J -J,’ " i. '4-' “"£ >г	-'< -bVj •">*<£u*‘ K.^.rS-'SiyA £1S Z-'->,‘- ~*< a	xr-‘^ Л <a4^.
9 СИГНАЛЫ, ПОМЕХИ, ОШИБКИ
Nlinflf'H

Л,М.Финк
(uuift.lbl
IIoMezni ' у;
'Ощ/аЙки • ••
ЗАМЕТКИ О НЕКОТОРЫХ
НЕОЖИДАННОСТЯХ, ПАРАДОКСАХ
И ЗАРЛУЖДЕНИЯХ В ТЕОРИИ СВЯЗИ ,
Издание второе,^, У ’ i;
дополненное и переработанное
уУ/ ! У У
' Ь 'У ' УЧ
Е/У"'-	:
, , Москва ;’
I • Радио и связь»	4	!
.1984	:
: ?.	, У - У УУ У У 7
на-1 .
№- !
ха- ?
гр-i. Г
ях,
ас-, I :
iK-i' j
>ут У!
ей.
ia4 V'
fTb • । j
:1Я-  •
«°7 V
(зи.,У
iee У,!
«7
ро
иь,
р-
juar.
кя. ''
1Ы-'
|ки,
ри- '
кКО ,
ие, ,
!аз- ।
ээ-
це- ;!ii'
;ньг' 1'
н)3 ! !
.	39. Теория передачи сигналов/ А. Г.! Зюко! н др;— М.; Связь,
I' П 1980. '	1 '' ’ И'! ' ’	' 1 '
' 40. Тихонов В. И. Один способ определения огибающей ква-
1	। энгармонических функций. — Радиотехника и эдектрони-
' ' । ' ка, 1957, т. 2, № 4, <4562—568.1! Is' * 11 Iff
|	41. Тихонов В. (И. Статистическая радиотехника, —М.: Ра-
• дно и связь, 1982.	'	" .	’	।	’	’ ‘
42.	Тихонов В. i И., । Кульман Н. К.: Нелинейная фильтрация и
; квазнкогерентный прием сигналов. Сов. радио,
-	-1975,	|	-	Иг i
i i |43. Урсул А. Д. Проблемы информации в современной „нау*
। ке; Философские очерки. — М.: Наука, 1975.	;	>'
'	44. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и i ее прилов
жения: Пер. с англ. — Т. 1. — М.: Мир,’1967.	'	1
! 45. Финк Л. М. Соотношения между; спектром! и мгновенной
; частотой । сигнала. — Проблемы 1передачн информации,
1966, т. 2, -вып.1 4, с. 26—38,	Ml ।	• ч ,
ff I 46. Фиик Л. М. Теория передачи дискретных сообщений.—
М.: Сов. радио,' 1970.	,! .	!	' !
147. Fleming A., Fortescue С. L. and oth. Notes оц modulation.—
Nature, 1930, v. 125, p. 92, 198,271,306. i. ' t ' *
48. Харкевич А. А; Спектры и анализ, —M., Л.: ГостСхиздат,
1952.	,	1
49. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения снгна-
лов; Пер. с англ./ Под ред. Ю.' В. Кобзарева. — М.: ИЛ,
! Чь . 1963. ! i ” I- । • r ! г I - I' W -
; ‘ 50. Хворостенко Н. П. Статистическая теория | демодуляции
1 , ^дискретных: сигналов. — М.: Связь, 1968.	4
i ,5^ !Хургин Я. И., Яковлев IB. И. Финитные функции в фцзи* <
ff'I.J 1 ке и технике.—М.: Наука, 1971. ’ ' ff ! .
|'Ч ! ' 52. Shekel G. Instantaneous frequency.—Proc. IRE; 1953, V. 41,
Ю №4, p.,548. I Г/’ П I; '	-- ,, ' I.ff Ч' 41
И  53.1 Shekel1'1 G. On the term Instantaneous' frequency. Proc.
i"ff j IRE, 1964, v. 42, № 6, p. 1024. dy'	'Iff -i'
ff..:54.. Работы по. теории' jинформации 'и кибернетике: Пер.
| i । с англ./ Под !ред. Р. Л. Добрушина и О. Б. Лупанова. —
Ч М.: ИЛ, 1963. I 'I 1 -ff ’ >’	  ff '	in Г
i ili 55.1 Шкловский ' И. С. Вселенная, жизн^, разум. — М.: Наука,
; ji 1976.	। .
, ff 56. Шрейдер Ю.1 А. О семантических аспектах теории инфор-
i Hj'i ||мации. — В кн.г.Информация и ' кибернетика/1 Подгред,.
А. И. Берга. — М.: Сов.'радио. 1967, с. 15—47.' ।	!
' I i Й, Яглом А. Чм, Яглом tyi., M; Вероятность и информация, ~
Л > ' М.: Наука, 1973. i Т’ iff-'1 ' i ff' '<' 1' d ' ' Ч"
Г '!	।,гь !л । 'пл? <  г! . И Ч
' --< 254	'/	! h' V ffjff 1 ? И ff . 
r5
5
7
10
16
15!
20
23
28
32
34
36
39
39
СОДЕРЖАНИЕ	!	•  I , -I
 /Предисловие .	.	.	.	.	. I .	.  .	.	•	• .
‘ 1. ОБ ОШИБКАХ, ПАРАДОКСАХ И ЗАДАЧАХ ЭТОЙ,ДНИ-
ГИ (ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ) .	. ... ‘  '! •	.	.	।•
!•..	,	1.1.	Об этой книге .....................  .	I  .	•
1'	।	.	1.2.	Ошибки .	.	.	.	.
!j	1.3.	Парадоксы .	.	.	' .	.	•''	 »	
2.	СПЕКТР И МГНОВЕННАЯ	ЧАСТОТА J	.	.	.	.	;
' '2.1. Спор о спектре амплнтудно-модулированного. сигнала.
।	2.2.	Опор об узкополосной частотной	модуляции	,	.		.
J	2.3.	В чем корень ошибки? I, ,	.	. , .	.	
/11	2.4.	Обжегшись на молоке ' .	.	. ; .	.	•	'	•
7 ' •!	2.5. Попробуем быть последовательными ....
.	।	2.6. К теории ЧМ альтиметра........................I
।	2.7. Существуют ли реально спектральные составляющие?
. । 3. О КОМПЛЕКСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИГНАЛА
3.1.	Обобщение символического метода.................'	'
, I 3.2. Однозначно лн определены огибающая и мгновен-
; 1  . . иая частота?.............., .	•	. j . . .
3.3. Другие определения сопряженного сигнала .
4. КАК НЕ СЛЕДУЕТ ПОЯСНЯТЬ ТЕОРЕМУ КОТЕЛЬ-
, НИКОВА ,	; .	.	.	.	.1	.	.	.
;	4.1. Сущность теоремы1 .	'.	..	.'
'я1!	4.2. Попытки наглядного пояснения теоремы .. - .	..
„у ) .. 4.3. Ослабленная ( теорема (Агеева .	. s ,j ' j .
, t 4.4. Доказательство теоремы Агеева . | .	. ' .
•ь I I 4.5. Можно ли передать | мегабит за секунду1 в полосе 1 Гц?'
' - 5. ПРЕДЕЛ ИЛИ БАРЬЕР НАИКБИСТА
6. НА ОДНОЙ БОКОВОЙ ,	.	. J .	.1
7 1	|	6.1.	Рекорды однополосной модуляции .	i'..	.
I	6.2. Как записать однополосный 'сигнал?	,(	.	• I	I
’ ,«.	6.3.	Как выглядит однополосный сигнал?’	, ; '	..	.	.
i L1 6.4. «Формула Костаса»...................'	. ,1 , .
V,. |	6.5. Как детектировать однополосный сигнал? ., > .
' if I, , 6.6.0 требуемой точности восстановления несущей частоты ;
' ‘ l’- Vn,,Tf4,„TI пплпипл ncmruilo InrnriUTU,, '	1 1 I 103 '
fi . 	'103
105
3 i
*41 । ' !
45 Ш
50
50 1
53 1 !
55
56
58.
61
75
75
78
79 I
83 '
91
97. 1
I I 7JКРИТЕРИИ, ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ, АЛГОРИТМЫ
’ i, 1	7.1. Критерии .	. ; .	.
7.2. Правило решения .	.....
(.4, правили рсшсппп .	.	....	, j. .
7.3. Неопубликованный Конан Дойлем отрывок' из! (вое-•
!r,i поминаний доктора. Ватсона .|	.	.|1ц.1 ,. I - i .
; 7.4. Лучше ли? .	.	’.	.	. i	,
I 7.5. Какому критерию соответствует правило МП? .
I .7.6. Алгоритмы .	.	. _..............  .	‘ | .
7 7.7. Потенциальная помехоустойчивость . L ( ., .1
7.8.	Об оптимальном фильтре' нижних частот I,-,. I- . .
: 7.9. Критерий верности декодирования .	.1.!	.
7.10.	Эквивалентная вероятность 1 ошибки (>.
7.11.	Где применять разнесенный прием?	,	.	.
. ЛУЧШЕ НАИЛУЧШЕГО .	.	. 4 .	.	.	.	.
8.1. Изобретатели «вечного 1 двигателя»'	.
I '	8.2. Широкополосная частотная .манипуляция	.,	.	.
Г1	8.3, Интервальная манипуляция' ,	।	J	
§.4. КаК| рациондльйо ВЗрёш11Вйт^ ।сигналы?	I	|, ' .
106
108
' 8.
113
115
117
120.
1221
.128
132'
132
.138
!ni
! И8
,
8.5.	«Сверхоптимальный» прием .	. > »	... !А 152
8.6.	Давайте разберемся .	.	.	.	.\ .	. ' . ; 160
9.	ПАРАДОКС ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ . j .	.	.170
9.1.	Порог помехоустойчивости :	..	.	.	.	.	.	170
9.2.	Пропускная способность j. ।	...........,	174
9.3.	Небольшие уточнения .	......	.1 I.	176
10.	БЕРЕГИСЬ НЕТОЧНЫХ ФОРМУЛИРОВОК! .	.	.	.	181
10.1.	Занимательные парадоксы.......................  181
10.2.	Вероятность ошибки при приеме ортогональных ;
сигналов .	................... .....	182
10.3.	Количество информации, передаваемой в гауссов-
ском канале 1 с неопределенной фазой .....	186
10.4.	О рэлеевских замираниях.........................190
10.5.	Вероятности ошибок при фазоразностиой модуляции 194
11.	СВЯЗЬ С СОБРАТЬЯМИ ПО РАЗУМУ .	. , .	.	204
11.1.	Готовьтесь к межпланетной связи.................204
11.2.	Передача; в диапазоне сантиметровых волн .	.	206
11.3.	Связь в оптическом диапазоне	. ।	.	.	.	.	209
11.4.	Где выход? .	.	.	: .	.	.	.'	. i .	.	.	213
12.	НЕМНОГО ИНФОРМАЦИИ .	.'	.	.	,	.	.	215
12.1.	Что такое информация? .	.	.	.	215
12.2.	Объективность информации	.	.	.	j	. i .	217
12.3.	О «законе сохранения информации»............ .	219
12:4. О постулатах теории информации . ;.	1 .	.	221
12.5.	Первые три условия . . . . .- . i . . . . 223
12.6. Информация и время .	.......................228
12.7.	Семантическая информация ..................."	, .231
13.	РАЗНОЕ .	. J..................................  1236
13.1.	Применяется ли на практике частотная модуляция? 236
13.2. Немного о, белом шуме .	...................241
13.3.	Сообщения' и сигналы.................. .	...	243
13.4.	Почему сигналы случайны? .	.	.	' .	.	.	245
'	13.5. Оценка энтропии текста методом отгадывания .	.	246
13.6.	Потери информации при .переводе	.	.	..	.	;	250
Список литературы ,.	,	. ... 1.........................252
I	।'
ЛЕВ МАТВЕЕВИЧ ФИНК	.	'
СИГНАЛЫ. ПОМЕХИ, ОШИБКИ...	1	1
Редактор Т. М. Толмачева. Переплет художника Н. И. Милеевой.
I Художественный редактор Л. Н. Сальянов. Технический . редактор
И. Л. Ткаченко. Корректор .Т. Т. Захарова
ИБ № 629	।	• ।1	1 ,
Сдано в набор 23.02.84.	Подписано в печать 21.04.84.	Т-10207
Формат 70X100/s2 ' Вумага тип. №3	Гарнитура литературная
; Печать высокая Усл. печ. л. 10,4 Усл. кр.-отт. 10,644’Уч.-изд. л. 10,34
Тираж 15 000 жз. «ж» ' Изд. № 20357 I Зак. № 3413	' Цена 65 К.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
. Ордена Октябрьской, Революции и ордена Трудового Красного Зна-
мени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзпо-
лиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам изда-
тельств. полиграфии-и’книжной торговли. 113Q54, Москва,. М-54, Ва-
ловая, 26 Г! '	.	.	•	*	, I! !'! 

ББК .32.84 ! I,
Ф5?	’ , .
УДК 621.396
(Ф59 Финк Л. М. Сигналы, помехи, ' ошиб-
!	|Ки!.'., Заметки’а некоторых неожиданно:
। ...: 1 стях, ’парадоксах 1И!! заблуждения^ в тер-
, ,рии связи, -р-2-е изд., 'перераб. и доп.г--
<	М.5 Радио, и, связь,; 198.4 —т!256 с.,лил. А
1 Книга, представляет собой заметки различного со-
держания, относящиеся к статистической теории; связи.
। Наряду с воспоминаниями о задачах, которые прихо-
I । -дилось решать :автору на протяженна многих лет его
is, । научной работы, здесь разбираются некоторые пара -
". доксы, а также (часто встречающиеся ошибки. Основ-
; |||Я0е внимание в^.книге!.. уделяется' не законченным ре-
кпениям задач, а процессу поиска решения.
-р ' ; •' I! Для ннженерно-техййчёскцх работников, специалн-
, знрующнхся в । теории связи и радиотехнике, is аспи-
рантов и студентов старших курсов ,	, 1
2401000000-147 ’	ББК 32.84
Ф 046(01)^84	| 68-84'|		,	’	6Ф0.1
 Реденаент । докт.1 техн, ,наун проф. ,Д., 7\ Петрович ;
7 1 , i,'i !ч 1 • i  1,	/ 1	। и >
; i Редакция литературы по* радиотехнике 1 <
'	,	' I '	,< 1' 1 1 1	|(\	р1’.
t ч. ©”Издательство! «Радио и свза(£м1984'
< ПРЕДИСЛОВИЕ	. .. !	,	। . '	• 1 ,	'
; ,  v л 1 ,Т' .1 I, i ’|77лн। ! ;i' !’1	!
1 i *	। | । I -	> -	'	,	j!11 ! ; • 11	| .
Предлагаем ая читателям книга; названа «Сигна- j
лы, помехи, 1ошибки...». Но в ней' речь идет не столь- ‘ j
ко об "ошибках, вызываемых помехами!при переда-	' , i
че сигналов, сколько об ошибках,'скоторыми авто-,. I .’
i ру приходилось встречаться в ! различных'статьях', 
учебниках, диссертациях, выступлениях и т. д. Рас- ,
сматриваются также и некоторые малоизвестные ш! 1
подчас,'парадоксальные факты теории связи, а так-!’ ,
же не вполне4 оформленные идеи, которые !могут .'! ;!
'стимулировать^ самостоятельную работу читателей.. '
, Киира адресована в (основном молодым специа- ’. , м ,
листам,',особенно тем, кто ’ собирается посвятить,
себя научной деятельности. Предполагается,1 что Ми-  I1 !
татель —! специалистов1 области связи 'и ли радио-
техники !—знаком, со'статистической теорией связир - , р
по крайней мере’ в Объеме курса'вузд. Тем не менее ; ", 1 ( г
автор пытался написать эту' книгу'! так, чтобы 1-еер ! !
чтение было не только полезным;, но и в какой-то, , L
мере приятным. ^Насколько ему ото удалось, судить' s
. читателю.'' I'	’! ' 'MLi! ;hj' у';’ ’’	I
! Первое издание вышло в 19^78 г1 Во; втором из- , ;
Дании, добавлено довольно много нового'материала. ц
За последние годы! автору пришлось познакомиться .,!! I
со многими : опубликованными !и. неопубликованны-К! й 1
(ми работами,! содержащими 'те или ин{яе’ ошибки, и! i ; f
( достойные упоминаний! в, этой, книге. Из-за, ограни-i1, \
! ченности .,объема 'пришлось’1 использовать 'только'; и* !‘
, наиболее, поучительные,’’примеры, ! отбросив ’ тдкие,
!в которых!,всякий',Грамотный 1 ин’жёнер, легко,йраз-г	t
; берется 'Самостоятельно. При необходимости:!coxpar'J; ’ !
нить прежний объем' книги потребовалось сокраще- '
!ние!текста первого !изданиял1,При этом., исключен^1’, lp'|if |...
некоторые темы, однако это новее не означает, что
автор изменил свою точку зрения. Просто ему при-
ходилось выбирать между ’ старыми и новыми при-
мерами, и этот выбор естественно субъективен^
Даже у крупных ученых встречаются ’ошибки,
о некоторых из них говорится в книге. Однако:это
не означает отсутствия уважения к этим выдаю-
щимся деятелям1 науки. Никогда не ошибается толь-
ко тот, кто |ничего' не делает. Автору хорошо это
известно по собственному опыту. ।	,
I Автор получил много писем читателей, их цен-
ные замечаниям советы в. той или! иной мере, учте-
ны при подготовке второго издания. Особенно по-
лезными были советы академика Ю. Б. Кобзарева,
’чл.-кор. АН СССР С. М. Рытова, докт. техц.инаук
Л. Я- Кантора, д-ра Марковича (СФРЮ). 5j !
Многие, темы были подсказаны автору его- това-
рищами, за что он их горячо благодарит. Особенно
большую помощь при обсуждении материалов книги
оказали Е. С. Барбанель, Д. Е. Вакмащ.В. Г- Виш-
няков, В. В. Гинзбург, И. В. Гуревич,!Б’ Д.'Каган,
'В. И. Коржик,!|М. Я- Лесман, Б. М. А^ашковцев,
;М. Л. Миневич, Ю. Б. Окунев, К4 Н.! "Щелкунов
i и многие другие, перечислить дрторых.'нет возмож-
ности.; ' J . -•!	•’	''	'	' J ,,
. ! Отзывы и замечания следует направлять' в' из-
дательство «Радио’ и связь»!: ,101000, Москва., Поч-
 . тамт, а/я 693..	' ’ h
’ < |	| ’ г ’	' 1	.	V V
?
1.	ОБ ОШИБКАХ, ПАРАДОКСАХ И ЗАДАЧАХ ЭТОЙ
КНИГИ’ (ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ)	>
. - — — .  .
 I'	Errare humanum est
'	(Ошибаться свойственно человеку)
1.1.	ОБ ЭТОЙ КНИГЕ	• >	,
Книга эта посвящена различным вопросам тео-
рии связи. За последние 20—30 лет в нашей стране
и за рубежом появилось множество монографий и
тысячи статей, .посвященных, этой сравнительно:
молодой области науки. Зачем же писать ,ещеодну .)
книгу?Не убудут ли: в ней еще раз'пережевываться
давно известные истины, слегка уточняться оценки
вероятностей ошибок и пропускной способности! от-
тачиваться доказательства старых теорем и т..д.?
Автор надеется, что это не так.  '	' И.
Предлагаемая читателю книга как ! ,по ' своему,:,
содержанию, так и по форме отличается от> боль-’' ’
шей части изданного по теории связи. ; i' < ,h'!
' Bo-пер вых, эта книга не систематическое из- , !
ложение теории связи или какого-нибудь ее разде- :
ла, а сборник отдельных 'заметок, связь,,1 между ко-' 
‘ торыми скорее1 ' ассоциативная, чем ' логическая.*'
Каждую из них1' можно, читать независимо - от; ,
! остальных. ' । 1 ?!!'Н '	i-/:?- "!	1 . '
Во-вторых, в монографиях'и'статьях Обычно '
излагаются результаты, исследований,1 а поиски, до-; [
гадки, раздумья, ошибки и их преодоление;остают- “ t'
ся, как правило, за рамками публикаций. Ощихзна-,. ,
ют тодько сами авторы.'Да htqc течением времени ,
забывают. В этой, же книге, напротив, самое при-
стальное внимание уделяется не описанию резуль-
татов, а процессу ,их поиска. Именно с этойЧпрзи-,
ции и проводился!отбор материала. 'Конечно, для
систематического курса 'или для монографии^акой
подход был бы !крайне неэкономичным. Но эта кни-
I га и не претендует HaiTO, чтобы заменить ^ис^ема-
 тическое руководство фо теории связи, который на-
писадо1 достаточно,-много I и на 'любых 'уровнях
'сложности и строгости.Юна призвана дополнить их,
| показать^ «кухню» научных исследований.; Думцет-
1ся, ''что она"'должна принести пользу молодым Спе-
циалистам, особенно тем, которые, собираются |по-
। святить (Себя .самостоятельному .научному трорче-•'
'] .ству. J ' '	1	. '' 1. '	1 ';|1 j
j, j f Т р е ть я, особенность, книги предопределеиа'пре-
' ' дыдущими и отражена. в названии. i Наибольшее
внимание уделяется «подводным камням»,, .встреча-
ющимся, на! пути исследователя. Это ' различного
рода, ошибки ученых предыдущих поколений, от ко-'
। । торых не гарантированы их последователи. Это и.
I , различного! рода 'парадоксальные .результаты,. ко.то-
, I Ik J рые:заставляют задуматься|!|и более тщательно.'про-
! *' (ацализироврть изучаемую проблему, а иногда? и ре-
i[ п, ресмотретьiобщепринятую точку! зрения.' ' "У ? ’' ’
|i''' । in!'Содержание' предлагаемых ! заметб1к 'довольно
' ,1 разнообразно.! I Однако все они так или иначе.за-
'..трагивают .основные разделы, .теории, связи',— тео- 1'
। 1 '/,'рию сигналов (в том числе' Допросы' модуляции),
' i!j ' ^теорию оптимальной обработкгщсигналов и помехо-j
.! ' устойчивости, теорию '^информации.':!'® частности,
। возникновение; многих парадоксов', и ошибок вызва-
I , но., смещением V мгновенной j' частоты?! сигнала д'!
.'J', е частоты],' его .спектральных'"1 составляющих../Еще
или,'способов модуляции и обработки сигналов, яко-.
бы'* ? позволяющих превысить пропускную способ- I I
ность- канала или, еще чаще,, снизить вероятность,
t ошибки по сравнению с минимально возможной при
,оптимальном приеме. , .	' ,	I
,, ' Столь'же многообразны эти заметки пр своему
\ жанру.'Это и |воспомннания о задачах, которые
г приходилось решать автору, это и короткие статьи,
посвященные теории связи.или ,какой-либо;малоис-
следованной проблеме, это и соображения о мето- 1|
'дике преподавания, а также отдельные мысли, ко-, i Н
вторые могут породить плодотворные ,идеи. Автор
i‘;i позволил себе в некоторых местах нарушить, суще-
I ствующую традицию и вести изложение, от первого
лица.	-	. 1	. 1 ! i,.
Таким образом, эта книга1 не серьезная моно-
графия, но'й не научно-популярная, рассчитанная
! iHa средне образованного человека, желающего по-.
1 лучить общее представление'о неизвестной ему об- *
... ласти науки. Для ее чтения требуется, определен? j >
ный уровень знаний, 'в, пределах вузовского курса. Т ।
i '	1	। 'i !; 'Н и i‘ ip .j-
 1.2. ОШИБКИ,	'  I 	, ‘	]•_ 1
I	.	! !	1'1	р ,|1!
г , Прежде чем приступить к собственно содержа-,!1, i
., ;нию i-книги, следует остановиться на том, что ’же,.
"представляют собой те,ошибки и парадоксы, кото- i 11 '
j .рым, '/посвящена, значительная 1 часть заметок.' Что;1,.^; /
5; такое, ошибка—'ясно’Каждому. Это результат,’ не!;'' •
!$ соответствующий реальной действительности.'При-, г/ ,
, ; чины-ошибок р научных'исследованиях весьма мно- я
' iiНечисленны и разнообразны.. Конечно,^тривиальные I!!, ।
ошибки, возникшие'в'результатеIнедосмотру' иди!1; q' •>,
!,'|1описки-,при расчете, не представляют,^iHHTiepeca 'и
>>'?здесь; -не ’ рассматриваются. Известным i^HTepan-yp- f1 !Ир
iii, нымпримером ,.такоц ошибки^..повлекшей крзхЬза- !,н' ,
-J1: '.Ж,1 П Ж !
it; ! Ц?  ;I
i ’ ii з !i«i*
P, ’» Sjil’r
думанного предприятия, является ошибка героев
Жюля Верна, попытавшихся устранить наклон зем- !
ной оси за счет отдачи при выстреле из гигантской
пушки. При расчете была допущена описка, в ре-
зультате ожидаемый эффект оказался в 10® раз
больше действительного.	I	. и t*
Значительно полезнее анализ ошибок, вызван-
ных более скрытыми- причинами. Такими часто яв-
ляются не адекватная исследуемому явлению
математическая модель, некорректная аппроксима-
ция, смешение сходных, но не тождественных поня-
тий, догматический перенос закономерностей, спра-
ведливых для ограниченного круга явлений, <на дру-
гие и т. п..Говоря об источниках ошибок, нельзя не
упомянуть1 о психологических факторах, способст-
вующих появлению ошибок и мешающих «виновни-
кам» осознать их и исправить. Здесь и изящество
полученного результата, Гс которым трудно рас-
статься, и многообещающие практические примене-
1 ния, и убеждение автора, что он непризнанный ге-
ний. В некоторых случаях это следствие,низкой
1 общей и научной культуры и1 отсутствия привычки
>. к самопроверке и самокритике.; Вероятно, еще ни
। Г один исследователь (в том числе и автор этой книж-
ки) не смог избежать ошибок. Важно, .чтобы он не
упорствовал в своих заблуждениях.
' i •! Ошибались даже очень крупные ученые. Вцсто-
.рии . математики известна  ошибка, допущенная
Ж- Л. Д’Аламбером (1717—1783)7 Он решал такую
। н задачу. Монета подбрасывается ;!два раза. Какова
вероятность, что хотя бы один раз'выпадет, «герб»?
... В наше время эту задачу легко решит любой сту-
 j дент, знакомый ,с! теорией вероятностей. Обозначим
у выпадение герба цифрой 1, а противоположное >со-
ip. । бытие — цифрой 0. Равнов.озможны четыре1 исхода
уу:,'‘ рассматриваемого, эксперимента |Ц,'1), (1, 0), (0,,1)
! ‘V’ • ; г * iii:	i	-П. if ....	,, ! ,
и (О, 0. Из них первые три удовлетворяют уело*
вию —хотя бы один раз выпадет герб. Поэтому ве-
роятность такого события равна! отношению числа
благоприятных исходов к общему числу равновоз-
можных исходов, т. е. 3/4, Д’Аламбер рассуждал
иначе. Герб может выпасть при первом подбрасы-
вании, и тогда второй раз можно монету ,не под-
брасывать: нужное событие уже произошло. Дели
при первом подбрасывании герб не выпал, подбра-;
сываем монету вторично. При этом герб может
выпасть, а может и не выпасть. Таким образом,
имеется три исхода, из которых два благоприятных,
поэтому, полагал Д’Аламбер, искомая вероятность
равна 2/3. Ошибка возникла вследствие того, что'
Д’Аламбер недостаточно точно представлял поня-
тие, равновозможности, хотя за 100 лет до этого оно
было установлено Паскалем. В действительности из
трех событий, рассмотренных Д’Аламбером, > веро--,
ятность первого 1/2, а остальных двух 4/4.	(
Другой пример =— выдающийся физик О. Хеви-
сайд, много сделавший для изучения распростране-
ния электромагнитных, волн, в свое время, катего- Г
рически отрицал возможность создания, волноводов. <
В своей классической работе по теории электромаг- J
нетизма он 'I писал;  следующее (цитирую по; книге .
[7]): «...Возникает ’ вопрос, можемли мы цропу-,i!
стать электромагнитную волну !| вдоль внутренней
•поверхности трубы наподобие светового луча? Мы,
безусловно, можем сделать это при наличии внутри,!
трубы второго провода, потому что это',не отличав
ется существенно от случая двух проводов,/каждый
вне другого. Но это не представляется возможным,
без внутреннего провода, ибо если мы его уберем,Д
то внутри/не останется ничего/ на чем! могли бы’,
окончиться трубки смещения и вдоль чего они мог-^
ли бы распространяться...». Такое высказывание:
•Ь <•*	7« > , : li	! I ‘•'J ? i i	‘	!
«?’ -д , д. .г.’."	"’Д " Л
,г
звучит особенно странно: Хевисайд в !то' время до-
статочно ясно представлял, что электромагнитные
волны могут распространяться в свободном  прост-
ранстве, причем 'силовые, линии замыкаютсЯ/сами
на себя. I » i » I 1 । I .	,
। Примеру различных нетривиальных; ошибок бу-
дут приведены'! ниже, /при' .этомi основное! внимание
уделяется анализу; причин/которые привели к лож-
ному рез^льтату.^ -:У -	। • । Д!15|' fjlij
..
•л»

iii
IIH
ному результату. • 5р; у- .	।
•1 п * Л.' • * 1 1
1.3/ПАРАДОКСЫ И •( 'р I' I !1
1 ' Н'' l,i 1	,
' I От ошибок следует отличать'парадоксы. Термин
«парадокс» имеет много значений.. В логике лара-
' доксом называют такое рассуждени!е, которое (при-
водит к ^взаимно противоположным I выводам.. Па-
•'радоксами часто называют такие рассуждения, ко-
’ !• торые приводят к ..Противоречивым 'результатам
i If । вследствие некоторых.।'малозаметных погрешностей
/ -Iji в постановке ^задании'Принятых !’определеннях.
[h iN|l| '' Приведем । простой пример, в'котором; неточность
I 1| । формулировки легко-, бросается в'глаза. Пусть не-
" ь |' который.4 сигнал .передается одновременно',по;двум
/г! параллельным каналам. Каналы' между .собой ста-
i1 тистически независимы, и вероятность "ошибочного
1! приема 'в каждом из них р1=р2==0,1. Известно, 'что
J в одном из этих каналов сигнал.'принят ошибочно.
< । Какова' при', этом условии вероятность, что Юн при-
|! нят ошибочно । в обоих'канал ах?,11 И ' | J'H;
i ji Первое!решение. В одном канале/по усло-
I вию,! ригнал принят1ошибочно.‘ Во втрром дан!але он
I с вероятностью';'ОД^ принимается ‘также ошибочно,
а 'с вероятностью 0,9—-'правильно. Таким образом,
;'j‘ рри указанном условии,'вероятность того/'что-ошиб-
4p.ii.ka цроизои1Ла!!В ,обоих''каналах,' равнр'ОДс^./i	।
'I .' I. j|’ i '11.. 1 l i'il' 1 l’ !	1	г
13 ft
1 ’(‘7-
^Сятность этого ^исхода' pi==0,92=0,81
s'$; ?'- ' I ।	!	|	'	.	'
i3 г ‘ В^г.о p'o e решение, .'При передаче сигнала по (
двум/каналам возможны четыре безусловных исхо-
«.	,1	''	' ’	। :
!)?• в.дабоих каналах сигнал .принят верно—веро-- (Ц .
рнлгтк’ ч’гпгп Нсхопя1 п.х=О £)2=П Яр; ’ ii i '	 I
?s'2):;i’,b;первом канале сигнал принят верно, а' во 1
втором —ошибочно — вероятность этого 1 исхода
' р2==0,<М), 1 =0,09, поскольку, ошибки ,в (каждом ка-
77далещрзникают независимо;? *41	I	i
н-лЗрв' первом канале сигнал принят! ошибочней,
,{*\а‘;во>втором — верно — вероятность Iэтого исхода, ।
:;‘,?как-и^'предыдущего, jD3=0,09;, . !’.| М, । h 1
4)	в обоих каналах сигнал принят (ошибочно—
вероятность этого р4=Ю,12=0,01. 1 I 1 !	" J , ।
РК; .'IsВ* соответствии с уелрвием^задачи известно, что 'I ।
:;,’'шсход ;Ъ!,не имел места. Вероятность того, ^то при |- ;
7 этрмуелрвии .будет исход 4, 77 ‘ I •	। Чi' ’ ' । ' ;
jч।	, ij- v к i > ii •	।	, ji' -. p.1
^й;7.Р^(Ра^Рз!1ЬР!4).=^1/(0.09т1г0^09-рО,01).=1/19.1! ‘ 7*. j .
• 1 pSf’ '7 " • 1	। 1 1	* -j * I ;"	- 	I I >! «’	; «г 1 ' ’
r " / I I I i I 1 ‘Г }	। 1 b,	.	 ’I. ,
7ТЭтот i результат прчтИ|' вдвое меныЛ, чем, (полу-] < ’ II
ленный в‘первом1, решецииЛ, Какой Идсе 'низ .них । i'
,/ верен?  1 Ч .	' V|77h 'р!|
*'?иЛричрнрй неоднозначности ответа (является^'н'е-1., !1'
i,? которая!(двусмысленность: условия Задачи. < Условие?'. ’ г
. «в одном из» этих каналов сигнал принят' ошибочно'»^ 'f
дмощно понимать двояко.,.Если исходить из(ЗДго/что! Ь ।
:':, |«в|юднок4:1опред(еленном! к|ана,ле! .(напрцмерС в трм^ ,j‘
j‘„.;,KOTopO'Miy! присвоен номер ,1)| сигнал ^принят onnHijA,
t .бочно», '|то возможны (только два исхода" для |втр(-' 'Н ;j!
! .'. рогр канала и правильным является^ .первое решети5 !дт
,?i ние. Если, же условие понимать,, (как1 «в каком-то' JU,' ।
'•одном’ из1 'двух каналов (сигнал принят, ошибочно»,7|5 !
S тоувернр.,второе 1решение. ! ш .Ipiip! г Н>-7' * 
$,  "Различие между этими, двумя понимщйсями ^ус-
ловия можно пояснить ;И| с прмощью фррм^д Ру^ть.!
: UI i'l Vi p.J f I -I'T
!Г
.Il
‘.’ll

A — событие, заключающееся в том, что ошибка
возникла в первом канале, а В — независимое от
А событие, заключающееся в возникновении ошиб-
ки во втором канале. В первом решении ищем ус-
ловную вероятность Р(А и В|Л) или Р(А и В|В).
Она, очевидно,равна Р(А и В)/Р(Д) или, учитывая
независимость А и В, Р(А)Р(В)/Р(А)—Р(В). Во
втором решении отыскивается другая условная ве-
роятность Р(А и Я1А или В). Она равна Р\А и
В)/[Р(А и В) 4-Р(Л и В)+Р(А и В],. где А озна-
чает событие, противоположное А. Если “бы форму-
лировка условия; в задаче была более определен-
ной, то никакой двузначности: решения це .возник-
ло бы.	‘	; i ' 
Заметим, что аналогичные парадоксы, связан-
ные с неточностью формулировки условия,’ давно
известны и упоминаются во многих популярных
книгах. Типичный пример такой задачи. У Иванова
двое детей; известно, что один из них мальчик; ка-
। кова вероятность того, что у него два мальчика?
У Петрова также двое детей, .причем известно, что
старший — мальчик; какова вероятность того, что
у Петрова два мальчика? Предполагается, конеч-
но, что рождение мальчику или девочки ~ события
'.независимые и равновероятные. После обсуждения
и предыдущего примера читатель легко сообразит,
। , Ито вероятность иметь двух мальчиков, .равна для
' ।1 Иванова 1 /3, а для Петрова 1/2, > i:
1 Иногда, термин «парадокс» или «парадоксальное
решение» .применяют'и к вполне, однозначному и
закономерно полученному выводу, если он противо-
речит । тому,что: ожидалось цолучить интуитивно,
или, как иногда, говорят, противоречит1 здравому
! смыслу. Приведем такой пример.
Три Пеленгатора одновременно пеленгуют неко-
торый объект. Если бы (Пеленгование производилось
I Д2	.1.-1!, ь'

абсолютно точно, то три линии пеленга, проведен-
ные от/каждого, пеленгатора, пересеклись бы в од-
лной точке, в месте нахождения объекта (предпола-
гается, что объект не находится на одной прямой
; ни с одной из пар пеленгаторов). В действительно- ,
.сти 'объект пеленгуется с некоторой ошибкой, и по-
этому линии пеленга пересекаются не в одной точ-
ке, а образуют'некоторый треугольник АВС (рис.
1.1). Очевидно, что если
«ошибки пеленгования малы,
'то объект находится где-то
недалеко от точек А, В и С.
Лет тридцать тому назад
среди специалистов, занима-
ющихся пеленгованием, бы-
ло оче'нь . распространено
мнение^ что'в отсутствие си-
стематических । ошибок пе-
ленгуемый объект обяза-
тельно или с очень большой йероятностью находит-
ся внутри треугольника АВС. Проверим' это утвер-i
. ждение.	, >	: i 	(* '' - 
г , Допустим, что ошибка пеленгования является
случайной величиной, принимающей с равной веро-
ятностью положительные и отрицательные значе-
ния. Найдем вероятность того, -что пеленгуемый
объект находится внутри треугольника АВС. Ре-
шим эту задачу,’предполагая, что, пеленгуемыйобъ-
ект О находится вне треугольника abc, в-вершинах ,
которого расположены/пеленгаторы; ' Для опреде-. '
ленности обозначим пеленгаторы так, .чтобы пря-!
мая Облежала внутри угла аОс. Существует восемь
равновероятных сочетаний знаков угловых' ошибок'
пеленгования (рис. 1.2). Легко видеть, что только
при двух сочетаниях, когда ошибки пеленгаторов а
и с имеют одинаковый знак, ошибка Ь —'проти-
воположный им знак, пеленгуемы^ объект ’оказы-
вается Внутри треугольника АВС. Этот результат
зависит не, от’величинь^ ошибок, а только .от; знаков.
Поскольку' всевосемь сочетаний знаков ошибок
равновероятны,’искомая вероятность того, что-объ-
ект пеленгования’ ’находится,; внутри треугольника
АВС, равна ,2/8==1/4Д	/ Р I	’,1 |’ "
+
a
a
pi i
Рис. 1.2 j
• l' 	! 1 . 1 I
!. и ь
i;
о
iff
"V
oO
! с
i 'i-'
: !Аналогичный
результат цолучим и для случая,
г когда объект пеленгования находится внутри 'тре-
угольника ойс. Различиелишь в том, что’при таком
। расположении благоприятными являются’два слу-
’ чая, когда * знаки всех трех ошибок одинаковы. ’!
Неожиданность полученного решения состоит не
только в 'том, что найденная вероятность оказалась
- значительно; меньше,' чем ожидалось.’ Примечателен
I тот факт, что! эта вероятность’ не зависит’ни’от дис-
персий ощи,бок,ьни^от’'вида1’распределения их веро-
ятностей (которые Цогут быть И неодинаковыми), ни
от рас^олржрни^ пеленгаторов. Достаточно, чтобы
hi) f i.i ' i ! I i I'	 I	1	I I - I i	I
s'
л .
знаки ошибок для каждого пеленгатора были рав-
। невероятны. i	5	।
На первый взгляд, такой результат даже проти-
воречит здравому смыслу. Как может быть, что для ।
очень точных пеленгаторов,! у которых дисперсия ।
ошибки ничтожно мала, искомая вероятность такая ,
же, как и для, самых грубых? Однако, если^поду-
мать, то никакой нелепости'в’этом'не обнаружится.
 При точных пеленгаторах!! треугольник «ЛВС будет, ,
как правило, очень малым,! а при' грубых;—боль- , ’
шим. Поэтому, несмотря на то, что вероятность на,-' ' ,
хождения объекта внутри этого треугольника’в обо- hi
их случаях одинакова, точные пеленг'аторы ,позво- , J
ляют оценить его. положение l значительно лучше,. 
чем грубые. • г; I, м •' у I ' J’	।
Приведенные здесь примеры' имеют лишь весь-* 1 ;
ма отдаленное, отношение к теории связи. 'Ниже бу-। i i
дут рассмотрены ошибки и парадоксы, характер-  ;
ные для проблем связи. ” ’ /'Ji-p	' г / i
2. СПЕКТР И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА
2.1 СПОР О СПЕКТРЕ , ,! t )	Г;1 J, ’ Л.
. АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО СИГНАЛА ‘
’	,	|	।	> I1	' | !;	; 1	i 'ili ! > I. '	, ! 
'	'	'	Если на клетке слона прочтешь . :i> f
I.	। надпись «буйвол», не верь глазам и,
,	 I	СВОИМ.	 	1 I ! tls VJ
'	 4,’S’ ‘ ! 1 1 и 1 I" |i|,!Hij Козъмй ПрвТКОв' Ji
< 	 I- ! , 'I!'	<1 и
Частота и спектр!—это/пожалуй, два .понятия, •• I,
которыми1 больше ’ всего ’пользуются Довременные, г i,'
инженеры связи. Трудно' 'поверить,!'что 'bi' течеще^!' у
десятка лет техника!, радиосвязи развивалась без 1' ’
„ использования даких-либо; представлений о ,спект-' ? '!
: рах радиосигналов. Даже тогда, лкргда. ц технике Ч
' • '* I ' w \	, .j У"?	'' '!>,	15 ' Д
I		i
телефонной связи спектр сигнала стал одной из ос-
новных инженерных характеристик,'в области ра-
диосвязи (в те времена главным образом радио-
телеграфной) о спектре сигнала почти не говорили.
Причину этого понять нетрудно. Спектры применяв-
шихся тогда радиосигналов (пачек затухающих си-
нусоид, подвергнутых .амплитудной 1 манипуляции,
а позднее—амплитудно-манипулированные незату-
хающие синусоиды при частоте манипуляции, -не
превышающей] несколько десятков герц) были зна-
чительно уже, •чем полосы пропускания передатчи-
ков и приемников. Поэтому вопрос о спектре ра-
диосигнала; с точки .зрения инженерной практики
был.неактуальным.	!	Д’
Положение изменилось с появлением радиотеле-
фонии, которая осуществлялась вначале! только
с помощью амплитудной модуляции. .Передаваемый
сигнал s(t) при этом может быть представлен
в виде
, s(/)^/l (О COS (W+фо). '	;.,Д 1 Jr Щ (2-1)
i. где A (i) — огибающая (или переменная амплиту-
да) сигнала; <1)0=2л/0—.егр круговая частота; фо—
- его начальная фаза. Д '	!	: <
Отличие этого сигнала от чисто гармоническо-
го Д'соз (.©оН-фо) С постоянной, амплитудой,' Д, на
первый-взгляд, ничтожное. Все дело только в том,
что в'одном случае Д- -постоянная, а в другом —
I переменная, величина. Однако, как хорошо извест-
но, спектры этих сигналов качественно различны—
если амплитуда Д постоянная, весь спектр состоит
из одной-единственной составляющей iс частотой ©о
. (монохроматический спектр); при ;переменной ам-
! плитуде спектр оказывается сложным и характер
его определяется видом функции Д(0. В частности,
Ппри модуляции одним тоном с частотой £2<лоо сиг-
.16 .	J	1 'J Г
.-Si,
нал разлагается на три гармонические составляю-,
щие с частотами мо (несущая), <о0+Й (верхняя бо-
 ковая) и |®о—Q (нижняя боковая):	,
; Л (1 4~^COsQ9 COS	~ С0^(ю</:+%)+	1 !
" -t-j-A COS [К+й) t +у«] + -у- Л cos [(«>„-Q) /Ц- %].
Л •	\	i ./-i	: ; ч (2.2)
Сейчас -это известно любому студенту и трудно
поверить, что в 20-е и даже 30-е годы некоторые
крупные инженеры (в том числе изобретатель ваку-
умного диода английский ученый А. Флеминг [47])
возражали сиротив концепции боковых частот. Ко-
нечно, это возражение не было направлено против
формулы (2.2). Никто'не собирался 'опровергать
тригонометрическую формулу разложения произве-
, дения косинусов. Флеминг не отрицал, что прц сло-
жении сигналов от трех точно сфазированных гене-
раторов гармонических колебаний A cos ((ОоН~<₽о) ,
(т/2) A cos [ (<оо4-£2) £-Нч>о] , и (m/2) A cosf[ (<оо—
—Q)£-J-(po] можно получить в точности такой же
сигнал, как ,и при модуляции гармонического иоле- ; ‘
бания гармоническим низкочастотным сигналом - Р
cos QZ с глубиной модуляции т. Спор шел о том,
содержатся'ли реально боковые частоты <оо~гН и.:
с coq-^Q в модулированном сигнале. ‘	i
"Флеминг и его' единомышленники полагали, что- ’
преобразование (2.2) является одним из- многих
возможных математических представлении и ниче-
го не говорит о реальном существовании боковых’
частот. Например,’ даже- простой гармонический
сигнал можно всегда разложить различным обра-
зом на сумму нескольких других сигналов. Обозна-
/ чим, например, через;Л4(/|) периодическую треуголь-
”17
“*^1		| ' |
ную функцию с периодом 7'=5л/ы, определяемую на
интервале—772</< 772 выражением 1	<	' j
।	(1 -4//Л t >0, J ,
(2.3)
'! i1 I; И • I
и периодически продолженную вне этого интервала,
, а через N (t) — функцию, cos ы/—М (0 (рис. .2.1).
• Тогда, по определению,  . .Д 'it' 	, р!' 1 т ii I
cos at—M (ОНп/УХО.
СТ • . 1
cos ait ;
О
г '
г, 4-*i
о
О

Р7М
3»-
L
di !i Ь
I	""Ч Л ! !	'' и ,	1	’ I f' ! : Г : : ' ' 1 	’ 1 !!'	(
I Но можно ли1 на( основавди Ътого утверждать^ что
'в косинусоиде, реально содержитсятреугольная i
функция'	‘hi ’Vjji.H1;
г Что же: каса|ется: модулированного сигнала (2.1),
то мы видим,,: говорил Флеминг, (что его частота рав-
н 11 5 цд ©о- Поэтому никаких других частот в нем на са-.
’ > '«'//r'V1
> с i’j ‘	 1 р ч1 1	1	• с * * ।	к ')
Г II ' ,! 1 1 \ , ।	11. 1 ।	। ,' ' '	'	1	!
,мом деле не содержится, какие бы математические
' преобразования с ним не производили. Как видите,
доводы Флеминга были далеко !не так'наивны, как
их иногда"представляют.'Не содержат ли они не-
которое рациональное зерно? ''	’ I,	'
'К этому вопросу мы еще вернемся: Пока же от-
метим, что следующий шаг в рассуждениях Фле-
минга- был, безусловно'”, ошибочным. |Он утверждал,
что поскольку в сигнале (2.1) существует только
частота соо, то его 'может выделить контур, настро-
енныйгна эту' частоту, и чем острее будет резонанс-
ная кривая этого контура, дем лучше он -отделит
этот сигнал от других сигналов с'другими частоту-;
ми toi, <й2,। лишь бы эти частоты отличались от
ио- Отсюда, делается 'вывод, что в принципе в''за-
данном диапазоне частот можно разместить сколь-;
ко угодно амплитудногмодулированйых . (AM) сиг->
налов и они не будут мешать-друг другу, если их
выделять контурами с достаточно! высокой доброт-;'-
ностью.1 Поэтому нет никаких Оснований ^'установ-
лению частотных интервалов, между полосами, отво-
димыми различным радиостанция^,' и «плотность
населения , эфира»' лимитируется только избира-
тельностью приемника. '	' ’ । -
Ошибочность этого вывода была полностью до-
казана! в'ходе дискуссии в 1930 г. Основную роль
в ней сыграл выдающийся советский ученый, ерзда-
, тель теории колебаний, академик-Л. И.1 Мандель- I
штам. В частности,; он ютмечал, чдо боковая, часто-;
та (и вообще любая составляющаярпе'ктра) прирб-J,
ретает физическую реальность, как только испрль-"
зуется избирательная;система, способная ее выде-
лить. Это относится дце только'ЖI гармонической
составляющей. Можно выделить, например,j; состав-
ляющую ,Л1 (/); (2.3) ИЗ' косинусоиды (2.4) с помо-
щью парам.е1ри,ческо1Р фильтра, для которого тре-
-2*	’ _	'	'j 191
i угольная функция M,(t) явдяется^ собственной
функцией (подробно см. [9]). Однако можно, и
не пользуясь представлением ;о боковых^ частотах,
; показать, что повышение добротности контуров не
позволит разместить без взаимных помех сколько
угодно AM сигналов в заданной полосе частот. Чем
выше добротность контура, тем больше; и его инер-
ционность, и4 поэтому приходится больше времени
' затрачивать на любое изменение амплитуды коле-
баний в контуре. При увеличении добротности воз-
никают условия, при которых, например, AM сигнал
(2.2) вызовет в контуре колебания, амплитуда; ко-
торых за период частоты Q не будет успевать за-
метно измениться.’ Со спектральной точки зрения
। это значит, что контур практически пропускает
только несущую частоту и сильно ослабляет боко-
вые частоты.	.»
К сожалению, изложить здесь хотя бы кр-атко
 все основные идеи Л. И. Мандельштама о боковых
частотах и о спектральном представлении сигнала
нет никакой возможности. Это увело бы нас далеко
от той цели, \ ради которой написана эта книга.
1 । Проблема реальности боковых частот уже ндавно
стала историей. О ней писали много раз в различ-
ных работах (например, [12]). Мы вспомнили здесь
об этом не для того’ чтобы еще раз доказывать
существование боковых частот. Нас интересует пер-
! вопричина ошибки А. Флеминга, Но прежде чем
говорить о ней, вспомним еще об одной дискуссии,
 которая велась примерно в те же .годы. ’	<
2.2. СПОР ОБ УЗКОПОЛОСНОЙ ЧАСТОТНОЙ
модуляции i , , ' " '10 :
1	'	' '	.	; ;	I	'i г !
В ходе полемики о боковых частотах AM сигна-
ла практически всем специалистам стало ясно,: что
всякое изменение ; амплитуды сигнала приводит
20	- : J	J ;
к расширению его спектра. При амплитудной моду-
ляции гармоническим сигналом с частотой й спектр
не может быть уже чем 2Q',1 поэтому в диапазоне
частот шириной Л нельзя разместить больше чем
,Д/2Й AM сигналов так, чтобы их можно было раз-
делить линейными • частотно-избирательными цепя-
ми. Здесь под £2 нужно понимать ' максимальную ;
частоту спектра модулирующего сигнала; обычно ,
в радиотелефонии (модуляции речью) , й/2л^
«=3000 Гц.	‘	।	.
Все же расставаться с идеей более эффективно- ,
го использования диапазона частот не хотелось.
И вот у некоторых инженеров появилась мысль—
-заменить амплитудную модуляцию частотной. Из-
ложим'эту мысль примерно так, как ее описывали -
- в те далекие времена, когда теории частотной, мо-1
дуляции (ЧМ) еще -не существовало. 1	
Итак, пусть исходным модулируемым колебани-
ем будет гармонический сигнал A cos ®/. Но, в он
. личие от амплитудной модуляции, будем сохранять
амплитуду А постоянной. Вместо нее будем моду-
лировать-частоту, со, положив ®=®о+Д®х (/) у где
x(t) —первичный модулирующий сигнал; в про- ;
стейшем, случае x(t) — cos й/. Предполагается, что J
' х(/)— безразмерная функция, принимающая значе-
ния от —1 до +1; Д® —девиация частоты, выбира-
емая, вообще говоря, произвольно.
Поскольку амплитуда А! остается постоянной, :
боковых частот здесь не возникает. Правда, часто-
та „такого сигнала изменяется, но только от ®о~Д®
до ®о+Д®. Девиацию частоты Д® !можно. выбр'ать
достаточно малой (например, 300. или 30 Гц).; Та-
ким образом, такой сигнал можно передавать в уз-
кой полосе частот — 600: или 60 Гц ,вместон6000 Гц
при AM, т. е. в 10—100 раз увеличить число кана-
лов в заданном диапазоне частот.,. Прием же таких
21
! сигналов осуществляется! Впринципе очень, просто.
। |Сигнал подается;, на! слегка*1 расстроенный 'кол'еба-
! тельный контур, так чтобы средняя'частота соо соот-
ветствовала серрдине того участка резонансной кри-
вой, который ! с! некоторым~ приближением можно'
считать линейным. На выходе такой щепи> ЧМ сиг-
нал оказывается < дополнительно ! промодулирован-
|н!	I
11
i	< ii i < V' 1 г .	' • : , .... >,
"II ,	1 " 1 , r : Рис. 2t2 It i I III
 I. , W J/-! -! /I1 г ! уГ - т -I, П
- I  ' I ! । I 'll '	I,
ры^м 'но 1,амплитуде (рис. 2.2), после чего
обычный
>.1 амплитудный детектор может восстановить первич-
’ ный ।(модулирующий) сигнал. Из р1ис. ^2 видно,1 что
I. значение'девиации никак1 не должно1 оказываться
; 1 на рассматриваемых операциях', ^сли1 только до-
бротность контура выбрана' так, чтобы его полоса
i ! 1 пропускания,-1 отсчитываемая на- уровре'110,5/ |была!
немного1 больше удвоенной девиации. Поэтому,гео-,
, вершенствуя колебательный контур й добиваясь '
!повышения его 'добротности1, ।можно умйньшаты'де1-
' : виацию и, i следоватеДыю,»’ размещать .всеУболщре
Т'Ц’ каналов в1)заданном,диапазоне частот. ।	.	
'	,	i!	ИМ i: / - V Г । >	’	~ I
j ' ' 22	, ! / T i I.i1/ N! Y 1 ’	.	'	'
 S I I . !  ! I • '	' 1	' I- *ii . ’ ' • ’ •' : 4 ; ' !i; ! I I J
ю
ю
V
1	о	'I
Ошибочность такой точки зрения еще задолго <
до выступления Флеминга отметил. Дж. Р. Карсон! ю .
[16]. ЧМ сигнал имеет спектр, в ।состав которого Л
входят; боковые частоты!	(где й — любоена-
туральное число), и, таким образом,'теоретически
занимает бесконечно широкую полосу. Если 'даже i'
ограничиться дрй полосой ^частот,5 в которой распо-
ложенантолько наиболее существенная часть спек- р
тра, то и тогда необходимо будет учитывать хотя
бы первую пару боковых® частот <i>o±iQ. Таким: 'об-
разом,'>спектр ЧМ.. сигнала'1'определяемся не тодькр
девиацией; и не может быть более узким, чем спектр
АМсигнала при одинаковых'модулирующих! сигна-
лах. Несмотря на ясность этогО| вопроса, еще
в '1929: г.; некий Робинсон получил в США шатент !
 на применение узкополосной ЧМ для сужения спек-
тра передаваемого, сигнала. ш j : I l')	1 ! '	!
:	' Как известно,'IfB дальнейщем ! применение , ЧМ ;
вело к'расширению, а не сужению спектра, что уве- Н h
личивало помехоустойчивость,систем' связи. Но сей- ,
час нас интересует^' нр, это.- Поставим следующий '
вопрос; нет ли какого-то общего.источника погреш- !
ности в! рассуждениях одних авторов, отрицавших >
реальностЬ.1 боковых частот^ при .AM, и других, пы-" г
тавшихся! рсузнть используемую'полосу частот.'ипри-i j
менением узкополосной ЧМ?J ,i i Ф ' й
2.3. В ) ЧЕМ КОРЕНЬ .ОШИБКИ? '	> । Hh
....	 ' * а' । 'й г i	.	1 1
Действительно, такой: источник, существует, ihi,
рассмотрение его может быть весьма ' полезным.,
К* сожалению, В' известнойучебнойи.монографиче-' г
.ской литературе ему "не!уделено ।достаточного1 дни-  ,,
мання.1Ип|В настоящее время .некоторые .специали- । !
сты совершают ошибки. в основе которых1! лежит I
неумение четко различать два похожих^ но , отнюдь । ;
.	:•! у231!
.!. „ » 4 !   	, I'll " %  '	,, :
,Н 1' '	1 ' I I	| б I 'I	|
! не совпадающих понятий — мгновенная частдтй .сиг-
нала и частота его спектральной составляющей. ।
j ' При спектральном представлении сигнала в.ви-
де ряда Фурье он выражается суммой гармониче-;
ских составляющих, каждая из них является функг, ;
цией, заданной на всей бесконечной оси времени и
характеризуемой амплитудой, частотой и начальной i
фазбй. Строго говоря, понятия «амплитуда» и «час- ,
тота» можно применять только к такой гармониче- ’
ской функции, как Acos(<o?+q)), существующей при
—оо</<оо. Процессов, описываемых такими функ-
циями, в природе, по-видимому, не существует. Од-
нако представляя реальный процесс рядом Фурье
(или с некоторыми несущественными оговорками ’
интегралом Фурье), его разлагают именно по та-
ким бесконечно существующим функциям с неиз? u
менными амплитудой, частотой и начальной фазой. '
Но спектральное представление сигнала не являет-
ся единственно возможным и далеко не всегда са- ।
мым удобным. Часто реальный сигнал записывает-
ся в квазигармонической форме и	; ,
s(t) =Л (?) cos [<оо?~7-ф (?) ] •	:  \ 1	(2.5)
Такая запись очень похожа на выражение гармони- ,;;
ческого сигнала. Отличие лишь в том, что «ампли- ।
туда» А н «начальная фаза» <р зависят от времени. ’
 Частный случай такого выражения уже встречался ?
;в (2.1). Величина и0 в (2.5) не зависит от; времени ;
и, на первый взгляд, играет ту же роль, что и час-; ’ и
тота о в представлении Простого гармонического
сигнала	.
A COS (сО?+ф). ,	1 ' ,	.	. ,	'	; (2.6)
Однако удобнее определить «частоту» несколько
i- цначе. :	i; J*- r! । i ।	- >л
Рассматривая ; выражение1 (2.6), и обозначая
i в нем «полную фазу» (т. е. аргумент'косинуса) че-
24	• 1 U 1
рез ф (t) = ю^+ф, легко увидеть, что частота ю рав-
на производной фазы oj—с/ФIdt. Аналогично для’
сложного сигнала (2.5) определим «мгновенную ча-
стоту» и(0==</Ф/<2/—<jy0~-d(p/dt. Она является функ-
цией времени и в общем случае не равна <о0.
Автор приносит извинения искушенному'читате-
лю за то, что он пересказывает широкоизвестные
определения. Однако это' оправдано необходимо-
стью подчеркнуть некоторые факты, на которые
иногда не обращают внимания. : г
Итак,1 сигнал (2.5) характеризуется мгновенной
амплитудой (или огибающей) А(0, мгновенной,ча-
стотой <й(0 и мгновенной начальной фазой
Но этот же сигнал можно представить в видесуммы I
спектральных составляющих, каждая из । которых
характеризуется своей амплитудой-, своей частотой
и своей начальной фазой. И в том и в другом слу-
чае применяется термин «частота» по исторически
сложившейся традиции. Однако свойства мгновен-
ной частоты и частоты спектральной составляющей
во многом различны. Одинаковой для них является'
только'размерность (радиан в* секунду или, после
деления на 2л, герц). Что же 1 касается , других
свойств, то их различие представлено ниже.'
‘' Мгновенная частота । Частота гармонической составляю- . ’
• i ' !	;	щей спектраI	:
Является функцией времени : - Не зависит от времени , /
Для данного сигнала в дан-< Для данного сигнала': в любой:
ный момент времени принн- момент времени существует ко-
мает одно-единственное зна- ' нечное, счетное или несчетное,
чение ।	'' множество спектральных' со-
: ставляющих с различными час-
тотами т ji ।
При прохождении сигнала При прохождении сигнала че- !
через линейную цепь с по- I рез линейную цепь с постоян- '
стоянными параметрами мЬ-,, ными параметрами не изменя-
жет изменяться '	।	ется, могут 'измениться только' ।
Л ' Л-п ' 'амплитуды изначальные фазы
:	25
Не может служить аргумен- Является аргументом переда-
( том передаточной , функции ? (Точной функции линейной цепи ,
цепи	1	к' '	I nMJ11'
Измеряется (с той или иной; Измеряется с помощью, акали-, г
погрешностью1} с помощью заторов спектра, т. е? набора'
различного рода частотных фильтров (резонаторов) • или
детекторов (диСкриминато-Н I перестраиваемого резонатора
ров) : J ' L ।г / ' '
! ' !: *'1 ! .. !  ' ,
1 Обратим внимание :На третье свойство i спек- г
тральных составляющих. Именно оно (Является при-'
, чиной столь широкого использования Спектрального !!
1 представления сигналов. .Учитывая свойство супер- '
позиции, характеризующее линейные цепи, можно
свести изучение прохождения сложного сигнала
через линейную цепь к прохождению отдельных1 его
составляющих. В [Качестве таких составляющих'
удобно принять гармонические сигналы, так как р
, после прохождения через линейную цепь с постоян-
ными параметрами они остаютсягармоническимии
сохраняют свою: частоту. Если; знать изменения, ко-
торым подвергаются амплитуда и .фаза'такого'гар-ц
! ионического сигнала при прохождении через, цепь /
(т. е.'передаточную функцию цепи), то,; пользуясь
методом!; суперпозиции, можно сразу получить ре-
зультат прохождения всего сложного сигнала,* Дру-И
гимн I словами, при исследовании прохождения *сиг-|’
|нала через линейную цепь спектральное8 представ-
ление позволяет заменить 'операцию иинтегральной. !
свертки более простой опер^ней — перемножением d
двух функций.р	#*Ы|I । Р* , ' ’! ' Рр''р
Представление!' (2.5) 'свою очередь, очень удоб-
но при изучении прохождения сигналов через без-
ынерционные нелинейные цепи/ например квадра-
j Pop. При определенных’’условиях! А (/) и to(£)ioKa-
I зываются медленно' изменяющимися । функциями
времени, чр позволяет получить ряд полезных точ-
ных, или приближенных результатор. Но для изу-
чения прохождения сигнала! .через линейную цепь
представление (2.5) не всегда, удобно.- lb, |!	;
За^етнЫ !также, что для идеального гармониче-
ского сигнала Л.cos (и(+ф) (—оо</<оо) 1мгновен-
ная частота & является'; постоянной -и совпадает
с частотой единственной спектральной1!1 составляю- !
.щей.  	.	1-1	- *	
’ 'После этого краткого отступления легко' понять,
что явилось первопричиной ошибок в спорах о су-1
ществовании: боковых частот при AM и о полосе
частот, занимаемой 1 узкополосным 1ЧМ сигналом.
Только в результате Смешения понятий мгновенной
частоты, и частоты; спектральной вставляющей мог-, I
ли возникнуть те недоразумения, о которых здесь ;
идет речь." ! j 1 ,!	, Г । ’ г ‘ Г* i
Действительно, AM сигнал (2..1)1 А (!/) cos г
j
Н-<Ро) имеет! переменную огибающую Л(£) и посто-
янную мгновенную, частоту <до. По аналогии с цро-J
стым гармоническим сигналом !(2.6) Флеминг и erq |
единомышленники ртождествляли эту мгновенную 1(
частоту с частотой якобы единственной, спектраль-1 
ной составляющей. Точно так же изобретатели «уз-,	‘
коиолрсной» ЧМ, не видели разницы1 между; множе- ,
ством частот, .входящих) в спектр сигнала, и мно- '
жеством,;значений,[Принимаемых мгновенной часто-
той. । Поэтому' они отождествляли ширину спектра С,,
с областью изменения мгновенной частоты сигнала. , ।
Отметим одно' интересное .обстоятельство.1 В гте i
времена, о которых'идет'речь,;1 радиоинженеры, го- , н - .
воря о частоте негармонического1)сигнала* обычно '
имели в виду мгновенную ча'стоту/хотя этотгтерминН| . .
тогда еще широко не!Использовался. Такое пред- J
ставление о частоте для, человека, привыкшего one- , г-
рировать' простыми I. гармоническими '^си^налами,
।	1	\ 1 , JA I.'	!	‘ ’I, I1’’/'27 т "'j !
проще и естественнее спектральных представлений. 5
Именно на этой почве возникали-парадоксы и оши-
бочные заключения, подобные изложенным выше.
2.4. ОБЖЕГШИСЬ НА МОЛОКЕ...	,	J ;
Время' шло, различные виды модуляции ’ внедря- 1
лись в технику связи,1 возникали многообразные
। задачи о прохождении сложных-сигналов через ли-
нейные цепи, эти задачи решались; чаще всего ме-
тодом спектрального анализа с использованием пе-
редаточной функции цепи. Примитивный подход !
с подменой спектральной частоты мгновенной-при-
водил к ошибкам, а спектральный анализ, приме-
нение амплитудно- и фазочастотных характеристик< .
становились все более обычными и понятными ин-
женерам. Не удивительно, что в результате у'не-
которых специалистов возникло предубеждение-
против самого понятия «мгновенная частота», ко-
торое к тому времени уже. было явно сформулиро-
вано.	'
Пожалуй, в наиболее ярком виде это неприятие
мгновенной частоты выразил Дж. -Шекел/ обратив-
। шийся в редакцию журнала -Proceedings of the
- Institute of Radio Engeneers с таким письмом [52]:
«В недавно напечатанной статье систематически - '
.' применяется термин «мгновенная частота». Многие
- авторы уже отмечали, что этот термин , .является ,
! ошибочным, и вводящим в заблуждение, особенно '
при рассмотрении частотной -модуляции. Ниже мы
предполагаем показать, почему этот термйн не при- 1
меним, и надеемся,, чТо после'этого1 он навсегда ис-- J
чезнет из словаря инженеров связи». Далее; в-этом'
и i письме говорится, что мгновенную частоту можно .
; определить,' совмещая в данной точке заданную
< - функцию и две ее производные с синусоидой, удов- :
•-!? * летворяющей, как известно, дифференциальному-
• ' i*	4-i - ; i 11	; • - л.- .. -  . I •	' л.... ..->
28 - : : : ;	,	-	’	_ J ,
уравнению	। ।	1
s"-Ho2?=o>	; Л	(2.7)1
Поэтому мгновенную частоту; любого сигнала еле- '
дует вычислять как / ,	, ,,
<0—	I " ;		/		. ' . (2.8)
Приведя такое произвольное определение мгновен-
ной частоты, Шекел применяет его к сигналу з(£) =
=sin g(t),,причем мгновенная частота Сказывается
равной. V'(g')2 — g" ctg£ вместо, как он говорит,,
ожидаемого «интуитивного» значения g'(t).' Полу-
чив явно нелепый результат, Шекел, вместо, того! :
чтобы отвергнуть свое определение, ополчается в 1
первую очередь на Представление частоты какпро-
изводной фазы и в итоге вообще отвергает понятие
мгновенной'частоты. Заканчивая свое письмо, Ше-
кел,Пишет: «Поэтому легко понять кажущиеся па-
радоксы с такого рода >утверждениях „максималь- ' '
ный отклик резонансного /?АС-контура !на .напря- ’
жение с> переменной частотой имеет меуго не тогда, j
когда мгновенная частота совпадает с резонансной , .
частотой контура” или ’’спектр ЧМ колебания' зна-
чительно шире области изменения мгновенной ча- 1
стоты”. Эти утверждения ошибочны, поскольку они '
.основаны на интуитивном, но неверном понимании/
термина» (см. также [53]). i !	.
Обратим внимание на интересный факт. С 1929Г.,
когда Робинсон получил, патент на узкополосную
ЧМ, до 1953 г., когда Шекел опубликовал евое . /,
письмо, прошло 24 года. За это время отношение;
к спектру и мгновенной частоте в корне изменилось. /
Робинсон считал реальными только мгновенные ча-
стоты, Шекел—Чолько спектр. - ,, ;	(
!Не следует думать, что Шекел был одинок. Он,
только в более категоричной форме/, высказал мыс- s ,
' / а	;	‘/,	29, и
ли, которые в 50-х годах1 разделяли многие ученые.
Приведем в качестве примера одно место из рабо-? ।
! ты академика А. А. Харкевича [48] ,< которая в то У
время была бесспорно /лучшей книгой, трактующей! , ;.
вопросы спектрального-анализа сигналов,1 во мио-L J
1|гом опережала' 'аналогичные зарубежные работы! и ” 1 "
сыграла выдающуюся роль в воспитании не одного,
поколения инженеров связи. В одном из добавле-.
ний к этой книге автор ее рассматривает) широко ’/
распространенную в‘-те времена теорию радиолока-
ционного; частотно-модулированного альтиметра. " । 1( (
Напомним' современному читателю сущность ' (
I этой, теории. Альтиметр предназначен для ’измере- j ),
ния высоты самолета надповерхностью Земли. Для ( ’ 1
। ( этого с самолета посылается сигнал, модулирован- J ! ;
I I ный по частоте по треугольному закону^ Отражен-! !
г ный от Земли сигнал принимается бортовым прием-’
, । ником. Его частота изменяется по тому же закону, . | 
но с запаздыванием на т=2й/с, где h — высота; с—J! ; р
, скорость, электромагнитных волн (на ;рис. 2.3 изме-! ’ )!
। У нение частоты излучаемого сигнала показано «не- ц > -
!	! прерывно^’линией, а-принимаемого — штриховой).
На протяжении большей части времени разность
частот передаваемого и принимаемого1 Сигналов г, / ।
/ остается! постоянной и пропорциональной(т, ’а'/сле- '
! ' доватсльно, и h. Сложив излучаем,ый и отражен-
! ный‘сигналы, получим биения с разностной-часто- И
, той, которую можно выделить и измеритьчастрю-
|.\ мером>;'определив'тем самым’высоту’шолета. Ь’ Ым
! ' « По ;этому поводу А. А^Харкевич писал- «Стран-У!!
I но, что это: наивное и в корне неверное описание
' удерживается в'течение долгих лет’в технической Н
j литературе,'тогда как’Общие ошибочные представ-)1
ления о частотной ((модуляции давно уже разобла- , t
чены и отброшрны.’Юшибка настолько очевидна,/что ,
прямо-таки бросается в глаза. Она, основана ' на
смешениИ| спектральной и- временной точек зрения1
'и * вытекающем из этого смешения легкомысленном
обращении с понятием частоты... Дело в (том, что
периодически модулированное по частоте колебание
есть, квазипериодичеркий процесс. Следовательно,
такой сигнал обладает дискретным спектромгс ин-
тервалами между.линиями, равными 'частоте моду-
i
CJ(t-t) . t
Wl7
• 0
t
‘ ,'Рис. 2.3 I
ляции. Но спектр отраженного сигнала имеет точйо '' I
такой’же вид, так как сдвиг повремени не влияет ।
на спектр ‘амплитуд: Следовательно, и спектр.ре/
 ' зультирующего ।сигнала !(т.1 е.' суммы (прямого >и М
отраженного: сигналов) будет обладать спектром из ।
, так же расположенных дискретных линий, и/ника- ' . !р
ких пл авно ‘изменяющихся частоту пропорцион аль- ; i
ных запаздыванию, не возникает;^ не. может воз-^.Ц, В/
 никнуть, какую бы' нелинейнуюд(|рбрдботку этого.
спектра мы ни предприняли».! •'	.U’A't
• Итак, никаких1' биений в ЧМ альтиметре' не мЮ- >
жет возникнуть. As тем не 'менее 'самолеты, обору- ,
 дованные этим, альтиметром,! летал» д высоту изме- ;.. i
I
ряли. Чтобы это как-то объяснить, в упомянутой
книге строится довольно сложная теория, поясняю-
щая возникновение периодических изменений оги-
бающей без. использования понятия мгновенной
частоты.	7
Точку зрения А. А. Харкевича вполне можно
понять. При подмене частот спектра сигнала его
мгновенной'частотой возникает много ошибок. Не
1удивительно, что у ряда исследователей появились
предубеждения против использования мгновенной
частоты и стремление описывать сигналы только
с; точки зрения их спектральных составляющих.
К чему ведет такая боязнь нестрогости в использо-
вании спектральных представлений? ,	'; s
2.5.	ПОПРОБУЕМ БЫТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ;	:
Примем на время точку зрения, выравненную
А. А. Харкевичем и, еще более определенно, Дж.
Шекелом в приведенных цитатах. В соответствии
с ней нельзя ^пользоваться представлениями. об, ам-
плитуде или частоте, которые изменяются во вре-
мени. Каждая функция может 'быть либо строго
гармонической, либо негармонической. В последнем
случае ее можно описать некоторым аналитическИ|М
выражением, в частности рядом или интегралом
Фурье, Под запрет должно попасть и понятие мгно-
i венного ^спектра, так как все спектральные состав-; -
ляющие существуют вечно. Тогда:мы должны объ- :
: явить 'неграмотными или не : имекицими смысла
 следующие фразы:	j
«При частотной манипуляции частота излучаемо- 4
го сигнала .меняется скачком В .моменты времени,
кратные Т».	7 1	' 1 J :	1
] :	«В нашем передатчике используется высокоста-г =
бильный генератор, частота которого в течение су-
. ток.меняется1 не более чем,на Гц», и,	' 7
н .33	;	'	' У '	, 1
«Спектр сигнала, модулирующего радиовеща-
тельный передатчик, изменяется при переходе от
речевой передачи к музыкальной». ;	1 1	;
«Утром я включил генератор гармонического
сигнала».	'	1
i Вместо первой фразы нужно было бы говорить,
что «при частотной манипуляции сигнал описывает-
ся формулой $(/)=Л [X cos	—X) costi>2Z], где
X—случайная величина, принимающая; значение О
или 1, которое1 определяется передаваемым сооб-
щением и может изменяться р ’моменты времени,
; кратные Т». Ц J ; . 1
Вместо второй фразы — «Наш передатчик излу- ;
чает спектр,’часть которого,'’лежащая вблизи несу-’
щей частоты ®, сосредоточена в^очень узкой поло-’
се» (для количественной оценки стабильности при-
шлось бы вводить много вспомогательных величин)'.1
, , ‘ Что касается третьей фразы,1'то мысль о разлцг ’
« чии спектров 'речевой и' музыкальной передач, ка-
; жется, вовсе невозможно выразить,: отказавшись от .
' понятия мгновенного спектра. Последняя фраза >
оказывается1 недопустимой потому, что сигнал, на- i ’
' чавшийся в некоторый момент времени, не'может
быть гармоническим.	:	г
Еще больше затруднений возникнет при попытке ;
 пояснить: частотную модуляцию, не прибегая’к поу
нятию мгновенной’частоты.'
. Таким’образом, отказ от представления’о> пере-
менных амплитуде и частоте, хотя и предостерегает
от опасности впасть в некоторое заблуждение, при-
’ ..водит к огромным неудобствам при описании про- ...
стых и привычных явлений. Представление; слож-
ных (негармонических) сигналов: в виде (2.5) ивве-: у
дение огибающей, мгновенных фазы и частоты
чрезвычайно полезны. Необходимо только помнить, .
что с мгновенной частотой нельзя обращаться как
3—3413' ’	• 1 ’ нл : Т”
। с частотой составляющей f спектр а (в частности, при: ,
изучении прохождения, сигнала через i линейную ,i
цепь}. ; i < '.!!и,J ’ , ( -	- I ' Jr < у
Примерно так же обстоит дело с понятием мгно- ;
।  венного спектра, точнее,! спектра, изменяющегося во
временив Представление о таком переменном ./спек-
тре очень наглядно и широко используется-инже-
нерами, обычно, не1 задумывающимися о югОрфизиче-
ском смыслеи математическом выражении.-Об этом
задумался С. М. Рытов [36], который показал/что!, и
сущность, такого‘Представления в недоведенном до ,:
! конца' преобразовании! Фурье. Грубо! говоря,. вместо ,
! трго1 чтобы рассматривать 'спектр1 всего1 сигнала, : |
, заданного’на бесконечной! оси времени, мы'ограни-
чиваемся его спектральным разложением !на крйеч- (
! ном интервале длительностью Т. Ясно,! что !на раз- 1
I личных1 таких интервалах1 и «спектры» будут'в об-
щем случае различны. Такое представление весьма
удобно и адекватно решаемым техническим зада- !(
чам, если , используемые приборы не могут разде-
лять или различать частоты, отличающиеся на 1/Т.
!	 7	' ' .	' ! '	" ’ < / '!'!!'! ' '! - 1ь1 U "
2.6.	К ТЕОРИИ ЧМ АЛЬТИМЕТРА : t . i, !	, г
' / 1 J. Теория ,ЧМ альтиметра/ подвергнутая критике н
/ А/'А/йХаркевичем, является,' приближенной. Тем не |!
' менеф она; не только очень, наглядна,, но и вполне
। обоснрварн'а.' Дело! в том, что явление биений, на
котором1! йостроено объяснение) дейртвия' альтимет- I
ра, принадлежит не спектральной ^теории,1 а отно-
сится, к круг}’ вопросов,.(связанных,5с квазигармони-,
ческим! 'представлени.е'мг сигнала с огибающей и
। (. мгновенной частотой. В этом легко убедиться, если,
1 -вспомнить, в' чемГ заключается ' сущность’ ! биений; !
.' При сложении двух гармонических сигналов! с близ- •
I кими частотами pi и '«а огибающая сум'мы содер-1 ,!
; :Н р Ф1' !	 4 ' ' 'ч ' !|" !	1
жит периодическую составляющую'с основной ча-' И
стотой ]й>1!—i(o2|. В этом определении без! термина
«огибающая» обойтись нельзя J; Т । ।’ h । i' ।
.1 Явление ।биений' наблюдается ирпри Сложении
квазигармонических сигналов,, если ;щх'огибающие >
• .постоянны или меняются* достаточно1 медленно, что- । !!
 бы не замаскировать биений. Рассмотрим,1 напри1-!
мер, сумму двух ЧМ сигналов с мгновенными' ча- *
СТОТЭМИ £01 = (/Ф1/(// и £О2=4/Ф2/^/:	1	 ' ,
в1(0+«2(0=>11,СО8Ф1(0+Л2СО8]Ф2(0,.	(2.9) 4 !
Пусть для определенности Л 1>Л2. ^Обозначив
Д(0=Ф2(0~Ф1 (0, можно записать:.| i ’j'	' '
S1 (0 ~Ь S2 (0 = л 1 cos Фх (0 Д Л2 cos [Фх (t) Ц-- А (41 “ ‘ '
— ДcosФх(/)ДЛ2 cos A (Z) cos Фх(/) —|Ц ’Р‘|!!! j., j 1'. J' -
— Л2 sin А (/) бшФх (0 —• [Д + Л2 cos А (/)] cos Фх (/) -4
’“AsinА(/)sjnФх(0=^ '4	i', ,!,Л A. ;"i 7'	,
=/|ДД ДоовД (^]2Д ЛДщД A (OiCOs [Ф? (/)+«Г (/)],!, !
'	11 II!	л ..sJr* I ] li J If	j I
*!’- II	I ii	.	. , , 	.J: il 1 41 I If i .. i i	*j  i 1
„г,» w/л !	~ Л2 siri Д (t) !	1 I
.где.Wfl.^apctg-j—rA—-r-A 	<i ' и|
i/'p &Л1+Лрсо^|Д(0	1	1 , I 
ii I	i ' ।	' И j*	1
” Огибающая суммарного сигнала
•V [Д А;Л2£О8|Д (OP 4~ sin2 А (/) = f !‘ !' р
= Д 4V4" 2ЛХЛ2 cos А (/) Д [|1 Д. । .ii '• |.ii" ।
+£V>J1)COSA(0]I. Д  !/ f г	I;. ' Г Ч|
изменяется Д мгновенной частотой d&/dt==(d2(t)—t
—toi(/).' Так как эта разность Часто? 'значительно ;
меньше мгновенной частоты сигнала,! можно !дегко .j' ;
выделись1 .огибающую с’ помощью .детектора, и из-;'!Н
мерить ее'частоту. нТакцм образом, обычное оииса- ! s?
ние- ЧМ'альтиметра вполне; обоснованно.; 4 Л, ' | 4 ।
з*  ! ь 'AA' 1 'л ' /л 44 14
. А, || 8 ' . iif ' 1	' ". 1 ’ A- .1 4 .Li. .	'
35
2 7.'СУЩЕСТВУЮТ ЛИ РЕАЛЬНО СПЕКТРАЛЬНЫЕ
СОСТАВЛЯЮЩИЕ? । ,
' Вернемся к 1930 г., когда Флеминг отрицал ре-
альность существования! боковых частот в AM сиг-
нале. По этому.,поводу во многих книгах написано,
что ошибочное мнение Флеминга было опровергнуто
: экспериментально; — ^боковые Частоты были выде-
лены из AM сигнала резонансными системами.
Один из наиболее эффектных опытов, был проде-
монстрирован Л. И. Мандельштамом и описан в
книце [12]. На обычный язычковый частотомер, ис-
' .пользуемый для измерения частоты промышленно-
? то переменного тока, подадим напряжение от сети,
включив последовательно с источником телеграф-
ный ключ. Когда ключ замкнут,, резонирует один из
язычков, настроенный на частоту 50 Гц, если ча-
стота сети соответствует номиналу. Теперь будем
периодически прерывать ток ключом, замыкая ,и
размыкая его, например, 2 раза в секунду. Спустя
некоторое время наступив установившийся режим,
I при котором частотомер отметит помимо, несуЩей
частоты 50 Гц наличие двух' боковых'частот—52 и
43 Гц. ; ! ;	’	1 ч '•
Говорят, что этим опытом Флеминг был повер-
жен — реальность существования боковых частот
была доказана. Но позвольте, каю следует понимать
, слова «реальность существования»? То, t что было
। доказано описанным опытом и многими .другими
1 экспериментами, это возможность ’выделить из
сложного модулированного сигнала простую гармо-
ническую составляющую боковой частоты; .Допу-
стим, что это не удалось1 сделать. ТогдаНбоковые
частоту следовало. 6pi объявить реально не суще-
ствующими? Принять такую точку зрения довольно
опасно. Покажем это на следующем примере. 1 '
Рассмотрим импульс любой формы длительно-
стью t от Oi до Т. Известно, что его спектр пред-
ставлен интегралом Фурье. На некоторой частоте
Qi он содержит гармоническую составляющую,; оп-
ределенную на всей оси времени оо</<юо. Мы
убеждены, что эта составляющая реально сущест-
вует. Значит ли, что ее можно (хотя бы в принци-
. пе) выделить из импульса? Если бы „это было так,
то нарушился бы закон причинности-—гармониче-
ская составляющая появилась бы до того, как воз-
ник сам импульс. Действительно, если подать этот; <
импульс на любой сколь угодно узкополосный фи-
зически реализуемый фильтр, то он \ пропустит не (
одну гармоническую составляющую, а некоторую
часть спектра импульса с определяемыми фильтром 1
изменениями амплитуд и фазовыми сдвитами со- ।
ставляющих. Можно показать, что, просуммировав,
эти составляющие для любого момента времени
t<0 (но не для t>T), получим нуль. и
Таким образом, одиночную гармоническую со- .
ставляющую импульса выделить принципиально
нельзя. Как бы ни была узка полоса пропускания
фильтра, при воздействии одиночного i импульса,
имеющего непрерывный; спектр, !через фильтр ,прой-;
дет часть' спектра импульса, содержащая контину-
ум частот. Если бы вместо одиночного импульса мы
подали;1 периодическую последовательность одина-
ковых импульсов, спектр которой линейчатый, то
достаточно узкополосный фильтр мог бы выделить
гармоническую составляющую. ! '
гМожно ли на этом основании’говорить,'что дан-(
ная гармоническая составляющая реально сущест-’
вует^только в периодической последовательности
импульсов, а в одиночном импульсе ее нет? Без-'
условно, нельзя., Всякое математическое представ-
ление сигнала в вйде суммы каких-то составляю-
	'	' - Jml	\	\ ;	37
1гШйХ, если оно записано верно, определяет реально
'существующие слагаемые.! Эта ^реальность? £ее мож-
но называть лшяе^цтмчесдом)1 выражается(!щ' воз-
можности пользоваться' данным представлением
,в любых: расчетах.-Дногда'можно выделить? каку ю-
, 'либо составляющую^ тем гсамым придать ей физи-
ческую 'реальносцу. jHo даже' если этого! сделать
Нельзя, соответствующее1- представление не следуу?
! считать фцкцией: оно тоже1 реально.- ' ,	। ЛМЩ
!Р Можно провести' аналогию (правда, весьма «от-
даленную и, может быть, чересчур смелую).q не-:
. которыми 'фактами из физики высоких энергий. До?
J современным : представлениям, г адроны состоят' из
«проточастиц» — кварков,Этат гипотеза получила •
столько подтверждений и позволила предсказать
! столько новых явлений, I что в настоящее - время ,
практически все физики1 убеждены в реальности су-'
ществования Кварков. Однако никто не наблюдал^
свободных кварков, и в последние, годы ^многие по-1
лагают, что выделить, кварки из адрона принципи-
, ально I невозможно.' Здесь невозможность выделить 1
также не противоречит |реальности существования.
!' : ДтДк, нет- никаких сомнений, что Флеминг и дру-
гие авторы* отрицавшие реальность боковых частот.
! AM сигнала, заблуждались Однако нельзя безого-
, i! ворфно согласиться и с теми их оппонентами, кото-
, рые считали, что, только выделив спектральную !сор
। 1 ставляющую резонансной- системой, ' ’можно?дрка-
- зать'ее-реальность. Быть мржетр-в! аргументация*
, Флеминга былр больше здравого смысла, чем обыч-
'но считаюд., Jii.; .ip ,, in ' i, р-р к
3. О ! КОМПЛЕКСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИГНАЛА Г
, j.ii ; ф, i	Эта глупышка, очень любила при-1
1 у ' I .	\ творяться двуиЛ рлзнммм девочками'
Ъ* I	1|! ' I	,	.	Льюис Кэролл): % Алиса	в, ^стране;!
।	! 1	'	I		. r i! '-id . . : ч.
I I . i '	' b.	j-j 4,s	..
3.1. ОБОБЩЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА / ,	!
IS! ’ 1 i '		' ‘	!
1 ^Гармонический сигнал u(t') —A cos (<o/-]-(p) мож-
' но записать в экспоненциальной форме;	.
J . (3U)
* I I I , ।	М ’ йI ||/!|
-либо 1 ' , . !' !' /	,  	! !г - <Й
|! . !	. '	'	1 " I . , л
u(/)^Re’-{Ae^+4>)}'.	(. । (3:2)i
I При механической интерпретации5 .“выражение
(3.1) означает замену! колебательного сдвижения-
вдоль, прямой двумя’вращательными1 движениями
I с постоянными угловыми? скоростями! ®0 И —©о
(рис. 3.1,а),: афыражение (3.2).!—(Представление !к0- Н
лебательного! движения в виде 'проекции( одного ч
вращательного движения с положительной угловой
скоростью ©о (рис. 3'1,6). Выражение в, фигурных;
скобках (3.2) является комплексной функцией дрй-’ i
ствителщюй переменной ,	। 1 1 !	! ',П-
«(^^Ле^^^Д^соэ' (®H-<p)-H S|in (®^-тср) ], (3.3) !
действительная часть!'которой совпадает с1 йсход- 
ним .гармоническим сигналом u(t), а мнимая часть!
а(,/)|=Л sin '(®/-Ьф) отличается от исходного' сигца- !|
ла'поворотом; фазы! на—п/2 и может.бцть^н,азвада
сопряженным гармоническим сигналом/' ! 1	<
При решении многих задач теорищ цепей удоб-
но- вместо гармонического сигнала;'рассматривать :
комплексный: сигнал? й (/) । или его?1 комплексную ам-
плитуду :-А^Ле1ф,;!^ак1известно^м!ет.од:'решения? 3af-ji
” 1 "	‘ • f ' /	. •• Ч-”.
। дач путем замены действительной гармонической
функции комплексной; амплитудой, называемый
символическим методом, наводит широкое приме-
нение. '	'
Рис. 3.1
Обобщением символического метода является.'
представление сложного (т. е., не гармонического)
сигнала ,u(t) в виде действительной части ком-
плексного сигнала i	; у >,
й(0==и(./)-Но(/)-, ’	' 1 , J ; t  ' (3:4)
где v(t) —пока не определенный сигнал, сопряжен-
ный с и(0. Переписав (3.4) в экспоненциальной i
форме ' I	!
! « (0 =А (0 е‘фФ=Л (0 [cos Ф (0 - М Sin Ф (0 ],  ' • (3.5)
где, очевидно,	; ,	'
А (0 созф(0=м(0; 4 (0 sinO(0:t=v(0,' j (3.6)
можно определить огибающую сцгнала Ь
Д(О=К«8(04-»2 (0-	>	1	(3.7)
его полную мгновенную, фазу  .	!
i O(0=arctg [ц(07«(0] ;i ‘‘	।	; ^3.8) !
40	!	' =1	Ч'' : '	' Й i
и мгновенную частоту !
Wn —— v'	(0^(0 р ; /о qs
.< Я “ dt — Ч* (() + ог (0 ' I	V
' дштрихи обозначают производные по /). j 1 '
 Наконец, задавшись некоторой средней часто-
той ы0 и определив Мгновенную цача^ьную фазу
' ф(/)=Ф(/)—и0/,	(3.10)
можно записать исходный сложный сигнал и(/)'.
в квазигармонической форме, аналогичной (3.1):
и(t) —А (() cos [йо^4~ф(0]> ।	(3.11)
или в форме	!, j :.
u(t) = Re {Л(0eiaо'},'	.! i и. i, (3.12)
где A (/) =A (/) e1’^—комплексная огибающая сиг-
нала. ; '	!	!
Замена сигнала u(t)' его, комплексной огибаю-
щей представляет собой распространение символи-
ческого метода на сложные сигналы: и удобна при
решении многих задач.	,	.
3.2. ОДНОЗНАЧНО ЛИ ОПРЕДЕЛЕНЫ ОГИБАЮЩАЯ
И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА?
Прежде всего заметим, что мгновенная началь-
ная фаза ф(£) и комплексная огибающая A(J) за-
висят от выбора средней частоты йо, а поскольку
йо задается произвольно, то об однозначности опре-
деления ф(/) и A(t) говорить не приходится. Одна-
ко действительная огибающая Л(0, мгновенная
полная фаза Ф(/) и мгновенная частота й(/) не за-
висят нот йо и целиком определяются функциями
и(1) и&(/), по формулам (3.7)—(3.9). В частности,
й(/)=йо/4-(/ф/<// не зависит ют йо, так как при из-
менении йо соответственно изменяется и d^fdt. По-
I1	,	- I.....
М'Ому если установить некоторое правило, йо кото-
рому из сигнала : и (/) 'определяется сопряженный
сигнал v(f), то тем Самым ^удут однозначно опре-.
делены Л(0, Ф(0, и®(0- Заметим,1 что если из .
! четырех функцийНи(/)ир;(О, Л(/) иФ(/) задать^две '
любые, । остальные,1 определяются 1 однозначно! по
уравнения^ (3.6);.'t '' 1 И I ! it: ’Г';
। Таким образом, вопрос об (однозначном? опреде-
лении огибающей, мгновенной полной фазы и мгно-
венной частоты1 fсигнала сводится к определению'
сопряженного, сигнала'v(i) по! сигналу u(t). Веро-
ятно, ' читателю известно, что обычно сопряженный
\ сигнал выбирают как' преобразование Гильберта от
. , u(t). Сущность преобразования* Гильберта зйклю-
' чается в повороте фаз всех спектральных сост’авля-
' ющих на — л/2 в области полржительнь|х частот и
На л/2 в области отрицательных частот. В резуль-
тате спектр комплексного сигнала	где
й(1) получен из u(t) путём преобразования Гиль-
берта, сосредоточен целиком в области положи-
тельных частот. (Подробности о преобразовании
Гильберта'и все относящиеся к нему формулы мож-
но ~ найти!, например, в [5, 6, .11, 20, 24, 45].)
В Дальнейшем будем обозначать преобразование
^Гильберта от х(Д) через х(f).	?	1	! ,
.Почти во всех работах, где этот вопрос рассма-
тривается,'отмечено, что огибающая,'"мгновенные
' фаза и частота удовлетворяют ^некоторым естест-
венным и удобным требованиям, только ес^шфунк-
i ция Hi(/)li'сопряжена с. « (/) ..,по' ’Гильберту. Это,
, вообще ,'говоря, ?| верно. Однако при' перечислении
указанных'' требовании 'многие!! авторы совершают’
грубую ошибку.; Сейчас уже трудно сказать’!'кто.
Ошибся первым. Но более десяти лет в ряде учеб-;
' |! ников и монографий;'переписывается с 'небольшими
вариациями следующее: утверждение. '	1 ’
' ,	.	”	 ! I Д. , с' ' -ГЧ '(	,|	'	।	|
Для,'заданной функцийГн;(()Тогибающую A(t) *
в (3.11) можно определить ^различными-способами.
Потребуем1, чтобы функция Л (0 удовлетворяла Л L
следующим двум условиям, которые','собственно !го-
воря, и оправдывают термин «огибающая»: । * р, , Л1 । ’
| при любом значении Л
2. При тех значениях t; при которых предыдущее
неравенство обращается в равенствр!* т'.! е. огибаю- |
щая A(t) и функция |«(/) ] имеют общую*точку, их I
производные также совпадает' т.;е. их' кривые име- р ,
ют общую касательную.,	!! I 1 | '•	' ЛЛ ,
Тогда огибающая, удовлетворяющая этим :усло-(
виям, определяется однозначно'—как модуль ком- 1
плексного сигнала й(/) (3.4), где u(t) — преобразо- ,
вание Гильберта от u(t).	।	। -i i:‘ И
* Приведенное утверждение ошибочно. Перечне-1 '
ленные два условия удовлетворяются' не';только| при
выборе в качестве, мнимой ч'асти комплексного !сиг- ! ,
* нала ^преобразования ,Гильберт1а от и (Г), но и дри ' '
совершенно произвольном выборе любой непрерыв-  '
ной функциив. качестве v (/). В этом;' лер ко убедить- ! ।;
ся. По определению, огибающей,, ijj ЛЛ !«Л, i ‘ Л 1 !г
J , „ \	| . I > • ’ . 'Г'; !	-1 i
.МУ = 1	и	I'Днh,
" И I	' I !
.""'Л л I . I, ,  '
•' Vrh -(ЗЖил
’	/ 'ОиП Л; Л-"	1 .• , ЛН
Здесь везде радикалы обозначают арифметическое , 
значение корня. Неравенство (3.13) обращается ./
в равенство при тех значениях /, для, которых, р
v (,/)=0. Производная огибающей >Л "	,, Л
Л.Л ,!
. (3.14) Ц
i " 'r'j i ।

К/,Ч7)-г^=(0
Положив в (3.14) у(О=0, найдем, что в точках
совпадения А (/) и |м(£) |	;	>
ЛЧ0 = «Ч0т^=.«Ч^гп«Ю = 1«(0Г ’ . (3.15)
|uAlJ I ; .	।	' ii	'
Таким образом,?для выполнения условий Т и 2
вовсе не требуется, чтобы непрерывные функции
u(t) и v(t) были связаны преобразованием Гиль-
берта. Почему же в таком случае в качестве мни-
мой части комплексного сигнала tl(t) почти все
1 авторы используют преобразование Гильберта от
;	i. ||	;
, Короткий' ответ на этот вопрос: использование
преобразования Гильберта’'вместо произвольной
функции v(t) позволяет помимо условий 11 и 2 вы-
полнить и другие условия, при которых удобнее
пользоваться огибающей и мгновенной частотой.
Впрочем, далеко не все пожелания, касающиеся
естественности и удобства использования огибаю-
щей и мгновенной частоты, удается выполнить с
помощью^ преобразований Гильберта. Одно из
естественных условий, которое;при использовании
преобразования- Гильбррта выполняется, заключа-
ется ;в следующем. ч	‘	1
' 3. -Огибающая должна быть определена так,
нтобыдля гармонического сигнала она совпадала
I с его обычной амплитудой, а мгноренная частота—
с обычной частотой.
Вот’это условие, как легко проверить, выполня-
ется не при любом выборе сопряженной функции
v (f) .i Теперь уже видно явное преимущество гиль-
। бертовского сигнала, у которого' v	перед
другими комплексными представлениями с > произ-
вольным : выбором ^сопряженного сигнала v(t).
Однако является ли:!гильбертовское преобразова-
ние единственным, удовлетворяющим условию , 3?
3 3. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ'СОПРЯЖЕННОГО j
.СИГНАЛА !	,	,
- На поставленный выше вопрос приходится от-|
ветить отрицательно. Можно" различными, способа- (
ми определить сопряженный сигнал п((), чтобы
вытекающие из этого определения значения огибаю-
щей и мгновенной частоты удовлетворяли уело-
Вию 3. Многие авторы прямо или косвенно предла-
гали для узкополоснйх сигналов м(/) следующее*
комплексное представление:	 . 1
и (f) = и (t) -j- i f (0 > гДе о(0 = ~ и' (О У — и (t),
i	’	(3.16)
При таком'определении сопряженного сигнала оги-
бающая ;	:}	I
A (t) =:	=]/«’ - и (и'?!и".	' (3.17)
(для упрощения записи аргумент t опущен)1. Лег-
ко проверить, что для любого гармонического сиг-
нала отсюда получаются в полном соответствии с ,
условием 3 значения А(/) — А и со (/)=(»;	<
Несмотря на это, преобразование (3.16) не удов-
летворяет другим естественным требованиям. Де-* г*
ло в том, что при незначительных изменениях u(t)
функция v(t) может изменяться в Огромных пре-
делах. Например, заменим в гармоническом сиг-
нале u(t) на небольшой части периода синусоиду
прямой линией (штриховая на рис. 3.2). Это мо- > \
жет быть, например, вызвано добавлением очень
слабой помехи и почти не отражается на ходе
,«(0. В то же время на этом участке и"(0 — 0, так  *
что v(t), а с ней и «огибающая» принимают беско*
нечное значение. Более того/при ничтожно малых'
приращениях u(t) вторая производная может "из- ,
менить знак и тогда .в (3.17) вообще нельзя из*
влечь корня* _ . _ _ .	.
.	’ .4 Г I * '	3	/ 45
В соответствии с этими соображениями jtB' [5]’)
введены два условия,- которым должны удовлетво-
рять. огибающая/’ мгновенная ! фаза и мгновенная ,
частота, для того , чтобы ’ этими понятиями, можно» I
было пользоваться?ца практике.	। ’/iPW /.
I 4. Малым (впсмысле1 феднего квадратического- ,
отклонения) изменениям (исходного сигнала (/(/)
.	’ i , 1 ' 11 должны соотвртство-
j ( , i„ 1! р вать также малые из-
менения А (/) и ф(0- J
i1 । 5.' Мгновенные фаза1
,/ j и частота не должны ; (
^зависеть от мощности
< '''i' .сигнала. И; i ' 1	•
ЬН ! , В! [5] показано, что
|из условий 4 и 5юледу-
► , ет линейность оператор
 ! фа, преобразованиян(^)Й'I
i',	в v(f). Единственным ;
/	же линейным одерато-1
ip1 ром, при котором для
. ’ i всех’ гармонических си-’ И!
’! i гналов ' ’ выполняется .
преобразование Гильберта. . (У
г a
! ’ 5 ! !
1 о
Рис. 3.2
t

4
условие ,3, 'является преобразование Гильберта. .
\ В. 'И. Тихонов [40] предложил определять со-
пряженный , сигнал следующим рбразом:	р
Li' I ' pv..... 'I. 'V ' (3.18) lb
!;где coo —средняя частота сигнала. Это преобразо- г.
ванне также является линейным и удовлетворяет
условиям 4 и 5. ’Цхо же /касается условий 3,'то:
оно’ выполняется! только для гармонического^ сигна-
. ла с заданной частотой o)Oj При nepexbXei к гармо- f|i
ническому "сигналу1 Ус и другой'[ частотой нужно !i в
। (3.18) измениУть” коэффициенту а для этого нужно,
заранее знать 'Частоту'. Если 'распространять ! это
46	‘	\	1 । ’ ’ ! ।

г
определение на негармонический сигналы, то воз-
никают затруднения в выборе ®о.	,
Определения (3.16) и! (3.18) /и^еют; одно оче- ,
видное/ преимущество — локальность. Сопряженный ’
сигнал, а следовательно, и огибающая, и ^мрновен- i
ная/,частота в некоторой точке t,\в которой функ-1 ।
ция '!«(/) непрерывна и дифференцируема, одно- .
значно определяются значениями^ функции в сколь !! |
угодно 'малЬм интервале около* этой точки.!В Част- ч.
. ности, если? на конечном интервале*времени! «(/)=. ! <
=0, то, по определению В. И.'Тихонова,, и в(/)=0 'р
на том же интервале. . р '	' И "; । . : 1 ।
Что же касается гильбертовского определения ( 1
сопряжённого сигнала, то оно не является лбкаль- , :
ным. Если сопряженный ! сигнал v(t), по^юпреде-^
лению, положить равным й(/), то,' чтобы вычислить
его значение в ,одной точке/ необходимо знать всю
функцию и(0 (—оо</<оо). Правда, можно! по-
казать, что при определении |й (/). в! Данной точке;
. существенную ’< роль/ ‘играет поведение функции
u(t) тоДько вблизи этой1 точки. Такая «относитель- ;
ная» локальность проявляется и тем больше, чем
уже полоса! сигнала и(/). Однако строгой локаль-
• ности здесь нет и, в частности, и(/)'может! принц-' 1
, . мать самые различные значения на! интерваде,' где
u(t)^O.	I '	' I; н-1 р
; Почему же ’несмотря на это большинство* Ис-1 ;
.следователей , пользуются более । сложным и1! менее
'наглядным преобразованием Гильберта вместо- про- ,
стой! формулы (3.18)? Может। быть, это/простор ф
- . да'нь1 традиции? Нет. 1 Определение сопряженного
 сигнала! и огибающей на основании преобр^зова- ;.
‘ния । Гильберта имеет важные преимущества, ради ; ? '
которых стоит пожертвовать / наглядностью! Пред-/ г
ставленця широкополосных < сигналов.' 'Прмимо от-
меченных выше!пяти!свойств пардметровукомплексг '
•	।	 I - II I . I' I Н ' I I I: .Ь'	' ' ;
1  1 iy  ы 1	-	и И 47 , '
I
’ него представления сигнала укажем еще два, ко-
торым удовлетворяют < 'только гильбертовские
сигналы.	/ 1 "	,	,
6. Для того чтобы комплексный > сигнал ' был
гильбертовским, необходимо и достаточно, чтобы
его спектральная' плотность тождественно равня-
лась нулю при ш<0.
7. При умножении гильбертовского сигнала на
е1* (где — произвольный угол) или на eivi (v>0)
результирующий сигнал остается гильбертовским.
Предоставим читателю ^самостоятельно убедить-
ся, что свойство 7 вытекает из свойства 6. Несколь-
ко'сложнее показать, что'.из свойства 7 следует 6.
Это сделано по ^существу в [20], где поставлена
задача отыскания-общей огибающей семейства кри-
вых, представляющих результат изменения началь-
ных фаз всех спектральных। составляющих сигнала
на любой угол ф, и показано, что эта огибающая
равна модулю гильбертовского сигнала. Таким’об-
разом, требование инвариантности огибающей (или
мгновенной частоты) при любых изменениях на-,
чальной фазы сигнала оказывается достаточным
для того, чтобы гильбертовский сигнал был един-’,
ственно возможным комплексным представлением'
сигнала. 1	।	ч
Из свойств 6 и 7 вытекает, что всякое измене-
. ние начальных фаз сигнала можно выразить умно-;
’же'нием гильбертовского сигнала на е1ф, а всякое
преобразование частоты (транспонирование спек-
- тра) вверх (в частности, однополосную модуля-
цию) можно выразить умножением ’гильбертовско-
го сигнала на е1,г. i, ’ 1 Г	,
Заметим, что ! для относительно узкополосных
сигналов, т. е. таких, у. которых ширина спектра
значительно меньше средней частоты, все приведен-, ;
ные выше определения сопряженного сигнала поч-
’ТИ совпадают. Кроме того, для узкополосных сиг-
налов любой инженер может графически построить
•огибающую на основе ее свойств 1 и 2 (рис. 3.3,а),*
тогда ! как для широкополосного сигнала (рис. 3.3, б)
это сделать весьма затруднительно? Другими сло-
вами, понятия огибающая и мгновенная частота
имеют наглядный смысл только для узкополосных
сигналов.	,	.
широкополосных сигналов не следует:' они позво-
ляют построить теорию модуляции, детектирова-
: ния, преобразования частоты и т. д. При этом боль-
шое значение имеют свойства 6 и 7. Ради; этих
возможностей можно примириться с некоторыми s
неудобствами гильбертовского определения —от-
‘ .сутствием локальности и несохранением финитно-
; сти при преобразовании Гильберта. Преимущества
использования аналитического {гильбертовского)
сигнала при решении различных задач теории ко-
лебаний и волн широко освещено в превосходной
книге Л. А. Вайнштейна и Д. Е. ДакмаНа [6].
Вйпредыдущей главе обращалось.внимание на
то, что не следует путать мгновенную частоту сиг-
нала с частотами его спектральных составляющих. ,
4-3413	’ ;	!	 ' -Д" ’ , ./ ; Д? 49
Из-за такой путаницы, легко возникают различного
рода j ошибки. Тем не1 менее между спектром сиг-
। нала и его мгновенной!1 частотой существует опре-
деленная связь, и учет ее во многих случаях по-
лезен, например позволяет оценить ширину спек-
тра сигнала, заданного в квазигармонической фор-
ме (3.11). К сожалению, подробное рассмотрение
iсоотношений; между i мгновенными частотами' и
спектром сигнала? находится! вне1 рамок тех,' вопро-
сов, которым^ посвящена эта книга, и поэтому огра-
, ниримся лишь ссылками на литературу (.35, 45, 49].
и Здесь хотелось лишь, подчеркнуть' что указанные 1
“ ( .соотношения имеют место только в случае опреде-:
;ления мгновенной ^частоты 1'по преобразованию;
Гильберта,; что является еще!’одним доводом в поль-
зу его исключительного применения' для квазигар-
монического описания сигнала. '' i ш-Ч'Д'; • ।
I	.	' :!ii -и! !.К : Г г
4. КАК НЕ СЛЕДУЕТ ПОЯСНЯТЬ ТЕОРЕМУ ,
КОТЕЛЬНИКОВА . !	'	Г
' ...Тогда я нарисовал ужа! изнут-
I J । ри, чтобы взрослым ‘было понят-
I I! нее.1 Им ведь всегда нужно все
| ' об.ъяснрть. I L. Т |	: -
,Л. де Сент-Экз^ерр. Мал:£нбк-ий\
S | ;1	1-	• : ЛР«И1( 
,	,	I '!	! ! ‘ is. Si i’-
ll 'in	Гн,
, 44;/СУХОСТЬ ТЕОРЕМЫ,!' •.	। Д i V 1 J
' Как; известно, основным содержанием теоремы
Котельникова, или «теоремы11: отсчетов»,! является,,
возможность точно восстановить (интерполировать).
। сигнал и(1) по его значениям'((отсчетам), взэтым
в (точках	(£==.,’.	j-1, ГО* L1, 2, 3,i .
если спектральная шлотность" (сигнала S(ia) фи-'
нитиа, т. е.1 существует : такое значение " £2, щто
, 5,(1®)г==0 при |ю| >Q, a A/s^a/Q. ।	,	1 '
!',я,	<\ • : . к!,
 Теорема дает также способ 'осуществления!'точ-
ной интерполяции с1 помощью, фядаг Котельникова
аП:  ’
й=-оо । Г •
sin g (t — kAt)

,Известно (см., 'например, [51]),,что функция
с ^финитным* спектром является целой,--а :'целая
функция не может принимать нулевых'г|значений
ни' на каком интервале. Следовательно,' функция I S
с финитны’м спектром'сама финитной быть не';мо- ?
жет. Однако часто рассматривают'функцию/1 вы- .
- ражаемую рядом (4.1) при	в которой^ ' '
только конечное (Число, коэффициентов u(k&t) мо-„ (
жет: быть отличным от нуля,, например коэффици-:	'
ентыЛсо 'Значениями' в‘’пределах; k^k^kz', такие !!, !
функции /рассматриваются,; например,1 ,в [55]. Точ-
, ки отсчета с Отличными, от нуля .значениями в этом;! h
случае^ занимают' интервал времени !иТ, равный
. (k2—ki) At— (k2—iki) /2F, । где' F=Q/2.n — ширина | ' f
J спектру сигнала в обычных (не круговых)?/часто-J•• ?
• '*ГЯХ. '	’	'	/'	,
, Такой сцгнал можно точно восстановить, задав /
значения' отсчетов ы(^А/)1 при ki^k^k2. Число та- '/? '
ких отсчетов	4-1/ Выражая k2—fei из ра- /
' венства Т^(k2—kt)/2F, получаем известное ’ соот-,1S !!
 ношение -I '1Г ir '	.	''1!	*'
N=2FT+1^2FT. ''	' (4.2)1 ', !
.«К'сожалению,' иногда равенство (4.2) тракту- '!,
,-ется ! неточно. Еще и поныне приходится читать, 1
что отрезок сигнала длительностью* спектр ко-j j;'
торогб'лежит ниже частоты F, можно'.однозначно !*’ '
определить, задав1 2FT отсчетор через интервалы i i ,
4*'i ,	) I' 1 । ' ' I з , '	1 1 >Тт
I I  ; ? s i‘ а и ;f	'	i,	» t	1	>	1 i । r
определить, задав 2ET
4*'i Ji'b-i! [ 11.И,
времени ДЛ Это было бы верно лишь в том случае,
если все остальные отсчеты в моменты, .кратные
Л/, равны нулю, т. е.! фактически тоже1 заданы.' За-
метим, что в промежутках 'между нулевыми1 отсче-
тами сигнал не равен нулю. 	।	' . , ДГ
В общем же случае, как видно1 из (4.1)', значе-
ние сигнала в любой момент 7, не совпадающий
с точкой отсчета,'определяется всеми отсчетами и,
значит, для точного'восстановления сигнала необ-
ходимо знать бесконечное множество его отсчетных
значений.	;	,
Рис. 4.1
Правда, поскольку с увеличением |х| мак-
симумы абсолютных ' значений функции; ‘sin х/х
- довольно быстро убывают, основную роль !при вы-
. числении значения функции u(t) в !определенный
. .момент времени t играют отсчеты, взятые в момён-
. ты k\t, не очень далекие от А Поэтому при FT^>1
формула' (4.2) приближенно выражает число от-'
счетов, существенно влияющих на значение функ-
ции u(i) со спектром ниже частоты F, на, интерва-
ле длительностью Т. Сейчас это приближенное
^соотношение нас интересовать не будет. Сосредото-
чим 'внимание на сущности; теоремы, сформулиро- ;
ванной в начале этой главы. 1	:
Заметим, что, хотя в этой формулировке для
. точного восстановления сигнала необходимо', знать
1 бесконечное- число отсчетов,' справедливость. теоре-
, §2 з .	 1 J \ \ и' , ‘.J; .	' Ц ' 1
мы далеко не очевидна. В самом деле, речь в сущ-
ности идет о проведении кривой через измеренные
в моменты k\t точки. Но каждому студенту хоро-
шо известно, что эту кривую'можно провести раз-
личными способами. Два таких варианта показаны 1
на рис. 4Д. Теорема же говорит о точной интерпо-
ляции, т. е. о единственности такой кривой. Оче-
видно, что эта единственность вызвана ,ограничен-
ностыо спектра сигнала. ' , ' :;	>	<
4.2.	ПОПЫТКИ НАГЛЯДНОГО ПОЯСНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ' 
’Вряд ли найдется лектор, который при изложе- \
нии этого вопроса .хотя бы раз в жизни' не под-
дался искушению пояснить студентам теорему так.
.Поскольку спектр^ сигнала содержит частоты не
выше F, то за время,: равное половине периода'са-
мой высокой частоты’спектра, \t=\(2F сигнал не у
может претерпеть значительных изменений. Поэто-
му кривая должна изменяться между точками от- 1
счета плавно' и, как следует из (4.1), определяться
однозначно. Это весьма «правдоподобное» объяс-
нение можно найти даже в ! некоторых книгах.1
Однако оно ошибочно. В Действительности* все не
так просто, о чем свидетельствует теорема, дока-
занная в 1957 г. Д. 3. Агеевым.
Пусть на интервале (Л, h) заданы любая не-,
прерывная функция u(t) и произвольная частота F.
Тогда' можно построить функцию, спектр которой
не содержит частот вышеЙ, сколь угодно! близкую
(в среднеквадратическом смысле) к u(t), на интер-
вале (ty, tp).	.г h . !	'
Например, можно на интервале, в,. Г с задать
функцию,, меняющую свой знак миллион раз (ска-Г
:жем,; отрезок синусоиды с частотой 1 МГц) и; ухи-
триться продолжить ее вне этого отрезка так,: что
спектр продолженной функции  будет охватывать
, И Д	‘ ’’	53 ‘
, ! только область; частот ниже'1.100, илий 10,1 или
0,1 Гц, Йл’* |Г . -Г	' I 1 , II г
Это утверждение? на первый взгляд кажется 'со-
вершенно неправдоподобным.. Функция с финитным ,
спектром на интервале, меньшем полупериода ^ыЬ- '
шей! частоты,  может, Доказывается,I иметь 'сколько,
угодно! осцилляций.Д' Пишущий эти гстроки i хорошо1!
помнив -чЬго. Д'когда i Д. В. Агеев доложил содсржа-
! ние^и, доказательстройтой'теоремы на Всесоюзной,
сессии Научно-технического обИцества'им. А. С. По-
i нова, । большая Г часть J слушателей не поверила в
Й । справедливость 'теоремы-и стада, искать |ршибк|и'в
НД доказательстве.? !'! - |Л< .	' 1 йр >1 ’ Й '. 'й '!
Действительно1, в это'трудно 'было поверить лю-
дям, привыкшим связывать ширину спектра icoi ско-
ростью передачи информации. Ведь можно взять
отрезок широкополосного сигнала! '(например,. дли-
тельностью J с и! равномерной спектральной плот-,
I ностью в полосе частот до 1 (МГц), который содер-
жит до 106 различных независимых отсчеторЬи, сле-
довательно, может нести -соответственно большое
количество информации, а затем, согласно теореме
р Агеева, пррдол'жить этот сигнал вне заданного1/от-,
' резка так, чтобы он занимал полосу частот 1 Гц.
й Тогда в 'канале, пропускающем,:частоты! не «выше
' . ТГц, можно будет передать этот сигнал'без необ-1 '
h ратимых искажений и тем самым,Ьередфгь за ,1 с 1
очень!, большое . количество информации в канале (1
с полрсой!, пропускания1 ТТны/Все ото не вязалось;'
с привычными представлениями. К тому'! же, излог
жспное Д.' В. АгеевыМ доказательство при (всей его ? (
строгости было довольно сложным' и; запутанным.'ф
По этой,'же причинейто' доказательство здесь.’не! !
приводится. Вместо,' этрго дадим, несколько!'более^<
: (слабую, но: столь же, «парадоксальную» фррмули-i' '
I ровку этой теоремы, (которая зато имеет Весьма,
- Л Г1 "	1 ,	!;У^1;.?:!", г.
Прозрачное! доказательство.J Это f доказательство ।
позволяете уяснить причину;того,!;что совершенно !
’верное, утверждение на первый‘взгляд противоречит
здравомукмыслу. Аналогичная, теорема при равно-
мерной аппроксимации доказана в	; ।
' '	Н’!-'	1	й L Г; ! ; -‘1 ji/!, Д/ J
4.3.	ОСЛДБЛЕННАЯ ТЕОРЕМА; АГЕЕВА - J; Д ‘.Д, '' р
. , ' !! ' 1 - ' ’ ' r
Сформулируем следующую! Деорем!у.'! ;i ; 'I j ‘
: Пусть', на интервале (tlt tn)задрны. п точек и
значения величины u(t) в этих точках.Тогда, ка- s 1
ково бы Ни было конечное число я при сколь угод- i
но малом значении \F, можно' построить сколько
угодно различных функций u(t), принимающих' за- - ;;
дрнные значения в указанных точках, 'спектру ко- 1
торых не содержат частот выше, F.h । \ । ' !
 Преждеi ч,ем s доказывать эту Деррему, заметим,! ;
что;;она не менее парадоксальна,/чем; сформулиро- !
вайная выше. Действительно, поскольку число ; I1
ие ограничено, можно задать его лак, что на: интер- ;
вал5 в 1 с будет приходиться, скажемДмиллионЬто-i ।
чек. Ёсли, например, знаки функции в этих, точках!Д
чередуются,! то на интервале 1 с возникает не ме-
. нее миллиона осцилляций и тем не менее функция к i,
'может-иметь спектр ниже 1 Гц. Н
гНа первцй взгляд предложенная формулировка
в корне противоречит теореме Котельникова. Если
п точек1 заданы1 через Д/=1 /2F, то, согласно вуль- *
гаризованной трактовке теоремы Котельникова, они
должны однозначно определить функцию u(Z)  со
спектром, । ограниченным частотой is RL Здесь же
утверждается, что таких функций может бытьц! i,
сколько угодно. Это противоречие, конечно, кажу-; !
гцееся. Сформулированная выше теорема не толь- ; :i(
ко Пне пфотиворецит теореме1 Котедьцикова, ijHo^phi I
является ее прямым следствием. 1	: ! j
ЯНГ,	,	...-I I	I1» :	' .	Ь-1-й ilr. Д. ,1 '
4.4.	Доказательство теоремы агёевА । ', ;
Обозначим заданные значения функции u(t) в
заданных точках через м*(г=1, 2, ..п). Пред-
ставим искомый сигнал со спектром', занимающим
полосу частот ниже заданной; F, в виде ряда (4.1),
где Q=2n,F; &t—l/2F, u(kAt)—пока неизвестные
коэффициенты ряда Котельникова. ,	,	 '
Для упрощения доказательства ' предположим,
что ни одна -из точек не совпадает с точками
kAt (—оо<й<оо). Читатель сможет без труда
обобщить доказательство, отказавшись от этого до-
пущения. i '
' Выберем произвольно п целых чисел kj и обо-
значим неизвестные значения искомой функции в
точках k^t (/=1,2, ..., п) через щ. Будем строить
функцию u(t), которая удовлетворяет условиям:
. 1) выражается рядом (4.1) и, следовательно, ее
спектр не содержит частот выше F; ! j '
2)	принимает заданные значения Ui в заданных
точках ti\ '	i
3)	равна нулю в точках, k&t при всех k, отлич-
ных ОТ /ej.	  \	i ,	•!
' .С учетом; условия 3 ряд (4.1) вырождается в
. конечную сумму, содержащую п слагаемых вида
и, sin Q (t—kjAt)/Q (t—в которых
— неизвестны. Чтобы найти их, лодс'гавим;
в правую часть (4.1) а в; левую =и{.
Таким образом получим « линейных уравнений с п
неизвестными щ.	'  i н
Коэффициентами при неизвестных являются ве-‘
личины1	—kj&t)/Q(t(—Для топт чтобы
эта система имела решение, необходимо и доста-'
точно, чтобы; матрица, составленная из этих ко-
эффициентов, была невырожденной. Если это усло-
вие не выполняется, то можно, заменив хотя бы '
одно из произвольно выбранных значений kj, полу-
56	• . ’	‘ J	р1
чить невырожденную матрицу. Таким образом, по-
строенная система определяет неизвестные и.;,, под-
ставив которые !в (4.1) получим функцию, удов-
летворяющую условиям 1 и 2, а следовательно, и
условию теоремы.	\	‘
Изменив выбранные1 значения kj, можно по-
строить сколько угодно функций, удовлетворяю-
щих условию теоремы. Все они будут различны, i
поскольку их значения в1 точках отсчета не совпа-
дают. • Можно также построить различные функ- ;
ции, удовлетворяющие условию теоремы, отказав-, ;
шись от условия 3 и задав вместо нулевых'4значе- ;
ний в точках отсчета k\t, отличных от ^Д^, -любые sJ
произвольцр выбранные (Значения?/Таким образом,
существует) бесконечное число функций,, принимаю- „
? , 1 ~ ‘ ! ,, '
’	'	“ i 1	' !	:	’•/	;1 , Vi
щих заданные значения гна» конечном’числе задан-
' ных точек, спектр которых не содержит частот вы- '
ше F, что и требовалось доказать. 1 j ,? % - >। \
Пример функции- с ’ ограниченным Спектром, J
проходящей через Гшеруь заданных точек’ (светлые
кружки)’ показан на рис. 4.2; вычислейные/значе-^
ния и^.в выбранных 'шести’ точках: отсчетаюбозна- '
. чёны (темными кружками. ' ' ! ' 1'Л с ।
С л 'едет в и е.!'Существует бесконечное,’.’ число ,
 функций и(Р,’сцектр’которых не ^содержит' частот !
выше Т7 Л принимающих । заданные значения (i=
’I = 1,1,2, Л.., п) в заданных ti точках отсрета| fi=: ।
,=^ Д/ (Д/^=1 /2/-’). J и 4 '- Н I i н j ; I
1 ' Это следствие является частным, случаем дока,- ’
занной теоремы рри специальном выборе точек
В то же время оно явно свидетельствует '1р7 несо-
стоятельности широко распространенной’’«вульгари-/’
зованной трактовки теоремы; Котельникова, Чтобы
. определить (0 !однозначно^,нужно задатц.'ц^А/у
при всех А1(—оо;<й<оо). . ‘.h	' !н . i! 'i ' 
'	।   ! П 1 Н |	! ; д’ Л,!- 1 । '  Л' 
; 4.5. МОЖНО i ЛИ’- ПЕРЕДАТЬ МЕГАБИТ1 ЗА СЕКУНДУ Л 1
j, । в'ррлосЕ л Гц? .	!! ! । /j J' J ' j .и
; : Из доказанной теоремы следует, что отрезок
сигнала длительностью 1 с, содержащий, напри-J
Л мер, 10е’независимых двоичных'отсчетов'(т. е. от-! ।
счетов,1 принимающих два значения, выбранных
равновероятно 'и независимо «друг от друга) < можно
продолжить так, что его спектр уложится в полосу л
. частот, ДЛЕцЛ Отсюда как !будто вытекает, -что по
каналу/’«пропускающему, «частоты не выше ,1; - Гц, >
можно- в течение 1 ' с , передать ,! информацию в
। 10е бит. , 1	1 '	;'''ii ’ii , J ' г* ' !| J" ,
Такой вывод-верен: лишь,с существенными,юго-i, f
j вор^ами. Во-первых, следует ц брпыцой осторож- у
и-п 1

нрстью рбращаться с понятием количества инфор- ’
мации, передаваемой в каналес 1 ограниченной . J
полосой пропускания (об этом подробнее будет ска-j Д j
зано вкл.|!5);.! Во-вторых, отрезок йадналацдлитель-' !"
•ностыбЦ! с, о, кртором идет речь,„ будучи .выделен I 1 !
из! остальной части сигнала,  имее*й спектр весьма ;
’широкий! и! поэтому сам подсобе не можетJ быть'
передан* в рассматриваемом канале. Для того что- ,	:
бы передать такой отрезок, его'нельзя:'шыделятьД
из всего । «узкополосного» сигнала, продолжающе-
гося теоретически от —оо до со. Практически нуж- -!	*
но передавать узкополосный сигнал достаточно !
долго,' прежде чем в ,нем сформируется' отрезок*. '
г

T.V1V1 jp । диш.	j/ у v x V/1	‘j
.длительностью 11 с, значения которого в выбранных
точках мало отлича1ются от .заданных. । Попробуем ДД!,
оценить необходимое время передачи. *- , - ’ । ’	* 1
. \ „Для этого; вспомним ход доказательства !теоре- - ? J
 мы’,'в котором^ продолженный ецгнал !определяется. ! ’ !
. по найденным п отсчетам р моменты времени, крат- . . '
( ные Д^. ।Между первым и последним * ютсчет1ами I ( Д
проходит время, не меньшее пД/. Очевидно, что, все s i
, эти отсчеты'должны быть по "крайней мере после-' г!
.довательно поданы на йход канала, чтобы выход- ;Д.
ной сигнал содержал отрезок сигнала, несущий
приблизительно1 заданные значения в фиксирован-
ных точках. Следовательно, сигнал нужно ^ереда- ,
вать 'в! течение' времени не меньше1 пД(. с. . '	, j
|В нащем: примере zz=10e, Д/= 1/277=0,5!с (при
р\=^ 11 Гц) и иД/=5-1р5 с (около 139 ч). Конечно, 	,
в канале с полосой ^’пропускания 1 ' Гц за; такое . . •
время можно в принципе передать 106 бит; средняя,'Д,
скорость передачи при этом * будет равна: 2 ,бит/с, । I
' J' ! ' ’	.	, Д
.1 i • ' i	•	> I ' ” "	  Г' ’ f _	’	. I
Приблизительно потому, что время во^дедствия сиг-(
нала wвход’ канала конечно. ,
I ’	! '	'<*'’ I 1 М ' i ' 1,1 Д 'I 1	.	*'	’’’ I I-'
, 1 1 ’	'	*} 4 1	f 1 г Р I ! Ч I ' «
' ?!Д'!
59 ' 4.
’что соответствует! Так называемому пределу Найк-
виста!
Интересно отметить* еще одно 'обстоятельство.
Если заданные значения сигнала на интервале (^,'
tn) много раз меняют свой знак на протяжении
полупериода частоты F, то средний квадраД:значе-
ний и, котельниковских Цотсчетов продолженного >
сигнала, ! не равных нулю, значительно больше
среднего квадрата заданных значений це сигнала.
Это легко понять, если учесть, что при большом п
в формировании' сигнала на заданном отрезке уча-
ствует много членов суммы (4.1), в том числе та-
кие, для которых знаменатель £}(/—kAt) достигает
или! превышает 2лп. Очевидно, эти члены по по-
рядку абсолютного значения должны быть близки
к заданным отсчетам щ, а поэтому хотя'бы'не-
которые коэффициенты u(kAt) должны быть при-
мерно в 2лп раз больше. Отсюда следует, что если
узкополосный сигнал на протяжении одного перио-
да высшей частоты спектра имеет много осцилля-
ций, то средний уровень сигнала на этом отрезке
существенно ниже, чем вне его. Другими словами,
мгновенная ^частота сигнала может в течение1 неко-
торого времени находиться далеко за пределами,
спектра сигнала, но при этом огибающая должна
быть относительно очень мала. Это следует также ;
из результатов работы [45]. 4J 1 :	’
Таким образом, в данном случае передавать
в узкой полосе частот. большое количество инфор-
мации "можно, увеличив как . время .занятости ка-
нала, так и среднюю, мощность сигнала. В'этом
уже ничего парадоксального" нет. ч	г Е
1 Некоторые замечания по'поводу этого предела чита-
тель найдет в гл. 5.	.. .	" 
I	'	Д .	Ч «Ч;	.	- Ч
60, ;	! Ч' . у-	!? .
S. ПРЕДЕЛ ИЛИ БАРЬЕР НАЙКВИСТА
<1*
Вопрос о передаче информации сигналам^ с
финитным спектром был затронут в гл. 4. Об этом
в учебной и журнальной литературе накопилось
столько1 взаимопротиворечивык высказываний, что
да>йе перечислить их трудно. Чтобы* немного разо-
браться в сущности противоречий, воспользуемся
очень старым литературным приемом — диалогом.
Итак, послушаем, беседу профессора с тремя
аспирантами. *	1 -
Профессор. Слышали* ли вы когда-нибудь о*
, так называемом пределе Найквиста для скорости
передачи информации? *	'
1-й аспирант. Да, я читал, что, как: устано-'
вил в! 1928 г. Найквист, в’канале с полосой про-
пускания F за время Т не может быть передано
больше чем 2FT бит информации. Другими слова-
ми, информацию можно передавать со скоростью '*
не свыше 2 бйт в секунду на 1- Гц.	*
1	2-й аспирант.1 Это не точно. За время Т в
полосе F можно передать 2FT независимых вели-
чин. Это и утверждал Найквист ![27], и это вполне
согласуется с теоремой/ Котельникова. Различие 
между рассуждениями Найквиста и Котельникова,
если память мне не изменяет, заключается в том, i
что Котельников разлагал сигнал в ряд (4.1) и оп-
ределял 2FT отсчетных значений сигнала, а Найк- :!
вист разлагал сигнал на интервале пТ в ряд Фурье
и определял’необходимую длящего восстановления' *
полосу частот. Но и в том, и в Другом случае от-
счеты !сигнала. могут, принимать Умного значений.
• I *	J ’ П	, Г	61
'	!  -J 1	' '	' i \	‘ - 	>	, ' \
;' Если, например, можно надежно ,рдзлдчать,,т зиа-
; чений отсчета, то информация в 'каждом отсчете
составит log2 т ? бит ’.Поэтому1 правильнее^ будет з
сказать, что Найквист, показа л возможность пере-
дачи со скоростью 2 отсчета в секунду, на 1 Гц,
или 2 Бод W'l Гц, если под бодом понимать еди-
ницу скорости; передали дискрётцыд сигналов, рав-'
цую одцой «посылку ц с'екунду. Если же говорить
о битах в секунду, !!прйим ан под-битрм двоичную
единицу информации,; тр за время-Т ,в полосе ча-, ’
стот Е можно передать 2E7flog т бит. Величина tn'' ,
.определяется, например, помехами, чувствительного
II стью' измерителя । в приемном устройстве и т.' д.
Впрочем,! об этом'Найквист не говорил.], Он огра-г I
ничнвался утверждением о возможности передачи
•’!' 2FT посылок. / 1	~ iu ' Е ' 1	' J,
(1-й: а с п и р а нт. Я согласен1 с, этой < поправкой, 
но1 хочу внести еще одну. Все это справедливо,
лишь при больших! значениях произведения 2FT.
Поэтому лучше говорить о количестве1 информ
I мации, переданном за время Г, а о средней скорости ,1
передачи инфо!рмации, । достижимой при длитель-
- !-ном 'использовании кдндлд. В'этом случае свдрость
I ! передачи Информации ( в' канале, пропускающее !
।; частоты до F, не может превысить 2F log m бит^с.
п, ' 3-й а^спир ант. Я решительно це согласен НИ j
гущвдмй, ни с Найквистом, есди он, утверждал то, '
что вы' ему । приписываете. Сигнал, прошедший че- .
i ( рез фильтр, не пропускающий ^частот выше F, явля-
ется сигналом'с финитным спектром. .Такой сигнал J
. вообще ; не, может' нести никакой информации, на!
что в 'свое ’вр.емя обратил внимание Железнов Ш].‘
t	I 1 В дальнейшем ж вместо logsm будем писать' log’/n,:. '
Г	считая, что основание логарифмов ; всюду, где не: оговорено,
;	 равно 2.	‘ 1 I' ,1, ! । , ' ,-I ‘ j 'ж*.;;' J !
' .	 62 ],-(	, П	'	(, , , ’
1	’	.	1!	,	’ 1 ,  I	> ! J	I 1
W ! I ' Г	' F !!н!!	'''i !l,'l
I  ;  i J -	' , 'I ’ j' ' !" -'V T"
I



I	j 1 ;	! i , ;
/ 1-й аспирант. Как же так? Чем такрй сигнал 7
хуже любого другого?	(
3-й аспирант. Тем, что’он детерминирован, н \
Известно ведь, что сигнал с финиГнум спектром / 1
является целой функцией, мы1;читали/об этом в /
книге !Хургина и Яковлева [51]' 'А- целая функция
бесконечно дифференцируема.^ Поэтому по любому
небольшому отрезку такой функции можно ностро- ,
итьряд Тейлора и экстраполировать ее, д. е. совер- '
шенно точно предсказать все ее будущие значения, i
Значит, никакой новой информации эти будущие
значения уже нести не могут- Скорость передачи I /
информации оказывается равной нулю. Для того , '
чтобы сигнал Содержал новую информацию,; его' , ! д
/ спектр должен отличаться от нуля на всех часто- ! д
тах, кроме отдельных! точек. 1 Д' V' ' "'
Д 2-й аспирант, фут что-то’не так./Я согласен, ,
что,! послеГтого! кар мы приняли отрезок сигнала, ।
проанализировали его и экстраполировали, дальг i1 "
нейший; прием сигнала ничего нового1 .нам не даст1. . i
( Но это происходит потому, что ;всю информацию/ ’ :
/ мы уже извлекли из принятого отрезка сигнала. ' 'д’
'Значит, проанализировав конечный отрезок сигна- ' ' '
ла с финитным спектром, можно полнить ияфор-, / д; Ф
мацию/обо всем бесконечном Сигнале, характеру i ' /
зуемом бесконечном числом независимых отсчетов. ।Ф. ,
Следовательно,' ' скорость передачиинформации -
• окажется не нулевой, а бесконечной. /	।	. /
1	1-й аспирант. Час от часу неЧлегче. фо ско-'
рость была нулевой, тр,она'вдруг стала бескоцеч- Ц ,
ной! Мне совершенно !ясно,'что бесконечной; она V'
быть не может: это, во-первых, противоречит/Ире- ' ; j;
делу'Найквиста, с которого мы начали...»	: J '
11	2-й'дспн р а нт. Вовсе нет.. Мы ведь установи- ' :
ли, что по Найквисту скорость'[передачи .щнформа- Ч
ции ограничена значением 2Flog,m. Но1’поскольку д..' ;1
'? /с - / j I' ’ ’	!!	1 11 > w д- И'
никаких помех мы не учитываем и полагаем, что
принятый сигнал измеряется абсолютно точно, то
т=оо и отсюда следует, что скорость передачи нц-
, чем не ограничена.' :	,	
1-й аспирант,. С этим; пожалуй, можно со-,
гласиться. Но бесконечная скорость противоречит’ ।
и принципу относительности, согласно которому 1
скорость передачи сигнала ни!в каких условиях не
может превзойти скорость света  1 i
* Профессор.. Тут уже я должен ' вмешаться.
Не следует путать скорость передачи сигнала по
каналу в смысле количества каких-то элементов
(посылок, носителей информации), передаваемых
в единицу времени, имеющую размерность 1/с, и
скорость прохождения сигнала в канале в смысле
длины пути, пройденного сигналом за единицу вре-
мени, имеющую размерность метр в секунду. Но-;
следняя, конечно, не может превысить скорость
света. Мы же здесь говорим о скорости передачи
в первом смысле, которая ничего общего со ско-
ростью света иметь не может, хотя бы потому, что .
имеет совершенно другую фазмерность. Но я жа-
. лею, что перебил вас. Разгоревшаяся между.вами
/дискуссия очень интересна, и мне бы хотелось, что- ;
.бы вы !сами довели ее до той истиньт, которая рож-,
дается в спорах. •	’	'	' ' ।
1-й t а с п и р а н т. Прошу прощения : за то, что.
впутал сюда не относящуюся к делу скорость све-.
та. Сейчас мне кажется, что вы оба правы. :Когда
начинается передача сигнала с финитным спектром,
из самого начального отрезка.можно выделить всю , .
информацию, содержащуюся во всем будущем .бес-
1	Этот «довод» ' был выдвинут । одним из участников
дискуссии .на/ научной конференции в конце 50-х годов.
(И 	.	' ' Y < '	?	р '
конечном сигнале. Скорость передачи информации
,в этом отрезке времени бесконечна, во все же
остальное врёмя равна нулю, так как сигнал ниче- I
.го нового для получателя уже не содержит. Инте-
ресно бы вычислить, исходя из этого, среднюю ско- I
рость передачи информации. ' ।	’ .
1 I З-iji аспирант. С таким компромиссным реше-
нием я согласиться не могу. Представьте, что для .
передачи информации о футбольном матче! вам
предоставили канал. ср строго финитной полосой
пропускания. Сформированный вами сигнал детер-
минирован. Как же вы сможете ввести в него ин- ।
формацию о' неожиданно забитом голе? Может
быть, она уже заложена в самом начальном от-
< резке сигнала? Значит, проанализировав его, мож-
но заранее предсказать1 исход, матча и его ход со
всеми подробностями. Поскольку это невозможно,
"скорость передачи информации',по такому-каналу
все время равна нулю.
2-й и спи р а нт. Вероятно, здесь нуж'нб учесть
групповое запаздывание сигнала в жанале. В иде- .
альном канале со строго финитной'полосой пропу- '
скания это запаздывание бесконечно. Но не будем
, требовать идеальности канала. Если канал имеет
амплитудно-частотную характеристику, очень близ- •
кую к П-образной и физически реализуемую, то -
время группового запаздывания: в нем должно
быть огромным,, скажем, больше I продолжительно-
’ сти матча. Значит, на выходе канала сигнал с поч- 1
’ ти финитным спектром сформируется в то время,
'.''когда. Матч:уже закончился и репортаж ошём уже ( .
"произнесен перед микрофоном. Помехи мы считаем '
отсутствующими. Тогда .ничего странного не будет,,
I ' в том,! чдо, проанализировав сцмоё начало сфор-" ’
мированного, сигнала, можно’ выявить из него всю । !
переданную информацию. Этоподобно том^, как .
11	,-i и - <'	' !и
по небольшой части голограммы можно восстано-
вить все заложенное в ней изображение.
I 1-й аспирант. Мне не нравится, что мы все
время пренебрегаем помехами. Что изменится; если
мы их учтем?	. '
3-й а с п и р а нт. Абсолютно ничего, если поме-
хи тоже прошли через наш канал и имеют финит-
ный спектр в той же полосе, что и сигнал. Значит,
сумма сигнала и помехи является целой функцией,
которую можно экстраполировать' с любой точно-
стью, и, следовательно, она не может быть носите-
лем информации.
2-й аспирант. Почему же помехи обязатель-
но должны пройти через тот же канал? Это могут
быть тепловые шумы приемника или, если фильтр
является частью приемника, тепловые шумы эле-
ментов аппаратуры, включенных после фильтра.’
' Тогда спектр суммы сигнала и помехи не будет I
финитным. Точная экстраполяция окажется невоз- V
можной, и скорость передачи все время будет не-
нулевой.	!
1-й а с п ир а н т. До чего мы договорились! Если
сигнал, -прошедший через ^канал со строго, финит-
ной полосой пропускания, поступает на приемник
1 без помех, то скорость передачи информации равна
нулю. Если же «подмешать» к нему шум, то ско-
рость передачи информации становится ненулевой!
Согласитесь, что это нелепый результат: добавле-
ние шума не может увеличить’скорость передачи
информации. ,	'Zb/' '	I
2-й аспир'ант. Почему же? Я могу! привести
другой очень шростой шример( с таким .же резуль-
татом. Предположим, что для передачи сообщений I
по некоторому дискретному каналу используется ।
! система, в которой каждый кодовый блок , повто-
ряется! 15 раз подряд ш решение принимаемся! по!
h	: J п 	!; ;	: ГН ; . ,
66	'	1 ' 
мажоритарному принципу, т. е. по большинству
принятых за' 15 раз значений каждого символа.
Пусть вначале помех в канале нет. Тогда при пер-
вой же передаче кодовый блок принимается без
ошибок/ Следовательно, остальные 14 повторений
того же блока не несут информации и скорость
< передачи, после того как первый блок принят, рав-
на нулю. Но если только в канале имеется шум,
то при первой передаче блок может быть принят
сч ошибками и тогда все его повторения несут не-
которую информацию, так как они подтверждают
или опровергают то, что было принято ранее.
1-й аспирант. Пожалуй, что так. Добавление
помехи может в некоторых случаях увеличить ско-
’ рость передачи информации на некотором отрезке
времени. Но оно, по-видимому, не может повысить
среднюю скорость передачи информации за все
время использования канала. Если повторять 15
раз кодовый блок в канале без помех, то средняя
скорость передачи информации будет 7(Х, X)/15T0,
где ЦХ,Х) —количество информации, содержащей-
ся в передаваемом блоке; То—длительность одно-
кратной передачи блока. Если же в канале имеются '
помехи, то средняя скорость передачи информа-
ции I(У, Х)/157'о, где 7 (У, X) —количество инфор-
мации, содержащейся в принятых блоках У отно-
сительно переданного блока X. Собственно говоря, !
эта формула справедлива и в отсутствие помех,"
но в этом случае Y=X. Известно, что 7(У, Х)?С
^1(Х, X). Поэтому добавление помехи не может
увеличить среднюю (скорость передачи информации., ,
По-видймому,*то же самое имеет место и в канале
с финитной полосой пропускания, где в первый, же
. момент передается очень большое' количество ин-
формации, вслед за этим скорость, iпередачи ин-
фррмации снижается до нуля. Но средняя! ско- I
5* ' ' г' : •	1 j!' "	' !	: 67
ресть за все время функционирования канала оста*
ется, вообще говоря, конечной. Я уже говорил, что!
предел Найквиста относится только к средней!ско- ,
роста — она не может превысить 2F log т.' 1
2-й и 3-й аспиранты. Да, это похоже на
истину. Но все же!! многое еще осталось- неясным.
Профессор. Совершенно с вами согласен.
В вашем споре! возник пока что зародыш истины.
Для полного его развития нужно еще много доду-
мать. Я не! стану этого делать за вас, но .попыта-
юсь дать вам некоторые наводящие идеи. д !’
! Прежде всего сама постановка вопроса не впол-
не корректна. Цепь с! финитной АЧХ физически не
реализуема, такого канала быть не может. А пото-
му незаконно ставить вопрос о его пропускной спо-
собности. Как показали Пэйли и Винер i [8],
амплитудно-частотная характеристика К(<b)i физи- -
чески реализуемой цепи
условию
должна
удовлетворять, ,
(О2
оо
- (5.1) .
	:	г \	' Д- д' .
Это условие не выполняется, если К=(©) =0 хот?) б’ыц.(,
Д! на конечном интервале,! а также если при больших!";
и величина К (©) уменьшается быстрее,! чем не-
которая степень ©.Следовательно, таких каналов
* быть де может и о скорости передачи информации,^ ।
в них говорить не следует. , .  .	. '
Конечно, можно рассматривать последователь- !
ность каналов КД К2,|: • • у АЧХ которых стремятся
в некотором,^смысле (например,!. вГ смысле равно- р
мерной сходимости) щ П-образной характеристике t
идеального фильтрами отыскивать предел их про-
пускной срособцости. 'Однако этот предел^ ничему
I i реальному не соответствует, так как время зрдерж-
;и, Д, . hi> 1	' 1,1 д'"
Д’ I •!'	- н Д. д 1 ! Дд Д !
1
ки <в канале Кп стремится' вместе с \п |к. бесконеч-
 ности. Уже поэтому1 можно утверждать, что по та- (
- .кому «идеальному» каналу информацию передав
вать нельзя.	'	।
. 1-й аспирант. Хорошо,, не будем говорить
о|Канале с финитной полосой пропускания. Пусть !
• \ канал пропускает без искажений и задержек все
'.частоты. Но сигнал-то может иметь финитный ,
спектр. Мы можем его сформировать, задавшись! :
некоторым конечным числом котельниковских от-|
, '^счетов Hfe. (Л=1, 2, ..., п),-положив все остальные
’ . отсчеты равными нулю, подставив их в ряд !	;
I • I п 	 1	.
'	,	(5.-2)' .
i U,	“ V	।	!	।	н
' ' , ! , . ’•  - ' ; • ".
и । подав на вход канала полученную функцию I
,, и(7)!, скажем, от 0 до nAt. Этот сигнал имеет |фи--
! i нитный спектр. Передать его отрезок можно без ,
всякой задержки. При формировании мы можем 1 ।
вложить в него информацию, выбирая значения и*.	!
Следовательно, отрезок сигнала с финитным спек-...
тром может передавать информацию со скоростью,! •
определяемой пределом Найквиста.	i
•	3-й аспирант. Это неверно. Если вырезать I-
отрезок функции с финитным спектром на интер-i1 j-
. вале (Л, Лг) и положить функцию вне этого интер-. ,
dJ вала равной нулю, то спецтр полученного отрезка
’уже не финитный. Поэтому-то и понадобился «ка-
нал с1 неограниченной полосой пропускания. Сле- । -А
- довательно,! сформированный отрезок сигнала не
является детерминированным (хотя бы потому, что । J
он может-закончиться в любой! момент). С другой- . Ц
стороны,- .пусть получателю сообщения заранер из- Ан1'
вестно, что передаваемый сигнал' выражается.сум- А
 мой . (5.2)И. неизвестны только значения коэффи- j '
<АА , ’Mi ..."	' - W69 А
. циентов Uk. Тогда, если помех в канале нет, вовсе
не обязательно передавать отрезок этого сигнала
от 0 до иД/. Можно ограничиться передачей сколь
угодно короткого отрезка сигнала, даже не обяза-
тельно лежащего внутри интервала (0, nAt). До-
статочно даже передать ненулевые значения и; =
=«(/>) в любых, п заранее выбранных точках
так как по ним можно восстановить все Uk-
2-й аспирант. Мне кажется, что мы пришли
к тривиальному результату. Формируя сигнал u(t)
(5.2), мы ставили перед собой цель передать ин-,
формацию о последовательности п действительных'
чисел Далее оказалось, что вместо сигнала u(t)
можно передать п других чисел — значений u(ti)
в п точках, не обязательно совпадающих с точка-
ми kAt. Это совершенно естественно, так как фор-
мула (5.2) определяет взаимно-однозначное соот-
	" ветствие между совокупностями п чисел «л и п-.\
других чисел щ. А отрезок сигнала с финитным '
спектром здесь вовсе не при чем.	।
Профессор. Подведем итог. Прежде всего я
хочу вам посоветовать не терять чувства историче-
ской перспективы. Работа Найквиста [27] появш
лась задолго до того, как возникло современное
•	понятие пропускной способности канала. В этой ра-
боте даже термина «пропускная способность» нет,
1	он появился впервые — да и то не в современном 1
смысле — в статье Котельникова в 1933 г. Интерес-'
Ii	но все же отметить, что у Найквиста уже приме- !
(	няются понятия информация и избыточность (ге-
।	dundance), причем в них вкладывается смысл,
I	очень близкий к современному. Вот перевод основ-
,	ных тезисов стаГьи Найквиста:	1	'	,
И;	«1. Требуемая полоса частот прямо пропорцдо- 1
J'j	нальна скорости передачи (signalund speed).. ’	;
2. Повторяемый телеграфный сигнал можно ’
рассматривать как состоящий из синусоидальных
компонент Ч Если амплитуду и фазу или действи-
тельную и мнимую части этих компонент отложить
по оси ординат, а частоты —по оси абсцисс и ось .
! частот разделить на части, каждая из которых
представляет полосу частот, численно равную ско-
рости передачи2, то оказывается, что информация,
содержащаяся в этих полосах, идентична, и можно ,
указать, что эти полосы взаимно избыточны.	!
3. Минимальная полоса, требуемая для точной
интерпретации сигнала, численно равна скорости
передачи и не зависит от числа используемых зна-
чений тока».
Отсюда видно, что Найквист хорошо понимал
возможность увеличения количества передаваемой
: информации путем перехода от двоичных посылок
к m-ичным. Он устанавливал только предел для ко,-
личества посылок, передаваемых в секунду.
Конечно, говорить о пропускной способности
канала без учета помех, вообще говоря, бессмыс-
ленно. Однако иногда удобно вместо непосредст- ,
венного учета помех наложить ограничения на чис-
ло значений, принимаемых сигналом в определен- .
ные моменты времени. Пусть, например, сигнал
. может принимать в моменты времени tk~k\t (k=
= 1, 2, ..., п.) лишь одно из двух значений- -{-1
или —1, а в моменты времени k&t при k<Zl или
Речь идет о периодическом повторении отрезка сиг-
нала,1 состоящего из п элементов, для пояснения разложе- (
'ния; в ряд Фурье.	! ।
2 Далее Найквист уточняет, что он понимает под ско-
ростью рередачи: «Скорость передачи 5 обычно обознача- 1 ,
. ется числом точек, переданных в секунду, и определяется !'1
как число элементов сигнала в секунду, разделенное на ^2».
Таким 'образом, величина S вдвое меньше той величины,
которую в настоящее время называет технической скоростью
передачи/ -	।	' Д' '	,
/,? / ' Г''' " ' 'и / 71
 ;  ' -  • - । 
k>n он равен нулю. Такой сигнал может иметь
финитный спектр с верхней частотой Е=1/2Л/ и
!в этом случае представляется суммой (5.2). Коли-
чество информации в этом отрезке сигнала на. ин-
тервале Т=пД1, очевидно,, равно n=2FT бит. Это.
иногда и называют «пределом Найквиста». Одна- I ,	(
ко слово «предел» здесь не очень уместно. Во-
первых, как понимал уже сам Найквист, это коли-
чество информации можно увеличить в log m раз,
если i различать в моменты времени АЛ/ не два/
1am уровней сигнала? Во-вторых, как мы* уже ви-
дели, 2FT бит информации можно передать отрез-
ком сигнала (5.2) длительностью Ti<^T, Правда,'
при этом нужно в каких-либо п точках, различать ;
не два уровня’сигнала, а значительно больше '(тем
больше, чем меньше Т\/Т). Практически это воз- (
можно лишь при ничтожном уровне аддитивных;
помех.'	'	1 । Ф
‘Как бы то ни было, отсюда следует, что термин,
«предел Найквиста» неудачен: он не устанавливает
никаких строгих предельных соотношений, анало- ,
гичных, например, пропускной способности Шенио- ;	?
L на или. потенциальной помехоустойчивости Котель^ j ;
никова.' '	. Ф Й 1
У ; il-й аспирант.-Так .не лучше ли вообще рт-Ф1 i
казаться от 'понятия «предел Найквиста»?	И "!
' .'Профессор. Думаю, что от него отказывать-, ; ,
i ся не стоит, и'вот по какой причине. В настоящее!]-) I
время разработано много различных систем пере- |
дачи дискретных сообщений; । для разнообразных I j |
каналов, 'в‘'том ।числе для'таких,-у которых АЧХ |
( довольно быстро' снижается Да? пределами полосы г (
. частот F. Ее'условцр можно; назвать полосой прог? ?- |
пускания ! канала,- Скорость передачи 2F бит/с.. , , : |
(также! условно) , можно назвать «скоростью'  ' I
Найквиста». Среди&азЬйчних1 существующих' си- " f
I. |' Г!	!	г.' 1Ч. Г,	", i J -	" i ? 'I
4

:1
> с!ем связи имеются и работающие со скоростью,
г ^большей найквистовской. Но вот’] что примечатель- >
, * 'ио. Все более или менее простое системы в ка-
налахд различными помехами обеспечивают ско-
рость передачи не более 0,3—0,5 найквистовской.
Для достижения скорости Найквиста систему при-
ходится заметно усложнять, а превышение этой
скорости требует еще большего усложнения.
• ' Применяя грубую аналогию, можно сказать, что
, скорость Найквиста в теории связи играет не та-
 кую роль, как скорость света 1 в физике, а скорее
такую, как скорость звука («звуковой барьер») в
авиации. Достигнуть ее и превзойти можно, но это ।
1 требует значительных! усилий. О причинах трудной
преодолимое™ «барьера Найквиста» можно былО|
бы говорить много.. Остановимся лишь на одном
. примере. 'I . ... ।	1		'  I.
Рассмотрим канал с отношением мощности сиг-
нала к мощности аддитивного! гауссовского’ шума
на выходе Рс/Рш при передаче сигналов, занимаю-
щих условную полосу частот F, Пропускная спо-/
собность такого канала при равномерном спектре 0
шума равна по Шеннону’	! г 1 ,
C=Flog(l+Pc/PtB).	(5.3) \
Известно, что при приближении скорости пере- ;
дачи к пропускной способности необходимо сущест-
венно усложнять кодирование. Для приближенной i
оценки положим, что граница между приемлемой* ।
и чрезмерной сложностью кодирования имеет ме-
 ,сто’ при скорости передачи R~~C/2., Тогда/уы от- . :
носитейьно простых систем . 1 /	'	.
v ^^0,5Flog(l+/’c/Pm)=0,257?Hlog(14-Pc/lPul),	. Г
4
где Rs=2F — «скорость Найквиста»..'Отсюда лег-il ,
кснполучить 	, ', Г1	I ,
.'(5.4)
! И.[ ,73 ’’
, '*|F i'1, ।

Если необходимую мощность сигнала при ско-
рости, равной 1 /4 найквисуовской, принять за еди-
ницу, то для достижения 1/2 найквистовской ско-
рости без чрезмерного усложнения кодирования по- !
требуется сигнал мощностью 3. Для того же чтобы
добиться найквистовской скорости, нужно уве-
личить мощность сигнала до 15. Дальнейшее
повышение скорости за пределом «барьера Най-
квиста» потребует еще более резкого увеличения
мощности сигнала. Так, для превышения «барьера»
в 2 раза мощность сигнала должна быть в 255 раз
выше, чем при R — /?н/4.
Этот вопрос становится актуальным, когда не-
обходимо передавать большие потоки информации
по каналу с ограниченной полосой пропускания при
низком уровне аддитивных помех и малом затуха-
нии сигнала.
Если надлежащий запас мощности сигнала име-
ется, то «барьер» можно преодолеть различными,
способами. Так, можно передавать «посылки» с’
найквистовской скоростью — 2F отсчетов в секун-
ду, но увеличить число уровней т. Можно, наобо-
рот, сохранить небольшое число, уровней посылок,
но передавать их чаще чем 2F в’ секунду. При этом
возникает । межсимвольная интерференция, но она в
, принципе не препятствует извлечению информации
; из принятого сигнала, если уровень аддитивного
' шума мал. Возможны и другие способы передачи.
Конкретная система связи, работающая выше
! «барьера Найквиста», должна выбираться с уче-
том всех особенностей канала, таких, как мульти-
пликативные s помехи (замирания), многолучевое
распространение и т..д.
!	, Г ..	i
6.	НА ОДНОЙ БОКОВОЙ
. — Почему в приемнике AM сиг-
налов полоса пропускания тракта
‘j ;	промежуточной частоты вдвое шире,
, 1	чем тракта низкой частоты?
'	.	—Очень просто. Детектор про-
I	пускает только верхнюю полуволну,
;	и поэтому полоса сигнала после не-
го сужается вдвое.
11	Из ответов на экзамене
6.1.	РЕКОРДЫ ОДНОПОЛОСНОЙ МОДУЛЯЦИИ ,
— Какой из известных видов модуляции можно
"считать самым простым? — спрашивает профессор
на экзамене.
।. — Однополосную модуляцию, — отвечает сту-
дент. — Она представляет собой просто перенос
спектра первичного сигнала из области низких ча-
стот в область высоких частот. К этому еще иногда
добавляется инверсия5 спектра, если; передается
нижняя боковая полоса. Модуляция и детектирова-
ние здесь сводятся по существу к преобразованию
частоты. Однополосная модуляция линейна, т. е. к
ней применим принцип суперпозиции. При одно-
полосной модуляции сохраняется ширина спектра
сигнала и не изменяется отношение сигнал-помеха.
Все это свидетельствует р простоте однополосной
.! !модуляции. '	'	•  i
— Вы совершенно правы, — говорит профес-
* сор.— Могу поставить вам «отлично». Кто; следую-
 щий?	1
: : —Я, — говорит подошедший студент. !
— Вот вам вопрос: какой из известных вам ви-
J до,в модуляции можно считать самым сложным?
1’. — Пожалуй, однополосную модуляцию.! При
однополосной модуляции изменяются и огибаю-
щая сигнала, и его мгновенная фаза, и его мгно-
венная частота, так что в ней объединяются и ам-
, Н	’	'	, . ;	75
-	! -	. a
плитудная'и угловая модуляции. Но ни огибающая, |
ни мгновенная фаза, ни мгновенная частота, ни
какой-либо другой параметр вторичного сигнала не 1
повторяет первичный сигнал, как это имеет место
почти во всех остальных видах модуляции. \<^ам
процесс однополосной модуляции чрезвычайно’ело-!,
жен. Обычно сначала на! низкой поднесущей чаг.
стоте осуществляется балансная модуляция и филь-
тром выделяется нужная боковая полоса, затем
этот процесс повторяется на более высокой подне-
сущей и т. д., пока не будет достигнуто необходимое
положение спектра на оси частот. .Существуют и;
другие способы, но все они, кажется, еще более'
сложны. Для восстановления формы первичного
сигнала приходится применять также! pi сложную
процедуру демодуляции — восстановить подавлен-
ную нрсущую частоту, к тому же в определенной,
фазе, и детектировать сигнал вместе с'ней. При-, г
этом нелегко обеспечить неискаженное детектиро--
вание. Для восстановления несущей обычно прихб-
дится применять пилот-сигнал. Одним словом,труд- :
но перечислить все сложности, связанные с одно-
полосной модуляцией. , . I
I — Вы совершенно* правы,— говорит профес-
сор.Вам также ставл|о «отлично».	pj ,
1 и —Но позвольте, — вмешался слушавший все,это| 
третий студент, — два диаметрально) противополож-
ных ответа вы оценили одинаково' высоко; Какой,
же из них верен на самом деле? ,	h1
— Оба! верны. Здесь явления многогранны, й
к ним нельзя подходить с позиций формальной ло-
гики и «исключенного третьего». Такую,же 'ситуа-
цию еще в!древности подметил Эзощ когда емУ^
поручили купить на..рынке самое- лучшее, а 1р1 дру;'
гой раз самое; худшее.гКак известно, в обоих еду-;
! чаях -он* купил языки.','Язык позволяет людям. Ьб-'
, ' 'Io Sh ipS' и.  Г-р Sir/ ь S -
 i I .Il Г	’	- 1	1	:	,	।	|	1 J ' o, ’ ii
.тцаться, обмениваться информацией, безъязыка не-
г . возможны ни наука, ни искусство, ни даже разви-
тое (Мышление. Но язык же. породил; ложь, клевету,
брань, доносы...	'il	-|
Оставим, однако, нашего профессора и его1сту-
дентов и поговорим серьезно об однополосной мо-
!(,, дуляции (ОМ). Если бы первым изобретенным ви- (
дом модуляции была однополосная, то она, вероят-
но, всеми воспринималась бы как самая простая. (
Ее бы^тогда и не называли однополосной: никому !'
.бы в голову не пришла мысль строить сигнал. ,с ।
) двумя боковыми полосами. Модуляцию описывали
бы. просто как перенос спектра первичного сигнала i
।	вверх,,а демодуляцию — как возвращение вниз. । .
•' . J'Ho в действительности первым видом модуля-
ции была амплитудная (AM). Когда ее спектр был \
проанализирован 1и инженеры привыкли к тому, что1 
AM сигнал содержит несущую частоту и две боко-i i.
:: вые полосы, некоторым из них пришла мысль, что ;
? . без. ущерба для передаваемой информрцри. иене- ।
малой выгодой можно избавиться от несущей ч а- Л
; , стоты, а также от одной из боковых полос, Так и
' ' была изобретена модуляция, которую вначале на-
। и звали просто «передача на одной боковой полосе»; | I
Ч (|(ОБП), а позднее, когда появились новые видыi1.!
; i модуляции— фазовая (ФМ) и частотная) (НМ),
некоторые стали называть «амплитудная модуля-! pU
ция с одной боковой полосой». Ей противопостав-1 и
|! ’ .дялись1 обычная амплитудная модуляция, а также;
!! : «амплитудная модуляция без несущей с двумя бо-
; ковыми полосами» (ДБП). Разумеете^, сразу' н
-появились «изобретатели», предложившие приме- . '
!’	' пять In фазовую и частотную однополосную модуля-
'! . ... цию, например, путем выделения фильтром части
, ; спектра, расположенной выше (или ниже) несущей !
частоты в-обычном ФМ или ЧМ -сигнале-, Неясным, н
' а . г " '	.. -г '' । • I - А , * L'	, л ' л
оставался только вопрос: для чего это нужно?
Спектр таких сигналов шире, а помехоустойчивость
ху'же, чем при обычной однополосной модуляции.
Хотя такой подход еще можно встретить в не-
давно изданных книгах, автор глубоко убежден,
что он устарел. Для построения хорошей теории
модуляции нельзя в основу классификации, и опре-
делений ставить метод схемной реализации, как это
делали до 60-х годов. Однополосную модуляцию
не следует рассматривать как разновидность ам-
плитудной. Как уже отмечалось, при ОМ. изменя-
ются и огибающая, и фаза, и мгновенная частота.
Это особый вид модуляции, так же как и двухпо-
лосная балансная модуляция, имеющая свои осо-
бенности и довольно обширную область примене-
ния.	1
Мы видели, что однополосную модуляцию мож-
но рассматривать и как самую простую, и как са-
мую сложную. Ей принадлежат и некоторые дру-
гие рекорды, но среди них один печальный —ни о;
каком другом виде модуляции не было опублико-
вано столько взаимно противоречивых и ошибоч-’
ных мнений, как об однополосцой. Некоторые из
наиболее поучительных ошибок будут описаны да- <
лее. Но предварительно займемся определением
ОМ.	<
6.2.	КАК ЗАПИСАТЬ ОДНОПОЛОСНЫЙ СИГНАЛ’ ,
Пусть задан первичный ’сигнал x(t).' Опреде-
лить вид модуляции с современной точки зрения—
это значит выразить через х(/) вторичный сигнал;
s(t). Для ОМ сигнала ,	,
Som(0 =C[x(0cos	(«)оН~<р)], (6.1)
где С — произвольная постоянная; ®о— несущая'
частота; x(t)—преобразование Гильберта от x(t);
1 ’’ !
кр — начальная фаза подавленной несущей частоты.
►  В зависимости от выбранного знака («минуса» или
«плюса») в (6.1) получают разновидности ОМ. с
верхней или нижней боковой полосой.
Если в (6.1)' ограничиться первым членом, то
получим выражение для сигнала с двухполоской
модуляцией без несущей (балансной)
5дбп(0 = Сх(Осоз(соо^+ф).	(6.1а)
Более наглядная запись ОМ сигнала получает-
ся из (6.1), если представить первичный сигнал
x(t) в виде
x(4)=X(t) cos<D(/),	(6.2) 1
где X(t) —огибающая первичного| сигнала, опреде-
ляемая по формуле (3.7). Тогда	 ,
«ом (0 =СХ(Осоз[<ао/±Ф(0+ф]>	(6.3)
• откуда сразу видно, что ОМ сводится к сдвигу пер-
вичного сигнала вверх по оси частот на соо- Дейст-
вительно, мгновенная частота первичного сигнала
(6.2) равна d®/dt, а модулированного сигнала (6.3) .
соо+</Ф/с#. Из свойств преобразования Гильберта
(см. свойство 7 в гл. 3) следует, что и спектр при
ОМ сдвигается вверх на ojq. Если в (6.3) выбран
знак «минус», то помимо сдвига происходит также
инверсия (замена знака’мгновенной фазы), в ре-
зультате передается не верхняя, а нижняя боковая
полоса. I	,
6.3.	КАК выглядит ОДНОПОЛОСНЫЙ СИГНАЛ?
Речь пойдет, конечно, о том, как выгляди^ ОМ
сигнал на экране осциллографа. Ответить на этот
вопрос очень просто. Если несущая частота ®о ле-
жит выше спектра первичного сигнала (что прак-
 тическд всегда выполняется),’1 то в (6.3) CX(t)
' 'Г	• Н L ' * ; ’ i  7» J
является гильбертовской огибающей. Она и обра-
зует при определенной скорости развертки гранич- •
ную линию светлого участка экрана осциллографа
(рис. 6.1,6). Очевидно, что она совпадает с гиль-
бертовской огибающей первичного сигнала, пока-
занного на рис. 6.1,а, а не с самим первичным сиг-
налом как это было бы. при AM.
Предположим теперь, что в качестве первично-
го сигнала на однополосный модулятор подано]!на-'
пряжение от звукового генератора. Полагая, что
' генерируемое напряжение гармоническое x(t') —
=Хсоз(йм^+ф), и замечая, что его огибающая, ]
i .X=const, мы ожидаем получить на осциллографе ]
изображение гармонического' сигнала с частотой '
показанное на рис. 6.2.	!	।	ч
] Бодее 40 лет назад такой эксперимент был про-
.делан в 'лаборатории, где работал 'автор этой кни-|' .
ги. Это делалось не из любопытства — необходимо 1
было проверить, правильно ли работает макет ]
однополосного модулятора. К нашему удивлению и । ;
огорчению, цолучецное изображение выгляделс) j А
так, как показано на1 рис. '6.3, — огибающая 1полу- ..
синусоидой. Модуляция имела глубину порядка не-
скольких процентов и легко наблюдалась при над-
- лежащей синхронизации развертки. Очень огорчен-
ные, мы решили, что. модулятор работает плохо:
либо недостаточно подавлена несущая частота, ли-
 бо остается заметный остаток от второй боковой
частоты. Измерив частоту огибающей и обнаружив,
-Рис. 6.31
Рис. 6.2 ,
что она совпадает с частотой первичного сигна- !
’^ла, мы отбросили предположение о плохом подав-
лении второй боковой частоты/Ведь в отсутствие
несущей две боковые частоты дают биения с часто-
той 2йм. Поэтому все внимание; было уделено по- *
давлению несущей.	!
Сняв модулирующее напряжение, мы убедились,;}'
чтоуостаток несущей частоты, «пролезающий». че- ;
рез балансный модулятор, ниже пикового уровня
по меньшей мере на 60 дБ, так что глубина пара-1
зитной модуляции огибающей не должна была бы
превышать. 0,1%, в действительности же она была
раз в 50 больше. Тогда возникло подозрение, что
вследствие неодинаковых характеристик? диодов, -
входящих в балансный модулятор, симметрияМсхе-
6-3413' , , , J । [ ,1 । ।1 i' I , Г J Г' 81./ 
: в балансный модулятор, симметрияjqxer
 ЛТ1’, "МЙШ I1 И1 ; | О1'	|! 1 81
мы/ установленная в отсутствие модулирующего
напряжения, нарушается при его подаче. Это пред-
положение было проверено, но расчет, проведенный
на основе измеренных реальных характеристик,
показал, что возможная разбалансировка должна
давать эффект раз в 15 меньше обнаруженного.
Лишь спустя несколько дней мы догадались, о
причине этого явления, она оказалась весьма про-
стой. Все дело в том, что первичный сигнал, сни-
маемый с звукового генератора, только номиналь-
но является гармоническим. Фактически он содер-
жит помимо основной гармонической составляющей
с частотой йм высшие гармоники с частотами, крат-
ными сом, причем их уровень даже в хороших со-
временных генераторах часто достигает 1—2%, а
в те времена 5—6%. Поэтому и сформированный
однополосный сигнал даже при идеальном подав-
лении несущей оказывается не чисто гармониче-
ским, в его спектре помимо частоты соо+сом при-
сутствуют ®о+2им, соо+Зсом, .... Биения между
ними происходят по закону, близкому к гармониче-
скому, с частотой сом-
В этом легко убедиться, ограничившись для
простоты только 2-й гармоникой и приняв ампли-
туду 1-й гармоники за единицу. Тогда
x(Z) =созщЛ+асоз(2пМ4-ф),	, !
где а — величина порядка нескольких сотых; ф —
произвольный фазовый сдвиг. Сопряженный сигнал 
x(^)=sm(BM£+'asm(2(oM/-Hp),	( ' !
и огибающая первичного сигнала
X (f) — VX* (t) 4- X2 (f) =s= V1 4-2а cos (®ы/
«Л -4-acos(ioM/-4-<p). i (|.. .	ч »
!82	.	'	' ,	; 4 '	\ 1
Подставив это выражение в (6.3), видим, что оги-
бающая однополосного щигнала промодулирована
и глубина модуляции равна а.	.	:
Огибающую Х(/) первичного сигнала непосред-
ственно на осциллографе наблюдать нельзя, так
как этот сигнал не является узкополосным, а в этом
случае «наглядность» огибающей отсутствует. Но
при однополосной модуляции формируется узкопо-
лосный сигнал с той же огибающей, и тут-то она
и проявляется в явном виде и иногда (как в опи-
санном случае) вносит смятение в умы малоопыт-
ных исследователей.
6.4.	«ФОРМУЛА КОСТАСА»
С появлением ОМ в учебниках, журнальных
статьях и монографиях дебатировался вопрос о
том, какой выигрыш дает переход от амплитудной
модуляции к однополосной. Было высказано много
разноречивых мнений. В. начале 60-х годов аме-
риканский ученый Дж. Костас писал, что, просмо-
трев обширную журнальную литературу по ОМ, он
обнаружил в каждой статье свою оценку энергети-
ческого выигрыша относительно AM — от двух до
нескольких десятков. В результате он установил,
что выигрыш, указываемый в каждой статье, со-
ставляет примерно (З-f-N!) дБ, где N — число со-
авторов данной статьи.
;' 6 Если эта шутка и неточна, она все же правиль-
но । отражает тот разнобой, который существовал
в те годы. Помимо того, что разные авторы произ-
водили сравнение в различных условиях и по-раз-и
ному определяли энергетический выигрыш, они так-
же допускали немало различных ошибок.
Вот примеры некоторых рассуждений. !
.. 1. При обычной AM, полагая мощность несущей
6*. ’	,	83
частоты равной 1, имеем мощность пары боковых
частот, равную т2/2. При максимальном коэффи-
циенте модуляции /п=1 мощность боковых частот
। равна 1/2, т. е, составляет 1/3 полной мощности
сигнала. Остальные 2/3 мощности тратятся на не-
сущую частоту, которая, не несет информации и в
этом смысле бесполезна. При переходе от AM к ОМ 
, вся. мощность сигнала, затрачивается на полезную
боковую полосу.1 Следовательно, выигрыш равен 3.
2. При обычной AM коэффициент модуляции т '
в среднем не превышает ,0,45. Поэтому мощность
! боковых полос составляет 1/10 мощности несущей
или .1/11 полной мощности сигнала. Следовательно,
при переходе к ОМ полезная мощность возрастает
в среднем в 11 раз. I '	/	.
3. В предыдущем рассуждении не учтено, что :
в передатчике ограничена пиковая мощность, кото?
;рая в моменты, когда т=1, достигает 3/2 мощно-
сти несущей. Поэтому средняя' мощность боковых,
частот при т,Ор=.0,45 составляет 1/10 мощности не-
сущей или 1/15 .пиковой мощности передатчика.
Перейдя к ОМ, можно использовать всю пиковую
, мощность передатчица, т, е. получить (Выигрыш1
' । в 15 раз.	।
' i rh4- В/предыдущем рассуждении не учитывалось,'
/ что однополосный сигнал имеет такой же пик-фак-
тор, 1как!и модулирующий первичны^ сигнал. Пусть
пик-фактор П^З. Следовательно, средняя мощ-
ность, ОМ' сигнала в П2—9 ' раз меньше । пиковой] I,,
мощности: передатчика, тогда какщри AM средняя'
мощность полезных боковых полос в 15 раз мень-
ше пиковой 1МОЩНОСТИ (см‘. предыдущее рассужде-4
ние). Таким образом^, энергетический выигрыш со-
ставляет всего 115/9^1,67 раза.	М
z i । 5. При AM выигрышгв отношении сигнал-шум |
'll на выходе идеального приемника (по отношению
pi'.-.	, Г Г!| L , ’ 4 d ! м -1	,
 Г .	'	. ' :	,
• к; входу) S=m2/(l+0,5m2) или 2/3 при /п=1. Да-
э лее цитирую по монографии [37]: «При расчете 
. Выигрыша отношение'полос частот1 было взято
равным 2., Фактически это отношение несколько
больше, вследствие чего значение В ближе 'к еди- !
'нйце. В практике часто принимают Значение В при I
g. AM равным единице (?!)..., Анализ обычных мето-
дов приема при AM и линейном детектировании
. в случае малых шумов показывает, что по помехо-р
''Устойчивости, этот способ не отличается от идеаль- I
него. Анализ обычных методов приема при син- ।
i . хронном детектировании, при квадратурной моду- ! (
ляции, при работе без несущей с двумя боковыми
полосами и при одной боковой полосе также пока-,
' зывает, что и в этих случаях достигается потенци- ।	1
альная помехоустойчивость. Отсюда 'следует, что
для этих систем коэффициент В.=1».	I
Продолжая эту мысль, приходим к заключе-
 нию, что никакого выигрыша однополосная моду-
ляция относительно, амплитудной не дает.	।
"	6. Будем сравнивать” AM. и ОМ сигналы I при ।
одинаковой пиковой мощности. Это значит, что ма- , .j
ксимальные амплитуды в обоих случаях равны. Но.
максимум амплитуды AM сигнала равен 1/н(1~Нп), \ ‘ j
где ,t/H— амплитуда несущей. При т=1 половина
г . максимальной амплитуды приходится нВ'долю не- /j/1 i
сущей частоты, а половина —на долю боковых. J ! j
При переходе к ! ОМ вся максимальная амплитуда /
- используется боковой частотой. Поэтому ее мощ-r V:
ность оказывается в 4'раза больше, чем мощность
боковых при AM. Таков выигрыш в передатчике. J! J
Но к этому нужно прибавить еще выигрыш в при- ! (j
емнике. Последний обусловлен тем, чтоГОМ сигнал Д j
занимает вдвое более узкую полосу частот, чем AM 7 , J
' 1 ;	।	r , i 1	”1 :r ! i 'h
-----ГТ" '	 • ' ’	'111 Д !' ' 'SA !д '
, 1 Имеются в .виду полосы на дходе и выходе детектора. I J
3
сигнал, и, следовательно, мощность шума при пере-
ходе к ОМ уменьшается в 2 раза. Таким образом,
общий выигрыш равен 8.
7. К выигрышу, определенному предыдущим
рассуждением, нужно добавить еще дополнитель-
ный выигрыш при коротковолновой радиосвязи.
При связи отраженными волнами имеют , место се-
лективные замирания, которые в случае AM могут
значительно исказить передачу, так как верхняя и
нижняя боковые частоты могут быть сдвинуты по
фазе относительно несущей различным образом.
Это снижает средний уровень продетектированного
сигнала и вносит дополнительные искажения, до
некоторой степени эквивалентные.увеличению шу-
ма. В то же время при ОМ селективные замирания
могут только изменить соотношение амплитуд и
фаз отдельных составляющих спектра восстанов-
ленного сигнала, что мало влияет на его разборчи-
вость. Это преимущество ОМ можно оценить как
дополнительный выигрыш в 2 раза, так что общий
выигрыш оказывается равным 16.
Последняя цифра — выигрыш в 16 раз (или. на
12 дБ), хотя и очень-туманно обоснованная,—по-
чему-то получила наибольшее распространение и
изредка появляется в печати даже сейчас, чаще
всего без всяких обоснований как якобы давно
установленный факт.
Число примеров можно было бы еще умножить,
но и этого достаточно. Все приведенные рассужде-
ния страдают в основном одним недостатком—от-
сутствием четкой постановки задачи. Поскольку
условия применения модуляции бывают разные, :то
и характеризовать выигрыш однополосной модуля-
ции относительно амплитудной одним числом не-
возможно.	I
В современной теорий связи под энергетическим
выигрышем некоторой системы А относительно си-
стемы В понимают число, показывающее, во сколь-
ко раз нужно увеличить среднюю мощность сигна-
ла в системе В, чтобы получить в обеих системах
одинаковый результат на выходе. В идеальном слу-
чае, когда сигнал в канале не подвержен замира-
ниям, несущая частота при приеме в точности
. известна, помехой является аддитивный белый гаус-
совский шум, а моделью сигнала служит стацио-
~ парный случайный процесс, выигрыш однополосной
модуляции относительно амплитудной, вычислен-
ный на основании теории потенциальной помехоус-
тойчивости при оптимальной обработке сигналов,
оказывается равным (/и2Ч~П2) /т2. Наименьший
выигрыш имеет место при т=1 и равен
В=1+П2.	,	(6.4)
Если 11=^3, то 5«Д0. Такой же в точности выигрыш
дает двухполосная модуляция без несущей относи-
тельно амплитудной (см., например, [15, 39]).
Заметим, что в этих условиях никакой разницы
в помехоустойчивости между системами с одной и
двумя боковыми полосами нет, хотя при ДБП
спектр вдвое шире и поэтому мощность шума, не- 
избежно попадающего в приемник, вдвое больше,:
чем при ОМ. Это легко объяснить те(м, что в про-
цессе детектирования ДБП составляющие сигнала^
расположенные.симметрично относительно несущей,
'складываются когерентно, а сопутствующие им со-
ставляющие помехи — некогерентно. Это дает уве-
личение отношения сигнал-помеха в 2 раза, что и
компенсирует добавление второй полосы помех.
Кстати, это обстоятельство совершенно не учиты-
валось! в рассуждении 6, получившем широкое рас-
пространение, где сокращение полосы пропускания
,	'	'	! ' !	!  I :	87.
приемника вдвое при, переходе к ОМ расценива-
|лось кащ соответствующий выигрыш в помехоустой-
чивости. 	,i; , j I 	 н , :  , 4
Иначе обстоит дело, когда фаза сигнала ib ка-
нале флуктуирует,1 тем более/ когда флуктуирует I
мгновенная частота (например, вследствие неста-
бильности частоты передатчика или эффекта Доп-
лера). |В этом случае для । приема1 ОМ сигнала
с восстановлением формы передаваемого сообще-
ния необходимо использовать пилот-сигнал, .содер-
жащий информацию о частоте и фазе несущей. При
5 I обычной амплитудной модуляции несущая частота
сама присутствует :в принимаемом сигнале, а при
двухполосной  она легко восстанавливается, по бо-
ковым полосам [42]. Вследствие затраты лишней
мощности на передачу пилот-сигнала щ меньшей
точности отслеживания несущей система сОМпро- 
игрывает системе с ДБП, а ее выигрыш относитель- t
но обычной AM.I.уменьшается. Степень этого умень-
шения различна в зависимости от свойств пе'рвич- ;
- ного' сигнала и от закона , флуктуации фазы. Для
первичных сигналов, моделируемых марковским
случайным процессом, а также при, описании флук-
туаций фазы марковским процессом результату '
можно, найти в [42], где дана также обширная Г
^библиография. Можно отметить, ч,то по сравнению
1 i'cq случаем, когда фаза и частота fee флуктуируют,
выигрыш при. ОДНОПОЛОСНОЙ1 модуляции относитель; !
но амплитудной изменяется незначительна i ii
! В коротковолновой1 магистральной ’радиосвязи, 1
когда вследствие перегруженности диапазона ' ос^
L новной причиной нарушения связи являются взаим-
! 'ные помехи, афлуктуационный шум относительно ।
 мал, нужно'совершенно иначе подходить к оценке
! преимуществ ОМ. В этом случае задачу можно
Сформулировать так: насколько, изменится вероят- .
|	‘	1	।	। ।	1	i'i'i 1 \ ।
I 88| | f ,	1	1 Л' Ч	,
ность поражения сигнала мощной стационарной по-
мехой при переходе от амплитудной к однополос-
ной модуляции? Совершенно очевидно," что эта
вероятность уменьшится, но степень уменьшения за-
 висит от многих факторов — от плотности помех,
распределения- ширины спектра помехи и т.д. '.!
При частотном уплотнении каналов 'с пренебре-
жимо малым уровнем помех ОМ позволяет увели-
чить кратность уплотнения вдвое по сравнению; ,
с. AM. Говорить об энергетическом выигрыше
в. этом, случае не имеет смысла. ‘ !	i
- Если считать заданной не среднюю, а пиковую
мощность, то вычисленный выше выигрыш 14~П2
нужно умножить на отношение квадратов пик-фак-
торов AM сигнала Пам и ОМ сигнала Пом, так что ।
выигрыш по пиковой мощности ОМ относительно1
AM составляет Вцик=( 1Ц-П2) П2ам/П2ом. Величину!
Пам легко выразить через пик-фактор первичного
сигнала |П. Из представления AM сигнала!	i '
\«ам(0=^ [l-|-mx(Z)] COS (Hot t
легко найти пиковое значение	А/ !!, , !
[Saw (^) ] шах—А (1 ф-ТПХщах) >	А А
. или, если первичный сигнал x(t) нормирован так, й
ЧТО Xmax—1, ТО
[£ам(0 }max~A	:
’ 1 ’ !
Средний квадрат AM сигнала
л’2

(6.6)
. x’2a¥(/)==A2 (l-}-m2x2(i)+2mx(^)] cos2 (i)0As
^A2 [1ф-т2х2(/)+2тх(?У] cos2<W-
Здесь мы'1 воспользовались । тем, ччто| огибающая1 ч !
^изменяется |значителЬ|Н0 медленнее, .
высокочастотного заполнения cos о>оЛ что позволяет 
А А1’ А1; АЙА!
1 Д-
усреднять cos2<oq/, полагая значение огибающей за
I период несущей частоты постоянным.	
Далее, первичный сигнал обычно не содержит
постоянной составляющей, т. е. х(/)—0. Поскольку
хтах=1, то х2(^)=1,/П2. Поэтому, учитывая, что
cos2<о0Л=0,5, получаем:
^Wj^0,5X2(l+m2/n2);	(6.7)
ns ([Зам (0]гаах)г_ 2(!+'И)2 _2ПЧ1+ /И)2
аМ~	“ 1+т2/П2 П‘ + т‘ •
В наиболее интересном случае, когда т—1,
П2ам=8П2/(14-П2).	.	! (6.9)
Что же касается однополосного сигнала, выра-
жаемого формулой (6.3), то аналогичное вычисле-
ние дает
n2OM=--[^(0raJ2/ta40.	[	(6.10),
где X(t)—огибающая первичного сигнала. ,	,
Если первичный сигнал (6.9) достаточно узко- ’
полосен, так что при вычислении его среднего квад-',
( р'ата x2(t)—X2(t) соз2Ф(0 можно раздельно усред-
нить X2(t) и соз2Ф(/), причем соз2Ф(/)=0,5, то
легко видеть, что П=П0М- Это приблизительно ।вер-
но при телефонной модуляции. В этом случае
Впик=8П2(1+П2)/(1+П2)П2==8, i !	(6.11) )
что совпадает с цифрой, полученной при интуитив-
ной оценке примерно в тех же условиях. Однако
при модуляции более широкополосным первичным ;
сигналом обычно П0М>П и выигрыш по провой
, мощности оказывается; меньше 8,	* \ г
г <	i
I
6.5. КАК ДЕТЕКТИРОВАТЬ ОДНОПОЛОСНЫЙ СИГНАЛ?
Рассмотрим сначала другой вопрос: как вскипя-
тить чайник? Точнее сформулируем задачу так.
Имеются пустой чайник, водопроводный кран, не-
зажженная газовая плита и спички. Требуется по-
лучить чайник с кипящей водой. Решение этой за-
дачи хорошо известно. Нужно, во-первых, на-
полнить чайник водой из крана, во-вторых, зажечь
газ, в-третьих, поставить чайник на огонь и, нако-
нец, подождать некоторое время, пока вода заки-
пит.	'	,
' Один математик, вполне усвоивший это реше- '
ние, оказался в несколько иной ситуации — вода
в чайнике уже была, а газ был зажжен. Как быть
в таком случае? «Очень просто,— ответил он.—
Я выливаю воду из чайника и гашу газ, после чего
задача1 сводится к предыдущей, решение которой
нам уже известно».	।
Этот анекдот невольно приходит в голову, ког-
да читаешь в некоторых книгах, что для приема
ОМ сигнала (а также двухполрсного сигнала; без
несущей) необходимо добавить к принятому сигна-
лу несущую, превратить его тем самым в AM сиг-
нал, а затем уж задача сводится к известной —
к детектированию AM сигнала с помощью ампли- ।
тудного детектора.
В случае добавления восстановленной несущей
к- .двухполосному сигналу ее фаза должна точно
совпадать с фазой «подавленной» несущей. Тогда
верхние (в. б) и нижние (н. б) боковые частоты
'будут расположены симметрично относительно не-
сущей, как показано на векторной диаграмме1
1 Для простоты показан случай, модуляции одним1 то-
ном. Предполагается, что  плоскость чертежа вращается с,
угловой,скоростью сйо-	. J ‘	.
91
!  I
рис. 6.4,а. В противном случае, когда фаза несущей
восстановлена неверно (рис. 6.4,6), сумма приня-
1 [ того сигнала и восстановленной несущей! оказыва-
ется промодулированной как по амплитуде, так и
по фазе. Это видно из рис. 6.4,6, где штриховой
линией показано перемещение конца результирую-
щего вектора, который изменяет не 'только длину,
но и направление. При этом огибающая, выделяе-
мая амплитудным детектором, искажается, т. е. не
повторяет форму первичного сигнала, а ее значение
! уменьшается по сравнению со-случаем, когда фаза
несущей восстановлена точно.	i!
На рис. 6.5 показана зависимость коэффициента
гармоник kv от неточности V восстановления фазы
несущей при детектировании двухполреного сигна-.
ла амплитудным детектором. Там' же показано от- .
ношение амплитуды полезного сигнала на выходе
детектора к ее значению при V=0. Кривые постро-
! ены для двух значений отношения амплитуды вос-1;
становленной несущей к амплитуде одной боковой
частоты •UhIUq-. 2 (штриховая линия, т—1)- и 20 ।
(непрерывная).	i । ’ i
Увеличивая амплитуду восстановленной несу-.
,1 щей, можно снизить нелинейные ।искажения до до-
11 пустимых, если неточность фазы не очень близка
' । к 90°.i Однако, чтобы амплитуда! продетектирован-
’ ; «ого сигнала не была существенно снижена, при
( | (‘ , любой амплитуде несущей ошибка V. не должна
1 превышать 20—30°. Здесь следует обратить внимаь
ние на то, что шум на выходе детектора практиче-
! СК|И не зависит от отклонения фазы несущей, так
. что при больших V/ухудшается отношение ^сигнал-1
шум на выходе1детектора. 1	। I h , .(ц
I Значительно проще и благополучнее детектиро-
। ванне двухполосного!1 сигнала без несущей осуще-
I ПГ стрляется синхронным; детектором. Для этого сиг- 1
нал (6.1,а) умножается на опорное напряжение ге-
теродина (восстановленную несущую) acos (юо/Н-
 ''И’) > гДе 'Ф—ф=11г> погрешность , при восстановле-
'нии фазы несущей:	;	(	!
s(/)a|Cos (wo/-H|))=Cax(Z) cos (иот-гф) cos (w0^+
--рф) =0,5aCx (t) cos (2о)О/--)-ф-г'ф) 4~0,5aCx (/) X
Xcos (<p—ф).	,| I	I
(6.12)
- [	^52
Несущая
О .......  >'< —
°)
4 я
в. В '
I Рис,
6.4
Н.6
О
0,5
Л, кг
1
: 30°	60й ijr


i Рис. 6.5 .
'ч J 'ь-	'
'Первый член (6.12) пред-
ставляет высокочастот-
. ную составляющую про?
’. изведения, которая от- •
фильтровывается, второй
-'является результатом де- .
тектирования и пропор- i
।ционален первичному си-;
гналу х(/). Таким обра- !
। - I • / 'и зом, при синхронном де-
тектировании 'двухполос-
ного сигнала никаких искажения । не возника-,
ет, каковы бы ни были амплитуда 4«J ta i началь-) !
ная фаза,'ф„ восстановленной,!несущей-1 Неточность'!
фазы вызывает только уменьшение, уровняТ1нррде-|
'-4. ?	'И| 1-1 93 ,
тактированного сигнала, пропорциональное
cos (ф—ф). Если потребовать, чтобы уровень про-
детектированного сигнала уменьшался не более чем
на 10%, необходимо восстановить фазу несущей
с точностью ±15°, если же допустимо снижение на
30%, то требуемая точность фазы ±45°.	।
Преимущество синхронного детектирования Пе-
ред детектированием огибающей суммы сигнала и
восстановленной несущей очевидно. При обычной
AM, когда в принимаемом сигнале уже содержится
несущая, детектирование огибающей наиболее про-
сто, и поэтому практически только оно и исполь-
зуется. При передаче без несущей последнюю все
равно приходится восстанавливать, т. е. синтезиро-
вать в приемнике. После этого синхронное детек-
! тирование выполняется столь же просто, как и де-
тектирование огибающей.
Приблизительно так же решается задача детек- !
тирования ОМ сигнала. Сложение с восстановлен-!,
ной несущей и амплитудное-детектирование полу-
ченной суммы «линейным» детектором, вообще го-
воря, приводят к нелинейным искажениям, для
уменьшения! которых приходится увеличивать ам-
плитуду восстановленной несущей. Применение
синхронного детектора избавляет от нелинейных
; искажений. Впрочем, сохраняются линейные иска-
жения, заключающиеся в фазовом сдвиге всех со-
•i' ставляющих продетектированного сигнала на вели-
чину, противоположную погрешности фазы восста-’
новленной несущей. Действительно, используя ОМ
сигнал (6.3), после синхронного детектирования
получаем:	।	I :
Som(’0^c®5	=СХ (t) cos [<0{%4“Ф (t) -|-ф] X
Ха cos (Ы+ф) —0,5аСХ(/) cos [2ио^4~Ф(^)-4~<р-% ।
;	-рф]-|-0,5аСХ(/) cos [Ф(0+<р—ф].	(6.13) .
’	94	 I	 i ' ; i г ' H 'r!
Полезным здесь является второй (низкочастотный)
член, который с точностью до постоянного множи-
теля представляет первичный сигнал x(t) с фаза-
ми, сдвинутыми на <( -- ф. 1
Как уже говорилось, ОМ представляет собой,
-в сущности, перенос спектра сигнала вверх, а син-
/хронное детектирование—перенос вниз. Как при
всяком преобразовании частоты, здесь сохраняется
огибающая сигнала, мгновенная же частота сдви-
гается на частоту гетеродина ±«о- Начальная фаза '
при этом также смещается на величину, равную на-
чальной фазе гетеродина. Это хорошо видно из вы- f
ражений (6.1), (6.3) и (6.13). Здесь полезно еще
раз напомнить,, что форма огибающей первичного
сигнала отличается от формы сигнала. Последняя
поэтому может' существенно изменяться при изме- i
"нении начальной фазы.	।
Для примера на рис. 6.6 показано изменение .
формы, сравнительно простого периодического сиг-
г .	.	 :	У.. / ! Ч ’	!	!95 ' I
Я - s (	i	! ь, !
нала при фазовом сдвиге его составляющих на 45
и 190°. Поэтому, если требуется передать точную
форму первичного сигнала, то восстановленная не-
сущая при ОМ должна точно совпадать поЧфазе 
с подавленной несущей. В этом случае принимать
ДБП сигнал проще, так как допустимы отклонения (
фазы восстановленной несущей в ; пределах,, по
крайней мере, ±15°. .	..	I L .	।
Однако дело коренным'образом меняется, если
первичный сигнал х(/) является звуковым. Слухо-
вой анализатор человека (и, по-видимому, всёх жи-
вотных) устроен так, что он . не воспринимает! не-
посредственно фазовых соотношений составляющих 
звука. Поэтому какова бы ни была начальная фаза
ф опорного сигнала, звук; воспринимается одинако-
во, лишь бы сохранился его амплитудный спектр.1
В этих условиях ОМ сигнал принимается проще,!
чем сигнал ДБП, так как допустимым является
любое значение начальной, фазы, восстановленной
несущей.	I	।	Г 11
В ряде книг указывается, что при детектирова-
I нии ОМ сигнала! фаза восстановленной несущей мо-
жет быть любой, но не оговаривается, что это спра-
!	 ведливо только для звуковых сигналов; В частно-; ,
; сти/ если, бы при телевизионном вещании сигнал 1
| ^изображения формировался с помощью однополос-
! ной модуляции, то необходимо было бы в приемнике
! предусмотреть синхронный гетеродин, фаза ko-
i'. торого каким-то образом устанавливалась по край-
ней мере с'точностью до 1—2°. Это было бы труд-
- но! осуществить, и поэтому ОМ в телевидении не
применяется.' Чтобы сократить спектр излучаемого '
сигнала, в стандартном ; телевизионном сигнале ' '
одна, из боковых полос частично отфильтровывает-
ся, но составляющая на! несущей частоте (ерхраня- :
: ется. После детектирования огибающей ^арогр сиг-
нала с частично подавленной боковой полосой пер-
вичный сигнал восстанавливается с существенными
нелинейными: искажениями, однако они практиче-
ски незаметны. Такие искажения в основном вызы-
вают изменения шкалы контрастности, но; не ртра;
жаются на положении контуров изображения на
экране и на общем характере переходов между
" частями'изображения. Наоборот, линейные искаже-
, ! ния в виде фазовых сдвигов всех составляющих
сигнала изменяют характер переходов, вызывают
дробление точек, сглаживание резких контуров,
; иногда возникают новые контуры, что существенно
нарушает восприятие.	;
6.6. О ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ, ВОССТАНОВЛЕНИЯ
НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ '
и Известно, что при передаче речи с помощью ОМ
не только фаза восстановленной несущей произ-
вольна, но и сама несущая частота может быть
восстановлена не абсолютно точно. Это легко по-
I нять. Поскольку звуковое восприятие практически
не зависит от начальной фазы опорного сигнала
в синхронном детекторе, то и медленные изменения.
'этой фазы не должны ощущаться на слух. К этому, .
в частности, сводится случай, когдгг^значение вос-
становленной несущей частоты несколько отличает-
ся от истинного. Действительно, при однополосной
передаче речи и даже музыки расстройка опорного ,
сигнала относительно несущей частоты до, 1—2 Гц -
совершенно не ощущается. При дальнейшем увели-
чении расстройки постепенно заметнее становятся, ;
искажения звука—появляется хрип и «металличе-', ;
ский» призвук. При расхождении частот в 50—< 
.100 Гц эти искажения становятся ? весьма неприят- , 
ными, однако разборчивость речи сохраняется до-
7-3413;  'j J ' 4 < J. 1 !  .г \	' 97 ' S
I	i'1	/	!
। вольно высокой вплоть'до расстроек 200 Гц и бо-
лее. Для музыки уже при расстройках 3—10 Гц
. , возникают недопустимые искажения.
Чем определяются приведенные цифры? Прц
восстановлении^'несущей частоты с погрешностью
Д/ все спектральные составляющие первичного сиг-*
нала оказываются: сдвинутыми на А/. Если бы ле- ।
редавался один тон!(гармонический сигнал), то его
небольшое смещение по частоте оказалось бы неза/-
меченным. Известно, что большинство людей очень
плохо различает/абсолютную высоту звука, т. е. его Д
частоту. Лишь некоторым, чаще всего опытным му-
h зыкантам, это удается с точностью до 5—10% (это;
! (свойство называют абсолютным слухом). ОднакоЬ
практически все люди хорошо 'различают отноше- /
ния частот двух одновременно или последовательно
звучащих тонов. Так, если^частота одного тона точ-
но вдвое больше другого, то их совместное, звуча- !
ние воспринимается как «консонанс»—чистая окта-1
ва. Если же отношение этих двух частот 'будет не 2,у
!а; скажем, 15/8 или 17/8, то их совместное звучание 1
воспринимаете? как диссонирующий интервал—
	. большая септима' или малая'нона. Однако ощуще- |
f ![ ние/фальши при восприятии совместного звучания
( . /S двух звуков наступает уже тогда, когда отношение у
: ’ их частот отклоняется от целочисленного'' (или вы-
ражаемого дробью с малым числителем и знамейа-i
телем/щапример 3/2, 5/4, 6/5) на несколько процен-
:	тов. На /сколько именно?" Попробуем (оценить этот
। допуск, гне/ прибегая 'к трудоемким экспериментам
I и обследованиям учащихся музыкальных (школ.
/ !	'/ Вероятно, читателям Известно/что музыкальные
i1 I ; инструменты/^' фиксированной настройкой (напри-
;п| мер, фортепиано,/орган,'флейта, баян) настраива- />
/ у/ ( ются| так//что'только для октавы соблюдается ргоч<
: Ч ./ ное целочисленное отнадпение частот 2:1. Для ос-
f Г I -h< J ’	! 1 . j /Ь.1	4 ’ I	! I II’’ : !	’’	d"' !
' тальйых интервалов эти отношения отклоняются от
рациональных, определяемых так- называемым на-, ;
• .туральным звукорядом. Делается это для'того, что-
' бы получить одинаковые интервалы между сосед-. /
ними звуками звукоряда, который в этом случае
. называется темперированным. Темперация воз-
можна потому, что человек даже с очень хорошим
слухом не отличает темперированных интервалов от
Натуральных.
Интервал между двумя звуками с частотами fi > -
и '/2 измеряется величиной log (fa/fi)- Обычно ис-
пользуют основание логарифма 2, так как при этом
важнейший интервал—октава—оказывается рав- !
цым единице. В современном темперированном зву-
коряде октава разделена нд 12 равных (в логариф-, !
мическом смысле) частей (полутонов). Таким об-
разом, полутон является интервалом между двумя
соседними звуками темперированного (хроматиче-
’ского) звукоряда.	,	1
Заметим, что в натуральном звукоряде все ин- ,
тервалы соответствуют рациональным отношениям
частот. Следовательно, натуральный интервал (т. е.
двоичный логарифм этого отношения) не может д j
быть рациональным числом, за исключением того
случая, когда отношение частот равно целой степей В
у ни основания логарифма 2. Но в этом случае ин-,
тервал равен октаве или нескольким октавам. Та-
ким образом, все натуральные интервалы, отлича-
ющиеся от! октавы . или целого числа октар/
измеряются иррациональными числами.  i >
Наоборот,Д темперированном звукоряде все! ин-,
. тервалы измеряются. .. рациональными числами,
кратными 1/12 октавы. Следовательно, отношение И
частот, образующих темперированный интервал, за :! >
исключением октавы, не может быть ' рациональ- и!'
ВДм. Так, например, квинте в 'натуральном ,з,вуко- J
7\. I : УД, ?	!'	h i' ™ д '
ряде соответствует отношение частот 3/2. Двоичный i
логарифм'этого отношения (т. е. интервал, если за
единицу принята октава), является иррациональ-
ным числом 0,58496... В темперированном звукоряде
квинта аппроксимируется рациональным числом
7/12=0,58333.... Различие между натуральной и
темперированной квинтами составляет, таким об-
разом, около 0,0016 октавы, или немного меньше
2 центов (цент—сотая часть полутона, или 1/1200
октавы). Такая разница не улавливается даже са-
мым обостренным музыкальным слухом.
Наибольшее отличие между темперированным и
натуральным интервалами дают увеличенная квар-
та и уменьшенная квинта, которые в темперирован-;
ном звукоряде не различаются и составляют поло-
вину октавы. Неточность представления соответст-
вующих натуральных интервалов около ±0,015
октавы (или 18 центов). Следовательно, существо-'
вание темперированного строя доказывает, что от-
клонение интервала на 0,015 практически не влияет
на восприятие звука.
Пусть теперь в спектре первичного сигнала со-
держатся частота fi и ее рторая гармоника 2/ь При
детектировании ОМ сигнала с погрешностью А/ они
преобразуются соответственно в fi+А/ и 2fi-j-A/,,
так что вместо интервала 1 (октава) получится
Так как Af<C-fV можно воспользоваться щриближе-
нием log (1-уА///1) ^(A///i) loge, откуда s. '' i
Такой сдвиг спектра будет малозаметен на слух,
если 1,44)Л/|/2/1<0,015 для всех частот fi в спек-
тре первичного сигнала, в том числе и для
нижней частоты этого спектра.: Тогда допустимая
расстройка несущей оказывается равной |Д/| доп~
«0,02fmin. При передаче речи в стандартной полосе
частот (300—3400 Гц) )Д)|доп=0,02-300=6 Гц.
Действительно, такая неточность оказывается .прак-
тически незаметной. Она была бы столь же неза-
метной и при передаче музыки, если бы воспроиз-
водилась та же положа частот. Но обычно при му-
зыкальном вещании стараются передать частоты
в более широкой полосе, по крайней мере от 100 Гц.
Но в этом случае неточность восстановления несу-
щей будет незаметной, только если она не пре-
вышает 0,02-100=2 Гц. Большая неточность при ।
передаче речи приводит к тому, что вместо гармо-
нических целочисленных первичных соотношений
частот будут слышны негармонические. Например,
вместо частоты 300 Гц и ее гармоник 600, 900, 1200,
1500 Гц при смещении спектра на 20 Гц получатся.
частоты 320, 620, 920, 1220, 1520 Гц, ни одна из
которых не кратна нижней частоте 320 Гц.
Напомним, что при колебаниях тонкой натяну-
той струны ее спектр содержит частоты, с большой
точностью кратные основной частоте. Если же вме- ..
сто струны заставить колебаться толстый металли-
ческий стержень или рельс, то его спектр будет со-
стоять из частот, существенно отличающихся от
кратных. В несколько меньшей степени такая не-
кратность «частот обертонов наблюдается при коле-
бании голосовых связок человека, воспалившихся 1,
при простуде.’ Поэтому, как только мы слышим речь
со смещенным спектром, в котором; слегка ощуща-
ется нарушение кратности .частот  обертонов, мы;
воспринимаем это !как хрипоту, а при большем сме-
’ г  ', , '  . з!	\	' tot
щенки спектра! возникают ассоциации со звуком,
издаваемым металлическим стержнем, и мы гово-
рим о «металлическом» тембре голоса.' Даже при
сдвигах спектра на 100—200 Гц разборчивость речи
в значительной1 мере .сохраняется, хотя тембр ее
становится крайне неестественным и неприятным.
Для объяснения разборчивости следует исхо-
дить не из законов, слухового восприятия гармони-
ческих звуков, а из принципов опознавания звуков
. речи. К сожалению, мы знаем о восприятии речи
; значительно меньше, чем о восприятии музыки..
Однако в первом приближении можно воспользо- '
ваться формантной теорией, согласно которой звуки
речи различаются по  размещению максимумов
энергетического спектра в; определенных полосах #!
частот, называемых формантными областями. При : '
ширине формантных областей 200—300 Гц сдвиги
спектра речи на 100-+200 Гц не должны уводить к
максимумы спектра за формантные области/ и по-
этому некоторая разборчивость рёчИ1 должна сохра- ъ'
няться, что и наблюдается!ша практике. При сдви- ,
гах спектра на 300—400 Гц и более происходит -|
, «перепутывание» формант и речь становится не-
> разборчивой..	1:1 	'	! । .	।
: i I ' | . >	.	'	' I ' . I •	...!
7. КРИТЕРИИ, ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ, АЛГОРИТМЫ
Крошка’ сын
| к отцу пришел,
и спросила . кроха: '
~ Что такое ' i
к о р о ио ! ’
и что Такое ! ,
п'л ох 6?
Маяковский,
7.1. КРИТЕРИИ
;'/В теории! статистических решений под
ем обычно понимают точное определение
критери-^
•того, что
в данной задаче означает «хорошо» и «плохо» или
«лучше» и «хуже», иначе говоря,11 меру предпочтения
одного объекта (решения, процесса।и т. д.) друго-
му. В других областях знаний термин1«критерий»
может иметь ряд значений,' например способ про- ।
верки («практика —г критерий истины» в филосо-
фии), признак (критерии^сходимости рядов в мате-
матическом анализе, критерии-устойчивости в тео-
рии колебаний, критерии физической реализуемости! .
в теории цепей). Примером критерия в .смысле
меры предпочтения является критерий точности
аппроксимации (равномерный, среднеквадратиче
ский и др.). Критерий в этом смысле является'так-
же одним! из основных понятий теории исследова-
ния операцией теории больших систем. Такой кри-
терий часто выражается в виде целевой' функции, •
увеличение, (или уменьшение) которой определяет-1
• ся как улучшение. Здесь речь । будет идти только ' 
о критериях в смысле меры предпочтения?" ?	, .
Заметим, что установление критерия.в больший-!L
стве случаев нелегкая задачаНа ; наш взгляд, ‘ ’
с ней не справился отец из- известного стихотворе-
ния Маяковского, послужившего’; источником эпи-
графа ;к главе. Вместо ।формулировки критерия' он
- ограничился несколькими частными примерами.
Хуже, когда разумный критерий не умеют; сформу-
лировать исследователи.	'	>
Очень важно отметить, что выбор критерия не
является математической задачей. Критерий всегда
привносится извне, и только после его установле-
ния может быть поставлена математическая зада-
ча. Чаще всего такая задача заключается в нахож-
дений оптимального, по данному критерию правила
решения, т. е. правила поведения системы (или че-
ловека) при определенном внешнем воздействии.
, , : Здесь слово «оптимальный» означает попросту
1' „«наилучший». Чаще всего, хотя и не обязательно,
такое оптимальное правило решения существует.
Но не следует забывать, что оптимальность пони-
мается всегда относительно установленного крите-
рия. Поэтому нет ничего удивительного в том, что
правило, оптимальное по одному критерию, может
оказаться никуда не годным по другому, не менее .
разумному. История техники 'знает немало приме-
ров, когда оптимизация по недостаточно продуман-
ному критерию приводила к весьма; неудачным ре-
шениям.-	।	! ! I
Довольно распространенной ошибкой является
попытка рптимизировать разрабатываемое устрой- -
ствр сразу по двум критериям или по частям. На-
: пример, при разработке приемника дискретных со- .
общений оптимизируют входной фильтр, добиваясь
; максимума отношения сигнал-помеха, а затем при-
ступают к оптимизации демодулятора, минимизи-
руя вероятность ошибки, и не достигают при этом ?'
удовлетворительных результатов,'поскольку фильтр j
создал' такую f межсимвольную интерференцию,
Ц ' с которой очень трудно бороться. В последнее вре-
мя такие ошибки встречаются редко, поскольку. ;
разработчики усвоили,:чтоs система, составленная
'У '	.		' ' '. 5 '' к’ г
йз Оптимальных 1частей, далёко йё йёёгДа Оптималь-
на в целом.*	‘ !
Ни объем, ни основная направленность этой
книги не позволяют рассмотреть или хотя бы пере-
числить различные критерии, применяемые в стаг
тистической теории связи, и связанные с ними пра-
вила решения. Вероятно, со многими из них чита-
тель знаком. Мы ограничимся некоторыми приме-
рами, чтобы показать сложность возникающих
в этой области проблем и необоснованность некото-
рых бытующих предвзятых мнений.
7.2.	ПРАВИЛО РЕШЕНИЯ
В статистической теории связи,понятия «крите-
рий» и «правило решения» часто1 отождествляют.
В этом ничего страшного; нет, но все же хотелось
бы под критерием понимать правило предпочтения, '
связанное с внешними параметрами устройства,
т. е. такими, которые непосредственно интересуют
потребителя. Так, например, вполне закономерно
понятие критерия минимума вероятности ошибки
(критерия идеального наблюдателя) при приеме
дискретных сообщений или критерия- частоты
щелчков при цифровой передаче телефонных сооб-
щений. Однако такое часто встречающееся выраже-.
ние, как критерий максимума правдоподобия, с этойЧ
точки зрения представляется не вполне корректЧ-
ным, ведь функция правдоподобия в конечном сче-
те не интересует потребителя системы связи. "Его
интересует главным образом верность принятой ин-
.формации, выражаемая при передаче: дискретных
сообщений через вероятности тех или иных ошибок’ \
Правильнее говорить не о критерии, а о правиле;
'максимума; правдоподобия (МП)!,' реализующем '•
в тех или- иных' условиях'Тот >илц пион критерий;
\	’ Ч . /Ч ! Ч’ Ч '	' i; Р‘ 105 ’ 
I
1	' В частности, в системeJ передачи Дискретных сооб-
щений при точно известных .и, равновероятных сиг- ,
I налах правило МП'вытекает из критерия Гидеа ль-'
’ кого наблюдателяуЕсли же сигналы в такой систе-
ме не равновероятны, а их априорные вероятности
।	 известны,  то критерий идеального 1 наблюдателя".
. J приводит, к другому, более сложному правилу ре-"
шения — максимуму апостериорной вероятности
(МАВ). (Напомним, что апостериорная! вероят- ,
ность гипотезы пропорциональна произведению ее!
функции1' правдоподобия ! на априорную вероят-
ность.) !Таким образом, принимая неравновероят- 1
ные сигналы по правилу МАВ, мы получийув сред-,
нем меньше ошибок, чем при использовании прави- '
ла МП. Значит, в' общем случае 'правило, МАВ'
лучше правила МП. Лучше ли? ’	,.
Повременим с ответом на этот отнюдь' не .рито- :
рический вопрос и сделаем небольшое отступление. 
7.3.	НЕОПУБЛИКОВАННЫЙ КОНАН ДОЙЛЕМ
ОТРЫВОК ИЗ ВОСПОМИНАНИЙ ДОКТОРА ВАТСОНА
।	— Вы правы, Ватсон,—сказал мне Шерлок у
' Холмс.—Версия о том, "что голубой карбункул
, украл лорд Хонест, в 60 раз правдоподобнее вер-
I [ ' ,сии ‘инспектора Лестрейда из Скотланд-Ярда, кото-
4 рый подозревает в краже Джона Ддпа. Ведь,лорд
и ,, Хонест пробыл в комнате, где был спрятан карбун-
! pi! кул, целый час, а Джон Дип—всего лишь одну ми- 'I
J нуту. ,Тем не менее версия.'инспектора Лестрейда/
• ,значительно( более вероятна, чем ваий. 1 \
! '	— Я вас не понимаю, Холмс. Разве правдоподо-
бие и вероятность—это не !одно и то же? ф ‘ и ।
!	— Да. В обыденной жизни мы -считдем 1эди,’ два
! ; слова синонимами. Я тоже так полагал, пока не.ро-1Т.
|	, знакомился Ф. теорией .статистических решений,iB/ko-i • ।
!i /торой различаются „функции’правдоподобия гилоте-,,
i  <-1 <; :	U-'-J'i..!	1 г	।	n	>’	:	;
1
зы и ее апостериорная вероятность. । Первая из них J, ।
. ^представляет собой вероятность того, что наблю-
дае.мое событие произошло, если рассматриваемая ;
уипотеза (справедлива. В нашем,случае это вероят- ' •
ность того, что карбункул был украден, если пред-;
положить, что вором является лорд Хонест.?,(или ; ,
Джон Дип). Если считать, чтО|Эта вероятность'про-? 1
порциональна; врем!ени, которое было в распоряже-
нии ; предполагаемого вора, то отношение 'наших '
функций правдоподобия 60 :1. Что же касается i
апостериорной вероятности гипотезы, то это веро- г у
ятность того, что гипотеза справедлива при уело-' V
. вии, что произошло наблюдаемое событие. В нашем
случае вероятность того, что карбункул урралло’рд;';; г
Хонест, при всех имеющихся уликад; чрезвычайно Д .
мала. Ведь лорд Хонест 'известен 'в высших слоях
лондонского общества как безукоризненно честный, ,.
человек. Что же касается Джона Дипа, то он' из- ,
\ вестей как вор-рецидивист^; к тому ,же давно охо- у
тившийся за голубЫмЧкарбункулом.'Поэтому апри- ', । ,
орная вероятность версии инспектора, скажем, Д
в 1000 раз больше априорной1? вероятности (вашей; Ч
версии. Если подсчитать апостериорные? вероятно- . ? f
"сти, то получится соотношение 1,6:1 в пользу вер- !1 ,
сии 'инспектора Лестрейда, так что с точки зрения
критерия идеального наблюдателя инспектор совер-
шенно прав, арестовав Джона Дипа.
. —'' Что же, Холмс, кажется впервые за время  ’
• нашего знакомства' вы соглашаетесь с версией
Скотленд-Ярда и отказываетесь от дальнейшего
расследования? ’ 	’	?.;" Ч ’	!;(!
—_ С чего вы это взяли, Ватсон? Я ^только? екаУ у
зал,'чтО| решение инспектора Лестрейда оптимально..' -s
с точки зрения критерия идеального наблюдателя.
Но я вовсе не считаю, что этот критерий хорош во
------	- 'ВСеГда его придер-
'иЛЧ 107
всех случаях жизни. Если.бы
п
я
живался, то мне не удалось бы раскрыть ни одного
' сложного преступления,’ виновником которого был
внешне благопристойный 'человек/ Правда, при
этом я бы почти никогда не ошибался при рассле-
довании рядовых, ничем;не примечательных дел. Но
те редкие преступления, которые требуют нетриви-^ 
ального • подхода, оставались бы нераскрытыми.
Итак,' оставим пока^ в стороне предвзятые мнения ,
(априорные вероятности); и начнем; разрабатывать
вашу версию о лорде Хонесте. . j ".
7.4.	ЛУЧШЕ ЛИ? i !	;	(	" ?
Вернемся к поставленному ранее'вопросу. Всег-
да ли правило МАВ лучше правила МП или како-
го-нибудь другого правила решения? г	у
Когда в 1946 г. в докторской: диссертации
В. А. Котельникова критерий идеального наблюда-
теля (идеального приемника) был использован для у
решения задач теории связи, практически все спе-
циалисты считали его единственно разумным,, от-
куда, собственно говоря, и возникло его^названиеу
В самом деле, что требуется еще. от дискретной си-
стемы связи, кроме того,.чтобы ошибки встреча-;
’ , лись как можно реже? Так вот,। если выбран кри- j
торий идеального наблюдателя, то оптимальным •;
; правилом решения являете? правило МАВ'и надо- '
ставленный вопрос нужно безоговорочно ответить .
, положительно. >	,	/	;	’
Однако''практика зачастую дает другой ответ. ,,
И математика здесь не при чем. Дело в том, что
разумность критерия идеального наблюдателя в не-!
которых условиях оказывается сомнительной. При-
мер этого можно'извлечь из беседы, приведенной
в предыдущем ;параграфе.Н Рассмотрим еще 'один
; . простой, хотя и искусственный, пример из области J
СВЯЗИ.	'	;/ '	• /, J
' / 108	 н	.	'	„ ' / > ' '« :н'/ ,
На спутнике установлена аппаратура для об-
- царужения некоторой чрезвычайно редкой элемен- :
.тарной' частицы. В момент пролета этой частицы ’
с точностью до 1 мс на Землю.должен посылаться
сигнал, запускающий регистрирующее устройство и
звонок. Проектирование этой системы сигнализации
поручено инженеру А., который получил1 задание
минимизировать мощность сигнала, обеспечив при
этом вероятность ошибки не свыше 1-10-6. Инже- :
нер А. выбрал удобную форму сигнала, изучив по- ! | ;
мехи в канале, разработал решающую схему и под-
считал необходимую мощность передатчика; сигна-
ла,'при которой вероятность пропуска сигнала и -
/вероятность ложной тревоги меньше 1 -10~6. '	!
Комиссия, принимающая проект,' сочла эту
мощность непомерно большой. Председатель комис- ’!
- сии инженер- Б., считавший себя большим специа-
‘ листом в статистической теории связи, заявил, что '
проект плох, так как он выполнен не на. основе f
критерия идеального наблюдателя. На это А. воз-, .>
разил, что для применения критерия идеального на-' ...
блюдателя нужно знать априорные вероятности?
передаваемых сообщений, в данном случае вероят- -
ность пролета частицы. -	//.?
/— Ну что ж,—ответил Б.,—эти данные я могу
вам дать. Известно, что в среднем за каждый час
пролетает примерно одна частица.	;
'!— Хорошо,— сказал на это А.— Я берусь/ не 1
сходя с места, существенно снизить мощность пере- /
датчика и упростить приемник, если только вы под-
твердите, что будете оценивать верность по крите-
' рию идеального наблюдателя. .	ц .
— Конечно, я это подтверждаю,—ответил Б.—
Ведь это, самый разумный критерий для !систем. ’
СВЯЗИ.. } i	‘
109
Тогда инженер А.1,взял карандаш и вычеркнул
в схеме передатчика (Источник питания, !снизив! тем
самым его мощность до нуля, а в схеме' приемника
। |оборвал провода, ведущие к регистрирующему
’ устройству и звонку. !' ! । ; ,	1 ',] I  I '
— Я перевыполнил задание. (Теперь мощность
передатчика (равна нулю,' а!' вероятность. ошибки
приблизительно Нравна 2,8-10~7, т. е.’	3,5раэа
г । 'меньше,' заданной.' Действительно, час }'содержит,
3,6-106 мс. В.среднем । один раз1 за час нужно пере-
! дать сигнал, i tr. е., он передается с вероятностью
У 2,8-10~7. !Я иду ,на то, что всякий раз, когда чрстр-
/ на пролетает/ в' моей’ системе 'возникает, ошибка" и|.
пралетп.не регистрируется. Зато .всякий раз, когда
частицы пет, моя система точноРи безошибочно ре-
гистрирует ее отсутствие. Полная вероятность
ошибки поэтому равна'2,8-10-7, и, следовательно,} '
по критерию идеального наблюдателя моя |СИСтемал.
! лучше заданной.	'' 'к
Из этого примера видно, что,критерий идеаль-
'. ногб наблюдателя перестает !бы;гь'разумным, жогда ;
априорные вероятности сигналов резко различают-г j
! i, ,ся. “В данном .случае подошел бы.критерий Нейма-; ;!
на—Пирсона. Для этого нужно было бы( задать до-
пустимую вероятность’пропуска частицы и минйми- .
зировать вероятность ложной тревоги, или наоборот.
В Аналогичных случаях, ’ когда' различного ро- }
I, да' ошибки вызывают неодинаковые^неприятности, }
' 'У обычно в книгах рекомендуют, пользоваться крите-jj ।
рием минимального'среднего'риска. Впрочем, авто-'-}}
' ру'не приходилось встречаться ни’с1 одной системой i !
’ , связи, построенной по этому критерию. 1 к и
}; , I Даже при! не очень} резком’различии априорных .
J 'вероятностей' сигналов критерий идеального паблю--.,
' дателя заставляет уменьшать вероятность ..ошибки 
при передаче, часто встречающихся’ сигналов,; уве-1
1 ' i
к».  .	i 	' г	j	
личибая случай ошибочного приема более редких !
сигналов, даже если они представляют наибольший
интерес.'Поэтому автор берет1 на Себр| смелость ут- i
вержда^ь, I что критерий идеального,« наблюдателя
является действительно разумным длЯ!'систем свЯ- , .
зи только в тех случаях, когда априорныегвероят- г
ности передаваемых сигналов практически одина- !
ковы. Но при этом правило МАВ ।совпадает с пра- ; ; 1
вилом МП, и вопрос, поставленный в заголовке
параграфа, снимается.	, 11	:
Более того, автор убежден, что при неодинако-
вых априорных вероятностях сигналов правило МП , ’
лучше отвечает потребностям потребителя системы J
связи, чем правило! МАВ. Доказать это парадок- 
сальное утверждение трудно, а может' быть, и не- L.
возможно, ведь1 .задача выбора критерия не мате-
матическая! Все же выскажем некоторые сообра- !
жения в пользу этой дочки зрения. 1	. р
I '!	1 .	1 !	I
7.5.	КАКОМУ КРИТЕРИЮ СООТВЕТСТВУЕТ ! >	!! ;
ПРАВИЛО МП?	' । ' I	! и U “ii I
, Что возникло раньше: курица или яйцо? Этот Н;
классический вопрос напоминает Другой:1 всегда ли <!
правило решения вытекает из установленного кри- ! р:
терия? Во многих случаях''это действительно так.! -
Правило .'МАВ, например? . выведено из -критерия'
идеального наблюдателя. Приведем другой, менее ;;
известныр пример. . ! i	;
Пусть используется множество из т различных '
сигналов .Si,'^причем (об их априорных^ вероятностях
ничего не известно,! а все ошибки одинаково неже-
лательны! Обозначим: pt (i=l,|!2,iЖ)—вероятен
ность ошибки при передаче сигнала^ s,. Тогда впол-
не ра!зумн!ым является минимаксный критерий, со- и,
гласно котор,ому|ИЗ всех;: решающих с^ем лучшей ( ’
и U ' Ч ' ' ! 1	1	' 'г1	11 'ш
является дающая наименьшее значение тахр,. Из
этого критерия выводится следующее правило ре-
шения: переданным считается сигнал, для которого
величина щ-да, максимальна, где w,—функция прав-
доподобия i-й гипотезы при.данном сигнале на вхо-
де приемника; щ—коэффициенты, определяемые
I видом передаваемых сигналов и помехами в кана-
ле и обеспечивающие, помимо прочего, равенство
всех pi.„ При выполнении некоторых условий сим-
метрии коэффициенты оказываются одинаковыми, и
, тогда’ из минимаксного критерия следует прави-
ло МП.
Но иногда- используются правила решения, ко-
торые не вытекают ни из какого четко сформулиро-
ванного критерия предпочтения. Типичным здесь
является правило МП, если упомянутые условия
симметрии не выполнены и сигналы не равновероят-
ны. Хотя безусловная вероятность ошибок при пра-
виле МП больше, чем при правиле МАВ, тем не ме-
нее и в этих случаях используется правило МП,
1 .казалось бы, не вытекающее ни изЮдного известно-
го критерия.	i
Хотя курица появляется из яйца, но и яйцо то-
же происходит от курицы. Попробуем сформулиро- ।
, вать критерий, чтобы из него в общем случае еле-
довало правило МП. Это нетрудно. Оказывается,
что это; критерий минимуму суммы условных веро;,
Н	*	' . /п 
ятностей ошибок, т. е. минимума величины Pi-'
и- кн: ।	5	!	.	<=1 ,
. Для многих систем связи такой критерий более ра-
зумен, чем критерий идеального-наблюдателя: он
не приводит к дискриминации редко используемых
сигналов. Можно только удивляться, что об этом. .
1,	нег пишут в учебниках, и монографиях, ;	,
7.6.	АЛГОРИТМЫ	,
.Когда правило решения установлено, необходи-
мо найти реализующий его алгоритм—последова-
тельность операций, которые следует произвести
над принятым сигналом, чтобы определить, соглас-
но этому правилу, какое сообщение передавалось.
Известно, что одно и то же правило решения мож-
но реализовать с помощью различных алгоритмов
обработки сигнала, т. е. с помощью различных схем.
Так, например, для нахождения функции прардо- i
. доДобия приходится обычно определять скалярные
произведения принимаемого сигнала на опорные
сигналы—эталоны передаваемых сигналов, а это
можно выполнить с помощью перемножителей,
интеграторов (так называемых корреляторов) или
согласованных фильтров. Об этом написано в де-
сятках, если не сотнях, книг, К сожалению, значи-
тельно реже пишут о том, что одно и то же прави- ;
ло решения' может приводить к совершенно различ-
ным алгоритмам в зависимости от того, какие
используются сигналы и какие аддитивные или ।
..мультипликативные помехи действуют в канале.
; Если о сигнале и помехах известно все (по край-
ней мере, в вероятностном смысле)—либо значения .
всех параметров, участвующих в описании сигна-
лов и помех, либо их распределения вероятностей,—
то алгоритм оптимальной (по данному критерию)
обработки сигнала построить удается. Правда,
иногда этот алгоритм оказывается столь сложным, :
.что реализовать его на существующем технологиче- .
ском уровне невозможно или экономически не.
оправданно. В этих случаях, во-первых, нужно уте-
шать себя тем, что в области , радиоэлектроники ;
технология,развивается так быстро,«что сейчас лег-;
ко реализуются алгоритмы, считавшиеся еще два-,;/
три года	тому;	назад	невыполнимыми. .Во-вторых,
8—3413		J	 / . ' . й 'V 113
; !	.	; .	! .	- Л, • • , ! ’ лу, г 1 ' *	..
-I |СЛедует помнить, что решающая схема явлйетОЯ
лишь частью проектируемой системы, подлежащей
I ’ оптимизации в, соответствии ! с целевой функцией,
в которую показатели верности приема входят на-
ряду с другими, не ?менее! важными технико-эконо-
! мическимипоказателями. J Поэтому оптимальная
в целом система нередко использует деоптималь-
ный по выбранному критерию’ алгоритм' обработку
| сигналов. '	1
j Обычно применяют субоптимальные .алгоритмы,
т. е. достаточно близкие к оптимальным в том
смысле, что! их различие1 может быть скомпенсиро-,
вано небольшим увеличением ^мощности сигнала.
i Иногда оптимальней Ь алгоритм,’обработки’сйг-'
налов- вообще невозможно построить. Это бывает
в тех случаях, когда отсутствует необходимая* ап-
риорная информация. Проблеме априорной недо-j
статочности посвящена обширная литература (на-'1
. пример, [24, 34]), и пересказывать ее содержание
здесь нет никакой необходимости. Назовем лишь ’
два пути преодоления априорной недостаточности,
! : о которых мало говорится в серьезных книгах, ве-'
' роятно, из-за их простоты,—адаптивность и' инва-
... риантность. Они нередко противрпоставляются друг,J
другу.,	и! '**/'
Адаптивные алгоритмы предусматривают наря-'
, 3 ДУ с операциями, реализующими правило решения,
'/^дополнительные операции, предназначенные для
/ оценки значения параметров, *о которых отсутствует
। достаточная информация, i Примером! служат раз-
личные алгоритмы квазикогерентного приема сиг-ч
налов с.неизвестной начальной фазой, когда, эта.
фаза оценивается по более или* менее длительным
; наблюдениям "сигналов и оценка, используется вме- 1
•| I1 (сто неизвестной/начальной* фазы. Сами оценки .
! обычно получаютРпо правилу МП. Предельйым^ча-"
стным случаем адаптивных алгоритмов, когда на
оценку I неизвестного параметра не отводится до-,
цоЛнительное время, являются' алгоритмы, постро-'!
енные по обобщенному правилу максимума правдо-
подобия [39].	’	,,	' J  ' ' ''
Инвариантные алгоритмы, ' широко используе-'
мне в системах связи, вопреки;бытующему мнению'
во многих случаях лучше адаптивных.1 Простейший;
пример—системы 1 передачи двоичных' 'сигналовh
• в канале с белым шумом, когда неизвестным пара-
метром ।является отношение1 сигнал-шум на входе'
приемника. Вместо того -чтобы пытаться это отно-
шение измерить, а затем полученный результат ис-if
пользовать в алгоритме, построенном, например,' по^
правилу МП, разработчик системы может использо-
вать пару сигналов с одинаковой энергией. В этом
случае функций правдоподобии не зависяйот неиз^.
вестного отношения сигнал-помеха алгоритм' по-
.лучается инвариантным.! Применение фазоразност-
ной модуляции (ФРМ) позволяет построить алго- :
ритм, инвариантный по отношению к медленным,'
- флуктуациям начальной фазы сигналов, '.афазораз- 
. постной модуляции 2-го порядка (ФРМ-2) [28]—
,по отнощению 1к медленным флуктуациям частоты.
Л. ' ' 1' ।	Ц
7.7.	! ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ !
.1 Понятие I потенциальной помехоустойчивости,'
введенное В. А. Котельниковым [22], являетсц од?
. ним? из .важнейших в статистической теории связи.
Она'I характеризуется минимальной возможной ве-
роятностью ошибок при заданном множестве сиг-
налов,, принимаемых при аддитивном 'белом шуме,
вНпредположении, что сигналы1 полностью известны,'
дг ^реализуется «идеальным»' приемником.' Обычйо.
'•при' вычислении потенциальной помехоустойчивости
полагают сигналы равновероятными. При этом она
реализуется правилом МП. !	,
Первоначально это понятие использовалось
 главным образом для того, чтобы оценивать поме-
хоустойчивость реальных приемников по степени;
ее близости к потенциальной. Впоследствии оно
получило и другое применение;—позволяет обнару-
.живать ошибку в проекте новой системы связи, ес-
ли по расчетам ее автора она обеспечивает .помехо-
устойчивость выше потенциальной. Несколько при-*
; меров1 таких «проектов» будут приведены в
следующей главе.
Полезно рассмотреть и несколько обобщенное
понятие потенциальной помехоустойчивости—наи-
меньшую вероятность ошибок при определенных
дополнительных условиях, например .флуктуирую-
щей начальной фазе, рэлеевских замираниях. ;	,
Иногда при неточном учете особенностей сигна-
ла имеет место кажущееся превышение потенциалы^
' ной помехоустойчивости. Так, например, для любых:
двоичных равномощных сигналов, принимаемых на
!фоне белого шу^ма,. вероятность ошибки подчиня-
I ется неравенству’ i, '	;	\. i 1	,	.
.	''чу / . . Ж.
, г У у G ;	;	; , ,	,
’ ; (где ' h2—отношение, энергии элемента сигнала
. к спектральной плотности' шума), которое перехо-
': дит в равенство при противоположных полностью
; известных сигналах [22]. Однако исследование си-
; стемы связи с двоичной частотной модуляцией; без
разрыва. фазы показало: если частоты двух сигна-
лов fi и /2 таковыJ что ] fz—fa | Т< 1 (где Т —дли-
тельность сигнала), то и ряде случаев вероятность
ошибки оказывается меньше,.дем J7.1) [29].
Это становится понятным, если учесть, что рас- ;
сматриваемые сигналы в сущности образуют не
двоичную систему. Фаза каждого элемента сигнала
определяется тем, какие элементы передавались до i.
него. Поэтому можно извлекать информацию, со-
держащуюся в каждом элементе сигнала*, о не- г;
скольких предыдущих, что и позволяет вести «при-
ем в целом» и повысить верность по сравнению;
с‘поэлементным приемом [21].	’*	.'
7.8.	ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ФИЛЬТРЕ НИЖНИХ ЧАСТОТ.
’ Приведем несколько примеров, когда, на пер-,
вый взгляд, разумный критерий оказывается прак-.
тически непригодным.	1:
Р Известно, что для выделения низкочастотных ;
сигналов на фоне широкополосных помех часто ис-
пользуют фильтр нижних частот (ФНЧ), Идеаль-
ный ФНЧ пропускает без искажений1 все частоты
ниже граничной частоты F и не пропускает частоты
выше F. .Хотя такой фильтр физически. * не реализу- 1
ем, однако, допустив большую задержку,* можно ,
приблизить характеристику ФНЧ к идеальной. При
проектировании такого фильтра нужно прежде все-
го явыбрать граничную частоту F. Как это лучше
сделать?'	-	'
; Эта задача в книге [30] решается на основе
критерия минимума средней квадратической ошиб- •
кй (СКО). Другими словами, если на вход фильтра
подана сумма случайных сигнала m(t) .и помехи .
n(^),ia с выхода снимается сигнал и(/), то гранич-
ная частота определяется так, чтобы минимизиро- •' ,
ваты' среднее значение [«(/)—Такой жрите-  
рйй известен давно. На его* базе выполнены замеча-
тельные работы А. Н. Колмогорова  и Н. Винера, U
заложившие основы теории линейной; фильтрации. .'
'	'Д 117
 1 1	!	;	'	? , .	I > i ' '	!;	Ь ' .
случайных процессов. Фильтр Каймана — Бьюси
i также реализует минимум СКО. Но в классических
41 работах не накладывалось ограничений на форму!
। амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и оп-
тимальный по’критерию СКО фильтр, как правило,
пропускал существенную часть спектра сигнала; •
В [30] рптимум по .тому !> же критерию ищется
в классе физически не реализуемых прямоугольных
ФНЧ. :	. 4/ 4	".	। J. 1 ’ J г' -
, . Пусть Sm(Oi,и -односторонние |Спектраль-
, ! ные^плотности^мощности! сигнала m(t) и помехи
Н n(t):. На выходе прямоугольного ФН[1 с граничной
; Частотойсигнал u(t) отличается от щ(/) тем', что,
•во-первых, на Iнего наложена помеха n(f) в поло-
се от 0 до F и, во-вторых,, фильтр не пропуртйл
часть сигнала m(Z)i в области частот выше /’.По-
этом}’ спектральная1 плотность ошибки равна Sn(f)
при 0<f<F и Sm(f) при />/. По критерию СКО,
нужно минимизировать ^мощность ошибки ,	(	1
  ! Ь Р р . оо’ ।!	.	J !	'.'
'й -ня (7-2)
I	Q . Л, 4	 4,4 d, 1 р i " 4,	1
V	".	" ! :4 : ‘	. pi Р - I ; J I И- ! h i
Легко > видеть, что если существует единственная
точка F, . такая, что	при f<F, !
, a Sn(f) >Sm<f) ;'при f>F, то' именно эта точка пере-
4 сечения кривых спектральных плотностей является >
оптимальной: ’граничной частотой iпрямоугольного.
р ФНЧ. Пример’графическогоЧопределения граничной.
' ' частоты; при! низкочастотном сигнале и сравнитель- ,
но’ высокочастотной помехе’приведен на! рис’ 7.1,а., <
Использование такого фильтра в соответствующих .!
условиях i не',Увы'зывиет! |!воз{?ажений.! Заметим,  что^,,
,! ! для этого . случая! фильтр- Колмогорова—Винера
также имеет АЧХ, близкую к АЧХ прямоугольного '
И44 ФНЧ4 ‘i <	'	? ! 4	! 'Ь ?Ц4?4
 ' Р ; 118 I '!.!'!	=	,4h: р ’ > '	’!. '	! '
о 4 i,1 и  ц д "у; " '	444 j 1 ! i 1	11
Теперь рассмотрим другой пример (рис. 7.1,6);
помеха более1 широкополосная и более интенсивная,
дем на рис. 7.1,а. Граничная частота фильтра
оказывается столь низкой,. что ‘ больше половины
^мощности сигнала через фильтр не" пройдет, Это
кажется уже довольно странным. Еще 'более! не-
обычен результат, если немного увеличить 'интен-
сивность 'шум'а '(как показано!на,'рис. 7.1,6 штри-
ховой! линией), причем граничная частота снижает-
ся до Е2. Здесь уже почти' полностью 1сигнал! под-
давлен фильтром. Как-то трудно назвать, такой ।
. фильтр оптимальным: на его выходе остается очень , и
мало информации о входном сигнале. Расширив? '< 1
полосу пропускания фильтра, можно было бы су- .1'
щественно увеличить количество информации о сиг-. ' i
-нале, хотя и Пропустив большую мощность помехи. ,
А между тем по критерию СКО на рис. 7.1,6 все' *
показано правильно, выражение (7.2) минимизиру-
ется при граничной частоте F2. Если бы интенсив- ’ J
ность помехи еще увеличилась, так что назрей'оси! :
частот	то «оптимальным»; был! бы '
фильтр с нулевой граничной частотой, т. е. не про-
пускающий ни помехи, нт сигнал а?.Действительна-,! га-
вотом случае мощность ошибки Раш- при Г=0 рав- ""
на полной мощности сигнала, а при ГЬ-СИбодйце' "
ее. В,,чем же здесь дело?!	 г "	. ".
! .	1 1 !	i	! I ! : ;l 	' 'HU U I _ i laL h ' I : ' •!_ . ! -	1 
Все приведённые в' '[30] рассуждения справед-
ливы, если под СКО понимать сумму (7:2); и тре-
бовать ее минимизации. Но при таком критерии не;
учитывается, что слагаемые СКО не равноправны.
Первый- член в (7.2) не коррелирован с сигналом,
а второй отрицательно коррелирован с ним. Не
пропуская некоторую часть1 сигнала, мы вносим не
случайную ошибку, а регулярную, уничтожающую
всю информацию, которую эта часть сигнала содер-
жит. Заметим, что для фильтра Калмана, основан-
ного также на критерии СКО, ошибка воспроизве-
। дения всегда не коррелирована с входным сигна-
лом.		'v;
Поэтому нужно очень осторожно относиться
к «оптимизации» граничной частоты ФНЧ по мето-
ду [30] и .во всяком случае избегать его примене-
ния при малых отношениях сигнал-помеха. Белее
разумным было бы минимизировать не СКО, а от-
ношение СКО к мощности пропущенной фильтром . :
к	’	
части сигнала', равной	J '	; !	,
! .0	; . '	:	• l' '	’
7.9.	КРИТЕРИИ ВЕРНОСТИ ДЕКОДИРОВАНИЯ 1, ; ,
Как оценить эффективность применения помехе- .?
. устойчивого кодирования?
Математики, занимающиеся теорией кодирова-
‘ ния, интересуются главным образом асимптотиче-
ским поведением системы, ^Например, при увеличе-
нии длины кодового блока. Юценивая два метода
. кодирования,' они сравнивают, насколько быстро '
уменьшается вероятность ошибочного декодирова- !
ния род при увеличении длины блока п. Как известно,
в первом приближении вероятность ошибочного де-
. кодирования уменьшается с ростом п экспоненци-’
ально:	р	( ; .,!:,
120 J/ .	'	Г !	'	-  1 ;
роД=Лс-ЕШ)». I	Г;'	(7.3)
Коэффициент Е при п в показателе степени зависит
от избыточности кода, измеряемой скоростью пере-
дачи R, которая в блочных кодах равна отношению
kin, где k—число информационных символов в бло- ,
ке длиной п. Коэффициент А обычно также зависит
И. от R и от п, впрочем, довольно слабо. Поэтому
решающую роль при сравнении двух методов коди-
рования играет величина E(R). Чем она больше,
тем лучше метод кодирования, по крайней :мере
для больших п.	I
Против такого метода сравнения нельзя ничего
возразить, если рассматривать поведение кода при
' возрастании п. Однако нередко две системьх срав-
ниваются по вероятности род при. фиксированных
значениях п, к тому же различных. Это иногда при- §
водит к необоснованным суждениям.
Простейшим примером является рассуждение
t о целесообразности применения помехоустойчивого i
' кода, с которым автору приходилось -встречаться
в некоторых статьях и авторефератах. 'Пусть в дис-
жретном двоичном канале без памяти вероятность
ошибки равна р. При кодировании блочным кодом
длиной п I вероятность ошибочного декодирования;;
равна род. Тогда, рассуждают авторы этих статей,
условием целесообразности Iкодирования является
неравенство роД<р и чем оно сильнее, тем лучше
код. Если же род^р, то кодирование явно нецеле-?
сообразно1.	. 
Ошибочность такого вывода проще всего пока- 
зать на численном примере. Предположим, что тре-
буется передать некоторый объем’ информации i в
Ж 1 В этом разделе сложность кодирования; ;и декодирр-;
радия не учитывается,	[' .,	.	’	-d.
!нЦ :  -J S '	. ;	!	 121
1000 бит. Пусть ошибки в канале происходят не-
зависимо друг1 от друга с вероятностью p=ilO~я
Вероятность того, что/ не прибегая к помехоустой-
чивому кодированию, мы сможем передать'в!ерно
(т. е. без единой ошибки) весь объем информации,
Q=(l— p)I00(Ml!—WO'oo'WW.	I;1 'j1'	।
I Предложено использовати блочный। код, в каж- ,
дом блоке- которого содержится 100 информацион- :
ных двоичных1 символов, а вероятность ошибочного
1 декодирования в данном канале род—10~2. Стоит
ли ^принять это предложение? ।	
Конечно, нет, скажет упомянутый выше «мате-
матик», ведь РоЯ>р, так что 1мы только проиграем
При1 использовании этого кода. Но не будем доро- :
питься с выводом. Подсчитаем, какова бу!дет веро-
ятность Q безошибочного приема объемд Информа-1
ции в 1000 бит, который-теперь состоит:Фз 10 'бло- '.!
ков по 100 бит в каждом. Так как вероятность пра-
вильного декодирования блока 1— род> а ошибки, i
возникают независимо, то вероятность того, чторзсе !
. 10 блоков будут декодированы верно, (	г
- , [Q=(l-p^)^=0,99I0^),9. г	!'
, । Щт. е. значительно выше, чем в случае передачи ,без
i'b/помехоустойчивого кодирования, так что!примене-
, ' ",ние предложенного кода в данном случае дорышает
Твердость приема. -	,  Н J ’
' !! ' ' ' П '	\	- .	,
1 7.10. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ [ВЕРОЯТНОСТЬ ОЩИБКИ р
। Инженерны давно убедились, в недопустимости, 
। непосредственного сравнения величин р и рОд.'Уже
в первых, работах Фр использованию помехоустой- .
чивого кодирования: многие авторы оценивали вер- /’
1	ность приема с помощью। остатЬчной вероятности
11	| [,[ ошибки,,Роа—вероятности1 !того,! что двоичрыйгсвм- '

вол после декодирования окажете?! принятым не- ;  |
верно. Попробуем применить этот1 подход к рас- и;;
. 'смотренному выше примеру. ! ! ' •  :	i
< При передаче кодового блока,- содержащего 100
бит информации, вероятность правильно принять
все символы в нашем примере равна 0,99. С вероят-
ностью 0,01 декодированный блок содержит не-
сколько ошибочных символов. Сколько именно? н .
На ртот вопрос нельзя ответить, не зная точно
структуры кода. Однако если код достаточно
‘«мощный» (а в данном случае это, вероятно, имеет
место, так как блок содержит 100 информационных
символов), то он довольно близок к эквидистант-
ному, т. е. ошибочно принятым блоком может ока-
заться любой. Поэтому в первом приближении мож-
но считать, чгго в ошибочно декодированном блоке
от четверти до половины всех информационных
символов регистрируются ошибочно. При этом i
предположении р„т^(0,25—0,5)род или в нашем
примере рост«=(2,5—5)-10~3>р. 1	,
Получилось не то, что мы ожидали. Остаточная ,
вероятность рост ошибки в двоичном 'символе прщ 
иодировании оказалась больше исходной вероятно- i
сти ошибок в канале. Это значит, что в декодиро-5 <
ванной последовательности символов будет больше .
ошибочных, чем в случае передачи их без кодиро- ': )
вания. Отсюда вытекает, что предложенный код .
'выданном канале использовать не следует? А как 'д
же с предыдущим расчетом, показавшим, что веро- :
ятность правильно принять 1000 бит при кодиро-: 1
. вании выше, чем без кодирования? Неужели здесь, ' 
кроется опять какой-то подвох?	h ,	’
! Нет, здесь все верно. Несовпадение оценки объ-.1 1 ’ ।
ясняется различными критериями.; В; первом слу-
чае 'мы, потребовали, чтобьг массив |информации
. .длиной 1000 бит как можно чаще принимался;(без
7 ; И ; Н .	123 ) )
jrj г - н; .г ' н J ьг 1 ,
. Ошибок, и при этом кодирование оказалось полез-
ным. Во втором же случае мы хотели просто полу-
чить как можно меньше ошибочных символов, и
при этом подходе кодирование оказалось вредным.
Отметим также, что ошибочно принятые символы
в отсутствие кодирования возникают по1 условию
задачи независимо друг от друга, т. е. более или
менее равномерно располагаются во всем массиве
информации (поток Бернулли). Что же касается
ошибочно декодированных символов, то они груп-
пируются в пределах отдельных ошибочно декоди-
рованных блоков. Именно поэтому, хотя при коди-
ровании число ошибок увеличилось, промежутки
между ошибками (т. е. интервалы безошибочного .
приема) в среднем длиннее, чем без кодирования.
Так какой же критерий вернее? На этот вопрос ’
однозначно ответить нельзя. Все зависит от назна-
чения системы связи и от свойств источника сооб-
щения. Если передаются сообщения с большой из-
быточностью, то обычно можно считать допусти- ।
мым некоторое количество ошибочно принятых
символов. В первом приближении^ верность приема ।
можно оценить остаточной вероятностью ошибок—
чем она меньше, тем точнее восстанавливается, пе-
реданное сообщение. Примером может служить
синтетическая вокодерная телефония, телефония
при импульсно-кодовой или дельца-модуляции.
Здесь за счет большой избыточности речи сообще-
ние Остается разборчивым при некотором числе
ошибочно i принятых символов.* В этом случае при- '
менять код,.увеличивающий рост, конечно, не еле-,'
дует.	. Г	\ и, 
Иначе обстоит дело, когда передаваемые сооб-
щения не имеют избыточности или когда эту избы-
точность не удается использовать для восстановле-' Г
ния сообщения. -Тогда -всякая ршибка искажает
124	!	!	. - 'и
принятое сообщение й во многих случаях обесце-
нивает его полностью. Ясно, что в этих условиях
критерием верности является вероятность безоши- 
бочного приема всего сообщения. При таком под-
ходе для нас безразлично, будет ли в принятом со-
общении одна ошибка или сотни. Все равно сооб-
щение искажено и не может быть использовано.
В нашем примере, если длина сообщения равна
1000 бит, ।то, применение кодирования целесооб-
разно.
Но здесь возникает вопрос: что считать длиной
сообщения, если система связи работает непрерыв-
но? Это опять-таки определяется свойствами сооб-
щения. Обычно его можно разделить на некоторые
’отрезки, имеющие самостоятельное значение, так
что ошибочный прием одного из них1 не влияет на
.использование остальных. Так, при телеграфной
связи такими отрезками являются отдельные теле-
граммы. При передаче данных обычно также мож- i '
но выделить отдельные массивы информации, не-
зависимые по своему целевому назначению. .
' Для того чтобы по возможности полнее харак-
теризовать верность некоторой дискретной системы
связи одним числом, необходимо исключить зави-
симость от длины сообщения. Таким числом, удоб-
ным для систем, в которых требуется безошибоч-
'! ный прием сообщений, является эквивалентная ве-
роятность ошибки рэк [46]. Напомним, что под ,
этим понимается вероятность ошибки в двоичном
симметричном канале (ДСК) с независимыми ;
ошибками, обеспечивающем без применения избы-
> , точного кодирования ту же асимптотическую веро-
ятность безошибочного, приема сообщения. Други-
ми словами, если в системе связи Q(k)—вероят-
ность ^безошибочного приема сообщения,' содержа-
щего k бит информации,, то. рэкуопределяется из
 	1  .1 :  	. Л '	125 '»
(7.4)
выражения, . .	; i1
limQ(A)/(l	'
Ar>0°	' i
Приведем несколько! простых примеров. Для си-
стемы связи : в двоичном ' симметричном канале
(ДСК) с вероятностью ошибки р, в, которой ис-
пользуется блочный (и, &)-КОД, ПОЗВОЛЯЮЩИЙ ИС- j
правлять tошибок, эквивалентная вероятность
ошибки вычисляется^ без предельного перехода. Как ।
легко убедиться, она равна
Лк-1 -Г£ С1пр1(\-py-t
-11/*
(7(5)
Для системы связи, не использующей помехоустой- \
чивого кодирования, в симметричном im-ичном ка- .
нале без памяти	'• .\.=р
Pw=p/logm,	_	1	(7.6)
где р — вероятность ошибки в m-ичном канале. Во-
обще для систем, работающих в канале без памя-
, ти, эквивалентную вероятность ошибки можно вы-
Н числить беспредельного перехода.	i !; i
Обычно утверждают, что эквивалентная вероят-
!ность ошибки характеризует только те дискретные
': Системы связи, в которых требуется безошибочный
приём длинных сообщений. Однако ' можно! рбоб- i .
щить этр понятие, введя эквивалентную вероятность Н!
ошибки;! !при заданном критерии верности. Пусть, ! ।
например,' ^принятое сообщение^—последователь-’
ность двоичных символов—может считаться! прием-
лемым, если доля ошибочно приятых символов не V
превышаете е. t Тогда^ эквивалентная вероятность
ошибки рэк(е) при этом критерии верности опреде-
, -ляртся той же । формулой^ (>7.4) с заменой Q(\k} ,на ;
’ Qe(^)— вероятность того,'что среци k принятых ин-
Л	Д	ц ;М)
J
формационных символов содержится не более &k Д
ошибочных. Заметим, что; в эквивалентном ДСК I '! 1
1 требуетсяi безошибочный прием сообщений той же
длины.' При всяком другом определении не удается
избежать .противоречий. С увеличением допуска е
> эквивалентная вероятность ошибки при прочих рав-
• ных условиях уменьшается, что вполне естественно. . ; |
•. I Можно распространить это понятие даже на
системы передачи непрерывных сообщений. Пусть
Н8(Т)—эпсилон-энтропия (в битах) сообщения
 длительностью Т, т. е. минимальное количество ин- !
формации, которое необходимо передать* по каналу
। связи для того, чтобы восстановить. сообщение .
<, с данным критерием верности е. Здесь I е может -
1 определяться как угодно,! нацример через среднюю 1 ।
квадратическую ошибку, через артикуляцию и т. ,д.,
Если iQe!(7’) —вероятность того, что в данной си- , '
стеме связи принятое сообщение удовлетворяет i .	।
установленному критерию, то формула (7.4), есте- 1
’ ственно, преобразуется в следующую:	Ii -	.
т	i	!
-pj' т]=Л. . !	!	(7.7) > ; < '
I	!	I , TUlS’
1 *'' Таким образом, эквивалентная вероятность
ошибок является весьма универсальным парамет-
ром для сравнения и сопоставления систем связи ;‘г •.
по их помехоустойчивости. Странно, что очень дол-МЦ Ь
го |Это понятие не находило широкого применения, - н
да и сейчас многие инженеры его не используют, r i;
Автору пришлось, например, в течение пяти лет С >
. безуспешно убеждать в разумности этого критерия | 1
. одного очень ^талантливого исследователя, который. !ь *
предпочитал пользоваться остаточной вероятностью' ! С , ’
, ошибки, гораздо хуже, характеризующей верность и ! 'U
< f присяг 'I -ф\1:,- у	j 1	,,	1	,
1,1	?.'Г р	'
i'i I I	;	'! I ' I Л! ’ * I. -Ь 1.1:	»’	:	1
 7.11. ГДЕ ПРИМЕНЯТЬ РАЗНЕСЕННЫЙ ПРИЕМ? :
:	Однажды рецензенту 'одного журнала прислали
статью о целесообразности применения т-ичных
Кодов в системах передачи дискретных сообщений.
Тот факт, что переход от двоичного кода к т-ично-
му при т>2,- вообще говоря, увеличивает верность, }
общеизвестен и был доказан, в частности, в [22] J
Но автор статьи ставил вопрос: в каких случаях
этот переход дает больший’ эффект—в канале без
замираний или в канале с замираниями? Статья
। была написана грамотно. ^Сравнение системке дво-
ичным и т-ичным' кодами производилось при оди-
наковой скорости передачи информации, одинако- ,
вых мощностях сигнала и: одинаковой спектраль- |
। ной плотности белого шума по эквивалентной ве-
роятности ошибок. Как показал расчет, в канале
без замираний при- некогерентном приеме ортого- :
нальных сигналов переход от т=2 к т=32 позво-
ляет, например, снизить эквивалентную вероятность
ошибки с 8-10-2 до 1,5-10~4, т. е. почти в 600 раз.
В канале же с рэлеевскими замираниями такой пе-
реход снижает эквивалентную вероятность ошибки
с 8-10~2 примерно до 1 • 10-2, т. е. всего лишь;в 8
раз. На этом основании в статье рекомендовалось?
применять т>2 в первую очередь для каналов без
; замираний, где1 такой переход дает наибольший эф-
фект. .	i !	I '
, ! : Статья была забракована на том основании,’что s
эта рекомендация неверна, по крайней мере для
радиосвязи, ю которой и шла речь. Прежде чем
перейти к объяснению , такого заключения,> поста-
вим другойНвопрос: где5 лучше'применять разнесен-
ный прием—в1 канале без замираний или Bi канале ;
с замираниями? 1 ?	।	у
Именно этот вопрос рецензент задал автору
. статьи,'когда тот приехал к нему объясняться пр
«в. , j 
1 ! ' г 1 ; Ui г	''Ф1 .Л " ;
поводу рецензии. Он ответил, не задумываясь, так
> же, как ответил бы любой опытный радиоинженер:
«Конечно,н разнесенный прием следует применять
в каналах с замираниями. В каналах без замира-
ний его никто никогда не применяет, да и вообще
। основная цель разнесенного приема—уменьшение
вредного действия замираний». «Совершенно вер-
Сравним одиночный и сдвоенный прием на 'раз- '
несенные антенны двоичных ортогональных сигна- \
лов. Будем для упрощения расчетов считать прием и
'некогерентным и используем метод квадратичного^ ।
сложения. Ветви разнесения будем считать стати- '
стически однородными и независимыми^ 1а аддитйв- ।
ную помеху—белым гауссовским'шумом. На рис.
1.7.2 представлена зависимость1 вероятности ошибки!
от среднего отношения h\ энергии сигнала1 к спек-
9-3413г Ч I 1	\ .	5 129'
тральной плотности шума при одиночном и сдвоен-
ном приеме в каналах без замираний (непрерывная)
и с рэлеевскими Дамираниями (штриховая) [17].
Видно, что применение разнесенного сдвоенного
приема в канале без замираний позволяет, напри-
мер, снизить вероятность ошибки с 5-10—3 до 5х
Х10-5, т. е. в 100 раз, а в канале с рэлеевскими
замираниями с 5-10~3 до 7,5-10—5, т. е. только
в 67 раз.
Что же получилось? Разнесенный прием более
эффективен в канале без замираний, чем в канале
с рэлеевскими замираниями. Куда же смотрят ин-
женеры? Почему они упорно применяют разнесен-
ный прием только в каналах с замираниями и иг-
норируют возможность получить 100-кратный вы-
игрыш, используя разнесенный прием в канале без
замираний, например, для связи на метровых вол-
нах в пределах прямой видимости? Успокойтесь,
читатель, инженеры поступают правильно.
Рассмотрим этот вопрос с позиций разработчи-
ка дискретной системы радиосвязи. Пусть необхо-
димо обеспечить вероятность ошибки не выше 10-4
в канале без замираний. Взглянув на те же кри-
вые, легко усмотреть, что применение сдвоенного
приема позволит сэкономить 3 дБ на величине h2o.
Это значит, что можно будет применить либо пере-
датчик с вдвое меньшей мощностью, чем при оди-
ночном приеме, либо более дешевый приемник с
коэффициентом шума, увеличенным на 3 дБ, либо
немного более простую передающую антенну с
вдвое меньшим коэффициентом усиления. В боль- ।
шинстве случаев ни одно из этих упрощений не.
окупит расходов по установке двух разнесенных
приемных .антенн,; двух приемников и устройства ..
сложения. Поэтому всякий разумный разработчику
откажется от варианта с,разнесенным приемрм.1
130	=
, 'Пусть теперь ту же верность требуется обеспе-
чить в канале с рэлеевскими замираниями. Теперь ,
энергетический выигрыш сдвоенного приема (как . '
видно из рис. 7.2) составляет 17 дБ. Это позволит,
например, применить в 50 раз менее мощный пе-
' редатчик (скажем, 200 Вт вместе 10 кВт).' С такой
экономией уже нельзя не считаться. Она; безуслов-
но, окупит расходы по устройству сдвоенного при- *
ема. В некоторых ситуациях, когда аппаратура
должна быть легкой и компактной, только разне-
сенный прием позволяет обеспечить требуемую
верность. Вот почему он широко используется в
диапазоне, декаметровых волн, в котором обычно
встречаются глубокие замирания.
. Здесь полезно заметить, что энергетический
выигрыш разнесенного приема 17. дБ вовсе не озна-
чает, что после сложения принятых сигналов отно-
шение сигнал-помеха действительно увеличится на
17 дБ. Согласно известной теореме Бреннана [2]
сдвоенный прием при оптимальном'сложении по-
зволяет увеличить это отношение только на 3 дБ.
Энергетический выигрыш при разнесенном приеме
показывает, какому увеличению этого 'отношения
соответотвует уменьшение вероятности ошибок, ко-
торое при замираниях определяется в основном
уменьшением дисперсии уровня сигнала. Поэтому
энергетический выигрыш (хотя и несколько мень-
ший) ймеет место и при разнесенном приеме по
-схеме автовыбора, когда никакого реального уве-^
личения отношения сигнал-помеха не происходит, :
Этот вопрос хорошо освещен в [38].	1
Вернемся теперь к вопросу о целесообразности
применения m-ичных кодов. Расчет показывает, что !
- при эквивалентной вероятности ошибок; 10~4 пере-.
ход от т = 2 к т = 32 в канале без замираний дает'
энергетический выигрыш примерно 5 дБ, тогда как
9* . 'ii ' !	'L_.. L ). LfLJ.:	131
в канале с рэлеевскими замираниями он достигает
почти 10 дБ. Здесь разница, конечно, не ,столь ве- |
лика, как при разнесенном приеме, но: псе же эф-
фективность повышения! основания кода в канале с ।
замираниями выше, чем в канале без замираний,
что диаметрально противоположно выводу, сделан-
ному в статье.. V р .и;	- _•
. ' !, J '! ’	। ! Г Л !
! - J	I I |- U  , '
8. ЛУЧШЕ НАИЛУЧШЕГО !	1 i
, 	!	[Эдмунд] Ландау заготовил печат-
।	|	’	। ные формуляры для'рассылки авто-
| !	| | рам доказательств последней теоре-
, 	мы Ферма: «На стр....строке...
'	;	имеется ошибка> (находить ошибку
;	поручалось доценту). 1	।
• I	Дж. । Литлвуд. Математическая
'	'	- смесь
: !  । ! 1
8.1.	ИЗОБРЕТАТЕЛИ «ВЕЧНОГО ДВИГАТЕЛЯ» 'i- '	? ,
За последние 25-—30 лет автору приходится ]
'время от времени консультировать изобретателей
1 ! различных, систем связи. < И примерно I каждые I
два-три гоДа среди них появляется очередной изо,-,
' н'бр|етатель г «вечного двигателя» в связи. Под этим ,1
' названием я подразумеваю различные способы пе- ' *
редачи и приема сигналов с, помехоустойчивостью,!
превышающей потенциальную, т. е. ту, которую
i ' можно теоретически получить дри оптимальном
’ приеме и данных условиях. ‘	'
! Среди этих'изобретателей!।встречались разные
люди. ’Они по-разному реагировали на критику.
Некоторые (очень Немногие) сразу понимали ошиб-i
j ку и отказывались1 от своих заблуждений. Другие, .
разобравшись в слабых местах своих рассуждений, ''
’все же не хотели отказаться^ от своей идеи и упор-и
. 132	: ’Л’ ’ ’ Г	| .,1,1 '	Ч
но пытались «подправить»' и «обосновать» ее.
1 Третьи просто не хотели ничего слушать и объясни- ।
ли все возражения тем, что их оппоненты— рути-
• неры, отставшие от жизни, не понимающие новых.
идей и цепляющиеся за «устаревшие» представле-
ния о1' потенциальной помехоустойчивости. Нередко в
подтверждение своих идей они приводят неизвестно
как и где полученные «экспериментальные резуль-
 таты»1.. Впрочем, некоторые авторы «вечного двига-
теля»—очень приятные люди и весьма квалифи-
цированные специалисты, отлично владеющие ме-
тодами теории связи, но упорно допускающие ту
’ - или иную ошибку при анализе своей системы. В ря-
де случаев значительно легче разобраться в сущ-
* ности сделанных ошибок, чем в психологии «изо- !
бретателей».	.. ।	‘	 <
' В; качестве примера можно привести мбю более ' ।
чем двухлетнюю ,переписку с одним инженером, в
, которой речь шла о двоичной системе связи, якобы1
f	позволяющей при некогерентном приеме ортого-
.	нальных сигналов получить такую вероятность
ошибки, которая теоретически возможна лишь 'при ।
1 когерентном приеме противоположных сигналов. >
, Сущность этой системы и ее многочисленных вари-
* антов (в каждом очередном письме вносились но-: ’ |;щ
, вые, «усовершенствования») излагать не будем.' / I
В ней нет ничего поучительного, и ее опровержение; U
’ сводилось к отысканию тривиальных ошибок в вы- i? J'f
", . кладках. Так, в третьем или четвертом письме i j
предлагалась модификация решающей схемы, в: if ,
которой отношение сигнал-помека оказывалрсь ! ;
ч пропорциональным l/(Af—ДЧ>)2, где Ni и N2 —
интенсивности шумов в двух ветвях решающей схе- Jit । 11
мы. Повторив сделанные в 1 письме (выкладки, я .i j! i
сразу обнаружил, что в этой формуле ошибка fU’ ' !
(вместо Ni—N2 в.[ знаменателе должно! быты	;
- .	I " I I'	I' 1; ы  ; I !| I	: ii 
; 'ч ;	‘	; 1 п 1 - - >r !
I I I	I и I-
i	’	i 	 '		; V S '
to 1 < i: 4 '	1	' i’ .	1	!
I