Автор: Демидович Б.П.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 5-211-03645-Х
Год: 1997
Текст
Б.П.ДЕМИДОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
13-е издание, исправленное
Рекомендовано Государственным комитетом Российской Федерации по высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов математических и физических специальностей высших учебных заведений
Издательство Московского университета Издательство ЧеРо 1997
ББК 22.161
ДЗО
УДК 517(075.8)
Рецензент: кафедра высшей математики МФТИ
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета Демидович Б.П.
ДЗО Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб, пособие. — 13-е изд., испр. — М.: Изд-во Моск, ун-та, ЧеРо, 1997. — 624 с.
ISBN 5-211-03645-Х
В сборник (11-е изд. — 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ; дифференциальное исчисление фукнций одной переменной; неопределенный и определенный интегралы; ряды; дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; интегралы, зависящие от параметра; кратные и криволинейные интегралы. Почти ко всем задачам даны ответы. В приложении помешены таблицы.
Для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений.
Учебное издание
Демидович Борис Павлович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Зав. редакцией Л.А.Николоаа.
Художественный редактор Л.В.Мухина.
Н/К
ЛР J* 040414 от 18.04.97.
Подписано в печать З.О6.96. Формат 84x108/32. Бумага офсетная.
Офсетная печать. Усл. печ. л. 32,2. Тираж 6000 екз.
Изд. J* 8151. Заказ М 2383
Ордена “Звак Почета* издательство Московского университета 103009, Москва, Большая Никитская ул., 5/7
Издательство “ЧеРо"
Москва, Большой Власьевский пер., д. 11, к. 208 т. 241 3390, 938 2346
Великолукская городская типография Упривформпечати Псковской области, 182100, г. Великие Луки, ул. Полиграфистов, 78/12
ISBN 5-211-03645-Х © Демидович Б.П.,1996
БОРИС ПАВЛОВИЧ ДЕМИДОВИЧ (1906-1977)
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Отдел I. Введение в анализ ................................................................ 7
§ 1. Вещественные числа .............................. 7
§ 2. Теория последовательностей..............................12
§ 3. Понятие функции ..............................26
§ 4. Графическое изображение функции .... 35
§ 5. Предел функции ..47
§ 6. О-символика ..72
§ 7. Непрерывность функции ..77
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные пара-Метрически ....................................87
§ 9. Равномерная непрерывность функции ... 90
§ 10. Функциональные уравнения.94
Отдел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ................................. 96
§ 1. Производная явной функции................96
§ 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде . . . .114
§ 3. Геометрический смысл производной.......117
§ 4. Дифференциал функции...................120
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков .........................................124
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши .... 134
§ 7. Возрастание н убывание функции. Неравенства ........................................140
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба . . 144
§ 9. Раскрытие неопределенностей ............147
§ 10. Формула Тейлора.........................151
§11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции ........................156
§ 12. Построение графиков функций по характерным точкам ..................................161
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций . . . 164
$ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 167
§ 15. Приближенное решение уравнений .... 170
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Отдел III. Неопределенный интеграл................172
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы ... 172
§ 2. Интегрирование рациональных функций ... 184
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций .....................................187
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 192
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных функций .....................................198
§ 6. Разные примеры иа интегрирование функций 201
Отдел IV. Определенный интеграл ..................204
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы . . 204
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных .........................208
§ 3. Теоремы о среднем ......................219
§ 4. Несобственные интегралы ................223
§ 5. Вычисление площадей ....................230
§ 6. Вычисление длин дуг ....................234
§ 7. Вычисление объемов......................236
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 239
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести .......................................240
§ 10. Задачи из механики и физики ............242
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов .......................................244
Отдел V. Ряды ....................................246
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.............................246
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 259
§ 3. Действия над рядами....................267
§ 4. Функциональные ряды ................. 268
§ 5. Степенные ряды.........................281
§ 6. Ряды Фурье ............................294
§ 7. Суммирование рядов ....................300
§ 8. Нахождение определенных интегралов с помощью рядов..................................305
§ 9. Бесконечные произведения................307
§ 10. Формула Стирлинга ......................314
§ 11. Приближение непрерывных функций многочленами ......................................315
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных ...............318
§ 1. Предел функции. Непрерывность...........318
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции ..........................................324
§ 3. Дифференцирование неявных функций .... 338
§ 4. Замена переменных ......................348
<5 5. Геометрические приложения ..............361
§ 6. Формула Тейлора ........................367
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных 370
ОГЛАВЛЕНИЕ
Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра . . 379
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 379
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов 385
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла , . 392
§ 4. Эйлеровы интегралы..................... 400
§ 5. Интегральная формула Фурье ..............404
Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы . 406
§ 1. Двойные интегралы.......................406
§ 2. Вычисление площадей .................... , 414
§ 3. Вычисление объемов.................... 416
§ 4. Вычисление площадей поверхностей .... 419
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике 421
§ 6. Тройные интегралы.......................424
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов .......................................428
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике 431
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы 435
§ 10. Многократные интегралы ................439
§11. Криволинейные интегралы ................443
§ 12. Формула Грниа ..........................452
§ 13. Физические приложения криволинейных интегралов . 456
§ 14. Поверхностные интегралы.................460
§ 15. Формула Стокса .........................464
§ 16. Формула Остроградского .................466
§ 17. Элементы теории поля....................471
Ответы .........................................480
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ОТДЕЛ I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Вещественные числа
1°. Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального числа п, достаточно доказать: 1) что эта теорема справедлива для п = 1 и 2) что если эта теорема справедлива для какого-нибудь натурального числа п, то она справедлива также и для следующего натурального числа п -j- 1.
2°; Сечение. Разбиение рациональных чисел на два класса А и В называется сечением, если выполнены следующие условия: 1) оба класса не пусты; 2) каждое рациональное число попадает в один и только в один класс и 3) любое число, принадлежащее классу А (нижний класс), меньше произвольного числа, принадлежащего классу В (верхний класс). Сечение А/В определяет: а) рациональное число, если или нижний класс А имеет наибольшее число или же верхний класс В имеет наименьшее число, и б) иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего числа, а класс В — наименьшего числа. Числа рациональные и иррациональные носят название вещественных или действительных *).
3°. Абсолютная величина. Если х — вещественное число, то абсолютной величиной] х] называется неотрицательное число, определяемое следующими условиями:
{— х, если х < 0;
х, если х >0.
Для любых вещественных чисел х и у имеет место неравенство
|х|-|у|^|х + у|С|х| + |у|.
4°. Верхняя и нижняя грани. Пусть X = {х}-— ограниченное множество вещественных чисел. Число
т = inf {х}
называется нижней гранью множества X, если:
*) В дальнейшем под словом число мы будем понимать вещественное число, если не оговорено противное.
8 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1) каждое удовлетворяет неравенству
х>т;
2) каково бы ни было е > 0, существует х'£ X такое, что
х' < т + е.
Аналогично число
М — sup (х)
называется верхней гранью множества X, если:
1) каждое х£Х удовлетворяет неравенству
х < М,
2) для любого е > 0 существует х*С X такое, что
х“ > М — е.
Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить, что
inf (х) = — оо;
если же множество X не ограничено сверху, то полагают
sup (х) — + оо.
5е. Абсолютная и относительная погреш* Н о с т и. Если а (а >#> 0) есть точное значение измеряемой вели* чины, а х — приближенное значение этой величины, то
Д = |х — о|
называется абсолютной погрешностью, а
‘-ТГ
— относительной погрешностью измеряемой величины.
Говорят, что число X имеет п верных знаков, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы раз* ряда, выражаемого л-й значащей цифрой.
Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа п справедливы следующие равенства:
1. l-f-2-h . . . +n = 2-i^-±-^-.
*) Запись х£ X означает, что число х принадлежит множе* ству X.
5 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
9
2. р 4-2*4- . . . | л* - »(«-V 0(2" + 1)
3. 1’4-2* 4- . . . 4-л’ = (14-24- . . . 4-л)1.
4. 1 4- 2 4- 2’ 4- ... + 2"-1 = 2» — 1.
5. Пусть rf"! = а (а — Л) . . . (д — (п — 1) h J и а») = 1.
Доказать, что (a4-*)lni= S С^а1я~т^т\ где. С? — m »0
число сочетаний из п элементов по т. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.
6. Доказать неравенство Бернулли:
(1 4- xt)(l 4- *s) ... (1 4- Хп) >
> 1 4- Xi 4- xt + . ♦. +
где хи хг, . . .., хп — числа одного и того же знака, большие — 1.
7. Доказать, что если х > — 1, то справедливо неравенство
(1 4- х)п > 1 4- пх (п > 1),
причем знак равенства имеет место лишь при х = О, 8. Доказать неравенство
л!<(-"±—)" при л>1
Указание. Использовать неравенство
/ л 4-2 Y+1 /. 1
(п - !, 2, . . .},
9. Доказать неравенство 2J-4I . . . (2n)!>[(n4-l)lln при л>1.
10. Доказать неравенство 1 з 2л—1^, 1
10.1. Доказать неравенства:
"> 1+-^-+-7Г + --'+^г->^ («>»
б) > (л 4- 1)” (л > 3):
10
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
п
в) sin
А=1
(0 С xk < л;
k=\, 2....л);
г) (2л)!<22л(и!)*.
11. Пусть с — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и А/В — сечение, определяющее вещественное число л/с, где в класс В входят все положительные рациональные числа b такие, что Ьг>с, а в класс А — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а в классе В нет наименьшего числа.
12. Сечение A/В, определяющее число 2 , строится следующим образом: класс А содержит все рациональные числа а такие, что а3 < 2; класс В содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а в классе В — наименьшего.
13. Построив соответствующие сечения, доказать равенства:
а) л/2 +V8' = 718"; б) V2’V3’ = V6.
14. Построить сечение, определяющее число 2'^.
15. Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.
16. Показать, что множество всех правильных рациональных дробей т!п, где тип — натуральные числа и 0 < т < п, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого множества.
17. Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству г* < 2.
18. Пусть {—х) — множество чисел, противоположных числам х€{х}. Доказать, что
a) inf {—х} =—sup(x); б) sup{—х} =—inf {х}.
19. Пусть {х + у} есть множество всех сумм х + у, где х£ {х} и у С{у}-
« 1 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 11
Доказать равенства:
a) inf {х + у} — inf {х} + inf {у};
б) sup (х + у} = sup {х} + sup {(/}.
20. Пусть {ху} есть множество всех произведений ху, где хС {х} и у причем х > 0 и у > 0.
Доказать равенства:
a) inf {ху} = inf{x} • inf {у};
б) sup {ху} — sup(x}-sup {(/}.
21. Доказать неравенства:
а) |х — у\ >Цх| — |£/||;
б) | х + хг + . . . + х„ | >
>1х| — (|хх| + . . . + |х„|)
Решить неравенства:
22. |х +1|<0,01. 23. |х—2|>10.
24. |х|>|х+1|. 25. |2х—1 |<|х—11.
26. |х+2|+|х—2| < 12. 27. |х + 2|—|х|>1.
28. ||х + 1|—|х—1||<1. 29. |х(1 — х)|<0,05.
30. Доказать тождество
31. При измерении длины в 10 см абсолютная погрешность составляла 0,5 мм; при измерении расстояния в 500 км абсолютная погрешность была равна 200 м. Какое измерение точнее?
32. Определить, сколько верных знаков содержит число х = 2,3752, если относительная погрешность этого числа составляет 1 %?
33. Число х = 12,125 содержит 3 верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа.
34. Стороны прямоугольника равны:
х = 2,50 см ± 0,01 см, у = 4,00 см ± 0,02 см.
В каких границах заключается площадь S этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность Д и относительная погрешность 6 площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?
’2 ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
35. Вес тела р = 12,59 гс ± 0,01 гс, а его объем v — 3,2 см3 ± 0,2 см3. Определить удельный вес тела и оценить абсолютную и относительную погрешности удельного веса, если за вес тела и объем его принять средние значения.
36. Радиус круга г — 7,2 м ± 0,1 м. С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять л = 3,14?
37. Измерения прямоугольного параллелепипеда суть:
х = 24,7 м ± 0,2 м,
у — 6,5 м± 0,1 м, z = 1,2 м ±0,1 м.
В каких границах заключается объем и этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями может быть определен объем этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?
38. С какой абсолютной погрешностью следует измерить сторону квадрата х, где 2 м < х < 3 м, чтобы иметь возможность определить площадь этого квадрата с точностью до 0,001 м2?
39. С какими абсолютными погрешностями Д достаточно измерить стороны х и у прямоугольника, чтобы площадь его можно было вычислить с точностью до 0,01 м2, если ориентировочно стороны прямоугольника не превышают 10 м каждая?
40. Пусть 6 (х) и б (у) — относительные погрешности чисел х и у, 6 (ху) — относительная погрешность числа ху.
Доказать, что 6 (ху) < 6 (х) + 6 (у) + 6 (х)6 (у).
§ 2. Теория последовательностей
Г.Понятие предела последовательности. Говорят, что последовательность xj, х2.х„, . . или
иначе хп (п = 1, 2, . . .), имеет своим пределом число а (короче, сходится к а), т. е.
lim хп = а, п-*оо
если для любого е > 0 существует число N = N (в) такое, что Iхя — а| < е при п > N.
I S. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ IS
В частности, хп называется бесконечно малой, если lim хп •“ 0.
П-ХМ
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
2°. Признаки существования предела.
1) Если
Уп хп
U
lim уп = Ит гп — с, п-*оо п-*оо
ТО lim хп — с. л-*оо
2) Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3) Критерий Коши. Для существования предела последовательности х„ необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало число N = N (е) такое, что
|хп —Хп+рКе, если только л > N и р > 0.
3° . Основные теоремы о пределах последовательностей. Предполагая, что существуют
lim хп и lim уп, П-ХЭО П-хю
имеем:
1) если хп < уп, то lim хп lim уп’, Л-ХЭО Л^-ОО
2) lim {хп ± уп) = lim хп ± Ит уп‘, П~+ ОО Л”*ОО Л«^ОО
3) Ит (х„уп) = lim хп lim уп; п-*оо П—>СО Л-+СО
Ит хп
4) Ит " *п = ----> если lim уп^0.
я-*» Уп Ит Уп л-*со
п~+со
4°. Число е. Последовательность
(1 + 4-)" <»->. 2....>
имеет конечный предел
lim (l4- —Y = e = 2,718 281 8284. . . а**оо \ л /
ОТДЕЛ !. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
J4
5е. Бесконечный предел. Символическая запись lim хп = оо П-*ЭО
обозначает, что, каково бы ни было Е > 0, существует число Л’ = W (Е) такое, что
| хп | > Е при n>N.
6°. Предельная точка. Число £ (или символ оо) называется частичным пределом (предельной точкой) данной последовательности хп (п = 1, 2, . . .), если существует ее подпоследовательность
*рг .........хРп, . . . (1 «=Р1<Рг< . . .)
такая, что
lim хРп == Е.
Л—>00
Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере один конечный частичный предел (принцип Больцано — Вей-ерштрасса). Если этот частичный предел единственный, то ои же является конечным пределом данной последовательности.
Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный) последовательности хп
lim хп
П->30
называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее
lim хп п-»-х
называется верхним пределом этой последовательности.
Равенство
lim хп = lim хп
является необходимым и достаточным условием существования предела (конечного или бесконечного) последовательности хл.
41. Пусть
=... (Д=1, 2, ...).
Доказать, что
lim хп = 1,
определив для каждого е. > 0 число N — N (е) такое, что
| хп — 11 < е, если п> N.
5 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
15
Заполнить следующую таблицу:
е о,1 0,01 0,001 0,0001 • • •
N
42. Доказать, что хп (п = 1, 2, . . .) есть бесконечно малая (т. е. имеет предел, равный 0), указав для всякого е > 0 число, N = N (е) такое, что |хп | < в при п > N, если
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:
8 0,1 0,001 0,0001 • • •
N
43. Доказать, что последовательности
а) хл==(—1)ял, б) = в) ха = lg (1g л) (л >2) имеют бесконечный предел при п -*• оо (т. е. являются бесконечно большими), определив для всякого Е > 0 чиело N = N (Е) такое, что | хп | > Е при л > N.
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:
Е 10 100 1000 10000 • • •
N
44. Показать, что хп = л(“1)Я (л = 1, 2, . . .) не ограничена, однако не является бесконечно большой при л -* оо.
18
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
45. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:
a) limxn = oo; б) lim хл =—оо; в) lim хп=-[-оо. П-*-00 П->ОО П-*ОО
Предполагая, что п пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:
48. lim-^Sl
п-
п-
48. lim
y^n2 sin л1
49. Пт- -<-2Г.+ 3"
п-м» ( — 2)Л+Ч- 3'1+1
50. lim
П-+СО
. + ьп
Доказать следующие равенства:
58. lim—— =0. 59. lim -— =0.
П-+оо 2П П-+оо я!
60. lim — =0 (а>1). 61. lim—=0.
л->оо Qn п-+оо „п!
62. limn<7n = 0, если |<?|<1. Л—*00
63. lim £<7=1 (а>0). 64. lim - = 0 (а>1).
«-►ОО Л-*ОО fl
65. lim ]Zn = 1. 66. lim —= 0.
«-►оо Л—*0О у/”
5 2 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
17
67. Какое выражение больше при достаточно больших п:
а) 100п + 200 или 0,01л2?; б) 2" или п1000?;
в) 1000" или п!?
68. Доказать, что
Указание. См. пример 10.
69. Доказать, что последовательность
Хл=(1+4")л (л=1,2> • ’
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность
Ул = 0_|__1_у+1 (Л = 1, 2,. . .)
монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел
Игл fl +—=lim fH—LY+1 =е. П-.ОО k nJ П-.ОО \ nJ
Указание. Составить отношения--, --- и восполь-
хп Уп—i
зоваться неравенством примера 7. 70
70. Доказать, что
0<е—
О4
(п=1, 2, . . .).
При каких значениях показателя п выражение fl 4 будет отличаться от числа е меньше чем на 0,001?
2 п
71. Пусть рп/(п =1, 2, . . .) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +<», и qn (п = = 1, 2, . . .) — произвольная последовательность чисел.
стремящаяся к —оо (рл, [—1, 0]). Доказать, что
lim fl 4 п->оо \
—У"== lim fl 4
Рп } n-»oo \
J-Y’-e. 9. Z
(1 \п
1 H--1 — e, доказать, что
Я /
lim fl 4- 14
1
2!
1
31
n! J
+ ...
18 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Вывести отсюда формулу
е==2 + —+ —+.. • + —+ -А-, 21 3! л! л!л
(*)
Где 0 < 0„ < 1, и вычислить число е с точностью до 10~5.
73. Доказать, что число е иррационально.
74. Доказать неравенство
(“7“) <п,<е
(-г)”-
75. Доказать неравенства:
а)
где п — любое натуральное число;
б) 1 + а < «“,
где а — вещественное число, отличное от нуля.
76. Доказать, что lim п (а>п — 1) = In а (а> 0)’, п->со
где In а есть логарифм числа а при основании е=2,718 ...
Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
77. Xn = p9+J^-+ . . , (П=1, 2,. . .),
" н 10 10"
где pi (i = 0, 1,2,...) — целые неотрицательные числа, не превышающие 9, начиная с pv
7R у 10 11 я + 9
/о. Хл =-------- . . . -----1
1 3 2л —1
а ... 80 81
80. ^=0+4-)('+4-)--(1+-f-)-
81. х1х=д/2", х2 = д/2+-\/2" , . . .» хп =
= л/2+д/2+ . . . +л/2 , . . .
п корней
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:
§ S. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
19
82. хп => а0 + axq + . . . +ап9", где |а4| < М (k = 0, 1,2, . . .) и | <?| < 1.
22 1 ‘
84. хп =
из 1; . «.из . uuo in
Ь2 Гз '•••+ л (п 4-1)
Указание. Воспользоваться неравенством
86. Говорят, что последовательность х„ (л = 1, 2, . . .) имеет ограниченное изменение, если существует число С такое, что
I х3 — хг | 4* | Xj — х21 4“ . . . 4~ | хп — хл_11 < С
(п - 2, 3, ...).
Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.
87. Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.
88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности
89. Доказать, что если последовательность хп (п = = 1,2,...) сходится, то любая ее подпоследовательность хРл также сходится и имеет тот же самый предел:
lim хРп = lim хп.
90. Доказать,- что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.
91. Доказать, что если lim хп — а, то
lim |х„| = |а|.
2*
20 ОТДЕЛ ! ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
92. Если х„ -> а, то что можно сказать о пределе
lim _2н+1_?
П-ЮО £ хп
93. Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.
94. Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры последовательностей всех трех типов.
95. Доказать, что числовая последовательность х„ (п = 1, 2, . . .), стремящаяся к + оо, обязательно достигает своей нижней грани.
Найти наибольший член последовательности хп (п
1, 2, .. .), если:
96. х„ = -£-. 97. х„ =
У?—. 98. х„ = = 100+ п л!
Найти наименьший член последовательности хп (п = == 1, 2, . . .), если:
99. х„ = п»-9п-100. 100. х„ = п + -^-.
Для последовательности хп (п = 1, 2, . . .) найти inf хп, sup хп, lim хп и lim хп , если:
101. хп = \-1-. 101.1.хя = (-1)п-,(2 + -^-).
W3. Zn = i+-A_cos-^-.
104. х„ = 1+2(-1)п+1 + 3- (-1)“
105. х„ = * ~ cos . 106. xn = (—1)"п.
п 4-1 3
107. хп = —п[2+(—1)»1. 108. х„ = п<-х>».
109. x„ = l+nsin-==-. ПО. хй------ 1 -
X Л 1V|4»
S 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Найти lim хп и lim хп, если:
21
111.
112.
113.
л2 2лл
х ---------COS-----.
1 +Л 3
+ —У •(-!)"+sin л / 4
л . , лл
Хп =-------sm*-----.
д-4-1 4
114.
x.
Найти частичные костей:
115. x„=cos'1—
пределы следующих последователь-
116. —, -L
2 2
2« —I
7_ 8
1 2"
2"
117.
1
2
1
4
1
• »— л
1
ч 4-н
1
'"11 t “ п
1
з ' ' ’ з
1 1 , I
4 ’ 3
1 . 1
хп
2 4
з 1
4 ’ 8
1
i-+-l 2 3
2 4
2
n
4 ’
5 ’ ’ ”
1 1 Л
л —1
2 4
2 4
2 3
2 5
2
3
1
4 ’
2 5
7-)+2
118. —, -2 2 3
5 ’ 5 ’
119. х„ = 3-(1 120. х„ = ~1-[(а + Ь) + (-1)«(а-6)]. * У
121. Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числа
alt ai>
ар.
22
ОТДЕЛ Т. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
122. Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности
^1> ^2» • • •» • • •
являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?
123. Построить пример последовательности:
а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.
124. Доказать, что последовательности хп и уп = — п (п = 1, 2, . . .) имеют одни и те же частичные пределы.
125. Доказать, что из ограниченной последовательности хп (п = 1, 2, . . .) всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность хРп (n = 1, 2, . . .).
126. Доказать, что если последовательность хп (п = = 1, 2, . . .) не ограничена, то существует подпоследовательность хРп такая, что lim хРп = оо.
127. Пусть последовательность хп (п = 1, 2, . . .)’ сходится, а последовательность уп (п = 1, 2, . . .) расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:
а) хп + уп; б) хпуп?
Привести соответствующие примеры.
128. Пусть последовательности хп и уп (п — 1, 2, . . .) расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности
а) хп + Уп, б) хпуп
также расходятся? Привести соответствующие примеры.
129. Пусть lim хп = 0, и уп (п = 1, 2, . . .) — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что lim хпуп = 0? Привести соответствующие П-*оо примеры.
f 2. ТЕОРИЯ последовательностей 23
130. Пусть
lim x„r/„ = 0.
Л-ЬЭО
Следует ли отсюда, что либо lim хп == 0, либо lim #„= 0? Л-*эо П~»оо
Рассмотреть пример: хп =------, уп =-------------------
(п = 1, 2, . . .).
131. Доказать, что
a) lim хп + lim уп < lim (хп + уп) < lim хп + lim уп
П-+оо Л->эо Л-*эо Л->оо Л->оо
И
б) lim хл + Пгп^л < ton (хп + уп) <ТБ xn + ton уя.
TZi, п-х П-00 n-fX п~*х
Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
132. Пусть хл>0и уп > 0 (/1=1, 2, . . .). Доказать, что
a) limxn-lim//„ < lim (хпуп) < limxn-lim уп rw-оо л-^оо Л-ьоо Л->эо Л-*оо
и
б) lim хл-Пт//„ < lim (хпуп) < lim xn-lim yn. д_г30 Л-*ОО Л-*ЭО Л-*оо
Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
133. Доказать, что если lim хп существует, то, какова бы ни была последовательность уп (n = 1, 2, . . .), имеем:
a) lim (хл + (/„) = lim х„ + ton уп Л->ОО Л->3© Л-*-00
и
б) ton (хпуп) = Пт хп • Пт уп (хл > 0). Л-+ОО П-*ОО Л-*оо
134. Доказать, что если для некоторой последовательности хп (/1=1, 2, . ..), какова бы ни была последовательность уп (п = 1, 2, . . .), имеет место по меньшей мере одно из равенств:
a) lim (Хп+уп) = Пгп х„ + ПпГ уп П-tOQ П-*00
24 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
И ПИ
б) lim (x„(/n) = lim x„-lim уп (хл>0), П-*ОО Л-*ОО Л-+ОО
то последовательность хп — сходящаяся.
135. Доказать, что если хп >0 (п = 1, 2, . . .) и
lim хп- lim —-— = 1,
Л-*ос л-*оо Хп
то последовательность хп— сходящаяся/
136. Доказать, что если последовательность хп (п = = 1, 2, . . .) ограничена и lim (хп+1—хл) = 0, то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:
I = lim хп и L = lim хп, SZi n-“
то есть любое число из отрезка [/, L1 является частичным пределом данной последовательности.
137. Пусть числовая последовательность xlt хг, . .. .... хп, . . . удовлетворяет условию
0 < хт+п < хт + хп (т, п=1, 2,. . . ).
Доказать, что lim существует.
Л-кво П
138. Доказать, что если последовательность хя (п = 1, 2, . . .) сходится, то последовательность средних арифметических
= —— (*1+*а + . . . +хп) (п=1, 2, . . .) п
также сходится и
lim *> + *» + •+х,н^нт Хп. Н-+ОО П л-*ос
Обратное утверждение неверно: построить пример.
139. Доказать, что если lim х„ = + оо, то
л-*оо
lim ** + *»+••• + *».,. = + оо.
Л->ао Л
140. Домазать, что если последовательность х„ (п “ = 1, 2, . . .) сходится и х„ >0, то
lim xtxt . . . хя = limx„. П-»до П-too
$ 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 25
141. Доказать, что если хп >0 (п = 1, 2, . . то lim у''"хп — Нт —, л-»оо л-*оо Хп
предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.
142. Доказать, что
Ит —------= е.
143. Доказать теорему Штольца: если
a) <M+i> уп (я =1. 2, . . .);
б) Нт уп = 4- оо, в) существует lim *"'и ~*п п-юо л-»оо у п+1 — Уп
ТО
lim Хп+1ТЛп л-+оо Уп+1 Уп
lim п-*х Уп
144. Найти:
a) lim —(а>1); б) lim .
/1-^-^-ао С* д->Ц-ао Л
145. Доказать, что если р — натуральное число, то
а) iim Х.+ Г+ •••+»’ = _1_.
п-мх> Л₽+‘ р + 1
б) limf ------=-) = □_,
д-оД П» р+ 1 J 2
в) Нт |^ЗР~|- • • >+(2л-1)р--------2^_
п»+1
Р + 2Р + • • • + л*
р+1
146. Доказать, что последовательность x„=l+4- + ++---+J--------------1п« =
£ О Л
)
сходится.
Таким образом, имеет место формула
!+ + + + +• • • +-- = С + 1пп+е„, Z о л
где С = 0,577216 ... — так называемая постоянная Эйлера и еп -+ 0 при п -+ оо.
147. Найти
lim (—---------1-------—
п-гсв \ п 4- 1 П 4* 2
20 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
148. Последовательность чисел хп (п = 1, 2, ...) определяется следующими формулами:
*1 = а, х2 = &. хд = _х"-»±3.п-1- (п = з, 4.. . .).
Найти lim хп.
П->х
149 (н). Пусть хп (п — 1, 2, . . .) — последователь* ность чисел, определяемая следующей формулой: Хо>О, хп+1 = —— f хп Ч------'j (п = 0, 1, 2, . . .).
2 \ хп J
Доказать, что lim хп = 1.
Л-+-ЭО
150. Доказать, что последовательности х„ и уП (п = “ 1, 2, . . .), определяемые следующими формулами:
*1 = 0. = *0+1=7*^. i/n+l =------------------»
имеют общий предел
р(а, b) = lim хп = lim уп
rt->oo П->оо
{арифметико-геометрическое среднее чисел а и Ь).
§ 3. Понятие функции
1°. Понятие функции. Переменная у называется однозначной функцией f от переменной ж в данной области изменения X — (*), если каждому значению ж £ X ставится в соответствие одно определенное действительное значение У = f (*)< принадлежащее некоторому множеству Y = (у).
Множество X носит название области определения или области существования функции t (х); Y называется множеством значений этой функции.
В простейших случаях множество X представляет собой или открытый промежуток (интервал) ] а, Ь[ = (а, Ь): а < ж < b или полуоткрытые промежутки
|а, й] == (а, /»]: а < ж Ь, [а, Ь [ = [а, Ь): а ж <Ь, или замкнутый промежуток (сегмент) [а, Ь|: а <1 ж Ь, где а и Ь — некоторые вещественные числа или символы — оо ц 4- оо (в последних случаях равенства исключаются). Если каждому значению ж Из X соответствует одно или несколько значений у = f, (ж), то у называется многозначной функцией от ж.
2°. Обратная функция. Если под ж понимать любое значение, удовлетворяющее уравнению
/ W = у,
где у — фиксированное число, принадлежащее множеству зна
S S. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
27
чений Y функции / (х), то это соответствие определяет иа множестве Y некоторую, вообще говоря, многозначную функцию
называемую обратной по отношению к функции I (х). Если функция у = f (х) монотонна в строгом смысле, т. е. f, (х2) >f. (Xj) (или соответственно f, (xs) < i (х,)) при х2 > х4, то обратная функция х = (“* (у) является однозначной н монотонной в том же смысле.
Определить области существования следующих функций:
151. у = . 152. у^Зх—х? .
153. у = (х-2)у-1^- .
154. a) у = log(x2—-4); б) у = log (х +2) 4- log(х—2)
155. у — Д/sin (-\/х ) .
157. у == lg (sin -2-).
159. y = arcsin———
156. y = Vc°sx2 .
158. у = 4^-> J sin лх
160. у = arccos (2 sin х,
161. у = lg[cos (lg x)J. 162(h). у = (x4-|x|) Vxsin2jix •
163. у = ctg nx 4- arccos (2х).
164. y = arcsin(l—x) + lg(lgx). 165. y = (2x)l
165. 1. у = log2log3log4x. 165.2. у = ]Xlg tg x .
165. 3. у = Vsin 2x 4--\/sin3x (0 < x С 2л).
Определить области существования и множество значений следующих функций:
166. у = л^2-\-х—х? .
168. у = arccos---------.
” 14-х»
167. у = lg (1 •—2 cos х).
169. у = arcsin (lg —
170. у = (—1)х.
171. В треугольник АВС (рис. 1), основание которого АС = b и высота BD = Л, вписан прямоугольник KLMN, высота которого NM = х. Выразить периметр
28 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Р прямоугольника K.LMN и его площадь 5 как функции от х.
Построить графики функций Р = Р (х) и 5 = S (х).
172. В треугольнике АВС сторона АВ = 6 см, сторона АС — 8 см и угол ВАС = х. Выразить ВС = а и площадь АВС = S как функции переменной х. Построить графики функций а = а (х) и 5 = 5 (х).
173. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 2), основания которой AD — а и ВС — b (а >Ь), а высота НВ = h, проведена прямая MN || НВ и отстоящая от
Рис. 2
вершины А на расстоянии AM = х. Выразить площадь 5 фигуры ABNMA как функцию переменной к. Построить график функции: 5 = 5 (х).
174. На сегменте 0 < х < 1 оси Ох равномерно распределена масса, равная 2 г, а в точках этой оси х = 2 и х = 3 находятся сосредоточенные массы но 1 г в каждой. Составить аналитическое выражение
$ 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
29
функции т = т (л) (— со < х < + оо), численно равной массе, находящейся в интервале (—оо , х), и построить график этой функции.
175. Функция у — sgn х определяется следующим образом:
— 1, если х<0;
sgn х =
О, если х = 0;
1, если х>0.
Построить график этой функции. Показать, что | х | = х sgn х.
176. Функция у — lx) (целая часть числа х) определяется следующим образом: если х = п + г, где п — целое число и 0 < г < I, то [х] = п.
Построить график этой функции.
177. Пусть
У = л (х) (х > 0)
обозначает число простых чисел, не превышающих
числа х. Построить график этой функции для значений аргумента 0 < х 20.
На какое множество Еу отображает множество Ея функция у = f (х), если:
178(h). у = х2,
179. t/ = lgx,
180. у = —— arctgx,
£х = (-1<х<2).
£х = (10<х<1000).
£х = (—оо<х< + оо}.
181. y = ctg—у—, £х = {0<|х| < 1).
4
182. t/ = |x|, £х = {1 <|х|<2).
Переменная х пробегает интервал 0<х<1. Какое множество пробегает переменная у, если:
183. у = а+(Ь—а)х. 184. у =
185. у = ——-—. 186. у — -dx—х* .
2х—1 9 *
187. z/ = ctgnx. 188. у = х + [2х].
30
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
189. Найти f (0), f (1), f (2), / (3), / (4), если f (х) — с— 1
190. Найти f (— 1), / (— 0,001), f (100), если f (х) в «= 1g (х2).
191. Найти /(0,9), /(0,99), /(0,999), /(1), если / (х) = 1 + [х].
192. Найти / (- 2), / (- I), / (0), / (1), / (2), если | 14-х при — оо<х<0, f (х) — | 2* при 0<х< 4- оо.
193. Найти /(0), /(— х), /(х4-1), /(х)-Ы,
f(——, если
Ч х ) f(x)
/(x) = _Lz£_. 14-х
194. Найти значения х, для которых: 1) / (х) = 0j 2) / (х) > 0; 3) / (х) < 0, если:
а) /(х) = х—Xs; б) /(x) = sin-^-;
в) /(х) = (х4-|х|)(1—х).
195. Найти <р(х)= + , еСли:
h
а) / (х) = ах 4- Ь; б) f (х) = х2; в) / (х) = а*.
196. Пусть / (х) = ах2 4- Ьх 4- с. Показать, что
/ (х 4- 3) - 3/ (х 4- 2) 4- 3/ (х 4- 1) - / (х) » 0
197. Найти целую линейную функцию / (х) — ах + Ь, если / (0) = — 2 и / (3) = 5.
Чему равны / (1) и / (2) (линейная интерполяция)?
198. Найти целую рациональную функцию второй степени: / (х) = ах2 4- Ьх 4- с, если
/(-2) = 0. /(0) = 1, /(1) = 5.
Чему равны / (— 1) и / (0,5) (квадратичная интерполяция)?
199. Найти целую рациональную функцию третьей степени:
/(х) = axs4-bx24-cx4-d, если / (—1) = 0, / (0) = 2, /(1) = -3, /(2) = 5.
« 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 31
200. Найти функцию вида f (х) — а + Ьсх, если / (0) = 15, f (2) = 30, / (4) = 90.
201. Доказать, что если для линейной функции
f (х) = ах + Ь
значения аргумента х = х„ (n = 1, 2, . . .) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции уп — f (хп) (n = 1, 2, . . .) образуют также арифметическую прогрессию.
202. Доказать, что если для показательной функции
[ (х) — ах (а > 0)
значения аргумента х х„ (п = 1, 2, . . .) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции уп = f (хп) (п = 1, 2, . . .) образуют геометрическую прогрессию).
203. Пусть функция f (и) определена при 0 < и <1. Найти области определения функций:
a) f(sinx); б) f (In х); в)
204. Пусть f (х) — -~(ах+а~х) (а>0). Пока-
зать, что
f(x + y) + f(x-y) = 2f(x)f(y).
205. Пусть / (х) + f (у) = f (г). Определить г, если
a) f(x) = ax; б) / (х) = —;
X
в) f(x) = arctgx (Iх|<1); г) f(x) = log--4'* .
1 — х
Найти <р [ф (х)), ф [ф (х) ], ф [ф (х) ] и ф [ф (х) 1, если:
206. ф(х) = х2 и ф(х) — 2х,
207. ф(x) = sgnx и ф(х) = ——. х
208« ф(х) =
0 при х < 0, (0
х при х>0 И —1—х2
прих^О, при х>0.
32
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
209. Найти f [f (х) ),/{/(/ (х) ]}, если
210. Пусть /в (х) =/ (/(. . ,f (х))). Найти fa (х), если л раз
V 1 + *‘
211. Найти f (х), если f (х + 1) = х*—Зх + 2.
212. Найти /(х), если f (хЧ—~)==х*+ -^-(1*1 > 2^'
213. Найти/(х), если/f—^-^x+Vl+** (ОО).
213.1. Найти / (х), если /
Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:
214. /(х) = х2 (0<х<4-оо).
215. /(х) = sin х (---
216. f(x)=tgx (-------1_<Х<-Д_).
217. /(x) = 2x-f-sinx (—oo<x<+oo).
Доказать, что следующие функции являются моно* тонно убывающими в указанных промежутках:
218. /(х) = х» (—оо<х<0).
219. / (х) = cos х (0 < х < л).
220. f(x) = ctgx (0<х<л).
221. Исследовать на монотонность следующие функции:
a) f(x) — ax + b-, б) f (x) = ax* + bx-i-c;j
в) /W-Л г) =
и) f(x)=a* (а>0).
$ з. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
222. Можно ли почленно логарифмировать неравенство?
223. Пусть <р (х), ф (х) и f (х) — монотонно возрастающие функции. Доказать, что если
ф W < / (х) < ф (х),
Ф [ф (х) ] < f If (х) ] ф 1ф (х) ].
Определить обратную функцию х = ф (у) и ее область существования, если:
224« у — 2x4-3 (—оо<х< 4-оо).
225» г/ = х2; а) —оо<х<0; б) 0<х<4-«>.
226. у = -'~х- (х#=-1).
227. ^ = V1 — х2 ; а) —1<х<0; б) 0 < х < 1
228. i/ = shx, где shx = —(ех— е~х)
(—оо<х< 4-оо).
229. i/ = thx, где thx=
е* 4- е~х
( —оо<х< 4-оо).
230.
если
2х,
У — \ х2, если 1 < х < 4;
2х, если 4<х<4~00-
231. Функция f (х), определенная в симметричном интервале (— /, /), называется четной, если
f (- х) = f (х);
и нечетной, если
/ (— х) = — f (х).
Определить, какие из данных функций f (х) являются четными, а какие нечетными:
a) f (х) = Зх-х3; б) f (х) = ^(1-х)2 4- ;
34
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
в) f(х) = ах+сгх (а>0); г) /(х) = 1п- * *•;
1 + X
Д) / (х) = In (x + Vl+x2).
232. Доказать, что всякую функцию f (х), опреде-ленную в симметричном интервале (— /, /), можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
233. Функция f (х), определенная на множестве Е, называется периодической, если существует число Т> О (период функции — в широком смысле слова!) такое, что
f (х ± Т) ss f (х) при х £ Е.
Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:
a) f (х) = A cosXx + B sinkr,
б) f (x) = sinx + —— sin2x-|—— sin3x; 2 3
в) f(x) = 2tg-^-3tg-r) f(x) = sin2x;
д) /(x) = sinx2; e) f(x) = Vtgx;
ж) f(x) = tgVx*; з) f (x) = sinx + sin (x V2").
234. Доказать, что для функции Дирихле f 1, если х рационально, у (х) = {
(О, если х иррационально, периодом является любое рациональное число.
235. Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.
235.1. Функция f (х) называется антипериодической, если
f(x+ T) = — f(x) (Т>0).
Доказать, что f (х) — периодическая с периодом 2Т.
236. Доказать, что если для функции f (х) (— оо < <Zx < 4- °°) выполнено равенство f (х + Т) = kf (х), где k и Т — положительные постоянные, то f (х) = = axq> (х), где а — постоянная, а <р (х) — периодическая функция с периодом Т.
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 35
§ 4. Графическое изображение функции
1°. Для построения графика функции у = f (х) поступают следующим образом: 1) определяют область существования функции: X = {х); 2) выбирают достаточно густую сеть значений аргумента xlt х»....хл из X и составляют таблицу
соответствующих значений функции
У1~1(хд 0=1.2..........л);
3) наносят систему точек Mi (х^, у() (i = 1, 2, .... л) на координатную плоскость Оху и соединяют их линией, характер которой учитывает положение промежуточных точек.
2=. Чтобы получить грамотный график функции, следует изучить общие свойства этой функции.
В первую очередь нужно: 1) решив уравнение f (х) = О, определить точки пересечения графика функции с осью Ох (нули функции)-, 2) установить области изменения аргумента, где функция положительна или отрицательна; 3) если возможно, выяснить промежутки монотонности (возрастания или убывания) функции; 4) изучить поведение функции при неограниченном приближении аргумента к граничным точкам области существования функции.
В этом параграфе предполагается, что свойства простейших элементарных функций — степенной, показательной, тригонометрических и т. п., известны читателю.
Пользуясь этими свойствами, можно, не проделывая большой вычислительной работы, сразу рисовать эскизы графиков многих функций. Другие графики иногда удается свести к комбинации (сумме или произведению и т. п.) этих простейших графиков.
237. Построить график линейной однородной функции
У = ах
при а = 0; 1/2; 1; 2; — 1.
238. Построить график линейной функции у = х + b
при b = 0, 1, 2, — 1.
239. Построить графики линейных функций:
a) i/ = 2x + 3; б) у = 2—0,1х; у=------?---1.
240. Температурный коэффициент линейного расширения железа а= 1,2-10"®. Построить в подходящем масштабе график функции
I = f (Т) (— 40° < Т < 100°), где Т — температура в градусах и I — длина железного стержня при температуре Т, если I = 100 см при Т = 0°. 3*
ЗБ
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
241. На числовой оси движутся две материальные точки. Первая в начальный момент времени /== 0 находилась на 20 м влево от начала координат и имела скорость Vj = 10 м/с; вторая при / = О находилась на 30 м вправо от точки О и имела скорость vt — — — 20 м/с. Построить графики уравнений движений этих точек и найти время и место их встречи.
242. Построить графики целых рациональных функ* ций 2-й степени (параболы):
а) у — ахг при а»1, 1/2, 2, —1;
6) у = (х—х0)2 при Хо = О, 1, 2, —1;
в) у = х*4-с при с — 0, 1, 2, —1.
243. Построить график квадратного трехчлена
у = ах2 4- Ьс + с, приведя его к виду
У = Ул 4- а (х—х0 )2.
Рассмотреть примеры:
а) у — 8х—2Х2; б) у = хл —3x4-2;
в) «/= — х24-2х— 1; г) 0 = -J-xa + x4-l.
244. Материальная точка брошена под углом а — 45° к плоскости горизонта с начальной скоростью пв = = 600 м/с. Построить график траектории движения и найти наибольшую высоту подъема и дальность полета (приближенно считать g « 10 м/с2; сопротивлением воздуха пренебречь).
Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:
245. у~х*+\. 248. i/ = (l—х2)(24-х).
247. t/ = x2—х4. 248. у = х(а — х)2(а4-х)8 (а>0).
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):
249. у = —. 250. w =
х 14-х
251. Построить график дробно-линейной функции
у— • (ad—bc=£O, с=^0),
сх 4* d
s 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
37
приведя ее к виду
У “ Уо Н------.
х — хв
_ 3*4-2
Рассмотреть пример у»—i- •
252. Газ при давлении р0 “= 1 кгс/ма занимает объем v0 == 12 м8. Построить график изменения объема v газа в зависимости от давления р, если температура газа остается постоянной (закон Бойля—Мариотта).
Построить графики дробных рациональных функций;
256.
257.
258.
260.
261.
262.
253. у = х-(—(гипербола).
254. у = х*4—1- (трезубец Ньютона).
255. у = х + -*
X*
у =----5---- (кривая Аньези).
1 + **
У~~~^~+&~ (сеРпантин Ньютона).
гЬ- 259- У—ГТ-
’“vi--------s*+vL'-
?------т-+-г~-
1 -г X хг 1 — *
(*+!)(*-2)
(*—!)(*4* 2)
263. Построить эскиз графика функции
ахг 4- й* 4- с ai*4- t>t
(ах #= 0),
приведя ее к виду
у = Ах4-/п4
* —*в
38
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Рассмотреть пример
264. Построить график абсолютной величины силы притяжения F материальной точки, находящейся на расстоянии х от притягивающего центра, если F — = 10 кгс при х — 1 м (закон Ньютона).
265. Согласно закону Ван-дер-Ваальса объем v реального газа и его давление р при постоянной температуре связаны соотношением
(Р + -^_)(У~Ь) = С-
Построить график функции р =р (о), если а = 2 Ь = 0,1 и с = 10.
Построить графики иррациональных функций: 2G6. t/=±V—х—2 (парабола).
267. t/=±*Vx (парабола Нейля).
268. у = ± V100—х3 (эллипс).
269. у = ± л/х3—1 (гипербола).
270. ’ 27L Vioo—
272. у — ± х Л / —-— (циссоида).
V ю — *
273. {/ = ±V(xa-l)(9-xs).
274. Построить график степенной функции у = х" при: a) п = 1, 3, 5; б) п — 2, 4, 6.
275. Построить график степенной функции у = хя при: а) п = — 1, — 3; б) п = — 2, — 4.
276. Построить график радикала у = у х при: а) т = 2, 4; б) т = 3, 5.
...
277. Построить график радикала у = у хк , если: а) т = 2, k = 1; б) т = 2, k = 3; в) т — 3, k = 1; г) т = 3, k — 2; д) т — 3, k — 4; е) т = 4, k = 2; ж) т — 4, k = 3.
$ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
39
278. Построить график показательной функции у — а* при а — 1/2, 1, 2, е, 10.
279. Построить график сложной показательной функции у = е*‘, если:
а) у! = хг-, б) ^= — хг; в) уг=—-,
X
Г) У1 = —V-, Д) ---------е) 2х .
X- Xх 1 — X2
280. Построить график логарифмической функции у = logaX при а = 1/2, 2, е, 10.
281. Построить графики функций:
а) у — In (— х); б) у — — In х.
282. Построить график сложной логарифмической функции у = In ух, если:
а) у г = 1 + х2; б) У1 = (х-1) (х—2)г (х-3)8;
в) г) у^ — - д)//1 = 1+е’Е.
1 “Г * X
283. Построить график функции у — log,. 2.
284. Построить график функции у — A sin х при А = 1, 10, — 2.
285. Построить график функции у = sin (х—х0), если х0 — 0, л/4, л/2, Зл/4, л.
286. Построить график функции у = sin пх, если п = 1, 2, 3, 1/2, 1/3.
287. Построить график функции
у = a cos х + b sin х, приведя ее к виду
У = A sin (х—х0).
Рассмотреть пример: у — 6 cos х + 8 sin х.
Построить графики тригонометрических функций:
288. у = cos х. 289. у — tg х. 290. у = ctg х.
291. у — sec х. 292. у — esc х. 293. у = sin2 х.
294. у — sin’x. 295. у — ctg2x.
296. у = sin x-sin Зх. 297. у = ± -Vcos *•
40
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ .
Построить графики функций:
298. у = sin Xs. 299. у — sin —5—. 300. y = cos —.
300.1. y = sinx. sin301. y = tg-^-.
301.1. y = sec-^-. 302. у = x(24-sin-у-).
303. «/ = ±-г/1—x* sin-^-. 304. y — ~—
X X
305. y = e*cosx. 306. «/ = ±2_JtVsinnx •
307. i+'хГ'- 3081 f/ = ln<cosx)-
309. y = cos(lnx). 310. z/ = e,/sinJt.
Построить графики обратных круговых функций:
311. у = arcsin х. 312. у — arccos х.
313. у = arctg х. 314. у — arcctg х.
315. у— arcsin-^-. 316. у — arccos-^-. х х
317. у = arcctg-J-. 318. у = arcsin (sin х).
319. у = arcsin (cos х). 320. у = arccos (cos х).
321. у = arctg (tg х). 322. у = arcsin (2 sin х).
323. Построить график функции
у = arcsin ylt если:
a) !/i=l----б) ух = -
в) !/! = - 5~Х ; г) У^е*.
I + х
324. Построить график функции у — arctg yit если: а) У1 = &' б) = в) z/i-mx,
$ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
41
324.1. Построить графики функций:
а) у = х3—3x4-2; б) у =--------—------;
а (1 - *) (14-х)‘
в) у= • ; г) У=л/х(\—^} \
д) у = 3 sin (Чг + -7~); е) </ = ctg
ж) У = ; 3) Р = 1g (*’—3x4-2);
и) у = arcsin(-|-sinx^;
к) !,= arete(-±r + _±-. + -±3-);
Л) У = logcos ж Sin х; м) у = (sin x)ct« *.
325. Зная график функции у — f (х), построить графики функций:
а) У = — / (х); б) у = / (— х); в) у = — / (— х).
326. Зная график функции у — f (х), построить графики функций:
а) у = f (х—хв); б) у = у0 4- f (х—хь);
в) у = / (2х); г) у = / (kx 4- b) (k =* 0).
326.1. Пусть
f | 1—1*1 при |х| < 1;
W-[o при |х|>1.
Построить графики функций:
У = -у-[/(*—04-/(*4-01
при t — 0, t = 1 и t =2.
327. Построить графики функций:
a) y=2-|-Vl—х; б) у=1—е~х;
в) у=1п(14-х);
г) у = — arcsin (14-*); Д) у = 3 4- 2 cos Зх.
42
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
328. Зная график функции у = f (х), построить гра* фики функций:
а) у = |/(х)|; б) y = 4-(l/WI+m);
в) !/ = -y-(lZ(x)l“Z(x))-
329. Зная график функции у — f (х), построить графики функций:
а) У = Р(х)\ б) у = л/ГЙ, в) у=1п/(х);
г) у = f(f W); Д) У = sgn f (х); е) у = [/ (х)].
329.1. Пусть
f (х) = (х—а) (Ь—х) (а < Ь).
Построить графики функций:
a) t/==/(x); б) у = Р(ху, в) =
г) i/ = vTW; Д) y = w; е) y=4gf(x)-, ж) у = arcctgf (х).
329.2. Построить графики функций:
а) у — arcsin [sin f (x)J; б) у = arcsin [cos f (х)];
в) у = arccos [sin f (х)]; г) 1/= arccos [cos / (х)];
Д) у = arctg[tg/ (х)],
если: 1) f (х) = хг; 2) f (х) = х3.
330. Зная графики функций у = f (х) и у — g (xj, построить графики функций:
а) у ~ f W + g (х); б) у = f (х) g (х); в) у = f (g (х)).
Применяя правило сложения графиков, построить графики следующих функций:
331. у = 1+х+е*. 332. у = (х+1)‘а + (*—!)"’•
333. y = x-[-sinx. 334. //= х 4~ arct g х.
335. w = cosx + —cos2x-[-—cos Зх.
a 2 3
336. у = sin x —J- sin 3x -f- — sin 5x.
3 5
$ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 43
337. y = sin*x4-cos4x. 338. у = |1— х| + | 14-х|.
339. у = |1—х|—11-{-х|.
340. Построить графики гиперболических функций:
a) y = chx, где ch х = -1- (е* 4- е~х)\
б) y = shx, где shx=е-*);
в) w = thx, где thx = -^-.
ch х
Применяя правило умножения графиков, построить графики функций:
341. y = xsinx. 342. y = xcosx.
343. у —x2sin2x. 344.
а J 1 + х‘
345. у = e-x’cos2x. 346. у = xsgn (sin x).
347. y = [x]|sinnx|. 348. у ==cosx-sgn(sinx).
349. Пусть
I 1—1*1. «'•’’и 1*1 < 1;
I 0, если |x|>l.
Построить график функции
У = И*) f (а—х) , если:
а) а = 0; б) а = 1; в) а = 2.
350. Построить график функции
у = х + V* sgn (sin л*)«
Построить график функции у =—?—, если:
/ W
351. f (х) = х2 (1—х2). 352. f (х) = х (1—х)2.
353. f (х) — sin2x. 354. f (х) — In х.
355. f (х) — e*sin х.
356. Построить график сложной функции у = f (и},
44 отдел 1. введение в анализ
где и 2 sin х, если:
/(«)==
—1 при и при
1 при
— оо<«< —1;
— 1 < и < 1;
1 <и<4-оо.
357. Пусть
ф(х)=у (х4-|х|) и Ф(х) =
х, если х<0;
х2, если х>0.
Построить графики функций:
а) у = ф 1<р (х)1; б) у = Ф [ф (х) Jj в) у - Ф 1ф (х)); г) у = Ф [ф (х) ].
358. Пусть
| 1, если |х| < 1; I 0, если |х|> 1,
и
... ( 2—х\ если |х| <2;
ф (х) = < 1 1
I 2, если |х|>2.
Построить графики функций:
а) у ~ Ф 1ф (х) ]; б) у = <р (ф (х) ];
в) у = Ф (ф (х) ]; г) у = ф [ф (х)).
359. Функцию f (х), определенную в положительной области х > 0, продолжить в отрицательную область х < 0 таким образом, чтобы полученная функция была: 1) четной; 2) нечетной, если:
а)/(х)=1—х; б) Н*) = 2х—х*; в) f (х) = д/х;
г) f(x) = sinx; д) f(x) = e*; е) f(x) = lnx.
Построить соответствующие графики функций.
360. Определить, относительно каких вертикальных осей симметричны графики функций:
а) у = ах' + Ьх+с-, б) J-.4. ;
в) у = ^/а+х +^/Ь—х (0<а<6);
г) y=*a+bcosx.
$ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
49
361. Определить, относительно каких центров симметричны графики функций:
, It. ОХ + Ь
а) у = ах+Ь', б) у=*—
сх 4» о
в) y = axa4-ftx“4-cx+d;
г) у---!— + —L-+—L-;
х—1 х—2 х—3
Д) У - i+Vx—2.
362. Построить графики периодических функций:
а) у=> | sin х\; б) у = sgn cos х; в) у = f (х), где f (х) =* А -—^2—у-), если 0 х< 21 и / (х 4- 2Z) sa = / W;
г) y = [xl-2[-i-];
д) у «• (х), где (х) — расстояние от числа х до ближайшего к нему целого числа.
363. Доказать, что если график функции у = » / (х) (— 00 < < + °°) симметричен относительно двух вертикальных осей х = а и х = Ь (Ь > а), то функция / (х) — периодическая.
364. Доказать, что если график функции у = = f (х) (— оо < х < 4- оо) симметричен относительно двух точек А (а, у0), и В (Ь, у,) (Ь > а), то функция / (х) есть сумма линейной функции и периодической функции. В частности, если у0 » уи то функция f (х) — периодическая.
365. Доказать, что если график функции у =
W (— 00 < х < 4- оо) симметричен относительно точки А (а, у0) и прямой х = Ь (Ь =£ а), то функция f (х) — периодическая.
366. Построить график функции у = / (х) (— оо < < х < 4- оо), если / (х 4- 1) — 2/ (х) и f (х) = х (1—л) при О С х С 1.
367. Построить график функции
у »= / (х) (— со < х < 4- со)',
если/ (х 4- л)в/ (х) 4- sin х и / (х) = ОприО < х <л.
<в ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
368. Построить график функции у — у (х), если:
а) х = у—у3; б) х = -ЦЦ-;
в) Л = у—tn у, г) x2 = siny.
369. Построить графики функций у = у (х), заданных параметрически, если:
а) х = 1—t, у = 1—/2;
в) х = 10 cos t, у = sin t (эллипс);
г) х = ch t, у — sh t (гипербола)';
д) x = 5 cos’ t, у = 3 sin2/;
e) x = 2(/—sin t),y— 2 (1—cos /) (циклоида);
ж) x = 'V<^ y = ^+l. (<>0).
370. Построить графики неявных функций:
а) х2—ху + у* = 1 (эллипс);
б) х3 + у3—Зху — 0 (декартов лист);
в) Vх + у/у — 1 (парабола);
г) х2/3 4-z/2/3 = 4 (астроида);
д) sin х = sin у, е) cos (лх2) = cos (лу);
ж) х» = ук (х > 0, у> 0); з) х— |х| = у—|у|.
37 0.1. Построить графики неявных функций:
a) min (х, у) — 1; б) max (х, у) — 1;
в) max flx|, |у|) = 1; г) min (х2, у) = 1.
371. Построить графики функций г = г (ср) в полярной системе координат (г, <р), если:
а) г = <р (спираль Архимеда);
б) г = — (гиперболическая спираль);
Ф
в) г = —5— (0 < ф< + оо);
ф + ‘
г) г = 2ф/2л (логарифмическая спираль);
д) г = 2 (1 + cos <р) (кардиоида);
J 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 47
е) г = 10 sin Зф (трехлепестковая роза);
ж) г2 = 36 cos 2ф (лемниската Бернулли);
з) ф = —£— (г>1); Т — 1
и) ф = 2л sin г.
371. 1. Построить в полярных координатах г и ф графики следующих функций:
а) ф = 4г—г2; б) ф =—^—7; в) г2 4- ф2 = 100.
1 + г
371. 2. Построить в полярных координатах г и ф графики функций, заданных параметрически (/ > 0 — параметр):
а) ф — t cos21, б) ф = 1 —2~' sin ,
r = fsin2tj r=1_2-4os-2L.
2
372. Приближенно решить уравнение х3—Зх +1=0, построив график функции у — х3—Зх + 1.
Графически решить следующие уравнения: 373. х3—4х—1 = 0. 374. х4—4х +1 = 0.
375. х = 2-\ 376. Ig х = 0,1 х.
377. 10х = ха. 378. 1g х = х (0 < х < 2л).
Графически решить системы уравнений:
379. х + уг = 1, 16х2 + у = 4.
380. х2 + I/2 = 100, у = 10 (х2—х—2).
§ 5. Предел функции
Г. Ограниченность функции. Функция f (х) называется ограниченной на данном промежутке (а, Ь), если существуют некоторые числа m и М такие, что m [ (х) < М при х £ (а, 4).
48
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Число m<)== inf {/(*)}=» тахт называется нижней х£(а, Ь)
гранью функции f (х), а число Мй=» sup {f (х)} min Л! на-xg(a, Ь)
зывается верхней гранью функции /, (х) на данном промежутке (а, Ъ). Разность Л10—т0 называется колебанием функции на промежутке (а, Ь).
2°. Предел функции в точке. Пусть функция I (х) определена на множестве X = (х), имеющем точку сгущения а. Запись
lim [ (х) — А (1)
х-*а обозначает, что для каждого числа е>0 существует число 6=6 (е) > 0 такое, что для всех х, для которых f (х) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0<|х—а| < б, справедливо неравенство
1/(х)- А |< в.
Для существования предела .функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности хл -* а, хп=^= а (хп £ X; п = 1, 2, . . .), было выполнено равенство
Нт f (хл) «= А. П-+(ХЗ
Имеют место два замечательных предела:
1) 2) lim (1 + x)I/Jt = е.
х-»0 X х-»0
Критерий Коши. Предел функции f (х) в точке а существует тогда и только тогда, если для каждого е > 0 найдется б = б (в) > О такое, что
|/(х') - f(x") | < в,
как только 0<|х' — а| < б н 0 < |х" — о| < б, где х' п ж" — любые точки из области определения функции f (х).
3°. Односторонние пределы. Число А'- называется пределом слева функции f (х) в точке а:
А' = lim f(x) = /(a —0), x-»a—0 '
если
| А* — f (х) | < в при 0 < а—х < б (в).
Аналогично, число А’ называется пределом справа функции t(x) в точке а:
А" = lim f (х) = f (а + 0> х-*а+0
селя
I А” — [ (х)| < в при 0 < х—a < б (в).
$ 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 49
Для существования предела функции I (х) в точке а необходимо и достаточно, чтобы
f (а—0) = f (а + 0).
4°. Бесконечный предел. Условная запись
lim [ (х) = оо
х-*а
обозначает, что для любого Е > 0 справедливо неравенство:
(х) | > Е, если только 0 < |х—а| < б (Е).
5°. Частичный предел. Если для некоторой последовательности хп -* а (х„ #= а) имеет место равенство
lim f (xn) = В,
П-+Х
то число (или символ оо) В называется частичным пределом (соответственно конечным или бесконечным) функции f (х) в точке а.
Наименьший и наибольший из этих частичных пределов обозначаются
lim f (х) и lim f (х) х-н> *-т
и называются соответственно нижним и верхним пределам* функции f (х) в точке а.
Равенство
lim f (х) = lim f (х) *-м> х-+а
необходимо и достаточно для существования предела (соответственно конечного или бесконечного) функции f (х) в точке а.
381. Показать, что функция, определяемая условиями:
f (х) — п, если х —
п
где т и п — взаимно простые целые числа и п > О и f (х) = 0, если х иррационально,
конечна, но не ограничена в каждой точке х (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).
382. Если функция f (х) определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?
Привести соответствующие примеры.
д-ззаз
50
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
383. Показать, что функция f (х) = 1
чена в интервале — оо < х < 4- со.
384. Показать, что функция /(х) = —cos— не ог
ограни*
раничена в любой окрестности точки х — 0, однако не является бесконечно большой при х -> 0.
385. Исследовать на ограниченность функцию
f (х) = Inx-sin2 — X
в интервале 0 < х < е.
386. Показать, что функция f (х) =
X
Г+7
в области
0 < х < + оо имеет нижнюю грань т — 0 и верхнюю грань М = 1.
387. Функция / (х) определена и монотонно возрастает на сегменте la, b ]. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?
Определить нижнюю и верхнюю грани функций] 388. / (х) = х2 на [— 2, 5).
389. /(х)=-^-г на (—оо, -J-oo).
390. f(x) = -£— на (0, -f-оо).
391. f(x) = x+— на (0, 4-°0)*
X
392. f (х) = sin х на (0, 4- оо ).
393. f (х) = sin х 4- cos х на (0, 2л J.
394. f (х) = 2* на (—1, 2).
395. / (х) — [х 1: а) на (0, 2) и б) на [0, 2 ].
396. /(х) = х — [х] на [0, 1].
397. Определить колебание функции f W = хй
на интервалах: а) (1; 3); б) (1,9; 2,1); в) (1,99; 2,01); г) (1,999; 2,001).
< S ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
51
398. Определить колебание функции f (х) = arctg-^-
на интервалах: а) (— 1; 1); б) (—0,1; 0,1); в) (—0,01; 0,01); г) (— 0,001; 0,001).
399. Пусть т If] и М [/] —соответственно нижняя и верхняя грани функции f (х) на промежутке (а, Ь).
Доказать, что если (х) и f2 (х) — функции, определенные на (а, Ь), то
т lfi + f2] > т l/x] + т [fj и
М + l/J + М (fj.
Построить примеры функций (х) и /2 (х), для которых в последних соотношениях имеет место: а) случай равенства и б) случай неравенства.
400. Пусть функция f (х) определена в области 1а, + оо) и ограничена на каждом сегменте (a, а: 1а, + оо).
Положим:
/п(х)= inf и М(х)= sup /(£).
Построить графики функций у = т (х) и у = М (х), если:
a) f (х) = sin х и б) f (х) = cos х.
401. С помощью «е—б»-рассуждений доказать, что
limx2 =4.
*-»2
4
52
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Заполнить следующую таблицу:
Е 10 100 1000 10000 • • •
8
403. Сформулировать с помощью неравенств еле* дующие утверждения:
a) lim/(x) = b; б) lim f(x) = tr, в) lim f(x) = b. х-*а *-♦«—0 *->«4-0
Привести соответствующие примеры.
Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:
404. a) lim/(x) = b; б) lim f(x) = b; ж-too <-►—оо
в) lim f(x} — b. Ж-^-|*0О
405. a) lim f (x) = сю; ж-ьв
в) limf(x) = 4-оо; Х-+Л
д) lim f(x)=—оо; *-♦«—О
е) lim f (х) = + оо; *-♦0—0
a) lim f {х) — — со;
406. a) lim/(x) = oo; Ж-«»ОО
в) limf(x) = 4-оо; X-*too
д) lim / (х) = — оо; *-*—оо
ж) lim /(х) = оо; «-»+«
и) lim f(x)«=+oo.
б) lim/(x)= — оо; х-*а
г) lim /(х) = оо; *-♦3—0
ж) lim /(х) = оо; *-♦«4-0
и) lim f (х) == + оо. *-♦«4-0
б) lim/(x)= —оо; Ж-too
г) lim f (х) = оо; <-►—*00
е) lim f(x)=4-oo;
з) lim f(x)« — оо;
5 в. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
407. Пусть у = f (х). Сформулировать с
помощью неравенств, что значит:
а) у b — 0 при х -* а;
б) у -* 6—0 при х -> а—0;
в) у-*- 6—0 при х -> а + 0;
г) у -* 6 + 0 при х -*• а;
д) у* 6 + 0 при х -> а—0;
е) у -> 6 + 0 при х -> а + 0;
ж) у -> 6—0 при х -> оо;
з) у -> 6—0 при х -> — оо;
и) у -> 6—0 при х -> + оо;
к) у —► 6 + 0 при х -* оо;
л) у -* 6 + 0 при х -► — оо;
м) у 6 + 0 при х -> + оо.
Привести соответствующие примеры. 408. Пусть
Р (х) - а^х" + ахх"-'+ ... + а„, где at (i—0, 1,..., п; л > l.Oo 0) — вещественные числа.
Доказать, что lim 1Р (х) | = + оо. Х~*оо
409. Пусть /?(х) = -^*".±а1*я~х + dox'n+dlxm-i + йо =/= О и 60 0.
Доказать, что
где
lim /?(х) = Л-гоо
оо, если л>/л;
Л» если п — т\
0, если п<.т.
410. Пусть R (х) ,
Q W где Р (х) и Q (х) — многочлены от х и
Р (а) = Q (а) = 0.
Какие возможные значения имеет выражение lim 5
54
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти значения следующих выражений:
! у-2_ 1
411. a) lim------; б) lim--------------
х-.о 2х3 — х — 1 х-и 2х2 — х — 1
. .. X3— 1
в) lim-------------.
' хча> 2х2 — X —- 1
412. lim a + x)(i + 2x)(l + 3x)-l хчО X
413. Пт .(1 + х)5-(1+-5х) .
хчв х24-х5
414. lim —(лг и п—натуральные
Х-.0 X2
числа).
415 lim (^-1)(^-2)(^-3)(х-4)(х-5) Х-»оо (5х — I)3
416. lim .
хч<х, (2х+1)5“
417. lim (х+1)(х2+1)...(х"+1). Л±Е
1(ях)"+П 2
., о .. ха — 5х + 6
418. lim—-------
х-»з ха— 8х+ 15
1- **— Зх+2
420. lim-------2—
422. lim
х3 — 2х — 1 х5 — 2х — 1
..п .. х3 — 3x4-2 419. lim-----3-—.
хч1 х* — 4х 4- 3
1- х3 — 2ха — 4x4-8
421. lim--------—-
х->2 х4 — 8х2 4- 16
423. lim-J^i
х-2 (х3—12x4-16)1”
424. lim
424.1. lim х-И
х100 — 2х 4- 1
х50 — 2х 4- 1
хт__1
425. lim---->—(т и п—натуральные числа).
X—.1 Хп — 1
426. lim————"° —*—— (га—натуральное х-а (х —а)2
число).
427. lim *)*+га . (п—натуральное число).
Х-.1 (х — I)2
$ 5 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
55
.. / т п \ . _
428. lim I -——-----—) (/пип — иатураль-
ные числа).
429. lim — Г(*+— ) + (*+—)+ . • • Л-=о п L\ п / \ nJ
430. lim_Lr^+-2-Y + fx+-^-¥+...
П-оо п LA. nJ к п J
Указание. См. пример 2.
431. |im 1г+У+.,. + (2П-1р .
Л-» 22+42+. . . + (2п)г
432. limf13 + 2i,+ -- +"3-2LY
Л-»оо\ п3 4 )
Указание. См. пример 3.
433. Пт '+«»+?+... + (3—2)-
(1 + 4 + 7+. . •+ (Зя — 2))1
434. Определить площадь криволинейного треугольника ОАМ (рис. 3), ограниченного параболой у =*
Рис. 3
= Ь (х!а)г, осью Ох и прямой х = а, рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямоугольников с основаниями а/п, где п -> со.
66
отдел I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти пределы:
V- 3.— 4Z-
х 4- у х -4- у х tow. mu ---—- ----.
х-+“> 5/2* +1
437. iim—.
*-►< Vх — 2
438. lim ^--~х ~3 . **-• 2 + V7
439. lim-r/^4±^z£-(a>0). x-w -y/x! — Д*
4«. [|m y.+ u-iy.+ i .
X-.3 x* — 9
lim
-1ZEE+-?-
*»+8
442. lim -У*-~2_. 443. iim -Vg+Jk -S .
*♦" V*-4 x'*8 yb-2
1^1 -Uj _ 1
444. lim—-——----- (л—целое число).
*-►0 x llm . ж-»0 х
446. Iim Уг+з^-г..
447. lim ТЛ^27-* .
*-° *4-2|/1г
448. lim
х-н) у<14-х —/1 —х
446, |lm VITT-’/x+W .
$ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
S7
451. lim --------------.
V1 + 5х-(14-*)
452. lim ~~T<t + fe-(tn и n—целые числа).
1,11 """ х-*0 *
453. lim + “* /1 (тип— целые
— —'* *-»0 *
числа).
454. Пусть Р (х) = а1х + агхг + . . . -у-апхп и т— целое число.
_ .. V1 + Р(Х) — 1 в1
Доказать, что lim----------------------.
х-»о х т
Найти пределы:
455. lim ^х~~1 (т и п—целые числа). Х-1 yGt—I
455.1. limf----?----------—Y
*"Д 1—V* 1 —V* /
45в. lim .
457. lim [ д/(х 4-а) (х 4- Ь) —л].
Х-*-гОО
458. lim (д/х4- х+ -у/х —^/х).
459. lim х 4- 2* — 2 4- х).
68
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
461. lim (у/*3+х3 + 1 ^xs—х‘ + 1 ). «-►ОО
462. lim (^х‘ + 3х2 — д/х2—2х).
463. lim х'/з[(х +1)2/з-(х—1)2/3]. Х-*оо
464. lim x3/2(V'r+2—2л/х+Л 4-у/х}. х-*4-«о
465. lim [jZ(x—ах) . . . (х+а„) —х].
.сс .• (x-V*2—1 )Я+(х+V*2—1 Г /„
466. lim -----------*-2-3——------— (л—нату-
ральное число).
г (V1 + х~ + х)я — (V1 + х! — х)я .
467. lim v --—----- ---------— (п—нату-
х-*0 X
ральное число).
468. Изучить поведение корней хх и хг квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0, у которого коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты b и с постоянны, причем b Ф 0.
469. Найти постоянные а и b из условия
lim Г-*—-1—ах—/Л = 0.
Х-»эо \ X + 1 '
470. Найти постоянные at и b{ (i — 1, 2) из условий:
lim (V*2—х + 1—ахх—Ьх) = 0 Ж-*—оо
lim ^х2^х + 1—а^х—i,) = 0.
Х-»+оо
Найти пределы:
471. lim -^п5х~. 472. lim
*-»0 X Х-+ЭО X
473. lim -8{" — (/и и п—целые числа). ь+а sinnx
4 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
474. lim 1~с”—. 474.1. lim-^-.
ж-»0 X2
474.2. lim xctg3x. х-*0
475. Нт А*-?!»* .
x-»o sin3x>
477. lim-C0SX~S^. ж-*0 X3
479. lirn tg2xtg(-^--
*-»0 X
476. lim sin5x~sin3x . х-й) sinx
478. lim-l + sinx-cosx . »-»o l-f- sin px — cos px
x). 480. lim(l—x)tg~.
481. Доказать равенства:
a) lim sin x = sin a; 6) lim cos x = cos a; x-*a x-hi
в) lim tgx= tga x-*a
( , 2л—1 .
Найти пределы: 482. lim-sinx~si"- . ж-» a x— a
484. ПгоАх-Ч±. ж-hi x — a
486. lim-sec--~—. x-*a x — a
n = 0, ±1, ±2, . . . J.
483. limx~cosa . x-*a x — a
485. lim—~ctga . x->o x — a
487. lim “SF ж-+а x — a
488 lim -sin <a + 2x) — 2 sin (a 4- x) 4- sin а ж-*0 x2
489 lim cos <a + 2x) — 2 cos (a 4- x) 4- cos a x-»o x2
490. lim tg (a + 2x) ~ 2 fg (a + x)4- tga «-►о x2
491. lim ctg (a ~b 2x) — 2 ctg (a 4-x) 4-ctg a *+0 x2
492 lim sin (a + x) sin <a + 2x) — sin2 a ж-»0 X
493. lim .
ж-»л/б 2 sin2x — 3 sin x 4- 1
fO ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1 — cos х cos 2х cos 3*
495.
497.
498.
sinfx —А lim---S----LL, 496. lim
х^я/з l-2cosx х->я/з C0S(x+JL)
lim tg (a x) tg <a ~~x) ~ a, X-*0 X*
lim —...........
Х-.Я/4 2—ctgx—ctg’x
499. lim ...У»±М5"fet, x-0 X»
500. lim—— ---=
+ x sin x — Vcos x
SOI. iimY+-— л->б sin2x
502. |im Vl-co.-.»'
x-»0 1 —• COS X
1 — V COS X
503. lim . ,-s
*-»0 1 —COS tV*/
V— 3 ...
cos 2x v cos 3x 504. иго------------------
Xi-0 x
505. lim (sin Vx +1 —sin -y/x ).
«-♦4-00
506.
a) limf-x—о \
1 + *
2+x
(1- Vx)/(l-x>
6) lim
I ххП—V*)/(i—x)
2 + x)
; в) lim
X-*+00
(l-Vx)/(l~X)
507. ця1('-«±£.у. 508. limffr^H .jrar
X~*ao \ 2x •— 1 / X-*oo < 2x2 + x+ 1 J
509. limfsin1*—~—Y
П->ао \ 3rt + 1 /
511. lim . 512.
x-*eo \ + 1 J
} S. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
61
513. lim (
х*4-2х-1 у/*
2** — Зх — 2 7
514. limVl—2х. *-►#
515. limp±f-¥.
*-»ео \ X — а /
516. lim (Gi>0, а»>0).
517. lim(l 4-х*)е‘«Ч 518. limU+sinnx)*1»"*. *-*о *-*1
519. nmf_L+!^_y“-.
*-►0 4 1 + «1П* /
519.1.
*-»о\ 14-sinx /
520. limf-^-V^. 521. limf-cosx Y?“, *-м>\ sin а / *-»о\ cos 2* /
522. lim (tgx)'»2*. 523. lim (sin*)*»*. *-»n/4 *-»Я/2
524. ta[tg(i-*)]"".
525. limfsin —j-cos —V.
*-►00 \ x x )
526. limy cos*fx . *-+o
627. iimp±-tY.
529. lim— *-►0 X
*-»o x — a
528. lim cos"—«=-. ft^oo *V Л
530. lim x [In (x 4-1)—In x].
(a>0).
532. lim [sinln(x + D—sin In x]
533. 7im" 4-1)
534. Ilm fa |Ж+>’.'
*-ook6 1+100**.
535. lim4nJ2±^-.
<-♦4.00 In (3 -f“
536. lim JidL+y*+.V7), х->+<ю in(l + Vx + Vx)
ба
ОТДЕЛ Г. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
537. Um -*»<*-+ V + М* ~h) - 21Qg *- (Х> 0).
,пЧт+ах)
538. lim----М------539. lim ^п-с-°^ .
х->о sin Ьх х-»о Incosbx
540. limfln-^+ ^^g-Y
\ х + Vi — X* /
540.1. limM^ + ^S-.
*•*0 ln(x + Vl— **)
541. lim-"*"- (a>0). 542. lim —~x* (a>0). x-0 X x-a x — a v
543. lim-**-2° (a>0). 544. lim(*+e«)‘'«. x-ra X — a x-t-0
545. limf x-»0\
i + x-2*
l + x-3*
545.1. lim f-l±sin x cos ax Y^ x,
*-M> \ 1 + sin x cos fix J
545.2. lim—fax<X) . 545.3. Hm
*-*> sin (лх^) x-м Inlcosfrj.a4')!
546. lim tg»(-7- + —). 547. lim—
л-»» \ 4 л/ x-.o sin ax — sinflx
548. lim 4^1 (a>0). 549. limXzfL (a>0).
550. lim-a‘-+a‘~*-2a< (a>0). л-0 л* ' ’
551. lim J£±^l£±^_
X-оо (X + a + 6)M+a+» •
552. limn^jF—1) (x>0).
553. Jim n*(ikr-."VT) (X>O).
554. lim (a>0. i>0).
(J/t- J \«
— T I (a>0, 6>0).
2 /
t — X I ~г*Л + * \ »+*»
Т+Т-"1-Т+>д+^“1) ШИ ’«И
•(!<”)
v A vu' -TFUF/^'^u’^U!
o+*-* шц
»+«-»
‘[X uj *4-(l 4-Х) Щ (I +x) z—(z +*) UI (z+*)l ui’l
‘699
*899
( гх + 1Д + х) Щ 0<_, _f_ 0 Ul ШЦ £99
(«»+»*) UI “+'-jr . . («* + »*)“! o*-»
Ш!' ® ‘ТТ+^гггШ!| ,E •“
:Hirairadu ихивн
•(о<э *i<°) о=т4г “»* oih ‘чтвяо}/ *399 xv a>4-«-ac
•(0<« ‘l<°) 0 = —г Ш!1 w*
oih ’qiBEBMOtf *H)S
•g*3oi (x—i) шц -£9s
/X \ oo4-*-»
\-g- + lJuiGz + l)ul ШЦ -29S
(xS + l)«l “+** . , (r3 + l)ui »-«-«
'к-m Ш!1 й ! и+»щ ш« <• , ч Vх — x° °*'x
’(0<») - ШП *099
0*-X
•(0«? *0<») . _--- ШЦ *699
ъхЧ zx
(r9 + x° \ °*"’
—0 . 0 )ШИ *899 г*4 ^zx /
(з 4- q 4- d \ o«-*
,.Р+,>И+,.И.-)Ш!1 '£SS
•(0<3 '0<« *0<c) ,„(p+^+>-)"'i
£9 иитмнлф iravadu s §
64
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
v -Vl + xsinx—1
571. hm Y -2—— ----------.
х-*о е* — 1
572. Пт cos (хе*)-cos (у;*)..
х-й) X3
573. lim (2ех/(х+1) —1)|х'+1|/х. 574. lim (2 —x)sec(«/2) х-*0 х-*1
1 __
575. lim — -(а>0. ₽>0).
х-*л/2 -\/(1 — sin® х) (1— sin₽ х)
к <• shx chx—1
576. a) hm--------; 6) lim------------;
x-*0 X x-*0 Xs
в) lim -h-~ (см. пример 340). x-0 x
576.1. lim—— (см. пример 340).
*-»o In (ch 3x)
.. sh V,z4-x —sh Vx3 —x 577. lim ---------——-------*----------.
x—+-oo ch x
577.1. a) Hm shx.--5h? 6) lim-^--c^. *-»a X —a x-»a x —a
577.2. lim —ln5,hx_. 578. Hm (x—In chx).
X-.0 In COS X x-.-f.oo
„sin2x <dn x e — e
579. lim--------------.
x-o thx
/ u Я \ '** ' ch — \
580. lim ----------— I .
Л-*сю Л I
cos — I \ n )
581. lim arcsin ~x .
Х-.ЭО 1 + x
582. 1 im arccos (д/х2 +x — x).
x-»+<»
583. lim arctg 584. lim arctg—- x —
X_2 (x-2) X-.-OO V4-X3
585. Hm arctg(x^h)~arctgx . h-*0 h
$ В. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
65
ш-1±А 586. lim--------—----------.
х-»о arctg (1 + х) — arctg (1—х)
587. lim Гп arctg---1----tgn (—4——Y].
п-<я L n (x! + 1) + X \ 4 2n /J
588. lim x (—-arctg —-—Y
*-□0 \ 4 6 x + 1 )
589. lim x (——arcsin —x .
x-H-oo 2 д/*2+ 1 /
[/ _ ПЛ -.cosec (n Vl+л*)
1 + -A-1L-1
rt J
591. lim—— e-V*. 592. limxlnx. x-»0 xl°» x-H-0
593. a) lim + * —*); 6) lim (^х*+х—х^ Ж->-»-оо д»4-ао
594. a) lim (Vl +x + x2 —Vl—x+x2);
X->— 00
6) lim (yi+x+x2 —^x+x2)-Ж-+4- oo
595.
596.
597.
594.1 Найти h= lim f(x)— lim f(x), если X->4-00 X->-*00
f(x)=in-i±jvZ±Z-. x + V*2 4- b1
a) lim arctg—-—; 6) lim arctg—. X-.1—0 1—X Х-И4-0 1—X
a) ” ^7+>-
a) ]im ."<4-^> . щ lim i°d + ^> . oo x *
598» Доказать, что
a) >2+0 при x->—oo;
6) ---->2—0 при x-> + oo.
5-23*3
66
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
599. Доказать, что
а) 2 х->1—0 при х->—0;
б) 2х->14-0 при х->4-0.
600. Найти f (1), /(1—0), /(14-0), если / (х) = = х 4- 1х2).
601. Найти / (л), / (л—0), / (л 4- 0) (л = 0, ± 1, . . .), если / (х) = sgn (sin лх).
Найти:
602. lim х /V /cos — . 603. lim х Г—1. х-»о V * L х J
604. lim sin (л д/л2 4-1). /1—»-оо
605. lim sin2 (л д/л2 4- л ). П->оо
606. lim sin sin ... sin x. Л->оо '
n раз
607. Если lim <p (x) — А и lim ф (x) = В, то следует ли отсюда, что
Итф (ф (x)) = В? x->a
Рассмотреть пример: ф (х) = 11 q при х = p/q, где р и q — взаимно простые целые числа и <р (х) = 0 при х — иррациональном; ф (х) = 1 при х 0 и ф (х) = 0 при х = 0; причем х -> 0.
608. Доказать теоремы Коши: если функция / (х) определена в интервале (а, 4-°°) и ограничена в каждом конечном интервале (а, Ь), то
а) ит -М- = lim (/ (х 4-1)—/ (*)];
б) lim (/(х)]*,х = lim (/(x)>C>0),
» ->Ч-эс I \Хг
предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют.
609. Доказать, что если: а) функция / (х) определена в области х > а; б) ограничена в каждой конечной области а <. х < Ь; в) lim 1/ (х 4- 1) — / (х) ] = со, то
lim — = оо.
f 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
67
610. Доказать, что если: 1) функция f (х) определена в области х > а; 2) ограничена в каждой конечной области а < х < Ь; 3) для некоторого натурального п существует конечный или бесконечный предел
lim J.(x+l)-/(x) X—*“[“00 А
то lim = *♦4-0, xn+‘ n + 1 611. Доказать, что a) lim (1 + —Y = е*; «-►оо \ Л J б) + п-фоо \ 2! п! /
612. Доказать, что
lim nsin(2nen!) = 2n.
Указание. Использовать формулу (*) примера 72.
Построить график функций:
613. а) у—\—х100; б) г/== lim (1—х2л)(—1<хс1) Л->оо
*400 мЛ
6И- а) У= 'il xio» (Х>0); б) 1 "l А П-Ф00 I -f А
615. у = lim х ~>г (х#= 0).
n-о» х'Ч-х-'1 v
616. х— lim .
п—<ю V пг
617. у= lim У1 +хл (х>0).
Л->00
618. у= lim 1 + хЛ + ("7~)Я (х>0>.
уЛ+2
619. у= lim —z^z^zzr (>с>0).
л-*» ^/з^ + х2'1
620. a) z/ = sin1009x; б) у= lim sin2nx.
5
68
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
621. у «lim 1п(2" + х. 1 (х > 0). П-+0О tl
622. у — lim (х—1) arctg х".
Л-*ОО
623.
624.
625.
у = lim ^14-еП(Х+1).
Л-+оо
1 • х + е,х у — lim ——
f jo 14"
у = lim —!— In —
l-tx t — x X
(x>0).
625. 1. y = lim -------------—
<l-»oo nx
(x > 0).
625. 2. у = lim xsgn | sin2 (л!лх) |.
625. 3. Построить кривую
lim ]И*Г4-|уГ = 1.
626. Асимптотой (наклонной) для кривой у = f (х) называется прямая у = kx 4- b, для которой
lim [/ (х)—(kx4-5)1 =0. *-►00
Используя это уравнение, вывести необходимые и достаточные условия существования асимптоты.
627. Найти асимптоты и построить следующие кривые:
а) У = . ; б) у = ^ха+х;
х- 4- х — 2
, 3/—2---Г \ хг*
В) y=i/x2 —х3 ; г) у = — :
д) у = 1п(14-е*); е) у = х4- arccos —.
X
Найти следующие пределы: [уЛ+1 гЛ+2 ЛЛ т
—------4-—--------4-. . . 4-——|.
(я + 1)! (я 4- 2)1 (2я)1 J
629. lim [(1 4- х) (1 4-х2) (1 4- х4) ... (1 4-*2")]» если
5 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
69
630. lim Г cos — cos —- . . . cos -i-'l.
n-«A 2 4 2я )
631. Пусть lim — — 1, где ip (х) > 0 и пусть
х—0 (*)
0 (т — 1, 2, . . .) при л -> оо, т. е. |атя | < е при т = 1, 2, . . . и л > N (е).
Доказать, что
lim {ф («!,)+ф («,„)+. . . +ф(апп)] =
= lim ГО(а1„)+г|>(а2я)+ . . . +ф(аяя)1, (1)
предполагая, что предел в правой части равенства (1J существует.
Пользуясь предыдущей теоремой, найти:
6’2- 1+^--‘
п
633. lim У (sin—Y п-+оо Ди \ )
*=1
634. lim Х(ак/п,~~ 1) (а>0). /1-^00 = l
635,ДО+’£')’
636. lim П cos~ */- •
637.: Последовательность хп задана равенствами^
(о>0).
Найти Нт хп.
П-^оо
70
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
637.1. Последовательность задается следующим образом:
хх = 0, хг = 1,
= + («=2,3,. . .).
Найти lim хп Л «*>00
637.2. Последовательность уп определяется с помощью последовательности хп соотношениями:
У0 = ^0> Уп ~ Хп ® %п-1 (« = 1» 2, , . . ), где (ос i < 1. Найти lim хп, если lim уп — Ь.
637.3. Последовательность хп определяется следующим образом:
х0=1, хл = —------- (п=1, 2,. . .).
1 + Хч-1
Найти lim хп. а-*оо
Указание Рассмотреть разности между хп и корнями 1 уравнения х =------.
1 | X
638. Последовательность функций
Уп = Уп(х) (0<х<1) определяется следующим образом;
i X X Уп—1 / п п \
У^~Т' Уп = —---------— (« = 2,3,. . .).
Найти lim уп.
639. Последовательность функций уп — уп (*J (О < х < 1) определяется следующим образом:
о х х , 1 , по \
У1 = — ' Уп = -^ + —^~ (« = 2, 3, . . .).
Найти lim уп.
639.1. Пусть х> 0 и уп = р„_1 (2—хуп_х J (n = 1, Доказать, что если у, > 0 (i = 0, 1), то последовательность уп сходится и
Ит уя = —. л->оо X
S 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
71
Указание. Изучить разность
639.2. Для нахождения у = у/х, где х > 0, применяется следующий процесс: у0 > 0 — произвольно,
Уп = ~(уп-i4---------1 (п=1, 2,. . .).
2 \ Уп~1 /
Доказать, что
lim у„ = у/х. п~+<х>
Указание. Использовать формулу
Уп — л/х ( Уп-1 — -у/х У (п^1).
Уп + л/х \ j/n-i + V* /
640. Для приближенного решения уравнения Кеплера х—esinx = /n (0<8<1) (1)
полагают
xQ = m, Xi = m+esinх0, . . ., x„ = m4-esinxn_ll. . .
(метод последовательных приближений).
Доказать, что существует g = lim хп и число £ является единственным корнем уравнения (1).
641. Если о>А [/] есть колебание функции / (х) на сегменте |х—< h (й> 0), то число
<оо [/] = lim <ол If] й-»0
называется колебанием функции f (х) в точке £.
Определить колебание функции f (х) в точке х = 0, если f (0) = 0 и при х Ф 0 имеем:
a) f(x) = sin—; б) /(x) = -5-coss—; X X* X
в) f (x)=x(2-f-sin-i-); г) f (х) = arctg -Ь;
д) Z(x)==_N££L. е) f(x) = —!—;
х 1 + еЧ*
Ж) /(*) = (!+1*1)’".
642. Пусть / (х) — sin —.
72
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Доказать, что, каково бы ни было число а, удовлетворяющее условию — 1 < а < 1, можно выбрать последовательность хп -* 0 (д=1, 2, . . .) такую, что lim f (хп) — а.
643. Определить
I = lim f (х) и L = lim f (х),
х-»0 х-»0
если:
з) /(-*)= sin2 — Ч—— arctg—;
X п X
б) f (х) — (2—х2) cos —; в) / (х) = (1 Ч-cos2 “"У'0
644. Определить
1 = lim / (х) и L = limf(x), Л~><Ю Ж-*ОО
если:
a) f(x) = sinx; б) f (х) = x2cos2x;
в) f (х) - 2sin г) f (х) = х (х>0).
1-J- х! sin* X
§ 6. 0-символика
Is. Запись
Ф (х) = О (ф (х)) при х £ X
обозначает, что существует постоянная А такая, что
| ср (х) К А |ф (х) | для х£Х, (1)
Аналогично пишут
ф (X) = О (ф (х)) при х ->а, (2)
если неравенство (1) выполнено в некоторой окрестности Ua точки а (х #= а). В частности, если ф (х) #= О при х £ Uo (х ф о), то соотношение (2) заведомо имеет место, если существует ко-Ф (х)
вечный Ит ------0. В этом случае будем писать <р (х) =
х-»а ip (х)
= О* (ip (х)).
Если
lim _£<£>_ = *=£0 (р>0),
Х-.0 Х₽
то ф (х) называется бесконечно малой порядка р относительно
$ 6. О-СИМВОЛИКА 73
бесконечно малой х. Аналогично, если lim = k =/= 0 (р > 0), х-к» х₽ то ф (х) называется бесконечно большой порядка р относительно бесконечно большой х
2°. Запись ф (х) = о (ф (х)) при х -* а обозначает, что
Ф(х) =а(х)ф(х) (x£Ua, х=£а), (3)
где а (х) -* 0 при х -+а. Если ф (х) =/= 0 при х £ 1/а, хфа, то равенство (3) эквивалентно утверждению
Hm-±WLeo. х-»а ф (х)
3°. Функции ф (х) н ф (х) называются эквивалентными (Ф (х) ~ ф (х)) при х -*• а, если
Ф W — 'Р (*) =• ° (Ф (*)) ПРИ * -* а. (4)
Если ф (х) #= 0 при х £ Ua, х =/= а, то из (4) имеем lim -*£>-= 1. х-т ф (х) При х -> 0 справедливы соотношения эквивалентности! sin х ~ х; tg х ~ х; а* — 1 ~ х in а (а > 0);
In (l-f-x)~x; э/1 + х — 1 ~ ,
п
Вообще
Ф (х) + о (ф (х)) ~ ф (х).
При нахождении предела отношения двух бесконечно мя-
лых (или бесконечно больших) функций при х -*• а данные функции можно заменять эквивалентными.
645. Считая центральный угол АОВ — х (рис. 4) бесконечно малой 1-го порядка, определить порядки малости следующих величин: а) хорды ЛВ; б) стрелки CD; в) площади сектора АОВ; г) площади треугольника АВС; д) площади трапеции АВВ^Ац е) площади сегмента АВС.
646. Пусть о (f (х)) — произвольная функция, имеющая при х -> а более низкий порядок роста, чем функция f (х), и Off (х)) — любая функция, имеющая при
74 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
х -> а тот же порядок роста, что и функция f (х), где / (х) > 0.
Показать, что
а) о (о (х))) = о (f (х)); б) О (о (f (х))) = о (f (х));
в) о (О (f (х))) = о (f (х)); г) О (О (/(х))) = О (f (х)),
р.) O(f (х)) + о (f (х)) = О (J (х)).
647. Пусть х -> 0 и п > 0. Показать, что
а) СО (хл) = О (х") (С =/= 0 — постоянная);
б) О (хп) + О (хт) = О (xn) (n<m);
в) О (хп) О (хт) = О (хп+т).
648. Пусть х -> + оо и п>0. Показать, что
а) СО (х") = О (хп);
б) О (хп) + О (хт) = О (хп) (п > т);
в) О (хп) О (хп) = О (хп+п).
649. Показать, что символ обладает свойствами: 1) рефлексивности: <р (х) ~ <р (х); 2) симметрии; если <р (х) ~ ф (х), то ф (х) ~ <р (х); 3) транзитивности: если ф (х) ~ ф (х) и ф (х) ~ 7. (х), то <p (х) ~ X (х).
650. Пусть х -> 0. Доказать следующие равенства:
а) 2х—х2 = О (х); б) х sin *Jx = О (х3/2);
в) xsin —= О(|х|); г) 1пх = о(-^-) (е>0);
д) д/х+ 'х/х+ а/х ~угх;
е) arctg —= 0(1);
X
ж) (1 + х)п = 1 + пх + о (х).
651. Пусть х-> + оо. Доказать следующие равенства:
а) 2 х3—Зх2 + 1 = 0 (х3);
б) -v^-of—);
X2 -f- 1 ЧХ7
§ в. О-СИМВОЛИКА
75
в) x4-x2sinx=O(x2); г)
14-Х2 \ X2 /
д) 1пх = о(хе) (е>0); е) х₽е-х = о у-);
Ж) Д/х4-д/х+Vх ~л[х\ з) x24-xln100x ~ х2.
652. Доказать, что при достаточно большом х > О имеют место неравенства:
а) х24-10х4-100<0,001х3;
б) 1п100°х<'у/х'; в) х10е*<е2х.
652.1. Доказать асимптотическую формулу
-^х2 + рх+д = х4—
при х -> 4- оо.
653. Пусть х -> 0. Выделить главный член вида Схп (С — постоянная) и определить порядки малости относительно переменной х следующих функций:
а) 2х—Зх34-х®; б) дА +х—V1—х’> ----------- 3 ,------
в) V*—2х — V !—Зх; г) tgx^—sinx.
654. Пусть х —► 0. Показать, что бесконечно малые
a) f(x)=-±—- б) /(х) = е-^
1п X
не сравнимы с бесконечно малой х" (п > 0), каково бы ни было п, т. е. ни при каком п не может иметь место f (х\
равенство lim - n =k, где k — конечная величина, отличная от нуля.
655. Пусть х -> 1. Выделить главный член вида С (х—1)л и определить порядки малости относительно бесконечно малой х—1 следующих функций:
а) х3—3x4-2; б) 1 — Vх" I в) 1пх; г) е*—е; д) х*— 1.
76
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
656. Пусть х-> 4- °°. Выделить главный член вида Сх* и определить порядки роста относительно бесконечно большой х следующих функций:
а) х2 4-100x4-10000; б) ----—------;
х3 — Зх 4-1
в) V хг—х +'\fx;
657. Пусть х -> 4- оо. Выделить главный член вида С(—J* и определить порядки малости относительно бесконечно малой — следующих функций:
а) -б) д/х+Т—л/х ;
Л* “Г 1
в) хн-Т 2 ''^x -f-ПГ *4“ j
г) — sin — X х
658. Пусть х -> 1. Выделить главный член вида С(——и определить порядки роста относительно бесконечно большой —5— следующих функций:
х — 1
——; д) -yr—• sin лх (1 — х)2
3/Г^5- ’
659. Пусть х -► 4- оо и fn (х) = хп (п = 1, 2, . . .). Доказать, что 1) каждая из функций fn (х) растет быстрее, чем предшествующая функция (х); 2) функция ех растет быстрее, чем каждая из функций fn (х) (л = 1, 2, . . .).
660. Пусть х -► 4- оо и
f„(x) = v/x’ (п = 1, 2, . . .).
Доказать, что 1) каждая из функций fn (х)’ растет медленнее, чем предшествующая функция (х)} 2) функция f (х) — In х растет медленнее, чем каждая1 из функций fn (х) (п = 1, 2, . . .).
$ 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
77
661. Доказать, что какова бы ни была последовательность функций
ft (х), fl (х)....fn (х), . . . (х0 < X < + оо),
можно построить функцию / (х), которая при > + оо растет быстрее, чем каждая из функций /„ (х) (л = 1, 2, . . .).
§ 7. Непрерывность функции
1°. Непрерывность функции. Функция / (х) называется непрерывной при х == х0 (или в точке х0), если
lim f (х) =» f (х0). (1)
х->хв
т. е. если функция f (х) определена прн х = х0 и для каждого е > 0 существует 6 = о (в, х0) > 0 такое, что при | х—хв | < б для всех значений I (х), имеющих смысл, выполнено неравенство
1Нл) -Н*о)Кв-
Функция f (х) называется непрерывной на данном множестве X — {х} (интервале, сегменте н т. п.), если эта функция непрерывна в каждой точке множества X.
Если при некотором значении х = х0, принадлежащем области определения X = [х] функции / (х) или являющемся предельной точкой этого множества, равенство (1) не выполнено (т. е. нлн (а) не существует число f (х0), иными словами, функция не определена в точке х = х0, или (б) не существует lim / (х), х-»х0 или (в) обе части формулы (1) имеют смысл, но равенство между ними не имеет места), то х0 называется точкой разрыва функции i (х).
Различают: 1) точки х0 разрыва первого рода, для которых существуют конечные односторонние пределы:
f(x0 —0)= Пт /(х) и f(xo4-O)= lim /(х) Х-»Х4—0 х-*-х„+0
и 2) точки разрыва второго рода — все остальные. Разность I (х, + 0) - f (х0—0) называется скачком функции в точке х0.
Если выполнено равенство
I (xtt - 0) = f(xa + 0), то точка разрыва х0 называется устранимой. Если по меньшей мере один из пределов / (х0 — 0) или f (х0 + 0) равен символу оо, то х0 называется точкой бесконечного разрыва.
Если выполнено равенство
t (хе — 0) = I (*о) (или f (х0 + 0) = [ (х0)),
То говорят, что функция f (х0) непрерывна слева (справа) в точке х0. Для непрерывности функции f (х) в точке х0 необходимо и достаточно равенство трех чисел:
I (х0 - 0) = I (х0 + 0) = I (х0).
78
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
2е. Непрерывность элементарных функ* Ц и й. Если функции [ (х) и g (х) непрерывны при значении к = х0, то функции
a) I (х) ± g (*); б) / (х) g (х); в) (g (х.)^=0)
g(x)
также непрерывны при х = х0.
В частности: а) целая рациональная функция
Р (х) = а0 + atx + .. . 4- апхп непрерывна при любом значении х; б) дробная рациональная функция
R (х) = °o + aix+ • • • +опх" + . +*>«*"• непрерывна при всех значениях х, ие обращающих знаменателя в нуль.
Вообще основные элементарные функции: х", sin х, cos х, tg х, я*, logax, arcsin х, arccos х, arctg х, .. . непрерывны во всех точках, где они определены.
Более общий результат следующий: если функция / (х) непрерывна при х — х0 и функция g (у) непрерывна при у =* •= I (*о). то функция g ([ (х)) непрерывна при х = х0.
3°. Основные теоремы о непрерывных функциях. Если функция f (х) непрерывна на конечном сегменте [я, ft], то: 1) f(x) ограничена на этом сегменте; 2) достигает на нем своей нижией грани т и верхней грани М (теорема Вейерштрасса); 3) принимает на каждом интервале (а, Р) с (а, 6] все промежуточные значения между f (а) и f (Р) (теорема Коши). В частности, если [ (а) f (Р) < 0, то найдется значение у (а < у < Р) такое, что [ (у) — 0.
662. Дан график непрерывной функции у — f (х). Для данной точки а и числа 8 > 0 указать геометрически число 6 > 0 такое, что |/(х)— / (а) 1 <1 е при I х—а | 6.
663. Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку, сторона которой х0 = 10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону х этой пластинки, если площадь ее у — х2 может отличаться от проектной у0 = 100 см2 не больше чем а) на ± 1 см2; б) на ±0,1 см2; в) на ± 0,01 см2; г) на ± 8 см2?
664. Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С какой абсолютной погрешностью А допустимо измерит?» ребро х этого куба, чтобы объем его у можно было вычислить с абсолютной погрешностью, не превышающей в м®, если: а) 8 = 0,1 м®; б) е = 0,01 м8; в) е = 0,001 м8?
665. В какой максимальной окрестности точки х0 = 100 ордината графика функции у — 'х/х отличается от ордкня"-! у0 = 10 меньше чем на 8 — Ю'’®
« 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
79
(л > 0)? Определить размеры этой окрестности при п = 0, 1, 2, 3.
666. С помощью «е—6»-рассуждений доказать, что функция / (х) — х2 непрерывна при х — 5.
Заполнить следующую таблицу:
8 1 0,1 0,01 0,001 * е «
б
667. Пусть f (х) — — и в => 0,001. Для значений X
х0 = 0,1; 0,01; 0,001; . . . найти максимально большие положительные числа б = б (е, х0) такие, чтобы из неравенства | х—х01 < б вытекало бы неравенство If W — f Wl<e.
Можно ли для данного 8 — 0,001 выбрать такое б > 0, которое годилось бы для всех значений х0 из интервала (0,1), т. е. такое, что если |х—х01 < б, то |/(х)—f (х0) | < 8, каково бы ни было значение
е (0.D?
668. Сформулировать на языке «е—.6» в положительном смысле следующее утверждение: функция / (х), определенная в точке х0, не является непрерывной в этой точке.
669. Пусть для некоторых чисел е > 0 можно найти соответствующие числа б = б (е, х0) > 0 такие, что |/ (х) — f (х0) | < е, если только | х—х01 < б.
Можно ли утверждать, что функция f (х) непрерывна в точке х0, если: а) числа е образуют конечное множество; б) числа е образуют бесконечное множество двоичных дробей 8 =э (п = 1, 2. .. .).
670. Пусть дана функция / (х) = х + 0,001 1х ].
Показать, что для каждого е > 0,001 можно подобрать б = б (е, х) > 0 такое, что | f (х') — / (х) | <с е, если только |х'—х| < б, а для 0<е < 0,001 для всех значений х этого сделать нельзя.
В каких точках нарушается непрерывность этой функции?
671. Пусть для каждого достаточно малого числа 6>0 существует в — г (б, хо)>0 такое, что если
во ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
| х—хй1 < 6, то выполнено неравенство | f (х) — f (х0) |<е. Следует ли отсюда, что функция f (х) непрерывна при х = х0? Какое свойство функции / (х) описывается данными неравенствами?
672. Пусть для каждого числа е > 0 существует число 6 = 6 (е, х0) > 0 такое, что если | f (х) — f (х0) |<е, то |х—х01 < S. Следует ли отсюда, что функция f (х) непрерывна при значении х = х0? Какое свойство функции описывается этими неравенствами?
673. Пусть для каждого числа 6 > 0 существует число е = е (6, х0) > 0 такое, что если | / (х) — f (х0) |<е, то | х—х01 < S.
Следует ли отсюда, что функция / (х) непрерывна при х = х0? Какое свойство функции f (х) описывается данными неравенствами?
Рассмотреть пример:
f arctg х, если х рационально, f (х) = { .
I л—arctg х, если х иррационально.
674. С помощью «е—6»-рассуждений доказать непрерывность следующих функций: а) ах + Ь; б) хг} в) х3; г) V7i Д) ; е) sin х; ж) cos х; з) arctg х.
Исследовать на непрерывность и изобразить графически следующие функции:
675. Их) = |х|.
А, если х=2.
677. f(x) = ——!— . если х=£ —1 и f( — I)—про-(1 + *)2
мзвольно.
678. a) ft (х) = II, если х=^0 и (0) = 1; I 1*1 I
б) ft (х) = -7^7-, если х=5&0 и /2 (0) — 1.
1*1
679. / (х) = sin, если х^=0 и f (0)—произвольно.
680. / (х) = xsin —, если х=^=О и f (0) = 0.
X
4 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 81
681. Нх) = е-1/х>, если ху=0 и f(0) = 0.
682. /(х) =---——, если х^=1 и f(l)—прпиэ-
l+eV*
сольно.
683. f (х) =xlnx*, если х=#0 и f(O) = a.
684. f (х) = sgn х. 685. f (х) = Ixl.
686. f (x) = V* —IVH-
Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек, если:
687. у~----------. 688. у»-1±*
у (1 + х)3 9 1 + х»
1 1
689.0 =—-----------. 690. 0= —--------£±1_.
* ха —3x4-2 * 1 1
X— 1 X
691. 0= —?—. 692. 0= л/ >~cos^- .
* sin х * V 4 — *’
693. 0 = cos2 —. 694. 0 = sgn (sin .
Л cos -
695. 0=-----—. 696. 0 = arctg —.
Я X
cos —
X
697. у = '\[х arctg —. 698. у — «*+*/*.
699. 0=—1—. 700. 0=^—_
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиза графиков следующих функций:
701. у = sgn (sin х). 702. у = х — 1х].
703. у — х 1х]. 704. у = [х ] sin лх.
705. 0 = х2—[х2]. 706. х = [4~]-
707. 0 = х j. 708. у = sgn (cos —.
6-2МЗ
82
ОТДЕЛ Т. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
709. = [*~г] s§n (s*n “) • 71°- !/ = ctg — .
711. t/= sec2. 712. у = (— l)lx’’.
713. у = arctg f—4-—Ц-+ —Ц-). \ x x—1 x —2 /
714, y=s---!-. 715. y==—!--.
х*$!п’х sin(x2)
716. y = ln---------. 717. у=е~У».
” (*+D(x-3)
718. r/ = l—719. r/=th—.
Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:
720. z/=lim----— (х>0). 721. f/=lim -
722. г/ ==lim 1 +х2п. 723. #=Hmcos2/'x.
П->ОО П-»00
724.
725.
726.
w = lim--------------.
n-мо 1 + (2 sin x)!n
(xarctg(nctgx)]. n-»OO
x + xV* w=lim —-----------.
* n-*» 1 + e”*
-n- i- ln(l + e*/) 727. y = lim —- .
1- /1 i -A
728. у= lim (1 + х) th ix.
729. Является ли непрерывной функция (2х, если 0 fW— [2—х, если 1<х<2.
730. Пусть (е*, если х<0, *'х —|а4-х, если х>0.
При каком выборе числа а функция f (х) будет непрерывной?
t 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 83
731. Исследовать следующие функции на непрерывность и выяснить характер точек разрыва, если:
в) f(x) =
х2 при О^х 1, 2—х при 1<х<2; х при |х|< 1, 1 при |х|> 1;
cos —— при |х|<1,
ctg2 пх для нецелого х, О для целого х; sin лх для рационального х, О для иррационального х.
732. Функция d = d (х) представляет собой кратчайшее расстояние точки х числовой оси Ох от множества точек ее, состоящего из отрезков' 0 < х < 1 и 2 < х <3. Найти аналитическое выражение функции d, построить
ее график и исследовать на непрерывность.
733. Фигура Е состоит из равнобедренного треугольника с основанием 1 и высотой 1 и двух прямоугольников с основаниями 1 каждый и высотами, равными 2 и 3 (рис. 5). Функция S = S (у) (0 < у < + оо) представляет собой площадь части фигуры Е, заключенной
между параллелями Y = 0 и Рис. 5
Y — у, а функция b — Ь (у)
(0 < у < + оо) есть длина сечения фигуры Е параллелью Y = у. Найти аналитические выражения функций 3 и Ь, построить их графики и исследовать на не-
прерывность.
734. Доказать, что функция Дирихле
X (х) == lim Him cos" (лт!х)| m-+oo |л-»оо J
разрывна при каждом значении х. 6*
84
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
735. Исследовать на непрерывность функцию
f (х) = хх W.
где х (х) — функция Дирихле (см. предыдущую задачу). Построить эскиз графика этой функции.
736. Доказать, что функция Римана
—, если х = , где т и п взаимно
п п
простые числа;
О, если х иррационально, разрывна при каждом рациональном значении х и непрерывна при каждом иррациональном значении х. Построить эскиз графика этой функции.
737. Исследовать на непрерывность функцию / (х), заданную следующим образом:
если х есть несократимая рациональная дробь — (п>1), и fix) = |х|,
если х—иррациональное число. Построить эскиз графика этой функции.
738. Функция f (х) = 1 ~ c°s х- определена для всех значений аргумента х, кроме х = 0. Какое значение следует приписать функции f (х) в точке х = 0, чтобы эта функция была непрерывной при х = 0?
739. Показать, что при любом выборе числа f (1) функция f (х) = -j-J— будет разрывна при х = 1.
740. Функция / (х) теряет смысл при х = 0. Определить число f (0) так, чтобы f (х) была непрерывна при х = 0, если:
а) б) /(х) = -^-_;
3/Т+Т-1
в) /(x) = sinxsin —; г) /(х) = (1+х)’/х;
4 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
fiS
д) f (х) = е) f (х) = Xх (х > 0);
ж) f (х) — х 1п2х.
741. Обязательно ли будет разрывна в данной точке х0 сумма двух функций f (х) + g (х), если: а) функция f (х) непрерывна, а функция g (х) разрывна при х = х0; б) обе функции f (х) и g (х) разрывны при х = х0? Построить соответствующие примеры.
742. Обязательно ли произведение двух функций f (х) g (х) терпит разрыв непрерывности в данной точке х0. если: а) функция f (х) непрерывна, а функция g (х) разрывна в этой точке; б) обе функции f(x)ng (х) разрывны при х = х0? Построить соответствующие примеры.
743. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная функция?
Построить пример всюду разрывной функции, квадрат которой есть функция непрерывная.
744, Исследовать на непрерывность функции /[g (х) 1 и g [/ (х) ], если:
a) f (х) = sgn х и g (х) = 1 + х2;
б) f (х) = sgn х и g (х) == х (1—х2);
в) f W — sgn х и g (х) = 1 + х — [х].
745. Исследовать на непрерывность сложную функцию у = f(u), где и = <р (х), если
( и при 0<н С 1;
= | 2—и при 1<ы<2 и
(х при х рациональном;
ф (х) = < п (0 < х < 1)’.
т ' (2—х при х иррациональном
746. Доказать, что если f (х) — непрерывная функция, то F (х) = |/ (х) | есть также непрерывная функция.
747. Доказать, что если функция f (х) непрерывна, то функция
.—с, если f(x)<—с;
f(x), если |/(х)|^с;
с, если /(х)>с,
где с — любое положительное число, также непрерывна.
86
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
748. Доказать, что если функция f (х) непрерывна на сегменте [a, b ], то функции
т (х) = inf {/ (£)} и М (х) = sup {f (I)}
также непрерывны на [а, Ь].
749. Доказать, что если функции f (х) и g (х) непрерывны, то функции
ф (х) = min [/ (х), g (х) ] и ф (х) = max If (х), g (х) 1 также непрерывны.
750. Пусть функция f (х) определена и ограничена па сегменте [д, Ь]. Доказать, что функции
m(x)= inf {(f(£)} и М(х)= sup {/ (£)}
непрерывны слева на сегменте [а, Ы.
751. Доказать, что если функция f (х) непрерывна в промежутке а < х <; + оо и существует конечный lim f (х), то эта функция ограничена в данном проме-Ж-» 4-00 жутке.
752. Пусть функция f (х) непрерывна и ограничена в интервале (х0, + оо). Доказать, что, каково бы ни было число Т, найдется последовательность хп -► + оо такая, что
lim [f(xn + T)-f(xn)]=O. n-*oo
753. Пусть ф (х) и ф (х) — непрерывные периодические функции, определенные при — оо < х < + оо и lim [ф(х)—ф(х)]=0.
Jt-.-1-ОО
Доказать, что ф (х) s= ф (х).
754. Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.
755. Доказать, что если функция f (х) обладает следующими свойствами: 1) определена и монотонна на сегменте [a, b ]; 2) в качестве своих значений принимает все числа между f (а) и f (b), то эта функция непрерывна на [а, 6].
756. Показать, что функция f(x) = sin—?—.если х — а
х =# а и f (а) = 0, принимает на любом сегменте [ а, Ы
« 8. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
87
все промежуточные значения между f (а) и f (b), однако не является непрерывной на [а, Ь].
757. Доказать, что если функция f (х) непрерывна на интервале (а, Ъ) и xlt хг, . . . , хп — любые значения из этого интервала, то между ними найдется число § такое, что
f О = — If (Ъ) +f W + • • • +f (*л)Ь Л
758. Пусть f (х) непрерывна в интервале (а, Ь) и
/=Нт/(х) и L«=lim/(x).
х-*а х-*а
Доказать, что, каково бы ни было число X, где I < X < L, существует последовательность а {п = — 1, 2, . ..) такая, что
lim/(x„) =Х.
П->оо
§ 8. Обратная функция.
Функции, заданные параметрически
1°. Существование и непрерывность об* ратной функции. Если функция у = / (л) обладает следующими свойствами: 1) определена и непрерывна иа интервале (а, 6); 2) монотонна в строгом смысле на этом интервале, ТО существует однозначная обратная функция х — f-1 (у), определенная, непрерывная и соответственно монотонная в строгом Смысле на интервале (4, В), где А = lim f (х) и В = lim f (х).
х-»о4-0 х-»Ь—О
Под однозначной непрерывной ветвью многозначной обратной функции данной непрерывной функции у= f (х) понимается любая однозначная непрерывная функция x — g(y). определенная в максимальной о&1астн ее существования и удовлетворяющая в этой области уравнению / 1g (у) 1 = у
2°. Непрерывность функции, заданной параметрически. Если функции <р (0 и ф (0 определены и непрерывны в интервале (а, 0) и функция ф (0 строго Монотонна на этом интервале, то система уравнений
х — Ф (0, у — ф (0
Определяет у как однозначную непрерывную функцию от х: у = ф (ф~1 (х)),
на интервале (а, Ь), где а = lim ф (0 и b = lim ф (0.
<-»а+о <-»з—о
88
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
759. Найти обратную функцию дробно-линейной функции
сх -f- а
В каком случае обратная функция совпадает с данной?
760. Найти обратную функцию х = х (у), если
у = х + lx ].
761. Показать, что существует единственная непрерывная функция у = у (х) (— со < х < + оо), удовлетворяющая уравнению Кеплера
у — 8 sin у = х (0 < е < 1).
762. Показать, что уравнение ctg х = kx для каждого вещественного k (— оо < k <Z. + оо) имеет в интервале 0 < х < л единственный непрерывный корень X = X (k).
763. Может ли немонотонная функция у =* f (х) (— оо < х < + оо) иметь однозначную обратную функцию? Рассмотреть пример:
х, если х рационально;
—х, если х иррационально.
764. В каком случае функция у — f (х) и обратная функция х = f~' (у) представляют одну и ту же функцию?
765. Показать, что обратная функция разрывной функции у — (1 + хг) sgn х есть функция непрерывная.
766. Доказать, что если функция f (х) определена и строго монотонна на сегменте la, b J и
lim / (х„) -= / (а) (а < хп < Ь), п-*оо
ТО
iim хп = а.
Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для следующих функций:
767. у = х2. 768. у = 2х—х». 769.г/ = t .
770. y = sinx. 771. y = cosx. 772. j/ = tgx.
$ 8. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
89
773. Показать, что множество значений непрерывной функции у = 1 + sin х, соответствующих интервалу (О < х < 2л), есть сегмент.
774. Доказать равенство
arcsin х + arccos х = у.
775. Доказать равенство
arctg х 4- arctg — = у- sgn х (х Ф 0).
776. Доказать теорему сложения арктангенсов:
arctg х 4- arctg у
arctg * + у 4- ел, 1 —ху
где е = е (х, у) — функция, принимающая одно из трех значений: 0, 1, — 1.
Для каких значений у при данном значении х возмо-жен разрыв функции е? Построить на плоскости Оху соответствующие области непрерывности функции в и определить значение этой функции в полученных областях.
777. Доказать теорему сложения арксинусов: arcsin х 4- arcsin у —
= (— 1)е arcsin (х VI—У2, —х1) 4- ел
где
е _ ( 0, если ху < 0 или х2 4- у2 < 1, | sgn х, если ху > 0 и х2 4- у2 > 1.
778. Доказать теорему сложения арккосинусов:
arccos х 4- arccos у =
= (— 1) arccos (ху—у/\—хг —у*) 4- 2ле
(И < 1, lid < 1). где
( 0, если х 4- у > 0, е== { *
I 1, если х 4- у<. 0.
779. Построить графики функций:
а) у = arcsin х— arcsin у/\—х2;
б) у = arcsin (2х V1—)—2 arcsin ж.
90
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
780. Найти функцию у — у (х), заданную уравнениями:
х = arctg t, у — arcctg t (— оо< t <z + co).
В какой области определена эта функция?
781. Пусть х — ch t, у — sh t (— оо < t < + оо)'.
В каких областях изменения параметра t переменную у можно рассматривать как однозначную функцию от переменной х? Найти выражения у для различных областей.
782. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы система уравнений х = ф (/), у = ф (/) (а < t <_ Р) определяла бы у как однозначную функцию от х?
Рассмотреть пример: х = sin2/, у — cos2/.
783. При каких условиях две системы уравнений
х = ф (/), у = Ф (/) (а < / < Ь) и
х = ф (х (т), у = ф (х (т)) (а < т < р) определяют одну и ту же функцию у = у (х)?
784. Пусть функции ф (х) и ф (х) определены и непрерывны на интервале (a, ft) и Л = inf ф (х), В = a<x<bt
=== sup ф (х). В каком случае существует однозначная а<х<Ь
функция f (х), определенная в интервале (Л, В) и такая, что
ф (х) = f (ф (х)) при а < х < ft?
§ 9. Равномерная непрерывность функции
1°. Определение равномерной непрерывности. Функция I (х) называется равномерно непрерывной на данном множестве (интервале, сегменте и т. п.) X = (х), если / (х) определена на X и для каждого в > 0 существует 6= 6 (е) > 0 такое, что для любых значений х', х" £ X из неравенства
|х'—х" | < 6 следует неравенство
if (х') - I (X") | < 8.
2°. Теорема Кантора. Функция f, (х), определен ная и непрерывная на ограниченном сегменте [а, 6], равномерно непрерывна на «том сегменте.
s 9. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
91
785. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых х могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском 6 можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их у отличалась от проектной меньше, чем на е? Произвести численный расчет, если:
а) 8 = 1 см®; б) 8 — 0,01 см2; в) е = 0,0001 см2.
786. Цилиндрическая муфта, ширина которой в и длина 6, надета на кривую у — у х и скользит по ней так, что ось муфты остается параллельной оси Ох. Чему должно быть равно 6, чтобы эта муфта свободно прошла участок кривой, определяемый неравенством — 10 < х < 10, если: а) 8 = 1; б) 8 = 0,1; в) 8 = 0,01; г) е произвольно мало?
787. В положительном смысле сформулировать на языке «8—6» утверждение: функция f (х) непрерывна на некотором множестве (интервале, сегменте и т. п.), но не является равномерно непрерывной на этом множестве.
788. Показа-tb, что функция f (х) = 1/х непрерывна в интервале (0, 1), но не является равномерно непрерывной в этом интервале.
789. Показать, что функция f (х) = sin л/х непрерывна и ограничена в интервале (0, 1), но не является равномерно непрерывной в этом интервале.
790. Показать, что функция f (х) = sin хг непрерывна и ограничена в бесконечном интервале — оо < х <4-оо, но не является равномерно непрерывной в этом интервале.
791. Доказать, что если функция f (х) определена и, непрерывна в области а < х < + оо и существует конечный
lim /(х),
то f (х) равномерно непрерывна в этой области.
792. Показать, что неограниченная функция
f (х) = х + sin х
равномерно непрерывна на всей оси — оо < х < + оо.
793. Является ли равномерно непрерывной функция / (х) = х- на интервале а) (— I, I), где / — любое,
92
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
сколько угодно большое положительное число; б) на интервале (— оо, + оо)?
Исследовать на равномерную непрерывность в заданных областях следующие функции:
794. /(*)=—(-1<х<1).
4 — х1
795. f(x) = lnx (0<х<1).
796. f (х) = (0 <х<л).
X
797. f(x) — e*cos — (0<х<1).
х
798. f(x) = arctgx оо<х< + <»).
799. f (х) = д/х (1 < х< + оо).
800. f(x) — xsinx (0<х<-)-оо).
801. Показать, что функция f (х) = -Sl" равномерно непрерывна на каждом интервале
= (— 1 < х < 0) и J2 = (0 < х < 1)
по отдельности, но не является равномерно непрерывной на их сумме
А + Л = {0< |х |< 1).
801.1. Доказать, что если функция f (х) равномерно непрерывна на каждом из сегментов [а, с ] и [с, Ь ], то эта функция является равномерно непрерывной на суммарном сегменте [а, 6].
802. Для е > 0 найти 6 °= 6 (е) (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции f (х) на данном промежутке, если:
а) / (х) = 5х—3 (—оо<х<4-оо);
б) / (х) — х2.—2х—1 (—2 < х < 5).
в) f(x) = — X (0,1 < х < 1);
г) Ш = (0 < х< + оо);
д) f(x) = 2sinx—cosx (—оо<х< 4-оо);
е) f(x) = xsin —(х^0) и f(0) = 0 (0<х<л). X
5 9. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
803. На сколько равных между собой отрезков достаточно разбить сегмент [1, 10], чтобы колебание функции f (х) = хг на каждом из этих отрезков была меньше 0,0001?
804. Доказать, что сумма и произведение ограниченного числа равномерно непрерывных на интервале (а, Ь) функций равномерно непрерывны на этом интервале.
805. Доказать, что если ограниченная монотонная функция f (х) непрерывна на конечном или бесконечном интервале (а, Ь), то эта функция равномерно непрерывна на интервале (а, Ь).
806(h). Доказать, что если функция f (х) равномерно непрерывна на конечном интервале (а, Ь), то существуют пределы
A— lim f(х) и В == lim f(х). х-м>4-0 *->Ь—0
Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (а, 6)?
806.1. Доказать что для того, чтобы функцию f (х), определенную и непрерывную на конечном интервале (а, Ь), можно было продолжить непрерывным образом на сегмент (а, b ], необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) была равномерно непрерывна на интервале (а, Ь).
807. Модулем непрерывности функции f (х) на промежутке (а, Ь) называется функция
Ф, (6) = SUp |/ (Xj) —- / (Xj) |,
где Xj и х2 — любые точки из (а, Ь), связанные условием Ur-х2| < б.
Доказать, что для равномерной непрерывности функции f (х) на промежутке (а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы
lim <ty(6) = 0.
б—+0
808. Получить оценку модуля непрерывности б) (см. предыдущую задачу) вида
ф/ (б) < Сб“,
где С и а — константы, если:
а)/(х) = х3 (0 < х < 1);
б) f(x) = V* (0<х<а) и (а<х<4-оо).
в) / (х) = sin х + cos х (0 < х < 2л).
94
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 10. Функциональные уравнения
809. Доказать, что единственная непрерывная функция f (х) (— оо < х < 4- оо), удовлетворяющая для всех вещественных значений х и у уравнению
+ = О)’
есть линейная однородная f (х) = ах, где а = f (1) —• произвольная константа.
810. Доказать, что монотонная функция f (х), удовлетворяющая уравнению (1), есть линейная однородная.
811. Доказать, что функция f (х), удовлетворяющая уравнению (1) и ограниченная в сколь угодно малом интервале (— е, е), есть линейная однородная.
812. Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция f (х) (— оо < х < < + оо), удовлетворяющая для всех значений х и у уравнению
f(x + y) = Hx)f(y), (2)
есть показательная f (х) == а*, где а — f (1) — положительная постоянная.
813. Доказать, что не равная нулю тождественно функция f (х), ограниченная в интервале (0, в) и удовлетворяющая уравнению (2), есть показательная.
814. Доказать, что единственная ие равная нулю тождественно непрерывная функция f (х) (0 < х <+ оо), удовлетворяющая для всех положительных значений хну уравнению
f(xy) = f(x) + f(y).
есть логарифмическая f (х) = loga х, где а — положительная константа (a^ 1).
815. Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция f (х) (0 < х < 4-оо), удовлетворяющая для всех положительных значений хну уравнению
f (ху) = f (х) f (у), (3)
есть степенная / (х) = х°, где а — постоянная.
816. Найти все непрерывные функции f (х) (— оо <; < х < + оо), удовлетворяющие для всех вещественных значений х и у уравнению (3).
817. Показать, что разрывная функция f (х) ~ sgn х удовлетворяет уравнению (3).
$ 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ S5
818. Найти все непрерывные функции f (х) (— оо < <х<4-оо), удовлетворяющие для всех вещесгвеи-ных значений х и у уравнению
f(x + y) + f(x-^)-2f(x)/(g).
819. Найти все непрерывные ограниченные функции f (х) и g (х) (— оо < х < + оо), удовлетворяющие для всех вещественных значений х и у системе уравнений:
f (х + у) = / (х) f (у) — g (х) g (у), g(x + у) = f (x)g (у) + f (у) g (х), и, сверх того, условиям нормировки:
f (0) - 1 и g (0) = 0.
Указание. Рассмотреть функцию
F W = f (х) + g* (х).
820. Пусть Д/ (х) = f (х + Дх) — f (х) и Л2/ (х) =» = Д {Д/ (х)} суть конечные разности функции f (х) соответственно гзрвого и второго порядков.
Доказать, что если функция f (х) (— оо <; х < + со) непрерывная и Д V (х) = 0, то эта функция линейная, т. е. / (х) = ах Ь, где а и Ь — постоянные.
ОТДЕЛ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная явной функции
1°. Определение производной. Если я н
х + Дх — значения независимой переменной, то разность
Ду « | (я + Ах) — I (х)
называется приращениям функции у = f (ж) на сегменте [х, xj|. Выражение
д' = f (х)- lim -4^-д*-»-о Дх
ес*н оно имеет смысл, носит название производной, а сама функ-
(1)
о (ж), в = и (х) имеют
ция j (х) в этом случае называется дифференц ируемой.
Геометрически число £' (х) представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функция ув|(х) в точке его x(tga=f)(x) (рис. 6).
2°. Основные правила нахождения произвол» ной. Если с — постоянная величина и функции и *= и (х), о =• производные, то
1) с'—О;
2) (си)'— си';
3) (и 4- о — hi)' = и' + o' — w';
4) (ио)' = и'о+ о'и;
f и \' и'о — ио' , , л.
6)(v)-----------5— <о*0>!
6) (ип)' пип~ги* (п — постоянное число)]
7) если функции у — [ (и) и и = <р (х) имеют производные, то
У» = Уиие
§ I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
•7
3е. Основные формулы. Если к — независима* переменная, то
I. (хпУ — пх”-1 (л — постоянное число).
II. (sinх)' = cosх. 111. (cosx)' = — sinx.
IV. (tg x)' = —1—. V. (ctg x)' -------J—.
cos8* sin8*
VI. (arcsin *)'= —-—-----,
Vl—x2
VII. (arccosx)'---------- .
Vi —*s
VIII. (arctg x)'=--. IX. (arcctgx)' =
14- x2
X. (a*)' = a*lna, (e^'^e*.
XI. (logax)' = —i— (a>0); x Ina
(lnx)' = — (a>0, a =#= 1; x>0). x
XII. (shx)' = chx.
XIV. (thx)' = —t— ch2x
XIII. (ch x)' = sh x.
XV. (cth x)' --------!—.
sh2x
4°. Односторонние производные. Выраже»
ння
Z , , ,. f(x+Ax) —f(x)
f (x) » lim ——:------- -
Ax—0 Дх
n
f. (x) = lim
Ax-*-f-0 Дх
называются соответственно левой или правой производной функ* ции f (х) в точке х.
Для существования производной f' (х) необходимо и до* статочно, чтобы
Г_ (*) = Г+ to-
5°. Бесконечная производная. Если функ* ция f (х) непрерывна в точке х и
lim /(х+Дх)—f(x) =
Ах-*0 Дх
то говорят, что в точке х функция f (х) имеет бесконечную произ водную. В этом случае касательная к графику функции у = / (х) в точке х перпендикулярна к оси Ох.
у—2383
98
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
821. Определить приращение Дх аргумента х и соответствующее приращение Дг/ функции у = 1g х, если х изменяется от 1 до 1000.
822. Определить приращение Дх аргумента х и соответствующее приращение Дг/ функции у = 1/х2, если х изменяется от 0,01 до 0,001.
823. Переменная х получает приращение Дх. Определить приращение &у, если:
а) у = ах + Ь\ б) у = ахг-\-Ьх + с, в) у = ах.
824. Доказать, что:
а) Д [f (х) 4- g (х) ] = Д/ (х) + &g (х);
б) Д If (х) g (х) ] = g (х + Дх) Д/ (х) + f (х) Д£ (х).
825. Через точки А (2, 4) и А' (2 + Дх, 4 + Ду) кривой у = х2 проведена секущая АА'. Найти угловой коэффициент этой секущей, если: а) Дх = 1; б) Дх = 0,1; в) Дх = 0,01; г) Дх произвольно мало.
Чему равен угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке 4?
826. Отрезок 1 < х < 1 + h оси Ох с помощью функции у = х3 отображается на ось Оу. Определить средний коэффициент растяжения и произвести численный расчет, если: a) h = 0,1; б) h = 0,01; в) h = 0,001.
Чему равен коэффициент растяжения при этом отображении в точке х = 1?
827« Закон движения точки по оси Ох дается формулой
х = 10/ + 5/2, где t — время в секундах их — расстояние в метрах. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени 20 < t < 20 + Д/ и произвести численный расчет, если: а) Д/ — 1; б) Д/ == 0,1; в) Д/ = 0,01. Чему равна скорость движения в момент времени t = 20?
828. Исходя из определения производной, непосредственно найти производные следующих функций: а) х8; б) х8; в) —; г) Vx; д) j/T; е) tgx; ж) ctg х; в) arcsin х; и) arccos х; к) arctg х.
829. Найти /' (1), f (2) и f' (3), если
f to = (х-1) (х-2)я (х-3)3.
830. Найти f (2), если f (х) = х2 sin (х—2).
$ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 99
831. Найти f (1), если
f (х) — х + (х—1) arcsin s\J—2— '
832. Найти lim , если функция f (х)
х-ю х — а
дифференцируема в точке а.
833. Доказать, что если функция f (х) дифференцируема и п — натуральное число, то
Нгп п [/ (х + —f (х) j = Г (х). (1)
Обратно, если для функции f (х) существует предел (1), то можно ли утверждать, что эта функция имеет производную? Рассмотреть пример функции Дирихле (см. отд. 1, задачу 734).
Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
834. у — 2 + х—х2.
Чему равно у (0); у' 0-); у' (1); у' (— 10)?
835. у= —+~-----2х.
J 3 2
При каких значениях х: а) у* (х) — 0; б) у (х) =» = — 2; в) у’ (х) = 10?
836. у = а6 + 5а3х2—х5. 837. у==.
838. у = (х—а)(х—Ь).
839. у = (х + 1)(х4-2)2(х4-3)3.
840. у — (х sin а cos а) (х cos а—sin а).
841. у — (1 + пхт) (1 4- тх").
842. у = (\— х)(1 — х2)2(1 — х2)3.
842.1. z/ = (54-2x)10(3—4х)20.
843. г/ = -!- +JL +JL.
* х х* х*
| а b |
844. Доказать формулу (J£±L)-=-kJ-.
100
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Найти производные функций:
845. у =—-—. 846. у = Л+-х~х2
1-х1 2 * ” 1-х + х»
847. у = --------.
(1-X)2(1+X)S
(2-х2) (2-х2)
(1-х)2
849.
851.
852.
858.
y = -^L. 850.
(14-х)’ J 1 + х
855. у = (1 4-*)724^^34-х«.
856. i/ = '"V(l— *)m (14-*)".
857. у = —-±—.
Va2 —х2
868.
859. у =—--—5— ----- .
Vi 4- х2 (х+71 +*2)
860. j/ = Vx+V* + 7x .
861. y=v l + Vi+'^x .
862. z/=cos2x—2sinx.
863. у —(2—x2)cosx4-2xsinx.
864. у = sin (cos* x) cos (sin2 x).
865. у = sin” xcos nx. 866. у = sin [sin (sin x)].
867.
sin2 x sin x2
868. у
COS X 2sin2x
1 o-m Sin X — X COS X
------. 870. у - .
cosnx-cosx4*xsinx
$ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
101
871. у
872. у
873. у
874. у
875. у
877. у
879. у
880. у
881. у
882. у
883. у
884. у
885. у
887. у
889. у
890. у
891.
892.
893.
894.
= tg-i—ctg-j-.
= tgx—^-tg3 4 *x4*v tg®x. О о
= 4}/ctg3x 4-y^ctg8 x.
= sec3—4- cosec3 —. a a
= sin [cos3 (tg3 x)]. 876. y = e~x\
= 2‘e!'\ 878i t/ = e* (x3—2x4-2).
Г 1 — x2 (-1 — x)2 "I
= I—-— sin x —1cos xj er
In3-sin х 4- cos х
3*
м a sin Ьх — b cos Ьх = —-------------------------
=(тУ(тУ(тУ <“>» 6 *>»>-= хвй+а*а + а°ж(а>0). 880. t/ = ig3x3.
= In (In (In х)). 888. t/=ln(ln3(ln3x)).
=4-in <1+4-4-
4 x24- 1
I . 1 i
— 4 In-------.
4 14-x‘
ln xV3-V2 '
хл/з Ч- л/2
4U4-*1)
1
2V6
1
1 — k
1— х
V* ]n 14-xVr
* к 1 —X V*
(0<Л<1).
102
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
895. y=ln(x + Vx«4-l).
896. y = xln (х+-у/1 4-ха)—д/1 -Ь-х2.
897. 1/ = х1пг(х + д/1 4-х2) — •—2-^1 4-х2 In(x4*V^ +х*)+2х.
898. у = ± т ~~ In (х 4- VF+^).
899. у = —I- in Va4-xV< (а>0> fe>0).
2'Jab у/a —x 'Jb
900. у = 2<3*' Vb=^'4-3 In 1 + .
x4 x
901. j,= lntg-L. «02. y=lntg(-|-4-f).
903. y = -i-ctg2x4-lnsinx.
904. y=ln x/-l.~.sin*.. .
V 14-sinx
905. y =----£“£-4- In
2sin2x V sinx
906. w= In » + acos*+ a 4- bcos x
(0 с I a |<| Ь I).
у = — (In8 x+3 In2 x 4- 6 In x4- 6). X
y==_L_in—-------L_.
J 4x‘ x 16x*
у=у (1 - VT+]?} 4-3 In (14-
y~ in [4+in (4+in 4)].
у = x [sin (In x)—cos (In x)[.
у = In tg-^--COS X- In tg X.
908.
909.
910.
911.
912.
913. 0 = arcsin — . a 2
$ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
юз
914.
916.
1 х у2
у = arccos-—. 915. у = arctg-.
V2 а
у=—^arcctg-^-- 917. y — ^fx—wctg'Jx.
V2 х
918. г/ = х4--0—х2-arccos х.
919.
920. у = arccos—. 921. у = arcsin(sinх).
922. у — arccos (cos2 х). 923. у = arcsin (sin х—cosx).
924. у = arccos Vi — x2. 925. у = arctg *~*~x ,
926. y = arcctgf——— \ sinx — cosx /
927-’= v=arct8(Vlir,gT)
(a>b > 0)
928. » = arcsin ~x . 929. y =-5--
1 + x2 arccos2 (x2)
930. у = arctg x+ — arctg (x8).
3
931. i/ = In(1 +sin2x)—2sinx-arctg(sinx).
932. у — In (arccos —?—.
к л/х )
933. у = 1п—j-E-arctg-T- (b=H=O).
Vx24-62 b b
934. y = -~-^/a2—x2arcsin—— (a>0).
935. t/= —In—4—^ arctg
6 x2-x+l ^3- 8
936. y =—in x2+x Vf+1-
4-^2 x2 — x V2 + 1
1 * x-V?
—~ arctg —-— 2V2 e * —1
104 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
937. у = х (arcsin х)2 4-2-0—х2 arcsin х—2х.
938. у = + J_ in _L-_VTE^.
х 2 14- V» —
939. у — arctg Ух2— 1-• •
V*2—1
940.
VT^T 2 14-х
941.
1 ln х«-х*4- 1
12 (x2-f-l)2
—arctg —
2-у/З 2x2 — 1
942. у —-------------arcctg Xе.
14- х12
3 z
943. у = In — -4-V3 arctg ±+.
д/14-3/Г4-3Ухг
944. у — arctg-----—.—.
14-V1 -х2
945. у = arcctg—°~2х- (а>0).
2л] ах —у?
946. у = У1 —2х—х2 4-2 arcsin -- .
2 л/2
947. y = -Lln-£±^±^--Larctg±I+^. .
4 уГТ1г_х 2
948. у = arctg (tg2 х).
949. у = У1 —х2 • in /у/ * 4-
4- — In л/'1 ——— 4- У1—4- arcsin х.
2 14-V1— х2
950. у = х arctg х-In (1 4- х2) —(arctg х)2.
951. у = In (е* 4- У14-е2х).
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 103
952. у
953. у
954. у
955. у
956. у
957. у
958. у
959. у
960. у
960.1.
960.2.
960.3.
961. у
962. у
963. у
964. у
965. у
965.1.
arctg (х + дД + х2).
. / sin a sin х X arcsin I------|.
\ 1 — cos a cos х )
—L—In +
4V3 7^+2+xV3
+ —arctg——X— .
2 х
1 + х V2
----— arctg — v.——
2V2 V1 + *4
_ 1 |n V1 4- X4 — X V2~ .
4 V2 V14-*4 4- X V2 *
= 'V.ZFZ-------L_ arcctg . x V2 '
14-x2 V2 Vi—*2
arccos (sin x2—cos x2).
: arcsin (sin x2) 4- arccos (cos x2).
gm arcsin x [cos arcsjn x) sjn arcsin X)J.
Ve2x
--------. e**+ 1
= V 1 4- У14-/ 14-x4 .
= arcctg
= In2 (sec 2 ).
:x4-JCx + x*Jt (x>0).
: xx“ 4-xa'* 4- 0х* (“>-0, x>0).
V~x (x>0).
(sin x)cos * 4- (cos x)sin *.
(In xH : xln *.
[ arcsin (sinax) ~]arctg«x arccos (cos2 x) J
106 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
966. y=iogxe. 967. t/ = In(chx)+
2ch’x
968. r/ = ——Infcth—).
J sh2 x v 2 )
969. .7 = arctg (tg x).
970. у = arccos (—~—'l. \ chx )
n_, b 2 '\/a1 — bi . ( / a — b ., x Л
(0 s|H<a).
972. Найти производную функции
у = In (cos2x т 7* + cos* x)> вводя промежуточное переменное и = cos2x. Приемом, указанным в примере 972, найти производные функций:
973. у = (arccos х)2 |/ln2 (arccos х) — In (arccos х) + -i-j.
974. 7 = J- arctg (^T+^~) + ln f1 + *-±-1 • -
2 4 /1 + x* — 1
975. +
д/i — e-2x’ 2
дЖ 1 -
976. и =-------------------arcctg a~x.
* 14-a2* 14-aw 6
977. Найти производные и построить графики функций и их производных, если:
а) у — |х|; б) у = х|х|; в) у = In |х|.
978. Найти производные следующих функций:
а) !/ = 1(х— 1)2(х4-1)’ I; б) y = |sin’x|;
в) у = arccos —Ц-; г) у = [х] sin2 лх.
5 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 107
Найти производные и построить графики функций и их производных:
979. у =
\—х
(1-х) (2-х)
-(2-х)
при —оо<х<1;
при 1 < х < 2;
при 2<х< оо.
980. у = ( ^х~а^ (х~6)2 ПРИ « < х < 6;
1 0 вне отрезка [а, &].
981. «-( ” ПРИХ<01
I In (1 4-х) при х > 0.
982. у —
arctgх при |х| < 1;
— sgnx4-—— при |х|>1.
983. у =
х2е~х‘ при |х| < Г,
при |х|>1.
984. Производная от логарифма данной функций у = f (х) называется логарифмической производной этой функции:
у' у
-2-ln|f(x)| — -£^. dx f (х)
Найти логарифмическую производную от функции yt если:
а)
1 —х .
14-х ;
Л Хв I Г 3 —х У~ 1-х V (34-х)в ’
в) У — (х—atf*... (х—а„)“»;
г) у = (х4-У14-хг)п.
985. Пусть <р (х) и ф (х) — дифференцируемые функции от х. Найти производную от функции у, если:
а) у = Уч>2(х)+ф*(х); 6) У = arctg ;
т V*/
в) у = ’ ^(Х) (<р (х) #= 0; ф (х) > 0);
г) г/ = ^ф(л)ф(х) (<р(х)>0; Ф(х)>0).
108 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
986. Найти у', если:
a) = б) t/ = f(sin2x) + f (cos2x);
в) г) y=f {f [f (х)]},
где f (и) — дифференцируемая функция.
986.1. Найти f (0), если
f (х) = х (х—1) (х—2) . . .(х—1000)'.
987. Доказать следующее правило дифференцирования определителя л-го порядка:
/11 (*) /1! (х) . . . fin W ' /11 (х) /11 (х)... fin (X)
fkl (х) fkl (х) . . . fkn (*)
4i W /« W • • • fkn (*) •
fnl (*) fm (х) • • • fnn (х)
fm (х) /л1 (х) . . fnn (х)
988. Найти F’ (х), если
F (*) =
1 2
х 3
— 2 —3 «4-1
989. Найти F' (х), если
X
1
0
F(x) =
х»
Зх2 6х
990. Дан график функции. Приближенно построить график ее производной.
991. Показать, что функция
/(*) =
x2sin— при х=£0; х
0 при х = 0
имеет разрывную производную.
992. При каком условии функция
f(x)=x"sin — (х^О) и f(0)=0
а) непрерывна при х = 0; б) дифференцируема при х “ 0; в) имеет непрерывную производную при х — 0?
f 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
109
893. При каком условии функция
f(x) =|*1Яsin—— (х#=0) и /(0) = 0 (т>0) I X I
имеет: а) ограниченную производную в окрестности начала координат; б) неограниченную производную в этой окрестности?
994. Найти f' (а), если
f (х) = (х—а) <р (х),
где функция <р (х) непрерывна при х — а.
995. Показать, что функция
f (х) = |х—а|<р (х),
где <р (х) — непрерывная функция и <р (а) #= 0, не имеет производной в точке а.
Чему равны односторонние производные f— (а) и /+ (а)?
996. Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной в данных точках: alt а2, . . . , ап.
997. Показать, что функция
/(х) —х I cos — I (х=/=0) и/(0) = 0 I * I
имеет точки недифференцируемости в любой окрестно-
сти точки х = 0, но дифференцируема в этой точке.
Построить эскиз графика этой функции.
998. Показать, что функция
। ( х2> если х рационально;
I 0, если х иррационально,
имеет производную лишь при х = 0.
999. Исследовать на дифференцируемость следующие функции:
а) у = 1(х—1)(х—2)2(х—3)3|; б) t/ = |cosx|;
в) У — \ л2—x2|sin2x; г) у = arcsin (cos х);
Д) У =
— (х+1)2 при |х| < 1;
4 |х|—1 при |х|>1.
Для функции / (х) определить левую производную f_ (х) и правую производную f+ (х), если:
1000. f (х) = |х|. 1001. / (х) — 1x1 sin ях.
по
ОТДЕЛИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1002. /(х) = х cos-y-| (*¥=0). /<Р)«0.
1003. /(*) = Vsinx’.
1004. f (х) =-(х # 0), f (0) = 0.
1 + е1
1005. f(x) = ^\—e~x‘.
1006. f(x) = |ln|x|| (х=/=0).
1007. f (х) = arcsin ——.
1008. f (х) = (х—2) arctg(х#=2), / (2) = 0. X * л
1009. Показать, что функция f(x) = xsin— при к =4= 0 и f (0) = 0 непрерывна при х = 0, но не имеет В этой точке ни левой, ни правой производной.
1009.1. Пусть х0 — точка разрыва 1-го рода функции / (х). Выражения
f ы = |lm
' н—-а Л
и
fl(x0)= lim + +
' ь-н-о Л
называются обобщенными односторонними (соответственно левой и правой) производными функции f (х)’ в точке х0.
Найти f- (хо) и f+ (х0) в точках разрыва х0 функции / (х), если:
а) /(х)-
в) f (х) =
1
1 + е‘/х
0 f(x) = arctg-у—; 1 — Л
1010. Пусть
Xs, ах+Ь,
если х<х0;
если х > х0.
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 111
Как следует подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы функция f (х) была непрерывной и дифференцируемой в точке х — х0?
1011. Пусть
= ( f (*)• если х < х0; |ах4-Ь, если х>х0,
где функция f (х) дифференцируема слева при х = х0.
При каком выборе коэффициентов а и b функция F (х) будет непрерывной и дифференцируемой в точке х0?
1012. На сегменте а < х < b построить сопряжение двух полупрямых
у = kx (х—а) (— оо < х < а),
у = kz (х—Ь) (Ь < х < 4- оо)
с помощью кубической параболы
у = А (х—а) (х—b) (х—с),
(где параметры Лис подлежат определению).
1013. Часть кривой у = -2— (I х | > с) дополнить |Х|
параболой
у = а + &ха (| х| < с)
(где а и Ь — неизвестные параметры) так, чтобы получилась гладкая кривая.
1014. Можно ли утверждать, что сумма F (х) == = f (х) + g (х) не имеет производной в точке х = х0, если: а) функция f (х) имеет производную в точке х0, а функция g (х) не имеет производной в этой точке; б) обе функции f (х) и g (х) не имеют производной в точке х0?
1015. Можно ли утверждать, что произведение
F (х) = f (х) g (х)
не имеет производной в точке х = х0, если: а) функция f (х) имеет производную в точке х0, а функция g (х) не имеет производной в этой точке; б) обе функции f (х) и g (х) не имеют производной в точке х0?
Полагая х0 = 0, рассмотреть примеры! а) / (х) = х, g (х) = |х|; б) / (х) = |х|, g (х) « |х|.
112 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИИ
1016. Что можно сказать о дифференцируемости функции
в данной точке х = х0, если: а) функция f (х) имеет производную в точке х = g (х0), а функция g (х) не имеет производной в точке х = х0- б) функция f (х) не имеет производной в точке х = g (х0), а функция g (х) имеет производную в точке х х0; в) функция f (х) не имеет производной в точке х = g (х0) и функция g (х) не имеет производной в точке х = х0?
Полагая х0 = 0, рассмотреть примеры:
а) /(х) = х8, g(x) = |*|. б) f(x) = |x|, g(x) = x*
в) f(x) = 2x+|x|, g(x)=-|-x—^-|х|. о «3
1017. В каких точках график функции у =
•» х + / sin х имеет вертикальные касательные? Построить этот график.
1018. Может ли функция / (х) в точке ее разрыва иметь: а) конечную производную; б) бесконечную производную?
Рассмотреть пример: f (х) = sgn х.
1019. Если функция f (х) дифференцируема в ограниченном интервале (а, Ь) и lim f (х) = оо, то обяза-тельно ли
1) lim f' (х) — оо; 2) lim | f' (х) | = + оо? х-*а х~+а
Рассмотреть пример: f (х) => — + cos — при х->0. X X
1020. Если функция f (х) дифференцируема в огра-ниченном интервале (а, Ь) и lim f (х) = оо, то обяза-х-*а
тельно ли limf (х) = оо? х~+а
Рассмотреть пример: f (х) => yGc при х-> 0.
1021. Пусть функция f (х) дифференцируема в интервале (х0, + оо) и существует lim f (х). Следует ли
отсюда, что существует lim f (х)?
Рассмотреть пример: / (х) = >
X
$ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ ИЗ
1022. Пусть ограниченная функция f (х) дифференцируема в интервале (х0, + оо) и существует lim f (x)j следует ли отсюда, что существует lim / (х) конечный X—►ОО
или бесконечный?
Рассмотреть пример: / (х) = cos (In х).
1023. Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями?
1024. Вывести формулы для сумм:
Рп = 1 + 2х + Зх2 + . . . + лх"-'
и Qn = 1’ + 22х + 32х2 + . .. + n2x"-’.
Указание. Рассмотреть (х + х2 + .. . + х")'.
1025. Вывести формулы для сумм:
S„ = sin х + sin 2х + . .. + sin пх и
Тп = cos х + 2 cos 2х + . . . + л cos пх.
1025.1. Вывести формулу для суммы
Sn = ch х + 2ch 2х + . . . + л ch лх.
Указание. S„ = (sh х + sh 2х + . . . + sh лх)'.
1026. Пользуясь тождеством
вывести формулу для суммы
5-=т,ет+т‘®т+-+-?-
1027» Доказать, что производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная, а производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1028. Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть функция снова периодическая с тем же периодом.
1029. С какой Скоростью возрастает площадь круга в тог момент, когда ргдиус этого круга R — 10 см, если радиус круга растет равномерно со скоростью 2 см/с?
1030. С какой скоростью изменяются площадь и диагональ прямоугольника в тот момент, когда одна сторона 8~2МЗ
114 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
его х = 20 м, а другая сторона у = 15 м, если первая сторона прямоугольника уменьшается со скоростью 1 м/с, а вторая возрастает со скоростью 2 м/с?
1031. Из одного и того же порта одновременно вышли пароход А с направлением на север и пароход В с направлением на восток. С какой скоростью возрастает расстояние между ними, если скорость парохода А равна 30 км/ч, а парохода В равна 40 км/ч?
1032. Пусть
... ( х, если 0 < х < 2;
/дх) =
I 2х—2, если 2<х<Н-оо,
и S (х) — площадь, ограниченная кривой у = f (х)’, осью Ох и перпендикуляром к оси Ох, проведенным в точке х (х > 0).
Составить аналитическое выражение функции S (х), найти производную S' (х) и построить график функции У =• S' (х).
1033. Функция S (х) есть площадь, ограниченная дугой окружности у — -у/а2—х2, осью Ох и двумя перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках О и х (| х| < а).
Составить аналитическое выражение функции S (х), найти производную S' (х) и построить график этой производной.
§ 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде
Г. Производная обратной функции. Дифференцируемая функция у = f (х) (а < х < Ь) с производной I' (х) =£ 0 имеет однозначную непрерывную обратную функцию х = f-i (у), причем обратная функция также дифференцируема и справедлива формула
, 1
Ху— , • Ух
2°. Производная функции, заданной параметрически. Система уравнений
y = V(t) J
где <р (/) и ф (0 — дифференцируемые функции и <₽' (0 0,
s 2. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 115
определяет у, в некоторой области, как однозначную дифференцируемую функцию от х:
У = Ф (<₽~1 (*)).
причем производная этой функции может быть найдена по фор. нуле
3°. Производная функции, заданнойв неявном виде. Если дифференцируемая функция у= у (х) удовлетворяет уравнению
F (*, У) = °, то производная у' — у' (х) этой неявной функции может быть найдена из уравнения
4" (х, у)1 = О, dx
где F (х, у) рассматривается как сложная функция переменной х.
(Более подробно о дифференцировании неявных функций см. ч. II, отд. VI, § 3.)
1034. Показать, что существует однозначная функция у = у (х), определяемая уравнением у3 + Зу = х, и найти ее производную у'х.
1035. Показать, что существует однозначная функция у = у (х), определяемая уравнением
у — е sin у — х (0 < е < 1), и найти производную ух.
1036. Определить области существования обратных функций х ~ х (у) и найти их производные, если:
а) у = х+ In х (х>0); б) у = х+ех\
в) у — sh х; г) у = th х.
1037. Выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций х — х (у), найти их производные и построить графики, если:
а) у = 2хг—х4; б) у = ---£ а ; в) у = 2гх—
1 "Т* X
1038. Построить эскиз графика функции у = у (х) и найти производную у'х, если: х = — 1 + 2t—1\ у = 2—3/ + /3. Чему равна ух (х) при х = 0 и при х — — 1? В какой точке М (х, у) производная Ух (X) = 0? я*
116 ОТДЕЛ I!. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Найти производные у* (параметры положительны) если:
1039. х = / 1-V1, y =
1040. х = sin21, y = : cos2 /.
1041. X = a cos t, У = 6 sin t.
1042. x = ach/, y = bsh t.
1043. X = a cos21, У~ a sin21.
1044. x SB a (t—sin 0, У — a(l— cos0.
1045. x^^co&t, y = e2* sin21.
1046. t x — arcsin ——— г» y = = arccos J
————| у —— QI WVO #
Vh-?" Vl 4-1*
1047. Показать, что функция у = у (х), определяемая системой уравнений
х = 2/ + И , у = 5/2 + 4/1 /|, дифференцируема при t = 0, однако ее производная в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.
Найти производные у* от следующих функций, заданных в неявном виде:
1048. ха + 2ху—у3 = 2х.
Чему равно у' при х — 2 и у = 4 и при х = 2 и у = 0?
1049. у* — 2рх (парабола). rl вЛ
1050.-----= 1 (эллипс).
в* Ьг
1051. Vx + Vy=V® (парабола).
1052. X*13 + у213 = а'3 (астроида).
1053. arctg—= 1пд/х* + у2 (логарифмическая спираль).
1054. Найти у'х, если:
а) г 8 аф (спираль Архимеда);
б) г *=• а (1 4- cos ф) (кардиоида);
в) г = ае”* (логарифмическая спираль),
где г 8 Vх’+У* и ф = arctg — — полярные координаты.
9 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 117
§ 3. Геометрический смысл производной
1°. Уравнения касательной и нормали. Уравнения касательной МТ и нормали MN к графику дифференцируемой функции у — f(x) в точке его М (х, у) (рис. 7) соответственно имеют вид:
У - У = У' (Х—х) и
у _ у = _ ± (Х-Х), У
где X, Y — текущие координаты касательной или нормали, а у' = f (х) т- значение производной в точке касания.
2°. Отрезки касательной и нормали. Для отрезков касательной н нормали: РТ — подкасательная, PN — поднормаль, МТ — касательная, MN—нормаль (рис. 7);.
учитывая, что tg а = у', получаем следующие значения:
MN = |(/| л/Г+Т5?
3®. Угол между касательной и радиусом-вектором точки касания. Если г = f (<р) — уравнение кривой в полярной' системе координат и Р — угол, образованный касательной ТИТ и радиусом-вектором ОМ точки касания М (рис. 8), то
tgp=4. г
1055. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
2 -
1/ = (х+1)1/3—х
в точках: а) А (— 1, 0); б) В (2, 3); в) С (3, 0).
118
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1056. В каких точках кривой у = 2 + х—Xs каса-тельная к ней а) параллельна оси Ох; б) параллельна биссектрисе первого координатного угла?
1057. Доказать, что парабола
У = а (х—хх) (х—х2) (а =/= 0, хх < х2)
пересекает ось Ох под углами а и 0 (0 < а < -2-, 0 < р < -2-), равными между собой.
1058. На кривой у — 2 sin х (— л < х < л) определить те участки ее, где «крутизна кривой» (т. е.| превышает 1.
1059. Функции у — х и уг = х + 0,01 sin I 000 лх отличаются друг от друга не больше чем на 0,01. Что можно сказать о максимальном значении разности производных этих функций?
Построить соответствующие графики.
1060. Под каким углом кривая у — In х пересекает ось Ох?
1061. Под какими углами пересекаются кривые
у = х2 и х = I/2?
1062. Под какими углами пересекаются кривые у = sin х и у = cos х?
1063. При каком выборе параметра п кривая у — arctg пх (л > 0)
пересекает ось Ох под углом, большим 89°?
1063.1. Показать, что кривая у = |х|а
а) при 0 < а < 1 касается оси Оу;
б) при 1 < а < + оо касается оси Ох.
1063.2. Показать, что для графика функции | х |“, если а =/= 0 х#= 0,
1, если х*0,
предельное положение секущей, проходящей через точку А (0, 1), есть ось Оу.
1064. Определить угол между левой и правой касательными к кривой: а) у = ^\—е~аЧ~ в точке х = 0; б) у = arcsin - - в точке х— 1.
,-а’л»
$ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 119
1065. Показать, что касательная к логарифмической спирали г = ае""* (а и т—постоянные) образует постоянный угол с радиусом-вектором точки касания.
1066. Определив длину подкасательной к кривой у = ах", дать способ построения касательной к этой кривой.
1067. Доказать, что у параболы уг = 2рх
а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания;
б) поднормаль постоянна.
Дать способ построения касательной к параболе.
1068. Доказать, что показательная кривая
У = о* (а > 0)
имеет постоянную подкасательную. Дать способ построения касательной к показательной кривой.
1069. Определить длину нормали к цепной линия
у = ach — а
в любой ее точке М (х0, у0).
1070. Доказать, что у астроиды ^+у2>3 = а2/3 (а>0)
длина отрезка касательной, заключенного между осями координат, есть величина постоянная.
1071. При каком соотношении между коэффициентами а, b и с парабола у = ах1 + Ьх + с касается оси Ох?
1072. При каком условии кубическая парабола у = Xs + рх 4- q
касается оси Ох?
1073. При каком значении параметра а парабола у — ахг касается кривой у — In х?
1074. Доказать, что кривые
у == f (х) (J (х) > 0) и у = f (х) sin ах, где f (х) — дифференцируемая функция, касаются друр друга в общих точках.
1075. Показать, что семейства гипербол хг—у* = а и ху = Ь образуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами.
120
ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1076. Доказать, что семейства парабол
у2 — 4а (а—х) (а > 0) и у2 — 4Ь (Ь + х) (Ь > 0) образуют ортогональную сетку.
1077. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
х = 2t—t2, у = 3t— t3
в точках: a) t = 0; б) t = 1.
1078. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
2Г + /» 2/ — /а
X = ———, у —----------—
I + /3 я 14-Z»
в точках: a) t = 0, б) t= 1, в) t = оо.
1079. Написать уравнение касательной к циклоиде
х = a (/—sin /), у = а (1—cos t)
в произвольной точке t = /0. Дать способ построения касательной к циклоиде.
1080. Доказать, что трактриса
х = a (in tg — + cos /), у = a sin t (а > 0, 0 < /<п)
имеет отрезок касательной постоянной длины.
Написать уравнения касательной и нормали в заданных точках к следующим кривым:
1081. - + -£- = 1, М (6; 6, 4).
100 64
1082. xy4-lny=l, М (1; 1).
§ 4. Дифференциал функции
1°. Дифференциал функции. Если приращение функции у — [, (х) от независимой переменной х может быть представлено в виде
Ду «= А (х) dx + о (dx), где dx = Дх, то линейная часть этого приращения называется дифференциалом функции у:
dy = А (х) dx.
Для существования дифференциала функции у = f (х) необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная у" =* I' (х), причем имеем:
Ду в У' ах- (I)
$ 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
121
Формула (1) сохраняет свою силу и в том случае, если переменная х является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности первого дифференциала).
2°. Оценка малых приращений функция. Для подсчета малых приращений дифференцируемой функция t (х) можно пользоваться формулой
I (х + Дх) — f (х) « f (х) Дх,
относительная погрешность которой сколь угодно мала при до* статочно малом |Дх|, если f (х) 0.
В частности, если независимая переменная х определяется с предельной абсолютной погрешностью, равной Дх, то Дв я 6и — предельные абсолютная и относительная погрешности функции у = t (х) — приближенно выражаются следующими формулами:
Др = I /1 Дж
я
б„=|-^|дж I У I
1083. Для функции
f (х) = х8—2х + 1
определить: 1) А/ (1); 2) df (1) и сравнить их, если: а) Ах = 1; б) Ах = 0,1; в) Ах = 0,01.
1084. Уравнение движения дается формулой х = 5/’,
где t измеряется в секундах их — в метрах.
Для момента времени t = 2 с определить Ах — приращение пути и dx — дифференциал пути и сравнить их, если:
а) А/ = 1 с; б) А/ = 0,1 cj в) М = 0,001 с.
Найти дифференциал функции у, если:
1085. у=±. 1086. у = ±arctg(а^=0).
1087. у =» -^~1п| х + а |* I®®®* 1° l*+Vx> + ®
1089. у = arcsin — (а 0).
122
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1090. Найти:
a) d(xe*)\ б) d(sinx—xcosx); в)
ж) d In (1—х2);
и) d
sin x
2 cosa x
з) d (arccos —V, V 1*1/
Lin
2
Пусть и, v, w — дифференцируемые функции от х.
Найти дифференциал функции у, если:
1091. у = uvw. 1092. у = —. 1093. у = . -1......—.
и2 -уи’+и2
1094. у — arctg —. 1095. у = In д/и2+^2-v
1096. Найти: а) —— (Xs—2х«—х®); d(x3)
б) d fsin^Y в) d<sinj0 r\ d(tgx) .
d (х2) к к ) ’ d (cos х) ’ d (ctg к) *
д) d (arcsin х) d (arccos x)
1097. В круговом секторе радиус R = 100 см и центральный угол а = 60°. Насколько изменится площадь этого сектора, если: а) радиус его R увеличить на 1 cmj б) угол а уменьшить на 30'?
Дать точное и приближенное решения.
1098. Период колебания маятника (в секундах) определяется по формуле Т — 2л , где I — длина маятника в сантиметрах и g — 981 см/с2 — ускорение силы тяжести.
Насколько нужно изменить длину маятника I = “ 20 см, чтобы период Т увеличился на 0,05 с?
Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно следующие значения:
1099.^1^02. 1100. sin 29°. 1101. cos 151’.
1102. arctg 1,05. ПОЗ. lg 11.
$ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
1104. Доказать приближенную формулу
л/сГ+х « а+— (а> 0),
“ Ол
где |х| а (соотношение A В между положительными А и В означает, что А весьма мало по сравнению с В).
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) д/5; б) V34’ в) V120 и сравнить с табличными данными.
1104.1. Доказать формулу
= а + —---г (а>0, х>0),
2а
где
1105. Доказать приближенную формулу
^ап+х^а+—(а>0),
где |х|«а.
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) ^9; б) ^80; в) уПбб; г) '^1000.
1106. Сторона квадрата х = 2,4 м ± 0,05 м. С ка-кими предельной абсолютной и относительной погрешностями можно вычислить площадь этого квадрата?
1107. С какой относительной погрешностью допустимо измерить радиус /? шара, чтобы объем его можно было определить с точностью до 1 %?
1108. Для определения ускорения силы тяжести с помощью колебания маятника пользуются формулой g — 4лЧ1Т\ где I — длина маятника, Т — полный период колебаний маятника. Как отразится на значении g относительная погрешность 6 при измерении: а) длины б) периода Г?
1109. Определить абсолютную погрешность десятичного логарифма числа х (х > 0), если относительная погрешность этого числа равна 6.
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
«1
1110* Доказать, что углы по логарифмической таб* лице тангенсов определяются точнее, чем по логарифмической таблице синусов с тем же самым числом десятичных знаков.
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
Г. Основные определения. Производные выс* шах порядков от функции у — f,(x) определяются последовательно соотношениями (предполагается, что соответствующие операции имеют смысл!):
(<"> (х) = {/("-Ц (х)}" (л => 2, 3, ...).
Если функция f (х) имеет непрерывную производную f(") (х) ив интервале (а, Ь), то кратко пишут: d (х) £ С(л) (а, Ь), В частности, если f_ (x) имеет непрерывные производные всех порядков на (a, ft), то употребляется запись: f (х) £ С<оо) (a, ft).
Дифференциалы высших порядков от функции у = f (х) последовательно определяются формулами
dny = d(dn^y) (л = 2, 3, ...), где принято dly — dy=* y'dx.
Если х — независимая переменная, то полагают.'
d*x = tPx = . . . = 0.
В этом случае справедливы формулы
dny = yWdx'1 и ,
dxn
2°. Основные формулы:
I. (д*)<") = а* In" а (а>0): (ех)<"> = ех.
11. (sin х)<"> = sin ^х 4- •
III. (cos х)<п> = cos ^х +
IV. (.<т)<"> = т (m — 1) . .. (т — п + 1) х”-".
V. (1пх)(">-
3е. Формула Лейбница. Если функции и = <р (х) и v “ ф (X) имеют производные л-го порядка (n-кратно дифференцируемы) то
(««)<"» ==£с'и<^<п-“.
где в<0>«а, s(0)=suC^ — число сочетаний из п элементов по I.
$ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 125
Аналогично для дифференциала dn (ио) получаем;
d" (uv) == У ludlv, S)
где положено d9u = и и dnv = о.
Найти у”, если:
1111. у=х^Г+Р. у - -
<1—X*
1113. у = е~х‘. 1114. j/ = tgx.
1115. у = (Ц-х’) arctg х. 1116. y=-lrg±.
1117. f/ = xlnx. 1118. у = \nf(x).
1119. у = х [sin (In x)+cos (In x)J.
1120. Найти y(0), y’ (0) и у (0), если у = esin* cos (sin х).
Пусть и = <р (х) и v — ф (х) - - дважды дифференцируемые функции. Найти у”, если:
1121. у — и\ 1122. у = In -у.
1123. у = П24. у = и° (и>0).
Пусть / (х) — трижды дифференцируемая функция. Найти у' и у'", если:
1125. у = /(х2). 1126. у = /(4~)-
1127. y = f(<f). 1128. y = f(\nx).
1129. у = f (ф (х)), где ф (х) — достаточное число раз дифференцируемая функция.
ИЗО. Найти <гу для функции у » е* в двух случаях: а) х — независимая переменная; б), х — промежуточный аргумент.
Считая х независимой переменной, найти (Ру, если:
1131. у = П32. у = 1133. у = х1.
126 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пусть и и т) — дважды дифференцируемые функции от переменной х. Найти d2y, если:
1134. у — uv. 1135.0 = —.
V
1136. y = umvn (т и п—постоянные).
1137. у = аи (а > 0). 1138. у = In
1139. у — arctg—.
Найти производные у'х, yj, у'* от функции у = у (х), заданной параметрически, если:
1140. х = 2/—Р, 1141. x = acos/, 1142. x = a(t—sin/), 1143. x = e'cos/, 1144. x = f(/),
y = 3t-i\
у — a sin/.
у — a(l—cos/). у = e'sin/.
1145. Пусть функция у = f (x) дифференцируема достаточное число раз. Найти производные х', х", х'", x,v обратной функции х — f~l (у), предполагая, что эти производные существуют.
Найти у'х, у'хь и у* от функции и = у (х), заданной неявно:
1146. х’ + 0а = 25. Чему равны у', у" и у"' в точке М (3, 4)?
1147. у2 = 2рх. 1148. х’—ху + р2=1.
Найти у'х и у", если: 1149. у2 + 21п у — х4.
1150. VF+7 =
(а>0).
1151. Пусть функция f (х) определена и дважды дифференцируема при х < х0. Как следует подобрать коэффициенты а, b и с, чтобы функция
[ f(x), если х < х0;
I а(х—х0)*4-6(х—х0)4-с, если х>х0 была дважды дифференцируема.
С Б. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
127
1152. Точка движется прямолинейно по закону $ = 10 + 20/ — 5/2.
Найти скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени t = 2?
1153. Точка М (х, у) равномерно движется по окружности х2 + у2 — а2, делая один оборот за Т с. Найти скорость v и ускорение / проекции точка Л1 на ось Ох, если при t = 0 точка занимала положение Л.9 (а, 0).
1154. Тяжелая материальная точка М (х, у) брошена в вертикальной плоскости Оху под углом а к плоскости горизонта с начальной скоростью с0. Составить (пренебрегая сопротивлением воздуха) уравнения движения и определить величину скорости v и ускорения /, а также траекторию движения. Чему равны наибольшая высота поднятия точки и дальность полета?
1155. Уравнения движения точки
х = 4 sin ait — 3 cos a>t, у = 3 sin a>t + 4 cos co/ (co — постоянно).
Определить траекторию движения и величину скорости и ускорения.
Найти производные указанного порядка.
1156. У~ х(2х-™1)2(х + 3)3; найти у^> и с/<7)4
1157. а найти у"'.
1158. У = л/х\ найти
1159. X1 у = -—: найти с/8).
1 —X
1160. „ 1 + х у~ V1— ’ найти i/100>.
1161. у = х2е“; найти ^**>.
1162. е» у=-' найти с/<1в>.
1163. у = xlnx; найти
1164. 1п X у = —; найти
1165. у = x*sin 2х; найти у<50).
1166. _ cos Зх ' У 3 ’ найти у"'.
У 1 — Зх
128
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1167. у = sin хsin 2xsin Злг, найти у(10>.
1168. j/ = xshr, найти i/100)
1169. у = г* cos г. найти yw.
1170. у = sin8 х In х; найти у&К
В следующих примерах, считая х независимой переменной, найти дифференциалы указанного порядка:
1171. j/ = x*;
1172. у~ 1/д/х;
1173. у — х cos 2г,
1174. у = а* 1пх;
1175. у = cos х-ch г,
найти d*y. найти d?y. найти d10!/. найти d*y. найти d3y.
В следующих примерах найти дифференциалы указанного порядка, если и — функция от х, дифференцируемая достаточное число раз:
1176. у ~ и\ найти dwy.
1177. y = d‘\ найти d*y.
1178. </ —Inu; найти <Ру.
1179. Найти dty, d3y и d*y от функции у = f (х), считая х функцией от некоторой независимой переменной.
1180. Выразить производные у” и у'” от функции у = f (х) через последовательные дифференциалы переменных х и у, не предполагая х независимой переменной.
1181. Показать, что функция у = Cjcos х + CjSin х, где Ci и С2 — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению
у" + у = 0.
1182. Показать, что функция у = Cxch х + C2sh х, где Cj и С2 — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению
У"~У = 0.
1183. Показать, что функция у — Cxe*-X + С^*, где С2 и С, — произвольные постоянные и X, — постоянные, удовлетворяет уравнению
у”— (Х2 + у' 4- Kj^jy = 0.
f 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 129
1184. Показать, что функция
у = хп [Cjcos (In х) 4- C2sin (In х) ].
где С\ и С2 — произвольные постоянные и п — постоянная, удовлетворяет уравнению
хгу" + (1— 2п) ху' 4- (1 4- п8) у = 0.
1185. Показать, что функция
» “ e"v?(Cl 005 +с’sin 7г)+
+ (с, cos-i.+С. sin.
где Сх, С2, С3 и С, — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению
У™ 4- у - 0.
1186. Доказать, что если функция f (х) имеет производную n-го порядка, то
(/ (ах 4- Ь))<п> = anf in> (ах 4- Ь).
1187. Найти Рм(х), если
Р(х) = аохя4-а1хп“14-. . .4-а„,
Найти yw, если:
1188. у =
ах4~ ft cx + d *
1190. у =
1189. у =-----!---
х(1-х)
Указание. Разложить функцию на простейшие дроби.
1191. у = —. 1192. у ----*----
Vl-2x *
1193. t/ = sin’x. 1194. y = cos2x. 1195. y = sin’x-
1196. у — cos3 х. 1197. у = sin ах sin bx.
1198. у = cos ах cos bx. 1199. у = sin axcos bx.
1200. у = sin8 axcosbx. 1201. у — sin*x4-cos*x.
1202. у = x cos ax. 1203. t/ = x2sinax.
1204. у = (x3 4- 2x 4- 2) e~x. 1205. у = еЧх.
1206. у = e*cosx. 1207. z/ = eAsinx.
g-2M3
130
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1208. у = 1п-2-±-^.
1209. y = d“P(x), где Р(х)—многочлен.
1210. # = xshx.
Найти dny, если:
1211. у = xV. 1212. у = .
1213. Доказать равенства:
1) [е*“ sin (Ьх+с)](П) = в*“ (д’ + 6®)"/* sin (Ьх+с+п<р)
и
2) [e*“cos(bx4-c)J<“> — 4“(at + bty4icos(bx+c+ tup), гда
Ь а
51Пф =— И COS(D =—.............. .
7а»+<Я Va»+**
1214. Найти г/л>, если:
а) у » ch ах cos bx\ б) у — ch ах sin Ьх.
1215. Преобразовав функцию f (х) = sin2₽x, где р — натуральное число, в тригонометрический многочлен р
fW= S Л*сов 2Ах, найти /(п) (х).
*=о
1 _
Указание. Положить sinx = —(/—/)• где
*= cos х + i sin х и t = cos x — i sin x, и воспользоваться фор* мулой Муавра.
1210. Найти f<»»(x), если:
a) f (х) = sin*+lx; б) f (х) = cos*х;
в) f (х) = cos*+lx,
где р — целое положительное число (см. предыдущую вадачу).
Если
f (х) = ft (х) + ih (х),
где i — мнимая единица и /х (х), /2 (х) — действительные функции от действительной переменной х, то по определению принимаем:
Г W = «W + ^(x).
$ 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 131
1217. Используя тождество —------------------L_Y
х* + 1 2i \ х — i х -f- i J доказать, что
ШИ-{даВг’>"К"+>)^ Указание. Применить формулу Муавра.
1218. Найти п-ю производную от функции f (х) = arctg х.
Найти /(п>(0), если:
1219. a) f (х) =------1------; б) f (х) = .
' 'v ' (1—2x)(i-f-x) V1— х
1220. a) f (х) = х2е“; б) f (х) = arctg х;
в) f (х) — arcsin х.
1221. a) f(x)=cos(marcsinх); б) f(x)=sin(marcsinx).
1222. a) f (х) = (arctg х)2; б) f (х) = (arcsin х)2.
1223. Найти Лп)(а), если
f (х) = (х—а)"ф (х), где функция <р (х) имеет непрерывную производную (п—1)-го порядка в окрестности точки а.
1224. Доказать, что функция
/(*) =
Xм sin —, если х^=0, х
О, если х=0
(п — натуральное число) в точке х = 0 имеет производные до n-го порядка включительно и не имеет производной (п -}; 1)-го порядка.
1225. Доказать, что функция
/W =
е если х=/=0,
0, если х = 0
бесконечно дифференцируема при х = 0. Построить график этой функции.
9
132 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1226. Доказать, что многочлены Чебышева
Тт(х) = cos (т arccos х) (т = 1, 2, ...) удовлетворяют уравнению
(1—х2) (х)—хТт (х) + тгтт (х) = 0.
1227. Доказать, что многочлены Лежандра
Рт(х) = —J— 1(х»- 1)тГ> (т 0, 1, 2, ...)
2m/nl
удовлетворяют уравнению
(1 —х2) Р’т (х)—2хР'т (х) +т (т 4-1) Рт (х) = 0.
Указание. Продифференцировать т 4- 1 раз равенство (х1—1) «' = 2тхи, где и « (х1—1)”*.
1228. Многочлены Чебышева — Лагерра определяются формулой
Lm (х) = e’(xme-x)<"’ (m = 0, 1, 2, ...).
Найти явное выражение для многочлена Lm (х).
Доказать, что L„ (х) удовлетворяет уравнению
xLm (х) 4- (1—х) L'm (х) 4- mL (х) = 0.
Указание. Использовать равенство хи' + (х—т) « = 0, где и хте~1.
1229. Пусть у — f (и) и и = <р (х). где f (и) и ф (х) — n-кратно дифференцируемые функции.
Доказать, что
Л*(х)/(*’(м), dxn
где коэффициенты Л* (х) (k = 0, I, .. . , п) не зависят от функции f (и).
1230. Доказать, что для n-й производной сложной функции у = f (х2) справедлива формула
= (2х)" /<"> (х«)4- (2х)"-7<"-х’(х1)4-
dxn Н
,] п (» — 1) (п — 2) (я — 3) ^2x)'‘~*/(’’_*>(x*) | ., .
f S. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 133
1231. Многочлены Чебышева—Эрмита определяются формулой
Нт (х) = (-1)" (е“х,)(,я) (т = 0, 1. 2, ...).
Найти явное выражение многочленов Нт (х).
Доказать, что Нт (х) удовлетворяет уравнению
Н'т (х) —2хН'т (х)+2тНт (х) = 0.
Указание. Использовать равенство и' 4* 2х« = 0, где и е_х*.
1232. Доказать равенство
Указание. Применить метод математической индукции.
1232.1. Доказать формулу
-£L(x"lnx)=nlflnx+£ X Л»! .
(х>0).
1232.2. Доказать формулу [С" W sin X-Sn (х) C0SXb
где
_ *2 у2/1
С„(х) = 1——+ -.. +(—1)"-^—
"V ' 21 ' (2л)!
и
уЗ .
S„ (X) = x—— + ... +(—1) — -------.
V 31 ' ' (2л—1)1
1233. Пусть — = D обозначает операцию дифферен-dx
цирования и
f(O) = Eft(x)D* t=o
—символический дифференциальный многочлен, где (х) (k — 0, 1,..., л) — некоторые непрерывные функции от х.
134 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказать, что
f (D) \е^и (х)} = e^f (D -Н) и (х), где X — постоянно.
1234. Доказать, что если в уравнении
Е ’ = 0
*=о
положить х = е*, где t — независимая переменная, то это уравнение примет вид:
Е (£)— 1) . . . (D-Л +1)у = О, 6=0
где D = —. dt
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
1°. Теорема Ролля. Если: 1) функция / (х) определена и непрерывна на сегменте [а, Ь Г, 2) [ (х) имеет конечную производную /' (х) внутри этого сегмента; 3) f (а) = f (Ь), то существует по меньшей мере одно число с из интервала (а, Ь) такое, что
Г (*) = 0.
2°. Теорема Лагранжа. Если: 1) функция f (х) определена и непрерывна на сегменте (a, b j; 2) 1 (х) имеет конечную производную I' (х) на интервале (а, Ь), то
1(b) —[ (а) = (b—a) f (с), где а < с < Ь (формула конечных приращений).
3. Теорема Коши. Если: 1) функции [ (х) и g (х) определены и непрерывны на сегменте [а, Ь); 2) f (х) и g (х) имеют конечные производные (х) и g' (х) на интервале (а, Ь); 3) f * (х) + g'a (х) ¥= 0 при а < х < Ь; 4) g (а) Ф g (Ь), то
— T№a<C<b.
g(b)—g(a) g'(с)
1235. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
f (х) == (х—1) (х—2) (х-3). з/_________________
1236. Функция f (х) = 1— у ха обращается в нуль при xt = — 1 и х2 — 1, но тем не менее f (х) #= 0 при — J < х <_ 1. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.
9 ». ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ
135
1237. Пусть функция f (х) имеет конечную производную /' (х) в каждой точке конечного или бесконечного интервала (а, Ь) и
lim f (х) — lim / (х). x-wi+O х-»6—О
Доказать, что /' (с) = О, где с — некоторая точка интервала (а, Ь).
1238. Пусть: 1) функция f (х) определена и имеет непрерывную производную (л—1)-го порядка /*я-1),(х) на сегменте [х0, хп 1; 2) / (х) имеет производную п-го порядка /’"> (х) в интервале (х0, хп) и 3) выполнены равенства
/ W = / (xj = . . . = / Ы (Xi, < хг < . . . < х„).
Доказать, что в интервале (хв, х„) существует по меньшей мере одна точка £ такая, что /<п> (£) — 0.
1239. Пусть: 1) функция f (х) определена и имеет непрерывную производную (р 4- ?)-го порядка (х) на сегменте [а, b ]; 2) f (х), имеет производную (р + q 4- 1)-го порядка /<м*н> (х) в интервале (а, &); 3) выполнены равенства
f (а) — f (а) — .. . == /<« (а) = 0 и
f (b) - Г (Ь) - . . . == (Ь) = 0.
Доказать, что в таком случае рр-н+о (с) == о, где с — некоторая точка интервала (а, Ь).
1240. Доказать, что если все корни многочлена
Р„(х) - аох" + а1хя~1 + . .. + ап (Оо=#0)
с действительными коэффициентами ак (k -• 0,1, .... nJ вещественны, то его последовательные производные Р'п W, Рп (*), ..., Рв*”” (х) также имеют лишь вещественные корни.
1241. Доказать, что у многочлена Лежандра
все корни вещественные и заключены в интервале
136 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1242. Доказать, что у многочлена Чебышева—Ла-герра
Ln(x)=ex^(xre-’e) dx*
все корни положительные.
1243. Доказать, что у многочлена Чебышева—Эрмита
dxn все корни вещественные.
1244. Найти на кривой у = х3 точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки А (— 1, — 1) и В (2, 8).
1245. Верна ли формула конечных приращений для функции f (х) = 1/х на сегменте la, b J, если ab <_ О?
1246. Найти функцию 0 = 0 (х, Дх) такую, что
f (х 4- Дх)— f (х) = Дх/' (х + 0Дх) (0 < 0 < 1), если:
а) /(х) =axt+bx+c (а#=0); б)/(х) = х®;
в) f (х) = 1/х; г)/(х) = е*.
1246.1. Пусть / (х) 6 С*1'(—оо, 4- оо) и для любых х и h справедливо тождество:
f (х 4- А) - f (х) . hff (х).
Доказать, что f (х) = ах + Ь, где а и b — постоянные.
1246.2. Пусть f (х) С С{2> (— оо, + оо) и для любых х и А справедливо тождество
f(x + A)-f(x)^A/'(x + Ay
Доказать, что / (х) = ахг 4- Ах 4- с, где а, А и с — постоянные.
1247. Доказать, что если х > 0, то
Vx4-1 —Vх = —/ * -уь—»
v v 2д/*4-в(х)
где
4«е<х)«4-.
причем lim 0 (х) — 1/4, lim 0 (х) = 1/2.
*-*+<»
$ в. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ.
137
1248. Пусть
/(*) =
О _
—-— при 0 < х < 1,
— при 1<Х<Ч-ОО.
Определить промежуточное значение с формулы конечных приращений для функции f (х) на сегменте [0, 2 J.
1249. Пусть f (х) — / (0) = xf (& (х)), где 0 < |(х)<х. Доказать, что если
f (х) — х sin (In х) при х > 0 и f (0) = 0, то функция £ = 5 (х) разрывна в любом сколь угодно малом интервале (0, I), где е > 0.
1250. Пусть функция f (х) имеет непрерывную производную f (х) в интервале (а, Ь). Можно ли для всякой точки £ из (а, Ь) указать две другие точки хх и х2 из этого интервала такие, что
= (xI<g<x1)?
*1 —
Рассмотреть пример: f (х) — х3 (— 1 < х < 1), где 5=0.
1251. Доказать неравенства:
a) |sinx—sin у\ < |х—^|;
б) рУ*-1 (х—у) ^хр — ур^ рхР'1 (х—у), если 0<р<х и р>Г.
в) | arctga—arctgb| < |а — b |;
г) -а-~-Ь- <In — <а , если 0<b<а. a b Ь
1252. Объяснить, почему не верна формула Коши для функций
f (х) = х* и g (х) = Xs
на сегменте I— 1, 1 ].
1253. Пусть функция f (х) дифференцируема на сегменте [хх, х2 ], причем ххх8 > 0. Доказать, что
—|Л
«1 — *1 I f (*1) f (*1) I
где хх < £ < х2.
1254, Доказать, что если функция f (х) дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале
138 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(а, Ь), то ее производная f (х) также не ограничена иа интервале (а, Ь). Обратная теорема не верна (построить пример).
1255. Доказать, что если функция f (х) имеет в конечном или бесконечном интервале (а, 6) ограниченную производную f (х), то f (х) равномерно непрерывна на (а, Ь).
1256. Доказать, что если функция f (х) дифференцируема в бесконечном интервале (х0, + <») и
lim /' (х) = 0, то lim =0, т. е. f (х) — о (х) при Х-Ф-f-OO х-*Ч-0О X
Х-> + оо.
1257. Доказать, что если функция f (х) дифференцируема в бесконечном интервале (х0, + со) и f (х) = о (х) при х -> + оо,
то
lim If' (х)| = 0. *-►4-00
В частности, если существует lim f' (х) = k, то k = 0.
1258. а) Доказать, что если: 1) функция f (х) определена и непрерывна на сегменте lx0, X ]; 2) f (х) имеет конечную производную f (х) в интервале (xe, X); 3) существует конечный или бесконечный предел lim f' (х) =»
х-*Хц | О
«= f (ха + 0), то существует соответственно конечная или бесконечная односторонняя производная f+ (х0) и f'+ (*•) = f (х0 4- 0).
б) Показать, что для функции
f(x) = arctg(*¥=1) и f(l) = 0
существует конечный предел lim f (х), однако функция *-м
f (х) не имеет односторонних производных fl (I) и f+ (1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
Однако в этой точке существуют обобщенные односторонние производные (см. 1009.1).
1259. Доказать, что если f (х) = 0 при а < х < Ь, то f (х) = const при а < х < Ь.
1260. Доказать, что единственная функция f (х) (— сю < х < + <ю), имеющая постоянную произ
§ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ
139
водную
Г W = k, есть линейная:
f (х) = kx 4- Ь.
1261. Что можно сказать о функции f (х)', если f<n> (х) = О?
1261.1. Пусть f (х) 6 (— оо, 4- оо) и для каж-
дого х существует натуральное число пх (пх < п) такое, что
f(nx) (х) = о.
Доказать, что функция f (х) есть полином.
1262. Доказать, что единственная функция у = = у (х) (— оо < х < 4- оо), удовлетворяющая уравнению
у' = ку (к = const), есть показательная;
у=С^, где С — произвольная постоянная.
Указание. Рассмотреть (уе~**)z.
1263. Проверить, что функции f(x) = arctg и g(x) = arctg х имеют одинаковые производные в областях:
1) х<1 и 2)х>1.
Вывести зависимость между этими функциями.
1264. Доказать тождества:
а) 2 arctgх 4-arcsin—- = nsgnx при |х| > 1;
1 “I- X
б) 3 arccos х—arccos (Зх—4Х3) — л при | х | <
1265. Доказать, что если: 1) функция f (х) непрерывна на сегменте [а, b ]; 2) имеет конечную производную f (х) внутри него; 3) не является линейной, то
|Г(С)1>
140 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в интервале (а, Ь) найдется по меньшей мере одна точка о такая, что
t(b)-f (а) b — а
Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
1266. Длказать, что если: 1) функция f (х) имеет вторую производную f" (х) на сегменте 1а, Ь] и 2) f (а) = = Г GO = 0, то в интервале (а, Ь) существует по меньшей мере одна точка с такая, что
4 \f(b)-f(a)\.
(й — а)2
1267. Автомобиль, начав двигаться из некоторого начального пункта, закончил свой путь в t с, пройдя при этом расстояние s м. Доказать, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения движения автомобиля была не меньше
4s м
/2 с2
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства
1°. Возрастание и убывание функции. Функция /' (х) называется возрастающей (убывающей) на сегменте [а, й], если
f (х2) > f (х^ при a sj xt < х2 < b
(или соответственно f (х2) < f (хх) при a xt < х2 Ь).
Если дифференцируемая функция £ (х) возрастает (убывает) на сегменте [а, &], то
Г (х) 4® 0 при а х <; Ь (или f (х) <1 0 при а х с" Ь).
2°. Достаточный признак возрастания (убывания функции). Если функция f, (х) непрерывна на сегменте [а, й] и внутри него имеет положительную (отрицательную) производную у (х), то функция I (х) возрастает (убывает) на [а, Ь].
Определить промежутки монотонности в строгом смысле (возрастания или убывания) следующих функций:
1268. у = 2 +х—х2. 1269. у = Зх—х3.
1270. у = 2х . 1271. у = (х & 0).
14- х* а «4-100
§ 7 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 141
1272. y = x4-sinx. 1273. у = х4-1sin 2х|.
1274. у = cos —. 1275. у =—.
х 2х
1276. у = хпе~х (п>0, х>0). 1277. у = х2— 1пх2.
1278. f(x) = х(д/y+sinlnx), если х>0 и f(0) = 0.
1279. Доказать, что при увеличении числа сторон п периметр рп правильного n-угольника, вписанного в окружность, возрастает, а периметр Рп правильного n-угольника, описанного около этой окружности, убывает. Пользуясь этим, доказать, что рп и Рп имеют общий предел при п->оо.
1280. Доказать, что функция 11 4----1 возрастает
на интервалах (— оо, — 1) и (0, 4~ оо).
1281. Доказать, что целая рациональная функция Р (х) = а0 4- агх + . . . + апхп (п > 1, =# 0)
является монотонной (в строгом смысле!) в интервалах (— оо, — х0) и (х0, 4~ оо), где х0 — достаточно большое положительное число.
1282. Доказать, что рациональная функция
R = a^aix+... + a^
&04-&1Х4-. • -4-W"
отличная от тождественной постоянной, монотонна (в строгом смысле!) в интервалах (—оо, —х0) и (х0, 4-оо), где х0 — достаточно большое положительное число.
1283. Производная монотонной функции обязательно ли является монотонной? Рассмотреть пример: f (х) =* = х 4~ sin х.
1284. Доказать, что если <р (х) — монотонно возрастающая дифференцируемая функция и
I/' (-01 С ф' (х) при х > х0, то
I f (х) — f (х0) | <р (х) — <р (х0) при х > х0.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1285. Пусть функция f (х) непрерывна в промежутке а х < 4- оо и сверх того /' (х) > k > 0 при х > а, где k — постоянная.
149
ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказать, что если f (а) < 0, то уравнение f (х) = О имеет один и только один действительный корень в интервале (а, а—
1286. Функция f (х) называется возрастающей в точке х0, если в некоторой окрестности |х—х01 <_ S знак приращения функции А/ (х0) = f (х) — f (х0) совпадает со знаком приращения аргумента Ах0 = х—х0.
Доказать, что если функция f (х) (а < х < Ь) возрастает в каждой точке некоторого конечного или бесконечного интервала (а, Ь), то она является возрастающей на этом интервале.
1287. Показать, что функция
f (х) = х + x:sin—, если х =# 0 и f (0) = О,
возрастает в точке х = 0, но не является возрастающей ни в каком интервале (— е, е), окружающем эту точку, где е > 0 произвольно мало.
Построить эскиз графика функции.
1288. Доказать теорему: если 1) функции <р (х) и ф (х) n-кратно дифференцируемы; 2) (х0) = ф(*> (хь).
= 0, 1, . . . , п—1); 3) (х) > ф("> (х) при х> х0,
то имеет место неравенство
«р (х) > ф (х) при х > х0.
1289. Доказать следующие неравенства:
а) а*>1Ч-х при х=/=0;
б) х — -у-<1п(1 Ч-х)<х при х>0;
в) х—^-<sinx<x при х>0;
г) tgx>x+-j- приО<х<-у;
д) (х“-|-у“)1/“>(х₽ + 0₽),/₽ при х>0, у>0 и 0 <а < р.
Дать геометрическую иллюстрацию неравенств а) — г).
1290. Доказать неравенство
2 Я
—-x<sinx<x при 0<х<—.
Я •
| 1. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 143
1291. Доказать, что ори х> О имеет место неравенство
(1+лу<е<(1+лГ.
1292. У арифметической и геометрической прогрессий число членов и крайние члены соответственно одинаковы и все члены прогрессий положительны. Доказать, что у арифметической прогрессии сумма членов, больше, чем у геометрической.
1293. Исходя из неравенства
Д(а*х+М2 >0,
где х, а*, Ьц (k *= 1, ..., л) вещественны, доказать неравенство Коши
/ я \2 я я
\& / *—1 Еа
1294. Доказать, что среднее арифметическое поло* жительных чисел не больше среднего квадратичного этих же чисел, т. е.
1295. Доказать, что среднее геометрическое положительных чисел не больше среднего арифметического этих же чисел, т. е.
l/XjXj . . . Хя < — (Xj-f-Xj-f-. .. + хл). п
Указание. Применить метод математической индукции.
1296. Средней порядка s для двух положительных чисел а и Ь называется функция, определяемая равенством
А, (о. 6) = ( °* * у , если s^O, и
До (а, Ь) = lim Д, (а, Ь). s-M)
В частности, получаем: при s = — 1 среднее гармоническое', при s = 0 среднее геометрическое (доказать!)}
144 ОТДЕЛ IT. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ при s “ 1 среднее арифметическое; при s == 2 среднее квадратичное.
Доказать, что:
1) min (a, b) С As(a, b) < шах (а, Ь);
2) функция As (a, b) при а=£ b есть возрастающая функция переменной s;
8) lim Д, (a, b) = min (a, b);
t »»"OC
lim Д, (a, b) = max (a, b).
Указание. Рассмотреть -7- [In Д, (a, b)!. as
1297(h). Доказать неравенства:
a) x®—l>a(x—1) при a > 2, x> 1;
6) p^x— Va<Уx—a, если л>1, x>a>0;
в) l-f-21nx<x® при x>0.
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба
Is. Достаточные условия вогнутости. График дифференцируемое функции у “ (х) называется вогнутым вверх или выпуклым вниз {вогнутым вниз или выпуклым вверх) на сегменте [а, 61, если отрезок кривой
У e I (х) (а < х < 6) расположен выше (соответственно ниже) касательной, проведенной в любой точке этого отрезка. Достаточным условием вогнутости графика вверх (вниз), в предположении существования второй производной I” (х) при а х 6, является выполнение неравенства
I" (х) > 0 (i" (х) < 0) при a < х < 6.
2е. Достаточное условие точки перегиба. Точки, в которых меняется направление вогнутости графика функции, называются точками перегиба. Точка xt, для которой либо f" (хв) » 0, либо f," (х0) не существует, причем f (х,) имеет смысл, есть точка перегиба, если f" (х) меняет свой знак прн переходе через значение xt.
1298. Исследовать направление вогнутости кривой
в точках А (— 1, 0), В (1, 2) и С (0, 0).
I в. НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ
145
Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графиков следующих функций:
1299. у = 3х!—х*.
1301. у = х4-х5/3.
1303. у = x4-sinx.
1305. у > In (14-х1).
1307. у = хя (х>0)
1300-<а>0)-а*-f- х*
1302. у = ТТН?.
1304. у - е-**.
1300. i/ = xsin(lnx) (х>0).
1308. Показать, что кривая
У =
*4-1
х»4-1
имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.
Построить график этой функции.
1309. При каком выборе параметра h «кривая вероятности»
j,e_L.e-fcV (fc>0) ул
имеет точки перегиба х = ± о?
1310. Исследовать направление вогнутости циклоиды х = a (t — sin t), у = а (1—cos t) (а > 0).
1311. Пусть функция f (х) дважды дифференцируема в промежутке а < х < 4- оо, причем: 1) f (а) « А > 0j 2) / (а) < 0; 3) f " (х) < 0 при х > а.
Доказать, что уравнение f (х) — 0 имеет один и только один действительный корень в интервале (а, 4- °0)-
1312. Функция f (х) называется выпуклой снизу (сверху) на интервале (а, Ь), если для любых точек xt и х2 из этого интервала и произвольных чисел Х2 и X, (Хж >0, Х2 > 0, Xj 4- Х2 •= 1) имеет место неравенство
f (Mi + Ms) < W Ui) + Ы (*s) (или соответственно противоположное неравенство
f (Мх 4- XjXj) > XJ (xx) 4- kJ (x2)).
Доказать, что: 1) функция f (х) выпукла снизу на (а, Ь), если ftl (х) > 0, при а < х < Ь; 2) / (х) выпукла сверху на (а, Ь), если, г1 (х) < 0, при а < х < Ь.
146
ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1313. Показать, что функции
X" (п > 1), 6х, X In X выпуклы снизу на интервале (0, +оо), а функции х" (0 < л < 1), In х выпуклы сверху на интервале (0, + оо).
1314. Доказать неравенства и выяснить их геометрический смысл:
а) — (х“ + у")> р-рТ <х>°« У>°> п>1>;
б) (х*у);
в) х Inx-J-у In у> (х+у) In , если х>0 и у>б.
1314 .1. Пусть [" (х) > 0 при а < х < Ь.
Доказать, чтс
при любых х1( х, £ [а, М.
1315. Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные.
1316. Пусть функция f (х) дважды дифференцируема в интервале (а, 6) и fli © =# О, где а < t < b.
Доказать, что в интервале (а, Ь) можно найти два значения xt и х2 такие, что
/ fa) — / fa) ф *а —х»
1317. Доказать, что если функция f (х) дважды дифференцируема в бесконечном интервале (х0, 4- оо) и lim Их) = 0, limf(x) = 0, х-»Жо4-0 х-»4-оо
то в интервале (х», + оо) имеется по меньшей мере одна точка 6 такая, что /" © в 0.
$ 9 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 147
§ 9. Раскрытие неопределенностей
1-й случай правила Лопнталя (раскрытие О
неопределенности вида —). Если: 1) функции / (x)ng (х) определены и непрерывны в некоторой окрестности Ue *) точки а, где а — число или символ <», и при х -► а обе стремятся к нулю: lim f (х) =* lim g (х) = 0; х-н> х-н>
2) производные f' (х) и g' (х) существуют в окрестности (/в точки а, за исключением, быть может, самой точки а, причем одновременно не обращаются в нуль при х а; 3) существует конечный или бесконечный предел
Г(«) нт ।
g' (х)
то имеем:
.. F (х) Г (х) x-ag(x) Х-a g’ (x)
2-й случай правила Лопнталя (раскрытие неопределенности вида Если: 1) функции [ (х) и g (х) при х -* а обе стремятся к бесконечности:
lim f (х) » limg (х) » оо, x-»e х-*а
где а — число или символ оо;
2) производные /' (х) и g’ (х) существуют для всех х, принадлежащих некоторой окрестности U* точки а и отличных от а, причем
/'«(х) + g’* (х) =# 0 при х £ Ut и х а;
3) существует конечный или бесконечный предел lim-™, **• g' (*)
то
lim 2151.= iim-2_W. _ «-*« g (х) *-*e g' (*)
Аналогичные правила справедливы для односторонних пределов.
Раскрытие неопределенностей видов 0-оо, оо — оо, 1”, О’ и т. п. путем алгебраических преобразований и логарифмирова-
•) Под окрестностью (/е точки а понимается совокупность чисел х, удовлетворяющих неравенству: 1) 0<|х—а|<в, если а — число, и 2) |х| > 1/а, если а — символ оо.
10*
148
отдел П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
иия приводится к раскрытию неопределенностей двух основных типов:
О оо
— и — .
О оо
Определить значения следующих выражений: 1318. lim-^^-. х-н) sin Ьх
1320. lim х-*о *— sinx
1322. lim . «-4 tgx
1319, Нт
X-M) X2
1321. lim
x-M) 3sin4x — 12sinx
1323. lim xcte*~L.
X-»0 x*
1324. lim r
я 2sin2x— 1
. 1325. lim х-»0
х3
1326. lim 1~co?..^ x-»o x2 sin x2
1327. lim arcsin 2х-2 arcsin х x-*0
х3
1328. lim
„X -sinx / -X____ r '
1329. lim^-=^— (a>0). 1330. limf, — x-o X» ' ^iVnx-x+l
1331. lim-^^-. 1332. lim .
x-*o in(sinfex) x-o in(cosbx)
1333. lim 1334. lim—(—!---r1-'
x-o X* *_»o x\thx tgx,
1335. lim A»h(shx)-Arsh (sinx) t гда Arshx = x—о sh x — sin x
== In (x 4- ^14-x3).
1336. lim-^ (e>0).
Х-Н-оо Xе x« . e—1/x*
1337. lim— (a>0, n>0). 1338. lim——.
х-+» е“* x-0 Xloe
1339. lim x2e~0,01x. 1340. lim lnx-ln(l—x).
x-»-fa> x-»l—О
1341. lim Xе In x (e>0). 1342. lim Xх.
x-k-t-0 x->-t-0
1343. lim x**-’. 1344. limCx»* —1).
x-*0 x-»0
i » РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
143
1360. lim-(a+x)at~flX X-H) Xs
1361. lim f—arctg xY. х-Н-оД я /
1363. ПтА"”1»*)1'*
X-*0 \ X J
1345. limxA/U+lnX). 1346. Iimx1/,1-X' l—H> x-»l
1347. lim (2—x)tglu/2. 1348. lim (tgx)‘gte.
’*' «-.A
1349. lim (ctg x)slnx. 1350. limfin—Y. x-*+0\ X )
1351. lim (tg ~~Y/X. 1352. lim f JSi.Y**^.
,35S- “”(-S=±rr)“'- l3=4- W1——Y
Mkf-xinM *-o\x e* — IJ
1355. limf—1-----!—Y 1356. lim fctg x—-Y
*-»l\lnx X— 1/ x-»0 к X/
1357. lim Г—-----1—------------1__1
x-oL ln(x-|- V1+ X») In (1 -I- X) J ’
1358. lim — ~*a (a>0). 1359. Hm + .
**“ * — “ x-H) r.
(a>0).
1362. lim (th x)*. х-*4-<ю
1363.1. limf—V/X\ x-»0\ X 7
1363.2. limf-lSiY'*' 1363.3. limf-a^x Y^.
X-.0 \ X ) к X J
1363.4. lim , где Arshx=
Хч-0 \ X J
ln(x + Vi'+x»).
1364.
1366.
1368.
Г« + ^Г. 1365. lim (~ arccos x) lim | | x-o ч я
*-»° I J In ch x .
13W- 'S-vSZVST
Xinx
/ 1 + «* Ylh* • 1368.1. Um •
Um I—x—I x_0 \ £ 1
COSX Xl/X1
1369.
150 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1370. lim [(х ч-а)‘+<1/х’ — х1+,,<ж+в>|. х-Н-оо
1371. Найти lim —, если кривая у = f (х) входит jr-t-0 X
при х -► 0 в начале координат (0, 0) (lim f (х) = f (0)=0) х-+0
под углом а.
1372. Доказать, что lim x/lx) = 1, если непрерывная х-*-4*0
кривая у = f (х) входит при х -> 4- 0 в начало координат (lim f (х) = 0) и при 0 < х < е целиком остается Ж"» 0
внутри острого угла, образованного прямыми: у — — — kx и у = kx (k=£ оо).
1373. Доказать, что если для функции f (х) существует вторая производная f" (х), то
у _ ]im f <х + h) + f (x — h) — 2f (х) .
fc-»o h*
1373.1. Исследовать на дифференцируемость в точке х = 0 функцию:
/« =
1 1
X Сх— 1 ’
1
2 ’
если x^feO;
если х = 0.
1373.2. Найти асимптоту кривой у -----------(х>0).
(14- *)
1374. Исследовать возможность применения правила Лопнталя к следующим примерам:
x’sin —
a) lim------:
«-►о sin х
в) Пт (cos х + 2sinх) + e~*asin*x .
х — sinx
б) lim---------;
х-ю x-f-sinx
е~х (cos х + sin х)
Г) lim ’ + *+sinx COSX (х -f- sinx cos x)eslnx
1375. Найти предел отношения площади кругового сегмента, имеющего хорду Ь и стрелку Л, к площади равнобедренного треугольника, вписанного в этот сегмент, если дуга сегмента при неизменном радиусе /?
9 10. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
151
стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом, вывести приближенную формулу для площади сегмента:
3
§ 10. Формула Тейлора
Г. Локальная формула Тейлора. Если 1) функция fi (х) определена в некоторой окрестности |х—х01 < е точки хв; 2) f (х) имеет в этой окрестности производные Г (х), . . . _____ fV1-1) (х) до (п—1)-го порядка включительно; 3) в точке хв существует производная n-го порядка /<*> (х#), то
f(x) = £в»1х —х,)* + о(х —Хв)П. (1)
t=o
где
= (jfc = 0. 1.я).
«
В частности, при хв = 0 имеем:
££*-+.«. <0
*яя0
При указанных условиях представление (!) единственно.
Если в точке хв существует производная fl*+4 (х,), та остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде О* «х—х.)“+Ч.
Из локальной формулы Тейлора (2) получаем следующие пять важных разложений:
1. е*=1+*+4-+- • • 2! л!
И. sinx = x—— + . . . 4-(— l)"-1 Ц-о(хст).
31 <2n—1)»
III. cosx= 1 -—4-. . . -И— l)"-^-4-o(x»"+l). 2! (2л)1
IV. (14-х)ст= 14-mx-b w<w~1> х»4.. . .
21
р m(m-l). . .(т-л+1).^ j о(хЯ) nl
V. 1П(14-Х) = Х—-^-4-... 4-(—!)“-* —4-о(ж^. 2 п
2s. Формула Тейлора. Если 1) функция f (х) определена на сегменте (а, 61; 2) I (х) имеет на этом сегменте
152 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
непрерывные производные f' (х), .... Д'*-1) (х); 3) пр.т а<х< Ъ существует конечная производная £<") (х), то
л—1 .
К*) ~~ы~ <х — а>к + Rn w (а < х < Ь),
№ *
где
RnW = (»_0)" (0<0< 1)
л!
(остаточный член в форме Лагранжа), или
Ra (х) = /<яЧа+е1(х—fl)) (1 _ в1)Я-1 (ж _ и)П (о < е, < 1) (л — 1)1
(остаточный член в форме Коши).
1376. Многочлен
Р (х) = 1 4- Зх 4- 5ха — 2х3
расположить по целым неотрицательным степеням двучлена х 4- 1.
Написать разложения по целым неотрицательным степеням переменной х До членов указанного порядка включительно следующих функций:
1377. /(х)=-‘±-х^4
1 — х + х» но /<•> (0)?
до члена с х*. Чему рав-
1378,
....... ..’------ до члена с ха. (1 — 2х)4в (14- 2х)м
1379. т^ат + х (а>0) до члена с х8.
1380. VI—2x4-х3 — у"1—Зх4-х до члена с х3.
1381. е2х~х’ до члена с Xs.
1382. —-— до члена с х*. е*— 1
1383. у7'sinx8 до члена с х18.
1384. Ineos х до члена с х8
1385. sin (sinx) др члена с х8
1386. tgxдо члена с х8.
1387. In-^i до члена с х*.
} 10 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
153
1388. Найти три члена разложения функции f (х) = = Vх по целым неотрицательным степеням разности х—1.
1389. Функцию f (х) = Xх —1 разложить по целым неотрицательным степеням бинома х—1 до члена с (х-1)8.
1390. Функцию у = a ch— (а > 0) в окрестности а
точки х = 0 приближенно заменить параболой 2-го порядка. _____
1391. Функцию f (х) = + ** — х (х > 0) раз-
ложить по целым неотрицательным степеням дроби — до члена с —.
X*
1392. Найти разложение функции f (ft) = In (х + ft) (х > 0) по целым неотрицательным степеням приращения Л до члена с ft" (п — натуральное число).
1393. Пусть
f(x + h)~fM+hf'(x) + .. . + -^-/(П)(х + 0Л) ЛI
(0 < 0 < 1), причем /<•+*> (х) Ф 0.
Доказать, что Нт 8 = —-— . л-*о п 4-1
1393.1. Пусть при х-> 0 имеем
f (х) = 1 4- kx + о (х).
Доказать, что lim [f (х)]|/х = е*.
х-»0
1393.2. Пусть f (х) £ &г> [0, 1J и f (0) = f (1) = 0, причем |Г'(х)| < А при х £ (0, 1). Доказать, что If WI < -у при 0 < х < 1.
1393.3. Пусть f (х) (— оо < х < + оо) — дважды дифференцируемая функция и
Мк — sup |Л*)(х)|<4-«» (ft = 0, 1, 2).
—oo<j<4-oo
Доказать неравенство М2 С 2Л40Л1г.
1394. Оценить абсолютную погрешность приближенных формул:
a) 14-х4--^-4-... 4--^ при0<х<1;
21 п!
154
ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
б) sinx«х—- при |х| < -1;
в) tgx«* + при |х|<0,1;
3
г) V'f+x* 1 +-|-— при0<х<1.
2 8
1395. Для каких х справедлива с точностью до 0,0001 приближенная формула: cos х = 1 —— ?
1395.1, Доказать формулу
у' в" 4* х «= а 4— -г
паа~1
(л >2, а>0, х>0), 0<г<-—L.—
1396. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить:
а) р35-, б) р'Ж в) ‘^ООО;
г) л) s’n IS"*» е) 1°
ж) arctg 0,8; s) arcsin 0,45; и) (I, I)1*3
и оценить погрешность. 1397. Вычислить:
а) е с точностью до 10"*;
б) sin Г » > » 10"*;
в) cos9° > » » ЮЛ
г) ^5 > » » 10"*;
д) Igll » » > ЮЛ
Используя разложения I—V, найти следующие пре* делы:
1398. lim -^L-r^ . 1399. lim .
ж-*о X* X*
1400. limx^(V7+T+VT=T—2д/х).
1401. lim (^х*+х* — ^х*—х*).
I 10. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
155
1402. lim [(*’—х2 + у)е'/Х“Vх*+ 1]-
1403. lim X.t.0'*..-?. (O>0). хч-O X2
1404. limps—x®ln(l + —
1405. lim (A---—Y 1406. lim - (— -ctgxY
х-иДх sinx/ *-H) x Kx /
1406 .1. .
*-►0 x4
1406 .2. lim A- fc08*)8'"* , 1406.3. lim .
*-♦0 X* x—0 X*
Для бесконечно малой при х -> 0 величины у определить главный член вида Сх" (С — постоянная), если
1407. у — tg (sin х) — sin (tg х).
1408. у = (14-хГ — 1. 1409. у = 1 —А±Х>1Д..
е
1410. При каком подборе коэффициентов а и Ь величина
х — (а + b cos х) sin х
будет бесконечно малой 5-го порядка относительно х?
1410.1. Подобрать коэффициенты Д и В так, чтобы при х -> 0 имело место асимптотическое равенство
ctgx—!44т+О(х6)-
1410.2. При каких коэффициентах А, В, С и D справедлива при х —> 0 асимптотическая формула
е*---1±.л*+ вх\. +Q(X»).
l + Cx + Dx* '
1411. Считая |х| малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:
156
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1412* Считая х малым по абсолютной величине, вы* вести приближенную формулу вида х = a sin х 4- 0 tg х с точностью до члена с х6.
Применить эту формулу для приближенного спрямления дуг малой угловой величины.
1413. Оценить относительную погрешность следующего правила Чебышева: круговая дуга приближенно равна сумме боковых сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде этой дуги и имеющего высотой д/ФЗ ее стрелки.
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
Is. Необходимое условие экстремума. Говорят, что функция f (х) имеет в точке х0 экстремум (макси» мум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки х0 и для всех точек х некоторой области: О < | х—х01 < 6, выполнено соответственно неравенство
I (х) < k (хв) или £ (х) > к (х0).
В точке экстремума производная к' Uo) = О, если она существует.
2°. Достаточные условия экстремума.
Первое правило. Если 1) функция f (х) определена и непрерывна в некоторой окрестности | х—х01 < £ точки Хо такой, что к' (х0) = 0 или не существует (критическая точка); 2) к (х) имеет конечную производную /,'(х) в области 0<|х—х0|<6; 3) производная к' (х) сохраняет определенный знак слева от хв в справа от х0, то поведение функции к (х) характеризуется следующей таблицей;
Знак производной Вывод
X < Хо X > Хо
1 + + Экстремума нет
II + Максимум
III + Минимум
IV — —“ Экстремума не»
I 11. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 157
Второе правим. Если функция I (х) имеет вторую производную I” (х) и в некоторой точке х( выполнены условия
Г (х») - 0 в Г (х,) О, то в этой точке функция / (х) имеет экстремум, а именно: максимум, когда /" (х«) <0, и минимум, когда Г (хо) > 0.
Третье правим. Пусть функция / (х) имеет в некотором интервале |х—хв| < 6 производные /' (х), . . . , /п-1 (х) и в точке х0 производную Мп> (х0), причем
f<*> (хе) =» 0 (Л = 1.п — 1), (х0) * 0.
В таком случае: 1) если п — число четное, то в точке хв функция f. (х) имеет экстремум, а именно: максимум при (хв) <0иминимум при /<п> (х0) > 0; 2) если п — число нечетное, то в точке х0 функция f (х) экстремума не имеет.
3°. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наименьшее) значение на сегменте (а, Ы непрерывной функции f (х) достигается или в критической точке этой функции (т. е. там, где производная /' (х) или равна нулю, или не существует), или в граничных точках а и b данного сегмента.
Исследовать на экстремум следующие функции:
1414. у = 2 + х—хг. 1415. у - (х— I)3.
1418. у - (х—I)4.
1417. у = х"1 (1— х)" (т и п— целые положительные числа).
1418. у = cos х + ch х. 1419. у = (х + I)10 е~х.
1420. у = (l+x+ -£•+... +-^)е"х (л —натуральное число)
1421. к-1х|. 1422. у=жх|/3(1— х)2/3.
1423. Исследовать на экстремум в точке х = хв функцию
f (х) «• (х—хь)"ф (х)
(л — натуральное число), где функция ф (х) непрерывна при х = х, и <р (х0) =/= 0.
1424. Пусть f (х) = Г (х)= и хь-ста-ционарная точка функции f (х), т. е. Р i (хв) « 0, Q (хв) ¥= 0.
Доказать, что sgn / ' (х0) = sgn Р\ (х^.
158 ОТДЕЛ IT. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1425. Можно ли утверждать, что если функция f (х) в точке х0 имеет максимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки х0 функция f (х) возрастает, а справа от нее убывает?
Рассмотреть пример:
f(x) = 2—x*^24-sin — если х=^0 и /(0) = 2.
1426 (н). Доказать, что функция
f (х) = е~1/ж*, если х#=0, и f (0) = О, имеет в точке х = О минимум, а функция g(x) = хе~1,г?, если х=/=0, и g(0) = 0 не имеет в точке х = 0 экстремума, хотя (0) - 0, g<">(0) = 0 (л = 1, 2, ...). Построить графики этих функций.
1427. Исследовать на экстремум функции:
a) /(х)==е I/|xifV2 + s*n ПРИ *¥=0 и / (0) = 0;
б) f(x) = e 1/1x1 ^V^+cos-^-^ при ху=0 и f(0) = 0.
Построить графики этих функций.
1428. Исследовать на экстремум в точке х = 0 функ-
цию
f(х) = |х]^2 + соз—у если х=^=0 и f(0) = 0.
Построить график этой функции.
Найти экстремумы следующих функций:
1429. у = Xs—6х»+9х—4. 1430. у = 2х«—х*.
1431. у = х(х—2)’. 1432. у = х+—.
Л
1435. # = V2x—х1 1436. y^xVx^A.
1437. у « хе”. 1438. у - V*1п *•
$ И. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
159
1439. y = 1440. v = cosx+—cos2r.
* х 2
1441. w =----—----. 1442. у = arctgx—* — ln(14-x®).
14- sin’ x 2
1443. у = exsinx. 1444. у = |x|
Найти наименьшие и наибольшие значения следующих функций:
1445. / (х) — 2х на сегменте I— 1; 5].
1446. / (х) = х2—4x4-6 на сегменте [—3; 101.
1447. f (х) = |х2—Зх 4- 2| на сегменте I— 10; 101.
1448. /(х) = х-Ь— на сегменте [0,01; 100). х
1449. f (х) = 4х на сегменте [ — 1; 1).
Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup] следующих функций:
1450. f (х) = хе-о,ои на интервале (0, 4- со).
1451. f (х) = fl 4-х +—+ ... 4-~V“* «а интерва-\ 21 л! J
ле (0, 4- ео).
1452. / (х) = - — *- на интервале (0, 4- °0)-
14- х*
1453. f(x) — cos х2 на интервале (—оо, 4-со).
1454. Определить нижиюю и верхнюю грани функции f (I) = на интервале х < £ < 4- оо.
Построить графики функций
М(х)= sup /(9 и т(х) = inf /(£). x<t<4-o> х<4<4-оо
1454.1. Пусть
Mt = sup II f(4) (х) П , k = 0, 1, 2, ... X
Найти М9, Mi и Mt, если f (х) = е-**.
1455. Определить наибольший член последовательности: _
а) — (л = 1, 2, . ..); б) —(/1=1, 2, .. .X ’ 2» л4-10000
в) Vn (л= 1, 2, ...).
160 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1456. Доказать неравенства:
а) |3х—х*|с2 при|х}<2;
б) С х” + (1 — xf < 1, если 0 С х с 1 и р> 1;
в) хт(а~х)"с——------am+n при /п>0, п>0и
Осхса;
г) *(£.!)/»4-а" сх4-а (х>0, а>0, л> 1);
д) |asinx4-dcosx| с Va* + ^«
14 56.1. Доказать неравенство
при — сю < х < 4- оо.
1457. Определить «отклонение от нуля» многочлена Р (х) = х (х—I)2 (х + 2)
на сегменте I— 2, 1J, т. е. найти
£Р= sup |Р(х)|.
1458. При каком выборе коэффициента q многочлен Р (х) - х2 + q
наименее отклоняется от нуля на сегменте [— 1, 1], т. е.
ЕР = sup | Р (х) | = min.
1459. Абсолютным отклонением двух функций f (х) и g (х) на сегменте [а, Ь] называется число
Д= sup |/(х)—— £(Х)|.
Определить абсолютное отклонение функций! f (х) = х2 и g (х) — х?
на сегменте [0, 1 ].
1460. Функцию f (х) =» х2 на сегменте (хх, xt! приближенно заменить линейной функцией
g (х) — (хх + х,) х 4- Ь
так, чтобы абсолютное отклонение функций f (х) и g (х)
5 12, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЯ 161
(см. предыдущую задачу) было наименьшим, и опреде-лить это наименьшее абсолютное отклонение.
1461. Определить минимум функции
f (х) = шах {21 х I, 11 + х |).
Определить число вещественных корней уравнения н отделить эти корни, если:
1462. х3—6х2 + 9х—10 = 0.
1463. х3—Зх2—9х + Л = 0.
1464. Зх4—4х2—6х2 + 12х—20 = 0.
1465. х®—5х = а.
1466. In х = kx. 1467. е — ах3.
1468* sin8x-cos х = а при 0 < х < л.
1469. ch х = kx.
1470. При каком условии уравнение х3 + рх + q = 0 имеет: а) один вещественный корень; б) три веществен* ных корня. Изобразить соответствующие области на плоскости (р, д).
§ 12. Построение графиков функций по характерным точкам
Для построения графика функции у — f (х) нужно: 1) оп* ределить область существования этой функции и исследовать поведение функции в граничных точках последней; 2) выяснить симметрию графика и периодичность; 3) иайти точки разрыва функции и промежутки непрерывности; 4) определить нули функции и области постоянства знака; 5) найтн точки экстре* мума и выяснить промежутки возрастания и убывания функции) 6) определить точки перегиба и установить, промежутки вогнутости определенного знака графика функции; 7) найти асимптоты в случае существования их; 8) указать те или иные особенности графика. В частных случаях общая схема упрощается.
В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.
Построить графики следующих функций: 1471. г/= Зх—х3. 1472.
f/=l+x2-^.
1474*. у =
1473. (х+1)(х—2)2.
1475*. у = —
1476*. у ---------------
(14-х)(1-х)»
1477. у - . 1478. у
d + x)’
11-““
162
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1479. у = . 1480. у . (*+l)* (I — **)*
1481. _01±l)L. !482*.y=-?t±l. (x-1)* x*+l
1483. У = И84. y = (x-3)V^.
1485. у = ± V8x»-x*. 1485.1.
1486. y=± V(x-l)(x-2)(x-3).
1487*. у = yGc3—х*—х4-1.
1488. у =у^—у^х»-!-!.
1489. у = (х + 2)2/3—(х——2)2/3.
1490. у = (х+1)2/3 + (х-1)г/3.
1492. у = . 1493.
* 2х« — 1
1494.
1491. yss—. /х»—1
П + х|^
VF
»=л/Ят-
1498. у = (7 + 2cosx)sinx.
150U. u = cosx—-cos2x.
2
1497. у = sinx4-cos*x.
1499. у = sinx 4- у sin 3x.
1501. у = sin* x4- cos* x.
1502. и = sinx-sin3x. 1503. u=-------------
v ii”'
1304.^=-^. 1504.1, —
cos 2* 2 4 cos x
1505. у = 2x—tg x. 1506. у =
1507. у = (1 4- **) e~*. 1508. у = x 4- e~x.
1509. у = x2/3e-4t. 1509.1. у = е-2ж sin2 x.
$ 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
183
1510. у = . 1511. у = VI—е-<
1 4* *
1512. 0 = -^=-. 1513. ^ = ln(x + V^+T).
1514. у = V**+1 • In(х + Vх1 + О-
1515. у = . 1516. у = х + arctgх.
1517. у = —+ arcctg х. 1518. у — х arctg х. 2
1519. у— arcsin———. 1520. у = arccos-*~~х* .
Ц-х* * 1+**
1521. у = (х4-2)ev\ 1522. у = 2^44-7^.
1523*. у = In.
у *»+1
1524. у = a arcsin ——Va>—•** (а> 0)-а
1525. у = arccos ———. 1526. 0 = х*.
1 — 2х
1527*. у = х1'\ 1528. 0 = (14-х)1/ж.
1529*. у = х0 + -J-)' (х> 0).
1530*.
jl/l-X* 14-х1
(без исследования вогнутости).
У =
Построить кривые, заданные в параметрической форме:
1531.x = -£±01, 4
1532. х = 21 —
1533*. х=—, t— 1
1534. х = — *— , 1—Г»
1535. х = 14-е"',
1536. х = a cos 2/, 11*
1/=-^.
я 4 0 = 31 —Р. !/=^-
,----
* 14-t1
0 = 214-е-а.
0 = acos31 (а>0),
164 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1537. х — cos* /, у — sin* /.
1538. x = tlnt, у = —.
* i
1539. х = —^—, y-atg3t (а>0.)
coss /
1540. x = a(sh 1—0, y = a(cht—I) (a>0).
Представив уравнения кривых в параметрической форме, построить эти кривые, если
1541. Xs + у* — Заху = 0 (а > 0).
У Казани е. Положить у — /х.
1542. х2 + у* - х* + у*.
1543. х*уг = Xs—у*.
1544. х« = у*(х> 0, у > 0).
1545. Построить график кривой: ch2 х — ch* у 1.
Построить графики функций, заданных в полярной системе координат (<р, г) (г 0):
1546. г = а + b cos <р (0 < а < Ь).
1547. г = a sin 3<p (a>0). 1548. г = -^==- (a>0).
1549*. г =а , где ®> 1 (а>0).
Ф-1
1550*. ср = arccos •
Построить графики семейств кривых (а — переменный параметр):
1551. у = хг—2x-f-a. 1552. у = х + —.
X
1553. у — х ± Va (1 —**)•
1554. у = -у + е~ах. 1555. у = хе~х'а.
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций
1556. Доказать, что если функция f (х) неотрицательна, то функция F (х) = СР (х) (С > 0) имеет в точности те же точки экстремума, что и функция f (х).
1557. Доказать, что если функция ф (х) — монотонно возрастающая в строгом смысле при — оо < х < + оо,
s 13. ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЯ 165 то функции f (х) и <р (/ (х)) имеют одни и те же точки экстремума.
1558. Определить наибольшее значение произведения /n-й и n-й степеней (т > 0, п > 0) двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна а.
1559. Найти наименьшее значение суммы т-й и п-й степеней (т > 0, п > 0) двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно а.
1560. В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму?
1561. Из всех прямоугольников данной площади S определить тот, периметр которого наименьший.
1562. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.
1563. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
1564. В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
«Л вЛ
1565. В эллипс-h — = 1 вписать прямоуголь-
а* Ь*
ник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.
1566. В треугольник с основанием Ь и высотой 4i вписать прямоугольник с наибольшим периметром.
Исследовать возможность решения этой задачи.
1567. Из круглого бревна диаметра d вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно b и высота h. При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность ее пропорциональна ЬЛг?
1568. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объема.
1569. В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема.
1570. В шар радиуса R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
1571. Около данного шара описать конус наименьшего объема.
1572. Найти наибольший объем конуса с данной образующей I.
166
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1573. В прямой круговой коиус с углом 2а в осевом сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.'
1574. Найти кратчайшее расстояние точки М (р, р) от параболы у* — 2рх.
1575. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния точки А (2,0) от окружности х2 + у2 = 1.
Xs I/*
1576. Найти наибольшую хорду эллипса — + ~ =•
1 (0 < b < а), проходящую через вершину В (0, — Ь).
1577. Через точку М (х, у) эллипса — + — — 1 а2 Ь2 провести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.
1578. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен V.
1579. Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне ф боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна S, а урозень воды равен h?
1580. •Извилистостыт замкнутого контура, ограничивающего площадь S, называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади S.
Какова форма равнобедренной трапеции A BCD (ЛИ ||ВС), обладающей наименьшей извилистостью, если с снование AD = 2а и острый угол BAD = а?
1581. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.
1582. Завод А отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город В, считая по кратчайшему расстоянию, на а км. Под каким углом ф к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из Л в В была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути р р., по железной дороге q р. (р > q) и город В расположен на b км севернее завода Л?
1583. Два корабля плывут с постоянными скоростями и н v по прямым линиям, составляющим угол в
s 14. КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ
167
между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент расстояния их от точки пересечения путей были соответственно равны а и Ь.
1584. В точках А и В находятся источники света соответственно силой Sj и S2 свечей. На отрезке АВ — а найти наименее освещенную точку М.
1585. Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов /? и г (R > г) и расположена вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещенных частей поверхностей шаров будет наибольшая?
1586. На какой высоте над центром круглого стола радиуса а следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?
Указание. Яркость освещения выражается формулой
г»
где <р — угол наклона лучей, г — расстояние источника света от освещаемой площадки, k — сила источника света.
1587. К реке шириной а м построен под прямым углом канал шириной b м. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?
1588. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной а р, и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости v плавание судна будет наиболее экономичным?
1589. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту величина ее будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен Л?
1590. В чашку, имеющую форму полу шара радиуса а, опущен стержень длины I > 2а. Найти положение равновесия стержня.
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта
1е. К а с а н и е л-r о порядка. Говорят, что кривые у = <р(х) иу«ф(х)
имеют в точке х, касание п~го порядка (в строгом смысле!), если Ч>(*) (х0) = фЛ (f0) (k = 0, 1, .... п) и Ф<п+Ч(хв) ¥ Ф<п+»>(хв).
168 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В этом случае при х х0 имеем:
<р (х) — <|> (х) = О* [х — х0]я+1.
2°. Круг кривизны. Окружность
(х - £)2 + О/—П2) = Я*.
имеющая с данной кривой у = / (х) касание не ниже 2-го порядка, называется' кругом кривизны в соответствующей точке. Радиус этого круга
0 + »,!)м izi-
называется радиусом кривизны, а величина k — —— — кри*
Г\ визной.
3°. Э в о л юта. Геометрическое место центров (5, п) кругов кривизны (центры кривизны)
у" У
называется эволютой данной кривой у = [ (х).
1591. Подобрать параметры k и b прямой у = kx + b так, чтобы она имела с кривой у = х3—Зх3 + 2 касание порядка выше первого.
1592. При каком выборе коэффициентов а, b и с парабола
у = ах3 4- Ьх 4- с
имеет в точке х — х0 касание 2-го порядка с кривой У = е*?
1593. Какой порядок касания с осью Ох имеют в точке х = 0 кривые:
а) у = 1 —cos х; б) у — tg х—sin х;
в) у^е— (1 + x + y).
1594. Доказать, что кривая у — e~w при х Ф О и у = 0 при х = 0 имеет в точке х — 0 с осью Ох касание бесконечно большого порядка.
1595. Найти радиус и центр кривизны гиперболы ху = 1 в точках: а) М (1, 1); б) N (100; 0,01).
Определить радиусы кривизны следующих кривых: 1596. Параболы у3 — 2рх.
1597. Эллипса — + -4 = 1 {а > b > 0), а2 й2 /
5 14. КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ
169
1598. Гиперболы ——— = 1. н а« Ьг
1599. Астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3.
1600. Эллипса х — a cos t, у = b sin t.
1601. Циклоиды х = a (t—sin /), у = а (1—cos/)'.
1602. Эвольвенты круга х = a (cos / + / sin /), у = — a (sin /—/ cos /).
1603. Доказать, что радиус кривизны линии 2-го порядка у2 = 2рх—ух2 пропорционален кубу отрезка нормали.
1604. Написать формулу радиуса кривизны линии, заданной в полярных координатах.
Определить радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах (параметры положительны): 1605. Спирали Архимеда г — а<р.
1606. Логарифмической спирали г — аетЧ>.
1607. Кардиоиды г = а (1 + cos <р).
1608. Лемнискаты г2 = a*cos 2<р.
1609. На кривой у — In х найти точку, кривизна в которой наибольшая.
1610. Максимальная кривизна кубической параболы у = (0 < х < + оо, k > 0) равна ——. Найти
* 6 1000
точку х, в которой достигается эта максимальная кривизна.
Составить уравнения:
1611. Эволюты параболы у2 = 2рх.
1612. Эволюты эллипса — + — = 1.
а* Ь*
1613. Эволюты астроиды х2/3 + у2'3 = а2/3.
1614. Эволюты трактрисы
х = a In
1615. Эволюты логарифмической спирали г — aemv.
1616. Доказать, что эволюта циклоиды
х — а (I — sin /), у = а (1 — cos /) есть также циклоида, отличающаяся от данной только положением.
170
ОТДЕЛ и. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 15. Приближенное решение уравнений
1°. Правило пропорциональных частей iметод хорд). Если функция [ (х) непрерывна на сегменте а, Ь] и
f (а) I (Ь) < 0,
Причем £' (х) Ф 0 при а < х < Ь, то уравнение
t (х) = 0 (1)
имеет один и только один действительный корень £ в промежутке (а, Ь). За первое приближение этого корня можно принять значение
= в + 0t,
где
61
Г(Д)
(Ь-а).
Применяя далее этот способ к тому нз промежутков (a, xt) или (xt, Ь), на концах которого функция f (х) равнозначна, получим второе приближение х, корня £ и т. д. Для оценки л-го приближения хл справедлива формула
|хгя —51 < ' Z('r"?l » (2)
т
где т = inf Ц'(х)|, причем а<х<Ь
lim хп = Е.
2°. Правило Ньютона (метод касатель* и ы х). Если /" (х) #= 0 на сегменте (а, Ы и / (в) f" (а) > О, то за первое приближение Ei корня £ уравнения (1) можно принять значение
Повторяя этот прием, получаем быстро сходящиеся к корню Е последовательные приближения Ел (я = *> 2, • • •)> точность которых оценивается, например, по формуле (2).
Для грубой ориентировки полезно нарисовать набросок графика функции у — t (х).
Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до 0,001 корни следующих уравнений:
1817. Xs—бх4-2 = 0. 1618. х*—— х—1=0.
1619. х—0,lsinx=2. 1620. cosx = xs.
Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующих уравнений:
$ 15. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 171
1621. х?+-^-=10х (с точностью до 10“*).
1622. xlgx=l (с точностью до 10"’).
1623. cos x-ch х = 1 (с точностью до 10"?) (для положительного корня).
1624. х + е* — 0 (с точностью до 10"’).
1625. х th х = 1 (с точностью до 10"’).
1626. С точностью до 0,001 найти три первых положительных корня уравнения tg х — х.
1627« С точностью до 10"? найти два положительных
корня уравнения ctgx=—-----
ОТДЕЛ ПГ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
1°. Понятие неопределенного янтег* рала. Если функция [ (х) определена и непрерывна на промежутке (в, Ь) и F (х) — ее первообразная, т. е. FH (х) “ j (х) при а < х < Ь, то
f t (х) dx — F (х) + С, а < х < Ь, г* С — произвольная постоянная.
2s.Основные свойства неопределенного антеграла:
a) б) fd®(x)-®(x)+Cj
в) f Af (х) dx “ A f f (x) dx (A — const) A OJj
Г) f [/(*) +a(*)]<!«-If (*)<tx +(x)dx.
3°. Таблица простейшая интегралов:
I. fx*dx- ^- .-b C («?< -1). «+1
II. f —-ln|x|+ C (x^o). J x
III С ** r- f arctg x+C, J 1 x1 t — arcctg x+C.
IV. ( ——— = — In I 1 + *-1 + C.
J 1—x* 2 | 1—x |
У Г dx Г arcsin x+C, J 'y/l—x* I —arccosx+C.
vi. C ——=inix4-v?m+c.
J Vx2 ± 1
VII. faxdx = -^ + C (a>0, a 1); f e'dx - e* + C. Ina
VIII. f sinxdx » — cosx-f- С, IX. j cos xdx =sinx-f- C.
$ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173
X. С —^—= — ctgx+ С.
J sin’x
XI. f —- = tgx-bC.
J, cos’x
XII. J sh x dx ch x + С. XIII. f chxdx — shx-}- C..
XIV. — cthx+C.
J sh’x
XV. f—— =thx+C.
J ch*x 4°. Основные методы интегрированна, а) Метод введения нового аргумента. Если
f t (х) dx = F (x) + С,
то
f | (и) du — F (и) + C, где и " <p (x) — непрерывно дифференцируемая функция.
б) Метод разложения. Если
t (*) “ 11 (*) + 1з W.
то
f t(x) dx = f 11 W dx + f f, (x) dx.
а) Метод подстановки. Если [ (x) — непрерывна, то, по* лагая
* = <Р (0.
где <р (0 непрерывна вместе со своей производной <р' (/), получим f L (*) dx = f I (<p (0) <p' (0 dt.
г) Метод интегрирования no частям. Если ано — неко* торые дифференцируемые функции от х, то
J и dv = uv — f о du.
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:
1628. /(3—x2)’dx. 1629. x)*dx.
1630. f(l— х)(1— 2х)(1— 3x)dx.
,e3'-
174
ОТДЕЛ HL НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1635. ( (1~ *)3 dx. J *
1636. J(1---dx.
1637 f (V2x~ —Узх)2 dx. J x
1638. ( V^4+x-*+2 1639 f
J x5 J 1 + *»
1640. f- *M* . 1641. f-^t3 dx.
J 1 —x* J x2 — 1
1642. (-yi+y+VLEgL dx.
J Vl— x«
1643. ( dx.
J Vx<— 1
1644. f(2‘+3‘)sdx. 1645. 1646. ( ±X dx.
J 10* J e*+l
1647. f (l-4-sinx-{-cosx)dx.
1648. f VI—sin 2x dx (0 < x < n).
1649. f ctg2 xdx. 1650. ftg2xdx.
1651. f (ashx-4-6chx)dx. 1652. f th2xdx.
1653. [cWxdx.
1654. Доказать, что если// (x)dx == Г(х)4-С, то J/(ax4- Ь)dx= -i-F(ax + b) +C (e=/=0).
Найти интегралы: 1655. 165e- J(2x—3)wdx.
1657. j |/T=37 dx.
$ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 171
dx 2 —Зх»’
1658. (—— ..........
J V2 —5» 1659. (-----------.
J (5х-2)®/2 J660. ( У-~ --+-
J 1—х 1661. (——------.
J 24-Зх» 1663. С .
J V2 —Зх» 1664. f dx .
J л/Зх» —2
1665. /(е-х+е~2х)<1х. 1666. .f (sin5x—sln5a)dx4
1667. С--------—---------.
J sin» (2х 4- —
1668. (----—----. 1669. С-----—---.
J 1 + COS X J 1 — COS X
1670. (---------.
J I 4- sin х
1671. J[sh(2x+l)+ch(2x—l)]dx.
1672. f—. 1673. Г——-------
J ch» — J sh* —
2 2
Путем надлежащего преобразования подынтеграль ного выражения найти следующие интегралы!
1674. С -f dx .
J V1—X1
1675. f х*}/ 1 -4-х» dx.
1676. f———. 1677. f———.
J 3 —2х» J (1 + x»)»
1678. ( *dx , 1679. ( x!l<fx .
J 4-J-x* J x» — 2
176 ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1680.
Указание. —— — 2d(*Jx). ^х
1681. f sin —.—
J XX2
1682. С----------.
J хл/х’4-1 1683. С....-dx-...
J X — * 1685. С——-------.
J (х1 -D372 1687. С——..........
J Vx(i + *)
1684. С------—-----
J (**+1)3/2
1686. (------——
J (8х* + 27)2/3
1688. С— dx........
1690.
3 2 + е*
1689. fxe~**dx.
1692. С dx
J Vl+«“ 1693. f-^—^-dx. 1694. f------—-------.
J X J x In x In (In x)
1695. j sin6xcosxdx. 1696. f sin—-dx. j V c°s*x
1697. f tgxdx. 1698. fctgxdx.
1699. C 3sinx.±cosx dx.
j y^sin x — cos x 1700. C sinxcos *.........dx.
J ^a2 sin2 x + ft* cos* x
1700.1. f sinx dx. 1700.2. f —5SL*— dx.
J ^cos2x j Vcos2x
1700.3. C *hx....dx.
J Vch 2*
$ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 177
1701. f---------------.
J sin1 * * х / ctg х
1702. f-------—-------. 1703.
J sin’ x + 2 cos* x J sinx
1704. C-^—. 1705. 1700.
J cos x J sh x J ch x
1707. C — shxchx dx. 1708. C-------------** ....
J Vsh4x + ch4x J ch’xj/’th’x
1709. ( are^x dx.
J 1 + *’
1710. C---------dX...........
J (arcsin x)* л/1 — x*
1711. д/ dx.
1712.
J ^+1
Указание, +-^j-^dx = d^x-------------—
1713. ( x*~1 dx. 1714. f... .
b'+l J (x»+ I)4
1715. С .-х-^х , -.
j Vi+*rt+*
1716. f—!— In-^-Lrfx. J 1 —X* 1—X
1717 f cosxdx J -\/2 + cos 2x
1718. ( sinxCOsx—dx. 1719. ( У 3<- dx.
J sin4 x + cos4 x j 9х — 4*
______xdx__________
1 + x’ 4- Vil + 'T
Применяя метод разложения, вычислить интегралы: 1721. jx»(2— 3x*)*dx. 1721.1. fx(1 — x)“dx.
1722. C-li-i-dx. 1723. (-‘Z—dx.
J 1—x J l+x
^2—2383
178 ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1724. f-!—- dx. 1725. f -fl ± dx.
1726. f dx. 1727. f----------^-rzrdx.
J 2-х» J (l-x)W
1728. f—dx.
J x+1
1729. C dx
J x + 1 + л/x—l
1730. |хд/2 —5x dx.
Указание. XBa -“—(2 — 5x) + — . 5 5
1731. (——------.
J ^1-37
1732. fx’l'l+'x* dx.
1733. f-----—-----.
J (x — l)(x + 3)
Указание ' и — [(* + 3) — (x — 1)]. 4 ,«<naa i dx «тос t
dx
(x’+l)(x« + 2)
1737.
1739.
1736. f------—-------.
(X» - 2) (xa + 3)
-----~ . 1738. f-—- (x + 2)(x + 3)--------------------J x*+3x»+2
-----—------(a^b). (x+aHx+&)»
1740. f------—-------(a2#=b2).
J (x» + e») (x’+b’) v ’
1741. fsin’xdx.
1742. Jcos’xdx. 1743. f sinxsin(x-4-a)dx.
1744. Jsin3x*sin5xdx.
1745. ( cos — • cos — dx. J 2 3
1746. j* sin ^2x—cos^3x+ dx.
$ I. простейшие неопределенные интегралы 179 1747i f sin’xdx. 1748. f cos’ xdx.
1749. f sin* xdx. 1750. f cos*xdx.
1751. Jctg’xdx. 1752. f tg3xdx.
1753. fsin’3xsin’2xdx. 1754. f-----—-----.
J sin*x cos’ x
Указание. 1= sin’x + cos’x.
1755. f-----—------
J sin1 x.cos x
1757. f_£^L5_dx. J sin x
1759. ( dx .
J l + e«
1761. fsh’xdx.
1762. fch’xdx.
1756. ------------.
J sinxcos3x
1758. .
J cos*x
1760. C-(1±jff-dx. J l + e“
1763. Jshxsh2xdx.
1764. j ch x-ch 3x dx.
sh2xch3x
Применяя подходящие подстановки, найти следую* щне интегралы:
1766. fx«t<T=7 dx.
1767. Jx’(l—5x’)wdx.
1768. С- **.....dx. 1769. С •? dx.
J <2 —x J Vl — x’
1770. J xs(2 —5x3)2/3 dx. 1771. f cossx-Vsinx dx.
1772 ( sinxcos3 x J773
I i-f-cos’x J cos’x
In xdx
X V1 + in * dx
*
1776. C----—----.
j Vi+^_
1777. Г arctg Vx dx
J Vx 1 + x *
1774.
1775.
180
ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Применяя тригонометрические подстановки х= = a sin t, х = a tg /, х = a sin2/ и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):
1778. С------—------
J (1-х2)372
1780. dx.
1781. С-------------
J (х24-а2)3/2
1779. f—***—. J V*2 —2
1782. \ л/-^- dx. 1783. ( х л/..........dx.
J V в — х J V 2а — а
1784. С—------
J V(x — а)(Ь — х)
Указание. Применить подстановку х—a sin11.
1785. f V(*—a)(5-х) dx.
Применяя гиперболические подстановки х = a sh /, х = a ch t и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):
1786. JVa2+x2 dx.
*787. С --------dx.
J д/а1 + ха
,788-
1789. C —... dx -------.
J V(x+a) (*+*) 1790. f ^(x + a)(x+b) dx. Указание. Положить x + a =“» (b—a) sh2/. Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
1791. flnxdx. 1792. f*"lnxdx (п^— 1).
1793' $(’V") dx’ 1794* ln’xdx’
1795. $xe-xdx. 1796. fx’e-^dx.
1797. Ixte-'dx. 1798. fxcosxdx.
$ I. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181
1799. Jx8sin2xdx. 1800. fxshxdx.
1801. fxsch3xdx. 1802. J arctg xdx.
1803. f arcsin xdx. 1804. fxarctgxdx.
1805. f x2 arccos xdx. 1806. J
1807. j ln(x + Vl + x2^ dx.
1808. f x in 1 'fr-* dx. 1 i — i
1809. j arctg -y/x dx. 1810. f sin x-ln (tgx)djc.
Найти интегралы:
1811. fx*e2*dx. 1812. J (arcsin x)8dx. 1813. J x (arctg x)2 dx.
1814. ( x2 indx.
J 1 + x
1815. 1 *Mx+V» + x2)
J VI + *2
1816 f ** dx 1817 f л
’ ' ’ J (1 + x2)2 ’ ’J (a’+x2)’ ’
1818. JVa2—x2 dx. 1819. j V?4-e dx.
1820. j x2 д/а2 + x2 dx. 1821. jx sin8 xdx.
1822. Se^dx. 1823. fxsinVxdx.
1824. 1 — dx.
} O + x2)^
1825. ( —-—-— dx. 1826. f sin (In х) dx,
J (1 + «*) я
1827. f cos (in x) dx. 1828. j e”* cos bxdx.
1829. f eax sin bxdx. 1830. f e2* sin2 xdx.
1831. f(e*—cosx)2dx.
1832. {™^-.dx. 1833. f dx.
J e* J sin2*
1834. f xdx~, 1835. f———dx.
J COS2* ) (*+ I)2
Нахождение следующих интегралов основано на привед» нии квадратного трехчлена к каноническому виду н примене*
182 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
нии формул: , f dx
— arctg — + C (e 0). a a
dx 1
в2—X2
X dx
I e —x — In I fl2 ± 2
±С (e#=0).
dx
arcsin-----f-C (e>0).
a
V.
—----= lnlx+Ух*±а* l + C (e>0).
VI-
xdx
± Ve2±x2 +с (e>0).
VII. Г Ve» —x« dx = —
2
а*
arcsin-----f- С (д > 0).
a
VIII. J Vx2 ± a* dx <= -y- Vx2 ± a2 ±
± -y- in| x+ Vx2 ± e2 I + C (flJ>0).
Найти интегралы: 1836’ f « (ab^O).
J e 4- bx*
dx
1846.
Зх2 —2x— 1 (*+ »)
xdx x* —2x2—1 xdx
i?dx
dx
x2 — 2x cos а + 1 x*dx
x* — x3 — 2
3sin2 x — 8 sin x cos x + 5 cos’ * dx
sin x + 2 cos x + 3 dx
(&¥=0).
2
$ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
183
1847. С- . 1848. С——---------
J V* - 2* - ** J V* + х* 1849. f —-.....dx-.—.
J V?** —*+2 1850. Доказать, что если у = ах' + Ьх + с (а #= О)1, то
= —1— inlJL_ + V^ 1+с ПРИ а>°
J Vy Уа и
dx = 1
Vy V—в
1851. С—
J д/б+х — Хг
1853. С— xdx
J Vl —Зх1 —2*«
arcsin
...........i-С при а<0.
-у/р-Ьос
1852. С— , dx.
J V** + *+l
1853.1. f -— cos£.dx-
J V* + sin «+ cos’* 1854. C—------.....
J V*‘ —2*’—1 1855. Г—--x±--.dx-
J V1+ *» —X*
1856. I---—--------.
J xV**+x+ 1 1857. f----- - dx
J X* V •** + X — 1 1858. C---:.......-
J (x+l)V*’+l
1859. \..............-.
J (x—l)Vx’ —2
I860. I ---------
J (x+2)*Vx“4-2x —5
1861. j^ + x—x* dx. 1862. f^+x-l-x'dx.
184 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1863. f д/х* + 2л8—1 х dx.
1864. С—-dx. 1865. C—dx.
J x V1 + X — x8 J x V x4 + 1
§ 2. Интегрирование рациональных функций
Применяя метод неопределенных коэффициентов найти следующие интегралы:
2x4-3 (х —2)(х4-5)
1867.
1868.
1870.
1872.
1873.
1874.
xdx
(х 4- 1) (х 4-2) (х 4-3)
——----------. 1869.
-----------dx. 1871 х*4-5х*4-4
*-Н, -dx. (х4-1)’(х-1)
((-----------Ydx.
J\ х’ —3x4-2 /
Г__________dx________
J (х-Ь 1)(х4-2)»(х4-3)»
——212-----dx.
х»-5х»4-6х
xdx
X8 —3x4-2
1875.
1876.
___________dx__________
х*4-х4 —2х3—2xz4* x-Ь 1
**+?*+4-dx. 1877. (------£-------.
х«4-5х»4-4 J (х4- 1) (х84-1)
Г__________dx _________
J (х8 —4x4-4) (х2 —4x4-5)
1879.
________xdx_________ (х— 1)2(х24-2х4-2)
$ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ IN
1888. f-------------.
J xfi — х* + зР — х*+ х — 1
1 а *
1 х*+Зх> + -^-хг + Зх 4-1
1890. При каком условии интеграл
С .«*+»*+£. dx
) Х»(Х—1)’
представляет собой рациональную функцию?
Применяя метод Остроградского, найти интеграл»
1891. f--—------. 1892. f——----
J (х—!)*(*+!)’ J (x’+l)1
,89Чт^' l8M'f (.X-F-
1895.
1896.
dx
(X«+1)’ ‘ xa4-3x —2
(x-Dlx’+x+D1
dx (x4-l)’
Выделить алгебраическую часть следующих интегралов:
1898.
1900.
____£±»_____dx. (x«+x*+l)’
' ..dx.
(х»+х+1)»
J (х*4-х+1)’
1901. Найти интеграл
dx
х«+2х»+Зх»4-2х+1
1902. При каком условии интеграл Г ах»+2Рх + ?
J (ex’+ 2&х + с)а представляет собой рациональную функцию?
186
ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Применяя различные приемы, найти следующие ин тегралы:
1903. [ dx. 1904. f-x<to J (х-1)«° J X<*-1
1905. f . 1906. f dx. J хЧ-3 J x’4-1
1907. f dx. 1908. f —— . J X (x*4- 3x< 4- 2) J (x“—10)3
1909. f . 19Ю. f — , J xe4-3x44-2 J (x1»4-2x*-4-2)s
1911. P ylrt-1 e P уЗЛ“1 \ ^--dx. 1912. f——-dx. J x"4-l J (хгл4-1)г
1913. f — . 1914. ( — . J x (x104-2) J x(x«4- 1)»
1915. \-^*-dx. J *(14-x7)
1916. f rfx. ) x(x* —5) (*» —5*4-1)
1917. (- dx. J x*4-x»4-l
1918. f dx. J x*4-x»4- x»4-x4-1
1919. \*^L_dx. 1920. f-^±-Ldx. J *•4-1 J *•+!
1921. Вывести рекуррентную формулу для вычис ления интеграла
1п = С--------------(а Ф 0).
J (дх* 4- 6х 4- с)" Пользуясь этой формулой, вычислить
, Г dx
’ J (*’4-*4-О3 ’ Указание. Использовать тождество
4а (ax’ 4- Ьх + с) = (2ax + b}* + (4ас—6s).
1922. Применить подстановку t = числения интеграла
ДЛЯ ВЫ'
/=f-------£------
J (X 4- а)т (X 4- 6)" (тип — натуральные числа).
s S. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ И7 Пользуясь этой подстановкой, найти
Г dx
} (* — 2)» (ж 4-3)» ‘
1923. Вычислить
если Рп (х) есть многочлен степени п относительно х.
Указание. Применить формулу Тейлора.
1924. Пусть /? (х) /?* (х‘), где /?* — рациональная
функция. Какими особенностями обладает разложение функции /? (х) на рациональные дроби?
1925. Вычислить
Г dx
J 14-’ где п — целое положительное число.
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы: 1926. f———.
J 14-7*
1927. С--------------—.
J *(14-27* 4-V*)
1928. Г — dx.
J *4-/24-*
1929. f ~dx.
J 14- /*4-1
1930. f-----.
j (14-Vx) /x
1931. f
j /*4-1 4- V*— 1
1932. C —---
J V(*4-Da(x-l)‘
183 ОТДЕЛ III. неопределенный интеграл
1933. С (а>0).
J у х3 (а — х)
л У
1934. \-------------------- (п—натуральное чис-
J V(X — а)п^(х — b)n~i
ПО).
1935.
dx
Указание. Положить
u2—1 2и
1936. Доказать, что интеграл f /? [х, (х—а)р/п(х—by^dx, где R — рациональная функция и р, q, п — целые числа, является элементарной функцией, если
р + q — kn,
где k — целое число.
Найти интегралы от простейших квадратичных иррациональностей:
1937. f х' ----------dx,
J V1 + X + X»
J (X + 1) Vx’ + x+ i
1 oua, 1 ---—•
J (1 —x)*Vl-x»
IMO. f VZ+5+L dx.
J x
1941. C-----x-dx...
J (1 + x) V 1 — X — x2
1942. f ;-x + <-rfx.
J V1 + x — x2
Применяя формулу
J У л У
где у = а]ах2 + Ьх +с, Рп (х) — многочлен степени п,
$ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 189
Qn-i U) — многочлен степени п—1 и X — число, найти следующие интегралы:
1943. f — ** - dx. 1944. С —1-^-
J V> + 2x —х2 J Vl + J
1945. f x* -у/a2—x2 dx.
1946. C JcS~~6*!,+ llx~--dx.
1947. f----d*._ .. 1948. C----•**
J Xs Vx2+ I J ** "V **— 1
1949. C-------**
J (x—l)sV*’+3x+1
1950. C-------.....— .
J (x+l)»V*s+2x
1951. При каком условии интеграл
f 01^+<>1Х+С1 dx J Vex* + 6x 4- c представляет собой алгебраическую функцию?
Найти ( dx, где у = л/ахг + Ьх+с, раз-J Q (*) у
. Р (х) .
лагая рациональную функцию на простейшие Q (х)
дроби.
1952.
xdx________
/1 + 2х — х2
1953.
1954.
1955.
1956.
1957.
(х2 —Зх + 2) V*’ —4* + 3 dx___________
(1 + х2) <1-х2
190
ОТДЕЛ ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
1958. \ ----- - - .
J (x*+l)V*’—1
1959. С------... .
J (1-х*)У1 + х*
1960. [-^~^-dx. J **+1
Приводя квадратные трехчлены к каноническому виду, вычислить следующие интегралы:
1961. С-----------—
J (х*+х + 1) Vje*4-x — 1
1962. С------------- —
J (4 — 2ж + ж1) V2+2x—х»
1963. С -----.
J (ж* 4- ж 4-1) V**4- *4* I
1964. С помощью дробно-линейной подстановки х > ®4" «в вычислить интеграл
Г__________dx__________
J (ж8 — ж4-1) V*’4-*4" 1
1965. Найти _________________dx_________
(ж14-2) V2** —2ж4-5
Применяя подстановки Эйлера
1) Vox*4-fex4-с = ±д/ах 4-г,если а>0;
2) Vax*4-bx4-c =xz ± д/с, если с>0;
3) д/а(х—xi)(x—х») =z(x—xj, найти следующие интегралы:
1966. С------ ....
J ж4- Vх*4- *4- 1
1967. f---------------.
J 14- V1 — 2ж — ж»
1968. jxVx*—2x4-2 dx.
$ S. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 191
1969. С *-^ + 3*+2-dx.
x-|-Vx3-|-3x-|-2 dx
1970. I---------------—.
J [1 + Vx(l + *)J
Применяя различные методы, найти следующие интегралы:
1971. f ***
J л/хг+ 1 — л/*’—1
1972. f ----xdx ......- .
J (I — х3) VI — x3
J yj2 1 — x -]• 14” x
1974. (—*+ + *„+ ** - dx,
J 1 X -|- V1 "Ь X *Ь X3
1975. ( V^+.P -dx,
J Vx + Vx+ 1
1976. C---
J (X3 + 1) Vx*+ 1 1977 C <** Ч 4x
J (x3 — 1) Vx*+ 1
J xVx*+ 2x3— 1
1979. f----<X*.+ P,d* .
J X X* -|- X3 + 1
1980. Доказать, что нахождение интеграла f R (x, -y/ax + b , -yjcx + d)dx, где R — рациональная функция, сводится к интегрированию рациональной функции.
Интеграл от дифференциального бинома
f xm(a+*x")₽dx.
где т, п и р — рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебышева)'.
Случай 1. Пусть р — целое. Полагаем х = zN, где N — общий знаменатель дробей тип.
19J отдел III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
С л у ч а fi 2. Пусть целое. Полагаем а + Ьхп =•
п
» Xм, где N — знаменатель дроби р. — • «ч Ж Ч" 1 , _
С л у ч а и 3. Пусть —+р — целое» Применяем под-п
стаиовку ах~п + Ь •= г*, где W — знаменатель дроби р.
Если п •= 1, то эти случаи эквивалентны следующим;
1) р — целое; 2) т — целое; 3) т + Р — целое.
Найти следующие интегралы:
1981.
1989. У^Зх—х1
1990. В каких случаях интеграл JVI +х"* dx,
где т-— рациональное число, представляет собой эле* ментарную функцию?
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида f tinmx cos" х dx, где т я п — целые числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований или применением формул понижения.
, 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
193
Найти интегралы:
1991. Jcos5xdx. 1992. Jsin*xdx.
1993. j*cos*xdx. 1994. J sin*xcos*xdx.
1995. f sin*xcos5xdx. 1996. fsin5xcos5xdx.
1997, C sin3<-dx. 1998. ( cos<x-dx.
J cos4x J sin’x
1999. ( dx, 2000. ( dx—.
J sin’x J cos’x
2001. f-----—------. 2002. f — dx—
J sin4xcos4x J sin’xcos*x
2003. V-----^-7— •
J sinxCOS*X
2004. j tg5xdx. 2005. Jctg*xdx.
2006.
J cos4 X
2007.
J -ysin3 x cos* x
2008. C-----dx 2009. C -4-~ .
J cosx / sin’x J Vtgx
2010. C———.
J Vie*
2011. Вывести формулы понижения для интегралов;
a) In = fsin”xdx; б) K„ = fcosnxdx (n>2) и о- помощью их вычислить
J sin* xdx и f cos® хdx.
2012. Вывести формулы понижения для интегралов*
а) = б) = <и>2)
J 61ПЛ X J COS" X
и о помощью их вычислить
f dx и .
J sin4 x J cos’ x
Следующие интегралы вычисляются с помощью применения формул:
I. sin a sin 6 «= — (cos (а — 0) — cos (а + 0)).
2
13-2”3
194
ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
II. cos a cos р = - [cos (а — Р) — cos (а -f- Р)].
III. sin а cos р = — [sin (а — P)4-sin (а + Р)[.
2
Найти интегралы:
2013. j*sin5xcosxdx. 2014. fcosxcos2xcos3xdx.
2015. (sinxsin — sin — dx.
J 2 3
2016. fsinxsin(x4-a)sin(x + &)dx.
2017. f cos2 ax cos2 bxdx. 2018. f sin32x-cos23xdx.
Следующие интегралы вычисляются путем применения то;к« деств:
sin (a — Р) = sin [(х + a) — (х + Р)] и
cos (a — Р)» cos [(х + a) — (х + Р)[.
Найти интегралы:
2019. (---------—----------.
J sin (х 4- a) sin (х + 6)
2020. (---------—----------.
J sin (х + a) cos (х + Ь)
2021. (--------------------
J cos (х + a) cos (х + 6)
2022. С------—------. 2023. (-------—------.
J sinx — sin a J cosx-f-cosa
2024. ftgxtg(x 4-a)dx.
Интегралы вида
J R (sin x, cos x) dx, где R — рациональная функция, в общем случае приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью подста* иовки ‘g — = t.
а) Если выполнено равенство
R (— sin х, cos х) ea — R (sin x, cos x) или
R (sin x, — cos x) ва — R (sin x, cos x), то выгодно применять подстановку cos x = t или соответственно sin x = t.
б) Если выполнено равенство
R (— sin x, — cos x) R (sin x, cos x), то полезно применять подстановку tg x = t.
s 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
199
Найти интегралы:
2025. Г dx J 2 sin x — cos x 4- 5
2026. Г dx J (24-cos x)sinx
2027. f dx. 2028. f d4 ; J sin x 4- 2 cos x J 14- e cos x
а) 0<е< 1; б) е>1.
2029. г—2030. ( ——- J 14- sin2 x J a* sin* x 4" b2 cos2 x
2031. Г cos* x dx j (a2 sin2 x 4- b* cos1 x)*
2032. sinxcosx dx. J sin x 4- cos x 2033. f-------—---------
J (a sin x 4- b cos x)2
2034. (--------------
J sin3 x 4-cos* x 2035. V--------------.
J sin* x 4- cos4 x 2036. ( -s-*n‘*cos8x dx.
J sin’x 4-cos* x 2037. C cos* x dx
J sin4 x 4- cos4 x 2039. f-------—------.
J sin* x 4" cos4 x 2041. Найти интеграл I
J a sin x 4- b cos x знаменатель к логарифмическому виду.
I. Г sinxcqsx dx
J 14- sin* x
Г_________dx
J (sin* x 4- 2 cos* x)* dx
приведя
2042. Доказать, что
С gismx4- 6x cosx dx_ g |n j a s;n x_|_ & cos x 1 j a sin x 4- b cos x
где А, В, C— постоянные.
Указание. Положить
o1sin x 4" 6tcos x = A (a sin x 4" b cos x) 4" В (a cos x—b sin x), где А и В — постоянные.
Найти интегралы:
2043. ( .^ x-cosx dx. 2043.1. (------------------dx.
J sinx4-2cosx J sinx—3cosx
13
196
ОТДЕЛ HI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ gj sinx+^i cosx (oi sin x + b cos x)1
2044. (----.
J 3+5‘g* 2046. Доказать, что
e Ax + B ln|asinJt + a sin x + b cos x 4- c
4-bcosx
_________________________________________dx________ a sin x-|- 6 cos x + c где А, В, C—некоторые постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2047. f sinx+-2c^.-Ldx. J sinx — 2cosx-hd
2048. C------—------------dx.
J sin X + cos X
2049. C 2 sin x +cos x
J 3 sinx 4-4 cosx — 2
2050. Доказать, что
f Qi sin» x + 26t sin x cos x + Ci cos2 x sjn x_|_
J о sin x + b cos x
4- В cos x 4- C (--—---------1
J a sin x 4- b cosx где А, В, C — постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2051 f sin1 х — 4 sin х cos х 4- 3 cos1 x J sin x-i- cosx
2052 f sin8 x — sin x cos x 4- 2 cos1 x J sin x 4- 2 cos x
2053. Доказать, что если (а—с)2 4- Ь2=#= 0, то _______Qi sin х4- 6t cos х_dx =
a sin1 x 4- 26 sin x cos x 4-c cos’x
= A f —-------------+ В ( ——
J 6|U2 4* j 4- Kj
где А, В — неопределенные коэффициенты, Xx, X,-корни уравнения
|a7* \| = 0 (Xi=#M,
I О С — А)
щ = (а— Msinx + bcosx и k{
а —
— (i = l, 2).
f 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
197
Найти интегралы:
2054. (..2s4*-cos/..dx.
J 3 sin2 ж 4-4 cos2 х
2055 С(sin х + cos х) dx
J 2 sin2 x — 4 sin x cos x + 5 cos’ x
2056. ( Sinx-2^.A. dx
J 1 + 4 sin x cos x
2057. Доказать, что
_________dx____________ (a sin x 4- b cos x)n
A sinx-f- fl cos x ca 1 —
(a sin x 4- b cos x)n-1
dx
(asinx+bcosx)""2
где А, В, C — неопределенные коэффициенты. 2058. Найти f-----------------—.
J (sin x 4-2cos x)*
2059. Доказать, что
dx A sin x
(a 4- b cos x)n (a 4- b cos x)n~x
н в (--------—---------h c C--------—-------
J (a 4- b cos x)n"x J (a 4- b cos x)n~*
и определить коэффициенты А, В и С, если п — нату ральное число, большее единицы.
Найти интегралы:
2060.
2061.
2062.
2063.
Г_______sin х dx____
J cos x V1 + sin2 ж f sin’ x .
I--------------dx.
J COS2 X д/ig X f s*n x<*x
J s*n 2х
f (.,dX .7 (0<e<l).
J (14-8 COS X)2
2064.
„ i x+ a cos” 1 -------
?
Sin«+i
dx.
2
198
ОТДЕЛ ш. неопределенный интеграл
cos .. -
о Указание. Положить i »-------------.
x — a sin —— 2
2065. Вывести формулу понижения для интеграла г* / — „ \ «
sin -----
2
dx
sin
2
(n — натуральное число).
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных функций
2066. Доказать, что если Р (х) — многочлен степени п, то
f P(x)e“dx =
_^[^^L+,,. + (_1).^L]+c.
2067. Доказать, что если Р (х) — многочлен степени п, то f Р (х) cos axdx= sin ax Г a L , cos ax as
Р"(Х) . PIV (х) а» + а*
Рт (х) РУ (х) а» + а*
Р" (х) . Piv (х) а» + а*
Рт(х) , РУ(х)
и
JP(x)sinaxdx =
|>(x)
, sin ax Гп// т—? <-
Найти интегралы:
2068. jrWx, 2069. f (x»—2x + 2) e~xdx.
2070. jx®sin5xdx. 2071. j* (1 -}-x*)2 cosxdx.
5 8 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ 1S9
2072. Jx’e-*’dx.
2073. J хге^х dx.
2074. J &к cos2 bx dx,
2076. f хе31 sin х dx.
2078. fхе31 sin2xdx.
2080. j cos2 Vх dx.
2075. f e°* sin3 bx dx.
2077. f x2e* cos x dx.
2079. f (x—sinx)’dx.
2081. Доказать, что если R — рациональная функция и числа аи аг, . . . , ап соизмеримы, то интеграл
J R (е01*, ......ea"*)dx
есть элементарная функция.
Найти следующие интегралы:
2082.
2084.
dx
dx е-х _|_ дх _ 2
2083.
1 + е*
dx.
J 14- е*/2 4- ех/3 4- е*/6
2086. dx. 2087.
J (14-^7
2088-
2089. J д/е2*4-4е*—1 dx.
2090. С ................—.
J д/ч- + V i — &
dx
2091. Доказать, что интеграл f R (х) е°* dx, где R — рациональная функция, знаменатель которой имеет лишь действительные корни, выражается через элементарные функции и трансцендентную функцию С dx = И (е°*) 4- С,
J х
где
Пх=
In X
200
ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
2092. В каком случае интеграл f Р(—}e*dx, J \ X /
где Р(—) = ав4-—+ ...+-^- na9,av • • • ,а„— \ X / X х"
постоянны, представляет собой элементарную функцию?
Найти интегралы:
2093. [0---е* dx. 2094. Д1 — -^e~xdx.
2095. f----e“----dx. 2096. f———dx.
J x«-3x+2 J (x-4-1)«
2097. C -dx.
J (x-2)«
Найти интегралы, содержащие функции In f (x), arctg f (x), arcsin / (x), arccos / (x), где f (x) — алгебраическая функция:
2098. J In" xdx (л—натуральное число).
2099. fXs In8xdx. 2100. J(-llL.ydx.
2101. f In |(x4-a)x+a (x + 6?+»] • - dx .
J _______ (x+a)(x+b)
2102. f In*(x4- Vl -J-х*)dx.
2103. fIn(VI—* +V1 +x)dx.
2104. J dx. 2105. f x arctg (x +1) dx.
2106. arctg д/х" dx. 2107. fx arcsin (1—x)dx.
2108. farcsinaJx dx. 2109. fxarccos— dx.
2 *v x arcsin—*—dx.
2111. f_lL£££L£_dx. 2112. f xu^x-dx.
J (1— X*}*/* J (1—X»)»/*
2113. f x arctg x In (l+x*)dx.
i-dx. 2116. X
2119. f shxsh2xsh3xdx.
2121. fcth’xdx. 2122. fdx.
$ в ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ 201
Найти интегралы, содержащие гиперболические функции:
2116. fshJxchJxdx. 2117. fch*xdx.
2118. fsh’xdx.
2120. Jthxdx.
2123. f-----—
J sh x 4- 2 ch x _____________dx___________ sh2 x — 4 sh x ch x 4- 9 cha x ‘ dx
0,14" ch x
2124. f sh ax sin bx dx.
2123.1.
2123.3. f------.
J 3shx —4chx 2125. f shaxcosbxdx.
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций
Найти интегралы:
2126. f---—-----. 2127.
J х” (14-х*)
2128. f---—-----. 2129.
J 14-**+**
2130. \xja/—-—dx. J V 1 — х
Г x*dx
J (1 — Х»)« • г dx
J V*4-3/x
2131. С----*+2 -<£ж
J x2V>—X*
2132. [ х /--------dx.
1-хд/х
2133. С **** 2134. С—————.
J V14-x’ J V*2(l -х)
2135. С-----— 2136. С---..
J х V1 4- х3 4" х* J х Vх* — 2х’ — 1
2137. ( 1~l~^l~x--dx. J 1 — Vl — х»
2138.
2140. f(2x4-3)arccos (2х—3)dx.
2141. fx)n(44-x«)dx.
202 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
2142. f arcsin x 1 + хг & J ** Vi—X»
2143. (' Xln(l+ V14-X*) fa J V1 + *’
2144. fx Vx*+1 In^x2 —1 dx-
2145. f Z in — dx. J Vl—X2 Vl-x
2146. f — . 2147. f dx. J (2 +sinx)2 J sin’x+cos’x
2148. Г dx J sin x V1 + cos x
2149. f ex’ + b , , I 5— arctg x dx. J x’+l
2150. -i^-ldx.
J ~2-l x+i |
2151. Г x in x , I dx. J (l-f-x’)*
2152. rjiarctgx^ 2153 f sin2x J V1 + X2 J V1 + COS* X
2154. f x2 arccos x fa } Vl—X2
2155. f ‘‘«ofeLdc. 2156. t Xarcct^--dx. J 1+x2 J (l + x2)2
2157. C xln(x + Vl + x2) fa J (1—X2)2
2158. f д/1 —xJ arcsin xdx.
2159. f x (1 + xJ) arcctg x dx. 2160. f x* (1 + In x) dx.
2161. f^rcsin^^ 2162 f arctgj^,^ J ex J e*/2(l + e*)
2163. Г dx J (e*«+I)2 —I)2
2164. fyth’x+l dx. 2165. f 1 1 - -(“dx.
2166. 2169. 2170. f|x|dx. 2167. jxlxldx. 2168. J(x + |x|)’dx. f{|l+x|-|l-*l}dx. je-Wdx. 2171. Jmax(l, Xs)dx.
$ в. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
203
2172. f <р (х) dx, где ф (х) — расстояние числа х до ближайшего целого числа.
2173. f [х] |sinnx|dx (х > 0).
. , [ 1—Xs при IX |< 1
2174. f/(x)dx, где/(х)= , .. F '
J ' ( 1— |х| при I X |> 1
1, если —co<x<0j
2175. J/(x)dx, где /(х) =
х+1, если 0<х<Г,
2х, если 1<х<С+«>.
2176. Найти f xf" (х) dx.
2177. Найти / /' (2х) dx.
2178. Найти /(х), если f (х2) = — (х>0).
х
2179. Найти f {х), если /' (sin® х) «= cos’ х.
2180. Найти / (х), если
х f1 при 0<Х<1;
' (х при 1<х<+ оо
и / (0) = 0.
2180.1. Пусть / (х) — монотонная непрерывная функ> ция и Г1 (х)—ее обратная функция.
Доказать, что если
f / (х) dx = F (х) + С,
то
J* г1 (х) dx = xf-1 (х) - F (f-1 (x)) + С.
Рассмотреть примеры: а) / (х) = хп (п > 0}|
б) / (х) = ех-, в) / (х) = arcsin х; г) / (х) = Arth х.
ОТДЕЛ IV
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
Г. Интеграл в смысле Римана. Если функция { (х) определена на [a, bJ и а = х0 < хг < х, < . . . <хп = = Ь, то интегралом функции I (х) на сегменте (а, Ь ] называется число
» п-1
j f (х) dx = lim У t (&) Дх,, (1)
а тах|Дх(|-»0£5
где xt < g, < x,+t и Дх, = х,+1 —х,.
Для существования предела (1) необходимо и достаточно, чтобы нижняя интегральная сумма
п—I
5= у п«,Дх,
,п0 и верхняя интегральная сумма п—I 5= £ м,Дх,» |и*0
где
mi = inf f (х) и sup f(x),
имели общий предел при max | Дх,-1 0.
Функции f (х), для которых предел в правой части равенства (1) существует, называются интегрируемыми (собственно) на соответствующем промежутке. В частности, а) непрерывная функция; б) ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва; в) ограниченная монотонная функция,— интегрируемы на любом конечном сегменте. Если функция / (х) не ограничена на сегменте [а, 6], то она собственно неинтегрируема на [а, 6|.
2°. Условие интегрируемости. Необходимым и достаточным условием интегрируемости на данном сегменте [а, 61 функции I (х) является выполненне равенства
п—I
lim У <о,Дх, = О, max) Дх,|-*О /2)
$ 1. определенный интеграл как предел суммы 205
где <й( = Mt— —колебание функции f (х) на сегменте
2181. Найти интегральную сумму S„ для функции fix) = 1 + х
на сегменте (—1,4), разбивая его на п равных промежутков и выбирая значения аргумента = 0, 1, . . . . . . , п—1) в серединах этих промежутков.
2182. Для данных функций f (х) найти нижнюю S, и верхнюю интегральные суммы на соответствующих сегментах, деля их на п равных частей, если
a) f W = ха I— 2 < х < 31;
б) f(x)=^/x (0<х<1(;
в) f (х) = 2х (0<<х<10].
2183. Найти нижнюю интегральную сумму для функции / (х) — х* на сегменте [1, 2), разбивая этот сегмент на п частей, длины которых образуют геометрическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы при п -► ОО?
2184. Исходя из определения интеграла, найти т f U’o+gO^,
где о0 и g — постоянны.
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:
2 1 Я/2
2185. Г х2 dx. 2186. Га*dx (а>0). 2187. j sinxdx.
—i 6 о
* г j
2188. fcosldt 2189. (0<а<Ь).
о J х’
а
Указание. Положить & = V*ixi+t (1 = 0, 1...л).
»
2190. fxmdx (0<a<tr, m=/= — 1). a
Указание. Выбрать точки деления так, чтобы их абсциссы Х( образовывали геометрическую прогрессию.
Вов ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
»
2191. (0<о<6).
а
2192. Вычислить интеграл Пуассона Я
£ In (1—2а cos х + а*) dx
при: а) |а| < 1? б) |а|> 1. Указание. Воспользоваться разложением многочлена
агя—1 на квадратичные множители. 2193. Пусть функции f (х) и <р (х) непрерывны на la, b ]. Доказать, что
Hm E/(U«p(0<)Axi =J7(x)<p(x)dx, max |3xJ-»O /=<> a
где xt < & < xt+i, Xi < 0< < x1+l (i = 0, 1,... ,n—1) я
Дх{ = Xi+1 —Xt (Xb = a, x„ = b).
2193.1. Пусть f (x) ограничена и монотонна на [0, 1 ]. Доказать, что
V *~1
2193.2. Пусть функция f (х) ограничена и выпукла сверху (см. 1312) иа сегменте (а, А].
Доказать, что
(Ь_а) (Ь—а) f •
2193.3. Пусть f(x)£Cwll, + оо) и f (х) > 0, f (х) > 0, f" (х) < 0 при х £ 11, + оо).
Доказать, что
2 f {k} = f (Л) + Р(Х) +°(1) при п -► оо.
2193.4. Пусть f (х) £ С(,) [а, Ь] и
5 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл как предел суммы 207
Найти lim пД„.
П-+оо
2194. Показать, что разрывная функция f (х) - sgn (sin
интегрируема на промежутке [0, I ].
2195. Показать, что функция Римана
(0, если х иррационально;
ф । х _ т/П'
где т и п (л > 1) — взаимно простые целые числа, интегрируема на любом конечном промежутке.
2196. Показать, что функция
fix' — —-Г—]> если х^
х L х J
и f (0) = 0, интегрируема на сегменте [0, 1 ].
2197. Доказать, что функция Дирихле
(0, если х иррационально;
Х(х)— | j. еслн х рационально, не интегрируема на любом промежутке.
2198. Пусть функция f (х) интегрируема на [а, Н
fn (х) = supf (х) при Xi < X<xi+1, где
хг = а + — (b — a) (i=0, 1, . . ., л; п=1, 2, . . п
О ь
Доказать, что lim ff„(x)dx = ff(x)dx.
2199. Доказать, что если функция / (х) интегрируем^ на [а, Ь], то существует последовательность нёпрерыв* ны.х функций фя (х) (п — 1, 2, . . .) такая, что
С с
j f (x)dx = lim J qn{x)dx приа<с<6. а Л-+00 a
2200. Доказать, что если ограниченная функция / (х) интегрируема на сегменте [a, b 1, то абсолютная величина ее | f (х) | также интегрируема на la, b ], при* чем
t> ь
] f(x)dx <y|f(x)|dx.
а а
208
ОТДЕЛ IV. определенный интеграл
2201. Пусть функция f (х) абсолютно интегрируема ь
на сегменте [а, b ], т. е. интеграл f | f (х) | dx сущест-а
вует. Является ли эта функция интегрируемой на (а, ft]? Рассмотреть пример:
{1, если х рационально;
— 1, если х иррационально.
2202. Пусть функция f (х) интегрируема на [а, Ь] v А < f (х) < В при а С х < Ь, а функция <р (х) определена и непрерывна на сегменте 14, В]. Доказать, что функция <р (/ (х)) интегрируема на [а, ft].
2203. Если функции f (х) и <р (х) интегрируемы, то обязательно ли функция f (<р (х)) также интегрируема?
Рассмотреть пример:
f W =
|0, если х = 0; 11, если х=#0,
в <р (х) — функция Римана (см. задачу 2195).
2204. Пусть функция f (х) интегрируема на сегменте [4, В]. Доказать, что f (х) обладает свойством интег-ь
рольной непрерывности, т. е. lim f | f (х + h)—f(x)|dx = 0, h->0 a
где [a, b] с: [Д, В].
2205. Пусть функция f (x) интегрируема на сегменте b
(a, ft]. Доказать, что равенство f /г (x) dx — 0 имеет a
место тогда и только тогда, когда f (х) = 0 во всех точках непрерывности функции f (х), принадлежащих сегменту [a, ft ].
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных
1°. Формула Ньютона—Лейбница. Если функция I (х) определена н непрерывна на сегменте [а, 61 и F (х) — ее первообразная, т, е. F' (х) = [ (х), то
ь ъ
§ f (х) dx<= F (b) — F (а) — F (х) | . а а
b
Определенный интеграл J f (х) dx при Их) > 0 геомет-а
рически представляет собой площадь S криволинейной трапе-
4 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 209 нии, ограниченной кривой у — f (х), осью Ох и двумя перпендикулярами к оси Ох: х — а и х = b (рис. 9).
2°. Формула интегрирования по частя». Если I (х), g(x) £ С<’> [a, frj, то
ь b ь
f (*) g' (*) dx <= f (x) g (x) | _ jg (x) J' (x) dx. af a a
3°. Замена переменной. Если: 1) функция f (х) непрерывна на сегменте (а, 6]; 2) функция ф (<) непрерывна вместе со своей производной ф' (0 на сегменте (а, ₽], где а == •= ф (а), Ь = ф (р); 3) сложная функция [ (ф (/)) определена и непрерывна на [а, р], то
ь б
p(x)dx = f Г(ф(О) Ф' (t)dt.
а а
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти следующие определенные интегралы и нарисовать соответствующие криволинейные площади:
2206.
Я
2207. fsinxdx. b
2208.
2210.
2212.
1/2
2209. f
J Vi-*2
-1/2
2
2211. f|l— x\dx. о
_______dx________
x1 — 2x cos a 4* 1
(0<a<n).
-j 4~2383
210
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
2л
2213. f------—---- (0<е<1).
J I + е cos х о
1
2214. f ——..........................
J — 2ax + a’) (1 — 2bx Ч- Ьг>
(|a|<l, [b|<l, ab>Q\ Л/2
2215. (--------—---------- (ai>=#0).
J a» sin’ x + 6’ cos» x v
о
2216. Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона—Лейбница приводит к неверным результатам, если:
I 2л 1
•’И' —1 0 —I
1
2217. Найти С — (---------
J . dx V 1 + 21/х ) — I
100 л ________
2218. Найти j VI—cos 2х dx.
С помощью определенных интегралов найти пределы следующих сумм:
2219. lim +
Л-»оо\ П» п’ П» J
2220. lim (—-— +—1------h . .. + —1—).
П->оо \ /l-|“l n + 2
2221. lim (—— + —-— + ... +—------------Y
n-»oo \ n* + 1» П» + 2’ n8 + n® J
2222. lim — fsin —+ sin -^-4- . . . Ч-sin ^n~
я-.» n \ n n nj
2223. lim -LP±2-+-:.(p>0).
Л-MO n₽+l
2224. + + —+ • ..
n-*a> П \ V Л V «
... +V1 + 7')’
§ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 211
Найти
2225. П->зо П
2226. lim
П-*оо
Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм:
2227' ±[(1+т>"£-+('+т>"^+• • • ...+(1 + ^)sinJ=^L].
п
2228. lim sin —. V-1-.
л~>oo л у . Ья / . 2 4-cos-----
ks п
2 V(n*4- k)(nx+ *4-1) 2229. lim —---------------- (x>0).
Л*
(nl/Л n2/n nflfn
—-----1---£-----|_ , , , _L—f_—
«+1 1 „ , I
"+T ”+7
2231. Найти:
—j sin x2dx, — J sin — f sin x*dx.
dx a da a db a
2232. Найти: ** *•
a) — (Vr+Fdft 6) — C--------------—;
dx } dx J 71+7
0
в) f cos(n/’)d/. dx sin X
2233. Найти:
X
f cos x2dx
a) lim —-------; 6)
*-►0 x
J (arctg X)» dx lim ——~ +4-<x> *¥**+ 1
14
212
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2233.1. Пусть f (х) С [0, + оо ] и f (х) -> А при х-*- + оо. Найти lim J7(nx)dx. п->оо О
* I
2234. Доказать, что \ e*'dx------е* при х->оо.
о 2х
sin х _____ f Vtg X dx 2235. Найти lim —----------------.
*-+о ____
I Vsinx dx о
2236. Пусть f (х) — непрерывная положительная Ь/(0<« функция. Доказать, что функция <р(х)=—------------воз-
растает при х > 0.
2237. Найти:
Л, . „ при 0<х<1,
a) J7(x)dx, если f(x) = <_ . *
о (2—х при 1<х<2;
i
б) p(x)dx, если f(x) =
х при 0 < х С t, t. J.~5_ при 1<х<1.
2238. Вычислить и построить графики интегралов / — I (а), рассматривая их как функции параметра а, если:
1
а) / = J х |х—а | dx; о
. dr,
J 1 + 2а cos х + а1 о
sin’x
$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
213
в) / = f sinxdx
J V1 — 2а cos * 4- а* о
Применяя формулу интегрирования по частям, найти следующие определенные интегралы:
In 2 п
2239. f xe~*dx. 2240. fxsin xdx. о о
2241. J Xs cos xdx. 2242. f | In x|dx.
‘ л/з
2243. J arccosxdx. 2244. J xarctgxdx.
о 0
Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определенные интегралы:
* . а ___________
2245. С_______—---. 2246. $ х*л/а*-~х* dx.
А, 1
0.75 щ 2 ______
2247. С ----------" 2248. f 1 dx.
J (х+1) Vx’+l S
о
1
2249. ( -Н.С.*!П..У*. dx. J V*(l-x)
2250. Вычислить
X—l- = t. x
С 1 4- xs интеграл i ~ — dx, —i
полагая
2251. Объяснить, почему формальная замена х =* «= <р-(/) приводит к неверным результатам, если:
> 1 1
a) f dx, где 1 = х2/3; б) \ . где х = —;
—1 J 14-х t
—1
л
в) t t • где teх=* J 1 +sin’x
и
214
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3 3 ——
2252. Можно ли в интеграле jxy^l —х* dx поло-о
жить х — sin ft
i
2253. Можно ли в интеграле | yi —х3 dx при замене переменной х = sin t в качестве новых пределов взять числа л и —?
2
2254. Доказать, что если / (х) непрерывна на la, b ], то (
f f (х) dx = (b—a) if(a + (b —a) x) dx. a 0
2255. Доказать равенство
f x3/ (x3) dx = -J- f xf (x) dx (a>0). 0 2 0
2256< Пусть f (x) — непрерывная функция на сег-менте [A, B]z2 [а, Ь]. Найти — $f(x+y)dy при la—х, b—х] cz [Л, В].
2257. Доказать, что если f (х) непрерывна на [0, 1 ], то
п/2 я/2
а) j /(sinx)dx=s J f(cosx)dx; О о
б) ^xf(sinx)dx =~ff (sinx)dx
2258. Доказать, что для непрерывной на [— I, I ] функции / (х) имеем: 1) J f(x)dx = 2f f(x) dx, если
—/ о
I
функция f (х) четная, и 2) J f (x)dx= 0, если функция f (х) нечетная. Дать геометрическую интерпретацию этих фактов.
2259. Доказать, что одна из первообразных четной функции есть функция нечетная, а всякая первообразная нечетной функции есть функция четная.
2260. Вычислить интеграл
2
X—
Ц2
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
215
введя новую переменную
2я
2261. В интеграле | f(x) cos xdx выполнить замену переменного sin х = t.
2262. Вычислить интеграл
У |[«s(ln-t)]|dx,
—2лл
где п — натуральное число.
я
2263. Найти f- xsin-x.dx.
J 14- cos2 x о
з
2264. Найти интеграл (* ——dx, если J 1 + PW
(х+ 1)*(х — 1)
/(*)-
х3 (х — 2)
2265. Доказать, что если f (х) — непрерывная периодическая функция, определенная при — оо <; х <; < + оо н имеющая период Т, то
| / (х) dx = f / (х) dx, а О
где а — любое число.
2266. Доказать, что при п нечетном функции
F(х) = |sin"xdx и G(x) = f cos" xdx
периодические с периодом 2л; а при п четном каждая из этих функций есть сумма линейной функции и периодической функции.
2267. Доказать, что функция F (х) = f f (х) dx,
Ха
где f (х) — непрерывная периодическая функция с периодом Т, в общем случае, есть сумма линейной функции и периодической функции периода Т.
216
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить интегралы: 1
2268. fx(2—x*)udx.
2269. С---—-----.
J х»+ж+1
—' I J 9 ,______
2270. |(xlnx)*dx. 2271. |x/T^xdx.
i _________
2272. \ .... 2273. (х^Ц-Зх8 dx.
J *Vx»—1 15
2274.
з
arcsin о
2n
2275.
2276.
2277.
2279.
f*_________dx_________
J (2 + cos x) (3+ cos x) о ia
C dx
J sin* x + cos* x о nt. n
| sinxsin2xsin3xdx. 2278. £(xsinx)*dx.
a In 2
cos* xdx. 2280. £ sh4xdx.
С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра п, принимающего целые положительные значения:
Я/2
2281. /„=» J sin"xdx. О
Л/4 2283. /„= Г tg2nxdx.
2282. /я= j cos"xdx о
i
2284. /я = |(1— Xя)" dx.
। 2285.
о
x"<fx
Vi
i
2286. /„= fx’"(lnx)"dx.
$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
217
2287. /Я=Л7
J к Sin х + cos х ) о
Если f (х) = (х) + If, (х) есть комплексная функция от
действительной переменной х, где ft (х) = Re f (х), [t (х) « = Im f (x) и is= — 1, то по определению полагают:
f [ (x) dx = f ft (x) dx + i f ft (x) dx.
Очевидно, что
Re f f (x) dx «= f Re f (x) dx и
Im f [ (x) dx = f Im f (x) dx.
2288. Пользуясь формулой Эйлера eix = cos x + i sin x, показать, что 2? ( 0, если m=/=n,
I ginxg—imx — / б (2л, если m—n
(num — целые).
2289. Показать, что ь Г , , л, , ЛМ41 _ ео(а+<Р) I е(а+Ф)*4х= —-------------------------
J а+Ф
а
(а и Р — постоянные).
Пользуясь формулами Эйлера:
cos х=(еи 4- e-u), sin х— (еи—е“Гх),
2 2/
вычислить интегралы (тип — целые положительные числа);
Л/2
2290. | sin2"* х <zosln х dx.
2*1. f ^±-dx. 23Я2. f-g»..*2"*»* dx.
J sin x J cos x
о 0
л л
2293. fcos" x cos nxdx. 2294. fsinnxsinnxdx.
218
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
Найти интегралы (п—натуральное число): я
2295. § sin"-1 х cos (n + 1) х dx.
Я
2296. $cosn-Ixsin(n+ \)xdx. о
2л
2297. $ e-" cos2" xdx. о
П/2
2298. § In cos х • cos 2nx dx.
2299. Применяя многократное интегрирование по частям, вычислить интеграл Эйлера: В (т, п) =
1
= $хт-1(1—x)n~ldx, где т и п—целые положитель-о
ные числа.
2300. Многочлен Лежандра Рп (х) определяется фор
мулой: P„(x) = 1J-r-^r[(x2-in (п = 0, 1,2
Доказать, что
S Pm(x)P„(x)dx = —1
0, если т Ф п, 2
------, если т = п, 2л + 1
2301. Пусть функция f(x) собственно интегрируема на [а, Ь] и F(x)—функция такая, что F'(x) = f(x) всюду в [а, Ь], за исключением, быть может, конечного числа внутренних точек с, (i = 1......р) и точек а
и Ь, где функция F (х) терпит разрыв 1-го рода («обобщенная первообразная»). Доказать, что
ь р
S f (х) dx—F (b-0)-F(a+0) - £ [F (cc + 0) —F
a t —I
2302. Пусть функция f(x) собственно интегрируема на сегменте [а, Ь] и
F(x) = C + $fU) d$ а
—ее неопределенный интеграл.
Доказать, что функция F (х) непрерывна и во всех точках непрерывности функции f (х) имеет место
§ 3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ
219
равенство
F’ (*) = f (х).
Что можно сказать о производной функции F (х) в точках разрыва функции f (х)?
Рассмотреть примеры:
a) f(—^ = 1- (п = ±1, ±2, . . . ) и f(x)=O при
хф —; п
б) / (х) = sgn X.
Найти неопределенные интегралы от ограниченных разрывных функций:
2303. fsgn xdx. 2304. fsgn (sinx)dx.
2305. j [x] dx (x>0). 2306. fx[x]dx (x>0).
2307. ](— l)Wdx.
2308. f/W*. W /W = {0> ”>Л
Вычислить определенные интегралы от ограниченных разрывных функций: 3 2
2309. Jsgn(x—x3)dx. 2310. f[e*]dx.
о о
6 я
2311. J{x]sin3tx/6dx, 2312. j*хsgn (cosx)dx. о о
л-Н
2313. j ln[x]Jx, где a—натуральное число. i
2314. f sgn [sin(lnx)]dx.
b
2315. Найти f |cosx|Vsinx dx, где E — множество E
тех значений сегмента [0, 4л], для которых подынтегральное выражение имеет смысл.
§ 3. Теоремы о среднем
1°. Среднее значение функции. Число
М Щ = -J—ff(x)dx b —а а
220
отдел iv. определенный интеграл
называется средним значением функции ( (х) на промежутке [а, И.
Если функция f (х) непрерывна на (а, 6], то найдется точка с € (°< Ь) такая, что
М Ц) — I (с).
2°. Первая теорема о среднем. Если: 1) функ-ции f, (х) и q> (х) ограничены н соответственно интегрируемы на сегменте [a, b I; 2) функция ф (х) не меняет знака при а < х < Ь, то
» »
р(х)Ф(х)4х — |рф(х)4х,
а а
гдет<р<М и т = inf f(x), М = sup f(x);3) если, сверх а<х<( а<х<&
того, функция I (х) непрерывна на сегменте [а, 6], то pi = / (с), где а с < Ь.
3°. Вторая теорема о среднем. Если: I) функции f (х) и ф (х) ограничены и собственно интегрируемы на сегменте (а, И; 2) функция ф (х) монотонна при а<х< Ь, то
ь £ ь
f f (*) Ф (*) dx — ф (a 4- 0) J f (x) dx + ф (b — 0) f f (x) dx, a a J
где a < b; 3) если, сверх того, функция ф (х) монотонно убывающая (в широком смысле!) и неотрицательная, то
6 Е
Р (х) ф (*) dx - ф (а 4- 0) J f (х) dx (а < 6 < Ь); а а
3') если же функция ф (х) монотонно возрастающая (в широком смысле) и неотрицательная, то
ь ь
Р (х) ф (х) dx = ф (Ь — 0) р (X) dx (a^<,b). а ।
2316. Определить знаки следующих определенным интегралов:
2л
a) fx sin xdx; б) f Sln< dx,
о J x
о
2 I
в) f x®2*dx; r) f x3 In xdx.
-2 1/2
2317. Какой интеграл больше:
л/2 Л/2
a) j sin10xdx или | sin*xdx?
i i
б) fe-'dx или fe-JC’dx?
221
$ 3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ n 2Л
в) f e~*’cos2 xdx или f e-** cos2 xdx? 0 Л
2318. Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:
a) f (х) = х
Ю, 1];
[0, 100]; [0, 2л] (О, 2л].
на
на
в) f (х) — 10 + 2 sin х + 3 cos х на г) f (х) = sin х sin (х + <₽) на
2319. Найти среднее значение длины фокального радиуса-вектора эллипса
г = ----£---- (0<е<1).
1 — е cos <р
2320. Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна ц>.
2321. Сила переменного тока меняется по закону
(2л/ , \
—+
где х’о — амплитуда, t — время, Т — период и <р — начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока.
2321.1. Пусть f (х) ( С [0, + оо) н Нт / (х) » А.
Х-^+оо
Найти
lim — f/(x)dx. Х-»+<» X 0
Рассмотреть пример / (х) = arctg х.
2322. Пусть
(Od/= xf (0x).
Найти 0, если:
a) f (t) = f (n > - 1); 6) f (/) = In /; в) f (/) - ?
Чему равны lim 0 и lim 0? х—+0 х-»4-оо
Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы: 2л 1
2323. f---------------. 2324. С ——--------dx.
1 1 + 0,5 cos х
Vi + *
о
о
322
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2325.
100 Г е~*
J *+ 100
2326. Доказать равенства:
1 _ я/2
a) lim I -------dx = 0; б) lim j sin" xdx =»0.
rt->ao J 1 + X n-+» 0
2326 .1. Найти:
a) lim [ ...; 6) lim f'f (x) —,
e->0 J ex’ 4-1 е-н-oj x
и м
где a > 0, b > 0 и f (x) £ C (0, 1 J.
2327. Пусть f (x) непрерывна на [a, b ] н <p W непрерывна на [a, 61 и дифференцируема на (a, b), причем
<p' (x) > 0 при a < x < b.
Доказать вторую теорему о среднем, применяя интегрирование по частям и используя первую теорему о среднем.
Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы: 200л
2328. f -^-dx.
100л X » Г е-®* 2329. \---sinxdx (a>0; 0<a<6).
J x a b
2330. fsinx’dx (0<a<6). a
2331. Пусть функции <p (x) и ф (x) интегрируемы на промежутке [а, Ы вместе со своими квадратами. Доканать неравенство Коши—Буняковского
tb р ь »
ф4(x)dxj^*(x)dx.
la J a a
2332. Пусть функция f (x) непрерывно дифференцируема на сегменте la, Ын/ (a) = 0.
$ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
223
»
Доказать неравенство ЛР < (b —a) f [l2(x)dx, где
Л1= sup |/(х)|.
а^х^Ь
2333. Доказать равенство я-гр
lim f -^-dx = 0 (р>0).
Л-*оо J X п
§ 4. Несобственные интегралы
1°. Несобственная интегрируемость функций. Если функция f (х) собственно интегрируема на каждом конечном сегменте [a, i], то, по определению, полагают:
-I-оо b
f f(x)dx«= lim f f (x) dx. (1)
a b-»+°° a
Если функция / (x) не ограничена в окрестности точки b и собственно интегрируема на каждом сегменте [а, b—el (е > 0), то принимают:
ь Ь—е
f f (х) dx = lim f f (x) dx. <2)
a e-*4-0 a
Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся (в элементарном'смысле!).
2°. Критерий Коши. Для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало число b = b (е) такое, что при любых b' > Ь и b" > Ъ было бы выполнено неравенство
Ъ’
[ t (х) dx ь'
<е.
Аналогично формулируется критерий Коши для интеграла типа (2).
3е. Признаки абсолютной сходимости. Если (х) | несобственно интегрируема, то соответствующий элементарный интеграл (1) или (2) от функции [ (х) называется абсолютно сходящимся и является интегралом заведомо сходящимся.
Признак сравнения I. Пусть |f (х) | < F (х) при х > а.
-4-оо Н-оо
Если j F (х) dx сходится, то интеграл J f (х) dx сходится а а
абсолютно.
Признак сравнения П. Если ф (х) > 0 и <р(х) = О* (ф (х)) -j-ОО -4-00
ври х —► оо, то интегралы j ф (х) dx и J ф (х) dx сходятся
а а
224
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
или расходятся одновременно. В частности, это имеет место, если <₽ (х) ~ ф (х) при х -* 4- оо.
Признак сравнения III. а) Пусть
f (х) = 0®(-^-) при х->4-оо.
В таком случае интеграл (I) сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1.
б) Пусть
f (х) яд О* f 1-А при х-ьб —0.
{(Ь-ху)
В таком случае интеграл (2) сходится, если р < I и расходится, если р > 1.
4®. Специальный признак сходимости. Если: 1) функция <₽ (х) монотонно стремится к нулю при х -ь-f* оо и 2) функция I (х) имеет ограниченную первообразную
f(x) = p©d5, 0
то интеграл
J /(х)ф(х)4х
а
сходится, вообще говоря, не абсолютно.
В частности, интегралы
-В» +“
f COS X . (* sin X . . . n.
J —*" J — * <•>’>
a a
сходятся, если p > 0.
5°. Главное значение в смысле Коши, Если функция f (х) такова, что при любом в > 0 существуют собственные интегралы
С—3 Ь
У f(x)dx и J f(x)dx (а<<с<Ь), а Н-е
то под славным значением в смысле Коши (и, р.) понимается число
у. p.y/(x)dx- Hm Г У f(x)dx-f* У Г(*)<к]« о е-ь-i-O L а Н-в J
Аналогично
+» а
v. Р- f l(x)dx = Hm f t(x)dx.
Вычислить интегралы: +«> ।
2334. J (a>0). 2335. jinxdx.
0
$ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
225
Ц*оо 1
2336. f —--х— . 2337. С \ 1 + х2 \
—ОО — 1
4-»
2338. f--------—------. 2339.
J х*4-х —2
dx
V1 — х*
4-00
dx
(ха+*+1)* ’
4-00 4-00
2340. [ -............. 2341. f -^±-Ldx.
J 14-х3 J х*4-1
о о
2342. I----------ах
J (2 — х) V1 — * о 4-00
2343. f .............. - .
J х V14- ** 4- х10 1
+«о 4>00
2344. f xlnx dx. 2345. f
J (14-х3)* J
о о
-агс<«х.... dx.
(14- х*)*/*
+»
2346. f e~axcosbxdx (а>0).
+°°
2347. J е~ах sin bxdx (a>0). о
С помощью формул понижения вычислить следую* щие несобственные интегралы (га — натуральное число)} 4-00
2348. /„= f xne~xdx.
о
--------------- (ас — Ь*>0). (ах2 4- 2Ьх 4- с)п-'
2350. /л= f -------------—---------
J *(х4-1) • • • (x-f- п)
2351. /Л=Г хМх
V(1 - x) (14- x)
15-2МЗ
О
226
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
+с
2352. /„ =
о
dx chn+1x *
л/2 л/2
2353. a) f In sin xdx; б) j In cos xdx.
2354. Найти f g~</2 —-s--n x cos~— dx. где E — mho-J Vsinx в
жество тех значений х интервала (0, +<»), для которых подынтегральное выражение имеет смысл.
2355. Доказать равенство
f (ах + —)dx=-i- J f (-у/х* + 4аЬ) dx, о о
где а > 0 и Ь > 0, предполагая, что интеграл в левой части равенства имеет смысл.
2356. Средним, значением функции f (х) на интервале
1 х
(О, + оо) называется число M\f\= lim —[f(l)d&.
X О
Найти средние значения следующих функций: a) f (х) = sin’ х + cos’ (х л/2);
б) f (х) = arctg х; в) f (х) = д/х sin х.
2357. Найти: ।
. .._ С cos t ... a) hmx |-------di;
x-0 J t»
X
f К1 +t* dt б) lim---------
в) lim—--------; г) limx* С dt,
щ — X
X
где а > 0 и / (/) — непрерывная функция на сегменте (О, 1].
$ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
227
Исследовать сходимость интегралов
2358.
хМх
Х* — Хг+ 1
2359. (----dx---.
i xVx’+l
2360.
2362.
2361.
хр 1п«— dx.
23631 f T+>'dx (n>0)-0
2364. {-Ш^-dx (a=/=0). 2365. ( —(- + *>dx.
J Xя ' J Xя
о и
2366. f dx (л > 0).
J 2 + x" ’
0
2367.
2368.
2370.
2371.
(л > 0).
+»
f f?sax dx
J l + x"
0
dx xp+rf
Я12 2369. f-------—------.
J sin₽ x cos® x
2370.1.
i 2372.
о
П/2 4-oo
2373. f ln (silx) dx. 2374. f———.
J *Jx J x₽ In® X
+»
p________dx_______
J x₽ (In x)« (In In x/ *
2376. f--------------—----------------
<JJx—ailp'\x — at\p>...lx — anl',a ^-00
(а1<аг<... <a„).
228
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2376.1. Jx“|x—l|₽dx. о +»
2377. ( —z^-dx, где Рт (х) и Рп (х) — взаимно .) Рп (х) о
простые многочлены соответственно степеней т и л.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие интегралы: +»
2378. С— dx. J X о
Указание. |sin х| > sin2*.
2379. f ^x--osx-dx. 2380. f xf
J *+ 100 J
о 0
Л/2
2380.1. | sin (sec x) dx. 2380.2. b
2381. j" X^nJ~dx p sin 1x4---------j
2382. \-----------— dx. 2383.
J x" о
sin(x’)dx (<?=/=0).
*00
| x* cos (e*) dx.
•f-oo
C Pm (x) J
I —sin xdx, J Pn (X)
где Pm (x) и Pn (x) — целые многочлены н P„(x) > О, если х > а > 0.
+~
2384. Если J f (х) dx сходится, то обязательно ли а
f (х) -> 0 при х -> + оо?
Рассмотреть примеры:
a) j sin (х4) dr, б) f( — l)l*’ldx. о о
2384.1. Пусть f (х) £ С(1) (х0, + оо), |f (х)|<С "t00
при х0 х< + оо и J |/ (x)|dx сходится. Доказать,
*0
что / (х) -> 0 при х -> + °о.
$ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
229
Указание. Рассмотреть интеграл +» f (x)dx.
2385. Можно ли сходящийся несобственный интеграл ь f f(x)dx а
от неограниченной функции f (х), определенной на la, b J, рассматривать как предел соответствующей интегральной Л— 1
суммы 2} f (&) Дх<, где X/ < & «S xi+1 и Дх, = xi+1—х(? /ябО
2386. Пусть
Tfrtdx (1)
а
сходится и функция <р (х) ограничена.
Обязательно ли сходится интеграл
f /(x)<p(x)dx? (2)
а
Привести соответствующий пример.
Что можно сказать о сходимости интеграла (2), если интеграл (1) сходится абсолютно?
2387. Доказать, что если f / (х) dx сходится и f (х) — а
монотонная функция, то f (х) = О
2388. Пусть функция f (х) монотонна в промежутке О < х < 1 и не ограничена в окрестности точки х — 0.
1
Доказать, что если существует | f (х) dx, то
lim — У f (—) = [f W dx.
Л-*оо П Z-J \ п ) J к—1 0
2389. Доказать, что если функция f (х) монотонна и ограничена в интервале 0 < х < а и существует не-а
собственный интеграл [ х₽ f (х) dx, то
*о
limx₽+V (х) = 0. «-*4-0
230 ОТДЕЛ W. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2390. Показать, что:
а),-р- i'T=0: 6)v-₽-1т?? = 0! •-1 о
+°°
в) v. р. J sinxdx = 0.
—оо
2391. Доказать, что при х > 0 существует
li х = V. р. F J In 6 о
Найти следующие интегралы:
4-оо 2
2392. V. р. . 2393. v. р.
н J х* — Зх+2 н J х Inх
о 1/2
Ч-°° 4"°°
2394. v. р. J fa' 2395. v. р. f arctg xdx.
§ 5. Вычисление площадей
1°. Площадь в прямоугольных к о о р д я » ватах. Площадь S плоской фигуры A1AtBiBi (Рнс* Ю)«
Рис. 10
ограниченной двумя непрерывными кривыми у — yt (х) и У — У» (*) (Та (*) > У1 (х)) и двумя прямыми х = а и х « b (а < Ь), равна
»
S—f 1Уа(х)—Pi (*)]<§ **.
а
2°. Площадь фигуры, ограниченной к р и • вой, заданной в параметрическом виде.
f Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
231
Если х = х (/), у = у (О [О t Т1 — параметрические уравнения кусочно гадкой простой замкнутой кривой С, пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру с площадью 8 (рис. 11), то т т
S= -(y(t)x'(f)dt=$ x(t) у'
или
1 ТС
S = 4- f [X (0 у' (о - х'(0 у (01 Л.
2 о
3°. Площадь в полярных координатах. Площадь 3 сектора ОАВ (рис. 12), ограниченного непрерывной
Рис. 13
кривой г = г (<р) и двумя полупрямыми ф = а и ф = р (а < Р), равна
1 ₽ s=vf r’(<₽)d<p-
2 а
2396. Доказать, что площадь прямого параболического сегмента равна
S = — Ыг, з
где b — основание и Л — высота сегмента (рис. 13).
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в прямоугольных координатах *):
2397. ах = у2, ау = х2.
2398. у = х2, х + у = 2.
2399. у = 2х—х2, х 4- у = 0.
2400. у = 11g х|, у = 0, х = 0,1, х = 10.
2400.1. у = 2х, у = 2, х = 0.
2400.2. у = (х + I)2, х = sin пу, у = 0 (0 С у =£ 1).
*) Все параметры в этом и следующих параграфах отдела IV считаются положительными.
232 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2401. у — х; у = х + sin2x (0 < х «S л).
2402^ = ^Г’ * = °-
2403. -£ + -£ = 1 а» ь*
2404. у3 = х3 (а2—хг).
2405. у3 = 2рх, 27 ру3 — 8 (х—р)3.
2406. Лх2 + 2Вху 4- Су3 ~ 1 (Л > 1, АС—В3- > 0)\
2407. м2 = ——— (циссоида), х = 2а.
2а — х
2408. Х = а1п ° + Ve2 —У.---y = Q (TpaK.
У триса).
24Q9. м2 =---------- (х>0; п>—2).
J а + хя+«)2 ' ’
2410. у — е~х |sinx|, i/ = 0 (х>0).
2411. В каком отношении парабола у3 = 2х делит площадь круга х3 + у3 = 8?
2412 (н). Выразить координаты точки М (х, у) гиперболы х2 — у3 — 1 как функции площади гиперболического сектора S == ОМ'М, ограниченного дугой гиперболы М'М и двумя лучами ОЛ1 и ОМ', где М' (х, —у) — точка, симметричная М относительно оси Ох.
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными параметрически:
2413. х = a (/—sin /), у = а (1 — cos /) (0 < t <2л) (циклоида) и у — 0.
2414. х = 2/—t3, у = 2/2—/3.
2415. х = a (cos t + t sin /), у — a (sin t — / cos /) (0 < t С 2л) (развертка круга) и х = а, у 0.
2416. х — а (2 cos /—cos 2/), у — а (2 sin / — sin 2/).
2417. х = —cos3/, у — — sin3/ (с2 — а3— Ь3) (эво-а b
люта эллипса).
лич < 1 esin*/
2417.1. x = acos/, У~——— •
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах:
2418. /-? = o2cos2<p (лемниската).
$ S. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
233
2419. г = а (1 + cos <р) (кардиоида).
2420. г = a sin Зф (трилистник).
2421. r=-— ------- (парабола), ф=-^-» ф=-^-.
2422. г =--------- (0<е < 1) (эллипс).
14- е cos ф
2422.1. г = 3 + 2 cos ф.
2422.2. r = —, r = (0<ф<-£-\
Ф sin ф \ 2 )
2423. г = асо5ф, г = а(созф4-51Пф) (М
2424. Найти площадь сектора, ограниченного кривой Ф = г arctg г
и двумя лучами ф = 0 и ф =
л
7з ’
2424.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г» 4- Ф» = 1.
2424.2. Найти площадь фигуры, ограниченной лепестком кривой
Ф = sin (яг) (0 < г < 1).
2424.3. Найтн площадь фигуры, ограниченной л» НИЯМИ
Ф = 4г—г3, ф = 0.
2424.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Ф = г — sin г, ф — я.
2425. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой 2а/ я/
г -------- , ф -----,
14-/» т 14- /
Перейдя к полярным координатам, найти площади фигур, ограниченных кривыми:
2426. х3 + у3 = Заху (лист Декарта).
2427. х* 4- у* = а3 (х1 + у3).
2428. (х2 4- у3)3 == 2а3ху (лемниската).
Приведя уравнения к параметрическому виду, найти площади фигур, ограниченных кривыми:
V3i ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2429. x2/34-i/2/3 = o2/3 (астроида).
2430. х* + у* = ах2у.
Указание. Положить у == tx.
§ 6. Вычисление длин дуг
Г. Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина Дуги отрезка гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой
у = у(х) (а<х<й) равна
s = $ V1 + У'2 W dx. а
2°. Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая С задана уравнениями
x==x(0, y = y(t)
где х (/), у(0£С<1> Ко, Г], то длина дуги кривой С равна т _______________________________
s = $ V*,2(a+/*(/) dt.
Io
3°. Длина дуги в полярных координат га х. Если
г = г(<р) (а<ф<Р), где г (<р) € С<М (а, р], то длина дуги соответствующего отрезка кривой равна
s = $ Vr2(<P) + r'*(<p) dq>. а
Длины дуг пространственных кривых см. в отд. VIII.
Найти длины дуг следующих кривых:
2431. у = х3/2 (0<х<4).
2432. у2 = 2рх (0 < х < х0).
2433. i/ = ach — от точки А (0, а) до точки B(b, h).
2434. у = е* (0 < х < х0).
2435. х=-^-у2—“In у (\^у^ё).
2436. у = а In---— (0 < х < 5<а).
а2 —Xs
2437. i/ = lncosx
$ в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ
2»
2438. х = а!п--^а*~у*—л!#—# (0<Ь<^а).
2439. ^=-—^— (о^х^ — а).
2а — х \ 3 J
2440. х2/3 + у2/3 — а2/3 (астроида).
2441. х = — cos3/, у — — sin3/, с2=а2—Ь2 (эволю-а Ь
та эллипса).
2442. х = cos4/, у == sin4/.
2443. х = а (/ — sin /), у = а (1—cos /) (0 < /<2я),
2444. х = a (cos / + / sin /), у = a (sin /—/ cos /) при 0 < / < 2л (развертка окружности).
2445. х — a (sh /— /), у = a (ch /—1) (0 < Т),
2445.1. х = ch3/, у = sh2/ (0 < / < Т).
2446. г = а<р (спираль Архимеда) при 0 < <р < 2л
2447. г = ае"1* (т > 0) при 0 < г < а.
2448. г = а (1 + cos ф).
2449. г =---5--- Г|ф1^—Y
1 + cos <р V 2 J
2450. т = a sin3 —.
3
2451. г =ath-y (0<ф<2л).
2452. <р = Y (' + т) 0 < ' <3).
2452.1. ф = -у/r (0<г<5).
2452.2. ф = f dp (0 =£ г < /?). о ₽
2452.3. г= 1+cos/, ф = /—tg-£- (0</<Т<л).
2453. Доказать, что длина дуги эллипса х = a cos /, у =* b sin / равна длине одной волны синусоиды у = с sin -у-, где с = Va2—&2.
2454. Парабола 4ау = х2 катится по оси Ох. Доказать, что фокус параболы описывает ценную линию.
S36 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2455. Найти отношение площади, ограниченной пет* лей кривой
—х^/х,
к площади круга, длина окружности которого равна длине контура этой кривой.
§ 7. Вычисление объемов
1°. Объем тела по известным поперечным сечениям. Если объем V тела существует и S = S (х) fa х 6] есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке х, то
»
V »J S (х) dx.
а
2°. Объем тела вращения. Объем тела, обрадованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции
а^х^Ь, (х),
где у (х) — непрерывная однозначная функция, равен »
Vx = я/ У* (*)<** а
В более общем случае, объем кольца, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры а х Ь, Ух (х) < у yt (х), где уг (х) и yt (х) — непрерывные неотрицательные функция, равен ь
V = y](x)]dx.
а
2456. Найти объем чердака, основание которого есть прямоугольник со сторонами а и Ь, верхнее ребро равно с, а высота равна h.
2457. Найти объем обелиска, параллельные основания которого суть прямоугольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна h.
2458. Найти объем усеченного конуса, основания которого суть эллипсы с полуосями А, В и а, Ь, а высота равна Л.
2459. Найти объем параболоида вращения, основание которого S, а высота равна И.
2460. Пусть для кубируемого тела площадь S — S (х) его поперечного сечения, перпендикулярного коси Ох, изменяется по квадратичному закону:
S (х) = Ах1 + Вх 4- С la < х < Ь ], где А, В и С — постоянные.
9 ?. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 237
Доказать, что объем этого тела равен
V - A [S (а) + 4S + S (6)],
где Н = Ъ—а {формум Симпсона}.
2461. Тело представляет собой множество точек М (х, у, z), где 0 < z < 1, причем 0 < х < 1, 0 < у^1, если z рационально, и — 1 < х С 0, — 1 < у 0, если z иррационально. Доказать, что объем этого тела не существует, хотя соответствующий интеграл
JS(z)dz=l.
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2462. -4 + —= 1. z=—х, г=0. а* Ь* а
2463. —+ -^- = 1 (эллипсоид).
а* Ь* с9
2464. -£-+£-—- = 1, z = ±c. о» й» с»
2465. х3 + z2 = а3, у3 + г3 =* а3.
2466. х3 + у3 + г3 = а3, х3 + у3 = ах.
2467. z3 — b {а—х), х3 + у3 = ах.
2468. —+ -£ = 1 (0<z<a). в* г*
2469. х + у + г3 1, х = 0, у *= 0, г — 0.
2470. х3 + у3 + г3 + ху + уг + гх = а3.
2471. Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры
а х Ь, 0 у у (х), где у (х) — однозначная непрерывная функция, равец
У,, = 2л \xy{x)dx. а
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными при вращении отрезков следующих линий:
2472. у e b (“J 3 (0 < х С а) вокруг оси Ох (ней-лоид).
2473. у « 2х—х3, у — 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
у = b — : а) вокруг оси Ох; а
238 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2474. у — sin х, у = О (О С х < я): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
\2
—) а /
б) вокруг оси Оу
2476. у = е~*, у — 0 (0 < х < 4- оо): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
24 7,7. х2 + (у—6)2 = а3 (0 < а < Ь) вокруг оси Ох.
2478. х2—ху 4- у3 = а2 вокруг оси Ох.
2479. у = е~х sin х (0 =£ х < 4- °°) вокруг оси Ох.
2480. х = a (t—sin /), у = а (1 — cos t) (0 < /<2л), 0 = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у — 2а.
2481. х = a sin3/, у = b cos3/ (0 < / < 2я): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2481.1. Найти объем тела, образованного вращением площади петли кривой х = 2/—/2, у = 4/—/3 вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу.
2482. Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры
ОСа<<р«с0<я, 0<г<г(<р)
(<р и г — полярные координаты), равен
V= -““/>Л(ф)81Пф4ф. J а
Найти объемы тел, образованных вращением фигур, заданных в полярных координатах:
2483. г = а (1 4- cos ф) (0 < ф < 2л): а)
полярной оси; б) вокруг прямой г cos ф = —
2484. (х2 4- у3)3 — а3 (х3—у3)-, а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у — х.
Указание. Перейти к полярным координатам.
2484.1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда
г = аф (а> 0; 0 < ф < л),
вокруг полярной оси.
2484.2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: ф = яг3, ф = л, вокруг полярной оси,
2485. Найти объем тела, образованного вращением фигуры а < г < а л/2 sin 2<р вокруг полярной оси.
плоских
вокруг а
4 ‘
§ 8. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ 239
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращении
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой АВ вокруг оси Ох, равна
в
Р •= 2я J | у | ds, где ds — дифференциал дуги.
Найти площади поверхностей, образованных вращением следующих кривых:
2486. 1/=х а/ — (0 < х < а) вокруг оси Ох.
V л
2487. t/ = acos~^- (|х| < Ь) вокруг оси Ох.
2488. у = tg х^О sg х sg -2-) вокруг оси Ох.
2489. у' = 2рх (0 < х < х0): а) вокруг оси Ох б) вокруг оси Оу.
2490. 1 (0< а); а) вокруг оси О*|
в®
б) вокруг оси Оу.
2491. х* + (у—b)3 = aa (b > а) вокруг оси Ох.
2492. x2/3+i/2/3 = a2/3 вокруг оси Ох.
2493. i/ = ach — (|х|< by, а) вокруг оси Ох; б) во-а
круг оси Оу.
2494. ± х — a in a^~ -----у а8 — у2 вокруг
оси Ох.
2495. х = a (t — sin t), у = а (1 — cos t) (0^ /<2л); а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у = 2а.
2496. х = a cos8/, у = a sin8/ вокруг прямой у » х.
2497« г = а (1 + cos <р) вокруг полярной оси.
2498. г8 = а8 cos 2<р: а) вокруг полярной оси} б) во-л . л
круг оси <р = —; в) вокруг оси <р = —.
2499. Тело образовано вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой ay — а3—х3 и осью Ох,
140 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти отношение поверхности тела вращения к поверхности равновеликого шара.
2500. Фигура, ограниченная параболой уг = 2рх и прямой х = р/2, вращается вокруг прямой у = р. Найти объем и поверхность тела вращения.
§ 9. Вычисление моментов.
Координаты центра тяжести
1°. Моменты. Если на плоскости Оху масса М плотности р = р (у) заполняет некоторый ограниченный континуум Q (линию, плоскую область) и со = со (у) — соответствующая мера (длина дуги, площадь) той части континуума Й, ординаты которой не превышают у, то k-м моментом массы М относительно оси Ох называется число
п
Mk = lira Е р (^) у*Дш (^)= Г (у«) (*=°, и2... •).
тде Дс/С = ус—У1-1 И Дсо (с/,) = со (у,) — со (Ус-О-
Как частные случаи, получаем при k = 0 массу М, при k = 1 — статический момент, при k — 2 — момент инерции.
Аналогично определяются моменты массы относительно координатных плоскостей.
Если р= 1, то соответствующий момент называется гео~ метрическим (момент лннии, плоской фигуры, тела и т. д.).
2°. Центр тяжести. Координаты центра тяжести (х0, у,,) однородной плоской фигуры площади S определяются по формулам
ХО=__, у0= —,
где —геометрические статические моменты фигуры
относительно осей Оу и Ох.
2501. Найти статический момент и момент инерции дуги полуокружности радиуса а относительно диаметра, проходящего через концы этой дуги.
2501.1. Найти статический момент дуги параболы
уг = 2рх (0 < х < р/2)
относительно прямой х = р/2.
2502. Найти статический момент и момент инерции однородной треугольной пластинки с основанием b и высотой h относительно основания (р = 1).
2502.1. Найти моменты инерции /х = и /у = относительно осей Ох и Оу параболического сегмента,
§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ
241
ограниченного кривыми
ау = 2ах — х2 (а > 0) и у = 0.
Чему равны радиусы инерции гх и гу, т. е. величины, определяемые соотношениями
/ = Sr2, / = Sr2, х х' у у' где S — площадь сегмента?
2503. Найти моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями а и b относительно ее главных осей (р = 1).
2504. Найти статический момент и момент инерции однородного кругового конуса с радиусом основания г и высотой h относительно плоскости основания этого конуса (р — 1).
2504.1. Найти момент инерции однородного шара радиуса R и массы М относительно его диаметра.
2505. Доказать первую теорему Гульдена: площадь поверхности, образованной вращением плоской дуги С вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости дуги, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги С.
2506. Доказать вторую теорему Гульдена: объем тела, образованного вращением плоской фигуры S вокруг не пересекающей ее оси, расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади S на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры.
2507. Определить координаты центра тяжести круговой дуги: х — a cos <р, у — a sin <р (| <р| а л).
2508. Определить координаты центра тяжести области, ограниченной параболами ах = у\ ау — = х2 (а > 0).
2509. Определить координаты центра тяжести об-у 2
ласти —+ 1 (0 х а, 0 у Ь).
2510. Определить центр тяжести однородного полушара радиуса а.
2511. Определить координаты центра тяжести С (ф0> го) дуги ОР логарифмической спирали г = — aem<t (tn > 0) от точки 0 (— оо, 0) до точки Р (<р, г). Какую кривую описывает точка С при движении точки Р?
2512. Определить координаты центра тяжести области, ограниченной кривой г = а (1 + cos ф).
j g—2383
242
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
2513. Определить координаты центра тяжести области, ограниченной первой аркой циклоиды х = = a (t — sin t), у = а (1 — cos t) (0 < t < 2л) и осью Ох.
2514. Определить координаты центра тяжести тела, образованного вращением площади 0 < х < а; у2 < 2рх вокруг оси Ох.
2515. Определить координаты центра тяжести полусферы х2 + у2 + z2 = a2 (z > 0).
§ 10. Задачи из механики и физики
Составляя соответствующие интегральные суммы и находя их пределы, решить следующие задачи:
2516. Определить массу стержня длины I = 10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону S — 6 + 0,Зх кг/м, где х — расстояние от одного из концов стержня.
2517. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту Л? Чему равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность?
2518. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть упругую пружину на 10 см, если сила в 1 кгс растягивает эту пружину на 1 см?
Указание. Использовать закон Гука.
2519. Цилиндр диаметра 20 см и длины 80см заполнен паром под давлением 10 кгс/см2. Какую» работу надо затратить, чтобы уменьшить объем пара в два'раза, считая, что температура пара остается постоянной?
2520. Определить силу давления вода на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса а, диаметр которого находится на поверхности воды.
2521. Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой а = 10 м, верхнее b = 6 м и высота h = 5 м, если уровень погружения нижнего основания с = 20 м.
Составляя дифференциальные уравнения, решить следующие задачи:
2522. Скорость точки меняется по закону: v = vQ + at.
$ 10. ЗАДАЧИ ИЗ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 243
Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [О, Т1?
2523. Однородный шар радиуса R и плотности д вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью и>. Определить кинетическую энергию шара.
2524. С какой силой притягивает материальная бесконечная прямая с постоянной линейной плотностью р0 материальную точку массы ш, находящуюся на расстоянии а от этой прямой?
2525. Определить, с какой силой притягивает круглая пластинка радиуса а и постоянной поверхностной плотности 60 материальную точку Р массы ш, находящуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки, проходящем через центр ее Q, на кратчайшем расстоянии PQ, равном Ь.
2526. Согласно закону Торичелли скорость истечения жидкости из сосуда равна v = c^2gh, где g — ускорение силы тяжести, Л — высота уровня жидкости над отверстием и с — 0,6 — опытный коэффициент.
В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D = 1 м и высотой Н = 2 м через круглое отверстие в дне диаметра d = 1 см?
2527. Какую форму должен иметь сосуд, представляющий собой тело вращения, чтобы понижение уровня жидкости при истечении было равномерным?
2528. Скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна его наличному количеству. Найти закон распада радия, если в начальный момент t = 0 имелось Qo граммов радия, а через время Т — = 1600 лет его количество уменьшится в два раза.
2529. Для случая процесса второго порядка скорость химической реакции, переводящей вещество Л в вещество В, пропорциональна произведению концентрации этих веществ. Какой процент вещества В будет содержаться в сосуде через t — 1 ч., если при t = 0 мин. имелось 20 % вещества В, а при t — 15 мин. его стало 80 %?
2530. Согласно закону Гука относительное удлинение г стержня пропорционально напряжению силы о в соответствующем поперечном сечении, т. е. е = о1Е, где Е — модуль Юнга.
Определить удлинение тяжелого стержня конической 16*
244 ОТДЕЛ TV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл
формы, укрепленного основанием и обращенного вершиной вниз, если радиус основания равен R, высота конуса Я и удельный вес у.
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов
1°. Формула прямоугольников. Если функция у = у (х) непрерывна и дифференцируема достаточное число Ь — а
раз на конечном сегменте [а, Я иА= ->х/ =а 4-ift (i=0,
1, • - • . л). Viи V (*<). то
| у (х) dx = Л (уо 4- yi -J-. .. 4- уп-i) 4- Лд, а
где Я* ° у'®
2s. Формула трапеций. При тех же обозначениях имеем:
+ Vi + V» + • • • + Vn-i) + Rn где
/?л=1 (e<v<b)-
3°. Параболическая формула (формула Симпсона). Полагая л — 2k, получим:
г А
J </(x)dx 1(у.4-»«*) + 4(У14-й + . • • + У»*-1) +
л 3
+ 2 (у»4-У4 4- • • • + Ля, где
IOU
2531. Применяя формулу прямоугольников (п — 12), приближенно вычислить
2я f х sin xdx
J у (x) dx — ft
п результат сравнить с точным ответом.
С помощью формулы трапеций вычислить интегралы
н оценить их погрешности, если: 1 i
2532. (—— (п=8). 2533. [ --- д
J 14-х J 1 + *8
(п = 12).
о
о
$ !1. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
245
1----sin’ х dx (и = 6).
о
С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы: 9
2535. f^xdx (п = 4).
2536. £ д/3 + cosx dx (п — 6).
Я/2
2537. f -^-dx (п = 10).
1
2538. f---—— (л = 6).
J 1п(1 + х) о
2539. Принимая п = 10, вычислить константу Каталана
2540. Пользуясь формулой -~- = Г 4 J I ~|- <
лить число л с точностью до 10-».
I
2541. Вычислить ^e*'dx с точностью до 0,001.
1
2542. Вычислить I (е*—1) In — dx с точностью
ВЫЧИС*
до 1(Г*.
2543. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл ве-+«
роятностей J e~x,dx.
2544.
которого
2545.
о
Приближенно найти длину эллипса, полусси а — 10 и b — 6.
Построить по точкам график функции
(0<х=с2л),
о
приняв Дх = л/3.
ОТДЕЛ V РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
1°. О б щ н е понятия. Числовой ряд
«1+ • • • + + • • • = 5} ап (I)
п=!
называется сходящимся, если существует конечный предел
lim S„ = S {сумма ряда),
fl-*oo
где S„ = «1 + а.+ ая. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
2°. Критерий Коши. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого в > 0 существовала число = N (е) такое, что при — нату-
ральные числа) было выполнено неравенство
1п+р
£ Ж i-n+t
<8.
В частности, если ряд сходится, то
lim ап «е 0. Л->ОО
3°. Признак сравнения 1. Пусть, кроме ряда (1), имеем ряд
+ 6» + • •. + Ьп + . .. (2)
Если при п > «о выполнено неравенство
0^ая<б„, то 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); 2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
В частности, если ап ~ Ьп при п -» <ю, то ряды с знакоположительными членами (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
$ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
247
4°. Признак сравнения П. Если ап~°* ВгЪ \ пи /
то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р 1 расходится.
5°. Признак Даламбера. Если ап > 0 (л e 1, 2, . . .) и
Пт -Н=±1- = (?, п->эо ап то а) при q < 1 ряд (1) сходится и б) при q > 1 расходится.
6°. Признак Коши. Если ап > 0 (п — 1, 2, . . . )и пг— hm у an = q, n-f-eo
то а) при q < 1 ряд (1) сходится и б) при q> 1 расходится. 7°. Признак Раабе. Если ап > 0 (л = 1, 2, ...) и lim п(——-------------------Л — р,
Л**ОО \ Лл+1 J
то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р < 1 расходится.
8°. Признак Гаусса. Если ап > 0 (л = 1, 2, .. .) и _£д_.иХ + Д!_ + _А_, fln+i « п'+е
где ,| 0„| < С и в > 0, то а) при X > 1 ряд (1) сходится и б) при X < 1 расходится; в) при X = 1 ряд (1) сходится, если р > 1, н расходится, если р 1.
9°. Интегральный признак Коши. Если f (х) (х > 1) — неотрицательная невозрастающая непрерывная функция, то ряд
ОО
Ен«)
П^| сходится или расходится одновременно с интегралом +“ f
Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:
2547-(t+t)+(^+v)+-”
*) Значение символа О* см. отдел I, § 6, 1а.
248
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2549. —— 4—— 4—— 4-. • • 4--------1----• • •
1-2 2-3 ~ 3-4 ' п(п+ 1)
2550. —L-4-—1—4- . . . 4--------Ц------ь . . .
1-4 4-7 (Зл — 2) (Зл 4-1)
2551. a) q sin а 4- q2 sin 2а 4-.. .-+qn sin па 4-.. .;
6) qcos a4-q2cos2а4-. . . 4-gncos па4- •. •
(I <7 KO-
2552. £ (-y/n + 2 — 2 Vn +1 4-V” )•
00
2553. Исследовать сходимость ряда у sin их.
Л»!
Указание. Показать, что при хЛл(Л — целое) невоз-
можно, чтобы sin пх -» 0 при л -* oot
2554. Доказать, что если ряд£а„ сходится, то ряд
00 ₽л+1-1
у А„, где А„ — У вг (Р1=1, Р1<Рг<...),
Яжв| is=pn
полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму. Обратное неверно; привести пример. ОО
2555. Доказать, что если члены ряда £в„ положи-Л=1 оо
тельны и ряд У Ап, полученный в результате группи-Ляб!
ровки членов этого ряда, сходится, то данный ряд также сходится.
Исследовать сходимость рядов: 2556. 1-14-1 —14-1 —14-•.. 2S57. 0,001 +70,001 +^0,001 +. ..
»“• -ir+T-+v+-'-+-jr+--'
«“• 1+т+т+т~'•+vbr+
$ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
24f
2560. J-+-A-+J-+ ...+-----1-
1001 2001 3001 lOOO/i+l
2561. 1+ —+ —Д-... + —-— + ...
3 5 т 2л- 1
2562. 1Ч——4- ——|- . .. 4.--5----Ь ...
3» Т 5’ + (2л - 1)» Т
2563. —— + ——4-------к-+ • • •
VI 2д/з 3 -V*
п 1
2564. ! +--------1— + • • •
Vb3 л/зТ
V(2a - 1) (2л + 1)
2565. Доказать, что ряд чисел, обратных членам арифметической прогрессии, расходится.
ОО ОО
2566. Доказать, что если ряды У, ап (Л) и УА(В) Ляв=1 Лак!
ОО
сходятся и ая^сп ^Ь„ (л=1, 2, ...), то ряд У сп (С) также Л»!
сходится. Что можно сказать о сходимости ряда (С), если ряды (Л) и (В) расходятся?
2567. Пусть даны два расходящихся ряда оо оо
У ап и У. Ьп с неотрицательными членами. П=1 Л=1
Что можно сказать о сходимости рядов:
ОО ОО
а) У min (а„, Ь„) и б) £ max(e„, й„)?
Ла=1 Л=1
ОО
2568. Доказать, что если ряд У а„ (а„ > 0) сходится, Л«=|
оо
то ряд У ая также сходится. Обратное утверждение Д=1
неверно; привести примеры.
ОО 00
2569. Доказать, что если ряды У и У Ья сходятся, Л»1 Лаь|
оо оо оо
то сходятся также ряды^ | апЪа |, ^(а„ + &«)’, •
А=-1 Пая»1
250
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2570. Доказать, что если lim пап = а 0, то ряд
оо
X ап расходится. л=1 00
2571. Доказать, что если ряд £ а„ с положитель-
П=1
ными и монотонно убывающими членами сходится, то lim па„ = 0.
Л-*оо
00
2572. Является ли сходящимся ряд £а„, если
л=.1
lim (ая+1 + ая+2+ . . . +ая+р)=0 Л-*ОО
при р = 1, 2, 3, . . .?
Пользуясь критерием Коши, следующих рядов:
доказать сходимость
2573.
2574.
2575.
о0+^-+...+-^-+... (|а„1<Ю).
sin х . sin 2х sin пх .
2 "г 2* 1 2 * * "Г ’ ’ ’ 2я *"•••
cos х — cos 2х 1
cos 2х — cos Зх 2
2575.1.
Is
J cos пх — COS (и + 1) X л
COSX2 , , COS Xя
22 + л2 И ’
Указание. Использовать неравенство
1 1 1 1
л2 л (л — 1) л — 1 п
(л = 2, 3. . . .).
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов:
2576. 14-— + — +...+ — +...
2 3 л
2577. 1 + -!---+— + ---------!-+...
2 3 4 5 6
2577.1. —J—+ —1— +...+— 1 +...
Vl-2 <2^3 <«(«+!)
$ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
251
Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость рядов:
2578. 1000 , 1000» 10003 , 1000'1 , 11 21 + 31 ’ nl
2579. (H)2 , (21)» , , (nt)» , 2! Ь 41 1 * ’ ’ 1 (2nl> 1 ’ ' ’
2580. 11 . 21 . 31 nl 1 2» 3s ’ ‘ + nn
2581. . 2-11 , 2»-2l , 2»-3! . 1 2» 3» , 2nnl . ...4—4-...; 311 . 32 2! . 3»-3l . 0) —r • • • ' 1 2» 3» । 3nn! , nn '
2582. (1!)» (2!)» (31)» . (n!)» 2 2» 2» 1 • • • 1 2«*
2583. 1000 . 1000-1001 1000-1001•1002 1 1-3 1-3-5 + • • *
2584. 44-7 4-7-10 22-6 2-6-10
2585. r (V2--W-)(V2-W). . • ... (72 -2"V2).
2585.1. ^ап, Л=1
где
( Мп, если п — тг,
->•- 11W, «ли и—яуральяое число!.
2585.2. Vnxf] ‘У’?*,,
1 1 1 + *»-|-cos’ta
Л=1 *=i
262
отдел v. ряды
2588. V*-----1-- 2589. V---------д» •
L УНГ 4 (2«’+л + »)п+1/2
п=з
2589.1. J*--------- 2589.2. V* f-l=±Y(п*1).
Zj 2«+з» £А«+и
л®1 л»2
2590. V2+V2—V2 Ч-ЛА—V2+V2 + Ч-Л/г—дЛ+ V2 + V2 +. . .
Указание. V2—2cos—•
4
2591. Доказать, что если
lim_£-i_ = g (ая>0), л-+ао Qn
то ап = о (#), где > q.
2591.1. Пусть для членов знакоположительного ряда
£ ав(Ол>0) выполнено неравенство
< р< 1 при п > п0. «п
Доказать, что для остатка ряда
Яд = Од+1 + ал+2 + • • •
имеет место оценка
Кл < Оп» . если п > л0. 1 — р
ОО
2591.2. Сколько членов ряда V* , где[(2n)!!J2= Zu (4»l!
Л=1
= 2-4 . . . 2п, достаточно взять, чтобы соответствующая частная сумма S„ отличалась от суммы ряда S меньше, чем на е = 10"’?
2592. Доказать, что если iim -Дя~- = q< 1 (а„ >0), л«^оо Од 00
то ряд 2^ ап сходится. ti 1
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
253
Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример JL-1-JL4. J_________I_L.1__L-l J____l
2 "** 3 **" 2* **" 3» + 2* + JI + “ *
00
2593. Доказать, что если для ряда Т,ал(аа>Щ Sissi
существует
Нт^±Ь=7, (А)
/I—>оо
то существует также
lim ^"=<7. (Б)
4->оо
Обратное утверждение неверно: если существует предел (Б), то предел (А) может и не существовать. Рассмотреть пример
Z” з+(-1)я л=1
2594. Доказать, что если Urn =q (ап>0), «-►оо
оо
то а) при q < 1 ряд £ ап сходится; б) при <?>1 этот л»1
ряд расходится (обобщенный признак Коши).
Исследовать сходимость рядов:
2595. у, .2 + <-1)".. 2596. V
Zu 2я Zu 2я
л«=1 л=4
2597.1. У,Г_1±£^УП-,ПЯ Zu \ 2 + cos п /
Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость следующих рядов:
2598. (-LY±з_у+(Л±5_у 4- .., к 2 J ч 2-4 ) к 2-4-6 ) т
«54
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2599 — 1 д (fl ~Ь *0 I о (а + d) (fr + 2d) Ь "Г b(6 + d) "Г b(6 + d)(b+2d) (а>0, 6>0, d>0).
2600.
л!е” лл+₽ *
2601. У-------------=------
Zu (2+ V1 ) (2+ V2) . . . (2 4- V«) л=1
2602. J*------------—------------- (<?>0).
Zj <?(<? +О- • •(<? + «)
Л=1
р (р + 1) . . . (р + л — 1) 1
л! л’
2604
1-3-5 . .
2-4-6 .
. (2л — 1) у . .(2л) J
1
по ’
Л=1
2606 (н). Доказать, что если для знакоположитель-ОО
ного ряда У ап (ап > 0) при п -> оо выполнено условие Лав!
ТО
где 8 > 0 произвольно мало; причем, если р > 0, то а„ 10 при п оо, т. е. ап при п > п0, монотонно убывая, стремится к нулю, когда п -> оо.
Определив порядок убывания общего члена ат ис-оо
следовать сходимость ряда У ап, если
Л=1
$ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
255
2607.
Пр + Я1Лр~1 4~
4* 4-
4-Ь1Д? *4- . • • -]~Ьч‘^>0.
2608. а„ = —— sin —. пр п
‘ °р > где л«4-
• • + Ьд
2609.
2610.
2611.
2612.
2613.
а„= (V«4-l — лГпУ In («> D-«4-1
а„ = lnp (sec —) .
(а>0, b>Q).
an = logdn
1 „1+1/п
2614.1* Доказать признак Жамэ: знакоположитель оо
ный ряд 2 (ап > 0) сходится, если
п=1
(1 —>Р>1 при п>п0,
4 7 In п
и расходится, если
(1 — — < 1 при п>п0.
4 ' in п
оо
2615. Доказать, что ряд 2 ал(ал>0) сходится, л=1
1П —
если существует а>0 такое, что ----— >14-апри
1ПД
1пТ“
п > п0, и расходится, если ——< 1 при n> пй (ло-In п
еарифмический признак).
Исследовать сходимость рядов с общим членом:
2616. а„ = п1п* (х>0).
2617. а„ = 1 (п>1).
(In In л)1п л
2618. ап = 1
(lnл)lnln',
256
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать сходимость рядов с общим членом:
2619. ап=——(п>1). л 1пр л
1
2620. ап=---------!------- (п>2).
л (In n)P (In In л)’
2620.1. Исследовать сходимость ряда
_______In 2-In з . . . in (л 4-1) (о>0) 1п(24-р)1п(34-р). . • 1п(л4-14-р) '
2620 .2. Исследовать сходимость ряда >где л=1
v (п) — число цифр числа п.
2620 .3. Пусть (п и 1, 2, . . .) — последовательные положительные корни уравнения tg х = х. ОО
Исследовать сходимость ряда У. Х72.
оо
2621. Исследовать сходимость ряда V* ——. In (л!) п=2 оо
2622. Доказать, что ряд а„ с положительными л»1
монотонно убывающими членами сходится или расхо-оо
дится одновременно с рядом У 2па2п. п=0
2623. Пусть f (х) — положительная монотонно невозрастающая функция. 03
Доказать, что если ряд У f (п) сходится, то для п =1 остатка его
Rn= Z f(k) Л=л+1
справедлива оценка
f f(x)dxcRn<f(n + l)+ J' f(x)dx. 04-1 л+l
$ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
257
Пользуясь этим, найти сумму ряда V* —— с точ-л=1 ностыо до 0,01.
2624. Доказать признак Ермакова-, пусть f (х) — положительная монотонно убывающая функция и
Иш_£Ш_=х.
Х-»о° t (•*) ОО
Ряд 22 f (п) сходится, если X < 1, и расходится, если Х> 1.
•О
2625. Доказать признак Лобачевского-, ряд 22 ап с по-ложительными и монотонно стремящимися к нулю членами сходится или расходится одновременно с рядом 00
22 рт 2~т, где рт — наибольший номер членов Да» т=0 удовлетворяющих неравенству
ап>2~т (п=1, 2, . . ., рт).
Исследовать сходимость следующих рядов: 00
2626. У . Уп+ 2 — Z-i л« п=2
2627. У. (-y/n-j-a — па n + 5 ). п=1 4 '
2628. VVctg——--------sin—
ДА 6 4л —2 2л+ I J
П=1
» оо 3/—
2630. У-1П(Я|> . 2631. 22 е~^п .
п=1 П=1 00 , 2632. 22 .
л=1 17-озю
253
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
оо / 1 \ оо а Тп я+»
2633. У(пл1+> _J. 2634. Еее1пя+<<. 4 ' п=1
40
П*1
2636. (cos —у .
л=1
2638. \ Zu л»1
ОО
2640. ^(а1/л Л=1
2639.
/. (1П п)»
Ь--^--П ) (а>0| Ь>0, с>0)
2641. £(п"“ — 1). 00
2642. У Г1п—------Infsin —
Zu L Л“ \ л* .
П=1
2643. У. а~ 1п "+«,п“ л> (а>0). Л=1
2644. Г--------------р-----------
Zu (П + а)п+ь (п + Ь)п^ П»1
(а>0, &>0),
2645. V. К"+Ж".-, Zu 21-41. . . (2л)! л =4
Исследовать сходимость рядов У. и„ со следующими л=1
общими членами:
s 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ.
259
|/Л
2646.
2647.
“n= J Н о 1
2648.
Un= n .. •
f V 1 + x4 dx b (л+h я f sin3 x . un= | —~dx‘
ПХ
2649.
U„
dx.
2650.
ип=
n
я/л
f sin3 x .
\ --------dx.
2651.
Un =
0
11+21+ . . . + л!
2652.
Un =
(2л)1
E ln’*
л«
Заменив последовательности xn (п = 1, 2, . . .) соответствующими рядами, исследовать сходимость их, если:
2653.
2654.
%n--
6^1
+ -L-+
<2
И In Ji (In л)3
L k 2
1
Л
2655. Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до
00
Z2"
(Я +1)1 ’ п=1
n=l
10"5, если 00
в) У-----------—
7 (2 л - 1)1
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
1°. Абсолютная сходимость ряда. Ряд
Е «а (1)
17
260 ОТДЕЛ V РЯДЫ
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
£|вЯ1’ (2)
В этом случае ряд (1) также сходится. Сумма абсолютно сходящегося ряда ие зависит от порядка слагаемых.
Для определения абсолютной сходимости ряда (1) достаточно применить к ряду (2) известные признаки сходимости для знакопостоянных рядов.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно (не абсолютно) сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу (теорема Римана).
2°. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
+ - - • +(-1)я-1Ьл+ - - -
(&«5г0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если а) ьп 6л-н (л = 1, 2, . . .) и б) lim bn = 0. В этом случае
Л->оо для остатка ряда
/?,.=(- 1)" &Л+1 + ( - 1)Я+1Ь.+» + . . .
имеем опенку
/?„ = (-1)лол&л+1 <осел^1).
3°. Признак Абеля. Ряд
Е апЬп (3)
Л=1
оо
сходится, если: 1) ряд^ ап сходится; 2) числа bn (n = 1, 2, . . .)
Л=1 образуют монотонную и ограниченную последовательность.
4°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится, если: п
1) частичные суммы А„ = ограничены в совокупности;
2) Ьп монотонно стремится к нулю при л -*• оо.
2656. Доказать, что члены не абсолютно сходящегося ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся.
оо
2657. Доказать, что ряд Еал является сходящимся,
л=1
если выполнены условия: а) общий член этого ряда а„
оо
стремится к нулю при п->- оо; б) ряд получен-
Л=1
ный в результате группировки членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; в) число слагав-
$ 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
261
₽П+1 1
мых ait входящих в член Ап = У. at (I =p1<pJ<...), 1~рп
ограничено.
2658. Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения больше чем на т мест, где т — некоторое заранее заданное число.
Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:
2659.
2660.
2661
1—з.+Л_2_+...
2 4 8
1 + J—L+JL+J----—+...
2 4 8 16 32
1—_L+_L__L+... 2 3 4 о 6
Указание. Применить формулу 1 + ~ + . . .
= С + In п + е„, где С — постоянная Эйлера и lim е„ = 0.
Л->оо
2662. Зная, что
.(.ГТ Р**..»in 2, найти суммы ря-п
дов, полученных из данного в результате перестановки его членов:
а) 1 + 4 О
А-+-1-+-1 1
2 5 7
4
и
1 > 1 1
1
2663. Члены сходящегося
б) 1------
2 4 3 6 8
Е( — 1)л+1!
——-— переста-
п=1
вить так, чтобы он стал расходящимся.
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
2664. у
2"
262
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Л=1
2666. 1 + 4-4 «
2666.1. Пусть
J_____1_____
3 4 5
£(-1)п&л.
Л=1
(1)
где Ьп > 0 и Ьп -* 0 при л -> оо. Следует ли отсюда, что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример
2667. J" 1п1”" sin-^-. 2668. £( —1)л ftasl П^1
2669. У* ( — 1)" Z_u л+100
Л=1
2670. Г ...
Z-I д/л +(-1)"
И =2
00
2671. У. sin (л д/n2 +А2 ).
2673.
——.
П=1
ОО
2673.1. У -4— cos
Ди In2 л п=2
ЯЛ2 л+ 1
§ 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
263
2674. Доказать, что знакочередующийся ряд
+ + • » • Ч~(—1)Л—*^л+ • • • (^п>0)
сходится, если
-22_=si + -e.+o('-LY
Ьп+1 П к п 7
где р > 0 (см. 2606 (и)).
Исследовать на абсолютную (кроме 2690) и условную сходимость следующие ряды:
пР
2675. V . 2676. V_<ZL1!21
/ n₽ /. n₽*Vn
n=l
пР
2677. £1п[1 + - (~1)П-п—2
2678. £(—I)"-1 П=1
W sin24 х
2679. V-Ljn Zu *+« П=1
(-1)"
. 2680. У Li [«+(-!)"]₽
П=2
2681. V---------Л-
£-j [д/л
Л = 1
- 1)ЛЧГ
2682.
“ nn
Esin-^—
n₽+sin-^-
Л=1
2683. V (— I)"-"-1. —— Д п+1 ’оо/ТГ
л=1
Ея100
( —l)n ("-l)/2-fL_
2685.
Z(-1)"
У n—1
п
п
264
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
ОО Z. пп оо
sin 12 \ ' (_ntV"!
----—. 2687. > 1—------ ,n"
п «2
Е(-П11пл’ 1—!2----------.
Л»1
2689. У (— I)"-1 Г Ь3'5, * ,(2п~ ° Г. Д' ’ L 2-4-6. . .(2л) J
Л«1
sin в*sin п* п
М=4
ОО
2691. У*, sin д’.
Л»!
Указание. Доказать, что lim sin п* =#= 0.
Л~*оо
2692. Пусть
п ()л _ goxP + flixP-14- . . . +ар V 1 Ь9х«+Ьгх<1-1+ . . . +Ьв
— рациональная функция, где ao-#0, 60^>0 и [Ь^х* +
+ btxr-* + . . . + bq | > 0 при х > п0-
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
S (-!)"*(«).
ЯааДф
Исследовать сходимость рядов:
2693. — 1 4—7- 1 4- 1 1
Р 2» з₽ 4’ 5₽ 64
2694. 14- 1 -4- 1 1 —р
з₽ 2₽ 5₽ 7₽ 4₽
2695. 14- 1 1 — 4-- 1 -4- 1
ЗР Р 5Р 7₽ ЗР 4)Р
1 1
1Р '4- • • •
2696. 1 — — 4- -1-4- 1 ~4- “i"+
2^ 1 з₽ 4Р 5» &>
1 2 , 1
4- 1. •+ • • •
7₽ 8» ‘ «Р
§ 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
285
2697. Доказать, что ряды
. , sin2x . sin3x
a) sinx + ——— +— ----------i-...;
i О
cos 2x , cos 3x , 3 + • • *
в интервале (0, л)'.
б) COSX-}
не абсолютно
2698. Для
2
сходятся рядов
ZCOS пх
пР~
Пяв1
(0<х<л) пР
определить для совокупности параметров (р, х): а) область абсолютной сходимости; б) область неабсолютной сходимости.
2698.1. Исследовать сходимость рядод:
а) У (-1)"^л~ , Z-J >П п ’
/1=2
ОО
Zsinfrt + —«о
—S------12_; в) У --------
In (In л) л+10 sin л
n=z n=U>
2699. Для ряда
У* (_ 1)л-1 П + р)(2 + р) . . . (л+ р) L-,' л!л«
л«=1
определить: а) область абсолютной сходимости; б) область условной сходимости.
2700. Исследовать сходимость ряда
(m т (т — 1). . . (т — л + 1) п)~ л!
ОО
2701. Если ряд £ ап сходится и
п=1
lim -^2- = 1, П-*оо Qn
266
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
во
то можно ли утверждать, что ряд £ Ь„ также схо-П=1
дится?
Рассмотреть примеры
2702. Пусть У ап — не абсолютно сходящийся ряд и
л п
fci <=*
Доказать, что
lim Лд- = 1.
Л-<-оо Р п
2703. Доказать, что сумма ряда
у (-О™
Z-I Лр
Л»1
для каждого р > 0 лежит между — и 1.
2703.1. Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до е = 10"’, если:
1
Л»1
2704. Доказать, что если члены ряда
1—
2 3 4 5
переставить так, чтобы группу р последовательных по* ложительных членов сменяла группа q последователь» пых отрицательных членов, то сумма нового ряда будет
1п2-|- —In —. 2 q
2705. Доказать, что гармонический ряд
1 + —+ —+ —+ ...
2^34^
S 3. ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ 267
останется расходящимся, если, не переставляя его членов, изменить знаки их так, чтобы за р положительными членами следовало бы q отрицательных (р q\. Сходимость будет иметь место лишь при р = q.
§ 3. Действия над рядами
Сумма и произведение рядов. По определению полагают:
а) Еа» - f * м;
п=1 Л=1 Л=1
ОО ОО 00
б) £а» Е° £ с~
п=1 Ло1 Л=1
где
сп = aibn + «»Ьп-1 + •.. + anbi.
Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряда оо оо
£ап и 22 сходятся, а равенство б) —если, сверх того, по /1==1 Л«1
меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно.
2706. Что можно сказать о сумме двух рядов, из которых а) один ряд сходится, а другой расходится; б) оба ряда расходятся?
2707. Найти сумму двух рядов:
П«=е1 Л»1
Найти суммы следующих рядов:
««• °
П«1
3«
2709.
2лл cos-----
3
2"
Пм* I
30
2710. £ xWtp+Wj (|хг/|<1).
2711. Показать, что V —— • У* ~—— Ди п! л!
л»=0 а«0
268
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
8712* Показать, что f 2 = £ (n +1) а" (I Ч | < 1).
\ я «О / л*0
2713. Показать, что квадрат сходящегося ряда
V1 <-i)n+l
Z-U 'уЛ Паа] есть ряд расходящийся.
2714. Доказать, что произведение двух сходящихся рядов
Ла>1
есть ряд сходящийся, если а + £ > 1, и расходящийся, если а 4- (3 < 1.
2715. Проверить, что произведение двух расходящихся рядов
есть абсолютно сходящийся ряд.
§ 4. Функциональные ряды
Iе. Область сходимости. Совокупность Хо тел значений х, для которых сходится функциональный ряд
«1 W + и» (*) + • • • + ип(х) + . . . , (1)
называется областью сходимости этого ряда, а функция
S (х) = Нт У ut (х) (х £ Хо)
Л-.оо (“1 — его суммой.
2е. Равномерная сходимость. Последовательность функций
It (*). fi W. » /nW. • • • называется равномерно сходящейся на множестве X, если:
1) существует предельная функция
I (х) = lim fn (х) (х б X);
П-»оо
2) для любого числа в > 0 можно указать число N = N (е) такое, что
HW
при п> N л х£Х. В этом случае пишут: fn (x)rtf (х).
f 4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
869
Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве X, если равномерно сходится на этом мио* жестве последовательность его частичных сумм:
Sn (*) = У. Щ (*) (« == 1. 2, . . .).
1=1
3s. Критерий Коши. Для равномерной сходимости ряда (1) на множестве X необходимо н достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовало число N — N (в) такое, что при п> W и р> О' было выполнено неравенство
п+р
I ^л+р (х) — $л (х) I =
У. И/(Х) 4=п+1
<8
для всех х € X.
4°. Признак Вейерштрасса. Ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на множестве X, если существует схо* дящийся числовой ряд
ci + c8+ • • • +«л+ • • • (?)
такой, что
1«п(х)|<ся при х£Х (п=1, 2,...).
5е. Признак Абеля. Ряд
£ ап (х) Ьп (х) (3)
/1*1 во сходится равномерно на множестве X, если: I) ряд а„ (х) /1*1 сходится равномерно на множестве Х\ 2) функции bn (х) (л == I, 2, . . .) ограничены в совокупности и при каждом х образуют монотонную последовательность.
8°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится равно* мерно на множестве X, если: 1) частичные суммы £ап (х) в со* п-1 вокупности ограничены; 2) последовательность bn (х) (n — I, 2, . . ) монотонна для каждого х и равномерно на X стремится к нулю прн п -* оо.
7°. Свойства функциональных рядов, а) Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.
б) Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на каждом [а, 0] с (а, Ь) и существуют конечные пределы
Нт ип (х) = Ап (л = 1, 2, . . .), х-ю
00
то О РЯД У. Ля сходится и 2) имеет место равенство л=1
270
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
в) Если члены сходящегося ряда (1) непрерывно дн<М>с* 09 ренцируемы при а < х < Ь и ряд производных и'п (х) схо-П=1 дится равномерно на интервале (а, 6), то
—Г Z e"w] = Е B«w при *е(а- ь>>-dx Ln—1 J л=1
г) Если члены ряда (1) непрерывны и этот ряд сходится равномерно на конечном сегменте (а, 6], то
Ь ( оо > оо Ь
Н X “n d* = Е f u" W dx. (4)
а кл»1 J л=1 a
b
Вообще формула (4) верна, если J /?п (х) dx->0 при п оо, а 00
где Rn (х) « £ И| (х). Это последнее условие годится также {к=Л-^1 в для случая бесконечных пределов интеграции.
Определить области сходимости (абсолютной и условной) следующих функциональных рядов:
2716. Г-2-. 2717. y±Z«LfJLz2LY. Zu *" Zj 2л — 1 \ 1 + * /
л=! л—1
2718. V—-—(-------—Y.
Zj л+1 к 2x4-1 )
Л«в1
2719. У-ЬУ (2п— О f_2£_Y Zu 2-4 .. . (2л) к 14-х» J
272°. j?-fL^-x'-(l—x)n. 2721. j?
л*=1 n=l
2722. У-<^-1)П. .
Zj (*+«)”
Ли|
2723. У -"Psin nx . (q>0; 0<x<«). oo
2724. У —------ (ряд Ламберта).
/ . 1 — Xя n=l
} 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
271
я=1
X (х + л) п
П=1
1 + х«
2727.
П=1
хп
(I + х) (1 + х2) . . . (1 + хп)
2728. Хпе~пх. 2729. V—— _________!___.
Я“1 / . 1 + амх»
П=1
2730. <2—«) (2—х1'2) (2—х»)... (2—х1'") (х>0).
Я31- 2”2- E“?+7"<Jt>0;9>0)'
П=1 п™1
2733. V 'f---(y>0). 2734. £ 1/|х|л’+1АН"1. L-t п + у" п=1
П®1
2735. j? (х>0). 2736. £tgn(x+-£-}.
flat Л==1
4-00
2737. Доказать, что если ряд Лорана У, апхп схо-rts=—ОО
ДИТСЯ при X = Xj И При X = Х2 (|Хх| < |хг|), то этот ряд сходится также при IxJ < |х| < |xs|.
2738. Определить область сходимости ряда Лорана
+»
flsss—-оо
и найти его сумму.
2739. Определить области сходимости (абсолютной и условной) рядов Ньютона-.
Ext"] . у» 1 х("]
nl ' nP nl ’
n=1 n~l
(ex)" yt"] n"
где x1"! «« x (x—1) . . . [x — (n— 1) ].
272
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2740. Доказать, что если ряд Дирихле'^-— схо* Л®1
дится при х = *о» то этот РЯД сходится также при х >х0.
2741. Доказать, что для равномерной сходимости на множестве X последовательности fn (х) (п = 1,2, . ..) к предельной функции / (х) необходимо и достаточно, чтобы
lim /supr„(x)l =0, n-wt 1*€Х j
где гя (х) = |/(х) — fn (х)|.
2742. Что значит, что последовательность fn(x) (п = 1, 2, .. .): а) сходится на интервале (х0, + «>); б) сходится равномерно на каждом конечном интервале (а, Ь) с± (х0, + оо); в) сходится равномерно на интервале (А. + «)?
2743, Для последовательности
f„(x)»x* (n= 1, 2,...) (0 < х < 1)
определить наименьший номер члена N — N (в, х), начиная с которого отклонение членов последовательности в данной точке х от предельной функции не превышает 0,001, если х = —i-, —... ,—J, ...
10 Vio Vio
Сходится ли эта последовательность равномерно на интервале (0, 1)?
ОО
2744. Сколько членов ряда > —sin-~— следует взять, Zu л (п + 1) п=1
чтобы частная сумма S„ (х) отличалась при — оо < х < < + со от суммы ряда меньше чем на е? Произвести численный расчет при: а) в = 0,1; б) в = 0,01 j в) в •=> *= 0,001.
2745. При каких п будет обеспечено выполнение неравенства
е* — у <0,001 (0 < х < 10)? (=0
Исследовать последовательности на равномерную схо* дпмость в указанных промежутках:
$ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
273
2746. fn(x) = x"; а)О<х<—; б)0<х^1.
2
2747. fn (х) = х"—д Н-1; 0 < х < 1.
2748. fn (х) = х"—х2"; О < х с 1.
2749. (х) = —L_; 0<х< 4- оо.
х-J- п
2750. fn(x) = ~-^. ; 0<х<1.
14-n + x
2751. fn(x)—44г; а)0<х<1-e;
б) 1-8<х<1+е; в) 14-e<x< + w, гдее>0.
2752. /„(x)=-44-; a)O<x<l;
1 -f- л*х*
6) I<X<4-00.
2753. fn(x)= A/x»+-V; -«><*<+°°. V П1
2754. /п(х) = П(д/х+4 —V* ); 0< x< 4- oo.
2755. a) f„(x) = -sinnx ; —oo<x<4-oo; fl
6) fn(x) = sin-4’» —1»<*<4-°°-
2756. a) fn (x) = arctg nx; 0<x< 4- 6) fn (x) =»
=x arctg nr, 0<x<4-oo.
2757, fn(x) = e"<*”»; 0<x<l.
2758. fn(x) = «-(*-">’; a) —/<х</, где /—любое положительное число; б)—оо<х<4-оо.
2759. fn (X) = — in —; 0<х< 1. п п
2760. fn (х) = ^1 + — У', а) На конечном интер«
вале (а, 6); б) на интервале (—оо, 4-оо).
2761. fn (х) = п (х’/я—1); 1 с х < а.
2762. fn (х) = ^14-х" ; 0 < х < 2.
18-“w
574
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2763. fn(x) =
0.
если 0 < к < —; п
1 2
если —<х<—; п п
_ 2
если х>— п
на сегменте 0 < х, < 1.
2764. Пусть f (х) — произвольная функция, определенная на сегменте la, b J, и /„ (х) = (п=
= 1.2....).
Доказать, что fn (х) 3 f (х) (а < х < Ь) при п -> оо.
2765. Пусть функция f (х) имеет непрерывную производную f- (х) в интервале (а, Ь) и
fn (х)= пр (* + “) ~f W] *
Доказать, что fn (х) f' (х) на сегменте а < х < ₽, где а < а < 0 < Ь. п—1
2766. Пусть fn (х) = где t W “
i="o
непрерывная на (— оо, + оо) функция. Доказать, что последовательность fn (х) сходится равномерно на любом конечном сегменте [а, Н.
Исследовать характер сходимости следующих рядов:
2767. X хп а) на интервале |x\<_q, где ?<1; л=0
б) на интервале |х[<1.
ОО
2768. V -^-на сегменте —1 < х < 1. п2
П=1
2768.1. V' на интервале (0, -}-оо).
Ди л!
Л=в4)
QO
2769. X (1 —*) х" на сегменте 0 < х < 1. п«=0
$ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
275
2770-Z(t
л=1
-1
2771
х
[(л—!)*+1] (лх-Н)
0<Х< 4-ОО.
1
2772. V---------------J----------; 0<х< + оо.
Z-I (X + л) (х + п 4- 1)
>1=1
пх
2773. У-------------------------------.
Z-i (14-х)(1 + 2х) ... (14-лх) Л=1
2774. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:
1
— оо<х< + °°;
п—1
(-1)"
—2<х<4-оо;
Л=1
Znx
14-л*х» ’ Л=г1
л»
л!
£ 2
е)
|х[<а, где а — произвольное
положительное число; 18*
276
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
ж) У » Iх К + °°’
Ди У л4 -|- х4 л»1
оо
х V* COS ПХ | | - .
з)2,-^-' И<+«
Л®1
|х|< + оо;
СО
К) У In (1+- *—), |х|<а; Ди \ л In* л /
н~2
ОО
Л) 2 х2^"*, 0 < х< + оо; Л в»!
„) £ arctg л—1
|х|<4-оо.
Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие функциональные ряды:
00
2775. ж а) на сегменте е < х < 2л — е,
где в >0; б) на сегменте 0 < х < 2л. 00
2776. V 2я sin——; 0<х< + оо. £-i Зях
Л»1
2777. V-l-P" ; 0<х< + оо. Ди х+ п
Л*1
Указание. Оценить остаток ряда»
2778. У - (~1)Я ; О < х < 2л. Ди л + sinx л—2
Е” л (П-1)
(~и .....— ; |х| < 10.
Vn*4-e*
Л»1
$ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
277
-ОО<Х< 4-ОО.
2781. У .sinxsin™ ; 0<х< + оо.
/ j Vя+*
....0<х< + оо.
Vя («+*)
П=1
2783. Может ли последовательность разрывных функций сходиться равномерно к непрерывной функции?
Рассмотреть пример
М*) = —Ф(х) (л = 1. 2....),
п
где ф(х) —/0’ если х иРРаЦионально;
( 1, если х рационально.
00
2784. Доказать, что если ряд £ |/п(х)| сходится Л=1 оо
равномерно на [а, b ], то ряд X fn(x) также сходится равномерно на [а, &J. ОО
2785. Если рядХ/nW сходится абсолютно и равно-Ляе1 оо
мерно на [а, &], то обязательно ли ряд£ \fn (х)| схо-Л=1
дится равномерно на [а, Ь]? 00
Рассмотреть пример £ ( — 1)п (1 — х) х”, где 0 < х с 1. п=0
2786. Доказать, что абсолютно и равномерно сходящийся ряд
Г/п(х) (0сх<1),
О, если 0 < х < 2-<п+1’;
где /„(х) =
— sin2(2n+1nx), если 2-<п+1’<х<2~";
, 0, если 2~" < х < 1,
278
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными членами.
ОО
2787. Доказать, что если ряд£ <рп(х), члены кото-
Лак1-
рого суть монотонные функции на сегменте [а, b ], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сегменте [а, Ы.
00
2788. Доказать, что степенной ряд У, апхп сходится п=0
абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком лежащем внутри его интервала сходимости.
ОО
2789. Пусть ап -> оо так, что ряд | 1 сходится.
Доказать, что ряд -------—сходится абсолютно и равно-
п=1 мерно на любом ограниченном замкнутом множестве, не содержащем точек а„ (п = 1, 2, . . .).
ОО
2790. Доказать, что если ряд У а„ сходится, то ряд п«1
оо
Дирихле V -^-сходится равномерно при х > 0. / J пх
Л=1 оо
2791. Пусть ряд У] ап сходится. Доказать, что ряд п=1 оо
У апе~пх сходится равномерно в области х > 0.
оо
2792. Показать, что функция f(x) = не"
Лак!
прерывна и имеет непрерывную производную в области — оо < х < + оо.
2793. Показать, что функция
+«
/(*)= У -Н-т Zu (fl — х)» Лее—ОО
а) определена и непрерывна во всех точках, за исключе
$ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 279
нием целочисленных: х = 0, ± 1, ± 2,... । б) перио* дическая с периодом, равным 1.
2794. Показать, что ряд£ [пхе~пх—(п—1) хе“<п~*> *] Я=1
сходится неравномерно на сегменте 0 < х < 1, однако его сумма есть функция, непрерывная на этом'сегменте.
2795. Определить области существования функций f (х) и исследовать их на непрерывность, если
П=4 л=1
В) /(х) = У ----2—.
’ Ь (1 + х»)" Лав!
2796. Пусть rk (k = 1,2,...) — рациональные числа сегмента [0, 11. Показать, что функция
(°<х< о
обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2) дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных.
2797, Доказать, что дзета-функция Римана
непрерывна в области х > 1 и имеет в этой области не* прерывные производные всех порядков.
2798. Доказать, что тэта-функция
+ 00 0 (х) = £ e_"n‘x flss-00
определена и бесконечно дифференцируема при х>0. 2799. Определить область существования функции / (х) и исследовать ее на дифференцируемость, если:
£-»« + * Li п»4-х»
Л=1 вяз!
280
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2800. Показать, что последовательность
/пW = —arctgхп (n= 1, 2, . ..) fl
сходится равномерно на интервале (— оо, + оо), но
[lim fn (х)Г ф lim \'п (1).
Л->ОО Х=1 п->оо
2801. Показать, что последовательность
fn (*) = * + -у sin п (х + -у)
сходится равномерно на интервале (— <ю, 4- оо), но [lim/„(x)J'^=Нп f'n(x).
/!—*оо П-*ОО
2802. При каких значениях параметра а: а) последовательность
Д, (х) = лахе~ядг (D
(п = 1,2,...) сходится на сегменте [0, 11; б) последовательность (1) сходится равномерно на [0, 1J; в) возможен предельный переход под знаком интеграла
1
lim f fn (х) dx?
П-+Ф 0
2803. Показать, что последовательность
fn (х) = пхе-™’ (л = 1, 2, . . .) сходится на сегменте [0, 11, но
1 1
f [lim fn (х)[ dx^ Jim f/„ (x)dx. 0 n-*ao n~*oo 0
2804. Показать, что последовательность
fn(x) = пх (1— х)" (n = 1, 2, . . .) сходится неравномерно на сегменте [0, 11, однако
1 1
lim f fn (х) dx = f lim fn(x) dx. n-+oo 0 0 n-+co
2805. Законен ли переход к пределу под знаке»! интеграла в выражении
t 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2»
Найти:
2806. lim
*-*1-0 Zu л Xя + 1
Л«=1
00
2807. lim £ (х« — хЛ+>).
х-*1—0 л»4
оо оо
2808. lim V—L-. 2808.1. lim V--------------—.
х-*+0 Zu 2"л* х-*оо Zu 1 + п*х*
Л=1 Л«1
2809. Законно ли почленное дифференцирование ряда Ё агс1«
2810. Законно ли почленное интегрирование ряда
П=1
на сегменте [0, 11?
2811. Пусть f (х) (— оо < х < + оо) — бесконечно дифференцируемая функция и последовательность ее производных /(п) (х) (п = 1,2,.. .) сходится равномерно на каждом конечном интервале (а, Ь) к функции <р (х). Доказать, что <р (х) = Се*, где С — постоянная величина. Рассмотреть пример fn(x) = n= 1, 2, . . .
2811.1. Пусть функции fn(x), л=1, 2, ... . — определены и ограничены на (— оо, + оо) и /п(х) <р (х) на каждом сегменте 1а, 6]. Следует ли отсюда, что
lim sup f (х) = sup ф (х)?
Л-*ео ж X
§ 5. Степенные ряды
Iе. Интервал сходимости. Для каждого степенного ряда
во + о, (х—д) 4- ., . + дп(х—д)л + . . .
существует замкнутый интервал сходимости- |х—д|^/?, внутри которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус
282 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
сходимости R определяется по формуле Коши — Адамара
= Нт УI I '• л-+оо
Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле R = lim I, п-»оо ал+1 I
если этот предед существует.
2°. Теорема Абеля. Если степенной ряд S (х) = ОО
= £ аяхп (1 х | < R) сходится в концевой точке х = R интер-л=0
вала сходимости, то
S (/?) = lim S (х). x-*R— О
3°. Р я д Тейлора. Аналитическая в точке а функция f (х) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд
К1 4=0
Остаточный член этого ряда
Rn(*) = t (*)-У (х-в)*
/ j к!
4=0
Может быть представлен в виде
Rn (х) = /<"*?(?+9 <j-g» (х _ а)П+1 (0 < 0 < 1) (Л 4- 1)!
{форма Лагранжа), или в виде
Rn (х) = (1 _ в1)" (х-о)«« (0«0х<? 1)
п!
(форма Коши).
Необходимо помнить следующие пять основных разложе-
( —оо <х< 4- оо). г» x2f1*1
II. sin х = х---— 4- ... 4- (-1)"-1 —----------------}- • - •
31 (2п—1)1
(— oo <5 x<3 4" °0)-
III. cosx = 1 —-4- ... 4-(-I)" —-------------1- • • •
21 (2n)l
( — 00 X < 4" °°)«
5 S. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
283
IV. (I + х)т = 1 + тх + х>+ . .,
. . . + ./» (/»-!)• -.(m-n+l) ^4. {_i 1)t
п!
V. 1п(1 + х) = х-4 + 4--. .. +(-!)"-* —+...
2 3 п
(-1<х<1).
4°. Действия со степенными рядами.
Внутри общего интервала сходимости |х—а|<К имеем:
а) X «л (* — «)" ± £ *л(* —«)"= £ («п ± г>л) {х — а)п; Л=0 naesQ Л==0
б) У, ап(х — а)п У ьп(х — а)п *= £ сп(х — а)", л=0 л=0 л®=0
где сп = ацЬп + + . . . + ^пЬо;
в) -7-1 Е ап(х — а)п1 == £ (n + 1) ап+х (х — а)"} dx Ln=o J л.=о
5°. Степенные ряды комплексной области. Рассмотрим ряд
У сп (г — а)п, л=0 где
сп = “п + гьп. а = а + «₽. г = х + iy, Is = — 1.
Для каждого такого ряда имеется замкнутый круг сходимости |z—а | R, внутри которого данный ряд сходится (и притом абсолютно), а вне расходится. Радиус сходимости R равен радиусу сходимости степенного ряда
Л«0 в действительной области.
Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующих степенных рядов:
2812. . 2813. £ (х+ 1)».
П=1 П=|
284
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2814.
2815*
2818.
2817.
2818.
2819.
2820.
2821.
2822.
2823.
2824.
2825.
Z(»l)* (2л)!
Е а"’ х» (0<а<1). л»1
Л «4
,л*
Л«*1
Л«=1
1-3 8 t ; . (2л — 1) тр/ X—1 У 2-4-6... (2л) J к 2 )
|Р
Л=1
»п (от — 1). . . (т -г л + 1) хп л!
л«=1
л»
(а>0, 6>0).
(а>0).
Л=1
Л«1
Z” (2л)1!
(2л + 1)!1 л=1
$ б СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
285
2826.
Л=1
2827. 2(1 + 4-+.,.+±)Л
«=|
2828. £ JL+ f-DT
П=1
2829. V* (l + 2cos~) V1 хп’
/ хп. 2830. > ---.
/__, In п £~а 2я
TZ? п»1
Е(_____nfV'i’)
—-------хя (ряд Принсгейма).
и=1
Z1OV(«) ---------(1— х)п, где v(n)—число цифр
<1=1 числа л.
2831.2. W— Ди \ sin. л /
П=1
2832. Определить область сходимости гипергеометрического ряда
1 + а'Р Л| «(«+ОР(Р+П Х2 . 1-V 1-2-v(y+1) 'г*”
.. . + «(«+!)• • •(« + »-!) р(р 4-1). . ,(р + п-1) х11 ,
1-2. . .л-т(т+1). . .(v+л—1)
Найти область сходимости обобщенных степенных рядов:
2833. V——(-L—М". 2834. yj-sjnJL. Zu 2n + 1 V 1 + х ) L» ж" V
П«=0 Л»1
886 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2835. £ 2838. £(1+JL)-V»
пж—ав п=?1
2837. y^tg"x.
Д, (Зп)1 6
nssl
2838. Функцию f (*) = х3
разложить по целым неотрицательным степеням бинома х + 1.
2839, Функцию
/(Х) = —L- (а^0) а — х
разложить в степенной ряд: а) по степеням х\ б) по степеням бинома х—Ь, где b Ф а; в) по степеням —. Ука-х
зать соответствующие области сходимости.
2840. Функцию f (х) = 1п х разложить по целым неотрицательным степеням разности х—1 и выяснить интервал сходимости разложения.
Найти сумму ряда
(- 1)п+1
Написать разложения следующих функций по целым неотрицательным степеням переменной х и найти соответствующие интервалы сходимости:
2841. f (х) = sh х. 2842. f (х) = ch х.
2843. / (х) = sinax. 2844. f (х) = ах (а > 0).
2845. f (х) = sin (р arcsin х).
2846. f (х) ~ cos (р arcsin х).
2847. Написать три члена разложения функции f (х) = Xх по целым неотрицательным степеням разности х—1.
2848. Написать три члена разложения функции f (х) = (1 + х)1/х (х #= 0) и / (0) = е по целым неотрицательным степеням переменной х.
2849. Функции sin (х + Л) и cos (х + h) разложить по целым неотрицательный степеням переменной к.
$ S. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
287
2850. Определить интервал сходимости разложения в степенной ряд функции:
Ж = ~- * xs — 5х 4- 6
а) по степеням х; б) по степеням бинома х—5, не произ-водя самого разложения.
2850.1, Можно ли утверждать, что
N
У (— О'1-1 -^Ц-ZXsinx иа (—ОО, 4-00) / » (ХП - 1)1
П=4
При Л/->00?
Пользуясь основными разложениями I—V, написать разложения в степенной ряд относительно х следую-щих функций:
2851. е~х\ 2852. cos8x. 2853. sin3x.
2854. ——. 2855. ----1----. 2856. — *
1-х (1—х)» д/1—2х
9ЯЧ7 In х / 1 + ж 2858, ----------.
2857. In /у • 14-х — 2х»
Указание. Разложить данную дробь на простейшие.
12 —
— 5х — х2
2861. -------5----
1 — х — х2
1
2862.1. / (х)
14-х4-х24-х’ ' Чему равно f<1000) (0)?
х cos а — х2 1 — 2х cos а 4- х2
xsh д_____
1 — 2х ch а 4- х2
2863.
2865.
2867.
2864.
xsin а
1 — 2х cos а 4- х*
I
2866.
(1 — х2) V1—х»
2868. e*cos “cos(xsinа),
Указание, Применить формулы Эйлера.
288
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Разложив предварительно производные, путем почленного интегрирования получить разложения в степенной ряд следующих функций:
ОО
2869. f (х) = arctg х. Найти сумму ряда^Г JzJhtL.
2870. f(x) = arcsinх. 2871. f (х) = In(х4-д/ТСТ).
2872. f(x) = ln(l —2х cos а 4-х*).
2873. Применяя различные методы, найти разложения в степенной ряд следующих функций:
a) f(x) = (14-х) In (14-х);
б) f(x) = In 4-arctg х;
в) / (х) — arctg ? ~ ;
1 4- 4х
г) f (х) = arctg -- 2х- ;
2 — х2
д) / (х)=х arctg х— In д/1 + х*•
е) f (х) = arccos (1—2х2);
ж) f (х) = х arcsinх4-д/1—х2;
з) f (х) = х !п (х 4- д/14-х2 )—д/1 4-х2.
2874. Используя единственность разложения
f (х 4- Л) - f (х) = hf (х) +^-Г (х) 4- ..., найти производные n-го порядка от следующих функций:
а)/(х) = еж’; б) f(x) = efl/x; в) /(х) = arctg х.
2875. Функцию f (х) — 1° 2^. 2x4- * разложить по целым положительным степеням бинома х 4- 1.
2876. Функцию f (х) = -j—-— разложить в степенной ряд по отрицательным степеням переменной х.
2877. Функцию f (х) = 1п х разложить в степенной ряд по целым положительным степеням дроби -----.
«4-1
2878. Функцию f (х) ---------- разложить в сте-
$ S. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
28»
пенной ряд по целым положительным степеням дробя X
1 *4" х оо
2879. Пусть f (х) = V — . Доказать непосредст-/ -J nl
венно, что
f W f(y) = f (X + у).
2880. Пусть по определению
sinx=V (—1)" **71, и с°зх = У ( — U"-—. f (2л 1)1 / л (2Л)!
ПявО л=0
Доказать, что
a) sinxcosx = -^- sin2x; б) sin®x-|-cos®x = 1.
2881. Написать несколько членов разложения в степенной ряд функции
'ЧёшГ
Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложения в степенные ряды следующих функций:
2882. f(x) = (l+x)e'\ 2883. f (х) = (1 — x)»ch л/х.
2884. f (х) = In® (1 —х). 2885. / (х) == (1 -f-x®) arctg х.
2886. f (х) = 6х cos х. 2887. / (х) = ех sin х.
2888. / (х) = — . 2889. f (х) = (arctg х)®.
1 + X
2890. =
Написать три члена разложения (отличные от нуля) в степенной ряд по положительным степеням переменной х следующих функций:
2891. f(x) = tgx. 2892. f(x) = thx.
2893. f(x) = ctgx-—.
х
19-2”3
290
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2894. Пусть разложение sec х записано в виде
оо
sec х = V ——— х2п.
U (2п)1 л=0
Вывести рекуррентное соотношение для коэффициентов Еп (числа Эйлера).
2895. Разложить в степенной ряд функцию
/(x) = -~^L_=r- (|х|<1).
Vi — 2tx + хг
оо
2896. Пусть f (х) = 23 апхх. Написать разложение
функции F (х) — .
1 — х
ОО
2897. Если ряд 23 a«x" имеет радиус сходимости Rlf n=Q
ОО
а ряд 23 ЬЛхп— радиус сходимости Т?8, то какой ра-
диус сходимости R имеют ряды
ОО 00
а) 23 (ап±Ьп)хп-, б) 23 лз=0 п=0
2898. Пусть I = lim I —I и L — ПпГ I а" I.
п——оо I вЛ+1 I Л——ОО I Лд+1 I
Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда
ОО
23 аяхп удовлетворяет неравенству л=0
/</?<£.
00
2899. Доказать, что если f (х) — 23 апхп, причем л=0
|п! a„| <М (п= 1, 2, .. .),
где М — постоянная, то: 1) / (х) бесконечно дифференцируема в любой точке а; 2) справедливо разложение
= y(х—а)" (|х|<+°о).
Zj п!
л=0
2899.1, Пусть / (х) £ £<“> (а, Ь) и |/(п>(х)| < с" (п ==
$ S. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
291
= О, 1, 2, . . .) при х £ (а, Ь). Доказать, что функция f (х) разлагается в степенной ряд
f W = Е ап (х — х0)п (х0 £ (а, 6)),
л=0
сходящийся в интервале (а, Ь).
2899.2. Пусть / (х) £ С(ав) 1—1,11 и /(п| (х) > 0 (п => = 0, 1,2,.. .) при х £ 1— 1,11. Доказать, что в ин-тервале (— 1,1) функция f (х) разлагается в степенной ряд
f(x)= £ апх\
n*ssQ
Указание. Используя монотонность производных
(х) для остаточного члена Rn (х) ряда Тейлора функции £ (х), получить оценку
I Rn (*) I < 1 * 1Я+1 f (О-
2900. Доказать, что если 1) ап > 0 и 2) существует
lim У, anxn = S, то У, anRn = S. X-*R— 0 л=0 л=0
Разложить в степенной ряд функции:
2901. ]e~pdt. 2902. f-------—.
° j Vi —
о
2903. f -2121. di. 2904. f —dx. J t J x
0 0
x
2905. J -..-14L ~ (написать четыре члена).
Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы следующих рядов:
2906. х+ — + —J- . . .
3 5'
2907. х--+ --------. . .
3 5
2908. 1 + — + ~ 4- . . .
214! ~
19*
292
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
у У® уЗ
2909. -3-+-±—Н——— +... 1-2 2-3 3-4
2910. Ц-— х4-
2 2-4 2-4-6
Указание. Производную ряда умножить на 1—х.
Применяя почленное интегрирование, суммы рядов:
2911. х + 2хг + Зх3 + . . .
2912. х—4хг + 9х3—16х* + . . .
2913. 1-2х + 2-Зх2 + 3-4х3 4- . . .
ОО
— (4п)1 П=гО
ряет уравнению y,v — у.
оо
2915. Показать, что ряд у = V - * -
La («О3 л=0
ряет уравнению ху” + у'—у — 0.
вычислить
удовлетво-
удовлетво-
Определить радиус и круг сходимости степенных рядов в комплексной области (г — х +• iy):
2916. £
(г-1-Q" п-2"
2917.
(1 + 0я г"
(п 4-1) (п 4-2)
2918. £ п=|
_________________________п! г"_______________________________ (1 + 0 (1 + 20 ...(14- Ш) ’
2019. У-^-.
2920.
2921. Пользуясь формулой бинома Ньютона, при
$ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
293
ближенно вычислить /9 и оценить ошибку, которая получится, если взять три члена разложения.
2922. Приближенно вычислить:
a) arctg 1,2; б) у' 1000; в)—5^-; г) In 1,25
и оценить соответствующие погрешности.
Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с указанной степенью точности следующие значения функций:
2923. sin 18° с точностью до 10"*.
2924. cos 1° с точностью до 10”®.
2925. tg 9° с точностью до 10"*.
2926. е с точностью до 10"®.
2927. In 1,2 с точностью до 10"4.
2928. Исходя из равенства л . 1
— = arcsin —, 6 2
найти число п с точностью до 10"4.
2929. Пользуясь тождеством
-у- = arctg + arctg -j-,
вычислить число л с точностью до 0,001.
2930. Пользуясь тождеством
~ = 4 arctg —-----arctg ——,
4 s 5 239
определить число л с точностью до 10~®.
2931. Пользуясь формулой
1п(п+1) = 1.п+2[^п-+ 3(гД„, +...].
найти In 2 и in 3 с точностью до 10"*.
2932. С помощью разложений подынтегральных функций в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие интегралы:
2
J г Г sin к .
a) J e~*dx-, б) f el/*dx-, в) \ —-—
а 9 I *
о
294
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
1 1 -f-00
г) (cosx2dx; д) (е) ( ТТЗГ;
J J * J 1 "Г **
О О S
1/3 1
. С -----—_______ С dx
ж>) у—. з> j ' 7i+;<
о о
103
Г In (1 + х) .
и) J ~ X
10
1/2 1/2 1
Г arctg х . f arcsin х , f к) \ -------7s—л) \ ----------------------dx; M) \xxdx.
j X 1 X 1
0 0 0
2933. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной полуволны синусоиды
у = sin х (О С х С л).
2934. Найти с точностью до 0,01 длину дуги эллипса с полуосями а — 1 и b — 1/2.
2935. Провод, подвешенный на двух столбах, расстояние между которыми равно 2/ = 20 м, имеет форму параболы. Вычислить с точностью до 1 см длину провода, если стрелка прогиба h — 40 см.
§ 6. Ряды Фурье
Iе. Теорема разложения. Если функция f, (х) кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную I' (х) в интервале (— I, /), причем ее точки разрыва £ регулярны (т. е. / (£) = ~ 1/. £—0) +1 (5 + 0) 1). то функция [ (х) в этом интервал* может быть представлена рядом Фурье
СО
f W = cos
Л=1
лях ~т~
. . ппх bn sin —р-
где
I
ап = -j- f (х) cos dx (л = 0, 1, 2, ... ) (2)
$ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
295
и
I
1 С . ИЛЛ
Ь„ = — \ л (X) sin—-—dx (n=l, 2, . . . ). (2')
—I
В частности:
а) если функция [ (х) четная, то имеем:
Л = 1
где
I
2 С , , , лях , ап = —р \ f (*) cos —j— dx (/i = 0, 1, 2, . . .);
о
б) если функция [ (х) нечетная, то получаем!
ОО
ЕШ bn Sin—-—, (4)
Л=1
где
I
Ъп = -у~ f (х) sin -"у- dx (п=1. 2, . . о
Функцию f, (х), определенную в интервале (0, /) и обладающую в нем приведенными выше свойствами непрерывности, можно в этом интервале представить как формулой (3), так и формулой (4).
2°. Условие полноты. Для всякой интегрируемой на отрезке [—/, Z] вместе со своим квадратом функции f (х) формально построенный ряд (1) с коэффициентами (2), (2') удовлетворяет равенству Ляпунова
2 оо I
-у-+S (4 + ^) = -у- й2 (*)<**• I Л=1 ' I и-1
3°. Интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье (1), даже расходящийся, интегрируемой по Риману в интервале (— I, I) функции [ (х) можно интегрировать почленно в этом интервале.
2936. Функцию
/ (х) = sin4x разложить в ряд Фурье.
296
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2937. Каков будет ряд Фурье для тригонометрического многочлена п
Рп (*) = У- (а« cos ix -г Р; sin ix)? i=0
2938. Разложить в ряд Фурье функцию f (х) = sgn х (— л < х < л).
Нарисовать график функции и графики нескольких частных сумм ряда Фурье этой функции.
Пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница
У (— 1)п~1 / . 2л - 1 Л=1
Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах следующие функции:
2939. / (х) =
А, если 0<х</;
О, если /<х<2/.
где А — постоянная, в интервале (О, 2Z).
2940. f (х) = х в интервале (— л, л).
2941. f (х) = ----- --- в интервале (0, 2л).
2942.
2943.
/ (х) = |х| в интервале (—л, л).
Нх) =
ах, если —л<х<0;
Ьх, если 0<х<л,
где а и b — постоянные,
2944. f (х) = л2—х2
2945. f (х) = cos ах
не целое).
2946. f (х) = sin ах
в интервале (— л, л).
в интервале (— л, л).
в интервале (— л, л) (а —
в интервале (— л, л) (а —
не целое).
2947« f (х) = sh ах 2948. f (х) = еах
2949. f (х) = х
2950. / (х) = х sin х
2951. f(x) = xcosx
в интервале (— л, л).
в интервале (— й, й).
в интервале (а, а + 21).
в интервале (— л, л).
(л л -----2~ ’ ~2
Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции:
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
29?
2952. f (х) = sgn (cos х).
2953. f (х) = arcsin (sin x).
2954. f (x) = arcsin (cos xj. 2955. f (x) = x — [xj.
2956. f (x) — (x) — расстояние x до ближайшего целого числа.
2957. f (х) — | sin x|. 2958. f (x) = |cos x|.
oo
2959. f (x) = V an (| a | < 1).
/ , sin x
4=1
2960. Разложить в ряд Фурье функцию
/(x) = secx (--------^-<х<—
Указание. Вывести соотношение между коэффициентами ап и о„-2.
2961. Функцию f (х) = х2 разложить в ряд Фурье: а) в интервале (— л, л) по косинусам кратных дуг} б) в интервале (0, л) по синусам кратных дуг; в) в интервале (0, 2л).
Нарисовать график функций и графики сумм рядов Фурье для случаев а), б) и в).
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:
оо со оо
1 у (-1У+1 и у 1
п« /, п* / , (2n-1)» •
,1=1 4=1 4=|
2362. Исходя из разложения 00
х = 2 ^(-1)п+1-~(-л<х<л), л=!
почленным интегрированием получить разложения в ряд Фурье на интервале (— л, л) функций ха, х3 и х*.
2963. Написать равенство Ляпунова для функции
1 при |х|<а;
О при а<|х| <л.
Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:
sin2 па
~л2
cosa па л»
298
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2964. Разложить в ряд Фурье функцию х, если 0 < х С 1;
/(х) = | 1, если 1<х<2;
3—х, если 2 С х 3.
Пользуясь формулами cos х = -у- (/ 4-7),
Sinx = _J_ (/_/),
где t = eix и t = e~iK, получить разложение в ряд Фурье следующих функций:
2965. cos2"1 х (т — целое положительное число).
2966.
2967,
2968.
?-sin<—- (|Ч|<1).
1 — 2q cos x + q
1 — 2g cos x 4* <r
1 — 2q cos x + 0*
2969. in (1—2q cos x + qa) (I q\ <. 1).
Разложить в ряд Фурье неограниченные периодические функции:
2970. f(x) = ln sin-— .
2971. /(x) = ln cos-—- •
2972. / (х) = In tg-2- .
2973. Разложить в ряд Фурье функцию
f (х) = j In -“I dt (—л<хСл). о
2974. Разложить в ряд Фурье функции
х — х (s), у = у (s) (0 < s 4а),
дающие параметрическое представление контура квадрата: 0 < х < а, 0 < у <а, где $ — длина дуги, отсчитанная против хода часовой стрелки от точки О (О, 0).
$ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
299
2975. Как следует продолжить заданную в интервале (0, л/2) интегрируемую функцию f (х) в интервал (— л, л), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
f W= Z ancos(2n—-l)x (—л<х<л)?
Л=1
2976. Как следует продолжить заданную в интервале (О, л/2) интегрируемую функцию f (х) в интервал (— л, л), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
f W = У- 6nsin(2n — 1)х ( —л<х<л)?
Л=.|
2977. Функцию
разложить в интервале (0, л/2):
а) по косинусам нечетных дуг; б) по синусам нечетных дуг.
Нарисовать графики суммы рядов Фурье для случаев а) и б).
2978. Функция f (х) антипериодична с периодом я, т. е.
f (х + я) > — f (х).
Какой особенностью обладает ряд Фурье этой функции в интервале (— л, л)?
2979. Какой особенностью обладает ряд Фурье функции f (х) в интервале (— л, л), если f (х 4- л) f (х)?
2980. Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье ап, bn (п = 1, 2, . . .) функции у = f (х) периода 2л, если график функции: а) имеет центры симметрии в точках (0, 0), (± л/2, 0); б) имеет центр симметрии в начале координат и оси симметрии х » ± я/2?
2981. Как связаны между собой коэффициенты Фурье ап, Ьп и ап, ₽„ (п — 0, 1, 2, .. .) функций <р (х) и ф (х), если
Ф(- х) s ф (х)?
2982. Как связаны между собой коэффициенты Фурье ап, Ьп и ап, (а = 0, 1, 2, . . .) функций Ф (х) и ф (х), если
ф (— х) SS — ф (X)?
800
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2983. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (п = 0, 1, 2,. . .) интегрируемой функции / (х), имеющей период 2л, вычислить коэффициенты Фурье ап, Ьп (п — 0, 1, 2,. . .) «смещенной» функции f (х 4- й) (й = const).
2984. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (а = 0, 1, 2, . . .) интегрируемой функции f (х) периода 2л, вычислить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = 0, 1, 2, . . .) функции Стеклова
М х— h
2985. Пусть f (х) — непрерывная функция с периодом 2л и ап, Ьп (п = 0, 1,2,...) — ее коэффициенты Фурье. Определить коэффициенты Фурье Ап, В„ (п = 0, 1, 2, . . .) свернутой функции
F(x)=-±- J я Л
Пользуясь полученным результатом, вывести равенство Ляпунова.
§ 7. Суммирование рядов
1°. Непосредственное суммирование. Если
ип = Оп+х — оп (л = 1, 2, ... ) и lim vn = Va>. п-+оо
ТО
У. un = va> — Vi. nasi
В частности, если
1 нл — *
апап+1 • • ап+т
где числа a; (i = 1> 2, . . .) образуют арифметическую прогрессию со знаменателем d, то
__1______________1_________
wt апап+1 • • • ап+т—1
В некоторых случаях искомый ряд удается представить в виде линейной комбинации известных рядов: ё^н-аж1
$ 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ
sot
E(_l)»+1 я» . т. "•
л»| 00
29. Метод Абеля. Если ряд 22 ап сходится, то ЛзкЭ
00 ОО
У а„= lim У ав*». л==о х-» 1 — о
00
Сумма степенного ряда 22 апхп в простейших примерах нахо« л «О дится с помощью почленного дифференцирования или нитегри* рования.
3°. Суммирование тригонометрических рядов. Для нахождения сумм рядов
00 00
22 оп cos пх н 22 ап sin пх п^О П=1
их обычно рассматривают как действительную часть и соответственно как коэффициент мнимой части суммы степенного ряда
00
в комплексной области 22 ялг"« где z = eix. Здесь во многих случаях полезен ряд
00 Ег" 1
_ = 1П__ (|г(<1).
Л=|
Найти суммы рядов:
2986.
3-5 5-7
2987.
2988.
2989.
2990.
1-2-3 + 2-3-4 + 3-4-5
J_______1-4—1________L
1-2 2-3 3-4 4-5
________п________
(П+ 1) (п + 2) (П+З)
п (д + mj («—натуральное
число).
302
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2991.
—----4-----!--4----
1 2-3 3-4-5 5-6-7
2992. У —!------------.
L «‘-1
fl=S=2
со
2994. V-------------!----
Zu л (2л 4-1) Л=1
2993. У —2я~1-Zu «»(«+!)’
П=1
2995. У —. Zu nl
Л=1
2996.
2998.
2999.
2П^ + Р. . 2997. л!
_________1__________
л* (л 4-1)’(л 4-2)1 ’
СО
. зооо.
(2л 4-1)1 и=0
3001. Пусть Р (х) = а0 + aYx + . . . + атхт. Найти сумму ряда
V Р(л)
Д Л1
Найти суммы следующих рядов:
8002. У-*±1-Л 3003.
Zu 2"л1 /, (л 4-1)1
П=Ю ПапО
3004. У 1) х2л. 3005. У -в*х"—.
Zu (2л)1 / , (2л 4-1)1
п=0 п=0
С помощью почленного дифференцирования найти суммы рядов:
3006. У-^-. 3007. У .
/- J Л / . п (2л — 1)
П=1 П=1
§ 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ
303
8008.
4л + 1
3009.
Л=1
У к а з а н и
а (а + d) . . . [а + (п — 1) d] d-2d
. nd
хп (d>0),
ЗОЮ. ———— 3 2 3-6
е. Производную ряда умножить на 1—х, з
1-4-7
3-6-9
С помощью почленного интегрирования найти сумма рядов:
ЗОН. £
П=1
3012. Х«(п + 2)х".
П=1
л »0
Используя рядов:
3014.
1
3015.
3016.
3017,
Найти
3018.
3020.
(2л + 1) х2я л!
метод Абеля, найти суммы следующих
*-+-*---------*-+.
4 7 10
_L + J_______!_ +
3 + 5 7 ' ’ '
J___ 13 1-3-5
2 + 2-4 2-4-6
_1____1 13 1
2 ’ 3 + 2-4 ’ 5
суммы следующих тригонометрических рядов*
sin пх п
cos пх
п
п=1
sin ла sin пх п
804
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3021.
8022.
3023.
8024.
8025.
3026.
sin8 ng sin пх n
CO
sin (2n — 1) x 2n — 1
cos (2n — 1) x (2n — I)2
П—2
sin nx n (n + 1)
8027. Построить кривую
sin nx-sin ny n2
Найти суммы следующих рядов:
3028. У ~1)|^- (2х)2«.
Lt (2«)1 Д=1
3029. У
Zj (2л)! п=0
зозо. —Н—+---------2!------
*+1 (х+1)(х + 2)
(х+ 1) (х+ 2) (х + 3)
3031. ——------!-----—-------—----р . . . при условии,
аа + х at + х а3 + х
ОО
что х > 0, ап > 0 (п = 1, 2, . . .) и ряд У — рас-Z-J ап
Л=1
ХОЛЯЩИЙСЯ.
§ 8. НАХОЖДЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 303
3032.
х . хг 1—х’- 1-х*
X 1-х*
если
а) |х|<1; б) |х|>1.
00 зозз. у
хп+1
(1 — Xя) (1 — хя+»)
если а) |х|<1; б)|х|>1.
§ 8. Нахождение определенных интегралов с помощью рядов
С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующие интегралы:
3034. fin-----— dx. 3035. ( rf*.
J 1 — X J X
о о
3036. dx,
J X 0
1
3037. fx₽-4n(l— x")dx (p>0, p>0). 0
1
3038. f In x • In (1 — x) dx.
3039.
x dx е2ях — 1
3040.
3041. Разложить по целым положительным степеням модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл l-го рода
Л/2 F(k) = С — ....-d<p...-.
J y/l — k2 sin2 q> о
3042. Разложить по целым положительным степеням модуля k (0 < k <Z 1) полный эллиптический интеграл 2-го рода я/2 __________
E(k) = j -y/l — A’sin^dtp.
3043. Выразить длину дуги эллипса
х = a cos t, х — b sin t (0 C t с 2я)
20-2”3
306
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
с помощью ряда, расположенного по целым положительным степеням эксцентриситета.
Доказать равенства:
8045. С sin axdx = — V* ——n- a2n+1.
J 2 L (2«+ 1)1
0 л=0
2я
8046. Jе*05 *cos (sin х) cos nxdx=~- (п~0, 1, 2,...).
Найти:
2л
8047. f в® cosxcos(asinx—nx)dx (п—натуральное о
число).
3048. (-------------dx.
J 1 — 2a cos х + а3 о
Указание См. пример 2864.
я
8049. jln(l—2a cos х + a8) dx.
3050. Доказать формулу
f_£l_dXs=_L_JL+_2L_...
J a + x a a3 a3
где a > 0 и 0 < 0n < 1.
С какой точностью выразится интеграл
если в формуле (1) взять два члена?
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 307
§ 9. Бесконечные произведения
Г. Сходимость произведения. Бесконечное произведение
Р1Р2 • • • Рп • • • = П 0)
Л=1 называется сходящимся, если существует конечный и отличный от нуля предел л
lim ТТ pi = lim Рп = Р.
П-*-00 £—j л =00
Если Р = 0 и ии один из сомножителей рп не равен нулю, то произведение (1) называется расходящимся к нулю-, в противном случае произведение называется сходящимся к нулю.
Необходимым условием сходимости является
lim Рп^ 1.
Л->оо
Сходимость произведения (1) равносильна сходимости ряда
00
У, 1прл- (2)
л=л0
Если р„ = 1 + ал (n = 1, 2, . и а, не меняет знака, то для сходимости произведения (1) необходимо и достаточно, чтобы был сходящийся ряд
^ал=^(рл-!). (3)
л=1 л=1
В общем случае, когда ап не сохраняет постоянного знака и ряд (3) сходится, произведение (1) будет сходиться или расходиться к нулю вместе с рядом
f «* = Е(рл-1)2. п=| Л=1
2е. Абсолютная сходимость. Произведение (!) называется • абсолютно или условно (не абсолютно) сводящимся в зависимости от того, абсолютно нли условно сходится ряд (2), Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости произведения (1) является абсолютная сходимость ряда (3).
3°. Разложение функций в бесконечные произведения. При — оо < х < 4- оо имеют место разложения
si:u = хП(1---—Y со5х=ПГ1-----------------Г
11 \ п2л2 ) 11 L (2л I)2 л» J
308
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
В частности, из первого при х = л/2 получаем формулу Валлиса
я __тт 2л 2л
2 “11 2л — 1 ' 2л + 1 ‘
/1=1
Доказать следующие равенства:
3051- по-^о-ь
/1=2
3052. JJ /1=2
л8—!
л3 4- 1
2
3
3053. ПГ1--------------------1 = —.
J--L L п (П + 1) J 3 /1=4
зове. П ——-------——=——
11 Зл-1 Зл+1 3^;
Доказать сходимость и определить значения следующих бесконечных произведений:
3061. П "*-“*. 3062. ТГ Г14-------Ц-1 •
ii 1 AAL «(«+2)j
$ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
309
3063. ft <2я+1)(2я + Р-.
11 (2л+3) (2га 4-5) /1=1
3064. ft (а>0).
Л = 1
оо
3065. Следует ли из сходимости произведений Л рп
П=1
СО 00
и П Яп сходимость произведений: а) П(Рл-г<7л);
Л=1
б) П в) И pnqn\ г) П л=1 л =4 4 I Чп
Исследовать сходимость следующих бесконечных произведений:
3066. П —. 3067. П (я + 1)* .
11 га 11 л (га+2)
Л—1 П=1
3068- П(1+^)- 3°39- й('-т)-п=1 л=ч2
3™- ЦС-^ггУ-
3071. . '^?1Я + * где п8 + ол + &>0 при
3074. П —~ Л=1 Vя2 -
3072. П (я ~ а>) (я ~ (я ~ ар} , где По>&<
11 (л — Ьг) (л — bj) . . .(л —bp)
л=ло
(* = Ъ 2.....р).
3073-nV-Si
Л=0
зоге- п К
л==1 F
п
11 Vn л—I
3077. (! 4- ^-) е-*/».
310
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3078. p (i —-£--)««/», где ОО.
3079. П (1 ~ *")• 3080. + -£).
П=1
Г . 1 \Л* Т
п
3082. П (1--—
ЙД
3083- П (+-£)
ел/л/л +х!/2л
п \ Xя )cos-^-
X X р
п I
3084. JJ
\ п J
3085. JI In (л 4-х) — In л .
Л=1
00
3086. Доказать, что произведение JJ cos х„ сходится, n=i
если сходится ряд х„. п=1 со
3087* Доказать, что произведение JJ tg ^-2- 4- а„
^|ап| сходится, если абсолютно сходится ряд
Еая.
В=1
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие бесконечные произведения:
3088. Д р 4- -~^)П 1 ]
3089-й[,+^]-
$ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
311
сходится, хотя ряд
расходится.
00
3099» Показать, что произведение Ц(1+а„), где
----тт- > если п = 2k—1,
п 1 , 1 , 1 о.
——+ Ч------—. если n = 2k,
* k^k
ОО оо
сходится, хотя оба ряда £аяи У al расходятся.
u—1 а=1
312
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3100. Пусть
ОО
л—I
(дзета-функция Римана) и р„ (п. = 1, 2, . . .) — последовательные простые числа.
оо Z | ч—1
Доказать, что ТТ | 1
3101. Доказать, что произведение
Рп
И
ряд У —— , где рп (п= 1, 2, . . .)—последовательные про-
Z-J Рп п—1 стые числа, расходятся (Эйлер).
3102. Пусть ап > 0 (п = 1, 2, . . .) и
_^_==l + _₽. + 0(_L_\ (е>0).
Ол+1 П к л’+е )
Доказать, что
ап = О*
Указание.
Рассмотреть
lim antip = aj
п-*оо 4 * ап
п=1
3103. С помощью формулы Валлиса доказать, что 1-3-5 . . . (2п — 1) 1
2-4-6... (2п) ~ '
3104. Доказать, что выражение
п!еп а„ =-----------
пл+1/з
имеет отличный от нуля предел А при и -> оо. Вывести отсюда формулу СтирЛинга
п! = Апп+'12е~п (1 4-еп),
W lim еп = 0 А
Л-*оо
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 313
Указание. Искомый предел представить в виде бесконечного произведения
оо
А = lim а„ = at ТТ ап+1/ап.
"-♦оо л =1
Для определения константы А воспользоваться формулой Валлиса.
3105. Согласно Эйлеру гамма-функция Г (х) определяется следующей формулой:
Л-»ОО X (X 4" 1) • а • (х 4* л)
Исходя из этой формулы: а) представить функцию Г (х) в виде бесконечного произведения; б) показать, что Г (х) имеет смысл для всех действительных х, не равных целому отрицательному числу; в) вывести свойство
Г (х 4- 1) = хГ (х);
г) получить значение Г (л) для п целого и положительного.
3106. Пусть функция f (х) собственно интегрируема на сегменте [а, Ь] и
6n = -^-. fin = f(a + i6n) (f = l, 2, . . . ,n). n
Доказать, что
»
Фг SlWdx
lim -=еа
Л-*оо »=0
3107. Доказать, что
lim
П->оо
1/ П (a 4- ib) V fio 2
........... "-—IB —— Л—1........<
У. (a4- «*) t—n
где a > 0 и b > 0.
3108. Пусть fn (x) (n = 1, 2, . . .) — непрерывные функции на интервале (a, Ь) и |/л(х)| сп (n = 1, оо
2, . . .), где ряд сп сходится. л=1
314
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Доказать, что функция
F(x) = ft И+М*)1 (1/п(х)]<1).
Л =1
непрерывна на интервале (а, Ь).
3109. Найти выражение для производной функции
FW = ft H+A.WL Л=1
Каковы достаточные условия существования F1 (х)?
3110. Доказать, что если 0 <. х < у, то
lim х(х+1). •.2.(х+») =Qj
п-*=о у(у+ 1) • • •(</+»)
§ 10. Формула Стирлинга
Для вычисления п! при больших значениях я полезна формула Стирлинга
я! =• ^2яп япе-п+0л/12п (0 < 0„ < 1).
Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить:
3111. 1g 100! 3112. 1-3-5 . . . 1999.
ЗПЗ. 3114. Сйо.
2'4-6 ... 100
3115. —.
20! 30! 50!
1 2я
3116. | (1 — х2)60 dx. 3117. | sin200 xdx.
3118. Вывести асимптотическую формулу для произведения
(2n—1)!! = 1-3-5 .. . (2/1—1).
3119. Приближенно вычислить Cjn, если п велико.
3120. Пользуясь формулой Стирлинга, найти следующие пределы!
a) lim V"nl; б) lim —-—; Л-*0О Л-+-0О
в) lim--------------; г) lim —ln .
/1—ьза Л / .л «..I п—ьза In Пп
$ 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 315
§11. Приближение непрерывных функций многочленами
Г. Интерполяционная форму ла Лаг» р а н ж а. Многочлен Лагранжа п
_ у* (х —Хр). . (х — x,_i) (х — хм) . . . (х —хп) п ™ £-1 (Xi — Хо) • • • (Xi — Х,_1) (X/ — Хй.1) . . . (X,- — хп) *
i=0
обладает свойством Рп (х<) = у t (i = 0, 1, . . . , n).
2°. Многочлены Бернштейна. Если f (х) — непрерывная на сегменте [0, 1] функция, то многочлены Бернштейна
впЫ
при п -* оо сходятся равномерно на сегменте [0, 1 ] к функции I (х).
3121. Построить многочлен Рп(х) наименьшей степени п, принимающий заданную систему значений:
Ж —2 О 4 5
У 5 1 —3 1
Чему приближенно равны
РЯ(—1). W Рп№
3122» Написать уравнение параболы у — ах* 4-+ Ьх + с, проходящей через три точки: A (x0—h, у В (хй, уй), С (х0 + Л, yj.
3123. Вывести формулу для приближенного извлечения корней у = Vх (1 < * < 100), используя значения х0 = 1, у0 — 1; xt = 25, ут = 5; хг = 100, Уг = Ю.
3124. Вывести приближенную формулу вида
sin х° « ах + Ьх3 (0 < х < 90; х = arc х°),
используя значения
sin 0° = 0, -sin 30° = — , sin 90° — 1. 2
Пользуясь этой формулой, приближенно найти: sin 20°, sin 40°, sin 80°.
816
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3125. Построить для функции f (х) ™ |х| на сегменте 1 — 1, 1] интерполяционный многочлен Лагранжа, приняв за узлы точки: х= 0, sk 1.
3126. Заменив функцию у (х) многочленом Лагранжа,
2
приближенно вычислить f у (х) dx, где О
X 0 0,5 1 1,5 2
У(У) 5 4,5 3 2,5 5
3127. Составить многочлены Бернштейна Вп (х) для функций х, х2, х3 на сегменте [0, 1 ].
3128. Написать формулу многочленов Бернштейна В„ (х) для функции f (х), заданной на сегменте [а, Ь].
I ЖI 1 X
3129. Приблизить функцию / (х) = • — на сег-
менте [— 1, 11 многочленом Бернштейна Bt (х).
Построить графики функций у = и у =
= (х).
3130. Приблизить функцию f (х) = |х| при — 1 С * < 1 многочленами Бернштейна четного порядка.
3131. Написать многочлен Бернштейна Вп (х) для функции
f (х) — екх (а < х Ь).
3132. Вычислить многочлен Вп (х) для функции f (х) = cos х на сегменте —— < х .
3133. Доказать, что |х( — lim Рп (х) на сегменте
1— 1, 1 ], где
Рп (х) = 1--—— - У ' ~ 3- f2t ~3) (1 —х2)‘.
V 2 Zu 24. . . (2i) V
§ 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ 317
3133.1. Пусть f (х) £ С [а, 6) и ь
Mk=$x*f(x)dx = 0 (k = 0, 1, 2,. . .). а
Доказать, что f (х) « 0 при х £ [а, &].
Указание. Использовать теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции многочленами.
3134. Пусть f (х)— непрерывная 2л-периодическая функция и ап, Ьп (п — 0, 1, 2, . . .) — ее коэффициенты Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены Фейера
Л—1
и„ (х) = 4-^0------(oi cos ix + b{ sin ix)
равномерно сходятся к функции f (х) на отрезке [— л, л ].
3135. Построить многочлен Фейера о2,-1 (х) для функции
/ (х)I = | х | при — л < х л.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОТДЕЛ VI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Предел функции. Непрерывность
1°. Предел функции. Пусть функция f (Р) = = / (xj, xt, ... , хп) определена на множестве Е, имеющем точку сгущения Ро. Говорят, что
lim f(P) — A,
Р-*ра
если для любого е > 0 существует 6 = 6 (е, Ро) > 0 такое, что
IHP) -Л|<е,
если только Р £ Е н 0 < р (Р, Ро) < б, где р (Р, Ро) — рас» стояние между точками Р и Ро.
2°. Непрерывность. Функция I (Р) называется непрерывной в точке Ро, если
lim /(P)=f(P„).
P-fP,
Функция t (Р) непрерывна в данной области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
3°. Равномерная непрерывность. Функция [ (Р) называется равномерно непрерывной в области G, если для каждого е > 0 существует б > 0, зависящее только от е, такое, что для любых точек Р' и Р" из G имеет место неравенство
U(Р') - инк», если только
Р (Р', Р") < б.
Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, равномерно непрерывна в этой области.
Определить и изобразить области существования следующих функций:
3136. u = x-\-Ajy. 3137. и = VI —х2 + V1/2—1.
3138. u=Vi—3139- «=—-...................-•
V х24-у2—1
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 319
3140. и = V(x2+у2— 1) (4—х2—у2).
3141. • + 1 И II 3
3142. u = Vl-(x2 + #.
3143. U = ln(— X — у).
3144. • У и = arcsin —. X
3145. и = arccos—-—. * + у
3146. и = arcsin —— 4- arcsin (1 —у). У2
3147. и = д/sin (х2 4- у2).
3148. и — arccos — 2 . V*2 + У2
3149. u = \n(xyz). 3150. u = ln(—1—х®—г/2 4~ z2).
Построить линии уровня следующих функций;
3151. 3153. z = x4-i/. 3152. z = x2+y2. z — x2—y2. 3154. z = (x4-y)2.
3155. z=-^-. 3156. z = ! . x x’ 4- 2y’
3157. 3159. z = *Jxy. 3158. z = |x|4-r/. z = |x|4-li/|—l*4-yl-
3159.1. z = min(x, у). 3159.2. z = max(|x|, |//|).
3159.3. z = min(x2, у). 3160. г = е2*/*г+?.
3161. z = x® (x > 0). 3162. z = ^e~x (x > 0),.
3163. z^ln A/.<<-fl)a+4 (o>0). V (x4-fl)24-!/2 ' 1
3164. z-arctg 7 (a>0). x* + У2 — a2
3165. z = sgn (sin x sin y).
Найти поверхности уровня следующих функций:
3166. и = х + у + z. 3167. и = х2 + у2 + z2.
3168. и = х2 + у2 — г2. 3169. и = (х + у)? + г2.
3170. и — sgn sin (х2 + у2 + z2).
320 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Исследовать характер поверхностей по данным их уравнениям:
3171. z = / (у—ах). 3172. z = f (л]хг + у*).
3173. z = x/(-^-). 3174. z = f^~y
3175. Построить график функции F (/) = f (cos t, sin t), где
( 1, если y>x, f(x> У)— | q, если
3176. Найти/fl, —Y если f(x, y) = —. \ x) *®+l/’
3177. Найти / (x), если
z^=_VZ±E. (x>o).
3178. Пусть
z = + f (V*~ I)-
Определить функции f и z, если z = x при у = 1.
3179. Пусть
г = х + у + f (х—у).
Найти функции /иг, если г = х® при у = 0.
3180. Найти / (х, у), если / (х + у, -£-) = х®—у2.
3181. Показать, что для функции f(x,
*+ у
имеем:
lim Him /(х, у)| = 1; lim (lim/(х, y)l =—1, x-»Q \y-»0 j y->0 I x-»-0 J
в то время как lim / (x, у) не существует.
X-.0 y-*0
3182. Показать, что для функции
/(•». у)= —тг
хгуг+ (х — у)г
имеем:
lim Him /(х, у)\ = lim (lim / (х, у)1=0, х-+0 iy-*0 J у-»0 l*-»0 J тем не менее lim / (х, у) не существует.
ж->0
§ 1, ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 32)
3183. Показать, что для функции
/(х, j/) = (x+ j/)sin— sin — х У
оба повторных предела lim Him / (х, у)\ и lim (lim f(x, у}} x->0(y-»0 J J/-.0 (х->-0 )
не существуют, тем не менее существует lim f (х, у) — 0. х—0 V-0
3183.1. Существует ли предел
х-»0 х2-\-у2 y-t-0
3183.2. Чему равен предел функции
/(х, у) = х2е-(х'-|/>
вдоль любого луча
х — t cos а, у ~ t sin а (0 С / < + оо)
при t -* + оо?
Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой при х -> оо и у -> оо?
3184. Найти lim|lim((x, у)\ и lim(limf(х, y)L х-*-д J (x-hj Г
если:
а) /(х, = ’ а = о°- & = °°‘.
х?+У*
б) /(X, у) = > а = оо, b=+Q-,
в) f (х, у) =sin———, а=оо, & = оо;
2х+(/
г) f (х, у) = — tg —, а = 0, b = оо;
ху 1 + ху
Д) f(x, y) = \ogx(x + y), а=1, Ь = 0.
Найти следующие двойные пределы:
3185. lim------. 3186. lim—
00 X2 — ху + у2 х-юо X* + у*
U-+ оо
3187. lim-sinxy-. 3188. lim (х2 + е’<х+й.
х-*-0 X х-*+оо
2^—2383
322
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3189. lim Г——Y‘. 3190. lim + х->+« \ x2-f- у2 J хч-й
(/-♦4-00 th* о
3191. lim (1 + —У*/и+1'). *+оо \ х J
у-+а
3192. Нт-!-п(х + <У) ..
XyZo V^+7
3193. По каким направлениям <р существует конеч-ный предел:
a) lim ех/(х,+и‘\ б) lim e*’-*'*-sin2xt/, р->4-0 р->4-оо
если х = р cos <р и у — р sin <р?
Найти точки разрыва следующих функций:
3194. ц =----------. 3195. и — ху--.
V^+7 х+у
3196. -х+ у- . 3197. u = sin —.
х3 + У3 *У
3198. ы =-----1----. 3199. u = ln(l— х2—у2).
sin х sin у
3200. и = ——. хуг
3201. u = ln— 1
д/(х — а)2 + (у — 6)2 + (« — с)2
3202. Показать, что функция
f(x, у)—
2ху х3+у3 ’
О,
если х2 + у2=#0,
если x24~z/2 = 0,
непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности (при фиксированном значении другой переменной), но не является непрерывной по совокупности этих переменных.
3203. Показать, что функция
f(x, у) —
х*у
х*+уг '
если х2 + //2=#0;
если х?+уг — 0,
в точке О (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча
х = t cos а, у = t sin а
(О < t < 4- со),
$ I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ' 323
проходящего через эту точку, т. е. существует
lim/(/cosa, /sin а) = /((), 0);
z-*o
однако эта функция не является непрерывной в точке (0, 0).
3203.1. Исследовать на равномерную непрерывность линейную функцию и = 2х—Зу + 5 в бесконечной плоскости £2 = {|х| < + 00, |у| < + оо}.
3203.2. Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости £- = {|х| < + оо, |у| < Ч- оо} функцию
и = -у/хг + у2.
3203.3. Будет ли равномерно непрерывной функция f(x, у) =sin—----------------—
I — ха — у*
в области х* + z/2 <С 1 •
3203.4. Дана функция и = arcsin—. Является ли v
эта функция непрерывной в своей области определения £?
Будет ли функция и равномерно непрерывной в области £?
3204. Показать, что множество точек разрыва функции / (х, у) = х sin—, если у =/= 0 и / (х, 0) = 0, не является замкнутым.
3205. Доказать, что если функция f (х, у) в некоторой области G непрерывна по переменной х и равномерно относительно х непрерывна по переменной у, то эта функция непрерывна в рассматриваемой области.
3206. Доказать, что если в некоторой области G функция f (х, у) непрерывна по переменной х и удовлетворяет условию Липшица по переменной у, т. е.
If (х, у') — f (х, у”)| < L \у'—у"\, где (х, у') £ G, (х, у") £ G и L — постоянная, то эта функция непрерывна в данной области.
3207. Доказать, что если функция f (х, у), где (х, у) £ £, непрерывна по каждой переменной хну в отдельности и монотонна по одной из них, то эта функция непрерывна по совокупности переменных в области £ (теорема Юнга).
3208. Пусть функция f (х, у) непрерывна в области а < х < А, b < у < В, а последовательность функций 21*
824
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ф„ (х) (л =» 1, 2, . . .) сходится равномерно на (а, А ] и удовлетворяет условию Ь < <р„ (х) < В. Доказать, что последовательность функций
ад = f(х, Фл(х)) (п = 1,2,...)
также сходится равномерно на [а, А ].
3209. Пусть: 1) функция f (х, у) непрерывна в области /?(а<х<Л; 6<у<В); 2) функция <р (х) непрерывна в интервале (а, А) и имеет значения, принадлежащие интервалу (Ь, В). Доказать, что функция
ад = f (X, <р (X))
непрерывна в интервале (а, А).
3210. Пусть: 1) функция f (х, у) непрерывна в области R (а < х < А; b <. у <. В); 2) функции х = <р (и, v) и у = ф (и, и) непрерывны в области /?' (а' < и < Д'; b' < v < В') и имеют значения, принадлежащие соответственно интервалам (а, А) и (Ь, В). Доказать, что функция
F (и, v) = f (ф (и, о), ф (и, о)) непрерывна в области /?'.
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
1°. Частные производные. Результат частного дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования, если все производные, входящие в вычисление, непрерывны.
2°. Дифференциал функции. Если полное приращение функции f (х, у, г} от независимых переменных х, у,, г может быть представлено в виде
А/, (х, у, г) = ЛДх + В Sy + СДг + о (р), где коэффициенты Л, В, С не зависят от Дх, Ду, Дг и р = = д/(Дх)2 + (Ду)2 + (Дг)2, то функция f (х, у, г) называется дифференцируемой в точке (х. у, г), а линейная часть приращения Л Дх + В Ду + + С Дг, равная
(х, у, г) = f’x (х, у, г) dx + f'y (х, у, г) dy -f- /' (х, у, г) dx, (1) где dx = Дх, dy = Ду, dx = Дг, называется дифференциалом этой функции.
Формула (1) сохраняет свое значение и в том случае, когда переменные х, у, г являются некоторыми дифференцируемыми функциями от независимых переменных.
Если х, у, г — независимые переменные, и функция f (х, у, г) имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно, то для дифференциалов высших порядков имеет
5 9. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
325
место символическая формула
dnf (х, у, г) = (dx + dy + dz f (*. у, z). \ dx dy dz )
3°. Производная сложной функции. Если w — h (х, у, г) дифференцируема и £ — <р (и, о), у = ф (и, о), а = X (и> о), где функции <р, ф, X дифференцируемы, то
dw dw dx । dw dy dim dz
du dx du dy du dz du
dw dw dx । dw dy । dw dz
do dx do dy do dz do
Для вычисления производных второго порядка функции w полезно пользоваться символическими формулами:
дЧ» f _ d
— — s= I ГI — \ dx
d \2
+-Я1-7-) » +
dz /
и
dPi du
dw
dx
dQi du
dw . dRi dy du
dw dz
~~=(p ,4-+«. du do \ dx
+ Ra —'•—w 4-dz /
dy dz J k dPi dw ( dQt do dx
— + Qa — +
dx dy
dw ( dRi dw
do dy do dz
TBR
Pi--^, Qi-*'-, Ri=±-du du du
p2=-±L, q2=*L,Ri*
do do do
4°. Производная в данном направлении. Если направление I в пространстве Охуг характеризуется направляющими косинусами {cos a, cos 0, cos у} и функция и = = 1(х, у, г) дифференцируема, то производная по направлению I вычисляется по формуле
du du , du о . du ------------ cos a 4----cos p 4-----cos v.
dl dx dy dz
Скорость наибольшего роста функций в данной точке, по величине и направлению, определяется вектором — градиентом функции:
. ди . ди . ди .
grad и *=•--I 4------J4-------я,
дх dy dz
величина которого равна
326 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3211. Показать, что
/;(х, = ед.
•* dx
3212. Найти /Дх, I), если
/(х, У)=х+(у—\)arcsin д/ — .
V у
3212.1. Найти /ДО, 0) и ft (0. 0), если f (х, у) = у/~ху. Является ли эта функция дифференцируемой в точке О (0, 0)?
3212.2. Является ли дифференцируемой в точке О (0, 0) функция
f (х, у) = х3 + у3?
3212.3. Исследовать на дифференцируемость в точке О (0, 0) функцию f (х, у) — е~Ух’+^ при ха+ уа > 0 и / (0, 0)-0.
Найти частные производные первого и второго по« сядков от следующих функций:
3213. и = х«+/—4ху. 3214. и = ху + -у.
3215. и = —. 3216. ц = — ------.
л/х*-}-уг
3217. и = xsin(x + y). 3218. и =
3219. u = tg —. 3220. и = х«.
У
3221. u = ln(x + ^). 3222. u==arctg-£-.
X
3223. и = arctg —3224. и= arcsin—х...........- .
1 V х‘+у*
3225. и = —7 1 3226. и = (—Y.
у/хг+уг+^ '
3227. и = х«'г. 3228. и = хЛ
3229. Проверить равенство д2и_____________________д*и
дх ду ди дх *
5 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
327
если а)
и = Xs—2ху—Зу\ б) и = х*'
в)
и = arccos a / — .
V у s_ г
3230. Пусть I (x, y) —xy ——— .если xs 4- уъ =/=0 x2+0a
ii f (0, 0) = 0. Показать, что fxy (0, 0) fyx (0, 0).
3230.1. Существует ли /*J(0, 0), если
при x24-^>0;
2ху
f (х, у) = х* 4- И О 3231. Пусть и = f (х, у, измерения п. Проверить теорему Эйлера об однородных функциях на следующих примерах:
а) и = (х—2у + Зг)2; б) и = ——;
при х — у = 0.
г) — однородная функция
в) «==( — ) • \у J
3232. Доказать, что если дифференцируемая функция и => f (х, у, г) удовлетворяет уравнению
ди , ди , ди х------\-у----f-z----— пи,
дх ду дг
то она является однородной функцией измерения п.
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию р (t)= iy'
t*
3233. Доказать, что если f (х, у, z) — дифференцируемая однородная функция измерения п, то ее частные производные f’x (х, у, г), fy (х, у, z), f'z (х, у, г) — бднород-ные функции измерения ti—1.
3234. Пусть и = f (х, у, г) — дважды дифференцируемая одноррдная функция измерения п. Доказать, что
(х—-Ч-i/—- + г —) и = п(п—1)ы.
X. дх ду дг )
Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций (х, у, г — независимые переменные):
3235. u = xmt^. 3236. и= —.
У
328 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3237. u = '0c® + yi- 3238. и — In y/xt + yi.
3239. u = e*». 3240. и = ху + уг + гх.
3242. Найти df 1, 1) и dzf (1, 1, I), если
/(х, у, =
V У ________________
3243. Показать, что если и — ^хг + у3 +г3, то d3u > 0.
3244. Предполагая, что х, у малы по абсолютной величине, вывести приближенные формулы для следующих выражений:
а) (1 + х)и (1+ у)п\ б) In (1 + х) In (1 + у)\
в) arctg *+-? .
1 + ху
3245. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить
а) 1.002 • 2,003® • 3,004s; б) -;-^-1>03>-:
V 0,98 УПоб5"
в) VI.02s+1,97s; г) sin 29°-tg46°; д) 0.971-05.
3246. На сколько изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами х = 6ми«/ = 8м, если первая сторона увеличится на 2 мм, а вторая сторона уменьшится на 5 мм?
3247. Центральный угол сектора а = 60° увеличился на Да = Г. На сколько следует уменьшить радиус сектора R = 20 см, чтобы площадь сектора осталась без изменения?
3248. Доказать, что относительная погрешность произведения приближенно равна сумме относительных погрешностей сомножителей.
3249. При измерении радиуса основания R и высоты Н цилиндра были получены следующие результаты:
R = 2,5 м ± 0,1 м; Н = 4,0 м ± 0,2 м.
С какой абсолютной погрешностью Д и относительной погрешностью б может быть вычислен объем цилиндра?
3250. Стороны треугольника а — 200 м ± 2 м, Ъ = 300 м ± 5 м и угол между ними С = 60° ± 1°.
$ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 329
С какой абсолютной погрешностью может быть вычислена третья сторона треугольника с?
3251. Показать, что функция
f (х, у) = VR/i
непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке обе частные производные f'x (0, 0) и /j(0, 0), однако не является дифференцируемой в точке (0, 0).
Выяснить поведение производных /* (х, у) и fy (х, у} в окрестности точкй (0, 0).
3252. Показать, что функция
/(х, и)= ху----, если ха+^*^=0
и
f (0, 0) = 0,
в окрестности точки (0, 0) непрерывна и имеет ограниченные частные производные fx(x, у) и fy(x, у), однако эта функция недифференцируема в точке (0, 0).
3253. Показать, что функция
/(х, iO = (xs+0®)sin—-» если х2 + ^#=0
и
f (0, 0) = о,
имеет в окрестности точки (0, 0) частные производные fx (х, у) и f'y(x, у), которые разрывны в точке (0, 0) и не-ограничены в любой окрестности ее; тем ие менее эта функция дифференцируема в точке (0, 0).
3254. Доказать, что функция f (х, у), имеющая ограниченные частные производные Д(х, у) и f'y(x, у) в некоторой выпуклой области Е, равномерно непрерывна в этой области.
3255. Доказать, что если функция f (х, у) непрерывна по переменной х при каждом фиксированном значении у и имеет ограниченную производную f'y (х, у) по переменной у, то эта функция непрерывна по совокупности переменных хну.
Найти указанные частные производные в следующих задачах:
ооеа д*и д*и д*и
3256. , ----, —-----, если
дх* дх3ду дх2ду3
и — х—у + х2 + 2ху + f/2 + х3—Зх*у—у9 + х*—
— 4x2t/s +
330
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3257. —-—, если и = х In (ху). дх2ду v
3258. deu ч . . . . , если и = х3sinу + у*sinx. дгду3
3259. дРи , х + у 4- г — хиг ——-— . если и = arctg ——1. дх ду дг 1 — ху — хг — уг
3260. с^и , если и ~ дх ду дг
3261. д*и . 1 , если и = In .
3262. дх”ду< ’ еСЛИ У^
3263. дт+пи х + у , если и = —. дхР'ду'1 х — у
3264. » если и = (ха+у2) дхГдуп v '
3265. дР*«*ги , , , если и = хугех+и+г. дхРдуОдгГ а
3266. 3267. Найти 0), если f (х, у) — е* sin у. Показать, что если и = / (хуг), то дх ду дг
где t — хуг, и найти функцию F. 3268. Найти d*u, если и = х4—2х3у~2ху3 + t/* + 4- х3—Зхгу — Зху3 + у3 + 2х3—ху + 2у3 + х + у + 1.
тт д*и д*и
Чему равны производные --------, --------, -------,
J н дх* дх'ду дх*дуг
д*и д'и
- —...- и ----?
дх dtp ду*
Найти полные дифференциалы указанного порядка в следующих примерах:
3269. d3u, если и = х3 + у3—Зху (х—у).
3270. d3u, если и — sin (х2 + у3).
3271. dlou, если и = In (х + у).
3272. d3u, если и — cos х ch у.
3273. d3u. если и — хуг.
3274. d*u, если и = In (хху^гг).
5 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 331
3275. dnu, если и = евх+Ьу.
3276. dnu, если и = X (х) Y (у).
3277. dnu, если и — f (х + у + г).
3278. dnu, если и = еах+ь‘'+сг.
3279. Пусть Рп(х, у, г) — однородный многочлен степени п. Доказать, что
d"Pn (х, у, z) — n\ Рп (dx, dy, dz).
3280. Пусть . ди . ди Аи=х— +У-—. дх ду
Найти Аи и А2и = А (Аи), если
а) и = ~ттт; б) и = In Vx2 + y2.
х + Г
3281. Пусть
. д*и , д*и дх» ду* Найти Ди, если
a) u = sin х ch у, б) и = In -у/х2 + у2.
3282. Пусть
. / ди \2 . / ди V . / ди \2
Д1ы==(т~) +1Т-) +(т"|
\ дх ) \ ду ) \ dz J
и
. д*и . д*и , д*и
&ги —гт —гт —ГТ ‘ дх* ду* дг*
Найти Дги и Д2и, если
а) и = х’ + «/3Н-23'— Зхуг\ б) и — — -1 ----«
Vx»+ y»+z»
Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:
3283. u=f(x‘ + y2+z2).
3284. u=f(x, —Y \ У /
3285. u = f(x, ху, xyz).
3286. Найти д и , если и = f (х + у, ху).
дхду
опст о « л д»« . д*и , д*и
3287. Наити Ди =-------------------.
дх* ду* дг*
332 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ если
и = f (х + у + 2, х2 + у2 + г2).
Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функций (х, у и z — независимые переменные):
3288. и = f (/), где t = х + у.
3289. и = f (/), где t = 3290. и = f (д/х2 +у2)-
3291. и =f (Л, где t — хуг. 3292. и = f (х2+ 1/2+г2).
3293. и = f (s, л), где 1 = ах, т] = by.
3294. и = f (I, tj), где £ = х + у, т] — х—у.
3295. и = f (£, п). где £ = ху, т] = —. у
3296. и = f (х + у, г).
3297. и = f (х + у + г, х2 + у2 + г2).
3298. и=/(—,
3299. и = f (х, у, г), где х = t, у — t2, г = t3.
3300. и = f (5, т], £), где I — ах, т] = by, I, = сг. 3301. и = f (I, ц, С), где % — х2 + у2, Tj = х2—у2, С = 2ху.
Найти dnu, если:
3302. и = f (ах + by + сг). 3303. и — f (ах, by, сг).
3304. и = f (I, т], 0, где | = ихх + bty + схг, 1] = а2х + Ь^у 4* сгг, £ = аях + Ь3у + с3г,_______
3305. Пусть и — f (г), где г — -у/х2 + у2 + г2 и f — дважды дифференцируемая функция. Показать, что Ды = F (г), л . д^и rr
где Дм=----------------------оператор Лапласа, и
дхг ду2 дг1 г г
найти функцию F.
3306. Пусть и n v — дважды дифференцируемые функциц и Д — оператор Лапласа (см. задачу 3305). Доказать, что
Д (ио) — и До + v Ли + 2Д (и, о), где . , . ди до , ди до . ди до
дх дх ду ду дг дг
3307. Показать, что функция
и = In -у/(х—а)2 4- (у—Ь)2-
$ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 333
(а и b — постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа д2и . <Ри _______________________q
дх2 ’’’ ду2 ~
3308. Доказать, что если функция и = и (х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3307), то функция
v = u(—-------—М
к х2 4- у2 X* + у* )
также удовлетворяет этому уравнению.
3309. Показать, что функция
1 (*-»)* и =---------е ™
2а -yfnt
(а и Ь — постоянные) удовлетворяет уравнению тепло* проводности
ди - а2
dt дх2
3310. Доказать, что если функция и = и (х, /) удовлетворяет уравнению теплопроводности (см. задачу 3309), то функция
о==—!—)(1>0) ад/7 V a t °4/ '
также удовлетворяет этому уравнению.
3311. Доказать, что функция
1 Ы = —,
где г = ^(х—а)2 + (у— Ь)2 + (г—с)2, удовлетворяет при г 0 уравнению Лапласа
. , d2u д2и п
дх2 ду2 дг2
3312. Доказать, что если функция и = и (х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3311), то функция
_ 1 / k2x k2y k2z \
г I г2 ' г2 ' Г2 )’
где k — постоянная и г — -\/х2 + у2 + г2, также удовлетворяет этому уравнению.
334
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
8313» Доказать, что функция
ц.... Cie-^+C^ _________ г
где г •=• Vх2 + y2+z2 и Си Сг — постоянные, удов-
летворяет уравнению Гельмгольца
<Ри . дги , д*и
. , = а2и.
дх1 дуг дгг
3314. Пусть функции = их (х, у, г) и и2 = иг (х, у, z) удовлетворяют уравнению Лапласа Ди = 0.
Доказать, что функция
v = Ui (х, у, г) + (х2 + у2 + г2) иг (х, у, г)
удовлетворяет бигармоническому уравнению Д (До) =« 0.
3315. Пусть f (х, у, г) есть т раз дифференцируемая однородная функция измерения п. Доказать, что
(х~Ь+у~я~ +г-£"У ^х’ у’
\ дх ду дг J
= n(n —1).. .(п—m + l)f(x, у, г)
3316. Упростить выражение
sec х -f-sec у , дх ду
если г = sin у + f (sin х — sin у), где f — дифференцируемая функция.
3317. Показать, что функция z — xnf • гДе f ~~ произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению
х^-+2у^- = т. дх ду
3318. Показать, что z = уf (хг—у*), где f — произ-гольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению
, дг . дг у2—- + ху—- = хг. дх ду
3319. Упростить выражение + + если
и = -^-х*—^-x3(y+z) + -^-xsyz+f (у—х, г—х), где f — дифференцируемая функция.
§ 8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
335
3320. Пусть х8 « vw, уг = uw, г2 = ии и f (х, у, г) = F (и, v, и/).
Доказать, что
xfx + yf'u + zfz = uF'u + vF + wF
Предполагая, что произвольные функции ф, ф и т. п, дифференцируемы достаточное число раз, проверить следующие равенства:
3321. у—-----х-^- = 0, если г==ф(х2 + i/2).
дх ду
3322. хг—-----xy — + f = Q, если z = -£~ + w(xy).
дх J ду Зх т
3323. (х2-if) -%- + ху -J- = xyz, дх х'
если г = е»<р (уе2у' ,
3324. х~ + ау— +₽? — = пи, дх ду дг
если и = х"ф (-2—, —— т I а В I
у х хр J
3325. x^-+!/4-+2^-=« + -a-. дх ду дг г
если и — 1пх-|-хф(—, —
3326. = еслиы = ф(х—а/) + ф(х4-а/).
3327. —--2——h-^- = 0,
дхг дх ду ду2
если и = ху (х+у) + у$ (х+у).
3328. х2 — + 2ху-^- + уг— =0, дх2 у дхду^у ду2
3329. х2
дх2
если
4-2х//-^-+//2-— = п(п—!) и, дх ду ду2
если и
= Х"ф(-^-
_|_Х1~пф
3330.
ди д2и
дх дх ду
ди д2и
ду дх2 ’
если и = ф [х+ф(г/)1.
836 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Путем последовательного дифференцирования исключить произвольные функции ф и ф:
3331. г=х-(-ф (ху). 3332. у = xqp
8333. г = ф(7^2 + У2). 3334. и = ф(х—у, у—г).
3335. и — ф , -4-).
3336. г = ф(х) + ф(у). 3337. г = ф(х)ф(у).
3338. г = ф(х+у)+ф(х—у).
3339. z = хф + уф .
3340. г==ф(ху) + ф
3341. Найти производную функции г = х2—у2 в точке М (1, 1), в направлении I, составляющем угол & = 60° с положительным направлением оси Ох.
3342. Найти производную функции г = х2—ху + у* в точке М (1, 1) в направлении I, составляющем угол а с положительным направлением оси Ох. В каком направлении эта производная имеет: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение; в) равна 0.
3343. Найти производную функции z — In (х2 4- у2) в точке М (х0, у0) в направлении, перпендикулярном к линии уровня, проходящей через эту точку.
3344. Найти производную функции z = 1 —
в точке М (—-— , —-—по направлению внутренней 172 72" )
нормали в этой точке к кривой:
3345. Найти производную функции и = хуг в точке М (1, 1, 1), в направлении I {cos a, cos Р, cos у}.
Чему равна величина градиента функции в этой точке?
3346. Найти величину и направление градиента функции
и — — ,
где г = 7х2 4- у® 4- z®, в точке Мо (х0, у0, z0).
s 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
337
3347. Определить угол между градиентами функции и = х2 + у2—z! в точках А (е, 0, 0) и В (0, е, 0).
3348. На сколько отличается в точке М (1, 2, 2) величина градиента функции и — x + y + z от величины градиента функции
v = x + y + z + 0,001 sin (10вл V*2 4- у2 + z*)?
3349. Показать, что в точке Л10 (х0, yQ, г„) угол между градиентами функций
и — ах2 + by2 + cz2 и
v = ах2 + by2 + cz2 + 2mx + 2пу + 2pz
(а, b, с, т, п, р — постоянны и а2 + Ь2 + с2 Ф 0) стремится к нулю, если точка УИ0 удаляется в бесконечность.
3350. Пусть и = f (х, у, z) — дважды дифференци-, и „ дги д f ди X
руемая функция. Наити - еСЛИ cosa’
cos р, cos у — направляющие косинусы направления I.
3351. Пусть и = f (х, у, г) — дважды дифференцируемая функция и
lx {cos аг, cos р1( cos yj, Z2 {cos “2, cos Рг> cos у3}, /3{cosa3, cosp3, cos уз}
три взаимно перпендикулярных направления. Доказать, что:
/ ди \2 , / ди \2 , ( ди \2
-nd +nd + hr.);
dl2 dZ2 <3/3 дх2 ду2 dz2
ди ---=х.
дх
И
3352. Пусть и — и (х, у) — дифференцируемая функция и при у = х2 имеем:
и(х, у)=1
Найти при у = х2.
3353. Пусть функция и = и (х, у) удовлетворяет уравнению
д*и дги q
дх* ду*
22—2383
338 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и, кроме того, следующим условиям:
и (х, 2х) = х, их (х, 2х) = х2. Найти
ихх(х, 2х), иху(х, 2х), иУд(х, 2х).
Полагая г. -» z (х, у), решить следующие уравнения:
3354. — = 0. 3355. -^— = 0.
дхг дх ду
3356. — = 0.
ду"
3357. Полагая и = и (х, у, г), решить уравнение _^_=0.
дх ду дг
3358. Найти решение г = г (х, у) уравнения
А-=х» + 21/, ду
удовлетворяющее условию: г (х, х2) = 1.
3359. Найти решение г = г (х, у) уравнения
-^- = 2, дуа
удовлетворяющее условиям: г (х, 0) = 1, г^(х, 0) — х.
3360. Найти решение г = г (х, у) уравнения д2г
------х-\-у, дхду У
удовлетворяющее условиям: г (х, 0) = х, г (0, у) = у*.
§ 3. Дифференцирование неявных функций
1°. Т е о р е м а существования. Если: 1) функ* ичя F (х, у, г) обращается в нуль в некоторой точке Ло (х0, Уо. z0); 2) F (х, у, г)и F'z (х, у, г) определены и непрерывны в окрестности точки Ло;3)Ег (х0, у0, го)#=0, то в некоторой доста* точно малой окрестности точки Ао (х0, ул) существует единствен* ная однозначная непрерывная функция
г = L (х, у), (1)
удовлетворяющая уравнению
F (х, j, г) =? 0
и такая, что г0 = I (хв, у0).
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 639
2°. Дифференцируемость неявной функ* ц и и. Если, сверх того, 4) функция F (х, у, г) дифференцируема в окрестности точки At (х0, у0, г0), то функция (1) дифференцируема в окрестности точки Аа (х0, уа) и ее произ-дг дг
водные •-— и •-— могут быть найдены из уравнений
дх ду
= -^-+2L_Jl = 0. (2)
дх дг дх ду дг ду
Если функция F (х, у, г) дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием равенств (2) вычисляются также производные высших порядков от функции г.
3°. Неявные функции, определяемые системой уравнений. Пусть функции Ft (хъ . , , , xm; Уъ • • • , Уп) О = ! 2.п) удовлетворяют следующим ус-
ловиям:
1) обращаются в нуль в точке Я« (хц, .... хт0| У10. • • • , Упя),
2) дифференцируемы в окрестности точки 4в;
3) функциональный определитель - ' э&0
d(yi.....Уп)
в точке 40.
В таком случае система уравнений
Ft (xlt . . ., xm, Vi.Ул)=0 (/=1,2,.... л), (3)
однозначно определяет в некоторой окрестности точки (хю> • -. > *то) систему дифференцируемых функций
У1 - f (*1. . . . . *т) ((—1,2,..., Л),
удовлетворяющих уравнениям (3) и условиям
fl (*10, .... *mn) = (/—1,2,..., П).
Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы
Zu а«, ' Z, am /=1 fe=l
0=1, 2, .... л)*).
3361. Показать, что разрывная в каждой точке функция Дирихле
{1, если х рационально,
О, если х иррационально,
*) При формулировке большинства задач этого раздела без оговорок предполагается, что выполнены условия существования неявных функций и их соответствующих производных. 22*
340 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
удовлетворяет уравнению
У2—У = 0-
3362. Пусть функция f (х) определена в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение
f (X) у = 0 имеет при а < х < b единственное непрерывное решение у = 0?
3363. Пусть функции f (х) и g (х) определены и непрерывны в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение f (х) У = g (х)
имеет в интервале (а, Ь) единственное непрерывное решение?
3364. Пусть дано уравнение х2 + у* = 1 (1)
п
У = У (X) (- 1 < х < 1) (2)
— однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (0) = 1; б) у (1) = 0?
3365. Пусть дано уравнение х2 = у9 (1)
и
у = У (х) (— ОО < X < + оо) (2)
есть однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных дифференцируемых функций (2) удовлетворяет уравнению (1)?
4) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (I), если: а) у (1) = lj б) у (0) = О?
5 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
341
5) Сколько однозначных непрерывных функций У — У W (1—6 < х < 1 +6) удовлетворяет уравнению (1), если у (1) = 1 и 6 достаточно мало?
3366. Уравнение х2 + у2 — xi 4- у* определяет у как многозначную функцию от х. В каких областях эта функция 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные непрерывные ветви.
3367. Найти точки ветвления и непрерывные однозначные ветви у = у (х) (— 1 < х < 1) многозначной функции у, определяемой уравнением (х2 + у2)2 = = х2—у2.
3368. Пусть f (х) — непрерывна при а < х < Ь и Ф (у) — монотонно возрастает и непрерывна при с <y<d. В каком случае уравнение <р (у) — f (х) определяет однозначную функцию у — <р-1 (f (х))?
Рассмотреть примеры: a) sin у + sh у = х; б) е~у = = — sin2x.
3369. Пусть
х = у + <Р (у), (1)
где ср (0) — 0 и | <р' (у) | < k < 1 при — а < у < а. Доказать, что при —е < х <_ е существует единственная дифференцируемая функция у = у (х), удовлетворяющая уравнению (1), и такая, что у (0) = 0.
3370. Пусть у = у (х) — неявная функция, определяемая уравнением
х = ky + ф (у),
где постоянная k =£ 0, и ф (у) — дифференцируемая периодическая функция периода w такая, что | ф' (у)| < < |£|. Доказать, что
У = -7- + Ф (х),
где ф (х) — периодическая функция с периодом |£| си.
Найти у' и у” для функций у, определяемых следующими уравнениями:
3371. х2 + 2ху—у2 = а2. 3372. In д/х2 + у2 =
= arctg—.
X
3373. у — е sin у = х (0 < 8 < 1).
3374. Х> = у* (х^у). 3375. у =» 2х arctg
X
342 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3376. Доказать, что при
1 4- ху = k (х—у), где k — постоянная величина, имеет место равенство dx_____________________________dy
14-х2 ~ 14- у2 '
3377, Доказать, что если
хяуя 4- хя 4- у2 — 1 = 0.
то при ху > 0 имеет место равенство
.....d* ..=о.
V1 - У*
3378. Доказать, что уравнение
(хя 4- у2)2 = ая (хя—у2) (а =/= 0)
В окрестности точки х — 0, у = 0 определяет две дифференцируемые функции: у — уг (х) и у = у2(х), Найти |/i(0) и yi(0).
3379. Найти у при х = 0 и у = 0, если
(хя 4- у2)2 = Зх2у-у3.
3380. Найти у', у” и у”', если хя 4- ху 4- у2 =* 3.
3381. Найти у', у” и у"' при х = 0, у = 1, если
Xя—ху 4- 2у2 4- х—у—1 — 0.
3382. Доказать, что для кривой 2-го порядка ахя 4- 2Ьху 4- су2 4- 2dx 4- 2еу 4- f = 0 справедливо равенство
-^-((у")-2/31=о.
dx3
Для функции z = z (х, у) найти частные производные первого и второго порядков, если:
3383. хя 4- у2 4- z2 = а2. 3384. z3—Зхуг = а3.
3385. х 4" у 4" z = е2.
3386. z = 7x2—у2 -tg— г
л] х2 — у2
3387. х 4- у 4- г = е-<*+«+2>.
3388. Пусть
х2 4- у2 4- z2 — Зхуг = 0 (1)
в
f <*, у, z) = хуяг3.
3390.
3391.
3392.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 343
Найти: a) f'x (1, 1, 1), если г — г (х, у) есть неявная функция, определяемая уравнением (1); б) fx (1, 1, 1), если у = у (х, z) есть неявная функция, определяемая уравнением (1). Объяснить, почему эти производные различны.
3389. Найти при х — 1, у = — 2,
дх2 дх ду ду2
z=l, если х1 + 2y3 + 3z3 + ху—г—9 = 0.
Найти dz и d2z, если:
«2
2L + JL + -i_ = i.
а2 Ь2 с2 хуг = х + у + z.
2L = in-£_ + i. 3393. z = х 4-arctg. г у г — х
3394. Найти du, если и3 — 3 (х + у) и3 + г8 = 0.
3395. Найти —, если дхду
F(x + y+z, xI+^4-z2) = 0.
3396. Найти и если дх ду
F(x—y, у—г, г—х) —0.
3397. Найти и , если
дх ду дх2
F (х, x + y,x+y + z) = 0.
3398. Найти — - , если F (xz, yz) = 0. дх2
3399. Найти d3z, если:
a) F(x + z, y+z) — 0\ б) F0-, -0 = °.
3391.1. Пусть г = г (х, у)—та дифференцируемая функция, определяемая уравнением
z3 — xz + у = 0,
которая при х = 3, у = — 2 принимает значение z = 2. Найти dz (3, — 2) и d2z (3, — 2).
3400. Пусть х — х (у, z), у = у (х, z), z = г (х, у) —• функции, определяемые уравнением F (х, у, z) = 0.
Доказать, что дх ду дг_____
ду дг дх
344
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3401. Найти --и ——, если х + у + г ~ 0, х2 +
dz dz
+ у2 + г2 = 1.
3402. Найти и —при х = I,
dz dz dza dz3
у « — 1, г = 2, если х2 + у2 = -у г2, х + у + 2 — 2.
3403. Найтии если хи—yv = 0, дх ду дх ду
уи + xv ~ 1.
3403.1. Система уравнений
хе“+°4-2ии= 1,
ye?~v-----— = 2х
J + v
определяет дифференцируемые функции и ~ и (х, у) и v = v (х, у) такие, что и (1, 2) — 0 и v (1, 2) = 0. Найти du (1, 2) и dv (1, 2).
3404. Найти du, dv, d2u и d2v, если
3405. Найти du, dv, сРии d2v при х — \,у -- 1, и = 0, v = —, если
4
еи/х cos — = —, еи/х sin — = ——. у -у/1 у л/2
3406. Пусть
х = t + Г1, у = t2 + Г®, 2 = t3 + Г».
Найти dx dx dx2 dx1
3407. В какой области плоскости Оху система уравнений
х — и + v, у = и2 + v2, г = и3 + о3.
где параметры и и v принимают всевозможные вещественные значения, определяет г как функцию от переменных х и у? Найти производные -у- и -у-.
3407.1. Найти —— и в точке и = 1, о — 1, если дх ду
$ 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ
345
x = u + lnu, y — v—Inw, z = 2u + v.
d^z
3407.2. Найти-----в точке и = 2, v = 1, если
дхду
x = u + vt, у = и*—и3 z = 2uv.
3408. Найти , если
дх*
х — cos <р cos ф, у — cos ф sin ф, z = sin ф.
о лап и 1 3*Z д*г
3409. Найти ----, ------и--------, если
дх* дх ду ду*
X — и cos V, у = и sin V, Z = V.
3410. Пусть г = г (х, у) функция определяется системой уравнений:
х = е“+с, у — z — uv
(ин v — параметры). Найти dz и d2z, при и = 0 и v — 0.
3411. Найти и если г = хг + уг, где у
— у (х) определяется из уравнения
х2 — ху + у2 = 1.
3412. Найти и если и = -—* , где г опре-дх ду у + г
деляется из уравнения ze* = хе* + уе«.
3413.----Пусть уравнения х = ф (и, и), у = ф (и, о), z = х (“. у) определяют z как функцию от х и у. Найти дг дг ---------и .
дх ду
3414. Пусть х = ф (и, и), у = ф (и, о). Найти частные производные первого и второго порядков от обратных функций: и — и (х, у) и v = v (х, у).
u , ди ди dv dv
3415. Найти--, ----, ----, ---, если
дх ду дх ду
а) х— и cos—, у = a sin —; и и
б) х = 6й 4- и sin v, у = е“ — и cos V.
346 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3416. Функция и = и (х) определяется системой уравнений
и = f {х, у, z), g (х, у, z) = О, h (х, у, г) = 0.
„ ,, du d?u Найти — и -------.
dx dx1
3417. Функция и = и (х, у) определяется системой уравнений
и = f (х, у, z, /), g (у, z, t) = 0, h (z, t) = 0.
и . ди ди Найти — и -------.
дх ду
3418. Пусть х = f (и, v, w), у — g (и, v, и»), z =
= h (и, v, w). Найти и .
дх ду дг
3419. Пусть функция z = г (х, у) удовлетворяет системе уравнений f (х, у, z, t) = 0, g (х, у, z, t) = О, где t — переменный параметр. Найти dz.
3420. Пусть и — f (z), где z — неявная функция от переменных х и у, определяемая уравнением z = в X + уф (z).
Доказать формулу Лагранжа
др» dx"-i V v дх f
Указание. Доказать формулу для л = 1 и применить метод математической индукции.
3421. Показать, что функция z = г (х, у), определяемая уравнением
Ф (х — аг, у — bz) = 0, (1)
где Ф (а, и) — произвольная дифференцируемая функция от переменных и и v (а и b — постоянные), являются решением уравнения
aJL+b дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (1). 3422. Показать, что функция z = z (х, у), определяемая уравнением
ф ( = о, (2)
\ г — г0 г —ze /
где Ф (и, v) — произвольная дифференцируемая функция от переменных и и и, удовлетворяет уравнению
, . дг , , х дг
(* —хо)-^-+ G/—Уо) ^г—Zo.
$ S. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 347
Выяснить геометрические свойства поверхности (2). 3423. Показать, что функция z =z (х, у), определяемая уравнением
ах + by + cz — Ф (х2 + у2 + г2), (3)
где Ф (и) — произвольная дифференцируемая функция от переменной и и а, b и с — постоянные, удовлетворяет уравнению
(су— bz) + (az—сх) -^- = Ьх —ау.
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (3).
3424. Функция z = z (х, у) задана уравнением
*•2 i ?2 _ nt (
Показать, что
(x2-i/’-z2) + 2ху — = 2xz.
дх ду
3425. Функция z = z (х, у) задана уравнением
F (*+ ?У~\ у+гх'1) = 0.
Показать, что
дг , дг
х —+у — = г—ху.
дх ду
3426. Показать, что функция z = z (х, у), определяемая системой уравнений:
х cos а +у sin а 4- In z — f (а), |
—х sin а 4- у cos а — f (а), j
где а = а (х, у) — переменный параметр и f (а) — произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению
=z\
3427. Показать, что функция z = z (х, у), заданная системой уравнений:
z = ax4-—4-J(a),
0 = х----^-4-/' (а),
удовлетворяет уравнению дг дг дх ду
348
ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3428. Показать, что функция z — г (х, у), заданная уравнениями
[г—f (а)]2 = х* (у*—а2), |
[г—f (а)] f (а) = ах2, j удовлетворяет уравнению
3429. Показать, что функция г = г (х, у), заданная уравнениями
г = ах + уф(а)4-ф(а), |
0 = х + уф' (а) + ф' (а), ) удовлетворяет уравнению
д*г д*г _ / Уг V = Q
дх1 ду* \ дх ду )
3430. Показать, что неявная функция г = г (х, у), определяемая уравнением
у = х<р (г) + ф (z), удовлетворяет уравнению
Г дг \2 Уг __g дг । / дг \2 Уг _ q
\ ду ) дх2 дх ду дх ду К дх ) ду*
§ 4. Замена переменных
Г. Замена переменных в выражении, со* держащем обыкновенные производные. Пусть в дифференциальном выражении
4 = Ф (х, у, ух, ухх, . . . )
требуется перейти к новым переменным: t — независимой пе* ременной ни — функции, связанным с прежними переменными хну уравнениями
х = f.(t, и), y = g(t, и). (I)
Дифференцируя уравнения <1), будем иметь;
А.+*La;
. dt du
Диалогично выражаются высшие производные уХХ1 •«• В результате мы получаем:
А =ф10* “* «О “й* •* .).
$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
349
2’. Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные п р о и з • водные. Если в дифференциальном выражении
„ с / dz dz д*г д*г д*г \
\ дх ду дх* дх ду ду* )
положить
x — f(u, и), у = g (и, о), (2)
где и и v — новые независимые переменные, то последователь* дг дг
ные частные производные — » —, ... определяются из следя ду
дующих уравнений:
дг дг df । дг dg
ди дх ди ду ди
дг дг df дг dg
du дх ди ду ди
и т. п.
3°. Замена независимых переменных и функции в выражении, содержащем частные производные. В более общем случае, если имеем уравнения
*=/(«. р. ®). У — g («. V, w), г = Л (и, и, w), (3)
где и, и — новые независимые переменные и w = w (и, и) — дг дг
новая функция, то для частных производных —» — , , ,» получаем такие уравнения:
дг / df . df dw \ dz / dg . dg dw \___
dx \ du dw du ) dy \ du dw du )
dh , dh dw
= ~----f--—-----—»
du dw du
дг / df df dw \ । дг / dg . dg dw \___
dx \ du dw du J dy \ du dw du J
dh । dh dw
as — 1 -------—- (
du dw du
и т. n.
В некоторых случаях замены переменных удобно пользоваться полными дифференциалами.
3431. Преобразовать уравнение у'у'"—Зу"г=х, приняв у за новую независимую переменную.
3432. Таким же образом преобразовать уравнение у'гу1У — 10у'у"у’” + = 0.
3433. Преобразовать уравнение
У" + — !/+у = 0, X
850 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
приняв х за функцию и t = ху — за независимое переменное.
Вводя новые переменные, преобразовать следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
3434. х2у'1 4- ху* + у = 0, если х — е1.
3435. у”' = » если t = In | х |.
х*
3436. (1—ха) у" — ху* + п2у = 0, если х — cos t.
3437, y"4-y'thx4—= если *=lntg-^-.
-1/2$ р(1)<18
3438. у"+р (х) y'+q (х) y—Q, если у=ие * где р (х) £ С1*’.
3439. х*у" 4- хуу'- — 2у2 — 0, если х = е* и у = ие2‘, где и = и (/).
3440. (1 4- хг)гу,{ = у, если х = tg t и у , cos t
где и — и (/).
3441. (1—х2)гу" = — у, если х = th /иу == ——, ch I
где й = и (/).
3442. у" 4- (х 4- у) (1 4- у')2 =* 0, если х — и 4- t в у = и—t, где и = и (/).
3443. у’" — &у" + ху' — у = О, если х = —
и у—-у» где и = и (/).
3444. Преобразовать уравнение Стокса
«" =, (х-а)»(х-Ь)4
полагая
ы = _L_, Г==1п х—ь I х—b I
В принимая и за функцию переменной i.
3445. Показать, что если уравнение
^. + P(x)^-+,Ws=0
« 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
351
преобразовать подстановкой х = ф (£) в уравнение то
[2P(&)Q® + Q'a)l [Q©|-w«
= 12р (х) <7 (х) + / (х)] [q (х)]*3'2.
3446. В уравнении Ф (у, у', у”) = 0, где Ф — однородная функция переменных у, у', у'1, положить
X $ и dx у^е* .
3447« В уравнении F (х2у", ху', у} » 0, где F —• однородная функция своих аргументов, положить
и = х-^—. У
3448. Доказать, что уравнение у'" (1 + у'2) - ty'y"2 - О не меняет своего вида при томографическом преобразовании
X —
и
01g + М + Cl flag + М + с» -,
og + fri) + с * ag + Ьт) + с
Указание. Данное преобразование представить в виде композиции простейших преобразований:
х = аХ + рУ + у, у = У;
Х= — , У=-Ь-
Х1 Ха
= al + iq + с, У! = a2g + Ь2т) + с2.
3449. Доказать, что шварииан
s[x(/)i=-^— JLr_i2qa
X' (0 2 L X' (О J
не меняет своего значения при дробно-линейном преоб* разовании:
у=™.^Ль. {ad-bc^O).
13 cx(t) + d '
Преобразовать к полярным координатам г и <р, полагая х = г cos <р, у = г sin ф, следующие уравнения!
352 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3450. _^L = _£±JL.
d* х — у
3451. (ху'—у)2 = 2ху (1 Ч- у'2).
3452. (х2 4- у2)2у" = (х + уу')3.
3453. Преобразовать к полярным координатам вы*
х + уи' ражение —.
ху' — у
3454. Кривизну плоской кривой
К =—
(1 + №
выразить в полярных координатах г и <р.
3455. В системе уравнений
-^- = y + kx(x2 + y2), —x+ky (х2 + уг)
at at
перейти к полярным координатам.
3456. Преобразовать выражение W = x-^------------------у-**-,
dt* df2
введя новые функции г — х2 + у2, <р = arctg — •
3457. В преобразовании Лежандра каждой точке (х, у) кривой у = у (х) ставится в соответствие точка (X, У), где
X — у', У = ху'—у.
Найти У'. Y" и У"'.
Вводя новые независимые переменные ё и т], решить следующие уравнения:
3458. = если % — х-\-у и ti = x—у.
ох оу
3459. у ——х — = 0, дх ду
3460. а — +Ь —= 1 дх ду
<=y—bz.
3461. х— + у —= 2, дх ду
если 1 = х и г\ = х2 + у*.
(а=#=0), если 1 = х и т| =
если £= х и т1 = —.
х
$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 353
Принимая и и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:
3462. х -^- + аД +у2 — =*ху, если u = lnx и о=» дх ду
= ln (у4-лЛ4-у2).
3463. (х + у)~—(x-y)-^- = Q, если и=я дх ду
= 1п-\/х24-у2 и u=arctg —.
3464. х ——-у —— == z 4* л^х2 4* уг 4* г8, если
дх ду
и — — и и = г4-л/*2 + У2 + 22 • х
3465. х 4- У —- = —» если и = 2х —2* и
дх * ду г
v = -*-. г
3466. (х4-г)-^-4-(у +г)-^- = х + у + г, если
дх ду
и = х + г и t» = y4-z.
3467. Преобразовать выражение
(г 4- е*) 4- + (z + eV) -Т—(г2-е«+«9. дх ду
приняв за новые независимые переменные
£ = y4-ze-x, г] = х+ге~у.
3468. Преобразовать выражение
полагая
x = uv, у = -^-(и2—^).
Л
3469, В уравнении
дх ду дг положить £ = X, Г] = у—X, с = Z—X. 3470. Преобразовать уравнение (х_2)Л+ * о, дх ду
23-гмз
354
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
приняв х за функцию, а у и г — за независимые переменные.
3471. Преобразовать уравнение
(iZ_2)^_ + (iz + 2)_J_==0, дх ду
приняв х за функцию, а и = у—г, v = у Ч- z — за независимые переменные.
3472. Преобразовать выражение
приняв х за функцию и и — xz, v = yz — за независимые переменные.
3473. В уравнении
(у Ч- г ч- и) Ч- (х Ч- г Ч- и) Ч- (х+у Ч- и) —«
дх ду дг
= хЧ*#Ч"* положить:
е6 = х—и, & = у—и, & — Z—U.
Перейти к новым переменным и, v, w, где w
<= w (и, и), в следующих уравнениях:
3474. у —---х-—— = ^у—х)г, если
дх ду
u=x2 + tf, и = —Ч——» a> = lnz—(хЧ-г/). X У
3475. ха—Ч-^ —=z®. если дх ду
11 11
И = Х, о—-------------> w=----.
у х г х
3478. (xy + z)~+(l — ys)-~ = x-i-yz, если дх ду
и = yz—X, V = хг—yt w = ху—z.
3477. * . если
\ дх) V ду) дх ду
х — ие", y^=ve°t z = wev.
3478. Преобразовать выражение
$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
355
полагая
и — 1пд/ ха + у3, v = arctg z, w = х Ч- у Ч- 2, где w = w (и, v).
3479. Преобразовать выражение
Л = _*_: Ji., дх ду
полагая и = хе*, v — ye*, w — ге*, где w = w (и, v) 3480. В уравнении ди . ди , ди дх * ду дг
положить: £ = — > п =—, £ = z, w =— . где w = г ' г
= и» (ъ, Т]. £)
Преобразовать к полярным координатам г и <р, полагая х — г cos <р, у — г sin ф, следующие выражения!
WssX*L_y*L, 3482. щ = х^-Ч-1/—. ду дх дх ду
Г ди X* . / ди X* „лол д*и . d’u
— I ч-f —I • 3484. №=-ут-+“ГГ’ дх* ду* д*и . , д*и дуг
a РХа-----
ду*
3481.
3483
3485.
3486.
tw=x»~-4-2xy дх* дх ду
* д*г п д*г
^=уг—-----2ху-——
дх1 дх ду
3487. В выражении
I__ ди
дх ду ду
ПОЛОЖИТЬ X == Г COS ф, у ₽ Г sin ф,
3488, Решить уравнение -^- = аг-^~, введя новые di* дх*
Зи
ди дх
ху г
г
независимые переменные
£= х—at, т) = х Ч- at.
Приняв и и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:
23*
356
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3489. 2 — + ——--------— + —+ —= 0, если
дх* дх ду ду* дх ду
и = х + 2у + 2 и v—x—у— 1.
3490. (1 + ха)-у^-+(1 + = 0.
дх* ду* дх ду
если и = 1п (х 4- у 1 + х2) и о = In (у Ч- V 1 + У2)-
3491. ах*-^- + 2Ьху—^- + Су»-^-=0 (а,Ь,с-дх* дх ду ду*
постоянны), если и = 1п х и v = in у.
3492,
д*г j. д*г дх* '
U =
д’-z
3493.
О, если ду*
X у
--------И V --- -------. х*+у*---х* + у*
, -^- + /n2z = 0, если дх* ду*
х = еи cos v, у — еи sin и.
3494. (у>0), если
дх2 ду2 2 ду
и = х—2 VV и v — х + 2 Vy*
3495. хлЛ-—у*£^. = ог если и = ху и и = —. дх* ду* у
3496. х3^--(x2 + ^)-^- + ^-^- = 0, если Эх* дх ду ду*
а = х+у И V —-1-.
х у
&lz , « . d~z , Э*г . дг .
3497. ху — -(х2 + у*)—— + ху-—+у— + дх2 дх ду ду2 дх
4-х —= 0, если и = -т-(х24-у2) и v=xy. ду 2
3498. х2-^—2xsinu———h sin2 у = 0, если
дх* дх ду ду*
M = xtg— и О = х. 2
3499. х — — у— = 0 (х>0, у>0), если дх* ду*
X = (и + V)2 и у = (и—и)8.
$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
357
3500. = f 1 -j- —У, если
дхду \ ду )
y = xnv = y + i.
3501. С помощью линейной замены
В = X + ^1У, Т] = X + Кгу преобразовать уравнение
A + + =0, (1)
дх* дх ду ду-
где А, В и С — постоянные и АС—В2 < 0, к виду
с^дг)
Найти общий вид функции, удовлетворяющей уравнению (1).
3502. Доказать, что вид уравнения Лапласа
А д*г . &*г п
Дг к ——• 4-------- — 0
дх* ду*
не меняется при любой невырожденной замене переменных
х = Ф (и, о), у = ф (и, и),
удовлетворяющей условиям:
дф дф дф сф
ди dv dv ди
3503. Преобразовать уравнения
а) Ди^4т + -?Г = 0; б> Д(Д«) = 0, дх* ду*
полагая и — f (г), где г — л/х* 4- уг-
3504. Какой вид принимает уравнение
4-^ = 0, дхду
если положить
w = / (ы),
где и = (х—х0) (у—у0)?
3505. Преобразовать выражение
. „ д*и . di*u ди
~Х дх* дхду + дх ’
полагая
х 4- у = X, у = XY.
35S ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3506. Показать, что уравнение
+ 2ху« А- + 2 (у-^) +х*у*г = 0
дх3 дх ду
не меняет своего вида при преобразовании переменных
1
х = uv и у = —. и
3507. Показать, что уравнение
^_+2-^- + -^-=0
3** дх ду ду3
не меняет своего вида при замене переменных и = х 4- г и v — у г. 3508. Преобразовать уравнение 3»и , д3и . д2и п
ху------h у2-----1- xz-----= 0,
дх ду ду дг дх дг
полагая
3609. Л ,
х = т]£» У = К» 2 = Ь].
Преобразовать уравнение
Л , Л , Л . Л , № А
, 1 * 1'1 ”|' ““”|' 11 " ™ “|' ' 1 — x/j
дх% дх£ д*з дх1дх2 dxtdx3 дх2дх3 полагая
= Ха + х3—хь Уа = *1 + х3—х2, у3 = Хх + х2—х3.
3510. Преобразовать уравнение
_ д3и , г Ри . 2 дги . о дги . о дги . ха-^- + ^-гт- + 2 -ТГ + 2хУ~П-^2хг~ПГ +
дх3 ду* дг3 дхду дх дг
I О п
+2мг-----= 0,
J дудг
полагая
£=—. Т]=—» х х
Указание. Записать уравнение в виде Л*и—Аи =0, где . д , д , д А = х—— + у—— + г——. дх ду дг
3511. Выражения
$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
359
II
. д2и . д2и , 53и ® дх2 ду2 dz3
преобразовать к сферическим координатам, полагая х = г sin 0 cos <р, у = г sin 0 sin ф, г = г cos 0. Указание. Замену переменных представить в виде ком.
позиции двух частичных замен
х — R cos <р, у = R sin ф, г — z и R = г sin 0, ф = ф, г — г cos 0.
3512. В уравнении ( д2г , 32г \ ( дг \2 . ( дг \*
ввести новую функцию полагая w = z2.
Приняв и и v за новые независимые переменные и w = w (и, v) за новую функцию, преобразовать следующие уравнения:
3513. у -4-2 — = J ду2 ду 2 X если и — —, у v — xt
W = XZ—у. 35U. 2 д‘г дх2 дх ду v=-y-, w=-i-. X X 3515 -1-2 . № = 0, А если и если и если и = = х + у, = X 4-1/, хЛ-у 2 ’
‘ ду2 , дЧ
дх2 дхду v — x—у, w—xy—г. 3516. -^-4—— дх2 дхду v= х~у w — ze^ S' S’ 4 1 II tl — V»
О
3517. 2 — дх2 дхду +(1 + _У / 1—=0, ) ду2 если
и=х, v = x+y, u> = x + y-j-z.
3518. + = +
дх2 ду1 дх ду
если x = sinu, ^ = sinu, z = e®.
360
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3519. (1-х* 2 *) —--—------2х —-------2 = 0
дх2 ду2 дх 4
(|х|<1), если и = (у + arccosх), v = -i-(у—arccosx),
w = Z) 1 —х-.
w
3520. -^- + -^- = 2 дх2 ду2
3 (х2 + у2) г .. . . ..
\ '...( * > Ы).
(х2 — у2)2
2
дг дг
----у——
дх_____ду
х2 — у2
если и = х+у, v — x—y.
\х‘ — у1
3521. Доказать, что всякое уравнение
д2г . дг , , дг . п
-------ha------[-Ь-----hcz = 0
дхду дх ду
(а, Ь, с — постоянные) путем замены
2 = иеоос+Р4',
где а и р — постоянные величины и и = и (х, у), можно привести к виду
д2и дхду
3522. Показать,
-h сха = 0 (q = const).
д?и ди
что уравнение ------------- не из-
дх2 ду
при замене переменных
меняет своего вида
х' = ±, у'=-±, u' = —~re~~^ у у л/у
где и' — функция переменных х' и у'.
3523. В уравнении
Q (1 + <l) -Jr-(1 + Р + <7 + 2pq) +
дх2 дхду
+ р(1 + р)--=о,
дг дг ,
где р = —— и q =-----, положить и = х + г, v =
дх ду
= у + z, w = х + у + z, считая, что w = w (и, v).
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
361
3524. В уравнении
. дги 2 дги I 2 d2u
X2-------------kz2------=
дх3 ду2 dz2
положить х = еб, у — е\ г = е*, и — ew, где w =* = &(*>, Т], О-
3525. Показать, что вид уравнения
д2г д2г _ / д2г у _ Q дх2 ду2 \ дхду )
не меняется при любом распределении ролей между переменными х, у и г.
3526. Решить уравнение
/ дг у дгг __g । ( дг у _ q
\ ду ) дх2 дх ду дхду \ дх) ду2 *
приняв х за функцию от переменных у и г.
3527. Преобразовать уравнение
А ( д2г । 2В ( А д*г [
\ дх ’ ду ) дх2 \ дх ду ) дхду
\ дх ду) ду2
применяя преобразование Лежандра
Х = -*-, Y=-^, Z = хуz, дх ду дх ду
где Z = Z (X, У).
§ 5. Геометрические приложения
1°. Касательная прямая и нормальная плоскость. Уравнение касательной прямой к кривой
х= <р (0. У = Ч» (0. г== Х(0
в точке ее М (х, у, г) имеет вид
Х — х Y-y = Z — 2
dx dy dz
dt dt dt
Уравнение нормальной плоскости в этой точке!
~~ (X - X) + (У - у) + -^- (Z г} - 0. dt dt ds
362 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2°. Касательная плоскость и нормаль. Уравнение касательной плоскости к поверхности г = [ (х, у) в точке ее М (х, у, г) имеет вид
Z — г =(X — х)-j-(Y — у), дх ду
Уравнение нормали в точке М есть
Х — х Y — y = Z —г
дг дг — 1
дх ду
Если уравнение поверхности задано в неявном виде F (х, у, г) = 0, го соответственно имеем:
+ + (Z —г) = 0
дх ду дг
— уравнение касательной плоскости и
Х—х Y — y Z — г
dF dF dF
dx ду дг
—уравнение нормали. 3°. Огибающая кривая семейства плоских кривых. Огибающая кривая однопараметрического семейства кривых f, (х, у, а) = 0 (а — параметр) удовлетворяет системе уравнений:
f (х, у, а) = 0, fa. (х, у, а) = 0.
4°. Огибающая поверхность семейства поверхностей. Огибающая поверхность однопараметрического семейства поверхностей F (х, у, г, а) = 0 удовлетворяет системе уравнений:
F (х, у, г, а) = 0, Fa(x, у, г, а) = 0.
В случае двупараметрического семейства поверхностей Ф (х, у, г, а, Р) = 0 огибающая поверхность удовлетворяет следующим уравнениям:
Ф (х, у, г, а, Р) = 0, Фа(х, у, г, а, Р) = 0,
Ф₽(х, У, г, а. Р) = 0.
Написать уравнения касательных прямых и нормальны^ плоскостей в данных точках к следующим кривым:
3528. х — a cos a cos t, у = a sin а cos t, г = a sin t; в точке t = t0.
3529. х = a sin2/, у = b sin t cos /, z = c cos2 t\ в точке t = —.
4
$ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
363
3530. у = х, z = х2; в точке М (1, 1, 1).
3531. х2 + z2 = 10, у2 + z2 = 10; в точке М (h 1, 3).
3532. х2+у2+г2 = 6, x+y+z= 0; в точкеМ (1, —2,1).
3533. На кривой х = /, у = Z2, z — t3 найти точку, касательная в которой параллельна плоскости х + 2у + z = 4.
3534. Доказать, что касательная к винтовой линии х — a cos t, у — a sin t, z — bt образует постоянный угол с осью Ог.
3535. Доказать, что кривая
х = ае‘ cos t, у = ае‘ sin t, г = ае1
пересекает все образующие конуса х2 + у3 — г3 под одним и тем же углом.
3536. Доказать, что локсодрома
tg(-^- + -Y) = еИ> (ft = const),
где <р — долгота, ф — широта точки сферы, пересекает все меридианы сферы под постоянным углом.
3537. Найти тангенс угла, образованного касатель-ной в точке А40 (х0, у^ к кривой
z=/(x, у),
cos a sin а
где f — дифференцируемая функция, с плоскостью Оху. 3538. Найти производную функции
V*2 + У2 + г2
в точке М (1, 2, — 2) в направлении касательной в этой точке к кривой
х = /, у = 2t3, z = — 2/‘.
Написать уравнения касательной плоскости и нор* мали в указанных точках к следующим поверхностям!
3539. г = х2 + у3; в точке Мо (1, 2, 5).
3540. х2 + у3 + z2 = 169; в точке Мо (3, 4, 12).
3541. г = arctg—; в точке Af0 ( 1,1, “)•
3542. ах2 + by3 + сг3 = 1; в точке Л40 (хо. Уо>
3543. Z — у + 1п -у; в точке Мо (1, 1, 1).
864 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3544. 2л/г + 2у,г — 8; в точке Л40 (2, 2, 1).
3545. х = a cos if cos <р, у — b cos if sin <p, г = «= c sin if; в точке Mo (<p0, if0).
3546. x — r cos <p, у — r sin <p, z — r ctg а; в точке Z4o (Фо. ro)'
3547. х = и cos v, у = и sin v, z — aw, в точке Mo («о, «о)-
3548. Найти предельное положение касательной плоскости к поверхности:
X — и + п, у = и3 + О2, Z = и3 + Vs, когда точка касания М {и, v) (и =/= о) неограниченно приближается к точке Л40 («о. ыо) линии края и = v поверхности.
3549. На поверхности х3 + 2у3 + 3za 4- 2ху + 4- 2xz + 4уг = 8 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.
3550. В какой точке эллипсоида
2L + J!L + JL=1 a» t>’ с»
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
3551. К поверхности ха + 2у3 + 3z2 — 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости
х 4- 4у 4- 6z = 0.
3552. Доказать, что касательные плоскости к поверхности xyz — а3 (а > 0) образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
3553. Доказать, что касательные плоскости к поверхности _
V* + Vi/+ V*= (a>o)
отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.
3554. Доказать, что касательные плоскости к конусу г=хЧт)
проходят через его вершину.
3555. Доказать, что нормали к поверхности вращения ___________________
z = f (V х3 4- у3) (f ¥= 0) пересекают ось вращения.
$ б. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
365
3556. Найти проекции эллипсоида х2 + у2 + z2 — ху = 1
на координатные плоскости.
3557. Квадрат {0 < х sg 1, 0 sg у < 1} разбит на конечное число частей о диаметра 6. Оценить сверху число 6, если направления нормалей к поверхности
z = 1—х2—у2
в любых точках Р (х, у) и Ру (xlt у принадлежащих одной и той же части а, отличаются меньше чем на 1°.
3558. Пусть
2 = f (х, у), где (х, у) £ D, (1)
— уравнение поверхности и <p (Plt Р) — угол между нормалями к поверхности (I) в точках Р (х, у) £ D и Pi (xn yi) £ D.
Доказать, что если область D ограничена и замкнута и функция f (х, у) имеет ограниченные производные 2-го порядка в области D, то справедливо неравенство Ляпунова
<р (Plt Р) < Ср (Р1( Р), (2)
где С — постоянная и р (Ру, Р) — расстояние между точками Р и Ру.
3559. Под каким углом пересекается цилиндр х2 + у2 = а2 с поверхностью bz — ху в общей точке (х0, Уо, 20)?
3560. Показать, что координатные поверхности сферических координат х2 + у2 + z2 = г2, у — х tg <р, х2 + у2 — z2 tg29 попарно ортогональны.
3561. Показать, что сферы х2 + у2 + г2 = 2ах, х2 + у2 + г2 = 2Ьу, х2 + у2 + z2 — 2cz образуют три-ортогональную систему.
3562. Через каждую точку М (х, у, z) проходят при X = Х1г X = Ху, X = Х3 три поверхности второго порядка:
у2 «Л yt
Доказать ортогональность этих поверхностей.
3563. Найти производную функции и = х + у + г в направлении внешней нормали сферы х +у + г = 1 в точке ее Мо (х0| уд, zg).
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
366
В каких точках сферы нормальная производная функции и имеет: а) наибольшее значение, б) наименьшее значение, в) равна нулю?
3564. Найти производную функции и — х2 + у3 + г1 „ *а । у* ।
в направлении внешней нормали эллипсоида + —- +
4--^- = 1 в точке его Л40 (хо- у0, г0).
с2
3565. Пусть и —----нормальные производные
дп дп
функций и и v в точке поверхности F (х, у, г) = 0. До-д , . ди । ди
казать, что--(uv) = и —— + v ——.
дп дп дп
Найти огибающие однопараметрических семейств плоских кривых.
3566. х cos а 4- у sin а = р {р — const).
3567. (х—а)2 + уг =-^~-
3568. у = kx + -j- (а — const).
3569. у2 =2рх +рг.
3570. Найти кривую, огибаемую отрезком длины I, концы которого скользят по осям координат.
3571. Найти огибающую эллипсов ——= 1, а2 Ь2
имеющих постоянную площадь S.
3572. Найти огибающую траекторий снаряда, выпущенного в безвоздушном пространстве с начальной скоростью о0, при варьировании в вертикальной плоскости угла бросания а.
3573. Доказать, что огибающая нормалей плоской кривой есть эволюта этой кривой.
3574. Исследовать характер дискриминантных кривых семейств следующих линий (с — переменный параметр):
а) кубических парабол у = (х—с)3;
б) полукубических парабол у2 = (х—с)3;
в) парабол Нейля у3 — (х—с)2;
г) строфоид^—с)2 = х2. а+ х
3575. Определить огибающую семейства шаров радиуса г, центпы клтооых расположены на окружности х = /? cos t, у — R sin t, г = 0 (/ — параметр, R > г).
$ в. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
367
3576. Найти огибающую семейства шаров (х—t cos а)2 + (у—t cos Р)а 4- (z—t cos- у)8 — 1, где cos2a 4- cos2₽ + cos8/ » 1 и t — переменный ba-раметр.
3577. Определить огибающую семейства эллипсом-1/^ 2^
дов —г+—-4-—— — 1> объем V которых постоянен. аг Ъ1 ~ сг
3578. Найти огибающую семейства сфер радиуса р, центры которых расположены на поверхности конуса х2 4- у2 = z2.
3579. Светящаяся точка находится в начале координат. Определить конус тени, отбрасываемой шаром
(х—х0)а + (у—у о)2 + (z—z0)2 < R*, если х2 4- у2 + г2 > Я2.
3580. Найти огибающую семейства плоскостей г—z0 = р (х—х0) 4- q (y—yj, если параметры р и q связаны уравнением р2 4- у2 = 1.
§ 6. Формула Тейлора
Г. Формула Тейлора. Если функция [ (х, у) имеет в некоторой окрестности точки (а, Ь) непрерывные все частные производные до п 4* 1 порядка включительно, то в этой окрестности справедлива формула
I (*. у) = f (д. ь) 4-
<1 L дх ду 1
«=1
где
«п(х. у)’--—1—-Г(х-а)-^-4-(У-*)-/“Т+,Х
(л 4-1)1 L дх ду J
Xt(a4-9n(x —а), Ь4-0Я (у»)) (0 < 0„ < 1).
2°. Ряд Тейлора. Если функция f (х, у) бесконечно дифференцируема и lim Яп(х> у) — 0, то эта функция допускает
Я->оо
868 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ представление в виде степенного ряда
ОО
f (х, у) = f (а, 6)+ У b)(x-^a)‘(y-b)i. (2)
Zu i!/1 xy
«+/>1
Частные случаи формул (1) и (2) при а*=Ь = 0 соответственно носят названия формулы Макларена и ряда Маклорена, Аналогичные формулы имеют место для функции более чем двух переменных.
3°. -Особые точки плоских кривых. Точка М„ (х0, у0) дифференцируемой кривой F (х, у) = О называется особой, если
F («о. Уо) = 0. F'x(x0, yQ) = 0, F'(x0, у0) = 0.
Пусть Мо (х0, у’о) — изолированная особая точка кривой класса С(2) и числа
А = Fхх <*о. Уо) =0, В = F” (х0, у0), С = Fyy (хо, Уо)
ве все равны нулю. Тогда, если
1) АС—В2 > 0, то Mq — изолированная точка-,
2) АС—В2 < 0, то Ма—двойная точка (узел)-,
3) АС—В2 = 0, то Мо — точка возврата или изолированная точка.
В случае А = В = С = 0 возможны более сложные типы особых точек. У кривых, не принадлежащих классу гладкости С<2>, могут быть особенности более сложной природы: точки прекращения, угловые точки и др.
3581. Функцию f (х, у) = 2х3—ху—у2—6х—Зу + 5 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки А (1, -2).
3582. Функцию f (х, у, г) = х3 + у3 + г3 — Зхуг разложить по формуле Тейлора в окрестности точки А (1, 1, 1).
3583. Найти приращение, получаемое функцией / (*> У) — хгУ + ху2 — 2ху, при переходе от значений х = 1, у — — 1 к значениям хх = 1 + А, уг — — 1 +k.
3584. Разложить f (х + А, у + k, г + /) по целым положительным степеням величин A, k и I, если
f (X, У, 2) =
= Ах2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz+ 2F уг.
3585. В разложении функции f (х, у) = ху в окрестности точки А (1, 1) выписать члены до второго порядка включительно.
3586. Разложить по формуле Маклорена до членов четвертого порядка включительно функцию
f (х, у) = л/ \—х2—у2.
§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
369
3587. Вывести приближенные формулы с точностью до членов второго порядка для выражений:
а) ------; б) arctg , , .
COS у 1 — X + у
если jx| и |z/| малы по сравнению с 1.
3588. Упростить выражение
cos (х + у + 2) — cos х cos у cos z, считая х, у, г малыми по абсолютной величине.
3589. Функцию
F (х, y) = -^-[f(x + h, y) + f(x, y + h) +
+ f (x—h, у) + f (x, y—h) l—f(x, y) разложить по степеням h с точностью до Л4.
3590. Пусть f (Р) = f (х, у) и (xit у() (t = 1, 2, 3) — вершины правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в точке Р (х, у) радиуса р, причем Xi = х + р> У1~ У- Разложить по целым положительным степеням р с точностью до р2 функцию
F(p) = ±У1РМ(РМ(Рз)]-«J
3591. Разложить по степеням Лий функцию
&Ху f (х, у) = f(x + h, у + k) ~f(x + h, у) — —f (х, у + k) + f (х, у).
3592. Разложить по степеням р функцию
1 2,1
F(P) = — J/(x + pcos<p, i/ + psin<p)d<p.
2Л О
Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
3593. f (х, у) = (1 + x)m (1 + у}п.
3594. f (х, у) = In (1 + х + у).
3595. f (х, у) — е* sin у.
3596. f (х, у) = е* cos у.
3597. f (х, у) — sin х sh у.
3598. f (х, у) = cos х ch у.
3599. f (х, у) = sin (х2 + у2).
3600. f (х, у) = In (1 + х) In (1 + yl
3601. Написать три члена разложения в ряд Макло-оена функции f (х, у) = f (1 + х)**» dt.
24-2383 0
370 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3602. Функцию разложить в степенной ряд по целым положительным степеням биномов х—1 и у + 1.
3603. Написать разложение в ряд Тейлора функции / (х, у) = —в окрестности точки М (1, 1).
3604. Пусть z — та неявная функция от х и у, определяемая уравнением г3—2xz + ^ = 0, которая при х = 1 и у — 1 принимает значение z = 1.
Написать несколько членов разложения функции з по возрастающим степеням биномов х—1 и у—1.
Изучить типы особых точек следующих кривых и примерно изобразить эти кривые:
3605. у2 = ах3 + х3. 3606. х3 + у3 — Зху = 0.
3607. х3 + у3 = х* + у*. 3608. х2 + г/4 = х*.
3609. (х3 + у2)3 = а3 (х3—у3). 3610. (у—х3)3- = х3.
3611. (а + х) у3 = (а—х) х3.
3612. Изучить форму кривой у3 = (х—а) (х—Ь)Х X (х—с) в зависимости от значений параметров а, Ь, а (а sg Ь с).
Исследовать особые точки трансцендентных кривых:
3613. г/2 = 1 —е'Л 3614. у2=\—е~х\ 3615. y=xlnx.
3617. y=arctgf—-—Y 3618. i/3 = sin —.
\ sin х J х
3619. y3 = sinx3. 3620. i/2 = sin3x.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
Г. Определение экстремума. Пусть функция f (Р) = f. (хь .... хя) определена в окрестности точки Ро. Если или I (Р®) > f (Р), или / (Ро) < (?) ПРИ ° < Р (₽о. Р) < < б, то говорят, что функция [ (Р) имеет строгий зкстремум (соответственно максимум или минимум) в точке Р®.
2°. Необходимое условие экстремума. Дифференцируемая функция f (Р) может достигать экстремума лишь в стационарной точке Р®, т. е. такой, что df, (Р») = 0. Следовательно, точки экстремума функции [ (Р) удовлетворяют системе уравнений f*([xl’ • • • • хл) = 0(i = l, . . ., п).
3°. Достаточное условие экстремума. Функция [ (Р) в точке Р® имеет:
Ft
а) максимум, если d[ (Р.) = 0, <Р[ (Р®) <0, при J} 1 dxt |т£0, и
5 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 871
л
б) минимум, если df (Рв)= О, (Р#)> О при |<fxH эЬО.
Исследование знай? второго дифференциала d*}, (Ро) может быть проведено путем приведения соответствующей квадратичной формы к каноническому виду.
В частности, для случая функции f (х, у) двух независимых переменных х и у в стационарной точке (х0, </0) (df, (х9, уа} = 0) при условии, что D = АС — Вг £ 0, где A = fxx(x0, у0), В = ^(хо. »о)« С = С(*о> »о) имеем:
1) минимум, если D > 0, А > 0 (С > 0);
2) максимум, если D > 0, А < 0 (С < 0);
3) отсутствие экстремума, если D < 0.
4°. Условный экстремум. Задача определения экстремума функции f (/%) = f (*i, • • • , хл) при наличии ряда соотношений ifi(P) = 0 (i = 1, . . . , т; т < п) сводится к нахождению обычного экстремума для функции Лагранжа
L(P)~ f(P)+ (Р),
где hi (I = 1, . .., т) — постоянные множители. Вопрос о существовании и характере условного экстремума в простейшем случае решается на основании исследования знака второго дифференциала <PL (Ро) в стационарной точке Рл функции L (Р) при условии, что переменные dxlt ..., dxn связаны соотношениями
У —^*/ = 0 (/=1........т).
/=| дх1
5е. Абсолютный экс.трем ум. Функция f, (Р)» дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области, до* стигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой о<$> ласти или в стационарной точке, или в граничной точке области*
Исследовать на экстремум следующие функции нескольких переменных:
3621. z = х9 + (у— 1)а. 3622. z = х! — to—1)’.
3623. г '= (х—у + 1)».
3624. г = х2 — ху + у* — 2х + у.
3625. г = хгг/’ (6—-х—у). 3626. г = х9 + у9—Зху, 3627. г = х* + / — хг — 2ху—уг.
36 27.1. z = 2х* + — хг — 2у\
3628. г = ху+~+^- (х>0, ^>0).
X у
3629. г= ху д/1 —4 —S’ (а > 0. Ь > 0).
V ь*
24
372 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3630. z = (а® + Ьг + с® ф 0).
у х* 4- у* 4~ 1
3631. г=!-д/х, + //’.
3632. z = eM+w (8х2—бху 4- Зу2).
3633. z=e)t2-"(5—2x-f-i/).
3634. г = (5х 4- 1у—25) .
3635. z = хг + ху 4- у* — 4 In х — 10 In у.
3636. г = sin х 4- cos у + cos (х—у) (0 < х < л/2;
0 С у^.п/2).
3637. г — sin х sin у sin (x4-i/) (0«гх < л; 0<|/< л).
3638. z=х—2у 4- In Vx® + ys+3 «fctg — •
3639. z — xy In (x® 4- у*)-
3640. z == х 4- у 4- 4 sin х sin у.
3641. z = (x®4-t/2)e-(x'+«!>.
3642. и — х* 4- у2 4- г* 4- 2х 4- 4у — 6z.
3643. и = х* 4- у2 4- г® 4- 12ху 4- 2г.
3644. и = х4 — +— 4-— (*>0, t/>0, z>0). 4х у г
3645. и — ху2г3 (а—х—2у—Зг) (а > 0).
3646. — + — + + (х>0, у>0, г>0,
х у г Ь
а>0, 6>0).
3647. и = sin х 4- sin у 4- sin z — sin (x 4- у 4- г) (0 < x < л; 0 < у «5 л; 0 < г < л).
3648. « = х1х| = х"(1—Xj—2х2—... —пхп) (х,>0, Xj>0, .. .( х„>0).
3649. и = Х!4-^-4--^4-. • . + -^-+— (х,->0,
Х1 х» хП-1 хп
1 = 1. 2, . . .. п).
3650. Задача Гюйгенса. Между двумя положительными числами а и Ь вставить п чисел хь хг, . . ., хя так, чтобы величина дроби
и ___________*14 хп___
(а + *1) (Х14- Хг) • • • (хп + Ь) была наибольшей.
Найти экстремальные значения заданной неявно функции z от переменных х и у.
3651. х® 4- у1 4- г® — 2х 4- 2у—4г — 10 = 0.
в 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
373
3652. х24- у2 + z2 — хг—уг + 2х + 2у + 2z — 2 =0.
3653. (х2 + у2 + г2)2 = а2 (х2 + у2 — г2).
Найти точки условного экстремума следующих функций:
3654. г — ху, если х + у = 1.
3655. z = — 4-JL, если х2 + у2=1. а b
3656. z — x2 + y2, если — 4- —= 1-а ъ
3657. г=Ах2-\-2Вху-}-Су2, если х24-у2=1.
3657.1. z = х2 + 12х# + 2у2, если 4х2 + у2 = 25.
3658. г = cos2x 4- cos2#, если х—у =
3659. и = х — 2у + 2г, если х2 + у2 + г2 — 1.
3660. и = хт упгр, если х + у + z = а (т > 0, п > 0, р > 0, а > 0).
3661. и = х2 + у2 + г2, если — + — 4-—= 1 7 а! ь* с»
(а>Ь>с > 0).
3662. и — ху2^, если х 4- 2у + Зг = а (х > 0, у> 0, г> 0, а> 0).
3663. и — хуг, если х2 + у2 4- г2 = 1, х 4- у 4- г =0.
3663.1. и = ху 4- уг, если х2 4- у2 — 2, у 4- г = 2 (х > 0. у > 0, г > 0).
3664. и = sin х sin у sin г, если х 4- у 4- г — ~ (х > 0, у>0, г> 0).
3665. u = — + — + —, если х2 4- у2 4- г® = 1, а2 Ъ* с*
х cos а 4- у cos р 4- z cos у = 0 (а > b > с > О, cos2 а 4- cos2p 4- cos2y = 1).
3666. и — (х—|)2 4- (#—л)2 + (г—?)2, если Ах 4-4- By 4- Cz = 0, х2 4- у2 4- г2 = R2, —= _2— = cos а cos р
— —-—, где cos^a 4- cos2B 4- cos2y = 1. cos у
3667. u = x?4-x24-. • • + *£, если — + ~4-... 4 oi at
...4-—=1 (a<>0; i = l, 2, . . ., n). an
3668. u=xf4-xP4-.. .4-xo (p>l)i если X| + 4**2 4- • • • 4**л =o (a>0).
374
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3669. ц = . +-ZS-, если
Х1 ха хп
Р1*1+02*а+• • •+Pnjcn= 1 (а<>0, ₽;>0, хг>0, i = 1, 2, ...» л).
3670. и = х®‘х®* •. • ty, если х, +х2+... + хя = а (а>0, af>l, i = l, 2, .. п).
3671. Найти экстремум квадратичной формы
(ац = ац)
при условии
8672. Доказать неравенство хп+уп _ /х+уЧя
если а > 1 и х > 0, у > 0.
Указание. Найти минимум функции г = - (хп + уп)
ори условии х + у — s.
3673. Доказать неравенство Гёльдера л / л \1/Л / п \1/Л'
(ЕхИ i=i \,=i / \i=i /
>0, xt >0, i = l, 2, .. n; A>1, "у' + '^7 = ^-
Указание. Найти минимум функции / л х 1/* / п х l/fe'
при условии
£ар:, = Я. i=l
3674. Доказать неравенство Адамара для определителя А — | ац | порядка п:
л!*й(М
$ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
375
Указание. Рассмотреть экстремум определителя А 30 = | ац | при наличии соотношений
(< = 1,2....п).
<=1
Определить наибольшие (sup) и наименьшие (inf) значения следующих функций в указанных областях:
3675. z = х—2у—3, если 0 s$ х 1 , 0 у < 1, О < х + у 1.
3676. г — № + уг—12х + 16г/, если х2 + у2 < 25.
3677. г = х2—ху + у2, если |х| + |z/| < 1.
3678. и — х2 + 2у2 + 3z2, если х2 + у2 + z2 < 100.
3679. и = х + у + z, если х2 + у2 sS г < 1.
3680. Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) функции
и = (х + у + г) e-<*+2»+^>
в области х > 0, у > 0, г > 0.
3681. Показать, что функция г — (1 + е») cos х—у& имеет бесконечное множество максимумов и ни одного минимума.
3682. Является ли достаточным для минимума функции / (х, у) в точке Мо (х0, у0), чтобы эта функция имела минимум вдоль каждой прямой, проходящей через точку Л10?
Рассмотреть пример f (х, у) — (х—у2) (2х—у2).
3683. Данное положительное число а разложить на п положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных величин их была наименьшей.
3684. Данное положительное число а разложить на п слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
3685. Данное положительное число а разложить на п положительных множителей так, чтобы сумма заданных положительных степеней их была наименьшей.
3686. На плоскости даны п материальных точек Pi У1)> Ръ (-4. Уг). • • • . Рп (х„, уП) с массами, соответственно равными mlt т2, . . . , тп.
При каком положении точки Р (х, у) момент инерции системы относительно этой точки будет наименьшим?
3687. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность?
376
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3688. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, поверхность которой равна S, имеет наибольшую вместимость?
3689. На сфере х2 4- у2 4- г2 = 1 найти точку, сумма квадратов расстояний которой от п данных точек yit Zi) (i — 1, 2, ... , n) была бы минимальной.
3690. Тело состоит из прямого кругового цилиндра, завершенного прямым круговым конусом. При данной полной поверхности тела, равной Q, определить его измерения так, чтобы объем тела был бы наибольшим.
3691. Тело, объем которого равен V, представляет собой прямой прямоугольный параллелепипед, нижнее и верхнее основания которого завершаются одинаковыми правильными четырехугольными пирамидами. При каком угле наклона боковых граней пирамид к их основаниям полная поверхность тела будет минимальной?
3692. Найти прямоугольник данного периметра 2р, который вращением вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
3693. Найти треугольник данного периметра 2р, который вращением вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
3694. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3695. В данный прямой круговой конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3696. В эллипсоид +-^- 4-—j-=l вписать
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3697. В прямой круговой конус, образующая которого I наклонена к плоскости основания под углом а, вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшей полной поверхностью.
3698. В сегмент эллиптического параболоида — =
X* о
= — + z = с. вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3699. Найти кратчайшее расстояние точки Мй (х0> у0, z0) от плоскости Ах 4- By + Сг 4- D — 0.
$ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 377
3700- Определить кратчайшее расстояние d между двумя прямыми в Пространстве
х — Xi у — iy г — ?!
fflj П1 ₽!
и
x — xt у — уа г —г3 . /Пд n, ₽д
3701- Найти кратчайшее расстояние между параболой у — х2 и прямой х—у—2 = 0.
3702. Найти полуоси центральной кривой второго порядка
Ах2 + 2Вху + Су2 = 1.
3703. Найти полуоси центральной поверхности второго порядка
Ах2 + By2 + Сг2 + 2Dxy + 2Еуг + 2Fxz = 1.
3704. Определить площадь эллипса, образованного пересечением цилиндра
-£+-£ = 1 аг 6»
плоскостью
Ах + By + Сг = 0.
3705. Определить площадь сечения эллипсоида
а’ 6» с* плоскостью
х cos а + у cos р 4- г cos у = 0, где
COS2a + COS2P + cos2y = 1.
3706. Согласно принципу Ферма свет, исходящий из точки А и попадающий в точку В, распространяется по той кривой, для прохождения которой требуется минимум времени.
Предполагая, что точки А и В расположены в различных оптических средах, разделенных плоскостью, причем скорость распространения света в первой среде равна vlt а во второй и2, вывести закон преломления света.
378
ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3707. При каком угле падения отклонение светового луча (т. е. угол между падающим и выходящим лучами), проходящего через призму с преломляющим углом а и показателем преломления п, будет наименьшим? Определить это наименьшее отклонение.
3708. Переменные величины хну удовлетворяют линейному уравнению у — ах + Ь, коэффициенты которого требуется определить. В результате ряда равноточных измерений для величин х и у получены значения xt, yt (i = 1, 2, . . . , и).
Пользуясь способом наименьших квадратов, определить наивероятнейшие значения коэффициентов а и Ь.
Указание. Согласно способу наименьших квадратов наивероятнейшими значениями коэффициентов а и b являются те, для которых сумма квадратов погрешностей
п п
1=1 1 = 1
будет наименьшей.
3709. На плоскости дана система п точек Л1,(х{, уд (i = 1, 2 и).
При каком положении прямой
х cos a + ysina — р — О
сумма квадратов отклонений данных точек от этой прямой будет наименьшей?
3710. Функцию х2 на интервале (1, 3) приближенно заменить линейной функцией ах + b так, чтобы абсолютное отклонение
Д — supl х2 — (ax + b) | (1 С x < 3) было минимальным.
ОТДЕЛ V»
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1°. Непрерывность интеграла. Если функция [ (х, у) определена и непрерывна в ограниченной области R [а^х^А; б^Р^В], то
А
F (Р) = р(х, y)dx а представляет собой функцию, непрерывную на сегменте Ь г^у tSB.
2°. Дифференцирование под знаком интеграла. Если сверх указанного в 1°, частная производная ^(х. у) непрерывна в области R, то при Ь < у < В справедлива формула Лейбница.
4 А А
— р(х, p)dx = f£(x, у) dx.
& а а
В более общем случае, когда пределы интеграции являются дифференцируемыми функциями <р (у) и ф (у) параметра у и а < ф (у) < А, а < ф (у) < А при Ь < у < В, имеем:
d
-г; J L(x, У) dx = f (ф (у), у) ф' (у) — f (ф (у), у) ф' (у) +
ФФ) ,
+ J ^(*. У)*х (Ь<у<&В). <Р(М)
3°. Интегрирование под знаком интеграла. При условиях 1° имеем:
в А АВ
\*У J t(». y)dx<=^ dx [ [(х, y)dy. ba a b
3711, Показать, что интеграл
y)dx
0
880 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
<л разрывной функции f (х, у) == sgn (х—у) является функцией непрерывной. Построить график функции и F (у).
3712. Исследовать на непрерывность функцию
F(y) = [...dx,
где функция f (х) непрерывна и положительна на сегменте 10, 1}.
3713. Найти: 1+а . 1
a) lim [------—-----: б) lim [а/**+
7 а-м> J 1 + *»+а* а-0-1 v
а
2 1
в) limf х2 cosaxdx; г) lim f-------------.
а-*00 л-»® \ । । Д । X У1
0 \ п )
3713.1. Найти
Я/2 lim j e~*sined9.
R->oo 0
3714. Пусть функция f (х) непрерывна на сегменте [Л, В]. Доказать, что
lim-М + = (А<а<х<В).
fc-*0 h а
3714.1. Пусть 1) фя(х) > 0 (п — 1, 2,...) на [— 1, 1 ]; 2) фя (х) 0 при п -► оо на 0 < е |х| < 1;
1
3) J Фп (х) dx -> 1 при л оо.
Доказать, что, если / (х) £ С [— 1, 1 ], то
i
lim ]7(х)фя(х)<1х=/(0).
—I
3715. Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла в выражении
1
lim С—e-'Wdx? v-о У*
$ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
381
3716. Можно ли вычислить по правилу Лейбница производную функции 1 ______________________________
F (у) = f In-\/xa + i/2dx
при у — О?
3717. Вычислить F' (х), если
F(x) = fe-^di/. X
3718. Найти F' (а), если: cos а ,___________ Ь+а ,
a) F(a)= j e^l~x'dx\ б) F(a)= f -^2-dxj sin a X
B) = dr,
0
r) F(a) = jf(x-t-a, x—a)dx;
д) F(a) = J’dx j' sin(x24-1/2—a’)dy. 0 x—a
3719. Найти F" (x), если F (x + y)f(y)dy,
где f (x) — дифференцируемая функция.
3720. Найти F” (x), если »
F(x)=^t(y)\x—y\dy, a
где a<_b и f (y) — непрерывная на [a, b] функция^ 3721. Найти F" (x), если
F(x) = -i-fdHf(x+5 + ri)dn (ft>0), л2 о 0
где f (x) — непрерывная функция. 3722. Найти Г(л> (х), если
^М=р(0(*-0я-,л.
882 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3722.1. Доказать формулу d" (sjnx \ 1 с „ / пп \ , ...
___ I -И.-1 ----- I дП COS I У 4-j dy (1)
dx" k X J x"^ J V 2 J J '
0
(n-1, 2, ...),
Пользуясь формулой (1), получить оценку:
Id" / sin x \ I _ 1 .
----1 I При XH-oo, 4-oo). dx" k X---------n+ 1 F ~ /
3723. Функцию f (x) = хг на промежутке 1 С x С 3 приближенно заменить линейной функцией а + Ьх так, чтобы
з (а 4- Ьх —х2)2 dx — min.
3724. Получить приближенную формулу вида
у/1 + х2 « а + Ьх (0 < х 1)
из условия, что среднее квадратичное отклонение функ-
ций а + Ьх и на данном промежутке [0, 11
является минимальным.
3725. Найти производные от полных эллиптических интегралов
пП ____________
Е (k) = J д/1 —k2 sin2 <р dtf й л/2
F(ft)= С ......fo------ (0<fc<l)
j "\/1 — k2 sin* <p o
и выразить их через функции Е (k) и F (k). Показать, что Е (А) удовлетворяет дифференциальному уравнению
E"(k) + -^E'(k)+-^- = O. k 1 --Л*
8726. Доказать, что функция Бесселя целого индекса п
1 г
Jn (х) = — I cos (лф—х sin ф) d<f Я о
удовлетворяет уравнению Бесселя
x2Jn(x) 4- х/;(х) 4- (х2—п2) Jn(x) = 0.
I I. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
383
3727. Пусть I (а) — С —» где функция <р (х) j V®—* о
непрерывна вместе со своей производной <р' (х) на сегменте О < х < а.
Доказать, что при 0 < а < а имеем:
r(a)=:_m + f_^_dx.
V® J 'yja. — x о
Указание. Положить х = at.
3728. Показать, что функция
и (х)=|К(х, y)v(y)dy, где
. Г х(1— у), если х^ух К(х, у) = I
I у(\—х), если х>у, vl v (у) непрерывна, удовлетворяет уравнению и" (х) — — v (х) (0 < х < 1}.
3729. Найти F'x'y(x, у), если
F(x, у)=] (x—yz)f(z)dz, х!у
где f (г) —дифференцируемая функция.
3730. Пусть / (х) — дважды дифференцируемая функция и F (х) — дифференцируемая функция.
Доказать, что функция
и(х, /) = -i- [f (x—at) + /(х + a/)] + 4~ f F(z)dz 2 Za x—at
удовлетворяет уравнению колебаний струны
дги , д*и ----= (р---- дР дх*
и начальным условиям: и (х, 0) = f (х), ut (х, 0)’ = F (xj. 3731. Показать, что если функция f (х) непрерывна на сегменте 10, / ] и (х—£)2 + уъ + г? =#= 0 при 0 то функция
У(х-£)* + 0а+га
и{х, у, 2) = ^ о
384 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
удовлетворяет уравнению Лапласа
дхг + д'? дг* ~
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы:
я/2
3732. j ln(a2sin2x + 62cos2x)dx.
3733. pn (1 — 2а cos х -f-а2)dx.
Я/2
3734. С arctg (a tgx)
J ‘S*
О
Я/2
3735. f ln-1.±.acosx-,-^L- (|а|<1)
J 1 — а cos х cos х о
3736. Пользуясь формулой
arctg х (* dy х J 14-xV
о
вычислить интеграл
1 г arctg х dx
J * д/i—х2 о
3737. Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить интеграл
(а>0, Ь>0).
J In х о
3738. Вычислить интегралы:
о
б) С cos f In ———— dx (а> О, Ь>0). J \ х / in х
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
385
3739. Пусть F (k) и F (k) — полные эллиптические интегралы (см. задачу 3725). Доказать формулы
a) f F (&) k dk—E (k)—k]F (k)\
0 k
6) J E GW* = у [(1 + *2) E (k)—k\F (fe)], о
где k\ = 1—*2.
3740. Доказать формулу
X
j xJ0 (x) dx = xJi (x),
где Jo (x) и Ji (x)—функции Бесселя индексов 0 и 1 (см. задачу 3726).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость интегралов
1°. Определение равномерной сходимости. Сходящийся несобственный интеграл
-foe. Ь
j / (Х> У) = lim f f (x, у) dx, (I)
о >-»т-оо a
где функция f (x, у) непрерывна в области a$x<-|- oo, У1' < У < f/a- называется равномерно сходящимся в интервале (Уъ Уг)> если Для любого е > 0 существует число В = В (е) такое, что при всяком b В имеем:
f (х, у) dx < в (уг < у < yt).
Равномерная сходимость интеграла (1) эквивалентна равномерной сходимости всех рядов вида
оо ап+1
£ У f(x> У) dx, (2)
п=° ап
где а= а0 < Oj < а2 < . . . <о„ < ап+1 < ... и lim ал=+ оо.
Л-+-0О
Если интеграл (1) сходится равномерно в интервале (yj, у^, то он представляет собой непрерывную функцию параметра у в этом интервале.
2°. Критерий Коши. Для равномерной сходимоств интеграла (1) в интервале [уи у2) необходимо и достаточно, 25-2МЗ
383 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
чтобы для любого е > 0 существовало число В = В (е) такое, что
Ь'
j I (*. У) dx
<е при У1<У<.Уг>
если только Ь' > В и Ь” > В.
3“. Критерий В ейе р ш тр а с с а. Для равномерной сходимости интеграла (1) достаточно, чтобы существовала не зависящая от параметра у мажорирующая функция F (х) такая, что
1) I j (х, у) | F (х) при а х < 4- оо и
4-00
2) f F(x)dx<a + ~.
а
4°. Аналогичные теоремы имеют место для несобственных интегралов от разрывных функций.
Определить области сходимости интегралов:
Se—а* ------------dx. 1-}-х» о
3742. f —cos-- dx.
J хР + х9
3743. f -^-^-dx.
J xp о
3744. f ——--------.
J I In X |₽
dx.
3746. f — .?*»-*— dx (p>0).
J Xp + sin X 0
При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость следующих интегралов:
3747. f S2H-dx.
J х-|- а о
5 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
387
+°°
3748. С -------—-------(п>0).
J 1 + хп sin* х о
3749.
3750.
о
3751. Сформулировать в положительном смысле, что
4-00
значит, что интеграл f f (х, у) dx сходится неравно-а
мерно в заданном интервале (уи уг)?
4 'во
3752. Доказать, что если 1) интеграл f f (х) dx схс-а
днтся и 2) функция ф (х, у) ограничена и монотонна по х, то интеграл
+«
J f(x)tf(x, y)dx а
сходится равномерно (в соответствующей области).
3753. Доказать, что равномерно сходящийся интеграл +« —LVx-_LY
/= ^ е х v>dx (0<#<1)
нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не зависящим от параметра.
3754. Показать, что интеграл / = f ae~aj:dx
1) сходится равномерно в любом промежутке О < а С а С b и
2) сходится неравномерно в промежутке 0 < a < b.
3755. Доказать, что интеграл Дирихле /=j” 2i2^dx о
1) сходится равномерно на каждом сегменте [а, 6], не содержащем значения a = 0, и 2) сходится неравномерно на каждом сегменте [а, Ь], содержащем значение a = 0.
25*
388 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3755 .1. Исследовать на равномерную сходимость интеграл
4-00 Г ах
J х*
1
в следующих промежутках: а) 1 < а0 < а < + оо;
б) 1 < а <_ + оо.
3755 .2. Исследовать на равномерную сходимость интеграл
г dx п ~ , \ — при 0<а< 1. J ха о
3755 .3. Показать, что интеграл J —— сходится о
неравномерно в интервале 1 <_ а < + оо.
Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующие интегралы: 4-00
3756. J e-uxsinxdx (0<ао С а< -f-oo).
3757. Т (а < а < Ь).
3758. f -C-°S"- dx ( —оо<а< + оо).
J 1 +
3759.
г dx
J (x — а)2+1 о
(О С а< -f-оо).
+<Х>
3760. ( _*«*«_ e~axdx (0«£а< + «>).
J х о
сс
3760.1. f lnP^-dx (0 < р С 10).
J хл^х +°°
3761. f e-“x-^^-dx (0<а<4-оо), J
где р>0 фиксировано.
§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
389
3763. f а) а<а<Ь; б) — оо<а<4-оо.
3764. j* sinxdy (— оо<х<4-оо).
+“ . s
3765. f -sinx—dx (p>0). J l+x" о
3765.1. Подобрать число b> 0 так, чтобы
——<е при 1,1 < л < 10, где е=10"в.
Д. гП
ь
о
(<7> —1).
хр-Чп’ — dx; а) р^ро?>О; б) р>0 X
3767.
x”
l — Xs
о
3768.
о
2
3769.
3770.
Г x“dx /. .__________1 \
I -------------11 <x | <— 1.
J ^(x— 1) (x — 2)a 2 '
0
f—sinax—dx (0<a<l).
J V|x —a| о
Интеграл называется равномерно сходящимся
3771.
при данном значении параметра, если он равномерно сходится в некоторой окрестности этого значения. Доказать, что интеграл
a dx
1 + a!xa
о
390 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
сходится равномерно при каждом значении 0 и не сходится равномерно при а = 0.
3772. Законен ли переход к пределу под знаком интеграла в выражении
+» lim J ae~axdx? a-*+0 0
3773. Функция f (x) интегрируема в промежутке (0, + oo). Доказать формулу
lim J e~axf(x)dx = J f(x)dx. a->+0 0 0
3773.1. Доказать, что если f (x) абсолютно интегрируема на [а, + оо ], то существует lim / (х).
Л->4-00
3774. Доказать, что +« lim f /(x)sin nxdx = 0, л-*оо 0
если функция f (х) абсолютно интегрируема в промежутке (0, + оо).
3775. Доказать, что если 1) f (х, у) f (х> Уо) в каж* дом конечном интервале (а, Ь); 2) (х, у) | < F (х), где
J F (х) dx < + оо, то а 4~0О -4-00
lim f f(x, y)dx= J lim / (x, y) dx. y-*ya a a y-*y,
3776. Вычислить интеграл
J e~*dx = J lim ^14--^-^ о 0
используя предельный переход под знаком интеграла.
3776.1. Пусть f (х) — непрерывна и ограничена на Ю, + оо). Доказать, что
lim— f -f5rvdx = /(0).
у-rt я J и
3776.2. Найти 00 lim Г ———. Л—ooJ Хп+ 1 О
$ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
391
3777. Доказать, что интеграл
есть непрерывная функция параметра а.
3777.1. Показать, что
i
Р : а I sin----
о
F (а) =
есть непрерывная функция в интервале 0<а< 1, 3778. Определить точки разрыва функции
£(о)_ f
О
Построить график функции у = F (а).
Исследовать на непрерывность в указанных проме-жутках следующие функции:
•^оо
3779. F(a)= С -xdx при a>2. J 2+ *“
О 4-00
3780. F(a)= С -c--s * dx при a>0. J *a i
Л
3781. F(a) = C------------dx при 0<a<2.
j (n — *)“ о
4-00
3782. F(a)= f e~* dx
при 0<a<l.
J |sinx|“
"K00
3783. F(a)= \ ae~xa'dx при —oo-Cac-}-00.
892 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла
1’. Дифференцирование по параметру. Если 1) функция I (х, у) непрерывна вместе со своей, производной /' (х, у) в области а х < + оо , yt < у < уг\
4-ос 4-оо
2) J L (х, у) dx сходится; 3) j f'y (х, у) dx сходится равномерно а а
в интервале (ylt уг), то
d V +Г°° '
--- f f(*. y)dx^ J ty{x, y)dx dy a a
при j/i < у < уг (правило Лейбница).
2°. Формула интегрирования по параметру. Если 1) функция / (х, у) непрерывна при х>а и +°°
1/1 у i/2; 2) J I (х, у) dx сходится равномерно в конечном а
сегменте lyt, у2], то
+°о +°° Уг
J dy J f(x, y)dx= J dxj f (x, y)dy. (1)
Vi a ay,
Если f (x, у) > 0, то формула (1) верна также и для бесконечного промежутка (у1г уг) в предположении, что внутренние интегралы равенства (1) непрерывны и одна из частей равенства (1) имеет смысл.
3784. Пользуясь формулой
J xn~‘dx = — (п> 0), О п
вычислить интеграл
1
/ = [ lnm х dx, где т — натуральное число, о
3785. Пользуясь формулой
4-00 dx
х24-а
о
(а>0),
вычислить интеграл
где п—натуральное число.
о
J 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
393
3786. Доказать, что интеграл Дирихле
+°°
... f sin ах , 1(a) — \ --------dx
J * о
имеет при а Ф 0 производную, однако ее нельзя найти с помощью правила Лейбница.
Указание. Положить ах = у.
3787. Показать, что функция
4-00
Л«) = j о
cos х
! + (*+<*)»
dx
непрерывна и дифференцируема в области — оо < a < + оо. 3788. Исходя из равенства e~ax-e-bx ь
j e~x«dy, X-------------а
вычислить интеграл 4-00
Г ё~ах — е~Ьх
\ -----------dx (a>0, Ь>0).
J X
о
3789. Доказать формулу Фруллани
f .Hax)-f{bx) dx = f(O)\n — (a>0, &>0), J х а
о
4-00 р f /х\ где f (х) — непрерывная функция и интеграл \ --- djt J х
А
имеет смысл при любом А > 0.
Применяя формулу Фруллани, вычислить интегралы:
3790. J cos ax -cos Ьх &>())
О
3791. J sin ax-sin<,jc.. dx (а>0, b>0). О
394 ОТДЕЛ VH. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3792. +J a£ctgax^arctgtx dx {а>^ b>Q}
о
С помощью дифференцирования по параметру вычислить следующие интегралы:
3793.
3794.
о
-ах> _ -р* -----------dx (а>0, Р>0).
х
е—ах \2
-----------) dx (а>0, р>0).
о
3795.
е~ах - е~^х
sinmxdx (а>0, Р>0).
о 4-00
3796.
cos mxdx (а>0, Р>0).
о
Вычислить интегралы:
3797. С 1п ~~.g!£L dx (| а К 1). J x2Vl —х’ О
3798. С 1п(1~~аг*г)-4х (|а| < 1). J V1 —
О
3799. Т
J X2 -^х2— 1
3800. Т ln<a2+^-dx.
J ₽2+х2 о
3802.
3801.
arctg «х arctg Рх х2
In (1 + «2х2) In (l + P^2)
dx.
о
5 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
355
3803. Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона +°°
/= f e~x'dx,
исходя из формулы 4-оо 4-оо
/а= f e~x*dx f xe-^dy.
о о
Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величины интегралов:
+«>
3804. f e-{ax‘+2bx+c} dx (а>0, ас—Ь2>0).
^-оо
4-00
3805. f (a1x2 + 2b1x + c1)e~(ax'+2ix+c)dx
—-ОО
(а>0, ас—Ь2>0).
+°°
3806. J e-0Jt’ch6xdx (а>0).
3807. J e-W^dx (а>0). о
3808.
е—е—Р*1
(а>0, 0>О).
+°°
3809. J e-ax’cos bx dx (а>0). о
+°°
3810. J хе~ах' sin bx dx (а>0). о
4-00
3811. J x2ne-*2cos 2bx dx (п — натуральное число!» и
3811.1. Доказать, что
lim aJx f e~axPdt= л/—
Х-*+оо —б Vo
3812. Исходя из интеграла
Z(a)= о
(а>0, б>0).
(a> 0),
396 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА вычислить интеграл Дирихле
D(P)= С J * о
3812.1. Какой примерно вид имеет график интегрального синуса
У = Si х, где
Six=f-£!lLdf. J t
Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величины интегралов:
4-00
Г е—вх’ — cos Вх
3813. \ -----------— dx (а>0).
J *® о
38U. J х 0 3815. Т J х 0 8817. j (-5inK--)2dx. и 3819. f -^-dx. J *2 0 4-00 8820 J sin< ax ~sin< P* 0 3821. f -sin (x>)- dx. (|а|¥=1Р1). 3816. J 21”! ?*.. dx. 0 3818. j” (-^-Jdx. 0 dx (ap^sO),
х
о
5 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
397
+°°
3822. ( е-^ -^n “5-s'n.Px._ (fe>0, а>0, ₽>0).
J хг
о
3823. Найти разрывный множитель Дирихле
4-00
D{x) — ~ f sinXcosXx-^-nJ л
о
для различных значений х. Построить график функции У = D (х).
3824. Вычислить интегралы:
ч Г sin ах • a) v. р. \ ——— dx-, J *+ ь
—оо
4-со С sin ах , б) v. р. \ -------------dx.
J x-f- b
—СО
3825. Пользуясь формулой 1 +г°° —!—== f е-у^Чу, 14- х2 oJ а
вычислить интеграл Лапласа
4-00
J 14-х1 о
4-00
3826. Вычислить интеграл Lx= \ -*siria*-dA J 1 + х2 о
Вычислить интегралы:
3827. ( -Sin-A_ dx. 3828. ( ах dx.
J 14-х2 J (14-х2)2
о о
+°°
3829. С -------------dx (а>0, ас—Ьа>0).
J ах2 4- 2Лх 4- с —ОО
3830. Пользуясь формулой
—— = —^=-+f° er*y'dy (х>0), V7 Vя о
398 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вычислить интегралы Френеля
-f-OO 4"ОО
\ sin(x2)dx = — \ -sinx- dx,
) 2 Vх
•f-o® 4- оо
\ cos(x2)dx = — \ cos_* dx.
о 2 о Vх
Найти величины интегралов: +«>
3831. J sin (ax2 + 2bx + c)dx (a=^0).
—do +°°
3832. J sinx2*cos2axdx. *-00
3833. j cos x2 • cos 2ax dx. —oo
3834. Доказать формулы:
1)7 _£2L^dx = -^-sinaa;
’ J a2 —x2 2a 0
2)T -v^r^=—7 cosaa, J a2 — x2 2
о
где a =/= 0 и интегралы понимаются в смысле главного значения Коши.
3835. Найти преобразование Лапласа
F(p) = +j°e-i>‘f(t)dt (р>0)
для функции f (/). если:
а) f(t) = tn (п—натуральное число);
б) f (O=VF;
г) =
в) f(O = e*';
д) f(t) = cosh
ж) / (/) = sin a yft.
i 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 399
3836. Доказать формулу (интеграл Липшица)
+г° 1
Г е—(И) dt = — 1........ (а>0),
J
о
1 г
где Jo(*)——J cos (х sin <p) dtp— функция Бесселя 71 О
0-го индекса (см. задачу 3726).
3837. Найти преобразование Вейериипрасса
F (х) = —+J° f (у) dy, "у Л *-оо
еслр:
a)f(y)=l; 6)fiy) = y\
в) f (у) = e2ap; г) f (у) —cos аУ-
3838. Многочлены Чебышева — Эрмита определяются формулами
Нп(х) = (-\у^-^-(е-^) (« = 0,1,2,...).
Доказать, что
+® (0, если т =f= п\
f Нт(х) Hn(x)e~xdx=\ Оя , г—
' ’ "' ’ ( 2пп1 'у/п, если т = п.
3839. Вычислить интеграл
<₽(*) 1
2naiat
£ . (*-£)* 1 о?
имеющий важное значение в теории вероятностей.
3840. Пусть функция f (х) непрерывна и абсолютно интегрируема на промежутке (— оо, + оо).
Доказать, что интеграл
и(х, t) =
(В-*)1 4a’/
dS
удовлетворяет уравнению теплопроводности ди 1 д*и dt ~
с? дх*
400 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
и начальному условию
lim и (х, t) — f (х).
1-4-0
§ 4. Эйлеровы интегралы
1°. Гамма-функция. При х > 0 имеем: 4-00
Г (х) = J
Основное свойство гамма-функции выражается формулой понижения
Г (х + 1) « хГ (х).
Если п — целое положительное число, то
г<">-(— W г(»+4-)—13 ,у,(г"~') v?.
2°. Формула дополнения. При 0 < х < 1 имеем:
Г (х) Г (1 — х) = —. sin лх
3°. Бета-функция. При х > 0 и у > 0 имеем:
1
В(х, У) =]' Iх"1 (I —
О
Справедлива формула
3841. Доказать, что гамма-функция Г (х) непрерывна и обладает непрерывными производными всех порядков в области х > 0.
3842. Доказать, что бета-функция В (х, у) непрерывна и обладает непрерывными производными всех порядков fe области х > 0, у > 0.
С помощью эйлеровых интегралов вычислить еле
дующие интегралы:
1 _______
3843. f д/х—х2 dx.
о -Loo
3845. \ —^—dx.
а ____________________
3844. \х* -\/аг—х2 dx (а>0).
О
(1 + *)2
о
§ 4. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
401
3846.
3847.
3848.
С dx
J 1 + х3' о
4-00
Г x*dx
J 1 + X* о
п/2
J sin*x-cos4x dx, о
(-....-х— (л>1).
о +“
3850. \ x2ne~x'dx(n—целое положительное),
3849.
Определить область Существования и выразить через эйлеровы интегралы следующие интегралы:
4-00
3851. f dx (п>0).
J i + x* о
3852. f ..~~dx.
J (1 + *)п О
4-оо
3853. С xmdx----- (а>0, Ь>0, п>0).
J (a+bxn)P v
О ъ
3854. f (x~a)mdx
J (x+c)m+n+» a
1
3855. C---—---- (m>0).
J 0 л/2 3856. J sinmxcos"xdx. 8858. f——dx
J (l + k cos x)n
(0<a<b, c>0).
3857, J tgn x dx.
(0<|ft|<l).
2б~2“з
о
402
ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
4-00
3859. f e-xndx (n>0). о
4-00 3860. f . 0 1 cme-*ndx.
38el. J ( 0 In “У
4-00 3862. f хРе~ах In xdx 0 3863. f --'---dx. J l + x 0 (a>0).
4-00 3864. J 0 ^^-dx. 1 + *
00 3864.1. J 0 -^-dx. 1 + x» 3864.2. CO г 0 In’ X J dx. 1 + x*
3865. J 0 (1 + x) In X
3866. j-0 ^TLdx 1 —X (0<P< :i).
Указание. Этот интеграл можно рассматривать как lim [В (р, е) — В (1 — р, е)). е-»4-0
+“ .
3867. С dx (0 < а < ₽).
J sh ₽х о
1
3868. j In Г (х) dx. 3869, J In Г (х) dx (а>0). О а
1
3870. рп Г (х) sin пх dx.
1
3871, f lnr(x)cos2nnxdx (п — натуральное число).
$ 4. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
403
Доказать равенства:
3872. С — -----С —.
J л/\—х* J д/1 — ** 4
о о
-{-оо 4-0®
3873. f e-^dx- ( хгег-х'йх = — о о 8 л/2
3874. J xm-Ie-*ndx—у_4‘(2л)п-г--
т=1 о
4-00
3875. lim f e-^dx = l.
Zl-рОО О
1 1 V
Используя равенство—— = - - J t^'e^dt (х>0),
найти интегралы:
4-00 f cosax .
3876. j -^Г-dx (0<m<l).
о ‘
3877. Г sin ах (0</П<2).
о
3878. Доказать формулы Эйлера:
а) ( /*-* е~ и cos ® cos (kt sin a) di = У cos ax;
0 k*
6) f t*_,e“Wc0S“sin(Xtsina)dt = Г sin ax о X*
(*>o. *>o, ~7<a<l“)-
3879. Найти длину дуги кривой
г" = ап cos л<р (а > 0, п — натуральное).
3880. Найти площадь, ограниченную кривой
l*ln + 1#1П = ап (n>0, а>0).
26*
404 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 5. Интегральная формула Фурье
1°. Представление функции интегралом Фурье. Если 1) функция j (х) задана на оси — оо <з < х < +<», 2) кусочно-непрерывна вместе со своей производной I' (х) в каждом конечном промежутке н 3) абсолютно интегрируема на интервале (—оо, 4-оо), то во всех своих точках непрерывности она допускает представление в форме интеграла Фурье-.
f (х) = J [а (X) cos Хх 4- Ь (X) s'n М (О
oJ
где
! +г° 1 +г°
а(Х)=— J fGJcosXgdgH 6(Х)=— J © sinX|d5.
Я —со Л "оо
В точках разрыва функции I (х) левая часть формулы (1) должна быть заменена на — {/ (х 4- 0) 4- / (х — 0)].
Для четной функции f, (х), с тем же замечанием относительно точек разрыва, формула (1.) дает:
+°°
f (х) = J а (X) cos Хх dX, (2)
о
где
2 +г“ в(Х)= — \ f(g)cosXgd£.
л о
Аналогично для нечетной функции ( (х) получаем:
+«>
[ (х) sa j b (X) sin Хх dX, (3)
oJ
где
2 +Г
J f©sinX£d£.
Л о
2°. Представление функции интегралом Фурье в интервале (0, 4- оо). Функция f, (х), заданная в интервале (0, 4-°°) и кусочно-непрерывная вместе со своей производной (х) на каждом конечном интервале (а, 6) с с (0, 4-оо), абсолютно интегрируемая на (0, 4-°°). по желанию может быть представлена в данном интервале или формулой (2) (четное продолжение), или формулой (3) (нечетное продолжение).
Представить интегралом Фурье следующие функции:
3881. f(x) = {
1, если |х|<1;
О, если |х|>1.
3882. / (х) =
sgnx, если |х|<1;
О, если |х|>1.
5 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ФУРЬЕ
405
3883. f(x) = sgn(x—а)—sgn(x—b) (Ь>а).
если |х| < а;
О, 1 аа+*а
3884. / (х) =
3885. / (х) =
если |х|>а.
(а>0).
3886. / (х) =(а>0). а’ + X2
( sinx, если |х| < л;
/(Х)= А
I 0, если | х | > л
3888. / (х) =
. , , л cosx, если х < —;
1 1 2
О, если |х|> —. 1 2
A sin at, если |/| < ш
3889. f(0=o
_ ।л2лл .
если Ш>----(п— нату-
ш
ральное число).
3890. f(x) = e-“l*l (а>0).
3891. f (х) == е~а 1 *1 cos рх (а >0).
3892. / (х) = е~а ।х 1 sin рх (а >0).
3893. f(x) — e~x'. 3894. f(x) = xe~^.
3895. Функцию f (х) = е~х (0 < х < + оо) представить интегралом Фурье, продолжая ее а) четным образом; б) нечетным образом.
Найти преобразование Фурье 1 +°° 1 п
F(x) =—f f(t)e-“xdt=—lim f f(t)e~axdt д/2л -=о V2л
для функции f (0, если:
3896. /(х) = е-“1ж' (а>0).
3897. /(х)==хс-“1*1 (а>0).
3898. f(x) = e~^2. 3899. f (х) = е~ *,/2 cos ах.
3900. Найти функции <р (х) и ф (х), если: +« ।
a) J <P(!/)cosxz/dz/ = -y-p-^-;
4-00
® f (у) sin xydy = e~x (х>0). О
ОТДЕЛ VIII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойные интегралы
1°. Непосредственное вычисление двойного интеграла. Двойным интегралом от непрерывной функции [ (х, у), распространенным на ограниченную замкнутую квадрируемую область О, называется число
f f I (х, у) dx dy = lim V V f (xir yf) bxt&y/,
J J maxi Дх(|-»0 X-j
° max | by' |->0 * I
где Ax, = X|+i — xi, Ay/ = y/+t — у/ и сумма распространяется на те значения i н /, для которых (х;, у/) £ ft.
Если область О задана неравенствами
а sc х Ь, У1 (х) у у3 (х),
где у> (х) и у2 (х) — непрерывные функции на сегменте [а, Ь], то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле
ь уа(х)
Ц((х, y)dxdy^^dx J f(x, у) dy. Й а у, (х)
2°. Замена переменных в двойном интеграле. Если непрерывно дифференцируемые функции
х = х (и, о), у = у (и, о) осуществляют одно-однозначное отображение ограниченной и замкнутой области О в плоскости Оху на область ft' в плоскости Ouv, и якобиан
J _ Р(х, у)
D(u, и) сохраняет постоянный знак в ft за исключением, быть может, множества меры нуль, то справедлива фо^йула
И f («. y)dxdy = И f («. v), у (и, о)) 111 du do. й й'
В частности, для случая перехода к полярным координатам г и ф по формулам х = г cos ф, у = .г sin ф имеем:
j J f (х, у) dx dy = J f f (r cos q>, r sin Ф) r dr d<y
Q Q'
5 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 407
3901. Вычислить интеграл JJ xydxdy,
рассматривая его как предел интегральной суммы, разбивая область интегрирования на квадраты прямыми
х = i/n, у = j/n (t, j = 1, 2.....п—1)
и выбирая значение подынтегральной функции в правых верхних вершинах этих квадратов.
3902. Составить нижнюю S и верхнюю S интегральные суммы для функции f (х, у) — хг + у2 в области 1 х < 2, 1 < у < 3, разбивая последнюю на прямоугольники прямыми
х = 1 Ч——, у = 1 +— (i, / = 0, 1, . . . , п). п п
Чему равны пределы этих сумм при п -> оо?
3903. Приближенно вычислить интеграл
С С dx dy
J J д/24тХ2 + </а
x’+s/'<25
аппроксимируя область интегрирования системой вписанных квадратов, вершины которых Ац находятся в целочисленных точках, и выбирая значения подынтегральной функции в вершинах этих квадратов, наиболее удаленных от начала координат. Сравнить полученный результат с точным значением интеграла. ____
3904. Приближенно вычислить интеграл f J -y/x-^-y dS, s
где S — треугольник, ограниченный прямыми х = 0, у — 0 и х + t/ = 1, разбив область S прямыми х = = const, у = const, х у — const на четыре равных треугольника и выбрав значение подынтегральной функции в центрах тяжестей этих треугольников.
3905. Область S {х2 + у2 < 1} разбита на конечное число квадрируемых частей AS, (i = 1, 2.....п) диа-
метра меньше чем 6. При каком значении 6 будет обеспечено выполнение неравенства
sin (х 4-у) dS — £ sin (х, + у{) AS,- j <0,001,
где (xh yt) £ AS,-?
408 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ и криволинейные интегралы
Вычислить интегралы:
11 I х
3906. f dx [ (х 4- у) dy. 3907. J dx | ху2 dy.
0 0 О х2
2л а
3909. Доказать равенство
А В
И Х(х)У (у) dxdy = f X(x)dx- f Y (y)dy, R a b
если — прямоугольник: a < x < A, b у В, и функции X (x) и У (у) непрерывны на соответствующих сегментах.
А В
3910. Вычислить I = j" dxf f (х, у) dy, если а b
f (х, у) = (х, у).
3911. Пусть f (х)— непрерывная функция в промежутке а < х < Ь. Доказать неравенство
г ь ь
J/(x)dx < (Ь—a)J72(x)dx,
La J а
где знак равенства имеет место лишь, если / (х) = const-
Указание. Рассмотреть интеграл ь ь $dx$[f (х) — f (у)]2 dy. а а
3912. Какой знак имеют интегралы:
а) Jf ln(x2 + z/2) dxdy, |xl+lsl<l
б) И V 1—х2 —z/2 dxdy; хг+^<4
в) J J arcsi п (х 4- у) dx dy? 0<х<1
— X
3913. Найти среднее значение функции f (х, у) = sin2x sin2z/ в квадрате: 0<х<л, 0<1/<л.
3914. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл
I _ f С ____________dxdy________
J J 100 4- cos2 х 4- cos2 У
lxl+|yl<10
§ 1. двойные интегралы
409
3915. Найти среднее значение квадрата расстояния точки круга (х—а)2 4- (у—b)2 < Ц2 от начала координат.
В задачах 3916—3922 в двойном интеграле J J f (х, у} dx dy расставить пределы интегрирования в Q том и другом порядке для указанных областей £2.
3916. £2 — треугольник с вершинами О (0, 0), А (1, 0), В (1. 1).
3917. £2—треугольник с вершинами 0(0, 0), А (2, 1), В (—2, 1).
3918. £2 —трапеция с вершинами О (0, 0), А (1, 0), В (1, 2), С (0, 1).
3919. £2 — круг х2 + у2 < 1.
3920. £2 — круг х2 + у2 < у.
3921. £2 — параболический сегмент, ограниченный кривыми у = х2 и у = 1.
3922. £2 — круговое кольцо 1 < х2 + у2 4.
3923. Доказать формулу Дирихле
fdxf/(jc, y)dx = ]dylf(x, y)dx (а>0). 0 0 0 у
Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
3924. \dx]Xf(x, y)dy. 3925. f dx f (x, y)dy. 0x —6 (xV4)—1
1 x1
3926. y)dy.
О X3
3927. j dx T_/(x, y)dy.
—1 —Vl-x3
2 y'2x—x2
3828. fdx j f(x, y)dy. 1 2—x
3929. ]° dx 2f f(x, y)dy (a>0).
0 V2ax—x*
3930. § dx J f(x, y)dy. 1 0
2л sin x
3931. f dx J f{x, y)dy. о 0
410 ОТДЕЛ VIH. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить следующие интегралы:
3932. у j xy2dx dy, если область £2 ограничена па-а
раболой у2 = 2рх и прямой х = р/2 (р > 0).
3933. " - (а > 0), если область £2 ограни-
чена кратчайшей дугой окружности с центром в точке (а, а) радиуса а, касающейся осей координат, и осями координат.
3934. J J | ху \dx dy, если £2— круг радиуса а о центром в начале координат.
3935. у у (х2 4- у2) dx dy, если £2 — параллелограмм о
со сторонами у = х, у = х 4- а, у — а и у — За (а > 0).
3936. у j' y2dx dy, если £2 ограничена осью абсцисс Й
и первой аркой циклоиды х = a (t — sin t), у = = а (1 — cos t) (0 < t < 2л).
В двойном интеграле
УУ/(*. y)dxdy
Q
перейти к полярным координатам г и <р, полагая х = = г cos q> и у = г sin ф, и расставить пределы интегрирования, если:
3937. £2 — круг х2 + у2 < а2.
3938. £2 — круг х2 4- у2 < ах (а > 0).
3939. £2 — кольцо а2 < х2 4- у2 < Ь2.
3940. £2 — треугольник 0 «5 х < 1; 0 < у < 1—х.
3941. £2 — параболический сегмент — а < х < а; х21а < у < а.
3942. В каком случае после перехода к полярным координатам пределы интегрирования будут постоянные?
Перейти к полярным координатам г и ф, полагая х = г cos ф и у = г sin ф, и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в следующих интегралах:
1 । 1 Vb7?
3943. У<М/(х, y)dy, 3944. У dx У f (х, y)dy.
0 0 О 1—X
$ 1. двойные ИНТЕГРАЛЫ 411
2 Jt 7з" ______
3945. $dx f / +
О X
1 ха
3946. f dx f f (x, y) dy. о о
3947. j J f (x, y) dx dy, где область £2 ограничена с
кривой (x2 4- у2)2 — а2 (х2—у2) (х > 0).
Предполагая, что г и <р — полярные координаты, изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
л/2 a cos <₽
3948. j dtp J / (<р, г) dr (а>0).
—Я/2 о
л/2 a -Vsin 2Ф
3949. j dm J / (ф, r) dr (a>0). о о
0 (p
3950. J dtp | f (<p, r)dr (0<a<2n).
Перейдя к полярным координатам, заменить двойные интегралы однократными:
3951. И f(^/^+^)dxdy.
х’+у’<1
3952. JJf(V^+?’)dxd^ Q = (|z/|<|x|; |х |<1}.
Я
—^dxdy.
Переходя к полярным координатам, вычислить следующие двойные интегралы:
3954. ff *Jx2 + tf dxdy.
*г+Уг<Аг
3955. Jf sin д/х2-J-z/2 dxdy.
л*^ха+л’<4л1
3956. Квадрат S {a < x < a + h, b < у <Z b + h} (a >0, b > 0) с помощью системы функций
и = у2/х, v = <\/ху преобразуется в область S'. Найти отношение площади области S’ к площади S. Чему равен предел этого отношения при А -> О?
ssss. ff /
412 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вместо х и у ввести новые переменные и и v и определить пределы интегрирования в следующих двойных интегралах:
ь рх
3957. J dx j" f (х, у) dy (0 < а < Ь; 0 < а < Р), а ах
если U = X, и ~ ylx,
2 2—хУ
3958. f dx J f (x, у) dy, если и — x + у, v = x—у. 0 I— X
3959. J J f (x, y) dx dy, где область Q ограничена а _
кривыми д/х + -\jy = 'y/a, x = 0, у = 0 (а > 0), если х — и cos*v, у — и sin*u.
3960. Показать, что замена переменных X + у = у =
переводит треугольник 0 < х < 1, 0 < у С 1 —х в единичный квадрат 0 < £ < 1, 0 < т) < 1.
3961. При какой замене переменных криволинейный четырехугольник, ограниченный кривыми ху = 1, ку — 2, х—-у + 1=0, х—у— 1 =0 (х > 0, у > 0), перейдет в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат?
Произведя соответствующие замены переменных, свести двойные интегралы к однократным:
3962. ff f(x + y)dxdy.
3963. j j' / (ax + by + c) dx dy (a2 + Ьг 0).
Jt’+ ‘ЧП
3964. J J f (xy) dx dy, где область Q ограничена
Q
кривыми ху = 1, ху = 2, у = х, у = 4х (х > 0, у > 0).
Вычислить следующие двойные интегралы:
3965. [ J (х + у) dx dy, где область Q ограничена
в
кривой х2 + у2 = х + у, 3966. [J (|х| + |^|) dx dy.
3967. 1---------dxdy, где область Q
Q х» 1
ограничена эллипсом — ц.-^- = 1.
§ 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
413
3968. f J (х2 + у2) dx dy.
3969. j J (x 4- y) dx dy, где область Q ограничена
Q
кривыми у2 — 2x, x + у — 4, x + у = 12.
3970. J J xy dx dy, где область Q ограничена кри*
выми ху = 1, х 4- у = 5/2.
3971. ff | cos (x4-у) | dxdy.
3972.
3973.
x 4- у « a
——------Xs—у2
ff Vl//—x2l dxdy.
dxdy.
Вычислить интегралы от разрывных функций: 3974.
3975.
3977.
f j sgn (х2—у2 4- 2) dx dy.
И [x + y]dxdy. 3976. ff V(y—х’] dxdy.
0<х<2 х’<у<4
0<!/<2
Доказать, что f f х™у” dxdy =0, если
тип — целые положительные числа и по меньшей мере одно из них нечетно.
3978. Найти
lim—Ь- ff f(x, у)dxdy, р-»О яр
где f (х, у) — непрерывная функция.
3979. Найти F' (/), если
F(f) = N*ety,dxdy.
о<х<1
3980. Найти F' (t), если
F(0= ff <х’4-/ dxdy.
(x—Г)’+(У—O*<1
3981. Найти F* (t), если
f(1)= J C f(x, y)dxdy (/>0).
414 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3982. Доказать, что если f (х, у) непрерывна, то функция
1 -J K+v.—t и(х, y) = -±-$dl f fd, n)dn
2 о S-х+у
удовлетворяет уравнению
d2u д2и ( .
-------TT=f<x> $ дх2 ду2
3983. Пусть линии уровня функции f (х, у) — простые замкнутые кривые и область S (и1( и,) ограничена кривыми f (х, у) = с»1 и f (х, у) — v2.
Доказать, что
и f(x, у) dxdy = ] vF' (v) dv,
S (»,. l’2) v,
где F (n) — площадь, ограниченная кривыми f (x, y)=vt и f (x, y) = v.
Указание. Область интегрирования разбить на части, ограниченные бесконечно близкими линиями уровня функции t (X. у).
§ 2. Вычисление площадей
Площадь области S, расположенной в плоскости Оху, дается формулой
S = j f dx dy.
s
Найти площади, ограниченные следующими кривыми:
3984. ху = о2, х 4- у а (а > 0)-
3985. у2 = 2рх + р2, у2 = ~2qx + у2 (р > 0, 9>0).
3986. (х—у)2 + х2 = а2 (а > 0).
Переходя к полярным координатам, вычислить площади, ограниченные следующими кривыми:
3987. (х2 + у2)2 = 2а2 (х2—у2)-, х2 + у2 > а2.
3988. (х3 + £3)2 = х2 + у\ х > 0, у > 0.
3989. (х2 + у2)2 = а (х2—Зху2) (а > 0).
3990. (х2 4- у2)2 = 8а2ху; (х — а)2 4- (у—а)2 < а2 (а>0).
I 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
415
Вводя обобщенные полярные координаты г и <р по формулам
х = ar cos“ <р, у — br sin“ ф (г > 0), где а, Ь и а — надлежащим образом подобранные по« стоянные и -D-' — a abr cos'*-1 ф sin0-1 ф, найти
D(r, <р) v
площади, ограниченные следующими кривыми (параметры считаются положительными):
3991. x’ аг +— b2 : + У k
3992. Xя + ra .JL. x==o, y = 0.
а’ Л» k2 3
3993. | (f f=— / h2 + -g- (x>0, p>0).
3994. | (f X2 / Л» —(x>0, p>0).
3994.1 (i +f у x2y2 •
1; х = 0, y=Q.
399S./X+^T_
Производя надлежащую замену переменных, найти площади фигур, ограниченных кривыми:
3996. х + у = а, х + у = Ь, у — ах, у = ₽Х (0 < а < Ь; 0 < а < Р).
3997. ху = а2, ху = 2а2, у — х, у = 2х (х > 0;
У>0).
3998. у2 = 2рх, у2 = 2qx, х2 = 2ry, х2 = 2sy (0 < р < 0 < г < s).
3998.1. х2 = ау, х2 = by, х2 — су2, х2 = dy*
(0 < а < Z>; 0 < с < d).
3998.2. у = ахр, у — Ьхр, у = ex’, у = dx<t
(0<Z р <. q; 0 < а < Ь; 0 < с < d).
3999.
=2,
4-L^JL (а>0, 6>0). a b a b
3999.!. (f)W+(ir='. (ir+(fr=4’
8-J--X (x>0, y>0). a b a b
416 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4000. ——4-—-—=1, где X принимает следующие X ~ X — с2
значения: — с2, — с2, — с2, — с2 (х >• 0, у > 0). зззз J
4001. Найти площадь, ограниченную эллипсом {агх + bjj/ + Ci)2 + (агх + b^y + с2)2 = 1, где б = агЬг — =£ 0.
4002. Найти площадь, ограниченную эллипсами,
+ = с* и гиперболами
“--------= С2 (Р == Рр Р2) (0 < Uj < u2j
cos’ti sin2 о
о < 01 < о2; х > О, у > 0).
Указание. Положить х = с ch и cos о, у — с sh и sin о.
4003. Найти площадь сечения поверхности х2 + у2 + г2 — ху — хг — уг — а2-плоскостью х 4- у + г = 0.
4004. Найти площадь сечения поверхности _L + _L + _L = o
х у г плоскостью г = 1—2 (х + у).
§ 3. Вычисление объемов
Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью г= £(х, у) 0, снизу плоскостью г = 0 н с боков
прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из пло< скости Оху квадрируемую область О (рис. 14), равен
V = Jf f (х, y)dxdy. а
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ
41?
4005. Нарисовать тело, объем которого равен интегралу
V=fdx f (x2 + y2)dt/. о о
4006. Изобразить объемы, выражаемые следующими двойными интегралами:
a) ff (*+y)dxdy, х>0, ^>0
«•М+Я’/Э^!
В) и (x2 + y2)dxdy,
Г) ff л/х2 + У2 dxdy,
**+^2С*
Д) П л/ху dxdy, jc<«<2jc
е) f f sin л д/х24-г/2 dx dy.
Х^+У'^
Найти объемы тел, ограниченных следующими по« верхностями:
4007. г = 1 + х + у, г = 0, х + у = 1, х = 0, у — 0.
4008. х + у + 2 = а, х2 + у2 = R*, х = 0, у = 0, 2 = 0 (а > /?V 2).
4009. 2 = х2 + у2, у — х2, у = 1, 2 = 0.
4010. 2 = cos х cos у, 2 = 0, | х + у \ < л/2, |х — у \ < л/2.
4011. г = sin-^- , 2 = 0, у = х, у = 0, х = п.
2х
4012. 2 = ху, х + у + z = 1, 2 = 0.
Переходя к полярным координатам, найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями!
4013. г2 = ху, х2 + у2 = а2.
27—2383
418 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4014. z = х + у, (х2 + у2)2 — 2ху, z = 0 (х > 0, У> о).
4015. 2 = х2 + у2, х2 + у2 = х, х2 + у2 = 2х, г =0.
4016. х2 4- у2 + г2 = а2, х2 4- у2>а |х| (а> 0).
4017. х2 + у2—az — 0, (х2 4- у2)2 = а2 (х?—у2), z = 0 (а > 0).
4018. z = е~{х'+у'\ z = 0, х2 4- у2 = R2.
4019. 2 — с cos я , 2 = 0, у = х tg а,
I/ = х tg 0 (а > О, с > О, 0 «£ а< 0 «S 2л).
4020. z = х2 4- у2, г = х 4- у.
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями (параметры предполагаются положительными):
4021.
^- = _± (2>0).
Ь» с» V 1
4022. +
а2 62
с2 а» й2
а2 Ь2 с а2 62 а Ь
4024-(4+4Y+- = >•’=<>
'а2 Ь2 J с
4025. (—4-—Y4- —=1. х = 0, z/ = 0, 2 = 0.
к а b ) с2 J
4026. —4-—4--^- = 1, p^+J'LY^JEL-jL, а2 b2 с* К а» Ь2 ) а2 Ь2
4027. z2 = ху, х 4- У — а, х + у = b (0 < а < Ь).
4028. z = х2 4- у2, ху = а2, ху — 2а2, у =-^-, у = 2х, 2 = 0.
4029. 2 = ху, х2 — у, х2 = 2у, у2 — х, у2 — 2х, 2 = 0.
4030. 2 = с sin 4, 2 = 0, ху—а2, у = ах, у — рх (О < а < 0; х > 0).
4031. г = х3^ 4- у^2, z = 0, х+у = 1, х = 0, у =0.
4032. 44--g-4-r=1’ (—Г+(тГ=1>
аа г с \ a J \Ъ )
2 = 0.
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ 419
4033. z = с arctg —, г = 0, ^/х2+^2 = а агс^б — X X
4033.1. z = ye-*yia', ху=а2, ху— 2а2, у = т, у = п, г — 0 (0 < /и < п).
4034. + х = о, г/=0, z=0(n>0).
ап b" с" v
4035. (7 + -г)П+('7’)т = 1, х = 0, у = 0, 2=0 (п>0, т>0).
§ 4. Вычисление площадей поверхностей
Г. Случай явного задания поверхности. Площадь гладкой криволинейной поверхности z = z (х, у) выражается интегралом
о
где О — проекция данной поверхности на плоскость Оху.
2°. Случай параметрического задания поверхности. Если уравнение поверхности задано параметрически:
х = х (и, о), у = у (и, о), г— г (и, о), где (и, о) £ Q, Q — ограниченная замкнутая квадрируемая область и функции х, у и г непрерывно дифференцируемы в области £2, то для площади поверхности имеем формулу
S = J J VEG - du dv, о
где
F — д* [ ду ^у । дг дг ди dv ди dv ди dv
4036. Найти площадь части поверхности аг = ху, заключенной внутри цилиндра х2 + у2 — а2.
4037. Найти площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями х2 + z2 = а2, у2 + г2 — а2.
4038. Найти площадь части сферы х2 + уг + г2 =а2, заключенной внутри цилиндра ——=1 (Ь а).
27
420 ОТДЕЛ VHt КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4039. Найти площадь части поверхности г2 = 2ху, отсекаемой плоскостями х 4- «/ = 1, х = 0, у — 0.
4040. Найти площадь части поверхности х2 + у2 + 4- г2 = а2, расположенной вне цилиндров х2 4- у2 = = ± ах (задача Вивиани).
4011. Найти площадь части поверхности г = = V + Уг> заключенной внутри цилиндра х2 4- у2 — ~ 2х.
4042. Найти площадь части поверхности г = = л] х2—у2, заключенной внутри цилиндра (х2 + у2}2— = а2 (х2—у2).
4043. Найти площадь части поверхности г — « -у- (х2—у2), вырезанной плоскостями х—у — ± 1, X 4- у = ± 1.
4044. Найти площадь части поверхности х2 + у2 = — 2аг, заключенной внутри цилиндра (х2 4- у2)2 — = 2а2ху.
4045. Найти площадь части поверхности х2 4- у2 = == а2, вырезанной плоскостями х 4- г = 0, х—г «= 0 (х > 0, у > 0).
4045.1. Найти площадь части поверхности
(х2 4- у2)312 4- z = 1, отсекаемой плоскостью г — 0.
4045.2. Найти площадь части поверхности
вырезанной плоскостями х = 0, у = 0 и г = 0. 4045.3. Найти площадь части поверхности
—------У— == 2z,
а Ь
вырезанной поверхностью
4045.4. Найти площадь части поверхности sin г = sh x-sh у, отсекаемой плоскостями х = 1 и х = 2 (у > 0).
4046. Найти поверхность и объем тела, ограниченного поверхностями х2 4- у2 = — Л x4-j/4-z=2a (a > 0}.
$ 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 421
4047. Найти площадь части сферы, ограниченной двумя параллелями и двумя меридианами.
4048. Найти площадь части геликоида х = г cos ф, у = г sin ф, г = Аф, где 0 < г < а, 0 < ф < 2л.
4049. Найти площадь части поверхности тора к = (b + a cos ф) cos ф, у = (b + a cos ф), sin ф, г — = a sin ф (0 < а «5 Ь), ограниченной двумя меридианами Ф = Ф1, ф = фа и двумя параллелями ф = фр ф = ф2.
Чему равна поверхность всего тора?
4050. Найти телесный угол ш, под которым виден из начала координат прямоугольник х — а > 0, О *5 у b, Osgzsgc.
Вывести приближенную формулу для ы, если а велико.
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике
1°. Ц е я т р тяжести. Если хв и у0 — координаты центра тяжести пластинки й, лежащей в плоскости Оху, и р = = р (х, у) — плотность пластинки, то
*о=-^- ^pxdxdy, = Pydxdy, (1)
Q £2
где М = J Jp dx dy — масса пластинки, с
Если пластинка однородна, то в формулах (1) следует положить р = 1.
2°. Моменты инерции. 1Х и 1и — моменты инерции пластинки £2, лежащей в плоскости Оху, относительно координатных осей Ох и Оу — выражаются соответственно формулами
1* = f J РУ2 dx dy, ly = f J рхг dx dy, (2)
где p = p (x, y) — плотность пластинки.
Рассматривается также центробежный момент инерции
(3) Q
Полагая р = 1 в формулах (2) и (3), получим геометрические моменты инерции плоской фигуры.
4051. Найти массу квадратной пластинки со стороной а, если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и равна р0 в центре квадрата.
422 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных следующими кривыми:
4052. ау — х2, х + у — 2а (а > 0).
4053. х + у = а, х = 0, у = 0.
4054. х2'3 4- а2/3 (х > 0, у > 0).
4055. (петля).
\ а b ) с2
4050. (х2 + у2)2 = 2а2ху (х > 0, у > 0).
4057. г = а (1 4- cos <р), <р = 0.
4058. х = a (t — sin t), у — а (1 — cos t) (0< /<2л), У = °-
4059. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки х2 4- у2 «S а2, если плотность ее в точке М {х, у) пропорциональна расстоянию точки М от точки А (а, 0).
4060. Определить кривую, описываемую центром тяжести переменной площади, ограниченной кривыми:
у = V 2рх, у = 0, х = X.
Найти моменты инерции 1Х и 1У относительно осей координат Ох и Оу площадей (р = 1), ограниченных следующими кривыми:
4061. 4-4-4- = !, -^-4-^- = L у = 0 (&х>0,
п fl
Ьг>0, Л>0).
4062. (х—а)2 4- (у—а)2 — а2, х = 0, у = 0 (0<х<а).
4063. г = а (1 4- cos <р).
4064. х4 4- i/4 = а2 (х2 4- у2).
4065. ху = а2, ху = 2а2, х — 2у, 2х — у (х > 0, У>0).
4066. Найти полярный момент
/0 = y(x24-y2)dxdji
площади S, ограниченной кривой
(х2 4- у2)2 = а2 (х2—у2).
4066.1. Найти центробежный момент инерции 1ху однородной фигуры, ограниченной кривыми
ау ~ х2, ах = у2 (а > 0).
4067. Доказать формулу Ц = 4- Sd2, где 1Ь
/г — моменты инерции фигуры S относительно двух
$ 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
423
параллельных осей I и /0, из которых /0 проходит через центр тяжести фигуры и d-— расстояние между этими осями.
4068. Доказать, что момент инерции плоской области S относительно прямой, проходящей через ее центр тяжести О (0, б) и составляющей угол а с осью Ох. равен
I — Ix cos2a — 21 ху sin a cos a + ly sin^a, где Ix и I у — моменты инерции области S относительно осей Ох и Оу и 1ху — центробежный момент:
4069. Найти момент инерции правильного треугольника со стороной а относительно прямой, проходящей через центр тяжести треугольника и составляющей угол а с его высотой.
4070. Определить силу давления воды на боковую стенку х > 0 цилиндрического сосуда х2 + у2 = а2, г — 0, если уровень воды г = h.
4071. Шар радиуса а погружен в жидкость постоянной плотности S на глубину h (считая от центра шара), где h > а. Найти силу давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шаровой поверхности.
4072. Прямой круговой цилиндр, радиус основания которого равен а, а высота Ь, целиком погружен в жидкость плотности 6 так, что центр его находится на глубине h под поверхностью воды, а ось цилиндра составляет угол а с вертикалью. Определить силу давления жидкости на нижнее и верхнее основания цилиндра.
4073. Определить силу притяжения однородным цилиндром х2 + у2 < а2, 0 < z < h, материальной точки Р (0, 0, &), если масса цилиндра равна М, а масса точки равна т.
4074. Распределение давления тела на площадку смятия
дается формулой р = р0 (1 —
ь2 )
Определить среднее давление тела на эту площадку.
4075. Луг, имеющий форму прямоугольника со сторонами а и Ь, равномерно покрыт скошенной травой
424 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
с плотностью, равной р кгс/ма. Какую минимальную работу надо затратить, чтобы собрать все сено в центре луга, если работа по транспортировке груза Р кгс на расстояние г равна kPr (0 < Л < 1).
§ 6. Тройные интегралы
1°. Непосредственное вычисление тройного интеграла. Если функция / (х, у, г) непрерывна и область V ограничена и определяется следующими неравенствами:
Pi(x)=sS У^Уг(х), г, (х, у) г ^гг (х, у),
где У! (х), уг (х), ?t (х, у), гг (xt, у) — непрерывные функции, то тройной интеграл от функции £(х, у, г), распространенный на область V, может быть вычислен по формуле
х, 0»(х> U. 0)
ff $f(x, у, z)dxdydz — J dx J dy J f(x,y,z)dz.
V x, II, (x) г, (x, tf)
Иногда удобно также применять формулу
f(x, у, z)dxdydz = f dx J J f(x, y, z)dydz, где S (x) — сечение области V плоскостью x = const.
2°. Замена переменных в тройном интеграле. Если ограниченная кубируемая замкнутая область V пространства Охуг взаимно однозначно отображается на область V’ пространства O'uvw с помощью непрерывно дифференцируемых функций
х = х (и, о, ш), у — у (и, v, щ), г = z (и, v, »),
£) (х, yt z)
причем якобиан 1 = ——---------- при (и, и, w) С V, почти
D (и v, w)
всюду (в смысле меры) сохраняет постоянный знак, то справедлива формула
f f f f (x, у, г) dx dy dz =
V
= °' w^y(u< p> №)« *(“• v> w)) j/ldudvdto.
Как частные случаи, имеем: 1) цилиндрическую систему координат <р, г, h, где
х = г cos ф, у = г sin ф, z = Л, н
£>(х, у, z) f D (г, ф, Л)
5 6. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
421
и 2) сферическую систему координат <р, -ф, г, где
х — г cos ф cos Ч5» У — г sin <Р cos ip, г = г sin ip,
я
D(x, y, z) , --i-!-".!—— = Г2 COS W.
D(r, <p, ip)
Вычислить следующие тройные интегралы:
4076. xy*z3dx dy dz, где область V ограничена поверхностями z = ху, у — х,-х — 1, z = 0.
4077. ( С С dxd9dz- Где область V ограничена
J J J (14-x+» + z)’ И
V
поверхностями х + у + z = 1, х = 0, у — 0, z = 0.
4078. JJJ xyzdxdydz, где область V ограничена поверхностями хг + у2 + z2 = 1, х = 0, у = 0, г = 0.
4079. J j* J + -^- + dx dy dz, где область V и v °
ограничена поверхностью
-^ + ^ + -^^1.
а» Ь2 с*
4080. fJJд/х2-!-!/2 dxdydz, где область V огр^
Jv J
ничена поверхностями
х2 4- уг = г2, z =* 1.
Различными способами расставить пределы интеграции в следующих тройных интегралах:
1 I—х х+у
4081. f dx f dy J f (x, y, z)dz.
обо
4082. Jdx f dy y, z)dz.
—1 —Vl— *' 'Jx'+y' I I х’+И
4083. fdxfdyj f(x, у, z)dz.
обо
Заменить тройные интегралы однократными:
4084. Jdl |dn jf(£)C 4085. j dxj dy^f (z)dz.
428 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4086. Найти
ЛВС
\dx$dy\f(x, у, г) dz, а Ь с
если f (х, у, г) =? Р'^г (х, у, г) и а, Ь, с, А, В, С — постоянные.
Переходя к сферическим координатам, вычислить интегралы:
4087. + у3 + г2 dxdydz, где область V
ограничена поверхностью х2 + у3 + z3 = г.
1 х3 V2—X"—и
4088. fdx ( dx f z3dz.
V 0 Vx'+»!
4089. Перейти к сферическим координатам в интеграле
Ц f / (Vх2+У3 + г3 )dx dy dz,
где область V ограничена поверхностями г = х3 + у3, х — у, х — 1, у = 0, 2 = 0.
4090. Произведя соответствующую замену переменных, вычислить тройной интеграл
V
tz х3 , у3 , г3 .
где V — внутренность эллипсоида — 4--2т-1—- = 1.
а3 Ь3 с3
4091. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл
f^(x3 + y3)dxdydz,
где область V ограничена поверхностями х2 4- у3 = 2г, 2 = 2.
4092. Вычислить интеграл x3dxdydz, где область V ограничена поверхностями г — ау3, г — by3, у>0 (0 < а < 6), г = ах, г = рх (0 < а < Р), г = = h (Л > 0).
4093. Найти интеграл xyzdx dy dz, где область V расположена в октанте х>0, у>0, г>0
S в. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
427
и ограничена поверхностями:
z = г— хг+£, ху — а2, ху = Ь2, у = ах, y = fix
т п
(О < а < Ь; 0 < а < 0; 0 < т < л).
4094. Найти среднее значение функции f (х, у, z) = х2 + у2 + г2 в области х2 4- у2 + г2 < х + у + г.
4095. Найти среднее значение функции f(x, у, Z) = eV а* + +
уЗ и2 Л
в области---h —4-----< 1.
а2 Ь2 с2
4096. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл
„= fff ---------
V(« - +о - »>+» -
где а2 4* Ь2 + с2 > R2.
4097. Доказать, что если функция f (х, у, г) непрерывна в области V и
ffff(x, У, z)dxdydz = 0 (i>
для любой области © сг V, то / (х, у, г) =□ 0 при (X, у. Z) £ V.
4098. Найти F' (/), если:
a) F(/) = fff W+lf + z^dxdydz, где f — дифференцируемая функция;
б) F (0 = fff / (xyz) dxdy dz, 0<x«
где f — дифференцируемая функция.
4099. Найти
fff xT^dxdydz, хЧ-^+2«<1
где т, п и р — целые неотрицательные числа.
4100. Вычислить интеграл Дирихле i^xpt/'/ (\—x—y—z'fdxdydz (р > 0, q > 0, г > 0, s > 0),
428 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где область V ограничена плоскостями х 4- у 4- z в 1» к = 0, у = 0, z = О, полагая
x + f/ + z = g, i/ + z = £i], z = gr|S.
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
Объем области V выражается формулой
V =f£$dxdyd2.
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
4101. z = х2 4- у2, г — 2х2 4- 2у2, у = х, у — х2.
4102. г = х 4- у, г = ху, х 4* у = 1, х = 0, у = 0.
4103. х2 4- г2 = а2, х 4- у — ± а, х—у = ± а.
4104. az = х2 4- у2, г = д/х2 + у2 (а> 0).
4105. аг — а2—х2—у2, г = а—х—у, х — 0, у — 0, 2 = 0 (а > 0).
4106. г = 6—х2—у2, г = д/х2 4* у2.
Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам, вычислить объемы, ограниченные поверхностями:
4107. х2 4- у2 4* z2 = 2аг, х2 4* у2 < г2.
4108. (х2 4- у2 4- z2)2 = а2 (х2 4- у2 — г2).
4109. (х2 4- у2 4- г2)3 = Зхуг.
4110. х2 4- у2 4- г2 = а2, х2 4- у2 4- z2 = b2, х2 4- у2 = г2 (г > 0) (0 < а < &).
В следующих примерах удобно пользоваться обобщенными сферическими координатами
г, ф и ф (г > 0; 0 ф 2л;-------^ф ,
вводя их по формулам
х = ar cos'* ф cosp ф, у — Ьг s in0* ф cos^ ф, а«=сгз1п^ф
(а, Ь, с, а, ₽ —постоянные),
Р ^х’. У* в ccflafrcr2coscc 'фзт** 'фсоз2^ ’фвш^ 'ф.
D ('. ф. Ф)
$ 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ
429
аг ' b2 '
х2 , у2___г2
“ а2 + 62 с2
21-_1-Х = -£. а2 Ьг с
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями; 4111. (4+4+-|-)2== 4И2. f21 + ^ + ZV = к а2 62 с2 J
4112.1. (— + -^- + —¥ к а2 fc2 c-J
^2 м2 ^2 4113. —4-Х- + —= 1, а2 62 с2
4114. — + -^- + — = 1. а2 Ьг с*
= 1.
Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями (параметры предполагаются положительными):
4116. Г—+ — + —¥ = —+ —(х>0, и>0, z>0).
\ а b с ) h k
4116.1. f—+ -^- + —¥ = ——(х>0, у>0, г>0). к а b с) h k
4117. f—+ — + -¥ = —(х> 0, f/>0, z>0). к а Ь с) abc
4118. (-у +-у'У + (“J = 1 <х>0’ У>0’ Z>0)-
4118.1. +д//_£ = ] (х>0, у>0,
> °). Ь_ С_
4‘|в.2. + С>0. ,>0.
г > 0).
4119. г = х* + у\ г = 2 (х2 + у2), ху = а2, ху = — 2а2, х = 2у, 2х = у (х > Q, у > 0).
4120. х2 4- z2 = а2, х2 + г2 = b2, х2—у2—г2 — 0 (х > 0).
4121. (x2 + «/2 + z2)3 = 44t-х2+у2 г»/<*
4122. (———‘6 *7o’+H/i>’+27«a'.
к а2 Ьа с2 7 Л
430 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2L_|_ JL
4123. ------------= —arcsin 4-^-4- — Y
я \а b с)
а Ь ‘ с
— 4- —= 1. x — Q, х = а. а b
JL = _L
4124. 2L + X + J. = in_5-b-
a b c 2L_|__L a b
Л + A + l +
be a b c
X = 0, 2 = 0,
4125. В каком отношении делит объем шара х? 4- у2 + z2 < 4аг поверхность х2 + у2 + аг = 4а2?
4126. Найти объем и поверхность тела, ограничен-ного поверхностями х2 4- у2 — аг, г — 2а — ^х2- 4- у2 (а>0).
4127. Найти объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями
а,х 4" Ь;,у 4* eft = i hi (i = 1, 2, 3),
если
\ =
«1 bi Ci ai Ьг сг
Oj bi
#=0.
4128. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(ахх 4- 4- схг)2 4- (atx + + с2г)2 4-
если
4129. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
4130. Найти объем тела, расположенного в положительном октанте пространства Охуг (х > 0, г/ > 0, z > 0)
$ 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
431
ат Ьп
и ограниченного поверхностями:
= 1 (m>o, n>0, p>0), cp
x = 0, y = 0t 2 = 0.
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
1°. М а с с а тела. Если тело занимает объем V я р ~ Р (*> У> г) — плотность его в точке (х, у, г), то масса тела равна
М = J Р dxdydz.
О)
3°. Центр тяжести тела. Координаты центра тяжести (х0, yt, г0) тела вычисляются по формулам
y*~~^^Wdxdvdz'
(2)
М U
Если тело однородно, то в формулах (1) я (2) можно поло* жить р = 1.
3°. Моменты инерции. Моментами инерции тела относительно координатных плоскостей называются соответственно интегралы
1ху = Ц f P^dx №. 1уг = Ц f Р*2^ dy dz,
pj/2dx dy dz.
Моментом инерции тела относительно некоторой оси t называется интеграл
где г — расстояние переменной точки тела (х, у, г) от оси /. В частности для координатных осей Ох, Оу и О г соответственно имеем;
lx e Ixy + Ixzi ty m lyx + lyet lg e Igx 4“ ley* Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл
/° = J f f Р (**+ F*+ г*) dxdydz.
Очевидно, имеем; /0 = 1хи 4- 1уг + Igx.
432 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ и криволинейные интегралы
4°. Потенциал поля тяготения. Ньютона* вым потенциалом тела в точке Р (х, у, г) называется интеграл и (х, у, г) = J J J Р (£, Т), С) , v
где И — объем тела, р = р (5. т]> £) — плотность тела, и г = Vg-xp-HD-^+K-z)».
Материальная точка массы т притягивается телом с силой F= (X, Y, Z), проекции которой X, Y, Z на оси координат Ох, Оу, Ог равны:
v
X = km ди дх =‘”Шр у — X г3 dt Л)
Y = km ди бу -*"ИР 21 — у г» d^d^,
Z = km ди дг -ИР — Z г3 d^drid^,
где k — постоянная закона тяготения.
4131. Найти массу тела, занимающего единичный объем 0 < х < I, 0 < у < 1, 0 < г < 1, если плот-кость тела в точке М (х, у, г) дается формулой р = = X + у + z.
4132.- Найти массу тела, заполняющего бесконечную область х2 + у2 + z2 > 1, если плотность тела меняется по закону р — p0e-ftVx,,+»5+z’i где р0 > О и k >0 постоянны.
Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных следующими поверхностями:
4133. -^-4-4 = -у, z = c. а3 Ь3 с1
4134. z = х2 + у2, х + у — а, х = 0, у = 0, z = 0.
4135. х2 — 2рг, у2 — 2рх, х = -у, z = 0.
41зв. 7r+-fr+-^- = 1« х=0- У=о’ z = 0«
4137. х2 + z2 = а2, у2 + г2 = а2 (г > 0).
4138. х2 + у2 = 2г, х + у = 4139. + = \а» &» с3) abc а>0, 6>0, ОО). Z. (х > 0, у > 0, z > 0;
§ 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
433
4140. z = х2 4- у3, г = у (х2 + у3), х + у = ± 1, х—у = ± 1. уП ,.П ,п
4141. ±- + 77 + 4 = 1. х = 0, у = 0, г = 0 (п>0, ап Ьп сп
х > 0, у > 0, г > 0).
4142. Определить координаты центра тяжести тела, имеющего форму куба: 0 < х < 1, 0 Cf/ < 1, 0 < г < 1, если плотность тела в точке (х, у, г) равна 2а—1 2(5—1 2v—1
Р - х у *-₽ г 1-v , где 0<а<1, 0 < 0 < 1, 0<у<1.
Определить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных тел, ограниченных следующими поверхностями (параметры положительны):
4143. х = о, y — Q, г = 0.
а b с
4144. — 4-^-4-аг Ьг г« _ с2 »»2 «2 = 1. 4145. —4- — = — , z=C. а2 Ь2 с2
4146. — 4- —+ а* Ь* г2 _ с2 о II м 1 м *£> + М 1 N Н 1 Q п
4147. а2 6» 2 — С Л4. А = -£ а Ь с ‘
4147-2' (Я+СЯ+Ст)"-1- ^0,^0. г=0
(п>0; х > 0, у > 0, z > 0).
Определить моменты инерции относительно оси Ог однородных тел, ограниченных поверхностями:
4148. г — х2 + у3, х 4- у = ± 1, х—у = ± 1, z = 0.
4149. х2 + у3 + г2 = 2, х2 + У3 = z2 (г > 0).
4149.1. (х2 + у3 + г2)3 = аъг.
4150. Найти момент инерции неоднородного шара х2 + у3 + z2 < R3 массы М относительно его диаметра, если плотность шара в текущей точке Р (х, у, z) пропорциональна расстоянию этой точки от центра шара.
4151. Доказать равенство = /z, 4- Md3, где // —< момент инерции тела относительно некоторой оси I, lh — момент инерции относительно оси /0, параллель-28—23*3
434 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ной I и проходящей через центр тяжести тела, d — расстояние между осями и М — масса тела.
4152. Доказать, что момент инерции тела, занимающего объем V, относительно оси /, проходящей через его центр тяжести О (0, 0, 0) и образующей углы а, р, у с осями координат, равен:
Л = 4 cos2 а + 1У cos2 р + 4 cos2 у—2KXji cos a cos Р—
—2Кхг cos а cos у—2Куг cos р cos у, где 1Х, /у, /г — моменты инерции тела относительно осей координат и
=$j$pxy dxdydz, Kxt = $j $pxz dxdydz,
Lyt^j^pyz dxdydz
— центробежные моменты.
4153. Найти момент инерции однородного цилиндра х2 + у2 < a2, z = ± Л, плотности р0 относительно прямой х = у = г.
4154. Найти момент инерции относительно начала координат однородного тела плотности р0, ограниченного поверхностью
(х2 + у2 + г2)2 = а2 (х2 + у2).
4155. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г) однородного шара |2 + т]г + £2 < R2 плотности р0.
Указание. Положить, что ось О£ проходит через точку Р (х, у, г).
4156. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г) сферического слоя R] «3 £2 + т]2 + £2 < /?2, если плотность р = f (₽), где / — известная функция и R =» = + +
4157. Найти ньютонов потенциал в точке Р (0, 0, г) цилиндра £а + т]2 < а2, 0 < $ < Л, постоянной плотности р0.
4158. С какой силой притягивает однородный шар £2 + Л2 + £2 < R2 массы М материальную точку Р (0, 0, а) массы т?
4159. Найти силу притяжения однородным цилиндром 52 + т]2 < а2, 0 < t, < Л, плотности р01 точки Р (0, 0, z) с единичной массой.
4160. Найти силу притяжения однородным шаровым сектором плотности р0 материальной точки с мае-
$ 9- НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
435
сой, равной единице, помещенной в его вершине, если радиус шаровой поверхности равен R, а угол осевого сечения сектора равен 2а.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
1°. Случай бесконечной области. Если двумерная область Я не ограничена и функция {(х, у) непрерывна на О, то по определению полагают:
J f f (х, У) dx dy = Vmj J f (x, y) dx dy, (1)
где Qn — любая последовательность ограниченных замкнутых квадрируемых областей, исчерпывающая область Я. Если предел в правой части существует и н§ зависит от выбора последовательности Я„, то соответствующий интеграл называется сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл от непрерывной функции, распространенный на неограниченную трехмерную область.
2°. Случай разрывной функции. Если функция I (х, у) непрерывна в ограниченной и замкнутой области Я всюду, за исключением точки Р (а, Ь), то полагают:
( ff(x, y)dxdy= lim f f f(x, y)dxdy, (2)
JQ <=-*+°Q-<7e
где Ue есть область диаметра e, содержащая точку Р, и в случае существования предела рассматриваемый интеграл называют сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Предполагая, что вблизи точки Р (а, Ь) имеет место равенство /(*, </) = <р(х, у)1га, где абсолютная величина функции <р (х, у) заключена между числами т>0 и М>Ои r= V(x — а)а + (у — Ь)г, получим, что 1) при а < 2 интеграл (2) сходится; 2) при а > 2 — расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл (2), если функция (х, у) имеет линию разрыва.
Понятие несобственного интеграла от разрывной функции легко переносится на случай тройных интегралов.
С
Исследовать на сходимость несобственные интегралы бесконечной областью интегрирования (0 < т. < I ф (х, у) | < М < + оо):
<р(х, у) (х’+уа)Р
4161.
dxdy.
4162.
________dxdy__________ (1 + lx|P) (1 + |у|»)
28
436 ОТДЕЛ VI». КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4163. ff---------------dxdy.
J J (И-Х44-У2)₽ я
4,м- J f KFF77F ,р>0' ’>0)'
1*1+11,1 >1
4165. f
J J (х+У)р
*+»>!
4166. Доказать, что если непрерывная функция f (х, у) неотрицательна и 3„ (п = 1, 2, . . .) — какая-нибудь последовательность ограниченных и замкнутых областей, исчерпывающая область S, то
И/(х, y)dxdy = lim Ц f(x, y)dxdy, S Sn
где левая часть имеет или не имеет смысла одновременно с правой.
4167. Показать, что
lim f f sin + у2) dxdy = л,
n-юо 1*1 <n
11,1 <n
тогда как
lim f f sin(*s + i/2)dxdt/ = 0 п-кя х*+у,^2пп
(п — натуральное число).
4168. Показать, что интеграл
*>1, y>l расходится, хотя повторные интегралы +« +°° +оо +00
С dx f —х*~у2 dy и f dy С *3~у— dx J J (x«+yV У J J U2 + ^)!
it ii
сходятся.
Вычислить интегралы (параметры положительны): 4169. f J J «V *V>1. *>1
4171. f f .... ....
Vl-x’-r
4170. f f
J J (*+«/)"
;+»>J. o<*ci
41’2- J f
*«+»’>*
§ 9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 437
4173' J У 4174. J J
Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы:
-|-ао -|-оо
4175. f f e~^+^dxdy.
—ОО —00
4176. +J +f cos(xa + ^)dxdy. —00 —00
4177. f J sin(x2 + y2)dxdy. —00 —00
Вычислить интегралы:
4178. f f gax^bxv+cy^Zdx+^eg+f dxdy, ГДв a <0, ac — &a>0.
4179. f f e-^/a,+^dxdy.
X4a'+y',ib’> 1
+?° +.°° _ f *’ I.»» । У1 \
4180. f i xye ' » b’)dxdy(Q<\b\<zl).
—oo —oo
Исследовать на сходимость несобственные двойные интегралы от разрывных функций (0 •< т < | <р (х,у) | < < М < + оо):
4181. f f ,где область Qопределяется усло-J J х2 + у2
Q
виями: |«/| С ха; х2 + у2 < 1.
С Г л^у). dxdy.
J J (х2 + ху + у')<> у
[ Г —— (р>о, <?>()).
4182.
4183.
« ° Ф(*. У)
4184. J J |х —у|Р йУ’ о о
4185. f Г --------------dxdy.
J J (i-x2-y2)p а
438 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4186. Доказать, что если 1) функция ф (х, у) непрерывна в ограниченной области а < х < А, b < у < В; 2) функция f (х) непрерывна на сегменте а < х < А и 3) р <. 1, то интеграл
а в
t dx С —— dy
J J а Ь
СХОДИТСЯ.
Вычислить следующие интегралы:
4187. f f In——-------dxdu.
Xii Vx’+i/1
4188. f dx f —----—— (а>0).
J J V(a — х)(х — у)
4189. J J Insin (х—y)dxdy, где область Q огра-fl
ничем а прямыми у — 0, у = х, х = л.
4190. Г ( —&dy .
ЛЛ Vx2+y2
Исследовать на сходимость следующие тройные интегралы:
4191. f f f —^х’ У' г) dxdydz, J J J (хг + г/2+гГ
<|ф(х, у, г)К Мс -f-оо.
4192. f [ { —S15JL.2.....dxdydz,
J J J (x’ + ^ + z2)" х'+у2+г<1
где 0<т <
4,M- f f f
W+lyl+lz|>i
4194. ( ( (----f(x’ y’ z)dxdy&----, где Q<m <
J J J (ly-<P(x)]2+[z-4(x))2}P
ООО
<|f(x, у, г)|<М<4-оо, а ф(х) и Ф(х)—непрерывные
функции на сегменте [0, а].
4195. f f f —.
J J J |х4-у-г|₽
|X|<1.
1р1<1. UI«U
$ 10. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
439
Вычислить интегралы:
4196. fffJi*'*. 4197. fff—***И!1-.
J J J J J J (x*+y’+2*)«
ООО
4198. fff ------------------.
*’т»'+г5<1
-f-OO -|-00 4-90
4199. J f f e-^’+^+^dxdydz.
—oo —oo — oo
4200. Вычислить интеграл
-|-oo -j-00 +00
У У У e~P(Xi' X<idx1dxtdx3, —OO — oo —oo
3 3
где P (xlt x2, x3) = У У aijXiXj (ац = ад) — положи-i=i /=i
тельно определенная квадратичная форма.
§ 10. Многократные интегралы
1°. Н епосредственное вычисление кратного интеграла. Если функция f, (xn х3, . . ., хл) не* прерывна в ограниченной области Q, определяемой неравенствами
где Х[ в Х| - постоянные числа н х2 (х(), х2 (х]), ... .... <(*1. *2.....xn-l)« x'n(xi> *2.....*«-t)- непрерывные
функции, то соответствующий многократный интеграл может быть вычислен по формуле
f У ... f f (*i. хг, .. .,хп) dxidxs . . . dxn = Q
х\ хг(ж1) xn(xi......жп-1)
= J dXi f dxt... У ?(xi, .....................xn)dxn,
*1 *г(х1) хл(*1.....хл-1)
2°. Замена переменных в кратном интеграле. Если 1) функция f (xt, xt, . . хл) равномерно непрерывна в ограниченной измеримой области &2; 2) непрерывно дифференцируемые функции
Xi = <Р< (Si, 5s...5я) О’ = 1. 2.....п)
осуществляют взаимно однозначное отображение области £2 про*
440 ОТДЕЛ VIH. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ странства Охгхг. . ,хп на ограниченную область Q' пространства O'6it2. . . и 3) якобиан
Р(*ъ х..........
" Dili, U • • .. ёл)
сохраняет почти всюду постоянный знак (кроме множества меры нуль) в области Q', то справедлива формула
J f • • • f f (*1. хг.х„) dxi dxa. . . dxn =
= // Ф2. •••, Фл) 111 d^i <Ял • •
В частности, при переходе к полярным координатам (г, Ф11 ф2. • • •> Фл-1 по формулам
xt = г cos Ф1, хг = г sin <Pj cos ф2,
*л-1 = г sin <р 1 sin ф2 . . . sin ф„_а cos q>„_i, хп = г sin ф2 sin ф2. ., sin <p„_2 sin <pn-i имеем:
I =» ^^Хи **’' * '* = г"-1 sin"-2 ф1 sin"-2 <р2 ... sin <?„-»•
Р (Г, Ф1, . . фя-1)
4201. Пусть К(х, у) — непрерывная функция в области R (а < х < Ь; а < у < Ь) и
Х„(х, у) =
О о о
= f f •• J К(х, tJK(tu . • • dtn.
а а а
Доказать, что ь ^я+т+1(Х, z/)=fK„(x, y)dt.
а
4202. Пусть f = (xj, хг, , хп) — непрерывная функция в области 0 < xt < х (i = 1, 2, . . . , п). Доказать равенство
X х2 Хя_! XX X
fdxjdxa... f fdxn = ^dx„fdx„_1...ffdx1 оо й о хп ха
(л > 2).
4203. Доказать, что
Гdtt f Л,... Г/(tj f(tj .. .f (tn) dtn^± If f (?)dX, 0 0 0 /Н to J
где / — непрерывная функция.
5 10 МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
441
Вычислить следующие многократные интегралы: । 1 1
4204. a) JI + . dxi dx2. .. dxn',
i i i
6) J f • • • | (%1 +хг +. . . 4-x„)2 dx2dx2 ...dxn.
4205. /„= j f - - - J dxidx2. . .dx„.
*!>0, x2>0, . .. *„>0, *l+*l+ • • • +xn<0 1 *1 *n-l
4206. j dx2 | dx2. . . J x2x2. . . xndxn.
4207. f f • • J V*i+X» + - • • dx1...dxn.
»1>0, x2>0..xn> 0
*,+•»,+ • • +*n< >
4208. Найти объем «-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями
ацх2 4- ai2x2 4- ... 4- ainxn = ± ht (i =1,2........n),
если А =|а</1 =/= 0.
4209. Найти объем «-мерной пирамиды
— 4- —4-• . • 4-—< 1. х<>0 (1 = 1,2..............п)
О1 ог ап
(at >0, i = 1,2, ..., п).
4210. Найти объем «-мерного конуса, ограниченного йоверхностями
4211. Найти объем «-мерного шара х?4-*Н- • -+4<°2-
4212. Найти ff ... J x^dxidxj... dxn, где область Q
Q определяется неравенствами
xi 4" х2 4" • • • + хп—1 °2» ~ С хп < —.
А
4213. Вычислить
• • • dxn
442 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4214. Доказать равенство
^=^du.
(n - 1)!
j dx2j dxz. .. j f(xn)dx, 0 0 0
4215. Доказать равенство *n
о
4idxi f x2dx2... J/ (x„+1) dx„+l = —M(x2 — u2)n f («) du. 0 0 l Л1 0
4216. Доказать формулу Дирихле
f/•••/ • • • x^~ldx.dx2. . . dx
J * V - 1 4 n 1 A n
*......
h*2+. • •+*„<< -г,Г(2>ГУ'-1Г^п <*• О....................Л>°>-
Г (Pi + Рг + • • • + Pn + 1)
4217. Доказать формулу Лиувилля
*! ........
*!+*2+. • • + »
.. .# xdxtdx2. . . dxn =
TJpAFJp^ • • •r , г f iu) uPi+pt+ • • +P/I-1 du Г (Pi + p2 + . . • + Pn) b
(Pl, Pt....Pn>0),
где f (и) — непрерывная функция.
Указание. Применить метод математической индукции.
4218. Привести к однократному интегралу п-кратный интеграл (п > 2)
J j • • • J f ^xl+xt + -- + xi) А • • Ч-
О
распространенный по области х2+х24~.. .4-х2 ^R2, где f (и) — непрерывная функция.
4219. Вычислить потенциал на себя однородного шара радиуса R и плотности р0, т, е. найти интеграл
«=—JJJJj'J dxidyidiidx2dyid22
*2+^+22<r2
где 1\, 2=V(X1—+ (У1—У^г + (Z1—2г)г.
S 11. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 443
4220. Вычислить n-кратный интеграл
+.“+« +« -[ Е <’,7V/+2 Е М<+4
f J ... J е Ь. 1- <-i idxidxt .. ,dxn,
•—ОО —GO «—GO
П
если Y, anXiXj (ац = ац)— положительно определен-11 /,;=1
ная квадратичная форма.
§ 11. Криволинейные интегралы
1е. Криволинейный интеграл 1-го рода. Если h (х, у, г) — функция, определенная и непрерывная в точках гладкой кривой С
* = х (0, у = у (t), г — г (0 (/0 < 1 < Т) (I)
и ds — дифференциал дуги, то по определению полагают
т
ff(x, у, z) d s = Jf(x(0, yft), z(0) 7х'*(О + р/2(0 + г'»(ОЛ.
С t0
Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от направления кривой С.
2°. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода. Если р= р (х, у, г) — линейная плотность в текущей точке (х, у, г) кривой С, то масса кривой С равна:
М = J р (х, у, z) ds.
Координаты центра тяжести (х0, у0, г0) этой кривой выражаются формулами
х° = “77 f ХР <х> V' г)ds’ Уо — “77 f W <х> У’ г)d5'
М £ М £
го = "гг1 У' №
М с
3°. Криволинейный интеграл 2-го рода. Если функции Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, г), R —R (х, у, г) непрерывны в точках кривой (1), пробегаемой в направлении возрастания параметра t, то полагают
J Р (х, у, x)dx+Q (х, у, z)dy+ R (х, у, г) dz == с
т
= j {P(x(O, y(t), z (0) х'(0Q (х (/), У(0. Z(O)/W + to
+ R(x(f), y(t), z(f))z'(f)}dl. (2)
При изменении направления обхода кривой С этот интеграл изменяет свой знак на обратный. Механически интеграл (2) представ
444 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ляет собой работу переменной силы {Р, Q, R), точка приложе-имя которой описывает кривую С.
4°. Случай полного дифференциала. Если
Р (х, у, г) dx + Q (х, у, г) dy + R (х, у, z] dz = du,
где u = и (х, у, г) — однозначная функция в области V, то независимо от вида кривой С, целиком расположенной в области V, имеем:
J Р dx+ Q dy 4- R dz — и (x2, уг, г^ — и (xlt yit xj,
где (х,, ylt Zj) — начальная и (xt, yit z2) — конечная точка пути. В простейшем случае, если область V односвязна и функции Р, Q и R обладают непрерывными частными производными первого порядка, для этого необходимо и достаточно, чтобы в области V были тождественно выполнены следующие условия: dP dQ dR _ дР
ду дх дг ду дх дг
Тогда в простейшем случае стандартной параллелопидальной области V, функцию и можно найти по формуле
х У г
и (х, у. г) « f Р (х, z) dx + J Q (х0. У, t)dy + J R(х0, у0. z)dz+ca *а Vo г»
где (х0, Уо> Zg) — некоторая фиксированная точка области V и с — произвольная постоянная.
Механически этот случай соответствует работе силы, имеющей потенциал.
Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го рода:
4221. J (х + у) ds, где С — контур треугольника с вершинами О (0, 0), Л (1, 0) и В (0, 1).
4222. J у3 ds, где С — арка циклоиды
х — a (t — sin t), у = а (1 — cos t) (0 < t 2л), 4223. J (х2 + y3\ds, где С — кривая
х — a (cos t 4- t sin t), у — a (sin t — t cos t) (0 < / 2л).
4224. | xy ds, где C — дуга гиперболы
x = a ch t, у = a sh t (0 t tQ).
4225. J (x*3 4- yA/3) ds, где С — дуга астроиды л^4-/3=а2/3.
$ II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
445
4226. Je^+^ds, где С—выпуклый контур, ограниченный кривыми г=а, <р = 0, ф = — (г Иф—полярные коор-4
динаты).
4227. J | у | ds, где С — дуга лемнискаты
(х2 + у2)2 = а2 (х2 - у2).
4228. J х ds, где С — часть логарифмической спирали г = (k > 0), находящаяся внутри круга г<а.
4229. f д/х2 4- у2 ds, где С—окружность х2+у2 = ах. с
4230. f —, где С—цепная линия у — a ch —. J у2 а
Найти длины дуг пространственных кривых (параметры положительны):
4231. х = 3t, у = З/2, г — 2/3, от О (0, 0, 0) до А (3, 3, 2).
4232. х = е~‘ cos t, у = e~'sin t, г = er1, при 0 < К +оо.
4233. у — aarcsin—, z = — In а~* от 0(0, 0, 0) а 4 а 4- *
до Л(х0, у0, г0).
4234. (х—у)г — а(х + у), х2—— от 0(0, 0, 0)
до Л(х0, уо. z0).
4235. x2 + y* = cz, — =tg — от 0(0, 0, 0) до X с
Л(ХО, Уо. г0). ______
4236. х2 4-у’4-г2 = а2, д/х2 4-у2 ch (arctg -^-) = а от точки Л (а, 0, 0) до точки В (х, у, г).
Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода, взятые вдоль пространственных кривых:
4237. (х2 4- у2 4- z2) ds, где С — часть винтовой линии
х = a cos t, у = a sin t, г — Ы (0 < t < 2л).
446 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4238. J х2 ds, где С — окружность
х2 + у3 + г2 = а\ к + у + z = 0.
4239. f z ds, где С — коническая винтовая линия
Jc
х “ t cos t, у — t sin t, z = t (0 t Q.
4240. J z ds, где C — дуга кривой x2 + у2 — z3, у3 = ax от точки О (0, 0, 0) до точки А (а, а, ал/2).
4241. Найти массу кривой х = a cos t, у = Ь sin £ (а > Ь > 0; 0 < t < 2л), если линейная плотность ее в точке (х, у) равна р = |у|.
4241.1. Найти массу дуги параболы
у3 = 2рх (0 С х р/2),
если линейная плотность параболы в текущей точке Л4 (х, у) равна |i/|.
4242. Найти массу дуги кривой х — at, у=-~1г,
z = ^t3 (0 < / < 1),
плотность которой меняется по
закону р — ^2у!а.
4243. Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой у = a ch — от точки А (0, а) до Q
точки В (Ь, К).
4244. Определить центр тяжести дуги циклоиды
х. = a (t — sin t), у = а (1 — cos t) (0 ss t < л).
4244.1. Найти статические моменты
Sj, = fxds, SK=^yds
дуги С астроиды
Х2/3 _|_ у2/3 — а213 (х > 0, у 0) относительно осей координат.
4244.2. Найти момент инерции окружности х2 4-+ у3 — а3 относительно ее диаметра.
4244.3. Найти полярные моменты инерции
Ц = J (X* + У2) ds
$ 11. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 447
относительно точки О (0,0) следующих линий: а) контура С квадрата max {| х |, | у |} — а; б) контура С правильного треугольника с вершинами в полярных координатах
Р(а, 0), Q(a, -у-)-
4244.4. Найти средний полярный радиус астроиды хг/з + ^/з — ^/З'
т. е. число г0 (го > 0)» определяемое формулой
/о = «-го,
где /0 — полярный момент инерции астроиды, относительно начала координат (см. 4244.3) и s — длина дуги астроиды.
4245. Вычислить координаты центра тяжести контура сферического треугольника х2 + у2 + г2 — а2; х > 0, 1/ > 0, z > 0.
4246. Найти координаты центра тяжести однородной Дуги
х = ff cos у = ef sin t, г — & (— оо < t ^0).
4247. Найти моменты инерции относительно координатных осей одного витка винтовой линии
х = a cos t, у —a sin t, г— t (0 < t < 2л).
4248. Вычислить криволинейный интеграл 2-го типа f xdy—ydx, ОА
где О — начало координат и точка А имеет координаты (1, 2), если: а) ОА —отрезок прямой линии; б) ОА —• парабола, ось которой есть Оу; в) ОА — ломаная линия, состоящая из отрезка ОВ оси Ох и отрезка ВА, параллельного оси Оу.
4249. Вычислить
J xdy + ydx ОА
для путей а), б) и в), указанных в предыдущей задаче*
Вычислить следующие криволинейные интегралы 2-го рода, взятые вдоль указанных кривых, в направлении возрастания параметра:
448 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4250. J (х2 — 2ху) dx + (у2 — 2ху) dy, где С — с
парабола
у = х2 (—1 < х 1).
4251. [ (х2 + у2) dx + (х2 — у2) dy, где С — кри-'с
вая
у = 1 — | 1 — х | (0 х < 2).
4252.
у) dy, где С — эллипо
1, пробегаемый против хода часовой стрелки.
X» . у8 в»
4253. J (2а — у) dx + х dy, где С — арка циклоиды
х — a (t — sin f), у — а (1 — cos t) (Q t 2л).
4254. (£ - ~ ~ у> dy ~, где С — окружность
х2+у2
«2+ у2 — а2, пробегаемая против хода часовой стрелки.
4255. (£ —, где ABCDA — контур квад-
J |Х|+|У1
ABCDA
рата с вершинами А (1, 0), В (0, 1), С( — 1, 0), Ь(0, -1).
4256. ( dx sin у + dy sin х, где АВ — отрезок пряла
мой между точками А (0, л) и В (л, 0).
4257. ф dy arctg ——dx, где От А — отрезок па-От АпО
раболы у = х2 и ОпА — отрезок прямой у = х.
Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить следующие Криволинейные интегралы:
(2. 3) (3, —4)
4258. Г xdy+ydx. 4259. f xdx+ydy. (-1, 2) (0. I)
f И. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 449
е. з,
4260. f (х + у) dx + (х—у) dy.
(0. Il
<1. i>
4261. J (x—y)(dx—dy).
a. -u (a, b)
4262. f f (x + y)(dx + dy), где I (и) непрерывна. (0, 0)
<1. 2) f У dx x dy .
4263. \ *--------вдоль путей, не пересекающих
вГп *
оси Оу.
<6, 8) лпал С xdx + У dy
4264. I —у у- вдоль путей, не проходящих J Vх2 + У2
11, 0) через начало координат.
IX,. уJ
4265. J <р (х) dx 4- ф (у) dy, <р и яр — непрерыв-Ui, у,}
ные функции.
<3, 0|
4266. J (х4 + 4х(/3) dx + (6х2у2 — 5z/*) dy. (-2. -1)
<1. 0>
4267. ( xdy —ydx ВД0Ль путей, не пересекающих
J и — у)2
<о. -и прямой у = х.
(2, я)
4268. ( (1 ——cos—A dx + fsin — + —cos —A du J k x2 X/ k X X X J
<1. Л)
вдоль путей, не пересекающих оси Оу.
(a, by
4269. f е* (cos ydx—sin у dy). (0. 0)
4270* Доказать, что если / (и) — непрерывная функция и С — кусочно гладкий замкнутый контур, то
<[> / (хг + y2)(xdx+у dy) = 0. с
Найти первообразную функцию z, если:
4271. dz= (х*4-2ху — у2) dx-f- (х2—2ху—у2)dy. 29—2383
450 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4272. dz= -ydx^~-.
Зх2 — 2xy+ 3j»2
4273 dz— <x2+2xy+5!/2)rfx+(x2 —2xy + y2)dy
(* + y)z
4274. dz = e* [ey(x — у + 2) + у} dx + + ex [e« (x — y) + 1] dy.
4275. dz —----------dx 4-----------dy.
дхп+^дут dxndym+x
4276. dz~-J^- fin -L>-dxn+2dym~' \ r )
-----3n-bm+1— / |n J Г = У Xs+y2. дхп~1дут+г \гД
4277. Доказать, что для криволинейного интеграла справедлива следующая оценка:
где L — длина пути интеграции и М — max + Q* на дуге С.
4278. Оценить интеграл у dx— xdy (х24-ху4-у2)2
lR = (J)
Доказать, что lim IR =0.
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых (координатная система предполагается правой):
4279. Г (у2 — z2) dx + 2yz dy — x2dz, где С — кри-с
вая х — t, у — t2, z = t3 (0 < t < 1), пробегаемая в направлении возрастания параметра.
4280. J у dx 4- z dy 4- х dz, где С —виток винтовой с
линии х = a cos t, у — a sin t, z — bt (0 t < 2л), пробегаемый в направлении возрастания параметра.
4281. [ (у— z) dx 4* (z — x)dy 4- (х — y)dz, где 'с
С — окружность х8 4- у2 4- z® = а\ у = х tg а (0 <
•< а •< л), пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных х.
4282. J у2 dx 4- z2 dy 4- х2 dz, где С — часть кри-с
« И. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 451
вой Вивиани х2 4- у1 4- z2 = а2, х2 4- у9 = ах (г > > 0, а > 0), пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной части (х > а) оси Ох.
4283. f (у9 — z2) dx 4- (z2 — х2) dy 4- (х2 — j/2) dz, с
где С — контур, ограничивающий часть сферы х2 4- уг 4-4- z2 = 1, х > 0, у > 0, z > 0, пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности остается слева.
Найти следующие криволинейные интегралы от полных дифференциалов:
(2. 3. —4)
4284. f xdx-\-y9dy—z3dz.
0,1.1)
№. 1. I)
4285. f yzdx+xzdy + xydz.
(1. 2. 3)
4286. C + где точка (xn ylt zj
J V*2 4-S'2 4-
№. Vi. z,)
расположена на сфере x2 4- уг 4- z2 = а2, а точка (х,. у г, гг) — на сфере хг 4- у9 4- z9 = b9 (а > 0, b > 0).
№. »>. г,)
4287. J <р (х) dx 4- ф (у) dy 4- X (г) dz, где ф, №. 01. г,)
ф, X — непрерывные функции.
4288. / f (х +у + z) (dx + dy + dz), где f —
№. 0i. г,)
непрерывная функция.
№. 01. ZJ
4289. j* f (^/хг4-1/24-г2)(xdx4-yd// + zdz), где №. 01. Zi)
f—непрерывная функция.
Найти первообразную функцию и, если:
4290. du = (х2 — 2yz) dx + (у9 — 2xz) dy 4-
4- (z2 — 2ху) dz.
429!. —L + ^+^ + ^dy-
(*+у—г) dx + (х+ у — г) dy + (х + у + z) dz *24-y24-z24-2xj/
29
452 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4293. Найти работу, производимую силой тяжести, когда точка массы т перемещается из положения (*1, ylt zj) в положение (х2, у2, г2) (ось Oz направлена вертикально вверх).
4294. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалению материальной точки о начала координат, если эта точка описывает в направлении, противоположном ходу часовой стрелки, положительную четверть ж3 , V3 .
эллипса------h-2—=1-
в3 t>3
4295. Найти работу силы тяготения F = klr\ гцег — = -у/х2+у2+г2, действующей на единичную массу, когда последняя перемещается и точки (xlt ylt z j в точку М2 (х2, у2, г2).
§ 12. Формула Грина
1°. Связь криволинейного интеграла с двойным. Если С — замкнутый простой кусочно гладкий контур, ограничивающий конечную односвязную область 3, пробегаемый так, что область 3 остается слева, и функции Р (х, у), Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка Р'(х, у) и Q' (х, у) в области 3 и на ее границе, то имеет место формула Грина
dQ дР \ . ...
----—Adxdy.
дх ду )
Формула (1) справедлива также и для конечной области 3, ограниченной несколькими простыми контурами, если под границей С последней понимать сумму всех граничных контуров, направление обхода которых выбирается так, что область 3 остается слева.
2°. Площадь плоской области. Площадь 3 фигуры, ограниченной простым кусочно гладким контуром С, равна
S = § xdy= — & у dx= — <5 (хdy — у dx). с с 2 с
В этом параграфе, если не оговорено противное, предполагается, что замкнутый контур интеграции простой (без точек самопересечения) и пробегается так, что ограниченная нм область, не содержащая бесконечно удаленной точки, остается слева (положительное направление).
4296. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл
ф Р (х, у) dx -t- Q (х, у) dy = (
С S
§ 12. ФОРМУЛА ГРИНА
453
1 = ^хг + у* dx + у [ху + 1п (л и- V-^ + j/2)] dy,
где контур С ограничивает конечную область S.
4297. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
/ = (х -j- z/)s dx— (х2 + у2) dy, к
где Л — пробегаемый в положительном направлении контур треугольника АВС с вершинами А (1, 1), В (3, 2), С (2, 5).
Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.
Применяя формулу Грина, вычислить следующие криволинейные интегралы:
4298. §xy2dy—xrydx, где С — окружность
х2 -Г у- = а1.
4299. <5(х 4- у) dx — (х — y)dy. где С — эллипс ‘с
х - у- _ .
а- ‘ Ъ-
4300. ех Ц1—cos y)dx — (у — sin у) dy], где С ₽
пробегаемый в положительном направлении, контур, ограничивающий область 0 < х < л, 0 < у < sin х.
4301. <fi g-u’-yp (Cos 2ху dx --sin 2ху dy).
4302. На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы
A= f (x + yFax — {х—yfdy
ArnB
И
f (x-^y)2dx— (х —yf-dy, АпВ
где АтВ — прямая, соединяющая точки А (1, 1) и В (2, 6), и АпВ — парабола с вертикальной осью, проходящая через те же точки А и В и начало координат?
4303. Вычислить криволинейный интеграл
| (ех sin у—ту) dx 4- (ех cos и—m)dy, ЛтО
454 ОТДЕЛ Vin. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где АтО — верхняя полуокружность хг + уг — ах, пробегаемая от точки А (а, 0) до точки О (0, 0).
Указание. Дополнить луть АтО до замкнутого прямо линейным отрезком О А оси Ох.
4304. Вычислить криволинейный интеграл
f 1ф(у)ех— my]dx + [y' (у) е*—m\dy, АтВ
где <р (у) и <р' (у) — непрерывные функции и АтВ — произвольный путь, соединяющий точки А (х1г yj и В (хг, уг), но ограничивающий вместе с отрезком АВ площадь АтВА данной величины S.
4305. Определить две дважды непрерывно дифференцируемые функции Р (х, у) и Q (х,. у) так, чтобы криволинейный интеграл
/ = £Р(х4-а, y + $)dx + Q(x + a, y + $)dy
для любого замкнутого контура С не зависел от постоянных а и ₽.
4306. Какому условию должна удовлетворять дифференцируемая функция F (х, у), чтобы криволинейный интеграл
j Р(х, y)(ydx+xdy)
АтВ
не зависел от вида пути интегрирования?
4307. Вычислить
у _ Д xdy — ydx Т х2 + у2
где С — простой замкнутый контур, не проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.
Указание. Рассмотреть два случая: 1) начало координат находится вне контура; 2) контур С окружает начало координат.
С помощью криволинейных интегралов вычислить площади, ограниченные следующими кривыми:
4308. Эллипсом х = a cos t, у — b sin t (0 С t < < 2л).
43 09., Астроидой х = a cos3/, у = b sin3 t (0 С t < < 2л).
4310. Параболой (х 4- у)г = ах (а >• 0) и осью Ох.
§ 12. ФОРМУЛА ГРИНА 4i>&
4311. Петлей декартова листа х3 + у9 — Заху (а>0)»
Указание. Положить д = tx.
4312. Лемнискатой (хг + уг)г — а9 (х4 — уг).
Указание. Положить у = х tg <р.
4313. Кривой Xs + у9 = хг + уг и осями координат.
4314. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(х 4- y)n+m+1 = ахпут (а > 0, п > 0, т > 0).
4315. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(Я+(!)"=' и осями координат.
(а>0, &>0, л>0)
Указание. Положить —= cos2^n<p, *= sin2'"‘<p. а •
4316. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(а > 0, Ь > 0, п > I) и осями координат.
4317. Вычислить площадь петли кривой
(X \2л+1 / у \2n4-l / X \п ( у \»
т) <т) =с(т)(т)
(а>0, Ь>0, с>0, л>0).
4318. Эпициклоидой называется кривая, описываемая точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся без скольжения по неподвижной окружности радиуса R и остающейся вне нее.
Найти площадь, ограниченную эпициклоидой, пред-р
полагая, что отношение — = п есть целое число (л >1).
Г
Разобрать частный случай г — R (кардиоида).
4319. Гипоциклоидой называется кривая, описываемая точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся без скольжения по неподвижной окружности радиуса R и остающейся внутри нее. Найти площадь, ограниченную гипоциклоидой, предполагая, что отношение Rlr = п есть целое число (л > 2).
Разобрать частный случай г = /?/4 (астроида).
456 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4320. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности х2 + у2 = ах, вырезанной поверхностью х2 + у2 + z2 = а2.
4320.1. Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох простого замкнутого контура С, расположенного в верхней полуплоскости у > 0 равен
V = —л <5 y2dx.
6
4321. Вычислить
1 £XdY-YdX
~ 2л у Х«+ У2 ’ с
если X = ах + by, Y = сх + dy и простой замкнутый контур С окружает начало координат (ad — be =/= 0).
4322. Вычислить интеграл 1 (см. предыдущую задачу), если X = ф (х, у), Y — ф (х, у), и простой контур С окружает начало координат, причем кривые Ф (х, у) = 0 и ф (х, у) = 0 имеют несколько простых точек пересечения внутри контура С.
4323. Показать, что если С — замкнутый контур и I — произвольное направление, то
§ cos (I, n)ds = 0, с
где п — внешняя нормаль к контуру С.
4324. Найти значение интеграла
1 = §[х cos (п, х) + у cos<(n, у)} ds, с
где С — простая замкнутая кривая, ограничивающая конечную область S, и п — внешняя нормаль к ней.
4325. Найти
lim —— <£ (F'n) ds, d (S)-+0 S £
где S — площадь, ограниченная контуром С, окружающим точку (х0, у о), d(S)—диаметр области S, п—единичный вектор внешней нормали контура С и F {X, Y} — зектор, непрерывно дифференцируемый в S + С.
§ 13. Физические приложения криволинейных интегралов
4326. С какой силой притягивает масса М, равно мерно распределенная по верхней полуокружности х2 4-+ у2 = а2, у > 0, материальную точку массы т, занимающую положение (0, 0)?
« IS ПРИЛОЖЕНИЯ криволинейных интегралов 457
4327. Вычислить логарифмический интеграл простого слоя
и (х, у) = ф х In ф- ds, с
где х = const — плотность, г= —x)2-t-(i)—У)2
и контур С есть окружность S2 + т)2 = /?2. 4328. Вычислить в полярных координатах р и ср логарифмические потенциалы простого слоя
2Л 2л
(* 1 С t
/1 = I cos /пф In — с/ф и /2 = \ sin тф In — аф,
о о
где г — расстояние между точкой (р, ср) и переменной точкой (1, ф) и т — натуральнье число.
4329. Вычислить интеграл Гаусса и (х, у) = Ф--------------------as,
с
где г =V(£—х)2-{-(т]—у)2—длине) вектоэа г, соединяющего точку Я (х, и' с переменной точкой .И (|, q) простого замкнутого гладкого контура С, (г, я) — угол между вектором г и внешней нормалью п к кривой С в точке ее М.
4330. Вычислить в полярных координатах э и ф логарифмические потенциалы двойного слоя
2л v Г и со*(г, п) j . Al = \ COS /пф--——— Дф,
J г
О
2л ir С • cos (г, п) ,.
л2 = \ sin тф----------аф,
J Г
и
где г — расстояние между точкой А (р, <р) и переменной точкой Л/ (1, ф), (г, я) — угол между направлением AM — г и радиусом ОМ — п, проведенным из точки О (0, 0), и т — натуральное число.
4331. Дважды дифференцируемая функция и — = и (х, у) называется гармонической, если Au ss д-а d’u _ п
ss —— Н--------- 0. Доказать, что и есть гармоническая
ох1 дуг
458 ОТДЕЛ VIH. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
функция тогда и только тогда, если
где С — произвольный замкнутый контур и —-----
дп
изводная по внешней нормали к этому контуру. 4332. Доказать, что
про-
= —J у и Ьи dx dy -f- (j) и ds, s с
где гладкий контур С ограничивает конечную область S.
4333. Доказать, что функция, гармоническая внутри конечной области S и на ее границе С, однозначно определяется своими значениями на контуре С (см. задачу 4332).
4334. Доказать вторую формулу Грина на плоскости
ди дп и
ду дп
у
ds,
где гладкий контур С ограничивает конечную область S и —-----производная по направлению внешней нормали
дп
к С.
4335. Пользуясь второй формулой Грина, доказать, что если и — и (х, у) — гармоническая «Ьупкция в замкнутой конечной области S, то
. . 1 £ / din г
«(*. У) =-7-ф(ы
2п j \ дп
С
Inr дп )
где С — граница области S, п — направление внешней нормали к контуру С, (х, у) — внутренняя точка области S и г = — х)2 + (л — у)2 — расстояние между
точкой (х, у) и переменной точкой (Е, л) контура С.
Указание. Вырезать точку (х, у) из области S вместе с бесконечно малой круговой окрестностью ее и применить вторую формулу Грина к оставшейся части области S.
« 13 ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ интегралов 459
4336. Доказать теорему о среднем для гармонической функции и (М) — и (х, у):
и(М) =—!—(£«(£, т])&,
С
где С — окружность радиуса R с центром в точке М.
4337- Доказать, что функция и (х, у), гармоническая в ограниченной и замкнутой области и не являющаяся постоянной в этой области, не может достигать своих наибольшего и наименьшего значений во внутренней точке этой области (принцип максимума).
4338. Доказать формулу Римана
где
ИГ
= ‘ я дх ду
... , №
М [и] =
I dx dy — (j) Р dx 4* Q dy, c
+a-^-+b-^-+eu, dx dy
_ dv , do , „
—a-------b-----t-cv
dx dy dx dy
М [»] V
дги
(a, b, c — постоянные), P и Q — некоторые определенные функции и контур С ограничивает конечную область S.
4339. Пусть и — и (х, у) и и — v (х, у) — компоненты скорости установившегося потока жидкости. Определить количество жидкости, вытекшее за единицу времени из ограниченной контуром С области S (т. е. разность между количествами вышедшей и вошедшей жидкости). Какому уравнению удовлетворяют функции и и и, если жидкость несжимаема и в области S отсутствуют источники и стоки?
4340. Согласно закону Био—Савара электрический ток i, протекающий по элементу проводника ds, создает в точке пространства М (х, у, z) магнитное поле с напряжением
dff = ki-^^-,
г3
где г — вектор, соединяющий элемент ds с точкой М, и k — коэффициент пропорциональности. Найти проекции Нх, Ну, Нг напряжения магнитного поля Н в точке М для случая замкнутого проводника С.
460 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 14. Поверхностные интегралы
Iе. Поверхностный интеграл 1-го рода. Если S— кусочно гладкая двусторонняя поверхность
х — X (и, V) у = у (и, V) г = г (и, о) ((«, о) £ Й) (1) и f(x, у, г) — функция, определенная и непрерывная в точках поверхности S, то
JJ f (х, у, г) dS — J р (х (и, о), у {и, и), г (и, v)) -у/EG—E* du dv,
° (2)
где
Е = (+ (Ji. V+(JL Y, \ ди ) \ ди J \ ди )
f = д* । ду ду । дг дг
ди dv ди dv ди dv
В частном случае, если уравнение поверхности 3 имеет вид z = г (х, у) ((х, у) £ о),
где г (х, у) — однозначная непрерывно дифференцируемая функция, то
[р(х. У, ^)dS =
- У' '* г <'•»»V1+(£)’+(В)’ *
Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности S.
Если функцию I (х, у, г) рассматривать как плотность поверхности S в точке (х, у, г), то интеграл (2) представляет собой массу этой поверхности.
2°. Поверхностный интеграл 2-го рода. Если S — гладкая двусторонняя поверхность, 3+ — ее сторона, характеризуемая направлением нормали h {cos a, cos р, cos у), Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, г), Л = Р (х, у, г) — три функции, определенные и непрерывные на поверхности 3, то
f > Р dy dz+Q dz dx-\-R dx dy= J f (P cos a-|-Q cos P+P cos y)dS. (3) S* s
Если поверхность 3 задана в параметрическом виде (1), то направляющие косинусы нормали п определяются по форму-Лам:
4 „ В
ccs a =-----—...— ---, cos р ............ . ,
±-у/Аг + В2+Сг ±Удг+ва4-са
С
cos Y ------ — — 9
± V424-Bli+ C2
§ 14 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 461
где А = , В= д (г’ х’ , С = , и знак
д (и, п) д (и, с) д (и, v)
перед радикалом выбирается надлежащим образом.
При переходе к другой стороне 3~ поверхности S интеграл (3) меняет свои знак на обратный.
4341. На сколько отличаются друг от друга поверхностные интегралы
+ + и /, = fW+zW s Р
где S — поверхность сферы х2 4- у2 + z2 = а2 и Р поверхность октаэдра |х| + |#| + |г| = а, вписанного в эту сферу?
4342. Вычислить fj zdS, где S — часть поверх-'s
ности х2 + z2 — 2аг (а > 0), вырезанная поверхностью 2 = ^/хг + уг.
Вычислить следующие поверхностные интегралы 1-го рода:
4343. fj (x-f-y+ z) dS, где S — поверхность
х2 + у2 + г2 — а2, z > 0.
4344. f [ (х2 + у2) dS, где S — граница тела "s
Vx2 + ^2 < Z < 1.
4345. J j* , где S — граница тетраэдра
s
jt + y + z<l, х>0, у > О, z > 0.
4346. jj I xyz | dS, где S — часть поверхности г => = x2 + у2, отсекаемая плоскостью z = 1.
4347. J J » где S — поверхность эллипсоида и
s
h — расстояние центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу dS поверхности эллипсоида.
4348. JJzdS, где S — часть поверхности геликоида
x = ucoso, y = usinv, z — v {0<Zu<a\ 0<v<2n).
4349. z2 dS, где S — часть поверхности конуса
x = r cos <p sin а, у = г sin ф sin a, z = г cos а
462 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(0<г<а; 0<фС2л) и а—постоянная (о<а<-у^.
4350. $^(xy+yz + zx)dS, где S —часть конической поверхности г = -у/х2 4- у2, вырезанная поверхностью х2 + у2 — 2ах.
4351. Доказать формулу Пуассона ।
J f f (ах + by+cz) dS = 2л f f (и Va84-684-c8) du, s —1
где S есть поверхность сферы x2 + у2 + z2 — 1.
4352. Найти массу параболической оболочки
2 = -1-(х«+^
Плотность которой меняется по закону р = г.
4352.1. Найти массу полусферы х2 + у2 4- г2 = а2 (г > 0), плотность которой в каждой ее точке М (х, у, z) равна z!a.
4352.2. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки x + j + z = a(x>0,j/>0, г > 0) относительно координатных плоскостей.
4353. Вычислить момент инерции относительно оси Ог однородной сферической оболочки х2 4* у2 4- г2 = а2 (г > 0) плотности р0.
4354. Вычислить момент инерции однородной конической оболочки 4- —-----— = 0 (0 < z С Ь) плот-
а2 а* Ь1
пости р0 относительно прямой х у _ г—Ь
1 ~ 0 ~ 0 ‘
4355. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности z — aJx2 4- у2, вырезанной поверхностью х2 4- у2 = ах.
4356. Найти координаты центра тяжести однородной поверхности
z — ^a2—х2—у2 (х > 0; г/> 0 ; х + у^а).
4356.1. Найти полярные моменты инерции lo^tf+f + z^dS
§ 14. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
463
следующих поверхностей S:
а) поверхности куба max {| х|, |у|, | г |}= а;
б) полной поверхности цилиндра х2 + у2 < 7?2; О < «£ г < Я.
4356.2. Найти моменты инерции треугольной пластинки
х + у + z = \ (х > О, у > О, z > 0) относительно координатных плоскостей.
4357. С какой силой притягивает однородная усе> ченная коническая поверхность
X = г cos <р, у = г sin <р, 2 — г
(0 < <р < 2л, 0 < Ь < г < а)
плотности р0 материальную точку массы т, помещенную в вершине этой поверхности?
4358. Найти потенциал однородной сферической поверхности х2 4- у2 4- z2 = a2 (S) плотности р0 на точку Л10 (х0, у0, za), т. е. вычислить интеграл и = j* j* —, s
где г = л/(х—х0)2 + (у—i/o)2 + (z—г0)2.
4359. Вычислить
F(0 = И f(x,y,z)dS, x+y+z-rt
где
(1— х2—у2—г2, если х® 4-у2 4-z2 < 1; fix, у, z) = | о, если д»+у2 + гг>1Ф Построить график функции и = F (/).
4360. Вычислить интеграл
^(0= И /(*» У, z)dS,
где _______
.. . х24-у2, если z>Vx24-i/2;
f(x, у, z) = \
0, если z < Vx24-!/a-
4361. Вычислить интеграл
F(x, у, z, = И. £ где S — переменная сфера
(^ - х)2 4-(П - Z/)2 + (S - г)2 = /2,
464 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Й
если В2 + лг + ?2<а2; если £2+ т)2 + С2>а2,
предполагая, что
г= л]х2 +f/2 + z2 >а>0.
Вычислить следующие поверхностные интегралы 2-го рода:
4362. jJ (х dy dz -J- у dz dx 4- z dx dy), где S — внешняя сторона сферы x2 + у2 + z2 = а2.
g (у), h (г) — непрерывные функции и S — внешняя сторона поверхности параллелепипеда 0 х < а; 0 < sj у < Ь; 0 < z sg с.
4364. z)dy dz-}-(z—x)dzdx + (x—у) dxdy,
где S — внешняя сторона конической поверхности х2 + -г у2 = z2 (О С z < й).
4365. + + где S - внеш-
S
х2 I у* , г2 .
няя сторона эллипсоида--------I--2—Н—— =1.
а2 д2 с*
4366. ^x2dydz + y2 dzdx-±z2dxdy, где S — внешняя сторона сферы (х — а)2 + (у — Ь)2 + (z —с)2= R2.
§15. Формула Стокса
Если Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, г), R = R (х, у, е) — непрерывно дифференцируемые функции и С — простой замкнутый кусочна гладкий контур, ограничивающий конечную кусочно гладкую двустороннюю поверхность S, то имеет место формула Стокса:
cos a cos р cos у
£ Pdx+Qdy+ Rdz^ {J
д д
дх ду
dS.
Р Q R
где cos а cos р, cos у — направляющие косинусы нормали к поверхности S, направленной в ту сторону, относительно которой обход контура С совершается против хода часовой стрелки (для правой координатной системы).
$ 16 ФОРМУЛА СТОКСА
465
4367. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл J у dx + z dy + х dz, * где С — окружность х2 4- у3 4- z3 = а3, х + у + z — О, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
Проверить результат непосредственным вычислением. 4368. Вычислить интеграл
J (х2—yz) dx + {y3—xz) dy 4- (z2—xy) dz, AmB
взятый no отрезку винтовой линии
x = acos<p, y = asinq>, z = -^-q>
от точки A (a, 0, 0) до точки В (a, 0, Л).
Указание. Дополнить кривую АтВ прямолинейным отрезком и применить формулу Стокса.
4369. Пусть С — замкнутый контур, расположенный в плоскости х cos а 4- у cos 0 4- z cos у — р = 0 (cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы нормали плоскости) и ограничивающий площадку S.
Найти dx dy di cos a cos p cos у > x у z
где контур С пробегается в положительном направлении.
Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы?
4370. j (у 4- z) dx 4- (г 4- х) dy 4- (х 4- у) dz, где
С
С — эллипс х = a sin2 t, у = 2а sin t cos t, z = a cos2 t (0 < t < л), пробегаемый в направлении возрастания параметра t.
4371. J {у — z) dx 4- (z — x) dy 4- (x — y) dz, где c
C — эллипс x2 4- у2 = a2 — 4- — = 1 (a > 0, Л > 0), a h
пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
4372. j (у2 4- z2) dx + (х2 + z2) dy 4- (х2 4- у2) dz, с
где С — кривая х2 4- у2 4- z2 = 2Rx, х3 + у3 = 2гх (0<
<r<£, z>0), пробегаемая так, что ограниченная 30~23»3
466 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ею на внешней стороне сферы х2 4- у2 4- г2 = 2Rx наименьшая область остается слева.
4373. f (у2 — z2) dx + (г2 — х?) dy + (х2 — у2) dz, с
где С — сечение поверхности куба 0 < х < а, 0 <
< у sg а, 0 < z < а
плоскостью
. I 3
х + у + z — — а,
пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
4374. f y2z2dx + x2z2dy + x2y2dz, где С — замкну-с
тая кривая х = a cos t, у — a cos 2t, г — a cos 3/, пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
4375. Доказать, что функция
W (х, у, z) = ki J j -cos я) dS (k = const),
где S — площадка, ограниченная контуром С, п — нормаль к поверхности Snr — радиус-вектор, соединяющий точку пространства М (х, у, г) с текущей точкой Л (£• Л^) контура С, является потенциалом магнитного поля Н, создаваемого током i, протекающим по контуру С (см. задачу 4340).
§ 16. Формула Остроградского
Если S — кусочно гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, z), R = R (х, у, г) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными 1-го порядка е области V 4" S, то справедлива формула Остроградского:
J f(P cos а Q cos Р R cos у) dS =»
V
где cos a, cos р, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
Применяя формулу Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и cos а, cos 0, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S:
4376. j jX3dy dz+yadzdx + z3dxdy.
§ 16. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
467
4377. yzdydz-}-zxdzdx-\-xydxdy.
4378 (С х cos а + У cos р + z cos у
yj Хг -f- у* + Z2
4379. JJ^-^-cosa4--y^-cosP + -y-cosY^dS. s
S
+ (-у----y-'jcos yl dS.
\ дх ду ) J
4381. Доказать, что если S — замкнутая простая поверхность и I — любое постоянное направление, то
J* j* cos (/», /)dS = 0, s
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
4382. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью S, равен
V = (х cos a 4-у cos 04-zcos y)dS,
где cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
4383. Доказать, что объем конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью F (х, у, г) — 0 и плоскостью Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0, равен
V = — SH,
з
где S — площадь основания конуса, расположенного и данной плоскости, я Н — его высота.
4384. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = ± с и
х = a cos и cos v 4- b sin u sin v,' y = acos«sinv—bsinucosv, z — csinu.
4385. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
х » и cos v, у — и sin v, г = —и 4* a cos v (и > 0)
и плоскостями: х — 0 и г = 0 (а > 0).
30*
468 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4385.1. Найти объем тела, ограниченного тором
х = (b + a cos ф) cos ф, у = (b + acosi|))sin ф, z = a sin ф
(0<a< 6).
4386. Доказать формулу
Ш /(*> У> t)dxdydz\ =
dt 1жЧ-И+г*«* J
= JJ f(x, у, г, t)dS 4- fJJ -^-dxdydz
С помощью формулы Остроградского вычислить следующие поверхностные интегралы:
4387. х2 dy dz 4- у2 dz dx 4- z2 dx dy, где S —
внешняя сторона границы куба 0<x<a, О < г < а.
4388. JJ xa dy dz 4- у3 dz dx 4- z3 dx dy, где S — внешняя сторона сферы x2 4- у2 4- z2 = a2.
4389. j J (x — у + z) dy dz + (y — z + x) dz dx -t~ 4- (z — x 4- y) dx dy, где S — внешняя сторона поверхности
|jc — у + г\ + \y — z4-x|4-|z — x4*?| = 1.
4390. Вычислить J f (x2 cos a+y2 cos 0 4- z2 cos y) dS,
s
где S — часть конической поверхности x24-z/2 = z2 (0 < z < h) и cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к этой поверхности.
Указание. Присоединить часть плоскости г — ht *2 4- у2 Ла.
4391. Доказать формулу
V S
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к поверхности S в текущей точке ее (§, ц. 0, г = V(£ — *)г + (!) ~ У)г- + ($ — г)?
§ 16 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
469
иг — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, г) к точке (I, Т).
4392. Вычислить интеграл Гаусса
S
где S — простая замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к поверхности S в точке ее (5, г), £), г — радиус-вектор, соединяющий точку (х, у, г) с точкой (£, т), □ и г = = 7 (5 - X)2 + (П - Z/)2 + (? - Z)8.
Рассмотреть два случая:
а) когда поверхность S не окружает точку (х, у, г), б) когда поверхность S окружает точку (х, у, г).
4393. Доказать, что если
. d2u , дги , д2и
дх2 ду2 дг2
и S — гладкая поверхность, ограничивающая конечное тело V, то справедливы следующие формулы:
a) J С -у- dS — J J kudxdy dz', 's 'v'1
б»
v
dydz+ Г J и Au dxdydz, v J
где и — функция, непрерывная вместе со своими частными производными до второго порядка включительно в области V + S, и —----производная по внешней нор-
дп
мали к поверхности S.
4394. Доказать вторую формулу Грина в пространстве
V
3
ди дп
до дп
dS,
и
V
где объем V ограничен поверхностью S, п — направление внешней нормали к поверхности S и функции
470 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и = и (х, у, г), v = v (х, у, г) дважды дифференцируемы в области V + S.
4395. Функция и — и (х, у, г), обладающая непрерывными производными до второго порядка включительно в некоторой области, называется гармонической в этой области, если
<Эх2 ду2 дг2
Доказать, что если и — гармоническая функция в конечной замкнутой области V, ограниченной гладкой поверхностью S, то справедливы формулы:
a>SHdS=0-’ S
V
s где n — внешняя нормаль к поверхности S.
Пользуясь формулой б), доказать, что функция, гармоническая в области V, однозначно определяется своими значениями на ее границе S.
4396. Доказать, что если функция и = и (х, у, г) — гармоническая в конечной замкнутой области V, ограниченной гладкой поверхностью S, то
/ 1 С С Г cos (г, я) , 1 dul.c
О(х, у, z) j j s где г — радиус-вектор, идущий из внутренней точки (х, у, z) области V в переменную точку (|, т|, £) поверхности S, г = V(g — х)г + (т] — у)2 + (С — г)2, п — вектор внешней нормали к поверхности S в точке (5, т), £).
4397. Доказать, что если и — и (х, у, г) — функция, гармоническая внутри сферы S радиуса с центром в (хо, Уо, z0), то и (х0, уо, г0) = —-J— f [ и(х, у, г) dS 4л/С J J 3
(теорема о среднем).
4398. Доказать, что функция и = и (х, у, г), непрерывная в ограниченной замкнутой области V и гармоническая внутри нее, не может достигать своих наибольшего и наименьшего значений во внутренней точке обла-
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
471
сти, если эта функция не является тождественной постоянной (принцип максимума).
4399. Тело V целиком погружено в жидкость. Исходя из закона Паскаля, доказать, что выталкивающая сила жидкости равна весу жидкости в объеме тела и направлена вертикально вверх (закон Архимеда).
4400. Пусть St — переменная сфера (£ — х)2 + + (п — у)2 + (£ — г)2 = t2 и функция f (§, р, £) —« непрерывна. Доказать, что функция
удовлетворяет волновому уравнению д*и . д*и . д*и д*и дх* + ду* + дг* ~ dt*
-J-I =f(x, у, z). at |/=o
и начальным условиям: и
= 0,
,, „ ди
Указание. Производную—— выразить тройным инте-от
градом.
§ 17. Элементы теории поля
.1°. Градиент. Если и (г) = и (х, у, г), где г = xi -h + {//+ aft, есть непрерывно дифференцируемое скалярное поле, то градиентом его называется вектор
. ди . , ди . , ди grad« = —— Z + ft
дх ду дг
д д д
или, короче, gradu=Vu, где V = i----Ь/т----h -Гра-
дх ду дг
диент поля и в данной точке (х, у, г) направлен по нормали к поверхности уровня и (х, у, а) = С, проходящей через эту точку. Этот вектор для каждой точки поля по величине
и направлению дает наибольшую скорость изменения функции и. Производная поля и в некотором направлении I {cos а, cos р, cos у) равна:
du ди , ди _ , ди
—— = grad и -1—--cos а 4---cos р 4--cos у.
от дх ду дг
2°, Дивергенция поля и ротация (вихрь) поля. Если
а (г) = ах (х, у, a) I + аи (х, у, г) J + аг (х, у, a) ft
472 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
есть непрерывно дифференцируемое векторное поле, то скаляр
j* дах , даи , да,
div as Va =—i—I-----— H----—
дх ду дг
называется дивергенцией или расходимостью этого поля.
Вектор
i J k
д д д
rot а = V X а = —
дх ду дг
ах ау аг
носит название ротации илн вихря поля.
3°. Поток вектора через поверхность. Если вектор а (г) порождает векторное поле в области Q, то потоком вектора через данную поверхность S, расположенную в О, в указанную сторону, характеризуемую единичным вектором нормали п (cos a, cos 0, cos у), называется интеграл
( [ andS = J Г (с, cos а + ау cos 0 4- аг cos у) dS,
' s sJ
где = аг. — нормальная проекция вектора. Формула Остро-градского в векторной трактовке принимает вид ^andS =
S
«= j [ J div a dxdy de, где S есть поверхность, ограничиваю-
щая объем U, и п — единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
4°. Циркуляция вектора. Линейным интегралом от вектора а (г), взятым по некоторой кривой С {работа поля), называется число
[ a dr = [ axdx aydy 4- а^г. с с
Если контур С замкнут, то линейный интеграл называется циркуляцией вектора а вдоль контура С.
В векторной форме формула Стокса имеет вид ф а аг = с
= J J (rot а)п dS, где С — замкнутый контур, ограничивающий
поверхность S, причем направление нормали п к поверхности S должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, стоящего на поверхности S, головой по направлению нормали, обход контура С совершался против хода часовой стрелки (для правой системы координат).
5°. Потенциальное поле. Векторное поле а (г), являющееся градиентом некоторого скаляра и-.
grad и = а.
называется потенциальным, а величина и называется потенциалом поля.
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 473
Если потенциал и — однозначная функция, то
J" a dr = и (В) — и (А).
В частности, в этом случае циркуляция вектора а равна нулю.
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля а, заданного в поверхностно односвязной области, является выполнение условия rot а = 0, т. е. такое поле должно быть безвихревым.
4401. Найти величину и направление градиента поля и — х2 + 2у2 + Зг2 4- ху + Зх —- 2у — 6г в точках: а) О (0, 0, 0); б) А (1, 1, 1) и в) В (2, 0, 1). В какой точке градиент поля равен нулю?
4401.1. Пусть и = ху — г2. Найти величину и направление grad и в точке М (—9, 12, 10).
Чему равна производная в направлении биссектрисы координатного угла хОу?
4402. В каких точках пространства Охуг градиент поля
и = х3 + у3 + г3 — Зхуг
а) перпендикулярен к оси Ог; б) параллелен оси Ог; в) равен нулю?
4403. Дано скалярное поле и = In —,
где г = д/(х— а)2 + (у — b)2 4- (г — с)2. В каких точках пространства Охуг имеет место равенство | grad и | = 1?
4404. Построить поверхности уровня скалярного поля и = 7x2 + i/2 + (z4 8? 4- Vx24-.y24-(z—8)2.
Найти поверхность уровня, проходящую через точку М (9, 12, 28). Чему равен max и в области х2 4- у2 + 4- г2 < 36?
4405. Найти угол <р между градиентами поля
X и =------------
х“ 4- уг 4- z2
в точках Л (1, 2, 2) и В (—3, 1, 0).
4406. Пусть дано скалярное поле и = — г —.
л! хг + у14- Z2
Построить поверхности уровня и поверхности равного модуля градиента поля.
<74 ОТДЕЛ VIH КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти inf и, sup и, inf|grad w|, sup (grad u \ в области 1 < г < 2.
4407. С точностью до бесконечно малых высших порядков найти расстояние в точке Ма (х0, у, г0) между двумя бесконечно близкими поверхностями уровня и (х, у, г) = с и и (х, у, г) = с + Дс, где и (х0, уп, z„) = с (grad и (х0, у0, г0) #= 0).
4408. Доказать формулы:
a) grad (и + с) = grad и (с — постоянно);
б) grad си = с grad и (с — постоянно);
в) grad (и + v) = grad и + grad v;
r) grad uv = v grad и 4- и grad v;
д) grad (иг) = 2u grad u;
e) grad f (u) = f (u) grad u.
4409. Вычислить: a) grad r; 6) grad г2; в) grad —, где r = xi->ryj-i-zk.
4410. Найти grad / (г), где r = -y/x2 + y2 + z2.
4411. Найти grad (cr), где c— постоянный вектор и
г — радиус-вектор из начала координат.
4412. Найти grad {|с X rj2} (с — постоянный вектор).
4413. Доказать формулу grad / (u, v) = grad и + ди
'—— grad v.
dv
<414. Доказать формулу V2 (uv) = u\72v + v\72u 4-4- 2V«V v, где
. d . . d j —ь« — •
Jdy dz a2 a2 a2 ax2 + ду1 ф a?2
дх
v2= w =
4415. Доказать, что если функция и = и (х, у, г) дифференцируема в выпуклой области Й и | grad и \ < М, где М — постоянная, то для любых точек А, В из Q имеем:
| и (А) — и (В); < Мр (А, В), где р (А, В) — расстояние между точками А и В.
4415.1. Для функции и = и (х, у, г) выразить grad и: а) в цилиндрических координатах; б) в сферических координатах.
5 IT. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
475
4416. Найти производную поля и =*-1—4--^—4--^— <_“ !>“ с‘
в данной точке М (х, у, г) в направлении радиуса-вектора г этой точки.
В каком случае эта производная будет равна величине градиент:.?
4417. Найти производную поля и = 1/г, где г = = -у/х2 + у2 + г2, в направлении /{cos a, cos р, cos у}.
В каком случае эта производная равна нулю?
4418. Найти производную поля и = и (х, у, г) в направлении градиента поля v = v (х, у, z).
В какой случае эта производная будет равна нулю?
4419. Написать в ортах векторное поле а = с X X grad и, если
и — arc tn —- и с = 14-/ -г л/** + у2
4420. Определить силовые линии векторного поля a — xl +yj + 2zk.
4421. Доказать непосредственным вычислением, что дивергенция вектора а не зависит от выбора прямоугольной координатной системы.
4422. Доказать, что div а(М) == 1цп —— J Г а„ dS, d (S)—0 V s
где S — замкнутая поверхность, окружающая точку М и ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к поверхности S, d (S) — диаметр поверхности 3.
4422.1. Найти дивергенцию поля а =*
V х2 + у1
в точке Л! (3, 4, Е). Чему приближенно равен поток П вектора а через бесконечно малую сферу (х — З)2 + + (У - 4)а 4- (z — 5)* = ег?
4423. Найти
дх ду дг
(1)х
4424. Доказать, что a) div (а 4- b) — div а 4- div b; б) div (нс) = с drad и (с — постоянный вектор, и —скаляр); в) div (на) = и div а 4- a grad и.
4425. Найти div (grad u).
476 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4426< Найти div [grad f (г)], где г = хг + уг + z27 В каком случае div [grad f (г)] = О?
4427< Вычислить: a) div г; б) div г/г.
4428. Вычислить div [f (г) с], где с — постоянный вектор.
4429. Найти div [ f (г) г]. В каком случае дивергенция этого вектора равна нулю?
4430. Найти: a) div (и grad и); б) div (и grad и).
4431. Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси Ог против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со. Найти дивергенцию вектора скорости v и вектора ускорения w в точке М (х, у, г) Пространства в данный момент времени.
4432. Найти дивергенцию гравитационного силового поля, создаваемого конечной системой притягивающих центров.
4433. Найти выражение дивергенции плоского вектора а = а (г, ср) в полярных координатах г и ср.
4434. Выразить div а (х, у, г) в ортогональных криволинейных координатах и, v, w, если х = f (и, v, w), у = g (и, v, w), z — h (и, v, w). Как частный случай получить выражение div а в цилиндрических и сферических координатах.
Указание. Рассмотреть поток вектора а через бесконечно малый параллелепипед, ограниченный поверхностями и — const, V = const, to = const.
4435. Доказать, что: a) rot (а + b) — rot а + rot&i б) rot [на) =? и rot а -t- grad (и х а).
4436. Найти: a) rot г; б) rot [f (г) г].
4436.1. Найти величину и направление rot а в точке
М (1, 2, —2), если а=—/-и— /4-—ft. г х у
4437. Найти: a) rot cf (г); б) rot (ex f (г) г\ (с —• постоянный вектор).
4438. Доказать, что div {а х b) = b rot а —a rot b.
4439. Найти: a) rot (grad и); б) div (rot а).
4440. Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси I {cos a, cos р, cos у} с постоянной угловой скоростью to. Найти ротацию вектора линейной скорости <о в точке пространства М (х, у, г) в данный момент времени.
4440.1. Найти выражение ротации плоского вектора а — а (г, <р) в полярных координатах г и <р.
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 477
4440.2. Выразить rot а (х, у, г) а) в цилиндрических координатах; б) в сферических координатах.
4441. Найти поток вектора г:
а) через боковую поверхность конуса х2 + у2 < z? (0 < z < Л);
б) через основание этого конуса.
4442. Найти поток вектора а — iyz +Jxz + kxy: а) через боковую поверхность цилиндра х2 + у2 С а2 (0 С z < < h); б) через полную поверхность этого цилиндра.
4443. Найти поток радиуса-вектора г через поверхность z = 1 — д/х2 + у2 (0 < z < 1).
4444. Найти поток вектора а = x2l + y2J +г2Л через положительный октант сферы х2 + у2 -j- z2 = 1, х > 0, у > 0, z > 0.
4445. Найти поток вектора а — yi+zj +xk через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, х + у + z = а (а > 0).
Проверить результат, применяя формулу Остроградского.
4445.1. Найти поток вектора а — хЧ + y3J + г2к через сферу х2 + у2 + z2 = х.
4446. Доказать, что поток вектора а через поверхность S, заданную уравнением г = г (и, v) ((и, v) С Q), равен
S Q
где ап = ап и п — единичный вектор нормали к поверхности S.
4447. Найти поток вектора а = тг/г2 (т— постоянная) через замкнутую поверхность S, окружающую начало Координат.
п
4448. Найти поток вектора а (г) — grad ( —*
1—1
где ег — постоянные и г( — расстояния точек Mt (источники) от переменной точки М (г), через замкнутую поверхность S, окружающую точки М( (I = 1,2, . . ., п).
4449. Доказать, что dS = f j V2u dxdydz, s j j
где поверхность S ограничивает тело V.
4450. Количество тепла, протекающее в поле температуры и за единицу времени через элемент поверхности
478 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
dS, равно dQ = —Ад grad и dS, где k — коэффициент внутренней теплопроводности и п — единичный вектор нормали к поверхности S. Определить количество тепла, накопленное телом V за единицу времени. Используя скорость повышения температуры, вывести уравнение, которому удовлетворяет температура тела (уравнение теплопроводности).
4451. Находящаяся в движении несжимаемая жидкость заполняет объем V. Предполагая, что в области V отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение неразрывности.
-^- + div (pt») = O,
где р = р (х, у, г) — плотность жидкости, v — вектор скорости, t — время
Указание. Рассмотреть поток жидкости через произвольный объем <о, содержащийся в V.
4452. Найти работу вектора а —г вдоль отрезка винтовой линии г — la cos t 4- Ja sin t 4- kbt (0 < t <2n).
4452.1. Найти работу поля a = — Z4-—-J + — k У г x вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки М (1, 1, 1) и N (2, 4, 8).
4452.2. Найти работу поля а = 1е«~г 4- Je2-2 4-4- ke*-» вдоль прямолинейного отрезка между точками О (0, 0, 0) и М (1, 3, 5).
4452.3. Найти работу поля а = (у 4- г) i 4- (24- x)j 4-4- (х 4- у) А вдоль кратчайшей дуги большого круга сферы х2 4- уг 4- z2 = 25, соединяющей точки М. (3, 4, 0) и N (0, 0, 5).
4453. Найти работу вектора а = f (г) г, где f — непрерывная функция, вдоль дуги АВ.
4454. Найти циркуляцию вектора а = —yi 4- xj 4* 4- ck (с — постоянная): а) вдоль окружности х2 4- у2 => = 1, z — 0; б) вдоль окружности (х — 2)2 4- у2 — 1, г = 0.
4455. Найти циркуляцию Г вектора а =• = grad (arctg —) вдоль контура С в двух случаях: а) С не окружает ось Ог; б) С окружает ось Ог.
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ поля 479
4455.1. Дано векторное поле
а = —1--------~r-J +л/ху к.
у/г л/г
Вычислив rot а в точке М (1, 1, 1), приближенно найти циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой окружности
(Х_1)2+(у_1)2 + (г_1)2 = е2) ।
(х—l)cosa + (t/—1) cos p + (z— 1) cos у= 0, J
где cos2 a + cos2 p + cos2 у = 1.
4456. Плоский установившийся поток жидкости характеризуется вектором скорости
w = и (х, у) I + v (х, у) j.
Определить: 1) количество жидкости Q, протекающее через замкнутый контур С, ограничивающий область 3 (расход жидкости); 2) циркуляцию Г вектора скорости вдоль контура С. Каким уравнениям удовлетворяют функции и и и, если жидкость несжимаема и поток безвихревой?
4457. Показать, что поле
а = уг (2х + у + г) / + хг (х + 2у + z)J +
+ ху (х + у + 2z) к
— потенциальное и найти потенциал этого поля.
4457.1. Убедившись в потенциальности поля
а =---------1-----------J-----------к,
(у + г)112 («/+г)3/2 (л+?)3/2
найти работу поля вдоль пути, соединяющего в положительном октанте точки М (1, 1, 3) и N (2, 4, 5).
4458. Найти потенциал гравитационного поля
создаваемого массой т, помещенной в начале координат.
4459. Найти потенциал гравитационного поля, создаваемого системой масс (i = 1, 2.......п), поме-
щенных в точках Mi (i = 1,2, . . ., п).
4460. Доказать, что поле а = f (г) г, где f (г) — однозначная непрерывная функция, является потенциальным. Найти потенциал этого поля.
ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ 1
отдел I
16. 0; 1. 17. — V2; V2.22. — 1,01< х <—0,99. 23. х< <—8} *2=И2. 24. х<---. 25. 0<х< —. 26. |х|<6.
2 3
27. х>----- 28.-----L<X<_L, 29. —~V30_.<x<
2 2 2 10
_5±V^_<X<_5±VB_. 31. Второе. 10 ’10 10
82. Два знака. 33. Не превышает 0,41 %. 34. 9,9102 см* < <3< 10,0902 см*; Д<0,0902 см*; 8<0,91 %. 35. 3,93 гс/см’± Л 0,27 гс/см»; б <7,3 %. 36. б < 3,05 %. 37. 172,480 м* < < v < 213,642 м’; о = 192,660 м* ± 20,982 м3; б ж 12 %.
1 / О
88. А<0,17мм. 39. А <0,0005 м.42. ; б) Л/> а/-;
я V ®
1g—
й "=•1+*Т^-=r) - ик *Г- ”• •' "=*« q N >(-!&£.)*; в) Л^10«. 46. 0. 47. 0. 48. 0. 49. -у. 60. - * 1 2 . 51. —. 52. —. 53. —. 54. —. 55. 3.
1 —а 2 2 3 3
БА. 1. 57. 2. 67. а) второе; а) первое; в) второе. 72. «= 2,71828 ... 92. Равен 1, если в=#=0 и принадлежит [ — 1, Ц или не существует, если а = 0. 96. xs = 1—. 97. xjM а 8
1 10001000
.= —. 98. х100а=-^-----«2,49-104*. 99. х4=х6= - 120.
20 10001
100. хм«=20. 101. 0; 1; 1; 1. 101.1. —3—; 5; —2; 2.
2
№. _ j; 1 -L. 0; 1. 103. 0; 2; 0; 2. 104. —4; 6; —4} 6.
2
ОТВЕТЫ
481
105. — —I] — —— • 1, 106. —оо; + оо; — оо; + оо.
2 ’ 2
107. — ооj — I; — оо; —оо. 108. 0; -f- оо; 0; оо, 109. —оо; 4-оо; -оо; 4-оо. ПО. -5; 1,25; 0; 0. 111.-------А 1.
112. —fe4-------A-V «+!• ИЗ. 0; 1. 114. 1; 2. 115. 0;
к V2 )
1. 116. 0; 1. 117. 1; —; —; . . . ;0. 118.Все вещее»-2 3
венные числа, заключенные между 0 и 1, включая последние. 119. 1, 5. 120. а; Ь. 127. а) расходится, б) может как сходиться, так и расходиться. 128. а) нельзя; б) нельзя. 129. Нет.
130. Нет. 144. а)О;б)О. 147. Ш 2. 148. — (а4- 25). 151. —оо<
154. а) | х| > 2; б) х£>2.
С (2k 4- l)s л» (k — 0, 1, 2,
156.
и
Л — (4fe+ 1) = 1, 2,
•).
1 2k
157. ----!—
2*4- 1 =0, 1, 2, . . .). 158. х>0,
2*4-1
х^= п (п — 1, 2, . . .).
2*4-2
.59. - А<
160. |х — *л| С — (* = 0, ± 1, Ь
Сх<1.
±2, . . .)
161. 10(2*-1Ял<х< Ю(**+УЗД (*=0, ±1, ±2, . . 162. х=
•=— 1, —2, —3. . . . и х>0. 163. х<30, х#>— л (л и 1,
1 ч
2, . . ,). 164. 1<хс2. 165. х , 1, —, 2, . . . 2 2
165.1. х> 4. 165.2. *л 4-А < *л 4- А (* = 0, ±1, . . .),
л Ал. Чл
165.3. 0<х<— и — <хС—. 166. —l<xc2; ОС 3 3 2
СУС 1 167. 2*л 4-А<!*<2*л 4"~~ (*=0, ±1,
cfc2, . . .); — oo<qyclg3 *68- — оо<х< 4-00; ОС у с С«- 169. !<х< 100;--— А. 170. х*=----------,
2 2 2у4-1
31-2383
482
ОТВЕТЫ
где о и д — целые числа; у^± 1.
171. Р = 26+2^1-—'j х
(О < х<Л); S «= Ьх
172. д =
V100 — 96cosх (0<х<л), S = 24sinx (0<х<л). 173. S=
—-—х* если 0 < х < L_; S = h(x a~b \ a—b 2 \ 4 )
a — b _ а + b е L Г в + b (в — х)21 если ----< х < —•— ; S =Л----------1,
2 2 L 2 a—b J
если а~^~— <xaga. 174; т (х)=0, если —оо<х^0; т (х)= = 2х, если 0<xsg:l; т(х) = 2, если 1<х^2; т(х)=3, если 2 < х <3; т (х) = 4, если 3 < х < + со. 178. Еу — (0 <у<4). 179. £у = {1<у<3). 180. Еу={0<у<1}.
181. Еи = {1^|у|< 4-оо}. 182. Еи~ (1 <у<2). 183. Д< <у<Ь при а<Ь и b<Zy<ia при а>Ь. 184. 1<у< 4-оо. 183. 0>у>— оо и 4-00 >у>1. 180. — 187. 4-оо>
>у> —00.
1 ч
188. Осу < — и — < у<2.
189. 0; 0; 0; 0;
24. 190. 0; —6; 4. 191. 1; 1; 1; 2. 192. —1; 0; 1; 2; 4.
193. j -I+JL ~* 2 , *— 1 14-х
1 — х ’ 24-х ’ 14-* * *4-1 * 1 —х
194. а)/(х)=0, если х= — 1, х = 0 и х= 1; f(x)>0, если — оо <х < — 1 и 0 < х <5 1; f (х) < 0, если — 1<х<0 и 1<
<х< 4- со;
6)f(x) = 0, если х= ± —
/ (х) > 0, если
--------< х <----- и------------< х <------------(ft = О, 1,
2ft4-l 2Л 2*4-1 2*4-2
2, . . .); Н*)<0> если-----!-----<х< —!------ и------—<х<
2* 4- 2 2* 4-1 2*
<-------------(* = 0, 1, 2, . . .); в) f (х) = 0, если х < 0 и
2ft 4-1
х= 1; [ (х)>0, если 0<х< 1; f(x)<30, если 1 <х< 4-со.
аЬ___। 7
195. а) а; б) 2x-f-Л; в) а*-—----197. f (х) =. — х —2;
h 3
f(i)=4-; f(2) = 2-|-- 198. Нх) = -1-х»4- — х4-1; о о о о
2 17 10 7
Г(_1)----199. f(x) = -^-x?--i-x»-
W W
ответы
483
----fr-x+2. 200. f(x) — 104-5.2» 203. a) 2£n<jx<Jn + 6
4-2£n(fe«=0, ±1, ± 2, .. .). б) 1<х<е; a) xfc>0, х=?ь
k (k •- 0. 1, 2, .. .). 205. a) z-= x-j- y, 6) ?=• —-—;
* + У
в) z = ; Г) z = —, 206. <p (<P (x)) — x4;
1 — xy 1 + xy
ф (4> (x)) - 2«»; ф (ф (x)) - 2«; ф (<p (x)) = 2A 207. <p (<p (x)) --= sgn x; ф (ф (x)) = x (x =#= 0); <p (Ч> (x))»ф (ф (x)) = sgn x (x 5^0). 208. <p (<p (x)) «= <p (x); Ф (ф (x)) — ф (x); ф(ф(х)) —
«ф(ф(х))-0. 209.----------x(x?t0, x^=l). 210. fn(x)=>
x
=---- 211. x« — 5x4-6. 212. x! — 2f|x| >2-1Л.
V1 + 2 '
14-Vl + *2 213.1. f(x) = f—-—Y. 221. а) Воз-
1—x J
растает при a>0 и убывает при a<^0; б) при a£>0 убывав** в интервале^—со, —и возрастает в интервале 4-°°) I
в) возрастает, г) при ad — &с£>0 возрастает а интервала! — оо,------—) и^-------4-00^; в) возрастает прна£>1
и убывает при 0<^а<1. 222. Можно, если основание логарифмов больше 1. 224. (— оо<у<4"°о). 225. а) —V7
(о су < 4- «); б) л/у (ОСУ<4- оо). 226. 4=^- (у¥— 1). 14-у
227. а) — V1— У* (0<УС1); б) Vl — У* (0Су<1). 228. Arshy=
«= 1П (у 4- V14- У*) (— оо < у < 4" °0). 229. Arth у =»
L~h.,y. ( — 1 <у < 1). 230. х = у, если — оо<]у^1; 1—У
= -1п
2
* = Vy. если 1 <У < 16; x=log,y, если 16<$у<]4-оо. 231. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная; д) нечетная. 233. а) Периодическая, LT = 2n/k; б) периодическая, Т = 2я, в) периодическая, Т в 6л; г) периодическая, Т •= nj д) непериодическая; е) периодическая, гТ = я; ж) непериоди-2 1
ческая; а) непериодическая. 241. /«=1— с, х« —3— м.
3 3
„ b 4ас—&
243. х, -----:, у0 ----------
2a 4a
244. у = х-----------•
36000 ’
31*
484
ОТВЕТЫ
8 км; 36 км. 251. х0 =-----уо = —. 252. р= —(ti>
с с v
>0). 263. k = —п=—--------------------------------— (ахЬ—
в1 в1 °|
—abi), х0=----—. 264. y=-i5_. 287. А **-у/a2-I-b2 ; sinx0=
ai х2
s=----cosxo = ——. 356. у •» 2 sinx, если | х— лй|^-^-,
и у — (— 1)*, если — < |х — як | < (k = 0, ±1, ±2, . . .).
6 6
357. а) у — -у- (х 4- I х |); б) и в) у*= х* если х > 0; у •=> О» если х<0; г) у = х, если х<0; у = х4, если х>0. 358. а) у= = 1; б) у = 1, если 1 | х| -у/3 ; у = 0, если |х | < 1 или l«li>V3; в) у = 1, если |х|< 1; у = 2, если |х|> 1; г) у= = —2, если |х|>2; у = 2— (2 — х2)2, если | х «2. 359. При х< <0 имеем: а) 1) f (х) =* 1 + х, 2) / (х) » — (1 -V х); б) 1) f (х)= = — 2х — х2, 2) f (х) = 2х + х2; в) 1) / (х) = V — х, 2) f (х) = = — V — * ; Г) I) f (х) = — sin X, 2) f (х) = sin х; Д) 1) f (х) = «=е-*, 2) f(x)=—e-x; е) 1) f (х) = In ( — х), 2) f (х) =
= — In (— х). 360. а) х =--— \ б) х = —; в) х = ------.
2а 2 2
г) х •= кя (k => 0, ±1, ± 2, . . .). 361. a) (Xq, ахь4- b), где х0— „ f d а X х , b
— произвольно; б) [------, — 1; в) (х0, уа), где х0 -----
\ с с ) За
в Уо = ах2+ bxg+ cx0 + d-, г) (2,0); д) (2, 1). 372. Корни: — 1,88; 0,35; 1,53. 373. 2,11; —0,25; — 1,86. 374. 0,25;
1, 49. 375. 0,64. 376. 1,37; 10. 377. —0,54. 378. 0; 4,49. 379. Xi = —0,57, yi => —1,26; х2 = —0,42, yt =ь 1,19; xs = = 0,45. уз = 0,74; х4 = 0,54, yt = — 0,68. 380. Xj = — 1,30,
yi = 9,91; х2 = 2,30, уг = 9,73; х, = — 0,62, у3 = — 9,98; х« — =1,62, уз<=* —9,87. 382. а) Вообще говоря, нет; б) да.
385. Ограничена сверху и неограничена снизу. 387. f (а) и (5). 388. 0; 25. 389. 0; 1. 390. 0: 1. 391. 2; 4- оо. 392. — 1; 1. 393. — V21 V2. 394. -А-; 4. 395. а) 0, 1; 6)0; 2. 396. 0; 1. 397. а) 8; б) 0,8; в) 0,08; г) 0,008. 398. а) л;
2 I
6) л; в) л; г) л. 411. а) 1; б) —; в) —. 412. 6. 413. 10. 3 2
1 .о п 1Я~Н)
114. — пт(п~ т). 415. 5"* 416. f—А . 417. п 2
ОТВЕТЫ
485
418. 1_ 2 419. —, 2 . 420. 1. 421. —. 4 422. —. 3
423. (1)” 424. 424.1. 2 — . 2 24 425. . п
426. п (п — 1) 2 а"-2. 427. л(п»Н) 428 т-п. 2 ’ 2 . 429. х-1-
—. 430. х2 + ах а2 1 —. 431. 1. 432. — . 433. 3
2 3 2
434. —. 435. 1. 436. —— . 437. —. 438. —2. 439. —— .
3 V2 3 л/2а
440.-------L, 441. _1_. 442. J-. 443. —. 444. —
445. 16 1 4 144 4 5 3 2 449. п 4 — . 27
447. —. 27 448.
— 2. 446.
450. 7 451. 1 452. — ₽ . 453. а +-L.
36 2 т п т п
455. —. 455.1. — . 456. —. 457. — (а-Н>). 458. — . т 2 л! 2 2
459. — —. 460. 1. 461. —. 462. 2. 463. —. 464. — — .
4 3 3 4
465. J- (ei + as + . . . + ап). 466. 2". 467. 2п. 468. lim хг = п о-»0
=оо, limx,=—— . 469. а=1, b = — 1. 470. а; = ±1; 6,- =» о-О Ь
= :р — (i = 1, 2). 471. 5. 472. 0. 473. (— l)m-" — .
л п
475. —. 476. 2. 477. 4 2
482. cos а. 488. —sin а
474. 1 474.1. 1. 474.2. 1
2 3
478. 1 479. — • 480. 2
Р 2 л
484. sec’a fa#= (2А4-1) — , А=0,
±1, . . . 1. 485.------i—
/ sin2 а
(а #= kn, где k — целое). 486. Sln а-(а #= (2А + 1) — . где cos2 а 2
k—целое). 487.---------cosa— (a^kn, где k—целое). 488. —sine.
sin2 а
489. — cos а. 490. 2sina Га #= (2А + 1) —, где k — целое'!. cos2 а к. 2 J
491. (a^kn, где А —целое). 492. —sin2а. 493. —3
sin2 а 2
«6
ОТВЕТЫ
494. 14. 495.
(а Ф (2k + 1) -j-, 4
500. —. 501.
3
------. 496. — 24. 497.
V3*
где k — иелое^. 498. — .
7 4
со$2д
cos4 а
499. —.
4
--------. 502. V2 . 503. 0. 504. 3. 505. 0.
506. а) — ; б) д /— ; в) I. 507. 0 . 508. 0. 509. 0. 510. 0. 2 V 3
511. 1. 512. е3. 513. 1. 514. е"3. 515. е20. 516. 0, если ai<a2; + со. если at>a.2; еЧ—Мь, если аг — а2. 517. е. 5)8. г"1. 519. 1. 519.1. . 520. ек1е“ (a^kn— целое). 521. е^2.
522. е'1. 523. 1. 524. е"2. 525. е. 526. —!—. 527. е*+Ч
528. «г*72. 529. 1. 530. 1. 531. —. 532. 0. 533. — . 534. —2. а 5
ч ч
535. —. 536. —. 537.
2 2
log* х*
538. — . b
539.
540. 0. 540.1. п. 541. In а. 542. o^ln-^-. 543. а° In еа. 544. А е
9 а
545. —. 545.1. 545.2.—. 545.3. —2. 546. ё1.
3 Р
547. 1. 548. — а“—₽. 549. а*1па. 550. а*1п2а. 551. г(а+6). Р
552. In х. 553. In х. 554. УТГ. 555. -\[аЬ. 556. j/~abc.
557. (ааХЬ’’се)1/'а+ь+с'- 558. —1_. 559. (In-Y"‘. 560. аав1па. ab \ b)
561. a) 0; б)—. 562. In8. 563. -In2. 566. a) — • 6) —.
In2 2 2
567. 1.568.0. 569. Ina3. 570. — . 571. —. 572.-2. 573. A 8 2
a -4- В I 2
574. e2/«. 575. - p-. 576. a) 1; б) — ;в) 1. 576.1. —.
V“P 2 9
577. 2sh—. 577.1. a) cha; 6)sha. 577.2. — 1. 578. In2. 2
579. 1. 580. ««’. 581. — — . 582. 2 Л 583. —. 2
584. 585. 4 ! . 586. 2. 587. 1 -j-x3 e* x’-f- 1 -. 588. — . 2
ОТВЕТЫ
48?
S89. 1. 590. е2/л. 591. 0. 592. 0. 593. а) 4- оо; б) -i- .
594. а) —1; б) 1. 594.1. In — . 595. а) — • б)---------—.
а3 2 2
596. а) 1; б) 0. 597. а) 0; б) 1. 600. 2; 1; 2. 601. 0; (— 1)л"1’ ( — I)”. 602. 0. 603. 1. 604. 0. 605. 1. 606. 0. 613. б) у=1. если | х | < 1; у = 0, если | х | «= 1. 614. б) у — 0, если 0 ^х<1;
у = • еслн * = И У = 1> если 1 O<j 4- оо. 615. у = — 1,
если 0<|х|<1; у = 0, если |х|=1; у<=1, если |x|J>l. 616. у = | х |. 617. у = 1, если 0 х 1; у<=х, если х > 1.
х®
618. у = 1, если 0 < х< 1;и •== х, если 1 <х<2; у =----.если
_ 2
х>2. 619. у = 0, если 0 < х< 2; у — 2 V2. если х=>2; у = х2, если х > 2. 620. б) у — 0, если х =#= (2Л + 1) ; у — 1, если
х = (2*+ 1)-^-(й = 0, ± 1, ±2; . . • ). 621. у=»1п2, еслн 0< < х 2; у — In х, если х > 2. 622. у « 0, если — 1 < х < Г, у =
= — (х — 1), если х> 1. 623. у = I, если х< — 1; у = «*+1,
2
если х > — 1. 624. у = х при х<0; у — -i- при х «= 0; у в 1
при х >0. 625. — . 625.1. у = л/х при 0<х<1 и 4й — 1 <3
<х<4Л+Г, у—х при 4й — 3<x<4fe — 2 и 4fe — 2<x<4fe — — 1; у = — (л/х + х) при х=2Л—1 (k = 1, 2, 3, . . .). 625.2. у= = 0, если х — рационально; у = х, если х — иррационально.
625.3. Контур квадрата max{|x|, |е/|} = 1. 627. а) х=1; х=—2,
у=х-1; б) </=х+у
при х->-|-оо, у= — х----------при х->
->- —оо; в) у —--х; г) у = х при х-+- 4- оо, у = 0 при х->-
-* —оо; д) у— 0 при х—►—оо, у — х при х->--}-оо; е) у => = х + —. 628. 0. 629.---!---. 630.2JE2L. 632.—.
2 1—х х 6
633. —. 634. — Ina. 635. 1/F. 636. «-“78. 637. — (1 +
2 2 2
4-V1 + 4a). 637.1. — . 637.2. -----------—. 637.3. ~ .
488
ОТВЕТЫ
638. VT+7 — 1. 639. 1 — Vl — * • 641. a) 2; б) 4- oo; в) 0;
г) 1; д) 2; e) 1; ж) 2sh 1. 643. a) Z = — 1, L = 2; 6) Z— — 2,
L = 2; в) I = 2, L = e. 644. a) I = — 1. L — 1; 6) Z = 0, L=>
= 4- oo; в) I = —— , L = 2; г) I = 0, L oa. 645. а) Пер*
2
вого порядка; б) второго; в) первого; г) третьего; д) третьего?
е) третьего. 653. а) 2х; б) х; в)-^—; г) • в®** а) 3 (*—О2*
б ° ; в) х— I; г)е(х —1); д) х —1. 656. а) хг;
3/2
/ 1 \S 1/1 \1/2
б) 2х«; в) х3/3; г) xV«. 657. а) ; б) — ( —) I
д) ---!---. 663. а) 9,95<х< 10,05; б) 9,995 <х< 10,005;
х — 1
в) 9,9995 <х<3 10,0005; г) V100—е < х < V100+e. 664. Д<
< ——; а) А<33,7 мм; б) А <0,37 мм; в) А <0,037 мм.
27
665. 100 [1 — 10-<я+1)]2<х< 100 [1+ 10-(л+1>]2; а)81<х<121; б) 98,01 <х< 102,01; в) 99,8001 <jx< 100,2001; г) 99,980001< <х<3100,020001. 666. 6 = minf—, 1Y 667. 6 =----------------— «
\ П / 1 + еж®
« 0,001xq*, а) [в « 10“5; б) 6 « 10~7; в) 6 » 10“9. Нельзя.
669. а) Нельзя; б) можно. 671. Нет; ограниченность в точке х0. [672. Нет; если функция [ (х) определена в конечном промежутке (а, Ь), то эти неравенства выполнены всегда; если по меньшей мере а или b равно символу оо, то lim \[ (х)| = х-*оо
= +оо. 673. Нет; однозначность и непрерывность обратной функции. 675. Непрерывна. 676. Непрерывна, если А — 4, и разрывна при х = 2, если А Ф 4. 677. Разрывна при х— = —1. 678. а) Непрерывна; б) разрывна при х = 0.
679. Разрывна при х = 0. 680. Непрерывна. 681. Непрерывна. 682. Разрывна при х = 1. 683. Непрерывна при а — 0 и разрывна при а ¥= 0. 684. Разрывна при х ~ 0. 685. Разрывна при х = k (k — целое). 686. Разрывна при х = fe1 (k = 1, 2, ...). 687, х — — 1 — точка бесконечного разрыва, 688, х =
ОТВЕТЫ
489
== —1 —устранимая точка разрыва. 689. х = —2 и х— 1 — точки бесконечного разрыва. 690. х = 0 и х = 1 — устранимые точки разрыва; х = —1 — точка бесконечного разрыва.
691. х = 0 — устранимая точка разрыва; х = kn (k = ± 1, sfc 2, . . .) —точки бесконечного разрыва. 692. х = ± 2 — устранимые точки разрыва. 693. х = 0 — точка разрыва 2-го
рода. 694. х = — (й = ± 1, ±2, , .— точки разрыва 1-го k
рода; х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 695. х = 0 и х = 2
= (й = 0, ±1, . . .) — устранимые точки разрыва.
696. х = 0—точка разрыва 1-го рода. 697. х = 0 — устранимая точка разрыва. 698. х= 0 — точка разрыва 2-го рода. 699. х = 0 — устранимая точка разрыва; х = 1 — точка бесконечного разрыва. 700. х — 0 — точка бесконечного разрыва; х = 1 — точка разрыва 2-го рода. 701. х = kn (k = 0, ± 1, ±2, ...) — точки разрыва 1-гО рода. 702. х = k (k = 0, ±1, ±2, . . .) — точки разрыва 1-го рода. 703. х— k (k == ±1, it 2, .. .)—точки разрыва 1-го рода. 704. Функция непрерывна. 705. х = ±V« (я = 1, 2, . . .) —точки разрыва 1-го
рода. 706. х = — (k = ±1, ±2, . . .) — точки разрыва 1-го k
рода; х = 0 — точка бесконечного разрыва. 707. х = — (k = к
= ±1. ±2, . . .) — точки разрыва 1-го рода; х = 0 — устра-2
нимая точка разрыва. 708. х =---------(й=0, ±1, ±2, ..
(2й+1)л '
— точки разрыва 1-го рода; х == 0 — точка разрыва 2-го рода.
709. х = ± — и х=± —Ц7- (й = 1, 2, . . .) — точки раз-k л/k
рыва 1-го рода, х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 710. х =»
=ж— (= ± 1, ± 2, . . .) — точки бесконечного разрыва; х == й
2
= 0 — точка разрыва 2-го рода. 711. х= — — (й *= О,
±1, ±2, . . .) — точки бесконечного разрыва; х == О — точка разрыва 2-го рода. 712. х = ± Vя (л = 1, 2, . . .) — точки разрыва 1-го рода. 713. х = О, х = 1 и х= 2 — точки разрыва 1-го рода. 714. х *= kn (й = 0, ± 1, ± 2, . . .) — точки бесконечного разрыва. 715. х = ± -у/kn (й = О, 1, 2, . . .) — точки бесконечного разрыва. 716. х= —1 и х *= 3—точки
490
ОТВЕТЫ
бесконечного разрыва. 717. х= 0 — точка разрыва 2-го рода.
718. х = 0 — устранимая точка разрыва. 719. х — ± 1 —
точки разрыва 1-го рода. 720. у = 1, если 0 х < 1; у —
•= если х = 1; у = 0, если х > 1; х = 1 — точка разрыва 1-го рода. 721. у = sgn х\ х — 0 — точка разрыва 1-го
рода. 722. у = 1, если |хК 1; у — х2, если |х| > 1. Функ-
ция непрерывна. 723. у = 0, если х Ф Ая; у = 1, если х = = Ля (А = 0, ± 1, ± 2, . . .); х = Ал — точки разрыва 1-го рода. 724. у—х, если | х — Ал | < —; у = — , еслн х =
= Ал ± —; у = 0, если — < | х — Ал | < —2- (А = О,
6 6 6
± 1, . , х = Ал ± —---------точки разрыва 1-го рода. 725. у=
6
«= — х. если ял < х < kn -4------: у =------х, если ял
2 2 2
Ч- — < х < Ал + л; 2
у = 0, если х = Ал Ч—(А = О, точки разрыва 1-го рода. 726. у = а
при х 0; у= х2 при х > 0. Функция непрерывна. 727. у = = 0 при х < 0 и у — х при х > 0. Функция непрерывна.
728. у — — (1 Ч- х) при х < 0; у — 0 при х = 0 и у = 1 Ч*
Ч- х при х > 0; х = 0 — точка разрыва 1-го рода.
729. Нет. 730. e= 1. 731. а) Функция непре-
рывна; б) х — —1 —точка разрыва 1-го рода; в) х = —1 — точка разрыва 1-го рода; г) х = А (А = 0, ±1, ±2, ...)•—
точки бесконечного разрыва; д) х=£ А (А = 0, ±1, ±2, . . .)
— точки разрыва 2-го рода. 732. d = — х при — оо < х < 0;
3
d — Q при 0 х 1; d = х — 1 при 1 < х 4 = 2 —х
3
при -у < х < 2; 4=0 при 2 С * С 3; 4 = х — 3 при
уЪ
3 < х < Ч-оо. Функция — непрерывна. 733. S = Зу —
I 5
при 0 у 1; 3 =• 4- 2у при 1 < у 2; 3 = — Ч- У при
2<У С 3; S = “— при 3 < у < Ч-оо; функция — непрерывна, b — 3 — у при 0 < 1; Ь = 2 при 1 < у < 2; Ь=1 при 2<
<УСЗ; Ь = 0 при 3<у< Ч-оо; х = 2 и х = 3 —точки разрыва 1-го рода. 735. Разрывна при х #= 0 и непрерывна при х — 0, 737. Разрывна при всех отрицательных значениях и
ОТВЕТЫ
491
положительных рациональных значениях аргумента. 738. [ (0) = 0,5. 740. а) ,5; б) 2; в) 0; г) е; д) 0; е) 1; ж) 0. 841. а) Да; б) нет. 742. а) Нет; б) нет. 743. Нет. Пример: / (х) « = 1, если х — рационально, и [ (х) = —I, если х — иррационально. 744. a) I. (g (х)) непрерывна, g (f (х)) разрывна при х=0; б) f: (g (х)) разрывна при х = —1, к = 0 и х = 1, g (f (х)) =0 непрерывна; в) f,(g (х)) и g (£ (х)) непрерывны. 745. t (<₽ (х)) » х.
— du + Ь
759. х =-------; a + d = 0. 760. х» у— k, если 2k
су — а
<у<2*+1(й = 0, ±1, ± 2, 764. Ш(х))«х.
767. х= —(0<у< + о°); х=д/у (0^у< + оо). 768. х= 1-д/Ь^у'( — оо<у< 1); x=xl + V1— у ( — оо < 1 — а/ 1 — и1
<у^1). 769. х=----------— (~1<у^1), Х«
У
1 + У1-У»
У
+ kn (k = 0, ± 1, ± arccos у (k = 0, = arctg у + Ля (k
(О <|у|<1)- 770. х = (—!)* arcsinу4-
±2, . . .) (— 1=$у<1). 771. х = 2йя± ± 1, ±2, . . .) (— 1^у< 1). 772. х =
= 0, ± 1, ±2, ...) ( — оо < у < + оо),
776. е = О, я
— Г’
если ху<1; e = sgnx, если ху> 1. 779. а) у = я
если — l^x^O; y=2arcsinx------- если
0<х< 1;
у = О, если
б) у = —(я+ 4 arcsin х), если
I 1
Vr“<x<-7r": * =
— 1 <х< —
1
VF
я — 4 arcsin х, если
1 я / я я \
Т <х< ~)-
7S1. (1<х< +<»);<,= — V*. — 1 (!<*+«).
7S2. Для всех /, для которых <р (t) = х, где х — произвольное значение функции <р (/), функция ф (0 должна иметь одно и то же значение. 783. Множество значений х (т) ПРИ ® < т < 0 должно быть интервалом (а, 6). 784. Для всех значений х, для которых ф (х) = и, где и — произвольное число из интервала (4, В), функция ф (х) должна принимать одно и то же значение.
g
785. 15|< — см. а) 0,5 мм; б) 0,005 мм; в) 0,00005 мм.
1 5 е’
786. а) в <—; б) S< 2,5-10-*; в) б < — г) 6 < — (е < 1). 793. а) Да; б) нет. 794. Равномерно непрерывна. 795. Не является равномерно непрерывной. 796. Равномерно непрерывна. 797. Не является равномерно непрерывной. 798. Равномерно непрерывна. 799. Равномерно непрерывна. 800. Не является равномерно непрерывной. 802. а) 6 = —;
О
б) б = -~-; в) 6 = 0,01е; г) 6 = е» (е< 1); д) б = Q w
492
ОТВЕТЫ
(g 6® \
• -т—----)• 803. «>1800 000.
3 3+ е /
__ А
808. а) со/ (6) Зб; б) со/ (б) < Уб"; со/ (б) < —7=~»
. ___ V2a
в) со/(б)<б д/2 . 818. f(x)=cosax или f(x) = chax.
819. f(x) = cosax; g(x) = ± sin ах (а = const).
ОТДЕЛ II
821. Дх = 999; Ду=3. 822. Дх =—0,009; Ду =990 000.
823. а) Ду = аДх; б) Ду — (2ах + Ь) Дх + а (Дх)2; в) Ду = ==а*(адх — 1). 825. а) 5; б) 4,1; в) 4,01; г) 4 + Дх; 4. 826. 3+З/i-l-ft2; а) 3,31; 3, б) 3,0301; в) 3,003001; 3. 827. а) оср = 215 м/с; б) оср = 210,5 м/с; в) оср = = 210,05 м/с; 210 м/с. 828. а) 2х; б) Зх2; в)-----V (х#=0);
х2
г) (х> 0); д) -37L-.
2-V* 3 у х2
(х=#=0);
1
е) -----Г-
cos2x
(x^=(2ft-l) fe = 0, ±1....); ж)
(x^kn, ft = o, ±1,...); a) -yp=p (|x|<i)s
—jr4"(|lt|<1): к) ТГ7"- 829’ ~8: 0:0-
830. 4. 831. 14-~-. 832. f (a). 834. y' = l—2x; 1.
4
О, — 1, 21. 835. y' = x«+x —2; a) —2; 1; 6) — 1;
0; в) — 4; 3. 836. 10a3x — 5x*. 837.
a a+ b
838. 2x - (a + b). 839. 2 (x + 2) (x + 3)2 (3x2 + 1 lx + 9).
840. x sin 2a + cos 2a. 841. mn fx"1-1 + x*-1 + (m + n) xm+n-1].
842. —(1 —x)2(l—x2)(l—x’)2(1 + 6x + 15x2+ 14x3).
842.1. — 20 (17 + 12x) (5 + 2x)« (3 — 4x)le. 843. —
) <«-> -4^
2(1 — 2x) . 847 l-x+4x2
(1—x+x2)2 ‘ (1—x)3(l + x)«
12 — 6x — 6x2 + 2x3 + 5x« - 3x*
(1-x)3 (1 — x)»-1 ((/> + 4) + (/> — 4) x]
846.
848.
849.
(|X| 1).
(1*1 *1).
(x¥=l).
(x ¥= - 1).
rP-1 (I — xW-1
e50-—— (p—(? + D * — (p+«— о *4
(x=#= -1).
ОТВЕТЫ
493
" h>0)-
* rl
----—1=------------5--------- (*>0). 855 2х^Г------------3xfa-
Ч-----U=- (х>0). 854.
х ух
6 + Зл + 8ха + 4х® + 2х* + Зх5 оии. *' 1 " ...... 1 " 1 1
72 4-х» ул(3 4*х3)2
(п-т) — (п+т)х а»
856.---------;-------------------- 857. ---------т=-
(л 4- т) я+7(1-х)'*(14-х)'" ~
3 J— 2х» / 1 -и г»
(|х|<|а|). 858. -7777-]/ —_х3 (|х|¥=1).
862. — 2cos х(1 4-2sin х). 863. х»sinx. 864.—sin2x-cos (cos2x).
865. nsinrt-1x-cos (n 4* 1) *• 866. cos x-
. , 2 sin x (cos x sin x* — x sin x cos x2)
•cos (sin x) -cos [sin (sin x)]. 867.------------ ---------------—-
_ i 4- cos’ x
(х»^=Лл; 6= 1,2, . . 868.----------——--------- (x=^kn)
2 sin’x
k = 0, ±1,
k — целое I.
±2
870.
. . ). 869.
X»
n sin x cosn+Ix
(cos x 4- *)s
2k — 1 №— "
871. —;
sin’x
(x¥=6n; *=0, ±1, ±2,...). 872. 14-tg« x (x ?«.
¥=(2Л4’П-у; fe = 0‘ **•
.). 873.
8
3 sin4 x ctgx
(x kn, k — целое). 874.
2x - 16 cos ----
___________a • 2x a sin’_____
a
kna
й —целое). 875. — 3tg2x-sec»x-sin(2tg’ x)-cos[cos*(tg’x)J
494
ОТВЕТЫ
(х Ф + ktt, k — Целое^ . 876.
877.-------т 2‘в */Х sec* “ 1п 2-
х1 х
е* (sin х — cos х) 880. -----------------------*~
2 sin2 -7-
2
— 2xe~**.
878. x¥. 879. x2e~*sinx.
(x #= 2йл, k — целое).
1 4- ln23 ——---------sin X.
883. e* [1 4- e‘x (1 + е<И)]. 884.
882. Vfl2+*2 e°xsinftx.
Га a — b \ ln---------------) (x>0).
885. cP- x°o~* + аха-1а-'а In a 4- ax-aflX In2 a.
«86. — lg e lg® x® (x =/= 0). 887. —— (x > e).
x x In x In (In x)
<! + «) ( + «) ’
“>-> »"• -угг ««!>'> «'•
«<)• 2(l + v^1)
895. —7====-. 896. In(x4-Vx24- 1 ).
-ух2 4-1
897. In* (x 4- Vx»+“i). 898. 7*’+“’ • 899. ------Ц—-
(1*1 < д/Т)-
8
--VVT=T~- (0<*<D-
901. —r"— (0<x — 2ka<a, k — целое). 902.
sin x COS X
/ я \ 11 x — 2Лл | < — 9 k — целое 1. 903. — ctg2 x (0<
<x — йл<л, k — целое). 904. cos’x к — целое). 905. . sin’ X 4 b* - a* 906. — . a 4- b cos x 908. —- Inx (x > 0). 1 / 2k — 1 (x Л. cos x К 2 (0<x —2Лл<л, k — целое). g°7 If^L (x>0) 909. ,2X 14- V H-
ОТВЕТЫ
495
1 + *+ — + In —
1 +',пт)[1 + *'"('7+1"4')]
911. 2sin(lnx) (х>0). 912. sin xlntgx^O <х — 2kn
k—целое). 913. ------- 1 (|xl<2). 914. —----------1
/ 74 — х2 д/1 + 2х —х*
(| х - 11 < V2). 915. - 2flX а (а * 0). 916. - Л (х^О).
х*+аа х*-{-2
917. —— (х > 0). 918.------------—* - arccos х (| х | < 1).
2(1 + *> V1-*2
919. arcsin д/ —— (х > 0). 920.-----------1—..... (|х| > П.
* 1 + * |х| Vx2—1
921. sgn (cosx) (х * *£=2 л, k-целое). 922. .^in
' 2 ' "V1 + cos* *
. . . . sin X + cos X /„ _ я
х #= fen, fe — целое). 923. ---—......— 10 <3 x — fen < — t
sin 2x ' 2
fe —целое). 924.------SgnX (0<| x| < 1). 925.--J—(х^=1).
' л]’1 — х2 1 +х’
х#:—+fen, fe—целое
а+fe cos х
(х=#0). 929. "4х----------(|х| < 1).
71 — х4 arccos3 (х2)
931. —2 cos х-arctg (sin x). 932.
2x V* — 1 arccos —*
2---. 928.-2^1*
930.
(х>1)
1
а2+ Ь2
933. -------------- (х>—а). 934. 7а2 —х2. 935.
(х+а)(х2+й2)
(х — 1). 936.
1
2— (|х|^ 1). 937. (arcsinх)2(|х| < 1).
938.
arccos х
(0< |х| < 1).
939. --------------- (х > 1).
940.
х arcsin х Ч-х2)3/2
941.
Xs
496
ОТВЕТЫ
642.
12х5
(1 + х12)2
943.-------------(х<1).
(1 — х) 3/х
1 (0<х<а). 946.
ах — х2
(|х| < 1). 945.
947.
944. -----J.
2 л/х1 х2
•\/1 — 2х — х2 sin 2х
sin* х 4- cos* х
2k —• 1 . \ _Vi — х2 х
----- л, k — целое ]. 949. —----
2 J х 71—х2
X In Л / ------— (|х|<1). 950. ----—arctg х. 951. ------—----.
V 1 + х 14-х2 Vl+e"
1 sin a sgn (cos х — cos а) .
952. ----------, 953. ------2—S--------------(cos x =/= cos a).
2(14-x2) 1—cos a cosx
954. ------- -----(0 < | x | < 1). 955. _У1_±2±_ (| x | ¥>
(x* — l)Vx24-2 1 —x*
* 1). 956.----------*---------(| x |<1). 957. — (c°—
(1 4- x2)2 Vl — x2 Vs*n (2x2)
(o< | x| < д/( + 4")я’ Л = 0, 1....). 858. 2x [sgn (cos x2) 4- sgn (sin x2)] (| x | =?ь » k = 0, 1, 2,...).
959. - gm (arcsin x) COSOT (arcsjnx) (|x[ < 1).
960.1.-----------------------------------------------------------------
X (14- Inx) 4-xxxxX^-^-4- lnx4-ln*x)(x>0). 962. x0"1^ X
ОТВЕТЫ
497
X (1 + a In х) + а* * * * хх°х^——|- In a In х)+х*а** In а (1 +1п ж) (х>0). 963. х1/х“2 (1 — In х) (х>0). 964. (sin x)1+cos х (ctg2 х—in sin x) — — (cos x)1+sin x (tg2 x — In cos x) (o<x — 2£n < -j-, k — целое).
965. ---[x—2 In2 x+x In x- In (In x)] (x > 1). 965.1. y'
xln x+1
arctg x ]n arcsin (sin2 x) । Г sin x-sgn (cos x)
1 + x2 arccos (cos2x) [ arcsin(sin2x) Vh^
cos x-sgn (sin x)_____'
arccos (cos2 x) Vl + cos2 x -
1 2
966.------— (logx e)2 (x>0, x+1). 967. th3x. 968.--------— (x>0).
x sh3x
969. —L__. 970. -^Shx).. -
ch 2x ch x
972. _---- Sin2-*---. 973. -
1 + cos4 x
(|x|<l). 974.----------------.
/(! + *+
(x +<)). 971. -a+6ch*-.
b + a ch x
2 I,»
— arccos x- in (arccos x)
Vl —
n,, 2хе~х* arcsin (e-**)
У/О. ——
(1 _ e-2xJ)3/2
In a
(x=/=0). 976. -----------arcctg a~x (a > 0). 977. a) sgn x (x#=0);
(1 + a2x)2
6) 2 |xI; в) — (x=^0). 978. a) (x— 1) (x+1)2 (5x — 1) sgn (x+1); x
3 1
6)—sin 2x* [sin x|; в)------- — (|x|> 1); г) n[x]sin2nx.
2 х\!хг— 1
979. у' = —1 при —оо<х<1; у' = 2х — 3 при 1 х2; у' =• \ при 2 < х < + оо. 980. у' = 2 (х — а) (х — Ь) (2х — а — Ь) при х£(а, ft]; р' = 0 при х£[а, Ь]. 981. у' = 1 при х<0; у' ----- при 0^х< + оо. 982. у' =-J- при —1<
1 + х 1 + х2
< х< 1; у' = 1/2 при |х | > 1.
983. у' = 2хв х’ (1 — х2) при
| х |<1; у'—0 при | х |>1. 984. а)
1-х—х2 . 54—36х+4х2+2х3 х(1—х2) ’ Зх(1—х) (9—х2)
(х + 0, х+>1, х ± 3); в) У* ———; г) — " —. х-а‘ V1 + *»
985. а) (ф2(х) + ф2(х)^0)}
V^w+’p’w
32—2383
«98
ОТВЕТЫ
б) (ф-(х)+ф2(х) 0); в) 9 <V?W х
Ф2(х)+Ф2(х)
|_1_.$чх)__ Ф'...(х) 1П1|)(Х)|. г) OL __1-----------
I ф(х) Ф(х) ф2(х) J Ф(х) 1пф(х)
.---SLliL. . 986. a) 2xf (х2); б) sin 2х If' (sin2 х) —
ф (X) In2 ф (х)
— f'(cos2x)I; в) e,(x) [exf'(ex) + f'(X)f(ex)l; г) f'(x) f'[f (Х)]х Xf {j[f(x)J}. 986.1. I 0001 988. 3x2+15. 989. 6x2. 992. a) n> >0; 6) n> 1; в) n>2. 993. a) n>m + 1; 6) 1 <n<m+l. 994. ф (a). 995. f'_ (a) = — ф (a), 4 (a) = ф (a).
999. а) Недифференцируема при х=Г, б) недифференциру-2А — 1 . . ..
ема при х =--------л, А—целое; в) дифференцируема всюду}
г) недифференцируема при х = Ал, k — целое; д) недифференцируема при х«» —1. 1000. f'_ (х) =/+(х) = sgn х при х-#0 в /L. (0) = — 1, f'+ (0) = 1. 1001. (х) = (х) = л [х] cos пх
при х #= целому числу; f- (А) = п (k — 1) (— 1)*, (А) = nk X
X (— 1)* при k целом. 1002. fl (х) = f'+ (х) = (cos — -f- — X
\ X X
Xsin —Ysgnfcos —прн x ---------------(А—целое); f'_ (—!—=
x ) к x ) 2*4-1 Ч2А+1)
'---(2A+D-5-, 4 (—3_') = (2fe+l)-^-. 1003. f'-(x)=>
= /+ (*) “ —XC0S* при V2An < I xI < V(2A+ l) л (A = 0, 1,
-y sin x2
2. . . .); f'. (0) = - 1. 4 (0) = 1; (V(2A + l) л ) = + oo,
Ifj. (V2An ) = ± oo (A = 1, 2, . . .). 1004. f'.. (x) = f+ (x) =
1+6 + —Vм
₽---7------------nP“ x¥=0: 4(0)=(0). 1005. f- (x)=
(l + eVx)2
= f+(x)= -----xe — при x^=0; f'.(0)=— 1, 4 (0)=l,
71 - e~x'
1006. f'_ (x) = Л (x) — —, где e — — 1 при 0 < | x | << 1 и e = X
«=1 при l<|x|<+oo f (Tl)=-1, jf+(=Fl)=L 1007. =
= 4 We ~1п-т"Т*а) nP“ + l’> t- (±0 = т1' t'-L (±0= 1 + x2
ОТВЕТЫ
499
, • 1 х —2
= 4=1. 1008. f_ (х) = f . (х) = arctg-------------------при
+ х —2 (х-2)а+ 1
х^=2; ff (2) = =рл/2. 1009.1. a) f'. (0) = — 1/2, L (0) = 1/2; б) f. (1) = 4 d)= 1/2; в)Л(0) =4(0) = 0. 1010. а = 2х0; Ь = — 4. 1011. a = fi (х0); 6 = f(x0) — Хо/' (х0). 1012.4 = = А+^_, с= + ^1. . 1013.0 = -^-, Ъ
(Ь — a)2 ki + 2с 2с3
1014. а) Можно; б) нельзя. 1015. а) Нельзя, б) нельзя.
1010. а), б), в) Функция F (х) может как иметь производную F* (х), так и не иметь ее. 1017. х = Лл (й = 0, ±1, ±2, . . .). 1018. а) Не может; б) может. 1019. 1) Не обязательно; 2) обязательно. 1020. Необязательно. 1021. Не следует. 1022. Не следует. 1023. Вообще говоря, нельзя. 1024. Рп—^-—-----------------•
(1-х)3
1 + х — (п 4- 1)гх” 4- (2л* 4- 2л — 1) xn+1 — п2хп+2 Qn — ... •
(1 — *)
лх , л4-1 sin --sin —:—
1025. Sn =--------------;
. 2л4-1 я sin — sin---------X — sina
2 2 2
2 sin*—-2
n sh — sh (n 4- —'j x — sh1
1025.1. S„ =----------S-----H, >026- S„=
2sh* —
2
= —— ctg — -----ctgx. 1029. 40л см*/с. 1030. 25 m®/c; 0,4 м/с.
2n 2n
1031. 50 км/ч. 1032. S (x) = —, если 0^x^2; S(x) = x* —.
-2x4-2, если x>2; S' (x) = x, если 0<x^2; S'(x) = 2x —2,
если x>2. 1033. S(x) = Va2 — x* 4- —-• arcsin —— ;
2 2 a
S' (x) = -J a2 — x2 sgn x (0 < I x I a). 1034. у' =-!-----
3 (у2 4- 1)
1035. у' -------!----. 1036. а) - оо <у< 4- оо; х' =-----;
1 — е cos у " х 4-1
б) — оо<у<4~оо, х'и —--------------; в) — оо<р<4-оо,
600
ОТВЕТЫ
х' = ---!-----; р) — 1 <у < 1; х' = —1—;. 1037. а)Х1="
= — V1 + (— 00 < У < *); х, =• — V1 — Vl — У
<о<у<I); «»“ Vi — Vi —у (°<«/< 1); *<“ V*+ Vi — у (-оо<у< 1); х\ « ——!------— (1 = 1. 2, 3.4). б) Х! =
4х(1—х’)
= - л/ — (0<у < 1); х»- а/ —-— (0 < у < 1); х(=>
V i-у V 1— у
= (I == 1, 2); в) Xi =- — In (1 + Vl -!/) (— 00 <У «5 1)1 2у’
xt ~ in l+VIZE (0<y < 1); / = - ---!-----(, - 1, 2).
1 у ‘ 2(e-*-e-“)
1038. (1 + 0; -3;---в--------1-; (-4; 4).
103». |/ ((>0, t 1). Ю40. y'=-l
(0< x<l). 1041. y'x = — — ctg i (0 < 111 < я). 1042. y' = — x a a
X cth t o 11 >0). 1043. y' = — tg t(t -i-i-я. k — целое ].
\ 2 /
1044. l/x=ctg-~- (/у=2йя, Л —целое). 1045. y' = tg/ x X + _^‘ + ЛЯ1 /=^-^- + *лУ ,04e- ^x^sgnl
(0<|l|< + «>). 1048. y'= -~— ~y ; —,---------—. 1049. 5-.
x—y 2 2 у
Ю50.-----PL.. Ю51. — /^/ . 1052. — .
1053. -£±2_. Ю54. a) tg (<p + arctg <p); 6) — ctg -5i_ f <p 0,
x — y 2 4
0> ¥= ± -^-1: в) tg (<p + arctg ——. Ю55. a) j =3/4 (x+1); 3 / \ m /
3/2
у -------— (x + 1); б) у = 3, x = 2; в) x = 3, у = 0.
1050. a) 2-i-); 6) (0, 2). 1058. |x|<~ в “<
ОТВЕТЫ
501
< IхI < л. 1059. max I y\ — у I = Юл « 31,4. 1060. —.
‘ 4
я 3
1061. —; arctg— » arc 37°. 1062. arctg 2 V2 « arc 70°30'.
1063. n>57.3. 1064. a) 2 arctg—— • 6) —. 1066. 1 — 1.
|a| 2 | n |
1069. -p-. 1071. 62 —4ac = 0. 1072. (-03 4. (J?-)2 „ 0.
1073. a = —. 1077. a) 3x — 2y = 0, 2x + 3y = 0; б) Зх — у — 2e
— 1=0, x + 3y — 7 = 0. 1078. а) у — x, у = — x\ 6) 3x — у — •—4 = 0, x-{-3y — 3 = 0; в) y— —x, у = x. 1079. у — 2a =
= (x—at0) ctg ———. Касательная к циклоиде перпендикулярна
2
к отрезку, соединяющему точку касания с точкой соприкосновения катящегося круга. 1081. 3* + 5у — 50 = 0, 5х — Зу — 10,8 = 0. 1082. х + 2у — 3 = 0, 2х — у— 1 =0. 1083. &f(l) = Дх
4-3 (Дх)*4-(Дх)«; df(l)=Ax. а) 5, 1; б) 0,131, 0,1; в) 0,010301,0,01. 1084. Дх = 20Д/ + 5(Д0», dx=20At; а) 25 м, 20 м; б) 2,05 м,
2 м; в) 0,020005 м, 0,02 м. 1085.--— (х#=0). 1086-----——.
х2- а2 + хг
Ю37.----Q х | | a D. 1088. ----- dx . 1089. — sg-.g_ dx
х*—а* ^/хг+а 'yja' — x1
()х|<|а|). 1090. a) (14-х)е^х; б) xsin xdx; в)—~~
, . 2— In х . , . xdx . dx
(хт^О); г) ------—-dx(x>0); д)— ; е) —--——
2х л/х л/а?х* х
2х dx
(|х|<1); ж)------------ (|х|< 1); з)
1 — х2
и) ——— Гх#= 4- ka, k — целое! .
cossx к 2 )
j v du — 2« dv , ,
4- uv dw. 1092. --------------(От^О).
о3
(иа4-о2> 0). 1094. vdu~udv- (и24-, и! + О2
(u24-t»2>0). 1096. а) 1— 4Х3 — Зх»; б) —— ( cosx------
2х2 \ х /
/ л
о) —ctgx(x^ftn, k — целое); г) — tg2 х 1 х + fen, k—це«
+ И
----—------0*1 > О; хл} хг— 1
1091. vw du + uw dv 4-
1093.____udu+.v.dv~
(и2 + v2)3/2
1095.-.^+“^-
502
ОТВЕТЫ
xoej; д) — 1(|х|<1). 1097. а) Увеличится на 104,7 см8;
6) уменьшится на 43,6 см2. 1098. Увеличить на 2,23 см. 1099. 1,007 (по таблицам: 1,0066). 1100. 0,4849 (по таблицам:
0,4848). 1101. —0,8747 (по таблицам: —0,8746). 1102. 0,8104= = аге 46°26' (по таблицам: аге 46°24'). 1103. 1,043 (по таблицам: 1,041). 1104. а) 2,25 (по таблицам: 2,24); б) 5,833 (по таблицам: 5,831); в) 10,9546 (по таблицам: 10,9545). 1105. а) 2,083 (по таблицам: 2,080); б) 2,9907 (по таблицам: 2,9907); в) 1,938 (по таблицам: 1,931); г) 1,9954 (по таблицам: 1,9953). 1106. 0,24 м2; 4,2 %. 1107. 6«sc0,33 %. 1108. a) 6g = 6,;
б) 6g = 26r. 1109. 0,436. 1111. + . 1Ц2. -----------
* _ (1-j-x2)3/2 (1—х2)3/2
Qx|< 1). ШЗ. 2е~х’ (2х2 - 1). 1114. -2slnx-
cos3 х \ 2
А = 0, ± 1, . • . Y 1П5. ——--------(-2arctgх. 1116-----+
J 1 + X2 (1—X2)2
(1 4 2x2) arcsin х 1Н7 11J8 /ООГ(х)—Г2(х)
(1— х2)3/2 х /2(х)
о
(f(x)>0). 1119.--------sin (In х) (х>0). 1120. у(0)= 1, у'(0) =
= 1, у" (0) = 0. 1121. 2(uu'+«'2). 1122. uu"~u'2-------
U*
(цаЧ“ V8) (ии* 4- до*) 4- (u'v — ии')2
{UV>Q). 1123. H --------— («2-H»2>0).
1124. (/"= u° ——I- v' In u) + v ——4. u” in и j. 1125. y" = 4xT (x2) + 2f' (x2); у’" = 8x3/'" (x2)< 12x/" (x2).
= e«/" (e*) + e*f' (e*); y'" = e^l'" (e*) + 3e“f" («/) + e*f' (e*).
1128. ^ = -vU'(lnx)-f'(lnx)l; У" = Ц- If"' On x) -X2 X3
— 3f" (lnx) + 2f'(lnx)l. 1129. yn = 4>'2(x)f'’(<f(x')) + + <p" (x) f (<P<*)); y'"=<p's (X) V" (ф(X)) + 3<p' (x) <p" (x) г (<p (x)) + 4- <p" (x) f' (<p (x)). 1130. a) exdx2; 6) ^ (dx'^-i-d3 x).
dx3 21nx — 3
113h ”32, ------?-------dx2(x>0).
u T x / *
ОТВЕТЫ
503
1133. Xх Г(1 + In х)2 + —1 dx2. 1134. uiPv + 2dudo 4- wP«. L x I
1135.
(t> d2u — и cPv) — 2dv (vdu — и dv) 1
(o>0).
1136. um~V~2 (fm (m — 1) v2du24- 2mnuvdudv-)- n(n — 1) u2dv2]-(~
4- uv (mvd-u 4- nud2»)). 1137. au In a (du2 In a 4- <Pu).
1138. [(v2 — u2) du2 — 4uvdudv 4* (“2 — и2) do2 4- («2 4* °2) (ud2u 4* H- wPo] (u24- u2)"2(u24- o2>0). 1139. [ — 2uvdu2 4- 2 (u2 —
— o2) dudv 4- 2uvdv2 4- (u2 4* °2) (pd2u — ud2o)] (u2 4- o2)“2 (u2 4- v2>
3 3
>0). mo. <'*'>
1 , 3 cos t
1141. /'=-——/"=------------------------ (t^kn,
asin3( a2 sin5/
/
. cos —
1 2
k — целое). 1142. у” «== —----—; у" =--------—
4a sin4— 4a2 sin’ —
2 2
e~*
(/ #= 2kn, k — целое). 1143. у" е»-------------;
V2- cos3 (/ 4-
^<2 sin/4-cos/) f^2L+ftn>ft = Ot±1,
V 2 cos* (/ 4-
1 Г (/)
П44. F' = -^-; y„=__L-S2- (f(t)*O),
y* y'3 yf\
(/^0). 1H6. _2L, у'1 У
25 75x 3 25 225
y3 У5 ’ 4 ’ 64 1024
p P2 3p’ 1148. y' = 2x — у
У S'5 У* x — 2y
w 6 ..tn 54x 2x2y
* (x — 2y)2 • у «= (x — 2y)5 14-У*
I
XX'U
H ° ' (1 + yy •• I3 fl + + 2x4 (1 - У1)!- ,I50-
504
ОТВЕТЫ
_ * + У х — у b = f (х0);
1153. и =
1154.
2 (x2 4- y2) 1151. a = yf"(xo)5
» V =* (x — 9?
c = / (x0). 2ла T 1152. 20—10/, 2л . sin —— /, I = — T —10; 0, —10. 4л3а ?л , cos „ /. 72 T
£.'2
= V»o — 2V(jg< sin а + g2!2 ; / = g; y=xtga ——----------—;
2vg cosza
9.9 2
sin a
• 1 -----; — sin 2a. 1155. ха4-уа=25; 5|<o|, 5cos.
2^f Q
1156. y(») = 4.61; {/<’> = 0. 1157. ym = — + 2'
** X*** “t”’*
17!!
(x^O). 1158. £/(10)=--^-^=- (x>0),
где nil обозначает произведение натуральных чисел, не превышающих числа п, и одинаковой четности с ним, т. е. 17!! =
= 1 -3-5... 17. 1159. —
1160. = ------19711.(399 — х)_
» 21°0 (1 _ х)100 д/ j _ х ' >
(х¥=1).
1161. /2t>) = (ха + 20х + 95). 1162. yW = г* х
10 4*
X ЕС — 1)1 —Д-, гдеД‘0= 10-9- . . .(11— /)иД®0=1.
i=i х‘+х
1163.
1165.
1166.
6 274 120
у(&) = ——— (х> 0). 1164. =---- In х (х>0).
х4 Xе Xе
(1225 \
— х2 sin 2х 50х cos 2х + —-- sin 2х).
27 (1 — Зх)а — 36 . Л 27 (I — Зх)2 — 28 у ® -----775-- Sin Зх — --------—ГпгГ~ cos Зх
* (1 —Зх)7/3 (1—Зх)10/3
1167. 0<10) = —2esin2x — 218sin4x-|- 28-3l0sin6x.
1168.
1170.
+(•
1171.
1173.
1169. yiv =. — 4e*cosx.
160 96 \ ,
-----------------I sin 2x 4-
X3 x J
—— + 32 In x) cos 2x.
x3 J
15
-----7— - </x3 (x>0). 8x® V*
— 1024 (x cos 2x+ 5sin2x)dx10. 1174. e* ^lnx +
y(ioo) = x sh x + 100 ch x.
\ x8 180 .
1/W « -
60
X8
12(Mx8.
1172.
ОТВЕТЫ
505
. 4 6.8 6 \
•)------—Н----I-----Т J 1175. 8sinxshxdx*
х хг Xs х* J
1176. 2шР)аи + 20dud°u + 90d2ud’u + 240d3ud’a + 420d‘ud«u 4.
4-252(d2u)2. 1177. e“(du44-6du2d2u4-4dudsu4-3d2u24-d*«).
2d//2 3dud2u . cPu
1178. -----------------------1-------. 1179.
и3 и2 и
4- y'd2x; <Py «=- y'"dx3 4- 3y"dxd2x 4- y'<Px; 4- 6jTdx2d2x 4- 4j/"dxd3x 4- Зу"<Рх2 4- j/'d‘x.
dx dy
<Px <Py <Px
1187. PW(x)=aon!
189.
. Г (-1)" nl
1_________
(x — 2)"+i
dx
j/"'------
dx dy
— 3d2x
d2y •=• y"dx* +
d*y = yiydx* 4* 1180. y”=,
dx dy
d2x d2y
1188.
1
d3x <Py_____
dx3
(—\)n-3nlcn-3(ad — bc)
(c*4-d)"+i
,I90- (-l)"n'X
____1____1 „91 13 • • -(2n-l)
(x—l)n+‘ J ’ (1 —2x)n+1/2
110, (-ly’+M^. . . (3n — 5) (3n 4~ 2x)
I tV£t 1 ---
3" (14-x)"+1/3 — 1). 1193. — 2"-» cos (2x4-Y
1194. 2n-1cos
1195.
3" (
— sin I
4 к
3"
—-— cos 4
nn 1
2 J"
1196.
nn \
+—)•
(a + b)n
------cos
3 ~sin
T~(
(a — b)n
—----cos [(a — b) x 4»
nn 1
*+—]•
nn 2
, „ (a —b)n Г nn 1 ,
1198. ——- -—cos I (a — b) x 4- —— j + (a 4“ b)n Г nn 1 (a — b)n
4----------- cos |^(a 4- b)x ——] • H»9- -• 2 ' X
X sin pa — b) x 4—-—j + - —sin pa 4* *)« + j •
(2a 4- b)n 4
(2a — b)n Г
-----------cos I (2a — b) x 4-
4 L
ftn 1200. -------
2
cos I (2a 4- b) x 4
/in ~|
2 J
506
ОТВЕТЫ
1201. 4'*”1 cos ^4х 4--—1202. апх cos ^ах 4—
4- ла""1 sin (ах 4-----—J. 1203. ап (х2 —
. / ЛЯ \ ( пл
X sin I ах 4------I — 2лап-1х cos I ах 4-----
1204. (— 1)пе~х (х« — 2 (л — 1) х4- (л — 1) (л — 2)].
1205.
л (л — 1). . . (л — fe4- 1) х*+‘
1208. е*2"/2 cos (х 4- ~~ ) • 1207. t!W Sjn (х 4- -у-).
(л—1)!6" /
’208. t(a4-W4-(-l)"-x (а4-*х)"] (|х1<
< | -f” I) ' ,209' [а"Р W + СпаП-1Р W + • • • +Р(П) (*)]• 1210. -у {[(х 4- Л) - (- 1)” (X - л)] ch X 4- [(X 4- Л) 4-
+ (— 1)" (х —n)Jshx).
Л2 (л —: I)2
4- "V-1 4----
(— 1)ял1
,ш- —717Г-
1п X
1211. dnff = exlxa +
4- л! j dxn.
dx"(x>0).
п
1214. а) (а2 4-62)п/2 £сов(лф
ля
ах cos
Лф
Ля
2
б) (а2 4* б2)'*^ J^cos (лф
ch ах sin ^6x4
/ ля \ , / , ля
4- sin 1 Лф — —-—Jsh ах cos lox 4--—1 • где созф =
а b
е=—. , 51пф = —7===-. 1215. /<п)(х) =
Va2 4- Ь4 Vа2 4-6*
« £ ( - 1)Р+*2"-2Р+* (р - k)n С^р cos Г (2р - 2Л) х4- -^-1 • л=о 1- 2 J
1216. .) Bl’-g+')'' ^в+, X
к=0
ОТВЕТЫ
S07
X sin[(2p-2A+1)х+— I; б) у.
L J k^i
P
[„ ПЯ 1 w (2p — 2*+l)n
(2P-2k)x + —— j; в) 2,{— -~^-T----------------X
4=0
x C.Jp+1 cos £(2р — 2k + 1) x 4- j j •
, . ( — I)""1 (n — 1)!
1218. ^"y/2-----------sin (n arccte x)(x * °>-
nl _ n(2n —3)11
1219. a) — [2"+i+(-l)"i; 6) ----------~T-------(n>l).
1220. a) n(n — 1)ал-2; б) /(24>(0) = 0, fl^+D (0) = = (—1)4 (2*1) (* = 0,1.2,...); в) fW (0) = o, f<24+M (0) = = [1-3. . .(2*—I)]2 (* = 0, 1, 2, . . .). 1221. a) fl2*) (Q)= =•(— l)4m2(m2 — 22) ... [m2 — (2k— 2)2], fl2*-») (0) = 0;
6) /(^(OJ-O, /'(0) = m, /(г*+1)(0) =(— l)4m(m2 — I2) . . .
. . . [m2 — (2k — I)2] (*= 1,2, . . . ). 1222. a) ft24) (0) = = (-l)*-2.2(2*-l)l(l + -j- + . • • + ).
(0) = 0 (* = 1, 2, ...); 6) ft2*) (0) = г24"2 [(* — 1)1]2, f24-i)(0) = 0(*= 1, 2, 4..), 1223. nlq>(a).
1228. Lm (x) = ( — l)m [x- — m2xm*1 + ~ >)> x"1"2 +•••
•. . + ( - Om m! j . 1231. Hm (x) = (2x)m — .m{n~ 7 (2x)m-2+ + {m —~--W2~ 2) ‘~ 3) (2x)m~* - . . . 1238. При x = 0 не существует конечной производной f' (х). 1244. А(—1, —1), С (1 I). 1245. Не верна. 1246. а) 0 = 1/2; б) 0 =
д / х2 + хДх +-5-(Дх)2 —х
= ---------------------------- (х >0, Дх > 0); в) 0 =
Дх
= —( л/1 + --1') (х (х + Дх) > 0); г) 0 = — In - ДЖ~' .
Дх\ V*/ Дх Дх
1248. с=^-~ или -у/2 . 1250. Вообще говоря, нет. 1261. f(x) = = СоЧ"cix+• • •+c„_ix”-1, где с,(( = 0, 1, ...,л—1) постоянны. 1268. При — оо < х < — функция возрастает, при
608
ОТВЕТЫ
—J-< х< + оо убывает. 1269. При — оо < * < —1 функция 2
убывает, при — 1 < х < 1 возрастает; при 1 < х < + оо убывает. 1270. При — оо < х<— 1 функция убывает, при —1 <1 < х < 1 функция возрастает; при 1 < х < 4- оо убывает. 1271. При 0< х< 100 функция возрастает; при 100 < х <2 <-f-oo убывает. 1272. Функция возрастает. 1273. В промежут-
функция возрастает; в промежутках
&Л , Л ЛЛ . л \ л . . .
---------,------------1 убывает (* «= 0, ±1, ± 2, • . .)•
2 3 2 2 /
1274. В промежутках (----------» —и (----------?---,-----J
4 2*4-1 2k) Ч 2*4-1 2*4-2/
функция возрастает; в промежутках ’ 2*--1/ *
— ,---------1----\ убывает (* - 0, 1, 2, . . .). 1276. При
2* 2*4- 1 )
2
— оо<х<0 функция убывает; при 0<х<---------------- возрастает;
In 2
2
при ------<х<4-°° убывает. 1276. При 0< х < п функция
In 2
возрастает; при п < х < 4- оо убывает. 1277. Убывает при — оо < х < —1 и 0 < х < 1; возрастает при — 1 < х < 0 и 1 < *<4- «о- 1278. В промежутках (е~7я/12+* 2*п1 е1зя/12+2*я) функция возрастает; в промежутках (e13n/12+2*«( епя/12-|-2Ля) убывает (ft = 0; ±1, ± 2, . . .). 1283. Не обязательно.
1298. В точке А кривая вогнута вверх; в точке В вогнута вниз; С — точка перегиба. 1299. График при — оо < х < 1 вогнут вверх; при 1 < х < 4- оо вогнут вниз, х = 1 — точка перегиба. 1300. При |х | <—-------вогнутость вниз; при |х|>
д/3
й о
>---------вогнутость вверх, х = ± ——-------точки перегиба,
•х/з л/з
1301. При х< 0 — вогнутость вниз; при х> 0 — вогнутость вверх; х=0—точки перегиба. 1302. Вогнутость вверх. 1303. При 2*л <х< (2*4- 1) л — вогнутость вниз; при (2*4-1)л<х< < (2* 4* 2) л — вогнутость вверх; х =» *л — точки перегиба (* = = 0, ±1, ±2, • . .). 1304. При | х | < V1/2 —вогнутость
вниз; при |x|>Vl/2 —вогнутость вверх; х= ± V1/2 —точки перегиба. 1305. При |х| < 1—вогнутость вверх; при |х|>
ОТВЕТЫ
509
>1—вогнутость вниз; х = ±1—точки перегиба. 1306. При
е21гл—Зл/4 < х < е2Ля+я/4 — вогнутость вверх; при е2»я+я/4<х<-е2йя+5я/4 — вогнутость вниз; х = е*я+п/4 — точки перегиба (k = 0. ±1, ± 2, . . .). 1307. Вогнутость вверх при 0<х< тоо. 1309. Л =---------J. 1310. Вогнута вниз (при
cVa
а>0). 1318. —. 1319. I. 1320. 2. 1321. —2. 1322. -i-.
ь з
1323.----L. 1324. —. 1325. —. 1326. . 1327. I.
3 3 6 2
1328. . a~JL' 1329. — Ina. 1330. —2. 1331. 1. 1332. f—Y. 3ab 6 V b J
1333. —. 1334. —. 1335. 1. 1336. 0. 1337. 0- 1338. 0.
6 3
1339. 0. 1340. 0. 1341. 0. 1342. 1. 1343. 1. 1344.— 1. 1345. А 1346. е-1. 1347. е2М. 1348. е"1. 1349. 1. 1350. 1. 1351. 1.
1352. e2/s,n 2о fa , А — целое Y 1353. ei/2«n’a-ln* 6). \ 2 )
1354. _L. 1355. — . 1356. 0. 1357.-----------L. 1358. a0 (In a— 1).
2 2 2
1359.-----— . 1360. —. .1361. е-г/л. 1362. 1. 1363. e1/».
2 a
1363. 1. «"*/« 1363.2. e1/3. 1363.3. (Г1/3. 1363.4. e-1/». 1364.
1365. е"2/я. 1366. e-1. 1367. ———. 1368. -y/e. 1368.1. 0.
n — tn
1369.-----1370. a 1371. tga. 1373.1.^(0) =-----------------------— .
6 12
1373.2. y = —^x-f--^-^. 1374. а) Правило Лопиталя неприменимо, предел равен нулю; б) правило Лопиталя неприменимо, предел равен 1;в) формально примененное правило Лопиталя дает неверный результат, равный 0, предел ие существует; г) применение правила Лопиталя незаконно и приводит к неверному результату, равному нулю, предел не существует. 1375. £-. 1376. 5— 13(х + 1)4-11 (х+ I)2 —2(х+ 1)’. 1377. 1-|-4-2х2х2 — 2х* 4" о (х*); —48. 1378. I 4- 60x4- 1950х24- о (х2).
1379. a 4--------------------— 4-о(х2). 1380. — х2 + х»4-о(х3).
rnam-i 2т2аип-‘ 6
9 R 1
1381. 14-2x4-х2-------— х3 — — х*--------— х*4-о(х»). 1382. 1 —
3 б 15
610
ОТВЕТЫ
X 2 + * 12 * + 720 о(х«). 1383. х х7 у18 — + о(х«). 3240
18
1284. X2 2 X4 Xе 12 45 -+о(х'). 1385. х- Xs 3 +о(х»). 1386. х+
+ — . 2х» - + о(хв). 1387. — - х4 =-- + о(х*).
3 15 6 180 2835
1388. (х—1)—• -^-(х-1)г+о((х — 1)»). 1389. (х—1) +
ЧЛх-I)2+-(х-1)8+<’((*-О3)- 13Я0.у = а+-^-4-о(хг). 2 2а
1391. —-----!--ко(—Y 1392. Inх + —-------— +
2х вх3 к х3 ) х 2х3
hn Я
. . . + (— 1)л-1----------|-о(Лл). 1394. а) Меньше--------;
пх" (л+1)1
б) не превышает —?—; в) меньше 2-10“*; г) меньше—,
н 3840 16
1395. |х|<0,222=агс 12°30'. 1396. а) 3,1072; б) 3,0171, в) 1,9961; г) 1,64872; д) 0,309017; е) 0,182321; ж) 0,67474 - аге 38°39'35"; в) 0,46676 = arc 26°44'37"; и) 1,12117. 1397. а) 2,718281828;
б) 0,01745241; в) 0,98769; г) 2,2361; д) 1,04139. 1398.---------5-.
12
1399. —. 1400. -. 3 4 1401. —. 1402. -3 1 6 1403. In1 а.
1404. —. 1405. 0. 1406. —. 2 3 1406.1. — 90 * • 1406.2. —. 2
1 х’ 1406.3. —. 1407. — . 2 30 1408. х*. 1409.—. 2 1410. а = —; 3
-. 1410.1. А ~ -3 2_. ~ 5 ’ —. 15 1410.2. А = —, 2
в = —, с=—о=-12 2 1 .... . 2х — . 1411. а) ; 12 /?’ б) 4 Ап — х в) : 3 100
г)—. 1412. а = —•» ₽ х 3 о — “ 3 ’ 1413. —, 180 где а — половина
центрального угла дуги. 1414. Максимум у = 2— при х =—.
1415. Экстремума нет. 1416. Минимум y — Q при х =1.
1417. Минимум у = 0 при х = 0, если т — четное, и экстре-_ ттп"
мумаиетпри х = 0, если т—нечетное; максимум у — —-
m Л .
при х=-------; минимум у = 0 при х= 1, если п —четное,
т + п
ОТВЕТЫ
511
и экстремума нет при х = 1, если п — нечетное. 1418. Минимум у = 2 при х = 0. 1419. Минимум у = 0 при х — —1;
максимум у = 1010е"* ж 1 234 000 при х = 9. 1420. Максимум у = 1 при х = 0, если п — нечетное, н экстремума нет при х = 0, если л — четное. 1421. Минимум у—0 при х = 0.
1 з __ 1
1422. Максимум у = — /4я 0,529 при х=—; минимум у = 0 3 3
при х = 1; экстремума нет при х = 0. 1423. Минимум f(x0) = = 0, если <₽ (х0) > 0 и п — четное; максимум f (х0) = 0, еслн Ф (х0) < 0 и п — четное; t (*о) — не экстремум, если п — нечетное. 1425. Нет. 1427. а) Минимум [ (0) = 0; б) минимум I (0) = 0. 1428. Минимум [ (0) = 0. 1429. Прн х = 1 максимум у = 0; при х = 3 минимум у = —4. 1430. Минимум t/=0 при х=0; максимум у — 1 при х= ±1. 1431. Прн х =
= ——~~~ * 0>23 минимум у « — 0,76; при х = 1 максимум
. 54- л/Гз
у = 0; при х =-!—-—
1,43 минимум </»—0,05; при х =
6 — 2 экстремума нет. х «=• 1 минимум у = 2.
х «=» 1 максимум у = 1.
.-2
1432. При х = —1 максимум у — —2; при
1433. При х =—1 минимум у =*—1; при 7 1
1434.Прих = — минимум у—---------—
1435. При х=>0 и х = 2— краевой минимум у=0; при х=| 3 3 з -
максимум у = 1. 1436. При х = — минимум у =------— /2 «
»—0,46; при х = 1 экстремума нет. 1437. При х = 1 максимум у — е-1 «0,368. 1438. При х=»4-0 краевой максимум у=0;
2
при х = е“2«0,135 минимум у —------«—0,736. 1439. При х=
е
4
= 1 минимум у = 0; при х = е1« 7,389 максимум у = —«0,541. е2
1440. При х = Ля(£ —0, ±1, ±2. . . .) максимум у = (— 1)* 4-; при х — ± -^2- 4- 2Ля (k — 0, ±1, ±2,...) минимум у= 2 3
3
--------. 1441. При х = Ля(Л=0, ±1, ±2, .. .) максимум 4
у = 10; при х=> я
..) минимум у=5.
1442. При х = 1 максимум У = —---~-1п 2 « 0,439. 1443. При
л л/ 2
х -------[- 2яЛ (k = 0, ±1, sfc2, .. .) минимум у = ——— х
4 2
512
ОТВЕТЫ
X е—Я/4+2ЙЯ. ПрИ х__---1_ 2kn (fe —0, ±1, ±2, ...) максимум
4
u х=е3п/4+2*п. 1444. При х —— 1 максимум u — е*"2 «
2
«0,135; при х=0 минимум у —О (угловая точка); при х—1 максимум у—1 (угловая точка). 1445. —; 32. 1446. 2; 66.
1447. 0; 132. 1448. 2; 100,01. 1449. 1; 3. 1450. 0; — «36,8.
J
1451. 0; 1. 1452. 0; — (1 4-дЛГ)» 1,2. 1453. — ?-е~3я/4 «
2 2
«—0,067; 1. 1454. т (х) ---— .если —оо<х^—3; т(х)=
6
с= —Lzh-i-, если —3 < х —1; т (х) — 0, если —1 < х < +<ю;
3 4-х2
1 1 + х
М (х) = — * если — оо<х<1; М (х) --------, если 1<х<
2 3 4- х2
141“ 1 3,_
<4- 00. 1455. а) -—-—«1,77-10’; б) —; в) <3 « 1,44.
214 200
1457. 9±.6 » 4,85. 1458. q=--.1459. —.1460. g(x)=.
4 2 27
= (*1 + «2)«-v(x> + *2+6X|*2): Д = Т(*>-Х2)2-о о о
1462. Один корень: (3, 4- оо). 1463. Один корень: — оо < Х]< < —1, если А > 27; три корня: — оо < xt < —1, —1 <х2 < <3 и 3<х><4-оо, если —5 < А < 27; один корень: 3 < < xs < + оо, если А < —5. 1464. Два корня: — оо < х2 < —1 и 1 < х» < 4- оо. 1465. Один корень: — оо < xj < —1, если — оо < а < —4; три корня: — оо < xt < —1, —1 < х2 < 1, 1 < х3 < + оо, если —4 < а < 4; один корень: 1 < хг < 4- оо. если 4 < а < 4- оо. 1466. Один корень: 0<х!<1, если — оо < k < 0; два корня: 0<Xj<— и —< х2<4- оо, если
k k
0<fe<— ;корней нет, если А> —. 1467. Корней нет если е е
е*
а < 0; один корень: —oo<xj<0, еслиО<а< — ; три кор-4
ня: — оо < xi < 0, 0 < х2 < 2 и 2 < х3 < 4- оо, если — < а < 4
<-|-оо. [468. Два корня при | а | < 3 а/З / 16; нет корней при | а | > 3 V3 / 16. 1469. Два корня: 0 < | Xj | < | и £<|х2|< <4*оо, где J ~ 1, 2 — положительный корень уравнения-. cthx = x, если |А | > sh £ « 1,50; корней нет, если |fe| >sh^.
ОТВЕТЫ
513
1470. а) 4-£> 0; б) 4- <0. 1471. ♦). Симметрия
относительно начала координат. Нули функции: х = 0 и х = = ± д/З « ±1,73. Минимум у = —2 прн х = —1; максимум у= = 2 при х= 1. Точка перегиба х = 0, у = 0, 1472. Симметрия относительно оси Оу. Нули х = ± -дЛ + V3 ® ±1,65. Минимум у — 1 при х = 0; максимум у = 1 —- при х = ±1. Точка перегиба: х = ±—^=- « ±0,58; у = >473- Симметрия от-
носительно точки Л (1, 2). Нули: х = —1 и х = 2. Минимум у = 0 при х = 2; максимум у=4 при х=0. Точка перегиба х = 1, у = 2. 1474. Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: х = ±V2 ж ±1,41. Максимум у =2 при х = 0; минимум у = 1----- « —0,12 прн х = ±^24" « ±2,06.
2
Точки перегиба: хь 2 = ±0,77, yt, г — 1,04; х3.4 «±2,67, у& < яа « —0,010. Асимптота у — 0. 1475. Точки разрыва: х — 2 и х = 3. Нули: х = ±1. Минимум у = —(10 — V96) «—0,20 при х= —----^-^-«0,42; максимум у = — (10 4-л/9б) «—19,80
5
7 _l л/Й
при х=——«2,38. Точка перегиба х«—0,58, у»—0,07.
Асимптоты: х = 2, х = 3 и у = 1. 1476. Точки разрыва: х2 = = —1 и х2 = 1. Нуль функции х=0. Точек экстремума нет. Точка перегиба х яг —0,22, у « —0; 19. Асимптоты: х = —1, х = 1 и у = 0. 1477. Нуль функции х = 0. Точка разрыва 13
х = —1. Минимум у = 0 при х = 0; максимум у = —9 — при
х = —4. Точек перегиба нет. Асимптоты: х = —1 и у — х— 3. 1478. Минимум у = 0 при х = —1; точка перегиба х = —4, 81
у—-----. Асимптоты: х— 1 и у = 1. 1479. Максимумы у =
625
34 д/17 ± 142 ооо 3 4-VT7 „ гг „
=-----------!----« —8.82 при х ------—--— » —3,56 и
32 _ 2
у = 0 при х = 0; минимум у = 34 V17 — 142 _q q6 при х= _ 32
лЛ7—3 ~ Q gg. Точка перегиба х = — , у =----—. Асим-
2 5 45
птоты: х = —1 и у = х — 3. 1480. Симметрия относительно начала координат. Точек экстремума нет; точка перегиба х = 0,
*) К задачам на построение графиков не везде дают полные ответы.
33-2МЗ
514 ОТВЕТЫ
у = 0. Асимптоты: х = —1, х = 1 и у = 0. 1481. Минимум
у = 13— при х = 5; точки перегиба х = —1, у = 0. Асимпто-2
2
ты: х = 1 и у = х + 5. 1482. Минимум у = 2— при х = 2;
максимум у т —3,2 при х « —2,4; точка перегиба х = 0, у = 8. Асимптоты: * = —1 и у = х. 1483. Симметрия относи-
тельно оси Оу. Нули функции: х = ± » ±0,79. Точек
4
экстремума нет. Точки перегиба: х = ±/^/~-« ±0,71, у = 2
= —2—.Асимптоты: х ——1, х=0, х= 1 иу=0. 1484. Об-3
ласть существования: 0 х < 4- оо. Нули: х=0 и х = 3. Минимум у — — 2 при х= 1; краевой максимум у = 0 при х = 0. Вогнутость вверх. 1485. Область существования: |х| ^2V2®2,83. Симметрия относительно начала координат и осей координат. Нули: х = 0 и х= ±2^2. Максимум |у | = 4 при х= ±2, минимум = 0 при х = 0; краевой минимум |^| = 0 при х= ±2 V2. Точек перегиба нет. 1485.1. Нуль функции х = 2. Минимум у =— ^5 « —2,24 при х = —0,5.
Точка перегиба хх— — я-—1,18; yi «—2,06 и х,=
8
— о,42; у, » —1,46. Асимптоты: у = —1 при х-+-
8
-*—оо и у — 1 при х-*4- оо. 1486. Область существования: 1 < х < 2 и 3 < х < + оо. Нули: х = 1, х_= 2 и х = 3. Максимум | у | = — у^\2 at 0,62 при х = & ~ » 1,42; крае-
3 3
вые минимумы | у | = 0 прн х — 1, 2 и 3. 1487. Минимум у = 2 з /— 1
= 0 при х = 1; максимум у = — yi » 1,06 при х =»---; точ-
3 3
ка перегиба х— —1, у = 0. Асимптота у = х——. 1488. Сим-3
метрия относительно оси Оу. Минимум у = — 1 при х = 0. Вогнутость вниз. Асимптота у = 0. 1489. Симметрия относительно начала координат. Нуль функции: х = 0. Минимум з.— з,—
у = —у 16 « —2,52 при х= —2; максимум у=у 16 при х=2. Точка перегиба: х=0, у=0. Асимптота: у=0. 1490. Сим-s._________________________________________
метрия относительно оси Оу. Минимум у = у 4 «1,59 при х = — ± 1; максимум у —2 при х = 0. Вогнутость вниз. 1491. Симметрия относительно начала координат. Точка разрыва: х= ± 1.
ОТВЕТЫ
615
Нуль функция: х = 0. Минимум р=-^——ж 1,38 при х=УЗ| У2
максимум у=----^-прих» —Уз. Точки перегиба: xj = О,
/2
У1 = 0 и х1>2 = ±3, у|,з = ±1 -у-. 1492. Область существования функции: |х|>1. Симметрия относительно оси Оу. Краевой минимум у — О при х= ±1. Вогнутость вниз. Асимп-
X X
тоты: у = —- при х-*+ оо и у = —— прн х-*-—оо. 1493. Об-
ласть существования функции: х > 0. Минимум р=—-Уз«
« 2,60 при х = —. Вогнутость вверх. Асимптоты у = x-J-3
+ -^- и х = 0. 1494. Область существования: х >0 и х<—3.
5 _1_ л/13
Нуль функции х=>—----------«4,30. Минимум у = 13 прн
2
х = —4; краевой максимум у — 1 при х = 0. Вогнутость . 5 1
вверх. Асимптоты: И — -----%х ПРВ х~*~— °°' У~---~ ПРН
х—► + оо; х= —3 при х—► — 3—-0. 1495. Минимум у=0 при
3 г—
х = 0; максимум у = — у 4 ж — 1,59 при х = — 2. Точки перегиба: х2 = — (2 — Уз ) « — 0,27, у± — 2 **
«0,46; х,= — (2 + Уз) « — 3,73, у,= — — ±.У-2?- »
«— 1,72. Асимптота х= —1. 1495. Симметрия относительно оси Оу. Функция положительная. Максимум у = Уз «1,73 прн х = 0, минимум у = У2 «1,41 при х = ±1. Точки перегиба Xi, j « ±0,47; У1.2« 1,14 и х3, <«±4,58, У3.4«4.55, Асимптоты у = ±х. 1497. Период функции: Т = 2л; основная
Уз____]
область 0<х^2л. Нули функции: x^n-f-arcsin—— ---------«
Уз____1
« 1,21л и ха=2л— arcsin—-— -----« 1,79л. Минимумы у = 1
л , Зл . I
при х = — и у = —1 при х =------; максимум у = 1 — при
2 2 4
33*
516
ОТВЕТЫ
я 5л _ х . I + V 33
к = — и х «-------. точки перегиба: х3 = arcsin —:—1--------«
6 6 8
19+Зд/зЗ » 0,32л, ух = — я 32 < • 1 +л/зз »1,13; х2 = л — arcsin —!—* 8
194-3V33 « 0,68л, у3 = : 32 , . д/зз — 1 х3 = я + arcsin — 8
, 19 —зд/зз nn,, „ . д/зз—1
» 1,20л, у, =--------'----« 0,055; х< = 2л — arcsin —--- «
32 8
19 з л/ зз
« 1,80л, У4 =-------------. 1498. Период функции 2л; основ-
32
ная область —л х л. Симметрия относительно начала
координат. Нули: х2 = 0 и хг, 3 = ±л. Минимум у = <=----— <15 «—7,3 при х™ — arccos — « —0,42л; макси-
8 4
® ± 0.84л;
15 . 1
мум у =-----< 15 « 7,3 при х «= arccos — » 0.42л. Точки пе-
8 4
региба: xj = 0, уг = 0; х2. 3= ± arccos
91 ___
Уз, s — ± —- V15 « ± 2,54; х4.5 = ± я. yit 5 = 0. 1499.
од функции: Т = 2я, основная область: —я х л. метрия относительно начала координат. Нули: хх = 0 и 2
= ±л. Минимумы: у ---------л/2 ~ — 0,94 при х = —
3 п 2 л
х=__, прих=_;
л 2 /— я Зя _
при х =------— , у — — <2 при X = — и X =-------. Точки
2 3 4 4
Пери-
Сим-
*>. Зя --- и
4
максимумы: у —------?-
3
4
перегиба: xt = 0, yt = 0; х3,3 = ± arcsin
— « ±0,37я, 6
4 , ( 5 Л
y.,3 = ±-----<30 « ± 0,81; x«, s — ±1 я —arcsin — 1»
27 \ 6 J
4 ,___
« ± 0.63л. yt, t =-- ± — <30 ; x«,, = ±я, yt, ,=0. 1500. Пе-
риод функции: T = 2я; основная область [—л, л). Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: х1>4 = 1______________д/з” 1
= ±arccos----~-----« ±0,62л. Минимумы: у = — при х =
ОТВЕТЫ
517
«= 0; у = — 1 прн х — ±я
= ±—. Точки перегиба: 3
« ±0,18л, уь г я> 0,63; х3,4 =
максимумы: у = — при х —
1 + л/зз
*<, . = ± arccos------1»
8
± arccos —л/зЗ_
у3,4» —0,44. 1501. Период функции: Т = основная об-
ласть Г---—, -^-1. Симметрия относительно оси Оу. Функ-
L 4 4 J
ция положительная. Максимум у = 1 при х — 0; минимум у =
= —при х = ± — .Точки перегиба x1>t = ± —, yi.t=—~. 2 4 8 4
1502. Период функции Т = я; основная
Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: xt = О
и xs,j = ± — . Минимумы: у = 0 при х = 0 и у = —1 при 3
л 9 1
х = ± —; максимум у— — при х= ± arccos — «±0,21л,
±0,11л,
Т л 1 14” V
Точки перегиба: х1р г — ± — arccos----------
i ।__д/129
Ух, 2 w 0,29; хя, 4 = ± — arccos------------»± 0,36л; у3,4 «
«—0,24. 1503. Период функции: Т = л, основная область-Зл
разрыва: х = -----. Нули: xt =0, х2 = я.
4
функция возрастает. Точка перегиба: х =
Экстремумов нет, я V2
= --- , у = -1--
4 2
кции Т = 2л, основная область [—л, nJ. Симметрия отно-
сительно оси Оу. Нули функции: хь г = ±— . Минимум у = 1
. Асимптота х =. 1504. Период фун-
л
2
при х = 0; максимум у = —1 при х = ± я. Точки перегиба: я „ .
Xi, 2= —yi, 2 = 0. Асимптоты х = 2
Л о л
-- И X — ± , 4-4
1504.1. Период функции Т = 2л, основная область —л х
518
ОТВЕТЫ
я. Функция нечетная. Минимум у~ —
2л V3 л „
х —-------; максимум у =—-------«0,58
~ —0.58 при
2я -при х = ——. Точ-
ка перегиба xt= 0, Ух = 0; х213 = 4= л, у2>3=0. 1505. Центры симметрии (Ля, 2Ля). Нули функции: х2 = 0, х2,3« ±0,37я,...
Максимумы у = —-----1 + 2Лл при х = — 4-Ля; минимумы
у = —(-5-----1 4- 2Лл^ при х = —(~~ + Точки пере-
2k 1
гиба: х= Ля, у = 2Ля. Асимптоты: х =-----------я (Л—не-
У1.г~ ^/е 1.65. Асимптота у = 0.
максимум у —
лое). 1506. Симметрия относительно прямой х= 1. Функция положительна. Максимум у = е при х=1. Точки перегиба
*1. а “ 1 ±
1507. Симметрия относительно оси Оу. Функция положительна. Максимум у — 1 при х — 0. Точки перегиба: хх, 3 =
3 5
— ~ ± 1.22, yi, .= —е”3/3 « 0,56. Асимптота у — 2 2
= 0. 1508. Функция положительна. Минимум у = 1 при х =0. Вогнутость вверх. Асимптота у=х при х—>4-°°. 1509. Функция неотрицательная; нуль х=0. Минимум у = 0 при х = 0;
2
е-3/3 «0,39 при х = . Точки пере-
гиба: хх= ~~ . « —о,15, ух « 0,34 и х2 = VL. «
3 3
«1,48, у2«0,30. Асимптота у—0 при х—>-4-1509.1. Функция неотрицатёльная. Минимум у = 0 при х = Ля (Л = 0, ± 1. ±2,...); максимумы у= е—<2*+V2)« при х = _5_kn,
Точки перегиба х* — (—1)*-^-4"Ля, у* = е Ь2*-Ы/3< Wpt. 6 4
1510. Функция положительна при х> — 1 и отрицательна при х < —1. Минимум у — 1 при х = 0. ( Вогнутость вверх при х> —1 и вогнутость вниз при х< —1х 1511. Симметрия относительно оси Оу. Функция неотрицательная; нуль х = 0. Минимум у = 0 (угловая точка) при х = 0. Вогнутость вниз. 1512. Область существования функции: х> 0. Нуль функции
ОТВЕТЫ
Б19
2
х = 1. Максимум у = — « 0,74 при х — е® at 7,39. Точка пе-е
О
региба: х = е8/®» 14,33, у == —— е~Ч* «0,70. Асимптоты: х = 0
при х-*-+ 0 и у = 0 при х—►+ оо. 1513. Симметрия относительно начала координат. Нуль х = 0. Точек экстремума нет; функция возрастающая. Точка перегиба: х=0, у=0. 1514. Симметрия относительно начала координат. Нуль функции х = 0. Функция возрастает. Вогнутость вверх при х > 0 и вогнутость вниз при х < 0; 0(0, 0)—точка перегиба. 1515. Область существования функции: |х|< 1. Симметрия относительно начала координат. Функция монотонно возрастает. Вогнутость вверх при х > 0 и вогнутость вниз при х< 0; точка перегиба: х = 0, у = 0. Асимптоты: х = ± 1. 1516. Симметрия относительно начала координат. Нуль функции: х =0. Точек экстремума нет, функция возрастающая. Точка перегиба: х = О, у = 0. Асимптоты: у—х-------при х—►—оо и y = x-j-~-
при х—►+оо. 1517. Нуль функции хя— 5,95. Минимум у —
1 , п , , 1 Зя
= — 4- — » 1,285 при х = 1; максимум у =--------— + at
« 1,856 при х = —1. Вогнутость вверх при х> 0 и вогнутость вниз при х < 0; точка перегиба х = 0, у = . Асим-
X х
Птоты: у =-----|-я при х—►— оо и у = — при х—►+ оо,
2 2
1518. Симметрия относительно оси Оу. Функция неотрицательна; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0. Вогнутость . я , я
вверх. Асимптоты: у =-----—х— 1 при х—► — оо и у— — х —
— 1 при х —► + оо. 1519. Симметрия относительно начала координат. Нуль функции х = 0. Минимум у =--------(угло-
вая точка) при х = 1; максимум у= -2- (угловая точка) при х— 1. Точка перегиба х = 0, у = 0. Асимптота у ₽= 0. 1520. Симметрия относительно оси Оу. Функция неотрицательна; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0 (угловая точка). Вогнутость вниз. Асимптота у — я. 1521. Точка разрыва функции х = 0. Нуль функции х = —2. Минимум у = 4 Vе «6,59 при х = 2; максимум у = — « 0,37 при х = — 1. Точка пе-е
520
ОТВЕТЫ
2 8
региба х———, у = — е—*/*«0,13. Асимптоты: х = О и 5 5
у = х 4- 3. 1522. Область существования функции |х|>1.
Симметрия относительно оси Оу. Краевой максимум у = = 2^2 «2,67 при х= ±1. Вогнутость вверх. Асимптота у — = I. 1523. Область существования функции х < 1 и х > 2. Точки пересечения с осями координат (0, In 2) и (1/3, 0). Мак-' 1 _ д/ю „ „„ .
симум у № 1,12 при х=-------------« —0,72. Асимптоты х=
3
= 1, х=2и1/ = 0. 1524. Область существования функции
| х | а. Точки пересечения с осями координат: (0, —а) и (О, 67а, 0) (приблизительно!). Функция монотонно возрастает. Краевой минимум у —------^-а при х= —а и краевой мак-
симум у = — а при х = а. Вогнутость вверх. 1525. Область 2
2
существования функции: х^0 и х> —. Краевой минимум 3
2
у = 0 при х = 0; краевой максимум у = п при х = — . Вог-3
2
нутость вниз при х<0 и вогнутость вверх при х>—. Асимп-3
тота у =. 1526. Область существования: х > 0. Функция / 1 \1t j
положительна. Минимум у = 1—J « 0,692 при х = ---------«
« 0,368; краевой максимум у = 1 при х = + 0. Вогнутость вверх. 1527. Область существования функции х > 0. Краевой минимум у — 0 при х = 4- 0; максимум у — е1/г « 1,44 при х = е. Асимптота у = 1. 1528. Область существования: х> > —1, х ф 0. Функция положительна. Устранимая точка разрыва: х = 0. Точек экстремума нет, функция убывающая. Вогнутость вверх. Асимптоты: х=—1 и у — 1. 1529. Функция монотонна при х > 0. Краевой минимум у — 0 при х = + 0. Асимптота у — е (х-----ФУнкпия положительна.
Симметрия относительно оси Оу. Точки разрыва: х= ±1. Ми. нимум у — е при х = 0; максимум у =—«0,15 при х =
4 Vе
= ± V3 . Четыре точки перегиба. Асимптоты: * = —1 при х -*•
ОТВЕТЫ
521
— 1 + 0; х — 1 при х -> 1 — 0 и у = 0 при х-* оо. 1531. Функции х и у — неотрицательны; хт;п = 0 при t = ——1; Ут1п = 0 при 1=1. Вогнутость вверх при t > — 1 и вогнутость вниз при t< —1. 1532. Точки пересечения с осями координат: (0, 0) при t = 0; (±2 у/3 — 3,0) при t — ± V 3 и (0, —2) при t — 2; xmax = 1 и утаз< = 2 при t = 1 (точка возврата); ymin = —2 при 1= —1. Вогнутость вверх при t < 1 и вогнутость вниз при 1> 1. 1533. Точка пересечения с осями координат: (0, 0) при t=0; хтах = 0 при 1 = 0, xm;n = 4 при 1 = 2; у убывает при возрастании 1. Точка перегиба (—0,08; 0,3) при 1 « — 0,32 (приближенно). Асимптоты; у = 0, х = 1x3
-- и у — . 1534. Точка пересечения с осью Оу: 2---------------2 4
(О, 1) при 1=0; точка пересечения с осью Ох‘ (—1, 0) при г = оо. Краевые экстремумы: xmin = 0 и ymax = 1 при 1 = 0; хтах = —1 И ут|П = 0 при 1 = оо. Точек перегиба нет. Асимптота = Вогнутость вверх при |1|> 1 и вогнутость вниз
при 11| < 1. 1535. Функции х и у — положительные; хт|П = = 1 и ymin = 1 при 1=0 (точка возврата). При КО — вогнутость вверх; при 1> 0 — вогнутость вниз. Асимптота у = =2х при 1-*+оо. 1536. Основная область: [0, я). Точки пере-
/ а . я . /_ а \
сечения с осями координат: ПРИ ‘= ----)
л , , л /. а \ ,3л
при 1 = — ; (— а, 0) при 1 = —; | 0, —— 1 при 1 =--;
4 2 к д/2 / 4
, o') при 1 = -^-. Экстремумы: хтах = а и утаХ = а при 2 J 6
t — 0; f/min-Л при t— ; Xmin — '“й при I —утцх=э
о х
= а при 1 =-----------; хтах = а и y,nin = — а при 1 = я. Вог
нутость вверх при 0 < 1 < —; вогнутость вниз при — <
< ten, 1537. Функции х и у — неотрицательные и периодические; основная область 0 < К-^-. Экстремумы: xmin = 0 2
и Утах = 1 при 1 = -у- И Xmax= 1 И ymin=0 при 1=0.
Вогнутость вверх. 1538. Область существования: 1 > 0. Сим-
522
ОТВЕТЫ
метрия относительно прямой х 4- у = 0. Экстремумы: xmin“ =------L «—0,37, у = -е «-2,72 при / = —;утах = — ,
е ее
х — е при t = е. Точки перегиба: xt = —д/г е~“^2 » —0,34, у1= — ^Че^2 № —5,82 при t = ё~^2 «0,24 и х2 = = л[че^2 , у з = д/2 е'при t — е^2 «4,10. При t = в*-----изменение знака вогнутости. Асимптоты: х = 0 и у—
е
«= 0. 1539. Функции х и у — периодические с периодом Т =• •= 2л, основная область —л t л. Симметрия кривой относительно осей координат. Кривая имеет две ветви. Экстремумы: х min = а, у = 0 при t = 0; xmax = — а, у = 0 при t = ± л. Вогнутость вверх при —я < t < —я/Ч и 0 < t < л/2; вогнутость вниз при —л/2 < t < 0 и л/2 < t <я. 1540. Симметрия относительно оси Оу; {/mtn = 0, х = 0 при 1 = 0. Вогнутость вниз. 1541. Параметрические уравнения: х =
За/ За/2 . ~ „
=--------, у = -----(—оо < / <4-оо). Симметрия относи-
1 + /3 14-/»
тельно прямой у — х. Точка пересечения с осями координат 3 3,—
О (0, 0) (двойная точка). хтах = а у 4 « 1,59а при у = а у 2 « « 1,2а; {/тах=а/<4 при х—а^Ч. Асимптота х+у+а=0. 1542. Симметрия относительно начала координат, осей координат и биссектрис координатных углов. О (0, 0) — изолирован-
ная точка.
и (0, ± 1).
Точки пересечения с осями координат: (± 1, 0)
|x|min= 1 при у = 0; 1х|тах<=
«1,10 при |{/| = V1/2 » 0,71; lylmin = 1 при х = 0 |у|тах=
= д/— — —при | х | =Vl/2. V 2
1543. Параметрические
1 — /3 1 — /3 у
уравнения: х =-----------, у -----------, где / = -2— (—00 < /<
/2 t х
< + оо). Кривая имеет две ветви. Симметрия относительно прямой х + у = 0. Экстремумы: хт;п = 3/2^Г2 «1,89, у => — —3/Чу^4 ж —2,38 при /= — Уг «—1,26; утах =—3/2 У^ х= 3/2 >^4 при / = —У1/2 « —0,79. Точки перегиба: ха «
« 2,18, «—4,14 при 1 = — (7 4-3 « — 1 >S0;
ОТВЕТЫ
523
г2«4,14, у2«-2,18 при /= — |/ —-(7 —3V5) «—0,53; при t— —>^2 —изменение знака вогнутости. 1544. Кривая состоит из прямой у = х и гиперболической ветви х = (1 + -г У = (1 + f)’+1// ( — 1 < t < + оо). (е, е) — двойная точка. Вогнутость вверх при Асимптоты: х = 1 и у —
= 1. 1545. Область существования: |х| > In (1 +-у/2)« 0,88. Симметрия относительно осей координат. Краевой минимум |#| = 0 при х = ± In (1 + V2). Вогнутость вниз при у> 0 и вогнутость вверх при у < 0. Асимптоты: у = х и у = —х. 1546. Область существования функции: г ^0, |ф| ^а, где а=> «= arccos (--. Кривая замкнута. Симметрия относитель-
но полярной оси. Максимум г = а + Ь при ф = 0; краевой минимум г = 0 при ф = ± а. 1547. Область существования: „ _ л 2л . 4л 5л .
0<ф^—J —— ^ф<л. —<ф<——. Функция г —
2л периодическая с периодом ------. Кривая замкнута и имеет
3
_ л 5л
три одинаковых лепестка. Оси симметрии: ф=—, ф=------------
6 6
и ф = . Начало координат О (0, 0) — тройная точка.
2
л я
При 0 < ф < — имеем: максимум г = а при ф = — и ми-3 6
иимум г = 0 при ф = 0 и ф = . 1548. Область существо-
— < | ФI < — я, период -------.
2 6 3
. 2л . и ф = ± ——. Асимптоты: ф =
л вания функции: |ф| <—и
6
Минимум г = а при ф = 0
ля
— ±—, ф=±—и <р = ± —1549. Спираль, имеющая 6 2 6
начало координат своей асимптотической точкой; г монотонно
убывает при возрастании ф. Асимптота ф = 1. 1559. Область д/5 __________________।
существования г —-—----ж 0,62. Краевой максимум <р =я
•л/g____। ।
при г = —-------; минимумф == arccos— « аге 75°30' пра
524
ОТВЕТЫ
г = 2. Асимптота г cos <р = 1 при г -► 4- оо. 1551. Семейство парабол с вершинами (1, а — 1) (минимумы). Точки пересечения с осями координат (0, а) и (1 Т V1 — а, 0) (при а 1). Вогнутость вверх. 1552. Семейство гипербол при а^О и прямая у = х при а = 0. Минимумы у=2|а| при х=|а| и максимумы у = —2 |а | при х — —|а| (а=^0). Асимптоты у = х и х = 0. 1553. Семейство эллипсов при 0 < а < 4- оо; семейство гипербол при — оо < а < 0; прямая у — х при а =* == 0. Все кривые семейств проходят через точки (—I, —1) и (1, 1). При у > х имеем: 1) максимум у = V1 4- а при х в = — J------, если а > 0; максимум у == —V1 4- а при х <=•
V1+°
=-------—..— , если —1 <а< 0; краевые минимумы у = =Р1
л/1 + л
при х = т 1 (а Ф 0); 2) вогнутость вниз. При у х имеем: 1) минимум у = —V1 4-я при х=--------'...— » если а >0}
л/14-а
минимум у = V1 4- я при х =---- 1 , если —1 < а < 0j
14-я
краевые максимумы у = =F 1 при х = 4=1; 2) вогнутость вверх. Асимптоты: у =(1 -f- V — о) х и у = (1 — V —а) х при а<0, 1554. Семейство показательных кривых, если прямая
= 14- — , если а = 0. Общая точка семейства (0, 1). Ми-2
нимумы у =-----(1 4- 1п 2а) при х = -J— In 2а, если а > 0;
2а а
у
У монотонно возрастает, если а 0. Асимптота у = —— .
1555. Семейство кривых, проходящих через точку (0, 0) и име« Кяцих в ней общее касание с прямой у = х. Максимум у = = ае~1 » 0,37а при х = а, если а > 0; минимум у = ае-1 при ж = а, если а < 0. Точка перегиба х = 2а, у = 2ае~2 as 0,27а.
Асимптота у = 0. 1558. ----------------. 1559. (т 4* п) X
(rn4-n)m+n
z атп V-----!—
X (——- J m+n . 1560. Основание системы логарифмов Не должно превышать е1,е » 1,445. 1561. Квадрат со стороной V$ 1562. Острые углы треугольника 30° и 60°. 1563. Высота
ОТВЕТЫ
525
® Г у
банки Н = 2 ]/ ------равна диаметру ее основания; полная
V 2л
з.----- cos а Vcos2 а4-8
поверхность Р = V 54лV2. 1564. cos<p =-------------------»
где 2а — дуга сегмента и 2ф — дуга, стягиваемая стороной прямоугольника. 1565, Стороны прямоугольника а и Ь V2. 1566. Если Л > Ь, то периметр Р вписанного прямоугольника с основанием х и высотой у имеет краевой, максимум при у = h; если Л < Ь, то Р имеет краевой минимум при у = 0; если Л = Ъ, то периметр Р постоянен. 1567. Ь =
1568. Измерения параллелепипеда
1569. —Л2. 1570. лЛ2 (1 4-з-\/з
4- V5) * 81 % поверхности шара. 1571. Объем конуса равен удвоенному объему шара. 1572.------— Р. 1573. Если tga <з
эУз
<—, то максимум полной поверхности цилиндра достигается р
при г=---------------, где г — радиус основания цилиндра.
2(1 —tga)
Если tga > —, то при г = R имеем краевой максимум. 2 __________
V3 _2±Л 2.. . 1575. 1; 3. 1576. Если b <
a _ a2
, то максимум длины хорды МВ =-----------, где с**
л/2 с
«= V“* ~ б2 и точка М имеет координаты х и у, достигается
при х = ±------а/а* — 2d2; у в-----; если о> ——» то
-у2 краевой максимум длины хорды МВ = 26 достигается при х=0.
у » Ь. 1577. х = —-—, у = —-—; ab. 1578. Минимум по-V2 д/7
3 / 3V
верхиости достигается при г = Л = 1 / --> где г — радиус
V 5л
526
ОТВЕТЫ
основания цилиндра и h — его высота. 1579. <р = 60®. 1580. Трапеция, описанная около окружности. Боковые сто-fit / о
роны АВ = СО = a sec* —. 1581. а — 2я Л/ — « аге 294®, 2 V 3
где а — центральный угол оставшегося сектора. 1582. <р =
я д . а . а
<= arccos ——, если arccos —arctg—; <р = arctg—, если р р Ь Ъ
д .а | ао + Ьи | sin 6 .... ...
arccos— < arctg —. 1583. — . 1584. ЛМ=
д/“2 + ^* — 2uv cos 0
/ 3
= а| 1+1/ —— I . 1585. Расстояние светящейся точки Ч V St /
от центра ббльшего шара равно х =
и х = а — г,
а — расстояние
1588. —«ay. (^/З^^/З^ Л/2
а —
—---------------, если а >
если г + R < а<г + между центрами шаров.
1588. о = 1/ — • W
к — коэффициент пропорциональности. 1589. arctg к. 1590. При / < 4а угол наклона стержня определяется из формулы cos а= l+V/*+128a®
=---------—--------; при l> 4a положения равновесия нет;
1591. к = —3; 6 = 3; у = 3 (1 — х). 1592. а = -у- е*»; 6 = (л2 Ч
1 — хв Ч---— I. 1593. а) Первый;
2 /
б) второй; в) второй. 1595. a) д/2~, (2, 2)‘, б) 500 000, (150, 500 000) (приблизительно!). 1596. р(1 +
। 2х \з/2 (a’ _ е2х«)3/2 Va1 - 6*
Ч------I . 1597. ----------------------• где е = ---------
р / ab а
(е*х* —а*)3/2 —-эксцентриситет эллипса. 1598. 1 --------« где
во
а
эксцентриситет гиперболы. 1599. З|ах^1^3.
ОТВЕТЫ
627
1600.
----- (1 — в2 cos2 t)3/2> где в — эксцентриситет эллипса.
1601. 2 ^2ау. 1605. _^±_^ 2а2 + г2 я2 , 1608. . 1609. Зг ’ 1602. at. 1604. (г3 4- г'2)3/2
| г3 -h 2г/а — гг"1 2 J
1606. ( 1 г 14- т3 . In 2 \ 1607. — <2яг . 3 1610. х0« 680 м.
1 vr ’ 2 )'
1611. Полукубическая парабола 27рг]2=8(£-р)3.
1612. Астроида (я£)2^34* (Ьт))2^3 = с4/3, где с.2 = я2 — Ь2. 1613. Астроида (§ + т))2/3+ (§ — т))2/3=2а2/3. 1614. Цепная линия т) = a ch —. 1615. Логарифмическая спираль
а
р «- тает <*~л/2) . 1616. £ = яя4-я(т —sinx); т) =—2а + + а (1—cost), где т=<—л. 1617. xi = —2,602; хг~ = 0,340; х,= 2,262. 1618. х1= —0,724; ха = 1,221.
1619. х =2,087 = аге 119’35'. 1620. ±0,824. 1621. х, =
= 0,472; х. = 9,999. 1622. Xj = 2,5062. 1623. xi = 4,730j
х2 = 7,853. 1624. х= —0,56715. 1625. х=± 1,199678.
1626. xt= 4,493; х,= 7,725; х,= 10,904. 1627. хх = 2,081|
к, = 5,940.
ОТДЕЛ III
В ответах этого отдела ради аддитивная постоянная С опушена.
9 1
1628. 27х — 9х’ + —-xS-------— xl
5 7
краткости произвольная
625 1629. 125*4*
+ ЗОх» — ~“"X* + Д- ,вз°- х — Зх2+ -4“ х» —х«. 3 7 о Z
1 а3 а3
1631. х —— — 21п|х|. 1632. я In | х I —-------—-•
х х 2х2
2 . ,,ri 4 24 12 ——
1633. — хл/V + 2л/х . 1634. — х/х —-тт-х/х*4*
3 5 1/
• 1635. — —(1+х - т **+т• о X ® о /
1636. . 1637. 2х — >^72хГ + 4" V
7 |/’х" 5 2
1638. In | х |---Д—. 1639. х — arctg х. 1640. — х 4-
4х*
1641. х4-21п
528
ОТВЕТЫ
1642.
1648.
2
arcsin х + In (х + Vl + )•
in
1646.
1
1645.
1646.
In 5
t
cos — л
— ([ ] — целая часть). 4
4х
• 1644.-----
in 4
x
6х у
in 6 + In 9
= X
1650.
1653.
1657.
1659.
1661.
X ln
1664.
5 In 2
1647.
1649.
1651. achx+bshx.
x — cthx. 1655. 1п|х4-а|. 1656.
~-(l —Зх)4/3.
2
15 (5x — 2)3/2
7rarctg V2 +xVT
Vr — x vr
л/з
Г-”)-
1658.
1660.
x — cos x-f- sin x.
где 1 =
— X — ctg X.
1652. x — thx.
-l_(2x_3)U.
---1- V2 —5x . □
1662.
_L_ x 2^6" X
1663. —t=- arcsin л/з
in | X д/г + д/Зх2 —2 |. 1665. — (e'x +
1666. —xsin 5a — — cos5x; 1667. — — X
5 2
Xctg(2x + y). 1668. tgy.
1669. — ctg у .
1670.
1672.
1675.
1677.
1679.
1681.
1671. у[ch(2x+ l) + sh(2x-l)l.
2th — . 1673. — 2cth —
2 2
—' (1 + xs)4/3. 1676.
4
_______1
2(1 + x2)
ц ^-V2 .
8V2 x*+V2
cos —- . 1682.
. 1674. — Vl—x2
---^-ln|3 — 2x2| 4
1 x2
1678. -arctg—-. 4 2
1680. 2 arctg V*
. | 1 + VF+T *— In ' .
ОТВЕТЫ
52Э
1683. — arcsin —-— . 1684. |x| X
Vx2+ 1
1685. 1. 1686 -y|/8x34-27 .
Vx2 — 1
1687. 2sgn x in (Vi xi 4- Vi 1 4- *i) (x(l + x)>0).
1688. 2 arcsin V* • 1689. ^-e-X2. 1690. ln(2 4-ex).
1691. arctge*. 1692. — in (e_*4" Vl 4* u). 1693. -y ln3x.
1694.1 ln|ln(lnx)|. 1695. —- sin’x. — ln|cosx|. 1698. ln|sinx|. 1699.
*V cos x 3
1697. g V 1 — sin 2x.
1700. Va2sin2x+ b2cos2x a2 —b2
1700.1. ——Д=— In | V2 cos x -4- Vcos 2x V2
1700.2. ——arcsin (V2 sinx). 1700.3. X V2 V2
X In (V2 ch«+Vch2x ). 1701. ---— у' ctg3 x .
О
1702. 1 -nrrtof tgX 1703 In tg — e 2
vr c 4 vr)' •
1704. ln|tg(v+‘4’)|# ,705‘ ln 5 Ю | X •
1706. 1 h 2х
Лй‘и1ес- 2 Vr “A V2* X , . 1
+ Vsh*x + ch*x 1. 1708. 3“/tbx. 1709. — (arctg х)1.
1710. 1 1711 2 In3/2 IrX </i J-
arcsin x 3
1712. X in 1 . X2— 1 1
vr a,u s xVr 2Vr x’^xV2+l 1
x2+xV2 4-1 ’ 15(x*4-l)3 9 . ... •
1715. 2~ in (х"'1‘2/2 4- v 1 + хл+2) при я — 2;
1 14-х
vr 1П|Х| При Л = — Z. 1/10. Ш“ “ 4 1 —X •
1717.
3 z * 2 (tfcj
34-2МЗ
530
ОТВЕТЫ
1719.
1721.
1722.
_____1----ml^LI им. 2Л/Г
2(ln3— In2) I 3x+2Jt I v
±X3_J2_X5 + 1_x7. 1721.1. 3 5 7 11 12
— x — 2 In 11 —x|. 1723.-l-(l—x)3+ln|l + x|. 1724. 9x—
х3
я 1
---— x* +ж3 —27 In 13 +x|.
2 3
1728___— In
V2
_______1 _________________
“ 49(1 —x)w 97(1 —x)« ’
---—4-x —ln|x+1|.
2
1725. х+In (14-х2).
V2 4~*
V2* — х
1
+ 2 In 12—х« I—x. 1727.----?-----
99(1 —х)”
x3
1729.
1728. —------------ ,
5 4 3
О
1730.----£iJ2*_(2 — 5х)3Л 1731.-----(1 — 3x)3/«.
1732. JL(l+x1 2 3)’/3 -— (1 +x3)*/’. 1733. — In I —~1 I.
14 8 4 I x-J- 3 I
1734.
1738.
1 . I x—1 — In ---
3 x+2
1
10 V2
In
1 . x
---- arctg -----
/2 V2
1 . x
------- arctg ----—
5л/3 V3
1735. arctg x
x—V2
1737.
In |x + 3|L.t 1738. -L-ln 1 . 1739.--------------2x + .a+ft------j.
(x + 2)3 2 x3+ 2 (a-b)3(x4-a)(x+ft)
4---------In I -~+-— 1. 1740.
(a — b)3 I x4-b I
---L arctg—) (| a I ¥= I 61). 1741. a a /
---------I — arctg — — a3—b3 V b b
—------— sin2x. 1742. — 4,
2 4 2
1x1 1
•4—— sin2x. 1743. —cos a-sin (2x4-a). 1744. —sin2x—
4 2 4 4
--L Sin8x. 1745. 3sin —4- —sin1748.-— X 16 6 5 6 10
X cos f5x4- cos fx 4- . 1747. _COsx4--|-X
\ I46 ✓ <6 \ 1л / о
1
Xcos*x. 1748. sinx-sin’x. 1749. —x--sin2x-{*
3 8 4
ОТВЕТЫ
Б31
1 3 11
4-—— sin4x. 1750. “а”*-!-sin2x Ц-——-sin4x.
32 о 4 32
1751. — x— ctgx. 1752. -|-tg2x4-ln|cosx|.
1753. 3 3 13 ' 16 COS2X“ 64 C°S4X + 48 C0S6*+ ”12T X
X cos8x 1 1 4- cos 12x. 1754. tg x — ctgjx. 1755. 4" 192 6 r sin x 1
4-In | tg 1757. f— + —) k2 4) In | sin x| — - . 1756. — — 4-ln|tgx|. 2 cos2 x j-sin’x. 1758. tgx4-ytgsx.
1759. x - In (14-e*). 1760. x4-2arctge«. 1761.---------£- +
1 x 1 2
4* — sh 2x. 1762. — 4" “ sh 2x. 1763. у sh2 x.
1764. -]-sh2x + -|-sh4x. 1765. — (th x 4-cth x).
4 о
1766.------ПГ (9 + *2x + 14x’) (1 — x)4/3.
140
1767.----L±55£_ (i _5xS)U. 1768.-------— (32 + 8x + Зх«) X
6 600 15
X . 1769.------— (8 + 4x’4-3x*) Vi—X*' .
15
1770.----(2 _ 5X’)5/3. 1771 (—-------------*-Sin»x + — X
1000 \3 7 11
X sin* xA Vsin5 x . 1772. — — cos’x+— In (1 4-cos* x).
/ 2 2
1773. — tg2x4- — tg»x. 1774. — (—2 4-lnx)Vl + bx . 3 5 3
1775. — x —2e-*/I4*21n(14-*x/i). I77®- x — 2 ln( VTT?)-
1777. (arctg )2- I77®- 7 . 1779. — Vx»^T 4-
V1 — x2 2
4- In I x 4- Vx2 —2 |. 1780. ~ Vl — x4 4" —~arcsin x.
2 2
1781. --------------. 1782. — V"14- x2 4- a arcsin .
a2 Va2 4- x2 a
1783.----?a+_x_ ух(2а_х) 4. зд» arcsin д / JL. 1784. 2 X
2 V 2a
34
632
ОТВЕТЫ
X arcsin А /——— . 1785. ——^/(x — b)(b — x) 4* V Ь—-а 4
4- arcsin А / . 1786. — ^/а*+х* + — X
4 V Ь—а 2 2
X in (х 4- Va»4-xa)- «787. — Vi» 4-х»-— in (х4- Ve^+x2 >•
2 2
1788. V** — a2 — 2a In (Vx — a + Vх 4- a ), если x > a;
— *Jx*—& 4-2a in (V — *+ a + V — x — a). если x< — a.
1789. 2In (Vx+ a 4* Vх + *). если x4-a>0 и x4-b>0;
2 In(V — x — a + V — x—*)• если х+а<0их+5<0.
П90. V(x+a)(x+«--------{b~^- In(Vx+a 4-
4 4
+ Vx4-b), если x+a>0 и x4-6>0. 1791. xflnr—-1).
1792. -.*?? flnx--!—Yn^ — l). 1793.-------(ln»x +
n+ 1 \ n+ 1 / X
4-21nx + 2). 1794. — x^fln’x-— In x4-—Y 1795. — (x-J-
3 \ 3 9 J
+ 1) e~*. 1790.-(x« + x 4—1-). 1797. — e~*.
OjpS — 1 X
1798. x sin x + cos x. 1799. —-------cos 2x 4-sin 2x.
4 2
1800. xchx —shx. 1801. (-y-4-sh3x — 4- X
Xch3x. 1802. x arctg x--— ln(14-xS)- «803. x arcsin x 4-
2
4-Vr^x». 1804.--—4—L± x*-arctgx. 1805.----— X—X
2 2 9
/;----s , x* arcsinx . 14-Vi—x*
X V« - x’ 4-arccos x. 1800.--------— In ——----.
3 xx
1807. x In (x 4" VbH?) — V« + x* . 1808. x-—— X
2
X in — . 1809. — Vx^ 4- (1 4- x) arctg Vх • «810. In Itg —I — 1 —x I 2|
— coex-lntgx. 1811. —(Xs—I)***. 1812. x(arcsinx)s4-2X 3
x Vl —** arcsin X — 2x. 1813. -1 X- (arctg x)2 — x arctg x 4-
ОТВЕТЫ
533
1 11 Х^ I 1 —-X I
— !п(14-х®). 1814. — -х2-- 1п|1-х«|+ —In — 2 3 3 3 11+х1
1816.--------------+
2(14-ха)
— arctg — (а =# 0). а
1819. — X 2
х(2х» + аа) 8
J__ arctg х. 1817. --------------Ь —
2 2а»(а!4-ха) 2а»
1818. — Vo2 —х2 + ——arcsin—— (а =#» 0).
2 2 |а|
1820.
2
X Vo2 + х’-------~ in (х + Vo2 + х2 ). 1821. —---------------— sin 2х—
8 4 4
---cos2х' 1822 2(Vx —1)е^Х. «823. 2(0 —х) Vх X 8
X cos Vх — 6 (2 — х) sin Vх • 1824.---О—*> е* 5-*.- е
2 УГ+х*
1825. , 1826. — [sin (In х> — cos (In х)].
2^1 + х* 2
х , . a cos bx 4- b sin bx
1827. — [sin (In x) + cos (in x)J. 1828. --------e“.
2 аг+ Ьг
1829. -asl"?x~bcosbx е“. 1830. (2 — sin 2x — cos 2x).
aa+b! 8
1831. — 4- —sin2x — e* (cos x + sin x) + — e** 1832. —x-f-2 4 2
in (1 + e4*)—e~x arcctg (e*). 1833. — |x+ ctg x-ln(e sin x)J. 2
1834. xtg x+ in | cos x|. 1835.
1836. —1=- X у ab
Xarctg(x д/У).
если а&<0. 1837.
если ab->0;—-— In 2л/ —ab . 2x — 1 arctg
X ln| -^—4 • 1839.
X In (x2 + x + 1) +
2
V7
___1
4 V2
1
V3
In
Vla| —x Vl6l
—1838. 1 X
<-(V2±0,i. 1840. lx
x» + (V2 - 1) I 2
1841, — у 2 X
arctg -----—
V3
X ln(x2 —2xcosa+ l)+ctga-arctg ——cos?- (a ^=An, k — ue< sin a
634
ОТВЕТЫ
1 ! 9х* — I
лое). 1842. 2. In (х* - х2 + 2) 4~ arctg ' 1343. JL In {|«3 + 1| (х3 —2)2}. 1844.—In I 3sin *~5cos._. 9 2 I sin х — cos x
1845. arctg x
если 6>0;
1 ----- arcsin
b<0. 1847. arcsin
V2
2
1849. -In | x V2 \
4- — arcsin —. 1852. 2 V2T
x2-
1
yjb
если ai>0 и
1848.
1851. - V5 + x—x4 4-
aresin
4x2+3 aJyT
4- v x2 + x + 1 . 1853. ----
2 <2
1853.1. arcsin ? x~*. 1854. - In |xJ-
3 2
1 1 _________ Я __1
+ oV^-2x*-l. 1855.---— Vl+x* —x« 4-—arcsin------
2 24 ./7
1856. _ In . I t 4- — 4- arc х4-24-2д/**4-х4-1 1 iee, Vx2 + x—1 ,
X . x—-2 / Sin f |x|V5 V 1" x x + — 1858. X 21 2 ) 72
X In 1 —Д t+ V2 (l + x2) . 1859. arcsin —_-(|x|> |x-l|V2
1 + X
>72). I860. — -У£*+?5._5..4 !— arcsin —' — 5 x4-2 5^/5 |x4-21 д/б (|x4-l| > 7^). 1861. -X~-1 V2 + X-X2 +4- X 4 о X arcsin —. 1862. — Inf——1-x+V2+x +x2 4* 3 8 \ 2 7 ^._25+JL ^2 4-x4-x2 . 1863. —LL^x«4-2x2— 1 !-x 4 4 2
Xta |x»4-l + Vx‘4-2x2—1 I. 1864. — Vl + x —x2 4--y X
ОТВЕТЫ
835
1—2x
X arcsin--—— In
Уб x2— 1
х
2
/5 2
1865. In
1867. —In 2
x
~ (x4-2)« (x4- 1) (x4- 3)8 llx5 21x* ,
5
x— 1 (x4-2)1024 4--y-ln|x-3|.
4
1866. ln|x — 2|4- ln|x4-5|.
X In
1868. —---— 4- —----
9 8 7
---8^4-17 lx +-L X
13 2 3
1 9
1869. x4- ln|x|---X-ln|x—214-
1 . 8
---arctg "
3 x—1 I
43х»
1870.
3
1___
3(x-l)
4-““ In | x2 — 11. 1873.
1871.
1872.
arctg —— 2
1
5x —6 x2 —3x+2
+ 4 In
x—1 x —2
9x24-50x4-68 1 ln | (x-Ь Dfr4*2)w I
4 (x 4- 2) (x 4- 3)2 8 I (x4-3)‘t Г
3x24-3x —2 , 3 , |x4-l I x ,
-----------------1-----In — . 1876. arctg x-{-
8(x— i)(x4- I)2 16 I x- 1 I
. 5 . x24-1 1 . i (x-i-l)2
4-----In---------. 1877. — arcctg x 4------in ’ -.
6 x24-4 2 4 x24-1
1 -| 1 x 5 (x — 1) 50
1880. In |—-—I —
1874.
1875.
1878.
1
arctg (x —2). 1879. x —2
X In —J* --------— arctg (x 4-1).
x2 4-2x4-2 25
2 4 14“ 2j
— ------- arctg —
У? Уз 1 k 2x — 1
+vF ,re's “vF'
1882. — In —.fe.—P*.
6 x2 4- x 4- 1
1881. — 6
ln -J‘±*)L_4. ..ft *
L_ arctg -?£±-L. 1883. -L X /з д/з 4
— arctg x. 1884. 1 in x84~s V2 4*1
2 4 УГ x2—хУ2 4-1
-J-^arctg-^L. 1885. -1-1П.АН+1 4—X 2У2 1 —4 x2 — x-i-l 2УЗ
Xlnl-^1
536
ОТВЕТЫ
, х* -1 .оой 1 , 1 + х V3 + Xs , 1 ,
X arctg-----—. 1886. ---— In-----------------1---х
х V3 4 д/З 1-x V3 + X« 2
X arctg X + -b arctg x8. 188?. — —-2—_ + -2- X
o b (14- x) 6
X In-----y)g- 4-----1— arctg X------!--- arctg -2x~1 .
‘-x+x2 2 зУз Уз
<ooo * 1 (*— I)2 1 x 2x—1 2
1888. —In—--------'-----------arctg--------. 1889. —X
6 x’ + x+l Уз V? 5
X 1П —--------------ьЦ- arctg (x+ -------Г" arctg (2x4- 1).
x2 + x + 1/2 5 5
1890. a + 2b + 3c = 0. 1891.-----x*+x+2--------_L x
8(x-l)(x+l)2 16
X ]n I _£±1_ 1. 1892. ----------
I x — 1 | 3(xs+ 1)
o 2x__1
4-------- arctg ——-. 1893.
3 д/з л/з
1894. -------------h arctg (x-Ь 1).
x2 + 2x + 2
। 3 __ in Л!+£.У-2.+1__
16^2 x2— x V2 4-1
5x4-2 . 1 ,
1896. --------1------------ln-
3(x24-x4-l) 9
X arctg 1897. 7x* ~ Lx_.
Уз~ 32 (x4—I)2
X arctg x. 1898.--L±.?i-----. 1899.
6 (x4 4- x2 4- 1)
4--i-ь +
9 & — x 4. i
x(3x24-5) , 3 ______
----------- arctg x. 8(x2+l)«---8
1895.
3
8 л/2 (x-l)2
-----x---4. 4(x*4-l)_ , x V2 arctg - -V . x2— 1
-+—^-x 1 зУз
2Lin|^zLI_2!x
128 I x 4-1 I 64 8x«4-8x24-4x—1
28 (x3 4-x4-I)2
x 2x4-1
1900.---------------(весь интеграл!). 1901. ---------1-----k
x»4-x4-l 3(x24-x4-l)
4.----— arctg ——x . 1902. ay 4- ca = 2bf.
з-V? Уз
1903 t________________3________________3
96 (x— 1)” 97 (x— 1)” 98 (x— 1)”
_______1 99 (x— l)w
1905. --!--arctg
4 Уз
1904.
1 ln (x24-l)2
12 x* — x2 4-1
arctg x2.
Уз
1900.
ОТВЕТЫ
637
i Ov2__1 5 И
X arctg х3 4---—arctg-------—. 1907. -—In ,---
2V3 л/з 8 ^+2
г* 1 ( х5 1
-In—--------. 1908.-----— I ---------4------— Х
х44- 1 100 \ х10 —10 2 V10
X In
1910.
X5 — V10 \
X5 4- V10 /
_____х54-2
10 (х10 4- 2х3 4- 2)
-4- — in. **~Н—.
4 4 (х44-2)4
X (хЛ — In | хп 4-11) (п =# 0).
—— arctg (х5 4* О- 1911.—X 10 п
1912. —— (arctg Xя----——
2п к х«4-1/
1 . х“ — In-----------
20 х1О4-2
1915. — In 7
(п=#0). 1913.
. 1914. ------:-------1----X
10(xw4-i) 10
—. 1916. — X
(14-х’Р 5
х in I —5L_ 1. 1917.—— arctg x2 -j- . 1918. -Д^-Х.
I *5-5x4-1 I хл/3 y5
x in :*+<-VO»4-» . 19W. .
2x« 4-(14- V5)x-f-2 4V2 x‘4-x2V2 4-1
2ax4- b
1920. arctg x4- — arctg x3. 1921. In=
B 3 (л-1) Д (ахг4-*х4-с)Л-1
2n — 3 2a , . . ., , 2x 4-1 .
------. /n-i. где Д = 4ac — 5!; /3 = !-— 4 n-1 Д----------------------------------------6(x34*4D2
4------?L±_!------j---1— arctg -2x+ *-. 1922. 1 =
3(x34*41) д/з
(b — a)m+n-i J tm 625 к t 2
— 31n I / А , где /= X~— . 1923. — V —------------------------ +
) x 4 3 Zu ftl (л—k) (x—a)n~k
fcastQ
P*n) (a)
4.-----L_ In I x - a 1. 1924. R (x) = P (x*) 4.
nl
k ni
+ V* X"1 Г-------—--------1----—------1> где P — многочлен,
Д Zj L (ai~x)ai (ai + x)ai J
.=1 /=1
thai(i=l, .... k) — корни знаменателя и Ац — постоянные
Б38
ОТВЕТЫ
п
коэффициенты. 1925.---------— У cos Я ~ In (1 — 2х X
2п L-i 2л \
fe=i
К cos-----------я 4- хЛ -J------V
2л 7 л Ди
fe=i
. я (2k — 1) sin—-----— х
2л
x_Cos^Ln
X «rctg------—----
. 2k — 1 Sin ---- я
2л
. 1926. 2 V* — 2 In (1 + V«).
A ____1 Q 1 1
X arctg ALT-L, 1928.— /<-—/»--i-ln 11— 11 + “ X
V7 424 8
X In(P +1 + 2)-arctg .2<±l.,t == V2+T. 1929. 6/-
8-^7 V7 — 3f»— 2P+ —1* + — P — r + 3i„(i 4-/2) — 6 arctg i, 2 5 7
fi 0 4 *4
где f=/x+l. 1930.-----------------. 1931. —-
____ (1 + Vx-)2 1 + ‘А 2
- »^^_+^-h|H-Vg=ri. in -y j/” 1B3. -_gg- + _i_ln I+-V2+'- +_2_ x
1 + *4 4 V2 1 — / V2 + t2 2 V2
I— t2 -i4 / a — x <пол л
x "ct8 ’ V ~T~ ’ _^TX
X 1/ s~— . 193S. — + Vx Vx(l + x) — x у x—a 22 2
Xln(Vx+VT+T). 1937.----l=^-Vl+* + *r----
4 о
xln(_L + x+VT+T+r4. 1.38. -1» 2-»+2V?^Tr . \ 2 J x+1
ОТВЕТЫ
Б39
1939.
2-х
3(1 —х)2
1940. j?4-ln(x+l + K)—<2 X
х1п
X
где R =* -у/хг 4- 2х 4- 2.
1941,
arcsin
V5
. 1942. ---— X
4
194-5х+2х2 6 Х
21 , , ----х®4* 128
ЗЧ-х + 2 V1—х —х2 1 4- х
— arcsin 1943.
8
X V1 4-2* — х2 — 4 arcsin ——, 1944. Л-88 ^/2 ' 256
4- -^—х* — _Ьхг 4- 714-х2-----—ln (
160 80 10 ) 256
(а*х агх3 , х5 \ /-=----------г . а* . *
-------------------1 у а» — х2 4---arcsin----.
16 24 6 J 16 |а|
1940. (-у---Y"+37) V«’4-4x4-3-66 In | x4-24-V*’+4x4-3 L
1 .7-^= 1 1+V^+L 1M8.-^±LX
|x| * Зх»
1947.
2х2
In 2
х2
X 7x2 — 1 . 1949. ———— V*24-3*4- 1 20 (x — I)2
X In
(x4- 1)V5 4-2 7**4-3*4-1 x— 1
————— 3 1
X Vx2 4- 2x-------arcsin---------, где
8 |x4-U
1951. 4a(ca14-Wi)=8a2c14-362fli (a=?b0). 1952.
1
72
X arcsin
1954.
1950.
11
40д/б X
3*4-5
8(*4-l)’
x < — 2 или x > 0.
71 4-2x —x2 2(l-x)
1953. — X
2
1 , I 3x4-1— 27*’ — *—1
_)„!----------
x —3
ix-n7r
1—x
7Г
X 71 4- 2x — x2 — 2 arcsin
4-7*24-*4-1)4-
14-* .
1955.------1--X
2
---arcsin *72" 72 |14-*l
540
ОТВЕТЫ
1956.
(*<1
1958.
1959.
1960.
X In arcsin
X In
1964.
Ух» —4x4-3 x — 1
— 2 arcsin
1
I* — 2|
1 x V 2
или x>3). 1957. --arctg —;----------
•V2 71—x»
1 xV2 4-Vx» — 1
2 yr x yr — y^^r
_* ln 71 +хг4-хУГ
2 714-х» 472 П 71 4-х» —хУГ
a/*2 , |.. О I
In (x 4- Ух» 4- 2) — arctg---. 1961. X
(2x 4-1) 7Г4-73 (x»-Tx-l) . 1W2
(2x 4-1) УГ - УЗ(ха4-х—1)
x — 1 72 . 724-2x — х» 1
73 3 (i_X)72 ye
1966.
— In
3 2 (2z 4-1) 2
t+T. 1967.
1 1965.----—-X
6 72 t 72x« —2x4-5 arctg------------
где
z*
|2z4-H3 I г— 1 । in -------- — 2 arctg z, где
1 4~ 71 — 2x — x-x
1968.
+ (г - I)'3] 4- l(z — 1)» — (z — 1)-»14- [(z
4--^-In |г—11, где 2 = x 4- 7x2 — 2x-|- 2 .
,,м- —---------------м7Г1Г+Т1'1|‘-11-
”"97”1П|г — 2|“ 1БГ1П|г+11’ ГДе Z = ~~Х + 2
27 108 x-i-i
ОТВЕТЫ
Ml
2 (3 — 4г)
19Ж 5(1_;--ТГ
2_ I V5~+ 1 +2? 5^5 П| УГ —1—22
где z= —x+V*0+*) • t»71. ~(V*a+l + 4
/—--r-x , 1 . x+Vx2+l
/х2 — 1 ) + — In -,.
4 x + Vxa — I
1 / z Уз" + ^T2F + 1
— 1ln z—7~— з{/12 \ 2 7з — /12г» + I
. / 12z2 |
X arctg ———----------I > где г —
г — \'
1972.
-2 X . 1973.
— VI — x — —7=— arcsin x. Л/2
1974. Vl +*+*“ + 4“ X
, I +2x + 2 Vl + *+** x ln~;--------/
(2 + x+2Vl+x + x2r
+ x3/2j_ JL 0
X arcsin X . 1977.------2=
x2 +1 yr
1 X2 — 1 z
1978. —arcsin (|x| >и
1978.------tL- x
V2
xVF +7x*+ 1
1 x2—I
2" - 1 ).
j_ln x2 (2x2 + 1 + 2 Vx4 + x2 + 1 )
2 x2 + 2 + 2 7х* + х*+ 1
1981. yX
X V(* + x*)3 - —Vx + X» + 4- In (7* +
о о
+ Vl + x ) при x >0. 1982. х5/6 — 4x,/2 + 18х,/6 +
5
Зх'^ 3
+ 1 + xh '~21 arctgх1/в. 1983. — г» - 2г2 + Зг. где
г = *J 1 + )Лх2 . 1984. —* + ~7“г3— ~ ~е'~ * где г= V1—х2. 3 5
1985.
1 , z2 + z+l —— In ---:-------
6 (2 — I)2
” “W" arctg
2z+ 1 vr ’
где z =
1986.
542
ОТВЕТЫ
----arctg г, где
1987. 4- In —--------------4-
6 2 -|- 1
a 1
где г = у' 1 4- x*. 1988. — г* — 4 А л 9 где
1 / 1 3z
«= l/i+т- 1 , (24- 1)’ 1989. 2(z34-i) 73“ , 2г—l » где z = ± 1, ± 2, .
4 П г3 — z 4-1 e V^x-x3 2 arctg 73- 2 m — ——» где k k
X a •
2 1991. sinx — sin3x4- "4“ sins x. 1992. 5 5 1 16 X 4 X
3 X sin2x 4-“rrsin4x -f-64 3 sin3 2x. 1993. 48 1 5 1 16 X+ 4 x sin 4x X
X sin 2x 4- — sin 4x — 64 —— sin3 2x. 1994. - 48 16 64 +
sin* 2*
1995.
sin* х_______2 sin* х , sin* x
5 7 + 9
cos2x , cos3 2x cos3 2x 1997. 1
1990. 64 96 320 3 cos3 x
1 3 COS3 X 3 in I tg — 1. 1 2 1
COS X « ItJvO. 2 2 sin3 x 2
COS X 1 1 x 1 sinx ,
1999. 2sin3x “ "t” 1П 1 Tg I • ZWv. 2 1 2 2 cos3x
+Tln|tg(f+-f)h
8
2001. — 8 ctg 2x — — ctg3 2x. О
tg4 x . 3 tg3 x ctg3 x
2002. -^-+—*------S—
2003. —---------1-------'-----
cos x 3 cos3 x
4-ln
In | cos x|. 2005.
d,«. 2000.
4-3 in I tg x |.
2000. ЛИ--4
ctg3 x , ——+
2007. — 2 Vctgx4-
ОТВЕТЫ
643
2 ———
+ ~7" Vtg’x .
О
7з"
--------- arctg
2
2008.
1 — Г5 /7з"
Li | (»+ n8(i +<*) I 4 n| (i-o*(i-a I
4 3Г~------
где t = y sin x.
2009.
где
1 . <г*+|)* '
4 П z4 — z5 4-1
г»—1
2 X
2z4—1 з„____
X arctg --=—» где z = /tgx. 2011. I„=*
4 о
cos xsin"-Ix , n — 1 , ,, sinxcos"-^ ,
= — I 'n-i> — т
n n n
, n — 1 „ , 1 . t 5 . ,
4-------К„_г, lt = — — COS X Sin5 X — COS X sin5 X —
5 5 17
--— cos xsin x + -—x; X, = — sin x cos? x + —- X 16 16 о 4o
35 35 35
X sin x cos5 x 4- sin x cos3 x + — sin x cos x + x.
Va iXO 1*0
cos x . n — 2
2012. /^ = — . .. . - . । .
(n — Osin" *x n—1
_________sin x_______, n— 2
Лп= (n— 1) cosn“5x + n—1
cos X 3cos x 1 8 ln| tgT у sin x
4 sin4 x 8sin2x Л? — 6 cos4 X
। 5sinx । 24 cos4 x 5 sin x 16 cos5 X +» - In <s( X +f )l •
1 1 2013. — cos 4x — —— cos 6x. 2014. 4+- sin2x 8
, sin 4x , sin 6x 2015. 3 cos X 3 5x
4 4.. 24 2 6 10 cos 6
7x . 3 Их 1
cos —— + — cos ——. 2016.------------------— cos(a — b) X
v XX О X
X cos x — — cos (x 4- a 4- b) 4- cos (3x 4-0 4" b)
2017 — I sin2gx I sin2bx , sin 2 (a — ft) x .
‘ 4 + 8a + 8b + 16(a — b)
sin 2b x ~b
544
ОТВЕТЫ
sin 2 (a -f- 5) * + 16 (a 4- b)
, 1 3
+ —eosS,—— cos
кь.I “T*? I'
I sin (x + a) I
1 , I sin (x 4- b) I
I cos (x 4- b) I | cos (x 4- b) I cos (x 4- a) x — a sin-----
2
2018.
8x + —— 192
если
8020.
2021.
2022.
cos (a — b)
2_____
sin (a — b)
-1-in cos a
cos
2
X in
x — a cos--------
2
cos------
2
X In
cos x
cos (x 4- a)
3 tg 4-1 x ,rc's—VF~
3 3
cos 2x 4- — cos 4x + 10 04
cos 12x. 2019. ------------X
sin (a — b)
sin (а — b) Ф 0.
если
если
(cos a #=0).
(sine^O). 2024.
(sin a 0).
cos (a — b)=£ 0.
sin (а — b)=^= 0.
2023. —-—X sin a
— x + ctg a X
2025. ------- x
75 *
2„. J_,„ О-о^хг + е».*)’
6 (1 4- cos x)3
1 4
2027. ----— (2 sin x 4- cos x) 4- ——r
5
. arctg 2
+ 2
a)
2
— e2
X
X
1 —e
x
7
e 4- cos x 4- Ve2 — 1 sin x
если
, —— In Ve2 — I
2029. x — jjg- ' arctg (VF tgx).
X arctg ( -a .......). 2031.
6 \ b ) (а2г2 4- b2}
6)
1 4- e COS X
2030.
если e > 1
1
— X ab
(гь2)-^
1
2ab^
аг arctg —— о
ОТВЕТЫ
545
(ab =#= 0), где г = tg х. 2032.
---7=-* In I tg (— + —)| • 2033.
2 V2 I В к 2 8 7|
1
— (sin х — cos х) —•
cos х
a (a sin * + 6 cos х)
2034. — 1 . (sin x 4- cos x)2 1 . f i — In 1 1 — arctg I — 6 1 — sin x cos x -y 3 \ ! cos x — sin x 3/З sinx )
1 ♦ ( tg 2x \ 1
2035. V2 ""‘Ч - 1. 2036. — V2 J 4 ’ [V2 4-V2~A
X arctg и д/2—V2 arctg . “ )
д/4 4- 2 V2 V4-2V2 P
1 , a/2”—sin2x
если и = tg2x- 2037. —— In —
2 V2 V2 4-sin2x
2038. arctg (sin2 x). 2039. arctg Q-tg2x). 2040. —4~ 3 z 1
-I---7=-arctg——- , где z=tgx. 2041. —7------------ x
4д/2 V2 Vo2+fta
I. / x , <p \ I a b
tg I —h — l b где cos <p = —. '" Hsm<p=- , — .
\2 2 Va2+62 Va24-/>2
x 3 2043.--------— In | sin x4- 2cos x|. 2043.1. 0,1x4-0,3 In |sin x—
— 3cosx|. 2044. — 4-—In 15 sin x-{-3 cos x |. 2045. ——— 1 34 34 "2 1 hi
- flfli + bbl a.sin x 4- b cos x (a2 + ft2)3/2
= —. a и sin <p = —7=JL=- . 2047.----------------4—X
a2 4- ft2 л/ dl + b2 5 5
, где cos <p=
6 5tgT + 1
X in | sin x—2 cos x+31-arctg--------
5 2
2048. —------
2
-----— tg ------------------in (V2 4- sin x + cos x) . 2049. x
In 13 sin x4-4 cos x—21 4-
—T= ln 5д/21
2051.
—sin x 4-3cos x4-2 V2 in
2052. — X 5
35-гзвз
546
ОТВЕТЫ
g X (sin x 4- 3 cos x) 4 t=~ 'n 5 yb V5 -l + 2tg-i- 9 . 2054. —-^X V3
V5 4- l-2tg — 2
. / cos х \ 1 . 2 + sin * 3 ...
X arctg I —r=-1-In —------. 2055. — arctg (sin x—
\ y3 J 4 2—sinx 5
_2cosx)+__L_ln A.+ 2?inx + cosx _3_ x
10 V6 V> —2sinx —cosx 4V2
xln V2 (sin x 4-cos x) 4-I 1 in V3 4- V2 (sin x—cos x)
V2 (sin x 4- cos x) — 1 4 VS V3 — V^(sin x—cos x)
2058.
2 sin x — cos x
10 (sin x -J- 2 cos x)2
2059. A
arctg 2 2
_____________ B _ (2n —3)д (n- l)(a2 — 6») ’ (n—l)(a2-62)
b
C =
=-------fLZ2----. 2060. * in .V2 + V1+S?"ix-
(n—l)(a2 —ft2) V2 |cosx|
2061. 2 Vtg7-----5-ТГ- I" tg tgx-±l 4--!__ >
2V2 tgx—V2tgx+1 V2
x arctg. (tg x > 0). 2062. — arcsin ( sinx~J0^-} -tgx— 1 2 \ V3 /
—- In (sin x 4- cos x 4- V2 4- sin 2x ) . 2063.-----esinx--------
2 (1—e’)(l-f-ecosx)
4--------------arctg tg —'j . 2064.-----------------X
(1 — e2)®/2 1 4- e 2 / n cos a
X (cos x 0 (sin—* g (cos a ^=0). 2065. /n = 2/n-iX
X cos a — /n_s 4- 2sina-1"-1, где n > 2 и t = sin —-—— x n — 1 2
WM.
2069. — e-x(x24-2). 2070. — (—------— •
к 5 25
2x 2
9 27
24x \ -----I cos 5.
625 J
+ (—------——?i-\sin5x. 2071. (21 — 10x24-x*)sinx-
45 125 3125 J
- (20x — 4xs) cos x . 2072.--------— (x« 4- Зх4 4- 6x2 4- 6).
2
2073. 2a'(<s—5/*4-20P —60/24- 120/—120), где /=V*
ОТВЕТЫ
547
2074. Г-L + -а C0S 2Ч±^-2»Л 1. 2075. -±- Х
L 2а 2(а’+46‘) J 4
X Г 3(<isin&x —frcos frx) asin3bx —3&cos3frx 1 е*
L а14- 6s а2 + 9b* J 2 *
е*
X [х (sin х — cos х) + cos xj. 2077. -[x2(sin x 4- cos x) — 2x X
X sin x 4- (sin x — cos x)J. 2078. e* i-—--------— (2 sin 2x 4-
L 2 10
4- cos 2x) 4—— (4 sin 2x — 3 cos 2x)l. 2079. — r*4- —x’4-
50 J 4 4
4- 3x2 cos x — x
^6 sin x 4- -^-sin 2 x^ —^5 cos x
, 3 „ \
4-----cos2x I —
8 J
— y cos’x. 2080. -y-4--^-V* sin (2 VjD +-J- cos (2 V*).
2082.
2084.
x+ -----------ln(l4-e»). 2083. e* — ln(l 4-s').
X 1 t
---------1----Inis'— 114-— ln(e*4-2). 2085. x —
2 3 6
—3In{(i + ex/«)714-е*/»}-3arctge*/». 2088. x4- --JL—. 2087. — 2 arcsin (s-'/2). 2088. in (s* 4- •^Jeix ) 4- arcsin (е-ж). 2089. 7e“4-4e'—1 4- 2 In (s' 4-2 4- 7e“ 4- 4s* - 1) -
___arcsin t=J- .-------------2090.--------— e_* (71 4* c' — 71 — s' ) 4* e*75 2
, |n (уг+у-по-ут^?) n + + 4 (714-е* 4-j) (14.71—e*) 11
4--22-4-. . . 4----—---= 0. 2093. e'fl — —Y
21 (n -1)! к x )
2094. — e-* — li (e-'). 2095. e* li (e2*"4) — s2 li (e2*"2).
e* e2* / 91 32 \
2096. —-—. 2097. -— ( x2 4- 3x 4- —-------4.64e4 X
x4-l 2 \ 2 x,-2 )
X li (s2*-*). 2098. x [In" x — n in"'1 x 4- n (n — 1) In"”2 X4-...4-4-( - l)n-1n (n — 1) . . . 2 In x4- ( - 1)" «II- 2099. “(in3 x — ----— ln2x 4- — Inx------—-Y----------------2100.-----------— fln’x 4* 4 8 32 ) 2x2 к
4-— ln2x 4- — inx 4——Y 2101. in (x 4-a) In (x 4-b)-
2 2 4 /
2102. xln2 (x 4-71 4" X* ) —2 714-х2 In (x4-714-x2) 4" 2x. 35*
548
ОТВЕТЫ
2103. — — * In (V1 — * + V1 + х) + — arcsin х.
2 2
2104. —/1п-*-----In (* + 7Г+"*5) . 2105.---— 4- —Х
V1 + х» 2 2
* 1
x ln(*» + 2x + 2) + — arctg (x 4- I). 2100.----+ — X
_ 2 3 3
X In(1 + x) + —arctg V« . 2107.----------5+-L 4-
3 4
4. 2x arcsin (1 — x). 2108. — ^x — x* + (x-----—^X
4 2 \ 2 J
X arcsin V* • 2109.-----&n * - V*8 — I + —- arccos — .
2 2 x
.I, j— I . . 2д/х x arccos x
2110. 2| 1 — ух I 4- (1 + x) arcsin---. 2111. —, — —•
I 4- x V1 — xs
-InVl—*8. 2112. -^^-4-—In 1+X'. 2113.x —
Vl —x! 2 1-x
— arctg x4- arct8 x-Пп 0 + *8) — П • 2114. x —
1 — x» . 1 4- x ---------in —I---.
2 1 —x
X In x4-(V 1 4- x2 *' 2116.
2115. — In Vl 4- x8 4--, *- — X
V14-x»
_ x sh4x 3x . sh 2x .
~ 8 ' 32 ' ' 8 4
2II8. ^x__chx. 2119. -±«£.--±4*
32 3 24 16
. 2120. In ch x. 2121. x — cth x. 2122. 0.5 (in (e« 4-8
4- aV*- 1) 4- arcsin(e-SJt)].
4-1Y 2123.1. arctg / V5
( 3 th — \ I 9 I
X arctg I -----33— I. 2123.3.
\ Vn /
a ch ax sin bx—b sh ax cos bx a ch ax cos .bx4-frshaxsin5x
aa4-Z>’ ' a24-ft’
2123. arctg 3"1/2 (2 th -£-4-
2123.2. —^=-X
3V11
thx-2 V5"
4 4
-----— x-------— in 13 sh x — 4 ch x|.
П.АО 1.1 lx 1 X4-X8 1
2126.-----------------arctg x. 2127.- . —2----
5x5 3x=> x 8 (1-x8)’ 16
xi„|2+i|. 2I28. i + «V[+«--------!
I 1 — X I 4 V^ 1 — X V3 4- X» 2 V3
ОТВЕТЫ
549
х arctg 1 -Д- . 2129. 2д/*-З3/х 4-6^7 — 61n(Vx +
* уз
4-1)(х>0). 2130.---— (15 + 10* + 8*’) v* (1 — х) +
24
+ — arcsin Ух (0 <х< 1). 2131. — — л/\—х* —
8 *
_ in —~t.V1—— (| * | < 1). 2132.-— V l—хУх (x > 0).
|x| 3
2133. -— (8 — 4*’4- Зх4) 7Г+** . 2134. — In -1*-^z)?-
15 2 1—г4-г»
/я- . 2г— 1 5 / 1 — *
— V3 arctg-----=— , где 2 = 1/ --------------
УЗ F x
2135.------L|n 2 4- x» 4- 2 +x» + x»
-------------------------- , X3
2136. — X 2
X arccos -*-+Д.. 2137. — -----L _ xi -2 x
X» V2 xx
X arcsin x fl x | < 1). 2138.--— (1 4- x)» + ~Ь 2*, У*4-х* 4*
2 4
4-— in 1x4-—4-У*+х»"1(х>0; x<—1). 2139. — ln(1+x±^.
8 I 2 I 14-*
__Lln_(HjOL_ + V3- arctg -*+*L. 2140.
2 14-Х4-Х» ^3 4
x 7 — x*4-ix — 2 4- (*’ 4- 3x y-) arccos (2x—3) (1 <x<2).
jrl x® a/ 1 —=x3
2141. — x»4- — In (4 4- x») 4-2 arctg — . 2142.---------X-------X
2 2 *
X arcsin *4-—- (arcsin *)» 4-in |x| (0<|x|<l). 2143. (1 4” 2
4- УТ+хП In (1 4- УГ+79 - УГ+7Г 2144.-----—±^-X
x yj?+T4- in У1^=т----- In ^x!*+1 ~l
3 3 ./^»4-Г4-1
<| x | > I). 2145. ( 3 ~x - In x-A yr^x1" !- x
l *-х У1-* ) 2
X arcsin x — In ----f— (0 < x < 1). 2146.-------f-
x 3 (24-sin x)
550
ОТВЕТЫ
4 2 1
4- —2-— arctg ------. 2147. —L- X
зд/з л/з д/г
X Щ .l.+ 4V[+c0S4 . 2148. ........L ..—------L- X
7 — 4д/2—cos 4* д/1-j-cosx 2-^2
, д/2 +V1 Ч-cosx Г . 1 . . , , ,.T
X In —з-------- ........ 2149. al x arctg x-In (x* 4* О 1 —
V2-Vl 4-cosx L 2 J
--- —— (arctg x)». 2150. a (x In I I — In | x’ — 1 Й 4" 2 к I x4-l j J
4- 0+A |n’I--~L I 2151.-----------—---------4- — In--—
4 | x 4- 1 j 2(14-**) 4 14-*’
(x>0). 2152. Vl-b** arctg x—In (x4- V14-**). 2153.
— in (cos’ x 4- Vl 4-cos4x). 2154.-^'g -------2~^~ X
X Vl — *» arccos x (| x | < 1). 2155.
1 2
X arctg x 4-(arctg x)’4----ln(14-x2). 2156.
2 3
1 — x’ . n. „ In (x 4- V1 4- **) 8rctg x 2157. —-—'—”—I--4 (1 4- x’)-----------------------------2(1—x’)
x
4(14-x’) 1
4V2
X
X In _У?±2?--(| x |<]). 2158.-— 4- — Vl — X* x
V1 4- x’ 4- * V2 4 2
X ascsin x 4-— (arcsin x)’ (| x | < 1). 2159. — 4——4—— X 4 4 12 4
X (1 4- x’)s arctg x. 2160. Xх (x>0). 2161. x — e_)r arcsin (e*)— — ln(l 4-Vl —«“) (x<0). 2162. x—ln(l 4-ex) — 2e-x/2 X
X arctg e*/2 — (arctg e*/2)2. 2163.--------[x — In (1 4-
4
4- ЛЬ 1)]----. 2164. —2 In (tg x4- Vl 4- th» x ) 4-!— X
4shl
x In+X 2165. e'tg —. 2166. —1X1 -.
Vl 4-th»x — V2 thx 2 2
2167. . 2168. -^*-(x4 |x|). 2169. .(1+£Щ±5! 4-
3 3 2
(l-x)|l-x|
2170. e*—1, если x<0; 1— e~*, если
2
ОТВЕТЫ
551
х® 2
х>0 2171. х, если |х| < 1;---1---sgn х, если |х|>1.
3 3
2172. — — —V1—2 (х)—- II, где (х) = х-[х].
4 4 \ 2/1 2 IJ
2173 -И-{(х] —(—l)[xJcosnx}. 2174.x-— при|х|<1;
л 3
X — -£-|x|+-i-sgnx при |х| > 1. 2 6
2175. х, если —оо<х<0;
——1-х, если 0<х<1; х’Ц-—» если х>1. 2176. xf (х) — 2 2
— f (х). 2177. -2- f (2х). 2178. f (х) = 2 V* • 217». х-у- .
2180. f (х) = х при — оо < х < 0; f (х) = е* — 1 при 0 < х < <4-00.
ОТДЕЛ IV
2181. 12 — . 2182. a) Sn = 16 ----------------— Ц- , S„ =
2 — 4 2л 4л2
= 16
1 . 175
4 2л
125 4л2 ’
п—1 ___
Хл/"7’ Гп =
1=1
-г Z
1=1
10 230 210/П
л (2,0/й - 1) ‘
2184. о0Т4- —gT2
с 10230 я(2'0/«-1)
2183. Sn= 31.-1-=---.
7^-1
2185. 3. 2186. Д .
Ina
31
5
2187. 1.
1 1 fcm+i_am+i b
2188. sin x. 218». —------- . 2190.---------------. 2191. In — .
a b m-f 1 a
2192.
а) 0, если | a | < 1; 6) nine2, если |a| > 1.
2193.4. —----— I/ (a) — f (5)1. 2201. Вообще говоря нет.
2
2203. He обязательно. 2206. 11 — . 2207. 2. 2208.—.
4 6
2209. — . 2210. 1. 2211. 1. 2212. --------.
3 2 sin a
2213. . 2214. —4^ In . 2215. —— .
Vl—в2 л/ab 1 — ab 21 ob |
552
ОТВЕТЫ
2216. а) Подынтегральная функция — и ее первообразная
In | х | разрывны в промежутке интеграции [—1,11; б) функция
—!— arctg ( Л, играющая роль первообразной, разрывна
V2 kVa /
при 0 < х < 2л; в) функция arctg — разрывна при х = 0.
2217.—. 2218. 200 V2- 2219.—. 2220. In 2 . 2221.—. 3 2 4
2222. —. 2223. —!------. 2224. — (2 V2 — 1). 2225. — .
я р + 1 3 е
2226 1 Г f dx 2227.-я. 2228. —5—. 2229.*+
b — a a 6 д/з
-4—J- . 2230. —— . 2231. 0; —sina2; sin b*. 2232. a)2x <[+**’;
2 In 2
6) ——zzzz^------— : в) (sin x—cos *)cos (я sin2 *).
V i+x1’ Vi + л2 S
2233. a) 1; б)—; в) 0. 2233.1. A. 2235. 1. 2237. a) — ; 4 6
«) — • 2238. a) -----------— , если <x<0; —--------—+ —, если
2 3 2 3 2 3
0<aC 1; —---—•, если a > 1; б) , если | a I 1; ——,
2 3 2 2a2
2 если |<х|>1; в) 2, если |a| 1; ------, если |а|>1.
|а|
2239. — In —. 2240. я. 2241. 4я. 2242. 2 (1 Y
2 2 е )
2243. 1. 2244. — 3 2 . 2245. —. 2246. 6 ла4
16
2247. 1 2248. 2 — —. 2249. я2
V2 7 2 4
2250. —5--- 2251. а) Обратная функция *= ± № двузначна;
V^
б) функция х= lit разрывна при 2=0; в) не существует однозначной непрерывной ветви функции х = Arctg t, определенной на конечном сегменте н пробегающей значения от Одо я. 2252. Нет. 2253. Можно, 2250. [ (х + b) — j (х + а).
ОТВЕТЫ
553
2260. —е5/2. 2261. f [f (arcsin t) — f (я — arcsin 01 dt 4-
2 о
+ f If (2n+ arcsin t) — f (я —arcsin /)] dt. 2262. 4л. 2263. --
-1 4
ад I I
2264. arctg — — 2л. 2268. 315 —. 2269. — ln3 —
27 26 2
л 2270 е3 — 2271. -66- — 2272. —
2^ 27 27 ' 7 3
2273. . 2274. — я—л/З. 2275. 2я _1 1 \
270 3 ^3 2д/2 )
2276. 2я V2 2277. — . 2278. я3 я 2279. A(e”_i).
6 6 4 5
2280. —in 2 2281. 1п (2* — 1)! ! л —. — , если п »
8 1024 (2А)!1 2
Л. , (2Л)!1 =• 2fe; 1п = —5— . если п = 2Л4-1- 2282. См. 2281.
(2*4-1)11
2283. ( — 1)"Г— -fl— — + J
L 4 3 5 2л - 1 Л
2284. 2я" ——. 2285. См. 2281. 2286. (-1)" nl
(2л 4-1)1 (m-Hp+i
2287. /„=(-!)"(- lnV2 +— 1 [1—1-4-- 4-(-1)л-1—1).
1 2 1 L 2 л JJ
я (2л»)1 (2л)1 ппо, п 2290. *——— . 2291. 0. если п четное; я, если
2""+Srt+1mln! (m 4- n)l
n нечетное. 2292. (— 1)" я. 2293. —5—. 2294. —sin -22-. 2n 2“ 2
г n~1
2295. 0. 2296. 0. 2297. —1— (1 — е-2оя) + 2 X L ifco
-------—-------1. 2298. — (—l)"-i. 2299. 1)! 1)1.
a2 4-(2л — 2k)1 I 4л (m-|-n—1)1
2302. В точках, разрыва функции t (х) производная F' (х) может как существовать, так и не существовать. 2303. |х| + С.
2304. arccos (cos х) + С. 2305. х [х]-------ц. с.
2306.-^!----------И([х1+.1)(2(х] + 1) +с 2307. С4-—X
2 12 я
554
ОТВЕТЫ
X arccos (cos пх). 2308. -y-((/ + x| — 11 — х|) + С. 2309. — 1.
2310. 14 —In 71 2311. — 2312. 2313. 1пл1.
Л 4
2314. -th—. 2 2315. — 3 . 2316. а) -; б) + ; в) + ; г)-.
2317. а) Второй; б) второй; в) первый. 2318. а) —; 6)6 — ; 3 3
в) 10; г) — cos <р. 2319. — -------= Ь — малая полуось эл-
2 д/1 — в»
липса. 2320. vcp = — (o0+vi). где t>i—конечная скорость тела.
2321. — it. 2321.1. А. 2 °
. _ 1 . е* — 1
в) 0 = — In-------------,
X X
ии-,,в=|/т?Т; чв"Т:
limO=—, lim 0= 1. 2323. — ± х->0 2 x-*+o° 3
± —0(|0|<1).
2324. Заключается между------- и —— ,
10 д/2“ 10
2325. 0,01 —0.0050 <0 < 0 < 1). 2326.1. а) 1; б) f (0) In —.
а
2328. ——— (0 <0<1). 2329. —0(| 01< 1). 2330. — (| 01<1).
50л а а
1 2
2334. —. 2335. — 1. 2336. л. 2337. л. 2338. — In 2.
а 3
233». —. 2340. —. 2341. —-Д-- 2342. —.
Зд/з Зд/з д/2 2
2343. — In /1 + —— \ 2344. 0. 2345. — —1. 2346.—-—.
5 V д/з' J 2 а'+Ь
2347. -------. 2348. 1п = л! 2349. ln— (2п~3>!1.....х
а» 4-5» (2п —2)11
X яа''~1*бпа.. . 2350. 1п = п\ У (- 1)*+1 С* In (k + 1), где (ас— 62)л+1/2 *=•
С*— число сочетаний из п элементов по k. 2351. /„ =
^ (»— 1)П если п — четное, и 1п = —------------------, если
л!1 2 nil
л — нечетное. 2352. /п = _£lzl22!L если п — четное; 1п = nil
ОТВЕТЫ
555
-1)4 nil ’ если п — нечетное. 2353. а) — 1п 2; 2
б) — — In 2. 2 2354. 4/5- —л/8 2/8 е 1 — е~п 2356. а) 1; б) —; в) 0. 2
2357. а) 1; б) 1 3 ’ в) I; г)-1 а - 1 (0). 2358. Сходится.
2359. Сходится. 2360. Расходится. 2361. Сходится при р>0.
2362. Сходится, если р > — 1 и q > —1. 2363. Сходится,
если т> — 1, п — т> 2364. Сходится при 1 < п < 2. 2365. Сходится при 1 < п < 2. 2366. Сходится, еслит>—2, п — т> 1. 2367. Сходится при п > 0 (а -Ф 0). 2368. Расхо* дится. 2369. Сходится, если р < 1, q< 1. 2370. Сходится при n>—1. 2370.1. Сходится. 2371. Сходится, если mir < 1, max (р, <?)>!• 2372. Сходится. 2373. Сходится.
2374. Сходится, если р > 1, q< 1. 2375. Сходится при р> > 1, q произвольном, r< 1 и при р = 1, q> 1, r< 1.
п
2376. Сходится, если pt < 1 (i = 1, 2........л), У, р, > 1.
1—1
2376.1. Сходится при а> — 1, Р> — 1, а + (J < — 1. 2377. Сходится, если Рп (х) ие имеет корней в промежутке [0, 4- ooj и п > т + I. 2378. Сходится ие абсолютно. 2379. Сходится не абсолютно. 2380. Сходится абсолютно, если —1 < р < 0; сходится условно, если 0< — < 1,
Р Я
2380.1. Сходится. 2380.2. Сходится. 2381. Сходится абсолютно, если р>— 2, q>p+ 1; сходится условно, если р> — 2, ₽<<?СР+ 1- 2382. Сходится условно при 0 < п < 2.
2383. Сходится абсолютно при п > m 4- 1; сходится условно
при m < п т + 1. 2385. Нет. 2392. 1п —. 2393. 0. 2
д® 1 2394. л. 2395. 0. 2397. —. 2398. 4—. 3 2 2399. 4 — . 2
2400. 9,9—8,11g е«6,38. 2400.1. 2 — «0,56. 1п2 2400.2. — 4-3
4-—«0,97. 2401.— л 2 . 2402. ла1. 2403. nab. 2404. —а». 3
2405. — V2 рг. 2406. 2 . 2407. Зла1.
15 ла1 2408. -^=- . 2409. 2 V^c-b1 2л . 2410 * г th п аг О Ч4К
п+2 2 2
556
ОТВЕТЫ
2411. (Зя+ 2): (9я — 2). 2412. x=chS, y = sh$. 2413. Зла1.
2414. —. 2415. — (4я’ + 3я). 2416. бяа1. 2417. — X 15 3 8
х —. 2417.1. па*(—---------»Y 2418. а1. 241».
аЬ (7з ) 2
2420. 2421. (3 + 4V2). 2422. -^Р^.-.
1 а1 1
2422.1. Ия. 2422.2.——. 2423. (я— 1) — . 2424. — X
я 4 2
X Л — In2 + —-—. 2424.1. —. 2424.2. — . 2424.3.
\ л/з / 3 п
4 . 2424.4. я (1 4- -у-). 2425. я (1----2-*) а1.
2426. — а1. 2427. ла’-^2 . 2428. а1. 2429. — па*.
2 8
2430.
па*
З'у/г
. 2481. — (10V10 — 1). 2432.2 27
4-р1п
2433. V*1 — • 2434. ж#
+ 1±У1+^-. 2435. -£±1_.
1+V2 4
2436. а In ------b. 2437. In tg f — 4. —A . 2438. a In .
a — b \4 2/ b
243». 4а (1 + V3 In L+У?-^ . 2440. 6а 2441. iffi—-L . к V2 ) ab
2442. 1 + + ... 2443. 8а. 2444. 2n*a. 2445.
V2 _ ____
V2 ch — + Veh T
2 (ch V^TF - 1) -V2 In--------------------------. 2445.1.
— (ch1/12T — 1). 2446. naVl + ^n1 + — ln(2n+ Vl + 4n!).
2 2
2447. .УАЛ m*. a. 2448. 8a. 244». p IV2 + In (1 + V2)l. tn
ОТВЕТЫ
557
2450. -Л22-. 2451. а(2п — th я). 2452. 2-f- —1пЗ-
2 2
2452.1. 6 — . 2452.2. sh Я. 2452.3. Г. 2455. .........«0,73.
3 5 V3
2456. — (2а + с). 2457. — [(2Л + а) В + (Л + 2а) 6] .
6 6
2458. ((2Л + а) В + (Л + 2а) 6]. 2459. — SH. 2462. — X
6 2 3
X abc. 2463. 4 3 яаЬс. 2464. 8яа5с 3 2465. —а». 2466. 3 fx
2467. — 15 а» -^ab • 2468. ла» 2 2469. 4 15
2470. 4я ^2 . 3 .. „.7„ . 16я . 8л
3 7 ' ’
15 3
2474. а)_£.; б) 2я». 2475. а) — 15 U «ч Па*Ь nab2-, б) . 6
2476. а)—; б) 2л. 2 ’ 2477. 2л»а»5. 2478. . 3
2479. л. 5(1—е—2я) 2480. а) 5л»а»; 5) бя’а»; в) 7л»а».
2481. а) -??- паЬг\ б) -105 — ла»6. 2481.1. 105 ., 64 .. V* •= л, Vu = 35 У
— —- л. 2483. а)—ла»; б) — л»а». 2484. а)-^[У2 X 105 3 4 4 L
X In (1 + V2)--2-1; 6)-^L; в)-П^-. 2484.1. — х
3 J 4V2 4 3
X (л* — 6л«) а». 2484.2. -л. 2485. ”2<*1 .2486. /21 У1з +
3 2У2 243 \
4- 2 In ...1+.У.11Л. 2487. 2а Ул»а«+4Ь» + In (— 4-
2 / л \2Ь
яю. J(V5-_V2-)+ln(->g+i)(Vg-O'.
2b / L 2
2489. a) -2i- [(2x0 + p) ^2pxnA Рг — P»l; б) — I (p + 4x0) X
3 4 L
X У2х0 (p 4- 2x0) —p» In V25» + Vp.+ 2x„ I 24W а)2я1>г+ Ур J
4-2ла6 -arcsin e . б) 2ла»4- .?*?.— in Г — (1 4- е)1, где е <-
е е L b J
558
ОТВЕТЫ
•Va2__b3 12
— —------------эксцентриситет эллипса. 2491. 4л2а&. 2492. —X
а 5
X ла2. 2493. а) па(2b 4- ash; б) 2ла fa-}- bsh —--------
\ а ) V а
— а ch —1 2494. 4ла». 2495. а)—ла2; б) 16л2а2; в) —х а ) 3 3
X ла2. 2499. а2 (4 <2 - 1) .
X (2 — V2); б) 2яа2 ViT; в) 4яа2.
4-17 In (2 4- V5)l « 1,013. 2500.
4-V2)+ln(l +V2)l - 250
2497. ----ла2. 2498. а)2ла2Х
5
2499. ----5----[ 14 V5 +
128/IO
Art
V = —^-p2; P = 2np2((2 +
Alt = 2а2; = .
2501.1. (V2 +5 In (14- V2)l. 2502. = M2 =
8 6
= -^L. 2502.1. Zx = JL-a«, lu = — a*. rx = a</6/35, rv = 12 35 V 5
=aV6/5 . 2503. = = 2504. =
* 4 1 4
= , Mt=.— r3h3. 2504.1. Г=— MR3. 2507. x0=aX
12 30 5
X Sl-”-; yo = O. 2508. f— a, —a\ 2509. (— , a \ 20 20 J k 3л
2510. (o, 0, -^-a). 2511. фо = Ф — а, где a =
= arctg ; rv = ^.. . Логарифмическую спираль
= . an----e^OM-a) 2512. ф0 = 0, r0 = — a. 2513. x„ =
Vl+4m2 6
= ла, sfo = — a. 2514. xo=—а, ао = 0. 2515. f0, 0, —Y 6 3 \ 2 J
2519. 75 кгс. 2517. = mg
Ax mgR. 2518. 0,5 кгс-м.
-------, где R — радиус Земли; R + h
о 2519. 1740 кгс м. 2520. —а2.
3
2521. 708 —Г. 2522. vtT 4- — Т2. 2523. — л6ш2/?\
3 2 15
2524. Проекции силы притяжения на координатные оси; X = О,
ответы 559
Y — —2km(i0/a, где k — постоянная тяготения. 2525. 2лйтб0 X vf 1-----L__—Y где k — постоянная тяготения. 2526. При-
мерно 3 часа. 2527. Сосуд должен быть ограничен поверхностью образованной вращением кривой у = Сх4 вокруг вертикальной осн Оу. 2528. Q = Qo-2“'/1600 2529. 99,92 %. 2530.^.
6£
В ответах иа приближенное вычисление определенных интегралов даны табличные значения. 2531. —6,2832. 2532. 0,69315-2533. 0,83566. 2534. 1,4675. 2535. 17,333. 2536. 5,4024.
2537. 1,37039. 2538. 0,2288. 2539. 0,915966. 2540. 3,14159. 2541. 1,463.2542. 0,3179.2543. 0,8862. 2544.51,04
X 0 л/3 2л/3 Л 4л/3 л/3 2л
У 0 0,99 1,65 1,85 1,72 1,52 1,42
ОТДЕЛ v
9 Ч I
2546. — . 2547. —. 2548. 3. 2549. 1. 2550. — . 2551. а) 3 2 3
-----w; б) ?СО5а-?г----------------------. 2552. 1 - V2 .
1 — 2q cos а -f- q1 1 — 2q cos а + q*
2553. Сходится лишь при х = kn (k — целое). 2556. Расходится. 2557. Расходится. 2558. Сходится. 2559. Расходится. 2560. Расходится. 2561. Расходится. 2562. Сходится. 2563. Сходится. 2564. Расходится. 2566. Может как сходиться, так и расходиться. 2567. а) Может как сходиться, так и расходиться; б) расходиться. 2578. Сходится. 2579. Сходится. 2580. Сходится.
2581. а) Сходится; б) расходится. 2582. Сходится. 2583. Сходится. 2584. Сходится. 2585. Сходится. 2585.1. Сходится. 2585.2. Сходится при любых анх. 2586. Сходится. 2587. Расходится. 2588. Расходится. 2589. Сходится. 2589.1. Сходится. 253'.).2 Сходится. 2590. Сходится. 2591.2. п>13. 2595. Сходится. 2596. Сходится. 2597 Сходится. 2597.1. Сходится. 2598. Сходится прир>2. 2599 .Сходится при —-~-а > 1. 2600. Сходится при
d
3
р>—. 2601. Сходится. 2602. Сходится при р + q > 1.
2
2603. Сходится при q > р. 2604. Сходится при — + q > 1.
2
560 ОТВЕТЫ
2605. (н). Сходится при a (q — р) > 1. 2607. Сходится при д>р + 1. 2608. Сходится при р > 0. 2609. Сходится при
р > 0. 2610. Сходится при р> 2611. Сходится при
=# 1. 2612. Сходится при р> 1. 2613. Расходится. 2614. Расходится. 2614.2. Сходится при р + х> 1. 2616. Сходится при
х < ——. 2817. Сходится. 2618. Расходится. 2619. Сходится
е
при р> 1. 2620. Сходится при р > 1 q произвольном и при р — 1, р> 1. 2620.1. Расходится. 2620.2. Сходится.
2620.3. Сходится. 2621. Расходится. 2623. 1,20. 2626. Схо-
дится при а>—. 2627. Сходится, если в = —. 2628. Рас-2 2
ходится. 2629. Сходится. 2630. Сходится при а > 2. 2631. Схо> дится. 2632. Сходится. 2633. Сходится. 2634. Сходится, если
с=0, — <—1. 2635. Расходится. 2636. Сходится, если а#= d
#=0. 2637. Сходится. 2638. Расходится. 2639. Сходится.
2640. Сходится, если а = Ьс. 2641. Сходится, если a < —-1. 2642. Сходится, если а > —. 2643. Сходится при аь > е, с = 2
= 0 и при cf > 1. 2644. Сходится при а + t> > 1. 2645. Сходится. 2646. Сходится. 2647. Сходится. 2648. Расходится. 2649. Сходится. 2650. Сходится. 2651. Сходится. 2652. Сходится при a > 2. 2653. Сходится. 2654. Сходится. 2655. а) 2 3
N > 100 000; б) N > 12; в) N > 4. 2659. — . 2660. 1 —.
9 7
3 1
2661. In 2. 2662. а)—1п 2; б) —In 2. 2664. Сходится.
2 2
2665. Сходится. 2666. Сходится. 2666.1. Не следует. 2667. Сходится. 2668. Сходится. 2669. Сходится. 2670. Расходится. 2671. Сходится. 2672. Сходится. 2673. Расходится. 2673.1. Сходится. 2675. Абсолютно сходится при р> 1; условно сходится при 0 < р С 1. 2676. Абсолютно сходится при р > I; условно сходится при 0 < р С 1- 2677. Абсолютно сходится при р> 1; условно сходится при -i- < р 1.
2678. Абсолютно сходится при |х—лЛ|<— (k—целое); 4
условно сходится при х= лЛ± —. 2679. Сходится услов-
ОТВЕТЫ
561
но при любом х, не равном целому отрицательному числу. 2680. Абсолютно сходится при р> 1; условно сходится при 0<р^1. 2681. Абсолютно сходится при р > 2; условно
сходится при 1 < р 2. 2682. Абсолютно сходится при р > 1; условно сходится прн 1/2 < р 1. 2683. Условно сходится. 2S84. Абсолютно сходится. 2685. Расходится. 2686. Условно сходится. 2687. Абсолютно сходится при р> 1; условно сходится при 1/2 <р <1. 2688. Расходится. 2689. Абсолютно сходится при р>2; условно сходится при 0<р<2. 2690. Сходится. 2691. Расходится. 2692. Абсолютно сходится при q> > р + 1; условно сходится при р < q <р + 1. 2693. Абсолютно сходится при р > 1, q> 1; условно сходится при 0 < <Р— <?С 1. 2694. Абсолютно сходится при р> 1; условно сходится при р = 1. 2695. Абсолютно сходится при р > 1;
условно сходится при р — 1. 2696. Абсолютно сходится при р > 1, р>1; условно сходится при 0<р=<?<1. 2698. а)р>1; б) 0<р^1. 2698.1. а) Сходится; б) сходится; в) сходится.
2699. a) fl>p-f-l; б) p<q^p+\. 2700. Сходится абсолютно при т > 0; сходится условно при —1 < т < 0. 2703.1. а) п~^
1 000 000; б) п 1,32-10,в. 2706. а) Расходится; б) может 2 3
как сходиться, так и расходиться. 2707. —. 2708. —.
3 4
2709.------. 2710. ?—у . 2716. Сходится абсолютно при
7 1 — ху
|х|> 1. 2717. Сходится абсолютно при х > 0; сходится
условно при х = 0. 2718. Сходится абсолютно при х>-------—я
при х < — 1. 2719. Сходится абсолютно при | х | =#= 1 и сходится
_У17.-э< 6
условно при х=—1. 2720. Сходится абсолютно при
- 1 2
< х< — и при — < х< 3 3
>\/17 +3 6
2721. Сходится абсо-
лютно при |х — (k = 0, ±1 ±2, .. .). 2722. Схо-
дится абсолютно при р> 1 и х=£ k (k = — 1, —2, . ..) я сходится условно при 0 < р < 1, х =/= k. 2723. Сходится абсолютно при q > р + 1 и сходится условно при р < q < р + 1. 2724. Сходится абсолютно при | х| < 1. 2725. Сходится абсолютно при | х | < 1. 2726. Сходится абсолютно при | х | Ф 1. 2727. Сходится абсолютно при х ф — 1. 2728. Сходится абсолютно при х> 0. 2729. Сходится абсолютно при 0 < | х | < + оо, если | а|>1; расходится, если |а| 1 или если х — 0.
36-JM3
562
ОТВЕТЫ
2730. Сходится абсолютно при х = 2 и при х> е. 2731. Сходится абсолютно при х> 1. 2732. Сходится, если 0< min (х, у) < 1. 2733. Сходится абсолютно при | х| < 1,0 < у < 4- оо и при |х| >1, у> |х|; сходится условно при х — —1, 0 < 2734. Сходится абсолютно при max(|x|, |у|) < 1.
2735. Сходится абсолютно при: 1) 0 х < 1, — оо < у < +оо; 2) х = 1, у> 1 и 3) х> 1, у> 2. 2736. Сходится абсолютно при | х — kn |< -2- , где k — целое число. 2738. — < | х|<2;
—J)—. 2739. а) Сходится абсолютно при х > 0,
(2—х)2 (2х— I)2
сходится условно при —1 <х< 0; б) сходится абсолютно при р 4- х > 1 и при х = 0, 1, 2, . . ., сходится условно при О < р 4- х < 1; в) сходится абсолютно при: 1) | х| < 1, у —
произвольно; 2) х= ±1,
3) х — произвольно, у=0.
1, 2, .. .; сходится условно при
х= 1,
_1_ 2
2 2
2743. При а = 0,001 и х = * > 3m. Нет. 2744. п >
> —. 2745. л>26. 2746. а) Сходится равномерно; б) сходится а
неравномерно. 2747. Сходится равномерно. 2748. Сходится неравномерно. 2749. Сходится равномерно. 2750. Сходится рав-
номерно. 2751. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно; в) сходится равномерно. 2752. а) Сходится неравномерно; б) сходится равномерно. 2753. Сходится равномерно. 2754. Сходится неравномерно. 2755. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно. 2756. а) Сходится неравномерно; б) сходится равномерно. 2757. Сходится неравномерно.
2758. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2759. Сходится равномерно. 2760. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно. 2761. Сходится равномерно.
2762. Сходится равномерно. 2763. Сходится неравномерно.
2767. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2768. Сходится равномерно. 2768.1. Сходится неравномерно.
2769. Сходится неравномерно. 2770. Сходится равномерно.
2771. Сходится неравномерно. 2772. Сходится равномерно.
2773. а) Сходится неравномерно; б) сходится равномерно.
2775. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно. 2776. Сходится неравномерно. 2777. Сходится равномерно.
2778. Сходится равномерно. 2779. Сходится равномерно.
2780. Сходится равномерно. 2781. Сходится равномерно. 2782. Сходится равномерно. 2783. Может. 2785. Не обяза-
ОТВЕТЫ
563
тельно. 2795. а) Существует и непрерывна при х < 1.
б) существует и непрерывна при |х| < 4- оо; в) существует при |х| < + оо, разрывна при х = 0. 2799. а) Существует и диф-
ференцируема при х =£ —k (k = 1, 2, 3, . . .); б) существует при |х|< +оо, дифференцируема всюду, за исключением х = 0. 2802. а) а произвольно; б) а < 1; в) а < 2.
1 л*
2805. Нет. 2800. —In 2. 2807. 1. 2808. 1. 2808.1.---------.
2 6
2809. Законно. 2810. Да. 2812. R = 1; (—1, 1).
При х= —1 сходится абсолютно, если р > 1, и условно, если 0 < р 1; при х = 1 сходится абсолютно,
если р > 1, и расходится, если р 1. 2813. R —
( 4 2 \ 4
I----—-»--------—-1. При х — — — сходится условно;
\ о о / о
2
при х— — — расходится. 2814. R=4; (—4,4). При х= 3
= ±4 расходится.
1 f 1 1\
2815. R = 4-оо; (—оо, 4-<ю). 2816.
При х= ±— расходится. 2817. е
R =
R =
е
= 4- оо; (—оо, 4- °°). 2818. R = 2; (—1, 3). При х = —1 дится абсолютно, если р > 2, и условно, если 0 < р 2; при х = 3 сходится абсолютно, если р > 2, и расходится, если р 2. 2819. R = 2Р; (—2Р, 2₽). При х = —2₽ сходится абсолютно, если р > 2 и расходится, если р < 2; при х = 2” сходится абсолютно, если р > 2, и сходится условно, если 0 < р С 2. 2820. R = 1; (—1; 1). При х = —1 сходится абсолютно, если т > 0, и расходится, если т < 0; при х = 1 сходится абсолютно, если т > 0, и сходится условно, если —1 < т < 0. 2821. R= min(4-; —); (—R, R). При x = —R сходится условно, еслн а Ь, и абсолютно, если а < 6; при х — R расходится, если а > Ь, и сходится ' “ ' '
2822. R = max (а, 6); (—R, R). При х = ±R расходится 2823. R = 1; (—1, 1). При х = Т 1
если а> 1, и расходится, если о< 1. 2824. R= 1; (—1, 1), При х = ±1 сходится абсолютно. 2825. R = 1; (— 1, 1). Прих = —1 сходится условно; при х = 1 расходится, 2826. R = 1; (— 1, 1). ’ При х
2827.
R =
абсолютно, если
схо-
сходится абсолютно,
I сходится 1 сходится R=l; (-1, 1). ’ Пр сходится условно. х=±1 расходится. 2828.
1 Ж = ± — расходится. 2829.
4
к — ±— расходится. 2830. R = 1; (—1, 1). При х= ±1 дится абсолютно. 2831. R — 1; (—1, 1). При х= ±1 сходится условно. 2831.1. При 0 < х < 2 сходится абсолютно; при х = 2 сходится условно, 2831.2, Сходится лишь при х = 0. 2832. R в
= — 1 расходится; R = 1; (-1, 1). г (-Г !)• «4= (4- !)•
при При
схо-
36*
584
ОТВЕТЫ
“ 1; (—1, t). При х=-1 сходится абсолютно, если у—а — — Р > О, и сходится условно, если —1 <у — а — р < 0; прих<=1 сходится абсолютно, если у — а — р>0, и расходится, если у — а — Р < 0. 2833. х>0. 2834. |х| > у.
2835. 0 < | х | < + со. 2836. х>—1. 2837. |х— *л|< где k — целое число. 2838. — 1 4- 3 (х + 1) — 3 (х + I)1 +
+ <«+!>•• «»••>IB
ОО
(|х-5| < |д — 6|); в)-
2840. ( - l)"-i д (0 < х < 2);
Н ==! 00 ZyM-f-l 2И2-n=0
(|х| > |а|).
In 2.
ОО
V *т
L, (2п)1 /1=0
(|х|<4-оо). 2843.
ОО
Zln"a
—;—& nl
00
Zosrt-1
<-‘)я+1_7Г7Г +“>•
(2/1)1 п=|
(I X| < + оо). 2845. |ЛХ 4-
+_1Ф^а_>.+ .. ,Лх|<1).
31 □!
Ц* ц2 (22 _ ц«)
2846. 1 х» — - -.. х*- . . . (|х|<1).
(х_пэ
2847. 1 4-(х—1)4-(х—1)»4-——------1- . . . (0<х<2).
2848. «6— \ 2 24 lb /
Л» Л» 2849. sin (х -j- Л) = sin х 4- Л cos х — —- sin х — —- cosx 4- . . .
(|Л | < 4-°°); «о» (*4-А)*=* cosx —fcsinx — cosx 4-№
. —- sin x4- ... (|h| < 4- co). 2850. a) ( - 2, 2)J *T 31
ОТВЕТЫ
665
Z°° (— —-------------- (I X1 < + co).
Ш
00 Zoafl-i 3
(-»)" **"(|X|< + ”)• 2853. — X
(2/1)1 л«1 oo °°
x У (-1)"+! (I«!<+*)• 2854- У *"
Z_j (2л 4- 1)1 £-i
Л=1 Л«10
OO
<|x|<l). 2855. У (л + l)x"(|x| < 1). 2856. x +
Л»0
Л»|
oo oo
2857. У (|х|<1). 2858. 4- У (1-(-2)"]Х" / 2П + 1 о f л
п s**0 л»!
00
(ixi< 4’)- 2859, Е[1+ ] *" d*i < 1)-
ЛихО
ОО 00
286°- 4~ [л + 1 ~ а""1'"" ] х"(| *1 < 1}- 288L Лав] ЛавО
1 Г/ V5"+l \п+х где аа=я +(_1)ЛХ
(числа Фибоначчи). 2862.
ЛявО
(|х|< 1). 2862.1. Усл*". п=0
где сп=г
= 1, если n = 4fe; ся = — 1, если n*=2fe+l; сп = 0.
если п = 2^4-2 или n<=2k+3 (fe = O, ±1, ±2, . . .),
pow)(O) = 10001.
2863. 2 х” cos па (I*I < О-Лав|
2864. У, хп sin па (] х | < 1). 2865. У х" sh па (| х | < е 1 °').
№>0 п=0
Б66
ОТВЕТЫ
П=0
21Д57. } ------------------------------------------------- хп ( — 1 < Х< 1)
л==1
2868.
cos па п!
2869.
Iя X
п «О
п=0
Х-^ТТ
(1х| СО-
х^1
2л + 1
2872.
2873. а)
2871.
п
(2/1-1)11 х
(2 л)! 1
(2п— 1)П х (2п)!1
cos ла _
--------хя (|х|^1).
п (« + 1)
П=1
л
4
X
— 2
Ег—ппа»"-1 /1 1\
. 2Л-— ^-*(-Т<ХСТ);
ОС
О 2.(2.+ ,) } ll-KVS-);
л=0
оо
Ех2Л
<-1)Я+Х 2л(2л-1) - (|-^1):е)
Л=1
(2 л—1)11 (2л)11
Xм 2л 4-1
при 0<х<1 и — 1
ОТВЕТЫ
667
<х^0; ж)
ж» у»( (2и — 1)1! 2 '‘"Lt (2л 4-2)11
х2л-Н
2п +1
](I*J <0;
00
Е<->”
П=1
(2 л —1)1!
(2.1 + 2)11
Xs" I2
2л 4- 1
(1*1^1).
2874. а) е*2Г (2х)л 4- (2х)"~* +
п(п — 1) (л—2) (п —3)
-1)‘ :н
X аЛ-2х2
Г.п-х _ (л-1)(л-2)
(i4-*2)n L 3i
- 3 , (л—1) (л —2)(л —3) (л—4) 1
X х" ® ~-----------х — . . . I.
51 J
00
2875. ((х4-1)2Л ( —2<х<0).
п«1
р 1 V”» 2 / х — 1 \M+>
2878. —flx|>D. 2877. —)
(х>0)., 2878.
2881.
л=1
-т
(2л—1)!1 (2л)11
х \л+»
1 , 1 --- х2—-----Xs —
12 24
(|х| < 1).
2882. 14- У*
п^2
(-1)"+Чл-1)
л!
(1*1 <+<»)•
2883.
X [ л п»«0
2
(2л —2)!
1
(2л —4)!
где 01 = 1, (—1)! = оо,
( — 2)1 = оо ит. J, 2884. 2
568
ОТВЕТЫ
л"4-1 V~< (_Ил+1
X ———- (-1<х<1). 2885. х + 2) -j—XS«+1 n + 1 Ди 4л2 — 1
Л=1
2888.
flit 2 cos-------------
_______________4 nl
(|х|<1).
(I *l< + °°).
м м /о ЯЛ
“ 2 /2 sin —
2887. ) -------------------— х" (| х 1 < + оо).
Ди nl п=1
2888.
хгп п
(| х|С 1) 2890.
22"*1 (nl)2 (2л 4-2)1
х2" (| х К 1). 2891. х + —х3 -J-3
(*-!)* X
+ . 6*1 < vY 2892- х~ V ** +
10 \ £ / О
+'1«‘+ • • 28М- -Т‘—S’*'-
2 п
---• • • (1*1<п)- 28^4. £0=1. X V'1S 4=С
х (зд.'^-гцГ }-°- т- Др"<'>'” (2п—1)11 Г
(1х|<1), где Р0(х)=1; Рл (П = - ^-рл-
П (П— 1) n(n-D(n-2)(n-3) /Л-4_ 1
2(2n—1) Ф 2-4-(2л— 1)(2п — 3) ‘ "J
00
(л > 1) (многочлены Лежандра). 2890. £ snx”, где
п=*0
sn = У, 2897. a) R > min (Pi, Pj); б) Р > PiP8 л=0
ОТВЕТЫ
569
2901.
n=0
г2П+1 --------------
л! (2л + I)
2902.
(2п—1)1! х4"*1
(2л)!1 4л + 1
2903. ^( — 0" X л==0
Х (2л + 1) (2п + 1)1
ЛП+1
2904.
n«0
x2n+l х1 х3 . х*
Х (2л + I)2 2905-‘+ 4 36 96 • * •
(1*1 < 1). 1 1 J- X 2907. arctg х
2906. •In - (|л|< 1). 2 1 — х
(1 *1 < 1). 2908. ch х(1 х| <3 + оо). 2909. 1 +
1п(1 —х) (|х|<1). 2910. г 1 (-!<
X VI —X
<х<1). 2911. -- *- (|х|<1). 2912.
(1 — х)а
(|х|<1). 2913. - - (|х|<1).
(1 — х)3
(х-1)2 + (г/-1)г<4. 2917. R = —4~
2216. /? = 25
*2 + №< Y*
2918. Я = Г, х2 + у2<1. 2919. R = 1; х2 + уг < 1.
2920. R= |2sin -у- |; (х— cos а)2 + (у — sina)2<
< 4 sin2 —. 2921. 2,080. 2922. а) 0,87606 =
2
=агс50°11'40"; б) 1,99527; в) 0,60653; г) 0,22314. 2923.0,30902. 2924. 0,999848. 2925. 0,158. 2926. 2,718282. 2927. 0,1823.
2928. 3,1416. 2929. 3,142. 2930. 3,141592654. 2931. In 2=0,69315; In 3= 1,09861. 2932. а) 0,747; 6) 2,835; в) 1,605; г) 0,905;
д) 1,057; е) 0,119; ж) 0,337; з) 0,927; и) 8,041; к) 0,488} л) 0,507; м) 0,783. 2933. 3,82. 2934. 4,84. 2935. 20,02 м.
3 1 1
2936.---------cos 2x4---cos 4х. 2937. Ряд Фурье совпадает с мно-
оо
_ „ , , 4 V3 sin (2k — 1) х п А
Сочленом Рп (х). 2938. — ) --------*---------—; — . 2939. — —
я Zj 2k — 1 ’ 4 2
fc=i
670
ОТВЕТЫ
24 у» 1
я Zj 2*4-1
Ля=0
sin (2* 4-1) —.
sin пх
П
sin пх п
2940. 2 у (— l)n+1 X
4 “ тх
п=1
2942. — 2
Zcos (2* 4- 1) х (2* 4-1)*
У cos (2* 4-1) X
Lt (2k 4- 1)
*=о
2943. (а~&)п _2<Д —Ь) х
4 л
(_1)л+1 sinnx_. п
п—!
4- (а + « У
„.+4
3 / . п*
Л=|
2 sin ла 1
+ £(_1Г..^ Лж=1
2946.-^^ л
(—l)"*1 п sin пх пг— а2
ОО
2sh ла у» (— 1Р+1 я sin пх
я L я2 4- °’
Л=1
2948. 2shaft —— 4* 2aft
оо
П=1
aft cos
лях .
---------ля sin
ft_____________
(aft)2 4- (ля)2
лях ft
2949. а 4-14-
, 21 V* 1 / • ала +——
Л=1
(а<х<а4-21). 2950. I
2951. Л f -М.)."Г..? я Zu Мл2 — I)2
COS
ЛЯХ
I
sin 2nx.
пла плх
cos ------ sin ------
I I
1
— COS X 2
(— l)n+x
------i----cos лх.
Л2 —=- 1
00
2952. — у {( — l)ft X
v cos (2* 4- 1) x
X 2*4-1
00 k
2953. — V ( — sin (2* 4-1) x.
я Zu (2* 4" O’
&as0
ОТВЕТЫ
571
2954. ‘«С*+»)*-.
л Zu (2Л-+-1)2 fc=0
(x =& целому числу). 2956.
2955. J_______L У
2 n n
n=i
J_____2 p cos 2л (2л 4- l)x
4 ла Zu (2л 4-1)»
71=0
ЯИ. l-LV."»!... 2SM. Л+±У
я я Zu 4*» — 1 ял 4 А» — 1
k=t *=1
СО cl 4
X cos 2kx. 2959.---|- 2 ) ----cos nx. 2960.
1 — a» 2-u 1 — a я
n=l
X
X
Xln(14-V2 ) +
(— l)m . тя .
-----1— sin —— X
m 2
X cos (8* 4) x
In (1 4- V2) + — Л
* T
X ) (~ 1)W- Sin (2m — 1) — cos 8*x . 2961. а) — 4- 4X £u 2m — 1 4 3
m=l
r-i (— П" V~' (—1УЧ-1
X > —--------—cos лх (— n^xsgn); б) 2л > —-------sinnx —
n=i n=i
sin (2k 4-1) x /n^ - x . 4я*
-------— (0<х<я); в) ----------
(2*4-1)» 3
Zcos лх л» n=l
- 4л У sin (0<х<2я); —, —, —. 2962. х»=-
/, л 6 12 8
Л=1
Х=— 4- 4 У (- 1)" —ях- • X» - 2л» У (— 1)«+» 51ПЛХ + 3 Z_i л» Z_i л
л=1 п=1
4-12 У (- i)«2HL2i_. х<= —я*4-8л*У (- 1)" —— -Ь Ди л» я Zu л*
п=1 n«=i
, V' (—l)n+1 „„„„ «(я—а) я»—Зла4-За*
4-48 > -----cos лх. 2963. —1---------------------*
Zj л* 2 6
Л®1
572
ОТВЕТЫ
2964. _2__ 9 CO V 1 cos 2ялх , 1 OO V cos 2nnx
2964. ---------— > —— cos - 4*——— )
3 2л> Zj л’ 3 2я3 Zj л3
Пав! П»1
т <Р<*<3). 2965. -А-С^ + ^-^С^созгйх.
fe=al
2966. £ <?"sin ях(|<71 < !)• 2967. 1 4-2 £ cos лх (|<Н<1). п=1 п=0
'Л*
2968. 2^<;ПСО5ЯХ. 2969. —2 ) -2—cosnx. 2970. — In 2 — flaaO Я
fts=l
y cosnx. M71 _ln2 + y_tXllX£21£f_
La n La n
Пз=1 П=1
Z cos (2*4-1)* 2973 V2 sin (2*4-1)*
2*4-1 ’ Zj (2*4-1)"
fcssO л=о
2974. x (s)
4e V2 1 ... (2* 4-1) ns , 4a ..
---- у --------cos----------1-----X я» Zj (2* 4-I)2 2a я»
Л—0
sin £* + »)™„. „(з)=_2__.Х_х
2a ’ 2 я»
Z°° 1 co. (2* 4-1) "s 4a_ V2 (-1)*+" s.n (2*4-1) ns
(2*4-1)" 2a "Г h2Zj (2*4-l)2 2a ftssO fe=0
2975. f(-x) = f (x); /(я-х)= - f (x). 2976. f (- x) = -f(x);
f (л -x) =f (x). 2977. а) - У (Г----------------Lj£_l x
Zj 11(2* 4-l)2 я (2* 4-I)2 J *=o
+ (o<x< i); 6) £ [[ +
k=0
Ц-— -------!-----1 sin(2*4-l)xl fo<x< — Y
я (2*4-1)3 J J к 2 J
2978. aOT = bjn = 0 (n = 0, 1, 2. . . .). 2979. = b^i = 0
(n= 1, 2, 3, . . .). 2980. a) an = 0, 6гц = 0; 6)an = 0,
ОТВЕТЫ
573
= 0.
2983.
2984.
2981. an = en, pn= — bn. 2982. ап=» — an, P„^bn. a„ = a„ cos nh 4- bn sin- nh, bn = bn cos nh — an sin nh. , . sinnft D . sinnft . , „ .
Ло—An~a„ > Bn □= bn (л — 1, 2, . . .). nh nh
2985. Ло = 4 An~a2n + b2n-, B„=0(n=l,2, . . .). 2986.-L.
2987.—. 2988. 2 In 2 —I. 2989.—. 2990. — (1 -|- — 4-4 4 m \ 2
4-...+— Y 2991. in 2-2992. —. 2993. 1.
mJ 2 4
дЗ 2994. 2(1—Jn2). 2995. 2e. 2996. ЗА 2997. —-3,
3
я* 39 1 1
2998. —----—. 2999. — (cos 1—sin 1). 3000. — (4 in 2—1).
4 16 2 6
3001. e* (amxm + 4-. . . +<Xo). где коэффициенты
a* (k=0, I....m) определяются из равенства P(n)=amn(n—
— 1) ... (л — m 4 1) + am-in (n — 1) • • • (л — m 4- 2) +. . . + 4- a, л -I- a0. 3002. A'2 (-y- 4- ~ 4- 1). 3003. (x’4-14- —) X
X e-x----- . 3004. (1 -—cos x---— sin x. 3005. — X
x \ 2 J 2 4
X (sh V* — ch V* Y если x > 0; — X A- X
\ V* / 4 \ Vi*i
X sin Vl * I — cosV |x|Y если x<0. 3006. In—-—. 3007.2xX / 1 ~x
Xarctg x — ln(14-x2) (|x| < 1). 3008. — arctgx4-— X
2 4
X in JL±2L (I x I < 1). 3009. (1 — K)~ali —I (| x |<1). 3010.
1 —x
(1 — —Y”1/3 — 1. 3011. 1 + x (I X | < 1). 3012. *(3~x) •
\ 2 J (l-x)s (1—x)3
(|x|<l). 3013. (14-2xa)ex*. 3014. —1—4.— fa 2.
3V3 3
3015. —. 3016. ---!-----. 3017. — . 3018. ^-(0<x<
4 V2- 2 2
< 2л). 3019. — In 12 sin — I (0 < x < 2л). 3020. —X
12 | 2
Б74
ОТВЕТЫ
X In
x-j-a 2
3021. —, если 0<x<2a; 0, если a<x< 4
<2я —2a;----—, если 2л—2а<х<2я. 3022.—sgn х(1х[<л).
4 4
8023. — (1--------------— sin х (| х |<я). 3024.—---—|х|
2 \ 2 / 2 8 4
(|х|«£л). 3025. -|- (1 cos х) — sinxln ^2 cos
(|х|<л). СЭ26. eCOSJt cos (sin х) (|х| < + оо). 3027. x=i'n, y — — ±1, ± 2,...). 3028. 2 (arcsin x)’(|x| 1).
3029. — ----1--—*—arcsin , если x^O;— -------
4-x (4-x)3'2 2 4—x
—iVELin УГй+VFZ, если x<9 3030 1
(4 —x)J/2 2 x—1
3031. —3032. a) - ; 6)—5—. 3033. a) ----;
x 1—x 1—x (I—*)2
6)----------- 3034. 1. 3035. 1+ V (-1)" (2n W-----------------!—
(x-lp Zj (2n)!t (2n+l)2
Я»! 00
3030. . 3037. — У*------------J-----. 3038. 2----—.
12 Z_i n(p + nq) 6
f|a|
8029. — . 3049. —. 3041. F (Й) =—
24 12 2
3042. E (fe)= — 2
X
1—У Г(2л—1)Ч~|2 fe2"
L (2л)И ] 2л—1
8043. 2ла [’“(у")2e’— (“T^")2 ^4-’ * W ~
ексцентриситет эллипса. 3047. -. 3048. In (1 + а) при
nl
|а|<1 ж In fl-F—при 1»1 > !• ЗО4*- 0 при Я" К Я У
ОТВЕТЫ
575
|а| < 1 и я In а’ при [а| > 1. 3050. 210-*. 3061. —.
3062. 2. 3063. —. 3064. в_,п*. 3065. а) Нет; б) да; в) да;
г) да. 3066. Расходится к нулю. 3067. Сходится. 3068. Сходится при р > 1. 3060 Расходится к нулю. 3070. Сходится
при любом р. 3071. Сходится, если at — а. 3072. Сходится, р р
если У*, ас — £ Ьс. 3073. Расходится к нулю. 3074. Сходится,
3075. Сходится. 3076. Сходится. 3077. Сходится при любом х. 3078. Сходится при любом х. 3070. Сходится при |х| < 1. 3080. Сходится при |х|< 2. 3081. Сходится при | х | > е. 3082. Сходится при любом х. 3083. Сходится при |х| < 1, р, произвольных и при х= ± 1, р> I, q> >-i-. 3084. Сходится при любых х и р. 3085. Расходится.
3088. Сходится условно. 3080. Расходится. 3000. Сходится абсолютно, если р> 1; сходится условно, если — < р 1.
2
3001. Расходится. 3002. Расходится. 3003. Расходится.
3004. Сходится условно. 3005. Сходится условно. 3006. Расходится. 3007. Сходится абсолютно при а>1; сходится
ОО
1 V* 1п (*)
условно при — < а < 1. 3100. F' (х) >= F (х) / -----;
2 Ди
П=1
Z I fn W I < + °°. I fn W | < СП (п = 1- 2, . . .). где Сп< П=1 п»|
<4-00 . 3111. 157,970 + 0-0,0004 (0 <0< 1). 3112. 10»«-7,7Х х(1+—-—VlOKO- 3113. 0,0798-fl+-^Л (|6|<1).
к 12000 ) к 300 J
3114. 1028-1,378-^1+—|—^ (|0|<1). 3115. 1О42-4.792-0 +
+-i^-)(|eiS|). «и.
3117. 0,355-f 1 +—L.'l (|в| < 1). 3118. (2л— 1)11 - (2л)«Х
\ 600 /
Xe-«+V12" (lon|<l). 3119. _^_евп/6П (|0„| < 1).
-улл
576
ОТВЕТЫ
3120. а) 1; б) е; в)—; г) 1. 3121. Р, (х) = 1—
2
----— х-------— х» + —— х3; Рэ(—1)«3,43; 21 14 42
Pt (!)=-! .57; Р, (6) « 8,43. 3122. у = уа + у~1-(Х-ха)+
2Л
, У1 — 2у0 + У-i (х_ у<))». 3123 о,8084-0,193х —
2А2
— 0,00101х». 3124. sinх° да Г1 — ( —— Y]; sin 20°«0,341;
288 L к 150 ) J
sin 40° да О,645; sin 80° да О,994. 3125. Р (х) = — (7х2 — 4х«).
3
3126. 7 — . 3127. fl„(x) = x; fi„(x) = x24- х(1~х) • Вл(х)=> 3 п
-('-т)('-т) ”+Т (-т) - + V ’3,м- s"w“
4- —(14-х)4. 3130. S2„(x)=>
3129. Вп (х) = 0-«) (! + *)’
О
3131. Вп (х)=»
= е*" Г1 4- (е**/п - 1) -х t , где I = Ь - а. 3132. Вп (х) =
n—k cos(2fe—1)х 2л—1 (2Л — I)2
где i2 =
п—1
-I. 3135. ом_х(х)=4------V
2 я
*=1
ЧАСТЬ 11
ОТДЕЛ VI
3136. Полуплоскость х > 0. 3137. |х| 1; |у|>1.
3138. Круг х24-у’< 1. 3139. Внешность круга х2 4- У1 > 1. 3140. Кольцо 1 < х2 4- у2 < 4. 3141. Луночка х < х2 4- У2 <3 < 2х. 3142. —1 х2 4- У I. 3143. Полуплоскость х + у <J
ОТВЕТЫ
577
<0. 3144. Пара вертикальных углов jy| < (х| (х =/= 0).
3145. Пара вертикальных тупых углов, ограниченных прямыми у = 0 н у = —2х, включая границу без общей вершины О (0, 0). 3146. Криволинейный треугольник, ограниченный параболами у2 = х, у2 = —х и прямой у = 2, исключая вершину О (0, 0). 3147. Семейство концентрических колец 2л fe х2 + у2 ^лХ X (2й + 1) (А = 0> 1, 2, . . .). 3148. Внешность конуса х2 + + у2 — z2 = 0, включая границу за вычетом вершины. 3149. Совокупность четырех октантов пространства. 3150. Внутренность двуполостного гиперболоида х2 + у2 — г2 — —1. 3151. Параллельные прямые. 3152. Концентрические окружности. 3153. Семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами у =* — ±х. 3154. Параллельные прямые. 3155. Пучок прямых с вершиной в начале координат, за вычетом вершины. 3155. Семейство подобных эллипсов. 3157. Совокупность равносторонних гипербол, асимптотически приближающихся к осям координат и расположенных в I и III квадрантах. 3158. Семейство двузвенных ломаных линий, вершины которых расположены на оси Оу, 3159. I н III квадранты прн 2=0; семейство двузвенных ломаных линий, звенья которых параллельны осям координат, а вершины расположены на прямой х + у = 0 при г > 0. 3159.1. Линии уровня—стороны углов, параллельные положительным направлениям координатных осей Ох и Оу1 с вершинами на прямой у = х. 3159.2. Семейство контуров квадратов с общим центром О (0, 0), стороны которых параллельны осям координат Ох и Оу при z > 0; точка О (6,0) при г = 0. 3159.3. Прямые, параллельные оси Ох, если г < 0; стороны углов, параллельные координатной оси Ох и положительной полуоси Оу, с вершинами на параболе у = х2, если г > 0; положительная полуось Оу, если г = 0. 3160. Пучок окружностей, проходящих через начало координат (не включая этого начала!) и
С
ортогональных к оси Ох. 3161. Кривые у =------. 3162. Крн-
1п х
СЧ-х
вые у = ' . 3163. Семейство окружностей с центрами на 1п х
оси Ох, ортогональных к окружности х2 -t- уг = а2. 3164. Семейство окружностей, ортогональных к оси Оу и проходящих через точки (—а, 0), (а, 0), за вычетом последних. 3165. Прямые к = тл и у = пл (т, п = 0, ±1, ±2, . . .), при z = 0; система квадратов тл < х < (m + 1) л, ля < у < (n + 1) л, где (—1)т+л = г, при z— —1 или г=1. 3166. Семейство параллельных плоскостей. 3167. Семейство концентрических сфер с центром в начале координат. 3168. Семейство двуполостных 37-2383
578 ОТВЕТЫ
гиперболоидов при и < 0; семейство однополостных гиперболоидов при и > 0; конус при и = 0. 3169. Семейство эллиптических цилиндров, обшей осью которых является прямая х 4-Ч- у = 0, 2 = 0. 3170. Семейство концентрических сфер х2 4-+ у* 4- г2 = ял (л = 0, 1,2,...), при и = 0; семейство сферических слоев яп < ха + у* 4- г* < я (л -}- I), где (—1)" = и, при и = — 1 или и = 1. 3171. Цилиндрическая поверхность
с направляющей г=[(у), х = 0, образующие которой параллельны прямой у = ах, х — 0. 3172. Поверхность вращения кривой г = [ (х), у — 0 вокруг оси Ог. 3173. Коническая поверхность с вершиной в начале координат я направляющей: х = 1, г = = I (у). 3174. Коноид с направляющей: х — 1, г ~ [ (у), образующие которого параллельны плоскости Оху. 3178. /0,—)= = f (х, у). 3177. V1 4- ** 3178. НО = 21 4- Л г = х — 1 + + V7 (* > 0)- 3179. t(x) = х» — х; г = 2у 4- (х — у)2.
3180. Нх, у) = х2 1 ~. 3183.1. Нет. 3183.2.0; нет. 3184. а) 0, 1 4-у
1; б) —, 1; в) 0, 1; г) 0, 1; д) 1, со. 3185. 0. 3186. 0. 3187. а. 2
3188. 0. 3189. 0. 3190. 1. 3191. е. 3192. In 2. 3193. а) -у-
• б) -2- < ф < — и **я < <р < —. 3194. Точка раз-2 ’ 4 4 4 4
рыва: х = 0, у = 0. 3195. Все точки прямой х + у = 0.
3196. О (0, 0) — точка бесконечного разрыва; точки прямой ж 4- у = 0 (х Ф 0) — устранимые точки разрыва. 3197. Точки, расположенные на осях координат. 3198. Совокупность точен прямых х = тя и у = пя (т, п = 0, ±1, ±2, . . .). 3199. Точки окружности х2 4- у2 = 1. 3200. Точки координатных плоскостей: х = 0, у — 0 и 2= 0. 3201. (а, Ъ, с). 3203.1. Равномерно непрерывна. 3203.2. Равномерно непрерывна. 3203.3. Неравномерно непрерывна. 3203.4. Функция непрерывна' на Е, но неравномерно. 3212. (х, 1) — 1. 3212.1.
£ (0, 0) = 0, f' (0, 0) = 0; функция иедифференцируема в точке О (0, 0). 3212.2. Функция иедифференцируема в точке 0(0, 0). 3212.3. Функция дифференцируема в точке 0(0, 0).
3213. — = 4х» — 8ху2, — = 4у»—8х2у, = 12Х2 — 8у».
дх ду дх?
16ху, -^- = 12у2-8х». 3214. — =у+ —; дхду ду1 дх у
8^+0 ftz z^P , ~ «zP ftpscp ° »zP . 8<zX+l) хг PP »zP
t z^+l _ n& . 8X+1 , ztfi "1* zx) 8^
I j s(z^~l~zx) — tx , 8Л+Р »p XP I foxP , ”zP np efzfi + 8х) PP ft*Z пгр B^fi + x) _ zfip ftxz . zfi + вХ , z(zfi4-x) "zP _ fip np
ft fipxp np WH'*' 8(,Л + Х) (zfi —x)Z ”zP zxP , zfi + x = ftz ftp ,^4-x
*“ л,? XQ -^•IZZ8 I ”zP z^P (0<x)xtuip==—— ”zP ftz •(xu\ft np I + l)l-ex =- fipxp ”sP
ZXP XP « ’P 'T-exfi = -^- огге
Л ft Ji ft Jt Jip ft •------pas------UIS-----1-----.008---------- -...- ‘-----pas x
8х P PZ * 8х PS г*
ft Ji ft Ji ftQXQ ft
X —— uis----------------pas---------— —---------- •----------pas X
zx ’ P> zx xS ”zP
ft Ji ft ft pp ft Ji ftp
X------uis---------1----pas — ==------- ‘-----pas----------------
P ’ 8*8 8X Z ”t8 P 8X ”Q
ft ft xp Ji Jip Ji
гх ’ xg np ” psoag n^ puisxg
PP , 8^ __
nj> jc soa jip •(й 4-x) uis x — =-—
ftp xp ft
nj> p soa pt 4- p uis g ftp ft xp
~np~ p uisxg np"
йрхр
•(54-x) uisx — (ft-j-x) soa =----- '(ft 4- x) uis x — (ft 4- x) soa g =
,xp ftQ
— ‘(fi4-x)soax = — *(й4-х) soax4-(fl4-x)uis=>
_ XQ . . 8/8<8^+P> _ Ji& t zAG^p) _
~~ np IlZE (tftz — tx)x nj> (Ji — txz)ft _ fte*e , z/JH-f-p) _ p₽ t ,/r(zfi+p)_________________________
~ Ujg JiX£ nj) ftX
__ ft? t s/efs^+z*) _ »e , Л _ № , tft________________________
~~ np Ji ~ np ’e,z® xg n& Z ftQxQ PP . tft fte t tfi XP
~ n^p xg np | np ’S,SS
.8й z^₽ , гл fte*e &q 'J_____________________________
“xz’= "zg *“i 1 “ »Z₽ °~ n£ x X~
6ZS
juasio
580
ОТВЕТЫ
(ху=^ 1). 3224. -^- = дх .. 1*1 ди dy xsgny х2 + у2 ’
х2 + у2
й2и 2х |у| й’и (х2 — у)2 sgn у д2и
дх2 2х|у| (х2 + у2)2 ’ It» -ДЛ\ дхду 3225. - (х2 + у2)2 ди ’ ду* ~ X
(х» + у2)2 " ' "" д2и _ 2х2 — у2 — г2 дх (х2 + у2 + г2)3/2 ’ д2и _ Зху
дх2 (х2 + у2 + z2)6/2 ’ дхду (х2 + Уг + г2)5/2 ’
3226. — дх г / х ” х \ у - / ’ ду ~ ди дг
“(у)'1" г(г+ 1) Г4 1н 1 * д2и _ г (г — дх2 х1 д2и _/ х Хь Yin2—, д2и ду2 ~ д2и
У2 \ у ) дг2 \ у / У дх ду
г2 / х у ху \ у ) ' 1 / * Y Л 1 _ 1_ х \ д2и
дх дг X к У / \ 1 П у )' дудг
с= — —уб+^п-У \ У ) \ У .W2L>0V 3227. J \ У J дх хг
ди и In X du Уи 1г, . Й’“ _ У (У — г)“
dy 2 дг г2 ' дх2 х2г2
дги и 1п2х д2и уи In х ,п , , ч Й2»
dy2 г2 ' дг2 у*пх;, - " г4 дх ду
(г+ у 1пх) и д2и уи (г + У In х) д2и
хг2 дх дг хг? ду дг
»lnx(z + ylnx) 3228. J!L = JLu, =
г3 дх х ду
= гу2' ~2и In х, du д2и У* (У* — 1) — »/2ц In v In // г
дх2 х2
д2и дг
= гуг-2и (г — о* и 1 + гу2 In х) In х, = уги (1 + у2 In х) X
dy2 дг‘
. . . „ д2и ztf-'u ,, , ,, . д2и у*и In у .
X In х In2 у, -— —-------(1 + у2 In х), ------ —-----— X
дх ду х дх дг х
дги
XO + ^lnx), -------- = y2-4i lnx[l + zlny(l + у2 In х)] (х>
дудг,
> 0, у > 0). 3230.1. f'xy (0, 0) не существует. 3235. du = xm—1 X
Ху"-1 (ту dx + лх dy), d?u = хт~2уп~2 [m (m — 1) у2 dx2 + 2тп X
X ху dx dy + л (л — 1) х2 dy2]. 3236. du = ydx~xdy , ^и =. У*
=-----—dylydx — xdy). 3237. rfu = xd*+ydy &и=
у2 -V х2 + у2
ОТВЕТЫ
581
(ydx— х dy}2 (Хг + уг^
3238. du =
(у2 — x2) (dx2 — dy2) — 4xydxdy
xdx + ydy
X2 + y2
<Ри =
(X2 + J,2)2
. 3239. du = exy (y dx 4"
4- xdy); cPu = exy [y2dx2 4- 2 (1 + xy) dxdy -|- x2dy2].
3240. du = (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, d2u = 2 (dxdy 4-, л, и, , и л , юл и (x* + у2) dz-2г (xdx+ydy)
+ dydz + dzdx). 3241. du =--------------————-----------------»
(x2 + y2)2
2z |(3x2 — y2) dx2 + fixydxdy + (3y2 — x2) dy2] —
d‘u —
— 4 (x2 + y2) (xdx + ydy) dz (x2+y2)2
3242. dx — dy, —2 (dx — dy) (dy + dz). 4244. a) 1 + mx + ny; б) ху, в) x+ y. 3245. a) 108,972; 6) 1,055; в) 2,95; г) 0,502; д) 0,97. 3246. Диагональ уменьшится приблизительно на 3 мм;
площадь уменьшится приблизительно на 140 см2. 3247. Уменьшить на 1,7 мм. 3249. А « 10,2 м3; б « 13 %. 3250. А » 7,6 м, 3251. f'x (х, у) и f' (х, у) не ограничены в окрестности точки (0, 0).
3256.
3257.
3259.
d*u
-^- = 24’
d3u
тт:— =о.
дх2ду
д3и ------= 0. дхдуаг
3258.
= -16. dx2dy2
= — 6 (cos х + cos у).
3260.
+ х2у2г2). 3261.
d*u
д*и
—— = °-
dx3dy
д*и dx3dy3
. = елуг (1-|~ Зхуг 4~
dxdydz
6 , 48 (х — j;)2 (у — т))2
дхдуд^дц
где г = V(* — I)2 + (У — П)2
о™и
3262. -+-+—= p\q\. dx^dxq
2 (— l)m (т 4- л — 1)! (пх + ту) OlDO. “1Г|Г "" 1 ’ “J "
(X -|- у)т+п+2
3264. е*+» X
X [х2 + у2 + 2 (mx + ny) -j- т (т—1)4-л (л—1)]. 3265. (х4*
лл
4-p) (У 4-<?) (z 4-П e*+v+3. 3266. sin—— . 3267. F (t) =
d*u = 24 (dx* — 2dx3dy —
-12.
dx3dy
s= f' (t) 4- 3tf" (f) 4- t2^ (t). 3268.
iFu -----— 24, dx*
2dxdys 4- dy‘);
d*u •-------= 0, ----------= — 12,
dx2dy* dxdy3
= 6 (dx3 — 3dx2dy 4- 3dxdy2 4- dy3).
4- ydy)3 cos (x2 4- y2) — 12 (xdx 4- ydy) (dx2 4- dy2) sin (x2 4- У2)-91 (dx 4- du)10
3271. di°u=---------- 3272. d«u=-(dx«-.
(*4-y)10
д*и
d^u -----= 24. 3269. &u =a dy*
3270. (Pu = — 8 (xdx 4*
582
ОТВЕТЫ
— 15dxMy2 + IMx’dy* — dy*) со» x ch у — 2dxdy (3dx* —
— iddx^y2 + My1) sin x sh y. 3273. <Pu = Gdxdydz. 3274.
d'u = 2 • 3275. d”u = X
V x* y* & J
X (adx + bdy)n. 3278. dnu = £ C* %("-*> (x) Y& (y) dx^'dy*.
*=0
3277. dnu = f<n>(x + y + z)Wx + dy + dz)n. 3278. dnu = = «"+»»+« (adx + bdy + cdzy. 3280. а) А и = — и, A2u = u; б) Л«=1, Л»и = 0. 3281. а) Дв = 0; б) Дв = = 0. 3282. а) Д1и = 9[(х» — уг)2 + (у2 — xz)24-(z2 — ху)2], Дав = 6 (х 4- у г); б) Д1и = ~з—, где г= Vx24-У2 + г2 »
Г4
Д,в = 0. 3283. = 2xf'(х2 4-у14-г2); -^- =
дх дх*
’=4f'(x2 + y2 + ^) + 4x4" (х2 4- у* 4- г2);
(х2 4- у2 4- Z2}. 3284.
д*и
—4xyfl дхду
= h I 4- У2/» 4- у2г4зз 4- 2yfiz 4- 2yzfi3 4- 2y2z/23; - =з
» - » д*и . д2и
= х’/22 4- 2x2zfe 4- Л’/зз; ——— = х*у4зз; ----- =а
дг2 дх ду
= xyfn 4- хуз?[зз 4- xf12 4- xzf13 4- 2ху#гз 4-/2 4- г/з;
д*и дхдг
= xyfi3 4- ху4зз 4- ху2г/зз 4- у/з; ~т~Т~ — *гУ&3 + х’у^з + ду дг
4- xfi 3288. = /1,4-(х4-У) ^2+ху/’и4- з2в7. Да = %4-
4-4(x4-y + z)/;2 + 4(?4-»2 + 22)fa + 6f2. 3288. =
4 4 хрх) • "ft = »jP .‘(«par + xp«) -®|2 4 (M—xpx) Zjz 4
4- (йрй 4- xpx)-lJz = np ’lose *xp«p^/^z4 zpxjfi'JaDZ 4 4- tipxpUjqvz 4- ^Jg> 4- ^P^/jfl 4- ^"4® = "гР ‘-zpfP 4 4- «pf/fl 4 *plJ>> = np 00C8 'z;p (®//9 4- Zjz 4- 4- 4*
4- aJtJS 4- aJz№ 4- aJft 4- *y) = V '№ (fye 4- lJlZ 4- У) =
tZ c«
-» «« •*—
----;---—-----------al 4---------_____________lift 4.
g(?p« — йрг) - (грй— йрг)(Ярх— xpfi) - *
g(«px — хрЛ) ’ 1У ~ ”гР ’ гр« — йрг У
4 Н = "Р *8888 ’to 4 Л> 4 z*P)-$Z 4
прх — хрп ‘
4- 1<грг 4 йрй 4 хрх) aft 4 (гр? 4 йрй 4 хрх) (гр 4 «Р 4 хр) X
X гу> 4 г(гр 4 «р 4 *P)"J = ) Хгрг 4 «Р« 4 *PX)-Zfc 4
4- (гр4«Р4»р) у = пр ‘L6ZS •ггр “/4ч>(«р4-агр)-г^/г4-4-г(«Р4-«Р)-Ч/=»гР 1гр-^/4-(«р4агР)-;/ = "Р «$28
Л Л
х +-ж^йг +^1» +^> "J - V tfi 9 •
--------г- •'/4-(«P*4arp«)-,/ = np 'S6Z8 «(«р —агр)Х прх — хрп г •
х + (г?5’’ ~ + г(йР + ХР) ’'= ягр ;(«р — arp) X
X ZJ 4 («Р 4 агр) • у = пр -же ’г^/г*? + «P^'/floS 4-4 sarp’J/j® = «гР ;«Р^/<? 4- xplJn = пр -£628 (z^P 4- Г«р 4 4- »агр) • ,/2 4 И?рг 4 «Р« 4 хрх) „fr = н^р ‘.(грг 4 Ярй 4 хрх) х X JZ = ”P №ZS (грйрх + грхрй-)-йрхрг)ъ=)гР и грйх-j-4 йрхг 4 хргй — ip arj ')tP(l) J 4 г1Р 0) J = ”tP ‘ip 0) J =
г/Е(г«4«аг) ^4^
; i++z - *
X (?) ,lz - -.tvrf (a) J = я^а ! ** (;),/ =
f\Xpn — fipsQ rpti — npx
-np *8828 i(«p 4 arp) (/),/ = ПхР ‘.(йр 4 xp) Q) ,j = ggs ruaaio
584
ОТВЕТЫ
4- 4f’a • (х dx—у dy)2 + 4fй • (у dx4-x dу)2 4- 8/,2• (x2dx2 — y2dy2) 4-
4- 8/13 (x dx4-y dy) (y dx4-x dy)4-8fa- (x dx— у dy) (y dx 4-x dy) 4-4- 2/j- (dx24- di)2) 4- 2f'2- (dx2- dy2) 4- 4/3-dx dy. 3302. d"u =
= /(") (ax 4- by 4- cz) (a dx 4- ft dy 4- c dz)n. 3303. dnu =
✓ d d d \n
,= \adx~^~ + bdy~T~ + cdi~Ar~] %>• где l = ax, \ df, dr) d£ /
Г / d d x\ = by, £ = cz. 3304. dnu = px(ax —jj- 4- a2 4-d \ ( d д d \ , ( d .
+ asir)+ yv‘IT + &2 d?+63If)d2
d d \Tn 2
+ '«Т-+'з-Г HE. n. »• 3305. F(r) = f"(r} + — X dr] d£ /J r
dz dz
Xf’(r). 3316. 1. 3319. xyz. 3331. x---------------— у-= x.
dx dy
dz dz _ „ dz dz
3332. 2x----4-y-—=2z. 3333. y~— — x= 0.
dx dy dy dy
du . du . du _ du du .
3334. —+— + —= 0. 3335. x — 4-У — +
dx dy dz dx dy
du д-z d2z dz
4- z---= 0. 3336. = 0. 3337. z —--= —- X
dz dxdy dxdy dx
dz „ „„ d2z d2z dz dz
X—• 3338. —---------— = 0. 3339. x—- 4-У —= z.
dy dx2 dy2 dx dy
d2z d2z dz dz
3340. x2——-y2—- + x —-y —= 0. 3341. 1-
dx2 dy2 dx dy
i— „ dz n
— V3 . 3342. ---= cos a 4- sin a, a) a = —;
dl 4
5л Зл 7л
6) a =------; в) a = —— и a = ——. 3343.
4 4 4
----- 2 3344. — V2(a2+ ft2) • 3345. = V<> i) ab dl
«= cos a 4-cos p 4-cos y; |gradu| = V3 - 3346. |gradu| =
— ~r"> cos (grad u, x) = ———» cos (grad u, y) *=•
'o r°
“--------—• cos(grad uTz) —------------- где r0 = д/*о + +’o •
Го
я d^u d^u
3347. —. 3348. ® 3142. 3350. cos2 a 4-
2 dP dx2
ОТВЕТЫ
585
-T-rr-CQs’P +—- cos’v + 2——— cosacosp+2——- X ду2 дг2 dx dy dx dz
д*и du
X cos a cos у 4- 2 —-cos В cos y. 3352. — => — 0,5.
dy dz dy
3353. uxx (x, 2x) = uyy (x, 2x) = —4/3x, uxy (x, 2x) =• 5/3x.
3354. z = x<p (у) 4- ф (у). 3355. z = ф (x) 4" Ф (у)- 3356. z = = Фо (*) 4- ИФ1 (*) 4-. • . 4- S/"-1 Фп-i (x). 3357. и = ф (х, у) 4-4- Ф(х, г) 4- X 0/> *)• 3358- “ = 1 4- Х2у 4- у2 — 2х*. 3359. г = = 1 4- ху 4- у. 3360. г == х 4- уа 4- 0,5ху (х 4- у). 3362. Нули функции f (х) не могут целиком заполнять никакой интервал (а, 5) а: (а, Ь). 3363. Множество нулей функции f (х) должно быть нигде не плотным на интервале (а, Ь), причем каждый нуль £ функции f (х) одновременно есть нуль функции g (х) и сверх того существует конечный предел lim (g(x)//(x)|. 3364. 1) Бес-x-»t
численное множество; 2) две; 3) а) одна; б) две. 3365. 1) Бесчисленное множество; 2) четыре: у = х; у = —х, у = | х 1 и у = — | х | ; 3) две; 4) а) две; б) четыре; 5) одна. 3366. 1) Ни-
где; 2) 0 < |х( < 1, |х| = А/------------------ ; 3) х=0, |х|=-
= 1; 4) 1 < | х | А/---------- ; однозначные ветви: у =
д/_г+х2~*4 (|x|<V х+22
у = г
где е = — 1, 1. 3367. Точки ветвления: (— 1, 0),
(0, 0), (1, 0);
У = е(х)
/ У8х*+1 -(2х»4- 1)
(|х|<1). где е(х)= —1, 1, sgn х и — sgnx. 3368. Мно-
жество значений функции ф (у) должно иметь общие точки с множеством значений функции f(x). 3371. у' =•
х 4- У . „ 2а2 , х 4- у _ 2 (х2 4- у2)
“ 1 « и 4—• UU/4. U — . £/ в- ‘ •
Ю 1 д Л А > 9» *2 1 ч > 1 ><
3373. у'-------!-----; у' =---Г6*1»*-.
1—в cos у (1—ecosy)8
3374. у' = ~~ 1п*> • » _ —1пх)8 —2(х —у)х_^
х2(1— 1пу) х*(1— 1пу)8
X (1 — In х) (1 — 1пу) —х(1 — 1пу)8]
х4(1 — In у)8
3375. у' = —; X
586
ОТВЕТЫ
y’ = 0. 3378. y't(O) уг(О>™ —V33 ; 18 = -1; у2 уз(0) = 7Г. (О)=1. 3380 3379. У\ (0) - 0; 2х+у .
162х ’ *+2у ’
* (* + 2y)3 . 2 . „ У = —V У = , , л (х+2у)« 2 дг 3383. 3 дх х24-г- II 1 3* 1 ’ ъ 1 и £ 1 0
z ’ дх» д*г у*+ г® г» • дг дх ду уг г2 ’ дг
ду8 г1 XZ &г дх г2- 2ху*г ~ХУ ’ ду д^
г2 —ху ’ 2х»уг . дх2 dh (г2 —ху)2 ' ду’ г (г* — 2хуг^ — х-у2)
(г2 — ху)2 дг дг дхду 1 1г2-3»г -ху)2 д%
дх ду х + _ . х+у+г у+г—1 ’ дх2 дг дхду х2 ду2 дг
(х + уЧ-г — — У2 1)> • 3388. д»г _ дх У*г ifl — lf2 ' ду dh
х2 —у22 ’ хуг дх2 д*г (х2 —у2)2 ’ х*г дх ду дг
(х2-у2)2 ’ аг =-—« — и Эу 3388. а) — 2; б) 1 . № ду2 dh (х2-у2)2 д»г д»г дх ~~
дх2 — 1. 3389. 394 дхду 1 • ы II
д& 3390. dx 5 ’ с2 дх ду (7+
5 ’ dy2 125 ‘ г
/у» z* \ dy2 1 (1—yz)dx-Kl —xz)dy .
\ б2 «* / Ь* J 1 — ху ’
2 (у(1—yz)dxa4-(x4-y—z(l-{-xy)]dxdy+x(l — xz)dy2} О—JW)»
z2 (y dx — x dy)2 ^(x + z)*
Л =
3394. du=>
3392. .^dx^-zdy) . Лв
H* + *)
8393. dx » dx-----------------.
(x—z)’4-y(y+ 1)
ж 2(x-z)(y+l)|(x-zp + y»l .
Кх-г? + у(у+1)Р
ОТВЕТЫ
587
u*(dx + dy)-Ab ззгс № - 4(х-г)(У-г)
u[2(x + y)—«1 ' ‘ dxdy (F't + 2zF'3)3
dz Л — F3
3398. ---;--7
dx ^2- F3
= _Л+ЛЖ\ \ f. }
дг dy
f'2-f{
—-----—. 3397
F'2-F3
дУ \ F3 )
дх
J2? dx2
= — F3-. {F3 (Fn + 2F^2 4- Ед) -+ (J\ + ^)2f зз]. 3398- *^~7
X
3399. а) d2z= —
F2 t2+Jj^22
(dx — dy)2;
б) <Рг
^2^11 ~ 12 + ^l2j?22
i3
(у dx — х dy)’.
3399.1 dx = -y(2dx —dy);
4~2dy’).
340!.
dx
3402. — =0.
<*У - I .... = — 1,
3403. — = dx
dv xt
dy x
xu + yo , do x’ 4- У* * dx
У —z .
x —у
<Px
dx2
уи — xo
2
d2? = — -- (^dx1 — 5dxdy +
dy_____г— x
d» x — у
dly _______1_
’ dJ2 4
du _ xc—yu , dy х»+у’
(Xя 4- y2 > 0). 3403.1. dus---^s=1
= -dX4-±dy. 3404. dn- ^-Пt,±££”°)^.-<sin M~xcost,l.fe;
3 x cos c 4- у cos ц '
— (sin t>-y cosu) dx (sin u4-y cos u)dy .
x cos ? 4* У «и « xcos u4-ycos и
(2dx cos о — xdv sin c) dv (?dy cos « — у du sin u) du xcos p4* Уcoe« xcos₽+ усов и
3405. duxss — (dx4-dy); do — —dy------— (dx — dy); <Pu**djfli
2 4 2
588
отвгты
d2v = — (dx — dy)2. 3406. -^- = 2f/+—— = з/> + 2 dx \ t ) dx \
J- + 1Y - = 2: d2z +—Уз407. u> —:
t2 J dx2 dx2 t J 2
dz о dz - = —3uu; 0 = — (u + 0) (U * V). 3407.1. =
dx dy 2 dx 2
dz 1 d2z 26 d2z
— МП7 О 34ЛЯ —
dy 2 dx dy 121 dx2
__ . sin2 ф+cos2 ф cos2 ip 3409. a2z sih2o d*z = —— , ——— =3
sin3 ф dx2 u2 dx dy
cos 2o d2z __ sin 2v 3410. dz = 0; d2z =
u2 ’ dy2 u2
I 1АЛ 4,,S\ ЯД11 _ 2(x2 -У2) cPz 4x—2y ।
2 dx X - -2y ’ dx2 ~ x—2y
6x 3412. du 1 . j_ <*+l)(y-*) gx-».
(x—2y)s dx У+2 (z+l)(y+«)’
du .= х + г . (Н-1)(У—*) e«~2. 3413. — Lx
dy (у+2)* (z+l)(y+z)2 dx I
' dy di dip di \ dz - 1 ( di dy di дф\
Xl < du dv dv du J’ dy I I du dv dv du J
, dy dip где 1 = — du dv dip dф du dv d2u dx2 ~ d2y du dv \f dipy 3414. — dx __ 1 I d^ du2 dip du 1 dip t dv ’ дф dv £+1 (/ dip du 3y du2 J [-F* k, dv d2y
ES X| 1 I ( dy L dv d^y dy . dv ’ y-21 дф ( L dv d^ 1 {(£• du dv ) d2u
/’ dф dv 1.
A " dv2 dv dv2 A du J. 1’ dxdy P l\ dv du2
dy dy dip /di P d’ty dy ^L-Y ludt» / '
dv du2 J dv dv \ df dudv dv i I du X
V . dy . dy dip \, / ^ip d2ф dф d2^ dip 1
dv dv du J \ dv do2 dv do2 J du du j’
dy2 /3 (\ du du2 dv d*q> dip d2’p \ dtp Эф du dv dv du dv J du dv
d2^ \ ( d,f du2 J\dv f dip д2ф dip d2^1
< dv dv2 dv dv2
X f *LY) , где I = *L_-*L -±L. 3415. a) =
\ du ) ) du dv dv du dx
v du , v dv / . v v v \ = cos—; ----=sin —; ---=—(sin-------cos—I;
u dy и dx \ и и и )
ОТВЕТЫ
Б89
dv v . v v ди
----= cos 1---------sin —; 6) ду--и и---------------и
sin v______
dx e“(sino—cost>)4-l
du — cos о dv — (eu — cos v)
dy e" (sin o—cos o)4-l ’ dv eu 4- sin v дх и [eu (sin v — cos 0) 4- 1] ’ „.в du I
dy u [e“ (sin t>—cos o)4-l] ’ dx lt ’ » ( d(g, h) ( d-d d , d(h,f) /3 I d (у, г) к dx dy dz d (y, z) +,,4-+/ ’/,+ 4^. f,’+J oi/ dz J d (y, z) \ dx dz ) j d (y, z) d (z, x) - d(S. h) „ , _ D(f, g, Л) ,Л1, du df . dx3 \ dx -^-4- 2 dy 4 /3 = du
d (x. y) D (x. y, z) ' dx dx ’ = JL + _Ms_, где/1==Л1^Лк н/2=- dy tidy d(z, t) члю du /i . ди /а . ди /3 dy d(h, f) d(z, t) где Ii = (f. g, Л)
dx 1 ' dy __ d (g, h) , d (Л, 0 I 9 Г dz 1 ’ d(f, g) , Di
" 1'2 — » • 3 — d (0, ti') d (o, to) 3419. dz= L^.x+/-'dy., где /t = /з / =_£IL«L. 3431. x"'+xx'°=0. d(z. t) <1 Л ф d (0, w) D (u, 0, to) : d<J< 8) ( ! = d(f, g) d(x, t) ’ 2 d(y, t) 3432. xiv=0. 3433. — _ dt3
—/(—Y = 0. 3434. -^- + у = 0. 3435.-^--3-^-4-
\dt ) dt3 dt3 dt3
+ 2 — Gy = 0. 3436. 4- n2u=0. 3437. -^-4-m2(/=0.
dt dt3 dt3
3438. и" + Г<7 (x)--- p3 (x)-1- p' (x) 1 и = 0. 3439. 4-
L 4 2 J dt3
4-(u-|-3)_^L+2u=0. 3440. J^L = 0. 3441. —— = 0.
dt dt3 dt3
3442. 4- 8u (—Y = 0. 3443. t3 4- (3Z‘ 4- 1) 4-
dt3 к dt J dt3 dt3
4-—=0. 3444. u"—u'=*----------------- и. 3446. Ф (1, и, u'4-u2)=0.
dt (a — b)3
3447. F (xu' 4- и3 — и, и. 1) = 0. 3450. — = r. 3451. r'3 =>
dtp
c= 1~sin24) r\ 3452. r (,з 4.2r'3 - rrn) = r'«. 3453. —.
sin2<p t
690
ОТВЕТЫ
3454. К = — . 3455. — = kr\ ^+/^2 dt 3456. ю = —3457. Г7 = х; V = dt\ dt J dt —; Г* = y"
. 3458. г=ф(х-|-у), гдеф— произвольная дифферен-
цируемая функция. 3459. г = <р (х» + у*). 3460. г = ~ + а
+ ф(у —М- 3«1. г = хфМЛ. 3462. — sh о.
\. х ) ди до
3463. — = — . 3464. 3465.
ди до до 2 до о
X -4±±. . 3463. (2« + о - г> — + («+2о-г) — = и +«-г. з?—и ди до
Лол
3469. -^-=0. 3470.
— — ———. 3474. йу у
дх । дх и ду до о
3472. Л=
дх У до )
3473.
ди к
о
3474.
^“ + ~- + 3» + ^+^+Л-0. d»j 6С
3475. — =0. 3476. —=0. 3477. u’f—¥ + о*(—Y-= ди до \ди J \до )
е“Г1—^cos’tA
8478. --Ь---3479. Л =
ди до дш
ди
дш . дш г=---1——,
ди до
8482. ш-г~, дг
ОТВЕТЫ
591
д*и , 1 / ди ди с )а ди \
3480. tt>= . 3487. / = — I
0ф® г к дг 0ф с кр дг Г"
3488. и = ф (х — а/) + ф (х + at), где ф н ф — произвольные
&-Z dz д*г дРг
функции. 3489. 3-^—= 0- 3490. -^-=0.
ди ди ди ди* * 1 ди*
3491 а ( дг'\-^-2Ь & 4-с(- д*г Ч л
к ди* ди ) ди ди к ди* ди J
3497 . д'г . j_ _д’г _ 0 3493 . д*г д_ 1 т*е*аг=0.
ди* ди* ди* ди* ‘
3494. =0. 3495. 3496. д*г
ди ди ди ди 2и ди ди ди
— 2 дг 3497 , г ~ д*г дг
и (4 — ии) ди ди ди ди
3498. -^-=- — 3499. —| ди* и* 4- и* ди ди ди 1 дг
и*—о» V ди
дг X п /, 0г \ д*г । дг д*г
— и | = 0. 3500. I 1 1 • -1 1.
ди ) к ди J ди ди ди ди*
3501. u = ф (х 4-Xty) 4-ф (х4-Хгу), нения А 4-2fiX 4-СХ* = 0. 3503.
где Xt и X» — корни
. . d*u . 1 а) Ди = ——+ — dr* г
урав-du
dr *
б) Д (Ди)
d*w du*
d*u . 2 iPu 1 d*u , 1 du 3504. ux
dr* 1 г dr* Г» dr* r* dr
dw , du cw = 0. 3505. A = X d*u dX* — Y • d*u . dXdY
X
0и чело t д А ди \ д ( ди \ 0
— • ’508- 6-^-(S-7T-) + n — (П — )+ t—-X
дХ 0£ k 0£ / 0n k 0») / 0$
(» ди X „ д*и д*и , „ д*и X
5 а» ) 2 ( + К Д + ПС , - I
д£ J к 0£0n dgdi; 0t)d£ /
3509. -^-4—— 4--^- = 0. 3510.-^ = 0. 3511. Д1О = ду? д£ ду* К
&(^Y+J_pq2+__^pj.Y. A1U = J_X \ дг ) г* \дв J r*sin*9 к Лр/ ’ г*
к. Г д /. ди х , 1 д ( . „ ди х 1 д*и 1
X I-I г* -14------(sin в -14------I.
L дг \ dr ) sin0 00 к 00 ) sin20 0фг J
/ 0*и> . 0*» X _ / 0ю у / 0ю у 35>3 д*и> к дх* ду* ) к дх ) \ ду ) ди*
«= 0. 3514. = 0. 3515. = —. 3510. 4*
ди* ди* 2 ди*
4-^L=2e,. 3517.-^-4-Г— -А—=0. 3518.-^-4 ди ди ди* к и ) ди* ди*
592
ОТВЕТЫ
, daa> , / dtt> \2 z s + dv* +k du ) 4 c 3520. J^ + ±^e0. du* do* . 3*w , d*w ____ dw
Ф ana ‘ a;
4" f-~Y + f-?r¥] • 3520. x=y<₽ (г)+Ф (z). 3527. A (X, Y) X
=0.
3519.
d/*w du dv
3523.
dw
d*w du dv dw H^-D
0.
______w
4sina(u—»)
3524 4
<%*
X ~—2B(X, Y)-^~+C(X, ¥)— =0. 3528. —t—**— dY* dXdY dX* —cosasin/0
=---2—2“------—------; z — z0 = (x—x0) cos a tg /о + (У—
— sinasm/o cos to
— y0) sin a tg /0, где x0 = a cos a cos t9, y0 = a sin a cos /0. *o =
= a sin t9. 3529. — -j- — = 1, у = —; ax—cz = — (a*—c*). a c 2 2
3530. = ..У.~ .L = -£nL ; x+i/+2z=4. 3531. — =
1 1 2 3
3x43y—z=3. 3532. x+z=2; y42=0; x—z= 3 —— 1
=0.3533. Ah(—I,1,-1); M2(-----------Ц. 3537. tg<₽ =
\ 3 9 2 /
= /x(*o. yo)cose+^(xo. Fo)sina- 3538- -^- =----
01
3539. 2x + 4(/ —z —5 = 0; x.~ L. = , У ~ = Z~-5-.
2 4—1
3540. 3x + 4y 4- 12z = 169; — = . 3541. z= —------
3 4 12 4
П 2-----
---— (x — y); — — ; - . 3542. axox+ 2-----------------------------------------------------1-— 1 2
4- by,# 4- czoz = 1; . x ~x° = У.~Уо.. = . 3543. x4y—
ax0 by9 czo
—2z = 0; x~~1 = y~~1 = *—* . 3544. x + y —4z = 0;
-1 -1 2
x — 2 _ у — 2 z — 1
1 1' ” -4 *
X cos ipo sin фо + — sin фо = 1;
3545. — cos фь cos фо + — X a b
x sec фо sec фо — a be
у sec фр cosec ф0 — 5 z cosec фо — c ac ab
3546. x cos фо 4*
ОТВЕТЫ
593
, . п х —г, cos Фе у — roSintpo
4- у sin ф0 — 2 tg а = 0; -— — —--------------2-22- =»
cos фо sin фо
= z—roctga_ . 3547. ах sin оя — ay cos ц, 4" “<£ •= au00o?
— tga
x — uocost>o У— «osint>o z—av0 3x 3y ,
——. — ss ————————— — , ОДОО. - —• - - -f*
a sin o0 — a cos o0 «о u0 Uq
4—= 2. 3549. 4(0, ± 2 V2*. * 2 V2); S(±2, +4, ±2): “0 a* 6» с»
C(±4, T2. 0.) 3550. x=±-, y=±----------, z=±-,
add
где d » Va*+6*+c», 3551. x 4- 4y + 62 = ± 21. 3556. x* +
+ yl— xy—\, z = 0; 3y*4-4z* = 4, x = 0; 3x*4-4z* = 4, y = 0.
3557. 6 < 0,003. 3559. cos<i> =-. 3563. -^- = Хо +
aVa*4-6* dn
+ Уо + Zg! a) Xo = Уо = Zq = ; 6) x0 = yo = Zo --->
в) на окружности x-f-y+z —0, x*4-y*4-z* = 1. 3564. — =» dn
<=-----------.............. 3566. x»4-y»«=p*. 3567. y=±x.
Л/ 1 1 *»
V e* T »• + C
3568. у* = 4ax. 3569. Огибающей нет. 3570. x*/3 -|- y*/3 = Z*/3.
Q Ort gX2
3571. |xy|=-=—. 3572. у - ---------. 3574. a) y=0 — огн-
2л 2g
бающая (геометрическое место точек перегиба); б) у=0— огибающая; в) у = 0 — геометрическое место особых точек (точек возврата); г) х = 0 — геометрическое место двойных точек, х = а — огибающая. 3575. Top (V** + У* — /?)*+ г* = >= г*. 3576. х* sin* а 4- у* sin* ₽ 4" z* sin* у — 2хуХ
Xcos а cos ₽ — 2xz cos а cos у — 2yz cos ₽cos у = 1. 3577. [xyz[=« ------. 3578. I z ± Vx24- y* | = p V2 . 3579. X У- 1*4.
4л V3 Xo Уо I
+1У z P I г x I» Ri + + 358()_ (x_xjt+(y~
I Уо Zo I I Zb x0 I
- Уо)* = (z - Zo)*- 3581. f (x, y) = 5 4- 2 (x - 1)* — (x — l) (У4-2)— -(У4-2)* 3582. f(x, у, z) = 3 Rx-1)*-|-(y - 1)» +(z-1)*--(x-1) (y-l)-(x-l) (z-l)-(y-l) (2-i)l+(x-l)»+
38-2303
594
ОТВЕТЫ
+ (У - l)s + (г - 1)’ - з (х - 1) (у - 1) (г-1). 3583. Д/(1, -1)= а=Л — Зй + ( — Л* — 2Л*+Л»)+ (Л’Л 4-Л*2). 3584. /(х4-Л, y-\-k, = у, г) + 2[Л(Дх-|-Dy+£) + *(£>*+By+ F)4-Zx X(£x+fy + C?)] + /(A. k, I). 3585. x« = 1 + (x- l)+(x- l)x X (у-1) + Л,(1 + в(х-1). Ij-O(y-1)) (0<©<1), где Rt (X, y) — -g-& dx-i- In x dy^ 4- 3 (-2- dx + In x dyj X X(----^d*i + ^dxdy^ + ^dx*--Ldx*dy')] ndx =
= x—1, dy — y—I. 3586. 1------~(x2 + y2)-— (x24-y2)2.
2 8
3587. a) 1---— (x2 — y2); 6) — 4-x — xy, 3588. —(xy-J-xz-b
2 4
+ yz). 358». F (x, y) =y- (f„ + fyy)+-^- (/«x, + O + • • • 3590. F(p) = f(x, y) 4- -£-[(/', (x, y)+fm(x, y)]. . ,, . Г . V V* d"f (x. y)
3591. Дх^ («. У) =A* r-r- + / / ~Г,--------------T •
dx dy La La m! (n—m)l dxmdyn"m
/1=3 /n=l
V —
co
3592. F (p) = f (x, y) 4- У* (-у) Д"/ (x, у), где Д =
== 4- 1 . 3593. 14- Bix 4- ny + ———- x2 -J- mnxy 4-
dx2 dy2 21
•Ь П (П~— У* + • . (|x|<l, |y|<l).
3594. Xu mt л»0 co co
3595. У У (- !)я (|х|< +~. 1у1 < +“)• Zu L ml (2n + 1)1 fflscO Д=О co co
3596. У У (-в" <i«i<+“• +~)- Zu Zu ml (2n)t m=0 n=O
r-t r-l х1Л1+1„»л+»
3597. > ) (-l)m------------------------------
La Lt (2m 4- 1)1 (2n 4-1)1 m^O n=0
ОТВЕТЫ
595
<+оо). 3598. V У (-Dm—(1*1<+°°. 1»1<
Lt Lt (2т) I (2л)1
т=0 /1=0
< + ОО ). 3599. У (— 1)" _(** + У*)М**_ (х» 4. у» < 4. ОО).
Li &п 4-1)1
/1=0 оо оо
8600. У У (—1)т+п жСТ^- (|х|<1, 1у|<1), 3601. f (х, у)=
/» / j тп
т=1 /1=1
в1 + Л(х-^-Ъ. 3602. у y^.-n^ + ir.
3 к 2 J Li Li тЫ
т=0 п=0
ао
(1х|<4-«>. 1У1< +«>)• 3603. 2 (-1)"[14-(х-1)](у-1)*
п=0
(— оо < х < 4- оо, 0 < у < 2). 3604. 2 = 1 4" [2 (х — 1) — - (У - 1)1 - [8 (х - 1)* - 10 (х - 1) (у- 1) 4- з (у - 1)4 4-4- . . . 3605. (О, 0) — изолированная точка, если а < 0; точка возврата, если а = 0; двойная, если а > 0. 3606. (О, 0) —
двойная точка. 3607. (0,0) — изолированная точка. 3608.(0,0) — изолированная точка. 3609. (О, 0) — двойная точка. 3610. (0, 0) — точка возврата (второго рода). 3611. (0, 0) — двойная точка. 3612. Если а < Ь < с, то кривая состоит из овала и бесконечной ветви; если а = b < с, то Л (в, 0) — изолированная точка; если а < b = с, то В (Ь, 0) — двойная точка; если а = 5 = с, то А (а, 0) —точка возврата. 3613. (0,0) — двойная точка. 3614. (0, 0)—точка возврата. 3615. (О, 0) — точка прекращения. 3616. (0, 0) —угловая точка. 3617. х = =Лл(Л=О, ±1, ±2, ...)—точки разрыва 1-го рода. 3618. х= =0—точка разрыва 2-го рода. 3619. х = 0 — двойная точка. 3620. x=kn(k—0, ±1, ±2,...)—точка возврата. 3621. zmin = =0 при х=0 и у=1. 3622. Точек экстремума нет. 3623. Нестрогий минимум 2=0 в точках прямой х—у4-1=0. 3624. 2mtn= =—1 при х=1 и у—0. 3625. zmax=108 при х=2, у=3; нестрогий минимум г = 0 при х=0, 0<у<6; нестрогий максимум 2=0 при х = 0, — оо < у < 0 и 6 < у < 4-оо. 3626. 2т;п = —1 при х = 1 и у = 1. 3627. 2т|п = —2 при Xj = —1, yt = —1 и xs= 1, У1= 1; экстремума нет при х=0, у = 0. 3627.1. Максимум 2 = 0 при х = 0, у = 0; минимум 2 = —1— при х «
= ± • у = ± 1;
Л
седло z = — 1 при х — 0, у = ± 1, и сед-
38
596
ОТВЕТЫ
Л Z—------L при х=± —, у = 0
8 2
3628. Минимум г = 30
яри х = 5 и у = 2 . ЗС29. гт|П =-------------— при — =
3 "уЗ а
у , 1 аЬ хи 1
-----у-= ±-7=-; гтах= „ при—‘ .
Ь -уЗ 3-уЗ а Ь 7з
3630. гтах = + Ь’- + с2 при х = — , у == —, если с > 0;
с с
Xmin = — Va’ + при х = —, у = — , если с < 0: с с
экстремума нет, если с = 0, a4+ t2#=0. 3631. zmax = ! при
х = 0 и у = О. 3632. Минимум г = 0 при х — О, у = О; седло
2— — е~2 при х -----------—, у ----------— . 3633.
2 4 2
Седло г = е3 при
х= 1, у= —2 3634. Максимум г = г*13 « 2,26- 10-е при х= 1, у = 3; минимум г = -26-е-1/52®—25,51 при х=---—, у =
------. 3635. Минимум
У — 2. 3636. 2щах = "V3 2
г = 7—10 In 2 « 0,0685 при х=1.
при х = ~ и у = ~. 3637. ггпщ= 3 о
зуз 2.-1 3-V3
---------— при х = у = —; гтах = —1— при х = 8 о 8
_ 1 Л
—. 3638. Седло г= — I-J---------In 2 -)------л® 1,70 при х —
3 2 4
= 1, у— 1, 3639. Минимум г=-—at —0,184 при х = н =
2е
=±—т=-«±0,43; максимум г—-- при х=— у=±-4=:
V2e 2е V2e
экстремума нет в стационарных точках х = 0, у= ± I и х= = ±1, у = 0. 3640. Стационарные точки х = —(—1)"‘+14-
+ (ffl+n)y, у=\}т+1+(т —п)-^-(т, п = 0, ± 1,
(т+^-)
±2,
). Экстремум г=тп +
(-l)m+4-2(-l)n.
если тип различной четности (максимум при т нечетном и п четном, минимум при т четном и п нечетном); экстремума нет, если тип одинаковой четности, 3641. гт;п = 0 при х = 0 и у — 0; нестрогий максимум г = егх при х2 + уг = 1.
ОТВЕТЫ
597
3642. Utnin "= —14 при х = —1, у = —2, г = 3. 3643. Ми-
нимум и——6913 при х=24, у=—144, г=— 1. 3644. Мини-1 а7
мум и — 4 при х — — . у = 1, г = 1. 3645. umax ------ при
х = у = г =-у-; нестрогий экстремум и = 0 при у= 0, х =/= О, г Ф 0, х + 2у + Зг У= а. 3646. Минимум и = 1/ —2—
4 у 16ft 1 15/<ё-пг * 5гпттг 1 . / a«ft’
при х s= — у 16auft , у = — у 16a4ft , г = — А /----------.
2 4 2 V 4
3647. Максимум и = 4 при х = у = г = -i; краевой минимум
м = 0 прн х=у=г=0 и х = у = г — п. 3648. итах = (2 \п>4-л+2/2 2
---------] при Х1 = х2= . . . =х„= — я’ + « + 2/ «’ + «4-2
8649. Минимум и ч= (я + 1) 21М+1 при x1=21/,l+1, х2 = х^, ...
хя = х". 3650. Числа а, хр х2......хя, ft составляют геомет-
рическую прогрессию со знаменателем q= I/ — . 3651. Мн-V а
иимум Zi= —2 и максимум га = 6 при х=1, у= —|. 3652. Zmin = — (4 + 2V6) прн х = у= -(3 + V6); гтаХ =» «2V6—4 при х = у= — (3 — VST 3653. Нестрогий минимум ° . , . За’
2 га —------ при х’ + у1 =---
2V2 8
a . . , За’
2—----- ПрИ хг + у’ =
2 V2
1 I
X = —, у -----
2 2
be
г<0; нестрогий максимум
г>0. 3654. гта, =— при 4
3655. гт|п —
|aft|
при X =□
ae
zmax —
fte
при х = —j---------
ae
У —” ~~ • ——_ э
V«’ + ft2
aft’
|aft|
где е = sgn ab у= 0.
a’ft’
3656. гтах ---------- при х=——-----------, у
а' + b* а* + Ь* а* + Ь*
3657. гт(п = Х1, гтах = ГДе М и — корни уравнения (Д—
— М (С — X) — В1 = 0 и X] < Xj. 3657.1. Максимум г == 106 4
У=±4; минимум г= — 50 при х=±2,
агЬ
при х = ± 1 —
У =
8
598
ОТВЕТЫ
u = + 3. 3658. Экстремум г = 1+ ——при х = — 4- ,
V2 8 2
у ------— _j__5L (k = 0, ± 1, ± 2, • . •) (максимум, если k—
четное, и минимум, если k — нечетное). 3659. umin= —3 при
1 х = 3 2 2 _,у = _ 2 2 . 1
, г = — ; Umax=J при X = — , 3 3 - 3660 ит - ‘>т+п+р^пРр при
| эт 1 । il * 3 2 тах (zn + П 4- д)т+«+р а шин „ , — . л
т п = 0, z = р —с: Птах ~ » А —V, у — т + я 4- р = а2 при х=±а, у = 0, г = 0. 3662. «тах =
=<вУ а при х=у=г=-^-. 3663. 1
м “min — . 3 V6 2
х~у~ ^/6 1 2 И 1 V6 ’ 2 .
^6 Ve л/б Ve
1 1 2
«т»х=---— при х = у=---- и г =-—, x-=z«*
Зл/б Л/о V6
12 12
==------и у =----, у •= г =----и х =--—.
-\/б л/б д/б V6
3663.1. Условный максимум и = 2 при х«=1, у = 1, г = 1.
1 л
3664. umax = — при х=у=г = — 8 о
3665. umln=Xi и umax =
= Хх, где Xi и X, —корни уравнения X*—(-
sin*« । sin*fi ~о» W
cos= а
cos* Р ofc2
^-) = О(Х1<Х1). а2оа J
итах — R1-
3666.
3667.
О' =
Пщ1в —
R2 (Л cos а 4~ Д cos Р + С cos у)2
Л2 4- в2 4- С2
(i = I, 2.
Gn ______\2
£ V«/P/J при Х,=
ОТВЕТЫ
599
Vlr (,£ v“'f') (‘"1,2............
_________g_______+a« a«la«,. v4 + a2 +. . . + art)/ 1 2
3870. umaX =
. . aan при
*1 fs_
a
. 3671. Экс-ai a2 а„ ®i + а» + • • • + «п
тремумы и —К определяются из уравнения —Хб,;|=О, где = 0 при i j и б,-,- = 1. 3675. Inf z = — 5, sup z = 3677. Inf z=0;
3679.
= —2.
sup z = 1
1
*= ——;
2 ' fit 0,37.
Inf 2 = — 75;
0:
3676.
. 3678. Inf u
; sup и «® 1 + V2
1. 3675. Inf г = sup г = 125. sup и = 300.
3680. inf и = 0;
sup и
Inf и
3682. Нет,
3683. Минимум
равен
n
3684. Слагаемые равны.
3685. Множители равны =
«*
1
an
Ut. U>9
,g«i 1 at 8 . . > ая
(f = t,
ai
(“<)
л), где щ (i = 1, 2, .... л) — соответствующие пока-/ I , 1 , ватели степеней; наименьшее значение суммы I---------1------(-
2,
3688.
«г
i v«n\ •«n П)
] n j fl
— £ у — —— 22 miyi’ где M = 22 mi’
t/a. i/a. aa, *a, !
a,
a,
М («1 М I»! 1—1
3687. Измерения ванны ^2V > 2V . 3688. /7 «а
= 21? = 2
S
---, где R—радиус цилиндрической поверхности Зя
Iя . «
в Я —ее образующая. 3689. --- К? ________1 V
" У~ N
,_j-(j/-),+(£1") +(£“) •
600
ОТВЕТЫ
Минимальная сумма квадратов расстояний равна п — 2N п
(*?+ + 3690. Угол наклона образующих конуса
iSi
2
к его основанию равен arcsin-у. 3691. Угол наклона боко-
• 2 вых граней пирамид к их основаниям равен arcsin —.
3
3692. Стороны прямоугольника-^- и —. 3693. Стороны
треугольника р 2 Эр 4 Зр и ——. 4 3694. Измерения парал-
лелепипеда — 2R ' » 2R R . и -. 3695. Высота параллеле*
\/з Уз Уз
пипеда равна 1 3 высоты конуса. 3696. Измерения параллеле*
2а 2Ь 2с ________ п
пипеда---—, -----— и -------. 3697. Высота параллелепи*
Уз Уз Уз
педа Л=< sin a-— a~V2 если arctg V2. и h — 0, 2tga—V2
если 0 < а < arctg -у/2. 3698. Измерения параллелепипеда
й, би—. 3699. 1 Лх° + Вул C?o ^~ D1 . 3700. d= —J— х
2 У Д2 + В2 + С2 ±Л
*1—Х-2 У1—Уг 21—гг / ———
/ 21 «1Р1 2 , Pl'”! 2
X «1 «1 Pi । где Д=/\ / + +
V 1 т2Лз| Лгр2 1
та пг Рг
3701. ---—. 3702. Квадраты полуосей а* = Xj и Ь* = Ха
4^2
являются корнями уравнения (1 — ХД) (1 — ХС) — Х2В2 = 0.
3703. Квадраты полуосей а2
ЛХ—1 DX ЕХ
корнями уравнения DX ВХ—1 ЕХ
FX ЕХ СХ—1
х лМ2 + fi2 + с3 • 3705.
nabc
=0. 3704.-^^-Х |С|
= X, t>2 = Х2 и с2 = Х3 являются
у a1 cos2 а + б2 cos2 ₽ + с2 cos2 у
Z707. Угол падения равен arcsin sin-у
отклонение луча
ОТВЕТЫ
601
равно 2 arcsin sin-^-^— a. 3708. Искомые коэффициенты а и b определяются нз системы уравнений а [хх] + 6 [х!] = п
= [ху], а [х! ] + bn= [yl 1, где [ху] = У х,у,- и т. п. Задача !*=1
имеет определенное решение, если У, (х,—х/)2#=0. 3709. tg 2a =а <>/
2(х-у— ху) - . - .
е= —----—-—- - ------, р = х cos а + у sin а, где х =•
[х2—(х)2] — (у2 — (у)2]
cs— У Х( ху = — У xtyi и т. п. суть средние значения. л £[ п iSi
3710. 4х — 7/2; Amin~ 1/2.
ОТДЕЛ VII
3711. F (у) — 1, если — оо<у<0; F(y)=l— 2у, если 0<у<1} F (у) = —1. если 1 < у<+ со. 3712. F (у) разрывна при у=0.
3713. а) —; б) 1; в) —; г) In 2,8 . 3713.1. 0.
4 3 14-е
3715. Нельзя. 3716. Нельзя. 3717. F* (х) = 2хе—** — е—** —• X1
—J y4~xu,dy. 3718. а) — (е“ ।sin a 1 sin a-ф е“1 cos a 1 cos а)+
X
4- f V1 — *2 еа ** dx; б) (— 4---------!—sin а (б-ф а) —
sin а \ а 6 4- а )
/ 1 1 X 2
— (-----1---------| sin а (а-фа); в) —1п(1-|-а2); г) /(а, —а)4*
\а а4-®) о-
а аЧ-а
4-2 f f'u(u, v)dx, где u = x-|-a и р = х —а; д) 2а J sin (у2+ 0 а’—а
а* а* х+а
4-a4 — a2)dy-|-2 f sin2x2-cos2axdx—2а Г dx J cos(x’-|-y2—• о о х—а
— a2)dy. 3719. ?*(x) = 3f(x)4-2xf' (х). 3720. F" (х) = 2f (х), если х^(а, 6), и F*(x) = 0, если х^(а, 6). 3721. F*(x)««
= . ДгГ(х)., где Д2/ (х)=/ (х4-2Л)-2/ (х4-Л)44 (х). 3722. FW (х) -h2
= (п — 1)! f (х). 3723. 4х--th. 3724. 0,934 4- 0,428х (при-
3
602
ОТВЕТЫ
близительио!). 3725. -------- -----------------
dk k dk k(l—kl)
---L, 3729. F" (x, y) ~x®-W)f (xy)+ -4- ff—W k У \У J
4- x*y (1 — yl) f (xy). 3732. л In JlLtlLL, 3733. 0, если
|л|<1; л1па2, если|а|>1. 3734. —sgn a In (1 4-1 а |).
3735. л arcsin a. 3736. — In (1 4-V2 ). 3737. In ft + 1 .
2 a 4- I
3738. a) arctg —- ; 6) — In - 62 4- 26 4- 2
14-(a4-!)(&+!) 2 a2 4- 2a 4- 2
3741. a>0. 3742. Max (p, q) > 1. 3743. 1 Q 1
3744. p<l. 3745. л<0 и л>-^—. 3746. p> — -. 3747. Cxo-
2 2
2п___1
дится при а>0 и при а =-------------------л (л = 1, 2, . . . ).
3748. Сходится при п > 4. 3749. Сходится при р > !
3750. Сходится при — 1 < п <3 2. 3755.1. а) Сходится равно-
мерно; б) сходится неравномерно. 3755.2. Сходится неравномерно. 3756. Сходится равномерно. 3757. Сходится равномерно. 3758. Сходится равномерно. 3759. Сходится неравномерно. 3760. Сходится равномерно. 3760.1. Сходится равномерно. 3761. Сходится равномерно. 3762. Сходится неравномерно. 3763. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно. 3764. Сходится неравномерно. 3765. Сходится равномерно. 3765.1. b > 10’°. 3766. а) Сходится равномерно; б) схо-
дится неравномерно. 3767. Сходится равномерно. 3768. Сходится неравномерно. 3769. Сходится равномерно. 3770. Схо-
дится равномерно. 3772. Нет. 3776. . 3776.2. I.
2
3778. а = ± 1. 3779. Непрерывна. 3780. Непрерывна.
3781. Непрерывна. 3782. Непрерывна. 3783. Разрывна при
__п (-irmt „ое я (2л—1)!! -("+4-) (X == и* о/о4. ————— о/оЭ. —— ,-----------------д ,
nm+l 2 (2л)! I
3788. In —. 3790. In —. 3791. 0. 3792. — In—.
а а 2 b
3793. -1П-&-. 3794. In 3795. arctg —
2 a (a 4- p)2«+23 m
ОТВЕТЫ
603
arctg — (m Ф 0). 3796. — In
m 2 a3+m3
. Vl — a3). 3798. я In 1
3797. — я(1
. 3799. — sgna-(l-h 2 2
3800. . In (|а | + |₽|) (Р^О).
8801. — In ((Х^~.Р)-------
2 а“ре
+ а» In а + Р3 In Р — (а3 + Р3) In (а + Р)]
8803.
3805.
(a>0, P>0). 3802. -^L[aP(a+P)-> 3
(a > 0, P > 0), / ас— M
/ n-----Z—
/— e a e / a
/“““ ас—M
/ — e a 9 / Д
3804.
2
(g + 2fta) Qi — 4а6&1 + la1^
2а1
8806.
8809.
eb‘/ia. 3807. V" e~2a. 3808. (VP—V«)
*- е-ь'^. 3810. а
X--------. (е-Ь’)- 3812. (л/2) sgn р. 3812.1. Функция
2ЗП+1
нечетная. При х>0 минимумы в точках 2А>я и максимумы
в точках (1k — 1) я, где k — 1, 2, 3, ... Асимптоты у =
2
3813. я --------
2
e-f/4a 38п (_ЦП*
л
При X + оо и У =------— При X — ОО.
3814. —In 2
3815. 0, если
l«l < IР1»
Л-sgn а,
X sgn а.
если |а|=| р|; -2-sgna,
3817. — |а|. 3818.
2
если |а|>|₽|.
Зя . . — а|а|.
О
3820.
3822. -Г..ТГ. 2 fe3+(«-p)3 *»+(<x+P)8 '
3816. — X 4
3819. — , 4
. а 4- 6
arctg----—— —.
k
3823. D(x) = ]
3 1 а I
8 Р I
3821. — . 4
а — P . a— P . k , ---------— arctg-------— H------In
2 k 4
при | x | < 1; D (x) = -у- при x — ± 1; D (x) = 0 при | x |> 1.
3824. а) л sgn a cos ab; б) л sgn a sin ab.
3825. — X
2
604
ОТВЕТЫ
Хе-|а|. 3826. -у- sgn ае~1 «3827. -у-(1 — е“2).
3828. 2L<l+1<X.4.e-l«l. 3829. —. Л-cos - e-|a|/aV^=P.
4 V ас — b2 а
•{-——sgn «Л. 3832. Vя cos Га2-]—. 3833. Vя sin fa’4-4 ) \ 4 ) \
4,_~\ 3835. а)———; б) —; в) --------------!----при р>а;
4/ pn+l 2pVp P-а. V
г) J ; д) - ; e) in fl + —Y ж) X
(P + a) P* +1 \ P ) 2p p
x e~a'l4p. 3837. а) 1; 6) x’-{—в) e2ai+a,; r) — e~a*/4X 2 2______
X cos ax. 3839. <p (x) -J=r- е~^/^г, где a = a/o?-|-o? .
оу 2л v 1 2
3843. —. 3844. 3845. —5—. 3846. —.
8 16 2 <2 3 V3
3847. ----. 3848. . 3849. ------5-------. 3850. x
2 V2 512 л 2n+1
nsin------
n
X Vя • 3851. ---------------- (0 < m < n). 3852. В (л — m, m)
(0<m<n). 3853. J£LpLY"+,/n врШ-n \ b ) \ n
P-HL±1 n
(0 < W<4~-1- <pA . 3854. ----—fl)—----------в (m + 1, л+1)
\ n J (а + сУ'+ЧЬ + с)'"*1
(m> — 1. n> — 1). 3855. —b(— , 1— — ^(л<0
tn \ m nJ
или n>l). 3856. — В (1 (m> —1, n>
2 к 2 2 )
> — 1). 3857.
л 2"—1
3858-TT^-x 2 cos- '
2
(n > 0). 3859. — Г (—'I (n > 0). 3860. —— X n \ n J | n |
xr(^±,)(^>0).
38S1. Г (p 4- 1) (p > — 1).
ОТВЕТЫ
605
3862. —Г r(p±-V-l (р> — 1). 3863.-------------(0<р<
dp [ a₽+1 J sin’pfl
< 1). 3864. я3• (o<p< 1). 3864.1. — я».
sin3 pn 27
. 3< 32 V2
3865. In
РП 2
(0<p< 1, 0<«?< 1>;
0(p = $). 3866. я ctg яр. 3867.
3868. lnV2«.
3869. In а/2п 4-a(lna— 1). 3870. J-fl-j-ln—Y 3871.—. я \ 2 / 4n
<тд,П“,1 5T/7^“1
3876. -----22-------- (a>0). 3877. -------22-------(a>0).
rtr, t k mn s . mn
r*(—)
3879. аЗ(— , — Y 3880. ----------n . 3881. f (x) =
\2 2n J n r(—)
__2_ f _i!ILLCosXxdX. 3882. f(x) = — f -L~c03frx я J X я J X
о о
. .« oro, ... 2 Г sinX(x— a)— sinXfx — b)
XsinXxdX. 3883. f (x) =— \ ---------1-----------s-----—dX.
nJ X
о
3884. f(x) = — ( -Lz££i£LCOsXxdX. 3885. ----------!---=а
na J X» as4-x3
0 « 4"°° +00
e~fl^cosXxdX. 3886. ----------— I «““^sinXxdX.
a2 + x2 о 4-00
3887. f(x) = — f JHL*5-sinXxdX. 3888. f (x)=o л J 1 — Z2
0 Ц-оо “|-oo
2 f cosXn/2 , econ .... 2Л(о f sin2nnX/a> — — i ------------cosXxdX. 3889. f (0 =---- \ ----------X
я J 1 — Xs я J X2 — <o2
о о
+°°
XsinX/dX. 3890./(x) = — ( C0S — dX. 3891. f(x)=s л J X8 + a*
о
606
ОТВЕТЫ
4-00 а Г Г 1 я J 1(Х —₽)»4-а» о
-----------1 cos kxdk. 3892. f (х)=
(X+₽)* + a*J
__________XsinXx_________
1(Л-₽)»+а»] [(Л+ ₽)* + ««]
3893. e-*1 =
<= 4=Te-V/4 cos kxdk. 3894. xe“x2= _1 Yke~Wi sinkxdk.
V-i о 2 Vя о
4-00
3895 a) e-* = — ( —Л U dk (0 < x < 4- oo); 6) e~x = я J 14-k*
о
4-00 —
2 f X sin kx . /2
•=— \ , >, dk (0 < x < +«>)• 3896. F (х) = д/— X
я j 14- к» V я
и
X —---------. 3897. F (x) =—i л/—----------—------. 3898. £(x)=
к* -j- а* V я (х* + а2)1
= е~х'/2. 3899. F (х) = е-(*’+“’>/2 ch ах_ 3900. а) <р (у) =
о= е-v (у >0); б) 1|>(0 = —---Г'Г '.- (У
Я 1 4~У
ОТДЕЛ VIII
3901.—. 3902.S =-----------И-Ц-_SI-; S=—4- —4-
4 3 л Зл2 3 л
4——: 13—. 3903. 9,88. Точное значение 2л (7 — ® 13,20.
Зл* 3
3904. 0,402. Точное значение 0,4. 3905. б < 0,00022. 3900. 1.
3907. -1—. 3908.-22-. 3910. I = F {А, В) — F (Л, Ь) —
40 3
— г (а, В) 4- F (а, Ь). 3912. а) Отрицательный; б) отрица
тельный; в) положительный. 3913. —. 3914. 1,96 </< 2.
3915. а2 4- 62 4—. 3916. jdx [ / (х, у) dy — j dy j f (x, y) dx, 2 1 1 2v
3917. f dx f f (x, y) dy = f dy f f(x, y)dx, 3918. -2 |*|/2 0 -2jr
. *4-1 11 2 1
cdx J f(x, y)dy=> f dy$f(x, y)dx 4- [ dy f f(x, y)dx,
JO 00 1 v—l
ОТВЕТЫ
607
i Vi^j? 1 Vw*
3₽.’9. J dx J_________f(x, y)dy — j dy f_______f (x, y)dx,
—1
1/2 i^+Vi/T^ i V7V
3920. f dx J f (x, y) dy»J dy j f (x, y) dx. —1/2 1/2—Vl/4-x> 0 —*Jy—lf
i i i V7
3921. J dx j f(x, y)dy — [dy f f(x, y)dx,
~1 _____ 6 —W ________________
—i i f—Vb=xr
3922. J dx J_____f (x, y)dy+ J dx j f______ f (x, y) dy +
—2 —1 t—
2a
+ J_________fl*. y)dx
a+^a’—y*
1 я—arcsin у
3931. fdy J
0 arcsin у
За 2a la
+f dy J f(x, y)dx, 3930. J dy [ f(x,y)dx.
a y42a 0 J!
0 2n+arcsin у t (x. y)dx— $ dy J f(x. y)dx. —1 я—arcsin у
3932. -£
21
3934. —. 3935. 14a*.
2
3930.
12
л/2 a cos
J dip f //(rcosip, -л/2 0
2л a
J dip J rf (r cos <p, rsintpjdr. 8938. о о
2л |Ы
rsinip)dr. 3939. f dip J г?(гсо$ф, о W
Л/2 l/Vi" oosec (Ф4-Л/4)
rsintpjdr. 3940. J d$ f r/(rcosq>, rsinip)dr.
608
ОТВЕТЫ
л/4 a sin ф/cos* ф Зя/4 a/sin*
8941. j df j rf (г cos q>, rsin<p)<fr-|- f df f rHrcOMp, 00 я/4 0
я a sin ф/cos* ф
rsin<p)dr+ J d<₽ f rf(rcos<p, rsin<p)dr. 3942. В Том
Зя/4 О
случае, если область интеграции ограничена двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат в двумя лу-
чами, исходящими из начала координат. 8943.
Я/4 1/COS ф я/2 1/sln Ф
fd<p f rf (г cos ф, rsrn<p)dr -f- ( dq> f rf(rcosq>, о я/4 о
1 n/2 arcsin 1/r
rsin f)dr= f rdr f f(rcos<p, rsin<p)d<j>+ ( rdr f /(rcos®
0 0 1 arccos Ur
Я/2 I
rsin<p)d<p. 3944. j dtp J rf(rcos$, rsinq>)dr«»
° l/Vicosec (ф+я/4)
1 я/4+arccos MrJT
= J rdr J f(rcos«p, rsin<p)d<p.
1/V2* Я/4—arccos l/rV2"
я/3 2/cos 9
3945. j df f rf(r)dr=>
П/4 0
2^2* 4
j '?(')*'+ 0------arccos?-)rf(r)dr.
° 2 VF
Я/4 l/COS ф
3949. j df J rf(r cos <p, rsin<p)dr= 0 sin ф/cos* ф
arcsin —-—
1 c
= ^rdr I f(rcosq>, rsin.q>)d<p +
, Vi+4r*-i
VF ,rcsin —27--------------
-j- f rdr j f(rcos<p, rsin<p)d<p. 1 arccos 1/r
Я/4 a Vcos 2ф
3947. | df f r[(rcos<p, rsin<p)dr<=•
—Я/4 0
1 r* a -5-arccos-F s=s f rdr f f(rcos<p, rsin<p)d<₽.
0 I r«
—5-arccos —
ОТВЕТЫ
60S
г arccos— fl о
3948. [dr J f(<₽. r)dy. 3949.
—atccos —
a
a 2----------2 o’
fdr f X
0 1 , f
— .resin —
a a
3950. fdrp(<p, r)d<p. 3951.
rf (r)rfr.
3952.
3953.
f Vr/
n | r!(r)dr+ J Qi —4 arccos J-)rf(r)dr.
1_ Y /(tg<P)cos»<j>d<p. 3954. ???*-. 3955.
2 -я/S 3
— 6я».
89Se 6 »ч-*0-ь*)-кн-*)ч-(2н-*)У»(»+») .
5 Va(“4-A) (V« +V<*+A) (V<* + V^+Л) * 2 \a/
j 6 . 2
3957. f и du f f (u, ut>) du. 3958. — f du
i a 2 1
n/2 a
8959.4 |sin* vcos* оdv[uf(ucos*v, usin*v)du. 3961. u—xy, v=x—y.
i I
8962. J f(u) du. 3963. 2 J Vi—«*' f (и ja* + b* 4- c)du.
3964.
3968.
s
In 2 | f(u) du. 3965.
л
V2
3969.
Я 7‘
543 Л
15
3966. 4-. 3967. — nab. 3 3
37 3970. i—— In 2.
128
xf(q>. r)dy.
Л fi я
3971. 2л. 3972. ---я. 3973.-----h —.
16 3 4
4 1 -l V3" 4
3974. —• я 4-8 In-----------. 3975. G. 3976. —(4 —
3 V2 3
— 3V2 4-4V3 ). 3978. f (0, 0). 3979. — F(0. если
Г>0 3980. 2 dxdy. 3961. F'(0 —
J J *v *11 У U—/>’<1
c* / 15 \
= //(/cosip, /sinq>)d<p. 3084. (---— 2In2 la*.
0 \ 8 /
39-2ЗИ
610
ОТВЕТЫ
3985.
3988.
3992.
2 —
— (р _|~ <?) д/pq . 3986. яа». 3987.
3
+ 'ffi—In (1 + V2"). 3989. 6 3
д/7 . д/14 Ч
-------4- arcsin-----------I.
2 8 )
ab Г 2л / а* , б*
3 L 3 а/З" \Л‘ ~' k*
3994.
1 (ab)3
3994.!. ~-—~-
1260 <?
а2
3997. ------In 2.
2
Зд/З — л 3 °*
па2 . 3990 д»Х 4 лаб fa2.. Ь3\
3991. ------- —+ т •
4 \ h2 k2 )
. a2b2 1 ab ,
+ ~^Г • 3993> '7-Х tek2 J 6
cfbk (ab + 2bh)
6h* (ah + bh)2
-. 3996. (p-a)(6a-^-. 2 («+«)(₽ 4-1)
3995. ~ 70
4
3998. — (<? — р) (s — г). 3998.1. 3
X
X
X (&» - a1) (C“s - d~3). 3998.2. n" X
(p т i) w 4-1)
x P _ e<H-V«—P) ₽+!/«—1 _ J—P+l/«—1 у
65 189 / . 1 , 12 X .
39W-
4000. —7-(VT0” — 2) arcsin-7-. 4001. • »
b 3 |o|
c*
4002. — [(ca — vy) (sh 2«a — sh 2uj) — (ua — «J (sin 2va — sin 2»J1. 4
4003. ла2. 4004. - . 4007. -7-.
3 7 д/7 6
4008. ------- R3. 4009. 4010. Я. 4011. rt.
4 3 105
17 4 / 3 X Л
4012. ----—2 In2. 4013. „ - П| —1а». 4014. .
12 ЗУл \4/ 8
<015. ----я. 4016. ———а». 4017. —-—• 4018. л(1—«
32 9 8
— e~R'). 4019. 2а2с- <Р~а)<я~2)............. 4020.
3V о
4021. яабс (2 — д/2Э- *°22- -^-яаЬс{2у/Г — 1).
3 «
4023. Злабс—. па^ ^5. —' •
8 3 3
о ____ Л W — 0s)
4026. — abc (Зл 4- 20 - 16 V2 )• 4027. —
ОТВЕТЫ
ей
9 3 а*с В 8
4028. —а*. 4029. 4030. ------In-11--. 4031.
2 4 а а 35
75 я*<А>
4032. —-—яаЬс. 4033. —« 4033.1. (n —т)Х
25о 12о
X (е“х — е-*) а». 4034. • Г» (1/л) /Г (З/n). 4035. X
Зл1 2/п + п
о
X Г (1/т)/Г (2/л) /Г(1//П + 2/П). 4030. яа1 (2 V2 - 1).
ь я
4037. 16а1. 4038. 8а1 arcsin 4039. 7=-.
а V2
4040. 8а1. 4041. я ^2~. 4042. ла1 2л 2 • «ИЗ. 3 +
, ( 7 \ , 8 . 1 а*
+ з v+ 41п3;+ з вПА8 vr * 9
2в*. 4045.1. -£-{3V10 4-1п(3 +V10)l-6
Х(20 —Зя). 4045.
4045.2. —-abc (—-— 3 к в»
4 4045.3. — ab
3
4045.4 -у-In (е + е-1). 4046. S = 4я (3 + 2 л/3 )а*; V =. 8п
= у— а*. 4047. (ф, — ф0 (sin ф, — sin фх) Л*. где
<Р1-Фе — долготы меридианов, фь Я’* — широты параллелей, R—•
( ___________ а + Vе* Ч" Л1 1
— радиус сферы. 4048. я {aAja*-^-h* Ц-ЛЧп------------—------
( lftl J
4049. S = а (ф, —ФО (0 (ф, —ф0 Ч-e (зтф, —sinifi)]; 4n’a5.
be Ъс
4050. со = arcsin —7 . . .7 =—; в»« —~~ •
У(а2 + *2)(в»+с») в1
4051. •?** [2 + V2- In (1 + V2")]. 4052. х0 = —
3 •
8 а 256
Уо = 5 а- 4053. — уо - • 5 4054. *о-уо- 315я а.
агЬ ati* па
4055. х« = 14с1 ’ _ 14с1 ’ 4056. х(,= у0 = —. О
5 16 5
4057. х0 == Тв; 4058. х0 = ла; у» = — в. О
39'
612
ОТВЕТЫ
4059. Хо= -4-; 5
е=-^ЗОрх# • 4061.
(0*10! —6,|). 4062.
Уо = 0. 4060. Парабола у0 =
. bh* . ф1-^|
* 12 ’ у 12
7* =/»= ~~ (16 — 5л). 4063. /ж = 10
21 пр* . 49na4 , Зла4
32 ’ у 32 ' 4UVti i j; ~’у~ 4л/Г ’
. . 9 ла4 а4
4065. /х=/!( = — а*. 4066. /0 = —. 4066.1. —-. 12
а* 4069. /а = ——• 4070. 32 V3 X = Рй»; У = 0, где X,
У — проекции силы давления на оси координат Ох и Оу.
ла26 ^й — -|-
Рг = яа26 ^й + а
4071. Pi =
4072. Проекции силы давления на оси Ох и Ог, расположенные в вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра, из которых ось Ох — горизонтальная, а ось Ог — вертикальная, соответственно равны: X, = — na2f>(h —cosa'jx
Xsina, Zi — — ла2б^й— cos а ) cos а; Х,= яа26х X (h + ~cos a )sin а, 2,=лв*6^й + -у- cos a^cos а. 4073. Проекции силы притяжения на оси Ох, Оу, Ог, соответственно, 2kmM
равны: X — 0, У = 0, Z — — ——— {| b | — | Ь — й | +
-]- V0’ + (Ь — й)2 — Vе’ + й2 }> W й — постоянная тяготе-
1 kp _________________
пня. 4074. рср = —р0. 4075. Д = {2аЬ а2 4- Ьг -j-
, Jin 6+Ve24-62 , e + Va2+62 1
+ о2 In-----------------h b3 In-------------->.
a b J
4076. —7-. 4077. 4-In 2-----77-• 4078. —.
364 2 16 48
4 л
4079. — nabc. 4080. —
5 6
1 Г X 1—X
4081. J dx < j dz f [ (x, у, г) dy+ о lo о
1 1-x i 1 ( 2 l-y
4- jda f f (x, у, г) dyl = J dz j J dy J f(x, y, x)dx-f-
x г—х J О U г—у
ОТВЕТЫ
613
1 1“^ 11
4- Г dy f f (х, у, г) dx>. 4082. f dx J Л f f (x, y, z) dy=
X 0 J —I 1*1 _y^5—JF
1 г 1 ( *’ 1
«= J dz J dy J f (x, y, z) dx. 4083. J dx < J dz J f (x, y, z)dy +
0 —г 0 lO 0
*4-1 1 1 J f vr 1
+ J dz f_____f(x, y, i)dH= JdzJ f dy J f (x, у, г) dx 4.
X> ^2~X' ' 0 (0 Vz—S'»
11 12* 1
4- f dy J f (x, y, z)dx 4- J* dz f_____dy f f (x. y. z) dx.
<j~ 0 J 1 Vz-i
4084. -М(х-С*Ш0*С. 4085. -M (2 - г’) f (г) +
•‘•о x о
1 2
4-— f (2 — г2)f(z)dz. 4080. F(A.B, C)-F{A, B, c) -
2 f
— F{A,b,C) — F{a,B,C)+F{A, b, c)+F (a. B, c)4-
4-F(a, b, C) — F{a, b, c). 4087.-£—. 4088.-£ (2 7Г - 1).
10 15
n . 1 1
— arctg-— -:
4 cos ф cos W cos ф
4089. f dry J cos t|>di|> J гг{ (r) dr.
0 0 sin 4>
cos* Ф
J|L. -L.
------* v(-sr-?)x
[/ 1 X 6 1 6
ф‘-а») (^ + ~^рГ) + 4 ln 4094. —.
л 4л
4095. 3(e —2). 4096. и = —— -----------=======———,
v ' 3 л/а« + 6а + с» +0/?
где |0|<1. 40S8. a) F'(t) = 4nPf (1гу, б) F' (I) =
= -у- (0 + f f f xyzf {хуг) dxdy dz] > где t > 0 и V = {0 x <
0<2<ф 4099. 0, если одно из чисел т, п 4л (т— 1)!!(л — 1)!! {р — 1)!1
и р нечетно; ------;------- -----— -------——------> если
m4-«4"P + 3 (т + « + Р + 1)4
.... Г(р4-1)Г(? + 1)Г(г4-1)Г(®+1)
числа т, п и р четные. 4100. --—---------------—------------
3 7 2 .ла’
4101. ---. 4102. ---. 4103.— в3(Зл —4). 4104. ——
35 24 3 6
614
ОТВЕТЫ
а* 32
4105. --- (Зл —4). 4106. —— я. 4107. яа*.
24 ' 3
4108. 4109. -J-. 4110. 4-(2-Vr) X
4 -у2 2 3
. я аЧ/с я*
Х(63 —а4). 4111. —-------—. 4112. —— abc.
3 л 4
n3abc „ ЗяаЬс , ,
,,их -щг- 41'3- — 4.К. 4||g J!* Л/л_ pC-L).
5 3 V 2 \ 4 )
C-Y
\ h ) abc
a , b ‘ 554 400
t+t
). 4114.1. -
4118. —4118.1. 3
abc 4я 9
4118.2. —--------. 4118.3. ---- abc. 4119. -----------а».
1680 35 4
4120. 4" (О’- «*) П('т)- 4,2‘- *т Л 3 V Л \ 4 J J
4122. яаЬс* 3 , ( 1 1 \ (1—е-1). 4123.—abc. 4124. 5abc I — 1. 3h 2 Ч е 3 )
4125. 5ла* яа1 37-27. 4126. V— б ; S— б (6 VF + 5 VT-1).
4127. 8/>l/i1/ia 4nhs я* аЬсг 1Д | 3 | Д | Зл sin (л/л) Л
4130. гООО. тп + тр + пр г / 1 । 1 । 1 \ \ m л р /
3 / 1 2 2 \
4131. 4132. + +
(3 \ 2 7
0, 0, — с 1. 4134. x0 = y0 = — а; г, = — а».
4 / 5 30
7 7 3 3
4135. xg = —p; у# = 0; Ц ~ p. 4136. xe= —a; y0- — b;z0^ Jo I/O о о
3 За
= -— с. 4137. xo = fft = O\ z0 = ——. 4138. x0 = p0=l;
8 8
5 9л 9я 9я
г.=т. 4139. х0 = —а; ’o = lZTc.
ОТВЕТЫ
615
4140. хо = уо = О; гь = -4-' 4141- - = -^- = — =5
20 а Ь с
4143 / ОЬСЗ • , o’ftc а6*с
*0 — V- 4ИЗ. !,и- бо , !уг~ 60 ’ “ “ 60 ’
4144. 4 1х</- nabc>; 1иг- 1Э 4 —— narbc; 15 4 = — лаб’с.
, nabc3 , па3Ьс , яа5*с
— 5 , iyt - 20 ’ а~ 20 ’
, 2яЬс* 2аЬяс
4146. Gv--' , (15л-16); /«-- ,,7, (Ю5л-272); 1О/О
2a3bc 7
— 1575 <105Я-92)- 4147. 1хи « — лаМ; v 2
4 4 15л’
1хг = — яаЬ3с-, 1yt = — яаяЬс. 4147.-1. /„«=-——7=- X
3*3 и 256 V2
15яв я*
X алЬс; /„ = •' , — ab3c; 1хи = —- —т^ - abc3. " 256 <2 * 128 V2
I а 4л л
4148. /г=-—. 4149. /г = — (4 л/Г — 5). 4149.1. — в\ 15 15 5
4150. — MR*. 4153.
9
'-4(»-+14
где М
= 2npoa’h — масса цилиндра. 4154.
я*а*рв
4155.
если г R;
4 л R3pa Зг
если г > R, где г = V*1 + ^’ + г* •
4156. и — 4л х
616
ОТВЕТЫ
X f’ f (p) min (-y- ’ P^dP> r«e r= Vx2 + (/2 + z2 • 4157. u = np0 {(ft -z) Va2 + (ft - z)2 + z Va2+ — (ft —z)X
ft — z + Va2 + (ft — z)2
X |ft —z| + z|z|) + a2ln
4158.
2 =
""V a2 + z2 — z
X = 0; Г = 0;
kMm ----------а, если
R3
kMm “ a|a| |a|<fl. 4159.
если | a | > R, X = 0; Y = 0j
2 = — Inffck {V«2 + z2 — Va2 -j- (ft — z)2 — (| z | — | ft — z I)}.
4160. X=0; Г = 0; Z= — nkp0R sin2 a. 4161. Сходится
при р>1. 4162. Сходится при р>1 и q>l.
4163. 1 । Сходится 1 при Р>~^- 4164. Сходится при 1
<. 1. 4165. Расходится. 41UH.
Р Q (р—q) (q — i)
(P>q >1). 4170. (р>1). 4171. 2л.
Р— 1
4172. —^—( р>1). 4173. nV2(VT — 0. 4174.
р— 1 Z
4175. я. 4176. я л —. 4177. — 4178. —£=-ед/в.
2 2 Vfi
а Ъ d
а b Л
где б = и Д = b с е • 4179. — ab.
Ь с е
d е f
4180. 2(1—е2)3/2 4181. Сходится. 4182.
Сходится при р < 1. 4183. Сходится прн — 4-Р
+ — i> 1. 4184. Сходится при р < 1. 4185. Сходится
Q Я яа
при р< 1. 4187. —. 4188. 2 ла. 4189. in 2. 2
4190. 2. 4191. Сходится при р > 3 —. 4192. Сходится при
3 Р<“ 1 . 1 , 1 4193. Сходится прн — Н < 1.
2 Р q г
4194. Сходится при р<1. 4195. Сходится при р<1.
4196. К1 — р)-2(1 -<?)-* О- г)-3 (р<1. </<1, г<1).
4197. 4я 3 ‘ 4198. 2яв(-|-» 1 — р) (р<1). 4199. я312.
ОТВЕТЫ
617
4200.
6)
4207.
4209.
Я3 Д п (Зл + 1) 12 ________2_______ (л-1)! (2л+1) flifla • • • ап
где Д=|а//|.
ап п!
4205.
4208.
п!
4210.
4204. а)
4206.
п т* 2_
2пп1 '
Withj. . .hn |ДГ яИ-1)/2
— ---г——X
Хад. . -ап. 4211.
4212.
4218.
ппП 1 16
Rn------ J f (д/u ) а" 72 ’<*»• 4219. и =—-
Чт) <
2
4220. Л/252_е-д/». V в
мленный определитель.
4223. 2я2о8 (1 4- 2я2).
4226. 2(6°—1)+—ае* 4
где 6 — | ап | а Д = I I _ окай* I bj 1 с I
4221. 1 + V2 . 4222. о’.
15
4224. — (ch3/2 2/0—О- 4225. 4о7/3.
6
4227. 2а* (—2 д/Г). 4228. ,
1 + 4Л3
4229. 2а2. 4230. —. 4231. 5. 4232. д/3. 4233. |хвЦ-|гв1»
где |хь|<а. 4234._Л^(|/21+2|/_^L).
44/2 ' а * з J
4235. (1 +-^-) V«7- 4236. а ^2 arctg—-I*1.
' л] а' —г*
2 1
4237. (За2 + 4я2Ь2) д/а* + Ь2 • 4238. — яа». 4239. — X
X [(2 + ^)3/2 — 23/2]. 4240. -----------Г100 д/38 — 72 — 17 X
25бл/2 L
618
ОТВЕТЫ
х In 25 + 4^38 j. 4241. 25 (б + a _JL££112_£_^, где е ®
•Va* — 6*" 2
= —------------эксцентриситет эллипса. 4241.1. — р* х
a 3
X (2 V?- 1). 4242. — [(3 V3 - 1) + A In A+?.V3.
8 L 2 3
4243. / h — a . Un sb Л +• a5
/ ft + a 2 + 2 V^a — fli
4244. 4 x» «= Уо = — a. 4244.1. Sx = sv= Ал 4244.2. nal
3 5
4244.X . 32 a a) —- a’; « 3V3 , 6) » os. 4244.4. = —-—.
3 2 V2"
4245. X0=|fo = Zc=- —. 4246. *0 = _2_. 1 y,=
Зл 5 5
2
4247.
д/4я»д» _|_ л*; /х«
®= а* \'4n*a* + h*.
2
4248. a) 0; б) в) 2. 4249. a) 2;
3
6) 2; в) 2. 4254. — 21. 14 4250. — — 15 4255. 0. 4260. 4. 4251. A. 4262. 0. 4253. — 2na’. 3
4256. 0. 4257. — — 1. 4258. 8.
4259. 12. аЦ-fc
4261. —2. 4262. j f(u)du.
4263. 3_ . 4264. 9. 5* 4265. f <f(x)dx+ f $(y)dy. 4266. 62.
4267. 2 1. 4268. я + I. X1 Vi 4269. e* cos 5 — 1. 4271. г => — 4-
+ x*y - xy*----A 4- c. 4272. -A— arctg .A..-* + C.
3 2V2 2y^2
4273. i“-------—------hln|x + yl4-C. 4274. z = e*+# (x—p-f-
(x + jO“ m
+ 1) + + C. 4275. + C. 4276. t =,
dxndym ’ 4280. — па*.
Ctg —) + C. 4278. IIRI < A- . 4279. A у / R* 35
4281. 2л VFa*sin — aj. 4282.-----------A-
ОТВЕТЫ
619
7
4283. —4. 4284. —S3------. 4285. 0. 4288. Ь—а.
12
х, Ih *i+Ui+xi
4287. J <p(x)d* + f 4 (!/)<*</ +J X(2)dz. 4288. j J (и) du. X, U, *i Xi+Ui+x,
^^1+4
4289. J uf(u)du. л! «1+^+*?
4290. u= — (x34-ya+z9)—2xyz+C.
3
4291. u = x——+ -^+C. 4292. u = In V(* + y)* + «* + У t
4- arctg-------h C. 4293. A = — mg(2t — ?i). 4294. A =>
*+</
=s----— (a* — b1). 4295. Л = k (—J———!—A , где n =*
2 \ 4 rt J
- Vх? + «? + *? </я,« 2). 4298. I - у ytdxdy.
4297. —46 — . 4298. . 4299. — 2nab. 4300.------------L v
3 2 5
X(e" — 1). 4301. 0. 4302. ?! — /, = 2. 4303. - —,
4304. mS + e*’q> (yt) — e*'q> (yi) — m (y, — yj------— (хг — xj X
2
X (Уа+Vi). 4305. P = , Q = kx -f- , где и — дважды
ox ду
дифференцируемая функция я k — постоянная величина.
4306. — [xf (х, у)] = — [yf (х. у)}. 4307. 1) /=0; 2) /=2л. дх ду
3 л2 3
4308. nab. 4309. —лаб 4310.-—. 4311. —а1. 4312. а1.
8 6 2
4317.
а 6с* 2(2п4-1)
X (n- 1) (п -2) г2;
4314. — В(2т+1. 2п+1). 4315. — X
2 2п
4318. л (n + 1) (л+2) г3; 6№. 4319. я X бяг1. 4320. 4а*. 4321. sgn (ad — bd).
620
ОТВЕТЫ
Zd(<p, Ф) sgn———— , где сумма распространена на все д(х, у)
точки пересечения кривых: <р (х, у) — 0 и ф (х, у) — 0, лежащие внутри контура С. 4324. / — 2S, где S — площадь, огра» ниченная контуром С. 4325. Хх (х0, Уо)+У 'и (х0, у0). 4326. Проекции силы на оси координат равны: X = 0; Y « = 2ктМ1лаг, где k — постоянная тяготения. 4327. и=2яхЯХ
X In——, если р = V** + У* < R’. м=2ях/?1п —, если /? р
р > R. 4328. l-i = —— рт cos mq>, /2 = pmsin m<p, т т
если 0 < р < 1: /j = —— р~т cos пир, /2 — р~т sin пир, т т
если р > 1. 4329. и = 2л, если точка А (х, у) лежит внутри Контура С; и = я, если точка А (х, у) лежит на контуре Cj и = 0, если точка А (х, у) лежит вне контура С. 4330. К^ <= лрт cos пир, К» = ярт sin пир, если 0 < р < 1; Ki *= 0,
— 0, если р = 1; К\ —---------— cos пир, Kj —---------— sin пир,
рГП рШ
если р>1. 4339. Q = Г С(— 4- —Adx dy,— + — =0. J J V dx ' dy J ' dx dy
s
4340. = [(т)-у)Л-(С-г)^]; //^«(бЦ-Х
T r3 J г*
X КС - ?) dx - (6 - X) dx]; Нг = *«(£_!- [(t-x) dy-(4-y) dx].
T r*
4341. /i — /» = (4л — 2 V3 ) а4. 4342. — я а/2 а’. 4343. ла’. 2
4344. -^-(1+Vf). 4345. JLzj/iL + (д/э - 1) in 2.
4348. я! (а V1 4- п2 + In (а 4* V1 -( )] 4349. л° sin а X
2
Xcos*a(osga<-j-). 4350. ^2 а‘. 4352.—.
4352.1. ла*. 4352.2. ------—---. 4353. —лроа«.
2 УЗ 3
ОТВЕТЫ
621
«И. W<**»>•✓*+»» . «53. «.-i;
12 2 ’
?о = а- 4356. х0 = у0 = —-—; г0 — — (л/2 -}- 1 ) .
9л 2л/^ я
4356.1. а) 40 а4; б) nR ГЯ (Я+ Я2) + — Я»1. 4356.2. л/з~ *• 3 J 12
4357. Проекции силы притяжения на оси | координат X — 0;
У = 0; Z = nkmpa\n —. 4358. и = 4лр0 min (а, ——\ где
b \ rt J
А
rQ = V*o + *'o + 20 • 4359- (0 = —~ (3 —- Z2)2, если |/|<
18
<73; F(/)=0, если |/|>7з. 4360. F (0= ”-L—-V3 1 6
4361. F = 0, если t^r—a; F— [а2 — (г — /)’], если г — а <3 г
< t < г+ а; F — 0, если t > г + а (I > 0). 4362. 4ла2.
«ля Г H«)-f(O) ] g(ft)-g(0) । ft (О- й(0) а Ь с
4365. -^-(а26‘+а*с2+№г). 4366. — (а-Н+с) Я3.
abc 3
abc.
4364.
0.
4367. —ла2 Уз. 4368. —. 4369. 2 пл. S. 4370 0. 6 а
4371. —2ла (а + ft). 4372. 2лЯА 4373.------------— а*. 4374. 0.
2
4376. 3 Jj J (х2 + у* + г2) dxdy di. и
4377. 0.
1378. 2 С С С ----dx dy di -.
JJJ V*! + !/2 + 2’
v
= + + 4330.
дхг ду* дг*
2
4385. —а2. 4385.1. 2л2а26.
9
4379. J f J &u dxdy dx, где Дав v
0. 4384. ±L(a2+J£-)IcI.
4387. За4. 4388. — na\
5
Jih'1
4389. 1. 4390.------—. 4392. a) / « 0; б) / = 4л.
4401. a) grad u (0) = 3/ —2/ — 6ft, |grad и (0) | « 7, cosa=3/7, 2 6
cosp= ——, cos t= —6) 8rad “ (Л)=6*+ЗУ, |grad а(Л)[в
622
ОТВЕТЫ
2 1
«=3 -у5, cosa= ——, cos P= —~, cos y=0; b) grad и (В) =a д/5 л/5
= 71, [gradu(B)|=7 cos a = 1, cos 0 = 0, cosy = 0> grad a = 0 в точке M (—2, 1, 1). 4401.1. gradu(Al) =
= 12/ — 9/ — 20Л, | grad и (M) | = 25, cos a =
4402. a) xy = z4; б) x = у = 0 и x = у = z; в) x == у = г. 4 (x* 4- </*) 4z*
4403. r = 1. 4404. - 1 ’ Ц--^- = 1 (u > 16)1
u* — 256 u>
vl »Л Л Q
.——I----------------- 1; max u = 20. 4405. cos Ф --------.
9S0 1024 9
4400. Поверхности уровня — полости конусов; поверхности равного модуля градиента — торы; inf и = 0, sup и =?= 11 inf | grad и |=0, sup | grad и | = —. 4407. ------.
2 I grad и (xe, у0. го) |
4409. а)—; б) 2г; в)---------4410. f (г) — . 4411. с.
г г3 г
4412. 2г (с с) — 2с(с-г). 4415.1. a) grad и= -^-ег-]—— X
дг г
ди , ди ,, j , , , ,
X-----4--------ег, где er = / cos <р+/ sin <р, еф= — I sin <₽ 4-
d<p дг
+ J cos <₽, ex — к — орты, касательные к соответствующим ко-
.. , ди , 1 ди ,1
ординатиым линиям; б) grad и —----ет 4--------ее 4-----X
дг г дВ rsinO
X еф, где et=i cos <p sin 6 4- J sin <p sin 0 4- к cos 0, ee= dtp
— I cos <p cos 04-/ sin <p cos 0—к sin 0, еф= —/ sin <p4-J cos <p —
орты, касательные к соответствующим координатным линиям. 4416.-^- = -^-, где г = Vx44-у44-z4; -^-=|gradu|, дг г дг
. ...ч cos(f, г) . ди .
если а—Ь — с. 4417. --------------------1---—; -------= 0, если
dl г* dl
. .... &и grad и grad о .ди п .
I |г. 4418. ----— —--------=---: --------- 0, если grad u_Lgrad о.
dl I grad v I dl
44,9 a « l'(V-t*+y44-yz) —/(Vx44-y4 4-xz)4-fe(x—y)z . (X2 4-J,2 + ^VX1 + „S
4420. у = cjr, z = CjX4. 4422.1. div a (M) = 18/125; П = 24
bs-----яаК 4423. 0. 4425. div (grad и) = Да, где Да =»
125
ОТВЕТЫ
623
e_^L+J?fL + _^L. 4426. Г(') + —Г(И;Н')= с + дх* ду* дг* г
с 2
-]—1- , где с и Ci — постоянные. 4427. а) 3; б) —• г г
4428. J-1LL (С.гу 4429. 3/ (г) + rf' (г); / (г) = — , где г г3
с — постоянная. 4430. а) и Ди + (grad и)2; б) иДц + grad и X Xgradv, где Ди — оператор Лапласа. 4431. divu=0; divtt)= =—2<оа. 4432. О, вне притягивающих центров. 4433. diva=
1 Г d , , , дао, I
— — I-----(гаг) _]-х. I, где аг, а9 — проекции вектора а
г L dr dtp J
иа координатные линии ф = const и г — const. 4434. diva=
= —?— Г — (MNau) + Л- (NLav) + — (/.№«,)] , где LMN L du dv dw J
au. Ov. aw—проекции вектора a на соответствующие коорди-
Если г, <р, г — цилиндрические координаты, то diva =
— — Г —— (гаг) + + г da* I; если г, 0, ф—сферические
г дг дф дг J
координаты, то diva=------!------- Г—— (/2arsin0)-|-r —— (aosinO)-(-
r’sinO L dr d0
4436. a) 0; 6) 0. 4436.1. rota (A4) =------— I —
dф J 4
К 1 ____ _______________R
—7+ — k, |rot a (M) | = — V141. cosa =—- —, cos p =»
V>41
[rxc|; 6) 2/ <r) c |-
2
=—cos у=—4437. а) д/ьЙ" д/и1 Г
+ [с (г • г} — г (с г)1. 4439. а) 0; б)
0. 4440. rot v =
» 2al. 4440.1. rot a = — Г—— (ra9)---------^-1 fe, где a9 и ar —
r L dr дф J
— проекции вектора a, соответственно на координатные линии
г = const и ф = const. 4440.2. a)rota = f-J——--------—^,4.
I г и;
624
ОТВЕТЫ
а,=ах cos Ф+<зу sin <р, аф=—а^Пф+а^совф, az—az; б) rote»
1 Г д . • m ctae 1 , 1 Г 1 dar
«= ------|------ (amSinB)-------1 er 4---1-----—. -----—
rsinO L 59 5q> J r L sinO 5q>
•—-(гаф)1ее + — Г(rag)-------^-1 еф, где a, — ax cos Ф sin 9 +
dr J r L dr 00 J
4- aa sin ф sin 0 + at cos ®> fl0 — a* cos Ф cos в + dy sin ф cos 0 - —a,sinO. аф = — axsin ф + avcos ф. 4441. а) 0; б) л/t’. 4442. а) 0; б) 0. 4443. л. 4444. —. 4445. 0.
8
4445.1. —. 4447. 4лт. 4448. V е{. 4450. ср~=в
5 dt
» div (k grad и), где с —удельная теплоемкость а р—плотность тела. 4452. 2я*5*. 4452.1. 8 — • in 2. 4452.2. — (3 + е* —
21 4
гв
— 12е-г). 4453. f f(r)rdr. 4454. а) 2л; б) 2л. 4455. а) Гав ГА
«= 0; о) Г = 2лл, где п — число оборотов контура С вокруг оси Ог. 4455.1. rota(Al) =—j—2ft, Г = — я (cos 0+2 cos у) е*.
s s
du dv du dv .... . . . . , _
— ,-4457. u= xyz(x + y + z) + C. dx---------------dy dy dx
4457.1. —. 4458. «= — . 4459. и (x, у, г) = V -2L,
3 r Li 'i
1=1
где ^—расстояние переменной точки М (х, у, г) от точки Л4^(|== =1, 2, ..., л). 4460. и(х, у, г)= J if (t) dt, где V*’+y’+A