М. В. Немцов
СПРАВОЧНИК
по расчету
параметров
катушек
индуктивности
2-е издание,
переработанное и дополненное
МОСКВА
ЭНЕВГОАТОМИЗДАТ
1989
ББК 32.844
Н 50
УДК 621.318.4.001.24(035.5)
Рецензенты: доктора технических наук А. В. Нетушил,
Л. А. Цейтлин
Немцов М. В.
Н 50 Справочник по расчету параметров катушек ин-
дуктивности.— 2-е изд., перераб. и доп.-— М.: Энер-
гоатомиздат, 1989.— 192 с.: ил.
ISBN 5-283-00534-8
Изложены общие методы расчета катушек индуктивно-
сти без магнитных сердечников и с магнитными сердечника-
ми, используемых прн конструировании элементов автомати-
ки. электрической и радиоэлектронной аппаратуры. Справоч-
ный материал приводится в виде математических моделей,
номограмм и таблиц. Первое издание вышло в 1981 г.
Рассчитан на инженерно-технических работников, зани-
мающихся разработкой радиоэлектронной и электрической
аппаратуры.
2302020200-261
051(01)-89
223-89
ББК 32.844
Справочное издание
Немцов Михаил Васильевич
СПРАВОЧНИК
ПО РАСЧЕТУ ПАРАМЕТРОВ
КАТУШЕК ИНДУКТИВНОСТИ
Редактор И. Д. Беликов
Зав. редакцией М. П. Соколова
Редактор издательства Л. А. Решмина
Художественные редакторы В. А. Гозак-Хозак, А. А. Белоус
Технический редактор Г. С. Соловьева
Корректор Г. А. Полонская
ИБ № 1861
Сдано в набор 02.02.89. Подписано в печать 26.0S.89. Т-10938. Формат
84XI08’/s2. Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 10,08. Усл. кр.-отт. 10,40. Уч.-изд. л. 11,21.
Тираж 89 000 эка. Заказ № 260. Цена 55 к.
Энергоатомиздат. 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Владимирская типография Госкомитета СССР по печати
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д, 7.
ISBN 5-283-00534-8	© Эвергоатомиздат, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Катушки индуктивности широко используются в различных
электротехнических и радиотехнических устройствах. Собственные
и взаимные индуктивности катушек, т. е. их индуктивные парамет-
ры, определяются геометрической формой и размерами катушек,
свойствами магнитных сердечников, взаимным расположением вит-
ков и т. д. и описываются часто весьма сложными интегральными
выражениями.
Расчет исходных интегральных выражений может быть произ-
веден аналитическими или численными методами. Обширные матери-
алы по аналитическим методам расчета индуктивных параметров ка-
тушек без магнитных сердечников содержатся в [1]. Особенность этих
методов в том, что- исходные интегральные выражения преобразу-
ются в алгебраические обычно на основе разложения в ряды, по ко-
торым выполняются расчеты.
Настоящая книга посвящена численным методам расчета индук-
тивных параметров катушек. Эти методы могут быть использованы
и при расчете на ЭВМ со стандартным математическим обеспечением.
При этом не требуется преобразования исходных интегральных вы-
ражений в промежуточные алгебраические, а сложность подынте-
гральных выражений и кратность интегралов не имеют решающего
значения. В некоторых случаях индуктивные параметры катушек
с магнитными сердечниками имеют не аналитическое, а алгоритмиче-
ское описание, реализуемое программно.
Аналитические и численные методы расчета индуктивных пара-
метров взаимно дополняют друг друга.
Книга содержит четыре главы. Глава 1 является вводной и по-
священа определению физического смысла индуктивных параметров
катушек без магнитных’сердечников. Там же приводятся и форму-
лировки общих математических методов расчета параметров кату-
шек. Главы 2 и 3 содержат справочный материал по расчету индук-
тивных параметров наиболее распространенных конструкций витков
и катушек без магнитных сердечников. В гл. 4 приводится справоч-
ный материал по расчету катушек индуктивности с магнитными сер-
дечниками различной конструкции, а также методика анализа ста-
тистических характеристик индуктивных параметров.
4
Предисловие
В книге использованы термины и определения по ГОСТ 20718-75.
Заметим, однако, что наряду с терминами этого ГОСТ, такими как
«катушка индуктивности с магнитным сердечником или без магнитно-
го сердечника», в технической литературе встречаются эквивалентные
по смыслу термины «катушка индуктивности с магнитопроводом или
без магнитопровода». Настоящее издание книги отличается от преды-
дущего большим объемом справочного материала.
Большую помощь автору в написании § 1.7 оказал В. Е. Ка-
люжный и § 4.5.1—Ю. М. Шамаев, им автор выражает свою искрен-
нюю благодарность.
Автор считает своим приятным долгом поблагодарить рецензен-
тов докторов техн, наук А. В. Нетушила и Л. А. Цейтлина за ряд
полезных советов и замечаний, а также редактора И. Д. Беликова.
Все замечания по содержанию книги автор просит направлять
в адрес Энергоатомиздата: 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Автор
ГЛАВА ПЕРВАЯ
КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ БЕЗ МАГНИТНЫХ
СЕРДЕЧНИКОВ
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН
Вокруг всякого проводника с током i существует магнитное поле,
которое характеризуется двумя векторными величинами — магнит-
ной индукцией В и напряженностью магнитного поля Н. Если мате-
риал проводника 1 (рис. 1.1) и окружающая его среда изотропны,
то магнитная индукция и напряженность магнитного поля связаны
соотношением
В=цгр0Н,	(1.1)
где Цо=0,4 л мкГн/м—• магнитная постоянная; цг — относительная
магнитная проницаемость среды.
Для магнитно-неполяризуемых сред ц,= 1. Этот случай рассмат-
ривается в гл. 1—3.
В дифференциальной форме зависимость между магнитной индук-
цией и плотностью тока для магнитно-неполяризуемых сред опреде-
ляется выражением [2]
dB = Ho4^rfv’	U-2)
4 ла?
где J — плотность тока в элементарном объеме dv проводника; а0=
=а/а — единичный вектор, определяющий взаимное расположение
элементарного объема и точки, в которой рассчитывается магнитное
поле, — точки наблюдения.
Проинтегрировав (1.2) по всему объему проводника, определим
магнитную индукцию В в точке наблюдения. Совокупность точек
магнитного поля, в которых направление вектора магнитной индук-
ции совпадает с касательной к кривой, соединяющей эти точки, обра-
зует непрерывные магнитные линии.
Допустим, в магнитном поле расположен контур 2 произвольной
формы. Условное положительное направление его обхода показано на
рис. 1.1. Поток вектора магнитной индукции В через поверхность sK,
ограниченную контуром 2, представляет собой магнитный поток,
сцепленный с этим контуром:
ф=/в^к(	(1.3)
sk
где dsK — вектор, направленный вдоль положительной нормали к по-
верхности, охваченной контуром, и равный по значению элементарной
площадке.
Поверхность, ограниченную контуром сложной формы '(например,
спирали), одни и те же непрерывные магнитные линии могут пересе-
кать многократно. Суммарный магнитный поток, сцепленный с таким
контуром, принято называть магнитным потокосцеплением.
6
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
Понятие магнитного потокосцепления можно ввести и для замк-
нутого витка произвольной формы, выполненного из проводника
С поперечным сечением sn и расположенного во внешнем магнитном
поле. Для этого представим виток в виде совокупности элементарных
витков, для каждого из которых размеры поперечного сечения Asn
существенно меньше других размеров, а собственный ток отсутству-
ет. Приближенно каждый такой виток можно заменить контуром,
с которым сцеплен внешний магнитный поток Ф, положив, что такой
же магнитный поток сцеплен с элементарным витком. Тогда потоко-
сцепление, создаваемое внешним магнитным полем с интегральной со-
вокупностью элементарных витков,
Т=-у-Jodsn.	(1.4)
sn
Пример 1.1. Плоское кольцо толщиной h и радиусами rt, г2 на-
ходится в постоянном и однородном внешнем магнитном поле с маг-
нитной индукцией Во (рис. 1.2). Определить потокосцепление внеш-
него магнитного поля с кольцом, если ток в нем равен нулю.
Решение. Воспользовавшись (1.4) и значениями
dsn = h dr; sn = (r2 — rx) h; Ф = лВ0 r?s
получим искомое потокосцепление:
т _ яДо fr*dr_ ЛМГ2~<1
r2 —rj J	3(Г2 — гх)
Г1
Если по замкнутому витку произвольной формы протекает ток
i, то магнитный поток Ф каждого элементарного витка с током di
будет определяться как внешним магнитным полем, так и собствен-
Рис. 1,1. Магнитное поле провод-
ника с током
в
Рис. 1.2. Плоское кольцо в одно,
родном магнитном поле
Взаимная и собственная индуктивности
7
ным магнитным полем элементарных витков. Полное потокосцепле-
ние с таким витком определяется выражением
¥ = —
i
(1.5)
Если внешнее магнитное поле отсутствует, то (1.5) определяет
потокосцепление с замкнутым витком, обусловленное только его соб-
ственным магнитным полем, — собственное потокосцепление витка,
1.2. ВЗАИМНАЯ И СОБСТВЕННАЯ ИНДУКТИВНОСТИ
Введем понятие взаимной индуктивности двух контуров / и 2,
имеющих длины /1 и /2 и расположенных в пространстве произвольно
относительно друг друга (рис. 1.3).
Если в первом контуре протекает ток
ii, то по (1.2) и (1.3) можно опреде-
лить создаваемый им магнитный по-
ток Ф21, сцепленный со вторым кон-
туром. Отношение этого потока к току
в первом контуре называется взаим-
ной индуктивностью двух контуров:
M2i = ф21/Ч>	О-6)
Такой путь расчета взаимной ин-
дуктивности двух контуров часто ока-
зывается довольно трудоемким. Удоб-
но пользоваться понятием векторного
магнитного потенциала А, который
связан с магнитной индукцией соот-
ношением
В = rot А.
Рис. 1.3. Геометрическая
модель для определения
взаимной идуктивности
двух контуров
(1.7)
Подставив магнитную индукцию из (1.7) в (1.6) и воспользовав-
шись теоремой Стокса [2], получим
Ф21 = У rot A dsK(a) = У Adl2,	(1.8)
SK(2)	1г
где dl3 — элемент длины контура 2; dsK(2) — элемент площади в на_-
правлении положительной нормали к поверхности -sK(2>, ограниченной
контуром 2.
Так как векторный магнитный потенциал, создаваемый током
h в какой-либо точке контура 2,
P-о ii
4ла
5
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
то (1.8) можно представить в виде
h I,
рде а — кратчайшее расстояние от элемента длиной dlj контура 1 да
Элемента длиной dl2 контура 2.
Из (1.6), (1.9) легко получить выражение искомой взаимной ин-
дуктивности
h it
Так как последовательность интегрирования в (1.10) не влияет
на результат, то для двух контуров справедливо свойство взаимно-
сти, т. е. Mn=Mit=M. Формула (1.10) -приближенно справедлива
и для взаимной индуктивности двух замкнутых витков при несоизме-
римо малых размерах поперечных сечений проводников относительно
других размеров.
Рассмотрим понятие взаимной индуктивности двух замкнутых
витков 1 и 2 произвольной формы, у которых размерами поперечного
речения sD(i) и зП(2) проводников пренебрегать нельзя. Представим
каждый из витков совокупностью элементарных замкнутых витков
с площадями поперечного сечения Asn(i) и ДзП(2), каждый из кото-
рых в свою очередь заменим замкнутым контуром. Воспользовав-
шись (1.10), определим взаимную индуктивность й-го контура дли-
ной и m-го контура длиной Imti,'-
г,	Ио Д dlk(i)
М*	(p (p ---------~------•	(1.11)
'ft(l) Zm(a)
Приближенно (1.11) определяет взаимную индуктивность fe-го
и m-го элементарных витков с площадями поперечного сечения
Asnh(i) и Дзпт(2)> расположенных в первом и втором витках.
Если токи в первом и втором витках i, и i2, то с учетом (1.5)
и (1.6) взаимная индуктивность витков [1]
w 2 ФМ1>2 Atfe(i)
М = —;— = -----------—--------=
t2	ti i2
= ~Г~.	-^ft(i)m(2) А^т(а)»	(1 • 12)
А й
где Д£л(1) и Дьп(2)—токи в k-м и m-м элементарных витках;
иФл(1)2=2Л1/1(1)т(2)Д1т(2) — потокосцепление с первым витком и маг-
нитный поток А-го элементарного витка, создаваемые током второго
витка.
Из (1.12) видно, что взаимная индуктивность двух витков в об-
щем случае зависит от их геометрических размеров и распределения
токов.
§ 1.2
Взаимная и собственная индуктивности
9
При равномерном распределении токов и и /2 по сечениям витков
справедливы соотношения
~ ASnfe(i)/sn(i);	= ^nmlal^nta)•
В этом частном случае взаимная индуктивность витков опреде-
ляется только их геометрическими размерами и (1.12) можно пред-
ставить в виде
М = "	"	j ^nfed) -^Л(1>тп(2> ^шй)1
Mi) М2)
sn(i) sn(a>
Собственная индуктивность замкнутого витка определяется как
отношение собственного потокосцепления к току витка. Представим
виток с поперечным сечением проводника зп в виде совокупности эле-
ментарных витков с площадями поперечного сечения Asn, которые
заменим далее контурами. Магнитный поток, сцепленный с каждым
элементарным витком, определяется токами как самого витка, так
и множества остальных элементарных витков. Пренебрежем током
элементарного витка в создании сцепленного с ним магнитного пото-
ка. Тогда магнитный поток k-ro контура с длиной Ik и током Дй оп-
ределяется токами всех остальных контуров:
ФА = S ФФ ^7^ Д''т = S Mkm ^m' (1'13)
!h lm	{~&lh
Воспользовавшись (1.5), получим выражение собственного пото-
косцепления с замкнутым витком:
(1-14)
i
Собственная индуктивность замкнутого витка
1 V V1
L '—  — .2	)
1
зависит от его геометрических размеров и распределения в нем тока.
В (1.12) и (1.15) предполагается, что все токи элементарных вит-
ков совпадают по фазе. В противном случае взаимная и собственная
индуктивности становятся зависимыми от времени (см. § 1.3). В ча-
стном случае равномерного распределения тока по поперечному сече-
нию витка справедливо соотношение
Aifc/i =	= Дэд^/Зд = Дзд^д/Зд — Дзд/Зц.
При этом (1.15) принимает вид
L —	•М&ПгДзпт!
sn sn-*snh
10
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1

Рис. 1.4. Геометрическая модель
для определения собственной ин-
дуктивности плоского кольца и
взаимной индуктивности двух
плоских колец
а

т. е. индуктивность витка зависит только от его геометрических раз-
меров.
Пример 1.2. В двух одинаковых плоских кольцах (рис. 1.4), рас-
положенных соосно на расстоянии h, протекают равные и постоянные
во времени токи i. Вывести фор-
мулы для собственной индук-
тивности каждого кольца-и их
взаимной индуктивности, если
плотность тока распределяется
по их сечению обратно пропор-
ционально радиусу: J=C/r, где
C=const.
Решение I. Выведем
формулы для расчета собствен-
ной индуктивности кольца. Ес-
ли гА и гт — радиусы А-го и
пг-го круговых контуров одного
из плоских колец, то их взаим-
ная индуктивность определяет-
ся общей формулой (1.11), ко-
торая с учетом зависимостей

и равенства
a = V 4+'m-2vmcos(₽;
ddlm = rA rm cos Ф dq> d§
cos? = cos(—<p)
примет вид
Mkm — Pa
Th rm cos ф dy
V 'fe+r™-2VmCOS(P
Воспользовавшись (1.13) и (1.14) в интегральной форме и поло-
жив, что токи в каждом круговом контуре di*=(C <1гкУ!гк и dim =
= (С drm)/rm, получим собственное потокосцепление с плоским коль-
цом:
Jr,	л
Г Г с°8ф^Ф drbdrm
J	J V 'i+r2m-2rkrmeos<f
11	Г}<=Г1 r7n='’i4>=0
rS
Зная полный ток плоского кольца j / dr=С In(гг/п), опреде-
rt
§ 1.3
Зависимость индуктивности от частоты
II
ляем из (1.15) его собственную индуктивность:
ш	А
_ Но Р
i 1п2(г2/г1) I
rfe=ri
cos <p dtp dr^ drm
V ^+^-2^гтсо8ф
Решение 2. Выведем формулы для расчета взаимной индук-
тивности колец. Если г*») и гт(2)—радиусы й-го и m-го круговых
контуров первого и второго колец соответственно, то их взаимная
индуктивность определяется общей формулой (1.11), которая при-
мет вид
л
,,	Г	Ро 0.(1) ГтГг) cos фб!ф
Л»л(1>т(2> = I —- —: 	.	..1	•
J V ^ + 4(1)+ rm(2) — 2rfe(l) rm(2) COS(P
О
По аналогии с расчетом собственной индуктивности плоского
кольца взаимная индуктивность двух плоских колец согласно (1.12)
41 = JL-X
In2 —
г2	г>	л
Р	Р	Р cos Ф dtp drk(i) drm(i)
j J J + Г*(1) + ^(2) ~ 2rfe(D C0S Ф
rft(l)=ri fn>(2)=ri
При Л = 0 взаимная индуктивность колец равна собственной ин-
дуктивности одного кольца.
1.3. ЗАВИСИМОСТЬ ИНДУКТИВНОСТИ ОТ ЧАСТОТЫ
В общем случае собственная индуктивность замкнутого витка
зависит от его удельной электрической проводимости у и характера
протекающего тока.
Рассмотрим метод расчета собственной индуктивности замкнуто-
го витка, к которому приложено напряжение внешнего источника
e(t) (рис. 1.5). Разделим виток с площадью поперечного сечения sn
Рис. 1.5. Геометрическая мо-
дель для расчета собственной
индуктивности замкнутого
витка
12
Катушки индуктивности без сердечников Гл. 1
на п элементарных витков с поперечным сечением Дзп, которые за-
меним далее контурами, Электрическое состояние каждого контура
Icfecn с длиной lk и сопротивлением АгА = (к/уДзп определяется
уравнением на основе второго закона Кирхгофа, а всех контуров —
системой из п таких уравнений:
М Д/х +	. + Min—-f- — e(f);
at	at	at
d\ii .	.	dAi,	dAin
M2t — + Дг2 Дг2+Л12з——-----p ... + M2n ~77~ —e(t);
at	at	at
(1.16)
Alni
dAl’i ,	dA,'a ( «4 dAi3
dt +Mn2 dt +MnS di
... -|-&rn&in — e{t)f
где Mkm — взаимная индуктивность й-го и m-ro контуров, рассчитан-
ная по (1.11).
Представив систему дифференциальных уравнений в форме урав-
нений Коши (в нормальной форме)
dAb
— fi(Aii» А/21 ••• ? At'n» О»
dt
d&i«
—7Г- = ^2(Д«15 At2? ...» Ain, 0;
fl. 17)
d&in t . *. ..	..
— /n (Afp Az2j ... j A:nj i)
dt
и решив ее с помощью ЭВМ, определим распределение токов по се-
чению витка в зависимости от времени Aii(i), Ai’HO, .... Ain(i)> а так-
же полный ток Z(/)=SAi. Воспользовавшись (1.15), можно найти
собственную индуктивность витка L, которая будет зависеть в об-
щем случае от времени и удельной электрической проводимости ма-
териала.
В частном случае, если напряжение источника синусоидально, для
решения системы (1.16) можно воспользоваться комплексным мето-
дом:
Aq A/t +/оМ12 Д/2 +/«М13 Д73 + ... /мМ1пД/п = Е;
Mt + Дг2 Д/2 + /(оМ23 АД, + ... + /<оМ2пД7п=Е;
(1-18)
/“Mni Д<1 + 1'°>Мп2 Чг + 1’аМпз ^ + • • • + Ч Д'п = £•
Решение системы (1.18)' дает распределение тока по сечению
§ 1.3
Зависимость индуктивности от частоты
13
витка
(1.19)
А7„ =
-Т1
и полный ток
п	п п
fe=l	А=1 ш=1
(1.20)
где Д и Дат — определитель системы алгебраических уравнений и его
дополнения, имеющие комплексные значения.
Выделим два случая расчета собственной индуктивности.
1. Все сопротивления Дг равны нулю. Из системы (1.18) видно,
что фазы всех токов Д/ одинаковы и равны 1|^=фе + л/2, где фе —
фаза ЭДС источника. Собственная индуктивность витка по (1.15),
с учетом (1.19) и (1.20), условий	а также уело»
вия из [4, с. 240]
п	п
S	&ln
m=1	m—1
’ A
-fr-,- если k = I;
0; если k =# /
имеет вещественное положительное значение
п
2(^1 + ^г+	+ Afen) SJWftm(^ml+^m2 + ••• +U
k—i	m«l
Д
n n
2 2 bkm
fe=l m=l
(1.21)
Собственно индуктивность витка не зависит от частоты тока
и полностью определяет режим работы витка, что непосредственно
следует из сравнения (1.20) и (1.21), т. е. E—jaU.
2. Все или часть сопротивлений Дг не равны нулю. Токи Д£ име-
ют разные фазы. Собственная индуктивность витка по (1.15) имеет
14
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
комплексное значение, определяемое выражением, совпадающим
с (1.21) при п—оо.
В рассматриваемом случае удобнее пользоваться эквивалентной
собственной индуктивностью Гэк и эквивалентным активным сопро-
тивлением Гэк.
Мнимая составляющая комплексного сопротивления замкнутого
витка
/п п
А=1 т=1
(1-22)
определяет его эквивалентную собственную индуктивность
L3K = — Im Z = — Im ( Л
to - со I -
(1.23)
а вещественная составляющая — эквивалентное активное сопротив-
ление
(, п п	\ / п	\ /
д/2 2	Л2=р^2>(1-24)
' k—1 m—l	/ \А=1	/'
где Р — мощность потерь в витке.
Аналогичный вывод можно сделать и для взаимной индуктивно-
сти двух замкнутых витков, определяемой по (1.12).
При наличии потерь энергии в витках их взаимная индуктивность
имеет комплексное значение. В этом случае удобнее ввести эквива-
лентные параметры витков. Например, если в первом витке на рис.
1.4 включен источник синусоидальной ЭДС Elt эквивалентные пара-
метры определяются системой уравнений на основе законов Кирхго-
фа и баланса мощности:
Г2ЭК — ( 2 Д^(2) ^(2) ) Аг ~
\fe=l	/'
Г1ЭК= ( 2 Д/А(1) A'fed) )/Zl
\fc=l	/'
—1 ~ г1эк/1 + /и^1эк Lt М*эк 1зг
0 = Г2ЭК Li + /“L23K Lz + Lv
P2 = Re (j(0M3K Z2 /J) = Г2эк ll-t
(1.25)
где Пэк, Пэк и Мэк, Ьаэк — эквивалентные активные сопротивления
и собственные индуктивности первого и второго витков; Л4Эк — эк-
вивалентная взаимная индуктивность витков; Pi, Pt— активные мощ-
ности потерь в первом и втором витках; /ь Z2 — токи витков, опре-
деляемые системой уравнений, аналогичной (1.18), AZft(i), А/К(2)>
Диеп и Дгл(2) —*токи и сопротивления элементарных витков.
Эффект близости
15
В общем случае все эквивалентные параметры витков зависят
от частоты тока, а также от удельной электрической проводимости
материала витков и их геометрии.
1.4. ЭФФЕКТ БЛИЗОСТИ
Использование понятия элементар-
ного замкнутого витка позволяет учиты-
вать специфические явления, возникаю-
щие при близком расположении друг к
другу проводников с током. Эти явле-
ния получили название эффекта близо-
сти.
Рассмотрим в качестве примера эф-
фект близости в двухпроводной линии.
На рис. 1.6 приведено взаимное располо-
жение проводников двухпроводной ли-
нии в виде плоских шин, к которой под-
ключен источник напряжения е(1). Пред-
ставим обе шины в виде совокупности
элементарных шин, по каждой из кото-
рых протекает ток Дг. Если напряжение
источника имеет синусоидальную форму
с угловой частотой о, то распределение
тока по поперечному сечению шин будет
определяться системой уравнений (1.18),
в которой значение взаимной индуктив-
ности k-ft и m-й элементарных шин на
единицу длины определяется формулой
(1.11). Эта общая формула в данном слу-
чае примет вид
Рис. 1.6. Геометрическая
модель для расчета эф-
фекта близости в двух-
проводной линии с плос-
кими шинами
1/2	1/2
_________dxhdxm__________
К (xk — xm)2 + (yh — ym)2
*й=° хт=~1/2
dxh dXjft	\
V (Xh — хт)2 + (yh + ут)2. /
1/2	i/2
__ Ио ЖЛ Г	Г ____________рdxhdxm__________
nl J J V(xh-xm)2 + (yh-pym)2 ’
p=±l xk=0 xm——l/2
где l— длина шин; уь, Ут — 'А ширины &-й и т-й элементарных шин;
dxh, dxm— элементы длины элементарных шин; р=>±1 — параметр
суммирования, принимающий два целочисленных значения*.
Взаимная индуктивность М^т зависит от расстояния между ши-
* Применение параметров суммирования позволяет сократить запись
расчетной формулы и будет широко использоваться в дальнейшем.
16
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
нами. Поэтому распределение тока по сечению шин, а также их соб-
ственная индуктивность на единицу длины, определяемая по (1.15),
будут зависеть от взаимного расположения шин. На рис. 1.6 показан
характер распределения плотности тока по сечению плоских шин. На-
ибольшее значение плотность тока достигает на внутренней границе
шин, что объясняется наименьшим значением потокосцепления с рас-
положенной на этой границе элементарной шиной.
1.5.	ВЛИЯНИЕ ШАГА НАМОТКИ КАТУШЕК
Одним из трудно учитываемых факторов при расчете катушек
без магнитных сердечников является шаг намотки витков, если ои
соизмерим с размерами поперечного сечения каркаса. Рассмотрим два
вида моделей однослойной цилиндрической катушки по рис. 1.7, а
и 1.8, а. На рисунках приняты обозначения: dn—диаметр провода;
Рис. 1.7. Геометрическая модель цилиндрической катушки '(первый
вид):
а — представление обмотки совокупностью плоских витков; б — представление
каждого витка двумя контурами: контуром 6 по оси проводника и контуром
1г по следу витка на каркасе
/г2—.шаг намотки; I — длина катушки; г2—радиус каркаса; Г1 = Г2+
+ dn'/2 — ередний радиус витка. В модели по рис. 1.7, а витки обмотки
заменены плоскими витками. Модель по рис. 1.8, а соответствует ре-
альному расположению обмотки. Эта обмотка не замкнута, и рас-
считать ее индуктивность нельзя, так как теряет смысл ее собственное
потокосцепление (1.14). Поэтому сравнение двух моделей возможно
только при /-*-оо или /»2г|. В этом случае можно считать электро-
магнитные состояния всех витков в пределах каждой модели одина-
ковыми, а потокосцепление с каждым из них практически равным
потокосцеплению с витком Чгв, расположенным в середине катушки.
Для оценки Чгв представим каждый плоский виток в модели ка-
тушки по рис. 1.7, а двумя круговыми контурами (рис. 1.7,6): конту-
ром /1 с радиусом Г1 (по оси витка) и контуром /2 с радиусом г2 (по
следу витка на каркасе). Магнитное поле катушки приближенно
определяется током i контуров /) всех витков, а потокосцепление
каждого витка — совокупностью магнитных линий, охваченных кон-
туром 11. Воспользовавшись (1.9) и преобразованиями, аналогичными
§ 1.5
Влияние шага намотки катушек
17
примеру 1.2, найдем
_____ц0 rt г2 i cos <р rfcp
У 4+f2“-2fir2C0S(₽
(1.26)
aj
Kb? +fr
Рис. 1.8. Геометрическая модель цилиндрической катушки (второй
вид):
а — расположение обмотки; б — представление обмотки двумя контурами: кон-
туром li по оси проводника и контуром la по следу обмотки на каркасе
2—260
18
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
где w = l/h2 — число витков катушки; k — порядковый номер витка,
отсчитываемый от среднего витка с нулевым номером, находящегося
в середине катушки.
В модели катушки по рис. 1.8, а каждый отдельный виток не зам-
кнут и потокосцепление с ним следует рассматривать условно как
часть общего потокосцепления с катушкой. Примем аналогично мо-
дели по рис. 1.7, а, что путь тока i совпадает с осевой линией провод-
ников Zi, а совокупность магнитных линий, определяющих потоко-
сцепление с катушкой, ограничивается следом обмотки на каркасе /2,
как показано на рис. 1.8, б, где d/]=r( ctg а^фь di2 =сг ctg а2йфа
и	dl2—r2d^2—осевые и тангенциальные составляющие эле-
ментов длины dh и dl2; ctg ai = A2/2nZi; ctg a2=/i2/2nr2. Потокосцеп-
ление среднего витка по (1.5) и (1.9)
=
4л
r2 (ctg ctga2 + cos (ф! — фа)) dept
V h2 + г2 + r2 — 2rt r2 cos (<p( - ф2)
+
2ri r2 (ctg ctj Ctg a2 + cos (ф! — ф2))
У (kh2 + A)2 + rl + r2 — 2ri rn COS (<Pj — <J>2)
где ft=r^]ctgai—M^ctg a2—расстояние вдоль оси между элемен-
тами dl] и dl2 в одном витке.
Результаты расчета по
для значений: w=300,
на рнс. 1.9 штриховой
и
Рис. 1.9. Зависимость по-
тосцепления с одним
витком цилиндрической
катушки для модели по
рис. 1.7 а (-----) и для
модели по рис. 1,8 a (—)
от геометрических раз-
меров катушки
линией для модели по рис. 1.7, а и сплошной линией для модели по
рис. 1.8, а. Разница результатов расчета по моделям при изменении
шага намотки Ь.2/г2 от 0,2 до 1 составляет 5—15 %. Такого же по-
рядка будет разница и в значениях индуктивностей. Незначительное
§ 1-6
Магнитное поле катушек
19
количественное различие делает модель по рис. 1.7, а предпочтитель-
ной из-за простоты математического описания.
1.6.	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КАТУШЕК
Процессы в проводниках катушек индуктивности можно рассмат-
ривать как результат электромагнитного взаимодействия совокупно-
сти п элементарных витков (контуров), токи в которых в общем слу-
чае определяются системой уравнений типа (1.16). Наложение маг-
нитных полей токов всех контуров по (1.2) с учетом равенства Jdv =
= &idl определяет индукцию магнитного поля катушки в точке на-
блюдения
(1.28)
где Ай, dh, Ik и ao,’t=aK/aK—ток, элемент длины, длина и единич-
ный вектор k-ro контура (см. рис. 1.1).
Для упрощения расчетов по (1.28) необходимо учитывать сим-
метрию магнитного поля контуров. Так, магнитное поле, создаваемое
током i кругового контура радиусом и, имеет осевую симметрию
(рис, 1.10, а). Поэтому, полагая dl=r1rf<p и заменяя интегрирование
Рис. 1.10. Магнитное поле кругового витка с током;
а — магнитные линии поля; б — расчетная модель
по контуру с током интегрированием по контуру с координатами точ-
ки наблюдения х и г (рис. 1.10,6), получаем осевую и радиальную
составляющие индукции магнитного поля
2*
20
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
ВхЪ/1гтТп-м/А
Рис. 1.11. Осевая составляющая индукции магнитного поля круга
вого витка:
а — х/п=0гн2,5; б — г/Г1—Б*23
§ 1-6
Магнитное поле катушек
21
r-f/i, мкТл’м/Д
22
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
НкТл-м/А
§ 1.6
Магнитное поле катушек
23
Рис, 1.12. Радиальная составляющая индукции магнитного поля кру-
гового витка:
в —*/O“0=s2,6i б — х/п-5=23
24
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
.	«	о
u.n I С г, sin a cos р ,
Вх = -*77— I “—;—" d(P =
2л J а2
о
f (1-7? cosy) .
2л J (х2+ Т?2+ 1 — 27? cos ф)3^2
р0 i Г sin a sin ft cos ф
r 2л J а?
о
(1.29)
_ M f_________________Л COST___________
2л/1 J (X2 + 7?2 + 1 — 27? cos ф)3/2 Ф*
о
где а = у х2 + г2 4- r\ — 2rrJ cos <p ;
sin а = У х? + (fj — г cos ф)2 /а; cos ft = (ft —
— г cos <p)ZKхг 4- (rt — Г COS ф)2 1
sin ft — xlVx2 4- (ft — r cos Ф)2 ;
a R=r/rx и X=x/rx — координаты точки наблюдения.
Результаты расчетов по (1.29) приведены для. осевой составляю-
щей индукции магнитного поля на рис. 1.11 для радиальной состав-
ляющей— на рис. 1.12.
Пример 1.3. В круговом контуре радиусом г=100 мм=0,1 м,
ток равен i=3A (рис. 1.10, а). Определить осевую и радиальную со-
ставляющие индукции магнитного поля тока в точке с координатами
л = 50 мм = 0,05 м, г=60 мм = 0,06 м.
Решение. Для геометрических размеров в относительных еди-
ницах х/Г1=50/100=0,5 и r/rj=60/100=0,6, из рис. 1.11 (точка а)
определеям осевую составляющую индукции:
i	3
Вх = —0,42 = —— -0,42= 12,6 мкТл,
Tt	0,1
а из рис. 1.12 (точка а) —радиальную составляющую индукции:
i	3
Вт = — 0,205 = —- -0,205 = 6,15 мкТл.
fj	0,1
Пример 1.4. По двум одинаковым соосным плоским кольцам
(рис. 1.4) протекают равные постоянные токи i с плотностью i—Cjrt
где C=const. Вывести формулу для расчета осевой и радиальной со*
ставдяющих индукции магнитного поля, создаваемого токами колец.
Решение. Если га — радиус кругового контура с током ДД=
§ 1.6
Магнитное поле катушек
25
Рис. 1.13. Осевая составляющая индукции магнитного поля
цилиндрической катушки
Пример 1,5. Однослойная цилиндрическая катушка имеет длину
1, радиус каркаса и, шаг иамотки h2 и нечетное число^ витков w«=//fta.
Вывести формулу для расчета осевой и радиальной составляющих
индукции магнитного поля тока катушки по ее модели на рис. 1.7, а.
Решение. Воспользовавшись .(1.28) и .(1.29), получим
26
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
(ц>—1)/2 п
Я -JV V f------------------------------------------------------(1 30а)
Вх~ 2л	J [(х + Ж)2 + ^ + ^-2гг.созф]:!''2’ '
fe=-Xa>-l)/2 0 LV	*	1 J
(a>—1)/2	n	,
p,of ЖЙ [*_______________________G x cos <p dq>___________
т 2л	J [(x + kh„)24- r~ + r2 — 2rr cos <p]3/2
h=-(w~\}/2 0 LV	*	1 J
(1.306)
Рис, 1.14. Радиальная составляющая индукции магнитного поля
цилиндрической катушки
где хиг — координаты точки наблюдения вдоль оси и вдоль радиуса.
^Координата х отсчитывается от плоскости среднего витка). На рис.
1.13 и 1.14 приведены результаты расчетов по (1.30) при /t2/n=0,5,
w=17 иг/п=0,7; 1,5;2,5.
1.7.	РАСЧЕТ ИНДУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ЭВМ
Рассмотренные понятия собственных и взаимных индуктивностей
являются интегральными характеристиками замкнутых витков произ-
вольной формы с конечными размерами поперечных сечений провод-
ников. Эти характеристики определяются расчетом электромагнит-
ного взаимодействия элементарных замкнутых витков с малым
поперечным сечением. Число элементарных витков и размеры их попе-
речных сечений зависят от типа решаемой задачи и требуемой точ-
ности результатов.
Расчет индуктивных параметров на ЭВМ
27
Система уравнений (1.18) и выражения (1.22)—(1.24) позволя-
ют рассчитать собственную индуктивность и активное сопротивление
витка.
Решение системы линейных уравнений типа (1.18) на ЭВМ обыч-
но осуществляется либо методом исключения, либо итерационным.
При решении системы уравнений, размерность которой велика (сот-
ни уравнений), последний метод имеет заметные преимущества. Во-
первых, если число итераций, необходимое для достижения заданной
точности, меньше п, то для решения системы уравнений итерацион-
ным методом требуется меньшее число арифметических операций и,
следовательно, меньшее машинное время. Во-вторых, погрешности
округления, которые всегда имеются при расчетах на ЭВМ, в итера-
ционном методе меньше и равны погрешностям округления одной
итерации. Это обстоятельство очень часто оказывается существен-
ным.
Однако при использовании итерационного метода необходимо
обеспечить, во-первых, его сходимость и, во-вторых, сходимость к ис-
тинному, а не ложному решению системы уравнений. В частности,
отметим, что итерационный процесс решения системы уравнений, за-
писанный в виде
=- /®-^- Д7<₽>	/ю	д7(₽) _
Алд	A/ft -
(1.31)
где k — номер уравнения в системе (1.18); р — номер текущей итера-
ции, будет расходиться при угловых частотах со, для которых не бу-
п
дут ВЫПОЛНЯТЬСЯ условия СХОДИМОСТИ А/ЧХО У, Mkm при всех k.
Для того чтобы итерационный процесс сходился в возможно бо-
лее широком диапазоне угловых частот со, преобразуем систему урав-
нений (1.18): добавим в k-e уравнение (А=1, 2, ...п) и вычтем из не-
го выражение
Л/* /со (Л1М +...+ Mki k_} + Mk k+i +.. • + Mkn),
Тогда (1.31) можно записать в виде
-------А/!р)—...
Л/(₽> =—/со
Afft + /И 2 МЬт
m=f=k
--------------п---------
Affe +
m+k
л_4рЛ +
28
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
2 Mhm
+i«.—--------------Л/Г” -/«—
Дга + /к 2 А'йт	Affe -f- /и 2 Alftm
m+k	m+k
. .-j<0----—---------+---------------=--------(1.32)
'	n	-n	n	'
Д'* + /® 2 Mh™ Д'* + /«> 2 Mk™
m+k	m+k
Можно показать, что итерационный процесс, описываемый (1.32),
при достаточно большом числе элементарных замкнутых витков схо-
дится к истинному решению системы уравнений (1.18) при любой уг-
ловой частоте <о. Для этого прибавим к каждому уравнению системы
п
(1.18) (&-му уравнению) и вычтем из него выражение ДЛ/ша 2
где i=l, 2...п. Тогда
щему виду:
эту систему
можно
Д/
Mn
dir ‘"din
dni"’ "dnn
Д'1
4n
m+k
преобразовать к следую-
?i
(1.33)
А

а
где
2
.	.	m+k
dkk-I®------------—
Д'* + /иа 2 Mhm
m+k
dkm^-I®-----------------;
Дгй 4- jaa 2
m+k
E
?k =-------;
Д'* 4- /<ва 2 Mkm
m+k
а — ускоряющий множитель.
Запишем для краткости (1.33) в матричной форме:
(1.34)
где [Д7|—матрица-столбец токов в элементарных контурах, на ко-
торые разбит исследуемый виток; ЦАЦ—матрица размерностью
п/п; ||В[]—матрица-столбец.
С помощью выражения (1.34) запишем итерационный процесс
§ 1.7
Расчет индуктивных параметров на ЭВМ
29
0
0
6
в следующем виде:
11А2|1<₽) = 1^11|1А/!1(₽“1)+1|^||.	о-35)
где р — номер итерации.
Если в качестве нулевой итерации, т. е. (р—1)=0, принять
||A/||«» =
то для р-й итерации получим
11"||и-[|1Ч| + ||л||' + ||л|Г+...+ ||л||<"-"]||в||,
(1.36)
где Ц1Ц — единичная матрица размерностью «ХЩ 1ИН1, |]ЛН!,
.... 1И||р- 1 — матрица ||Л|| в 1, 2,	(р—1)-й степени.
Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму р
членов геометрической прогрессии, первый член и коэффициент кото-
рой соответственно равны ||1|| и ||Л||. С учетом этого для р-й ите-
рации имеем
II". 1Г” = [|| 41 -1Л ||]“' [II1II -IIЛ Ц"] IIВ||.	(1.37)
Из (1.37) видно, что итерационный процесс будет сходиться, если
|| А -> || 0 || ,	(1.38)
где ПОП — нулевая матрица размерности п/п.
Предел, к которому стремится последовательность ||Д7||(₽>, равен
II Ц II [ II1 II- II А II ]-’ II в ||	(1.39)
и представляет собой решение системы уравнений (1.18).
Из физического смысла коэффициентов матрицы ||А|| видно, что
при большом числе элементарных контуров и определенном выборе
ускоряющего множителя а
1^1	|ЛЫ|«1,	(1.40)
т. е. сходимость итерационного процесса будет обеспечена, причем
скорость сходимости при удачном выборе множителя а будет обес-
печена достаточно высокая.
Таким образом, итерационный процесс (1.35) при выполнении
условия (1.38) сходится и сходится к истинному решению системы
уравнений (1.18) со скоростью, зависящей от подбора ускоряющего
множителя а.
Пример 1.6. На рис. 1.15, а изображено поперечное сечение одно-
го из медных проводников симметричной двухпроводной линии со
сложной формой поперечного сечения. Второй проводник линии отно-
сительно плоскости симметрии х=0 на рисунке не показан. Рассчи-
тать индуктивность двухпроводной линии длиной 1 м для угловой
частоты ю=2.103с~1,
30
Катушки индуктивности без сердечников
Гл. 1
Решение. Разделим линию на п=100 элементарных линий.
Точками на рис. 1.15, а отмечены центры элементарных линий, а циф-
рами — их порядковые номера. Результаты расчета токов в ряде про-
дольных сечений линии при x=const приведены иа рис. 1.15,6, при
i/=const —на рис. 1.15,в. Для достижения заданной точности
д/1Р-1>|/|Л21|==0’01
збг;
31 •
86*
37
яг
вг
68 •
67»
м» •>
ZIKI-Л.*
J100
35
30
3?
68
56
1?
1
50 Z0 .. 10 Q
0)
О
%
20
W
о
16
1
п
1Z
7
Z
Рис. 1.15. К расчету на ЭВМ
собственной индуктивности:
а — модель двухпроводной ли-
нии; б — распределение токов в
проводнике вдоль координаты
W, в — то же вдоль координат
ТЫ X
потребовалось 40 итераций. Время счета на ЭВМ ЕС 1033 составило
около 5 мин. Для экономии памяти коэффициенты матрицы ||А|| вы-
числялись на каждой итерации. Если ограничений по оперативной
памяти ЭВМ нет, то коэффициенты матрицы ||А|| могут быть вычис-
лены один раз, а время счета сокращено в десятки раз. В данном при-
мере индуктивность, рассчитанная по (1.23), Lo=O,378-10~а Гн/м.
1.8. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
Расчет собственных и взаимных индуктивностей значительно уп-
рощается, если пренебречь зависимостью магнитного поля токов от
их распределения внутри проводников, что вполне допустимо при рез-
ко выраженном поверхностном эффекте, наблюдаемом для токов вы-
сокой частоты, или при несоизмеримо малых размерах поперечных
§ 2.1	Универсальная модель	31
сечений проводников относительно других размеров. Этот случай для
индуктивных катушек без магнитного сердечника рассмотрен в гл.
2 и 3. Расчет индуктивных параметров выполнен при следующих
основных допущениях:
витки катушки индуктивности плоские (рис. 1.7, а);
каждый плоский виток заменяется контуром 1 на оси витка и кон-
туром 2 по следу витка на каркасе (рис. 1.7,6);
магнитное поле катушки индуктивности определяется током во
всех контурах /;
потокосцепление катушки определяется совокупностью магнитных
линий, охваченных всеми контурами 2 (рис. 1.7,а);
собственная индуктивность катушки определяется отношением ее
собственного потокосцепления к току в ней;
взаимная индуктивность определяется отношением потокосцепле-
ния одной катушки индуктивности к току в другой катушке ин-
дуктивности, создающему магнитное поле.
ГЛАВА ВТОРАЯ
СОБСТВЕННАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КАТУШЕК
БЕЗ МАГНИТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ
2.1.	УНИВЕРСАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
В основе расчета собственных индуктивностей одиночных витков
и различных типов катушек без сердечника лежит расчет потокосцеп-
ления, создаваемого протекающими „по ним токами. Рассмотрим ме-
тодику расчета собственных индуктивностей цилиндрической одно-
слойной катушки и кругового витка. Методика расчета других типов
катушек и одиночных витков аналогична.
На рис. 2.1 представлен круговой контур 1 радиусом и. Вдоль
оси симметрии контура расположен цилиндрический немагнитный кар-
кас 2 радиусом г2. Если по контуру 1 протекает ток i, то, воспользо-
вавшись (1.9), с учетом условий задачи (см. пример 1.2), определим
магнитный поток в поперечном сечении каркаса на высоте h от плос-
кости контура 1:
<2-0
у /i2 + rf + <2 — r2 СОЗф
где <р=ф1—<р2.
Зная закон распределения магнитного потока Ф(Н)г1гг в карка-
се, определяем индуктивность намотанной на нем проводом диамет-
ром ап однослойной катушки длиной /, с шагом ht и числом витков
w=l/h2. Заменяя витки катушки плоскими витками (см. рис. 1.7, а),
полагая ri = r2+dn/2 и используя формулу (1.15), в которой опера-
ция суммирования по току заменена операцией суммирования по
32
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
виткам, получаем
W 01 П
L <hz)ldar2 =	J
1n=!i о
_____________Но Г2 (Г2 +___________
]/" h22(m — k)2 + 4- dn/2)2 + 4 —
4~dn/2)costpd<p
—2r2 (r2 + dn/2) cos ф
(2.2)
где k, m — порядковые номера витков.
Рис. 2.1. Универсальная геометрическая Рис. 2.2. Геометрическая
модель для расчета собственных индук- модель дисковой катуш-
тивностей круговых витков и цилиндри-	ки
ческих катушек
Пример программы расчета собственной индуктивности одно-
слойной цилиндрической катушки на ЭВМ приведен в приложении 1.
При w=l формула '(2.2) определяет индуктивность кругового
витка
Ч^=ф(ои//
(2.3)
Чтобы упростить представление справочного материала, запишем
J2.2) в виде
Но
2
X
Индуктивность плоских витков
33
Г______________(1 + Оп/2) cos <р d<p__________
8 К- ^)2+ (1 + °и/2Г + 1-2(1+ £>п/2) cos ф’
(2+)
где 11)—Л/Нг\ Л=1/гг, H2=h2/r2, Da = dalr2— число витков и геомет-
рические размеры модели однослойной катушки.
Изложенная методика позволяет рассчитывать индуктивность
и других типов катушек, например спиральной катушки (рис. 2.2),
имеющей ширину каркаса I, внутренний радиус каркаса г, шаг h2
и число витков w=l/h2, намотанных проводом диаметром dB. Пред-
ставив витки катушки в виде соосно расположенных круговых вит-
ков, показанных на рисунке штриховой линией, и трансформировав
формулу (2.2) для данного случая, получим индуктивность спираль-
ной катушки:
И)—1 tg—1 л
V У [ г	. (2-5)
ЛИЯ J у г\ + rL — 2r . Г COS ф
й=0 m=o 0 r 1/1 1	ik Zm
где Г1и=г+й£й-|-/12/2 и r2m—r+h2m+(h2—d„)/2— средний и внутрен-
ний радиусы круговых витков; k и m — порядковые номера витков,
причем номер наименьшего по диаметру витка принят за нулевой.
Комбинация моделей однослойной цилиндрической и спиральной
катушек позволяет создать модель многослойной цилиндрической ка-
тушки.
Описанная методика пригодна для расчета собственной индук-
тивности плоских витков, а также однослойных и многослойных ка-
тушек различных форм.
2.2.	ИНДУКТИВНОСТЬ плоских ВИТКОВ
В данном параграфе приведены соотношения, номограммы и таб-
лицы для расчета собственных индуктивностей кругового, прямоуголь-
ного и равностороннего треугольного плоских витков, а также двух-
проводной линии, являющейся частным случаем прямоугольного
витка.
Плоские витки в форме правильных многоугольников с числом
сторон п^5 близки по своим свойствам к вписанным в них плоским
круговым виткам и не рассматриваются.
2.2.1.	Круговой виток
Индуктивность кругового витка с внутренним радиусом г2 и диа-
метром провода da (рис. 2.3, а)
л
т .. с	(г2 + rfn/2) Г2 COS ф </ф
ь — I	„...... ........................
{ V С2 + ^и/2)2 + .'2-2г2(г2 + г1п/2)С08ф
(2.6)
34
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
или
L f	(1 +Dn/2)cos(pdq>
— = Но | г.	.. --------
r* J У(1 +Dn/2)«+l-2(1+Dn/2)cost
о
где Dn=dn/r2«
(2.7)
Рис. 2.3. Зависимость собственной индуктивности кругового витка от
его геометрических размеров:
a-d /rj-O-i-0 05; б — d /rj-0,05+0,3
Индуктивность плоских витков
35
На рис. 2.3 приведена характеристика индуктивности кругового
витка. Для удобства отдельные участки характеристики построены
в различных масштабах.
Пример 2.1. Круговой виток имеет внутренний радиус г2=
= 15 мм=0,015 м и выполнен из провода диаметром dn=0,45 мм.
Определить индуктивность витка.
Решение. Для значения dn/rn=0,45/15=0,03 по кривой на
рис. 2.3, а (точка а) находим £//2=5,42 мкГн/м и индуктивность
кругового витка
L = г2-5,42 = 0,015-5,42 = 0,0813 мкГн = 81,3 нГн. (2.8)
2.2.2.	Прямоугольный виток
Индуктивность прямоугольного витка, расположенного на кар-
касе со сторонами 2Ь2Х263 (рис. 2.4),
Ьг+Ча/2 Ь,
У х
р=±1 xt=0 xt——h,
________________________________р dxl dx2_______________________
X /•____________________________
V (Xj. - х2)? + (6Э - р&з -НП/2Я
W2 &.
Рис. 2.4. Геометричес-
кая модель прямо-
угольного плоского
витка
1/1=0 Уг=-Ь,
_________Р dyt dy2____
Viyi-yzY + ^-pbz + dnW
Результаты расчетов по (2.9) приведены в табл. 2.1.
Пример 2.2. Прямоугольный виток (рис. 2.4) расположен на
каркасе со сторонами 2&2Х263=ЗОХ6О мм=0,03Х0,06 м. Диаметр
провода dn=0,45 мм. Определить индуктивность витка.
Решение. Для значений 63/62=ЗО/15=2 и dn/62=0,45/15=
= 0,03 по табл. 2.1 определяем L/62=ll,8 мкГн/м, т.е.
L = 62-11,8 = 0,015-11,8 = 0,177 мкГн = 177 нГн.
2.2.3.	Равносторонний треугольный виток
Индуктивность треугольного витка, расположенного на каркасе
с равными сторнами b (рис. 2,5),
L =
(ft +/3dn)/2
З.цо	С
2л	,)
*i=0
Ы2
С (
3*
Таблица 2.L Индуктивность прямоугольного плоского витка (рис. 2.4),
отнесенная к геометрическому размеру L/b* мкГн/м
ь,																	
	0,005	0,01	0,015	0,02	0,025	0,03	0,035 | 0,04		0,05	0,06	0,08	0,1	| 0.14	0,18	0,22	0,26	0.3
1	13,3	10,1	8,73	7,94	7,4	7	6.68	6,41	5,99	5,66	5,19	4,84	4,35	4	3,72	3,5	3,31
1,2	15,3	11.5	9,93	9.01	8,38	7,92	7,56	7,25	6,77	6,4	5,86	5,47	4,92	4,53	4,23	3,98	3,77
1.4	17,3	13,2	11,2	10,1	9,39	8,86	8,45	8,11	. 7.57	7,15	6,54	6,1	5,49	5,06	4,72	4,45	4,22
1.6	19,5	14,6	12,5	11,2	10,4	9,83	9,36	8,97	8,37	7,91	7,23	6,74	6,06	5,58	5,21	4,91	4,66
1.8	21.7	16,3	13,8	12,4	11,5	10.8	10,3	9,85	9,19	8,67	7,92	7,38	6,62	6,1	5,7	5,37	5,1
2	23,9	18	15,2	13,7	12,6	11,8	11,2	10,7	10	9,44	8,62	8.02	7,19	6,62	6,18	5,83	5,53
2,2	26,1	19,8	16,7	14,9	13,7	12,9	12,2	11,7	10,8	10,2	9,32	8,67	7,77	77,14	6,67	6,29	5,97
2.4	28,4	21,6	18,2	16,2	14,9	13,9	13,2	12,6	11,7	11	10	9,33	8,34	7,66	7,15	6,74	6,4
2.6	30.6	23,5	19,8	17,6	16,1	15,1	14,2	13,6	12,6	11,8	10,7	9,99	8,93	8,19	7,64	7,2	6,84
2.8	32,8	25.5	21,4	19	17,4	16,2	15,3	14,6	13,4	12,6	11,5	10,6	9,52	8,72	8,13	7,66	7,27
3	35	27,5	23,1	20,4	18,7	17,4	16,4	15.6	14,4	13,5	12,2	11,3	10,1	9,26	8,62	8,12	7.71
3,2	37,1	29,5	24.8	21,9	20	18,6	17,5	16,6	15.3	14,3	13	12	10,7	9,8	9,12	8,58	8,14
3.4	39,2	31,6	26,6	23,4	21,3	19,8	18,6	17,7	16,2	15,2	13,7	12,7	11,3	10,3	9,62	9,05	8,58
3,6	41.4	33,7	28,3	25	22,7	21	19,8	18,7	17,2	16,1	14,5	13,4	11,9	10,9	10,1	9,51	9,02
3.8	43,5	35.8	30,2	26,6	24,1	22,3	20,9	19.8	18.2	17	15,3	14,1	12,5	11.4	10,6	9,98	9.46
4	45,5	37,9	32	28,2	25,6	23,6	22,2	21	19,2	17,9	16	14,8	13,1	12	11.1	10,4	9,9
Собственная индуктивность катушек
Р
ьэ
§ 2.2
Индуктивность плоских витков
37
......	...... 	-----------dxt . (2.10)
-у/(х1-х2)«+((~-|хг|)/з + -~У
Результаты расчетов по (2.10) приведены на рис. 2.5.
Пример 2.3. Треугольный виток расположен на каркасе с равны-
ми сторонами 5=20 мм = 0,02 м (рис, 2.5). Диаметр пройода dn =
= 0,3 мм. Определить индуктивность витка.
Рис. 2.5. Зависимость собственной индуктивности равностороннего
треугольного витка от его геометрических размеров
Решение. Для значения da/b=0,3/20=0,015 по характери-
стике на рис. 2,5 (точка а) находим 1/6 = 2,3 мкГн/м, тогда индук-
тивность равностороннего треугольного витка
1=6.2,3 = 0,02-2,3 = 0,046 мкГн = 46 вГн.
2.2.4.	Двухпроводная линия
Индуктивность двухпроводной линии (рис. 2.6) на единицу
длины
t=A-l	(2.11)
где 26 — расстояние между осями проводников.
На рис. 2.6 приведена кривая индуктивности двухпроводной ли-
нии, приходящейся на 1 м длины.
Пример 2.4. Двухпроводная линия (рис. 2.6) имеет расстояние
38
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
между осями проводов 26 = 30 мм. Диаметр проводов dn=l,5 мм.
Определить индуктивность линии, приходящуюся на 1 м длины.
Решение. Для значения dn/26 = 1,5/30 = 0,05 по кривой на
рис. 2.6 (точка а) определяем 1=1,47 мкГн/м.
Рис. 2.6. Зависимость собственной индуктивности двухпроводной ли-
нии на единицу длины от ее геометрических размеров
w/wjvm
2.3.	ИНДУКТИВНОСТЬ ОДНОСЛОЙНЫХ КАТУШЕК
В параграфе приведены соотношения, номограмы и таблицы для
расчета собственных индуктивностей однослойных цилиндрических
и кольцевых катушек, а также катушек на каркасах с прямоуголь-
ным и равносторонним треугольным поперечными сечениями. Ка-
тушки с поперечным сечением в виде правильных многоугольников
с числом сторон п>5 близки по своим свойствам к вписанным в них
цилиндрическим катушкам и здесь не рассматриваются.
2.3.1.	Цилиндрическая катушка
Индуктивность однослойной цилиндрической катушки (рис. 2.7)
с радиусом каркаса г2, длиной I, шагом намотки h2, диаметром про-
вода dn и числом витков w = l!hi
X ra cos Ф dtp
— 2r2 (''а + dn/2) cos <р
(2.12)
§ 2.3
Индуктивность однослойных катушек
39
где k,m — порядковые номера витков.
Формулу (2.12) можно представить в виде
L
Г2
М2
I /
Но
X
W л
k=l m=l О
_____________(1 + £>д/2) cos <p dtp____
V[Иг (m - fe)]?+ (1 + Dn/2)2 +1-2(1+ Dn/2) cos <p
(2.13)
где w—JI/Ht', JI=l/r<i\ H2=h2/r2 и Оа=да/гг — число витков и гео-
метрические размеры модели катушки.
Рис. 2.7. Геометрическая мо-
дель однослойной цилиндри-
ческой катушки
Результаты расчетов по (2.13) приведены на рис. 2.8 и 2.9:
сплошные линии при dn/r2=0,01 и 0,1; штриховые и штрихпунктир-
ные линии — при dn/r2=0,05; 0,1 и 0,2; 0,3.
Пример 2.5. На цилиндрическом каркасе (см. рис. 2.7) радиу-
сом г2=4 мм = 0,004 м и длиной /=12 мм намотана однослойная ка-
тушка с шагом hi —2 мм. Диаметр провода dn = 0,4 мм. Определить
индуктивность цилиндрической катушки.
Решение. Для геометрических размеров dn/r2=0,4/4 = 0,l,
й2/г2=2/4 = 0,5 и//г2= 12/4=3 по кривой на рис. 2.9 (точка а) находим
L/i2/r2/2 = l,15 мкГн/м, откуда индуктивность однослойной цилиндри-
ческой катушки
L = r2 (l/h2y 1,15 = 0,004 (12/2)2 1,15 = 0,166 мкГи = 166 нГн.
2.3.2.	Катушка прямоугольного сечения
Индуктивность однослойной катушки длиной I, с шагом намот-
ки Л2, числом витков w = llh2 и диаметром провода dn, намотанной
на прямоугольном каркасе со сторонами 2&гХ263 (рис, 2.10),
. Но
л
fc=l m=l P=±l *1=0	х„=—ba
________р dxt dx2_____
V (Х1-Х/ + (63-Р6з +
b3+V2 ь,
__________________f f P dt/i dy2
+ ^/2)’ + Й<™-4>’ „Д K(9,-S2)! +
40
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
мкГн/м
§ 2.3	Индуктивность однослойных катушек	41
42
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
+	“ РЬ2 + dn/2)2 + h2 (m - k¥
(2.14)
Результаты расчета по (2.14) приведены в табл. 2.2 и аналогич-
ны, одноименным зависимостям цилиндрической катушки (рис. 2.8
Рис. 2.10. Геометрическая мо-
дель однослойной катушки о
прямоугольным каркасом
Пример 2.6. На прямоугольном каркасе (рис. 2.10) со сторона-
ми 2&2=8 мм=0,008 м, 2&3=12,8 мм и длиной /=12 мм намотана
однослойная катушка с шагом Л2=2 мм. Диаметр провода da=
= 0,4 мм. Определить индуктивность катушки.
Решение. Для геометрических размеров 63/&2=6,4/4 = 1,6,
й2/Ь2=2/4=0>5, Z/b2= 12/4=3 и dn/b2=O,4/4=0,1 по табл. 2.2 опре-
деляем Lh22l(b2l2) = 2,\^ mkYhIm, т. е. индуктивность однослойной ка-
тушки прямоугольного сечения
L= й2(///12)22,14 = 0,004(12/2)22,14 = 0,308 мкГн = 308 нГн.
2.3.3.	Катушка равностороннего треугольного сечения
Индуктивность однослойной катушки длиной I, с шагом намот-
ки h2, числом витков w=l/h2 и диаметром провода dn, расположен-
ной на равностороннем треугольном каркасе со стороной b (рис,
2.11),
___________1
Пч- 4! + (v2)!+’
1 ___________________________1___________________
+- ‘)2 -|/(Л -+((-i - Гз++
Z?..	1	) dx2 dx2,	(2.15)
+ hl (m — kf j
Результаты расчетов по (2.15) приведены на рис. 2.11: сплош-
ной линией — для dn/6=0,01; штриховой линией — для dn/b=O,l.
§ 2.3
Индуктивность однослойных катушек
43
Рис. 2.11. Зависимости собственной индуктивности однослойной ка-
тушки с равносторонним треугольным сечением от ее геометрических
размеров при dn/6 = 0,01
44
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
Таблица 2.2. Индуктивность однослойной катушки
отнесенная к ее геометрическим
А. ъ,	-о	А- Ьг	иь.						
			0,5	1	1,5	2	3	4	
1	0,01	0,1 0,3 0,5	4,51	3,03 4,92	2,34 3,35 4,51	1,92 2,9 3,54	1,42 1,92 2,49	1,13 1,53 1,93	
	0,1	0,1 0,3 0,5	3,22	2,4 2,81	1,94 2,09 2,39	1,63 1,86 1,96	1,23 1,3 1,44	0,992 1,06 1,15	
1,3	0,01	0,1 0,3 0,5	5,47	3,71 5,99	2,89 4,1 5,5	2,39 3,57 4,33	1,78 2,38 3,07	1,42 1,91 2,38	
	0,1	0,1 0.3 0,5	3,9	2,95 3,42	2,4 2,58 2,93	2,02 2,3 2,41	1,55 1,63 1,8	1,25 1,34 1,43	
1,6	0,01	0,1 0,3 0,5	6,44	4,39 7,07	3,44 4,87 6,51	2,85 4,24 5,14	2,14 2,84 3,65	1,72 2,29 2,85	
	0,1	0,1 0,3 0,5	4,57	3,48 4,02	2,85 3,05 3,45	2,42 2,74 2,86	1,86 1,95 2,14	1,51 1,61 1,72	
1,9	0,01	0,1 0,3 0,5	7,43	5,08 8,19	3,99 5,65 7,53	3,31 4,93 5,97	2,5 3,32 4(26	2,01 2,68 3,32	
	0,1	0,1 0,3 0,5	5,24	4,01 4,63	3,29 3,53 3,96	2,8 3,17 3,31	2,17 2,28 2,49	1,77 1,88 2	
2,2	0,01	0,1 0,3 0,5	8,44	5,77 9,35	4,54 6,45 8,63	3,78 5,63 6,83	2,85 3,8 4,87	2,3 3,07 3,81	
	0,1	9,1 0,3 0,5	5,92	4,54 5,24	3,73 4,01 4,52	3,18 3,6 3,76	2,47 2,6 2,84	2,02 2,15 2,29	
§ 2.3
Индуктивность однослойных катушек
45
прямоугольного сечения (рис. 2.10),
размерам Lh^ibzl2), мкГн/м
	1 5	6	1 7	8	1 ’0	1 12	1 14	1 16	| 20
	0,939	0,803	0,701	0,622	0,508	0,429	0,371	0,327	0,264
	1,28	1,05	0,924	0,826	0,662	0,552	0,483	0,422	0,341
	1,58	1,33	1,15	1,02	0,826	0,694	0,598	0,526	0,423
	0,83	0,713	0,625	0,556	0,455	0,386	0,334	0,295	0,239
	0,901	0,747	0,662	0,594	0,48	0,402	0,353	0,309	0,251
	0,954	0,815	0,712	0,632	0,516	0,436	0,377	0,332	0,269
	1,19	1,02	0,892	0,793	0,649	0,55	0,476	0,42	0,34
	1,60	1,31	1,16	1,04	0,835	0,697	0,611	0,534	0,433
	1,95	1,66	1,44	1,27	1,03	0,867	0,748	0,658	0,53
	1,05	0,909	0,799	0,712	0,585	0,496	0,431	0,381	0,309
	1,14	0,949	0,843	0,758	0,614	0,516	0,453	0,398	0,323
	1,2	1,03	0,899	0,8	0,655	0,554	0,48	0,424	0,343
	1,44	1,23	1,08	0,964	0,791	0,67	0,581	0,513	0,416
	1,92	1,58	1,4	1,25	1,01	0,845	0,741	0,648	0,526
	2,34	1,98	1,72	1,52	1,24	1,04	0,902	0,794	0,64
	1,27	1,1	0,97	0,866	0,713	0,606	0,527	0,466	0,378
	1,37	1,15	1,02	0,92	0,747	0,628	0,553	0,485	0,395
	1,44	1,24	1,08	0,967	0,793	0,672	0,583	0,515	0,418
	1,68	1,45	1,27	1,13	0,932	0,791	0,686	0,607	0,492
	2,25	1,86	1,64	1,47	1,18	0,994	0,872	0,763	0,62
	2,73	2,32	2,02	1,79	1,45	1,22	1,06	0,932	0,752
	1,49	1,29	1,14	1,02	0,84	0,715	0,622	0,551	0,448
	1,61	1,34	1,20	1,08	0,879	0,741	0,653	0,513	0,467
	1,68	1,45	1,27	1,13	0,932	0,791	0,681	0,607	0,493
	1,93	1,66	1,46	1,3	1,97	0,912	0,792	0,7	0,569
	2,58	2,13	1,89	1,69	1,36	1,14	1	0,881	0,715
	3,14	2,67	2,32	2,05	1,67	1,41	1,22	1,07	0,867
	1 71	1,48	1,31	1,17	1,06	0,967	05824	0,717	0,517
	1,84	1,54	1,38	1,24	1,01	0,854	0,753	0,661	0,54
	1,92	1,66	1,46	1,3	1,07	0,911	0s791	0,7	0,568
46
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
Ъ,	dn Ь,	ft,	l/b.						
			0,5	1	1,5	2	3	4	
2,5	0,01	0,1 0,3 0,5	9,47	6,48 10,5	5,1 7,27 9,74	4,25 6,35 7,71	3,21 4,29 5,51	2,6 3,47 4,31	
	0,1	0,1 0,3 0,5	6,6	5,07 5,87	4,18 4,49 5,08	3,57 4,05 4,22	2,77 2,92 3,2	2,27 2,43 2,58	
Рис. 2.12. Геометрическая модель
однослойной кольцевой катушки
прямоугольного сечения
Пример 2.7. На равносто-
роннем треугольном каркасе
(рис. 2.11) со стороной Ь=
= 20 мм=0,02 м намотана од-
нослойная катушка длиной
/=30 мм и шагом Л2=2 мм.
Диаметр провода dn=0,2 мм.
Определить индуктивность ка-
тушки.
Решение. Для геометри-
ческих размеров dn/6=0,2/20 =
= 0,01, Ла/6=2/20=0,1 и 1/6 =
= 30/20=1,5 по кривой на рис.
2.11 (точка а) находим Lh‘1lbl'1=
=0,39 мкГн/м, откуда
Г = 6(1/62)2 -0,39 =
= 0,02 (30/2)2-0,39 =
= 1,755 мкГн = 1755 нГн.
2.3.4.	Кольцевая катушка прямоугольного сечения
Индуктивность кольцевой катущки прямоугольного поперечного
сечения со сторонами 26аХ263, шагом намотки h2, диаметром прово-
да da и внутренним радиусом г (рис. 2.12)
L=-^
2л
_________Р dyi dy2_______
]f (г/1_^)2 + (г + 2г’з +
: ' -----------------------------------------------------+
d	\	\2
4—— —('• + (₽+ 1) Mcosaj Ч-((< + (р4-1)&3)sinа)2
§ 2.3
Индуктивность однослойных катушек
47
Продолжение табл. 2 2
	6	6	7	8	10	12	14	16	20
	2,18	1,88	1,65	1,48	1,21	1,03	0,898	0,795	0,645
	2,92	2,41	2,14	1,92	1,55	1,3	1,14	1	0,813
	3,55	3,02	2,63	2,33	1,89	1,6	1,38	1,22	0,985
	1,93	1,67	1,48	1,32	1,09	0,932	0,812	0,72	0,586
	2,08	1.74	1,55	1,4	1,14	0,967	0,853	0,75	0,612
	2,17	1,87	1,65	1,47	1,21	1,03	0,897	0,794	0,645
pdyxdy,2
dn
2
+ ((< — (Р — 1) &3)sin сс)?
где а=2л(т—1)ш— угол между первым витком, принятым за на-
чало отсчета, и m-м витком; w=2nr/h2 — число витков.
Результаты расчетов по (2.16) приведены в табл. 2.3 при
= 0,03 и на рис. 2.13 при ifn/62=0,03 и г/Ь2 = &. При увеличении диа-
метра провода до dn/62=0,l (уменьшении до dn/&2=0,01) и не-
изменных размерах 62, b3, h2, г данные табл. 2.3 следует уменьшить
(увеличить) приблизительно на 10 %.
Пример 2.8. Однослойная кольцевая катушка (рис. 2.12) имеет
прямоугольное сечение со сторонами 262=8 мм=0,008 м, 263 =
= 12,8 мм, шаг намотки й2=0,8 мм и внутренний радиус г=8 мм.
Определить индуктивность катушки, если диаметр провода dn=0,12
и 0,4 мм.
Решение. Для геометрических размеров &з/&2=6,4/4=1,6,
г/Ь2=8/4 = 2, /г2/&2=0,8/4=0,2 и числа витков га» = 2лг//г2=2л-8/0,8=
= 63 по табл. 2.3 при dn/b2=O, 12/4=0,03 находим Ь/(&2ш2) =0,418
мкГн/м, откуда Ь = Ь2аа2-0,418=0,004-632-0,418=6,65 мкГн = 6650 нГн;
Таблица 2.3. Индуктивность однослойной кольцевой катушки прямоугольного сечения (рис. 2.12)',
отнесенная к геометрическим размерам L/(62®2), мкГн/м, при dn/b2=0,03
Г Ьг	fe,	ьа/ьг										
		0,3	0,4	0,5	0.7	1	1.3	1,6	1,9	2.2	2,5	2,8
	0,1	0,203	0,251	0,294	0,367	0,456	0,527	0,588	0,642	0,690	0,735	0,777
1	0,2	0,235	0,286	0,333	0,415	0,518	0,606	0,684	0,757	0,826	0,893	0,958
	0,3	0,283	0,342	0,395	0,490	0,613	0,722	0,823	0,919	1,014	1,108	1,202
	0,1	0,142	0,179	0,212	0,270	0,342	0,401	0,452	0,496	0,536	0,573	0,607
1,5	0,2	0,162	0,201	0,236	0,299	0,379	0,448	0,510	0,566	0,619	0,669	0,718
	0,3	0,189	0,231	0,269	0,338	0,429	0,5-10	0,583	0,653	0,720	0,785	0,851
	0,1	0,111	0,14	0,167	0,216	0,278	0,33	0,375	0,414	0,45	0,482	0,512
2	0,2	0,126	0,157	0,186	0,239	0,307	0,366	0,418	0,467	0,511	0,554	0,594
	0,3	0,146	0,179	0,211	0,268	0,343	0,411	0,472	0,53	0,585	0,639	0,691
	0,1	0,09	0,115	0,138	0,180	0,234	0,280	0,321	0,357	0,389	0,419	0,446
2,5	0,2	0,102	0,128	0,153	0,197	0,256	0,308	0,354	0,396	0,436	0,473	0,509
	0,3	О', 117	0,144	0,17	0,218	0,282	0,339	0,392	0,441	0,488	0,534	0,578
Собственная индуктивность катушек	Гл. 2
	1	I	1							1	1	
	0,1	0,076	0,098	0,118	0,155	0,204	0,246	0,283	0,316	0,346	0,374	0,4
3	0,2	0,086	0,108	0,129	0,169	0,221 	0,267	0,308	0,347	0,382	0,416	0,448
	0,3	0,099	0,123	0,145	0,188	0,245	0,296	0,343	0,388	0,43	0,471	0,51
	0,1	0,066	0,085	0,103	0,137	0,181	0,22	0,254	0,285	0,313	0,339	0,363
3,5	0,2	0,075	0,095	0,113	0,149	0,196	0,238	0,276	0,312	0,345	0,376	0,405
	0,3	0,085	0,105	0,125	0,162	0,213	0,259	0,301	0,341	0,379	0,416	0,451
	0,1	0,059	0,075	0,092	0,122	0,162	0,198	0,23	0,259	0,285	0,31	0,332
4	0,2	0,066	0,083	0,1	0,132	0,175	0,214	0,249	0,282	0,321	0,341	0,368
	0,3	0,075	0,094	0,111	0,145	0,191	0,232	0,272	0,309	0,344	0,378	0,411
	0,1	0,047	0,061	0,075	0.1	0,135	0,166	0,194	0,22	0,244	0,266	0,287
5	0,2	0,053	0,067	0,081	0,108	0,144	0,177	0,208	0,237	0,263	0,289	0,313
	0,3	0,060	0,076	0,090	0,118	0,157	0,193	0,227	0,259	0,289	0,319	0,347
j§ 2.3	Индуктивность однослойных катушек
50
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
при dn/b2=0,4/4=0,1 индуктивность катушки меньше, чем в преды-
дущем случае, приблизительно на 10 %, т. е.
/.« 0,9-6650 = 6000 нГн.
Рис. 2.13. Собственная индуктивность однослойной кольцевой катуш-
ки прямоугольного сечения при r/b2—Q и dn/b2=0,03
2.3.5.	Кольцевая катушка кругового сечения
Индуктивность однослойной кольцевой катушки кругового сече-
ния с радиусом г2, внутренним радиусом г, средним радиусом го=
*=г + г2, диаметром провода dn и шагом намотки й2 (рис. 2.14)
w 2л л	___________________
 Но ш f C r2 (r2 +^n/2) T^cos2 <P2 + c°s2 a sin2 Фа
a
2л
m=l <Pi=0 <р2=0
X cos(<pf — arctg(fg<p3cosa)) , r
-♦-----------------------------—— acpj a(p2»
(2.17)
где a — у sin2 и (r2 cos <p2 — /-J2 + r2 (cos2 tf2 cos2 a + sin2 <p2) +
§ 2.4
Индуктивность спиральных катушек
51
+ ('2 + V2)2 + (1 - cos а)2 - 2 (г, + dn/2) r0 (1 -
— cos а) cos <Pi — 2r2 У(cos2 <р2 cos2 а + sin? tp2) ((r2 + ЛП/2)2. -f-
+ rg(l — cosa)2 —2 (г2+</п/2) (1 — cos a) rQ cos Фд) X
X cos
________(r3 + da/2) sin <pt____
(r3 4- dn/2) cos <Pi — r0 (1 — cosa)
— arctg -----
cos
a=2n(m—l)/w — угол между первым витком, принятым за нача-
ло отсчета, и m-м витком.
Приближенно можно считать, что
индуктивность кольцевой катушки кру-
гового сечения радиусом гг в 1,3 раза,
меньше индуктивности кольцевой катуш-
ки квадратного сечения (см. рис. 2.12)
со стороной 2&2=263=2г2 при равенстве
одноименных геометрических параметров
h2, dn, г.
Пример 2.9. На кольцевом каркасе
кругового сечения (рис. 2.14) радиусом
г2=4мм и внутренним радиусом г=8мм
намотана проводом диаметром dn=0,12
мм однослойная катушка с шагом Л2 =
=0,8 мм. Определить приближенное зна-
чение индуктивности катушки.
Решение. Найдем индуктивность
кольцевой катушки квадратного сечения
(см. рис. 2.12), стороны которого равны
2&2=2Ь3=2г2=8 мм. Геометрические раз-
меры г, h2 и dn такой катушки совпада-
ют с одноименными размерами кольце-
Рис. 2.14. Геометричес-
кая модель однослойной
кольцевой катушки кру-
гового сечения
вой катушки кругового сечения.
Для Ьз/Ьг = 4/4 = 1, r/bi = г/г2 = 8/4 = 2, Л2/&2 = Л2/г2=0,8/4=0,2
и dn/&2 = dnlrs = 0,12/4 = 0,03 по табл. 2.3 находим Ll(b2w2) =
=0,307мкГн/м, откуда
L = b2 да2-0,307 = 0,004-63?-0,307 = 4,86 мкГн = 4860 нГн,
где да=2лг/Л2=2л8/0,8=63.
Индуктивность кольцевой катушки кругового сечения меньше
найденного значения приблизительно в 1,3 раза, т. е, L»4860/l,3=
= 3750 нГн.
2.4.	ИНДУКТИВНОСТЬ СПИРАЛЬНЫХ КАТУШЕК
В параграфе приведены соотношения, номограммы и таблицы
для расчета собственных индуктивностей спиральных катушек с кру-
4*
62
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
Рис. 2.15. Геометрическая
модель однослойной спи-
ральной катушки с круго-
выми витками
говыми, прямоугольными и равно-
сторонними треугольными витками.
Спиральные катушки с формой вит-
ков, близкой к правильным много-
угольникам с числом сторон п^5,
близки по своим свойствам к вписан-
ным в них спиральным катушкам с
круговыми витками и здесь не рас-
сматриваются.
2.4.1. Спиральная катушка с
круговыми витками
Индуктивность спиральной ка-
тушки с круговыми витками (рис.
2.15), имеющей шаг намотки h2, диа-
метр провода du, число витков w и
ширину каркаса l=h2w (см. рис. 2.2),
L = |a0
(r2Tftfn 4~^п/2+^2ОТ)(r2min +______
V*"(r2mln 4" da/2 4- Л2 /и)? 4* (r2min 4" fi2k)2—
4- h2 k) cos <p d<p
— 2 (r2min 4- dn/2 4- h2 m) (r2min 4- h2 k) cos <p ’
(2.18)
где r2min — внутренний радиус минимального витка катушки; k, tn —
порядковые номера витков катушки, причем первый внутренний ви-
ток принят за нулевой.
Формулу (2.18) можно представить в виде
L
r2mtn
h2\*_ L
( /	Г27П1Т1 w3
w2
oi—l os—1 л
fe=O m«=0 0
(14-Рп/2 4-Яат)(14-
К(14-ад34-(14-Оп/24-Яг"02-
4- Н2 k) cos <p 
— 2(1 4-ЯгЛ)(1 4-Оп/2 4-/72т)созф ’
(2.19)
где W — JllHi\ Jl = tlrimln-, Hi = hilrimln‘, D^dn/Timir, — число витков
и геометрические размеры модели катушки,
Результаты расчета по (2.19) приведены на рис. 2.16, 2.17э
сплошные линии — для dn/r2m!n=0,01 и 0,1; штриховые линии —
для dn/r2mzn=0,05 и 0,2.
Пример 2.10. Спиральная катушка с круговыми витками намо-
тана проводом диаметром dn=0,l мм, имеет шаг намотки Лг=1 мм
и содержит w—10 витков (см. рис. 2.15). Определить индуктивность
§ 2.4
Индуктивность спиральных катушек
53
катушки, если внутренний радиус ее наименьшего витка rzmin=
<=10 мм=0,01 м.
Решение. По кривой на рис. 2.16 (точка а) для значений
£Уп//'2^1/п = 0,1/10 = 0,01,	1/10 = 0,1 И 1/Ггт!п~ [whs/Tsmin) —
= (10-1)/10=1 находим Lh^l(r^tainl2) =3,96 мкГн/м, откуда
Рис, 2.16. Зависимость собственной индуктивности спиральной ка-
тушки по рис. 2.15 от ее геометрических размеров при dn/r2mtn=0,01
64
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
Z. = r2min (Z//i2)2-3,96 = 0,01 (10/1 )2-3,96 = 3,96 мкГн = 3960 нГн.
2.4.2. Спиральная катушка с прямоугольными витками
Индуктивность спиральной катушки с прямоугольными витка-
ми, имеющей шаг намотки h^, диаметр провода cZn, число витков и>
§ 2.4
Индуктивность спиральных катушек
55
и ширину каркаса l=h2w (рис. 2.18).
L =
b,+mht
xt=—bt—mht
р dXj dx2
У ......	-----	+ f X
/	da \? J
+ Рз — pb3 +(m — pk)h2 — p — \
ES &a+mft»
x J _______________________________P dyr dy2__________________
уг=-Ь.-тЬг рЛ _ у	_ pb* + (m _ pky h^_p _d^_ j
(2.20)
где 2&2, 2&3 — внутренние стороны минимального витка.
Рис. 2.18. Геометричес-
кая модель спиральной
катушки с прямоуголь-
ными витками
Рис. 2.19. Геометри-
ческая модель спи-
ральной катушки о
равносторонними
треугольными витка-
ми
Результаты расчетов по (2.20) приведены в табл. 2.4 и анало-
гичны одноименным зависимостям для кольцевой катушки с кру-
говыми витками (рис. 2.16 и 2.17).
Пример 2.11. Спиральная катушка с прямоугольными витками
(рис. 2.18) намотана проводом диаметром dn=0,05 мм, имеет Шаг
намотки ft2=0,5 мм и содержит ш=10 витков. Определить индук-
тивность катушки, если внутренние стороны наименьшего прямо-
угольного витка 262=10 мм=0,01 м и 263=2О мм=0,02 м.
Решение. Для геометрических размеров 63/62=Ю/2=2,
56
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
Таблица 2.4. Индуктивность спиральной катушки
с прямоугольными витками (рис. 2.18), отнесенная к геометрическим
размерам Lft|/(62/2), мкГн/м
ь.		Л.	1/Ь2>1						
ь,		&>	1	| 1,5	2	2,5	3	4	5
		0,1	5,1	5,1	5,3	5,6	6,0	6,7	7,5
	0,01	0,2	6,2	6,0	6,1	6,4	6,8	7,4	8,2
1		0,3	7,4	6,9	7	7,2	7,6	8,2	9
									
		0,1	4,3	4,5	4,7	5	5,4	6,1	6,9
									
	0,1	0,2	4,4	4,6	4,8	5,1	5,5	6,2	7
		0,3	4,6	4,7	5	5,2	5,6	6,3	7,7
		0,1	6,5	6,2	6,4	6,6	6,9	7,6	8,4
	0,01	0,2	?,6	7,3	7,3	7,5	7,8	8,4	9,1
1.5		0,3	9,3	8,5	8,3	8,5	8,8	9,3	9,9
									
		0,1	5,3	5,4	5,6	5,9	6,2	6,9	7,7
									
	0,1	0,2	5,5	5,7	6	6,3	7	7,7	
		о,з	5,7	5,7	5,9	6,1	6,4	7,1	7,8
		0,1	7,7	7,3	7,5	7,6	7,9	8,5	9,2
	0,01	0,2	9,5	8,5	8,5	8,6	8,8	9,4	10
2		0,3	11,5	10	9,8	10	10,5	10,5	11
									
		0,1	6,4	6,4	6,6	6,8	7,1	7,7	8,5
									
	0,1	0,2	6,6	6,5	6,7	6,9	7,2	7,8	8,6
		0,3	6,9	6,7	6,9	7	7,3	7,9	8,7
		0,1	9,3	8,8	8,7	8,6	8,7	9,4	10
	0,01	0,2	Н,2	10,1	10	9,8	9,8	10,3	10,8
2.5		0,3	13,6	11,8	11,4	11,1	11	11,4	11,8
		0,1	7,4	7,3	7,4	7,6	7,9	8,5	9,2
									
	0,1	0,2	7,7	7,5	7,6	7,7	8	8,6	9,3
		о,з	8,1	7,7	7,8	7,8	8,1	8,7	9,5
§ 2.4
Индуктивность спиральных катушек

Продолжение табл. 2.4
ь, Ь,	dn	л, Т							
			0,2	0,3	0,4	0,6 |	0,8	-	—
1	0,01	0,02 0,05 0,1	5,8 6,6	5,3 5,7 6,6	5 5,4 6,2	4,8 5,1 5,7	4,7 4,9 5,4	4,6 4,8 5,1	—
	0,05	0,05 0,15	5,5	5,1 5,5	4,9 5,2	4,9 4,9	4,6 4,7	4,5 4,6	—
1.5	0,01	0,02 0,05 0,1	7,9 8,7	7 7,8 9,3	6,6 7,1 8,3	6,2 6,5 7,4	6 6,3 6,9	5,9 6,1 6,5	—
	0,05	0,05 0,1	7,2	6,6 7,1	6,3 6,5	5,9 6,1	5,7 5,9	5,6 5,8	—
2	0,01	0,02 0,05 0,1	9,7 10,5	8,8 9,6 11,6	8,2 8,8 Ю,1	7,6 8 8,9	7,2 7,6 8,3	7 7,3 7,7	—
	0,05	0,05 0,15	8,9	8,2 8,7	7,7 8,1	7,2 7,6	6,9 7,2	6,7 6,9	—
2,5	0,01	0,02 0,05 0,1	11,8 12,8	10,5 11,5 13,7	9,8 10,6 12,4	8,9 9,5 10,8	8,5 9 9,9	8,1 8,6 9,3	—
	0,05	0,05 0,15	10,5	9,7 10,4	9,1 9,8	8,5 8,9	8,1 8,4	7,8 8	—
58
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
d„/62=0,05/5=0,01, h2/b2=0,5/5=0,1 и //62= (М»)/&2= (0,5-10)/5 =
= 1 по табл. 2.4 находим Lh*!(b2l2) =7,7 мкГн/м, откуда индуктив-
ность катушки
L = 62m2-7,7 = 0,005-102.7,7 = 3,85 мкГн = 3850 нГн.
2.4.3. Спиральная катушка с равносторонними треугольными витками
Индуктивность спиральной катушки с равносторонними тре-
угольными витками, имеющей шаг намотки h2, диаметр провода dnt
число витков w и ширину каркаса l=h2w (рис. 2.19),
w—1 w—1	3	)/2+^»ягу/'3
_ ЗНо V V С
2л	J
А=0 т=0	xt=0
1 1
- ка)? + (-у- + hl(m- k)J У +((6/2 “
-»•.-	 *	- ---- | dxldx2, (2.21)
- I 1)/з + h2 (m + 2k) + dn/2)V
где b — внутренняя сторона наименьшего витка.
Индуктивность спиральной катушки с равносторонними тре-
угольными витками приблизительно на 30 % больше индуктивности
спиральной катушки с круговыми витками (см. рис. 2.15), если вит-
ки последней вписываются в витки треугольной катушки при прочих
равных условиях.
2.5. ИНДУКТИВНОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ КАТУШЕК
В параграфе приведены соотношения и таблицы для расчета
собственной индуктивности многослойных цилиндрических катушек,
а также катушек с прямоугольным и равносторонним треугольным
поперечными сечениями каркасов. Катушки с поперечным сечением
каркасов в виде правильных многоугольников с числом сторон
>5 близки по своим свойствам к вписанным в них многослойным
цилиндрическим катушкам и здесь не рассматриваются,
2.5.1.	Цилиндрическая катушка
Но(у2пггп ~Ь d^!2 ftj п)Х
Индуктивность многослойной цилиндрической катушки длиной
I (рис. 2.20)
^-1 0=1 “’ел ^сл л
S § S S О (к - + (rim.n +dn/2 + hl nf +
Индуктивность многослойных катушек
59
X (rimin + 1ц f) cos <p dtp
+ (rimin 4-	№ — 2 (r2min + dn/2 + hi n) (r2mtn + f) cos ф
(2.22)
Рис. 2.20. Геометрическая модель
многослойной цилиндрической ка-
тушки
где r2min — радиус цилиндрического каркаса, на котором располо-
жен внутренний слой катушки; h2 — шаг намотки; h^ — шаг между
соседними слоями катушки;
da — диаметр провода; гг1Сл=’
= ljh2 — число витков в одном
слое катушки; k, пг — порядко-
вые номера витков в одном слое
катушки; q — число слоев ка-
тушки; п, f — порядковые но-
мера слоев катушки, причем
внутренний слой принят за ну-
левой.
Результаты расчетов по
формуле (2.22) при dn/r2min=
=0,05 приведены в табл. 2.5.
При увеличении диаметра про-
вода до dn/r2min=0,l (умень-
шении до dn/r2min=0,01) и не-
изменности прочих размеров
катушек результат расчета по
табл. 2.5 следует уменьшить приблизительно на 10 % (увеличить при-
мерно на 15 %).
Пример 2.12. Многослойная цилиндрическая катушка (рис. 2.20)
имеет длину 1=4 мм н шаг намотки й2=0,4 мм. Обмотка катушки
равномерно распределена на q=6 слоев с шагом между слоями
hi=0,8 мм. Внутренний слой катушки расположен на каркасе ра-
диусом г2гв,-п=4 мм=0,004 м. Определить индуктивность катушки
при диаметре провода dn=0,2 и 0,04 мм.
Решение. Для геометрических размеров 1//'2т1Л=4/4= 1,
h2/rimin=0,4/4=0,1 и /ii/r2min= 0,8/4 = 0,2 по табл. 2.5 при da/rzmin=
L I Л, V
= 0,2/4=0,05 находим ------- ----- =2,45 мкГн/м, откуда L =
rzmin \ Ц J
/ lq \а	/ 4-6 \2
= r2min у 2,45 = 0,004 ( Q j 2,45=35,2 мкГн=35 200 нГн;
при dn/r2min=0,04/4=0,01 индуктивность катушки больше, чем
в предыдущем случае, приблизительно на 15 %, т. е.
1,15-35 200 = 40 500 нГн.<
р dXj dx2
2.5.2.	Прямоугольная катушка
Индуктивность многослойной прямоугольной катушки (рис. 2.21)
7-1 <7-1 ЮСЛ “'ел b2+dn/2+fhi Ъ+nfll
n=0 /=0 m=l k=\ p=±l *,=0 xt=— Ьг—ni
Таблица 2.5. Индуктивность многослойной цилиндрической катушки (рис,г2.20), отнесенная
L / h* V
к геометрическим размерам-------(—1 , мкГн/м
r2min \	/
о
о
<7	hi														
	rnmin	r2tnln	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	5	6	7	8	9	10
2	0,05	0,1 0,3	2,08 2,52	1,66 1,85	1,38 1,63	1,18 1,33	1,04 1,13	0,924 1,03	0,831 0,916	0,692 0,771	0,593 0,637	0,518 0,563	0,46 0,504	0,414 0,443	0,376 0,406
	0,1	0,1 0,3	2,06 2,43	1,66 1,8	1,39 1,6	1,19 1,32	1,05 1,12	0,935 1,04	0,843 0,911	0,703 *0,769	0,603 0,639	0,528 0,563	0,469 0,505	0,422 0,444	0,384 0,407
	0,2	0,1 0,3	2,06 2,38	1,68 1,8	1,42 1,61	1,22 1,33	1,08 1,14	0,965 1,06	0,871 0,933	0,73 0,79	0,627 0,656	0,55 0,581	0,489 0,522	0,441 0,46	0,401 0,422
	0,3	0,1 0,3	2,07 2,39	1,71 1,83	1,45 1,64	1,26 1,37	1,11 1,17	0 998 1,09	0,903 0,965	0,759 0,819	0,654 0,682	0,574 0,606	0,512 0,545	0,461 0,48	0,42 0,441
4	0,05	0,1 0,3	2,12 2,47	1,71 1,85	1,43 1,64	1,23 1,35	1,08 1,15	0,968 1,07	0,873 0,939	0,729 0,793	0,625 0,657	0,547 0,582	0,486 0,522	0,437 0,459	0,396 0,421
	o,i	0,1 0,3	2,14 2,41	1,76 1,85	1,49 1,66	1,29 1,38	1,14 1,18	1,02 1,1	0,922 0,976	0,777 0,829	0,669 0	0,587 0,613	0,522 0,551	0,47 0,485	0,427 0,446
Собственная индуктивность катушек
	1	1	।	1 I							1 1			1 I			1	
	0.2	0,1 0,3	2,23 2,45	1,88 1,95	1,62 1,78	1,42 1,5	1,27 1,3	1,14 1,22	1,04 1,09	0,884 0,933	0,765 0,782	0,674 0,698	0,602 0,63	0,544 0,557	0,495 0,512
	Л ч	о,1	2,35	2,02	1,77	1,57	1,41	1,28	1,17	1	0,872	0,772	0,692	0,626	0,572
	и, о	0,3	2,51	2,09	1,92	1,65	1,44	1,36	1,22	1,05	0,888	0,796	0,72	0,639	0,589
	п лч	0,1	2,16	1,76	1,48	1,28	1,13	1,01	0,916	0,766	0,658	0,575	0,511	0,458	0,415
	и у VM	0,3	2,46	1,87	1,67	1,39	1,18	1,1	0,972	0,824	0,684	0,607	0,545	0,48	0,44
	л 1	0,1	2,23	1,86	1,6	1 Л	1,24	1,11	1,01	0,857	0,739	0,65	0,578	0,52	0,472
	и,1	0,3	2,46	1,94	1,75	1,48	1,28	1,19	1,06	0,905	0,757	0,674	0,607	0,536	0,488
0	Л 9	0,1	2,45	2,11	1,85	1,65	1,48	1,34	1,23	1,05	0,992	0,816	0,731	0,661	0,623
		0,3	2,63	2,17	1,99	1,72	1,51	1,42	1,28	1,1	0,936	0,839	0,76	0,675	0,603
	n Q	0,1	2,7	2,38	2,12	1,91	1,74	1,6	1,47	1,26	1,12	1	0,904	0,822	0,753
	U ,О	0,3	2,88	2,43	2,26	1,99	1,77	1,68	1,52	1,33	1,14	1,02	0,935	0,835	0,773
	Л	0,1	2,2	1,81	1,54	1,33	1,18	1,06	0,959	0,804	0,691	0,604	0,535	0,479	0,433
	и, ио	0,3	2,47	1,9	1,71	1,43	1,22	1,14	1,01	0,859	0,715	0,635	0,571	0,503	0,462
8	Л 1	0,1	1,34	1,98	1,71	1,51	1,34	1,21	1,1	0,94	0,813	0,715	0,637	0,573	0,519
	и, 1	0,3	2,54	2,04	1,86	1,58	1,37	1,29	1,15	0,988	0,831	0,741	0,669	0,592	0,545
§ 2.5	Индуктивность многослойных катушек
ч	hi	ht	Urvnin						
	r2tnin	r2tnin	1	1,5	1 2	2,5	з	3,5	4
8	0,2	0,1 0,3	2,68 2,84	2,35 2,4	2,09 2,23	1,88 1,95	1,7 1,73	1,56 1,64	1,43 1,48
	0,3 :	0,1 0,3	3,08 3,23	2,76 2,8	2,5 2,63	2,28 2,35	2,09 2,12	1,93 2,02	1,79 1,84
10	0,05	0,1 0,3	2,25 2,49	1,86 1,95	1,59 1,76	1,37 1,49	1,23 1,27	1,1 1,19	1 1,05
	0,1	0,1 0,3	2,45 2,63	2,09 2,15	1,82 1,97	1,61 1,69	1,45 1,48	1,31 1,34	1,2 1,24
	0,2	0,1 0,3	2,93 3,08	2,6 2,64	2,33 2,47	2,11 2,19	1,93 1,96	1,77 1,86	1,64 1,69
	0,3	0,1 0,3	3,46 3,6	3,14 3,18	2,88 3,01	2,65 2,72	2,45 2,48	2,27 2,37	2,12 2,19
Продолжение табл. 2.5
5	е	7	8 •		10
1,23	1,09	0,97	0,872	0,79	0,721
1,29	1,1	0,995	0,807	0,746	0,746
1,56	1,38	1,24	1,13	1,03	0,955
1,63	1,41	1,28	1,17	1,05	0,981
0,842	0,724	0,632	0,559	0,499	0,45
0,897	1,749	0,666	0,555	0,528	0,485
1,02	0,89	0,784	0,698	0,627	0,567
1,07	0,909	0,813	0,735	0,652	0,6
1.41	1,25	1,12	1,02	0,927	0,847
1,49	1,28	1,16	1,06	0,95	0,881
1,86	1,65	1,48	1,34	1,23	1,13
1,95	1,71	1,56	1,43	1,29	1,2
Собственная индуктивность катушек	Гл. 2
§ 2.5
Индуктивность многослойных катушек
63
— ------- ------------  ........... +
+ (m — k)2 h} + (ьА — (n — pf) — р -у-j'
6s+Jn/2+/fti b,+nht __________________р dyL dy2______________
X	у,=1 ,_пА> j/ ~ + (« - % + (b2 - pb2 +
d„ \а
+ (n-pf)^-p -f~)
(2.23)
Рис. 2.21. Геометричес-
кая модель многослой-
ной прямоугольной ка-
тушки
где 2Ь2, 2Ь3 — стороны прямоугольного каркаса, на котором распей
ложен внутренний слой катушки.
Результаты расчетов по формуле (2.23) при dn/^2=0,05 приве-
дены в табл. 2.6. При увеличении диаметра провода до йл/Й2=0,1
Таблица 2.6. Индуктивность многослойной прямоугольной
катушки (рис. 2.21), отнесенная к геометрическим размерам
L (У
-- ~7~ , мкГн/м
ь2 k iq )
<7	ft.	Л»	иь2							
			1	1,5	2	2,5	3	3,5		5
&зА=1										
П	0,05	0,1 0,3	2,53 3,08	2,03 2,27	1,7 2,01	1,47 1,65	1,29 1,4	1,15 1,3	1,03 1,14	0,861 0,965
	0,2	0,1 0,3	2,5 2,93	2,05 2,22	1,74 1,99	1,51 1,66	1,34 1,42	1,2 1,32	1,08 1,17	0,908 0,99
64
Собственная индуктивность катушек
Гл. 2
Продолжение табл. 2.6										
	ht		l/bt							
я		ьг		1,5	2	2,5	3	3,5	4	5
						= 1				
4	0,05	0,1 0,3	2,57 3,0	2,08 2,25	1,76 2,02	1,52 1,67	1,34 1,42	1,2 1,32	1,08 1,17	0,904 0,988
	0,2	0,1 0,3	2,69 2,98	2,28 2,39	1,98 2,17	1,74 1,85	1,56 1,61	1,41 1,54	1,29 1,35	1,09 1,16
6	0,05	0,1 0,3	2,61 2,98	2,14 2,28	1,82 2,05	1,58 1,71	1,4 1,46	1,25 1,36	1,1 1.2	0,928 1,02
	0,2	0,1 0,3	2,94 3,18	2,54 2,63	2,24 2,43	2,01 2,1	1,81 1,85	1,65 1,75	1.5 1,57	1,27 1,37
					Ьз/Ьз-	= 1,5				
2	0,05	0,1 0,3	3,45 4,12	2,8 3,09	2,37 2,76	2,05 2,29	1,82 1,95	1,63 1,82	1.47 1,61	1,24 1,37
	0,2	0,1 0,3	3,38 3,88	2,8 3	2,4 2,7	2,1 2,27	1,86 1,96	1,68 1,83	1,52 1,63	1,29 1.4
4	0,05	0,1 0,3	3,47 3,99	2,85 3,06	2,43 2,75	2,11 2,3	1,87 1,97	1,68 1,85	1,53 1,63	1,29 1,39
	0,2	0,1 0,3	3,52 3,86	3 3,13	2,62 2,87	2,33 2,46	2,1 2,16	1,9 2,03	1,74 1,82	1,49 1,57
6	0,05	0,1 0,3	3,5 3,95	2,9 3,07	2,49 2,77	2,18 2,33	1,94 2,01	1,73 1,88	1,56 1,67	1,29 1,43
	0,2	0,1 0,3	3,73 4,02	3,26 3,35	2,09 3,11	2,6 2,71	2,35 2,4	2,13 2,28	1,95 2,05	1 68 1,79
						= 2				
2 г—	0,05	0,1 0,3	4,23 5,12	3,55 3,88	3,02 3,48	2,63 2,9	2,33 2,49	2,09 2,33	1,9 2,06	1,61 1,76
	0,2	0,1 0,3	4,21 4,79	3,52 3,74	3,93 3,39	2,66 2,86	2,37 2,48	2,14 2,32	1,95 2,07	1,66 1,77
§ 2.5
Индуктивность многослойных катушек
65
Продолжение табл. 2.6
ч	V	А	l/b,							
			1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	5
4	0,05	0,1 0,3	4,34 4,95	3,59 3,83	3,07 3,46	2,67 2,9	2,39 2,51	2,16 2,35	1,96 2,08	1,66 1,78
	0,2	0,1 0,3	4,31 4,7	3,7 3,84	3,25 3,53	2,9 3,05	2,62 2,68	2,38 2,53	2,19 2,27	1,87 1,97
6	0,05	0,1 0,3	4,36 4,88	3,64 3,83	3,13 3,47	2,75 2,93	2,44 2,55	2,19 2,39	1,98 2,13	1,66 1,83
	0,2	0,1 0,3	4,5 4,82	3,95 4,05	3,52 3,76	3,17 3,3	2,83 2,94	2,61 2,78	2,4 2,52	2,08 2,21
(уменьшении до rfn/52=0,01) и неизменности прочих размеров ка-
тушек результат расчета по табл. 2.6 следует уменьшить примерно
на 10 % (увеличить примерно на 15 %).
Пример 2.13. Многослойная прямоугольная катушка имеет q —
= 6 слоев, длину /=4 мм, шаг намотки й2=0,4 мм, шаг между сло-
ями Й1 = О,8 мм. Катушка намотана на прямоугольном каркасе со
сторонами 2й2=8 мм = 0,008 м и 2Ь3=12 мм = 0,012 м (рис. 2.21).
Определить индуктивность катушки при диаметрах провода da=
= 0,2 мм и 0,04 мм.
Решение. Для геометрических размеров //й2=4/4=1, й2/й2 =
= 0.4/4 = 0,1, /i|/fe2=0,8/4 = 0,2 и b3/b2 = 6/4= 1,5 по табл. 2.6 при
£ / h2 \2
rfn/62=0,2/4 = 0,05 находим ——(——) =3,73 мкГн/м, откуда L =
п2 \ ‘7 /
/ in \2	/ 4.R \2
= Ь, ——	3,73= 0,004-------- 3,73= 53,7 мкГн = 53700 нГн.
2 \ h2 /	\ 0,4 /
При dn/b2 = O,04/4 = 0,01 индуктивность катушки больше, чем в пре-
дыдущем случае, примерно на 15 %, т. е.
1,15-53 700 = 61 800 нГн.
2.5.3.	Равносторонняя треугольная катушка
Индуктивность многослойной равносторонней треугольной ка
тушки (рис. 2.22)
6/2+/3fh,
L =
ЗЦр
2л
а_1 „-1 №СЛ И-СЛ (ЖЧ)/2^
n=0 f=0 fe=l m=l х,=0
X
xt=—b/2—V3fht
66
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
/ 1
X (	 ------------------- --------- —
\К(Х1 - хг)2 + CV2 + Чп - ^))2 + zt2
1
- 1 —  ........................ " "  '•->
/ft - х/ + ((Ь/2 - | х2 |) ]/3 + W + «)*, + dn/2)2+"
-»	- -	\ dxy dx2,	(2.24)
+ hl (tn — £)2 J
Рис. 2.22. Геометричес-
кая модель многослой-
ной равносторонней тре-
угольной катушки
где Ь — сторона каркаса, на котором расположен внутренний слой.
Индуктивность такой катушки приблизительно на 30 % больше
индуктивности многослойной цилиндрической катушки (см. рис.
2.20), цилиндрический каркас которой вписывается в треугольный
при одинаковых одноименных параметрах Л(, Лг, /, da, у.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КАТУШЕК
БЕЗ МАГНИТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ
3.1.	УНИВЕРСАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
Взаимная индуктивность витка н катушки или двух катушек
определяется на основе расчета магнитного потока, создаваемого то-
ком i витка в немагнитном каркасе катушки вдоль ее оси с учетом
допущений, сформулированных в § 1.6. Пренебрегая размерами
поперечного сечения витка, заменим его плоским круговым конту-
ром. Аналогичное допущение примем для витков катушки.
На рис. 3.1 изображено взаимное расположение однослойной
цилиндрической катушки, намотанной с шагом h2, и плоского кру-
гового контура 1 радиусом Каркас катушки имеет радиус г2
н длину I. Оси симметрий катушки и кругового контура параллель-
ны и смещены относительно друг друга на расстояние s.
В общем случае круговой контур расположен на неодинаковых
расстояниях I'=1" от торцов катушки. Этот случай взаимного рас-
§ 3.1
Универсальная модель
67
положения контура и катушки будем в дальнейшем называть не-
согласным расположением в отличие от согласного расположения
при Г=1"
Ток I кругового контура lt создает в поперечном сечении кар-
каса катушки, ограниченном контуром li на высоте h, магнитный
Рис. 3.1. Универсальная геометрическая модель для расчета взаим-
ных индуктивностей:
/ — двух контуров; 2 — двух однослойных цилиндрических катушек; 3 — кон-
тура и двухпроводной линии
поток. Его значение определяется общей формулой (1.9), которая
с учетом соотношения dlldlz=rlrgcos (<pi—(p2)d<pid<p2 и равенств
cos (tpt — ф2) = cos (<p2 — ФО;
cos I ф2 + arctg
rt sin фх
s —1\ cos ф!
= cos
— Ф2 + arctg
/1 sin (—(ft) \
s — cos (— tpt)/
примет вид
2л Л
<Pi=0 <р,=0
rt ra cos (Фг — Фа)
d<Pi йфа *
а
(3.1)
где при s^rt
а = V й2 +	+ s2 — 2rtscos ф1 + 2r]/s2 -|- г2 — 2rX
----------- /	Г-1 Sin ф, \
X s cos Ф1 cos (Ф2 -|- arctg----------------- ;	(3.2)
\	s — Г1 cos фх /
В*
68
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
если s<rlt то
а — У h2 + Г] -f- + S2 — 2^ 3 cos ф4 гр 2r^ у s2 + r, — 2rl s cos <pt X
/	r< sin tpj
X cos <p, 4- arctg---------------
\ “	S — /1 COS <Pi
где знак «—» соответствует ricos<pi>s, a «+> — ricos(pi<s.
Выражение (3.1) определяет также взаимную индуктивность
M(/i)srif2==O(/i)sri/.s/i двух плоскопараллельных круговых контуров
радиусами rt и г2. Пример расчета на ЭВМ взаимной индуктивности
двух круговых контуров с параллельными осями по (3.1) приведен
в приложении 2. Зная закон распределения магнитного потока вдоль
оси цилиндрической катушки для значений h = h2k, где k — порядко-
вый номер витка катушки, если считать нулевым виток в плоскости
кругового контура, определим взаимную индуктивность кругового
контура и однослойной цилиндрической катушки:
w'1
М = Т 5 Ф k}sr'r" (3’3)
k=—w'
где	и w''=l"jh2—числа витков катушки, расположенных
по обе стороны от плоскости кругового контура.
Для двух однослойных цилиндрических катушек одинаковой
длины /, с радиусами каркасов гь г2, числами витков w2 и рас-
стоянием между параллельными осями s при расположении по рис.
3.1 (поз. 2) найдем, что расстояние между k-м витком одной и т-м
витком другой катушки
Взаимная индуктивность катушек
1
(3.4)
Описанная методика применима для расчета взаимной индук-
тивности двух плоских контуров, плоского контура и катушки или
двух катушек при различных формах плоских контуров, включая
двухпроводную линию как предельный случай прямоугольного кон-
тура, и различных формах поперечных сечений катушек. При этом
в каждом конкретном случае необходимо учитывать специфику
и симметрию взаимного расположения. Например, для расчета вза-
имной индуктивности двухпроводной линии шириной 2Ь и кругово-
го контура радиусом г2, расположенными соосно (рис. 3.1, поз. 3),
целесообразно элемент длины двухпроводной линии а'1| представить
в виде суммы тангенциальной dV и радиальной dl" составляющих.
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров	69
Тогда общая формула (1.10) для расчета взаимной индуктивности
в данном случае примет вид
« (Й)ЛГ1 _ =
Z, /2	I, lt
Л/2 л
_ ff	r2 b cos <р2 dept Лр2
n J J	Г / /? \2 2r h
Ф1=0Ч>2=0 cos(p 1/	I ------| — -------COS ф2
|/	2 \COS ф| / COS ф!
(3.5)
Все приведенные в этой главе расчетные формулы определяют
взаимную индуктивность по геометрическим моделям при одинако-
вом направлении обхода контуров и витков катушек. Поэтому вза-
имная индуктивность может иметь положительное и отрицательное
значения.
3.2.	ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ плоских КОНТУРОВ
В данном параграфе рассматриваются плоские круговые, пря-
моугольные и равносторонние треугольные контуры, а также двух-
проводные длинные линии и различное их вза-
имное расположение: соосное, концентрическое,
эксцентрическое, с параллельными и пересека-	•—I—•-—т»
кнцимися осями. Плоские контуры в виде пра-	I
внльных многоугольников с числом сторон	j ,
п^5 близки по своим свойствам к вписанным	"
в них круговым контурам и здесь не рассмат-
риваются.	___Д.
3.2.1.	Соосное расположение плоских контуров
1.	Взаимная индуктивность двух круговых /х/ I го \
контуров радиусами гь г2, расположенных со- /	\
осно на расстоянии h (рис. 3.2),	~Т~'~( Vv------Г*
л	\	/
Jrr ra cos ф4ф	\ У
—======== • (3.6)
V h2 + г2 + Гд — cos ф
Формулу (3.6) можно представить в виде
м „ Г____________совфЛф___________
— Но I г
2 J ]/ Я2+«1 + 1-2^ cosФ
Рис. 3.2. Геомет-
рическая модель
соосного располо-
жения двух кру-
говых контуров
где /?1 = Г1/г2, H=h/r2 — геометрические размеры модели.
Результаты расчетов по (3.7) приведены на рис. 3.3.
70
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Пример 3.1. Два круговых контура радиусами Г1=»10мм, г2=
= 5мм=0,005м и расположены соосно на расстоянии h=2,5 мм меж-
ду их центрами (рис. 3.2). Определить взаимную индуктивность
контуров.
Рис. 3.3. Взаимная индуктивность двух соосно расположенных круго-
вых контуров
Решение. Для значений ri/r2= 10/5=2 и Л/г2=2,5/5=0,5 по
рис. 3.3 (точка а) находим М/г2=0,96 мкГн/м, откуда взаимная ин-
дуктивность двух круговых контуров
М = г2-0,96 = 0,005-0,96 =
= 0,0048 мкГн = 4,8 нГн,
2. Взаимная индуктивность кругового
контура радиусом г и равностороннего
треугольного контура со стороной Ь, рас-
положенных соосно на расстоянии h
(рис. 3.4),
Рис. 3.4. Геометрическая модель соосно
расположенных кругового и равносторон-
него треугольного контуров
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
71
л л/з	br cos ф! d<pt X
f (	-,/Г	  =
X с1ф2
br COS Ф!
Уз cos ф2
(3.8)
Результаты расчетов по (3.8) приведены на рис. 3.5.
Пример 3.2. Круговой контур радиусом г=20 мм=0,02 м и рав-
носторонний треугольный контур со стороной 6 = 40 мм расположе-
ны соосно (рис. 3.4), Определить взаимную индуктивность конту-
ров, если расстояние между их центрами h=5 мм.
Решение. Для значений Ь/г = 40/20 = 2 и hjr — 5/20=0,25 по
рис. 3.5 (точка а) находим Л4/г=10,7 мкГн/м, откуда взаимная ин-
дуктивность кругового и равностороннего треугольного контуров
Л1 = г-10,7 = 0,02-10,7 = 0,214 мкГн = 214 нГн.
3. Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и пря-
моугольного контура со сторонами 2biX2b2, расположенных соосно
на расстоянии h (рис. 3.6),
я р
лл _ 2Но f ( f rbi cos Ф1 <Jcp2
ft, \2	rb,
------I + h2 — 2----------cos ф!
СО5ф2 /	COS ф2
я/2—Р	rb2 cos ф, dtp.,	х ,
С	~.	... . -2~' \	>
I	1 Г / Ь, V2 Л rb,	I
_“_п С03ф21/ Г2-Н-------------- I + — 2 ----------- созфх /
ф,=0	*2 у 1 >xcos ф2 /	СОЗ ф2 1 7
(3.9)
Яф.=0ф,=о
где Р = arctg-T2- .
Результаты расчетов по (3.9) приведены в табл. 3.1, а при
г/62=3 представлены графиками на рис. 3.7.
Пример 3.3. Круговой контур радиусом г=15 мм и прямоуголь-
ный контур со сторонами 2&1 = 30мм и 2Ь2= 15 мм = 0,015 мм распо-
ложены соосно на расстоянии /г=7,5 мм (рис. 3.6). Определить вза-
имную индуктивность контуров.
Решение. Для значений bt/b2 = 15/7,5 = 2, r/b2 =15/7,5 = 2
и Л/Ь2=7,5/7,5=1 по табл. 3.1 определяем Л4/Ь2= 1,5 мкГн/м, откуда
взаимная индуктивность кругового и прямоугольного контуров
М = Ь2-1,5 = 0,0075-1,5 = 0,01125 мкГн = 11,25 нГн.
4. Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г
и двухпроводной линии шириной 2Ь, расположенных соосно на рас-
Та блица 3.1. Взаимная индуктивность кругового и прямоугольного
контуров, расположенных соосно (рис. 3.6), отнесенная к геометрическому размеру М/Ъ2, мкГн/м
Г	bi	Ь/6,													
ьг	Ь2	0	0,2	0.4	0,6	0,8	1	' 1.2	1.5	2	2.5	3	3,5	4	5
	1	0,73	0,672	0,546	0,421	0,318	0,24	0,183	0,124	0,069	0,041	0,026	0,018	0,012		
0,6	1,4	0,617	0,579	0,494	0,402	0,32	0,253	0,2	0,142	0,084	0,052	0,034	0,023	0,016	—
	1,8	0,572	0,538	0,463	0,382	0,31	0,25	0,203	0,149	0,092	0,059	0,039	0,027	0,02	—
	2,4	0,542	0,509	0,438	0,362	0,296	0,242	0,199	0,15	0,096	0,065	0,045	0,032	0,023	—
	1	1,05	0,948	0,745	0,561	0,42	0,316	0,241	0,164	0,092	0,055	0,035	0,024	0,016		
0,7	1,4	0,881	0,813	0,677	0,542	0,428	0,337	0,266	0,189	0,111	0,069	0,045	0,032	0,022	—
	1,8	0,815	0,754	0,633	0,515	0,415	0,335	0,271	0,119	0,123	0,079	0,053	0,037	0,027	—
	2,4	0,773	0,714	0,599	0,488	0,397	0,324	0,266	0,2	0,129	0,087	0,06	0,043	0,32	—
	1	1,5	1,29	0,966	0,711	0,728	0,397	0,302	0,206	0,116	0,07	0,045	0,03	0,021		
0,8	1,4	1,23	1,1	0,887	0,697	0,546	0,428	0,338	0,24	0,142	0,089	0,058	0,04	0,028	—
	1,8	1,13	1,02	0,828	0,663	0,532	0,427	0,345	0,254	0,157	0,101	0,068	0,048	0,034	—
	2,4	1,07	0,963	0,781	0,628	0,508	0,414	0,34	0,257	0,166	0,112	0,078	0,056	0,041	—
	1	2,18	1,69	1,19	0,862	0,638	0,478	0,365	0,25	0,142	0,087	0,056	0,038	0,027		
0,9	1,4	1,71	1,44	1.Н	0,863	0,67	0,524	0,313	0,294	0,175	0,11	0,073	0,05	0,036	—
	1,8	1,59	1,32	1,04	0,823	0,656	0,526	0,425	0,313	0,194	0,126	0,085	0,06	0,043	—
	2,4	1,51	1,25	0,98	0,778	0,627	0,51	0,42	0,318	0,206	0,139	0,097	0,07	0,052	—
	1	3,58	2,08	1,4	1	0,738	0,556	0,427	0,294	0,169	0,104	0,067	0,046	0,032		
	1,2	2,82	1,94	1,4	1,04	0,782	0,599	0,466	0,327	0,192	0,119	0,078	0,054	0,038	—
1	1,4	2,6	1,8	1,35	1,03	0,797	0,622	0,49	0,35	0,21	0,132	0,088	0,061	0,043	—
	1,8	2,42	1,65	1,26	0,988	0,785	0,63	0,509	0,375	0,234	0,152	0,105	0,072	0,052	—
	2,4	2,32	1,56	1,18	0,932	0,75	0,612	0,504	0,382	0,25	0,169	0,118	0,085	0,063	—
1.1	1	3,84	2,35	1,57	1,12	0,832	0,63	0,486	0,338	0,197	0,122	0,08	0,054	0,039		
	1,2	3,36	2,31	1,62	1.19	0,895	0,687	0,535	0,378	0,224	0,14	0,092	0,064	0,045	—
Взаимная индуктивность катушек	Гл. 3
1,1	1,4 1,8 2,4	2,97 2,7 2,59	2,14 1,94 1,81	1,59 1,47 1,37	1,2 1,15 1,08	0,921 0,916 0,876	0,719 0,735 0,716	0,568 0,595 0,591
	1	3,3	2,4	1,73	1,28	0,973	0,753	0,59
	1,2	4,05	2,72	1,92	1,42	1,08	0,84	0,663
1,3	1,4	3,45	2,67	1,97	1,48	1,14	0,898	0,714
	1,8	2,97	2,35	1,85	1,46	1,17	0,942	0,765
	2,4	2,6	2,15	1,7	1,37	1,12	0,926	0,77
	1	2,36	2,08	1,67	1,32	1,04	0,834	0,669
	1,2	3,36	2,6	1,98	1,53	1,2	0,952	0,764
	1,4	4,14	2,95	2,18	1,67	1,31	1,04	0,838
	1,5	3,63	2,89	2,22	1,73	1,37	1,1	0,89
	2	2,9	2,54	2,08	1,7	1,39	1,14	0,94
	2,6	2,71	2,31	1,92	1,6	1,33	1,П	0,94
	1	1,46	1,42	1,31	1,17	1,02	0,881	0,753
	1,2	1,83	1,77	1,61	1,41	1,22	1,04	0,888
	1,4	2,28	2,17	1,93	1,66	1,41	1,19	1,01
2	1.7	3,37	2,9	2,39	1,98	1,64	1,38	1,16
	2	4 4	3,32	2,63	2,15	1,79	1,5	1,26
	2,6	2,92	2,74	2,42	2,1	1,8	1,55	1,33
	3,2	2,86	2,54	2,24	1,97	1,72	1,5	1,31
	1	1,1	1,08	1,04	0,978	0,901	0,818	0,735
	1,4	1,62	1,59	1,51	1,4	1,27	1,14	1,02
	1,8	2,29	2,22	2,06	1,85	1,65	1,45	1,28
2,5	2,2	3,44	3,1	2,65	2,27	1,96	1,7	1,48
	2,6	3,99	3,45	2,89	2,46	2,12	1,84	1,6
	3,2	3,28	2,91	2,61	2,54	2,08	1,85	1,64
	3,8	2,7	2,61	2,41	2,19	1,98	1,78	1,6
0,407	0,245	0,156	0,104	0,072	,0,052		
0,439	0,275	0,18	0,122	0,086	0,063	—
0,45	0,295	0,201	0,141	0,102	0,075	—
0,42	0,251	0,159	0,105	0,073	0,052	—
0,475	0,287	0,184	0,123	0,085	0,061	—
0,518	0,318	0,205	0,138	0,097	0,07	—
0,569	0,361	0,239	0,164	0,116	0,085	—
0,591	0,392	0,268	0,19	0,138	0,102	—
0,489	0,302	0,196	0,132	0,092	0,067	0,038
0,56	0,348	0,227	0,154	0,108	0,078	0,014
0,618	0,388	0,255	0,174	0,123	0,089	0,051
0,662	0,42	0,279	0,192	0,136	0,1	0,067
0,714	0,466	0,316	0,221	0,159	0,117	0,068
0,734	0,498	0,348	0,25	0,184	0,138	0,083
0,594	0,402	0,277	0,196	0,142	0,105	0,061
0,697	0,47	0,325	0,23	0,169	0,124	0,073
0,789	0,532	0,368	0,262	0,19	0,142	0,084
0,905	0,612	0,426	0,304	0,222	0,166	0,099
0,988	0,674	0,472	0,34	0,25	0,118	0,113
1,06	0,747	0,536	0,393	0,294	0,224	0,137
1,07	0,772	0,566	0,423	0,322	0,249	0,156
0,617	0,455	0,334	0,248	0,186	0,142	0,086
0,847	0,618	0,453	0,336	0,252	0,193	0,118
1,05	0,759	0,555	0,413	0,312	0,239	0,147
1,21	0,872	0,639	0,477	0,362	0,279	0,174
1,31	0,951	0,703	0,528	0,404	0,313	0,197
1,36	1,01	0,762	0,581	0,449	0,352	0,225
1,35	1,03	0,788	0,81	0,478	0,379	0,245
§ 3.2 -Взаимная индуктивность плоских контуров
00
74
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
М/г, мкГн/м
Рис. 3.5. Взаимная индуктивность соосно расположенных кругового
и равностороннего треугольного контуров
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
75
стоянии h (рис. 3.8),
л л/2
44 = -^- f ( --------
Л J J
ф.=о ф2=о cos ф2
rb cos Ф1 dtpt d<p2
Результаты расчетов по (3.10) приведены
в табл. 3.2.
Пример 3.4. Круговой контур радиусом
г=30 мм = 0,03 м и двухпроводная линия ши-
риной 26=66 мм расположены соосно на рас-
стоянии 6=105 мм (рис. 3.8). Определить их
взаимную индуктивность.
Решение. Для значений 6/г=33/30= 1,1
н hfr— 105/30 = 3,5 по табл. 3.2 находим М/г=
=0,098 мгГн/м, откуда взаимная
ность
нии
индуктив-
кругового контура и двухпроводной
ли-
44 = г* 0,098 = 0,03-0,098 =
rb
2
= 0,00294 мкГн = 2,94 нГн.
Рис. 3.6. Геомет-
рическая модель
5. Взаимная индуктивность двух прямо- соосно располо-
угольных контуров со сторонами 26tX262 и женных кругового
2&зХ2&4, расположенных соосно на расстоя- и прямоугольного
нии h (рис. 3.9),	контуров
а, &!
JXdx2 ;	р dy± dy2
(</i — УгЯ Pb2 — ' sin а + t/i ctg а I -j- №
Яб	^2
. f	f	pdxrdx2
j j Г I ь
Xi-asX,— b, 1/ (X	ph _----i— _{-x1Ctga -f-W
у	\ sin a	}
76
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
tai /м i XU //./
Рис. 3.7. Взаимная индуктивность соосно расположенных кругового
п прямоугольного контуров при г/62=3
Рис. 3.8. Геометрическая мо-
дель соосно расположенных
кругового контура и двухпро-
водной линии
Рис. 3.9. Геометрическая мо-
дель общего случая соосного
расположения двух прямо-
угольных контуров
Таблица 3.2. Взаимная индуктивность двухпроводной линии и кругового контура, расположенных соосно
(рис. 3.8), отнесенная к геометрическому размеру М/г, мкГн/м
ь		Ыг													
г	0,0	0,2	0,4	0,6	0.8		1,2	1,5	2	2.5	3	3,5	4	1 5	6
0,1	0,243	0,204	0,158	0,122	0,094	0,073	0,058	0,042	0,026	0,018	0,013	0,01	0,07	0,05	0,03
0,2	0,557	0,403	0,313	0,241	0,186	0,146	0,115	0,084	0,053	0,036	0,026	0,019	0,015	о,о1	0,07
0,3	0,717	0,6	0,465	0,357	0,275	0,215	0,171	0,124	0,079	0,053	0,038	0,029	0,022	0,015	0,01
0,4	0,962	0,792	0,609	0,465	0,359	0,281	0,223	0,163	0,104	0,071	0,051	0,038	0,03	0,019	0,014
0,5	1,26	0,977	0,742	0,565	0,436	0,341	0,272	0,2	0,128	0,087	0,063	0,048	0,037	0,024	0,017
0,6	1,56	1,15	0,861	0,652	0,503	0,396	0,317	0,233	0,15	0,104	0,075	0,057	0,044	0,029	0,02
0,7	1,71	1,3	0,959	0,725	0,561	0,443	0,356	0,264	0,172	0,119	0,087	0,066	0,051	0,034	0,024
0,8	2,03	1,44	1,03	0,78	0,607	0,483	0,391	0,292	0,192	0,134	0,098	0,074	0,058	0,038	0,027
0,9	2,25	1,47	1,07	0,817	0,642	0,514	0,419	0,317	0,21	0,147	0,108	0,083	0,065	0,043	0,03
1,1	1,61	1,34	1,05	0,836	0,677	0,555	0,46	0,355	0,241	0,172	0,128	0,098	0,078	0,052	0,037
1,3	1,18	1,1	0,953	0,803	0,674	0,568	0,482	0,38	0,266	0,193	0,145	0,113	0,09	0,06	0,043
1,6	0,883	0,859	0,795	0,715	0,632	0,554	0,485	0,398	0,291	0,217	0,167	0,131	0,106	0,072	0,052
2,0	0,675	0,665	0,639	0,3	0,554	0,507	0,46	0,395	0,305	0,237	0,188	0,151	0,123	0,086	0,068
2,5	0,526	0,522	0,51	0,491	0,468	0,441	0,412	0,37	0,303	0,247	0,202	0,167	0,139	0,1	0,074
3	0,433	0,43	0,424	0,414	0,4	0,384	0,366	0,338	0,29	0,246	0,208	0,176	0,149	0,11	0,084
4	0,321	0,32	0,317	0,313	0,307	0,3	0,292	0,279	0,253	0,227	0,201	0,178	0,157	0,123	0,097
5	0,255	0,255	0,254	0,252	0,249-	0,245	0,241	0,233	0,219	0,203	0,186	0,17	0,154	0,126	0,104
7	0,182	0,182	0,181	0,181	0,18	0,178	0,177	0,174	0,168	0,161	0,153	0,145	0,137	0,12	0,105
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
78
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
ал Ь,
, С Г __________________________________Р tyi dy2____________________________
J .)	/--------------------Т
J/x-arJ/,= &, 1/ (У1	— 4-й tgaj -f-/^
(3.11)
где Я1=—b4cosa—b3sina, a2=b4cosa—b3sina, a3=—b4sina+
+ b3cos a, a4=b4sin a + b3cos a, as=b4cos a—b3sin a, ag=b4cos a +
+ &3sina, a7=b4sina—b3cosa, O8=b4sin a + b3cos a— пределы инте-
грирования.
6.	Взаимная индуктивность двух прямоугольных контуров со сто-
ронами 2biX2b2 и 2Ь3Х2Ь4, расположенных соосно и коаксиально на
расстоянии h между их центрами (рис. 3.10),
р=+1 х,=0 *,=—&,
р dxj dx2
-*з)2+(*1-*2)2 + «
__________Р ЛУ1 аУг________
К(р&2-Ь4)2 + (У1-{/2)2+Лг
(3.12)
Если 0,3<b2/b!<3 и 0,3<b4/b3<3, то приблизительно взаимная
индуктивность контуров в bib^/bibi раз больше взаимной индуктив-
Рис. 3.10. Геометрическая мо-
дель соосного и коаксиального
расположения двух подобных
прямоугольных контуров
Рис, 3.11. Геометрическая мо-
дель общего случая соосного
расположения прямоугольного
контура и двухпроводной ли-
нии
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
79
ности двух соосно расположенных круговых контуров (см. рис. 3.2)
радиусами Г1 = &1 иг2=Ьэ при прочих равных условиях. При одновре-
менном сочетании значений b2/b\-*-Q,3 и 64/Ьз->3 или &г/6|—>-3
и &4/&3—»~0,3 точность приближенного расчета понижается.
Результаты расчетов по (3.12) для подобных прямоугольных
контуров 61/62=6з/64 приведены в табл. 3.3.
Пример 3.5. Прямоугольные контуры со сторонами 261=16 мм,
262=10 мм = 0,01 м, 263=32 мм, 2Ь4 = 20 мм подобны и расположены
соосно и коаксиально (рис. 3.10) на расстоянии между их центрами
Л=7 мм. Определить взаимную индуктивность контуров.
Решение. Для значений &i/62=8/5=l,6, 64/&2= 10/5=2 и Л/&2=
= 7/5=1,4 по табл. 3.3 находим M/&2=l,01 мкГн/м, откуда
М = 6а-1,01 =0,005-1,01 = 0,00505 мкГн = 5,05 нГн.
7.	Взаимная индуктивность прямоугольного контура со сторона-
ми 2&1Х2&2 и двухпроводной длинной линии шириной 26, располо-
женных соосно на расстоянии h так, что их плоскости симметрии
пересекаются под углом а (рис. 3.11),
_ Ио V1 f С С _____________________pdx^__________
2л \ J J /”	7	*
Р=±1 Х=-оо х,=-6, I / (	_	)? + I ь ----------
V	\ cos а
Р dXj dx2	Г С _____________pdy1dy2__________
J J	/ "*
— Xitgaj	(yt _ Уг)2 1 pbi _
	— У	(3.13)
b	\a
— —-----f-t/iCtga +НЧ
sin a	'
8.	Взаимная индуктивность двух двухпроводных длинных линий
шириной 2Ь' и 26", расположенных соосно на расстоянии h так, что
их плоскости симметрии пересекаются под углом а (рис. 3.12),
оо	оо
Л^-Ёо-У1 J J	pdX1dx2
Р=±1 Х1=-00 Х,=—	Ч [(	_	)2 fрЬ,----1_
у	\ cos a
(3.14)
\2
— %! tg a 4- h2
Если двухпроводные линии параллельны (а=0), то их взаимная ин-
Таблица 3.3. Взаимная индуктивность двух подобных прямоугольных контуров с коаксиальным
расположением (рис. 3.10), отнесенная к геометрическому размеру М/Ь2, мкГн/м, при bi/b2 = b3/f>4
bjbt	Й,/Л2	h!bt												
		0	0,2	0,4	0,6	1	1,4	М	2,2	2,6	3	3,8	4,6	5,4
	1,1	3,85	2,62	1,75	1,25	0,714	0,439	0,284	0,192	0,134	0,096	0,054	0,038	0,021
	1,3	2,46	2,18	1,72	1,33	0,816	0,524	0,35	0,242	0,172	0,126	0,072	0,044	0,029
1	1,6	1,72	1,65	1,47	1,25	0,877	0,609	0,429	0,308	0,226	0,169	0,1	0,063	0,042
	2	1,27	1,24	1,17	1,07	0,853	0,651	0,492	0,373	0,285	0,22	0,137	0,089	0,06
	1,1	4,62	3,2	2,85	1,6	0,946	0,602	0,402	0,278	0,198	0,145	0>083	0,051	0,034
	1,3	2,99	2,67	2,13	1,67	1,06	0,7	0,48	0,339	0,246	0,183	0,107	0,067	0,044
1 ,о	1,6	2,12	2,03	1,82	1,57	1,12	0,794	0,572	0,419	0,312	0,237	0,143	0,092	0,061
	2	1,57	1,54	1,46	1,34	1,08	0,836	0,642	0,494	0,383	0,3	0,19	0,125	0,086
	1,1	5,38	3,77	2,61	1,93	1,17	0,761	0,518	0,365	0,265	0,197	0,116	0,073	0,048
1,6	1,3	3,51	3,15	2,52	2	1,29	0,871	0,608	0,437	0,322	0,242	0,145	0,092	0,062
	1,6	2,5	2,4	2,16	1,87	1,35	0,975	0,712	0,529	0,399	0,307	0,189	0,123	0,083
	2	1,87	1,83	1,74	1,6	1,3	1,01	0,788	0,613	0,48	0,38	0,244	0,164	0,114
*1
5ч
Од
Взаимная индуктивность катушек
	bjb2					
		0	0,2	0.4	0,6	1
	1,1	6,14	4,33	3,02	2,25	1,39
1,9	1,3	4,02	3,61	2,91	2,32	1,52
	1,6	2,87	2,76	2,49	2,17	1,58
	2	2,15	2,11	2,01	1,86	1,51
	1,1	6,89	4,88	3,43	2,58	1,6
2,2	1,3	4,52	4,07	3,3	2,64	1,74
	1,6	3,24	3,12	2,82	2,46	1,8
	2	• 2,43	2,39	2,27	2,11	1,72
	1,1	7,65	5,43	3,84	2,89	1,81
2,5	1,3	5,02	4,53	3,68	2,96	1,96
	1,6	3,6	3,47	3,14	2,74	2,02
	2	2,71	2,66	2,54	2,35	1,93
П родолжение табл. 3.3
hfb,
1,4	1,8	2,2	2,6	3	3,8	4,6	5,4
0,916	0,632	0,452	0,332	0,249	0,149	0,095	0,064
1,04	0,734	0,534	0,398	0,303	0,184	0,119	0,081
1,15	0,849	0,637	0,486	0,377	0,236	0,156	0,107
1,19	0,932	0,73	0,577	0,459	0,3	0,203	0,143
1,07	0,745	0,537	0,399	0,302	0,184	0,119	0,081
1,2	0,858	0,63	0,473	0,363	0,225	0,147	0,101
1,32	0,984	0,744	0,572	0,447	0,284	0,189	0,131
1,36	1,07	0,846	0,672	0,539	0,356	0,244	0,173
1,22	0,856	0,622	0,465	0,355	0,219	0,146	0,098
1,36	0.98	0,724	0,548	0,423	0,265	0,176	0,121
1,49	4,11	0,85 ।	0,657	0,516	0,332	0,224	0,157
1,53	1,21	0,96	0,766	0,617	0,412	0,285	0,203
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
82
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
дуктивность на единицу длины
м = Мо 1п^ + (Ь'+Ь"У	Ио Я2 + (В' + 1)2
2л hi + (b' — Ь"у.	2л 1 Я? + (В' — 1 )з ’
(3.15)
где H=h/b", В' ~Ь'/Ь" — геометрические размеры модели.
Результаты расчетов по (3.15) приведены на рис. 3.13.
Рис. 3.12. Геометричес-
кая модель общего слу-
чая соосного располо-
жения двух двухпровод-
ных линий
Рис. 3.13. Взаимная индуктивность на единицу длины двух соосно
расположенных параллельных двухпроводных линий
§ 3.2
Взаимная индуктивность плоских контуров
83
Пример 3.6. Две параллельные двухпроводные линии шириной
2Ь' =66 мм и 26"=60 мм расположены соосно (рис. 3.13) на расстоя-
нии 6=105 мм. Определить их взаимную индуктивность, приходящую-
ся на единицу длины.
Решение. Для значений b’/b" = 33/30= 1,1 и h/b"= 105/30=
= 3,5 по рис. 3.13 (точка а) находим взаимную индуктивность двух-
проводных линий на единицу длины 44=0,061 мкГн/м.
9.	Взаимная индуктивность прямоугольного контура со сторо-
нами 2&1Х2&2 и двухпроводной длинной линии шириной 2Ь, распо-
ложенных соосно на расстоянии h так, что двухпроводная линия
и две противолежащие стороны прямоугольного контура 261 парал-
лельны (рис. 3.14),
М = — 26 2л Формулу (3.16) можно пред _М_ = Ио 26х	2л	ft2+(6 + 62)2 ‘1п л=+(»* ’ ставить в виде 1 tf2 + (B+i)a	17. In 	 ,	(3.17) ff2_|_(B-l)2
где Н = h/b2, B=b/b2— геометрические
размеры модели.
Формула (3.17) совпадает с (3.15),
поэтому для расчета взаимной индук-
тивности прямоугольного контура и двух-
проводной линии можно пользоваться
номограммой на рис. 3.13. При Н =
= h/b2=h/b" и B=b/b2 = B'=b'/b" вза-
имная индуктивность прямоугольного
контура и двухпроводной линии будет
в 2&t раз больше взаимной индуктив-
ности на единицу длины двух двухпро-
водных линий, рассчитанной по номо-
грамме рис. 3.13.
Пример 3.7. Прямоугольный контур
со сторонами 2&i=100 мм=0,1 м и 2Ь2 =
=60 мм расположен соосно (рис. 3.14)
на расстоянии /г =105 мм от двухпро-
водной линии шириной 26 = 66 мм. Оп-
ределить взаимную индуктивность пря-
моугольного контура и двухпроводной
Рис. 3.14. Геометричес-
кая модель соосного рас-
положения прямоуголь-
ного контура и двухпро-
водной линии
линии.
Решение. Для значений Н —
=6/62= 105/30 = 3,5 и В = 6/62=33/30= 1,1 по рис. 3.13 при В' = В=1,1
(точка а) находим, что взаимная индуктивность прямоугольного
контура и двухпроводной линии
Л4 = 26х-0,061 = 0,1 - 0,061 = 0,0061 мкГн = 6,1 нГн.
3.2.2.	Плоские контуры с параллельными осями
1.	Взаимная индуктивность двух круговых контуров радиусами
rj и Г2 и с расстоянием s между их параллельными осями (рис. 3.15)
6*
84
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Таблица 3.4. Взаимная индуктивность двух круговых контуров
отнесенная к геометрическому
ч	h/rt						
Гг	0	|	0.1	0,2	1 °-3 1	0.4	|	0.5	1 °-6 1
Г1/г2=2
2	0,449	0,436	0,41	0,385	0,361	0,339	0,319
2,1	0,32	0,313	0,3	0,287	0,275	0,263	0,252
2,2	0,198	0,197	0,195	0,193	0,192	0,19	0,188
2,3	0,079	0,083	0,093	0,104	0,113	0,122	0,128
2,4	—0,043	—0,029	-0,004	0,019	0,4	0,58	0,072
2,5	—0,208	—0,147	-0,098	—0,059	—0,027	0,0	0,021
2,6	—0,291	—0,244	—0,182	—0 129	—0,086	—0,051	—0,022
2,7	—0,37	—0,327	—0,254	—0,189	—0,136	-0,093	—0,059
2,8	—0,479	—0,408	—0,311	—0,233	—0,173	-0,126	—0,088
3,1	—0,408	—0,369	—0,306	—0,248	-0,2	—0,161	—0,127
3,2	—0,311	—0,297	-0,26^	—0,225	—0,189	—0,156	—0,128
3,3	—0,252	—0,245	—0,225	—0,2	—0,173	—0,148	—0,124
3,4	—0,211	—0,206	—0,194	—0,177	—0,157	—0,137	—0..118
3,5	—0,18	-0,177	—0,169	—0,156	—0,142	—0,126	—0,111
3,7	—0,36	—0,135	—0,131	—0,124	—0,115	—0,108	—0,096
4	—0,096	—0,095	—0,093	—0,09	—0,086	—0,081	—0,075
Г1/г2=3
3	0,394	0,351	0,321	0,301	0,284	0,27	0,257
3,1	0,228	0,222	0,213	0,207	0,202	0,197	0,193
3,2	0,0	0,103	0,109	0,115	0,121	0,126	0,131
3,3	—0,011	—0,004	0,011	0,028	0,045	0,059	0,072
3,4	—0,017	—0,107	—0,083	—0,054	—0,027	—0,003	0,017
3,5	—0,228	—0,21	—0,173	—0,131	—0,093	—0,06	—0,003
3,6	—0,347	—0,317	—0,258	—0,201	—0,152	—0,11	—0,076
3,7	—0,51	—0,434	—0,335	—0,261	—0,2	—0,152	—0,112
3,8	—0,615	—0,525	—0,393	—0,304	—0,236	—0,183	—0,141
4,1	—0,484	—0,442	—0,373	—0,31	—0,257	—0,213	—0,176
4,2	—0,378	—0,362	—0,325	—0,283	—0,242	—0,2С6	—0,174
4,3	—0,311	—0,303	—0,282	—0,254	—0,224	—0,195	—0,168
4,4	—0,274	—0,259	—0,246	—0,277	—0,204	—0,182	—0,16
4,5	—0,229	—0,226	—0,216	—0,203	—0,186	—0,168	—0,15
4,7	—0,178	—0,176	—0,171	—0,164	-0,154	—0,143	—0,131
5	—0,13	—0,129	—0,127	—0,123	—0,118	—0,112	—0,105
ri/r2=4
4,0	0,267	0,246	0,256	0,246	0,235	0,225	0,216
4,1	0,154	0,154	0.154	0,155	0,155	0,154	0,153
4,2	0,037	0,042	0,53	0,065	0,075	0,084	0,032
4,3	—0,087	—0,072	—0,046	—0,024	0,0	0,018	0,034
4,4	—0,21	—0,185	—0,143	—0,105	—0,072	—0,044	—0,02
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров	85
с параллельными осями (рис. 3.15),
размеру Л4/г2, мкГн/м
		Л/гг						
|	0,8	1	|	1,5	2	3	1 4	1 5
П/гг=2
0,283	0,252	0,19	0,145	0,087	0,054	0,035
0,231	0,211	0,168	0,132	0,082	0,052	0,034
0,182	0,173	0,146	0,119	0,076	0,049	0,033
0,135	0,136	0,125	0,106	0,071	0,047	0,031
0,092	0,102	0,106	0,094	0,066	0,044	0,03
0,053	0,071	0,087	0,083	0,061	0,042	0,029
0,018	0,044	0,07	0,072	0,056	0,04	0,028
0,011	0,02	0,055	0,062	0,052	0,038	0,027
0,055	0,0	0,041	0,052	0,047	0,035	0,025
—0,077	—0,041	0,009	0,029	0,035	0,029	0,022
—0,082	—0,048	0,01	0,022	0,032	0,027	0,021
—0,084	—0,053	—0,005	0,017	0,028	0,025	0,02
—0,083	—0,056	—0,01	0,012	0,025	0,024	0,019
—0,082	-0,057	—0,014	0,008	0,022	0,022	0,018
—0,075	-0,056	—0,02 '	0,001	0,017	0,019	0,016
—0,063	—0,051	—0,024	—0,006 Г1/Г2 = 3	0,011	0,014	0,013
0,234	0,214	0,174	0,143	0,099	0,07	0,05
0,184	0,0175	0,151	0,129	0,092	0,066	0,048
0,136	0,137	0,129	0,115	0,086	0,063	0,046
0,09	0,101	0,108	0,101	0,08	0,06	0,044
0,047	0,067	0,087	0,088	0,073	0,056	0,043
0,009	0,036	0,069	0,076	0,068	0,053	0,041
—0,025	0,09	0,051	0,064	0,062	0,05	0,039
—0,054	—0,015	0,036	0,054	0,056	0,047	0,037
—0,078	—0,035	0,021	0,044	0,051	0,044	0,035
—0,117	—0,074	—0,011	0,018	0,036	0,036	0,3
—0,121	-0,081	—0,018	0,012	0,032	0,033	0,029
—0,121	—0,085	—0,025	0,06	0,028	0,031	0,027
—0,12	—0,087	—0,03	0,С01	0,024	0,028	0,026
—0,116	—0,087	—0,034	-0,003	0,021	0,026	0,024
—0,107	-0,084	—0,039	—0,011	0,015	0,022	0,021
—0,091	—0,075	—0,042	-0,018 П/г2=4	0,008	0,016	0,018
0,199	0,184	0,155	0,132	0,099	0,075	0,057
0,15	0,146	0,132	0,118	0,092	0,071	0,055
0,103	0,108	0,11	0,104	0,085	0,067	0,053
0,057	0,073	0,089	0,09	0,078	0,063	0,051
0,015	0,04	0,069	0,077	0,072	0,06	0,048
86
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
S	ft/r,							
	0	0.1	0,2	0,3	0,4	0.5	0,6	
4,5	-0,335	—0,301	—0,237	—0,182	—0,138	—0,1	—0,069	
4,6	—0,462	—0,401	—0,321	-0,251	—0,196	—0,15	—0,113	
4,7	—0,534	—0,477	—0,387	—0,308	—0,243	—0,191	—0,149	
4,8	—0,616	—0,538	—0,438	—0,349	—0,278	—0,222	—0,176	
5,1	—0,531	—0,489	—0,417	—0,351	—0,295	—0,248	—0,209	
5,2	—0,421	—0,404	—0,366	—0,321	—0,279	—0,24	—0,205	
5,3	—0,351	—0,342	—0,32	—0,29	—0,258	—0,217	—0,199	
5,4	—0,301	—0,295	—0,281	—0,261	—0,237	—0,213	—0,189	
5,5	—0,263	—0,259	—0,249	—0,235	—0,217	—0,198	—0,179	
5,7	—0,208	—0,206	—0,2	—0,192	—0,182	—0,17	—0,157	
6	—0,154	—0,154	—0,151	—0,147	—0,141	—0,135	—0,127	
Г1/г2=5
5	0,26	0,241	0,225	0,213	0,203	0,195	0,189	
5,1	0,14	0,123	0,12	0,121	0,123	0,124	0,125	
5,2	—0,014	—0,002	0,015	0,031	0,044	0,055	0,064	
5,3	—0,2	-0,133	—0,086	—0,056	—0,031	—0,01	0,006	
5,4	—0,276	—0,23	—0,179	—0,138	-0,102	—0,072	—0,047	
5,5	—0,333	—0,31	—0,262	—0,212	—0,167	—0,129	—0,096	
5,6	—0,419	—0,394	—0,339	—0,279	—0,225	—0,178	—0,139	
5,7	—0,513	—0,48	—0,409	—0,336	—0,272	—0,218	—0,174	
5,8	—0,645	—0,574	—0,468	—0,379	—0,307	—0,249	—0,202	
6,1	—0,566	—0,522	—0,448	—0,38	-0,323	—0,274	—0,233	
6,2	-0,451	—0,434	—0,395	—0,349	—0,305	—0,265	—0,229	
6,3	—0,379	—0,37	—0,347	—0,316	—0,283	-0,251	—0,221	
6,4	—0,327	—0,322	—0,307	—0,285	—0,261	—0,236	—0^211	
6,5	—0,287	—0,284	—0,273	—0,258	—0,24	—0,22	-0,2	
6,7	—0,23	—0,228	—0,222	—0,213	—0,202	—0,19	—0,176	
7	—0,173	—0,172	—0,17	—0,165	—0,159	—0,153	—0,145	
а
м	Но f	Г г^соз^-фз)
М	2Т J	1	~-----Йф1 Йф2'
Ф1=0 <ps=0
(3.18)
При s>ri значение а определяется по формуле (3.2), в которой h —
расстояние между плоскостями расположения круговых контуров.
Формулу (3.18) можно представить в виде
М
Г2
Уо
2л
Гл л
f f R, cos (<Pt - <р2)	.
J J д---------------------“Фг^Фа.
<j,=0 <₽2=0
(3.19)
§ 3.2
Взаимная индуктивность плоских контуров
87
Продолжение табл. 3.4
h/r.
	0.8	1	1.5	2	3	4	5
	—0,022	—0,009	0,051	0,065	0,065	0,056	0,046
	—0,056	—0,017	0,033	0,053	0,059	0,053	0,044
	—0,085	—0,041	0,018	0,042	0,053	0,049	0,042
	—0,108	—0,061	0,004	0,032	0,048	0,046	0,04
	—0,146	—0,099	—0,028	0,007	0,033	0,037	0,034
	—0,149	—0,105	—0,036	0,0	0,028	0,034	0,032
	—0,149	—0,109	—0,042	—0,005	0,024	0,031	0,03
	-0,146	—0,11	—0,047	—0,011	0,02	0,028	0,028
	—0,142	—0,11	—0,05	—0,015	0,017	0,028	0,027
	—0,13	—0,105	—0,055	—0,022	0,01	0,021	0,023
	—0,111	—0,095	—0,057	—0,029	0,002	0,015	0,019
п/г2=5
	0,174	0,162	0,139	0,121	0,094	0,075	0,06
	0,125	0,124	0,117	0,107	0,087	0,071	0,058
	0,078	0,087	0,095	0,093	0,08	0,067	0,055
	0,034	0,052	0,074	0,079	0,074	0,063	0,053
	—0,007	0,019	0,054	0,067	0,067	0,059	0,05
	—0,045	—0,011	0,036	0,054	0,061	0,055	0,048
	—0,079	—0,038	0,019	0,043	0,055	0,052	0,045
	—0,108	—0,061	0,003	0,032	0,049	0,048	0,043
	—0,131	—0,081	—0,01	0,022	0,043	0,045	0,041
	-0,167	—0,118	—0,042	—0,003	0,028	0,035	0,034
	—0,17	—0,124	—0,05	—0,01	0,023	0,032	0,032
	—0,169	—0,127	—0,056	—0,016	0,019	0,029	0,03
	—0,166	—0,128	—0,06	—0,021	0,015	0,026	0,029
	—0,161	—0,127	—0,064	—0,025	0,011	0,024	0,027
	—0,148	—0,122	—0,068	—0,032	0,005	0,019	0,023
	—0,128	—0,11	—0,069	—0,038	—0.002	0,012	0,018
Рис. 3.15. Геометрическая
модель расположения двух
круговых контуров с парал-
лельными осями
88
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
где при s^ri
А= V Н2 + R9; + 1 + S2 — 2^ S cos <р4 + 2х
X ]/"sa + Я2 — 2/? S cos Ф, cos (ф, + arctg sin <Pt
1	1	\  S — /?! cos Фг
/?i=ri/r2, S = s/r2 и H=h/r2— геометрические размеры модели.
Результаты расчетов по (3.19) приведены в табл. 3.4, а для
г1/г2=1 — на рис. 3.16.
Если круговые контуры расположены в одной плоскости, то их
взаимная индуктивность определяется по (3.18) при й = 0. Результа-'
ты расчетов по (3.19) для этого случая приведены на рис. 3.17: сплош-
ная линия — при s>rl+r2 и штриховая линия — при s<ri+r2-
Пример 3.8. Два круговых контура радиусами п = 10 мм, г2=
= 5 мм = 0,005 м расположены на параллельных плоскостях, расстоя-
ние между которыми й=3 мм (рис. 3.16). Определить взаимную ин-
дуктивность контуров, если расстояние между их осями s= 17,5 мм.
Решение. Для значений Г1/г2=Ю/5 = 2, ft/r2=3/5=0,6 и $/г2=
17,5/5 = 3,5 по табл. 3.4 находим /И/г2 =—0,111 мкГн/м, откуда вза-
имная индуктивность двух круговых контуров
М=— r2-0,111 =-0,005-0,111 =—0,555-10-з мкГн =—0,555 нГн.
2.	Взаимная индуктивность кругового радиусом г и прямоуголь-
ного со сторонами 2Ь]Х2&2 контуров, расположенных симметрично
относительно плоскости АВ, как показано на рис. 3.18, а сплошной
линией,
X Лфд 4ф2
« + рьг
--------- COS Ф1
COS ф2
Xd(p1 d<f2
(3.20)
где Р = arctg
^2
s + pbt
„ fb2 I
— 2------cos Ф1 /
sin ф2 /
^2
Yi = arctg—— ;
«+*1
b = arctg —7- .
s— bx
X
Формула (3.20) справедлива для любых значений s— &i>0.
Расчет взаимной индуктивности кругового и прямоугольного кон-
туров с параллельными осями можно свести к рассмотренному выше
§ 3.2
Взаимная индуктивность плоских контуров
89
Рис. 3.16. Взаимная индуктивность двух круговых контуров с парал-
лельными осями при ri/r2=l
случаю соосного расположения контуров. Для этого дополним задан-
ный прямоугольный контур 1 прямоугольным контуром 2 и прямо-
угольным контуром 3, равным контуру 1, образующими в совокупно-
сти соосно расположенный с круговым контуром прямоугольный кон-
тур 1+2+3. Взаимная индуктивность кругового контура и прямо-
угольного контура / равна полуразности значений взаимной индук-
тивности соосно расположенных круговых контуров и двух прямо-
90
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Рис. 3.18. Геометрическая модель расположения кругового и прямо-
угольного контуров с параллельными осями:
а — прямоугольный контур расположен симметрично относительно плоскости
АВ; б — общий случай
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров	91
угольных контуров: контуров 1+2 + 3 со сторонами 2(s+&i) х262 и 2
со сторонами 2(s—60 x26г.
Пример 3.9. Круговой контур радиусом г = 40 мм и прямоуголь-
ный контур со сторонами 261 = 40 мм, 262=80 мм = 0,08 м располо-
жены в параллельных плоскостях, расстояние между которыми h—
= 16 мм. Расстояние между осями симметрии контуров з=76 мм.
Определить взаимную индуктивность кругового и прямоугольного
контуров, если они имеют плоскость симметрии АВ, как показано на
рис. 3.18, а.
Решение. Дополним заданный прямоугольный контур 1 точно
таким же контуром 3 и прямоугольным контуром 2 со сторонами
2(5—6^x262. В совокупности эти три контура образуют соорно рас-
положенный с круговым контуром прямоугольный контур 1 + 2+3 со
сторонами 2 (s+6j) х262. По табл. 3.1 для значений (s + 6i)/b2= (76+
+ 20)/40=2,4, г/&2=40/40=1 и 6/62= 16/40=0,4 находим Mi/b\ =
= 1,18 мкГн/м, откуда взаимная индуктивность соосно расположен-
ных кругового контура и прямоугольного контура 1 + 2+3
Mt = 62.1,18 = 0,04-1,18 = 0,0472 мкГн = 47,2 нГн;
для значений (s—6i)/62= (76—20)/40=1,4, г/62 = 40/40=1 и hjb^
= 16/40=0,4 Л42/62=1,35 мкГн/м, откуда взаимная индуктивность
кругового контура и прямоугольного контура 2
М2 = 62-1,35 = 0,04.1,35 = 0,054 мкГн = 54 нГн.
Искомая взаимная индуктивность кругового контура и прямо-
угольного контура 1 равна полуразности полученных значений:
М = (М1 — Мг))2 = (47,2 — 54)/2 =— 3,4 нГн.
Взаимная индуктивность кругового и квадратного контуров с па-
раллельными осями на 15—20 % больше взаимной индуктивности
двух круговых контуров, один из которых вписан в квадратный при
прочих равных условиях.
Общий случай расположения кругового и прямоугольного конту-
ров с параллельными осями показан на рис. 3.18, б сплошными лини-
ями. Дополним прямоугольный контур 1 прямоугольным контуром 2
и прямоугольным контуром 3, равным контуру 1, образующими в со-
вокупности симметричный относительно плоскости АВ прямоуголь-
ный контур 1+2+3. Взаимная индуктивность кругового контура
и прямоугольного контура 1 равна полуразности значений взаимных
индуктивностей кругового контура и двух прямоугольных контуров
1 + 2+3 и 2, которые в свою очередь можно определить по описан-
ной выше методике.
3.	Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и двух*
проводной линии шириной 26 при расстояниях s между их парал-
лельными осями и 6 между их параллельными плоскостями (рис.
3.19) равна при з—6>0 полуразности (при s—6<0 — полусумме)
взаимных индуктивностей соосно расположенных с ними (см. рис. 3.8)
кругового контура и двух двухпроводных линий шириной 26' =
= 2(s + 6) и 26"=2|s—6| при одинаковом направлении обхода и про-
чих равных условиях.
Пример 3.10. Круговой контур радиусом г=10 мм = 0,01 м
и двухпроводная линия шириной 26 = 20 мм расположены в парал-
92
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
лельных плоскостях, расстояние между которыми 6 = 6 мм (рис. 3.19).
Определить взаимную индуктивность кругового контура и двухпро-
водной линии, если расстояние между их осями симметрии s=30 мм.
Рис. 3.19. Геометрическая мо-
дель расположения кругового
контура и двухпроводной ли-
нии с параллельными осями
Рис. 3.20. Геометрическая мо-
дель расположения двух пря-
моугольных контуров с парал-
лельными осями
Решение. Определим вначале взаимную индуктивность кру-
гового контура и двух двухпроводных линий шириной
26' = 2 (s + Ь) = 2 (30 + 10) = 80 мм и
26" = 2 | s —6 | = 2 | 30 — 10 | =40 мм,
расположенных соосно с круговым контуром (рис. 3.8). По табл. 3.2
для значений 6/г=6/10=0,6, 6'/г = 40/10=4, Ь"/г=20/10=2 находим
Л1,/г=0,313 мкГн/м и М2/г=0,6 мкГн/м, откуда взаимные индуктив-
ности двухпроводных линий и кругового контура
= г-0,313 = 0,01-0,313 = 0,00313 мкГн = 3,13 нГн;
М2 = /••0,6 = 0,01-0,6 = 0,006 мкГн = 6 нГн.
Искомая взаимная индуктивность равна полуразности получен-
ных значений:
М. = (Mj — Л42)/2 = (3,13 — 6)/2 =— 1,43 нГн.
4.	Взаимная индуктивность двух прямоугольных контуров со
сторонами 261Х262, 2&3Х264 и параллельными осями, расстояние меж-
ду которыми равно s, расположенных симметрично относительно плос-
кости АВ, как показано на рис. 3.20 сплошной линией,
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров	93
^2	^8
м = ±2_	( С _____________________pi dxi dx>-_________р
2п	\J-b, Хг=-ь, V(Р1 &4 - М2 + (X! - х2 + S)2 + И*
+У f f ----------------------\ гз.2п
уДо VtL_bt V(Pi ьв - р2 ь2+sp+(у, - y2r+ h1;
Формула (3.21) справедлива для любых значений $>0.
Если соотношения длин сторон прямоугольных контуров лежат
в пределах \^b2/bi<3 и 1<Ь4/Ьз<3 и расстояние между осями
s>b2+b3, то приближенно их взаимная индуктивность при прочих
равных условиях в Ь2й4/61Ь3 раз больше взаимной индуктивности
двух круговых контуров с радиусами Г1 = ЬЬ <2 = 63, расположенных
в центре прямоугольных контуров. При одновременном сочетании
значений Ь21Ь1 = Ьи1Ь^->3 точность приближенного расчета понижается.
Взаимное расположение двух прямоугольных контуров / и /
с параллельными сторонами и параллельными осями в общем случае
показано на рис. 3.20 штриховой линией. Дополним прямоугольный
контур 1 прямоугольным контуром 2 и прямоугольным контуром 3,
равным контуру 1, которые в совокупности образуют новый прямо-
угольный контур 1 + 2+3, симметричный относительно плоскости АВ.
Взаимная индуктивность прямоугольных контуров / и 1 равна полу-
разности взаимных индуктивностей прямоугольного контура I и двух
прямоугольных контуров 1+2 + 3 и 2, каждый из которых располо-
жен симметрично относительно плоскости АВ.
Пример 3.11. Два прямоугольных контура со сторонами 2Ьхх2Ь2 =
= 100X200 мм, 2&3Х2Ь4 = 5ОХ 150 мм расположены в параллельных
плоскостях на расстоянии й = 15 мм симметрично относительно плос-
кости АВ, на рис. 3.20 показано сплошной линией. Расстояние между
осями прямоугольных контуров s = 87,5 мм. Определить приближен-
ное значение взаимной индуктивности прямоугольных контуров.
Решение. Определим вначале взаимную индуктивность двух
круговых контуров радиусами ri = bi = 50 мм, г2=Ь3=25 мм=0,025 м,
центры которых совпадают с центрами прямоугольных контуров. По
табл. 3.4 для значений г!/г2=5О/25=2, s/r2—87,5/25 = 3,5 и h/r2—
= 15/25 = 0,6 находим М/г2=—0,111 мкГн/м, откуда взаимная индук-
тивность круговых контуров
М =— г2-0,111 = —0,025-0,111 = —0,00278 мкГн = —2,78 нГн.
Приближенное значение взаимной индуктивности прямоугольных
контуров в b2bt/bib2= 100-75/50-25=6 раз больше полученного
М «-2,78-6=— 16,7 нГн.
5.	Взаимная индуктивность прямоугольного контура со сторона-
ми 2&iX2b2 и двухпроводной линии шириной 2Ь при расстояниях з
между их параллельными осями и h между их параллельными плоско-
стями, причем двухпроводная линия и две противолежащие стороны
прямоугольного контура 261 параллельны (рис. 3.21), равна при
з—Ь>0 полуразности (при s—b<Q—полусумме) взаимных индуктив-
ностей соосно расположенных с ними (см. рис. 3.14) прямоугольного
94
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
контура и двух двухпроводных линий шириной 2b,=2(s+b) и 2Ь"=
=2|s—Ь| при одинаковом направлении обхода и равных условиях.
3.2.3.	Концентрическое расположение плоских контуров
1. Взаимная индуктивность двух круговых контуров радиусами
П, гз, расположенных концентрически (рис. 3.22) под углом а,
Л4 =
л л/2 rj. га cos (<Pt — arctg (tg <p2 cos a)) X
p-o c c r ..  —.........................................._
Я ф11о ф,=-я/2 V 'l + *2 - 2ri r2 <₽2 cos2 a + sin2 Ф2 X
Рис. 3.21. Геометрическая модель
расположения прямоугольного
контура и двухпроводной линии с
параллельными осями
cos2 <р2 + sin2 tpacos2 a
X cos фх — arctg------
\	cos a
Х«/ф1«/фа.	(3.22)
Результаты расчетов по
(3.22) приведены на рис. 3.22.
Пример 3.12. Два круго-
вых контура радиусами и = 12
мм, г2=6мм=0,006м располо-
жены концентрически под уг-
лом а=25° (рис. 3.22). Опреде-
лить их взаимную индуктив-
ность.
Решение. Для значения
п/г2=12/б=2 по рис. 3.22 (точ-
ка а) определяем М/г2 = 0,94
мкГн/м, откуда взаимная ин-
дуктивность круговых контуров
М =rs-0,94 = 0,006-0,94 =
= 0,00564 мкГн = 5,64 иГи.
2. Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и пря-
моугольного со сторонами 2biX2b2, расположенных концентрически
под углом а так, что две противоположные стороны прямоугольного
контура 2&i параллельны диаметру кругового контура (рис. 3.23),
М =
rbj cos фх С<фа
COS фа
\?
—— +(bi tgфаtga)2 —
cos фа/
2rbt	+
------cos Ф1
cos фа
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров	95
М/ГрМХЛн/Yl
Рис. 3.22. Взаимная индуктивность двух круговых контуров, распо-
ложенных копцентрически
96
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Я/2-р
, (*	rb2 cos a cos ф, t/ф.,	\ j
+ 1 ------------_  .	.	-........--	з^Мф!,
m —о	1 /	/ bocosa \2	,	2rb, cosa
Фг 0 cos фо 1/ < +------------- + (b2 sin а)2 —----------со5ф[ /
V \ созф2 /	созф2 /
(3.23)
□	, &a cos а
где р = arctg —.
Если 0,3<&2/bi<3 то приближенно взаимная индуктивность
прямоугольного контура и кругового контура радиусом г при их кон-
Рис. 3.23. Геометрическая мо-
дель концентрического распо-
ложения кругового и прямо-
угольного контуров
Рис. 3.24. Геометрическая мо-
дель концентрического распо-
ложения кругового контура и
двухпроводной линии
центрическом расположении и прочих равных условиях в b<i]b\ раз
больше взаимной индуктивности этого кругового контура и кругового
контура с радиусом bj, расположенного в центре прямоугольника.
Если стороны прямоугольного контура равны bi = b2=b, то вза-
имная индуктивность этого контура и кругового контура при концен-
трическом расположении и прочих равных условиях на 10—20 %
больше взаимной индуктивности двух круговых контуров, один из
которых вписан в квадратный контур.
3.	Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и двух-
проводной линии шириной 2Ь, расположенных концентрически под
углом а (рис. 3.24), равна взаимной индуктивности этого кругового
контура и двухпроводной линии шириной 2b'=2bcosa, расположен-
ных соосно на расстоянии h = b sin а (см. рис. 3.8).
Пример 3.13. Круговой контур радиусом г=20 мм=0,02 м и двух-
проводная линия шириной 2Ь = уг2-32 мм расположены концентри-
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
97
чески под углом а=45° (рис. 3.24). Определить взаимную индуктив-
ность контура и двухпроводной линии.
Решение. Искомая взаимная индуктивность равна взаимной
индуктивности кругового контура и двухпроводной линии шириной
26' = 25cosa = 2]/"2-16 —- =32 мм, расположенных соосно нз
Кг
расстоянии й = Ь sin а=	16—- — 16 мм.
По табл. 3.2 для значений Ь'/г—16/20=0,8 и h/r= 16/20=0,8
определяем М/г =0,607 мкГн/м, т. е.
М = г-0,697 = 0,02-0,607 = 0,01214 мкГн = 12,14 нГн.
4.	Взаимная индуктивность двух прямоугольных контуров со сто-
ронами 2&1Х2Ь2 и 2&зХ2Ь4, расположенных концентрически под уг-
лом а так, что их стороны 26, и 2&3 параллельны (рис. 3.25),
Рис. 3.25. Геометрическая мо-
дель концентрического распо-
ложения двух прямоугольных
контуров
дель концентрического распо-
ложения прямоугольного кон-
тура и двухпроводной линии
98
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Рис. 3.27. Геомет-
рическая модель
эксцентрического
расположения
двух круговых
контуров
Если отношения сторон прямоугольных контуров лежат в преде-
лах 0,3<&2/bi<3 и 0,3<Ь4/Ьз<3, то приближенно их взаимная ин-
дуктивность в bjit/bibi раз больше взаимной индуктивности двух
круговых контуров с радиусами fi = &i и г2=
= 63, расположенных концентрически, при про-
чих равных условиях.
При одновременном сочетании значений
&2/bi->0,3 и b4/bt->-3 или t2/bi->-3 и 64/63—>-0,3
точность приближенного расчета взаимной ин-
дуктивности понижается.
Пример 3.14. Два прямоугольных контура
со сторонами 2biX2b2 = 3OX45 мм и 2ЬзХ2Ь4 =
= 15x60 мм расположены концентрически под
углом а = 25° так, что стороны 2bt и 2Ь3 па-
раллельны (рис. 3.25). Определить приближен-
ное значение их взаимной индуктивности.
Решение. Определим вначале взаим-
ную индуктивность двух круговых контуров
радиусами п = &!=15 мм и г2=Ь3 —7,5 Мм =
= 0,0075 м, расположенных концентрически под
углом а = 25°. Из графиков на рис. 3.22 (точ-
ка а) для значения r-Jr2= 15/7,5 = 2 находим
ЛГ/г2=0,94 мкГн/m, т. е. взаимная индуктив-
ность круговых контуров
М = л2-0,94 = 0,0075-0,94 =
= 0,00705 мкГн = 7,05 нГн.
Приближенное значение взаимной индук-
тивности прямоугольных контуров в b2b^b\b3=>
= 22,5-30/15-7,5 = 6 раз больше найденного вы-
ше значения /14 = 6-7,05 = 42,3 нГн.
5.	Взаимная индуктивность прямоугольного контура со сторонами
2bi х2Ь2 и двухпроводной линии шириной 2Ь, расположенных под уг-
лом а (рис. 3.26), равна взаимной индуктивности соосно располо-
женных на расстоянии ft=b sin а (см. рис. 3.8) этого прямоугольного
контура и двухпроводной линии шириной 2b' = 26 cos а.
3.2.4.	Эксцентрическое расположение плоских контуров
1.	Взаимная индуктивность двух круговых контуров радиусами
ri и г2, расположенных эксцентрически на расстоянии Л между их
центрами и под углом а между осями (рис. 3.27),
л	?л
М'О	С	С	'*1^*2
J	|	—^(ф! — arctg(tgcp2cosa)) X
Ф1=0 <р2=0
X Vcos2<р2sin2 <р2 cos2а d<p1dcp2,	(3.2б)
где- а = ]/"h2 2hr2 cos <p2 sin а + г2 + г2 — 2r^ r2 X
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
99
X Vcos2 q>2 cos2 а + sin2 <pt cos (cpt — arctg 
\	'cosa
Рис. 3.28. Взаимная индуктивность двух круговых контуров, распо-
ложенных эксцентрически, при а=15°
7*
Таблица 3.5. Взаимная индуктивность двух круговых контуров с эксцентрическим расположением
(рис. 3.27), отнесенная к геометрическому размеру М!гъ мкГн/м
г.	h/r2												
'l	0	|	0,2	0,4	0,6	0,8		1.2	1.5	2	2,5	з	3.5	4
						а=	=30°						
0,5	0,439	0,433	0,406	0,34	0,256	0,185	0,133	0,083	0,041	0,023	0,014	0,009	0,006
0,6	0,638	0,635	0,605	0,499	0,363	0,257	0,184	0,115	0,058	0,032	0,02	0,013	0,008
0,7	0,873	0,879	0,863	0,694	0,48	0,334	0,239	0,15	0,077	0,043	0,026	0,017	0,011
0,8	1,14	1,16	1,2	0,917	0,593	0,409	0,293	0,186	0,096	0,055	0,034	0,022	0,015
0,9	1,45	1,47	1,52	1,08	0,689	0,478	0,345	0,222	0,47	0,679	0,422	0,277	0,191
1	1,78	1,68	1,51	1,11	0,754	0,535	0,392	0,256	0,138	0,081	0,051	0,033	0,023
1,1	1,64	1,56	1,39	1,09	0,791	0,578	0,432	0,288	0,158	0,094	0,059	0,04	0,027
1,2	1,49	1,44	1,29	1,05	0,806	0,609	0,465	0,317	0,179	0,108	0,069	0,046	0,032
1,4	1,27	1,23	1,13	0,973	0,799	0,64	0,51	0,364	0,216	0,134	0,088	0,06	0,042
1,6	1,11	1,08	1	0,896	0,769	0,644	0,532	0,397	0,247	0,159	0,106	0,073	0,052
1,8	0,981	0,962	0,907	0,826	0,73	0,632	0,538	0,418	0,273	0,182	0,124	0,087	0,063
2	0,878	0,864	0,824	0,764	0,68	0,611	0,534	0,429	0,293	0,201	0,141	0,101	0,074
2,4	0,726	0,718	0,695	0,659	0,613	0,562	0,508	0,43	0,317	0,231	0,169	0,125	0,094
2,8	0,619	0,614	0,599	0,576	0,546	0,512	0,474	0,416	0,325	0,249	0,19	0,145	0,112
3,2	0,539	0,536	0,526	0,51	0,49	0,466	0,439	0,395	0,323	0,258	0,204	0,161	0,128
3,6	0,478	0,475	0,469	0,458	0,443	0,426	0,405	0,372	0,315	0,26	0,212	0,172	0,14
4	3,429	0,427	0,422	0,414	0,404	0,391	0,375	0,35	0,304	0,258	0,216	0,18	0,149
5	0,342	0,341	0,339	0,334	0,329	0,322	0,314	0,299	0,272	0,243	0,214	0,186	0,161
						а=	= 45°						
0,5	0,337	0,446	0,371	0,387	0,329	0,228	0,154	0,089	0,041	0,021	0,012	0,008	0,005
0,6	0,477	0,492	0,537	0,595	0,491	0,316	0,21	0,122	0,056	0,03	0,017	0,012	0,007
0,7	0,635	0,656	0,727	0,826	0,669	0,4	0,266	0,156	0,074	0,04	0,023	0,015	0,01
0,8	0,806	0,832	0,924	1,14	0,753	0,469	0,316	0,19	0,092	0,05	0,03	0,019	0,013
Взаимная индуктивность катушек	Гл. 3
0,9	0,992	1,0	1,07	1,04	0,76	0,515	0,359	0,228	0,11	0,061	0,037	0,024	0,016
1'	1,14	1,12	1,07	0,959	0,748	0,542	0,392	0,251	0,129	0,073	0,014	0,029	0,02
1,1	1,11	1,08	U01	о;эо1	0,73	0,536	0,417	0,275	0,146	0.085J	0,052	0,034	0,023
1,2	1,04	1,02	0,958	0,853	0,71	0,562	0,435	0,296	0,163	0,096	0,06	0,04	0,027
1Л	0,922	0,905	0,855	0,774	0,669	0,557	0,4542	0,328	0,193	0,118	0,076	0,051	0,036
1,6	0,825	0,811	0,771	0,708	0,629	0,542	0,458	0,348	0,217	0,139	0,092	0,065	0,044
1,8	0,74	0,719	0,679	0,622	0,557	0,487	0,42	0,358	0,326	0,157	0,106	0,074	0,053
2	0,675	0,666	0,642	0,603	0,555	0,5	0,443	0,361	0,25	0,172	0,12	0,085	0,062
2,4	0,568	0,563	0,547	0,523	0,491	0,455	0,415	0,355	0,265	0,194	0,142	0,105	0,179
2,8	0,49	0,486	0,476	0,46	0,438	0,413	0,385	0,34	0,269,	0,207	0,158	0,121	0,094
3,2	0,43	0,427	0,42	0,409	0,394	0,376	0,355	0,322	0,265	0,213	0,169	0,134	0,106
3,6	0,383	0,381	0,376	0,368	0,357	0,343	0,328	0,303	0,258	0,214	0,175	0,142	0,115
4	0,345	0,344	0,34	0,334	0,326	0,316	0,304	0,284	0,248	0,212	0,178	0,148	0,123
5	0,276	0,276	0,274	0,27	0,266	0,261 а =	0,254 = 60°	0,243	0,222	0,198	0,175	0,152	0,132
0,5	0,226	0,238	0,275	0,351	0.516	0,328	0,172	0,09	0,036	0,017	0,009	0,006	0,004
0,6	0,315	0,33	0,378	0,48	0,648	0,399	0,232	0,119	0,049	0,024	0,013	0,008	0,005
0,7	0,412	0,43	0,487	0,599	0,631	0,428	0,271	0,147	0,063	0,032	0,018	0,011	0,007
0,8	0,516	0,535	0,595	0,731	0,6	0,437	0,298	0,172	0,077	0,04	0,023	0,014	0,009
0,9	0,62	0,64	0,691	0,687	0,57	0,437	0,317	0,193	0,091	0,049	0,029	0,018	0,012
1	0,694	0,714	0,695	0,363	0,545	0,434	0,328	0,211	0,105	0,057	0,034	0,022	0,014
1,1	0,692	0,69	0,657	0,602	0,523	0,428	0,335	0,225	0,118	0,066	0,04	0,026	0,017
1,2	0'661	0,653	0,623	0,573	0,503	0,421	0,339	0,236	0,129	0,074	0,046	0,03	0,02
1,4	0,598	0,589	0,564	0,523	0,468	0,404	0,339	0,252	0,149	0,091	0.057	0,038	0,026
1,6	0,542	0,535	0,514	0,481	0,437	0,386	0,334	0,26	0,165	0,105	0,069	0,046	0,033
1,8	0,494	0,489	0,472	0,445	0,409	0,368	0,325	0,262	0,176	0,117	0,079	0,055	0,039
2	0,453	0,449	0,435	0,413	0,384	0,351	0,315	0,261	0,184	0,127	0,088	0,063	0,045
2,4	0,387	0,384	0,375	0,36	0,34	0,318	0,292	0,253	0,192	0,141	0,104	0,076	0,057
§ 3.2 Взаимная индуктивность плоских контуров
102
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Продолжение табл. 3.5
		N.OC4N.CO	СЧ со ю СО 00 СТ)	b- tF ШОСОЮОО CD tr 00 00 СТ)	OOOOOOO— — — СЧСЧСОСОСО’чГ^М* ооооо	оооооооооооооооооо ООООО	оооооооооооооооооо
	1 s‘e	00 СО СЧ О 00 •	СО *М* — СТ) Ст) СЧ М* <0 юосо со оо^ю 00 0)0 0 0	OOOSO- — о о — — —	оооооооооооооооооо ооооо	оооооооооооооооооо
	со*	•sf — Ю СО со	LDN СО Ш 00 СЧ Ю — F-СЧ F-'М* СО Ю Ю СО — СЧ СЧ СЧ СЧ	ОО — — — —СЧСЧ^О^О'^’^ЮСОСОСОСОСО — —. — —. —	ОООООООООООООООООО ооооо	оооооооооооооооооо
	1 я’^	05 О) О1	чЮО СО СЧ Г4- — О5Ь-СОЬ--!ГОО0>О5С~О1 rf U3 Ю Ю rf	—' — —• C4C4CO.CO'*t,THC>©©t'-t'-t'-t'-t'-r'- —————	оооооооооооооооооо ооооо	оооооооооооооооооо
	сч	СЧ 00 СЧ Ю СО	СЧ 00 «3 со Г- СЧ	СЧ 05 "4< Ь-	Ь-		 05 00 00 С- Ю	СЧ	со СО тГ Ю	СО О	03 ОО О 05	05 05	05 00 —————	оооооооооо—о——оооо ооооо оооооооооооооооооо
	ю	— Ь-» СО —	10 — ЮСОШСЧС^ —	СОООООГ**	— т^Г**СТ)СЧЬ« «FC4 —	Г**	СО 00	(X о — СЧ сч со	со со со со	со сч — о О 00 СЧ СЧ СЧ СЧ —	® О	о— — — — —	— —— —	— —— — —о_ ооооо оооооооооооооооооо
е	сч	05 СО 00	00	* со 05 СЧ	со СО Ш	05	СО 00	Ь-00	05— ts, тГ СО — t'-.	тГ	«3 t~-00	00 00 00 00	СО	СО из СО	СЧ	—	О 05 СЧСЧ СЧ СЧ —	„	—	— — — —	’I’'*.""- ооооо [2 оооооооооооооооооо
		II 00 СЧ —СО 8 О) СТ) СО fr* СЧ со	СТ) СТ) СЧ F- TF со со со 00 CD rF СЧ 00	10 10 *F rF СО СО СЧ СЧ — СТ) 00 00 О tF со СЧ — СТ) СЧ СЧ СЧ СЧ —	сч сч сч сч сч сч сч сч сч — — — — — — — — о ооооо оооооооооооооооооо
	8*0	TF *F СТ)	Ь*	СО	10	00 F-СЧ F- СО СО 00 СЧ 00 10 СО 10 Г*	СО Ю О Г* TF	СЧ	00	00	СО — ОСТ)Ь*.<010СОСЧООГ>»10^СЧ	— СТ) СП СЧ СЧ	СЧ	—	СЧ	со со СО СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ сч — — — — —	— о ооооо оооооооооооооооооо
	1 °*6 1	00 М< СО СО 05	СО «3	<50	СО	СО 05	1О	СЧ	СЧ	-4" 00 СЧ —	Ю —	05	£- — ООЮСООО	05 Tf СО	СЧ	— 05	00	«3 Tt<	СЧ О 00 О	СО	—	05 сосчсчсч—	— СЧ СО со	СО	СО СЧ	сч	СЧ СЧ	СЧ_СЧ — —	— ——	о ООООО	ОООООООООООООООООО
	О	00 — — Г- СЧ	СО — СЧ ОО СЧ СЧ сч О 05 О «3 00 05 О 00 со — 00 СЧ 05 СО СО 05	05 Tf 05 05 Ю СЧ О 1СЭ СО — 00 «3 со СЧ 05 СО СЧ СЧ СЧ —	— — СЧ СЧ-Ч" со со со сч сч сч сч — — — — — о оо'о'оо оооооооооооооооооо
	1 °’2 1	tF CD Ю СТ) СО	т#« СЧ — СТ) — *F 00 1Л т#« Ю М* СТ) Ю СЧ 00 СО Ст) СО СО СТ)	сч со — СО О СО — СТ) СО *+• СЧ СТ) СО из со СЧ Ст) ео сч сч сч —	— — СЧСЧСОСОСОСОСЧСЧСЧСЧ — — — — — о ооооо оооооооооооооооооо
	о	СО ь-. со со	со	со со — 00 СЧ — TF 00 CD N.	LO — Ю СЧ	Ст) СО СТ) CD СТ)	—	LO О Ю СТ) СО СО СЧ О) СО TF СЧ	Ст) Ь- ю со сч	СТ) сосчсчсч—	—	— счсчсчсосососчсчсчсч	— — — — —	о ооооо оооооооооооооооооо
-		00 СЧ СО	Ю СО Ь- 00 СТ) — СЧ со 00 TF оо сч со сч со со^ ю	ооооо — — — — — — счсчечсосст^ю
§ 3.2
Взаимная индуктивность плоских контуров
103
Пример 3.15. Два круговых контура радиусами ri=10 мм, г2=
=20мм=0,02м расположены эксцентрически (рис. 3.27) на расстоя-
нии Л=12 мм между их центрами. Определить взаимную индуктив-
ность контуров, если их оси пересекаются под углом а=15°.
Рис. 3.29. Геометрическая мо-
дель эксцентрического распо-
ложения кругового и прямо-
угольного контуров
Рис. 3.30. Геометрическая мо-
дель эксцентрического распо-
ложения кругового контура и
двухпроводной линии
Решение. Для значений fi/r2= 10/20=0,5 и h/r2=l2/20=0,6
из рис. 3.28 (точка а) определяем Л4/г2=0,31 мкГн/м, т. е. взаимная
индуктивность круговых контуров
М = г2-0,31 = 0,02-0,31 = 0,0062 мкГн = 6,2 нГн.
2.	Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и пря-
моугольного контура со сторонами 2biX2b2, расположенных эксцент-
рически на расстоянии h между центрами так, что их плоскости пере-
секаются под углом а и две противоположные стороны прямоуголь-
ного контура 2bi параллельные плоскости кругового контура (рис. 3.29),
я 6
.. Ho
M = —
Я „
ф1=0ф,=_р TOs
r&t cos <Pj d<p2
.2 2rbl
-----------COS Ф1 +
COS <p2
104
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Если отношение сторон прямоугольного контура равно 0,3<
<b2/bi<3, то приближенно взаимная индуктивность прямоугольно-
го и кругового контуров В &2/&1 раз больше взаимной индуктивности
кругового контура радиусом г и кругового контура радиусом bh
расположенного в центре прямоугольника, при прочих равных ус-
ловиях.
3.	Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и двух-
проводной линии шириной 2Ь. расположенных эксцентрически (рис.
3.30), равна полусумме взаимных индуктивностей кругового контура
и двух двухпроводных линий шириной 2b' = 2b cos а каждая, распо-
ложенных соосно с круговым контуром (см. рис. 3.8) на расстояниях
от его центра ht—h+b sin а и й2= \h—b sin а|.
Пример 3.16. Круговой контур радиусом г=2 мм = 0,002 м и двух-
проводная линия шириной 2Ь = 10 2 мм расположены эксцентриче-
ски (рис. 3.30) Определить взаимную индуктивность линии и кон-
тура, если их плоскости пересекаются под углом а = 45°, а расстояние
от плоскости двухпроводной линии до центра кругового контура й=
=7 мм.
Решение. Определим взаимные индуктивности кругового кон-
тура и двух двухпроводных линий шириной 2b' =2b cos а = 10 -^2/
^2 =10 мм, расположенных соосно_с круговым контуром на рас-
стояниях h.x = li+b sin а=7 + 5 yf2 1-^2= 12 мм и h2= |Л—6sina| =
= |7—5 у/~2/ 2|=2 мм. По табл. 3.2 для значений Ь'/г=5/2=2,5,
ft]/r= 12/2=6 и /г2/г=2/2=1 находим Л^/^0,44 мкГн/м и М2/г=
= 0,07 мкГн/м, т. е. взаимные индуктивности в рассматриваемых слу-
чаях
Л^! = г-0,44 = 0,002-0,44 = 0,88-10—3 мкГн = 0,88 нГн;
Л4а = г-0,074 = 0,002-0,074 = 0,148-10—3 мкГн = 0,148 нГн.
Взаимная индуктивность кругового контура и двухпроводной ли-
нии, расположенных эксцентрически,
М = (Л1, + Л43)/2 = (0,88 + 0,148)/2 = 0,514 нГн.
4.	Взаимная индуктивность прямоугольного концура со сторона-
ми 2Z>iX2&2 и двухпроводной линии шириной 2Ь, расположенных экс-
центрически так, что две противоположные стороны прямоугольного
контура 2b, параллельны линии (рис. 3.31), равна полусумме взаим-
ных индуктивностей прямоугольного контура и двух двухпроводных
§ 3.2
Взаимная индуктивность плоских контуров
105
линий шириной 2&'=25 cos а каждая, расположенных соосно с пря-
моугольным контуром (см. рис. 3.14) на расстояниях от его центра
ht = h+b sin а и Л2= |Я—b sin а|.
3.2.5.	Плоские контуры с пересекающимися осями
1.	Взаимная индуктивность двух круговых контуров радиусами
Г] и г2, расположенных так, что их оси пересекаются под углом а
(рис. 3.32),
Рис. 3.31. Геометри-
ческая модель экс-
центрического распо-
ложения прямоуголь-
ного контура и двух-
проводной линии
Рис. 3.32. Геометри-
ческая модель рас-
положения ’ двух кру-
говых контуров с пе-
ресекающимися осями
л 2л
м М-о f f
2л J J
Ч>1=0 ф,=о
r\ r3 cos (фг — arctg (tg фа cos а))Х
а
X К cos2 ф2 + sin2 фа cos2 а
------------------------------афх афа,	(3.27)
где а — у (с1 — с2 cos а)2 + 2г2	— с2 cos а) cos ф2 sin а +4+/2'Ь
106
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
+ sin2 “ — с2 sin “ C0S	' (Г1 + С2 Sin2 “ ~
— 2гг ca sin acts ф^сов? <pa cos?a + sin? <p2)x
/ tg Ф»	r, sin <Pi \ '
X cos arctg---------+ arctg-------------------- при ca sin a >
\ cos a	c2 sin a — гг cos <px /
Ci и c2 — расстояния от центров круговых контуров до точки пересе-
чения их осей. Если с2 sin а<гь то выражение для а необходимо из-
менить, как'в § 3.1.
Рис. 3.34. Геометричес-
кая модель расположе-
ния двухпроводной ли-
нии и прямоугольного
контура с пересекаю-
щимися осями
Рис. 3.33. Геометричес-
кая модель расположе-
ния кругового и прямо-
угольного контуров с пе-
ресекающимися осями
2.	Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и пря-
моугольного контура со сторонами 2t>iX2&2, расположенных симмет-
рично относительно плоскости АВ так, что их оси пересекаются под
углом а (рис. 3.33),
в
,,	I10	Г (	Г	Pr (с2 sin а + ph2	cos a) cos <pt d<p2
M =	я	II	I ---------- -----------------------
J \ J	cos фУ(cr—c3 cos a 4* pb2 sin a)24-
q>i=0 p=±l <p8=0
Взаимная индуктивность плоских контуров
107
\... +
। о । /са sin а 4-р6а cosa \2 2r (с2 sin a 4- pba cos a)
+ rt -H-----------------------— -----------------------------cos ф<
\ COS фа J	COS фа
V,
rbY COS Ф; <jcp2__
sin Ф2 (q — c2 cos a + (ftj ctg ф2 — c2 sin a) tg a)? 4-
4>2=V<
---------/-7" ,2—ГГ------------------ *Pi, (3-28)
/ b1 \” 2rbi--------------------------I
4-	r? + I----- —----------cos ф! /
\з!пфа/ sin ф2	'
о ,	bf	b<
где p = arctg —;--------—--------;	= arctg----;--------------;
c2 sin a + p62cosa	c2 sin a 4-62 cos a
6j
Ya = arctg-----'-------------;
c2 sin a — 62 cos a
Cj и c2— расстояния от центров кругового и прямоугольного конту-
ров до точки пересечения их осей.
Формула (3.28) справедлива для любых значений c2sina —
—b2 cos a>0.
3.	Взаимная индуктивность кругового контура радиусом г и двух-
проводной линии шириной 2Ь, расположенных симметрично относи-
тельно плоскости АВ так, что их оси пересекаются под углом а (рис.
3.34), равна полуразности при с2 sin а—b cos a>0 или полусумме при
c2sina—6cosa<0 взаимных индуктивностей кругового контура
и двух двухпроводных линий шириной 2b' =2(c2 sin a + b cos a)
и 26"=|c2sina—6cosa|, расположенных соосно с круговым конту-
ром (см. рис. 3.8) на расстояниях от его центра h\ = cv—c2cosa +
4-6 sin а и h2=\cl—c2cosa—b sin a| соответственно, где Ci и c2 —
расстояния от центров кругового контура и двухпроводной линии до
точки пересечения их осей.
Аналогично рассчитывается взаимная индуктивность прямоуголь-
ного контура и двухпроводной линии с пересекающимися осями (рис.
3.35).
Пример 3.17. Оси кругового контура радиусом г=5 мм = 0,005 м
и двухпроводной линии шириной 26=10-^2 мм пересекаются под
углом а=45° (рис. 3.34). Определить взаимную индуктивность ли-
нии и контура, если расстояния от их центров до точки пересечения
осей равны ci=15 мм и с2=10}Л2 мм.
Решение. Определим вначале взаимные индуктивности круго-
вого контура и двух двухпроводных линий шириной
( VI r \
26’ = 2 (с2 sin a 4- 6 cos a) = 2 I 10-4- 5-— I = 30 мм
\	1/2	/2 /
108
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
н
2	VI
77“ — о-37
2	У2
расположенных соосно с круговым контуром на расстояниях
V 2	У2
hi = b sin a -j- ct — са cos а = 5-— + 15 — 10-- = 10 мм;
У 2	У 2
У2	У2
Уг	У?
26" = 21 с2 sin а — b cos а | = 2 10
ft2 = | су — cacos а — 6sina| = 15—10
Для этого по табл. 3.2 для значений
h'/r = 15/5 = 3,	= 5/5=1,
определяем Af1/r=0,29 мкГн/м
индуктивности
Рис. 3.35. Геометрическая мо-
дель расположения двухпро-
водной линия я кругового кон-
тура с пересекающимися осями
= 10 мм,
= 0.
fti Л = 10/5 = 2 и h2/r = 0/5 = 0
и М3/г = 2,32 мкГн/м, т. е. взаимные
Рис. 3.36. Геометрическая мо-
дель расположения двух пря-
моугольных контуров с пере-
секающимися осями
§ 3.2
Взаимная индуктивность плоских контуров
109
Mt = г-0,29 = 0,005-0,29= 1,45-10—8 мкГн = 1,45 нГн;
Ма = г-2,32 = 0,005-2,32 = 11,6-10-3 мкГн=11,6 нГн.
Искомая взаимная индуктивность кругового контура и двухпро-
водной линии равна полуразности полученных значений:
М = (Л41 —Л42)/2 = (1,45— 11,6)/2 =—5,075 нГн.
4.	Взаимная индуктивность двух прямоугольных контуров со сто-
ронами 2btX2Ьг и 26зХ264, расположенных симметрично относительно
плоскости АВ так, что их оси пересекаются под углом а (рис. 3.36),
(Ъг	b,cos а
Г Г __________________Pi dXj dx2_______*
' J	J	K(Px 6,
*!=—xs=—b,cos<
+ t2 sin a)2 4* (q — ca cos a + x2 tg a)2
Pi Ps dPi
V(pt cos a —p2 b2 + c2 sin a)2+(Pi —i/2)2+
cos a + Pi &з sin a)?
5.	Взаимная индуктивность
двух контуров, расположенных
на кольцевом каркасе с внут-
ренним радиусом г и прямо-
угольным поперечным сечени-
ем со сторонами 2fci X 2b3
(рис. 3.37),
Рис. 3.37. Геометрическая модель
расположения контуров на коль-
цевом каркасе с прямоугольным
поперечным сечением
Р dy-t dy2
К(У1-^)а + к + 2&1~"
:	........—=4
— ('+(₽ + 1)\) cosai2 + (г + (р + l)Z>i)2 sin2 a
Pdy, dy2
V(У1—Р2)г+[/’ —(Р — 1) М cos a]2 +(r — (р — 1) &t)2 sin2 a
по
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
bt btcos а,
х,=—bi x2=—bi cosa
р cos a dx} dx2
К ki - + (Г + fci)(l — cos a)]? +
+[(r + 6i)sina + x2 tg a]2 + <P —
(3.30)
где a — угол между плоскостями расположения контуров.
Результаты расчетов по (3.30) приведены в табл. 3.6 и представ-
лены графиками на рис. 3.38.
Рис. 3.38. Взаимная индуктивность двух контуров, расположенных
на кольцевом каркасе с прямоугольным поперечным сечением при
rjb2=l
Пример 3.18. Два контура расположены на кольцевом каркасе
с внутренним радиусом г= 10 мм и прямоугольным поперечным се-
чением со сторонами 261 = 8 мм и 26^=20 мм = 0,02 м (рис. 3.37).
Определить взаимную индуктивность контуров, если угол между
плоскостями их расположения а = 30°.
Решение. Для значений г]Ь2= 10/10=1 и 61/62=4/10=0,4 из
рис. 3.38 (точка а) находим Л4/62=0,32 мкГн/м, т. е. искомое значе-
ние взаимной индуктивности
Л4 = 6а-0,32 = 0,01-0,32=3,2-10~3 мкГн = 3,2 нГн.
§ 3.2
Взаимная индуктивность плоских контуров
111
Таблица 3.6. Взаимная индуктивность двух контуров,
расположенных под углом а на кольцевом каркасе
прямоугольного сечения (рис. 3.37), отнесенная к геометрическому
______________________размеру М/Ь2, мкГн/м______________________
								
ь.	а0	0,4	0,5	0,7	*	1.5	2	2,5
	15	0,4	0,5	0,669	0,861	1,08	1,21	1,3
	30	0,119	0,157	0,227	0,309	0,393	0,449	0,477
9	45	0,047	0,063	0,095	0,135	0,182	0,211	0,229
	60	0,023	0,031	0,048	0,07	0,098	0,118	0,132
	75	0,013	0,018	0,029	0,043	0,063	0,078	0,09
	90	0,009	0,013	0,02	0,031	0,047	0,06	0,07
	15	0,232	0,305	0,436	0,597	0,787	0,91	0,996
	30	0,056	0,077	0,119	0,176	0,247	0,293	0,322
<3	45	0,02	0,028	0,044	0,068	0,1	0,123	0,14
О	60	0,009	0,012	0,021	0,032	0,05	0,064	0,075
	75	0 005	0,007	0,012	0,019	0,03	0,04	0,048
	90	0,003	0,005	0,008	0,013	0,022	0,029	0,036
	15	0,145	0,197	0,298	0,429	0,594	0,707	0,786
	30	0,030	0,042	0,069	0,108	0,162	0,201	0,229
А	45	0,01	0,014	0,024	0,038	0,061	0,079	0,092
*i	60	0,004	0,006	0,01	0,017	0,029	0,038	0,047
	75	0,002	0,003	0,006	0,01	0,017	0,023	0,029
	90	0,0016	0,002	0,004	0,007	0,012	0,017	0,021
	15	0,096	0,134	0,211	0,317	0,457	0,559	0,632
	30	0,018	0,026	0,043	0,07	0,111	0,144	0,168
К	45	0,0057	0,008	0,014	0,023	0,039	0,053	0,064
О	60	0,0024	0,003	0,006	0,01	0,018	0,025	0,031
	75	0,0013	0,002	0,003	0,006	0,01	0,015	0,019
	90	0,001	0,0013	0,002	0,004	0,007	0,01	0,013
	15	0,066	0,094	0,153	0,239	0,358	0,449	0,516
	30	0,011	0,016	0,028	0,048	0,079	0,106	0,127
6	45	0,0035	0,0052	0,009	0,015	0,027	0,037	0,046
	60	0,0015	0,0022	0,004	0,006	0,012	0,017	0,022
	75	0,0008	0,0012	0,0021	0,003	0,007	0,01	0,013
	90	0,0005	0,0008	0,0014	0,0025	0,0047	0,007	0,009
112
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
3.2.6. Общий случай
Для расчета взаимной индуктивности двух плоских контуров про-
извольной формы, произвольно расположенных в пространстве отно-
Рис. 3.39. Геометри-
ческая модель взаим-
ного расположения
двухпроводной ли-
нии и сложного кон-
тура
сительно друг друга, необходимо восполь-
зоваться (1.10) в общем виде.
Если площади произвольных контуров
можно представить как суммы площадей
простых контуров (круг, прямоугольник,
равносторонний треугольник), то взаимная
индуктивность двух произвольных контуров
будет равна сумме взаимных индуктивно-
стей каждого простого контура, располо-
женного в одном произвольном контуре,
и всех простых контуров, расположенных
в другом произвольном контуре. Таким об-
разом, расчет взаимной индуктивности двух
произвольных плоских контуров можно све-
сти к расчету взаимных индуктивностей
простых плоских контуров, рассмотренных
выше.
Пример 3.19. Сложный контур и двух-
проводная линия шириной 26 = 66 мм рас-
положены в параллельных плоскостях, рас-
стояние между которыми 6=105 мм, сим-
метрично относительно плоскости АВ (рис.
3.39). Определить взаимную индуктивность
контура и линии.
Решение. Представим сложный кон-
тур двумя простыми контурами: контуром
1, составляющим половину кругового кон-
тура радиусом г=30 мм, и прямоугольным
контуром 2 со сторонами 2О1Х262=100Х
ХбОмм. Взаимные индуктивности контура 1
и двухпроводной линии и контура 2 и двух-
проводной линии определены в примерах
3.4. 3.7 и равны Aft=l,47 нГн, М2 = 6,1 нГн.
Взаимная индуктивность сложного контура и двухпроводной
линии
Л1 = Л1ХЛ1а = 1,47 + 6,1 = 7,57 нГн.
3.3. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КАТУШЕК И ПЛОСКИХ
КОНТУРОВ
Формулы для расчета взаимной индуктивности при различной
форме плоских контуроц и катушек получены на основе суммирова-
ния взаимных индуктивностей плоского контура и каждого витка
катушки. Витки катушки в свою очередь также представляются в ви-
де плоских контуров.
Ниже рассматриваются однослойные цилиндрические и прямо-
§ 3.3
Взаимная индуктивность катушек и контуров
113
угольные катушки, магнитно связанные с плоскими круговыми или
прямоугольными контурами, а также с двухпроводной линией, как
наиболее простые для математического описания. Для нахождения
взаимной индуктивности при соосном
расположении контура и катушки, а
также при параллельности их осей
приводятся номограммы и таблицы
В других случаях расположения кон-
тура и катушки приводятся только
расчетные формулы для определения
взаимной индукции по математичес-
ким моделям.
3.3.1. Соосиое расположение катушек
и плоских контуров
1. Взаимная индуктивность одно-
слойной цилиндрической катушки ра-
диусом г2, длиной I, шагом намотки
ftp, числом витков ш=//й2 и кругово-
го контура радиусом п, расположен-
ных соосно (рис. 3.40, поз. 1) и со-
гласно (х=0),
К>/2
М —- 2 Л4в,к ~
k——w/2
'I'/?	Л
Рис. 3.40. Геометрическая
модель соосного располо-
жения однослойцой цилинд-
рической катушки и круго-
вого контура (/) или двух-
проводной линии (2)
гх r2 cos ф с/ф
’ftft2)2 + г? + г? — 2r, r2 cos ф
(3.31)
где Мв,к — взаимная индуктивность, определяемая по (3.6) й-го
витка катушки и контура, расстояние между центрами которых равно
й=йй2; номер витка, расположенного в плоскости контура, принят
за нулевой.
Формула (3.31) справедлива для любых значений r2<ri<r2. Ре-
зультаты расчетов по (3.31) приведены на рис. 3.41: сплошные линии
для п/г2=1,1, а штриховые и штрихпунктирные линии для г1/г2=1,2;
1,3; 1,4. Из рис. 3.41 видно, что в диапазоне 0<й2/г2<1 при г\}г2>-
>1,2 величина MhJ(r2l) изменяется не более чем на 10—15 %, при-
чем тем меньше, чем больше отношение г\1г2.
С учетом практического постоянства величины Mh2/(r2l) для
этого случая в табл. 3.7 приведены ее значения при ft2/r2=0,l.
Если />2(Г1 + 2г2), то взаимная индуктивность катушки и кру-
гового контура мало зависит от отношения г,/г2 (рис. 3.42, поз 1).
Это объясняется особенностями характеристик взаимной индуктив-
ности соосно расположенных круговых контуров (см. рис. 3.3). Дей-
8—260
Таблица 3.7. Взаимная индуктивность кругового контура и цилиндрической однослойной катушки
(рис. 3.40, поз. /), расположенных соосно и согласно (х — 0),
отнесенная к геометрическим размерам Mh2/(r2l), мкГи/м
Цгг
Гг		2	3	4 1	5	6	7	8	9	10	12	14	16	18	20
1,2	2	1,4	1,07	0,865	0,72	0,615	0,536	0,474	0,425	0,385	0,323	0,278	0,244	0,218	0,196
1,3	1,84	1 ,34	1,04	0,848	0,71	0,609	0,531	0,471	0,423	0,383	0,322	0,278	0,244	0,217	0,196
1,4	1,69	1,28	1,01	0,83	0,7	0,602	0,527	0,468	0,42	0,381	0,321	0,277	0,243	0,217	0,196
1,5	1,57	1,22	0,982	0,812	0,688	0,594	0,522	0,464	0,418	0,379	0,32	0,276	0,243	0,217	0,195
1,6	1,46	1,16	0,951	0,794	0,677	0,587	0,517	0,46	0,415	0,377	3,319	0,275	0,242	0,216	0,195
1,8	1,28	1,06	0,892	0,758	0,654	0,571	0,506	0,453	0,409	0,373	0,316	0,274	0,241	0,215	0,195
2	1,14	0,974	0,837	0,723	0,63	0,555	0,495	0,445	0,403	0,368	0,313	0,272	0,24	0,215	0,194
2,5	0,9	0,8	0,716	0,64	0,573	0,514	0,465	0,422	0,386	0,355	0,305	0,267	0,236	0,212	0,192
3	0,743	0,676	0,621	0,569	0,519	0,475	0,435	0	0,368	0,341	0,296	0,26	0,232	0,209	0,19
3,5	0,638	0,583	0,546	0,508	0,472	0,437	0,405	0,376	0,35	0,326	0,286	0,254	0,227	0,205	0,187
4	0,552	0,513	0,485	0,458	0,431	0,404	0,378	0,354	',332	0,312	0,276	0,247	0,222	0,202	0,184
5	0,439	0,413	0,396	0,383	0,363	0,347	0,33	0,313	0,298	0,283	0,255	0,231	0,211	0,193	0,178
6	0,365	0,345	0,333	0,323	0,312	0,301	0,29	0,279	0,267	0,256	0,235	0,216	0,199	0,184	0,171
7	0,313	0,296	0,288	0,28	0,273	0,266	0,258	0,25	0,241	0,233	0,217	0,202	0,188	0,175	0,163
8	0,274	0,26	0,253	0,248	0,242	0,237	0,231	0,225	0,219	0,213	0,20	0,188	0,176	0,166	0,156
9	0,243	0,231	0,226	0,222	0,218	0,213	0,209	0,205	0,20	0,195	0,185	0,176	0,166	0,157	0,148
10	0,219	0,203	0,204	0,20	0,197	0,194	0,191	0,187	0,184	0,18	0,172	0,164	0,156	0,149	0,141
Взаимная индуктивность катушек
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров
115
ствительно, суммирование в (3.31) можно приближенно заменить
интегралом, значение которого при />2(ri+2r2) мало зависит от от-
ношения Г1/Г2.
8'
Рис. 3.41. Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической ка-
тушки и кругового контура, расположенных соосно и согласно при
п/г2=1,1
116
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Если круговой контур и однослойная цилиндрическая катушка
расположена соосио и несогласно, то их взаимная индуктивность рав-
на при 0<х<//2 полусумме (при х>//2—полуразности) взаимных
Рис. 3.42. Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической ка-
тушки и плоского контура, расположенных соосио и согласно:
/ — круговой контур с диаметром 2п при !/2>п+2г2; S — двухпроводная линия
шириной 2Ь при //2>2(га+Ь)
индуктивностей двух однослойных цилиндрических катушек длиной
/!=/+2х и h=l—2х (Zi=l+2x и 12=2х—1), каждая из которых рас-
положена относительно кругового контура соосно и согласно.
Пример 3.20. Цилиндрическая однослойная катушка с шагом
намотки Л2=0,5 мм, длиной 1=20 мм и радиусом г2=5 мм=0,005 м
расположена соосно (рис. 3.40, поз. /) с круговым контуром ради-
усом п = 10 мм. Определить взаимную индуктивность катушки и кон-
тура при согласном (х=0) и несогласном (х=5 мм) их располо-
жении.
Решение, а) Согласное расположение, х=0.
Для значений г(/г2= 10/5=2, ft2/r2=0,5/5=0,! и !/г2=20/5=4
из табл. 3.7 следует Mft2/(r2/)= 0,723 мкГн/м, т. е. взаимная индук-
тивность кругового контура и однослойной цилиндрической катушки
/	20
М—г2— 0,723 = 0,005—- 0,723 = 0,1446 мкГн = 144,6 нГн.
0,5
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров
117
б)	Несогласное расположение, х=5 мм.
Определим взаимные индуктивности кругового контура и кату-
шек с длиной /1 = /+2х=204-2-5 = 30 мм и 12=1—2х=20—2-5=10 мм,
каждая из которых расположена согласно с круговым контуром.
По табл. 3.7 для значений А/г2=30/5=6, /2/г2= 10/5=2 и Г\1т2=
= 10/5 = 2 находим Л41Я2/(г2/1) — 0,555 мкГн/м и М^21(г21^ =
=0,974 мкГн/м, т. е. искомые взаимные индуктивности
/	30
= г2	0,555 = 0,005 —— 0,555 = 0,1665 мкГн = 166,5 нГн.
“2	0,5
Л42 = г2 -ф- 0,974 = 0,005 -—-7-0,974 = 0,0974 мкГн = 97,4 нГн.
/12	0,5
Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической катушки
и кругового контура при несогласном расположении
М = (Л41-|-Л12)/-2 = (165,5	97,4)/2 = 131,95 нГн.
2.	Взаимная индуктивность двухпроводной линии шириной 2Ь
и однослойной цилиндрической катушки радиусом г2, длиной I, ша-
гом намотки /г2 с числом витков w — l/h2, расположенных соосно
(рис. 3.40, поз. 2) и согласно (х=0),
w/l
М = 2 Мв.к,	(3.32)
fe=—w/2
где Л4в,к—определяемая по (3.10) взаимная индуктивность 6-го
витка катушки и двухпроводной линии.
Результаты расчетов по (3.32) приведены на рис. 3.43: сплош-
ные линии — для Ь/г2=1,1, штриховые и штрихпунктирные линии —
для Ь/г2=1,3 и 1,5. Из рис. 3.43 видно, что в диапазоне 0<й2/г2-<1
при 6/г2>1,3 величина Mh2l(r2l} изменяется не более чем на 5 %,
поичем тем меньше, чем больше отношение b/r2. С учетом практиче-
ского постоянства величины Mh2/(r2l) для этого случая в табл. 3.8
приведены ее значения при h2/r2=0,l.
Если />4(г24-6), то взаимная индуктивность катушки и двух- ’
проводной линии мало зависит от отношения Ъ/г2 (рис. 3.42, поз.
2). Это объясняется так же, как и при соосном расположении одно-
слойной цилиндрической катушки и кругового контура (рис. 3.42,
поз. 1).
Если двухпроводная линия и однослойная цилиндрическая ка-
тушка расположены соосно и несогласно, то их взаимная индуктив-
ность равна при 0^х<//2 полусумме (при х>1/2— полуразности)
взаимных индуктивностей двух однослойных цилиндрических кату-
шек длиной 11 = /+2х и 12=1—2х (li=l+2x и 12=2х—I), каждая из
которых расположена относительно двухпроводной линии соосно
и согласно.
Пример 3.21. Однослойная цилиндрическая катушка длиной
!=50 мм, радиусом г2=10 мм = 0,01 м и шагом намотки Л2=1 мм
расположена соосно с двухпроводной линией шириной 26=40 мм
(рис. 3.40, поз. 2). Определить взаимную индуктивность линии и ка-
тушки при согласном (х=0) и несогласном (х=5 мм) расположе-
ниях.
118
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
, мкГн/и
Рис. 3.43. Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической ка-
тушки и двухпроводной линии, расположенных соосно и согласно,
при b/r=l,l
Таблица, 3.8. Взаимная индуктивность двухпроводное линии и однословное цилиндрической катушки
(рис. 3.40, поз. 2), расположенных соосно и согласно (jc = O),
отнесенная к геометрическим размерам	мкГи/м
ь	Иг,																
	1	2	3	4	1 5	1 6	7	1 8	1 9	10	12	14	16	18	20
1,3	1,14	0,912	0,757	0,646	0,561	0,495	0,443	0,4	0,365	0,335	0,288	0,252	0,225	0,202	0,184
1,5	0,978	0,815	0,695	0,604	0,531	0,472	0,425	0,386	0,353	0,325	0,281	0,247	0,22	0,199	0,181
2	0,718	0,636	0,57	0,512	0,463	0,42	0,384	0,352	0,326	0,302	0,264	0,234	0,21	0,191	0,174
2,5	0,567	0,517	0,477	0,44	0,406	0,375	0,347	0,322	0,301	0,281	0,248	0,222	0,201	0,183	0,168
3	0,470	0,435	0,409	0,383	0,359	0,336	0,315	0,296	0,278	0,262	0,234	0.211	0,192	0,176	0,162
3,5	0,401	0,374	0,356	0,338	0,320	0,303	0,287	0,272	0,257	0,244	0,220	0,2	0,183	0,168	0,156
4	0,350	0,329	0,315	0,301	0,288	0,275	0,263	0,25	0,239	0,228	0,208	0,19	0,175	0,162	0,15
5	0,280	0,264	0,256	0,247	0,239	0,231	0,223	0,215	0,207	0,2	0,185	0,172	0,16	0,149	0,14
6	0,233	0,221	0,215	0,21	0,205	0,2	0,194	0,189	0,183	0,178	0,167	0,157	0,148	0,139	0,131
7	0,2	0,19	0,185	0,181	0,178	0,174	0,171	0,167	0,163	0,159	0,151	0,143	0,136	0,129	0,122
8	0,175	0,166	0,163	0,16	0,157	0,155	0,152	0,149	0,146	0,143	0,137	0,131	0,125	0,12	0,114
9	0,156	0,148	0,145	0,143	0,141	0,139	0,137	0,135	0,133	0,13	0,126	0,121	0,116	0,112	0,107
10	0,14	0,134	0,131	0,129	0,127	0,126	0,124	0,123	0,121	0,119	0,116	0,112	0,108	0,104	0,101
12	0,117	0,112	0,11	0,108	0,107	0,106	0,105	0,104	0,103	0,102	0,1	0,097	0,095	0,092	0,09
14	0,101	0,096	0,094	0,093	0,093	0,092	0,091	0,091	0,09	0,089	0,087	0,086	0,084	0,082	0,08
16	0,089	0,084	0,083	0,082	0,081	0,081	0,08	0,08	0,079	0,079	0,078	0,076	0,075	0,074	0,072
20	0,071	0,068	0,067	0,066	0,066	0,065	0,065	0,065	0,064	0,064	0,064	0,063	0,062	0,061	0,06
24	0,06	0,057	0,056	0,056	0,055	0,055	0,055	0,055	0,054	0,054	0,054	0,053	0,053	0,052	0,052
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров
120
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Решение, а) Согласное расположение, х=0.
По табл. 3.8 для значений Z/rs=50/10=5, 6//’2=20/10=2
и /i2/r2= 1/10=0,1 определяем Mh2/(r2l) =0,463 мкГн/м, т. е. вза-
имная индуктивность двухпроводной линии и однослойной цилин-
дрической катушки
I	50
Л4 = га- 0,463 = 0,01 - 0,463 = 0,2315 мкГн = 231,5 нГн.
/г,	1
б) Несогласное расположение, х=5 мм.
Определим вначале взаимные индуктивности двух катушек дли-
ной Zi = Z+2x=50+2-5=60 мм и 12—1—2х=50—2,5 = 40 мм, каждая
Рис. 3.44. Геометри-
ческая модель соос-
ного расположения
однослойной катушки
прямоугольного сече-
ния и кругового кон-
тура (/) или двух-
проводной линии (2)
из которых расположена относительно
двухпроводной линии соосно и согласно.
По табл. 3.8 для значений Zi/r2=
= 60/10=6 и Z2/r2= 40/10=4 при 6/г2=
= 20/10=2 и h2jr2= 1/10=0,1 находим
Mih2l(r2l\) =0,42 мкГн/м и M2h2/(r2l2) =
= 0 512 мкГн/м, т. е. взаимные индуктив-
ности в рассматриваемых случаях
L
M1 = ra — 0,42 = 0,01 X
Ла
X —у—0,42 = 0,252 мкГн = 252 нГн;
М2 = га-^-0,512 = 0,01 X
Ад
40
Х~у—0,512 = 0,2048 мкГи = 204,8 нГн.
Взаимная индуктивность однослой-
ной цилиндрической катушки и двухпро-
водной линии, расположенных соосно и
несогласно,
М = (Л11+Л12)/2 =
= (252 4-204,8)/2 = 228,4 нГн.
3.	Взаимная индуктивность однослой-
ной катушки прямоугольного сечения со
сторонами 26i X26г, длиной А шагом на-
мотки 62 и числом витков w=Hh2 и двух-
проводной линии шириной 26, располо-
женных соосно (рис. 3.44, поз. 2) и согласно (х=0),
ш/2
м = 2 mb,k
S=— w/2
(3.33)
где Л4в,к — определяемая no (3.16) взаимная индуктивность й-го
витка катушки и двухпроводной линии.
Таблица 3.9. Взаимная индуктивность двухпроводной линии и однослойной катушки
прямоугольного сечения (рис. 3.44, поз. 2), расположенных соосно и согласно (х=0).
отнесенная к геометрическим размерам	мкГн/м
ъ	г/ь,														
Ь,	1	2	1 3	1 4	5	6	7	1 8	9	1 10	12	1 14	16	18	20
1,3	1,52	1,18	0,973	0,824	0,714	0,629	0,561	0,506	0,461	0,423	0,363	0,318	0,282	0,254	0,231
1,5	1,29	1,06	0,893	0,77	0,675	0,6	0,539	0,489	0,447	0,411	0,355	0,311	0,277	0,25	0,228
2	0,931	0,82	0,731	0,654	0,589	0,534	0,487	0,447	0,413	0,383	0,-634	0,296	0,266	0,241	0,22
2,5	0,73	0,664	0,611	0,562	0,517	0,477	0,441	0,41	0,382	0,357	0,315	0,282	0,254	0,232	0,212
3	0,602	0,556	0,522	0,489	0,458	0,428	0,401	0,376	0,353	0,333	0,297	0,268	0,243	0,223	0,205
4	0,446	0,419	0,401	0,384	0,368	0,351	0,335	0,319	0,304	0,29	0,264	0,242	0,222	0,206	0,191
5	0,355	0,335	0,324	0,314	0,305	0,295	0,284	0,274	0,264	0,254	0,235	0,219	0,203	0,19	0,178
6	0,295	0,28	0,272	0,264	0,259	0,252	0,246	0,239	0.232	0,225	0,211	0,198	0,186	0,175	0,165
7	0,253	0,22	0,234	0,229	0,225	0,22	0,216	0,216	0,206	0,201	0,191	0,181	0,171	0,162	0,154
8	0,221	0.21	0,205	0,202	0,198	0,195	0,192	0,188	0,185	0,181	0,173	0,165	0,158	0,151	0,144
9	0,196	0,187	0,183	0,18	0,177	0,175	0,172	0,17	0,167	0,164	0,158	0,152	0,146	0,14	0,135
10	0,176	0,168	0,165	0,162	0,16	0,158	0,156	0,154	0,152	0,15	0,145	0,141	0,136	0,131	0,126
12	0,147	0,14	0,137	0,136	0,134	0,133	0,132	0,13	0,129	0,128	0,125	0,122	0,118	0,115	0,112
14	0,126	0,12	0,118	0,117	0,116	0,115	0,114	0,113	0,112	0,111	0,109	0,107	0,105	0,102	0,1
17	0,103	0,099	0,097	0,096	0,095	0,095	0,094	0,093	0,093	0,092	0,091	0,09	0,088	0,087	0,085
20	0,088	0,084	0,083	0,082	0,081	0,081	0,08	0,08	0,08	0,079	0,078	0,077	0,076	0,075	0,074
23	0,076	0,073	0,072	0,071	0,071	0,07	0,07	0,07	0,069	0,069	0,068	0,068	0,67	0,067	0,066
26	0,068	0,065	0,064	0,063	0,062	0,062	0,062	0,062	0,061	0,061	0,061	0,06	0,06	0,059	0,059
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров
122
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Результаты расчетов по (3.33) приведены на рис. 3.45: сплош-
ные линии — для Ь/Ь2=1,1, а штриховые и штрихпунктирные ли-
нии— для Ь/Ь2=1,3 и 1,5. Из графиков видно, что в диапазоне
0<h2/b2^\ при &/Ь2>1,3 величина Mh2[(bil) изменяется не более
Рис. 3.45. Взаимная индуктивность однослойной катушки прямо-
угольного сечения и двухпроводной линии, расположенных соосно
и согласно, при Ь/Ь2=1,1
§ 3.3
Взаимная индуктивность катушек и контуров
123
чем на 10 %, причем тем меньше, чем больше отношение Ь\/Ъг. С уче-
том практического постоянства величины Mhz/(Ь^Г) для этого слу-
чая в табл. 3.9 приведены ее значения при 62/62=0,1.
При несогласном расположении катушки и двухпроводной ли-
нии (х>0) методика расчета их взаимной индуктивности совпадает
с описанной в п. 3.3.1.
Пример 3.22. Однослойная катушка прямоугольного сечения со
сторонами 261=15 мм и 262=10 мм = 0,01 м, длиной Z=40 мм и ша-
гом намотки А2=2 мм расположена соосно и согласно (х=0) с двух-
проводной линией шириной 26=15 мм (рис. 3.44, поз. 2). Опреде-
лить взаимную индуктивность линии и катушки.
Решение. По табл. 3.9 для значений Z/62=40/5=8 и 6/62=
= 7,5/5=1,5 определяем AfA2/(6J) =0,489 мкГн/м, т. е, взаимная
индуктивность двухпроводной линии и катушки
I	40
Л4 = &1— 0,489 = 0,0075------ 0,489 = 0,0735 мкГн = 73,5 нГн.
h2	2
4.	Взаимная индуктивность однослойной катушки прямоугольно-
го сечения со сторонами 26t х26а, длиной I, шагом намотки /г2 и чи-
слом витков w = ljh2 и кругового контура радиусом г, расположен-
ных соосно (рис. 3.44, поз. 1) и согласно (х=0),
и>/2
-	Л4= 2	(3.34)
fe= — и>/2
где Л4в,к — определяемая по (3.9) взаимная индуктивность /г-го
витка катушки и кругового контура.
Результаты расчетов по (3.34) при 62/62=0,1 приведены в табл.
3.10. Они справедливы и для значений 0<62/62^1, так как величи-
на Mh2/(b2l) изменяется при этом не более чем на 10 %.
При несогласном (х>0) расположении кругового контура и ка-
тушки их взаимная индуктивность определяется по описанной в п.
3.3.1 методике.
Пример 3.23. Однослойная катушка прямоугольного сечения со
сторонами 261=15 мм и 262=10 мм = 0,01 м, длиной Z=30 мм и ша-
гом намотки 62=1 мм расположена соосно и согласно с круговым
контуром радиусом г—12,5 мм (рис. 3.44, поз. 7). Определить вза-
имную индуктивность кругового контура и катушки.
Решение. По табл. 3.10 для значений Z/62 = 30/5 = 6, г/Ь2 —
= 12,5/5 = 2,5, 6]/62=7,5/5= 1,5 определяем Л162/(62Z) = 0,992 мкГн/м,
т. е. взаимная индуктивность кругового контура и катушки
Z	30
Л4 = 6,— 0,992 = 0,005------ 0,992 = 0,149 мкГн = 149 нГн.
2 62	1
5. Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической ка-
тушки с радиусом г2, длиной Z, шагом 62 и числом витков w = llh2
и прямоугольного контура со сторонами 26iX262, расположенных
соосно (рис. 3.46), равна взаимной индуктивности соосно располо-
женных однослойной катушки прямоугольного сечения и кругового
контура (рис. 3.44, поз. /) при одинаковых одноименных размерах
Zi2, 6,, 62, I, х, г—г2.
Таблица 3.10. Взаимная индуктивность кругового контура и однослойной катушки
прямоугольного сечения, расположенных соосно (рис. 3.44, поз. /) и согласно (х=0),
отнесенная к геометрическим размерам	мкГн/м
?/ь2
	1 1 2		з	4	5	6	7	8	9	10	12	14	16	18	20
0,3	0,16	0,123	0,096	0,078	0,065	0,056	bi/b 0,048	2=1 0,043	0,038	0,035	0,029	0,025	0,022	0,019	0,018
0,5	0,46	0,345	0,269	0,218	0,181	0,155	0,135	0,119	0,107	0,967	0,812	0,699	0,614	0,547	0,493
0,7	0,949	0,689	0,531	0,-28	0,356	0,303	0,264	0,233	0,209	0,189	0,159	0,137	0,12	0,107	0,964
0,9	1,68	1,16	0,886	0,71	0.589	0,502	0,437	0,386	0,346	0,313	0,262	0,226	0,198	0,177	0,159
1,6	1,96	1,52	1,23	1,02	0,865	0,749	0,659	0,587	0,529	0,48	0,406	0,351	0,309	0,276	0,249
1,8	1,71	1,38	1,15	0,971	0,835	0,729	0,645	0,577	0,521	0,475	0,403	0,349	0,307	0,275	0,248
2	1.51	1,27	1,08	0,926	0,805	0,709	0,631	0,567	0,514	0,469	0,399	0,346	0,306	0,273	0,247
3	0,959	0,87	0,798	0,728	0,664	0,606	0,555	0,509	0,47	0,435	0,377	0,332	0,295	0,266	0,242
4	0,708	0,658	0,621	0,586	0,55	0,516	0,483	0,452	0,423	0,397	0,351	0,314	0,283	0,257	0,235
6	0,467	0,441	0,426	0,413	0,399	0,385	0,37	0,355	0,341	0,327	0,3	0,275	0,254	0,234	0,217
10	0,279	0,266	0,26	0,255	0,251	0,247	0,243	0,238	0,234	0,229	0,219	0,209	0,199	0,189	0,18
Ь 1/62=1.5
0,3	0,139	0,111	0,09	0,074	0,063	0,054	0,047	0,042	0,038	0,034	0,029	0,025	0,022	0,02	0,018
0,5	0,397	0,311	0,251	0,207	0,175	0,151	0,132	0,117	0,105	0,095	0,08	0,069	0,061	0,054	0,049
0,7	0,812	0,621	0,495	0,407	0,343	0,295	0,258	0,23	0,206	0,187	0,158	0,14	0,119	0,106	0,096
0,9	1,42	1,05	0,827	0,676	0,568	0,489	0,428	0,379	0,341	0,309	0,26	0,225	0,197	0,176	0,159
Взаимная индуктивность катушек	Гл. 3
иьг
	1	1 2	3	4	1 s	6		8
2	2,49	2	1,66	1,41	1,22	1,07	0,949	0,852
2,2	2,19	1,83	1,56	1,34	1,17	1,04	0,927	0,836
2,5	1,86	1,62	1,42	1,25	1,11	0,992	0,893	0,81
3	1,49	1,34	1,22	1,11	1,01 .	0,916	0,836	0,767
4	1,08	1	0,946	0,889	0,833	0,779	0,727	0,86
6	0,706	0,666	0,643	0,622	0,601	0,579	0,557	0,535
10	0,42	0,399	0,39	0,383	0,377	0,371	0,365	0,358
20	0,21	0,2	0,197	0,195	0,193	0,192	0,191	0,19
							bt/b	2 = 2
0,3	0,13	0,104	0,086	0,072	0,061	0,053	0,047	0,042
0,5	0,37	0,293	0,239	0,199	0,17	0,147	0,129	0,115
0,7	0,755	0,584	0,472	0,392	0,333	0,289	0,254	0,226
0,9	1,32	0,986	0,787	0,651	0,552	0,478	0,42	0,374
2,4	2,93	2,39	2,03	1,75	1,53	1,36	1,21	1,1
2,6	2,6	2,2	1,9	1,66	1,47	1,31	1,18	1,07
3	2,13	1,88	1,68	1,51	1,36	1,23	1,12	1,03
4	1,49	1,37	1,29	1,21	1,12	1.05	0,977	0,912
6	0,953	0,898	0,867	0,838	0,808	0,778	0,747	0,716
10	0,561	0,534	0,522	0,513	0,504	0,496	0,487	0,487
20	0,28	0,267	0,262	0,26	0,258	0,256	0,254	0,253
Продолжение табл. 3.10
9	10 |	12		14	16	18	20
0,771	0,704	0,598	0,519	0,458	0,41	0,37
0,759	0,695	0,592	0,515	0,456	0,408	0,369
0,74	0,68	0,583	0,509	0,451	0,405	0,367
0,706	0,653	0,566	0,497	0,443	0,399	0,362
0,636	0,597	0,528	0,471	0,424	0,385	0,352
0,512	0,491	0,45	0,413	0,38	0,351	0,326
0,351	0,344	0,329	0,313	0,298	0,284	0,27
0,188	0,187	0,184	0,182	0,178	0,175	0,172
0,037	0,034	0,028	0,025	0,022	0,019	0,017
0,104	0,095	0,08	0,069	0,061	0,054	0,049
0,204	0,185	0,156	0,135	0,119	0,106	0,096
0,337	0,306	0,258	0,223	0,197	0,175	0,158
0,998	0,915	0,782	0,682	0,604	0,541	0,49
0,98	0,901	0,774	0,676	0,6	0,538	0,488
0,945	0,873	0,755	0,664	0,591	0,532	0,483
0,852	0,798	0,705	0,628	0,565	0,513	0,469
0,686	0,657	0,601	0,552	0,507	0,468	0,434
0,469	0,459	0,439	0/18	0,398	0,378	0,359
0,251	0,249	0,246	0,242	0,238	0,233	0,229
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров
ю
сл
126
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Пример 3.24. Однослойная цилиндрическая катушка длиной
/—30 мм, радиусом Г2==12,5 мм и с шагом намотки Аг2*= 1 мм распо-
ложена соосно с прямоугольным контуром со сторонами 2Ь1Х26г=
= 15X10 мм (рис. 3.46). Определить взаимную индуктивность кон-
тура и катушки при их согласном (х=0) расположении.
Рис. 3.46. Геометричес-
кая модель соосного рас-
положения однослойной
цилиндрической катуш-
ки и прямоугольного
контура
Рис. 3.47. Геометричес-
кая модель расположе-
ния плоского контура и
однослойной цилиндри-
ческой катушки с парал-
лельными осями (/ и
2 — то же, что и на
рис. 3.42)
Решение. Искомая взаимная индуктивность равна взаимной
индуктивности соосно расположенных кругового контура и одно-
слойной катушки прямоугольного сечения (рис. 3.44, поз. 1) при
одинаковых одноименных размерах ht, blt bt, I, х, г=гг, рассчитан-
ной в примере 3.23, т е. Л4 = 149 нГн.
3.3.2. Катушки и плоские контуры с параллельными осями
1. Взаимная индуктивность кругового контура радиусом и иод-
нослойной цилиндрической катушки радиусом г2, длиной I, с шагом
намотки h2 и числом витков w=l/h2 при согласном расположении
(х=0) и расстоянии s между их параллельными осями (рис. 3.47,
поз. 1)
W/1
М — 2 Л4В1К,	(3.35)
*=-и>/2
§ 3.3
Взаимная индуктивность катушек и контуров
127
где Л4в>к — определяемая по (3.18) взаимная индуктивность й-го вит-
ка катушки и кругового контура.
Результаты расчетов по (3.35) приведены на рнс. 3.48 для
Г1/Г2=1, на рис. 3.49 для п/г2=2 и на рнс. 3.50 для г1/г2=3. Сплош-
Рис. 3.48. Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической ка-
тушки и кругового контура с параллельными осями, расположенных
согласно, при rj/r2=l
128
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Рис. 3.49. Взаимная индуктивность однослойной цилндрнческой ка-
тушки и кругового контура с параллельными осями, расположенных
согласно, при ri/ra=2
ными линиями показаны зависимости для з/г2=г1/г24-0,1, а штрихо-
выми И штрих-пуиктирными ДЛЯ 5/г2 = Г1/Г2-|-0,2 и Г|/Г24-0,3.
Из графиков видно, что в диапазоне 0<А2/г2^0,5 при s/r^
>п/г24-0,3 величина Mh2l(r2l) изменяется не более чем на 10 %,
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров 129
Рис. 3.50. Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической ка-
тушки и кругового контура с параллельными осями, расположенных
согласно, при rilr2=3
причем тем меньше, чем больше отношения г\/г2 и s/r2. С учетом
практического постоянства величины Mht/tfil) для этого случая
в табл. 3.11 приведены ее значения при ЛгЛ2=0,1.
Если круговой контур и однослойная цилиндрическая катушка
9—260
130
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Таблица 3.11. Взаимная индуктивность кругового контура (рис. 3.47, поз. /), расположенных согласно (х=0), отне	
S	Иг,	'
Гг	1	1	2	|	3	|	4	| Б |	6	|	7	|
	Г\1Гч
2,3	128	81,4	53	35,4	24,4	17,2	12,4
2,5	94,6	65,2	44,8	31,1	22	15,8	11,6
3	49,4	38,7	29,6	22,3	16,8	12,7	9,71
3,5	29,2	24,5	20,1	16,1	12,7	10	7,98
4	18,8	16,4	14	11,8	9,74	7,98	6,52
4,5	12,9	11,4	10,1	8,79	7,51	6,34	5,32
5	9,21	8,32	7,52	6,69	5,85	5,07	4,35
5,5	6,82	6,23	5,72	5,18	4,63	4,09	3,58
6	5,2	4,78	4,4	4,08	3,7	3,33	2,96
6,5	4,05	3,75	3,51	3,26	3	2,73	2,47
7	3,22	2,99	2,82	2,65	2,46	2,26	2,07 ,
8	2,13	2	1,9	1,81	1,7	1,6	1,48
9	1,48	1,4	1,34	1,28	1,22	1,16	1,09
10	1,07	1,01	0,98	0,945	0,909	0,87	0,828
12	0,618 0,584	0,567	0,552	0,536	0,519	0,501
14	0,386 0,366	0,356	0,349	0,341	0,332	0,323
16	0,257 0,244	0,238	0,234	0,229	0,225	0,22
	
3,3	223	155	ПО	80,4	59,7	45	34,6
3,5	172	127	95	71,2	53,9	41,4	32,2
4	99,1	81,2	65,6	52,4	41,7	33,3	26,7
4,5	63,3	54,5	46,5	38,9	32,3	26,6	22
5	43,2	38,3	33,8	29,4	25,1	21,4	18 1
5,5	31,1	28	25,3	22,5	19,8	17,2	14,9
6	23,1	21,1	19,4	17,6	16,8	14	12,3
6,5	17,7	16,3	15,2	14	12,7	11,5	10,3
7	13,9	12,9	12,1	11,3	10,4	9,51	8,63
8	9,07	8,47	8,05	7,62	7,15	6,67	6,17
9	6,24	5,86	5,61	5,37	5,11	4,83	4,54
10	4,49	4,23	4,07	3,92	3,76	3,59	3,41
12	2,54	2,41	2,33	2,27	2,2	2,13	2,05
14	1,58	1,5	1,46	1,43	1,39	1,36	1,32
16	1,05	0,998	0,973 0,956	0,938	0,919	0,899
20	0,53	0,505	0,494 0,487	0,48	0,473	0,466
24	0,304	0,289	0,284	0,28	0,277	0,274	0,271
	/'t/га
4,3	283	203	151	114	88,3	68,2	55
4,5	223	170	131	102	80,3	63,8	51,2
5	135	112	93,5	76,9	63	51,8	42,7
5,5	89,8	78,5	68,2	58,4	49,6	42,0	35,5
§3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров 131
и однослойной цилиндрической катушки с параллельными осями сенная к геометрическим размерам Mh2l{r2l)t 10~з мкГн/м	
	
1 3	9	| Ю |	12	|	14	16	18	|	20
= 1	
9,24	6,98	5,37	3,33	2,17	1,47	1,03	0,741
8,74	6,67	5,18	3,25	2,14	1,46	1,03	0,75
7,51	5,87	4,65	3,02	2,03	1,42	1,02	0,752
6,35	5,09	4,11	2,75	1,9	1,35	0,998 0,737
5,33	4,37	3,6	2,49	1,76	1,27	0,994 0,713
4,46	3,73	3,13	2,23	1,61	1,19	0,894 0,683
3,72	3,18	2,71	1,98	1,47	1,1	0,841 0,65
3,12	2,71	2,35	1,76	1,33	1,02	0,787 0,615
2,62	2,31	2,03	1,55	1,2	0,936 0,733 0,58
2,21	1,97	1,76	1,38	1,09	0,858	0,681 0,544
1,88	1,69	1,52	1,22	0,98	0,785	0,631 0,51
1,37	1,26	1,16	0,963	0,795	0,651	0,538 0,444
1,03	0,959	0,891	0,762	0,645	0,544	0,457 0,384
0,784	0,74	0,695	0,608	0,526	0,453	0,388 0,332
0,481	0,461	0,441	0,398	0,357	0,317	0,28	0 247
0,314	0,304	0,293	9,271	0,249	0,226 0,205 0,185
0,215	0,209	0,204	0,191	0,178	0,165	0,152 0,14
= 2	
26,9	21,2	17,0	11,2	7,69	5,44	3,96	2,94
25,3	20,1	16,2	10,8	7,5	5,34	3,91	2,92
21,5	17,5	14,3	9,87	6,98	5,06	3,75	2,84
18,2	15,1	12,6	8,9	6,43	4,74	3,56	2,73
15,3	12,0	11	7,98	5,88	4,41	3,36	2,6
12,8	11,1	9,55	7,11	5,35	4,08	3,15	2,47
10,8	9,49	8,28	.6,32	4,86	3,76	2,94	2,33
9,17	8,13	7,19	5,61	4,39	3,45	2,74	2,19
7,78	6,98	6,25	4,98	3,96	3,16	2,54	2,05
5,68	5,21	4,75	3,92	3,22	2,64	2,17	1,79
4,24	3,94	3,65	3,11	2,62	2,2	1,85	1,55
3,23	3,04	2,85	2,48	2,14	1,84	1,57	1,34
1,97	1,89	1,8	1,62	1,45	1,29	1,14	1
1,28	1,24	1,2	1,1	1,01	0,923 0,834 0,751
0,878	0,855	0,831	0,781	0,728	0,674	0,621 0,569
0,459	0,451	0,442	0,424	0,404	0,384	0,362 0,341
0,268	0,264	0,261	0,253	0,244	0,244 0,225 0,215
=3	
44,2	35,9	29,5	20,4	14,5	10,6	7,98	6,08
41,6	34,1	28,1	19,7	14,1	10,4	7,84	6
35,5	29,6	24,8	17,8	13	9,77	7,44	5,76
30,1	25,6	21,8	16	12	9,09	7,01	5,48
	
132
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
S							
Гг	> 1	2 1	3 1	4	3 1	6 1	' 1
6	63,6	56,9	51	45	39,4	34,2	29,6
6,5	47	42,8	39,1	35,3	31,5	27,9	24,6
7	35,9	33	30,6	28,1	25,5	23	20,6
7,5	28,2	26,1	24,4	22,7	20,9	19,1	17,3
8	22,6	21	19	18,6	17,3	16	14,7
9	15,2	14,2	13,5	12,9	12,2	П.5	10,7
10	10,7	10,1	9,72	9,33	8,92	8,49	8,03
12	5,98	5,66	5,48	5,32	5,16	4,98	4,79
14	3,68	3,49	3,39	3,31	3,27	3,15	3,06
16	2,42	2,3	2,24	2,2	2,16	2,Н	2,07
18	1,68	1,6	1,56	1,54	1,51	1,48	1,46
22	0,906	0,863	0,845	0,834	0,823	0,813	0,803
26	0,542	0,517	0,507	0,501	0,496	0,491	0,486
5,1	413	282	205	155	120	95,4	76,7
5,3	323	237	180	139	НО	88,4	71,8
5,5	258	200	158	125	100	81,8	67,1
6	161	136	114	96	80,2	67,1	56,4
6,5	ПО	97,2	85,4	74,2	64	55	47,3
7	79,9	72	65,1	58,1	51,4	45,2	39,6
7,5	60,3	55,1	50,7	46,2	41,7	37,4	33,3
8	46,9	43,3	40,3	37,3	34,2	31,1	28,2
9	30,4	28,3	26,8	25,3	23,7	22,1	20,4
10	20,9	19,6	18,8	17,9	17,1	16,1	15,1
12	п,з	10,7	10,3	10	9,67	9,31	8,93
14	6,84	6,48	6,3	6,15	5,99	5,83	5,65
15	5,48	5,1	5,06	4,95	4,84	4,72	4,6
17	3,68	3,49	3,41	3,35	3,29	3,23	3,16
19	2,59	2,46	2,41	2,37	2,34	2,3	2,26
23	1,43	1,36	1,33	1,31	1,3	1,28	1,27
27	0,87	0,83	0,814	0,804	0,796	0,789	0,781
							ПЛ-
6,1	446	309	229	175	138	111	91,1
6,3	352	262	202	159	127	108	85,4
6,5	284	223	178	143	116	96,2	80,1
7	181	154	131	111	93,9	79,6	67,8
7,5	126	112	99,2	86,9	75,7	65,8	57,2
8	93,2	84,3	76,6	69	61,5	54,6	48,3
8,5	71,4	65,4	60,5	55,5	59,4	45,6	41
9	56,3	52	48,7	45,3	41,8	38,3	34,9
10	37,2	34,8	33,1	31,3	29,5	27,6	25,6
11	26,2	24,6	23,6	22,6	21,5	20,4	19,3
12	19,2	18,1	17,4	16,8	16,2	15,5	14,8
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров 133
_____________________________________ Продолжение табл. 3.11
1/гг						
1 8	9	10 1	12 1	14 1	16 1	18
25,5	22	19	14,3	10,9	8,42	6,57
21,6	18,9	16,6	12,8	9,92	7,76	6,14
18,3	16,3	14,5	11,4	8,99	7,12	5,71
15,6	14,1	12,6	Ю,1	8,13	6,55	5,3
13,4	12,2	11	9,02	7,35	6	4,91
9,97	9,22	8,5	7,16	6	5,02	4,19
7,56	7,08	6,62	5,72	4,91	4,19	3,57
4,59	4,38	4,17	3,74	3,33	2,95	2,59
2,97	2,86	2,76	2,54	2,32	2,Н	1,9
2,02	1,96	1,91	1,79	1,66	1,54	1,41
1,43	1,4	1,37	1,3	1,22	1,15	1,07
0,792	0,78	0,767	0,74	0,711	0,679	0,647
0,481 «з=4	0,475	0,48	0,457	0,444	0,429	0,414
62,5	51,5	42,9	30,4	22,2	16,6	12,6
59	48,9	41	29,3	21,6	16,2	12,4
55 6	46,4	39,1	28,2	20,9	15,9	12,1
47,6	40,5	34,5	25,5	19,2	14,7	Н,5
40,7	35,1	30,4	23	17,6	13,7	10,8
34,7	30,4	26,6	20,6	16	12,6	10,1
29,6	26,3	23,3	18,4	14,6	11,6	9,4
25,4	22,8	20,4	16,4	13,2	10,7	8,73
18,8	17,2	15,7	13,1	10,8	9,02	7,5
14,2	13,2	12,2	10,5	8,92	7,57	6,41
8,52	8,11	7,69	6,84	6,07	5,34	4,68
5,46	5,27	5,06	4,64	4,23	3,83	3,43
4,46	4,32	4,18	3,87	3,56	3,25	2,96
3,09	3,01	2,93	2,76	2,58	2,4	2,22
2,22	2,17	2,13	2,02	1,92	1,8	1,69
1,26	1,23	1,21	1,17	1,13	1,08	1,03
0,774 = 5	0,765	0,757	0,738	0,717	0,695	0,671
75,4	63	53,2	38,8	29	22,1	17,2
71,2	59,9	50,9	37,4	28,1	21,6	16,8
67,2	56,9	48,5	'36	27,3	21	16,5
58,0	49,8	43	32,6	25,1	19,6	15,5
49,8	43,4	38	29,3	22,9	18,2	14,5
42,7	37,8	33,5	26,4	20,9	16,8	13,6
36,7	32,9	29,4	23,6	19,1	15,5	12,6
31,6	28,7	25,9	21,2	17,3	14,2	11,7
23,7	21,9	20,2	17	14,3	12	10,1
18,1	17	15,3	13,7	11,8	10,1	8,68
14,1	13,3	12,6	Н,1	9,76	8,53	7,43
20
5,19
4,9
4,6
4,32
4,04
3,51
3,04
2,28
1,71
1,29
0,996
0,613
0,398
9,8
9,67
9,51
9,07
8,59
8,11
7,63
7,16
6,26
5,44
4,09
3,08
2,68
2,04
1 ,58
0,985
0,646
13,6
13,3
13,1
12,4
11,8
И,1
10,4
9,78
8,55
7,44
6,47
134
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
S	1/гг								
T,		2	з	4	5	й	7	8	
14	11,3	10,7	10,4	10,1	9,88	9,58	9,27	8,93	
15	9,01	8,54	8,31	8,12	7,92	7,72	7,5	7,27	
17	5,98	5,68	5,54	5,44	5,33	5,22	5,И	4,99	
21	3,04	2,89	2,83	2,79	2,75	2,71	2,67	2,63	
25	1,75	1,67	1,64	1,62	1,6	1,58	1,57	1,55	
29	1,1	1,05	1,03	1,02	1,01	1	0,996	0,987	
S	Иг г								
'г	1	2	3		5	6	7	8	
П/Га
7,1	470	329	247	191	153	124	102	85,9
7,3	374	281	218	174	141	116	96,6	81,4
7,5	304	241	193	157	129	108	90,7	77
8	197	169	144	123	105	89,9	77,7	66,7
8,5	139	124	НО	97,4	85,5	74,9	65,6	57,6
9	104	94,5	86	78	70,1	62	55,8	49,7
9,5	80,7	74,1	68,8	63,4	57,9	52,6	47,6	42,9
10	64,3	59,5	55,9	52,1	48,3	44,5	40,7	37,2
11	43,3	40,5	38,5	36,6	34,6	32,5	30,3	28,2
12	30,9	29	27,9	26,8	25,6	24,3	23,1	21,7
14	17,6	16,6	16,1	15,7	15,2	14,7	14,1	13,6
16	П ,1	10,5	10,2	10	9,79	9,55	9,29	9,02
18	7,47	7,1	6,93	6,81	6,68	6,55	6,42	6,27
20	5,29	5,03	4,92	4,84	4,77	4,69	4,61	4,53
22	3,89	3,7	3,62	3,57	3,52	3,48	3,43	3,38
26	2,28	2,17	2,13	2,Н	2,08	2,06	2,04	2,02
30	1,45	1,39	1,36	1,34	1,33	1,32	1,31	1,3
								Г\/г2
8,1	484	345	261	204	164	135	112	94,7
8,3	391	296	232	186	152	126	106	89,9
8,5	320	255	206	169	140	117	99,6	85,1
9	210	180	155	133	114	98,5	85,2	74,1
9,5	150	134	119	106	93,7	82,6	72,8	64,3
10	ИЗ	103	94,3	85,7	77,3	.69,4	62,2	55,7
10,5	88,6	81,5	75,8	70,1	64,3	58,7	53,3	48,4
Й	71,1	66	62	58,1	54	49,9	45,9	42,1
12	48,6	45,5	43,4	41,3	39,1	36,8	34,5	32,2
13	35,1	33	31,7	30,5	29,3	27,9	26,5	25,1
15	20,4	19,3	18,7	18,2	17,7	17,1	16,5	15,9
17	13	12,4	12,1	11,8	11,5	11,3	И	10,7
19	8,92	8,48	8,28	8,13	7,99	7,84	7,69	7,52
21	6,38	6,07	5,94	5,85	5,76	5,67	5,58	5,48
23	4,73	4,51	4,41	4,35	4,3	4,24	4,18	4,12
§ 3.3 Взаимная индуктивность катушек и контуров 135
Продолжение табл. 3.11
		Игг					
		10	12	14	16	18	20
	8,59	8,23	7,51	6,79	6,11	5,47	4,88
	7,02	6,77	6,25	5,72	5,2	4,71	4,25
	4,86	4,72	4,43	4,13	3,83	3,53	3,24
	2,58	2,54	2,43	2,32	2,2	2,08	1,96
	1,53	1,51	1,46	1,42	1,36	1,31	1,25
	0,978	0,968	0,047	0,923	0,897	0,87	0,841
	1/гг						
	9 1	10	|	11	|	12		1 13 I	14	|	16	|	18	| 20	
= 6
72,6 69,2	62 59,3	53,3 51,2	46,1 44,5	40,1 38,8	35,1 34,1	27,3 26,6	21,5 21,1	17,2 16,9
65,8	56,7	49,1	42,8	37,5	33	25,9	20,6	16,6
57,8	50,4	44,2	38,8	34,3	30,4	24,1	19,4	15,7
50,6	44,7	39,5	35,1	31,2	27,9	22,4	18,1	14,9
44,3	39,5	35,3	31,6	28,3	25,5	20,7	17	14
38,7	34,9	31,5	28,4	25,7	23,2	19,1	15,8	13,1
33,9	30,8	28,1	25,5	23,2	21,1	17,6	14,7	12,3
26,2	24,2	22,3	20,6	19	17,5	14,9	12,6	10,8
20,4	19,2	17,9	16,7	15,6	14,5	12,6	10,9	9,43
13	12,4	11,8	И,2	10,6	Ю,1	9,03	8,04	7,14
8,73	8,44	8,13	7,82	7,51	7,19	6,58	5,99	5,43
6,12	5,95	5,78	5,61	5,43	5,25	4,89	4,52	4,17
4,44	4,34	4,24	4,14	4,03	3,92	3,7	3,47	3,24
3,32	3,26	3,2	3,13	3,07	3	2,85	2,71	2,56
1 ,99	1,97	1,94	1,91	1 ,88	1,85	1,79	1 ,72	1,65
1,29	1 ,27	1 ,26	1,25	1,23	1,22	1,18	1,15	1,11
= 7								
80,7	69,4	60,1	52,4	46	40,5	31,9	25,5	20,7
77	65,5	57,9	50,6	44,5	39,4	31,1	25	20,3
73,4	63,7	55,6	48,8	43,1	38,2	30,3	24,4	19,9
64,7	56,8	50,1	44,3	39,4	35,2	28,3	23	18,9
56,9	50,5	45	40,1	35,9	32,3	26,2	21,5	17,8
50	44,8	40,3	36,2	32,7	29,6	24,3	20,1	16,8
43,9	39,7	36	32,7	29,7	27	22,4	18,7	15,8
38,6	35,3	32,2	29,5	26,9	24,6	20,7	17,4	14,8
30	27,9	25,8	23,9	22,2	20,5	17,6	15,1	13
23,6	22,2	20,9	19,5	18,3	17,1	14,9	13	11,3
15,3	14,6	13,9	13,3	12,6	12	10,8	9,67	8,64
10,3	10	9,69	9,34	8,99	8,63	7,93	7,25	6,61
7,34	7,16	6,96	6,76	6,56	6,35	5,93	5,51	5,1
5,38	5,27	5,16	5,04	4,91	4,78	4,52	4,26	3,99
4,06	3,99	3,84	3,76	3,68	3,51	3,34	3,34	3,16
136	Взаимная индуктивность катушек	Гл. 3
с параллельными осями расположены несогласно, то их взаимная
индуктивность равна при 0^x<Z/2 полусумме (при x>Z/2— полу-
разности) взаимных индуктивностей двух однослойных цилиндриче-
ских катушек длиной lt = l + 2x и 1^=1—2х (Zj = Z + 2x и Za=2x—Z),
каждая из которых расположена согласно с круговым контуром.
Пример 3.25. Однослойная цилиндрическая катушка радиусом
/"2=10 мм = 0,01 мм, длиной Z=30 мм и с шагом намотки Zi2=l мм
и круговой контур радиусом и = 20 мм имеют параллельные оси,
расстояние между которыми з=40 мм (рис. 3.47, поз. /). Опреде-
лить взаимную индуктивность контура и катушки при нх согласном
(х=0) и несогласном (х=5 мм) расположениях.
Решение, а) Согласное расположение, х=0.
По табл. 3.11 для значений r1/r2=20/10=2, s/rs=40/10=4,
?/г2=30/10 = 3 н Л2/г2= 1/10=0,1 определяем MZi2/(r2Z) =65,6х
Х10~8 мкГн/м, т. е. взаимная индуктивность кругового контура
и однослойной катушки
Z	30
М = г9---- 65,6-10—3 = 0,01 --- 65,6-10—3 =
/га	1
= 0,0196 мкГн = 19,6 нГн.
б) Несогласное расположение, х=5 мм.
Определим вначале взаимную индуктивность кругового контура
и двух согласно расположенных с ним однослойных катушек дли-
ной Zi = Z+2x=30 + 2-5=40 мм, Z2=Z—2х=30—2-5=20 мм.
По табл. 3.11 для значений Zj/r2=40/10=4 и Z2/ra=20/10=2
при s/r2=40/10 = 4, Zi2/r2e 1/10=0,1 и fi/r2=20/10=2 находим
Mih2/(rsli) = 52,4-10-3 = мкГн/м и AI2/i2/(r2Z2) = 81,2-10~3 мкГн/м,
т. е. взаимные индуктивности
Z.	40
М1=г,~~ 52,4-10~3 = 0,01------- 52,4-10-3 =
Ла	1
= 0,02096 мкГн = 20,96 иГн;
Z	20
М, = г, —81,2-1О~3 = 0,01------81,2.10-3 =
3 йа	1
= 0,01624 мкГн= 16,24 нГн.
Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической катушки
и кругового контура, расположенных несогласно,
М = (Л4, + Л4а)/2 = (20,96 + 16,24)/2 = 13,6 нГн.
2. Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической катуш-
ки радиусом г2, длиной Z и с шагом намотки Л2 и двухпроводной ли-
нии шириной 2b с расстоянием между их параллельными осями
s (рис. 3.47, поз. 2) равна при s—Ь>г2 полуразности (при b—s>
>г2— полусумме) взаимных индуктивностей этой катушки и двух
соосно расположенных с ней двухпроводных линий шириной 2Ь' =
= 2(s + 6) и 26"=2|s—Z>|. Методика расчета взаимной индуктивно-
сти однослойной цилиндрической катушки и двухпроводной линии
при соосном расположении приведена в п. 3.3.1.
Пример 3.26. Однослойная цилиндрическая катушка длиной
§ 3.3
Взаимная индуктивность катушек и контуров
137
1=50 мм, радиусом г2=10 мм = 0,01 м и с шагом намотки 112=1 мм
расположена несоосно (з = 30 мм) и согласно (х=0) с двухпровод-
ной линией шириной 26=20 мм (рис. 3.47, поз. 2). Определить вза-
имную индуктивность катушки и двухпроводной линии,
Решение. Определим вначале взаимную индуктивность одно-
слойной цилиндрической катушки и соосно расположенных с ней
двух двухпроводных линий шириной 2b' = 2(s + b) =2(304*10) =
= 80 мм и 2b"=2\s—Ъ|=21(30—10)|=40 мм. По табл. 3.8 для зна-
чений Ь'/г2=40/10=4 н Ь"/г2=20/10 = 2 при 1/г2=50/10=5 и
= 1/10=0,1 находим Л41/12/(г20 = 0,288 мкГн/м и Л42Л2/(г21) =
= 0,463 мкГн/м, т. е. взаимные индуктивности
I	50
Мг — г„--- 0,288 = 0,01 - 0,288 = 0,144 мкГн = 144 нГн}
1	2 h2	’	1
I	50
Л4» = г„-- 0,463 = 0,01 - 0,463 = 0,231 мкГи=231 нГн.
2	2 Л2	’	1
В рассматриваемом случае з—6 =
= 30—10=20>г2= 10 мм. Поэтому иско-
мая взаимная индуктивность
М =	— Л12)/2 = (144 — 231 )/2 =
=— 43,5 нГн,
3.3.3.	Эксцентрическое расположение
катушек и плоских контуров
1.	Взаимная индуктивность однослой-
ной цилиндрической катушки длиной I,
с шагом намотки Л2, числом витков ш =
= l!ht и радиусом г2 и кругового конту-
ра радиусом п, расположенных эксцент-
рически под углом а между их осями
(рис. 3.51, поз. 1) и согласно (х=0),
ш/2
М = 2 Мв,к. (3.36)
Ь=-ш/2
где Л4в,к — взаимная индуктивность k-ro
витка катушки и кругового контура, оп-
ределяемая по (3.27) при С[ = 0 и с2=
=ft2A; номер центрального витка катуш-
ки принят за нулевой.
Формула (3.36) справедлива для лю-
бых значений r2<ri<r2.
Если круговой контур и однослой-
Рис. 3.51. Геометричес-
кая модель эксцентри-
ческого расположения
однослойной цилиндри-
ческой катушки и плос-
кого контура:
1 и 2 — то же. что на рив.
3.42
ная цилиндрическая катушка располо-
жены несогласно, то их взаимная индуктивность равна при
0^х<//2 полусумме (при х>//2 — полуразности) взаимных индук-
тивностей двух однослойных цилиндрических катушек длиной
138
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
=1 + 2х и /2=/—2х (li=l+2x и 12=2х—I), каждая из которых рас?
положена согласно с круговым контуром.
2.	Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической катуш-
ки и двухпроводной линии, расположенных эксцентрически (рис.
3.51, поз. 2) и несогласно (х#=0), равна полусумме взаимных индук-
тивностей этой катушки и двух одинаковых двухпроводных линий
шириной 2&' = 2bcos<p, каждая из которых расположена с катушкой
соосно (рис. 3.40, поз. 2) и несогласно на расстояниях	sin ce
и хг= |х—b sin а|.	________
Пример 3.27. Двухпроводная линия шириной2b=2j/ 52-)-202 мм
и однослойная цилиндрическая катушка с шагом намотки Л2=1 мм,
длиной /=50 мм и радиусом г2=Ю мм расположены эксцентрически
20
под углом a = arccos----	 между их осями (рис. 3.51, поз. 2)
У 52 + 202
и согласно х=0. Определить взаимную индуктивность двухпровод-
ной линии и катушки.
Решение. Заменим данную двухпроводную линию двухпро-
водной линией шириной 2b'=2b cos a= (2V 52+202• 2o)52-(-202=
= 40 мм, расположенной с катушкой соосно и несогласно на расстоя-
нии х = 6 sin a= (]Л52 + 20?-sj/V 52 + 20? = 5 мм (рис. 3.40, поз.
2).
Взаимная индуктивность двухпроводной линии и катушки оп-
ределена в примере 3.21 и равна М = 228,4 нГн. Такое же значение
взаимной индуктивности будет для эксцентрического расположения
катушки и двухпроводной линии.
3.3.4.	Катушки и плоские контуры с пересекающимися осями
1.	Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической ка-
тушки длиной I, с шагом h2, числом витков w = l/h2 и радиусом г2
и кругового контура радиусом г(, расположенных согласно (х=0)
так, что их оси пересекаются под углом а (рис. 3.52, поз. 1),
w/2
Л4 = £ Л4В,К1	(3.37)
k=-w/2
где взаимная индуктивность Л1в,к &-го витка катушки и кругового
контура определяется но (3.29) при с2=С( cos a + h2k; номер цент-
рального витка катушки принят за нулевой.
Если круговой контур и однослойная цилиндрическая катушка
с пересекающимися осями расположены несогласно, то их взаимная
индуктивность равна при 0^х<//2 полусумме (при х>1/2—полу-
разности) взаимных индуктивностей двух однослойных цилиндриче-
ских катушек длиной Zi=Z + 2x и l2=l—2x (Zi = Z + 2x и 12=2х—1),
каждая из которых расположена согласно (х=0) с круговым кои-
туром при прочих равных условиях.
2.	Взаимная индуктивность однослойной цилиндрической катуш-
ки и двухпроводной линии шириной 2b с пересекающимися под уг-
лом а осями (рис. 3.52, поз. 2) в общем случае (х>0) равна при
Cisina>6cosa полуразности (при clsina<bcosa — полусумме)
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
139
Рис. 3.52. Геометрическая мо-
дель расположения однослой-
ной цилиндрической катушки и
плоского контура с пересекаю-
щимися осями:
1 и 2 — то же, что на рис. 3.42
взаимных индуктивностей этой
катушки и двух двухпровод-
ных линий шириной 2Ь' =
=2(Cj sin a-f-Ь cos а) и 2b"=
= 21 Ci sin a—b cos a располо-
женных относительно нее соос-
но (рис. 3.40, поз. 2) и несо-
гласно на расстояниях х\=х+
+ b sin а и х2= |х— b sin a|. Ме-
тодика расчета взаимной ин-
дуктивности для этого случая
рассмотрена в п. 3.3.1.
3.3.5. Общий случай
Рассмотренные выше мето-
ды расчета взаимных индуктив-
ностей однослойных цилиндри-
ческих катушек н круговых
контуров при их различных взаимных расположениях справедливы и
для других форм сечений однослойных катушек и плоских контуров.
Действительно, выражения взаимных индуктивностей Л40,к (3.33)—
(3.37) одного плоского витка однослойной катушки и плоского кон-
тура справедливы при любой форме плоских фигур. Для наиболее
распространенных на практике форм сечеиия однослойных катушек
и плоских контуров выражения для взаимной индуктивности Л4ВК
можно заимствовать из § 3.2.
Взаимная индуктивность многослойной катушки и плоского кон-
тура определяется как сумма взаимных индуктивностей плоского
контура и каждого слоя катушки.
3.4. ВЗАИЛ1НАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ КАТУШЕК
Формулы для расчета взаимных индуктивностей различно рас-
положенных катушек с различной формой поперечных сечений по-
лучены на основе суммирования взаимных индуктивностей каждого
витка одной катушки н всех витков другой катушки, причем витки
обеих катушек представляются плоскими. Ниже рассмотрены одно-
слойные цилиндрические и прямоугольные катушки с параллельны-
ми осями и соосным расположением, как наиболее простые для ма-
тематического описания. Приведены справочные номограммы и таб-
лицы.
110
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
3.4.1.	Соосное расположение катушек
1.	Взаимная индуктивность двух однослойных цилиндрических
катушек радиусами г(, г2, с одинаковым шагом намотки h2, одина-
ковой длины I и с числом витков w — \/h2l расположенных соосно
(рис. 3.53) и согласно (х=0),
tip йу
й1==1 бг=1
|10 r2 cos <р dtp
l(\ — kz) h2]2 + + r22 — 2гг r2 cos ф
(3.38)
где Л1в,в—определяемая по (3.6) взаимйая индуктивность двух вит-
ков катушек, расположенных на расстоянии h—\ki—/г2|й2 вдоль осей;
ki и k2— порядковые номера витков катушек.
Результаты расчетов по (3.38) приведены на рис. 3.53. Из гра-
фиков видно, что в диапазоне 0<Л2/г2^0,8, при ri/r2^l,2 величина
изменяется не более чем на 10 %. С учетом практического
постоянства величины МЬ21(г21г) для этого случая в табл. 3.12 при-
ведены ее значения при Л2/г2=0,1.
При различном шаге намотки катушек h2(i^h2(2-) их взаимная
индуктивность изменяется в h2Wlh2(2) раз относительно случая, когда
их шаги намоток одинаковы (A2(i) = ft2(2)) при прочих равных гео-
метрических размерах*.
Пример 3.28. Две однослойные катушки одинаковой длины I —
= 40 мм с радиусами п = 15 мм, г2= 10 мм=0,01 м расположены со-
осно и согласно (рис. 3.53). Определить их взаимную индуктивность
при шаге намотки ft2(i)=/i2(2) = l мм и /i2ri) = l мм, Л2(2) = 2мм.
Решение, а) Одинаковый шаг намотки, /г2(1, —/г2(2) = 1 мм.
Для геометрических размеров п/г2 = 15/10= 1,5, /г2(1)/г2=/г2;2)/г2 =
= 1/10=0,1 и Z/r2=40/10 = 4 по табл. 3.12 находим Mhl/(r2l2) =
= 0,705 мкГн/м, т. е. взаимная индуктивность катушек
I2	40?
М = гг — 0,705 = 0,01 ———0,705= 11,28 мкГн = 11 283 нГн.
б) Различный шаг намотки, /г2(п = 1 мм, Л2(2)=2 мм.
Взаимная индуктивность катушек изменится в h2^/h2{2) = 1/2=
= 0,5 раза относительно взаимной индуктивности при одинаковом
шаге намотки ft2(i)=A2(2) = 1 мм, т. е.
Л4 = 0,5-11 280 = 5640 нГн,
* Здесь и далее при обозначении однотипных параметров с ин-
дексами номер катушки дается в скобках.
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
141
Рис. 3.53. Взаимная индуктивность двух однослойных цилиндричес-
ких катушек, расположенных соосно и согласно
2.	Взаимная индуктивность соосно расположенных однослойных
цилиндрических катушек 1 и 2, имеющих длину h, li, шаг намотки
и Нцч,, число витков W\ = li/h2l\'l,	радиусы каркасов
Г1, г2 и расстояние между средними поперечными сечениями катушек
х (рис. 3.54),
Таблица 3.12. Взаимная индуктивность двух однослойных цилиндрических катушек равной длины Z
(рис. 3,53), расположенных соосно и согласно (х=0), с одинаковым шагом намотки h2 ,
отнесенная к геометрическим размерам М1г^/(г21?), мкГн/м
	1/г,															
'г	0,5	1 >	2	1 3	4	1 5	6	7	8	9	10	12	14	16	18	20
1,2	2,12	1,71	1,22	0,94	0,763	0,641	0,552	0,485	0,432	0,39	0,0355	0,301	0,261	0,23	0,206	0,186
1,3	1,88	1,58	1,16	0,908	0,743	0,627	0,542	0,477	0,426	0,385	0,351	0,298	0,259	0,229	0 205	0,185
1,4	1,69	1,46 '	1,1	0,878	0,724	0,614	0,533	0,47	0,421	0,38	0,347	0,295	0,257	0,227	0,204	0.184
1,5	1,53	1,36	1,06	0,85	0,705	0,602	0,524	0,463	0,415	0,376	0,344	0,293	0,255	0,226	0,202	0.183
1,6	1,41	1,27	1,01	0,823	0,688	0,59	0,515	0,456	0,41	0,372	0,34	0,29	0,253	0,224	0,201	0,182
1.8	1,22	1,13	0,932	0,774	0,655	0,566	0,498	0,443	0,4	0,363	0,333	0,285	0,25	0,211	0,199	0,181
2	1,07	1,01	0,861	0,729	0,625	0,545	0,482	0,431	0,39	0,355	0,326	0,281	0,246	0,219	0,197	0,179
2,5	0,833	0,804	0,72	0,634	0,559	0,496	0,445	0,402	0,366	0.336	0,311	0,269	0,237	0,212	0.191	0,174
3	0,683	0,667	0,558	0,454	0,454	0,412	0,412	0,376	0,345	0,319	0,296	0,258	0,229	0,206	0,186	0,17
3,5	0,58	0,57	0,538	0,497	0,455	0,417	0,382	0,352	0,325	0,302	0,282	0,248	0,221	0,199	0,181	0,166
4	0,505	0,498	0,476	0,446	0,415	0,384	0,356	0,33	0,308	0,287	0,269	0,238	0,214	0,193	0,176	0,162
5	0,401	0,398	0,386	0,37	0,351	0,331	0,311	0,293	0,276	0,26	0,246	0,221	0,2	0,182	0,167	0,155
6	о.ззз	0,331	0,325	0,315	0,302	0,289	0,275	0,262	0,249	0,237	0,225	0,205	0,187	0,172	0,159	0,147
7	0,285	0,284	0,28	0,273	0,265	0,256	0,246	0,236	0,226	0,216	0,207	0,19	0,175	0,162	0,151	0,141
8	0,249	0,249	0,246	0,241	0,235	0,229	0,221	0,214	0,206	0,199	0,191	0,177	0,165	0,153	0,143	0.134
9	0,222	0,221	0,219	0,216	0,212	0,207	0,201	0,195	0,189	0,183	0,177	0,166	0,155	0,145	0,136	0,128
10	0,199	0,199	0,198	0,195	0,192	0,188	0,184	0,18	0,175	0,17	0,165	0,155	0,146	0,138	0,13	0,123
Взаимная индуктивность катушек	Гл. 3
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
143
W, О),
М = 2 2-^.в-	(3.39)
*,=1 Л2=1
где Мв в — взаимная индуктивность Лгго витка катушки 1 и fe2-ro
витка катушки 2, определяемая по (3.6) при расстоянии между
плоскостями расположения витков
^2 I	^2(2)
Л=	~	х й2(!) /fj-j- й2(а) fea, (3.40)
Рис. 3.54. Геометрическая модель для общего случая соосного распо-
ложения двух однослойных цилиндрических катушек
Следовательно,
Л^в,в
о
|х01\ г2 cos <р dtp
_х_h2Mki +hMkiy+
+ 'l + *2 — 2ri r2 C0S f
(3.41)
2
Формула (3.41) справедлива для любых значений rl<r2<ri,
l2>h>l2 и х>0.
Расчет взаимной индуктивности Afj2 двух однослойных цилиндри-
ческих катушек 1 и 2, расположенных соосно и несогласно (х=^=0),
можно свести к рассмотренному выше случаю соосного и согласного
(х=0) расположения двух катушек одинаковой длины (рис. 3.53).
Например, при х>(/1 + /г)/2 катушку 1 необходимо дополнить
катушками Г и 1" длиной /р = /2 и	=х—(/i + /2)/2 с шагом на-
мотки /г2(1), а катушку 2 — катушками 2' и 2" длиной /2,=^ и /2»=
= х—(Zi + Z2)/2c шагом намотки А2(2), как показано на рис. 3.54 штри-
ховой линией.
Для полученной системы катушек справедливы соотношения
Л4|2 —	4412'^ —	44p2w — 44j„2 .
144
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Следовательно,
^12 = (^(1+1"+1')(2'+2"+2) ~М(1+1")(2'4-2") — Л*(1"+1')(2"+2) +
+ Afj,,2„)/2,	(3.42)
где Л!(1+1"+1')(2'+2"+2) • Л,(14-1")(2"4-2") ’ ^(1"+1') (2"+2) И М1Т-
взаимные индуктивности согласно расположенных катушек/+1"+1
н2'+2"+2, 1 + 1" и 2'+2", 1"+Г и 2"+2, 1" и 2".
Аналогично можно рассчитать и другие случаи соосного и. несо-
гласного расположения двух катушек.
Пример 3.29. Две однослойные цилиндрические катушки с ради-
усами каркасов ri = 15 мм, га=10 мм=0,01 м и длинами 11=30 мм,
12=20 мм расположены соосно и несогласно при х=35 мм (рис. 3.54).
Определить взаимную индуктивность катушек, если они имеют оди-
наковый шаг намотки Й2(1)=/г2(2) = 1 мм и различный шаг намотки
^2(1) = 1 ММ, /12(2) =2 мм.
Решение, а) Шаг намотки катушек одинаковый, Л2(!)=/12(2) =
= Л2=1 ММ.
Дополним катушку 1 катушками 1" и Г, а катушку 2 —катуш-
ками 2" и 2', которые в совокупности образуют новые однослойные
цилиндрические катушки, расположенные соосно и согласно:
1 + 1"+Г и 2'+2"+2 длиной
/1+1"+1' = * + (/4 + /2)/2 = 35 +(30 + 20)/2 = 60 мм;
1+1" и 2' +2" длиной
G-J-1" = ~ 12У2 + * = (3° — 20)/2 + 35 = 40 мм;
1" + Г и 2"+2 длиной
= (Zz — /4)/2 + х = (20 — 30)/2 = 30 мм;
1" и 2" длиной
/]„ = х _	+ у/2 = 35 — (30 + 20)/2 = 10 мм.
Для геометрических размеров ri/r2= 15/10 = 1,5, h2W/r2=*ht^fra^
^2/^2= 1/10=0,1, Ii^-i"^_jz/r2=60/10 = 6,	/г2=40/10=4, (х^р/Гг*®
=30/10 = 3, lyi /г2= 10/10=1 по табл. 3.12 определяем
[^(1+1"+1')(2'+2"+2) ^]/г2 ^Н-1"+1 =0.524 мкГн/м}
[^(i'4-i")(2'+2"> ^г]7г2 ^1+1" = 0,705 мкГн/м;
рИ(1"+1')(2"+2)	fj'+i" = 0,85 мкГн/м;
(^1"2"	== 1»34 мкГн/м,
Т. е. взаимные индуктивности
л	>
‘1+1"+1'	603
Л1(1+1»+1') (2'+2"+2) = г2	0-.524 = 0,01 —— 0,524 =
й2
= 18,9 мкГн = 18900 нГн;
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
145
‘14-1"	402
^(14-1")(2'4-2") == г2	0,705 = 0,01 —— 0,705 =
“2	1"
= 11,29 мкГн = 11 290 нГн;
<2
И'4-l"	302
(2*4-2) ~ ?2	2	0= 0,01	0,85 =7,65 мкГн ==
h~,	1 -
= 7650 нГн;
г= п 1 »36 = 0,01
103
1?
1,36 = 1,36 мкГн = 1360 нГн.
Взаимные индуктивности однослойных цилиндрических катушек
1 и 2 по (3.42)
Л412 = (18 900 — 11 290 — 7650+ 1360)/2 = 660 нГн.
б) Шаг намотки катушек различный, ft2(i) = l мм, /)2(2) —2 ММ.
Взаимная индуктивность катушек 1 и 2 в этом случае отличается
от значения, найденного в п. 3.4.1, пп. 1, в /г2(ij//i2(2> = 1/2 = 0,5 раза»
т. е. Л112=0,5-660=330 нГн.
3.	Взаимная индуктивность двух однослойных прямоугольных
катушек (рис. 3.55) с параллельными сторонами 2bjX2&2; 2ЬзХ2&4,
длиной lt, 1г, шагом намотки A2(d, h2'm, числом витков Wi=Zi/A2(i>.
W2=/2//i2(2). расположенных соосно и несогласно (х¥=0), определяет-
ся выражением
W2
Л4= 2 5 Л1»в
kt=i k2=i
(3.43)
где Л4в,в — взаимная индуктивность &|-го витка катушки 1 и &2-го
витка катушки 2, определяемая по (3.12) при расстоянии между вит-
ками катушек, вычисляемом по (3.40). Формула (3.43) справедлива
для любых значений	и х>0.
Рис. З.Б5. Геометрическая модель для общего случая соосного рас-
положения двух прямоугольных катушек с параллельными сторонами
10—260
Таблица 3.13. Взаимная индуктивность двух прямоугольных однослойных катушек (рис. 3.56),
расположенных согласно и соосно (х —0), отнесенная к геометрическим размерам МЬ^/(Ь21г), мкГн/м,
длина I и шаг намотки h2
ьа	1/Ьг														
ьг	1	1 2	1 3	1 4	1 5	1 6	1 7	1 8	9	1 10	1 12	14	16	18	20
							bi/b	2= 1							
1,1	2,27	1,57	1,2	0,975	0,818	0,704	0,618	0,551	0,497	0,452	0,383	0,333	0,249	0,263	0,238
1,5	1,61	1,27	1,03	0,867	0,743	0,65	0,577	0,518	0,47	0,43	0,368	0,321	0,285	0,256	0,232
2	1,18	1,02	0,876	0,759	0,666	0,592	0,532	0,482	0,441	0,406	0,35	0,408	0,274	0,248	0,225
3	0,771	0,72	0,658	0,599	0,545	0,498	0,457	0,421	0,391	0,364	0,319	0,284	0,256	0,232	0,213
5	0,456	0,445	0,428	0,409	0,388	О', 368	0,348	0,329	0,312	0,296	0,268	0,244	0,223	0,206	0,191
b,/62=l,3
1,1	2,79	1,96	1,51	1,23	1,04	0,898	0,79	0,705	0,637	0,58	0,493	0,428	0,379	0,339	0,308
1,5	1,99	1,59	1,3	1,09	0,944	0,828	0,737	0,663	0,603	0,552	0,473	0,413	0,367	0,33	0,3
2	1,47	1,28	1,1	0,96	0,846	0,754	0,679	0,617	0,565	0,521	0,45	0,396	0,354	0,319	0,291
3	0,968	0,906	0,832	0,759	0,693	0,634	0,583	0,539	0,5	0,467	0,41	0,366	0,33	0,3	0,275
5	0,579	0,565	0,545	0,521	0,495	0,47	0,445	0,422	0,4	0,38	0,344	0,314	0,288	0,265	0,246
							bt/b2	= 1.6							
1,1	3,29	2,34	1,82	1,48	1,25	1,09 1	0,959	0,858	0,775	0,707	0,602	0,523	0,463	0,415	0,376
1,5	2,36	1,9	1,56	1,32	1,14		0,894	0.806	0,733	0,673	0,577	0,505	0,449	0,404	0,367
2	1,75	1,53	1,32 1	1,15	1,02	0,912	0,823	0,749	0,687	0,634	0,549	0,484	0,432	0,391	0,356
3	1,16	1,08		0,915	0,837	0,768	0,707	0,654	0,608	0,568	0,5	0,446	0,403	0,367	0,336
5	0,698	0,682	0,658	0,63	0,6	0,57	0,54	0,512	0,486	0,462	0,419	0,383	0,351	0,324	0,301
Взаимная индуктивность катушек	Гл. 3
Ь1/Ь2=1,9
1,1	3,79	2,71	2,11	1,73	1,47	1,27	1,12	1,01
1,5	2,72	2,2	1,81	1,54	1,33	1,17	1,05	0,946
2	2,02	1,77	1,54	1,34	1,19	1,07	0,965	0,879
3	1,34	1,26	1,16	1,06	0,977	0,898	0,828	0,767
5	0,814	0,795	0,768	0,736	0,702	0,667	0,635	0,601
bi/b2 = 2,2
0,912
0,862
0,807
0,714
0,571
0,833
0,791
0,746
0,667
0,543
0,709
0,68
0,647
0,588
0,493
0,618
0,595
0,57
0,526
0,451
0,547
0,53
0,51
0,475
0,414
0,191
4,477
0,461
0,432
0,383
0,445
0,434
0,421
0,397
0,355
1,1	4,28	3,07	2,41	1,98	1,68	1,46	1,29	1,15
1,5	3,08	2,49	2,06	1,75	1,52	1,34	1,2	1,08
2	2,28	2,01	1,75	1,53	1,36	1,22	1,1	1,01
3	1,52	1,43	1,32	1,21	1,11	1,02	0,947	0,879
5	0,927	0,907	0,876	0,84	0,802	0,762	0,725	0,688
1,05
0,989
0,926
0,818
0,654
bi/&2=2,5
1,1	4,77	3,44	2,7	2,22	1,89	1,64	1,45	1 ,з
1,5	3,43	2,78	2,31	1,97	1,71	1,51	1,35	1,22
2	2,55	2,24	1,96	1,72	1,53	1,37	1,24	1,13
3	1,7	1,6	1,48	1,36	1,25	1,15	1,06	0,988
5	1 ,04	1,01	0,982	0,942	0,9	0,856	0,814	0,774
0,957
0,909
0,856
0,765
0,623
0,816
0,782
0,734
0,676
0,566
0,711
0,685
0,656
0,604
0,518
0,63
0,61
0,587
0,546
0,476
0,566
0,55
0,531
0,498
0,44
0,513
0,5
0,485
0,457
0,409
§ 3.4	Взаимная индуктивность катушек
1,18	1,08	0,923	0,805	0,713	0,641	0,581	
1,11	1,02	0,883	0,775	0,69	0,622	0,566	
1,04	0,965	0,839	0,741	0,664	0,601	0,549	
0,921	0,862	0,762	0,682	0,617	0,563	0,517	
0,736	0,701	0,638	0,584	0,537	0,497	0,462	
148
Взаимная индуктивность катушек
Гл, 3
Если отношение сторон прямоугольных катушек лежит в преде-
лах 0,3<b2/bi<3 и 0,3<Ь4/&3<3, то их взаимная индуктивность
примерно в b2b4/bib3 раз больше взаимной индуктивности двух соос-
но расположенных цилиндрических катушек (рис. 3.53) радиусами
ri = bi, г2=Ь~л при прочих равных размерах.
Результаты расчетов по (3.43) для подобных прямоугольных од-
нослойных катушек Ь1/Ь2 = Ьз/Ь4, h=lj=l, Л2(1)=Й2(2)=Й2, расположен-
Рис. 3.56. Геометрическая модель соосного и согласного расположе-
ния двух однослойных катушек с подобными прямоугольными сече-
ниями
ных соосно и согласно (рис. 3.56) при /12/62=0,!, приведены в табл.
3.13. В диапазоне 0</г2/Ь2С0,5 при &i/62>l,l величина Л1А|/(&2/г)
практически остается постоянной (см. аналогичные характеристики на
рис. 3.53).
Если шаг намотки однослойных прямоугольных катушек разли-
чен (Й2<1)¥=/12(2)), то их взаимная индуктивность изменится в 62(i)//i2(2)
раз относительно случая, когда /i2(ij = /i2(2) при прочих равных раз-
мерах.
Расчет взаимной индуктивности при несогласном расположении
двух катушек можно свести к расчету системы согласно расположен-
ных катушек подобно описанному в п. 3.4.1, пп. 2.
Пример 3.30. Две однослойные прямоугольные катушки равной
длины /=30 мм и с одинаковым шагом намотки ft2=l мм имеют по-
добные прямоугольные поперечные сечения 61/Ь2=13/10=6з/64 = 26/20
и расположены соосно и согласно (рис. 3.56). Определить взаимную
индуктивность катушек.
Решение. Для геометрических размеров Ь|/Ь2= 13/10= 1,3,
hi/bi= 1/10 = 0,1, //&2 = 30/10=3 и Ь4/Ь2=20/10 = 2 по табл. 3.13 нахо-
дим Mh\/(b2l2} =1,1 мкГн/м, т. е. взаимная индуктивность катушек
Z2	ЗС2
М = Ь2 — 1,1 =0,01 — 1,1 = 9,9 мкГн = 9900 нГн.
4.	Взаимная индуктивность однослойных цилиндрической радиу-
сом г и прямоугольной со сторонами 2&|Х2Ь2 катушек с равными
шагами намотки h2, длиной I и числами витков w = l/h2, расположен-
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек	140
ных соосно (рис. 3.57) и согласно,
W W
М — 2 ^b.bi	(3.44)
*,=1 *,=i
где Л4в,в — определяемая по (3.9) взаимная индуктивность двух вит-
ков катушек, расположенных на расстоянии h=\ki—ft2|h2 вдоль осей;
kx и k2 — порядковые номера витков катушек.
Рис. 3.57. Геометрическая модель соосного и согласного расположе-
ния однослойных цилиндрической и прямоугольной катушек
Результаты расчетов по (3.44) при 62/62=0,1 приведены в табл.
3.14 и справедливы для значений 0 <62/62^0,5, так как величина
ЛП^Л^’) изменяется при этом не более чем на 10 %.
Расчет взаимной индуктивности катушек при несогласном рас-
положении сводится к расчету системы согласно расположенных ка-
тушек по описанной в п. 3.4.1, пп. 2 методике.
Взаимная индуктивность катушек с различными шагами намотки
б2(1)¥=б2(2) изменится в б2(п/62(2) раз относительно случая 62(п =
=А2(2) при прочих равных размерах.
Пример 3.31. Однослойные катушки цилиндрическая радиусом
г —5 мм и прямоугольная со сторонами 2bi —40 мм и 262=20 мм =
=0,02 м имеют равные длины ( = 50 мм и шаг намотки Л2=1 мм
и расположены соосио и согласно (рис. 3.57). Определить взаимную
индуктивность катушек.
Решение. Для геометрических размеров г/62 = 5/10 = 0,5,
Ь1/62=20/10 = 2, Z/ft? = 50/10 = 5 и 62/62= 1/10 = 0,1 из табл. 3.14 сле-
дует Mhl/(b2l2) =0,148 мкГн/м, т. е. взаимная индуктивность кату-
шек
/а	502
М = 62—0,148 = 0,01 —0/,148 = 3,7 мкГн = 3700 нГн.
3.4.2.	Катушки с параллельными осями
1.	Взаимная индуктивность двух однослойных цилиндрических
катушек одинаковой длины I, с шагом намотки h2 и числом витков
w=l/h2, радиусами и, г2 и расстоянием s между их параллельными
осями при сОггтсном расположении (рис. 3.58)
Таблица 3.14. Взаимная индуктивность цилиндрической и прямоугольной однослойных катушек (рис. 3.57),
расположенных соосно и согласно (х = 0), отнесенная к геометрическим размерам Mh%/(b3l2), мкГн/м,
длина I и шаг намотки h2 одинаковые
Г	Ubt														
	1	1 2	1 3	1 4	1 5	1 6	1 7	1 8	1 9	10	1 12	1 14	16	18	20
							t,/t2=l								
0,3	0,139	0,105	0,083	0,068	0,057	0,049	0,043	0,039	0,035	0,032	0,027	0,023	0,021	0,018	0,017
0,5	0,396	0,296	0,232	0,189	0,159	0,138	0,121	0,108	0,097	0,089	0,075	0,065	0,058	0,052	0,047
0,7	0,813	0,595	0,46	0,374	0,315	0,271	0,238	0,212	0,191	0,174	0,148	0,128	0,113	0,101	0,091
0,9	1,44	1,01	0,775	0,627	0,525	0,452	0,396	0,353	0,318	0,289	0,245	0,212	0,185	0,167	0,151
							b\/b2	= 1,5							
0,3	0,121	0,096	0,077	0,064	0,055	0,047	0,042	0,038	0,034	0,031	0,026	0,023	0,02	0,018	0,016
0,5	0,345	0,269	0,216	0,179	0,152	0,133	0,117	0,105	0,95	0,867	0,739	0,644	0,57	0,511	0,464
0,7	0,702	0,538	0,428	0,354	0,3	0,261	0,23	0,206	0,186	0,17	0,145	0,126	0,111	0,999	0,905
0,9	1,23	0,913	0,719	0,591	0,501	0,434	0,383	0,342	0,309	0,282	0,24	0,209	0,185	0,165	0,149
							Ь1/&;	= 2							
0,3	0,113	0,091	0,074	0,062	0,053	0,046	0,041	0,037	0,034	0,031	0,026	0,023	0,02	0,018	0,016
0,5	0,322	0.255	0,207	0,173	0,138	0,129	0,114	0,103	0,093	0,085	0,073	0,064	0,056	0,05	0,046
0,7	0,655	0,508	0,409	0,341	0,291	0,254	0,225	0,202	0,183	0,167	0,143	0,124	0,11	0,099	0,09
0,9	1,14	0,8'62	0,687	0,57	0,486	0,423	0,374	0,355	0,304	0,278	0,237	0,206	0,183	0,164	0,148 /
Взаимная индуктивность катушек	Гл. 3
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
151
Рис. 3.58. Геометрическая модель
согласно расположения двух од-
нослойных цилиндрических кату-
шек с параллельными осями
w W
м= У 2 ^В.в-	(3.44)
*-!=! fee=l
где Л4В,В — определяемая по (3.18) взаимная индуктивность, двух
витков катушек, расположенных на расстоянии ft= |Ai—A2|ft2 вдоль
оси; kt и k2 — порядковые номера витков катушек.
Результаты расчетов по
(3.44) приведены на рис. 3.59
для Г1/г2=1, на рис. 3.60 для
Г1/г2=2ина рис. 3.61 для г1/г2 =
=3. Сплошными линиями по-
казаны кривые для s/r2 = n/r2+
+ 0,1, а штриховыми и штрих-
пунктирными — для 3/Г2 = Г1/гг +
+ 0,2 и Г1/гг + 0,3. Из рисунков
видно, что в диапазоне 0<
<Л2/г2сО,7 при s//-2>ri/r2 + 0,3
величина Mh% Цг21г) изменяется
не более чем на 10 %, причем
тем меньше, чем больше отно-
шения Г1/г2 и s/r2. С учетом
практического постоянства ве-
личины Mhfy(r2P) для этого
случая в табл. 3.15 приведены
ее значения при /г2/г2=0,1.
При различном шаге намот-
ки однослойных катушек h2(vi=£h2(2) их взаимная индуктивность из-
меняется в ft2(i)//i2<2) раз относительно случая, когда /i2(d = /j2(2) = ^2
при прочих равных размерах.
Пример 3.32. Две однослойные цилиндрические катушки радиуса-
ми Г1 = 20 мм, г2=10 мм = 0,01 м, одинаковой длиной /=30 мм и с ша-
гом намотки ft2=l мм расположены согласно при расстоянии s=
= 45 мм между их параллельными осями (рис. 3.58). Определить
взаимную индуктивность катушек.
Решение. Для геометрических размеров ri/r^=20/10=2,
h2/r2= 1/10=0,1, г/г2=30/10 = 3 и s/r2=45/10 = 4,5 по табл. 3.15 на-
ходим	=39- 10-а мкГн/м, т. е. взаимная индуктивность ка-
тушек
Z?
Л4 = г2 — 39-10-» = 0,01
—— 39.10-» = 0,351
1"
мкГ н = 351 нГн.
2.	Общий случай взаимного расположения двух однослойных ци-
линдрических катушек 1 и 2 радиусами и и г2, длинами h, 12, с шага-
ми намотки /i2(i), /12(2), числами витков a>i=Zi//i2(n и w2=l2/h2m
и расстоянием s между их параллельными осями изображен на рис.
3.62. Взаимная индуктивность таких катушек
U>1 ws
Л1= 2 2 Л4В.В,	(3.45)
к1=1 ka=]
152
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Рис. 3.59. Взаимная индуктивность двух однослойных цилиндриче»
ских катушек с параллельными осями, расположенных согласно,
при Г1/га=1
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
153
Рис. 3.60. Взаимная индуктивность двух однослойных цилиндричес-
ких катушек с параллельными осями, расположенных согласно, при
Г1/г2=2
где k\, kt — порядковые номера витков катушек I и 2; Л4ВВ— взаим-
ная индуктивность витков KaiymeK, определяемая по (3.18); рассто-
яние между плоскостями расположения витков h определяется по
(3.40).
154
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
^zKrt мкГн/м
Рис. 3.61. Взаимная индуктивность двух однослойных цилиндричес-
ких катушек с параллельными осями, расположенных согласно,
при Г1/га = 3
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
155
Формула (3.45) справедлива для любых значений п<г2<п,
и х>0.
Расчет взаимной индуктивности Л4)2 двух однослойных цилиндри-
ческих катушек 1 и 2, расположенных несогласно (х=/=0), можно све-
сти к рассмотренному выше случаю согласного (х=0) расположения
двух катушек одинаковой длины (см. рис. 3.58). Для этого необхо-
Рис. 3.62. Геометрическая модель расположения двух однослойных
цилиндрических катушек с параллельными осями в общем случае
димо внести в рассмотрение дополнительные фиктивные катушки,
расположенные соосно с катушками 1 и 2. Например, при х>(/1 +
+/г)/2 дополнительными являются катушки Г, 1", 2' и 2", показан-
ные на рис. 3.62 штриховой линией. Взаимная индуктивность М12
в этом случае будет определяться формулой (3.42), по которой вы-
полнен расчет в примере 3.29.
3.4.3.	Общий случай
Рассмотренные в пп. 3.4.1 и 3.4.2 методы расчета взаимных ин-
дуктивностей однослойных цилиндрических катушек с совпадающими
и параллельными осями приемлемы н для других случаев их взаим-
ного расположения и других форм поперечных сечений. Действитель-
но, выражение для взаимной индуктивности Мв,в (3.39) витков двух
катушек справедливо при любых формах витков и различных спосо-
бах их взаимного расположения. Для наиболее распространенных
на практике форм поперечных сечений однослойных катушек выра-
жения для взаимной индуктивности МВ1В приведены в § 3.2.
Взаимная индуктивность двух многослойных катушек с произ-
вольной формой сечения определяется как сумма взаимных индук-
тивностей каждого слоя одной катушки и всех слоев другой катушки.
Например, взаимная индуктивность двух соосно и несогласно распо-
ложенных многослойных цилиндрических катушек 1 и 2, имеющих
9i,^2 слоев намотки, шаг намотки в слоях ft2(i), ^2(2,, радиусы карка-
сов (внутренних слоев) катушек rimin, Timin и расстояния между
156
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
Таблица 3.15. Взаимная индуктивность двух
осями (рис. 3.58), расположенных согласно (х=0),
10~3 мкГн/м, длина I
s		_______	 гг	0,5	|	1	|	2	3	|	4	|	5	|	6
Г1/Г2
2,3 2,5	136 95,4	107 80	66,3 53,1	43,2 36	29,9 25,4	21,7 18,7	16,4 14,3
3	47,3	42,9	32,3	23,7	17,6	13,4	10,5
3,5	27,4	25,8	21	16,4	12,7	10	8
4	17,5	16,7	14,3	11,7	9,46	7,64	6,23
4,5	11,9	11,5	10,2	8,64	7,2	5,96	4,95
5	8,48	8,26	7,5	6,54	5,58	4,72	3,99
5,5	6,27	6,14	5,67	5,05	4,4	3,79	3,26
6	4,76	4,68	4,38	3,97	3,52	3,09	2,69
7	2,95	2,91	2,77	2,57	2,34	2,И	1,88
8	1,95	1,93	1,86	1,76	1,63	1,49	1,36
9	1,35	1,34	1,31	1,25	1,17	1,09	1,01
10	0,983	0,977	0,954	0,919	0,875	0,824	0,77
12	0,562	0,56	0,551	0,537	0,518	0,498	0,472
14	0,351	9,35	0,346	0,339	0,33	0,32	0,308
16	9,234	0,233	0,231	0,227	0,223	0,217	0,211
18	0,163	0,163	0,161	0,16	0,157	0,154	0,15
20	0,118	0,118	0,117	0,116	0,114	0,113	0,111
ri/r2
3,3	227	188	128	90,2	66	49,9	38,9
3,5	169	148	106	77,4	57,6	44,2	34,7
4	93,8	86,9	69,4	53,9	42,1	33,3	26,8
4,5	69	56,1	47,7	39	31,6	25,7	21,1
5	40	38,6	34,1	29	24,2	20,2	16,9
5,5	28,6	27,8	25,3	22,1	18,9	16,1	13,7
6	21,2	20,8	19,2	17,2	15,0	13	11,3
6,5	16,2	16	15	13,6	12,1	10,7	9,37
7	12,7	12,5	11,9	10,9	9,91	8,85	7,85
8	8,29	8,2	7,88	7,4	6,84	6,24	5,65
9	5,7	5,65	5,48	5,22	4 ,’9	4,54	4,18
10	4.09	4,06	3,97	3,81	3,62	3,4	3,17
12	2,32	2,31	2,27	2,21	2,13	2,04	1,93
14	1,44	1,43	1,42	1,39	1,35	Н31	1,26
16	0,956	0,954	0,945	0,931	0,912	0,888	0,861
18	0,666	0,665	0,66	0,652	0,642	0,628	0,613
20	0,482	0,482	0,479	0,474	0,468	0,46	О; 451
24	0,276	0,276	0,275	0,273	0,27	0,267	0,263
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
157
однослойных цилиндрических катушек с параллельными
отнесенная к геометрическим размерам Mh22 /(гг12),
и шаг намотки h? одинаковые
Иг,									
	7	8	9	!0	12	14	16	18	20
= 1									
	12,7	10,2	8,31	6,9	4,96	3,73	2,9	2,31	1 ,88
	П,2	8,99	7,37	6,13	4,43	3,34	2,6	2,08	1,7
	8,37	6,81	5,63	4,73	3,46	2,63	2,06	1,66	1,36
	6,48	5,34	4,46	3,78	2,8	2,15	1,69	1,37	1,12
	5,13	4,28	3,62	3,09	2,31	1,79	1,42	1,15	0,951
	4,14	3,5	2,98	2,56	1,94	1,51	1,21	0,988	0,82
	3,39	2,89	2,49	2,16	1,65	1,3	1 ,04	0,858	0,714
	2,8	2,42	2,1	1,83	1,42	1,13	0,914	0,752	0,628
	2,34	2,04	1,79	1,57	1,23	0,988	0,805	0,665	0,558
	1,67	1,49	1,32	1,18	0,947	0,77	0,635	0,531	0,448
	1,23	1,11	1	0,907	0,742	0,613	0,512	0,432	0,368
	0,93	0,851	0,777	0,709	0,591	0,496	0,418	0,357	0,306
	0,716	0,662	0,611	0,563	0,477	0,406	0,347	0,298	0,259
	0,446	0,42	0,395	0,369	0,323	0,281	0,241	0,215	0,189
	0,295	0,281	0,267	0,253	0,227	0,202	0,179	0,159	0,142
	0,202	0,196	0,188	0,18	0,164	0,148	0,134	0,121	0,109
	0,146	0,141	0,137	0,132	0,122	0,112	0,102	0,093	0,085
	0,108	0,105	0,102	0,099	0,093	0,086	0,079	0,073	0,067
=2									
	31,0	25,2	20,9	17,6	12,8	9,8	7,69	6,18	5,07
	27,9	22,9	19	16	11,8	9,04	7,11	5,74	4,72
	2М	18,8	15,3	13	9,7	7,5	5,91	4,82	3,98
	It,5	14,7	12,5	10,7	8,1	6,3	5,03	4,И	3,41
	14,2	12,1	10,4	8,97	6,86	5,39	4,33	3,55	2,96
	Н.7	10	8,72	7,59	5,87	4,65	3,73	3,1	2,6
	9,75	8,48	7,4	6,49	5,08	4,06	3,31	2,74	2,3
	8,2	7,19	6,33	5,6	4,43	3,57	2,93	2,43	2,05
	6,95	6,15	5,46	4,86	3,89	3,15	2,6	2,17	1,83
	5,1	4,59	4,13	3,72	3,01	2,51	2,09	1,77	1,5
	3,83	3,5	3,19	2,9	2,42	2,02	1,71	1,46	1,25
	2,94	2,72	2,5	2,3	1,95	1,66	1,41	1,22	1,05
	1,83	1,72	1,61	1,51	1,31	1,14	1	0,876	0,77
	1,2	1,15	1,09	1,03	0,924	0,821	0,73	0,684	0,577
	0,832	0,8 .	0,768	0,734	0,668	0,605	0,545	0,491	0,443
	0,596	0,577	0,558	0,538	0,496	0,456	0,417	0,38	0,346
	0,44	0,429	0,416	0,404	0,377	0,351	0,324	0,899	0,275
	0,259	0,254	0,249	0,243	0,231	0,219	0,206	0,193	0,181
158
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
' S							
Гг	0,5		2	3	4	5	6
							rJr2
4,3	285	240	170	124	93,9	13	58,1
4,5	217	192	144	108	83	65,3	52,5
5	127	118	97,6	78,2	62,4	50,6	41,6
5,5	83,4	79,9	69,4	58,1	48,1	40	33,5
6	58,7	56,9	51,1	44,3	37,8	32,1	27,4
6,5	43,2	42,2	38,8	34,5	30,1	26,1	22,6
7	33	32,4	30,2	27,4	24,4	21,4	18,8
7,5	25,8	25,4	24	22,1	20	17,8	15,8
8	20,6	20,4	19,8	18,1	16,5	14,9	13,4
8,5	16,8	16,6	15,9	15	13,8	12,6	11,5
9	13,8	13,7	13,3	12,5	11,7	10,8	9,87
10	9,81	9,74	9,48	9,07	8,57	8,02	7,44
12	5,45	5,43	5,33	5,18	4,98	4,75	4,5
14	3,35	3,34	3,3	3,23	3,14	3,03	2,91
16	2,2	2,2	2,18	2,14	2,1	2,04	1,98
18	1,53	1,53	1,51	1,5	1,47	1,44	1,4
20	1,1	1,1	1,09	1,08	1,07	1,05	1,03
24	0,631	0,63	0,627	0,623	0,617	0,61	0,601
Г1/Г2
5,1	442	353	239	173	131	102	82,4
5,3	323	277	201	150	116	92,1	74 ;в
5,5	250	223	171	132	103	83,1	67,9
6	151	142	119	97	79,2	65,3	54,5
6,5	102	98	86,4	73,5	62	52,3	44,4
7	73,7	71,7	65	57	49,3	42,5	36,7
7,5	55,4	54,3	50,3	45,2	39,9	35	30,6
8	43	42,3	39,8	36,4	32,7	29,1	25,8
8,5	34,2	33,8	32,1	29,7	27,1	24,4	21,9
9	27,7	27,4	26,3	24,6	22,7	20,7	18,7
10	19,1	18,9 ‘	18,3	17,4	16,4	15,2	14
12	10,3	10,2	10	9,74	9,33	8,87	8,37
14	6,23	6,2	6,12	5,98	5,81	5,59	5,36
16	4,06	4,05	4,01	3,94	3,85	3,74	3,62
18	2,79	2,79	2,77	2,73	2,68	2,63	2,56
20	2,01	2	1,99	1,97	1,94	1,91	1,87
22	1,49	1,49	1,48	1,47	1,45	1,43	1,41
26	0,89	0,889	0,886	0,88	0,873	0,864	0,853 r-Jr2
6,1	474	382	264	194	149	118	96,1
6,3	351	303	223	169	133	106	87,5
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
159
Продолжение табл. 3.15
Н'г
1	8	9	10	12	14	16	18 1
'=3							
47,2	39	32,7	27,8	20,7	15,9	12,6	10,2
42,9	35,7	30	25,6	19,2	14,8	11,8	9,56
34,6	29,1	24,8	21,3	16,1	12,6	10,1	8,26
28,3	24,1	20,7	18	13,8	10,9	8 79	7,22
23,4	20,2	17,5	15,3	11,9	9,48	7,69	6,35
19,6	17	15	13,1	10,3	8,3	6,78	5,63
16,5	14,5	12,8	11,3	9,05	7,32	6,02	5,02
14	12,4	11,1	9,9	7,96	6,5	5,37	4,51
12	10,7	9,65	8,67	7,04	5,79	4,82	4,07
10,3	9,36	8,44	7,62	6,25	5,18	4,34	3,69
8,99	8,17	7,42	6,74	5,58	4,66	3,93	3,35
6,87	6,32	5,81	5,33	4,5	3,81	3,25	2,79
4,24	3,98	3,73	3,48	3,03	2,63	2,29	2
2,78	2,64	2,51	2,37	2,11	1,88	1,67	1,48
1,91	1,83	1,76	1,68	1,53	1,38	1,24	1,12
1,36	1,32	1,27	1,23	1,13	1,04	0,951	0,867
1	0,981	0,953	0,923	0,862	0,8	0,739	0,681
0,591	0,58	0,567	0,555	0,527	0,498	0,468	0,439
=4							
67,5	56,2	47,5	40,6	30,5	23,7	18,9	15,4
61,5	51,5	43,7	37,5	28,4	22,1	17,7	14,5
56,4	47,4	40,4	34,8	26,5	20,7	16,6	13,6
45,9	39,1	33,6	29,2	22,5	17,8	14,4	11,8
48	32,7	28,4	24,8	19,4	15,5	12,6	11
31,8	27,7	24,3	21,4	16,8	13,6	И,1	9,25
26,8	23,6	20,9	18,5	14,8	12	9,89	8,27
22,9	20,3	18,1	16,1	13,0	10,6	8,84	7,43
19,6	17,6	15,8	14,2	11,5	9,52	7,95	6,71
16,9	15,3	13,8	12,5	10,3	8,55	7,18	6,09
12,8	11,7	10,7	9,84	8,25	6,96	5,91	5,07
7,85	7,34	6,85	6,38	5,52	4,78	4,15	3,63
5,11	4,85	4,59	4,33	3,85	3,41	3,02	2,68
3,49	3,35	3,21	3,06	2,77	2,5	2,25	2,02
2,48	2,4	2,32	2,23	2,05	1,88	1,71	1,56
1,82	1,77	1,72	1,67	1,55	1,44	1,33	1,22
1,38	1,35	1,31	1,28	1,2	1,13	1,05	0,978
0,841	0,827	0,811	0,795	0,76	0,722	0,684	0,645
=5							
79,5	66,9	57	49	37,4	29,4	23,6	19,4
72,9	61,7	52,7	45,6	34,9	27,5	22,2	18,3
20
8,43
7,9
6,86
6,03
5,33
4,74
4,25
3,83
3,47
3,15
2,88
2,42
1,76
1,32
1,01
0,79
0,627
0,41
12,8
12
11,3
9,91
8,75
7,8
7
6,32
5,73
5,22
4,38
3,18
2,38
1,82
1,42
1,13
0,907
0,607
16,1
15,3
160
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
S ri								
	0,5	1	2	3	4	5	6	
6,5 7 7,5 8 8,5 9 10 11 12 14 16 18 20 22 24 28	274 170 117 85,8 65,5 51,6 34 23,9 17,5 10,3 6,63 4,52 3,23 2,39 1,81 1,12	247 160 113 83,6 64,3 50,8 33,7 23,7 17,4 10,3 6,61 4,51 3,22 2,38 1,81 1,12	191 135 100 76,4 59,9 47,9 32,4 23 17 10,1 6,54 4,48 3,2 2,37 1,8 1,Н	149 112 86 67,6 54,2 44,1 30,4 22 16,4 9,88 6,42 4,42 3,17 2,35 1,79 1,П	119 92,5 73,3 58,1 48,3 39,9 28,2 20,7 15,6 9,56 6,27 4,33 3,12 2,32 1,77 1,1	96,9 77,2 62,6 51,4 42,7 35,8 25,9 19,3 14,7 9,18 6,08 4,23 3,06 2,29 1,75 1,09	80,1 65,1 53,7 44,8 37,7 32 23,6 17,9 13,8 8,76 5,87 4,12 3 2,24 1,72 1,08	
Г1/Г2
7,1	498	403	282	210	163	130	107
7,3	372	322	240	184	146	118	98,1
7,5	293	264	207	163	131	108	90,1
8	184	174	148	124	103	87	74
8,5	129	124	111	96,3	82,7	71,2	61,5
9	95,8	93,5	85,8	76,5	67,3	59	51,7
9,5	74	72,7	68	61,8	55,4	49,4	43,9
10	58,8	58	55	50,8	46,2	41,7	37,5
11	39,5	39,2	37,7	35,6	33,2	30,6	28
12	28,2	28	27,2	26	24,6	23,1	21,5
13	20,9	20,8	20,3	19,7	18,8	17,8	16,8
14	16	15,9	15,7	15,2	14,7	14	13,3
15	12,6	12,5	12,3	, 12,1	П.7	П.2	10,8
17	8,23	8,21	8,12	7,99	7,81	7,59	7,34
19	5,69	5,68	5,64	5,56	5,47	5,35	5,21
21	4,11	4,1	4,08	4,04	3,98	3,91	3,83
25	2,35	2,35	2,34	2,32	2,3	2,27	2,24
29	1,47	1,47	1,46	1,46	1,45	1,43	1,42
ri/r2
8,1	515	420	296	223	174	141	116
8,3	388	337	254	197	157	128	107
8,5	308	278	220	175	142	117	98,5
9	196	186	159	133	112	95,2	81,5
§ 3.4
Взаимная индуктивность катушек
161
Продолжение табл. 3.15
Urt
	7	8	9 1	10 1	12	17 |	16	18 1	20
	67,2	57,1	49	42,5	32,8	25,9	21	17,3	14,5
	55,4	47,6	41,3	36,1	28,2	22,5	18,3	15,2	12,8
	46,3	40,3	35,2	31	24,5	19,7	16,2	13,5	Н,4
	39,1	34,4	30,3	26,9	21,5	17,4 -	14,4	12,1	10,2
	33,3	29,6	26,3	23,5	19	15,5	12,9	10,8	9,26
	28,6	25,6	22,9	20,6	16,8	13,9	11,6	9,84	8,41
	21,5	19,5	17,7	16,1	13,4	11,2	9,53	8,14	7,02
	16,5	15,2	14	12,8	10,8	9,25	7,92	6,83	5,93
	12,9	12	И,1	10,3	8,92	7,69	6,65	5,79	5,06
	8,32	7,88	7,43	7	6,18	5,45	4,82	4,26	3,79
	5,64	5,41	5,16	4,92	4,44	3,99	3,59	3,22	2,9
	3,99	3,86	3,72	3,57	3,28	2,99	2,73	2,48	2,26
	2,92	2,84	2,75	2,66	2,48	2,29	2,11	1,94	1,79
	2,2	2,15	2,09	2,03	1,91	1,79	1,67	1,55	1,43
	1,69	1,66	1,62	1,59	1,5	1,42	1,33	1,25	1,16
	1,07	1,05	1,03	1,01	0,976	0,934	0,888	0,842	0,797
89,4	75,8	65	56,3	43,4	34,4	27,9	23	19,3
82,4	70,2	60,4	52,6	40,7	32,4	26,3	21,8	18,3
76,2	65,2	56,4	49,2	38,3	30,6	25	20,7	17,4
63,5	55	48	42,2	33,3	26,8	22	18,3	15,5
53,5	46,8	41,3	36,5	29,1	23,7	19,6	16,4	13,9
45,5	40,3	35,7	31,9	25,7	21,1	17,5	14,8	12,6
39,1	34,8	31,2	28	22,8	18,8	15,8	13,4	И,4
33,7	30,4	27,4	24,7	20,4	16,9	14,3	12,1	10,4
25,6	23,4	21,4	19,5	16,4	13,8	11,8	10,1	8,79
19,9	18,4	17	15,7	13,4	Н,4	9,89	8,57	7,48
15,7	14,7	13,7	12,7	11	9,6	8,36	7,31	6,43
12,6	11,9	11,2	10,5	9,22	8,1	7,12	6,28	5,56
10,3	9,77	9,25	8,73	7,76	6,89	6,11	5,43	4,84
7,07	6,79	6,5	6,2	5,63	5,08	4,59	4,14	3,74
5,06	4,89	4,72	4,55	4,19	3,85	3,52	3,21	2,93
3,74	3,64	3,53	3,42	3,2	2,97	2,75	2,54	2,34
2,2	2,16	2,12	2,07	1,97	1,86	1,75	1,64	1,54
1,4	1,38	1,36	1,34	1,29	1,23	1,17	1,12	1,06
	97,7	83,3	71,8	62,6	48,6	38,8	31,7	26,3	22,1
	90,4	77,4	67	58,6	45,8	36,7	30,1	25	21,1
	83,9	72,2	62,8	55,1	43,3	34,8	28,6	23,8	20,1
	70,3	61,3	53,8	47,5	37,8	30,7	25,4	21,3	18,1
11—260
162
Взаимная индуктивность катушек
Гл. 3
$								
'г	0,5	1	2	3	4	5 1	6	
9,5	139	134	120	105	90,6	78,5	68,2	
10	104	102	93,8	83,9	74,3	65,5	57,8	
10,5	81,2	79,8	74,9	68,4	61,6	55,2	49,3	
11	65,1	64,2	61	56,6	51,7	46,9	42,4	
12	44,4	44	42,4	40,2	37,5	34,8	32	
13	32	31,8	31	29,7	28,2	26,5	24,7	
14	24	23,9	23,4	22,6	21,7	20,6	19,5	
15	18,6	18,5	18,2	17,7	17,1	16,4	15,6	
16	14,7	14,6	14,5	14,1	13,7	13,2	12,7	
18	9,76	9,74	9,64	9,49	9,29	9,04	8,76	
20	6,83	6,82	6,77	6,69	6,57	6,44	6,28	
22	4,98	4,97	4,94	4,9	4,83	4,75	4,66	
26	2,89	2,89	2,88	2,86	2,84	2,8	2,76	
30	1,83	1,83	1,83	1,82	1,81	1,79	1,77	
слоями катушек Лщ), йцз),
<7, qs а’сл(1) и'сл(2)
м=2 2 2	2 ^в.в	(з.4б)
л,=1 и2=1 fet=!	fra=l
где п\, п2 — порядковые номера слоев катушек 1 и 2; Шсл(1>=Л/Л2(п,
Ц’сЛ(2)=(:/Й2(2) — число витков в одном слое: Л1, k2 — порядковые но-
мера витков в одном слое катушек 1 и 2.
Взаимная индуктивность Мв,в определяется по формуле (3.41),
в которой радиусы каркасов, на которых расположены слои много-
слойных катушек 1 и 2, принимаются равными
r! = rlmin + ftiu> («. - ’); ]
r2 = r2m;n + Z,!(2)(,I2-1). I
(3.47)
Формулу (3.46) можно преобразовать для случая, когда различ-
ные слои двух многослойных катушек, расположенных соосно, имеют
различные шаги намотки и различные длины. Для этого в (3.41) не-
обходимо учесть, что от порядковых номеров слоев щ, п2 катушек
зависят не только радиусы каркасов и, г2, на которых эти слон рас-
положены (3.47), но и длины слоев li=fi(ni), (2=f2(«2), шаги намот-
ки слоев Л2<1)=/з(л1)> Л2(2)=/4(п2) и числа витков в слоях 10Сл(1) =
= /5(«1)> ®Сл(2)=/б(^2).
§ 4.1
Свойства магнитных сердечников
163
Продолжение табл. 3.15
I /гг
	7 1	8 1	9	10	12 1	14	16	18	20
	59,7	52,5	46,5	41,4	33,3	27,3	22,7	19,1	16,3
	51,1	45,4	40,5	36,3	29,5	24,4	20,4	17,3	14,8
	44,1	39,5	35,6	32,1	26,3	21,9	18,5	15,7	13,5
	38,3	34,6	31,3	28,4	23,6	19,8	16,8	14,3	12,4
	29,4	26,9	24,7	22,7	19,2	16,3	14	12	10,5
	23	21,3	19,8	18,3	15,7	13,6	11,7	10,2	9
	18,3	17,2	16	15	13,1	Н,4	10	8,79	7,76
	14,8	14	13,2	12,4	10,9	9,69	8,57	7,59	6,74
	12,1	П.5	10,9	10,4	9,29	8,28	7,38	6,59	5,9
	8,45	8,13	7,79	7,46	6,8	6,16	5,58	5,05	4,58
	6,1	5,92	5,72	5,51	5,1	4,7	4,31	3,96	3,62
	4,55	4,44	4,31	4,19	3,92	3,65	3,39	3,14	2,9
	2,72	2,67	2,62	2,56	2,44	2,31	2,18	2,05	1 ,93
	1,75	1,73	1,7	1,67	1,61	1,55	1,48	1,41	1,34
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ
С МАГНИТНЫМИ СЕРДЕЧНИКАМИ
4.1.	СВОЙСТВА МАГНИТНЫХ СЕРДЕЧНИКОВ
Для увеличения индуктивности, уменьшения габаритных разме-
ров, а также получения других качественных показателей катушки
устанавливаются на магнитные сердечники различной конструкции,
изготовленные из ферромагнитных сплавов или ферритов с различ-
ными магнитными свойствами. Обычно эти свойства описываются
статическими н динамическими магнитными характеристиками.
Рассмотрим свойства катушки, витки которой равномерно рас-
пределены по периметру тонкослойного кольцевого магнитного сер-
дечника радиусом гис отношением внешнего диаметра D к внутрен-
нему d, близким к 1 . В таком сердечнике отсутствует рассеяние маг-
нитного потока и его магнитные свойства полностью совпадают со
свойствами материала, из которого он изготовлен.
Пусть исходное состояние материала соответствует полному раз-
магничиванию (В = 0, /7=0). Если постепенно увеличивать постоян-
ный ток 1 в катушке, то под действием напряженности внешнего
магнитного поля H — lw/2nr материал сердечника начнет намагничи-
ваться. При этом зависимость В(Н) опишет некоторую кривую (рис.
4.1, а, участок ОВ„), называемую кривой первоначального намагни-
чивания. Намагниченность материала начиная с некоторых значений
напряженности внешнего магнитного поля Н практически не изменя-
11*
164
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
ется. Эта область называется областью технического насыщения. При
уменьшении постоянного тока и изменении его направления зависи-
мость В(Н) опишет характеристику, называемую предельной стати-
ческой петлей гистерезиса.
По характеру предельной статической петли гистерезиса и коэр-
цитивной силе Нс магнитные материалы подразделяются на магнито-
Рис. 4.1. Статическая характеристика магнитного материала:
а —кривая первоначального намагничивания и предельный цикл; б — одно-
полярное намагничивание; в — симметричный цикл
мягкие и магнитотвердые. Магнитотвердые материалы имеют боль-
шую коэрцитивную силу и используются главным образом для изго-
товления постоянных магнитов. Для изготовления сердечников
используются только магнитомягкие материалы, которые и рассмат-
риваются ниже.
Различают магнитомягкие материалы с обратимым и необрати-
мым характером намагничивания. Магнитомягкие материалы с не-
обратимым изменением намагниченности используются, например,
в устройствах памяти ЭВМ. Обратимые свойства в таких материалах
крайне слабо выражены, и остаточная индукция Вг может состав-
лять 90—98 % индукции технического насыщения.
Магннтомягкие материалы, обладающие в основном обратимыми
свойствами намагничивания, намагничиваются либо в импульсном
режиме, либо при синусоидальной напряженности внешнего поля.
В обоих случаях используется линейная часть статической характе-
ристики. В импульсном режиме такие материалы обычно намагничи-
ваются однополярно (рис. 4.1,6). Намагничивание при синусоидаль-
ной напряженности внешнего поля происходит почти всегда по сим-
метричным частым циклам (рис. 4.1, а). Для указанных случаев
магнитные свойства материала приближенно можно охарактеризовать
относительной магнитной проницаемостью
Игд = (Вт ~	Для рис. 4.1,6,
pr = (2Bm)/p02Нт для рис. 4.1, а.
Рассмотренные выше статические характеристики относятся
к тонкостенным сердечникам. Статические характеристики толстозтен-
§ 4.2 Схема замещения катушки с магнитным сердечникам
165
них сердечников связывают среднюю по сечению индукцию в сердеч-
нике со значением напряженности магнитного поля на его средней
линии и определяются наложением статических характеристик эле-
ментарных слоев.
В динамическом режиме свойства катушки с сердечником описы-
ваются нелинейным дифференциальным уравнением высокого по-
рядка
I dmu dmi \
f = Iu.i-----,...5----- ,...1=0,
\ dtm ’ dtm '	)
определяющим связь между током в катушке и приложенным к ней
напряжением. Связь между током и напряжением обусловлена мно-
гочисленными микро- и макропроцессами, происходящими в сердеч-
нике и зависящими как от режима его намагничивания, так и от его
электромагнитных свойств и геометрических размеров. Обычно в про-
стейших режимах намагничивания изменением тех или иных электро-
магнитных свойств сердечника можно пренебречь и получить прием-
лемые для практических целей зависимости /(“)• При синусоидальном
намагничивании хорошие результаты дают различные методы лине-
аризации кривых намагничивания сердечников путем введения поня-
тия комплексной магнитной проницаемости Рг = Иг1 + 7Иг2- В этих слу-
чаях схема замещения катушки с сердечником представляется в виде
последовательного или параллельного соединения резистивного и ин-
дуктивного элементов. Наличие резистивного элемента физически
обусловлено наличием активных потерь энергии в сердечнике на ги-
стерезис, магниную вязкость и поверхностный эффект. Если этими
явлениями можно пренебречь, то схема замещения катушки с сердеч-
ником содержит только индуктивный элемент, индуктивность кото-
рого не зависит от частоты намагничивающего поля. Такая схема
замещения справедлива и при импульсном намагничивании.
Если явлениями гистерезиса, магнитной вязкости, поверхностного
эффекта пренебречь нельзя, то схема замещения при импульсном на-
магничивании существенно осложняется и для ее упрощения в каж-
дом конкретном случае необходимы дополнительные исследования.
В приведенных ниже методах и результатах расчета, если не сде-
лано специальных оговорок, приняты следующие допущения:
сердечник выполнен из изотропного магнитомягкого материала
с р, =const;
магнитная вязкость, поверхностный эффект и магнитный гистере-
зис отсутствуют.
4.2.	СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ КАТУШКИ С МАГНИТНЫМ
СЕРДЕЧНИКОМ
Сущность общего метода заключается в том, что все пространст-
во, занятое магнитным полем катушки, разбивается на элементарные
объемы длиной Д/ и площадью поперечного сечения Дз. Каждый
элементарный объем заменяется резистивным элементом с магнитным
сопротивлением Дгм=Д//ргр0Аз. Совокупность таких элементов об-
разует магнитную цепь. Ветви цепи, которые пересекают плоскость
витка с током i, должны содержать кроме резистивных элементов
166
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
Дгм также МДС, пропорциональную току I. Расчет полученной таким
образом схемы замещения методами расчета линейных цепей позво-
ляет определить потокосцепление V с витками катушки, а следова-
тельно, и ее индуктивность L—W/i. Для упрощения схемы замещения
в каждом конкретном случае необходимо учитывать симметрию маг-
нитного поля, геометрию сердечника и т. д.
Рассмотрим в качестве примера схему замещения катушки, пред-
ставляющей собой плоский круговой виток с радиусом гь располо-
Рис. 4.2. Геометрическая модель
соосного расположения кругового
контура и стержневого магнитно-
го сердечника
Заменим все элементарные объемы
женныи соосно с бесконечно
длинным стержневым сердеч-
ником радиусом г2 из магнит-
ного материала с постоянной
относительной проницаемостью
цг (рис. 4.2).
Представим все простран-
ство, занятое магнитным полем
катушки как в сердечнике, так
и вне его, совокупностью вло-
женных друг в друга цилинд-
ров с толщиной стенок Дг. На
рис. 4.2 это пространство пока-
зано только для сердечника.
Разделим каждый цилиндр па
кольца шириной Д/ и каждое
кольцо на п равных частей с
центральным углом Д<р=2л/п.
пространства элементами с соот-
ветствующими магнитными сопротивлениями. С учетом осевой сим-
метрии магнитного поля катушки схемы замещения примут вид, по-
казанный на рис. 4.3,а для продольного и на рис. 4.3,6 для попе-
речного сечений, где
,	Д/	Дг
Дг.,.,. =--------------- Дг„_ =-----------------
ргрогД<рДг	ргрогД<рД(
(4.1)
— магнитные сопротивления элементарных объемов в осевом и ради-
альном направлениях; Дгмхо=Д//|лгЦол;Дг2 — магнитное сопротивление
элементарных объемов, лежащих на оси сердечника.
При расчетах по (4.1) следует учесть, что вне сердечника рг = 1.
Ветви схемы, пересекающие плоскость витка с током i, должны со-
держать МДС. Составив и решив систему алгебраических уравнений
для схемы на рис. 4.3, а, можно рассчитать элементарные магнитные
потоки ДФ в ветвях с МДС, а следовательно, определить потокосцеп-
ление с витком и его индуктивность L — W/i.
Схему замещения катушки с сердечником можно условно разде-
лить на две части. Одна из них, обведенная на рис. 4.3, а и б штри-
ховой линией, отражает процессы в сердечнике, другая — вне сердеч-
ника. Влияние второй части схемы замещения на значение индуктив-
ности катушки тем меньше, чем больше значение и чем ближе
значение к г2. При |хг->-оо процессы вне сердечника можно не учи-
тывать.
Для упрощения расчетов условно представим индуктивность
§ 4.3 Катушки индуктивности с составным сердечником
167
в виде суммы двух составляющих — индуктивности намагничивания
^нам И индуктивности раССеЯНИЯ Lpac Индуктивность Ьнам обуслов-
лена совокупностью магнитных линий, замыкающихся по сердечнику,
Рис. 4.3. Схема замещения магнитной цепи:
а — в продольном сечении; б — в поперечном сечении
и приближенно равна индуктивности катушки без учета магнитного
поля вне сердечника. Индуктивность рассеяния Lpac обусловлена со-
вокупностью магнитных линий, замыкающихся вне сердечника и при-
ближенно равна индуктивности катушки без сердечника. Для боль-
шинства практических задач индуктивность рассеяния значительно
меньше индуктивности намагничивания.
4.3.	КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ С СОСТАВНЫМ
СЕРДЕЧНИКОМ
Составные или разъемные сердечники состоят обычно из двух
частей, на участках сочленения которых остаются небольшие воздуш-
ные зазоры. Разъемные сердечники упрощают технологию изготовле-
ния катушек и сборку содержащих их устройств. Ниже приведены
модели, расчетные соотношения и характеристики катушек с состав-
ными сердечниками, части которых соединены встык и внахлест.
4.3.1.	Соединение частей сердечника встык
На рис. 4.4 представлена конструкция катушки индуктивности
с составным сердечником, части которого соединены встык.
Для защиты электрической изоляции от механических поврежде-
ний, а также для обеспечения технологичности конструкции обмотка
катушки, содержащая w витков, располагается на каркасе, в кото-
ром размещается сердечник. Индуктивность намагничивания катушки
определяется магнитным потоком, замыкающимся по сердечнику,
L = w2 а „	(4-2)
нам
168
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл, 4
где
SaS (8мй £м,<•)/(£«<
(4.3)
— полная магнитная проводимость составного сердечника;
9м’. = (Мо с.)/6	(4.4)
— магнитная проводимость одного воздушного зазора с длиной в
и площадью поперечного сечения CiXcs;
 Mr Ио С1 |П Q + с» + 4га
8	ci + св
— магнитная проводимость участков
сердечника, равная сумме магнитных
проводимостей элементарных слоев,
имеющих длину 1сл=2(С4 + Сб+4х) и
площадь поперечного сечения 5сл=-
= Cidx; Ci и Св — геометрические раз-
меры сердечника.
Индуктивность рассеяния прибли-
женно определяется потокосцеплени-
ем с катушкой при отсутствии в ней
сердечника и рассчитывается по ха-
рактеристикам, приведенным в гл. 2.
Если на сердечнике расположены
две обмотки с числом витков
то взаимная индуктивность между
ними равна
м = wi w2 «м2.
Рис. 4.4. Конструкция ка-
тушки индуктивности с сос-
тавным сердечником, эле-
менты которого соединены
встык
Пример 4.1. Составной сердечник
(рис. 4.4) имеет размеры с, = с-, =
= 2,5 мм, с4=10 мм, Cs=6 мм, б =
= 0,05 мм и выполнен из материала
с относительной магнитной проницае-
мостью цг=1000. Катушка содержит
ю=10 витков, намотанных проводом
диаметром ^„=0,002 мм с шагом й? —
= 0,2 мм на каркасе квадратного се-
чения со стороной 2/>i = 262=4 мм.
Определить индуктивность катушки.
Решение. Для принятых геометрических размеров составного
сердечника магнитная проводимость одного воздушного зазора опре-
деляется по (4.4):
§м6 = tj/б = (0,4л-2,5-2,5)/0,05 = 157 нГн.
Магнитная проводимость участков составного сердечника опре-
деляется по (4.5):
1000-0,4л-2,5	10 + 6 + 4-2,5	„
р„ .. =-------:------In-------;--------= 192 нГн.
км,с	я	10 + 6
8
§ 4.3 Катушки индуктивности с составным сердечником
169
Полная магнитная проводимость составного сердечника опреде-
ляется по (4.3):
157-192
157+192.2 -=65’’ "Г"-
а индуктивность намагничивания катушки —по (4.2):
Днам = Ю2.55,7= 5570 нГн.
Индуктивность рассеяния катушки приближенно равна индуктив-
ности катушки квадратного сечения длиной l=wh2 = 10-0,2=2 мм без
сердечника. Из табл. 2.2 для й2/&2=0,2/2=0,1, bi/b2=2/2=l, da/b2=
= 0,02/2=0,01 и Z/62=2/2=l следует, что индуктивность рассеяния
катушки
Lpac = и/2-3,03 = 2-102-3,03 = СС6 нГн.
Полная индуктивность катушки
L — ^нам + ^-рас = 5570 + 606 = 6176 нГн.
4.3.2. Соединение частей сердечника внахлест
На рис. 4.5, а приведена конструкция катушки индуктивности, со-
держащей w витков, с составным сердечником, части которого, соеди-
ненные внахлест, расположены в каркасе.
Индуктивность намагничивания катушки определяется по (4.2),
где полная магнитная проводимость составного магнитопровода равна
(1?м,нах ^м.сУСй'м.нах “Ь ?£м,с)>	(4.61
где £м,нах — магнитная проводимость одного участка магнитной цепи
в месте нахлеста; gM,c — магнитная проводимость неразветвленных
участков магнитной цепи.
Рис. 4.5. Конструкция катушки индуктивности с составным сердечни-
ком, элементы которого соединены внахлест:
в — общий внд; б — конструкция нахлеста; в — эквивалентная схема
170
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
(4.7)
Магнитная проводимость неразветвлеиных участков определяет-
ся по (4.5), где длина элементарных слоев принимается равной /Слм
=2(с4—c2+cs+4x):
Hr Но ci , с4 — с2 + с5 + 4с3
£м,с =-----я---1П-----Z-------------
8	ct — сг + с8
Для участка нахлеста, показанного на рис. 4.5, б, удобнее рас-
считывать не магнитную проводимость, а' магнитное сопротивление.
Для этого разделим участок нахлеста длиной с2 на п—Сг/д элемен-
тарных участков длиной 6, равной высоте воздушного зазора 6. На
рис. 4.5, в сплошной линией представлена схема замещения участка
магнитной цепи в месте нахлеста, в которой Дгм,с=б/ргроС1Сз— маг-
нитные сопротивления элементарных участков магнитопровода в ме-
сте нахлеста, а Дгм6= 1/цоСз—магнитные сопротивления элементар-
ных участков воздушного зазора. Для расчета магнитные сопротив-
ления п элементарных участков, где п=с2/6=Са, удобно представить
отнесенными к геометрическим размерам
Д ^М,С = Дгм,с С3 = 1 /Иг Ио , Д Гмв = Дгмв с3 = 1 /Цо >
где Ci=ci/S — геометрический размер модели.
Если теперь последовательно преобразовывать, начиная с край-
него, п треугольников магнитных сопротивлений в эквивалентные
звезды, то получится новая схема замещения нахлеста, обозначенная
на рис. 4.5, в штриховой линией. Просуммировав далее магнитные
сопротивления всех элементарных участков нахлеста, получим пол-
Рнс. 4.6. Магнитное сопротивление участка нахлеста двух одинаковых
магнитных пластин при ц,=400
§ 4.3 Катушки индуктивности с составным сердечником 171
ное магнитное сопротивление нахлеста, отнесенное к геометрическим
размерам.
Кривые изменения гМ1нах(С2)ЦгС1 Для значений р,г=400, 800,1200,
1600, 2000 приведены на рис. 4.6—4.10 соответственно. Кривые на
рис. 4.6—4.10 позволяют рассчитывать магнитную проводимость на-
хлеста £м,нах = 1Лм,нах для любых его геометрических размеров с уче-
том технологического разброса.
Зная магнитные проводимости места нахлеста и неразветвлен-
ных участков магнитной цепи, по (4.7) можно определить полную
магнитную проводимость составного сердечника по (4.6), а затем
и индуктивность намагничивания по (4.2).
Приближенное значение индуктивности рассеяния катушки опре-
деляется ее потокосцеплением при удаленном сердечнике и рассчиты-
вается методами, описанными в гл. 2.
Пример 4.2. Составной сердечник (рис. 4.5, а) имеет размеры с4=
= 10 мм, с3=2±0,2 мм=0,002±0,0002 м, с5=6 мм, Ci = l±0,l мм, с2 =
=3±0,3 мм, б=0,02±0,002 мм и выполнен из феррита с относитель-
ной магнитной проницаемостью рг=1200. Обмотка катушки содержит
w=20 витков, намотанных проводом диаметром dn=0,02 мм и с ша-
гом Л2=0,2 мм на каркасе квадратного сечения со стороной 2bj =
=2Ь2=4 мм. Определить индуктивность катушки.
Решение. Для номинальных значений геометрических разме-
ров следует Ci=fi/6= 1/0,02=50 и С2=с2/6=3/0,02=150, из рис. 4.8
(точка п) следует гм,нахСэ = 6,8 мкГн/м, т. е. номинальное значение
Рис. 4.7. Магнитное сопротивление участка нахлеста двух одинако-
вых магнитных пластин при р,=800
M,HGK C3»M/МкГн
Рис. 4.8. Магнитное сопротивление участка нахлеста двух одинако-
вых магнитных пластин при |лг= 1200
Рис. 4.9. Магнитное сопротивление участка нахлеста двух одинако-
вых магнитных пластин при цг=1600
§ 4,3 Катушки индуктивности с составным сердечником
173
Рис. 4,10. Магнитное сопротивление участка нахлеста двух одина-
ковых магнитных пластин при рг=2000
магнитной проводимости участка нахлеста
£м,нах = С'зД6,8-IO-3) = 0,002/(6,8-IO-3) = 0,294 мкГн = 294 нГн.
Номинальное значение магнитной проводимости неразветвленных
участков составного сердечника по (4.7)
1200-0,4л-1	Ю-3+6 + 4-2
gM с =-------т-----In------------ „----=91 нГн.
SM,C	8	10 — 3 + 6
Номинальное значение полной магнитной проводимости состав-
ного сердечника по (4.6)
= (294-91)/(294 + 2-91) = 56 нГн,
а номинальное значение индуктивности намагничивания катушки по
(4-2)
Анам = 102 • 56 = 5600 нГн.
Индуктивность рассеяния катушки определяется так же, как
в примере 4.1, и равна Lpac=606 нГн.
Если учесть технологический разброс геометрических размеров
нахлеста то из кривых на рис. 4.8 можно графически определить об-
ласть возможных значений его магнитного сопротивления. На рис.
4.8 заштрихована область возможных значений магнитного сопротив-
ления нахлеста, отнесенного к его геометрическим размерам при
174
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
сзтах
_ clmin , Супах____ 1 — ОД ,	1 4~ 0.1___40-^60-
Ътах ‘ 8min ~ 0,02 + 0,002 ' 0,02 — 0,002—	’
q   сгт1п , Супах __	3— 0,3	.	3 + 0,3______120—180
г~ «тая ‘ бт/п ” 0,02 + 0,002 ‘ 0,02 - 0,002“
В этой области находятся предельные значения магнитной проводи-
мости участка нахлеста (точки бив)
_________СзтМп
ём.НАХ — ~
гм,нах (Ajmin^lmin	Ли,нах \ ^тах)^1тах
0,002 — 0,0002	0,002 + 0,0002
= ---------Н------г — 	' —---= 0,22 4- 0,372 мкГн =
8,3-10—3	59-10—3
= 2204-372 нГн.
Магнитная проводимость неразветвленных участков составного
сердечника с учетом принятых технологических допусков изменяется
в пределах
1200-0,4л(1 ч=0,1)	10 — (3 4: 0,3) + 6 + 4 (2 4: 0,2)
--------------------|П------------------------------------
8м,с
8
10 —(3 ч=0,3)+ 6
= 74ч- 105 нГн.
Пределы
сердечника
£м,с
измерения полной магнитной проводимости составного
8м,накт1п §м,ст{п , <?м,нахтах 8м,стах _______
бм,нахт{п Ч- 2gM cmi-n gM вахтах + %8м.стах
220-74	372-105
---------	 4- —-----— = 44 4- 67 нГн,
220 + 2-74---------------372 + 2-105
а пределы изменения индуктивности намагничивания катушки
^нам = °*' 8мТ.т1п ~ w2S aSmax
= 10М4 4- 105-67 = 4400 4- 6700 нГн.
Если известны технологические допуски на значения других па-
раметров составного сердечника, то учет их влияния на разброс ин-
дуктивности катушки аналогичен.
4.4.	КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ С РАЗОМКНУТЫМ
СЕРДЕЧНИКОМ
Для разомкнутых сердечников характерно наличие воздушных
зазоров, по длине которых они условно подразделяются на две груп-
пы: сердечники с большими воздушными зазорами, длина которых
соизмерима с поперечными размерами сечения сердечника, и сердеч-
ники с малыми зазорами, длина которых значительно меньше этих
I 4.4 Катушки индуктивности с разомкнутым сердечником 175
размеров. К сердечникам второй группы относятся, в частности, со-
ставные сердечники, рассмотренные в предыдущем параграфе. Ниже
приведены методы расчета и характеристики ряда исполнений кату-
шек индуктивностей с разомкну-
тым сердечником.	С;
4.4.1.	Катушки с экранированным
сердечником
На рис. 4.11 представлена ка-
тушка индуктивности, содержа-
щая w витков и размещенная на
каркасе с разомкнутым сердечни-
ком из феррита с pr = const. По-
верхность сердечника, за исключе-
нием торцов площадью с(Хс2,по-
крыта пленкой из проводящего ма-
териала, выполняющей функции
электромагнитного экрана. Для
ограничения вихревых токов экран
разрезан по линии 1.
Для упрощения расчета при-
мем, что намагниченность магнит-
ного материала на торцах сердеч-
ника площадью С1ХС2 распределя-
ется равномерно.
Согласно представлениям маг-
нитостатики [2] принятое допуще-
ние означает, что на торцах сер-
дечника, свободных от проводя-
щего покрытия, появятся равно-
мерно распределенные магнитные
заряды с плотностью
Рис. 4.11. Катушка индуктивно-
сти с разомкнутым экраниро-
ванным сердечником
Рм — Ф/ci с2,
(4.8)
где Ф — магнитный поток в зазоре. Напряженность магнитного поля
вдоль оси симметрии зазора 0—0, создаваемая связанными магнит-
ными зарядами, будет определяться выражением
с,/2 с,/2
х==0 р=0
2рм cos ot
р0 л (х2 + у3. 4-z2)
dx dy,
(4.9)
/д-2 | «.2
———; х, у — координаты элементарной площад-
ки dxdy торцевой поверхности сердечника; z— координата вдоль оси
симметрии зазора.
Зная напряженность магнитного поля в зазоре, определяем его
магнитную проводимость:
е
=	(4.10)
176
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
Выражение (4.10) с учетом (4.8), (4.9) удобно представить
в виде
Цо jtCi С* g
~	бмв
вмб 7“
О
С,/2 С,/2	1
1 I I 2cos arctg
Х=0 у=о Z=0
xa + r? + z?
dXdYdZ
(4.Н)
где Ci=Cj/6; С2=с2/6; Х=х/6, У=г//6; Z=z/6.
Результаты расчета магнитной проводимости воздушных зазо-
ров по (4.11) представлены на рис. 4.12—4.14.
Магнитная проводимость ферромагнитных участков сердечника
равна сумме магнитных проводимостей его элементарных слоев по
(4.5):
(4.12)
Cl + С5 - ^/2
Hr Ио Ci .	+ с5 — 6/2 + 4с3
£м.с =------£----In-----------------—
Рис. 4.12. Магнитная проводимость воздушного зазора при с(/6=
= 0,1-5-1; с2/б=0,1-5-0,8
§ 4.4 Катушки индуктивности с разомкнутым сердечником 177
Полная магнитная проводимость сердечника gM2 определяется
магнитной проводимостью воздушного зазора gM6 и магнитной про-
водимостью участков сердечника gK,o
£м2 = (£мв£м.с)/(£мв + £м,с)	(4-13)
ч п^®°ляет рассчитать индуктивность намагничивания катушки
Индуктивность рассеяния в рассматриваемой конструкции ка-
тушки вследствие наличия электромагнитного экрана значительно
Рис. 4.13. Магнитная проводимость воздушного зазора при Ci/6 =
0,1 + 5,1; ^/6 = 0,94-3,9
12—260
178
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
меньше индуктивности намагничивания, и ее можно не учитывать.
Пример 4.3. Разомкнутый сердечник катушки индуктивности
(рис, 4.11) имеет следующие размеры: с1=с2=2,5±0,25 мм, 6=5±
±0,5 мм=0,005±0,0005 м, с4=10±1 мм, cs=6±0,6 мм. Относитель-
ная магнитная проницаемость материала сердечника |ir=1000. Об-
мотка катушки содержит w=50 витков. Определить индуктивность
катушки,
Рис. 4.14, Магнитная проводимость воздушного зазора при С1/б=
= 2-ь27; с2/б=3,5-Н,2
§ 4.4 Катушки индуктивности с разомкнутым сердечником 179
Решение. Для номинальных значений Ci = C2=c1/6 = c2/6 =
=2,5/5=0,5 из графиков на рис. 4.12 (точка а) определяем £чд/6 =
= 1,35 мкГн/м, т. е. номинальную магнитную проводимость воздуш-
ного зазора:
gMS = б-1,35 = 0,005-1,35 = 0,0067 мкГн = 6,7 нГн.
Номинальная магнитная проводимость сердечника определяет-
ся по (4.12):
10 -|- 6 —• ~~~~~ -4- 4-2,5
1000-0,4л-2,5	2 ~	„
„ =---------------In--------------------= 216 нГн.
gM1C	8	10 4-6 — 5/2
Номинальное значение полной магнитной проводимости сердеч-
ника с зазором определяется по (4.13):
gMZ = (6,7-216)/(6,7 4- 216) = 6,5 нГн.
Номинальное значение индуктивности намагничивания катушки
определяется по (4.2);
-t-нам = 50?-6,5= 16 200 нГн.
Так как при экранированном сердечнике индуктивностью рас-
сеяния катушки можно пренебречь, то можно считать, что индук-
тивность намагничивания La3a равна полной индуктивности катушки.
Для учета технологического разброса размеров воздушного за-
зора по характеристикам рис. 4.12 графически определяется область
возможных значений его магнитной проводимости. На рис, 4.12 эта
область заштрихована для значений
(cimtn  c2mtn\ . I cimax  Cgmax) 
&max	&max J \	&min J
2,5 — 0,25	2,54-0,25
= —1-----1-----4- —1—!—1---= 0,41 4- 0,61.
54-0,5	5 — 0,5
Предельные значения магнитной проводимости воздушного зазора
(точки бив) составят
б^мв ^тах Klimin Jasmin ' ^мв (^itnax)^2max
= (0,005 4- 0,0005)-1, 05-4-(0,005 — 0,0005)-1,7 =
= 0,00575-4-0,00765 мкГн = 5,75-4-7,65 нГн,
Зная область возможных значений магнитной проводимости воз-
душного зазора и учитывая, что она значительно меньше магнитной
проводимости сердечника, можно определить предельные значения
индуктивности катушки:
L « LHaM = 50г-5,75 -4- 502-7 , 65 = 14 4 00 -4- 19 1 00 нГн.
4.4.2.	Катушки с неэкранированным сердечником
Если сердечник с зазором не имеет экрана (неметаллизирован),
то описанный выше метод расчета индуктивности катушки может
12*
180
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
быть применен лишь при ряде ограничений. Действительно, при на-
личии экрана магнитный поток в сердечнике с зазором замыкается
только между неэкранированными торцами. При отсутствии экрана
пути прохождения магнитного потока через воздушный зазор суще-
ственно усложняются, приобретая объемный характер. Для того
чтобы магнитный поток в таком сердечнике замыкался в основном
между торцами, необходима высокая относительная магнитная про-
ницаемость материала, либо достаточно малая длина воздушного
зазора. При отсутствии этих условий необходим расчет полной схе-
мы замещения катушки с сердечником по методу, описанному в § 4.2,
с учетом конкретных особенностей конструкции сердечника.
4.5.	КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ С ЗАМКНУТЫМ
СЕРДЕЧНИКОМ
Рис. 4.15. Кольцевой сер-
дечник
Замкнутый сердечник позволяет максимально использовать маг-
нитные свойства материала, из которых он изготовлен. Так как маг-
нитные свойства материала проявляют-
ся весьма разнообразным образом и за-
висят от многих причин, то для коли-
чественного расчета значений индуктив-
ностей необходимо принять определен-
ные допущения. Ниже рассмотрены спо-
собы учета влияния формы сердечника
и магнитного гистерезиса на -параметры
катушки в режиме намагничивания си-
нусоидальным током.
4.5.1.	Влияние формы сердечника
на индуктивность катушек
Рассмотрим кольцевой сердечник
'(рис. 4.15) из материала с pr = const и
ничтожно малыми потерями. На сердеч-
нике равномерно распределена обмотка w с током i. Напряженность
поля в любой точке такого сердечника, находящейся на расстоянии
гот оси его симметрии, одинакова и равна
Н — (iw)/2nr = В/цг р.о.
Магнитный поток в сердечнике
D/2
, С „ , to/iPrPo ... D
Ф = й 1 В dr — —--------In — ,
,)	2л d
d/2
где d и D — внутренний и внешний диаметры; h — высота сердеч-
ника.
Индуктивность катушки без учета индуктивности рассеяния
L =-----— w2—-— In —— .
>	2л d
Ограничившись двумя членами разложения в ряд Тейлора вели-
§ 4.5 Катушки индуктивности с замкнутым сердечником
181
D D-d
чины In ———т;— Для тонкостенного кольцевого сердечника при
d D
d-+D, площади поперечного сечения sc=h(D—d)/2 и длине средней
линии /ср=л£>, получим
,	, Иг Ио
L = w9- sc —--- .
‘ср
Если выражение для индуктивности переписать в виде
, Sc D/d-\- 1 In (D/а!)	„ Sc ,
L = w-~ Hr Ho n/.	,	0	“w" I РтНо^ф,
»cp L>la ~ 1 z	‘cp
где Zcp = n(D—d) —длина средней линии сердечника, то можно оце-
нить влияние формы сердечника коэффициентом формы, который
в общем случае для магнптопровода с прямоугольным сечением яв-
ляется функцией отношения внешнего и внутреннего периметров
Пвн и П ВТ*
пвн
ш----
k ___Пвя/Пвт ~Ь 1 Пвт
ф “ Пвн/Пвт - 1	2
4.5.2.	Влияние магнитного гистерезиса на индуктивность катушек
На рис. 4.16 сплошной линией показана экспериментально сня-
тая статическая петля гистерезиса сердечника, представляющая со-
бой зависимость среднего (по сечению) значения индукции В=Ф/5в
от напряженности магнитного поля на средней линии H=iw/lcv, где
Sc —площадь поперечного сечения и /Ср — длина средней линии сер-
Рис. 4.16. Замена петли гистерезиса
эквивалентным эллипсом
Рис. 4.17. Катушка с сердечником в
цепи переменного тока:
в — схема цепи; б — последовательная
электрическая модель: в — параллельная
электрическая модель
182
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл, 4
дечника. При этом автоматически учитывается форма сердечника.
Полное потокосцепление с обмоткой катушки состоит из пото-
косцепления рассеяния, и потокосцепления намагничивания. Учиты-
вая это обстоятельство, реальную катушку можно представить в виде
последовательного соединения индуктивности рассеяния Арас, ак-
тивного сопротивления обмотки г0 и так называемой идеализирован-
ной катушки (рис. 4.17, а). Свойства идеализированной катушки
зависят только от магнитных свойств сердечника и числа витков об-
мотки {7}. Для анализа процессов в идеализированной катушке ста-
тическую петлю гистерезиса сердечника можно заменить эквивалент-
ным эллипсом. Обычно площадь перекрытия эквивалентного эллип-
са и статической петли гистерезиса должна составлять 80—90 %
площади каждого из них в отдельности.
При одинаковом направлений обхода статической петли гисте-
резиса и эквивалентного ей эллипса (см. рис. 4.16) уравнение по-
следнего в параметрической форме можно записать в виде
Н (/) = sin со/; )
1	(4.14)
B(t) = Вт sin (at— 6Ц), J
где Вт и Нт — максимальные значения индукции и напряженности
магнитного поля; б» — угол потерь энергии в сердечнике.
Так как индукция и напряженность магнитного поля изменяют-
ся по синусоидальному закону, то для расчета катушки можно вос-
пользоваться комплексным методом. Комплексное сопротивление
идеализированной катушки
U	jaw*scB	s в
Z =-=^-—--------=^ =------—=- = j<cu)2 -2---SL. е-/«п =
ср	Я'ср	(ср
= (СЮ2 /С sin 6П + /(сш2 $с cos бп=^и + i®La, (4.15)
Др“т	‘срС'т
где ги и (оАи — активное и индуктивное сопротивления идеализиро-
ванной катушки.
Полная эквивалентная схема замещения катушки в соответст-
вии с (4.15) приведена на рис. 4.17,6. На рис. 4.17, в приведена дру-
гая часто встречающаяся разновидность этой схемы, в которой
'?,+Ю2	+Н)!
; “t”=
(4.16)
Наличие резистивного элемента в схемах замещения определяет-
ся потерей энергии в сердечнике на магнитный гистерезис.
Использование для расчета катушек экспериментально определен-
ной динамической петли гистерезиса сердечника учитывает влияние
как формы сердечника, так и всех его электромагнитных свойств:
магнитного гистерезиса, магнитной вязкости и электропроводности.
4.6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАТУШЕК
ИНДУКТИВНОСТИ
Будем называть собственные и взаимные индуктивности кату-
шек индуктивными параметрами последних, а совокупность опреде-
§ 4.6
Статистические характеристики катушек
183
ляющих их величин (геометрические размеры, электромагнитные па-
раметры материала сердечника и т. д.) — внутренними параметрами
катушек. Составляющие вектора внутренних параметров Х= [хь х2,...
.... Xi, ...] имеют технологический разброс относительно своих номи-
нальных значений и являются случайными величинами. Следова-
тельно’, случайными величинами являются и значения индуктивных
параметров. Пользуясь приведенными в справочнике зависимостями
между индуктивными и внутренними параметрами и полагая из-
вестными статистические характеристики и допуски на значения внут-
ренних параметров, можно рассчитать статистические характеристи-
ки индуктивных параметров.
Анализ статистических характеристик индуктивных параметров
катушек преследует две основные цели:
анализ статистического распределения значений индуктивных
параметров и ожидаемый процент выхода годных изделий при изго-
товлении;
анализ чувствительности индуктивных параметров к изменению
внутренних параметров для оценки рационального поля допусков.
Если отклонения внутренних параметров от их поминальных
значений невелико, то для анализа статистических характеристик
могут использоваться аналитические методы. В противном случае
целесообразно использовать метод статистических испытаний.
4.6.1. Аналитический метод
Аналитические методы анализа статистических характеристик
основаны на допущении о линейности зависимостей между измене-
ниями индуктивных и внутренних параметров при малых отклоне-
ниях последних от их номинальных значений. Такие условия не сни-
жают точности расчетов для катушек индуктивностей без магнит-
ных сердечников, математические модели которых рассмотрены в гл.
2 и 3. Из рассмотрения математических моделей следует, что индук-
тивные параметры катушек без сердечников зависят от трех — пяти
параметров xt.
Обычно можно считать, что отклонения случайных величин х>
относительно своих номинальных значений х<Ном симметричны, име-
ют максимальное Ximax и минимальное xtmtn значения до отбраков-
ки и характеризуются нормальным законом распределения с мате-
матическим ожиданием
^4 [Х;] = Х/ном 1=8 (Ximax 4“ ximin)№	(4.17)
и среднеквадратическим отклонением
° [^/1 ~ (Ximax ximinVS.	(4.18)
Если, кроме того, все внутренние параметры х< являются ста-
тистически взаимно независимыми величинами, то числовыми ста-
тистическими характеристиками индуктивных параметров будут ма-
тематическое ожидание М [L], равное их значению при номинальных
значениях внутренних параметров х, = х/„ом, и среднеквадратическое
отклонение, равное
о [L] = -|/У(5£/5хг)а0г [хг] ,	(4.19)
184
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
где dL/dXi определяется из математических моделей катушек индук-
тивности.
Пример 4.4. Однослойная цилиндрическая катушка (рис. 2.7) на-
мотана на каркасе и имеет следующие номинальные геометрические
размеры: радиус каркаса г2ном=4 мм, длина /ном=12 мм, шаг на-
мотки /г2Пом=2 мм, диаметр провода йп,вом=0,4 мм. Все геометри-
ческие параметры являются взаимно независимыми случайными
величинами с нормальным законом распределения при среднеквадра-
тических отклонениях о[г2]=0,2 мм, о[/]=0,5 мм, о[Л2] = 0,1 мм. Оп-
ределить числовые статистические характеристики индуктивности
катушки: математическое ожидание Л4[£] и среднеквадратическое от-
клонение о[£].
Решение. Номинальное значение индуктивности катушки при
номинальных значениях геометрических размеров определено в при-
мере 2.5 (см. рис. 2.9, точка а) и равно £вом = Л1[£]= 166 нГн.
Определив по кривым рис. 2.9 значения dL/dr2« AL/Ar2=
= 55 мкГн/м = 55 нГн/мм, dL/d/« AL/A/=18 мкГн/м=18 нГн/мм и
dL/dh^ x A£/A/i2=—107 мкГн/м=—107 нГн/мм, найдем по (4.26)
среднеквадратичсское отклонение индуктивности катушки от номи-
нального значения:
о [£] = 3< 552.0,22 Ч- (— 107)2 • 0,12 —182-0.52 = 17 нГн.
4.6.2. Метод статистических испытаний
Метод статистических испытаний заключается в многократном
расчете математической модели исследуемого объекта и последую-
щем анализе результатов при случайных значениях внутренних па-
раметров. Метод наиболее эффективен для анализа статистических
характеристик катушек с магнитными сердечниками. Это объясня-
ется тем, что в ряде случаев их математические модели имеют лишь
алгоритмическое описание, а сердечники характеризуются значи-
тельными отклонениями большого числа [до 15, см., например,
(4.20)] внутренних параметров от их номинальных значений.
Рассмотрим применение метода статистических испытаний для
анализа катушек с составным сердечником. Статистический анализ
катушек других типов аналогичен. На рис. 4.18, а показан составной
сердечник, две части которого А и Б соединены внахлест. Геометри-
ческие размеры этих частей обозначены соответствующими индекса-
ми, например с1л и с1Били с )Л(£). Обозначения с двойным индексом
позволяют сократить число математических выражений. Использова-
ние всех величии с индексами А определяет смысл математического
выражения для части Л, а с индексом Б — для части Б сердечника.
Без учета индуктивности рассеяная статистические характери-
стики индуктивности катушки определяются статистическими харак-
теристиками магнитной проводимости Ум составного сердечника
(4.2).
Магнитная проводимость неразветвленных участков Л и Б с от-
носительной магнитной проницаемостью цлЛ(В) равна сумме магнит-
ных проводимостей их элементарных слоев по (4.5) с площадью по-
перечного сечения ^Сл,Л(£) = С1.4(Б)^Х и ДЛИН01"* ^сл,л<5) =2с«—
~С4Дл(АЛ) —с4Бп(Аг:) +С5Л(Й)
§ 4.6
Статистические характеристики катушек
185
_ Но ИгД(Д) С1Л(5)
£м,сЛ(Б> ~	д	Х
у 1н2С4~^й->1(Л->1) ~-Рп(Дп, +с5Л(5) +4сЗЛ(5)
2с4 — С4£л(Дл) ~ С4£п(Лп) + С5Л(Б)
Для правого (левого) участка нахлеста, геометрические разме-
ры которого имеют индекс «п» («л»), удобнее рассчитывать не магнит-’
Рис. 4.18. Составной сердечник, элементы которого соединены вна-
хлест:
а — геометрическая модель; б — схема замещения
ную проводимость, а магнитное сопротивление. Для этого разделим
правый (левый) участок нахлеста длиной /нахп1л)=с'4дП(Лл)
+с4Вп £Л1 ~с4 на элементарные ячейки с длиной, равной воздушному
зазору Схема замещения каждой элементарной ячейки (рис.
4.5, а) представляет собой совокупность магнитных сопротивлений
элементарных участков сердечника
д,	_. бп<л>________
шч,сЛп(л) —
4.4 С3п(л)
^М.сбпсл)
^п(л)_______
1*0 PrS С1Б с3п(л)
186
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
и воздушного зазора
Лгмбп(л) Ио с3п(л)
где Сзя(л)—ширина правого (левого) участков нахлеста, если сме-
щение частей А и Б составного сердечника в направлении, перпен-
дикулярном плоскости симметрии yz, равно ±0:
с5б№ 0 > с5л/2;
с3п(л) =	+ сз/ - Т 9. е«и
Л
с3п(л) — СЗБ< еслИ
с3п(л)--+СЗБ±(*
С5Б/2 + Сзб ± 9 > с5а/2 +
СоБ^ ~ 9 > с5//2>
сЪб№ + СЛБ 9 *3 С5А^ + СЗЛ’
С5Л
2
если
С5Б^ ^9< С5А^>
с5Б/2+СЗБ ±е<
<с5л/2 + СЗЛ,
^+С3/1‘>
( С5с/2 ± 9< с5л/2’
с3п(л) = сзл > ее-™ j 2i ± 0 >	/2 ।
( С5Б Z । СЗБ 31 ° СаА'^ + СЗЛ-
После последовательного преобразования элементарных тре-
угольников магнитных сопротивлений в эквивалентные звезды и сум-
мирования слагаемых получим магнитное сопротивление правого
(левого) участка нахлеста.
Полная магнитная проводимость составного сердечника по схе-
ме замещения на рис. 4.18, б равна
Sm.cA &м,сБ
= 1 ' - ------------------------------------—----— =
Sm.cA 8м,сБ ^м,сЛ ^м.сБ (гм,нах,п ^м.нах.л)
= /(с1Л- С1Б.....С5А’С5Б’ бп> бл- Н,Л> Н,Б- 9>-	(4-20)
Примем, что значения всех внутренних параметров составного
сердечника xi—Cja, x2=c2a,... являются независимыми случайными
величинами;
случайные значения всех внутренних параметров подчиняются
нормальному закону распределения с математическим ожиданием по
(4.17) и среднеквадратическим отклонением по (4.18);
случайные значения всех внутренних параметров после отбра-
ковки изготовленных изделий находятся в пределах своих допусков
Ах,.
Это позволяет выбрать совокупности предельных значений внут-
ренних параметров, при которых магнитная проводимость достигает
минимального gM:nin и максимального gmmax значений, т. е. реализо-
вать метод наихудшего случая (см. пример 4.2).
Из центральной предельной теоремы [5] следует, что закон рас-
пределения магнитной проводимости составного сердечника близок
§ 4.6
Статистические характеристики катушек
187
к нормальному с математическим ожиданием
JV
М [gM] =
1£=1
и среднеквадратическим отклонением
N
1	'N
°2 [£м! = Т 2j gMk ~ д/Т~1м [£м1 >
k=i
(4.21)
(4.С2)
где N — достаточно большое
(обычно не менее 50—100) чис-
ло расчетов модели по (4.20)
при случайных значениях внут-
ренних параметров xi в задан-
ных пределах допусков Дх;.
Разделим диапазон измене-
ния магнитной проводимости
На П= (gumax—gwmin} IД^м рЯВ-
ных интервалов. Если из об-
щего числа N испытаний моде-
ли в \N случаях значения
находятся в одном из интер-
валов 1 <т^п, то средняя плот-
ность вероятности этих собы-
тий
Р(5м,ср)т=(АЛ')/Ш^м. (4.23)
Совокупность значений
Р(Ям,ср)т для всего диапазона
изменения магнитной проводи-
мости определяет гистограмму
распределения плотности веро-
ятности, переходящую в закон
распределения p(gK) приМ-*оо
и.Д§м~>0.
На рис. 4.19 приведена
структурная схема расчета ста-
тистических характеристик маг-
нитной проводимости составно-
го сердечника на ЭВЛ1. Число-
вые значения статистических
характеристик М [х,], о[х>] и
допусков Дхг для всех внутрен-
них параметров х,-, а также чис-
ло испытаний являются исход-
ными данными.
Для выработки случайных
значений всех внутренних па-
Рис. 4.19. Структурная схема про-
граммы расчета статистических ха-
рактеристик составного сердечника
188
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
раметров при k-м испытании модели используется программный
датчик случайных чисел £ с нормированным нормальным законом
распределения и плотностью вероятности
Р (£)=--—“	(4.24)
у 2л
Нормированный нормальный закон распределения р(|) получа-
ется из ненормированного нормального закона распределения внут-
ренних параметров с плотностью вероятности
Р (xi) =------Г" e~(MW-^2/2H4]	(4.25)
° [*г 1 V2л
умножением последнего па о[х,] и заменой переменных
= М [хг] — £о [хг].
(4.26)
Выражение (4.26) позволяет вычислить случайное значение внут-
реннего параметра xt, если программный датчик выработал случай-
ное число £. Совокупность случайных значений всех внутренних па-
раметров, находящихся в пределах допусков, используется для А-го
испытания модели, т. е. для вычисления gmn.
Метод статистических испытаний позволяет также оценить чув-
ствительность магнитной проводимости составного сердечника к из-
менению того или иного его внутреннего параметра Xi. Для этого
при испытании модели составного сердечника по (4.20) N раз и по-
следующем вычислении математического ожидания магнитной про-
водимости ЛЦ^м] по (4.21) все внутренние параметры принимают
случайные значения в пределах своих допусков Дхч, за исключени-
ем одного, имеющего постоянное значение.
Если в каждой серии из Л' испытаний выбранному внутренне-
му параметру задавать новое фиксированное значение, то зависи-
мость
M[gM]=f(Xi)	(4.27)
определяет линию регрессии. Линия регрессии показывает, как
в среднем зависит значение магнитной проводимости от значения то-
го или иного внутреннего параметра Xi. Так как модель составного
сердечника содержит две одинаковые части, то линии регрессии от
одноименных параметров частей совпадают.
Числовые статистические характеристики Л4[£м] и o[gM] магнит-
ной проводимости сердечника однозначно определяют одноименные
числовые статистические характеристики (4.5) индуктивности ка-
тушки
М [Ьнам] = ®2M[gM]; о [LHaM] = о [£м],	(4.28)
где w — число витков обмотки.
Пример 4.5. Числовые статистические характеристики и допуски
случайных значений взаимно независимых внутренних параметров
§ 4.6
Статистические характеристики катушек
189
Xi с нормальными законами распределения для катушки индуктив
ности с составным сердечником (рис. 4.18) приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Статистические характеристики внутренних
параметров составного сердечника
X. 1	2 сГ S	мм	S 2 еТ	И - С Е Э С II S	С5Л(Б)’ мм	ПН	О-гА (Ь>	0, мм
М [X;]	1	2	10	6,5	6	0,02	1200	0
о (хг]	0,1	0,2	'1	0,65	0,6	0,002	120	0,3
Ахг	0,1	0,2	1	0,65	0,6	0,602	120	0,3
Определить гистограмму распределения плотности вероятности,
математическое ожидание A4[gM], среднеквадратическсе отклонение
о[£м] и линии регрессии A5[gM]—f(*i) магнитной проводимости сэ-
ставного сердечника gM, а также числовые статистические характе-
ристики индуктивности катушки, содержащей а-'=30 витков.
Решение. При заданных допустимых значениях внутренних
параметров определим диапазон возможных значений магнитной
проводимости по методу наихудшего случая (см. пример 4.2)
gusmax—gumin—73—25=48 нГн. Далее разделим этот диапазон на
восемь равных частей Д§м=6 нГн. Испытание модели составного сер-
дечника по (4.20) W=100 раз определило гистограмму распределе-
ния плотности вероятности по (4.23) (рис. 4.20), математическое
ожидание по (4.21) Al[gM]=46 нГн, среднеквадратическое отклоне-
ние по (4.22) a[gM] = 3,5 нГн, а также линии регрессии по (4.27)
M[gM]=/(л:,) магнитной проводимости (рис. 4.21). Сравнение линий
регрессии показывает, что наибольшее влияние на нестабильность
Ряс. 4.20 Гистограмма магнитной проводимости составного сердеч-
ника
190
Катушки индуктивности с сердечниками
Гл. 4
Рис. 4.21. Линии регрессии магнитной проводимости составного сер-
дечника
магнитной проводимости сердечника оказывает нестабильность вы-
соты его окна с4.
Числовые статистические характеристики индуктивности катуш-
ки равны по (4.28): A4[Lнам] — 41 400 нГн, о[£нам]=310 нГн.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Опыт работы над справочником позволяет сделать некоторые
выводы и дать рекомендации для расчета на ЭВМ собственных
и взаимных индуктивностей катушек.
При расчете собственных индуктивностей круговых плоских вит-
ков (см. рис. 2.3) и однослойных цилиндрических катушек (см. рис.
2.7) с отношением диаметра провода к радиусу каркаса dn/r2<0,05
необходимо использовать подпрограммы интегрирования в (2.6)
и (2.12) с двойной точностью. То же относится и к расчету собст-
венных индуктивностей плоских витков и катушек другой формы.
Для расчета взаимных индуктивностей различных типов кату-
шек интегрирование с двойной точностью, как правило, не требует-
ся. Это позволяет уменьшить время расчета на ЭВМ.
Программы расчета собственных и взаимных индуктивностей
всех рассмотренных в справочнике катушек имеют одинаковую
структуру с однократным или двукратным интегрированием и отли-
чаются, главным образом, видом подынтегральных выражений.
Представление о структуре и объемах программ можно получить на
приложений 1 и 2.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРОГРАММА РАСЧЕТА СОБСТВЕННОЙ ИНДУКТИВНОСТИ
ОДНОСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАТУШКИ
Ниже приведена программа Ш расчета по (2.2) собственной
индуктивности L однослойной цилиндрической катушки (см. рис.
2.1). В программе, составленной на универсальном алгоритмическом
языке FORTRAN, введены следующие идентификаторы: Н2 = й2,
DP = d„, R2 = r2, FI = <p, M=/n, К=й, W=w.
Время счета программы на ЭВМ ЕС-1033 для исходных данных
й2=0,2 мм, rfn = 0,l мм, г2=5 мм, и>=100 составляет 2 мин 30 с.
Программа П1
REAL L
INTEGER W.
COMMON/B/R2, Н2, DP, М, К
EXTERNAL AIND
W=100
R2=5
H2 = 0,2
DP=0,l
L = 0,0
DOI M=l, W
DOI K=1,W
CALL QG10(0, 0, 3,14, AIND, Z)
1 L=L + 0.4*3.14*R2*(R2 + DP/2)*Z
PRINT2, L
2 FORMAT(2X, 8E15.8)
STOP ’
END
FUNCTION AIND (FI)
COMMON/B/R2, H2, DP, M, К
AIND = COS(FI)/SQRT((H2**2*(M—K))**2+(R2 + DP/2)**2 +
+ R2**2—R2* (R2 + DP/2) *COS (FI)
RETURN
END
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРОГРАММА РАСЧЕТА ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ ДВУХ
КРУГОВЫХ КОНТУРОВ
Ниже приведена программа П2 расчета по (3.1) взаимной ин-
дуктивности М двух круговых контуров /1 и с параллельными ося-
ми (см. рис. 3.1). В программе, составленной на универсальном ал-
горитмическом языке FORTRAN, введены следующие идентификато-
ры: Rl = fi, Н = й, S=s, R2 = r?, FI1 =<Pi, FI2=rf?.
192
Приложения
Программа П2
REAL М
COMMON/B/R1, R2, Н, S
EXTERNAL AIND1
Rl = 10
R2 = 5
Н = 5
S = 15
CALL QG9(0, 0,3, 14, AIND1, Z)
M = 0.2*Rl*R2*Z
PRINT1, M
1 FORMAT(2X, 8E15,8).
STOP
END
FUNCTION AIND1(FI3)'
COMMON/A/FI2
EXTERNAL AIND
FI2 = FI3
CALL QG10(0, 0,6, 28, AIND, Y)
AIND1=Y
RETURN
END
FUNCTION AIND(FIl)
COMMON/A/FI2
COMMON/B/RKR2, H, S
AIND = COS(FI1—FI2)/SQRT(H**2 + R1**2 + R2**2 + S**2—
2*R1*S*COS(FI1)+2*R2*SQRT(S**2 +
r1**2—2*R1*S*COS(FI1))*COS(FI2+ATAN(R1*SIN(FI1)/
(S—R1*COS(FI1)))))
RETURN
END
Время счета программы на ЭВМ ЕС-1033 для исходных данных
Г] =10 мм, г2=б мм, ft = 5 мм, $=15 мм составляет 10 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей. Л.
Энергия, 1986. 415 с.
2.	Нетушил А. В., Поливанов К. М. Основы электротехники.
Ч. 1П. М.: Энергия, 1956. 198 с.	•
3.	Тозони О. В. Расчеты электромагнитных полей на ЦВМ. Киев:
Техника, 1967. 252 с.
4.	Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.
М.: Наука, 1980. 974 с.
5.	Вентцель Е. С. Теория вероятностей, М.: Физматгиз, 1964.
460 с.
6.	Немцов М. В., Шамаев Ю. М. Справочник по расчету пара-
метров катушек индуктивности. М.: Энергоиздат, 1981. 136 с.
7.	Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника. М.: Энерго-
атомиздат, 1983. 440 с.
Оглавлений
Предисловие................................................ 3
Глава первая. Катушки индуктивности без магнитных
сердечников............................................. 5
1.1.	Определение основных магнитных величин ...	5
1.2.	Взаимная и собственная индуктивности ....	7
1.3.	Зависимость индуктивности от частоты ....	11
1.4.	Эффект близости...................................Г5
1.5.	Влияние шага намотки катушек......................16
1.6.	Магнитное поле катушек............................19
1.7.	Расчет индуктивных параметров на ЭВМ ...	26
1.8.	Основные допущения................................30
Глава вторая. Собственная индуктивность катушек без
магнитных сердечников...................................31
2.1.	Универсальная модель , . .........................31
2.2.	Индуктивность плоских витков................33
2.3.	Индуктивность однослойных катушек	....	38
2.4.	Индуктивность спиральных катушек............51
2.5,	Индуктивность многослойных катушек	....	58
Глава третья. Взаимная индуктивность катушек без маг-
нитных сердечников................................66
3.1.	Универсальная модель........................66
3.2.	Взаимная индуктивность плоских контуров ...	69
3.3.	Взаимная индуктивность катушек н плоских контуров	112
3.4.	Взаимная индуктивность катушек...................139
Глава четвертая. Катушки индуктивности с магнитны-
ми сердечниками........................................163
4.1.	Свойства	магнитных сердечников...................163
4.2.	Схема замешения катушки с магнитным сердечником 165
4.3.	Катушки	индуктивности	с составным	сердечником	167
4.4.	Катушки	индуктивности	с разомкнутым	сердечником 174
4.5.	Катушки индуктивности с замкнутым сердечником .	180
4.6.	Статистические характеристики катушек индуктивно-
сти ...................................................182
Заключение................................................190
Приложение 1. Программа расчета собственной индуктив-
ности однослойной цилиндрической катуш-
ки .............................1#1
Приложение 2. Программа расчета взаимной индуктивно-
сти двух круговых контуров ...	191
Список литературы...............................192
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ