, рассмотрим разность двух любых соседних членов
последовательности:
и»+1 - и„=EЯ+1 - Sn) - EЯ - 5„ _ 1)=
Это означает, что ,{щ,} является арифметической прогрессией с разностью
d=2. Ш
Пример 4. Решить уравнение 1+2дс+4х2 + ... + Bдс)"-(-...=3,4-1,2дс) если из-
известно, что |х|<0,5.
D Левая часть уравнения есть сумма бесконечной геометрической прогрес-
прогрессии, причем bi «• 1 и \q\ — |2дс| < 1, так как \х\ < 0,5. Согласно формуле F.9), имеем
\-2х
-3,4-1,2дс; C,4-1,2х) A-2х)-1;
1-2х
2,4х2-8х+2L-0; Зх2-10х+3-0,
откуда х\ -3, дс2-1/3. Условию удовлетворяет только корень х-1/3. ¦
6-362 161

Группа А
6.001. За установку самого нижнего железобетонного кольца колод-
колодца заплатили 260 тыс. руб., а за каждое следующее кольцо платили на
20 тыс. руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании
работы было уплачено еще 400 тыс. руб. Средняя стоимость установки
4
одного кольца оказалась равной 224 - тыс. руб. Сколько колец было
установлено?
6.002. Сумма первого н пятого членов арифметической прогрессии
равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов равно 65/72.
Найти сумму 17 первых членов этой прогрессии.
6.003. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25
выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно
штрафное очко, а за каждый последующий — на 1/2 очка больше, чем за
предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штраф-
штрафных очков?
6.004. Найти три первых члена аи аг, аъ арифметической прогрессии,
если известно, что а\ +а3 + а5= —12 и щ а3а5 = 8О.
6.005. Найти число членов арифметической прогрессии, у которой
сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность
прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32.
Написать три первых члена этой прогрессии.
6.006. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты
800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м мень-
меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты
в 5700 м?
6.007. При делении девятого члена арифметической прогрессии на
второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена
на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член
и разность прогрессии.
6.008. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрес-
прогрессию, у которой сумма крайних членов равна — 49, а сумма средних
членов равна 14.
6.009. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем \q\< 1, сумма которой равна 8/5, второй член равен — 1/2.
6.010. Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрес-
прогрессии со знаменателем \q\ < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых
членов равна 93/16.
6.011. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию,
равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.
6.012. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрес-
прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
6.013. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической
прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять
по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные три числа составят
геометрическую прогрессию. Найти сумму 10 первых членов арифмети-
арифметической прогрессии.
6.014. Известно, что при любом п сумма ?, членов некоторой ариф-
арифметической прогрессии выражается формулой Sm=4n2—3n. Найти три
первых члена этой прогрессии.
162 .

6.015. ВычислитьA + 32 + 52+...+Bл-1J + ...+ 1992)-B2+42 + 62 +
+ ... + BлJ + ...+2002).
6.016. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрес-
прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше
четвертого на 560.
6.017. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрес-
прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше
четвертого на 18.
6.018. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3, четвертый
член этой прогрессии равен 1/54, а сумма всех ее членов равна 121/162.
Найти число членов прогрессии.
6.019. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии,
если известно, что аА—а2= -45/32 и <%—аА= -45/512.
6.020. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если
известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов
равна 1820.
6.021. Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством:
при любом л сумма ее л первых членов равна 5л2. Найти разность этой
прогрессии и три первых ее члена.
6.022. Произведение трех первых членов геометрической прогрессии
равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой
прогрессии.
6.023. Решить уравнения:
а) 2лг+1+*2-*3+*4-;с5 + ... = 13/6, где|*|<1;
б) -+х+х2 + ...+х" + ...=-, где |*|<1.
х 2
6.024. Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность
ее равна — 22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их
сумма была равна 3069?
6.025. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знамена-
знаменателем |<у| < 1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии
равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.
6.026. Найти натуральные числа, образующие арифметическую про-
прогрессию, если произведения трех и четырех первых ее членов равны
соответственно 6 и 24.
6.027. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрес-
прогрессии равна 6, а их произведение равно 135/16. Найти сумму 15 первых
членов этой прогрессии.
6.028. Найти число членов конечной геометрической прогрессии,
у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12
и 3072.
6.029. Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел,
делящихся на 3 нацело.
6.030. Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии
(\ч\ < 1)> У которой каждый член в 4 раза больше суммы всех ее последу-
последующих членов.
6.031. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого много-
многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют арифмети-
арифметическую прогрессию с разностью 5°. Определить число сторон этого
многоугольника.
6.032. Произведение третьего и шестого членов арифметической
прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на ее
163

четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член
и разность прогрессии.
6.033. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными
членами и со знаменателем \q\ < 1 сумма трех первых членов равна 10,5,
а сумма прогрессии 12. Найти прогрессию.
6.034. Сумма трех последовательных членов геометрической про-
прогрессии равна 65, а сумма их логарифмов по основанию 15 равна 3.
Найти эти члены прогрессии.
6.035. Найти знаменатель (|^| < 1) бесконечной геометрической про-
прогрессии, у которой каждый член относится к сумме всех последующих
членов как 2:3.
Груша Б
6.036. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна
21, а сумма их квадратов равна 189. Найти первый член и знаменатель
этой прогрессии.
6.037. Доказать, что любой член арифметической прогрессии начи-
начиная со второго есть среднее арифметическое между любыми двумя
членами, равноудаленными от него.
6.038. Известно, что в некоторую арифметическую прогрессию вхо-
входят члены а2п и а^ такие, что аь,1аЪп=—\. Имеется ли член этой
прогрессии, равный нулю? Если да, то каков номер этого члена?
6.039. Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены
первой прогрессии равны соответственно 7 и — 5. У второй прогрессии
первый член равен 0, а последний член равен 7/2. Найти сумму членов
второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих прогрессий
равны между собой.
6.040. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от
третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если
же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии
отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти
числа.
6.041. Найти целое положительное число п из уравнения
U + 5,
6.042. Найти сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3.
6.043. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знамена-
знаменателем |?|<1 равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый
член и знаменатель прогрессии.
6.044. Найти четыре числа, первые три из которых составляют гео-
геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую прогрес-
прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18.
6.045. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна
91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получат-
получатся три числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой
член геометрической прогрессии.
6.046. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе
число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после
этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет
геометрической. Найти эти числа.
164

6.047. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию,
если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметичес-
арифметическое равно 14/3.
6.048. Доказать, что любой член знакоположительной геометричес-
геометрической прогрессии начиная со второго равен среднему пропорциональному
между любыми членами, равноудаленными от него.
6.049. Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической
прогрессии со знаменателем \q\<l, если ее второй член равен 4, а от-
отношение суммы квадратов членов к сумме членов равно 16/3.
6.050. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7.
6.051. Найти сумму
6.052. Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знамена-
знаменателем \q\ < 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Их суммы
соответственно равны Sx и S2. Найти сумму бесконечной геометрической
прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных про-
прогрессий.
6.053. Пусть ai, 02 On — последовательные члены геометрической
прогрессии, Sn — сумма ее п первых членов. Доказать, что
6.054. Доказать, что если числа a, b и с составляют арифметическую
прогрессию, то числа a2+ab+b1, аг + ас+с1 и Ь2 + Ьс+с2 в указанном
порядке также составляют арифметическую прогрессию.
6.055. Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрес-
прогрессии со знаменателем М<1 равен 1, а ее сумма равна S. Из квадратов
членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая
прогрессия. Найти ее сумму.
6.056. Найти пятый член возрастающей геометрической прогрессии,
зная, что ее первый член равен 7 — З-у/5 и что каждый ее член начиная со
второго равен разности двух соседних с ним членов.
6.057. В арифметической прогрессии сумма ее т первых членов
равна сумме п первых членов {тфп). Доказать, что в этом случае сумма
ее первых т+п членов равна нулю.
6.058. Известно, что L, М, N — соответственно /-й, /и-й, и-й члены
геометрической прогрессии. Показать, что L М N = 1.
6.059. Числа а, Ь, с, одно из которых кратно 7, составляют ариф-
арифметическую прогрессию с разностью 7. Показать, что число abc делится
на 294.
6.060. Показать, что для всякой арифметической прогрессии при
любом п выполняется равенство S2,=Sn+- Su (Sk — сумма к первых
членов прогрессии).
165

6.061. Решить уравнение
х-1 х-2 х-3 1
+ + + ...+- = 3,
XXX X
где х — целое положительное число.
6.062. Число 180 представить в виде суммы четырех слагаемых так,
чтобы они составляли геометрическую прогрессию, у которой третий
член был бы больше первого на 36.
6.063. Даны две геометрические прогрессии, состоящие из одинако-
одинакового числа членов. Первый член и знаменатель первой прогрессии равны
соответственно 20 и 3/4, а первый член и знаменатель второй прогрессии
равны соответственно 4 и 2/3. Если перемножить члены этих прогрессий
с одинаковыми номерами, то сумма всех таких произведений составит
158,75. Найти число членов этих прогрессий.
6.064. Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометричес-
геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят ариф-
арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
6.065. В конечной геометрической прогрессии известны ее первый
член а, последний член b и сумма S всех ее членов. Найти сумму
квадратов всех членов этой прогрессии.
6.066. В некоторой геометрической прогрессии, содержащей 2л поло-
положительных членов, произведение первого члена на последний равно
1000. Найти сумму десятичных логарифмов всех членов прогрессии.
6.067. Сумма трех чисел равна 11/18, а сумма обратных им чисел,
составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Найти эти числа.
6.068. Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа,
равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второ-
второго члена на третий и третьего на первый, в указанном порядке составля-
составляют геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
Группа В
6.069. Найти трехзначное число, цифры которого образуют геомет-
геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится
число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из
цифры, выражающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры ис-
искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры кото-
которого образуют арифметическую прогрессию.
6.070. Известно, что при любом п сумма п первых членов некоторой
числовой последовательности выражается формулой Бя—2п1 + Ъп. Найти
десятый член этой последовательности и доказать, что эта последовате-
последовательность является арифметической прогрессией.
6.071. Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии аи
а2, а3 если известно, что a4+ag+ai2+ai6=22A.
6.072. Длины сторон треугольника представляют собой три последо-
последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии. Сравнить
знаменатель этой прогрессии с числом 2.
6.073. Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрес-
прогрессии, обладающей тем свойством, что ее три первых члена, сумма кото-
166

рых равна 148/9, являются одновременно первым, четвертым и восьмым
членами некоторой арифметической прогрессии.
6.074. Числа аи а2, ..., ая, a»+i образуют арифметическую прогрес-
прогрессию. Доказать, что
11 In
6.075. Последовательность чисел 1, 8, 22, 43, ... обладает тем свой-
свойством, что разности двух соседних членов (последующего и предыдуще-
предыдущего) образуют арифметическую прогрессию: 7, 14, 21, ... . Найти номер
члена последовательности, равного 35351.
6.076. Доказать следующее утверждение: для того чтобы три числа
1 1 1
, , составляли арифметическую прогрессию, необходимо
Ь+с с+а Ь+а
и достаточно, чтобы числа а2, Ь1 и с2 также составляли арифметическую
прогрессию.
6.077. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую про-
прогрессию, равна — 40, а сумма их квадратов равна 3280. Найти эту
прогрессию.
6.078. Даны две прогрессии: геометрическая с положительными чле-
членами а, (знаменатель равен qjafi яФ 1) и возрастающая арифметическая
с членами Ь„ (разность равна d). Найти х из условия log* an—bn
6.079. Найти сумму 1+2-3 + 3'7+... + и B*-1).
6.080. Найти сумму 1 •3 + 3-9 + 5-27 + ... + Bп-1) з".
6.081. Найти произведение п первых членов геометрической прогрес-
прогрессии, если известны их сумма S и сумма а их обратных величин.
6.082. Корни уравнения х* — 10дг2 + а=0 составляют арифметичес-
арифметическую прогрессию. Найти а.
6.083. Доказать следующее утверждение: для того чтобы три числа
х, у и г в указанном порядке составляли геометрическую прогрессию,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (х2+у2) (у2 +
+ z2) = (xy+yzJ.
6.084. В соревновании по волейболу участвовало п команд. Каждая
команда играла со всеми остальными по одному разу. За каждую игру
выигравшей команде засчитывалось одно очко, за проигрыш очки не
начислялись; ничьих в волейболе нет. По окончании соревнований выяс-
выяснилось, что набранные командами очки образуют арифметическую про-
прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место?
6.085. В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что
каждая последующая окружность начиная со второй касается преды-
предыдущей. Во сколько раз сумма площадей всех пяти кругов больше площа-
площади меньшего круга?
6.086. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, обла-
обладающей следующим свойством: если от ее первого члена отнять 16/27,
то первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а если
167

после этого от третьего члена отнять 16/189, то снова получится геомет-
геометрическая прогрессия.
6.087. Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма всех
ее членов в 3 раза больше суммы членов, расположенных на нечетных
местах. Найти знаменатель прогрессии.
х + х+х + х+1
6.088. Вычислить значение дроби — — при х= —0,05.
х* + хв + * + 1 + 1
6.089. Сократить дробь
6.090. Найти условия, при которых квадраты трех последовательных
членов арифметической прогрессии являются тремя последовательными
членами геометрической прогрессии.

ГЛАВА 7
ЛОГАРИФМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ
Свойства показательной функции
у —а , а>0, аф\
1°. Область определения функции—множество R всех действительных
чисел.
2°. Область значений функции — множество R+ всех положительных чисел:
а >0 для любого действательного значения х.
3°. При а>\ функция возрастает, т. е. если хх <х2, то а '<а \ При 0<а<1
функция убывает, т. е. если х\ <Xj, то а >а .
4°. Если а =а , то х\ =лсг.
Свойства логарифмической функции
Х, а>0, аф\
1°. Область определения функции — множество R+ всех положительных
действительных чисел.
2°. Область значений функции — множество R всех действительных чисел.
3°. При а> 1 функция возрастает, т. е. если X2>jci>0, TOlogeJt2>logaJti. При
0<а<1 функция убывает, т. е. если хг>х\>Ъ, то log
Свойства логарифмов
1°. Еслих>0, то
х=;°*°х G.D
(основное логарифмическое тождество).
2°. Логарифм основания равен единице:
3°. Логарифм единицы равен нулю:
1о&,1=0. G 3)
4°. Если х\ >0 и jc2>0, то
G.4)
169

(формула для логарафма произведения);
log» — - log, x, - loga x2 G.5)
(формула для логарафма частного).
5°. Еслих>0, то
где р — любое действительное число (формула для логарифма степени).
6°. Если;с>0, то
log* л
1о&х=- G.7)
logja
для любого действительного числа А>0 я Ьф\ (формула перехода к новому
основанию логарифма).
В частности,
1
logeA= или log<,Alog4a=l; G.8)
loge
G.9)
lo&b=log , $=р\о% f b (peR
a a
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1°. Показательное уравнение
e/(x)-A*W (e>0, аФХ, А>0, ЬФ\) G.10)
равносильно уравнению
/ (х) log,; a=g (x) lofc b, у л j j
которое получается логарифмированием уравнения G.10) по какому-либо основа-
основанию с>0,
В частности, уравнение а =а равносильно уравнению /(x)=g {x).
2°. Корнями уравнения
(u (x)) =(и (х)) G.12)
считаются только решения смешанной системы
Ги(х)>0,
G.13)
м
и те значения х, для которых и (х)= 1, если при этих значениях определены /(дг)
170

и g (х). Функция вида (и (л)) определена только при и (х) > О, поэтому те
значения х, которые формально удовлетворяют равенству G.12), но при которых
и (дг)<0, не принято считать корнями уравнения G. И).
3°. Логарифмическое уравнение
\ogj(x)=b G14)
равносильно уравнению
/(*) = " • G.15)
4°. Логарифмическое уравнение
logaf(x)=logag(x)(a>0,a^l) ?716j
равносильно каждой из следующих систем:
(f(x)>Q, (g(x)>0,
•Г или \ G17)
Для решения уравнения G.16) переходят только к одной из этих систем (той,
которая проще) либо решают уравнение f(x)=g (х), которое может иметь корни,
посторонние для исходного уравнения, и проверяют »а-ж-дый из них подстановкой
в исходное уравнение.
5°. Для решения уравнений
•og« / (х)+log,, g (х)=loga и (jc), у j g)
loga/00-log,, g (*)=loga и (х), у 19)
и (х), ,? 20^
используя формулы G.4)—G.6), их приводят соответственно к виду:
l°ga (f(x)g (х)) =lo&, u (х),
&(), G.22)
log,, (f(x)f=loga и (x)
и далее решают так, как указано в п. 4°.
Из найденных корней следует включить в ответ те, для которых / (х) > О,
g(x)>0, и (х)>0, либо проверить каждый из них подстановкой в исходное
уравнение.
6°. Вели при решении уравнения с помощью формул G.4)—G.6) производят-
/(*) р
ся преобразования вида lo&, (f(x)g (х)), 1о&, , log^ f/(x)) , где р — четное
число, то возникает опасность потери корней тела иного уравнения. Чтобы пред-
предотвратить возможную потерю корней, надо пользоваться указанными фор-
171

мулами в таком виде:
f (х\
log, -— "log, \f (х)\ -log, \g (х)\, -' G.25)
log» (f (х))P =p log \f (x)\, p — четное число. G.26)
у- 2л 1-х
Пример 1. Решить уравнение л/S - 0,2 —0,04 =0.
? Здесь все степени можно привести к одному основанию 5. Имеем:
it 11
— /1\ / 1 \
¦у/5 = 5 , 0,2 Х=1-) =5 *, 0,04 *=[ —) =5~ ~х . Тогда уравнение при-
примет вид
11 11
2 2х -2 A-х) 2 2х -2 A-х)
5 5 —5 =0 или 5 =5
1 1
Согласно указанию 1°, перейдем к равносильному уравнению = —2 A — х).
2 2х
2
f ,
После преобразований получим < откуда х\ = 1, хг= 1/4.
Прямер 2. Решить уравнение
х 1х
D Группируя подобные члены, имеем 3 C5— 1)— 5 C5—1) = 0 или
3 =5 . Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10 (см. указание 1°),
получаем равносильное уравнение
х1 Ig3-2x igS, или х (х lg3~21g5) = 0,
откуда xi =0, х2=»2 lg5/lg3. ¦
Прямер 3. Решить уравнение 4 *-92 * +2=0.
„ _ у/х 1у/х ^л/x-l ^/х , 1 „Jx
П Таккак4 =»2 и2 —2 12=-12 , то данное уравнение примет
вид 2 —'2 +2-0. Произведем замену переменной 2 = у, где у>0 в силу
9
свойства 2° показательной функции. Тогда получим уравнение у2—у+2=0,
корни которого у\ =4, У2" 1/2 положительны. Из уравнения 2 =4 имеем 2 =
=22, л/х=2, откуда х=4. Из уравнения 2 =1/2 находим 2 =2"*, откуда
•v/jc= — 1, что невозможно. Итак, получаем ответ х=4. ¦
хг-гх sx-io
Прямер 4. Решить уравнение |дс—2] =|х—2|
D Согласно указанию 2°, корнями уравнения являются только решения
смешанной системы
172

l*-2|>0, ¦
или
\
и, быть может, решения уравнения |дг—2| = 1. Из двух корней уравнения
х1—7jc-M0=0 решением системы является одно число х=5, а требованию
\х—2| = 1 удовлетворяют х=3 и jc=1, также являющиеся решением системы,
поскольку при этих значениях х функции х2 — 2х и 5х—10 определены. Итак,
получаем ответ: лс=1, х=3, х=5. ¦
Прямер 5. Решить уравнение 2 (lgx—Ig6)=lgx—21g (у/х—I).
? Учитывая область определения логарифмической функции, квадратного
корня и указание 5°, получаем систему, равносильную заданному уравнению:
Обе части уравнения разделим на х (при этом не произойдет потери корней, так
как х> 0) и умножим на 36 (у/х— IJ (причем не появятся посторонние корни, так
(х>\,
как дг#1). Тогда получим систему < _ Из уравнения
(у/х (у/х— I)J = 36 находим у/х(у/х—])=6, у/х (у/х—\)ф — 6, поскольку
у/х(у/х—\)>0. Далее, имеем у/х (у/х—1) = 6 или (у/хJ-у/х—6=0. Значит,
л/х=3, откуда х=9>1; у/х = — 2, что невозможно. Итак, получаем ответ:
х=9. ¦
Прямер 6. Решить уравнение
bgo,j
О Перейдем к основанию 1/4. Имеем:
logo,5 \/l +x=logi/4 A +х) [см. формулу G.7) или G.9)];
log1/4 |1-х2|
[см. формулу G.7) и указание 6°];
1
2=logi/4 — [см. формулу G.6)].
16
В результате приходим к уравнению
log1/4 A +х)+3 logi/4 A -x)-log,,4 |1 ~хг\ +log,/4 —.
16
173

Учитывая область определения логарифмической функции, находим
fl+JOO,
(.1—*>0;
При этих значениях х имеем 1 — х2>0 и |1 — х2\ = 1 — х2. Далее, согласно указанию
5 , получим
1-х2
lOgl/4 A +Х) A — JCK = l0g,/4 —— •
10
Это уравнение равносильно смешанной системе
Обе части уравнения делим на A + х) A — х) > О, причем потери корней не произой-
произойдет. Тогда получим
A -хJ = 1/16.
Из уравнения 1—х=1/4 находим х=3/4, причем хе(— 1, 1). Из уравнения
1 — х= —1/4 имеем х=5/4, т. е. х не удовлетворяет неравенствам — 1 < х< 1. Итак,
получаем ответ: х= 3/4. ¦
lgx+5
Пример 7. Решить уравнение х =10
D Так как логарифмическая функция определена при х> 0, то левая и правая
части данного уравнения положительны. Логарифмируя их по основанию 10
и используя формулы G.6) и G.2), получаем
lgx+5
l
Произведем замену переменной у=lgx и решим уравнение у2 + 5у=Ъу+Ъ. Имеем
>>2+2у-3=0, откуда у\ = — 3, л-1. Из уравнения lgx=-3 получаем х=1(Г3,
а из уравнения lgx=l находим дг= 10. Итак, jc=0,001, л =10. ¦
Пример 8. Решить уравнение logx Bдс2—4х+3)=2.
D Используя указание 3° и учитывая ограничения, налагаемые на основание
логарифма, записываем равносильную данному уравнению систему
0; хф\,
\2х2-4х+3=х2.
Решаем квадратное уравнение х2— 4х+3=0, откуда xj=3, x^=\ (не подхо-
подходит). Итак, х=3. ¦
Пример 9. Решить уравнение log3 (jc+6)logx3=2.
О Учитывая область определения логарифмической функции, ограничения,
налагаемые на основание логарифма, н формулу G.8), получаем равносильную
данному уравнению систему
174 .

Гх + 6>0,
J х>0;
I
logjx
2.
log3(x
Решаем уравнение этой системы. Так как х^\, то log3X#0 и уравнение
принимает вид Iog3 (x + 6) = 21og3X или logs (x-f6)=log3->c2 или х2 = х+6 (см.
указание 4°). Находим корни этого уравнения: xi — ~2, хг = 3. Из них только х=3
удовлетворяет условиям лс + б>0, х>0 и хф\. Итак, получаем ответ: х—3. ¦
Пример 10. Реншть уравнение lgx2=0,251g Dх+3)*.
D Учитывая область определения логарифмической функции, заключаем,
что хфО, 4х + 3?*0. Для преобразования lg Dх + 3L применяем формулу G.26)
(см. указание 6°). Тогда 0,25 lg Dх + 3)*=0,25 • 4 lg |4jc + 3| = lg |4x+3|. В результате
получим уравнение Igx2=lg |4x + 3|, равносильное заданному.
Если4х+3>0, т. е. х> -3/4, то |4х + 3|=4х+3 и х2=4х + 3. Находим корни
этого уравнения: Х]=2 + ,/7:>-3/4, х2=2-ч/7>-3/4. Если 4х+3<0, т.е.
х<— 3/4, то |4х+3| = — 4х— 3 и х2=—4х—3. Находим корни этого уравнения:
*i = —1 <— 3/4, х2= —3<— 3/4. Итак, получаем ответ: 2±yjl; —1; —3. ¦
Замечание. Выражение 0,25 lg Dач-3L можно заменить тождественно рав-
равным ему выражением lg (Dх+3L) ' (см. указание 5°), но утверждение lg (Dx+
+ 3)*) ' =lgDx + 3) было бы неверным. Дело в том, что при использовании
правила возведения степени в степень необходимо учитывать следующее свойство
2л 1/Bл)
степенной функции: при любом nsN (х ) =|-*1> а не х [см. формулу A.24)].
°25
2л 1/Bл)
N (х )
*) -lg |4
р
Поэтому lg (Dx + 3L)°'25=lg (Dx+3)*) -lg |4x + 3|.
Группа А
Решить уравнения G.001—^7.040):
1 1-х
7.001.
!
16V2
0,125*=4 2 .
7.002.
' = 64•
7.003.
7.005.
7.006.
7.004. у/Iх у/А" 0,1251/х=4 \fl.
175

7.007.
7.009. f-^7- 0,2^=
7.010.
4+V9-X
7.011. 2,5
= 5100,15. 7.012.
l l ,/T
7.013.
7.015.
7.017.
7.019. 3-52дг~'-2-5х~'=0,2.
7.021. 9xl-363xl~3 + 3 =
7.023.
7.025.
'°
=84.
7.027.
2 +10 9
4 f-г
7.029.
7.031. lg210*+lgx=19.
7.033. xlg2-2~'gx=l.
l
i— к*1 j
7.035. x 3 ^==0.
7.037. х1о8зх
7.039. xtx= lOOOx2.
7.014.
7.016. 5'T"-3"' = 43-5'^-
7.018. 2l0B3xJ 5i°g3x=400.
7.020. 102/x+251/x=4,25 50'
7.022. 4x-10-2x~'-24=0.
7.024. 9V -27 = <
2 3x+3
7.026. 8x-2 x +12=0.
7.028. 101+x2-10' x'=
7.030. lg2x2=l.
lgx+5
7.032. x =10
7.034.
7.036.
7.038.
7.040.
5+lgx
7.041. Найти натуральное число п из равенства
32-35-38...3
3"
176

7.042. Вычислить сумму 2х+2 *, если 4х + 4 х=23.
Упростить G.043—7.051):
I 1
7.043. ^ ^ -. 7.044. / 25"V+49"V
7.045. 811овз3 + 271ов»36 + 31оеЛ 7.046. -log2 log2 у[\
7.047. -log, log3 \[\/ъ. 7.048. Зб'О1!б5+ ю'-^-
1 1
---1о«„4
7.049. U' ' ' +25k'.»'\49kV.
7.050.
8l"*5S
409
ill 11
7.051. Гл1ов2ДГ-Л1ов'»ДГ-л/ов»ДГ... Л/**512"I5 (основания логарифмов
представляют собой идущие подряд натуральные степени числа 2).
Упростить, указав допустимые значения букв G.052—7.057):
7.052.
7.053.
log.'(a*-1)-log з/аУ«*-1
2 2
7.054. al°*ba b-2a°Sab+iblma+i+ablotab .
1 -2
7.055.
5 21о&,4\ log.4 ,
+21og2log2log2a ^ J-4^ -a2
1-е
7.056. 0о&,6+1о&а + 2) (log^-log,* b) log* a-1.

1 -log3 b
7.057. =* .
a
(log,, b+logb a+l) log,,-
b
7.058. Если log, 27=b, то чему равен log^ V*1?
7.059. Вычислить log1/2 28, если log7 2=a.
7.060. Найти lg2 y/x, если известно, что log, 100 = a.
7.061. Найти Iog9 2,97, если известно, что lg 3 = а и lg 11 = b.
7.062. Показать, что при условии х>0 и у>0 из равенства
х2+4уг—\2ху следует равенство
lg (x+2;0-21g2=- Qgx+lgy).
х1 _у» flOg2log2Z
7.063. Доказать, что если у—2 и z=T , то х= ± / , и ука-
указать все значения z, при которых х принимает действительные значения.
Решить уравнения G.064—7.144):
7.064. l(V66)
7.065. lg(x+l,5)=-lgx
7.066. lg E-x)-- lg C5-x3) = 0.
7.067. J3*^i>-W-
logs (V2x~7 + 7)
7.068. lofe (V4x+5 -1) - 0,5 log2 (,/4*+5 + 11).
7.069. lg C-х)-- lg B7-x3)=0.
7.070.
7.071. Ig5+lg (x+10)=l-lg Bx-l)+lg B1x-20).
7.072. /^
7.073. log5-v/x-9-log510+logs
7.075. log, Cx-11)+log, (x-27)=3+logj8.

7.077. 0,5 Gg (x2-55*+90)-lg (x-36))=lgV2-
7.078. log2 —+ log2 (*2-25)=0.
x + 5
7.079. "'JLfr* —1.
7.080. lg (lgx)+lg (Igx3-2)=0.
7.081. 21og3 (*-2)+log3 (x-4J = 0.
7.082. lg Cx2 + l2x+19)—lg Cx+4)= 1.
7.083. log3 (x-3J+log31*-3| = 3.
7.084. lgv^3+lg4/x+3 = 2-0,5lg625.
7.085. 21gx-lg4=-lgE-x2).
7.086. lg8-lgV?+6=lgl6-lg(x-2).
7.087. 21gV4^c+lgF-x)=l.
lgBx-19)-lgCjc-20)
1 .
lg*
7.089.
7.090. (log2x-3)log2X+2(log2X+l)log2 \fi.=u.
7.091. 0,1 log^ (*-4)-1,3 logf (л-4)+3,6=0.
7.092. lg(
x+9
7.093. lg (x (x+9))+lg =0.
x
7.094. lg2 A00x)+lg2 A0x)=14+lg -.
x
7.095. logj (x^y
x2
7.096. Iog*9x2-logfx=4. 7.097. Iog2fl4x+log2— = 8.
О
7.098. log,9+logx. 729=10. 7.099. log2Jc+log4X+loggx=ll.
7.100. 21og;B7-31og27x=l. 7.101. logj,x
25я
7.102. logJx+logx25=ctg2—.
6
7.103. Iog3xlog9xiog27^1ogj1 дг=2/3.
7.104.
7.105. log,,уг-
179

7.106.
7.107.
7.108. f 1+H Ig3+lg2=lg B7-Зх\
7.109. 31og52+2-Jc=log5Cx-52~x).
7.110.
7.112. log2 (9-2x)=10lgC-x).
7.Ц4. 4l°i»*+*a-8.
7.115.
7.117.
7.116. jclex=10.
7.118.
8-lg25 = 0.
7.119. lgCx-2 x) = 2 + 0,251gl6-0,5jclg4.
7.120. Iog3(81x+32x) = 31og2790.
7.121. 3jc-log68x=log6C3x+jc2-9).
7.122. log, (Зх'+1)-1О8б C2~x' + 9)=log62-l.
7.123. lg F25Jj/5xI~2Oar+55) = 0. 7.124. lgA0lg(x2~2l))-2=lgx-lg25.
7.125. lg-v/5x(!3"x)+lllg2=ll. 7.126. *0g5-l)=lgi
7.127. lg(81 уЗ''1"!»^ 7.128. log3 Cx-8) = 2-x.
7.129. 2x-lg E^+ 4X -16) = x lg 4.
7.130. 1о^Dх-6ЫО8у/ГBх-2) = 2.
1 111 T8* c*gJC+J 1 . в}Шх~1 л * , —igJC—1
7.132. 4IO8»x3+log^- 3=0,2 D2+l<*»x-41°i»x).
Till Ч-у!108*2 ^-I14*2 D
7.133. 3 4 —46 2 =8.
7.134. 27*gx-7-9lgx-21-3lgx+27 = 0.
7.135. log2 D3x-6)-log2 (9X-6)=1.
7.136. 4log5Jfl
180

7.137. - lg B71+32>/x) + lg 10 = 2.
7.138.
7.139.
7.140. g
7.141. log2 Dx+4) =
7.142. g«y g6
7.143. logs Dx+144)-41og52=l+log5 BX~2
7.144. log2 B5x+3-l) = 2-l 3
Решить системы уравнений G.145—7.167):
7.145. i* " "' 7.146.
,145. f ~* = 125'
1зх-2=25.
+2=125.
7.147. i 7.148.
*~у°е*у=16.
Х+У х+у
7.150.
-2*=6,25,
7.151. ^ _L 7Л52.
2 +2 =2,5,
rlV&yX-T-
7.153. \
\ху=27.
7.155. {^7+7g5(!;+,)=2-lg5
lgC+2x)+lg6.
7156
181

7157
' \x+y-20 = 0.
fO,51og2x-log2>'=0> 7i59 (Ig(x2+y2)
\x2-5y2+4=0. ' ' j
7.163.
7.164. Я**+Ь*^ 7.165. f
Ilog4jc+log2j'=5. [lg(y+jcJ-lgx=21g3.
\x2-2y2-8 = 0.
У-9"-81,
7J67.
Груши Б
Решить уравнения G.168—7.186):
х 4
f8 (V2) =0,У ,
'. <
yogs (x—2y)+logi |
7.173.
7.174. 2х"'+2*+2*~2=6,5+3,25+1,625+... (выражение в правой
части — бесконечная геометрическая прогрессия).
7.175. 27х-13-9'+13-Зх+1-27=0.
7.176. 3 16*+2-81*=5-36*.
182

7Л7Т.
7.178. 27-2x+9-2x-23x-27-2"x=8.
7.179. 491+Vxri-3447^ 7.
7.180. 9
7.181. 2Л
7.182.
-6 = 0.
+(у/т-\/пЦ =14.
7.186.
0,2x=26.
Решить уравнения и исследовать, при каких значениях параметров
уравнение имеет решение и при каких — нет G.187—7.188):
7.187.
7.188.
д+З
Упростить вьфажения и указать, при каких значениях букв возмож-
возможны преобразования G.189—7.195):
tog,
7.189. I ft " а
-1о& д-log,, b.
7.190. (OogJ a+logj
7.191.
7.192.
7.193.
l/2
lOge/»« Ь-Хоыъ* b
7.194. F (log» a logg» i + lj+log,, *"*+logJ й)—log, b приа>1.
183

7.196. Известно, что 1о&, х=а, lo& х=/?, lo& x=y, logjx=<5 и х#1.
Найти logo»a/ х.
1 1
7.197. Известно, что /7=10 e" и у = 10 * . Найти зависимость а
от у.
7.198. Зная, что Ь = %1 °*8"ис=81 °*8 , показать, что а=8 °*8<:.
log с ¦ log. с
7.199. Доказать, что Ь&й с=—й ?—.
loge c+log» с
log. х
7.200. Доказать, что = 1 +1о& Ь.
\0gab X
7.201. Упростить выражение 1о&,+6 m+\oga_b m—2\oga+b mx
_ь т, если известно, что тг=аг—Ьг.
7.202. Найти log^ 8, если известно, что lg 5 = а и lg 3 = Ъ.
7.203. Зная, что Ig2=a и Iog27 = 6, найти Ig56.
Решить уравнения G.204—7.276):
7.204. log2 B-x)-log2 B-v/x)=log2 ^/^-O.5-
7.205. lg (*3+8)-0,51g (
7.206. Iog23+21og4x=xlog3x
7.207. logv/3X+logvrx+lo
7.208. logi0x+logv/i5x+log3/^jc+...+lgi»/io x=5,5.
7.209. log2 log3 (x2-16)-log,p log1/3 -Г—-Г1-
x1—16
7.210. Iog4 log2 x+log2 Iog4 x=2.
7.211. log2 xlog3 x=log3 (x3)+log2 (x2)-6.
7.212. log231og341og45...1ogB(n+l)=10 («eN).
7.213. log5x+log2jx=logl/5-v/3-
7.214. 1о&,« x'+loft, (x-l)=loge logyj 5.
7.215. 1о&,х+1о&,»х+1о&,>х=11.
184

7.216. logeX+log^/jjr+logvft x=27.
7.217. 1о&,-У4+*+31о&,а D-дг)—log.,4 A6-x2J=2.
При каких значениях а уравнение имеет решение?
G.
7.219. 31g2+lg
7.220. 51og*/9 *+log9/x дг3
7.221. logs B15х~2>5 + 2''5х"°>5-0,01 •53*+1) = Зл-1.
7.222. (l+-llog23-log2C -13) = 2.
7.223.
7.225.
7.226. 4l
7.227. 2,
7.228. 1 (l^^'-l^^+l^'-logyj 5^/5
7.229. log2
7.230.
7.232. 6-(l+4-941oev/33) log7 ^=10^ 7.
7.233. 3х
7.234. з1о*
7.235. A6-52*~I-2-5x"'-0,048)lg(x3
7.236. 21g*2-(lg (-x)J=4. 7.237. 31g (*2)-lg2 (-x) = 9.
7.238. 41og2 (-x) + 21og4 (*2)= -1. 7.239. 3llIf'*+*14»*-162.
7.240. ^"''«lO*3. 7.241. Р"=*50-х".
llfx 31gx
7.242. 1V=—• 7.243. «'"^^-i
x* 10 x
185

7.244. 06*")""+-
7.245.
7.246.
7.248.
7.250.
7.251.
7.252.
(l-cos2x)=2.
7.247. log4x+i7+log9X7=0.
7.249. log, A25x) log^x=l
- logx 9 + 4=0.
Cx+7)=2.
7.253.
7.254. log3x+7
7.255.
7.256.
7.257. 10^16+1(^2,64=3.
7.258. jclogx+, 5" log »^ (jc+ 1)=—.
7.259.
*+lOg2x2.
7.260. 4/log0,o4*+1 + -У1ой>,2*+3 = 1.
7.261.
7.262.
7.263. >/31oglx-l-91og22=5.
L
7.264.
V/3l0g2V/^ \/lo«2 (-*)
= 0.
7.265. lgVlO-lg 100=у lg C90635-5 ^-2,5.
7.266. V/
7.267. y/log5x+ \/ log5jc=2.
7.268. lg4 (x-lJ
7.269.
186

7.270.
7.271. log^ --log,/ejc=0.
a
7.272. C1оа,х-2)к^а=1о^х-3 (а>0, аф\).
7.273. /
a
7.274. logjjalogej =1.
2a-x
7.275. logx2-log4*+7/6 = 0.
7.276.
log,*
7.277. Найти точку пересечения графиков функций y=log2 (дс+14)
7.278. Найти точки пересечения графика функции
е) = лгв*—100 ОООдс* с осью абсцисс.
Решить системы уравнений G.279—7.314):
7.279.
7.280.
7 281
[ log2 (x—y)=5-log2 (x+y),
7.282. ^Igx-lg4
7.283. ^ x=32,
[log3 (x-y) = l-log} (x+y).
7.284. V 7.285. < ч ,
= 15. llog,+, (y+23)=3.
187

7.286.
7.287.
,9^-27-3^=0,
7.288.
7289
.4 2
ГЗ"х/=1152,
7.290.
lg
(.2 logs I
7.293. Iog9(x3-
7.294.
(У+х).
(x2-y2)=log3 (x+y).
-2) logi8a=l,
[2х+.у-20а=0.
7Л95.
7.297.
\3log5(x+y) = x-y.
=64
7.301. f
(log3 у ¦ log, 0 - 2х) = 1 :
(Зх+2>0=2,
7J03.
7J05.
flogx
\logy
7.298.
7.300.
7.302.
7.304.
7.306.
X-J-
-+- = 12,
У x i
=1/3.
/(*+УJ=1,

7307.
7.308.
7.309.
'. 7.310.
-1.
7312. < 7.313.
Iog20-Jc)=l.
=u—v),
7.314.
(найти только целочисленные решения).
Группа В
Упростить выражения и указать, при каких значениях букв возмож-
возможны преобразования G.315—7.320):
Л
21g6
7.316. HogfbUogaX
7.317. '
7.318.
!ь М1/2
*/-+1о&*/- . ес-
' а у Ь)
ли а>1 и Ь> 1.
\V21og.
21Ogab
189

7.320.
7.321. Заметив, что 675 = 9¦ 75, а 135=3 5, дать без помощи таблиц
ответ на вопрос о том, какое число больше: Iog135675 или 1о&575.
7322. Уравнение 4*+10*=25* имеет единственный корень. Найти
его и выяснить: искомый корень положителен или отрицателен? больше
или меньше единицы?
7.323. Показать, что log312=log3 7 • log7 5 • log5 4 +1.
7.324. Выражение
log*,А- 1о&А+1о&,А logpA+logpA• log,,A
представить в форме произведения.
7.325. Показать, что
Iog3 2 • Iog4 3 • log5 4 • loge 5 ¦ log7 6 • logg 7 = 1/3.
7.326. При каких значениях р уравнение
lg (x2 + 2px)-lg (8x-6/>-3)=0
имеет единственный корень?
7.327. При каких значениях а уравнение
21g(x+3)=lg(ax)
имеет единственный корень?
7.328. Найти х (xeZ), если (Х/о? + \Д)х= 13,5.
Решить уравнения G.329—7.353):
7.329. 21og|x=log3x-log3 (y/lx+\-\).
7.330. П+logx— VlgJC=lglglO3 —1.
7.331. 31ogx4+21og4
7.332. 4lo'li6J[_3loei6Jt-
7.333. log,+ 1 (xi^
2-41°giz2 1 lofe (8-jc)
7334
logi2(x+2)
¦(-!)
7335.2 "-2-0,25 m2x -1=0.
7336. lg2x+lgB-x)=lglg/>.
7337. log4x+logx2—1
7.338.
7Л39. 2-logj» (l+x)=31ogiV/^-T-lo&* (x2-lJ.
7340.
190

7.341. |x-l|leIjI-|gx24*-l|3.
7.342. a2*'-™-*-I (a>0).
7.343.
7.344. (x1-x-l
7.345. Bx-2-2-)
7.346. \x±3\x'~*=(x-3I.
7.347. Iog4/7(jc+12)=81ogx+i2 x (ограничиться отысканием целого
корня).
7.348. 5lgx-3lex=5> C)-3°'Явх-5°-5<1вх-2).
7.349. |log2 Cjc-l)-log2 3| = |log2 E-2x)-l\.
7.350. B+^)*' 2jt+1+B-v/3)x> ** '=—
log3x-l
7.351. — 21og3V^+log^=3.
x
log3-
7.352. logj+j C-4/l-2x+x2)=l/2.
7.353. , '
Решить системы уравнений G354—7.360):
-7-хчл Я°&(м+лО-1о8э(и-у)=1, J
7.354. < 7355. <
B2 2 [
7356. <" " ' 7.357. l
lV'4-f3vV Ilg2x+lg2j'=2>5 lg2 (a1)
) W) • при условии a <0.
7358. \. . 1 ' 7.359.
B ) -I.
@,37"'V>4w+a*~"-l.

ГЛАВА 8
НЕРАВЕНСТВА
УКАЗАНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВ
1°. Числовое неравенство — это неравенство, верное при всех допустимых
или при специально подобранных значениях входящих в_него букв. Например,
а1 +Ь1^2аЬ, где аи Ь — любые действительные числа; у/а^-0, где а>0.
Наиболее часто встречающийся способ доказательства неравенств основан на
определениях понятий «больше» и «меньше» и заключается в выяснении знака
разности между левой и правой частями неравенства. Эти определения состоят
в следующем:
если а—Ь>0, то а>Ь;
если а—Ь<0, то а<Ь; (8.1)
если а—Ь=0, то а=Ь.
Приведенные определения можно использовать и в обратном порядке: если а>Ь,
то а—Ь>0 и т. д.
2°. Основные свойства числовых неравенств:
1. Ваш а>Ь,то Ь<а.
2. Если а>Ь и Ь>с, то а>с.
3. Если а>Ь и сеК, то а+с>Ь+с.
На основании этого свойства члены неравенства можно переносить из одной
части в другую с противоположными знаками, сохраняя знак неравенства.
4. Если а>Ь и О0, то ас>Ьс.
5. Если а>Ь и с<0, то ас<Ьс.
6. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, т. е. если
а>Ь и od, то a+ob+d.
7. Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно по-
почленно умножать, т. е. если а>Ь>0 и od>0, то ac>bd.
8. Еслиа>*>0, то a>b". neN.
9. Если а>0, й>0 и a >b , neN, то а>Ь.
1 1
10. Если а>Ь>0, то -<-.
а Ь
3°. Иногда при доказательстве неравенств используются некоторые извест-
известные неравенства. Такими, например, являются следующие:
а+Ь ,-—
>y/ab, a>0, b>0, (8.2)
т. е. среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего
геометрического;
a b
-+->2,а>0,Ь>0, (8.3)
Ь а
т. е. сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2.
192

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1°. Неравенства с одной переменной имеют вид:
;/ (x)>g (x);f(x)*Zg (х).
Решением неравенства называется множество значений переменной, при кото-
которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений
совпадают.
Основная идея решения неравенства заключается в замене неравенства более
простым, но равносильным заданному.
2°. При решении неравенств используются следующие правила преобразова-
преобразования неравенства в равносильное:
а) какой-либо член неравенства можно перенести из одной его части в другую
с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства;
б) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно н то же
положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства;
в) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же
отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный;
г) если для одних и тех же значений х справедливы неравенства
f(x)>0, g (х)>0 и f(x)>g(x), то для тех же значений х верно неравенство
(f(.)f(g.))
3°. Пусть заданное неравенство имеет вид/(лс)/? (*)>0 (вместо знака > мо-
могут быть знаки <, >, <, а функция в знаменателе может быть постоянной) либо
оно приведено к этому виду с помощью правил п. 2°.
Для решения неравенства применяется метод интервалов (метод промежут-
промежутков), который состоит в следующем:
а) на числовую ось наносят точки хи х2, ..., х„, разбивающие ее на промежут-
промежутки, в которых выражение f(x)/g (x) определено и сохраняет знак (плюс или
минус). Такими точками могут быть корня уравнений/ (х)=О Bg (х)=0. Соответ-
Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными круж-
кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружка-
кружками — не удовлетворяющие ему;
б) определяют и отмечают на числовой оси знак выражения / (x)/g (х) для
значений х, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции
f(x) или g (х) являются многочленами и не содержат множителей вида {х-а) ,
где neN, to достаточно определить знак функции f(x)jg(x) в любом таком
промежутке, а в остальных промежутках знаки плюс и минус будут чередоваться.
Если же в числителе и знаменателе дроби / (x)/g (x) имеется множитель вида
(х—а) , где neN, то, полагая хфа, делят обе части заданного неравенства на
множитель (х—а) , положительный при всех значениях хфа (см. п. 2°), и непо-
непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение х=а заданному
неравенству.
: Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кри-
кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или
жже числовой оси в соответствии со знаком дроби f(x)/g (х) в рассматриваемом
промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному
«равенству, покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответст-
соответствующие х=а. Например, для кривой знаков, изображенной на рис. 8.1, получаем
следующее решение неравенства: (х\, a) \J (a, х{) \J (x3, °°)-
7-362 ьр3

Роль кривой знаков может играть схематическое расположение параболы
относительно оси Ох. Так, в случае, изображенном на рис. 8.2, решение неравенст-
неравенства имеет вид (— оо, x{)\J{x2, оо) {х\ и дс2 — корни квадратичной функции).
4°. Рассмотрим решение квадратного неравенства
ах2+Ьх+с>0 (8.4)
в случае отрицательного дискриминанта квадратного трехчлена ах2+Ьх+с (Х>—
+V -/»¦¦ ^
Рис. 8.2
Если а>0, то неравенство (8.4) выполняется при всех значениях х (рис. 8.3, а);
если же а<0, то оно не выполняется ни при каком значении х (рис. 8.3, б).
У
В)
Рис. 8.3
5°. Иррациональное неравенство
y/f(x)<g(x)
(8.5)
можно рассматривать при условии/(x)>0=»,/f(x)SsO=>g (x)>0. Значит, соглас-
согласно указанию 2° г, обе его части можно возвести в квадрат. Из выше рассмотрен-
рассмотренных рассуждений заключаем, что неравенство (8.5) равносильно системе нера-
неравенств
[f(x)>0,
(8.6)
6°. Иррациональное неравенство
м
(8.7)
Wo,
можно рассматривать при условии /(х)>0=»-у/^(х)>0. Однако при этом условии
его правая часть g (х) может быть как неотрицательной, так и отрицательной,
а потому неравенство (8.7) равносильно совокупности двух систем неравенств:
(8.8)
(8,9)
7°. Показательное неравенство
а >а
при а>\ равносильно неравенству
194

а при 0 < а < 1 — неравенству
f(x)<g(x). (8.11)
8°. Логарифмическое неравенство
loga/(x)>loga?(Jc) (8.12)
при а>\ равносильно системе неравенств
[/(*)> о,
| (8.13)
а при 0 < а < 1 — системе неравенств
Г/(*)>0,
j»W>0, (8.14)
4(*)<g(x).
9°. Для решения простейших тригонометрических неравенств
sinjc>e, cosx>a, tgx>a, ctgx>a (8.15)
(вместо знака > могут быть знаки <, >, <) применяют графический способ.
Находят точки пересечения графика соответствующей тригонометрической функ-
функции с прямой у=а, расположенные ближе к началу координат, и затем использу-
используют периодичность функции. Неравенства вида (8.15) можно решать также с помо-
помощью единичного тригонометрического круга.
Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к про-
простейшим случаям с помощью упрощений.
(jc+З) E-х)
Пример 1. Решить неравенство >0.
2х-5
? Корнями уравнений (х+3) E—х)=0 и 2л—5=0 служат числа дс] — —3,
х2=2,5, х3 = 5, которые не являются решениями заданного неравенства, поэтому
на числовой оси отмечаем их светлыми кружками (рис. 8.4). Эти точки разбивают
числовую ось на четыре промежутка. Легко определяем, что при х> 5 левая часть
неравенства отрицательна — ставим знак минус справа от точки 5 и, двигаясь
влево, чередуем знаки плюс и минус. С помощью рис. 8.4 получаем ответ:
(-оо, -3) U B,5; 5). ¦
х1 Bлг-9) (х-1K
Пример 2. Решить неравенство <0.
(х+4M Bх-6)*
? Полагая хфО и хфЪ, разделим обе части неравенства на положительную
х2
дробь и сразу заметим, что х=0 удовлетворяет заданному неравенству,
B*-бL
а х=3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями
степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при
этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате
получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех #0
3
х+4
195

Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки, удовлетворяющие этому
неравенству, и отметим на той же оси точки х=0 и х=3 (рис. 8.5). Учитывая, что
значение х=0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит
заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включить в ответ.
Значение х=3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихован-
заштрихованному промежутку: следовательно, это значение нужно исключить. Итак, получаем
ответ: f- оо, -4) [) [1, 3) \J C; 4,5] \J0. ¦
Прамер 3. Решить неравенство
? Преобразуем данное неравенство в равносильное:
1
2-5х+4
[ 1,Х2=4 уравнения хг — 5х -t- 4 = 0 являются решениями неравенства (на
ряс. 8.6 отмечаем их закрашенными кружками); корни хэ=2, х4 = 3 уравнения
jc2-5jc+6=0 не являются решениями неравенства (на рис. 8.6 отмечаем их
светлыми кружками). С помощью кривой знаков получаем ответ: (—со, 111 I
UB.3)Ul<oo). ¦ W
Пример 4. Решить неравенство
х—2
Рис. 8.6
>0.
П Учитывая, что х не может принимать отрицательные значения, разобьем
точками jci = 2 (корень уравнения х—2=0) и хг=9 (корень уравнения у/х— 3=0)
на промежутки не всю числовую ось, а только ее часть [0, со). С помощью кривой
знаков (рис. 8.7) получаем ответ: [0, 2) \J (9, оо). ¦
Рис. 8.7
Прамер 5. Решить неравенство ^/х+6\ <х4-5.
°
D Согласно указанию
системе
Г
х+5>0,
5°, это иррациональное неравенство равносильно
-9х-36>0.
Решая квадратное уравнение х2 + 9х—36=0, находим х\ — - 12, Х2 = Ъ. Стро-
Строим кривую знаков (в данном случае — дугу параболы) и стрелкой, направленной
вправо от точки —5, отмечаем промежуток х> — 5 (рис. 8.8). Решения первого
и второго неравенств системы совпадают на промежутке C, оо). Итак, получаем
ответ: C, оо). ¦
Рис. 8.8
196

Пример 6. Решить неравенство х—Ъ<^х—2.
D Согласно указанию б°, это иррациональное неравенство равносильно
следующей совокупности двух систем неравенств:
Y"""""\
Рис. 8.9
Решением первой системы является промежуток 3^х<G + у/5)/2 (рис. 8.9, а),
а решением второй системы — промежуток 2<дс<3 (рис. 8.9, б). Объединяя эти
решения, получаем ответ: 2 <дс< G + у/5I2. ¦
У -81
Пример 7. Решить неравенство <0.
2+2+5
П Так как выражение х1 +2х+ 5 положительно при любом х, то, умножив на
него обе части данного неравенства, получим равносильное неравенство
G
Далее, поскольку основание степени 3>1, используя указание 7°, имеем
— S— х<4, откуда х> -12. Итак, получаем ответ: (—12, оо). ¦
los' х + 1 2 —• loff jc '
Прямер 8. Решить неравенство 0,4 * <6,25 2 .
? Заметив, что 0,4=2/5 и 6,25=B/5) , приведем обе части неравенства
к одному основанию:
Так как основание степени 0<2/5<1, то, используя указание 7°, имеем
log, x+l?-2 log2x2 —4. Функция/(x)—log2 х определена при х>0; следователь-
197

но, 2]og2X3 = 6Jog2x Полагая y=log2x, приходим к неравенству у1 — 6у+5>0,
откуда находим, что у<\ или у>5.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности неравенств
Iog2jc<l, Iog2jc>5, которую можно переписать в виде log2x<log2 2,
Iog2jc>log2 2s. Поскольку основание логарифма 2>1, используя указание 8°,
находим, что решение первого неравенства есть промежуток 0<х<2, а второ-
второго — промежуток дс>25, т. е. х>32. Итак, получаем ответ: @, 2) i j C2, оо). ¦
1х-\
Пример 9. Решить неравенство х > 1.
1х-\
D Приведем неравенство к виду х >х° и рассмотрим два случая: 0 < х< ]
и 1<х<3, 3<х<оо. Согласно указанию 7°, решаем совокупность систем кера
венств:
<лг<3, 3<дг<оо,
З-х
Применяем метод интервалов сразу к двум системам (рис. 8.10). С помощью
рисунка, учитывая знак дробного неравенства (<0 в первом случае и >0 во
втором), получаем ответ: @, 1/2) \J A, 3). ¦
х + 4
Пример 10. Решить неравенство login log^ <0-
2х-3
? Согласно формуле G.3), имеем 0=logi/31- Поскольку основание ло-
логарифма 0<1/3<1, используя указание 8°, получаем равносильное неравенство
х+4 х+4
I°gi/2 >1 (при этом условие log[/2 >0 выполняется автоматически).
л-Х—j 2х—3
1
Далее, в силу формулы G.2) имеем 1 =logi/2 — и так как 0<1/2<1, то.
снова используя указание 8°, получаем равносильную данному неравенству
систему
т. е.
2 Bх-3)
Из второго неравенства системы следует, что 2х—3<0; значит, х + 4<0 и задача
сводится к решению равносильной системы
Г2х-3<0, Гх<3/2,
< или < откуда х<— 4.
U+4<0 U<-4,
Итак, получаем ответ: (—оо, — 4). ¦
198

Промер 11. Найти область определения функции
О Поскольку логарифмическая функция определена только для положитель-
положительных чисел, а квадратный корень — для неотрицательных чисел, задача сводится
к решению системы неравенств
Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим
1 на logg 8:
Iog8(x2-4x+3)<log88.
Так как основание логарифма 8>1, то, согласно указанию 8°, переходим
к системе
Последняя система равносильна неравенству (х — 3) (х-1) (х—5) (jc+1X0, кото-
которое решаем методом интервалов. С помощью рис. 8.11 получаем ответ:
-f-l.DUP.51. ¦
Группа А
8.001. Показать, что для всех положительных чисел а и b верно
неравенство y/a+y/b>y/a+b.
8.002. Доказать, что если а>0 и й>0, то
2у/аЬ
8.003. Доказать, что если/>>0 и q>0, то (р+2) (q+2) (p+q)>\6pq.
1 2
1
8.004. Доказать, что если аф2, то — >—
д*_4о+4 в3
8.005. До
треугольника
в3-8
8.005. Доказать, что если т, п ар — длины сторон некоторого
угольника, то ггг + п1+р1<2 (тп+тр+пр).
8.006. Доказать, что если w>0 и я>0, то тп (т+п)^т3 + п3.
8.007. Доказать, что для любых действительных чисел х и у верно
неравенство х2 + 2у2 + 2ху+6у+\0>0.
8.008. Показать, что для любых двух положительных чисел произ-
произведение их суммы на сумму их обратных величин не меньше 4.
8.009. При каких значениях а оба корня уравнения х2 —
— (а+1) х+а+4=0 оказываются отрицательными?
199

8.010. Найти целые положительные значения х, удовлетворяющие
1
неравенству —- > 2х+2.
х—1
8.011. Найти целые решения системы неравенств
гх-1 2х+3 х х+5
-+-<2 ,
2 3 6 2
JC4-5 4-х х+1
14
J
1
1 ^^
8
2
8.012. При каких значениях т неравенство х2—тх>— выполняется
т
для любых х1
Найти области определения функций (8.013—8.014):
хг-2х-Ъ
8.014. у= 5-х—.
V *
Решить неравенства (8.015—8.038):
8.015. —+— <1.
2-х 2+х
8.016. (х+\) C-х) (х-2J>0.
8.017.
lx-4-Зх1
>0.
1
1 3
8.018. <
х+2 х—3
Зх2-10х+3
8.019. >0.
225
х2-10х+25
8.020. |2х2-9х+15|>20. 8.021. \х2-5х\<6
8022 52028 8.023. л:6-9х4 + 8
|
8.022. 5х-
8.024. х8-
8.025. аА+а3-а-1<0.
8.027.
8.026. /я3+»»2-т-1>0.
8.028. ^^<0.
2S
8.029.
8.031.
>
х—5 1 —j
15
Л+Зх-х2
> 1.
x*-2x2S
8.033. <0.
2
8.035.
8.032.
х*+Ъх+2
jc3—jc24-jc—1
< 0.
8.034.
x+S
(x-1) {x-2) (x-3)
8.036.
200

8.037. Jbx-x2<4-x.
8.038. J9x-20<x.
8.039. При каких значениях х функция у = %/l 0 + х—v 2 — х принима-
принимает положительные значения?
Решить неравенства (8.040—8.088):
8.040.
8.041. О,
8.042.
((ОТ-
0
2*
Цх
4х+\
2
• 12,25
8.046. О.З2*2 Зх+6< 0,00243.
8.043. 2* 2 <0,125.
8.045. О,
8.048.
8.050.
8.052.
8.054.
8.055.
8.056.
8.058.
8.060.
8.062.
0,5"
--1
4х
2х+:
з^7
з*+
log3
0°&
log!,
<0,25 .
'>5*+4.
1
--2
-2* -3<0.
'¦-2x+i-2x+4:
+ 3V7-!_3V7-
Зх-5
JC+1 "~
а,2(х-1)J>4.
2х-8
5 <«•
х —2
8.047. 0,2х'"'> 25.
8.049. 52V7+5
8.051. 25х<6-5*-5.
8.053. 4Х-22(Х~"+8
8.057. х2 3*-3*+'<0.
Зх-1
8.059. logm <1.
дс+2
>52.
8.061. |3-
8.063. logo,3 (x2-5x+7)>0.
8.064. log2(l + log1/9Ar-log9x)<l. 8.065. logo,3 Cjc-8)>logo,3 (x2 + 4).
8.066. lglOlgV+21)>l+lg*.
8.067. logB (jc+27)-logB A6-2x)<logBx.
8.068. 21og8(x-2)-loge(x-3)>2/3.
8.069. logli2 (Jc-2)+log,i2 (x+2)<loglj25.
8.070. -+log9jc-log35jc>logi/3 (jc + 3).
201

8.071.
8.072. Iog4 (x + 7)>log2 (x+l).
8.073. log,., 0,3>0.
x+5
8.075.
l0g,,7 -(l-l0g73)
:.,(;0-
8.077.
logo,3 (x2+4)
8.074.
8.076.
8.078.
10 \
-Qo&25-1)\
(*-8) B-х)
Здг+6
8.079.
logl/3log2-
logo,3100-logo,39
5x
8.081. 2 2>1.
8.083. 5 0,2lgJr>0,04lg2.
8.085. logxlog9CJI-9)<l.
8.087. 0,5*~2>6.
8.080. 0,3
8.082.
дг-2
8.084. 5 <1.
8.086. log2log1/3log5x>0.
8.088.
Найти области определения функций (8,089—8.092):
>/¦
8.089. ^=0,5.
i
дг-1
8.090. ^ =
,3—.
8.091. y = J log1/2 log3 —. 8.092. y=J— l0g°'3 (X ^
8.093. Найти натуральные значения х, удовлетворяющие системе
неравенств
Л х х-5 2х
I + < .
Кх-3 х 3-х
8.094. Найти целые значения х, удовлетворяющие системе нера-
неравенств
202

Группа Б
8.095. Доказать, что произведение суммы трех положительных чисел
на сумму обратных чисел не меньше 9.
8.096. Доказать, что если а — любое действительное число, то верно
2 2
а + а + 2
неравенство , =^ 2.
/2
8.097. Доказать, что при условии 2у + 5х — 10 выполняется неравенст-
неравенство Ъху — х — у1 <1.
8.098. Доказать, что если 4Ь + а—1, то выполняется неравенство
4й21/5
/
8.099. Доказать, что многочлен т6—т5 + т* + т2 —т+\ принимает
положительные значения при всех действительных значениях т.
8.100. Показать, что при любых действительных значениях х фу-
Х2+Х+\
нкция у = не может принимать значений, больших 3/2
Х2+1
и меньших 1/2.
8.101. Найти все значения а, при которых выражение
у/(а+\)х2 — 2 (а— 1)х+3а—3 имеет смысл для любых
8.102. При каких значениях р оба корня квадратного трехчлена
¦2 (р+1)х + 9р— 5 отрицательны?
8.103.
8.103. При каких значениях п оба корня уравнения (п — 2)х2 — 2пх +
+ п + 3 —¦ 0 положительны?
8.104. При каких значениях т корни уравнения Ах2 —
— {Ът+ 1) х—т— 2 = 0 заключены в промежутке между —1 и 2?
8.105. При каких значениях а квадратный трехчлен ах2 — 1х + 4а при-
принимает отрицательные значения для любых действительных значений У?
2
8.106. Найти целые числа х, удовлетворяющие неравенству
-13
8
9'
8.107. Найти область определения функции /, если /(*) =
х-5
8.108. Найти целые неотрицательные значения х, удовлетворяющие
jc+3 1 2х
неравенству <
-4 х+2 2х-х2
ах
8.109. При каких значениях а неравенство <1,5 выполняется
х2 + 4
для любых значений х е R?
8.110. Найти те значения т, при которых неравенство
2 0
<0 выполняется для любых действительных зна-
тх2 + 2 (т + 1) Х + 9/И+4
чений х.
1Ь5х + 6
8.111. При каких значениях х разность х принимает
только отрицательные значения?
203

x2+mx—
< 1 выполняет-
8.112. При каких значениях т неравенство
ся для любых jc?
х2—тх—2
8.113. При каких значениях т неравенство — > —1 выполня-
выполняется для любых х?
-\+9а+4а2
8.114. При каких значениях а сумма а Л— принимает толь-
только положительные значения?
Решить неравенства (8.115—8.192):
Зх+1
аг-За-Ю
8.115.
8.116.
х-3
/4-х3
(х1 Ъх 3 1\/
8.117. —+—+-+- ( 1 -х-
\8 4 2 xj\
(x-2f(\~x)
(х+2I
8.118.
8.119.
8.120.
8.121.
8.122.
т2х+\
т+9х
<0.
3 25*-47 3
<-
Юх-15 Зх+4
2-х 1-2*
8.123. — г>
8.124.
8.125.
х3+х2 хъ-Ъх2
1 2 1-2*
1
1
х2-4 2х* + 7* + б 2jc+3 2х3 + Здг2-8х-12
10 E-х) 11 6-х 3F-*)
3(х-4) 3 jc-4 л-2
8.127. -9<х4-10х2<56.
8.128. 216х«-И9хэ<1.
8.129. |х-
8.130. x2(
204

8.131.
8.132.
<0.
>0.
x-2
8.133. x1
8.134. (х2 + 4х+Щ2-7(х2
8.135.
8.136.
8.137.
2-х
-,-J2-x<2.
, - 3 11
8.138. /——< .
x 2
8.139. (x~
8Л40.
8.141.
6x Ux .nix
8.142. / 24/-—>0.
x-2 \j x-2 V x~2
sinlx
8.143. 0,5V3<0,51-°*<0,5.
8.144. 0,3
8.145. J\
8.146. 0,2
8.147. 2,
8.148. ' 3
l i
6 Iog4 д: — 3
>
.x-l
8.149. 0,52v7+2>3'0,5y/J.
8.150. 9^2(-I)-I-8-5toi2(x-1)-2>9l0i2(J(-I)-16-5l0i»tl(-I)-1.
з
8.151. 0,008'+5'l+0,042 < 30,04.
8.152. 25-2х-10х+5х>25.
205

8.153. logons
x+3 2
8.154.
8.155. lofo.5 (x+3)<logo,25 (x+15).
8.156. log1/3 (x-l) + log,/3
8.157. 21og3 log3x+log1/3 log3 (9
8.158.
8.159.
8.160. l- < -,
8.ш.
8.162. log3log4 -^-y-log1/3 log1/4
<0.
8.163. log4X+log2 (y/x— l)<log2logv^5 (найти целые значения х).
8.164.
8.165.
32
+9 log2 — <4
x
/ x3\a
8.166. (tog2*L- logi/2 —
\ 8/
8.167. logPc_,|0,5>0,5.
3x-l
8.168. logx >0.
x* + l
8.169.
8.170. 21ogio.x3<l.
8.171. log,/2log2loat_19>0.
8.172. y
8.173.
x2-4x
206

8.174. : >0.
э
Iog3-log3Cx)
8.175. 0,4 " >6,251овзх1+2.
8.176. г'08'0-5' + х°**-'х>2,5.
8.177. хЛ
8.178. 3l8J
8.179. 0,б'
8.180.
8.181. 5loe^+xlo
8.182. logo3log6 ^
8.183.
8.184. log3
8.186. Iog2log4x+log4log2x< — 4.
8.187. log^ (x-lJ
8.188. |х-3|2х'~7х>1.
8.189. v/3cosjc<4tgx.
8.190. sin4x+cos4xctg2x>l.
8.191. 2 + tg2x+ctg2x<0.
8.192. 2cdsx(cosx-v/8tgx)<5.
Найти области определения функций (8.193—8.203):
8.193. /(л
/ х+1 1
W= \/4X -17 2Х+4.
207

8.197. y=
8.198. y=*y/2-lg\x-2\.
8.199. jy=W, r2logx-3°'5_^ ¦ l
log3Bx-6)
8.200. y= /— : 1+ ! .
" ' log8 (x-4)
8.201. jy=2 I~|8~JC|.
. Ix2-6x-16 2
8.202. y=* — +— .
8.203. ^=
8.204. При каких значениях х определено следующее выражение:
1оез(\-1Оео,5(х2-2х-2,5)I
8.205. Найти все значения р, при которых выражение Ig ((p— 1) х2 +
+ 2рх+Зр—2) определено для любых х.
8.206. Найти множество целых значений х, удовлетворяющих нера-
неравенству
8.207. Расположить в порядке возрастания три числа: а\ =logi/2 sin 2x,
a-i=— I— log2sinx, a3=log1/2 A—cos2jc), если 0<х<я/4.
Решить системы неравенств (8.208—8.215):
208

(\x2+5x\<6, • (\x2-Ax\<5,
8.214. \ 8.215. V ' '
(Jl|<l
Группа В
8.216. Доказать, что при а>0,А>0,с>Ои d>0 справедливо неравен-
a + b + c + d г-—
ство > -Jabcd.
4 у
8.217. Доказать, что из всех прямоугольных параллелепипедов с дан-
данной суммой всех ребер наибольший объем имеет куб.
Доказать справедливость неравенств (8.218—8.221):
8.218. A+-) A+-) ( 1+-)>% (х>0,у>0, г>0).
V х/\ У/ \ V
8.219. Я (а>0,й>0).
2 V 2 )
8.220
а*+Ь* (
2 V
а+Ь\*
)
2 )_
8"УУ 1 п /0 _I_ J* Л- n /*)
ЗлгЧ.рх-6
8.222. При каких значениях р система неравенств — 9< <6
х2—х+\
выполняется для всех действительных значений х?
2х+тх4
8.223. При каких значениях т неравенство — 6< <4 вы-
Х2-Х+\
полняется для всех действительных значений xl
8.224. Пусть число хк>0 является корнем уравнения ax2 + bx+c = 0.
Показать, что существует корень х2 уравнения cx2 + bx+a=0 такой, что
8.225. Числа х, и х2 являются действительными корнями уравнений
5х3 — 6 = 0и6х3 — 5 = 0 соответственно. Показать, что х{ + х2>2.
Решить неравенства (8.226—8.279):
8.226. |хэ-1|>1-х.
х2-\х\-12
8.227. >2х.
3
8.230. -
8.231.
у/х-Ъ ' у/х-3
209

8.232. ^4-
8.233. y/x*^2xz+l>l-x.
„__. , , . x logs* B-log3*)
8.234. log5x+log,-< .
3 log3*
sin*—2
8.235. >2.
4sin2*-l
8.236. v/5*^4+v/3xTT<3.
3 +3 .bt-u
8.237.
8.238.
8.239. Iog2(x-l)-log2(x+l)+logx+1 2>0.
8.240. log, log2 DX-12)< 1. x~x
8.241. 10 0,3 v
8.242. 2<2 1~"*x <8.
2ooi2,—6 coix
8.243. 3*"" * ' >3' *""*.
8.244. Оа"* — <4-125~.
8.245.
8.246.
8.247. VI -9 0ogi/8*J> 1 -4 logi/» x.
8.248.
8.249. log,. C-2x)>l.
8.250. log,D'+l)+log x 3>2,5.
D +0
8.251. log3 C'-l)log1/3 C*+2-9)> -3.
l+log2x
8.252. log, —<0.
8.253.
210

8.254.
x—1
8.255. log3 logo 2 Iog32 > 0.
x+5
8.256.
8.257.
8.258.
8.259.
8.260.
8.261.
8.262.
8.263.
8.264.
Я7А*
lOgl/2
log*'
1
©
Bх +
log|,-
x2-2x\+4^n
\x + 2\+x2^
Ix 1
|*-зГ2
1
'-2<9-
 >25.
3 ¦ 2 *) °tlX °*2 х
41 Bx2 —9x+4)>l
1 1
<-
/I5\|jr+71 15
8.271. - <(-
\
8.266. logx^— >-2.
8 — 2дг
8.267. log1/2 (x-3)-log1/2 (x + 3)-log^+3 2>0.
8.268. |24*2~'-5|<3. x
8.269. 8-3^+^ + 9^+1>9^.
x + 5
8.270. ( x+2
/I5\|j
. -
VV
8.272. loat.10-0,51oga10>0@<a<l).
8.273. log7 x-log3 7 • log3 x>log20,25.
8.274. x «
8.275. V^
8.276. logj
211

8.277. |log3x|<
log3-
9
8.278. log*>_3729>3.
8.279.
8.280. Решить систему неравенств
Найти области определения функций (8.281—8.282):
8.281. y=y/anx^5+log3 B5-х2).
8.283. Найти множество целых значений х, удовлетворяющих нера-
неравенству logo,3 (vx + 5 — х+1)>0.
Без помощи таблиц доказать неравенства (8.284—8.285):
8.284. 2<log32+log23<3.
8.285.
8.286. Указать такие значения х, при которых неравенство уг —
— E*—1) (у—1)>0 выполняется для всех значений у.
8.287. Найти а из неравенства х2—2* х—2° +12>0 при условии,
что оно верно для любых значений х.
8.288. Доказать, что если (х2 + 5х+6) (х2 + 11х + 30)<0, то sin2jc>0.
8.289. Из значений х, удовлетворяющих неравенству log13 Bx-
-2)<logK (х-Н), указать те, для которых sin2x<0.
8.290. Показать, что 1/8 < cos 20° cos 40° cos 70° < 1/4.
8.291. Показать, что 1/8 < sin 20° sin 50° sin 70° < 1/4.
8.292. Показать, что tg40o+tg45°-l-tg50o>3.
8.293. Показать, что при условии 360°fc-45°<a<360ofc+45o, где
к е Z, выполняется неравенство ctg D5°—a) + ctg 45°+ctg i
Решить неравенства (8.294—8.300):
8.294. sin2xsin3x — cos2bccos3x>sinlOx.
8.295. sin3xsinl—Ъх j + cos3xcos I—3x
8.296.
8.297. ctgx-tgx-2tg2x-4tg4x>8v/3.
8.298. 4sinxsin2xsin3x>sin4x.
cos 2jc
8.299. >3tgx. 8J00. 3cos2jcsinx-sin3x<l/2.
COS2JC

ГЛАВА 9
КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Число перестановок из п элементов находится по формуле
Р„ = Г2...(л-1)л=л! (9.1)
Число сочетаний из л элементов по т находится по формуле
л!
С" = ;С° = 1. (9.2)
" т\ (п-т)\ "
Справедливы следующие свойства сочетаний:
С- = С.-«; (9.3)
С <- +С-.-и = €-.;,'. (9.4)
Число размещений из л элементов по т находится по формуле
Формула бинома Ньютона имеет вид
„ „ „_1 л(л-1)...(л-*+1) „-к к л
(a + b) =a +na 6 + ...H a b +... + A ,
где л — натуральное число и С*а A =7*+i есть (к+1)-й член в разложении
бинома (к=0, 1, 2, ..., л).
Сумма биномиальных коэффициентов равна 2 :
+с;=2л. (9-7)
Прамер 1. Команда некоторой ЭВМ записывается в виде набора из восьми
цифровых знаков — нулей и единиц. Каково максимальное количество различ-
различных команд?
D Так как для каждого элемента набора возможны два значения @ или 1), то
максимальное количество различных команд есть 2'2...2,= 2S6. Можно рассуж-
8 раз
дать иначе: рассмотреть все двоичные числа от 00000000 до 1П1Ш12 = 25510. ¦
Прамер X В разложении A + х) четвертый член равен 0,96. Найти значения
хил, если сумма биномиальных коэффициентов равна 1024.
D Так как сумма биномиальных коэффициентов равна 2 , а 1024=210, то
, , 10-9 8
л=10. Четвертый член разложения Т^^С\хъ= дс3 = 120дсэ. Согласно усло-
условию, 120хэ=0,96, откуда х3=0,008, т. е. х=0Д. ¦
213

Пример 3. При каких значениях х и у возможно равенство С:С* , :Л* =
= 1:3:24? " У "
? Применяя формулы (9.2) и (9.5), имеем
у\ 0 + 2)! 1
:— =-;С*:(х!С*)=1:24.
х\(у-х)\ х\(у-х + 2I 3 у у
Из второго уравнения получаем х! = 24, т. е. х = 4 (поскольку 24=1 2'34),
а из первого уравнения находим
0 + 1H + 2) 3
Так как дг = 4, то у2 — 9у + 8=0, откуда у=\ я у = 8; у=1 не удовлетворяет
условию {у>х = &). Итак, х — А, у = 8. Ш
Группа А
Решить уравнения (9.001—9.005):
9.001. a) A\-Cx-l = Ai\ б) Cx + 6C2x+6C3x=9x2-Ux.
_ . .. _. А\ 24
9.002. a) С*
/ Х-г i л — 1 х ' ' ' Л 3 S~<X — A 01
х+1 — х
9.003. а) А3х+Сх'2 = Ых; б) А\-2С\ = ЪА\.
А5
9.004. а) —^ = 336; б) Ахх^ = хРх_2.
С'-2
Р 30
9.005. а) *4+ =210; б) A*.-\+2Px-i=- Рх.
A'_t Рз 7
9.006. Показать, что при любом к сумма C]+k + Cl+k+l есть точный
квадрат.
9.007. Доказать тождества:
а) л=(и-1) (Л-1 + Р-2); б) с* с::кк = скт с:.
9.008. Сумма биномиальных коэффициентов разложения I 2пх+
1 У
Н I равна 64. Определить слагаемое, не содержащее х.
._LV'
2лхл)
9.009. Сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами
в разложении (ах + х )" равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
9.010. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения
2хI6 больше двух соседних с ним слагаемых?
9.011. Каков наибольший коэффициент разложения (а+b), если сум-
сумма всех коэффициентов равна 4096?
9.012. В разложении ( /-+ 10/—) имеется член, содержащий аЬ.
Найти этот член.
214

9.013. Сумма коэффициентов второго и третьего слагаемых разло-
разложения I ух2 = I равна 25,5. Написать член, не содержащий х.
\ 2 V*/
9.014. При каком значении х четвертое слагаемое разложения
(-у/2 + \/ 2 х)т в 20 раз больше т, если биномиальный коэффициент
четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту вто-
второго слагаемого как 5:1?
9.015. Определить Л\, если пятое слагаемое разложения (\Jx +
+ Ijxf не зависит от х.
9.016. В какую натуральную степень следует возвести бином
/ 1 \
I —-р + 3 1, чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третье-
V2 /
му было равно 3v2?
9.017. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить коли-
количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин.
9.018. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще
пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распреде-
распределить между собой обязанности?
9.019. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из груп-
группы в 20 человек?
9.020. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти
выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содер-
содержать от трех до десяти звуков?
9.021. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими
способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
9.022. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя
цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно
обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
9.023. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два
круга (т. е. каждая команда дважды встречается с любой другой).
Определить, какое количество встреч следует провести.
9.024. Замок открывается только в том случае, если набран опреде-
определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают
наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось
только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток
предшествовало удачной?
9.025. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафе-
эстафеты 800 + 400 + 200+100. Сколькими способами можно расставить
спортсменов по этапам эстафеты?
9.026. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по
плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими спосо-
способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
9.027. Сколькими способами можно расположить на шахматной
доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья
может взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или
на одной вертикали шахматной доски.)
9.028. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной до-
доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких
расположений?
9.029. Порядок выступления восьми участников конкурса определя-
определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом воз-
возможно?
215

Группа Б
Решить уравнения (9.03О—9.032):
9.030. А'?Рх-' = 12.
Рх-\
9.031. Cxx 2
9.032. Рх+3 =720.
AxPx-s
9.033. Решить систему уравнений:
а)
9.034. Найти хну, если:
9.035. Найти хну, если:
'-2С' = 40.
б) ЛГ':
9.036. Доказать тождество:
a) J
9.037. Разность между третьими биномиальными коэффициентами
разложений (a+b)" и (а + А)" равна 225. Найти число рациональных
членов разложения (V* +
9.038. Найти к-я член разложения (•v/3+-v/2)m, если известно, что
Г*+'2:Г*+1:П=28:87б:9.
9.039. Разность между некоторыми членами Tk+i и Тк разложения
(S/^) равна 30. Определить, при каких значениях х это воз-
возможно, если член 7*+1 содержит х в степени, вдвое меньшей, чём член 7*.
9.040. Найти наибольший биномиальный коэффициент разложения
(яН—), если произведение четвертого от начала и четвертого от конца
п
слагаемых равно 14 400.
9.041. При любом допустимом значении z слагаемое C/t+1 разложе-
разложения (Vz+vz) B 2- раза меньше слагаемого Vk+2 разложения
/ j \m + l
I %/z5-\ = I . Найти эти слагаемые. :;/
V %/J -п
9.042. Сумма третьего от начала и третьего от конца биномиальных
коэффициентов разложения (%/ъ + V*)" равна 9900. Сколько рациональ-
рациональных членов содержится в этом разложении?
216

9.043. Третье слагаемое разложений"! 2х-\—- I не содержит х. При
\ х /
каких значениях х это слагаемое равно второму слагаемому разложения
A+*3K0?
9.044. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек
в каждой. Сколько может быть различных составов групп?
9.045. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно со-
составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать
одинаковых цифр?
9.046. Сколько различных светящихся колец можно сделать, рас-
расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются
одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
9.047. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способа-
способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не
стояли рядом?
9.048. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый
по две). Сколькими способами они могут распределить мишенн между
собой?
9.049. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают
двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных,
если каждый человек дежурит один раз.
9.050. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1,2,
3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?
9.051. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд
аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых
группы № 1 и № 2 находились бы в соседних аудиториях?
9.052. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество
различных расписаний первого тура (расписания считаются различными,
если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер
доски не учитываются).
9.053. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять
этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы
по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-
либо один материал?
9.054. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам.
Сколькими способами они могут распределить работу?
9.055. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все
пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими
остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
9.056. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить
из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать
одинаковых цифр?
9.057. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря
и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно
сделать?
9.058. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные
пары. Сколькими способами это можно сделать?
9.059. Три автомашины № 1, 2, 3 должны доставить товар в шесть
магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если
грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех
магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются?
Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать
только машину № 1?
9.060. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную сек-
217

цию. В секции хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию
художественной гимнастики — только девушек, а в лыжную и конь-
конькобежную секции — и юношей, и девушек. Сколькими способами могут
распределиться между секциями эти шесть человек?
9.061. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотруд-
сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных
составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель
и главный инженер одновременно уезжать не должны?
9.062. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке
художественного слова— 15, в вокальном кружке— 12, в фотокруж-
фотокружке — 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из
четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
9.063. Двадцать восемь костей домино распределены между четырь-
четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?
9.064. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир
и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
9.065. Пять учеников следует распределить по трем параллельным
классам. Сколькими способами это можно сделать?
9.066. Лифт ocTaHaBJiHBaeTCH на десяти этажах. Сколькими способа-
способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, нахо-
находящихся в кабине лифта?
9.067. Восемь авторов должны написать книгу из шестнадцати глав.
Сколькими способами возможно распределение материала между авто-
авторами, если два человека напишут по три главы, четыре — по две,
два — по одной главе книги?
9.068. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего
разряда, 6 — второго и 2 перворазрядника. Определить количество та-
таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встреча-
встречались между собой (цвет фигур не учитывается).
9.069. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные
пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить коли-
количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.
9.070. Семь яблок и три апельсина надо положить в два пакета так,
чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество
фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно
сделать?
9.071. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире).
Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква
содержала не более пяти символов?
9.072. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четы-
четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30
букв и 10 цифр?
9.073. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев.
Сколькими способами он может распределить по дням работу, если
будет сажать не менее одного дерева в день?
9.074. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовые гвоздики, выбира-
выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это
можно сделать?
Группа В
9.075. Доказать, что -
218

9.076. Доказать тождество Ckn + Ckn ' = С*+1. Пользуясь этим тожде-
тождеством, показать, что
Cm I f1 т I I s~< m fm+l l
n'Ll"i"'t't0'~"Ll
9.077. Упростить выражение />i + 2i>2 + ¦• -гпР„, где Рк — число пере-
перестановок из к элементов.
9.078. Доказать, что С\п+Х С1„^х^(СпJ.
9.079. Найти наибольшее значение суммы S=(l +хK6 + A — хK6 при
Wi
9.080. Найти наибольшее слагаемое разложения / ^)
9.081. При каких значениях х наибольшим слахаемым разложения
E + Зд:I0 является четвертое?
9.082. Если раскрыть все скобки в выражении A +х)9 + (\ +хI0 +
+ ... + A4-хI* и привести подобные члены, то получится некоторый
многочлен. Определить коэффициент при х9 в этом многочлене, не
раскрывая скобок.
9.083. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной ра-
работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда,
чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих
друг за другом был один и тот же вариант?
9.084. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить
связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно
различных вариантов такой связи?
9.085. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь
этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы
по этажам? В скольких из них на восьмой этаж будет доставлено не
менее двух материалов?
9.086. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу иг-
игроков двух футбольных команд, так чтобы при этом два футболиста
одной команды не стояли рядом?
9.087. На книжной полке книги по математике и по логике — всего
20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта,
содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том
случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.
9.088. Лифт, в котором находится 9 пассажиров, может останав-
останавливаться на десяти этажах. Пассажиры выходят группами в два, три
и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?
9.089. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался боси-
босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить,
используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их
следования?
9.090. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники
партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой.
Каково число различных исходов жеребьевки?

ГЛАВА 10
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
Пример 1. Показать, что lofe cos20°+log2 cos40°+log2 cos80° = -3.
? Утверждение верно, если верно, что log2 (cos 20° cos 40° cos 80°) = — 3 [ис-
[использована формула G.4)] или log2 А = — 3, где А=cos 20° cos 40° cos 80°. Умножим
и разделим правую часть последнего равенства на 8 sin 20°:
4 • 2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°
A=
8 sin 20°
Примени три раза последовательно формулу D.13), получаем
4 sin 40° cos 40° cos 80° 2 sin 80° cos 80° sin 160°
8 sin 20° 8 sin 20° 8 sin 20°
sin A80°-20°) sin 20°
8 sin 20° 8 sin 20°
Следовательно, log2 A =log2 2" 3 = — 3. ¦
Пример X При каких значениях р уравнение
имеет равные корни?
О Квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант D=
*=Ь2—4ас равен нулю. Находим
/)=(/-1J +12 (/"' -/~2) =
2. j 12-^ 12/ 2» в
=2-27+1+ =4-2 -57+1.
4 4
Используя замену переменной Z**y, получаем уравнение 4у2 — 5у+1=0,
которое имеет корни ^i = 1/4, j»2 = l. Решаем уравнения Z=2~2 и Z =1, откуда
Пример 3. Решить уравнение \х— 1|'|дс+2|=4.
D Поскольку l^v|=W'Lvl. перепишем данное уравнение в виде
|(х—1) (х+2)|=4. Оно равносильно совокупности двух систем:
Ux-l)(x+2)>0,
1
220

В первой системе корни уравнения ДС] = — 3, хг = 1 удовлетворяют неравенству
этой системы, а значит, и самой системе; дискриминант квадратного уравнения
второй системы отрицателен; следовательно, эта система несовместна. Итак,
получаем ответ: — 3; 2. ¦
Пример 4. При каких целых значениях а неравенство
2 logo,5 a-2 + 2x logo,5 a-x2<0
выполняется в любой точке оси Ох?
? Заменим заданное неравенство равносильным: х1 — 2х logos'*+ 3 —
—21ogo,5<i>0. Так как коэффициент при х1 положителен, то неравенство выпол-
выполняется в любой точке оси Ох, если дискриминант квадратного трехчлена от-
отрицателен (см. указание 4° из гл. 8). Следовательно,
4 log^a-4 C-2 logo_5a)<0 или IogJ5a+2 log0i5a-3<0.
После замены переменной y=logo,sa получаем неравенство y2jr2y— 3 <0;f(y) =
=у2+2у— 3=0 при yi = l, yi=— 3. Схематическое расположение параболы от-
относительно оси Оу приведено на рис. 10.1. Отсюда находим — 3<у<1,
Рис. 10.1
Решаем неравенство — 3<1о&,5в<1, которое, используя формулы G.6) и
G.2), запишем в виде logo,5 0,5" 3<logo,5e<logo,5 0>5- Так как основание логарифма
0<0,5< 1, то в силу указания 7° из гл. 8 получаем равносильную этому неравен-
неравенству систему
(а>0,
[0,5<а<0,5~3, т. е. 0,5<аг<8
Целыми значениями а, удовлетворяющими последнему неравенству, являются
числа 1, 2, ..., 7. ¦
Пример 5. Решить неравенство 10 > 10
D Так как основание степени 10 >1, то на основании указания 7° из гл. 8
перейдем к равносильному неравенству |sdn x\ > |cos x|. Отсюда, применяя указание
2° г) из гл. 8, получим sin2 x> cos2*. Далее, используя тождественные преоб-
преобразования тригонометрических выражений, имеем
sin2x>l— sin2*; 2яп2л>1; 1—cos2jc>1; cos2jc<0,
откуда я/2+2я&<2х<Зя/2+2яЛ, keZ. Итак, получаем ответ:
п/4+пк<х<Зп/4+пк, JfceZ. ¦
Решение неравенства |sinx|>|cosx| можно также найти графически, построив
графики функций |sinxj и jcosx| на одном чертеже (рис. 10.2).
Пример 6. Доказать, что графики функций у—гк-Ъ +п и у=пЪ +т при
условии /мя<0 пересекаются в двух точках, из которых одна лежит на оси
абсцисс, а другая — на оси ординат. 221

D Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения
тЪ +л=лЗ +т; умножая все его члены на 3 /0 и группируя подобные
2х х
слагаемые, получим тЪ + (п—т) 3 —л=0.
Положим 3 =у>0 и решим квадратное уравнение ту2 + (п—т) у—л=0.
Имеем D=(n—тJ +Атп=(п+тJ и, следовательно,
-(л-т)±(л+т)
У\,2= ; У\ = 1, У2=—п/т>0 (тп<0 по условию).
2/w
-Я/2-Л/4 0 л/4 я/2 info я 5Jt/U ilt/U 7я/Ч 2ft 7
Рис. 10.2
Из уравнения 3 =1 находим х=0, а из уравнения 3 =—п/т получим
x=log3 (—п/т). Найдем ординаты точек пересечения. Если Х\ =0, то у{ =т-3°+
+п=т+п. Точка @; т+п) лежит на оси Оу. Если *2=l°g3 (—»/"»). т0 Л =
log (-я/m) / л\ log (-л/т)
=тЗ 3 +л=/я [ ]+л=0 [так как 3 3 = — п/т в силу равенства
\ т/
G.1)]. Точка (log3 (-п/т); 0) лежит на оси Ох. ¦
Упростить выражения A0.001—10.004):
10.001.
10.003.
Ш)'
-cos 246°
1+ cos 246°
10.002.
10.004.
y/a2-2ab+b2
sin(- + a) + l
10.005. Решить уравнение \х2 + 1,5х+\\=т. При каких значениях
т оно имеет единственное решение?
10.006. Найти рациональные корни уравнения
/х+2
W
W
/x+2 3
10.007. Найти целые корни уравнения х3 — \х—Ц = \.
Решить уравнения A0.008—10.010):
10.008. х2 + 2х-3|х+1| + 3 = 0.
10.009. |x+l| + |x-l|=2x3.
1| 1
|
10.010. |х2-
222

Решить неравенства A0.011—10.017):
10.011. л:2-4|л:| + 3>0. 10.012. лг2-5|л:| + 6<0.
Ю.013.
10.015.
х-Ъ
2
10.014.
W+7
х-4
10.017. |х+1|>2|х+2|.
Решить системы уравнений A0.018—10.022):
•v/l— 2x+x2+x
10.016. - >0.
10.018.
10.020.
10.019.
10.021.
),751х+3,249>'=26O51,
1,249jc+6,751^=23,249.
10.023. Показать, что система уравнений
не имеет
решений.
10.024. Найти целые значения х, удовлетворяющие системе нера-
венств
Построить графики функций A0.025—10.051):
10.025. а) у=х2 + 5х+6; б) у=х2 + :
в) у=\х2 + 5х+6\; г) у = \х2 +
10.026. а) >-=-х2 + 4л:-5; б) у=-х2
в) у=\-х2 + 4х-5\; г) у = \-х2
х\ + 6;
х\ + 6\.
10.027. а) у=х2-7х+6; б) у=
- ~ )|; г) у-
в) >-=|д:2-7д:+6|;
W
М
10.028. >-=х+—.
х
10.030. j-=j
10.032. у=л
10.034. ^=^ (*2-4).
|1|
10.036. у=—- (х2-х-2).
|+1|
10.029. у=\х. + \\-х.
10.031. у=- !
JC— 1
10.033. >-=|х-2|
(х2-4).
10.035. у
10.037. у=
М
(л2-9).
V
223

10.038. a) y=\oglflx; 6) y = logl/2 (-x);
r) y=\loglf2x\; д) y=tyogin\x\\.
10.040. y=-2~M.
10.042. y=lgx+\\gx\.
10.044. j^x'"8*2.
10.046. у = \х\ХП.
10.039.
10.041.
10.043.
10.045.
10.047.
10.049.
10.051.
в) у
=iogi/2W;
,=2"*.
1
yJ'^.
у = 0,5 х~3 .
У=
х-4
^4
10.048. v = log2-
x-2
10.050. j>=log3
W-3
10.052. Решить графически уравнение \х— 1| + 2х— 5 = 0.
10.053. Построить график функции y=^/ax2 + bx + c, если я>0
10.054. Величина у есть целая часть («характеристика») логарифма
х по основанию 2. Построить график у как функции х при изменении
х от 0,5 до 8,0.
10.055. Отличаются ли один от другого графики функций ^ = lgx2
H>»=21gx?
10.056. Построить на одном чертеже графики функций y = lgx2
10.057. Доказать, что графики функций у = 4* —32 и у= — E 2 +
+1) не имеют общих точек.
10.058. Найти точки пересечения кривой у = \2хг — 5 |jc| — 36 и парабо-
параболы у = 6х2 — 5х—12.
Изобразить в координатной плоскости хОу заданные соотношения
между переменными х и у A0.059—10.063):
10.059. |х| + [у| = 1. 10.060. |*|-ДО = 1.
10.061. х+И=^+ДО. 10.062. ly| = logo,5W.
10.063. log2(x+y-\)<0.
10.064. На рис. 10.3 изображен график y=\ogax (масштабы на осях
координат одинаковы). С помощью этого графика найти число а.
10.065. Как, зная график/(х), построить график \f(x)\l Можно ли по
графику \f(x) | восстановить график/(*)?
Для графика функции у = ах +Ьх+с определить, положительно, от-
отрицательно или равно нулю каждое из чисел а.Ьъс A0.066—10.067):
10.066. См. рис. 10.4. 10.067. См. рис. 10.5.
10.068. Составить уравнение параболы с осью, параллельной оси ор-
ординат, если эта парабола проходит через точки (—2; —3), (— 1; 2) и A; 0}}
Показать, что она пересекает «юсь абсцисс по разные стороны от оси
ординат.
10.069. Найти коэффициенты квадратичной функции у=ах2 + Ьх + с,

Рис. 10.3
Рис. 10.4
Рис. 10.5
зная, что при х= —0,75 она принимает наибольшее значение 3,25, а при
х=0 принимает значение 1.
10.070. Показать, что уравнение х5 + х* + 2х3+2х2 + х+\=0 имеет
только один корень. Какой?
10.071. Многочлен к5 + к*—2къ — 2к2 + к+\ разложить на множи-
множители.
10.072. Показать, что координаты только одной точки плоскости
удовлетворяют уравнению х2—4х+у — 6у/у +13 = 0, и найти эту точку.
10.073. Показать, что уравнение x*+p2x6+q2x* + r1x1 — Q не имеет
отличных от нуля корней.
10.074. Существуют ли такие а, при которых корни уравнения
х1—2 (а—3)х—а + 3 = О заключены в промежутке (—3, 0)?
10.075. Найти значения х, при которых все значения функции у=
= х2 + 5х.+ 6 принадлежат промежутку [6, 12].
10.076. Сколько действительных решений имеет система уравнений
5
у
10.077. Чему равна сумма всех корней всякого биквадратного урав-
уравнения?
10.078. Составить биквадратное уравнение, если числа у/Ъ—\
и Vj +1 являются двумя его корнями.
10.079. Не находя х и у в отдельности, вычислить сумму х2у+ху3,
если х—j>=4 и ху=3.
10.080. Не решая уравнения х2 — Зх—10 = 0, вычислить сумму кубов
его корней.
10.081. Имеет ли уравнение Bх—1J + (х+\J = 0 действительные
корни?
10.082. При каких значениях р сумма квадратов корней уравнения
х2+рх + 35=0 равна 74?
10.083. При каком значении q сумма кубов корней уравнения
х1—х—q=0 равна 19?
10.084. При каких значениях к корни уравнения х2—Bк+1)х+к2=0
относятся как 1:4?
10.085. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения
х2+ах+а—2=0 является наименьшей?
10.086. Найти такие значения А, при которых оба корня трехчлена
(А-1) х2+(А-3) дс+(А-2) положительны.
10.087. При каких значениях а график функции у=(а+5) х2+х+а—
—3 пересекает ось абсцисс по разные стороны от оси ординат?
225

10.088. Решить уравнение х3 — 1х—6 = 0. Убедиться в том, что сумма
всех его корней равна нулю. Нельзя ли было в этом убедиться, не находя
самих корней?
10.089. Имеет ли уравнение хэ + 2х—3 = 0 отрицательные корни?
10.090. Доказать, что х=\ —единственный корень уравнения л;3 +
+ Зх-4=0.
10.091. Многочлен а* + 2а3 + 6а—9 разложить на множители.
10.092. Доказать, что многочлен х*—2х3+2х2—8х+16 принимает
положительные значения при любых действительных значениях х.
10.093. Разложить на множители х—3у/ху+2у (х>0, у>0).
10.094. Нетрудно заметить, что равенство
(х-а) jx-Ъ) | (х-Ъ) (х-с) | (х-с) (х-а) ^
(с-а)(с-Ь) (а-Ь)(а-с) (Ь-с)(Ь-а)
имеет относительно х степень не выше, чем вторую. Тем не менее оно
имеет более двух корней — можно проверить, что числа xt=a, x2=b
и Хэ=с ему удовлетворяют. Чем это объяснить?
10.095. Дано произведение
(х*+х3+х1 + х+1 + ) (х*-х3+х1-х + 1 ).
В типографии как-то случилось, что обе дроби выпали из набора и полу-
получилось произведение
(х*+х3+х2+х+\) (х*-х3+х2-х
Наборщик утверждает, что, несмотря на потерю дробей, получившееся
выражение тождественно данному. Прав ли он?
10.096. Указать область определения функции у= . По-
V*2-10x+25
казать, что график этой функции расположен симметрично относитель-
относительно прямой л: =5.
10.097. Без преобразования уравнения у/х+1 +у/3—х= 17 показать,
что оно не имеет корней.
Найти области определения функций A0.098—10.108):
10.098.
10.100.
10.102.
10.104.
у-
\
y=\xi
1 х~ъ
\-2х
х+3
10.099. /(л
10.101. у=
10.103. у=
10.105. у=
log*
arcsin (x—3)
(lOg3X — Iog2
log3logi/2^-
X
10.106. y=^/\ogjco&x. 10Л07.
226

, /4-х
10.108. f(x) = J\-\g{x-\)+ / .
\j x+1
10.109. Указать область определения функции j=log2 (x1 — 2х+3).
Имеет ли график этой функции какую-либо ось симметрии? Если да, то
какую?
10.110. Указать все точки на оси Ох, в которых функция у =
= '\/ 3-81*-10-9*+3 не определена.
10.111. Найти целые значения х, принадлежащие области определе-
I—:—
V1 — яп х
ния функции f (х) =
lg(-3x2+10x-3)
10.112. Для каких значений х имеет смысл равенство lg
х (лс-4)
1-х
g g()g()
10.113. Для каких значений х график функции у=х+3 +
+ у/(х+\) (х + 7) расположен ниже оси абсцисс?
Установить, для каких значений х выполняются равенства
A0.114—10.117):
10.114. \х2-
10.115.
10.116.
2-10*+24
Х2~\
1-
10.117. |lg2 (l-9x)+lg (l~9x) —2| = 2-lg A—9х)—l
Решить уравнения A0.118—10.130):
A—
10.118.
10.120.
!
10.119. /
\+х 1
— +- = 5.
х х
10.122.
10.124.
10.126. x+lg(l+4;c)=lg50.
10.128. cossex+sin*°x=l.
10.130. ctg(sinx)=l.
10.121. log2log3log4X=0.
10.123. (Р'б' + хЪ'-П.
10.125. logx+6Bx-V/
10.127. x2-2*+S=2x2+2x*2.
10.129. logDOT,sinx=l.
10.131. В каких точках график функции y = *J—х+Ч—у —х+4 пере-
пересекается с прямой у= 1?
227

Решить уравнения и исследовать, при каких значениях параметра они
имеют корни (и сколько их) и не имеют корней A0.132—10.137):
10.132. у/а-6х=х—\. 10.133. y/la-2x+x=a.
10.134. у/х+1-у/х-1=а. 10.135. у/а-5х=1-х.
10.136. у/3-~х—у/з + х=а. 10.137. J25x+a=3 + 25x.
10.138. При каких значениях' т уравнение 2у1 —т (х+2) = х+4 име-
имеет один корень?
10.139. При каких значениях р>0 уравнение Зу/2х+р = 1 +3х имеет
два различных действительных корня?
10.140. При каких значениях с уравнение у/с (х—1)+4=3—х имеет
два различных действительных корня?
10.141. При каких значениях к уравнение у/к Bх+1)+16—х=х—3
не имеет корней?
10.142. Доказать, что если алгебраическое уравнение с целыми коэф-
коэффициентами имеет целый корень, то свободный член уравнения делится
на этот целый корень.
10.143. Как вы будете решать уравнение х*—4х3 — \0х1 + 31х—14=0,
если заранее известно, что многочлен в левой части данного уравнения
разлагается на множители второй степени с целыми коэффициентами?
10.144. Возможно ли равенство x=log2x?
10.145. Доказать, что если квадратное уравнение x2+px+q—0 с це-
целыми коэффициентами р и q имеет рациональные корни, то эти кор-
корни — целые числа.
10.146. Не решая уравнения у/3—х^-у/х—5= 10, показать, что мно-
множество его корней пусто.
10.147. Имеет ли решение уравнение sin x=2 sin 47° cos 44°?
10.148. Дано уравнение 3 sin 2*+cos 2*=4. Имеет ли оно решение?
10.149. При каких значениях а уравнение х1— 2х—log3a2 = 0 имеет
корни?
10.150. Найти произведение корней уравнения z °*5 х=25 3y/z*.
10.151. Найти натуральное значение к из условия
22-24-2«...22*=0,25-28.
10.152. Показать, что график функции у<= 2 ни в од-
lg (х- 2)
ной точке не пересекает ось Ох.
10.153. Определить, при каком значении к график функции
y—lgkx—2 lg (x+1) имеет только одну общую точку с осью абсцисс.
10.154. В каких точках график функции
пересекает ось 0x1
228

10.155. Найти точку пересечения графика функции
с осью ординат.
10.156. Найти абсциссу той точки графика функции
ордината которой равна единице.
10.157. Указать область определения и область значений функции
y=log5anx.
а Ь
10.158. Доказать, что - +->2, если ab>0.
Ь а
10.159. Доказать, что если а+Ь + с=\, то а2
действительные числа.
10.160. Доказать справедливость неравенства
(а>0; Ь>0).
10.161. Доказать, что сумма кубов катетов меньше куба гипотенузы.
10.162. Доказать, что в любом треугольнике сумма длин трех меди-
медиан меньше его периметра и больше полупериметра.
10.163. Доказать, что если а, Ь, с — соответственно катеты и гипо-
гипотенуза, то
Решить неравенства A0.164—10.184):
10.164.
10.166. -—- — <-1.
1 *
10.168.
2-х
1 1 6
10.165. -+—>—.
X X1 X3
10.167. x3-2x2-x+2>0.
10.169. Xl+1
10.171. ,
10.173. logo,5 Bx+ 6)> 1о&,,5 (х+ 8).
10.175. lg->lg (x+5).
10.177. 1~1°84JC<-.
l 2
10.170. 7*5-4*-2
10.172. 1 < 2х (*+2)< 8.
10.174. 21gx<lg2x.
10.176. log2 (I +log1/3x)<l.
10.178. л08»-*0'3 + 0,3loe°.2*<0,18. 10.179. log1/2 log3x> 1.
10.180. x2log20,3-21og20,09>0.
10.182. log, (x+l)>lofo+116.
10.184. logx_3(x-l)<2.
10.185. При каких значениях х выражение logo,5 (x2—8) неотрицате-
неотрицательно?
229

10.186. Найти целые значения х, при которых верно неравенство
log3(x+3J<2."
10.187. Найти целые значения х, удовлетворяющие неравенств у
0,0007293<0,3*2~5*+4<11 -.
9
10.188. Найти неотрицательные решения неравенства 1?
<( —
10.189. Для различных х из области определения функций выяснить,
какая из величин больше: lgx2 или lg2*.
10.190. Каковы возможные значения х, если log* (a2 +1)<0?
10.191. Что больше: З400 или 4300?
5а+6
10.192. При каком значении а выполняется неравенство > 1?
4—а
1-х8
10.193. Для каких значений х равенство A +х) A +х2) A +х*)=-
1-х
оказывается верным?
10.194. На графике функции v = 0,8 Ы' найти точку, ордината
которой в 2 раза больше ее абсциссы (сам график строить не обя-
обязательно).
У_ /j. 2 Rr-t-8^
рас-
расположен не ниже прямой у=\1
10.196. Найти значения х, при которых график функции
j'=logl/3 (х2 — 8д:) + 2 расположен не ниже оси абсцисс.
10.197. Найти точки пересечения параболы у = х*+1 и кривой
у=\Зх2-5\.
10.198. Дано ж/и, где пат — натуральные числа. В какой последо-
последовательности располагаются на числовой прямой точки, изображающие
числа 1, п/т, т/п! Какая из двух последних точек лежит ближе к точке,
изображающей число 1?
10.199. На числовой оси построить точки, изображающие числа
у/2,
и ф.-
10.200. Доказать, что при любом натуральном и выражение —I-
6
п1 п
Л 1 натуральное число.
10.201. Доказать, что если каждое из двух данных чисел является
суммой квадратов двух чисел, то произведение данных чисел может
быть представлено в виде суммы квадратов двух чисел.
10.202. Показать, что всякое нечетное число можно представить
в виде разности квадратов двух целых чисел.
10.203. Цифры трехзначного числа записаны в обратном порядке.
Показать, что разность между полученным и данным числами
делится на 9.
230

10.204. Показать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не мо-
может быть квадратом целого числа.
10.205. Показать, что если арифметический квадратный корень из
произведения двух натуральных чисел есть число рациональное, то
и квадратный корень из их частного — число рациональное.
10.206. Является ли простым или составным число 22001 +1?
10.207. Почему при делении на 3 чисел, равных квадрату целого1
числа, в остатке никогда не получается 2?
р
10.208. Дана правильная несократимая дробь -. Доказать, что из
Я
ар а
равенства - + -=1 следует, что несократимая дробь.
Ч Ч Ч
10.209. Сумма трех степеней числа 3 с натуральными подряд идущи-
идущими показателями, из которых меньший не меньше числа 2, делится без
остатка на 117. Доказать.
10.210. Сколько корней имеет уравнение 0,3*=х2 —х+1?
10.211. Проверить, что для уравнения 2*+х2 — 3 = 0 оба корня боль-
больше — -у/3, причем один точно равен 1.
10.212. Показать графически, что уравнение Igx=lg2jc не имеет
корней.
10.213. Показать графически, что уравнение у/9—х1—log3 (|х| — 3) = 0
не имеет корней.
10.214. Дано:
f 1, если х — рациональное число;
(_— 1, если х — иррациональное число.
Является ли эта функция постоянной, если х — действительное число?
А ее квадрат?
10.215. Доказать, что система уравнений
не имеет действительных решений.
Решить системы уравнений A0.216—10.217):
{Х + у 2 = 0
x-y+z=2,
-x+y+z=4.
10.218. При каком значении т система уравнений
\(т+1)х+4у=-3
имеет бесконечное множество решений? Не имеет решений?
10.219. Установить, при каких значениях b система уравнений
231

1) имеет одно решенш (найти его); 2) имеет бесконечное множество
решений; 3) не имеет решений.
10.220. При каких значениях т система
(х+ту=3т,
\тх+9у=6
имеет решение, которое- удовлетворяет неравенствам х^О,
10.221. Доказать, что если кубы двух действительных чисел равны,
то равны и сами числа.
10.222. Многочлен ;;4+4 представить в виде произведения двух мно-
многочленов второй степени.
10.223. Многочлен x"+ys представить в виде произведения двух
многочленов четвертой степени относительно х и у.
10.224. Разложить ка множители а*+4А4.
10.225. При каких значениях х функция у=\х— Ц + \х— 3| имеет на-
наименьшее значение? Найти это значение.
10.226. Найти наименьшее значение функции у=х2 — 6х+1\.
10.227. Найти наибольшее значение функцииу=\+2х—х2.
-(Г
10.228. Найти наибольшее значение функции у
10.229. Указать наименьшее значение функции
>-=log2 (х2-4х+20).
10.230. Найти наибольшее значение функции у=^/х+ 7 +-.
8 х1
10.231. Найти наименьшее значение функции у=—Л—.
х2 2
х2
10.232. Найти наибольшее значение функции у=-
х*+25
Построить графики функций A0.233—10.236):
10.233. у= . 10.234. у=
1 2 У
10.235. у=—. 10.236. у=-
х х-1
10.237. Построить график функции
2 при хфО,
при х=0
Г1
и показать, что х=2 является точкой минимума данной функции. Кроме
того, на этом примере показать, что не обязательно слева от точки
минимума находится промежуток убывания функции, а справа — про-
промежуток возрастания: может быть и наоборот.
10.238. Показать, что координаты всех точек прямой х+у=2 удо-
удовлетворяют неравенству х2+у2^2, и истолковать этот факт геоме-
геометрически.
Изобразить в координатной плоскости хОу заданные соотношения
между переменными A0.239—10.240):
10.239. Зх-4у + 12>0 и х+у-2<0.
232

10.240. у+3^х2 + 2хи.
10.241. Указать, какие из следующих функций являются четными,
нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:
a) _y=sin3x+ctg5х; б) у™&й2х+соьЪх; в) ,у= ;—;
г) у=&т*х+х + 1; д) у«=агсип-;
с) ух\у/х; ж) у=>х\х\;
з) _y=arccos3x; и) ^=5arctgx;
х) у= —arcctgx; л) у— .
10.242. Доказать, что функция /(x)=lg (дс-туН^2) является не-
нечетной.
10.243. Доказать, что произведение четного числа нечетных функций
есть функция четная.
10.244. Можно ли утверждать, что сумма двух периодических функ-
функций есть функция периодическая?
Определить периоды функций A0.245—10.246):
10.245. >-=15sin212x+12sin215x
X XX
10.246. a) j>=cos;t+sin -; б) .y=sm;t+cos - +sm-.
10.247. Показать, что sin 495° - sin 795° + sin 1095° = 0.
Построить графики функций A0.248—10.252):
10.248. а) у=апх; б) у=2япх,
в) .y=sin2x; г) >-=sin-.
10.249. a) .y=cosje; б) у=cos {x\;
в) >-=|cosx|; г) >-=|cos|x||.
10.250. у= —. 10.251. у=2^~'°'х. 10.252. y=log2 sinx.
cos*
Изобразить в координатной плоскости хОу заданные соотношения
между переменными х и у A0.253—10.254):
Isi
10.253. [у| = |яМ. 10.254. \у\=-
а
10.255. Показать, что графиком уравнения sin (x+y) = 0 является
бесконечная совокупность равноотстоящих параллельных прямых.
10.256. Построить график функции
{0,5х+1 при
cosx при
при
233
Указать значение'функции в точке разрыва.
х
10.257. Построить график функции у=— sin 2x.
N

10.258. Доказать, что 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 1.
10.259. При каких значениях л и р возможно равенство sin a 4-
0i@)?
0@)
10.260. При каких значениях т может выполняться равенство cos <p =
т2—Am—4 я
= , если0<<р<-?
mJ+l 3
2а2 + 2д
10.261. При каких значениях а равенство tg<p= возможно,
а—6в + 9
если 0<«р<я/4?
1 —sin а а
10.262. Чему равна дробь , если ctg -=m1
cos a 2
10.263. Для чисел а и Д, таких, что 0<а+р<п/2, оказалось, что ctg a
и ctg/? являются корнями уравнения xz+px + q-0 (предполагается, что
оба корня этого уравнения положительны). Найти л+р.
10.264. Найти sin а, если tga=2 и я<а<Зя/2.
10.265. Вычислить sin (а+Р) ян (a—/J), если sin <x= —1/3,
cos p=—1/2.
10.266. Сколько корней имеет уравнение х3-sin ЗУ?
l+2sinx
10.267. Равносильны ли уравнения (l+2sinx) tgx=0 и =0?
ctgx
10.268. Показать, что уравнение smx+sin2*=2 не имеет решений.
10.269. Показать, что парабола j/=.x2—х + 5,35 не пересекает график
функции у=2 sin х + 3.
10.270. Найти наибольшее значение функции >>
=sinl2x—|
10.271. Чему равно наибольшее значение функции _y=sin (sinx)?
10.272. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у=
= 3 sin2*+2 cos2x
10.273. При каких значениях х функция у=—— + ctg2 x+1 достигает
cos2x
наименьшего значения? Найти это значение.
10.274. Каково наибольшее значение функции y = sinx+cosxl При
каких значениях х оно достигается?
10.275. Из всех четырехугольников с данными диагоналями
тип найти четырехугольник наибольшей площади.
Найти области значений функций A0.276—10.278):
__. , . ., COSJC
10J76. ^=(sinx+co8JcJ. 10.277. у-
X X
cos —sin-
2 2
10.278. ^=5sinx—12cos*.
10.279. Доказать, что неравенство |sinj:+-4/3cosx|<2 верно для лю-
любого действительного значения х.
10.280. Возможно ли равенство sina+cosa^ybl
10.281. Существует ли угол, для которого косинус равен:
234

1 1
а)а+-приа#О; б) lga +—(а>0;а#1);
a lga
в) (-у: -Л ; г) cos40° + cos50°?
3 + s/x 3-y/x n
10.282. Найти х из условий tga = , tg/?= , a + /?=-.
2 2 4
10.283. Доказать, что если в треугольнике существует зависимость
а Ь
= , то он равнобедренный.
cosA cosB
10.284. Доказать, что если отношение косинусов двух углов тре-
треугольника равно отношению синусов тех же углов, то треугольник
равно бедренный.
10.285. Доказать, что для любого треугольника со сторонами а, Ъ,
с и углами А, В, С, лежащими соответственно против этих сторон,
справедливо равенство a (sin В—sin С) + Ъ (sin С— sin A) + с (sin A —
а-Ь
10.286. Доказать, что если в треугольнике =1—2 cos С, то он
а
равнобедренный.
10.287. Пусть А, В, С — углы треугольника, причем С — тупой угол.
Доказать, что tgA tgi?< 1.
10.288. Доказать, что во всяком треугольнике сумма попарных про-
произведений котангенсов всех углов равна единице.
10.289. Доказать, что для всякого треугольника со сторонами а,
b и с и углами А, В, С его площадь S можно определить по формуле
S=-2 (abcf
10.290. Пусть А, В, С — углы треугольника. Показать, что
sin A sin В—cos С=cos A cos В.
10.291. Знак V заменить одним из знаков <, >, <, > так, чтобы
следующие соотношения были верными: a)lgsinavO; б) sin a+
+ cosa V 1,5; в) Vsula+\/cosa v U r) tga+ctga V 1,9 (a — острый
угол).
10.292. Показать, что если x=acosasin/f, у=я sin a sin/?, z=acos/f,
то x2+y2 + z2 = a2.
10.293. Вычислить без таблиц lg tg 22°+lg tg 68°.
10.294. Существует ли такой угол, для которого числа 2+у/ъ
и 2—у/ъ являются соответственно его тангенсом и котангенсом?
10.295. Исключить t из равенств х= 10е™ , у= 10™ .
10.296. Исключить <р из равенств и= 10е™ *, v=10"° *, 0<9<я/2.
10.297. Чему равна сумма чисел аи/?, если tga и tg/? являются
корнями уравнения 6х2 — 5х+1 =0?
10.298. Выразить tg За через tg a.
10.299. Доказать, что сумма sin x + cos x тождественно равна 1 то-
только при и=2.
235

10.300. Значения функции у=sin x+cos х на отрезке 0<х<я/2 срав-
сравнить с единицей для к=0, 1, 2, 3.
10.301. Выразить sin 6° через sin 12°.
10.302. Определить знак произведения sin 2 • sin 3- sin 5.
10.303. Если log*sin 40°+log,tg40°-Hog,cos40°=А, то чему равна
сумма log,sin 50°+logIItg50o-l-logIIcos~150°?
10.304. Рассмотрев случаи 0<а< 1 и а> 1, выяснить, существует ли
ЧИСЛО y/loga tg 40° • log, tg 70°.
10.305. Найти значения функции/(и) = arcsin (sinи) при л = 1, 2, 3, 4,
5, 6 и 7.
10.306. Решить уравнение cos2x=x2 + \.
10.307. На вступительных экзаменах один из поступающих пред-
предложил следующее решение уравнения
sin 2х + 7 cos 2х+7=0:
выразил sin 2* и cos2x через tgx и получил уравнение
2tgx 7A-
l+tg2x l+tg'x
47=0,
откуда нашел, что tgx = —7 и х=пк— arctg7. Все ли тут хорошо?
10.308. Что больше: sin2x или 2 shut?
10.309. Для каких точек оси Ох выполняется неравенство:
a) sinx< 1/2; б) |sinx|<l/2?
10.310. Доказать, что при некоторых ограничениях для а и Д из
равенства sin (a+/f) = 3sin (a—/О следует, что tga=2tg/f. Указать требу-
требуемые ограничения для а и Д.
10.311. Найти такие два числа т и М, чтобы неравенство
m s$ sin a cos a cos 2a ^М было верным при любых а и чтобы разность
между Мит была наименьшей.
a
10.312. Показать, что знаки sin a и tg - совпадают при любом значе-
значении афкп (к — целое).
10.313. Найти такие значения а и Ь, при которых функция у=
а+Ь
— {a—b) sin2 хЛ cos2 x тождественно (для всех значений х) равна 2.
10.314. С помощью формулы, связывающей sin За и sin а, доказать,
что 0,1 < sin 10° < 0,2.
10.315. Вычислить sin 54°, если известно, что sin 18°= (>/5 — 1 )/4.
10.316. Решить уравнение cos (ях2)= —1/2.
10.317. Решить уравнение cos (л/)
10.318. При каких значениях а уравнение \+an1ax=cosx имеет
единственное решение?
Решить неравенства A0.319—10.320):
sinx
10.319. 3*0. 10.320. sinxcosx>l/4.
1+cosx
10.321. Для каких углов первой четверти выполняется неравенство
sina>sin2a?
236

10.322. Найти tg I 2a I, если sin a=- и a не принадлежит первой
четверти.
10.323. Вычислить sin ( arcsin j — I—arccos ( J + arctg ^/5 J.
10.324. Вычислить sin I arcsin j - I + arccos I - 1 j.
10.325. Что больше: tgl или arctg 1?
n 1 5
10.326. Что меньше: - или arctg - + arctg -?
4 4 8
я 2 2
10.327. Что меньше: - или arcsin - + arccos -?
4 3 3
10.328. Построить острый угол, тангенс которого в 2 раза больше
его синуса.
10.329. Определить z, если известно, что tg а =3*, tg/f=3 гиа—/?=-.
6
Определить знаки чисел A0.330—10.334):
10.330. logli7 @,5 A -log7 3)). 10.331. logo,3 (— 0og2 5 -1) J.
l5l3
Ю.332. l0g35l0g53 . 10.333. Igarctg2.
l°go,34-logo,33
10.334. log^tgl.
10.335. Чему равно основание логарифма, при котором число а рав-
равно своему логарифму?
10.336. Вычислить без таблиц lg32,11 -lg0,03211.
Вычислить A0.337—10.342):
10.337. 491-loe72+5-"V
10.338. 0,8 (И-91овз8Iо8б55.
10.339. Igtg2°+lgtg4o+lgctg2o+lgctg4°.
10.340. lg tg 3° • lg tg 6° • lg tg 9°...lg tg 87°.
10.341. lg tg Г • lg tg 2° • lg tg 3°...lg tg 89°.
10.342. lgtgr+lgtg2o+lgtg3o+...+lgtg89°.
10.343. Чему равно произведение Iog32 Iog4 3 Iog54...1og109, если из-
известно, что lg 2=0,3010?
10.344. Вычислить Iog236, если logJ9 = m.
10.345. Определить знак произведения
lg sin 32° • lg cos 17° ig tg 40° • lg ctg 20°.
10.346. Доказать, что log2 5 — иррациональное число.
10.347. Всегда ли неверно равенство lg (a+b)=\ga+lgbl
a+b 1
10.348. Доказать, что если a1 + b2=*7ab, то log* =-(logta+
+logkb).
237

i 1 лу лу
10.349. Найти ошибку в следующих рассуждениях: ->-;(-) > I - I ;
4 8 \2J \2/
2 log,, -> 3 log,, -. Сокращая обе части равенства на 1о&, -, получаем 2> 3.
10.350. Если logj,a=m и log,. b = n, то чему равен Хо^аЫ
10.351. Если среднее арифметическое десятичных логарифмов двух
чисел равно q, то чему равно среднее геометрическое кубов самих этих
чисел?
10.352. Показать, что число V 12345,67 иррационально.
10.353. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби
1
10.354. Что больше: а) 0,8 U или 0,8 М; б) Iog1/30,5 или Iog30,5?
10.355. Сколько цифр содержит число 2100?
10.356. Вычислить log,,, „2.^х, если log,, x = blt log^x^^, •¦¦)
=bic; хф\.
10.357. Катеты прямоугольного треугольника равны 1о&9 и Iog316.
Найти площадь треугольника.
10.358. Найти без помощи таблиц с= 1^/а'5Ь3, если lga= —0,6498,
a lg6= 13,9170.
ji 2! 2'
10.359. Произведение B+1) B +1) B +1) представить в виде
суммы степеней числа 2.
10.360. Разделить a12S — b12a на произведение
(а + b) (а2 + Ь2) (а* + Ь*)...(аь* + Ь6*).
10.361. Найти произведение ху, если х+у=а и х*+у* = Ь*.
10.362. Доказать, что никакое четное число, не кратное четырем,
нельзя представить как разность квадратов двух натуральных чисел.
10.363. Найти произведение -у/а'4-\/а---3'•%/"•
10.364. В предположении, что а #10 (а и п — целые), доказать, что
lga есть число иррациональное.
2х + 3
10.365. Показать, что функция у= совпадает с функцией, обрат-
jx — 2
ной данной.
1 A
10.366. Решить систему неравенств —= < I - I < 1.
10.367. Построить график функции >»=log2 (sin x cos x).
10.368. Что больше: 123% от 456 или 456% от 123? Какое свойство
процентов можно сформулировать, обобщая ответ на этот вопрос?
Обосновать это свойство.
10.369. На некоторый товар были дважды снижены цены — сначала
на 15%, а затем еще на 20%. Каков общий процент снижения цены?
10.370. Через один первый кран вода равномерно вливается в бак
238

и заполняет его за 3 ч, а через один второй — за 5 ч. За какое время
вода заполнит бак, если открыть оба крана одновременно? \
10.371. Через один первый кран вода равномерно вливается в бак
и заполняет его за 3 ч, а через второй кран вода равномерно выливается
и наполненный бак опорожняется за 5 ч. За какое время вода заполнит
порожний бак, если открыть оба крана одновременно?
10.372. Найти число х, если числа 1, 7, 13, ..., х составляют такую
арифметическую прогрессию, для которой 1+7+ 13 + ...+д:=280.
10.373. Существует ли такая арифметическая прогрессия, у которой
сумма любого числа ее членов равна: а) квадрату числа членов; б) кубу
числа членов?
10.374. Найти все значения х, для которых существует сумма
10.375. Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма всех
ее членов в 3 раза больше суммы членов, расположенных на нечетных
местах. Определить знаменатель прогре,ссии.
10.376. Найти 1+2*+ 2 +... + 2 .... если к — число натуральное,
ах<0.
10.377. Верно ли, что три произвольных рациональных числа а,
Ьлс всегда можно рассматривать как члены некоторой арифметической
прогрессии?
10.378. Найти сумму
л-1
8 16 32 / 2\"~
4 — + + ... + 4(__ + ... .
3 9 27 \ 3/
10.379. Доказать, что последовательность, заданная формулой у„ =
Юл+ 7
-, убывает.
2л
10.380. Установить, является ли заданная последовательность убы-
убывающей или возрастающей:
/з\"
а) х„ = 3/!2-л;б) хл=п2-3/!;в) хл=7/1-л2; г) уя=\% [- .
W
Сократить дроби A0.381—10.384):
л! (л + 2)! + (л + 1)!
10381. . 10.382.
( 1)
10.383. <^. 10.384.
(л + 1)! (л + 2)!(л2
10.385. Доказать, что для всякого л € N выполняется неравенство
111 1
-+- + - + . .. + -<2.
1! 2! 3! л!
1111
10.386. Как использовать тождество -= для доказате-
К~~ I К л~~ i К
111 1 л-1
льства справедливости неравенства —I 1 1-...Ч—< ?
22 Ъ1 42 п% п
239

10.387. Доказать, что если р и q — простые числа, большие 3, то
р1 — q 2 делится на 24.
10.388. Доказать, что если л — простое число, большее 3, то
п2-\
целое число.
24
10.389. Доказать, что л7—л делится на 42, если л — любое целое
число.
10.390. Доказать, что сумма кубов п нечетных чисел равна
п1 Bл2—1) при любом натуральном значении л.
10.391. Доказать, что
10.392. Доказать, что
10.393. Доказать, что неравенство 3">л + 2 верно, если л — натура-
натуральное число.
10.394. Используя метод математической индукции, доказать спра-
справедливость неравенства (l+df^l+na (п—натуральное число, л^2
и а> —1).
10.395. Доказать, что \аг + а2\ < |aj| + |a2|. На основании этого методом
математической индукции доказать, что

ГЛАВА 11
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ПЕРВООБРАЗНЫХ
НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
(а, Ь — постоянные)
Первообразная F (х)
ах
р+\
X
Р+1'Р
X
а
In a
X
е
—
__
In |*|
—cos*
sin*
1 1
-/"(«)=- F(ax + b), а#0
a a
Функция fix)
a
x'.peR
X
a
X
e
In*
log,,*
1
*
sin*
cos*
tg*
ctg*
f(u)=f(ax + b)
Производная/" (дг)
0
p-\
px
X
a In a
X
e
1
*
1
xtna
1
хг
cos*
—sin*
1
cos *
1
sin2*
af(u)=af'(ax+b)
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1°. Правила дифференцирования (и, v — функции; с — постоянная):
(сиУ-си1;
(uv)'=u'v+uv';
/и\' u'\—uv'
A1.1)
A1.2)
(ИЗ)
A1.4)
241

fe (/"(*)))'=«' (/"(*))/' W, где g 04*)) — сложная функция. (П.5)
2°. Уравнение касательной к графику функции у=/ (х) записьгеается в виде
У~Уо=Г (*о) (*-*о)> A1.6)
где (*о; ло) — точка касания.
3°. Правила нахождения первообразных:
а) если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+G есть
первообразная для/+?;
б) если F — первообразная для /, а к — постоянная, то kF есть первообраз-
первообразная для.*/;
в) если F(x)— первообразная для f(x), а кфй и b— постоянные, то
- F (кх+b) есть первообразная для функции /(кх+Ь).
/С
4°. Формула Ньютона—Лейбница имеет вид
*
\f{x)dx~F{b)-F{a). (И.7)
а
5°. Площадь криволинейной трапеции аАВЬ
(рис. 11.1), ограниченной осью Ох, прямыми
х—а и х=Ь и графиком неотрицательной фу-
функции у=/(х) на отрезке [а, Ь], находится по
формуле
ь
S=[f{x)dx. (П.8)
В
Ъ х
Рис. 11.1
х9
Пример 1. Найти lim .
,„2 2дг-4
D Функция
в точке х=2 не определена. Разложив числитель на
2лг--4
множители по формуле A.14), представим эту функцию в виде
/(*)¦
2 (х-2)
В области определения функции f(x) выражение х—2Фй, поэтому дробь
можно сократить на х — 2. Тогда, получим
tim
Х-.2
Пример г Найти lim
=/B) = 6.
*-4
? Функция /(*)
х—4
в точке дс=4 не определена. Умножив числи-
тель и знаменатель на +Jx1—l+l<tQ я используя формулу A.8), преобразуем
дробь:
242

x2-7-9
lim/(x) = lim ===
*-»4 X-.4 (x- 4) (,/x 2 - 7 + 3)
(x-4) (x+A) x+4
lim
4
=/D)=-.
3
Пример З. Составить уравнение касательной к: графику функции/(х) =
х-2
в точке его пересечения с осью ординат.
? Согласно формуле A1.6), уравнение касательной записывается в виде
У—Уъ—Г (*о) С*—*о)> гДе (x(h Уо) — точка касания. Абсцисса х0 точки пересечения
графика с осью Оу равна 0, а ордината >'о =/@) = ~ 2; значит, @; —2) —
точка касания. Далее,, используя формулу (I S.4) и таблицу производных, получим
2х (х~2)~(х2 + 4) 1 х2-4х—4
(х-2J
(х-2J '
откуда /'@)=—1. Итак, искомое уравнение касательной имеет вид
у-(-2)=-\(х-0) илиу=-х-2. Ш
Прямер 4. Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума
(х —2J
функции / (х)= —.
X*
П Область определения функции — ася числовая ось, кроме точки х=0.
Используя формулу A1.4) и таблицу производных, находим
2 (х-2) х2-(*-2J 2х 4 (х-2)
/' ()
f (x) = 0 только при х = 2. Составим таблицу:
Интервал
/'(*)
(-оо,0)
+
@,2)
—
Ч
2
0
nun
B,00)
+
Следовательно, х=2 — точка минимума; функция возрастает на (— оо, 0) и на
B, оо), убывает на @, 2). ¦
Прямер 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
>>=/(x)=2sjnx + sin2jf на отрезке [0, Зя/2].
О Сначала найдем значения /(х) на концах данного отрезка: /@)=0,
/(Зл/2)= —2, а затем критические точки, принадлежащие этому отрезку. Имеем
Зх х
f (x) = 2cosx+2cos2jf;/7 (х)=0, если cosx+cos2x=0, откуда 2cos— cos-=0.
Зх Зх я я 2
Из уравнения cos— =0 находим — =- + пп, т. е. х=-+- ял, а из уравнения
2 2 2 3 3
X X Л
cos-=0 получим -=- + ял, т. е. х=я + 2ял, neZ. Второе решение является
2 2 2
п 2
частью первого, следовательно,- решение уравнения имеет вид х=-+- ял, neZ.
Отрезку [0, Зя/2] принадлежат точки Х)=л/3 и Х2=я. Находим значения fix)
2АЪ

в критических точках:/(я/3)=3,/з/2,/(я)=0. Сравнивая между собой числа/@),
/(Зя/2),/(я/3),/(я), заключаем, что ушы = -2, JWa=3-^3/2. ¦
Пример 6. В арифметической прогрессии шестой член равен 3, а разность
прогрессии больше 0,5. При каком значении разности этой прогрессии произведе-
произведение первого, четвертого и пятого ее членов является наибольшим?
О Согласно условию, a<;=ai+5^=3, откуда aj = 3—Sd. Обозначим произ-
произведение ща^а$ через у. Тогда получим у*а\ (а\+Ъ4) (а\+Л<1)= — \0d3 + 5\d2 —
—lid+21. Для отыскания значения d, при котором функция у принимает на-
наибольшее значение, сначала найдем производную / = — 30rfi + 102</— 72=
= —6 Ed1 — \ld+12), а затем, решив уравнение 5d2 — \ld+12=0, найдем ее корни
d\ = \; ^2 = 2,4. Так как по условию d>0,5, то исследуем поведение функции у на
интервале @,5; оо). Составим таблицу:
Интервал измене-
изменения d
у'
У
@,5; 1)
—
1
0
min
A; 2,4)
+
2,4
0
max
B,4; со)
—
На интервале @,5; оо) имеется только одна точка максимума функции у, а именно
d=2,4. Это значит, что на ишгервале @,5; оо) функция у достигает наибольшего
значения при d<= 2,4. ¦
Прамер 7. Площадь поверхности сферы равна 27я. Какова высота цилиндра
наибольшего объема, вписанного в эту сферу?
D Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника
ABCD вокруг диаметра MN (рис. П.2). Полагая AD=*x, выразим
объем К цилиндра как функцию от х. Имеем 5гсферы=4я0Л2, т. е.
4яОВ2=27я, откуда ОВ2 =27/4. Далее, из АЛОВ получим
27 х2 27-х2
АВ2 = ОВ2-ОЛ2, т. е. ЛВг~— —= . Используя форм-
4 4 4
улу объема цилиндра, находим
27-х2 п
и V(x) = nAB2 AD=n х=-B7х-х3).
N 4 4*
Рис. 11.2
Г п
По смыслу задачи, Q<x<2OB, т. е. 0<x<3V3. Имеем V (х)=- B7-Зх2)=
=- я (9—х2); V (х) = 0, если9—х2=0. Отсюда находим х=3 (так какх>0). Если
4
0<х<3, то V (х)>0, а если 3<х<Зч/з, то К'(х)<0. Следовательно,
х=3 — точка максимума. Поскольку функция V (х) определена для любого
х н на всей числовой прямой имеет одну критическую точку, заключаем, что при
дг=3 функция V (х) достигает наибольшего значения. ¦
Г 3
Пример 8. Для функции /(х) = 2 sin Sx+y/x+- найти первообразную F (х)
при условии, что графики функций /(х) и F (х) пересекаются в точке, лежащей на
оси Оу.
О Так как для функции sin* одной из первообразных является — cosx, то,
согласно правилам п. 3°, первообразная функции 2sin5x есть — cos5x. Далее,
244

,- 3 2,-3
первообразная функции у/х+- есть - Ху/х+- х. Тогда для/(*) первообразной
2 2,-3
функцией является F (х)= — - cos 5jc+- Ху/х+- х+С при произвольном значе-
значении постоянной С. Необходимо найти такое значение С, при котором графики
функций F (х) и / (х) пересекаются в точке, лежащей на оси Оу. Это значит, что
2
при jc=O должно быть выполнено равенство .F@)=/@). Но F@) = 1-С,
3 2 3
а/@)=~; следовательно, 1-С=-, откуда С—\. Итак, искомая первообразная
2 2.-3
имеет вид F(х) = —cos5x+- Ху/х+- х + \. Ш
Пример 9. Найти площадь замкнутой фигуры, ограниченной графиками фун-
и>>=8.
кций>>=— х3, у=-
D Графики заданных функций изображены
на рис. 11.3. Требуется найти площадь 5 фигуры
ОАВ (на рисунке она заштрихована).
Очевидно, что искомая площадь равна раз-
разности между площадью прямоугольника ABCD
и площадями Si и 52 двух криволинейных тре-
треугольников OAD и ОВС. Найдем координаты
точек А я В. Решив системы уравнений
8 г
8
у=-х-
-2
, получим А (—2; 8)
Рис. 11.3
и В (9; 8). Далее, имеем С (9; 0), D (-2; 0), CZ>=11, ЛС=8, откуда
?ласв= 11' 8 = 88. Площади криволинейных треугольников OAD и ОВС находим
с помощью интеграла по формуле A1.8):
ь
х'
4
— 1
8 Г .- 8 2
4, 5г=- I у/х dx=--
3 J 3 3
=48.
-2 0
Итак, S=SAbcd-Si -52=88-4-48=36 (кв. ед.).
Вычислить A1.001—11.010):
11.001. lim ^j^-.
11.003. lim
11.002. lim
*-.о,:
11.004. Um
5лг3-2л2 + 5х-2
11.005. lim
yJx— 6
11.007. lim —==-
\Д-з'
11.006. lim
д:-»0
11.008. Um
x+x
245

11.009. lim-=^2—. „дао. Jim
j4l3
Вычислить пределы и подтвердить или отвергнуть данные утвержде-
утверждения A1.011—11.018):
11.011. li
*^э Зх-9
2х2-5х-3
.,„., ,. ^х + Ъ + 2х
11.012. lim > lim
*_>_! х+1 Х--0.5 4х2-18х-10
* ,. J\+x+x-\ x~lx + l
11.013. lim <lim .
X-0 X x_! X2-\
,. у/гх5l у/х + \\ п
11.014. lim Um — <cos —.
^-2 x-2 ^_0 x 10
x3—1 5—x
11.015. limli
x2+Sx-6 x
x + 3x4 jc-3
11.016. lim lim— —<0.
21 /
11.017. lim
11.018. lim lim-——=1.
B)
Найти производные функций A1.019—11.033):
11.019. y=3 3y/xi + 2x3 y/x+—.
JC3
V3 -1 V2 i 1
11.020. a) y = (x*-x2+lK; 6) y=-———.
JC— 1
х + 2
11.022. а) >-=\/4х3-7х2+1; б) y=(sinix+1) /.
11.023. а) у=3у/х2-\ (х4-1); б) у=1п у/хг-\.
11.024. a) ^-e*'"**1; 6) y=3y/x A-хJ.
11.025. a) >>=(jc+1) 3V^i 6) y=t
11.026. a) j>=x2cos-; 6) >>=x+sin;c cosx.
x
11.027. a) >-=cos23x; 6) y=sin2 -.
2
246

11.028.
11.029.
11.030.
11.031.
11.032.
11.033.
a) >>=tg(smx);
y~3 v
а) У =
a) y=
a) y =
a) y=
V*2+4
Ax '
X
/r2 -,'
\ X —4.
= (x3 + l)cos2x;
-x 3у/ЗхТ+1;
6)
6)
6)
6)
>>=-tg3x.
v/(l +x2K
} x3 '
s/г-х1
y— • .
X
у=ш2х tgx.
. n 3
v = sin In -.
10 x
11.034. Решить уравнение/'(x) — f(x) = 0, если/(х) = х3 lnx.
X
JC3 + 1
11.035. Решить неравенство f (x)<g'(x), если /(x)= ,
X
-.
X
11.036. Решить неравенство/' (x) + <p' (x)<0, если/(х) = 2х3 + 12х2,
) 92 72
11.037. Решить уравнение 1 + 5/(х) + 6/' (х) = 0, если/(х) = .
1— X
Вычислить значения производных заданных функций при указанных
значениях независимой переменной A1.038—11.059):
11.038. /(х) = Ух2 + 3+—; /' A) = ?
х+\
11.039. f^
хг+2
11.040./(х)=^--;/'C) = ?
3 х
11.041. f(x) = x--t~; Г (-1) = ?
х1 3jc3
11.042. f(x)=-J==+-Li f (i) = ?
/2 +l
11.043. /(x)= *J±X ; f @) = ?
/
11.044. /(x) = sin4x cos4x; /' (я/3) = ?
11.045. /(x) = sin2x2; /' @)=?
COS X
11.046. /(x)=——; /' (я/2)=?
1 + sinx
247

11.047.
11.048.
11.049.
11.050.
11.051.
/(*)
fix)
fix)
fix)
fix)
= sin
\/;
-5(
-V-
i4x—cos4 л;
<-1+*,/-х-
*Jx-\
х+ХГ^х
=- sinx tg2x;/'
f (я/12)-?
^Т; /' B)-?
г;/' A)=?
(я/2)=?
11.052./()
11.053. /(*)= * ;/' @) = ?
11.054. /(x) = sin3 -;/ (я/2)=?
11.055./W=2^2x3"';/'@) = ?
11.056./(x)=^;/'@) = ?
x— 1
11.057. /МЧ*2-*) cos2x;/' @) = ?
sinlx
11.058./()
11.059.
11.060. Найти вторую производную функции /(*) и вычислить ее
значение при указанном значении х:
a) /(x) = x2lnx + cos2x,/" A)=?/" (я) = ?
б) /(x) = sin ^+x lnx2;/' C)=?
11.061. Выяснить знак производной функции у=у/4х+9 (х1—16)
в точке х=0.
11.062. Дана функция/(х) = \ЛЛ Как изменяется ее производная
с возрастанием х от 1/16 до 81?
11.063. Дана функция f(x)=2cos2 Dx—1). Найти область значений
/' (*)•
11.064. Доказать, что функция f(x)= убывает на всех интерва-
х-5
лах области определения.
11.065. Дана функция f(x)=x In х—х. Как изменяется ее производ-
производная с возрастанием х от 1 до 9?
11.066. Найти область определения функции/(x)=y/4+3x—x* и об-
область определения ее производной.
248

I
11.067. Дано: f(x)=-y/x3 + l и g(x)=xe~x. Показать, что /'B)
2
является корнем уравнения g' (х) = 0.
11.068. Функция задана формулой f (х)=е . Найти значения
постоянных а и А, если/A)=/@)=/' @).
11.069. Функция задана формулой/(х) = 5sinх+3cosx. Решить ура-
уравнение /' @) =/' (х).
11.070. Функция задана формулой f(x)=e *(x2 + 3x+l). Решить
уравнение/' (х) = 2/(х).
11.071. Построить раздельно графики функций /(х) = х, <р(х) = |х|
я g (х) = х |х| в окрестности точки х=0. Несмотря на то что/(х) диф-
дифференцируема при х=0, а <р (х) — нет, их произведение g (x) = x |х| имеет
производную в точке х=0.
Обосновать правильность этих утверждений и найти g' @).
11.072. Доказать, что функция/(х)=х +sin x не убывает в каждой
точке оси Ох.
11.073. Показать, что при любых значениях постоянных р и q (рфц)
функция, заданная формулой
focosx+osinx при
/ (x) = i
[рх+q+l при х<0,
не дифференцируема в точке х=0.
11.074. Дана функция /(х) = 0,5 (х2 —cos x). Пользуясь соображени-
соображениями непрерывности, выяснить, имеют ли уравнения/(х) = 7,8 и/' (х) =
= 7,8 хотя бы по одному корню на промежутке [2я, Зя].
11.075. Найти все значения постоянной а, при которых производная
функции, заданной формулой у—е , принимает только положи-
положительные значения на всей области определения данной функции.
11.076. Найти сумму х+х2+...х, а затем сумму 1 + 2х + Зх2+...
л-1
... + пх
sinx
sinx
11.077. Функция задана формулой /(х)= . Показать, что
эта функция возрастает в любой точке, принадлежащей ее области
определения.
11.078. Функция задана формулой у=у/ах3 — 6х2 + 3х. Найти все
значения постоянной величины а, при которых данная функция опреде-
определена и монотонно возрастает при всех х>0.
11.079. Показать, что функция у=х3 + 4х возрастает на всей чис-
числовой оси.
11.080. При каком значении р функция /(х)=cosx—px + q убывает
на всей числовой оси?
11.081. Доказать, что функция y — 2x + sinx возрастает на всей чис-
числовой оси.
11.082. Доказать, что функция у=х-\ возрастает на всей чис-
1+дс2
ловой оси.
249

Найти промежутки возрастания и убывания функций
A1.083—11.087):
11.083. у=у/з sinx—cosx.
11.084. у= .
х*+х+\
11.085./(х)=-х(х-3J.
11.086. /(*)=-+- --
XXX
11.087. Дх) = B*-1) B*-4J.
11.088. Найти промежутки возрастания и убывания функции
/(х) = хН— и установить, в какой из точек Xi=log5 4, X2 = logs3 заданная
X
функция пршшмает большее значение.
11.089. Найти промежутки возрастания и убывания функции
/(х)=—— и установить, в какой из точек Xi — e~l или х2=е~2 функция
принимает большее значение.
Найти наименьшее и наибольшее значения функций на заданных
промежутках A1.090—11.108):
11.090. .у=х3-Зх2 + Зх + 2; [-2, 2].
11.091. /(х) = Зх4 + 4х3 + 1; [-2, 1].
11.092. >>=х5-х3 + х+2; [-1, 1].
11.093. у=-+-; [-5, -1].
3 х
11.094. >>=-+-; [1, 6].
о X
11.095. /(х) =
11.096. /(x)=cos2 - sinx; [0, я].
11.097. у (х)= — ; а) [-3, 3]; б) [2^5, 8].
Л2
11.098. /(x)=x + cos2x; [0, я/2].
11.099. /(x)=tgx+ctg2x; [я/6, я/3].
11.100. f(x)=- cos2x+ sinx; [0, я/2].
11.101. /(х)= sin2x+- cos3x-cosx; [-я/2, я/2].
11.102. /(x)=cos2x+sinx; а) [0, я/4]; б) [я/3, я].
250

11.103. /(x) = 3 /——; a) [3/4, 2]; 6) [3/2, 3].
У 2x — 1
11.104. /(x) = x+-; a) [-2, -1]; 6) [1, 3].
x*
x
11.105. /(x) = E-_x) 2""; a) [-1, 0J; 6) [5, 6].
11.106. /(x) = 2Vl>; a) [-8, -1]; 6) [-1, 1].
11.107. j>=3 V<>MLx; a) [-7, 0]; 6) [1, 2].
11.108. f(x) = 2x2-lnx;[l,e].
11.109. Найти наибольшее значение функции/ (х) = cos x-y/sin х в про-
промежутке [0, я/2].
11.110. Найти наименьшее значение функции
/2+cosx\2
\ ЯП X /
в промежутке @, я).
11.111. Найти наименьшее значение функции
\/\
+х
в промежутке [0, 1), п — число натуральное.
11.112. Число 18 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их
квадратов была наименьшей.
11.113. Число 180 разбить на три положительных слагаемых так,
чтобы два из них относились как 1:2, а произведение трех слагаемых
было наибольшим.
11.114. Найти число, которое превышало бы свой квадрат на мак-
максимальное значение.
11.115. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли
площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две
равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора
будет наименьшей?
11.116. Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры
5x8 дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают
открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наиболь-
наибольшая вместимость полученной коробки?
11.117. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом
60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе.
Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его пло-
площадь была наибольшей?
11.118. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного
треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При
каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?
11.119. Среди равнобедренных треугольников с данной боковой сто-
стороной а указать треугольник наибольшей площади.
11.120. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют
одинаковые длины — по 50 см. Найти размер ее большего основания,
при котором площадь трапеции была бы наибольшей.
251

11.121. Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади,
вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24, 30 см
и имеющего с ним общий прямой угол.
11.122. Определить длины сторон прямоугольника наибольшей пло-
площади, вписанного в прямоугольную трапецию с длинами оснований 24
и 8 см и длиной высоты 12 см. (Две вершины прямоугольника лежат на
боковых сторонах трапеции, а две другие — на ее большем основании.)
11.123. Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью
v км/ч. После того как он отошел от А на 6 км, из А следом за ним
выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скоро-
скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули
назад и возвратились вместе в А со скоростью 4 км/ч. При каком
значении v время прогулки пешехода окажется наименьшим?
11.124. В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15, 15
и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при
основании у них общий. Найти длины сторон параллелограмма.
11.125. В какой круг можно вписать прямоугольник наибольшей
площади с периметром, равным 56 см?
11.126. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее мень-
меньшему основанию. Каков должен быть угол при большем основании,
чтобы площадь трапеции была наибольшей?
11.127. Величина угла при вершине А трапеции ABCD равна а.
Длина боковой стороны АВ вдвое больше длины меньшего основания
ВС. При каком значении а величина угла ВАС окажется наибольшей?
Чему равно это наибольшее значение?
11.128. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треуголь-
треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине
медианы, проведенной к его боковой стороне.
11.129. Величина угла при основании равнобедренного треугольника
равна а. При каком значении а отношение длин радиусов вписанной
и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно это от-
отношение?
11.130. Какие размеры нужно придать радиусу основания и высоте
открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме V на его
изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
11.131. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды имеет
постоянную заданную площадь и наклонена к плоскости основания под
углом а. При каком значении а объем пирамиды является наибольшим?
11.132. В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основа-
основания а и высотой Н вписана правильная четырехугольная призма так, что
ее нижнее основание лежит в основании пирамиды, а вершины верхнего
основания -- на боковых ребрах. Найти длину ребра основания и длину
высоты призмы, имеющей наибольшую боковую поверхность.
11.133. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет
постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол
л. При каком значении л объем пирамиды является наибольшим?
11.134. В правильной треугольной пирамиде боковая грань имеет
заданную постоянную площадь и составляет с плоскостью основания
угол а. При каком значении л расстояние от центра основания пирамиды
до ее боковой грани является наибольшим?
11.135. В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида;
в ее основании лежит равнобедренный треугольник, у которого величина
угла при вершине равна а. При каком значении а. объем пирамиды
является наибольшим?
252

11.136. Образующая конуса имеет постоянную длину и составляет
с высотой конуса угол а. В конус вписана правильная шестиугольная
призма с равными длинами ребер (основание призмы лежит в плоскости
основания конуса). При каком значении а боковая поверхность призмы
является наибольшей?
11.137. Переменная у обратно пропорциональна переменной х. Най-
Найти коэффициент к обратной пропорциональности и заполнить таблицу:
X
У
30
0,1
9,6
3,05
На графике заданной обратной пропорциональности найти точку,
ближайшую к началу координат О @; 0).
11.138. Известно, что мощность Р, отдаваемая электрическим эле-
E2R
ментом, определяется по формуле Р— , где Е — постоянная элект-
(r+Rf
родвижущая сила элемента, г — постоянное внутреннее сопротивление,
R — внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивле-
сопротивление R, чтобы мощность Р была наибольшей?
11.139. Дана функция _у=х4 —6х2 +1. Найти наибольшее и наимень-
наименьшее значения производной на промежутке [—1, 3].
11.140. Составить уравнение касательной к графику функции
у = х Aл х— 1) в точке Хо = е.
11.141. Составить уравнение касательной к графику функции у=tg Зх
в точке Хо=п/3.
11.142. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику
функции g (x) = x2lnx в точке х<> = 1?
11.143. Составить уравнение касательной к графику функции у =
Х3+1
= в точке его пересечения с осью абсцисс.
11.144. На графике функции у=х (х—4K найти точки, в которых
касательные параллельны оси абсцисс.
11.145. Показать, что касательные, проведенные к графику функции
х-4
у= в точках его пересечения с осями координат, параллельны.
х-2
11.146. Определить, под каким углом синусоида у=—= sin Зх пересе-
каст ось абсцисс в начале координат.
11.147. Показать, что на графике функции у=х3 + х2 + х+1 нет то-
точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс.
х3
11.148. В каких точках касательные к кривой у— х2 — х+1 парал-
параллельны прямой j> = 2x — l?
х3
11.149. В каких точках касательная к графику функции/(х)=
5х2
Н7х—4 образует с осью Ох угол 45°?
253

11.150. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведен-
проведенная к кривой у= 2х3 — х в точке ее пересечения с осью Оу1
11.151. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведен-
проведенная к кривой у=хъ — х — 7х+6 в точке Мо B; —4)?
3 3
11.152. Известно, что прямая у— — х является касательной
4 32
к линии, заданной уравнением j>=0,5x4 — x. Найти координаты точек
касания.
11.153. Составить уравнение касательной к графику функции
у=хге вточкех=1.
11.154. Составить уравнения касательных к кривым у=2х2 — 5
и у=х2 — Зх+5, проведенных через точки пересечения этих кривых.
11.155. Найти угол, который образует с осью ординат касательная
2,1
к кривой у=- х — х , проведенная в точке с абсциссой х=1.
11.156. Составить уравнения касательных к кривой у=х2— 4х+3,
проходящих через точку М B; —5), Сделать чертеж.
11.157. Составить уравнение касательной к графику функции у=
= 1п Bе—х) в точке х=е.
11.158. Составить уравнение касательной к графику функции/(х) =
— 2 — Ах— Зх2 в точке х -- — 2.
11.159. В каких точках угловой коэффициент касательной к графику
функции у=2хг — 2хх + х—) равен 3?
х + 2
11.160. В каких точкам шея--:-Аъуу-г* к графику функции у — об-
х—2
разует с осью Ох угол 135"?
11.161. Дана функция. f{y)-- - sin 4x— . Требуется:
2 V 3/
а) составить уравнение кага/ельной к iрафику данной функции
в точке с абсциссой х = 7г/6 (окончательные числовые значения округлять
до второго десятичного знака);
б) установить, в каких точхах промежутка 0^х<я касательная
к графику данной фунхции составляет с осью Ох угол 60°.
2 / тг\
11.162. Дана фушщия/(х) = - cos j Зле— I. Требуется найти:
3 \ 6/
а) угол, образованный с осью Ох касательной к лрафику данной
функции в точке с абсциссой х —я/3;
б) точки минимума на промежутке [0, п].
11.163. В точке пересечения графиков функций у = 6/л/х
и j>=12x — 2x проведена касательная к каждому графику. Найти
разность углов, образованных этими касательными с положительным
направлением оси Ох.
11.164. В точке М A; 8) к кривой у=\] E—х K проведена касатель-
касательная. Найти длину ее отрезка, заключенного между осями координат. '
11.165. Найти площадь треугольника, образованного биссектрисами
координатных углов и касательной к кривой у=у/хг — 5 в точке М C; 2).
11.166. К гиперболе у = 4/х проведены касательные: одна — в точке
254

MB; 2), а другие — параллельно прямой у=—4х. Найти площади
треугольников, образованных каждой из этих касательных с осями
координат.
11.167. Отрезок произвольной касательной к кривой у=х2, заклю-
заключенный между точкой касания и осью Ох, спроецирован на ось Ох.
Показать, что эта проекция вдвое больше проекции аналогичного отрез-
отрезка касательной к кривой у=х* с той же абсциссой точки касания.
11.168. В произвольной точке кривой у=-у/2х—х2 проведена каса-
касательная. Показать, что длина отрезка касательной от точки касания до
пересечения с осью Оу равна ординате точки пересечения.
Найти точки экстремума функций A1.169—11.172):
х 1пдс+2
11.169. у=—. 11.170. у= .
In* х
11.171. у = х2е~*. 11.172. у = х3е~*.
11.173. Найти экстремум функции у = х2 —In (I +2x).
11.174. Найти точки экстремума функции у=е —е и угол
между осью Ох и касательной к графику данной функции в точке
с абсциссой х = 0.
—х
11.175. Найти точки экстремума функции у — е wax и угол
между осью Ох и касательной к графику данной функции в точке
с абсциссой х=0.
11.176. Найти точки экстремума функции у = х—In (I +x) и точку на
графике данной функции, в которой касательная к графику параллельна
прямой, проходящей через точки А B; 3) и В (— 1; 4).
11.177. Найти экстремумы функции у=х3-\— и составить уравнение
х
касательной к графику в точке с абсциссой х= — 2.
11.178. Дана функция у= — х*—8л:2+ 9. Найти ее экстремумы и ор-
ординаты точек пересечения с графиком функцииу=—9х2 + 9.
Найти экстремумы функций и указать промежутки их возрастания
и убывания A1.179—11.183):
11.179. у = е~х-е'2х. 11.180. у=х2е~\
11.181. у=е sin*, если 0<л:<я.
11.182. > = х + 1п A-2х). Ц.183. yJX~2)(X+3X
(х-5)
Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экст-
экстремума A1.184—11.201):
11.184. у=——. 11.185. v= .
х* + 1 (х-2J + 1
1 4
11.186. у=х2 + ~. 11.187. j> = x+--.
X X2
х2-— 1 (х—2J
11.188. v= . 11.189. >=^ -.
х2 + \ Х2 + 4
11.190. у= Х ~4Х . 11.191. у~-г
18 * * tx
255

11.192.
11.194.
11.196.
11.198.
11 7ЛП
У=
У=
У=
у-
х+2
х2-9
1-х
(х-2K
х2+2х
JC—1
2х
Х2+Х+1
(*-з)а
4
Х2-1
Зл
х2+4.
X —
X2
Х3-1
х + 2
х + 4
1
v + 2
1
11.193. у=
11.195. у=
11.197. j>=
11.199. у=
-. . , , 11.201. j»=
jc2 ' (дс-1)(дс-4)
Найти экстремумы функций, указать промежутки их возрастания
и убывания, а также начертить эскизы графиков функций
A1.202—11.211):
11.202. ^=2д:3 + Зд:2-1. 11.203. ^=0,5д;4-4д;2.
11.204. >>=х4-10х2 + 9. Ц.205. у=----2х+3.
11.206. _у=хэ-Зх2 + 2. 11.207. у=2х3-\5х
х* 9
11.208. >>=8 + 2х2-х4. 11.209. у= 2х2—.
4 4
11.210. >>=-х5-4х2. 11.211. у=- 2
5 •
11.212. Точка движется прямолинейно по закону s @ = 3-\м • Пока-
Показать, что ее ускорение обратно пропорционально квадрату пройденного
расстояния.
В задачах 11.213—11.218 указан закон прямолинейного движения
s (/); s и t выражаются соответственно в метрах и секундах.
4г+3
11.213. s (/)= . Найти скорость в момент t=9.
11.214. s (r)=2/3 —3/ + 4. Найти скорость и ускорение в момент / = 2.
11.215. *(/)=0,5/4 —5г3 + 12/2 —1. В какие моменты времени ускоре-
ускорение движения тела равно нулю?
11.216. s (t) = 8—2t+24t2—0,3ts. В какой момент времени тело име-
имеет наибольшую скорость? Найти эту скорость.
11.217. Движения двух материальных точек вдоль одной прямой
заданы уравнениями s1 = 4t1 + 2, S2=3t2 + 4t—\. Найти скорость движе-
движения точек в те моменты, когда пройденные расстояния равны.
11.218. Прямолинейные движения двух материальных точек заданы
уравнениями si=2t3 — 5t1 — 3t, s2=2ti—3t2 — llt+l. Найти ускорения
точек в тот момент, когда скорости их равны.
11.219. Две точки движутся по оси Ох. Координата хх первой точки
определяется формулой Xi = 3t2 — 5, координата х2 второй точки —
формулой X2—3t2 —1+\ fa, Xi — в метрах, / — в секундах). Найти
скорости движения точек в тот момент, когда координаты точек равны.
11.220. Тело, выпушенное вертикально вверх, движется по закону:
a) A (f)=8f-5/2 или б) h (t)=4+it—5t2 (A — в метрах, / — в секундах).
256

Найти скорость тела в момент соприкосновения с землей (ускорение
g считать равным 10 м/с2).
11.221. Тело массой /щ движется прямолинейно по закону s(t) =
= . Доказать, что сила, действующая на тело, пропорциональна
кубу пройденного пути.
11.222. Тело массой гщ движется прямолинейно по закону s(f) =
= at1 + fit+y (a, /?, у — постоянные). Доказать, что сила, действующая на
тело, постоянна.
11.223. Радиус шара г равномерно возрастает со скоростью 2 см/с.
С какими скоростями возрастают поверхность и объем шара? Найти эти
скорости в момент, когда г достигнет 10 см. (При /=0 величина r—Q.)
11.224. Угол а, на который повернется колесо через промежуток
времени t, равен а=3/2 —12/+36 (а — в радианах, t — в секундах).
Найти угловую скорость <а в момент / = 4 и определить, в какой момент
времени колесо остановится.
11.225. В тонком неоднородном стержне, имеющем длину 25 см,
масса (в граммах) распределяется по закону g (/) = 4/2 —2/, где /— рас-
расстояние от начала стержня до любой его точки. Найти плотность
стержня на расстоянии 4 см от начала стержня и среднюю плотность
стержня.
11.226. Дана функция f(x) = \x\. Написать выражение первообразной
функции.
Найти функцию F (х), график которой проходит через заданную
точку Мо (х; у) A1.227—11.228):
11.227. F' (х) = 4х2 + 9х~2; Мо C; -2).
х3 1
11.228. F' (х) = 4х+-; Мо B; 1).
Для данной функции / (х) найти первообразную F (х), график кото-
которой проходит через заданную точку Мо (хы Уо) A1.229—11.232):
11.229. /(х) = х4; Мо (-1; 2). 11.230. f(x) = sin2x; Мо @; 1).
ф F()
11.231. /(*).—l_;Af0 fe "Л U-232. /(*) = *-¦: Мо B; -3).
11.233. Найти функцию F(x), если известно, что F' {х) = Ьхъ —
ичто/-A) = 3.
11.234. Для функции/(х) = cos 4х найти первообразную F(x), если
известно, что F (я/24)= — 1.
11.235. Найти функцию S (х), если ее производная 5" (х) = 2/-у/5—х
и?A)=-1.
11.236. Чему равен путь, пройденный точкой, движущейся прямоли-
прямолинейно, за отрезок времени от /i = l до B = 4, если скорость точки
v (/) = 2/2 + 3f (t — в секундах, v — в м/с)? Чему равно ускорение точки
в момент t=21
11.237. Тело движется прямолинейно со скоростью v (/) = 3>/l +1
(/ — в секундах, v — в м/с). Найти путь, пройденный телом за первые
7 с. Чему равно ускорение тела в момент /=7?
Вычислить интегралы A1.238—11.263):
9-362 257

11.238. Jcos2xdx.
о
27
11.240.
J V*2"
8
up.
11.242.
11.244
cos2 —
2я
г *
L sin - ax.
J 2
—я
2я/Э
11.246. j mi(--3x\dx.
О
-54
11.248.
9
0.J
11.250. J y/l-xdx.
о
11J52.
0.3
IK)
abt.
l
«/4
11.254. J (tgx+ctgx) dx.
я/2
11J56. J sin4xflbt.
11^58.
f xdx
J (*+lK"
о
я
258
11J60. J sin2x cos ЗхаЬс.
о
Ш62. J cos3xcos2xdx.
0
я/2
11.239. J sin22xdx.
11.241. J (sin2r-cos2/JA.
о
11.243. j cosf—-3xjix.
я/2
11.245. J sinxcosxdbr.
о
11.247. J(l + 3x)*ix.
о
7/3
11.249.
SL
11.251. ГА.
JO,5x
11.253.
dx
о
я
11.255. Jcos4xdx.
11.257. j
о
1:
11.259. J
xdx
dx
-l
*/2
11.261. J sin4xsin5x<?t.
11.263. J i
-2

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями
A1.264—11.272):
11.264. у=х3,у=\ их=2.
11.265. >>=cosx, у=0, х= — я/4 и х=я/4.
11.266. у=у/х, у=2 и х=9.
11.267. у=х3пу=у/х.
11.268. у=2х-х2пу = 3/4.
11.269. у=х* иу=х.
11.270. у=1/х1, у = 0, х=0,5 и х=2,5.
11.271. >>=5/хи^=6-х.
11.272. >>=хэ-4х, у = 0, х^О.
11.273. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
y — lx1 — 2x+l, прямыми х=0 и>>=0 и касательной к данной параболе
в точке с абсциссой х<, = 2.
11.274. Написать дифференциальное уравнение для гармонического
колебания: а) у= -4sin Bx+3); б) _y = 3,8cos @,6x-10).
11.275. Найти два отличных от нуля решения дифференциального
уравнения: а) у'= — Збу; б) у"= —Збу.

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
1.001. О Введем обозначения:
1 1
а Ь+с ( Ь2+с2-а2
'А; 1 +
1 1
-н
а Ь+с
( Ь2+с2-а2\ а-Ъ-с
Л\ + )~В; = С.
V 2Ьс ) аЪс
Тогда заданное выражение примет вид А В: С. В выражении А до-
допустимыми являются значения а^О, Ь^О, сфй, Ьф—с. Приведя дроби
Ь+с—а
к общему знаменателю, получим А = ; для выражения В, используя
Ь+с+а
(Ъ+сJ-а2 ф+с+аH>+с-а)
формулы A.8), A.9), находим В" = . Следо-
2Ьс 2Ьс
вателъно,
b+c-а {Ь+с+а) (Ъ+с-а) {Ь+с-аJ
АВ>- • =» ;
Ь+с+а 2Ьс 2Ьс
(Ь+с-аJ аЬс а (Ь+с-а?
АВ:Сш • » .
2Ьс а-Ь-с 2(а-Ь-с)
Подставив тадавиыд значения, имеем
(-11,05 + 1,07-0,02J-0,02 1020,02
2@,02+11,05-1,07) 2 10 ' "
1.002, Q Стоящие в знаменателе квадратные, трехчлены разложим на множи-
множители: <2+3<+2-(t + l)(l+2); <2+4<+3=(/+l)(<+3); t2+5t+6 =
"(/+2) (/+3). Отсюда видно, что для существования дробей необходимо,
чтобы 1ф — 1; /?*—2; f#—3. Приведя сумму дробей к общему знамена-
знаменателю, получим
1 It 1 2(л2 + Ъ1+2) 2
-Н +-
и далее
(a-bf+ab
1.003. П Положим А**- ;В=а'+Ь'+а2Ь3+а3Ь2; С={а3+Ъг+а2Ъ+
(a+bf-ab
+ab2) (аг—Ь3). Преобразум каждое из записанных выражений, используя
260

для разложения на множители формулы A.9), A.13), A.14) и группировку
a2-ab+b2
членов: Л= ; В=а*+а3Ь2+Ь5+а2Ь3=а3 (а2+Ь2)+Ь3 (в2 +
а1+аЬ+Ь2
+Ь21-(а3+Ь3) (а2+Ь2); С=а3+Ь3+а2Ь+аЬ2 (а3-Ь3)=((а3+а2Ь)+(Ь3 +
+о*4)) (а3-Ь*)=.(а+Ь) (а2 + Ь2) (я3-*3). Тогда получим
В_а2-аЬ+Ъ2 (а+Ь)(а2+Ь2)(а3-Ь3)
'С~а2+аЬ+Ъ2 (a2+b2)(a3+b3)
(а2-аЬ+Ь2) (а+Ь) (а-Ь) (a2 + ab+b2) (а2 + Ь2)
= : =а—Ь, где аф — Ь.Ш
(a2+ab+b2) (а2+Ь2) (a+b) tf-ab+b1)
1.004. 0,04. 1.005. Мп)"*". 1Л06. (й + 1)/F-2а). 1.007. \+Зх2.
1.008. 1. 1Л09. (х-у)/(х+у). 1.010. 1. 1.011. 1/(ху).
1.012. 24/Eу~2х). 1.013. 20. 1.014. 2д + 3. 1.015. 1+2х.
1.016. 0,5. 1Л17. (а-Ь)/(а+Ь). 1.018. 1. 1.019. 1/4.
1.020. -1. 1.021. 2*-1. 1.022. 1. 1.023. 0,5а3 (в-1).
1.024. -7/24. 1.025. 1/(аЬ).
1.026. D Используя дня первого множителя заданного выражения формулу A.9),
получим
1т2-9 I т2-9 .- 1т2-9
- I + 2 т VJm+ I =
V т V т V т
,- 2yJm2-m2+9 2 (m+3)
2 (m+3) Im2 2 (m+3) .-
Далее находим =—•* —= =—=v2(m+3).
s/m V 4 A
1.027. D Используя формулы A.7), A.8), A.9), находим
—а о
Тогда заданное выражение преобразуется так:
откуда при Ь=4 получаем ответ: —4. ¦
1.028. ? Воспользовавшись формулами A.20) и A.23), преобразуем разность
. Следовате-
V и Vй Vm
льно,
Vm / \A2 . \AJ
= (ra-Vr*-16).
2

Произведя деление, получим ответ:
г
1.029. D Применяя формулу A.8), в числителе получим
liiii 1
--1 --1
т л \
х —Ъх 1 =
1 1
1 1
п - -г
( т ¦> Л / я -.Л -1 ( т 1 Л (дг+зх)/„, .\
= 1 х +3х 11х -Зле 1 х 1 I х -Ъх 1= I х -Зд: I .
Используя формулу A.9), преобразуем знаменатель:
2 т+я 2 m+n 1 1
in /пп
ДС +6ДС
.(,--„¦).
Отсюда находим
111
/ т п\ [ т
:(xm-3x")
1.030. П Здесь допустимыми значениями выражения являются только значения
х> а, где а > 0. Используя равенство д:—а = у/х—а • уде—а и приведя сумму
дробей в скобках к общему знаменателю, получим
У^-Д у/х-а-у/х-а jjx-a ^ /Г—% Vx2-r2
Тогда-1 : 1—-\=- =1. ¦
''а а у/х2 — а2
1.031. П Применяя формулы A.7), A.9), A.10), A.14) и A.16), в первой скобке
получим
1
Приведя к общему знаменателю дробя во второй скобке, имеем —= =+
262

1 2,/2
H = == . Окончательно находим
W 2
1.032. лс-1. 1.033. 2^y/p+y/qIl{p-q). 1.034. (Ja + Jbflia-b). 1Л35. ОД.
1.036. 0. 1.037. 1/(аА). 1.038. (y/m-JnJ. 1°39- J»2- 1<М0- (t+l)/t. 1.041. -4.
lfct,Vx , *т/х + *у/у т .-
1.042. - . 1.043. х + 1. 1.044. Vе-1- 1045- -^-=—^4. 1.046. Jy.
1.047. \zIP-z'\ 1.048. yjx. 1.049. 16. 1.050. 2 6л/а'/а. 1.051. 1/7*2-1.
1.052. -Ухприхе@, 2); ,ДприлсеB, оо). 1.053. ^/бх. 1.054. V20*- 10SS- 1-
1.056. l/i2y/a2b. 1.057. ±%/2- 1.058. 2Цх2~а2). 1.059. -1. 1.060. 1/а. 1.061.
O- 1-062. а5/6. 1.063. аФ + ЬФ. 1.064. а-А. 1.065. <Jm-j~n)lm.
1.066. iy/a1~3y/b2. 1.067. 1. 1.068. 2 —. 1.069. 6. 1.070. y/t2-4/(.t +
CJl/
^
+2). 1.071. 1. 1.072. -25 при а>0; 25 при а<0. 1.073. -yjac. 1.074. Vl+x.
jcI/3+ 1/3
1.075. 2. 1.076. 3. 1.077. -L-. 1.078. 1/(jc2-1). 1.079. 2,Д 1.080. 0. 1.081.
*J>2
:W . 1.082. . 1.083. 5. 1.084. 4p-*j4p2-\. 1.085. y/a2-h 1.086.
4 (a -x)
1 /-/ 2\ Г
— =. 1.087. -3n (m+p). 1.088. -Jx 1+—). 1.089. (l-a)/y/a. 1.090.
Ja+y/2 \ * /
-l/(a2 + a+l). 1.091. I. 1.092. -. 1.093. -1. 1.094. q (p + q). 1.095. 5.
1-х
1.096. 1-х2. 1.097. -. 1.098. Зу/х+у-ъл/х-у. 1.099. 1/2. 1.100. x+y.
1.101. 2. 1.102. 1. 1.103. -1. 1Л04. z(r + l)(z+2). 1.105. -,/2/Ba). 1.106. 1-a
при д6(-оо, -1); a-1 при ae(-l, 0)U@, 1)(JA. »)¦ 1.107. a/2. 1.108.
(a+AKVA2 + 2o3. 1.109. -1. 1.110. 29/35. 1.111. 100. 1.112. 1/3. 1.113. V*+
+%/*• 1-114. 16e2. 1.115. (a+AJ. 1.116. l/m2. 1.117. -a2. 1.118. 1/2.
1.119. П Запишем числа под знаками радикалов в другом зиде:
5 /l6 3 3/-+ П6- 2 3 /--И 3s/iiy/2. Применив формулу A.19), по-
263
лучим 5 4
1.120. 3/5. 1.121. 31/3. 1.122. 1202. 1.123. 0,1. 1.124. 0.

1.125. D Обозначим праьую я левую части равенства соответственно через а
я Ь. Так как а>0, Ь>0, то из равенства аг=Ь2 будет следовать равенство
а=Ь. Имеем
2 (V27 - \/з v/3 - Уз +1) _
а+Ь
1.135. 0. 1.136. 0. 1.137. . 1.138. -3/4. 1.139. 3/4. 1.140. 0,2. 1.141. 6.
ab
1.141 -Уб/2. 1.143. (а-6). 1.144. (а+6). 1.145. 1.
1.146. П Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим
числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
B-/г)-у/3 B+
B+v/2)+v/3
_
У2'Уз_ i+Уб
3+4У2 3+4^/2
Снова произведя аналогичные действия, находим
1 + 2V6 3-4У2 A+2Уб)C-4У2)
3+4^2 3-4^/2 23
1.147. 2(*УЗ-У2)(Уз + У2)C + У2). 1.148. (Vl3+>/3) (^13+3). 1.149.
1.150. C^2+2*/3-^У0)/2. 1.151. (,/а+*^
+ УУ)/
1.151 D Пусть а и b — искомые числа; тогда а+Ь = \\ и ab=2\. Согласно
формуле A.11), имеем (a+bK=a3+b3+3ab (a+b). Следовательно,
а3+Ь*=*(а+ЬK-Ш (a+b), т. е. a3+63 = ll3-3'21 11=638. ¦
1.154. 6. 1.155. 5. 1.157. а) 20/3;' б) 4.
1.158. D I способ. Коэффициенты числителя и знаменателя преобразуем так,
чтобы можно было вывести общий множитель: а3 —2о2 + 5д4-26=а3 +
+ 2а2-4а2-8а+13а+26=а2 (в+2)-4а Га+2)+13л (a+2) = (a+2)(aJ-
-4а+13); аэ-5а2+17а-13=а3-а^-4а*+4а+13а-13=(а-1) {а1-Ла+
а+2
+ 13). Произведя деление, получим ответ: .
а—\
II способ. Представим свободные члены многочленов в виде 26=1 2 ¦ 13
и 13 = 1 '13. Далее проверяем, не является ли каждый из множителей
корнем заданного многочлена; для этого подставляем его со знаком «4-»
или «—» в многочлен. Для многочлена а3—2а2 + 5а+26 таким корнем
264

является — 2 (поскольку (-2K-2 (-2J + 3 (-2)+26=0). Теперь делени-
делением многочлена на разность а— (—2) понизим его степень на единицу; имеем
(а3 —2а2 + 5а+26):(а+2)=а2 — 4а+13. Таким образом, получаем разложе-
разложение на множители: (а+2) (а1 — 4а+13). Здесь квадратный трехчлен не имеет
корней, так как D<0. Это разложение единственно. Аналогично разлагаем
другой многочлен и в результате получаем тот же ответ. ¦
1.159. ? Разложим многочлены третьей степени на множители (см. задачу
\.Ш): р*+4р2+\0р+12-(р+2) (р2+2р+6);Р3-р2+2р+16~(р+2) (р2-
-Зр+8); р*-Ър1+%р~р (p2-3p+i). Тогда получим
* (Р+2) (р2+2р+6) p(p2-3p+i)
(р+2) (p2-3p+S) ШР
Выполним укат
аменателю:
z-2 z2+8z+4 1
1.160. О Выполним укатанные действия внутри скобок, приведя дроби к общему
знаменателю:
(z-2)(z2+2z+4) z-2
z2-4z+4+r2+8z+4-z2-2z-4
(z-2)(z2 + 2z+4) z-2
Затем упростим вторую дробь:
z3+2z2 + 2z+4 (z+2)(z2+2) z+2
z3-2z2+2z-4~(z-2) (z2+2)~z-2
1 z-2 1
Окончательно получим • = .
z-2 z+2 z+2
' D
x*(jc2+3)
jc2+5jc-3 9 (x+2) (x+3)
(x+2) (x+3) x* x (x+2) (x+3) x_
( , l\2 /IV
1.162. ? Рассмотрим выражение I x2H—- 1 —14 I x+- 1 +77. Для его упроще-
упрощения воспользуемся подстановкой хН—=z; тогда х2-\—-=г2—2. Следовате-
х х1
льно, (z2-2J-14zJ+77=z*-18z2+81=(r2-9J или (х2+2+—-9j =
/ , IV (х*-7л:2 + 1J
=( дс2—7н— 1 = . Теперь заданное выражение примет вид
V х2) , х*
, (x7x + lf I
(x4~7x2 + iy2- L»—. Ответ: 5*/125 = 5. ¦
х* х*
1.163. D Первая дробь после обычных преобразований примет следующий вид:
265

(Ь~хJ+4Ьх+4 (bx+2J bx+2
bx(bQ.+bx)-2xB+bx)) bx B + bx) (b-2x) bx (b-2x)
Bx+b) Bx-b) 2x + b
Упростим вторую дробь: = . Тогда получим
^ Ь(Ь-2хJ Ь(Ь-2х)
( Ьх+2 2х+Ь \Ьх
\bx(b-2x) b{b-2x)j 2
Ъх+2-2х1-Ьх Ьх 1-х2
Ьх(Ь-2х) 2~Ь-2х'
Г а +1 а + 2 •. ¦. ¦, ¦,
1.164. V5/5. 1.165. . 1.166. . 1.167. а2х2-Ъ2у2. 1.168..
V a-\ аг(а-\)г х-\
1.169. П Чтобы разложить числитель на множители, произведем следующее
преобразование: х'+1=х' + 2х2 + 1-2х2=(х2 + \J-(у/2хJ=(х2 + 1 +
+ i/2x)(x2 + l—y/2x). Тогда числитель примет вид {x2 + yj2x+\) {x2—
-л/2х+1)+(х2+у/2х+1)=(х2+Ху/2х+1)(х2-х^/2+2). Таким образом,
получим
(х2+Ху/2+1)(х2-Ху/2+2) г
^±/22
1.170. П Трехчлен а3 —1а2+4 в числителе грушшровкой разложим на множите-
множители: a3—3aJ+4=(a+l) (а—2J. Аналогично разложим на множители трех-
трехчлен в знаменателе: а3+Ъа — 4=(а—1) (а+2J. Продолжая разлагать на
множители числитель и знаменатель дроби, получим
(a-2) ((e-
-l (a+2) ((.a + 2)y/a-l+(a-2h/a+l)
v/a-l)) (a-2L/a+l
y/a-1 (a+2) (a (Va+1 + ,/a-l)-2 (y/a+1 - Ja-1)) (a + 2)y/a-1
1.171. П Внутри скобок числителя вьшесем общий множитель: ab (ab —
—6а Ь +12л Ь —8)—ab (a ft —2)s; тогда числитель будет равен
a b (a b — 2I. Аналогично преобразуем трехчлен в знаменателе:
4-2)i. Окончательно нахо-
дим «1. Ш
2/3.1/2 1/3 1/4
а о (а о —2у
1.172. П Запишем числитель в следующем виде:
266

2/3 2/3 2/3
x x -Ba)
1 —
ХBа) х + Bа)
Тогда дробь будет равна = . Внутри скобок
B*А*1/3-B*I/3) BаJ13
получим
1/3- 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
х +Bа) 1 дг +Bй) -Bа) х
BаJ» B*) B.J/3 BаJ"
Окончательно находим
W
1.173. D Приведением к общему знаменателю и вынесением общего множителя
преобразуем отдельно числитель и знаменатель первой дроби:
_
2y/xy(yjx+yjy)
V — XyJy — yy/x+yy/y + XyJx + XyJy+yyJx + yyJy
x2-y2
2(x-yjxy+y)
(x+y) (Jx-Jy)
Тогда первая дробь примет вид
2у/ху 2(х-у/ху+у) у/ху(х+у)
Jx-yjy (x+y)(Jx-y/y) x-Jxy+y
yjxy(x+y) y-yjxy + x x+y
Окончательно получим ==— • =— = . ¦
x-Jxy+y 2-Jxy 2
1.174. D Легко догадаться, что подкоренное выражение в числителе есть полный
/ / ,
квадрат суммы: (y/b + 2 + y/b — 2) . Тогда получим
^/ (y/ y/) y/
1.175. D Разложим на множители отдельно числитель и знаменатель:
b2-3b-(b-\)y/b2-4+2=b2-b-(b-l)*/b2~4-2(b-l) =
=Ь (b-l)-(b-l)Jb2-4-2(b-l)=(b-\) (Ь-у/Ь2-4-2);
=(Ь+\)(Ь-у/ь2~4
267

Тогда дробь примет вид
{b+YhJb+2
b-\ jb~^2
b + l VA+2'
l-b lb-2 lb+2 l-b
Окончательно находим
b + l
1.176. ? Легко заметить, что m+4-Jm—4=(-v/m—4 + 2J; m—4^/m—4 =
—4 — 2) . Тогда — ==—==—. Оконча
/
y/m-4 + 2 (y/m-4-2J m-8
тельно получим —=====— • = . ¦
ym_4_2 2 2
1.177. О Преобразуем подкоренное выражение в числителе:
-_2=
, х-\ х+\
откуда / / 1- / 2= =====—. Далее, используя формулу
A.14), получим
*y/x2-1 (y/x+1 - V*-1) (Vx2 -1
1.178. О Числитель и знаменатель первой дроби разложим на множители:
3 ly^-
у Jt
3-у3~3у/х>-у3 (х2-2ху+у2)
=3у/х3-у3 (х-уJ;
V*5 Cx*-?ya)+V*V"-V*J (Jt*-2j-2x2+/)=У? С*2-у2J.
Тогда первая дробь примет вид
- . . У+)+>
Преобразуем вторую дробь: = =-. Таким обра-
*+У (х+у) У*2
зом, окончательно получим
268

3y/x-y3y/x2+xy+y2
1.179.
2)-7(У1+дС+У1-дс)-
Уг 2+yi-j
1 2 + J\-x2 2x
_~=(х+1-1+Л =--^,
1.183. П Здесь в знаменателе следует применить формулу у/А±В=
А-у/А2-В2
± / , где А~^В. Подставляя х=2 и исполь-
исполь/2 + У4-3 /2-У4-3
зуя эту формулу, получим / 1- / = у/2+у/3, т. е.
I—т h /1 Уз+i /—j /з Я 7з-1
V2+v3= /-+ /-= =—," аналогично, -J2—v3= /— /-= =—•
V2 V2 уг V2 V2 у2
Следовательно,
V2+V2+V3 Уг-Уг-Уз
.-б-гУз+зУз-з+б+гУз-зУз-з .-
V 9-3 V
1.184. 7=—. 1.185. V1*-*2 I-186- <J*3-y/y3-1-187- У2-
У
1.188. -(*у/х+*уД). 1.189. 3.
1.190. ? Легко заметить, что в числителе первой дроби выражение в скобках
а+2а
есть арифметическая прогрессия с разностью d= 1, откуда >УЯ= (а +1).
Разложив знаменатель на множители, запишем первую дробь в виде
а+2а
2 (в+1)
2 За
ш . Затем преобразуем вторую дробь:
fl+2
269

6 (у/а + y/b) (-Jа - y/b) 6 За
—== = . Окончательно получим Н
У(д-АK (а+2) 'у/(а-ЬJ "+2 а+2
6
+ =3. ¦
а+2
1.191. D Все три множителя запишем под одним общим корнем:
\/5 ~ ъГ~Т.—r~**6J~~2 т~=6 / * =3 I—-•
Так как хе@, 1), то получаем ответ
D 1) у/(у/а-у/Ь + *у/Ь)(у/а-у/Ь-*у/Ь)=^у/а-у/ьJ-у/Ь ;
2). /1+. - -
JUa-Jbf-JbJa .-
3) V V _ _ -^—j^ у/а. Ответ:
////
1.193. ?
_ _
*s/a3-*s/a y/a+2~a (_y/a-^
V"
2)
(a+2)+{a+2)
а2~*у/а>+у/а
3)
(,y/a-y/a+2) (a +Va) (a2-a *-y/a+y/a)
Так как a>0, то y/a—y/a+2<0, откуда получаем ответ: — (а3 + *у/а3).
1.194. х2|У^. 1.195. CVa-l)/4. 1.196. -24 (а+Зу/аЬ).
1.197. D 1) (' 1+—-3ъ/у/а+1-3-ь/у/а-1-6 /1 =] =
6\/(Уд-1J
-^
va, / /
1.198. -1. 1.199. V(x+3)/(x-3). 1.200. -y/(t+2)/(t-2). 1.201. ЩаЬ). 1JOL kn.
1MX 6y/a2-\. 1Л04. l/(*y/a-i). 1.205. 1/A +3y/a). 1.206. a/(a+l). 1J07.
270

-3). 1.208. l/(V2-V<0- 1.209. 6Jm-6y/n. 1.210.
1.211. 1.1.212. 1.1.213. z^Cz'+z+l). 1.214. (a+Va2-9)/3.1.215. Z 1.216. ^/3/3.
1.217. Ja*-\. 1.218. -2-4,Д 1.219. -ЛД 1.220.1. 1.221. a-b. 1.222.
-y/(x-2)/(x+2). 1.223. 1 + Va. 1.224. <Jal(<j2a+l-*Ja). 1.225. 2
1.226.2,4. 1.227. x3 V"- 1.228. 1/(,/<*+3 Va)- 1-229. 1/B^*)- 1.230. 0.
1.231. y/p2-q2ly/p. 1.232. 1,25. 1.233. 4/9. 1.234. ,/x+l. 1.235. 4.
1.236. l/Sy/p-q.U37. 2.1.238. 1.1.239. V^/O +«)¦ 1-240. ^/аЦа+4Й). 1.241. 1.
Ib2-2b+l \b-l\
1.242. П Упростим знаменатель: / »=—=-. Тогда данное выражение
|l|+A|*l| + 2*2
примет вид = . Нетрудно заметить, что b>0 и
Теперь воспользуемся определением модуля и рассмотрим различные про-
промежутки изменения Ь:
-(Ь-1)-Ь2 (Ь-1) + 2Ь-2 (Ь-1)(-1-Ь2+2) 1-Ь2
1) Ье(О, 1) -. -^ —-^ ^ -' ¦=
-yJb(b-\) -у/Ь(Ь-1) -у/Ь
А-1+62(А-1)+2(А-1)
2) 6еA, +оо) =»
1.243. ? Здесь хфйъ хФ — 1.В зависимости от промежутков изменения х полу-
получаем ответ:
.(й-1)
шснмо
2х+х(х-1)-х2 + 3 х+3
1) хе(—оо, —1)(J(—1, 0) => » ;
—х+х2 х2—х
2) хб@, 1) =» +Х ~Х+Х + р^-;
Х+Х2 Х2+Х
2x-x2+x+xJ + 3 Зх+3 3
3) хеA, +оо) •
X
1
1.244. П Очевидно, что данное выражение можно записать в виде h |jc—2|.
1+2|
Рассматривая различные промежутки изменения х, получим:
1 х2-3 3-х2
1) *б(-оо, -2)=» --{х-2)=> -;
дс+2 дс+2 х+2
I 5-х1
()
I
2) *б(-2, 2) => (х-2) ;
х+2 х-2
1 х*-3
3) хе[2, +оо)=» +х-2=» . ¦
х+2 х+2
1.245. D-xJ)/(xl+4x-4), если хе(-оо, 1) и х+-1±2yj2\ (х+2)/B-лг), если
[1, 2^ (х+2)/(х-2), если хбB, оо).
271

|| + |х + | ||(с + +1) + |*И|
1.246. П Здесь х#0. Имеем — !=- — !, от-
X3 + X X3+X
куда получаем:
-X3+\-X-l
1) «(-co, -1)=» 1;
3 +
дс + 1+дс+1 2+x-x3
2) «[-1,0) U @,1)- : ;
X3 + X X3+X
3) xe[l, oo)
1.247. D Имеем \x2—l\+x |x+l| = |x—1|-|лг+1|+дг |дс+1|. Отсюда получаем:
1) хе(-со, -\)^> х2-\~х(х+\)=-(х+1);
2) хб[— 1, 1)=* -х2+1+х2+х=х+\;
3) хе[1, оо) •» х2— 1 + х2+х=2х2+х—1. ¦
1J48. D Здесь jc#-1,x#1,x^2. Имеем:
1) хе(-а>, -1)=>(-х2 + 2х+2л-4):B-дг) =
;
дг-2
*2+4
2) «(-1, 1) =» (-лг2-2л+2х-4):B-х)= ;
дс-2
3) хеA, 2)=>(л2-2х+2х-4):B-х)=-(х+2);
4) л:бB, оо) => (х2-2х+2х-4):(х-2) = х+2. Ш
1.249. П Очевидно, что х>0, хчЧ. Подкоренное выражение в числителе равно
B*+!)* „
. Разложив знаменатель на множители, запишем данную дробь
|2х+1| 1
в виде = . Следовательно, при лее@, 1) получим
*|*-1|-|2х+1| х\х-1\
1 1
, априхеA, +оо) получим . ¦
X—X X —X
1.250. D 1) Jx-4jx
2)
Если yJx-4-2<Q, то sJx-4<2, т. е. 4<д:<8. Таким образом, при
4
лсеD, 8) имеем А=—==—1, а при дсе[8, оо) получим А = 1. Ш
Vjc-4
1.251. -(да*+1и V2+V4) ПРИ «е(-оо, 0)(J@, I); m3/(m-3^2) при
/ябA, VbU(V2. »)• 1-252- -(х2 + х+1)прихб(-оо, 1)(JA,3); jca-f-Jt+l при
дсеC, оо). 1.253. -а/2 при ае(-оо, -2); а(а-1)/2 при аб(-2, оо).
1J54. l/(w+2) при me(-oo, -2)Q(-2, 0)^C, 00); -l/(m+2) при ме@, 3).
1Л55. -1/х при «(-во, 0)U@, DUO. 2); 1/дс при дсбB, 3)|JC, со).
1356. 1/(в+1) при ае(-оо, -3)Q(-3, -1)U(-1, 2); 1/(в+3) при аеB, оо).
272

1.257. 1/A -Здс) при дсб(-оо, 0); ^ при хе[0, 1/3)\JA/3, 1); 1/(дс-1)
(дс-1)(Здс-1)
при хеA, оо). 1.258. при хе(-оо, -3/2) И (-3/2, 0I) @, 3); 1/х при
дсBдс+3)
а+5
*бC, оо). 1.259. -1/а при ае(-оо, -5); при <ze(-5, 0)(J@, 5/3)U
а (Зо—5)
х6[-1, -,/2/2) N(-,/2/2, ^/2/2I1G2/2, i); о при дсеA, оо). 1.263. -4 при
>-е(-оо, 3); 2v-10 при уф, 9); 8 при уе[% оо). 1.264. A + х-х2)/(дс+1) при
( 1I1@ 1) {2Щ\) [1 ) A2)/A)
(-оо, 3); 2v-10 при уф, 9); 8 при уе[% оо). 1.264. A + х-х2)/(дс+1) при
лсе(-оо, -1I1@, 1); {х2+х-Щх+\) при *е[1, оо); A-х-л2)/(х+1) при
хе(-1, 0). 1. 265. (д:+1)/A-л) при хб(-оо, -1); (х+1)/(л-1) при хе[-1, 0);
(дс-1)/(х+1) при дсе[О, оо). 1.266. х при хб@, 1/2); -х при лее A/2, оо).
1.267. ? Найдем допустимые значения х для данного выражения: дс>1 и
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе:
х-2 х-2 х-2
_\х-2\
~ х-2'
х-2 х-2
Итак, получаем: 1) дсе[1,2)=> = —1;2) дсеB, оо) => = 1.
х—2 х—2
1.268. ? Разлагая числитель первой дроби на множители, имеем
(Ух-Э "
— г12у/х3у2~'-у/х2 + х2у/х3у*+
далее находим ((*у/х—3л/уJ) — = —. Аналогично преобразуем
|У*-Уи
вторую скобку:
•-•у*
В результате получим ¦
Ответ: при *у/х-3у/у<0 => -Уде; при Удс-Уу>0 =» Уд:. ¦
1.269. ? Простейшие преобразования дают:
Sx-
273

x+ly/x+9 I
Ответ при лсе[О, 9) =» 3-2,/лс; при дге(9, оо) =» -3.
1.270. П Упростим числитель:
/0 +*J 1 /
/- --l=-=,/l-
V 4я ^аУ
2 /-f^+v/a) -1-2 /- --l=-=,/l-2fl+a2
И-<
Тогда знаменатель запишется следующим образом:
|1-а| 1 1
т(\-а) ^B|1-а|-A-а
J
Заданное выражение примет вид -
2 |1-в|-0
Ответ при ае@, 1) => -; при аеA, оо) =» 2.
1.271. П Имеем
1 1
Ответ при лсе(оо, 0) => —; при дсб(О, оо) => -.
1Л72. О Находим
/z-3 (z+3) \(z+3)Fz-z1-9)
|z-3|/ V 18z
Так как z> —3 и z^O, то получаем:
z2-6z+9+z2+6z+9 (z + 3) (z-3J
1) приге(-3, 0)(J@, 3)=» =
. U Cr+3)(r-3) 18z
9z
z2-6z+9-zJ-6z-9 (z+3)(z-3)J 2(z-3)
2) пригеC, oo) => • . ¦
(z + 3)(z-3) 18z 3
1J73. ? Первое подкоренное выражение преобразуем следующим образом:
у/х—2+л/2; здесь дс>2. Аналогично,
\т/х-2--ь/2\. Следовательно, заданное
выражение примет вид ¦Jx—2+y/2+\y/x—2—y/2\. Итак, получаем ответ:
1) y/x-l-y/2<Q => хер, 4) =* у/х-2+у/2-у/х-2+^/2~2>/2;
2) у/х-2-у/2>0 => хб[4, оо) =» <Jx-2+<j2+<Jx-2-<j2-2y/x-2. Ш
274

1
1.274. ? Подкоренные выражения преобразуем так: =—
a+Zy/a-2-l
1111
-2+2^0-2 + 1 (y/a-2 + lI a-2yJa-2-\ {Ja-l-Xf
афЪ. Тогда данное выражение примет вид
y/a-2+l
y/a-2-l
У<7-2-1
зультате получаем ответ:
. В ре-
1) при y/a-2-KQ => аеB, 3) =» - ;
yJa-2
2) при ,/а-2-1>0=» деC, оо) => -Ja-2. Ш
2 4
1.275. ? Положиму+-=г, тогда z2—4=y-{—-, уф0. Подкоренное выражение
У У
примет вид (z2-4J-8z2+48=z*-16z2+64=(zs-8J. Следовательно,
14 I 41 / 2\2
^/(г2-8J = |22-8|илиЬ'2+—+4-8=Ь'2-4+— = [у—] ¦ ¦
Г у2 \ у\ \ у)
1.276. ? Имеем
а2-3 2 (a2-3) |a| 2(a2-3)|a|
4а2
Используя определение модуля и рассматривая различные промежутки
изменения а, получаем ответ:
1) аб(—оо, —
-,- 2 (а-Уз) (а+Уз) (-а)
2) ае(-уз, 0) => = =— = 2о;
2(а-у/3)(а+у/У)а
4) аб(Уз, оо)
а + 1 а + ()
1.277. П Здесь х>1, поэтому >1 =» >0=» >0=»а>0.
2а 2а 2а
(а+1J (а-1J
Далее находим дс+1= ; дс-1= . Тогда заданное выражение
2а 2а
примет следующий вид:
275

фа \a-l\ '
фа фГа+\-\а-\\
\a-l\~a+l
Отсюда получаем ответ:
-(а-1) \-а а-\
при аб@, 1) => = ; при абA, со) =>
а+1+а-1 1а 2
1.278. D Последовательно находим:
,/(z+2J-8z ,/z2+4z+4-8z |z-2|
z+2 z+2 z+2'
(z-lJ + 3 z2-2z+4 1
z3+8 ~(z+2)(z2-2z+4)~z+2'
zJ-3z+2 (z-l)(z-2)
z*-2za-4z+8 z2 (z-2)-4 (z-2) z2-4#
Тогда заданное выражение примет вид
/|z-2| 1 \ z-1 |z-2| + l z2-4 |z-2| + l
j+)
(z-2).
j+):
\z+2 z+2/ z2-4 z+2 z-1 z-1
Учитывая, 4TOZ?t—2, z?*l и z^2, получаем ответ:
2-z+l z2-5z+6
1) zef-oo, -2)U(-2, 1)UO. 2) — (*-«-— ;
z—1 1—z
z-2+1
2) zeB, oo) => (z-2)=z-2. ¦
1.279. При Jc6[l/8, 1/4)i> -1; при xe(l/4, oo) =» 1.
1.280. При ><2л =» l/B>-3),- при >>2х =» -l/By3).
1J81. П Освободимся от иррациональности в знаменателе:
-у) (у-Ь)I у/(а+у) (у+Ь)+у/(а-у) (у-Ь)
(а+у)(у+Ь)-(а-у)(у-Ь) фу*+2аЬ
Подставляя y=*Jab, находим
(а - 2л/ab+Ь)+у/л/аЬ (а+ly/ab+Ь)
2л/аЬ
у/(л/~а+лЛJ)
2л/аЬ 2л/аЬ
ВашО<Ь<а,то =(л/а-л/ь+л/а+л/Ь)=* /-;
2*л/аЬ V*
еслиО<а<А,то = (-л/а+л/Ь+л/а+л/Ь)ш* -.
2*л/аЪ V«
276

1.282. -y/a+l/(a+3) при ae(-l, 1); ,/a+l/(a + 3) при ae(l, оо). 1.283. -2 при
D-a) (a2 + 16)
ae(-oo, 0); 2 при ae@, oo). 1.284. Da-16)/(a + 4) при ae(A, oo);
2aD+a)
при as (-4,4). 1.285. -2 при *e (- oo, 0); 2 при лее @, oo). 1.286. /w/2.1.287. 1 при
<<, *; Ja+blQ.Ja-b-Ja+b) при 0<-A<a. 1.288. —(x—3) при
xe(-oo, -l/3)U(-l/3, -1/5)И(-1/5, 3); jc-3 при хер, oo). 1J89. -Зх при
дсб(-оо, -3)(j(-3, 0); Здс при д:б@, оо). 1Д90. (т~Щ2т) при /»б@, 1);
A-т)/2 при /»б[1, оо). 1.291. (l-a)/,/a при аб@, 1); (а-1)л/а при аеA, оо).
1.292. -\/лс при дге(О, 2/3); ^/дс при лееB/3, оо).
8-5 V4» Ю
1.293. D 1) —= =+—^
3)
1.294. ? Имеем
+ у/3т—пJ; аналогично, 6т—2л/9т2 — п2='{л/'3т+п—л/'3т—пJ. Следо-
Следовательно,
у/^/^—п, где т>л/3, /я>0. Итак, равен-
равенство справедливо при всех л е [0, 3/п]. ¦
1.296. D Имеем
7-4v/3=4-2-2v/3+(v/3J = B-v/3J. Следовательно, -
(s/Ъ-^/Г) E + 2^/6) 5+2^/6 E + 2^6) E + 2^/6) 49 + 20,/б
E-г/ь) E + 2^/6) 25-24
= 49 + 2<ц/б;
4) D9+20^/6) D9-20Уб)=492-2026 = 1. ¦
1.298. П Имеем:
277

2) аналогично, ^/\Qp-2^j25p2-q2=y/Sp+q-~Jbp-q;
3) У
Равенство справедливо при р>0 и qe[0, 5p].
1308. П Так
как
-1 =у/х-1 +2у/х-\ + 1 =
= -у/дг-1 + 1 и \Лс—2у/х— 1=\у/х— 1 —1|, то данное выражение примет
виду=*у/х— \+\+\у/х— 1 — 1]. Итак, получаем ответ:
1) при -Jx— 1 — 1 <0 => дсе[1, 2) => у=2;
2) при у/х-\~\^0=> хе[2, оо) => у = 2у/х-1.
График функции у изображен на рис. Р. 1.1. ¦
1.309. ? Данное условие будет выполнено, если диск-
дискриминант равен нулю. Имеем /)=4 (к— 9J —
J I ~J +. -4 (it2
= 11/3. ¦
. „. . 1.310. D Подставив заданное значение х в уравнение.
получим следующее выражение: (ly/4+-JsO—
)-4K + 12CV4+-v/80-3v/v/80-4)-8. Согласно формуле
A.12), имеем C>A + v/80-34/v/80-4K=4+v/80-v'80+4-3 x
х 3 у/ (,/80+4) (,/80-4) ( 3 у/ 4 + у/»0- 3 -у/ ,/80-4) = 8-12 х
xC\/4+-v/80-3v/v/80-4). Таким образом, 8-12 C4/4+N/80-
-3чЛ/80-4)+12 C-v/4+v/80-34/v/80-4)-8s0, т. е. число х есть ко-
корень данного уравнения. ¦
b
1311. ? Так как и — v2=(u— v) (u+v)=A, то u+v=-. Тогда получим систему
Jb a b a
и—у=а, откуда и=—I— и v= . Подставив найденные значения
2а 2 2а 2
и и v в равенство и3—v3=c, имеем и3—v3=(—|—1 —( 1 =
\2а 2) \2а 2) 4а
а3
Н— = с. Итак, искомое соотношение имеет вид Зй2+а*=4ас. ¦
4
1312. л/(л+1).
1313. П Разложим квадратный трехчлен на множители: л2+Зл+2 = (л + 1) (л-
+ 2). Тогда получим
111
б 12 20 "¦ (
1
1 1 1
-=—+ +-
1
б 12 20 (л + 1)(л+2) 23 34 45
111111111
1 1
-. При
= ; = ; =——; ...; =
23 2 3 343 4 45 4 5 (л + 1)(л + 2) л + 1 л + 2
278

1 1
сложении этих разностей все члены, кроме - и , взаимно уничтожат-
2 л+2
111 1 11л
¦
1
ся. Таким образом,-+—Н—+...Н
б 12 20 л2
+Н+.Н
б 12 20 л2+Зл+2 2 л+2 2л+4
1315. D Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
х2+5 А(.х-1J + В(х+2)+С(х+2)(х-1)
хъ-Ъх+2~ *3-Зх+2
Если две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то тождественно
равны и их числители, т. е.
Так как это равенство есть тождество, то оно выполняется при любых х.
Следовательно, если дг = 1, то 3.8=6, т. е.В=2; если х = — 2, то 9Л—9, т. е.
/1 = 1; если дс=О, то Л +25-2С=5, откуда С=0. Итак, Л = 1, В=2, С=0. ¦
1.316. ? Пусть \9=х3-у3,тпрх>у. Таккак дс3-_у3=(дс-у) (x2+xy+.y2), а чис-
число 19 является простым, то его можно представить в виде произведения
(х~у=\,
только как 1 • 19. Тогда получим систему < Подставив
[х2 + ху+у1-19.
у=х—1 во второе уравнение, имеем Зд:2—Зле—18=0 или х2—х— 6=0,
откуда jti=3, *2=2 и, значит, >i=2, /2 = 1. Из двух пар C; 2) и B; 1)
удовлетворяет условию только пара C; 2). Следовательно, решение единст-
единственно и 19=33-23. ¦
1.318. (х2 —2) (*2 + 2) (х2-2х+2) (х2 + 2х+2). 1319. а=165,5, 6 = 158,5.
1.320. П Здесь хф — I.jc^O, хф\. Разложив числитель и знаменатель на множи-
множители, получим
'/2 \/2_
) ~
\{х+\J (д:2-дс+1) (х2 + 2х + 1-1) (дс-1)/ \(х + \J) ~ \х\
Окончательно находим:
х+\
1) хб(-оо, -1)=» ;
X
х+1
2)хб(-1,0)=* ;
х
х+1
3) лее (О,
X
1.321. ? Найдем область допустимых значений:
fjc-2i/2*-4>0, (x>zJ2x-4, f
|2х-4>0 U>2 I
Jjc2-8jc+16>0,
Легко заметить, что ac+24/2x-4=(v/ac-2+v/2J и х-
=(у/х—2—у/2J. Тогда заданное выражение примет вид —===== = +
,Д-2+,/2
2
. Окончательно получим:
|х-4|
279

l)*e[2,4) =
2) лее D, + co) =
x-4
x-4
1.322. П Здесь л»#0, л#0,л»/л#2. Имеем:
л /я
4т2 п2 —4т2п2 т л (jn1+2тп+п2) т2 п1
4тп—т2—п2 (т—2пJ' 4 1 4 — D/ил—л»2—4л2)/ил
тп (т+пJ
(т-2лJ '
t-
/тл(«+лJ 4т2п2 ,— |л
,— |л т-ln |л
//ИЛ ^——— * —' ~~ ЯЯ!
(т+пJ
2вJ
2
н
Окончательно находим:
m
1) 0<-<1
л
m
2) К—<2=» л-«;
л
т
3) 2<— <оо "* т-п. Ш
л
— 2 I л
1J23. 2дс2-а2, если дс<-|в|; -а2, если дс>|а|. 132А. Ь-4а, если ае[0,
2@-1)*, если аб[у/2, +оо). 1Л25. 5/B*/х), если хе@, 4); Bх-3)/Bу/дс), если
f4 +)
),
f4, +00).
1326. П Разложим числитель и знаменатель на множители:
л*-2в3+4л2+2л-5=л*-л2-2в3+2в+5л2-5=л2 (л2-1)-2л (л2-1) +
+ 5 (л2-1)=(л2-1) (л2-2л+5);
л*-3л3+7л2-5л=л (л2 (л-1)-2л (л-1)+5 (л-1))-л (л-1) (л2-2л+5).
Из разложения видно, что ОДЗ л#0, пф 1. Окончательно получим
(л2-1)(л2-2л+5) л + 1
л (л-1)(л2-2и+5) л
1Л27. D Летжо заметить, что под знаками радикалов в числителе находятся
полные квадраты:
280

7=
Преобразуем знаменатель:
,/2a (a+ y/b)-5- V* (a+6y/b3)=(a + y/b) (л/2в-5• V*)-
Тогда заданное выражение примет ввд
{a+y/b)\y/la-$-3y/b\ \у/2а-53у/ъ\
у/а (а+y/b) (у/2а - 5 • V*) V" (-/За - 5 • V*)
0, аф —-Jb, аф25\/Ь
(J2a-53Jb) 1
Очевидно, что ОДЗ а>0, аф —-Jb, аф25\/Ь212. В результате получаем
ответ:
y/a(y/2a-5-3y/b) у/а
2) ~
1J28. B-х)/2, если хе(-оо, -2); -(х2+2х+8)/Bдс), если хе[-2, 0); (хг +
+2дс+8)/Bлс), если лсе@, оо). 1J29. -х, ест хе@, 1); х, если дсеA, оо).
1J30. {х-\Iх, если д:б(-оо, 0)И[1. «); A-*)/*. если хе@, 1). 1.331. -(+l)/
если гб(-оо, -1)U@, 1); (z+ф, если ze[-l, 0)Q(l, oo).
1.332. П Последовательно находим:
(а3-Ь3-у/~а)=у/(а3-Ь3J-а;
Для области допустимых значений должны выполняться следующие
условия:
Следовательно, —6ya<A<3va3+va. Итак, получаем ответ: 1 при а>0,
1.333. П Находим ОДЗ: х>0; х+2у^0 =>у^—х/2. Преобразуем отдельно
числитель и знаменатель:
yff2 (х+2у)+у/х3 (х+2у)-ху/х-х2=х (у/х+2у-у/х)+у/х3 (у/х+2у-
у/х)(х+у/73);
у/2х+2у-2у/х2+2ху=у/х- 2у/х2+2ху+х+2у -
=у/х-2у/ху/х+2у+х+2у=у/(у/х+2у-у/хJ=:\у/х+2у-у/х\-
Тогда данное выражение примет вид
(,у/х+2у-у/х) (y/x+J73)
\у/х72~у-у/х\ Cу/?-уГх-3у/~х+х)
281

(Jx+2y-Jx)
\y/x+2y-y/x\ {3y/x2-y/x3y/x+x)
_(у/х+2у-у/х){3у/х+у/х)
\y/x+2y-y/x\
В результате получаем ответ:
1) при дге(О, +оо), ye(-xJ2, 0) => -fy/x+y/x);
2) придсе(О, + оо),.уе@, + оо) => Зу/х+у/х. Ш
1334. 2а при ае(-оо, 0)(JC, оо); -2а при ае@, 3). 1335. \j3y/y. уфЪ. 1336.
4а2 + 3 ,
. 1337. 2/B-а) при ае[1, 2); 2у/а-\Ца-2) при аеB, оо). 1338. -9z3
9B + 1)
при ze(-oo,-l/2)U@, 1/2); 7z3 + 2 при ze[-l/2, O)UAA оо). 1339.
-21у/2х+\ при хе(-1/2, 3/2); -y/2x+\j2 при хеC/2, оо).
1340. D Здесь х>0, j»>0. Преобразуем числитель и знаменатель:
)- - <4x2-4xy/y+y)=-L\2x-y/y\;
бх1 +23у/2ух3-Зу/ух2-6у/4у*
~2х (Зх+3у/2у)-у/у (Зх + 3у/2~у)=Bх-у/у) {Ъх+Зу/Ту).
Тогда заданное выражение примет вид
\2х-у/у\Cх+3у/2у) _ \2х-у/у\
у/х0х+3у/2у)Bх-у/у) yfx&x-jy) _
Г -Ъх+у/у 1 ,-
Далее имеем: если 2х<у/у, то —= = =; если же 2х>у/у, то
у/х Bх-у) у/х
2х-у 1 1
—=. Учитывая, что jc>0, j»>0, получаем ответ: —= при х>0,
у/х Bх-у) у/х у/х
0<j><4jcj; = при дс>0, у>4х2. Ш
1341. -1/дс при хб(-оо, -V2)U@. ч/2); 1/х при xe{-j2, 0){J(y/2, oo).
1342. П Разложим числитель на множители: х*+4х*—4дс*+4+дс*—2x2+2~
П
=((x*+2)J
+2)=(x*-2
) + ( + 2)(x+22x)(
2xJ+2) (x*+2xJ+3). Тогда получим
(х*-2х2+2)(х*
3)
-+2х2-2=хА-2х2+2+2х2-2-хА. Ш
х*+2х2+3
1343. D Здесь х>3. Преобразуем числитель и знаменатель первой дроби:
- у/х-1+ у/х-Ъ- у/х + З" у/х(\- у/х+3) - у/х-Ъ A - у/х + З)
282

= A—у/х + У)(у/х — у/х—3). Поскольку дг>3, эта дробь примет вид
I
— . В результате получим
1 1 1
{1-у/х+3)(у/х-у/х-Э) у/х + у/х-Ъ у/х-3~у/х у/х-
1.344. ? Пусть (За + у/ба-1) + Cа—у/ба— 1) =2. Возведем обе части ра-
равенства в квадрат:
+
++====
За+,/ба-1 За-у/ба-l у/9а2-6а+1
6а 2
+-
9а2-6а+1 /9а2-6а+1 (За-1J (За —1|
Очевидно, что ОДЗ заданного выражения z есть а>1/6 и а #1/3. Таким
образом, окончательно находим:
1) при ае[1/6, 1/3) => z2 =
(За-1J' За-Г
12а-2 J\2a-2
2) при аеA/3, оо) => z2= ; z=- . Ш
(За-1J За-1
1.345. _(v/l-4/>2 + l)J/D/>2)- при ре[-1/2, 0); -1 ^ри ре@, 1/2).
1.346. \*у/а-*у/Ь\, Ь>й. 1347. 4х/(х-4) при хеD, 8); 2х1у/х-Л при хе(8, оо).
1.348. 6 при дге(— оо, 0); 6—2дг при хе[0, 6); —6 при дсе[6, оо).
1.349. (-2jc2 + 2jc-3)/x при хе(-оо, 0); C + 2jc)/x при хе@, 2); Bх2-2х+3)/х
придсе[2, оо). 1.350. х/(х-1) прихе(-со, -1); дс/A — дс) при дсе(-1,0); -хЦх+1)
при хе[0, 1); хЦх+\) при дсеA, оо). U51. 1/а при ае(-оо, — 1)U[1, оо); а при
ае[-1, 1). 1J52. (/-1)/C/-1) при <е[1/6, 1/3) Q [1, оо); A —0/C*—1) при reA/3,
1). 1J53. \-у/х при хе[0, 1); у/х-\ при дсе[1, оо). 1J54. х1-Ах-\2 при
2, оо). 1.355. х2+у/2А35Ь. (9-2х)/хприхе(-оо, 0);
{2х-9Iх при хе@, 3/2); Bх+3)/х при жеC/2, со).
1.357. ? При z=y, y=x, i=x многочлен обращается в нуль; следователь-
следовательно, он делится на (х—у) (x—z) (y—z). Так как данное выражение имеет
третью степень относительно х, у, z, то должно выполняться равенство
двух многочленов:
х O2-z2)+.V (z2-x2)+z (x1-y1)=k {х-у) (дс-z) O-z).
Раскрыв скобки, получим
ху1— xz1+yz1—yx2+zx2—zy2=k (x2y—x2z+xz2— y2x+zy2—z2y).
Сравнивая коэффициенты многочленов при соответствующих степенях,
найдем к= — 1. Таким образом, искомое разложение имеет вид
х (y2-z2)+y {z2-x2)+z (х*-у2)=(х-у) (z-jt) O-z). ¦
j 283

ГЛАВА 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2.001. О Имеем
х2-2х-3+х2+2х-3 х2+Ах-П+х2-4х-П 2(х2-Ъ)
х1-\ " х*-4 ' х2-1 ~ х2-Л
2.002. хх =5; х2= -55/16.
2.003. ? Приведя к общему знаменателю, получим
ах1-(а+\I х+(а+1J=0; х=
2й
а + \
a+1; хг= . ¦
la a
2.004. ? Имеем x2-2 — jc+1 =0; следовательно,
m2-n2
m2 + n2 1/т2 + п2\г m2+n2±2mn m+n m—n
m —л v \m —Л/ m —n m—n m + n
a2-b2
2.005. G Если Ьфй, то x\**a+b, x2=* ; если 6=0, то х=а. 2.006. xt=a;
2b
X2 = (l-a2)/a. 2.007. x\=a+b\ хг-(а+Ь)/2.
2.008. D Имеем
(x2-n2)-(m2-n2) (x2-p2)-(m2-p2) x2-m2
(m+n)(x-ri) (m+p)(x-p) ' (m+n) (x-n) (m+p)(x-p)
Отсюда: либо х2—/и2 = 0, т.е. xi=m, X2——m; либо
(m+n) (x-n)=(m+p) (x-p), г. е. (п-р) х-=(п~р) (т+п+р). Если п=р, то
x — любое число, кроме х=п; если пфр, то х$=т+п+р. Ответ: если
п=р, то х — любое число, кроме дс=л; если пфр, то х\=т, Х2=—т,
1 3 5
2.009. ? Переписав уравнение в виде 1н (-1н (-1н = 6, получим
jc+1 jc+3 jc+5
13 5
К н =3. Отсюда, приведя к общему знаменателю, имеем
х+\ х+Ъ х+Ь
9х5+4бх+45=3х3+27х2 + 69х+45;
Зх3 + 18х2+23х-0; х (Зх3 + 18х+23)=0;
2 .- •
2.010. х,=0;х2=5;хз=38/11. 2.011. ^,=0;^, i=(-9±y/S) а/4.
/х2+6\2 / 5х V /х2+бу ( 5х у
2.01Г П Имеем ( I -( =0 или (—— -[-Т~^ =°- Расклады-
\x2-4j \4-x2/ \X2-4J \х2-4/
284

вая левую часть уравнения на множители, получим (при х#±2); либо
х2 + 6+5дс=0, откуда xi = —3, либо х2 + б—5х=0, откуда х2=3. ¦
2.013. О Разложив левую часть уравнения как разность кубов, получим ((х+3)—
-(х + 1)) ((х+Зг+(х+3)(х+1)+(х + 1J)=5б. Отсюда Зх2+12х+13=28
или х2+4х-5=0, т. е. Х|=1; х2=-5. ¦
2.014. П Имеем (х-аK-(х-ЬK = {Ь-а) (х2-2ах+а2+х2-{а+Ь) х+аЬ+х2-
—2bx+b2). Поэтому уравнение примет вид ф~а) (Зх2—3 (р+Ь) х+а2+
+ab+b2)=(b — a) (Ь2+аЬ+а2). Отсюда находим: если а=Ь, то х — любое
число; если афЬ, то Зх2—3 (a+b) x+a2 + ab+b2=a2+ab+b2, т. е. Х(=0;
х2=а+/>. ¦
2.015. П Имеем х3 (8х+1)+8 (8х+1)=0, откуда (8х+1) (хэ+8)=0 или (8х+
+ 1)(х+2)(х2-2х+4)=0, т. е. х, = -1/8; х2=-2. Ш
/х3+1\ /х+1\ х+1
2.016. П Имеем 3 -7 =0, откуда—- (Зх2-Зх + 3-7х)=0, т. е.
V х2 J \ х ) х2
либо х + 1=0, либо Зх2—10х+3=0. Следовательно, х\ = — 1; хг=3;
хз-1/3. ¦
2.017. х--1.
2.018. D Приведя к общему знаменателю и перенеся все члены уравнения в
левую часть равенства, получим х*—ab (а+Ь) х2 + а3/>3=0. Это биквад-
биквадратное уравнение. Полагая xJ=z, имеем z2—ab {a+b) z+a3b3=0. Следо-
ab(a+b)±ab(a-b)
вательно, z= , откуда z\ — ab; Z2=ab , т. е.
*1, 2=* ±о>/Ь, х3, 4=
2.019. xlt 2= ±2; х3, 4= ±3^/21/7.
.- х2+х-5
2.020. xi = 1; Х2— — 5; хз 4= — 1 ±\Л>- • Использовать подстановку =«г.
х
2.021. D Приведя к общему знаменателю и перенеся все члены уравнения в ле-
левую часть, получим 12 (х—аJ—2бх (х—а) + 12х2=0. Так как х#0, то
(\2
у , у ()()
(х—а\2 х—а
] —26 (-12=0
х / х
(х—а\2 х—а
-13
X ) X
3 2
или
(ха\ ха х — а
-13 + 6=0. Полагая = /, получим 6r-13f+6=0. От-
) X
3 2
сюда t\ =-, t2=~, т. е. х\ — —2а, Х2=3а. ¦
. 2 3
4 5
2.022. П Полагая х2+4=z, получим-+ = 2 или 2z2 — 7г—4=0. Отсюдаг1 =
Z Z+1
=4, т. е. х2=0, х=0; гг= —1/2, т. е. х2= —9/2 (это квадратное уравнение
корней не имеет). Итак, х=0. ¦
2.023. jci —= 1; хг= —Зу/б. # Использовать подстановку х3+2=г.
х—а
2.024. x\"*7b—а; х-^Тл—Ь. # Использовать подстановку =г.
х—Ь
111
2.025. ? Переписав уравнение в виде — =—, положим дг +
х2+2х х2 + 2х+1 12
111
+2x=z. Тогда-— =—. Значит, zi=3, z2=—4, т. е. либо х2+2х—3=0
z z+1 12
285

^ либо jcJ+2x+4=0. Из первого уравнения находим *i = 1; хг<= —3. Второе
уравнение не имеет корней. ¦
2.026. jci, 2" ±2; хэ, 4 = ±*\/24/2. # Использовать подстановку 2х4 — 7=г.
2.027. Xt = l; дгг=3. # Использовать подстановку х2—4х+10=.у.
2.028. xi=2; X2=l/2. # Использовать подстановку (x2 + l)/x=z.
1
ПОЛОЖИМ JCH—=Z.
2.029. П Переписав уравнение в виде /дс2н—- 1-Hl JcH—1=4,
Тогда х2+2+— »=z2 или г1 —2=дс2н—. Заданное уравнение примет вид
х2 х1
z2+z-6=0, откуда Z! = 2, г2 = -3. Итак, д^ 2=1; х3> 4=(-3±У5)Д- ¦
2.030. л, =2; *2 = 1/2; ^з, 4 = (
2.031. D Имеем ^/15—x=6—уЗ—х. Возведя обе части равенства в квадрат,
получим 15—дс=36—12^3—х+Ъ —x; \xj$—jc=24; у/Ъ—х-^2; 3—дс=4;
дг= —1. Проверка показывает, что это значение является корнем уравне-
уравнения. ¦
2.032. xi = -l;x2=3.
2.033. D Имеем
0,6 3 /-10*-У1,5 i/4
lJl-x= ; у/1-х- ;
2.034 *i,2-±l, *э,4
2.035. ? Имеем (дс2+9)—(дс2—7) = 16 или
2-7) = 16. Так как у/х2+9-^/х2-1=2, то
Следовательно, получаем систему \ ; откуда
2^/х2+9-10, т. е. *!, 2= ±4. ¦
2.036. D Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем (х+1) + (9—дг)-
-2V(-«+l)(9-*)=2x-12 или у/(х+1)(9-х) = П-х. Снова возведя
в квадрат, после преобразований получим х2 —15х+5б=0, откуда х\=%,
Х2=7. Проверкой убеждаемся в том, что оба корня подходят. ¦
2.037. D Решая так же, как и предыдущий пример, получим дед = — 4/3, лг2=4.
Однако легко видеть, что первый корень является посторонним. Итак,
2.038. D Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 2х+2у/х2—х—11 =
-16. Отсюда Vjcj— *-11=8-дсилидс2-х-11=:64—16дг+*2или Ш-75,
т. е. дс—5. ¦
286

2.039. П Дважды возведя в квадрат, находим xi «= — 1, хг = — 4. Проверкой уста-
устанавливаем, что подходит только первый корень. ¦
2.040. х = 2.
2.041. D Перепишем уравнение в виде ъ^/Ьх+1 + гу/\2—5х~\ и возведем обе
части равенства в куб, воспользовавшись формулой (а+ЬK**а3+Ь3 +
+ ЗаЬ(а+Ь). Тогда получим G + 5х) + A2-5х)+3-3у/A+5х) A2-5х)х
x(\/5x+7+Vl2-5x) = l. Так как, по условию, V5*+7 + 4/l2-5x=l,
то 19+3\/G+5х)A2-5х) = 1. Отсюда VEx+7) A2-5х) = -6 или
Ex)J - 5 Eх) - 300=0. Следовательно, 5х=0,5 E ± 35), откуда 5xi = 20,
5*2= —15, т. е. jcj=4, Jt2= — 3. ¦
2.042. xi = -61, х2=30. 2.043. х=9. 2.044. х=О. 2.045. x,i2=±l.
2.046. П Имеем J\+xJx2-24=x-\ или 1+Ху/х2-24=х2-2х+\ или
•Jx2—24=х—2 (так как х#0). Отсюда х=7. ¦
2.047. Q Сократив дроби в левой части уравнения, получим Зу/х2 +
+ 1-V*+1=4 или 3y/x1-i>/x-2=0. Отсюда *Jx--\ или 3Jx=2.
Так как 3Ч/-1С не может быть равен — 1 (при этом знаменатели исходных
дробей обращаются в нуль), то дг=8. ¦
2.048. х-4. 2.049. х,-3, х2=5.
2.050. П Воспользуемся очевидным равенством E
Разложив его левую часть как разность квадратов, получим (s/5+3s/x-
-у/5-3у/х)(у/5+3у/х+у/5-3у/х)=23>/х. Так как, по условию,
у/5+3у/х+у/5-3у/х~3у/х, то у/5+3у/х-т/5-3у/х=1 Складывая по-
почленно эти уравнения, имеем 2у/5+3у/ху/х+2. Отсюда 20+4 Зух =
ли 3,У*2 = 1били V*. т- е. дс-64. ¦
2Л51. х,-а. х2-(
2.052. D Для решения уравнения воспользуемся следующим утверждением: если
а с a+b c+d
верно равенство -=- , то справедливо и равенство = (проверьте!).
Ь d a—b c—d
UA + Ч/хЖУх-У.*) 3 + 1 2у/х - -
Имеем —= = = —= или ==2 или у/х=2 *у/х или
VVVV 31 V
хэ«=б4х2; так как х#0, то дс=:64. ¦
2.053. D Данное уравнение можно переписать в виде 2 (€^/хJ + 5 €у/х—18—0.
Решив это квадратное уравнение относительно 6VX> получим 'ух**
. Отсюда V*1 ~ —9/2, eVJC2"=2. Первый корень не подхо-
4
дит. Ответ х-2*=64. ¦
Х054. П Имеем у/х *у/х-10,/х€-5у/х*; sy/xy/x-i0>/xl. Таким образом,
287

*у/х3—1О\/х3—56=0. Далее, решая аналогично предыдущему примеру,
получим: 1оу/х3=23; х3=2*°; х=210=Ю24. ¦
2.055. xli2=±2y/2. 2.056. *,, 2 = ±2у/г 2Л57. хи 2=±7. 2.058. хг = 6, хг=
= -2 A + V4)/5. 2.059. х=2. 2.060. х=5/3.
15-х
2.061. лг=1. # Использовать подстановку 7 / =z.
VJt+3
1
2.062. Zi=2,T2= . # Использовать подстановку
511
/I6z
s / =«.
\] z—l
2.063. х^ 2= ±4. Ф Использовать подстановку •4/x2+20=z.
, Г 4 "+1
2.064. П Полагая 3^Jx+2=u, получим -+ = 2. Отсюдаы2—9ы+20=0;ы(=4;
и 5
ы2=5. Таким образом, V*+2=4; 3y/x=2; *i = 8; s4/-:t+2=5; V*=3:
Х2-27. ¦
2.065. П Полагая х*+3х—6=у, получим .у—12+4^=0. Отсюда у/у=2; у=4.
Таким образом, хг+3х-10=0, т. е. *i = -5; x2=2. ¦
2.066. П Полагая х2—4x+6=z, получим г— \2=J2z. Следовательно, г2—24г+
+ 144=2г, г2-26г+144=0. Далее имеем: ^ = 18, т. е. х2-4х+6 = 18;
jfi =6; *2=—2; ^2=8, т. е. х1—4jc+6=8; jc3, 4=2±-v/6- Проверкой легко
убедиться в том, что подходят только первые два корня. Ответ: х\ =6;
*2=-2. ¦
2.067. D Из первого уравнения находим у-х-\. Подставив это выражение
во второе уравнение, имеем х3—(х— l)s*7, откуда х2—х—2=0. Следова-
Следовательно, дс, =2, ДГ2--1, а>-1 = 1,Л--2. Ответ: {2; 1),(-1; -2). ¦
2.068. (-4; 24); (-6; -2).
3 81
2ЛЮ. D Имеем: у-. Значит, х*+—=82, т. е. х8-82х*+81=0, откуда х*=1
х х
и х*=81. Выразив х, получим ответ: A; 3); (-1; -3); C; 1); (-3; -1). ¦
Г(х+0,2J+()/+0,3J = 1,
2.070. D Запишем систему в виде < Полагая х+0,2-и;
1(х+0,2)+0'+0,3)=1,4.
у+0,3=ч, придем к системе < Возведя второе уравнение в квад-
квадрат, получим u2+v2+2uv=l,96. Так как u2+v2 = l, то уравнение примет
fu+v-1,4,
вид 2uv=0,96. Итак, < Решив эту систему обычным способом,
|.«v=0,48.
находим «! =0,8, v,=0,6; «2=0,6, vz=0,8. Отсюда лг,=0,6, ^i =0,3; х2=0,4,
х+у
2.071. О Разделив второе уравнение системы на первое, получим =4, откуда
х-у
288

2x 5 5y ( Sy\ 5y 40
—=-, т. e. x=—. Тогда1>ч—\у—=12й,т. t. — у3 = 120; у3 = 21.
Ответ: E; 3). Ш
хг+у2 5 х 1
2.072. П Перемножив уравнения системы, получим =-. Отсюда -«•-,
ху 2 ^2
.У *
т. е. дс=-, или -=2, т. е. jc=2j». Из второго уравнения системы для
2 >-
2 13 113
каждого из этих случаев имеем: -н—=-, откуда j»=4, дс=2; —(--=-,
>> >> 4 . 1у у 4
откуда >> = 2, х=4. ¦
2.073. G;3),(-7; -3).
(.х2-у2)(х2+у2) 15 х >> 5 х
2.074. ? Имеем =—, т. е. -Н—=-. Полагая -=z, получим
(х — у ) ху 6 у х 2 у
2г2 — 5z + 2=0, откуда г=2, z=l/2. Итак, дс = 2>> и х=у/2. Подставим
найденные выражения в первое уравнение системы: j>*=1, т. е. у— ±1;
тогда дс=±2; ><*= —16 (это уравнение не имеет корней). Ответ: B; 1),
(-2; -1). ¦
2.075. B; -1), (-1; 2). 2.076. A; 2).
2.077. О Возведем первое уравнение в квадрат: jc~2+jk~ +2 (jcy)"' = 25. Учиты-
Учитывая, что jc+^~j~13, получим 13+2 (ху)~1—25, т. е. ху=\/6. Из уравне-
х+у 5
ния =5 находим х+у-. Итак, остается решить систему
ху б
Ответ: A/2; 1/3), A/3; 1/2). ¦
2.078. D; 3), D; -3). 2.079. C; 2), (-3; -2).
A2и2+и- 2,5=0,
2.080. ? Полагая х+>>=и их— v=v, получим систему ¦< „ откуда
(.6J + v01250
. v-0,125=0,
5/12, V| = 1/12, «2 = —1/2, vj = —1/4. Комбинируя каждое значение и с ка-
каждым значением v, находим: '
fjc+j»=5/12,
\х -у -1/12, т. в. дс,-1/4. Л-1/6;
-^--l/4, т. е. дсг-1/12, л-1/3;
\х-уш1Ц2, т. е. дс3 5/24, Л--7/24;
Где+^=-1/2,
1дс_у__1/4, т. е. Х4--3/8, л--1/8. ¦
2.081. B; б), A; 3). 2.082. D; 1), A; 4). 2.083. C; 2), (-3; -2).
х+у 1 13 ,
2.084. ? Полагая =г, получим z+-=—, т. е. 6z — 13z+6=0, откуда Zi
х—у z 6
3 2 х+у 3 2х 5 дс+j»
=-, zi=-. Таким образом, =-, т. е. —=-, у=±1, х~±5;
2 3 х-у 2 2у 1 х—у
2 2х 5
=-, т. е.—-—,у2**-1 (корней нет). Ответ: E; 1), (-5; -1). ¦
3 1у -1
X085. П/2; 4). 2.086. B; 3), C; 2).
2.087. D; 1), A0/3; 2/3). # Положить х +уи, xy-v.
10-362 \ Ж

2.088. (I/a; b). 2.089. (-1, 2); B, -1).
2.090. ? Из второго уравнения системы находим u3 = —m/v3. Подставив в
первое уравнение, пол\-чим v3 +\=т, т. е. v*—(т—1) v3—m=0. По-
v3
ложим v3=z; тогда получим уравнение z1 —(m— 1) z—m=0, откуда z=
2 2
системы
, т. e. z\ =m, z2= — 1. Итак, решив
{' и< ' найдем значения х и у. Ответ: Су/т'> — 1);
v3= —1 (v3=/n,
(-1; Vm). ¦
2.091. A; 2), B; 1). 0 Использовать подстановку ху—и, x+y=v.
2.092. B; 1), B; -1); A; /l); A; -^2). 2.093. D; 1), A; 4). 2.094. A; 2), B; 1).
2.095. D Имеем
Ux+y) (x2-xy+y2)=35, (x2-xy+y2=l,
1 , откуда-^
[х+у=5, ix 2+2ху+у2 = 25.
Вычитая первое уравнение из второго, получаем Зху=18, откуда ху=6.
{х+у=5,
, найдем значения х и у. Ответ: B; 3),
C;2). ш
2.096. ? Сложив уравнения системы, получим 6 (x+y+z) = \2, т. е. jc+^+z=2.
Вычитая это уравнение из первого, имеем y+2z=\. Теперь из системы
\y+2z=l,
находим Здс=6, т, е. дс=2. Легко видеть, что у= — \, z=l.
Ответ: B; -1; 1). ¦
2.097. A; 2; 3).
2.098. П Из первых двух уравнений получим u«v—1 и w=v + l. Подставляя
эти выражения в третье уравнение, имеем (v— I — lK+(v—2K +
+(v+l-3K«3. Отсюда 3(у-2)*=3, т. е. (v-2K = l, v=3. Значит, и=2,
tv-4. Ответ: B; 3; 4). ¦
2.099. D Имеем
V 2 V 3 ) V 2 (х+у=2(Х),
Ix+y Ix-y ) Ix-y U-^-48.
'V 2 V 3 4V 3
Решив эту систему, получим ответ: A24; 76). ¦
2.100. D Возведя первое уравнение в квадрат, получим Ju + Jv—2 *4/«v = l.
Г Г . /— (л/и у/у ~Л,
Так как у/и+у/у5, то *у/иу=2. Итак, решив систему ¦< _
ly/u + y/yS
найдем значения и и v. Ответ: A6; 1). ¦
2.101. A; 81), (81; 1). 2.102. D; 1), A; 4). 2.103. A; 9), (9; 1).
2.104. D Имеем х+у=\3-^/ху. Возведя это уравнение в квадрат, получим
х2+у2+2ху\69-~26у/ху+ху. Так как х2+у2=91-ху, то 91-169-
290

Г~ Г~ [ху=9,
— &yjxy, т. е. ^/ху=3. Остается решить систему < Ответ: A; 9),
[х+у=У0.
2.105. A; 4), D; 1). _
2.106. П Возведя первое уравнение в куб, получим х+у+3 (Зу/х+3у/у) Зу/ху=
= 64 или х+у+3 43у/ху=М. Так как х+у=2&, то 2&+343у/ху=64,
т. е. yjxy — Ъ. Остается решить систему < _ _ Ответ: A; 27),
l3jx + 3jy=4.
B7; 1). ¦
2.107. ? Представим второе уравнение системы в виде (.*y/x+y—*y/x—y)x.
х (*у/х+у+*у/х-у) = $. Так как *у/х+у+*у/х-у=4, то 4(*у/х+у-
—4^/х—у) = &, т. е. *y/x+y—AyJx—y=2. Остается решить систему
3, (х+у=$\,
или{ Ответ: D1; 40). ¦
1*у/х-у=1 1х-у=1.
2.108. D1; 40). 2.109. (9а2; а2).
(\х+у\ = 3,
2.110. D Имеем < Отсюда получаем четыре системы уравнений:
[\х-у\ = 1.
(х+у=3, (х+у=3, (х+у=-3,
U-^=l; \x-y=-l; Ьс-.у=1; \х-у=-\.
Решив их, найдем все значения х и у. Ответ: B; 1), A; 2), (-1; —2),
(-2; -1). ¦ _
/у 2
2.111. ? Полагая /-=г, получим г— = 1 или z2 — z—2=0, и, значит,
г
1у
2, i2= —\ (этот корень не подходит). Итак, -=2, т. е. у=4х. Тогда
1у
-=2, т.
=4 или 3^/х+у/х=4, откуда дг=1, aj>=4. ¦
2.112. @; а), B—а; 2), если а#0; B; 2), если а=0. ф Использовать подстановку
У
! х + а
2.113. C; 1). • Использовать подстановку 2х—у+Н=и, Зх+у—9=v.
2.114. A2; 4), C4; —30). ф Использовать подстановку у/х+у=и, 3-^/x—y=v.
2.115. П Возведем второе уравнение в квадрат: u2+v2+2uv = uv+6v/wv+9.
Так как «2+v2=mv+13, to 2uv—64/"v+4=0, т. е. uv—l^/uv+2=0. Сде-
Сделав замену y/w=z, получим квадратное уравнение z2-3z+2=0, откуда
zi=2, т. е. y/uv=2, «2=1, т. е. y/uv=\. Итак, остается решить системы
(mv=4, fuv-l,
\ ' ш\ Ответ: A; 4); D; 1).
(,u + v=5 (,u+v = 4.
2.116. D; 1).
2.117. П Перемножив уравнения, получим х+у—9, т. е. у=9— х. Подставив
291

данное выражение в первое уравнение и вьтолнив преобразованяя, придем
к уравнению х2 —9х+8=0. Отсюда х\ = \, Х2=8, a^i = 8, У2=1. Ж
2.118. D Имеем V*V+%/*V-12, откуда %/*V (V*+*>/)')-12. Так
как 6у/х1у2 = гу/ху=*гу/бЬ, то 6у/х+€у/у. Итак, остается решить систе-
Ответ: A; 64); F4; 1). ¦
i , / . f3u"+10v-5,
2.119. П Полагая B—-Jx—у)' =u, B+Jx+y) l=\, получим <
Du—5v=3.
{г-у/х-у=\,
—
2+у/х+у=5.
2.120. D Выполнив преобразования и используя теорему Виета, получим
Ъ2 2с
-ЪСХХ2 —г~- Ь2_2ас
Л1
х\ х\ (Х\Х2) (Х\Х2У с с
72
1 1 *1+дс2 1 1 1 *
2.121. П Имеем —н—= ; — —= . Но, по теореме Виета, jc( +x2= —;
Х\ Х2 Х\ Х2 Х\ Х2 Х\ Х2 п
с \ \ а Ь \ \ a b a
-. Поэтому —I—=—=¦—; —•—=-. Итак, дс н—х-\—=0 или
а дс[ Х2 с с Х\ Х2 с ее
а
cx2+bx+a=0. U
2.122. D Если корни искомого уравнения обозначить через х\ и дг2, а данного —
через х\ и дс2, то из условия следует, что jci =jcj +jc2; •*2—*i хг- Используя
— b — с — — c—b be
теорему Виета, получим х\ = —; дс2 =-. Отсюда jci + jc2 = , х\ дс2 = .
а а а а
b—c be
Итак, искомое уравнение примет вид х2н х—-=0 или a2x2 + (ab—
а а2
-ас) х-Ьс=0. ¦
2.123. ах2 + (Ь-2а)х + (с-Ь + а) = 0. 2.124. р=0, q = 0;p=l, q=-2. 2.125. ^, = 1,
Bi = -2; А2=0, Д2 = 0. 2.125. Аг=2.
(Зх2-4х+р-2=0,
2.127. О Имеем < Подставив выражение р=2—Зх+Лх во
[х2-2рх+5*=0.
второе уравнение, получим бде3—7х2— 4дс+5—6дсэ—бде2—4х+5 = 6дс2 х
х(х-1)-(х-1)(х+5)=(х-1)Fх2-х-5)=*(х-1JFх+5), т.е. х, = 1,
ДС2- -5/6. Отсюда /»i=3, ^- -41/12 (противоречит условию). Итак, р=>3.
При этом значении р получим уравнения Ъх2— 4x4-1 =0 и х2—6х+5— 0.
292

Первое из них имеет корни jct = 1, дсг = 1 /3, а второе — корни Х| = 1, Хг = 5,
т. е. дг=1 — общий корень. Щ
2.128. ? Имеем х1 — 2ах+Bа—1)=0 и х1+Х2=х]+х\, т. е. xi+X2=^X[ + X2I —
— 2х\хг. Согласно теореме Виетаг 2а=4а2—4а+2 или 2а2—За+1=0, от-
откуда fli = l, 02 = 1/2. И
2.129. а = б.2.130. с = 15. 2.131. а=4.
найдем
|/*2=-4
xi =8, Х2= —2 или xi = -8, дс2=2. Далее, используя равенство дс| -Ндсз= —Л
получаем ответ р{ = — б, р^=6. ¦
2.133. D Выполнив преобразования и используя теорему Виета, находим х\+
/5\з 2 5 215
2.134. /> = 2. 2.135. с = 1/3.
2.136. D Перемножив одночлены, стоящие в числителе и знаменателе, имеем
или х*-
+ 35jc2 + 50jc+24. Отсюда, приведя подобные члены, получим 20jc3+100jc =
= 0 или х3 + 5дс=0. Таким образом, дс=О. ¦
2.137. П Выполнив преобразования (сделайте это самостоятельно), в результате
получим —(m-1) (jc*+4)=0. Легко видеть, что при т=\ в качестве
х можно взять любое число, кроме ±1, ±2; при тф\ получим дс*+4=0
или дс*= — 4 (действительных корней нет). Итак, если т= 1, то х — любое
число, кроме ±1, ±2; если т # 1, то корней нет. ¦
2.138. ? Выполнив преобразования, получим уравнение г4+4=0 или z*+4r2 +
+4-4г2=0 или (z2 + 2J-4z2=0, т. е. (z2-2z+2) (z2+2z+2)=0. Итак,
либо z2 —2z+2=0, либо z2+2z+2=0. Легко видеть, что корней нет, так
как дискриминанты обоих уравнений отрицательны. ¦
2.139. ? Перепишем уравнение так: ха2 + (х*—1) а—х3=0. Это квадратное
уравнение относительно а, откуда находим
2х 2х
Следовательно, а=-; а=—х3. Остается решить уравнения ах = \
х
и jr3+e=0. Ответ: xi = \/a; xi= —3у/а, если а#0; х=0, если гг=О. Ш
2.140. П Имеем (х+ 1M=(х+ 1J С*+1K = ;с5 + 5;с4 + 1О;с3 + 1О;с;! + 5х + 1;
(х-\M = (х-1)г (х-\K~х'-5х* + 1Ох3-\Ох1 + 5х-\. Складывая, полу-
получим 2х*+20x^ + 10*=32х или х5 + 10х3-Пх=0 или х (х*+Юх2-11)=0.
Отсюда *! = 0, x2i з = ± 1 • ¦
Z141. Если а=0, то х — любое число; если л?*0, то дс|_ г=±". Z142. JC|=1O;
хг°* -20,5.
2,143. D Воспользуемся определением модуля и рассмотрим различные случаи.
1-й случай: дс<0. Тогда — х+1— дс=1,т. е. дс=О. Легко видеть, что х=0 не
удовлетворяет неравенству х<0. Следовательно, х=0 — посторонний ко-
корень.
293

2-й случай: 0^х<1. Тогда дс-н 1 —дс= 1, т. е. 1 = 1. Значит, х может быть
любым числом на [0, 1).
3-й случай: х>1. Тогда х=1.
Ответ: хе[0, 1]. ¦
Z144. ? 1-й случай: х<0. Тогда-х3+A-хK=9, т. е. 2х3-Зх2+Зх+8=0 или
(х+1) Bх2—5х+8)=0. Легко видеть, что х= —1 —единственный корень
этого уравнения (удовлетворяет условию).
2-й случай: 0<х<1. Тогда х3+A — хK=9. Корни этого уравнения не
удовлетворяют условию.
3-й случай: х>1. Тогда х3+(х-1K=9, т. е. 2х3-Зх2 + Зх-10=0 или
(х-2) Bх2+х+5)=0. Легко видеть, что х=2 — единственный корень это-
этого уравнения.
Отвег jci = —I, Jt2=2. ¦
2.145. ? Имеем (х2+1) (х-2)+(х2 + 2) (х+1) = -2 (х+1) (х-2). Выполнив пре-
преобразования, получим 2х3 + х2 + х— 4=0. Так как сумма всех коэффициен-
коэффициентов равна нулю, то х = \. Запишем последнее уравнение в виде
2х3-2х2+Зх2-Зх+4х-4=0 или (х-1) Bх2 + Зх+4)=0. Отсюда
2х2+Зх+4=0. Поскольку дискриминант этого уравнения отрицателен,
оно не имеет корней. Ответ: х = \. ¦
2s/l .—
2.146. xi = l,X2,3=-2±-2-. 2.147. х=1. 2.148. ^ = 1, и2, 3=A±V33)/4-
2.149. П Легко видеть, что одним из корней уравнения х3—(a+b + с) х2 +
+ {ab+ac+bc) x—abc=Q является х\=а. Тогда {{х3—(a+b + c)x2 + (ab +
+ac+bc)x—abc)):(x—a) = x2~(b + c)x+bc. Из уравнения х2 — (b+с) х+
+ Ьс=0 находим, что хг=-Ь, хз=с. Ответ. х\ =а; хг=6; хз=с. ¦
Замечание. Можно сформулировать и доказать так называемую обо-
обобщенную теорему Виета. Если х\, хг, хз — корни уравнения х +рх2 +
+qx+s=0, тох1+х2+х3=-р; х1х2+х1хг+х2х3=д; x,x2x3=-j.
х2+1 1
2.150. П Полагая =z, получим z+- = —2,5 или z2 + 2,5z+l=0. Значит,
X Z
Х2+1 1
2\ = — 2 или =—2, откуда х +2х+1=0, т. е. х\ 2=—l;z2= — или
х ' 2
х2 + 1 1
= —, откуда 2х +х+2=0. Так как дискриминант последнего урав-
х 2
нения отрицателен, то оно не имеет корней. Ответ: х= — 1. М
2.151. xi =2, Х2=1/2. Использовать подстановку хн—=z.
х
1 1 10
2.152. П Полагая x+l=z, получим + =— или 5z*— 19z — 4=0.
ш ' (z-i)* (z+1I 9
Отсюда zj=4, т. е. z=±2, и z2=— (это уравнение не имеет корней).
Ответ: xi = l, Х2=—3. ¦
х-1
2.153. х=2в—1, Х2=2—а. Щ Использовать подстановку =у.
х—а
2.154. xi =0, Х2= — 2. • Использовать подстановку х2+2х+1 =у.
Г155. х,=6,х2=-2,хз, 4=0,5(-2±V66). Г156. z1=0,z2=l.
294

2.157. D Раскрыв скобки в знаменателе, получим уравнение
8
_1 = it ддя решения которого следует использовать подстановку
JT + 3X-4 __
x2+3x-4=z. Ответ: Xi«0, x2 = -3, х3, 4=0.5 (-3±У73).
2.158. Положим (х—3J=z или x2 — 6x+9—z, откуда х2—Ьх=г—9. Итак, исход-
исходное уравнение примет вид (z— 9J—2z=81 или zJ—20z=0. Таким образом,
2i =0, т. е. (х-3J=0, откуда Xi=x2=3, и z2=20, т. е. (х-3J=20, откуда
хъ 4«3±2ч/5. е
2.159. xi-2,x2--4.
х-2 х+2
2.160. ? Полагая =у и = z, получим уравнение 20v +48vz—5z =0
х-1
или 20 - +48 I- -5=0. Следовательно, -=— или -—,
\zj \zj г 10 (х + 1)(х+2) 10
1 у 5 (х-2)(х-1) 5
откуда X! = 3, дс2=-; - = - - или = — (действительных корней
3 z 2 ¦ (х+1)(х+2) 2
нет). Ответ: xi =3, х2=2/3. ¦
2.161. G Имеем (x + V*2" U2 ((* + s/x2-\) (x-^Jx2- l)K = i или (х +
+ у/х*-1J (х2-дс2+1)=1. Таким образом, x + *Jx2-\=l или yJx2-\"
= 1— хилих1— 1 = 1-2х+дг2, откуда х=1; х+у/х2 — \ = — 1 или -У*J — 1 =
= -A+х)или х2 — 1 = 1т-2х + х2, откудах= — 1. Ответ: xi = l, x2= — 1. ¦
2.162. ? После возведения в квадрат получим 2х2 + 2дг+5 +
t2v(x + f4)( + x + l)++ или л/(х2+хI + 5 (х2+х)+-4-2.
Отсюда (*2+хГ + 3 (х2+х)+4=4 или (х2+х) (х2+х+5)=0. Ответ:
х,=0, х2 = -1. ¦
.- 2х+1 .- 3
2.163. ? Имеем -Jх=2~ или Jx= . После возведения в квадрат и
х+2 х+2
выполнения преобразований уравнение примет вид xJ+4x2+4x—9=0.
Заметим, что сумма коэффициентов последнего уравнения равна нулю в,
значит, оно имеет корень х=1. Поэтому xJ—х2 + 5х2—5х+9дс—9=0 или
(х—1) (х2 + 5х+9)=0, т. е. х2 + 5дс+9=0 (это уравнение не имеет корней).
Ответ: х = 1. ¦
2.164. ? Имеем N/x+2=3>/3x+2. После возведения уравнения в шестую сте-
степень получим (x+2)s=Cjc+2J или xj-3x2 + 4=0 или (дс+1)(дс2-
—4лг+4)=0. Отсюда Х| = — 1 (посторонний корень), лг2=2. Ответ: дс=2. ¦
2.165. х = 1.
2.1E6. П После возведение обеих частей уравнения в куб имеем 2х—16 +
+ 3 гу/х(х-Щ(х-%)-х-% или 3 *у/х(х-Щ(х-&) = -(х-Я). Отсю-
да 27х (х-16) (х-8)= -(дг-8K. Легко видеть, что х\ -8. После сокраще-
сокращения последнего уравнения на дс—8, раскрытия скобок и приведения подо-
1о
бных слагаемых получим 28х2—448х+64=0, откуда дс2> з*"8±—v*'- *
2.167. *,-1, х2=3/2, хз«2.
295

2.168. D После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим
х3-9х3/2+8=0 или (х3/У-9;с3/2+8=0, откуда хП=\, т.е. х, = 1,
идс =8, т. е.
2.169. D ^ у/у//
Отсюда,- либо 15ч/-«7=0, т. е. х=0; либо 5х+х —22=0 или
, !/Ь 1/2 „„ „ 1/2 1/2 11 ч п
5 (х ) +х —22=0, т. е. х =2 и х = (не имеет смысла). Ответ:
2.170. D Полагая / =и, получим и2— = 3 или и3—Ъи—2=0. Отсюда: щ = 2
Vz+1 и
I z 1 4 I z
или / =2 или =4, т. е. г=—;u7= — 1, т. е. / = — 1 (не имеет
Vz+1 z + 1 3 Vz+1
4
смысла). Ответ: z= —. ¦
2.171. х=0. • Использовать подстановку y/x+\+yjx=z.
2.172. х=12. ф Использовать подстановку 20/х=у.
2.173. D Положим jc2 + 5jc+2=z. Тогда (дс+4) (jc+1) = jc2+5jcH»4=z + 2. Таким
образом, остается решить уравнение z+2—3^—6=0 или z—3^/z—4=0.
Ответ: xi-2, jc2=-7. ¦
2.174. D Имеем (Зх2-2х+15)-(Зх2-2х+8)=7 или (<УЗх2-2д:+15-
?. Так как
^/Зх2-2х+15+у/Зх2-2х+8-1, то ^/Зх
Вычитая из предпоследнего уравнения последнее, получаем
2х+Ъ=6 или Зх2-2х+8=9 или Зх2—2х—1=0, откуда
—1/3. ¦
/18— Ix—x2 /—(x—2)fa+9) lx+9
2.175. D Имеем / - = / X -= / . Заметим, что -9<
V S-6x+x2 V (x-2)(x-4) У 4-х
" ^ lx+9 /4-х 13
^дс<4. Данное уравнение можно переписать так: /——г+ / =—.
V4-Jt V*+9 б
1х+9 1 13
Полагая / =z, приходим к уравнению z+-=— или 6z — 13z+6=0.
V4-x z б
3 lx+9 3
Отсюда получаем: zi—- или / ¦»- или 4дс+3б=3б—9х, т. е. *i=0;
2 V4-x 2
2 /х+9 2
г2—- или / —- или 9дс+81 — 16—4х, т. е. *2= —5. Легко видеть, что
3 V4-* 3
оба корня удовлетворяют условию. ¦ ;¦-
296

2.176. ? Имеем
Так как
7
—-ч/;с+7
. Вычитая из предпоследнего уравнения по-
последнее, получаем
- 93 = 0, откуда х = 2.
или
2.177. дс=О. ф Использовать подстановку \/х+1 =г.
6 + 128 1286 + 1 i
. 0 Использовать подстановку 1-J(ax—b) =z.
2.178. i , 2
а 128а
2.179. ? Возведем обе части уравнения в куб:
4.
Отсюда (х+1)-2у/х+\+1=0 или у/х+1=1, т. е. х=0. ¦
2.180. П Имеем y/x+A + ^/x—A^lx + Zy/x1 —16 —12. Возведем правую часть
этого уравнения в квадрат: (y/x+4+s/x—4J = 2х+2у/х2 —16. Полагая
x—4 = u и вычитая из последнего уравяения предпоследнее, по-
получаем и2 —и—12=0, откуда =4, t<2=~3 (посторонний корень). Таким
образом,
-л/х-4=
2. Отсюда
находим 2у/х—4 = 2 или -Jx—A = \, т. е. дс = 5.
2.181. D Имеем 4^(а-хJ-10у/(а-х) (Ь-х)+4^/(Ь-хJ=0. Так как х#/> и
l/a-xy \a-x \a-x 5±3 4ft-a
, то 2 / -5 / +2=0, откуда / = , т. е. х\= ,
Ч\Ь-х) yjb-x \Jb-x 4 3
Аа-Ь
х2=-
2.182. ? Имеем *у/х+а+3у/х+а + 1 = — 3ч/дс+а+2. Возведя обе части уравне-
уравнения в куб, получим Здс+3а+3=3-3-ч/(х+а) (дс+a+l) (х+а+2). Отсюда
(х+а+1)*=Cу/(х+а) (х+а+1) (х+а+2)I или (х+а+1) (Цх+а+1I-
—(х+а) (дс+а+2))=0. Следовательно, либо х+а+1=0, т. е. х—— а— 1,
либо(х+а+1J-(х+д) (дс+а+2)=0, т. е. (а+1)г-а (а+2)=0 (это уравне-
уравнение не имеет корней). Ответ х= —а— 1. Ш
fxJ+j»=^2+x, (х2+у=6,
2.183. D Имеем < откуда < Вычитая из первого уравне-
\у2+х=6, Lk2+x=6.
ния второе, получим (х2—у2)—(х—у)=0 или (x—j>) {х+у—1)=0. Итак,
297

1±ч/21
если у=х, то jci =2; хг—— 3; если у=—х+1, то хэ, 4= • Ответ:
B; 2), (-3; -3),
fxs+J/3 = 19,
2.184. D Имеем < Сложив уравнения, находим (x + v) =1
[3(х2у+ху2)=-П.
или x+v=l. Тогда у=1— х и из первого уравнения получим: х' +
+ A —x)J=19 или х2—х—6 = 0, откуда Xi=3, х2 = —2^я yi = —2, уг=Ъ.
Ответ: C; -2), (-2; 3). ¦ ^
2.185. D Вычтем второе уравнение из первого: (х2—у2)—(х—у)=0 или (х—у}\
х(х+у—1)=0. Итак, еслих—>>=0, то xi=4, yI=4 ихг= — 5, уг=— 5; если4
1, то х3, 4 = A ±л/77)/2 и ух 4=A Tv/77)/2. Ответ: D; 4); (-5; -5);
2; ГГ
2.Ш. B; 2), (-2; -2), B; -2), (-2; 2). 2.187. B; -5).
2.188. D Умножим первое уравнение на 2 и из результата вычтем второе ура вне-
5х+17
ние: — 5х + 11>>—17=0, Следовательно, у= , откуда
146х2+93х-239=0. Итак, х,-1, ух =2 и х2= -239/146, у2= 117/146. ¦
2.189. C; 5), E; 3). 2.190. C; 2), (-3; -2), U/5/З; 5^3^), {-y/lfti -5ч/з/3).
2.191. B;1),(-2;-1).
{ 16
—*у-—>
У J Перемножив уравнения системы, получим (хуJ —
У 9
--Ху-2
59 144
—— ху-\ =»1. Отсюда ху=6 и ху=23/6. Легко видеть, что xj=2, y\ =3
6 6
Г193. D; 2), (-4; -2).
х*+у2 5
2.194. П Разделив первое уравнение системы на второе, получим =-.
(х+уу 9
XX X
Отсюда 2x2+2j>2-5xy=0 или 2 5- + 2=0. Итак, если -=2, то х,=2,
У У У
х 1
Я~1; если-=-, то Х2= — 1, У2=— 2. ¦
J' 2
2.195. D Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнени-
уравнением, получим (х+уK=27а3. Отсюда х+у=3а. Тогда из второго уравнения
находим ху=2аг. Таким образом, числа к и у являются корнями квадрат-
квадратного уравнения zJ—3az+2aJ=0. Итак, zi«=a, ii=*2a, т. е. х\=а, у\а
и х2*=2а, У2=а. ¦
2.196. ? Возведем второе уравнение в квадрат: <ха + ?гJ=25 или х*+у* +
+2х*у2=25. Учитывая, что х* + у*»=17, колучшм xJ^2»4, т. е. ,vv^»3
298

(x2+y2 = 5, (x2+y2=5,
и ду=—2. Остается решить системы < и < Ответ:
{г U2
(x2+y2 = 5, (x2+y2
< и <
{ху=г Uy=-
B; 1), A; 2), (-2; 1), A; -2); B; -1), (-1; 2); (-2; -1); (-1; -2). ¦
2.197. ? Имеем (х*+у2) (х*-х2у2+у*)=65. Учитывая, что х*-х2у2+у4 = \3,
находим х2+у2 = 5. Возведем последнее равенство в квадрат: х*+2х2у2+
+у*=25 и вычтем из него второе уравнение системы. В результате получа-
{22 5
р
{х2+у2 = 5,
дс2_у2=4
{х+у 5,
' остается найти
дс2_у2=4
х и у. Ответ: B; 1), (-2; -1); B; -1); (-2; 1); A; 2);(-1; -2);
A;-2);(-1;2). ¦
2.198. A; 3), C; 1). 2.199. A; 3), C; 1), (-1; -3), (-3; -1).
2.200. ? Сложив уравнения системы, получим 2 (x3+y3) = \ia3 или х3+у3=*
=9а3. Отсюда х2у+ху2=6а*. Далее, сложив уравнения 3 (x2y+xy2)='l&ai
и х3+у3=9а3, находим (х+уK = 21а3, откуда х+у=3а. Тогда из уравне-
уравнения ху (х+у)=6а3 имеем ху=2а2. Таким образом, х и у являются корнями
квадратного уравнения z2—3az+2a2 = 0. Итак, xi=a, У\=2а и дсг=2а,
Уг=а. Ш
2.201. C; 1), C; -1), (- 5/3; JbSfi), (-5/3; -05/3). # Использовать подстанов-
подстановку х+у = и, x—y = v.
1 1
2.202. B; —3). # Использовать подстановку =и, =v.
х+у-\ 2x-y+3
fa+Ь а-Ь\ (а+Ъ а-Ь\
2.203. C; 2), A; 4), (-3; -4), (-5; -2). 2.204. ; ); —-;—-.
\ 2 2 / \ ab ab )
2.205. B; 1), F; -3), F+20; -2-2^/3). F-20; -2 + 2^3). 2J0«. C; 1), (-3;
-1), A4^106/53: 4v/lO6/53), (-14V106/53; -4^106/53). 2.207. E; 3), (-5; -3).
/-7+03 -7-V73N /-7—/73 -1 + Jl3\
2.208. B; 3), C; 2), -2—; -^- , -^-; ^— . 2.209. A; 4),
D; 1).
2.210. О Составляя попарно разности двух уравнений, получаем, что x=y=z.
Тогда любое из уравнений примет вид и+и2 = 2, откуда щ = -2, «2=1.
Ответ: A; 1; 1), (-2; -2; -2). ¦
(x+y=3-z,
2.211. D Первые два уравнения запишем так: < Отсюда находим
y=2z—I, jc=-3z+4. Тогда из третьего уравнения получим
(-3z+4)+z C-z) = 3, откуда z2 = l. Итак, zi=], y{ = \, *i = l и z2=-l,
У2=-3, х2=7. ¦
2.212. @; 0; 0), B; -1; -1). 2.213. C; -2; 1), (-1; 0; 3).
(х+ (у+г)=б,
2.214. D Первые два уравнения образуют систему < Таким об-
U(+M
U(y+)
разом, х и y+z являются корнями квадратного уравнения u2-6u+5=0.
1,
^+z=5, и
299

<.y+z=l, находим х, у, z. Ответ: A; 2; 3), A; 4; 1), E; 2; -1),
U'(z+5)=8
Г5;4;-3). ¦
2.215. @; 0; 0), {a—b; b-c; с—a). 2316. x^abc, y=ab+bc+ca, z=a+b+c.
k(k-c)(k-b) k(k-c)(k-a) k(k-a)(k-b)
2.217. x= , v= , z= .
a (a-c) (a-b) b (b-c) (b-a) с (c-a) (c-b)
2.218. П Перемножив уравнения системы, получим (xyzJ=abc, т. е.
,— xyz у/аЬс lac lab Ibc
xyz=±^/abc. Отсюда дс=—=± =± —,y=± —,z=± —. ¦
yz b V* Vc Vfl
2.219. D Запишем третье уравнение в виде xyz=\ и умножим на него два первых
fx+y+z=3,
уравнения. Тогда придем к системе < xy+yz+zx=3, Введем вспомогатель-
ную неизвестную и и для нее получим, что иъ — Ъи2 + Ъи—1=0 (см. замеча-
замечание к решению задачи 2.149). Отсюда (дс—1)э=0, т. е. и= 1. Значит, система
имеет единственное решение jc=v=z=1. Э
2.220. A; 3; 5), (-1; -3; -5). 2.221. C; 0; 5).
|2х+3>>| = 5,
2,222. D Имеем Воспользуемся определением модуля и рассмотрим
|2x-3ji = l.
различные случаи.
f>> +у,
1-й случай: < Тогда < откуда jc=3/2, у=2/3. Ляко
{1хЪу>а [2x-31
{у [3>>=1>
видеть, что эти значения удовлетворяют данной системе.
f2x+3j»0, f2x+3>-=5>
2-й случай: < Тогда < откуда х = \, v=l.
12х-3^<0. l2x-3^=-l,
Г2лг+3>'<0, f2x+3y5,
3-й случай: < Тогда ¦< откуда дс = — 1, у= — \.
[2х-Зу>0. [2х-3у = 1,
Bx+3y<0, f2x+3j/=-5,
4-й случай: < Тогда < откуда х= — 3/2, v= —2/3.
{2х-Ъу<а. 12х-3^--1,
Ответ: A; 1), (-1; -1), C/2; 2/3), (-3/2; -2/3). ¦
2.223. D Составим разность уравнений системы: {x-y)+(Jy-Jх) = 0 вли
(yJy—y/x)(-Jx+*Jy—\)**u. Отсюда либо ->/у-у/х=0, т. е. х=>>=49,
либо х+у=\. В последнем случае, сложив уравнения системы, получим
x+y+Wx+>/y)—112=0, откуда < _ _ а эта система не имеет
WJy,
решений. Ответ: D9; 49). ¦
2.224. П Перемножив уравнения системы, имеем i=(x+y)—(x—y), откуда j/=4.
Затем возведем уравнения системы в квадрат и сложим их; тогда получим
5у 4х
— Н—=х. При у=4 найдем х=5 (дс= —5 — посторонний корень). Ответ:
дс 5у
E 4) ¦
у
E; 4).
. A1; 1).
(; )
Z225. A1; 1).
2.226. ? Запишем первое уравнение так: (и2—\2)+л,/и2—v2 —12=0, откуда
300

{и2 —v*=9
Решив эту
M2+v2=41.
систему, получим ответ: E; 4).
/х2-у2 V *1-У1 V
2.227. П Имеем /( 1 =1 = : = 1,6. Таким образом,
Ч\х2+у2 / х2+у* х2+у2
{х2+у2 5
у2 4 Ответ: A; 2), (-1;-2).
1
f(V) + (VV) ,
2.228. П Перепишем исходную систему так: < - Тогда, сложив
уравнения этой системы, придем к уравнению (у/х + у/у)г — \25, откуда
yJx + ^Jy=S. Далее имеем -Jy=S—yJx; у=25—\0л,/х+х; yyjy=\'25 —
— lS-Jx—Xy/x+\5x. Последнее выражение подставим во второе уравнение
исходной системы и получим х—5,/*+6=0, откуда ^/х=2, у/х=3. Итак,
*1=4,Л-9;д:2=9,л=4. ¦
2.229. A; 7), D9/64; 41/8), G; -8). 2.230. D; 1), A21/64; 169/64).
2.231. П Преобразуем левую часть первого уравнения. Так как ^хг+у2 +
Пл ГГ—2 П~2
у/х2-у2*=6, то у/х2+у2-у/х2-у2=
т. е.
у/х2+у2—у/хг—у2=—. Складывая это уравнение с уравнением
6
/х2—у2=6, получим 2т/х2+у2=6+—. Далее, учитывая, что
2 = , приходим к биквадратному уравнению jr — 9х2—10=0. Отсюда
х
х=у/10,у=*±у/б. Ответ: (v^lO; у/б), (VlO;
2.232. П Сложив уравнения системы, найдем /y /y /
Вычитая из этого уравнения поочередно каждое из уравнений данной
{y
fz+x=9,
*Jx+y—\, или \ х+у=\, Снова применяя
^ Ь+г=4
указанные выше действня к уравнениям последней системы, получим ответ:
х=3,.у=-2, г=6. ¦
2.234. A; 64), F4; 1). 2.235. A; 16), A6; 1).
2.236. D Возведем первое уравнение в квадрат: Ъх+2у+\ —
-2*JBx+y+l) (х+у)=1. Учитывая, что Зх+2у=4, и полагая
г , fnv-2, «u+yf-9,
¦*J2x+y+l=u,*>/x+y=\, получим систему < 2 или< а из
•км

которой находим и—2, v=l. Итак, остается решить систему
B14,
Ответ: B; -1). ¦
2.237. E; 4), (-9; 25). 2.238. A; 1). 2.239. B; 3), A3/3; -5/3). 2J40. A0; 1), (-21/2;
53/12).
2.241. П Положим yjx2+2y + \=z. Тогда x2+2y+\=z2,x2+2y=z2-\. Таким
образом, первое уравнение системы примет вид z2+z-2=0, откуда г( = 1,
Z2=—2 (посторонний корень, так какг>0). Итак, x2+2j»+l = l. Из систе- ,
Гд:2+2у=0,
мы { находим х я у. Ответ: B; —2). ¦
U+y2
2.242. C; 3/2), F; 3).
V *У 2'
2.243. П Имеем < V *У 2 От1[уда
V
Гху-4,
1-й случай: дс+у>0. Тогда система примет вид < откуда *i=4,
U+J>=5,
114
fxy=4,
2-й случай: х+у<0. Тогда система примет вид ¦{ r откуда
*i = -4, У\ = -1; х2 = -1. У1= -4.
Ответ: A; 4), D; 1), (-1; -4), (-4; -1). ¦
2.244. х,=0;х2--10.
2.245. D Выполнив деление, получим:
х*+тх+п | х—л
х+2т ~ х2~пх х+т + п
(т+п) х
Ъпх-2т2 ~(т+п) х-тп-пг
+п
Согласно условию, 2т2+п=т, тп+п2+п—п. Если л=0, то 2т2=т, т. е.
т=0 либо т=\/2. Если л^О, то п = —т, т(т—\)=0, т. е. ли=1, л= —1.
Ответ: @; 0), A/2; 0), A; -1). ¦
b±^/b4ac
2.246. П Имеем ДС] 2= . Пусть Xi>x2; тогда, используя условие,
2а
получим: (лс,-
С л
¦-+-
а
с * /с y/b2-Aac \
1. Итак, х1+-х+[-+ 1 1=0 или ах2+Ьх+
а \а а /
2.247. П Полагая7= —1, получим относительноm уравнение т2—т—6=0, кор- |
нями которого являются т=Ъ и т=—2. При каждом из этих значений
302

т данное уравнение запишется так: г3—13г—12=0. Это уравнение пред-
представим в виде (г+1) (г+3) (г—4)=0, откуда гч = — 1; Г2=-3; гз=4. ¦
2.248. ? Имеем 2Ь2 — 9ас=0 или Ь2=А,5ас. Тогда если хь х2 — корни уравнения
ax2+bx+c=0, то
2а 2а 2а
/ас,
-Ъ-у/Ь2-Аас ,/4,5 + 70,5 .—
дс2= = Jac.
2а 2а
*2 V4.5+VO.5 (V9 + Vl)V,
Таким образом, —=—= ==—= = ==2, откуда хг=2х1. Ш
х\ ,/*.5/ ///
2.249. П Используя теорему Виета, имеем: ab = l, а+Ь=—р и bc=2, b+c=—q.
Тогда pq-(a+b) (Ь+с)=Ь2+ас+3, откуда *2+дс=/>?-3, (b-a)(b-c)=
=(*2 + ас)-3=(р?-3)-3=р?-6. Итак, F-а) F-с) =/><?-6. ¦
2.250. П Вычитая из первого уравнения второе, получим ах—х+1-а=0 или
(а— 1) (дс—1)=0. Если а=1, то каждое из уравнений примет вид
' _ х2+х + 1 =0, а такое уравнение не имеет действительных корней. Если же
аф\, то дс = 1 и, значит, 1+а+1=0, т. е. а=— 2. Ш
2.251. р>2; х,=/>+2, х2=B-р)/5.
2.252. П Имеем х\ — Х2 = 5, xj-Xj=35, где *i и хг — корни уравнения х2+рх+
p+y/pq ру/р^
0. Кроме того, дг|= и х^= . Итак,
или 5 (x2+X!X2+xj) = 35 или .
+х2=7, т. е. подучим систему < ' Решая ее, находим р = \,
qs*—6np— — l,q=*—6. Ш
2.253. x2 + Dq—2p2) x+(p*—4p2q) = 0.
4 7
2.254. ? Так как а и Д — корни уравнения Зх2+7х+4=0, то аД=~, а+Д=—.
Далее, поскольку и корни искомого уравнения x2+px+q=0,
находим
a/J 2 /a P \ (а + РJ~2аР-(а+Р) 23
7 \?-1 а-1/ а^-(а+« + 1 21
23 2
Итак, искомое уравнение имеет вид х ——хН—=0 или 21х —
-23х+6-0. ¦
2.255. ? Имеем x*+5xJ + 15x-9=(x2-3) (x2+3)+5x(xJ + 3)=(x2+3) (x2 +
+ 5х-3)=0, т. е. либо хг+3=0 (это уравнение не имеет корней), либо
х2 +5х—3 =»0. Поскольку дискриминант последнего квадратного уравнения
положителен, оно имеет два корня: х\ и *2, причем Х|Х2 — —3,
¦= — 5. Легко видеть, что знаки этих корней противоположны. Щ
2.256. П Положим х+-=»г, тогда х2Л—=г2-2. Отсюда (х+-)(х2н—-)
X X2 \ X/V Xх)
303

=z3 —lz или х3+— +х-\—=z3—2z, т. е. х3н—=z3 —3z. Следовательно,
X3 X X3
z3—3z+z2—2+z=6 или *3+z2—2z—8 = 0. Замечаем, что zj=2; далее по-
после деления на г—2 получим г2+Зг+4=0, а это уравнение не имеет корней.
Итак,г=2, откуда следует, чтох+- = 2илих2—2х+1=0, т. е. Х\ г=\. Ш
х
2.257. П Положим x=z—4. Тогда дс+3=г—1, дс+5=г-И. Следовательно, дан-
данное уравнение примет вид (z-l)* + (z + l)* = 16. Отсюда 2z* + 12z2+2=16
. или z*+6z2 — 7=0, т. е. z2=l и z2=—7. Корнями первого уравненияа
являются числа Z] = 1, z^= — 1, а второе уравнение не имеет корней. Итак,
xi = — 3, х2=—5. ¦
2.258. jti = — 1, Х2 = 0, дез = — 2. # Использовать подстановку х +1 = z.
2.259. х,=4, х2 = 2.
2.260. П Запишем данное уравнение в виде (ЗхK+CдсJ —16 3дс-|-20=0 и поло-
положим 3x=z. Тогда получим z3+z2 —16z + 20=0. Замечаем, что Zi=2, и по-
после деления на z—2 имеем z2+3z—10=0, т. е. Z2 = 2 и гз = —5. Таким
образом, дс, = х2=Z] /3 = г-^Ъ=2/3, х3=*з/3 = - 5/3. ¦
9х
2.261. ? Положим =и. Отсюда 9х=9и+хи, т. е. 9 (х—и)=х. Таким об-
9+х
fx2+u2=40, f(x-uJ = 40-2jcu,
разом, приходим к системе < откуда < Из
(.9 (x-u)-xu = 0, [9 (x-u)-xu=0.
fx-u=-20, fx-u=2,
последней системы получаем < и < Первая система не
1хи=-180 1хи = 18._
имеет решений, а решая вторую, находим х\ 2 =' ± V19. ¦
2J62. Х| = -1,х2 = 2.2Л63. Х!=2, х2=4, х3=-1, х4=-1/2.
2J64. х= —1/2. # Использовать подстановку х=1/у.
Z265. О Так как сумма коэффициентов уравнения равна нулю, то один из
его корней равен единице: Xi = l. Тогда после деления на х— 1 получим
х2 — 2ах+{а2 — а) = 0, откуда x2- 3 = a±v "• "
2.266. ui =1, И2=а+Л, из=в—Л.
2Л67. О Замечаем, что одним из корней уравнения является ДС| = — 3. Тогда
после деления на х+3 получим дс2—Зле—(р2— />—2)=0, откуда х2=р+\,
х3=-р+2. Ш
2.268. х,=1, *2, ъ=а±у/т. 2.269. X!=a, дег, з="±\/*-
2.270. П Имеем Dх4+Зх2-1)-Aбх3-4х)=0. Отсюда 4 (х2 + 1) fx2 — j-
— 16ar 1дс2—1=0, т. е. (дс2—1 (дс2—4jc+1)=0. Решая последнее уравне-
уравнение, получаем ответ: Jtj, 2= ±1/2, дез, 4=2±^Ji. Ш
Ъ11\. О Данное уравнение удобно записать как квадратное относительно а:
{х-2у/У) а2-Aх1-гу/Ъх-12) а+(х3-9х
304

X2-y/3x-6
Отсюда а= =—. Замечаем, что х2 —
/
Значит, а (х-2у/3)=(х-2у/з) (х+^/з), откуда jt| =2^/3, х2=а--ч/3. Легко
убедиться в том, что число а— -у/З есть двукратный корень данного уравне-
уравнения. Итак, получаем ответ: дс1 = 2-ч/з, Х2 = х^=а~-^/з. Ш
2.272. *i = l, х=\—а. 2.273. *! = —1, Х2 = а, Хз = 2а.
2.274. D Данное уравнение удобно записать как квадратное относительно р:
Отсюда (z-l)/72-2(z-l)z/>+(z-l)(z2-?)=0, т.е. (г-1) (pJ-
+z2 —q)=0. Таким образом, 2—1=0 и p2—2zp+z2—q=Q. Из первого
уравнения находим z\ = 1, а из второгоp=z±-*/q, т. е. z2> 3 =.P±v9- "
2.275. П Имеем v'*+v'x+9=yjx +1 + -У*+4. Возведя это уравнение в квадрат,
находим 2дг+9+2>/дс2+9х-=2дг+5 + 2>/.х2 + 5х+4, т. е. •ч/х2+9дс-
— •ч/х2+5х+4=— 2. Снова возведем уравнение в квадрат: 2х2 + 14дс+4—
-2у/(х2+9х) (х2 + 5х+4)=4, т. е. хг + 1х=^/х* + 1Лхъ+Л9х2+36х. Нако-
Наконец, после еще одного возведения в квадрат получим дс*+14дс3+49дс2 =
= х*+14х3+49х2-)-Збхили 36дс=0, т. е. х = 0. ¦
2.276. О После возведения уравнения в квадрат получим 2и2+2 +
+2>/(и2-и-1)(и2 + и+3)=2и1 + », т.е. у/(и2-и-1) (иг+и+3)=3. От-
Отсюда (и2 —и—1) (и2 +и+3)=9 или и* + и2— 4и~ 12=0. Замечаем, что од-
одним из корней последнего уравнения является и=2. Разделив на —2,
приходим к уравнению и3+2и2+5и+6=0, которое не имеет положитель-
положительных корней, так как все его коэффициенты положительны. Итак, и=2. ¦
2.277. ? Положим дс3+дс2 — 1= и. Тогда данное уравнение можно записать в виде
.- . . ,- и+3-и 3
у/и+у/и+3=3. Отсюда находим у/и+3~^/и=—= =- = 1, т. е.
JJ З
_ JJ
у/и+3—у/и = 1. Складывая последнее уравнение с уравнением у/и +
+у/и+3 = 3, получим 2у/и=2, т. е. и=1. Таким образом, остается решить
уравнение х3 +х~1 =1, которое имеет единственный корень х=\. Ш
2.2Ж х=0.
2.279. П Возведем уравнение в квадрат: 2x+2y/x2— 4дс+4=дс2—2х+1 или
2V(*-2J=*2-4x + l или 2х-4=х2-4х+1, т. е. х2-6х+5=0. Отсюда
Х\=5, х2 = 1. Сделав проверку, убеждаемся в том, что подходит только
корень х=5. ¦
2.280. О Возведем данное уравнение в куб: 2х+11+3 3^/(х+5) (х+6) Bх+11)=
= 2х+11, т. е. V(*+5)(*+6)Bx+ll)=0. Отсюда (х+5) (х+6) Bх+11)=0.
Корнями этого уравнения являются х\ = — 6, Х2— — 5,5, хз— — 5. ¦
2.281. х,=0, х2=1-
/х+5 . .
2.282. П Имеем 3 / +V*2-25x-150=Vx2-19x+204. Возведя это урав-
Vx-30
305

x+5
нение в квадрат и выполнив преобразования, получим 9 = 324. От-
х—30
сюда 9 (х+5)=324 (х-30), т. е. х=31. Ш
2J83. х=79.
1284. ? Запишем данное уравнение в виде Ух+1 (yjlx+6+^—1)=
•*2(yjx+\f. Отсюда Х]=—1. Остается решить уравнение yJlx+6 +
+yJx—\=2*/x+1. Возведя обе его части в квадрат, получим 2х+6+х—
-1 +2J{lx+6) (х-1)=4 (х+1) или 2УBх+6) (х- 1) = х-1. Следователь-
Следовательно, 4Bх+6)(х-1)=х2-2х+1 или 7х2 + 18х-25=0, откуда х2 = 1,
х3= —25/7. Сделав проверку, убедимся в том, что х= —25/7 — посторон-
посторонний корень. Итак, Xj = — 1, x-i = 1. ¦
2Д85. П Имеем 1у/х-у/2 —=- 7 / =. Отсюда
(x-Jz){.x+Jl) I х3 . -г~ I х3
х- ^-^—^-:=х 7 / = или У(*-\/2)в=х* 7 / ^-. Та-
ким образом, приходим к уравнению (х—-v/2)8 (x+yjlf = x2*, из которого
находим, что х2—2=±х3, т. е. х3—х2+2=0 и xJ + x2—2=0. Первое
уравнение имеет корень х\ — — 1, второе — корень хг — 1. ¦
2.286. D Запишем данное уравнение в виде (х3+х—2) + 3y(x3+x—2—10=0. По-
ложим э-у/х3-)-х~2=г; тогда уравнение примет вид г3+г—10=0. Заме-
Замечаем, что ri=2, и после деления на г—2 получим уравнение г2 + 2г+5=
=0, которое не имеет корней. Следовательно, х3+х—2=23, т. е. хэ+х~
-10=0. Это уравнение имеет единственный корень х=2. ¦
2.287. X] — — 1, дтг~1- • Записать уравнение в виде 5х +3х =8 и использо-
использовать аодстановку lsy/x2**y.
.Г] =• -1, Х;-=4.
fu-v = 2,
23Я9. О Положим х4 8 = м*, х—8=«v*. Тогда из системы < находим
L"*-v*=16
«¦=•2, v=»0. Тяким образом, х=»8. ¦
2.290. п -53/5, х2 = -17/5.
2JS91. D Полагая 6s/x—2**a, *y/x—3=b, запишем уравнение в виде
я1-5!гй4-6А2'=0. Отсюда (я-3?) (а-26)=0. Таким образом,
*jx-2~H-fJx-\ т. е. «=2185/728, и V*-2=2-V*-3, т. е.
х -190/63. Я
Х.2Ш. С Зышшем уравнение в следующем виде: (х—1)+2>/(*—1) {х+Ъ)+{х+
6«0 или (Ух
— 6=0. Отсюда получим ^Jx—l + ^x+3; далее имеем
(x+3)_(i_i) 4 .
у/х+3—%/х— 1»*—===== ==;»»-=2. Значит, V-*"'™^ откуда
Vx+3+Vx-S 2
х=1. ¦
х-3.
30*

2.294. П Имеем -^= +— ^-4= - = 16. Отсюда 5J
%/31 s/l
x3 +
+ %/х2+5ух—14=0. Решая это уравнение как кубическое относитель-
относительно3 yjx, находим его единственный действительный корень