Автор: Васильев В.А.  

Теги: топология   геометрия   математика  

ISBN: 5-7036-0036-7

Год: 1997

Похожие

Введение в топологию

Курс гомотопической топологии

Алгебраическая топология

Рациональная теория гомотопий и дифференциальные формы

Текст
                    В. А. Васильев
Введение в топологию
Ф
ФАЗИС
Москва 1997


ББК 22.152
В19
УДК 515.1
Васильев В. А.
Введение в топологию.
М.: ФАЗИС, 1997. — хи + 132 с.
(Библиотека студента-математика. Вып. 3)
ISBN 5-7036-0036-7
Издательство ФАЗИС (ЛР №064705 от 09.08.96)
123557 Москва, Пресненский вал, 42-44
Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
Заказ № 2760
ISBN 5-7036-0036-7
© ФАЗИС, 1997


Оглавление
Предисловие IX
Чаять I. Основы теории гомотопий 1
1. Топологические пространства
и операции над ними 1
2. Гомотопические группы и гомотопическая эквивалентность 8
3. Накрытия 18
4. Клеточные пространства (CW-комплексы) 20
5. Относительные гомотопические группы
и точная последовательность пары 29
6. Расслоения 34
7. Гладкие многообразия 41
8. Степень отображения 50
Часть П. Гомологии 59
9. Гомологии: основные определения и примеры 59
10. Основные свойства сингулярных гомологии и методы их
вычисления 71
11. Гомологии клеточных пространств 83
12. Теория Морса 89
13. Когомологии и двойственность Пуанкаре 103
14. Некоторые приложения теории гомологии 111
15. Умножение в когомологиях (и гомологиях) 117
Предметный указатель
125


Предисловие
Эта книжка возникла из записок курса лекций, прочитанных в
1996 г. для студентов 1-2 курсов Независимого Московского
Университета.
Топология — очень красивая наука. Она осуществляет связь
геометрии с алгеброй. Ее идеи и образы играют ключевую роль практически
во всей современной математике — в дифференциальных уравнениях,
механике, комплексном анализе, алгебраической геометрии,
функциональном анализе, математической и квантовой физике, теории
представлений, и даже — в удивительно преображенном виде — в теории
чисел, комбинаторике и теории сложности вычислений.
В последнее время большинство новых идей в математике
возникают в топологии из геометрических образов, а затем
формализуются и переносятся в более алгебраические области. Поэтому владение
основами топологии необходимо любому специалисту-математику. К
сожалению, топология до сих пор не входит в число базисных
предметов, изучаемых на математических факультетах большинства вузов.
Добросовестные преподаватели других дисциплин по необходимости
вводят ее фрагменты в свои курсы, но студент, изучающий
формулу Стокса в анализе, принцип аргумента и римановы поверхности в
ТФКП, принцип сжимающих отображений и индекс особой точки
векторного поля в дифференциальных уравнениях, эйлерову
характеристику в комбинаторике, теоремы об устойчивых режимах в механике
и теории управления, теоремы о неподвижной точке в математической
экономике, не всегда понимает, что каждый раз занимается по сути
одним и тем же. Изучать же основы этой науки как правило приходится
самостоятельно. (Исключительным событием, по-видимому оказавшим
очень большое влияние на мое поколение московских математиков и,
безусловно, на меня самого, был спецкурс Д. Б. Фукса, прочитанный
им на мех-мате МГУ в 1976-77 гг.)
В течение нескольких лет (в конце 80-х - начале 90-х гг.) я читал
неформальные вводные курсы топологии для младшекурсников и старше-


X
Предисловие
классников математических школ. Я очень благодарен руководству
Независимого московского университета, предложившему мне прочесть
этот курс в качестве одного из обязательных для студентов 2-3
семестров обучения.
Я также чрезвычайно признателен В.В.Прасолову,
осуществившему запись и первоначальную обработку лекций, и директору
издательства ФАЗИС В.Б.Филиппову за инициативу и всестороннюю
поддержку этого издания.
Происхождение из курса лекций наложило отпечаток на изложение
материала. В книге не очень много скрупулезных доказательств: я
старался дать как можно больше иллюстраций и показать, что в
действительности происходит в топологии, не всегда останавливаясь на том,
почему это происходит. Как правило, приводятся только
доказательства (или их идеи), сами по себе поучительные и имеющие важные
обобщения.
В заключение приведу список рекомендуемой литературы.
1. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология.
Начальный курс. — М.: Мир, 1972.
2. Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. —
М.: Мир, 1983.
3. П р а с о л о в В. В. Наглядная топология. — МЦНМО, 1995.
4. Ф о м е н к о А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической
топологии. — М.: Наука, 1989.
5. Р о х л и н В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. — М.:
Наука, 1977.
6. Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии.
Теория гомотопий клеточных пространств. — М.: Наука, 1985.
7. Манкрс Дж. Элементарная дифференциальная топология.
Приложение к книге [10].
8. Милнор Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965.
9. Милнор Дж. Теорема об Л-кобордизме. — М.: Мир, 1969.


Предисловие
XI
10. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы.
— М.: Мир, 1971.
И.Новиков СП. Топология. — Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 12.
— М.: ВИНИТИ, 1986.
Книги [1-3] важны для наработки тополого-геометрической
интуиции и рекомендуются для предварительного чтения.
Главы 1, 2 книги [4] покрывают (с полными доказательствами)
материал, относящийся к гомотопическим группам, гомотопической
теории клеточных пространств и основам теории гомологии и когомоло-
гий. Введение в теорию гладких многообразий см. в [7], теория Морса
прекрасно изложена в [8, 9]. Книга [5] рекомендуется с осторожностью:
читать ее подряд для начинающего очень трудно. Однако она является
почти исчерпывающим справочником и толковым словарем по всем
вопросам, изложенным в части 1 нашей книги, лишь изредка приходится
обращаться еще и к [6]. Книга [10] — один из лучших в мире учебников
алгебраической топологии, и я надеюсь, что мой читатель окажется
подготовленным к ее чтению. Наконец, [11] является прекрасным и, из
известных мне, самым широким обзором современного состояния
топологической науки.


Часть I
Основы теории гомотопий
1. Топологические пространства
и операции над ними
Начиная курс топологии, каждый лектор считает своим долгом
сказать, что топология изучает свойства геометрических фигур, не
зависящие от расстояний, кривизн и прочих метрических характеристик,
т. е. свойства, не изменяющиеся при непрерывных деформациях фигур.
В конце этого параграфа станет ясно, что имеется при этом в виду.
Красивые геометрические конструкции и идеи, обещанные в
предисловии, станут понятны позже. А пока придется усвоить некоторое
количество скучных определений.
Топология изучает топологические пространства и непрерывные
отображения между ними.
1.1. Топологические пространства и гомеоморфизмы
Определение. Топологическим пространством называют
множество -X", снабженное топологической структурой (топологи-
ей) т. Топологической структурой г называют при этом некоторое
множество подмножеств X: т С 2х. Подмножества множества X,
входящие в т, называют открытыми. При этом должны выполняться
следующие свойства:
1) объединение любого набора открытых множеств открыто;


2
Часть I. Основы теории гомотопий
2) пересечение конечного набора открытых множеств открыто;
3) пустое множество 0 и все множество X открыты.
Приведем примеры топологических пространств.
Пример 1. т = 2х, т.е. любое подмножество в X считается
открытым. Это эквивалентно тому, что любая точка х Е X является
открытым множеством. Такая топология называется дискретной.
Топологию г иногда удобно задавать с помощью базы топологии.
Базой топологии т = { Va } называют такое подмножество { W\ } С т,
что любое открытое множество представляет собой объединение
некоторого (быть может, бесконечного) числа множеств W\.
Напомним, что метрическим пространством называют
множество М с заданной функцией р: М х М —► R+, обладающей следующими
свойствами:
1) р(х,у) = 0 <& х = у;
2) р{х,у)=р(у,х);
3) р{х, у) + р(у, z) ^ р(х, z).
Пример 2 (топология метрического пространства). В качестве
базы топологии метрического пространства М берем множество всех
шаров
V€fX = {yeM\\x-y\<e}.
Пространства К1 и Шп являются метрическими пространствами.
Стандартные топологии в этих пространствах определяются как
топологии метрических пространств.
В качестве базы топологии пространства Rn можно взять шары с
рациональными радиусами и с рациональными координатами центров.
Топология при этом получается та же самая, но база, в отличие от
предыдущей, будет счетная.
Упражнение. Получится ли другая топология, если вместо шаров
брать параллелепипеды с ребрами, параллельными координатным осям?
Пример 3 (экзотическая топология R1). Будем считать
открытыми множествами в R1 множества, которые открыты в обычном смысле
и, кроме того, периодичны с периодом 1 (т. е. t € U О t + 1 G U).


1. Топологические пространства и операции
3
Определение. Подмножество А С X называют замкнутым,
если его дополнение Х\А открыто. Замыкание А подмножества А С X
— это наименьшее замкнутое множество, содержащее А.
Определение. Отображение /: X —> У топологических
пространств X и У называют непрерывным относительно данных
топологий, если полный прообраз любого открытого множества в У открыт.
Задача. Проверить, что для пространств X = У = R1, снабженных
стандартной топологией, это определение совпадает с (е,
(^-определением из курса анализа.
Для пространства X с дискретной топологией любое отображение
/: X —► У непрерывно.
Индуцированная топология. Пусть У — топологическое
пространство и X С У. Тогда на множестве А* можно задать топологию,
считая открытыми множествами пересечения X с открытыми
множествами в У. Эту топологию называют индуцированной.
В более общей ситуации индуцированная топология
определяется следующим образом. Пусть У — топологическое пространство,
/: X —> У — некоторое отображение. Индуцированной топологией
на X называют множество всех полных прообразов открытых
множеств в У. (В таком случае отображение / непрерывно). Если X С У и
/ — отображение вложения, то мы получаем предыдущее определение.
Отступление о рисунках. Когда рисуется какая-то картинка,
например, кривая на плоскости или поверхность в пространстве, то
предполагается, что на этой кривой или поверхности берется
топология, индуцированная из стандартной в объемлющем пространстве К2
или»3.
Задача. Пусть X = К1 с координатой t (на R1 топология не
задана), У = Т2 = S1 х 51 с угловыми координатами <р, ф. На торе Т2 задана
стандартная топология, которая индуцируется при вложении тора в К .
Отображение X -» У задано формулами (p(t) = art, if)(t) = fit. Описать
индуцированную топологию на X = 1К1 в зависимости от чисел а и /3.
Определение. Отображение /: X -> У называют
гомеоморфизмом, если оно непрерывно и обладает обратным отображением
Z"1: У -> X, которое тоже непрерывно. Если существует гомеомор-


4
Часть I. Основы теории гомотопий
Рис. 1 Рис. 2
физм X —¥ У, то пространства X и Y называются гомеоморфными.
Это записывается так: X « У.
Топология занимается изучением топологических пространств и
непрерывных отображений с точностью до гомеоморфизма.
Пример 4. Граница квадрата и окружность гомеоморфны (см.
рис. 1: точка А переходит в точку В).
Упражнение, а) Доказать, что отрезок [0,1] и интервал (0,1) в
дискретной топологии гомеоморфны.
б) Доказать, что отрезок и интервал в стандартной топологии не
гомеоморфны.
в) Гомеоморфны ли фигуры, изображенные на рис. 2?
Отделимость. Топологическое пространство X называется хаус-
дорфовым, если у любых двух различных точек х,г/ Е X есть
непересекающиеся окрестности. (Окрестностью точки х называют любое
открытое множество, содержащее х.)
Ф. Хаусдорф (1868-1942) ввел аксиоматику топологического
пространства.
1.2. Топологические операции над топологическими
пространствами
Прямое произведение X X Y. Пусть X и Y — два
топологических пространства. Тогда их декартово произведение X х Y (т.е.
множество пар точек (х, у), где х G X, у Е У) снабжается
стандартной топологией. База этой топологии состоит из прямых произведений
открытых множеств в X и У.
>


1. Топологические пространства и операции
5
Фактортопология. Пусть на множестве X задано отношение
эквивалентности ~,т,е.в1х! задано такое подмножество А, что
1) (#,#) Е А при всех х Е X;
2) (х,у)еА=>(у,х)еА;
3) (s,y),(x,z) Е A=>(y,z) Е А
Тогда топология на множестве классов эквивалентности Х/~,
называемая фактортпопологией, задается следующим образом. Множество U
открыто тогда и только тогда, когда открыт его полный прообраз при
канонической проекции X —► Х/~.
Пример. X = R1. Отношение эквивалентности: а ~ Ь & ЗА ф О :
а = АЬ. При этом X/ ~ состоит из двух точек, одна из которых является
открытым множеством, а другая — нет.
Задача. Пусть Х = На ,) f = End(R2). Отношение

эквивалентности: А ~ В <& А = LBL \ где L — обратимая матрица. Описать
фактормножество X/ ~ и фактортопологию.
Надстройка. Пусть X — топологическое пространство.
Надстройка ЕХ определяется как факторпространство X х J/ ~, где / — отрезок
[0,1], а отношение эквивалентности
следующее:
при А ф 0,1
(x,A)~(y,^)*»s = y,A = /i;
(ж, 1) ~ (у, 1) при всех я, у;
(х, 0) ~ (у, 0) при всех ж, у.
Иными словами, мы берем
цилиндр X х I и стягиваем в точку
как его верхнее основание X х {1},
так и его нижнее основание X х {0}
(рис. 3).
Пример, n-мернал сфера Sn —
= ЕХ
Рис. 3
это топологическое
пространство, гомеоморфное подмножеству в Rn+1, заданному уравнением
х\ + ... + ж£+1 = 1. Можно доказать, что T,Sn « 5П+1, в том числе и
для S0 = {-!,!}.


6
Часть I. Основы теории гомотопий
Приклеивание по отображению. Пусть X и У —
непересекающиеся топологические пространства, А С X и <р: А —> Y —
непрерывное отображение. Тогда операция приклеивания X kY по
отображению ср дает пространство
XU(pY = {XUY)/a~<p(a);
имеется в виду, что точка а € А эквивалентна точке <р(а), а точки вне
А и вне образа (р эквивалентны только сами себе.
Пространство X U У (объединение здесь в обычном смысле) можно
рассматривать как X, приклеенное к У по тождественному вложению
XClY^Y.
Джойн X * Y. Наглядное описание пространства X*Y следующее:
проводим всевозможные отрезки, соединяющие точки X с точками У, а
затем берем объединение всех этих отрезков.
(Отрезки не должны иметь общих внутренних точек.)
Например, 5° * S° « S1 (рис. 4). Формальное
определение таково:
Х*У = Х х[-1,1] хУ/~,
где отношение эквивалентности следующее:
при Л Ф —1,1 точка (х, А, у) эквивалентна только сама себе;
(х,-1,у) ~ (я,-1,1/) при всех ж, у, у';
(х, 1, у) ~ (ж', 1, у) при всех ж, а/, у.
1.3. Компактность
Определение. Топологическое пространство (Ху г) называется
компактным, если из любого покрытия X открытыми множествами
можно выбрать конечное подпокрытие.
В курсе анализа доказывалась следующая
Теорема. Подмножество евклидова пространства Rn, снабженное
индуцированной из W1 топологией, компактно тогда и только тогда,
когда оно замкнуто и ограничено.
Например, сфера 5т и отрезок [0,1] компактны, а пространство Шп
и интервал (0,1) некомпактны.


1. Топологические пространства и операции
7
Предложение. Свойство компактности сохраняется при
гомеоморфизмах. Прямое произведение, надстройка и джоин компактных
пространств компактны. Если все три множества АсХиУ
компактны, то результат приклеивания X кУ по непрерывному отображению
(р: А->У также компактен.
Задача. Компактны ли группа GL(Rn) всех обратимых матриц
размера n х п и ее подгруппа 0(n, R), состоящая из ортогональных
матриц?


2. Гомотопические группы и гомотопическая
эквивалентность
Определение. Два непрерывных отображения f,g:X —> У
называются гомотопными (обозначение: / ~ #), если / можно
непрерывно продеформировать в д в классе непрерывных отображений, т. е.
существует однопараметрическое семейство отображений с началом /
и концом д. Формальное определение следующее: существует такое
непрерывное отображение F:lx[0,l] —► У, что F(x,0) = f(x) и
F(x, 1) = д(х) для всех х £ X. При этом каждому Л Е [0,1]
соответствует отображение Д: X —> У, где f\(x) = F(x, Л). Эти отображения
непрерывны и они непрерывно зависят от Л.
Топология занимается задачами распознавания. Например,
требуется выяснить, гомеоморфны ли топологические пространства УиУ.
Для этого можно рассмотреть отображения некоторого
топологического пространства X в У и в У с точностью до гомотопии. Например,
X = S1. В таком случае получается дискретное множество классов
эквивалентных отображений; его можно изучить. Если такие
множества для УиУ окажутся разными, то У заведомо не гомеоморфно У.
Оказывается, что эти множества обладают структурой группы; эта
группа называется так:
2.1. Фундаментальная группа топологического
пространства
Пусть в топологическом пространстве У выбрана точка t/o, а на
окружности S1 выбрана точка *. Рассмотрим множество непрерывных
отображений f:Sl —> У, при которых * »-> уо- На этом множестве
есть отношение гомотопности (при этом в процессе гомотопии
отмеченная точка * все время должна переходить в уо» т. е. F(*, А) = уо ПРИ
всех А € [0,1]). Множество классов эквивалентности по этому
отношению называют фундаментальной группой пространства У и обознача-


2. Гомотопические группы и эквивалентность
9
ют так: 7Ti(y, уо). Как правило, фундаментальная группа
рассматривается лишь для линейно связного У.
Задача. Покажите, что:
1) 7ri(Y,yo) является группой с естественной групповой операцией;
2) 7Ti(y, уо) в некотором смысле не зависит от уо для линейно
связного пространства У (т.е. группы 7Ti(Y,уо) и ^1(У,У1) изоморфны, хотя
и этот изоморфизм не канонический — он определяется путем,
соединяющим уо и yi);
3) 7Гх(У,уо) — топологический инвариант пространства У, т.е. при
замене У на гомеоморфное ему топологическое пространство
фундаментальная группа заменяется на изоморфную.
Хотя решения этих задач приводятся на следующих страницах,
попробуйте выполнить их самостоятельно.
В определении фундаментальной группы 1Г\(Х,хъ) вместо
отображений S1 -* X можно рассматривать отображения отрезка [0,1]в1,
при которых оба конца отрезка переходят в отмеченную точку xq.
Такие отображения называют петлями.
Пространством петель fi(-Y, хо) называют множество
непрерывных отображений (51,*) —>• (Х,хо). Элементы фундаментальной
группы соответствуют компонентам линейной связности пространства
Q(X,x0).
Свойства фундаментальной группы.
1. Если X гомеоморфно X', то множества ki(X) и ^i{X')
находятся в естественном взаимно однозначном соответствии. В самом деле,
пусть h: X -> X1 — гомеоморфизм, хо € X — отмеченная точка и
xf0 = h(xo). Каждой петле ip: (51,*) —>• (Х,хо) сопоставляем петлю
2. Групповая структура. Неформально композиция двух
путей определяется следующим образом: сначала проходим первый
путь, а потом второй. Формальное определение таково. Пусть (риф —
два отображения [0,1] —> X, переводящих точки 0,1 в х$. Композицией
петель (риф называют такую петлю х — (рФч что
X{t) = <p(2t) при 0 ^ t ^ ±,
X{t) = 1>(2t - 1) при £< t < 1.


10
Часть I. Основы теории гомотопии
Если петли </?' и ф' гомотопны петлям (р и ф, то петля х' = Ф'ф*
гомотопна петле х = Ф<Р-
Ассоциативность (с точностью до гомотопии) композиции петель
очевидна.
Единичный элемент группы — это класс постоянного отображения
S1 ь* хо € X. Обратный элемент — петля, проходимая в обратном
направлении. Гомотопность постоянному отображению петли,
пройденной сначала в одном направлении, а затем в обратном направлении,
можно установить, потянув за точку 1/2 (в процессе гомотопии эта
точка не обязана отображаться в отмеченную точку xq).
Существует ли пространство X, для которого группа щ(Х) не
единичная?
Пример. ni(Sl) = Z.
Доказательство этого утверждения основано на том, что
пространство петель fi(51) гомеоморфно пространству отображений
<р\ [0,1] -> R1, для которых <р(0) = 0 и <р(1) е Z. Отображение 51 -» 51
мы заменяем на отображение [0,1] —> R1, параметризовав окружность
и используя локальную координату на окружности — аргумент
(локально обратное отображение к отображению а *-> е27ГШ). Мы полагаем
(р(0) = 0, а значение <р(1) должно отличаться от <р(0) на целое число.
Пусть (р(1) = г. Тогда для любой гомотопной петли получим то же
самое число г. В самом деле, в процессе гомотопии число i должно
изменяться непрерывно, и при этом все время оставаться целым, поэтому
оно не изменяется.
Множество всех петель с одним и тем же индексом i линейно
связно, т.е. все петли гомотопны. Действительно, для функций <р и <р\ с
индексом % можно рассмотреть функцию Х(р + (1 — \)<р\. Эта функция
соответствует петле с индексом i. Семейство функций Xip 4- (1 — Х)ф\
представляет собой гомотопию, связывающую <р и <р\.
Задача. Вычислить 7Ti(5n) при n ^ 2.
2.2. Старшие гомотопические группы
Для распознавания топологических пространств X и X' можно
выбрать модельное множество А и рассмотреть множество классов
непрерывных отображений [А, X] с точностью до гомотопии. В зависимости


2. Гомотопические группы и эквивалентность
11
от конкретной задачи иногда бывает удобно выбрать в А
подмножество В и считать, что отображение В —> X фиксировано.
Пусть фиксированы точки gq Е А и xq € X. Множество классов го-
мотопически эквивалентных отображений А —> X, переводящих ао в #o,
обозначают ЩА,Х). Множество H(Sn,X) имеет специальное
обозначение пп(Х).
Покажем, что на множестве яп(Х) можно ввести групповую
структуру- (Группу пп(Х) называют п-мерной гомотопической группой или
п-й гомотопической группой.)
Упражнение. Пусть Вп — n-мерный диск (шар) с границей 571-1.
Тогда ВП/5П"1 гомеоморфно S71.
Следствие. Множество отображении (S^ao) -► (X,xq) для
любого топологического пространства X совпадает с множеством
отображений Вп —> X, переводящих всю граничную сферу Sn~l = dBn в
ТОЧКу Xq .
Пусть заданы отображения </?, ф: Sn —> X. Требуется определить их
композицию ф(р: Sn -> X. Рассечем сферу 5П, заданную уравнением
Xq + ... + х„ = 1, экваториальной плоскостью хо = 0. Можно считать,
что отмеченная точка лежит в экваториальной плоскости.
Отображение фср: Sn —► X устроено следующим образом.
Нижняя половина сферы представляет собой диск Вп. После
факторизации диска по экваториальной сфере Sn~l получаем сферу Sn. Эту
сферу отображаем в X по правилу ip
(экваториальная сфера отображается при этом
в отмеченную точку). На верхней
половине сферы отображение задаем по правилу
ф (рис. 5). Полученное отображение
непрерывно, потому что отображения <р, ф
согласованы на том множестве, на котором они
оба определены. А именно, экваториальную
сферу Sn~l они отображают в отмеченную
точку.
Задача. Доказать, что определенная выше композиция превращает
ПП(Х) В Группу.
Отображение Sn —> X называют n-мерным сфероидом.


12
Часть I. Основы теории гомотопий
Теорема. При п > 1 группа, пп(Х) коммутативна.
Доказательство проведем для наглядности при п = 2. В этом
случае отображение фср: S2 —> X можно представить как отображение
В2 -» X, где В2 состоит из двух полудисков и на одном полудиске
задано отображение <р, а на другом ф (рис. 6); граница каждого
полудиска отображается в отмеченную точку х$. Будем вращать разделяющий
полудиски диаметр (рис. 7). Для любого угла а обозначим через La
отображение В2 -> В2, заданное поворотом на угол а вокруг центральной
точки. Затем для любого а е [0,7г] обозначим через ф(ра отображение,
совпадающее с (р о L-a с одной стороны от повернутого диаметра, и с
ф о L-a с другой. После поворота на 7г отображения <р и ф поменяются
местами, т.е. ф(рп = <рфо. Таким образом, получаем однопараметриче-
ское семейство отображений, связывающее отображения ф<р и <рф.
Ч>
Рис. 6 Рис. 7
При п > 2 доказательство точно такое же.
Получаем набор топологических инвариантов 7гп(Х); у гомеоморф-
ных пространств гомотопические группы изоморфны. Все множества
П(А, X) образуют более широкий набор топологических инвариантов.
Но если П(А, X) — просто множество, без какой-либо алгебраической
структуры, то это очень слабый инвариант.
Задача на будущее. Для каких А на множестве П(А, X) при
любом X есть естественная групповая структура? (Частичный ответ: если
А = ЕБ, то П(Л, X) — группа, а если А = EEC, то эта группа абелева.)
Можно предъявить негомеоморфные топологические пространства,
которые не различаются инвариантами вида П(Х, А) и П(А, X). Во
многих ситуациях полезнее другое отношение эквивалентности: не
гомеоморфность, а гомотопическая эквивалентность.
X


2. Гомотопические группы и эквивалентность
13
Определение. Топологические пространства X и Xf называют
гомотопически эквивалентными если существуют такие непрерывные
отображения f\ X —> X1 и д: X1 —> X, что их композиции fg и gf
гомотопны тождественным отображениям. Отображения / и д называют
при этом гомотопической эквивалентностью.
Конечно, гомеоморфные пространства гомотопически
эквивалентны. Обратное, вообще говоря, неверно.
Пример. Цилиндр I х S1 и окружность 51 гомотопически
эквивалентны. Отображение f:S1—>IxSl задается как гомеоморфизм
/: S1 -> {0} х 51 С I х S1, а отображение
д: I х S1 —> S1 задается как композиция
проекции цилиндра на нижнее основание
{0} х^и гомеоморфизма /~х (рис. 8).
Рис. 8
Утверждение. Если топологические
пространства X и X1 гомотопически
эквивалентны, то их гомотопические группы
изоморфны, а множества П(А, X) и П(А, X1) находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии, равно как и множества Н(Х, А) и
ЩХ',А).
Упражнение. 7ri(Sn) = 0 при n ^ 2.
Зависимость от отмеченной точки. При определении
гомотопических групп выделялась отмеченная точка. Что произойдет, если
мы выберем другую отмеченную точку? (При этом пространство X
считается линейно связным; для несвязного пространства нужно по
отдельности рассматривать его компоненты линейной связности.)
Существует способ отождествить tti(X,xo) с iti(X,x'0), но это
отождествление определено не однозначно. (Под отождествлением мы
подразумеваем построение изоморфизма.)
Изоморфизм между группами 7Гх(Х, хо) и 7Ti(X,#o) можно
определить следующим образом. Возьмем путь Z, соединяющий точку хо с
точкой хгп. Петле с начальной точкой в х'п сопоставим петлю с начальной
ьо
о
точкой в жо, которая устроена так:
первая ее треть — путь I от xq до Xq,
вторая треть — петля в х\
о>
последняя треть — обратный путь I х из xfQ в xq.


14
Часть I. Основы теории гомотопий
Легко проверить, что это отображение петель опускается до
отображения фундаментальных групп
ni(X,x'0) -> 7Ti(X,Xo),
т. е. гомотопным петлям соответствуют гомотопные петли.
Аналогично строится отображение
щ(Х,Хо) -> 7Ti(X,Xq),
с помощью обратного пути Z"1 из х'0 в хо-
Легко проверить, что построенные отображения взаимно обратны
и сохраняют групповую операцию. В первом случае нужно проверить,
что петли ll~lall~l и а гомотопны, а во втором случае нужно
проверить, что петли l~labl и l~lall~lbl гомотопны. В обоих случаях мы
пользуемся тем, что участок ll~l можно уничтожить.
Пусть теперь I и V — два пути из xq в х'0. Посмотрим, как
отличаются определяемые ими изоморфизмы. Для этого отобразим tti(X,x'0)
в tt^X^xq) с помощью пути /, а затем отобразим п\(Х,хо) обратно в
ni(X,xr0) с помощью пути (О-1- При этом петля а с начальной точкой
в х'0 переходит сначала в петлю J-1aZ, а затем эта петля переходит в
петлю 1'1~1а(1'1~1)~1. Здесь с = VI"1 — петля с начальной точкой в х'0.
Таким образом, построенный автоморфизм группы п\(Х, х'0) имеет вид
а н-> сас~1, где с — фиксированный элемент группы. Такие
автоморфизмы называют внутренними.
Итак, изоморфизм k\(X,xq) -> tti(X^Xq) определен с точностью до
внутреннего автоморфизма.
Примерно так же можно построить и изоморфизм гомотопических
групп 7гп(Х,х'0) и 7гп(Х,а;о). В этом случае сфероиду с началом в
точке х'0 нужно сопоставить сфероид с началом в точке жо- Будем
считать, что на сфере отмеченная точка — северный полюс. Рассмотрим
сечения сферы плоскостями, параллельными экватору. Каждое такое
сечение, лежащее в северном полушарии, стянем в точку (рис. 9). В
результате получим сферу, к которой приделан отрезок. Этот отрезок
отобразим на путь /, соединяющий точки xq и х'0, а сферу отобразим в
соответствии с заданным сфероидом в точке х'0. В результате
сфероиду в точке х'0 мы сопоставим сфероид в точке #о- Это отображение
опускается до отображения гомотопических групп
пп(Х,х'0) -> 7гп(Х,:го).


2. Гомотопические группы и эквивалентность
15
Отображение групп сохраняет групповую операцию. Обратное
отображение получается с помощью обратного пути из х'0 в xq. Построенный
изоморфизм зависит от выбора пути.
Рис. 9
Определение. Пусть А и В — топологические пространства
с отмеченными точками оо Е А и bo £ В. Рассмотрим несвязное
объединение топологических пространств А и В и профакторизуем его по
отношению эквивалентности ао ~ Ьо (т.е. склеим точки ао и &о).
Полученное топологическое пространство называют букетом пространств
Аи В и обозначают (А, ао) V (В, Ьо).
Задача. На группе nk(Sk V S1) автоморфизмы из группы 7ri
действуют нетождественно.
Функториальность гомотопических групп.
Теорема. Если пространства X и X1 гомотопически
эквивалентны, то для любого топологического пространства Y имеется взаимно
однозначное соответствие между множествами П(У, X) и П(У, X').
(Удобно считать, что Y — пространство с отмеченной точкой, и мы
рассматриваем гомотопии, сохраняющие отмеченную точку.
Формулировка теоремы и ее доказательство верны и для пространств с
отмеченной точкой и для пространств без отмеченной точки.)
Требуемое соответствие задается просто композициями с
гомотопическими эквивалентностями, т.е. отображению <р: Y -» X сопоставля-


16
Часть J. Основы теории гомотопий
ем отображение focp: У —► X1, а отображению ^' У -> -X7 —
отображение з о ф: У -> X. Эти отображения гомотопически взаимно обратны.
В самом деле, отображению <р: У —>. X их композиция сопоставляет
отображение j о / о ^, гомотопное <^, так как отображение go/
гомотопно тождественному. Ясно также, что гомотопным отображениям ср
и (pf сопоставляются гомотопные отображения / о ip и / о у/.
Построенное отождествление зависит от выбора гомотопических
эквивалентностей /ид.
Это отождествление естественно (или, как говорят еще, функ-
торшлъно) по У в следующем смысле. Пусть задано
пространство Y1 и отображение А: У —► У. Тогда возникает отображение
П(У',Л") —> П(У, X), при котором отображению ipf: Y' -» А"
сопоставляется отображение (р = (р* о А: 7 ч X. Аналогично
определяется отображение П(У/,Х/) -* П(У,Х'). Кроме того, композиция с
отображениями I 4 Г и I' 4 I, входящими в определение
гомотопической эквивалентности X ~ Xf, определяют отождествления
П(У,Х) ++ П(У,Х'), П(У',Х) *> П(У',Х'), поэтому в результате
получаем диаграмму
Щ¥,Х)« -П(У,Х')
t t
П(У',Х)^-^П(У',Х')
Взаимно однозначное соответствие из предыдущей теоремы является
естественным (функториальным) по У, т.е. для любых Y,Y' и
непрерывного отображения А : У —¥ У такая диаграмма коммутативна: это
значит, что все допустимые комбинации путей по ее стрелкам
приводят к одному и тому же результату. Иными словами, каждый элемент
всегда попадает в один и тот же элемент, независимо от пути по
стрелкам.
Аналогичным образом гомотопическая эквивалентность между X
и X1 задает отождествление П(Х, Z) с U(Xf,Z). Это соответствие
функториально по Z, т. е. для отображения Zr -> Z диаграмма
Il(X,Z')*^Il{X',Z')
\ \
Tl(X,Z)*—>n(X',Z)
коммутативна.


2. Гомотопические группы и эквивалентность 17
Примеры гомотопически эквивалентных пространств.
1) X и I х X гомотопически эквивалентны.
2) Лента Мёбиуса гомотопически эквивалентна S1.
3) Топологическое пространство GL(Rn) = GL(n, R) (матрицы
размером п х п с ненулевым определителем) гомотопически
эквивалентно 0(Rn) = 0(n, R) (ортогональные матрицы), а
пространство SX(n,R) матриц с определителем 1 гомотопически
эквивалентно 50(Rn) (ортогональные матрицы с определителем 1).


3. Накрытия
Отображение р: X -* У, где пространство У линейно связно,
называют накрытием, если у любой точки у € У есть такая окрестность J7,
что ее прообраз p~~l(U) гомеоморфен некоторому количеству
экземпляров U (т.е. p~l(U) « U х Д, где Д — дискретное топологическое
пространство), причем этот гомеоморфизм согласован с отображением р
в том смысле, что естественная проекция на сомножитель U х Д -> U
совпадает с отображением р, т. е. диаграмма
p~l{U) » U х Д
\/
С/
коммутативна. Если Д состоит из к точек, то накрытие называют
А;-листным.
Примеры накрытий. (1) Sk -> RP*.
(2) S1 = {z € С | |*| = 1} -+ S1, * н> z*.
(3) R1 -+51, *H+cos* + isin*.
Важным примером накрытия является также накрытие грас-
сманианов. Многообразием Грассмана Gfc(Rn) называют множество
всех fc-мерных подпространств в Rn. Ориентированным
многообразием Грассмана G~£(Rn) называют множество всех Л-мерных
подпространств в Шп с заданными на них ориентациями.
Например, Gi(Rn) = RPn~\ Gf (Rn) « S71"1, Gn_i(Rn) « RP*1"1
и вообще Gfc(Rn) « Gn_fc(Rn). Последнее отождествление определяется
с помощью любой невырожденной билинейной формы в Rn. А
отождествление GjJ"(Rn) w бг+_л(Кп) зависит еще и от выбора ориентации в Rn.
Имеется двулистное накрытие GjJ"(Rn) -> Gfc(Rn) (забывание
ориентации); это накрытие обобщает накрытие Sn~l -4 RPn"x.
Из условия линейной связности базы накрытия У следует, что
дискретное множество Д одно и то же для всех точек у £ У, т.е. для


3. Накрытия
19
любой пары точек 3/1,3/2 € У имеется биекция между
соответствующими множествами A(t/i) = P~l(yi) и A(t/2) = Р~1{У2)- В самом
деле, соединим точки j/i,j/2 € У некоторым путем. Покроем этот путь
окрестностями, участвующими в определении накрытия. Из этого
покрытия компактного множества открытыми множествами можно
выбрать конечное подпокрытие. Для точек одной и той же окрестности U
отождествление множеств р~~1(у) вытекает из определения: все они
отождествлены с некоторым множеством A(U). Искомая биекция
строится как композиция таких отождествлений для подходящей цепочки
точек j/j нашего пути, лежащих в пересечениях соседних окрестностей,
покрывающих этот путь. Выбор пути однозначно определяет
отождествление точек множеств p~l(yi) и р~1{у2)- Поэтому, если задан путь
(р: [0,1] —> У и задана точка х Е Р_1(^(0)), то существует
единственный путь Ф: [0,1] —> X, для которого Ф(0) =жироф = ^. Путь Ф
называют поднятием пути (р; он однозначно определяется начальной
точкой х.
ВОПРОС. Какие бывают неэквивалентные накрытия над сферой S2?
(Накрытия р\: Х\ -> Y и р2: Хч —* У называют эквивалентными,
если существует такой гомеоморфизм /: Х\ -»• Лг, что диаграмма
Х\ ► Х2
У
коммутативна.)
Мы вернемся к этому вопросу в § 4.2 после некоторой подготовки.


4. Клеточные пространства (СИ^-комплексы)
Топология обычно имеет дело лишь с достаточно хорошими
топологическими пространствами, а именно, с клеточными пространствами.
Другие пространства используются разве что для построения
различных контрпримеров.
Клеточные пространства склеиваются из клеток, т.е.
топологических пространств, гомеоморфных шару. Прежде чем давать
формальное определение, рассмотрим некоторые примеры клеточных
пространств.
Тор Т2 можно получить, склеив противоположные стороны
квадрата. Это позволяет представить тор как объединение одной двумерной
клетки, двух одномерных клеток и одной нульмерной клетки.
Для сферы S2 есть два стандартных клеточных разбиения, которые
часто используются. Во-первых, сферу можно представить как
объединение нульмерной клетки и ее дополнения — двумерной клетки. Во-
вторых, сферу можно разделить экватором на две части, а экватор
можно разделить на две части парой диаметрально противоположных
точек; в этом разбиении по две клетки размерностей 0, 1 и 2.
При отождествлении диаметрально противоположных точек 52 из
второго клеточного разбиения можно получить клеточное разбиение
проективной плоскости RP2; в этом разбиении по одной клетке
размерностей 0, 1 и 2.
4.1. Определение и основные свойства
клеточных пространств
Определение. Пусть X — хаусдорфово топологическое
пространство. Структурой клеточного пространства на X называют
разбиение пространства X на подмножества В^, гомеоморфные
открытым дискам разных размерностей. (Разбиение X — это
представление X в виде объединения попарно непересекающихся подмножеств.)
Для каждого В%С X фиксируется характеристический гомеоморфизм


4. Клеточные пространства {СW-комплексы)
21
Xa: Dk —> -^qj гДе Dk — открытый fc-мерный диск. Требуется, чтобы
этот гомеоморфизм допускал продолжение до непрерывного
отображения (характеристического отображения) замыкания диска Dk —> X,
причем должны быть выполнены следующие условия (аксиомы
клеточного пространства):
(С) Образ границы диска Dk принадлежит конечному множеству
клеток Bl меньших размерностей (т.е. j < к).
(W) Подмножество А С X замкнуто тогда и только тогда, когда
его пересечение с замыканием любой клетки замкнуто.
Еще одно название для клеточных пространств — CW-комплексы.
Для каждого из рассмотренных нами разбиений Т2, S2 и RP2 можно
построить соответствующие характеристические гомеоморфизмы.
Важнейшими утверждениями о клеточных пространствах
являются лемма Борсука, теорема о клеточной аппроксимации и локальная
стягиваемость клеточных пространств.
Свойство Борсука. Пусть X — топологическое пространство и
А С X. Для отображения /: X -> Y можно рассмотреть его
ограничение /а : А —> Y. Пусть задана гомотопия Fa : А х J —> Y
отображения /д, т.е. ^д(а,0) = /а(о,) при а € А. Бели для любого У и любого
отображения / : X —У Y любую гомотопию Fa можно продолжить до
гомотопии F: X —> Y отображения /, то пару пространств (Х,А)
называют парой Борсука.
Лемма Борсука. Если X — клеточное пространство, а А с X —
клеточное подпространство (т. е. клеточное пространство, являющееся
объединением некоторых клеток пространства X), то (Х,А) — пара
Борсука.
Доказательство. При доказательстве многих утверждений о
клеточных комплексах используется индукция по размерности клеток.
Дело в том, что для клеточного пространства X имеется естественная
фильтрация
Х° С X1 С X2 С ... С X,
где Х° — объединение всех нульмерных клеток, -X"1 — объединение
всех нульмерных и одномерных клеток, Хк — объединение клеток
размерности не более к. Множество Хк С X, очевидно, также является
з


22
Часть I. Основы теории гомотопий
:о
клеточным пространством; его называют k-мерным остовом
комплекса X и обозначают также через sk*-X\
Гомотопию, заданную на А, мы сначала продолжим на АиХ°, затем
на A U X1 и т. д. Предположим, что гомотопия уже задана на A U Хг;
ее нужно продолжить на все (г + 1)-мерные клетки комплекса X,
Рассмотрим клетку В}+1, не лежащую в А. Пусть (р^1: Di+1 —► Б£+1 —
характеристическое отображение. Искомое продолжение нашей
гомотопий на J3q+1 определит с его помощью некоторое отображение
цилиндра D*+l х [0,1] в Y. Мы построим некоторое такое отображение
и, обратно, определим с его помощью продолжение гомотопий на В£~1.
Это отображение уже задано на нижнем основании Dl+l х {0} (как
композиция (рг+1 и исходного отображения /: X —► Y). На боковой
поверхности цилиндра отображение тоже задано, поскольку образ
границы D%+1 при отображении в X лежит в г-мерном
остове, а там гомотопия уже построена по
предположению индукции.
Требуемое отображение DiJtl х [0,1] —> Y строим
следующим образом. Выберем точку О над центром
верхнего основания цилиндра Di+l х [0,1] (рис. 10).
Соединим точку О с точкой Р нижнего основания
или боковой поверхности цилиндра. В точке Р
отображение задано. Отобразим весь отрезок ВР в
образ точки Р. Сделаем то же самое для всех клеток
все увеличивающейся размерности в X \ А\ из
аксиомы W следует, что в результате мы действительно
_ получим непрерывную гомотопию. Доказательство
ГИС. 10 гч
леммы Борсука завершено.
Пусть X и Y — клеточные пространства. Непрерывное
отображение /: X -¥ Y называют клеточным, если f(sknX) С sknY при
п = 0,1,2....
Теорема о клеточной аппроксимации. Любое отображение
пары клеточных пространств гомотопно клеточному отображению.
Основная идея доказательства этой теоремы заключается в
следующем. Бели образ «-мерной клетки пересекает клетку большей
размерности, то его можно вытеснить на границу. Мы не будем подробно


4. Клеточные пространства (CW-комплексы)
23
доказывать теорему о клеточной аппроксимации, хотя и будем ею
пользоваться. Сформулируем важное следствие этой теоремы.
Следствие. Для любого клеточного пространства X группа щ{Х)
изоморфна группе 7Ti(ski+i)X.
Мы дали формальное определение клеточных пространств.
Неформально их удобно представлять себе как топологические пространства,
построенные по индукции приклеиванием клеток. А именно, сначала
берется набор точек — нульмерные клетки. Так получаем нульмерный
остов Х°. Затем берем какое-то количество отрезков и рассматриваем
отображения их концов в Х°. По этим отображениям приклеиваем эти
отрезки к Х°. Напомним, что если задано отображение <р: А —> У, где
А С X, то пространством, полученным в результате приклеивания X
к У по отображению <р, называют пространство
YU^X = YUX/a~<p(a).
Приклеив отрезки к Х°, получим одномерный остов X1. Затем
берем набор двумерных дисков и для каждого диска задаем отображение
граничной окружности в X1, причем образ окружности должен
пересекаться с конечным числом нульмерных и одномерных клеток. Так
получаем двумерный остов X2 и т. д.
Определение. Топологическое пространство X называют
k-связным, если оно линейно связно и группы ni(X),n2(X),... ,тг^(Х)
нулевые.
Пусть А — подмножество топологического пространства X.
Непрерывное отображение /: X -> А называют ретракцией, если /
неподвижно на А, т.е. f(a) = а при всех а € А. Ретракцию /
называют деформационной ретракцией, если f гомотопно тождественному
отображению. Деформационную ретракцию / называют строгой
деформационной ретракцией, если гомотопия /*, связывающая / и idx>
неподвижна на А.
Топологическое пространство X называют стягиваемым, если
оно гомотопически эквивалентно точке. Эквивалентное определение:
X стягиваемо, если существует деформационная ретракция X на
точку * € X.
3*


24
Часть I. Основы теории гомотопий
Деформационная ретракция /: X -* А С X является
гомотопической эквивалентностью между Л" и Л; гомотопически обратным
отображением для / служит вложение А в X.
Стягиваемое пространство fc-связно при всех к.
Примером строгой деформационной ретракции служит проекция
цилиндра X х I на нижнее основание X х {0}.
Для построения гомотопической эквивалентности двух
топологических пространств обычно строят либо одну деформационную
ретракцию, либо цепочку деформационных ретракций. При этом иногда
рассматриваемые пространства вкладывают в большие пространства в
качестве подпространств.
Топологическое пространство X называют локально к-связным,
если для любой точки х Е X и для любой окрестности U точки х найдется
Л-связная окрестность точки х, лежащая в U.
Топологическое пространство X называют локально стягиваемым,
если для любой точки х € X и для любой окрестности U точки х
найдется стягиваемая окрестность точки ж, лежащая в U.
Теорема. Любое клеточное пространство локально стягиваемо.
Доказательство этой теоремы использует в основном аксиому W.
Доказательство мы не приводим.
Приведем теперь следствия основных трех теорем о клеточных
пространствах (теоремы о клеточной аппроксимации, леммы Борсука и
теоремы о локальной стягиваемости).
Определение. Клеточной парой (X,У) называют клеточное
пространство X и его клеточное подпространство Y С X.
Теорема. Пусть (X, Y) — клеточная пара, причем пространство Y
стягиваемо. Тогда пространство X/Y гомотопически эквивалентно X.
Доказательство. Пустьр: X —У X/Y — естественная
проекция. Нужно построить отображение X/Y -» X, гомотопически
обратное отображению р. Его мы будем строить с помощью теоремы
Борсука. Пусть /: X -> X — тождественное отображение, /у —
ограничение / на У. По условию существует гомотопия, связывающая /у и
отображение У в точку. Эту гомотопию по теореме Борсука можно


4. Клеточные пространства (CW-комплексы)
25
продолжить до гомотопии отображения /. Конечное отображение этой
гомотопии представляет собой отображение X —► X, переводящее Y в
точку. Такое отображение можно опустить до отображения X/Y —> X.
Легко проверить, что построенное отображение гомотопически
обратно отображению р.
Рис. 11
Теорема. Пусть клеточное пространство X k-связно (в частности,
линейно связно). Тогда X гомотопически эквивалентно клеточному
пространству X', в котором есть ровно одна нульмерная клетка и нет
клеток размерностей 1,2,... , к.
Доказательство. Рассмотрим все нульмерные клетки
пространства X и выберем из них одну клетку (точку) в качестве базисной.
Соединим базисную точку со всеми остальными
нульмерными клетками отрезками, целиком
лежащими в одномерном остове X. Для каждого
такого отрезка рассмотрим полукруг и
подклеим этот полукруг к X по данному отрезку
(рис. 11).
Приклеив таким образом полукруги по всем
отрезкам, получим новое пространство. Оно
содержит старое пространство в качестве строгого деформационного ре-
тракта, поэтому оба пространства гомотопически эквивалентны. Новое
пространство очевидным образом клеточное. Профакторизуем его по
объединению верхних границ полукругов. В результате получим
пространство с одной нульмерной клеткой. Но пространство, по которому
мы факторизуем, представляет собой набор отрезков с одним общим
концом, не имеющих других общих точек. Поэтому оно стягиваемо, а
значит, факторпространство гомотопически эквивалентно исходному
пространству. (Исходные отрезки, лежащие в X, могут пересекаться и
в ДРУГИХ точках, поэтому их объединение не обязательно стягиваемо.)
Пусть теперь к ^ 1. В таком случае по условию все одномерные
клетки стягиваемы. Стягивание клетки можно рассматривать как
отображение D2 -> X, которое границу D2 переводит в данную клетку.
Возьмем шар D3 и приклеим его нижнюю половину границы D2 по
отображению D2 -> X. Полученное пространство профакторизуем по
объединению верхних половин границ шаров и т. д.


26
Часть I. Основы теории гомотопии
4.2. Классификация накрытий
Определение. Накрытия р: X -> Y и р': X' -> Y'
называют эквивалентными, если существуют гомеоморфизмы /: X -+ X1 и
д: Y -> У, для которых др = p'f. Накрытия р: X —► Y и р1: X' -» У
над одной базой У называют эквивалентными, если существует
гомеоморфизм /: X —> X1, для которого р = pff.
Для достаточно хороших топологических пространств (в частности,
для клеточных комплексов) накрытия находятся во взаимно
однозначном соответствии с подгруппами фундаментальной группы, которые
рассматриваются с точностью до сопряженности. Для доказательства
этого нам потребуется следующее утверждение.
Теорема о накрывающей гомотопии. Рассмотрим накрытие
р: Е -> X. Пусть задано отображение f:Y -» Е и задана гомотопия
отображения pf:Y -> X, т.е. отображение F: Y х I -» X,
совпадающее с pf на У х {0}. ТЬгда если пространство У не слишком
плохое (а именно, У локально линейно связно), то гомотопия F
однозначно поднимается до гомотопии отображения f, т.е. существует
отображение Ф: У х J -> Е, которое:
1) совпадает с / на У х {0};
2) удовлетворяет соотношению рФ = F.
Набросок доказательства. Пусть сначала У состоит из
одной точки. В таком случае рассматриваемая гомотопия F
представляет собой путь в -X". Этот путь поднимается в 1£, см. § 3.
Если же пространство У состоит не из одной точки, то для
каждой точки этого пространства рассматриваем аналогичным образом
путь ь X и поднимаем его в Е. Нужно лишь проверить, что
полученное поднятие непрерывно. Для этого используется локальная линейная
связность пространства У.
Опишем теперь более подробно связь накрытий над X с
подгруппами iti(X).
ТЕОРЕМА. Пусть Х —локально односвязное (в частности, локально
линейно связное) топологическое пространство. ТЪгда


4. Клеточные пространства (CW-комплексы)
27
1. Для любого накрытияр: Е —> X отображение р* : к\(Е) —> п\(Х)
мономорфно.
2. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством
tt^1(xq) и множеством смежных классов it\{X)lp*7ti(E).
3. Для любой подгруппы G в щ(Х) существует такое накрытие
р: Е -» X, чтоp*ni(E) = G.
4. Рассмотрим накрытия пунктированных пространств, т. е.
фиксируем точки ео Е Е и е'0 Е Е', лежащие в прообразах отмеченной точки
xq 6 X, и будем считать накрытия р: Е —► X, p'lE'-tX
пунктированных пространств эквивалентными, если гомеоморфизм f переводит
ео в е'0. Тогда в пунктированной классификации два накрытия
эквивалентны тогда и только тогда, когда
p*ni(E,eo) = р+пх(Е',е'0).
5. При обычном определении эквивалентности два накрытия
эквивалентны тогда и только тогда, когда группыp*it\{E, ео) ир+п^Е1, ef0),
где ео £ р"1(хо) я e'Q 6 (р')~1(хо), сопряжены в группе ^(Л^жо).
Приступим к доказательствам.
1. Нужно доказать, что если у — петля в Е и петля р7 стягиваема,
то сама петля 7 тоже стягиваема. Это непосредственно следует из
теоремы о накрывающей гомотопии: стягивание петли pj можно поднять
до стягивания петли у.
2. Взаимно однозначное соответствие между р~1(хо) и множеством
смежных классов -Ki(X)/p*iTi{E) возникает при выборе отмеченной
точки ео 6 р~1(хо). Рассмотрим всевозможные пути с началом ео и
концом, принадлежащим p~1(xq). Проекция такого пути соответствует
некоторому элементу iti(X). Конец пути попадает в ео тогда и только
тогда, когда соответствующий этому пути элемент ^i(X) лежит в
p*7Ti(2£). Пути s и s' приходят в одну и ту же точку тогда и только
тогда, когда sfs~l €p*7Ti(JS).
3. Построим накрытие над X для заданной подгруппы
G С п\(Х,хо). Рассмотрим множество всех путей в X с началом #о-
Введем на этом множестве следующее отношение эквивалентности:
пути s и s' эквивалентны, если выполняются два условия:


28
Часть I. Основы теории гомотопий
1) конец пути s совпадает с концом пути s',
2) петля s's~l лежит в G.
Возникает фактормножество 22, для которого определена естественная
проекция на X: каждому пути сопоставляется его конец. Топология в
пространстве Е задается следующим образом. Пусть х — некоторая
точка пространства -X", U — ее линейно связная односвязная
окрестность, s — некоторый путь из xq в х. Паре (s, U) сопоставим множество
Uf С Е,в которое входят классы эквивалентности путей, состоящих из
пути s и некоторого его продолжения, целиком лежащего в U.
Всевозможные множества U1 образуют базу топологии Е. Несложно
убедиться, что естественная проекция р: U1 —► U является гомеоморфизмом.
Эпиморфность р следует из линейной связности С/, а мономорфность р
следует из односвязности U.
Наконец, в п. 4 (соответственно, 5) часть «только тогда» очевидна:
эквивалентные накрытия определяют одинаковые (соответственно,
сопряженные) подгруппы, а гомеоморфизм Е -¥ Е\ доказываюпщй часть
«тогда», строится при помощи накрывающей гомотопий отображения
ео *-+ во (соответственно, ео ^ е'0).


5. Относительные гомотопические группы
и точная последовательность пары
Рассмотрим тройки пространств (JD*,51"1,yo) и (-Х",-А, жо), где
уо Е S1"1 = 8D1 С D1 и xq € Ас X. Отображением троек
f:(Bi,Si-1,y0)-+(X,Atx0) (1)
называют такое отображение /: D1 —> X, что f{S%~1) С Аи /(уо) = #о-
Гомотопию /г, £ Е [0,1], связывающую отображения /о и Д,
называют гомотопией отображения троек, если при всех t отображение ft
является отображением троек. Множество классов эквивалентности
гомотопных отображений троек вида (1) обозначают щ(Х,А,хо).
При г > 1 множество щ(Х, A,xq) является группой (г-мерная
относительная гомотопическая группа). Для введения групповой
структуры на этом множестве нужно переформулировать определение.
Рассмотрим тройку (Л, ЭР, Jj), где J = [0,1], J2 = ЭР — /*~\ Р~1 —
некоторая открытая (г — 1)-мерная грань куба ЭР, например, грань, состоящая
из таких наборов (z\,... , Zi) G [0,1]г, что zt = 1, а все остальные
координаты 2j, j < г, отличны от 0 и 1. Снова рассматриваем отображения
троек
(Г,дГ,*)—>(Х,А,хо)
и стандартное отношение гомотопности таких отображений.
Полученное в результате множество классов эквивалентности
находится в естественном взаимно однозначном соответствии с щ(Х, А, хо)-
Дело в том, что тройки (£>*, S1""1, г/о) и (/*, дР, J{) гомотопически
эквивалентны. Пары (X, А) и (У, В) называют гомотопически
эквивалентными, если существуют такие отображения пар /: (X, А) —> (Y,B) и
g: (Y,B) -> (Х,А), что fg и gf гомотопны тождественным
отображениям пар, причем гомотопия все время переводит А в А, В в В.
Гомотопическая эквивалентность троек пространств определяется
аналогично.


30
Часть I. Основы теории гомотопий
i
i
' I
|_
При новом определении множества щ(Х, A,xq) групповая
структура на нем вводится следующим образом. Пусть на двух кубах Р заданы
отображения /ид. Сплющим эти кубы и склеим их по паре
противоположных граней, отличных от Р~1 (рис. 12);
при г ^ 2 такая пара граней обязательно
найдется. Общую грань отображения / и д
переводят в точку жо, поэтому на ней эти
отображения согласованы. В результате
получаем отображение куба /г, переводящее дР в А,
a Ji в xq (на рис. 12 выделенная грань Р~~1
заштрихована).
При г = 1 получаем пару отображений отрезка, каждое из которых
переводит один конец отрезка в отмеченную точку #о, а другой
конец отрезка эти отображения переводят в некоторые точки ai,a2 Е А
(рис. 13).
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Нет естественного способа получить их этих двух отображений
одно отображение отрезка, переводящее один конец в точку хо. Поэтому
на множестве n\(Xy А, хо) в общем случае нет естественной структуры
группы.
Задача. При i^ 3 группа щ{Х, А,хо) абелева.
(Доказательство почти такое же, как и для группы щ(Х,хо) при
г> 2.)


5. Относительные гомотопические группы
31
Нейтральный элемент группы ^(Х, А,хо) определяется как класс
эквивалентности постоянного отображения /: Dl -> xq.
Принадлежность отображения троек этому классу не всегда удобно
проверять. Но вместо этого достаточно доказать, что f(Dl) С А. Гомо-
топия отображения /: (I?*, 51""1, уо) —> (A, A, xq) в постоянное
отображение (D%JS%"liyo) —> (я(ь#(Ь#о) строится следующим образом.
Рассмотрим гомотетию шара D1 с центром в точке уо G Sl~l и с
коэффициентом гомотетии *, где 0 < t < 1. Отображение ft: Dl -* А устроено
так же, как ограничение отображения / на образ шара D1 при
рассматриваемой гомотетии (рис. 14). Гомотопия ft связывает отображение
/ = Дс отображением /о: D1 —У х$.
Точная гомотопическая последовательность пары. С парой
(X, А) связаны три серии гомотопических групп: щ(А), щ(Х), щ(Х, А).
Между этими группами есть естественные отображения. Вложение
А —> X индуцирует гомоморфизм щ{А) -> щ(Х) (сфероид в А можно
рассматривать как сфероид в X).
Отображению (Sl,yo) —> (X,xq) можно сопоставить отображение
(£>*,^-\уо)—>(Л>0,*о);
для этого S1 нужно представить как факторпространство D%/Sl~l.
В результате получим отображение
щ(Х)^щ(Х,А).
Наконец, отображению (Dl,5l_1,j/o) —► (X>A,xq) можно
сопоставить отображение (5l_1,j/o) —► (Д^о)- В результате получим
отображение щ{Х,А) -> щ-1(А).
Таким образом, получаем бесконечную последовательность
гомоморфизмов
. . . -» Щ(Х,А) -* 7Г^1(Л) -► TTi-i(X) -> 1Ci-i(X,A) -> 7Ге_2(Л) -> ...
Эта последовательность заканчивается уже не гомоморфизмами, а
просто отображениями множеств
щ{Х) -► т{Х,А) -> тго(А) -> тго(Х),


32
Часть I. Основы теории гомотопий
из которых группой является только первое. Множество тго(ЛГ)
состоит из классов эквивалентности отображений 5° -► X, переводящих
одну точку S0 в отмеченную точку xq, а другую точку 5о — в
некоторую точку пространства X. Несложно понять, что элементы множества
7Го(-У) находятся во взаимно однозначном соответствии с
компонентами линейной связности множества X. Есть даже некоторый аналог
нейтрального элемента группы, а именно, класс отображений 5° -> X,
переводящих обе точки 5° в одну и ту же компоненту линейной связности
множества X (в компоненту, содержащую отмеченную точку xq).
Определение. Последовательность групп и гомоморфизмов
Gi -► G2 ->...-» Gi -> ...
называют точной в члене Gi, если образ гомоморфизма G,_i —)• Gi
совпадает с ядром гомоморфизма Gi —> Gi+\. Последовательность
называют точной, если она точна в каждом члене.
Часто бывает так, что некоторые группы в точной
последовательности известны. Тогда можно получить какую-то информацию и об
остальных группах. Например, в точной последовательности
О -► Gi+i -► Gi+2 -* О
отображение Gi+\ —)• Gi+2 является изоморфизмом групп. В точной
последовательности
О -* G»+i -> Gi+2 -> Gi+s -> О
отображение Gi+\ -* Gi+2 мономорфно, а отображение Gi+2 -» €ч+з
эпиморфно; более того, группа Gi+$ изоморфна факторгрупп*
Gi+2/ImGi+i.
Предложение (5-лемма, five-лемма). Пусть даны две точные
последовательности групп, включенные в коммутативную диаграмму:
Gi ^ G2 ► G3 *■ G4 ► G5
I
#i >H2 ^#3 ^#4 ^Я5
Про отображения щ\ Gi —> ift-, изображенные вертикальными
стрелками, известно следующее: щ — эпиморфизм, <Р2 и щ — изоморфизмы,
4>ь — мономорфизм. Тогда у?з — изоморфизм.


5. Относительные гомотопические группы
33
Доказательство оставляется читателю в качестве (очень полезной)
задачи.
Теорема. Гомотопическая последовательность пары (X, А) точна.
Доказательство сводится к непосредственному применению
определений. При этом нужно доказать шесть утверждений типа Кег / С Imp,
Imp С Кег/.
Задача. Допустим, что отображение пар (-Y, А) -> (У, В)
индуцирует изоморфизм всех абсолютных гомотопических групп
щ(Х) —► щ{У) и щ(А) -> щ(В). Доказать, что это отображение
индуцирует также и гомоморфизм всех относительных
гомотопических групп.
Указание. Воспользуйтесь 5-леммой.
Из теоремы о клеточной аппроксимации следует, что я»(5*) = 0 при
% < к. В самом деле, представим 5* в виде комплекса с одной
нульмерной клеткой и одной fc-мерной клеткой. Тогда ski(S*) состоит из одной
точки, а любое отображение S* -» Sk гомотопно отображению, образ
которого лежит в Ai(Sk).
Известно много способов вычисления 7г,(5*) при i > 1, но мы
обсудим эту задачу позже.


6. Расслоения
Понятие накрытия можно обобщить и на тот случай, когда
прообраз точки не дискретен.
6.1. Локально тривиальные расслоения
Определение. Локально тривиальным расслоением называют
четверку (E,B,F,p), где Е, В и F — топологические пространства, а
р: Е -> В — отображение, обладающее следующими свойствами:
1) у любой точки х £ В есть окрестность £/, прообраз которой
p~l(U) гомеоморфен U х F;
2) гомеоморфизм U х F —> p~l(U) согласован с отображением р, т. е.
диаграмма
U х F *P~l(U)
\/
U
коммутативна.
Из условия 2), в частности, следует, что прообраз любой точки
гомеоморфен F.
Отображение р называют проекцией, пространство Е называют
пространством расслоения, пространство В — базой расслоения,
пространство F — слоем или типичным слоем.
Допуская вольность речи, мы часто будем говорить просто
«расслоение» вместо «локально тривиальное расслоение».
Примеры расслоений. 1. Прямое произведение В xF -> В. Такие
расслоения называют тривиальными.
2. Любое накрытие.


б. Расслоения
35
А I I I I I I | 1 1
I 1 1 1 1 1 1 1 1 I I
Рис. 15
3. Лист Мёбиуса — пространство расслоения над 51 со слоем I. В
самом деле, лист Мёбиуса получается при склейке противоположных
сторон прямоугольника (рис. 15). Проекция нашего расслоения задается
проекцией этого прямоугольника на
пунктирную среднюю линию.
4. Бутылка Клейна — пространство
расслоения над S1 со слоем S1. Бутылку
Клейна мы при этом получаем из листа Мёбиуса
отождествлением противоположных концов
каждого слоя (отрезка).
el
5. Расслоение Хопфа: S3 —> S2. Сферу 53 можно представить как
множество векторов единичной длины в С2. Множество комплексных
прямых в С2, проходящих через начало координат, представляет
собой одномерное комплексное проективное пространство СР1. Ясно, что
СР1 гомеоморфно одноточечной компактификации С, т. е. гомеоморф-
но 52. Имеется естественное отображение
С2\{0}—► СР1,
сопоставляющее каждому вектору соответствующую комплексную
прямую. При ограничении этого отображения на 53 получаем проекцию
S3 —>• S2. Прообразом каждой точки служит пересечение комплексной
прямой с 53, т.е. окружность S1.
Задача. Доказать, что расслоение Хопфа нетривиально (т.е. не
сводится к прямому произведению).
Определение. Расслоения р\: Е\ —>• В и p<i: Еч —► В называют
эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм <р: Е\ —> Еч,
что р\ = р2¥>-
Если про какое-то пространство Е известно, что оно является
пространством расслоения с типичным слоем F ъ базой В, то про
структуру Е можно сказать не так уж много.
Определение. Тривиализацией расслоения р: Е -> В
называется (если существует) гомеоморфизм Е -* В х F, имеющий вид
en->(p(e),pi(e)),
где р\(е) Е F. Для задания тривиализации нужно лишь задать
отображение pi: Е -> F.


36
Часть I. Основы теории гомотопий
Гомеоморфизм тривиализации неединствен. Более того, две триви-
ализации могут быть не гомотопны. Рассмотрим, например, проекцию
тора Т2 = 51 х S1 на первый сомножитель S1. Тривиализация
этого расслоения задается проекцией на второй сомножитель. Например,
можно взять отображения (</?, ф) ь* ф и (<р, ф) н-> ф + (р. Образы кривой
{(ф^Фо)}) Ч> £ [0>27г], на торе при этих отображениях в прямое
произведение изображены на рис. 16.
Рис. 16
Теорема Фельдбау . Любое локально тривиальное расслоение над
замкнутым шаром Dk тривиализуемо, т. е. эквивалентно прямому
произведению.
Доказательство. Заменим для удобства шар Dk на
замкнутый А>мерный куб Ik. Доказательство приведем в два шага.
Шаг 1. Пусть куб J* = Ik~~l х J разбит на два полукуба
jk _ jk-i х ^ 1 j и jfc _ jk-i х j-i^ jj допустиМ5 что над каждым из
этих полукубов задана тривиализация, т.е. заданы согласованные с
проекцией гомеоморфизмы
По этим гомеоморфизмам требуется построить третий гомеоморфизм
p-l(Ik)*FxIk.
На множестве р 1(/*) С р l(Ik) этот гомеоморфизм будем считать
совпадающим с первым гомеоморфизмом. А на множестве р~1{1+)
второй гомеоморфизм нужно подправить так, чтобы оба гомеоморфизма
совпали на разделяющей плоскости Ik~l х {^}.


6. Расслоения
37
Бели точка а принадлежит разделяющей плоскости, то для p~l(a)
заданы два гомеоморфизма на F. Они получаются при ограничении двух
заданных гомеоморфизмов на p"l(a). Тем самым возникает
гомеоморфизм слоя F на себя (композиция гомеоморфизмов ф~1: F -> p~~l(a) и
<р: p-l{a)-> F).
Гомеоморфизм р_1(/+) на F х /* можно рассматривать как
семейство гомеоморфизмов прообразов точек на типичный слой F,
непрерывно зависящее от точки. Для каждой точки /* нужно взять
композицию соответствующего гомеоморфизма и еще одного гомеоморфизма,
который получается следующим образом. Рассмотрим проекцию 1к на
перегородку Ik~l х {^}. Полученной точке перегородки соответствует
гомеоморфизм слоя на себя. Беря композицию с этим гомеоморфизмом,
мы добиваемся согласованности гомеоморфизмов на перегородке.
Шаг 2. Предположим, что локально тривиальное расслоение над
кубом 1к не тривиально. Разделим куб 1к на два параллелепипеда.
Согласно шагу 1 расслоение над одним из этих параллелепипедов
нетривиально. Разрежем его на два параллелепипеда и т. д. Таким образом
можно получить параллелепипед со сколь угодно малыми сторонами,
расслоение над которым не тривиально. С другой стороны,
последовательность этих параллелепипедов сходится к некоторой точке, а у этой
точки есть окрестность, расслоение над которой тривиально.
Приходим к противоречию.
Упражнение. Верно ли, что любое расслоение со слоем Dk
тривиально?
Указание. Рассмотрите лист Мёбиуса; при к > 1 можно
воспользоваться конструкцией расслоенного произведения.
Определение. Расслоенным произведением локально
тривиальных расслоений р: Е -> В и р': F? —> В называют расслоение,
для которого пространство расслоения состоит из пар (е,е'), где
точки е Е Е и е7 Е Е* таковы, что р(е) = р'(е'); проекция на базу В
определяется очевидным образом.
Легко проверить, что слоем построенного расслоения является
прямое произведение слоев исходных расслоений.
Теорема о накрывающей гомотопии. Пусть р: Е -> В —
локально тривиальное расслоение, Z — клеточное пространство. Пусть
4


38
Часть I. Основы теории гомотопии
заданы отображение f:Z-+En гомотопия F: Z х / —> В
отображения pf:Z-+B. Тогда эту гомотопию можно поднять до гомотопии
Ф: Z х I —> Е отображения /.
Удобнее доказывать сразу следующее более общее утверждение.
Теорема. Пусть р: Е -> В — локально тривиальное расслоение,
(Z,Z') —щеточная пара. Пусть заданы отображение f:Z-+E,
гомотопия F: Z х I -> В отображения pf и гомотопия Ф': Z1 х J -> Е
отображения f\z>, которая является поднятием ограничения гомотопии
F на Z1 х J, т. е. рФ' = F на Z9 х I. Тогда существует гомотопия Ф
отображения /, которая является поднятием гомотопии F и продолжением
гомотопии Ф', т. е. Ф = Ф' на Z' х I и рФ = F.
(Предыдущая теорема получается, когда Z1 — пустое множество.)
Доказательство, как обычно, проводится индукцией по размерности
клеток. Оно состоит из трех шагов.
Шаг 1. Пусть расслоение тривиально, т. е. Е = В х F, р — проекция
на первый сомножитель. Тогда отображение Z —> Е можно
рассматривать как пару отображений Z —¥ В и Z -> F. По условию гомотопия
отображения в В уже задана (это — гомотопия F). Нужно построить
продолжение гомотопии отображения в F. Требуемое продолжение
существует в силу теоремы Борсука.
Шаг 2. Пусть теперь расслоение любое, но Z = Dk — замкнутый
/с-мерный шар. По условию задано отображение F: Dk х / —¥ В. С
помощью этого отображения мо&сно построить индуцированное расслоение
над Dk х I « Dk+l. По теореме Фельдбау это расслоение
тривиально. Для индуцированного расслоения Е1 -> В требуемое продолжение
гомотопии существует согласно шагу 1. Рассмотрев его композицию с
отображением Е1 -¥ Е, получим требуемое продолжение гомотопии.
Шаг 3. Пусть Z — клеточное пространство, Z1 — его клеточное
подпространство. На очередном шаге мы хотим продолжить гомотопию
с t-мерного остова на (г + 1)-мерный остов. Делаем это по
отдельности для каждой (г + 1)-мерной клетки, не входящей в Z1. Каждая такая
клетка приклеивается по некоторому отображению dDl+l —> sk*Z.
Поэтому гомотопия, заданная на skjZ, индуцирует гомотопию, заданную
на dDl+l. Эту гомотопию нужно продолжить до гомотопии на всем
диске £>г+1. Именно это делалось на предыдущем шаге. Конец
доказательства.


6. Расслоения
39
6.2. Точная последовательность расслоения
Извлечем теперь из предыдущей теоремы важное следствие. Пусть
р: Е -* В — локально тривиальное расслоение, bo е В — отмеченная
точка, F = p~l(bo) и /о Е F — отмеченная точка. Для пары (E,F)
можно рассмотреть относительную гомотопическую группу iri(E,F).
Проекция р: Е -» В индуцирует гомоморфизм Wi(E,F) -> 7Tj(i?),
поскольку F при этом отображении переходит в отмеченную точку ftp-
Теорема. Гомоморфизм ni(E,F) -> Пг(В) является изоморфизмом.
Доказательство. Докажем сначала мономорфность
рассматриваемого гомоморфизма, а затем его эпиморфность.
Мономорфность. Пусть a — элемент ядра рассматриваемого
гомоморфизма. Он представлен относительным сфероидом a: D1 -> Е,
a(dDl) С F. При этом р о a(dDl) = Ьо и сфероид р о а гомотопен
тривиальному сфероиду. Эту гомотопию можно поднять до гомотопии
сфероида а в пространстве расслоения. Конечное отображение этой
гомотопии таково, что его проекция целиком попадает в точку Ьо- Поэтому
конечное отображение является отображением в слой F. Такое
отображение представляет нулевой элемент группы ni(E,F).
Эпиморфность. Абсолютный сфероид (5*,во) —> (В,Ьо) можно
рассматривать как отображение /: (D%, S1"1, so) —У (2?,Ьо,Ьо). Мы хотим
поднять отображение / до отображения (Dl, S1"19 8q) -» (1£,F,/о).
Рассмотрим покрытие шара D1 однопараметрическим семейством
сфер 5t_1, получающихся при гомотетиях сферы dD% с центром so и с
коэффициентами А Е [0,1]. В том случае, когда so — начало координат,
это покрытие можно представить как отображение <р: Sl~l х I -> Dl,
заданное формулой <p(s, А) = As.
Вместо отображения D1 -+ Е мы будем строить отображение
S*~l х J, которое 51"1 х {0} отображает в отмеченную точку /о-
Это отображение строится по теореме о накрывающей гомотопии.
В качестве клеточного пространства Z мы берем Si-\. Возьмем
отображение Z -> /о € Е. Композиция этого отображения с р отображает
Z в Ь0 6 В. Исходное отображение /: (Д*,5*~1,зо) -* (£,Ьо,Ьо) можно
рассматривать как гомотопию отображения Z -* Ьо. У этой гомотопии
существует поднятие, т.е. отображение Sl~l х / —> £7, переводящее
Sl~x х {0} в отмеченную точку /о. При этом отображении сфера
4*


40
Часть I. Основы теории гомотопий
S{~x х {1} отображается в прообраз точки bo, т.е. в слой F. Конец
доказательства.
Напомним, что с парой (Е, F) связана точная последовательность
... -+ ni(F) -> щ(Е) -► щ{Е,F) -» 7Ti-i(F) -> ...
В этой точной последовательности группу щ(Е, F) можно заменить на
изоморфную ей группу ni(B). В результате получим точную
последовательность расслоения
... -> m(F) -> щ(Е) -+ щ{В) -+ тг^хСР) ->...
Следствие 1. Если р: Е -> В — накрытие, то щ(В) = щ(Е) при
% ^ 2. Действительно, у дискретного пространства F гомотопические
группы ni(F) тривиальны при i ^ 1.
Следствие 2. ^(S2) = Z. Действительно, запишем точную после-
довательность для расслоения Хопфа S3 —► S2 со слоем S1:
n2(S3) -> тг2(52) -► 7n(Sl) -> тп(53).
Но тг2(53) = тп(53) = 0, поэтому n2(S/2) = Tries'1) = Z.
Следствие 3.7г3(53) й тг3(52).
Для доказательства нужно записать другой участок точной
последовательности для расслоения Хопфа:
*3(Sl) -> 7Гз(53) -> 7Г3(52) -> ^(S1).
Ясно, что тгз^1) = ^(S1) = 0.
Впоследствии мы убедимся, что яз^3) = Z, а значит, группа 7Гз(52)
нетривиальна. Это свойство гомотопических групп было открыто Хоп-
фом. Оно пробудило интерес к гомотопическим группам сфер, потому
что раньше было распространено мнение, будто нетривиальны лишь
группы 7ГП(5П).


7. Гладкие многообразия
Большая часть современных исследований по топологии посвящена
изучению достаточно хороших топологических пространств, локально
устроенных как линейное пространство Rn подходящей размерности. В
этом параграфе мы постепенно дадим определение этих пространств,
называемых гладкими многообразиями.
Напомним некоторые сведения из курса анализа. Функция
/: Еп —>► К принадлежит классу Сг, если при i < г все частные
производные л ^ существуют и непрерывны. В таком случае
*1 **" 't
производная не зависит от порядка, в котором выполняется
дифференцирование.
Отображение F: Шп —> Шп можно представить как набор п
функций yi = fi(xu... ,хЛ), ... , уп = /n(tfi,... ,яп). Пусть эти функции
г раз непрерывно дифференцируемы, где г ^ 1. Якобиевой матрицей
отображения F в точке х = (rci,... ,#n) G Кп называют матрицу
порядка п с элементами ац = g£S Якобианом J отображения F называют
определитель якобиевой матрицы.
Теорема об обратной функции. Яусть F: W1 -* Шп —
отображение класса Сг, г ^ 1, причем для некоторой точки х 6 Кп
якобиан отображения F отличен от нуля. Тогда существуют
окрестность 0(х) точки х, окрестность 0(F(x)) точки F(x) и отображение
Ф: 0(F(x)) ~-> 0(х), обратное отображению F. При этом Ф —
отображение класса С1", г ^ 1.
Иными словами, ограничение F на О(х) является диффеоморфизмом
класса Сг окрестности 0(х) на окрестность 0(F(x))-y
диффеоморфизмом класса Сг называют отображение класса Сг, для которого
существует обратное отображение, причем оно тоже класса Ст.
ЗАДАЧА. Пусть U — область в Rn, F: U -► W1 — отображение
класса Сг, якобиан которого отличен от нуля во всех точках U. Верно ли,
что отображение F обратимо? Верно ли это при п = 1?


42
Часть I. Основы теории гомотопий
7.1. Гладкие структуры
Рис. 17
Хаусдорфово топологическое пространство М со счетной базой
называют гладким многообразием класса Сг, г ^ 1, если у любой точки
х € М есть окрестность О(х) и гомеоморфизм <рх, отображающий О(х)
на область в Rn. При этом требуется, чтобы на пересечении областей
эти гомеоморфизмы были согласованы в следующем смысле. Пусть для
точек х и х окрестности О(х) и 0(2?)
имеют непустое пересечение.
Рассмотрим соответствующие им
гомеоморфизмы ipx: 0(х) —> Ux С Rn
и у?5: 0(х) -» 175 С Rn. Можно
рассмотреть ограничения этих
гомеоморфизмов на 0(х) Г\0(х). При
этом <рх отображает 0(х) П О(х)
на множество £/хд С [/j, а ^
отображает О(х) П 0(х) на множество
%,* С Щ (рис. 17).
В результате возникает гомеоморфизм <Px<Pxl: t7x,x -+ ^х,а>
отображающий одно открытое множество в Шп в другое открытое множество
в Rn. Требуется, чтобы этот гомеоморфизм был диффеоморфизмом
класса Сг.
Определение 1. Атласом класса Сг на топологическом
пространстве Мп называют покрытие Мп областями О (х) с заданными
гомеоморфизмами <рх: 0(х) -> Ux, где Ux — область в Rn, такое что
для всех пересечений 0(х)Г)0(х) соответствующее отображение (fx^Px1
является диффеоморфизмом класса Сг.
Топологическое пространство Мп, на котором есть хотя бы один
атлас класса Сг, называют гладким многообразием класса СТ.
Область 0(х) вместе с фиксированным гомеоморфизмом
<Рх- 0(х) -> Ux С Шп называют картой на многообразии. Каждая
карта задает так называемые локальные координаты на
многообразии: это функции Zi о <рх, где Z{, г = 1,...,п — фиксированные
координаты в W1.
Определение 2. Два атласа класса Сг называют
эквивалентными, если их объединение снова является атласом класса Сг. (Объеди-


7. Гладкие многообразия
43
нение двух атласов, разумеется, будет покрытием. Поэтому требуется
лишь согласованность гомеоморфизмов на пересечениях.)
Определение 3. Сг-структурой на топологическом
пространстве Мп называют класс эквивалентных атласов.
Дадим теперь определение гладкого многообразия с краем. В этом
случае модельным пространством будет не Rn, а полупространство
R* ={(*!,...,xn)eRn| Я1О}.
Определение многообразия переносится дословно, но вместо
гомеоморфизмов (рх: 0(х) —> Ux С Шп берутся гомеоморфизмы
¥>*: 0(х) -» Ux С R", где Ux —
область в R". В R" типичными
примерами открытых множеств
являются диски и полудиски (рис. 18).
Нужно еще дать определение
отображения класса Сг. Назовем
отображение WL —> R" гладким класса Сг, Рис. 18
если оно является ограничением некоторого отображения класса Сг,
определенного на открытом в Rn множестве, содержащем R".
Общепринятая в теории гладких многообразий терминология одним
термином существенно отличается от терминологии, принятой в общей
топологии. А именно, замкнутым многообразием называют гладкое
компактное многообразие без края.
Бели Мт и Nn — многообразия класса Сг, то можно дать
определение гладкого отображения /: Мт —> Nn класса Ср, где р ^ г. Для
этого нужно рассмотреть карту ц>: О(х) —¥ Rm, х € Мт, и карту
ф: 0(f(x)) —>• Rn. Возникающее при этом отображение ф/<р~1 из Rm
в Шп должно быть класса Ср для всех карт. При р > г это
определение не годится, потому что гладкость отображения будет зависеть от
выбора атласа.
Многообразия Мт и Nn называют диффеоморфными, если
существует отображение ср: Мт -> Nn класса Сг, у которого есть обратное
отображение класса Сг.
Задача. Доказать, что следующие топологические пространства
являются многообразиями: SnyRPn, грассманианы (7*(ЕП) и <j?jJ"(Rn)i
группы Ли GL(Rn) и 0(n,Rn).


44
Часть I. Основы теории гомотопий
7.2. Ориентации
Атлас называют ориентирующим, если у всех отображений
перехода Фх<Рх1 якобиан во всех точках положителен.
Ориентацией на многообразии называют выбор ориентирующего
атласа.
Многообразие называют ориентируемым, если на нем можно
выбрать ориентацию, и ориентированным, если ориентация уже выбрана.
Задача. Какие из перечисленных в предыдущей задаче
многообразий ориентируемы, а какие неориентируемы?
Задача. Докажите, что если на многообразии имеется
ориентирующий атлас, то любой эквивалентный ему атлас тоже будет
ориентирующим.
7.3. Касательное расслоение гладкого многообразия
Дадим сначала определение касательных векторов в точке х (Е Rn.
В этом случае они отождествляются с обычными векторами,
приложенными х. Однако нам придется переопределить эти вектора так, чтобы с
помощью локальных координат это определение можно было перенести
на любое многообразие.
Рассмотрим всевозможные отображения (—е, е) -> Шп класса Сг,
г ^ 1, переводящие Obi. Пару отображений ср\ и у?2 будем считать
эквивалентными (в нуле), если
|<Pi (t) - ¥>2(*)| = °(t) при t -+ 0.
Класс эквивалентности по этому отношению эквивалентности
называют касательным вектором (в точке х). Множество всех касательных
векторов называют касательным пространством (в точке х).
На касательном пространстве имеется естественная структура
линейного пространства. В самом деле, возьмем для касательных
векторов v\ и V2 представляющие их отображения <р\ и <р2- Для них можно
рассмотреть отображение Х(р\ + ц(р2> где A,/j 6 R. Этому
отображению соответствует некоторый вектор, причем он не зависит от выбора
представителей (р\ и </?2- Этот вектор будем считать вектором Xv\ +/it>2.


7. Гладкие многообразия
45
В качестве системы координат в касательном пространстве можно
взять производные локальных координат пространства Шп. А именно,
можно считать, что вектор
<р: t*->((p!(t),... ,ipn(t))
имеет координаты
О »■
Оказывается, что от выбора локальных координат в W1 операции в
касательном пространстве не зависят.
Определение касательного пространства для многообразия
вводится точно так же с помощью любой локальной системы координат.
На языке касательных пространств ориентация многообразия
соответствует выбору согласованной ориентации всех касательных
пространств. В Rn касательные пространства во всех точках можно
отождествить с помощью сдвига. Поэтому в одной карте любого атласа
на Мп касательные пространства тоже можно отождествить. В
частности, в одной карте можно понять, что означает одинаковая
ориентированность касательных пространств.
Попробуем теперь перенести понятие одинаково ориентированных
касательных пространств на объединение двух карт U и V. Для этого
соответствующими им гомеоморфизмами (риф перенесем их в Rn, а
там уже понятно, что такое одинаково ориентированные касательные
пространства. Но в результате в точке х Е U DV получим, вообще
говоря, две разные ориентации — одну ориентацию из касательного
пространства в точке (р(х) Е ¥>(t/), а другую ориентацию — из
касательного пространства в точке ф(х) Е ф(У). Согласованность этих
ориентации эквивалентна тому, что якобиан отображения (рф~1 в
точке х положителен.
Для гладкого многообразия Мп рассмотрим множество ТМп,
состоящее из всех касательных векторов во всех точках Мп, т.е.
элементами ТМп служат пары (ж,г;), где х Е Mn, v Е ТхМп. На
множестве ТМп можно естественным образом ввести структуру
топологического пространства (и даже структуру гладкого многообразия).
Рассмотрим покрытие Мп картами VQ. Для каждой карты
гомеоморфизм (pa: Va —> Ua С Rn определяет взаимно однозначное соответствие


46
Часть I. Основы теории гомотопий
между TVa и TUa- Но TUQ = Ua х Rn, поскольку касательные векторы в
разных точках Rn отождествляются с помощью параллельного
переноса. На множестве TUQ = Ua х Rn имеется естественная структура
многообразия (и, тем самым, структура топологического пространства).
Эта структура переносится в TVa- На пересечении карт отображения
согласованы (т.е. объединение полученных карт представляет собой
гладкий атлас).
Пространство ТМП вместе с естественной проекцией ТМП —> Мп
называют касательным расслоением. Каждый слой этого расслоения
имеет структуру линейного пространства размерности п.
Задача. Для любого многообразия Мп пространство его
касательного расслоения ТМП ориентируемо, причем есть стандартный способ
выбора ориентации.
В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать многообразия
класса С°°.
7.4. Римановы структуры
Определение. Римановой структурой на Мп называется
гладкая (класса С°°) функция д: ТМП —> К, ограничение которой на
любой слой ТХМП представляет собой положительно определенную
квадратичную форму.
С помощью квадратичной формы можно определить длину любого
касательного вектора, а именно, длина \\vx\\ вектора vx £ ТХМП равна
Теорема. На любом гладком многообразии существует рималова
структура.
Доказательство этой теоремы использует важную вспомогательную
конструкцию — разбиение единицы. Сначала дадим определение
паракомпактности. Открытое покрытие {VQ} пространства X (т.е. набор
открытых подмножеств Va С X такой, что |J Va = X) называют
вписанным в покрытие {С//?}, если любое множество Va содержится в
некотором множестве Up. Топологическое пространство X называют па-
ракомпактным, если в любое открытое покрытие X можно вписать
локально конечное открытое покрытие (т.е. такое открытое покры-


7. Гладкие многообразия
47
тие, что любая точка х Е X принадлежит лишь конечному числу
множеств Va).
Задача, а) Доказать, что любое многообразие паракомпактно.
б) Доказать, что для n-мерного многообразия можно выбрать
открытое покрытие, при котором каждую точку покрывают не более п+1
множеств.
Пусть X — топологическое пространство с заданным локально
конечным открытым покрытием {Vi}. Разбиением единицы
(подчиненным данному покрытию) на X называют набор функций Aj, которые
определены на всем X и принимают неотрицательные значения, а
кроме того, удовлетворяют следующим условиям:
1) носитель функции А* (т. е. замыкание множества таких точек ж,
что А* ф 0) содержится в V*,
2) для любой точки х € X выполняется равенство ]Г \{(х) = 1 (эта
сумма имеет смысл, поскольку в силу условия локальной конечности
содержит лишь конечное число слагаемых, отличных от нуля).
Теорема. На любом многообразии с любым локально конечным
открытым покрытием существует разбиение единицы (подчиненное
этому покрытию) с гладкими функциями А* класса С°°.
Доказательства этой теоремы мы приводить не будем. Оно
опирается на следующий факт: если U С V — открытые области в Кп, причем
U С V, то существует гладкая функция /, равная 1 на U и 0 вне V.
Построим теперь риманову метрику на многообразии М.
Зафиксируем какую-нибудь положительно определенную квадратичную
форму (а следовательно, и соответствующую риманову метрику до) в
пространстве Rn. Рассмотрим локально конечное покрытие М картами.
В касательное расслоение над каждой картой Vi соответствующая ри-
манова структура <# переносится из Шп при помощи дифференциала
соответствующего отображения щ, но на пересечениях карт
полученные структуры не согласованы. Чтобы их согласовать, возьмем
разбиение единицы {А*}, подчиненное рассматриваемому локально
конечному покрытию М. В качестве римановой структуры в точке х € М
возьмем квадратичную форму Yl ^i(x)9i(x) на пространстве ТХМ.
Линейная комбинация положительно определенных квадратичных форм с
неотрицательными коэффициентами, не все из которых равны нулю,


48
Часть I. Основы теории гомотопий
снова будет положительно определенной квадратичной формой.
Поэтому в результате мы действительно получаем глобально определенную
риманову структуру.
Риманова структура используется для определения длины гладкой
кривой на многообразии. Кривую можно задать как отображение
7: [0,1] —► М. При этом каждому t Е (0,1) соответствует некоторый
касательный вектор v(t). Разобьем отрезок [0,1] на п равных
отрезков. Пусть U — некоторая точка г-го отрезка. Длину кривой можно
определить как предел сумм ^S 11^(^)11 ПРИ п ~~* °°- Этот предел
существует. Более того, он не зависит от выбора параметризации у.
Риманова структура позволяет превратить М в метрическое
пространство. Расстояние между точками х,у € М определяется
следующим образом. Рассмотрим всевозможные гладкие (или кусочно
гладкие) пути, соединяющие х и у, и возьмем точную нижнюю грань длин
этих путей. Это и есть расстояние между точками х и у. Определенную
таким образом метрику на М называют риманоеой метрикой.
Теорема (из курса дифференциальной геометрии). У любой
точки многообразия существует малая окрестность, в которой для любых
двух точек существует единственный кратчайший путь, соединяющий
их.
Этот путь называют геодезическим путем.
Пусть М и N — гладкие многообразия, причем М компактно.
Тогда на множестве отображений f:M-+N можно ввести С°-метрику,
положив
Р(/,5) = supr(f(x),g{x)),
хем
где г — риманова метрика на многообразии N. Если отображения /
и g достаточно близки в <7°-метрике, то они гомотопны. В самом
деле, если точки f(x) и д(х) достаточно близки, то их можно соединить
единственной геодезической. Пусть точка ft {х) делит длину этой
геодезической в отношении t: (1 — t). Тогда ft — гомотопия, связывающая
отображения / и д.
Предложение. Любое непрерывное отображение Мт -¥ Nn сколь
угодно хорошо приближается гладким отображением. В частности, оно
гомотопно гладкому отображению.


7. Гладкие многообразия
49
Доказательство этого предложения опирается на теорему Вейер-
штрасса о том, что любая непрерывная функция на m-мерном кубе
сколь угодно хорошо приближается полиномами. Можно даже
доказать, что существует сколь угодно хорошее приближение полиномами
функций класса Ст в Сг-метрике, заданной формулой
Р(/,3)= т*«
(f-9)
dxix ... dxia
Предложение сводится к этой теореме при помощи локальных карт и
разбиения единицы.
Таким образом, в случае гладких многообразий при вычислении
множества гомотопических классов отображений можно
ограничиться гладкими отображениями.


8. Степень отображения
8.1. Критические множества гладких отображений
Рассмотрим гладкое отображение /: Мт ->■ Nn и выберем
локальные координаты si,... ,ят в окрестности точки х Е Мт и
локальные координаты yi,... ,уп в окрестности точки f(x) € Nn.
В этих локальных координатах отображение / записывается в виде
Уг = <Pi(^i,... ,хт).
Определение. Точку х £ Мт называют регулярной точкой
отображения /, если ранг якобиевой матрицы (з^1) в точке х
максимален, т.е. равен min(m,n).
Легко проверить, что ранг якобиевой матрицы не зависит от выбора
локальных координат. Дело в том, что при переходе к другим
координатам якобиева матрица умножается слева и справа на невырожденные
матрицы.
Для регулярной точки х теорема о неявной функции утверждает,
что можно выбрать локальные координаты х\,... , хт с центром х и
локальные координаты уь... , уп с центром f(x) так, что в этих
координатах отображение / устроено следующим образом:
если m ^ п, то yi = xi, ..., уп = хп;
если т ^ п, то уг = хи ... , ут = жт, ym+i = ... = уп = 0.
Определение. При т ^п гладкое отображение Мт -> iVn, все
точки которого регулярны, называют иммерсией {погружением), а при
га ^ п такое отображение называют субмерсией.
^—*^ ^~^ Пример иммерсии 51 -* R2 изображен на
/^ X/ Л рис.19.
I Л, у Если точка я € Мт не является регулярной
V / v^^,^/ точкой отображения /: Mm -* iVn, то ее на-
р зывают особой или критической. Образ
множества всех критических точек называют
множеством критических значений.


8. Степень отображения
51
Например, при проектировании сферы на плоскость множеством
критических точек является экваториальная окружность, а
множеством критических значений — проекция экваториальной окружности
(рис. 20).
Рис. 20
Лемма Сарда. Множество критических значений гладкого
отображения имеет меру нуль.
8.2. Степень отображения
Наиболее важно такое следствие леммы Сарда: любое гладкое
отображение имеет некритические значения. Это свойство позволяет
определить степень отображения компактных гладких
ориентированных многообразий одной размерности. Возьмем некритическое
значение у Е Nn отображения /: Мп —► Nn. Тогда все точки
множества f~l(y) регулярны. Из компактности множества Мп следует,
что множество f~l(y) конечно, т.е. f~l(y) = {жх,... ,ж*}. При этом
каждой точке Х{ можно сопоставить знак якобиана отображения /.
Дело в том, что по условию многообразия Мп и Nn ориентированы,
т.е. в каждой локальной карте задана ориентация. Это позволяет
однозначно определить знак якобиана отображения / (относительно
положительно ориентированных систем локальных координат). Этот
знак называют индексом точки х%.
Теорема. Сумма индексов всех точек множества f~l(y) не
зависит от выбора точки у. Более того, индекс не изменяется при замене
отображения f на гомотопное ему отображение.


52
Часть I. Основы теории гомотопий
Сумму индексов всех точек множества /_1(у) называют степенью
отображения /.
Одно из возможных доказательств этой теоремы опирается на
теорию особенностей. Нерегулярная точка х отображения / : Мп -> Nn
называется точкой складки, если в ее окрестности существуют
локальные координаты я?1,... ,жп, а в окрестности точки }{х) существуют
локальные координаты yi,... , уп? в которых отображение / имеет вид
2/1 = #1, 2/2 = #2, • • • , Уп = #п-
В случае одномерных многообразий отображение локально
представляется как функция /: R -> R. Точка х регулярна, если f'(x) ф 0.
Простейшая нерегулярная точка х обладает тем свойством, что f'(x) = 0,
f"{x) ф 0. Согласно лемме Морса заменой координат такая функция
приводится к виду а;2, т.е. имеет точку складки.
Отображение /: Мп —> Nn называется хорошим, если его
нерегулярные точки, не являющиеся точками складки, принадлежат
конечному числу подмногообразий размерности не более п — 2.
Из определения точки складки следует, что в окрестности точки
складки есть гиперповерхность, состоящая из точек складки. Как
правило, более сложные нерегулярные точки расположены на
подмногообразиях меньшей размерности. Иными словами, как правило,
отображения хорошие. Более точно это формулируется следующим образом.
Теорема. Любое гладкое отображение с любой степенью точности
в С1-метрике приближается хорошим отображением.
Отсюда следует, что предыдущую теорему достаточно доказывать
для хороших отображений. Действительно, если у — некритическое
значение произвольного отображения /, то для любого отображения
д, достаточно близкого к /, множества /_1(у) и д~1(у) находятся во
взаимно однозначном соответствии, и индексы соответствующих
точек этих множеств совпадают.
Для хорошего отображения два некритических значения можно
соединить путем, который не проходит через образы точек, более
сложных, чем точки складки. Таким образом, нужно лишь доказать, что
при прохождении через точку складки сумма индексов не изменяется.
При этом достаточно рассмотреть лишь одномерный случай, поскольку


8. Степень отображения
53
нерегулярность отображения сказывается лишь на первой координате:
3/1 = х\.
В одномерном случае при прохождении точки складки
происходит переход от двух точек в прообразе к пустому множеству точек
(рис. 21). Но индексы этих двух точек
имеют противоположные знаки,
поэтому сумма индексов равна нулю, как и
для пустого множества.
Наконец, докажем, что степень
отображений не изменяется при го- р 91
мотопиях. Рассмотрим гомотопию
/д: Mn -> JVn, Л е [0,1]. Для каждого A G [0,1] отображение /д имеет
некритическое значение. При малом изменении А количество точек
прообраза этого некритического значения и индексы этих точек не
изменяются. Следовательно, для каждой точки А € [0,1] существует
такая окрестность Е/д, что для всех /i Е U\ степень отображения /^
одна и та же. Из покрытия отрезка [0,1] окрестностями Е/д можно
выбрать конечное подпокрытие, поэтому степень отображения /о равна
степени отображения f\.
8.3. Классификация отображений МЛ —> Sn
С помощью степени отображения можно получить гомотопическую
классификацию отображений Мп -> 5П, где Мп — связное компактное
ориентируемое многообразие без края.
Теорема. Два отображения Мп —> 5й одной и той же степени
гомотопны. (Это верно как в категории отображений с отмеченными
точками, так и в категории произвольных отображений.)
Мы покажем также, что для произвольного к £ Z существует
отображение Мп —> Sn степени к. В частности, 7rn(5n) = Z.
Доказательство теоремы. В каждом классе
отображений с фиксированной степенью к нужно выделить некоторое
каноническое отображение, а потом свести к нему остальные отображения с
помощью гомотопии.
Будем использовать северный полюс N сферы Sn для определения
степени отображения, а южный полюс S будем считать отмеченной
5


54
Часть I. Основы теории гомотопий
точкой. (Мы предполагаем, что N — некритическое значение
рассматриваемого отображения; этого всегда можно добиться.) Выберем для
точки N достаточно малую окрестность U так, чтобы ее прообраз
f~~l(U) состоял из непересекающихся окрестностей точек f~l(N) и
ограничение отображения / на каждую из этих окрестностей было бы
диффеоморфизмом этой окрестности на U (рис. 22).
Рис. 22
Рассмотрим гомотопию д% тождественного отображения ids* в
отображение Sn -» 5П, которое растягивает U на всю сферу, т.е.
стягивает Sn \ U по меридианам в точку S. Рассмотрим далее гомотопию
gtf исходного отображения /. В результате получим отображение, при
котором дополнение f~l(U) отображается в точку 5, а окрестности
точек f"x(N) диффеоморфно отображаются на Sn \ S.
Мы уже добились некоторого упрощения отображения, но
сделано еще далеко не все требуемое. Нам остается привести к некоторому
стандартному виду все отображения компонент множества f~l(U),
взаимно сократить такие компоненты, соответствующие точкам /_1(JV) с
противоположными локальными индексами, и расположить оставшиеся
в Мп некоторым стандартным образом. Сделаем это.
Допустим вначале, что степень отображения / равна ±1, т.е.
/_1(JV) состоит из одной точки. Пользуясь диффеоморфизмом Мп,
можно поместить эту точку f~l(N) в выбранную точку v Е Мп.
Рассмотрим два диффеоморфизма окрестности точки v на Sn \ 5,
переводящих v в N и имеющих якобианы одного и того же знака. В
локальных координатах один диффеоморфизм задается уравнениями
Vi = Л(я)> • • • 1 Уп = /п(^), а другой диффеоморфизм задается
уравнениями ух = gi(ж), ... , уп = дп(х). Локальные координаты выберем так,


8. Степень отображения
55
что /(0) = д(0) = 0. Тогда f(x) = Лж+0(||ж||2), где А — матрицаЯкоби
отображения / в точке 0. Рассмотрим гомотопию /т = т/ + (1 — г)/,
где f(X) = Ах. Все отображения /г являются локальными
диффеоморфизмами (якобиан /т в точке 0 не зависит от т), но, возможно, в
меньшей окрестности. Аналогично строим гомотопию, связывающую
отображение д(х) и его линейную часть Вх. По условию
определители линейных отображений А и В имеют один и тот же знак, поэтому
их можно соединить гомотопией. Доказательство получено для
некоторой меньшей окрестности, но можно повторить исходный трюк —
растянуть с помощью гомотопии полученную окрестность на сфере до
Sn\S.
Мы получили доказательство в том случае, когда f~l(N) состоит из
одной точки. Несложно получить и доказательство в том случае, когда
знаки якобианов во всех точках f~l{N) одни и те же. В самом деле,
из связности многообразия Мп следует, что связно множество
неупорядоченных наборов из А; попарно различных точек Мп. Более того,
малые шарики с центрами в точках одного набора можно протащить
в набор малых шариков с центрами в точках другого набора; это
протаскивание можно продолжить до гомотопии тождественного
диффеоморфизма Мп. Доказательство использует лишь следующее свойство.
Бели внутри шара даны две точки, то существует изотопия шара,
неподвижная на границе и переводящая первую точку во вторую.
Для завершения доказательства нужно научиться сокращать
шарики с якобианами разных знаков. Подтянем два шарика с якобианами
разных знаков поближе друг к другу так, чтобы они лежали в
одной области, гомеоморфной кубу (рис. 23),
а затем с помощью гомотопии изменим
наше отображение в одном из них так,
чтобы оно стало зеркально симметрично
другому относительно срединной перегородки
на рис. 23 (т. е. отображало любые две
симметричные точки в одну; вся
заштрихованная область на этом рисунке отображается
в отмеченную точку S). Рис. 23
Рассмотрим семейство отрезков, перпендикулярных разделяющей
шарики перегородке. В левой части каждого отрезка отображение
симметрично отображению в правой части отрезка. Иными словами, огра-
5*


56
Часть I. Основы теории гомотопий
ничение отображения на отрезок представляет собой композицию
путей 7 и 7""1- Д*101 такого отображения можно построить гомотопию
в постоянное отображение всего отрезка в образ его концов, т.е. в
точку 5. При этом такие гомотопий для разных отрезков непрерывно
меняются от отрезка к отрезку. Это позволяет построить гомотопию
рассматриваемого отображения куба с двумя шариками в постоянное
отображение куба в точку 5, что и требовалось.
Несложно построить пример отображения Мп —» Sn, имеющего
данную степень ±к. Рассмотрим для этого на многообразии Мп попарно
непересекающиеся шарики t/i,... , Uk- Отобразим каждый из этих
шариков диффеоморфно на Sn \ S так, чтобы якобиан отображения имел
данный знак. Остальную часть многообразия Мп отобразим в
отмеченную точку S.
8.4. Индекс векторного поля
Определение. Сечением гладкого расслоения р: Е -> В
называют такое гладкое отображение s: В —> 25, что р о s = id#. Сечение
касательного расслоения ТМП -> Мп называют векторным полем на
многообразии Мп.
Иными словами, каждой точке х € Мп сопоставляется касательный
вектор, приложенный в этой точке и гладко зависящий от точки.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений занимается, по сути
дела, поиском кривых, касающихся данного векторного поля.
Особой точкой векторного поля называют точку, которой
сопоставлен нулевой касательный вектор. Можно доказать, что на сфере S2
любое векторное поле имеет особую точку.
Особая точка векторного поля называется изолированной, если в ее
проколотой окрестности нет других особых точек.
На компактном многообразии Мп векторные поля с
изолированными особыми точками образуют открытое всюду плотное подмножество
в множестве всех векторных полей, т. е. почти все векторные поля
имеют только изолированные особые точки.
Индекс изолированной особой точки векторного поля в Rn
определяется следующим образом. Рассмотрим сферу S"~l малого радиуса е
с центром в изолированной особой точке. В каждой точке этой сферы


8. Степень отображения
57
возьмем соответствующий вектор векторного поля и параллельно
перенесем его в особую точку. Этот вектор укажет некоторую точку на
единичной сфере 5]1"1. Таким образом получаем гладкое отображение
S™~1 —> 5]1-1. Степень этого отображения называют индексом
рассматриваемой особой точки. От выбора сферы S™~1 индекс не зависит
(если только внутри этой сферы не окажется еще
одна особая точка). В самом деле, при малом
шевелении сферы S^"1 отображение заменяется
на гомотопное, если только сфера не задевает
особую точку.
Если есть несколько особых точек, то для
каждой из них можно взять маленькую сферу.
А кроме того, можно взять окружающую их
всех большую сферу (рис. 24). Для этой
большой сферы тоже можно аналогичным образом
определить индекс относительно векторного Рис. 24
поля.
Более того, индекс определен для любого ориентированного
многообразия размерности п — 1 в Rn, не проходящего через особые точки.
Теорема. Пусть U — диффеоморфизм шару Dn облаять в Шп и
векторное поле v имеет только изолированные особые точки в С/, не
лежащие на ее поверхности dU. Тогда индекс поля v относительно
поверхности 8U (т. е. степень индуцированного отображения dU —> Sn~~l)
равен сумме индексов особых точек v, лежащих внутри U.
Доказательство. Действительно, этот индекс не меняется
при непрерывных деформациях д£/, поэтому можно считать, что U —
это цепочка шариков с центрами во всех особых точках, соединенных
тонкими перешейками, см. рис. 25а.
«Обрывая» любой такой перешеек
(см. рис. 256), мы разбиваем U на
две области, причем легко видеть,
что сумма индексов v на границах
этих областей равняется индексу
неразорванной области. Поэтому a б
доказательство завершается
индукцией по числу особых точек. Рис. 25
П


58
Часть I. Основы теории гомотопий
Мы определили индекс особой точки векторного поля в W1. На
произвольном многообразии Мп индекс определяется точно так же с
помощью локальных координат.
Задача. Что произойдет с индексом, если мы изменим ориентацию
многообразия?
Теорема. Пусть Мп — компактное многообразие без края. Тогда
сумма индексов особых точек для всех векторных полей с изолирован-
ными особыми точками одна и та же.
Одно из возможных доказательств этой теоремы заключается в
том, чтобы рассмотреть векторное поле общего положения; у этого
векторного поля есть особые точки только хорошего вида. Нужно
изучить перестройки общего положения для векторных полей и убедиться,
что при любой такой перестройке сумма индексов не изменяется.
Таким образом, сумма индексов векторного поля на Мп зависит
только от Мп. Это число называется эйлеровой характеристикой
многообразия Мп. В следующем параграфе мы дадим совершенно другое
определение этого числа и докажем их эквивалентность.


Часть II
Гомологии
9. Гомологии: основные определения и примеры
Гомологии — центральное понятие современной математики. Это
понятие используется и в более широком смысле, чем это будет
делаться в нашем курсе. Нас будут в основном интересовать гомологии с
точки зрения топологии. Гомологии похожи на гомотопические группы.
Определение их более сложно, но зато их проще вычислять.
9.1. Цепной комплекс и его гомологии
Определение. Последовательность абелевых групп и их
гомоморфизмов
... —> Ui —> Oj_i —t Oj_2 —* • • • —> М)
называют цепным комплексом, если di-i о д{ = 0 для всех г.
Иными словами, imdi С ker д%-\. Похожая ситуация встречалась нам
при определении точной последовательности абелевых групп; в том
случае вьшолнялось условие imdi = kerc%_i. По этой причине иногда
говорят, что для цепных комплексов выполняется условие полуточности.
Факторгруппу Н{(С) = ker flfe/ imd^+i называют г-мерной группой
гомологии цепного комплекса С. Группа kerdt называется группой
i-мерных циклов комплекса С, а группа imc?i+i — группой i-мерных
границ.


60
Часть II. Гомологии
Пример. Последовательность гомоморфизмов 0 —у Z —> Z —> 0,
где хр обозначает умножение на р, очевидно является цепным
комплексом. В этом случае группы гомологии равны 0 и Ър — группа вычетов
по модулю р.
Рассматривают также цепные комплексы не только групп, но и
колец и т. п. В таком случае гомоморфизмы должны сохранять
соответствующую структуру.
Обычно рассматривают такие ситуации, в которых группы
гомологии конечно порожденные. Конечно порожденная абелева группа Hi
имеет вид Ъп 0 (®q(Zq)n<*), где q пробегает всевозможные степени
простых чисел, nq ^ 0. Слагаемое ®q(Zq)n<i называют кручением и
обозначают Tors. Это слагаемое определено корректно: оно состоит из всех
элементов конечного порядка. Слагаемое Zn представляет собой
свободную часть группы гомологии; оно определено не однозначно
(свободный элемент плюс элемент кручения снова будет свободным
элементом.) Число п называют при этом г-м числом Бетти.
Пусть рассматриваемый цепной комплекс конечный (т. е. он состоит
из конечного числа нетривиальных групп Ci) и каждая группа имеет
вид Za*. Тогда эйлеровой характеристикой комплекса называют число
Задача. Доказать, что
где Ь{ — число Бетти.
Указание. Каждый нетривиальный дифференциал убивает
одинаковое число свободных образующих в соседних группах.
С помощью гомологии мы будем строить инвариант
топологического пространства — последовательность групп гомологии этого
пространства.
9.2. Симплициальные гомологии симплициальных
полиэдров
Начнем с определения симплекса. Пусть N > к. Возьмем в RN к +1
точку общего положения. Выпуклую оболочку этих точек называют


9. Гомологии: основные определения и примеры 61
fc-мерным симплексом Ак. Симплексы Ак с к = 0,1,2,3 — это
соответственно точка, отрезок, треугольник и тетраэдр. Любая грань
симплекса снова является симплексом. По-другому fc-мерный симплекс можно
определить как множество точек Rk+1, удовлетворяющих
соотношениям
Х0 + . . . + Xk = 1, Х{ ^ 0.
Такой симплекс называется стандартным. Ориентацией симплекса
называют упорядочение (нумерацию) его вершин с точностью до четной
перестановки.
Множество внутренних (т. е. не принадлежащих собственным
граням) точек симплекса Ак является /с-мерным многообразием. Только
что определенное понятие ориентации симплекса эквивалентно
ориентации этого многообразия. Действительно, любому упорядочению
{ Д), ... , А^ } вершин симплекса поставим в соответствие касательный
репер в любой его внутренней точке, векторы которого сонаправлены
ребрам AqA\, ... , А0Ак.
Задача. Докажите, что эквивалентные в предыдущем смысле
ориентации симплекса задают одну и ту же ориентацию его внутренности.
Дадим теперь определение симплициального полиэдра. Сначала
определим симплициальный полиэдр в Шп как набор симплексов в R",
удовлетворяющий следующим условиям:
1) достаточно малую окрестность любой точки пересекает лишь
конечное число симплексов;
2) любая грань любого из симплексов, входящих в набор,
определяющий полиэдр, тоже входит в этот набор;
3) любые два симплекса набора пересекаются по их общей грани (при
этом сам симплекс и пустое множество считаются гранями
симплекса).
Носителем полиэдра называют теоретико-множественное
объединение точек всех симплексов полиэдра.
Вот более абстрактное определение. Симплициальным полиэдром
называют топологическое пространство X, представленное в виде
локально конечного объединения подпространств, гомеоморфных
стандартным симплексам, удовлетворяющего предыдущим условиям 1)-3).


62
Часть II. Гомологии
При этом должны выполняться следующие условия согласования. Для
каждой грани fc-мерного симплекса в пространстве X определено
вложение в стандартный симплекс Ак С R*4"1, в который отображается
и сам fc-мерный симплекс. Это вложение — гомеоморфизм этой грани
на грань стандартного симплекса, которая сама является стандартным
симплексом в некотором координатном подпространстве М*+1 С R*+1.
Этот гомеоморфизм должен совпадать (с точностью до перенумерации
координат) с характеристическим гомеоморфизмом этой грани.
Эта абстракция не очень существенна: можно доказать, что любой
(абстрактный) конечномерный симплициальный полиэдр гомеоморфен
симплициальному полиэдру в евклидовом пространстве.
Триангуляцией топологического пространства X называют
гомеоморфизм между X и носителем некоторого симплициального полиэдра.
Теорема, а) Любое компактное многообразие (возможно с краем)
триангулируемо.
б) Любой конечный клеточный комплекс гомотопически
эквивалентен полиэдру.
Доказательство этой теоремы довольно длинно (а ее части б) — и
нетривиально), мы его не приводим. См. например учебники Манкрса
и Постникова из списка литературы.
Бели у нас есть симплициальный полиэдр, то с ним связан
симплициальный комплекс, который определяется следующим образом. Группа
fc-мерных цепей С* определяется как свободная абелева группа,
образующими которой служат fe-мерные симплексы полиэдра, взятые с
некоторыми фиксированными ориентациями. Симплекс с противоположной
ориентацией соответствует противоположной образующей. Граничный
гомоморфизм dk'- Ck —► Ck-\ определяется следующим образом.
Ориентация fc-мерного симплекса индуцирует ориентации его (к — 1)-мерных
граней: ориентация грани выбирается так, чтобы после дополнения
этой ориентации вектором, направленным вовне симплекса, получалась
ориентация исходного симплекса (добавляемый вектор считается
первым). Граница ориентированного fc-мерного симплекса — это сумма
всех к + 1 его (к — 1)-мерных граней, взятых с индуцированными
ориентациями. Например, граница стандартного fc-симплекса в Rk+l
(взятая с очевидной ориентацией) равна 52jL0(—1)гА^, где Д^ — симплекс,


9. Гомологии: основные определения и примеры 63
натянутый на вершины еое\... е*... е& и взятый с ориентацией,
определяемой естественным упорядочением вершин.
На линейные комбинации симплексов отображение д продолжается
по линейности.
Задача. Проверьте, что д о д = 0.
Указание. Грань размерности fc—2 граничит ровно с двумя
гранями размерности к — 1, причем входит в них с противоположными
ориентациями.
Наглядный смысл групп гомологии. Группа г-мерных
гомологии полиэдра К — это факторгруппа kerdj/imdt+i. Группа кетд{
г-мерных циклов нашего комплекса, связанного с полиэдром, состоит
из линейных комбинаций, которые не имеют границы, т.е. любой
(г — 1)-мерный симплекс входит в границу любого цикла с
коэффициентом нуль.
Группа imdi+i состоит из границ цепей, поэтому две цепи
эквивалентны, если их разность равна границе какой-то (г + 1)-мерной цепи.
В таком случае говорят, что цепи гомологичны. Итак, группа
гомологии состоит из классов гомологичных цепей с нулевой границей.
Примеры вычисления групп гомологии. Отрезок I = [0,1]
можно представить в виде симплициального полиэдра с одной
одномерной клеткой а и двумя нульмерными клетками а и /3. Таким
образом, С\ = Z (образующая а), Со = Z2 (образующие а,/3). При этом
д(а) = /3 - а. Поэтому Нг = 0, Я0 = Z.
Любой симплекс размерности к является симплициальным
полиэдром с \1+1) гранями размерности г.
Задача. Доказать, что гомологии симплекса любой размерности
равны 0 в положительных размерностях и равны Z в размерности 0.
Для вычисления гомологии двумерной сферы ее можно представить
в виде объединения двумерных граней трехмерного симплекса. Пусть
а, /?, 7, S — вершины этого симплекса, а — грань, противолежащая
вершине а и т. д., а/3 — ребро. Тогда
0(а/?)=/?-а,
д(а) = (76) + (6р) + ((37)
и т. д. Дальнейшие вычисления проведите самостоятельно.


64
Часть II. Гомологии
Теорема. Для любого полиэдра группа Щ свободная абелева и ее
размерность равна числу связных компонент полиэдра.
Доказательство. Каждую связную компоненту полиэдра
можно рассматривать по отдельности, поэтому достаточно доказать,
что для связного полиэдра Щ = Z. Группа Со порождена вершинами
данной компоненты связности. При отображении д образ отрезка а/3
равен ±(а — /?), поэтому соотношения имеют вид а = /?. В подгруппе
ZM, где М — число вершин, рассмотрим «плоскость» L, выделенную
условием х\ + ... + хм = 0. Все соотношения лежат в этой
плоскости, и в данной компоненте связности соотношения порождают эту
плоскость, так как любые две вершины можно соединить цепочкой
одномерных симплексов. Итак, Но = Ъм/L = Z.
Гомологии связного графа. Рассмотрим связный граф с В
вершинами и Р ребрами. Его эйлерова характеристика равна В—Р. С
другой стороны, эйлерова характеристика равна Ьо — &ъ где Ьо, Ь\ — числа
Бетти. Согласно доказанной теореме Ьо = 1, поэтому Ь\ = 1 + Р — В.
Вычисление гомологии двумерного тора. Тор можно получить
из квадрата, склеив его противоположные стороны. Разобьем этот
квадрат на достаточно мелкие квадратики, а каждый квадратик разрежем
диагональю на два треугольника. В результате получим триангуляцию
тора. У двумерного тора нетривиальные гомологии могут быть
только в размерностях 0,1,2. При этом Щ = Z. В самом деле,
одномерный остов тора — связный граф. Нульмерные гомологии тора и этого
графа будут одни и те же, потому что в определении Щ участвуют
только Со и С\. Вычислим теперь Яг. Ясно, что Hi = ker<?2, так как
imc?3 = 0. Опишем элементы ядра. Пусть какой-то треугольник
входит в элемент ядра с коэффициентом а. Тогда все соседние с ним
треугольники должны входить с коэффициентами ±а (в зависимости от
ориентации). Действительно, чтобы убить адДь нужно добавить
границы всех соседних треугольников с коэффициентами ±а. Переходя по
цепочке от треугольника к треугольнику, получаем, что коэффициент
а Е Z при первом треугольнике однозначно определяет коэффициенты
при всех остальных. Поэтому группа ker &2 не больше, чем множество
всех возможных коэффициентов а, т. е. чем Z. Нужно еще понять,
почему не может возникнуть противоречие (несогласованность ориентации


9. Гомологии: основные определения и примеры 65
треугольников). Например, если бы многообразие было неориентиру-
емо, то мы могли бы взять неориентируемую цепочку треугольников
и получили бы, что треугольник с коэффициентом а должен в то же
время входить в элемент ядра и с коэффициентом —а. Но для
ориентируемого многообразия можно взять все симплексы старшей
размерности с согласованными ориентациями и взять сумму Yla& по всем
симплексам.
Труднее всего вычислить одномерные гомологии. Посмотрим
сначала на некоторые примеры одномерных циклов. Типичный пример
одномерного цикла — замкнутая ломаная. Любой одномерный цикл является
линейной комбинацией таких замкнутых ломаных. Примером
одномерного цикла, гомологичного нулю, служит граница треугольника.
Рассмотрим в квадрате, из которого склеен тор, отрезок,
параллельный одной из сторон квадрата (с концами на сторонах квадрата).
Этому отрезку на торе соответствует цикл, который не является
линейной комбинацией границ треугольников. В самом деле, рассмотрим
проекцию этого отрезка на сторону квадрата, которой он параллелен
(точнее говоря, на соответствующую окружность на торе). Для этой
проекции (как и для проекции любого другого цикла) определена ее
степень. Эта степень определяется практически так же, как степень
отображения из § 8, хотя наши циклы уже не являются гладкими
многообразиями. (В этом случае множество критических значений включает
в себя точки излома нашей ломаной.) Легко видеть, что эта степень
аддитивна: степень проектирования суммы двух циклов равна сумме
степеней слагаемых.
Степень проектирования нашего отрезка равна 1. А для границы
треугольника степень равна нулю, поэтому равна нулю и степень
проекции для любой линейной комбинации границ треугольников.
Аналогично доказывается, что отрезок, параллельный другой стороне
квадрата, соответствует циклу, который не является линейной
комбинацией границ треугольников. Эти циклы независимы.
Эйлерова характеристика тора равна 0, поэтому Н\ = Z ф Z © Tors,
причем в качестве свободных образующих можно взять классы
описанных только что циклов. Остается доказать, что Tors = 0. Для этого мы
воспользуемся следующим новым понятием.


66
Часть II. Гомологии
Гомологии с коэффициентами в абелевои группе G. Эти
гомологии определяются точно так же, как и гомологии с
коэффициентами в группе Z. В этом случае С* — свободный G-модуль, т. е. прямая
сумма ®G с количеством слагаемых, равном числу симплексов
размерности г. Граничные операторы д% определяются точно так же, как и
для случая G = Z. Раньше у нас было обозначение Щ(К). Для
гомологии с коэффициентами в G используется обозначение Щ(К, G), если же
группа G явно не указана, то предполагают, что имеются в виду
гомологии с коэффициентами в Z. Группа Щ{К,Ъ<ъ) удобна тем, что при ее
вычислении не нужно обращать внимание на ориентацию симплексов,
поскольку в Z2 элементы х и — х совпадают.
Попробуем сравнить гомологии одного и того же комплекса с
коэффициентами в разных группах. Бели G = G\ ф G2, то
Hi(K,G) = Hi(K,Gl)®Hi(K,G2).
Поэтому для того, чтобы вычислить группы Hi(K,G) для
произвольной конечно порожденной абелевои группы G, достаточно вычислить
группы Hi(K, Z) и Щ(КУ Zpk) для всех р и к.
Пример. Для (абстрактного) комплекса
0->Z-^Z->0
гомологии (над Z) равны 0 и Zq. Замена группы Z на Zp превращает
его в комплекс
О -+ zp -^> zp -> 0.
Этот комплекс ацикличен (т. е. все его группы гомологии равны 0) если
р и q взаимно просты; если же р = д, то его гомологии равны Zq и Zq:
единственная группа Z9 старого комплекса «размножилась».
В случае произвольного симплициального комплекса, при переходе
от коэффициентов Z к Zp нужно заменить все группы С{ = Zai на
группы (Zp)a*, слагаемые Zp по-прежнему соответствуют ориентированным
(если р ф 2) симплексам. Дифференциалы старого комплекса задаются
целочисленными матрицами. Эти матрицы нужно привести по модулю
р, и полученные матрицы будут матрицами дифференциалов для
комплекса над Zp.


9. Гомологии: основные определения и примеры 67
Теорема (из алгебры). Если в цепном комплексе
С= ... -> d -» Ci-i -> Ci_2 ->...,
все группы С% которого — свободные абелевы, всюду заменить все их
слагаемые Z на Zp (р — простое)1, то гомологии полученного
комплекса будут выглядеть следующим образом:
^(C®Zp) = (Zp)mS
где ш» = bi + U(p) + tt-i(p)5 U(p) — число слагаемых в Щ(С) вида Zpr.
Доказательство сводится к рассмотрению разобранного выше
примера или чуть более сложных примеров.
Теперь мы можем закончить вычисление группы Н\(Т2).
Допустим, что у группы #i(T2,Z) есть какое-то нетривиальное
кручение, т.е. слагаемое вида Zp*. Тогда из теоремы следует, что
H2(T2,ZP) содержит по крайней мере два слагаемых Zp. Но точно
так же, как и раньше, можно доказать, что H2{T2,ZP) = Zp. Поэтому
никакого кручения в группе Н\(Т2,Ъ) быть не может.
По ходу дела доказана следующая
Теорема. Для любого компактного n-мерного многообразия Мп
без края Hn(Mn,Z) = Z или 0 в зависимости от того, ориентируемо
многообразие или нет.
Гомологии пока определялись для многообразия с фиксированной
триангуляцией. Потом мы докажем, что гомологии не зависят от
триангуляции.
Для гомологии Hn(Mn,Zp) (р — простое число) при р ф 2 ответ
такой же (с заменой Z на Zp), а при р = 2 гомологии равны Z2 как для
ориентируемого многообразия, так и для неориентируемого.
1 В алгебре эта операция называется «тензорное умножение комплекса С на Zp»
и обозначается заменой имени С нашего комплекса на С <8> Zp, а в топологии —
«приведение по модулю р».


68
Часть II. Гомологии
9.3. Отображения комплексов
Определение. Гомоморфизмом комплексов называют
коммутативную диаграмму
*■ С{ >■ Ci-\ >- Ci-2 ►
1 i J
_*cj —qu —ct-2—►
где верхняя и нижняя строки — цепные комплексы.
Предложение. Гомоморфизм комплексов задает гомоморфизм их
групп гомологии.
В самом деле, пусть a Е С% переходит в /(а) Е С\. Тогда если
da = 0, то df(а) = 0, т.е. цикл переходит в цикл. Кроме того, если
а — Р = c?j+i(7), то /(а) — /(/3) = fl|[+1(/(7))» т.е. отображение
гомологии (факторгрупп) корректно определено.
Один важный пример гомоморфизма комплексов мы уже
рассмотрели. В самом деле, если С = {C^di} — комплекс, все группы которого
— свободные абелевы, то для любого целого q определен гомоморфизм
приведения по модулю д, отображающий этот комплекс вС® Ъч.
Вот еще один не менее важный пример.
Рассмотрим симплициальный полиэдр К. Его подразбиением
называют такой симплициальный полиэдр К\ что любой симплекс К1
лежит в некотором симплексе К и любой г-мерный симплекс К является
объединением г-мерных симплексов К'. В таком случае возникает
гомоморфизм С —► С", а именно, большой симплекс отображается в сумму
составляющих его мелких симплексов, взятых с согласованными ориен-
тациями.
Теорема. Этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм групп
гомологии.
Сейчас мы это доказывать не будем. Позже это утверждение станет
очевидным (группы гомологии не зависят от триангуляции).
Теперь мы займемся более абстрактным объектом — сингулярными
гомологиями.


9. Гомологии: основные определения и примеры 69
9.4. Сингулярные гомологии
Пусть X — топологическое пространство. Сингулярным i-мерным
симплексом пространства X называют непрерывное отображение
(р: Д* —► Л", где Д1 — стандартный г-мерныи симплекс. Группа
С{(Х) определяется как абелева группа, свободно порожденная
сингулярными г-симплексами, т.е. эта группа состоит из конечных
линейных комбинаций таких симплексов с целыми коэффициентами.
Граничный гомоморфизм определяется очевидным образом. А именно,
д(р определяется как сумма с коэффициентами (—1)* отображений
(ео, ...ej_i) -> (р(ео ... е* ...е^), представляющих собой ограничения
отображения (р на грани симплекса. Легко проверить, что д о д = 0.
Бели топологическое пространство X триангулируемо, т. е.
является носителем симплициального полиэдра if, то возникает гомоморфизм
d(K) -► Ci(X).
Основная теорема об инвариантности, которую мы докажем позже,
утверждает, что этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм групп
гомологии.
Пусть X и У — топологические пространства и задано
непрерывное отображение f:X—>Y. Тогда возникает гомоморфизм комплексов
/*: С(Х) —> C(Y). Именно, сингулярному симплексу ср соответствует
симплекс / о ср. При этом отображение /* индуцирует гомоморфизм
сингулярных гомологии.
Теорема. Пусть f и g — два гомотопных между собой
непрерывных отображения из X в У. Тогда индуцированные отображения /* и
д* из Н(Х) в H(Y) совпадают.
Иными словами, для любого цикла z комплекса С(Х) циклы fz и gz
гомологичны.
В доказательстве нам встретится первый пример следующего
абстрактного понятия.
Определение. Пусть заданы два абстрактных цепных
комплекса С, С и пара гомоморфизмов / и g из С в С". Цепная гомотпопил
между / и j — это гомоморфизм D из С в С' степени +1 (т.е.
D: Ci*-* C'i+1 для любого г), обладающий следующим свойством:
Di+idi + &i+lDi = g-f (*)
при всех г.
6


70
Часть II. Гомологии
Пример. Пусть задан сингулярный симплекс (р: Д* —► X и задана
гомотопия F: X х I -* У между отображениями f,g: X -> Y. Тогда
можно построить отображение призмы Д* х J в У: точка (ж, t) Е Д* х I
переходит в F((p(x),t). Разобьем призму Д* х I на г + 1 симплекс
размерности г +1 следующим образом. Координатами точки симплекса Д*
служат числа <i, ... t«+i: 2*л = 1, <л ^ 0. Пусть А — координата на
отрезке 7. Тогда к-й симплекс нашего разбиения призмы, к = 0, ... , г,
состоит из таких точек ($i, ... , £j+i, А), что
Симплексы при этом мы берем с согласованными ориентациями
(которые получаются ограничением естественной ориентации призмы).
Ограничивая на них наше отображение призмы в У и суммируя,
получаем (г + 1)-мерную сингулярную цепь в У. Граница этой цепи состоит
из отображений / и д на основаниях призмы и каких-то отображений
граней симплексов нашего разбиения, составляющих боковую
поверхность призмы.
В случае г-мерного сингулярного цикла (т. е. цепи, граница которой
равна 0) X)a=i Фа-* *Р<* • А* ~~* X, такие цепи, определяемые
отображениями боковых граней призмы, взаимно сокращаются, и полученная
(t + 1)-мерная цепь (состоящая из N(i + 1) симплексов) осуществляет
гомологию между / и д (т.е. ее граница равна д — /).
Формула (*) является алгебраизацией того, что мы сейчас
рассмотрели. Отображение D сопоставляет отображению (р симплекса Д* в X
(г + 1)-мерную цепь в У, заданную отображением триангулированной
призмы Дг х J.
В абстрактной ситуации два отображения, между которыми
существует цепная гомотопия, всегда определяют одно и то же отображение
гомологии. В самом деле, если а — цикл, то
д(а) - /(а) = DMdi(a) + #+1 А(а)
будет границей, так как д{(а) = 0.
Из предыдущей теоремы следует, что гомотопически
эквивалентные пространства имеют изоморфные группы гомологии во всех
размерностях. В самом деле, если fg ~ id и gf ~ id, то индуцированные
отображения в гомологиях /*#* и g+fm тождественны, поэтому оба
отображения Д ир* — изоморфизмы.


10. Основные свойства сингулярных гомологии
и методы их вычисления
Гомотопические группы вычислять сложно. Например, до сих пор
вычислены не все группы ni(Sn). А сложно определяемые группы
гомологии вычислять просто. В этом мы скоро убедимся.
Гомологии обычно вычисляются не на основе определения, а с
помощью некоторых их свойств (аксиом теории гомологии), которые
доказываются исходя из определения. Непосредственными вычислениями
можно получить ответ только в самых простых ситуациях. Например,
можно вычислить гомологии точки.
10.1. Гомологии точки
Покажем, что Н{(*) = Z при г = 0 и Н{(*) = 0 при г > 0.
Действительно, С{ = Z, так как есть ровно одно отображение А* —► *. Пусть ai
— стандартная образующая группы С{. Тогда
л v^/ i\* fa*'-i (* четн°);
t^L 10 (г нечетно).
Поэтому гомологии точки тривиальны, за исключением размерности 0.
У всех стягиваемых топологических пространств гомологии такие
же, как у точки.
10.2. Точная последовательность пары
Определим сначала относительные гомологии для пары
топологических пространств А С X. Имеется очевидное вложение Ci(A) С С{(Х).
Положим С{(Х, А) = Ci(X)/Ci(A). Легко проверить, что мы снова
получим цепной комплекс. Чтобы определить дифференциал от элемента
факторгруппы Ci(X)/Ci(A), возьмем любую цепь a Е Ci(X),
представляющую этот элемент (т.е. смежный класс), рассмотрим ее границу
6*


72
Часть II. Гомологии
и возьмем класс этой границы в факторгруппе C%-i(X)/Ci-i(A).
Корректность определения следует из того, что граница симплекса из А
снова лежит в А.
Возникает три комплекса
* см) * Ct-M) -
I 1
* d(X) * Ci-i(X) -
I 1
^ CM, A) * d-M* A) *
При этом для любого i вертикальная последовательность
G(A)^Ci{X)->Ci(X,A)
образует короткую точную последовательность, т.е. она
продолжается до точной последовательности
О -> d(A) -> С{(Х) -> Ci(X,A) -> 0.
Определение. Относительными гомологиями пары (X,А)
называют группы гомологии факторкомплекса СД-Х", А); они
обозначаются через Щ(Х,А).
В отличие от них, группы вида Щ(Х) или Н{(А) называются
группами абсолютных гомологии.
Теорема. Существует бесконечная точная последовательность
... -» #*(А) -> Щ(Х) -> Я*(Х, А) -> tf;-i(A) -»...-► Я0(А) -4 Яо(-У).
Все отображения вида Щ{А) -* Щ{Х) и Щ(Х) -+ ЯДХ,А) этой
последовательности определяются очевидным образом; действительно,
гомоморфизмы комплексов дают гомоморфизмы групп гомологии.
При этом вложению комплексов не обязательно соответствует
вложение групп гомологии: негомологичный нулю цикл может оказаться
гомологичным нулю в образе.
Остается определить граничный оператор Щ(Х, А) -¥ Щ-\(А). Это
делается так. Цикл в С{(Х, А) — это цепь в X, граница которой лежит


10. Свойства и вычисление гомологии
73
в А (эта цепь рассматривается с точностью до цепи, лежащей в А).
Такому циклу мы сопоставляем его границу.
Остается проверить точность полученной последовательности. Это
вытекает из следующего алгебраического факта.
Предложение. Любая короткая точная последовательность
комплексов
О О
... >d—b*Ci-i -...
!. I
4 4
...—^c'^—^c'U—-...
т т
О О
индуцирует длинную точную последовательность гомологии этих
комплексов:
... -> #i(C) -> ЯДС") -> #*(С") -> Я»_1(С) ->...-> Я0(С) -> Я0(С").
В самом деле, пусть a" £ kerd-'. В силу точности вертикальных
последовательностей а" = j(aj) для некоторого а|,ив С*_1 есть
элемент ai_i, являющийся прообразом элемента 9[(о^). Он является циклом
комплекса С, а его класс в группе Щ-.\(С) — это образ элемента а" при
искомом отображении из Щ(С") в Н^\(С). Проверка корректности
этого определения и точности полученной длинной последовательности
оставляются читателю.
Предыдущая теорема вытекает из этого предложения.
Вот еще одно приложение этого абстрактного предложения.


74
Часть II. Гомологии
Рассмотрим точную последовательность групп коэффициентов
О -> G -> G* -» G" -> О,
например, последовательность
С этой короткой точной последовательностью связана длинная точная
последовательность групп гомологии. Граничный гомоморфизм в этом
случае называют гомоморфизмом Бокштпейна. Этот гомоморфизм
полезно себе представить и увязать его с тем, как связаны группы
#<(*,Z), #i-i(*,Z) и Щ{Х,ЪР).
Более общо, гомоморфизмом Бокштейна называют любой
гомоморфизм Hi(C") -» ifj_i(C), связанный с произвольной короткой точной
последовательностью комплексов 0 -> С —> С1 -> С" —► 0.
В отличие от относительных гомотопических групп, группы
относительных гомологии хороших пространств сводятся к абсолютным.
Теорема. Пусть (X, А) — клеточная пара {или, более общим
образом, произвольная пара Борсука). Тогда
Щ(Х,А)*ЩХ/А,{А}),
где {А} — точка в Х/А, соответствующая множеству А.
В топологии группы вида Н{(Х, *) (где * — точка)
встречаются даже чаще, чем группы Н{(Х). При г > 0 группы Щ(Х,*) и
Hi(X) изоморфны. Что же касается размерности 0, то Но(Х) = Zd и
Щ(Х, *) = Zrf_1, где d — число компонент связности пространства X.
Группы Н{(Х,*) называют приведенными группами гомологии.
Доказательство изоморфности обычных и приведенных групп гомологии
при положительных г следует из точной последовательности пары
(X, *). В самом деле, в этой точной последовательности на каждом
третьем месте стоит нуль, поэтому заключенные между нулями группы
изоморфны.
Эта теорема позволяет вычислять относительные гомологии через
абсолютные.
Прежде чем доказывать ее, заметим, что относительные группы
гомологии тоже гомотопически инвариантны. Это означает, что если


10. Свойства и вычисление гомологии
75
пары (Х,А) и (Х\ А') гомотопически эквивалентны, то кроме уже
доказанных изоморфизмов Н+(Х) = Н*{Х'), Н*(А) = Н*(А'), имеется
и изоморфизм Н*(Х,А) = Н+(Х',А'). Это можно доказать либо
непосредственно, либо с помощью 5-леммы.
С другой стороны, для пары Борсука (X, А) пары (XUCA, С А) (где
С А — конус над А, т.е. С А = А х [0,1]/А х {1}) и {Х/А, {А}) будут
гомотопически эквивалентны. Поэтому достаточно доказать, что
Щ(Х, А) 2 ЩХ U СЛ, СА).
Для этого нам придется воспользоваться следующим
вспомогательным утверждением.
Предложение. Рассмотрим для конечного открытого покрытия
{Uо) топологического пространства X цепной комплекс C(X^Ua^)y
состоящий из всевозможных цепей, у которых любой симплекс целиком
лежит в одной из областей {Ua}. Тогда вложение
C(JTW»>) -> С(Х)
индуцирует изоморфизм гомологии.
Мы это утверждение доказывать не будем, опишем лишь, как
устроено обратное отображение. Оно строится с помощью измельчения
симплексов, например, барицентрического подразделения.
Одномерный симплекс (отрезок) мы делим на два равных отрезка. Двумерный
симплекс (треугольник) делим медианами на 6 треугольников. Дальше
барицентрическое подразделение строим по индукции. В каждой грани
оно уже построено; берем центр симплекса и добавляем все симплексы,
вершинами которых служат центр симплекса и вершины симплекса из
барицентрического подразделения граней.
Барицентрическое подразделение позволяет каноническим образом
сопоставить отображению большого г-мерного симплекса сумму
отображений (г + 1)! симплексов — ограничения этого отображения на
мелкие симплексы. Так получаем операцию измельчения цепи. Эта
операция задает гомоморфизм комплексов (грани мелких симплексов,
лежащие внутри большого симплекса, взаимно сокращаются). Операция
измельчения рало или поздно приводит к симплексам, каждый из
которых целиком лежит в одном из множеств {Ua}.


76
Часть II. Гомологии
Для X U С А возьмем покрытие двумя открытыми множествами, а
именно, СА\Аи XU{Ax[0,1/2)}. Пусть В = А х [0,1/2). Тогда,
с одной стороны, Щ(Х U С А, С А) = Я^рГ U В, В), так как все цепи
приводятся по модулю С А и В. С другой стороны, пара (X U Я, Я)
гомотопически эквивалентна паре (Х,А).
В качестве примера вычислим гомологии окружности
S1 = [0,1]/{0,1}. В последовательности
... -> Я<(/) -> ЯД/, 01) -> Hi-i{dl) -» ...
при i > 1 оба крайних члена нулевые, поэтому средний член тоже
нулевой. Для Hi(Sl) = X получаем точную последовательность
0->X-+Z2^->Z-*0.
При этом / — эпиморфизм и кег / = Z, поэтому X = Z.
10.3. Точная последовательность тройки
Непосредственным обобщением точной последовательности пары
является точная последовательность тройки X D Y D Z. Она имеет
вид
...-> Hi{Y,Z) -> Hi(X,Z) -> Hi(X,Y) -> Hi-i{Y,Z) -> ...
Эта точная последовательность возникает из соответствующей
короткой точной последовательности комплексов: тройке абелевых групп
G D Я Э К можно сопоставить короткую точную последовательность
О -> Н/К -> G/tf -> G/Я -» 0.
В нашем случае для комплексов Ci(Y, Z), Ci(X, Z), Ci(X, Y) мы
получаем как раз такую точную последовательность. В частном случае (при
Z = 0) получаем точную последовательность пары. А если Z = * £ У,
то получаем почти то же самое, за исключением размерности 0 и
близких к ней.


10. Свойства и вычисление гомологии
77
10.4. Гомологии надстройки
В топологии используются две близкие конструкции — приведенные
и неприведенные надстройки, но обозначаются они одинаково. Непри-
веденная надстройка обычно используется, когда работают с
пространствами без отмеченной точки, а приведенная надстройка
рассматривается в «пунктированной категории» (так говорят, когда работают с
пространствами с отмеченной точкой).
Неприведенная надстройка пространства А определялась в § 1
первой части как факторпространство
ЕА = (А х [О, \)/{А х {0})) /(А х {1}).
(Здесь по очереди производятся две факторизации; их нельзя делать
одновременно.)
Приведенная надстройка (в пунктированной категории) — это
пространство
ЕА = А х [0,1)1 {А х {0} U А х {1} U {*} х [0,1]).
Для достаточно хороших топологических пространств оба
определения надстройки дают гомотопически эквивалентные пространства.
Будем обозначать приведенные гомологии через Щ(Х). (Напомним,
что приведенные гомологии отличаются от обычных лишь тем, что в
размерности 0 берется на одно слагаемое Z меньше.)
Предложение. ЯДЕ А) = Hi-i(A).
Доказательство. Возьмем сначала факторпространство
А х [0,1]/А х {1}. Оно совпадает с С А, поэтому, в частности,
стягиваемо. Рассмотрим точную последовательность пары (СА, Л), где
А = А х {0}:
...-> ЩСА) -> ЩСА, А) -» Щ-г(А) -+ Н^г{СА) -> ...
Hi(CA) = 0 при г > 0, поэтому возникают изоморфизмы Щ(СА,А) =
S Щ-г(А). Кроме того, ЩСА, А) = ЩСА/А) = ЩЯА).
Следствие. Так как Sk = ES*"\ то Hi{Sk) = 0 при г\ Ф 0,fc и
Hk(Sk) й Z.


78
Часть II. Гомологии
10.5. Последовательность Майера-Вьеториса
Предложение. Пусть у нас есть два пересекающихся клеточных
пространства, пересечение которых тоже клеточное. Тогда имеется
точная последовательность
...-> ЩХ) 0Hi(Y) ^ Щ(Х U Y) (Л Hi-i{X ПУ)(Л
{$Hi-i(X)eHi-i(Y)-> ...
(называемая последовательностью Майера-Вьеториса).
Гомоморфизмы (1), (3) и (2) устроены следующим образом.
(1) Пусть а и /3 — классы гомологии в X и У. При вложениях X и
Y в X U У они переходят в а' и /?'. При гомоморфизме (1) классу а © /?
сопоставляется класс а' + /?'.
(3) Цикл из А" П У вкладываем в X тождественно, а в У —
тождественно со знаком минус.
Сложнее всего описывается гомоморфизм (2). В точной
последовательности пары (X U У, У) есть гомоморфизм
Hi{XUY) -> #*(ХиУ,У) = Hi(XUY/Y) = Hi{X/XC\Y) = Я*(Х,ХПУ).
А в точной последовательности пары (X, X П У) есть граничный
гомоморфизм
ЯДДПУ)->ЯМ(ХПУ).
Композиция этих гомоморфизмов и есть требуемый гомоморфизм.
Доказать точность получающейся последовательности
гомоморфизмов можно с помощью точных последовательностей пар. Но более
идейное доказательство — применение простейшего варианта «симплици-
ального разрешения», которое является очень могучим методом
вычисления гомологии. «Симплициальное разрешение» — аналог формулы
включений-исключений для дискретных множеств. Рассмотрим
систему пересекающихся множеств. На первом шаге «разведем» их, т. е.
будем считать их как бы лежащими по отдельности. У каждого такого
множества есть естественная проекция на объединение исходных
множеств. Сначала каждую пару точек двух разных множеств,
проецирующихся в одну и ту же точку объединения, соединим отрезком. Затем


10. Свойства и вычисление гомологии
79
для троек точек, проецирующихся в одну и ту же точку, на три
полученных отрезка натянем треугольник. Затем на точки
четырехкратного пересечения натянем трехмерный симплекс и т. д. В конце концов
над каждой точкой исходного множества повиснет симплекс некоторой
размерности. Полученное топологическое пространство будет гомото-
пически эквивалентно исходному, в частности, у них будут одинаковые
эйлеровы характеристики. Для конечного множества эти рассуждения
приводят к формуле включений-исключений. В случае топологических
пространств получаем симплициальное разрешение исходного
топологического пространства, представленного в виде пересечения.
Для последовательности Майера-Вьеториса нам потребуется
простейший случай — симплициальное разрешение для X UY. Если
пространства X, У «конечномерны», то предыдущую неформальную
конструкцию можно реализовать так. Вложим X и У по отдельности в
пространство очень большой размерности, и для любой точки z Е XDY
проведем отрезок между соответствующими двумя точками образов X
и У. Бели N велико, а вложения — «общего положения», то эти отрезки
не будут пересекаться ни друг с другом, ни с «посторонними» точками
множеств X и У. Искомое симплициальное разрешение — это
объединение множеств I, Уи всех этих отрезков, снабженное индуцированной
из RN топологией. Для пространств, которые не вкладываются в
евклидово пространство, можно дать следующее формальное определение
симплициального разрешения. В пространстве (X U Y) х [0,1] возьмем
объединение подпространств X х {0}, Y х {1} и (X П Y) х [0,1]. Это
и есть симплициальное разрешение для X U У. Ясно, что оно гомото-
пически эквивалентно исходному пространству X U У. Обозначим его
через X (±) У. Точная последовательность пары
(ХЫУ, 1х{0}иУх{1})
имеет вид
щх) е #,(У) -+ щх ы У) -► н{(х и у, х и У),
где X = X х {0}, Y = Yx {1}. Факторпространство X Ы Y/{X U У) го-
меоморфно надстройке над XDY, профакторизованной по паре точек,
т. е. пространству ((X П У) х [0,1])/({Х П У) х {0,1}), поэтому
Н{(Х V У, (X U ?)) S Hi-i(X П У).


80
Часть II. Гомологии
10.6. Гомологии букета
Пусть Х{ — непересекающиеся множества, х% € Л*. Букетом
пространств Х{ называют факторпространство
\f(Xu Xi) = |J Xi/(X! ui2u...u4
i %
Приведенные гомологии букета вычисляются по следующей
формуле:
нк
Н -®
я*№)-
Эту формулу можно доказать по индукции, по очереди записывая
точную последовательность следующей пары: рассматриваемый букет
и букет всех пространств, кроме последнего. При этом нужно лишь
проверить, что граничный гомоморфизм в этой последовательности
нулевой.
Отметим, что приведенная надстройка над букетом является
букетом приведенных надстроек.
10.7, Функториальность гомологии
Например, функториальность точной последовательности пары
означает следующее. Отображение пар (X,Y) —► (X',Y') индуцирует
гомоморфизм всевозможных абсолютных и относительных гомологии
этих пространств. Функториальность означает, что диаграмма
+Hi(Y) *ЩХ) >Щ{Х,У) ^tfi-i(y) >
... *Hi(Y') >ЩХ') >Hi(X\Y') -#i-i(y') *...
коммутативна. Для точной последовательности тройки
функториальность определяется аналогично.
Функториальность изоморфизма надстройки означает следующее.
По отображению /: X —> X1 естественным образом строится
отображение Т>Х —> ЕХ', а именно, сначала строится отображение цилиндров
X х [0,1] -» X1 х [0,1] по правилу (x,t) н-* (/(ж),£), а затем остается


10. Свойства и вычисление гомологии
81
заметить, что это отображение опускается до отображения фактор-
пространства Е-Х" пространства X х [0,1] в факторпространство Т,Х'
пространства X1 х [0,1]. Поэтому возникает диаграмма
Hi(X) -#i+i(EX)
I I
Щ(Х') *Hi+l(ZX')
в которой обе горизонтальные стрелки — изоморфизмы. Функториаль-
ность означает, что эта диаграмма коммутативна. Коммутативность
этой диаграммы легко доказывается.
Приложение: геометрический смысл гомоморфизма
гомологии, заданного отображением букетов сфер. Рассмотрим
отображение \/а &а ~* У/з $0- В силу теоремы о клеточной аппроксимации
можно считать, что вершина букета переходит в вершину. А;-мерные
группы гомологии этих пространств равны Za и Z6, где а и b —
количества сфер в букетах. Отображение гомологии этих пространств
задается матрицей: образ образующей S% — это сумма образующих Sp
с какими-то коэффициентами. Эти коэффициенты вычисляется
следующим образом. Ограничение нашего отображения на первую сферу 5* с
последующей факторизацией пространства второго букета по всем
сферам, кроме S^, является непрерывным отображением S% ->• Sp.
Фактически получается отображение одной сферы в другую. Требуемый
коэффициент равен степени этого отображения. Для размерности 1 это
доказывается просто, а дальше нужно воспользоваться функториаль-
ностью приведенной надстройки: надстройка над букетом совпадает с
букетом надстроек.
10.8. Резюме
Подытожим описанные выше свойства сингулярных гомологии,
помогающие в их вычислении.
1) Гомологии точки: Н{(*) = Z при г = 0, а при г > 0 группы
гомологии нулевые.
2) Гомотопическая инвариантность гомологии: гомотопически
эквивалентные пространства имеют изоморфные группы гомологии.


82
Часть II. Гомологии
3) Hi(X,Y) = Hi(X/Y).
4) Точная последовательность пары и тройки.
5) Изоморфизм надстройки Hi(EX) = Н{-\(Х). Геометрически
он устроен примерно так же, как изоморфизм групп гомологии
гомотопически эквивалентных пространств. А именно, любому
сингулярному симплексу (р: А -> X ставится в соответствие отображение
{(pi'id): А х / -» X х J, а. X х I разбивается на симплексы
размерности % + 1 в количестве i + 1. Сингулярному симплексу ставится в
соответствие сумма этих i + 1 сингулярных симплексов. Затем от
отображения в цилиндр X х I с помощью факторизации переходим
сначала к отображению в конус C-Y, а затем и к отображению в
надстройку EX.
6) Гомологии сферы: Hi(Sk) = Z при г = &, остальные группы
гомологии нулевые. Вычисления можно начать с 5°, а затем воспользоваться
индукцией.
7) Точная последовательность Майера-Вьеториса.
8) Гомологии букета: Hi(\JaXa) = ®aHi(Xa).
9) Функториальность точных последовательностей пар, троек и
операций взятия надстройки.


11. Гомологии клеточных пространств
11.1. Клеточный комплекс
В том случае, когда пространство X представлено в виде CW-kom-
плекса, его гомологии вычисляются просто. Пусть
... свк*(Х)свк*+1(*)с ...
— остовы CW-комплекса X. При этом факторпространство skVsk*-1
представляет собой букет г-мерных сфер, соответствующих г-мерным
клеткам.
С нашим клеточным пространством X канонически связан его
клеточный комплекс
...->Ci(X)-+Ci-i(X)-> ... ,
где С{{Х) — свободная абелева группа, образующие которой
отождествлены со сферами букета. Чтобы определить его дифференциалы,
поступим следующим образом. Каждой г-мерной клетке соответствует
характеристическое отображение D% -* S'1-1, при котором граница
диска переходит в объединение клеток меньшей размерности. Рассмотрим
индуцированное отображение
Di D gi-i ^ я*-1х/Л*-2Х,
т. е. ограничение характеристического отображения на 3D1 и
последующую факторизацию по модулю skl"2X. Это отображение
представляет собой отображение сферы в букет сфер:
S1"1 -4 S*"1 V S*"1 V 5*"1...
Оно характеризуется набором чисел di, d<i, ... , d/, которые получаются
следующим образом. Рассмотрим факторпространство букета
Sl~l V S*"1 V S1'1...


84
Часть II. Гомологии
по такому же букету, из которого выброшена сфера с номером А;.
Рассмотренное выше отображение после проекции на это факторпростран-
ство превращается в отображение 5*"1 -» S^""1. Число d* — это степень
полученного отображения. (Чтобы степень была однозначно
определена, нужно фиксировать ориентации сфер. Это делается так, чтобы
ориентации посредством характеристических отображений были
согласованы с ориентацией стандартного диска.)
Число dk называют коэффициентом инцидентности исходной
г-мерной клетки аг и А;-й {% — 1)-мерной клетки ajT1. Его.часто
обозначают так: [а1 : а]~1].
Граничный гомоморфизм Ci(X) -> Ci-\(X) определяется
следующим образом: каждой г-мерной клетке сопоставляется сумма всех
(г — 1)-мерных клеток с соответствующими коэффициентами
инцидентности, т. е.
к
где а1^1 — образующая в Ct_i(-X"), соответствующая fc-й сфере.
Остается проверить, что д о д = 0.
Вот эквивалентное описание граничного оператора нашего
комплекса. Положим Х{ = sk*-X", тогда С{ — Щ{Х{,Х{-\), а гомоморфизм
С{ —> Ci-i определен как граничный гомоморфизм
Hi(Xi,Xi-i) -+ Hi-iiXi-i,Xi-2)
в точной последовательности тройки (Xi,Xi-i,Xi-2)-
Гомологии полученного комплекса называют клеточными гомоло-
гилми.
Основная теорема. Клеточные гомологии клеточного
пространства канонически изоморфны его сингулярным гомологиям.
Эту теорему полностью мы доказывать не будем. Один из шагов
доказательства — следующая
Лемма. Щ(Х) s #*(Xi+1,Х*_2).
Это доказывается в два шага: Щ(Х) = Щ(Х^\) = ЯДА^+х,-Х^-г).
Рассмотрим точную последовательность пары (Xi+2,X{+i):
Hi+i(Xi+2,Xi+i) -> Hi(X{+i) -> Hi(X{+2) -> Hi(Xi+2)Xi+i).


11. Гомологии клеточных пространств
85
Оба крайних члена этой последовательности нулевые, потому что они
являются гомологиями букета (г + 2)-мерных сфер. Поэтому средние
члены последовательности изоморфны. Аналогично доказывается
изоморфизм ЭТИХ Групп Группам Hi{Xi+$), Hi(Xi+4) и т.д., сходящимся
(в силу аксиомы W) к группе Щ(Х). Итак, Hi{X) = Hi(Xi+\).
Далее, из точной последовательности тройки (J£j+i,Х|-2?-^-з)
получаем, что Hi(Xi+\,Xi-2) — #г№+ь^-з)> из
последовательности тройки (Xi+i,Xi-3,Xi-4) — что эти же группы изоморфны
Hi(Xi+\, -Xi-4)? затем точно так же доказывается их изоморфность
группам
ft№+lJi-5)) ••• >#i№+b^Q-(i+l)) = Hi(Xi+i),
и лемма доказана.
После этого остается разобраться с пространством Xi+i/Xi-2,
имеющим только клетки размерностей г+1, г, г —1. Подробности см. в книге
Фоменко и Фукса, с. 111-112.
11.2. Пример: гомологии проективного пространства
Вычислим группы гомологии пространства RP71. Рассмотрим флаг
линейных подпространств
R1 С К2 С R3 С ... G Kn+1.
Этот флаг высекает на сфере Sn С Rn+1 клеточное разбиение,
имеющее в каждой размерности г = 0,1, ... , п по две клетки — компоненты
множества Sl \ 5*""1, Sl = Sn П Мг+1. Эти клетки центрально
симметричны, поэтому они индуцируют клеточное разбиение проективного
пространства ШРП.
Выясним, сколько раз каждая клетка входит в границу клетки
следующей размерности. Геометрическая кратность вхождения равна 2,
но эти вхождения могут быть либо одного знака, либо разных знаков.
Для гомологии над Z2 это, впрочем, неважно. В этом случае получаем
#i(RPn,Z2) = Z2, t = 0,l, ... ,п.
Но для вычисления гомологии #i(RPn,Z) ориентации клеток
нужно будет учесть. Рассмотрим для примера двумерную клетку в RPn.
7


86
Часть II. Гомологии
В этом случае характеристическое отображение представляет собой
композицию гомеоморфизма двумерного диска на верхнюю полусферу
и последующего отождествления диаметрально противоположных
точек сферы. Граница клетки сначала состоит из пары полуокружностей,
а затем эти полуокружности склеиваются посредством центральной
симметрии. Из таких клеток получаются две клетки одной ориентации,
если центральная симметрия сохраняет их ориентацию, и две клетки с
разными ориентациями, если центральная симметрия изменяет их
ориентацию. В нашем случае симметрия сохраняет ориентацию, поэтому
д(к2) = 2д{к1). В общем случае д(к2п) = 2д{к2п'1) и д(к2п^) = 0.
В результате получаем цепной комплекс
... .+ с5 А- с4 ^ с3 А- с2 -^ с1.
Гомологии этого комплекса равны
Z2 0 Z2 О Z2 Z.
Нужно отдельно рассмотреть случай самой старшей размерности. При
п нечетном в старшей размерности гомологии равны Z, а при четном
п в старшей размерности гомологии равны 0. Это связано с тем, что
многообразие RPn при нечетном п ориентируемо, а при четном п не-
ориентируемо.
11.3. Клеточное разбиение многообразия Грассмана
Выберем в Шп полный флаг, т.е. последовательность
подпространств
Ш1 CR2 CR3 С ... CRn.
(Бели заданы координаты, то в качестве Шк можно взять
подпространство, натянутое на первые к базисных векторов.) Тогда каждой точке
многообразия Грассмана Gfc(Rn), т.е. fc-мерной плоскости L, можно
сопоставить символ Шуберта
a{L) = {ai(L)ta2(L),...,ak{L)),
который определяется следующим образом.


11. Гомологии клеточных пространств
87
g\(L) = минимальное число % такое, что размерность R* П L равна 1,
(72 (L) = минимальное число i такое, что размерность R* П L равна 2,
и т. д.
Наоборот, для фиксированного набора чисел о\ < оч < ... < а*,
Ok, < п, можно рассмотреть все плоскости Z, для которых именно он
служит символом Шуберта.
Лемма. Для любого возрастающего набора натуральных чисел
0ъ • • • ,<7ky &k ^ w> множество всех плоскостей с таким символом
Шуберта гомеоморфно клетке, причем все такие клетки вместе образуют
клеточное разбиение многообразия Грассмана GfAJ(Kn).
Эта клетка называется клеткой Шуберта, соответствующей
символу Шуберта (<7i, ... ,<7fc). Легко подсчитать, что ее размерность равна
(ai - 1) + (<т2 - 2) + ... + Ы - к).
Для комплексного грассманиана клеточное разбиение определяется
аналогично. Размерности клеток комплексного грассманиана
получаются из размерностей клеток вещественного грассманиана с тем же
символом Шуберта умножением на 2. В частности, все они четны. Из
этого сразу следует структура гомологии:
Hm(Gk(Cn),Z) = |
О при га нечетном;
ZdW) при га = 21;
здесь d(fc, /) — количество различных символов Шуберта, для которых
(<П - 1) + (а2 - 2) + ... + (*к -*)='•
Аналогично устроены гомологии вещественного грассманова
многообразия с коэффициентами Z2:
Hm(Gk(Rn),Z2) = 4{k'l)-
Чтобы это доказать, нужно проверить, что все клетки входят в
границу любой клетки с четными коэффициентами инцидентности. Но это
можно и не проверять, если воспользоваться следующими соображени-


88
Часть II. Гомологии
ями: грассманиан — алгебраическое многообразие, замыкания клеток
Шуберта — его алгебраические подмножества. А любое замкнутое
алгебраическое многожество (даже с особенностями) определяет
фундаментальный класс по модулю 2.
Гомологии вещественных грассманианов с коэффициентами в Z
вычисляются сложнее. Мы обсудим лишь одномерные гомологии
#i(Gfc(Rn),Z), не рассматривая вырожденные случал к = 0 и к = п.
Именно, покажем, что во всех других случаях эта группа равна Z2.
Докажем это утверждение с помощью клеточного разбиения. В
вычислениях участвует только такой кусок клеточного комплекса:
(двумерные) -> (одномерные) ->- (нульмерные)
При этом одномерная клетка ровно одна; ей соответствует символ
Шуберта <т = (1,2, ... ,fc—1,/c+l). Концы отрезка, соответствующего этой
клетке, совпадают, потому что нульмерная клетка только одна. Таким
образом, отображение в нульмерные цепи нулевое. Остается
разобраться с отображением из двумерных цепей в одномерные. Двумерных
клеток ровно две; им соответствуют символы Шуберта (1,2,..., Л—1, к+2)
и (1,2, ... , к — 2, &, к + 1). Для наших целей достаточно первой из этих
клеток. Дело в том, что к этой клетке одномерная клетка примыкает
точно так же, как в ШРп~к. В самом деле, у соответствующих
подпространств Ьк С W1 первые к — 1 базисных векторов совпадают, а
остальные лежат в RPn~k. Следовательно, в образе дифференциала
содержится 2Z, поэтому факторгруппа (гомологии) не больше Z2. Но
грассманиан неориентированных плоскостей двулистно накрывается грассма-
нианом ориентированных плоскостей, поэтому его одномерные
гомологии не меньше Z2. Более того, и группа 7ri(Gfc(Rn)) изоморфна Z2 при
к ф О, п. Действительно, в силу теоремы о клеточной аппроксимации
эта группа порождается классом единственного пути — одномерной
клетки. Предыдущее рассуждение с вложением ШРп~к -» Gfc(Rn)
доказывают, что этот путь, пройденный дважды, гомотопен нулевому.
Следовательно, искомая фундаментальная группа изоморфна Z2 или
тривиальна. Последнее невозможно, поскольку имеется нетривиальное
двулистное накрытие G*(Rn) —» Gfc(Rn).
Задача. Вычислить все целочисленные гомологии многообразия
G2(R4) и выяснить, ориентируемо ли это многообразие.


12. Теория Морса
12.1. Функции Морса
Теория Морса — это способ строить клеточное разбиение
многообразия М по функции /: М -> R. Мы будем сначала предполагать,
что М — компактное многообразие без края. Будем также
предполагать, что функция / невырожденная (морсовская). Это означает
следующее. Пусть / Е С°°(М, R). Особая точка функции / — это точка,
в которой grad / = 0. В локальных координатах Х{ с центром в особой
точке / записывается в виде
/(яг) = /(0) + Y^OijXiXj + 0(|ж|3), ay = \jj^r
Особая точка называется морсовскои, если квадратичная форма
Y^aijx%xj — невырожденная, т.е. определитель матрицы (ау) не
равен 0. Эта квадратичная форма определена инвариантно и называется
вторым дифференциалом / в особой точке.
Лемма Морса. Выбором локальных координат можно привести
функцию в окрестности морсовскои особой точки к канонической
нормальной форме
2,2, 22 2
Определение. Функция называется морсовскои, или,
эквивалентно, функцией Морса, если все ее особые точки — морсовские.
Функцию называют сильно морсовскои, если она морсовская и каждое
критическое значение она принимает ровно в одной особой точке. Отметим,
что особые точки морсовскои функции образуют дискретное
множество.
Теорема. В пространстве всех гладких функций на
многообразии М сильно морсовские функции образуют открытое плотное
множество (в топологии Ск, к^ 3).


90
Часть II. Гомологии
Рассмотрим, например, функцию на одномерном многообразии,
записывающуюся в виде я3 в некоторой локальной координате вблизи
особой точки. Легко построить новую функцию на том же многообразии,
совпадающую со старой вблизи всех остальных особых точек старой
функции, не имеющую новых особых точек вдали от этой, а вблизи
этой точки имеющую вид х3 + тж, где т — любое число, достаточно
близкое к 0. При т > 0 у полученной функции не будет особых точек
в нашей координатной окрестности, а при г < 0 у нее появляются две
морсовские особые точки.
12.2. Клеточная структура многообразия
с морсовской функцией
Пусть М — компактное многообразие без края и /: М -* R1 —
морсовская функция на нем. Клеточное разбиение многообразия М мы
будем строить следующим образом. Положим
Mt = /-1((-oo,*])
и будем смотреть, как это множество изменяется с ростом t. Для
простоты будем считать, что функция сильно морсовская.
Сначала М* = 0. Затем мы доходим до минимума функции. В этой
точке функция приводится к виду х\+ .. .+#£• При t чуть больше
минимума Mt « Dn. Дальнейшие перестройки полезно сначала рассмотреть
в простейших случаях: для окружности, вложенной в плоскость
(произвольно, но без самопересечений), и для стандартно вложенного в R3
тора. Перестройки многообразия происходят в особых точках. Для
тора перестройки заключаются в том, что сначала к диску приклеивается
ручка (ленточка), затем снова приклеивается ручка, а в конце
приклеивается диск.
Теперь дадим описание в общем случае.
Предложение. Если а <Ь и на отрезке [а, Ь] нет критических
значений функции /, то имеется гомеоморфизм Мь ~ Ма.
Этот гомеоморфизм задается действием (подходящим образом
нормированного) поля grad/.
Посмотрим, что происходит при переходе t через критическое
значение.


12. Теория Морса
91
Индексом особой точки называется отрицательный индекс инерции
ее квадратичной формы. Пусть есть морсовская критическая точка
индекса г; to — ее критическое значение. Рассмотрим многообразия М^0_е
и Mt0+e, где е настолько мало, что на отрезке [to — е, <о + е] нет
посторонних критических значений.
Теорема. Топологическое пространство MtQ+€ гомотопически
эквивалентно пространству MtQ~e, к которому приклеен диск
размерности i, т. е.
Mt0+e ~ D* Ц, Mfa-e, (1)
где (р: 3D1 —► Mt0_e — некоторое непрерывное отображение.
Каждой критической точке функции / соответствует верхнее
(соответственно, нижнее) сепаратрисное многообразие, т.е. замыкание
множества всех точек у многообразия М, для которых фазовая
кривая векторного поля — grad/ (соответственно, + grad/), выходящая из
точки у, стремится к этой особой точке. Например, для /(#, у) = х2—у2
ось у — нижнее сепаратрисное многообразие, ось х — верхнее
сепаратрисное многообразие. В общем случае в окрестности морсовской
особой точки сепаратрисные многообразия — два ортогональных диска,
сумма размерностей которых равна размерности многообразия.
Диск из условия теоремы — это часть нижнего сепаратрисного
многообразия, лежащая в области, где / принимает значения OTto — e до <о-
Теорема. Любое компактное многообразие гомотопически
эквивалентно конечному CW-комплексу.
Доказательство этой теоремы можно получить из предыдущей
теоремы, воспользовавшись индукцией по приклеиванию клеток и тем, что
отображение 3D1, определяющее приклеивание диска, можно заменить
на гомотопное ему клеточное отображение.
12.3. Приклеивание ручек
Пусть /: М -> R — функция Морса; Ма = /""1((оо,а]).
Предположим, что а < b и между а и Ь есть ровно одно (некратное) критическое
значение а, соответствующее критической точке индекса г. Тогда
множество Мь гомотопически эквивалентно Dl U<^ Ма, где <р — некоторое


92
Часть II. Гомологии
вложение dD% -» дМа = /~1(а). Гомотопическая эквивалентность более
или менее задается градиентным векторным полем. В случае п = 2,
% = 1, / = —х2 + у2 множества Ма и М& изображены на рис. 26.
У v У
Ма (а>0) Мь (6>0)
Рис. 26
Более того, мы можем описать не только гомотопическую, но и
топологическую структуру М&. Это делается следующим образом.
Назовем ручкой индекса i пару (Dl х D11-*,^*"1 х Dn~1). Приклеиванием
ручки к Ма назовем приклеивание Dl х Dn~% к Ма по некоторому
вложению Sl~l х Dn~l в дМа. Тогда Мь гомеоморфно Ма с приклеенной
ручкой индекса г.
12.4. Правильные функции Морса
Многие утверждения, например, теорему о том, что любое
компактное многообразие имеет гомотопический тип клеточного комплекса,
удобнее доказывать не с помощью произвольной функции Морса, а с
помощью правильной функции Морса. Так называют функцию Морса,
у которой все критические значения в точках индекса % лежат ниже
всех критических значений индекса % 4-1 при всех i.
Теорема (С. Смейл). На любом компактном многообразии без
края существует правильная функция Морса.
При доказательстве этой теоремы мы воспользуемся градиентно-
подобными векторными полями. Это более гибкое понятие, чем
градиентные поля, которые зависят от римановой метрики, что зачастую
бывает неудобно.


12. Теория Морса
93
Градиентно-подобное векторное поле для морсовской функции /
— это любое гладкое векторное поле, обладающее следующими двумя
свойствами:
1) вне критических точек / это поле не имеет особенностей и /
строго возрастает вдоль траекторий этого поля;
2) вблизи критических точек / это векторное поле устроено как
градиентное, т. е. существует такая система координат, что
/ = -х\ - ... - х\ + а;-+1 + ... + х\ + <*,
и в этой системе координат векторное поле равно
(-2Я1, ... ,-2ж;,2х*+1, ... ,2хп).
Гомотопию, стягивающую Мь на D% U Ма и осуществляющую
гомотопическую эквивалентность (1), можно строить не только с помощью
градиентных полей, но и с помощью градиентно-подобных векторных
полей.
Для доказательства теоремы нам нужно научиться переставлять
неправильно расположенные критические значения. Пусть f~l([a,b])
содержит ровно две критических точки, причем критические значения в
этих точках расположены неправильно: значение / в точке с меньшим
индексом больше, чем значение в точке с большим индексом. Выпустим
из этих точек верхние и нижние сепаратрисные многообразия.
Возможны две ситуации: либо все траектории спокойно доходят до краев Z""1 (а)
и /~1(6), либо некоторые траектории, выходящие из одной точки,
натыкаются на другую точку. Предположим сначала, что таких
траекторий нет.
Лемма. Пусть множество /_1([а, Ь]) содержит ровно две
критических точки и все их верхние и нижние сепаратрисные многообразия не
пересекаются. Тогда для любых а, /3 £ (а, Ь) существует новая
функция g на том же множестве, обладающая следующими свойствами:
1) g совпадает с f вблизи границы этого множества;
2) исходное градиентно-подобное поле является градиентно-подоб-
ным и для д\


94
Часть II. Гомологии
3) в первой критической точке функция д принимает значение a, a
во второй /?.
Доказательство леммы. Требуемую функцию можно
построить, например, так. Рассмотрим какую-нибудь гладкую функцию
<р на дМа = /_1(а), отделяющую одно нижнее сепаратрисное
многообразие от другого и принимающую значения в [0,1]. Имеется в виду,
что в окрестности одного сепаратрисного многообразия (р = 0, а в
окрестности другого сепаратрисного многообразия (р = 1. Функцию (р
можно определить и на всем множестве /~"1([а,Ь]), продолжив ее при
помощи нашего градиентно-подобного векторного поля так, чтобы на
любой его траектории функция ср принимала одно и то же значение.
Так ее можно будет определить на дополнении к сепаратрисным
множествам, а на самих сепаратрисных множествах она будет принимать
постоянные значения 0 и 1. В малой окрестности особой точки функция
постоянная, а значит, гладкая.
Требуемую функцию g будем искать в виде g(x) = G(/(x),<p(rr)),
где G — подходящая гладкая функция на прямоугольнике [а, b] х [0,1].
Например, если возьмем G(y,t) = у, то получим исходную функцию /.
Функция G должна быть определена на прямоугольнике,
изображенном на рис. 27. Вблизи сторон а х [0,1] и
Ъ х [0,1] она должна совпадать с у. Вдоль
горизонтальных отрезков функция G
должна монотонно возрастать. Кроме
того, в двух отмеченных точках на верхней
и нижней стороне прямоугольника,
соответствующих критическим значениям
а у Ь Функции /, функция G должна
принимать предписанные значения а и /3. Для
Рис. 27 построения такой функции нет никаких
препятствий. Лемма доказана.
Предположим теперь, что есть две критические точки индекса i
и j, причем критическое значение для % меньше критического значения
для j, но % > j.
Рассмотрим промежуточный слой /"~1(0 между этими
критическими точками; здесь £ Е [<J,7] (рис. 28). Сепаратрисные многообразия
высекают на этом слое сферы, размерности которых равны j — 1ип—г — 1.
Ой


12. Теория Морса
95
Само многообразие f~l(Q, в котором они расположены, имеет
размерность п — 1, а сумма размерностей сфер равна п — 2 + (j — г) < п — 2,
так как j < г по условию. Таким образом, в случае общего положения
(к которому всегда можно прийти, слегка пошевелив наше градиентно-
подобное поле) сепаратрисные многообразия не пересекаются. Тогда
условия леммы выполняются, поэтому можно поменять порядок
критических точек.
0 о
^—^\ г*—<
1 ' V
Рис. 28
12.5. Граничный оператор в комплексе Морса
Пусть у нас есть многообразие Мп и правильная функция Морса
/: Мп -* R. Тогда у Мп есть клеточное разбиение, клетки которого
соответствуют критическим точкам. Остается вычислить
коэффициенты инцидентности для клеток соседних размерностей, т. е. для особых
точек соседних индексов г и j. Вначале сделаем это в предположении,
что Мп ориентировано. Рассмотрим промежуточный слой /"~1(0? гДе
£ лежит выше всех критических значений индекса г и ниже всех
критических значений индекса г + 1 (рис. 29). Сумма размерностей сфер,
высекаемых сепаратрисными многообразиями на промежуточном слое,
равна г + (п — г — 1) = п — 1, т. е. она равна размерности слоя. В таком
случае сферы могут трансверсально пересекаться и это пересечение
неустранимо.
Клетки разбиения соответствуют нижним сепаратрисным дискам с
какими-то ориентациями. Ориентация нижнего сепаратрисного диска
индуцирует ориентацию верхнего сепаратрисного диска, выходящего
из той же критической точки, так как оба эти диска расположены в
ориентированном многообразии. Слой /-1(£) тоже будет ориентирован:
/ГЧО


96
Часть II. Гомологии
—V
Рис. 29
его ориентация вместе с любым касательным вектором, вдоль
которого / возрастает, должна задавать фиксированную ориентацию всего
многообразия.
Вторая пара сепаратрисных дисков тоже будет ориентирована.
Поэтому обе сферы, лежащие в слое, будут ориентированы. В каждой
точке пересечения сфер нужно взять репер в слое, составленный из
положительного репера для первой сферы и положительного репера во
второй сфере. В зависимости от согласованности этого репера с
ориентацией слоя берем число ±1 и суммируем такие числа по всем точкам
пересечения. Полученное число (индекс пересечения пары сфер) и будет
искомым коэффициентом инцидентности.
Теорема. Группы гомологии замкнутого ориентированного
многообразия совпадают с гомологиями (конечно порожденного)
цепного комплекса, группы d которого свободно порождены критическими
точками индекса % правильной функции Морса, а дифференциалы
определяются только что описанными коэффициентами инцидентности.
На самом деле, ориентируемость исходного многообразия для
описанной конструкции не существенна.
В случае неориентируемого многообразия можно поступить
следующим образом. Нижние сепаратрисные диски будут снабжены ориен-
тациями и в этом случае. Имеются в виду ориентации клеток,
коэффициент инцидентности которых мы собираемся вычислять. Но верхние
сепаратрисные диски (которые не участвуют в построении клеточного
/гчо


12. Теория Морса
97
разбиения) будут снабжены не ориентацией, а трансверсальной
ориентацией (коориентацией).
Определение. Коориентацией подмногообразия L в
многообразии М называется ориентация его нормального расслоения, т.е.
ориентация трансверсальных к L маленьких дисков дополнительной
размерности dimM — dimL.
Если задана ориентация нижнего сепаратрисного множества, то она
определяет коориентацию верхнего сепаратрисного множества: эта ко-
ориентация задается в критической точке, в которой пересекаются
верхнее и нижнее сепаратрисные множества.
В таком случае по каждой траектории нашего градиентно-
подобного поля, соединяющей критические точки соседних индексов,
трансверсально пересекаются ориентированное многообразие (нижнее
сепаратрисное для верхней критической точки) и коориентированное
(верхнее сепаратрисное для нижней критической точки). Объясним,
как выбрать знак в такой ситуации.
Рассмотрим пересечение этих многообразий с некоторым
множеством уровня /_1(£)> гДе £ — некритическое значение, лежащее
между значениями в рассматриваемых двух критических точках. Сечение
нижнего сепаратрисного диска снова будет ориентированным — его
ориентация выбирается так, чтобы репер в сепаратрисном диске,
составленный из репера сечения и вектора, в направлении которого функция
возрастает, был ориентировал правильно. Для сечения верхнего
сепаратрисного диска в каждой точке его пересечения с нижним диском,
выходящим из верхней точки, можно задать две коориентации: одна
коориентации у него уже есть (она происходит из соответствующего
ему нижнего сепаратрисного диска), а другую коориентацию задает
ориентация трансверсально пересекающего его другого нижнего
сепаратрисного диска. Для данной траектории знак выбирается в
зависимости от совпадения или несовпадения этих коориентации.
Коэффициент инцидентности клеток равен сумме единиц с соответствующими
знаками.
Теперь мы можем дословно повторить предыдущую теорему, лишь
выбросив из ее формулировки условие ориентированности.
Для компактного многообразия с краем гомологии тоже можно
вычислять аналогичным образом. В дополнение к старым теоремам нужно
добавить еще одну.


98
Часть II. Гомологии
Теорема. На компактном многообразии М с краем дМ
существует функция Морса f, абсолютный максимум которой принимается в
точности на краю, причем вблизи края градиент функции f не равен
нулю и трансверсален краю.
Имеется в виду, что если с — абсолютный максимум, то
Г1 (с) = дМ.
Для доказательства этой теоремы можно поступить следующим
образом. Несложно доказать, что любое гладкое многообразие
вкладывается в евклидово пространство достаточно большой размерности в
качестве подмногообразия. Рассмотрим такое вложение М -► RN. Тогда
на многообразии М возникает индуцированная метрика. Рассмотрим
на многообразии функцию, равную расстоянию (в индуцированной
метрике) от точки до края. У этой функции могут быть вырожденные
критические точки и даже точки негладкости, но после аппроксимации
гладкой функцией и последующего малого шевеления, затрагивающих
лишь малые окрестности этих плохих точек, из этой функции мы
получим морсовскую функцию 0, совпадающую с исходной вблизи края.
Тогда / = — g — требуемая функция.
Вновь, гомологии многообразия М вычисляются при помощи
цепного комплекса Морса С = С7(М,/), группа С{ которого — свободная
абелева с образующими, соответствующими особым точкам / индекса
г, а коэффициенты инцидентности вычисляются так же, как и раньше.
Аналогично можно вычислять и группу относительных гомологии
Н*(М, дМ). Для этого нужно воспользоваться функцией —/, чтобы
построение клеточного разбиения начиналось с края (т. е. с того
множества, по цепям которого производится факторизация).
Для некомпактных многообразий можно воспользоваться
следующим утверждением.
Теорема. Любое многообразие можно вложить в некоторое
пространство mN в качестве замкнутого подмногообразия.
При вычислении гомологии с помощью комплекса Морса
требовалось лишь то, чтобы при всех Л < оо множество М\ = /""1((—оо, Л])
было компактно. Вложим М в RN в качестве замкнутого
подмногообразия и рассмотрим на нем функцию, равную расстоянию до некоторой
фиксированной точки А. Эта функция может не быть морсовской, но
все множества М\ будут компактны. Сколь угодно мало пошевелив ее,


12. Теория Морса
991
получим морсовскую функцию с тем же свойством. (В
действительности, функция расстояния является морсовскои при почти любом выборе
точки А.)
Клеток у полученного таким образом клеточного разбиения, вообще
говоря, может быть бесконечно много. Например, у сферы с
бесконечным числом ручек клеток обязательно должно быть бесконечно много.
Однако множество нижних сепаратрис (т.е. траекторий поля
— grad/), вытекающих из любой критической точки, втекает лишь в
конечное число других критических точек. Это позволяет по-прежнему
вычислять гомологии с помощью комплекса Морса, хотя группы,
получающиеся в ответе, могут оказаться бесконечномерными.
Во многих случаях для некомпактного многообразия функция
Морса имеет конечное число особых точек. Тогда многообразие имеет
гомотопический тип конечного клеточного комплекса.
12.6. Неравенства Морса
Теория Морса дает нижнюю оценку для числа невырожденных
критических точек:
bi = dim Hi(C) < dim С,;
в частности, bi ^ /х», где щ — число критических точек индекса г.
Эту оценку можно уточнить, если учесть кручение. Пусть
ЩМ) =Z6<eTorSi
и tor, — минимальное число образующих группы Tors*. Тогда
bi + tor» ^ /JL{.
Но и это еще не последнее уточнение. Дело в том, что если есть
цепной комплекс
dv г* ду п ду п ду
... —> Ь{ —У Gi_i —> Ui-2 —► ...
и d = ZQ», то
bi + torj + torj_i ^ Qj.
В частности, если {С*} —комплекс Морса, построенный по
функции /, то левая часть последнего неравенства дает нижнюю оценку
числа ее критических точек индекса г.


100
Часть II. Гомологии
В простейшей ситуации появление второго слагаемого tor^i
объясняется следующим образом. Гомологии цепного комплекса
0->Z-^Z->0
равны
0 0 Zp 0.
Если мы знаем только гомологии комплекса (и то, что все его группы
С{ — свободные абелевы), то всё равно можем с уверенностью сказать,
что вторая слева (равная нулю) группа гомологии происходит из
ненулевой группы цепей. Таким образом, одному слагаемому Ър в группе
гомологии соответствуют как минимум два слагаемых Z в цепном
комплексе: одно слагаемое в той же самой размерности и одно слагаемое в
размерности на 1 больше.
Трудная теорема (С. Смейл). Если Мп — компактное односвяз-
ное многообразие без края, причем n ^ 6, то на Мп существует
правильная функция Морса, у которой при всех % количество критических
точек индекса г в точности равно b{ + tor* + tori_i.
12.7. Стандартные перестройки функций Морса
Гомологии многообразия М вычисляются по функции Морса / и
градиентно-подобному векторному полю v. Что произойдет, если мы
будем изменять /? Сами гомологии при этом, конечно, не изменятся,
но могут изменяться комплексы, потому что может изменяться
количество критических точек.
Наиболее простая перестройка изображена на рис. 30. Она
соответствует переходу от функции х3+ех к функции ж3—ex. При этом сначала
/ = х3 - ex f = хг + ex
Рис. 30


12. Теория Морса
101
у функции было две критические точки, а затем у функции
критических точек не будет вовсе. Аналог этой перестройки существует и в
более высоких размерностях.
В топологии С*, где к > 2, функции Морса образуют открытое
всюду плотное множество, т. е. «почти любая» функция является
морсовскои, а любая неморсовская особенность устраняется малым
шевелением. Однако если мы рассмотрим однопараметрическое семейство
функций ft = F(-,£), где F: М х I —> R, то при некоторых значениях
параметра t у функции ft могут неустранимым образом возникать
более сложные особые точки: если мы немного пошевелим наше семейство,
то данная функция /*, скорее всего, станет морсовскои, но
неморсовская особенность возникнет у функции /г пошевеленного семейства при
некотором г «t.
Говорят, что особенность функции / имеет тип А2, если в
локальных координатах она записывается в виде
хг+х2 + ... + х{ — xi+l — ... — хп.
Для одной переменной это будет просто ж3. Функцию с такой особой
точкой можно сколь угодно мало пошевелить (прибавив e#i), чтобы у
нее не осталось критических точек. При этом вне малой окрестности
критической точки функцию можно оставить без изменений, домно-
жив ех\ на срезающую функцию, тождественно равную нулю вне этой
окрестности.
При прохождении однопараметрического семейства функций через
функцию с особенностью А2 появляются две особых точки с индексами
п — г и п — г + 1, т. е. приклеиваются две клетки, размерности которых
равны п — г ип-i + l, Коэффициент инцидентности этих клеток
равен ±1; гомологии клеточного комплекса без этих клеток изоморфны
гомологиям комплекса с этими клетками. На рис. 31 изображена
перестройка градиентно-подобного поля в R2, соответствующая
перестройке типа A<i с г = 1. Эта перестройка локальна: она ничего не меняет вне
окрестности особых точек, ограниченной на этом рисунке овалами.
Утверждение. Для однопараметрического семейства гладких
функции ft = F(-,t) в случае общего положения для почти всех t
функция будет морсовскои и лишь для конечного множества значении
S


102
Часть II. Гомологии
Рис. 31
парметра t происходит перестройка типа A<i- При таких
перестройках рождаются или умирают пары клеток соседних размерностей с
коэффициентом инцидентности 1.
Теорема. Пусть на компактном многообразии задана функция
Морса и у нее есть две критических точки соседних индексов, причем
из нижней точки в верхнюю идет ровно одна сепаратриса градиентно-
подобного векторного поля общего положения. Тогда эти две точки
можно взаимно уничтожить.
Иными словами, существует деформация функции, которая не
двигает остальные критические точки, а эти две точки подтягивает друг
к другу по соединяющей их сепаратрисе так, что в малой
окрестности они будут устроены в точности так, как при перестройке Морса
(перестройке типа А2).
Следствие. На компактном связном многообразии без края
существует правильная функция Морса с ровно одним локальным
минимумом и одним максимумом.
Для доказательства этого следствия возьмем произвольную
функцию Морса и рассмотрим 1-остов построенного по ней клеточного
комплекса. По условию 1-остов связен, поэтому найдется ребро, концы
которого различны (мы предполагаем, что количество точек минимума
больше 1). В таком случае это ребро можно уничтожить вместе с
одним из его концов. Так убиваются все точки минимума кроме одной;
аналогично поступаем и с точками максимума.


13. Когомологии и двойственность Пуанкаре
13.1. Когомологии
Для абелевой группы А гомоморфизмы А —> Z образуют абелеву
группу Hom(A, Z) относительно сложения значений в каждой точке.
Эту группу называют двойственной к А и обозначают еще через А*.
Гомоморфизм <р: А —> В индуцирует сопряженный гомоморфизм
(р*: В* —> А*, действующий в обратную сторону. В самом деле, элемент
группы В* — это гомоморфизм /: В -> Z; композиция его с
гомоморфизмом (р даст гомоморфизм
<p4f) = f<p:A^Z.
Для подгруппы А С В двойственным объектом будет факторгруппа
В*/1, где I — аннулятор А, т. е. множество всех гомоморфизмов В —>• Z,
обращающихся в нуль на А.
Рассмотрим цепной комплекс
...ча/-4аЛс,,^..,
состоящий из свободных абелевых групп (хотя это и не обязательное
требование). Рассмотрим двойственные группы Сг = (Cj)*. В таком
случае возникает последовательность групп с сопряженными
гомоморфизмами в обратном направлении:
Эта последовательность групп и гомоморфизмов удовлетворяет
цепному свойству дд = 0. Из-за возрастания индексов вместо убывания у нас
получается не совсем та ситуация, в которой мы определяли гомологии
цепного комплекса. Но эта разница не очень существенна; гомологии
двойственного комплекса можно определить вполне аналогично:
8*
Н{{С) = кетдм/'1тд\


104
Часть II. Гомологии
Эти гомологии двойственного комплекса называют когомологиями
исходного комплекса. Группа ker д1*1 называется группой г-мерных
коциклов нашего комплекса, a im д1 — группой г-мерных кограниц.
Например, если А С X — пара топологических пространств, то
соответствующая группа сингулярных коцепей Cl(X,G) — это
группа G-значных линейных функционалов на пространстве Ci(X,G)j
порожденном сингулярными симплексами (р: Д* —У X, а группа
относительных коцепей C%(X,A\G) — ее подгруппа, состоящая из
функционалов, принимающих нулевые значения на таких симплексах <р, что
р(Д*) С А.
Из определения непосредственно вытекают следующие свойства ко-
гомологий.
1. Корректно определено спаривание
W ® Щ -> Z.
В самом деле, пусть a Е Я*, (3 Е Щ. Выберем в группах коциклов и
циклов представителей а, /3 этих элементов. Тогда можно определить
(а, /?) как значение функционала а на элементе /?. Нужно еще
проверить корректность этого определения, т. е. убедиться, что значение не
изменяется при добавлении к а и /3 элементов из гтд1 и imdi+i. Пусть,
например, у £ С1"1. Тогда
так как дф = 0.
2. Все элементы кручения группы когомологий Я1 лежат в анну-
ляторе двойственной группы гомологии Я{. В самом деле, пусть,
например, а £ Я*, ка = 0, к ф 0. Тогда для любого /3 G Я» имеем
k(a,/3) = (fca,/3) = 0. Поэтому (а,/?) = 0.
3. Структуры групп гомологии и когомологий взаимно
двойственных комплексов (над Z) выражаются одна через другую. А именно,
их числа Бетти (т. е. количество свободных образующих) в одной
размерности совпадают: Ь% = 6j, а кручения удовлетворяют соотношению
Tors*^TorSt_i.
4. Рассмотрим спаривание факторгрупп по кручению
<#7ТЬг8\#*/ТЬгв*).


13. Когомологии и двойственность Пуанкаре
105
Это спаривание невырожденно, т.е. ранги этих свободных абелевых
групп одинаковы, и при любом выборе базисных элементов ау, /?& в них
определитель матрицы ((от?,/?*)) равен ±1.
В частности, если а £ Tors1, то найдется такое /? € #i, что
(а, /?) 7^ 0. Доказательство невырожденности рассматриваемого
спаривания — несложное упражнение.
Бели мы работаем не над Z, а над произвольным полем F, то
кручения не бывает. Поэтому в таком случае получаются канонически
двойственные друг другу линейные пространства Н% и Щ. (При этом
двойственный комплекс строится из групп Hom(Cj, F).)
Когомологии можно определять при помощи конструкций,
двойственных к построению любых групп гомологии — симплициальных,
сингулярных, клеточных и т.д. — которые только можно придумать.
Отметим, что для триангулированных топологических пространств
(например, для многообразий) все эти группы гомологии
(соответственно, когомологии) канонически совпадают.
13.2. Двойственность Пуанкаре
для многообразий без края
Теорема. Пусть Мп — гладкое компактное ориентированное
многообразие без края. Тогда при всех % имеется естественный изоморфизм
Пуанкаре
ЩМП) й #п-'(мп).
Из этой теоремы, в частности, следует, что имеется невырожденное
спаривание
ЩМ) Q Hn-i(A£)-> Z
— двойственность Пуанкаре.
Хотя основное утверждение этой теоремы состоит в изоморфности
некоторых групп, она (и всевозможные ее обобщения) традиционно
называется теоремой двойственности Пуанкаре из-за последнего очень
важного ее следствия.
Доказательство. Рассмотрим на Мп правильную функцию
Морса /. С этой функцией Морса связан цепной комплекс С*,
порожденный нижними сепаратрисными многообразиями точек индекса г.


106
Часть II. Гомологии
Двойственную группу С1 можно рассматривать как группу,
порожденную верхними сепаратрисными многообразиями точек индекса г.
Спаривание между Сх и d определяется очевидным образом: для сепара-
трисных многообразий, выходящих из одной точки, спаривание равно 1
(при согласованном выборе ориентации), а для сепаратрисных
многообразий, выходящих из разных точек, спаривание равно 0.
С другой стороны, гомологии можно вычислять и при помощи
функции —/. В таком случае образующие группы Cn-i канонически
отождествляются с образующими группы С1. Коэффициенты инцидентности
при этом в точности совпадают с двойственными матричными
элементами сопряженных операторов.
Геометрический смысл спаривания. Один геометрический
смысл спаривания
Щ ® Яп_г -> Z
виден сразу. Реализуем цикл из Hi посредством линейной комбинации
нижних сепаратрисных многообразий, а цикл из #n-i — посредством
верхних сепаратрисных многообразий. Тогда их спаривание
вычисляется следующим образом. Возьмем все критические точки индекса г и
посмотрим, с какими коэффициентами входят их сепаратрисные
многообразия в рассматриваемые циклы. Для каждой точки получаем два
числа. Эти числа нужно перемножить, а затем полученные
произведения просуммировать по всем точкам.
Этот геометрический смысл использовать в приложениях часто
бывает сложно, потому что для его применения требуется не только
построить явным образом функцию Морса, но и построить по ней
клеточное разбиение.
В приложениях более удобен геометрический смысл, основанный на
сингулярных цепях. Пусть а € Щ(М) и /3 Е Hn-i(M) — какие-то
классы гомологии. Реализуем их сингулярными циклами, т.е. линейными
комбинациями отображений г-мерных и (п — г)-мерных симплексов в М.
Можно считать, что все эти отображения гладкие.
Итак, у нас есть два цикла, один из которых составлен из
симплексов размерности г, а другой — из симплексов размерности п — г. После
малого шевеления одного из циклов они будут пересекаться
правильным образом, т. е. трансверсально. Пару отображений ф\: L\ -> М,


13. Когомологии и двойственность Пуанкаре
107
fo- L/2 -* М гладких многообразий Li, L<i в М называют тпрансвер-
салъной в паре точек {а\ Е Zq, 0.4 Е L2), если либо *ф\(а\) ф ^2(^2),
либо ^i(ai) = ip2(a>2) и в этом случае касательное пространство в общей
точке является линейной оболочкой образов касательных пространств:
^u(TaiLi) + V>2*(Ta2Z,2) = ТЫах)М.
Пару отображений называют трансверсалъной, если она трансверсаль-
на в любой паре точек. В частности, если
dimLi + dimL2 < dimM,
то в случае трансверсальности множества ij>i(Li) и ^2(^2) должны не
пересекаться.
Малым шевелением симплексы двух рассматриваемых циклов
можно привести в такое положение, что все точки пересечения их образов
будут внутренними точками симплексов максимальных размерностей г
и п — % и эти пересечения будут трансверсальны. Для внутренних точек
пересечения можно определить следующие числа. Симплексы
ориентированы, а отображения их касательных пространств невырождены,
поэтому можно определить число ±1 в зависимости от того, совпадает ли
ориентация многообразия М, индуцированная последовательно
взятыми ориентациями симплексов, с его фиксированной ориентацией или
нет. Такие числа нужно умножить на произведение коэффициентов, с
которыми данные симплексы входят в циклы, и все полученные числа
просуммировать по всем точкам пересечения.
Легко проверить, что полученное таким образом число не зависит
от выбора циклов в классе гомологии. Иными словами, если S Е Сп-г+ь
то при замене /3 на /3 + дб индекс пересечения не изменяется. Это
достаточно доказать для случая, когда S — один симплекс. В этом случае
пересечение а с S будет одномерным подкомплексом в симплексе, т. е.
одной или несколькими кривыми (замкнутыми или незамкнутыми).
Каждому началу незамкнутой кривой соответствует ее конец, а в начале
и в конце получаем числа противоположного знака, которые взаимно
уничтожаются. В итоге получаем, что индекс пересечения с границей
симплекса равен нулю.


108
Часть II. Гомологии
13.3. Случаи многообразий с краем
и некомпактных многообразий
Будем теперь постепенно избавляться от липших условии в
формулировке теоремы о двойственности. Прежде всего рассмотрим случай
ориентированного'многообразия с краем. В этом случае
Н{(Мп) й Нп~\Мп,дМп),
н*(мп) s Hn-i(Mn,dMn).
Это доказывается точно так же, как и раньше: берем функцию
Морса /, принимающую минимальное значение на краю, и вычисляем с ее
помощью относительные гомологии посредством нижних сепаратрис-
ных многообразии, а затем с помощью — / вычисляем абсолютные ко-
гомологии посредством нижних сепаратрисных многообразий. Другой
изоморфизм доказывается аналогично.
Рассмотрим теперь гладкое, но не компактное многообразие Мп,
ориентируемое и без края.
Любое локально компактное топологическое пространство X
(например, любое многообразие) гомеоморфно открытому подмножеству
некоторого компактного пространства X, которое называется компак-
тификацией X. Более того, всегда (если только X само не компактно)
существует одноточечная компактификацня, т. е. такая что X \ X —
одна точка. Например, одноточечная компактификацня пространства
Rm — сфера Sm.
Для нашего некомпактного многообразия М можно определить
гомологии Бореля-Мура
Щмп) = ЩШ,*)>
где Мп — одноточечная компактификацня многообразия Мп, а * —
добавленная точка. (Впрочем, в качестве Мп можно взять любую другую
компактификацию Мп, тогда вместо точки * надо профакторизовать
по всему добавленному множеству.)
В этом случае имеет место двойственность Пуанкаре-Лефшеца:
Щмп) а #П-'(МП), 7Г(МП) a Hn-i(Mn).


13. Когомологии и двойственность Пуанкаре
109
Описанная выше двойственность Пуанкаре для многообразий с
краем вытекает из двойственности Пуанкаре-Лефшеца:
#i(M, дМ) 2 ЩМ \ ЭМ) s Нп~\М),
щм) s s*"*(m \ ам) s н"-*(м, ям).
Теорема двойственности Пуанкаре-Лефшеца доказывается при
помощи варианта теории Морса для некомпактных многообразий.
Некомпактное многообразие мы вкладываем в RN в качестве замкнутого
подмногообразия и определяем на ней ограниченную снизу функцию
Морса как расстояние до подходящей точки в RN\M. Тогда структура
клеточного комплекса на М задается нижними сепаратрисными
множествами ее критических точек, а клетки (двойственной ей) клеточной
структуры на М соответствуют верхним сепаратрисным множествам
и еще добавленной точке.
13.4. Случаи неориентированных многообразий
Все приведенные выше факты о двойственности Пуанкаре
сохранятся для неориентированных многообразий, если мы будем
рассматривать их гомологии и когомологии с коэффициентами в поле Z2.
13.5. Двойственность Александера
Теорема. Пусть в SN имеется замкнутое (а значит, компактное)
подмножество X, являющееся CW-комплексом. Тогда имеет место
изоморфизм
Hi(SN\X)^HN.i.1(X).
Это утверждение является прямым следствием двойственности
Пуанкаре. В самом деле, SN \Х — гладкое многообразие, поэтому для
него имеется изоморфизм из теоремы Пуанкаре-Лефшеца
Hi(SN\X)^HN^i{SN\X).
В свою очередь,
HN-i{SN \ X) й HN.i(SN,X) a Hs-i-^X);
второй изоморфизм берется из точной последовательности пары.


по
Часть II. Гомологии
Вместо сферы SN здесь можно взять любое ориентированное
многообразие Мп, ацикличное в размерностях N — % — 1 и N — г (т. е. такое
что Нм-ъ-\(Мп) = 0 и Нм-%{Мп) = 0). Ацикличность нужна для того,
чтобы в точной последовательности пары получился изоморфизм. При
таких условиях получаем изоморфизм
Hi(Mn\X)^HN.i.1(X).
Один индекс можно поднять, а другой опустить, т. е. имеется также
изоморфизм
Hi(Mn\X)^HN"i-l{X).
Из описанного выше изоморфизма Александера следует, что
имеется билинейное спаривание Hi(SN \ X) ® Н^-г-\{Х) —> Z, которое и
называется двойственностью Александера.
Это спаривание невырожденное, т.е. матрица спаривания между
соответствующими свободными абелевыми группами i/*/Tors Я* —
унимодулярная (матрица с целочисленными элементами и
определителем ±1). Геометрический смысл этого спаривания связан с индексом
зацепления. Рассмотрим цикл а Е H{(SN \ X) и цикл 7 € H^-i-i(X).
Бели рассмотреть 7 как цикл в SN, то он будет гомологичен нулю.
Поэтому на него можно натянуть пленку, т.е. 7 является границей
некоторой цепи Г G Cn-%{Sn). Спаривание между элементами а и 7
определяется как индекс пересечения в SN\X этой пленки Г и цикла а.
Этот индекс не зависит от выбора пленки Г: если Г' — другая цепь,
для которой также дГ' = 7> то Г — Г' — абсолютный цикл в SN, а
следовательно, его индекс пересечения с а равен 0.


14. Некоторые приложения теории гомологии
Теперь мы посмотрим с точки зрения теории гомологии на
некоторые конструкции и понятия, рассмотренные на кустарном уровне в
предыдущем семестре.
14.1. Инвариант Хопфа
В § 6 мы рассматривали расслоение Хопфа
53 -^ S2,
при помощи которого доказывалось, что ns(S2) = Z. Теперь мы сможем
предъявить инвариант, различающий сфероиды S3 -> S2,
представляющие разные элементы этой группы.
Рассмотроим какое-нибудь непрерывное отображение ср: S3 —> S2.
По «теореме Вейерштрасса» это отображение можно считать гладким.
По теореме Сарда почти все точки сферы S2 — его некритические
значения. Прообраз некритической точки — гладкое подмногообразие.
Оно одномерно и замкнуто. Поэтому прообраз представляет собой
набор окружностей в трехмерной сфере. Если обе сферы 52 и S3
ориентированы, то этот прообраз также можно ориентировать. Действительно,
рассмотрим в сфере S3 малую двумерную площадку, трансверсально
пересекающую подмногообразие X = ip~l(a) в некоторой точке. Эта
площадка диффеоморфно отображается на 52, поэтому на нее можно
перенести ориентацию с S2. Эта ориентация вместе с ориентацией
сферы S3 позволяет задать ориентацию на X.
Теперь рассмотрим два некритических значения а и а'. Для их
прообразов (р~1(а) и (р~1(аг) можно определить индекс зацепления
следующим образом. Положим X = ср"1(а). Тогда (р~1(а') лежит в S3 \ X.
Поэтому можно рассмотреть индекс класса в ifi(X),
соответствующего циклу X, и класса в #i(53 \ X), соответствующего циклу (p~l(af).
Оказывается, что для определения этого индекса зацепления (р^г(о>)
и (р~г(аг) ориентация сферы 52 не существенна. В самом деле, если


112
Часть II. Гомологии
мы изменим ее ориентацию, то изменятся ориентации обоих
многообразий (р~1(а) и <р~~1(а')- ориентация пленки, натянутой на у?""1(а/),
тоже изменится. Поэтому индекс зацепления не изменится. Если же
изменить ориентацию сферы S3, то ориентации обоих подмногообразий
изменятся, в частности изменится и ориентация пленки, но и
ориентация объемлющего многообразия S3 (с которой при вычислении знака
точки пересечения сравнивается локальная ориентация, полученная из
ориентации пересекающихся цепей) также изменится. Поэтому индекс
зацепления изменит знак.
Индекс зацепления симметричен относительно точек а и а'. Вообще,
если в Ss есть пара (многокомпонентных) замкнутых ориентированных
кривых Ь\ и Z/2, то их индекс зацепления (L\,L2) симметричен:
(L1,L2) = (L2,L1>.
Убедимся теперь, что индекс зацепления многообразий (р~г(а) и
ЧГ1(а!) не зависит от выбора точек а и а', т. е. он является инвариантом
сфероида (этот инвариант называют инвариантом Хопфа.) Попробуем
непрерывно переместить пару точек а и а' из одного положения в
другое. Неприятности могут возникнуть лишь в том случае, когда одна
из точек проходит через множество критических точек, которое
нельзя обойти (рис. 32). Все возможные перестройки множества у?""1 (а),
которые возникают над одномерным стратом множества критических
значений отображения <р, изображены на рис. 33. Эти перестройки
локальные: прообраз заменяется на гомологичный себе в дополнении к
Рис. 32
Рис. 33


14. Некоторые приложения теории гомологии
113
прообразу другой точки. Поэтому и при переходе через критическое
множество точек индекс зацепления не изменяется.
Теперь можно доказать инвариантность индекса зацепления
относительно гомотопии. Рассмотрим два различных гомотопных
отображения 53 —► S2. Соединим их путем в пространстве отображений. У
любой точки этого пути есть малая окрестность, вдоль которой индекс
зацепления не изменяется. Чтобы доказать это, нужно взять прообразы
точек, далеких от множества критических значений, и
воспользоваться тем, что индекс зацепления не зависит от выбора точек. Теперь из
компактности отрезка следует, что индекс зацепления не изменяется
вдоль всего отрезка.
14.2. Степень отображения.
Пусть ср: Мп —► Ln — гладкое отображение связных компактных
ориентированных многообразий без края (одной и той же
размерности). Напомним, что степень отображения <р мы определяли
следующим образом. Возьмем некритическое значение этого отображения и
рассмотрим все точки прообраза. В окрестностях этих точек
отображение является диффеоморфизмом, поэтому каждой точке прообраза
можно приписать знак в соответствии с тем, сохраняет ли локальный
диффеоморфизм ориентацию или нет. Сумма всех полученных таким
образом чисел ±1 и есть степень отображения.
На языке гомологии степень отображения можно определить
следующим образом. Группы Нп(Мп) и Hn(Ln) изоморфны Z и
порождаются фундаментальными циклами [Мп] и [Ln], причем выбор такого
образующего цикла соответствует выбору ориентации. Поэтому при
отображении ср цикл [Мп] переходит в a[Ln]. Число а и есть степень
отображения.
14.3. Индекс векторного поля
Пусть v — векторное поле с изолированными особыми точками на
многообразии Мп. Для любой изолированной особой точки определялся
ее индекс, т. е. степень индуцированного отображения маленькой
сферы с центром в этой точке в себя. Сумма таких индексов по всем
особым точкам называется полным индексом векторного поля.


114
Часть II. Гомологии
Теорема. Полный индекс не зависит от выбора векторного поля.
Элементарное доказательство этого факта основано на следующих
содержательных фактах из теории дифференциальных уравнений.
1. Типичное (т.е. «почти любое») векторное поле имеет только
изолированные особые точки индекса 1 или —1, причем в окрестности
каждой точки оно топологически (но вообще говоря не гладко) устроено
так же, как градиентное поле вблизи подходящей морсовской точки.
2. В силу аддитивности индекса, наше утверждение достаточно
доказывать для «типичных» векторных полей.
3. Любые два типичных векторных поля можно соединить путем в
пространстве всех векторных полей, причем вдоль такого пути
происходит лишь конечное число перестроек, при которых рождается или
умирает пара особых точек с противоположными индексами; каждая
такая перестройка топологически эквивалентна типичной морсовской
перестройке, см. рис. 33. При этом векторное поле не изменяется вне
малой окрестности отрезка, соединяющего уничтожаемые точки.
Теперь мы передокажем эту же теорему методами теории
гомологии; более того, мы покажем что полный индекс совпадает с эйлеровой
характеристикой многообразия. Пусть Мп — компактное
ориентируемое многообразие без края, ТМП -> Мп — касательное расслоение.
Рассмотрим два сечения касательного расслоения. Первое сечение
сопоставляет каждой точке многообразия вектор данного векторного поля
v в этой точке, а другое — нулевой вектор. В многообразии ТМП
можно рассмотреть два n-мерных цикла v(Mn) и о(Мп), соответствующих
образу фундаментального цикла многообразия Мп при этих сечениях.
Многообразие Мп некомпактно, но индекс пересечения двух п-мер-
ных классов гомологии
(v{Mn),o(Mn))
можно определить и в этом случае. Для некомпактных многообразий
определено спаривание между Щ и Hn-i, а у нас оба цикла лежат
в обычных гомологиях. Но всегда есть канонический гомоморфизм
Hi —>• Hi (приведение по модулю компактности):
Hi(X)^Hi(X,*)=Hi(X).
Иными словами, X вкладывается в свою одноточечную компактифика-
цию X и гомологии приводятся по модулю точки *. При этом один цикл


14. Некоторые приложения теории гомологии
115
мы берем обычный, а другой — в компактификации (какой именно, не
имеет значения).
В результате векторному полю v будет сопоставлено число
(v(Mn),o(Mn)).
Убедимся, что это число совпадает с полным индексом векторного поля.
Любое векторное поле можно продеформировать в любое другое
векторное поле. При этом цикл v(Mn) продеформируется в
гомологичный цикл.
Точки пересечения v(Mn) и о(Мп) — это в точности особые точки
векторного поля v. Запишем это поле в локальных координатах:
д д
V = Vi-£— + ...+vn-—.
OXi oxn
Особую точку можно считать началом локальных координат. Тогда при
малых х справедливо разложение
vi(x) = Ylavxi+ ••'
Особая точка называется невырожденной, если матрица (а^)
невырожденная.
(Отметим, что условие типичности, подразумеваемое в
элементарном доказательстве инвариантности полного индекса, более
ограничительно: в нем требуется еще, чтобы и вещественные части всех
собственных чисел этой матрицы были ненулевыми. Например, особая
точка 0 векторного поля v(x, у) = (у, —х) на плоскости невырождена но не
типична: топологически она не эквивалентна градиенту никакой мор-
совской функции.)
Предположим, что все особые точки векторного поля
невырожденные. Это условие эквивалентно тому, что сечения v(Mn) и о(Мп)
пересекаются трансверсально. В самом деле, выбор локальных координат
в окрестности особой точки отождествляет ТМП с Mn х Шп над этой
окрестностью, тогда сечение v касательного расслоения можно
рассматривать там как отображение Mn —> Rn, графиком которого в служит
множество точек вида (x,v(x)), х Е Мп, а матрица (otij) является
дифференциалом этого отображения.


116
Часть II. Гомология
Локальный индекс невырожденной особой векторного поля — это в
точности локальный индекс пересечения цикла v(Mn) с циклом о(Мп).
(Он равен знаку определителя матрицы (а^).) Следовательно, полный
индекс векторного поля — это (глобальный) индекс пересечения цикла
v(Mn) с этим циклом (и с любым другим циклом, соответствующим
сечению). Меняя поле v, мы заменим цикл v(Mn) на гомологичный себе,
и этот глобальный индекс пересечения не изменится.
Чтобы убедиться в том, что суммарный индекс векторного поля
равен эйлеровой характеристике многообразия, достаточно сделать
это для какого-нибудь векторного поля. Удобно выбрать градиентное
векторное поле произвольной функции Морса. В этом случае индекс
indgrad/(a) особой точки векторного поля grad/ в точке а равен
(—l)md/(a), где ind/(a) — индекс особой точки функции Морса,
т.е. размерность приклеиваемой клетки для точки а. Ясно, что
сумма индексов особых точек такого векторного поля равна эйлеровой
характеристике многообразия.


15. Умножение в когомологиях (и гомологиях)
Когомологии обладают некоторыми важными свойствами,
которыми гомологии обладают лишь отчасти. Например, классы
когомологии можно умножать, а умножение классов гомологии можно
определить лишь в редких случаях. Это связано с тем, что, как говорят
алгебраисты, когомологии — контравариантный функтор. Отображение
(р: X -¥ Y индуцирует отображение гомологии в ту же сторону:
Н.(Х) -£> Я*(У),
а в когомологиях индуцированное отображение действует в
противоположную сторону:
Н*(Х) К- H*(Y).
15.1. О гомологиях и когомологиях
декартова произведения
Умножение в когомологиях строится в два этапа. На первом этапе
разница между гомологиями и когомологиями никак не проявляется.
В обоих случаях есть отображения тензорных произведений
Н*{Х) ® H*(Y) -> Н*{Х х У), (2)
Н.{Х) ® H*(Y) -> Н*(Х х У). (3)
Напомним, что абелева группа А называется градуированной, если
задано разложение в прямую сумму А = Ао 0 А\ © ... Группы Я* и
Н* имеют естественную градуировку. Тензорные произведения таких
групп тоже имеют структуру градуированных групп. При этом
тензорное произведение сохраняет градуировку, т. е. если a Е Л* и (3 € Bj,
то а ® (3 е (А ® B)i+j.
На нестрогом геометрическом уровне гомоморфизм
#*Р0 ® Я*(У)-»#*(* * Л
9


118
Часть II. Гомологии
можно представлять как сопоставление паре циклов их прямого
произведения. Точное описание этого гомоморфизма выглядит следующим
образом. Начнем с гомоморфизмакогомологий. Пусть X иУ —
локально конечные клеточные пространства (т. е. у любой точки есть
окрестность, пересекающаяся с конечным числом клеток). Тогда X х У —
клеточное пространство, клетками которого служат прямые произведения
клеток пространств X и У. Рассмотрим клеточную коцепь a Е Сг(Х)
и клеточную коцепь /3 G C^(Y). Клеточная коцепь a х /3 определяется
следующим образом. Бели a — ориентированная г-мерная клетка в Jf, а
г — ориентированная j-мерная клетка в У, то а х г — ориентированная
(г + ^-мерная клетка в X х У. Положим
(а х 0)(* х т) = (-1)''а(а)/?(т)),
на любой же клетке а1 х г7, где размерность а1 или т1 не равна г
(соответственно, j), а х /3 принимает нулевое значение.
Непосредственно из определения следует, что
6(а х (3) = 5а х (3 + (-1){а х 8(3.
Следовательно, построенное отображение
С\Х) ® Cj(Y) -> Ci+j(X х У)
опускается до отображения классов когомологий, т. е. классы
когомологий а и (3 однозначно определяют класс когомологий а х /3.
Операция в гомологиях определяется следующим образом. Пусть
а = Y^9k^k и Ь = ^2Ып, где gk, Ы — целые числа, а* и т* —
клетки в X и У. Цепь ахЬ определяется как
^2,9кЫ{(Тк х п).
Для этой операции тоже справедлива формула
д{ахЬ) = дахЬ + {-1){а х ЭЬ.
Из этой формулы следует, что построенная операция над цепями
опускается до отображения классов гомологии.
Эти две операции (в гомологиях и когомологиях) связаны между
собой. А именно, если есть классы a € Нг(Х), (3 Е Я-7(У), а е Щ(Х),
beHj(Y), то
(ахДах6) = (-1)«(а,а)(/?,6).


15. Умножение в когомолягиях {и гомологиях)
119
15.2. Умножение в когомологиях
Перейдем ко второму этапу определения умножения в
когомологиях. Теперь уже будет существенна контравариантность когомологий.
Для X определено естественное вложение в X хХ (диагональ): точке
х £ X сопоставляется точка (#, х) 6 X х X. Это вложение индуцирует
отображение Н*(Х х X) -> Н*(Х). Таким образом, можно рассмотреть
композицию отображений
Н*(Х) ® Н*(Х) -* Н*{Х xJf)-> Н*(Х).
В результате на Н*(Х) возникает структура кольца. (Для
гомологии такая композиция не определена.) Это умножение обозначается
так: ^. Этот знак похож на чашку, поэтому операция называется
«cup-произведение» (от английского сир — чашка).
Операцию умножения мы определили для клеточных когомологий
клеточных пространств. С помощью сингулярных когомологий
кольцевую структуру можно определить для более или менее произвольного
топологического пространства X. Но такое определение не столь
прозрачно, как определение с помощью клеточных когомологий.
Рассмотрим сингулярные коцепи у £ Сг(Х) и е Е С*(Х). Они
сопоставляют каждому г-мерному или j-мерному сингулярному симплексу
некоторое число. Коцепь j^e € Сг^(Х) можно определить следующим
образом. Возьмем стандартный (г + ^-мерный симплекс Дг+-? с
вершинами (0,1, ... , i+j). Выделим в нем грань Дг = (0,1, ... , г), натянутую
на первые г вершин, и дополнительную грань Д7 = (г, г+1, ... , i+j). Так
мы получим г-мерный и j-мерный симплексы. Значение коцепи 7 ^ £ на
сингулярном симплексе г/л Al+i мы определим как произведение
значения коцепи 7 на сингулярном симплексе ф\^ (т.е. на ограничении
отображения ф на грань Дг) и значения коцепи е на симплексе ф^:
(7w£)V(Ai+J')) = {ЪФ(Ь1))(е,Ф(&))-
Построенная операция продолжается до отображения когомологий:
для нее выполняется та же самая формула для границы, что уже нам
встречалась. На уровне когомологий получается та же самая операция,
что была определена в случае клеточных когомологий.
9*


120
Часть II. Гомологии
Прежде чем разобрать некоторые примеры умножения в когомоло-
гиях, обсудим, как устроены группы Н*(Х х У). Как мы уже говорили,
если есть классы
аеН*(Х), /ЗеНЦУ), аеЩ(Х), beHj(Y),
то
(ах0,ахЬ) = (-1УЦа,а)(0,Ь)- (*)
Из этой формулы следует, что отображения (2), (3) являются почти
вложениями.
Поясним, что мы имеем в виду. Будем считать, что мы
рассматриваем гомологии и когомологии с коэффициентами в поле F. В
таком случае отображения (2), (3) будут вложениями. Действительно,
выберем в группе Н*(Х) базис над полем F, а в группе Н*(Х)
двойственный базис. Аналогично поступим и для пространства У. Базис в
Н*(Х) ® H*(Y) является прямым произведением выбранных базисов.
Такой же базис рассмотрим в Н*(Х) ® H*(Y). Выпишем матрицу
скалярных произведений образов этих базисных элементов при
отображениях (2), (3). (Эти элементы имеют вид а х /3 и а х 6 соответственно.)
Согласно формуле (*) эта матрица диагональная с элементами ±1 на
диагонали. Из этого следует, что между базисными элементами образа
отображения (2) или (3) нет линейных соотношений.
Теорема Кюннета (в частном случае поля). В случае гомологии
и когомологии с коэффициентами в поле вложения (2), (3) являются
изоморфизмами.
Дадим также несколько более общую (но не во всей ее
полноте) формулировку этой теоремы. Над Z спаривания гомологии с
когомологиями уже не будут невырожденными. Но в этом случае
можно рассмотреть так называемые слабые целочисленные гомологии
H*(X)/Tors*. Спаривание между слабыми гомологиями и
когомологиями невырожденно. Соответствующий вариант теоремы Кюннета
утверждает, что и для слабых гомологии оба отображения (2), (3)
являются изоморфизмами.
Для настоящих гомологии над Z эти отображения также являются
вложениями, но уже не обязательно изоморфизмами.


15. Умножение в когомологиях (и гомологиях)
121
15.3. Примеры когомологического умножения
и его геометрический смысл
Вычислим кольцо когомологий двумерного тора Г2. Достаточно
вычислить таблицу умножения для базисных элементов. Одномерные
циклы на торе представляют собой линейные комбинации
ориентированных замкнутых кривых на торе. Такие кривые совершают некоторое
число оборотов в направлении меридиана тора и некоторое число
оборотов в направлении параллели тора. Один базисный коцикл
принимает на замкнутой кривой значение, равное числу ее оборотов в одном
направлении, а другой базисный коцикл принимает значение, равное
числу оборотов в другом направлении.
Покажем, что произведение одномерных базисных коциклов тора
равно базисному коциклу в Я2 (Г2), который принимает значение 1 на
фундаментальном цикле. (Ориентация фундаментального цикла
выбирается так, что первый базисный вектор берется в направлении
вращения первого базисного коцикла.)
Требуемое утверждение станет очевидным после того, как мы
выясним геометрический смысл когомологического умножения для
многообразий. Пусть X — n-мерное гладкое ориентированное компактное
многообразие без края. Рассмотрим два класса когомологий a Е Нг(Х)
и /3 6 W(X). Элемент а^ (3 G Нг+* можно описать следующим образом.
При изоморфизме Пуанкаре элементы a Е Нг(Х) и /? Е НЦХ)
переходят в элементы a Е Hn-i(X) и /3 € Hn-j(X). В случае, когда
(п — г) + (n — j) = п, т. е. г + j = п, геометрически определен индекс
пересечения полученных циклов. Тогда
где (а,/3) — индекс пересечения, а [X]* — фундаментальный коцикл,
т.е. базисный элемент группы Н*(Х) = Z, принимающий значение 1
на фундаментальном цикле. Нечто подобное можно определить и в том
случае, когда размерности классов гомологии не дополнительные.
Приведем симплексы, из которых состоят циклы, в общее положение.
Тогда пересечение двух циклов можно представить как цикл размерности
п—(i+j). Воспользуемся еще раз двойственностью Пуанкаре и
сопоставим этому циклу двойственный класс когомологий размерности i + j-


122
Часть II. Гомологии
В случае тора число вращения вдоль одной образующей можно
рассматривать как индекс пересечения с другой образующей. Индекс
пересечения этих образующих равен 1. Поэтому искомый двумерный
коцикл (произведение базисных одномерных коциклов) представляет
собой фундаментальный коцикл Т2.
15.4. Основные свойства когомологического умножения
1) ассоциативность:
(ао/3)и7 = аи (j8o7),
2) антикоммутативность:
a^=H)desQde^^a,
3) естественность: если есть отображение (р: X -> F, то для любых
a,j8G H*(Y) в когомологиях пространства X выполняется
соотношение
Все эти свойства непосредственно следуют из определения
умножения для сингулярных коцепей.
15.5. Связь с когомологиями де Рама
Бели X — гладкое многообразие, то на нем есть внешнее
дифференциальное исчисление, в частности, комплекс де Рама внешних
дифференциальных форм ... —> ft1 -> £2г+1 -*..., г ^ п, изучаемый в курсах
анализа и дифференциальной геометрии. У этого комплекса есть ко-
гомологии. Они канонически изоморфны сингулярным когомологиям
X с коэффициентами в R (или в С, если рассматриваются С-значные
дифференциальные формы). Этот изоморфизм между двумя группами
когомологий задается интегрированием: для замкнутой формы
можно определить интеграл по (кусочно-гладкому) циклу, который будет
зависеть только от класса гомологии цикла и класса когомологий
формы. Операция внешнего умножения форм Л соответствует умножению
в когомологиях.


15. Умножение в когомологиях (и гомологиях)
123
15.6. Умножение Понтрягина
В гомологиях тоже иногда удается определить умножение
#*РО®я*рО-►#*(*).
В случае гомологии для этого требуется специальное отображение
X х X —¥ X. Как правило, такой естественной операции нет. Но,
например, для топологической группы такая операция есть.
Возникающее при этом умножение в гомологиях называют умножением
Понтрягина.
Пространство X не обязательно должно быть группой. Нужна лишь
непрерывная операция X х X —> X, на гомотопическом уровне
моделирующая свойства группового умножения. Типичный пример
пространства с такой операцией — пространство петель любого
топологического пространства.


Предметный указатель
Аксиомы теории гомологии 71
Александера двойственность
ПО
— изоморфизм ПО
Атлас 42
— ориентирующий 44
Атласы эквивалентные 42
База расслоения 34
— топологии 2
Барицентрическое
подразделение 75
Бетти число 60
Бокштейна гомоморфизм 74
Борсука пара 21
Букет пространств 15, 80
Вектор касательный 44
Векторное поле 56
Гладкое многообразие 42
Гомеоморфизм 3
Гомологии абсолютные 72
— клеточные 84
— относительные 72
Гомология 70
Гомоморфизм комплексов 68
Гомотопическая
эквивалентность 13
Гомотопически эквивалентные
пространства 13
Гомотопия отображения троек
29
Гомотопия цепная 69
Гомотопные отображения 8
Группа гомологии 59
— градуированная 117
Двойственная группа 103
Двойственность Пуанкаре 105
Де Рама комплекс 122
Дискретная топология 2
Диффеоморфизм класса Сг 41
Естественность 16
Замыкание множества 3
Изоморфизм Пуанкаре 105
Иммерсия 50
Индекс зацепления ПО
— изолированной особой точки
57
— особой точки функции 91
Карта на многообразии 42
Клейна бутылка 35
Клеточного пространства
аксиомы 21
Клеточный комплекс 83
Когомологии 104
Кограницы 104
Компактификация 108
— одноточечная 108
Комплекс Морса 98
— цепной 59


126
Предметный указатель
Коориентация 97
Коцикл фундаментальный 121
Коциклы 104
Коэффициент инцидентности
84
Критическая точка
отображения 50
Кручение 60
Метрическое пространство 2
Многообразие Грассмана 18
ориентированное 18
— замкнутое 43
— ориентированное 44
— ориентируемое 44
— диффеоморфные 43
Множество замкнутое 3
— критических значений 50
Морсовская особая точка 89
— функция 89
Накрытие 18
Носитель полиэдра 61
— функции 47
Ориентация на многообразии
44
— симплекса 61
Особая точка отображения 50
— точка функции 89
Относительные коцепи 104
Отображение гладкое класса Сг
43
— клеточное 22
— непрерывное 3
— троек 29
— характеристическое 21
— хорошее 52
Пара клеточная 24
Пары гомотопически
эквивалентные 29
Петля 9
Погружение 50
Подмножество открытое 1
Поднятие 19
Подразбиение 68
Покрытие вписанное 46
— локально конечное 46
Полиэдр симплициальный 61
конечномерный 62
Полный индекс векторного поля
113
Полуточность 59
Понтрягина умножение 123
Последовательность Майера-
Вьеториса 78
Правильная функция Морса 92
Приведенные группы гомологии
74
Приклеивание по отображению
6
— ручки 92
Проекция 34
Пространство касательное 44
— паракомпактное 46
— расслоения 34
Пуанкаре-Лефшеца
двойственность 108
Путь геодезический 48
Разбиение единицы 46, 47
Разрешение симплициальное 79
Расслоение 34
— касательное 46
Расслоения эквивалентные 35


Предметный указатель
127
Расслоенное произведение 37
Ретракция 23
— деформационная 23
строгая 23
Риманова метрика 48
Ручка 92
Сепаратрисные многообразия
особой точки 91
Сечение расслоения 56
Сильно морсовская функция 89
Симплекс стандартный 61
Сингулярный г-мерный
симплекс 69
Слой расслоения 34
Степень 65
— отображения 52, 113
Структура клеточного
пространства 20
— риманова 46
Субмерсия 50
Сфера п-мерная 5
Сфероид 11
Топологическая структура 1
Топологическое пространство 1
компактное 6
локально А;-связное 24
стягиваемое 24
стягиваемое 23
Топология 1
— индуцированная 3
Точка изолированная
векторного поля 56
— особая векторного поля 56
— регулярная 50
— складки 52
Точная последовательность 32
короткая 72
Трансверсальная пара 107
Трансверсальные отображения
107
Триангуляция 62
Тривиализация расслоения 35
Тривиальное расслоение 34
Фактортопология 5
Фундаментальная группа 8
Функториальность 15
Функция Морса 89
Характеристическое
отображение 20
Хаусдорфово пространство 4
Хопфа расслоение 35
Цепи гомологичные 63
Цикл 70
Шуберта клетка 87
— символ 86
Эйлерова характеристика 58, 60
Эквивалентные накрытия 19, 26
Якобиан 41
Якобиева матрица 41
CW-комплекс 21
Сг-метрика в пространстве
функций 49
Сг-структура 43
fc-мерный остов 22
fc-связное пространство 23
n-мерная гомотопическая
группа 11
п-я гомотопическая группа 11