LEMONS
s u r la
THEORIE DES TOURBILLONS
par
HENRI VILLAT
Gorreepondant de l'Academie des Sciences,
Professeur & la Faoulte ties Sciences de Paris
Paris
GAUTH1ER riLbABS ЕГ Cle. EDIETEURS
1 9 30

Г. БИЛЛЯ
ТЕОРИЯ ВИХРЕЙ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
П. М. ГУМЕНСКОГО
ОВТИ-ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД ¦ 1936 .МОСКВА

Настоящая книга дает совершенно строгое систематиче-
ское изложение как классических, так и новейших исследо-
ваний по теории вихрей.
Рассчитана она на квалифицированных читателей, требуя
для своего понимания энания основ гидромеханики, теории
функций комплексного переменного и теории эллиптических
функций.
Монография Билля может служить прекрасным учебным
пособием для студентов и аспирантов университетов, желаю-
щих углубить свои познания по теории вихрей. В этом от-
ношении она заполняет пробел в научной литературе.

ГЛАВА I
ОБЩИЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ.
НАПОМИНАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ.
В первых главах настоящей книги мы будем предполагать, что
изучаем жидкости:, лишенные вязкости и, в общем, несжимаемые. Воя-
кая изучаемая жидкая масса, содержащаяся внутри замкнутой поверх-
ности S, будет подвержена действию сил инерции, давлениям, нормаль-
ным к поверхности, и действию внешних сил.
Во второй части этого труда основные результаты, относящиеся
к идеальным (без вязкости) жидкоотям, будут распространены на жид-
кооти вязкие.
Общие уравнения. Пусть р обозначает плотность жидкости в точке
(%, у, е), X, Y, Z представляют проекции внешней силы, раосчитанной
на единицу масоы в данной точке, и р обозначает давление. Тогда
имеем хорошо известные уравнения:
_! %L-x—i
Р дх "'•¦•
где Ixt Iy, I, — составляющие ускорения частицы.
Если взять переменные Лагранжа, следя за каждой движущейся
частицей, иными словами, если изобразить движение при помощи
времени t и начального положения каждой чаотицы [(а, Ъ, с) в момент
'о> (х> У> я) в момент t] при помощи уравнений:
х = f {а, Ъ, с, 0; y=g{a,b,c,t)\ e = h (а,Ъ, с,1),
то уравнения движения, выраженные через переменные Лагранжа а, Ь,
с, t, в силу соотношения
др _ Эр дх др ду dp dz
да ~ дх да ~* ду ~да'~дг"да
и аналогичных, примут вид:
JLJ?__/ Y_iMi?i_L/ у dhJ \ dlJ I / 7 d** \ bS
P да ~\ dfijda^X dP } da^~\ dfi ) da " ''
с пятью неизвестными функциями (х, у, е,р, р) переменных (а, 6, с, О-
Если же мы остановимся на картине скоростей во всякой точке
(х> У, *) Для любого момента t, то получим уравнения Эйлера:
„ 19» ди . ди . ди . ди du
р дх дх ' ду ' дг ' dt dt

е пятью неизвестными функциями («., v, iv, p, р) переменных (х, у, г, t).
Линии тока выводятся интегрированием уравнений:
Ах
¦jj- = nО, у,г,1),...
Уравнение неразрывности. В переменных Лагранжа уравнение
неразрывности, выражающее, что маоса, содержащаяся во всякой поверх-
ности Е, райна той, которая содержалась в первоначальной поверхно-
сти Ео, имеет вид:
Р{х,у,е) _,
р D(a,b,c) ~1>°ш
В переменных же Эйлера оно имеет вид:
Эр , Э(рц) d(pv) . d(?w)_
dt "*" дх ~^~ dtj ^ дг ~
Это предполагает, что ни в какой момент времени не происходит
ни возникновения ни исчезновения массы.
Дополнительное уравнение. Это уравнение имеет вид:
где Т—температура в рассматриваемой точке.
Здесь мы будем предполагать, что вообще
о = const.
Вихрь. Вихрем скорости называется вектор, имеющий составляю-
щими в каждой точке:
_ 1 ( dw dv\ — !
~2~[~ду"~~дг)' Т|~Т
ди dw \ r 1 / до
)
Еоли вихрь равен нулю, то скорость («, v, iv) имеет потенциал.
Если вихрь везде нормален к скорости, то поле скоростей обладает
интегрирующим множителем.
Хорошо известна механическая интерпретация вихря. Около неко-
торой точки Р {х, у, г) вообразим маленькую жидкую сферу с центром
в этой точке. Предположим, что мы мгновенно уничтожили всю внеш-
нюю жидкость и одновременно маленькая сфера отвердела; отвердев-
шая сфера будет обладать мгновенным вращением, которое в точности
будет равно (в пределе, когда ее радиус стремится к нулю) вектору-
вихрю.
Вводя вихрь в уравнения движения, придадим им следующий вид
(уравнениям Эйлера):

Предположим, что внешние силы выводятся ив силовой функции
U(x,y,n, t) и что р вависит лишь от р. Положим:
„.„-/А
— потенциал ускорений).
Далее положим:
я — Ч 2 г ¦
Тогда получаем уравнения:
Уравнення Гельигольца. В предыдущих уравнениях требовалось —
для существования входящей туда функции Я—чтобы были выпол-
нены условия интегрируемости. Написав, например:
92Я
ду дг дг &у '
имеем:
т. е.
Но
д% - df\ Ж,
дх ду ' д%
и, стало быть,
Уравнение неразрывности может быть написано:
i" Si/ "г" Ъг
и, следовательно,
(R , { 1 dp ди\ ди f ди
dl ~~ Ч 7"W + "te j ~ * 1у ~ " 1г "Oi

т. е., деля на р,
6 ди . т( ди С ди
р дх "* р ду ' р дг ' ' ' '
Имеем три таких уравнения, которые носят название уравнений
Гельмгольца.
Эти диференциальные уравнения линейны относительно —,
—, —; если задать начальные значения —, —, —, соответотвую-
Р Р Ро Ро Ро
щие моменту t = t0, то неизвеотные функции определятся единствен-
ным образом. В частности, если значения So, -г)о, Со равны нулю, то
очевидно % tj, С будут постоянно оставаться равными нулю.
Это составляет теорему Лагранжа: если в некоторый момент t0 суще-
ствует потенциал скоростей, то он будет продолжать существо-
вать во всякий момент.
Например, это будет так, когда, в предположении существования Q,
жидкость в начальный момент покоилась.
[Обозначая потенциал скоростей через <р, если он существует, легко
видим, что уравнения Эйлера сводятся к одному следующему:
з?у4-W14-д* о(-п {
?/ +Ы J+ir^ \-u-j
а уравнение неразрывности примет вид
-4
р dt
или, когда речь идет о несжимаемой жидкости,
Формулы Коши. Обобщение. Теорему Лагранжа можно также до-
казать методом, принадлежащим Коши, иоходя из непреобразов&нных
уравнений Эйлера:
du_ „ 1_ д$_
dt р дх ''''
Мы будем предполагать все время существование функции Q, причем
Х = ж, _ = _,...,
уравнения, которые выражают, что ускорения зависят только от потен-
циальной функции Q {х, у, г, t).
Положим для краткости
, du

и образуем ~-; имеем:
1а = 1х 1а ' ду На ' ~!я 1а ~ '* ~да' * да ' w la '
Исключим Q, написав:
1а
имеем:
AN "Г П/л 1\ Т h (n h\
В(а,Ъ) г _D(a, &) ^ />(я, Ь)
Но очевидные формулы:
Sw' d l ди
да dt \ да)""
ж элементарные правила диференцирования определителей позволяют
далее яаключить, что
1 В (и, х)
dt [ D(a,b)\ D(a,b) '"'
тав что предшествующее уравнение просто выражает, что величина
В (а, V) ~*~ В (а, Ь) "*" Р(а,Ъ)
не зависит от /.
Но при t — t0 имеем:
х = a, tj=b, з — с, м = «0, v в= v0, w = и>ф
и, следовательно:
В (у, у) B(w,g) 8г„ 9мо_
В(а,Ъ)^ В{а,Ъ) ^ В(а,Ъ) да дЬ
:улыат, вернемся к старым обозн!
v, у, г от (и, v, w). Имеем такие (j
ди ди дх . ди ду ди дг
Получив этот результат, вернемся к старым обозначениям посредством
производных по х, у, г от (и, v, w). Имеем такие формулы:
отсюда имеем:
В (и, х) ди В (х, у) . dii В (г, х)
В(а,Ь) ду В(а,Ъ) д:

и, следовательно,
_Р(у,в) (ди> dv\ Р(в,х)(дн ди>\
-° ~ В(а,Ъ) \ду дг ) "*" D {а, Ъ) \ дг дх ) ~*~
Р(х,у) 1 до дш\
"•" D (а, Ь)\дх ду Г
т. е. будем иметь три следующих уравнения, из которых первые д
доказываются точно так же, как и предшествующее:
Д(у,я) Д(л,Ж) Д(*,у)
1>(с,а) ^^ D(c,o) ^ Л (в, о) ~ ю<
D(a,b)-^
Будем иметь формулы более простые, если решим предыдущие ура
нения относительно i, -ц, С и положим:
Г) (-Г II ?\
Получаем следующие три уравнения Коши:
Так как Д = —, то очевидна связь между этими уравнениями Коши
и уравнениями Гельмгольца, именно: уравнения Коши дают инте-
гралы уравнений Гельмгольца, что не трудно проверить непосред-
ственно.
В случае жидкостей (р = const) лмеем Д = 1, и эти уравнения
приводятся к
, р дх . дх . г дх
Уравнения 1шши можно истолковать иным образом. Рассмотрим выра-
жение
Е = пйх -j- vdy -\- wds — (uoda ~\- v0 db -)- wodc),
где t будем рассматривать как постоянное, а (х, у, г) будут функциями
от (а, Ъ, с, 0 соответственно движению жидкости. Имеем:

а уравнение (А) стр. 9 обозначает, очевидно, что Е является
полным диференциалом F, т. е. существует функция
F(a, Ъ, с, 0 такая, что
E = dF(a, b,c,f).
В частности, при I = /0 все три коэфициента в Е обращаются в нули
и, следовательно, при t = t0, F сводится к постоянной, не зави-
сящей от (а, Ъ, с).
Отсюда опять легко получить теорему Лагранжа. В самом деле:
E = dF.
Если в момент /0 существует потенциал скоростей, т. е.
uoda -f- vodb -\- wQdc = d<p0,
то
udx -j- vdy -\-wds = d (F -)- <p0),
что овначает, что F + ?o будет потенциалом скоростей для момента t,
что и требуется доказать.
Обобщение формул Коши для случая, когда внешние силы
не имеют потенциала*(Friedmann, С. R. Acad.Sc. 63, 1916, р. 219).
Ограничимся случаем несжимаемой жидкости (р = const) и предполо-
жим, что внешние силы не имеют потенциала (ни теорема Гельмгольца,
ни теорема Лагранжа не будут существовать; именно, неконсерва-
тивные силы, вместе с трением, будут причиной несохранения
вихря).
Но мы сможем заменить уравнения Коши и Гельмгольца другими,
несколько отличающимися, ив которых и будем исходить.
Имеем уравнения движения:
они выражают, очевидно, что
(«' — X) dx + (</ — Y) dy 4 (и/ — Z)ds
является полным диференциалом в момент t как для переменных
(ж> У, я), так и для (а, Ъ, с). Рассматривая его относительно этих по-
следних переменных и полагая:
Y дх , ду , у дз
да ' да ' да
" - " дс
получаим тогда, что

является полным диференциалом. То же будет иметь место, если
возьмем интеграл по t:
da
to
Положим
х = j Adi,...,
и
ать следующие р
Г , дх _, Г du дх Г Г d ( Ьх \ ди ]
J да J dt да J [dt \ да) да j
h U h
и заметим, что можно написать следующие равенства:
J
дх 1 /
Следовательно, откидывая явный диферендиал
t
мы видим, что выражение
является полным диференциалом относительно а, Ь, с.
Но это в точности тот же рязультат, ив которого мы исходили
в предшествующем параграфе, с той лишь разницей, что щ, v0, w0
теперь заменены на «0-j--4i» г>0 -f- ^15 u>0-\-Cv Далее, полагая
4 ~ дЪ и1'"
и применяя те же выкладки, что и раньше, приходим к формулам:
Д(«,а) , D{v,y) . Д («,«)_«,, 4-9f*
Д(Ь,с) ^ 1>F,с) ^ D(l,c) ~ !оТ ! '
Отоюда вытекает, как и выше, что для р = const
— уравнения, обобщающие уравнения Коши,

По определению:
С I дС дВ\ , frD(X,^ , D(Y,y) . D(Z,z)l
J \db dc ) J [П(Ъ,с) r D(b,c) ^ D(b,c)i
Для t = t0 имеем ?0* = 0, но нет никаких оснований очитать, что это
будет так и при t ф t0. Становится ясным, каким образом теорема
Лагранжа перестает быть справедливой для жидкостей, когда внешние
силы неконсервативны.
Свойства вихрей. Вернемся к случаю, когда имеется потенциал
ускорений. Известны определения линий тока, вихревых линий, жидких
трубок или нитей (образованных линиями тока),
вихревых трубок. Теорема о расхождении, применен-
ная к вихрю, показывает, что поток вихря через
замкнутую поверхность равен нулю:
fff Div Qdx = ff (ai + fa + TfC) da = 0
(a, p, -у — направляющие косинусы внешней нормали)
в силу равенства нулю расхождения от вихря.
Циркуляция по замкнутой линии:
Сх = / udx -\- vdy -\- wde.
/ Рис. 1.
Циркуляция остается постоянной, когда ме-
няется t (и одновременно линия L), если существует
Q —потенциал ускорений. Это следствие теоремы Ллгранил,
так как при указанных условиях:
ndx-\- ... —(uoda-\- .. .) = dF{a, Ь, с, t)\
тогда, так как линия L замкнута (рис. 1),
/ udx -f- ... = / uoda -f
если, по крайней мере, функция F однозначна. Последнее условие
можно уточнить, сказав, что оно сводится к требованию однозначности
потенциала ускорений Q. В самом деле, в момент t0 координаты а,
Ь, с для Lo могут быть представлены в виде:
а = ?i 00» ь = 9а 0-)> с — Ъ 0-)>
где X — параметр, который достаточно менять в пределах от Xt до Х2,
чтобы получить всю линию Хо. В момент t координаты для L являются
функциями (а, Ъ, с, t), т. е. X и t, вида:
и X должно меняться от Х5 до Ха, чтобы точка {%, у, z) описала L,

Тогда мы имеем:
J ^ ЭХ
Это есть функция t. Имеем:
т. е.
dCL f д [Ч , 1
dt J ifk iv ' 2 v ' '
h
Правая часть равна нулю, если Q принимает то же значение после
обхода контура L. Следовательно, Cl = const, что и требуется доказать.
Применение теоремы Стокса. Проведем черев линию L односвяз-
пую поверхность #, и приняв, по обычному правилу, положительное
направление обхода L, имеем:
т. е.
(«? ¦ 1- 3-о -I- тгО ch
2 f f
Правая часть дает поток вихря через поверхность Sили интен-
сивность вихрей, пронизывающих ее. Интенсивность эта равна,
следовательно, циркуляции вдоль L.
Сохранение циркуляции сводится, в силу этого обстоятельства,
к постоянству во времени интенсивности вихрей, пронизывающих по-
верхность S, когда последняя меняется как жидкая поверхность.
Для замкнутой поверхности полная интенсивность (или полнчй поток)
обращается в пуль, что мы уже внаем ив теоремы о расхождении
потока. Циркуляция вдоль линии, проведенной на вих-
ревой поверхности, равна нулю, так как. эта линия может
быть стянута в точку непрерывной деформацией на поверхности.
В самом деле, взяв ва поверхность ограниченную контуром часть рас-
сматриваемой вихревой поверхности, имеем на пей везде Qn = 0 и,
следовательно, Cl = 0.
Обратно, если циркуляция обращается в нуль вдоль всякой вам-
кнутой линии, проведенной по некоторой поверхности 8, то последняя
будет являться вихревой поверхностью. Так как / / Qn da должен
быть нулем на всякой части поверхности, то необходимо, чтобы Й„ = О,

Пересечение двух вихревых поверх»остей является
вихревой линией; так как вихрь 2, будучи касательным одновременно
к двум поверхностям, пойдет по касательной и к линии их пересечения.
Теорема. Поверхности (или линии) вихрей сохраня-
ются, они являются жидкими поверхностями (или линиями) (Гельмгольц).
В самом деле, на поверхности Т проведем какую-нибудь замкнутую
линию L; в момент t0 на поверхности То, которую предполагаем вих-
ревой поверхностью, соответствующая лини» будет Lo. Имеем:
в;
da
Рис. 2.
Рас. 3.
так как Lo находится на То. Но это имеет место для всякой LQ, сле-
довательно, для всякой L, а потому Т является вихревой поверхностью.
Эта теорема переносится и на
вихревые линии, так как они рас-
сматриваются как пересечения
двух вихревых поверхностей.
Вихревая трубка. Ее интен-
сивность. Для замкнутой линии L,
окружающей трубку, циркуляция
не обязательно равна нулю. Она
сохраняет одинаковое
значение для различных
замкнутых линий, один
раз охватывающих труб-
ку. Достаточно, в самом деле,
записать, что полная циркуляция
равна нулю вдоль сложной линии,
изображенной на рис. 2. Отсюда видим, что интенсивность
трубки равна постоянному значению циркуляции вдоль L.
Следствие. Вихревая трубка не может кончаться внутри жидкости;
она или замыкается сама на себя, подобно кольцу, или заканчивается
на стенке сосуда, или простирается либо до бесконечности, либо до
поверхности разрыва.
Бесконечно тонкая трубка. Пусть do ее поперечное сечение, ее
интенсивность /, по определению равная
будет тогда
Q перпендикулярен поперечному сечению или касателен к трубке. Эта
величина Qda, следовательно, постоянна: 1) когда меняется t, 2) еелп
перемещать поперечное сечение вдоль трубки.
Пусть АВ и А'В' два соседних поперечных сечения трубки
в момент * (рис. 3). В другой момент tl они перейдут в AtBi и
J./.B,', составляя новый косой цилиндр. Пусть da и dot поперечные
сечения двух маленьких цилиндров. Имеем, с одной стороны,

а с другой стороны, сохранение пассы дает:
где I и Z, — длины цилиндров.
Отсюда видим, что
А
Q
остается постоянным.
Из всего предшествующего следует, что движущаяся жидкость
состоит: 1) из области, где нет вихрей, — области, которая переме-
щается и, может быть, деформируется во времени, но никогда не содер-
жит вихрей, и 2) ив вихревой области, составленной ив вихревых нитей,
обладающих описанными выше свойствами.
В невихревой области можно положить
9» 9<р 9а
дх ду Ьх
и циркуляция вдоль замкнутой линии L будет:
Cl— I vdx-\-vdy-\-iods = I dy.
Если линия L, взятая в невихревой области, может быть стянута
в точку непрерывной деформацией, не выходя из этой области, то цир-
куляция равна нулю и 9 принимает то же значение после пол-
ного обхода линии L.
В самом деле, на поверхности S, проходящей через линию, при ее
деформации, имеем всюду 9 = 0, и, следовательно:
SL
Далее видим, что соответственно порядку связности объема, занятого
невихревою жидкостью, функция sp может быть однозначна или обла-
дать одной или многими циклическими постоянными, соот-
ветственно обходу тех или иных поверхностей (например, имеющих
форму кольца). Мы не будем останавливаться на этом вопросе,
а перейдем к основной задаче.

ГЛАВА II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО ЗАДАННЫМ ВИХРЯМ.
Вычисление скоростей в функции: данных внхрей в жидкости.
Если скорости предположить известными всюду в момент времени t,
то совершенно ясно, что мы непосредственно узнаем вихри. Обратно,
предположим известными вихри. Можно ли вычислить скорости?
Мы будем считать, что речь идет о несжимаемой жидкости,
которую можем предположить как неограниченной, так и заключенной
внутри сосуда, покоящегося или движущегося. Жидкость
тогда состоит ив вихревых трубок или колец, в которых функции
(?, i\, О отличны от нуля и которые окружены частицами жидкости
без вихрей, т. е. где % ц, С равны нулю; функции ($, -ц, Q, следо-
вательно, вообще говоря,—разрывны в области, занятой жидкостью
в целом. Мы будем предполагать сосуд односвявнъш и заполненным
жидкостью.
Задача будет тогда такова. Предположим, например, сосуд нено-
движным; надо найти {и, г, «с), зная, что:
1° всюду
dw dv f ди dw dv ди
величины I, tj, Z, известны, причем в некоторых областях могут
обращаться в нуль;
2° всюду
ди . dv . dw
3° на стенках сосуда скорость тангенциальна, т. е.
аи -\- р« -J- Tf iv = О,
где а, р, -J — направляющие косинусы внешней нормали к стенке. Если
жидкость неограниченная, будем предполагать, что она на беско-
нечности покоится:
и = v = w = О.
Естественно, ив первых трех уравнений вытекает условие:
дх "г" дц "+" Ж " "'
что легко проверить.

Задача будет иметь единственное решение для односвяз-
кого сосуда. Так, согласно 1°, разность двух решений будет иметь
потенциал о,
Согласно 2°, имеем Да = 0, и, согласно 3°, -~- = 0 на поверхности сосуда.
Далее, вследствие односвязнооти сосуда видим, что I (''ч — «2) dx -J- • • ¦
равен нулю вдоль всякой замкнутой кривой внутри сосуда,
а потому ф однозначна. Тогда ф не иначе как постоянная и,
следовательно: «, =«2,... Это будет иметь место и в том случае,
„ до 9а до „
когда сосуд неограничен, ибо тогда ¦—-, -тг- > -тг- на бесконечности
Эх ду dz
нуди,а<рфункция однозначная и гармопическая,равная постоянной.
(В многосвязной области для получения решения надо задать
модули или циклические постоянные для тех замкнутых
кривых, которые не стягиваются в одну точку внутри сосуда)
Неограниченная жидкость. Предположим (и, v, и>) и ($, т\, С) на
бесконечности равными нулю. Жидкость тогда разобьется
на вихревые кольца, подвижные в безвихревой жидкой массе. Сразу
видно, что всегда можно три функции («, г, «•), удовлетворяющие
условию
дн , (h: , dw
представить в виде вихря:
__ 9J? (JQ _ ЬГ _ Oil _ '0Q __ дГ_
ду (к ' 0г ().)¦ ' ().г ду
Это почти очевидно и хорошо известно. Сначала можно найти частное
решение, где Ву = 0: тогда можно положить:
1\ = J г (яг, у,.?) ds.
и далее
и остается лишь проверить, удовлетворится ли третье уравнение, т. е.
г z г
iv (х, у,,?) = — j — d? — I — (!:4-у-= f -г--*? -f-

Но ничто не мешает выбрать произвольную функцию <1> так, чтобы
д<\> (х, у)
Но если (Р, Q, N) общее решение, то
ду dz
следовательно, имеем бесчисленное множество решений. Принимая
за («, г, tv) выражения указанного выше вида, будем иметь из урав-
нений 1°:
дхду ' дхдг ""
или
Этим уравнениям можно удовлетворить, положив:
Д/' = — 2$, AQ = —2»i, Д7? = — 2С
Э.г ^ Эг/ ^ Эг
JIo, как мы анаеи, потенциал притяжения V при плотпоети \>
удовлетворяет везде уравнению Пуассона
уравнению, которое сводится к А V = 0 вне притягивающих масс. Будеи,
следовательно, ассоциировать с вихревыми кольцами притягивающую
материю плотности:
Положим:
d-J = dx'dy'dz'.
Мы удовлетворим уравнению для ./', положив:

м также
Любопытно, что эти три функции сами по себе удовлетворят тогда
уравнению:
дР dQ ,dR
Доказательство разбивается на две части в зависимости от того,
находится ли точка (х, у, г) в вихревой области или нет:
Г. Точка (х, у, г) лежит внутри вихревой трубки, т. е. в пространстве,
занятом фиктивной массой, производящей потенциал. Пусть S поверх-
ность, ограничивающая эту массу, V ее объем (рис. 4). Как известно,
имеем:
~~ 2« J J г ^ 2* J J J r Ьх' U- •
s v
«х J J
s
Следовательно:
* —й
Рис. 4. 2
г
Это же выражение равно нулю, так как а?' -{- {Зт/ -{- ¦f,' = 0 на ?,
в виду того, что вихрь касателен к поверхности. Далее, внутри объема
Г имеем:
Следовательно, М равно нулю во всем V.
2°. 1Густь (х, у, з) находится вне вихревой масоы, Р, Q, R,
будучи потенциалами, имеют первые производные, всюду непрерыв-
ные v обращающиеся в нуль на бесконечности. М, следовательно,
всюду непрерывно. Оно равно нулю внутри V, следовательно,
я силу непрерывности, равно нулю и на поверхности S; кроме того
оно обращается в нуль на бесконечности. Более того: М допускает
первые и вторые производные вне F; наконец, это гармоническая
функция вне V,

Следов&тельно, М = 0 во всем внешней пространстве, что и требова-
лось доказать.
Окончательные форму.ш. Получаем, следовательно:
1 , 1 \
т. е.
П'(*_•)-Г (У-У')
У
Ив формул
получаются обратно формулы:
, dw dv
В самом деле, напишем, еак н выше:
ду дз ' дг дх ' 9.г Ту '
Так как
то получаеи:
dw _ dv _ d (dQ dli \ d2P 98P _
В силу формулы
v
плотность к выражении потенциала Р равна ;-; теорема Пуассона
дает нам внутри вихревого объема:
dw di: t r
в
dw dv
dy dz
во внешней пространстве.

Эти формулы можно нересказать в следующем виде: всяким элемен-
том dz' вносится в выражении скорости точки Р слагаемое, равное
скорости W, которую имела бы ата точка в силу вращения (&', if, '')
около элемента dz', умноженной ыа у-Ч,, где г — расстояние Р от dz'.
Скорость, происходящая от бесконечно тонкого кольца. Вся
совокупность вихрей может быть разделена на бесконечно тонкие
кольца, имеющие каждое некоторую интенсивность. Возьмем одно ив
этих колец. Элемент объема dz' мы можем записать dz' = dads, где
ds — длина АВ, взятая вдоль трубки, a da — ее сечение (рис. 5), Вра-
щение Q от этого элемента di касательно к кольцу и скорость W, от
него происходящая, равна QX.PP' (РР'— расстояние от Р до Q).
Она направлена перпендикулярно плоскости (Р, Q) и имеет напра-
l_j вление, зависящее от вращения 2.
; Вводя угол о (между Q и г), имеем:
. / W = Qr sin a.
Вектор Н, представляющий до-
бавочную часть скорости точки Р,
происходящую от dz', будет тогда:
r=W'^J±
dads.
Так как интенсивность / = 2Qd?.
то
Рис. 5.
И = „ ds sin ».
Вектор К, происходящий от всего кольца, равен геометрической сумме
всех векторов Н.
Электромагнитная аналогия. Заменим кольцо проводником, ио
которому течет ток интенсивности I, циркулирующий в том же напра-
влении или в обратном тому, которое указано для вихрей, согласно
принятому расположению координатных осей. Поместим в Р магнит-
ный полюс единичной массы. Действие тока на полюс Р получится
X [ds sin <в ,,. , .
из сложения векторов —¦-, перпендикулярных плоскости (Г, ds),
причем X постоянная, зависящая от выбора единиц. Будет иметь место
, 1
тождественность, если выберем л=,~-
Эта электромагнитная аналогия или непосредственное вычисление
показывает, что вектор К происходит от силовой фувкции
4"
где В означает телесный угол, иод которым яидиа из точки Р пло-
щадь фиктивной поверхности >S', проходящей черев вихревое кольцо.

Ради точности надо рассматривать 0 положительным или отрицатель-
ным в зависимости от того, какая из двух сторон поверхности S видна
из точки Р. Которую из двух сторон поверхности 8 следует рассмат-
ривать как положительную, мы определим, заметив, что (при -Г>0)
f/i в изменяются в одном смысле. Вектор К направлен со стороны
U, а следовательно и Ь, возрастающих. Если точка Р вблизи поверх-
ности 8 находится с положительной стороны, то 6 возрастает, когда
приближаются к поверхности, и скорость Р направлена к поверхности.
Беря же Р на Л', внутри кольца, мы увидим непосредственно по
ориентации вихрей Q вдоль кольца, в каком направлении вращения Q
стремятся переместить точку Р. Следовательно, мы будем внать сто-
рожу 8, которую надо рассматривать как положительную.
Случай жидкости, содержащейся в неподвижном сосуде.
На поверхности (стенке) 8 скорость касательна к стенке.
Этот случай может быть сведен к случаю неограниченной жид-
кости посредством следующего приема: можно вообразить все про-
странство, внешнее к ?, занятым покоящейся жидкостью. Но
тогда мы будем иметь разрыв скорости па S для жидкости, сде-
лавшейся неограниченной. Такие разрывы, будучи тангенциаль-
ными, приемлемы, как это почти очевидно a priori и, как мы в
:>том удостоверимся позже, при рассмотрении более общей теоремы.
Чтобы избежать этих разрывов или, по крайней мере, увидеть,
чему они соответствуют, вообразим переходный слой, толщины е, между
8 и 8' (поверхность, параллельная 8 и с пей соседняя). В этом слое
мы заставим скорость изменяться от 0 до ее значения на 8 (этот метод
рассмотрения принадлежит Пуанкаре). Этот переходный слой
эквивалентен вихревому слою.
Возьмем сперва случай, когда 8 представляет неподвижную плос-
кость:
где а, р, ¦(¦ — направляющие косинусы нормали со стороны, где жид-
кость покоится; с той стороны, где жидкость подвижна, ее скорость
предполагается постоянной (и,, vit го,) — параллельной плоскости.
Переходный слой заключается между предыдущей плоскостью и плос-
костью
хх -4- Pj/ -|-"(? = X -)- г.
Предположим, что скорость внутри переходного слоя
равна:
>• \

Скорость и будет изменяться непрерывным образом от О до
...
Внутри слоя вихрь определяется по формуле:
., dw dv I , . .
2S ^^
Величина вихря, следовательно, очень велика, вихрь параллелен плос-
кости S (а$4"Р1Г1 + Т^ = 0) и перпендикулярен скорости (ии vviv,), так
как WjS -]- «jT) 4- WjC = 0. Вихревой слой представляет, следовательно,
поверхность вихрей (поверхностный вихрь). От этого частного случая
можно перейти к общему случаю какого угодно сосуда посредством
классического рассуждения Пуанкаре: заменяют сосуд большим количе-
ством малых элементов поверхностей, достаточно малых, чтобы можно
было связать с ними маленькие кусочки плоскости, на которых ско-
рость у стенки оставалась бы постоянной. Выбирают толщину е достаточно
малой, чтобы можно было ею пренебречь сравнительно с самими эле-
ментами. Переходный слой будет тогда заменен вихревым слоем,
заданным во всякой точке S равенствами:
№ = 4^ — P»i, •••
Теперь можно написать скорости в какой-нибудь точке жидкости
внутри сосуда, пользуясь вычислениями предыдущего параграфа. Мы
имеем для функций Р, Q, В (см. выше):
где тройной интеграл распространен: 1) на объел V, занятый вихрями
в сосуде, и 2) на переходный слой. В этом последнем имеем: № = виз,
где da элемент поверхности 8; следовательно:
V
т. в., взяв величину 5' на S
далее заканчиваем рассуждение как и выше. Но скорости (м, v, w)
во всей жидкости известны не только в функции вихрей внутри со-
суда, но в функции также скоростей на стенке (и1г v13 ivs).
Само собой разумеется, по найденным таким образом значениям Р,
Q, В получаем и, v, w во всей жидкости из соотношений:
дВ dQ
ду дг

что дает для них выражения вида:
« = — — _— i I | -j-dx'4
'2-дг J J J г
J J J г
У
где Av B1 и Cs происходят от поверхностных интегралов в выражениях
Р, Q, В. Вихрь в точке (ж, //, г) должен быть равен (S, ¦»), С), отсюда
следует, что слагаемые Л1: -вр G, должны давать вне S вихрь, рав-
ный нулю. Следовательно, вне поверхности S, Ax, Bv Cx получаются
из потенциала <р:
и мы будем иметь Д<р = 0, в силу уравнения непрерывности. Хотя эти
формулы, дающие и, v, iv, требуют знания скоростей на стенках, мы
теперь покажем, что можно предварительным решением уравнения
Фредгольма получить формулы, дающие скорость и, v, w по всей жид-
кости в функции одних только вихрей для всякого момента t Мы нач-
нем с рассмотрения задачи для случая двух измерений.
Решение общей задача в случае двух намерений для сосуда,
находящегося в заданном движении. Мы будем предполагать, что
в двухмерной задаче нам заданы в момент t: Г вихри, 2° состояние
скоростей сосуда, содержащего жидкость и целиком ею заполненного;
нри этих условиях состояние скоростей в момент t полностью опре-
делено. Нахождение их зависит от решения интегрального уравнения
Фредгольма второго рода.1 Здесь вихрь сводится к одной своей соста-
вляющей
Высказанная теорема значительно более точная, чем та, которая
касалась неподвижного сосуда в прошлом параграфе. Мы не
имеем здесь надобности знать скорости жидкости на стенках,
известно только, что эти скорости каса'тельны к стенкам и что
нормальная скорость в какой-нибудь точке стенки равна нор-
мальной составляющей скорости перемещения последней. Естественно
предвидеть, что здесь, где рассматриваются только две координаты
вместо трех, логарифмические потенциалы будут mutatis mutandis играть
роль, которую в трех измерениях играют потенциалы массовые.
1 См. Birlceland, Comptee rendus, t. 162, Juin 1916, p. 973; t. 163, Aout 1916,
200.

Приняв это, мы изложим наш результат синтетически следующим
образом. Введем нилсеследующие интегралы, в которых Л будет обо-
значать площадь сосуда и С его контур:
А
J
А
[г
i?2= f $n' — avr)]!?y ds':
с
= f
О)
¦ -i ds';
r
а и р обозначают направляющие косинусы нормали, внешней к сооуду
(односвязному ради простоты изложения), контур С сосуда обходится
в прямом направлении. Так как речь идет о несжимаемой жидкости,
то расхождение скорости все время равно нулю и, следовательно,
Sx постоянно равно нулю.
В написанных интегралах нет ничего существенно нового; функции R{
и Ла те же, которые фигурируют в выражении функции R прошлого
параграфа, только — заменено на ]g — .
Далее, очевидные интеграции по частям дадут:
/.(,]g) 9
'~ J J \"дР
и, следовательно,
к также
ь- f JY-W
91S1 -' l

Заметим теперь, что г зависит от х' и у' только через разности
х — х', у — у'. С другой стороны мы знаем, что логарифмические по-
тенциалы имеют частные производные первых двух порядков, из кото-
рых первая может быть получена простым диференцированием под
знаком интеграла, что не будет иметь места для производной вто-
рого порядка. Мы можем, следовательно, написать:
Ш г)* Г Г , 1 , , Э2 Г Г , . 1 . ,
<>V f)>/ J J r dxdyjj B r
A A
1 8* [ Г , 1
» UJ- J J '
E)
Eа)
dx
Мы будем иметь затем:
dR , 'dS
R . dS . Г Г ,. 1 , ,
у дх J J r
и также получим:
пВ __с)$_
Лх. ду
Если точка (с, (/) находится в области л, то Л1Ы заключаем, в силу
известных свойств логарифмического потенциала:
, . . дН
F)
J
причем, правые части будут равны нулю, если (х, у) находится вне А.
¦заметим, что мы имеем „- -)-—= 0, так как Л гармоническая функ-
ция, регулярная внутри А.
Если, наконец, мы поместим точку (х, у) в положение т па границе С,
то классическое рассуждение, изолирующее точку т, с помощью малой
полуокружности, дает вместо F) следующие уравнения:
G)
допуская, во всяком случае, что контур С имеет вполне определен-
ную касательную, единственную во всякой точке т.

Мы допустим, что имеем все время дело с несжимаемой жидкостью
ди &о
3—Ь — = О,
дх
в которой вихрь С известен. Мы внаем также нормальную ско-
рость на стенке, т. е. выражение Vn = ux-\-v$ во всякой точке С,
Беля бы мызналн также касательную скорость F, =
= av — j3w, то четыре функции Blt Mv Sit <S2 были бы известны, и
формулы F) нам дали бы скорость (и, к) во
всякой точке области А. Но мы в состоянии
доказать следующую теорему.
Теорема. Наличие перечисленных
выше данных позволяет вычислить
тангенциальную скорость Vt, как ре-
шение уравнения Фредгольма.
В саков деле, образуем выражение V, в
точке т контура, пользуясь уравнениями G)
и предполагая сперва, что нор-
мальная скорость Vn равна нулю во
всякойточке контура С. При этих усло-
виях будем иметь:
Рис. 6.
Предположение, что Vn равно нулю, сводит здесь S к Sv т. е. к
нулю; так как расхождение равно нулю и так как вихрь задан, то
имеем:
штрих указывает, что Vt рассматривается в точке т\ принадлежащей
С, в соседстве с которой элемент дуги есть ds.
Уравнение (8) дает, следовательно:
(9)
Но если мы обозначим через a,, Cj направляющие косинусы от-
резка mm' (рис. 6)
„ _х' — х о
ai ~ > Pi

то будем иметь:
и, следовательно:
Пусть а> угол между mm' в нормалью тп; уравнение (9) запишется:
Мы имеем, следовательно, окончательно для V, интегральное урав-
нение классического .вида. Интегрирование этого уравнения позволит
нам узнать V,. Далее, будем иметь и и v по формулам F) внутри А.
Но доказательство предполагало, что Vn равно нулю. Теперь
легко отделаться от этого ограничения. В самом деле, если дана
(на С) величина Vn = aw + р«, то возможно, и при том бесчисленным
числом способов, определить вектор (м0, г;0) во всей области А,
включая и контур, такой, что на С будем иметь:
Например, можно было бы взять в качестве и0, v0 скорость во вся-
кой точке, совпадающую со скоростью площадки А, предполагае-
мой твердой и увлекаемой заданным движением сосуда; положим
тогда:
4
снабдим также Vn и Vt индексами 0 или 1, в зависимости от их со-
ответствия векторам (п0, v0) или [uv v,). Имеем, в силу нашего выбора;
(^)i = O, Vn = {VnH A1)
После этого уравнение (8) должно быть заменено следующим:
A1)
A2)
с
dS &dS
' %ду P«te"
Посмотрим, что сделается с функцией & St будет все время нулем, н
на основании A1) будем иметь:
1 ,
- f

и мы получим окончательно для определения (F,), уравнение
Фредгольыа:
где правая часть полностью известна на С. Совокупность двух нослед-
/V '
—— sin <e ds.
г
а
Из этого уравнения получаем (Vt)l и, следовательно, само (V,)
на основании A2), откуда следуют те же заключения, что и выше.
Заметим, что если жидкость заключена в сосуд неподвижный,
будем иметь Vn — O и, непосредственно, применяется уравнение A0).
Замечание I. Введение функций В и S позволяет легко определить
в жидкости линии тока для каждого момента.
В самом деле, комбинация
,1 . .1/ — у' , .,
lg — г arctg ¦— = 1;. — гЬ
f ОС ' X
является аналитической функцией от (x-\-iy) и, если мы положим:
А С
то ясно, что классические формулы
дк ЬЬ Mi i
d.r ду' tiy i
позволят нам написать
dQ dS dQ dS
_ A4)
ox ay oy ox;
так что формулы F) смогут быть записаны:
Ш^-~(Л — 0). A5)
Заметим, что функция /.' — Q является однозначной и А, хотя
могло бы показаться, что это не так, в силу многозначности арктан-

генса. В самом деле, если взять для арктангенса два различных
значения, то разность соответствующих значений (ft— Q) будет про-
порциональна
f (а„,' + 13,/)й/= [ Vnds',
с а
количеству, равному очевидно нулю, в силу несжимаемости жидкости.
Из уравнений A5) следует непосредственно, что линии тока в мо-
мент / будут иметь уравнение:
Л — Q — const.
Замечание ТТ. Вполне понятно, что из уравнений A5), из факта, что
7/ — Q является гармонической функцией, нельзя заключить о равен-
стве нулю вихря внутри (А), так как в силу наличия особой точки
г = О, имеем внутри (А), как это следует из уже приведенной тео-
ремы:
Уместно отметить, что функция, аналогичная Q —
7> = Г [ *?ЦШ -f Г(рм'+а/)Г/«г/,
"а о
(которую мы также могли бы ввести) не является однозначной в об-
ласти А.
Общая задача в трех измерениях для сосуда, находящегося
в заданном движении. Вернемся теперь б задаче в трех измере-
ниях. Мы увидим, что вопрос может быть решен аналогичным обра-
зом. Предположим сперва, что сосуд н е подвижен. Фор-
мулы, дающие скорость в какой-нибудь точке жидкости, будут тогда,
как мы видели, иметь следующий вид:
..., A)
где через А обозначено выражение (функция заданных вихрей)
fJj*>K,... B)
и где положено:
Этт последние выражения зависят от еще неизвестных скоростей
на стенке S; и', ?/, w'. Мы применим формулы A) к точке т, нахо-
дящейся на стенке S, но так как А1г ,В15 С, образованы при помощи

частных производтгых от потенциалов простого слоя, мы должны вспом-
нить, что эти потенциалы V= | I —dz имеют нормальную произ-
S
водную, разрывную при переходе в обыкновенной точке через поверх-
ность S, на которой располагается слой; величина скачка при пере-
ходе с внутренней стороны на наружную равна 4я8т, где 8т означает
плотность слоя в точке т, считая при этом, что нормаль направлена на-
ружу; два значения, отличающиеся на 4я8т, суть предельные значения -=-,
взятые соответственно в двух точках на нормали в от, очень близко друг
от друга, когда мы заставляем и ту и
другую стремиться в т.
Если мы рассмотрим значения V и
dV
-j—, вычисленные непосредст-
венно в точке т, то новое выражение
dV
у- не совпадает ни с одним из пред-
шествующих пределов, но (см. напр.
Е. Goursat, Analyse, t. Ill, n° 538) вели-
чина скачка при переходе от этого значе-
рис 7 ния нормальной производной к одному из
указанных предельных будет равна 2я8ж.
Кроме того, тангенциальные производные, когда они существуют,
что имеет место при весьма общих условиях (см. меяуар A. Petrini,
Les derivees premieres et secondes du potentiel (Acta Mathematica
31, 1908, p. 127 — 332), непрерывны.
Отсюда следует, что частные производные по х, у, г, вычислен-
ные внутри и непосредственно н а ловерхности S, обладают одни
по отношению к другим разрывами, равными 2тс8м, умноженными на
cosnx, cos щ или cos «г. Из всего предшествующего мы заключаем,
что если в формулах A) мы заставим точку (ж, у, ?) стремиться (внутри
сосуда) к точке т на поверхности 8 и если, с другой стороны, мы
примем значения интегралов по поверхности, вычисленные не-
посредственно на S, то мы получим следующую формулу вместе
с ей аналогичными:
р V — а'»/ , , д Г Г a!id
+ ~ фи - аУ) р -1 (ан> —,«) Т, . .. D)
где (и, V, w) означает скорость в т, и где штрих указывает, что рас-
сматриваемая величина относится к точке т', на которую распро-
страняется интегрирование (рис. 7).

Введем направляющие косинусы
направления mm'; будем иметь:
ду J J r J J га ^ '
следовательно, после очевидных упрощен?*1
— и + — а {аи -\- ?v + V») =
или еще
_ и + у а (м + «,9 + h'y) =
1 4л
или, наконец:
4*J J
и cos э — а к cos (к, О , ,
„о — »J , UI
где (ка —{—ff* —(— wTf) должно исчезнуть, так. как. скорость, нормальная
к стенке неподвижного сосуда, равна нулю.
Мы получаем, таким образом, три уравнения этого вида, которые
являются уравнениями Фредгольма, решаемыми классическими мето-
дами. Они позволят узнать скорость жидкости во всех точках стенки S,
а затем формулы A) определят скорости (и, v, tv) во всякой точке
в функции только вихрей, заданных во всякий момент.
Замечания: 1°. Только что примененный метод, перенесенный на
случай двух измерений, даст следующие два уравнения (интеграция
по в от — со до -J- °° введет, как это хорошо известно, логарифми-
ческий потенциал, см. Appell, Ш, р. 116):

Полагая Vt = xv — р«, и учитывая, что Vn = «я -\- vfi = 0, подучаем,
путем очевидной комбинации
уравнение, которое легко отождествить с уравнением Фредгольма прош-
лого параграфа, относящимся к плоской задаче.
2°. Чтобы дополнить приведенное изложение, следует еще убедиться,
что полученные решения уравнения Фредгольма удовлетворят веем
поставленным условиям и, именно, соотношению
11% -j- ?.'j3 -|- w~[ = 0
на поверхности сосуда.
Мы увидим, что удобное преобразование метода, принадлежащее
I. Delsarte'y (Comptes rendus de FAcademie des Sciences, Juin 1929),
позволяет уточнить все желаемые детали.
Метод 1. Delsarte'a.. ' Пусть (А) и (В) будут обозначать соответ-
ственно внутреннее и внешнее для сосуда пространство (поверхность
сосуда Я). Определим скорости «, г, iv выражениями вида:
*~ ду
где
а Ра, Q2 и R9 потенциалы простого слоя, распространенные на Я.
Внутри (А) формулы (8) должны нам давать скорость жидкости; в (В),
которую мы представим занятой покоящейся жидкостью, мы будем
принимать для скоростей значение, равное везде нулю.
Если мы обозначим через Mt и М2 расхождения векторов I\, Qv
В1 и jP2, Q2, R2, мы заметим прежде всего, что М2 должно быть
постоянным в (А) и в {В), причем значения этих двух постоянных
могут быть различны.
В самом деле, рассмотрим в первую очередь, что происходит в (/1).
Мы должны иметь:
0> 9?г дг
Le== ди IF' ••¦ '
i /. Delsarte был любезен проредактировать лично текст настоящего пара-
графа, чтобы тем дополнить наше пзложрнис.

но слагаемые, происходящие от Р„ Qlt Til в выражениях и, v, w обес-
печивают эти равенства. Мы должны иметь, следовательно, соотно-
шение:
х дц J дГ\~Ш~ ~57~) ~
дц \ дх дц
_ ем, _ ем,
и аналогичные. Л/2 следовательно, постоянно в (А).
Рассмотрим теперь, что делается в (В); «., v, w там равны нулю, и
можно написать:
Но Р„ Р2... гармонические функции, следовательно:
9,г дц Ьз
л MJ постоянно в (В). Мы имеем:
так как Mv как мы видели выше, везде равно нулю. Следовательно,
J/a постоянно в (В). Выпишем теперь напга потенциалы простых
слоев:
слоев:
J r
S
и вычислим ilA2. Находим непосредственно, помещаясь в (Л) или (В),
но вне 8:
где alt pj, i! обозначают направляющие косинусы полупрямой ММ',
соединяющей точку М, где вычисляется М$, с переменной точкой М'
на поверхности S. Но на 8 расхождение Ж8 разрывно и мы без труда
видим, что его предел, если итти снаружи, равен
-^ J J Г2 d^ —y
s
внутри, то
iff
__ j j
s
а если изнутри, то
Гж, + m'h + n'

Те* sax втн два предела лосюянны, то постоянна и их разность.
Следовательно, количество
р = «4-р:
постоянно на S. Я утверждаю, что можно предположить р равным
нулю. В самом деле, напишем:
I = J -|- ар, да = w -(- f$p, и = и --}- fp
при
а7-)-Рда + Ти =0
и
is~4r J J -7~+4« J J -IT'"-
s s
Количества
dU dV
являются составляющими с измененным знаком —, з—,
ох оу
dU „ о „
я— притяжения однородной массы плотности -^—, расположенной
внутри (^.); соответственно потенциал будет равен:
-
Но прибавление к Ра, Qa, i?a частных производных некоторой функ-
ции U, удовлетворяющей уравнению
Д U = const
в (.А) и в {В) не меняет значений и, v, w и только прибавляет постоян-
ные к значениям ilf2 в (А) и в (В). Мы сможем, следовательно, пред-
положить:
-\- f» = 0.
При этих условиях функция Mv гармоническая в А и в В, становится
непревывной при переходе через S и оказывается постоянной во всем
пространстве.
Мы теперь в состоянии построить решение поставленной задачи.
Заметим прежде всего, что функции
ду да
а также функции
а*

гармонические в (В), и их значения должны быть противопо-
ложны, так как и, v, w равны там нулю. Но для того, чтобы функ-
ции, гармонические в В (обращающиеся в нуль на бесконечнооти),
были противоположны в В, необходимо и достаточно, чтобы они были
также противоположны на границе S, в силу непрерывности извне.
Пусть А, В, С значения -~- ~, ... на 6' (значения, непрерывные
ду аз
при переходе через S). Вычислим по непрерывности извне значения
dQ
ду он
на &. Мы находим:
S
откуда для определения I, т, п имеем систему уравнений Фредгольма:
Эта система сингулярная; в самом деле, однородная система
A3)
допускает решения, отличные от нуля; эта однородная система могла
бы быть удовлетворена тремя функциями р, q, r, дающими на S для
дг да
-= ~ , ... значения, равные нулю; р, q, r были бы тогда частные
производные функции U, имея вид трех потенциалов простого слоя:
г
S
Но мы выше встречали подобные потенциалы [см. формулы A0) и
A1)], которые получаются, если положить:
и которые являются тремя частными производными от
А
Учитывая вначения к, у, v, видим, что имеются соотношения:
0 =
J _
S

Согласно общей теории известно, что система Фредгольма невозможна
при этих условиях, сели А, В, С имеют произвольные значения, и
имеется, напротив, бесчисленное множество решений, если А, В, С
удовлетворяют условию, которое легко найти, вычисляя — принимая во
внимание эту систему — интеграл:
Мы должны здесь вычислить четырехкратный интеграл:
распространенный дважды на поверхность S. Этот же интеграл равен
нулю, так как двойные интегралы
Я1
~5"(ifPi — mi)^3j ¦ ¦ •
s
равны нулю.
Отсюда следует, что условие возможности имеет вид:
(Ах + -ВЗ + C-f) из = 0.
s
Это же условие очевидно выполнено, ибо во всем пространство
Полученная система будет иметь бесчисленное множество решений
вида:
l-\-xp, wi + pp, и + Tfp,
где р нроизвольная постоянная. Мы находим предвиденный результат
и, если прибавить к системе дополнительное условие:
то будем иметь только одно решение. Теперь легко удостовериться»
что полученные таким же образом значения для Р2, Q2, i?a удовле-
творяют всем поставленным условиям. Прежде всего, количества
г ду де ' ' ' '
обращаются в нуль внутри (Щ, как мы видели выше. Следовательно,
"То
Д/8 постоянно в В. Но

гармоническая функция внутри (В) и (А) и кроме того непрерывная
при переходе через S, так как а.14- §т -\- f« = О на /V. Мы видим,
следовательно, что функция, гармоническая в (А),
S
постоянна на S, одинакова в силу непрерывности по обе стороны S,
и потому постоянна всюду. Отсюда следует, что вектор с составля-
ющими
ду dz ду Ьз ' ' ' '
имеет вихрь, равный \, ч\, С в (А). Вычислим, наконец, составляющие
п, г, w скорости на поверхности 8, идя из области (А). Имеем:
ду дг /, 4к J J
ду
откуда на поверхности
или, принимая во внимание систему A2), которой удовлетворяют I,
т, п, получаем:
v = l-{ — m, A5)
w = та. — 1$, j
что показывает, чю скорость касательна к S во всякой точке этой
поверхности. Далее, в силу уравнения A4), получаем из этих формул:
m = aw — fu, } A6)
н = р« — at; J
что придает потенциалам I\, Q%, i?2 форму Пуанкаре:
где фигурируют скорости на поверхности, которые на этот рае изве-
стны.

Мы замечаем, что система уравнений Фредгольма настоящего пара-
графа [уравнения A2) и система уравнении E) и G) прошлого пара-
графа] выводятся друг из друга по формулам преобразования A5)
или A6).
Случай движущегося еосуда. Случай движущегося сосуда (в трех
измерениях) сводится к случаю сосуда неподвижного. Пусть, в самом
деле, 2 вектор-вихрь в точке М жидкости в собственном движении
последней, отнесенном к неподвижным осям, в то время как движение
сосуда задано. Пусть а> вектор (р, q, r) мгновенного вращения сосуда
в данный момент <; и пусть Q, вектор-вихрь, происходящий от отно-
сительных скоростей точек жидкости по отношению к сосуду.
Имеем соотношение:
(Q) = (.) + (Qr).
Эта теорема может быть доказана вычислением; она становится
очевидной, если вспомнить механический смысл вихря, рассматривае-
мого как вектор вращения маленькой сферы, отвердевшей и помещен-
ной в точку М. Тогда мы приходим просто к теореме сложения вра-
щений. Благодаря этому результату, знание истинных вихрей Q, во
всей массе, позволяет вычислить, во всякой точке, значение относи-
тельного вихря. Мы, таким образом, приходим к задаче, рассмот-
ренной выше, где рассматривался случай неподвижного сосуда; и
в самом деле, получается движение по отношению к сосуду. Раз
это движение получено, остается сложить его о движением самого
сосуда, что дает нам истинные скорости во всякой точке и во всякий
момент, и притом только в функции вихрей (и движения твердой оболочки).

ГЛАВА III
ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ. БЕСКОНЕЧНО ТОНКИЕ ВИХРИ
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Изучение плоских движений. Бесконечно тонкие вихри. Мы
рассмотрим в настоящей главе случай жидкости, заключенной в пря-
мой цилиндр, параллельный Ог. Этот цилиндр имеет два основания,
нормальные к Ог; все совершается совершенно одинаковым обравом
в любом сечении ? = eonst, и мы можем вообразить жидкость неогра-
ниченной в направлении Ог, так что высота в наших рассуждениях
не будет играть роли. Мы предпочтем в последующем именно эту
последнюю интерпретацию, которая освободит нас от введения фик-
тивных вихревых слоев на двух плоскостях, в случае, если жидвооть
была бы ограничена.
Вихрь Й сводится здесь к, своей составляющей '-,:
1/9/; д
интенсивность трубки сечения dz равна
7=29йз, при Q =
Мы напишем:
уславливаясь давать интенсивности внак. Когда меняется t, трубка
перемещается н деформируется, но da и С остаются постоянными.
В самом деле, рассмотрим кусочек трубки высотой h, его объем будет
hda. Но трубка образована все время одними и теми же элементами н
жидкость несжимаема, следовательно, hda остается постоянным, а потому
dz = const. С другой стороны, — интенсивность трубки постоянна,
согласно общим теоремам. Следовательно,С также постоянна (отно-
сительно t). Трубка конечного сечения сохраняет, следовательно,
постоянное сечение, и всякий элемент там сохраняет свое значение С
(перемещаясь, быть может, вместе с остальными).
Уравнение неразрывности сводится к
дх ' ду

Существует функция тока ty (x, у, 1), и можно написать:
6 удовлетворяет, следовательно, этому последнему уравнению, где С
равно нулю вне вихревых трубок и не равно О внутри (уже отмечена
аналогия между ^ и логарифмическим потенциалом).
Пример. Бесконечно тонкая трубка в неограничен-
ной жидкости, покоящейся на бесконечности. Пусть
имеем единственную трубку интенсивности I, находящуюся в началь-
ный момент в А, с сечением da.
В добавочную часть скорости элемента, находящегося в Р (рис. 8),
войдет слагаемое, перпендикулярное трубке и АР; оно, следовательно,
в плоскости чертеаеа, нормально АР и
имеет направление такое, чтобы вращение (,
стремилось увлечь точку Р.
Чтобы вычислить скорость W, подсчи-
таем циркуляцию вдоль окружности АР.
Эта циркуляция 2wl7 имеет одинаковое
значение вдоль всякой замкнутой линии,
окружающей В\ она равна в точности и н -
тенсивности 2Wa=J, Следовательно,
Рис.8. 1У==^-
Эта формула дает распределение скоростей вокруг А. Что
касается до самой точки А, то очевидно она остается неподвижной,
по соображениям симметрии, так как жидкость покоится па бесконеч-
ности. Далее находим:
и _ __ _ , ___._ __ , .,, — — -
Вне А существует, следовательно, потенциал <р и функ-
ция тока ty, заданные равенствами:
У-Ус = I ц
™ г От- *

откуда комплексный потенциал
7. = <Р
жо + «/о\
)
Диферешщрованием по х этого последнего уравнения получаем ком-
плексную скорость:
I 1 Л
I
и — iv = —.
2
s — г0 с(г
Обобщение для многих трубок. Мы все время будем предполагать,
что жидкость покоится на бесконечности.
Если имеется несколько бесконечно тонких трубок Аь с интенсив-
ностями Ih (исчисляемыми алгебраически, как и выше, и неизменяе-
мыми, как мы это видели), то, так как скорость частицы является
результирующей скоростей, происходящих от каждой Ан, то находим
для комплексного потенциала и комплексной скорости
в (х, у) выражения:
Движение вихревых трубок. Рассмотрим трубку Ау Скорость
(~Ж' iti ) ПРОИСХ°АИТ от вихрей А^, А3, ... и может быть от самого
внхря At. Но этот последний, если бы он был единственным, оста-
вался бы неподвижным; следовательно, скорость, происходящая от
самого вихря, отсутствует, и мы просто будем иметь:
dt dyt ' dt дх1 '
где положено
при обозначениях, которые понятны сами но себе.

Если положить:
то мы видим, что
Следовательно, имеем уравнения движения трубок в виде:
dxt дН dyl дН
dt d^/j dt дх^
дН
^_ dyt _
'* dt ~ дуя ' * dt * дхъ •
Это, с точностью до незначительной детали (которая устраняется, если
положить Sk = Ihул), суть канонические уравнения. Легко
заметить некоторые простые свойства функции Я; она зависит только
от относительных расстояний rhk. Она остается, следовательно,
неизменной при всяком перемещении, сохраняющем эти
расстояния rhk. Совершим налое неремещение всей системы в целом
параллельно оси Ох (все х возрастут на~8а;); Н при этом остается
неизменной, и мы имеем:
дИ дН
W1+lx^ + °'
и также
Заставим повернуться всю систему в целом на угол 6 вокруг точки О,
Ы должно остаться неизменным, и мы будем иметь:
дН дН
Наконец, предположим, что все х и у заменены на кг и ку, гп умно-
жится тогда на X, и мы получим:
^ 2 hh-
Диференцируя по X и полагая X = 1, будем иметь:
дЫ , Ш , 1

Следствия: Центр тяжести трубок неподвижен, Вообра-
зим на минуту, что интенсивности в точках Ак заменены равными им
фиктивными массами. Их центр тяжести найдется по формуле:
Эта точна (г будет существовать, если только 2 '/, ^ 0, и мы будем
иметь:
(У
\Лш1
dt ~ Zi'h dl
-о
Следовательно, x.o = const,...
Заметим, что если 2 h — 0. тем не менее, будем иметь урав-
нение:
2'. t- =»•
т, е.
2 /АгЛ. = const,
и также
2 /*//,, = const.
Сумма моментов инерции относительно оси Ог масс /",,
равна постоянной.
Так как
что и требовалось доказать.
Функция Я остается постоянной.
Так как
Э.г/
Сумма моментов количеств движения относительно О.?
остается постоянной.
Так как
dlJh dxk \ \л I дЯ . дЯ \ 1 v r i

Пример. Две вихревые трубки J, и
и /2. Здесь
с иытенсивностями
г 11
Л является постоянной и, следовательно, г12 тоже. Пусть 1{-\-1ъфО.
G^i GJ2 AA
Тогда точка О существует и неподвижна: -j— = j— =
j 2 j
Длины G^l; и GA9 тогда также постоянны, точки Аг и Л2 пере-
мещаются по неподвижным окружностям с центром О. Сумма момен-
тов количеств движения относительно О является постоянной, At и А%
вращаются равномерно вокруг G.
1 ^
41 /
1 ^
7\
а,
Рис. 9.
Рис. 10.
Если 71 + 72 = 0, то уравнения, относящиеся к центру тяжести,
будут иметь вид:
они показывают, что J j 42 постоянно по величине и направлению,
точка G уйдет в бесконечность по направлению А^^, а точки Л,
и ^12 опишут с равными скоростями две параллельные прямые (нор-
чольнне к А х А%); общая величина скорости будет равна
I
1
где 7 абсолютная величина обеих интенсивностей. Частица Р, распо-
ложенная на оси симметрии А В имеет скорость, равную геометри-
ческой сумме скоростей Wt и TF2 (см. рис. 9), причем
w —w — . —I —\.

Рааультирующая скорость W направлена, следовательно, по АВ.
В частности, частица, помещенная в А, будет иметь скорость
т. е. учетверенную скорость перемещения вихрей.
Атмосфера вихревой трубки (Lord Kelvin, Proceedings R. S.
Kdinb., 1867). Всякую вихревую трубку сопровождает некоторое коли-
чество безвихревой жидкости, которая образует как бы атмосферу
трубки. Это очевидно на предыдущем примере. Согласно сделанному
замечанию, существует место точек, где спорость жидкости имеет со-
ставляющую, параллельную АВ и равную V. Полученная на рис. 10
кривая ограничивает атмосферу. Начерчены линей тока по отноше-
нию к осям, связанным вихрями.

ГЛАВА IV
ВИХРИ БЕНАРА-КАРМАНА. РЕГУЛЯРНАЯ ЦЕПОЧКА. ДВЕ
СИММЕТРИЧНЫЕ ЦЕПОЧКИ. ДВЕ АЛЬТЕРНИРОВАННЫЕ
ЦЕПОЧКИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭТИХ КОНФИГУРАЦИЙ
Вихри Кенара-Кармана и регулярные вихревые конфигурации.
Мы уже видели выше, что если рассматривать движения плоские,
с бесконечно тонкими вихревыми нитями (прямолинейные и вихревые
нити перпендикулярны рассматриваемой плоскости хОу и жидкость
можно считать либо бесконечной в направлении Ог, либо ограничен-
ной двумя плоскостями г = const), то скорость жидкой частицы, проис-
ходящая от наличия вихря интенсивности I, определяется ив равен-
ства
. Т 1
2it« г-—z0
где е0 — аффикс этого вихря. Существует потенциал и функция тока,
определенные вне вихря при помощи комплексного потен-
циала
Ц < г)
в предположении, что скорость равна нулю на бесконечности
(в противном случае, мы можем всегда наложить на рассматриваемое
движение поступательное движение жидкости в целом), так что имеем:
U~~ дх — ¦
и кроме того
и — iv =
&*'
В случае, когда имеется несколько вихрей, достаточно просуммиро-
вать соответствующие функции. Чтобы получить скорость перемещения
какого-нибудь отдельного вихря, достаточно применить вышепри-
веденные формулы, исключая при этом член, соответствую-
щий изучаемому вихрю.

Функция ~, соответствующая такому вихревому состоянию, проис-
ходящая от наличия точечных вихрей, будет, следовательно,
1 У1 ;*
Эта функция характеризуется тем, что она обоащается в нуль на бес-
конечности и имеет особенностями простые полюсы zh с главной
частью -ргт—г— . . Лсно, что йтими условиями функция -~- олре-
2гтт(г — sh) аг
деляется вполне, по крайней мере, если жидкой областью служит вся
плоскость, так как, если из нее вычесть главные части, соответствую-
щие полюсам, то разность, регулярная всюду и обращающаяся в нуль
на бесконечности, сводится к достоян-
ной и, следовательно, равна нулю, т. е.
значению этой постоянной на беско-
нечности.
г
I
Этот результат легко распростра-
няется и на случай, когда число вих-
рей бесконечно при соблюдении, если
надо, необходимых предосторожностей, Рис. 11.
обеспечивающих сходимость рядов, ана-
логичных A), путем надлежащего преобразования каждого члена.
Бесконечная вихревая цепочка. Пусть, например, имеем сле-
дующую конфигурацию (рис. 11), образованную бесконечной последо-
вательностью вихрей, равных и одинакового направления (интенсив-
ности I ). Здесь имеем:
Ряд У, не будет сходящийся, но сделается таким, если сгруп-
пировать члены, соответствующие Аи —к, т. е. если соединить
вихри, равноудаленные от г0 (без этой предосторожности результат
не будет определенным); тогда имеем:
Найдем собственную скорость перемещения вихря, например, вихря г0.
Очевидно имеем:
что является почти очевидным по соображениям симметрии.

Соответствующая конфигурация неустойчива. Зададим конфи-
гурацию, очень близкую к данной, причем вихрь к моменту t переме-
щается на малую величину Ъгк = \к -\~ щк. Исследуем, будет ли
система иметь тенденцию вернуться к начальному состоянию. Согласно
уравнению B), написанному в виде
имеем уравнение в вариациях:
и, следовательно:
dt ' dt
i -
C)
Тивим образом, имеем для всякого вихря уравнение, аналогичное C)
и эквивалентное двум обыкновенным диференциальным уравнениям.
Известно, что
со
Не изучая полностью систему бесконечного числа уравнений, с беско-
нечным числом неизвестных, посмотрим, не допускает ли эта система
решения частного вида:
ю и X, а также М и N постоянные. Условимся в правых частях со-
хранять только вещественные части. Уравнения
~dT ~~ 2и

после сокращения очевидных множителей примут вид:
откуда
2-^ijv = i/ [2 V (с0К2ш*М *'"!
2й^^)-т|+^Р-~°-
Зададимся ш вещественным, тогда X число мнимое, так как все содер-
жимое скобок вещественно; известно, что для —тс < г < тс имеем раз-
ложение в тригонометрический ряд:
тс2 Д.-2 _ VI (— 1)" ~ * COS Ш'
12" т~ 2и ф •
1
Следовательно, заменяя х на тс — х, имеем для 0<j<2tc
тса (тс — хJ I cos х cos 2x
12
/ cos х cos 2х \
\~1 Г—до—+ ¦¦)'
и для ()<(»/< 2тс количество, написанное в скобках, может быть
написано:
(тс —miK ^
2 ~ 2";
л, следовательно, чисто мнимое, кроме случая ш = о, когда X также
равно нулю. Отсюда следует, что существует сколько угодно переме-
щений вида D), для которых X чисто
мнимое. Эти перемещения не исчезнут, г— I—^ ^ ^ t
следовательно, для бесконечного t. Значит ^ ^zo ^ v н ¦*¦
изучаемая конфигурация неустой- -г- -tz'o Ъ <t-* *
чива и не сохраняется во времени.
Отсюда еще не следует, что не суще- Рис. 12.
ствуют такие частные начальные усло-
вия, и даже в бесчисленном множестве, для которых перемещения
будут оставаться сколь угодно малыми. Но существуют другие,
для которых нет возможного затухания, что мы и характеризуем, на-
зывая конфигурацию неустойчивой.
Две параллельные цепочки. Предшествующее расположение
вихрей не является столь важным для приложений, как расположение
в виде двух цепочек, как оно встретилось в опытах Бенара по-
вади движущихся препятствий. Рассмотрим возможные расположения,
ме заботясь о выяснении их происхождения.

Ниже мы изучим два расположения, одно симметричное, дру-
гое — асимметричное или альтернированное.
Вихри имеют одинаковую интенсивность по абсолютной величине
но противоположные знаки в двух цепочках. Расстояние между цепоч-
ками h, а между соседними вихрями одной цепочки I. Ясно, что, беря
ва исходные вихри в двух цепочках г0 и ^'0 и полагая
з'0 = г0—Л,ъ случае симметричного расположения (рис. 12\
z'0 = z0 ih, в случае асимметричного (рис. 13),
2
можно написать комплексный потенциал
, - _L
* ~ 2t«
-m \
- *'„)' -Щ... [{в - *'о)» -
1°
Рде. 13.
После попарной группировки вихрей, как и в предшествующем при
мере; имеем еще:
щ
и, следовательно, по классической формуле:
sin х =
sin у (г — ,е0)
7. =
2ггс . тс
Sl
Скорость вихрей. Вычислим теперь скорости вихрей в каждой
конфигурации. Для этого достаточно воспользоваться формулой
dy
и — tv = -—
dz

исключая предварительно в -^ член, соответствующий рассматривае-
мому вихрю. Займемся, например, вихрем, помещенным в (г0). Имеем:
^ О — «Оо =lim -f ctS T (« — %> — ——• — т ctg -f О - «'о) I (А) ¦
Непосредственно же имеем
.1 ctg -?- (, _ *0) = —1_ [1 + О(* - *0)«].
Следовательно:
2«'ir , . тс к
— («о— г«о) = — у ct& Т ^° ~~ 8 о)>
т. е. для случая симметрии (/ц = z0 — ih)
I . . ich
= O, «о =
! для случая асимметрии { е0' = г0 — ih I
В силу симметрии естественно, что тот же результат будет найден
для любого вихря системы. Отсюда ясно, что конфигурации ив двух
параллельных цепочек являются перманентными конфигурациями,
которые увлекаются в направлении Ох с постоянной скоростью м0.
Устойчивость. Устойчивы ли эти конфигурации? Поставленная за-
дача была впервые решена Ламбом (Н, Lamb, Hydrodynamics, 5-е edi-
tion, p. 208). Раньше ее рассматривали Карман и Рубах (Nachrichte
der К. Gesellsch. der Wissenschaften zu GrOttingen, 1912; Physikalische
Zeitschrift, 1912), которые имели в виду упростить вопрос допущением,
что все вихри в совокупности перемещаются со скоростью м0 и не мо-
гут быть выведены из строя кроме одного, который может поки-
нуть свое относительное положение, а также имели в виду отыскать
условия, чтобы этот вихрь, предполагаемый свободным, остался сколь
угодно близким к своему начальному положению в цепочке, к которой
он принадлежит, если допустить его слегка смещенным.
Например, рассмотрим вихрь, помещенный вгдн пусть 8^0=50+^о
есть малое относительное смещение, испытанное его центром в мо-
мент t, где мы отвлекаемся от общего перемещения м0. Согласно
формуле (А), имеем для скорости (м0, v0) вихря z0:
{ ±.

или, заменяя котангенс его известным разложением
ctg х = Т
(см. l^pca, Курс математического анализа, т. II):
т. е.
\Л I 1 , 1 \ / IT (?<,¦--
и " 2 lit .«¦ \ й ** 5 ^ / 2i/ /
j \ 0 "* 0 * '
Заменяем ~0 через sQ -{- S^o, находим для приращения «0 — и!0:
at at 2 «тс
Мы имеем классическую формулу
ОО
t
следовательно,
dt —' W - W\ Т - I (;°+'1о)
Но для случая симметрии имеем:
. к . . , тт/г.
gii\3 — («— ? ' j _— sinh
/ /
и в случае альтернировапиого расположения;
smayC?0 — .;„') = cosh2 у,
В первом случае имеем:
din I

т. е.
cLt ' dt
откуда следует, что интегрирование вводит члены с гш' и е'~ы и, сле-
довательно, 'вихрь неустойчив.
Во втором случае, наоборот, имеем систему того же вида, но
откуда следует, что вихрь будет вообще тоже неустойчив, но может
сделаться и устойчивым, если выбрать -у так, что
cosh у =
Предположение, что выводится ив строя лишь один вихрь, разумеется,
не имеет фивически практического значения и, казалось бы, получен-
ное заключение следовало бы отбросить, но мы, однако, будем дальше
развивать полученные вычисления, так как они позволяют упростить
дальнейшие рассуждения. Жуковский (Aerodynamique, p. 212 и след.)
пытался отсюда сделать вывод, что альтернированная конфигурация
будет устойчивой, если это условие осуществлено, и неустойчивой во
всяком другом случае, симметричная же конфигурация всегда неу-
стойчива. Но эти рассуждения неточны, так же как и сделанные им
из них выводы. Мы снова исследуем этот вопрос, рассматривая две
вихревые цепочки, альтернированные в начале, и предполагая,
что каждый из вихрей может сместиться относительно своего началь-
ного положения. Мы назовем bzh и bsh' соответствующие смещения
(Ьк = ^к-\-щ) и поищем уравнения, определяющие, например, сме-
щение вихря, находившегося в начальный момент / в г0. Исходным
пунктом все время будет служить уравнение (А), дающее («0, v0),
которое мы запишем в следующем виде:
* —zo\ * \ О О
2± (м _ • ч V. ( VI / 1 , 1 \ 1
т. о.

Возьмем уравнение в вариациях; мы получаем:
Ч~Ч , »
Ч-Ч'
Но
I .,
«0=^0— у — гк>
f* — —
V2
Коэфициент при 8г0 в правой части A) будет тогда
Он равен вычисленному уже выше коэфициенту, если мы в а р и-
нруем только «0. Мы согласуем эти результаты следующим образом.
Прежде всег0 ^ Ж = X'
С другой стороны, формула
которая получается путем диференцирования ив разложения ctg x, нам
дает:
со
1 it» I it2
Находим, следовательно, коэфициент при 8г0, который равен
¦тс2 , я»
Р cosh2 -=-

Уравнение A) принимает вид:
„о
В последней V можно заменить У\ на V., заменяя it черев—(it—1), и
— 00 1
получить, отделяя вещественную часть от мнимой:
I dt Р \ „ъ, з/^0" I» 2и Тс*
COS и —¦=— 1
х,77 Г
кк~ з
OOSha -г-
~~П i~V
(*-т)'-^
_ X1 \ ^ / (у л_у \
^[(*-т)"+м]
Получится столько групп таких уравнений, сколько вихрей в первой
цепочке. Что касается вихрей второй цепочки, то они порождают ана-
логичные уравнения и, в частности, те, которые соответствуют вихрю,
помещенному в г0', получатся совершенно так же, как и предшествующие

•2ъ dl0' ~a
'T~df=='P
nnchz
cosh2-
"г
)
- +
C)
Переход от предшествующих уравнений к этим совершается за-
меной Г на —/, (i, tj) на ($', f{), h и / на —h и —I. Замена
(,г0 — з'к) на (гог — гк) вводит 11с -)- —) I вместо I к ^ 1 I в соот-
ветствующих членах. Новые 2 пойдут от О до -)- со после соеди-
нения значений /с и —(ft-4-l). Очевидно, можно написать, вместо
-12 ¦ ¦ ¦ -
Получаем таким образом бесчисленное множество диференциальнь
уравнений с бесчисленным множеством неизвестных; эти уравнен!
линейные однородные и с постоянными коэфициентами. Они лег

могут быть сведены к обыкновенным линейным уравнениям с беско-
нечным числом неизвестных, которые могут быть исследованы по ме-
тодам Fr. Riesz'a (см. его книгу: Les systemes d'equations lineaires a
une infinite d'inconnues, Collection E. Borel).
Основываясь на формуле Фурье
-Д.г) = Г du f cos и (f — х) f (/) dt,
0 —со
получаем очень общие решения посредством линейных комбинаций,
образованных ив периодических деформаций следующего вида:
Ч— ''le
Ч —-"
I
1
j
( }
xo'=x0— — , хк = х0 + Ы,...\,
где М, Лт, Л/', Лт' являются постоянными и где условимся брать только в е-
щест венную часть выражений, стоящих в правой части. Пере-
нося выражения D) во B) и (?>) мы получим, отбрасывая множитель
/<.><«+*„> в0 B).
2N
—ШМ'
Ik — I sili ( Л — I
М " 72 1,2
4
2 . / 1 1
221 v* eostn/W
B')

Отбрасывая же множитель е*" <-и+Яв') в C), имеем:
1 My г^у
Р"
T
Ш
cos
4).
Положим для сокращения
2я у =* а,
-#>.
C')
«».(*—L)t
E)
„ 2 vi cos

Тогда предшествующие формулы запишутся так:
аМ-НР — С)Л7 + ВМ' + AN'
(Р—С)М— аЖ -|- 4Ж' +
+ аЖ' — (Р—
+(Р— С) Ж'+ a-
0,
a-W =0.
Эти уравнения относительно ,Ж, -№, Ж', Ж' не могут иметь решений,
отличных от нуля, если не соблюдено условие
о Р—С
*— С — а
В —А
А —В Р—С
В А
А В
а -(P-G)
а
¦¦о,
которое легко развертывается в виде:
(Р — Gf = А* — В2 — о* ± 2Ва
(Р —<7
или
Но для того, чтобы (8, т), \', т]') оставались конечными при изменении t,
необходимо, чтобы а>Х, т. е. а было вещественным. Отсюда необ-
ходимо условие
|4|>|Р — С\, F)
если имеется в виду устойчивая конфигурация; и это должно
иметь место, каково бы ни было значение art, т. е. ш. Достаточно впро-
чем в виду формул E) заниматься значениями'ш/, заключенными между
О и 2я. Если же сделать а>1 = тс, замечаем, что А обращается в нуль.
Отсюда необходимое условие, чтобы и Р—С тоже обращалось
в нуль при a)f = 7c. Соответствующее же значение С будет;
] ¦+ -р-—-р-+-jr - • ¦ ¦
11 q
Известно, что l-b"oi"b"o2"+---=-^~- Простое сложение дает
тс2
Следовательно, С, = — —^.

Условие Р — Cj == о Дает
1
cosh -=-
т. е.
cosh j =Y\ у = 0,280.
Альтернированная конфигурация не будет, значит, теоретически устой-
h
чивои, если только отношение -.- не имеет этого частного значения.
Но теперь нужно посмотреть, не будет ли условие (G) выполнено
для всех значений <л1. Для этой цели займемся дальше подсчетом ко-
личеств А ж С.
Вычисление Си А. Элементарное разложение в тригонометри-
ческий ряд дает нам для — тс < х < тс
гс2 «с2 V1 (—1)" cosmj1 cosa; cos2a; cos3»c
~V2 4~ ^" и2 I3 2* 32 ' ""
l
:>аменяа ,r на я—x, имеем, следовательно, для 0 < л- < 2-
тс2 (я — ху cos х cos 2x cos Зх
Тг' 4 Р ~2~2 З2
и, следовательно, как мы уже видели выше:
12
Для вычисления А, что является несколько более сложным, мы будем
исходить из равенства, полученного разложением cosh mx в тригоно-
метрический ряд па интервале — тс < х < тг
itcoshwa1 1 т cos х . т cos 1х то cos 3^: ,ii4
2 sinh ттс = m" ~~ 1» + от2" ' 22 -}- m
(см. напр.: Уиттекер и Батсоп, Современный анализ, пример I) в конце
х
главы 9). Заменив х на т: —, мы будем иметь, в данном случае,
при 0<ж<4т::
cosh т I я I ш cos — т cos T^-
¦к \ 2 I 1 2 , га cos х . 2
2 sinh т~ '2т I'-^f-m'2 2'^'-j-»«2 :ia-}-»»a

ОС
Заменяя в (8) х через —, получаем (при — 2z < .г < 2т;):
, »яж ж Их
cosh—рг- , да cos-тг- ?и cos —г-
Л!J2 | тес08д- L_4- ПО)
2 smh дате 2m I2 -j- те2
Вычитая A0) из (9), будем иметь при 0 < х < 2тс:
I х \ х х Зх
cosh те ( тс — I — cosh т —- те cos — да cos —
^ A 2t
~l 42 _|_ «,2
4 sinh те тс
пли еще:
/я ж\ л- За,-
sinh I w — т— I да cos — т cos -^—
4 , «ис
cosh -—
2
т. е., меняя несколько обозначения;
х За'
• , , ч а cos-— а cos---
- -"«(—) Ц + J_ + ...; A2)
2 cosh а т:
«¦+A) «¦+(!)
продиференцировав теперь по а, получаем:
и (тс — ж) cosh а (тс — х) т:2 sinli атс
' ч smh а (тс — х) =
2 cosh атс 2 cosh2 атс
_ тс sinli а (д — х) a
2
cosh атс
cos
2
cos •.
A3)
(Уравнение A3), продиференцированное по х, дало бы нам возмож-
ность вычислить В, но мы не будем проводить ато вычисление, огра-
ничившись только этим указанием).

Из A3) мы получаем непосредственно выражение для суммы
тогда кай A2) дает нам
*-т) +«8
заметив это, рассмотрим вычисляемое выражение А; можно написать:
=2 2 77^7 r~C0R m *~т г>
или
2 COS (О I /
L
/, 1
cos <o I к — — I I ¦mr—\ coscelu — -I
положив
.iL==a, <ol~-x (O<ioZ<2t:),
имеем:
А
/ 1 \2
2"
Используя A2) и A3) и производя некоторые алементарные приведе-
ния, находим:
^ [it cosh ал1 — х cosh аж cosh а (it — .t)|

Условие устойчивости F) превратится тогда, так как I' — С>
(л—а)'-3 к*
= ~гпН-. согласно G), ибо /'=—~~-, в
coslia,c кг . ,
j- г— cosh я (т: — .*¦)
cosh2си cosh arc
GГ — Xf-
A4)
неравенство, рассматриваемое при .г (=«/), заключенном между О
и '2и.
1ак как-j-= а и cosb—=— =(/2, то имеем здесь:
cosh ат = "|/2 , sinli я— = 1.
Положим, с другой стороны, а (тг — У) = «, так что переменная и должна
меняться между —си и -J-як. Количество, модуль коториго фигури-
рует в левой части неравенства A4), тогда запишется:
г = ¦—— cosh а.'' '¦—-cosh а (- — j),
•1 у->
или
s — -^— (V- cosh и — sinh w) '-^ [^ —I
2 V 2\ a I
или, наконец,
Т / It, 7Г \
A5)
= ~^=|—cosh« ^=sinliN|.
/2 la /2 /
Эта функция от и н е ч е т н а, и достаточно изучить ее для О < и < ян
и посмотреть, соблюдается ли в атом интервале неравенство
Это легко проверить; имеем:
dz it / 1 ¦(( sinh к * , \
= -7- —cosh v -] -г. cosh u =
da V'A я a |/2 /
1/2 L я ' \ a y-l
Убеждаемся далее (так как а = 0,28...), что '— положительно:
я у ш2
dz
~ъ— всегда, следовательно, положительно в рассматриваемом интер-
A/1
вале; ,?, значит, возрастает от нуля до значения (при и = ат>)

При этом я остается положительным, и наше неравенство будет:
1С / U I • 1 \ч
-— { — cosh и —¦ —т= sinli v I >-
/2V /2 /
Оно очевидно превращается в равенство на концах интервала х = О,
«-. Положив
rnreev:
д (у) = — cOSll П Slllll II —,
</' = —^= (м sinli и -\~ cosh n) eosli и ,
и У 2 2 a''
., (УГ2 к\ . , , тм cosh и 1
u" =s т. smh ii -4 t= .
\ я 2 / а У 2 я2
лоэфициент —-очевидно положителен, следовательно, д возра-
1
стает; начальное ее значение ¦ —, ее значеппе для w = ятг подо-
ят
жителъно; следовательно, д" имеет корень и притом один; значит д',
1С ( 1 1Г \ .
начиная с положительного значения —^ [ т= I, убывает, а затем
V2 \а УЧ)'
растет до окончательного значения, равного нулю, которое она при-
нимает при ii== ащ д', следовательно, обращается в нуль, один раз
между 0 и arc; она сперва положительна, йотом отрицательна; следо-
вательно, д растет, потом убывает, начальные и конечные значения у
нули, д остается всегда положительным.
Изучаемая конфигурация системы вихрей должна, следовательно,
рассматриваться как устойчивая.
Симметричная система. Нашим исходным моментом опять будет
формула (А), дающая скорость вихря гй:
т. е.
-i- CO
Веря уравнение в вариациях, получаем:
I\dl -t l~di)- 2f l{*0-eky>"^Xt0-*_kY J
у" ьо-г*
г*к'

но
коэфициентом при
Но из уравнения
1
следует, что
— Ц, будет:
2 у 1
1
—-'О ~ГИ
-f- ОС'
OD
— "о
1
j '
Рис.
'i
14.
следовательно, коэфициент при о.го будет равен:
¦ го «А
smh2 —j~
Выражая затем
l
ориходвм сейчас же к двум уравнения»:
±
A7)
Имеем также вполне аналогичные уравнения для 50',
Цолохнм, как и выше:

сокращаем множитель е""'"''+ Хи);
можно вапнсать так:
-"{г- tXJ
v
что вводит
vi 'iik sin шА"
J^Lri
что вводит выражение:
1 , .. v A-afa — да
Окончательно приходим к двум следующий уравнениям:
1J L \ у 4 '2 Х V cos
S111II-—т

Положив, как было раньше:
/ "'
?(-;¦+¦
¦ 1 8
snih8
fi3 "Т~ " Z_J {7-27
ь" --= ¦
fc si
)
г/ is
cos «Л/,
cos (в/rZ
(If»)
будем иметь два уравнения:
о,1/ + (/" — V) Л' + b"J/' + Л'Х' = О,
(Р' — С) J/ — аЛг+ ^'I'i/' + Я'Л" = О,
к которым присоединятся еще два подобных уравнения, соответствую-
щих вихрю .-„'. Эти два уравнения запишутся так:
В'М — А'К-\- аМ' — A" — 0) Л' = О,
л'м — :в'х+ (V — с) м' + «л1' = о.
ибравовакная таким образом система идентична системе E'), где лишь
Л, В, I' гаменены через А'. В', V. Значит, условием устойчивости
будет [уравнение (ti)J:
<А'^\Р'-С\ B0)
для всех аначепип <я1 между 0 и 2тт.
Будем имен,, как и выше:
слгдователыю,
/*' п ^^ _^ ' ' "~* J_L~ _i ^.
sinli»
¦Kh
остается вычислить Л'.
Для этого исходим из формулы (Я):
•^ cosh m.t;
2 sinh wit
mcos.r
B J)

имеющей вначеиие при —тс < х < тс. оамеиим х на тс— х; для
О < X < 2- будем иметь:
- cosIi>w(t:— а?)__ 1 , wcosi .iHC0s2x . .
 лТппТмтГ 2~«Г' 1 * -f- «,а ~i~ •>'* -\- г,Р ' ' ' ' ^" *
Днференцируя ито \|>аянение по т, подучаем:
-!1-(к— х) sinh ш (тс — г) ,
2 7Г* COSll *«7C
sidIi тт. 2 smn2 ;/re
1., а Г cos а;cos2a:
cosh w (- — а?)
О
1
, тг cosh ;/< (тс — х) 1
' 2m sin
2m sinh wit
Полагая х = coZ, w =-j-, имеем:
х) sinh м (те — г) тс2 cosh »«т: cosh го (тс — х)
2 sinh wtc 2 sinh» nm
ic cosh w (it —r) 1 ,„у йо&<шЫ
2м sinh»»тс "т" w» ~ ""l ^J (fc4» 4-ft*)8 ' *-°^
i
Ута формула дозволяет узнать V , ; тогда как B2) дает нам:
ут cos в>М 1 к cosh <« (г — х)
•Запишем теперь А' в форме
., 1 vu*/4-A — -2Л»
Л = - -p- + 2 ^ -^
ir внесем сюда значения обеих 2> взятых из уравнения B3) и B4),
получаем окончательно:
,, ж (тс — я) sinh «'(к — г) «'¦» cosh m»c cosh >н (г — а?)

и неравенство для определения устойчивости примет вид:
j т. (- — ж) sinh vi (it — х) т.? cosh jwrcosh м (я — х)
sinh rw: sinh2 m-
Оно должно иметь место для 0 < ж <
Положим:
(т: —ж) == i
Неравенство напишется:
it* cosh мъ cosh к — sinh м sinh мя
m
Достаточно рассмотреть интервал 0 < и. < wit, так как с двух сторон
стоят четные функции. Непосредственно видим, что при «== 0 нера-
венство сводится к
, . smh№n
OOSll »№ ^> g 1- 1,
пли иначе
(cosh п/п — 1Jч^0,
что никогда не выполняется; строго говоря, кроме h = О, когда
задача перестает существовать. Следовательно, симметричная конфи-
гурация должна рассматриваться как неустойчивая. Присмотримся
ближе к неравенству B5) с целью установить, не будет ли оно вы-
полнено при более широких пределах изменения п (именно между О
н ш-). Мы увидим, что оно не выполняется никогда, кроме г< = гак,
так что неустойчивость представляется полной.
Положим:
Я= тР cosh»№ eosh « sinh шт sinh w;
m
имеем:
1 dZ I sinh mi. \ . , v¦ . , ,
r— = I - cosh rn-r. — sin]] м sinh m- cosh и —
it аи \ m I m
, Г/ , sinh m- \ и . , I ,
= cosh и I - cosh тт. — tgh и smh mn = ucosh u,
L\ m ) m J
где
(, smh тъ \ и . ,
в cosh mz — 1 tgh к — smh тъ.
m I ' m
(тт. cosh wit — sinh mn) существенно положите;
ться. Далее имеем:
i: I sinh mi: \ 1 1 , ,
— = к cosh »»Tt — smh mn.
v, \ m I cosh8 и т
Коафиццент (;f*Tcoshm^ — sinh mn) существенно положителен, в чем
лвгко убедиться. Далее имеем:

Ута функция имеет положительный корень, только если
in* cosh Miz — sinh тт. > shih ///-,
т. е.
тт. > i igli тт..
Следует различать два случая.
1° ш- < i tgh у»-. Тогда -5— остается отрицательным, с убывает,
следовательно, остается отрицательным; значит, Z все время убывает.
Окончательное же его значение Z(jhtz) = т?. Следовательно, Z всегда
положите л ь н о.
2° шл> 2 tgh шт.. -у— тогда переходит от положительных зяачо-
аи
ний к отрицательным; i; возрастает, начиная с нуля, затем убывает до
smli mn
i: ((»тс) = « 0).
m cosh иг к ¦
Следовательно, г. имеет корень и только один; —z— сиерва положи-
ап
тельно, потом отрицательно; Zвозрастает (начиная с Z@) == ъ2 cosh шк)
затем убывает до
Z(»|jc) = ita.
Следовательно, в этом случае тоже /^всегда положительно.
Неравенство B5) сведется тогда к
G (и) = it2 cosh «(it cosh к sinh ттс sinh и
m
Вычисляя произведение, имеем:
G'(ti) = I гс2 cosli нск — sinh тк I sinh и — —• sinh тъ cosh и \-
, sinh8 m-
U"(и) = I и2 cosh т* sinh tint I cosli и — sinh »и sinh м-
)« / in
sinh8 bit:
Cr'" (w)= I k'j cosh ws '— sinh w« I sinh и ¦
sinh mi cosh и i= w cosh «,

где
п
dll
du
tlu;
= I ~2 cosh wn — siiih шт. I tub и — -— sinh wn
\ in / ' m
—= I z'2cosli nm — sinh шт. I -z —sinh w~;
и, \ in ) cosli2 n m
будет иметь корень только в случае
ш~2 cosh hit- — Hit sinh in- > i: sinh m~,
что приводит к двум различным случаям:
Г тт < 4 tgh тк. Тогда w' всегда отрицательно и tv тоже;
d'" отрицательно и а" убывает. Имеем:
2r: s
. (wit) == i:" smh w~ cosh mr. -4
(sinh »/t: ,
к cosli W
»'
[sinh (//тс ,„Г1 Г sinh m- ~m-~\
m J [ m J
Но легео заметить, что при а > 0 из величтш sinh a — ар" и
sinh a — пе~а первое всегда отрицательно, второе всегда положи-
тельно. Следовательно:
О" (тк) < О.
Наконец G" (и) переходит от положительных значении е отрицательным.
W (н) возрастает, начиная с нуля, затем убывает до
A' (тт:)~О.
Следовательно, С/ всег*а положительно; G возрастает и так как
ро окончательное вначение G (т~) = 0, то G всегда отрицательно и
неравенство B6) никогда не удовлетворяется (кроме
" --= »№).
2° тк > 41ghi«K. Предшествующий результат останется в силе.
В самом деле, в этом случае ~ положительно, потом отрицательно,

w возрастает, начиная с нуля, затем убывает до отрицательного зна-
Зт. sinh9 шк _ _,,,
чения w(w-) = ; . Следовательно, G сперва иоложи-
тельно, йотом отрицательно: G" (w) возрастает, начиная с G" @)
(> 0), затем убывает до G" («гтг) (<0). Следовательно, G" имеет
корень и переходит от иолозкительных значений к отрицательным.
Последовательность рассуждений с ьтого места тождественна с прове-
денной выше. Отсюда следует высказанный результат.

ГЛАВА V
ПРИМЕНЕНИЕ ВИХРЕЙ БЕНАРА К ВЫЧИСЛЕНИЮ
СОПРОТИВЛЕНИЯ, ИСПЫТЫВАЕМОГО ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ В
НЕОГРАНИЧЕ ИНОЙ ЖИДКОСТИ.
Постановка задачи. Мы уже указали, что опыт показывает, что
при соблюдении большой чистоты условий опыта, установление вихре-
вого режима весьма близко к вихрям Венара. Если привести в равно-
мерное и прямолинейное движение, при некоторых условиях относи-
тельно скорости, цилиндр, образующие которого перпендикулярны
к направлению движения, то „альтернированные" вихри отрываются
периодически справа и слева, тан что на некотором расстоянии по-
зади конфигурация, образованная вихрями, очень близка к изученной
в предшествующей главе. Можно, например, осуществить опыт в бас-
сейне с водой, находящейся сперва в покое и в которой перемещается
вертикальный цилиндр любого сечения. Собственно говоря, существо-
вание свободной поверхности осложняет здесь явление, что делается
хорошо заметным благодаря наличию воронок, образованных маленькими
вихрями в точках, где последние встречают свободную поверхность.
Первое углубленное исследование этого вопроса было проведено
Венаром в 1906 г. (С. К. Acad. des Sciences, i: 147, 1908, p. 839).
Mallok в 1907 г. (Proc. of the Koyal Soc, t. 79, p. 262) объяснил
почти в то же время явления образования аолийских звуков. Д. Рябу-
шпнскнй в 1911 г. (Adropliile, t. 19, р. 15) показал при помощи
маятника периодичность альтернированных вихрей нозади препят-
ствия. В 1912 г. Кагша» и Rubach дали математическую теорию явле-
ния, описав относящиеся сюда собственные опыты (Phvsikalische Zeit-
schrift). 0 тех uop опубликовано большое число работ по этому во-
просу, вплоть до исследований Relf'a (Phil. Mag., t. 42, 1921, p. 178;
1. 49. 192, p. 509). работ Camichelfl (Paris, 1925, Ed. G.Roche
d'Estrez editeur), Toussaint'a с его замечательной постановкой опытов,
показывающих явления последовательного обтекания [Contribution a
I'etude de Feeoulement plan des fluides, par M. M. Toussaint el Ca-
lafoli (Comptes rendus du Oongres International de Mecatiique appliquee,
Zurich, 1926)] и последних заметок Benard'a в Comptes rendus (t. 183,
1926, p. 201; t, 187, 1928, p. 1028 et 1123). По истории ВО-
проса и деталям опытов мы отошлем к заметкам Benard'a л к инте-
ресному изложению P. Dupin'a я М. Tessie-Solier: Les tour hi lions
з 11 e r n ё s e t I p s regimes d'ecoulement dun П u i d e a u t о u r
d'u n obstacle (Paris, Gauthier-Villars, 1928); там можно найти в чъ-

стом виде описанные явления, сопровождающие обте:;ание. Сперва
образуются два вихря, симметрично расположенные на оставшейся
позади поверхности на одинаковом расстоянии от цилиндра (который
сам предполагается имеющим плоскость симметрии, параллельную
общему направлению движения). Эта конфигурация соответствует малым
VI)
значениям числа Рейнольде а, т. е. отношения В == , где
Г скорость, I) — диаметр цилиндра и v кинематический кофициент вяз-
кости I v = — I. Если нто число возрастает, симметрия нарушается,
оставшийся тогда след, принимая сперва беспорядочный характер,
становится затем волнообразным, под действием вихрей, периодически
отрывающихся с одной и с другой стороны цилиндра.
Мы будем здесь предполагать, что волновой режим получен, и
будем предполагать, — хотя полученные вихри не образуют цепочек,
неограниченно простирающихся в обоих направле-
ниях, изученных в прошлой главе,—что позади тела, на достаточном
расстоянии, состояние скоростей таково, как вто следовало бы из раз-
витой ранее теории. Напротив, впереди движущегося тела, на
больших расстояниях, будет иметься покой, хотя бы в первом при-
ближении. Опыт показывает, что предположения яти не лишены практи-
ческого значения. При :лих условиях нетрудно вычислить, по крайней
мере приближенно, сопротивление, испытываемое (на единицу длины)
движущимся цилиндром, при его прямолинейном и равномерном пере-
мещении.
Пусть, в самом деле, V абсолютная скорость перемещения твер-
дого тела, п0 скорость переноса вихрей в области, где на достаточном
расстоянии от твердого тела ата скорость становится равномерной.
Согласно изложению предшествующей главы, надо бы положить:
/ г/г
tel
0 41 ' I '
если бы вихри перемещались один иа линиях, неограниченных в двух
направлениях, h означает расстояние двух вихревых цепочек и /
везде одинаковое расстояние двух соседних вихрей в каждой цепочке.
Устойчивость (теоретическая) налагает условие:
cosh ^- = \Г2
и, следовательно, имеем:
0 21 V2
Придерживаясь все тех жр обозначений, что и выше, т. е., называя
*0 и я„' аффиксы двух вихрей, взятых из обеих вихревых цепочек
(которые мы возьмем ради определенности параллельно оси Ох на

равном расстоянии от атой оси), заметим, что теоретическое распре-
деление скоростей, вызнанных наличие» альтеривровапиых вихрен,
определяется комплексным потенциалом:
и абсолютная скорость жидкой частицы, помещенной вне вихря, будет
иметь проекциями
_ дЬ _ <Л
<)ц ' ()¦¦<¦
Ничто не изменится в том, что нами было сказано, если мы усло-
вимся брать систему осей (h-ц, связанную с системой вих-
рей и, следовательно, переметающуюся со скоростью и0, так как
воздействие иеремещепий исчезает в разностях (г—-.?„) и (г — *?0'),
которые фигури])уют в у. Но отношению к ягой подвижной системе,
влхревое состояние стационарно позади тела, а впереди ноток обла-
дает скоростью —«и. Позади и на больших расстояниях относитель-
ная скорость частицы жидкости будет иметь составляющие:
и =~ ип-\
0 п
-i- , г = - .
дц 0.Г
Наконец, ничто нам не мешает поместить точки ~0 и su' симметрично
относительно иачпла осей, т. е. положить:
и веять:
sin -
гГак как сам ци.чиидр движется относительно новых осей со скоростью
У—м-0> то мы видим, что если рассмотреть копфипрацию, суще-
ствующую в момент ~, то через время
«се примет такой вид, как будто каждая ия вихревых цепочек подви-
нулась на один номер, так что с точностью до переноса начала
нумерации мы придем в момент --\-Т к прежней конфигурации. Мы
принимаем, что, в соответствии с опытом, движение периодическое
(относительно твердого тела) с периодом Т.

Установив aw, мы можем вычислить сопротивление цилиндра при-
менением элементарной теоремы количеств движения, приложенной,
например, к движению по отношению к соям хОу, так как онн совер-
шают равномерное поступательное движение. С этой целью мы пред-
ставим себе в наждый момепт времепи жядкую массу толщиной, равной
единице, в направлении, нормальном к плоскооти фигуры, и ограни-
ченную в этой плоскости следующим обраяом: мы проведем две ли-
нии, параллельные оси Ох (// = ziz т,), на очень больших расстояниях
от Ох, ватем две прямые, нормальные Ох: одну А В, очень далеко
слева и попадающую как раз между двумя последовательными вих-
рями, из равных цепочек одной пары (это делается с целью ивбе-
жатъ в дальнейшем трудностей, проистекающих от присутствия вихрей),
вторую А'В' очень далеко справа. В момент - рассматриваемая
масса заключена внутри ABA'В''. Беря расстояния достаточно боль-
л
•
3
• •
• •
У
•
I
•
D' В
С'
А'
Рис. 10.
шими, мы сможем без чувствительной ошибки допустить, что на АВ
относительные скорости проистекают из потенциальной функции у
(с точностью до поступательной скорости —«0), что на А 'В' скорости
частиц равны —и-0: на ВВ' и А А' скорости тоже близки к —«0.
Теорема количеств движения примет теперь следующий вид: про-
иавоцная по времени от количества движения, спроектированного на Ох,
для рассматриваемой жидкой массы равна сумме проекций на ось Ох
всех внешних сил, приложенных к этой массе. Если кы теперь обо-
значим через !Г сопротивление (в направлении оси Ох), испыты-
ваемое телом (на единицу длины цилиндра), то реакция, восприни-
маемая жидкостью со стороны твердого тела, будет равна — TV;
о другой стороны, давления ]>, испытываемые жидкостью да ABA'В',

которые должны причисляться к внешним силам, дают в сумме
— ф pdy.
Если мы проинтегрируем упомянутое равенство в пределах от
начального момента т до t-\-T, то получим следующее:
8 (разность количеств движения масс, находящихся в ABA'В'
в эти два момента -(- количество движения масс, вышедшего иа пря-
моугольника за время Т)
= _ Г Wdl—f di^
Так как очевидно, что 1Г допускает период Т, то отсюда следует,
т
что первый интеграл справа равен / ]]'dl и представляет с точ-
0
ностью до знака и множителя Т среднее значение сопротивле-
ния тела; это очевидно л все, что можпо падеяться вычислить при
сделанных гипотезах.
Разность 8 количеств движения, которая стоит в левой части,
легко вычислить. В самом деле, она равна разности количеств дви-
жения в прямоугольнике АВА'В' (предполагается неподвижным)
в моменты - и ' ~\- Т, сложенной с количеством движения, вышедшим
из этого прямоугольника за время Т (с целью учесть те части жидкой
массы, рассмотренной в момент ", которые могли выйти ва пределы
площади АВА'В' и быть заменены другими, не находившимися там
прежде).
Но по истечении времени, Т конфигурация, представленная в пря-
моугольнике АВА'В', почти та же, что и в момент т; разница един-
ственно в том, что в своем движении относительно Ох у твердое тело
переместилось на длину (г—г/0) '/'=/ в направлении Oj- и, следова-
тельно, картина, которую мы застаем в момент т -\- Т, в точности
такова, как в момент ~ внутри прямоугольника CDC'D', полученного
перенесением АВА'В' на длияу / в отрицательном направлении.
Разность количеств движения внутри АВА'В' в моменты т и
~-\-Т равна, следовательно, количеству движения массы АВСТ)
в момент т, уменьшенной на количество движения А'В'С'В' в тот же
момент. Но в А ВС Л далеко слева относительная горизонтальная
скорость равна—wo + ~^r~' в Л'В'О'ТУ далеко справа она равиа
— «о- Искомая разность будет равна, следовательно:
ABC1J А'В'СП'
т. е.
Г [1
J J оу A-cA'.h
ABCI)

Наметни, наконец, что количество движеиия, вышедшее из А В А'В'
за время '/', противоположно по анаку вошедшему туда, получаем
следующее равенство:
Т t + Г
+
,, f jj^(ixdj)= f Wdl— f dl § pdu 4- V,
ABCI) ' 0 i
где Q обозначает количество движения, в о шедшее в ABA'В' sa
время Т.
Чтобы знать зеиеръ среднее сопрогивлепие, нам остается подсчи-
тать некоторые выражепия.
Вычпслгние L и 7/. Вычисление р I I — dxdtiz&L. Мы вычии-
.1 паи '
лиы итот интеграл пепосредстлеиным переходом к пределу, т. е. пред-
полагая Т| очень большим.
Имеем:
г +оо /
I. - ,о j dx J -g- йц = f / '/х (ф (х, 7,") - + (х, — *,)!, =оо
О — оо
„ — / Hi
Но на значения / получаем, обозначая через zo= — величину,
соиряжениую ?„:
sin -у- (г0 + х -f- гц) sin ~— (-г0 -|- х — iy)
sin у- (?0 — х —»(/) sin у- (?о — х + »'.</)
т. е.
т: lJ~X
cosh -г (/< -|- -Itf) — sin -^-y—
cosli~f/< — 2//) 4-sin—j—
Для (/ = 4- со количество под знаком Is стремится к
г '
Для у &.-. — со находим также
откуда окончательно
+ X, -1-со) — <lf (X, — со)= _ \4it-j-j =

и, следовательно, мы получаем:
i
L — р I —у- dx == р In.
т+Т
Вычисление — / dt & pdy -\- Q = X'. Мы теперь вычислим со-
т
вместно сумму количества движения, которое вводится в контур ABA'В',
и интеграл, происходящий от подсчета давлений. Прежде всего, если
(а, C) направляющие косинусы внешней нормали п к замкнутому кон-
туру С, то количество движения, выходящее ив элемента кон-
тура ds в течение единицы времени, будет очевидно:
p(u'<t-\-v'$)u'ds,
но в силу формул dx = — p<fc, dy = ads оно превратится в
рм' (u'dy — v'dx),
и для всего контура
р / u'(u'dy — v'dx),
i
так что количество движения, входящее ва единицу времени, будет
то же, но с измененным знаком; и так как относительное движение
без чувствительной погрешности можно принять установившимся на
контуре АВА'И, то количество движения, вошедшее за время Т,
будет:
рТ f u'*dy — u'i/dx.
АВЛ'В'
Что касается давления, то в силу того же замечания, что и выше,
м'2-Wa
р = const — р ~
вдоль АВА'В', и очевидно получается:
т. е.
АВА'В'
- f
что дает нам, после присоединения результата вычисления вошедшего
количества движения, выражение:
т

Положен:
где мин обозначают абсолютные скорости; имеем:
и' = — мо-|-м, »' = ».
Тогда i выражении L' член с м02 очевидно исчезнет, член с и0 также,
так кав он равен
и0Тр ф vdx — udy
что равно нулю в силу уравнения неразрывности (т. е. закона сохра-
нения массы). Остается, следовательно,
L' = Тр f —-— dy — uvdx.
Но, в силу хорошо известных формул
dz '
w2 = ма — г>а — 2шг;, d^ = dx -f- *d«/,
мы сможем, очевидно, написать:
2L' = Тр X веществ, часть от ф —— ds.
Но жъ\ имеем на больших расстояниях позади тела:
i = и — iv = ~ ctg ~ (г0 -f z) -f- ctgy (^0 — г) =
W:
2kz
cos —=— — cos
I I
Элементарный подсчет показывает, что | w \ стремится очень быстро
к 1улю, когда | у | возрастает. Кроме того, на АА' и ?JS' справа и на
А'В' значения и и v равны нулю. Заметим далее, что выражения,
происходящие от горизонтальных сторон, какое бы ни делалось различие
между режимом впереди и режимом сзади, должны быть равными,
чтобы в сумме давать нуль.
И находим окончательно в пределе:
- Ш + i оо
/I
— w^dz,
г
- ы -1; со

где интегрирование ведется вдоль прямой х = — М или, быть может,
в соответствии с расположением вихрей х = —Ы -j- -г- > что даст оче-
видно тот же результат.
Положив
й = — Ш-\- %у,
получаем:
cosh —=-
г! I
I п 2тсм . . . , icfe
cosh —j-—\- % smh —=—
следовательно, надо вычислить:
= згтр /
cosha
I cosh —j+--{-г smh — I
PTo , „ nh
~—w~c ~т
что приводит к нахождению значения интеграла
оо
dy
М=-
а '
Ради краткости проведем вычисление в предположении, что
cosh —j- = У 2 , sinh -у- = 1
и следовательно -^- = lgd-(-}/) . В этом
случае
где
+ GO + &
Ml- f 7 ^ r2=-L f
^ I cosh \~ n t/
¦— oo I
Следовательно:
2ti 91 (Ж,)
Я(Ж1)_ Г
г ~ J
A + cosh2 6J •

и положив
X = tgh6, db =
имеем:
- j B_^2J - 2 \2_X2J0 2 J
2-
о
откуда, наконец,
Если не накладывать на величину -у определенного значения, то
аналогичное вычисление приводит к формуле:
или еще:
Из всего предшествующего вытекает, что
1
о
откуда после приведений и приняв во внимание значение Т— -==- -,
имеем:
или еще:
Таково теоретическое выражение, полученное Карманом для среднего
сопротивления при сделанных предположениях.
Метод J. L. Synge. Методом более полного приближения, полез-
ность которого мы отметим в дальнейшем, Synge (Proc. Roy. Irish.
Acad., t. XXXVII A, 1927, p. 95) пришел к той же формуле для со-

противления. В виду важности вопроса, мы изложим здесь этот новый
метод.
Простой процесс, примененный выше, не свободен от двух следую-
щих упреков: прежде всего мы провели вычисления, допустив, что
движение на больших расстояниях квави-перманентно; с другой сто-
роны, поле скоростей позади тела вычислено в предположении, что
имеются две вихревые альтернированные цепочки, неограниченно про-
стирающиеся в обоих направлениях. И в действительности, весьма
вероятно, допущенная таким образом ошибка весьма незначительна,
так как, если поместиться позади на большом расстоянии от тела, то
"П Га
¦X
г
. . . _-
V V V
Рис. 17.
вихри, незаконно введенные впереди, дадут для скоростей слагаемые,
которыми, очевидно, можно пренебречь.
Но мы не знаем в точности, каков порядок приближения, получен-
ного таким образом, и наше рассуждение, несколько грубое, может
внушать некоторые опасения.
Альтернированные вихревые цепочки, неограниченно простираю-
щиеся в одну сторону. Мы начнем с рассмотрения, каковы ско-
рости в жидкости, покоящейся на бесконечности, происходящие от
двойного ряда вихрей, интенсивности ± I, расположенных, как ука-
зано на одном или другом из приведенных здесь чертежей, где, как
видим, имеется только один вихрь справа от оси Оу; вихри верхнего
Ряда имеют интенсивность I, нижнего —I; верхняя цепочка соответ-
ствует аффиксам;
I , . h

а нижняя цепочка:
el ih
где » = 0, 1, 2, ... и e = ±l; соответственно первой или второй
конфигурации.
Имея это, положим:
комплексная скорость в точке жидкости z> происходящая от рассматри-
ваемых вихрей, дается уравнением:
Очевидно, весьма естественно, что это выражение может быть аппрок-
симировано с помощью классической формулы, касающейся функции
Гамма (см. Гурса, Курс математического анализа, т. II):
Г'(Г)
-- С ~и[^-\-п п)'
где 1 означает постоянную Эйлера. Можно тогда написать:
и так как уравнению A) можно придать вид:
x Z —¦ л
i —-(-» - \-n
то заключаем непосредственно, что
T") ^(""T
2Ы
Эта формула в дальнейшем будет нами использована.

Новое применение теоремы количеств движения. Рассмотрим теперь
нага цилиндр, для которого С есть контур пересечения цилиндра плос-
костью хОу. Вообразим себе явления таким образом, что цилиндр не-
подвижен, а скорость жидкости равна V на бесконечности вверх по
течению. Пусть Ох и Оу неподвижные прямоугольные оси, из которых
первая параллельна — V, начертим кривую С, на большом расстоянии
от С и не проходящую ни через один вихрь; на С движение будет
безвихревое. Мы будем пред-
полагать вполне ясным, что
позади установился режим
альтернированных вихрей,
сделавшийся вполне пра-
вильным и соответствующим
много раз уже описанной
схеме в области, где прохо-
дит С. Рассмотрим коли-
чество движения жидкости,
содержащейся в момент t в
пространстве, заключенном
между С и С', и рассмотрим
эту движущуюся жидкую
массу, принимая во внима-
ние также движение жидких
молекул на границе С. Это
количество движения имеет
проекциями
I I рмйз, / | p
Рис. 18.
ми» обозначает составляющие скорости относительно твердого тела,
а интегралы распространяются на площадь между С и С. Называя
—X, —Y составляющие сопротивления, испытываемого цилиндром
(на единицу длины в направлении его образующих), видим, что един-
ственными внешними силами, действующими на рассматриваемую массу,
являются: сопротивление, но с измененным знаком и, с другой стороны,
давление, происходящее от наличия жидкости вне С". Следовательно,
можно написать:
~Ш j J ?wda = X— JPdy> 7й J j P^s= Y+ J
или иначе
~

Но обозначая через (я, Р) направляющие косинусы внешней нормали
„, / dt/ n dx\ d
к С I а = -р. р = Т" I > ВИДИМ> что полная производная -=-
запишется:
~dT j j ?(" —it!)d3==-|j-/J Р(м~j4'
J
9
уравнение, в котором -^г представляет производную, взятую в предпо-
ложении, что контур С неподвижен.
Но на С имеем классическое уравнение
Р = — -Tj-P О9 + "8> — f "gf.
где 'f есть потенциал скоростей. Отсюда заключаем, что
X —»У = - -i- p J («2 -f «^) (oft/ -j- »Лв) + р J (и - «в) (w -f pr) ds +
с с
д Г Г С до
+ -g^J J p(u—iv)dz — PJ ~
или, полагая по обыкновению:
s = x-\-iy, X = ? "Ь ty»
Предположим теперь, что установился периодический режим, т. е. яв-
ление полностью воспроизводится по истечении времени Т, и каждый из
вихрей альтернированных цепочек перемещается точно на один ранг.
Интегрируем предшествующую формулу по времени от t = О до t = Г;
предположение о периодичности уничтожит первый член справа, и, обоз-
начая через Хт и Ym средние значения X и Y, получаем:
-iYm) = -P f bfo («*</ + ate) -\j\j »*dAdt. D)
Мы будем отыскивать значение Хт и Ym, предполагая в этой фор-
муле, что кривая С удаляется па бесконечность по всем направле-
ниям. Например, мы возьмем за С концентрические квадраты (с цент-
ром в начале), стороны которых возрастают на 21, когда переходят от
одного квадрата к следующему.

Пусть Со' один ив таких квадратов, который мы будем рассматри-
вать как неподвижный, но сторона которого выбрана достаточно боль-
шой, так что конфигурация вихрей правильна и соответствует альтер-
нированному расположению позади Со'. Когда переходят от квадрата С'
к следующему, число вихрей внутри С возрастает на две единицы.
Пусть 2N число вихрей, р асположенных в момент t между Со' и О"
Обозначим через ev
нумерованные справа налево, а через zt', г2
аффиксы вихрей верхней цепочки,
нижней цепочки; соответствующие интенсивности -j- J и — /.
то же для
с'
Рис. 19.
Мы начнем, прежде чем производить вычисление, с рассмотрения,
как ведут себя w и tp для больших значений \е\.
Заметим прежде всего, что разность
/,-(*) = „,__?_ V (__! 1_\,
которую мы запишем в виде:
2 ¦ • • />
E)
представляет функцию,всегда аналитическую вне квадрата Со'. Как легко
видим, это следует из формул A), B) и C) и классических свойств функ-
ции Г; ряд, стоящий в правой части, стремится к нулю, когда г стре-
мится к бесконечности в направлении, отличном от направления оси ж-ов
(в отрицательную сторону). Для е равного бесконечности Е («), кат;

и w, должно равняться —V, и будем иметь, следовательно, в окрест-
ности бесконечно удаленной точки:
Уравнение E) позволяет утверждать, что
Г wde — fl< (г) de = 2 mal = К,
с, и,
где К обозначает циркуляцию вдоль квадрата Со. Это дает нам вначе-
ние коэфициента av и можно написать:
Свойство коэфидиента «2. Аффиксы .?„, коэфициент а2 и другие
коифициенты, фигурирующие в разложении по степеням •—¦, которые
если
представлены через О 17-7,3")' являются функциями времени t. Но ее
мы предположим, что движение периодическое с периодом Т, то функ-
ция го примет в точности то же значение, когда t возрастет на Т.
Если же мы рассмотрим ряд V —, стоящий на втором месте
справа в равенстве F), то мы видим, что в промежуток времени от
О до Г каждый вихрь изменит свой номер на единицу и ряд видоиз-
менится благодаря уничтожению двух членов I
;), так что при обозначениях, которые сами по себе понятны,
2 ,2'^ !
имеем:
Но при больших значениях | з \ напишем:
Так как это выражение должно обращаться в нуль при всяком г, то
отсюда вытекает, между прочим, условие:
1 j ~
или иначе

где е = ih 1, в соответствии с тем, находится .г, справа или слева от
вертикали, проходящей через .г/.
Если положить а а = а2 -J- ф3, где яо и ,32 вещественны, то получим:
L-2'o — 2- '
а
получаем непосредственно:
Выражение для [<p]jf на больших расстояниях. Из уравнения F)
со
1
откуда
и, следовательно,
I'1 х
7 "ж» +
Теперь мы сможем приступить к вычислению выражений, стоящих
во второй части формулы D).
Вычисление выражения Ига / [<р]^ (й(/ -f-id.'). Интеграл, иыею-
щийся здесь, берется вдоль сторон квадрата С/, которые изображаются
уравнениями х = ±И, у = ±Л соответственно. Прежде чем его вы-
числять, заметим, что в формуле G) можно пренебречь членами
О I j—т^) , имея в виду, что в пределе, при В бесконечном, они дадут
пуль. Нам нужно прежде всего заняться выражением:
HmJy
'At.
С'
= T j ^Li1^ arg ^ ~~ ^ {Лу +idr) =
1 f
- 3 arg {г — #/) — 8 ату (г — л/) — ... 1 {dij -j- «ate).

Но так как вихрь з1 перейдет в s2 по истечении времени Т, г% в еа
и т. д:, лш видим, что ивменения аргументов будут равны углам
в^г», s^ss, ..., и мы будем иметь следующую формулу:
агк О - j,) =ГХ(»'~«) = /Х W.
и элементарное рассмотрение различных возможных случаев расыоло-
жеиия на чертеже показывает, что угол г^вг{ имеет значение, близкое
к нулю, когда г расположен на сторонах квадрата С", кроме левой
вертикальной стороны, между двумя вихревыми цепочками, где
его вначение бливко е 2я.
"¦""""*' ".** &
Заметив это, вычислим сперва значение JDV т. е. ту часть В,
которая соответствует горизонтальным сторонам квадрата. Под-
интегральная функция стремится к нулю вместе с -=¦, но путь интегра-
ции становится бесконечным, так что значение предела не является
очевидным a priori. Но мы находим непосредственно;
]\ = — — I I arctg —-—^1 arctg — j dx -f
, il Yl . —H — yx' . —R — уЛ,
+ ir- I arc'S' г1 arctg ~ dx,
2tt J \ - x — xxr ь x — xx j
— R
или иначе
¦ = — f
. OLi If , OS ¦ ОС i
arctS -55 —г ~т arct!
arctg — i- — arctg- — d,r,
lt—yx R — !hl
arctg везде имеют главные значения.

Элементарный подсчет дает:
arctg — ~ dx = (x — ж/) arctg -p: —.
M — y1 M — j/j
так что i)j будет суммой четырех членов, первый из которых вапи-
шется:
-x,') arctg ^^-(Tf + ^O arctg
Но имеем:
arctg __^=_+JL^+о [^
Следовательно, пренебрегая членами порядка -=г-:
и дальше, с тем же приближением:
limDl = — ^-{xir-\-xif — xl—x1}=~(xl'—x1) = ~s;
где е = ± 1 в зависимости от того, находится вихрь st справа или
слева от г/.
Рассмотрим теперь то, что относится б вертикальным сторонам
квадрата С". Вне отрезка, определенного равенством з = —B-\-iy
(|2/|< —I, интеграл будет при соответствующих пределах:
на правое сторопе надо интегрировать между —R и -{-R, па левой
между —В и —, далее, между— и В (меняя внак результата).

Ho имеем, как и выше:
т(у) —
— (У — У\ ) arctg ~й ~,
и, следовательно, часть D, соответствующая правой вертикальной сто-
роне, будет:
(Д
—V)' 1 1
-<f J ¦"/¦
Пропущенные члены выведутся из написанных внутри скобок отбрасы-
ванием штриха и переменой знака.
Рассуждение столь же элементарное, что и выше, дает нам:
П.
Что касается значения интеграла вдоль левой стороны, то нужно вести
интеграцию, исключая ту часть, которая находится между двумя вих-
ревыми цепочками, приняв также во внимание изменившееся напра-
вление обхода.
Получаем, таким образом, выражение
-в

Неопределенный интеграл р (у) выводится из т {у) простым измене-
нием знака ж/ и хи так что получаем:
Слагаемое — [р(М)—р(— Е)] воспроизводит очевидно В2, т. е. —
в пределе (так как изменение знака ж/ и хх не оказывает влияния
на значение D2). Что же касается остающегося слагаемого 2K, которое
назовем Т){, то оно запишется:
lg [(
2
строка, заполненная точками, представляет члены, аналогичные ранее
написанным, но с измененными знаками и отброшенными штрихами.
Совершенно ясно, что это выражение Da' стремится к нулю вместе
1
Сумма слагаемых, соответствующих вертикальным сторонам, равна
Ih
—, если отвлечься от той части пути интеграции, которая лежит
между вихрями.
Остается та часть, которая происходит от интеграции, между —
и —, элемента — («^ g/) dy, где вхеехг стремится к 2л, для бес-
конечного й. В пределе имеем, очевидно:
А
2
складывая, имеем окончательно:
Jm I a"

Возвращаясь к формуле G), видим, что нам остается вычислить то,
Ih х Ih у
что происходит от двух членов г—,—-, г-^—^ после
2i ж! -(-1/2 4тс ж2 -j- ?/2
интеграции вдоль сторон квадрата.
Первый из этих членов дает непосредственно выражение
+в +л
Rdy Г —Bdyl_ Ih
_Д[ Г Шу Г
2т, [ J Л« + г/2 J
Те части, которые соответствуют горизонтальным сторонам, взаимно
уничтожаются. Подобным же образом находим для второго рассматри-
ваемого члена:
-Г ль
Ш Г
2к J
Sdx Ihi
-в
Складывая все полученные результаты, имеем окончательно:
lim J [tp
lim J [tp] о (dy + idx) = —Ih. (8)
Вычисление интеграла / iv2 ds и его предела. Переходим теперь
к рассмотрению последнего члена в правой части формулы D). Так
как интеграция ведется по С", то мы применяем то же выражение F)
1
для w, что и выше, и видим, что здесь члены порядка—- дадут в пре-
деле выражения, обращающиеся в нуль, и мы сможем написать:
со
г /* Г "К. 1 vi I
J =lim / м>2сйзг = lim / — V A : j — 7. —
/ /I Vi)T"^ V7T1 AM ¦-* Ф
с Ъ L 1
полагая
J [
J
OO
J Lv
CO CO
Lv у Tnh
В фигурирующих здесь суммах, вполне понятно, надо понимать сумми-
рования, произведенные вне Со, по двум вихревым цепочкам, беря
попеременно вихрь сверху и снизу.
В этом последнем интеграле, подинтегральная функция аналитиче-
ская в С", за исключением 2N точек sv еъ... zN ... з{, «/ ... е^ и
точки g = 0. Вычеты будут равны:

для е = 0,
К ^ 1„
1
для z = г„,
Штрих указывает, что при суммировании значение р =» исключено.
Сумма этих вычетов Р будет, следовательно:
1п 1_
8. 2тг5
1 "
но мы имеем
2N
1
так как /„ принимает попеременно значения ±1; с другой стороны,
со 2N
стремится к нулю вместе с -=г=-, т. е. вместе с -^-, так что останется
в конечном итоге:
НтР = ^-r- lim
или, опуская члены, равные нулю:
ЬтР-_ -^hmj 2 ^^l, (9)
или, наконец,
Выражение же
2ni

представляет комплексную скорость в точке гп, происходящую от сово-
купности вихрей, расположенных после обтекаемого тела позади
квадрата С. Ута комплексная скорость совпадает, следовательно,
с выражением A), вычисленным выше, если в этой последней заме-
нить г через zn -(- (N-\-1) I и, значит, согласно C), будем иметь
равенство:
п "р
Г
/*.-}-ь + СУ + im /gti-x+(iV + i)*\
Но мы имеем здесь:
яп = X — til, при 1п = I, для п нечетного
и
zn = — I — nl, при 1п = —], для и четного.
Таким образом, имеем отсюда:
11П) /= 11111
Г(Х)
+
Г'[ — -
Г'{\)
Г -,---
Г' (JV)
/"A)
Г'
2л
4-1

или еще:
m ic ' 2тг2
СО
г?
Наконец, ясно, что
и что, следовательно,
UmJ 2КГ + -
СО
1
" тТ/
tJ =
2»itlimP
) г'(и+т)
—-г)
.A1)
Теперь важно подсчитать, имея в виду внести его в формулу D) для
сопротивления, выражение
(lim J) <ft.
A2)
С этой целью Synge весьма изящным образом преобразует правую
часть A1), испольвуя классическую теорию функции Г. Известно, что
если С обладает положительной вещественной частью, то (см. Уиттекер
и Ватсон, Курс современного анализа):
Г'(С)
г V^.
^(Q ~J\l 1-е*/-
При помощи этого результата можем уравнение A1) записать:
A3)
hmJ= — 1KV4
и, следовательно, упрощая,
cosh 1 | г »»,
V i / 1—е~5
^.-.)* (U,
Заметим теперь, что в течение интервала времени (О, Т) из квадрата Со
выходят два вихря с интенсивностями -j-I и —I, так что в течение поло-
вины интервала (О, Т) К равно Ко ——, а в течение другой поло-
вины jfiT0-f--^-; скачок происходит в момент выхода вихря, Ко обозиа-

чает, очевидно, циркуляцию вокруг цилиндра С, которая может быть
нулем.
Следовательно, в интеграле A2) первый член из A4) дает вели-
чину — 2 VTK0 или нуль, если циркуляция равна нулю вокруг погру-
женного твердого тела.
Чтобы подсчитать, что происходит из второго члена A4), замечаем,
что л = — -\- — и что в течение первой половины интервала (О, Т)
надо взять е = -(-1) а в течение второй в = —1; перемена знака, как
и выше, происходит в тот момент, когда вихрь пересекает сторону Со.
И2Т
В результате в A2) надо ввести тогда 7 Q, полагая
1С(
или иначе
со .
9 = 2 Г — г-(cosh i-cos? — Adi
J (l_e-5)a \ 2 I I
Элементарным путем находим:
A—е-
е~ cosh
A-е-
1
2
1
sinh
"я"
Затем интегрирование по частям дает:
е2 —cosh—¦
Сразу видим, что скобки равны =- , так что проинтегри-
sinh —

рованная часть сводится к единице. Для оставшегося интеграла можем,
кроме того, написать, согласно A3):
2 + i 1 12
Это выражение, в силу B), можно написать в виде:
со
О О I 1 I ' О 1 I '
или еще:
или, наконец, согласно плементарной формуле,
tttgh-y-.
В конце концов получаем:
2=1-
и, следовательно, имеем:
т

Заключение. Внося в D) выражения (8) и A5) и беря веществен-
ные части, мы получаем, наконец:
ТХт = р/Л + р -^- ^ 1 — — tgh -у- J,
что и является формулой Кармана, уже полученной нами ранее более
элементарным способом [Хт совпадает с (- Wm) в формуле Кармана].
Оба метода, ив которых последний очевидно более точен, приводят
к одному и тому же результату. Однако, мы изложили оба метода.
Заметим в заключение, что мнимые части уравнения D) дают со-
отношение
что является в данном случае не чем иным, как теоремой Жуковского
относительно сопротивления цилиндра, вокруг которого существует
циркуляция Ко.

ГЛАВА VI
РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ. ВИХРЕВЫЕ ЦЕПОЧКИ В ОГРА-
НИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ
В предшествующих параграфах предполагались вихри (цилиндри-
ческие бесконечно тонкие), расположенные в бесконечной жидкости,
которую мы рассматривали только в сечении плоскостью хОу. Можно
также, как показал F. Jaffe (Annalen der Physik, 61, 1920, p. 173),
обобщить эти результаты, чтобы легко получить уравнения, соответ-
ствующие случаю системы вихрей в жидкости, содержащейся между
неподвижными стенками.
Система п вихрей между двумя параллельными стенками. Мы
выберем оси так, чтобы эти две стенки Dl и 1\ изображались урав-
нениями
.с = 0 и х=~,
И МЫ ПОЛОЖИМ, ЧТО
f
обозначает положение в момент / вихря с интенсивностью 1к. Присое-
диним к заданной системе вихрей S систему S', образованную в но-
выми вихрями, симметричными первым относительно D2:
Затем будем присоединять неограниченно новые вихри путем ото-
бражения. Мы будем иметь тогда 2и вихревых цепочек, горизонтальных,
аналогичных тем, что мы рассматривали в предшествующих парагра-
фах; ясно, что соответствующий комплексный потенциал будет
7л = ?i + »"W = ^ 2 h Ч sin -^- (* — «*), B)
если предположить, как это делалось нами и прежде, что скорости
равны нулю на очень больших расстояниях; мы предположили, следова-
тельно, что скорости равны нулю при бесконечном у.
Ничто не мешает нам еще предположить, что совокупность наших
вихрей, так же, как и вся жидкость, имеет поступательное движение
паюаллельно оси Ои: тветшые стенки шш этом сохраняются (в дальнейшем

мы увидим полезность этого замечания), но в данный момент мы не
будем делать это допущение. Чрезвычайно легко увидеть, что напи-
санная функция Xi удовлетворяет условию покоя при бесконечном у.
Кроме того функция ул такова, что всякий вихрь и всякая точка,
полученная как отображение вихря, будет являться полюсом первого
порядка для -^- с главной частью, равной -~ . Это усло-
dz Avx z — 2%
вие, присоединенное к условию покоя на бесконечности, определяет
вполне функцию Xi (с точностью до постоян-
ной, которая очевидно не играет никакой
¦А роли).
' В самом деле, вычитая ив —~- функцию
D
lid
Рис. 21.
получаем аналитическую регулярную функ-
цию, не имеющую полюсов на конечном
расстоянии, которая является, следовательно,
целой функцией. Вычтенная часть дает
вещественные скорости на бесконечности
в направлении Оу; целая функция дает
скорости постоянные или бесконеч-
но большие, соответственно тому, сводится ли она к постоянной
или нет. Чтобы выполнилось условие равенства нулю на бесконечности,
необходимо выбрать целую функцию равной нулю. Тогда -ц опреде-
лено с точностью до постоянной в форме, данной уравнением B).
Условия на стенках В1 и Da очевидным образом выполняются;
в силу симметрии скорости параллельны стенкам во всякой точке
Di и Ь2; имеем:
dg
¦**).
C)
откуда непосредственно скорость в точке е:
. , 2* ,
cosh -у- (у — Ън) — cos —j- (ж — ah)
и и
smh -^г- (х — аЛ
d v й
' 27Г 27t
cosh —т- (у — Ън) — cos —т- {х — ah).

В выражении для и соединим попарно члены с 1к и 1п+к; мы
видим, что они взаимно уничтожаются и что имеем и = 0 при х = О.
d
Аналогичное же получаем для ,« = -—. Потенциал скоростей ух и функ-
ция тока % тогда определятся, согласно предшествующему, так:
где
/ J (у - ь,), E)
Известно, что для того, чтобы получить скорость перемещения
вихря 1к, надо исходить из комплексной скорости —р-, вычитая из
нее член -~— • — , что приводит к отбрасыванию в ул слагаемого
' 1- 1 I Ч
2гтг ь v *"
соответствующего самому рассматриваемому вихрю, так как
Ит ~di Ilg'sin ~J^~ e*> ~lg ^ ~ ^ I = °'
Таким образом, не только сам вихрь ек, но и вее вихри горизонталь-
ной цепочки, им порождаемой, не имеют никакого влияния на соб-
ственную скорость вихря гк. Это соответствует результату, уже отме-
ченному в предшествующем параграфе.
Можно получить для этой собственной скорости формулы, совер-
шенно подобные формулам Гельмгольца, известным нам еще из главы III.
Определим функцию W1 уравнением
t I о ft/' \ /
где суммирование распространено на все пары вихрей системы (S-\-Sr),
а всякая пара считается только один раз. Имеем, кроме того:
S*J = у sin2 "J (а* — а') +
G)

тогда уравнения движения для 7S будут:
5_ __ 1_. I /' __ 1 (Ъ 10 ') и 1 ^1^
ai! 9bs h at да,.
Существенно заметить, что в \VX надо сохранить (ffl,,+ii ^,,+*)' а ие
выражать их через (as, Ь4.) до выполнения диференцирований. Эти
уравнения (I) содержат, следовательно, 4и независимых переменных
(ак, Ък; an+li. b)i+k). По определению Wi имеем:
dW dW dW o\V
как легко заметить, группируя члены, соответствующие 1к, /г и /H)_ft,
Гд1!. Отсюда и из уравнений (I) следует:
л7 л rf ft Л /¦» /71л
(У)
rf/ rf/ Л dt '
что может показаться очевидным в силу симметрии. Достаточно, следова-
тельно, знать только движение системы &.
Формулы (9) означают, что расположение остается симметричным,
как это вытекает нз уравнений (I) во все время движения, и уравне-
ние B) для /л все время будет сохранять свою значимость, если только
брать за (ак, Ък) решения (I), полученные интегрированием.
Согласно F) и G), очевидно, что
что является, кроме того, результатом общих известных теорем. Далее,
в силу (8):
п+к
тогда как вообще
Движение центра тяжести. Предположим, что
Пусть тогда, как обычно, (а0, Ьо) центр тяжести системы вихрей S,
так что
п а и ч
do ^^ i д = ^^ а^Хуу Oq ^j l^ =я= ^j o^jtj^,
11 11

и пусть (ао\ Ьо') центр тяжести системы 8'. Будем иметь, очевидно:
а0' = d — а0, Ьо' = Ъо,
и уравнения A0) покажут, что
at ~ dt -°' ~dt—~W
at ~ dt
Частный случай. Предположим
Тогда центр тяжести не может быть на конечном расстоянии, а вместо
уравнений A1) будем иметь
Замечание. Всегда будут иметь место общие теоремы относительно
моментов инерции фиктивных масс 1к и моментов количеств движения.
Но S и S? туда войдут одновременно, так что результат вычисления
не будет здесь представлять большого интереса.
Имеем также очевидный интеграл
TFj = const, A3)
так как
, db
k
dt Zd дак dt "т" дЪк dt
Пример. Случай единственного вихря I. Здесь
«j = a, a2 = d — a, bi = 62 = 0 10 < a < — I.
Имеем здесь для комплексного потенциала и для функции W:
. 7Г . . Г
sin -j (ж -f a + »

[aL и а2 при вычислении являются двумя независимыми пере-
менными; не следует заменять аа через d — а прежде диференци-
рований]. Находим, далее:
da
db
Tt
2d
Для о = — вихрь неподвижен; мы приходим в этом случае к горизон-
тальной регулярной цепочке (с одинаковым расстоянием между вих-
рями d), изученной в главе IV. Для 0 < а < — имеем -^ < 0; для
d d
— < а < у имеем
-г- > 0. Для больших значений -т- влияние сте-
dt a
a db 1
нок велико, для —=¦ малых имеет почти -тг = —, как и в случае
a dt 4яа
неограниченной жидкости без стенок. Получаем конфигурацию, тожде-
ственную с предшествующей, отбрасывая стенку х = — и рассматри-
вая два вихря противоположных знаков между стенками х = 0, х = d.
Второй пример. Два равных вихря, расположенных
симметрично. Положим:
J
л ,
T+
3d
4
?, Й4 =
T~ ' ]
3d .
Очевидный подсчет дает:
di
J_
2d
smh-3-
. 4лт1 4п$
cos h —г1 — cos —т
—tgh
sm-
cosh —r-^— cos —=-
d d

Рассмотрим только два предельных случая. Предположим сперва —-
Y
и-~ весьма малыми: тогда, пренебрегая величинами третьего
порядка, имеем:
откуда
dl
Г'о cos (л
4к ?2
•J
uk'J
L*
¦)-k
Рис. 22.
Рис. 23.
два вихря равномерно вращаются по одпой и той же окружности, как
будто вовсе нет твердых стенок.
Предположим еще, что —— \ = е очень мало, a -q велико. Тогда
de d-n .1 ( а \ _
~di—' ~rft ^ 4^~ Iкак и выше П1)И MaJIOiI "j" I • " Э1ОМ примере в
соответствии с начальным расположением два вихря описывают замкну-
тую кривую или же будут двигаться по отдельности под влиянием
стенок.
Система вихрей в шмюдвгажшш прямоугольники
Пусть
d'
стороны прямоугольника и Л, (г,) один иа вихрей интенсивности 1к.
' ' d d'
Способом отображении относительно прямых :г
d
-— мы при-

веден: в соответствие системе <5 три новых системы 5', S'', S'" по-
средством формул:
' sn+k '
'an+k '
— Ik> am+k=zak'
+k
Sn+k :
2n-f-A* кт
Ja.. 11. — *ь> "„„ i ,. — a ab, «s,,4j. — d 6fc.
"*' "зп+к ¦
Покрытие плоскости сеткой прямоугольников, одинаковых с данным,
введет очевидно эллиптические функции периодов 2a>j, 2да8; мы возьмем
функции о(г|»1} а>8|), С, Р и, одновременно, функции о, С, $?, построен-
ные на периодах:
Согласно хорошо известным соотношениям однородности (см. Tan-
nery и Molk, III) имеем: _
о (iz) =iv (g),
Тогда становится почти очевидным, что можно взять за комплексный
потенциал, соответствующий нашей системе вихрей S, следующую
функцию:
так как все точки г/ дадут для /2 необходимую нам особенность i
и мы будем иметь:
Элементарная формула сложения
дает:
A6)
Позже мы вернемся к атому вопросу.

Группируя четыре вихря, соответствующие S, Sf, S", Я'", непосред-
ственно находим:
d
v = О ДЛЯ :>¦ = О И .г = — ,
й'
v = 0 для у = 0 И 2/ = -2~-
Далее имеем, полагая у2 = <р2 -f- г^2:
4»
Здесь ?Л представляет модуль о (г— гЛ), т. е., в силу классической
bJ. A8)
Если разыскивать собственную скорость вихря (gk), то нужно отбросить
в ул количество —— lg («— г,). И так как имеем:
lim A [lg a (« — г,,.) — ]g (г — в»)] = О,
то это сводится к отбрасыванию члена с I, в выражении для у_2. Эле-
ментарное вычисление, уже проделанное в аналогичной форме, при-
ведет к следующим результатам: составим функцию
где
2
к I
B0)
dbk _
' k~dF~
и получаем при &== 1, 2, ... 4м>,
Git ^u]i U/0 UUj,
Как и выше, нужно остерегаться заменять ап+к, ain+k, a3n+k,
b2n+k, bin+k, их значениями прежде диференцнровання. Легко по-
кавать, ив условия симметрии, что
d/
d/

т. е., что расположение систем S, S', Я", S'" сохраняет симметрию
относительно указанных осей. Таким образом выражение ул сохранит
свое значение во всякий момент t, если будем рассматривать (ак, 6,.)
как функции времени I, удовлетворяющие вышенанисанным диферен-
циальным уравнениям.
Интеграл W% = const очевиден для этой системы уравнений.
Пример. Случай единственного вихря. Будем иметь для
IF2 функцию из шести членов, и получим без труда:
da I f B6) db _ I f Ba)
H~~ ~^' dt ~ i* ?>Ba)+f Bb)'
Умножая на fr Ba) и р' BЬ) и складывая, будем иметь интеграл
р Bа) + $ B6) = const.
Используя соотношения между $•> Bа) и f Ba), f Bb) и f B&), а именно:
)-^2^ B6) +^з,
приходим к одной простой квадратуре.
Легко находим:
da
da
— p'2 Ba) + 2C?^" Ba) — 12<72?> Ba) + 4G*»
Частный случай. Предположим:
п~ 4 - 2 ' °- 4 ~T'
тогда вихрь находится в центре прямоугольника; имеем:
da d6
°
и вихрь, следовательно, неподвижен.
Рассмотрим случай, весьма близкий к этому предельному, т. е.
положим:
d . , d' .
a = T + s, 6 = T + e';
предполагая, что гиг' очень налы сравнительно с d и d', будем
иметь приближенно:
f Ba) + f

затем можно написать:
Р'« B6) = 4 \f BЬ)+ е
и, следовательно,
Г Bй) = 2 j [р Bt) + ея1 (Р+ е3) + (| + ?3) (р+ е.) + «f» + 'i
Далее, для 2б = -^--|-2е', так как ^(^)=0 и ?[^-\= — «8
2(в, —Р8)(ея —«„)¦
Теперь имеем:
Г B6) =IJ'(-^ + 2«'
Внося :>ти результаты в формулу, дающую —, получаем:
Также находим:
de' I
откуда следует, что
г = Л cos (Ki -j-1)
г' = В sin QJ -4- f),
где
/(e,вя)(в, «a), ^=i==J.
Траектория будет весьма близка к эллиптической. Отсюда можно
заключить, что центральное положение может рассматриваться как
устойчивое.
Бесконечные вихревые цепочки между двумя параллельными
стенками. Вернемся к нашим общим уравнениям A4) и последую-
щим и вообразим, что вместо суммирования от 1 до 4» мы будем
суммировать только от 1 до 2м. Тогда условия на границах будут
d
выполняться для .*¦ = () и .*• = — , т.е. вдоль двух стенок, параллель-
ных оси Оу, и в силу периодичности эллиптических функций мы будем
иметь конфигурацию, в которой вихри расположатся цепочками,
параллельными Оу.
Но здесь мы уже знаем, что аналитическое решение, например,
для функции у не будет единственным. Ничто, в частности, не изме-
нится, если на движение, определенное через нашу функцию
lse('~St)> BП

мы наложим поступательное перемещение, параллельное Оу; это не
нарушит ни периодичности, ни граничных условий на сохраняющихся
твердых стенках.
Присмотримся несколько ближе к тем условиям, которым должна
удовлетворять функция f(e), чтобы сыграть в нашей задаче ту роль,
которую здесь играет o(g).
Прежде всего необходимо, чтобы f{e) имела точку г = О простым
нулем; то же должно быть для точек, смещенных относительно нуля
на 2ml»!, параллельно Ох (чтобы получить распределение скоростей,
параллельных Оу на двух неподвижных стенках), а также для всех
точек, полученных смещением на 2»е»3 параллельно Оу (чтобы полу-
чить расположение вихрей цепочками, параллельными Оу). Вполне
ясно, что шн) означают здесь какие-угодно целые числа.
Во всякой полученной таким образом точке, f(s— sh) должно пред-
ставиться в виде (г — sh) ¦ <о (г), где <р (г) аналитическая регулярная
функция и не обращающаяся в нуль в окрестности вк. Отсюда следует,
что \%f = g будет вести себя как ]g(« — sh) с точностью до регуляр-
ной функции в той же окрестности; д' (/) и д" (г), в свою очередь,
будут вести себя как и г—. Вспоминая классические
е — ек Vs — ек)
свойства функции f (/), мы видим, что сумма
не имея полюсов, будет регулярна во всем параллелограмме пе-
риодов и, следовательно, всюду это будет целая функция В, (У), и мы
будем иметь:
где E(s) новая целая функция.
Следовательно:
причем Ъ\г) является целой функцией.
Попытаемся теперь, насколько это можно сделать, определить целую
функцию Е{г). Мы увидим, каким условиям она должна удовлетво-
рять в силу существования двух твердых стеяок j==O, .г = ю].
Для скоростей мы должны иметь:
где
ck = «* -\-\. /„ fi = - /л. ан+к - 2«, — «А, />„.и = ''д

так что получаем:
1
Мы желаем, чтобы и равнялось нулю при х = 0 и при ж = ш,;
следовательно, необходимо и достаточно, так как ./,. произвольны,
равно как и % чтобы разности
с,' (iy — ак — ibh) — д' (iy -\-ak — ibh. — 201^
И' К + »2/ — ак — ibh) — 9' ( — <
были вещественны. И так как С, входящая в у' дает, например,
"- I* 0/ — ^*) — «*] — С [«(У — 1>к) + «а — 2ш,] =
= - ГЛ — •' (.V — '-»*) +«*]—* f* (?/ — Ь/,.) + а*1 + 2т)! = вещ. числу
(и аналогичное заключение для второй комбинации), то отсюда
следует, что Е должно быть таково, что, если положить:
ак = S', ак — ш, = S,
то количества
Е (it — Я') — Е (it -f S' — 2ш,),
всегда вещественны, каковы бы ни были вещественные значения
t, S; Л".
Так как Е целая функция, то всегда можно написать
где с и е1 две другие целые функции с вещественными хояфи-
циеЕгтами. Выше записанные условия тогда примут вид:
г («7 — #) + «j (# — S) — е (it -\-S) — i(\ (it -\- S) = вел!,, вели чине ]
e (it — Л") + *p, (t7 — S') — с (it + 5'— 2m,) — «e, (*7 + Л" — 2»,) = B-1)
= вещ. величине. j
Но суммы сопряженных комплексных количеств
е (it — 8)-{-e( — il.— S),
ie{ (it — <S') ~ г>, ( — it — /S)

являются вещественными; следовательно, первое условие B4) может
записаться:
— <? ( — it — 8) + ге, ( — И —S) — e (it -f- 8) — r^ (»«-f Л1) ==
= вещ. величиие. B5)
Полагая здесь t = О, мы видим, что ото вначит:
«,( —^ — е,E) = О,
т. е. что е, функция четная; тогда, согласно BГ>):
f ( — г7 — «S) -)- е (г'г -f- S) = вещ. числу = е (г) -f- е ( — г),
откуда легко выводим, что е(.г), с точностью до вещественной по-
стоянной, должно быть нечетной функцией от г.
/ 2га \
в силv равенства 2 h = О),
V 1 /
Совершенно ясно I в силу равенства 2 ^*= ^) > 1|т0 аддитивная
V 1 /
постоянная у е или у ? не играет существенной роли и сама ио себе
исчезает в -?-; можно, следовательно, просто считать е (г) функцией
нечетной, не беря во внимание несущественную постоянную.
Посмотрим теперь, что дает второе ив уравнений B4). Так как
можно написать, в силу уже иолученпых результатов,
е {г\ — S') = — е (?' — it) = e (S' -f it) -f вещ. число
ie1 (it — >S") = w, (»S' — il) = «;j (<S" -f it) -f вещ. число,
второе условие B4) примет вид:
е (<S" + И) + *«! (<S" -f *V) — e {8' + il — ZuJ — iet (S' + il — 2u>,) =
= вещ. числу.
Оно обозначает, что мы должны иметь:
.#(>,-}-2@,) — ?(Х) = вещ. числу, BС)
каково бы ни было /..
Полагай /. вещественным, видим, что отсюда получается:
,-,(>. 4-а«,) — «1(Х) = о, B7)
но так как е, целая функция, то уто условие будет иметь место при
всяком а, и, следовательно, ex(s) должна допускать период
2ix>v Тогда будет выполняться условие:
^CDi) — е(/.) = вещ числу,
каково бы пи было )..

Легко может быть установлено, что разность написанного слева
должна быть вещественной постоянной. В самом деле, е есть
целая нечетная функция; это можно записать в виде:
).е'(О) 4-— е!" (О) 4- . , . = вещ. числу.
•¦> J
Полагая X чисто мнимым, видим, что необходимо должно быть:
е' B@^ — с' @) = 0, с'" Bш,) — е'" @) = 0, ...
и, следовательно,
е (X 4- 2ш,) - е (X) = в BШ1) -f ~ е" B«,) + . ..
Давая теперь X значения а-\-г$(а$фО), которые будем предпола-
гать малыми, легко видим, что правая часть будет оставаться вещест-
венной, если только e"Ba>j), elvB(Dj)... обращаются в нули. Следо-
вательно, разность
о1)-е(Х) = сB(о1) B8)
есть постоя п пая. И, далее, /(X) целая функция, имеющая период
2o>j. Имеется, очевидно, бесчисленное множество функций е -[- iet = Е,
которые удовлетворяют полученным таким образом условиям. Напри-
мер, можно взять
с. {г) = 2 Гг, ех = О, Е = '21%
где Р означает какую-нибудь вещественную иостоянную. Для этих
частного вида функций будем иметь:
«/(s) = ;(?¦) +2/>*,
и, следовательно,
3 \ 2ш,;
Мы яаметим, что функция В,1 -^- Л принадлежит к этой категории.
В самом деле, имеем классическую формулу, связывающую функцию
Лкоби 4j с функцией а (г):
"¦-ST B0)
/(о) v' '

что показывает с очевидностью принадлежность функции О, I ¦ — -I
к числу выражений, возможных для f(s). Это именно будет та функ-
ция, к которой несколько дальше мы придем, когда подойдем к более
точному рассмотрению изучаемого нами движения.
Предварительно сделаем здесь следующее замечание.
Замечание. В задаче о прямоугольнике, рассмотренной ранее,
мы имели комплексный потенциал хз> полученный суммированием
Рассмотрим здесь, в свете того, что предшествовало, насколько по-
тенциал у2 является таким, который нужен.
Согласно только что сказанному, мы должны иметь для комплексной
скорости в какой-нибудь точке (отличной от вихревой) выражение
вида:
где
3'=Х = ? (*) + ?(.?); C1)
Е(г) удовлетворяет уже высказанным условиям, т. о., что Е = е.-\-ге{,
в,—четная функция, обладающая периодом 2ш,; с — нечетная и удо-
влетворяет условию:
В силу условий
~ '*> -'* = ак + ibk> *W* = й/< + 2и>3 " iЬк>
имеем:
» — »«== --r^
Стороны прямоугольника, параллельные Ох, должны быть твердыми
стенками: t должно на. них быть равно нулю; это дает непосредственно
условие, что разности
</(•» — ak — ibk) — .д' (.* — ,,\к3) |
f)' (.г — a,, -f а>з — ?:ftj) -— .9' (в — й/, + % — °»s) /
должны быть непременно чисто мнимыми, каковы бы ни были вещест-
венные числа г, о,., Ь,.. Так как функция ?(s) сама удовлетворяет
атим условиям, как в этом легко убедиться, то следует просто напи-

сагь, что функция E = e-\-ic1 удовлетворяет им в свою очередь. По-
лагая
получаем:
а (т — ш') -f- ie1 (т — tV) — с (т -f- га' — 2ш3) — ге, (т -f- to' — 2<й3) = |
= чисто мнимому \ C3)
е. (т — г'а) -j-iCj (т — to) — е (т -)- »«) — *ej (t -j- »a) == чисто мнимому. J
Но
е (т — to) — е (т -j- »«) и е, (т — га) — и1 (т -(- *я)
суть количества чисто мнимые. Ив второго уравнения C3) получаем:
где е, целая функция с вещественными коэфициентами; правая и
левая части этого тождества являются мнимыми сопряженными, кото-
рые должны, следовательно, быть постоянно вещеетвеппыми.
Функция е1 (г) вещественна при всяком значении г. Следовательно,
с1 (г) сводится к вещественной постоянной.
Первое из условий C3) требует тогда, чтобы
с (т ¦— iaf) — е (т -f- й/ — 2<о8) = чисто мнимому,
и так как
е (т — га') — е (т -j- *'O = чисто мнимому,
то мо сводится к утверждению, что
е (т -j- *<*') — е (t -)- to' — 2ш3) = чисто мнимому,
или еще, что при всяком X.
е (X -)- 2(о3) — е (X) = чисто мнимому.
По рассуждение, тождественпое с тем, что было сделано выше отно-
сительно периода 2<Oj, нам покажет, что отсюда следует, что
е' B(ds) — с' @) = О, е'" B<о9) — о'" @) = О,
и также
c(X + 2cDs)-fi(X) = fiB(O3). C4)
Производная с' (К) должна допускать, следовательно, период 2<оя,
но она уже допускала период 2(ot; она должна, следовательно,
сводиться к постоянной А (очевидно вещественной). Вследствие
того, что е нечетна, имеем:
с (г) = As; C5)
E=As-\-iC,
где А и О вещественны.

Наконец, комплексная скорость в иашей задаче относительно прямо-
угольника должна иметь вид:
*/. ' V г \г /-..... \ _L л<~ ~\A-ia\ C6)
Ио в том выражении член (As-\-iG) исчезнет по причине очевидного
условия
Аи
1
Легко установить посредством формул:
:вп + к = ~ ' * + У"»! + 2»в ~ "Jk> hn+ к = 7/i'
что все группы
ftSft"T" 7i+k~n + k~T~ 2n + k~2>t + ki 3n-\-k~3n-\k
обращаются в нуль и, следовательно, -~1 сводится к виду
, In
dyt 1 уч
1
что совпадает с тем, что было нами принято. Возвратимся теперь к за-
даче, которая нами была поставлена, относительно движения наших
вихрей между двумя неподвижными стенками х = О, х = <о,.
Мы видели выше, что функций у возможно бесчисленное множество
и что комплексная скорость должна иметь следующий вид:
где с функция целая, нечетная и с вещественными коэфициентами, а г,
тоже целая с вещественными коэфициентами, но четная; />, будет
обладать иериодом 2e>j; а е(.г) должна удовлетворять условию
, (в + 2*,) — е^^еСг»,).
Отыщем теперь среди онределенных таким образом функций те, ко-
торые могут соответствовать, с точностью до поступательного пере-
мещения параллельно Оу, перманентным конфигурациям вихрей, если
предположить осуществленным сперва расположение вихрей такое, как

в альтернированных вихрях Бенара. Тогда необходимо, чтобы гори-
зонтальная скорость каждого вихревого центра, была равна нулю. Но
для точки (о,., Ь}) эта скорость дается уравнением:
da, „ 1
+ E[aj-al. + Hbj-bt)\},
если \J' указывает, что при суммировании надо отбросить в С член,
соответствующий k=j (что именно и соответствует отбрасыванию ко-
L 1 dy
личества—.— • , когда г стремится к ^ в выражении -4й.
Но легко может быть проверено и легко может быть выведено из
вычислений, которые мы встретим дальше для случая альтерниро-
ванных вихрей, что остающиеся члены, содержащие функцию С с раз-
личными аргументами, дадут значение нуль горизонтальной скорости
яихря Sj. Условие, которому должна удовлетворять функция Е(г),
будет состоять в том, что для всякого значения ju
п
1
- Е [aj + «, — 2«, + * F, - b,)]) = о.
Если пренебречь внутри скобок количеством е B<0j), оно сведется к
— Е [ctj -\- а,. ~\- г (J>j — bh)\ \ = вещ. числу.
Иначе говоря, ноложив
мы должны иметь:
п
2 hiE(s+гХ)—Ес+гХ)—Е(«—ы)+ЕС—»•) 1 = °;
1
обозначение E(s — гХ), папример, соответствует комплексной величине,
сопряженной Е (s-\-i\), и, так как I,. произвольны так же, как и s, I, X,
то ото сводится к утверждению, что функция E(s) такова, что
Е (.s- -f гХ) — E(s — »Х) — EQ-\- г'Х) + Ё (/ — «X) = 0 C7)
каковы бы ни были значения аргументов (вещественные).

Заменяя Е через c-\-it\, замечаем сейчас же, что
Е (я + * а) — Е (я — гк) = 2г [ Хе' (в) — -^ в'" (я) + . . . J +
+ 2» [c.W--^-<-,"(»)+¦••
Е (t + jX) - ~Ё (I - Л) = 2i [ лв' @ - ~ ва'" (/)+¦•¦]
Равенство C7) должно иметь место, каково бы ни было >., откуда сле-
дует, что
каковы бы ни были s и *—вещественные, а, следовательно, также и
комплексные, откуда заключаем, что е' и «, должны быть по-
стоянными (вещественными).
Следовательно, мы приходим обязательно к выражению, анало-
гичному C6), в котором, как мы уже знаем, можно уничтожить член,
содержащий %С
где А вещественная постоянная.
Эта постоянная А пока не определена, мы ее легко найдем, точнее
определив изучаемое нами движение. Мы предположим существование
условия, весьма естественного с физической точки зрения: мы по-
требуем: чтобы скорость была равна нулю для бесконеч-
ного у, когда переходим к пределу, делая А' (или —~-\
бескон ечным.
Легко можно удостовериться, что это условие не может быть вы-
полнено, если только сохранить ^]go(; — sh) в выражении комплекс-
ного потенциала. В самом деле скорости заданы (за исключением
вихревых центров) уравнением, взятым из B3) и B2):
2и
wi S Y"(г ~ **>+л {s ~ -~л C8)
1
в котором имеем:

Наймемся той частью правой стороны равенства, в которой имеем С.
Известно (см. напр. Levy, Fonctions elliptiques, p. 1Я7), что если:
перейти к пределу для -~ бесконечного, то для функции С ('•) имеем
С^-lav*+2=;^ 2=;-
Элементарное равенство
sin2a —i
t( + p)
позволяет заменить в предельном случае X, (г — г^) через
о sin — (.г — at.) — sinh — (// — />,.)
cosh— (у — h) — cos — (.» — a,.)
(Dj (О,
Согласно формуле (88), имеем, что для скорости v в направлении Оу,
второй член дает нуль, когда мы перемещаемся в бесконечность в на-
правлении Оу; но первый член дает
in
' 1
где коэфициент у х уничтожается, так как
1
но где выражение
1
не имеет никаких оснований обращаться в нуль; для v будем иметь
выражение
¦к V г
1 1
Так же, что касается и, найдем:
2м
24V
Но мы можем воспользоваться присутствием добавочного члена А1,
чтобы выбрать значение

Известно (см. Levy, loc. cit.) что в предельном случае имеем:
можно, следовательно, выбрать
Это сводится к тому, чтобы взять за алементариуго функцию в —^ выра-
жение
.-/¦ v Yb /- ,л
п, следовательно, в выражении для у взять за такую функцию
¦2я>,
По формуле B!)) мы видим, что ота последняя функция совпадает,
с точностью до постоянной, которая не представляет никакого интереса,
с
что и соответствует указанному пами ранее. Заметим теперь, что если
мы прибавим к нашему новому простому алементу в ~ другую целую
функцию E(s), не сводящуюся в пределе б постоянной, то скорости
на бесконечности сделаются отличными от нуля (и вообще бесконеч-
ными), если удаляться в направлении Оу. Это узаконяет иным образом
то простое выражение Ак, которое мы выбрали в качестве Е(К). При
нтих условиях комплексный потенциал, соответствующий нашей задаче,
будет иметь вид:
1
и комнлексная скорость:
Если же мы будем исследовать собственное движение вихря, нам нужно
только, согласно предшествовавшим рассуждениям, образовать функцию
^—^IK-a^-fA-^l DJ)
1 )

где
и мы будем иметь уравнение движения все время в виде:
" dt dbk' !: at ~
Составляя эти уравнения, нужно, как это уже указывалось, производить
диференцирования до замены ап+}. и Ьп+к их выражениями через
Приложение. Случай единственного вихря (м = 1). И атом случае
можно взять
/, = -/,= Л
Uj —a, a.2~d — а, I О < а < — I, bt — b» = о
\\\ сводится здесь к единственному члену:
\\\ = ~ J lg [3@8 - а,) 7(ЬЯ- Л,) V f{4-ax)-\^~^bj\ ~
дает нуль для о.2 = и1; в самом деле:
001
Но (|юрыуле сложения функции Sa можно написать:
ЭТУ Г2 f Г
что, ичевидно, обращается в нуль при b.2
Имеем также
2 PK-

что обращается в
eta,
da
If
dh
Для
db
и вихрь неподвижен. Здесь изучен случай цепочки одинако-
вых вихрей, находящихся на. расстоянии d' друг от друга. ДлжГ = -)--оо
У
d!
X
1
О
(•
А;-
0
¦^ Уаз
•)
D
Рис. 24.
Рис. 25.
возвращаемся к рассмотренному выше случаю одного вихря. Если
отбросить стенку D' и рассматривать D и D" (х = 2а>1) как две
стенки, будем иметь две параллельные цепочки вихрей с вращением
в противоположных направлениях. Это симметричное располо-
жение, но при двух неподвижных стенках (рис. 24). Мы
приходим к конфигурации, уже изученной в главе IV, но для огра-
ниченной жидкости.
Коли предположить, что d = —j- делается бесконечным, то, как
известно (см. например Tannery и Molk, Functions elliptiqiies, фор-
мула CXXII),
12m,,'2'
¦ХП) ¦¦

тогда, беря 4 в форме D2), видим непосредственно, что
,. d\V, 72 Г 'h . , *к(а., —а.)
df 2т: 2ai :>ш,.
I h = расстояние между двумя цепочками = а.2 — ау, а — —^ I,
V г I
что, с точностью до обозначений, совпадает с известной уже формулой
для системы из двух параллельных цепочек.
Другое, -приложение. Возьмем два вихря противоположных напра-
влений в Ai и j42 (см. рис. 26) и положим:
я, =« |0< а < — |, ^1 = 0,
яа
«.,
«4
d
— ; "»
= d — a,
d
a!
a!
Далее будем иметь
(Ь8- Ь,)
[«(ft, —e,) ...]— -_-[(я„—я,
2 f 7ll 2 ,21 | ,
r°a' ai 2<ui ui a' '4 "' I
/2 rr Г- /я r*"\ 1 4 I/*/y n ""l2 ('/i /t is I I
/2 [ Jg [s (я4 — a2) . . . j -- _-5i_ [(a4 — a2)« — (Л4 — ia)a] 1 —
I 1 ./

d\V dW
Видим далее, что - -г1 дает нуль в точке A i. Что касается -д—-, то
имеем:
tte,
то есть:
так как ?> (<»!) = 0, а р @) = сю.
Положим:
-~ — я = о, 2а = ш, — 2ot
и иримевим формулу
м. + 22) = г,. + С B8) -IO??l
будем иметь
'да, ~ 2* { v~ ; ' 2 РB8) — е3 ' 2 pBS) —^ m] J
и, следовательно, движение вихря .^ будет дано в виде
Р
± = о — = - П^) -Г~~-~] = '. B3) + С3 B3) _ I3i!f D3)
Л ' At 2 г *i
где --iBo) = ^B2) -f-
Отсюда непосредственно приходим к заключению, что конфигурация
альтернированных вихрей будет неограниченно сохраняться во времени,
находясь в поступательном равномерном движении параллельно Оу.
Заставляя неограниченно возрастать d или Ш], но таким обра-
зом, чтобы 3 оставалось конечным, приходим к результатам
относительно двух цепочек альтернированных вихрей Ленара-

Кармана. Действительно, в этом случае о>[ становится бесконечным;
должны быть применены формулы Tannery и Molk'a (CXX1I), именно:
ш == --==, 1 ¦\--f\ snilimw — ,
h0 очень мало, и в пределе имеем:
2н>.,
02*=-—8 sinli -¦—e'iiM' ,
г п
2<о3 [ fem3 " 2ra3J
4(в„'-
_-(-¦
" Rinb* —¦¦
Выражение Л запишется:
По мы имсои:
Следовательно:
Р= г B3 |- «>,) -| ; B4 + «,)
о.г/ =г= cosh---
2
2<о.,
~ 4 ^i =
D4)

При w = coj, стремящемся к бесконечности, имеем:
С другой стороны,
.. „ г-к . , vkv, .
lim C3w = -г— tgh — 1- -
2оK Ла>3
откуда окончательно:
hmP==—~ tgh —,
2ш3 ° <о3
и, следовательно, !—?¦ = —-, в этом предельном случае
db I , , 2ти8 I л , Tcfe
где fe есть расстояние между двумя альтернированными цепочками.
Это и есть формула, соответствующая вихрям Венара в случае
неограниченной жидкости. Изучение устойчивости системы альтер-
нированных вихрей приведено в прекрасном мемуаре К. Rosenhead'a
[The Karman Street of Vortices in a Channel of finite breath (Phil. Trans,
of the Royal Society of London, A 228, p. 275, juin 1929], к которому
мы и отсылаем читателя.
Вычисление сопротивления, испытываемого цилиндром, движу-
щимся в канале, когда позади получаются альтернированные вихри.
Используя выше полученные результаты, мы опять обратимся
к изучению задачи, решенной в главе V, но предполагая теперь, что
речь идет о цилиндре, движущемся в канале ширины <я1 и нереме-
щающемся со скоростью V. Предположим, что установился опреде-
ленный режим с образованием позади альтернированных вихрей, так
что на больших расстояниях позади конфигурация вихрей в точности
соответствует изученной. Навовем скорость перемещения вихрей через v0
и сохраним все обозначения предыдущего параграфа. Мы рассмотрим,
что дают для среднего сопротивления, испытываемого единицей длины
цилиндра, тот и другой методы, изложенные выше в случае неогра-
ниченной жидкости.
Первый метод. Согласно предшествующим результатам, комплексная
скорость здесь дается формулой
2

стенки имеют уравнения ж = 0 и х = в>1; это непосредственно даеет:
—=г (м — гЪ) = ? {я — <?) — ? (g ~\~ й) -}- С (# — я -{- а>2) —
— C(« + a + (o2)H —• B)
Для симметрии возьмем систему осей (Ух'у', у которой ось О'у" на-
ходится на равном расстоянии от обеих стенок Д и Д'. Положим даалее:
где 28 расстояние между двумя вихре-
выми цепочками; элементарный подсчет
приводит к формуле:
)--^-. C)
Л
Рнс. 26.
Прямое вычисление, или попросту интеграция этого уравнения поо г'
дает комплексный потенциал:
~Т Х == g a 6s' —8)
формула, в которой очевидно можно пренебречь постоянной интегри-
рования. Функция тока ty будет, следовательно, даваться соотношением:
(^ + 8) о, (У+ »)
—8)о„(У-8)
E)
Формулы XII из Traite des fonctions elliptiques Tannery и MoDk'a
позволят убедиться, что при всяком у' имеем:
(По поводу деталей этого вычисления и некоторых последующих отс ы-
лаем к нашему мемуару, помещенному в Aimales de FEcole Normale,
1929, p. 259.)
Положив это, применим теорему количеств движения по оси О"у'
в движении относительно осей О'х'у', связанных с вихрем нане-
котором расстоянии позади (и перемещающихся, следовательно, с по-

стоянной скоростью v0). Применим названную теорему к жидкости,
имеющей толщину 1 в направлении, нормальном к плоскости фигуры, и
содержащейся в прямоугольнике ABCD (рис. 27). Мы поместим АВ
в точности посредине вертикального расстояния между двумя последова-
тельными вихрями далеко позади, a CD поместим далеко впереди тела.
Наконец, интегрируем формулу между некоторым
D, —\С моментом т и т -f- Т, где Т представляет время,
необходимое, чтобы вихри каждой цепочки сме-
q'\ \с' стилисъ в точности на один ранг, т. е. продвипу-
2(о3
A'
лись на длину —^, имеем тогда:
2ш8 .
G)
в'
через время Т, в силу периодичности, допущенной
нами, конфигурация в целом примет точно тот же
вид, что и в начальный момент, с точностью до
поступательного перемещения.
Обозначая Wm среднее значение (в те-
чение периода Т) сопротивления, испытываемого
единицей длины цилиндра, и применяя рассужде-
ние, аналогичное изложенному в предыдущей
главе, приходим к формуле:
разность между количеством движения в ABCD
в моменты t i t-1-З1 плюс количество движения,
вышедшее за время Т
т+Г
= + У dt J
т внешн. Еонтур
Рис. 27.
Левая часть равна разности количеств дви-
жения, находящихся в прямоугольнике (который
считается неподвижным) ABCD в моменты времени т и х -j- T, увели-
ченной на количество движения, вышедшее из прямоугольника за
время Т.
То же рассуждение, что и в главе V, показывает, что разность ко-
личеств движения, находящихся в A BCD в два указанные момента,
равна:
?f f Шг
АВА'В'
СВС'В'
АВА'В' О
она равна, следовательно, нулю в силу соотношения F).

С другой стороны, количество движения (на О'г/), выходящее из
контура в единицу времени, напишется (a, [J относятся к внешней
нормали, a «,V— относительная скорость):
f р («'о + «г'Р) v'ds = р /* «' («'%'
Наконец, перманентность относительного движения на больших
расстояниях позволяет определить р из уравнения Вернулли, но это
будет приближение, значение которого не будет определенным a priori.
Допуская предварительно такой способ вычисления, видим, что подсчет,
уже проведенный нами в V главе, приводит к уравнению:
= -^ / («'a— i/*)dx'-{-2u'v'dy'.
1 a%cd
О)
Если же перейти к абсолютным скоростям и, v по формулам:
и' = и, v' = v — v0,
то немедленно получаем:
ABCV ABOD
Но на AD и ВС и равно нулю, to2 вещественно, и / toads' чисто
мнимый. Следовательно, можно пренебречь сторонами AD и ВС при
вычислении интеграла A0). Также можно пренебречь стороной CD,
так как вдали от тела впереди и и v равны нулю. Остается только
рассмотреть А В, и мы видим, что, таким образом,
А
Wm = -L<RJw4x',, A1)
в
где w дано выражениями B) и C), так как на АВ мы находимся
вдали от тела, позади.
Правая часть C), очевидно, периодическая функция с периодом 2ш8;
(On
она 'допускает интегрирование по одной из двух прямых у = rir—4-;
таким образом, окончательно получим:
2
= P~fR f S4x',
A2)
где

Все теперь сведено к вычислению эллиптической функции, что и произ-
водится классическими способами. Чтобы не вносить лишних осложне-
ний, будем оперировать с переменной s' — x' -j—?- и разложим S2
на простые элементы. Полюсы этой функции (двойные) в основном прямо-
угольнике с вершинами в точках: —Шц toj, в>1 -(- 2ш3, —tn1 -(- 2ш3, будут
иметь аффиксы гг =— 8, 8—«у — 8 — «2I S —J— <»а; обозначив через h
приращение, если исходить из какого-нибудь полюса, находим без труда,
л 1
что член второго порядка в четырех случаях будет -р- и что вычеты
равны соответственно 2Р, — 2Р, -(-2^' — 2Р> гДе полагаем:
P = ^B8)-fC8B2)-^ = ^. A4)
Можем, следовательно, написать:
(g' — Ь — ш3) + 2Р {С (/ + 8) — С (г' — 8 -f «i) +
A5)
где Q означает постоянную, значение которой находим, давая zx зна-
чение нуль; эта подстановка дает непосредственно:
. A6)
Но классическая формула (Tannery и Molk. XI, 3)
а B8) = 2а8 • OjS • оа8 • os8
дает после диферепцирования
2С BS) == С8 -j- ^8 -j- C28 -j- Е138
и
#> B8) = fb + p (8 -f »i) + P (8 + »j) + f (8 -{- ю,).
Уравнение A6) нам, следовательно, дает:
-S?B8)-P[!;B8)~'ri1]J. A7)
Нам надо вычислить интеграл
2 2 ~*~ 2
i= J 84af= f S*(/)dif. A8)
u>i

S(s) есть функция от г/, определенная формулой A5), а Г и Q
имеют виачепия A4) и A7). Неопределенный интеграл будет очевидно
суммой трех следующих фуивции:
«а)-?(*' —* —«я).
и, еледовательдо, отмечая значком 1 определенные интегралы в ире-
(Оо О), <0о4-Ш,
делах от 3 ' до 3 'д ' ,
Положив ' "У 8 4- 5 = X
<В( (О, . Л
находим сейчас же
~" uj — -л —р ujx - ^-- ^^л'— *]!^'"~~ — ^i|,
и так как X и |* сопряженные мнимые числа, то следует, что
Преобразуем теперь |51; введя числа X и % имеем:
,, а/. а. Л
Частные --, -±- имеют модуль единицу, так как к и ;«. сопряжеп-
пые. Следовательно, вещественная часть J5t дается формулой
{- н. — 2«,) -ч, = 4i\ B8 — «,).
Наконец имеем, очевидно:
Сумма rtf (а, -)- ,^, -|~7i) тогда известна и, следовательно, Wm будет
дано уравнением A2) в виде:

Можно показать (см. наш мемуар в Annales de l'Ecole Normale, 1929),
что если заставить расти неограниченно полупериод ш так, чтобы
перейти от рассмотрения канала к рассмотрению неограниченной
жидкости, то предшествующее выражение стремится к
— tgh-p-l),
где h предельная ширина 2S и I предельное значение —Д-; видим,
г
что это не есть выражение, полученное нами раньше прямым
путем: отсутствует член . ¦. Однако можно показать, что наша
теперешняя функция тока ф стремится при бесконечном <Oj к функ-
ции <]>,, которая соответствует случаю бесконечной жидкости. Эта
разница объясняется тем, как нами было установлено [свойство F)],
что разность
(*.»-)-¦(-*•')
тождественно равна нулю, тогда как в случае бесконечной жидкости
разность
Ы + 00» у')—"М—°°> у')
равна —J- • Мы увидим несколько дальше, что эта аномалия проис-
ходит от того, что примененный нами метод перестает для дан-
ного случая ограниченной жидкости давать достаточное приближение,
имевшее место в случае неограниченной жидкости. Результаты следую-
щего параграфа принадлежат L. Rosenhead'y, который в цитирован-
ном выше мемуаре получил их существенно отличным методом.
Результаты L. Rosenhead'a. Применим теперь к тому же вопросу
метод I. L. Synge'a, изложенный в главе V. Пусть опять V — скорость
тела и V1 — скорость перемещения вихрей (далеко позади тела, где
их расположение сделалось достаточно правильным).
Относительно осей, связанных с телом (которое мы теперь
предположим неподвижным, предполагая жидкость впереди на больших
расстояниях движущейся со скоростью — V), скорость вихрей будет
равна Fj — F; составляющие скорости жидкости будут: О, — V на
больших расстояниях впереди; —J-, ~^ V на больших расстоя-
оу ох
ниях позади. Заметим в виде проверки, что при этих условиях по-
ступление (расход) будет одинаковым впереди обтекаемого тела
и позади, в силу свойства F) функции ty(#, у). Период движения Т
будет дан формулой
T{V— F,)=-^-, A9)

<|i будет дано соотношением:
2ic , _ .
относительно осей, указанных на чертеже. Следуя в точности рас-
суждению I. L. Synge'a и применяя его здесь к контуру Tf = ABCD
чертежа, где АВ и CD взяты очень далеко с одной и с другой
стороны тела, получим, что среднее сопротивле-
ние будет дано в виде:
м>2 dZ;
так как доказательство Synge'a велось с потен-
циалом <в— при движении относительно
тела, то имеем здесь:
ds
[<p]jf
что дает, между прочим, [ср]0
и Ym будет определено в виде
т
Рис. 28.
w4z. B0)
г р г г
[<р]0 dx-\~~ ffi 1 at I
* J J
AB+CD 0 y
Вычислим оба члена в правой части этого равенства. Ясно, что дер-
вый член сводится к
АВ
Но здесь путь интегрирования АВ конечен и <р на АВ отличается
лишь бесконечно мало от того значения, которое получалось бы от
наличия двух неопределенно простирающихся в обоих направлениях
вихревых цепочек внутри канала. Но рассмотрение двух цепочек
внутри канала равносильно рассмотрению бесчисленного множества
параллельных цепочек, полученных уже известным нам путем после-
довательных отображений относительно стенок канала. Так как для
единственного вихря 1п в зп величина ср равна

то цепочка интенсивности I (например, левая цепочка в канале), вне-
сет в выражение [о]^ величину
и совершенно понятно, на основании проведенных выше рассуждений,
что последняя будет равна:
где s = ± 1 в зависимости от того, будет ли точка в находиться
справа или слева от рассматриваемой цепочки. Для правой цепочки
в канале, соответствующей вихрю интенсивности — Iit соответственно
величина, вносимая в [<p]J будет — (ея) в зависимости опять
от местонахождения z относительно этой цепочки.
Легко приходим к заключению, что попарно цепочки, находящиеся
справа и слева, дадут нуль для точки z, находящейся на ЛВ,
и остается рассмотреть только то, что происходит от тех двух цепо-
чек, которые находятся внутри канала; последние дают нуль вне
полосы, образуемой двумя цепочками, и/ — внутри полосы. В резуль-
тате имеем:
Р / [?]о dx = pl • 28. B1)
АВ
Остается вычислить
fivHs.
т
Но на ВС и DA w чисто мнимое, так же как и ds, a to'1 веще-
ственно. Следовательно:
М f w*ds=0,
BC + DA
и мы сможем отбросить это выражение. На CD имеем u> = iV и
f j (— VZ)dx = WlV*.
CD _ u>i
г

На А В имеем:
Г и>Чз —
АВ u),
2
/
Но член 2«F[<p] Д чисто мнимый, а [<{>] ^ равно нулю, как это
F г"
нами указывалось выше (уравнение 6). Следовательно, остается:
причем Wm совпадает с выражением, полученным первым методом.
Внося результаты B1) и B2) в формулу B0), получаем оконча-
тельно:
о„тя
— W..
т
Если теперь мы предположим, что ширина канала 2")j становится бес-
конечной, тогда как расстояние между цепочками 28 = fo остается
2Р18 alh
конечным, то, как видим, —^— принимает вид „ , что и является
первым членом в формуле Кармана. С другой стороны, мы видим, что
второй член — Wm стремится ко второму члену формулы Кармана.
Следовательно, в пределе между двумя формулами будет иметься
полное соответствие.
Очевидно, что первый из изложенных методов дает приближение,
степень которого нельзя оценить наперед. Поэтому предпочтительнее
результат второго метода, который мы будем считать более правильным.
Мы однако изложили оба способа, из которых первый приобретает закон-
ность благодаря второму, в случае неограниченной жидкости, но ока-
зывается, напротив, необоснованным в случае канала конечной ширины.
Заметим, что в вычислении стр. 138, касающемся интеграла от [cp]J
вдоль АВ, очень легко заменить части интеграла, относящиеся к фик-
тивным вихревым цепочкам, полученным посредством отображения вне
канала, — аналогичными интегралами, построенными при помощи вихрей

внутри канала, но с заменой пути интегрирования АВ другим, выве-
денным из АВ путем такого же рода отображения. В этом легко убе-
диться при помощи элементарного чертежа. Таким образом, все сводится
е рассмотрению двух вихревых цепочек внутри канала, ведя интегра-
цию не по АВ, но по неограниченной горизонтальной прямой, на
которой лежит этот отрезок. Мы приходим тогда к вычислениям стр. 91
и следующих, результат которых (полученный посредством цепочек,
неограниченно идущих в одном направлении) полностью узаконяет
приближение, сделанное на стр. 137 (строка 8 снизу).

ГЛАВА VII
ПРОБЛЕМЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ВИХРЯМ В ДВУХ ИЗМЕРЕ-
НИЯХ, И КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Общие понятия. Пусть г = х -\- %у плоскость, в которой происходит
движение; предположим, что при этом движении имеются точечноизо-
дированные вихри. Произведем конформное отображение данной фигуры
в новую плоскость Z=X-\-iY, положив:
s = A(Z) [или обратно Z=B(s)]. A)
Пусть <р и ф потенциал и функция тока в плоскости г, ф определено
лишь вне вихревых точек. Известно, что
Следовательно, в силу A) имеем:
9 (х, у) + «[, (х, y) = f[A (Z)\ = Ф (X, Г) + <ЧГ (X, У).
Движение, которое в плоскости Z соответствует рассматриваемому дви-
жению в плоскости s, будет обладать потенциалом Ф и функцией тока ЧГ,
которые равны <р и <|> в соответствующих точках. Отсюда следует, что
вихревым точкам одной плоскости соответствуют вихревые точки другой
и что интенсивности вихрей сохраняются при преобразовании. В самом
деле, циркуляция вдоль малого контура, заключающего вихрь,
например, в плоскости г, будет, как известно, равна интегралу / dy,
взятому вдоль контура, в положительном направлении. Ее значение,
равное также интенсивности вихря, будет то же вдоль преобразован-
ного контура в плоскости Z, так как значения <э по определению оди-
наковы на обоих контурах.
В этом смысле можно сказать, что конформное отображение сохра-
няет вихри. Но, естественно, что скорости перемещения вихрей не
сохраняются. Мы сейчас увидим, как можно сравнивать скорости пере-
мещения в обоих движениях.
Известно, что в плоскости г скорость в некоторой точке а (отлич-
ной от вихревого центра) дается в виде:
as as

Если же взять вихревой центр гх интенсивности I, то достаточна
в -=— отбросить член — , относящийся к данному вихрю, та
что скорость («1, v{) точки st будет дана в виде:
I 1
и, — iv< = lim —г- •
I ПС*
Во второй плоскости будем иметь аналогичные результаты, так что
можно написать для скорости Uv Vt точки Zv замечая, что функция f
одинакова в обеих формулах, но выражена в различных пере-
менных:
или иначе можно написать:
B)
Надо заметить, что в правых частях ни в коем случае нельзя
переставлять знаки предела и диференцирования, так как может слу-
читься, что пределы функций внутри ско-
бок не будут более аналитическими функ-
I циями з1 или Zv
(*Z4 Возьмем, например, случай вихревого
центра интенсивности I, движущегося
в верхней г — полуплоскости, ограничен-
ной твердой стенкой вдоль бесконечной
-/ оси Ох. Известно, что дело сведется к тому
(*Zf же, если уничтожить стенку, прибавляя
к первому вихрю I другой, симметричный
"ие' 29" первому относительно Ох и противополож-
ного знака. Предполагаем жидкость п о -
коящейся на бесконечности; комплексный потенциал тогда
будет дан уравнением
f— —!- У s Sl
'~ 2№ ё з з"
где 0,' число, сопряженное с г, (= х1 -\- iy^). Имеем, следовательно,

выражение, предел которого, очевидно, равен:
и не представляет аналитической функции от sv
Но в данном случае мы имеем:
и скорость перемещения будет дана, согласно B), после перехода
к пределу в виде:
и, — iv. = ; C)
1 ' 4тсг/ v
следовательно, имеем и1 = — , vx = 0 (результат впрочем уже из-
вестный). Замечаем, что эту скорость можно рассматривать как проис-
ходящую от функции тока у.(х1г г/2); полагая
( ) 1S D)
в самом деле, имеем:
дух дх1
и возможными траекториями вихря будут линии
1= const,
то есть у1 = const.
Замечаем также, что эта частная функция тока является полови-
ной мнимой части предельной функции от
полученной раньше. Утот результат относится к общей теореме, кото-
рая будет изложена далее.
Вернемся теперь к уравнениям B) общего случая. Ясно, что можем
написать:
8 0,
или еще:
i J и^ d л„ z~si
z:

Но мы имеем:
ds
и, затем,
,. d , s — s,
ж, следовательно, окончательно:
Из двух членов, стоящих в правой части (б), ясно, что второй член
является аналитической функцией Zv но это не будет иметь место
вообще и для первой функции, так как, очевидно, может случиться, что
м,—iwj не будет аналитической функцией sv Но выше приведенный
пример (где Z = z) убеждает нас, что даже в этом случае может слу-
читься, что вещественная часть и мнимая с измененным знаком от
выражения («, — щ) (-=^ 1 получаются диференцированием функции
тока у. (Xj, Fj). Так как в последнем члене формулы E) коэфициент
d 1 . \ de
при г под знаком -т^- есть —lg \-jy , то отсюда заключаем, что
скорость ?/,, Ft получается диференцированием функции тока
по формулам
F)
-ЭУ,'"- 9Х/
Пример. Пусть мы изучаем движение вихревого центра внутри
угла, ограниченного двумя полупрямыми, составляющими угол —, и
занятого жидкостью, покоящейся на бесконечности. Конформное пре-
образование рассматриваемой области в плоскости Z на верхнюю полу-
плоскость Z очевидно совершается фупкцией
и в плоскости с функцией f будет хорошо известпая функция
1 k- 3~zi ..

отсюда заключаем, что
4кг/, '
имеем
dZ
так что применяя формулу (б), опуская индекс и переходя, кроме того-
к полярным координатам (/?=ре;ш), находим для части U', V в вы-
/А
Рис. 30.
Рис. 31.
ражении скорости U, V вихря, получающейся от первого члена, сле-
дующее :
4it psin»<o
Чрезвычайно просто установить, что определенные таким образом
U', V' получаются диференцированием функции тока у (X, Y). В са-
мом деле, эта функция дается равенством:
., „ __ In (sin n ш dp -\- p cos п (о du>)
4тср sin п ш
откуда
In , , I . .
Но
|-ж|-•»•-'.
так что формула F) дает сейчас же функцию тока для движения вихря
в виде:
/. = у —¦— )g (п р" ~') = —— lg (p sin v ш) -{- const.
('оставляющие скорости V, V отсюда легко выводятся, и траекторией
вихря будет служить кривая, заданная уравнением
р sin п со = const.

Рассмотрим теперь движение единственного вихря а1 в верхней
г — полуплоскости, предполагая опять жидкость покоящейся на беско-
нечности, и приведем в соответствие птой полуплоскости односвязную
область Д с помощью формулы
з = A (Z).
Как и выше, будем иметь:
' — 9-i'tt ь " ? ' • ' ''
и скорость вижря Si сможет быть выражена на основании формул B)
в ви,ае:
dZ 2гтт
О х
Рис. 82.
что можно переписать иначе:
Рис. 33.
I
2ir.
(8)
Рассмотрим просто функцию, стоящую внутри последних квадратных
скобок; отбрасывая несущественную постоянную, мы видим, что она
стремится к
так что мнимая часть этого выражения •&* -j- г^* будет
Естественно, как мы уже заметили, у*-\-Щ* не является уже анали-
тической функцией Zx и, следовательно, скорость вихря (Uv Fs) не
будет уже получаться из функции ty*, рассматриваемой как функция
тока.
Но мы здесь отметим очень интересную теорему.
Теорема. Скорость «*, г*, выведенная из i* примене-
нием обычных формул
л,Ч« 2—- '
(ЛЬ*
(П)

равна удвоенной скорости Uv Vx рассматриваемого
вихря.
В самом деле, прежде всего скорость (Г7",, Fj) получается из фор-
мулы (8), трактуемой, как это делалось выше, для аналогичного урав-
нения ; получаем, таким образом:
_
~2 az
: -
ds I 2%yi \dZjx
I 1
так как
П — _ IfP I V - - 9 \
dZ
1 ld*\
iy\dZ)x-
4
iiy
Вычислим теперь ?/¦* — и;* тгосредством формул A1). Прежде всего
/ , ds
в <{)* имеется часть, происходящая от члена —г- Ig -577 > который
фигурирует в функции (9), зтот член будет аналитической функцией от
Z, и, следовательно, в выражение и* — iv* он вносит член, равный
остается теперь рассмотреть, что произойдет от члена —- \%у^ в </
Этот член внесет в и* и е* выражения:
а в ?/.* — iv*:
Но в силу аналитичности xi~\-iyl, как функции от Z, имеем:
Эг/j to,
и, следовательно,
It д. ,¦ а1к — 8 (^i + г'.'Л) _ / Jf \
аг;"*"*"^- ах, V 9^"Л'
Следовательно, в г«* — «¦* вносится член:

и мы имеем окончательно:
и значит, имеем:
«* — г>* = 2(Г/1— i
что и требовалось доказать.
Что касается вещественной части <р* функции (9), то oua имеет
только отдаленное отношение к скорости вихря.
Можно также выразить полученный результат, сказав, что скорость
вихря получается из функции тока
Пример. Если мы возьмем снова уже рассмотренный случай вихря,
тс
находящегося внутри угла величиною — , то имеем:
у = р п sin n о),
dZ r
и функция — if* становится (с точностью до постоянной)
1 .., 1
Траектория вихря будет, следовательно, иметь уравнение
р sin па> = const.
Это и есть результат, уже найденный выше.
Другой пример. Движущийся вихрь внутри полосы, ограниченной
двумя параллельными прямыми; жидкость покоится на бесконечности.
Пусть толщина полосы будет q; конформное отображение этой по-
лосы на полуплоскость (г) совершается уравнением
S = С
Далее
и if* получается ич уравнения A2).

Получаем
у = е а sin
~dZ
— „ 0 a ,
Рис. 34. Гис. 35.
так что с точностью до постоянной имеем:
2 4т: а
Скорость вихря, следовательно, параллельна границам и равна
I . те Г,
4а а
это то, что уже нами было найдено, но совершенно иным цутем.
-/
Рис. 37.
„, . . а ¦ Z
I акже преобразование <? = ?, :—- , переводящее верхнюю полу-
Oi —р />
плоскость а в круг | Z К а, дает нам без труда:
что дяет для скорости вихря, помещенного^в г:
U - I Yi v Т Хх
1 'Н aP—Xf—Yf !~ 2* a* — X*—Y* '
ре.чультат, вполне совпадающий с уже нам известный.
Рассмотрим теперь более сложный пример поступательного пере-
мещения кругового цилиндра со скоростью V параллельно ОХ, сопро-

вождаемого образованием позади двух вихрей, симметрично располо-
женных относительно ОХ и имеющих противоположные интенсивности.
Мы можем предположить цилиндр неподвижным, считая жидкость на
бесконечности движущейся со скоростью, противоположной V. Далее
мы поставим в соответствие верхней половине фигуры в плоскости Z
верхнюю полуплоскость з путем классического преобразования (см.,
например, наши Legons suiTHydrodynamique (Chap. VJ, p. 61, 1929,
Gauthier-Villai's, edit.)
Полуокружности радиуса 1 будет соответствовать прямолинейный от-
резок — 1, -\- 1 в плоскости з. Приняв во внимание поступательное
движение на бесконечности, натгошем комплексный потенциал в плос-
кости з в виде:
где в последнем члене поставлен коэфициент 2 V, чтобы получить
скорость V в плоскости Z.
Отсюда следует, что скорость вихря Zx нолучится в виде двух
слагаемых:
1°) скорости, выведенной из функции тока
2°) окорости, полученной ив комплексного потенциал
Эти два слагаемые происходят соответственно от двух членов правой
части A4).
Далее, находим:
У X
из
. dZ
Две скорости, написанные выше, будут, следовательно, получаться от
двух функции тока
|. О5)
-v(y y "

откуда скорость перемещения вихря:
1 дХ. дХ j
(Мы не будем переписывать индекс 1 в правых частях.)
Найдем, какие условия должны иметь место, чтобы изучаемая кон-
фигурация была перманентна относительно цилиндра; для этого необ-
ходимо и достаточно, чтобы Ui и F, обращались в нуль, что дает нужные
условия. Так как ^i и ty2 содержат соответственно I или V множите-
лями, то одно из двух рассматриваемых уравнений, например F, = О,
определит отношение -=-, и мы получим условие, независимое от / и V,
путем исключения этого отношения из двух уравнений \]г = Fx = О,
т. е. написав
ЭХ _ ЭУ
дХ dY
Это последнее уравнение, содержащее только X и У, даст нам
геометрическое место точек, где может быть помещен
вихрь Zv если поставить требование, чтобы конфигурация была пер-
манентной. Вычисление ведется легко в полярных координатах, если за-
метить, чю уравнение A7) выражает, что две кривых ^ — const и
Ф2 = const, проходящие через рассматриваемую точку, касаются в этой
точке. !
Нужно, следовательно, только выразить условие касания кривых
—1J0— cos2<b), )
(где а а Ь постоянные), в их общих точках. Для этого достаточно
написать, что в такой точке значения —=- , взятые из обоих уравне-
йр
ний A8), равны. Элементарное же вычисление дает:
. Л da, р(р2 — 1)[а2(р2 — 1KН-2(
— sin 2 со = -!—^ . — — . - !
dp [а2р2 (Рз — IJ — 2р2]
1 Так как то же условие выражает, что функциональный определитель
¦Wi.'W -О(Ф>,Ф2) „
Ь{Х~Т) Равен НУЛЮ> то оно эквивалентно также уравнению -nV t — 0, что,
после эаписи ^i и ф3 в полярных координатах, проводит нас непосредственно
к уравнению B0).

dm
и приравнивая оба значения —=—, имеем:
Остается только исключить а2 и 6 из A8) и A9); имеем непосред-
ственно, используя A8):
—l)8-|-YP4sm2<o
'' ' "ч ' *' 2paSin2(o
Внося эти зиачения, а также
sin <я (р2 — 1)
Р
в A9), имеем после приведений
(р2—1J = 4 р^Ш^Ш,
что можно написать в виде:
±2У=р--1.
Нужно использовать только ту часть этой кривой, для которой Y > 0, и
р > 1, так как рассматриваемый вихрь находится в верхней полуплос-
кости и вне цилиндра; следовательно, при сохранении только одного
надлежащего зпака, имеем кривую
2У = р -. B0)
Эта кривая симметрична относительно оси OY. Она отходит справа
от прямой OY из точки Х = 1, Y = 0, имея касательную, наклонен-
ную к оси ОХ под углом 45°; ветвь, изображенная на рис. 36, имеет
асимптоту, проходящую через О, составляющую угол 30° с ОХ.
На этой кривой, или на симметричной с пей, надо поместить Zv
чтобы получить перманентное движение.
Небезынтересно отметить одни метод, принадлежащий Caldonazzo
(Atti dei Lincei, mars-avril 1919, 5-e Serie, vol. XXVIII, p. 191, 301),
который удачным преобразованием изложенного метода легко получил
соответствующие результаты и в то же время выяснил вопрое об
устойчивости рассматриваемых вихрей. Большой интерес имеют также
статьи L. Foppl, Wirbelbewegung hinter einem Kreiszylinder (Sitzungs
bericMe der kon. Bayerischen Akad. der AViss. 1913, Mtinchen) и La-
gally, Ueber die Bewegung einzelner AVirbel in einer stromenden Fltis-
sigkeit (id. 1915).
He имеет большого значения, идет ли речь о цилиндре вращения
или о цилиндре какого угодно сечения, лишь бы только была сим-

метрия относительно ОХ в плоскости Z и чтобы можно было ограни-
читься рассмотрением лишь половины картины движения со стороны
положительных значений Y; достаточно суметь конформно отобразить
эту область на верхнюю в — полуплоскость с помощью соотношения
z = A(Z). B1)
Мы видели, что можно получить движения вихря Zv накладывая скорости,
происходящие из двух функций тока i/x и ^2, определенных уравне-
ниями, аналогичными A5). ^ будет представлять функцию-—^*, дан-
ную равенством A2). Что касается ^2, то это будет функция тока,
У
(у)
о ft --/ 6 / о
Рис. 38. Рис. 39. Рис. 40.
полученная из конформного отображения области жидкости (выше оси ОХ)
на полуплоскость. Вообразим теперь вспомогательное фиктив-
ное движение без вихрей, занимающее ту же область плос-
кости Z. Назовем «РаЧ"8'^ комплексный потенциал в этом фиктивном
движении и выберем <j*a так, чтобы эта функция тока обращалась
в нуль на границе плоскости XOY.
Положим:
Приравнивая тогда
b = U B3)
иолучим через B1) конформное отображение области (А) плоскости Z
на верхнюю з— полуплоскость. При этих условиях наша функция ^2
совпадает с функцией того же названия из B2).
(Ясно, что всегда можно видоизменить /"а введением постоянного
множителя, так чтобы скорость фиктивного движения на бесконеч-
ности равнялась любому выражению, но здесь совершенно бесполезно
выяснять это условие в общем случае; при этих условиях скорость
на бесконечности не будет входить в число данных величин в задаче,
а будет определена в конце подсчета a posteriori.)
Назовем через F2 скорость проекций (м2, v%) в фиктивном движе-
нии ; тогда
йп dz
и функция '}, определенная A2), будет иметь выражение, которое
можно написать в виде:

Скорость вихря, по крайней мере часть скорости, происходящая от
функции <Sjit будет тогда
0 ~~ дУ ' У ~ дХ'
т. е.
4* \ «fe
откуда получаем:
Но, как хорошо известно:
где 'Jj означает угол между направлением скорости F2 и осью О Л';
так что
d}guj* _ 9(Ig Pr2) -_^a _ _ ЭД2 _ -_^)_2
dZ ~ дХ * ЭХ-"¦ ЭУ *9X'
и BС) запишется:
^rjfi^ A] B7)
Эту формулу можно выразить словами, сказав, что скорость ((/', V')
является результирующей двух скоростей:
4т: дХ ' 4ic 3Y ¦
Вычислим теперь составляющие обеих скоростей B8) и BУ) по двум
направлениям, касательному и нормальному к кривой фиктивного тока
(^2= const), проведенной через данную точку. Вектор B8) имеет со-
ставляющими
и О
Вектор B9) дает составляющие
из которых последняя равна также
4 т: dsn

еыш считать, что иаправлеяие dn2 получается из ds2 поворотом !.% в поло-
жительном направлении на прямой угол. Чтобы иметь полную ско-
рость вихревых центров, достаточно прибавить к двум написанным
выше векторам (происходящим, если вспомним, от функции тока ^)
скорость, полученную по функции ^2; эта последняя и есть F2, на-
правленная по касательной к фиктивной траектории.
Б целом, мы найдзм, следовательно, для истинной скорости вихря
тг . IV. 1
но касательной: F2 + -r~r :
л 4тс<1;2 4тг
но нормали:
4тс
C0)
Те положения, в которые необходимо поместить вихрь 1, чтобы он
оставался в равновесии относительно данного твердого тела, будут
охарактеризованы парой следующих уравнений:
Второе иа лш соотношений определяет в плоскости линию L,
которая является местом возможных положений, разумеется, i области А.
Первое уравнение дает тогда значение I, которое надо взять в какой-
нибудь точке этой кривой. Если в соседстве с рассматриваемой точ-
кой М,, на траектории вихря, проходящего через М, скорость стре-
мится вернуть вихрь в М, мы скажем, что рассматриваемое положение
устойчиво, в противном случае оно будет неустойчивы!. Так как
в рассматриваемой точке Ж траектория вихря касательна к линии
% = const, там проходящей, то для устойчивости необходимо, чтобы
производная по s.2 от составляющей C0) по касательной была отри-
цательна. Траекторией вихря будет линия
'W "На = const;
имеем на атой линии, согласно B5):
^-lg^--f^ = const,
т. е.
,4- ,
- е — — , \di)
где а определенное число.

Таким образом, составляющая C0) по касательной может быть написана
Если диференцировать по s2, то перемещение происходит по каса-
тельной к линии <^2 = const, так что -у* = 0; на основании C2) имеем
также -=-- =0 [это следует и из второго уравнения C1)], так что усло-
2
вие устойчивости можно записать:
Иримеиим все это к круговому цилиндру. Тогда мы будем иметь:
(что сводится к допущепию, что скорость на бесконечности равна
единице); далее:
11а IVa I
положив sv — {jciu>, легко находим:
9 lg F2 2 f/ cos 3 ш — 2 p cos m
"IX"==~p8— 2 p4cos 2 o)-[-p2 '
9 Ig F2 2 p3 sin Зш — 2 p sin Ш
Кроме того, имеем:
9|2 cos 2
1
sin 2
Можно вычислить s2 в направлении скорости V.2, уравнение
э|8у'а=0
аквивалентно уравнению
dx 1 2 dY

или еще:
-— f.2 cos 3 (о -J- 2 cos to r- cos (u = 0.
В силу формулы
COS 3 ш = 4 COSS (О — 3 COS (a,
последнее запишется в виде:
1
Р2
или
._-¦' /
1'/'"--
' Г
Весьма легко проверить, что это именно та кривая, которая дается
уравнением B0).
Неравенство C4) указывает природу устойчивости.
О задаче Д. Рябушинского. С рассмотрением предыдущего пара-
графа можно связать одну важную задачу, изученную Рябугаинским
(These. Paris, Gauthier-Vil-
lars, 1922, p. 32) и в его У
ааметке в Comptes rendus N
(t. 174,1922, p. 1226). Пред-
полагаем поток жидкости /'
параллельным ОХ и ветре- - ~~
чающим два прямолиней-
ных отрезка (сечения плос- --'
костью X0Y двух одинако- q Г^~
вых тонких пластинок); эти v
два отрезка расположены, __
как указывает рисунок, один ""^ ^
позади другого и ортого-
нально к потоку. Мы будем
предполагать, что в про-
исходящем движении уста-
навливаются два вихревых
центра в I я I', в точках,
симметричных птносительно ОХ и расположенных на OY, так что линии
тока в этом движении дадут конфигурацию, указанную на чертеже
пунктиром:; кривые симметричны относительно OY; по только скорости
в соответствующих точках отложены но симметричным прямым, но
в противоположных направлениях.
Ясно, что достаточно заняться верхней частью плоскости XOY, и
очевидно можно искать решение задачи по методам, изложенным нами
ранее. Можно, в самом деле, совершить конформное преобразование
полуплоскости, ограниченной линией GFEDOGBAH, на полуплос-
кость g, ограниченную Ох, н мы придем к известной задаче. Но
Рис. 41.

мы в яесколышх словах покажем, что такой путь требует при-
менения редко встречающихся формул теории аллиптических функ-
ций и затем дает уравнения, с которыми трудно обращаться, так что
мы придем к необходимости иначе подойти к вопросу. Заметим, что
Рябушинскип решил задачу методом, весьма отличным от проводимого
здесь. По формуле Шварца (см. например наши Lecons sur 1'IIydro-
с Ъ
О ННи)
Рис. 42.
dynamique, p. 42) связь между полуплоскостями Z ж s осуществляется
соотношением вида
dZ — L— — — ds (L — вещ. пост.). A)
у (\ s2) (] &%2)
Замечая прежде всего, что точки (а, Ь, с) и (f, e, d) могут быть
взяты на Ох попарно симметричными относительно О, и затем, что
можно для абсциссы с взять значение 1; значение а тогда обозначим
черев -у- , считая 7с > 1, и тогда
ъИ_ Кп. ^ будем иметь:
(hi
/А]
Июскоеть Z IWT k '
"л '-¦¦ ''"J* Если мы положим тогда
Рис. 43. s — sil X, C)
где sn функция Якоби, соответствующая модулю к, то уравнение A)
запишется:
Принимая обозначения по Traite des functions elliptiques Tannerr и
Molk'a, мы далее получим (формула CXV, 4):
— La»\. D)
Постоянная интегрирования равна нулю, так как ZQ,) ~ ^Ач °^Ра"
щается в нуль при X = 0 (формула. LXXIX), и наша полуплоскость г-
отображена в плоскости переменной /. на прямоугольник со сторо-
нами 2Л" и К\ как указывает рис. 43.

Для дальнейшего будет более удобным перейти к обозначениям
Вейерттрасса, что легко сделатьнри номощи соотношения (LXXVIT1, 4)
Т|Д i лг в'(X) ть
А в(л) Л
Диференцируя по X, полагая Х = о и замечал, что '/ обращается
в нуль вместе со своим аргументом, находим:
имеем также (LX)
следовательно, D) можно написать в виде:
Теперь постоянная а, соответствующая точке В, должна быть выбрана
так, чтобы формула E) обеспечивала совпадение точек А и С
в плоскости Z, то есть нужно, чтобы /^принимала одинаковые значения для
\ = К и для X = К-j-iK', или, иначе (согласно формулам LXX1,
1, 2), для
X X
=0), и = а,, -{- с>з = — «а-
Это дает условие:
откуда
2 __
°>3(е2— «в)'
е2 e3Lm3 \ye, — e8/J
Совокупность уравнений C) и F) определяет искомое соотношение
между s и Z. После всего этого остается рассмотреть в плоскости
s уже известное движение, определяемое через

и отыскать в плоскости Z скорость перемещения вихря /?,, соответ-
етвукнцего е1г рассматривая его как результирующую двух векторов,
выведенных соответственно иа функции тока
<h=-
и функции тока ^2 = ту. Следует кроме того написать, что скорость
остается конечной в В, т. е., что -=-- обращается в нуль при г = а,,
как легко убедиться. Но совершенно ясно, что вычисления будут
очень трудными и что не
INJ <Ь так просто написать усло-
вие (необходимое и доста-
точное для существования
самой рассматриваемой кон-
(Q) IF) (E) (м) фигурации), чтобы скорость
"Щ^ <р перемещения вихря равня-
' дась нулю. Однако, такой
путь имеет то преимуще-
ство, что он останется
.„ _i в силе, если даже поме-
Г° I стить вихри I и Г не на
оси Оу.
Мы приступим к этому
вопросу несколько иным
fjj\ (j) способом, что позволит сде-
лать наши рассуждения
Рис. U. более простыми.' Мы не
будем рассматривать всю
область жидкости, движущейся выше ил, а остановимся только на ее
половине, беря во внимание лишь то, что происходит в квадранте
X'OY (откуда все остальное выведется по симметрии,).
Назовем /"=?-|-*<1> комплексный потенциал в изучаемом движении;
мы можем предположить ^ = 0 вдоль линии тока GFEMBA Н и <р = О
в точке М, f существует во всей рассматриваемой области, кроме
точки I, вихревого центра. Скорость частицы будет, как и всегда
и — iv = ~^=e lB = e ffl+\ G)
положив 2 = 6-)- и, так что 9 есть угол между скоростью и осью ОХ.
Жидкой области GFEDOIMN, расположенной в квадранте X'OY,
(рис. 41), будет соответствовать в плоскости f область, предста-
вленная на рис. 44, где в скобках указаны точки, соответствующие
отмеченным точкам плоскости Z; выше точки Г, полупрямая ГУ пере-
1 См. Henri Villat, Comptes rendua de l'Academie des Sciences, 188,1929,
p. 597.

еекает ортогонально (в силу симметрии) все встречаемые ею линии
тока, так что имеем <р = 0 вдоль всей этой линии; ниже /, так как
мы сделали полуоборот в направлении, противоположном току вокруг
вихревого центра, значение >а будет постоянным и равным — в^ т. е.
цоловине I — интенсивности вихря. Образованная таким образом
полигональная область отображается конформно при помощи формулы
Шварца на полуплоскость / (рис. 45), и мы получаем:
/-4- а2
df= il ~—-L dt, (8)
Vi С-Ю
где L вещественная и положительная постоянная и где —аг и р«
представляют абсциссы точек, соответствующих Е и /.
(G) (F) (E) (D) ПласкостъЬ {3) fMj
Л о
/ \ " CC 2
т
у
0
Полагая
ч
/ =
* тс'
'2
получаем
п
Рис. 45.
отсюда:
О
i_i
постоянная интегрирования вычислена так, чтобы точка /'=0 соот-
ветствовала точке М плоскости /?, т. е. точке, где \ — '\Гт.
(Значение логарифма выбирается вещественное для X веществен-
ного и большего р.) Ив формулы (9) заключаем сейчас же, что между
/ к О вещественная часть / равна
^ @)
и так как / — —- :>»0, то полупаем условие:
2тгХ (** -f P) -f /р = О, A0)
к которому мы вернемся несколько дальше.
Теперь надо связать переменную f и, далее, t с Z. Этот резуль-
тат можно получить новым применением формулы Шварда, но мы к нему
придем несколько иначе, воспользовавшись промежуточной переменной

Q = 8-j-»T, введенной выше. Замечаем непосредственно, что угол Ь
между скоростью и ОХ оказывается равным на различных участках
границы (IFEDOIKнулю, ~ turn т. I —аз,FED, т. на ВО] 1. Функ-
ция Q, которая через посредство /' является аналитической функ-
цией I, имеет, следовательно, вещественную часть, известную на
вещественной оси плоскости f. Допустим (что всегда можно сделать,
меняя единицу времени), что скорость потока на бесконечности равна
единице, тогда - будет нуль, равно как и в, а Й будет дано хорошо
иввестной формулой:
Г Л
-МП
Г
г , d — t
и, следовательно, согласно G), имеем:
и dZ ^
====. A1)
выбирая для радикала тот знак, при котором он положителен при
f = —- оо.
Уравнения (8) и A1) позволят тогда выразить Z в функции /.
Таким образом, имеем:
dZ = — 2г L ¦ , ___!X!l dt. A2)
Мы пришли к эллиптическому интегралу, которым и займемся.
Положим:
/ = ;j. -|- 7,, A3)
где ;а новая переменная и h постоянная, выбранная так, чтобы трем
корням < = 0, а, /' соответствовали три значения ;л:
Cj = — /(., «a==rf —fc, ei = f—h> A3')
расположенные в порядке убывающих значений и сумма которых
равна нулю. Это требует, чтобы
Hh = d + f, A4)
вследствие чего, положив ;j. = %>s, имеем:
dZ= — 2iL (j>s + h -1- a2) d*
и
Z — iiII,s — 2iL (h -\- a") s 4 ¦./' A5)

Постоянная Р определяете», если записать, что Z=(\ для f = О, т. е.
для (I = gj, s = cuj. Тогда
Замечая уто, видим, какие условия надо наложить на произвольные
постоянные L, % р, d, /', которые фигурируют в наших резуль-
татах.
1°. Прежде всего нужно, чтобы при построении плоскости Я
по формуле A5) две точки /) и V совпали бы. Но эти точки соот-
ветствуют t = d или f, т. е., <х = р., илирви, следовательно, s = — u>2
или <вя. Это дает условие:
т. е., упрощая (так как tj, -f- tj<2 -)- tjs = О,
f j
(h -f «2) Ш, — t), = (I. A 7) ри(.. 46.
В силу A6) это нам дает, что постоянная /' должна быть нулем.
В силу известной формулы (Tannery и Molk, XXX, 1) можем запи-
сать A7) в виде:
последнее выражение является существенно положительным.
2°. Нужно, чтобы скорость в точке Е была конечной. Это следует
на G) и (]]): скорость остается везде конечной (кроме самой вихре-
ъой точки /) и обращается в нуль в I) и F.
?>°. Наконец, и это весьма существенный пункт, следует вычислить
скорость перемещения вихря / и выразить, что .эта ско-
рость равна нулю, условие, необходимое для самого существо-
вания рассматриваемого нами перманентного движения.
Эта же скорость («.,, г,) задана, как мы знаем, формулой
A9)
где Zx есть аффикс вихря, соответствующего, по A2) или A5), /=р2.
лг dt 1
Мы разложим ,~> и -р. 77 в окрестности этого значения, положив
dZ л — Xj
/ — ?33=-.-= »,. B0)
Мы будем иметь, в силу A2):
"Л*

или:
и, следовательно,
z—z - iL
_l_ . 1 Г1 / 1 , 1 , 1 \ 1 1 |n, )
Рассмотрим теперь уравнение A1), из которого получаем:
— d + «) (f —
df I I 1
Следовательно, в выражении -=V, г- -^—¦=¦ член с — пропа-
dZ 2«it /: — Zx m
дет, если будет иметься соотношение
PI+2я L (a2-f-р2) = 0, B1)
а это и есть уже написанное выше соотношение A0), которое определяет
интенсивность вихря. (Последняя будет иметь отрицательный знак при
сделанных предположениях, когда поток в плоскости Z идет слева.)
Это убеждает нас, что скорость перемещения вихря I не беско-
нечна. Чтобы она равнялась нулю, нужно записать, что в напи-
санной выше тзазности отсутствует постоянный член. После приве-
дений и использования уравнения B1), получаем условие:
т==_1 I I Ё 0 B2)
Итак, между пятью числами (L, a> p, d, f) имеем соотношения A8) и
B2); остаются три параметра; роль постоянной L заключается лишь

в том, что этот коэфициент пропорциональности преобразует фигуру
в подобную.
Вместо параметров d и f можно ввести <а1 и ш3, что более просто
при вычислениях. Тогда уравнение A8) дает а2; уравнение B1) возво-
дит узнать интенсивность I вихря, и уравнение B2) — где d л f
выражены в функции чисел ev еа, с3, т. е., следовательно, <О] и <о8 через
A3') и A4) — будет уравнением относительно |За.
Как легко убедиться, это уравнение относительно р2 имеет един-
ственный положительный корень. Так как d = e2 — ev f=e8—ev то
отсюда следует, что /' < d < 0, и без труда убеждаемся, что изменение
-( как функции, данной уравнением B2), представлено кривой на
7
Рис. 47.
рис. 47. Следовательно, имеется только один положительный корень,
представленный точкой S.
Мы не останавливаемся здесь на задаче действительного определе-
ния Wj, <o3, a, p, L, когда задаются размеры фигуры в плоскости Z. Однако,
заметив, что величина а2, определенная A8), попадет, как это необхо-
димо, между ег — сг и е.г — р8, ибо это сводится к утверждению, что
а пвследнее является следствием классических формул теории эллипти-
ческих функций (Tannery et Molk, XXX, 2 и 3):
л 8» — 1
4a2

Формулы однородности эллиптических функций показывают без труда,
что если умножить <Oj, ш3 и s на п. то это сведется, согласно A5),
к замене Z на —Z, следовательно, по существу, к изменению мно-
жителя L. Чтобы определить конфигурацию плоскости Z, остаются,
следовательно, только два параметра L и —Э-. С помощью этих пара-
метров можно определить величину обтекаемых отрезков и их взаимное
расстояние. Положение вихря I тогда определено. Любопытно заме-
тить, что задача, по виду более простая—отыскать конфигурацию,
аналогичную изученной выше, для двух вихрей позади единственной
плоскости, нормальной к потоку, не дает перманентного приемлемого ре-
шения. Пусть, в самом деле, А'О А — данный отрезок ширины 2а (рис. 48);
-
D
/
A
0
4 h
У
f
8,
ч
4
\
jc x _
у
Id) Ю)
(А) 18) (С)
Рис. 48.
-со о -се ев
Рис. 49.
предположим, что скорость на бесконечности равна Vo, и предполо-
жим установившееся перманентное движение с двумя вихрями J и J'
позади с интенсивностями J и — Т. Мы сперва поставим в соответ-
ствие верхней части плоскости Z, ограниченной DOABC, верхнюю
полуплоскость s (рис. id) соотношением
где а есть длина ОА. Как и раньше, имеем тогда комплексный потен-
циал в плоскости s в виде
где Fo изображает скорость на бесконечности в двух плоскостях
dZ
Z, так как
dz
= 1 на бесконечности.
Мы сначала выразим условие, что в точке А, конце обтекаемого
отрезка, скорость остается конечной. Скорость же (и, »¦) выводится
в точке, отличной от вихревой, из формулы:
<&—а*
dZ
L
J

мы видим, следовательно, что вообще правая часть бесконечна для
.? = О (Z= га); исключение будет только в случае, если выполнено
условие
у I ) о < 1 \
что дает одно только уравнение между вещественными коли-
чествами Vo, I, ,/;„ yv (jx = ,/,'j -\- щ). Посмотрим теперь, может ли
вихрь ,Т оставаться неподвижным. Скорость его перемещения дается,
как мы видели, равенством
но одесь
yt % fl /. s \ , ^ /^ „ Y2_!_
2
^2/^2_V("" -1^+-'-'
Без особого труда убеждаемся, что в проделе имеем:
м, — iv,
Надо, следовательно, нанисать, что это количество равно нулю. Усло-
вие, отсюда полученное, распадается на два, если отделить веществен-
ную часть от мнимой, и мы находим:
хх3 — За^* — а1^:, = 0. C)
С другой стороны, уравневие A) после ушрощения запишется:
KF0(V + tfia) + ^i = 0. D)

Это уравнение нам показывает, что если Vo > О, то Г должно быть
отрицательным, что очевидно и a priori. Исключая отношение ¦==-
'о
о
из B) и D), будем иметь два уравнения между ,г, и ijv а именно
уравнение C) и следующее:
= о.
Но легко убедиться, что эти уравнения не имеют иных решений,
кроме x1 = yi = 0. Этот результат очевидно неприемлем, так что поста-
вленная задача не имеет решения.
Для аналогичной проблемы, относящейся к случаю цилиндра вра-
щения, например, вместо пластинки А А'', рассмотренной здесь, полу-
чим вещественное решение предшествующего параграфа. Основание
атого различия результатов в обеих задачах, столь схожих с первого
взгляда, основывается на том факте, что в случае пластинки мы имели
одним условием больше, а именно, что скорость остается конечной на
краях пластинки А и А'.

ГЛАВА VIII
ВИХРИ КОНКЧНЫХ РАЗМЕРОВ
В настоящей главе мы начнем изучение вихрей конечных размеров.
Мы изучим сперва, с целью выяснить их основные свойства, наиболее
характерные простые случаи: кругового цилиндрического вихря, затем
вихря эллиптического (тоже цилиндрического) Кирхгоффа и, наконец,
сферического вихря Хилла. В следующей главе мы займемся общей
проблемой вихревого кольца, прежде чем поставить совершенно общую
задачу.
Трубки конечных размеров. Такие трубки образуются соединением
бесконечно тонких трубок. Центром тяжести называют точку, опреде-
ленную равенствами:
//0 = j j Wo = j j If.J?
(I = 2Cda; a, b координаты адементарной трубки интенсивности /).
В силу уже известных нам свойств, этот центр тяжести
неподвижен, если жидкость покоится на бесконечности.
Однородная круговая цилиндрическая трубка в безграничной
жидкости, покоящейся на бесконечности. Пусть имеется круговая
трубка радиуса В, где С постоянна. Центр G неподвижен. Найдем
распределение скоростей. В силу симметрии скорость в Г нормальна
к ГтР, является функцией одного г и не зависит от времени. Теорема
о циркуляции дает:
•2ъг\У= f I 2;йз.
" Ф)
1 °. Внешняя точка относительно трубки: г > /?, / / 2^da =
Jс
2°. Внутренняя точка: I I '2tda — 2;'^г'2
о

Следовательно, диск S вращается с угловой скоростью \. Имеется
совпадение двух формул для г = 11.
Потенциал и функция тока. Известно, что
d<\ ==udij — vd.i? = — Wdr,
следовательно,
снаружи,
Н V
| —-у,,- —внутри.
Только снаружи существует потен-
ий = udx -\- vd
Рис. 50. » =
и имеем:
Вычисление давления. Движение, очевидно, перманентно.
Рассмотрим внешнее пространство относительно трубки, где
; = 0; тогда уравнения
ди _!_ 2i v — 24 — X— — /-- W'A — - д]-
dt ' дх \ 2 / р дх
дадут здесь
—р = — ~- w2 - \- const,
т. е.
где через ра обозначено значение р на больших расстояниях.
Внутри имеем г, ~р 0 я С = п о с т о я и н о м у, и те же уравнения
дают:
-L dp = — -i- d W* -f 2: (г-*« — ни»/)
p 2
А = -1- С2»-'2 -f Z = — :^2 — v*ij2 -j- — •
Постоянная определена из условия равенства давлений на обоих
краях границы.

Б случае трубки конечного сечения, достаточно предполо-
жить, что на бесконечности имеет место постоянное давление
р0 > pC'fft2, для того чтобы р было везде конечным и положитель-
ным.
Но предположим интенсивность трубки постоянной (F —2x"ltil-=
= пост.) и радиус Я очень малым. Давление снаружи сделается
V^_ L%^.._JrESL>
видим тогда, что j>-* — со, когда приближаемся к бе с конечно
тонкой трубке. Это позволяет думать, что такая бесконечно тонкая
трубка физически невозможна. Б дальнейшем приде м к этому же
результату для вихревого кольца.
Эллиптический вихрь Кирхгоффа. Кирхгофф доказал в своих
Lecons de Mecanique, что может существовать конфигурация, где
вихри заполняют пространство,
имея постоянную интенсив-
ность С внутри эллиптического
цилиндра, который вращается
равномерно (с угловой ско-
ростью а) вокруг своей оси, па-
раллельной образующим и про-
ходящей, очевидно, через центры
поперечных сечений. Относи-
тельное движение будет кроме
того перманентным и не
зависящим от координаты в, па-
раллельной образующим ЦИ- Ряс. 51.
линдра.
Задача, очевидно, плоская, мы легко построим ее синтетическое
решение следующим образом.
В плоскости хОу (связанной с вращающимся цилиндром) возьмем
эллиптические координаты, определенные формулой:
или
: х -\- гу = с cosh (S -f- itj)
COSYj, |
sin Ti; /
x = с cosh ? cos tj,
ij = e sinh \ sin ¦
A)
где 2с междуфокусное расстояние рассматриваемого эллипса.
Координатные кривые С = const или т\ — const, очевидно, софо-
кусиые эллипсы и гиперболы:
sin8 т]
—-с-.
B)

Можно ограничиться условиями
О < S < + то>
О < т] < 2*.
Пусть 6 (Ж1> Ур О функция тока, отнесенная к неподвиж-
ным осям (хи у{). Будем иметь для абсолютной скорости:
__ 36 _ Эй
и, обозначая через (и, v) дроекции этой самой абсолютной ско-
рости на Оху, будем имен.:
ду дх
после преобразования но формулам
j,-j = и,- cos да' — у sin ш/,
ух = х sin <oi -j- у cos и)?.
Переносная скорость, снроектированная на Оху, равна — ч>у, чип.
Следовательно, относительная скорость будет:
96 . 06
- — -4- cow, tax.
ду ' ^ йж
На стенке цилиндра S (S = соответствующему $0) эта относительная
скорость должна быть касательна к эллипсу, т. е. должна иметь на
эллипсе:
или
6 -j- -;— г2 = const. D)
Постоянная относительно х и у может зависеть от времени t.
Тогда надо определить 6 либо вне 8, либо внутри, согласно этому
условию, на границах, и в согласии с тем, что мы должны иметь:
А6 = 0 снаружи \ . .
Д6 = — 2, внутри J
там, где имеются вихри. Кроме того снаружи, циркуляция по контуру,
окружающему аллинс, должна быть во всякий момент равна 2(ияЬ)С.
Наконец, не надо забывать, что скорости должны оставаться непре-
рывными также, как и давление при переходе через границу S,

Пространство вне цилиндра. Рассмотрим сначала, что происходит
снаружи. Кирхгофф подучил <1», используя свойства логарифмического
потенциала л преобразовывая известную формулу, дающую потенциал
эллипсоида (одну из осей которого он устремляет к бесконечности).
Мы получим результат быстрее, оперируя переменными (S, т,), проис-
ходящими от конформного отображения A); известно, что в этом
случае имеет место формула:
Все сводится, следовательно, к отысканию простых гармонических
функций от \, т], удовлетворяющих высказанным условиям.
Положим:
vJri<l = Kir.-2{i+i'>)=Kie~-* (cos 2т,—i sin 2т,),
где <в потенциал, сопряженный с*в безвихревой части простран-
ства.
Тогда имеем A<i = O, и
ty = Ke~2i cos 2т| (при <э == КеГ* sin 2т,). F)
С другой стороны,
х* -\- ?/2 = с2 (cosli2 \ cos2 г, -{- siiih2 X sin3 -ц) =
= — (co,sli 2$ -f- cos 2т,),
и условие на стенке Л1 будет:
Л7 "¦ — ¦ -)- — с2 cosh 2S = const
для ? = ?(!• '^т0 условие будет удовлетворено, если взять
Но полученное таким образом решение F) не удовлетворяет всем
условиям нашей задачи, так как дает равную нулю циркуляцию
вокруг эллипса. Имеем, в самом деле, производя вычисление в пло-
скости хОу:
Т = у ndx -J- rdy = ф do.
Эта формула дает 1 = 0, если ее применить к функции a-j-*1}1! соот-
ветствующей уравнению F), так как после одного полного обхода
эллипса $ возвращается к своему начальному значению, т| увеличи-

вается на '2г., <в, следовательно, возвращается к своему первоначаль-
ному значению.
При этих условиях мы сейчас видоизменим нашу функцию чр-f-«Ц*
прибавлением к ней члена вида
'/ Ц- Ц/ = iff (Р -)- щ) (// = веществ, ноет.)
Так как мы имеем тогда а' = — Н/ц, то этот дополнительный потен-
циал не будет однозначным и даст циркуляцию, равную — Я • 2т:.
Выберем тогда Н из условия
и примем за определение <Ье функцию:
- *, -= ™- е*" ?~* соя 2-г) ~|~ aft:?. (8)
обозначая через <ЪС функцию тока для внешнего пространства относи-
тельно эллиптического вяхря. Так как функция <]/ (= Щ) остается
постоянной на эллипсе ? = Чо, то условие D) на стенке продолжает
выполняться функцией <)е. Наконец, совершенно ясно, что Д^е равно
нулю, так как bt образовано с помощью двух аналитических функций
от Ч-\-щ.
Если мы обозначим через аи?) полуоси нашего эллипса ?0, то
имеем, согласно уравнениям B):
а = с cosh ?n, h = с sin So, (9)
откуда
a + 11
e"" = —'—- - >
с
и, следовательно,
— о. = ~ (r/ _j_ /,)s й- * cos 2-r, -j- afcrf. A0)
Пространство внутри цилиндра. Легко видеть, что можно удо-
влетворить условиям, касающимся ф, (функции тока внутри), положив:
считая .4 и В ностоянными.
Уравнение — ДЛ,= 2С будет удовлетворено, если положить
Л-\-Н=\. A1)
и условие на стенке
— <Ь. = J?- (я* -f у*) -|_ const.
примет вид:
{¦2А' — в).г3-f (-'К-«)//2 == const на -V,

•го есть, на
?i L f - 1
Очевидно, отсюда следует:
B,4', — ш) аа == BВ; — ш) Ifl
или
Aa°- — F,№ = !?L. (i-j)
Непрерывность скоростей. Теперь остается сообразовать наши
результаты с условием непрерывности скоростей нри переходе через /S1.
Так как скорости (относительные в плоскости хОу) касательны к S,
то достаточно удовлетвориться, что составляющие скорости по каса-
тельной к S одинаковы с двух сторон S. А это сводится, очевидно,
к утверждению, что одна из составляющих абсолютной скорости, напри-
9ф
мер, -~- , имеет одно значение с обеих сторон. Функция Ье здест, дана A0),
a tyj равенством
— <!/. == г,сч (A cos* r, cosh2 \ + В sin2 y, sinha E).
Следовательно, будем иметь при ; = 1п:
— тг (« + ftJ r~'&° c°s 2f| -f ah", =
= i'CC sinh \a cosh So I Л -—' '- -j- В .
Отсюда обязательно
aft' == чс2 ,siiih ;A cosh ;0.
Второе из условий выполняется само по себе [см. (9)J, а первое сво-
дится к
А-В=—?-. A3)
Тогда (И), (]2) и A3) дают:
Aa = Hh = —^Ц-, A4)
а+"

и, следовательно, можем написать:
. = ~-V-y I'' cosli21 eos2 v] -|- a sinh2 $ sin2 y(\ =
= ч (a — b) [b cosh2; cos2 т, -)- a sinh2 5 sin2 T|] J
A6)
Относительные траектории частичек, находящихся в вихре.
Относительная скорость частицы, находящейся в эллипсе S, имеет
проекции на Оху
то есть
(и— 2 К) j/, -(m-24',)j,
или иначе, в силу написанных выше формул:
Эта относительная скорость равна также
dx dy
и, следовательно,
или
иначе
то
откуда
то есть
di
говоря, если
(в +
d.r
~dT~~
положить
Х =
непосредственно
У =
= X sin (ю< ¦
х =
.'/ =
6J У' dt (Я+6)8
h ' dl a '
_„>- r-ai\
X cos (Ы, -j- y),
-f- y), (л и y параметр]
= aX cos (<of -)- y),
= b'f. sin (coi 4- y).

Относительными траекториями являются эллипсы, подобные S. Но
Формулам
х^ = х cos <»/ — ц sin и>1,
i/l = х sin ml -J- у cos ш/
имеем:
2
— ж, == я [cos B«/ + f) + cos fl — '¦• tc<>s Y — cos B«< -+- fI =
= (a -|- //) cos Bm/ -f- f) -{- (a — '>) cos ¦j,
2
_yx == (a -f. b) sin Bmi4- f) — (a — b) sin i.
A
Абсолютными траекториями будут окружности, описываемые
с угловой скоростью 2«> вокруг их центров.
Вычисление давления. Непрерывность его. Необходимо вычислить
давление, потому что его непрерывность при переходе через 8 не
обеспечена а priori, так как наше синтетическое решение не дает
никаких гарантий в атом отношении. Самое простое здесь исходить
ив классических уравнений относительного движения. Возьмем эти
уравнения относительного движения, по отношению к ооям Оху,
связанным с вихрями. Пусть (¦»¦', »/) означает относительную скорость;
имеем классические уравнения:
1 dp .. I ди' , ди' , ди/ \
— -~- — Л — -^г + v -5 \-v -75— 4- <я-х 4- 2и>»у
р йж \ dt ' дх ' f)i/ ) ' ' '
1 dp i dv' . , 0i:r , ,i>v'\
A7)
Ho («, и) суть проекции абсолютной скорости на подвижные
оси Оху, и мьт имеем:
и' = «¦ 4" <°?/
Внося это в A7) и делая приведения, получаем:
1 др ,, ди Ьи ди, дгь ди
р ox at дх dy ох ду
р ду fit fix Hi/ •* дх " by '
1.1 н иначе
tit ¦ v ' •' d.t; ' v ' ду (i д:г
Ov . i / i ч dv , , , Ov ., 19»
()l ' ' v ' ¦ ' 9,*1 ' дц р dy

Движение будет перманентным отшситедыго осей О->'(/; величины ~^-
dv ,
и -г- не зависят от времени, и при отсутствии внешних сил фор-
мулы могут быть записаны в виде:
mi
дх
„. , аи mi
21« 4- oojj — нал -— ом; = О
'>¦'' Лц
*'" + ши-г,: — ФХ -i- -I ш" = °-
A8)
Введем тедерь функцию тока так, ггобы
и образуем, at/);
Будем различать два случая: когда ми находимся внутри или вне .S'.
Внешнее пространство. Имеемг, = 0 и ДО = о, тогда квадратную
скобку, коэфициент прл —ш, можнс яаписать:
то есть:
Тогда получим, обозначив через Г'( постоянную:
Внутреннее пространство. Внутри '^0 и —Л^ = 2^; квадрат-
ная скобка сделается равной величине — 2C(.«dr -\-ijdij), увеличенной
на выражение, найденное в предыдущем случае; имеем, следовательно;
?.. + !
то есть:
B0)

Из сравнения A9) н B0) следует, что давления непрерывны при
переходе через S. В самом деде, скорости там непрерывны, а, следо-
вательно, и -~- и ~, а кроме того имеем на .V
О:т ду г
— •{*, = -j г2-)-const.
Следовательно, на S давления р, и ре по предшествующим формулам
могут отличаться самое большее на постоянную. Выбирая соответ-
ствующим образом С, и С,, делаем давления равными с двух сторон
на S.
Вычисление Се и С, в предположении р = О на бесконечности.
Известно, что при конформном отображении, таком, как A), имеем
(Е. Picard, Analyse, I, p. 431):
Но во внешнем пространстве, где имеется потенциал, это уравнение
выражает теорему о замене переменных в функциональном определи-
теле; а именно, оно совпадает с равенством
Здесь
/ iir \2
j I±j
C2
= — (cosh 2$ — cos 2t|)
и (см. yp. 16)
-^-)'-«•*•!:•[(«-• ойч.-о'+
4Е — ЪГ * cos2 ^ -f 1 ].
Элементарное вычисление дает:
_ / ГЖ j_ , hi. \ == sinh 2S й^, sin2rj <ty,
\ " й,ж "•"' di/ ) cosh 2$ — cos 2v] й? cosh 2$ — cos 2т( 9yj
aK [sinh 26. A — e~aE cos 2y 3E 2
cosh 2J — cos 2tj
(Зледовательно, имеем:
d
с» (cosh 25 —cos 2yj)
Lh
г[sinh 2? A~e~2; cos

На бесконечности 6 равно положительной бесконечности; предположим,
что рг там нуль, следовательно, надо положить
то есть, в силу A5)
Г 2аЬГ-
и на эллипсе Л
cosh E0=j, smh So = -, e5" =
будем иметь, после некоторых упрощений:
РЛ
— (а2 — Ь») oos
-X
Г —(a + b)(a + b) + 2(a-b)(a+b + ab)cos2ii-1
Lf 6)B 62)osa2 J
Перейдем теперь к внутреннему пространству, чтобы согла-
совать давления. Образуем B0). Мы знаем, что все члены будут
иметь те же значения, что и в —, но вместо Сг будет фигуриро-
вать комбинация:
Следовательно, будем иметь:
то есть, в силу A6):
С{ — Се — 2С2 (а — 6) (Ь cosh« 50 cos* tj -f а sinh» i0 sin» yj) +
cos^ 7] + sinh» $0 sin» v)) =
[a A + Cos 2t|) + Ъ A — cos 2-q)] -j-
Очевидно, cos 2tj исчезнет и мы получим:
(а+6J

Сферический вихрь. В этом параграфе мы будем рассматривать
конфигурацию, изученную 1. М. НШ'ом (Phil, transact. Roy. Soc. of
London, 1894): жидкость предполагается неограниченной, и вихри
расположены внутри сферы определенного радиуса, движущейся
равномерно. Остальное пространство свободно от вихрей. Вихри
внутри сферы имеют неравномерно распределенную интенсивность.
Хотя можно сократить многие вычисления, прибегая к иным сообра-
жениям, но мы рассмотрим задачу, опираясь на общие теоремы.
Напишем сначала уравнения гидродинамики для случая, когда
явление можно рассматривать как полученное вращением около оси O.s.
Назовем через q и 6 полярные координаты
в нлоскости хОу; обозначим через s ж ги
составляющие скорости по радиусу-век-
тору ОМ' и по Ое; непосредственно нахо-
дим следующие уравнения:
да
d.s
~дТ
dw . r)w , dw
' dq ' dz
M
i dp
1 dp
-7: 5
p ds
A)
XO\ IB
Рис. 52.
W
M
допуская при этом отсутствие внешних сил. Можно, следовательно,
положить:
qs = —
—
dz
dq
Исключая давление j> в двух первых уравнениях A), получаем для
функции тока Л уравнение
Ы
dq
q dq дг J [ g» \ 9.?2 ^ 9g« q dq j J
Это же уравнение допускает очевидные частные решения, а именно,
те, которые удовлетворяют соотношению
где a, b и к постоянные. (Далее мы увидим те удобства, которые
заставили нас ввести постоянную в правой части в таком виде.)
Это последнее уравнение удовлетворяется функцией
4
- «а) 4- 4- [* -
@

Это можно легко проверить непосредственно. Соответствующие зна-
чения s к w будут:
2* ,
•Ik
С
- a«) _ Zf (Q.
E)
Жидкие поверхности. Рассмотрим теперь, каковы жидкие поверх-
ности, то-есть, поверхности, содержащие с течением времени одни и
те же частицы. Эти поверхности Х = const, как известно, являются
решениями уравнения в частных производных
д'к д'к . дк
-3r-f-s-3-4-««-^- = 0.
dt ' dq ' fe
Соответствующая система обыкновенных уравнений
1 ~Ч {г-Z) -^(.s-Zr-^W-a^
Как видим, легко образовать довое отношение, равное предыдущим,
в виде:
то есть:
Если в частности взять
га—5-т-
то среди жидких поверхностей окажутся те, уравнения которых
н, в частности, в том числе поверхность
Елли положить с = а, то это будет сфера. Скорости и функция
тока ф будут даны уравнениями D) и (б), учитывая при этом F).

Вычисление давление р. Возвращаясь к уравнениям A), видим,
что они для рассматриваемых частных решений примут вид:
откуда получаем:
где и (/) функция от t.
Вихрь. Если вычисляем вихрь, то его значение Й находим непо-
средственно
0() bs dw _ / 8к
Кроме к = О, вихрь будет отличен от нуля вне оси Ог. Движение, опре-
деленное всеми вышенаписанными формулами, будет, следовательно,
вихревым. Мы его примем для движения внутри сферы ра-
диуса а, положив во всех уравнениях а = с.
При этих условиях, на рассматриваемой сфере будем иметь для
q, г, s, iv, p следующие значения, которые мы отметим значком i:
q = a sin 6, s — Z= a cos 6,
s, = 2k sin S cos 'J, iv, = Z' ~2Jc sin2 4,
— = 2&2 cos3 6 -\- — fe2 — aiT cos 6 4- — •
Теперь мы определим внешнее движение, безвихревое.
Движения вне сферы. Заметим, что уравнение Д(р = 0, которому
удовлетворяет потенциал скоростей, здесь имеющихся, обладает част-
ным решением
J. _ 1
В~ УТ" '
а, следовательно, также решением —^—, или еще

Этой функции 9с соответствуют:
ft?
да
и, следовательно, но A), принимая значения
заключаем, что
L^-L
где Г @ функция одного *.
На поверхности сферы (R=sa) находим легко:
Значение сопряженной с о функции тока, посредством которой s и w
выражаются формулами B), есть
Y1~ 2J?3 "
Соответствующие жидкие поверхности X = const удовлетворяют урав-
нению
Oh . 1 0Фч OK I ^yi OK
dt q дг dq q dq de
Это уравнение будет иметь частный интеграл вида:
если взять -^' (/) = const. В самом деле, тогда
dt dt ~~ дг ' dq dq

Внеся вое это в уравнение относительно л, производим непосред-
ственную проверку. Следовательно, среди жидких поверхностей будет
фигурировать сфера R = а. Мы видим, что центр этой сферы дви-
жется равномерно по О.г\
Непрерывность при переходе через сферу. Мы должны иметь на
сфере с двух сторон поверхности одинаковые скорости и давления.
Значения s с одной стороны и с другой суть:
s, = '2k sin 6 cos О
они совпадут при:
Z'= -ft.
Значения tv будут:
w^ — Z' — 2/csinae,
они также совпадают.
Наконец, видим, что давления также совпадут, если Т и к(<) свя-
зать соотношением
_ — _ v-^____^.___.
Таким образом, построено полное решение задачи. М. J. М. НШ очень
изящным способом обобщил свое решение на случай эллипсоида вра-
щения.

ГЛАВА IX
КОНФИГУРАЦИИ ВРАЩЕНИЯ. ВИХРЕВОЕ КОЛЬЦО
Общие понятна. Мы будеи рассматривать неограниченную жид-
кость, в которой все вихревые линии являются окружностями с непо-
движной осью Ог; предположим, что имеем конфигурацию враще-
ния вокруг этой оси. Вдоль вихревой линии
величина вихря остается пеизменной. Если
такая симметричная конфигурация существует
в начальный момент /0, если кроме того пред-
положим отсутствие внешних сил и покой на
бесконечности, то ясно, что эта симметрия
вокруг Ое будет бесконечно сохраняться.
Можно тогда рассматривать жидкость как
составленную из вихревых трубок, быть может
х окруженных безвихревой жидкостью. Эти трубки
(торы) перемещаются, оставаясь все время па-
раллельными плоскости хОу, их сечение может,
менять форму — с соблюдением при этом общих
теорем, касающихся интенсивности.
Естественно применить здесь цилиндрические
координаты, которые мы обозначим через q, %, г.
Мы назовем через ЪШ полупрямую, перпенди-
кулярную меридианальной плоскости МОг, в направлении возрастаю-
щих й. Скорость V частицы, помещенной в М, лежит в иеридианальной
плоскости, и ее составляющие будут s и w и отсчитьгваются положи-
тельно в направлении возрастающих q или ,?. Уравнения движения
примут тогда вид, как мы это видели выше:
(is
dtv
dw
dtv
p dq' I
_ _ l bi'
d(qs) d{qw)
_ i _ r^; ^1
dq ' д.?
(i)
B)
последнее является уравнением неразрывности и легко может быть
получено прямым путем из рассмотрения элементарного параллелей -
иеда, построенного на dq, qdfi, dg в точке М

Обозначая через Q величину вихря на 31N, имеем уравнение:
39 *_*"-. C)
dz dq к '
Ясно, что уравнение B) позволяет написать
<18 = «W = V ()
где if зависит от q, г, i и является функцией тока; это название
происходит от того, что в момент t линии тока в плоскости мери-
диана qOe имеют, очевидно, уравнения:
dq dz
I. e. ^ = const.
Скорости (s, w) выражаются, следовательно, в функции одной
только ф, которая удовлетворяет одному простому уравнению, которое
мы встретим далее и которое может быть получено исключением р
из двух уравнений A). Общие теоремы главы II показывают, что эти
скорости могут быть кроме того выражены в функции вихрей, и здесь,
следовательно, посредством величины Q. Мы увидим, как этот вопрос
может быть связан с изучаемым нами, и дадим естественный способ
вычисления функции тока <[*¦
Случай единственного бесконечно тонкого кольца. Рассмотрим
сперва случай единственного бесконечно-тонкого вихревого кольца,
на высоте /, радиуса ц' и интенсивности /= 22' do', где do' — сечение
трубки. Так как общая конфигурация может всегда рассматриваться
как образованная соединением таких элементарных колец, то очевидно
простое суммирование позволит перейти к вычислению для общего
случая.
Мы внаем, что скорости (и, v, м>) получаются по формулам:
где
by д.? ' дз дх ' дх ду '
г -— [ ( (*—L
¦* 1 ""— 71 III > • • •
1 2я J J J r
очке ж', j/', ef кольца, d-' эл
g' dJ dff) и г расстояние между точками (if, у] s) и (xr, if, /),
' r!i r-' вихрь в точке ж', у', г' кольца, d-' элемент объема кольца
т. е.
», r!i r- вихр
' ' J dV)
г = V (¦* — *')а + З2 + ?'2 — 2'у?' cos (в — в') •
Ясно, что имеем:
5' = — Q' sin 0', г;' == Q' cos ft', С = О,

и что достаточно вычислить v, r, w для 6 = 0, в каком случае эти
три числа сведутся к s, 0, w. Имеем тогда:
2* ./ )/(.j _/J-|-г/2+?'2_2g(/cos О'
й
о о
Положим:
^=-1(А"^' Г , coseds (и)
О
и, следовательно,
Теперь, так как переход от точки {х, у, s) к точке (г/, 0, 0) совер-
шается простым поворотом на угол в, то ясно, что будем иметь для
точки х, у, г
1\ = — Si sin Ь, Qj = b\ cos 9,
что, впрочем, можно проверить простым вычислением, и отсюда выводим:
ay oq q
Ж = ^L COS» 6 + ^-Sin» в,
9<Sy, . S, ,ИЧ
to
и, следовательно,
Общий случай. Если перейти теиерь от бесконечно тонкого вихре-
вого кольца к общей конфигурации, образованной соединением таких
колец, мы получим, очевидно, что и выше F, 7 и 8), но заменяя
просто iS1 через сумму аналогичных выражений, а именно:
— ' ffs«4-'f / oosede @)

где двойной интеграл распространен на все элементы do' поперечного
сечения вихревого объема какой-нибудь меридианальной плоскостью.
Получаем:
.< — —-, w — -= . A0)
д.~ dq ' q J
Сравнение формул D) и A0) нам дает непосредственно:
Si* _ dS_ Ц_ _ д8_
~dl~'1'JF' dq ~Ч dq "T" '
ty онределена лишь с точностью до постоянной, и, очевидно, мы можем
положить
ф = gtf. A1)
Наконец, отметим, что величины скоростей A0), впесепные в соотно-
шение C), определяющее 2, дают для 8 уравнение:
Э.с-2 п дф ' <¦/
которому соответствует для ф уравнение
Теория бесконечно тонкого кольца В случае бесконечно тонкого
кольца, 8 сводится к 8V данному уравнением F), и после введения
интенсивности трубки I = 2Q' (h' функция тока, полученная посред-
ством A1), примет вид:
2г.
COS t
0
после чего получим
1 Эф 1 Ц .,„.
s — —-, » = -•/, A8)
ч й~ <i Ц
Эти уравнения дают для скоростей значения, всегда конечные вне
кольца, но так как сечение кольца бесконечно мало, интенсивность /
при этом предполагается конечной, то s ж w делаются очень большими
внутри самого кольца, q я г при этом близки к q' и./. Эта трудность,
естественно, проистекает из фиктивности понятия бесконечно
тонкого кольца.
9Ф
Так как производная-^ очевидно содержит множителем (?—?)<
то, как видим, я обращается в нуль во всей плоскости кольца (само

кольцо оставляем в стороне). Отсюда следует, что радиус кольца
остается неизменным; в противном случае соседнне частицы, в пло-
скости г = У, имели бы радиальную скорость s, отличную от нуля.
Таким образом, кольцо переносится параллельно Ое, не меняя радиуса.
Однако, форма бесконечно малого сечения do' может очевидно меняться.
Вторая формула A Я) позволяет узнать w. Применяя .чту формулу
>; самому центру кольца, находим легко н>о= 0-—> но вычисление
(дающее неопределенность, проистекающую от частного значения 2 = 0)
может быть избегнуто применением общих результатов. Всякий элемент
объема d~' кольца вносит в выражение скорости точки О по напра-
влению (h величину Q'q' 7.--Ц7 • Скорость точки О, следовательно,
Поставим задачу отыскать скорость перемещения кольца в направле-
нии Он. Для этого мы преобразуем выражение <]». Ясно, что положив
s == тс — 2<»,
7.2 4gg/
будем иметь:
л
2тс J У \ —ft8 sin2 u 2те
о
определяя Н уравнением
Мы пришли к вычислениям с эллиптическими функциями с модулем Тс,
только что определенным; дополнительный модуль h' получаем из со-
отношения:
(' 2 sin2?—1 , ,,,.
I т da. A5)
,/ V\— A-2sin2<p ' ч '
и, следовательно, имеем:
MB'
если обозначить через А я Б точки пересечения кольца с шюс-
ноотью яОЫ.

Если поместиться вблизи вихря, то V близко к нулю и к к еди-
нице, а интеграл Н, данный A5), становится тогда очень большим.
Легко обрайовать его главную чють, замечая, что если положить
lcdc
то разность
¦> — sin <p -
J
A8)
остается конечной при 1: = 1, так как числитель подинтегральной
функции обращается в нуль при <р= —.
Но такой путь не дает полной гарантии. В самом деле, чтобы получить
скорости, наи нужны главные чаоти производных ~ и -^- для исполь-
зования их в формуле A3), следовательно, мы должны больше
заботиться о частных производнпх от 77, чем о самой функции Н. Мы
легко убедимся, что выражение
Н= — lg ? -f- (конечное количество при ? = О) A9)
достаточно для правильного вычисления главных частей скоростей. Мы
отметим в дальнейшем, наскольш это рассуждение необходимо и как
его результат мало очевиден на первый взгляд.
Введем здесь классические юличества:
J У1—*» «in* e J
0 n
А'=
Простая комбинация дает
Теория же аллиптических функций позволяет написать уравнения:

(см., например, Tannery и Molk, формулы СХХП, Ш. Так как мы имеем
1 — 1 1
_|_ __. /] J."j\ 2 __ I _| J-'i I
к 2
то можем написать:
ff= ..-)щ ? ^-[>¦; B0)
члены, заключенные в ;i, содержат либо члены с ?*р, либо члены
с ?2р^~*\% ? (где j> целое положительное число или нуль).
Имея все это, рассмотрим частные производные от а. Непосред-
ственно находим формулы:
w=___
Us — z'~f -4- Ui — о'J] Us — г')* -4- (в -4- о'У] '
B1)
показывающие, что произведения /с ~—, '! ~§— остаются конеч-
ными, когда точка (.?, q) приближается к (?', q'), т. е. когда ? стре-
мится к нулю.
Отсюда следует, что члевы, входящие в [а, будут вносить в И
величины, которыми можно пренебречь сравнительно с тем, что про-
изойдет от члена — lgfe'. Следовательно, вычисление, основанное на
формуле A9), вполне приемлемо.
При условии принятого приближения мы видим, что для ф, со-
гласно A4), имеем
J g?+ ... B2)
и получаем:
C3)
q де 2т: у q dz
2it |/ q dq
Применим эти формулы для нахождения скорости распространения
вихревого кольца. Назовем через е бесконечно малый радиус сечения
и возьмем формулы B3) в точке q — q', ? = / -\-t, используя уравне-
ния B1). Находим тотчас же, что ? эквивалентно-—->-, и получаем
2q
для скорости w
i = — о^7 ]К ( 2^>-) + конечные члены, B4)

Мы находим, следовательно, что скорость распространения очень велика
(положительна, одновременно с Г). Это обстоятельство нам говорит, что
давление будет бесконечно велико, отрицательно, в непосредственной
близости кольца, предполагаемого очень тонким. Следовательно, бес-
конечно тонкое кольцо физически неосуществимо, и мы в дальнейшем
должны развить теорию кольца конечного сечения, имея в виду
вычислить давление и установить, при каких условиях последнее будет
приемлемо.
Случай вонечного сечения. Ради определенности мы будем пред-
полагать, что имеем дело с единственным вихревым кольцом, сечение
которого в меридианальной плоскости зОх представляет собой простую
область D, ограниченную кривой С.
Формулы A) дадут нам очевидно значение давления р. Не трудно,
преобразовав слегка уравнения A), B) и C), прийти к очень простому
подсчету. Прежде всего, простое изменение записи позволяет предста-
вить формулы A) в виде:
Исключая р и используя уравнение неразрывности B), получаем:
,_
dq
но, по определению, х = -тг: следовательно:
отсюда
B6)
где А постоянная, отличная от нуля, одна и та же, для всех частиц
внутри кольца, и равная нулю снаружи кольца, в безвихревой области.
После этого введение 4 при помощи формулы D) дает
B7)
Положим в вихревой области:

так что
B8')
вне кольца, и внесем значения B7) в уравнение неразрывности, про-
диференцированное (частным образом) по ', т. е. в уравнение:
dq ' дг'
тогда получим
9ft '
Но это уравнение Лапласа
ДВ = о, C0)
для функции В, выраженной в цилиндрических координатах, в случае
когда эта функция не зависит от угла 0.
Посмотрим, каким условиям подчинена эта функция В. На беско-
нечности, р постоянно (можно его выбрать равным нулю), скорость
равна нулю, ф [определенное (9) и A1)] также, так что, пренебрегая
при надобности постоянной, которая не играет никакой существенной
роли, имеем 9 равным нулю на бесконечности. С другой стороны,
согласно B8) и B8'), В испытывает конечный скачок, равный 2Aty при
переходе через поверхность кольца: она возрастает на эту величину, если
пройти извне внутрь. Наконец, легко убедиться, что производная по
d<r)
нормали - - остается непрерывной на поверхности.
И самом деле, если мы обозначим по обыкновению через от раз-
ность т, — т, одной и той же функции в двух бесконечно близких
точках с одной и другой стороны границы, то будем иметь (скорости
предполагаются везде непрерывными):
ох = Zir = 0;
следовательно,
э ds „. die
и отсюда
о —_ -{- s5 -л wo = О,
01 ' dq ' as
, 'Ow , dw л ди>
о —- -\- so \- wo — = 0.
(It ' dq ' <)~
C1)

Если теперь аир означают направляющие косинусы нормали »
(например, внутренней) в плоскости qOs, и если обозначить d-z элемент
дуги, надлежаще ориентированный, то будем иметь, например:
—
dn
ds
bq "¦ р дг
ds
. ds
о
„ _ . ds
Но, так как s непрерывна на С, о -^-, очевидно,
ей
нуль и, следовательно, имеем:
0 "Т"
ds
од 9« . ds
а 8 dn
C3)
также
' дю
-^- C30
Уравнения C1) дают тогда:
о —¦ = — (as -\- aw) 8
Теперь уравнение непрерывности в виде:
ds , dw , s
dw
dn
дает
5 ds л dw
'IF
— n
¦о,
или, согласно C3) и C3'):
C2)
Рис. 54.
C4)
,, ds dw
an dn
Если помножить уравнения C4) на a и В и сложить, получим:
„ 9s dw
т. е., вводя функцию в посредством уравнений B7):
. 9В ,

или, наконец:
, 9«
3 — = О.
дп
Из всего этого следует, что в является потенциалом двойного
2.44
слоя, плотности , расположенного на поверхности кольца. Обо-
значим через dL элемент площади этой поверхности, тогда будем
иметь:
и, следовательно, давление р будет дано формулами:
1
L^ (в кольце),
C6)
(вне кольца).
Свойства потенциала двойного слоя обеспечивают нам непрерывность р
при переходе через поверхность кольца.
Так как функция •Ъ была уже выражена в виде:
C7)
™ J J J Vie—
+ Ф + Ч'- - 2ВД' cos e
то мы имеем в руках все необходимые элементы для окончания вычи-
слений. Говоря физически, результаты будут приемлемы, если только
полученные давления будут везде положительными.
Возвращение к кольцу малого сечения. Рассмотрим вихревое
кольцо в виде тора, полумеридиан которого С имеет центром точку {а, Ь)
плоскости xOz и радиус г0, предположим г0 малым сравнительно с а.
Пусть / интенсивность кольца. В силу формул
1= f fi9Jds',
ясно, что будем иметь в точности

так что, в силу A1) и (9), можно <!/ представить в виде:
_^_ f (Vw f-
2*яаг0« J J J V> - *
0
J V> ) + 2 + ? 23 cos•
0
C8)
Но мы убедились выше, что вблизи кольца имеем (формулы 12, 14 и 19):
cosede 1
/
„
У (г — У)8 +? + Я'я - 2gs4o7s /fi? ~
о
( I&'f ) C9)
— ( — Ig&'-f- конечное выражение),
У ад'
и положив
т. е. обовначив через гх расстояние
/eossde lgr,
о
имеем:
@ — 0' д
где ft означает выражение, остающееся конечным, когдагид близки
к е' и д'.
Отсюда мы заключаем, что рассматриваемая нами теперь функ-
ция ф выразится:
Но во всех точках круга, по площади которого мы интегрируем,
имеем:
отсюда заключаем, что для точек (г, q), близких к кольцу и внеш-
них, имеем:
1 (r0) lg r, d/ I -f

Первый интеграл представляет логарифмический потенциал плот-
ности 1, относящийся к диску С; как известно, он равен
где через I обозначено расстояние точки (q, 2) от центра (а, Ь)
диска С. Это следует, впрочем, из того, что он зависит только от I
и удовлетворяет уравнению Лапласа относительно q, г.
Отсюда следует, как это легко было предвидеть, что вблизи по-
верхности инеем:
D0)
где величина h остается конечной вблизи кольца. Мы опять приходим
к выражению B2) в первом приближении, и подсчет, проведенный
аналогично прежнему, дает нам снова скорость переноса кольца
с главной частью B4J, т. е. — Ig r0, с точностью до конечной
величины.
Применим формулы:
dh
-д±=_ JV±= Io. 1 _ UCa_ gn^. 1 A 4- Jh-
D1)
в точках, внешних и смежных с кольцом; рассмотрим, как меняется
квадрат расстояния от центра диска
•г. е. рассмотрим производную по времени атого количества:
ds db
/ \ / dq da
Но мы имеем:
dt U' dt W*~
затем
dq ds
Ж-3
следовательно, делая замену, находим для L конечную величину,
которая может быть иринята за нуль лишь приближенно. Отсюда сле-
дует, как это мы уже предвидели раньше, что сечение С кольца,

предполагаемое в начальный момент круговым, не может сохраняться
бей деформации. Изучение изменения его формы относится в общей
задаче, которую мы будем рассматривать дальше. Вычислим теиерь
давление во внешних точках вблизи кольца; оно дается второй из
формул C6). Мы легко убеждаемся, что член в ty I — ]gr0 )
дает в выражении для р величину порядка .4»-0lgr0, т. е. иорядка
так как
С другой стороны, формулы D1) показывают, что saw стано-
вятся очень большими, иорядка —, так ччор становится очень боль-
*"о
шим отрицательным, что можно было предвидеть. Бесконечно тонкое
кольцо является, следовательно, лишь математической фикцией, но
формулы остаются такими же, как мы их получили, и выражения, ка-
сающиеся тонких колец, будут являться приближениями к реально воз-
можным случаям и приближениями тем лучшими, чем ближе мы
к случаям, когда давления делаются всюду положительными.
Замечание. Уместно отметить одно частное затруднение, встречаю-
щееся в изложенпом здесь приближенном вьтчислепии. Мы имели дело
с интегралом
/cose
— *'
где
г = У (г — г"? -f <? -f- q'2 — 2ад' cos e',
и взяли приближенное его значение вблизи кольца равным:
или, ипаче,
где
1. Weingai'len (NachvicMen zu Uiittingen, 100A, p. 81—1K), исходя
из факта, что
2*}
о
/COS

COse
янляется потенциалом линии плотности—7—, распространенным на
окружность радиуса (/', к которой сводится кольцо, применяет общую
формулу Риманпа о потенциалах линии (Riemann, Sclnvere, Elektrizi-
t.at und Magnet., Absclm. I, jj 17) и получает вблизи кольца выраже-
ние вида
3R lg
где д, так же, как 7 и fi> остается конечным и непрерывным при
з = /, q = q'. Исходя из этого выражения, он развертывает вычи-
сления и находит для скорости переноса кольца в направлении Он зна-
чение, удвоенное сравнительно с полученным нами выше. Отсюда
он заключает: „писавшие ранее авторы находили лишь половину выра-
жения, данного мною, что представляется мне неточным". Основанием
такой двойственности служит то, что Вейнгартен пе исследовал,
vojKHO ли пренебречь первыми частными производными функции д
сравнительно с производными члена т lgr,, рассматриваемого как
главный члеп. Мы провели выше для функции f соответствующую
проверку, каковая остается, очевидно, верной также для fi- Но
очень легко убедиться, что: 1°) разность jr— fi остается конечной для
»•, = 0; 2°) что это пе имеет места для разности производных
dq dq
В самом деле, положив ради упрощения:
Ч = <?Ч~ ri oos ш>
з = z' -\- r1 sin ш,
имеем:
COSCD
V q (V ч + У ч) q
что очевидпо стремится к нулю вместе с rt
„ dg 9v,
Находим легко, что разность -~ ~ сохраняет также конечное
значение при этих условиях.
Но мы имеем:
dg 9f, lgfj cos2 (в
dq dq 2qVqVq' ' q' Vq (V 4 + V <l')'
и ясно, что эта разность становится бесконечно большой при г1 = О.
Это замечание показывает, что предосторожность, принятая выше,
относительно поведения производных от f, вовсе не была излишней.
Но этому поводу отсылаем к интересной статье R. Thiry (Congress
des vSociotes Savantes. 1921к

ГЛАВА X
ИЗЛОЖЕНИЕ ОБЩЕЙ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ. О НЕКОТОРЫХ
КЛАССИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ, ОТНОСЯЩИХСЯ К РАЗРЫВАМ
Общая задача. На предшествующих страницах мы изучили раз-
личные частные случаи вихревых конфигураций. Если для наиболее
простых из них мы смогли выяснить, что вихревой объем переме-
щается, сохраняя свою форму, мы должны были констатировать, что
в случае тора поверхность его, являясь поверхностью вращения,
имеет меридианальное сечение, которое лишь приближенно сохраняет
круговую форму. Мы поставим следующую общую задачу: предполагая
известной в начальный момент <0 конфигурацию неограниченной идеаль-
ной жидкости, содержащей одну (или несколько) вихревых областей,
определить для момента t > t0 новую конфигурацию жидкости и об-
стоятельства, сопровождающие перемещение и деформацию вихревых
объемов.
Ради определенности мы предположим, что в момент t0 имеется
единственная односвязная вихревая область То, ограниченная поверх-
ностью So; метод легко может быть обобщен, если имеется несколько
таких областей. Объем То может быть гомеоморфен сфере, тору или
любому объему данного вида, односвязному или многосвязному.
Эта задача была предметом глубокого исследования Lichtenstein'a
(Math. Zeitschrift. В. 23, 1925, p. 89 —154), и вот в точности те гипо-
тезы, которые мы примем, и результаты, к которым пришел ученый
геометр.
Гипотезы. Мы будем предполагать жидкость идеальною и неограни-
ченною. Могут быть в наличии внешние силы: тогда, допустим, они бу-
дут иметь потенциал U(x, у, з, t), непрерывный, вместе со своими част-
ными производными по ж, у, г. Для R ( = ~\/х* -\- у2 -f- г2 ) бесконечного
1
мы допустим, что частные производные стремятся к нулю как -=-.
На бесконечности давление будет задано как известная функция
t:p(t).
В момент t0 частица (х, у, г) занимает положение (а, Ъ, с).
Скорости и (а, Ъ, с, t0), v(a, Ь, с, t0), w(a, Ъ, с, t0) будут также
данными функциями (а, Ъ, с), мы их обозначим через и0, % tv0; они
обязательно удовлетворяют уравнению неразрывности
да дЬ дс '

кроме того они предполагаются всюду непрерывными, но первые
и вторые производные могут иметь разрывы на поверхности 80, На
бесконечности в момент /0 жидкость покоится; м0, v0, w0 обращаются там
1 .
в нуль, как —гы> и их частные производные, первые и вторые, будут
тоже там обращаться в нуль как —^ и -=j-. Рассматриваемые вторые
производные удовлетворяют в объеме To-\-So и снаружи условиям
вида:
, Ь-fft, H-J) ^.(a, 6, с) — *
12 '
где С и X представляют две положительные постоянные, из которых
вторая меньше 1 (О < X < 1), и где di2 означает расстояние между
двумя точками (а, Ь, с) и (a-\-h, Ъ-\-к, c-f-O- Сокращенно эти усло-
вия обозначим Cv Если (&0, i\Q, у означает вихрь в (а, 6, с) в мо-
мент t0, то, по предшествующему, в Го -)- »S0 (там, где So. ^оДо отличны
от нуля) будут иметь место условия С, для первых производ-
ило
ных^,...
Наконец, мы допустим, что если s = f(x, у) изображает иоверх-
ность So, то вторые производные f удовлетворяют также усло-
виям Сх, которые сводятся здесь к
g- (* + *, j, + *)—^ (*, У)
Как известно из формул Гельмгольца, если обозначить через г
расстояние между двумя точками (х, у, s) и (а/, у', г'), то имеются
между скоростями и вихрями в момент t0 соотношения:
При всех этих допущениях мы докажем следующую теорему:
Можно найти конечный интервал времени, от ?0 Д° 'о ~Ь **> в течение
которого можно определить скорости и(х, у, z, f), v(x, у, z, f),
w(x, у, s, t), везде непрерывные и на бесконечности обращающиеся
в нуль, как -=g-, обладающие первыми и вторыми частными произ-
водными, непрерывными всюду, кроме некоторой поверхности S (имею-
щей тот же топологический характер, как и So); при переходе через
эту поверхность S, рассматриваемые производные могут претерпевать
скачки. Если % и Те обозначают соответственно внутреннюю и
внешнюю области по отношению uS, то вторые производные-^ , ...

удовлетворяют условию Сх, Первые производные на бесконечности
,ут обращаться в нул
Всюду будем иметь:
будут обращаться в нуль как -55", вторые производные как -=j- •
ди . dv . dw
+ ~я77 т ~я7 =
9х ' ду
При (= /0 величины м, v, w обратятся в и0, t0, м>0. Поверхность »!?
будет в каждый момент местом частиц, находившихся на <SY0 в момент t0.
Это условие необходимо, так как мы знаем, что вихревая поверхность
является жидкой поверхностью, которая не перестает быть
вихревой поверхностью; поверхность же 80, очевидно, является такой
поверхностью.
Ясно, что траектория частицы, находившейся в (а, Ь, с) в мо-
мент t0, может быть получена интегрированием уравнений
dx
— = и{х, у, е, t) .... A)
с начальными условиями х = а, у = Ъ, г = с, при t = t0, и мы сможем
выразить координаты частицы (ж, у, г) в функции переменных
Лагранжа а, Ъ, с, t. Вводя вихрь, мы должны будем иметь уравнения:
r t дх дх . „ дх
^^+r B)
которые очевидно будут представлять интерес только в объеме Г,.
И мы будем иметь также уравнения
д
1 д Г Г Г "Jdz'
Совершенно элементарен факт, что если найти х,у,гъ функции (а, Ь,
с, I), затем и, v, w и \, % С, то достаточно определить j? интегрировд-
нием соответствующего полного диференциала, чтобы удовлетворить
всем уравнениям гидродинамики. В самом деле, мы имеем
d2x dQ
что позволяет непосредственно перейти к уравнениям Эйлера и
Лагранжа. Но что касается давления р, то должно ввести дополни-
тельное условие, касающееся непрерывности при переходе через
поверхности S, ограничивающие вихревые объемы. Мы освободимся
от такого затруднения в отношении давления р, показав дальше совер-
шенно общим способом, что требуемое при этом условие постоянно
выполняется само собой. Пока скажем, что общая задача, поставленная
выше, как мы выясним в дальнейшем, имеет решение и притом
единственное.

Метод, которому мы будем следовать, относительно прост и пред-
ставляет некоторые сложности лишь в деталях. Он будет состоять
в преобразовании уравнений A), B), C), с присоединением началь-
ных условий
х == а, у — Ъ, г = с, при t = t0. D)
и интегрировании системы C) по t. Таким образом, получаем:
*-•+/«{ ~^ Л/^ '
' 2л ду
/Л
E)
* = e-t-
Получаем, таким образом, систему B), E), которая образует систему
интегро-диференциальных уравнений для определения функций (х,
у, z). Усложнение вычисления происходит оттого, что объем Tt неиз-
вестен заранее, и его определение должно получаться в каждый
момент из интегрирования самой системы.
Очевидно, эту систему можно исследовать методом последователь-
ных приближений, с детальным применением которого мы встретимся
в следующей главе.
В настоящий момент, носле этого предварительного замечания, мы
начнем с подготовительной работы, напомнив некоторые классические
результаты, относящиеся к разрывам в несжимаемой жидкости;
это нам позволит, между прочим, доказать общим способом теорему
относительно непрерывности давления при переходе через поверх-
ность S, ограничивающую вихревую область: мы встречали эти резуль-
таты в различных частных примерах, рассмотренных в предыдущих
главах, и теперь важно доказать теорему в общем виде. Давление
исключено из уравнений Коши и Гельмгольца, которые мы напомнили
в виде B) и C). Но нам следует полностью определить давление,
т. е. вернуться к уравнениям Эйлера или уравнениям, им эквивалент-
ным, и непрерывность входящего туда давления представит физиче-
ски необходимое условие.
Здесь существенно замечание, нами только что сделанное (см.
L. Lichtenstein, loc. cit.). Почему мы, собственно, не берем вместо
уравнений B), C) уравнения Эйлера, как основу наших рассужде-
ний? Это объясняется тем, что в этих уравнениях
ди ди . ди ди „ 1 др
dt ' дх ду ds p дх '
ди dv dw _
дх ' ду ' ds

четыре неизвестных функции, и, v, tv, р не играют одинаковой роли.
Здесь мы задаемся и, v, w для t = t0, но р не дано в этот начальный
момент во всей жидкости. Кроме того, уравнения могут быть разре-
ди dv dw
шены относительно —^-, —- , —^гг, тогда как четвертое уравнение
ot ot at
dp
не дает -?-.
at
Чтобы освободиться от этого несоответствия, мы приходим к ис-
ключению р, и это именно тот путь, которого мы придерживались
в главе I, чтобы получить уравнения Копш и Гельмгольца, которые
мы написали выше. Заметим еще, что если мы изучаем газ, а не
жидкость, все примет совершенно иной вид, так как уравнение нераз-
рывности представится в форме:
Эр д(ри) , g(p«) , Э(рир _п
dt "I Ыс г- ду -Г де — "•
В силу дополнительного уравнения (при допущении, например, что тем-
пература постоянна),^) будет функцией р, и мы будем иметь четыре урав-
ди dv dw до „
нения, разрешимых относительно -хг, —%г, —^-> ~5Г ¦ Задача
ot ot ot ot
получит тогда совершенно иное решение, и то, что может быть выска-
зано относительно жидкостей, не может быть перенесено, без глубо-
ких изменений, на газы.
Некоторые классические свойства, относящиеся к разрывам.
Здесь мы вкратце укажем различные результаты, сделавшиеся уже
классическими после работ I. Hadamard'a (Lemons sur la propaga-
tion des ondes, Paris, 1903).
Пусть S есть рассматриваемая поверхность внутри жидкости в мо-
мент t. Пусть (х, у, г) будет положение жидкой частицы в этот момент;
координаты х, у, з являются функциями начального положения а, Ъ, с
и времени t. Допустим, что эти функции, также как и все их частные
производные по а, Ъ, с, t до порядка п — 1 включительно, непрерывны
при переходе через S, но что одна, по крайней мере, из частных про-
изводных порядка п разрывна. При этих условиях S называется по-
верхностью разрыва или волной порядка п.
Мы обозначим через Ф (х, у, г, t) = 0 уравнение такой поверх-
ности и рассмотрим поверхность So, место начальных положений
(а, Ъ, с) в момент t0 тех молекул, которые в момент t окажутся на S.
Эта поверхность So будет иметь уравпение вида
F(a, Ъ, с, 0 = 0,
которое зависит от t, так как во всякий момент вообще новые частицы
будут составлять поверхность S. Обозначим значками 1 и 2 соот-
ветственно две стороны S; пусть MN нормаль в одной из точек S,

направленная, например, в сторону 2; направляющие косинусы этой
нормали, очевидно, будут:
1 ЭФ 7-^-1 /7~9Ф Y i ( №Y i / 9Ф Y
1 = 1 5—, ¦•¦> где fc = ± 1/ ~~- 4- (-т—- -f- -~- ) ,
к дх у \ дх ) ' \ ду } ' \ as J
знак к совпадает со знаком функции Ф в области 2. Если М' точка
(x-j-adn, y-j-^dn, s-\-jdn) пересечения MN с поверхностью 8t,M,
т. е. с поверхностью разрыва, в которую перейдет S через промежуток
времени dt, то уравнение
дает непосредственно:
kdn-\—— dt = Q,
ot
откуда скорость перемещения волны в точке Ж будет равна
ЭФ
у— dn - dt
dt к '
То же вычисление, проделанное для поверхности So, позволит узнать
скорость распространения волны для начального
состояния
3F
-+. -I /7 8F Y . /8F Y i IdF
Вполне понятно, что вообще ОфУ, даже если i совпадает с /0,
так как ясно, что нет оснований к тому, чтобы поверхности S0(t)
и 80(t -\- dt) совпадали; действительно, поверхность S0(t -f- dt) предста-
вляет в момент t0 место частиц, находящихся в момент t-f-dt на
поверхности S(t-\-dt). Напомнив эти определения, рассмотрим функ-
цию /"j (ж, у, s, t), вполне определенную в момент t, со стороны 1 по-
верхности S, непрерывную там вместе со своими первыми производ-
ными, и предположим, что fx и ее производные стремятся к опреде-
ленным значениям, когда точка (х, у, г) стремится к какой-нибудь
точке 8, оставаясь со стороны 1. При этих условиях Лдамар отмечает
тот существенный факт, что формула обычного диференцирования
функции/"j, применимая, очевидно, в области 1 остается приме-
нимой и на самой поверхности S. Этот факт не очевиден
a priori, так как, собственно говоря, на S нет частных производных.
Все сводится к тому, чтобы показать, что, обозначив через.%, уо, z0 точку
на S и через -J-^, ..., предельные значения производных fv когда
OXq
точка х, у, z стремится к х0, у0, г0 со стороны 1, имеем формулу:
jlfj)f dxQ a/\ dy0 dfx ds
s ' ду ds ' дг
ds дх0 ds ' ду0 ds ' дг0 ds

где s означает переменную (например, дугу), определяющую поло-
жение точки Мо по какому-нибудь пути, принадлежащему S. Но эта
формула не отличается от формулы диференцирования сложной функции,
и хорошо известный элементарный метод ее получения состоит в том,
что мы берем две соседние точки Мо и М'о, принадлежащие рассматри-
ваемому пути, и вводим вспомогательный путь, образованный отрез-
ками, параллельными координатным осям; затем применяем теорему
о конечных приращениях к каждому из отрезков. Но среди линий,
определенных таким образом, найдется вообще, по крайней мере,
одна, которая целиком лежит в рассматриваемой области 1 и которая
позволяет, следовательно, применить классическое рассуждение. Отсюда
и получается требуемый результат.
Как ноказал Адамар, можно связать эту теорему также с одним
замечанием, сделанным Painleve (Annales de 1'Ecole Normale sup.,
1887, 1-re partie, Chap. II, n° 2), заменяя рассматриваемый путь на S
близким путем, лежащим внутри области 1, и проделывая затем непре-
рывный переход к поверхности Я (см. Lecons Hadamard'a, p. 83).
Пусть тогда 8 поверхность разрыва первого порядка и So ее
отображение, взятое в момент t0: уравнение S0) как и вигае, имеет
вид:
/•'(«, I), с, 0 = 0.
По предположению х, у, г суть непрерывные функции а, Ь, с, I,
но их частные производные разрывны, когда х, у, г проходит через
S, или когда точка (а, Ь, с) проходит через 80. Пусть й, (а, Ь, с, t) и
62(а, 6, с, t) две определенные функции, допускающие частные производ-
ные соответственно в областях 1 ж 2, отделенных поверхностью ?0 и
совпадающие на ?0, в том смысле, что предельные значения ^ и <Ь2
одинаковы, если приближаться к *!?„ с той или с другой стороны.
При этих условиях разность
вевде равна нулю на ?0 и тоже для ее диференциала, который может
быть вычислен обычным диференцированием в силу теоремы, которую
мы только что напомнили. Мы имеем следующие формулы:
обе части птого равенства представляют, очевидно, разность
да да
в точках 30.
Установив это, Адамар разделяет условия на две категории: условия
тождественные и условия кинематической совместимости.

Тождественные условия. 1. Рассмотрим момент L По предположе-
нию функция <i' = (!'i или Ь2, смотря по области, остается непрерывной
при переходе через So в этот момент. Имеем, следовательно, 4Щ = О
везде на 80, т. е.
да дЬ дс
при всяких da, db, dc, на So, т. е. удовлетворяющих условию:
dF , , dF „ . dF ,
-z—da-{-^-db 4--г?-de = 0.
Отсюда еледует, что кояфициенты в обоих уравнениях пропорцио-
нальны, т. е.
°~да~ ° db ° дс О
HL ~~ 111 1L
~да дЪ дс
положив, как и выше:
h==~V [ИГ)
9/''Y2 , ( dI'Y
и имея в виду ввести направляющие косинусы нормали к aS'o. Эти фор-
мулы показывают, что разрывность вектора grad ^ есть разрывность
нормальная. Взяв за i поочередно три функции х, у, с, видим,
что три количества X, ii, v, играющие роль Й, будут достаточны, чтобы
определить разрывы девяти частных производных по а, Ь, с. Вектор
(I, [i, v), полученный таким образом, был введен Адамаром.
Условия кинематической совместимости. Пусть теперь меняется
время /, и предпололшм, что разрывы распространяются в виде поверх-
ности S. Поирежнему имеем 5^ = 0 и, следовательно,
dbx — О,
даже если t переменное, и это для всех значепии четырех перемен-
ных, удовлетворяющих условию
F (а, Ъ, с, 4) = 0.
Теперь, следовательно, имеем одновременно:
4l
dt
dF ., , dF ,, , dF , , dF .,
-r- da -f- -7-j- db + — dc -\- ~^~ rft= 0,

и, следовательно, в силу уже полученных условий:
g d«l» _ 6 dF
~dt ~h dt "
di>
Принятое обозначение -~, чтобы записать частную производную по t,
объясняется тем, что эта производная берется при а, Ъ, с постоянных,
т. е. следуя за жидкой частицей х, у, г в ее движении.
тт • * dx dy dz
Для if = х, у или s входящие сюда величины будут —г- , -—¦, -=г,
dt dt dt
т. е. проекции скорости и, v, w жидкой частицы. Будем, таким обра-
зом, иметь в этом случае:
, X dF (J- dF s v dF
Отношение двух векторов 8м, lv, bw и I, [j., v, которые колинеарны»
1 dF
равно -r-~rr> T- е- скорости распространения волны. Их направление
fi dt
есть направление разрывности в рассматриваемой точке; оно назы-
вается продольным или поперечным (трансверсальным), если оно нор-
мально или касательно к S.
В случае жидкости вектор 8м, bv, 5w может быть только
касательным к поверхности волны 8, которая, таким обра-
зом, будет поверхностью скольжения.
В самом деле, рассмотрим маленький цилиндр, имеющий в осно-
вании элемент da поверхности S и ограниченный поверхностью S'
(положение S в момент t -j- dt). Так как плотность жидкости постоянна,
то жидкая масса, содержащаяся в цилиндре, будет одна и та же
в момент t и момент t -f- dt. Предположим, что наш цилиндр находится
в области 2; пусть F, скорость жидкой частицы в области 1; F2 ско-
рость в области 2; отметим индексом п нормальные составляющие.
Вычислим изменение массы за время dt. Через основание da на #
вошла масоа, равная p(Vlndt)da, так как основание da находится
в области 1; через верхнее основание вышла масса pVindtda, по
таким же соображениям. С другой стороны, в сечениях, параллель-
ных da, тангенциальные скорости противоположны; изменение массы,
происходящее от того, что вошло или вышло сбоку, ничтожно мало
по сравнению с предшествующими величинами, если предположить
отношение -=- достаточно малым (ср. Hadamard, р. 112). Следовательно,
окончательно должны иметь
V у
'1» ' 2»)
что и доказывает предложение: разрыв скорости может коснуться
только тангенциальной составляющей.
Движение, когда скорости непрерывны. Скачок в ускорениях.
Применим прежние результаты, предполагая, что функция ty является

w — скоростью, спроектированной на ось Ох, или также v и w, и что
эти скорости непрерывны, но их частные производные могут терпеть
разрывы при переходе через 8. Выше доказанные формулы дадут нам
здесь
xi^_^iZL a.*L— vLBL jw _ v' дВ
dt~~ h dt ' dt ~ h dt ' dt ~ h Ы '
где X', f/ и v' означает некоторый вектор, а -=7-, например, предста-
вляет производную от м по <, если рассматривать а, Ь, с как постоянные,
du
т. в., следить за движением молекулы по ее траектории; -гг, следова-
тельно, представляет ускорение, спроектированное на Ох, и пред-
шествующие формулы дают скачок ускорения. Предположим
теперь, что поверхность разрыва <!У постоянно состоит из одних
и тех же жидких частиц; это именно то, что происходило
в случае, рассмотренном в начале настоящей главы, когда 8 было
поверхностью вихрей, отделяющей пространство, занятое вих-
рями. В этом случае отображение ее 80, F (а, 6, с, t) = О будет
независимо от t, по самому определению, и мы будем иметь
-дт = 0. Следовательно, в этом случае:
„ du dv dw
й 8 8 0
т. е. ускорения остаются непрерывными при переходе
через 8, если S жидкая поверхность.
Непрерывность давления в жидкости при прохождении поверх-
ности, ограничивающей вихри. Теперь вообразим движение жидкости
и запишем уравнения движения в форме Эйлера, т. е.,
du 1 dp
dt p дх '
или, вводя U—функцию внешних сил:
du д I Р\_Щ m
обозначая через Q потенциал ускорений.
Но мы уже внаем, что коль скоро скорости предположены непре-
рывными, то ускорения остаются непрерывными и при переходе через
поверхность разрыва 8, если последняя одновременно является жидкой
поверхностью; следовательно, ускорения непрерывны при переходе через
поверхность S, ограничивающую вихревую область. Потенциал Q опре-
делен в двух областях 1\ и 1\, внутренней и внешней к S — с точ-
ностью до постоянной, не зависящей от х, y,z, и надо только распоря-
диться этой постоянной так, чтобы Q имело одинаковые значения

в одной точке S, рассматриваемой как принадлежащей Tt или Те; тогда Q
получит одинаковые значения с одной и с другой стороны на всей по-
верхности S.
Выбираем постоянную (могущую вависеть от t), входящую в Q для
объема Те, требуя, чтобы Q равнялось нулю на бесконечности; тогда
имеем всюду
+ (U—Q). B)
Функция U непрерывна на S, так же как и Q, то же будем иметь
и для р.
Давление остается, следовательно, непрерывным
при переходе через поверхность 8, ограничивающую
вихри.
Другая форма этой теоремы. Видя важность этого результата,
покажем, как можно связать его с классическими свойствами цирку-
ляции. Без труда мы увидим, что мы дадим лишь другую интерпре-
тацию тем же условиям, которыми мы уже
пользовались.
Пусть АВ дуга какой-нибудь кривой,
рассматриваемой в жидкости в момент *.
Пусть («, v, iv) скорость в точке М этой
дуги. Следуя за частицей в ее движении,
имеем, очевидно:
А
dt
Sx.Sy,S
Рис. 55.
где 8я, 8j/, 8# означает элементарное перемещение на АМВ я, следо-
вательно, согласно A):
-5г {ubx -j- vby -f w&s) = Ш — + «8м + v&v + wbw.
Следовательно, окончательно:
в
А
dt
[ ubx -f vby + wbs = Г
+ U -f -i-
Возьмем за А и В две бесконечно близкие друг к другу точки, с одной
и другой стороны поверхности разрыва S. Скорости (и, v, tv) везде
в
непрерывны, интеграл / вдоль избранной кривой остается постоян-
А
ным, когда линия перемещается как жидкая линия; тогда правая
часть равенства равна нулю, а, следовательно, также левая; и так как
мы предполагаем, что силовая функция непрерывна при переходе S,
то оба значения р в А и В совпадают. Давление, следовательно,
непрерывно.

Замечание. Могло бы показаться естественным отыскать доказа-
тельство этой теоремы о непрерывности давлений, основываясь на
уравнениях Эйлера и на формулах Гельмгольца, которые дают ско-
рости в функции вихрей. Небезинтересно наметить здесь соответ-
ствующее доказательство. Имеем, с одной стороны:
Vd*
-iff!
так как жидкость неограниченна.
С другой стороны, Р, Q, R, являясь объемными потенциалами,
непрерывны со своими первыми производными при переходе 8. Чтобы
выяснить разрывы вторых производных напишем:
где (а, % f) направляющие косинусы внешней нормали.
Разрывы вторых производных происходят, следовательно, един-
ственно из-за разрывов производных от потенциалов простого слоя,
например,
'-Я"""
s
Но хорошо известно, что только нормальная производная такого потен-
циала V разрывна и, как известно, имеем (см. Goursat, Analyse, III,
p. 281):
dV. dVf , r ч
dne dne
Будем иметь, следовательно:
т. е.
и также:
9.x ду
дхдг
и аналогичные формулы для Q и Л

Отсюда и из формул A) ясно, что получается:
дхду
и, следовательно, так как и, v, w непрерывны:
Выясним теперь разрыв 8 -^-, и для этого рассмотрим производ-
dt
дР
нуго -д— и аналогичные, полученные в предположении, что х, у, г
постоянные. Поверхность S, ограничивающая Т, будет тогда двигаться,
и мы получим:
9^ ,
ЭР Г С f dt Z Г Г ?Ked°
т s
где V нормальная скорость с внешней стороны в точке поверх-
ности S
У
Согласно A), видим непосредственно, что
Г g Г
и, следовательно, получаем:
ди ди ди
' дх ду bz
т. е., что ускорение непрерывно и, следовательно, также -^-, -^ ,
др
-?-, чго приводит к тому же результату, что и выше.
Однако, это доказательство, кроме длинноты, имеет неко-
торое неудобство. Оно опирается, в самом деле, на теорему о раз-
рывности производных потенциала простого слоя. Но, как известно,
доказательство этой теоремы предполагает различные гипотезы отно-
сительио природы поверхности 8 и вида ее уравнения в соседстве
с рассматриваемой точкой. Мы получаем, таким образом, менее общее
доказагельство теоремы, которую мы имели в виду для давлений.

ГЛАВА XI
ОБ ОСНОВНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ
Общие понятия. Доказательство основной теоремы, изложенной
в предшествующей главе, требует применения определенных нера-
венств, касающихся потенциалов и уточняющих характер их непре-
рывности. Так как эти неравенства будут играть существенную роль,
мы посвятим настоящую главу их установлению. Теоремы, которые
мы изложим, принадлежат А. Когп'у [Sur les equations de 1 Elasticite
(Annales de l'Ecole Normale superieure, 1907, p. 9] и Lichtenstein'y
[Ueber einige Hilfsatze der Potentialtheorie (Math. Zeitschrift, B. 23,1925,
p. 72)]. С целью упростить язык и запись, мы сейчас сделаем ряд
соглашений.
Соглашения и обозначения. Пусть имеем функцию /', зависящую
от положения точки М [координаты которой, смотря по удобству,
мы назовем (ж, у, z) или (а, Ъ, с)]; две точки Mt и Л/2 взяты в дан-
ной области на конечном расстоянии; предположим, что функция f
удовлетворяет неравенству вида:
!/>!, yv ei) — /"(ж8, (/а, *„)
где d18 представляет расстояние между точками Mlt Iif2, X—заданное
положительное число, лежащее между 0 и 1, и N некоторая постоян-
ная. Мы тогда скажем, что функция f удовлетворяет
условию (C0\N).
Если функция /, в предположении, что она имеет производные,
удовлетворяет совокупности условий:
\f\<^o.
\9хI \dx
e
дх
<!
<^0,
df_
дУ
Е
дз
df
<^o.
А
мы скажем, что f удовлетворяет условиям (Ci|Q0), причем индекс 1,
присоединенный к С, указывает, что неравенства касаются функции
и ее первых производных, а число Йо указывает пределы, фигурирую-
щие в правых частях неравенства. Также, если f удовлетворяет
группе неравенств:
'Of _о W
дх =
*f
\C»f\ I
\w)r\
щ

где число условий, касающихся вторых производных, равно шести, мы
скажем, что функция f удовлетворяет условиям (<72Iq), причем ин-
декс 2 указывает, что эти условия распространяются на функцию и
ее производные до второго порядка включительно. Таким же образом
определяются условия (С8|2) и так далее.
Совершенно понятно, что существование условий (С„|а) влечет
существование условий меньшего индекса, при соответствующих зна-
чениях коэфициентов, фигурирующих в правых частях.
Это следует с очевидностью из следующего замечания, для кото-
рого достаточно рассмотреть функцию лишь одного переменного.
Предположим, что функция f(x) удовлетворяет условиям (Cj|B)
в ограниченном пространстве, а именно:
df .. .. ГI df
-~ остается тогда, ограниченной; это одно из условии ——
030 I 030
из числа предположенных допущениями; это следует также (при коэ-
фициенте О.', поставленном на место 2) из самого предыдущего нера-
венства, которое дает, в предположении, что хх постоянно:
где D обозначает максимальное расстояние между двумя точками рас-
сматриваемого ограниченного множества. Имеем далее:
и, следовательно,
\h — U
Следовательно:
[Д-А
если й12 меньше 1; и в противном случае, так как
можно еще написать:
f удовлетворяет, следовательно, условию (С0\А').
Приступим теперь к доказательствам теорем, которые мы имеем
в виду.
Теоремы Корна. Мы начнем с установления предварительной
леммы.
Лемма. Пусть Т некоторый объем, ограниченный одной или не-
сколькими поверхностями. Мы будем вести рассуждения для одной

поверхности S. Пусть пг (я, |3, ?) внешняя нормаль к Л*. Обозначим
черев [а постоянную и через г расстояние между двумя точками
(х, у, г) и (.//, у', г')\ если тройной иптеграл будет иметь смысл,
то имеем формулу:
В самом деле, но определению имеем:
х' — х . у' — у
cos (т.) = а — HP 'J-j-J
Рассмотрим поверхностный интеграл:
Г Г cosгпе
Г r*(x'
Из теоремы о расхождении известно, что это количество равно
Г Г fi
а это и требовалось доказать.
Теорема I. Имеем потенциал, распространенный на
конечный объем Т (и целиком на конечном расстоянии)
где плотность V (в точке ./', у', г') предполагается ограниченной
и интегрируемой. Известно, что V обладает непрерывными первыми
производными. Обозначая через d12 расстояние между двумя точками
J/j (xt, yv «,), ilf2 (ж2, j/2, г2) области Г и через л некоторую веще-
ственную постоянную, взятую между О и 1, будем иметь неравенства:
и аналогичные, где А надлежащая 1гостояпная, которая зависит
только от вида поверхности 8 и от I. Иначе говоря, -^ удовлетворяет
условию (O0\N).

В самом деле, построим сферу 2> имеющую центр в О, середине
отрезка М^М<, и радиуса <2]2(рис. 56). Пусть 1" внутренний объем этой
сферы, 2 ее поверхность. В изучаемых интегралах мы разобьем объем Т
на 'Г и Т" = Т—Т' и будем "рассуждать, предполагая, что Т цели-
ком внутри Т: в противном случае, некоторые части интеграла по Т'
или 2 будут отсутствовать, что только усилит наши неравенства.
дТ ,'-., 1
Т
Производная -— =
их
гз
1
но модулю меньше —^, и ясно, что мы
можем написать:
дG\ц> 1дЦ\
дх I [ дх J
(Т)
2 max 15
Рис. 56.
где г в правой части означает или расстояние подвижной точки М
от точки Мх или от Л/2, что, очевидно, в обоих случаях дает одина-
ковый результат. Беря за г расстояние Ъ1ХЖ и переходя к поляр-
ным координатам г, в, в " центром в Mv будем иметь:
ill —!f = I I I sin 6 dr d6 dy < (конечное число) X ^i2>
г г
g
так как в объеме Т', г меняется от О до -^-d^.
Следовательно, часть, происходящая от Т в рассматриваемом
выражении, дает неравенство:
(Г)
< (конечное число) X (тах | Е |) X &ir
dUyJ> /dU\
~дх~ )i ~\~дх~)

Перейдем к той части, которая происходит от Т". Очевидно, можем
написать:
где dS элемент прямой МХЪ1^ (точка М здесь внешняя к объему Т",
диференцирование под знаком суммы не вызывает опасений). И так как
д*7 (
вторая производная I линейная и однородная комбинация из
921 gal 92 L\
г г г \ 1 /
производных 2 , , ¦ I имеет порядок —81 и определенно
—), будем
И/
\дх) ~ ( Их)
J f f%*&MvMa). B)
меньше —), будем иметь:
И/
^(конечн< посгг<) Й1г X (max \l |) X
Здесь мы должны опереться на предыдущую лемму. Мы, очевидно
имеем, прежде всего:
dx'
где X число, заключенное между О и 1; и так как в У расстояние г
остается больше —&-, когда точка М (х, у, s) есть какая-нибудь точка
2
отрезка M^M2, будем иметь
следовательно

и в силу нашей леммы,
21-х 1
sos rn, . Г Г cos rn, , )
<(конечн.
C)
Так как на всей 5 и 2 величина ¦• остается меньше некоторого
заданного конечного количества Д то тогда имеем:
где dm — телесный угол, под которым виден из точки М элемент <fo,
следовательно:
\н
cos гпе
-,1-Л
к X -К == конечному количеству.
Такое же совсем элементарное рассуждение распространяется на инте-
грал по 8, если только сумма абсолютных значений телесных углов,
под которыми видны все ее элементы, остается конечной.
Из B) и C) следует, что
Г?")- ("IT") < коыета- поот- X max 11| X *»\ D)
\ дх /j \ дх /г
и, следовательно, складывая A) и D):
что и требовалось докавать.
Можно тогда сказать, что U удовлетворяет условиям (C^F) при
подходящей постоянной Р.
ГСП' Лт/
Теорема II. Если в потенциале U= I I I плот-
J J т Г
ность (конечная) удовлетворяет неравенству (С0\В),
т. е. неравенству вида:
15 {xv yv г,) — 5 («g, г/2, га) I < .Ш,2Х, (Ь)
где В конечное количество и X постоянная, заключен-
ная иежду 0 и 1, то тогда вторые производные U
удовлетворяют неравенству

и аналогичным, где сх и с2 две конечные постоянные,
зависящие лишь от вида поверхности S и числа X.
Для доказательства мы, как и прежде, разделим объем на две части
с помощью той же сферы 2 и положим кроме того:
G)
где ?! есть значение I в точке Mv
Рассмотрим сперва второй интеграл V и в нем часть, соответ-
ствующую области 7". Очевидно, будем иметь:
J J J <s %l> r
О)
B)
Л
где через Pj, P2 и Р8 обозначены, последовательно, три члена
в правой части. Индексы 1 и 2 при знаках модуля указывают, что
расстояния отсчитываются от точки М1 или Mv
Итак в Pi r означает расстояние М^М', и условие E) позволяет
нам утверждать, что
" г 1
и так как -„ „ ¦ порядка —^ и имеем даже
ох* г°
ох*
< -у, то напишем:
Первоначальная лемма позволяет преобразовать это неравенство:
cos rn.da'
Q
Но на 2 имеем г <; -— d№ следовательно (cos r»c сохраняет постоян-
ный знав):

Интеграл этот представляет телесный угол, под которым видна сфера 2
из точки Mv он равен, следовательно 4it. Таким образом, окончательно:
Р, < ExBd^,
где Н1 означает постоянную; имеем также:
(надо только поменять роли двух точек Ж] и М2). Наконец, оценка
члена Ps не представляет н икаких трудно-
стей, так как
и вторая производная, фигурирующая
в нем, остается, как иавестно, конечной
JJJ *?
но ее величина остается конечной; см.
Appell, Mecanique, t. Ш, p. 75). Следо-
вательно, Р3 удовлетворит условию, ана-
логичному предыдущим, и мы будем иметь:
(9)
Рис. 67.
Перейдем теперь к той части V, которая соответствует области Т".
Можно положить, как и при доказательстве теоремы I,
¦dx'
Д2 =
обозначая опять через dS линейный элемент на 1/jM2. Переход ^-| под
знаком интеграла здесь допустим, так как точка (ос, у, г), расположенная
на МгJf2, находится вне объема Т". Мы сможем, следовательно, также
написать:
1
или, обозначая через и ра сстояние М^М и используя предположеыне E1:
Ш, g3 J

г 1
и, следовательно, так как , а ¦$- величина порядка —j- и и меняется
от О до d12, то
( г' Г Г f dz'
Д2 < (конечное число)-В | / / / I т^г*" +
Но в силу леммы, мы имеем:
и, например, так как на 2 г все время ^ -^-, то
, . . 2 Г
и также
Ясовгп
, 1-х »
«12
откуда легко получаем:
л*'
<! (конечное число) ¦
П Г—
III —j- <! (конечное число) • dlt i
Внося в A1) и замечая, что интегрирование по S введет множитель
2dJ2, мы видим, что окончательно
Д2 < (конечная постоянная) «.Ш12\ A2)
Остается, наконец, рассмотреть количество
~f-> 03)

входящее первым слагаемым в V (формула 7); здесь мы имеем:
(т/Л
\ ^ Л"
(
< (конечное число) • max 111. й,2к.
Чтобы это доказать, выразим —*-%- через интеграл по поверхности.
Непосредственно получаем:
дх
и, следовательно,
дх
дх~
cos п,х . ,
~ аз,
Если теперь образовать разность I 2' 1 — I g' I , то, как видно,
там имеется выражение:
которое обращается в нуль как dl2 при Jf2, близком к Mv Если, сле-
довательно, мы образуем отношение этого выражения к й12\ то это
отношение будет оставаться конечным и ограниченным на 8, и, следо-
вательно, ясно, что мы сможем написать
Д3 < (конечное число) • max | \ \ • d12\ A4)
Из формул (9), A2) и A4), касающихся Av Д2 и Д3 получаем, оче-
видно, путем сложения теорему, которую должны доказать. Тогда можно
сказать, что U удовлетворяет условию (С21F) при соответствующем
значении Р.
Следствие. Присоединяя к гипотезам теоремы II аналогичные
гипотезы, касающиеся первых производных ?, именно:
3
dx
< Л
т. е., если функция I удовлетворяет не только условиям (Со | В), но и
(Сх | Л), можно доказать в точности, как и выше, что потенциал U
удовлетворяет неравенствам, аналогичным F), по касающимся на этот

раз третьих производных. II удовлетворяет тогда условиям, которые
можно обозначить (С3 \Р).
Неравенства Лихтенштейна. Теоремы Корна дают нам ценные
неравенства, касающиеся потенциалов, рассматриваемых, главным
образом, как функции точки, в которой вычисляются эти потенциалы.
Как показал Лихтенштейн (loc. cit.) другого рода неравенства будут
играть существенную роль, а именно те, где область интегрирования
является переменной; в частности представляет интерес характер
зависимости потенциала от изменения области интегрирования. Мы
здесь получим результаты, которые будут нам полезны в дальней-
шем.
Рассмотрим, в качестве исходного пункта, область У'о, в которой
переменная точка обозначена через (а, Ь, с); пусть So поверхность, огра-
ничивающая эту область. Поставим в соответствие этой области две
другие Т1_1 и 7'г, отвечающие 7'0 однозначным образом и имеющие
тот же топологический характер и ограниченные поверхностями 8{_г
и 8Г Пусть {xlv (/|_г, ?,_,), {xv (/г, .гг) точки функции а. Ъ, с, со-
ответствующие точке (а, Ь, с), принадлежащей T0-\-SQ.
Предположим, что разности xt ^ — a, yl_1 — Ь, sl_1—с и также
Xj — a, iji — Ъ, г1 — с удовлетворяют условиям (C^IQ) и что разности
:сг — xJ_l, У] — ?//_i> si — ?/_! удовлетворяют условиям (C2|Q) при
Q :<; —f- 20 постоянная X, входящая во все формулы, есть как и раньше,
постоянный показатель, выбранный между 0 и ].
Мы будем обозначать во всем последующем через г расстояние
между двумя точками (а, Ь, с), (а?, V, с') первой области, через гг_х
и гг расстояние между двумя точками (жг1, . ..), (•«';_;, -¦•) и
{х1, ...), (ж/, ...), соответствующими первым в пространствах инде-
ксов I— 1 и I.
Положив ото, рассмотрим потенциалы притяжения:
)
О)
где плотности ?г_х, ?г являются функциями, полученными из функции ?0
(конечной), при помощи формул преобразования, переводящих область
7'0 в две другие.
Мы допустим, что плотность ^удовлетворяет неравенству (C0|JV) и,
следовательно, согласно сделанным уже предположениям, \г _х и S, удо-
влетворяют аналогичным неравенствам. При этих условиях мы докажем,

что потенциалы Ul_l и Ut удовлетворяют следующим неравен-
ствам:
dU, dU, ,
dP-U,
| 9* »
9*»,
9* г/,
Их*
B)
J
где А означает соответствующую постоянную, зависящую только
от рассматриваемых областей и, конечно, от функции $0. Ради кратко-
сти мы будем обозначать условия B) через (Н|Л.Й). Очевидна их ана-
логия с условиями (С21 AQ), от которых они отличаются тем, что дифе-
ренцирования в левых частях касаются двух групп переменных
(ж;_1> 2/г„р ^(-1) и (xi> Уг> z\} вместо одной.
Так как плотности Z удовлетворяют условиям (C'0\N), то в силу
теоремы Корна для V, выполняются условия (О2\Р) и тоже для f/l_1.
Следовательно, можно получить желаемые неравенства B) или (Н2 \ АО.),
и именно последнее иростой записью аналогичных неравенств, касаю-
щихся разностей:
и элементарной комбинацией этих неравенств, после замены двух
коифициентов правых частей наибольшим из них. Таким образом,
можно более прямым путем привести эту теорему к доказательству
Корна, при помощи изящного способа, принадлежащего Лихтенштейну.
Для этого мы рассмотрим непрерывную последовательность обла-
стей 'l\-\-S^, определенных формулами;
о
где параметр е меняется от О до Й; мы исходим от области
T\Sl_^) для s = 0 и кончаем на области G"г-{-$,) для s = Q.
Мы назовем через \ значение \, определенное начиная с $0 (или
с ^_i). II0 предыдущим формулам, и мы рассмотрим потенциал
dz'
где смысл обозначений очевиден. Совершенио очевидно, что так как
но C) (#(_, — 1) ...и (с( — а) удовлетворяют неравенствам (С\\120),

то мы будем иметь для (л5— а) неравенства (С{ |2Й0), записывая про-
сто в правых частях 2Q0 вместо Qo. И, очевидно, <Г/ будет являться
функцией от s аналитической и регулярной для 0 < s ^ Qo. Имея иго
в виду, рассмотрим, например, производные:
1 \ ,.
а~,
и введем аналогичное выражение
которое мы можем привести к интегралу по объему 7'0, записав
V^ J J J *°^\U~iW7bW)-d-
13атем будем иметь, и это, в общем, путь, которым мы тли при дока-
вателъстве неравенства Корна:
-^-i*. (Г,)
('0
:]десъ прибегнем к новому приему. Пусть Го окружность радиуса Qo
с центром в начале координат, в плоскости переменной е. По теореме
9
Коши, мы имеем в Го и a fortiori для |е|^2^-~
-=J- Г М г
2«- J C-е'J "';'
полагая 8 = Qoe'r', 0 < а < 2я и определяя U~ так же, как и ?/. [урав-
нение D)J. В действительности, области У'.-)-^, введенные таким
образом, вещественны лишь при а = 0 или л, но мы будем всегда
иметь неравенства (С, | Qo) для всех :)тих областей. Для всякой точки
(я, Л, е) в 7'0 и .S'o и, следовательно, во всякой точке (уа, уй, sf)

в Ts-\-Sv Ub будет обладать конечными частными производными пер-
вого порядка, ——.... В силу условий (Со | N), выполненных для ?0 и
о
в силу теорем Корна, имеем одновременно для TJb неравенства
(С1\с), т. е. неравенства вида:
дий
~~дх~
л_
д.г.
G)
Факт, что 8 мнимое, не меняет существа рассуждения, приведшего
к теореме Корна.
Из E) теперь следует:
/ dU\
\ V, — U, ,|<S- mod. maximum —— .
Но из F), принимая во внимание, что | С76 j -sg; с и что неравенства
О < s <^ — Qo дают (о — г) ^ -^2-, мы подучаем:
mod. max •
dV
1
Ac
Следовательно, получаем:
\U-Ul__1\<^-Q = A'Q. (8)
Рассуждая с Vs и с уравнением E') вместо Ut и E), мы получим:
ЬУ.
dVt 1 Г d!S
2'
и мы придем вместо (8) к неравенству:
dVi dUi-i
A"Q,
A0)
где А" новая постоянная.
Чтобы получить то из неравенств B), которое касается
дх? дх2{
37,
достаточно рассмотреть величину Ws = -^— (вторую производную
потенциала fu, с предосторожностью в применении для объема внутри)

для 8 = Qoe"" и определить его предел, после чего рассуждение
заканчивается таким же образом, как и выше. Но теперь весьма легко
распространить классические свойства объемного потенциала без
малейшего изменения на потенциал (мнимый) Ut и его проивводные.
Из существования формулы:
де 2m J (8 —f
Го
следует аналогичная формула для 8 , Ve и FB могут быть ваме-
OX OS
нены 1F6 и W5. Тогда вторые неравенства G) и равенство, анало-
гичное E), дадут:
dV,
дх,
дх.
1-1
J ar,a
de
и, естественно, будем иметь совершенно аналогичные неравенства
для производных по у, и sv Наконец, комбинируя, как уже говори-
лось, неравенства, полученные для Vb и Vl_1 с первой теоремой
Корна, получим искомое неравенство вида:
1-Х
дх,
дх,
'1-1
< А" 9Л
12
Веря за А наибольшее из чисел А, А", А", А1% мы очевидно
сможем получить все требуемые неравенства. И мы легко увидим,
что все эти неравенства будут одновременно выполняться для всех
ограниченных функций $0, удовлетворяющих неравенствам (C0\N) и для
всех функций (^i_l, • • -, xt,...), удовлетворяющих неравенствам (Ci | Qo)
и (б7,| 9).
Наконец, мы предполагали, что 10, 5/_1, %г — функции, определенные
тем фактом, что две последние принимают те же значения, что 10
в соответствующих точках. Легко заметить, что если плотность ?
меняется при переходе от Т1_1 и Tv то это не повлечет никаких
специальных затруднений.
Добавим далее, что если предположить гипотезы, касающиеся
(#г_]. ..., х,, . ..), более распространенными, примененными ко вторым
производным, допуская, что функции {xl_l—а), ..., (ж( а) удовлетво-
ряют условиям (С2|20) и что кроме того плотность i0 удовлетворяет
условию (C\\N), то будем иметь тогда кроме неравенств B) аналогич-
ные неравенства для третьих производных потенциала V, которые
мы все в совокупности обозначим через (HS\AQ).

ГЛАВА XII
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ЛИХТЕНШТЕЙНА
Доказательство теоремы. Мы теперь сможем приступить к доказа-
тельству общей теоремы L. Lichtenstein'a (Math. Zeitschrift, 1925,
p. 89), с которой мы уже встречались в главе X и общий план
доказательства которой мы сейчас изложим в главных чертах, отсы-
лая за подробностями к детальному мемуару ученого геоиетра.
Мы знаем, что все сводится к доказательству, — при объясненных
уже обозначениях, — существования трех функций:
х (а, Ь, с, О, У (а, Ъ, с, t), г (а, Ь, с, Г),
удовлетворяющих начальным условиям
х (о, Ъ, с, t0) = а, у (о, Ъ, с, У = Ъ, г (а, Ъ, с, 10) — с, A)
внутри объема То и удовлетворяющих следующим неопределенным
уравнениям:
t
,'dV
B)
У =
где Т означает объем, соответствующий объему 7'0, в момент t.
Функции \, к], С, с другой стороны, должны удовлетворять соотно-
шениям:
да тУ]о дЪ ~т~^0 дс '
f <8>
J
По предположению мы допускаем, что функции S;o, т\0, г,0, как функции
от а, Ъ, с, удовлетворяют условиям ((Gi ] N) при показателе X (между
О и 1), произвольно заданном наперед. Имеем, следовательно, не-
равенство:
/ at \ / яг \
;^12Х, D)
да Д \ да
и аналогичные, где dn означает расстояние между двумя точками
iflv bv Cj) и (а2, fe2, c2).
Мы будем применять метод последовательных приближений.

Сперва, в виде первого приближения, мы определим функции ж,,
¦;/,, з1 по формулам:
E)
2л 96
Из сделанных предположений и теорем, составивших содержание
предшествующей главы, следует, что эти функции (хи yv гх) обла-
дают непрерывными первыми и вторыми частными производными и что
они удовлетворяют условиям (С21^4) и также неравенствам (С3| В).
Области То эти формулы E) ставят в соответствие область 1\ и
поверхности So — поверхность St; мы тогда положим:
t
F)
при
J
G)
На основании E) ясно, что \v t\v X,v рассматриваемые как функции
я, Ь, с, будут иметь первые производные непрерывные и удовлетво-
ряющие неравенствам D) и аналогичным. Функции ж2, у2, s% и их
первые и вторые производные будут непрерывными и эти. функции
будут обладать свойствами, аналогичными свойствам хх, ух, ех.
Области 2\ и поверхности Slt а следовательно, и То и So форму-
лами F) будут поставлены в соответствие объем Т2 и ограничиваю-
щая его поверхность 8Ъ. Очевидно, можно продолжать так дальше и
дальше, и после I подобных операций, а затем после 1-\-1-оЁ будем
иметь:
\
xi+i=<
J \d>Ji дг, J
(8)
(9)

полагая
A0)
и записав, ради краткости:
1 Г Г Г «/*/
A1)
Имея это, мы сейчас вместе с Лихтенштейном установим следующую
теорему:
Теорема. Если предположить, что для значения Z
индекса и, функции я„ — я, г/„ — Ь, 5П — с удовлетворяют
всем условиям (С2120) и что разности жя — жя_1, yH—yn_v ^a — ^n^
удовлетворяют условиям (Сг[Й), где
то подобные же неравенства будут иметь также ме-
сто для п = I -f- 1.
В самом деле, прежде всего формулы A0) позволяют написать:
«о —«о
(g|-q)
да
(ж,—а)
а)
дс
A2)
и, следовательно (в силу условий, допущенных для ?0, •%, К.оя х, — а),
?j — ^о будет удовлетворять условиям (C1\AQ), при соответствующем
вначении постоянной А. Это следует из тождества следующего и
аналогичных:
\2}\Da}1
да
\\ да'},
да

Написав также:
9а
дЬ
дс
и используя условия (Gа|2), справедливые для ,сг — ,сг_1, мы конста-
тируем, что 5г — 5g_j удовлетворяют условиям (Сх \ A'Q) при соответ-
ствующем значении постоянной Л'.
Эти неравенства и им аналогичные новволяют нам теперь утвер-
ждать, в силу теорем Корна, что, для п = 1, функции Р„, Qn, Bn
удовлетворяют условиям (С31 А"), и в силу теорем Лихтенштейна, удо-
влетворяют условиям (H3\A'"Q). Эти последние позволяют, следо-
вательно, написать:
дГ,
dl\
A'"Q,
i-i
*12 '-
и все прочие условия этого рода.
Имея это, остается почти простое переписывание, чтобы доказать
высказанную теорему.
Рассмотрим сперва разности х1+1 —.»,. Формулы (8) и (9) позво-
ляют их вычислить в виде:
... * „
C:)' <13)
Это количество само ограничено числом вида BQ. Рассмотрим произ-
водную —Щ -—. Туда входит количество
да \ дгх ) да\ dsl_l J '
которое, очевидно, может быть представлено в виде:
дг1дх1 да дг1ду1 да дг^ да
!—1
или еще:
Эх,
da
9a

и, следовательно, неравенства, существующие для rl—r^j, хг и для
Ql_1 и Qt и их производных, дают ограничение вида
Q
да \ %. / да \ дз, . I
также доказываются неравенства вида
< Л 1V Q
1]2 .
Рассуждения, тождественные с предыдущим, будут применимы для
других членов, фигурирующих в выражении х1+1 —хг (формула 13);
после интеграции между f0 и / получаем неравенства вида:
+1
да
A4)
-*«) Ja
где ^4V копфициент, зависящий от 7'0, $0, т|0, Со и от Q, а это суть не-
равенства (C2|Q'). Если, следовательно, такие неравенства имеют
место для некоторого значения I, то они будут ииеть место для сле-
дующего значения индекса. Для I же, равного 1, имеем xl_1 = а, и
рассуждение, проведенное нами, показывает, что неравенства будут
справедливы для достаточно малых {t — f0). Сожмем теперь интервал
/ —10, налагая условие
тогда, как видим, сможем написать, шаг за шагом, в силу результата,
даваемого первым неравенством A4):
I г п\ ^ о г г i << о
/V. /

откуда получаем:
и совершенно подобные следствия будут существовать для первой и
второй производных. Таким образом мы устанавливаем, что неравен-
ства (С2 | Qo), справедливые для хп — а,..., при индексе I, будут
также справедливы при следующем значении индекса, / —[— X — и, сле-
довательно, для всякого значения индекса.
Высказанная теорема, следовательно, полностью доказана.
Определение х, у, з внутри области То -f- 80. Ясно теперь, что
если мы рассмотрим ряд:
х -\-(х х ) -4- . -1— (х х ) 4-• • A5)
или его производные, первую и вторую по а, Ъ, с, то будем иметь ряды,
сходящиеся абсолютно и равномерно в TQ-\-S0 при достаточно малых
(t — tQ). Будем называть через х сумму ряда A5) и через у и г суммы
двух аналогичных рядов, писать которые излишне.
Равенство
даст нам, кроме того, в силу уже доказанных результатов, неравен-
ства (С2 | Qo) для х — а, у — Ъ, г — с, а именно, например:
\х — а\
да
{х — о)
A7)
Определенные так функции (ж, у, в) до сих пор рассматривались
в области То пространства (а, Ъ, с). Я утверждаю, что они там удо-
влетворяют уравнениям B), которые подлежат решению.
В самом деле, ив A6), E) и A3) следует, что мы имеем, на-
пример :
(о ту»
¦г- —
Уп
Если же мы назовем S, ч\, С функции, определенные уравнениями C):
дх
~" W
t дх . дх \г д%
где л, у, е функции, только что определенные выше; если назовем
.7' и S область и граничную поверхность, соответствующие То и So

при помощи тех же функций, и если, наконец, назовем Р, Q, В функ-
ции, аналогичные Рп, Qn, В„, из них вытекающие, то сможем заклю-
чить, что, например:
—+ /'"(?-¦?)• <••>
Не вникая в детали, ясно, что это следует из,того, что когда х, у, з
определены, как было сказано, то разности х — хп..., стремятся к нулю
вместе с — ; в самом деле, хп является суммой (и -j-1) первых чле-
нов ряда
a -\- (xi — а) -f (xa — ж,) + (% — Ч) 4" • • •
и мы имеем:
и, следовательно:
if, [.+i+(i)V..]<(ip..
Из этого неравенства и аналогичных, касающихся первой и второй
производных, очевидно, оледует, в силу теорем Лихтешптейна, дока-
дВ дЛ„
занных в конце прошлой главы, что разности типа-^ ^—- стремятся
равномерно к нулю вместе с —, так что равенство A8) влечет за
п
собой A9).
Определение х, у, г вне То. Может случиться, что функции ,т, у, г,
данные формулами A9), определены не только тогда, когда (а, Ь, с)
лежит в области То, но также и во всем внешнем объеме. Мы, следо-
вательно, имеем функции х, у, g, определенные везде.
Эти функции, х, у, z образуют решение задачи.
В самом деле, беря полную производную по t от обеих частей
уравнения A9), получаем сейчас же:
"- 2ъдг]]]—г f" 2тг ду J J j —Г-'' B0)
T T
Определенные таким образом скорости всюду непрерывны; частные
производные существуют всюду, но могут претерпевать разрывы не-
прерывности при переходе через S. На больших расстояниях и, v, w
обращаются в нуль как гНГЧГ' ^3 УРавнени^ B0), очевидно,
получаем уравнение:
dtt . dv . div
+ +0

которое, как известно, эквивалентно
В{а,Ъ,с) =1
откуда, а также п силу формул Кожи C), легко получить:
*+*»+* О. B1)
дх ' ду ' дг
Тогда мы анаем, как мы видели в главе II, уравнения B0) и B1)
дают:
>&==~ду ЬТ'
и другие уравнения того же типа.
Легко, наконец, показать, что (и, v, w) обладают первыми и вто-
рыми производными, из которых последние удовлетворяют условиям
(Со | А). Это выводится просто применением теоремы Корна для про-
изводных, взятых только по координатам. Посмотрим, что происходит
с производными, в которые входит t, и для этого остановимся, напри-
dw
мер, на ускорениях: возьмем —гг.
Мы имеем:
'-Afc'. B2)
При диференцировании по t мы должны учесть, с одной стороны, изме-
нение под знаком интеграла и, с другой, изменение объема Т интегри-
рования. Чтобы исключить эту вторую часть, приведем интегралы
к новым, относящимся к неизменному объему То, выражая все под
знаками интегралов в функции (а', V, с') вместо (хг, у', г'). Так как
речь идет о жидкости, то, как известно:
и, следовательно:

откуда легко получить:
/
Го
j
а?"
dt V ду 1 ду dt
что после перехода к переменным (%', у', зг) примет вид:
Г /Л\ .1
du
d
г d-q'
dt
dx'.
B3)
du
Эта формула показывает, что —^— обращается в пуль при бесконечном
й(= Yx2
), по крайней мере, как -=^-. Можно даже за-
ключить, что имеем одновременно
< —
для достаточно большого В. В самом деле, интегралы, входящие
d \ r d \ г ]
в B3) и содержащие —тг \ -д— / или -тг\ —*— 1> обращаются в нуль
dt \ 0ij / at \ 08 /
1
вместе с ятими выражениями как -™", так как имеем, например:
-М-*' ) d (з — гг \ 1 / ds d/
dt \ bf) ~~ dt {
. ;-) (г — s') d.«'J w — w'
__
2 r6 at r
Рассмотрим остающиеся количества. Так как
[{*-*){*-*)+...].

то имеем:
df\ 9» , dv . r dv
Можно написать, переходя от Т к То:
dtf ~i CCC If ^c' ' ^e' r' ^v'\j i
di J J J \ ° da' ' l0 rfft' r 09c7 °
т
или еще:
Г J J J ~a^
9?
и так как уравнение B1) по предположению выполнено в начальный
момент, то
где (я', |3', ^') означают направляющие косинусы внешней нормали
к So.
Так как $0 вихревая поверхность, то
и, следовательно,
Отсюда следует, согласно элементарным теоремам теории потенциала
(см., например, P. Appell, Mecanique, t. Ш, p. 83), что для потенциала
I I I j—d~'-, от массы, равной в сумме нулю, производная
г
вида
a- J J J r di
обращается в нуль как -=^ при бесконечном 11 к совершенно так же
д Г Г Г 1 dC' , ,
т
откуда непосредственно следует высказанное предложение.

Применяя формулы A3) и неравенства для функций Р„ Q,, Вг,
dx,
легко показать, что, положив и = —^, получаем ряды:
(ль
и их производные первого и второго порядков, сходящиеся, когда
(о, Ь, с) точка То или вне То — при достаточно малых (? — t0). Можно
было бы доказать аналогичное для рядов:
~W
dt
d%n
dt
Мы не будем углубляться в эти детали, отсылая к прекрасному ме-
муару Лихтенштейна.
Взаимно однозначное соответствие между последовательностью
областей. Мы неявно допускали во всем предшествующем, что по-
следовательно рассматриваемые области, которыми мы пользовались,
находились друг к другу во взаимно однозначном соответствии, что
позволило сказать, что их топологический характер аналогичен. Легко
проверить, что это будет именно так, по крайней мере, для доста-
точно малых (J, —10).
В самом деле, мы видели, что для всякой точки области 7'0 и для
всякого момента t в подлежащем интервале с началом tQ, имелись
неравенства вида
?-(а?„— а) ,..., ~(гп — с) < 20, B4)
)а да " ' ^- и ^ /
где Qo может быть взято произвольно малым, если сам интервал
(t —10) достаточно мал.
Затем, точке (а, Ъ, с), принадлежащей То, мы ставим в соответ-
ствие точку (хп, уп, sn) области Тп по формулам (8). Предположим,
что, обратно, одной точке Тп соответствует больше, чем одна, пусть
две точки (аи &,, с:) и (аа, \, с2) в У'о, в один и тот же момент,
взятый в указанном интервале. Тогда, следовательно, имеем:
или
в) — «к] —
62, с2, 6) —
Применяя формулу конечных приращений и отмечая штрихом про-
изводные, взятые при промежуточных значениях яежду (а , й , с ) и
(«2. \, с2), запишем последнее равенство в виде: i» i» i
-(«. — я) + (°i - С2) ~ЬТ {Хп ~ п) = °'

Это уравнение и два других, относящихся ъ у и г, составляют си-
стему трех однородных уравнений для (а1 — о2), (Ъг — 62), (с1—с2)
с определителем, очевидно отличным от нуля, если количество Qo из
неравенств B4) достаточно мало. Отсюда заключаем, что о; = о2,
6t = &2, d = с2, что и обеспечивает взаимную однозначность.
Единственность решения. Является ли решение (х, у, г), суще-
ствование которого мы показали, единственным? Пусть (t0, to-\-b),
интервал, в котором решение определено, и предположим, что мы
имеем другое решение нашей задачи, пусть х, у, г — при тех же
условиях непрерывности, что и первое, и определенное в интервале
{tQ, lQ -j- 6'), где в' не обязательно равно 6. Я утверждаю, что эти ре-
шения тождественны во всем интервале, где они оба определены.
В самом деле, х, у, г удовлетворяют уравнениям:
. Г ,.\ 1 д Г Г C^'dx' 1 д Г Г Г Z'ch'
дх
дх
дх
1'де обозначения понятны сами собой. Отсюда легко можно получить,
что разности (х — о) и другие удовлетворяют условиям (С2'|ш0). Далее,
образуем разности вида:
2ir дг J J J r 2tt dy J J J r
г
_J__1_ f f f ^'п-г^п-г
2* ^,-1 J J J »•„-!
Обращаясь с этим выражением, как это мы делали с xl,1 —ж, в про-
цессе доказательства теоремы, ми покажем, что (х — х„) удовлетворяет
условиям (С21 a>J), где
где число а зависит только от Тф Ео, т[0, Со и ш0. Мы видим, что если
ограничиться

то х — .гп будет стремиться к нулю вместе с —. Следовательно,
единственность решения обеспечена в маленьком интервале @, tv где
/j меньшее из чисел 6, 9', —; оба решения (я, у,,?) и (х, у, г) совпа-
дают до момента tlt включительно; последнее — в силу непрерывности.
Беря тогда этот момент ti за новую отравную точку, и возобновляя
раосуждение, докажем совпадение решений на новом интервале tv t2
и так далее, пока оба решения одновременно определены. Процесс
может остановиться только, если ряд
(«1 -<о) + (ft— ',)+¦•¦
будет сходящимся и его сумма 8" будет меньше чисел вив'; тогда,
хавалось бы, мы не можем перейти через момент to-\-W. Но это не
так. В момент '0 + ^" наши °ба решения совпадут в силу непрерыв-
ности. Начав опять наши рассуждения с момента <0 + 6", как исход-
ного, мы увидим, что оба решения будут совпадать еще на малом
интервале, начиная с /-j-ft" и так далее, что и требовалось доказать.

ГЛАВА XIII
РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ
Теорема и результаты Лихтенштейна могут быть обобщены в раз-
ных направлениях. Прежде всего заметим простое обобщение, на ко-
тором мы не будем останавливаться, для того случая, когда неограни-
ченная жидкость содержит в начальный момент t0 несколько вихревых
объемов То, То',... вместо одного.
Ограниченная жидкость. Менее проста задача, когда мы не
имеем уже неограниченную жидкость, а жидкость заключена в сосуде,
движение которого известно (и который целиком заполнен жидкостью).
Строго говоря, сосуд может деформироваться, но несжимаемость жид-
кости требует, чтобы объем жидкости оставался постоянным. Предпо-
ложим сосуд односвязным и пусть
Ф (х, у, г, t) = 0 A)
уравнение поверхности ?, где Ф регулярная функция своих четырех
аргументов. Чтобы избегнуть всяких добавочных затруднений, мы до-
пустим, что эта поверхность не имеет особых точек и, наконец, пред-
положим, что Ф становится положительной, если перемещаться от ?
внутрь жидкости. При этих условиях направляющие косинусы вну-
тренней нормали п будут
ЭФ
дх
/т+ш+ш
причем для радикала взято его арифметическое значение; нормаль-
ная к поверхности скорость Vn (скорость перемещения поверхности
разрыва) будет тогда
ЭФ
V = __ ~ д1 (О)
f/дФу/дФу (дФ
а условие несжимаемости, или, лучше сказать, постоянства объема
жидкости внутри 2 запишется в виде:
**° = o. (Я)

Наконец, условие того, что 2 постоянно остается жидкой поверхностью,
т. е., что скорость «, v, w касательна к ней, налагает соотношение:
дФ ЭФ . дФ . ЭФ гл.
удовлетворяющееся на поверхности ?¦
Мы будем допускать, что для скоростей «0, v0, w0 и вихрей ?0,
т]0, Со в начальный момент t0 соблюдаются все те условия, что и
в прошлой главе, сохраняя притом те же обозначения; вихри пред-
полагаются сосредоточенными внутри объема, То (односвязного для
определенности), ограниченного поверхностью So.
При этих условиях мы покажем, что прежние результаты сохра-
нятся, и что, по крайней мере, в течение некоторого промежутка вре-
мени, начиная с t0, можно следить за деформацией заданной конфигу-
рации, которая во все это время будет сохранять свой первоначальный
топологический характер.
Лихтенштейн приводит задачу к интегро-диференциальным уравне-
ниям, которые можно решать методом последовательных приближений,
совершенно аналогичным описанному на предыдущих страницах.
Начнем с напоминания, отмеченного уже в главе II, что взяв, как
и выше,
т
где Т означает вихревой объем в момент t и определив три
функции Л, В, С от х, у, г соотношениями:
_ дВ dQ
,__ дР дВ
дз дх
_ dQ дР
(С)
причем вектор и, v, w имеет своим вихрем \, -ц, С, мы придем к заклю-
чению, что вектор А, В, С должен иметь вихрь нуль; можно, следо-
вательно, положить:
cb ftp ду
А Bz= C G)
и уравнение неразрывпости требует, чтобы функция <р была гармони-
ческой
Дщ = 0. (8)

Теперь ясно, что интегро-диференциальные уравнения, приводя-
щие к решению задачи, будут иметь вид:
x = a 4- У udt: (9)
м 1_ _Э_ /• Г* |-r?rf^ , J_ JL Г Г ГУ^' ,
2* & J J J" '• 2к 8j/J J J r +
A0)
da ^ l0 dh * -о дс'\
Эти уравнения вполне аналогичны тем, которые встречались для
неограниченной жидкости в решенной уже нами задаче, но здесь
имеется на одну неизвестную больше, каковой является функция у.
Но условие D) позволит нам освободиться от этой дополнительной
неизвестной. Заменяя, в самом деле, в D) скорости их значениями
A0), получаем на ?:
ЙФ , - дФ , . 9Ф д<? ,
или, вводя направляющие косинусы нормали и:
ЙФ
V (")+(%
A2)
Потенциал » будет, следовательно, известен (по крайней мере, теоре-
тически и, естественно, с точностью до постоянной) из решения за-
дачи Нейкана, так как нормальная его производная задана нам урав-
нением A2).
Эта задача Неймана имеет решение. Известно, и самом деле, что
должно выполняться условие:
an

Но мы имеем, с одной стороны,
дФ
dt
I
в силу условия C), присоединенного к определению B); ас другой
стороны, имеем, называя через 9 объем, заключенный в 2,
I I Vnd<3== I J (м а
. dv , dw
"~1 яТГ
dx ' dy
что равно нулю, так как ч*, v, w очевидно удовлетворяют условию
несжимаемости:
ди . dv dw
Функция (р определена, следовательно, с точностью до постоянной,
которая может быть функцией времени t.
После этого, ход последовательных приближений будет, с точностью
до незначительных деталей, совпадать с тем, который нам уже изве-
стен. Сперва положим:
J__L Г Г Г r-o'dz°' i й?° }
2« 96 J J J r0 ^ да j '
i/l
где »0 означает потенциал, определенный решением задачи Неймана:
ЙФ
dt
V (^)V(f r+(f
—

Второе приближение получится в виде:
+ 2k %, J J J r + dx, J ¦
t t 1 ] w 1 . 1 ?* I
!1 40 "яГ- T~ Ti0 ЯА I W0 Я/. »
да ' '° db ' чо Зс
где <?j удовлетворяет уравнению Д»! = 0 при
ЭФ
Лф. ш уя> на Sj
и так далее. И метод, уже примененный в главе XII, покажет, что
последовательности хп, уп, гп сходятся, по крайней мере при доста-
точно малых (t — Ooi ж решению х, у, г предложенных уравнений,
и притом единственному. Ясно, что члены, происходящие от функций <fj,
не вызовут никаких новых существенных трудностей.
Задача может, следовательно, рассматриваться как теоретически
решенная.
Лихтенштейн также показал, что тот же метод применяется к слу-
чаю движения твердого тела, или даже нескольких твердых тел
в неограниченной жидкости. Можно, впрочем, заменить твердые тела
деформируемыми, но при условии постоянства объемов. Мы не будем
излагать этих обобщений, но мы остановим внимание сейчас на неко-
торых частных приложениях, принадлежащих также Лихтенштейну,
имея в виду обобщить на вихри конечных размеров некоторые про-
стые результаты, уже известные нам для вихрей бесконечно тонких.
Перманентное движение, относящееся к двум цилиндрическим
вихрям в неограниченной жидкости. Как мы знаем, два цилиндри-
ческих бесконечно тонких вихря, параллельной и равной интенсив-
ности 7, будут постоянно сохранять свое относительное расположение,
равномерно вращаясь вокруг неподвижной оси, расположенной в пло-
скости обоих вихрей и находящейся на равном расстоянии от них
(жидкость, понятно, предполагается покоящейся на бесконечности).
Попробуем обобщить этот результат. Очевидно, достаточно рас-
смотреть, что происходит в плоскости хОу, нормальной к рассматри-
ваемым цилиндрам.

Предположим, что в некоторый момент t0, вихри,—которые мы
будем предполагать равномерно распределенными, с веэде одинаковой
составляющей С и, следовательно, постоянной во времени, — заклю-
чены внутри двух равных цилиндров, сечениями которых пусть будут
площадки У, и Т2, имеющие контурами кривые 81 и 82. Предполо-
жим, наконец, что 1\ и Т2 симметричны друг с другом относительно
оси Oij, и, в отдельности каждая, относительно оси Ох, как указано
на рис. 58.
Общие теоремы главы II учат нас, что, в предположении нокоя
на бесконечности, центр тяжести вихревых поверхностей Т1 и Т2
будет оставаться неподвижным. С другой стороны, результаты прош-
лой главы позволяют нам изучать движение и деформацию двух
вихревых цилиндров: во всяком случае, мы внаем, что конфигурация,
м
'гх,у)
Рис. 58.
изменяясь, сохраняет свой общий вид и вихри (неизменной величины)
остаются заключенными в двух цилиндрах, происходящих от дефор-
мации Ti и У2.
Возможно ли, чтобы дальнейшее движение сводилось
просто к вращению в целом с постоянной угловой скоростью
вокруг оси Ое в пространстве, т. е. вокруг точки О в плоскости хО]р.
Мы покажем, что можно определить форму кривых 8t ж Ss
так, чтобы это было возможным.
Для этого достататочно (но не необходимо), чтобы, обозначив через D
наибольшее взаимное расстояние между двумя точками Т1 и черев L
расстояние между центрами тяжести Gx и G2 площадок Т1 и Г2,
В
иметь отношение -=- достаточно малым.
А/
Допуская неизменность формы наших двух цилиндров, присоединим
к '1\ ж 2'2 систему подвижных осей хОу, которую предположим находя-
щейся в равномерном вращении с угловой скоростью ю около точки О.
Пустьxfiijxсистема неподвижных осей с тем же началом и пред-
положим, что в рассматриваемый момент t обе системы осей совпа-
дают. Назовем через (и, г;) и (uv г;,) скорости, относительную и абсо-
лютную, жидкой частицы. Уравнение неразрывности

и очевидные формулы
— * + •*, )
дают, между прочим:
так что можно положить
дц' дх'
Формулы B) показывают нам, что имеется соотношение:
ф = ф, + ш j х dx +;// d</ = ^ + y Я"," D)
где It есть расстояние У^ + У8-
Но кривые if (г, у) = const являются, очевидно, относитель-
ными траекториями частиц; согласно общим уравнениям главыII,
функция тока в абсолютном движении дается уравнением
где через г обоз сачено расстояние точки (xlt */,) от точки Jj или 7'а,
и где do — элемент поверхности. В самом деле, мы помним, что функ-
ция тока, происходящая от одного элемента интенсивности I = 2r,da,
равна — lg r. Следовательно, имеем:
<f=~f j Jlgrdo + yfl» E)
т,+т,
Если мы теиерь введем предположение, что движение относительно
осей Охц установившееся, то линии S1 и >%ъ, ограничивающие вих-
ревые области, будут, согласно теоремам Гельмгольца, постоянно
образовываться одними и теми же частицами, это будут линии тока
в относительном движении. Функция ф должна быть, следо-
вательно, постоянна на 81 и -#а, и ясно, что это необходимое
условие является также достаточным.
Следовательно, наша задача сведена к следующей: определить
вид tfj (и, следовательно, по симметрии >^2), таким образом, чтобы
мы имели на &\ и S2
— Г J lg у da — ~ № = const.
¦А + П
F)

Значение постоянной, очевидно, одинаково на St и 82 в силу пред-
положенной симметрии. Но в точности это же уравнение F), е про-
стою лишь разницей в обозначениях, встречается в задаче равновесия
для масс, притягивающихся по закону Ньютона. Вообразим наши два
цилиндра с сечениями Г, и Т2, заполненными однородной массой плот-
ности к, частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютопа.
Допустим, что эти два цилиндра образуют фигуру относительного
равновесия, тогда как их поверхности вращаютоя равноиерно с угло-
вой скоростью <и' вокруг Ог. При этих условиях, полный потенциал
действующих сил будет постоянным на St и S2. Что касается потен-
циала сил тяготения, то он равен ем. Appell, Mecanique rationelle,
t. Ill, p. 116 и след.) логарифмическому потенциалу:
¦2fk
где f универсальная постоянная тяготения. С другой стороны, потен-
циал центробежных сил равен —^-2?*, и условие, которое должно вы-
полняться на St и iS'2, примет вид:
2fJc j I lgrtfr — Л» = const, G)
а это уравнение совпадает с уравнением F), если положить
Лихтенштейн изучил уравнения этого рода и в своей работе о фи-
гурах равновесия (Math. Zeitschrift, 1922, p. 201) подробно исследовал
решение задачи, когда дело идет не о двух цилиндрах, но о двух
объемах, мало отличающихся от сфер. Логарифмический потенциал,
фигурирующий в F) или G), оказывается тогда замененным обыкно-
венным потенциалом масс в трех измерениях. Перенося рассуждения
Лихтенштейна на данный случай, находим, что вращение и> и вид
кривых &', и #2 будут определены одним интегро-диференциальным урав-
нением, разрешимым методом последовательных приближений,по крайней
мере, когда S1 и 82 достаточно мало отличаются от окружностей и когда
отношение -=- достаточно мало. Мы удовольствуемся здесь этими ука-
заниями и отошлем для деталей к цитированным работам ученого
геометра.
Изученная задача может легко быть обобщена на случай, когда
сечения 1\ и Т% двух цилиндров не будут больше равными и когда
вихри будут иметь значения Cj и ?а постоянные, но различные
в 1\ и Т2.
Особенно интересен тот частный случай, когда вихри в Tt и Т2
противоположны. Мы зиаем, что в случае двух бесконечно тон-

ких трубок одинакового сечения, движение сводится к поступатель-
ному перемещению. Может ли быть то же самое, если две цилиндри-
ческие трубки имеют сечения ^ и 82, симметричные относительно
двух осей Ох и Оу. В этом случае движение оказывается поступа-
тельным с постоянной скоростью % параллельной Оу, и оси Оху, свя-
занные с цилиндрами, будут сами перемещаться с этой скоростью v0.
Обозначая через Ох1у1 неподвижные оси, параллельные прежним,
и принимая те же обозначения, что и выше, будем иметь:
¦¦ П., V :
¦ V, —
так что если ф и ^ будут две функции тока, относительная и абсо-
лютная, то мы будем иметь:
Рис. 59.
предполагая, что обе системы осей совпадают в рассматриваемый
момент. В абсолютном движении мы имеем:
и если мы хотим, чтобы движение относительно осей Оху было пер-
манентным, #j и #2 должны быть линиями относительного тока и,
следовательно, мы должны иметь:
-?¦ j jlgrda-^-j f\grda-vox =
21 Т
const
на S1 и S$. Значения постоянной противоположны на Si и #2. Это
уравнение может трактоваться как предшествующее уравнение F).
Эта задача, очевидно, тождественна с задачей об одной цилиндриче-
ской вихревой трубке, перемещающейся в жидкости, ограниченной
одной неограниченной плоской стенкой. Методом изображений можно
также изучать такого рода задачи, касающиеся, например, цилиндри-
ческого вихря в канале, вихря в сосуде прямоугольного сечения, вих-
ревые цепочки, аналогичные цепочкам Бенара-Кармана в канале,
и тому подобное.

ГЛАВА XIV
НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ВИХРЯХ В ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЯХ
Настоящий труд был бы неполон, если бы мы не сказали ни слова
о теории вихрей в вязкой жидкости. Хорошо известно, что в вязкой
жидкости теоремы Гельмгольца не будут существовать. Мы вкратце,
пользуясь плодотворными результатами С. W. Oseen'a, покажем на
конкретном примере, каким образом в несовершенной жидкости вихри
уничтожаются, обобщая результаты на случай пространства (С. W. Oseen,
Acta mathematica, t. 34; Hydrodynamik, § 8).
Мы ограничимся плоско-параллельными движениями, т. е. теми, ко-
торые приводятся к двум измерениям в плоскости хОу, и мы начнем
с напоминания интегральных уравнений Oseen'a для медленного дви-
жения жидкости в плоскости, —уравнений, которые мы применим
дальше для движения не медленного.
Предварительные данные. Известно, что уравнения медленного
движения вязкой , .идкости, если обозначить через [а коэфициент вяз-
кости, имеют вид:
др ди
"Ыс~9~д1
_Ji
_
дх'ду
Система, присоединенная к данной, будет:
___9Р dU _
' дх dt
О)
ду
B)
Будем искать решения присоединенной системы, которые будут вида:
V= —
дхду'
C)

что позволит взять для Р выражение:
при условии, что <? удовлетворяет уравнению
Д^Д?4-р-^)=0. D)
Попытаемся взять за <у функцию, зависящую только от
и от /. Тогда
а(
—i. v
E)
При этих условиях легко усмотреть, что, в частности, функция:
J а 2 J а
о о
удовлетворяет уравнению D). В самом деле, мы имеем:
da @)
9r r
и, следовательно, согласно уравнению E):
но мы имеем также
Следовательно:
и потому
что и требовалось доказать.
Можпо слегка преобразовать выражение F) для »,, вводя функцию:
Ф,= IV3^»-^- + )?»-. (8)

Действительно, введя некоторую постоянную А, например, 4 = 1,
можно написать:
A pat' +00
p + Д
».-*. = J ; da-Je *('.->--J _--.]gP,
О А г
и ясно, что эта раэность постоянна; она, таким образом, ие играет
существенной роли. При помощи »! (или Фх) можно, следовательно,
образовать два решения:
из которых второе, по симметрии, выводится из первого.
(9)
Phr. 60.
Из факта, что (lg»-) гармонлческая функция в плоскости, следует,
что частным решением присоединенной системы B) будет также:
рг2е <и-«о —*) dlgt'
}i (/0 — /)* д.г '
рв»е
9
It
ду
A0)
где г постоянная.

Все эти решения регулярны по всей плоскости для t < 10 с осо-
бенностью при г = О. Пусть тогда K(t) граница области Bit), в кото-
рой решение {и, v, р) системы A) регулярно при О <^ / < /0, и пусть
Мо точка (х0, у0), находящаяся в В.
Простая комбинация уравнений A) и B) дает нам:
[д. [(«Д U — С/Дм) -f («¦'A F — 7Д V)] — (U^—U-J
Проинтегрируем это уравнение в области В'(t), полученной из B{t)
удалением маленького круга 2 с центром Мо и радиусом в. Преобра-
зуем интеграл в криволинейный, пользуясь формулой
В'
и аналогичными; в силу уравнения неразрывности:
= I P(u cos пх -\- v cos пу) ds.
Результат интегрируем по t, между моментами О и 10, и переходим
к пределу, устремляя е к нулю.
Если Un означает скорость точки по нормали на границе К и
если предположить, что мы оперируем с решением (Ul ,VV 0), то
получаем, таким образом, интегральное уравнение Oseen'a
(в цитированных выше мемуарах можно увидеть детали описанных
только что операций):
и
2тЧ,п(го,уо,1о) = р1 /(«^-{-«p-j^do-l-p j dt j j (U1X.-\-V1Y)di—
j J f j f
В @) о В(«)
Ж ~i; cos '^
x — a\
( V COS ПГ -\- J'COSft )/)
;)]л+
\l\ ^-i<is- (П)

Получаем аналогичную формулу, дающую v (% уф t0), беря решение
(U.2, Fs, 0). Решение же (?/;1, F3, P3) приводит к формуле для р:
aig
r ( dn
ds —
—P"o7~ I («• cos яж-}-1'cos »j/)j lg — as.
A2)
#(«
Мы применим сейчас эти формулы к одной задаче о вихревом
движении в плоскости, относящемся к вязкой жидкости.
Предположим, что в начальный
момент t = 0, имеем круговой
вихрь Qo радиуса а, имеющий
центром О и симметричный относи-
тельно О.
Будем искать дальнейшее дви-
жение для t > 0.
Выражение вихря
„ 9« du
A3)
и, следовательно, оно равно нулю рие. oi.
всюду при ( = 0, кроме Е<а;
внутри этого круга мы будем предполагать ? непрерывным и отлич-
ным от нуля, имеющим непрерывные первые производные; кроме
того г зависит только от 11 в начальный момепт и, следовательно,
все время.
Чтобы найти уравнения движения, ми ирименим формулы (И)
к полным уравнениям движения жидкости, а не к уравнениям ме-

дленного движения. Полные уравнения, при отсутствии внеш-
них сил будут следующие:
, др дп I ди , ди \
дх dt ' \ дх ду /
dp dv I dv . dv \ n
ду ' ill ' \ дх г ду }
A4)
J
так что это будут сами уравнения (]), при условии замены в них
X и Y через
/ ди , ди \ ,, / dv , dv \
\ rir ' Л/ / \ дх ' 9(/ /
Но A4) можно также написать в виде:
™
~
-P-Tir-Wf^O,
A6)
Это будут те же уравнения A), нрв условии замены в них р через
и если ПОЛОЖИТЬ
Л' = 2vr,
О в)
Можно, следовательно, получить, mutatis m ut an dis, формулы A1),
и мы найдем:
2^« (х0, у0, /0) =р J f («Vt+vr^do+r f dt
в )
J f
в (о)
о в (*)
Г° Г/ / аи, . dvt\
«/ J I *> ' dn I
0 JT(*)
't ~d
(к cos nx, -j- г! cos «;/) —
F, (...
j-
07)

где Ui и Vi образованы с помощью функции Фг. Предположим, как
что будет проверено в дальнейшем, что при О <; i <; t0, имеем нера-
венства:
!«,*>!<
в
дх
(« > О),
ду
A8)
т. е., что движение остается регулярным в смысле Oseen'a. При-
меним формулу A7) к кругу, радиус которого мы заставим расти
неограниченно. Предположения A8) заставят исчезнуть в A7) интег-
ралы по линиям, и мы получим, таким образом:
Чш (xv у„ g f f = (nU, + vV1)(= 0 da +
(по всей плоскости)
h
-\-2Jdt JJ (CTxe — F,«) С do.
A9)
(Г (по вихр."области)
Это выражение может быть упрощено; мы имеем, отбросив индекс
при функции <fi или 3?i
Следовательно, можно написать:
дхду
дх
ду
= I I « -^r- cos им — « ~ cos »ж j ds + 2 I j С -~ do.
J \ ду э 3(/ J ~ J J ду
(контур)
Но интеграл по контуру (бесконечности) обращается в нуль, а инте-
грал по поверхности относится только к вихревой части, т. е. к кругу
Zi'<a в момент <=0. Следовательно,
сей оскос) 2
(по всей плоскости)
Естественно, находим также:
(по всей плоскости)

Будем теперь рассматривать выражение / / (vUl — «Fj)Cio; мы
имеем:
Г f (v(Tt — uV^do =
2
J J \ fV A* 9///
Заметим теперь, что очевидная симметрия вокруг точки О позволяет
утверждать, что скорость во всякой точке перпендикулярна радиусу-
вектору («,х-|-п/ = 0); кроме того, имеем:
следовательно,
| I (v &i — « Fj) С из = | *-*-!г- («¦ cos »w -}- с cos •
S ()
Уравнение B1) дает нам:
из = | *-!г-
(контур)
что, очевидно, равно нулю, так как на контуре (все время круговом,
на конечном расстоянии) мы имеем и cos пт -f~ v cos mj = 0, а если
контур на бесконечности, то интеграл обращается там в нуль. Следова-
тельно, формула A9) в силу B0) приводится, наконец, к виду:
и также находим:
*т ?/о> 'о) ==
Заменим теперь ср его значением (8)
или его значением F).

Мм получим непосредственно:
™ (% Ут >о) = - f f t (*, У, 0) (l -
So
Я/
С (*, у, 0) (l — еГ
da,
Р**2 N
B2)
Для функции q находим:
J J \ ox
Легко проверить, что и, v и q удовлетворяют неравенствам вида A8),
допущенным в начале рассуждения.
Если jj. стремится к нулю, то мы получим снова классические
уравнения Гельмгольца. Теория Гельмгольца, следовательно, является
предельным случаем, к которому мы )
приближаемся, когда и. стремится к (Жо'Э
нулю. л/mq
Пусть Мо точка на большом рас-
стоянии от точки О; тогда будем иметь
приближенно г= Д = У,t02 -f- y^, и
положив
мы сможем написать:
Рис. 62.
е~ Щ
,
где 20 интенсивность вихря в начальный момент.
Мы видим, что эти формулы очень близки к тем, которые уже иа.м
известны для вихря, сводящегося к бесконечно тонкой трубке. Вели-
чина скорости во всякое точке будет равна:
*Ь
при И. заданном, она убывает, когда / растет. В момент t скорость
достигает максимума для В,, определенного из соотношения:

Расстояние В, соответствующее этому максимуму, следовательно, иро-
—. Вихрь 2С = -^ "я~Для ^достаточно боль-
шого имеет значение
он везде равен нулю, когда t бесконечно. Его наибольшие значения
соответствуют начальному моменту или, по крайней мере, моменту,
близкому к начальному.
Применяя тот же метод, можно также обобщить результаты Гельм-
гольца, относящиеся к случаю двух вихрей.
Можно получить эти результаты более прямым путем, делая их
незав симыми от интегральных уравнений Oseen'a. Мы это сейчас по-
кажем, воспользовавшись изящным методом, который I. Peres любезно
нам сообщил.
Вернемся, в самом деле, к единственному круговому вихрю, рас-
смотренному выше.
Очевидная комбинация из формул A5), с исключением давления р,
показывает, что вихрь t удовлетворяет уравнению:
**-'ж+**§+»ъ; B3)
мы уже отметили (стр. 258), что начальная симметрия, а потому и по-
следующая, относительно точки О влечет соотношение:
и — 4-»—- = 0;
дх ' ду
отсюда следует, что функция С удовлетворяет здесь уравнению
^=*Р-|- B4)
Это последнее имеет присоединенным уравнение
|- = 0; B5)
частным решением (основным) оно, как легко видеть, будет иметь
функцию:
b = TZ~te *Л~Ч- B6)
Из B4) и B5) мы получим:
где 6 представляет функцию B6).

Проинтегрируем эту формулу по области S, заключенной между
кривой С ж маленькой окружностью с центром (х0, у0), радиус которой
мы потом устремим к нулю; далее проинтегрируем результат по t между
моментами 0 и *0. Классические преобразования, примененные уже
много раз, приводят к следующему результату:
Л
ь
Л
С О, у, 0) — do +
<«>
мы иснолъзуем это уравнение таким же обравом, как это мы сделали
с уравнениями Oseen'a, рассмотренными выше.
В начальный момент ? = 0 вихрь находится в круге Qo радиуса а
с центром в О и симметричен относительно О. Предположим, что в каче-
стве С мы взяли окружность с центром в О, имеющую очень большой
радиус; тогда тот член из B7), который содержит интеграл
dn dn
в пределе исчезнет; это почти очевидно и проверяется без затруднений,
коль скоро решение получено хоть один раз. Формула B7), следова-
тельно, дает нам:
Я__?Л
С (*, 2/, О)— (Ь,
B8)
что дает нам выражение вихря (, во всякий момент @, после началь-
ного и во веякой точке х0, у0.
Вычислим теперь функцию тока.
Совершенно так же, как в случае идеальной жидкости, уравнение
неразрывности
дх + ду ~и'
присоединенное к определению вихря
dv ди
k~"~fa~~~dy~'
дает уравнение
Д^ = — 2С,

где ^ функция тока т. е.
' "" 'ду ' ' ~ дх
Имеем, следовательно, в точке Ш' (•*', у'), положив г' = М0М/:
^ (*', У , 'о) = — I J ^ (-':о> .'/о> У '? у «Зо.
по всей
плоскости
и затем, согласно B8):
Интеграл, который нужно вычислить прежде всего,
О
вычисляется непосредственно: в самом деле мы здесь имеем логарифмм-
ческий потенциал для масс, распределенных в плоскости с плотностью
зависящей только от г = М310. Положим г" = ММ'\ известно (P. Appell
Mecanique, t. Ш, p. 125), что логарифмический потенциал однородно
окружности постоянен внутри окружности и что его значение снаружи
таково, как будто вся масса сосредоточена в центре окружности. Заме
тив это, выполним интегрирование I, разбивая плоскость на злемен
тарные круговые колечки с общим центром М- Для колечек радиус
г < г" соответствующая часть потенциала выразится так:
re
что же касается колечек радиуса больше г", то их часть в выражени
потенциала будет одинакова, вычисляем ли мы ее в М' или в М
она будет, следовательно,
ее
re W', 1
откуда, окончательно:

Элементарное интегрирование дает:
Делая замены и приведения в J, получаем:
4^ 1 4рт
i___..[g_. _
/¦"
:jto же выражение отличается только на постоянную (которой, оче-
видно, можно пренебречь) от количества
'¦" ill
I'^-ZTl. 1 ". dr.
P •/ r
o'
Внося это в B9), заменяя при этом Z через I', что изменяет 6
только на не имеющую значения постоянную, видим, что окончательно
получим, слегка видоизменив обозначения:
i /"' Г
'К%?/о,/0) = —- J J С(.г, г/,
' ' - dr,
или иначе:
•V <Х„ //о. 'о) = - ~ J J r- (•'¦. i/- 0) ?, (»•) <k,
So
где »!(»•) функция, определенная равенством (G).
Ил написанного равенства, с помощью формул
получаем значения и и v, очевидно, тождественные с полученными из
формул B2). Мы видим, следовательно, что результаты применения
обоих методов совпали. Однако, мы дали, прежде всего, применение
интегральным уравнениям Oseen'a, чтобы сделать еще более очевид-
ным большую мощь этих уравнений, столь существенных во многих
вопросах [см. работы С. W. Oseen'a и наши лекции ц0 гидродипа-
м" (Lecons sur ]'EIydrodynaini(:(ue. Paris, Gauthier =s= Villavs, 192i))J.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Глава I.
Общие классические понятия
Общие уравнения 5
Уравнение неразрывности 6
Дополнительное уравнение —
Вихрь —
Уравнения Гельмгольца ^
Формулы Коши. Обобщение 8
Общие формулы Коши на случай, когда внешние силы не имеют по-
тенциала 11
Свойства вихрей 13
Применение теоремы Стокса 14
Вихревая трубка. Ее интенсивность 15
Бесконечно тонкая трубка —
Глава П.
Определение скоростей по заданным вихрям
Вычисление скоростей в функции данных вихрей в жидкости .... 17
Неограниченная жидкость , 18
Окончательные формулы 21
Скорость, происходящая от бесконечно тонкого кольца 22
Электромагнитная аналогия —
Обобщение на случай жидкости, содержащейся в неподвижном сосуде 23
Решение общей задачи в двух измерениях для сосуда, находящегося
в заданном движении 25
Общая задача в трех измерениях для сосуда, находящегося в данном
движении 31
Глава III.
Плоские движения. Бесконечно тонкие вихри. Канонические
уравнения.
Изучение плоских движений. Бесконечно тонкие внхри 41
Обобщение для многих трубок 43
Глава IV.
Вихри Бенара-Кармана. Регулярная цепочка. Две симметричные
цепочки. Две альтернированные цепочки. Устойчивость этих
конфигураций.
Вихри Бенара-Кармана и регулярные вихревые конфигурации .... i
Бесконечная вихревая цепочка i
Соответствующая конфигурация неустойчива 5
Две параллельные цепочки б
Скорость вихрей ¦ . . 5
Устойчивость 5
Симметричная система \ 6

Стр.
Глава V.
Применение вихрей Бенара к вычислению сопротивления, испыты-
ваемого твердым телом в неограниченной жидкости
Постановка задачи 73
Метод J. L. Synge 84
Глава VI.
Различные обобщения. Вихревые цепочки в ограниченной жид-
кости.
Система п вихрей между двумя параллельными стенками 103
Система вихрей в неподвижном прямоугольнике 109
Бесконечные вихревые цея»чки между двумя параллельными стен-
ками 113
Вычисление сопротивления, испытываемого цилиндром, движущимся
в канале, когда поэади появляются альтернированные вихри . . 130
Глава VII.
Проблемы, относящиеся к вихрям в двух измерениях, и конформ-
ное отображение.
Общие понятия HI
О задаче Д. Рябушииекого 157
Глава VIII.
Вихри конечных размеров.
Трубки конечных размеров 169
Однородная круговая цилиндрическая трубка в безграничной жидко-
сти, покоящейся на бесконечности ¦—
Эллиптический вихрь Кнрхгоффа 171
Сферический вихрь 181
Глава IX.
Конфигурации вращения. Вихревое кольцо.
Общие понятия 186
Случай единственного бесконечно тонкого кольца 187
Случай конечного сечения 193
Возвращение к кольцу малого сечения 196
Глава X.
Изложение общей основной задачи. О некоторых классических
свойствах, относящихся к разрывам.
Общая задача 201
Некоторые классические свойства, относящиеся к разрывам 203
Движения, когда скорости непрерывны. Скачок в ускорениях .... 200
Непрерывность давления в жидкости при прохождении поверхности,
ограничивающей вихри 210
Глава XI.
Об основных неравенствах, для потенциалов.
Общие понятия . • • 214
Теоремы Кориа 215
Неравенства Лихтенштейна '224

Стр.
Глава XII.
Общая теорема Лихтенштейна.
Доказательство теоремы 229
Глава XIII.
Различные обобщения и применения.
Ограниченная жидкость 242
Перманентное движение, относящееся к двум цилиндрическим вихрям
в неограниченной жидкости 246
Глава XIV.
Несколько слов о вихрях в вязких жидкостях.
Предварительные данные 25]