В.И.ДЕНИСОВ


ЛЕКЦИИ


ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ


у чебное пособие


\Ы УНЦ ДО
А Москва
2007




УДК 537.8(075.8)
ББК 22.313я73
Д33


оrЛАВЛЕНИЕ


Денисов в.и.
Д 33 Лекции no электродинамике. Учебное noсобие.
 2
и:щ.,
испр.
 М: Издательство УНЦДО, 2007.
 272 с.


ISBN 978
5
88800
330
5


@ Денисов В.И., 2007
@ Учебно
научный центр
довуэовскоrо образования, 2007


Предисловие ко второму изданию 6
Предисловие к первому изданию. 6
rлава 1. Уравнения электромаrнитноrо поля 8
3 1. Основные математические соотношения,
используемые в классической электродинамике 8

 2. Плотность заряда и плотность тока ..... 20
3 3. Физическое обоснование уравнений Максвелла 23
3 4. Закон сохранения. энерrии в электродинамике 38
3 5. Потенциалы электромаrнитноrо поля 43
3 6. Калибровочная инвариантность классической
электродинамики ..... .,... 46
3 7. BЫBQЦ уравнений для потенциалов . . 49
rлава 11. Стационарные электромаrнитные
поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 8. Уравнение для потенциала электростатическоrо
поля и ero решение . . . . . . . . . . . . 53
3 9. Разложение потенциала электростатическоrо
поля по мультиполям 60
3 10. Электрический дипольный момент и ero поле 69
3 11. Электрический квадрупольный момент
и ero поле . . . . . . . 73
3 12. Энерrия электростатическоrо поля . . . 77
3 13. Энерrия и сила взаИМQЦействия двух удаленных
систем зарядов .. . . . . . . . . . . .. 79
3 14. Уравнение для BeKTopHoro потенциала


ISBN 978
5
88800
ЗЗО
5


Пособие содержит. материал первой части nporpaMMbl
курса "Электродинамика", входящеrо в Федеральный
компонент rocYAapcTBeHHoro образовательноrо стандарта
высшеrо профессиональноrо образования по специальности
010400 "Физика".
В пособии излаrаются вопросы электродинамики
вакуума, теории излучения, специальной теории
относительности и релятивистской механики. Для
студентов и аспирантов физико
математических
специальностей университетов, а также для научных
работников.


Рецензенты:
кафедра Прикладной математики МАТИ
РrтY
им. К.Э.Циолковскоrо
профессор кафедры теоретической физики физическоrо
факультета MOCKoBcKoro rосударственнorо университета
им. М.В.Ломоносова, доктор физико
математических наук
ю.в.rрац




4


оrЛАВЛЕНИЕ


статическоrо маrнитноrо поля и ero решение
'з 15. Векторный потенциал и поле маrнитноrо
диполя . . . . . . . . . .. ........
3 16. Энерrия постоянноrо маrнитноrо поля .
rлава 111. Электромаrнитные волны
3 17. Свойства плоских электромаrнитных волн
3 18. Запаздывающие потенциалы
3 19. Потенциалы Лиенара
 Вихерта ...
3 20. Физические условия применимости
мультипольноrо разложения для излучающих
систем .. .......
3 21. Электрическое дипольное излучение
3 22. Маrнитное дипольное излучение . . .
3 23. Электрическое квадрупольное излучение
3 24. Сила радиационноrо трения
в нерелятивистском приближении. . .
3 25. Рассеяние электромаrнитной волны
на изотропном rармоническом осцилляторе
rлава IV. Специальная теория
относительности
3 26. Принцип относительности. . . . .
3 27. Преобразования Лоренца. . . . . .
3 28. П реобразование промежутков времени и длин
отрезков . . . . . . . . . . . .
3 29. Релятивистский закон сложения скоростей
3 30. Преобразование уrлов . . . .. .....
3 31. Тензоры в пространстве Минковскоrо
3 32. Четырехвектор плотности тока и
четырехпотенциал поля
3 33. Тензор электромаrнитноrо поля
3 34. Законы преобразования векторов поля


83


86
92
94
94
98
108


112
126
135
137


з42.


141


з43.


149


з44.


з45.


.' 160
160
164


з46.


169
177
180
184


з47.


з48.


191
196
201


з49.


оrЛАВЛЕНИЕ


5


3 35.
3 36.
3 37.


Инварианты электромаrнитноro поля 203
Ковариантная запись уравнений Максвелла. 207
Законы преобразования частоты и волновоrо
вектора ....................... 213
Эффект Доплера и астрономическая аберрация 216
Четырехвекторы скорости и ускорения . . . . . 221
rлава У. Принцип стационарноrо действия 228
Основные постулаты принципа стационарноrо
действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Уравнения движения релятивистской
заряженной частицы во внешнем
электромаrнитном поле в четырехмерном виде 233
Уравнения Лаrранжа BToporo pQЦa для
релятивистской заряженной частицы
во внешнем электромаrнитном поле ..... 241
Связь между энерrией, импульсом, массой и
скоростью релятивистской частицы . . . . .. 245
Мощность излучения быстро движущеrося
заряда в зависимости от скорости и ускорения 248
Мощность излучения заряда, быстро
движущеrося во внешнем электромаrнитном
поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
ПЛотность функции Лаrранжа для
электромаrнитноrо поля при заданном
движении источников . . . . . . . . . . . . 253
Получение уравнений Максвелла из принципа
стационарноrо действия . . . . . . . . . . . .. 259
Тензор энерrии
импульса электромаrнитноrо
поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Законы сохранения энерrии и импульса
в элеКТРQЦинамике ............. 268


3 38.
3 39.


з40.


з41.




7


ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ


представления об эфире, как об особой светоносной среде.
По rлубокому убеждению автора эти представления Heco

вместимы с уравнениями Максвелла и Дирака. Поэтому
какие
либо упоминания об эфире в курсе теоретической
физики являются неуместными и эти вопросы в HaCTO

ящее время MorYT быть предметом исследования только
истории физики.
В учебном пособии используется rауссовская система
единиц, которая наиболее удобна для решения различных
задач теоретической физики.
Все замечания по СQЦержанию учебноrо пособия и co

общения об обнаруженных опечатках просьба посылать
по адресу: Denisov@srd.sinp.msu.ru
В заключение автор считает своим приятным дол

['ом поблаrQЦарить профессора И.П.Денисову за помощь
в подrотовке рукописи.


Первое издание этоrо учебноrо пособия имело He

большой тираж, который неожиданно быстро разошел

ся. В связи с мноrочисленными просьбами студентов фи

зическоrо факультета Mry возникла необхQЦИМОСТЬ во
втором издании, при ПQЦrотовке KOToporo были сделаны
лишь исправления замеченных опечаток.
Автор выражает свою rлубокую блаrQЦарность CTY

дентам физическоrо факультета Mry С.Ю.Ампилову,
Л.С.Булушовой, О.Я.Власову, С.А.Иrошину, A.r.KoHo

ненко, Д.В.Кузнецову, Е.П.Поповой, А.В.Прохорову И
С.Н.Семенову, которые активно откликнулись на прось

бу о поиске опечаток и оперативно сообщили о них.


Москва, 05 декабря 2004 ['.


В.И.Денисов


Москва, 21 марта 2007 ['.


В.И.Денисов


ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ


Предлаrаемое вниманию. читателей учебное посо

бие представляет собой изложение вопросов первой части
проrраммы курса "ЭлеКТРQЦинамика", читаемоrо aBTO

ром более 20 лет на физическом факультете Mry им.
М.В.Ломоносова.
Следует отметить, что ряд вопросов элеКТРQЦИнами

ки автором излаrается иначе, чем в имеющейся учебной
литера туре. В частности, совершенно не за трarиваются




3 1]


ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ


9


дальнейшем просто декартовы координаты) трехмерный
вектор А представляет собой совокупность трех скаляр

ных функций Ах, Ау, Az, называемых компонентами BeK

тора, взятых в определенном порядке:


rЛАВА 1
ур АВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ


А == Ахе х + Ауе у + Aze z == {Ах, Ау, A z },


В первой части нашеrо курса будут изучаться раз

личные элеКТРQЦинам:ические процессы, ПРОИСХQЦящие в
вакууме, с участием заряженных частиц. Такое изучение
мы будем ПРОВQЦить на основе классической (HeKBaHTO

вой) элеКТРQЦинамики, основные уравнения которой бы

ли открыты в 1868 ['. Максвеллом.


['де е х , е у и e z
 базисные орты, направленные вдоль осей
х, у и z, соответственно.
В произвольной ортоrональной криволинейной сис

теме координат с осями х 1 , х 2 И х 3 вектор А будет иметь
компоненты:


А == А"l еl + А 2 ,е2 + А з е з == {А 1 , А2, А з },


3 1. Основные математические соотношения,
используемые в классической электродинамике


['де еl, е2 и ез
 базисные орты, т.е. взаимно ортоrональ

ные единичные векторы, в каждой точке пространства
направленные по касательным к координатным линиям.
В физических компонентах любой ортоrональной
криволинейной системы координат скалярное произведе

ние (АВ) векторов А == {А 1 ,А 2 ,А з } и В == {В 1 ,В 2 ,В з }
имеет очень простой вид:


Для описания уравнений электромаrнитноrо поля и
решения различных задач в элеКТРQЦИнамике широко ис

пользуются векторная алrебра и векторный анализ. Ha

помним основные сведения из них, неоБХQЦимые нам для
дальнейшеrо.
В первой части курса, вплоть до начала изучения
специальной теории относительности, мы бу дем исполь

зовать, в основном, так называемые, физические компо

ненты векторов в трехмерном евклидовом пространстве,
которые можно ввести в любой криволинейной, но op

тоrональной, системе координат. Будем также считать,
что все используемые нами системы координат являются
правыми.
В случае прямоуrольных декартовых координат (в


(АВ) == А 1 В 1 + А 2 В 2 + Аз в з.


(1.1)


Векторное произведение [АВ] этих же векторов можно
найти, если раскрыть определитель:


еl
[АВ] == А 1
В 1


е2 ез
А 2 Аз
В 2 В3


(1.2)




10


ур АВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ


[rЛ.I


И, наконец, смешанное произведение трех векторов имеет
вид:


А 1
(А[ВС]) == В 1
С 1


А 2 Аз
В 2 В3
С 2 С 3


(1.3)


Среди формул векторной алrебры для наших целей боль

шое значение имеет формула двойноrо BeKTOpHOI'O произ

Ведения


[А[ВС]] == В(АС)
 С(АВ).


(1.4)


в произвольной ортоrональной криволинейной системе
координат основные дифференциальные операторы име

ют вид


g rad .f,
 1 a'l/; + 1 a'l/; 1 a'l/; ( )
'f/
 еl h 1 дх 1 е2 h 2 . дх 2 + ез . h3 . дх 3 ' 1.5


d . В 1 { д (h2 h 3 B l) д (h3 h lB2) д (hlh2ВЗ ) }
W == + +
hlh2h3 дх 1 дх 2 дх 3 '


rot А


1
hlh2 h 3


h 1 e l
а
ax l
h 1 A 1


h з е з
а
ах З
h3 A 3


h 2 e 2
а
ах 2
h 2 A 2


['де h 1 , h 2 , h3
 коэффициенты Ламэ:


h 1 ==


(1.6)


( дх ) 2 ( ду ) 2 ( az ) 2
дх 1 + дх 1 + дх 1 '


h 2 ==


( дх ) 2 ( ду ) 2 ( az ) 2
дх 2 + дх 2 + дх 2 '


3 1]


11


ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ


( дх ) 2 ( ду ) 2 ( az ) 2
h3 == дх 3 + дх 3 + дх 3


Приведем вид множителей Ламэ (1.6) в наиболее употре

бляемых ортоrональных системах координат: h 1 == h 2 ==
h3 == 1
 в декартовых координатах, h 1 == h3 == 1, h 2 == r

в цилиндрических координатах (хl == r == V х 2 + у2, х 2 ==
== 'Р,х 3 == z), h 1 == 1, h 2 == Т, h3 == rsi n6
 в сферических
координатах (х 1 == r == v x2 + у2 + z2,X 2 == 6,х 3 == 'Р).
Оператор Лапласа от скалярной функции '1/; в этих
координатах вычисляется по формуле


. 1 { д [ h2h3 a'l/; ]
6.'1/; == dlV grad '1/; == hJh2 h 3 дх1
 дх 1 +


(1.7)


д [ hlh3 a'l/; ] д [ hlh2 a'l/; ] }
+ дх 2
 дx2 + дх 3
 дx3 .
Используя выражения (1.6) для множителей Ламэ, He

сложно записать формулы (1.5) и (1.7) в наиболее упо

требляемых системах координат. В цилиндрической си

стеме координат имеем:


a'l/; 1 a'l/; a'l/;
grad'l/; ==
 д ет +

 д е", +
 д ez, (1.8)
r r rp z


d . 1 д(тА т ) 1 дА", aA z
lyA==
 +

+
,
r дт r дЧ' az
[ 1 aA z aArp ]
rotA==



 е т +
r дЧ' az
+ [ дА т
 aAz ] e + [ ! a(rArp)
! aAr ] e z ,
az дт rp r дт r дЧ'




12


ур АВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ


[rл. 1


6. '1/; == !
 ( Т a'l/; ) +
 д 2 '1/; + д 2 '1/;
r дт дт т 2 arp2 aZ 2 .
В сферической системе координат формулы (1.5) и (1.7)
принимают вид:


a'l/; 1 a'l/; 1 a'l/;
grad'l/; ==
 д ет +
 д ll ев + . о д е"" (1.9)
r r и r Sln rp
d . А 1 д(т 2 Ат) 1 a(sin ОАв) 1 дА",
IV ==
 + +
т 2 дт r sin О дО r sin О дЧ' ,
А 1 [ дА", sinO дАв ]
rot ==

 е +
r sin О дО дЧ' r
+! [
 дAT
 д(ТА"') ] ев+! [ д(тАв)
 дАТ ] е
r sшО дЧ' дт r дт дО "',
6.'1/; ==

 ( r2 a'l/; ) +
 [

 ( Sino a'l/; ) +
 д2'1/; ] .
т 2 дт дт т 2 sшО дО дО sin 2 О arp2
При проведении практических расчетов в электро

динамике значительное упрощение формул достиrается,
" б " w
есл
 использовать оператор на ла , имеющии в дeKap

товой системе координат вид:


д д д
V == е х дх + е у ду + e z az .
С помощью этоrо оператора можно вывести форму

ЛЫ, позволяющие записывать результат действия диф

ференциальноrо оператора на произведение двух скаляр

ных или векторных функций в виде выражений, СQЦержа

щих действие этоrо оператора только на один сомножи

тель. Запомнить эти формулы доста
очно сложно, ['o

раздо проще запомнить алrоритм вывода этих формул.
Он состоит из нескольких этапов.


3 1]


13


ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ


ПРQЦемонстрируем этот алrоритм на примере вычи

сления rot [А В]. На первом этапе дифференциальные
операторы записываются через оператор набла В COOT

ветствии с равенствами:


grad'l/; == V '1/;, div А == (V А), rot А == [V А]. (1.10)


Следует отметить, что помимо операторов grad, div и
rot самостоятельное значение имеет и оператор


д д д
(А V) == Ах дх + Ау ду + Az az '


который представляет собой производную по направле

нию вектора А.
В нашем случае rot [А В] принимает вид:


rot [А В] == [V[A В]].


На втором этапе переписываем правую часть столько
раз, сколько скалярных и векторных функций в нее BXO

дит, И отмечаем тильдой в первом слаrаемом первый co

множитель, во втором слаrаемом
 второй сомножитель
и Т.Д. В нашем примере это будет выrлядеть так:


rot [А В] == [V[A В]] + [V[A ]3]].


После этоrо используя правила векторной алrебры
и свойства скалярных, векторных и смешанных произ

ведений, рассматривая оператор набла, как некоторый
обычный вектор, преобразуем правую часть полученно

['о соотношения, переставляя сомножители, если требу

ется, так чтобы помеченный сомножитель стоял справа




14


ур АВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ


[rл. 1


от вектора набла, а не помеченные сомножители
 слева.
В нашем случае, раскрывая двойные векторные произве

дения получим:


rot [А В] == A(V В)
 B(V А) + A(V ]3)
 ]З(V А) ==
== (В V)A
 B(V А) + A(V В)
 (А V)B.


На последнем этапе необхQЦИМО "прочитать" результат,
перехQЦЯ от оператора набла к grad , div и rot в COOTBeT

ствии с представлениями (1.10).
В нашем случае ПРИХQЦИМ к соотношению:


rot [А В] == (В grad)A
 (А grad)B + Adiv В
 Bdiv А.


Приведем для справки остальные формулы, которые He

сложно получить, действуя по указанному алrоритму:


grad (А В) == (В grad)A + (А grad)B+
+[В rot А] + [А rot В].
grad ('Ф . 'Р) == 'Ф grad rp + rp grad 'Ф,
div ('Ф А) == 'Ф div А + (А grad 'Ф),
rot ('Ф А) == 'Ф rot А
 [А grad 'Ф] ,
div [А В] == (В rot А)
 (А rot В),


(1.11)


С помощью оператора "набла" несложно установить ряд
важных соотношений для дифференциальных операций
BToporo порядка. В частности, имеем:.


rot grad 'Ф == [VV'Ф] == [VV]'Ф == о,


(1.12)


l


3 1]


ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ


15


так как в силу соотношения (1.2) определитель будет co

держать две одинаковые строки. Совершенно аналоrич

но, в силу соотношения (1.3) ПРИХQЦИМ к равенству


div rot А == (V[V А]) == о.


(1.13)


И, наконец, используя формулу (1.4) для двойноrо BeK

TopHoro произведения и правила действия с оператором
"набла" , получим соотношение


rot rot А == [V[V А]] ==


(1.14)


== grad div А
 V 2 А == grad div А
 6. А.


Это соотношение очень часто используется для записи
оператора Лапласа o
 вектора в произвольной opToro

нальной криволинейной системе координат


6.А == grad div А
 rot rot А.


(1.15)


Из интеrральных соотношений для нас наибольший
интерес будут представлять теоремы Стокса и OCTpO

rрадскоrо
 raycca. Рассмотрим некоторый объем про

странства V, оrраниченный замкнутой поверхностью В.
Теорема OCTporpaдcKoro
 raycca утверждает, что


/ div AdV == f (AdS) == f (An)dS,
v s s


(1.16)


['де n
 единичный вектор внешней нормали в той точке
поверхности, ['де находится элемент площади dS
Рассмотрим теперь некоторый rладкий замкнутый
контур L без самопересечений. Введем в каждой точке




16


ур АВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ


[rЛ.I


этоrо контура бесконечно малый вектор dl, касательный
к контуру. Пусть S
 произвольная поверхность, оrрани

ченная этим контуром. В силу теоремы Стокса cnpaBek
ливо следующее соотношение


/ (rot AdS) == f (Adl).
S L


(1.17)


Интеrрал, стоящий в этом соотношении справа, называ

ется циркуляцией вектора А по замкнутому контуру L,
причем обхQЦ контура L должен ПРОВQЦиться в положи

тельном направлении, коrда обходимая область остается
слева.
При вычислении полной интенсивности излучения
произведение двух и более компонент единичноrо BeKTO

ра n == r/r == {nl == n х == Х/Т, n2 == nу == У/Т, n3 ==
== n z == z / Т} == {sin 6 cos 'р, sin 6 sin 'р, cos 6} необхQЦИМО
интеrрировать по сферическим уrлам. Результат TaKO

['о интеrрирования удобно записывать в тензорном виде,
полаrая, что Па == (n)a :


1т" 21Т"
/ sin 6d6 / drp n а Щ3 ==
 ОаfЗ,
О О


( 1.18)


1т" 21Т"
/ sin 6d6 / drp nanj3njJ.nv ==
; [Oaj30jJ.v + OajJ.Oj3v + Oav O ,6jJ.]'
о о
['де Oav
 символ Кронекера.
В теоретической физике широкое применение нашла
дельта
функция Дирака, являющаяся обобще'Н:н,ои функ

цией. Не претендуя на полноту изложения, приведем
!


r


17


31]


ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ


основные сведения о дельта
функции Дирака, знание KO

торых необходимо для изучения классической электрQЦИ

намики. Одномерная дельта
функция Дирака о(х
 хо)
определяется требованиями:
о(х
 хо) == { ОО, есди х == Хо,
О, есди х f= Хо,


(1.19)


/ Ь { 1, еСди ХоЕ(а,Ь),
dxo(x
 хо) == !, есди хо == а иди хо == Ь,
а О, есди хо f/. [а, Ь).
Представление о дельта
функции дает rрафик, приведен

ный на рис.1, если ero максимум устремить к бесконеч

ности, сохраняя площадь ПQЦ rрафиком равной единице.


р


y
 l\ ( x
x.)


о


х==х.


о:;


Рис.1. rрафик функции, имеющей пределом дельта

функцию Дирака.




18


ур АВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ


[rЛ.I


Очевидно, что дельта
функцию о(х
 хо) можно pac

сматривать как предел целоI'О ряда аналитических функ

ций о(х
 Хо, й) :


о(х
 хо) == lim о(х
 Хо, й).
а---+оо


в частности, всем поставленным требованиям (1.19) yдo

влетворяют, например, следующие функции:


{" ( ) 1 . sina(x
 хо)
и х
 хо == 1т
а---+оо 71"( Х
 хо) ,


о(х
 хо) == lim й
а---+оо 71"[1 + й 2 (х
 хо)2)'
о(х
 хо) == lim
e
a2(x
xo)2.
а---+оо v7r


Из этих примеров непосредственно видно, что размер

ность дельта
функции обратна размерности ее aprYMeH

та. ЛеI'КО также заметить, что дельта
функция четна:
о(
x) == о(х). Кроме TOI'O, из определения (1.19) можно
установить еще и следующие свойства:


00
! f(х)о(х
 xo)dx == f(хо),

oo


(1.20 )


о(х)
о(ах) ==
'
N
о(Р(х)) == L o


 X k ) ,
k==l I dx (xk)1


3 1]


19


ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ


['де xk
 корни уравнения F(Xk) == о.
Важным частным случаем последней формулы явля

ется соотношение


О ( 2
 2 ) == О (х
 а) + о (х + а)
х а 21 a l.


в ряде приложений бывает необходимо разложить дель

та
функцию в интеrрал Фурье. Учитывая свойства (1.20)
и определение интеI'рала Фурье, можно получить следу

ющее разложение:


00 00
о(х
 хо) ==
 ! dkeik(x
xo) == .!:. ! dk cosk(x
 хо).
271"' 71"

oo О


(1.21)
Обобщение QЦномерной дельта
функции на трехмерный
случай дает:


o(r
 ro) = о(х
 хо)о(у
 yo)o(z
 zo),


( 1.22)


00
O ( r
 r ) ==
 ! d3keik(r
ro)
о (271")3 '

oo


! dV f(r)o(r
 ro) ==
v


{ f (ro), если точка ro внутри объема V,
== ! J( ro), если точка ro на I'ранице объема V,
о, если точка ro вне объема V.




20


УР АВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ


[rЛ.I


С использованием дельта
функции Дирака можно ДOKa

зать два соотношения, которые нам потребуются в даль

нейшем:


6. 1 ==6. 1
Ir
 r/I -J (x
 х/)2 + (у
 у/)2 + (z
 z/)2


==
47!"(5(r
 r/),
л ! f(r/,t)dV' ==
 f( )
u I / I 471" r, t .
r
r


(1.23)


В классической электродинамике очень часто встречают

ся функции двух точек
 точки наблюдения r == {х, у, z}
и точки r/ == { х/ , у/ , z/}, I' де находится элемент dV' ==
dx' dy' dz' объема интеI'рИрОВания: F == Р( r, r' , t). Во избе

жание путаницы при действии дифференциальных опера

торов на такие функции мы в качестве BeKTopHoro Индек

са будем указывать тот радиус
вектор, по координатам
KOToporo ПРОИЗВQЦИТСЯ дифференцирование:


/ дР дР дР
V r F(r,r ,t) == е х дх + е у ду + e z az '


/ дР дР дР
V rIF(r,r,t)==ex
 a +eY
 д +ez
 a .
х/ у/ z/
Совершенно аналоI'ИЧНЫЙ смысл будет иметь векторный
индекс и у ДРУI'их дифференциальных операторов.


3 2. Плотность заряда и плот
ость тока


В классической электродинамике одним из основных
объектов является электрический заряд.


з2]


21


ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА


Первоначально считалось, что носителями зарядов
являются два вида особой электрической жидкости, одна
из которых обладает положительным зарядом, а ДРУI'ая

отрицательным. Для количественноI'О описания процес

сов перераспределения этих заряженных жидкостей, по
аналОI'ии с rИДРQЦинамикой, были введены понятия объ

емной плотности заряда р == р( r, t) и объемной плотности
тока j == j(r, t) :


p(r, t) == lim
 V q
t::. V ---+0 U


j(r, t) == p(r, t)v,


(2.1)


['де 6.q
 количество электрическоI'О заряда, СQЦержаще

I'ОСЯ в элементе объема 6. V, v
 скорость движения носи

телей электрическоI'О заряда.
Наряду с объемной плотностью заряда в классиче

ской элеКТРQЦИнамике используются поверхностная р S и
линейная р L плотности заряда:


1 . 6.qS
ps == 1т Л 5 '
t::.s---+o u


1 . 6.qL
Р L == 1т Л L '
t::. L---+O u


['де 6.QS
 количество заряда, СQЦержащаяся в элементе
площади 6.5 некоторой поверхности, а 6.QL
 количество
заряда, СQЦержащаяся в элементе длины 6.L некоторой
линии.
Введение понятий плотности заряда и плотности TO

ка оказало положительное влияние на развитие электро
 .
динамики и использование этих терминов продолжается
и в настоящее время.
Однако, впоследствии выяснилось, что носителями
электрическоrо заряда являются дискретные объекты