м.г. Алишаев
м.д. Розенберг
Е.в.теслюк
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ
ПРИ РАЗРАБОТКЕ
НЕФТЯНЫХ
МЕСТОРОЖДЕНИЙ
Под редакцией
д-ра техн, наук Г.Г. Вахитова
МОСКВА „НЕДРА” 1985
ГДК 622.276.1/4
Алишаев М.Г., Розенберг М.Д., Теслюк Е.В. Неизотермическая фильтрация при
разработке нефтяных месторождений/Под ред. Г.Г. Вахитова — М.:Недра, 1985.
271 с.
Описаны влияние закачиваемой в больших объемах воды с низкой температурой
на показатели разработки и коэффициент нефтеотдачи, а также их зависимость от
тепловых методов воздействия на пласт. Рассмотрены механизм вытеснения нефти
из пластов при термозаводнении, температурный режим пласта за фронтом вытес-
нения и в тех его областях, где фронт вытеснения отстает. Приведены примеры
определения показателей фильтрации и технико-технологических показателей разра-
ботки при вытеснении нефти водой.
Для инженерно-технических работников, занимающихся проектированием разра-
ботки нефтяных и газовых месторождений и исследованиями в области добычи неф-
ти и газа.
Табл. 54, ил. 77, список лит. — 46 назв.
Рецензент: д-р техн, наук С.Н. Закиров (МИНХ и ГП им. И.М. Губкина).
А 2504030300 - 427
043(01) - 85
Свод. пл. подписных изд.
1985 г.
© Издательство "Недра",
1985
ПРЕДИСЛОВИЕ НАУЧНОГО РЕДАКТОРА
Современный этап развития нефтедобывающей промышленности харак-
теризуется широким применением различных методов искусственного
воздействий на нефтяные пласты, проводимых с целью интенсификации
добычи нефти и повышения конечной нефтеотдачи пластов.
В настоящее время вытеснение нефти к добывающим скважинам осу-
ществляется при различных видах заводнения нефтяных пластов, исполь-
зовании методов теплового воздействия на коллектор, физико-химичес-
ких процессов и реакций и др.
Совершенствование и создание принципиально новых высокоэффек-
тивных технологий добычи нефти требуют глубокого анализа сложных
механизмов реальных внутрипластовых процессов.
При проектировании разработки нефтяных месторождений обычно
используют различные физико-гидродинамические модели.
Известно, что всякая модель, в том числе и физико-математическая,
проще моделируемого объекта, поэтому всегда стремятся к сохранению
основных черт и функций моделируемого объекта или процесса. Допол-
нительный учет влияния неизотермии на процесс фильтрации и нефтеотда-
чу пластов — существенный и принципиально новый шаг на пути сближе-
ния модели с рассматриваемым или изучаемым объектом.
Существуют примеры в проектировании разработки, где отсутствие
учета этого определяющего фактора затрудняет или просто лишает воз-
можности и оснований рассматривать и анализировать тот или'иной про-
цесс, так как существенно искажаются качественные и количественные
показатели.
Разработка месторождений парафинистых и вязких нефтей, заводне-
ние нефтяных залежей и пластов должны проектироваться на основе
и с учетом теории неизотермической фильтрации.
Предлагаемая книга рассматривает Теорию н^изотермической фильтра-
ции, результаты лабораторных и промысловых экспериментов и работ.
В ней приведены решения многих задач, выдвинутых запросами современ-
ной науки и нефтедобывающей практики: исследования порового прост-
ранства, совместное движение флюидов, обладающих реологическими
свойствами, в неоднородном коллекторе при неизотермических условиях,
учет проявления капиллярных сил, анализ результатов лабораторных
экспериментов, разработка физико-математических моделей и создание
расчетных алгоритмов для ЭВМ, анализ крупных промысловых экспери-
ментов по изучению неизотермии в реальных скважинах и, наконец,
проведение термозаводнения на месторождении, содержащем парафинис-
тую неньютоновскую нефть.
В области естественных и технических наук одна из важнейших задач,
на решении которой надо сосредоточить усилия, — более полное использо-
вание теории в практических целях. В настоящей книге, широко исполь-
зуют математические методы для решения практических важных задач.
3
Одна из центральных проблем расчетов неизотермической фильтра-
ции — полный учет термогидродинамических особенностей фильтрации
вблизи нагнетательных и добывающих скважин. От начала формирования
тепловых полей и полей насыщенности фильтрующихся фаз вблизи сква-
жин зависит последующее развитие процесса вытеснения нефти водой и в
остальных удаленных зонах пласта. В связи с этим в книге изложен новый
расчетный метод — метод комбинированных сеток, позволяющий деталь-
но учитывать указанные особенности фильтрации при самом различном
характере размещения скважин.
Полагаю, что данная книга будет весьма полезна читателям-специалис-
там нефтедобывающей и газовой промышленности.
Д-р техн, наук, профессор Г. Г. Вахитов
Глава 1
ГЕОТЕРМИЯ И ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
От температуры зависят физические и фильтрационные свойства пласто-
вых жидкостей и коллекторов, совместное движение и вытеснение в по-
ристой среде одного флюида другим.
Термогидродинамические условия влияют на текущую добычу нефти
и конечную нефтеотдачу, т.е. на темпы и степень выработки нефтяных
пластов при их разработке.
Фильтрацию, протекающую при изменении температуры, называют
неизотермической фильтрацией. Реальные процессы фильтрации часто
являются неизотермическими [2, 5, 6, 13, 32].
Температурный режим в пластах обусловливается рядом факторов:
естественным геотермическим полем горных пород;
термогидродинамическими эффектами, связанными с фазовыми
переходами, дросселированием, адиабатическим расширением флюида;
искусственным тепловым воздействием на пласт: нагнетанием воды,
температура которой отлична от начальной пластовой (холодной или горя-
чей) , закачкой пара, осуществлением окислительных реакций, генерирую-
щих тепло (внутрипластовое горение, кислотно-магниевые реакции и др.).
При термозаводнении пластов температурные условия в коллекторах
формируются в основном в процессе теплообмена между нагнетаемой
жидкостью и коллектором с прилегающими горными породами. Эти
вопросы в дальнейшем будут рассмотрены достаточно подробно.
ТЕПЛОВОЙ ПОТОК ЗЕМЛИ, ГЕОТЕРМИЧЕСКИЕ ГРАДИЕНТЫ
Отмечается большое разнообразие тепловых условий в залежах нефти
и газа. Оно связано не только с различными глубинами залегания плас-
тов, но и с географическим положением нефтяных районов.
Геотермические исследования в скважинах указывают на горизонталь-
ную тепловую неоднородность верхних разрезов осадочных пород (2 —
8 км).
Встречаются месторождения нефти, в которых на глубине 1600 —
1700 м начальная пластовая температура составляет всего 20 — 22 °C,
но имеются и такие, где на глубине 900 — 1000 м начальная пластовая
температура достигает 60 — 65 °C.
Горизонтальная тепловая неоднородность объясняется действием
ряда факторов. Согласно исследованиям Н.Н. Непримерова и других
[22], причинами возникновения области повышенных температур яв-
ляются:
различное суммарное количество теплоты, получаемое земной по-
верхностью от солнечной радиации (влияние широт), при этом меняется
температура нейтрального слоя, определяющая верхнее граничное условие
для геотерм;
5
различие теплопроводности горных пород, слагающих разрезы;
вертикальный тепло- и массоперенос (по разломам) — перемещение
магмы, разгрузка подземных вод и др.;
неоднородный по площади тепловой поток из недр вследствие нерав-
номерного (по площади) действия внутриземных источников тепла.
В плоскопараллельном потоке радиации различные точки земной
сферы, обращенные к солнцу, получают разное количество энергий в зави-
симости от угла наклона касательной плоскости в точке к направлению
лучей.
Отсюда резко выраженное широтное распределение приходящей на
Землю энергии. В итоге радиационный баланс меняется от 21 — 42 до
355 — 587 кДж/см2, а среднегодовые температуры поверхностных слоев
воздуха от — 16 до +31 °C [10],
Регионально температура нейтрального слоя 7"нс изменяется от —10
до +30 °C с преобладанием широтного эффекта.
Территорию, где —10 °C < Тнс < 0 °C, относят к зоне вечной мерзло-
ты.
Экспериментально установлено, что температура нейтрального слоя
7'нс всегда выше, чем среднегодовая температура воздуха на поверхности
7"нс > Т’срвозд- На глубине нейтрального слоя потоки тепла, идущие из
недр и от поверхности земли, как бы встречаются. Интенсивность тепло-
вого потока, идущего из недр, составляет 4,2-1СГ6 Дж/ (см2 -с) [10].
Температура ниже нейтрального слоя определяется по формуле
н
Т = Тнс+ J r(z]dz,	(1.1)
н
нс
где Г — геотермический градиент, который определяется глубинным
тепловым потоком; Н , Н — глубины соответственно нейтрального
слоя и рассматриваемой точки.
npn/~(z) = const = Г выражение (1.1) принимает вид
Т= Т +Г Н.	(1.2)
В однородной среде
Гн = Igrad Тн1 =- qh/Xh,	(1.3)
где qh — глубинный тепловой поток, рассматриваемый по нормали к
поверхности; Хн — теплопроводность горных пород.
Разница (широтная) в температурах, задаваемая верхним гранич-
ным условием геотермы, сохраняется с изменением глубины до подош-
вы слоя, генерирующего собственный тепловой поток Земли.
Меридиональные температурные профили показывают, что разность
температур, задаваемая Гнс, сохраняется практически повсеместно до
глубин, доступных для прямых измерений (2—5 км).
В океанах и морях в связи с конвективным тепло- и массопереносом
придонные слои воды не обладают широтным эффектом и имеют практи-
6
чески постоянную температуру близкую к 1 — 4 °C. Вместе с тем на суше
рельеф местности (горы) оказывает значительное влияние на широтное
распределение температур условной сферы, проведенной на уровне Миро-
вого океана или его средней глубины, равной примерно 3,5 км [22].
Тепловые потоки, порожденные широтным эффектом и эффектами
море — суша, незначительны, их отношения составляют порядка <7П/<7Н =
= 10” 2 — 10“4 и поэтому могут не учитываться.
Необратимый переход энергии вещества Земли в тепло связывают
с тремя важнейшими процессами: радиоактивностью, диссипацией механи-
ческой энергии вязкостных деформаций и переходом вещества мантии в
вещество коры (распад), сопровождающимся выделением части энергии
первичного вещества при протекании различных физико-химических
процессов.
Средние значения геотермических градиентов составляют от 1,2 —
2 (Татария, Башкирия) до 4 — 5°С/100м (Западный Казахстан, Дагестан
и др.).
В зависимости от теплопроводности горных пород и других причин
градиенты изменяются. Встречаются интервалы, где они составляют 6
и даже 10 °C на 100 м. Поэтому для каждого месторождения необходимо
снимать продольные и поперечные геотемпературные профили. При расче-
тах процесса разработки месторождений начальные температурные усло-
вия берутся в соответствии с данными фактических геотерм.
Следует отметить, что иногда фиксируется некоторое повышение тем-
ператур в разрезах, приуроченных к нефтенасыщенным интервалам, как,
например, в отложениях девона, карбона и перми на Ромашкинском мес-
торождении.
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛАСТА
Интенсивность теплообменных процессов в пластах и их масштабы зави-
сят от технологических параметров осуществляемых процессов и тепло-
физических свойств коллекторов и фильтрующихся жидкостей.
Передача тепла в пластах обычно сопровождается переносом вещества
(нефти, воды, газа). Одновременный перенос тепловой энергии и вещест-
ва называют тепло- и массопереносом.
Теплофизические характеристики горных пород влияют на распределе-
ние температурных полей в продуктивных пластах и теплообмен с горны-
ми породами. Они зависят от состава, плотности, пористости, нефте-,
водо- и га зон асы щен ноет и и других физических параметров. Теплофизи-
ческие параметры определяются в лабораторных условиях на образцах по-
роды, а также косвенно геофизическими методами исследования в
скважинах (табл. 1.1 — 1.4).
Теплопередача в пластах слагается из теплопроводности через твердый
пористый скелет, теплопроводности и конвекции через поры, а также
излучения тепла между стенками пор. Передача тепловой энергии одновре-
менно всеми отмеченными способами характеризуется коэффициентом
теплопроводности коллектора. Из закона Фурье, постулирующего линей-
7
ную пропорциональность вектора плотности теплового потока q и градиен-
та температуры, имеем
X = q/1grad Т\.	(1.4)
Теплопроводность — свойство вещества, которое зависит от его природы,
температуры и в меньшей степени от давления.
При Т> 100 К значения X изменяются в пределах:
для капельных жидкостей (нефть, вода и др.) X = 0,08 —0,7 Вт/(м-°C).
С повышением температуры X уменьшается (исключение составляют вода
и глицерин);
для газов X = 0,005 — 0,5 Вт/(м-°С). С увеличением температуры
X обычно возрастает;
для твердых тел, частиц X = 0,02 — 5,0 Вт/(м-°С), с повышением Т
увеличивается значение X.
Теплоемкость (объемная) характеризует потребное количество тепла
для изменения температуры единицы объема на 1 К при прочих неизмен-
ных условиях. Объемную теплоемкость можно получить, умножая плот-
ность на удельную теплоемкость — количество тепла, потребное для
изменения температуры единицы массы на 1 К при постоянном объеме
или давлении:
с = рс , с = р с .
v	V р	р
Учитывая аддитивность параметра теплоемкости, для пластовой системы
с» = (1 — m | с+ m (s с + s с + s с I,	ни
0	Н Н в В Г Г	U -OJ
$+$+$= 1,
н в г
где индексы *, о, н, в, г относятся к пласту в целом, скелету породы,
нефти, воде и газу соответственно. Для системы нефть — вода в пористом
объеме общие теплопроводность X* и теплоемкость с* можно находить
линейной интерполяцией тех же параметров для полностью водонасыщен-
ного и полностью нефтенасыщенного пластов:
X» = X* s + X (1 — s), с = с s + с (1—s).	(1.6)
, в ♦, н	*	*, в *, н
Коэффициенты теплопроводности и теплоемкости при одножидкостном
насыщении определяются в лабораторных условиях.
Вопросы влияния термогидродинамических эффектов на температур-
ные условия в пласте (фазовые переходы, дроссельный процесс, адиабати-
ческое расширение) подробно рассмотрены в работах [26, 33, 40], а
вопросы влияния изменения температуры и давления на изменение поро-
вого объема, проницаемости и других характеристик коллектора — в рабо-
тах [16, 20, 32].
8
Таблица 1.1
Значения отдельных коэффициентов для различных материалов пород
Месторождение, порода, жидкость	Теплопро- водность, Вт/(м-°С)	Теплоем- кость, кДж/ /(кг-°С)	Температу- ропровод- ность, м /с	Плотность кг/м3
Ромашкинское				
песчаник нефтенасыщенный	2,79	8,79	1,29	2,20
глины	2,25	8,4	1,0	2,5
нефть	0,12	1,9	5,5	0,868
пластовая вода Ленинградское	0,49	4,8	9,7	1,04
нефть	0,12	2,43	5,5	0,862
пластовая вода Узень	0,45	3,8	9,9	1,18
коллектор нефтенасыщенный	1,74	7,0	0,64	2,21
нефть Ярегское	0,15	2,0	—	0,778
коллектор с высоковязкой нефтью	2,85	9,9	1,3	2,1
Таблица 1.2
Зависимость теплопроводности от температуры для Ромашкинского
месторожден ин
Темпе- ратура, °C	Теплопроводность Вт/(м-°С) различных коллекторов и пород				
	песчаник нефтена- сыщен- ный	песчаник битуминоз- ный	аргиллит плотный	известняк малонефте- насыщен- ный	известняк нефтенасы- щенный
25	2,66	1,70	2,38	2,59	2,04
50	2,42	1,60	2,24	2,42	1,90
100	1,90	1,41	1,97	2,06	1,60
150	1,43	1,23	1,70	1,72	1,33
200	1,08	1,06	1,50	1,46	1,11
250	0,84	0,95	,1,38	1,25	0,94
300	0,64	0,87	1,32	1,10	0,83
Таблица 1.3
Зависимость теплоемкости и теплопроводности товарной нефти от температуры
Месторождение	Теплопроводность, Вт/ (м-°С), при температуре, °C				Теплоемкость, кДж/(кг-°С) при температуре, °C			
	30	40	60	80	30	40	60	80
Узень Калье оры	0,151 0,125	0,149 0,124	0,147 0,121	0,143 0,119	2,05 1,82	2,07 1,84	2,12 1,88	2,16 1,92
9
। аол ица i .<+
Зависимость свойств воды от температуры при давлении 9,8 МПа
Температура, °C	Параметры			
	\ Вт/ (м-°С)	с, Дж/(см3-°C)	р, кг/м3	Д, мПа-с
0	0,555	4,195	1004,8	1,77
20	0,604	4,162	1002,4	1,00
40	0,638	4,153	996,6	0,665
60	0,664	4,153	987,6	0,472
80	0,679	4,166	976,0	0,357
100	0,690	4,187	962,5	0,284
120	0,693	4,216	947,4	0,239
160	0,690	4,304	912,3	0,175
200	0,672	4,455	870,5	0,138
240	0,636	4,693	820,0	0,117
280	0,582	5,154	756,3	0,100
300	0,542	5,661	715,4	0,091
Глава 2
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ ПЛАСТОВЫХ ФЛЮИДОВ
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА И ОСОБЕННОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ
ПЛАСТОВЫХ НЕФТЕЙ
Нефти различных месторождений можно условно подразделить на три
группы:
нефти мало- и средневязкие с небольшим содержанием парафинистых
и акцизно-смолистых веществ (3— 10 % смолисто-парафинистых компо-
нентов) ;
нефти со значительным содержанием парафинистых и акцизно-смолис-
тых компонентов (от 15 — 20 до 50 % и более) ;
вязкие нефти, содержащие от небольшое,о (8— 15%) до значительного
количества парафина, смол и асфальтенов.
Нефти первой группы обычно подчиняются ньютоновским законам
движения в пористой среде, нефти второй и третьей групп не подчиняются
отмеченным законам и считаются аномальными жидкостями, обладающи-
ми структурно-механическими свойствами. Залежи, содержащие нефти
второй и третьей групп, характеризуются быстрым обводнением продук-
ции, резким снижением дебитов нефти и сравнительно низкими коэффи-
циентами охвата пластов вытеснением нефти при заводнении.
Индикаторные линии, учитывающие реологические свойства при
фильтрации аномальных нефтей, могут быть двух типов. К первому типу
относятся кривые, которые в координатах v,q — Д р отсекают на оси Д р
отрезок Др0 (рис. 2,1, 7). В этом случае нефть обладает начальным гра-
диентом давления сдвига Gq. Движение нефти начинается при перепадах
давления, обеспечивающих градиенты, превышающие Gg [21].
10
Рис. 2.2. Зависимость предельного напряже-
ния сдвига TQ и Др0 от температуры.
Месторождение Кокайты
Рис. 2.1. Индикаторные линии аномальных нефтей:
1 — с начальным градиентом сдвига Go; 2 — со структурной вязкостью
Ко второму типу относятся кривые, проходящие через нуль, но
в области малых перепадов (градиентов) давления значительно искрив-
лены (имеют выпуклость в сторону оси 0 - Др, рис. 2.1,2). Такие кри-
вые свойственны жидкостям со структурой коагуляционного типа. Учас-
ток искривления кривой характеризует движение нефти с неразрушенной
структурой. С увеличением градиента давления и скорости фильтрации
структура разрушается, при полном ее разрушении нефть начинает дви-
гаться как ньютоновская. Аномалии вязкости обусловливают особенности
течения структурированной нефти.
Структурные свойства нефти зависят от состава, насыщенности ее
газом, температуры и других параметров (табл. 2.1,2,2 [15]).
Таблица 2.1
Характеристика нефти	Месторождение Туймазы	Александровс- кая площадь	Месторождение Арлан
Массовое содержание, %			
асфальтенов	7,1	3,3	2,9
силикагелевых смол	20	15	20
твердых парафинов Вязкость нефти, мПа*с :	2	3	3
с разрушенной структурой	16,4	8,1	8,1
с неразрушенной структу- рой	1900	340	140
Динамическое напряжение сдвига, Па	0,128	0,01	0,0069
Градиент динамического дав- ления сдвига в песчанике, МПа/м	0,095	0,0075	0,0028
11
 аилица z z
Относительный газовый фактор	Динамическое напряжение сдвига, Па-10	Вязкость нефти с разрушенной структурой, мПа*с	Г радиент динамического давления в кер- не, МПа/м
	Месторожд	ение Туймазы	
1,0	1,28	16,4	0,095
0,7	0,98	—	—
0,4	0,780	—	—
0,0	0,2	59	—
	Александровская площадь		
1,0	0,1	8,1	0,0075
0,9	0,098	8,5	0,0025
0,6	0,090	8,8	0,0018
0,0	0,006	45,0	—
	Месторождение Арлан		
1,0	0,069	8,0	0,0028
0,7	0,057	8,3	0,0003
0,5	0,030	8,8	0,0003
0,0	0,020	10,0	0,003
Динамическое напряжение сдвига связано с содержанием в нефти
асфальтенов. Влияние газонасыщенности на величину динамического
напряжения сдвига у разных нефтей различно. Так, в исследованиях
[38] отмечается, то дегазация нефти повышает Gq, в работе [15] показа-
но, что выделение из нефти некоторых газообразных парафиновых углево-
дородов приводит к более сильной сольватации асфальтенов и, следова-
тельно, к ослаблению структуры.
Начальные градиенты давления и предельные напряжения сдвига зави-
сят от температуры (рис. 2.2). Зависимость предельного напряжения сдви-
га tq и структурной вязкости ц от температуры для высоковязких неф-
тей представлена в табл. 2.3 [24f.T
Здесь значение rQ определялось на капилляре и рассчитывалось по
формуле
то =3 Др0 <//(16/),	(2.1)
где Др0 — перепад давления, по которому определяются tq и цст; d —
диаметр капилляра; / — длина капилляра.
Структурная вязкость рст определялась по формуле
Рст = тгг 4 (Др- Др0)/(8а/),	(2.2)
где г — радиус капилляра, Др — общий перепад давления, Q — расход
жидкости.
Зависимость расхода (<?) от перепада давления (Др) и температуры
12
9 J/сУт
Рис. 2.4. Индикаторная кривая скв. 11
Амударьинского месторождения:
и
р — восстановленное, давление на забое
при подливе нефти; Рст — восстановлен-
ное давление на забое после дренирова-
ния; рпл — пластовое давление
Рис. 2.3. Зависимость q = ф(Др) при различных температурах:
7 — 20 °C; 2—30 °C; 3 — 40°С; 4 — 48°С; месторождение Кокайты
Таблица 2.3
Месторожде- ние	Условия опытов и структурные свойства нефти			
	Т, °C	Т , Па-10	U , МПа-с- 10 2 ст	Др, МПа
Коштар	20	3,187	84	0,17
	28	2,362	55	0,126
	38	1,500	30,3	0,08
Кокайты	20	1,875	68,4	0,1
	30	0,712	51,2	0,038
	40	с0,450	38,8	0,024
	48	0,281	35,6	0,015
Ляльмикар	27	1,210	33,2	0,064
	36	0,468	1,86	0,025
	47	0,206	1,72	0,011
Амударьинское	19	1,406	93,5	0,075
	38	0,468	19,6	0,025
	47	0,225	8,75	0,012
	57	0,140	6,95	0,0075
представлена на рис. 2.3, а поведение индикаторной кривой, снятой на до-
бывающей скважине, — на рис. 2.4.
Для нефти месторождения Узень зависимость предельного напряжения
сдвига от температуры представлена ниже.
13
Г, UC.............................. 40	35	31	25
Т Па.102 .......................... 12	25	70	480
Зависимость начального градиента давления сдвига от температуры
и проницаемости удовлетворительно аппроксимируется формулами:
Go = (0,48/VT)  exp (-0,045(Г-20р	(2 3)
И
Go = (0,67/Vfc) • exp (-0,1/(Г- 50)),	(2.4)
где к — проницаемость, измеряется в мкм2, начальный градиент — в
МПа- 10/м.
Начальный градиент сдвига нефти зависит также от водонасыщенности
коллектора. При вытеснении нефти вначале преимущественно запол-
няются водой крупные поры. Градиент сдвига обратно пропорционален
радиусу наиболее крупных пор, занятых нефтью. С увеличением насыщен-
ности в данном микрообъеме радиусы пор, занятых нефтью, уменьшают-
ся и соответственно растет градиент сдвига, причем характер роста зависит
от распределения пор по радиусам. Для равномерного распределения пор,
руководствуясь схемой поочередного вытеснения нефти по порам, полу-
чаем
G<y = <?o(so)/V'1 + ‘о"5-	(2.5)
где so — связанная водонасыщенность.
Связанная водонасыщенность уменьшает начальный градиент сдвига,
ибо в гидрофильных средах связанная вода уменьшает поверхность пор,
имеющих контакт с нефтью.
ПРОНИЦАЕМОСТЬ КОЛЛЕКТОРОВ- ЗАВИСИМОСТЬ
ПРОНИЦАЕМОСТИ ОТ СТРУКТУРЫ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ
И НЕОДНОРОДНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
Проницаемостью обладают среды, содержащие связанные поры. Скорость
фильтрации представляет собой отношение объемного расхода жидкости
в единицу времени к площади нормального сечения.
Согласно закону Дарси v = — (k/д) vp, где к — проницаемость порис-
той среды,- д — динамическая вязкость, которая для неньютоновской жид-
кости связывает касательное напряжение сдвига т с изменением скорости
жидкости в направлении, перпендикулярном к струе г = д Эи/Эу, v —
символ градиента, р— давление.
Понятие проницаемости и запись закона Дарси в указанной форме
предложены Нуттингом в 1929 г. Ранее делались попытки связать прони-
цаемость к со структурой и статическими характеристиками пористой
среды: например, формула Слихтера получена для однообразно уложен-
ных шариков одного и того же диаметра:
к = л2^2/ (96 (1 — л?)); п = 1 — я/ (4sin в); т= 1 — я/ (6siп2 0\/1 +
+ 2cos0),	(2.6)
14
где п — просветность; d — диаметр шариков; т— пористость; в — угол
укладки ромбоэдра, 60 ° < в < 80 °. Для плотной упаковки в = 60 °, т=
= 0,259; п = 0,0921; к = 0,000119с/2. Формула Слихтера дает занижение
значения проницаемости более чем в 2 раза по сравнению с эксперимен-
тальным.
Проницаемость — статистическая мера площади поперечного сечения
и формы поровых каналов коллектора. Согласно формуле Пуазейля,
средняя скорость движения жидкости по трубке радиуса /? выражается
в виде
и =Q/{7iR2) = (Я2/(8д)) (Др//).	<2-7>
Для идеального коллектора скорость фильтрации получается как
отношение расхода по всем трубкам к общей площади сечения:
v = mu = (mR 2 / (8 р)) (Л р/1), к =md2/32.
Эта формула завышает значения проницаемости, так как реальные
поровые каналы имеют извилистую форму и переменную площадь сече-
ния. Извилистость канала удлиняет путь частицы и уменьшает среднюю
скорость пропорционально удлинению. Это удлинение можно моделиро-
вать углом наклона порового канала (рис. 2.5, а), при этом скорость
фильтрации и проницаемость: и = (/п/?2 cos2 0/(8р)) (Др//), к =
= md2 cos2 0/32.
Извилистость поровых каналов уменьшает значение проницаемости
в среднем в 2 раза для 0 = 45°. В случае извилистого канала в виде
полуокружности вместо множителя cos20 используют величину 4/тг2.
Поровые каналы имеют переменную площадь сечения. В случае, изоб-
раженном на рис. 2.5, б перепадом давления в широкой части порового
канала можно пренебречь по сравнению с перепадом в более узкой части.
В результате расход можно определить лишь по узкой части
О= (тг/?2/(8р)) (Др//2) = (я/?*/(8р)) ((/ х +/2)//2)(Др//).	(2.8)
Отнесем этот расход к площади поперечного сечения s и введем порис-
тость, определяемую без учета порового объема узкой части
Рис. 2.5. Схема к расчетам скорости фильтрации с учетом:
а — извилистости поровых каналов; б — переменного сечения
порового канала
15
m= (ий1^ +7г FtyjKsl}, v = (mR2/(8p)) (R2^ +/2 )/(Я 2^ Л,)) (2.9)
(Д P//) •
Проницаемость определяется в основном узкой частью поры
к= (md2/32) (R22l2/(R21lll2)).	(2.10)
Пусть поры представляют собой цилиндрические трубки одной и той
же длины, радиусы которых распределены по какому-либо вероятност-
ному закону, например логнормальному [8, 27, 43] .
f(R) = (1/(7ГГаЯ))ехр(-1п2 (Я/Я )/(2а2)),	(2.11)
с р
где о — параметр распределения (среднее квадратичное отклонение
случайной величины).
Подсчитаем расход жидкости по этим трубкам, который пропорцио-
нален R4, и отнесем к площади сечения каналов, чтобы получить среднюю
скорость
u — (я / R 4 f(R) dR)/(i. J R2f(R)dR) (Др/(8р/)) =
о	о
= (/?2рехр(6а2)/(8д)) (Др//).	(2.12)
Для скорости фильтрации и проницаемости имеем
v = (к/p) (Ap/I), к = (md2 /32) exp (6 а2).
ср
Обычно а < 0,5; для Кулешовского месторождения а = 0,4. Множитель,
появившийся из-за разброса радиуса пор каналов, будет равен 2,6. Эффек- .
тивный диаметр пор составит 1,6 среднего значения диаметра.	|
Изложенное показывает] что проницаемость — сложная статистическая
характеристика пористой среды.	i
Чтобы получить формулу Козени, фиктивный грунт из шариков одно- '
го диаметра заменяется идеальным, состоящим из одинаковых цилиндри- '
ческих трубок одного радиуса с соблюдением суммы объемов пор и
удельной поверхности. Форма площадей поперечных сечений цилиндров
берется круглой, квадратной, треугольной или иной. Длина поровых кана-	i
лов принимается в 2 раза больше длины пористого материала. Из всего	<
этого следует, что	•
к = С/n 3<У2/(72 (1 -о?)2),	(2.13)	S
где С зависит от формы поровых каналов. Для площадей поперечных се-	t
чений в форме круга, квадрата, треугольника и полосы эта константа
имеет значения 0,500; 0,562; 0,600; 0,647.	I
Результаты расчетов-по формуле Козени лучше согласуются с данны-
ми эксперимента, но при ее выводе сделано много допущений. Общеприз-
нанной теории проницаемости пористых сред, позволяющей по несколь-
16
ким <j । d i hl । ическим i шраме i рам и [iupnuiucin вычиили1ь значение прони-
цаемости с достаточной точностью, пока еще не создано.
Проницаемость нефтяных пластов меняется от нескольких тысячных
мкм2 до 5 мкм2 и более в пределах одного месторождения по площади
и толщине. Средние значения проницаемостей горизонтов XIII, XIV, XV,
XVI, XVII и XVIII месторождения Узень составляют 0,32; 0,26; 0,20;
0,17; 0,18 и 0,12 мкм2. В пределах толщины одного горизонта проницае-
мость значительно изменяется: от 0,01 до 1,5 мкм2.
Отметим некоторые наиболее важные случаи усреднения проницаемос-
ти пласта, содержащего неоднородные включения.
Пусть проницаемость пласта меняется перпендикулярно к напласто-
ванию, к = к (у), а вдоль напластования имеется установившийся однород-
ный фильтрационный поток и (у) =— (к (у) /ц) (Др//).
Проинтегрировав по у вдоль слоя и разделив на толщину h , получим
Л	h
(у)</у = -	k(y}dy
h о	М/ h о
или, вводя обозначения средних величин,
к	1
V = —------— , к = -Т- J к (у) dy.
Д '	о
Для слоистого пласта среднее значение проницаемости равно среднему
арифметическому ее значению по площади сечения. При таком усреднении
проницаемости более точно рассчитывают расход однородной жидкости.
Однако в задачах вытеснения такое усреднение недопустимо. Наличие
высокопроницаемых слоев приводит к более ранней обводненности. Заме-
на слоистого пласта однородным по толщине допустима лишь при изуче-
нии фильтрации однородной жидкости и для определения полей давлений
и усредненных температур.
Пусть теперь проницаемость зависит от продольной координаты х.
Скорость фильтрации постоянна v = — (к (х) /р) др/'ох = const.
Интегрируя вдоль трубки, имеем — Др/ц = v J dx/k (х).
Разделив на длину трубки / и введя обозначение для среднего гармо-
нического значения проницаемости
г=	(2.14)
/ о к (х)
получим для скорости известный закон пропорциональности перепаду
давления!/ = ~ (А/p) (др/дх).
При двумерном и трехмерном течениях арифметическое или гармони-
ческое усреднения нецелесообразны, так как замена неоднородного плас-
та однородным здесь проводится в результате более сложных рассужде-
ний. Можно выписать формулу средней проницаемости для пористой сре-
ды, составленной случайным образом из сред проницаемостей к и к2
с удельными объемами со] ио>2. Среднее геометрическое расположено
между средним I арМОНИЧСЫЧИМ И ирсдпИ1У1 apt'iLfJivici Hi-ic^rxHHVi, i ivia i vm у
формула
к = 2 л/со (1 - ш )/ri/r2	<2-15>
дает неплохие результаты, если только ни один сомножитель не близок
к нулю.
Обоснуем формулу (2.15). Пусть проницаемость пласта меняется
случайным образом как в направлении течения, так и в поперечном нап-
равлении. Усреднение проницаемости по площади поперечного сечения сле-
дует проводить по закону среднего арифметического, а при усреднении
проницаемости по направлению потока следует применить закон среднего
гармонического. Если обозначить через Л и / характерные масштабы неод-
нородности в поперечном и продольном направлениях, то
/^(^wAu,,)^)-1,	(2J6)
' о о
Если пласт сложен из включений пористых сред проницаемостями
и Аг распределенных равновероятным случайным образом, то после
усреднения проницаемости по площади сечения потока
/ о кх GJ + fc2(1 - щ)
где 6J =со (х) —случайная функция, которая показывает долю включений
проницаемостью кдля фиксированного х. При равновесном распределе-
нии обоих значений kt и к можно принять ы (х) = sin2 тгх//, тогда к =
= ^ГГ-
Среднее значение проницаемостей — это макрохарактеристика порис-
той среды, которая зависит от направления потока.
ИЗМЕНЕНИЕ СТРУКТУРЫ ПОР И ПРОНИЦАЕМОСТИ
ИЗ-ЗА ВЫПАДЕНИЯ ПАРАФИНА И АСФАЛЬТЕНОВ
На месторождениях с высокопарафинистой нефтью, температура насыще-
ния парафином которой близка к пластовой температуре, небольшое ее
снижение может приводить к кристаллизации парафина, его осаждению
и закупорке поровых каналов. Уменьшение проницаемости тем больше,
чем больше прошло парафинистой нефти. В табл. 2.4 указано содержание
парафина в нефтях некоторых месторождений.
С момента появления твердой фазы в потоке нефть становится диспер-
сной системой.
В.П. Троновым рассмотрен состав твердой фазы из 104 кристаллов,
подсчитанных с помощью микроскопа по пробам 60 скважин Ромашкин-
ского месторождения. Кристаллы равномерно распределяются по объему
нефти, их размеры и долевое содержание приводятся ниже.
18
Нефть месторождения	Содержание парафина, %	Пластовая температура, °C	Температу- ра насыще- ния, °C
Узень	До 26	59-65	59-65
Битков	10-15	48-52	42-45
Бавлы (девон)	3 —4	35-40	28
Ромашкино (девон)	4,5	35-38	18-22
Жетыбай	До 23	80-100	52-57
Долина	7-10	50-85	35
Луквинское	7-10	38-39	35-36
Ромашкино (угленосная свита)	4,4	20	14
Средний размер частиц, мкм...........1—3	3—7
Доля кристаллов и их скоплений, % . .69	20
7-20	20-50
> 50
3,5
Скорость оседания кристаллов мала. Из кристаллов образуются рых-
лые сгустки, способные удерживать около себя большое число частиц дис-
персной среды. Это уменьшает плотность структуры и снижает скорость
оседания, которая в реальных условиях для скоплений диаметром около
10 мкм не превышает сотых долей миллиметра в секунду. Кристалличес-
кий парафин может уноситься потоком нефти при скорости 0,3 мм/с.
Но эта скорость соответствует скоростям фильтрации около 5 м/сут,
а скорости фильтрации обычно на порядок ниже, поэтому осевший пара-
фин в основном остается в порах.
Для слабопроницаемых пластов (порядка 0,1 мкм2 и ниже), когда
диаметры поровых каналов составляют около 10 мкм, оседание парафина
может привести к закупорке поровых каналов и прекращению фильтра-
ции. Освободить поровые каналы только увеличением перепада давления
невозможно (напряжение сдвига парафина до 10 МПа), парафин необходи-
мо расплавить тепловым воздействием.
На подвижность системы влияет и содержание в нефти асфальтенов,
которые осаждаются на поверхности поровых каналов и на границе разде-
ла нефти и воды.
На границе раздела нефть — вода образуются твердые пленки, которые
делают эмульсию воды и нефти в пласте стойкой и не разрушающейся при
наличии 2 — 3 % асфальтенов (эмульсии деасфальтированной нефти быст-
ро расслаиваются). Пленкообразующее вещество нефти Ромашкинского
месторождения содержит 84,4 % асфальтенов и 14,1 % смол и парафина,
нефти Туймазинского месторождения — 84 % асфальтенов. Толщина пле-
нок 0,04 — 0,05 мкм.
С адсорбцией асфальтосмолистых веществ связана гидрофобизация
внутрипоровой поверхности. При адсорбции асфальтенов образуются
гелеобразные высоковязкие пленки толщиной около 1 мкм на внутрипо-
ровой поверхности, значительно ухудшающие коллекторские свойства
слабопроницаемых пластов.
19
ллцсорицин dcqJdJibi chub IipdK i ичевии меиираI има. UHd прекращает-
ся при равновесной концентрации асфальтенов в нефти, равной 30 —
35 мг/см3. Дальнейшее увеличение их концентрации уже не приводит
к росту адсорбции, максимальное значение — 0,42 мкг/см2.
Адсорбция асфальтенов на кварце не оказывает существенного влия-
ния на проницаемость песчаников. Однако смачиваемость поверхности
водой при этом значительно меняется. После адсорбции асфальтенов на
кварце угол смачивания растет с 30 — 31 до 47 — 50 °. Наличие асфальте-
нов приводит к снижению водопроницаемости.
НАРУШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ЗАКОНА ДАРСИ. ФИЛЬТРАЦИЯ
С НАЧАЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ СДВИГА
Закон фильтрации Дарси справедлив, когда фильтруется однородная
жидкость, обладающая ньютоновской вязкостью, скорость и градиенты
давления малы, число Рейнольдса не превышает критического значения,
за которым теряет силу линейная связь скорости и градиента давления.
Если, учитывая формулу М.Д. Миллионщикова, ввести
Re = р v \/к/ (р т у[7п ),
то в зависимости от структуры пористых сред закон Дарси применим
вплоть до значений Re = 0,022 — 0,29.
Известна формула для больших Re
- grad р = (р /к}7 + C(pd 2/ (тк у/к)) v v,	(2.18)
где С — константа порядка (1 — 1,2) -10-4; г/ — эффективный диаметр
частиц коллектора.
Появление квадратичного члена обусловлено возрастающей ролью сил
инерции при увеличении скорости.
Формулой (2.18) приходится пользоваться задолго до появления
турбулентности, которая отмечается при Re > 350.
Формула (2.18) справедлива для любых Re, в том числе и в области
турбулентного движения.
Для описания движения неньютоновских жидкостей в пористых
средах предложены различные модификации и обобщения закона Дарси,
причем большинство работ посвящено фильтрации на начальном участке
кривой и — Др. Часто этот участок моделируют зависимостью и =
= aGl'п, G = |grad р\.
При фильтрации со значительной скоростью в трещиноватых породах
также пользуются степенным законом с показателем п = 2, т.е. градиент
давления принимается пропорциональным квадрату скорости.
Обработку экспериментальных данных рекомендуется начинать с оце-
нок числа Рейнольдса, затем опробовать квадратичную зависимость
G = a + bv + cv 2	(2.19)
и выявить количественное значение каждого из членов. Имеется и другой
20
подход к изучению фильтрации неньютоновских систем. Согласно экспе-
риментам вязкость можно считать зависящей от градиента давления и
тогда течение описывается нелинейным законом Дарси, в котором вяз-
кость определяется формулой [14]
Д = А'от+(А10_МЛ„)/(1 + exp(fi (т - тп))),	(2-20>
где — вязкость при максимально разрушенной структуре; Р() — вяз-
кость при неразрушенной структуре; тп — напряжение, при котором начи-
нается разрушение структуры; В — характеристика скорости разрушения
структуры.
Ниже приведена зависимость вязкости пластовой нефти от напряжения
сдвига
7, Па...... 0,085	0,175	0,290	0,388	0,460	0,485	0,533	1,14 1,96
Ц.мПа с	...	58	57	56	27	16	9	4,25	3,8	3,8
Нарушение закона Дарси при фильтрации воды в глинистых грунтах
было экспериментально обнаружено давно. При малых градиентах давле-
ния такие грунты можно считать практически непроницаемыми, для боль-
ших Др зависимость скорости фильтрации от градиента давления можно
приближенно представить в виде прямой, отсекающей от оси абсцисс
некоторый положительный отрезок, называемый начальным градиентом.
Однако начальный участок кривой имеет более сложный характер.
Некоторые авторы выделяют как "начальный градиент", с которого
начинается просачивание жидкости, так и "граничный градиент", при пре-
вышении которого справедлив закон Дарси.
А.Х. Мирзаджанзаде [21] предложил брать зависимость между ско-
ростью фильтрации и градиентом давления в виде прямой, отсекающей от
оси абсцисс отрезок ar^y/m/k, где а — числовой коэффициент, зависящий
от структуры пористой среды, т() — предельное напряжение сдвига, m —
пористость, к — проницаемость. Эксперименты, проведенные с парафинис-
тыми нефтями месторождений Азербайджана, подтвердили эту зависи-
мость [31].
Содержание в нефти парафина в кристаллическом виде усиливает ее
структурно-механические свойства и значительно снижает нефтепроницае-
мость пористой среды.
Пластовая нефть Ромашкинского месторождения при понижении тем-
пературы (18— 24 °C) также приобретает структурно-механические свой-
ства вследствие наличия парафина. Для таких нефтей закон фильтрации:
7=0 при lvр| < Go,
7 = — (к/р) (1 - Go/|vpI) V Р при IvpI>G0,	(2.21)
где Go — начальный (или предельный) градиент, который зависит от про-
ницаемости среды и температуры.
В работе [3] предложена модель фильтрации нефтей, структура кото-
21
рых полностью разрушается при некотором градиенте давления, после
чего она ведет себя как ньютоновская жидкость. Эта модель применима
для описания фильтрации нефтей, вязкость которых определяется форму-
лой (2.20), если скорость разрушения структуры достаточно велика.
При градиентах, меньших начального градиента сдвига (градиента разру-
шения структуры), фильтрация считается невозможной, при больших
градиентах фильтрация описывается законом Дарси
—>	-►
v = 0 при | V р\ < Go, и = ~(k/p}vp при|\7р|>б0.	(2.22)
Такой подход позволяет решить ряд сложных задач и выявить основ-
ные эффекты благодаря возможности применения методов теории функ-
ции комплексного переменного.
Для изучения фильтрации грунтовых вод В.В. Соколовским предло-
жен закон
- (к/р}ур = v/\J\ - c2i/2,	(2.23)
где постоянная с — некоторый параметр, определяющий опережающий
рост фильтрационного сопротивления с увеличением модуля скорости.
При с = 0 имеем закон Дарси, при с 4- 0 существует предельно возможная
максимальная скорость фильтрации итах = 1/с. Она достигается лишь
при бесконечно большом градиенте давления.
В общем случае нелинейный закон фильтрации
grad = Ф (iz )i/7i/,	= (к/р)р.	(2.24)
Для нелинейных законов функцию Ф (и ) можно представить в виде,
например,
gradp= (д /к}р- GQ {v/v ).	(2.25)
По порядку величин предельный градиент GQ составляет G(| г /<У
<^>TQ/\[k', т — предельное напряжение сдвига жидкости; d — средний раз-
мер пор (капилляра), пропорциональный
Зависимость Gq от проницаемости рассмотрена в работе [31]. Уста-
новим связь начального градиента с предельным напряжением сдвига. Для
капилляра радиуса г из условия предельного равновесия найдем градиент,
при превышении которого начинается течение, описываемое выражением
Со=2ЛЛ
При множестве капиллярных каналов различных форм и диаметров
начальный градиент сдвига определяется эффективным радиусом наибо-
лее крупной поры. Для пористой среды радиус капилляра обычно заме-
няют на \[к и вводят множитель а, учитывающий связь эффективного ра-
диуса наиболее крупных пор с проницаемостью,
Со=ато/^	(2-26)
Если tq измеряют в Па, к — в мкм2, Gq — в МПа/м, то берут а = 0,0167.
Ранее предлагалась и иная формула
Go = 0,052 то/ к°‘е2.
22
Формулу (2.26) можно получить и теоретически из условий предель-
ного равновесия. Если удельную поровую поверхность принять равномер-
но ориентированной по всем возможным направлениям, то условие рав-
новесия в момент возникновения движения можно представить в виде
т 'Go = (S/it2) f f tqcos a cos (3 da d 0 = 4 tqS/tt2 ,	(2.27)
где m ' — просветность; S — удельная поверхность; a, (3 — углы, опреде-
ляющие ориентацию площадки.
Движение возникает не по всей поверхности пор, а по ее части, которая
определяется структурой пор. Поэтому в (2.27) следует заменить S на
среднее значение части удельной поверхности < S>, участвующей в движе-
нии. Приняв просветность, равной пористости, имеем
Gq =4т0$/(тг2т).	(2.28)
Можно взять < S > = S/2. Если пористую среду моделировать ромбо-
эдрическим умножением сферических частиц, то за подвижную часть вн ут-
ренней поверхности можно принять отношение длины окружности впи-
санного круга к периметру криволинейного "окошка" в элементе порис-
той среды, т.е. <S> = 0,31.
Заменив в (2.28) удельную поверхность по формуле Козени
S = m\j2mC/3k	(2.29)
и приняв т' = т = 0,26, С = 0,60, получим следующее выражение
Go =0,040 т0/ \/к.
Для оценки значений начального градиента сдвига по предельному
напряжению сдвига можно рекомендовать формулу (2.26), в которой
значения а следует брать в пределах от 0,017 до 0,065. Значение коэффи-
циента а, которое принималось в работе, означает, что подвижная часть
составляет 0,13 от всей удельной поверхности пор.
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ СТРУКТУРНО-МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ЖИДКОСТЕЙ НА ФИЛЬТРАЦИЮ
Закон фильтрации вязкопластичных жидкостей
для слоистого пласта
Если смотреть на слоистый пласт как на нечто целое, то можно обобщить
закон фильтрации для данной системы с учетом (2.25).
В этом случае закон фильтрации в координатах w — [grad р| изобра-
жается ломаной, состоящей из ряда отрезков (рис. 2.6), т.е. представляет
кусочно-линейный закон, являющийся обобщением выражения (2.25),
описывающего усредненное движение в тонком слое [17] .
Пусть в пласте имеется п слоев проницаемостью и толщиной h . ,
которые занумерованы в порядке уменьшения проницаемости к >
>к >. . .>к .
2
23
Рис. 2.6. Условный закон фильтрации
для слоистого пласта
Средняя скорость фильтрации
пласта н
э
w (*, и) = ~~Ч V (х, y,z}dz, (2.30)
н о
где Нз = Z h ..
Если в каждом слое закон филь-
трации представлен (2.25) со своими
к. и Gq (Gq. — растет с увеличением
номера слоя), то после подстановки
(2.25) в (2.30), получим
1 у
(2.31)
X Ikj h.Vp(x, у) - к. Л. Go.
Vр(х, у)
X -------- ] .
|Vp (х, у)
Индекс j, до которого выполняется суммирование, определяется усло-
вием Goj < | grad р ( < GQ у + (.
Усредненное движение в слоистом пласте в этом случае может рассмат-
риваться как усредненное движение в условно "однородном" коллекторе
при законе фильтрации (2.31). При изменении градиента давления в этом
случае может меняться суммарная эффективная толщина пласта — отдель-
ные слои включатся или выключатся из разработки.
Нестационарная одномерная фильтрация
с начальным градиентом
Начальный градиент давления сдвига связан с характеристиками пласта.
Поэтому его определение важно проводить непосредственно на месторож-
дении на основе промысловых исследований, учитывающих реальные
литологические условия. Остановимся на дифференциальных уравнениях
фильтрации и их решениях, лежащих в основе указанного исследования.
Для случая притока к скважине уравнение нестационарной фильтра-
ции имет вид
Эд	к Э	Эр
- =----------[г (-------
Эг	г	Ъг	Ъг
Go)],
(2.32)
где Ър/Ъг >G0 > 0; к — коэффициент пьезопроводности.
Когда движение происходит во всем пласте, начальный градиент не
24
влияет на характер кривой восстановления давления, только значения
давления в каждый момент окажутся меньшими на одну и ту же
величину.
При установившемся режиме распределение давления рст в пласте
кд	др
Gq}] =0.	(2.33)
г or	о г	и
Для Др = р — рст имеем уравнение
Э (Ар>_ к , д <др) _	(2.34)
Эг г Ьг Эг
такое же, что и в классическом случае, т.е. на зависимости Др (г, f) значе-
ния GQ не отражаются.
Значение градиента Gq оказывает влияние на индикаторную кривую
лишь на ранней стадии эксплуатации скважины, когда еще не весь пласт
охвачен фильтрацией.
Следовательно, обнаружение структурных свойств нефти при иссле-
довании скважин — задача не простая. Решить ее можно или на самой на-
чальной стадии эксплуатации, или при режиме, обусловливающем изме-
нение направления течения.
Рассмотрим случай снижения забойного давления в скважине, вскрыв-
шей однородный пласт.
Распределение давления описывается уравнением (2.32) с граничным
условием
О0 =- (2-пгНк/ц} (bp/dr - G0)r=r .	(2-35)
с
Пластовое начальное давление примем за нуль (pQ = 0). Будем исполь-
зовать метод интегральных соотношений.
Вследствие снижения давления на забое скважины по пласту с конеч-
ной скоростью будет распространяться фронт возмущения г = / (f),
на нем bp/br = G .
Распределение давления представим как сумму квазистационарной
части, соответствующей течению с контуром питания г =/ (f), и нестацио-
нарной части:
p=fiQ/(2irkH) (1п(г//)-г// +1) +G (г - /),
КС и	и	(Z.OD)
Рнс==/’(г “ /)2//2' р = ркс+рнс-
где ркс, рнс — давление соответственно в квазистационарной и нестацио-
нарной частях.
На границе фронта возмущения г = / (f) функция и первая производ-
ная по координате равны нулю. Слагаемое GQ (г — /) — перепад давления,
необходимый для преодоления начального градиента сдвига. На фронте
возмущения рнс = Эрнс/Эг = 0.
Для нахождения / (Г) вместо уравнения (2.32) привлечем два интег-
25
ральных соотношения, получаемых из уравнения (2.32) умножением на
гп (п = 1,2) и интегрированием от 0 до/, принимая г = 0. Принявр = 0
при г = /, получим
dt о	2irkH
d 1	1
----J pr2dr = kGI2 /2 + к J pdr.	(2.38)
dt о	о
При квазистационарном режиме для определения / (г) достаточно
использовать первое соотношение (2.37), которое проинтегрируем по
времени:
jprdr = Qq t! (2я7//3 *), 0 = т + Зс-	(Z39)
Уравнение для определения /
/2 (1-4n«G0//(pQ0)) = 12кт.	<2-40>
Принято Qq < 0.
Обозначим/* — рО/ (AitkH G ) и будем называть критическим радиу-
сом фронта возмущения. Тогда положение границы возмущения
/2 (1+///*)= 12кг.	(2.41)
В начальный момент при / «/ * распространение фронта возмущения
будет таким же, как в классическом случае / у12кГ. Если же время
велико, то / надо определять как решение (2.41) с помощью итерацион-
ного процесса
/	= /„А/ГГ7	„ =х/12к/.	<2-42)
ГН1 о v п-1 X 0 v
Распределение давлений найдется по формуле (2.36), которая для
г = г с = 0 приближенно имеет вид
Рс ~ - (pQQ/(2тт кН)) (1п(гс//)+ 1) - Gol,	(2.43)
в то время как для классического случая при GQ = 0
р „ =- {р Q / (2л кН) ) (ln(r JVV2M} + 1).	(2.44)
С К Л	(J	с
При постоянном отборе забойное давление снижается пропорционально
логарифму времени. В случае фильтрации с начальным градиентом при
малых дебитах с некоторого времени уменьшение давления будет опре-
деляться членом Gol, т.е. будет происходить пропорционально корню
второй или третьей степени от времени.
Когда на забое поддерживается заданное давление, для /(f) и Q (г) < 0
получается
(2.45)
рс = - (pQ/(2itkH)) (In (г с//) +1) -Go/,
26
d p Q!1 G / 3 Q
-- (------------5—) = _____
dt 41ГкН 6	27T/3*W
Выразить решение этих урав-
нений в простом виде не удается
даже для постоянного р^.
Рассмотрим приближения
закона фильтрации с начальным
градиентом.
Начальный участок кривой за-
кона фильтрации
V = -(к/р) (1 - G/G) Р,
если G > Gq ,	(2.46)
и = 0, если G < Gq, G =|grad р|
G = grad р, G = | G |, v = | v |
доставляет много трудностей при
шениях задач. Этот участок (0<
Рис. 2.7. Аппроксимация законов
фильтрации.
Кривая, описываемая формулой: 1 —
(2.47); 2 — (2, 48) ; 3 — законом
Дарси
< Go) обусловливает появление застойных зон в поле фильтрации и
неизвестных границ зон течения, на которых модуль производной дав-
ления по направлению движения равен GQ. Чтобы избежать выделение
неизвестных границ зон течения, на которых модуль производной дав-
ления по направлению движения равен Gq. Чтобы избежать выделение
неизвестных границ, видоизменим закон фильтрации: проведем из на-
чала координат прямую под малым углом а к оси градиентов давления
(рис. 2.7). Точка пересечения этой линии, описываемой законом фильт-
рации, найдется при решении системы
р v /к = G tg а, р v /к = G — GQ,
откуда Gtg а = G — GQ или G = Gq/ (1 — е), е = tg а < < 1. Аппроксими-
руем линию, описывающую закон фильтрации, ломаной, тогда
v —kiG/р, если G =C G,,
(2.47)
ir — к (G — Gq ) /р, если G > G, G* — G/ (1 — с).
Такая замена избавляет от необходимости выделения особенностей те-
чения. При малых е результаты мало отличаются от случая фильтрации
с предельным градиентом.
Избавиться от особенностей при расчетах можно, сглаживая кривую
(см. рис. 2.7).
Если взять функцию / = х(1 — е”х),
то при х~>0 у = х — х + х2/2>. — х3/3! + .  	0,5х 2,
а при х-^°° у = х — 1,
причем у > 0 при х > 0; у (1) = 1/е	0,35.
Закон фильтрации можно представить в виде
7 = - (k/p)a (G) G, a (G) = 1 - (GQ/G) (1 — ехр(- G/Go)).	(2.48)
27
Данное выражение предпочтительнее (2.47), так как кроме Gfl
в него не вводятся никакие параметры, кривая является гладкой и ка-
сается оси градиентов в начале координат.
С учетом закона (2.48) выведем уравнение для давления.
Закон (2.47) запишем в виде
к др	[е, если G<G /(1 —е),
и=~ —а -------. а — (	0
д Эг	[ 1 - G0/Gi, если G > G/(1 - е).	(2.49)
Здесь и — скорость радиальной фильтрации, а — коэффициент, учи-
тывающий неньютоновские свойства нефтей и зависящий от модуля
G = др/дг .
Предполагая пластовую жидкость однородной,
Будем считать систему скелет + пластовая жидкость слабо сжимаемой,
тогда
р = р [1 + 0 (р - р ) ], т = т + 0 (р- р ), 0* = т(3 + в. (2.51)
W	7П	V	V	fry	х-
Здесь (3^ — коэффициент сжимаемости, имеет порядок 10’3 — 10’4,
перепады давления (р — р ) имеют порядок 10’, в итоге второе слагае-
мое (р — р0) имеет порядок 10’1 или 10’2. По сравнению с единицей
им можно пренебречь.
Коэффициент Рс имеет порядок 10“4, вторым слагаемым и здесь мож-
но пренебречь и полагать т « Подставим в (2.50)
тр =Р1% + (%0Ж + 0J (р- ро) ].	(2.52)
Заменим скорость фильтрации по формуле (2.49)
Эр
1 Э кр г а др
— — ( -----2------
г дг р дг
(2.53)
обозначим к = к/p (т0Зж + 3 ) , т0 Ро Р- Заменив р на ро и пре-
небрегая малыми величинами высшего порядка, получим уравнение
др	к Э	Эр
— =-----------(аг - ------
9t	г dr	дг
(2.55)
для определения поля давления в жидкости.
В случае закона Дарси а =1, при фильтрации газа или газированной
жидкости а = а (р) • Имеются методы линеаризации (2.55) и их численно-
го решения. Для жидкостей со структурными свойствами а = a (G) чис-
ленные методы решения закона Дарси в литературе не описаны.
Для (2.55) нами получены конечно-разностные уравнения, разработа-
28
Время стабилизации дебита центральной скважины, R * — 100 м, г с —0,1 м
Время, f• 105	Расход		Время, t  105	Расход	
	при Рк — 10	при р — 50 к		при рк —10	при Рк~50
0,065	71,17	355,9	589,7	12,91	64,8
1,125	32,73	163,7	1507	11,75	59,0
14,74	20,43	102,3	2424	11,23	56,4
52,89	17,05	85,5	5179	10,52	52,6
Таблица 2.6	Таблица 2.7
Падение давления в скважине	Восстановление давления в скважине
при заданном дебите, р* = 10	при остановке
Время, t	Давление р^		Время, t	Давление р^	
	для q — 5	для о = 10		р — 2 к	р =10 к
7,75-10" 7	9,38	8,77	4,46 10-7	0,183	0,917
3,55-10 6	9,01	8,01	2,83-10 5	0,613	3,068
4,9 -10 5	8,1	0,2	4,41 -10 4	0,998	4590
6,3-10 4	7,1	4,2	2,73-10 3	1,258	6,290
1,52-10 3	6,76	3,52	1,69 -10 2	1,513	7,568
3,3-10 3	6,45	2,91	4,21-10 2	1,683	8,417
5,97-1 0 3	6,22	2,43	2,60'10 1	1592	8,959
7,75-10 3	6,11	2,14	1,613	2,0	10,0
ны алгоритмы вычислений, составлены программы и проведены расчеты
на ЭВМ различных случаев. Здесь приведем только результаты расчетов
(табл. 2.5 — 2.7), где давление р, дебит q, время t безразмерны, так как
параметры поделены на соответствующие масштабные коэффициенты:
p = p/(G0/?K); q = q/(kRKHGQ/p); t = t/(R2KM.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ НЕФТЕЙ ПРИ
ИССЛЕДОВАНИИ СКВАЖИН. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ФИЛЬТРАЦИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ НЕФТЕЙ
Исследования скважин на месторождениях, содержащих аномальные вяз-
копластичные нефти, показали, что кривые восстановления давления
в случае притока жидкости не совпадают с кривыми восстановления дав-
ления при нагнетании жидкости [3, 24]. Аналитические исследования
также указывают на различие в динамике забойного давления при проти-
воположно направленных процессах восстановления давления.
29
аномальных свойств нефти.
Формула притока к скважине при фильтрации с начальным градиентом
в безразмерном виде следующая:	,
О = -2тг[(рк - рс) - (1-гс) ]/1п (1/гс).
(2.56)
Дебит не пропорционален разности давлений. Индикаторная кривая —
прямая, отсекающая от оси депрессии положительный отрезок.
Для закона фильтрации, аппроксимированного ломаной кривой, при
безразмерных переменных условие постоянства расхода
a (G}dp/dr = ~О/(2 nr}, a (G) =
е, при G < (1 — е) *,
(2.57)
1 — G” 1, при G > (1 — е) "1.
Пусть при г = г* градиент давления принимает критическое значение
G = 1/(1 — е). При г < г градиенты давления значительны, так что
(2.57) можно представить
Эр/Эг - 1 = - О/ (2ттг ) ; г. < г < г *.
(2.58)
Интегрируя, получаем .
р = рс+ (г — г с) — (О/ (2тт) In (г /г с).	(2.59)
Для г > г * градиенты малы, уравнение (2.57) принимает вид
edp/dr = — О/ (2ттг ), г * < г <1.	(2.60)
Интегрируя, получаем
р= рк + (О/(2тте) In (1/г ).	(2.61)
В (2.59) и (2.61) вошли две неизвестные величины О и г*. При г =
= г *G известен и равен 1/(1 — е). Подставив его значение в (2.60), полу-
чим
г* = - (1 - е)2ле,г* <1.
Приравнивая (2.59) и (2.61) при г = г *, получаем
О = -
2я[рк-рс- (г * - г с) ]
In (г /г с) - (In г *) /е
(2.62)
(2.63)
Формулы (2Д2) и (2.63) позволяют построить итерационную процеду-
ру вычисления О и г . Начальное значение г берется равным 1, затем вы-
числяется первое приближение О по формуле (2.63), г — по формуле
(2.62).
Если г * < 1, то вычисляются второе приближение по формуле (2.63)
30
Установившиеся дебиты О при выполнении закона
фильтрации (2.47)
Давление Рк	Дебит О							
	е=--о	е =0,05	е = о,1	£=0,2	£=0.5	6 =0,9	£ = 0,999	Закон Дарси
1,1 5,0 10,0 50,0	0,092 3,639 8,187 44,57	0,190 3,639 8,187 44,57	0,291 3,639 8,187 44,57	0,430 3,639 8,187 44,57	0,683 3,727 8,187 44,57	0,925 4,301 8,695 44,59	1,000 4,543 9,087 45,44	1,001 4,548 9,096 45,48
Таблица 2.9
Зависимость г * от параметров би рк (г с — 10 3, рс — 0)
Давление Рк	Параметр					
	6=0,05	е = 0,1	£ = 0,2	£ = 0,5	е = о,9	£ = 0,999
1,1	0,574	0,417	0,274	0,109	0,016	0,0001
5,0	1,000	1,000	1,000	0,593	0,076	0,0007
10,0	1,000	1,000	1,000	1,000	0,154	0,00014
50,0	1,000	1,000	1,000	1,000	0,789	0,0072
и г * по формуле (2.62). Итерационный процесс продолжается, пока два
последовательных значения отличаются друг от друга по модулю на 10 4.
Ниже даны результаты вычисления расходов при следующих значе-
ниях параметров: г с = 10”3; рс = 0; рк = 1,1; 5; 10; 20; 50; е = 0;
0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 0,9; 0,999. Значение е = 0 соответствует фильтрации
с начальным градиентом, а е = 1 — фильтрации согласно закону Дарси
(табл. 2.8, 2.9). _ _	_
Зависимость О иг‘от контурного давления рк представлена ниже.
Д.		. .	0,5	1	1,5	2	3	4
	. .	0,0456	0,0978	0,1534	0,212	0,333	0,461
а		. .	0,296	0,615	0,964	1,329	2,094	2,895
При этом:	6 =0,5; г ' с	= 10 3;	р — 0. с			
Поведение индикаторных кривых
Индикаторные кривые для различных законов фильтрации имеют качест-
венно разный характер. Как определить закон фильтрации по характеру
индикаторной кривой?
Индикаторные кривые при увеличении и уменьшении дебитов позво-
ляют отличать нелинейность законов фильтрации от эффектов, связанных
31
Диагностика индикаторных кривых
Закон фильтрации	Формула скорости		Кривая течения		
Дарси к = const	V	<0 •* 1 II	V		
Д = const		д	0		
					G
Дарси к = к (р)	V	к = — G	V		
Д = Д(р)		Д	0		
					G
		Д			
Двучленный	G	= 	V + к		/	
		12 -10“ 5 Лс/2 3 v 2			
		тк \J~k~			
					G
С начальным градиентом	1/	= 0, G < G 0 к	V		
	V	= —(G - G ), G>G ц	0	0	0		
				Со	/;
32
Формула дебита
Индикаторная кривая
Примечание
2'ПкН
О =-------
V
Сохраняется для неод-
нородного пласта
27ГкН Ар
О =----------------(1 + 0Др)
Л
,,. к
у. In---
г
с
Лр = АО ± 0О 2
"+" нагнетание,
" отбор
к = ку\ + 0 Др)
JU = JU<1 + 0 Др)
0 = 0,+022
А11П(Я /г )
А =--------—--------
2ТТ кН
12-10“Spd2
В = -------э—
47Г2 т к\/кН2Вк
27ТкНАр± GqR
Q — --------------“
Mln<V'cl
"+" отбор
" нагнетание
На оси депрессии отсе-
кается отрезок
Др„ =GFt
^0 ОК
3-373
33
Продолжение табл. 2.10
34
35
ь оа। ьги । ipunицаемииi и и виакииш ui давления. пиже ДЗНО 0000-
щение формулы Дюпюи для каждого из законов и показана качественная
характеристика индикаторной кривой.
С ростом давления в жидкости проницаемость, как правило, растет
из-за раскрытия трещин, а вязкость убывает. Поэтому величина множите-
ля к/м в законе Дарси увеличивается с ростом давления. Считая интерва-
лы изменения давления небольшими, представим эту зависимость в виде
линейной функции
/г/д = (/гпл^Пл> И +^(Р-РПЛ)Ь	(2.64)
Тогда при нагнетании
а
2-ПГ Н
^пл	dp
---- [1 + 3(р-р )] — .
^пл-dr
(2.65)
Интегрируя (2.57) по г от г = г с до г = R * и по р от р = рс до р = рк =
= рпп, получаем
2nk Н Др(1 + (3 Д р/2)
0= ------------------------- (2.66)
Mln (Я К1г с1
Для нагнетательной скважины Др > 0, дебит будет выше, чем по обыч-
ной формуле Дюпюи, для добывающей скважины, наоборот. Правильная
диагностика закона фильтрации (любого) возможна лишь при рассмотре-
нии индикаторной кривой, снятой для обоих режимов — нагнетания и до-
бычи. Наиболее часто встречающиеся законы фильтрации, соответствую-
щие формулы расхода и поведение индикаторских кривых представлены
в табл. 2.10. Формулы здесь несколько упрощены, так как г « R .
с к
Исследования при двусторонней стабилизации
давления на забое
Для определения начального градиента сдвига было предложено фиксиро-
вать давление на забое скважины после отбора из скважины достаточно
большого количества нефти, а в последующем осуществить подлив той
же нефти, фиксируя ее количество.
Начальный градиент сдвига определяется по формуле
Go = 'Лр д/сЯр ’ / (12 к д S (д0 — pj ),	(2.67)
где S — площадь сечения скважины; pQ — давление, создаваемое долитым
столбом жидкости; р — давление, создаваемое остатком долитого стол-
ба жидкости после частичного ее проникновения в пласт.
Очевидно, р0 = Q/S = pgAV/S,
36
где Д У — объем доливаемой жидкости.
Если принять р « pQ (вся закачиваемая жидкость проникает в
пласт), то (2.67) упрощается
G = у/тг(тРж+ (Зс) Н \ pj/(12 Д V).
(2.68)
Здесь ДУ — объем закачиваемой пластовой жидкости (приведенной
к пластовым условиям) после отбора нефти; р — разница в значении за-
бойного давления после нагнетания объема ДУ. Выражение (2.68) можно
получить и непосредственным выводом.
Распределение давления в пласте после отбора имеет положительный
градиент GQ, а после нагнетания объема жидкости ДУ — отрицательный
градиент (рис. 2.8). Вследствие перепада давлений (заштрихованная
часть) и упругости пласта происходит проникновение объема ДУ в пласт.
За счет повышения давления:
ДУ = 2ттЛ/(лт?/3 +/3 ) J (Др - 2G г }rdr.
уп	ж 'с о “ О
(2.69)
Интегрируя и учитывая Др х= 2G /, имеем
ДУ ^2irH{m{3 + 0 ) Д р~ / (24G ":).
у	ж
(2.70)
Решая (2.70) относительно GQ, получаем (2.68) (закачиваемый объем
нефти не должен превосходить отобранный). Те же соображения можно
использовать и для слоистого пласта. Пусть, например, пласт двухслой-
Рис. 2.8. Распределение давления в плас-
те после отбора и подлива нефти с на-
чальным градиентом
37
Рис. 2.9. Кривые восстановления забой-
ного давления при притоке (7) и подли-
ве (2) нефти.
Месторождение Ходжанбад, скв. 389
ный. Для каждого слоя можно написать формулу (2.70). Объем жидкос-
ти, проникающий в каждый слой
27ГЛ б *Др3
Д У = -L-L.-;
24 Go.
277/? В* Др3
Д^=—(2.71)
24 G 02
Начальный градиент
Goi =A^i. G02 =А/^кг, Д I/, +Д V2 = Д V.	(2.72)
Подставляя значения, имеем
Д1/ = 7гДр3 (Л 1|3^1 +h2P* к2}/{12А2).
Откуда находим А:
A =y/ir[P*klhi +P2k2h2}Apl/[12AV).
(2.73)
(2.74)
Подставив А в (2.72), находим искомые G и Gq 2. Аналогично мож-
но провести расчет для многослойного пласта. Методика позволяет найти
начальный градиент сдвига для каждого из слоев.
В скважинах с вязкопластичными нефтями четко фиксируют несовпа-
дение кривых восстановления давления, получаемых при остановках
скважин после отбора и нагнетания (рис. 2.9) [24]. Разность давлений
Др0 расходуется на преодоление предельного напряжения сдвига в пласте
и стволе скважины.
38
Таблица 2.11
Месторождение	Номер скважины	Давление, МПа				V Па-10
		рст	рст	рпл	Дро	
Ходжанбад	394	1,04	1,32	1,18	0,142	66,7
	389	0,7	1,07	0,90	0,156	98,2
Кошгар	11	11,03	11,23	11,1	0,1	27,3
Амударьинское	12	10,43	10,84	10,64	0,41	61,0
	9	10,07	10,37	10,22	0,15	11,6
	8	10,18	10,56	10,42	0,14	42,2
	11	10,28	10,90	10,59	0,31	92,6
Западный Палванташ	71	6,4	9,3	7,85	1,45	659
	84	7,14	7,24	7,18	0,06	24,7
Лельмикар	85	7,65	8,09	7,87	0,22	86,4
	87	7,53	8,03	7,71	0,25	9,88
Пластовое давление определится из соотношения
о =• о	+ Д п — р	— Др;
рп л ^ст ^0 ^ст ^0'
(2.75)
где Рст, р ст — восстановленное давление соответственно при притоке и
подливе жидкости (см. рис. 2.4).
С учетом значений Дро, вычисленных по кривым восстановления дав-
ления, определены значения то для ряда скважин на группе месторожде-
ний [24], результаты представлены в табл. 2.11.
Исследования по определению структурно-механических свойств
нефтей в пластовых условиях на месторождении Узень показали, что эти
свойства нефтей проявляются в зонах, примыкающих к границам водо-
нефтяного контакта. Ближе к купольной части месторождения указанные
свойства ослабевают и исчезают. Это относится к условию начальной плас-
товой температуры и практически полного газонасыщения нефти. При
снижении температуры в процессе нагнетания холодной воды нефти
месторождения Узень обладают реологическими свойствами (19, 34,
36].
На рис. 2.10 представлены индикаторные кривые, снятые на месторож-
дении Узень, отсекающие от оси депрессии отрезок, равный Ддо. В кружки
39
Рис. 2.10. Индикаторные кривые, снятые на
скважинах месторождения Узень:
1 - СКВ. 37, XVI гор.; 2 - скв. 168, XIII
гор.; 3 - СКВ. 180, XIV гор.; 4- скв. 157,
XIV гор.; 5 - 'скв. 24, XIV гор.; 6 - скв.
170, XIII гор.; 7 - скв. 177, XIV гор.;
8 — скв. 66, XIII гор.; 9 - скв. 73, XIII +
+ XIV гор.; /— расчетные точки
Рис. 2.11. Индикаторные кривые сняты
до (7, 2, 3) и после (7,2, 3 ) гидроразыва
на скважинах месторождения Узень:
7, 7 — скв. 6, XV гор.; 2, 2 — скв. 24, XV
гор.; 3, 3 — скв. 51, XIV гор.
взяты точки, полученные расчетным путем при обработке промысловых
замеров методом наименьших квадратов. На рис. 2.11 показаны индика-
торные кривые, снятые до и после проведения гидроразрывов (ГРП)
на скважинах. Как видно из рисунка, образование высокопроницаемых
трещин гидроразрыва в пласте приводит к изменению индикаторных
кривых, что согласуется с теоретическими данными.
Остановимся на возможности использования пьезометрических сква-
жин для выявления аномальных свойств нефтей, которая не освещена
40
в литературе. Установить аномальные свойства нефтей можно по кривым
восстановления давления, если они являются двусторонними или же сня-
ты на добывающей и близлежащей пьезометрическбй скважинах.
Разница (при двустороннем исследовании) между установившимися
значениями давлений Др выражается через начальный градиент и радиус
контура питания
60 = ДР?<2/?К)-	(2.76)
Формула (2.76) дает значение начального градиента сдвига по самому
высокопроницаемому слою. Если вблизи добывающей скважины располо-
жена наблюдательная скважина, то остановка добывающей скважины
приведет не только к восстановлению давления в добывающей скважине,
но и к росту давления в пьезометрической скважине (с некоторым запоз-
данием) .
Когда пластовая нефть не обладает аномальными свойствами, в добы-
вающей и наблюдательной скважинах устанавливается одинаковое давле-
ние (пластовое). При наличии аномальных свойств в пьезометрической
скважине установившееся давление будет выше, чем в добывающей. По
истечении времени градиент давления должен совпадать с начальным
градиентом сдвига (вдоль прямой, соединяющей скважины). Разность
давления в скважинах Др связана с расстояниями между ними / форму-
лой Др = GJ .
Отсюда Gq = Др// лишь для самого проницаемого слоя, где он мини-
мален. Кривые восстановления давления в добывающей и наблюдательной
скважинах для ньютоновской нефти имеют вид рис. 2.12 (а), а для ненью-
тоновской нефти — рис. 2.12 (б), т.е. в первом случае они сходятся, во
втором нет, образуя Др .
Зная к, можно определить период наблюдений. Восстановление давле-
ния завершается уже при параметре Фурье, близком к 1. Учитывая, что
Fq = 4Kt/R2K, получаем t = R2 / (4к).
При Я = 800 м и к = 1 м^/с для времени установления стационарных
значений давлений t = 16-104 с, т.е. менее двух суток.
Аномальные свойства нефтей приводят к уменьшению скорости
распространения возмущений давления в пласте. Для ньютоновских
нефтей возмущения распространяются по закону г & \/12кг, при наличии
начального градиента — по закону г	. Фронт возму-
щения останавливается на конечном расстоянии от источника возмуще-
ния.
Влияние начальных градиентов давления сдвига на нефтеотдачу плас-
тов сказывается главным образом через снижение охвата пластов вытесне-
нием нефти водой (образование застойных зон) и снижение скорости
фильтрации.
Если заводнение осуществляется холодной водой, то низкопроницае-
мые слои могут быть охлаждены до температуры, при которой происхо-
дит выпадение парафинисто-смолистых компонентов из нефти.
При снижении температуры нефтеотдача обычно разко уменьшается.
41
Рис. 2.13. Кривые влияния температу-
ры на нефтеотдачу при вытеснении неф-
ти месторождения Узень из керна.
Температура, °C : 1 — 80; 2 — 45 — 80;
накопленный объем: S — нефти;
SQ — жидкости; И/ — начальное
содержание нефти в керне
Рис. 2.12. Кривые восстановления давления в добывающей (рд) и наблюдательной
{р ) пьезометрической скважинах
п
Рис. 2.14. Зависимость температуры насыщения пластовой нефти парафином
<^Нас* от давпения и газосодержания. (Г.Ф. Требин) :
3	3	3	3
1 — Г — 0 м /м ; 2 — Л — 33 м /м ; 3 — Г (начальная пластовая газонасы-
1 .  со 3.3 .. 2 _  е\л 3/3	з
идейность) — 5о м /м ; 4 — Г— 94 м /м
При понижении температуры нефти
отмечено падение нефтеотдачи, которое
Ромашкинского месторождения
не объясняется ростом вязкости.
Т, °C............................. 40
Г?. %................................................ 73
30	20	5
71	65	27
Это снижение объясняется тем, что при низких температурах нефть
структурно-механические свойства из-за наличия парафина.
В.Н. Абрамов обнаружил затухание фильтрации нефти месторожде-
ния Узень при температурах ниже 45 лС и объяснил это выпадением пара-
фина. Влияние снижения температуры на изменение нефтеотдачи изучалось
Г.Ф. Требиным [36], А.Г. Ковалевым и др. (рис. 2.13, 2.14). Влияние
снижения температуры на нефтеотдачу они объясняли выпадением пара-
фина и общее затухание фильтрации, а не проявление структурных
свойств. Структурные свойства оказывают влияние на нефтеотдачу через
скорости фильтрации и охват воздействием по площади и разрезу, о чем
говорилось выше. Причем отрицательный эффект наблюдается в слоис-
тонеоднородных пластах при неизотермических условиях вытеснения
нефти.
I лава 3
ПРОСТЕЙШИЕ СХЕМЫ ВЫТЕСНЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ.
ПОЛУЧЕНИЕ ЭТАЛОННЫХ РЕШЕНИЙ
ПОРШНЕВОЕ ВЫТЕСНЕНИЕ В ОДНОРОДНЫХ
И МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ
Рассмотрим вытеснение нефти водой в однородном линейном пласте дли-
ны / при постоянном перепаде давления Др = рн - р^. Будем считать
вытеснение поршневым, т.е. таким, при котором существуют две зоны
фильтрации. В каждой из зон движущейся фазой является нефть или вода
(проницаемости и вязкости зон — кд, кд, рд]. Положение фронта
вытеснения — х(г), скорость фильтрации и, удельный объем пор, заня-
тый подвижной частью жидкости — т*.
Тогда
I/ = Лр/[(рд/кд +Мн/*н) (/- х) ] .
(3.1)
Скорость движения фронта связана со скоростью фильтрации v =
= m*dx/dt. Подставив это значение в (3.1) и проинтегрировав с учетом
начального условия х (0) = 0, имеем
43
Время прорыва воды по пласту получим из (3.2) при х = /
fo =mJ2/(2Ap} (днАн + МВАВ)-	(3.3)
Введем
Хп =ц к / {ц к ), | = х//, T = t/t	(3-4)
О гв н гн в	О
где хо — отношение проводимостей нефти и воды в пласте. Как правило,
X < 1. В новых обозначениях уравнение (3.2) и его решения записывают-
ся в виде
I- И -Хо) £2/2= (1 + Хо> т/2 и ?= (1 - х/1 - т (1 - х2)) / (1 -	(3.5)
- *Л
При поршневом вытеснении % численно показывает нефтеотдачу,
отнесенную к извлекаемым запасам. Зависимость нефтеотдачи от време-
ни выражается отрезком параболы, выпуклость которой меняется при
переходе х0 через значение 1 (рис. 3.1). Выясним, как влияет на поршне-
вое вытеснение начальный градиент сдвига в нефтяной зоне. Для фронта
вытеснения
dx
т-----=
dt
Д р- Gq ( / - х)
<МВ/*В)*+	(/ - х)
(3.6)
где Gg — начальный градиент сдвига.
Вводя безразмерные £ и т по формулам (3.4) и интегрируя, получаем
Рис. 3.1. Кривые вытеснении нефти в
галерее при заданном забойном дав-
лении для различных параметров Хо
Рис. 3.2. Зависимость вытеснения от на-
чального градиента сдвига при задан-
ном забойном давлении для параметров
Хо =0,2 и 7 = 0; 0,2; 0,5
44
1-7
-----л° £ = -—7, 7 =	< 1.
т?	2	Др
Новая зависимость нефтеотдачи от времени (3.7) отличается от (3.5),
причем 7 Ф 0.
Для малых 7, разлагая логарифм в ряд и пренебрегая членами высших
порядков, получаем формулу (3.5). Для 7 «1 можно (3.7) приближенно
заменить на
Начальный градиент приводит к уменьшению £ на один и тот же мо-
мент времени и увеличивает время прорыва. Последнее найдется из (3.7)
при £ = 1, т.е.
2	1
т = ----------- [ (1 - (1 - 7) Хо) In - - 7(1 -Хо)1.	(3.9)
72 И + Хо>	1-7
Ниже показана зависимость безразмерного времени прорыва г от пара-
метров х0 и 7-
т при
7 = 0,1.............................
7 = 0,2.............................
7 = 0,5.............................
7 = 0,8.............................
*0..................................
1,0536	1,0598	1,0687	1,0721
1,1157	1,1295	1,1496	1,1572
1,3863	1,4393	1,5163	1,5452
2,0118	2,1844	2,4354	2,5295
1	0,5	0,1	0,1	0
На рис. 3.2. приведена зависимость £ (т) для хо =0,2 и некоторых 7.
Для многослойного пласта, разделенного непроницаемыми перемычка-
ми, вытеснение в каждом из слоев будет идти со своими, примерно про-
порциональными проницаемостями, скоростями и . .
Пусть для всех слоев параметры р.д, Ар, т	одинаковы, а
значения проницаемостей по нефти различны. Пронумеруем пропластки
в порядке убывания проницаемостей и отнесем время ко времени проры-
ва по наиболее высокопроницаемому пропластку согласно формуле (3.3).
Обозначим через к. отношение проницаемости слоя по нефти к макси-
мальной, так что к. < 1, т. — время прорыва по каждому из пропласт-
ков, т > 1. Для каждого из слоев можно написать
= —— ( 1 - ^~к. 7. (1-Х2) ) , 7. = Мк. .
(3.10)
45
запасам, определится из формулы
т?= £. Л./S/i.,	-	(3.11)
в которой надо принять = 1 для обводнившихся слоев. Также можно
выписать соответствующую формулу для обводненности.
Однако выкладки упрощаются, если пласт считать состоящим из
бесконечного числа слоев, проницаемости которых распределены по
какому-либо вероятностному закону.
Обозначим f (к) — плотность вероятности проницаемости, отнесенной
к максимальной проницаемости, 0 < к < 1. Для определений нефтеотдачи
Г) до прорыва и после можно написать
1	1 Л-	i
q = J £ (кт) f (к) dk, т<1; т] = j % (кт) f (к) dk + $ f (к) dk, т> 1. (3.12)
о	о	1 /т
От выбора f (к) получится та или иная кривая вытеснения. Для закона
равномерного распределения f (к) =1 получаем
1	2 [1- (1- 7(1- X2 )3/2 ) ]
7? = ---- [ 1 - ------------------- ], 7 < 1,
1 - Хо	3711-Х2)
77 = (1+2х0)/(3(1+х0)-т=1 (момент прорыва),	(3 13)
77=1- (2 + хо)/(3(1 +Х0)Л т>1.
После прорыва 77 = 1 — С/т, где С 0,5; 1/3 < С < 2/3. Асимптоти-
ческое поведение экспериментальной кривой вытеснения позволяет найти
С (методом наименьших квадратов), а следовательно, и параметр Хд-
До прорыва воды для галереи дебит нефти
Д р 1
Q= —/
kf (к) dк
(3.14)
0	^в/кв]^ + {^/кн} <1 - &
и к" — максимальные значения; £ определяет положение фронта
где кв
вытеснения в каждом слое, %= £ (кт).
По обводнившемуся слою дебит пропорционален проницаемости
4в
= kf(k)dk, q = к Ар/ (р /).
0 1/7	0 В	в
Для необводнившихся слоев дебит нефти
kf (к) dk
= % J
° о

-----------. х 0 = рк/(рк).
$ + (1 - О /Хо
(3.15)
(3.16)
46
a	a
Рис. 3.3. Кривые обводненности (а) и нефтеотдачи (б) слоисто-неоднородного плас-
та с равномерным законом распределения проницаемости
Для случая равномерного распределения формулы (3.15) и (3.16)
дают
= ( 2. - J_) п = 2хо(2 + хо’%
%	%	2	2г2	' н 3 (1+ Хо) 2Т2
(3.17)
Вычислив отношение, имеем для обводненности
------- = -2--- ; D = ---------
% + % т +О	3(хо+ 1)
По формуле (3.14) удается вычислить дебит и до прорыва
2Хобн 1 + т(1 - х2) -2 - т(1~ х2)
з и - х0>2 (1+х0)	7(1 +	- х2))
(3.19)
На рис. 3.3. даны кривые нефтеотдачи и обводненности для равномер-
ного распределения проницаемости и некоторых значений х0-
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ НАЧАЛЬНОГО ГРАДИЕНТА СДВИГА
НА ПРОЦЕСС ВЫТЕСНЕНИЯ В МНОГОСЛОЙНОМ ПЛАСТЕ
Для слоистого пласта со случайным распределением проницаемостей
параметр у (3.7) будет функцией проницаемости
y = f0/Vk.	(3.20)
Вытеснение будет идти в тех слоях, для которых у < 1. В разработку
будут вовлечены слои, для которых
47
к к = 7‘, 7 = min d //Др.	(3.21)
mm 1 о 10	о м
Поэтому из извлекаемых запасов следует исключить низкопроницае-
мые слои. Потери нефтеотдачи вследствие отключения слоев составят
Д т? = / f (k) dk.	(3.22)
о
При равномерном распределении проницаемости извлекаемые запасы
следует уменьшить на 100 7^ %. Если на преодоление структурных свойств
теряется пятая часть перепада давления по хорошо проницаемому слою
(у = 0,2), то извлекаемые запасы следует уменьшить на 4 %. Помимо
потерь (3.22) из-за структурных свойств вымыв нефти из низкопроницае-
мых слоев будет отставать.
Выберем в качестве характерного времени Г его значение, определяе-
мое формулой (3.3) для наиболее высокопроницаемого слоя. Прорыв
воды по слою проницаемостью к будет определяться безразмерным значе-
нием времени
(3.23)
Предельный градиент у (см. выше). Для к = 1 у = у , время прорыва
по наиболее высокопроницаемому слою будет
(3.24)
Формула (3.23) позволяет при заданном т установить проницаемость
слоя, по которому к этому моменту времени пройдет прорыв. Следует
заменить у на 70 х/к и решить относительно к уравнение
2х/к
к т = —---
V1 + V
x/k->Jk -Х0)Х0 х/к
----------—----- In -Л- -	- (1 - X )
7---------yfc — 7	0
'о	v 'о
(3.25)
Таким образом,
к ~ к (т, у , х ), т <т<
пр пр ' о Ао о
(3.26)
Нефтеотдача с учетом начального градиента сдвига G (аналогично
(3.12))
t
т? = j | (кт) f (к) dk, если т <то,
у20
к пр	1
V = J % (кт) f (к) dk + f f (£) dk, если т > т .
(3.27)
48
Здесь ? (к, т) положение фронта вытеснения в слое с проницаемостью
к на данный момент времени т. Оно определяется как решение уравнения
(3.7) для своего слоя
1 - Хо 1 + *о	7о
7	2
(3.28)
Скорость фильтрации до прорыва и после прорыва
%//гв,л + Ч//гн’ (/" Л’ ”
После прорыва обводненность можно найти по значениям безразмер-
ных дебитов воды и нефти на единицу толщины, отнесенных к скорости
фильтрации воды после прорыва по высокопроницаемому слою:
qB = f kf (к} dk,	(3.30)
72о/72
72/72 1- 7(1 -?)
q = J ------------------- f{k}kdk.	<3 * * *-31)
н ?+(i-?)/x0
'о
Для заданного распределения проницаемости f (к) эти формулы поз-
воляют вычислить обводненность
£ = <5,в/(<7в +<7н’	<3'32)
как функцию безразмерного времени т.
Для иллюстрации распределение проницаемости примем равномер-
ным. В табл. 3.1 и 3.2 приведены расчетные зависимости нефтеотдачи (от
извлекаемых запасов) слоисто-неоднородного пласта от обводненности и
времени для различных 7о и хо-
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ
За фронтом вытеснения образуется зона совместного движения нефти
и воды. Расход каждой из фаз, скорости их фильтрации зависят от насы-
щенностей фазами. С ростом насыщенности фазой увеличивается при про-
чих равных условиях и скорость ее фильтрации. При малых насыщеннос-
тях фаза становится неподвижной. Так, при нефтенасыщенности до 20 %
нефть обычно неподвижна.
Минимальное значение нефтенасыщенности (остаточная нефтенасы-
щенность) зависит от структуры пористой среды, смачиваемости фазами
поровой поверхности и отношения вязкостей воды и нефти. Остаточная
нефтенасыщенность обычно колеблется от 15 до 30 %. Максимальное
49
4
Таблица 3.1
Время 7	Нефтеотдача, %					
	\>=1			X = 0,1 0		
	70=°.1	7о=О,5	7о=°,8	7о=о,1	70=°.5	70=0,8
0,2	8,7	3,7	0,8	45	2,0	0,4
0,4	17,6	7,7	1,6	10,3	4,2	0,8
0.8	35,8	16,9	3,8	22,9	9,4	1,9
1,2	53,7	27,9	6,8	41,3	16,0	3,2
1,6	64,7	39,7	10,8	55,3	26,5	4,9
2,0	71,6	47,6	16,2	63,7	36,6	7,1
3,0	70,3	58,3	26,6	75,1	50,4	17,7
6,0	89,4	69,1	34,7	86,7	64,7	31,1
10,0	93.2	73,0	35,9	91,4	70,4	34,9
Т абли ца 3.2
Обводненность %	Нефтеотдача, %					
	\> = 1			^=0,1		
	70=°.’	7о=°.5	70=°В	V=0'1	7о=°.5	70=°.8
90	82,3	64,0	32,0	61,3	43,8	20,3
95	87,1	68,3	33,8	70,1	51,4	24,9
98	91,5	71,7	35,0	79,6	60,1	29,8
значение водонасыщенности называют коэффициент вытеснения.
Остаточная нефтенасыщенность обусловливается сложным строением
порового пространства, в котором есть тупиковые поры и защемленные
водой участки. Опыты показывают, что при совместном движении каждая
фаза выбирает свои поровые каналы. При каждой насыщенности возни-
кает характерная для нее конфигурация потоков. Если насыщенность
несмачивающей фазой (нефтью) снижается, то площадь сечения фазы
суживается. Поток фазы стремится разорваться, и в конце концов обра-
зуются изолированные неподвижные островки фазы в порах. Чтобы изо-
лированные островки фаз пришли в движение в порах, требуются градиен-
ты давления порядка нескольких десятков мегапаскалей на метр.
При высокой нефтенасыщенности вода неподвижна.
Минимальная водонасы(ценность (15 — 30%) называется связанной
водонасыщенностью, при этом вода занимает мелкие поры и тупиковые
зоны.
Возникновению нефтяного месторождения предшествует миграция
нефти к месту ее стационарного равновесного положения. При этом
пластовая вода замещается нефтью. Насыщенность погребенной (релик-
товой) водой, как правило, соответствует минимальному значению и сов-
50
падает со связанной водонасыщенностью
(если нет подошвенных вод). Погре-
бенная вода неподвижна, однако при
заводнении за фронтом вытеснения пог-
ребенная вода смешивается с нагнетае-
мой. Нагнетаемая вода, соединившись
с погребенной, частично вытесняет пос-
леднюю, так что нефть вытесняется пог-
ребенной водой, которая в свою очередь
вытесняется нагнетаемой водой.
При совместном движении закон
Дарси для несмешивающихся фаз имеет
следующий вид
к к (s)
—>	В
и = — ----------Д р,
В	II
Рис. 3.4. Относительные прони-
цаемости нефти (7) и воды (2)
для насыпного речного песка
(3.33)
Здесь к (гг) и к (s) — относительные проницаемости, 0 < $ < 1. Для
насыщенностей, меньших связанной s , кд ($) = 0, а для насыщенностей,
превышающих максимальное значение s2, кд ($) = 0 (рис. 3.4). Сумма
относительных проницаемостей обычно меньше единицы. Это объясняется
взаимным торможением жидкостей, обусловленных капиллярными эф-
фектами. Часть жидкости, которая образует насыщенность островного
типа, т.е. находится в виде изолированных капель в другой жидкости,
не фильтруется.
Обычно пользуются степенной аппроксимацией
0,	0,
к =А (s-s ) *; Аг =Д (s -s) 2,s <s<s	(3.34)
о	I	1	п	х х	1	х
Здесь s , $2 — соответственно связанная и максимальная водонасы-
щенности; A?, 0^ 02 ~ числа, характеризующие строение пористой
среды и ее гидрофильность. Обычно 1 < (5 , 02 <4. Иногда пользуются
модельными проницаемостями:
/cB=s2, /гн= (1-s)2, 0<s< 1.	(3.35)
Преимущество их состоит в том, что в одномерном автомодельном
случае все показатели вытеснения выражаются простыми конечными
формулами, поэтому они удобны для контроля численных расчетов.
Скачок насыщенности и безводная нефтеотдача тогда определяются
S	+мн), V = 2\/р / (у/ц +р. +\4Г).	(3.36)
G	D D	П	D	О	П	•-*
51
Для насыпных песков
кв = ((.<;-0,1) /0,9) 3, к* = ((0.9 — s)/0,8) 3, 0,1 <s«0,9.	<3-37>
При неизотермической нефтеотдаче
3,0	2,2
ка = 1,55 (s - 0,15)	, кн = 1,59 (0,8- s)	(3.38)
Для естественных кернов и нефти месторождения Узень
2,85	1,95	,_
кв =0,2 ((s — 0,3) /0,7)	, кн =0,95 ((0,72- s) /0,42)	.	<3-39'
Иногда в расчетах используются значения относительных проницае-
мостей, взятые из таблиц.
Дж. Т. Морган и Д.Т. Гардон получили на естественных кернах зави-
симость, приведенную ниже.
s....................... 0,18	0,33	0,4	0,5	0,6	0,7
к....................... 0.97	0,33	0.19	0,07	0,02	0
....................... 0	0,06	0,09	0,17	0,28	0,41
в
При теоретическом обосновании кривых относительных проницаемос-
тей за модель пористой среды принималась либо система параллельных
щелей с одним и тем же раскрытием, либо система круглых капилляров
одного и того же радиуса. Если считать, что при вытеснении вода занимает
центральную часть пор, а нефть остается в виде постепенно вымывающейся
пленки на поверхности пор, то для щели шириной h имеем следующее:
(3.40)
где s — водонасыщенность. Выражения в квадратных скобках можно при-
нять за относительные проницаемости воды и нефти. Отношение вязкостей
влияет на относительную проницаемость воды при малых водонасыщен-
ностях. Если щель заменить круглым капилляром, то при той же схеме
течения

тгя4 до , 2Ц
---- — Is2 - -------§-
8Цв Эх	Дн
Я84 др
-------Г— ( 1 - S) 
8U Эх
(3.41)
52
Значения относительных проницаемостей согласуются с эксперимен-
тальными данными, но при их расчете не учитываются связанная вода
и остаточная нефть.
Аналогичную выражению (3.41) формулу можно получить и для
случая вязкопластичной нефти:
27 р
кв = s2 +2s (1 — s) (1 - 2/(1 + уД}) -------
я др/ дх рн	(3.42)
4	2Т
к = (1 -s)2 + [4 (1 - Vs) /3] ——,
н	Я др/ дх
Вязкопластичные свойства нефти обусловливают небольшое увеличе-
ние относительной проницаемости воды и заметное уменьшение относи-
тельной проницаемости нефти, когда предельное напряжение сдвига tq
достаточно велико. Сростом градиента давления влияние вязкопластичных
свойств ослабевает. При записи закона Дарси в обобщенном виде с множи-
телем (1 — G /G) эта зависимость фазовой проницаемости нефти от гра-
диента давления почти учитывается, так как относительную проницае-
мость нефти в (3.42) можно представить
кн = (1 — s2) [1 -4(1 + 2<7) / (3 (1 + уД)2) Go/G].	(3'43>
Выражение в квадратных скобках близко к множителю 1 — G^iG, поэто-
му при расчетах вытеснения аномальной нефти достаточно ограничиться
приписыванием указанного множителя.
Для моделирования относительных проницаемостей Фетт предложил
сетевую модель взаимосвязанных капиллярных трубок. В практических
расчетах, однако, предпочтение отдается экспериментальным относитель-
ным проницаемостям.
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что кривые отно-
сительных проницаемостей меняются с изменением температуры. Это
изменение довольно значительно для высоковязких нефтей, и его необхо-
димо учитывать при проведении гидродинамических расчетов.
В работе [1] приводятся результаты опытов по вытеснению водой мо-
дели высоковязкой нефти в несцементированных песках при больших
скоростях фильтрации (0,366 м/ч и более). Отмечается, что с ростом
температуры увеличивается гидрофильность песка, это приводит к росту
связанной водонасыщенности (в среднем 1% на 11 °C). Остаточная
нефтенасыщенность убывает в среднем на 1 % с ростом температуры
на 10 °C. Поверхностное натяжение о уменьшается при увеличении тем-
пературы. При температуре 45 — 50 °C начинается и уменьшение угла
смачивания, темп убывания составляет 3 ° на 10 °C [46].
По данным БашНИПИнефти остаточная нефтенасыщенность нефти
Арианского месторождения заметно убывает с ростом температуры.
Для температур 10, 24, 50 и 150 °C остаточная нефтенасыщенность соста-
вила соответственно 46, 40, 32 и 28 %.
53
I * I' I ° \2 I * I?
Рис. 3.5. Относительные проницае-
мости нефти и воды при различных
температурах, °C:
1 - 18; 2 — 50; 3-85
На рис. 3.5 приведены относи-
тельные проницаемости пластов
Русского месторождения (вязкость
нефти 200 — 400 мПа-с, пласто-
вая температура 19 — 20 °C) при
температуре 18, 50 и 85 °C. Экспе-
рименты проводились с дегазиро-
ванной нефтью скв. Р-36 на пред-
варительно экстрагированном
песчаном материале, вынесенном
из скважин. Проницаемость образ-
ца 2,54 мкм2, отношение вязкос-
ти нефти к вязкости воды при
этих температурах соответственно
равно 466, 98, 46. Виден рост
коэффициента вытеснения с уве-
личением температуры, тогда как
для связанной водонасыщенности
нельзя сделать четкого вывода.
Представление законов филь-
трацииввиде (3.33) оправдано лишь для высоких скоростей фильтрации,
когда капиллярными силами можно пренебречь по сравнению с градиентом
давления. Эту оценку обычно проводят по критерию
ТГ2 = ст/(A-lgrad/?|).	(3.44)
За границу автомодельности для гидрофильных песков принимают
значение it* = 0,5-106. При более высоких скоростях кривые относитель-
ных проницаемостей не зависят от скорости и отношения вязкостей.
ОДНОМЕРНОЕ ВЫТЕСНЕНИЕ НЕФТИ ВОДОЙ
В линейном однородном пласте длиной / нефть вытесняется нагнетаемой
водой, причем начальная водонасыщенность пласта постоянна и равна
sQ. На входе в пласт при х = 0 устанавливается максимальное значение s2
для всех Г > 0. Скорости I/ и v определяются через градиент давления
и кв (s) и к* (s).
кк (s) Э р	кк" (s) Эр
Каждая из фаз удовлетворяет уравнению неразрывности
Э-s Эи	3s Эи
т -=— + г—5 =0, — т -z— + -5------------= 0.
Эг Эх	Эг Эх
(3.46)
54
DtStIMCIVI D	„J.....
+ V
W =
I/
В
н
13.47)
Скорости каждой из фаз выражаются через суммарную
kb = F(s)iz , ин = (1 - F(s))(v, F(s) = kB/(kB+[iokH)liio=^B/fiH-l (348)
Подставив и в первое из уравнений (3.46), имеем для водонасыщеннос-
ти уравнение
3s	dF (s)
^ — + w (Г) —------ = 0.	(зда)
ot	ox
Введем вместо времени объем закачанной в пласт жидкости, отнесен-
ный к поровому объему пласта, и безразмерную координату
т = (1/(n?/)) J w £ = х//.	(3.50)
В новых переменных для насыщенности получаем краевую задачу
3s	3s
-^-+ F'(^) — = 0, 5(^,0) =so, s(0,r) =s2.
Квазилинейное уравнение (3.51) означает, что каждая точка потока
с определенной насыщенностью движется по пласту со своей скоростью.
Большие скорости имеет фронт с усредненным значением насыщенности
(производная F' (s) сравнительно велика, рис. 3.6). Меньшие скорости
характерны для точек, насыщенность которых близка к связанной
или максимальной $2- На входе в пласт при £ = 0 имеются все значения
насыщенностей в интервале sQ < s < s2- Точки с этими значениями для г >
> 0 должны двигаться с постоянными скоростями, равными F ($). Точки
со средними значениями насыщенностей перегоняют точки с малыми зна-
чениями, а с большими значениями насыщенностей отстают от точек со
средними. Поэтому возникает разрыв насыщенности, т.е. существуют
точки с некоторым средним значением, которые движутся по пласту, пере-
гоняя все точки с большими значениями. Разрыв насыщенности опреде-
ляется из условия материального баланса жидкости. Если значение насы-
щенности на скачке равно sc, то условие сохранения массы воды после
прохождения скачка можно описать формулой для скорости скачка насы-
щенности
<*Jdt = [F (s ) — F (s )]/(s -s ).
55
Рис. 3.6. Для воды в потоке
F (s) и ее производная F (s)
Рис. 3.7. Геометрическое определение
скачка насыщенности проведением каса-
тельной.
Области: / — начальной связанной во-
донасыщенности; //, ///, IV — возмож-
ных значений насыщенности соответствен-
но перед скачком, на нем, за скачком;
V — начальной нефтенасыщенности
Эта скорость совпадает со скоростью движения точек изосаты за скач-
ком, т.е. с F ($с) при s = sc- Приравнивая расходы, получаем уравнение
для определения насыщенности на скачке
{sc-so]F'{sc} =F{sc} -F<s0>'
Это уравнение можно также получить, если скорость скачка насыщен-
ности достигает такого максимального значения, которое определяется
балансовыми соотношениями.
Уравнение имеет простую геометрическую интерпретацию — скачок на-
сыщенности представляет собой абсциссу точки касания прямой, проведен-
ной из точки Is , F (s )), к кривой у = F (s). Если такую касательную про-
вести нельзя, то вытеснение происходит без образования скачка насыщен-
ности. Вытеснение без формирования скачка насыщенности будет наблю-
даться всякий раз, когда начальная (погребенная) водонасыщенность sQ
больше того значения, при котором достигается максимум производной
F (s). На рис. 3.7 показано определение значения насыщенности на скачке
для различных sQ.
Решение задачи представим в виде:
s=s0 при £ >%с, ^c = tF'(sc),
(3.52)
F'(s) = и s>sc при 0<£<£с.
Время прорыва воды по пласту тпр находим из условия ?с = 1. Насыщен-
ность на выходе из образца при £ = 1 связана со временем соотношением
56
т= 1//^' UK), гпр = 1/F' (Sc),
при этом обводненность на выхо-
де составляет F (sc).
Выведем формулу для нефте-
отдачи. Очевидно,
П =------5 (s-sQ)d^ =
1“ so о
1	1	1
= ----- [ (s - So) £ I - J gcfc].
1 - s	0	0
Заменяя £ по формулам (3.52),
интегрируя и упрощая, получаем
для нефтеотдачи т], обводненности
но
Рис. 3.8. Определение безводной неф-
теотдачи геометрическими построения-
ми для случая F (sQ) = 0.
/, //, Ш, IV, V — последовательность
расчета
£ и объема прокачки соответствен
£ = f(sK), т= 1/F'(sk).
(3.53)
По F (s) можно представить нефтеотдачу как функцию прокачанного
объема воды или обводненности.
Для безводной нефтеотдачи (рис. 3.8) при $к = sc из (3.51) и (3.53)
имеем
sc~so 1-'c(so)
т)=-------------------------- (3.54)
1-% F(Sc)-F(So)
В табл. 3.3. представлены расчеты нефтеотдачи и обводненности при
кд =0,15( (s - 0,35) /0,65) 2 85,
к = 0,95( (s_ - s)/(s — 0,35))1,95,
п	2	2.
s2 = 0,72+ 0,0015 (Г-65).
(3.55)
При вытеснении нефти водой, обладающей вязкопластичными свойст-
вами, в одномерном линейном случае скорости фаз
ккд	др
ц	Эх
“в
(3.56)
57
Таблица 3-3
Объем прокачки	7 = 35	°C	Т = 65 °C		7= 100 °C	
	1?	л, %	17	л, %	П	л, %
0,4	0,400	0,0	0,400	0,0	0,400	0,0
0.5	0,411	95,1	0,473	94,7	0,500	0,0
0,6	0,418	96,2	0,485	95,9	0,545	95,9
0.8	0,427	97,4	0,495	97,3	0,557	96,7
1,0	0,434	98,1	0,502	98,0	0,566	97,6
1.5	0,445	98,9	0,514	98,8	0,580	98,6
2,0	0,452	99,3	0,521	99,3	0,589	99,1
2,5	0,457	99,5	0,526	99,5	0,595	99,4
3,0	0,460	99,6	0,529	99,6	0,599	99,5
н
(3.56)
Удобно ввести скорость = (кк*/^*) G^, на которую уменьшается
скорость фильтрации нефти из-за ее вязкопластичных свойств. Ее можно
называть потерянной скоростью.
Скорости фаз
v = (w + vn)F, v = (1 - F)w - Fv , и/ = ^ +|/ .	(3.57)
8	V	Г*	и	О	П
Обводненность, или доля воды в потоке
F =v !w = '(1 + v Jw) F.
В В	о
Очевидно, F < 1. Это означает, что F < w / (w + ^0), большие значе-
ния F невозможны.
Задача определения насыщенности при вытеснении вязкопластичной
нефти для линейного однородного пласта принимает вид:
9s	9
т-----+ ----- [ (и/+ u)F] при G>G,
9f	9х	0
(3.58)
9s/9t = 0 при G<Gq, G=[9p/9x|,
О <х </, t > 0, s (х, 0) = sQ, Fв (0, t) = 1.
При вытеснении аномальных нефтей водой возможно образование
зон, где не происходит вымыва нефти. Они образуются за скачком насы-
щенности при малых скоростях, если в зоне движения смеси градиенты
давлений станут меньше начального градиента давления сдвига. Возможно
58
образование фронта, за которым вся остающаяся в пласте нефть непод-
вижна; за таким фронтом фильтруется лишь вода, поэтому градиент
давления G = iigw/(kkg (х)) < GQ, откуда ,для определения насыщеннос-
ти фронта имеем
М5*’ = ^vv/(/fGo)'	<3.59)
Решение этого уравнения можно найти графически по кривой отно-
сительной, проницаемости воды. Если решение (3.59) существует, то при
вытеснении не будет достигнуто значение максимальной водонасыщеннос-
ти х^. Если же (3.59) не имеет корня, то зоны невымываемой нефти не
образуется, s2 будет достигнуто на входе в пласт.
Чтобы нефть за скачком насыщенности вымывалась до достижения
х , градиент число нефтяного пласта должен превосходить начальный
градиент давления сдвига примерно во столько раз, во сколько раз вяз-
кость нефти превосходит вязкость воды.
При вытеснении с постоянной скоростью могут реализоваться три
различных режима в зависимости от поддерживаемых перепадов давле-
ния: поршневое вытеснение; вытеснение с образованием зоны невымы-
ваемой, застывшей нефти и зоны движения смеси; вытеснение по Бак-
лею — Леверетту без образования зоны застывшей нефти. Во всех случаях
вытеснение происходит со скачком насыщенности, который в отличие
от классического случая находится из уравнения (3.51) с заменой функ-
ции F на долю воды в потоке F
Введем критерий тгд > Ц()/кд (хс).
Для ньютоновской нефти, когда GQ = 0, этот критерий равен нулю
для любых скоростей вытеснения. Для вязкопластичной нефти режим
вытеснения определяется критерием nQ, отношением вязкостей и относи-
тельной проницаемостью воды. Если я мало и (3.59) не имеет корня,
то застывшая зона не образуется. Если же яо велико и (3.59) имеет ко-
рень «ф < х£, то происходит поршневое вытеснение со скачком насыщен-
ности х , .
ф
Приведем основные характеристики для каждого из режимов вытес-
нения.
Поршневой режим реализуется при тт > /10^B(sc)< где значение хс
уже нельзя достигнуть при вытеснении. Скачок насыщенности Хф опре-
деляется уравнением (3.59) и движется со скоростью и = (и//т) [1—
—F (х )]/ (х . -х ). Безводная и конечная нефтеотдачи одинаковы и вы-
В В	и
ражаются
п = Л = - "ф-~ *-°  .	(3.60)
‘ ‘о
1 - %
Вытеснение с образованием зоны застывшей нефти реализуется при
<яо<%//гв (sc>'
Решение задачи (3.58) можно представить:
х = Хф при 0 < х < Хф,
59
Fg (s) = mx/wt при хф < x < xc,
s = s„ при x <x C /,
о H c
Хф = (wt/m) Fg (5ф), xc = (wt/m] Fg (sj .
Безводная нефтеотдача
(3.61)
(3.62)
1 - Sn	Fa ~Fa <SJ
(J	о с И u
зависит от скорости вытеснения. Нефтеотдача при насыщенности на выхо-
де s , s < s < s .
” К С к ф
1	1 - F (s ) в к	(3.63)
П —	S	S I к	0	_ ' .	,	
1-%	F {s в к	
Вытеснение по
значениях тт0, 0 <
Баклею — Леверетту реализуется при всех оставшихся
тто < М0/^в U2) и может быть представлено s =sQ при
с
F'(s) = mx/wt при х<х , х = (wt/m) F'(s ).	(3.64)
В	с с	ВС
Безводная нефтеотдача определяется из выражения (3.62). Чтобы
получить безводную нефтеотдачу ньютоновских нефтей, достаточно в
(3.62) заменить Fд на F. Для маловязких нефтей и нефтей средней вяз-
кости в основном реализуется третий случай и учет аномальных свойств
сводится к замене функции F (s) на Fд (s).
Проиллюстрируем приведенные выше решения на примере модельных
относительных проницаемостей
к = Л к =(1-,Р, F = [1+%<1-,)2Ь2	(3-65>
в	н	в _________________
S2 + цо (1 - S)2
Насыщенность на скачке и безводную нефтеотдачу во втором и
третьем случаях можно найти по формулам
-----kу---------*----- 1,4 = ----------------------
1 + % <1 + % (1-sc) *	•	1 + sc +	(1~3
V	V	V	V	\J	и
(3.66)
При поршневом вытеснении насыщенность на фронте застывания неф-
$ф = VMqAq будет получаться меньшей, чем ее значение на скачке.
---- в (3.66), имеем условия поршневого вытеснения л/тг^ > 1 +
ти
Подставив $с
+ 
vo
60
Таблица 3 4
Насыщенность на фронте застывания (s . ), скачке (5 )
и безводная нефтеотдача Tj при различных значения pLQ и
Отношение вязкостей _ ^0	Ло=°			я0=1/4			7Т0=1			%	= 5	
	Ч	$ с	Л	Ч	с	1?	ч	5 С	7?	ч	5 С	Т?
1			0,71	0,83			0,69	0,81			0,62	0,75	0,45	0,45	0,45
1/3	—	0,50	0,67	—	0,47	0,62	0,57	0,42	0,53	0,26	0,26	0,26
1/8	—	0,33	0,50	0,707	0,31	0,45	0,35	0,28	0,34	0,16	0,16	0,16
1/24	—	0,20	0,38	0,41	0,19	0,28	0,20	0,17	0,18	0,09	0,09	0,09
Вытеснение с застыванием и без образования застывшей зоны будет
происходить соответственно при условиях:
Ч < 1 +	, л < а .
О о ’ о о м0
В табл. 3.4 приведены результаты расчетов по формулам (3.66). Про-
явление аномальных свойств отрицательно сказывается на полноте вытес-
нения и нефтеотдаче.
ДВУМЕРНОЕ ВЫТЕСНЕНИЕ НЕФТИ ВОДОЙ
Расчет двумерного вытеснения нефти водой по поршневой схеме или схе-
ме Баклея — Леверетта требует применения численных методов. Точные
аналитические решения удается получить лишь в предположении идентич-
ности физических свойств воды и нефти. Некоторые из таких решений из-
вестны (пара скважин, площадные системы). Дадим новые точные реше-
ния для определения динамики процесса обводнения и границы раздела
жидкостей. Их можно использовать для контроля приближенных числен-
ных или конечно-разностных методов.
1. Рассмотрим обводнение одиночной добывающей скважины в одно-
родном поступательном фильтрационном потоке. Выберем начало коорди-
нат в скважине, ось абсцисс направим по направлению потока, дебит сква-
жины обозначим о, скорость фильтрационного потока вдали от скважины
v Комплексный потенциал течения
И/ (z) = v j - (<7/ (2л)) In z.	(3-67)
Дифференцируя по переменной z и разделив действительные и мнимые
части, для компонентов скорости имеем
v = — qy/(2ir(x2 +у2), и = v „ — qxi (2л (х2 + у2)).	(3.68)
61
Рис. 3.9. Линии тока к добывающей
скважине в однородном фильтрационном
потоке
функции тока меняется от — q/2 до
Уравнениями движения
Для функции тока ф в верхней
полуплоскости у > О из (3.67)
имеем
Ф — v у — q/ (2тт) arcctg(x/y). (3.69)
Приравнивая функцию тока ф к
той или иной постоянной, получаем
уравнение для линии тока. При ф =
— О линия тока проходит через кри-
тическую точку нулевой скорости
(рис. 3.9). Для линий тока в верх-
ней полуплоскости значение
+
отмеченных частиц будут
dx
Q*
---- = v — 	5-------5— '
dt ”	?п(х2 + у2)
dy
dt
qy
277 (х2 + у2 )
(3.70)
Проинтегрируем их вдоль каждой линии тока, считая, что при г
линия представляет собой бесконечно удаленную влево от начала коорди-
нат прямую х = const.
Удобно ввести безразмерные переменные и перейти к полярным коор-
динатам
d ,	*	, v , г ,, 27ГФ , v J (3.71)
а = -------, х =-----, у = —, г =---------, ф =-------, t =------.
2TTv „	а	a	a	q	а
Здесь в качестве характерного линейного масштаба а принято расстоя-
ние от добывающей скважины (начало координат) до критической точки,
где скорость равна нулю.
В полярных координатах движение отмеченных частиц вдоль линий
тока определится соотношениями
г'dr' = (г 'cos в - 1) dt, г 'sin 0 - в = ф	(3.72)
интегрирование которых дает зависимость полярного угла в от времени
(в + ф ') ctg 9 — In sin 9 — С1,ф') = t'.	(3.73)
Постоянная интегрирования С для каждой линии тока зависит от ф .
Подберем эту зависимость так, чтобы при t °° координата х = г cos 9
была одной и той же для всех линий тока в асимптотическом смысле:
С(ф ') =- 1п(тт + ф ') + С\,	(3.74)
где Cj — универсальная для всех линий тока постоянная, определяющая
выбор начала отсчета времени f .
62
Отсчитывая время с момента начала обводнения, надо принять —
= 0.
Движение частиц будет определяться
тг + ф	,	,
t' = (0 + Ф ') ctg В + In ---— , у' = в + ф ', х = у 'ctg в.	(3.75)
sin U
Первое из выражений служит для определения полярного угла при
заданных ф' и t , второе и третье — для определения координат точки.
Для фиксированного t , меняя ф' от — л до + °°, получаем положение
линии отмеченных частиц. Для фиксированного ф уравнения (3.75)
определяют закон движения частиц вдоль линий тока. В случае вырожде-
ния для главной линии тока ф = — тг закон движения частицы находит-
ся особо
в = — л, у' = 0, х' + 1п(1 — х ) = г'.	(3.76)
Рассмотрим обводнение скважины во времени. Обводнение происхо-
дит лишь по линиям тока, заканчивающимся в добывающей скважине,
— л < ф < 0. Из (3.75) прих = у = 0 получаем для обводняющих линий
тока и угла наклона касательной к ним в начале координат соотношения
, (л + ф)	,
t = In ( ( в = — ф .
sin (- ф )
(3.77)
Обводненность £ представляет собой отношение (л + ф )/л дебита об-
воднившегося сектора к общему дебиту скважины. Подставляя в (3.77),
имеем закон обводнения
t = In(л^/sin л£).
(3.78)
Когда обводненность еще мала, из (3.78) можно получить закон рос-
та обводненности £ ~ (2у/3/тг) x/t, а при высоких значениях обводнения
£ ~ 1 — ехр (—t'). Ниже указано время для некоторых характерных зна-
чений обводнения.
£.................... О	0,25 0,50	0,75	0,90	0,95	0,99
t'................... 0	0,105 0,45	1,20	2,21	2,948	4,595
2. Пусть имеется прямолинейный ряд равнодебитных и равномерно
расположенных добывающих скважин, питаемых удаленным на бесконеч-
ность контуром. Направим ось абсцисс вдоль добывающего ряда, расстоя-
ние между скважинами примем равным а , начало координат поместим
в одной из скважин. Комплексный потенциал течения
H/(z) = — q! (2л) In sin (л z/a ).
(3.79)
63
Рис. 3.10. Двусторонний приток к пря-
молинейному ряду равномерно разме-
щенных равнодебитных добывающих
скважин
Рис. 3.11. Односторонний приток к пря-
молинейному ряду равномерно разме-
щенных равнодебитных добывающих ск-
важин
Присвоим линиям тока значения, указанные на рис. 3.10 . Тогда
q	Пу	Пх
ф = — ------arctg (th--------ctg ------).
27Г	а	а
(3.80)
Линии тока соответствуют фиксированным значениям ф. Введем безраз-
мерные переменные
ТГх , ГГу	ТТг	27гф	Ttqt
х = -----, у =-------, z =---, ф =--------, t = —— .	(3.81)
a	a	a	q	а
Уравнение линии тока записывается
;	cos(x'— 0О)	;	tg у
у = 0,5 1п ---------- или х = arctg-------- 	(3.82)
cos(x + 0 )	tg в 0
Здесь 0Q — угол наклона линии тока к оси абсцисс в начале коорди-
нат, 0 < 9q < л/2, 0Q == — ф '.
Дифференцированием (3.79) найдем комплексную скорость и — iv,
разделим действительные и мнимые части, проинтегрируем уравнение
движения отмеченных частиц вдоль линий тока
г	г
2 dy	sh 2 у
dt	(ch 1y — cos 2x)
64
,	1 - ch 2 у cos 2 tiQ	(3.83)
COS 2 X = ------;----—------------- 
ch 2y — cos 2$0
Получаем
ch 2 y' = cos 2 0Q + C exp(- r').	(3.84)
Постоянная интегрирования С определяет выбор начала отсчета време-
ни. Выберем ее так, чтобы в момент г’ = 0 отмеченная частица по главной
линии тока в0 = я/2 достигла скважины. Тогда постоянную С надо при-
нять равной 2.
Движение отмеченных частиц определяется формулами (3.84) и
(3.82), которые запишем в виде
sh у' = Vехр(— t') - sin 20о, tgx'= tg I/'ctg 0О.	(3.85)
Фиксируя t' и придавая в различные значения, получаем линию дви-
жения частиц. После начала обводнения скважины для f > 0 угол в будет
меньшим некоторого максимального 0 < 6Q < #та , причем ^тах нахо-
дится из условия
sin 2в = ерх (— t ').
max
Обводненность определяется отношением 0тах к я/2 т.е.
£ = (2/тт) arc cos exp ( — t '/2).		(3.86)
Для t = 1; 2; 4; 8 обводненность составляет 0,585; 0,760; 0,914;
0,988. При малых t обводненность £ » (2\/2/я) для больших времен
£ «з 1 — (2/я) exp (— г'/2). Обводненность 0,25; 0,50; 0,75 достигается
в моменты времени t'= 0,158; 0,693; 1,921.
3. Обводнение добывающего ряда с односторонним притоком жидкос-
ти. Пусть добывающие скважины расположены в точках ла, где л — целое,
дебит каждой из скважин равен q. При у -> + 00 вертикальная компонента
скорости равна v °° = — q/a , при у->-«> скорость равна нулю (рис. 3.11).
Комплексный потенциал течения
QZ q	Я г	/0 071
W (z) = / ------ — In sin ---------.	'3-87*
2а 2Я	а
Выделив мнимую часть, уравнение линий тока можно представить
в одном из видов
tgx'tg(x’ + 0Q) = th у', у ' = 0,5 ln(cos £)Q/cos(2х ' +	)).	(3.88)
Здесь — полярный угол, под которым линии тока входя в начало
координат, — я/2 < 9Q < я/2. Штрихами обозначены безразмерные пере-
менные, 0Q = — ф .

65
Для определения движения частиц вдоль линий тока используем
f	t	t	f
dx	ftq sin 2 x	dy Tlq	sh 2 у
----=---------------;-------, ------------------	(1 +---;---------),. (3.89)
dt 2a 2 ch2y — cos2x dt-------------------------------------------2a 2 ch2y — co s2x
Интегрируя вдоль линий тока, получаем
cos(2x + в )	27Г q
In( ----------------) + 2x tg 60 =--------— (f - tj.
cos	a
(3.90)
Постоянная интегрирования t зависит от линии тока и представляет
собой время попадания отмеченной частицы в скважину, ?п =	(0fl). При
t — 00 абсцисса х' приближается к своему предельному значению, где
2х + 0 = тг/2. Примем линию отмеченных частиц при t — 00 за прямую
у = const, удаленную на бесконечность. Заменив в (3.90) х на предель-
ное значение, имеем
(тг/2 — 0Q) tg 0Q + (2тт р/а 2) Гп = 2 у ' + (2тгр/а 2) t.	(3.91)
Левая часть остается ограниченной для любых t и у, а правая часть не
зависит от в0 и может представлять универсальную для всех линий тока
постоянную. Выбор постоянной имеет влияние лишь на начало отсчета
времени. Примем ее равной единице, чтобы t = 0 соответствовало началу
обводнения по главной линии тока 0Q = тг/2.
Введем в качестве характерного масштаба времени
а 2	, t 7Г	f
t ~ -----, t ' = —, (------—	) tg в + t = 1.	(3 go)
0 2trq	t 2 о О п
Движение частиц тогда определится уравнениями
,	77	,	cos	,	IQ OQ\
(2х-------+ в ) tg в + 1 - f = In --------------------= 2у .	(3-93)
2	0 а о	cos(2 х +0О)	у
Положение линии частиц получим, варьируя значения 0fl при фиксиро-
ванном t. Закон движения частицы получится при фиксированном 0Q
варьированием f от — 00 до момента попадания частицы в скважину. Для
главной х = 0 и крайней х = тт/2 линий тока
2у ' + ехр ( — 2 у ') = 1 — t ', 2у ' — ехр ( — 2 у ') = 1 — t	(3.94)
Обводненность скважины найдется как отношение к тг угла, образован-
ного линией отмеченных частиц с положительной осью 0/. Этот угол мож-
но получить из формулы (3.92) для времени попадания в скважину отме-
ченной частицы вдоль линии тока 0 . Вводя вместо 0Q обводненность | =
= 0,5 — 0Q /тг и текущее время t вместо t , получаем
ctg тг£ = 1 - t '.	(3.95)
66
Для обводненности 0,2b; 0,50; О,/5 и 0,90 воемя t_ составляет 0,114b;
1,0; 3,3562; 9,072. Для малых времен £ * (x/3/nj\/f' Для больших вре-
мен при близкой к единице обводненности из (3.95) получаем £ « 1 —
1/t'_ При этом водный период эксплуатации довольно длительный. Это
обусловлено характером фильтрационного течения за добывающим ря-
дом скважин, где у <0.
4. Приведем еще одно точное решение задачи обводнения ряда сква-
жин. Пусть имеется прямолинейный ряд чередующихся нагнетательных
и добывающих скважин, расположенных на оси абсцисс в точках ла, где
л — целое. Четным л пусть соответствует порядковый номер нагнетатель-
ных скважин, нечетным л — добывающих (рис. 3.12). Комплексный
потенциал течения
4	(3.96)
W (z) = -— In tg------.
2 7Т	2а
Обозначим
ТГх t 7Гу	27Г0	4а 2	t	(3.97)
х' = —, у' = — , дп =-----------, t = —, <•' = — .
а	а 0 q 0 Ttq	t
Выделив мнимую часть в (3.96) и фиксируя значение функции тока
ф, имеем для линии тока
sh/’ = Csinx , C = tg0o-
(3.98)
Здесь в0 — угол, под которым линия тока наклонена к оси абсцисс
в начале координат. В верхней полуплоскости 0 < 9д < тг/2.
Вычислив модуль скорости дифференцированием (3.96) и приравняв
его к производной по времени дуговой координаты вдоль линии тока,
получим
2а 2	dx
dt = —— ---------s-inx - —- -	----
ТГ q cos2 в	x/l + tg20osin2x
(3.99)
Интегрируя по x от 0 до тг, получаем время прихода частиц от нагне-
тательной скважины в добывающую вдоль различных линий тока
Время прихода частицы к скважине по главной линии тока при в =
= 0 находится из (3.100) предельным переходом и составляет tQ. При
t > t добывающие скважины обводняются. Развитие процесса обводне-
ния во времени определится по формуле (3.100).
Обводненность £ представляет собой отношение 2вд к п. Заменив в
(3.100) 20 п на тт£, получим f = Tr£/sin тг£.
67
Рис. 3.12. Фильтрационное течение к прямолинейному ряду равномерно размещен-
ных и равнодебитных чередующихся нагнетательных и добывающих скважин (а)
и траектории движения отмеченных частиц при различной обводненности (б)
При малых значений времени имеем £ = (у/б/tt)-^t' — 1, для больших
значений времени £ = 1 — Mt'. Значения обводненности £ = 0,25; 0,50;
0,75 и 0,90 достигаются в моменты времени 1,11; 1,57; 3,332; 9,149.
Уравнение линии перемещения отмеченных частиц, вышедших из наг-
нетательной скважины в момент t = 0, получаем интегрированием (3.99) :
х' = arccos (sin 9(. — t sin 2 0Q) /sin 6Q).	(3.101)
Приведенные точные решения позволяют контролировать машинный
расчет обводнения в типичных ситуациях.
ПЛОЩАДНЫЕ СИСТЕМЫ ЗАВОДНЕНИЯ
Для расчета площадных систем заводнения можно выделить параллело-
грамм периодов (чаще всего прямоугольник) такой, что полная картина
течения получается его повторением по направлениям двух осей коорди-
нат, сонаправленных с его сторонами.
Обозначим периоды на плоскости течения z буквами 2со и 2 си , так
что за вершины параллелограмма периодов можно принять точки
z0, zQ + 2со , zQ + 2w + 27w', zQ + 2w '	(3.102)
при любом zQ. Отношение периодов /ш = т — есть мнимое число.
Если оно чисто мнимое, то имеем дело с прямоугольником периодов.
Периоды 2oj и 2о) ' принято выбирать таким образом, чтобы мнимая
часть их отношения JmT была положительной, т.е. вершины (3.102)
должны указывать обход параллелограмма периодов против часовой
стрелки.
68
В классическом случае фильтрации однородной жидкости в одно-
родной. пласте для площадных систем заводнения скорость жидкости
имеет особенности типа простых полюсов в точках-скважинах и не
имеет других особых точек. Всякую однозначную и двоякопериодичную
аналитическую функцию комплексной переменной, не имеющую в конеч-
ной части плоскости других особенностей, кроме полюсов, называют эл-
липтической. Таким образом, комплексная скорость течения будет эллип-
тической функцией комплексной переменной г.
Все эллиптические функции выражаются через тета-функции Якоби.
Тета-функции не являются двоякопериодическими и эллиптическими.
Они имеют лишь один вещественный период, но являются целыми функ-
циями с двоякопериодично расположенными нулями. Тета-функции обла-
дают тем преимуществом, что представляются чрезвычайно быстро сходя-
щимися рядами, просто преобразуются при сдвиге на периоды или полупе-
риод параллелограмма нулей.
Для каждого заданного параллелограмма периодов четыре тета-функ-
ции определяются рядами:
0 (и)=2Л1/4 S (-1) n-lhn(n~l] sin(2/7 —1) тг и ,
1	Л=1
в (и)=2Л1/4£ /?п(л-1) cos(2n- 1) л 1/,	(3.103)
п = 1
00	„2
0 (iz) = 1 + 2 S h cos 2 п тг v ,
Л =1
оо	2
04 (и ) = 1 + 2 2 (— 1) nh п cos 2n ли .
п = 1
Параметр h, входящий в эти формулы, выражается через отношение
периодов т и по модулю всегда меньше 1
h = exp (7 Л7), т= (1/л/ ) In/?.	(3.104)
Функции 0, и (?2 имеют вещественный период 2, а для функций в3 и в4
он равен 1. Если ввести обозначения
А = ехр(- / л (2и + 7)), В = ехр (- / л (и + 7/4)),	(3.105)
то формулы преобразования тета-функций при сдвиге на мнимый период
или полупериод можно выразить следующим образом:					
1 		1	2	3	4
	v + т) . . . .		Ав2 (и)	Авз (v )	- Ав (v ) 4
	У + 7/2) . . .	 •	iBd4 (V )	Вв3 {v )	Вв2 (и )	/ В в J (v )
Для определения потенциалов площадных систем важно знать распо-
ложение нулей тета-функций. Из (3.103) очевидно, что нулями в функ-
ции будут целые вещественные значения, а из формул преобразования
69
видно, что нули сохраняются при сдвиге на мнимый период. На рис. 3.13
нули тета-функций обозначены соответственно знаками: точкой, крести-
ком, треугольником и квадратиком, а заштрихованная часть представляет
собой элемент симметрии.
Нулям тета-функций соответствуют простые полюсы их логарифми-
ческих производных. Можно всегда так подобрать линейную комбинацию
логарифмических производных любой из тета-функций, что главная часть
такой комбинации будет совпадать с главной частью комплексной скорос-
ти течения, а разность их, как целая и ограниченная во всей плоскости
функция, должна быть постоянной. Следовательно, комплексная скорость
будет линейной комбинацией логарифмических производных тета-функ-
ций, а комплексный потенциал выразится в виде линейной комбинации
логарифмов этих функций.
Пусть течение является двоякопериодическим с вещественным перио-
дом 2а и мнимым периодом 2а т. Пусть в паоаллелограмме периодов
нагнетательные и добывающие скважины расположены в точках с коорди-
натами и дебитами qv (отнесенными к единице толщины). Для нагне-
тательных скважин qv > 0, для добывающих q v <0. Из условия сохране-
N
ния массы'следует S q = 0, где N — число скважин.
Комплексный потенциал течения представится в виде
qv	2 ~ zv	(3.106)
W (z) = S In в, (-------------) +Cz +D,
2	7T 1 2а
где постоянные С и D подлежат определению.
Пользуясь условием периодичности вещественной части IV(z) при сд-
виге на мнимый период (периодичностью распределения давления), най-
дем, что постоянная С является чисто мнимой и определяется
N
C = — i [l'Y,qvy^)/(4a2JmT]].
M=1
Если все скважины в параллелограмме периодов удается расположить
по вещественной оси, то постоянная С оказывается нулем. Вторая пос-
тоянная D находится по известному значению давления в одной точке.
При записи формулы (3.106) использовано разложение логарифми-
ческой производной
в '	« h2k
---  = я ctg ttv + 4тг у (----г) sin 2ктги ,	(3.107)
к=1 y-h2k
из которого видно, что простые полюсы расположены в точках п + тт
(п,т — целые) и имеют вычет, равный 1.
Потенциал рядной системы, в которой нагнетательные и добываю-
щие ряды чередуются и расположены параллельно оси Ох на одинаковых
расстояниях b друг от друга, записывается
70
q	в )
W(z) =	|[n(7T7	1 +D'	v
2л	0 (u )
2a
(3.108)
где 2a — расстояние между скважинами в ряду.
Потенциал шахматно-рядной системы с расстояниями 2а между сква-
жинами ряда и расстояниями b между рядами
q в (v )	г
‘' = 57'	(3J°91
Потенциал семиточечной системы с нагнетательной скважиной в нача-
ле координат (двойной дебит) и добывающими скважинами в верши-
нах правильного шестиугольника определяют по формуле
02
q	f, (^ >	уз + >	11П.
Ш = ----------- In (Z---------Ц:---------) + D, V = -------, т = -------7=-.	(3.1 Ю)
' ' 2Л 0 (и-1/3)0 (iz-2/3)'	За	2\/з
На рис. 3.14 показаны эти системы заводнения.
Приведем формулы, определяющие связь перепадов давления с деби-
тами скважин.
Для рядной и шахматно-рядной систем
л/с	(р - р )	л/с (р - р )
Н Э	nJ
Q У ln(aH 2 /(m H2	' q y. MaH2/ (TTr H2h 1/4)
J	Ki U	2	U V
Параметры H HH^, определяются бесконечными произведе-
ниями:
Н =П ('i—h2k),H=n (1+h2k), Н2 = П П+А2*'11,
/с=л	/с=1	/С=1	(3.112)
Н=П (1 — h 2k~ 1), h = exp (— -nb/a ).
3 /с= 1
Параметр тета-функций h для рядной и шахматно-рядной систем
является вещественным. Для квадратичной сетки скважин h = exp (— л) =
= 0,0432. Произведения в (3.112) быстро сходящиеся.
71
Рис. 3.14. Рядная (а), шахматно-рядная (61 и семиточечная (в) системы заводнения
Для пятиточечной и семиточечной систем
7tk р — р	2пк р — р
'н з	_	н э
р. ln(aa/r )	' Q 3/1	1п(/3а /л с)
(3.113)
а = 0,7628, (3 = 0,566.
Формулы (3.111) и (3.113) используются для контроля точности
разностных методов и учета возможных поправок, вводимых при
разностной аппроксимации дифференциальных уравнений около сква-
жин.
Поле скоростей площадных систем находим дифференцированием
комплексного потенциала течения и использованием разложений лога-
рифмических производных тета-функций. Для рядной и шахматно-ряд-
ной систем (рис. 3.15) составляющие скорости
(+h)k
i+(±/,V sin/fx chAr/
sh у	«, (i h )
____,______( + 4 S ------p—
ch у — cosx fc-i 1+(±6 ) *
cos kx sh ky
(3.114)
Знак ”+" при h относится к рядной системе, знак " — шахматно-ряд-
ной системе, безразмерные координаты: х = ях/а , у = iry/a.
Формулы (3.114) можно использовать лишь для половины элемента
симметрии прямоугольника периодов при у < Ы2 (у < я/2). Для дру-
гой половины скорости находят путем использования свойства симмет-
рии течения.
Для семиточечной системы
q
и= -----
&а
+ 12 £
к= 1
2sin х sin(x + 7T/3)	sin (ж — Я/3)
-----;-----; + ----!---------------------;-------------
ch у—cosx ch у+cos (х+Я/3) ch у + cis(x— Я/3)
h ik	t (
-----------sin/cx ch ky
l-h2k
72
q	2sh у
6a | ch y' — cosx
sh у	shy
ch y'cos(x'+77/3) ch/’+cos(x’—Л/3)
— 12 S ----------------r- cos kx 'sh ky
л
k=i 1 ~h
Здесь в суммировании участ-
вуют члены, не кратные трем.
Безразмерные координаты х , у и
параметр h 2 находятся по форму-
лам:
277х	277/
'	'	2 _
= ехр (-
(3.116)
Для вычисления давления в
любой точке плоскости проще все-
го воспользоваться выражением
комплексного потенциала (3.106).
При вещественном Л можно расч-
ленить действительную и мнимую
части (3.106) и получить
Рис. 3.15. Положения линии переме-
щения отмеченных частиц для различ-
ных времен при системах заводнения:
а — пятиточечной; б — шахматно-ряд-
ной
Д /V __________________________ ДИ /V
Р=~ ------------Qt,ln VRe2 + Jm2 - ---------------------- S q Уv +D
2-nk v=iv v v 4kab V* 1
(3.117)
где £>] - некоторая постоянная, Rep и Jmv - действительная и мнимая
части функции 61 от аргумента (z — z !2а .
Для вычисления тета-функций (их действительных и мнимых частей
для любых комплексных значений аргументов) созданы удобные ма-
шинные процедуры.
Положение линий перемещения отмеченных частиц определяется
решением системы
т dx/dt = и (х, у), х (0) = г ccos а,
mdy/dt=v (х, у), у (0) = г csin а,	(3.118)
где а — угол выхода линии тока из начала координат. Интегрируется сис-
тема с помощью схемы Рунге — Кутта четвертого порядка с автоматичес-
ким выбором шага.
Первый шаг интегрирования для сокращения времени рекомендуется
выполнять аналитически и заменять г с на шаг сетки. Переход к размер-
ным переменным осуществляется согласно
73
a	a	q	q	2ma2
X = ----x', y —----у', у =-----II , V =-----V , t =------t 
Я	2a	2a	Я q
(3.119)
Рассчитывать обводненность и нефтеотдачу лучше по времени прохож-
дения частицей жидкости той или иной линии тока, т.е. из формул:
dx	dy
t= mf-------------= mj -----------, ф (x, y) = const,
и (x, y)	v (x,y)
(3.120)
где интегрирование проводится вдоль линии тока от нагнетательной до
добывающей скважины.
В табл. 3.5 даны зависимости от обводненности объема прокачки для
шахматно-рядной системы, вычисленные по (3.120).
По формулам (3.118) подсчитаны коэффициент охвата по площади
и положения фронта вытеснения. В табл. 3.6 приведены коэффициенты
охвата (т?) и положение фронта вытеснения на оси абсцисс (xQ) в зави-
симости от количества прокачанной жидкости V (поровые объемы).
Таблица 3.5
Обводнен- ность, %	Количество прокачанной жидкости при шахматно-рядной системе, поровые объемы			
	b —а	b = 0,75а	b — 0,5 а	Ь — 0,25 а
0	0,718	0,732	0,789	0,890
10	0,722	0,736	0,793	0,891
20	0,736	0,750	0,803	0,898
40	0,796	0,807	0,851	0,922
60	0,920	0,926	0,947	0,974
80	1,118	1,180	1,145	1,071
90	1,487	1,460	1,356	1,178
95	1,796	1,746	1,561	1,259
Таблица 3.6
Показатель	Система заводнения		
	пятиточечная, Ь—а	шахматно-рядная	
		Ь —0,75 а	b =0,5 а
У S хо	0,159; 0,318; 0,637; 0,796; 1,00; 1,50; 1,81 0,159; 0,318; 0,637; 0,775; 0,864; 0,958; 0,978 1,14; 1,94; 2,55; 2,72; 2,87; 3,05; 3,10	0,17; 0,34; 0,68; 1,00; 1,19; 1,50; 1,80 0,17; 0,34; 0,679; 0,872; 0,92; 0,962; 0,982 1,3; 1,86; 2,54; 2,85; 296; 3,05; 3,1	0,191; 0,382; 0,637; 0955; 1,08; 1,27; 1,4 0,191; 0,382; 0,637; 0,886; 0,921; 0,97; 0985 1,2; 1,82; 2,44; 2,87; 2,96; 3,04; 3,08
74
Глава 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА ПЛАСТОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
И ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Перенос тепла в пластовых условиях происходит в результате движения
жидких фаз и кондуктивной теплопроводности.
Если фильтрация отсутствует, то поток тепла пропорционален гра-
диенту температуры
dQ = — X grad TdSdt,	(д j j
где dQ — поток тепла через элемент площадки dS за время dt.
Для определения X коллектора, насыщенного жидкостью и газом,
предложены различные формулы.
Используемая в нефтяной литературе формула арифметического
усреднения коэффициентов теплопроводности порообразующего мате-
риала Xfl и насыщающей жидкости Х(
X = (1 — т ) XQ + mXi	(4.2)
не подтверждается результатами лабораторных экспериментов. Так,
в работе [40] усредненные коэффициенты теплопроводности для образ-
цов песчаника т = 0,277, насыщенного газом, нефтью и водой, имели
значения 1,78; 2,64; 3,08 Вт(/м °С). Теплопроводности нефти и воды
соответственно составили 0,12 и 0,5 Вт/(м-°С). Телопроводность газа на
два порядка меньше, так что газ можно считать нетеплопроводным в
расчетах. При этих условиях по формуле (4.2) коэффициент теплопро-
водности материала породы равен 2,46, материала, насыщенного
нефтью, — 1,81, насыщенного водой — 1,92 (Вт/(м-°С)), что намного
меньше их истинных значений.
Для вывода более точной формулы будем предполагать, что часть ске-
лета породы является связной, другая — контактирует с жидкостью.
Связная часть образца характеризуется величиной 1 — )32 (где |3 —
характерный суммарный линейный размер пор, квадрат объясняется
тем, что вдоль оси Ох отложена величина поровой площади поперечного
сечения), другая же часть принадлежит порам и скелету, причем микро-
размеры чередований распределены по какому-либо закону (рис. 4.1).
Кривая у = у (х), 0 < х < (i2 отделяет площадь, равную пористости т
образца:
PyMdx=m.	(43)
о
Общая кондуктивная теплопроводность образца
fl2	dx	.. ..
X = X (1 —/З2) J ----------------------, 0<у <1,	<4-4>
о у (X) /Х( + (1 - у) (х))/X
75
Рис. 4.1. Кривая распределения
в направлении потока О/
пор
Рис. 4.2. Зависимость теплопроводности от пористости для нефтенасыщенных песча-
ников при:
Х( =0,18; Хо : 1 - 4; 2- 5; 3-6; 4- 7.
Сплошная линия — расчетные значения по формуле (4.7)
где XQ и X — теплопроводность соответственно материала скелета и на-
сыщающей поры жидкости.
Выбор кривой распределения у (х) и параметра зависит от структуры
пористой среды, ее проницаемости.
Примем следующий закон распределения пор:
у = |3 cos 2 (ттх/ (2/32)), 0 < х < |3 2.
(4.5)
Интегрируя (4.3) и (4.4), получаем
Х/Хо = 1 - 02 + /32v/X1/H -(3)Х( +/ЗХ0], /3 = -^~2т,	1/2.	<4-6>
В пластовых условиях X « Хо. Теплопроводность воды в 5—10 раз
меньше, чем плотных пород, и в 20 и более раз меньше, чем нефти. Слагае-
мое с радикалом в (4.6) вносит малую поправку, поэтому формулу (4.6)
можно упростить:
Х= (1- /4^)Х0+ <2тХ0Х1( Х1«Х0-	(4'7)
Приняв для газа X = 0, т = 0,277 и X = 1,78; имеем XQ = 5.5. Новое
значение Хо более чем в 2 раза превосходит то, что было получено по фор-
муле (4.2). Если Xj = 0,12 и 0,50 для нефтенасыщенного образца, то Хн =
= 1,78 + 0,61 = 2,39, а для водонасыщенного Ха = 1,78+ 1,23 + 3,01. Эти
расчетные значения гораздо ближе к измеренным значениям 2,64 (для
нефти) и 3,08 (для воды). Повторные измерения дали для того же образ-
ца /п = 0,278; X = 1,83; X = 2,43; Х0 = 2,94, что еще ближе к расчет-
ным. По формуле (4.7) XQ =*fe,64; Хн = 2,44; Хв = 3,08. В табл. 4.1 приве-
дены измеренные данные и их сопоставление с расчетными по формуле
(4.7) значениями.
76
Расчеты, выполненные по формулам \-r.u/ „	numnu,
к истине, нежели по (4.2).
Приведем зависимость теплопроводности нефтенасыщенного песча-
ника от пористости. Если поры заполнены газом или воздухом, то, приняв
в (1.6) Х( = 0, получаем
X = Хо (1 — ^4т2), 0 < m < 1/2.	<4-8>
При пористости т = 0,5 теплопроводность песчаника становится равной
нулю из-за потери сплошности скелета. На рис. 4.2 дано сопоставление
теплопроводности нефтенасыщенного песчаника, полученной экспери-
ментально [44], с данными расчета по (4.7). Из рисунка видно, что полу-
ченные теплопроводности незначительно отличаются.
Обобщим (4.6), чтобы учесть структуру пористой среды. Введем
максимальное значение пористости т Q, при котором сохраняется еще
сплошность пористой среды. Выше в формулах это значение равнялось
0,5. Формулу (4.6) видоизменим, положив
/3 = у/ m/mQ, 0< т < mQ.
Изменение /т?о позволяет от насыпных сред и песчаников (mQ & 0,5) пе-
рейти к пенообразным структурам (/7?о	1). Вместо (4.7) будем иметь-
при тех же предположениях следующую формулу:
Шо = 1 - Vт2/т2 + Vт\/тд\о.	<4'10)
Результаты расчета представлены в табл. 4.1. Можно рекомендовать
формулы (4.6), (4.9) или (4.10), ноне (4.2).
Уменьшение плотности насыщающей жидкости с увеличением темпера-
туры может приводить к появлению циркуляционных потоков. Интен-
сивность таких потоков и их влияние пропорциональны коэффициенту
термического расширения и обратно пропорциональны коэффициенту
сжимаемости.
Увеличение температуры может вызвать рост давления и обусловить
циркуляционное движение жидкости. Вертикальные конвективные
потоки могут изменять температурные поля, профиль температур обычно
смещен к кровле пласта [44].
Движение струек по поровым каналам и их перемешивание способст-
вуют более интенсивному теплопереносу как в направлении движения
жидкости, так и перпендикулярно к нему.
Когда скорости фильтрации и диаметры песчинок малы, выравнива-
ние температур жидкости и скелета пористой среды часто считают "мгно-
венным".
Характерное время установления температуры зерен t3 =pocd21 (4Xq ),
а время промыва жидкостью одного слоя зерен есть t = md/v, где d —
диаметр зерен, ро — плотность, сд — удельная теплоемкость, XQ — тепло-
проводность скелета.
77
Таблица 4.1
Сопоставление экспериментальных и расчетных значений теплопроводности
пористых сред, полностью насыщенных газом, нефтью или водой
Порода	Порис- тость, т	Теплопроводность, ВТ/(м °С)					
		измеренная			расчетная		
		X г	X н	X В		X н	X В
Песчаник:							
тонкозернистый	0,277	1,78	2,64	3,08	5,50	2,39	3,01
	0,278	1,83	2,43	2,94	5,64	2,44	3,08
субграувакка	0,238	1,42	2,09	2,68	3,84	1,88	2,35
	0,258	1,40	2,22	2,68	3,89	1,89	2,20
полевошпатовый	0,368	0,68	1,23	1,60	3,68	1,25	1,84
	0,216	1,66	1,95	2,46	3,87	2,11	2,57
Известняк:							
органогенный	0,264	1,42	1,68	1,99	4,10	1,93	2,46
					2,41*	1,70*	159*
тонкозернистый	0,290	1,54	1,84	2,07	5,06	2,13	2,75
					2,74*	1,85*	2,17*
оолитовый	0,354	0,97	1,45	1,66	4,71	1,60	2,26
					1,94*	1,26*	1,56*
••	0,369	0,91	1,22	1,61	4,97	1,57	2,26
					1,87*	1,20*	1,50*
*3начения, вычисленные по формуле (4.10) при /п —1,
Мгновенное выравнивание температур оправдано при тз < f , т.е.
когда температура породы успевает сравняться с температурой жидкости
до охвата ею следующего слоя. Это приводит к ограничению на скорость
фильтрации
v < 4m\/(p0codh
Для условий близких к пластовым при диаметре зерен менее 1 мм
и пористости 0,25 скорость фильтрации должна быть менее 1 м/ч. Практи-
чески скорости фильтрации гораздо меньшие.
Вышеуказанный критерий рекомендуется для проверки гипотезы
локального равенства температур жидкости и породы.
Получим зависимость коэффициента теплопроводности от скорости
фильтрации и структуры неоднородной пористости среды.
Пусть среда представляет собой пачку параллельных капилляров слу-
чайных диаметров, распределенных по вероятностному закону. Выделим
перпендикулярную к капиллярам компонентную площадку Д S, содер-
жащую набор капилляров всех диаметров. Пусть и — истинная усреднен-
ная по выбранному поровому каналу физическая скорость, а плотность
ее вероятности — f (и). За Д t через Д$ жидкость пройдет на некоторое
расстояние. Количество тепла в этой жидкости
78
Д Q = т Л S / f (и] du f с (Т + х -----------) dx.
о	0 *	Эх
(4.11)
Часть тепла тратится на нагревание породы, другая часть переносится
через площадку Д S. Вычислив (4.11), имеем
ДО = тД$Дг!с и Т~ 0,5С (и2 +D)^t —— L	(4.12)
| Ж Ср	Ж Ср U	Эх
где и^ — среднее значение скорости (случайная величина) ; D — ее дис-
персия.
Примем потери тепла из-за теплообмена со скелетом породы одинако-
выми для всех законов распределения.
Для добавочного потока тепла, отнесенного к единице площади и обус-
ловленного различием диаметров поровых каналов, имеем

Да-До
______о
Д S Дг
Э 7
= 0,5/nc D "Д t ——
ЖЖ Эх
(4.13)
Перейдем к v = mu и введем линейный масштаб Дх = и Дг. Положим
скорость пропорциональной проницаемости к и заменим дисперсию ско-
рости через дисперсию проницаемости
Ож = Dv/m2 = v2Dk/(m2k2).	(4.14)
Формулу (4.13) перепишем в виде
q = X ——, X = с vD Ах/(2mk2).	(4'15)
' v ах v ж к
Этот поток тепла является добавочным к конвективному переносу
и направлен вдоль линий тока. В поперечном направлении поток тепла
обусловлен лишь кондуктивной теплопроводностью. По направлению
течения кондуктивная (4.10) и дисперсная (4.15) составляющие
теплопроводности будут определять одно эффективное значение Хэф.
В зависимости от выбранного направления коэффициент теплопроводнос-
ти меняется от значения (4.10) до значения X , .
Можно учесть и влияние случайности направлении поровых каналов.
Если любое направление поровых каналов равновероятно, то подсчет
показывает, что
Х^ = (тг4сжи^/(128m/r2)) Дх.	(4.16)
По сравнению с (4.15) появился добавочный множитель тг4/64 =
= 1,52. Случайность направлений поровых каналов увеличивает теплопро-
водность, обусловленную неравномерностью продвижения жидкости
по поровым каналам различных диаметров, примерно в 1,5 раза.
Для пластовых условий квадрат вариации проницаемости Dr /к2 бли-
зок к 1 (для показательного закона он равен 1, для логнормального
79
exp (O' — 1) или меньше 1. Примем т = 0,25, с* = 4,2 Дж/(см°-°С);
DJk2 = 1; Дх = 1 см; v = 0,3 м/сут, расчет по формуле (4.16) дает
\ = 0,46 Вт/ (м-°С), т.е. значение того же порядка, что и кондуктивная
теплопроводность жидкости. Разбросом радиусов поровых каналов объяс-
няется небольшое увеличение теплопроводности.
Эти соображения применимы и для слоистого пласта. Влияние скорос-
ти фильтрации на теплопроводность в направлении течения можно оценить
по формуле (4.15), а слоистый пласт считать однородным. Характерным
линейным размером надо считать толщину пласта или представительную
часть этой толщины. Если пласт сложен из двух чередующихся слоев
одной и той же толщины (один слой непроницаем), то вычисления дают
DJk1 = 1/2. Примем т = 0,25;	= 4,2 Дж/(см3-°C); Дх = 0,2 м;
V = 0,3 м/сут. Формула (4.15) при этом дает Х^ = 2,9 Вт/м-°С. Продвиже-
ние жидкости по разным слоям усиливает эффект кондуктивной тепло-
проводности в направлении движения, и его необходимо учитывать.
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА
ПЛАСТА БОЛЬШОЙ ТОЛЩИНЫ
Для реальных условий прирост температуры за счет диссипации энергии
(обусловленный вязкостью) не велик.
При установившемся движении несжимаемой жидкости диссипатив-
ный член представляет собой энергию, затрачиваемую на проталкивание
жидкости в единице объема. Выделив элементарную трубку тока с пло-
щадью поперечного сечения ДЗ, работу по перемещению жидкости в эле-
менте трубки тока длиной Дх на расстояние v Д t запишем в виде
Э	Эр	Э (v A s)
— —— (pv Д 3) ДхДг = — (----v AS — р —------) ДхД г =
Эх	Эх	Эх
(4.17)
Д v
= ----ДЗ AxAt.
к
Отнеся результат к единице объема и времени, для диссипативного члена
имеем Ф = ди2 /к.
Эту же формулу можно получить, если пористую среду представить
как систему параллельных капилляров одного и того же радиуса R и при-
нять для проницаемости выражение к = т/?2/8, гдет — пористость. В фор-
муле (4.17) ДЗ = const.
Если трубка тока расширяется, скорость по потоку убывает, кинети-
ческая энергия уменьшается, диссипация энергии возрастает.
Когда трубка тока сужается, поток ускоряется, кинетическая энергия
растет, диссипация энергии уменьшается.
В реальных условиях сходящиеся и расходящиеся трубки тока встре-
чаются одинаково часто, поэтому приведенная формула дает среднее
значение диссипации энергии.
80
Для пластовых условий р = 2 мПа-c, к = 0,2 мкм2, v = 0,2 м/сут,
диссипация энергии в объеме 1 м3 равна 4,6 кДж/(м3-сут), что в течение
года могло поднять температуру примерно на полградуса.
Накопление тепла в элементе объема пористой среды определяется
дивергенцией теплового потока
Ъ- = ржСж^Т~ ХЛ Т-	(4.18)
Первое слагаемое — перенос тепла конвекцией.
Баланс тепла для элементарного объема
0
—— (рсГ) + div ( pc~v Т— ХуЛ,	*4’19)
О t	жж
где Рс — объемная теплоемкость насыщенного жидкостью пласта, X —
определяется по формуле (4.10). Условие сохранения массы жидкости
(с учетом ее сжимаемости)
—— {mp ) div (р у) = 0.	*4'2°)
ot ж ж
Объемная теплоемкость пласта
рс = трс + (1 — т) р с .	(4.21)
/Т\	1Т\	II II
Дифференцируя (4.19) с учетом (4.21), имеем
рс-----+ р^ (v  v Л Т = div (X v Т).	(4.22)
Эг
Обозначим С 0 = рс, с1 = Ржсж- После упрощения уравнение имеет
недивергентный вид
а т эт ът ът а э т
с^с^и -эТ+"^7 + и/э7-) = эГ(Х- эГ1 ( '23)
+ -L (X _91) +	(х2 ^ ).
Эу v Эу 9z Эг
Для однородного пласта принимаем X* = X = Х^ = X = const. Правая
часть (4.23) преобразуется в оператор Лапласа. Для неоднородного плас-
та X — тензор, зависящий от скорости фильтрации. В направлении движе-
ния X выше, чем в поперечном направлении. Если за ось Ох принять направ-
ление движения, то уравнение (4.23) для плоскопараллельного потока
имеет вид:
Эг , Эг _ Э /'.tv Эг , , Э2т Э2г
с ----+с и------=---- <л + Х) --- : Х- -+Х---------(4.24)
Эг	Эх Эх	Эх Эу2 Э;2

81
Оценим роль каждого из членов этого уравнения в распределении
температуры методом теории размерностей. Обозначим характерные раз-
меры пласта xQ = у , zQ; время f0- Переходя в (4.25) к безразмерным
переменным t = tQt, х = хох, у = уоу, 2 = zQz и и = xjtjjw разделив все
члены Hac0/tQ, имеем
Эг	с, Эг	Э Х+Х	Эг	Xt Э2г
^-) + -г0-.	+	(4.25) Эг	с0Эх	Эх	хосо	Эх	у осоду
Ч Э2Г
Члены в левой части имеют один и тот же порядок величин, оба члена
порядка единицы. Слагаемые в правой части имеют порядок безразмер-
ных критериев, которые получились при этих слагаемых. Оценим каждый
из критериев, приняв а 2 = X/cQ =40м/год (водонасыщенный песчаник),
срок разработки Г = 10 лет, протяженность пласта хп = у = 1 км, толщи-
ну пласта zQ = 20 м. Для этих параметров а 2tQ/y2 «а 4-10 , a oto/zQ
Оценим теперь безразмерный комплекс при первом слагаемом, считая
пласт неоднородным и приняв для Хц формулу (4.16). Тогда
Vo *\Dku	Ах
*0%	128™0*2
(4.26)
Первый справа множитель имеет порядок единицы, так что безразмер-
ный комплекс имеет порядок отношения Дх/х^, что так же мало, поэто-
му в (4.24) можно пренебречь диффузионными членами по простиранию
пласта, оставив член, связанный с диффузией тепла перпендикулярно к
пласту (для большого промежутка времени) :
Эг Эг Ът Э2г
с ------+ с (и--------+ v -------) = X-------.
Эг	Эх ду Эг 2
(4.27)
Укажем на время f, начиная с которого уравнение (4.27) оправдано
в зависимости от дебитов скважин. За время t будет вытеснена жидкость
с площади ттг 2 = Qt/(mzQ}, т.е. за характерный размер протяженности
можно принять xQ = у0 = у/о7Г(тттго). Уравнение (4.27) оправдывается
при Дх/х «1, z2/a-2 «1. Подставив х в эти условия, получим t »
» TWiz2/b, z2» Дх 2.
Если масштаб неоднородности пласта не мал по сравнению с его тол-
щиной, то не имеет смысла принятие производной по сечению пласта.
Температуру по сечению пласта следует усреднить на каждый заданный
момент времени.
ТЕМПЬНА I УГМОЕ Hunt IIJIACIA БОЛЬШОЙ 1Ш1ЩИМЫ.
ДВИЖЕНИЕ ФРОНТА ТЕПЛА
Если толщина пласта значительна и скорости фильтрации велики, то при
заводнении холодной (или горячей) водой приток тепла с кровли и по-
дошвы не будет играть столь существенной роли по сравнению с обменом
тепла между нагнетаемой водой и коллектором. Здесь можно пренебре-
гать теплообменом с кровлей и подошвой и усреднять температуру по тол-
щине. Отбросив кондуктивные члены по простиранию, получаем
с 22+с (U21 + v 21, =0,	(4.28)
0 Эг 1 Эх Эи
где cQ, — объемные удельные теплоемкости пласта и жидкости. Каждая
точка изотермы движется вдоль линий тока согласно дифференциальным
уравнениям:
dx/dt = ciu/cQ, dy/dt = c^v /cQ.	(4.29)
Движение точек равных температур будет таким же, как и линий
перемещения отмеченных частиц, но с разницей во времени в с /с раз.
Задача определения движения фронта температур для однородной жид-
кости в однородном пласте сводится к известной задаче об определении
движения границы раздела при поршневом вытеснении одной жидкостью
другой.
При вытеснении из галереи фронт температур перемещается:
хт = C'Ut/c^, и= const.
Обычно для пластовых условий mci <со <с1,так что фронт темпера-
тур остается от движущихся частиц, но опережает фиктивные линии пере-
мещения отмеченных частиц, движущихся со скоростями фильтрации.
Если вытеснение происходит при заданном перепаде давления, то ско-
рости фильтрации будут переменными, зависящими от положения фронта
тепла. С изменением температуры меняется вязкость жидкости, и поэтому
сопротивление движению до и после прохождения фронта тепла различно.
Скорость фильтрации определяется формулой
и = кЛр/ (i^x-t + мо (/ - xf)),	(4.30)
где к — проницаемость; Др — перепад давления; pQ, — вязкость жид-
кости соответственно до и после прохождения фронта температур; / —
длина пласта; хт — положение фронта тепла.
Закон движения фронта температур получим интегрированием урав-
нен ия
[цххт + р0 (/ - f г) ] dxT = {cjc^k&pdt.	(4.31)
Сравним время охлаждения (нагрева) пласта со временем выработ-
83
ки, когда вязкость жидкости от температуры не зависит = Ро) • интег-
рируя (4.31) от хт = 0 до хт = !, получаем
t ц + и	с и /* 2
—L= -J--------1- t = —.	(4.32)
% 2^0 ' °
Для иллюстрации влияния вязкости, зависящей от температуры, расс-
мотрен пример вытеснения горячей (f = 100°С,	= 0,289 мПа-c) и хо-
лодной (г = 10°С, Ц] = 1,33 мПа-c) водой и водой с f = 60 °C, цо =
— 0,483 мПа-c. Отношение t i/tQ для горячей воды составило 0,8, а для
холодной — 1,9. Значит, вытеснение нефти холодной водой приводит к за-
медлению фильтрации, горячей водой — к ускорению.
Интегрированием (4.31) получаем закон движения фронта тепла
ХТ	*Т 2 _ Г
I +	~ г	(4.33)
Из условия сохранения баланса тепла на температурном фронте полу-
чаем
cQd(-nr2T} — с^qdt,
где q — расход на единицу толщины пласта.
При <7 = const фронт тепла определится так:
г т= х/	.
Если Др = const, то расход
2тгк {рс - дк)
д = -----------------------------
Mf|n(r т/г с) + ЦОШ(Л к1гт)
(4.34)
(4.35)
(4.36)
где и а<0 — вязкость охваченной и не охваченной температурными воз-
действиями зон, индексы "с" и "к" относятся к скважине и контуру.
Подставив (4.36) в (4.34) и проинтегрировав от гт = 0, получим зави-
симость от времени радиуса зоны, охваченной тепловым воздействием,
2
С Г-г
о Т
Г = ---------------------
27гАгс1 (рс“ Рк>
ГТ . г к	Ро
М11п — +р01п—- - -------
с	Т
(4.37)
Влияние изменения вязкости от температуры на скорость перемеще-
ния температурного фронта можно проиллюстрировать временем Г
прогрева (охлаждения) всей круговой зоны, когда г = г к. Отнеся
это время к случаю, когда вязкость от температуры не зависит (р[ = М0),
имеем
, 'к
---- (1 - ------------ ) , t0 = 	 In —
2|п(гк/гс’------------2kcl(pc-pJ rc
(4.38)
84
Время охвата пласта тепловым воздействием при заданном перепаде
давления определяется в основном вязкостью нагнетаемой жидкости
^Г
Второе слагаемое в круглых скобках мало. При г = 200 м и г , =
= 0,1 м второе слагаемое менее 6,6 % первого ( для !> мо). Если его не
учитывать, то время охвата пласта тепловым воздействием пропорцио-
нально вязкости нагнетаемой жидкости.
Нагнетание горячей воды существенно ускоряет выработку пласта.
Для водонасыщенного пластас температурой 60 °C (цо = 0,483 мПа-с)-
нагнетание горячей воды (100°C,/^ = 0,289 мПа-c) приводит к значению
ft/f0 = 0,625, тогда как при нагнетании холодной воды (10 °C,	=
= 1,33 мПа-c) отношение этих времен равнялось 2,64. Ускорение темпа
разработки при нагнетании горячей воды достигает более 4 раз.
Удается получить формулы перемещения фронта тепла и для некото-
рых двумерных течений, когда фиксированы скорости для пары равно-
дебитных скважин (нагнетательной и добывающей), круговой батареи
добывающих скважин с одной центральной нагнетательной с л-кратным
дебитом, чередующегося ряда равнодебитных нагнетательных и добываю-
щих скважин и т.п.
1. Пусть плоское стационарное течение образовано парой скважин од-
ной интенсивности q. Поместим начало координат в нагнетательной сква-
жине, направим ось Ох по прямой, соединяющей ее с добывающей скважи-
ной, расстояние между скважинами — /. Комплексный потенциал течения
(рис. 4.3, а).
И/(z) = q/(2ir) ln(z/(z - / ) ).	(4.39)
Линиями тока служат дуги окружностей, соединяющих скважины.
Уравнение линий тока в полярных координатах
г = / (cos в +с sin б), с = — ctg вQ, dQ = 2ir^/q.	(4.40)
Постоянная с определяет линию тока, выходящую из нагнетательной
скважины под углом к оси абсцисс. В каждой точке плоскости темпе-
ратурное возмущение перемещается со скоростью
с dW с ql	1	(4.41)
V = ----1- I --- I — -1---- ; д ---------  —
Т с dz ^Спг v/2— 2lr cos6 + г 2
о
Пользуясь (4.40), вычисляем элемент длины дуги
dS =\/[dr)2 + (г с/в) 2 = ldd/s\n 6Q.	(4 42)
Время перемещения возмущения температуры вдоль линии тока
dS
dt= ----= -----
v т ciq
sin Osin (6Q — 0) dd
sin iв
0
(4.43)
85
Рис. 4.3. Пара скважин:
а — линии тока; б — положение фронта температур для различных Г/t
Рис. 4.4. Круговая батарея скважин
Интегрируя по полярному углу от значения д0, получаем
г = ffC0/2
с,<7
si П ($0— 0) COS 6 — (в0— 0) COS0Q
sin30o	~
(4.44)
Эта формула определяет время прихода температурного возмущения
от нагнетательной скважины (начала координат) в любую точку плос-
кости (х, у). Постоянная с выражается через декартовы координаты
с = (х2 + у2 — / х) / (/ у),	(4.45)
а угол в связан с этой постоянной формулой (4.40). Для расчетов удоб-
нее (4.40) написать в виде
0Q = тг/2 + arc tg С, г // = s(n((?o — 0) /sin вQ.	(4.46)
Найдем теперь время прихода в добывающую скважину температур-
ного возмущения вдоль каждой линии тока. Полагая 0 = 0 в (4.44),
имеем
= ЗТ0 (sin 0О — 0nCO_S0>	. 2 / (3с q} (	(4.47)
СК	sin30Q
где t — время прихода возмущения вдоль главной линии тока. Оно
получено предельным переходом при 0О -> 0. Расчет по этой формуле
для 0^, равных 0,25; 0,50; 0,75; 0,90 дает для tcK/tQ соответственно
значения 1,288; 3; 20,137 и 304,8.
Формулы (4.44) и (4.46) позволяют построить для каждого задан-
ного t положение фронта температур. Для этого варьируем 0Q в пределах
86
от 0 до п, если температурное возмущение не достигло добывающей сква-
жины, или от 0min до я, где 0min определяется уравнением
если температурный фронт достиг добывающей скважины. Из (4.44)
определяется значение 0 для каждого значения 0Q (О<0 <0Q), из (4.46)
определяется полярный радиус г , а затем делается переход к декартовым
координатам. Реализация счета возможна лишь на ЭВМ. Положение фрон-
та на линиях тока ф = 0 и 0 = q/2 (на оси абсцисс) определяется отдельно
по формуле г2//2 (3 ± 2г//) = Г/Го- Здесь знак плюс ставится, когда
ф = q!2 или 0Q = я, минус — 0 = 0. Так же определяется положение фрон-
та тепла на линии тока ф = 9/4 или 0Q = я/2. Из (4.44) и (4.46) для нее
имеем cos2 0 = г2/I2 = t/ (3fQ).
По этим трем точкам можно судить о размерах охваченной
воздействием области до подхода фронта тепла к добывающей
(рис. 4.3, б).
Связь перепада давления с дебитом
Я/r (рн - рд)
9 =----------------
pin (//rc)
тепловым
скважине
(4.49)
Имеется круговая батарея из п равнодебитных скважин, питаемых
одной центральной нагнетательной скважиной с n-кратным расходом,
помещенной в начало координат (рис. 4.4). Комплексный потенциал
такой батареи
п
Q	2
W (г) =-----In----------- (4.50)
2Я гп-!п
Выделив вещественную часть, получаем для давления
р = pq/ (2я/г) 1 п( г п/у/г 2П+/2п-2гп/ ncos(n0) + D,	<4-51 >
где D— постоянная. Дебит связан с перепадом давления
pnln (//гс)
Выделив мнимую часть в (4.50), для линии тока получаем
г'7 = /л(со5лб - ctg п 0Qsinn0),	(4.53)
где 00 — полярный угол касательной к линии тока в начале координат.
87
Дифференцируя (4.50), для комплексной скорости имеем
dW nql п
dz 21Tz {!п - zn)
(4.54)
Вдоль линии тока модуль скорости упрощается, скорость темпера-
турного возмущения
v т = nqc{ sin2n0fl/ (2itr cQ sin n9).	(4.55)
Для элемента дуги линии тока, пользуясь (4.53), получаем
______________ г d9
dS = у/(dr)2 + (г d9)2 = .	- д-----— •	(4.56)
sin PQSin io — о)
Отношение dS/v— элементарное время перемещения температур-
ного возмущения вдоль линии тока
2ТТс / 2 sin п в
dt=____°... -------sin2/”’1 (n9~n9)d9.
пс qsin2'n + 1 п9
1	О
(4.57)
Время прихода температурного возмущения в заданную точку определяет-
ся так. Подставив координаты точки (г, 0) в уравнение (4.53), находим
угол п0д = а. Интегрируем (4.57) в пределах от до 9 и получаем
27Гс /2
t = ---- аУ/ТЛ —а~ J sin п в Sin2/n 1 (п9 ~n9)d9.	(4.58)
пс q si n ' Пи0 q
Для п = 1 и п = 2 интеграл берется и выражается в элементарных функ-
циях. При л> 2 функция при 9 = 9q обращается в бесконечность, интеграл
становится несобственным. Сделаем замену переменной и избавимся от
сингулярности. Обозначим
7Т / 2 с
t _ --------5— , а = п9,£ = а— п9.
го (п+2)с^q
(4.59)
Из (4.58)	получаем - /	пв — пО
Г	п + 2 го	sin2' (пО — п9)	2(л+2) cosn9 	т	2	_	г2	J sin2/n (4.60) - 2/П л	2	- 2/Л+1	J sm л0о	n	sin
Эта формула удобна при численных расчетах на ЭВМ, но она теряет
смысл для главной линии тока, где 9 = 0.
Для линий тока 9д = 0 и 9д = тт/л время перемещения температурного
возмущения находится непосредственным интегрированием по полярному
радиусу
88
ircQl2 г	2
r =---------- (—12 [1 ± --------(—)nb	<4-61>
nc q I	n + 2 z
Знак минус ставится, когда dQ = 0, время Г — перемещение возмущения
до добывающей скважины вдоль главной линии тока.
Время переноса возмущения до добывающей скважины вдоль любой
линии тока получаем из (4.60) при £ = а = ndQ:
t п+2	2(п+2) cosnf) пво
С К	0	п / г-1
— =----------------2---- .-2//Н1 „ / sin / №	(4.62)
го п	п sin '	nti Q о
В табл. 4.2 приведены значения времен tcK/rfl для различных 0Q и
п, которые можно использовать для расчета температуры добываемой
жидкости при круговой батарее. Обводненность скважин при поршневом
вытеснении рассчитывают с учетом этой температуры (принимается Г за
время прорыва, я/тг = п0о/л — за обводненность продукции). Для удобст-
ва использования угол я дан в долях от тг. Для я = тт/2 в формуле (4.62)
и в формуле (4.60) второй член с интегралом обращается в нуль, что
позволяет вычислить время перемещения температурного возмущения
не только по крайним, но и по средней линии тока.
На рис. 4.5 изображены положения фронта тепла для различных t/t0
в случае, когда п = 2. Вычисления велись по формулам:
0 = 0,5 arccos(cos 20 +(t/(2t ))sin220
0	0	°'	(4.63)
r/l = V(sin(20o - 20) )/sin20fl,
Таблица 4.2
Время переноса возмущения {ф — nOQq/ (2 Я) )
Число скважин, п	Время переноса возмущения	при различных У = 0о/тт					
	Г? = 0,1	7 = 0,3	7 = 0,5	7 = 0,7	7 = 0,9	7 = 95
1	1,04	1,45	3,00	11,9	304	2432
2	0,035	1,26	2,00	4,85	40,9	162,4
3	1,018	1,18	1,67	3,27	17,8	55,14
4	1,014	1,14	1,50	2,59	10,9	29,69
5	0,012	1,12	1,40	2,23	7,92	19,61
6	1,010	1,10	1,33	1,99	6,24	14,48
8	1,008	1,07	1,25	1,72	4,49	9,47
12	1,005	1,05	1,17	1,46	3,06	5,73
которые получаются из (4.60) и (4.53). Для t <Г параметр 0 опреде-
ляющий линию тока, меняется в интервале 0 < 0 < тг/2. Для t > tQ, когда
температурное возмущение достигло добывающей скважины, параметр
89
Рис. 4.5. Изотермы для одной
нагнетательной и друх добывающих
скважин
6Q может принимать лишь значения
в <0<л/2. Минимальное значе-
m in
ние определяет ту линию тока, вдоль
которой температурное возмущение
достигло скважины в данный момент
0min =arccosVt7F:
(4.64)
Точные решения для времени
переноса температурного возмущения
можно найти также и для прямоли-
нейного ряда равнодебитных скважин,
как это показано в предыдущей главе
при Вычислении обводненности.
ТЕМПЕРАТУРНЫЙ РЕЖИМ ТОНКОГО ПЛАСТА
Если пласт тонкий (до 20 м), то существенным становится учет притока
тепла с кровли и подошвы при нагнетании холодной или горячей воды.
Толщина горных пород, вовлеченных в теплообмен с пластом, опреде-
ляется выражением 2а \fF, где а - температуропроводность горных
пород. Пренебречь теплообменом пласта с горными породами можно
лишь при h »2а \/Т.
Если горной породой является глина с а 2 = 10 м2/год, то за 10 лет
в теплообмен с пластом будет вовлечено около 20 м горных пород.
Критерий, при котором можно пренебречь теплообменом, 2а у/Г«Л .
Согласно схеме Поверье [45] потери тепла вследствие теплопровод-
ности горных пород учитываются лишь в перпендикулярном к пласту
направлении и принимаются равными нулю в направлении простирания
пласта. Применение этой схемы оправдано при относительно больших
скоростях фильтрации.
Формула Поверье пренебрегает теплопроводностью пласта по направле-
нию движения жидкости, по сечению пласта она считается бесконечной.
При предпосылках Поверье дадим решение задачи для более общего
случая — плоского фильтрационного течения.
Видоизменение схемы Поверье - одно замкнутое приближенное
дифференциальное уравнение для среднепластовой температуры, которое
избавляет от необходимости решения контактной задачи теплопровод-
ности.
Пусть в пласте толщиной Л создано стационарное течение, температура
90
жидкости на забоях в нагнетательных скважинах постоянна, теплофизичес-
кие свойства кровли и подошвы одинаковы. Пренебрежем изменением
температуры по сечению пласта и примем схему теплообмена Поверье.
Температурное поле горной породы определяется уравнением
сЭТ/Эг = X92T/9z, г >0,
(4.65)
с граничным условием переноса тепла по пласту
Ът Ът Эт 2Х Ът
%	> = —-э7'7 = 0'	(4-66>
где с, cQ, с( — объемные теплоемкости горной породы, пласта и пластовой
жидкости; X — коэффициент теплопроводности (теплопроводность)
горных пород; u, v — компоненты скорости, зависящие лишь от коорди-
нат х, у (считаются известными).
Начальная температура системы — Т . Для изображения по Лапласу от
Т— TQ уравнение (4.65) имеет ограниченное приг ->°° решение:
L = А (х, у, S) ехр (— г\[$/а ), а = у/\7с,	(4.67)
где А (х, у, S) — произвольная функция.
Из (4.66) для изображения L имеем
91 9t 2Х 9z.
cSL + с (и — + v -------) =--------, z = 0.	(4.68)
0	1 Эх 9/ л Эх
Подставляя сюда значение (4.67), получаем для неизвестной функции
А (х, у, S) уравнение
Эд Эд	s 2\\fs
и~Г~ +v у- = [с --------+ -----— ] А.	(4.69)
ОХ оу	°C 3 с1"
Введем новую переменную т вместо х и у чтобы удовлетворялось
условие
U~ + V — = bA .	(4.70)
Эх 9/ dT
Переменная т соответствует времени движения псевдочастицы по ли-
нии тока (фактическое время движения частицы есть тт).
Если на контуре нагнетания при т = 0 температура Т = const, то изоб-
ражение по Лапласу есть (7" — Го)/5, а из (4.69) и (4.7?)) получаем
Т - 7”	с S 2XvT
A{x,y,S} =—--------°ехр [- (-------+ --------)т].	(4.71)
S	с aCj/i
Применив к (4.67) и (4.71) формулы обращения, получим обобщен-
ное выражение для произвольного плоского фильтрационного потока
91
2\т
------— = erfc (  ~ih--------------------), erfc х = j" е~х dx, К-72)
Гв - Го	2а ^t-coT/Cl-ф х
в котором правая часть считается равной нулю при t <.с tJc^. Параметр
т представляет собой время, затраченное на достижение частицами, движу-
щимися по траекториям от контура нагнетания, точки (х, у). Например,
для галереи т= х/и, для осесимметричного течения т = тг г 2 /q.
Формула (4.72) показывает, что в общем случае плоского стационар-
ного течения изотермы совпадают с линиями отмеченных частиц. Чтобы
воспользоваться формулой (4.72), нужно иметь значения т как функции
х, у. Можно также, задаваясь последовательно значениями т при фиксиро-
ванном t и / = О, определить соответствующие изотермы как решения
системы уравнений
dx/dT = и(х, у)-, dy/dr = v (х, у),	(4.73)
пользуясь какими-либо численными методами, например стандартной про-
цедурой Рунге — Кутта.
Приведем нетривиальные примеры, для которых т выражается в эле-
ментарных функциях.
1.	Если фильтрационное поле образовано парой равнодебитных сква-
жин, из которых нагнетательная расположена в начале координат, а добы-
вающая на расстоянии / от нее на оси абсцисс, то время прохождения
псевдочастицей линии тока от начала координат до точки (х, у) опреде-
лится формулой
ТГ/2 sin(0. 8]cas8 — {в 8)cas8n	!v
т — __ ______2_____________Q________9_ tn О — --------1л
где q — дебит скважины; 0Q — угол выхода из начала координат той линии
тока, которая проходит через точку (х, у) ; 9 — полярный угол.
2.	Если фильтрационное поле образовано одной нагнетательной сква-
жиной с дебитом 2g, расположенной в начале координат, и двумя добы-
вающими скважинами, расположенными в точках с координатами (± /, 0),
то время т прохождения псевдочастицей линии тока от начала координат
до точки (х, у) выразится формулой
т= (я/2/д) [ (cos 2<9 — cos 20о) / (2sin220o) ],	(4.75)
Здесь 0 и в0 определяются по известным декартовым координатам точки
/2 (х2-у2)-(х2 + у2)	х2-у2
ctg 2 8 =-----—2---------, COS 2 в =	- •	(4.76)
u	2/ ху	х + у
3.	Пусть имеется прямолинейный ряд чередующихся нагнетательных
и добывающих скважин равной интенсивности, расположенных на оси
92
ЗОСЦИСС В I инках nt , l де И — целое. -IO I nonvi • •	I at-ъ . оу IV I I
ные скважины, нечетным — добывающие. Комплексный потенциал такого
течения
q	7Tz
и/ [?) = ----- In tg — ,	(4.77)
277	2/
а линия тока определяется уравнением
sh(n y/t) = tg 0osin(7Tx//).	(4.78)
Вычислив модуль скорости дифференцированием (4.77) и приравняв
его к производной по времени дуговой координаты вдоль линии тока,
получим
2/ s i п (77 х/ / ) <7х
</7 = ----Та~ /	-'^а	' it =--- 	(4.79)
<JCOS 0Q V1 + t9 0osin (77 х// )
Интегрируя это соотношение от х = 0 до текущего х, получаем
т = 4/(77g)	[ (0fl — arcsin (sin 0ocos 7rx//))/sin 20о],	(4.80)
угол в определится по заданным координатам из уравнения линии тока
(4.78) °
Руководствуясь схемой Поверье, получим приближенную формулу
для теплообмена с кровлей и подошвой, которая позволит вести расчет
температурного поля пласта с учетом изменения фильтрационного поля
течения вместе с движением изотерм.
Представим для г = 0 производную изображения в виде свертки
Эс	/ cS~	/ с~
- V — A(x,y,S) =-SV L (x, y, 0, S).	(4.81)
Пользуясь теоремой обращения, имеем
2Х	37	2\/Хс d t Т{х, у, 0,7) -Т
------— = - 		J >—	— d т.	(4.82)
h	Ъг-h dt о V77 (г - 7)
Замена в (4.66) правой части на полученное значение приводит к интегро-
дифференциальному уравнению, неудобному для численного решения.
Заменим интеграл (4.82) его асимптотическим приближением.
Основной вклад в (4.82) вносят значения подынтегральной функции
в моменты времени близкие к Г. Разложим 7"(х, у, 0, т) в точке в ряд по
степеням (f — 7), подставим в (4.82), проинтегрируем по 7 и продиффе-
ренцируем по Г. Получим
2Л Ът 2у/\с	Ът t2 Ъ2Т
h Ъг h sjltt ~	0 Эг 3 Эг 2
(4.83)
Отбросим
здесь все члены высших порядков, удержав лишь первые
93
два члена, подставив разложение в (ч.ии|, оудем име>ь длн определении
среднепластовой температуры
2 / Xcf ЭТ
(с + —V---------------) —
0 h It dt
Э Т	Э Т	2 / Хс	i л q »»
— +у --------) +----V --------(Г-Г )=(4-84)
Эх ду h itt °
= 0.
Асимптотическое приближение схемы Поверье привело к переменной
объемной теплоемкости пласта (растущей как у/Г за счет прогревания
окружающих горных пород) и схеме Ньютона с переменным (обратно
пропорциональным \/г) коэффициентом теплообмена. Уравнение (4.84)
и его разновидности для двухфазной жидкости удобны для разностной
аппроксимации, ибо позволяют избавиться от решения температурной
задачи для окружающих пород. Расчеты по (4.84) точнее, чем по схеме
Ньютона и отличаются не более чем на 5 % от расчета по схеме Поверье.
Дадим обобщение формулы Поверье для случая, когда высокопрони-
цаемый тонкий слой окружен низкопроницаемыми пластами большой
толщины. Фильтрация происходит по этому слою со скоростью и и по
пласту со скоростью uQ, причем и» uQ.
В линейном случае (галерея) задача имеет вид:
Эг
Эт	Э2 7
—— = Х —Г, 2 > 0, х>0,
Эх	Эг2
Эг Эт
2Х Эт
------------, 2 = 0, х> 0,
л Эг
(4.85)
Т(х, 2, %) = Т(°° , г. Г) = Го, Г(0, г, Г) = Гв>
В этой задаче температура по толщине слоя усреднена.
Задача (4.85) имеет аналитическое решение. Оно находится операцион-
ным методом с применением преобразования Лапласа по двум перемен-
ным. Для изображения по Лапласу
Г= J J e~pt~Qxe (х, г, t}dx, dt, в.= -----
оо	т - т	(4.8b)
в о
задача (4.85) принимает вид:
срГ + (рГ — 1/р) = ХГ ", 2 > 0,
сорГ ч-с^рГ - 1/р) = 2ХГ '/h, г. = 0,
причем здесь уже использованы краевые условия.
Решение уравнений (4.87) можно записать в виде
U	(U - U )	г\[р~/а )
J4 =	U ______	U	,
[р (р + Uq<7) ]	[р' (р' + ?\/р']
(4.88)
где для удобства введены следующие обозначения:
р' = р + UQq, q ' = р + Uq, а = у/ Х/с,
94
7=27Хс/(соЛ), U=Clu/co. U0=clUoco.
(4.89)
Обращение изображения (4.88) находим почленно. Первому слагаемо-
му соответствует "бегущая единица".
р{р+ UQq)
0.x>Uot
1,х<О0г‘
(4.90)

Это изменение температуры означает прогревание пласта до температу-
ры нагнетаемой воды за фронтом тепловой волны х = V t.
Для обращения второго слагаемого используем известный из опера-
ционного исчисления факт, что если F (р, q) есть изображение функции
f (t, х), то изображению F (ар + bq, atp +b^q) будет соответствовать ори-
гинал (1/ДИ (bt t - a jX) /Д, (ах - bt] Д, причем Д = а Ь1 — а {Ь, и если
хотя бы один из аргументов отрицателен, то значение оригинала прини-
мается равным нулю. Выкладки приводят к следующей формуле
т-то	х	2 + а у(х — иогши- 1?0)
-----= 1 (г — -) + erfc -======— ,
Тв-Т0	Uo	2а у/(Ut — х] / (U — Uo(	(4.91)
в которой при отрицательных значениях линейных форм
t-x/U0, (х- Uot}/(U- Uo}. (Ut-x}l(U~ UQ]
соответствующее слагаемое'(первое или второе) следует принять равным
нулю.
Для высокопроницаемого слоя (t/»t/Q) решение (4.91) интерпре-
тируется таким образом:
Т = при х> с]Щ/с0,	(4.92)
Т = Т при х< си t/c,
В	10
Т- То	2 +ау(х- Uot}/(U- и0(
Тв - То	2 а у/ (Ut - х] / (U — Uo)
Когда Uo = 0, решение (4.92) переходит в формулу Поверье. Устано-
вим пределы ее применимости.
Если бы вместо задачи (4.85) для случая uQ = 0 решалась та же задача
в точной постановке, то для х = 0 граничное условие в силу симметрии
имело бы вид ЭГ/Эх = 0 при г > 0. На самом же деле формула (4.92)
при I/ = 0 дает отличные от нуля значения ЭГ/Эх. Вычислив общий поток
тепла при х = 0, имеем
- дт	с.Х /2\	2Х2
Q--XJ-—dz - (------------V---+ -------ИГВ-ГО).	(4.93)
о of	CjU	TTcf	с {uh
Этот поток тепла является фиктивным, внесенным схематизацией за-
дачи. Формулой Поверье можно пользоваться, когда этот, фиктивный
95
.1^ ^Huui Ibnriru HULI унаг^щим о iuidL.1 qJdK. I ИЧЦСКИМ ТбПЛОМ
c{uh (Tb - TQ),T.e. при выполнении условия
Lo = соХ\/Х/ (wet) / (c2u2h ) + 2Х2/ (c^h )2« 1.	(4.94)
Здесь каждое слагаемое положительно, потому они должны быть
малы по сравнению с единицей. Первое слагаемое связано с числом Фурье
Fo, второе — с числом Пекле Ре
Fo = Xt/(c/?2), Ре =ciuh/\.
Вводя эти обозначения перепишем (4.94) в форме
Lo = 1/ре2 [2 + с0/(с^тг Fo ) ] « 1.	(4.95)
Определяющее влияние оказывает число Пекле. За условия примени-
мости формулы Поверье можно принять Ре > 10, Fo > 1.
Например, для пласта толщиной. 10 м и при скорости фильтрации
100 м в год, если окружающие породы имеют а = 20 м2 /год, то при/с=
= 1,4 имеем Ре = 70, так что первое условие обычно выполняется. Число
Фурье выразится в этом же примере функцией времени Fo = 0,2е (вре-
мя в годах). Второе из условий выполняется лишь по истечении значитель-
ного отрезка времени. Но из (4.95) видно, что критерий Lo незначитель-
но зависит от числа Фурье, поэтому можно ограничиться проверкой пер-
вого критерия.
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ТОНКОГО ПЛАСТА
ДЛЯ ПЛОЩАДНЫХ СИСТЕМ ЗАВОДНЕНИЯ
Чтобы определять температуру при двумерной фильтрации, необходимо
знать время т достижения заданной точки пласта фиктивной частицей,
движущейся от контура нагнетания со скоростью фильтрации вдоль
линии тока. В случае площадных систем заводнения указанное время
можно выразить через объем прокачанной воды в поровых объемах
пласта.
Если для шахматно-рядной системы использовать согласованные
безразмерные переменные
x' = itx/a, у' = ity/a, ф ' = 2 rri/z/q, и' = 2а u/q,	(4.96)
v ' = 2а v /q, t ' = тг qt/ (2ma2),
то для объема прокачанной жидкости qf, измеренного в поровых объе-
мах пласта 4mab, получаем связь с безразмерным временем
I/ = qt/ (4ma b) = a t'/ (2я6 ). В	(4.97)
96
В гл. 3 приведены формулы для определения характеристик течения
площадных систем: давлений, линий тока, скоростей фильтраций и т.п.
Комплексный потенциал шахматно-рядной системы определяется
q	0 (zl (2а ) )
H/(z) = ------- In ----------------- + D, h — exp (— тг b/a ).
2tt	0, (z/ (2a )
(4.98)
Выделив мнимую часть, получим для функции тока
ф' — arctg
яз- J3
(4.99)
где R l, /?з — вещественные части функций в f, a J 1, J их же мнимые
части. Аргумент тета-функций в безразмерных координатах составляет
(х' + /' у'} / (2тг).
Для вычисления значений тета-функций составляются машинные про-
цедуры, основанные на формулах преобразования и вычисления рядов
с заданной точностью.
Безразмерные скорости вычисляются по формулам, полученным из
разложений логарифмических производных тета-функций. В случае шах-
матно-рядной системы для безразмерных скоростей
sin х'	~	(- h ) к
---------------------— 2 2--------------------------sin кх ch к у ',
2 (ch. у — ccsx )	^=1 1+(— h]k
v
shy	(— h ) к
-------------+ 2Z ------------- cos/rx'sh ky',
2 (ch у cosx ) k=i 1 % (— h ) k
(4.100)
у < тг Ы (2a ).
При невыполнении этого условия следует воспользоваться симметрией
в распределении скоростей. Например, для шахматно-рядной системы
имеем
и (х, у) ~и (а - х, b - у), v (х, у) = у (а - х,Ь - у) .
(4.1011
Вблизи скважин скорости велики, поэтому поле их распределения
имеет особенность типа полюса. Для окрестностей нагнетательной скважи-
ны формулы (4.100) с достаточной точностью можно заменить прибли-
женными
и ' = X 7 (х1 2 + у 1 2) - ах, v ' = у 7 (х1 2 + у 1 2) + а у ',	(4.102) '
где а находится как сумма ряда
а = 2 £ к(-Ь)к/(1 + (-Л)А)
1
(4.103)
97
7-37?
(или же сравнением (4.102) и (4.100) для ближайшей к нагнетательной
скважине точки плоскости).
Точность формул (4.102) имеет второй порядок, так как в них отбро-
шены члены порядках12 и у12. Формулы (4.102) позволяют справиться
с сингулярностью аналитическими приемами, где конечно-разностные рас-
четы бессильны.
Время т достижения заданной точки пласта (х , у J частицей находим
численным решением системы
dx/dt ~ и (х, у), dy/dt = v (х, у],
(4.104)
х(0) = у (0) =0, х(т) -х*, у(т) - у*.
Удобно выразить г в виде
е dx е dx
Т [ и (х,и)+ $ и (х, у) '
0	е
(4.105)
где первое слагаемое находится аналитически интегрированием, а второе
численно по формуле Симпсона. Для каждого выбранного узла хп орди-
ната уп вычисляется по известной линии тока ф (х, у) = ф (х», у») методом
итераций Ньютона. Начальное приближение находится по формуле Эйлера
v (х„_ ,, Y-^ , )
Уп = У^1 + -----------— {xn-V1»-
а формула Ньютона записывается в виде
У-Уп - ^Xrf Уп}~^ )lu(Xn' Уп'!-
(4.106)
(4.107)
Удобно вместо е брать значение х на окружности достаточно малого
радиуса г , который берется равным примерно шагу интегрирования в
формуле Симпсона. Точность в три знака обеспечивается разбиением
интервала интегрирования на 40 частей.
Для первого из слагаемых (4.105), используя (4.102), получаем
то = (1/(2а)) 1п(1 +аг2).	(4.108)
Рассчитаны безразмерные времена достижения узлов квадратной ко-
нечно-разностной сетки лх/n для шахматно-рядной системы заводнения.
В табл. 4.3 даны эти числа для пятиточечной системы заводнения (для
удобства они выражены через объемы прокачанной жидкости). Связь
с безразмерным временем определяется формулой (4.97). Имея такую
таблицу, легко воспользоваться формулой Поверье. Расчет температур-
ного поля становится столь же простым, как и в линейном случае.
В табл. 4.3 значения времени изменены для граничных узлов сетки,
а именно: граничные узлы смещены внутрь области так, чтобы темпе-
ратура в смещенном узле соответствовала средней температуре гранич-
98
Объемы жидкости, необходимые для перемещения частиц от
нагнетательной скважины до соответствующих узлов сетки (8x8)
при пятиточечной системе заводнения
Узлы сетки	Количество закачиваемой жидкости					(поровые объемы пласта)			
8	1,409	1,409	1,406	1,393	1,360	1,296	1,181	0,948	0,718
7	0,829	0,831	0,835	0,837	0,828	0,798	0,742	0,695	0,948
6	0,513	0,518	0,534	0,555	0,575	0,594	0,622	0,742	1,181
5	0,330	0,338	0,363	0,400	0,447	0,505	0,594	0,798	1,296
4	0,204	0,214	0,245	0,295	0,361	0,447	0,575	0,828	1,360
3	0,114	0,125	0,160	0,216	0,295	0,400	0,555	0,837	1,393
2	0,052	0,063	0,100	0,160	0,245	0,363	0,534	0,835	1,406
1	0,015	0,026	0,063	0,125	0,214	0,338	0,518	0,831	1,409
0	0,000	0,015	0,052	0,114	0,204	0,330	0,513	0,829	1,409
у/х	0	1	2	3	4	5	6	7	8
ной ячейки. В граничных узлах изменения температуры минимальны,
а при конечно-разностной аппроксимации в расчете используется сред-
няя температура ячейки. Подсчет показывает, что при смещении на
х/з/6 части шага сетки от границы температура будет равна средней по
граничной ячейке.
Глава 5
ОБЩАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Принято подразделять процессы фильтрации на "равновесные" и "нерав-
новесные".
К первым условно относят процессы, при которых отсутствуют меж-
фазные переходы вещества (компонентов) и химические превращения
(заводнение пластов холодной или горячей водой и др.).
Неравновесная фильтрация, сопровождающаяся фазовыми переходами
и химическими реакциями, представляет более сложную картину.
Рассмотрим сначала случай равновесной фильтрации многофазного
потока.
БАЛАНС ЭНЕРГИИ
С учетом закона сохранения энергии дифференциальное уравнение энер-
гии имеет вид
-^-(pcvT+ р-~ + рЕп + £луч) =- div(J кон + 7диф+	(5.1)
+ 4Уч> +1и-
99
w I ЦСПОПО1С Ulldl dbMblC В IJ.I/ yMkllblbdKJI И dM CH CM ИН И рЬЗу ЛЫ ИруЮЩИС
переносы различных видов энергии в единичном объеме в единицу вре-
мени, Вт/м3.
Первое слагаемое в левой части (5.1) определяет тепловую энергию,
второе — кинетическую, третье - потенциальную энергию единичной мас-
сы среды Еп = pv + Sp. f. /р и включает энергию давления (pv = рр)
и энергию возможных превращений в среде (фазовых, химических
и др.), четвертое — лучевую энергию. Индекс /'—обозначает компонент,
ш— скорость движения.
Вектор конвективного переноса энергии
7 кон	7-+ pv) + w2/2 + ^p. Е. /р].	(52)
Суммарный_ректор переноса энергии в результате теплопроводности
J т и диффузии J g :
J д, = J + J а = ~ а \/(рс Л - S D. . (р . .) ,	(со)
диф т ои cv v v	1,1 г ’	<	(о.о)
где a cv — коэффициент температуропроводно! и, — теплоемкость
при постоянном объеме, Dj / — коэффициент диффузии компонента /.
Вектор лучистого потока энергии 7nyq при ри.^смотрении внутрипласто-
вых процессов обычно не учитывается. Удельная мощность различных
источников энергии в единичном объеме (точечные источники, стоки энер-
гии, работа внутреннего трения, электрон; рев и др.) обозначена / .
Если в качестве независимых переменнь для системы используются
термические параметры Т и р, то в качестве функции состояния обычно
вводится параметр энтальпии h = и + pv, где и - удельная внутренняя
энергия, du — dQ — pdv . Тогда
dh — dQ + v dp,	(5.4)
где dQ — приращение тепловой энергии (тепла), не являющееся полным
дифференциалом (зависит от пути протекания процесса).
Энтальпия — это характеристика состояния системы, и поэтому dh —
полный дифференциал
Эд	Эд
dh = ( —) pdT + (	- CpdT + v dp.	(5 5)
так как (Э/?/Э Л dT — d Q = с dT; (Э/?/дТ) = с .
Используя функцию состояния —энтальпию, имеем вместо (5.1) сле-
дующую формулу:
Э	ш2	Sp.	Е.	w2	Sp.	Е.
ь— [р (h + — +--------——) ] = — div [и/p (h + —— + —-—-) ] -
or	2 p	2 p
— div [—a v (ph ) — S D. , v(P- £•)]+/ •
cp 'Z	/, / v ^/ / и	(5 6)
При малых скоростях фильтрации в пористых средах кинетической
100
энергией потока можно пренебрегать. Из сказанного выше следует, что
тепловое состояние среды коллектора зависит от общего комплекса
протекающих в пласте процессов.
Балансовые соотношения (5.1) и (5.6) будут положены в основу
получения уравнений энергии для различных частных случаев, которые
рассматриваются ниже.
УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ
РАВНОВЕСНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОФАЗНОГО ПОТОКА
В ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Пусть в пласте с пористостью т 0 фильтруются три несмешивающиеся
фазы / (/ = 1, 2, 3). Считается, что при изменении давления и температу-
ры массообмена между фазами не происходит, а имеет место изменения
плотностей р. и пористости коллектора. Насыщенность фазы / в поровом
объеме — s ..
Учитывая закон сохранения массы и уравнение Остроградского —
Гаусса, имеем уравнение неразрывности для каждой фазы j :
Э
g— (mPj s.) =- divtp.w.)	(5.7)
/=1, 2, 3. 51+52 + 53=1.
Принимая уравнение состояния для плотностей и пористости в виде
dp. ~Pj (0r dp — dm — (1 — m) (0tc - и проведя отдельны	a dT} , 1 п — 2 dp — a dT п	J	рс i е преобразования в	л ) (5.7), получим	(5.8) (5.9)
ч	Эр у	1 — m	1 п др. — 2) —— ) - (а . - п /=1 эг	Р‘	Эг. /
р [(\	+	ft dt	m	тс		Эг
1 -	'дТс >	,	1 я- Г -* ] - — — div (р. W. m	)	(5.10)
m “СР 3f '			
Раскрывая оператор дивергенции в правой части (5.10)
div(p. w.) — w. grad р. + р. div w 	(5.1 
и учитывая, что
Эр
gradp = ------- 7 = р. (0у Т grad Pj - a.pgrad Tj ),	(5.12
101
имеем систему уравнений неразрывности для фаз
1	п
- —---------'L	[л. div w. +
1	1
т	j = 1	1	1
+ ^i^Tj Pj~aPj Ti^'
Примем обобщенный закон фильтрации
к(р, Г} к (s Т)
--------—------ [ vр. - G. {к (р,Т), Т ) - р g ].
At - (Г)	1	'	11
(5.13)
(5.14)
Проницаемость является функцией давления и температуры, фазовая
проницаемость — функцией насыщенности и температуры, начальный
градиент давления сдвига — функцией абсолютной проницаемости
и температуры [1,46].
Учитывая развитую поверхность контакта между фазами, можно
принять, что в элементарном макрообъеме температура в фазах вырав-
нивается весьма быстро, практически "мгновенно". Тогда общая систе-
ма уравнений существенно упростится. Это вполне обоснованное допу-
щение будет нами делаться в дальнейшем.
Уравнение энергии фазы j для данного случая получим из (5.6),
ограничившись отдельными наиболее существенными комплексами:
3	Р:	Р:
bT[mpiSi {СР:Т+ ^-)] — div [w р. (с Т + -^-)] +
+ div (ms.X. Т}.
(5.15)
Проведя перегруппировку и некоторые преобразования в (5.15),
имеем
Э	Э	р.
-— (ms р. с Т) =~ -—(ms.p) - р. (с Т + -J— ) div ил -
3f П Pj 1	‘	‘ Pj р.	'
- wj (yiPjCp T} + р] + div (ms.X. vT).	(5.16)
Учитывая уравнения состояния для р и m (5.8), (5.9) и проведя сум-
мирование, получаем обобщенное уравнение энергии для многофазной
упругой системы, фильтрующейся в деформируемой пористой среде,
Э	_	9	"
-эГ[(ЛГ? s s/^cp. + (1“	__ “ЭГ lm£sfpj +
1л	л	Pj	п
+ (1 - m ) — Z р ] - 2) р (с Т + —— ) div IV. - S w. [ v(р. с Т}
Л / = 1 /	/ = 1 1 Pj	р.	J j=l /	1 Pj
+ v р. ] + div (m s. X. vT) .
(5.17)
102
Здесь w = 0, w. = 0, S s. = 1.
c / j - ! I
Уравнение (5.17) допускает ряд упрощений путем преобразований
и отказа от учета отдельных явлений.
Ограничившись линейными членами и введя термодинамические
коэффициенты, учитывающие тепловые эффекты адиабатического сжатия
и дросселирования, имеем [33]
л	Э т л	~ др.
[т 2 PJ Ср.+^~т^ РсСср^	р Cpi Pi %	+
, On п	П
—>	—>
+ (1 — т] р с в -----~ S с р. е. . w. • vp — Ъ с. p.w. • vT +
с ср Hsc	у = 1 Pj^j Ih / VH/ / = 1У 7	1
+ Z divfmsA. уГ).	(5.18)
Э₽с 1 л др
Здесь р — напряжение в коллекторе ч—	— S —— •
с	ot п pt
При получении уравнения (5.18) использованы известные термодина-
мические соотношения:
Т dt/
дт
(5.19)
дг
-CpdT< iv.-Ti^tdep
Tds, ~/dT-T
(5.20)
Если пренебрегать сжимаемостью коллектора и упругостью фаз ([Зр =
= 0, ат = 0, m = const, div w ~ 0), а также не учитывать термодинамичес-
кие эффекты Джоуля — Томсона и адиабатического сжатия (е — 0;
3s = 0), то из (5.13) и (5.18) мы получим систему дифференциальных
уравнений неразрывности и энергии движения несмешивающихся несжи-
маемых фаз в недеформируемом коллекторе при неизотермических
условиях. Ограничившись наличием двух фаз — нефти и воды ( sh, sb),
выпишем систему уравнений для вытеснения нефти "холодной" или
"горячей" водой при заводнении нефтяных пластов, когда не происходит
разгазирования нефти в пластовых условиях (рн > Рнас, Рн — давление
в фазе нефти, рнас — давление насыщения нефти газом). Учитывая, что
+ «в — 1, приняв sb =s, имеем уравнения неразрывности [32]
103
kk (s, Т)„
(р- sp (s, Л ' + div [ —и----G х
к	ДН(П ов
(5.21)
х (Т, Л-)],
3s	к к (s, Т}	к к (s, Т )
-- m ^у=— div [”р-- (p + (1-s)pK(s, Л ] + div (-^77) 60В [Т' ^'(5.22)
Уравнение энергии для пласта
Эг _	-7
-7- “ div vT) - (сдрвwb + снррнw) • vT •
(5.23)
Уравнения энергии для горных пород, составляющих кровлю и подош-
ву пласта,
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
с р (>T/c)t=X v2V.
к гг К П	КП
Здесь обозначено
P = sp +(1 -s)p Р (s, Т } = р -р,
В	п К	В	п
Рк (s, Т) = (2а (Л cos в (Т) hjk/m ) J (s),
kk (s, T}
BH '	—t	->
w — ~ ----------— [vp — G {T, k} — p #],
BH	ц I-J-)	V/BH BH '	^BH3
c =m [sc p + (1 -s)c p 1 + (1 - m)c p ,
*	в в	нн	с
X = X s + X (1 — s),
*	*, в *, н '
где рк (s, Л функция капиллярного давления; J (s) — капиллярная функ-
ция Леверетта; а (Л — поверхностное натяжение на границе раздела фаз;
в (Л ~ краевой угол смачивания на границе раздела жидкости и породы.
Система уравнений (5.21) — (5.24) дополняется начальными и гранич-
ными условиями. В частности, система (5.23), (5.24) дополняется усло-
вием сопряжения (неразрывности) теплового потока на границе раздела
пласта с кровлей и подошвой
х^Э7-/Эг = - ХпкЭ7-/Эг	(5.29)
и равенством температуры на границе раздела Т !^=0 — Тq 1г = ,,.
Теплообмен пласта с прилегающими горными породами можно
учитывать и иным способом, а именно добавлением в правую часть (5.23)
члена QT.
Удобно для этих целей использовать комплекс
от--------vTc /(я г) (Г- Г + г—),	(5.30)
т н	0 Эг
104
где Н — толщина пласта. При этом (5.23) несколько преобразуется, а
(5.24) уже не используется.
Если рассматривать область фильтрации, в которой размещены нагне-
тательные и добывающие скважины, как односвязную, то действие этих
скважин моделируется наличием точечных источников и стоков. Тогда в
уравнения (5.21) — (5.23) в правую часть добавляются выражения источ-
н	э
ников и стоков — J и S J , соответствующие производству вещества
,	/= 1 н п= 1 э
(воды, нефти) и тепла.
В заключение отметим, что из представленной выше системы уравне-
ний (5.21) и (5.22) как частные случаи получаются уравнения для изотер-
мической фильтрации двухфазной жидкости Лиса и Раппопорта [39], учи-
тывающие капиллярность, и уравнение Баклея —Леверетта, е котором
только учитывается двухфазность.
Указанные уравнения используются для изучения вытеснения нефти
при нагнетании холодной или горячей воды. Данная система уравнений
решается численными методами с применением ЭВМ.
УРАВНЕНИЯ НЕРАВНОВЕСНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
При определенных температурах и давлениях фильтрации углеводородных
жидкостей сопровождается фазовыми переходами, т.е. протекает при
неравновесных условиях. Вопросам изучения неравновесной неизотерми-
ческой фильтрации посвящены работы [33, 37] и др. В работе [33] кроме
фазовых переходов учтены химические превращения в многофазных
многокомпонентных системах (горение и др.) .
Впервые попытка учесть неизотермичность многофазного многоком-
понентного потока была сделана в работах [26, 34],
Считается, что в каждой точке пористой среды существует термичес-
кое равновесие. Когда не учитываются химические превращения и диффу-
зия [37], уравнение неразрывности для л-компонентной, /т-фазной фильт-
рации имеет вид
к р.к	Э
У У U	_
div (---------vp) - Z 17	v' ~ V	г)
ц.(Т1	ты '! V 11	’’ Ъ Эг 11 '<
7	(Ь.31)
(/ = 1,2,..., п- v = 1, 2. . . ., к},
где/ — компонент; j , v — фазы; т?^. v — коэффициент обмена /-м ком-
понентом между фазами j и р; /.. — концентрация компонента / в фазе j ,
Р- — химический потенциал компонента / в фазе/, являющийся функ-
цией состава фазы / 2 ;, / 2	Iп , давления р и температуры Т.
От этих же величин зависят вязкость и плотность каждой фазы
к	к
д/ у =	=1 (/ = ь 2.......к).	(5.32)
105
Представим систему (5.31) в bi
Э
div (mSj w. pj I /y) + Q,y + (m /
где / = 1, 2, . . n; j — 1, 2, . .
к
qii,v = Thj,v%	?// =
m s. ил = (- Л-у /ц. ) grad p.
Уравнение энергии получается
ния.
Выразив внутреннюю энергию и объем фазы через парциальную удель-
ную внутреннюю энергию и парциальный удельный объем /-го компонента
в фазе/ Цу и v.., имеет для фазы / в целом
>ySy/,y)=O,	(5.33)
., к,
qH,v (v=i}-	(5‘34)
(5.35)
с использованием закона ее сохране-
Уравнение энергии для системы 2
к п	w ' ,	3
у?!	!div [msj wi pj1 a (9Z + uu + ~T+ pv /71 ] + aT[m sj pi ‘a(9Z +
2
W .
+ Ujj + — )] = И/ + a	(5.37)
•}	2	В п	о n
где И/ — подводимая в единицу объема за единицу времени внешняя
механическая работа; Овн — тепло, поступающее извне в единицу объема
за единицу времени.
Если ввести в (5.37) парциальную удельную энтальпию h .. = U .. +pv^
и провести преобразования, то получается
v(^ + ~^- + h..)-q..(gZ +	+ Л..) +
3	w 2	ди..	 Зи ..	.	.
+ ms.p.l.. [ -г- (gz + —+ р -.-У ] = И/ + Q ,	(538)
1 Ч Ч 3f w 2 Зг н 3f J вн вн1
Дальнейшее преобразование (5.38) предполагает использование неко-
торых термодинамических соотношений, в частности соотношения Гиббса
п _
dU = TdS — pdv + S у>. dn. ,
/ = 1 ' '
(5.39)
где S — энтропия; п. — число молей /-го компонента в растворе; у>. —
молярный химический потенциал /-го компонента в растворе.
U ~ S п. U., S = S п. S. , v — S п. v .,	(5.40)
106
где U. S,., v. — парциальные молярные величины, определяются равенст-
вами
- _ Эи	- _ Эз
U' ( Эл. }р-т-пс S‘ ( Эл. }р'Г'пс	(5.41)
I	/
Эи
Индекс пс означает постоянство масс всех компонентов, за исключением
п/ ’
Если внести вместо U, S и v их значения, выраженные через парциаль-
ные величины, в (5.39), то
£ [п (TdS i - dU. -pdv.)- (U. - TS. + pv.->p.)dn ] =0. <5-42>
/ = i
Свободная энергия G по Г иббсу G = U + pdv — TS.
Взяв частные производные от последнего выражения по п. и введя
_	3g
обозначения у. = ( -5---) т п '
'	°nj	р? ' /' Лс
где <р. — молярный химический потенциал /-го компонента, получим
= U . - TS. + pv . .	(5-43)
С помощью (5.43) уравнение для G преобразуется в виде
п
S п. TdS,. = S п. (dUj + pdv.	(5.44)
i = 1
Удобнее перейти от молярных величин к удельным:
S. = MS,; U. = М U. ; v ,. = М. v ,. .	(5.45)
Разделим обе части уравнения (5.44) на общую массу раствора. После
преобразований
S /. TdS = 2 I. (dU,. +pdV., ).	(5-46>
~ 1	7 = 1
Из полных дифференциалов функций S и Н, рассматриваемых как
функции (п + 2) переменных (р, Т, п j, п2, . . /?к), получают термодина-
мические соотношения:
ildS. = (hinmdp + {cpn/T)dT.	(5.47)
п
}jidhi = (ЛТ.п +v)dp +cp.ndT,	(548)
где ср и h т п — калорические коэффициенты — соответственно удельная
107
теплоемкость при постоянных давлениях и составе и скрытая удельная
теплота изменения давления (взятая с обратным знаком) при постоян-
ных составе и температуре.
Следует определить члены, находящиеся в правой части уравнения
(5.38).
Внешнее тепло, подводимое к потоку,
к	дт
Q = div [ S /п s . X. + (1 — т ) X ] v Г — (1 — т} р с. —
в н	1	II	с	с рс j
(5.49)
Обычно величиной И/д н пренебрегают, полагая =0.
Для фильтрационных потоков, происходящих в нефтяных пластах,
допустимо пренебрегать и такими механическими составляющими удель-
ной энергии раствора, как gz и и/х/2.
Применяя к (5.38) уравнения (5.46) — (5.49) и проведя некоторые
преобразования, имеем
к	к	др
ms. w .рс (\Т + е vр) — ТmS р.с ,	----
/=>	'	1 а P'ni V	Х / = , i t р п, si Эг
к п	к	дт
~ 1 1 q.h.. i [I mS.p.c + (1 — т} о с ] ------------- =
. , . , и ч . , Г / р, п	'  с рс1 3.
!- 1 I = 1	j=l
к
= div [ S т S. X + (1 — т ) X I v Т.
i = '	11	с	(5.50)
Здесь &s т, к. 1 (cf) п'1 '• eh . = v р п
!	I	I	/	)
Совместное решение (5.33) и (5.50) позволяет определить все неиз-
вестные, входящие в уравнения, и выразить их как функции времени
и координат.
В (5.50) величину q.. в общем случае можно определить из уравнения
(5.33) в виде
Э
q.. — divf/nS.w.р. I \ — -г— (m р S . I . — 0
ч	/ I I ч дг ! > ч
(5.51)
(/ = 1, 2.n- j = 1,2............Л) .
Для неравновесной фильтрации величину q . можно также определить
из более простых выражений (5.34). Для фильтрации при локальном тер-
модика.«.ическсм равновесии такая возможность отпадает.
В уравнении (5.50) аы ебраическая сумма всех обменных потоков
к
/-го компонента между всеми фазами равна нулю ^q. = 0.
г,	_	/= * 11
При двухфазной фильтрации р. j + д ~ 0, что позволяет исключить
qj2 из уравнения и выразить через q/t. Двойная сумма в уравнении
энергии заменяется одинарной, в которой суммирование проводится
только по числу компонентов, а соответствующие q,t умножаются
108
уже i-td pddnucib нарциальныл dtiidjfbiitw /ч w rxuivinuncn ю q доул фсиал
Л/2 — h. (.
Для локального термодинамического равновесия в каждой точке
к	к . р. /..	Э
2 [div ( 1111 VP) ~ s—(mp.S./.)] =0.	(5.32)
/ = i	p	о t / / '/
(/ = 1,2,. . .,n).
В этих уравнениях содержится (к + 1) неизвестных функций. Присое-
динив к этой системе (5.50) и уравнение фазовых равновесий
1 = Л 2- Л-2 = ^/з.....к- 1 = ‘Л; к'	(5.53)
(/ = 1, 2, . . ., п) .
получим замкнутую систему для определения всех неизвестных функ-
ций.
Рассмотрим в качестве примера многокомпонентной фильтрации трех-
фазную фильтрацию углеводородов и воды.
Примем, что в пласте имеются жидкие углеводороды, газообразная
смесь из углеводородов и водяного пара и воды. Применительно к трех-
фазной фильтрации
<7,- ! + Q,- 2 + Я,-з = °-	(5.54)
где индекс "1" обозначает жидкий раствор углеводородов (нефть) ; ”2"—
газовую фазу, содержащую помимо газообразных углеводородов и водя-
ные пары; "3" — воду, содержащую в смеси растворенные углеводород-
ные компоненты.
Фазы нефть и вода считаются несмешивающимися, и массообмен
между ними отсутствует.
Каждое из слагаемых в сумме (5.54) записывается в виде
9,-1 “4/1,2 + <7/!,з ; <7. 2 = р. + Q. 2 3;	(5.55)
Q/3 “ 9/з,1 + <7;з 2 '
Учитывая, что функции q.. связаны соотношением qy v=~C!v,i , для
рассматриваемого случая терхфазной фильтрации с указанным выше
характером массообмена имеем
9,-, 1 ~ ” о	 о. .. = а , — 0; а. „ =— о. .	(5.56)
'	Ч/1,2' Ч! 3,1 Ч! 1,3	' Ч: 3,2	2,3
Тогда из равенства (5.54) следуь,
qi\ ^7 1,2' ^13' <7/3,2' Уi 2 i 1 ,2	<7/3,2'	(5.57)
Для оценки теплового эффекта используется
л 3	п
109
Обозначим L. 1<2 — п ,г~ " j ,•
При этом L . ! 2 есть удельная теплота фазового перехода /-го компо-
нента, тогда из (5.68) получается
- * 2Чл= ^ЧА^ + ^ЧзЛ	(5-59)
Подставив правую часть (5.59) вместо третьего слагаемого в (5.50)
и приняв к — 3, имеем уравнение энергии для рассматриваемого случая.
Если компонент отсутствует в какой-либо фазе, то соответствующий
ему член q.. приравнивается нулю.
Пренебрегая растворимостью углеводородных компонентов в воде,
определим суммарный эффект фазовых переходов
+ 4кз кз,1'	(5.60)
/ = 1
Когда нефть представляется бинарной (двухкомпонентной) системой,
состоящей из тяжелого и легкого углеводородных компонентов, система
упрощается. Полагая при этом / =3 (индекс 3 обозначает воду) и считая,
что / = 1 и 2 — это углеводородная смесь, имеем формулу для суммар-
ного теплового эффекта фазовых переходов:
^1411,2 + ^33^33,2'	(5.61)
Систему дифференциальных уравнений можно значительно упростить
путем объединения отдельных углеводородных компонентов в группы,
которые потом рассматриваются как некие условные "компоненты"
[13, 30].
Это приводит к упрощению уравнений неразрывности и энергии.
Более общие и сложные случаи неравновесной неизотермической
фильтрации многофазных многокомпонентных систем с химическими
превращениями (окислительными реакциями — горением и др.) и с
фазовыми переходами рассмотрены в работе [33], где автором на осно-
ве термодинамики неравновесных процессов, включающей теории Онзаге-
ра и Пригожина, получена общая система дифференциальных уравнений
энерго-массопереноса.
Из этой системы как частные случаи получаются все известные систе-
мы уравнений [26, 37], (система М.Маскета и др.).
Г лава 6
РАСЧЕТЫ НЕКОТОРЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Проведение численных расчетов показателей неизотермического вытес-
нения нефти является довольно сложной задачей. Часто приходится делать
ряд упрощений.
110
расчетная схема нкнгич<зс1 схему > силе,	„ х..к—...,	-------
воздействия на пласты и размещения скважин на структуре, обоснование
математической модели вытеснения и теплопереноса, постановку краевой
задачи, выбор приближенного метода решения, исследования и реализа-
цию приближенного метода на ЭВМ, контроль погрешности.
В математической модели вытеснения в зависимости от физических
условий и геологического строения приходится учитывать (или не учи-
тывать) действие капиллярных сил, сил гравитации, предельное напря-
жение сдвига и другие свойства.
Рассмотрим некоторые из них.
КАПИЛЛЯРНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В общем случае расчета неизотермического вытеснения нефти водой при-
нято вводить два давления: для воды рд и для нефти рд. Разность между
ними называют капиллярным скачком Рк- Для капилляра радиусом г
скачок давлений выражается через поверхностное натяжение а и угол сма-
чивания в формулой
РК = РН -Рв=(2* COS0)/r.	(6.1)
Если же вода смачивает всю внутреннюю поверхность пор и заполняет
узкие тупиковые области порового канала, а нефть располагается цилинд-
риком радиуса г , то скачок давлений выразится отношением а/г .
С ростом температуры поверхностное натяжение убывает и капилляр-
ный скачок уменьшается. Морская вода на границе с различными нефтя-
ми имеет поверхностное натяжение от 0,014 до 0,025 Н/м.
Угол смачивания в зависит от температуры и скорости движения
границы раздела. С ростом температуры смачиваемость растет.
Оценку капиллярного скачка давлений для пористых сред можно
получить заменой в (6.1) радиуса порового канала г на эквивалентный
радиус г , который находится сравнением скорости фильтрации соглас-
но закону Дарси со скоростью фильтрации для модельной среды, состав-
ленной из капилляров радиуса г .
г = V 8 к/т, р °° (a cos 0) I\l2k/m .	.
3	к	(b.z)
Распределение фаз в порах при вытеснении нефти водой носит сложный
характер. Вода часто избирательно смачивает внутреннюю поверхность
пор. Вытесняя нефть, она в первую очередь заполняет мелкие поры,
а затем и крупные.
Каждой водонасыщенности соответствует некоторый усредненный
перепад давления между фазами. Измерение капиллярного скачка давле-
ний как функции насыщенности обычно проводят в статических условиях,
например, гравитационным методом.
Пусть нефтенасыщенный образец впитывает воду под действием капи-
ллярного скачка давлений, направленных вертикально вверх. По истече-
нии некоторого времени установится стационарное распределение насы-
111
Нис. 6.1. Схема капилляр-
ного вытеснения нефти во-
дой:
а — вода впитывается в
нефтенасыщенный образец
(впитывание) ; б — вода
стекает с образца и заме-
щается нефтью (дрениро-
вание)
Рис. 6.2. Кривые капиллярного скач-
ка давления при впитывании (7) и дре-
нировании (2)
Рис. 6,3. Схема к объяснению разли-
чия кривых капиллярного давления
при впитывании (а) и дренировании
(б)
щенности, причем обе фазы сохраняют свою связность. Давления в каж-
дой из фаз на высоте г
р ~Р - Р gz, р ~р - р дг.
в во в ' к но ' н^
Ось Oz направлена вверх, начало координат находится в начальной
точке поднятия воды (рис. 6.1, а). Плотности фаз р ир , ускорение
свободного падения д.
Измерив насыщенность s на высоте z, получим связь
рк = Ч “ pJgz (s) + Pk(s)-	<6.4)
где рко — капиллярный скачок давлений при максимальной водонасы-
щенности, равный нулю.
Леверетт экспериментально показал, что
Рк ~ ((ocos0) !\]k/m ) J (s).	jg.5)
112
Функция Леверетта J (s) зависит только от насыщенности, но если
изменить условия опыта (вода стекает из образца и замещается поступаю-
щей в образец нефтью (рис. 6.1, б)), то функция J (s) будет другой.
Поэтому различают кривую впитывания и кривую дренирования (рис.
6.2). Форма кривых J ($) определяется внутренним строением поровой
поверхности и ее гидрофильностью. Различие в форме кривых капилляр-
ного давления при пропитке и дренировании объясняется следующим
(рис. 6.3). При впитывании воды вверх по капилляру равновесное значе-
ние насыщенности будет достигнуто в широкой части поровых каналов,
когда капиллярные силы не окажутся достаточными для подъема более
тяжелой жидкости. При стекании нефти и воды вниз по капилляру (дре-
нирование) остановка наступающей поверхности нефти произойдет в
узкой части поровых каналов, ибо в этом случае удерживающая воду
сила будет наибольшей. Это и обусловливает разницу в распределении
равновесной насыщенности по вертикали в пористом образце. Разность
скачков составит 2о cos 6(1/Kmin — 1/ rmax) • ПРИ дренировании капи-
ллярный скачок имеет большее значение.
Для пластов толщиной до 10 м капиллярные силы преобладают над
гравитационными, для пластов толщиной свыше 40 м преобладают грави-
тационные силы. Если ввести характерный радиус поровых каналов
R = \/Зк7т и толщину пласта h, то гравитационные силы определяются
произведением Др gh -nR1, а капиллярные — 2тг/?а cos в. Их отношение
дает критерий
тг3 = у/т о cos в/ (Др gh\j2k}.	(6.6)
С ростом температуры роль капиллярных сил ослабевает.
Критерий (6.6) позволяет оценить и капиллярный подъем вытесняю-
щей нефть воды. Примем тг3 1, тогда высота подъема
h ~ \/т a cos 0/ (Др д\/2к},	(6.7)
При вытеснении нефти водой, когда т = 0,25; к — 0,4 мкм2; о =
= 0,024 Н/м; в — 45°; Др = 100 кг/м3; д = 10 м/с2, высота капил-
лярного подъема воды равна около 10 м. В этом случае для пластов
небольшой толщины гравитационной сегрегацией в процессе вытеснения
можно пренебречь.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ КАПИЛЛЯРНОГО ДАВЛЕНИЯ
На равновесной теоретической кривой хорошо иллюстрируются зависи-
мость капиллярного давления от угла смачивания и структуры поровых
каналов.
Представим пористую среду в виде параллельных капилляров одина-
ковой ромбической площади сечения с достаточно малым острым углом
2а при вершине (рис. 6.4, а), большая диагональ ромба 2а, меньшая
диагональ 2b = 2а tga, угол смачивания 0, оси координат показаны на рис.
6.4, б. Для радиуса кривизны г, угла раствора 2(3 мениска смачивающей
113
ХЗН
Рис. 6.4. Схематизация поровых каналов ром-
бической формы (а) и их геометрические
параметры (б)
Рис. 6.5. Функция Леверетта J Isl-
Расчетная кривая модельной пористой сре-
ды (пиния); крестики, треугольники, точки -
экспериментальные данные
фазы, абсциссы х и ординаты у границы
ромба справедливы соотношения:
смачивания для одной стороны
г — J /sin в, /3 — тт/2 — (а + 9}, х — у ctg а.	о.
(0.0)
Занятая смачивающей фазой (водой) часть площади сечения порово-
го канала найдется как разность площадей треугольников с катетами х
и у и площадей сегментов радиуса г с углом раствора 20. Получаем
s = (г 2/а 2) ctg a {sin 20 ctg а — 0 + sin 0 cos 0}.	(6.9)
Капиллярный скачок минимален при х = a , когда радиус мениска наи-
больший. Дальнейшее увеличение насыщенности ведет к скачкообразному
росту капиллярного давления. Несмачивающая фаза свертывается в круг-
лый цилиндр (в пористой среде — в отдельные глобулы) и полученное при
х — а значение водонасыщенности можно условно принять за коэффи-
циент вытеснения
= a tg a/sin 0,
smax “ 1 “ *tg “/Sin ~ S'n & C0S '
(6.10)
Значения smax для некоторых а в зависимости от 9 приведены ниже
9	0°С	10°	20 °	30 °
а = 5° . . . .	. .	0,877	0,901	0,920	0,936
0 = 10°. . . .	. .	0,777	0,820	0,856	0,886
а = 15°. . . .	. . 0,696	0,755	0,804	0,847
С ростом температуры угол смачивания уменьшается, что способст-
вует уменьшению коэффициента вытеснения (эксперимент показывает
противоположный результат).
114
Для ламинарного течения расход через элемент ромба
h	1	др h	2ft3 Эр
f udy ~ — ------- -—S (h2 — y2)dy ~~-----------г—	(6.11)
-Л	2u dz -p	3p Oz
Интегрируя вдоль оси Ox по всей площади сечения порового канала,
имеем
41 g 3 Я Эр а	а Ь3 др
Q = —---------5— J x’dx = -----------.	(6.12)
Зр dz 0	зм dz	'	'
Отнеся расход к площади ромба 2а Ь, получим выражение для сред-
ней истинной скорости течения в поровых каналах
и =- (Ъ2/(6р)) (dp/dz).	(6.13)
ср
Скорость фильтрации
v — mu = — (mb2/(6p)) (dp/bz).	(6.14)
ср
Сравнив с законом Дарси, получаем связь
Ь2=6к/т.	(6-15>
Используя (6.9), имеем
Рк = (а/г ) = (a cos f)l\/k/m }J (s, в, а), /3 = я/2 — (а + 0),
J (s, e,f) =>/sin1|3 — (Р — sin Р cos /3) tg a! (cos dy/6s).	(6.16)
В случае полной смачиваемости 0—0. Формула верна для значений
0 < s < s . Считая максимальное значение водонасыщенности близ-
m а х
ким к единице, а углы а и 0 — к нулю, имеем для функции Леверетта
крайнее значение, близкое 1/V6 = 0,41. Это число хорошо согласуется
с экспериментальным фактом. На рис. 6.5 изображены экспериментальные
данные и кривые, описываемые выражением (6.16), для а = 10 при
углах смачивания 0 и 45 .
С ростом а функция J (s>i в, а) убывает, что указывает на изменения
этой функции с изменением структуры пористой среды. С увеличением
температуры рк убывает в основном за счет уменьшения а.
НОВАЯ ТРАКТОВКА ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
В соответствии с введенными значениями рд и рд принимают:
7 =- (к к (s, Т) /и (Г)) ( +р д),	(6.17)
в	в	в	в в
7=~ (А*($, Г)/д (T))(vp +Pj),	<6J8)
М	М	Ц	ММ
115
Р" ~РВ= Рк ~ (ocosO АД/п?) J (s).	(6.19)
Плотности фаз, поверхностное натяжение и угол смачивания зависят
от температуры.
Для учета структурных свойств нефтей вводим структурный множи-
тель £ при относительной проницаемости нефти, зависящий от градиента
динамического давления. Для вязкопластичной нефти
$ =1- GAT.k}!G, G = IVP+ Р(620)
где Gq — начальный градиент сдвига. При GH < GQ нефть не фильтруется,
множитель £ = 0.
Соотношения (6.17) и (6.18) написаны по аналогии с законом Дарси
для однородной жидкости v = — (к/р) р, который предполагает, что
рассматривается объем пористой среды, включающий в себя представи-
тельное число поровых каналов. Давление р — усредненное по поровым
каналам. Выделим Д S, состоящую из площади просветов ДЗпр и площа-
ди среза скелета породы, Д5СК- Давление в жидкости есть отношение
поверхностной силы воздействия на жидкость ДА к площади просве-
та AS . Давление перпендикулярно к площадке и направлено внутрь
объема. Экспериментальные замеры дают значения именно такого усред-
ненного давления.
Соотношения (6.17), (6.18) предполагают также, что имеются усред-
ненные давления каждой из фаз. При измерениях имеем дело с одним
замеренным значением давления, которое представляет собой нечто
среднее между давлениями в фазах. Замеренное давление представляет
собой отношение поверхностной силы к площади просветов. Лучше
вводить не два значения давления в фазах, а первоначально одно значе-
ние. Покажем, что соотношения (6.17) и (6.18) можно получить из общих
феноменологических соображений. Те же представления можно исполь-
зовать и для введения капиллярного скачка давлений в фазах.
Введем одно эффективное давление, значение которого совпадает
с замеренным в эксперименте значением. Оно не зависит от характерис-
тик пористой среды и представляет, как и в случае однородной жидкос-
ти, отношение поверхностной силы к площади просветов на срезе эле-
мента пористой среды.
При фильтрации двух насмешивающихся жидкостей скорости каждой
из фаз будут зависеть как от градиента давления, так и от градиента насы-
щенности. Естественно принять эту зависимость линейной и представить
скорости фаз в виде
7в =Аур - В s, ^H=C^p+Dvs.	(6.21)
Знаки здесь подобраны так, чтобы коэффициенты А, В, С, D были
положительными при смачиваемости водой поровой поверхности пласта.
Эти коэффициенты зависят от параметров состояния пласта, геометри-
ческой структуры внутрипоровой поверхности, проницаемости, вязкостей
116
фаз, насыщенности, давления, температуры, поверхностного натяжения,
угла смачивания, пористости пласта, погребенной водонасы(ценности,
направления движения границы раздела и т.п. Размерности коэффициен-
тов А, В, С, D таковы, что каждое слагаемое имеет размерность скорости.
При несжимаемости фаз div ( 1/ + к н) = 0, откуда следует, что в
отсутствие градиента давления должно быть div ( fl — Di) s — 0, что воз
можно при В = D.
Не нарушая общности, А и С можно записать в общепринятых обозна-
чениях А — кк /ii , С = кк 111 , где к , к можно определить эксперимен-
В В	НН	в н
тально
*=*($,	Мв/рн. е. Т. . .
О, П	В( П	О и
(6.22)
Зависимость (6.22) принято использовать в расчетах в форме к н =
= к (s, s s2), где s j — связанная, s 2 — максимальная водонасыщеннбсти,
а сама функция определяется геометрической структурой пор. Эту форму
можно сохранить и для неизотермического вытеснения, но здесь и$2 —
функции Т.
При несмешивающемся вытеснении
v------к(к /р ) р— В vs,
в	в в
Р ++fiVs'
(6.23)
Эти уравнения равносильны (6.17) и (6.18); вместо функции Леве-
ретта J (s) сюда входит другая функция В (s, sr s2 Мн> Мв, к, т, о,в,. . ,
которая зависит не только от насыщенности.
Функция В имеет ряд свойств. При s >s2 она обращается в нуль по
определению — впитывание воды невозможно после достижения макси-
мальной водонасы(ценности. При s fl — положительно, т.е. впитыва-
ние возможно и при малых насыщенностях воды, когда градиент давле-
ния не способен вызвать фильтрацию воды. При изменении водонасыщен-
hocthotSj и$2 функция fl монотонно убывает.
Сведем (6.23) к обычно применяемой форме. Для чего введем давле-
ния в фазах
рв ds _ r ds
РВ=Р+ ------SB -------, рн-р~ -----SB ------	(6.24)
Давления в фазах определяются здесь с точностью до некоторых
произвольных констант. Для капиллярного давления
Распределение капиллярного давления имеет особенности в точках
s = ns = s 2, функция считается гладкой.
Используя (6.24), (6.23), имеем
117
VB~~k{kB/pB} рв- ‘'н“~ШЛ) Рн	(6.26)
В методологическом отношении формула (6.21) шире.
РАЗЛИЧНЫЕ МОДЕЛИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКСЙ ФИЛЬТРАЦИИ
В общем случае неизотермического вытеснения
vB=~ к{кв/цв) ( р+ рдд) - В s,
v н = “	( р +рвд} +В s,	(6-27)
уравнение сохранения массы каждой из фаз
Э(р s)
т--------+ div (р v ) — О,
э	в в
(6.28)
дрн (1-s)
т ----------+ div (рн v )  О,
Эг
уравнение переноса тепла
Э(с 7)	->
-------------- + div(( с v +с 7 ) Т— X 71 =0.	(6.29)
3 f---------------------------------------------------------В о н Н
Эти выражения используют с соотношениями
^в.н =рв,н{т'р}- Vh^b.h17"'^'
кв н =кв н k Т',‘ к =к^Т'Р'<- съ н =св н 1Г>,	(6.30)
с ~с (s, Г), X = X (s, m, Х„, X , X , . ..),
*	*	*	*	о в н
рк = (a (Dcosfl (T}!VWm}J (s),
В =кр‘' (s)/(p /к +ц /к ),
К	ts o п М
которые выбирают в зависимости от конкретных условий.
Множитель £ можно считать по (6.20).
Учесть все зависимости часто бывает трудно, поэтому принимаем
упрощения.
Для одномерного вытеснения
kB<s'T} Ър -> к» (s' т ' дР
v =— к----------------, v = ~ к---------------<
в	дв(Т) Эх н	дн(т) Эх
118
9(0s)' Э<Рв1'н) Э(р (1-i)) Э(Д и )
т -------- + -----5-н= 0, т------S-----+ ------y-J1-= О,
Эг дх	3f	дх
Э(с Т )
*
Эг +
9
((с v + с v ) Т) — О,
В В НН	'
(6.31)
с — с s + с (1 — s), р — р (Т),
♦ »в *н	'а.н 'в.н
где с*в, с н — объемные удельные теплоемкости полностью водонасы-
щенного и полностью нефтенасыщенного пластов; объемные удельные
теплоемкости фаз с , с и абсолютная проницаемость к приняты постоян-
ными.
Плотность воды и нефти с изменением температуры заметно меняется.
Учет этой зависимости усложняет получение одного уравнения для
давления. Приведем соответствующую выкладку.
Представим (6.31) в виде:
I э 9	О>| О) Н-Т I “	+ + ~ г ш	Э|П р	Э|п р ms а,’ +% а/ Эг	н Ох
Сложим эти уравнения и заменим рв и рн функциями температуры.
Поле давления тогда будет зависеть от изменения температуры.
Эр	дт
) т— + (as + а (1 - s) }m -5— +
Ох	в н	Of
(6.33)
где ав, а — коэффициенты теплового расширения воды и нефти, а —
~ ~р (7) /р (Г). Первое выражение из (6.32) удобно представить в форме
9S Э	дт &Т
m —+ — (wF] - a (ms ——+ v —— ) = 0.	(6.34)
Эг Эх	в Эг в дх
Для конечно-разностных аппроксимаций этих уравнений малые темпе-
ратурные добавки можно считать известными, т.е. использовать значения
предыдущего временного слоя.
При движении скачков температуры или насыщенности приведенных
для расчета уравнений (6.31) оказываетср недостаточно, поэтому необхо-
димо выписать конечные условия на разрывах, выражающие законы сох-
ранения.
При расчетах по неизотермической фильтрации применяется и более
119
простая модель, в которой не учитывается тепловое расширение фаз и
др. [9].
Вводя обозначения гидропроводности х и доли воды в потоке F ,
имеем:
Э5
т----+ div (wF) — 0, div(x р) ~ 0.
Qt
Э(с 7)	,	t
-----— + div 1 (с F +с (1 - F ))ЙТ = 0,
,	(вен	в >
at	'
и = wF , v — w (1 — F ), w= ~ х Р,
В	В Н	В	Л. Г-
(6.35)
X - к + kH/Fj I F- кв/(кв + р0/гн?),
f0=fb/fh. ? = i-g0/g.
При расчетах учитывается еще теплообмен с кровлей и подошвой
пласта. Иногда имеет смысл проведение расчетов в предположении
теплоизолированности пласта, при этом влияние температурного поля
будет усилено и поэтому можно оценить максимальные температур-
ные эффекты.
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЫТЕСНЕНИЯ
Рассмотрим модельную задачу неизотермического вытеснения в однород-
ном линейном теплоизолированном пласте с постоянной скоростью фильт-
рации.
В зоне изменения температуры теплоемкость пласта принимается
постоянной. Водонасыщенность s определится как решение краевой за-
дачи
Эт Эт
с -----+ с и-----
н Эг в Эх
3s Эт (s, Т )
т — ---------+ и---------------------0,
Эг	Эх
(6.36)
Т(х, 0)=Го, ПО, Г)=Г,
s(x, 0) =sQ, F(s(0, t),TB) = 1,
F =кв (s, 7-)/[ArB (s, 7) +P0(7-HH(s, t)],
x > 0, t > 0,
где и — скорость фильтрации. Фронт тепла хт переносится по пласту
с постоянной скоростью v т :
v т= си/с , х =v Tt, T(x,t) =	°' т'	(6.37)
' в *	'	'	Т , х<хт,
120
На фронте тепла доля воды.в потоке претерпевает скачкоооразное
изменение. Обозначим значения F при пластовой температуре через F
а при температуре нагнетаемой воды (за фронтом тепла) через F . Функ-
ции F0 (s) — F (s, TQ) и Fg (s) = F (s, Tg) различны, переходу через фронт
тепла соответствует переход с кривой FQ (s) на кривую Fg (s). Этот пе-
реход обусловливает второй разрыв насыщенности.
Пусть s+ — насыщенность перед фронтом тепла, s~ — насыщенность
за фронтом. Из условия материального баланса
[7^ (s') — FQ(s*)]udt = (s'-s+) mdxT.	(6.38)
Слева количество поступившей в элемент dxT и покинувшей его воды
(за время dt), справа — прирост количества воды в элементе dx^.
Разрыв значений доли воды в потоке F вызывает разрыв насыщеннос-
ти. Учитывая, что dxT/dt известно из (6.37), получаем на фронте тепла
соотношение для определения разрыва насыщенности
[FJs') - FQ (s+) ] / (s' - s*| = mcg/c*.	<6-39>
Переход от кривой F (s) на кривую Fg (s) на фронте тепла совер-
шается по отрезку прямой с углом наклона, тангенс которого равен
тс /с . Этот отрезок является касательной к одной из кривых F (s)
или Fq (s).
Взаимное расположение кривых FQ и Fд зависит от функции до (71
и отношения температур TQ и Т . Обычно д0 (7") увеличивается с ростом
температуры.
. Охлаждение пласта уменьшает д0 и увеличивает долю воды в потоке,
Fg > F . При нагнетании горячей воды д0 увеличивается, а доля воды в
потоке уменьшается, Fg < Fq.
Получим точное решение задачи (6.36) отдельно для каждого случая—
холодного и горячего заводнения.
ХОЛОДНОЕ ЗАВОДНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО
ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО ПЛАСТА
При и = const решение (6.36) автомодельно. При нагнетании холодной
воды Fg > FQ решение компилируется следующим образом: скачок
насыщенности перемещается как в изотермическом случае; за скачком
насыщенности 7 , FQ (к) вплоть до фронта тепла, на фронте тепла проис-
ходит переход от функции FQ (s) к функции Fg (s), насыщенность претер-
певает разрыв от s+ до s' согласно условию материального баланса
(6.39); за вторым разрывом следует зона постоянной насыщенности
s ~ s' (волна разрежения), обусловленная тем, что при насыщенности
s' скорость движения точек изосаты uF (s')/т значительно меньше
скорости движения точек изосаты uF^(s+) /т ; за зоной постоянной во-
донасыщенности, простирающейся до хд = utFQ(s~) /т , снова следует
зона вторичного вымыва нефти. При вытеснении очень холодной водой
121
Рис. 6.6. Функции F ($) (а ) и F (s)
{6}, при нагнетании холодной воды
а
Рис. 6.7. Эпюры вытеснения нефти при нагнетании холодной ) и очень холодной во-
ды (б)
Рис. 6.8. Функции F ($) и F ($) (6) при нагнетании горячей воды
Рис. 6.9. Эпюры вытеснения нефти при нагнетании горячей воды:
а-обычное распределение; б—вырожденное распределение насыщенности
(когда за фронтом тепла нефть застывает) насыщенность на входе остает-
ся равной №. Решение можно представить формулами:
s =s0 при х>хс, xc=i/tF°(sc)/m,
F0 (s) = тх/ (ut) при хТ < х < хс, хт = (ср/с J ut,
Fo'(№) =тсв/с*, (Fb(№) -F0(s+))/(№-s+) =тсв/су	(6 д())
s=s’ при хв C x < xT, xB = (ut/m) F в (s’),
при x<xbF0(s) = mx/(ut).
На рис. 6,6; 6,7; 6,8; 6,9 изображены доли воды в потоке, их произ-
водные, картины вытеснения холодной и очень холодной и горячей водой.
При вытеснении очень холодной водой за фронтом охлаждения нефть
застывает, фильтруется лишь вода, F (s’) = 1, поэтому хв =0. Насыщен-
ность на входе находится из условий на фронте охлаждения
s ’ =$+ + (с J (тсд) (1 - FB (s+)), FB (s+) =	(6.41)
Нефтеотдача (от геологических запасов)
ri = (s’ - sQ)/(1 -s0)	(6.42)
будет достигнута к моменту х^ — / (/ — длина пласта), когда будет про-
качано с/(mcj поровых объемов.
На тот же объем прокачки такая же нефтеотдача (6.42) будет достиг-
нута и в изотермическом случае. При изотермическом вытеснении нефте-
отдача
(6.43)
123
приняв здесь ооъем прокачки и — с / (т с ) и сравнивая с (6.41),
видим, что s = s+, т)из = т?. При принятой постановке задачи мы получили
результат: на момент подхода фронта тепла нефтеотдача в однородном
пласте при вытеснении холодной водой совпадает с изотермической
нефтеотдачей. Потери нефти начинаются после достижения хТ = /.
Пусть фронт тепла еще не подошел к выходу из пласта, а скачок
насыщенности уже прошел весь пласт так, что *т < / < х . Как видно из
рис. 6.7, нефтеотдача здесь удовлетворяет соотношению
X	'
(1 - s )/п	= J (s - s )dx + (s“ - s ) (x - x ) + f (s - s )dx. (6.44)
и л и _	и	U 1 в	и
0	хт
Вычислив интегралы по частям и воспользовавшись решением (6.39),
получим
(1 - s0) / Т]х~ (s-s0)/ + (ut/m) [ (s - s+) [F0'(s+) - FJs') +
где s — насыщенность на выходе из пласта. В силу условий на фронте
тепла первые три слагаемых в квадратной скобке обращаются в нуль
и для расчета нефтеотдачи можно использовать формулу (6.43).
При условии подхода фронта охлаждения к галерее нефтеотдачу
можно рассчитать из соотношения
(1 - s)r]x - J (s - sQ)dx + (/ — xj (s~ - s0).
(6.46)
Преобразуя интеграл по частям и используя решение (6.40), получаем
В этой формуле значения дробей остаются постоянными, нефтеотдача
линейно зависит от прокачанного объема жидкости О.
При условии охвата второй зоной вымыва всего пласта, т.е. х > /,
нефтеотдачу рассчитывают по формуле (6.43) с заменой F0 (s) на F (s).
По указанн* <м выше формулам были проведены расчеты для двух
различных видов относительных фазовых проницаемостей: 1) к ~(s —
- .. 3	„	. 3	„3	.	_ ,	„	3 ._3	. в ____
0,1)3/0,93 и к = (0,9 — s) 3/0,83; 2)к = (s — 0,3) 3/0,73 и к В= (0.8 —
,12.1/П R2,2WU1_ „„„	®_______ ______----------------
— $) 2,2/0,б2'2. Ниже для каждого из этих видов относительных проницае-
мостей указаны объемы прокачки к моменту хт = /, насыщенности на
фронте вытеснения и насыщенности на фронте тепла и нефтеотдача.
с /тс . . 2,707
» в
0,495
0,636
2,833
0,661
0,722
1
0,696
0,662
2
0,751
0,644
124
Для однородного пласта потери нефтеотдачи из-за нагнетания холод-
ной воды возможны только при больших объемах прокачки.
ГОРЯЧЕЕ ЗАВОДНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО
ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО ПЛАСТА
За фронтом тепла Тд > TQ, Д0(7"в) > P0(TQ} и потому Fg (s) < F 0 (s).
Доля воды за фронтом тепла имеет меньшие значения, чем в изотермичес-
ком случае (см. рис. 6.8).
Решение задачи (6.40) автомодельной компилируется из изотермичес-
ких кусков, разрывов и волны разрежения. Переход на фронте тепла от
кривой F0 (s) на кривую F в (s) сопровождается также вторым разрывом
насыщенности, за которым следует зона вымыва нефти. Зона постоянной
водонасы(ценности (волна разрежения) степень уже (в отличие от вытесне-
ния холодной водой) располагается впереди фронта тепла (см. рис. 6.9, а).
От скачка насыщенности до волны разрежения вытеснение будет таким
же, как в изотермическом случае.
При вытеснении горячей водой имеем четыре этапа: безводный;
после прорыва воды до подхода волны разрежения; постоянной обводнен-
ности до подхода фронта тепла; растущей обводненности после прогрева
всего пласта. Перемещение скачка насыщенности, волны разрежения и
фронта тепла описывается выражениями:
хс=	*,= —F0'(s+), хг= — Л'(s’).	(6.48)
m	m	m
Ниже приведены формулы, определяющие насыщенность как функ-
цию координаты и времени неявным образом, т.е. решения задачи (6.40)
для Тв>То-
s =sn при х>х , F п (s) = m x/ut при х < х < х.
о 1	со	г р	с
s —s при хт < х < хр, Fb (s’) =mcg/c ,
FJS’> “ Fo(s+> mcB (	_ mx	(6.49)
---------------------, Fb (s) — --- при x<xT-
s — s	c	ut
Когда возможно вырожденное распределение насыщенности, за ее
скачком начинается волна разрежения (см. рис. 6.9, б).
Если вычисленные значения s меньше, чем s^, то фронт волны разре-
жения совпадает с фронтом вытеснения и перемещается по закону
ut
.	I
m	(s - s0)
125
Нефтеотдачи совпадают вплоть до подхода волн разрежения к эксплуа-
тационной галерее. Разница начинается с этапа постоянной обводненности.
Пусть х < / < х , тогда нефтеотдачу можно определить из формулы
хт	1
i (s - sQ}dx + (s+ - sQ] (хр-хт} (s- sQ}dx. (6 50)
r 0	x
p
Интегрируя по частям (6.50) и используя (6.40), получаем для г?
формулу, совпадающую с (6.43).
Для этапа постоянной обводненности аналогичные выкладки приводят
к формулам
s+-s0 О (1 - F Q (s+) )	ut
n = -------- + --------------, Q — -----.
'r 1-s0 1-SO	П.1	(6.51)
В отличие от (6.43) в выражении (6.51) насыщенность на выходе
принимается постоянной, а нефтеотдача линейно зависит от прокачанного
объема воды.
При хт >/ нефтеотдачу определяем по формуле для изотермического
случая, заменив FQ на F&:
0	s -s.	Q(1- F (s + ) )	,	1т/ 	0+ 	2	 F'(s}=	=	(6.52) 1 - S	1 - S	В	°	ut 1 S0	0
Разница в нефтеотдаче —7} максимальная при ху = /. Расчеты
проведены для Тв = 120 °C. Относительные фазовые проницаемости
здесь те же, что и для заводнения холодной водой: д0(7"0) = 0,133;
ц0(Га) = 0,176. Насыщенности на скачке и на фронте тепла находятся
решением соответствующих уравнений.
Ниже приводятся насыщенности и объемы прокачанной жидкости
на момент подхода волны разрежения (Ор) и фронта тепла (Оу) к добы-
вающей галерее при указанных ранее относительных фазовых проницае-
мостях.
В,Н......................................... в,н
s........................ 0,495	0,611	О„................... 1,492	1,672
с.	Р
s	' ' '................ 0,522	0,699	QT................... 2,707	2,833
s~....................... 0,654	0,733
Если относительные проницаемости не зависят от температуры, то в
однородном пласте увеличение нефтеотдачи от закачки горячей воды нез-
начительно (< 2 %). Но картина меняется, если коэффициент вытеснения
зависит от температуры.
Пусть s2 изменяется по закону
s2(D =s2(Tq) + 0,0015(Т - Го).
(6.53)
Тогда при горячем заводнении на поздних стадиях разработки значе-
ние нефтеотдачи изменяется по сравнению с этим показателем при изотер-
мическом заводнении (табл. 6.1).
126
I аолица о. i
Увеличение нефтеотдачи при заводнении однородного
пласта горячей водой (Г = 120°С, 7" = 60 °C) в
В	О
зависимости от количества прокачанной воды О
(в поровых объемах)
Вид фазовых проницаемос- тей	Изменение нефтеотдачи Дт?, %				
	а =а р	О =QT	Q = 4	Q =6	Q =10
1	0	5,98	6,30	6,61	6,97
2	0	8,94	9,38	9,84	10,33
3	0	11,35	11,46	11,57	11,66
Фазовые проницаемости вида 1 и 2 представлены ранее при виде 3:
кв = 0,15 (s - 0,3) 2'85/0,72'85, кн = 0,804 (0,72—S) 1-95/0,421 '95. Для
фазовых проницаемостей вида 1 Qp = 1,01; QT = 2,71, для вида 2Qp =
= 0,82; QT = 2,83, для вида ЗО₽ = 0,47; QT = 2,90. Из приведенных дан-
ных следует, что основное изменение в нефтеотдаче происходит на момент
подхода теплового фронта к добывающей галерее, в дальнейшем нефте-
отдача меняется незначительно.
Однако следует заметить, что реальные пласты неоднородны, и если
рассматривать задачу о вытеснении в них нефти при термозаводнении
в условиях заданных перепадов давления, то эффект от этого процесса
проявляется на более ранних стадиях разработки и в больших масшта-
бах.
РАСЧЕТ ОДНОМЕРНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ С УЧЕТОМ
АНОМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ НЕФТИ И ТЕПЛООБМЕНА
С КРОВЛЕЙ И ПОДОШВОЙ ПЛАСТА
Если учитывать теплообмен с кровлей и подошвой, то получить простое
аналитическое решение не удается.
Рассмотрим задачу неизотермического вытеснения холодной водой
вязкопластичной нефти в однородном линейном пласте длиной L.
Применим схему Поверье, предполагая, что пласт имеет небольшую
толщину, а число Пекле большое.
При заданном перепаде давления суммарная скорость фильтрации
переменна, поэтому в формулу Поверье подставляется суммарная ско-
рость фаз за время эксплуатации пласта
1 [	1 г	I
w = —jw(t) + —/ w (т) &г }•.	(6.54)
ср 2 [	t 0	]
127
Скорости фаз
kk is, Т ) Эр	кк* (s, Т ) Эр
v в = - ---5------------ • v н = “	Г" '	(6.55)
В	Д (7 ) Эх Н	U (7 ) Эх
В	н
Потери скорости v Q и скорости и/з, при которой нефть становится
неподвижной определяются из выражений
•.“‘ЛК	|6-561
Скорости фаз можно выразить через суммарную скорость w= v + v :
и в = (и/ + v Q) F, и н = (1 — F) w + Fv Q при w = w з,	(6.57)
и в = iv, v 0 при w = шз-
Доля воды в потоке
FB = 1 при w < и^,	(6 58)
F = F (1 + v Jw} при w > w .
в	о	з
Из уравнения неразрывности водной фазы получим
3s	Э.Г (s, т )
m----- + и/(г) ---f-----= 0.	(6.59)
Эг	Эх
F , определяемая по (6.58), является непрерывной функцией s и при
w~ w F — (1 + v /w ) F — 1.
ЗВ	0	3
Насыщенность вычисляется конечно-разностным методом, (6.59)
аппроксимируется разностной схемой первого порядка точности "уго-
лок"
/п(Г - s. ) w (t) [F (S-, Т ) - F (s Т )]
Z	/	।	Bf	В I к I •
At	Ах
(6.60)
причем скачок насыщенности выделяется; разностная схема применяется
за скачком насыщенности. Временной шаг At для каждого временного
слоя рассчитывается так, чтобы за это время скачок насыщенности прошел
ровно один шаг по координате. Ах — х. — х = w	tQ)dt/m
(насыщенность на скачке и скорость движения скачка определяются
специальной процедурой).
При вытеснении вязкопластичной нефти водой могут образоваться
три зоны течения: зона движения нефти, где погребенная вода неподвиж-
на; зона движения смеси, где обе фазы подвижны; зона движения воды.
128
где уже нефть неподвижна и не вымывается вследствие аномальных
свойств и охлаждения.
Для этих трех зон имеем
к др	к к др
в	_	в	н
w = — к ----- -5— , w - ~ к (------- + --)	— 1/
и дх	н и дх о	(6.61)
кв др&
w - — к —- -к- ““ v .
ц дх о
н
Разрешив эти уравнения относительно градиента давления и проинтег-
рировав по длине пласта, получим связь заданного перепада давления с
суммарной скоростью фильтрации:
Др-ДРпо
w(t)------------, Дрп0 - ] (1 - F ) Ggdx + / GQdx,	(6.62)
Я	С	н
р.	dx	р dx
kR = S —dx + $---------------+ J —5-----,
В к	с к 1 и. + к /11	н	к
в	в	L в'в н н . н	н
где Дрп0 — часть перепада давления, теряемая из-за аномальных свойств;
буквы "в", "с", "н" обозначают зоны, где подвижной фазой являются
соответственно вода, смесь и нефть; R — сопротивление движению.
Для каждого временного слоя вычисляются R и Дрп0, после чего
определяется суммарная скорость фильтрации фаз на этом слое.
Удобно использовать безразмерные переменные. В качестве характер-
ных масштабных единиц можно взять для давления — перепад Др, для
координаты х — длину пласта L, для градиента давления — отношение
кр/L, для скорости фильтрации— значение при вязкости в 1 мПа .с,
т.е. к&р/L, для времени t — отношение длины пласта к характерной ско-
рости, равное L 2/к Л р. Результаты расчетов приведены для безразмерных
величин при условиях: L = 500 м, Т = 60 °C, Т = 12 °C, Н = 5м, т =
— 0,24; вязкость воды рв (Т ) = 35/ (7 + 15,7), нефти дн (7) = 151/(7 —
20). Во избежание выделения зон застывшей нефти принято, что при 7 <
< 20,1 С вязкость нефти остается постоянной и равной 1510 мПа-с.
Значения Go, принятые в расчетах, замерены в лаборатории ВНИИ
для керна XVI горизонта месторождения Узень при к =0,18 мкм2.
При температуре 65, 50, 40, и 30 °C GQ соответственно равны 0,0013;
0,0038; 0,0178 и 0,033 МПа/м.
Аппроксимация начального градиента для дегазированной нефти
Gq — (0,67/\/£) exp (5 — 0,17), для пластовой нефти вместо 0,67 взято
0,5. Проницаемость к измеряется в мкм2, начальный градиент Gg — в
МПа/м-10.
Относительная проницаемость для воды
к* = [(s - 0,15)/0,85]3,
129
ИР)
Рис. 6.10. Профили насыщенности при
вытеснении аномальной нефти холодной
водой.
х// — отношение длины фронта вытес-
нения к длине пласта
Рис. 6.11. Кривые перемещения фронта
застывшей нефти при нагнетании холод-
ной воды в зависимости от проницае-
мости трехслойного пласта, мкм2:
1 - 0.04; 2 - 0,2; 3- 0,8
для нефти
кн = [(st - s)/(st - s() ]2'2,
S2 = 1 - 0,2ехр (0,02(7"о - Г)),
s, =0,15+ 0,001 (Г- То).
Коэффициент вытеснения возрастает с увеличением температуры за
каждые 10 С на 0,04. Увеличивается и связанная водонасыщенность,
но с гораздо меньшим теплом — 0,01 на 10 С. Рассматривались проницае-
мости 0,04; 0,2 и 0,8 мкм2 и перепады давления Ар = 3,0 МПа, число
узлов разностной сетки /V = 50. Анализ показал, что вследствие нагнета-
ния холодной воды величина потерь нефти может достигать нескольких
процентов.
Нагнетание горячей воды форсирует эксплуатацию месторождения.
Потери нефти для однородного пласта при одномерной фильтрации все же
незначительны.
Характерная особенность вытеснения нефти холодной водой — немо-
нотонное распределение насыщенности (рис. 6.10). Близкие к фронту
заводнения участки пласта успевают охладиться настолько, что нефть
на них становится неподвижной, вымыв ее прекращается, водонасы-
щенность стабилизируется на более низком уровне, чем в глубине пласта.
По пласту перемещается фронт застывшей нефти (рис. 6.11), за которым
нефть неподвижна.
РАСЧЕТ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЫТЕСНЕНИЯ
ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОГО ПЛАСТА
Влияние температуры нагнетаемой воды становится более существенным
для неоднородных по толщине многослойных пластов, когда слои разде-
130
происходит опережающее движение холодной воды, снижается температу-
ра контактирующих с ними низкопроницаемых слоев до прохождения
по ним фронта вытеснения, ухудшаются показатели вытеснения низкопро-
ницаемых слоев, а при некоторых условиях их дальнейшая разработка
невозможна.
Проведены расчеты нефтеотдачи трехслойного линейного пласта для
двух случаев расположения слоев: 1) высокопроницаемые слои окружают
низкопроницаемый, 2) низкопроницаемые слои окружают высокопрони-
цаемый.
В первом случае температурное поле рассчитывалось по формуле
Поверье, трехслойный пласт принимается за один с общей толщиной
и средней проницаемостью, температура в направлении, перпендикуляр-
ном к пласту, усреднена. Во втором случае по схеме Поверье решалась
задача для трехслойного пласта. Предполагалось, что в направлении
перпендикулярном к пласту, температура распределена по параболическо-
му закону (использовались метод интегральных соотношений и метод
интегральных преобразований). Решения для определения температуры
Г высокопроницаемого слоя толщиной h f и температуры Т2 низкопро-
ницаемого слоя толщиной h 2 имеют вид:
Тх- То	(3*
-------= erfc -----+ (1 — е 2) ------ -  ехр ( — —— ),
Т - Т у/Т^	12Х х/тгf '	f '
в о	v	*
t'-t-x/vT, 1/г-свиср/г,
с = с — 2<У\/Хс/[и h ),
*	*	ср
1'ср=е,'1 + (1~	е=Л,/Л,
С = е(1 — е2) (u0- v ,)Л(12Х^).
(6.63)
При t <0 правые части надо принять равными нулю, скорости фильтра-
ции по слоям — v ( и v 2, толщина пласта — h; объемные теплоемкости
соответственно горной породы, нагнетаемой воды и пласта — сд и с*;
скорость движения фронта температуры — v ; коэффициенты теплопро-
водности соответственно горной породы и по площади сечения пласта — X
и X .
Движение температурного фронта пласта корректируется с учетом не-
однородности по толщине, причем на поправку влияет взаимное располо-
жение слоев. При X = “ распределение температуры по сечению пласта
выравнивается (формула Поверье), причем d = 0 и с * = с.
131
Расчет вытеснения проводится с использованием явной разношнии
схемы "уголок" и выделением скачка насыщенности по каждому слою.
Связь скорости с перепадом давления для каждого слоя устанавливается
с учетом Gq.
Принято: с = 3,27 Дж/(см3 °C); с = 4,19 Дж/(см3 • °C); с =
= 2,72 Дж/(см3-°C) ; X = 1,16 Вт/(м-°(й; X* = 2,79 Вт/(м-°С); к* =
= 1,55 (s - О,15)3'01; Хн = 1,59 (s2 -s)2,2; s2 = 1 - 0,2 ехр (0,6-
0,01 Т ); L ~~ 500 м. Др ~ 4 МПа, число узлов разностной сетки N = 50.
Расчет проведен для случая, когда слои толщиной по 10 м, проницае-
мостью 0,2 мкм2 окружают низкопроницаемый слой толщиной 6 м. Влия-
ние температуры при таком расположении более значительно.
В табл. 6.2 показана нефтеотдача в слоях различной проницаемости
(0,04 и 0,2 мкм2) трехслойного пласта при изотермическом и неизотер-
мическом вытеснении (холодная вода). Там же указаны положение фрон-
та вытеснения (xc=x^/£) и время заводнения.
Если увеличить отношение проницаемостей настолько, чтобы низко-
проницаемый слой отключился из-за начального градиента, то влияние
охлаждения на нефтеотдачу будет значительно выше.
Таблица 6.2
Положение фронта хс	Нефтеотдача, %, при проницаемости, мкм2		Время заводнения, год
	0,04	0,2	
0,5	3,33	24,41	3,08
	3,25	24,38	3,11
1	5,96	47,75	5,41
	5,64	47,66	5,53
2	9,85	53,35	8,76
	8,96	53,23	9,20
3	13,14	56,41	11,43
	11,37	57,22	12,36
4	16,17	58,47	13,77
	13,19	58,21	15,31
5	19,07	60,00	1591
	14,54	59,67	18,17
Примечание. В числителе дроби приведены значения при изотермическом вытес-
нении, в знаменателе — при неизотермическом.
132
Выше рассмотрен пример при проницаемостях 0,04 и 0,4 мкм2. Слой
с низкой проницаемостью отключился, и конечная его нефтеотдача соста-
вила всего 1,87%. Ниже приведено сравнение нефтеотдачи при холодном
заводнении с изотермической нефтеотдачей на заданный процент обвод-
ненности продукции.
Рассмотрен пример, в котором высокопроницаемые слои (0,4 мкм2)
имели толщину по 6 м каждый, а расположенный между ними низкопро-
ницаемый слой (0,04 мкм2) — 10 м. Конечная нефтеотдача застывшего
слоя составила 3,4 %. Ниже показана нефтеотдача при различных значе-
ниях обводненности продукции и изотермическом и неизотермическом
вытеснении.
Обводненность, % ... . Нефтеотдача, %:	90	92	94	95	96	97
изотермическая . . .	31,60	33,13	35,05	36,28	38,27	41,38
неизотермическая . .	30,35	31,06	32,01	32,47	33,20	34,08
Обводненность при	изотермическом вытеснении				становится	равной
98 % лишь после прорыва по низкопроницаемому слою и сразу же увели-
чивается до 100%, а нефтеотдача достигает 58 %. При том же положении
скачка насыщенности в высокопроницаемом слое при холодном заводне-
нии нефтеотдача составила не более 38 %.
Приведенные выше примеры показывают, что потери нефти при нагне-
тании холодной воды зависят от строения залежи и свойств нефти. Воз-
можны условия, при которых различие значений нефтеотдачи может дохо-
дить до 10 — 15% и более, тогда как для однородного пласта потери в
нефтеотдаче незначительны.
ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА НЕФТЕОТДАЧИ МНОГОСЛОЙНОГО
ПЛАСТА ПРИ НАГНЕТАНИИ ХОЛОДНОЙ ВОДЫ
Ориентировочный расчет возможных потерь нефти при нагнетании холод-
ной воды в многослойные пласты с аномальными нефтями можно вести
по следующей довольно простой методике, которую разъясним на при-
мере.
Пусть пласт сложен из слоев проницаемостью 0,4; 0,3; 0,2; 0,1;
0,05; 0,025 и 0.01 мкм2, толщиной слоев — 3, 2, 3, 4, 2, 4 и 2 м соответст-
венно. При изотермическом вытеснении обводненность 95 % будет достиг-
нута лишь после прорыва воды по слою проницаемостью 0,05 мкм2,
поэтому расчет изотермической нефтеотдачи надо проводить до прорыва
воды в этом слое, после чего обводненность составит примерно 96 %
и эксплуатацию можно прекратить.
К этому моменту фронт вытеснения в каждом из слоев пройдет при-
мерно 8, 6, 4, 2, 1, 1/2 и 1/5 длин пласта. Ниже приводятся значения
нефтеотдачи (п) для указанных положений скачка насыщенности (xj .
133
х		. .	0,2	0,5	1,5	2	2,5	3	3,5
if % ... .	. .	10,2	24,7	51,6-	53,9	55,6	56,9	58,0
X		. .	8,0	8,5	9,5	10,0	10,5	11,0	11,5
7?? % . . . •	. .	63,5	63,9	64,5	64,8	65,1	65,4	65,6
х		. .	4,0	4,5	5,5	6,0	6,5	7,0	7,5
TQ, % . . .	. .	59,0	59,8	61,1	61,7	62,2	62,7	63,1
Расчеты проведены для относительных проницаемостей месторождения
Узень при температуре 60 С.
Изотермическую нефтеотдачу при 95 % обводненности получим,
суммируя нефтеотдачи, соответствующие пройденным скачком насыщен-
ности длинам с учетом толщины каждого слоя (63,5-3 + 61,7-2 + 59,0-3 +
+ 53,9-4 + 48,2-2 + 24,7-4 + 10,2-2)/20 = 46,1 %.
При нагнетании холодной воды прекращается разработка слоев низкой
проницаемости: 0,05, 0,025 и 0,01 мкм2. Обводненность продукции ока-
жется выше 95 % уже к моменту прорыва воды в слое проницаемостью
0,1 мкм2, когда скачок насыщенности в каждом из слоев пройдет лишь
4, 3, 2, 1 длин пласта. Пренебрежем нефтеотдачей в застывших слоях и,
суммируя нефтеотдачи каждого из слоев с учетом их толщин, получим
ожидаемую при нагнетании холодной воды нефтеотдачу: (59,0-3 + 56,9-2+
+ 53,9-3 + 48,2-4) /20 = 32,2 %.
Разница в нефтеотдаче здесь около 14 %.
Расчеты показали, что при нагнетании холодной воды в слоистые плас-
ты с резко выраженной неоднородностью необходимо учитывать темпе-
ратурные эффекты и возможные проявления структурно-механических
свойств.
Г лава 7
РАСЧЕТ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ .
В МНОГОСЛОЙНОМ ПЛАСТЕ ПРИ РАДИАЛЬНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ. МЕТОД ЯЧЕЕК
Предлагается метод численного расчета температурного поля и вытес-
нения в многослойном пласте при осесимметричной фильтрации.
Для пластов толщиной более 20 м применение формулы Поверье при-
водит к погрешностям. Примем гипотезу о параболическом распределе-
нии профиля температуры по толщине каждого слоя, а также в кровле
и подошве пласта. Это позволит более точно определить перетоки тепла
между слоями и потери тепла в кровлю и подошву.
При представлении температурного поля в направлении сечения пласта
в виде квадратичного сплайна, точнее, схемы Ньютона переток тепла будет
зависеть не только от разности температур соседних, но и удаленных
слоев, а коэффициенты будут меняться от одной точки пласта к другой.
Разобъем пласт (от скважины до контура) на кольцевые области
134
г . _J <r <r . > r 0 - r ct(> г n- Г к0(г 0 - радиус скважины, г n~ радиус
контура, п— число разбиений по радиусу). Пронумеруем слои снизу вверх
/ = 1, 2, . . ., N (N — число слоев). Кольцевую область для каждого слоя
будем именовать ячейкой с номером (/,/'). Число всех ячеек nN; номера
(О,/) присваиваются входным величинам на забое скважины [4].
Усредним температуру в пределах каждой ячейки и обозначим Т-,
индекс j временно опустим. Считаем, что в пределах каждой ячейки
происходит изотермическое вытеснение при указанной температуре. Все
параметры — теплоемкость, теплопроводность и другие — считаем
постоянными в пределах ячейки.
Перетоки тепла из одного слоя в другой условимся считать направлен-
ными от нижних слоев к верхним и обозначим q.-, j = 1,2,. . ., /V + 1.
При j = 1 — приток тепла с подошвы в первй слой, j =Л/ + 1 — отток
тепла в кровлю.
Изменение температуры в ячейках происходит за счет переноса тепла
конвекцией при фильтрации жидкости и кондуктивной теплопередачи
от соседних ячеек. В пределах ячейки конвективный тепловой переток
считаем постоянным независимо от положения выбранного сечения
внутри ячейки. Кондуктивный теплоперенос проходит за счет разности
температур в соседних ячейках.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Получим систему разностных уравнений для определения температуры
в каждой ячейке, используя условие сохранения баланса тепла по ячей-
кам.
Накопление тепла в ячейке за время Дг можно выразить тгЛ (г. —
г 2 ,) • Д (с Т. )., где h — толщина слоя, с — объемная теплоемкость
насыщенного водой и нефтью слоя, Т. — температура ячейки.
Приток тепла за счет его конвективного переноса за время Дг равен
а отток — (с v + с v ) . х
а в и н !
и F ,
(с v + с v ) .	 2тгг . . Т. ,h Д t, _ __
в в нн/-1	/-1/-1	а в и
х 2яг Т. h St, доля воды и нефти в потоке соответственно F& .. . н,
О — общий поток жидкости через слой. Накопление тепла за счет конвек-
тивного переноса
[(с F +с F) . ,Т. , — (с F + с F ) . T.lQhSt,
L ' В В Н /-1/-1 ВВ НН/ /
О = 2тгг (и в + v ).
За счет кондуктивной теплопроводности в радиальном направлении
накопление тепла составляет
(г. —-------------------------------------)2яхлдг. <7-2»
ri ri- 1/2	ri - 1/2 ~ ri-3/2
135
где X — теплопроводность пласта насыщенного нефтью и водой.
Для первой ячейки в уравнении отсутствует второй член в скобках,
а для последней — первый.
Накопление тепла в ячейке идет за счет притока тепла с подошвы
и ухода ее в кровлю. Тепловой поток с единицы площади подошвы обоз-
начим <?п;. , кровли — через <?к. . Тогда накопление тепла
Жг,2 -rz2__) (Qn/. -рк/. )ДГ.	(7.3)
Баланс тепла
-п(г 2 - г 1 , )Л (с Т. - с Т. ) + [(с F +с F ) . Т. - (с F +
/	/ - 1	« /	* /	в в НН /	/ 'в в
+ с F ) . Т. ,] Oh Д f = 2тгХ ЛДг (г. ——-<7-4>
н н'/-1 /-1J	.	' / д
r/-i	} + я(г/2Ч/ “ ,Дг-
где Т. — температура в момент времени t; Т. — температура в момент
времени Г + Дг. При выборе временного шага руководствуемся сообра-
жениями устойчивости. Можно обеспечить устойчивость при приемлемых
временных шагах, если в левой части (7.4) брать значение температуры
следующего временного слоя, а в правой части — предыдущего.
Преобразуя входящие в (7.4) величины, получаем
с F +с F = с + (с - с ) F = с (1 + AcF /с ).	(7 5)
ВВНН Н В Н В Н	В Н	У
Обозначим
А. = cQAt/(-ПС (г 2 -г. 2 )),
I	п	<	/	fl
В. = 4Х Дг/(с (г.2 - г.2 )),
/ * * / / - 1
(7.6)
где с и X зависят от водонасыщен ноет и и являются функциями номера
ячейки /.
Средняя температура ячейки
Т - Т. +А. (1 + AcF /с }
О I /	В . н
<т,- -г,-.) -
". - Т. , q . — q .
-------—) + —-----------— At. (7.7)
ri ~fi-2	hC,
Для первой ячейки надо принять г 0 — г { = 0, ^в0 = 1. Для послед-
ней ячейки / = л, 7~п+1 = Г . Последнее уравнение выразим в удобном
для вычислений виде
136
(^с.}Т. = 7. + cT._l+B. (г. ^-11-
ri+i ~ ri-i
c. — A. (1 + &cF . tc ).
/	/	Bl H
Дискретная запись конвективных членов вносит в разностную задачу
"схемную вязкость", которая изменяет влияние кондуктивных членов. 
Условие устойчивости разностной схемы (7.8) является наиболее жест-
ким при А = 0, когда прекращается разработка слоя. На устойчивость
влияют не только кондуктивные члены в правой части, но и перетоки
тепла с предыдущего временного слоя, зависящие от индекса j. Условие
устойчивости в случае, когда перетоки тепла берутся такими же, как в
схеме Ньютона, и А. = 0, совпадает с обычным условием устойчивости
явной разностной схемы для уравнения теплопроводности. Для неравно-
мерных шагов устойчивость обеспечивает условие
с Дг . h2.
,	min min
Af <------------------------- 	(7.9)
2X Дг . + h .
*	min min
При шаге Дг = 3 м и толщине слоев 10 м каждый Д Г, рассчитанный по
формуле (7.9), равен 40 сут (с* = 2- 10б Дж/(м3  К), X* = 2,5 Вт/(м-К).
В практических расчетах предусматривается запас в выборе временного
шага — вместо множителя 0,5 берется 0,4 или 0,35.
ПЕРЕТОКИ ТЕПЛА В СМЕЖНЫХ СЛОЯХ
Обозначим поступление тепла из нижележащего слоя q . и уход тепла
в вышележащий слой <7к/. :
q . =- 2Х	', q . = 2Х	,	(7.10)
л/	* I. ,	к/	* h j. к
п . + h .	п + п.
где j — номер слоя (нумерация снизу вверх), Т. — средняя температура
слоя, а не ее значение в середине слоя. Среднее значение температура имеет
ближе к границе слоев, поэтому величины знаменателей в (7.10) должны
быть намного меньшими.
Выведем более точные соотношения для межпластовых перетоков,
полагая температуру по толщине слоя меняющейся по параболичес-
кому закону 7(z) = А + Br /h + Cz2/h2, где А, В, С есть функции ра-
диальной координаты и времени. Эти коэффициенты можно выразить че-
рез среднее значение температуры и потоки тепла в кровлю и подошву
137
Т — A + S/2 + C/3,	(7.11)
q = ~\B/h,q =~\(B+2C)/h.	(7.12)
Из этих формул след ует
B=-hqn/\, c =h(qn - qK»/(2XJ.	(7.13)
Выразим граничные значения температур слоев через среднее значение
Г. и потоки тепла
Т = Т. + h (2qn + q ) / (6Х ),
П '	*	(7.14)
Тк=Т,:-h(qn + ^K)l(6\}.
В многослойном пласте <?п — для нижележащего слоя. Обозначим
q = q., тогда q = q-..- Приравняем температуры на подошве слоя и
кровле нижележащего:
Т. +	(2Q> + <7y+1)/(6XJ = Tj_i-hj_l (q^- 2gy)/(6XJ.	(7.15)
Перенеся члены и преобразовав, для определения потоков тепла
в смежных слоях имеем систему:
Л,<7/+1 + 2(Лу + h.^)q. + Ъ.^._'= 6XJ7-..,- Г).	<7.16)
Сопоставим с (7.10) результаты, получаемые из более точных соот-
ношений (7.16). Например, в случае двух теплоизолированных слоев,
когда q. +1 = Qy _ ( = 0, будем иметь
q. = ЗХ# (Гу_,- T.)Uh. + h.^},	(7.17)
что дает увеличение теплообмена в 1,5 раз по сравнению с (7.10).
При<7у+1 = Qy_t = — Qj из (7.16) получим
qj =6XJ7-/._1 " T.)l(h. + h ._,),	(7.18)
т.е. теплообмен в 3 раза выше, чем по формулам (7.10); при определении
перетоков тепла целесообразнее пользоваться (7.16).
ПОТЕРИ ТЕПЛА В КРОВЛЮ И ПОДОШВУ
Для крайних слоев в расчетах учитывается теплообмен с кровлей и подош-
вой. Представим температуру в кровле (или подошве) в виде парабо-
лы с неизвестной вершиной
138
Т=Т (1 - z/l )2, / =/ (t),	<7J9>
/ K \	' к' ' к к'*'
откуда для потока в кровлю имеем
где Г — приращение температуры кровли пласта по сравнению с темпе-
ратурой накрывающих горных пород.
При z = / температура и поток тепла равны нулю. Получим уравне-
ние для толщины прогретой (остывшей) части кровли / . Уравнение
теплопроводности для горных пород:
9f	1 Э	Эг	д2т
С----= X (-----------г ---- +.	(7.20)
9f	г	дг	дг	дг2
где с, X — параметры породы. Проинтегрируем (7.20) от г — 0 дог — /
Из (7.19) имеем
I Tdz = — Т I
о	3	«
(7.21)
После интегрирования
(7.22)
После преобразования
Э/2	2 дт X Э дт 12Х
— + ------ ---------------^~г = --------------
., Т at сг дг дг	с
at	к
(7.23)
По этому уравнению определяют / . Под Т здесь понимается раз-
ность между температурой на границе пласта с кровлей и температурой
горной породы. Если Тк const, то / = Vl2Xt/c. При Г* — at / =
= y/A\t/c, а в более общем случае 7"к = ata, / к — Vl2Xt/ ((1 + 2а) с).
Оценим прогрев породы, приняв линейный закон роста Г — аТ. Для
глин объемная теплоемкость 4,43 Дж/(см3-К), а теплопроводность
1,42 Вт/(м К). Подставив эти значения и выразив время в годах, опре-
делим по формуле / = \/40 t глубину прогрева. Так, через год глина
прогревается на глубину менее 6 м, через 5 лет — менее 14 м, через 15
лет — не более 24 м.
Уравнение для оценки глубины прогрева кровли или подошвы
d!2	.	12Х	2 , Эт X Э ЭТ.
	+ а2 =—, d= — (--------г—/--т—1
dt----------------------------------с	Т dt сг дг дг
(7.24)
139
для каждого временного шага в каждой ячейке будем считать постоян-
ным. Интегрируя в пределах одного временного шага, имеем прибли-
женно
Д/2 = /2 - / 2 = (12Х/с — D! 2) Дг,	(7.25)
но нами была использована точная формула
/2 = /2ехр(-ОДг) + (12Х/(сО)) (1 - ехр ( - D Дг)).	(7.26)
Параметр D для каждого временного слоя вычисляется разностной
аппроксимацией:
Выражение для D является неопределенным при Т. = 0, уравнение
(7.22) теряет силу. В реализованной нами программе предусмотрено,
чтобы / не менялось, пока температура в ячейке не изменится по срав-
нению с начальной температурой на один градус.
Выведем уравнение для определения потерь тепла в кровлю и подош-
ву пласта. Из приведенных соотношений имеем
Гк=/к^л/+1/<2Х>-	(7-28)
где / — глубина прогрева кровли; qN+l — поток тепла в кровлю плас-
та; /п — глубина прогрева подошвы; qx — приток тепла с подошвы.
Те же температуры можно выразить через средние температуры край-
них слоев:
TK=TN~h + 2<7/V+111 (6\> -	(7.29)
Т=Г1+Л1(2г71+г72)/(6Х;.
Сравнив (7.28) и (7.29), получим:
(Л ./(ЗХ ) + / /(2X))Q. + h q_/(6X ) =“ Т.,
(7.30)
(%/(3XJ +/k/(2X)Q/v+1 +	=TN,
где через T обозначено не абсолютное значение температуры, а ее пре-
вышение над пластовой.
Совместно с (7.30) определяют (Л/ + 1) неизвестную величину —
перетоки тепла в слоях и потери тепла в кровлю и подошву.
(7.32)
(7.33)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОГОНКИ
Система уравнений (7.16) и ~ (7.30) является трехдиагональной, что
позволяет применить метод прогонки к определению перетоков тепла
q., j = 1, 2, . . ., N, N + 1. Представим потоки тепла в виде рекуррентных
соотношений
о. = A q. + В.,
ч! + 1	/ 41	I ’
а вторую из формул (7.30) в виде
hf^N	е\ТН
+ ---------------
2Л + ЗХ / /X 2h .. + ЗХ I /X
IV *	/V * К
Можно принять
h N
А ~ ~ 2Л N + 3\/к/Х	'
3V/v
В = ------------------
ЛЛ, + ЗХ / / (2Х)
IV	* к
Подставив (7.31) в (7.16), получим рекуррентные соотношения
для прогоночных коэффициентов
= - ------------------------
'	2/)/_1+(2+А/)
hjBj	(7-34)
В . .	— •
' " 2h . _ ,+ (2 + А. ) h
Видно, что все А. < 0, причем — 0,5 < А. < 0. Коэффициенты имеют
размерность потока тепла и приблизительно равны величинам перетоков
тепла между слоями.
Приток тепла с подошвы qt найдем по первой из формул (7.30).
Формулы (7.34) позволят вычислить At и В у и выразить переток в виде
(7.31)
h ,	/	h
Отсюда находим
h в , + 6Х т,
		11	* 1
Q_______________	 .
(2 + A }h ,+ЗХ /X
1 1 *
(7.35)
(7.36)
141
Формулы (7.3U) — (7.JOJ ЯВЛЯЮТСЯ ПрО| unuinoim..,	------
ся перетоки тепла.
При вычислении температурного поля пласта:
1) фиксируют насыщенности ячеек, доли воды в потоке и перетоков
тепла на предыдущем временном слое:
2) вычисляют поочередно от меньших j к большим и от меньших /
к большим значения температур по формуле (7.8), при этом:
а)	температуру для /' = 0 принимают равной температуре нагнетае-
мой воды;
б)	с и X вычисляют для каждого / по интерполяционным форму-
лам	+ с,н И - s), X* = X s + Х*н (1 - $);
в)	по формулам (7.6) находят коэффициенты А. и В. для каждой
ячейки (время в секундах) ;
г)	приращение температуры в каждой ячейке сохраняется при вычис-
лении Ок и Dn для крайних слоев по формуле (7.27) ;
3) по формулам (7.26) вычисляют новое значение глубины прогре-
той части кровли и подошвы;
4) используя прогоночные формулы, определяют новые значения пере-
токов тепла.
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ АНОМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ НЕФТИ
Расчет насыщенностей выполняем в рамках теории Баклея — Леверетта
с учетом вязкопластичных свойств нефти.
Разностные уравнения получаются из условий материального баланса
для каждой ячейки. Временной шаг подбирается из условия устойчивос-
ти разностной схемы. Учитывается наличие скачков насыщенности и их
движение, схема счета не является сквозной — в этом отличие метода
расчета от существующих. На каждом временном слое расход считается
постоянным и движение скачков
случае.
Скорость каждой из фаз
кк др	кк
в	и
v = —-----------, V ~ ~ --------
В
таким же, как и в автомодельном
8Р
(-----+ G ).	(7.37)
Эт 0
Движение нефти возможно при градиентах, по модулю превышающих
начальный градиент Gg.
Для суммарной скорости фильтрации и/ имеем соотношения:
к к др
—	_	. . в н .
w — v + v — — v „ — к ( -----+ ---1 ---,
в н ° ц ц дг
ГВ	н
142
(и/ + V ) V
р = -------------- , v — wF ,
в ,	.	в в
W (и „ + V )
с °	(7.38)
1,c=4Go4- % = ЧАЧ'
При малых градиентах давления вытеснение может сопровождать-
ся образованием фронта "застывания", за которым прекращается вымыв
нефти. Если этот фронт догонит скачок насыщенности, то непосредствен-
но за скачком вытеснение будет поршневым. В этом случае скачок насы-
щенности определится из условия, что непосредственно за ним F^ = 1.
При этом
ккв (s) Go (s) = ngw.	(7.39)
Если же перехода на поршневой режим нет, то скачок насыщенности
будет определяться как точка, где достигается максимум дроби
(/^я (Sr.) -	(s0)) / (s,. - s0),	<7-40>
ВС	В О с О
где$0 — погребенная водонасыщенность.
Выясним условие (7.39) и возможность образования фронта застыва-
ния. Уравнение будет иметь решение, если
О	кк (s)
-----< max --------------Gq
2Лл s /1в
Последнее выполнимо, если
Go> HBQ/^rkB(s2)}.
При условиях нагнетания О = 400 м3/сут, Л = 20 м, рв = 0,5 мПа-с,
кд = 0,2 мкм2, / = 100 м имеем GQ > 0,001 МПа/м, причем этот темп
нагнетания обеспечивается при Др = 0,6 МПа. При больших перепадах
давления (около 2,0 МПа) и указанных выше условиях непосредственно
за скачком не должно происходить застывание нефти в пласте. Однако
со снижением температуры и ростом начального градиента сдвига застыв-
шие зоны будут образовываться возле нагнетательной скважины. Их
появление в процессе расчета учитывается в формуле для доли воды в
потоке (условием Fg = 1 при w < v ). Значение скачка насыщенности
надо принимать наименьшее из получаемых формул (7.39) и (7.40).
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НАСЫЩЕННОСТИ
Уравнение материального баланса для фаз
Эт s 1 Эг и
143
3m(1 - s) 1 orv
(7.41)
Складывая, получаем
Q
-----[r (v + V )] =0, 2тг г w = (2 (t),	(7’42)
Эг B H
где Q — интенсивность нагнетания в пласт, т.е. расход на единицу толщи-
ны пласта.
Заменим в первой из формул (7.41) скорость воды через долю воды
в потоке согласно (7.38) :
v в =	= QFJ (2лт ),	(7.43)
3s a	Sf
-----+---------------? = 0.	(7.44)
9t	2ТГт г	Эг
Заменой х = яг 2 можно (7.44) преобразовать к виду
Эг т Эх
Fд зависит от скорости, следовательно, и от х.
ДВИЖЕНИЕ СКАЧКА НАСЫЩЕННОСТИ
Из условия сохранения баланса воды при прохождении скачка насыщен-
ности имеем
2яг dr т (s - s ) - 2тгг [iz (s) - I/ (s ) ]dt.
V	□	is и
(7.46)
Заменив v — ™Fg и введя скорость движения скачка v с, имеем
о FB(S)-FB(SO>
и —------------------------------
с dt	2 Itm г	s — s
(7.47)
где FB —доля воды, зависящая от водонасыщен ноет и, температуры,
скорости фильтрации и структурных свойств; s — насыщенность непо-
средственно за скачком.
В уравнении (7.44) выполним замену
Эр	Эр	9S Эр	Эт	Эр	Эи,
в __	в	В		в	
Эг	9s	Эг 1 Эт	Эг	Эи/	Эг
(7.48)
144
откуда следует, что на скорость движения скачка влияет лишь производ-
ная dF /3s.
в
Выписав уравнение характеристик, имеем
d t ‘iltmrdr
1 O(dFB/9r)
или	(7.49)
d г О ЪР
______ _____ а
dt 21tmr
Сравнение (7.47) и (7.49) приводит к следующему соотношению на
скачке насыщенности s = sc:
[F (s) -F (S )]/(s-s ) = bFJbs.	<7.50)
о	о U	и	В
Соотношение (7.50) показывает, что скачок насыщенности будет та-
ким же, как и в изотермическом случае, если температуру и скорость
фильтрации принять равными их значениям на скачке.
АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И БЕЗВОДНАЯ НЕФТЕОТДАЧА
Если интенсивность закачки в пласт сохраняется постоянной и структур-
ные свойства отсутствуют (т.е. Fg =0), то уравнение (7.44) допускает
автомодельное решение со стационарным скачком насыщенности:
г 1 2 * * = г 2 + QtF'(s) / {пт}, г < г <r ,
О	ОС
,	7	,	(7.51)
'2c=rJ + QtF IsJ/lnm),
s =s0 при г >г с,
где г — радиус скважины.
Для безводной нефтеотдачи в автомодельном случае получается та
же формула, что и для галереи:
1-*0 F'sc>-f<so>
Эта формула позволяет ориентировочно указать значение безводной
нефтеотдачи по известным относительным проницаемостям и вязкостям
для изотермического вытеснения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДА ПО СЛОЯМ
ПРИ ЗАДАННЫХ ЗАБОЙНЫХ ДАВЛЕНИЯХ
Для суммарной скорости фильтрации из (7.38) имеем
к к др	Q
w + v = к( —— + — ) ----------, w = -----	(7.53)
О дв дн or	2тгг
Разделив на множитель при градиенте давления и проинтегрировав по
г от г = г 0 до г = г п, имеем
г 21Ггк(кЩ + к /и	21! кк(S ) <с
zq	D о	rf П	Ли
= Др - J G dr - /----------------------- (7-54)
г	г 1 + £ ц /* ц
с	0	в'н НВ
где г о — радиус скважины, г с — расстояние до скачка насыщенности,
г п~ радиус контура.	г
Движение возможно лишь при при Др> J GQ dr .
г с
В процессе вытеснения из-за остывания смежных низкопроницаемых
слоев давление сдвига по этим слоям может превысить поддерживаемый
перепад и тогда эти слои отключатся.
УСРЕДНЕНИЕ НАСЫЩЕННОСТИ ПО ЯЧЕЙКАМ
Для каждой ячейки введем среднюю насыщенность s. . Для ячеек, в кото-
рых идет вытеснение, можно написать соотношения материального балан-
са. В ячейке, в которой оказывается фронт вытеснения, среднюю насыщен-
ность находим по занятой водой части ячейки
si -so=	-<!>	(7-55)
или же по общему объему воды, поступившей в данную ячейку.
Расчет по формуле (7.55) неточен для случая, когда фронт находится
в первой ячейке, так как возле скважины насыщенность близка коэффи-
циенту вытеснения. Поэтому удобнее для первой ячейки определять насы-
щенность по объему поступившей воды As = Qdt/ (иг ^т) или же по фор-
муле 5 = (2sc + s2)r*/(3r j), полученной в предположении, что в первой
ячейке насыщенность убывает линейно от s2 до «с.
Усредненную долю воды в ячейке обозначим F . . В ячейке, где нахо-
дится фронт вытеснения, доля воды переменна: за фронтом вытеснения
она равна насыщенности на нем, перед фронтом — нулю.
В ячейках, через которые прошел фронт вытеснения, насыщенность
146
больше, чем на фронте. В ячейках, где в данный момент находится фронт
вытеснения, насыщенность может принимать любое значение от связанной
водонасыщенности до насыщенности на скачке.
СИСТЕМА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Запишем для каждой из ячеек многослойного пласта условие материаль-
ного баланса. Выделим один из слоев. Перетоки между слоями отсутст-
вуют. Для /-й ячейки количество вошедшей воды F ^QAt, количество
вышедшей воды F . QAt. Разность их составляет (гв — ^Bl- )<2Af, и
за счет разности происходит рост средней водонасыщенности в /-й ячейке
As. пт (г ? — г2 _ 1); используя это, получаем уравнение
As, = ~F*i	<ri	(7.56)
справедливое для ячейки, через которую уже прошел фронт вытеснения
к моменту времени t.
Вывод формулы (7.56) предполагает, что значения F . и F .
берутся не в момент времени f и не в момент времени t + Дг, а в некото-
рый промежуточный момент времени. При расчете насыщенностей на сле-
дующем временном слое мы сначала подсчитаем As. , взяв доли воды в
момент времени f, затем вычислим промежуточные значения F , изменив
значения насыщенностей на As. /2. Снова используя (7.56), вычислим
приращения As. и новые значения насыщенностей.
Для ячейки, в которой находится фронт вытеснения, приращение
насыщенности определяется движением скачка насыщенности. Из автомо-
дельного решения следует, что расстояние от скважины до скачка насы-
щенности за время At увеличивается на величину
As. = (Fe .	- Fg. )QAt/(trm (r 2 -r2^)).	(7.57)
Если фронт вытеснения находился в первой (от скважины) ячейке и
за время At не покинул этой ячейки (вся вода поступает в данную ячей-
ку) , то приращение насыщенности
As t = QAtl {лтг2}.	(7.58)
Если фронт насыщенности находился в /-Й ячейке и за время Дг не
покинул ее, то приращение насыщенности
As. =QAtF . Кит (г2. - г2. )),	(7-59)
/	в— 1	/ I -1
где Fд . _ 1 берется также в промежуточный момент времени. Вместо
(7.59) можно пользоваться новым положением скачка насыщенности
и новым ее значением в предыдущей ячейке. Тогда
147
(/.6U)
Сложнее, когда фронт вытеснения переходит из одной ячейки в дру-
гую, из Ай в (/ +1) -ю. Две ячейки пройти скачок насыщенности не мо-
гут — так выбирается временной шаг. В этом случае для каждого из слоев
определяются отрезки времен Дг и Дг^, в течение которых фронт вытес-
нения находится в Ай и (/ + 1)-й ячейках. Из уравнения (7.56) следует,
что
Дг = irm(r2 — r2]/(QF’(s )), Дг =Дг—Дг .	(7.61)
р	I с в с	д	р
Приращение насыщенности в (/+ 1)-й ячейке найдется по формуле
Д«- . = [OAt / (irm(r2 - г2 l)]F (s ).	(7.62)
/ + 1	Lf	I "* 1	/	ВС.
Для предыдущей ячейки изменение насыщенности складывается
из двух слагаемых. На первом этапе приращение определяется формулой
(7.59), в которой Дг заменено на At р, на втором этапе — формулой
(7.56) с уточненными на момент времени Г + Дг значениями доли воды
в потоке.
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Разностная схема (7.56) при сквозном счете абсолютно устойчива, если
при вычислении доли воды (неявная схема "уголок") брать значения на-
сыщенностей на последующем слое. Она условно устойчива, если долю
воды вычислять на предыдущем временном слое.
Представим нелинейную систему (7.56) приближенно в виде
п
As = QAtF'(s**}
п	в
1Гт (г2 — г 2 )
п п-1
(7.63)
где звездочки обозначают некоторые средние значения.
Для явной схемы s берется на предыдущем слое и анализ роста
возмущений типа vKехр(/соп) (где к — номер временного слоя) дает
уравнение
QArF1 |s*‘)
р — 1 —--------------- [exp (— 7 со) — 1 ] , / 2 = — 1.	(7.64)
„	, 2	2	.
71т {г — г ,)
п п—1
Это соотношение представим в виде
.	. СО	со	со
V = 1 — К sin ---- sin -- + / cos --- ,
2	2	2
148
2Q&tF^ ($**)
„	. 2	2	,
(7.65)
откуда
6J	GJ	GJ
| v\2 = (1 + К sin2 ----) 2 + К 2 sin 2 --cos —— =
2	2	2
, W	(7.66)
= 1 - К {2 —К} sin2 — < 1 при К < 1.
Условие устойчивости явной схемы К < 1. Число К — аналог числа Ку-
ранта, и его можно интерпретировать ориентировочно как отношение
расстояния, проходимого скачком насыщенности за время Ат, к шагу
сетки. Отношение 20/ (пт (г п + г }) — истинная скорость движения в
порах. Умножив на Fg (sc), получим скорость движения фронта вытесне-
ния, поэтому
Требование исДг < Дг обеспечивает устойчивость явной схемы.
Будем придерживаться указанного условия, что обеспечит устойчивость
принятой полунеявной схемы. Для нее вместо соотношения (7.64) будет
получено
V - 1 ОДг F ' (J**)
в	• . ,
-----=-----------------------(e-/0J-1).
V + 1	271m	(г^ - гД 1 )
(7.68)
После элементарных преобразований для показателя роста возмуще-
ния получим
(1 - 2. ) 2+ 2(1 - L ) Л cos GJ + /_ 2
IV |2 = . j	~
(1 + L ) -2 (1 + L ) L cosGJ + L 2
ОДг< (s**|
L =--------®:— •	(7-69)
27Гт (г2 - г^_
Нетрудно видеть, что |р| < 1 при любом L, т.е. полунеявная схема
также абсолютно устойчива. Однако результат этот не является строгим
из-за того, что мы заменили нелинейное уравнение (7.63). Поэтому сле-
дует брать временные шаги не очень большими.
АППРОКСИМАЦИЯ ОСНОВНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
При составлении программы и проведении расчетов были приняты: на-
чальный градиент сдвига Gg = (0,5/\/Г) ехр((7"о — Л/10), вязкость
закачиваемой воды дв = (35 + 0,7с + 0,0227с2)/(Т + 15,7). В расчетах
149
концентрация соли принималась равной 12%. Вязкость пластовой нефти
ц = 151/(Г— 20), связанная водонасы щенность s = s ( (Г) +0,001 (Г —
7^), коэффициент вытеснения s2 =	) + 0,002 (Г — 7^), относитель-
ные проницаемости воды и нефти соответственно


При s< s j считалось кд = 1. В расчетах было принято, что (Зд =3,01 и
= 2,2.
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Рассмотрим расчет нефтеотдачи 4-слойного пласта, каждый слой которого
имеет толщину 3 м, проницаемости 0,2; 0,02; 0,05 и 0,4 мкм2 при пере-
паде давления 2,0 МПа, радиусе контура 100 м и температуре закачивае-
мой воды 12 °C. Расчет показал, что прорыв воды наступил через 7,8 мес,
к этому моменту нефтеотдача каждого из слоев составляла 29,5; 1,7;
5,7 и 52,1 %. Насыщенность на скачке по слоям — 0,582, 0,477, 0,571,
0,583. По второму слою фронт вытеснения прошел всего 17,8 м при тем-
пературе 40 °C. Через 22 мес второй слой застыл, фронт' вытеснения по
нему прошел 26,1 м. Нефтеотдача слоев к 22 мес составила 58,3, 3,4,
14,7 и 61,9%. Средняя нефтеотдача — 35%. При нагнетании горячей воды
(60 °C) ее прорыв произошел через 3,9 мес, в момент прорыва нефтеотда-
ча слоев — 24,8; 1,5, 5,1 и 52,1 %. За 7,8 мес нефтеотдача по слоям при
вытеснении горячей водой составила 54,2, 4,0, 12,8 и 60,9 %; через
22 мес — 63,5, 12,7, 46,2 и 66,9 %; средняя нефтеотдача — 47,2 %. Разница
в нефтеотдаче к 22 мес достигла 12 %, что объясняется главным образом
изменением сроков разработки пласта.
Если не происходит застывания и отключения низкопроницаемых
слоев, то различие в конечной нефтеотдаче слоев незначительно — 1 — 2 %,
однако продолжительность разработки при нагнетании холодной воды
значительно больше (на 15— 25 %).
Например, разрабатывается круговой пласт радиусом 170 м и с 4 слоя-
ми, толщиной 4 м каждый, проницаемость слоев 0,6; 0,04; 0,06 и
0,6 мкм2. Пласт разбит на 50 кольцевых ячеек. Исследовано вытеснение
нефти холодной и горячей водой при перепаде 4,0 МПа, концентрации
соли 12% и начальном градиенте сдвига, соответствующем коэффи-
циенту А =3,1. В высокопроницаемом слое при пластовой температуре на-
чальный градиент составил 0,0029 МПа/м (давление сдвига менее0,5 МПа),
в низкопроницаемом — 0,011 МПа/м (давление сдвига около 1,9 МПа).
При вытеснении холодной водой (12 °C) обводненность 95 % дости-
гается через 38 мес и нефтеотдача в целом составит 37 % (дисбаланс
1 %). По каждому из слоев фронт воды пройдет 347, 59, 89 и 347 м; насы-
щенность на скачке составит 0,582; 0,335; 0,534 и 0,582; нефтеотдача
(каждого из пропластков 64,7; 4,1; 14 и 64,7 %; температура по всем
150
пропласткам к этому момент/ приблизительно выравнивается (разница
1 — 2 °C), и фронт охлаждения' 45 °C проходит на глубину около 86 м
(50 °C — на глубину 95 м).
При вытеснении горячей водой (100 °C) обводненность 95 % не дости-
гается до прорыва воды по слою проницаемости 0,06 мкм2, но после
прорыва обводненность сразу становится 97 %. Это происходит через
26 мес (вместо 38 мес), и нефтеотдача всего пласта в целом составляет
63 % (вместо 37 %), дисбаланс 3 %. По каждому из слоев фронт воды
проходит расстояние 680, 131, 171 и 680 м; насыщенность на скачке
0,583 ; 0,627; 0,582; 0,583; нефтеотдача каждого из слоев 75,5, 38, 65 и
и 75 %; температура по всем слоям приблизительно выравнивается и
фронт тепла 85 °C уходит на глубину 154 м.
Рассчитан также пример вытеснения нефти холодной водой (12 °C)
без учета начального градиента сдвига. Через 38 мес обводненность соста-
вила 93 % (а не 95%) ; фронт воды по каждому из пропластков прошел
347, 75, 85, 347 м; нефтеотдача пласта в целом составила 39 % ( а не
37 %) с дисбалансом 1,8%; нефтеотдача каждого из слоев 64,8; 9,8;
17 и 64,8%; насыщенность на скачке 0,583; 0,505; 0,555; 0,583; фронт
охлаждения 45 °C прошел на глубину 86 м. Расчет в этом случае был
продолжен до достижения обводненности 94,4 % через 79 мес. Нефтеотда-
ча пласта в целом здесь составляла 46,6 % при дисбалансе 1,5 %. Экстрапо-
ляция показывает, что при обводненности 95 % нефтеотдача в целом сос-
тавила бы около 50 % (вместо 63 % при закачке воды 100 °C и 37 % при
наличии начального градиента сдвига). Если же делать сравнение на один
и тот же момент времени (26 мес), то при закачке горячей воды накоп-
ления добычи нефти существенно (в 1,8 раза) выше, чем при холодном
заводнении, но со временем этот эффект уменьшается.
Г лава 8
РАСЧЕТ ДАВЛЕНИЙ, НАСЫЩЕННОСТЕЙ, ТЕМПЕРАТУР,
НЕФТЕОТДАЧИ ДЛЯ ПЯТИТОЧЕЧНОЙ
И ПРОИЗВОЛЬНЫХ СИСТЕМ СКВАЖИН
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим двумерную задачу неизотермического вытеснения аномаль-
ной нефти водой в тонком однородном пласте.
Будем учитывать изменение подвижностей в пластовой системе с изме-
нением температуры (вязкости, структурных свойств, связанной водона-
сыщенности, коэффициента вытеснения, фазовых проницаемостей).
Уравнения совместного движения нефти и воды:
й*_ =- (кк /и) vP, й*н = ~ (кк /ц }
В	В В		г> П
151
-4	3i	(8.2)
m-----+ div v = 0, — m--------+ div iz = 0,
bt	B	bt
3 (c 7")/3r + divq = 0,	(8.3)
*
q=	-h^h) T _ X VT'	(8-4)
В D	П H	It
д = P(D, *B H =*B(H(s, T), ! = Hlvpl).	(8.5)
Для численных расчетов эти уравнения удобнее преобразовать.
w = vbЧ =~ к^кв^в +кн&Ю VP-	(8.6)
Обозначим долю воды в потоке
F = 1/(1 - р к /к ), р = р/р	(8-7)
ЕЗ	U Н ЕЗ	U	ЕЗ Г1
Подвижности пластовой системы
X =k(kBhiB + к^/рн).	(8.8)
Уравнения (8.2) заменим их полусуммой и полуразностью. Уравне-
ние теплопроводности преобразуем, подставив (8.4) и использовав (8.2).
Теплоемкость пластовой системы
с* = (1 - т ) сп + т [cbs + сн (1 - s) ].	(8.9)
Тогда
% = и/Лв, vh = w - FB>' w=~ XVP,	(8.10)
div w = 0, bs/bt + (2-v) Fb = 0,	(8.11)
3r
c — + [c F +c (1-F )] (Й- V)T=X Д T.	(8.12)
*	/4 f	В В п	В	*
Разностная аппроксимация недивергентной системы вносит дисбаланс
массы и энергии, причем погрешность может стать заметной в случае раз-
рывных решений (для насыщенности). Будем пользоваться недивергент-
ной системой, так как ее разностная реализация проще. Будем вычислять
дисбаланс объема добытой и закачанной жидкости.
Под дисбалансом понимаем разницу между нефтеотдачей, рассчитан-
ной по изменению водонасыщенности в пласте, и нефтеотдачей, рассчитан-
ной по объему добытой нефти. Дисбаланс будем вычислять в относитель-
ных величинах — разность поделим на нефтеотдачу, рассчитанную по насы-
щенности, и выразим в процентах.
При начальных градиентах сдвига в области малых градиентов давле-
152
ния образуются застойные зоны, где нет фильтрации нефти. Чтобы сохра-
нить единую структуру уравнений и не определять неизвестную границу
течения, будем полагать, что фильтрация при малых градиентах лишь
резко уменьшается, а не прекращается вовсе. Будем считать практическим
прекращением фильтрации ее уменьшение в 15 раз.
ПОТЕРЯННАЯ СКОРОСТЬ, доля воды
Под потерянной скоростью понимаем уменьшение модуля скорости,
обусловленное наличием структурных свойств h/q = — (кк* ) Gq .
Введение потерянной скорости позволяет выразить через модуль
скорости фильтрации w структурный множитель и другие характеристи-
ки потока:
и/ + % = ( —- + —— ) к\ v pl = хб,	(8.13)
F = (1 + w/w} F, F = 1/(1 - р к /к }.	(8.14)
Еэ	U	U н о
vB = (w + и/0) F. и н = (1 - F) w - Fw0-	(8.15)
F =1 для всех значений F~^wl (и/+ v и v _ модули скорости
фильтрации воды и нефти. Когда определяются давления, проще вычис-
лить структурный множитель, предварительно найдя модуль градиента
давления.
АППРОКСИМАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В УЗЛАХ-СКВАЖИНАХ
Рассмотрим задачу вытеснения вязкопластичной нефти водой.
Введем средние по толщине пласта величины и представим уравнения
движения в двумерном виде. Из (8.11) получим:
Э	Эр — (X — Эх	Эх	Э ) + — (X Эу	Эр —) =0, Эу	(8.16)
ds	dF	dF „		
т — + и	—в+ v	в	= 0.	(8.17)
"Эг	Эх	Эу		
В уравнения (8.16)		и (8.17)	можно ввести дополнительные члены,
учитывающие сопротивления нагнетательного и добывающего рядов при
рассмотрении их как эквивалентных галерей. При задании дебитов добав-
ляют слагаемые типа источника или стока и выражают дебит через раз-
ность забойного давления и давления в узле сетки; при задании давления
включают дополнительное сопротивление, которое содержит начальный
градиент сдвига.
153
В работах [11, 12] было показано, что решение разностной задачи
совпадает с аналитическим, если скважину поместить в узле и шаг сетки
взять в 5 раз большим радиуса скважины. Если же шаг сетки взять значи-
тельно большим, то сеточное решение совпадает с аналитическим, в кото-
ром радиус скважины — пятая часть шага сетки. Дополнительное сопро-
тивление соответствует сопротивлению призабойной зоны в интервале от
радиуса скважины до 0,2 шага сетки. При введении слагаемых типа источ-
ника дебит скважины (О) будет определяться с учетом дополнительного
сопротивления:
2ТГкН (р — р •)
Q = _ _ *_________.2L
pin(0,2 Д х/ г )
(8.18)
где Дх — шаг сетки, г с — радиус скважины, — давление в узле сетки,
где расположена скважина.
Подвижность пластовой жидкости следует брать в виде суммы под-
вижностей каждой из фаз.
При разностной аппроксимации задачи вытеснения для всех узлов
сетки, за исключением узлов скважин, пишутся однородные уравнения,
а для узлов скважин добавляются члены типа (8.18). При учете структур-
ных свойств из разности давлений следует вычесть перепад давления
О,2Дхбо.
Разностная аппроксимация (8.16) и узле-скважине с учетом отмечен-
ных соображений имеет вид (для добывающей скважины)
2лХ,у рц- Рск - 0,2 Дхб0
= ----- ---------------------- 	(8.19)
Дх Ду 1п(0,2Дх/гс)
Для обычных узлов сетки правая часть выражения отсутствует. Для
случая нагнетательной скважины следует заменить рск на рн, добываю-
щей — на Pg.
Есть и другая возможность учета фильтрационных сопротивлений
вблизи скважины. В призабойной зоне вводится дополнительное сопротив-
ление от скважины до ближайшего узла сетки, т.е. в окрестности скважи-
ны проницаемость пласта рассчитывается по формуле
кг = 6к, в = 2/!п(Дх/гс).	(8.20)
154
Р = РН -
Обосновать эту формулу можно, например, таким образом. В окрест-
ности скважины профиль давления имеет логарифмический вид
Р° г Ър	1	/Я 911
р = рн~ -----In----, ----=-------------.	(8'21)
277* г Эг	277* г
С
Примем давление в ближайшем к скважине узле при г = Дх равным
Р1 и исключим О. Тогда
Эр	р — рн
----=--------------------.	(8.22)
Ъг г In (Дх/г с)
Производная в средней точке между скважиной и узлом сетки состав-
ляет 2 Ц-Рн)/(Д*1п (Дх/rJ), в то время как без учета логарифмичес-
кой воронки давления производная в той же точке была бы равна (р —
Рн)/Дх. Отношение этих величин и дает значение поправочного коэффи-
циента в, который мы будем писать при проницаемости для соединяющих
узлы-скважины звеньев.
Аппроксимация производной давления и связанных с нею величин
(скорости) вблизи скважины проводится с добавлением множителя в,
что равносильно изменению абсолютной проницаемости.
Профили насыщенности и температуры вблизи скважины имеют
плавный характер и при аппроксимации их производных добавлять мно-
жители не нужно.
Есть и третья возможность разностной аппроксимации задачи опреде-
ления давления, которая наиболее естественна для ЭВМ. Состоит она в
том, что для ближайших к скважине узлов сетки разностный аналог диф-
ференциальных уравнений движения не пишется. Давления во всех бли-
жайших точках определяются по логарифмическому профилю
2
____,	(8.23)
г
с
а для определения расхода (при заданных забойных давлениях) уравне-
ние (8.23) записывается и для ближайших к скважине по диагонали
ячеек узлов, чтобы по разности давлений исключить расход и получить
для давлений хорошо обусловленную систему алгебраических уравнений.
Указанные подходы к учету особенностей фильтрации вблизи скважи-
ны имеют одинаковую точность. Выбор зависит от эффективности реали-
зации — простоты формул, требуемого объема памяти и расхода машин-
ного времени.
ра
------ In
277*
УПРОЩЕНИЕ СХЕМЫ ПОВЕРЬЕ ДЛЯ УЧЕТА
ПОТЕРЬ ТЕПЛА В КРОВЛЮ И ПОДОШВУ
Для расчета однородного тонкого пласта можно ввести среднюю по разре-
зу температуру в каждой точке и Интегрированием по z заменить (8.12)
двумерным уравнением
------+ ------) - _
Эх2 Э/	н
(8.24)
где q и q — потоки тепла в кровлю и подошву пласта,
к п
Определение потерь тепла — трудоемкая при численной реализации
задача, ибо для их нахождения надо решать задачу распространения тепла
в кровле и подошве пласта. Задача становится трехмерной, резко возрас-
тает объем хранимой в памяти машины информации. Это вынуждает
принять какую-либо простую схему учета потерь тепла, например схему
Поверье. Если потери тепла в кровлю и подошву принять одинаковыми,
температуру в горной породе в начальный момент постоянной и равной
нулю, то решение задачи теплопроводности для горных пород приводит
к формуле для потерь тепла с единицы площади пласта
_______ d t
q = \J\c-----J
dt 0
T (x, у, T )
Vti7 (t - t )
(8.25)
где X и с — соответственно теплопроводность и объемная теплоемкость
горной породы; Т(х, у, т) — температура пласта в точке (х, у} в проме-
жуточный момент времени т.
Формула (8.25) неудобна для расчетов, так как требует запоминания
пластовой температуры в промежуточные моменты времени. Решить
трехмерную задачу можно более просто, если, учитывая особенности
поведения подынтегральной функции, заменить (8.25) ее асимптотичес-
ким приближением.
При монотонном возрастании (или убывании) функции основной
вклад в величину интеграла вносят ее значения в моменты времени,
близкие к г, так как для них знаменатель — т мал, а подынтеграль-
ная функция велика. Разложим Т(х, у, т) в ряд по степеням (t — т):
Эт	(т-t)2 Э2Г
Т[х, у, т) = Т(х, у, Г) + (т - f) -+-------------+ . . ., /д 26)
Эг 2!	Эг2
156
подставим в io.zoj и проинтегрируем, i огда формула io.zo/ примет
вид (последифференцирования)
Отбросим все члены высших порядков, считая их малыми, и удер-
жим лишь первые два члена
/~^	ЭГ(х, и, Г)\
^K=^n=^=V ---------- (T(x,y,t)+t ------------ /	(8’28)
к п	irt	bt I
Эта упрощенная формула потерь тепла очень просто реализуема на
ЭВМ, так как не усложняет уравнения теплопроводности. Производная
по времени выражается через температуры текущего и предыдущего
временных слоев. Подставляя (8.28) и (8.24), имеем недивергентный
вид
2\/Хс7 Эг
(с + ------—— ) —- + [с F +с (1
* Hy/lt bt вен
2	/Х7
+-----V-------- Т = X д т.
н -nt	*
Ьт	дт
F )] (у—+ и -----) +
Эх	by
(8.29)
Это же уравнение в дивергентном виде
Э	2\/\с t	Э	b
— (С + -------7= ) т + — (F иТ)+ — (F VT) +
bt * H\it	Эх L	by c
1 I	д2т Ъ2т
+ — V------- T = X ( -------+ ------),	(8.30)
н nt	* Эх2 Эу2
F = c F + c (1 - F ).
с в в н	в
При разностной аппроксимации задач последний вид предпочтитель-
нее, так как при этом не будет вноситься дисбаланс в закон сохранения
энергии. Уравнение (8.29), как и уравнения (8.16) и (8.17), выписано
в предположении отсутствия источников тепла и годится для элемен-
тарных объемов, не содержащих скважины. Для расчета окрестности
скважины разностный аналог (8.29) будет выписан исходя из физичес-
ких соображений.
157
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПЕРЕНОСА ДЛЯ УПРОЩЕННОЙ
СХЕМЫ ПОТЕРЬ ТЕПЛА
Рассмотрим задачу об изменении пластовой температуры при закачке
в галерею с постоянной скоростью пластовой жидкости в упрощенной
постановке, чтобы сопоставить результаты расчетов с формулой Поверье,
а затем перейти к двумерному случаю.
В одномерном случае для однородной жидкости, пренебрегая кондук-
тивной теплопроводностью, уравнение (8.29) запишем в виде
Эт а Эг г
(с + (?Vf)----+ си ------+ 0 -~=- = 0,	(8.31)
* Эг	Эх Vr
2	,______
Т(х, 0) = Г , Г(0, t) = Т. 0 = -----X с/тт.
0	в н
Сделаем замену искомой функции
Т- То = (Г - T0)c2J(x, f)/(ct+0y/t~)2	(8.32)
и получим для в (х, t) задачу
Э0	Эб
(с + 0y/t} -----+ с^и----= 0,
Эг	Эх	(8.33)
е(х, о)=о, в (о, г) = (1 +0VF/c )2.
*
Перейдем от переменной f к новой
т = 2/3 [V?- с /0] In (1 + 0y/t7c )	<8-34)
* *
и получим уравнение с постоянными коэффициентами
Эб/Эт = свиЭб/Эх = 0,	(8.35)
общее решение которого в = в (т — х/с^и} есть произвольная функция
от написанной в скобках разности.
Приведя формулы к безразмерным комбинациям, имеем
Т - То	в (Г) - Ш (1 + 7?) - х
т- То	(1 +7?) 2
7} = (X/f/c*, X = 02х/(2свси].	(8.36)
Функция в определится по начальным и граничным данным. При
Г = 0, 7) = 0, Г = Г мы имеем в (— х) = 0, т.е. для всех отрицатель-
158
ных значений аргумента функция
в = 0. Это означает, что сущест-
вует фронт температуры, впереди
которого пластовая температура
равна начальной. При х = 0, Т = 7"
решение (8.36) дает
в (т? - In (1 + т?)) = (1 + т?)2- (8.37)
Рис. 8.1. Зависимость £(л)
зависимость, определяющую фун-	s "
кцию 0 для положительных значе-
ний аргумента. Зависимость
(8.37) удобнее представить в параметрическом виде
£ = т; — In (1 +7?), в = (1 +77) 2.
(8.38)
На рис. 8.1 изображен график зависимости £ (77). Пользуясь графи-
ком для любого £, можно найти т? и вычислить в. При £ = 0, т? = 0, 0 =
= 1. Из (8.36) следует, что фронт температур, на котором аргумент £
равен нулю, перемещается согласно закону
х = (2с с и/p2) (Py/t/c - 1п(1 + Ру/Г/с ) ),	(8.39)
в *	*	*
а скачок температуры на фронте убывает
(Г -	Та> = <1 +$Vt7c г2.	(8.40)
гр о в о	*
При решении задачи с учетом кондуктивной теплопроводности темпе-
ратурный скачок деформируется.
СРАВНЕНИЕ УПРОЩЕННОЙ СХЕМЫ СО СХЕМОЙ ПОВЕРЬЕ
Для сопоставления результатов расчетов по формулам (8.36) и (8.38)
с результатами расчетов по формуле Поверье
Т - TQ	у/Хс*
-------= erfc ( -------—------------),	(8.41)
Т — Т	ис HyJt — с х/с и
во	« ’	* в
х < cut/c
В *
были приняты условия экспериментов Г.Е. Малофеева. Вэтихопытах
Н = 0,025 м; и=0,316 м/ч; X = 1,16 Вт/ (м-К), с = 3,25 Дж/(см3  К),
с = 4,12 Дж/(см3 К), X = 3,49 Вт/(м-К). Вычисления дают связь с
безразмерными параметрами
т? = 1,295ч/Г, х = 2,54х,	<8-42>
где t — в ч, х— в м.
159
Результаты эксперимента и расчетов температур
тонкого пласта при различных a — x/h
Вид исследования	Значение (Т—			г0>/<7	в" Го>	
	а =0	а =2	а '=5	а =8	а = 12	а '=16
Эксперимент	1	0,81	0,59	0,40	0,23	0,15
По формуле Поверье	1	0,87	0,68	0,47	0,22	0,04
По упрощенной формуле	1	0,87	0,69	0,51	0,29	0,0
В табл. 8.1 приведены результаты сопоставления на момент времени
140 мин.
Как видно из рис. 8.2, показывающего сопоставление данных расчета
и эксперимента, некоторое отличие имеется лишь в дали от скважины.
Приведенный выше способ более прост и легче реализуем, чем пара-
болическое представление профиля температуры, хотя и менее точен.
ЭЛЕМЕНТ ПЯТИТОЧЕЧНОЙ СХЕМЫ
Рассмотрим в качестве примера двумерное неизотермическое вытеснение
в элементе симметрии пятиточечной схемы площадного заводнения (рис.
8.3). Нагнетательная скважина ti точке (0,0), добывающая в точке (а, Ь).
Границы элемента будут линиями тока, на которых функция тока ф =
= 0 и ф = Q. Разобьем элемент квадратной сеткой с шагом Дх и пусть
а = Axhх, b = АуПу. Узлы сетки — /,	/ = 0, 1, . . ., л* и j = 0, 1, . . .,
п . Давление р, насыщенность s и температуру Т будем определять в
узловых точках сетки, а компоненты скорости (и, и) — в промежуточных
средних между соседними узлами точках, причем и определяем между
соседними по горизонтали точками, v — по вертикали. Для обозначений
компонент скорости примем также целочисленные индексы.
При таких обозначениях, как видно из рис. 8.3, граничные пары мас-
сивов будут
Рис. 8.2. Сопоставление ре-
зультатов определения потерь
тепла:
7 — по упрощенной форму-
ле; 2 — по формуле Поверье;
3 — экспериментально
160
p, s, I LU:nx, U : ny\,
u[0: nx — 1, O:ny], v [O:nx, 0 : ny — 1].
(8.43)
Элемент однородный* по проницаемости и толщине, поэтому в (8.16)
множитель х можно отбросить.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПЯТИТОЧЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
ИНТЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Уравнение для давления (8.16) во всех внутренних узлах сетки аппрок-
симируем уравнением
\ + Ч +	+ Х/,А1/2 Ч,А. ~ Pj -
~ =°- (8'44)
Гидропроводности берутся в средних между соседними узлами точ-
ках. Их значения зависят от насыщенности и температуры. Условимся
их определять как среднее значение соседних целочисленных уздрв

(8.45)
Значения же гидропроводностей в целочисленных узлах находят
по насыщенности, температуре и давлению из формулы (8.8), куда
входит модуль градиента давления.
к (s.., Тк (s.., Т..) £ (G ..)
в ij ц	н и ц' ч ’ ц'
--------------- + ---------------------------------
Уравнение (8.44) решается итера-
циями. Берется начальное распреде-
ление s.., Тр.^ вычисляется в каж-
дой точке градиент давления и опре-
деляется распределение подвижности
Х,у Далее х,у фиксируется и прово-
дятся итерации методом верхней ре-
лаксации до достижения заданной
малой величины (10~2) в уточнении
значений давления, после чего уточ-
няется структурный множитель % и
снова проводится итерация. Вслед-
ствие структурных свойств процесс
итерации берется двойным. При сет-
ке 8x8 для сходимости поля давления
требуется 50 — 70 итераций, после-
дующее уточнение происходит за 2—4
итерации.
(8.46)
Рис. 8.3. Разностная сетка для эле-
мента симметрии пятиточечной сис-
темы заводнения
161
ft 313
При составлении программы оказалась удобной процедура, вычис-
ляющая гидропроводности и присваивающая их переменным HL, Нр,
HV, HN, НН, используя которые, уравнение (8.44) можно написать
в виде
HL	+HP*Pi + lii + HN *pi h + HV*p. A1 =HH*Pjj, (8A7)
где знаки'(x) и (*) — обозначают программные операции.
При проведении итераций левая часть вычисляется по имеющимся
значениям и присваивается переменной pz, затем определяется поправка
к давлению
dPij =pz/ [НН) - p.j	(8.48)
и при этом запоминается максимальная по абсолютной величине поправ-
ка’. Новое значение давления определяется по формуле
= р.. + 1,8dp..	(8.49)
и закладывается в последующие расчеты (метод Зейделя).
Введение специальной процедуры позволило легко реализовать гранич-
ны условия равенства нулю нормальной производной давления. Уравне-
ние (8.47) записывается и для граничных узлов, продолжив симметрич-
ным образом через границу картину течения, за исключением соседних
со скважинами точек (1,0) ; (0,1) ; (п* — 1, л ); (л*, л^ — 1) и самих
скважин.
Для соседних со скважиной точек применили три различных варианта
моделирования логарифмического профиля давления в окрестности сква-
жины. Примем в пределах одной ячейки сетки, примыкающей к скважине,
профиль давления логарифмическим:
р = рн - aOInfr /г с), г = Jx2 + у2 < х/2~Дх,
р =рэ + 0 Q ln(r Jr с),	(8.50)
г j = V (а — х) 2 + (й — у) 2 < \J1 Lx.
Выпишем эти соотношения для узлов сетки (1,0), (0,1), (1,1) и
(л — 1, л ), (л , л — 1), (л — 1, л — 1).
х _ уху	х у
Получится шесть уравнении для определения пяти неизвестных вели-
чин. В последних точках (1,1) и (п — 1, л —1) потребуем выполнения
соотношений лишь для разности давлений. Тогда будем иметь
Р1|О=Ро = Рн - aQln(Lx/rJ, p{Q =P(s-l =Рэ+/Ю1п(Дх/гс), (8.51)
Р, . ~ р	= р —р — (« +/3) О1п(л/2”Дх/г ).
1,1 клх-1 , пу - 1 н *3	v	с
Последнее уравнение служит для определения расхода, в первые два —
для определения давлений. Коэффициенты а и /3 обратно пропорциональ-
162
*0,0
и ллх пу‘ ,чи,иРь,е ииизначим соответственно
а= 1/(2тгхн), /3 = 1/(2яхэ).
Разрешив в явном виде, из (8.51) получаем:
Д О = О - Р — (п — п	)
г	*3 Wl,l fnx-i,ny-i1'
2ТГХНХЭ Дхр
О =--------------—------------- (8.52)
Хн +ХЭ 1п(72Дх//-с)
Y Д р I п (Д х/ г )
А Э 1	с
Р10 - Р0'1 - Р» х + Хэ Ш(^Дх/гс)
ХНД1Р 1п(Дх/гс)
Р"х-‘(° =	= рэ + Хн + Хэ 1П(^Д х/лс)
После итераций во всех внутренних точках давления в соседних со
скважинами точках вычисляются по этим формулам. Применение такого
метода ускоряет сходимость процесса итераций.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАСЫЩЕННОСТИ ДЛЯ
ПЯТИТОЧЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Уравнение для насыщенности (8.17) аппроксимируется явной разностной
схемой типа "уголок”
(8.53)
где F — доля воды в потоке, зависящая от насыщенности, температуры
и градиента давления. Массив F„ вычисляется на каждом временном слое
и хранится в памяти машины. Скорости u. у, v берутся в средних
между соседними узлами точках. Аппроксимация' (8.53) имеет первый
порядок точности и корректна лишь при и~> 0 и v > 0. На границах расс-
матриваемой области течения одна из компонент скорости равна нулю.
Программа предусматривает, что и = 0 при / = 0 и v = 0 при j = 0.
Разностная аппроксимация уравнения (8.53) следует методу характе-
ристик. Пусть имеем уравнение с постоянными коэффициентами
3s	3s	3s
----- + и--------+ v -------= 0.
3t	Эх	Эу
(8.54)
163
Решение этого уравнения — люоая дифференцируемая функция двух
переменных
s = Ф (t — х/и, t — y/v ).	(8.55)
Это значит, что в точке х, у будет то значением, которое за время
dt до этого находилось в точке (х — dx, у — dy}, где dx = udt, dy =vdt.
Следовательно, приращение функции будет равно s (х — dx, у — dy) —
s (х, у). Примем s (х — dx, у — dy) за значение функции на новом времен-
ном слое Г + dt и вычислим его приближенное значение линейной интер-
поляцией значений s в трех точках (/,/), (/ —1,/), (/,/—1).
Тогда получим
s.	. — s..	S. •	— S .
I - 1./	Н	1,1 -1 и
s.. = s. + ------------udt + -------------vdt,	(8.56)
"	"	Д х	Ди
что по существу совпадает с (8.53). Такая интерполяция пригодна, когда
точка (х — dx, у — dy) не выходит за треугольник (/ — 1,/), (/,/ — 1),
т.е. при выполнении условия
udt/i^x + ис/Т/Ду< 1,	(8.57)
которое соответствует области устойчивости разностной схемы (8.56).
Аналогичное условие должно быть выполнено для устойчивости
разностной схемы (8.53). Приближенно его можно записать в виде
и	V
(—— + ------) dt < т/max F'(s).
Д х	Д у	в
(8.58)
Скорости велики возле скважины. В случае квадратной сетки доста-
точно потребовать, чтобы
т Д х
dt <.	(8.59)
(uo,o + vo,o)max FB (s)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР ДЛЯ ПЯТИТОЧЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Значения температур на следующем временном слоем вычисляются
по явной разностной схеме типа "уголок" для уравнения (8.29)
164
+ vF
с
i.i- i
X*
— 62Г.
Дх2 "
(8. 60)
где Т.. — температура на следующем временном слое; с — теплоемкость
пластовой системы; /3 — постоянная, X — ее теплопроводность, 62 Т —
вторые разности. Их можно считать по формулам
с = с s + с (1 - s), X = X s + X (1 — з),
*	1	2	*12
/3 = (2/Н}>ДЕ7^
(8.6.1)
где с , X — объемная теплоемкость и теплопроводность заводненного
пласта, а с2, Х2 — нефтенасы щенного.
Уравнение (8.60) можно записать с безразмерными коэффициентами,
введя обозначения
0r = 2^Xct/TT/(cBH), fc = Fb + (сн/св) (1 - Fb) ,
р =Х Дг/(с Дх2), а= 1/(с /с + /3 ),
* в	« в I
(8.62)
<л/ = с/. _ 1 У (Д t/Д х), v v = v . . _ j (Д t/Д х).
С учетом изложенной теории проведен цикл расчетов.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
При расчетах приняты следующие параметры: m = 0,22; Г = 65 °C; s2 =
= 0,8 + 0,002 (Т — Т );	=0,2 + 0,001 (Г— TQ); объемные теплоемкос-
ти воды, нефти, горной породы, водонасыщенного пласта и нефтенасы-
щенного пласта соответственно 4,2; 1,9; 3,2; 2,73 и 1,95 Дж/(см3-К);
коэффициенты теплопроводности воды, нефти, горной породы, водонасы-
щенного пласта и нефтенасыщенного пласта соответственно 0,675; 0,145;
1,09; 2,79 и 1,16 Вт/(м-К); р = 46,7/ (Т+ 15,7), Рн = (52 + 1,187) /(Т-
25); кд = (s - sfl)3/(1 - sj3, к* = (s2 - з) 2'2/(з2 - sj2'2, причем
sQ = 0,2, так что относительная проницаемость воды не зависит от темпе-
ратуры. Проницаемость пласта, его толщины, перепад давления и темпе-
ратура нагнетаемой воды варьируются.
Рассмотрены три примера по вытеснению в элементе симметрии пяти-
точечной системы заводнения для пласта 400 мх400 м толщиной 20 м
при давлении нагнетания 16 МПа и забойном давлении в добывающей
скважине 12 МПа. Проницаемость пласта —0,6 мкм2, шаг сетки Дх= 50 м,
Gq(Tq) = 0,46 кПа/м. В первом примере нефть вытеснялась холодной
165
Таблица 8.2
Вытеснение нефти холодной и горячей водой при пятиточечной
системе скважин, к = 0,6 мкм2
Время, годы	Холодная вода Т — 20°С				Время, годы	Горячая вода Г = 100°C			
	Нефте- отдача, %	Обвод- нен- ность, %	Дисба- ланс, %	Закач- ка во- ды, %		Нефте- отдача, %	Обвод- нен- ность, %	Дисба- ланс, %	Закач- ка во- ды, %
0,75	5,4	0	- 0,0	4,4	0,67	5,3	0	-0,1	4,2
1,24	9,0	0	-0,1	7,1	1,21	10,4	0	-0,3	8,0
2,16	15,5	0	- 0,3	12,2	2,16	20,2	0	-0,5	15,6
3,89	27,3	0	- 0,4	21,4	3,84	38,5	0	-0,8	29,9
5,56	38,3	0	-0,7	30,0	4,75	46,3	4	0,3	37,4
6,74	44,1	0,2	0,2	36,7	5,51	48,2	46	1,4	42,0
7,74	45,9	44,9	1,2	39,7	6,51	50,2	56	3,0	49,1
9,44	47,9	60,4	2,8	47,3	8,98	53,2	79	5,6	67,6
12,0	49,9	81,6	4,5	59,0	10,0	54,2	83,4	6,3	75,8
15,77	51,8	86,7	6,0	77,7	15,5	58,0	91,5	9,0	126,6
25,7	54,8	94,0	8,3	131,5	10,0	60,2	93,7	10,0	.163,0
28,94	55,4	95,0	8,8	148,8	22,4	61,9	95,0	10,7	200,0
Таблица 8.3
Узлы Насыщенность в соответствующих узлах сетки при нагнетании
сетки	горячей воды с температурой 100°С, обводненность 95 %
8	0,400	0,453	0,561	0,584	0,598	0,611	0,626	0,641	0,644
	0,346	0,369	0,441	0,515	0,554	0,584	0,612	0,637	0,644
7	0,517	0,610	0,640	0,651	0,658	0,663	0,667	0,668	0,641
	0,499	0,515	0,596	0,640	0,660	0,672	0,680	0,682	0,637
6	0,677	0,676	0,677	0,677	0,676	0,675	0,672	0,667	0,626
	0,579	0,602	0,660	0,681	0,688	0,691	0,690	0,680	0,612
5	0,740	0,725	0,714	0,704	0,694	0,684	0,675	0,663	0,611
	0,633	0,650	0,676	0,694	0,702	0,699	0,691	0,672	0,584
4	0,781	0,763	0,747	0,730	0,712	0,694	0,676	0,658	0,598
	0,666	0,671	0,681	0,694	0,701	0,702	0,688	0,660	0,554
3	0,811	0,794	0,775	0,754	0,730	0,704	0,677	0,651	0,584
	0,681	0,684	0,688	0,692	0,694	0,694	0,681	0,640	0,515
166
Продолжение табл. 8.3
Узлы сетки	Насыщенность в соответствующих узлах сетки при нагнетании горячей воды с температурой 100 °C, обводенность 95 %								
2	0,836	0,818	0,799	0,775	0,747	0,714	0,677	0,640	0,561
	0,684	0,690	0,691	0,688	0,684	0,676	0,660	0,598	0,441
1	0,854	0,838	0,818	0,794	0,763	0,725	0,676	0,610	0,453
	0,678	0,687	0,590	0,689	0,671	0,650	0,602	0,515	0,369
0	0,870	0,854	0,836	0,811	0,781	0,740	0,677	0,517	0,400
	0,710	0,678	0,684	0,681	0,666	0,633	0,579	0,499	0,346
у/X	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Примечание. В числителе дроби приведена насыщенность при нагнетании горя-
чей воды температурой 100 °C, в знаменателе — холодной воды температурой 20 °C.
Таблица 8.4
Узлы сетки	Температура в соответствующих узлах сетки при нагнетании холодной воды температурой 20 °C, обводненность 95 %								
8	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0
7	64,7	64,6	64,6	64,7	64,8	64,8	64,8	64,9	65,0
6	62,0	62,2	62,5	63,1	63,7	64,2	64,5	64,8	65,0
5	54,0	55,4	57,2	59,5	61,5	63,1	64,2	64,8	65,0
4	42,4	45,3	49,3	53,8	58,1	61,5	63,7	64,7	65,0
3	32,1	35,8	40,8	47,1	53,8	59,5	63,1	64,6	65,0
2	25,3	28,9	33,9	40,8	49,3	57,2	62,4	64,6	65,0
1	21,6	24,4	28,9	35,8	45,3	55,4	62,2	64,6	65,0
0	20,0	21,6	25,3	32,1	42,4	54,0	62,0	64,7	65,0
у/х	0	1	2	3	4	5	6	7	8
20 °C и горячей 100 °C водой, учитываются структурные свойства, из-за
которых в угловых зонах нефть плохо вымывается. В третьем примере
нефть вытеснялась холодной водой, но ее структурные свойства не учиты-
вались. К моменту обводненности 95 % нефтеотдача при заводнении хо-
лодной водой 20 °C и начальном градиенте составила 55,4 %; при завод-
Рис. 8.4. Кривые вытеснения холод-
ной водой 20 °C (7) и горячей во-
дой 150 °C (2) при заданном
перепаде давления на один и тот
же момент времени
Рис. 8.5. Кривые вытесне-
ния холодной водой 20 аС
(7) и горячей водой 100 ° С
(2) при заданном перепаде
давления на один и тот же
момент времени
Кривая (3) — вытеснение
холодной водой без учета
начального градиента
нении горячей водой 100 °C — 61,8%. Без начального градиента закачка
холодной воды в однородный пласт не привела к заметным потерям неф-
ти, был снижен лишь темп разработки. Ниже в табл. 8.2 приведены основ-
ные показатели вытеснения, в табл. 8.3 — 8.4 — насыщенности и темпера-
туры для каждого узла разностной сетки 8x8 к моменту обводненности
95 %. Из данных таблиц хорошо видно влияние температуры и структур-
ных свойств. Для угловых ячеек насыщенность при вытеснении холодной
водой составила 0,346, горячей водой — 0,400. При нагнетании горячей
воды темп разработки месторождения ускоряется.
Для определения влияния проницаемости и толщины пласта на темпе-
ратурное поле и вытеснение был рассчитан вариант: проницаемость
0,1 мкм2, толщина 5 м. Уменьшение толщины пласта повышает теплооб-
мен с кровлей и подошвой, что соответствующим образом влияет и на
нефтеотдачу.
Уменьшение проницаемости ведет к увеличению Gq. При TQ = 65 °C
Gq составил 1,12 кПа/м, это ухудшило вымыв нефти в тупиковых зонах
пласта и обусловило снижение нефтеотдачи.
К моменту обводнения 95 % нефтеотдача при вытеснении холодной
водой составила 53,3 %, горячей водой — 59,6 %. На один и тот же момент
времени (при обводненности более 90 %) различие в нефтеотдаче — около
8 %. На рис. 8.4 приведены зависимости нефтеотдачи г? от времени t для
обоих случаев, в табл. 8.5 — 8.6 дано распределение насыщенностей и тем-
пературы к моменту обводнения 95 %. Влияние градиента давления на
нефтеотдачу отражено на рис. 8.5.
НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПЛОЩАДНЫЕ СИСТЕМЫ РАЗРАБОТКИ.
АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ЭЛЕМЕНТА СИММЕТРИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОЩАДНОЙ СИСТЕМЫ
В силу различных причин и условий размещение нагнетательных и добы-
вающих скважин на структурах часто бывает нерегулярным, бессистем-
ным. Расчеты таких систем связаны со значительными трудностями.
168
Таблица 8.5
Узлы сетки	Насыщенность в соответствующих узлах сетки при нагнетании холодной воды температурой 20 °C, к — 0,1 мкм2, обводнен-								
	ность 95 %, Н					— 5м			
8	0,342	0,354	0,374	0,446	0,516	0,564	0,603	0,633	0,644
7	0,492	0,499	0,518	0,593	0,637	0,660	0,674	0,679	0,633
6	0,560	0,566	0,598	0,653	0,667	0,675	0,678	0,674	0,603
5	0,611	0,613	0,652	0,674	0,678	0,678	0,675	0,660	0,564
4	0,655	0,659	0,684	0,689	0,685	0,678	0,667	0,637	0,516
3	0,688	0,688	0,697	0,699	0,689	0,674	0,653	0,593	0,446
2	0,703	0,702	0,701	0,697	0,684	0,652	0,598	0,518	0,374
1	0,694	0,703	0,702	0,688	0,659	0,613	0,566	0,499	0,354
0	0,710	0,694	0,703	0,688	0,655	0,61	0,560	0,492	0,342
у/х	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Таблица 8.6
Узлы сетки	Температура в соответствующих узлах сетки при нагнетании холодной воды температурой 20 °C, к =0,1 мкм\ обвод-								
	ненность 95 %				Н =5 м				
8	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0
	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0
7	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0
	65,2	65,2	65,2	65,1	65,1	65,1	65,0	65,0	65,0
6	64,8	64,9	64,9	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0	65,0
	66,8	66,2	65,8	65,5	65,3	65,2	65,1	65,0	65,0
5	64,1	64,4	64,6	64,8	64,9	64,9	65,0	65,0	65,0
	72,4	69,6	67,8	66,7	65,9	65,5	65,2	65,1	65,0
4	61,6	62,7	63,6	64,3	64,7	64,9	65,0	65,0	65,0
	83,6	76,8	72,1	69,0	67,0	65,9	65,3	65,1	65,0
3	55,2	58,7	61,4	63,2	64,3	64,8	64,9	65,0	65,0
	100,5	88,5	79,5	73,1	69,0	66,7	65,5	65,1	65,0
2	43,8	51,4	57,4	61,4	63,6	64,6	64,9	65,0	65,0
	120,5	104,4	90,3	79,5	72,1	67,8	65,8	65,2	65,0
1	30,0	41,2	51,4	58,7	62,7	64,4	64,9	65,0	65,0
	138,7	122,2	100,4	88,5	76,8	69,6	66,2	65,2	65,0
0	20,0	30,0	43,8	55,2	61,6	64,1	643	65,0	65,0
	150,0	138,7	120,5	100,5	83,6	72,4	66,8	65,2	65,0
у/х	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Примечание. В числителе дроби приведена температура при нагнетании холодной
воды температурой 20 °C, в знаменателе — горнчей воды температурой 150 °C.
169
Инженерные методы расчета для нерегулярных систем, основанные на
аппроксимации полей течения трубками тока в произвольных треуголь-
ных областях, покрывающих общее поле фильтрации при внутрипласто-
вом горении, рассматривались Р.Е. Теслюком.
Будем применять методы расчета с использованием конечно-разност-
ных сеточных уравнений.
Определение давления в общем случае произвольного расположения
нагнетательных и добывающих скважин сводится к решению специаль-
ной системы уравнений типа:
Bj kpi, к—i + Djkpj-i,k + EjkPjk +FikPj+l, к +HjkPj, k+l = Pjk 	(8. 63)
Коэффициенты В, D, E, F, H зависят от абсолютной проницаемости
и подвижности пластовой жидкости, правая часть выражения связана
с наличием или отсутствием скважины в данной ячейке (/, разност-
ной сетки (первый индекс / соответствует координате х, второй —
координате J). Если в ячейку не попала скважина, то q = 0. Если в ячей-
ке располагается нагнетательная скважина, можно принять q > 0, тогда
для добывающей скважины q < 0.
Будем считать заданными забойные давления. Тогда в правой части
(8.63) будут величины, связанные с поддерживаемыми на забоях давле-
ниями. Их можно выписать, руководствуясь разностной аппроксимацией
(8.19).
Область, в которой отыскивается решение, — достаточно большая пря-
моугольная область автономной разработки, поэтому ее границы можно
считать "непроницаемыми". Этому условию удовлетворяет большинство
площадных систем заводнения, в них можно выделить прямоугольный
элемент самостоятельной разработки. Условие отсутствия перетока жид-
кости через границы будем аппроксимировать зеркальным отражением
значений давлений и гидропроводностей, а разностные уравнения (8.63)
будем записывать и для граничных точек (например, при у = ^Pj_x ~
= Pj г В. о = 0 коэффициент Н. в разностных уравнениях удваивается).
В матричном виде уравнение (8.63) имеет пятидиагональный вид
Мр — q.	(8-64>
По главной диагонали матрицы М будут расположены элементы Еу к,
ниже и выше главной диагонали — элементы D. к и F. к соответственно,
на (/' + 1) -й позиции от главной диагонали влево и вправо расположатся
элементы В. . и Н. .. Порядок системы линейных уравнений составляет
п= (/ + 1) (Г+1).'
Решение больших систем линейных уравнений стандартными методами
невозможно, так как приводит к хранению больших массивов ненужных
нулевых элементов и переполнению памяти ЭВМ. Применение итерацион-
ных методов (метода верхней релаксации) для двумерных областей обус-
ловливает значительные потери машинного времени и зачастую делает
невозможным решение больших задач вытеснения. Целесообразно для
такого рода задач применение методов, сочетающих преимущества итера-
170
ционных методов (экономия памяти) и метода факторизации (экономия
времени). Один из таких итерационных методов, основанный на прибли-
женной факторизации, предложен Г. Стоуном.
Разложим приближенно матрицу М на две трехдиагональные, одна
из которых нижняя, другая — верхняя, т.е. М = L V. В матрице L все эле-
менты выше главной диагонали равны нулю, отличны от нуля элементы
по главной и ниже главной диагонали, а также на (J + 1) -й позиции ниже
главной диагонали. В матрице V все элементы по главной диагонали
равны единице, отличны от нуля элементы выше главной диагонали и на
(J + 1) -й позиции выше главной диагонали.
Элементы этих матриц, отличные от нуля, обозначены:
и )к' /, /-1 jk t,t — J /к' и ' и, +1 tk' I, I+J jk '
Рис. 8.6. Типы матриц:
a - M, b — M; b — L; г - V
171
a
6
Рис. 8.7. Шаблоны разностных сеток матриц:
а - М; б - М
индексы j, к соответствуют нумерации узлов сетки.
Однако произведение матриц j, к дает семидиагональную матрицу
М вместо пятидиагональной матрицы М. В матрице/И отличными от нуля
будут, кроме главной диагонали и примыкающих к ней двух диагоналей,
еще по две диагонали, отстоящие от главной на J и (J +1) позиции.
На рис. 8.6 изображены матрицы М, М = М + N, а также трехдиагональ-
ные матрицы L и U. На рис. 8.7^ показаны шаблоны разностной сетки,
соответствующие матрицам М и М.	~
Непосредственное приравнивание матриц М и М невозможно для
пяти неизвестных массивов b, с, d, е, f, так как получаются семь систем
уравнений. Если выписать разностное уравнение типа (8.63), соответст-
вующее матрице М, то соответствующий шаблон окажется симиточечным,
добавляются две новые точки (/ — 1, /г + 1) и (/ + 1, /с — 1) с коэффи-
циентами, которые обозначим соответственно G и С. Разностное уравне-
ние (8.63) аппроксимировало исходное уравнение для давления с точ-
ностью до членов второго порядка 0 (Дх2 + Ду2). Введем в (8.63) новые
точки с коэффициентами G и С так, чтобы порядок аппроксимации
уравнения сохранился, т.е. чтобы добавочные члены имели второй поря-
док.
Заметим,что
Р ,	= Р- , + р ,	— р., + 0 (Дх2 + Ду2),
н/ -1, к+ j * / - 1, к	к +1 Hjk '	г ''
(8.65)
= Р/.^к + Ppk-i-Pjk +0(Д*2 + Ди2)-
Обозначим буквой а параметр, отличающийся от единицы на величину
порядка Дх2 +Ду2, и заменим (8.63) новым разностным уравнением
В., р ,	+ D.,p.	, + Е .р., + F.,p.	, + Н .р. ,	+
jk'j.k-i jkH/-\, к 1к*]к ikHi+i,k jkHi,k+\
+ Cjk [р/+1 к_у - a(pj+i k + Pj k_t -Pjk)] + Сд[рЛ| k+i -
~a(Pi,k^ + Pi -!.k~ pik^ = Pjk-	(8-66>
172
в последнем уравнении члены с о у к и о у к оудет малыми, иривидп
здесь подобные члены и приравнивая матрицу (8.66) к произведению
LU, получим систему
ь., = В., -аС.., С., = D - aG..,
jk jk jk' /к jk	jk '
d+ b., f. ,	+ C. /.	. = E., + aG., + ctC-.,
jk jk j, k-1	1к1-1,к jk /к /*	(867)
dj-ь— F l. ~ oC-t, d-.f.. = H..- aG,,
/к jk jk	jk' jk jk jk	jk'
b.J. .	— C-. , C-.f.	. = G.. ,
jk 1, k-\	jk ’ jk j- 1, к jk
Последние два уравнения служат для определения произвольно вве-
денных коэффициентов С. к и G.k, из первых пяти уравнений элементы
матриц/, и Uопределяются последовательно:
С.. =b.J. . , G-. = С.. f. .
jk /к j, k-l' jk jk j-i,k'
bik = Bik' (1 + a'i к J' Cik = Dik/(A+ afi-l Л ‘
/Л	JK	J, K— 1	J К	J К	j — 11 Л.
d. , — E ..	+ a C ,	+ a G., — b., f..	— C.,	/.	.,
jk jk jk jk jk j, k-i jk	j-\,k'	(8 68)
/•<. = (F.-aC..)/d.,, f.. = (H.. -bG..}d...
jk jk jk jk' jk	jk	jk jk
Для начала процесса счета по этим формулам нужно принять во внима-
ние следующие значения, получаемые из граничных условий:
bj0=C0k = Cj0=G0k=°- lJ,k = fj,k=Q-	(8-69)
Обратимся теперь к решению уравнения (8.64). Перепишем его в рав-
носильной форме
(M+N)p = {M+N)p - {Мр- q)	(8.70)
и организуем итерационный процесс
{М + /V) 5	= Rn, = ff*1 - рп, Rn =q-Mpn.	(8.71)
Полученная система уравнений легко решается из-за разложимости
матрицы М + Л/ = LU:
L (I/ 6да!) = Rn, US'*' =iz.	(8.72)
Имеем в развернутом виде систему, соответствующую матрице L,
b .V. .	+ С., V. . + d.. V.. =R-.,.	(8.73)
jk j, к - i jk j- i, к jk jk jk'
173
откуда
v jk = (Rik ~ b,kvj, k-i~ Cjkvj-i,k}/djk 
(8.74)
к =0, 1. К.	j =0, 1.J .
Для определения итерационной поправки 8.. выпишем систему, соот-
ветствующую матрице U:
5.. + /.. 5.	. + f., & ,	— v., ,
Ik jk j+i, к /к j, k+i jk
(8.75)
откуда 5 -к определяется обратной прогонкой по к и j.
Важную роль играет правильный подбор итерационного параметра а
[20]. Рекомендуется иметь набор итерационных параметров а. . Сначала
вычисляется атах по формуле
2Дх2
2Д у2
a = 1 — min
max
(1 +^Д?/(* Д/)| (1 ихДх2/(^Ди2))
(8.76)
(в нашем случае 1 — Дх2), а затем используются т значений а, вычисляе-
мых по формулам
< -о.,......,8'77’
Нами эти параметры были использованы для т = 9 по 2 раза каждый
в последовательности
%’ “s' «2' аГ ««'«!' V “3' “о-
Отыскание давлений в прямоугольной области по уравнению (8.63)
оформлено в виде процедуры ALFA. Обращение к ней имеет вид:
ALFA (ю<, ку, О, eps, р, Р, dx, dy, J, К, Met, п max ),
где к х, ку — процедуры функции с двумя формальными параметрами
(х, у) , вычисляющие значения гидропроводностей по осям; Q— функция
с двумя форм параметрам и (х, у), соответствующая правой части урав-
нения для давления.
Эх	Эх ду v Эи
eps — итерационная точность; р— массив давлений размерности; Р— про-
цедура с формальным Е параметром, являющимся двумерным массивом,
она может изменить отдельные элементы массива Е; dx, dy — шаги сетки;
174
J, К — число разбиений области по осям х, у; мет — метка оператора, на
которую передается управление после максимально допустимого числа
итераций "п max", если итерационная точность не достигнута.
Идентификатору процедуры ALFA присваивается число итераций,
при котором достигается точность "eps”.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАСЫЩЕННОСТЕЙ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ СКВАЖИН
Распределение насыщенности по пласту вычисляется по разностной ап-
проксимации уравнения сохранения массы воды
т — + —- (uF ) + — (vF ) = 0,	(8.79)
В	в
Эг Эх	ду
представленной в дивергентном виде. Здесь и, v — компоненты суммар-
ной скорости фаз, — доля воды в потоке с учетом аномальных свойств
нефти.
Ниже мы даем предпочтение явной разностной схеме первого порядка
точности типа "уголок". Хотя эта схема условно устойчива и временной
шаг не может быть большим, она удобнее неявной схемы простотой
реализации. На решение уравнения для насыщенности в неявных схемах
тратятся значительные машинные ресурсы. Требуется как минимум 3—4
итерации, что равносильно увеличению времени вычисления насыщенно-
стей во столько же раз.
Разностные уравнения для насыщенностей, аппроксимирующие (8.79)
можно выписать, пользуясь условиями баланса воды для каждой ячейки
сетки, соответствующей узлу: рост водонасыщенности происходит за счет
поступления и оттока из ячейки воды по звеньям, соединяющим данный
узел с соседними. Схема должна быть ориентирована против потока, иначе
счет будет неустойчивым.
Для обычного узла сетки, если течение направлено слева направо и
снизу вверх, разностная аппроксимация, обладающая свойством консер-
вативности схемы, будет иметь вид
и. / .F.. — и ./ -F
И II	/+1/2,; //	/-1/2,7 /-1,7
m --------- + ----------------------------- +
Дг	Д х
и. . I F — v. .	/ F . .
+	/, /+1/2 //	/, /- i/г /, /-1 Q	(8.80)
Д у
где — насыщенность ячейки (/, /) на следующем временном слое, F —
доля воды в той же ячейке с учетом аномальных свойств нефти; дробные
индексы при скоростях означают, что значения скоростей берутся между
175
Рис. 8.8. Возможные направления фильт-
рационного потока возле узла
нмеиками, ни ьисдимнющим уллы
сетки координатным звеньям, а
значения добыли воды соответст-
вуют тем ячейкам, по которым
перемещается фильтрационный
поток.
Так, для течений слева напра-
во в окрестности узла (/, /) несу-
щими значениями доли воды бу-
дут F.	. (для притока в
ячейку) и' F. . (для оттока из
ячейки). Если бы течение было
направлено справа налево, то несу-
щими значениями доли воды были
бы F/+1 . (для притока в ячей-
ку) и F'.. (для оттока из ячейки).
С учетом направления потока пи-
шутся индексы доли воды и при
вертикальной составляющей скорости. Как изображено на рис. 8.8, будем
иметь 16 всевозможных случаев различных направления потока и соот-
ветствующих им разностных схем.
Выпишем разностный аналог (8.79) для случая, когда узел сетки
является добывающей скважиной. При этом рост насыщенности в ячейке
(/, /) происходит за счет притока воды от всех соседних узлов. Отток
жидкости происходит в скважину, дебит который обозначим qcK- Поль-
зуясь условием материального баланса, получаем
Дг	Дх
/ F. .	— v.  I F. .	q F..
/ ,/ + 1/2 i, /+1 /z /-1 /2 /,/-1	ск и
----------------------------------= 	
Ду-------------ДхДу
(8.81)
Смысл написанного условия баланса становится очевидным, если
учесть, что в рассматриваемом случае Ц;+1/2 j < 0, v. j+1/2 <0, qck <0.
Дебит скважины определяем по фиктивному давлению в узле скважине
р(у, которое соответствует расстоянию от скважины 0,2 шага сетки:
= 27Г\7
In (0,2 Дх/г )
(8.82)
Таким же образом можно выписать разностный аналог и для узла,
в который попала нагнетательная скважина. Но теперь несущими значе-
ниями доли воды в потоке будут Fа в правой части при q , поскольку
.4	с к
нагнетается лишь водная фаза, долю воды следует уже принять равной
единице.
176
Возникает важный для организации вычислений вопрос: как написать
разностную схему, ориентированную против потока, для всех случаев?
Как объединить все частные случаи в один общий случай?
При составлении программ авторами был использован следующий
простой прием. Были введены четыре вспомогательных индекса, которые
принимают значения либо 0, либо 1. В программах они обозначены парны-
ми буквами /7, ip, jf, jv, вторые в паре буквы обозначают —левый, правый
нижний, верхний. Значения индексов определяют направление потока.
Определялись эти индексы по формулам:
/7 = 1, если р._ (  > дщ, иначе 0;
ip~ У, если р. > риначе 0;
(8.83)
jv = 1, если р. > о , иначе 0;
.	/, /+1 и
jn = 1, если р. ._ i > p.j, иначе 0.
Для ускорения счета были отведены рабочие ячейки для значений дав-
лений в узловой точке (/', /) и четырех соседних точках.
С введением индексов по формулам (8.83) разностную аппроксима-
цию (8.79) в общем случае можно представить в виде
s. . — s 	и. / .F. . . и. / - F . . •
/у /у +	'+* 1/2, У >+ip, У /- I /2 , / / - //, У
Д t	Дх
v.. f F ...	— v. .	/ F . .	q
/у+1/2 /, y+yu /,/-1/2 /, у - ул	ск
Д у	ДхД/
(8.84)
Здесь правая часть отлична от нуля лишь для тех узлов, куда попали
скважины, причем для нагнетательной скважины F = 1, а для добываю-
щей F = F...
Разностная схема (8.84), как уже было отмечено, условно устойчива.
Условие устойчивости будет близко к условию Куранта
Дг < т/ [тах(щ./Дх + v ../i3y}F'.. (s)J.	(8.85)
Так как наибольшие скорости достигаются в скважинах (как правило,
нагнетательных), это условие авторами записывается с учетом максималь-
ного значения дебита скважины:
Дг ~ (2/т) ДхДу) / (max q F'.. (s)) .
ск /у
i, i
(8.86)
При проведении расчетов на ЭВМ рекомендуется в правой части припи-
сывать эмпирический множитель, который подбирается так, чтобы обеспе-
чить заведомую устойчивость разностной схемы (8.84).
177
<г 373
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР ПЛАСТА ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ СКВАЖИН
Для тонкого однородного по толщине пласта распределение температур
будем вычислять разностной аппроксимацией уравнения (8.30). Введем
зависящую от времени теплоемкость пласта, учитывающую прогревание
пласта и окружающих горных пород.
cz = с* + 2y/\ct/ (h х/тг), Fc ~cBFB + сн (1 - FJ.	(8.87)
Тогда уравнение переноса тепла примет вид
0	0	01 /хТ
--- (с Т ) + ----(F иТ) + ------ (F v Т) + — V ----- Т =
0г * 0х С	0у С	h tit
0	0Т	0 0Т
— ---- (X -----) + ---(X -----),
0Х	0Х	Ьу	* Ьу
(8.88)
где Т— превышение температуры над начальным ее значением Т .
Кондуктивными членами в правой части (8.88) можно пренебречь.
Скорость движения изотерм в несколько раз меньше скорости движения
изосат, поэтому явная разностная аппроксимация схемой первого порядка
"уголок" не наложит дополнительных ограничений на условие устойчи-
вости. Слагаемое в левой части (8.88) следует аппроксимировать неяв-
ным образом, при малых h это слагаемое может привести к неустойчивос-
ти счета.
Схема "уголок" берется ориентированный против потока; для насы-
щенности, причем, берутся несущие значения температуры и функции
F . Для обычного узла сетки, где нет скважины, разностная схема имеет
вид
С2^ij	С if j]	U i+\ /j, /	i+ip, j U i~ I /2, /	) i~ H, j +
Д t	Дх
iz. . /(FT).. . - v. .	, (F T ).
+	!, /+J/2 C /, / + /IZ /,/-1/2 C
(8.89)
где кондуктивные члены отброшены; знак А означает, что температура
берется на следующем временном слое t + At; значения индексов /7, ip,
jn, jv были приведены выше.
Для узлов, в которых расположены скважины, в правой части надо
написать члены, соответствующие потоку количества тепла в скважину
или из скважины.
178
,цлп диио» dohj щси ttxoa/nyinoi jiui uicn ъицс^/т\к11 t с и I crvn icpa i у py
в узле, а для нагнетательной — лишь температуру нагнетаемой воды,
Fс = 1. Для обоих случаев в правой части (8.89) соответственно сле-
дует писать qck (FТ) ../ (ДхДу) и QCK TJ (ДхДу), причем дебит отрица-
телен для добывающей скважины, положителен для нагнетательной и вы-
числяется по формуле (8.82).
Можно в (8.89) учесть также и кондуктивные члены с помощью
явной разностной аппроксимации. Когда шаги Дх и Ду берутся довольно
большими (20 — 50 м), условие устойчивости явных схем для уравнения
теплопроводности необременительно.
Для пластовых условий а 2 порядка 30 — 50 м2/год, а координатный
шаг обычно более 10 м. Условие устойчивости разностной схемы для
уравнения теплопроводности a2 At/A>? < 1/2 выполняется для времен-
ных шагов менее одного года.
Отбрасывание кондуктивных членов в правой части разностной
схемы (8.89) продиктовано и некоторыми другими соображениями.
Явная разностная аппроксимация "уголок" для уравнения переноса
обладает аппроксимационной или схемной вязкостью. С точностью до чле-
нов второго порядка разностное уравнение (8.90) аппроксимирует урав-
нение
Эу? Э^ Э^	Э2у?
---- + U -— + V — = ц	——-----2ц ---------- +
Э г Эх Эу хх Эх2	ху ЭхЭу
где члены в правой части можно интерпретировать как кондуктивную теп-
лопроводность. Коэффициенты цху, цуу называются коэффициента-
ми "счетной вязкости", а в уравнении теплопереноса — коэффициентами
"счетной температуропроводности". Разложив выражение (8.90) в ряд
Тейлора, получим
ц = 0,5(/(Дх — UAt) ;
XX
2iixy = UV At, цуу = 0,51/(Ду — VAt).
(8.92)
Коэффициенты ц**, Ц*у, цуу могут намного превосходить отброшен-
ное авторами X /с . Например, при скорости фильтрации 30 м/год и шагах
порядка 20 м скорость температурного фронта около 50 м/год и произве-
дение 0,5С/Дх будет ~ 500 м2/год, а кондуктивная температуропровод-
ность пласта составляет около 50 м2/год. Подбором шага At так, чтобы
за один временной шаг изотерма проходила один координатный шаг, в
одномерном случае можно значительно снизить искусственно вносимую
179
"счетную температуропроводность", но для многомерного уравнения
теплопереноса такой подбор невозможен. Коэффициенты Р-хх, ц
меняются от одного узла сетки к другому, так как U и V являются пере-
менными величинами даже для стационарных течений. Нелинейность урав-
нений вносить также некоторую свою лепту в "схемную вязкость". Неред-
ко искусственно вносимая счетная температуропроводность намного
превышает фактические физические значения и учитывать члены в правой
части уравнения (8.88) не имеет смысла.
Условие устойчивости явной разностной схемы "уголок" (8.90)
для двумерного уравнения переноса совпадаете условием положительной
определенности квадратичной формы, соответствующей искусственно
вносимой кондуктивной теплопроводности в правой части (8.91),
Е =ii х2 — 2 д ху + д у1.	(8.93)
2 XX	ХУ * УУ
Потребовав, чтобы дискриминант квадратичной формы д2*^ -
был отрицателен, и используя (8.92), имеем условие устойчивости
((//Дх + У/Д/)Дг < 1,	<8-94)
которое намного слабее условия устойчивости разностной схемы для на-
сыщенности (8.85).
ПОКАЗАТЕЛИ ВЫТЕСНЕНИЯ
Вычислить нефтеотдачу для каждого момента времени надежнее всего по
значениям насыщенностей в каждом узле разностной сетки. Поскольку
разностная схема имела первый порядок точности, нефтеотдачу разумно
считать по формуле прямоугольников, имеющей первый порядок точнос-
ти. В методе ячеек используют средние по ячейке значения насыщенности,
так что произведение водонасыщенности на площадь ячейки ДхД/ дает
количество воды, содержащейся в данной ячейке. Суммируя по всем ячей-
кам, имеем общее количество воды в пласте. Если это количество поде-
лить на площадь прямоугольного пласта ab и вычесть погребенную водо-
насыщенность sQ, то получим удельный объем вытесненной нефти. Отно-
шение последнего к удельным геологическим запасам (1 — sq) дает
значение нефтеотдачи
1	ДхДи
т? = ------ (----— Zaijs - s ] ,	(8.95)
1	,	а b /, /	'/	°
о
где отличны от единицы лишь для граничных и угловых ячеек прямо-
угольного пласта. Для граничных узлов а.. = 0,5, а для угловых узлов сет-
ки а.. = 0,25. Коэффициенты а., показывают долю площади ячейки, распо-
ложенной в рассматриваемом элементе симметрии пласта.
Вычисления нефтеотдачи по насыщенности точнее, нежели вычисления
180
по дебитам скважин, так как при заданных забойных давлениях дебиты
вычисляются по эмпирическим формулам типа (8.82) с погрешностью
порядка 1 — 2 %.
Объем закачанной и добытой жидкости определяют суммированием
по дебитам скважин, после прорыва воды в скважину считаются и объемы
добытой воды. Для вычисления дебитов ( на 1 м толщины) скважин при
квадратной разностной сетке используется формула
QCK = 2яхск (рск “ Рп * /|п(0-2 с) -	(8'96)
где р^ — давление в узле разностной сетки, соответствующей скважине,
Рск — давление на забое, а гидропроводность х берется для добывающей
и нагнетательной скважины в виде хск = X (s-j, ТУ), хс = x(s2. 7"в)- До
прорыва воды при вычислении дебита добывающей скважины разность
давлений уменьшается еще на значение 0,2 Gfl Дх, где Gq — начальный
градиент.
Аналогично (8.96) можно выписать и для прямоугольной разностной
сетки, когда Дх Ду. Аналог формулы Дюпюи для случая, когда внеш-
ний контур является эллипсом с полуосями а и Р, имеет вид (П.Я. Ко-
чина)
О = 2тгх (р - р ) /InfirVa 2 - b2/(2г К\[к )),
кек	с *
К'/К = (2/тт) In [ (а + Ь) / (а — Ь] ],	(8.97)
7Г/2
к = S - -•
° V 1 — sin 2
Обводненность определяется долей воды в ячейке (/,/), соответствую-
щей этой скважине. Дебиты каждой из фаз qg = QCKpв ls,j, T.j), qg =
= QcK — qg. Объемы закачанной воды, добытой воды и добытой нефти
накапливаются в процессе счета суммированием во времени как по сква-
жинам, так и по пласту в целом:
Q = S q Дг, Q = S q Дт, Q = S q Дг.
за	за	н	в	в
Погрешности вычислений контролируются не только по крайним
значениям насыщенностей и температур, но и с использованием инфор-
мации о монотонности ожидаемого решения. За погрешность принимает-
ся дисбаланс в нефтеотдаче, подсчитанной по насыщенностям (8.95)
и по добытому объему нефти, выражаемый в %:
D = (1 - Оп/ [ (1 - s0)mabq]] 100.
Дисбаланс меняется во времени — до обводнения скважин он мал,
после обводнения растет, достигая нескольких процентов.
181
Чтобы обеспечить более высокую точность, необходимо температур-
ное поле считать более точно, так как усреднение температур в пределах
одной ячейки оказалось слишком грубым приближением для пластовых
условий. Желательно также иметь более точные формулы для расчета
дебитов скважин. Без полного учета особенностей течения в окрестнос-
ти скважин достичь высокой степени точности за счет измельчения раз-
ностной сетки затруднительно.
Ниже приводится программа процедуры ALFA, предназначенная для
отыскания давления в прямоугольной области согласно уравнению (7.1).
procedure ALFA (КХ, KY, Q, eps, Т, Р, dx, dy, J, К, М, птах);
procedure КХ, KY, Q, Р; label М;
real eps, dx, dy;
integer J, K, nmax; array T;
Blokl:
begin
real alfa, kx, ky, almax, xy, yx, BO, DO, qO, C, G, R, max;
integer i, j, k, n, Kn, Kk;
array al [0:8] , b, В [1 : К, О : J] , f, H [О : К - 1, 0: J] ,
c, D [О: K, 1 : J] , e, F [О : К, 0 : J - 1 ] , E, q, d, V, dT [0 : К, 0: J] ;
procedure min;
begin real a, a 1;
a: = 2/((1 + kyxxyxxy/kx)xJxK);
al:= 27((1 + kxxyxxyx/ky)x JxK);
min: = if a <al then a else al end max;
Bibop alfa:
xy: = dx/dy; yx: = dy/dx;
begin almax: 0;
for k: = 0 step 1 until К do
for j: = 0 step 1 until J do
begin kx : = KX (jxdx, kxdy);
ky: = KY(jxdx, kxdy);
almax : = almax + min end j, k;
almax := almax/((J + 1) x (K +1))end NE 5;
for j: = 0, 3, 6 do for i: = 0, 1, 2 do al [ j + i] : = — almax T((8 — j-r 3 — 3xi)/8);
for k: =0 step 1 until К do
for j: = 0 step 1 until J do begin if k = 0 then
В [k, j] : = - KY (ixdx. (k - 1/2)xdy)xxy;
ifj = 0 then D [k, j] = — KX((j — 1/2)xdx, kxdy);
xyx; if k = К then H [k, j] :=—KY (jxdx, (k + 1/2)xdy)xxy;
if j = J then F [k, j] : =	— KX((j + 1/2)xdx, kxdyjxyx;
E [k, j] : = — ((if k = К	then H [k, j] else В [k,	j]	) + (if	k = 0
then В [k, j] else H [k, j]	) + (if j = 0 then D [k,	j]	else
F [k, j] ) + (if j = J then	F [k, j] else D [k, j] ))
end kj;
for j: =0 step 1 until J do
begin В [K, j] =2xB[K, j] ;
182
Н [0, j] : = 2хН [о, j] end j;
for к: = 0 step 1 intil К do begin
D [k, J] = 2xD [k, J] ;
F [k, 0] = 2xF (k, 0] end k;
’or к : — 0 step 1 until К do
’cr j: = step 1 until J do
[k, i] : = Q(jxdx, kx dy);
Nach ITER:
n ' = 0;
P<E);
Kn: = 0: Кк: = K; i: 1;
HERO;
alfa: = al(n — n: 18x 18) -E2;
for к: = 0 step 1 until К do
f  j: = 0 step 1 intil J do
begin
if к = 0 then b [k, j] : = if j = J
then В [к, j] /(1 alfaxe [k - 1, j] (else В [к, j] ;
if i = 0 then c [k, j] : = if к = К then
D [k, j] /(1 + alfaxf [k, j — 1] (else D [k, j] ;
C: = if к = oVj = J then О else
alfaxb [k, j] xe [k — 1, j] ;
G : = if j = OVk = К then О else
alfaxe [k, j] x f [k, j — 1] ;
d [k, j] : - E [k, j] + C + G— (if к = 0 then b [k, j] x
f [k — 1, j] else O) - (if j = 0 then c [k,j] xe [k, j — 1] ehse 0);
:f j = J then
e [k, j] : = (F [k, j] - C)/d [k, j] ;
if к = К then
f [k, j] : = (H [k, j] - G)/d [k, j] end bed;
ITER 1:
max = 0;
format! ?- 1,234 123	1,234, 123 lJlj- 1,234, n 123 uju- 1,234, 123Э);
io	io	io	io
for k: = Kn step in until Kk do
for j: = о step 1 until J do
beginR : = q [k, j] — (if к = 0 then В	[к, j] x T [к -	1,	j]	else
0)— (if j = 0 then D [k, j] x T [k, j —	1] else 0) —
(if j = J then F [k, j] x T [k, j + 1 ] else O) —
E [k, j] x T [k, j] — (if к = К then H	[k, j] xT [k + 1,	j]	else O);
V [k, j] : = (R — (if к = 0 then b [k, j]	x V [k — 1, j]
else O) — (if j = 0 then c [k, j] x V [k, j — 1] else 0))/ d [k, j] ;
end CHETV;
CHETdT:
for к = Kk step — i until Kn do
for j = J step — 1 until О do
begin
dT [k, j] : = V [k, j] - (if j = J then
183
е [к, j] х dT [к, j 1] else О) —
(if к = К then f [к, ]] x dT [к + 1, j] else O);
T [k, j] : = T [k, j] +dT[k, j] ;
if abs (dT [k, j] ) > max then
max: = abs (dT [k, j] ) end CHETdT;
n: = n +1;
if max <eps then begin ALFA:=n;
goto Conjee end eps;
if n > nmax then goto M;
if key (7) then begin setoutput (0);
print ( "p5, T [0, 0] , T [0, 1] ) end;
if key (8) then begin format ( *12345u-n-? ); setoutput (O);
print ( ?n =’ , n); setoutpot (1); end;
if n = n 4- 2x2 then
goto ITERO;
goto ITER1;
Conjee : end ALFA;
Г лава 9
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ВЫТЕСНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ
ПЛОЩАДНЫХ СИСТЕМ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТОВ.
МЕТОД КОМБИНИРОВАННЫХ СЕТОК 'СКАТ”
ЭЛЕМЕНТ СИММЕТРИИ ПЛОЩАДНОЙ СИСТЕМЫ
Площадные системы характеризуются тем, что в них можно выделить
параллелограмм периодов такой, что общая картина течения получается
его повторениями по направлениям сторон.
Для многих известных систем площадного заводнения можно выде-
лить прямоугольный элемент симметрии. На рис. 9.1 (а, б, в) приведены
такие прямоугольные элементы симметрии для пятиточечной и трех-
рядной (один ряд нагнетательных и три ряда добывающих скважин)
систем, которые занимают часть параллелограмма периодов. Иногда
прямоугольный элемент симметрии удается получить лишь за счет объе-
динения нескольких косоугольных элементов симметрии. Например, на
рис. 9.1, г изображен прямоугольный элемент для семиточечной системы,
состоящий из шести треугольных элементов симметрии. При проведе-
нии расчетов на ЭВМ удобнее пользоваться прямоугольным элементом
симметрии.
Будем считать, что течение происходит в прямоугольном элементе,
границы которого — линии тока. Число нагнетательных и добывающих
скважин в этом элементе может быть произвольным, но скважины распо-
лагаются в узлах разностной сетки. На основную разностную сетку будем
184
Рис. 9.1. Элемент симметрии систем:
а — пятиточечной; б — девятиточечной; в — трехрядной; г — семиточечной
накладывать ограничения: ее будем брать квадратной и достаточно мел-
кой, так чтобы между соседними скважинами располагался хотя бы один
узел сетки.
При разностной аппроксимации задачи учет симметрии сводится к
отражению узлов сетки относительно границ и присваиванию отраже-
ниям узлов сетки зеркальных значений. Для скважин, расположенных на
границах, после отражений будем учитывать полный дебит скважины, для
элемента симметрии — половину значения дебита.
РАЗНОСТНЫЕ СЕТКИ
При расчете методом конечных разностей обычно пользуются прямоуголь-
ными сетками — равномерными или неравномерными. Прямоугольные
сетки удобны тем, что для них первые и вторые производные естествен-
ным образом заменяются отношениями разностей; вопросы определения
погрешностей при такой замене достаточно хорошо изучены. Неравномер-
ные прямоугольные сетки употребляются при наличии особенностей
решения (например, скважины). Чтобы уменьшить погрешность, обуслов-
ленную особенностями решения, разностную сетку берут более мелкой
вблизи особенности. Но при этом общее число узлов возрастает. Если
вдоль координаты число узлов удваивается, то по площади это число
возрастает в 4 раза (в трехмерном случае увеличение числа узлов в 8 раз).
Сгущение неравномерных сеток получается и вдали от особенности.
185
Рис. 9.2. Виды разностных сеток:
а — неравномерная; б — комбинированная
Рис. 9.3. Построение комбинированной разностной сетки:
а — наложение полярной сетки на прямоугольную возле особенности (скважины);
б — выделение радиальных зон вокруг нагнетательной скважины; в — комбиниро-
ванная сетка для пятиточечной системы
Для фильтрационных задач, содержащих изолированные особенности
типа скважин, представляется целесообразным использование комбини-
рованных сеток: на основную равномерную и прямоугольную сетку
накладывается возле особенности вторая более мелкая (равномерная
и прямоугольная, неравномерная, радиальная или др.) сетка.
186
На рис. 9.2 и рис. 9.3 изображены такие комбинированные сетки для
учета одной особенности, расположенной в начале координат. Комбини-
рованные сетки позволяют детализировать картину течения вблизи осо-
бенности, не увеличивая намного число узлов. Удвоение числа шагов по
координатам для комбинированной сетки приводит лишь к удвоению
общего числа узлов сетки и для многомерных задач. Но по сравнению
с неравномерной сеткой здесь приходится вводить по два массива иско-
мых величин: один для основной сетки, второй — для наложенной.
Вопросы, связанные с применением комбинированных сеток, в литера-
туре почти не рассматривались.
Для проведения гидродинамических расчетов по неизотермическому
вытеснению применяется специальным образом подобранная комбиниро-
ванная сетка "СКАТ" (сетка комбинированная Алишаева — Теслюка):
квадратная для основной площади; радиально-кольцевая для призабой-
ной зоны нагнетательных скважин (до восьми ближайших узлов квадрат-
ной сетки); секториальная-треугольная для призабойной зоны добы-
вающих скважин. На рис. 9.1, в приведена такая комбинированная сетка
для элемента пятиточечной системы заводнения. Для проведения гидро-
динамических расчетов проектирования разработки нефтяных месторож-
дений в сложных условиях наиболее перспективны комбинированные
разностные сетки "СКАТ".
РАДИАЛЬНО-КОЛЬЦЕВАЯ СЕТКА ВОЗЛЕ
НАГНЕТАТЕЛЬНЫХ СКВАЖИН
При крупном шаге (30 — 50 м) детали вытеснения в призабойной зоне,
если не накладывать второй более мелкой сетки, пропадают.
Усреднение в пределах ячейки, соответствующей нагнетательной или
добывающей скважине, приводит к качественному искажению картины
вытеснения. Например, при шаге сетки 50 м в пределах ее ячейки
(примерно в радиусе 25 м) будет вводиться одна средняя температура,
фронт тепла мгновенно, в самом начале процесса вытеснения, будет пере-
мещен на 25 м, ячейка в целом будет постепенно снижать температуру
пластовой воды до температуры нагнетаемой. При таком усреднении
фронт тепла выходит вперед, а истинная температура в слоях искажается
усреднением. В этом случае отключение низкопроницаемых пропластков,
например, из-за охлаждения нефти может остаться незамеченным.
Для более точного описания вытеснения в зоне вокруг нагнетательной
скважины до ближайших узлов сетки в пределах самой ячейки и четырех
соседних ячеек накладывается кольцевая сетка, состоящая из шести кон-
центрических колец с радиусами г . = 0,25 /' Дх. При / =0 принимается
г Q = /? т.е. радиусу скважины. Й пределах этих шести колец Л < г <
< 1,5Дх течение принимается осесимметричным.
В пределах каждого кольца г f < г < 1,5г вводится одно среднее
значение насыщенности s и среднее значение температуры Т. . На рис.
9,3, б показано взаимное расположение колец и пяти ячеек сетки: цент-
187
ральная ячейка соответствует нагнетательной скважине, остальные четыре
являются соседними. Шестое кольцо касается внутренним образом сторон
каждой из четырех соседних ячеек.
Насыщенность и температуру ячеек, соответствующих нагнетательной
и соседним с нею скважинам, можно вычислить по их значениям в кольце-
вых зонах. Из рис. 9.3, б видно, что насыщенность ячейки (/, /), в кото-
рой расположена нагнетательная скважина, можно найти по формуле
s.y= [яг Js( + тг(г2 - rps2 +тт(г20 - r2}s3]/^x2.	(9.1)
Для равномерно кольцевой сетки г . = 0,25 / Дх получаем
s = 0,196 s! + 0,589s2 + 0,215 s^	(9.2)
Аналогичные соображения применимы и к определению средних
значений насыщенностей соседних с (/, /') ячеек. Из-за громоздкости мы
опускаем выкладки и приводим лишь конечный результат:
=	=	=^Л1 =0,190s3 + 0,266s4 + 0,266ss+	(9.3)
0,278s .
в
Эти же коэффициенты сохраняются и при вычислении средних значе-
ний температур по ячейкам. Однако здесь множителем будет еще удель-
ная объемная теплоемкость каждой кольцевой зоны с. , зависящая от
насыщенности s.. Для центральной ячейки с нагнетательной скважиной
0,196с 7" + 0,589с Г +	0,215с 7"
J- —	11	2 2___________3 3	(9.4)
ij
0,196с! + 0,589с2 + 0,215сз
Для неоднородного по площади пласта, когда проницаемости ячейки
(/, /) и соседних с нею ячеек различны, кольцевая зона разбивается еще на
четыре сектора, ориентированных по узлам сетки. Но для однородного
пласта предположение радиальности течения возле нагнетательной скважи-
ны оправдывается с достаточной для практики точностью.
РАЗБИЕНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ДОБЫВАЮЩИХ СКВАЖИН
Усреднение насыщенности в пределах ячейки, в которой расположена
добывающая скважина, приводит к погрешностям в подсчете обводнен-
ности. Поля насыщенностей и температур вблизи добывающей скважины
зависят от полярного угла. Прорыв воды происходит прежде всего по
главной линии тока, затем зона прорыва постепенно расширяется, занимая
все более широкий сектор вокруг главной линии тока. Поэтому здесь
важно выбрать полярную сетку, разбив окрестность скважины на возмож-
но большее число секторов. Таких секторов может быть 4 или 8 по числу
соседних со скважиной узлов. На рис. 9.4 показаны оба случая разбиения
и для каждого сектора несущие значения насыщенности указаны стрел-
ками.
188
Рис. 9.4. Схема разбиения ячейки, в которой расположена добывающая скважина, на
сектора:
а - 4; 5-8
По четырем значениям насыщенности в секторах определяется сред-
нее арифметическое значение насыщенности центральной ячейки. Для
усреднения температур берут коэффициенты, равные объемным удель-
ным теплоемкостям секторов. При вычислении обводненности скважины
также усредняются доли воды четырех секторов с коэффициентами,
равными дебитам каждого из секторов,
Fij= {Fl^+F2C>2+F3^3+F^^/{Cll +С>2 +<?3 +^4>-	(9'5)
При разбиении на 8 секторов усреднение величин выполняется с уче-
том площади и угла раствора каждого из секторов. Все четыре сектора,
направленные по координатным линиям, имеют угол раствора 2arc tg 0,5.
Для диагональных секторов угол раствора составляет тг/2 — 2arc 1g 0,5.
Площади секторов все одинаковы и равны восьмой части площади ячей-
ки Дх2.
МОДЕЛЬ МНОГОСЛОЙНОГО ПЛАСТА
Предполагается, что пласт состоит из слоев различной проницаемости.
Их число может быть произвольным. Слои гидродинамически изолиро-
ваны, но термически контактируют. Пористость и связанная водонасы-
щенность слоев в общем случае различны, между слоями могут
находиться глинистые перемычки, в каждом из слоев вытеснение идет
автономно. Распределение давлений и насыщенностей в слоях различно,
но температуры во всех слоях по сечению всего пласта считаются одина-
ковыми.
Основанием для предположения о выравнивании температур по сече-
нию пласта послужили проведенные авторами расчеты температурного
поля многослойных пластов. При толщине слоев до 2 — 3 м и общей
толщине до 10 м разница температур слоев составляла не более 3 °C.
189
i—t-i^pyion oamnan причина, jati Аьлнгищси llpHHHlb yKdddHHUC ПрбД"
положение. При рассмотрении температуры, каждого из слоев условие
устойчивости явной разностной схемы для температур становится очень
жестким, ибо шаг по вертикали, равный толщине слоя, слишком мал по
сравнению с шагом разностной сетки по простиранию пласта. Поэтому
условие теплообмена между слоями приходится записывать в неявной
форме, а это приводит к необходимости (для каждого узла сетки) реше-
ния системы уравнений для определения температуры слоев. При боль-
шом числе слоев их температуры приходится хранить в различных зонах
внешней памяти ЭВМ, что приводит к значительным потерям машинного
времени.
Усреднение температуры по всей толщине пласта рационально,
при этом вместо трехмерной задачи решаются несколько (равное числу
слоев) плоских задач для определения давлений и насыщенностей в слоях
и одна плоская задача для определения средних по толщине пласта значе-
ний температур.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕБИТОВ СКВАЖИН ПО СЛОЯМ
Пласт считается сложенным из слоев различной проницаемости и толщи-
ны h v, Ъ = 1, 2, . . ., п . Между слоями могут находиться глинистые пере-
мычки, увеличивающие общую толщину пласта Н по сравнению с эффек-
тивной толщиной Н '
Н =lhl)=h +h +...+/? .	<9-6>
Э	12	П
V	г
Выразим дебит по каждому слою, отнесенный к единице толщины
этого слоя, через разность давлений на забое скважины и в ближайших
узлах разностной сетки.
Для нагнетательной скважины будем учитывать влияние распределе-
ния насыщенности и температуры по средним их значениям в кольцевых
зонах, а также возрастающее влияние аномальных свойств при снижении
температуры. Слой отключается и расход по нему qv = 0, если из-за охлаж-
дения начальный градиент давления сдвига так увеличивается, что теряе-
мый на преодоление структурных свойств перепад давления становится
больше перепада давления между забоем скважины и соседними узлами
разностной сетки. Если же скачок насыщенности успел пройти кольце-
вую зону Я С г < V2Ax, то в дальнейшем возможность отключения
слоя не учитывается (отключение будет лишь частичным в определен-
ном секторе).
Слой закупоривается и qv = 0, если перед фронтом вытеснения тем-
пература становится меньше температуры застывания нефти. Как пра-
вило, происходит закупорка низкопроницаемого слоя, а не его отклю-
чение из-за роста начального градиента сдвига.
В кольцевой зоне возле нагнетательной скважины суммарную ско-
рость фильтрующихся фаз представим в виде
190
q	%	% Op	Uo
----— = — k(-------+ ------?)-----, 5=1--------.	(9.7)
Ив	Эг	G
Здесь и далее индекс v, указывающий номер слоя, опускаем. Для
градиента давления из (9.7) получаем
Эр Q кк	к к
н	в н	in а\
-------= [ —+-----------<?]/(£(------+ -----)).	(9-8)
Эг 2ТТГ Мн	Рв	А1н
Г1роинтегрируем_это равенство от г = R до диагональных соседних узло-
вых точек г = \j'2i±x\
х/ГДх	х/2Дх
q	к к	dr
р -р = ------------ J (—- +—- 5) -1 -------+ J (1 — F}Gdr. (9-9>
ск ^уз 2-пк R} Дн А»н ' д	о
с	с
Второй интеграл — часть перепада давления, теряемая из-за наличия
структурных свойств. Функция F — доля воды в потоке, когда структур-
ные свойства не учитываются. Перед скачком насыщенности F = 0, а за
скачком близка к 1. Второй интеграл можно считать по приближенной
формуле
х/Гд*	х/7дх
Др =J (l-F)Gdr * f G dr,	(9.Ю)
ГПО J	о	J о '
которая и была заложена нами в программу. Положения скачков насы-
щенности г считаются на каждом временном шаге для выяснения воз-
можной закупорки слоя и для более точного расчета вблизи нагнетатель-
ной скважины в условиях изменяющейся температуры.
Формула (9.9) позволяет явно выразить дебит скважины на единицу
толщины слоя
4= [Рна- Д^по - °-25Ч,1 + '’-ip +РД,-1 + Р-1,-1)]/Яна	(9J1>
Здесь давление в диагональном узле сетки заменено средним арифме-
тическим четырех значений давлений; нагнетательная скважина располо-
жена в начале координат.
Общее фильтрационное сопротивление в зоне нагнетательной сква-
жины
1 \/2Дх к к	dr
/?	= — J (—+ — £)-1 -------------------
27Гк R U	U	г
С в	h
(9.12)
191
вычисляется по средним значениям насыщенностей и температур концент-
рических колец
(9.13)
Для равномерной сетки концентрических колец в нашем случае сопро-
тивление вычислялось по формуле
Вычисление потерянного перепада давления проводится заменой интеграла
суммой, а значения начального градиента считаются по средним темпера-
турам кольцевых зон. В отличие от формулы (9.14) нижний индекс
суммирования теперь уже является переменным.
Для добывающей скважины, окрестность которой разбита на четыре
сектора, дебит найдется суммированием расходов жидкости по каждому
сектору
о = — (р — р — ^р ) /R ;
^се	уз ск гпо се
х/ГДх
Дрпо = f (1-F)Go<yr;	(9.15)
к к
X =	).
Если окрестность разбита на кольцевые зоны, то интегралы заменяют-
ся суммами. Вблизи добывающих скважин температура и насыщенности
меняются плавно и их значения в секторах можно принять за постоянные,
а потерянный перепад можно не учитывать
2	Дх
Ясе ~ <~)Хсё |П Д^по ~ °'	(9.16)
с
В случае разбиения окрестности добывающей скважины на 8 секторов
в формулах (9.16) следует вместо я/2 написать соответствующий угол
сектора 2arctg 0,5 или угол, дополняющий до прямого.
БАЛАНСОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЯЧЕЕК СЕТКИ
При дискретизации уравнения для насыщенности удобно пользоваться
методом ячеек. К каждому узлу (/, /) разностной сетки привязываем
часть плоскости:
х — Дх/2< х < х. + Дх/2,
/ /
у. — ^у/2^ у у. + Ду/2 ,	(9.17)
/ = 0, 1... п , j = 0, 1, . . ., п ,
• х ‘	'у'
которую называем ячейкой, и для каждой ячейки разностной сетки пишем
балансовые отношения сохранения массы.
Введем давления р v в узлах сетки в каждом слое с номером v, средние
ч	v	с
по площади ячейки насыщенности по каждому слою и общую для всех
слоев среднюю по площади ячейки температуру Т... Введем также суммар-
ные скорости фаз между ячейками о + ( 2  и и + 1 . Скорости опреде-
лены лишь между ячейками, и для них Принимаются разностные аппрок-
симации:
*/ + 1/2,/Ч+1/2 "	(9.18)
X(s,T) =k[kB[s, T)/pB(T) +kjs, Т)/цн[Т)]^к, T, G).	(9.19)
Вычисления организуются с сохранением в памяти ЭВМ двух масси-
вов относительных гидропроводностей в промежуточных между ячейками
точках по обеим координатным линиям. При нахождении гидропровод-
ностей используются средние арифметические значения насыщенностей,
температур и давлений соседних ячеек.
Например, значения \. + ]/2 . считались по следующим формулам:
s zs, + ih,j =0,5(Si. + S. + i .),
G ~	pii)/dx2)+ ((p. }+) - p. )._i)/(2dy))2] ,
после чего использовалась аналитическая зависимость (9.19). При вычис-
лении структурного множителя во избежание вырождения задачи было
исключено его обращение в нуль. Например, доля воды в потоке F =
= кд/(кд +	 Мо = Fg/P-g при значении погребенной водонасыщен-
ности и f = 0 представляет собой неопределенность типа 0:0. Ее можно
избежать, если заменить застойные зоны нефти зонами весьма медленных
течений, например, считать эти зоны со стократно уменьшенной относи-
тельной проницаемостью.
/7-373
193
Многократно и успешно для вычисления структурного множителя
авторами была использована следующая алгольная процедура:
real procedure AGn (k, T, G);
real k, T, G;
begin real GO;
GO: = 0,5/sqrt(k)xexp(5,0 — 0,1 xT);
AGn: = if G + GO <10 — 3 then 1,0 else
if G < 1,01 xGO then 0,01 else
1 — GO/G end AGn.
Здесь к — абсолютная проницаемость, мкм2; Т — абсолютная темпе-
ратура, К; G — модуль градиента давления, Gq — начальный градиент сдви-
га, равнй 0,1 МПа/м.
К этой процедуре обращается и процедура вычисления доли воды
в потоке, которая составлена по формуле (7.5), но с формальным вход-
ным параметром — модулем скорости вместо модуля градиента давления:
real procedure Fv(s, T, w, k);
value s, T, w, k; real s, T, w, k;
begin real kn, kv, Mn, Mv, kM, wne, GO, G;
kn: = kno (s, T); kv: = : = kvo(s, T);
Mn: =Mne(T); Mv: = Mvo (T);
kM: = k x (kv/Mv + kn/Mn);
GO: = 0,5/sqrt (k)xexp(5.0 — 0.1 xT);
wne: = kxknxGO/Mn;
GO:= (w + wne)/Mn;
Fv: = kv/(kv + kn x My/Mn x AGn(k, T, G);
end FV.
Метод ячеек состоит в том, что балансовые соотношения сохранения
масс воды и нефти пишутся отдельно для каждой ячейки и по каждому
слою. Также для каждой ячейки, но для всех слоев сразу пишутся балан-
совые соотношения сохранения общего количества тепла (когда темпера-
турное поле не предвычисляется по формуле Поверье). Во всех балансе
вых соотношениях используются явные аппроксимации. Удобно введение
массивов приращений насыщенностей за время Дг, массивов объемных
теплоемкостей на старом и новом временном слое, массивов доли воды
в каждой ячейке и двух массивов гидропроводностей по координатным
направлениям.
Приведем балансовые соотношения для суммарного объема фаз. Для
узла (/, /), когда соседние узлы не являются скважинами, условие ба
ланса
- и,,/+1/2)Дх =0- <9-21)
При Дх = Ду, используя формулы (9.18), имеем для определения дав
ления в обычной узле
х/ +11г, i р i+i /2, j +	1 /2,)pi- 1,1/+1 / 2Pi, i*i Х', /- 11гР'1,1-1
- Чт1/2,/+ Х/-1/2.У + Х/,7+1/2 + Xi,i-l/2]Pii =0'	0.22)
194
Когда же по соседству с узлом (/,/') окажется скважина, то в (9.21)
соответствующее слагаемое следует заменить на расход по сектору сква-
жины, примыкающей к ячейке. Например, если в узел (/, / + 1) попадает
добывающая скважина, то вместо (9.21) следует писать
(и.	/ — и. / •) Ду + и. / Дх — [ <7 I ~ 0.	(9.23)
I -1/2,1	1+1/2,/	1,1-42	се
Для добывающей скважины q выражается через разность давлений
по формуле (9.15). Общая структура разностных уравнений для давления
сохраняется такой же, как в (9.22), но гидропроводность заменяется на
величину, обратную сопротивлению фильтрации в секторе.
В правой части (9.22) появляется слагаемое, учитывающее структур-
ные свойства нефти. Вместо (9.22) будет
+ i /2, i P/+i, i + X/- i /2, j Pi- 1, j +	/ +1 /2 Р/, /+1 + \, j- 112 &i, i-1
^/+1/2,/ + ^/-1/2,/ + ^/',/+1/2 + i, i - 1 /2 h3 ij	(9.24)
^/,/ + 1/2	^^ce' Pi, i+i Рек
Структура разностных уравнений для давлений не сохраняется, когда
по соседству с узлом (/, /) оказывается нагнетательная скважина. По
формуле (9.11) рассчитывается дебит скважины через диагонально распо-
ложенные узлы. Сохранить структуру уравнений для давлений можно
при условии, что дебит скважины вычисляется по четырем кольцевым
зонам, окружающим скважину. В этом случае несколько сужается область
возможных отключений слоев — потерянный перепад давления из-за ано-
мальных свойств будет учитываться лишь в зоне г < Дх, а не до г = \/2Дх.
Если дебиты считаются по формуле (9.11), то структура разностных
уравнений не выдерживается. Поэтому для определения давлений в узлах
сетки применялся метод простой итерации с поточечной релаксацией и
коэффициентом 1,8. Вместе с давлениями итерируются и значения дебитов
нагнетательных скважин. Структурный множитель £ фиксируется при дос-
тижении удовлетворительной сходимости давлений во всех точках, затем
он пересчитывается и снова начинается итерация давлений и дебитов.
Процесс итераций для отыскания давлений двойной. Расчеты показали,
что по множителю % достаточны 2—3 итерации. Уточнение давлений про-
должается до тех пор, пока относительная погрешность не станет меньшей
10-5, так как метод простой итерации сходится медленно. Основное
машинное время уходит на нахождение поля давлений.
Расчеты вытеснения показали, что слои с нефтями типа узеньских при
холодном заводнении, как правило, закупориваются из-за застывания
нефти, а не отключаются. Поэтому следует дебиты нагнетательных сква-
жин определять по четырем кольцевым зонам, сохраняя однородную
структуру разностных давлений. Это позволяет применить быстро сходя-
щиеся процедуры для вычисления давлений.
195
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАСЫЩЕННОСТЕЙ В КОЛЬЦЕВЫХ ЗОНАХ
ВОЗЛЕ НАГНЕТАТЕЛЬНЫХ СКВАЖИН
Насыщенности в кольцевых зонах считаются по явной разностной схеме
с выделением фронта вытеснения. В первые моменты времени разностная
схема применяется лишь за фронтом вытеснения, насыщенность на скачке
и скорость его перемещения определяются по точному аналитическому
решению. После того как скачок насыщенности по данному слою выходит
за кольцевую область (г > 1,5Дх), насыщенность на фронте вытеснения
и в направлении его перемещения не определяется.
Для вычисления насыщенности на фронте вытеснения и скорости
его перемещения составлена процедура, которая многократно применя-
лась авторами. Она отыскивает насыщенность на скачке из условия, что
дробь (Лв (5) —	(sQ))/(s — sQ) принимает наибольшее значение на
скачке. Здесь Fg (s) — доля воды в потоке, зависящая от насыщенности,
температуры, проницаемости слоя и от аномальных свойств. Входными
параметрами процедуры, определяющей скачок насыщенности, являются
температура в точке, проницаемость слоя и суммарная скорость фаз.
Выходные параметры — это насыщенность на скачке и производная по
насыщенности от доли воды на скачке. Процедура использует глобальные
переменные (погребенную и максимальную водонасыщенности каждого
слоя, пластовую температуру) и глобальную процедуру, вычисляющую
долю воды в потоке. Ниже приводится эта процедура:
procedure skatchok (Т, w, k, sck, dFds);
value T, w, k; real T, w, k, dFds;
real sck;
begin real s, ss, ds, Fs, FSS, RR, ssO, ss2;
ds: = s2 — sO+ 0,002x(T — Tp1); s: = sO;
RR: = Fv(sO, T, w, k);
del: ds : = 0,1 x ds;
s: = sO + ds;
FS: = (Fv(s, T, w, k) - RR)/(s - sO);
shag: ss: = s + ds;
FSS: = (Fv(ss, T, w, k) - RR)/(ss - sO);
if ss > s2 + 0,002(T — Tp1)then
begin if ds <	— 3then goto vichodelse
begin s: = s — ds; goto delend end:
if FSS > FSthen
begin FS: = FSS; s: ss; goto shagend;
if ds >10 - 3 then begin s: = s - ds; goto delend;
vichod: sck = (s + ss)/2;
dFds: = (Fv(sck, T, w, k) — RR)/(sck — sO)
end skatchok.
Процедура "скачок" используется для решения различных задач и
всегда дает надежный результат. Формальные параметры sck и dFds
служат для сохранения насыщенности и производной доли воды на скачке.
196
В кольцевой зоне нагнетательной скважины обращение к этой процедуре
записывалось в виде
if rf < 1,5 х dx th en
(9.25)
skatchok (Tf, qc/ (2 * pi » rf], kz, sf, pf,
где rf — положение скачка; Tf — температура на фронте вытеснения;
qc — дебит нагнетательной скважины; кг — абсолютная проницаемость
слоя; pi — число тг.
Новое положение фронта вытеснения по истечении времени опреде-
ляется условным оператором
if rf < 1,5 xdx then	(9.26)
rf : = sqrt (rf t 2 + qc x dt x pf I (pixmz)) ,
который соответствует формуле для точного решения задачи изотермиче-
ского вытеснения, mz — пористость пропластка.
Уравнения для определения насыщенности в каждом кольце г .	<
< г < г . , где прошел фронт вытеснения, выписываем из условии мате-
риального баланса. Повышение водонасыщенности обусловлено потоком
воды в данное кольцо из предыдущего с насыщенностью s;. f и темпера-
турой Т _ ! и оттоком воды при s . и Т. :
7Г/П (г / - г Д ) ) As,. = QCK (F. _ , - F.) A t.	(9.27)
Решая относительно значения насыщенности на новом временном слое,
получаем
s'. = s. + [ (qCk (F. _ t - F. ) / (тг m (r 2 - r ,2_ f) ) ] A t.
Для каждой из нагнетательных скважин с номером п и для слоя iz вычис-
ление новых насыщенностей реализуют операторы
FL = 1,0; qc: = qcv [n, iz] ;
fori: = I step 1 until 6 do begin
FF: = Fv(sng [i, n, iz] , Tng [i, n] , qc/(2xpixr (i)), kz);
ds: = qcxdt/(pixmzx(r(i) t 2 — r(i — 1)t 2))x(FL — FF);
FLL: = FF;
sng [i, n, iz] : = sng [i, n, iz] + ds;
end cikla poi
Временной шаг выбирается из условия устойчивости разностной
схемы (9.28) (условие Куранта). Фронт вытеснения за один временной
шаг не должен проходить более одного координатного шага по наиболее
высокопроницаемому слою. Для надежности приписывался еще эмпири-
ческий множитель.
197
Для иллюстрации приведем температуры и насыщенности кольцевых
зон нагнетательной скважины пласта, сложенного из двух слоев с отноше-
нием проницаемостей 3:1, на временном слое толщиной 40 м:
/	 1		2	3	4	5	6
Т. . . . /	. . . 13,1	21,6	37,3	53,8	62,9	64,9
/ •	. . .	0,686	0,679	0,715	0,719	0,705	0,682
2 S		. .	0,565	0,608	0,663	0,653	0,616	0,515
Видно, что профиль насыщенности в обоих слоях носит немонотонный
характер вследствие влияния охлаждения. Максимальной водонасыщен-
ности на входе ($2 = 0,8) не достигается. Низкопроницаемый слой имеет
худшие показатели вытеснения, что обусловлено влиянием охлаждения
и аномальных свойств нефти.
Кольцевые зоны вокруг нагнетательных скважин занимают небольшую
долю всей площади элемента симметрии площадного заводнения. Однако
точный расчет здесь необходим для строгого учета возможного отключе-
ния или закупорки слоев.
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
НАСЫЩЕННОСТЕЙ ПО ЯЧЕЙКАМ
Для определения насыщенностей ячеек, удаленных от скважин, исполь-
зуется уравнение баланса воды, которое записывается в дивергентной
форме
3s а	а
т----+ ---- (uF ) + -— (vF ) =0,	(9.29)
Эх 8 Эу 8
где Fв — доля воды в потоке, зависящая от насыщенности, температуры
и суммарной скорости фаз. Ниже мы опустим индекс "в" при записи
разностных схем.
Согласно методу ячеек, заменим уравнение (9.29) его явным разност-
ным аналогом, ориентированным против потока
5.. - S .. и и	и /+1 Л, jF nip ,j	u i-\h ,jFi	- n j	1
т" д	1 Д г	Ax		T
v. . , ! F. .	— v. .	/ F . — /л
/,7+1/2 I.J + IV /,/-1/2	/•/
+ ------------------------------------------= о.
Ди
(9 30)
Индексы /7, ip, jv, jn здесь учитывают всевозможные случаи ориента-
ции фильтрационного потока. Значения их зависят от знаков скоростей
+1/2, /' ui- 1/2, /' vi, j + l/i  vi, / - i /2 ' которь,е  в свою очередь, опре-
198
деляются разностями давлений. Для этих индексов можно выписать прос-
тые арифметические выражения, использующие функцию
+ 1 если х > О,
О если х = О,
— 1, если х < 0.
(9.31)
Напоимер,левый индекс
/7 = 0,5 + 0,5 sign )(р ._ t - pj .	(9.32)
Для потока, ориентированного слева направо, /7 = 1, в противном слу-
чае Н — 0.
Отметим, что использование уравнения для насыщенности в виде
(9.29) объясняется тем, что скорость смеси меняется непрерывным обра-
зом, в то время как скорости составляющих фаз разрывны. Запись балан-
сового отношения в виде (9.30) переносит разрывы решений и их учет
на долю воды в потоке.
Явная схема (9.30) условно устойчива. Неустойчивость появляется
тогда, когда новое значение s .. можно интерпретировать как экстраполя-
цию уносимых потоком вдоль характеристик значений насыщенностей
s у, s/+1 ,si -+1, используемых в схеме "уголок". Если же sполучается
интерполяцией несущих значений насыщенностей, то разностная схема
устойчива.
Для изотермического вытеснения, когда аномальные свойства не учи-
тываются, интерполирование несущих значений обеспечивает условие
(|ц|/Дх + |и|/Ду)А'(х) Дг</77,
(9.33)
где Дх, Ду — координатные шаги разностной сетки. Потребовав выпол-
нения этого условия для всех узлов сетки, получаем для Дх = Ду условие
устойчивости разностной схемы
Дг < min т Дх/[(|г/| + | v |) F'(s) ].
(9.34)
Составляющие скорости будут иметь наибольшие значения в соседних
со скважинами ячейках. На границе ячейки, в которой расположена сква-
жина, сумма |и| + |/ | меняется от значения рс/ггДхдо значения
Заменив в (9.34) сумму скоростей, имеем для сетки (за исключением
скважины)
Дг < тг/л Д х2 / (\/2^max gcFc (s)).	(9.35)
Это условие используется для второго этапа вытеснения, когда вытес-
нение в кольцевой зоне нагнетательной скважины будет закончено. Вре-
менной шаг можно выбирать из более простого условия, не вычисляя
максимума производной по насыщенности доли воды в потоке для всех
узлов сетки, который при неизотермическом вытеснении аномальной
199
нефти зависит от температуры и скорости. Временной шаг определяется
по высокопроницаемому слою из равенства
Д г = аят Дх 2 (s2 - So )/max Qc,	(9.36)
а, подбираемый эмпирически, был принят равным 0,35.
В момент прорыва фронта вытеснения в добывающую скважину усло-
вие устойчивости может нарушаться, так как площади секторов здесь в
4 раза меньше площадей ячеек и скорости высоки. Неустойчивость наблю-
дается в виде немонотонных изменений насыщенности в секторах и обвод-
ненности скважин. Чтобы сохранить временной шаг по площади, его
уменьшают для добывающих скважин в 4 раза. Конечное изменение
насыщенностей секторов добывающих скважин получается в результате
четырех пересчетов при сохранении остальных параметров течения —
давлений, температур, гидропроводностей и скоростей.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАСЫЩЕННОСТЕЙ В СЕКТОРАХ РАЗНОСТНОЙ
СЕТКИ ОКОЛО ДОБЫВАЮЩИХ СКВАЖИН
Для более точного вычисления обводнения добывающих скважин ячейки
разностной сетки, в которых расположены нагнетательные скважины,
разбиваются на 4 (можно на 8) координатных сектора: левый, правый,
верхний и нижний. Для каждого из секторов и по каждому слою вводят-
ся свои значения насыщенностей и температур; вычисляются гидропро-
водности, дебиты и обводненности.
Материальный баланс для воды по каждому сектору имеет вид
(s - s )тД?/4 = q Дг [F (s... Т.) -F (s ,Т )],
се се	се в /у' /у в се се	(9.37)
где s;y и Т — насыщенность и температура несущей ячейки, примыкаю-
щей к сектору; знак Л означает, что берется насыщенность следующего
временного слоя.
Счет по формуле (9.37) вносит неустойчивость при временных шагах
(9.35). Чтобы обеспечить устойчивость схемы, временной шаг следует
уменьшить в 4 раза и счет проводить циклически в четыре этапа по каждо-
му сектору:
F = F^ij'TJ' D=qceMHm^).
S.=Sce + ^-fB(Sce.rce)],
S2=S1^[f-ab(Si,t )],
(9.38)
s=s+D[F - F (s ,T ) ],
3	2	В 2' ce
s4=s3+D[F - FB{s3,T )].
200
Разбиение на четыре этапа существенно лишь в момент прорыва фрон-
та вытеснения в сектора добывающей скважины. До прорыва воды и при
значительной обводненности использование формулы (9.37) не приводило
к каким-либо симптомам неустойчивости. При большой обводненности
временной шаг можно брать большим, нежели по формуле (9.36).
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР ВБЛИЗИ
НАГНЕТАТЕЛЬНЫХ СКВАЖИН
В радиально-кольцевой зоне пласта вблизи нагнетательных скважин /? <
< г < 1,5Дх температурное поле тонкого слоистого пласта можно вычис-
лить по формуле Поверье
с Qv/f - nr1 с Н/ (с Q)
в	» в
2
du,
(9.39)
где О — общий дебит скважины по всей продуктивной толщине пласта;
Н — толщина пласта с учетом глинистых прослоев; Q — средний арифме-
тический дебит между текущим и средним за время эксплуатации пласта
его значением. Теплоемкость пласта с» считается суммированием по всем
слоям. В слоях, по которым прошел фронт вытеснения, насыщенность
принимается равной svf на фронте вытеснения, в каждом слое удельная
теплоемкость находится линейной интерполяцией значений удельной
объемной теплоемкости водонасыщенного пласта с и нефтенасыщенно-
го пласта с н, также учитывается и положение фронта вытеснения в каж-
дом из слоев зоны Rс <г < 1,5Дх:
(9.40)
В каждой кольцевой зоне около нагнетательной скважины г .	<
< г . температура находилась по среднему значению радиуса (г . J +
+ г ) /2 в момент времени t. Это значение принимается за среднюю темпе-
ратуру кольцевой зоны на интервал времени (Г, Г -+- Д Г), которая исполь-
зуется при вычислении потерянного перепада давления и момента отклю-
чения низкопроницаемого слоя вследствие влияния аномальных свойств.
По формуле (9.39) для каждого слоя вычисляется и температура на
фронте вытеснения при г = по значению которой определяется воз-
можность закупорки слоя. Если же фронт вытеснения вышел за радиаль-
ную кольцевую зону, т.е. rvf > 1,5Дх, то в дальнейшем считают невоз-
можной закупорку или отключение слоя (при шаге сетки Дх = 40 м
радиально-кольцевая зона составляет 60 м). Расчет показывает, что заку-
201
порка низкопроницаемых слоев происходит на ранних стадиях вытес-
нения.
Для радиально-кольцевой зоны можно использовать также разностный
метод. Уравнение для определения температуры многослойного пласта
имеет следующий вид
~ [Cz(t] (7- 7-0) ] + div ^ ^(св^в + сн^) (7- 7(,;1 +	(9Д1)
or
дг
+ v — (г-г ) =0-
7ГГ	0
Здесь cz — суммарная по толщине пласта объемная теплоемкость
на единицу площади залежи с учетом присоединения прогревающих
окружающих пород:
с -=с(Н - Н .) +L hvcv + 2^Xct/ir,
2	.Эф	*
Второе слагаемое в (9.41) учитывает перенос тепла вместе с жид-
костью по каждому слою, третье выражает ослабевающий с течением
времени теплообмен с кровлей и подошвой.
Уравнение (9.41) включает диффузию тепла, обусловленную неравно-
мерным движением жидкости по всем слоям: в формуле (9.39) эта диф-
фузия тепла не учитывается.
Для радиально-кольцевой зоны, где течение осесимметрично, (9.41)
запишется:
Э	qV hV Ъ	/Хс
----(с в) + S-------— [ (с Fv +с (1 - F + \	S - 0,	(qd?1
Эг z V 2лг Эг в в н в	лг-(9 43)
где д обозначает (Г — 7 ), a qv —расход нагнетательной скважины на
единицу толщины слоя.
Обозначим конвективный поток тепла вдоль радиуса между кольце-
выми элементами
П. , = Yqvhv\cF +с И-F .)]0.=Ф.0..	,плл,
/+1/2	4	В/ н	В/ / II	(9.44)
При /' = 0 поток тепла имеет направление из скважины в пласт, так
что
П , =с Q (7- 7 ), О = S qvhv,
1/2 в о	4	(9.45)
Ф, i = с Q.
1 /2 В
Потоки Ф накапливаются в памяти ЭВМ по мере проведения расчетов
по каждому слою в радиально-кольцевой зоне. Разностный аналог урав-
нения (9.43) запишем в неявном виде
202
(9.46)
Потоки Ф, с . накапливаются в процессе вычисления согласно (9.42).
Реализация счета по (9.46) не сложнее применения формулы Поверье.
Неявная аппроксимация позволяет не заботиться об условии устойчивости
схемы; температура в. входит в (9.46) линейно и легко выражается че-
рез в. и О.
/ / - 1
А	ДгФ -
[ с . + -------+ A f
Z/ тт(г? -гДр	я(г + Дг) '	''	яД-г2^) '-I (9.47)
Для определения температур можно применить и явную аппроксима-
цию потоков тепла между кольцевыми зонами.
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ПО ЯЧЕЙКАМ
ЗНАЧЕНИЙ ТЕМПЕРАТУР
Для определения температурного поля тонкого пласта можно воспользо-
ваться формулой для двумерного течения
(7-- Т)	ат/ch)	.---
------О— = erfc -- 6 - -----, a = х/Х/с,	(9.48)
(Тв-Т0)	^t-cT/cJ
где т — время достижения данной точки пласта (х, у) фильтрационной
"частицей", начавшей свое движение от контура нагнетания; с — объем-
ная теплопроводность пласта; св — объемная теплоемкость нагнетаемой
воды. Для осесимметричного течения т = тгг 2/q.
Для многослойного пласта, сложенного из слоев различной проницае-
мости, формулу (9.48) можно применять как некоторое приближение.
Удельную объемную теплоемкость пласта с можно вычислять по сред-
ней насыщенности пласта в целом, которая выражается через нефтеотда-
чу
S = S„ + 7) ( 1 — S„ ) ,
ср О '	О
с =с(1 —Н JH) + [с s +с (1-s \]Н JH.	(9-49)
*	эф	»в ср »н ср эф
Использование формулы (9.48) сводится к определению времени т
для каждой узловой точки разностной сетки. Для некоторых сеток
пятиточечной системы значения т в узлах как функции прокачанного
объема жидкости приведены выше в гл. 4. Для любого течения можно
203
заранее определить, сколько требуется прокачать поровых объемов,
чтобы фильтрационная частица достигла узла сетки. Время т связано с
перепадом давления и объемом прокачанной жидкости, определенным
для каждого плоского течения соотношением, так что т для узлов сетки
пропорционально объемам прокачки для этих узлов, найденных в гл. 4.
Например, для радиально-осесимметричного течения в пласте радиусом
R с поросым объемом umR2h время т связано с объемом прокачки
Оп , требуемым для перемещения фильтрационной частицы от начала
координат (нагнетательной скважины) до контура г, соотношением
r = nR2Q /q, q т = ттг 2, О = г2//?2,	(9.50)
пр	пр
где q — расход нагнетательной скважины; irR2 /q — множитель пропор-
циональности, который можно найти и в других случаях [32].
Температуру ячеек сетки можно определить и разностной аппрокси-
мацией уравнения (9.50). Введем для тепловых потоков обозначения:
п= (/7 , п ) = ф е, е = т- т
* V	(9.51)
Ф = S[cX + сн(1 -F»}]hvvv.
Ф = (Ф , Ф\
и запишем разностную аппроксимацию в виде
(9.52)
Тепловые потоки между ячейками по обоим координатным направлениям
берутся с предыдущего временного слоя, так что схема (9.52) является
явной. Условие ее устойчивости слабее условия устойчивости явной схе-
мы для насыщенности (9.34), так что нет смысла в неявной аппроксима-
ции. Значения потоков тепла накапливаются, как и значения объемных
теплоемкостей, на новом временном слое в процессе вычисления насы-
щенностей по каждому пласту. Для потоков тепла учитывается направле-
ние фильтрации, поэтому в (9.52) входят несущие значения температур
и насыщенностей. Если, как и при вычислении насыщенностей, ввести
вспомогательные индексы, определяющие направление фильтрационного
потока, то дробные индексы следует заменить согласно формулам:
П.	/ . = Пх. . П. , , . — П х.	,
1+1/2,1	I+IP, / l-l/l.l
/7. . t = П у, П. . / = Пу.
1,1+111	' 1 +JV 1,1~1/1
(9.53)
204
Для соседних со скважинами ячеек потоки тепла в ячейку-скважину
надо считать по особым формулам — вместо скоростей фильтрации здесь
уже войдут дебиты скважин по примыкающему к ячейке сектору. Надо
знать, где расположена добывающая скважина, с какой стороны от ячей-
ки, каков номер скважины и номер сектора. В программе содержится
специальная процедура, определяющая и запоминающая как номер добы-
вающей скважины, так и номер сектора, который равен 1,2, 3, 4 в зависи-
мости от того, где расположена скважина — справа, слева, снизу или
сверху соответственно. Ниже приведена эта процедура, которая не имеет
формальных параметров и оперирует лишь с глобальными переменными
и массивами. При обращении к этой процедуре идентификатору sosdob
присваивается значение "истина" или "ложь" в зависимости от того,
находится ли какая либо добывающая скважина по соседству с узлом
(/, /) или нет. Попутно вычислен порядковый номер этой скважины "по"
и номер сектора "се".
Boolean procedure sosdob;
begin integer ir; Boolean R;
R: = false; nv: = ce: = 0;
for n: = 1 step 1 until Nex do
begin ic: = iex [n] ; jc: = jex [n] ;
ir: = (i — icH 2 + (j — jc)t 2;
if ir = I then begin
R: = R; no: = n;
ce: = if i = ic A j —jc — 1 then 4
else if i = ic then 3 else
if i = ic + 1 then 2 else 1 ;
go to M end ir = 1 end n;
M: sosdob: = R end sosdob.
В программах, реализованных авторами, проницаемость измерялась
в мкм2, время в 107 с, теплоемкость в Дж/(см3 °C). Расчет показывает,
что для согласования единиц измерения надо подкоренное выражение
x/Xc/t и тепловые потоки брать со множителем 10. Например, формулы
Поверье	____________________
Дж	м 3 1 / Вт Дж	___
м2 ( — -----—- ) • v [--------— ------ ] 10’7 =Via	(9.54)
см °C 10 с	w°C см °C
В программе всюду учтен этот множитель.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУР СЕКТОРОВ ДОБЫВАЮЩИХ СКВАЖИН
Около добывающих скважин температуры вдоль радиуса меняются
плавно. Для расчетов достаточно иметь одну среднюю температуру по каж-
дому сектору. Введем по четырем секторам четыре температуры Т ,
к = 1, 2, 3, 4 и четыре потока тепла в добывающую скважину П .
205
Нумерация секторов прежняя. Например, при взаимном расположении
узла и скважины в последовательности (, 0) будем рассчитывать первый
сектор, к = 1.
Поток тепла из расположенной слева ячейки (/, /) внутрь сектора сос-
тавляет
П. , . = П х.. = в..Ъ [с Fv + с (1-Ар)] .. hvqV /Ду,	(9.55)
и
гдед» — суммарный расход фаз по первому сектору. Отношение его к
Ду дает значение скорости и. +1/2 у, так что (9.55) согласуется с опре-
делением (9.51).
Поток тепла из сектора в скважину определим равенством
П ’ = в S [с Fv + с (1 -FP)J hvqv/ky,	(9-56)
э I в в н	в 1	4 1'	’
условно "распределив" дебит по стороне ячейки. Уравнение баланса тепла
для данного сектора
се ' - с в ’
2 3	2 3
Дг
пз ~ Пхц
--------+ еу----------= о.
Д х/4	7Г (Г + Д Г )
(9.57)
Аналогично запишутся разностные уравнения и для других секторов
скважины. Можно пользоваться и неявными представлением для потоков
тепла. Уравнение (9.57) удается выписать однотипным образом для всех
четырех секторов и связать координаты скважины (/ , / ) и номер секто-
ра с нумерацией ячейки (/, /), из которой несется поток.
Разрешив (9.57) относительно температуры, имеем для каждого
сектора
с .в + 4 Дг (П .. - П ) /Дх
A	zk эк	// эк
е =----------------------------------•	(9.58)
эк сгк + Aty/Х с/ (тг (г + Д t) )
По этой формуле определяются температуры секторов добывающих
скважин. Когда толщины невелики (до 10 м) и расстояния между сква-
жинами > 500 — 600 м, температурные возмущения могут не доходить
до добывающих скважин за ограниченное время разработки. Температуру
в секторах тогда можно не учитывать, пока температурные изменения
в соседних со скважиной ячейках не станут заметными (~ 1 °C).
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОГРАММЫ СЧЕТА
Предусмотрено вычисление характеристик, общих для скважин, слоев
и пласта в целом. В процессе счета через каждые десять временных слоев
или после увеличения нефтеотдачи пласта на 0,5 % выдаются на печать
дебиты скважин на единицу толщины, общие дебиты скважин по всем
206
слоям, обводненности добывающих скважин по каждому слою и в целом
по пласту, текущие отборы воды и нефти с каждого слоя по всем скважи-
нам, текущие объемы нагнетания в каждый слой, текущие объемы нагнета-
ния в пласт и добычи из него, накопленные объемы нагнетания и добычи
по каждой скважине, каждому слою и пласту в целом, нефтеотдача каждо-
го из слоев, определяемая по распределению насыщенности в ячейках
разностной сетки, нефтеотдача каждого слоя, вычисляемая по объемам
нагнетания и добычи воды, нефтеотдача пласта в целом, определяемая
по насыщенности и добыче нефти, дисбаланс нефтеотдачи по каждому
слою и пласту в целом. В процессе счета определяются возможные откло-
нения и закупорки слоев; можно по желанию с пульта ЭВМ получать мас-
сивы насыщенностей и температур ячеек, радиально-кольцевых зон и т.п.
Общую блок-схему программы можно описать следующим образом.
Начало: ввод основных параметров пласта; чтение граничных пар мас-
сивов.
Основной блок: описание используемых функций, процедур, масси-
вов; чтение исходных данных; присвоение начальных значений массивов;
первый шаг вытеснения.
Цикл по слоям: вычисление гидропроводностей, новых значений
давлений и дебитов; определение временного шага, скачков насыщеннос-
ти; вычисление насыщенностей в радиально-кольцевой зоне нагнетатель-
ных скважин, насыщенностей для ячеек разностной сетки; насыщенностей
для секторов добывающих скважин.
Конец цикла по слоям: вычисление температур в радиально-кольцевых
зонах нагнетательных скважин, температур для ячеек разностной сетки,
температур секторов добывающих скважин; определение характеристик
вытеснения в целом по пласту; условная печать; пересылки массивов;
условный переход на цикл по слоям.
Конец.
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ
Расчеты проведены для пятиточечной системы заводнения при размерах
пласта 200x200 м и шаге сетки 40 м. Теплофизические параметры пласта
брались близкими к условиям месторождения Узень: пластовая темпера-
тура 65 °C; температура застывания (затвердевания) нефти 30 °C; темпе-
ратура нагнетаемой холодной воды 12 °C; объемные теплоемкости воды,
нефти и горной породы соответственно 4,2; 1,9 и 3,2 Дж/(см3-°C);
объемные теплоемкости водонасыщенного и нефтенасыщенного пластов
соответственно 2,73 и 1,95 Дж/(см °C); коэффициент теплопроводности
для водонась’щснного, нефтенасыщенного пластов и окружающих глинис-
тых пород соответственно 2,76; 1,16 и 1,95 Вт/(м-°С); плотности воды
и нефти соответственно 1,05 и 0,77 г/см3; минерализация воды 1,2%.
Перепад давления был фиксированным — 8,0 МПа, пористость всех проп-
ластков взята равной 0,22; относительные проницаемости со связанной
водон асы щен н остью 0,35 и коэффициентом вытеснения при пластовой
207
। синица a. i
Вариант	Параметры и состояние разработки			
	Число слоев	Толщина слоев, м	Проницаемость, мкм	Разрабатывается или нет
1	2	1 + 1	0,4 + 1	Разрабатываются
2	2	10 + 10	0,4 + 1	То же
3	2	10 + 10	0,4 + 0,08	
4	2	10 + 10	0,4 + 0,07	
5	2	1 + 1	0,4 + 0,06	
6	2	10 + 10	0,4 + 0,06	
7	3	10 + 5 + 5	0,4 + 0,2 + 0,05	Закупорен слой с 0,05 мкм
8	3	10 + 5 + 5	0,4 + 0,2 + 0,06	"	с 0,06 мкм
9	3	10 + 5 + 5	0,4 + 0,2 + 0,07	Разрабатываются
10	2	15 + 5	0,4 + 0,07	Закупорен слой с 0,07 мкм
11	2	10 + 5	0,4 + 0,07	Разрабатываются (плохо разрабатывается слой с 0,07 мкм2)
12	5	0,6 + 0,4 + 0,4 + 0,4 + 0,2	0,4 + 0,3 + 0,2 + + 0,1 + 0,05	Закупорен спой с 0,05 мкм
температуре 0,72. В расчетах варьировались толщины, взаиморасположе-
ние и проницаемости слоев для изучения вопроса их закупорки и отключе-
ния. Общие сведения о вариантах приведены в табл. 9.1.
Рассмотрим вариант вытеснения из двухслойного пласта со слоями
толщиной по 10 м и проницаемостями 0,4 и 0,07 мкм2.
При нагнетании холодной воды в момент прорыва нефтеотдача соста-
вила 51 % от извлекаемых запасов (или 29,6 % от геологических запасов).
Она сложилась от значений нефтеотдачи по слоям 92 и 10% (или 53,5 и
5,8 % от геологических запасов).
При нагнетании воды пластовой температурой 65 °C на момент обвод-
нения добывающей скважины общая нефтеотдача пласта составила 56,4 %
от извлекаемых запасов, что больше на 5,4 %. Она сложилась из нефтеотда-
чи по слоям, равной 92 и 21 %. Высокопроницаемый слой имел нефтеотда-
чу такую же, как и при холодном заводнении, тогда как в низкопроницае-
мом она увеличилась на 11 %.
Еще больший контраст наблюдается при высокой обводненности. Так,
например, к моменту обводнения 85 % при холодном заводнении нефте-
отдача составляет 53 % извлекаемых запасов (по слоям 94 и 12 %). При
изотермическом вытеснении на тот же момент обводнения нефтеотдача
выше примерно на 10%. При холодном заводнении низкопроницаемый
слой почти отключился, тогда как при изотермическом вытеснении он
разрабатывается.
Заметим при этом, что температурное возмущение углубилось в пласт
незначительно. Так, при вытеснении в пласте с проницаемостями слоев
0,4 и 0,1 мкм2 и толщиной 10 м каждый на момент 0,86 лет насыщенности
в низкопроницаемом слое по кольцевым зонам составили 0,603 ; 0,665;
208
Таблица 9.2
Время, годы	Показатели разработки при холодном заводнении						
	Нефтеотдача, %			Дисба- ланс, %	Общая обводнен- ность, %	Закачка воды, I слой, м /сут	Добыча нефти, i слой, м3/сут
	эбщая	I слой	II слой				
0,29	3,7	6,7	0,6	0,0	0	222	222
0,92	1,1,6	20,5	1,7	0,6	0	200	200
1,59	18,3	34,0	2,6	0,9	0	192	192
2,27	25,6	47,6	3,7	1,2	0	189	189
3,68	40,5	74,6	6,5	1,8	0	180	180
4,44	47,6	87,8	7,6	1,8	0	146	146
5,67	50,9	92,0	9,9	1,4	80	128	15,0
7,67	53,3	94,0	12,7	1,6	86	131	7,1
11,6	56,9	95,6	18,2	1,8	89	133,6	3,1
15,5	60,6	96,4	23,5	2,0	90	134,7	1,8
23,1	65,5	97,2	33,9	2,2	91	135,7	0,9
Таблица 9.3
Время, годы	Показатели разработки при изотермическом вытеснении						
	Нефтеотдача, %			Дисба- пане, %	Общая обводнен- ность, %	Закачка воды, I слой, м3 /сут	Добыча нефти 1 слой, м3/сут
	общая	I слой	II слой				
0,17	3,96	6,7	1,2	0,0	0	408	408
0,85	19,7	34,0	5,4	0,9	0	367	367
1,57	35,9	51,1	10,8	2,2	0	353	353
2,38	52,1	37,7	16,4	3,2	0	236	236
3,07	56,4	91,6	21,1	2,7	65	190	25,6
3,74	59,3	93,0	25,6	2,9	69	195	16,4
4,40	61,9	93,8	30,0	3,0	71	199	12,0
5,69	66,7	95,0	38,5	3,3	74	204	7,6
7,63	73,6	96,1	51,2	3,8	75	209	4,5
10,1	81,8	96,9	66,8	4,3	77	213	2,8
13,7	92,2	97,5	86,8	4,8	84	216	1,7
0,679; 0,597; 0,364; 0,35, а температуры соответственно 12,6; 18,4;
50,6; 65; 65; 65°С. Через 1,52 года насыщенности стали 0,604; 0,665;
0,679; 0,683 ; 0,605; 0,372, температуры соответственно 12,5; 16,56;
28,6; 65; 65; 65 °C. В дальнейшем разрыв между температурным фрон-
том и фронтом вытеснения в низкопроницаемом слое возрастал.
Показатели вытеснения при холодном заводнении и изотермическом
вытеснении для пластов с проницаемостью слоев 0,4 и 0,7 мкм2, толщи-
ной слоев 10 м каждый показаны в табл. 9.2, 9.3. Нефтеотдача и обводнен-
ность для двухслойного пласта представлены ниже.
л-т
209
Время, год.............
Обводненность, % . . . .
Нефтеотдача, %	....
4,55
О
48,2
4,65
3
48,6
4,75
21
49,0
4,86
61
49,5
5,06
74
49,9
5,47
77
50,6
Расчеты показывают, что нагнетание нагретой воды способствует
улучшению показателей вытеснения: ускоряется разработка, повышается
нефтеотдача на один и тот же момент времени и на один и тот же момент
обводненности, не возникает угрозы охлаждения низкопроницаемых
слоев и их выключения из эксплуатации.
Эффект от нагнетания горячей воды по сравнению с холодным завод-
нением зависит от строения пласта и колеблется в широком диапазоне.
В неблагоприятных ситуациях потери нефти из-за нагнетания холодной
воды могут быть значительными. Для двухслойных пластов с одинако-
выми толщинами слоев закупорка низкопроницаемого пласта из-за охлаж-
дения нефти и ее застывания в порах возникает при отношениях проницае-
мостей 7:1 или 8:1 в зависимости от абсолютных значений толщины слоев
и общей интенсивности фильтрации. Для многослойных пластов часть
низкопроницаемых слоев будет вообще выключена из разработки, другая
часть вследствие охлаждения может работать малоэффективно.
Глава 10
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОТДЕЛЬНЫХ
ПАРАМЕТРОВ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ПРИ ЛИНЕЙНЫХ И ПЛОЩАДНЫХ СИСТЕМАХ
НАГНЕТАНИЯ
Неизотермическая фильтрация в неоднородных пластах — сложный термо-
гидродинамический процесс. Строгое описание и решение задач здесь
часто связано со значительными аналитическими трудностями и затрате^
большого количества расчетного времени даже на самых быстродействую
щих ЭВМ.
В связи с этим возникает необходимость в разработке приближенных
методов, позволяющих выполнять оперативные инженерные (оценочные)
расчеты ряда технологических и технических параметров, встречающихся
в промысловой практике.
При проектировании разработки нефтяных месторождений обычно
используют приближенные методы расчета.
Один из таких широко распространенных методов — метод трубок
тока [7, 19, 39 и др.].
При наличии систем действующих нагнетательных и добывающих сква-
жин поле фильтрации является двумерным и на удалении от скважины
значительно отличается от радиального.
При расчетах двумерных полей фильтрации в этом случае используют-
ся сочлененные трубки тока, которыми приближенно аппроксимируется
все поле течения (рис. 10.1).
210
6
Рис. 10.1. Схемы расположения скважин при внутриконтурном нагнетании:
а — радиальная фильтрация; б — линейные нагнетательные ряды; в — пятиточечная
система; г — семиточечная (обращенная) система; д — семиточечная (прямая)
система
Поэтому необходимы расчетные формулы для определения темпера-
туры в таких трубках тока. Данные о температурном поле позволяют
учесть его влияние на фильтрационные параметры — вязкость жидкостей,
начальный градиент давления сдвига и другие, необходимые при оценках
технологических показателей.
Приближенный инженерный метод расчета рассмотрен в работе [18].
Основные положения, лежащие в основе этого метода, следующие.
Насыщенность коллектора вытесняющей фазой (водой) в области
двухфазного течения приближенно аппроксимируется степенной функ-
цией. Насыщенность на фронте вытеснения (скачке насыщенности) опре-
деляется графоаналитическим методом.
Двумерное поле течения при рядных и площадных системах заводне-
ния аппроксимируется течениями в сочлененных трубках тока (линейным
и радиальным потоками). Причем вязкости жидкостей, зависящие от
температуры, начального градиен1а давлении сдвига, являются функ-
циями температуры м проницаемости.
211
Расчеты ведутся при заданных перепадах давления.
Положение фронтов вытеснения по отдельным трубкам тока, фильт-
рационные сопротивления, расходы определяются дискретно на каждом
временном шаге, в каждом слое.
Определение тепловых полей выполняется приближенно с учетом
схемы Поверье и усреднением температуры по зонам.
Показатели вытеснения нефти водой суммируются по трубкам тока
в слое базового элемента, а затем по слоям. В дальнейшем суммирование
проводится по базовым элементам.
Расчетная схема эффективно реализуется на машинах малой и сред-
ней мощностей, которыми оснащены нефтедобывающие объединения,
управления и ЦНИПРы.
ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ
Схему Поверье можно обобщить для течения в трубках тока произволь-
ной конфигурации. В гл. 4 было дано обобщение схемы Поверье для дву-
мерного случая фильтрации. Там было показано, что определение темпе-
ратуры по этой схеме связано с учетом параметра г, который представ-
ляет время перемещения частицы при скорости фильтрации от скважины
до рассматриваемой точки.
При получении приближенных формул для оценки температуры в
трубках тока учтены отмеченные обстоятельства.
Нагнетание в линейные разрезающие ряды
Рассмотрим случай нагнетания воды температурой 7^ , отличной от
начальной пластовой Т , в линейный разрезающий ряд; работа добываю-
щих скважин в этом случае аппроксимируется линейной галереей (см.
рис. 10.1, а, б}. Выделим повторяющийся базовый элемент, примыкаю-
щий к 1/4 периметра нагнетательной скважины.
Двумерное поле фильтрации аппроксимируется системой сочлененных
трубок тока, состоящих из двух звеньев с радиальным и линейным тече-
ниями соответственно.
Температурное поле в первом звене трубки тока определяется по фор-
муле Поверье. Температуру во втором звене с учетом геометрических
параметров, представленных на рис. 10.2, определим соотношением
А Я 'г Я ' + 2М (х . - Я ' cos 3 ) ] / (2с Q )
К I к	II К	I	ВС
v4r Д 1 - с ПН R ' [с.- . Я ' + 2М .( х - Я ' cos (3 . ) ] / (2с О ) (
* Э К ' / к	II к	I	B/J
R cos (3.
К	^1
212
Рис. 10.2. Схема к расчету базового элемента при линейных разрезающих рядах.
Фронт вытеснения находится: а
трубки тока
в первом звене трубки тока; б — во втором звене
Здесь / = 1, 2, 3, . . к — нумерация
трубок тока (против часовой стрел-
ки) ; 5 (1 - 7 ) - единичная функция
।
5(1-7,) =
с L1H Ft
-» эк
1 при ( 1 — 7, ) > 0,
0 при (1 — 7,) < 0,
[<. R ' + 2М (х. -/? ' cos|3. ) ] ,
К	I I К	I
J	J	J
Н - X /) - ; q. --;	S q ; О. = S О
э	!	!	'I i	iF
I = I	/ = I	! = 1
где / = 1, 2, 3, . . J - нумерация слоев, q.., q, - текущий расход нагне-
таемой воды соответственно в слой/ и в трубку тока / в целом; —
шаг по времени, t — общая продолжительность нагнетания; О Q_ —
накопленное количество воды, закачанной в слой / ив трубку тока /
в целом на момент t; h — среднее значение толщины слоев, слагающих
продуктивный пласт; Н, — эффективная толщина пласта; а — температу-
213
ропроводность, tt — коэффициент, учитывающий наличие непродуктивных
глинистых прослоев, а - Н/Н , Н — общая толщина пласта; значения
R , (3, f. ясны из рис. 10.1, в; у:. = тг/2к (к - число трубок тока) ;
[i! = (/ — 1/2)	; М. = sin(/ — sin(/ — 1)	; х . — положение
теплового фронта во втором звене первой трубки тока G = 1) , опреде-
ляется по формуле
1 2с о.
,	, в /
•	= R cos &  +	(
т.ф / К 'i 2М. с Н С
!	» Э
J.R '),
г / к
(10.2)
в последующих трубках (/ = 2, 3, . . ., о)
х , .	= х , .
тф/ + |	т.ф,/
1 + {L /Я ' - cos 13.)
К К	/
1 + )L т ' - cos 13. , )
К К	^ / + I
При определении температуры в первом звене трубки тока (г <
< г < R ) в (10.1) необходимо принять х. R cos.13 , заменить в остав-
шихся членах значение R на переменную г . Аосле этого переходим к
формуле Поверье радиального течения при усредненном расходе q.
В промысловой практике бывают случаи, когда меняется температура
нагнетаемой воды (при создании тепловых оторочек, переходе от нагнета-
ния холодной воды к горячей и др.) .
Пусть в момент t, перешли от закачки воды температурой Т к нагне-
танию воды температурой Т (t > t ) . Используя соотношение Дюгамеля,
имеем выражение для приближенной оценки температуры во втором зве-
не сопряженной трубки тока:
- то	(10.3)
Хя' г [у?. R ' + 2М. (х. - Я ' cos 13. ) ] (2с О )
,	, к ^/ к /	/ к /	в /	1 v
• erfc — -	—--------,	,	--------,---------- J х
у at 11 - г /г— сан R [ф. Я +2М {х. — R соs|3. i]/ । 2с Q . )}
хЗ(1-у2),
где И/ — комплекс, соответствующий правой части уравнения (10.1)
без изменения; 7	-r^/f; г — продолжительность нагнетания с нача-
ла заводнения.
Уравнения (10.1) и (10.3) можно использовать также для приближен-
ной оценки температуры в низкопроницаемых слоях, по которым значи-
тельно отстает фронт вытеснения нефти водой от усреднённого фронта
вытеснения по разрезу. Для этого необходимо в числитель функции
erfc (х) добавить слагаемое h . /2, где h — толщина низкопроницаемого
слоя.
214
Площадные системы заводнения
В площадных системах заводнения (четырех-, пяти-, семиточечных и др.)
можно выделить повторяющийся базовый элемент, представляющий со-
оои треугольник, два угла которого примыкают соответственно к нагне-
тательной и добывающей скважинам. В каждом таком элементе поле
фильтрации аппроксимируется двузвенными сочлененными трубками
тока с радиальным течением в каждом звене (рис. 10.3) .
Геометрические параметры определяются из условия равенства пло-
щадей (объемов) трубок тока и площади (объему) рассматриваемого
базового элемента фильтрации.
С учетом сказанного температура в слое / во втором звене трубки
тока, примыкающем к добывающей скважине, определяется по формуле
Ха . г [я (Я - я } — р . в . / а . ] / (2с О . I
= nrfc [ ^^==1==L===T2==J=J^L-------------------_ ] 6 (1 - 7, ) 
\at [ 1 - с ан А . <R (R + R j - P 2 8 14 ) ] ' (2c Q ) ]
» a '	11	2	'	' i	в /
Рис. 10.3. Схема к расчету базовых элементов при площадных системах заводне-
ния — пятиточечных (/) и семиточечных (//).
Фронт вытеснения находится: a - в первом звене трубки тока; б — во втором звене
трубки тока
215
Здесь у, — с аН A. [Я (/?+/?) — р г В ./ А . ]/(2с О),
3	* Э ' I 1	2	^/1	/	В I
i - 1, 2, 3, . . к, А ~ tg(/ <. ) - tg(/ — 1) < ,
/	/ i 3	/г
(10.4)
R	R
5 = arctg [ — * Ltg(/ j ] - arctg [ Ltg(/ -1)^ ],
'	r?	' *	n	11
где p. — расстояние от добывающей скважины до наблюдаемой точки.
Здесь первое и второе звенья трубки тока заменяются равновеликими
по площади (и объему) секторами, радиусы которых равны соответствен-
но p*z ир*; :
Р*,	P*2i ^R^A./B^
где у? . = у? /к — угол первого звена трубки тока / , примыкающей к
нагнетательной скважине; к — число трубок тока в элементе; у?. 2 = В —
угол раскрытия второго звена трубки тока. R!, R, и у? зависят от ти-
па площадной системы, их значения ясны из рис. 10.2.
Положение теплового фронта во втором звене трубки тока опреде-
ляется по формуле
РтЛ;, =\^А./В A [R (R + R ‘)—2с О./(с аН А}].	(10.5)
I . l|J ' X	'	/	LI	X	Q /	* J
где Рт ф(. 2 — расстояние от добывающей скважины до теплового
фронта.
Температура в первом звене трубки тока определяется по формуле
(10.4), в которой надо принять р. 2 = Р2/ ; R, = Р*,- V7^ , /А. ; р* .
заменяется на переменную р,. (, г с < р. ] С р t. .
Если при нагнетании в момент t температура воды меняется с Г на
7“2, то уравнение для определения температуры в период t > гt, как и при
нагнетании в линейные разрезающие ряды, изменяется в соответствии с
уравнением Дюамеля:
(10.6)
ТРА-То	T2~~Ti
--------= И/ +---------
- Го	" Г! " Г0
ХД;. t ! + Я21 - Р < В ./А,. ] / (2cB<2z )
• erfc [ —~ —------ - —	... -- — _
Vat [ 1 - t/t- с ан А , (ff, (ft, + ft ) -P \ . В . / А . ) I {2c о . ) ]
1	»	3 1	1	1	22///	В/
X 6 (1 — 74 ) ,
= 73 +
Для определения температуры в слоях пониженной проницаемости со
216
значительно отстающими локальными фронтами вытеснения нефти водой
можно использовать формулы (10.4), (10.6), в которых в числители
функции erfc (х) надо добавить слагаемое Л . /2 и этим приближенно
учесть некоторую задержку в изменении температуры в указанных слоях.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ СЛОЕВ, ПОДВЕРГАЮЩИХСЯ
ТЕПЛОВОМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ В НЕФТЕНАСЫЩЕННОЙ ЗОНЕ
ДО ПРОХОЖДЕНИЯ В НИХ ФРОНТА ВЫТЕСНЕНИЯ
Требуется определить диапазон проницаемостей от kQ до^кр (максималь-
ное значение) рлоев, испытывающих тепловое воздействие Д7" = Т(. — /,
до прохождения в них скачка насыщенности (Т — некоторое задаваемое
значение температуры).
Получение приближенных расчетных формул для определения "кри-
тического" значения проницаемостей основывается на одновременном
учете локальных скоростей перемещения фронтов вытеснения нефти
водой в различных слоях и учете перемещения результирующей изотермы
со значением температуры Т в этом слоистом пласте [19]. Считается,
что слой j подвержен указанному тепловому воздействию, если изотерма
Т в какой-то период времени опережает локальный фронт вытеснения
нефти водой в слое j .
Совместное рассмотрение перемещения теплового фронта и фронтов
вытеснения в слоисто-неоднородном пласте приводит к формуле
ккр= [d +V1 +4Д1Д2)/(2Д2)]2.	(10.7)
Здесь
А^-1	R
А‘ 17,28* Is )ТА [</?0 -	2+/V2lnp^ +
И A 3	*-	'* Т
RT	я*	я
+ % (Д2|П	-_Z_ )	2 |п ]
Г.	° Г
\Ф,/Н + h . /2
1 /
г ~~ (	7= ------) + с аФ ,
\/a V ,	*	1
А3 [31,63ч/*нГ 1 |[(/?к— /?*) — (Ло-гс)/4]НГ0 ) +
+	- (3/?0 - г с) /4] f (Т. Д. г ) + [ (Rq - г.) /2]f (т‘,)1 ,
217
81Z
SP
EP
.	. Ф э
^У58 0= J ' 4Y =
, Э >	Э
Ф/г7 = P W8Z4 =
и/Лэ ч =
г . А о
р чъ =
Р
(8'01)
, г
г
ф,+ г у
I Z*
Ф'1 * (
гУ) V +


ч| [ЕР
(гр +
ф-i . ф-i ,	,
*гуи*Еу] -c/1-(c.
У -
ф1
г
У) ['р
У
ф’1	. £ ф
г	— 1 - < iJ ~
Р
ф 1 t I
Etf) [ p +
г,
! г
ф-1
2 - °2
С

^-га>-
- 'V '±
I о
1 - Z
i - f i

2 - ° 2
(7)/
Э S , I н
2) rf( *1 -У
(2)НН(гп%
Sv
(^2) 0rf(’s) "j,
(°2) Нт/(^) в>/
“Л/
э а , 1 н
(#2) rf( S) 7
i V7 ! н , 0 a
«'2) rt( S) 7
N
^У
u|
/у - 7У
с* с
я
------U|---------------------—
1 ь 7 сл/ -- 7 У 5л/
с	с*
7 f Mf
ctw Л/ - ,й Л/
г
S f
/V + Л/
Ел, °
/V =
15
:	L • Б 0	0	3
u V ,1	( S) 3) / игУ( 2) n =
'(7/1 R( s)^)E94£)/(2); =	'2) °9
г .о ? з я * , э э,
'г/ (	1) 0( J - У) - ( У - О) = d V
<р
где T.^r — средняя температура в слое пониженной проницаемости в
интервале г < г < г „ , тепловой фронт здесь опережает фронт вы-
теснения. Уравнение (10.8) — общее, из него^сак частные можно получить
расчетные формулы для определения Т. и Т^, т.е. среднюю температуру
в низкопроницаемых слоях в интервалах от г с до /?т ф и среднюю темпе-
ратуру в низкопроницаемых слоях в интервалах от г с до /?т ф и среднюю
температуру в слоях повышенной проницаемости в интервале от г с до
/?т ; Т. определяется по (10.8), в котором надо принять е = 3,24, г =
= г = Ь; Т определяется по (10ч8), в котором г =0: е = 0,32;	=
Далее обозначено:
/?	= (с Q (тгс аН Г1) 1/2,
т,ф ас» э
q = 2тт к к (з ) Н v Д р/ (и (Г) П ),
U	С t5	□	О U	V
В = с Q / (тг Mt),
В с
R * = [свас/ (тгтХ) (7Ф2 + (ext - d4) - Ф г) ] 1/2,
Ф„ = (М + d) /2Х, М = е а с аН,
2	5	*
где к — средняя проницаемость многослойного коллектора; к& (s2),
к (Sj J — относительные фазовые проницаемости воды и нефти при соот-
ветствующих водонасыщенностях (предельной и начальной); г . R* —
радиусы скважин и контура; рс' Рк — давление на скважине и контуре;
Ос —накопленное количество закачанной воды на момент Г; h с — усред-
ненная толщина слоя (h = 1,0 — 2,0 м, h с = 1,5 м), е = const; Н, Нэ —
общая и эффективная толщины пласта, а — Н/Н; v — коэффициент,
учитывающий влияние самопроизвольных гидроразрывов (расслоение
пластов) на проницаемость нагнетательных скважин (v = 1,2 — 1,8, в ка-
честве среднего значения можно принять v — 1,4); G„ (7“, к) —начальный
_»	—» /II	о
градиент давления сдвига; Т Т t , a , о , с — константы аппроксимации
начального градиента. Для условий месторождения Узень взято Т =
= 70 °C; Т *L= 10 °C; а ' = 10,52; b' = — 1,4; с = 0,2; ф — определяется
из табулированного соотношения
2	х2
1--------J е dx =
о
(10.9)
Правая часть при заданных Т , Т^, TQ предопределена; из таблиц табули-
рованных значений erf ф легко определить ф; RQ — параметр; R = 60 м—
100 м, при расчетах можно принять R ~ 80 м. В выражении (10.8) Др
измеряется в 0,1 МПа и X — в мкм2.
Уравнение (10.8) для определения средних температур получено интег-
219
рированием степенной функции, хорошо аппроксимирующей уравнение
Поверье.
Если не учитывать изменения вязкостей при фильтрации и принимать
во внимание соотношение перемещения теплового фронта и фронта
скачка насыщенности при двухфазном характере течения, то критическое
значение проницаемости можно определить по более простой расчетной
формуле
кр
2 (Рк - Рс) U
Здесь
В * = с к т v [ (р — о ) — G (к к ) "	] / (с F ' (s )),
в с к с	1с	к 'с
G = (R -г ) (31,63(А- (s,))"1 (с' + ь'Т + а’Т2),
КС	Н 1
т= (7* - ТШТ*О- 7-*),
5-5 а	а / (s, — s ) + a I (s — s }
F ' (sc) = N (	) н ----С)-----------------5-------------Г—
s, - S. [1 + Л/ U - S ) в н' (s + S ) н/(s - s ) в]2
а	к	XI	X	w	w	-I
/V = и (Т0}к (s } ц (Г)к Is I)-1.
Относительные фазовые проницаемости
s - S ан	S - S. Э *В
к (s) = к (s ) ( ----) , к ($} = к {s ] {--------)
Н	Н1с— $	В	В X	$	— $
2	1	2	1
Для месторождения Узень к* (sj = 0,95; кд (з ) = 0,2; ан = 1,95;
а = 2,85. Нижнее значение к мы получаем при / = Т верхнее - при
Г= (7-0 + 7J/2.
Расчеты для условий, близких к месторождению Узень, показали, что
при нагнетании холодной воды температурой 10 °C (при начальной плас-
товой температуре 58 — 64 °C) критические значения проницаемости сос-
тавляют порядка 0,05 мкм2. При расчетах использовались следующие
параметры: Н = 10, 15 м;/? = 250 м; к = 0,17; 0,21 мкм2; а = 1,3;
v = 1,3; р (^0) = 4,2; 3,4 мПа-c; Дв (7"0) = 0,46; 0,44 мПа-c; X =
= 2,76 Вт/Гм-°С); с = 4,2 Дж/(см3 • °C); с = 2,73 Дж/ (см3-°C); а =
= 0,055 м2 /сут; ф = 5,849; 0,907.
Для оценки критической проницаемости к можно также применить
к р
220
a
Рис. 10. 4. Графоаналитический метод определения слоев низкой проницаемости,
подвергающихся охлаждению до Г на фронте вытеснения:
а — общая схема, к^, к^, к... — проницаемости, Т— изотерма "критической"
температуры; Т ф — изотерма усредненного фронта температур; б —кривые к расче-
ту для условии месторождения Узень: Н — 15 м; R = 250 м; До = 4,5 МПа;
Л . =2 м; V= 1,3; Т = 15 °C.	э	к
Проницаемость, мкм . 1 — 0,045; 2 — 0,055; 3 - 0,058; 4 —0,070; 5—0,08; 5—0,058
простой графоаналитический метод. Данный метод основан на использо-
вании функции г фу (г), определяющей положение фронта вытеснения
(как функции времени и функции положения изотермы Т во времени
Т (т), которые строятся для слоев различной проницаемостью к. в коор-
динатах t, г). Точка пересечения отмеченных функций соответствует
условиям появления температуры / на фронте вытеснения нефти водой
(рис. 10.4) :
г(Гф)у =^Мв(Г).Пу/(17,28/Гу/гв(52)Др. (Goy)),	(Ю.11)
7 а ф 2	17,28 сскскв (s2) Нэ V Д р	2
с а П R2 , и Т
----*-------Т-в--с.------------- .	(10.12)
1 7,28с к к (s ) V Д р
в с в о	с
Здесь
_	A/j - 1	/?к
= [,ГФ/-г с’ ( —г~ + V1 ’ +
тф
R -Г	R .	г .
,	' о ТФ	ф /
+ /V г 2 . In ---- — г 2 In ----- ) + г 2 . In --] ;
1 Ф' г,. с г Ф' г
ф /	с	с
Др = (р- р ) -	[(/? - RT} -
7	к
+ [Яг
г . = /?г/1,15; R . = 1,15/? Т =Т .
ф Т ' тф	Т ' с п
222
Расчет по данной методике дал близкие значения критических прони-
цаемостей, полученных при более строгих решениях.
Критические условия (выпадение парафина из нефти) могут создать-
ся на расстояниях 40 — 80 м и более от нагнетательных скважин (см. рис.
10.3, а, б).
Согласно кумулятивным кривым распределения проницаемостей,
18 — 35% коллекторов различных горизонтов месторождения Узень
имеют проницаемость от 0,01 до 0,055 мкм2. Следовательно, при нагне-
тании холодной воды довольно большая часть продуктивных коллекторов
может подвергнуться охлаждению в определенном интервале. Если слои
гидродинамически разобщены, то выпадение парафина даже в небольшом
интервале может оказать отрицательное действие на вытеснение нефти в
удаленных областях, где температурных изменений в процессе разработки
может и не быть
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ НАГНЕТАНИЯ ГОРЯЧЕЙ
ВОДЫ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ В РАНЕЕ
ОХЛАЖДЕННЫХ СЛОЯХ
Иногда требуется определять продолжительность закачки горячей воды
для восстановления температуры в зонах охлаждения до начальной Г или
до некоторого значения, превышающего начальную пластовую темпера-
туру.
Будем использовать приближенный графоаналитический метод, учиты-
вающий решение Поверье. В координатах f (t), t строим графики функ-
ций:
	твт - S * 70	Ьл /2	
Г, (Г) =	к	4- arfn / -	1 X ( А \	
	। егтс \ ,	— ) о 141 j, 70-Г.	(10.13)
Т2 - Г	$ + h /2
f2 (t) = ——---------erfc ( - 	 ----) 8 (Д2),
To ~	f i ’	(10.14)
где | = тгХ /? 2 / (с q ) ;
к а с
L - с аН R 2 /(с q ) ;
♦ з Т ' вс 1
к
S (А;), 8 (Д2 ) -единичные функции Дирака; Г и Т? — температура на
забое при нагнетании холодной и , орячей воды; — период нагнетания
холодной воды; t — общая продолжительность нагнетания холодной и го-
рячей воды; RT — расстояние от нагнетательной скважины до точки, где
к
в низкопроницаемом слое температура снизилась до критического значе-
ния Г при закачке холодной воды; qc — усредненный расход нагнетае-
мой в скважину воды,нс— (О t + OJ /t; Q Q 2~ количество закачанной
холодной и горячей воды в скважину на момент Г; —температура,
К
223
Рис. 10.5. Кривые определения продолжительности нагнетания горячей воды для
восстановления (или повышения) температуры в охлажденных пластах при закачке
холодной воды температурой 15 °C:
а - 1 год; 6-2 гола, в - 3 года; 1 - при Т = 75 °C; 2 - Т = 65 °C; 3 - Т =
= 90 °C; 4— Т =80 °C; Т = 65 °C	3	3
3	* пл
до которой восстанавливается температура в точке RT при нагнетании
горячей воды.	к
Проекция точки пересечения функций (10.13) и (10.14) на ось Of
определяет общую продолжительность закачки f. Продолжительность
закачки горячей воды, обеспечивающей восстановление температуры
в указанной точке, равна t = f — f Зная расход, нетрудно оценить и об-
щее количество горячей воды, необходимое для восстановления темпера-
туры в охлажденных слоях.
Расчет выполнен для условий месторождения Узень, где осуществ-
лялся переход от нагнетания холодной воды к закачке горячей. Резуль-
таты представлены на рис. 10.5.
Показано, что после закачки холодной воды (табл. 10.1) в течение
1, 2, 3 лет для восстановления температуры в тонких охлажденных низко-
проницаемых пластах (к < к* ) требуется нагнетание горячей воды
температурой 80 °C при расходах 300 — 400 м3/сут в течение 1,25 —
1,52 года, для повышения температуры на 10 °C выше начальной пласто-
Таблица 10.1
Время закачки холодной воды tj, годы	Продолжительность нагнетания горячей воды, годы				
	7" =80 °C 2			Г2 =90 °C	
	TRT = To~	= 65 °C	ГДГ = 75°С	ГЯГ = 70 = 65°С	7ЯГ = 75°(
1	1,25		3,11	1,05	1,52
2	1,45		3,62	1,15	1,64
3	1,52		4,4	1,22	1,79
15-37$
225
вой (Г =65 °C), требуется закачка в течение 3 — 4,4 лет. Если нагнетать
воду температурой Т = 90 °C, сроки закачки сократятся с 4,4 лет до
1,8 года.
Глава 11
ПРОМЫШЛЕННОЕ НАГНЕТАНИЕ ГОРЯЧЕЙ ВОДЫ
ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ НЕФТЕОТДАЧИ ПЛАСТОВ И
ТЕМПОВ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ
Из общего объема балансовых запасов нефти, вовлеченных в разработку
с применением различных методов интенсификации добычи нефти, сейчас
порядка 50 % подвергаются тепловым методам воздействия.
Существует три метода теплового воздействия — нагнетание горячей
воды, закачка пара, внутрипластовое горение.
Методы имеют свою специфику и наиболее благоприятные геолого-
промысловые условия для их эффективного использования.
В последующих двух главах рассматриваются вопросы освоения
и практического внедрения метода термозаводнения в нефтедобываю-
щей промышленности. В решении этой комплексной проблемы непосред-
ственное участие принимали авторы, являясь руководителями соответст-
вующих научных тем, разделов и проектов разработки.
Впервые в крупных промышленных масштабах метод внутриконтур-
ного нагнетания горячей воды был осуществлен на нефтяном месторожде-
нии Узень в Западном Казахстане. В настоящее время его применение пла-
нируется и в других районах: в Западной Украине, Башкирии, Коми АССР
и др.
НАЗНАЧЕНИЕ МЕТОДА ЗАКАЧКИ ГОРЯЧЕЙ ВОДЫ
Нагнетание в пласт горячей воды осуществляется с целью повышения
эффективности заводнения. Нагнетаемая горячая вода вносит в пласт теп-
ловую энергию, которая способствует созданию благоприятного термогид-
родинамического режима для вытеснения нефти водой по всему разрезу
пласта. Это влияние обусловливает проявление следующих факторов:
изменение вязкости воды и нефти; снижение действия сил адгезии (сил
сцепления нефти с поверхностью коллектора) и сил поверхностного натя-
жения на границе раздела фаз; уменьшение проявления структурно-меха-
нических свойств фильтрующихся жидкостей; изменение коэффициентов
вытеснения нефти водой, фазовых проницаемостей, связанной водонасы-
щенности; недопущение выпадения из нефти парафинистых и смолистых
компонентов, приводящего к затуханию фильтрации и отключение отдель-
ных слоев из разработки, и др.
226
Указанное может влиять как на текущую добычу нефти, так и на
конечную нефтеотдачу.
В различных геологических условиях проявление указанных факторов
различно. Однако общая тенденция сохраняется — с увеличением темпера-
туры возрастает нефтеотдача слоисто-неоднородных пластов. Метод не
требует специального сгущения сетки скважин, и поэтому его можно
реализовать как на средних, так и на крупных нефтяных месторождениях,
содержащих парафинистые нефти с температурой кристаллизации парафи-
на близкой к начальной пластовой.
При нагнетании горячей воды эффективно используется гидростати-
ческий напор столба жидкости, вследствие чего осуществляется быстрая
и "жесткая" передача давления по пластам, сокращаются сроки разработ-
ки месторождений. В экологическом отношении метод не имеет противо-
показаний.
Внедрению метода предшествовал комплекс специальных исследова-
ний, которые явились экспериментальной базой при обосновании приме-
нения метода термозаводнения.
ПРОМЫСЛОВЫЕ ТЕРМОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Исследования температурных изменений в пластах
при заводнении
На месторождении Узень были поставлены специальные промысловые
опыты по изучению внутрипластового теплообмена и установлению влия-
ния температурных изменений на фильтрацию парафинистых нефтей.
Первые исследования были посвящены изучению восстановления
температуры в охлажденных при закачке холодной воды пластах.
Определялось, с какой интенсивностью осуществляется приток тепла
из окружающих горных пород в охлажденный пласт, и, таким образом,
выяснялось, нельзя ли при периодических остановках восстановить
температуру в пластах и ликвидировать отрицательные последствия
от охлаждения. Эксперименты были проведены на опытном участке
№ 1 в скв. 235.
Перед нагнетанием холодной воды определили начальную пласто-
вую температуру Т = 72 °C. После закачки 15,7 тыс. м3 воды темпе-
ратурой 12 — 18 °C (расход 250 - 350 м3/сут) скважину остановили
и через месяц определили температуру, которая составила 32,4 °C. За-
тем закачали еще 48,5 тыс. м3 воды температурой 18 — 20 °C и остано-
вили скважину для длительного наблюдения за восстановлением темпе-
ратуры на забое (рис. 11.1).
Результаты исследований представлены на рис. 11.2. Результаты про-
мысловых исследований показали, что приток тепла в охлажденные плас-
ты из прилегающих горных пород происходит весьма медленно из-за низ-
кой теплопроводности горных пород. Посла 15,5 мес температура была
недовосстановлена на 24,2 °C.
227
Результаты аналитических расчетов согласуются с данными промысло-
вых исследований. Они показывают, что для полного восстановления тем-
пературы в значительно охлажденных пластах требуется продолжительное
время — 8—10 лет и более. Следовательно, при периодических остановках
нагнетания холодной воды не может происходить восстановление темпе-
ратуры до начальной и не ликвидируются отрицательные последствия от
охлаждения. Динамика восстановления температуры в скв. 235 показана
ниже.
Продолжительность
восстановления тем-
пературы, мес . ...	1	7,5	8,5	9,5	10,4 11,4 12,5 13,4 14,0 15,5
Температура на за-
бое 7"3, °C..... 32,4 44,2	44,5	44,9	45,0 45,2	45,8	46,4	46,5	47,5
Охлаждение пласта
Т=Т-Т,°С.	. 36,6 26,8	26,5	26,1	26,0 25,8	25,2	24,6	24,5	23,5
о о з
Второй комплекс исследований ставил целью выявить динамику
изменения температурных полей в заводняемом коллекторе на удалении
от нагнетательной скважины. Были выбраны нагнетательная скв. 245,
вскрывшая XIV горизонт в интервале 1236 — 1270 м, и наблюдательная,
специально пробуренная на расстоянии 113 м от скв. 245 скв. 279, забой
которой не перфорировался. Эта скважина предназначена для система-
Рис. 11.1. Профиль температуры в скв.
235 (месторождение Узень) после закач-
ки холодной воды (в период восстанов-
ления температуры)
Рис. 11.2. Динамика восстановления тем-
пературы на забое скв. 235:
1 — при закачке; 2 — 7"3 в период
остановки скважины; 3— &Т = Т —
-Т ; 4— Т	пл
3	пл
228
Рис. 11.3. Профили температуры в наблюда-
тельной скв. 279, удаленной от нагнетатель-
ной скв. 245 на 113 м.
Месторождение Узень, XIV горизонт
Рис. 11.4. Динамика снижения температуры
в пласте в зйне расположения наблюдатель-
ной скв. 279 вследствие .закачки холодной
воды в скв. 245.
Месторождение Узень, IV горизонт
тического наблюдения температуры против XIV горизонта и изучения
динамики охвата разреза вытеснением. В зависимости от времени года
закачивалась вода температурой 15 - 24 °C.
Результаты промысловых исследований представлены на рис. 11.3 и
11.4.
С учетом фактических данных изменения температуры в скв. 279
по формуле Поверье была сделана оценка изменения температуры в плас-
те на более удаленных расстояниях от скв. 245, чем скв. 279 (113 м).
Температурные изменения после шестилетней закачки произошли
в радиусе 250 м. Профили приемистости воды, снятые в скв. 245, и про-
филь температурной кривой свидетельствовали о неравномерном прохож-
дении нагнетаемой воды в пласте. Выработка коллектора при этом была
229
неполной. Ее оценки делились с помощью нейтрон-нейтронного каротажа.
Изменение температуры в наблюдательной скв. 279 в связи с закач-
кой холодной воды в скв. 245 (месторождение Узень) показано ниже.
Продолжительность
закачки, год. . . .	2,24 2,44 3,31 3,38	3,41 3,63 3,71 4.19 5,07 5,266,0
Количество закачан-
ной воды, тыс. м3. .	302	369	480	497	521	526	551 663 807 900 1038
Температура на за-
бое СКВ. 279 Т , °C	64,7	64,5	58,8	57,8	55,8	53,2	52,4 51,3 39,3 31,8 27,8
_	з
Снижение темпера-
туры Д Т = Т —
- Т, °C. . ПЛ . .	0,3	0,5	6,2	7,2	9,2	11,8 12,6 13,8 25,7 33,2 37,2
з
Изменение температуры на различных расстояниях от скв. 245 соглас-
но аналитическим оценкам показано ниже.
Расстояние, м.............. 113	150	200	250
Снижение температуры Д 7" = Г —
Т , °C....................п	37,2	22,1	6,5	0,2
з
По состоянию на 27.11 1970 г,, когда в скв. 245 было закачано
520,6 тыс. м3 и температура на забое скв. 279 была снижена более чем на
5 °C, охват разреза вытеснением составил порядка 54 %, т.е. 45 % эффек-
тивной толщины в зоне расположения скв. 279 еще не обводнилось.
Динамика охвата разреза вытеснением в зависимости от количества
прокачанной воды представлена в табл. 11.1. В последующем охват стаби-
лизировался и мало изменился.
Отбор керна в заводненных зонах других участков при использовании
специальных и охлажденных буровых растворов показал, что после про-
хождения фронта вытеснения остается определенное количество невымы-
той нефти (отдельные слои имели первоначальную нефтенасыщенность).
В табл. 11.2 приведены результаты замеров снижения температуры
при нагнетании холодной воды на месторождении Узень в наблюдатель-
ные и добывающие скважины. Имеются случаи, когда отмечаются сниже-
ния температуры, обусловленные неравномерностью продвижения нагне-
таемого агента по площади, а следовательно,и плохой выработкой запасов
нефти. Поэтому отсутствие всяких температурных изменений в заводняе-
мом коллекторе на расстоянии 150 — 200 м часто является сигналом
о неблагополучии в разработке пластов, показателем того, что нагнетае-
мый агент движется по другим более проницаемым зонам нефтяных
залежей и не оказывает активного воздействия на эти участки.
Промысловые исследования влияния температурных изменений
на фильтрацию парафинистой нефти в коллекторе
Изучение влияния температурных изменений на фильтрацию пластовой
нефти в реальном продуктивном коллекторе имеет исключительно важное
значение. Для изучения этой проблемы на месторождении Узень на опыт-
230
Таблица 11.1
Охват коллектора заводнением в зоне расположения
скв. 279 (оо данным геофизики), Н =30,6 м
Показатели вытеснения
№ п/п					
	Фронт прохождения воды, м		Толщина, охваченная за- воднением, м	Охват заводнением от всей эффективной толщины, %	Количество закачанной ВОДЬ! в СКВ. з 245, тыс. м
	вверх	ВНИЗ			
1	1274,5	1278,0	3,5	11,4	193,5
2	1274,5	1279,0	4,5	14,7	220,3
3	1274,4	1279,0	4,6	15,0	223,0
4	1274,4	1279,1	4,9	16,0	—
5	1274,4	1282	8	26,2	235,8
6	1275,5	1282	8,5	27,8	248,0
7	1264	1266	2	34.7	—
	1273	1282	8,6		
8	1264 1272,5	1266 1232	2 9,5	37,6	260,6
9	1270,6 1264,0	1283,2 1266	11,8 2,0	54,0	520,6
	1291,6	1294,2	2,8		
Таблица 11.2
Показатели изменения температуры в охлажденных
скважинах месторождения Узень
Номер скважины	Г оризонт			 Снижение температу- ры Д Г = - т3п,л°с	Номер влияющей нагнетатель- ной скважины*	Объем закачки воды в нагнета* тельную скважи- з ** нут, тыс. м	Расстояние до нагне- тательной скважины, м
192	XIV	33,6	710	665	49
193	XIV	10,8	710	667	67
195	XIV	22,5	245	1089	293
200/223	XIV/XVII	5/19	245/430	1112/1470	140/120
233	XIV/XVI	16,6/24,2	340	557/360	94
279	XIV	37,2	245	1038	113
515	XIII/XIV	29/14,8	1040	520/520	134
560/465	XIV/XV	19,2/19,0	1095/1020	396/1003	83/100
719/700	XV/XIV	1,5/14	450/1235	304/1180	100/125
730	XIII	1,8	1245	210	125
738	XIV/XVII	13/11	470; 465	65; 365 /1047	114; 222	
1178/1033	XIV/XIV	4/14,5	1040; 1035/500	576; 975/547	814; 750/90		
1310	XIV/XV	15/20	428/780	521	125/96
1630	XIV/XV	13,8/19,2	1120/1115	420/715	220/296
1730	XIV	4	1220	712	216
1739	XIV	11	1223	254	295
1823	XIV	4,2	1046	188	125
231
Продолжение табл. 11,2
Номер скважины	Г оризонт	Снижение температу- ры Д Т ~	Номер влияющей нагнетатель- ной скважины*	Объем закачки воды в нагнета- тельную скважи-		Расстояние до нагне- тательной скважины, м
				ну, тыс.	з** м	
1835	XIV	3	1303	284		215
1840	XIII	5	1296	106		—
1855	XIV/XV	29/32	790; 795	265/180;	490	153; 125
2015	XIII	15	63	—		75
3000	XVI	2,5	—	—		—
3040	XIV/XVI	8,4/24	793	365/405		100
3050	XIV	6	1377	190		90
3280	XV/XVI	17/21	855	340/510		50
4025	XVII	23	754	463		105
4030	XVI/XVII	4/25,4	743/754	140/438		110/435
4035	XVI/XVII	17/25	743/120	131		37/280
4065	XVII	7	53	440		125
4060	XV/XVI	5,5/3,2	474	284/438		92
4070	XIV	12	1707	155		125
4075	XV	24	471	293		140
4080	XVI	15,8/24	794	440/600		68
4305	XV	2	419	600		40
4315	XVII	5,6	754	437		435
4320	XIV	12,6	1110	232		83
4385	XV/XVII	3,8/3	420/220	370/717		140/445
1315	XV	12	890	340		100
2343	XIV	8	1889	900		500
2008	XIV	4	1195	52		500
*3нак "/" указывает на принадлежность скважины горизонтам.
** Знак "/" указывает на закачку в соответствующий горизонт.
ном участке № 2 был поставлен прямой промысловый эксперимент.
Сущность работ состояла в следующем. Вблизи нагнетательной скв.
710 были пробурены три контрольные наблюдательные скв. 191, 192,
193, забои которых отстояли от забоя скв. 710 соответственно на 11, 49
и 67 м, образуя разносторонний треугольник (рис. 11.5). Характер
вскрытия слоев указан на рисунке: в скв. 710 был перфорирован для
нагнетания один из верхних слоев XIV горизонта; в наблюдательных
скв. 191, 192, 193 вскрыли только один соседний продуктивный нижеле-
жащий слой, отделенный от заводняемого слоя глинистой перемычкой
тоолщиной 2,3 м. Согласно методическому плану предполагалось закачать
холодную воду в верхний слой через скв. 710, передать через глинистую
перемычку тепловое возмущение на нижележащий слой и с помощью
скв. 191, 192 и 193 исследовать влияние температурных изменений на
фильтрацию в естественных пластовых условиях.
До проведения закачки определили начальные параметры. Результаты
исследований по скв. 191 представлены ниже.
232
дения
Рис. 11.6. Профили температуры наб-
людательной скв. 191 в различные
периоды закачки
Рис. 11.7. Профиль температуры нагне-
тательной скв. 710
Номер скважины.................................................... 191
Коэффициент продуктивности, т/(сут-МПа)............................0,143
2
Проницаемость, мкм......................................... 0,165
2
Коэффициент пьезопроводности, м/с................................. 0,117
Вязкость нефти, мПа-с............................................... 3,08
Эффективная толщина, м............................................ 5,6
Нагнетание холодной воды в скв. 710 начали при ограниченном давле-
нии на устье 5,8 — 6,2 МПа, чтобы не создать слишком большой репрес-
сии; приемистость скважины составляла 350 — 440 м3/сут, температура
воды на устье 12—14 °C.
Когда температура на забое скв, 191 снизилась относительно первона-
чальной пластовой на 1,8 °C, скважину пустили в эксплуатацию и опреде-
лили коэффициенты продуктивности. Они оказались ниже определенных
до нагнетания холодной воды в скв. 710 соответственно на 26,6 и 33,7 %.
Изменение коэффициента продуктивности в скв. 191 после закачки
холодной воды в скв, 710 приведено в табл. 11.3.
При исследовании были отобраны пробы нефти, лабораторный анализ
которых показал, что в этот период в нефти не содержалась вода.
234
Та бл и ца 11.3
Период замера	Коэффициент продуктивности, т/ (сут.МПа)	Снижение коэффициен- та продуктив- ности, %
До нагнетания холодной воды в скв. 710	0,143	
После нагнетания холодной воды:		
1-й замер	0,105	26,6
2-й замер	0,095	33,6
На рис. 11.6 и 11.7 представлены результаты замеров температуры
в скв. 191 и 710.
В дальнейшем из-за технических причин в скважинах стали эксплуа-
тировать другие горизонты.
Опытные промысловые работы по нагнетанию горячей воды
Первые работы по нагнетанию горячей воды были осуществлены на опыт-
ном участке № 3 месторождения Узень (скв. 705, XXIII гор.).
Для подогрева воды использовались две нагревательные установки
бесповерхностного нагрева типа ФНКВ-1М производительностью
550 м3/сут с температурой воды на выкиде 7" = 95 °C. Закачка горячей
воды в скв. 705 была начата 8.Х 1969 г., ее параметры приведены в
табл. 11.4.
Таблица 11.4
Режим закачки	Давление на устье, МПа	Приемис- тость, м3/сут	Коэффициент проницаемос- ти, м3/ (сут- МПа)	Температура на установ- ке, °C	Охват заводнения	
					толщи- ны, м	от вскры- той тол- щины, %
I	6,0 - 6,5	502	0,81	90- 95	23	79
II	7,5-8,0	680	0,85	90- 92	25	86
III	8,2 - 8,5	800	0,97	90- 96	24	83
В процессе нагнетания горячей воды при различных режимах сняли
профили поглощения (рис. 11.8).
Охват пласта заводнением составил 23 — 25 м, т.е. 80—86 % от вскры-
той толщины, фактически все слои принимали горячую воду. Снижения
приемистости не отмечалось. Это открывало возможность постановки уже
235
Рис. 11.8. Профили поглощения при нагнетании горячей воды в скв. 705.
Месторождение Узень, XIII горизонт:
а — общая приемистость 502 м /сут, р =
приемистость 804 м3/сут, = 8,5 МПа/7
п.с. — спонтанная поляризация
6,2 МПа, Т =70 °C, 7 = 60 °C; б -
— 70 °C, 7з — 62 °C; р — сопротивление,
широкомасштабного промышленного эксперимента по нагнетанию горя-
чей воды на данном месторождении, который и был в последующем осу-
ществлен по II нагнетательном ряду.
ОПЫТНО-ПРОМЫШЛЕННОЕ НАГНЕТАНИЕ ГОРЯЧЕЙ ВОДЫ
ВО ВТОРОЙ РАЗРЕЗАЮЩИЙ РЯД
Выбор месторождения Узень под термальное заводнение был не случаен.
Пробная эксплуатация и начало разработки (1964 — 1968 гг.) показали,
что при высокопарафинистой нефти, содержащейся в слоисто-неодно-
родных пластах, холодное заводнение не может обеспечить качественную
разработку месторождения.
Это проявилось в общем неудовлетворительном состоянии разработки
как в отношении текущих отборов нефти, так и полноты охвата пласта
заводнением. Быстрый прорыв нагнетаемой воды в добывающие скважи-
ны (60 % скважин работали с водой уже через 3 — 4 года эксплуатации),
снижение температуры в зонах нагнетания показали всю сложность проб-
236
ламы. Влияние изменения температуры на поведение нефти месторожде-
ния Узень уникально: нефть при 30 — 32 °C превращается в структури-
рованную массу, а при 12 — 15 °C — в твердый битум. Охлаждение такой
нефти при обычном заводнении в слоях с пониженной проницаемостью
(которые составляют до 35 %) чревато потерями нефти и не достиже-
нием удовлетворительного коэффициента нефтеотдачи. Ввиду этого
в Генеральной схеме рекомендовалось разрабатывать это месторождение
уже с самого начала при поддержании пластового давления и пластовой
температуры. Однако проблема термозаводнения в тот период еще не бы-
ла решена ни у нас, ни за рубежом. Ее еще предстояло изучить.
Выполненное на месторождении пробное нагнетание горячей воды
в отдельные скважины еще не могло ответить на многие технико-техноло-
гические вопросы, связанные с переводом всего месторождения под
термозаводнение. Требовался масштабный эксперимент по длительному
нагнетанию горячей воды в большую группу скважин, и предстояло ре-
шить технические вопросы подготовки и получения горячей воды в боль-
ших объемах.
После сооружения специальной установки по нагреву минерализован-
ной морской воды в июле 1970 г. приступили к первому в СССР опытно-
промышленному нагнетанию горячей воды в скважины второго разрезаю-
щего ряда, вскрывшие XIII, XIV, XV, XVI горизонты.
Этот ряд был введен в работу при закачке горячей воды. В течение
1,5 лет было закачано 4,85 млн. м3 воды температурой 75— 85 °C. Перво-
начально нагнетание осуществлялось в 13 скважин, в последующем в
24, затем в 52 скважины.
В связи с превышением закачки над отбором нефти из окружаю-
щих скважин вначале был отмечен рост устьевых давлений нагнетательных
скважин до 13,5 МПа, что (как показали расчеты) соответствовало тем-
пам нагнетания и гидродинамическим параметрам пластов. В последую-
щем при подключении под закачку дополнительных скважин и ее перерас-
пределении давление снизилось до обычного 10,0 — 10,5 МПа( при деби-
тах 250 — 650 м3/сут).
Практика показала, что приемистость скважин в целом стабильна
и что указанный процесс можно реализовать на всем месторождении
Узень. Ближайшие добывающие скважины, удаленные на 350 — 500 м,
активно реагировали на нагнетание горячей воды, в отдельных из них
был отмечен рост пластовых давлений на 2,0 — 3,5 МПа, что указывало
на активную передачу давления по пластам.
В связи с периодическими ремонтами нагревательной установки
неоднократно переходили на закачку обычной воды, при этом буфер
из горячей воды продвигался дальше по пластам (табл. 11.5) .
Ниже приводятся промысловые показатели разработки в зонах распо-
ложения второго и третьего нагнетательных рядов. Эти области были
введены в разработку первыми на месторождении, и поэтому внутри-
пластовые процессы в них проявились с наибольшей полнотой.
В третий разрезающий ряд, который проходит через центральную
купольную, наиболее продуктивную часть месторождения, с самого нача-
237
iабл ица I I .о
Нагнетание горячей и холодной воды во второй разрезающий ряд (млн. м3),
XIII - XVI горизонты
Периоды нагнетания	Показатели нагнетания воды						
	Температура во- ды, °C	Текущая закачка			Накопленная закачка		
		XIII + + XIV	XV + + XVI	Всего	XIII + + XIV	XV + г XVI	Всего
VII 1970 - II 1972	Горячей 60 — 90	3,357	1,491	4,848	3,357	1,491	4,848
III 1972 - IX 1973	Холодной 10 — 20	3,903	2,399	6,302	3,903	2,399	6,302
X 1973 - XII 1973	Горячей 60 — 70	0,567	0,310	0,877	3,924	1,801	5,725
I 1974 - V 1974	Холодной 10 — 15	1,336	0,793	2,129	5,239	3,192	8,431
VI 1974 - III 1977	Горячей 45 — 80	5,969	3,442	9,411	9,893	5,243	15,136
IV 1977 - VI 1978	Горячей 60 — 76	1,432	0,828	2,260	11,325	6,071	17,396
					 I	—	11		—	1
	Холодной 10—20	1,025	0,609	1,634	6,264	3,801	10,065
VI 1978 - VI 1979	Горячей 45 — 70	0,928	0,564	1,492	12,253	6,635	18,888
	Холодной 12 — 20	0,847	0,452	1,299	7,111	4,253	11,364
VI 1979 - VI 1980	Горячей 45 —70	0,403	0,329	0,732	12,656	6,964	19,620
	Холодной 12—20	0,929	0,616	1,545	8.040	4,869	12,909
ла разработки нагнеталась обычная вода с поверхностной температурой
15 — 20 °C на устье скважин.
Обе зоны разбурены по одной сетке скважин, расстояние между
нагнетательными скважинами 250 м, между вторым и третьим разрезаю-
щими рядами — 8 км.
Исследования показали, что области не являются идентичными по
геологическому строению и фильтрационным характеристикам. Так,
вся северная часть области (XIII, XIV горизонты), прилегающая ко второ-
му ряду, является низкопродуктивной в отношении приемистости нагне-
тательных скважин и притока нефти к добывающим скважинам по сравне-
нию с областью третьего разрезающего ряда. Различие в параметрах ослож-
няет прямое сравнение технологических показателей. Средние значения
проницаемостей горизонтов 0,17 — 0,32 мкм2, эффективные толщины
пластов 12 — 23 м. Распределение проницаемостей представлено в табл.
11.6.
Табли ца 11.6
Г ори- зонт	Распределение проницаемости, %					
	0,01 - 0,03 мкм2	0,03 - 0,06 мкм2	0,06 - 2 0,12 мкм	0,12 — 0,24 мкм2	0,24 - 0,6 мкм2	>0,6 мкм2
XIII	47	12	12	10	10	9
XIV	20	13	17	20	20	10
XV	17	17	28	19	12	7
XVI	10	14	24	25	19	8
XVI 2	39	25	19	9	7	1
238
Неоднородность пластов характеризуется коэффициентами расчле-
ненности К и песчанистости К^. Под К понимается отношение числа
вскрытых слоев по всем скважинам к числу скважин (Л/), К& =S п. /N;
i = 1
К — отношение эффективной толщины горизонта к его стратиграфичес-
кой толщине (расстояние от кровли до подошвы). Для основных горизон-
тов эти параметры представлены в табл. 11.7.
Выполнен комплексный анализ основных показателей разработки
в области второго и третьего разрезающих рядов.
Основу анализа составили промысловые данные эксплуатации по
всем (без исключения) добывающим скважинам, расположенным в зо-
нах, ограниченных смежными разрезающими рядами. По XIII и XIV
горизонтам рассматривались добывающие ряды: 0, 1, 2, и 3-й; по XV и
XVI горизонтам: 1, 2, 3 и 4-й ряды, прилегающие с запада и с востока. С
1973 г. "нейтральные" добывающие ряды были превращены в нагнета-
тельные. Число скважин, включенных в анализ, представлено в табл. 11.8.
Систематизация материалов проведена: по рядам (36 рядов), зонам
(западаная, восточная), горизонтам (XIII, XIV, XV, XVI), в целом по
области (XIII + XIV и XV + XVI). В общей сложности было обработано
более 1,5 млн. данных.
Таблица 11.7
Г оризонт	К п		К 	в		
	среднее значение	коэффициент вариации	число определений	среднее значение
XIII	0,21	0,155	77	4,4
XIV	0.37	0,164	77	6,6
XV	0,32	0.156	5,6	4,7
XVI	0,44	0,181	50	2,9
XVII	0,42	0,248	25	5,3
Табл и ца	11.8			
		Число проанализированных скважин		в различные годы
Г оризонп	1973	1974	1975 1976 1977 1978 1979	1980 1981	1982		
		Область второго	разрезающего ряда	
XIII+XIV	83		87	89	84	81	76	87	93	91	91	
XV + XV	47	46	53	59	64	63	68	80	99	105	
XIII + XIV +				
+ XV +XV	1	130	133	142	143	145	139	155	173	190	196		
		Область третьего разрезающего ряда		
XIII+XIV	115		125	145	133	1	15	115 128	140	139	144	
XV + XVI	69		70	76	83	72	93	110	128	124 127	
XIII +XIV +				
+ XV + XVI	184		195	221	216	187	208 228	263	263 271		
239
Рис. 11.9. Изменение дебитов нефти добывающих скважин в зоне нагнетания холод-
ной (7) и горячей (2) воды.
Разрезающий ряд: 1 — третий; 2 — второй
Ввиду неадекватности геологических условий для выявления влияния
технологии заводнения на воздействие и добычу нефти была применена
специальная методика. Считается, что в этих условиях целесообразно
сравнивать не столько абсолютные значения показателей, которые в основ-
ном зависят от геологических условий, а важно выявить динамику их
изменений (во времени), которая в значительной степени обусловли-
вается самой технологией разработки.
Проведено сопоставление безразмерных параметров — дебитов и
отборов нефти во времени, при котором все текущие показатели в пе-
риод холодного и термального заводнения были поделены на показатели
начала нагнетания. Это несколько уменьшило влияние отдельных геологи-
ческих характеристик и идентифицировало (хотя и не полностью) усло-
вия.
Динамика основных технологических показателей отражена в табл.
11.9, 11.10 и на рис. 11.9, 11.10. При определении компенсации отбора
закачкой учитывались нагнетание воды в смежные граничные ряды и
разгазирование нефти в первый период при снижении пластового давле-
ния.
Динамика дебитов рассмотрена за 1972 — 1976 гг., когда определялись
безразмерные дебиты скважины с учетом работы XIII + XIV и XV + XVI
240
Рис. 11.10. Динамика годовой добычи нефти (%) в зонах второго и третьего разре-
зающих рядов.
Условные обозначения см. на рис. 11.9
горизонтов, и за 1977 — 1982 гг. при расчете дебитов скважин каждого
горизонта в отдельности (абсолютные значения).
На начало процесса заводнения дебиты нефти составляли по третьему
ряду XIII + XIV — 67,5 т/сут, XV + XVI — 50,1 т/сут, средний — 59,3 т/сут;
по второму XIII + XIV — 36,4 т/сут, XV + XVI — 53,0 т/сут, средний —
53,0 т/сут. Анализ показывает, что динамика дебитов нефти в области
второго ряда лучше, чем в области третьего, т.е. темпы снижения дебитов
в области третьего ряда были значительно выше (табл. 11.10, 11.11).
Одним из критериев эффективности воздействия на нефтяные пласты
при нагнетании холодной или горячей воды может служить статистичес-
кий показатель ж = QH ж/ №pkh J.
Анализ выполнен на момент шестилетней закачки воды во второй раз-
резающий ряд, т.е. по состоянию на Нквартал 1976 г., когда температур-
ный фактор играл определенную роль. Результаты представлены в табл.
11.12- 13.
Если сопоставить ближние (смежные) зоны — западную второго
разрезающего ряда и восточную третьего ряда, то по XIII + XIV горизон-
там в области второго ряда у>н и на 14 и 18% выше, по XV + XVI
,5-373
241
горизонтам соответственно на 39 и 32 %. И только при одном сравнении
удаленных зон (восток второго ряда и запад третьего) по XIII + XIV
горизонтам превышение было в области третьего ряда, которое, вероятно,
объясняется лучшим геологическим строением. В целом более активное
воздействие фиксируется в области второго ряда: по — на 13 %, по —
на 16 %. В 1981 г. в третьем ряду перешли на закачку горячей воды.
Определение нефтеотдачи по промысловым данным связано с боль-
шими трудностями, которые обусловлены малой достоверностью опреде-
ления начальных запасов нефти в той или иной зоне. Наличие в продуктив-
ных разразах тонких глинистых непродуктивных прослоев, которые прак-
тически не улавливаются геофизическими приборами и рассеяны по разре-
зу и по площади, крайне осложняет выделение подлинно продуктивной
нефтенасыщенной толщины. Такой балласт может составлять до 25 — 35 %
от "эффективного продуктивного" разреза. По усредненным геофизичес-
ким (косвенным) данным его трудно выделять и отсекать.
Таблица 11.9
Год разработ-	Дебит у*,			%		
	Третий разрезающий ряд			второй разрезающий ряд		
ки	по XIII + XIV	no XV + XVI	Среднее	по XIII +XIV	по XV +XVI	Средн
	горизонтам	горизонтам	значение	горизонтам	горизонтам	значенк
1972	63,7	88,2	73,3	99,2	79,2	89,9
1973	59,6	68,5	63,6	97,3	81,9	85,9
1974	54,4	73,4	61,9	102,2	89,8	95,8
1975	57,4	78,6	65,8	100,0	77,4	91,.
1976	50,7	65,5	56,7	96,2	74,7	85. '
Таблица 11.10
Год разработ ки	Дебит (<7Н, т/сут) и обводненность (л, %)							
	Третий разрезающий ряд							
	XIII		XIV		XV		XVI	
	%	п	%	п	%	п	%	п
1977	17,3	44,3	27,9	44,2	16,1	45,4	22,6	47,5
1978	13,0	52,5	19,5	56,6	14,2	51,1	16,4	52,3
1979	13,2	52,6	18,2	53,9	12,1	53,3	16,8	49.5
1980	10,8	55,3	14,0	58,4	9,8	57,7	12,8	49,6
1981	8,7	57,3	10,7	62,5	9,6	54,0	13,5	50,5
1982	7,9	60,7	10,8	57,7	8,7	57,7	8,7	55,8
242
Продолжение табл. 11.10
Год разработ- НИ	Дебит (qh< т/сут) и обводненность (л, %)							
	Второй разрезающий ряд							
	XIII		XIV		XV		XVI	
	%	п	%	п	qH	п	%	п
1977	10,0	51,3	26,3	48,1	24,4	49,8	23,3	41,3
1978	8,7	58,1	20,1	56,8	17,8	62,3	17,2	53,3
1979	7,9	52,0	15,9	61,6	15,5	65,3	15,4	54,4
1980	5,8	50,6	12,9	60,5	16,1	60,2	13,9	48,5
1981	5,6	55,1	11,5	61,4	11,2	63,1	13,3	50,6
1982	6,3	53,5	11,2	63,3	10,6	64,8	14,0	50,7
Таблица 11.11
Период разработки	Значение дебитов Q , %, и компенсация отборов згкачкой воды S cP /^Q ж	в					
	Третий разрезающий ряд					
	XIII +XIV		XV + XVI		XIII +XIV +XV +XVI	
	Q н	So Ж	Q н	So Ж	Q н	So 	ж So в
		SQ В		24		
1.VII 1969 -	1.VII 1970	100	0,41	100	0,24	100	0,34
1 .VII 1970 -	1. VII 1971	92,8	0,54	87,4	0,91	90,5	0,70
1 .VI1 1971 -	1.VII 1972	96,5	0,76	88,3	1,22	93,0	0,94
1.VII 1972 -	1.VII 1973	94,5	0,93	99,4	1,39	91,9	1,12
1 .V111973 -	1.VII 1974	87,1	1,02	82,7	1,47	85,2	1,21
1.V11 1974 -	1.VII 1975	109,4	1,10	96,4	1,51	104,0	1,24
1.VII 1975 -	1.VII 1976	114,8	1,12	98,1	1,52	107,8	1,29
1. VII 1976 -	1.VII 1977	69,8	1,19	79,0	1,57	73,6	1,35
1 .VII 1977 -	1.VII 1978	88,4	1,16	57,6	1,38	75,5	1,25
1 .VII 1978 -	1. VII 1979	67,31	1,19	66,41	1,40	66,94	1,28
1.VII 1979 -	1.VII 1980	60,9	1,27	64,29	1,50	62,32	1,37
1. V111980 -	1.VII 1981	54,5	1,41	61,4	1,71	57,4	1,53
1.VI I 1981 - 1 .VII 1982 - 1 .VII 1983 - 1 .VII 1984 - 1 .VII 1985 —	1.VII 1982 1.VII 1983 1.V1I 1984 1.VII 1985 1.VII 1986	48,4	1,47	60,6	1,80	53,5	1,61
243
Продолжение табл. 11.11
Период разработки				Значение дебитов О , %, и компенсация отборов закачкой воды	Qa					
				Второй разрезающий ряд					
				XIII +XIV		XV +XVI		XIII +XIV + XV+XVI	
				Q н	LO Ж	Q н	SQ 	ж 2о В	а н	20 Ж 2о В
					So В				
1.VII	1969 -	1 .V11	1970												
1.VII	1970 -	1.VII	1971	100	0,24	100	0,12	100	0,19
1. VII	1971 -	1. VII	1972	100,4	0,66	75,6	0 34	88,6	0,51
1 .VII	1972 -	1 .VII	1973	115,3	0,97	76,0	0,60	96,6	0,70
1.VII	1973 -	1.VII	1974	114,2	1,23	83,8	0,81	99,8	1,04
1 .VII	1974 -	1 .VII	1975	122,6	1,33	92,7	0,89	108,4	,1,14
1.VII	1975 -	1.VII	1976	120,5	1,46	97,0	0,99	109,7	1,25
1 .VII	1976 -	1.VII	1977	114,0	1,49	100,9	1,13	107,8	1,33
1.VII	1977 -	1 .VII	1978	92,5	1,48	86,3	1,12	89,6	1,32
1 .VII	1978 -	1 .VI1	1979	77,05	1,53	73,0	1,14	75,12	1,35
1.VII	1979 -	I.Vil	1980	58,24	1,55	63,01	1,18	60,5	1,38
1 .VII	1980 -	1 .VII	1981	55,3	1,60	70,0	1,22	62,3	1,43
1 .VII	1981	1 .VII	1982	54,0	1,63	7 7,4	1,26	65,1	1,46
Таблица 11.12
Зона разработки	Горизонт	а н	Число эксплуата- ционных объектов	ith объекта, 2 МКМ * м	Пере- пад давле- ния Др, МПа	^н^ж > т/сут
		Q ж тыс. т				
						2 МПа-мкм
		мес				
	XIII +XIV	43,921	XIII - 30	3,614	2,44	0,0122
		68,238	XIV -45	8,400	2,48	0,0189
Западная	XV + XVI	31,526 41,515	XV - 19 XVI-24	3,84 3,801	2,16 2,00	0,0309 0,0407
	XIII +XIV + XV + XV	+ 75, 447 109,753		—	—	0,0163 0,0237
	XIII +XIV	33,46	XIII - 23	3,878	2,44	0,0123
Восточная	XV +XVI	51,943 29,903	XIV - 28 XV - 17	9,794 3,555	2,50 2,13	0,0192 0,0393
	XIII +XIV + XV + XIV	39,305 + 63, 363 | 91,248	XVI - 20	3,094	2,02	0,0516 0,0183 0,0263
244
Продолжение табл. 11.12
Зона разработки	Г ориэонт	Q н	Число эксплуа- тационных объектов	АЛ объекта, э	| мкм -М	|	Пере- пад давле- ния Др, МПа	^ж ’ т/сут
		ж тыс. т					
							2 МПэ’Мкм •
		мес					
Западная + Восточная	XIII + XIV	77,38	XIII - 53	-		—	0,0123
		120,18	XIV - 73				0,0190
	XV + XVI	61,43 80,82	XV - 36 XVI - 44	—		—	0,0345 0,0454
	XIII +XIV	+ 138,81	—	—		—	0,01714
	+ XV +XV	I 201,00					0,0248
м
Примечание. Q IQ —отборы нефти и жидкости; kh — проводимость объек-
та; Др — р — р — разность давления на линии нагнетания и в зоне отбора; ,
.	ЛН —30	,	н
— удельная добыча соответственно нефти и жидкости.
Табл и ца 11.13
Зона разработки	Г ори- зонт	а 	 Q ж тыс, т мес	Число эксплуата- ционных объектов	kh _ э объек- та, 2 МКМ ' м	Перепад давле- I ния Др, МПа ।	^н^ж' т/сут	I	2 I МПа* мкм • м
	XIII +XIV	71,262	XIII - 38	3,64	2,36	0,0162	
		99,322	XIV - 55	7,986	2,59	0,0226	
	XV + XVI	27,765	XV - 25	2,40	2,29	0,0180	
Западная		34,673	XVI - 32	4,457	2,48	0,0224	
	XIII +XIV+	99, 027	—	—	—	0,0167	
	+ XV + XVI	133,995				0,0226	
	XIII +XIV	48,063	X111 - 40	3,435	2,08	0,0105	
		70,945	XIV - 52	9.844	2,42	0,0155	
	xv + xvi	42,900	XV - 31	2,989	2,70	0,0190	
Восточная		62,657	XVI - 35	5,886	2,44	0,0277	
	XII1 +XIV+	90, 96	—	—	—	0,0133	
	+ XV +XVI	133,6				0,0195	
245
Продолжение табл. 11.13
Зона разработки	Г оризонт	О Q	тыс. т н	Число эксплуата- ционных объектов	Arh объекта, э .	5 *	Перепад давления Др, МПа	лле т/сут МПа- мкм
			мес ж					
Западная + Восточ-	XIII +XIV		119,32	XIII - 78		—	—	0,0133
ная			170,27	XIV - 107				0,0190
	XV + XVI		70,66	XV - 56		—	—	0,0186
			97,33	XVI -67				0,0256
	XIII +XIV	+	189,99	—		—	—	0,0149
	+ XV +XV	I	267,59					0,0209
Примечание. См. табл. 11.12.
ТЕРМОЗАВОДНЕНИЕ НЕФТЯНОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ УЗЕНЬ
Освоение и ввод в действие нефтяного месторождения Узень — это новый
шаг в развитии теории проектирования и практики разработки нефтяных
месторождений нашей страны.
Уникальные термобарические свойства его нефти, неоднородность
и сложность строения пластов предопределили появление в нашей нефте-
добывающей промышленности новой технологии разработки — крупно-
масштабного термозаводнения, а в области теории — создание теоретичес-
ких основ проектирования разработки нефтяных месторождений при
неизотермических условиях фильтрации.
Добыча нефти на месторождении Узень прошла трудный и сложный
путь своего развития. Открытое в 1961 г. и введенное в действие в
1964 — 1965 гг. месторождение начало разрабатываться фактически при
закачке холодной воды (за исключением одного ряда).
Рост добычи нефти на месторождении до 1976 г. шел исключительно
за счет экстенсивного фактора — разбуривания и ввода в действие всех
новых площадей и участков. Дебиты нефти в это же время по скважинам
непрерывно снижались, включая и период роста темпа заводнения. Когда
основные горизонты и площади были разбурены, началось интенсивное
падение общей добычи нефти без появления "площадки", т.е. стабилиза-
ции текущей добычи. Намеченные в Генеральной схеме уровни отборов
не были достигнуты. Дебиты снижались вследствие многих причин, в том
числе и из-за ухудшения теплового режима в пластах, вызванного закач-
кой холодной воды.
Ухудшение фильтрационных условий на линии нагнетания отрицатель-
но влияет на выработку залежей в целом, включая и зоны, где еще не
произошли температурные изменения, так как нефть вытесняется послой-
но водой, движущейся от нагнетательных скважин (это доказано практи-
кой разработки на многих месторождениях).
246
Таблица 11.14
Период
Объем закачанной воды, млн. м3
нагнетание, год	за период	накопленный
	 <970 - ; 975					 11,53	11,53
:S76	6,41	17,94
’977	10,0	27,94
’078	13,17	41,11
1979	15,17	56,28
1980	18,81	75,09
.981	25,8	100,89
!982	40,36	141,25
1983	51,2	192,45
По мере сооружения и освоения системы нагрева воды месторожде-
ния Узень и Карамандыбас переводились под нагнетание горячей воды.
Динамика роста за.-:ачки горячей воды по НГДУ "Узеннефть" представле-
на в табл. 11.14.
Полный перевод месторождения Узень под закачку горячей воды
был осуществлен в конце апреля 1983 г.
В текущее время суточная закачка горячей воды составляет
150 тыс. м3, или более 50 млн. м3 в год.
Термозаводкение нефтяных залежей в таких промышленных масшта-
бах осуществлено впервые в отечественной и зарубежной нефтепромыс-
ловой практике.
Реализация закачки горячей воды приводит к восстановлению
ранее сниженной пластовой температуры на старых и к поддержанию и
повышению температуры на новых участках, которые разбуриваются для
уплотнения летки и перевода месторождения под термоплощадное завод-
нение.
Анализируя последующую динамику добычи нефти, можно отметить,
что темпы падения добычи нефти сначала уменьшились, а затем в период
1980 — 1982 гг. добыча стабилизировалась. В 1983 г. наметился рост
добычи нефти, степень которого будет определена лишь при последую-
щей эксплуатации.
Стабилизация добычи нефти связана с улучшением термогидродина-
мических условий в пластах, совершенствованием режима закачки и про-
ведением других мероприятий.
Анализ характеристик вытеснения, построенных в полулогарифмичес-
ких координатах добыча нефти — добыча жидкости для месторождения
в целом и отдельных блоков разработки, показывает улучшение условий
вытеснения нефти из пластов. Так, например, на IX блоке (XIII — XIV
горизонты) в 1977 г. был осуществлен переход на закачку горячей воды.
На кривой характеристики вытеснения (рис. 11.11) четко обозначены
изломы, вызванные улучшением отдачи пластов при нагнетании горячей
воды.
247
о
Рис. 11.11. Кривая характеристики вытеснения.
Месторождение Узень, IX блок, XIII—XIV горизонты
Оценка эффективности нагнетания горячей воды
При расчетах эффективности применения того или иного метода воздейст-
вия используется ряд подходов:
сравнение показателей на двух месторождениях или участках, где реа-
лизуются разные технологии;
экстраполяция показателей после перехода на другую технологию;
сравнение фактических показателей с расчетными показателями дру-
гой (сравниваемой) технологии и др.
Указанные методы имеют существенные недостатки, которые уже
отмечались в литературе.
Сопоставление результатов разработки по промысловым данным раз-
ных участков при различных технологиях осложняется прежде всего раз-
личием в их строении (залежи и условия практически неповторимы)
и неполнотой знаний о действительном строении коллекторов. Применяе-
мые при обработке геолого-промысловых данных статистические методы
248
не устраняют неопределенности в исходных данных. Когда влияние геоло-
гических особенностей на показатели разработки превосходит влияние
элементов технологии, сравнение участков просто неприемлемо.
Существенный недостаток метода экстраполяции показателей —
неопределенность угла наклона кривых при прогнозировании, которые
изменяются различными темпами в разные периоды эксплуатации. Незна-
чительные отклонения в углах наклона приводят к существенным измене-
ниям показателей разработки.
Сравнение чисто расчетного варианта с промысловым может дать
значительное расхождение в абсолютных значениях показателей, так
как наши геологические и гидродинамические модели учитывают только
часть реальных условий.
Для оценки эффективности нагнетания горячей воды на месторожде-
нии Узень принята методика ВНИИ, утвержденная Миннефтепромом
для оценки технологической эффективности при нагнетании горячей воды
[19].
Способ оценки дополнительной добычи нефти в результате закачки
горячей воды здесь является комбинированным (промыслово-расчет-
ным) .
Для определения технологического эффекта выполняется одновремен-
ный учет трех групп показателей:
фактических показателей разработки при реализации процесса разра-
ботки;
расчетных показателей проводимого процесса (нагнетания горячей во-
ды или перехода на закачку горячей воды);
расчетных показателей сравниваемого процесса, т.е. закачка только
холодной воды.
Расчетная добыча при неосуществляемой технологии определяется
умножением фактической добычи нефти в данный период разработки на
отношение расчетных величин добычи на тот же период разработки при
различных технологиях. Дополнительная добыча определяется как раз-
ность между фактической добычей и добычей сравниваемого процесса.
В методике учитываются основные термогидродинамические парамет-
ры и факторы процесса неизотермического заводнения — изменение вяз-
костей нефти и воды при изменении температуры, структурно-механичес-
кие свойства нефти, фазовые проницаемости для этого месторождения,
данные о распределении проницаемости пластов, влияние гидроразрывов
на дифференциацию потоков и др. Отмеченное взято в основу алгоритма
инженерных расчетов, для которых составлена программа на алгоритми-
ческом языке ПП/1 для ЭВМ типа ЕС 1033, имеющейся в ИВЦ ПО "Ман-
гышлакнефть".
Расчеты ведутся в оперативном режиме с ежеквартальным определе-
нием эффекта нагнетания горячей воды по отдельным блокам разработки,
горизонта и месторождению в целом.
Опыт показал, что расчетный метод, являясь инженерным, с достаточно
высокой точностью воспроизводит разработку месторождения за прошед-
ший период (до 1983 г.). Воспроизведение картины реальной разработки
249
Таблица 11.15
6 тОМ_числе^_] • В том чиспе
	Всего	HP- i? s I		
				Вс вги 1 - . “ОИ	при
показатели	ф.:			ГС	l.Tfl- ОЧХ г-	
		• v •	.	лакачке			
		ной воды	сп с I	•	, горячей о. о 1	! " , so«bt	
				I	т
Амортизация основных фондов, %	3S  *	22.37	Ю.-'й!	’а '  г 16.5
Расходы, %, на;			1	
электроэнергию	21.27	14,26	7.01|	19.98’1192 .1 8,06
воду техническую	28.70	17,63	1 ;,G7j	'’92 7; '.'4 i 14,53
толливо	3,85	—		? 7 '.	-	2,56
транспорт	2,37	1,59	0,78!	7.-’71 1,48	0,99
вспомогательные материалы	1,89	’.,27	0.62!	2,о'?! "	1,12
Заработная плата, %	2,34	1,5?	0,77!	W ’ 6С-	1.1
Цеховые расходы, услуги цехов,	0,79	0,48	') J I	C.8I! ”48 1 0,33
ление на соцстрахование, %			i	
Общие затраты, %	100	59,51	4Q. 8? I	'Т 7 81 f 15,19
Объем закачиваемой воды, %	100	67,0	33.0 1	ЮС |ГЭ,8 ! 40,2
Себестоимость 1 м заучиваемой во-	0,52	0,46	Э..64'	2/:? | С 49 । 0,60
ды, руб.			i	|
говорит о надежности применяемого метода и позволяя- ""н-аяровать
разработку на будущее.
Результаты оценки дополнительной добычи нефти от : • v. чкг горячей
воды на месторождении Узень представлены ниже.
Год....... 1971 - 1975 1976	1977 1978 1979	1980 '93’ 1982	1983
Дополнитель-
ная добыча
нефти, тыс. т 340	430	750	820	832	8 74	989	9G8	990
По состоянию на 1.1 1984 г. дополнительная добь ,, нгф-и здесь соста-
вила порядка 6,93 млн, т.
Для расчета экономической эффективности определены Затраты на
подготовку и закачку горячей воды (табл. 11,1Е) . а 100 7> зтт.ты общие
затраты. Себестоимость закачки 1 м3 горячей воды в 1983 г. составила
0,69 руб.
Выполненный технико-экономический анализ нагнетания горячей
воды за 1983 г. показал, что годовой экономический эффект равен
12,6 млн. руб.
Продолжительность закачки горячей воды на месторождении Узень
будет определяться комплексным термогидродинамическим и технико-
экономическим анализом.
250
Всего за 1981 г.	В том числе		Всего за 1982 г.	В том числе		Всего за 1983 г.	В том числе	
	при закачке холод- ной воды	при закачке горячей воды		при закачке холод- ной воды	при закачке горячей воды		при закачке холод- ной воды	при закачке горячей воды
37,26	16,66	20,59	29,79	5,04	24,76	29,00	0,82	28,18
20,86	6,74	14,12	22,73	4,38	18,35	24,47	0,80	23,67
33,16	15,06	18,10	38,98	7,53	31,45	36,44	1,16	35,28
2,97	—	2,97	4,08	—	4,08	5,31	—	5,31
1,03	0,48	0,55	0,88	0,16	0,65	1,39	0,04	1,35
0,63	0,29	0,34	0,38	0,07	0,31	0,22	0,01	0,21
2,94	1,34	1,60	2,28	0,44	1,84	2,31	0,08	2,23
1,15	0,53	0,62	0,93	0,18	0,75	0,87	0,03	0,84
100	41,11	58,89	100	17,80	82,20	100	2,93	97,07
100	46,15	53,85	100	19,31	80,69	100	3,18	96,82
0,57	0,50	0,62	0,71	0,66	0,73	0,69	0,64	0,69
Г лава 12
ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ПОЛУЧЕНИЯ ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ
ДЛЯ ТЕРМАЛЬНОГО ЗАВОДНЕНИЯ
Получение горячей воды в промышленных объемах для термального за-
воднения пластов — сложная техническая задача, от успешного решения
которой зависят темпы и масштабы внедрения данной технологии.
На месторождении Узень получили решение многие вопросы строи-
тельства и организации теплотехнического комплекса системы термо-
заводнения. Опыт этого месторождения должен учитываться и в дру-
гих нефтяных районах.
Отсутствие источников пресной воды на полуострове Мангышлак
заставило использовать для заводнения минерализованную воду Каспий-
ского моря, содержащую 13,8 г/л солей. Кроме того, использовали пласто-
вую воду верхних альб-сеноманских отложений (15 — 17% от объема
закачки) с минерализацией 5—6 г/л и попутную воду (18 — 22 %). При
термозаводнении эти воды требуется нагревать до 85— 95 °C.
При заводнении на месторождении нашли применение и термаль-
ные воды из глубинных юрских отложений (XXIV горизонт, глубина
~ 2200 м, 7 = 100 °C), которые не требуют подогрева и являются естест-
венным природным теплоносителем.
251
ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ПОДОГРЕВА ВОДЫ
Главная проблема при нагреве минерализованных вод — образование
накипи солей на теплопередающих поверхностях труб ("змеевиках"),
приводящей к прогоранию труб и выводу установок из строя.
Для подогрева таких вод предлагались и испытывались различные
установки [35] : котлы бесповерхностного нагрева (ФНКВ-1М) ; радиант-
ные трубопроводные нагреватели; установки конфузорного нагрева
(с камерами расширения в напорном водоводе, где сжигается топливо)
и др. '
По ряду причин они не получили применения.
Первый промышленный нагреватель морской воды — двухконтурная
установка ОПУ, содержащая пиковый котел типа ПТВМ-100 и выпарной
аппарат (опреснитель морской воды), производительностью 12—
14 тыс. м3/сут, Т = 85 — 90 °C. Эта установка была сооружена во вто-
ром разрезающем ряду.
Установка имеет нагревательный и нагнетательный комплексы. В пос-
ледний входят три насоса "горячего" антикоррозийного исполнения
типа ПЭ-270-150 производительностью 270 м3/сут при 15 МПа каждый.
Принцип действия установки следующий.
Котловая вода, нагретая под давлением до 150 °C в котле 1 (рис.
12.1), поступает в самоиспаритель 4, где генерируется пар, напоавпяемый
в выпарной аппарат 6. Охлажденная при самоиспарении вода и дистиллят
из выпарного аппарата возвращаются в бак 5 и затем насосом 2 подаются
на питание котла 1 (вода циркулирует по замкнутому контуру).
Исходная морская вода в установке разделяется на два потока. Часть
ее подогревается до 40 °C в теплообменнике 3 за счет тепла конденсации
вторичного пара выпарного аппарата, затем нагревается до 100 °C в аппа-
рате 6. Образующийся пар поступает в теплообменники Эи 7/, а также
в конденсатор смещения 12. Конденсат из теплообменников направляет-
ся в бак 5, что компенсирует потери пара.
Нагретая в выпарном аппарате морская вода содержит затравочные
кристаллы (адсорбирующие соли), которые улавливаются в полочном
осветлителе 8, а затем в конусном отстойнике 9.
Вторая часть исходной морской воды, нагреваясь в теплообменнике
7 7 и конденсаторе 12 до 100 °C, поступает в конусный отстойник 13,
где кристаллы с солями термического разложения бикарбоната каль-
ция осаждаются. Очищенная горячая вода, смешиваясь с первым потоком
в баке 10, поступает на нагнетательный комплекс. Меловая крошка с по-
током из отстойников 9 и 13 с помощью насоса 7 возвращается в аппарат
6. Образование накипи на греющих поверхностях здесь предотвращается
способом "затравки", основанным на том, что работа образования цент-
ров кристаллизации на частицах нерастворимой примеси меньше, чем ра-
бота их образования на греющей поверхности. Поэтому соли в метаста-
бильном растворе оседают на кристаллах меловой крошки (затравки)
и раствор переходит в стабильное состояние.
Опыт работ показал, что если в исходной воде взвеси содержится 4 —
252
Исходная морская
Ar^rt	I"
Рис. 12.1. Технологическая
схема нагрева морской воды
для внутриконтурного завод-
Морская вода нения (ОПУ)
Пар
Конденсат
Затравка
В скважины
8
Рис. 12.2. Установка нагрева морской воды методом погружного горения.
Подача: 1 — газа; 2 — воздуха; 3 — морской воды (7=10 °C) ; 4 — горелки погруж-
ного типа; 5 — емкость нагревателя; 6 — оросительная колонна для предваритель-
ного нагрева воды; 7 — парогазовая смесь; 8— отвод продуктов сгорания; насосы:
9 — для подачи воды на горелки; 10 — для подпора и питания высоконапорного на-
соса; 11 — ПЭ270/150 для подачи горячей воды (95 °C) на водораспределитель-
ные пункты и нагнетательные скважины
40 мг/л, то после контактного подогревателя — 15—60 мг/л, а после
осветлителя только 3—10 мг/л, т.е. после нагрева и отстоя нагнетаемая
вода чище исходной морской воды.
Тепловой к.п.д. котельной установки равен 0,78, нагревательной
установки в целом — 0,68. Длительная эксплуатация установки (10 лет)
показала, что необходимо строго соблюдать технический режим работы.
Данная установка позволила впервые получить теплоноситель из высоко-
минерализованной воды в промышленных объемах и начать внедрение
термозаводнения в промысловую практику.
Установки второго типа, примененные на месторождении Узень, осно-
ваны на принципе бесповерхностного, контактного нагрева минерализо-
ванной воды с помощью внутрижидкостного горения. Установка представ-
ляет собой аппарат с погруженными (под уровень воды) горелками, наг-
рев воды осуществляется продуктами сгорания газообразного топлива-
газа. К.п.д. установки до 95 %. Содержание в нагретой воде СО2, с одной
стороны, повышает коррозионную агрессивность воды, а с другой —
коэффициент вытеснения нефти.
В 1977 г. была сооружена стационарная установка погружного горе-
ния УПГ (рис. 12.2) подачей 14 тыс. м3/сут, Т = 90 — 95 °C.
254
Установка погружного горения второго типа — это олочная установка
БКНУ-5000 производительностью 5 тыс. м“/сут с температурой воды на
выкиде 80 — 90 °C. Она была сооружена в восьмом разрезающем ряду.
Температура 90 сС на установке создается лишь при избыточном давлении
в аппарате 0,15 МПа и температуре 80 °C. Установка проработала более
5 лет. Частого ремонта требовали нагнетатели воздуха, выходившие из
строя вследствие нарушения режима их эксплуатации..
Примененные для нагрева морской воды устьевые нагреватели типа
ПТ-160/100 производительностью 300 м3/сут, р = 10 МПа, Т = 70 °C,
к.п.д. 55 % не оправдали себя на практике из-за частого прогорания труб,
несовершенства автоматики и трудности обслуживания большого парка
установок
Наибольшее распространение получили трубопроводные установки
типа ПТБ-10. Данная конструкция ранее была разработана для подогрева
нефти, содержащей пластовую воду. В установке обеспечивается беспла-
менный нагрев теплообменных труб высокого давления (на 16 МПа),
поэтому она ставится на линии высокого давления. Техническая харак-
теристика установки: производительность 3 — 3,5 тыс. м3/сут, темпера-
тура на входе 10 — 15 °C, на выкиде 75 — 85 ЭС, рабочее давление 12 —
16 МПа, к.п.д. — 65 — 70%. На разрезающих рядах сооружается по 4 —
6 установок (1 — 2 находятся в резерве). Хотя к.п.д. этих установок
уступает показателю установок погружного горения, их широкое приме-
нение было обусловлено практической возможностью изготовления в
нужном количестве и поставкой в наиболее короткие сроки.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕРМАЛЬНЫХ ВОД ДЛЯ
ВНУТРИКОНТУРНОГО НАГНЕТАНИЯ
При заводнении крупных месторождений требуется ежегодно нагнетать
десятки миллионов кубометров воды. Получение горячей воды в таких
количествах связано с техническими трудностями и большими затратами
топлива.
Один из источников горячей воды — естественные термальные воды,
находящиеся в глубокозалегающих пластах [25].
Использование термальных вод при заводнении было предложено
Ю.К. Юферовым, М.Д. Розенбергом, Е.В. Теслюком, Ю.П. Борисовым,
В.И. Тимониным, А.А. Дергачевым и Л.П. Дмитриевым.
Для этих целей был выделен XXIV горизонт, залегающий на глубине
1980 — 2300 м, с пластовой температурой 90 — 100 °C. Запасы термальной
воды в контуре месторождения Узгнь более чем в 4 раза превосходят запа-
сы нефти. Вода плотностью 1,11 г/см", минерализацией 161,2 г/л — хлор-
кальциевого типа, имеет общую жесткость 817 мг-экв/л, карбонатного ти-
па — 1,0 мг экв/л.
Для изучения условий получения термальной воды были исследованы
скв. 616 и 1750. Результаты показали принципиальную воможность полу-
чения и использования термальных вод при заводнении.
255
номер скважины....................................
Дебит, м3/сут.....................................
Коффициент продуктивности, м3/(сут-МПа)...........
Температура воды, °C..............................
Глубина замера, м.................................
Температура вдды на устье, °C.....................
Расход газа, м /м3................................
616
1300
19,0
84
1900
70
28
1750
1260
26,0
87,7
1960
75
30
Определены параметры коллектора; проницаемость о,01 мкм2, пье-
зопроводность 5200 см2/с. При депрессии 1 — 2 IVtria притоки имеют про-
мышленное значение. С учетом этих данных авторами составлена техноло-
гическая схема получения термальной воды для заводнения месторожде-
ния Узень, в которой определены все основные технологические парамет-
ры получения и нагнетания горячей термальной воды при заводнении
месторождения.
ОПЫТНО-ПРОМЫШЛЕННЫЙ УЧАСТОК
Для уточнения условий получения глубинной термальной воды и отработ-
ки технологических параметров авторами совместно с объединением
"Мангышлакнефть" был запроектирован специаПьнь1й опытно-промыш-
ленный участок, включающий шесть водозаборных скважин, расположен-
ных вблизи седьмого разрезающего нагнетательного ряда
Пуск установки в эксплуатацию был осуществлен в декабре 1975 г.
Это был первый в СССР промышленный опыт получения и ИСП0ЛЬ30вания
глубокозалегающих термальных вод для интенсификации добычи нефти.
В процессе эксплуатации проводились режимные Исследования на термаль-
ных скважинах, которые показали следующие резуЛьтать|
Номер скважины............
Коэффициент продуктивности:
общий, м / (сут-МПа) ....
удельный, м / (сут-МПа-м).
Забойное давление..........
Депрессии Дэ, МПа..........
Дебит термальной воды,
м3/сут....................
2312
11.2
0,072
16.70; 17,18; 17,58
1,55;	1,07; 0,67
1728; 1240; 712
2336
7,53
0,061
16Д7; 16,55; 16,95
2,03; 1,55;	1,15
1536; 1164; 720
Таблица 12.1
Продолжитель- ность, мес	_	3 , Текущая закачка, тыс. м /мес в горизонты			Скопленная закг в горизонт		3 чка, тыс. м , э|
	XIII	XIV	XIII +XIV	XIII '	XIV	XIII +XIV
1	4,1	11,1	15,2	4,1	11,1	15,2
2	4,3	8,0	12,3	8.4	19,1	27,5
3	32,5	69,4	101,9	40,9	88,5	129,4
4	40,1	79,9	120,0	81,0	168,4	249,4
5	31,5	68,5	100,0	112,5	136,9	349,4
256
Продолжение табл. 12.1
Продолжитель- ность, мес	Текущая закачка, тыс. м3/мес, в горизонты			Накопленная закачка, тыс. м3, в горизонты		
	XIII	XIV	XIII +XIV	XIII	XIV	XIII +XIV
6	40,5	75,0	115,5	153,0	311,9	464,9
7	38,2	72,5	110,2	191,2	383,9	575,1
8	37,6	77,4	115,0	228,8	461,3	690,1
9	28,7	31,3	60,0	257,7	492,6	750,1
Добыча и закачка термальной воды XXIV горизонта в нагнетательные
скважины VII разрезающего ряда за первые 9 мес представлена в табл.
12.1.
ПРОМЫШЛЕННОЕ НАГНЕТАНИЕ ТЕРМАЛЬНОЙ ВОДЫ
ПРИ ЗАВОДНЕНИИ
Добыча и нагнетание термальной воды на месторождении Узень осуществ-
лены на опытно-промышленном участке в области седьмого разрезаю-
щего ряда.
Участок состоит из трех основных объектов: системы водозаборных
термальных скважин (скв. 2304, 2306, 2312, 2313, 2326, 2327); системы
бескомпрессорного газлифта; системы сбора, сепарации и замера термаль-
ной воды.
Скважины пробурены по смещенной шеститочечнои схеме, пять сква-
жин — для отбора воды, одна — для поддержания пластового давления в
случае его падения. Начальное пластовое давление 17 — 18 МПа, статичес-
кие уровни 120 — 235 м.
Для подъема термальной воды на поверхность применен бескомпрес-
сорный газлифт, для которого использован газ близлежащего газового
купола горизонта XXg (1550— 1650 м), с давлением 16,5 МПа.
Рассчитано, что при снижении давления в газовом куполе до 70 МПа
может быть получено газа для 5-летней добычи термальной воды и созда-
ния необходимого буфера (оторочки) из горячей воды в радиусе 120 —
130 м. Схема системы представлена на рис. 12.3-
Система сепарации термальной воды от газа предусматривает две
ступени: первая состоит из двух теплоизолированных емкостей по 100 м ,
вторая — из трех емкостей по 50 м3. Термальная вода температурой 75 —
78 °C подается под давлением 9 МПа в скважины седьмого ряда. В началь-
ный период добычи закачка термальной воды составляла 5—4 тыс. м /сут,
дебиты водозаборных скважин — 800 — 1000 м3/сут, рабочее давление
на газлифте — 5 МПа.
К настоящему времени добыто и закачано более 7 млн. м термальной
воды в XIII и XIV горизонты.
Осложняющее обстоятельство при подъеме термальной воды на
поверхность — выпадение карбонатных солей из воды, что связано с выде-
/л--373
257
Z327	Л 2М
лением С02 изводы (при снижении давления) в лифтирующий газ и нару-
шением термохимического равновесия при подъеме в трубах. Для раство-
рения солей карбоната кальция СаСО3 используются периодические
солянокислотные обработки лифтовых труб.
Работами по добыче и нагнетанию термальной воды была доказана
возможность использования термальных вод в качестве естественного
теплоносителя для внутриконтурного заводнения на месторождениях
с высокопарафинистыми нефтями или другими аномальными нефтями,
требующими при разработке поддержания пластового давления и пласто-
вой температуры.
Добыча и закачка термальной воды на месторождении Узень представ-
лена ниже.
Год		1975	1976	1977	1978	1979	1980	1981
Текущая з^кач- ка, млн. м . . .	0,102	0,854	0,485	0,919	0,933	0,985	1,219
Накопленная							
закачка, млн. м3		0,129	0,983	1,468	2,387	3,320	4,305	5,524
РАСЧЕТ ПЛАСТОВЫХ ДАВЛЕНИЙ И ДИНАМИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ
ПРИ ОТБОРЕ ТЕРМАЛЬНЫХ ВОД
При расчете добычи термальной воды и установлении технологических
параметров ее подъема на поверхность (с помощью насосов, газлифта)
необходимо знать динамику пластовых и забойных давлений, а также
положение динамических уровней в скважинах.
Эти параметры зависят от размещения водозаборных скважин, темпов
отбора жидкости, характеристики пластов и других условий.
Рассмотрим основные схемы размещения водозаборных скважин
на структурах. Возможны следующие варианты:
скважины размещаются равномерно по площади в контуре месторож-
дения (круговой или эллиптической формы) ;
Рис. 12.3. Схема опытно-промышленной установки по добыче и нагнетанию термаль-
ной воды.
Месторождение Узень. Источник термальной воды — горизонт XXIV;' объект нагне-
тания — скважины седьмого разрезающего ряда (XIII, XIV горизонты) ;
1 — газовые скважины; 2 — сепараторы; 3 — дозатор метанола; 4 — резервуар;
5 — печи подогрева газа; 6 — газораспределительная гребенка; 7 — термальные водо-
заборные скважины; 8 — водосборная гребенка; 9 — первая ступень сепарации; 10—
трап для замера воды; 77 — вторая ступень сепарации; 72 —насосы; 13— блочная
кустовая насосная станция; 14 — нагнетательные скважины
259
водозаборные скважины размещаются вдоль нагнетательных разрезаю-
щих рядов;
кустовое размещение (пяти-, семиточечные схемы и др.).
Изменение пластовых давлений рассчитывается с учетом общего
отбора жидкости (т.е. действия всех скважин), изменение забойных дав-
лений и положений динамического уровня оценивается с дополнительным
учетом работы данной конкретной скважины. Если давление в пласте под-
держивается путем закачки холодной воды, то учитывается влияние нагне-
тательных скважин.
Размещение водозаборных скважин по эллиптической площади
Контуры многих месторождений близки к эллиптической форме. Считая
область односвязанной, будем учитывать работу всех скважин как
действие равномерно распределенных источников (стоков) по эллипти-
ческой площади.
Изменение давления, вызванное отбором воды из области, определит-
ся соотношением
Цч	t	'2
Др = — -------- J I J (Г - г) ‘ехр ( - ----------jdrdS, (12.1)
41tkH So	4% (t - т)
где q — объемный удельный дебит на единицу площади; х — пьезопровод-
ность; t — время.
Когда область дренирования ограничена двумя эллипсами (эллипти-
ческое кольцо), полуоси которых соответственно равны а6 и а^,
в полярных координатах.
MQ ' Я/2"2 1	л2
Др = - ---------J J J ------ ехр (------------}dtdyrdr,
пл и кН о о /у Т - т	4х(г - т)
1
где
Л/1 = (a'2 cos2y> + 6“ 2 sin2 у?)"1 I2;
N2 = (a~2cos2<p +d”2sin2y>) ' l^2.
Проинтегрировав по г и f, имеем
260
Ар = ----------
пп ItkH
Я/2
J [ехр( -
о
Л/, Ьр У>)
2ХГ
Л1 (а /> , <р)	я/2 Л/ (а b $
2 х х	_  х х х :	I .
— ехр ( — -----------) ] d р + f [---------- I
2\r	о 2Xf
Л/2 (a2, b2, p} N^a^b^p)	N^a^b^p)
- E. (--------------) I------------1 -E. (-----------И dp
'	2Xf	2Xf	2xt
где
, 2 .2
a b
N (a, b,p} = ---------------------------------
(d2 + a 2 ) + (p2 — a 2 ) cos 2 p
(12.3)
Приняв a j= 0 и bi =0, получаем область, ограниченную эллипсом с полу-
осями а 2 и 0^, тогда
Др
2pq х f Я Я/2	Л/ (а , b , р )
-------- • -- - J ехр ( - --------------}dp +
Я кН	2	0	2 X Г
Я/2 N2 (а2, b2. р)	N2>'32’b2'
+ J [ ---------------| - Е. (---------------------) | W
0 2Х t	2\t
(12.4)
Уравнение (12.4) определяет максимальное снижение пластового давле-
ния (в’центре области).
Для определения забойного давления к перепаду, определенному по
(12.4), прибавляют перепад, создаваемый работой самой скважины:
= -------- J u~le-udu =
^кН Г2/(4ХГ)
<?СД	С^г 4J1	2,25ХГ
------- Е. (---- ) = ------In 	
4Я кН 4ХГ 4Я кН------------г2
(12.5)
Снижение забойного давления тогда обеспечивается Дрз = ^Рпл + Apc-
Размещение водозаборных скважин по круговой области
Приняв в (12.4) а 2 =	= R, получаем решение для определения изме-
нения давления в круговой области, которое совпадает с решением, ранее
полученным Н.С. Пискуновым:
MQ	Я2 ,	я2 ,10_,
Др = ------ [4ХГ(1-ехр(- ------ )) + /?2|— £. (----)|]. (12.6)
4кН	4\ t	4 X t
Размещение водозаборных скважин вдоль
нагнетательных рядов
Иногда термальные водозаборные скважины целесообразно размещать
вдоль нагнетательных рядов. В этом случае надо учитывать интерферен-
цию от скважин, расположенных в данном ряду и в других рядах водоза-
борных скважин.
Влияние водозаборных скважин, находящихся в данном ряду, опре-
деяется:
А"?	2
Др = Др +Др = ---------------- s
01 М°2 „ „
4 ТГ кН ! = 1
[CJ- £. (- -^)|-с0|-
4Х t
-Е. (- -^-)|]	1~=^) ~Ф (	)]
4Xf	V4Xf	V4Xf
(12.7)
где cq, — координаты дальних и ближних точек первого и второго
звеньев водозаборного ряда; Ф (х) — интеграл вероятности.
Влияние ближайших термальных рядов можно определить, исполь-
зуя метод "цепочек", предложенный Н.С. Пискуновым:
° 2
Ар. = ——— J I ~ F. (- /2 +xz)/(4xf) Их|,	(12.8)
1	47Т кН	'
С1
где / — расстояние от точки наблюдения до интерферирующей "цепочки";
с( и с2 — координаты, определяющие положение конечных точек "цепоч-
ки".
Влияние удаленных рядов и отдельных скважин можно оценивать
по формулам упругого режима как действие сосредоточенного источника
(стока).
Определение изменения давлений при расположении скважин по кус-
товым (пяти-, семиточечным) схемам выполняется по формуле упругого
режима с учетом влияния каждой скважины (суперпозиция полей).
В связи с составлением технологической схемы для использования
термальной воды для условий XXIV горизонта месторождения Узень
262
были рассчитаны различные схемы и варианты (расположения термальных
водозаборных скважин по эллипсу, кругу, вдоль разрезающих рядов и
др.) без и с поддержанием пластового давления. Расчеты показали, что
термальные воды месторождения Узень можно эффективно использовать
при термозаводнении пластов, но для этого должны быть решены техни-
ческие вопросы подъема термальной воды на поверхность.
В заключение приведем результаты расчета изменения пластовых и
забойных давлений и динамических условий при расположении водоза-
борных термальных скважин по эллиптической области (табл. 12.2)
и вдоль разрезающих рядов (табл. 12.3). Расчеты выполнены для усло-
вий: Н = 160 м; д = 0,55 мПа-c; \ = 5200 см2/с, к — 0,01 мкм2 ; h =
= 220 м; ув = 1,112 г/см3; дебит водозаборной скважины 1000 м3/сут.
При эллиптической области а = 5000 м; b = 2000 м.
При рядной системе рассмотрен случай добычи термальной воды из
семи линейных рядов при следующих параметрах:
Ряд 	 Число термальных	I	II	'II	IV	V	VI	VII
скважин		7	14	12	11	11	7	5
Расстояние между							
скважинами, м . . .	660	705	727	700	770	1050	950
Таблица 12.2
Давление (МПа) и статические уровни (м) при различных отборах
воды, тыс. м /сут
Вре мя, год	58				72,2				96.5			
	Др пл	Д₽с	Др + пл + Дрс	h дин	Др пл	Д₽с	Дп + “*пл гГ Др С	h дин	Др пл	Дрс	^пл +Дрс	h дин
1	0,925	0,675	1,6	364	1,23	0,675	1,9	391	1,54	0,675	2,22	420
5	1,6	0,727	3,33	520	3,47	0,727	4,2	600	4,34	0,727	5,07	678
10 Табл	3,7 ица 1	0,748 2.3	4,45	620	4,94	0,749	6,43	797	6,17	0,748	6,93	842
Время, год	Давление (МПа) и статические уровни (м) при различных отборах воды, тыс. м /сут					
	5,8		77,2		96,5	
	Арз	h дин	Др гз	h дин	Дрз	р дин
1	2,12	410	2,58	452	3,08	496
5	3,94	574	5,02	672	6,03	762
10	4,98	668	6,41	796	7,78	920
263
Расстояние между рядами I и II составляет 8 км, между остальными —
по 4 км. Падение давления определяется в центре IV ряда. Динамика дав-
лений и уровней рассчитана при трех темпах отбора термальной воды.
В процессе эксплуатации наблюдается снижение пластовых давлений и
динамических уровней. Средства подъема термальной воды должны
обеспечивать напор около 10 МПа через 8—10 лет работы скважин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Абасов М.Т., Таиров Н.Д. Влияние температуры на проявление молекулярно-
поверхностных сил в процессе теплового воздействия на пласт. — В кн.: Тепловые
методы добычи нефти. М., Наука. 1975, с. 135— 141.
2.	Авдонин Н.А., Белоглазов К.С. Приближенный расчет температурного поля
пласта при переменной скорости фильтрации. — В кн.: Расчеты неизотермической
нефтеотдачи многослойных пластов. Рига, Латвийский гос. университет, 1970.
3.	Алишаев M-Г., Вахитов Г.Г., Глумов И.Ф. О некоторых особенностях фильт-
рации пластовой девонской нефти при пониженных температурах. — В кн.: Теория
и практика добычи нефти. М., Недра, 1$66, с. 214 — 226.
4.	Алишаев М.Г., Розенберг М.Д., Теслюк Е.В. Расчет осесимметричного вытес-
нения нефти водой в многослойном пласте с учетом проявления структурно-меха-
нических свойств нефти при ее охлаждении. — В кн.: Добыча нефти, вып. 60, ВНИИ,
1977, с. 32 - 42.
5.	Амелин И.Д., Золотухин А.Б., Стрижов И.Н. Проектирование разработки за-
лежей нефти с применением внутрипластового горения. — В кн.: Справочное руко-
водство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений.
Проектирование разработки. М., Недра, 1983, с. 359 — 394.
6.	Байбаков Н.К., Гарушев А.Р. Тепловые методы разработки нефтяных место-
рождений. М., Недра, 1981.
7.	Баренблатт Г.И., Битов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтра-
ции нефти и газа. М., Недра, 1972.
8.	Борисов Ю.П., Рябинина З.К., Воинов В.В. Особенности проектирования раз-
работки нефтяных месторождений с учетом их неоднородности, М., Недра, 1976.
9.	Буйкис А.А. Методика расчета нефтеотдачи на основе теории Баклея — Леве-
ретта при задании расходов или забойных давлений. — В кн.: Расчеты неизотермиче-
ской нефтеотдачи многослойных пластов. Рига, Латвийский гос. университет, 1970,
с. 33 - 77.
10.	Будыко М.И. Тепловой баланс земной поверхности. Л,, Гостоптехиздат,
1956.
11.	Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения гидродинамических задач
методом конечных разностей. М., Гостоптехиздат, 1963.
12.	Вахитов Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных место-
рождений. М., Недра. 1970.
13.	Внутрипластовое горение с заводнением при разработке нефтяных месторож-
дений/А.А. Боксерман, Ю.П. Желтов, С.А. Жданов и др. — Тр. ВНИИ, вып. 58. М.,
Недра, 1974.
14.	Гиматудинов Ш.К. Нефтеотдача коллекторов. М., Недра, 1971.
15.	Девликамов В.В., Хабибулин З.А. Структурно-механические свойства неф-
тей некоторых месторождений Башкирии. — Нефтяное хозяйство, 1968, № 10, с. 38 —
41.
16,	Добрынин В.М. Деформации и изменения физических свойств коллекторов
нефти и газа. М., Недра, 1970.
17.	Ентов В.М. Двумерные и нестационарные одномерные задачи движения
неньютоновских жидкостей в пористой среде. — Нефтяное хозяйство, 1968, № 10,
с. 47- 53.
18.	Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование и разработка газовых месторож-
дений. М., Недра, 1974.
19.	Методика определения дополнительной добычи нефти от закачки в пласт
горячей воды/Е.В. Теслюк, Г.Г. Вахитов, М.Д. Розенберг и др. М., ВНИИ, 1982.
20.	Механика несыщенных пористых сред/В.Н. Николаевский, К.С. Басниев,
А.Т. Горбунов и др. — М., Недра, 1970.
21.	Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязкопластичных и вязких
жидкостей в применении к нефтедобыче. Баку, Азернефтнеш, 1959.
265
22.	Непримеров Н.Н. Некоторые особенности термической активности зем-
ли. — В кн.: Термозаводнение нефтяных месторождений. Казанский гос. универси-
тет, 1971.
23.	Неизотермическое вытеснение водой парафинистой узеньской нефти в эле-
менте пятиточечной схемы при заданном перепаде давления/М. Г. Алишаев, Ю.П. Бо-
рисов, М.Д. Розенберг, Е.В. Теслюк.
24.	Оруджев В.Л., Рахимов Н.Р. Результаты исследования вязкопластичных
свойств аномальных нефтей Узбекистана. — Нефтяное хозяйство, 1968, № 10,
с. 41 - 45.
25.	Об использовании термальных вод XXIV горизонта для внутриконтурного
нагнетания на месторождении Узень/Е.В. Теслюк, Л.П. Куценко, А.Д. Шорина. — Сб.
ВНИИ, вып. № 55, 1976, с. 123 - 126.
26.	О неизотермической фильтрации многофазного потока и об учете термо-
динамических эффектов при разработке нефтяных месторождений /Е.В. Теслюк,
М.Д. Розенберг, Ю. В. Капырин и др. — В кн.: Разработка нефтяных месторождений
и гидродинамика. М., Недра, 1965, с. 281 — 294.
27.	Орлов В.С Проектирование и анализ разработки нефтяных месторождений
при режиме вытеснения нефти водой. М., Недра, 1973.
28.	Праведников Н.К., Цыбулько А.М. Неизотермические процессы вытеснения
нефти водой из пластов месторождений Западной Сибири. ВНИИОЭНГ, 1979.
29.	Принципы и методы поддержания пластовой температуры применительно
к разработке месторождения Узень/Ю.П. Борисов, Г.Г. Вахитов, М.Д. Розенберг,
Е.В. Теслюк. — В кн.: Тепловые методы добычи нефти. М., Наука, 1975, с. 83 — 99.
30.	Розенберг М.Д., Кундин С.А. Многофазная многокомпонентная фильтрация
при добыче нефти и газа. М., Недра, 1976.
31.	Султанов Б.И. О фильтрации вязкопластичных жидкостей в пористой сре-
де. - Изв. АН АзССР, 1960, № 5, с. 12 - 14.
32.	Теслюк Е.В. Термогидродинамические основы проектирования процессов
разработки нефтяных месторождений при неизотермических условиях фильтрации,—
В кн.: Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации
нефтяных месторождений (проектирование разработки). М., Недра, 1983.
33.	Теслюк Е.В. Неравновесная неизотермическая фильтрация многофазных
многокомпонентных флюидов. — В кн.: Справочное руководство по проектирова-
нию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. М., Недра, 1983, с. 311 —
329.
34.	Теслюк Е.В. Вопросы неизотермической фильтрации в теории и практике
разработки нефтяных месторождений п-ва Мангышлак. — В кн.: Разработка нефтя-
ных месторождений и гидродинамика пласта. М., Недра, 1970, с. 120 — 134.
35.	Технология процесса нагрева и опытно-промышленного нагнетания горячей
морской воды на месторождении Узень/Ю.П. Борисов, М.Д. Розенберг, Е.В. Теслюк
и др. — В кн.: Разработка нефтяных месторождений и гидродинамика пласта- М.,
Недра, 1976, с. 163 - 183,
36.	Требин Г.Ф., Савинихина А.В., Капырин Ю.В. Изменение свойств нефти при
кристаллизации парафина в процессе фильтрации. — НТС по добыче нефти. М., ВНИИ,
№42, 1971, с. 103 - 108.
37.	Фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей
в нефтяных пластах/М.Д. Розенберг, С.А. Кундин, А.К, Курбанов и др. М., Недра,
1969.
38.	Фоменко И. Е. Исследование фильтрации нефти Ромашкинского месторожде-
ния в пористых средах. — В кн.: Применение неньютоновских систем в добыче неф-
ти. ВНИИОЭНГ, 1970, с. 99 -109.
39.	Чарный И.А. Подземная гидродинамика, Гостоптехиздат, 1963.
40.	Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М., Недра, 1965.
41.	Чекалюк Э.Б., Оганов К.А. Тепловые методы повышения отдачи нефтяных
залежей. Киев, Наукова думка, 1979.
42-	Шейнман А.Б., Малофеев Г.Е., Сергеев А.И. Воздействие на пласт теплом
при добычи нефти. М., Недра, 1969.
266
43.	Шаидлер М.И. Фильтрационные течения в неоднородных средах. М., Гостоп-
техиэдат, 1963.
44.	Яковлев Б.А. Решение задач нефтяной геологии методами термометрии. М.,
Недра, 1979.
45'	Lauwerier Н.А. The Transport of Heat in an Oil Laner Caused by the Injection of
Hot Fluid. — Appl. Scientific Research, 1955. Section A., vol. 5, N 2 — 3.
46.	Poston S.et al. The effekt of temperature on irreduciable water saturation and
relative permeability of unen solidated Sonds. — Soc. Petrol. Eng. J. 1970, 10, N 2, 171 —
180 pp.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие научного редактора......................................... 3
Глава 1. Геотермия и теплофизические параметры......................... 5
Тепловой поток Земли, геотермические градиенты......................... 5
Теплофизические свойства пласта........................................ 7
Глава 2. Нелинейные законы фильтрации пластовых флюидов............... 10
Некоторые свойства и особенности фильтрации пластовых нефтей.......... 10
Проницаемость коллектора. Зависимость проницаемости от структуры по-
ристой среды и неоднородных включений................................. 14
Изменение структуры пор и проницаемости из-за выпадения парафина и
асфальтенов........................................................... 18
Нарушение линейного закона Дарси. Фильтрация с начальным градиентом
сдвига................................................................ 20
Учет влияния структурно-механических свойств жидкостей на фильтрацию . .	23
Определение аномальных свойств нефтей при исследовании скважин. Экспе-
риментальные исследования по фильтрации неньютоновских нефтей.......	29
Глава 3. Простейшие схемы вытеснения и фильтрации. Получение эталонных
решений............................................................... 43
Поршневое вытеснение в однородных и	многослойных пластах.............. 42
Учет влияния начального градиента сдвига на процесс вытеснения в много-
слойном пласте........................................................ 47
Относительные проницаемости........................................... 49
Одномерное вытеснение нефти водой..................................... 54
Двумерное вытеснение нефти водой...................................... 61
Площадные системы заводнения........................................   68
Глава 4. Исследование температурного режима пластов................... 75
Определение теплопередачи в пористых средах и горных породах........ 75
Исследование температурного режима пласта большой толщины........... 80
Температурное поле пласта большой толщины. Движение фронта тепла .... 83
Температурный режим тонкого пласта.................................. 90
Расчет температурного поля тонкого пласта для площадных систем заводне-
ния ................................................................ 96
268
Глава 5. Общая система дифференциальных уравнений неизотермической
фильтрации......................................................... 99
Баланс энергии........................................................... gg
Уравнения неразрывности и энергии для равновесной фильтрации много-
фазного потока в деформируемой пористой среде.........................   101
Уравнения неравновесной неизотермической фильтрации..................... 105
Г лава 6. Расчеты некоторых показателей неизотермической фильтрации .... q
Капиллярные эффекты................................................... 111
Теоретическая кривая капиллярного давления...........................  113
Новая трактовка двухфазной фильтрации................................. 115
Различные модели неизотермической фильтрации ......................... 118
Одномерная задача неизотермического вытеснения........................ 120
Холодное заводнение линейного однородного теплоизолированного пласта . .	121
Горячее заводнение линейного однородного теплоизолированного пласта . . .	125
Расчет одномерного вытеснения с учетом аномальных свойств нефти и теп-
лообмена с кровлей и подошвой пласта ................................. 127
Расчет неизотермического вытеснения для трехслойного пласта........... 13Q
Приближенная оценка нефтеотдачи многослойного пласта при нагнетании
холодной воды......................................................... 133
Г лава 7. Расчет неизотермического вытеснения нефти в многослойном плас-
те при радиальной фильтрации. Метод ячеек.............................. 134
Разностные уравнения для температуры............................... 135
Перетоки тепла в смежных слоях..................................... 137
Потери тепла в кровлю и подошву.................................... 138
Применение метода прогонки......................................... 141
Учет влияния аномальных свойств нефти.............................. 142
Уравнение для насыщенности......................................... 143
Движение скачка насыщенности....................................... 1 44
Автомодельное решение и безводная нефтеотдача...................... 145
Определение расхода по слоям при заданных забойных давлениях....... 146
Усреднение насыщенности по ячейкам................................. 146
Система разностных уравнений....................................... 147
Устойчивость системы разностных уравнений.......................... 148
Аппроксимация основных физических зависимостей..................... 149
Анализ результатов................................................. 150
Глава 8. Расчет давлений, насыщенностей, температур, нефтеотдачи для
пятиточечной и произвольных систем скважин.............................. 151
Основные уравнения...................................................... 151
Потерянная скорость. Доля воды.......................................... 153
Аппроксимация уравнений в узлах-скважинах............................... 153
269
Упрощение схемы Поверье для учета потерь тепла в кровлю и подошву ....	155
Одномерная задача теплопереноса для упрощенной схемы потерь тепла ....	15g
Сравнение упрощенной схемы со схемой Поверье.......................... 159
Элемент пятиточечной схемы............................................ 160
Вычисление давления для пятиточечной системы итерационным методом ...	161
Вычисление насыщенностей для пятиточечной системы..................... 123
Вычисление температур для пятиточечной системы........................ 1g4
Результаты расчетов................................................... 165
Нерегулярные площадные системы разработки. Алгоритм вычисления давле-
ния для прямоугольного элемента симметрии произвольной площадной сис-
темы ................................................................. 168
Вычисление насыщенностей для произвольной системы скважин............. 175
Вычисление температуры пласта для произвольной системы скважин....... 1 78
Показатели вытеснения................................................ 180
Глава 9. Неизотермическое вытеснение для элементов площадных систем
многослойных пластов. Метод комбинированных сеток "СКАТ"............. 184
Элемент симметрии площадной системы................................... 185
Разностные сетки..................................................... 185
Радиально-кольцевая сетка возле нагнетательных скважин................ 187
Разбиение окрестности добывающих скважин............................. 188
Модель многослойного пласта.......................................... 189
Вычисление дебитов скважин по слоям.................................. 1 90
Балансовые соотношения для ячеек сетки................................ 192
Вычисление насыщенностей в кольцевых зонах возле нагнетательных сква-
жин.................................................................. 1 95
Вычисление средних значений насыщенностей по ячейкам.................  197
Вычисление насыщенностей в секторах разностной сетки около добывающих
скважин.............................................................   199
Вычисление температур вблизи нагнетательных скважин. ................. 200
Вычисление средних по ячейкам значений температур..................... 202
Вычисление температур секторов добывающих скважин..................... 204
Общая характеристика программы счета.................................. 205
Анализ результатов расчетов........................................... 206
Глава 10. Приближенные методы расчета отдельных параметров неиэотер-
мической фильтрации при линейных и площадных системах нагнетания ....	209
Приближенный расчет тепловых полей................................... 211
Определение проницаемости слоев, подвергающихся тепловому воздействию
в нефтенасыщенной зоне до прохождения в них фронта вытеснения........ 216
Определение продолжительности нагнетания горячей воды для восстановле-
ния температуры в ранее охлажденных слоях............................ 222
Г лава 11. Промышленное нагнетание горячей воды для повышения нефтеот-
дачи пластов и темпов разработки месторождений....................... 225
Назначение метода закачки горячей воды............................... 225
Промысловые термогидродинамические исследования...................... 226
270
Опытно-промышленное нагнетание горячей воды во второй разрезающий 235
ряд................................................................ 235
Термозаводнение нефтяного месторождения Узень...................... 245
Глава 12. Техника и технология получения теплоносителей для термального
заводнения......................................................... 249
Техника и технология подогрева воды................................ 251
Использование термальных вод для внутриконтурного	нагнетания....... 254
Опытно-промышленный участок........................................ 255
Промышленное нагнетание термальной воды	при	заводнении............. 256
Расчет пластовых давлений и динамических уровней при отборе термальных
вод.............................................................. 258
Список литературы.................................................  264
Мухтар Гусейнович Алишаев, Максим Давыдович Розенберг,
Евгений Васильевич Теслюк
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ РАЗРАБОТКЕ
НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ
Редактор издательства О.А. Латышева
Переплет художника В.У. Полякова
Художественный редактор В.В. Шутько
Технический редактор О.А. Колотвина
Корректор Т.М. Столярова
Оператор И.В. Севал к и на
ИБ № 5036
Подписано в печать 22.01.85. Т—04542. Формат бОхЭО1^16. Бумага тип. fit офсет-
ная. Набор выполнен на наборно-пишущей машине. Печать офсетная. Усл. печл. 17,0.
Усл.кр.-отт. 17,0. Уч.-изд.л. 17,14. Тираж 1960 экз. Заказ 373	/9051—6.
Цена 1 р. 20 к.
Ордена "Знак Почета" издательство "Недра", 103633, Москва, К—12,
Третьяковский проезд, 1/19
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая
Образцовая типография имени А.А. Жданова Союзполиграфпрома при Государст-
венном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054, Москва, М-54, Валовая, 28.
ОПЕЧАТКИ В ФОРМУЛАХ
	стр.	номер		правильное написание
**	22 43	(2.25) (3.1)	-gradp= (p/k)v - Got>/y v = Ap/[(pB/kB)x + (p„ /к„)-(L — х)]	
	59.	(б/н)	Введем	критерий no = kGo/(p„ay)
	87	(4.52)		2лк(р„ - рэ)
			q	р(п1п——-+ In 	) гс	ПГс'
	88	(4.56)	dS			rd© — sin П0О sin n (6 - ©о)
	112	(6.4)	P	к =(Ов~ О„) gz(s)+ Pko
	116	(6.21)	“yB= - A Vp - В vs,	-C VP + D Vs	
	128	(6.55)	v»= -k	k'l(S’m~l -r~+Go(k. T)) Цн(Т) \ дх	' ]
	131	(6.63)	P=V Ac /(cB vCph), h = hi + 2h2	
	146	(7.55)	Sj - So = (sc - So) (rc2 -	) / (г,2 - r2j_ rc—положение скачка насыщенности	
	147	(7.57)	A	re2 = Q AtF'B (sB)/(nm)
	158	(8.34)	2 Т“ [3	/T--4-in(i+ Р	\	с» /]
161 2-я строка
множитель к/г
n = (J+ 1) (K+ 1)
170 б/н
171 б/н	Ljj = djk, Lt, j —i —Cjk, Li, i—J = bjk
Uii-L Ui,i + l=£j.k> Ui, i+J =fjk
173	(8.67) cjk=Djk-aGjk, djK ejk = Fjk - aGjk
diK + bjk fi, k—1 +cjk ej-l,k =Lik+«Glu+aGj,
djk ejk = Ejk — aGjk,
bjk ej,k— 1 ~ Cjk , Cjk (j _ i, k — Gjk
173	(8.68) Cjk = bjk ₽ьк_! , Gjk =cjk fbLk
b|K= Bu /(1 + aej,k+I ), Cjk = Djk/(1 + afj-i,k)
djk = Ejk + “Cjk + aGjk —
“bjk fj,k-l “Cjk <ч-1, к
ejk= (Fjk “ aCjk )/djk ,
fjk === (Hjk “ aGjk )/^jk
173	(8.69) bj0 = cok= Cjo = Gj,k =fj,K=° , eJ>k=0
173	(8.72)	Lv = Rn , U6n+I = v
201	(9.40)	nrf Sf