/
Автор: Карп А.П.
Теги: математика алгебра задачи по математике 8 класс 9 класс
ISBN: 5-71-9204-347-8
Год: 1997
Текст
МАГИСТР
Г'
Серия учебной литературы
«МАГИСТР.
А.П.КАРП
ЗАДАЧИ ПО ЛЛГЕЬРЕ
Для 8-9 классов
с углубленным изучением математики
Издание второе,
переработанное и дополненное
«МИР И СЕМРЯ-95»
СЛНКТ-ПЕТЕРВУРГ
1997
Серия учебной литературы
“МАГИСТР”
Серия «МАГИСТР» обобщает опыт «едущих преподавателей
Санкт-Петербурга и Москвы
Руководитель серии Александр Полуда, при участии Б.Г.Зива
Рекомендовано Университетом педагогического мастерства
Санкт-Петербурга и Комитетом по образованию мзрии Санкт-Петербурга
Задачник занял I место в конкурсе «Петербургский учебник», организованном
Комиссией но народному образованию и воспитанию Петросовета в 1993 г.
К23 Карп А.П. Задачи по алгебре. Для 8-9 классов с углубленным
изучением математики. - Санкт-Петербург, 1997. - НПО «Мир
и семья-95». - 320 с„ илл.
Продолжает серию «МАГИСТР» задачник петербургского
математика Александра Поэлевича Карпа, уже не раз публиковавшего
свои книги и статьи. Данная книга будет полезна как учащимся, так и
преподавателям в процессе обучения и для подготовки к письменным
экзаменам по алгебре. При составлении задачника автор использовал
собственную нестандартную методику, направленную на максимальное
усвоение знаний. Рекомендуется для классов с углубленным изучением
математики, факультативов и кружков, но может быть также использован
в массовой школе. Издание второе, переработанное и дополненное.
В оформлении обложки использована картина
Уильяма Генри Симмонса "Свет Мира ”
© ЗАО НПО «Мир и семья-95», текст, оригинал-макет,
ISBN 5-71-9204-347-8 иллюстрации, 1997 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Перед вами расширенное и переработанное издание за-
дачника для 8-9 классов с углубленным изучением матема-
тики, вышедшего в 1993 году под рубрикой «Петербургский
учебник». Добавлено несколько сотен задач, существенно
увеличен раздел «Ответы и указания». Все это должно об-
легчить использование задачника в классах различного
уровня и направления.
Этот задачник не совсем обычный. Хотя он и предназна-
чен для работы на уроке и самостоятельных занятий дома,
вы не найдете в нем десятков однотипных заданий, цель ко-
торых — довести до автоматизма те или иные навыки. Та-
кие задачи (а они необходимы!) можно найти в других
книгах: сравнительно легкие — в действующих учебниках,
сравнительно трудные — в пособиях для поступающих в
вузы. Наша цель другая.
В каждой из тем курса алгебры выделен ряд идей, пред-
ставляющихся нам важными и трудными; идей, с которыми
хотелось бы ознакомить учащихся, поэтому задания подо-
браны нами таким образом, чтобы дать возможность рас-
смотреть эти идеи с разных сторон, начиная, как правило,
с простых и частных случаев и кончая сложными и общими.
4
Карп А.П. Задачи по алгебре
Соответственно, задачи объединены в блоки, как прави-
ло, открывающиеся указаниями или примерами. Решать за-
дачи рекомендуется подряд — вырванные из контекста, они
могут показаться гораздо труднее, да и сам процесс раз-
мышления над блоком, процесс поиска аналогий и обобще-
ний столь же важен, как и его результат.
В конце сборника даны ответы и решения ряда задач. Ес-
ли выполнение каких-либо заданий вызывает затруднения,
можно разобрать предложенное решение и продолжить ра-
боту над остальными задачами.
Мы приводим также контрольные работы по каждой те-
ме. Они могут быть использованы учителем (для работы
с классом) и учеником (для самоконтроля). Следует, одна-
ко, иметь в виду, что контрольные работы составлены нами
с избытком, поэтому учащемуся может быть выставлена
оценка «отлично» даже при условии невыполнения каких-то
заданий.
Завершают сборник тесты по курсу алгебры 8-9 классов.
Автор выражает благодарность своим бывшим ученицам
А.Б.Балашовой и И.В.Шемякиной за помощь в подготовке
рукописи.
§ 1. УГЛУБЛЕННОЕ ПОВТОРЕНИЕ
КУРСА АЛГЕБРЫ
7 КЛАССА
1.1. Разложение на множители
• В заданиях 1—13 требуется разложить данные выражения на
множители.
Применение формул сокращенного умножения:
1. a) a3 —b6; 6)c3 + d9.
2. а) а2 — 4с2 + 4Ь (а + Ь); б) 9 (Ь - а) (Ь + а) + с2 - 6Ьс.
3. а) а4 - Ь2(2а - Ь)2; б) Ь4 - с2 (4с + 4Ь)2.
4. a) 81-(m2 + 6m)2; б) 16-(п2-4п)2.
Применение способа группировки:
5. а) а2 - 2х + ах - 2а; б) by - Зу + b2 - ЗЬ.
6
Карп А.П. Задачи по алгебре
6. а) х4 - а2 + ах3 - ах; б) у4 - а2 - ау3 + ау.
7. х2у2 + ху2 + x2z + xz2 + yz2 + y2z + 2xyz.
Искусственные приемы:
Пример. Разложить на множители выражение
х5+ х+ 1.
Решение.
X5 + X + 1 = х5 - X2 + X2 + X + 1 = х2 (х3 - 1) + X2 + X + 1 =
= (х2 + X + 1) (х - 1) х2 + (х2 + X + 1) =
= (х2 + X + 1) (х3 - X2 + 1).
8. а) х2 - 4х + 3; б) х2 + 6х + 5.
9. а) х4 - 10х2 + 9; б) х4 - 5х2 + 4.
10. а) х4 + 4; б) х4 + 64.
11. а) х4 + х2+ 1; б) х4 + Зх2 + 4.
12. х2у + ху2+ x2z+ xz2+ yz2+ y2z+ 3xyz.
13. a2 + b2 + 3c2 + 2ab + 4ac + 4bc.
Улубленное повторение курса алгебры 7 кл.
1.2. Преобразование алгебраических выражений
• В заданиях 14—17 требуется упростить данные выражения.
3 (х + 2) 2х2 - х - 10
2(х3 + х2 + х+ 1) 2(х -х2 + х-1)
f_s_ . 3___________М
•|у+1+2(х+1) 2(х-1) ’
15 х-у х2+у2+у-2 4х4 + 4х2 у + у2 - 4
^2у - х х2 - ху - 2у2 J ’ х2 + у + ху + х
1 1 1
(а - Ь) (а - с) + (Ь - с) (Ь - а) + (с - а) (с- Ь)’
а2 Ь2 с2
(а - Ь) (а - с) + (Ь - с) (Ь - а) + (с - а) (с - Ь)’
• В заданиях 18—20 требуется найти суммы данных дробей.
,Л , 1 1 1
19. 1 + -j—» + тг-у + ... 4---7---;—гг.
1-2 2-3 п(п + 1)
20.
1 1 1 . . 1
—5----------4- ~ 4- 5 4- .... 4-
22 - 1 З2 - 1 42 - 1 п2 - 1
8
Карп А.П. Задачи по алгебре
1.3. Условные равенства
• Для выполнения заданий 21 — 25 достаточно выразить одну из
переменных через другие с помощью данного равенства.
21. а) Доказать, что если а+ b= 1, то
а2 Ь" + 3 = (а- + а + 1) (b + b + 1);
б) доказать, что если а - b = 2 и а * 1, то
а2 - За + 2 ,
-z—и—Г = Ь-
2а - b - 3
22. а) Доказать, что если а-Ь = 1,
то a (b + 1 - 2а) + b (Ь + 2) = - 1;
б) доказать, что если а + b = 3,
то За (а + ЗЬ + 1) + 2b (2Ь - а) = 36.
23. Доказать, что если а + b + с = О,
то (а2 + Ь2 + с2)2 = 2 (а4 + Ь4 + с4).
24. Доказать, что если а + b + с = О,
то а3 + Ь3 + с3 = ЗаЬс.
25. Доказать, что если х = а2 - Ьс; у - Ь2 - ас; z = с2 - ab,
то ах + by + cz = (а + b + с) (х + у + z).
Улубленное повторение курса алгебры 7 кл.
9
• Для выполнения заданий 26—30 требуется проводить преобразова-
ния данных равенств.
Пример. Доказать, что если
а2 - 4Ь2
ab
= 3,
и числа
а и b — положительные, то
а2 + Ь2 17
ab 4 ’
Решение, а2 - 4Ь2 = ЗаЬ, т.е. (а + b) (а - 4Ь) = 0.
Так как а и b положительны, имеем а - 4Ь.
Отсюда
а2-ь b2 16b2 + b2 17
ab 4Ь2 4 ’
26. Доказать, что если а2 - Ь2 = ас + abc - b2c - Ьс и
Ь=£ а, то а + b = (b+ 1) с.
27. Доказать, что если
х3 + х2у + ху2 + у3 = 2х2 + 4ху + 2у2 - 2х - 2у
и числа х, у положительны, то х = у - 1.
28. Известно, что а2 4 с2 = Ь (2с -Ь).
Найти b (Ь - 5с) + (а + 2с)2.
__ а b с .
29. Известно, что ;----= —— =------г- и числа а, Ь, с
Ь+с а + с а+Ь
„ (а + Ь)2 (а + с)2 (Ь + с)2
положительны. Наити ----------— +-----— ч------—.
A О2
С Ь d
10 Карп А.П. Задачи по алгебре
30. Доказать, что если а2 + b2 = (а + b - с)2* 0 и b с, то
а2 + (а-с)2 а-с
Ь2 + (Ь - с)2 ~ b - с*
1.4. Решение уравнений
• В заданиях 31—36 требуется решить данные уравнения.
31. х-1=2х-2. 32. х- 1 = (х — 1)(х-2).
' V
33. (х - 1) (х - 2) (X - 3) = 0. 34. а) х2 - 4 = 0; б) х2 = 9.
35. а) х2 - 6х + 5 = 0; б) х2 +7х + 6 = 0.
36 +1 ~ (х + 2)(х-3)
ло. а) ----ч------= I) о) ----~-------= 0.
х2-1 х2-4
37. а) В уравнении (а -1) х = а - 2 определить а так, что-
бы число 3 было его решением;
б) в уравнении (а + 2)х = а + 4 определить а так,
чтобы число 2 было его решением.
38. а) В уравнении а2х = а2 - а определить а так, чтобы
число 2 было его решением;
б) в уравнении а2х = а2 + а определить а так, чтобы
число - 1 было его решением.
• В заданиях 39—41 требуется решить уравнения с параметром
относительно х.
39. а) (а + 1) х = а - 1;
б) (а - 2) х = а + 3.
Улубленное повторение курса алгебры 7 кл. 11
40. а) ах = а2 + а; б) ах = а3-а.
41. а) (а2+ а)х = а2-4а; б) (а2 - а) х = а2 + 6а.
1.5. Решение систем уравнений
В заданиях 42—54 требуется решить данные системы уравнений.
(Все они с помощью действий с уравнениями и разложения на мно-
жители сводятся к линейным.)
Пример. Решить систему уравнений:
х2 (х + у + 1) + 2у2 = 4ху,
х(х + у) = у.
Решение. Домножим второе уравнение на х и вычтем
получившееся уравнение из первого. Получим
х2 + 2у2 = Зху, т.е. (х - у) (х - 2у) = 0, но если х = у ,
то, подставив, например, во второе уравнение, полу-
чим х = у = 0 или х = у = у; если же х = 2у, то полу-
1 1
чим еще х = —; у = —
5 о
Ответ. (0.0);
42.
[ 2х + у = 3,
’ [ 2у + 4х = 6;
10у - 6х = - 2,
Зх - 5у = 1.
43. а)
4х-2у= 1,
Зу - 6х = 2;
б)
бу - 2х = 3,
х - Зу = 2.
12
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
53.
Карп А.П. Задачи по алгебре
а) х2 - 4ху + 4у2 = 9, у2 + 2ху + х2 = 1; б)
а) ' ^ = 3. х-У б) '
(х+ у)(х -у) = 3;
а) < х2 + у2 = 0, 7ху + Зх5- 2х2 = 0; б)
а) (х - 4) (у-5) = 0, у2 - х2 = 9; б)
а) 2х2 + у2 = 9,
2 2 г б)
х + у =5;
2х2 + Зху + у2 = 6,
а; х2 + Зху + 2у2 = 6;
а) 2х2 - 5ху - 2у2 = - 4, х2 - 4ху = - 4; б) J
х2 + Зу2 = 4, 52.
X3 + Зу3 = 4х.
х; /=2,
‘ xz = 3, yz = 6. 54.
х2 + 2ху + у2 = 4.
у2 - 2ху + х2 = 1.
^ = 2,
х + у
(х - у) (х + у) = 2.
2х2 + Зу2 = 0,
5х3у - х4 + у3 = 0.
(х-5) (у-12) = О,
х2 + у2 = 169.
Зх2 + 5у2 = 23,
2х2 - у2 = - 2.
х2 + 4ху + 2у2 = 7,
2х2 + 4ху + у2 = 7.
2х2 - Юху + 9у2 = 1,
х2 - 7ху + 7у2 = 1.
/
х + у = 3,
х+ z = 4,
у + z = 5.
ху + xz= 5,
5 ху + yz = 8,
yz + xz = 9.
Улублепное повторение курса алгебры 7 кл. 13
1.6. Графики уравнений
В заданиях 55—64 требуется построить графики уравнений. (Все
они сводятся к совокупностям или системам линейных уравнений.)
Пример. Построить график уравнения
(У2 ~ 4) (у + х) п
„2 , -и-
Решение. Надо построить множество точек
с координатами (х, у) такими, что х ±1 и у = - х
или у = ±2 (рис. 1).
Рис. I
14
Карп А.П. Задачи по алгебре
55. а) (у + х) (у- 2х) = 0; 56. а) (х2 + х) (у - 2х) = 0;
б) (у - х) (у + Зх) = 0. б) (х2 - 2х) (у + Зх) = 0.
57. а) у2 = х2; б) у2 = 4х2. 58. х2 + у2 = 0.
59. а) (х2 + у2) ( у - х - 1) = 0; б) (х2 + у2) (у + 2х - 3) = 0.
60. а) (у - I)2 + (х - 2)2 = 0; б) (х + З)2 + (у - 2)2 = 0.
61. а) (у - х)2 + (у - х2)2 = 0; б) (у - 2х)2 + (у + х2)2 = 0.
б) -Ц^4=о.
у - Зх - 5
(у-2х+ 1) (у + 2х - 1)
04. -------5----------= 0.
2 2
У -X
65. Написать уравнение прямой, проходящей через точки
с координатами (1, 1); (3, 5).
66. Написать уравнение биссектрисы 1—3 координатных
углов без начала координат.
1a' V’k
§2. НЕРАВЕНСТВА
2.1. Доказательство неравенств
i ♦' ‘ ' ' ' ‘
• В заданиях I—33 требуется доказать неравенства. Для доказа-
тельства следующих неравенств (1 — 8) достаточно выделять
полные квадраты.
Пример. Доказать неравенство х1 2 - ху + у2 > 0.
Доказательство.
2 2 2 1 2 3 2 z 1 \2 3 2 а
х2- ху + у2 = х2 - ху + д у + д у = (х - у у) + д У 0 —
1 2 3 2
— очевидно, т.к. (х-^У) ^0 и дУ
1. а) х2 - 2ху + 4у2 > 0;
2. а) Зх2 - 4ху + 4у2 > 0;
3. а) 5х2 - бху + 2у2 > 0;
б) Зх2 + 2ху+ у2 > 0.
б) 9х2 - 6ху+ 5у2 > 0.
б) 2х2 + lOxy + 17у2 > 0
4. а) х8 + х6 - 4х4 + х2 + 1 > 0; б) х8 + х6 - 2х3 + х2 + 1 > 0.
16
Карп А.П. Задачи по алгебре
5. 2х2 + 2у2 + z2 + 2xz + 2yz > 0.
6. (1 + ab)2 + (1 + cd)2 + (ас)2 + (bd)2 > 1.
7. a4 + b4 > a3b + ab3
8. l+a9<-+ а10, если a>0.
a
Каждое из неравенств 9 —15 может быть сведено к неравенству
а2 + Ь2 > 2 ab •
9. -57 + — > 2, если ab > 0.
b а
10. 2х2+ 2у2>(х + у)2.
11. а3 + b3 > a2b + ab2, если а + Ь>0.
12. (а2 - b2 )2 > 4аЬ (а - Ь)2
13. —+ ч7<Д + ^, если а > 0, b > 0.
a b Ь2 а2
14. (а2 + Ь2) (а4 + Ь4) > (а3 + Ь3)2.
а + b а2 + Ь2
если а> О, b > 0.
Каждое из неравенств 16—25 молено доказать, складывая или
перемножая верные неравенства.
Пример. Доказать неравенство
а2 + Ь2 + с2 > ab + ас + Ьс.
Доказательство. Имеем
а2+ b2 L
—5—>ab;
1 7 2
Ь~ + а
2
> Ьс;
Улубленное повторение курса алгебры 7 кл.
17
> ас.
Складывая эти неравенства, получаем
требуемое.
16. а) а2 + b2 + 1 > ab + а + Ь; б) 4а2 + b2 + 1 > 2аЬ + 2а + Ь.
17. а4 + Ь4 + с4 + d4 > 4abcd.
18. а) х4 + у4 + 32 > 16ху;
б) 16х4 + у4+ 17 > 16ху.
19. — + дг + —- > а + b + с, если а > О, b > 0, с > 0.
а b с
20. (ab + Ьс + ас)2 > ЗаЬс (а + b + с).
21. а2 (1 + b2) + b2 (1 + с2) + с2 (1 + а2) > 6abc.
а + b а b
22. < Т + . . ,
1+a+b 1+а 1+b
если а > 0; b > 0.
23.
3 ^1.1.1
---< + +
a+b+с а+b а+с а+с
если а > О, b > 0, с > 0.
а3 + Ь3 + с3 а + b + с
24. —2 “j 2 “ I
а + Ь + с 3
если а > О, b > 0, с > 0.
25. (1 + а2) (1 + b2) (1 + с2) > 8abc.
• Неравенства 26—29 можно доказать, сравнивая значения пере-
менных и разбирая различные варианты.
Пример. Известно, что числа a, b, с, d положитель-
ны, а > с + d и b > с + d.
Доказать, что ad + be < ab.
2—1204
18
Карп А.П. Задачи по алгебре
Доказательство. Пусть а > b . Тогда, т.к. b > с + d,
имеем ab > ас + ad > be + ad. Пусть а < b. Тогда,
т.к. a>c + d, имеем ab > be + bd > be + ad.
26. х4 + 2х2 - х + 1 > 0. 27. х4 - х3 + 1 > 0.
28. х2 + у2 + z2 > xyz, если известно, что х + у + z = xyz.
29. — + т-^—< 1, если 0<х^1; 0<у<1.
1 + у 1 + х J
" i ' . . . r. у
• При доказательстве неравенств 30 —33 полезно доказывать более
слабые неравенства, заменяя данные величины на заведомо большие
или меньшие.
Пример. Доказать неравенство
1 11.1
---г +----Z-+... +-Z—>-г, где п — натуральное
n + 1 п + 2 2п 2
: , : ' .’Г
ЧИСЛО.
' ' ‘ * ' ' . ' • ' -г'
Доказательство. Заменим каждую из дробей на
2п
значение левой части при этом разве что умень-
11 1 п 1
шится, но — + — + — = — = -
2п 2п 2п 2п 2
п раз
' ,-Л , - : / ....
mill 1^1
4 9 п2 п
Улубленное повторение курса алгебры 7 кл.
19
__ .11 1 2П — 1 __ 4.4 7
32. 1+-7 + тг + ...+ -т<-. 33. х4 + 4х4 + z2 > 4xyz.
4 9 n2 п
Условные неравенства:
34. Известно, что х2 + у2 = 2. Доказать, что х + у < 2.
35. Известно, что а + b = 2. Доказать, что а4 + Ь4 > 2.
36. Известно, что х-у=10. Доказать, что х2-2у2<200.
37. Известно, что а > b > с > 0, а + Ь + с<1. Доказать,
что а2 + ЗЬ2 + 5с2 < 1.
2.2. Текстовые задачи
• Решение следующих задач сводится к доказательству неравенств.
38. Два автобуса отправились одновременно из одного го-
рода в другой по одной и той же дороге. Первый дви-
гался со скоростью V|, а второй первую половину пути
двигался со скоростью Уз, а вторую — со скоростью
V? +
Уз, причем —-—- = Vi. Какой из автобусов первым
прибыл в пункт назначения?
39. Два велосипедиста стартовали на соревнованиях одно-
временно. Первый ехал всю дистанцию с постоянной
скоростью. Второй первую половину пути ехал в к раз
быстрее, а оставшуюся часть в к раз медленнее перво-
го. Кто выиграл гонку?
2
20
Карп А.П. Задачи по алгебре
40. Два пешехода прошли одинаковое расстояние. Первый
пешеход первую половину пути шел со скоростью V i, а
вторую —со скоростью V?. Второй пешеход первую по-
ловину всего затраченного им времени шел со скорос-
тью Vi, а вторую — со скоростью Vj. Кто из них прошел
это расстояние быстрее?
2.3. Неравенства с двумя переменными
на координатной плоскости
В заданиях 41—47 требуется изобразить на координатной плос-
кости множества точек, координаты которых удовлетворяют
данным неравенствам или системам неравенств.
41. а) у >х - 1;
42. а) . У-х< 1, у > 2х;
43. а) ху>0;
44. а) (У + х) (у - х) < 0;
45. а) у- 3 >0; у-х
46. а) |х| <у<2;
б) у < х + 3.
б) I У >2х~
I у <х.
б) ху < 0.
б) (у - 2х) (у - Зх) > 0.
б) - 1 < у < — I X | .
Улубленное повторение курса алгебры 7 кл.
21
У < 1 - X.
47 у<х+1,
[ уЧх"з-
2.4. Решение неравенств. Уравнения
и неравенства с модулями
• В заданиях 48 —51 требуется реитть неравенства. (Все они сво
дятся к системам и совокупностям линейных.)
х + 2 х-4
48. а) V >0; х - 3 б) о. х + 2
Зх - 1 2х + 1 ,
49. а) < 1- х-2 ’ б) + L 5х - 2
50. а) (х + 1) (х - 2) > 0; б) (х - 3) (х + 5) < 0.
51. а) х2 - 6х + 8 > 0; б) х2 - 4х + 3 < 0.
Уравнения и неравенства с модулями:
В заданиях 52—64 требуется решить уравнения или неравенства.
52. а) | х - 21 = 3;
53. а) | х - 21 = Зх;
54. а) 12 - х | = 2х + 1;
б) IX + 21 =5.
б) | х + 21 = - 5х.
б) | - 2 - х | = 1 - Зх.
55. а)
I X 4- 21 — 1
“ТГГ~ = 4;
22
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
Карп А.П. Задачи по алгебре
а) |х-1| + |х-2|=1; б) |х-3| + |х-5| =2.
а) | х - 21 - 12х - 61 = 4х - 12;
б) | х - 31 + 12х - 41 = |(х + 11).
а) | |х| -2| =3; б) | |х| -4| =7.
а) ||2х+1|-|х + 2||=|х|;
б) |2х-1|-|х+1| = |х-1|.
а) |х - 1 | >3; б) |Зх + 2| >5.
а) | х - 31 <2; б) 15х - 21 < 3.
а) |х|(2х+1)>0; б) |х|(Зх-2)>0.
а) | х - 21 + | Зх - 21 > 2х + 5;
б) | х + 3 | + 14х + 3 | < 2х + 10.
В уравнениях и неравенствах 65—68 не нужно формально снимать
модули и рассматривать все случаи.
Пример. Решить уравнение:
I х - 31 + 12х + 11 = - 1.
Улубленное повторение курса алгебры 7 кл. 23
Решение. Очевидно — нет решений. В левой части
при всех значениях х стоит неотрицательное чис-
ло. а в правой части — отрицательное.
65. а) | х - 31 + 12х - 8 | - Зх - 15;
б) | х + 21 + | Зх - 5 | = 4х - 8.
Уравнения и неравенства с параметрами:
69. а) Выяснить, сколько решений имеет уравнение
| х | = а в зависимости от а;
б) Выяснить, сколько решений имеет уравнение
1 - | х | = b в зависимости от Ь.
• В заданиях 70—72 требуется решить уравнение или неравенство
с параметрами.
71. а) ах> 1;
б) |х + а| =3х + а.
б) Ьх < 2.
72. а) (а - 1)х<а2- 1;
б) (Ь + 2)х>Ь2-4.
Карп А.П. Задачи по алгебре
2.5. Графики с модулями
• в заданиях 73—87 требуется построить графики уравнений.
73. а) у = |х | + 1; б) у = |х| -3.
74. а) у = | х - 11; б) у = | х + 21.
75. а) у = |х - 2 | + х; б) у= |х-3| - х.
76. а) у = | х - 21 + | х - 41; б) у = | х - 5 | - | х - 2 |.
77. а) у = | х - 21 + 1 2х - 1 I; б) у - 12х + 11 - | х + 3 | х-1
1 х |
78. а) У- v • б) У--| гт-
X 1 х — 11
у — 21 х | у + 31 х | Л
79. «> х-1 - 0. б) х + 2 =°-
80. ly 1 =Х. 81. yl = |х|.
82. х + у =1. 83. | X + у | = X + у.
84. X + у = 1 85. х+1 + 1 у — 11 -2.
86. Х+ |у|= X + У- 87. х - 1 (х+ 1) - х-1
§ 3. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
3.1. Иррациональные числа
► В заданиях 1—11 требуется доказать иррациональность чисел.
При этом часто приходится исходить из соображений делимос-
ти.
Пример. Доказать иррациональность числа
а = 5k + 3,
где к — целое число.
Доказательство. Так как любое целое число при деле-
нии на 5 может давать лишь остатки 0, 1,2, 3,4, то квад-
рат целого числа может давать лишь остатки 0, 1 и 4.
Поэтому а ё Z, и в разложение а2 на простые мно-
жители какой-то множитель р входит в нечетной степе-
ни. Но пусть а = — — несократимая рациональная
дробь, тогда т2 = а2п2 и т : р, п ' р — противоречие.
1. V2 + 1. 2. V3.
3. д/6.
26
Карп 4.П. Задачи по алгебре
5. Vp , где р — простое число.
6. л/Зк + 2, где к — натуральное число.
7. л/4к + 2, где к — натуральное число.
8. д/ 333...3.
1997 троек
• Для доказательства иррациональности следующих чисел до-
статочно показать, что соответствующие дроби непериоди-
ческие.
Пример. Доказать иррациональность числа 0,12345 ...
(выписаны подряд все числа).
Доказательство. Предположим, что это периодичес-
кая дробь, период которой содержит п знаков, но в
этой дроби найдется место, где подряд идет 2n + 1
ноль. Ясно, что на этом промежутку должен уклады-
ваться целый период, т.е. период состоит из нулей, но
это, очевидно, не так. Противоречие.
9. 0,101001000100001 ... (после n-й единицы стоит п нулей).
10. 0,2468101214 ... (выписаны подряд все четные числа).
11. 0,392781 ... (выписаны степени числа 3).
• В заданиях 12—15 требуется избавиться от иррациональности
в знаменателе.
12- а) б)
1 1
13. а) пх- .; б) .
7 л/3 + 1 J7- 1
§ J. Квадратные корни
27
М- а) дЬг б)
15’ а> <2+^ + л15; б) V7#
• В заданиях 16—20 и 22—23 требуется дать ответы на предлагае-
мые вопросы, проводя доказательство или приводя примеры.
16. Может ли сумма рационального и иррационального
чисел быть рациональным числом? Иррациональ-
ным?
17. Может ли произведение рационального и иррацио-
нального чисел быть рациональным числом? Ирраци-
ональным?
18. Может ли сумма двух рациональных чисел быть ра-
циональным числом? Иррациональным?
19. Может ли Цроизведение двух иррациональных чисел
быть рациональным числом? Иррациональным?
20. Известно, что сумма и произведение двух чисел — ра-
циональные числа. Обязательно ли эти числа рацио-
нальны?
21. Доказать, что для числа х = а + Ьд/? (a, b е Q,
b * 0) существует только одно число у такое, что чис-
ла ху и х + у— рациональны. (Числа х и у на-
зываются сопряженными.)
22. Можно ли представить число л/2 + 1 в виде арифмети-
ческого квадратного корня из какого-то рационально-
го числа?
28
Карп А.П. Задачи по алгебре
23. Существуют ли такие рациональные числа а и b , что
сумма Va + Vb и произведение Va Vb также рацио-
нальные числа?
24. Доказать, что если числа a, b, Va + Vb — рациональ-
ны, то и числа л/а и Vb — рациональны.
25. Найти все возможные рациональные числа а и b та-
кие, что число а + b э/2 рационально.
26. Найти все возможные рациональные числа а. Ь,. с
такие, что число а + b д/2 + с V3 рационально.
27. Число 1 + V2 является корнем уравнения х2 + ах + b = О,
где числа а и b рациональны. Найдите их.
28. Число э/З + 2 является корнем уравнения х2 + ах + b = О,
с рациональными коэффициентами а и b . Доказать,
что число 2-^3 также является корнем этого урав-
нения.
29. Доказать, что между любыми двумя рациональными
числами найдутся как рациональные, так и иррацио-
нальные числа.
3.2. Определение и простейшие свойства
арифметического квадратного корня
• В заданиях 30—35 требуется установить, когда определены выра-
жения:
х + 2 ;
б) V 5 -х.
3. Квадратные корни
29
1
31. а) ................
х/ х“ - 4х + 4
32. a) х/х — 3 + х/3 - х ;
33. а) ’Ух - 5 + х/3 - х ;
34. а) Дх — 3 + х/5 - х ;
х + 6х + 9
б) х/ х + 2 + л/- 3 -х. -
б) х/х + 2 + ^У4 - х.
х/х + 2 + х/х ч- 5
х/ х + 1 + х/ 6 - X
(х-2)(х-3) ‘
36. Найти все такие значения х, что х| х2 + 9 равен а) 5;
б) 3; в) 2.
37. Всегда ли верно равенство: х/ а+ b = х/а + x/b? При ка-
ких значениях а и b оно верно?
38. Изобразить на координатной плоскости множество то-
чек, координаты которых удовлетворяют равенству:
’Уху = лДХ ^Ду.
39. Пусть Xi — число, сопряженное с x = a + bx/2,ayi —
сопряженное с у = с + d х/2 (a. b, с, d — рациональные).
Доказать, что xi + yi — сопряженное с х + у, a xiyi —
сопряженное с ху.
В заданиях 40—42 требуется решить уравнения.
40. (х/х)2 = х. 41. х/х2=х.
30
Карп А.П. Задачи по алгебре
42. х2 - 2х + 1 + х2 + 2х + 1 = 2.
3.3. Сравнение выражений, содержащих радикалы
* В заданиях 43—50 требуется сравнить данные выражения.
43. V1998 • VT996 и 1997.
44. п - 1 • л/ п + Г и п.
45. V1998 + V1996 и 2 V1997 .
46. V п - к + п + к и 2 Vn.
47. <3 + V5 и у!2 + <6.
48. VT3+V5 и VT0+V8.
49. л/п + 'Jm и >/п - к + \тп + к, к > 0.
50. Vn и п, и e N.
51. М — такая совокупность натуральных чисел, в ко-
торой вместе с каждым числом п содержится число
[Vn]. ([а] — целая часть числа а). Известно, что
в М найдется хотя бы один элемент. Доказать, что
единица содержится в М.
§ 4. Квадратные корни 31
52. Найти три первые знака после запятой числа
(VJ7-6)3.
53. Найти три первые знака после запятой числа
(<37 + 6)3.
54. Выяснить, существует ли натуральное число п такое,
что (V3 - l)n > 1.
55. Выяснить, существует ли натуральное число п такое,
что (V7 - V2)n < 1.
56. Выяснить, существуют ли натуральные числа тип та-
кие, что (7-2 <2)т = (3 - 2 д/2 )п.
57. Выяснить, существуют ли натуральные числа тип та-
кие, что (5 + 3 V2)n = (3 + 5 ^2 )m.
3.4. Преобразование выражений, содержащих
радикалы
• В заданиях 58—61 требуется вынести выражения из-под корня.
58. а) л/(1 -а/2)2;
б) "J(V3-2)2.
59. а) V х2у4;
60. а) "V х5 (у - I)4 z4
(у 5* 1, z * 0);
б)
(а+ 2?
c7d4
(а*-2).
32
Карп А.П. Задачи по алгебре
61. Внести под корень:
a) (V3-2) • 1 + V3 .
б) (1-^2) • л/д/2+3.
• В заданиях 62—70 и 72—74 требуется упростить выражения.
62. (2 - V5 ) д/з + л/5 + л/7-3 V5.
63. л/ 3 - 2 <2 - <2 + 1. 64. 2 V7-4V3 + л/ 13-4<3 .
V2 у1 6-4^2
65. . ---f.
^2^2+3 2л/2-3
66. (л/З + л/5 + л/3-V5)2.
67. а) х2у2 - ху; б) Д-у.
Nab2
68. а) л/ х3у2 - х л/ ху2; б) b л/ а2Ь + л/ а2Ь3.
69. л/(х- 1)2 + 4х - х/(х + 2)2-8х.
1 1 1
1 + V2 + л/2 + <3 + + Vn + л/ n + 1'
71. Доказать равенство:
А + _ V А + л/ А2 - В ± л/ А - л/ А2 - в"
2 2
£ 4. Квадратные корни
33
’ll. л/2 +Л.
73. <14 + 6 <5 .
74. 17 + 6 <4 - <9 + 4< .
3.5. Доказательство неравенств с радикалами
• В заданиях 75—78 требуется доказать неравенства.
75. а +— > Vab, при а, b > 0.
. „____ а2 + 1
76. а2 - 2 < а2 - 1 > 0. 77. , 2."7 > 4.
Na -3
1 1 1г-
78. 1+7у+77+...+ 77> \п.
л/3 \П
3-1204
§ 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Решение квадратных уравнений и уравнений,
сводящихся к квадратным
• В заданиях 1—17 требуется решить данные уравнения. (Все они
сводятся к квадратным. Часто бывает целесообразно провести за-
мену переменной.)
1 1 _ 20х +1 7 - 5х
4х + 8 4х2-16 х2-4х + 4
2 1 4 х2+10х 4х2 + 21
х3 - х2 + х - 1 х + 1 х4 - 1 х3 + х2 + х + Г
3 5 8 _ 2 20
х2-4 х2-1 х2-Зх + 2 х2 + Зх + 2'
. 1 1 1 1
4 . _ Н-— — + т.
х + 2 х- 1 х-6 х-4
5. а) х4 - 13х2 + 36 = 0. б) х4 - 14х2 - 32 = 0.
£ 4. Квадратные уравнения
35
6. а) (2х - I)6 - 9 (2х - I)3 + 8 = 0;
б) (Зх + 2)4 - 5 (Зх + 2)2 - 6 = 0.
3(х2+1)2 4х2 + 4
7. а) —ч-------у - —j------ + 1=0
(х2 - 2х + З)2 х2 - 2х + 3
Зх2 - 9х + 6
х2 + 2
8. а) (х2 - 5х + 7)2 - (х - 2) (х - 3) = 1;
б) (х2 + X - I)2 + 11 = 6х2 + 6х.
9. (х — 1)х(х + 1)(х + 2) = 24.
10. (х + 4) (х + 5) (х + 7) (х + 8) = 4.
• В уравнениях 11—13 целесообразна замена переменной вида
t = х + —, где к е R.
х
Пример. Решить уравнение
6х4 - З5х3 + 62х2 - 35х + 6 = 0.
Решение. Поделим данное уравнение на х :
6 f х2 + -5 35 f х + — ^)+ 62 = 0.
к х2 > V х )
Теперь обозначим t = х +
Имеем 6t2 - 35t + 50 = 0; ti = 4Я, tz = 4.
3 * 3 z
36
Карп А.П. Задачи по алгебре
гл 1 10 _ 1
Отсюда х 4- - = —; Х] = 3, Х2 = z
х 3 3
15 _ 1
х~2’ Хз-2, х4-2.
Ответ. { 3, у, 2, у |.
11. 6х4-13х3+12х2-13x4-6 = 0.
12. 2х4-15х3 + 40х2-45x4-18 = 0.
Однородные уравнения:
Пример. Решить уравнение
5 (х2 4- 2х)2 - 11 (х2 4- 2х) • (х2 4- X 4- 1) 4- 6 (х2 4- X 4- 1) = 0.
Решение.
Поделим:
(Ясно, что х2 4- х 4-1 ф 0, при всех х.)
Обозначим теперь t =
х2 4- 2х
2
§ 4. Квадратные уравнения
37
Имеем 5t2- lit + 6 = 0. Отсюда ti = l, tz = y.
Решим теперь уравнения
х2 + 2х , х2 + 2х 6
х2 + х+1 х2 + х+1 5
Ответ, х = 1.
14. а) 20х4 - 28х2 (х2 + 1) + 9 (х2 + I)2 = 0;
б) (х2 + х + 2)2 - 6 (х2 + х + 2) х2 + 8х4 = 0.
15. а) (х2 - 4х + 5)2 + 4 (х2 - 4х + 5) (х - 1) - 5 (х - I)2 = 0;
б) 3 (х + З)2 - 7 (х2 - 2х + 3) (х + 3) + 2 (х2 - 2х + З)2 = 0.
16. (х - 2)2 (х + I)2 - (х - 2) (х2 - 1) - 2 (х - I)2 = 0.
17. 2 (х2 + 2)2 = 9 (х3 + 1).
4.2. Уравнения с параметрами
• В заданиях 18—23 требуется решить уравнения с параметрами
относительно х.
18. а) х2 - (2а + 1) х + а2 + а = 0; б) х2 - 2ах + а2 - 1 = 0.
19. а) ах2 - (а2 + 1) х + а = 0; б) ах2 - 2 (а - 1) х - 4 = 0.
ч х2 - 2 (а - 1) х + а2-2а - 3
20. а)-----------—;--------------= 0;
38
Карп А.П. Задачи по алгебре
х2 - 2 (2а - 1) х + За2 - 6а
б) -------------------= 0.
х + 2
\ 2а2 + 6а 2а2 + 4а _
21. а) х +---— = 4а + 3; б) х +-----------— = За + 1.
х - 2 х + 1
22 х ~т 8т2
х-т х + т~х2- т2'
_ _ т - 2 , т + 2 2х2 + т + 1
23. ----г х - 1 =----- - —--——.
т - I т - 1 (т - 1) х
4.3. Системы уравнений
• В заданиях 24—32 требуется решить системы уравнений. Все они
сводятся к квадратным. Часто целесообразны замены переменных
и = ху; v = х + у.
24. а) х + у = 3, х2- Зху + Зу2= 1; б) ху = 4, х2 + Зху + у2 = 29.
25. а) Х+У = 12 ух 6 ’ б) х + у = 9, 2 2 X2 + у2 ху
х + у= 5; 53 “ 14 •
26. а) 2 2 X у + ху =6, ху + х + у = 5; б) - х |>— х + + *< 1 — II 1 ^14^ II ь—‘
27. а) ' (х + у)2 ху = 48, х2 + у2 = Ю; б) • ху(х + у)2= 18, х2 + у2 = 5.
28. а) ‘ (х + у) (ху - 3) = 21, (х + у) (ху + 2) = 56; б) ’ ху (х + у - 3) = 24, ху (х + у + 2) = 4.
§ 4. Квадратные уравнения
39
29. а)
(х + у) (х + у - 4) = - 4,
(х2 + у2) ху = - 160;
ху (5 + ху) = 6,
б) х2 + у2=13.
30.
а)
31. а)
32. а)
х2 + у2 = 13,
х3 + у3 = 35;
х2 - 5ху + бу2 = 0,
х2 + у2 - у = 0;
х2-4ху + 2у2= 14,
2х2 + 3ху-у2= 13;
б)
б)
б)
х2 + у2= 10,
х3 + у3 = 28.
Зх2 + 4ху + у2 = О,
х2 - 2х + у2 = 8.
х2 - 5ху + у2 = - 5,
Зх2 + 2ху - у2 = 3.
4.4. Теорема Виета
33. Выяснить, существует ли такое а , при котором про-
изведение корней уравнения х2 + 2ах + а + 3 = 0 равно:
а) - 2; б) 2.
34. Выяснить, при каких значениях а сумма корней урав-
нения х2 - (а2 - 5а - 14) х + а = 0 равна нулю.
• В заданиях 35—38 Xi и х2 — корни уравнения х2 - 2х - 1 = 0.
Не решая его, требуется найти:
35. Х12 + Х22. 36. Xi3 + Х23.
„11 1Я 1 , 1
37’ XI + Х2 2X1 + Зх2 2х2 + 3X1’
40
Карп А.П. Задачи по алгебре
39. X] и х2 — корни уравнения ах2 + Ьх + с = О, а * О,
с ф 0. Составить уравнение, корни которого — и —
Х| х2‘
40. Доказать, что сумма квадратов корней уравнения
х2 — (п + 2) х + п + 1,5 = 0 (п — натуральное число,
большее 1) всегда будет квадратом натурального числа.
41. х и у — корни квадратного уравнения с рациональ-
ными коэффициентами.
Доказать, что х3у + х2у2 + ху3 — натуральное число.
42. Доказать, что если х, и х2 — корни квадратного урав-
нения х2 + кх + к = 0, то выполнено неравенство
Х|3 + х23 + (Х]Х2)3 > 0.
43. Найти все такие к, что корни xi и х2 уравнения
х2 + кх - к = 0 удовлетворяют неравенству — + — > 1.
44. Выяснить, при каких значениях а корни уравнения
х2 - Зах + а2 = 0
7
таковы, что сумма их квадратов равна —.
45. Выяснить, при каких значениях а один из корней
2 15 з „ _
уравнения х - — х + а = 0 будет квадратом другого.
46. Выяснить, при каких значениях а отношение корней
уравнения х2 - 4ах + За = 0 равно трем.
47. Выяснить, при каких значениях а один из корней урав-
нения х2 - 2ах + 4а - 1 = 0 на 2 больше другого.
4. Квадратные уравнения
41
48. Найти числа р и q, зная, что различные числа, xi и
Хз — корни уравнения х2 + рх + q = О, а числа Xi + 1 и
Х2 + 1 — корни уравнения х2 - р2х + pq = 0.
4.5. Исследование квадратного уравнения
49. Доказать, что уравнение х2 + рх + q = 0, где q < 0, имеет
корни при всех р и q .
50. Xi и Х2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0, где р < 0, а
q > 0. Определить их знаки.
51. а) Определить, при каких значениях р уравнение
х2 + 2(р+ 1)х + 2р+5 = 0 имеет корни одного знака.
б) Определить, при каких значениях р уравнение
х2 - 2 (р - 3) х + 10 — 6р = 0 имеет корни одного знака.
52. Доказать, что уравнение ах2 - (а + 2b) х + b = 0 имеет
корни при всех значениях а и b .
53. Доказать, что уравнение ах2 - (а + Ь) х - (а - Ь) - 0 име-
ет корни при всех значениях а и b .
54. Выяснить, при каких а система уравнений
х - у = 2,
ах2 - 2ау - За - 2 = 0
имеет решения.
55. Известно, что квадратное уравнение
Ьх2 - (а - ЗЬ) х + b = 0 имеет два совпадающих корня.
Доказать, что уравнение
х2 + (а - b) х + (ab - b2 + 1) = 0 не имеет корней.
42
Карп А.П. Задачи по алгебре
56. Доказать, что при любых значениях а и b
хотя бы одно из уравнений
х2 - (2а + Ь) х + Ь2 - а2 = О и 2х2 + (2Ь - а) х + а2= О
имеет корни.
57. Доказать, что при любых а и b хотя бы одно из урав-
нений х2 + 2ах + b = 0; ах2 + 2bx + 1 = 0; Ьх2 + 2х + а = 0
имеет корни.
58. Известно, что выполнено неравенство
а2с2 - 4a2d + 16bd < 4bc2.
/i: : - . _ , . . '. . л ‘ *•
Доказать, что только одно из уравнений
х2 - ах + b = 0 и x2 + cx + d = 0 имеет корни.
59. Известно, что все корни уравнения х2 - 4х + 4 = 0
являются корнями уравнения х2 - b2x + b + 11=0.
Найти Ь.
60. Известно, что все корни уравнения
х2 - (2а - 1) х + а2 - а = 0
являются корнями уравнения
х2 — bx + b — 1 = 0.
Найти все возможные пары а и b .
61. Известно, что все корни уравнения
х2 - 2 (а + 2) х + а + 4 = 0
являются корнями уравнения
х2 - 2Ьх + Ь2- 4 = 0.
Найти все возможные пары а и b .
§ 4. Квадратные уравнения
43
• В заданиях 62—65 требуется установить, при каких значениях а
уравнения имеют хотя бы один общий корень.
62. х - 2а = О и х2 - (а + 3) х + 2а = О.
63. х2 - 4ах + За = О и х2 - 4ах + 5а = О.
64. х2-(2а+ 1)х + 4а = 0 и х2 - 2ах + 4а - 4 = О.
65. х2 - (а + 4) х + 6а = О и х2 - 4ах + а + 2 = О.
4.6. Квадратные уравнения с целыми
коэффициентами
66. Xi и Х2 — корни уравнения х2 + рх + q = О, где р и q —
целые числа. Известно, что Х] и хг — рациональные
числа. Доказать, что они целые.
67. Доказать, что уравнение х2 + рх + q = О, где р и q —
нечетные числа, не имеет рациональных корней.
68. Найти все простые р и q такие, что уравнение
х2 + рх + q = 0 имеет простой корень.
69. Найти все целые х , при которых число
14х2 - 12х - 271 простое.
70. Доказать, что при любом нечетном х число
х2 - 4х + 3 кратно 8.
71. Квадратное уравнение ах2 + Ьх- 17=0 с целыми коэф-
фициентами а и b имеет два различных целых корня
одного знака. Найти а.
§ 5. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
5.1. Понятие функции
В заданиях 1—10 требуется установить, какие из формул опреде
ляют переменную у как функцию от переменной х.
1. а) у = 2х + 3;
2. а) у = | х | + 1;
3. а) |у| = х;
4. а) у = х3 + 5;
5. а) у = Vx-2;
6. а) у + х - 2;
б) х = Зу + 1.
б) 2у + 3 = |х|.
б) 21 у + 1 | = Зх.
б) х2 = Зу-7.
б) х + 3 = у - 7.
б) х2 + у2 = 1.
7. а) у = V-x2- 1;
б) у = л/ х - 5 - "V 3 -х.
£ 5. Простейшие понятия теории функции
45
8. а) | х | < у < -1 х |; б) х2 + 1 < у < 2х.
9. а) ху = 0; б) у = 0.
10. Указать, на каких рисунках (рис. 2—6) изображены
графики функций.
46
Карп А.П. Задачи по алгебре
5.2. Область определения функции
В заданиях 10 —15 требуется указать области определения дан-
ных функций.
11. а) у = -х + 2;
12. а) у = | х - 21;
13. а) у = "'/х;
х2 - 4
14. а) у = -—т;
б) у = х2 + 7х - 2.
б) у = х2 + 21 х - 11.
х3 - 1
б) у^-у—-----
х - 6х + 5
б) у = V 2х - 3.
15. а) у = л/х + 1 + -5------------;
2-4х + 3
^7-х
б) у = “5----•
х2 + Зх + 2
§ 5. Простейшие понятия теории функции
47
• В заданиях 16—20 требуется придумать функции f с указанными
областями определения D (f).
I
16. D (0 = (- 00, + оо).
17. D (0 = (- оо, 2) о (2, + оо).
18. D (!) = [2, + оо). 19. D (f) = [1, 3].
20. D (f) = (3, 4) и (4, + оо)
5.3. Кусочно-линейные функции
• В заданиях 21—24 требуется построить графики данных функ-
ций.
21. а) У = ' 2х+ 1, з, если х > 1, если х < 1;
б) У = < 5, 1 -4х, если если х>- 1, х <- 1.
Г х- 1, если х>2,
22. а) У = ‘ 1, если -1 < х < 2,
Зх + 4, 2, если если х < - 1; х> 1,
б) У = ‘ х + 1, если -2<х< 1,
- 2х - 3, если х < - 2.
48
Карп А.П. Задачи по алгебре
1, если х > 0,
23. а) У = ' 2, если х = 0,
- 1, если х < 0;
' 2, если х > 3,
б) у = < 3, если - 1 < х < 3,
0, если х < - 1.
Зх-4, если х > 1,
24. а) у = - _ 2х, если 0 < х < 1 или х < 0,
1, если х = 0;
2х + 3, если х < 2 или х < - 1,
б) у = - х - 3, если - 1 < х < 2,
о, если х = - 1.
5.4. Область значений функции
В заданиях 25—30 требуется с помощью графиков определить об-
ласти значений данных функций.
25. а) у = 1 - х;
б) у = 2х + 3.
26.
х2 - 1
а)у=тгг;
х2 - 4х + 3
б)у = ~х-3
£ 5. Простейшие понятия теории функции 49
1, 27. а ) у = '! 2, 0, если х > 3, если - 1 < х < 3, если х < -1;
0, б) у= 5, 3, если х > - 1, если х < - 3, если - 3 < х < - 1.
28. а) у = |х|; б) у = 2|х| -3.
1 х + 21 2».а)у= х + 2 ; 2х- 10 б)У=|х-5Г
2х - 1, 30. а) у = ' 2, х-1, если х > 2, если 1 < х <2, если х < 1;
- х - 2, б) У = 1 -3, х + 2. если х < - 1, если - 1 < х < 1, если х > 1.
• В заданиях 31—37 требуется определить области значений Е(у)
данных функций, не пользуясь графиками.
Пример. Найти область значения функции
у = х2 - Зх + 2.
д-1204
50 Карп А.П. Задачи по алгебре
Решение. Надо выяснить, при каких у
существует такое значение х, что выполняется
равенство
у = х2-Зх + 2, » - ,
т. е. надо определить, при каких у существуют реше-
ния квадратного уравнения
х2 - Зх + 2 - у = 0.
Но они существуют тогда и только тогда, когда не-
отрицателен дискриминант
D = 9 - 8 + 4у = 1 + 4у.
Ответ. Е (у) = [ - + оо).
31. а) у = х - 2; •• •' ' б) у = Зх + 5.
32. X 1 а) У~х-2’ 6)у=Зх + 5'
33. а) у = х2 + 4х- 1; б) у = х2 - 6х + 2.
1
34. а) У = х + -; б) у = X - - .
X X
35. . 1 а) У- 2 J б) у--г—
х +1 х2 + 2
36. \ х а) У- 2 J 2Х б) У- ,
х +4 х2- 1
37. а) у = |х+ 11 - 1; б) у = 12х - 31 + 2.
§ 5. Простейшие понятия теории функции
51
• В заданиях 38—44 требуется придумать функции с областью оп-
ределения D (f) = [О, 1 ] и указанными областями значений, задавая
их графиками и уравнениями.
Пример. Придумать функцию f с областью определе-
ния D (f) = [0, 1] и областью значений Е (f) = [1, 2] U {3}.
Решение. Например,
f(x) =
2х + 1,
. 3,
если х е [ 0, -у ],
. 1 , . (рис. 7).
если х е (у, 1 J
38. Е (Г) = [0,1].
39. E(f) = [-1; 1].
40. Е (f) = [-1, 1] и (2, 3]. 41. E(f)= {2, 3].
42. Е (f) = (- 1; 1). 43. Е (f) = [- 1; 1] о [2; 3].
44. E(f) = (-1; 1) u(2; 3).
4*
52
Карп А.П. Задачи по азгебре
5.5. Наибольшие и наименьшие значения функции
*
• В заданиях 46, 48, 49 требуется с помощью графиков указать наи-
большие значения данных функций, а в заданиях 45, 47—49—
наименьшие значения.
45. а) у = |х — 11; б) у = 12х - 41.
46. а) у = 2 - 3 |х|; б) у = 3-2|х-1|
х, если х > 0,
47. а) у = < -1, если X = = 0,
-х+ 1, если X < 0.
2х-3, если X > 1,
б) у = < 2, если X = -1,
2 - Зх, если — 1 < X < 1 ИЛИ X <
1, если X > 1,
48. а) у = - 0, если 2<х < 1,
2, если X < -2.
’ 2, если х > 2,
б) у = - 3, если — 1 <х <2,
- 1, если X < - 1.
49. а) У = ' |х| -2, если X <3,
1, если X > 3.
§ 5. Простейшие понятия теории функции
53
J 1 ~ I х
б) У = 1 _ 2
если х < 1,
если х > 1.
5.6. Некоторые специальные функции
• В заданиях 50—54 требуется построить графики данных функ-
ций.
Пример. Построить график функции у = [2х - 1]
([а] — целая часть числа а — наибольшее целое чис-
ло, не превосходящее а).
п п +1 ™
Решение. Заметим, что если — < х < ——> где п е
то п - 1 < 2х - 1 < п и [2х - 1] = п - 1.
Отсюда ясно построение графика (рис. 8).
50. у = [х].
51. У = {х}
({х} = х — [х] —
дробная часть
числа х).
52. у = {Зх}.
53. у = [Зх + 1].
54. у = {2х + 1}.
Рис. 8
54
Карп А.П. Задачи по алгебре
5.7. Простейшие функциональные уравнения
• В заданиях 55—59 f(x)=x\ a g (х) = Зх — 2. Требуется
найти:
55. f (х + 1) и g (х + 1). 56. f (Зх) и g (Зх).
57. f (- 2х + 3) и g (- 2х + 3). 58. f (| х |) и g (| х | )•
59. f (Vx + 2) и g (<х + 2).
В заданиях 60—68 требуется найти функции y=f(x) с указан-
ными областями определения D (f), если известно, что выполнены
данные равенства.
Пример. Найти функцию f такую, что D (f) =
- (- оо, 2) и (2, + оо), если известно, что для любого
х * - 1 выполнено равенство: f
2х + 3
Л+1 >
о п; 2х - 3 3 -1
Решение. Обозначим t =-—, тогда х = —-
х+1 t-2
гт 3-t
Подставим: х = — 2 при произвольном t*2;
f (t) = 7Т5’ при t # 2.
_ _ . . 3-х
Ответ, f (х) =--
х -2
5. Простейшие понятия теории функции
55
60. f (2х) = 4х при всех х , D (f) = R.
61. f (у х j = Зх + 1 при всех х, D (f) = R.
62. f (Зх - 1) = х2 + 2 при всех х, D (f) = R.
63. ff — ) = х + 3 при всех х* 0, D (f) = (- оо, 0) о (0, + оо).
\ X J
£ . ~( х + 2 \ 2 1 1
64. f ----г = Зх - 1 при всех х * 1,
\ х - 1 )
D(f) = (-oo, l)u(l, + со).
Пример. Найти функцию f с областью определения
гЗ 5 )
D(f) = R\ если известно, что для любого
7 '-4 127
3 5 63
х ф - -г, х * -гг, х * -гт выполнено равенство
4 12 16
f
"Зх-4"
ч4х + 3,
-2f
Г 5х+12
J2x-5
= х.
Решение. Эту задачу удается решить,
пользуясь особенностями функций ф (х) = и
5х+12 „ Зх-4 3t + 4
4'w=l2T3- Пуеть 1 = 4ГИ’тогда х = зГ4Г-
Подставим это выражение в данное равенство:
f(t)-2f
(56-33^
k56t + 33 J
3t + 4
3-4C
56
Карп А.П. Задачи по алгебре
Пусть теперь и =
5х + 12
12х-5’
тогда х =
5и + 12
12и-5‘
Подставим это выражение в данное равенство:
56-ЗЗи'
ч56и+33 ,
-2f(u) =
5и + 12
12и-5’
Так как и и t — произвольны, подставим вместо
них переменную х и решим полученную систему:
f(x)-2f
"56-33x^1
ч56х + 33 J
Зх+ 4
3-4х’
-2f(x) + f
56-ЗЗхЛ
к56х + 33,
5х + 12
12х-5‘
Найденная функция очевидно удовлетворяет всем
данным условиям.
Ответ, f (х) =
52 - ЗЗх - 4х2
3(4х-3)(12х-5)
65. f (х) + 2f (- х) = 2 - х при всех х, D (f) = R.
66. f (х) + 3f (—) = х + 2 при всех х О,
X
D (0 = (- ОО, 0) о (0, + 00).
"4х + 34
67. 2f(x) + f ---
I3x-4j
х - 1, при всех
Х*3’
D(f) =
+ оо
4
f-
U’
5. Простейшие понятия теории функции
57
х - л/3 '
ч V3x - 1 ,
68. 2f(x)-f
1
= х, при всех х ±
D(f) = R\ {±^= }.
5.8. Простейшие преобразования графиков
69. На рис. 9 изображен график функции у = f (х). Построить
графики функций у = f (х) + 2; у = f (х) - 3; у = f (х + 2);
у = f (х - 3); у = f (х + 2) + 2, отмечая координаты то-
чек наибольших и наименьших значений.
• В заданиях 70—72 требуется построить графики у —f(x) + 1;
у =f(x + 2); у =f(x - 1); у =f(x + 1)- 1, если функции у =f(x)
определены данными равенствами.
70. f(x) = x + 2.
71. f (х) = |х |.
58
Карп А.П. Задачи по алгебре
72. f (X) = 1 - 2 | X |.
• В заданиях 73—76 требуется построить графики данных функ-
ций.
73. a) f (х) = | х + 21; б) f (х) = | х - 3 |.
74. a) f(x)= |х| + 3; б) f(x)= |х|-2.
75. a) f (х) = |х-21 +3; б) f (х) = |х + з| - 2.
76. На рис. 9 (стр. 57) изображен график функции у = f (х).
Построить графики функций y = f(-x) и у = - f (х),
отмечая координаты точек пересечения графиков с ося-
ми координат и точек наибольших и наименьших зна-
чений.
77. На рис. 10 и 11 изображены соответственно графики
функций у = f (- х) и у = - g (х). Построить графики
функций у = f (х) и у = g (х).
$ 6. Квадратный трехчлен, рациональные уравнения и неравенства
59
• В заданиях 78—80 требуется построить графики функций
y-f (- х) и y--f(x), если функции y-f(x) определяются
данными равенствами.
78. f(x) = 3x+ 1.
79. f(x)= | х - 21.
80. f (x) = 2 -1 x |.
81. На рис. 9 (стр. 57) изо-
бражен график функции
у = f (х). Построить гра-
фики функций у = f(Iх|)
и у = | f (х) |, отмечая
координаты точек наи-
больших и наименьших
значений.
82. Может ли график, изо-
браженный на рис. 12,
быть графиком функции
у = f ( I X |) или функции
у = I f (х) | для каких-
либо функций у = f (х)?
Рис. 12
• В заданиях 83—85 требуется построить графики функций
у -f н у = If (х) | для функций y=f(x), определяемых
данными равенствами.
83. a) f (х) = 2х + 1;
б) f (х) = 3 - 4х.
84. a) f (х) = | х - 1 |;
б) f(x)= 12х - 41.
60
Карп А.П. Задачи по алгебре
85. a) f (х) = | х | - 1;
б) f (х) = 21 х | -4.
В заданиях 86—89 требуется построить графики данных функ-
ций.
86. a) f (х) = 12 - Зх |; б) f (х) = 12х + 5 |.
87. a) f(x)= |4 |х| - 11; б) f(x)= |з|х-1| -3|.
88. a) f (х) = |||х|-1|-1|; б) f(x) = ||2|х|-2|-4|.
89. a) f(x) = 2-| |х | -2|; б) f (х) = 3 -121 х | - 21.
§ 6. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
6.1. Построение графиков
В заданиях 1—11 требуется построить графики данных уравне-
ний.
1. а) у = х2-4х + 3;
2. а) у = | х2 - 4х + 31;
3. а) у = х2 - 41 х | +3;
4. а) у = | х2 - 41 х | + 3 |;
б) у = 12х2 - 3 | х | + 11.
5. а) у = х2-4|х - 11 - 1;
6. а) у = | х2 - 2х | + | 3 - 2х
б) у = 12х2 - 2х | + 11 - х
б) у = 2х2-3х+ 1.
б) у = 12х2 - Зх + 11.
б) у = 2х2 - 3 | х | + 1.
б) у = 2х2 - 3 | х - 11 - 2:
62
Карп А.П. Задачи по алгебре
7. а) | у | = | х2 - 4х + 31; б) | у | = 12х2 - Зх + 11.
8. а) |у|=х2-4х + 3; б) |у| =2х2-3х+1.
9. а) | у + 4х | = х2 + 3; б) | у + Зх | = 2х2 + 1.
10. а) |у-х2| =3-4х; б) | у - 2х21 = 1 - Зх.
11. а) |у-|х2| =|х2-4х +3; б) | у - х21 = х2 - Зх + 1.
6.2. Решение неравенств. Уравнения и
неравенства с модулями
В заданиях 12—25 требуется решить уравнения или неравенства.
12. а) х2 - 6х + 8 > 0;
б) х2-7х+ 12 <0..
13. а) (х — I)2 > 2 (х-1) (х - 3);
б) (х + 2)2 < 3 (х + 2) (х-4).
. . . (х - 2)
14. а) ---—-----
(х-1)(х-3)
15. а)
(х - 5)2
7х-х2-12
<0;
6> (1-(ЗхИх-5)^-
б) (х + I)2 (х2 - 9х + 14) > 0.
§ 6. Квадратный трехчлен, рациональные уравнения и неравенства 63
18. а)
х2 — 4х + 3
|х- 11
19.
х2 - 8х + 13
I х — 11
20. а) л/х (х2 - 4х + 3) > 0. б) л/ х - 1 • (х2 - 2х - 3) < 0.
21. а) (х2 - 5х + 6) • л/ 2х2 - Зх - 5 > 0;
б) (х2 - 4х - 12) • V х2- х - 2 $ 0.
22. а) | х2 - 4х - 21 = х + 4; б) | х2 - 2х - 51 = х + 5.
23. а) | х2 - 5х - 141 - | х2 - Зх + 21 = 2х + 34;
б) | х2 - 4х + 3 | + | х2 - 5х + 61 = 6х + 8.
24. а) | х2 - 7х + 71 > х - 5; б) | х2 - 4х - 141 < х + 10.
25. а) | х2 - Зх + 11 + | х - 1 | < х + 4;
б) | х2 - 4х - 11 + | х + 11 > х + 5.
64
Карп А.П. Задачи по алгебре
6.3. Исследование квадратного трехчлена
26. На рис. 13 изображен график функции у = ах2 + Ьх.+ с.
Определить знаки чисел а, Ь, с.
• В заданиях 27—30 требуется доказать, что при выполнении каж-
дого из данных условий квадратный трехчлен f(x) = ах1 + Ьх + с
имеет корни. При зтом полезно иметь в виду, что если есть та-
кие числа Xi и Xi, Xi < Xi, что f (xi) f(xi) < 0, то квадратный
трехчлен на промежутке [ xi, хг ] имеет корень.
27. с (а + b + с) < 0.
28. с (а - b + с) < 0.
29. (а + b + с) (а - b + с) < 0. 30. а (а + b + с) < 0.
31. Доказать, что если числа а, Ь, с таковы, что
а2 - ab + ас < 0, то Ь2 > 4ас.
Рис. 13
32. Доказать, что если числа а,
Ь, с таковы, что
4ас + 2Ьс + с2< 0, то Ь2 > 4ас.
33. Доказать, что при всех
значениях к уравнение
х2-3 + к(х- 1)(х-4) = 0
имеет корень на отрезке
[1,4].
6. Квадратный трехчлен, рациональные уравнения и неравенства
65
34. pi, р2 и рз—квадратные трехчлены с положительны-
ми старшими коэффициентами, причем такие, что каж-
дые два из них имеют хотя бы один общий корень.
Доказать, что трехчлен pi + рг + рз имеет хотя бы один
корень.
35. Выяснить, при каких значениях а уравнения имеют
корни:
а) (а - 1) х2 + 2 (а + 3) х + 2а = 0;
б) ах2 - 2 (а - 2) х + 2а - 1 = 0.
36. а) Выяснить, при каких значениях а неравенство
(а + 2) х2 - (За + 4)х + За + 2>0 выполняется при всех
значениях х;
. . . г .. г,слаб
б) Выяснить, при каких значениях а неравенство
(а + 4) х2 - 2 (а + 2) х + За + 1 > 0 не выполняется ни при
каких значениях х.
37. Выяснить, при каких значениях а множеством решений
неравенства (а + 2) х2 + 2 (а - 4) х + 2а + 8 > 0 будет:
а) объединение двух лучей (непересекающихся);
б) отрезок;
в) точка;
г) вся прямая.
38. а) Найти наибольшее значение а, при котором урав-
нение х2 - 2 (а + 2) х + 2а2 -1=0 имеет корни;
б) Найти наибольшее отрицательное значение а, при
котором уравнение х2 + 2 (а + 3) х + 13 - За = 0 имеет
корни.
5—1204
66
Карп А.П. Задачи по алгебре
39. Найти пару (х, у), удовлетворяющую равенству
х2 + у2 + 2 (х + 2у) = 1 с наибольшим возможным значе-
нием у.
2
40. Найти наименьшее значение функции у =------- + 2х при
X — 2-
х> 2.
41. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
_ х2 - 4х + 2
У х2 + 2х + 3
42. Найти множество значений функции
i >i Г.
ч X 2х
а) у = ; б) у = .
х2 - 2х + 2 х2 - 4х - 5
КМНОНЬП»; ; < > МГ . \ и-
• При выполнении заданий 43—51 целесообразно применять графи-
ческие соображения.
Пример. Найти, при каких значениях а оба корня
уравнения х2 + 2 (а - 4) х + а + 16 = 0 больше -2.
Решение. Представим себе поведение графика функ-
ции
f (х) = х2 + 2 (а - 4) х + а + 16.
Ясно, что уравнение f (х) = 0 имеет два корня,
большие -2, тогда и только тогда, когда выполне-
ны следующие три условия:
а) график функции f пересекается с осью абсцисс;
§ 6. Квадратный трехчлен, рациональные уравнения и неравенства
67
б) точка графика f с абсциссой -2 лежит выше оси
абсцисс;
в) абсцисса вершины параболы у = f (х) больше - 2.
Итак, имеем систему неравенств:
а2-8а+ 16 - а - 16 > О,
' 4 - 4 (а - 4) + а + 16 > О,
. -(а-4)>-2.
Ответ, а < 0.
43. а) Выяснить, при каких значениях а корни уравнения
х2 + (а - 5) х + а2 - а = 0 таковы, что число 2 лежит
между ними.
б) Выяснить, при каких значениях а корни уравнения
х2 - (а - 7) х + а2 - 6а + 4 = 0 таковы, что число -1 ле-
жит между ними.
44. а) Найти, при каких значениях а оба корня уравнения
х2 - (2а + 1) х + 2а + 9 = 0 больше -1.
б) Найти, при каких значениях а оба корня уравнения
х2 + 2 (а - 5) х + 13 - 2а = 0 больше 1.
45. а) Найти, при каких значениях а оба корня уравнения
х2 + 2 (а + 2) х + 5а + 4 = 0 меньше -1.
б) Найти, при каких значениях а оба корня уравнения
х2 - 2 (а + 1) х - 2а - 3 = 0 меньше 1.
46. а) Выяснить, при каких значениях а неравенство
х2 - (а + 1)х-а2<0 выполняется на отрезке [1, 2].
5
68
Карп А.П. Задачи по алгебре
б) Выяснить, при каких значениях а неравенство
х' - 2 (а + 1) х - 6а - 11 <0 выполняется
на отрезке [-1, 1].
47. а) Выяснить, при каких значениях а из неравенства
(а - 2) х2 + 2ах + 2а - 3 > 0 следует неравенство х < 3.
б) Выяснить, при каких значениях а из неравенства
(а - 1) х2 - 2 (а - 2) х - 4 - а < 0 следует неравенство
х > - 3.
48. а) Выяснить, при каких значениях а из неравенства
х < 1 следует неравенство х2 + 4ах + а > 0.
-qooM з юшс
б) Выяснить, при каких значениях а из неравенства
х > 1 следует неравенство х2 - 2 (а - 2) х + а + 4 > 0.
49. Выяснить, при каких значениях а неравенство
х2 - 2 (а + 1) х + а2 + 2а > 0 следует из неравенства
х2 - 4х + а2 > 0.
50. Выяснить, при каких значениях а система неравенств
х2-(2а- 1)х + а2-а<0,
х” — (За + 4) х + 2а2 + 5а + 3 < 0.
имеет решения.
51. Выяснить, при каких значениях а корни уравнений
2 8 _ „ 26 „
х + — х - 2а = 0 и х + — х - а = 0 перемежаются.
3 3
£ 6. Квадратный трехчлен, рациональные уравнения и неравенства
69
6.4. Задание параболы тремя точками
52. Написать уравнение параболы у = ах2 + Ьх + с, прохо-
дящей через точки с координатами (-1, 8); (0, 3); (1, 0).
53. Даны точки с координатами (0, 6); (1, 2); (2, 0).
а) Написать уравнение многочлена второй степени,
график которого проходит через эти точки.
б) Выяснить, сколько существует многочленов, графи-
ки которых проходят через эти точки.
(ъ vOF
54. Выяснить, можно ли написать уравнение параболы
у = ах2 + Ьх + с, а * 0, проходящей через точки с коор-
динатами (0, 1); (1, 2); (2, 3).
55. Выяснить, сколько различных точек пересечения могут
иметь парабола и прямая.
56. Выяснить, сколько различных точек пересечения мо-
гут иметь две различные параболы вида:
у = ах2 + Ьх + с, а * 0.
57. Написать уравнение многочлена степени не выше вто-
рой, график которого проходит через точки с коорди-
натами (хо, уо); (xi, yi); (Х2, уг), где х0<Х] <х2.
70
Карп А.П. Задачи по алгебре
6.5. Касательные к параболам
Касательной к параболе называется прямая, имеющая с ней ровно
одну общую точку, отличная от её оси и непараллельная ее оси.
Пример. Написать уравнение касательной к графи-
ку функции у = 4х_ + 1, проходящей через точку с
координатами (0, 0).
Решение. Искомое уравнение имеет вид у = ах + b
/.и -
Так как касательная проходит через начало коорди-
нат, b = 0. Так как парабола и прямая имеют ров-
но одну общую точку, то дискриминант уравнения
4х2 + 1 = ах равен нулю. Отсюда а2 - 16 = 0.
Ответ. Имеются две касательные требуемого вида:
у = 4х и у = - 4х.
58. Написать уравнение касательной к графику
функции у = х2,
а) проходящей через точку с координатами (1, 1);
б) проходящей через точку с координатами (-2; 4).
59. Написать уравнение касательной к графику
функции у = х2,
а) проходящей через точку с координатами -2);
б) проходящей через точку с координатами (1,-3).
6. Квадратный трехчлен, рациональные уравнения и неравенства
71
60. Обозначим Мк — совокупность точек координатной
плоскости, из которых можно провести ровно к различ-
ных касательных к графику функции у = х2. Изобразить
множества Мк, к = 0, 1, 2 ... на координатной плоскости.
61. Написать уравнение касательной к графику функции
у = х2,
а) параллельной прямой у = 4х + 3;
I'
б) параллельной прямой у = - 2х - 5.
62. Пусть А — точка на оси ординат, лежащая ниже графика
функции у = х2, В и С —: точки касания касательных
к этому графику, проходящих через А, а В, и Ci —
их проекции на ось абсцисс. Доказать, что прямоуголь-
ник BCCiBi и треугольник АВС равновелики.
6.6. Наибольшие и наименьшие значения
квадратных трехчленов
63. Найти наименьшее значение функции
а) у = 2х2 - 6х + 3; б) у = х2 + Зх - 1.
64. Найти наибольшее значение функции
а)у = Зх-х2+1; б) у = 2х-jx2-3.
65. Найти наименьшее значение функции
а) у = х4-5х2 + 3;
б) у = (х2 + х)2 - 4 (х2 + х) - 3.
72
Карп А.П. Задачи по алгебре
66. Найти наименьшее значение функции
а) у = х4+ Зх2 - 1;
б) у = (х2 + х)2 + 4 (х2 + х) - 2.
67. Найти наименьшее значение функции
у = (х- 1) (х - 3) (х+ 1) (х - 5).
68. Найти наибольшее значение функции
. I
а) у = -з—---
х + 2х + 3
-HHIiqsi •
69. Найти наименьшее значение функции
. 1
а) у = 7-------2—
5х - х - 7
70. Найти наибольшее значение функции
х2 - Зх + 4
2х2 - 6х + 6
71. Дана функция f (х) = х2 - 6х + 2. Найти ее наименьшее
значение на отрезке: а) [4, 6]; б) [2; 4]; в) [0, 2].
72. Дана функция f (t) = t. Определим функцию g следую-
щим образом. Для любого х: g (х) — наименьшее зна-
чение функции f на отрезке [х— 1, х]. Построить
график функции g.
6. Квадратный трехчлен, рациональные уравнения и неравенства
73
73. Дана функция f (t) = t2 - 4t. Функция g определена
равенством: g (х) — наименьшее значение функции f
на отрезке [х- 1, х]. Построить график функции g.
74. Найти наименьшее значение у, удовлетворяющее
системе:
у = х2 - 4х + 3,
у < 5х — 17;
75. Найти наименьшее значение у, удовлетворяющее
системе:
у = х2 - 2х,
у > 12-х2.
76. Выяснить, какое наименьшее значение может прини-
мать сумма квадратов корней уравнения
х2 - (2а - 3) х + а2 - За = 0.
77. Найти наименьшее значение суммы квадратов корней
уравнения
х2 - 2 (а + 2) х + 7а + 8а = 0.
78. Периметр прямоугольника равен 16. Выяснить, какую
наибольшую площадь он может иметь.
79. Выяснить, какую наибольшую площадь может иметь
прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной
единице.
§ 7. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
7.1. Определение и простейшие свойства степени
с целым показателем
• В заданиях 1—6 требуется установить, при каких значениях х
определены данные выражения.
1. а) X3;
2. а) (х-З)-3;
3. а) (х2 - 4х + 3)°;
5. а) ((х-1)-1)-3;
б) (х-2)7.
б) (х2 - 5х + 4)“5.
б) (х3-х)°.
6)^2.
(х-5)-2
б) ((х + 1)-2)-5.
6.
1
а) |1--? :
Цх-з; )
§ 7. Степень с рациональным показателем
75
7. Выяснить, при каких значениях параметра а выраже-
ния а) (х2 - 2ах + 9)°; б) (х2 + 4ах + За + 1) ~1 опре-
делены при всех значениях х из R.
8. а) Выяснить, при каких значениях параметра а выра-
жение (х2 - 2ах + а) ~3 определено при всех веществен-
ных х, кроме х = 1.
б) Выяснить, при каких значениях параметра а вы-
ражение (2х2 - (а + 6) х + 2а2) ~2 определено при всех ве-
щественных х, кроме х = 2.
9. а) Выяснить, при каких значениях параметра а выра-
жение (х2 - (2а + 3)х + а2 + 5а)~1 определено при всех ве-
щественных х, кроме х = 1 и х = 3.
б) Выяснить, при каких значениях параметра а вы-
ражение (х2 - (а + 2) х - а2 - 3)0 определено при всех ве-
щественных х, кроме х = -1 и х = 4.
В В заданиях 10—16 требуется построить графики данных у рае-
нений.
10. у = (х-2)°.
14. (у - 2)° = (х + 1)°.
11. у = (х2 - 5х + 6)°.
13. (у-3)° = х- 1.
15. х-2у = х3х'4.
/ , -> ( х - 2 \
16. у= (х-2)3(х-1) 2 —г 1
\ \ Л. 1 у
76
Карп А.П. Задачи по алгебре
В заданиях 17—21 требуется сравнить данные числа.
17. 230 и З20 1 8. 235 и З24.
19. 223 и З17. 20. б'5 и 910.
21. 665и3110
• В заданиях 22—26 требуется решить данные неравенства
22. а) х5 > 32;
ixqixb niu:
23. а) (х - 2)4 < 81;
24. а) (х + 2)7< 1;
25. а) (х-3)’3> 125;
26. а) (х- 1)“4 < 256;
б) х4 > 16.
б) (х + 3)6> 1.
б) (х - I)5 > 243.
б) (х + 1)"4> 16.
б) (х + 2)'3 <27.
• В заданиях 27—31 требуется выяснить, при каких значениях пере-
менной т из множества целых чисел верны данные неравенства.
27. 2т > 8.
28.
<9.
29.
30. Зт>9т
7. Степень с рациональным показателем
77
31. (-5)т<- 125.
7.2. Определение корня натуральной степени
и его простейшие свойства
• В заданиях 32—35 требуется установить, рациональны ли данные
числа.
Пример. Доказать, что число х/5 + V2
иррационально.
а ®
Доказательство. Допустим, что это число рацио-
нально. Так как сумма кубов чисел \'5 и V2 равна 7 ?
и рациональна, то рационален и неполный квадрат
их разности
p = V25-V10 + ^4.
Но рациональным числом должен являться
и квадрат данного
q = <25 + 2 VTO + <4.
р — Q з /—
Отсюда получаем, что число —— = \10 тоже рацио-
нально, но оно иррационально (чтобы в этом убедиться,
нужно почти дословно повторить известное доказатель-
ство иррациональности <2) — противоречие.
32. V3. 33. <3 +2.
34. <3 <2.
35. <3 + <2.
78
Карп А.П. Задачи по алгебре
• В заданиях 36—39 требуется избавиться от иррациональности
в знаменателе.
36. а) Tj=; б) 4— .
37'а) 6) ।'
б)
1
V3 +V2
В заданиях 40—43 требуется найти области определения выраже-
ний.
40. а) V х - 2; 51 б) л/ 2х + 1 .
41. а) л/ х + 3; б) V 2х - 1 .
42. a) nx-3+V3-x; б) V 5-х + л/ 2х - 10 .
a/x2-4+Vx + 5 43. а) — ; х-9 _ 4<х-3 -^/х2-9х-22 б) 5 . х2-21х + 20
§ 7. Степень с рациональным показателем 79
• В заданиях 44—50 требуется изобразить на координатной плос-
кости множество точек, координаты которых удовлетворяют
данным равенствам.
3/--- 3 г~ 3 г~
44. N ху = Nx Ny
46. Vxy = "V- х V- у.
31------- 3 г- 3 г~
48. N X + у = NX + чу.
45.
4 1 4 1---- 41---
47. Nxy = N - X N - у.
3 ГТ
49. Nx = х.
50. 'Ix* = х.
• В заданиях 51—60 требуется решить данные уравнения.
51. a) Nx" =- 1; б) л/х- 1 =-2.
52. а) Vx =-2; б) л/ х + 2 =- 1.
53. а) (л/х )3 = х; б) (2х + З)5 = 2х + 3.
54. а) = х; б) V(3x - 2)4 = Зх - 2.
55. л/ (х2 - 2х + I)2 + л/ (х2 + 4х + 4)2 = 3.
56. (х -2)3 = 1. 57. х3 + Зх2 + Зх + 1 = 8.
58. х3 - Зх2 + Зх = 3. 59. 2х3 + Зх2 + Зх + 1 = 0.
80
Карп А.П. Задачи по алгебре
60. Зх3 + Зх2 + Зх + 1 - 0.
’ а
В заданиях 61—66 требуется сравнить данные числа.
61. а) ’<28 и 3;
62. a) 'V28 и л/28;
63. а) Ш и <0;
64. a) VL2 + VT3 и 2;
65. Vj+Vlj и V2+a/5.
б) V15 и 2.
б) Ш и VT5.
б) V15 и V3.
б) 4V2 + ^9 и 3.
66. VTo + V2 и V9 + V3.
7.3. Преобразование выражении,
содержащих радикалы
• В заданиях 67—70 требуется вынести выражения из-под знака
корня.
67. а) л/(^3-2)4;
68. а) л/(2-V5)3;
69. а) V?/;
70. а) л/ х3у6;
б) ^(<7-2)6.
б) л/ (VH) - З)5.
б) л/(х - 2)6 (у + 3)12.
б) (х + I)10 (у - 2)5.
§ 7. Степень с рациональным показателем
81
• В заданиях 71—74 требуется внести выражения под знак корня.
Cv II Ы
• В заданиях 75—82 требуется упростить данные выражения.
... I/ (к Лд
75. а) х6у9 - ху х3у‘; б) л/ а10 Ь5 - а л/ а5 Ь5.
:'..J Лд.
у х4у - х "V ху4 у/ a6b + aVb
76. а) ---- , ---------; б) -------------
л/у - "Тх v — ab
78.
ху
79. д/л/6+V12 • 6 + 2<3 V6 - VT2 .
80. ^2-<3 • л/7 +4^3 . 81. + 5<2 +^7-5^2 .
82. л/15^3+29 + V6V3-10 .
6-12М
82
Карп А.П. Задачи по алгебре
7.4. Определение и простейшие свойства степени
с рациональным показателем
' В заданиях 83—96 требуется указать, при каких значениях опре-
делены данные выражения.
83. а) хз; б) (2х-3)1.
84. а) л/х; б) V 2х - 3.
85. а) х«; 7(8 . А б) (Зх+ 1)1.
86. а) "Vx; б) V Зх + 1.
В заданиях 87—91 требуется решить данные уравнения.
87. а) (х3)1 = х. б) ((2х-3)Ь7 = 2х-3.
88. а) (х4)4 = х; б) ((Зх+1)1)6 = Зх+1.
89. а) хз = 4; б) х* = 27.
3 2 90. а) — = 2; X II "'х 'к ю
2 1 91. а) хз - хз - 2 = 0; 2 1 б) хз - 3x5 + 2 = о.
§ 7. Степень с рациональным показателем
83
92. а) Выяснить, при каких значениях параметра а урав-
2 1
нение хз - 2 (а + 3) хз + а + 9 = 0 имеет два различ-
ных корня;
б) Выяснить, при каких значениях параметра а урав-
2 1
нение (а + 4) х5 - 2 (а + 2) хз + За + 1 = 0 имеет ровно
один корень.
• В заданиях 93—96 требуется решить данные неравенства.
1
2 2 -33
93. (2х + 1) з > (х + 5)з. 94. (х2 - 4х) з > (х - 6) 5.
95. (Зх - 1)'2 > (2х + 3)4 96. (х2 - 5х + 4р > (Зх - 8)4
' О
6
§ 8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
8.1. Область определения функции
В заданиях I—6 требуется найти области определения данных
функций:
1. а) у = а/х -2; б) у = а/ х + 3.
2. а) у = а/х2-4х + 3;
б) у = а/ х3 — 4х.
„ ч х2 - 5х + 6 _ч а/ 7х — 12 — х2
3‘ а) У= 2x^8 ’ б) У= 2x^7
4. а) у = а/х + а/ х - 2 + а/ 5 - х;
б) у - а/ х - 5 - х2 - 6х • а/ 7 - х.
1 1
5. а) у = х ; б) у = (2х-3)«.
6. а) у = (х2-11х+10)1; б) у = (6х-х2-7)<
§ 8. Элементы теории функции. Степенная функция
85
8.2. Область значений функции
В заданиях 7—9 требуется найти области значений данных функ-
ций.
Пример. Найти область значений функции
у = "V х2 - 2х.
Решение. Очевидно у > 0, но при любом у0 > О
уравнение уо = х2 - 2х, эквивалентное уравнению
х2 - 2х - уо = 0, очевидно, имеет решения, поэтому:
- л /«мшямн а *
Ответ. Е (f) = [ 0, + оо). Л’мглн
7. а) у = >/х-2; б) у = V2х + 5.
8. а) у = х2 - 2х + 3 ; б) у = х2 + 2х + 5.
1 2
9. а) у = 7= Л—- ; б) у = ----= .
V х - 4х + 5 у X2 + 4х + 5
8.3. Четность и нечетность функций
10. Выяснить, что можно сказать о графике функции
у = f (х), если известно, что он совпадает с графиком
одной из следующих функций:
а) у = f (- х); б) у = - f (х); в) у = | f (х) |;
г) у = f (| х |); д) у = - f (- х).
86
Карп А.П. Задачи по алгебре
11. Выбрать из предлагаемых на рис. 14 графиков графики
четных и нечетных функций.
• В заданиях 12—19 требуется провести исследование данных функ-
ций на четность и нечетность.
. х-3 х2-1
12-а)у=гд; 6)У“?Л-
£ 8. Элементы теории функции. Степенная функция 87
13. а) у = I х I; б) у = х21 х I.
|х|
14. а) у =-----; б) у= х | х |.
X t f
15. а) у = | х - 21; б) у = х2 - 4х + 3j
16. а) у = х2 - 4х + V х2 + 4х; б) у = х2 - 2х - V х2 + 2х.
17. а) у = + V -х2 - 2х; б) у = х - х2 + х2 - 2х.
18. а) у = I х - 3 I - i х + 3 I; б) у = .
х (-1 + 2х)3 - (1 + 2х)3
19. а) у =------------------------;
I х2 - 4х + 3 | + | х2 + 4х + 3 |
б) у =------------------------------.
X
• В заданиях 20—25 требуется доопределить (если это возможно)
данные функции так, чтобы они стали четными или нечетными.
20. у = х, если х > 0.
21. у = “Тх, если х > 0.
22. у = х2 - 4х, если х > 0. 23. у = , —, если х< 0.
v х2 - 2х
_ Х3-Х2 , 11^1
24. у =----г-, если х * 1. 25. у = ух, если | х I > 1.
J х - 1
88
Карп А.П. Задачи по алгебре
26. Дорисовать графики данных функций (см. рис. 15)
на всем отрезке [ — 2, 2] так, чтобы полученные функ-
ции были четными или нечетными (там, где это воз-
можно.)
Рис. 15в
Рис. 15г
§ 8. Элементы теории функции. Степенная функция
89
• В заданиях 27—36 функции и f2 — четные, a и g2 — нечет-
ные. Исследовать следующие функции на четность и нечетность.
27. y = fj (x) + f2(x). 28. У - gl (x) + g2 (x).
29. y = fi (x)f2(x). 30. У = fl (x) g2 (x).
31. У = gl (X) g2 (X). 32. fl (x) y gl (x)’
33. у = fl (f2 (x)). 34. y = fi (gi (x)).
35. У = gl (g2 (x)). 36. У = gi (fi (x)).
37. Выяснить, может ли функция быть одновременно чет-
ной и нечетной.
38. Пусть функция f нечетная и определенная в нуле. Най-
ти f (0).
39. Пусть f и g две неравные тождественно нулю функ-
ции, соответственно четная и нечетная. Выяснить: мо-
жет ли их сумма быть четной? Нечетной?
40. Пусть f— произвольная функция с симметричной от-
носительно начала координат областью определения.
Исследовать на четность и нечетность функции
y = f(x) + f(-x) и у = f (х) - f (-х).
41. Пусть f— произвольная функция с симметричной от-
носительно начала координат областью определения.
Доказать, что её можно представить как сумму четной-
и нечетной функций.
90
Карп А.П. Задачи по алгебре
42. Найти все такие значения а, чтобы функция
у = (х - I)4 + а (х + I)4 была: а) четной; б) нечетной.
• При выполнении заданий 43—45 полезно заметить, что функции,
соответствующие левым частям уравнений, четные или нечетные.
43. Найти все такие значения а, что уравнение
х8 + Зх6 + 2х2 + а = 0 имеет только один корень.
44. Найти все такие значения а, что уравнение
I х7 + Vx | - а + 1 = О имеет только один корень.
45. Найти сумму корней уравнения х4 + "VlxI + х2 = а2 при
:отр ,<! п.
каждом значении а.
ототс ш/; г • • . .
• Выполняя задания 46—49, полезно иметь в виду, что для того,
чтобы прямая х = а была осью симметрии графика функции, не-
обходимо и достаточно, чтобы вместе с каждым числом х об-
ласть определения функции содержала число 2а- х и для всех х
из D(f) выполнялось равенство f(2a-x)=f(x); а для того, что-
бы точка (а, 0) была центром симметрии графика функции, не-
обходимо и достаточно, чтобы для всех х е D (/)
2а-х е D (f) и выполнялось равенство f (2а -x) = -f (х).
46. Докажите, что прямая х = 1 является осью симметрии
/рафиков следующих функций:
а)у = (х-1)2; б) у =——
(х-1)2
В)УНх2-2х-3; 0у=^+^;
д) у = "V х2 - 4х + 5 + х2 + 1.
$ 8. Элементы теории функции. Степенная функция
91
47. Докажите, что точка (- 1, 0) является центром симмет-
рии графиков следующих функций:
а)у = (х+1)3; б) У = 7~т;
1
в) у= 3.----; г) у = | X + 21 - | X |;
V х+ 1
д) у = х2 + 4х + 3 - х2 - 1.
48. Пусть функция f четная и такая, что график ее сиад^
метричен относительно прямой х= 1. Доказать, что:
а) прямая х = 2 также является осью симметрии этого
графика;
б) график функции f имеет бесконечно много осей
симметрии.
49. Пусть функция f — нечетная и такая, что ее график
симметричен относительно точки (1, 0). Доказать, что:
а) точка (-1,0) также является центром симметрии гра-
фика функции f;
б) график функции f имеет бесконечно много центров
симметрии.
8.4. Монотонность функции
• В заданиях 50 —58 требуется провести исследование на монотон-
ность данных функций. Для доказательства монотонности функ-
ции f достаточно непосредственно по определению брать из
92
Карп А.П. Задачи по алгебре
промежутка монотонности значения аргумента .п и хг такие,
что хг > xi, и сравнивать значения f(x\) и
Пример. Исследовать на монотонность функцию
f (х) =х2-4х + 3.
Решение. Возьмем произвольные х2 и Х] такие,
что х2 > Хь Составим разность
f (х2) - f (xj) = х22 - 4х2 - X]2 + 4xi = (х2 - xi) (х2 + xi - 4).
i .ч
эдд f('to (т
Заметим теперь, что
X н
если х2 > xi > 2, то х( + х2 > 4 и f (х2) > f (х i),
а если 2>x2>xi, то f(x2)<f(xi).
Ответ. Функция возрастает на луче [2, +оо) и
убывает на луче (- оо, 2].
50. у = х2 - 5х + 6. 51. 1 У х‘
52. х-2 У - X 53. у = ^Г.
54. у = х3 + х. 55. У = Мс.
56. у = V 2х - х2. 57. 1 л/ X2 - 4 - 1
58. у = л/х - 1 + л/х + 1.
$ 8. Элементы теории функции. Степенная функция
93
• В заданиях 59—65 fa и fa— функции, возрастающие на множест-
ве X, a gi и g2 — функции, убывающие на том .же множестве.
59. Доказать, что функция у = fi (х) + с возрастает, а функ-
ция у = gi (х) + с убывает на X (с е R).
60. Доказать, что следующие функции являются возраста-
ющими на X: a) fi + f2; б) kf>, где к > 0; в) mgi,
где m < 0.
61. Доказать, что следующие функции являются убываю-
щими на X: a) gi + g2; б) kg], где k>0; в) mfj, где
m < 0.
62. Пусть следующие функции также определены на X.
Требуется исследовать их на монотонность:
а) у = б (gi (х)); б) у = gi (fi (х));
в) у = fi (fa (х)); г) у = gi (g2 (х)).
63. Пусть теперь функции f, и gi сохраняют знак на мно-
жестве X. Доказать, что функции у = и
у = , z — соответственно возрастают и убывают на X.
fi (х)
64. Пусть теперь fj(x)>0; f2(x)>0; gi(x)>0; g2(x)>0
для всех х из X. Доказать, что функции
у = fi (х) f2 (х) и у= gi (х) g2 (х) соответственно возрас-
тают и убывают на X.
65. Пусть теперь fi(x)<0; f2 (х) < 0; gi(x) < 0; g2(x)<0
для всех х из X. Доказать, что функции
94
Карп А.П. Задачи по алгебре
У- gi (х) g2 (х) и у= fi (х) f2 (х) соответственно воз-
растают и убывают на X.
В заданиях 66—70 требуется исследовать данные функции на мо-
нотонность. Это легко сделать с помощью решенных выше задач.
Пример. Исследовать на монотонность функцию
Решение. Функция у = х2 + 1 возрастает на луче [0, +оо)
и убывает на луче (- оо, 0], но х2 + 1 > 0 при всех х.
Следовательно, согласно доказательству, проведенно-
му в задании 63, имеем:
Ответ. Функция у = —5-
х + 1
убывает на (- оо, 0] и воз-
растает на [0, +оо).
66. у = х3 + .
68. у = V х2 - 4х + 2.
69. у = - -----.
л/ х2 - 7х ч-12
70. у = х5
В заданиях 71—74 требуется установить, при каких значениях
параметра а данные функции возрастают на данных промежут-
ках.
Пример. Выяснить, при каком значении а функция
у = I ах - 3 | возрастает на луче [3, + оо).
£ 8. Элементы теории функции. Степенная функция
95
Решение. Очевидно: а * 0, функция
у = | ах - 31 = I а | I х - I
d
з
возрастает на [ —; + оо). Таким образом, для требуе-
d
мого необходимо и достаточно выполнение нера-
3
венства —< 3.
а
Ответ, а > 1; а < 0.
71. у = ах + 3 на (-со; + оо).
72. у = х2 - 2ах + 3 на [3, +оо).
73. У = на [2, +оо).
74. у = Vx - Vx - а на [0, +оо).
В заданиях 75—77 требуется исследовать на монотонность функ-
ции, заданные на различных промежутках разными формулами.
При этом следует иметь в виду, что возрастание (убывание)
функции на каждом из промежутков [а, Ь) и (Ь, с] не гарантиру-
ет возрастания (убывания) на их объединении.
х2 если х<- 1,
75. у = -2х- 1, если х > - 1.
X если х > 1,
76. у =" х - 1, если х < 1.
х, если X > 1,
77. у = ’ х + 2, если X < 1.
96
Карп А.П. Задачи по алгебре
78. а) Определить число а так, чтобы функция
ах+1, если х>1,
V = 1
-х + 5, если х < 1
была убывающей.
б) Определить' число а так, чтобы функция
[ 2х + 3, если х > 1,
У = 1
I х + а, если х < 1.
была возрастающей.
79. а) Определить число а
оятэнэ<:. i
х,
ах + а,
х- 1,
так, чтобы функция
если х > 1,
если 0 < х < 1,
если х < 0.
У =
была возрастающей.
б) Определить число а
- х,
ах + а,
х2+ 1,
так, чтобы функция
если х > 1,
если 0 < х < 1,
если х < 0.
была убывающей.
8.5. Построение графиков функций с помощью
сжатий и растяжений вдоль осей координат
80. На рис. 16 изображен график функции y = f(x). По-
строить графики функций
y = 2f(x); у = f(2x); y = f(|x); y = |f(x).
81. На рис. 17 изображен график функции y = 2f(2x). По-
строить график функции у = f (х).
£ 8. Элементы теории функции. Степенная функция
97
82. Известно, что график функции у - f (х) совпадает с гра-
фиком функции у = 2f (х). Найти функцию у - f (х).
83. Привести примеры таких функций у = f (х), чтобы их
графики совпадали с графиками функций у = f (2х). Вы-
яснить, может ли функция у = f (х) быть при этом отлич-
ной от тождественной.
84. Привести пример такой функции у= f (х), чтобы ее гра-
фик пересекался с графиком функции у - 2f (х) ровно
в трех точках.
85. Привести пример такой функции у= f (х), чтобы ее гра-
фик пересекался с графиком функции у = f (2х) ровно
в трех точках.
• В заданиях 86—89 построить графики данных функций.
86. у = |х3. 87. у = 2|х|.
«у—1204
98
Карп А.П. Задачи по алгебре
88. У=^р-
89. у = л/2х.
8.6. Степенная функция
- • • - J
В заданиях 90—109 требуется построить графики данных у рае
нений.
' ' ’* ! ,• * ь . <0
90. а) у = ^х- 1;
91. а) у = >/ х - 1 - 1;
92. а) у = | л/ х- 1 -1|;
93. а) | у | = “V х - 1 - 1;
94. а) у = л/|х| - 1;
95. а) у = л/1 х- 11 ;
96. a) y = V| |х| - 11;
г
97. а) у = "V 2х + 4;
98. а) у = 2^2х +4;
б) у = Vx + 3.
I ! i
б) у = ^х + 3 -2.
... Ли.
б) у = | л/х + 3 -21.
б) |у| = л/х + 3 -2.
б) у=л/|х| + 3. :;..и
д
б) у = "V | х + 3 |.
б) у = л/| |х| + 3 |.
б) У = ^ух- 1 .
«х 1А Л г
б) У = 2\ 2Х-1-
$ 8. Элементы теории функции. Степенная функция
99
/ 1 . . 1
б) у = Л/ 2 । Х , “ 1 *
99. а) у = л/21х 1 +4;
100. а) у = V 12х + 41 ; б) У = \||х- 1 1
х 2х-1
101. а) у = -лт; J х - 1 61 у- х+Г'
X 1 _ 1 2х-1
102. а) у = . ; J х - 1 1 б) У = , ’ J 1X4-1 •
103. а) |у 1 - * ; Л 1 2х- 1 б)|у|=х+1 •
1 х | 2|х|-1
104. а) у- । , ; 1 х 1 - 1 б)у- |х| + Г •
1 X | 21х!-1
105. а) У-Х_р б)у- Х+Т
х 2х- 1
106. а) у-тт-г; 1 х | - 1 б) у~|х|+1-
107. а) у = (х+ I)3; б) у = 2(х-1)3
108. а) у = (|х| + I)3; б) у = 2(|х|- 1)’.
109. а) у = | х + 113; б) у = 2 | х- 1 | 3
7*
100
Карп А.П. Задачи по алгебре
В заданиях 110—113 требуется установить, сколько точек пере-
сечения имеют графики данных функций и прямая у = а (при раз-
личных а).
ПО. у = х4.
112. у = -.
х
111.
113. У = 1
X
• В заданиях 114—116 требуется установить, какие из графиков
данных функций имеют центры симметрии и вертикальные оси
симметрии.
114. а) у = х5;
115. а) у = —Ц-;
х + 1
116. а) у = л/ I х |;
б) у = х6.
б) у = (х - 2)4.
б) у = S/x”.
В заданиях 117—119 требуется выяснить, сколько решений имеют
данные уравнения на данных промежутках. Для этого целесооб-
разно использовать монотонность на них соответствующих
функций.
Пример. Выяснить, сколько решений имеет уравне-
ние ——г = х3 + 2 на множестве ГО, + оо).
х +1 L ’ ’
8. Элементы теории функции. Степенная функция 101
Решение. Достаточно заметить, что на луче [0, + оо)
функция f (х) = q-q-p убывает,
а функция g (х) = х3 + 2 возрастает.
Но тем самым при всех х > О
g (х) > g (0) = 2 > 1 = f (0) > f (х).
Ответ. Решений нет.
117. -4->/х + 1 =0 на (0. + оо).
х
118. —Ц- = Л“1 на
х + 3 х4
119. ^/х = 1 - х на [0, + со).
§ 9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
9.1. Эквивалентность уравнений
В заданиях 1—8 требуется выяснить: а) являются ли данные
уравнения следствиями уравнения (х - 1) (х - 2) = О,- б) следует ли
оно из них.
х — 2
1.Х-1=0. 2. ——7 = 0.
X - 1
5. (х - 5) (х - 1) = 0. 6. (х - 5) (х - 1) (х - 2) = 0.
7. (х2+1)(х-1)(х-2) = 0. 8. х4 + 3 = 0.
• В заданиях 9—17 требуется установить, могут ли при переходе
к данным уравнениям от уравнения f (x)=g (х); а) появиться лиш-
ние корни; б) потеряться корни.
9. f (х) + g (х) = 2g (х).
10. f (х) + h (х) = g (х) + h (х).
§ 9. Иррациональные уравнения и неравенства
103
11. (f(х))2 = (g(х))2. 12. f(X) = Vg(x).
13. W) = VjOO• 14. f (x) g(x) = (g(x))2.
15. =1. 16. ^x + 2 f (x) = ^x + 2 g (x).
g(x)
17. x - 1 f (х)=Лх- l'g (x).
• В заданиях IS—21 требуется предложить какие-либо условия, при
которых уравнение f(x) = g (х) эквивалентно данным.
f (х) g (X)
18. (х-1) f (х) = (х - 1) g (х). “ х-
20. f (х) - 77^3 = g (X) - 7x^3. 21. ( f (X))2 = ( g (x))2.
9.2. Область допустимых значений уравнения
• В заданиях 22—28 требуется решить уравнения.
22. а) л/х-7 = л/х-7; б) л/Зх + 5 = Зх + 5.
23. а) х-5 + л/3-х = 2; б) л/2х-6 -л/1 -х = 1.
104 Карп А.П. Задачи по алгебре
24. а) л/1 -2х + ^4х + 7 + л/ 5х - 2х2 - 2 = 0;
б) л/ х - 2 + а/ 2х - х2 = л/ х + 2.
25. а) (х2 - 4) л/ 2х— 3 = 0; б) (х2 - Зх - 10) л/3-х = 0.
26. а) а/ х2 - Зх = а/ х2 - 4х + 1; б) а/ х2 - 6х - 7 = л/ - 5х- 7.
27. а) ^2х-2 = ^х2-4х-2; б) а/ х2 + 2х = л/ 4х + 3.
28. а) а/ х2 - 8х + 4 = <4х + 4; б) х2-4х = л/ Зх + 10.
29. Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение а/ х2 — 1 = Va имеет два решения.
30. Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение а/ х2 - 1 = "V а2 - 5а + 6 имеет два решения.
31. Найти все значения параметра b такие, что при
любом значении параметра а уравнение имеет два
решения: а/ х2 - 1 = а/ а2 - 2ab + 4Ь.
32. Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение а/ х2 - Зх = х2 - ах + 1 не имеет решения.
33. Найти все значения параметра а, при которых уравне-
ние 2х - 2 = а/ х2 + 2ах + а имеет только одно решение.
9. Иррациональные уравнения и неравенства
105
34. Найти все значения параметра а. при которых урав-
нение 4х - 4 = "V х2 - 2ах + а не имеет решений.
9.3. Область возможных решений уравнения
• В заданиях 35—37 требуется решить данные ^равнения. При этом
полезно иметь в виду, что решением уравнения вида 'J f(x) = g (х)
может быть только такое число хо, при котором g (хо) > 0.
35. а) 1 -х2 =-1;
б) л/ 2х2 + 7 = - 3.
36. а) 1 - х2 = х - 2;
б) л/ X2 - 8х + 7 = 7х - X2 - 10.
37. а) 42- 1 + V1 -х3 = х - 1;
б) х2 - 5х + 4 + V 6х - х2 - 5 = 4 - х.
38. Найти все значения параметра а, при которых уравне-
ние х2 + а2 = х - а имеет решения.
39. Найти все значения параметра а. при которых уравне-
ние 1 - х2 = х - а не имеет решений.
40. Найти все значения параметра а, при которых уравне-
ние 'V х2 - 2х - 3 = х - а имеет единственное решение.
106
Карп А.П. Задачи по алгебре
41. Изобразите на координатной плоскости аОЬ все точки
с координатами (а, Ь) такими, что уравнение
х2 - 2bx - ЗЬ2 = х - а имеет единственное решение.
9.4. Различные методы решения иррациональных
уравнений
• В заданиях 42—64 требуется решить данные уравнения. Для вы-
полнения заданий 42—50 полезно возводить в соответствующую
степень обе части уравнений.
42. а) 2х - 1 = 3 л/2х + 3;
43. а) л/ х -ь 1 + >/2х + 3 = 5;
44. а) "7 Зх + 6 - V 5х- 1 = 1;
45. а) у/ 5 V х2 - 5 - 2х = х - 1;
46. а) х3 - 4х2 + 8х - 7 = х - 1;
б) х3 + 4х2 - 4х + 7 = х + 1
47. а) ^Зх2 + 5х = х + 1;
б) Зх - 1 = 2 л/Зх + 2.
б) <х + 5 + "73х - 8 = 5.
б) 2х + 7 - л/ Зх - 2 = 2.
б) V5 W-3+2х =х+ 1.
б) х2 + х + 1 =х + 2.
48. (2 + х) VlTx =243.
49. (2 + х) л/|+ 1 = 625х.
’ Л
§ 9. Иррациональные уравнения и неравенства
107
50.
^х+ 13 ^/х+ 13 _ 128
20 5
При выполнении заданий 51—56 целесообразно производить замену
переменных, сводя данные уравнения к новым уравнениям или сис-
темам уравнений.
Пример. Решить уравнение л/ х3 — 7 + 24 - х3 = 5.
Решение. Введем новые переменные:
и = л/ х3 — 7; v = '/24-х3
Имеем систему
u +v = 5,
u2 +v2 = 17,
решая которую, находим
j u = 1 и = 4
[ v = 4, v = 1.
Отсюда: х = 2, х = л/23.
Ответ, х = 2, х = ^123.
51. a) Vx + Vx - 2 = 0; б) + 7^х - 8 = 0.
52. а) х2 - 5х = 4 л/ х2 - 5х + 7 - 10;
б) х2 + 4х - 11 = З'/ х2 + 4х — 1.
53. а) х2 + Зх + 6 + 2^/ х2 + Зх + 11 = 8;
108
Карп А.П. Задачи по алгебре
54.
2х-3
---— +4
х - 5
б) х2 - Зх - 3 + х2 - Зх + 5 = 4.
ЗЕГ = 5.
2х - 3 ’
5х + 1
х-2
=2
5хч-1 •
55. а) з/2-х + ^х + 7 = 3; б) ^/х + 6 - л/ х — 3 = 3.
56. х2 + 1 = л/х-1.
• В заданиях 57—58 полезно домножатъ данные выражения на со-
пряженные.
57. а) л/ Зх2 + 5х + 8 - л/ Зх2 + 5х + 1 = 1;
б) 2х2 + 5х + 3 - 2х2 + 5х + 11 = - 2.
58. V х2 + Зх + 2 - х2 + 2х + 4 = 2 - х.
Выполняя задания 59—60, полезно иметь в виду, что, т.к. равенст-
во а3 + h3 + с3 = ЗаЬс выполняется тогда и только тогда, когда
а + Ь + с = 0 или а = Ь = с,
то уравнение вида f (х) + g (х) = h (х)
эквивалентно уравнению
f(*) + g (х) - Л3 (х) = - 3 3ylf(x)g(x) h (х)
при условии, что не существует таких х, что
f(x)=g(x)=-(h(x))\
(Это важно иметь в виду в случаях, когда затруднительно
сделать проверку!)
59. а) л/ 3 + х + 3 - х =1; б) V 5 + 2х + 5 - 2х =2.
,§ 9. Иррациональные уравнения и неравенства
109
60. а) 4/ х — 2 + л/4-х =-1; б) л/ 2х - 2 + 18 - 2х = -2.
• При выполнении заданий 61—64 полезно использовать свойства
функций, соответствующих левым и правым частям данных урав-
нений.
61. а) х -2 = 44-х2; б) л/х + 3 = <9 - х.
62. а) х2 - 4х + 7 + 3 Зх - 8 = 8 - х;
б ) х2 + 2х - 2 + "V 5х - 1 = -.
7 х
63. а) х2 - 4х + 5 + V 2х2 - 8х + 17 = 4;
б) а/ х2 - 6х + 10 + | х - 3 | = 1.
64. х2 - 2х + 2 + V Зх2 - 6х + 7 = 1 + 4х - 2х2.
9.5. Простейшие иррациональные неравенства
• В заданиях 65—75 требуется решить данные неравенства.
65. а) д/ 2х — 4 > -1;
66. а) Зх + 5 > 2;
67. а) V 8х - 4 > х + 1;
б) л/Зх-7 > - 2.
б) 2х + 4 > 3.
б) V 6х — 11 > х - 1.
68. а) л/ Зх + 1 > х - 3;
б) \' 2х + 3 > 2х - 1.
но
Карп А.П. Задачи по алгебре
69. а) л/2х - 1 > х.
70. a) V5x+~4 < - 2.
71. a) VtT+J < 1;
72. а) л/2х + 3 < х;
б) 4х - 4 > х.
б) \' 2х - 5 < - 1.
б) л/ Зх - 4 < 2.
б) V 6х + 5 < х - 2.
73. а) (х2 - 6х + 5) л/х-4 > 0;
б) (х2 - 4х - 12) V х - 5 < 0.
74. а) (х - 3) а/ х2 — 9х + 14 > 0;
б) (х - 6) л/х2- Юх + 21 < 0.
75. а) (х2 - 5х + 4) ''/х2 - 7х + 10 > 0;
б) (х2 - 4х - 5) х2 - 5х + 6 < 0.
§ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
10.1. Преобразования тригонометрических
выражений
1. а) Найти sin 2а, если sin а + cos а = a.
б) Найти sin 2а, если sin а - cos а = b.
2. а) Найти
cos а + sin а
2 sin а - 3 cos а
, зная, что tg а = 2.
б) Найти
2 sin а + 5 cos а
—:------=---------, зная, что tg а = - 3.
sin а - 2 cos а °
„ sina-3cosa 1 тг w
3. а) Известно, что ;----- = -z. Наити tg a.
2 sina + 3 cos a 3
2sina-5cosa 1 n
б) Известно, что 3sina + 5cosa — у Наити tga'
112
Карп А.П. Задачи по алгебре
, ч .i sin а + 2 cos а 1
4. а) Известно, что —------------- = - Найти cos 2а.
3 sin а - cos а 4
. 2 sin а - cos а 1
б) Известно, что —------------- = - - Найти sin 2а.
2 sin а + 5 cos а 3
5. а) Найти sin ( + а ), если sin а = ~ и а е (0, ).
о 5 v 2
б) Найти cos ( ^ - а ), если sin а = -^ и а е ( у; л).
—J 1 J Л.
тс
6. а) Найти tg ( 4 + а ), если tg а = 2.
б) Найти tg(y + a), если tg.a = -3.
7. а) Найти sin (a + 0), если sin а = у, sin 0 = ± и углы
а и 0 лежат в первой четверти.
б) Найти cos (a - 0), если cos a - у, cos 0 = и углы
a и 0 лежат в четвертой четверти.
8. а) Найти sin а, если sin 0 = sin (a + 0) = | и углы
0 и a + 0 лежат во второй четверти.
б) Найти cos а, если cos 0 = у, cos (a - 0) = ~ и уг-
лы 0 и a - 0 лежат в четвертой четверти.
4
9. а) Известно, что tg 2a = - Найти tg a.
$ 10. Элементы тригонометрии
113
б) Известно, что tg 2а = - -т=-. Найти tg а.
10. С помощью микрокалькулятора нового образца
можно выполнять арифметические действия и нахо-
дить значения тангенсов. Выяснить, можно ли с его
помощью вычислить значения выражений:
sin (а - Р)
sin (а + Р) ’
cos (а + Р)
cos (а - Р) ’
• В заданиях 11—18 требуется найти данные произведения и част-
ные.
sinl° sin 2° ... sin 90°
sin 91° sin 92° ... sin 179°’
sin Г sin 2° ... sin 45°
cos 46° cos 47° ... cos 89°'
13. ctg 1° ctg 2° ... ctg 179°. 14. tg 1° tg 2° ... tg 89°.
Л 2Л
15. cos 20° cos 40° cos 80°. 16. cos j cos —.
17. sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°.
n 4л 5л
18. cos у cos у- COS y~.
8-.204
114
Карп А.П. Задачи по алгебре
• В заданиях 19—21 требуется найти данные суммы.
л 2л
19. cos у - cos —.
“2п 4л 6л
20. COS — + COS — + COS -у.
21. cos 24° + cos 48° - cos 84° - cos 12°.
22. Доказать, что
n + 1
sin a
sin a + sin 2a + ... + sin na =
/r.. - r, i
23. Доказать, что
1 i •
1 ________________________
cos a cos 2a cos 2a • cos 3a
+__________1__________ _ tg na - tg a
cos (n - 1) a cos na sin a
10.2. Решение простейших тригонометрических
уравнений
• В заданиях 24—30 требуется решить данные уравнения:
24. а) sin2x = -l; б) cosyx = 0.
25. а) cos у х = 1; б) sin V3 х = 1.
£ 10. Элементы тригонометрии
115
26. a) tg(2nx-y) = 0; б) ctg (| лх + ^) = 0.
27. a) ctg (Злх + 2) = 0; б) tg(jnx-l) = 0.
28. a) cos (2х- 1) = —1; б) sin(3x + 2) = 0.
29. a) sin2x - sinx = 0; б) cos2x + cos х = 0.
30. a) cos2x - 4 cosx + 3 = 0; б) sin2x + 6 sin х + 5 = 0.
31. а) Выяснить, при каких значениях параметра а число
л
— является корнем уравнения
о
2 sin2 х - За sin х + а = 0.
Найти остальные корни этого уравнения
из отрезка [0, у].
8
б) Выяснить, при каких значениях параметра b число
2л
— является корнем уравнения
2 cos2 х + (b + 2) cos х + b = 0.
Найти остальные корни этого уравнения
г я
из отрезка [ р л ].
116
Карп А.П. Задачи по алгебре
10.3. Периодичность функций
32. На рис. 18 изображен график функции у = f (х) на луче
(- оо; 0]. Построить графики функций у = f (х + 2) и
у = f (х + 4) на области их определения.
33. На рис. 19 изображен график функции y = f(x) на от-
резке [- 1, 1]. Построить график функции у = f (х - 2) на
отрезке [1, 3].
34. Привести примеры функций у = f (х) таких, чтобы их
графики совпадали с графиком функции у = f (х + 2).
35. На рис. 20 изображен график функции у = f (х) на мно-
жестве (-1, 1]. Зная, что функция y = f(x) периодична
с периодом 2, построить ее график на [-4, 4].
36. Функция у = f (х) периодична с периодом 2 и для всех
х е (0, 2] f (х) = х. Определить значения функции на
отрезке [4, 6].
В заданиях 37—42 требуется установить, какие из данных функ-
ций периодичны.
37. f(x) = 3.
38. f(x) = *
если х е Q,
если х е R \ Q.
40. у = х2
§ 10. Элементы тригонометрии
117
41. у = л/ f (х), где у = f (х) функция, определенная в зада-
нии 38.
42. у={х}.
43. Доказать, что если число Т период функции
у = f (х), то любое число вида кТ, где к е N, также яв-
ляется ее периодом.
118
Карп А.П. Задачи по алгебре
44. Привести пример функции периодической, но не имею-
щей наименьшего периода.
45. Привести пример периодической функции с наимень-
шим периодом, равным 1.
46. Доказать, что если график четной функции симметри-
чен относительно прямой х = 1, то эта функция пе-
риодична.
47. Доказать, что если график нечетной функции f имеет
центр симметрии в точке с координатами (1, 0), то
функция у = f (х) периодична.
48. Известно, что функция у = f (х) такова, что для любого х
из множества R выполняется равенство f (х + l) = -f (X).
Доказать, что функция у = f (х) периодична.
49. Известно, что функция у - f (х) такова, что для любого
х из
f(x + 2) =
множества R выполняется равенство
l-f(x)
l+f(x)
. Доказать, что функция
у = f (х) пери-
одична.
50. Известно, что функция у = f (х) такова, что для любого
х из множества R выполняется равенство
f<x+3>=wrr
Доказать, что функция у = f (х) периодична.
51. Известно, что функция у = f (х) такова, что для любого
х из множества R выполняется равенство
f (х + 1) = у + "V f (х) - f2 (х). Доказать, что функция
у = f (х) периодична.
§ 10. Элементы тригонометрии
119
10.4. Основные свойства тригонометрических
функций
• В заданиях 52—64 требуется исследовать данные функции на пе-
риодичность, находя наименьший период там, где он есть.
Пример. Исследовать функцию у = sin Зх на перио-
дичность. Найти наименьший период (если он есть).
Решение. Так как функция у = sm х периодична с пе-
риодом 2л, функция у = sin Зх периодична с перио-
2л
дом -у. В самом деле, для любого х имеем:
2л
sin 3 ( х + -у) = sin (Зх + 2л) = sin Зх.
Докажем, что число — является наименьшим пери-
одом данной функции. Предположим противное:
2л
пусть Т — период данной функции и 0 < Т < -у,
но тогда для всех х имеем
sin (Зх + ЗТ) = sin Зх.
Следовательно, это равенство выполняется и при
х = 0, т.е. sin ЗТ = 0.
л 2л
Отсюда Т = у к, к е Z и т. к. 0<Т< -у,
_ я
то Г = —.
120
Карп А.П. Задачи по алгебре
„ . „ z Я .
Но очевидно, что равенство sin 3 (х + у ) = sm х вы-
полняется не при всех х.
52. а) у = cos 2х; б) у = sin х.
53. а) у = sin х; б) у = л/ cos х.
54. а) у = cos2 х; б) у = sin2 х. '
55. а) у = sin х + cos х;
б) у = sin х - cos х.
56. a) у = cos 3x + cos 2x; 6) у = sin 2x + sin 3x.
57. a) у = sin 4 + sin 4; 5 6 6) X X у = cos — + cos — .
58. a) у = sin 2x + cos 4x; 6) у = cos 3x - cos 6x.
59. а) у = cos 6х + cos 9х;
б) у = sin 2х - sin 6х.
60. а) у = cos д/2х;
б) у - sin V3x.
61. а) у = cos х + cos <х; б) у = cos ^2х + cos л/Зх.
62. a) y = tgnx; 6) y = ctgjx.
10. Элементы тригонометрии
121
63. а) у = sin 2х • cos лх;
б) у = sin лх cos 2х.
64. а) у = sin х2;
б) у = cos х2.
• В заданиях 65—74 требуется исследовать данные функции на мо-
нотонность на указанных множествах.
Пример. Исследовать на монотонность функцию
у = sin (х2 - х), определенную на отрезке [0, 1].
Решение. Заметим, что функция у = х2 - х на отрезке
[О, у] убывает от 0 до - у, а на отрезке [у, 1 ] возрас-
1
4
1 п ,
тает от - - до 0, но функция у = sin х на отрезке
[- у; у] возрастает. Так как [- у; 0] с: [-
зуясь свойствами монотонных функций (см. § 8), по-
лучаем:
Л Лл
у; у], поль-
Ответ. Данная функция убывает на отрезке [0, у] и
возрастает на отрезке [у, 1].
65. у = sin х на R.
66. у = cos х на R.
67. у = tg х на R.
68. у = sin 2х на R.
122
Карп А.П. Задачи по алгебре
69. у = cos2 х на R. 70. у = sin3 х на R.
*71 * 3 Г 1 1 П
71. у = sin х на отрезке [- -].
72. у = cos х2 на отрезке [0, тс].
73. у = sin х - sin х на отрезке [0; —]. -
*7 4 2 г Л
74. у = cos х - cos х на отрезке [- —].
• В заданиях 75—91 требуется найти области значений данных
функций, рассматриваемых на указанных множествах.
Пример. Найти область значений функции
у = cos2 х - 2 cos х на R.
Решение. Достаточно найти множество значений
функции у = t2 - 2t, определенной на отрезке [- 1, 1].
Но на отрезке [-1, 1] функция у = t2 - 2t принима-
ет все значения от 1 до - 1.
' • ... .-‘.Л . . \г
Ответ. [-1,1].
75. у = sin2 х на R. 76. у = sin х cos х на R.
77. у = sin х + cos х на R. 78. у = 3 sin х - 2 cos х на R.
79. у = sin2 х - 4 sin х + 3 на R.
§ 10. Элементы тригонометрии
123
80. у = sin2 х + sin х на R.
81. у = 2 sin2 х - 4 sin х - cos2 х на R.
2 Л
82. у = cos х - cos х на [0, -у].
83. у = 2 cos2 х + cos х на [0, тс].
2 г'1
84. у = 3 sin х - sin х - 1 на [у, у].
85. у = —4- на D (у),
sin х
_ 2 sin х
У - 2 sin х - 1
86.
на D (у).
87.
2 cos х + 3
У ~ 4 cos х + 2
на D (у).
tg х - 3 .
88- y = iJ7TT на D(y)-
89. у - sin х + 1 на D (у).
90. у = sin х - 1 на D (у).
91. у = 3 sin2 х - 2 sin х на D (у).
• В заданиях 92—97 требуется выяснить, где положительны
данные выражения.
Л
92. y = tg(x-y).
• z
94. у = tg х sin (х + у).
96. у = cos2 х + cos х.
. z Л z Л.
93. у = sin (х + у) cos (х - у).
95. у = sin2 х - 2 sin х.
97.
sm х
У “ sin х - Г
124
Карп А.П. Задачи по алгебре
98. Выяснить, существуют ли такие числа х и у, что
х - у = -| л и sin (х - cos (у + > 0.
99. Изобразить на координатной плоскости совокупность
всех точек с координатами (х, у) такими, что
a) sin х • cos у < 0; б) cos х • cos у > 0
В заданиях 100—107 требуется решить уравнения или неравенст-
ва, при этом полезно иметь в виду, что | sin х | < 1 и | cos х | < 1
при всех х.
100. a) sin х cos х = sin 40°. б) sin 2х cos 2х = cos 20°.
101. a) cos 2 х + sin2 x - 0,5 = cos 40°.
6) cos 2x - cos2 x + 0,5 = cos 130°.
102. a) sin5 x + cos7 x = 1; 6) sin4 x + cos8 x = 1.
103. a) sinx + cosx= 1,5; 6) sin x-cos x = -1,6.
104. sin x + 4 sin 2x + 5 sin 4x < 10.
mr 71 • 5 1
105. sin — x + sin — лх = x + —.
2 2 x
106. x2 - 2 cos 2лх • x + 1 = 0.
£ 10. Элементы тригонометрии
125
107. х2 - 2 (cos лу + cos nz) х + 4 +
+ х2 + у2 + z2 + 2 (у + z — 1) = 0.
• 2 -2
. z sin X + sin у . . z .
108. Доказать, что sin (----------) > sin (sin x sin y).
109. Изобразить на координатной плоскости совокупность
всех точек с координатами (а, Ь) такими, что урав-
нение a sin х - b имеет решения.
ПО. Изобразить на координатной плоскости совокупность
всех точек с координатами (а, Ь) такими, что урав-
нение a sin х + b cos х = 1 имеет решения.
111. Изобразить на координатной плоскости совокупность
всех точек с координатами (а, Ь) такими, что урав-
нение a sin х = cos b имеет решения.
112. Изобразить на координатной плоскости совокуп-
ность всех точек с координатами (а, Ь) такими, что
уравнение cos (х + а) - cos (х - а) = b имеет решения.
113. Изобразить на координатной плоскости совокупность
всех точек, являющихся серединами отрезков, кон-
цы которых лежат на графике функции у = sin х.
10.5. Графики тригонометрических функций
• В заданиях 114—125 требуется построить графики данных урав-
нений.
114. а) у = sin х + 1; б) у- cos х - 1.
115. а) у = | sin х |; б) у = | cos х |.
126
Карп А.П. Задачи по алгебре
116. а) |у| = sin х;
117. а) у = sin 2х;
118. a) y = ysinx;
б) | у | = cos х.
1
б) y = COSyX.
б) у = 2 cos х.
119. a) |y-sin х| =sin х; б) | у - cos х | = cos х.
120. а) у = sin ( 2х - j); б) у = cos ( у х + у).
121. а) у = sin ( 21 х I - б) у = cos (^ | х | + J).
3 Z о
122. а) у = sin 12х - у |; б) у = cos | у х + у |.
123. а) у = 2cos 121 х | + у |; б) у = у sin | у | х | + у |.
124. а) у = | tg 2х |; б> у = | tg у х |.
125. а) у = tg (у х-у); б) y = tg( 2х + у).
§ 10. Элементы тригонометрии
127
10.6. Некоторые задачи с параметрами
126. Выяснить, существуют ли такие значения параметров
а и Ь, что при всех значениях х выполняются не-
равенства:
a) a sin х + b sin 2х > - 1; б) a cos х - b cos 2х > 1;
в) a sin2x + b cos2x > 1.
127. Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение sin2 х = 1 следует из уравнения a sin х = 1.
128. Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение sin 2х + cos х - cos 7х = а следует из уравнения
sin х = a sin х2.
129. Найти все значения параметра а, при которых урав-
нение 1 + sin2 ах = cos х имеет единственное реше-
ние.
130. Найти все значения параметра а, при которых сис-
f sin х < а,
тема 5 - имеет решения.
I cos х < а
§ И. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ПРОГРЕССИИ
11.1. Различные способы задания
последовательностей. Свойства
последовательностей
1. Доказать, что последовательности, заданные следую-
щими формулами, являются возрастающими:
а) ап = 2”; б) ап = п3; в) ап = п2 + 2п.
2.
Доказать, что последовательность (ап), заданная фор-
мулой
Дп —
2п + 3
п+1
является убывающей.
3. Доказать, что последовательность (ап), заданная фор-
мулой ап = п2 - 8п, не является ни возрастающей, ни
убывающей.
4. Выяснить, при каких значениях параметра а последо-
вательность (ап), задаваемая формулой ап = ап + 3,
является возрастающей.
§11. Последовательности и прогрессии
129
5. Выяснить, какие из заданных ниже последовательнос-
тей являются ограниченными:
1 2
а) ап = —; б) an = n + 1;
х , 11 1 п
в) an = 1 ч—— + ; г) ап — 7
VT д/2 у/п П2-3
6. Доказать, что последовательность (ап), заданная фор-
. п
мулои an = sin — п, является периодической.
7. Выяснить, является ли периодической последователь-
ность (ап), заданная формулой an = sin п.
8. Данные последовательности определены рекуррентно.
Найти первые пять членов каждой из них и выяснить,
какие из этих последовательностей являются периоди-
ческими:
а) an +i = а^ aj = 3;
б) an +i = ~ an, ai — 1,
в) ап +2= an, ai = 1, аг= 2,
г) an+2 = an-2; ai = 1, аг = 2; аз = 3, ад = 4.
9. Последовательность (ап) задана рекуррентно
2
Дп +1 = Дп ~ 5ап.
Выяснить, при каких значениях а( она является стацио-
нарной.
10. Последовательность (ап) задана рекуррентно
an+i = ап2 - 4ап + 4.
9-1204
130
Карп А.П. Задачи по алгебре
Доказать, что при всех значениях аь больших 4, она бу-
дет возрастающей. Выяснить, есть ли другие значения
ai, при которых последовательность (ап) является воз-
растающей.
11. Последовательность (ап) задана рекуррентно
Эп +1 = 2ап.
Выяснить, при каких значениях а( она является перио-
дической.
12. Последовательность (ап) задана рекуррентно
йп +1 = ап + 2.
Выяснить, существует ли такое значение аь при кото-
ром последовательность (ап) является ограниченной.
13. Последовательность (ап) задана рекуррентно
Лп +2 = 5an +i ~ бар (*); ai = 5; аг = 13.
Доказать:
а) что если какая-то последовательность (хп) удовле-
творяет условию (*), то и любая последователь-
ность (уп) вида yn = kxn, где k е R, также ему
удовлетворяет;
б) что если последовательности (хп) и (уп) удовлетворя-
ют условию (*), то и последовательности (хп + уп) и
(хп - уп) также ему удовлетворяют;
в) что последовательности хп = 2П и уп = Зп (заметьте,
что 2 и 3 — корни уравнения х2 = 5х - 6) удовлетво-
ряют условию (*);
£ 11. Последовательности и прогрессии
131
г) что всякая последовательность вида а 2П + р Зп, где
а, р е R, удовлетворяет условию (*).
Найти формулу общего члена данной последователь-
ности.
14. Найти формулу общего члена последовательности (ап),
заданной рекуррентно an + 2 = 7an+1 - 12ап, а1=аг = -2.
11.2. Метод математической индукции
• В заданиях 15—20 требуется доказать данные равенства при всех
натуральных п.
Л , П (П + 1 )
15. 1 + 2 + 3 + ... + п - 1 + п = ——-.
16. 1 + 3 + 5 + ... + 2п — 3 + 2п — 1 = гг.
,2 -> п (п + 1) (2п + 1)
17. 1 + 4 + 9 + ... + (n - I)2 + п2 = —--------------- .
„ п (п + 1) (п + 2)
18. 1-2 + 2-3 + 3-4 + ... + п (п+ 1) = —--
19, 1 • 5 + 5 • 9 ++ (4п - 3) (4n + 1) 4п + Г
20. 1 • 1! + 2-2! + ...+ nn! = (n+ 1)!-1.
В заданиях 21—23 требуется доказать данные неравенства.
21. а) Зп> 2п;
9*
б) 2"+ 5 > (п + 5)2.
132
Карп А.П. Задачи па алгебре
22. a) 2n > 2n + 1, при п > 3; б) Зп > п3 при п>4.
23. (1 + h)n > 1+ nh (h > - 1).
В заданиях 24—27 требуется доказать утверждения о делимости
данных выражений.
24. a) n3+ 1 In ; 6;
б) п5 - п : 30.
25. а) 14" - 1 : 13.
б) 4П - 1 : 3.
26. a) 5n + 2 + 62n + 1; 31. б) lln+2+122n + 1: 133.
27. а) 7 • 52п + 12 • 6П; 19. б) 14 • Зп + 9 • 72п \ 23.
11.3. Арифметическая и геометрическая прогрессии
28. Доказать, что любая последовательность, задаваемая
формулой вида an = kn + /, где k, / е R, является ариф-
метической прогрессией
29. Доказать, что любая последовательность, где сумма
п ее первых членов при любом п вычисляется по
формуле Sn = an2 + bn, (a, b е R), является арифмети-
ческой прогрессией.
§ 11. Последовательности и прогрессии
133
30. Последовательность (ап) такова, что при любом п
сумма ее п первых членов может быть найдена по
формуле Sn = an2 + bn + с. Выяснить, при каких значе-
ниях а, Ь, с эта последовательность будет арифмети-
ческой прогрессией.
31. Доказать, что всякая последовательность (Ьп), задавае-
мая формулой вида Ьп = к/п, где к, / е R, к * 0, / Ф 0,
является геометрической прогрессией.
32. Выяснить, может ли последовательность быть одновре-
менно арифметической и геометрической прогрессией.
Найти все такие последовательности.
33. Последовательность задана рекуррентно
хп+2 = х2п+1-xn; xi = a; х2 = Ь.
Выяснить, при каких значениях а и b эта последова-
тельность является арифметической прогрессией.
• Выполнение заданий 34—41 сводится к исследованию соотношений
между целыми числами.
34. Выяснить, могут ли числа 1, V2, быть членами одной
арифметической прогрессии.
35. Выяснить, могут ли числа 1, V2, быть членами одной
геометрической прогрессии.
36. Найти все состоящие из простых чисел арифметические
прогрессии: а) с разностью 10; б) с разностью 2.
37. Привести пример арифметической прогрессии, состо-
ящей из четырех простых чисел.
134
Карп 4.П. Задачи по алгебре
38. Дана арифметическая прогрессия, члены которой це-
лые числа. Известно, что в этой прогрессии есть член,
являющийся полным квадратом. Доказать, что эта
прогрессия содержит бесконечно много таких членов.
39. Выяснить, могут ли цифры простого числа, не превос-
ходящего 1000, образовывать арифметическую про-
грессию.
40. Выяснить, могут ли цифры простого четырехзначного
числа образовывать геометрическую прогрессию.
41. В конечной возрастающей арифметической прогрессии
сумма двух каких-то последовательных членов, среди ко-
торых нет первого, равна члену, непосредственно следу-
ющего за ними. Найти прогрессию, если сумма ее членов
равна lid, где d — разность прогрессии.
• Задания 42—58 по сути дела сводятся к условным равенствам.
42. Седьмой член арифметической прогрессии равен 2.
Найти сумму первых тринадцати членов этой прогрес-
сии.
43. Дана арифметическая прогрессия (ап). Известно, что
аг + аб + аю = 3. Найти сумму ее первых одиннадцати
членов.
44. Число членов арифметической прогрессии нечетно.
Сумма членов, стоящих на местах с четными номерами,
равна сумме членов, стоящих на местах с нечетными
номерами. Найти сумму всех членов этой прогрессии.
§11. Последовательности и прогрессии
135
45. Известно, что числа а2, Ь2, с2 образуют арифмети-
п 1
ческую прогрессию. Доказать, что числа -
—-—, 7~Ц- также образуют арифметическую про-
а + с а + о
грессию.
46. Дана арифметическая прогрессия (ак) такая, что
ап = гл, ат = п. Найти ат + п. (т * п).
47. Сумма п первых членов арифметической прогрессии
равна т, а сумма т ее первых членов равна п. Най-
ти сумму т + п ее первых членов (т * п).
48. Известно, что в арифметической прогрессии сумма п ее
первых членов оказалась равной сумме ее m первых чле-
нов (ш п). Найти сумму ее m + п первых членов.
49. Известно, что у арифметической прогрессии (ак)
— = ^-. Доказать, что — = J. (Sm и Sn —
Sn n2 an 2n-1
суммы, соответственно, тип первых членов про-
грессии.)
50. Пусть а, Ь, с — три последовательных члена арифме-
тической прогрессии. Доказать, что
а2 + 8bc = (2Ь + с)2.
51. Доказать, что если а, Ь, с — числа, образующие геомет-
рическую прогрессию, то
(а + b + с) (а - b + с) = а2 + Ь2 + с2.
136
Карп А.П. Задачи по алгебре
52. Доказать, что если а, Ь, с соответственно n-й, 2п-й
и 4п-й члены геометрической прогрессии, то
b (Ь2- а2) = а2 (с - Ь).
53. В геометрической прогрессии (bn) bg = 3. Найти произ-
ведение первых семнадцати членов этой прогрессии.
54. Пусть Sn — сумма п первых членов геометрической
прогрессии. Доказать, что
Sn (Sjn ~ §2n) = (§2n - Sn) .
55. Дана геометрическая прогрессия а1э аг, ... ai996- И пусть
ai + аг + ... + ai996 — 1000, а + + ...+ = 10. Най-
ai аг ai996
ти произведение ai аг ... ai995 ai996-
56. Три числа образуют арифметическую прогрессию, сум-
ма их равна 15. Найти наибольшее значение произведе-
ния этих чисел.
57. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Сум-
ма их равна 13, а сумма их квадратов — 91. Найти эти
числа.
58. Три числа, сумма которых равна 12, образуют арифмети-
ческую прогрессию. Если второе из них оставить без из-
менения. а первое и третье увеличить на 1, то получится
геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
§ 11. Последовательности и прогрессии
137
• В заданиях 59—63 требуется найти данные суммы, для чего полез-
но применять формулы для сумм п первых членов арифметичес-
кой и геометрической прогрессии.
59. 1 + 3 + 5 + ... + 1997.
60. 1002 + 1005 + ... + 1998.
61. 1 + 11 + 111 + ... + 111...1.
п единиц
62. I2 - 22 + З2 - 42 + ... + 992 - 1 ОО2.
63. 1 + 2 • 2 + 3 • 22 + 4 • 23 + ... + 49 • 248 + 50 • 249.
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО КУРСУ
АЛГЕБРЫ 8 КЛАССА
На каждую контрольную работу отводится 45 мин.
Контрольная работа № 1 (Тема «Повторение»)
Вариант 1
1. Упростить выражение
f 1 6 2 , 2ч
ч---—з + ч------- (9-6а + а).
13 + а 9-a2 3-aJv
2. Построить график функции у = 2х - 3 и выяснить, при-
надлежит ли ему точка с координатами (1,76; 0,53).
3. Решить уравнение (х - 1) (х + 2) = (х - 1) (2х + 3).
4.
Решить систему уравнений
9х - у
-у^ + 2у = 3,
12х + 5у , ,
—т—- - Зх = 3.
5. Доказать, что если выполнено равенство а - b = - 2,
то (Ь - 2)2 + (а + 2)2 = 2 (ab + 2).
Контрольные работы. 8 класс /39
I
Вариант 2
1. Упростить выражение:
2. Построить график функции у = - 2х + 3 и выяснить,
принадлежит ли ему точка с координатами (1,38; 0,25).
3. Решить уравнение:
(х + 1) (х - 2) = (х + 1) (2х - 3).
4. Решить систему уравнений:
5Х,' 2у - 4х = - 10.
-^ + Зу = 6.
5. Доказать, что если выполнено равенство а + b - 2, то
(а - 2)2 + (Ь - 2)2 = 2 (2 - ab).
140
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 2 (тема «Неравенства»)
Вариант 1
1. Доказать неравенства:
а) (х + 2) (х - 5) > (х + 4) (х - 7);
б) х2 + у2 + 27 > 6 (2у - х), если у - х - 3.
2. Решить уравнение 12х- 61 + |х+1| = -| х + 7.
3. Решить систему неравенств:
ч 3х-2>2х + 3,
[ - Зх + 3 < 2х - 1.
4. Решить неравенства:
а) |Зх-2|>1; б) + >-1.
х - 3
5. Построить график функции
у = 3 | х | +3|х- 11.
Контрольные работы. 8 класс
141
Вариант 2
1. Доказать неравенства:
а) (а- 1) (а + 5)< (а + 3) (а + 1);
б) а2 + Ь2 + 48 > 8 (а + 2Ь), если а + b = 4.
2. Решить уравнение 12х + 41 + | х - 1 | = - ^ х + 5.
3. Решить систему неравенств:
’ 2х + 5 > Зх - 1,
- 2х + 1 < 5х + 3.
4. Решить неравенства:
а) |2х + з|<1; б)
5. Построить график функции
у = 12х + 61 — 21 х |.
142
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 3
(Тема «Квадратные корни»)
Вариант 1
1. Выяснить, при каких значениях х определено выраже-
V Зх - 2
ние --------.
х-4
2. Сравнить числа:
а) 3^5 и 4X3; б) VTT + <3 и хЗ + <7.
3. Упростить выражения:
б) (xh 1 + 6^2 - х/ 11 - 6<2 )2;
в) х/ 27 + 10х/2 + х/ 11 - 6х/2;
х/ - ab2 - а2Ь 1
г) ab ~?Ь;
Д) + у^у 2 Vx Vxy
(Vx~ +Vy) (х - у) Vx + л/у X-y
Контрольные работы. 8 класс
143
Вариант 2
Выяснить, при каких значениях х определено
а/ 2х + 3
выражение —х _ g ' •
2. Сравнить числа:
а) 2^7 и 3<2; б) <7 + ^2 и <3 + <5.
3. Упростить выражения:
б) (а/ 7 + 4а/з + а/ 7 - 4а/з )2;
в) а/ 19 + 8^3 + 7 - 4xfr;
г)
а/ - х2у + а/ у2х 1
-----------------+ _гг;
ху А/х’
д)
a Va + b
ч х/а + а1Б
(а - Ь) +
2 а/Ь
х^а + Vb
144
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 4
(Тема «Квадратные уравнения»)
Вариант 1
1. Решить уравнения:
а) (х2 + Зх)2 - 2 (х2 + Зх) - 8 = 0.
б) х _ 8 = 2
х2-2х+1 х2-1 (х-1)2(х+1)’
в) (а - 1) х2 - (а2 - а + 1) х + а = 0.
2. Не решая уравнение х2 - Зх - 2 = 0, найти х/ + х23, где
xi и х2 —его корни.
3. Решить систему уравнений:
х4 + у4= 17,
х2 + у2 = х2/ + 1.
4. Доказать, что уравнение bx2 + (а + ЗЬ) х + а = 0 имеет
решения при любых значениях а и b .
Вариант 2
1. Решить уравнения:
а) (х2 - 5х)2 - 2 (х2 - 5х) - 24 = 0.
„ 1 , 1 4
б) X- н = =------------------
х 2 х - 4 (х + 2) (х2 - 4х + 4)
в) ах2 - (а2 + а + 1) х + (а + 1) = 0.
Контрольные работы. 8 класс
145
1. Не решая уравнение х2 - 4х - 1 = О, найти X]3 + хг3, где
Xi и Х2 — его корни.
3. Решить систему уравнений:
х4 + у4 = 2,
‘ х2-1=х2у2-у2.
4. Доказать, что уравнение (Ь - а) х2 + 4Ьх + а - 0 имеет
решения при любых значениях а и b
Ю-ПМ
146
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 5
(Тема «Простейшие понятия теории функций»)
Вариант 1
1. Дана функция
2х- 1,
f (х) = - х + 2,
. Зх - 3,
если х > 1,
если - 1 < х < 1,
если х < - 1.
1.1. Построить ее график.
1.2. Определить область ее значений.
1.3. Построить графики функций:
а) у = f (х + 1) - 2; б) у = - f (х); в) у = f (| х |).
2. Построить графики функций:
а) у = | | х + 31 - 11. б) у = 3 -1 х - 1 |.
3. Функция f такова, что при любом значении х выпол-
нено равенство f (2х + 1) = х2 3 - х. Найти f (- 1).
Контрольные работы. 8 класс
147
Вариант 2
1. Дана функция
-х + 2,
1 т
2 х + 3,
- 2х - 2,
если х > 2,
если - 2 < х < 2,
если х < - 2.
1.1. Построить ее график.
1.2. Определить область ее значений.
1.3. Построить графики функций:
a) y = f (х-1)-2; 6)y = f(-x); в) у = | f (х) |.
2. Построить графики функций:
а) у = I |х +
б) у = 2 - | X + 21.
I - 31;
3. Функция f такова, что при любом значении х выпол-
1 ->
нено равенство f ( х - 1) = х + х . Найти f(l).
ю*
148
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 6
(Тема «Квадратный трехчлен»)
Вариант 1
1. Решить неравенства:
а) ,2Х~21- >1; б) |х2-2х- 151 <-2х + 15.
х2-4х-21
2. Найти наибольшее значение функции
__________________________1__________
У (х2 - 6х)2 + 18 (х2 - 6х) + 83
3. Выяснить, при каких значениях а уравнение
(а - 1)х2 + 4(а+ 1)х + а- 4 = 0
а) имеет корень; б) имеет два отрицательных корня.
Вариант 2
1. Решить неравенства:
а) 5х Т12-_<1; б) |х2-6х-7| > -6х + 7.
х2-х-12
2. Найти наибольшее значение функции
__________________________1__________
У” (х2-4х)2 + 8 (х2-4х)+ 18
3. Выяснить, при каких значениях а уравнение
(b + 1) х2 - (4Ь + 6)х + Ь + 9 = 0
а) имеет корень; б) имеет два положительных корня.
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО КУРСУ
АЛГЕБРЫ 9 КЛАССА
(На каждую контрольную работу отводится 45 мин)
Контрольная работа № 1
(Тема «Степень с рациональным показателем»)
1.
Выяснить, при каких значениях х определены выра-
жения:
2.
3.
а)
х-4
б) (х - 2)3 + (5 - х)4.
Сравнить числа V5 и ^2 + 1.
Упростить выражения:
3
а) а
54 +5
1
б)
3
в) ------V
Х“ 25
2 д/ ab
з 1 1 1,1 з
Ь4 _ й4 Ьз + а 2 Ь4 - а4 /
150
Карп А.П. Задачи по алгебре
д) ^17 + 12^2 + л/ 193-132 а/2.
Вариант 2
1.
Выяснить, при каких
значениях х определены выра-
жения:
а)
л/ 5х — 12 + л/ 8 - х
х - 3
б) (х - 5) 6 - (8 - х) 5.
3 /- * 3 Г~
2. Сравнить числа V29 и \5 + 1.
3. Упростить выражения:
a) V24
д) л/ 5л/2 — 7 +л/45-29^2 .
Контрольные работы. 9 класс
151
Контрольная работа № 2
(Тема «Элементы теории функций.
Степенная функция»)
Вариант 1
1. Построить график функции у = ——г- и, пользуясь им,
указать промежутки монотонности этой функции и
множество ее значений.
2. Найти промежутки монотонности функции
1
х2 - 5х + 6
3. Доказать, что функция у = л/ х3 4 + х2 + 1 + л/ х2 - х3 + 1
является четной.
4. Построить графики функций:
а) у = >ГЗх; б) y = V3x-6; в) у = д/з Iх| -6.
Вариант 2
1. Построить график функции у =---у и, пользуясь им,
X
Г-------------------------------------------------------------
/52 Карп А.П. Задачи по алгебре
указать промежутки монотонности этой функции и
множество ее значений.
2. Найти промежутки монотонности функции
1
У х2 - 4х + 3 ’
3. Доказать, что функция у = х4 - х + 1 - v х4 + х + 1 яв-
ляется нечетной.
4. Построить графики функций:
\ а Л” « а Л Г ч а/ 11 । г
а) у = \ 2 х ; б) У = Л/ 2 Х + ’ В) У = V 2 1Х' ’
L.
Контрольные работы. 9 класс
153
Контрольная работа № 3
(Тема «Иррациональные уравнения
и неравенства»)
Вариант 1
1. Решить уравнения:
а)
б)
’V Зх + 1 + V16 - Зх = 5;
х2 + 2 а/ х2 - Зх + 11 = Зх + 4;
в)
^+8
5-х
5-х
12 + х ’
8 + х + 8-х = - 2;
Д)
12
х
2. Решить неравенство
(х2 - х - 20) а/х2 + Зх- 10 > 0.
Вариант 2
1. Решить уравнения:
а) д/ х + 5 + х - 5 = 4;
б) х2 - х - 3 + ^х2 - х + 9 = 0;
154
Карп А.П. Задачи по алгебре
в)
19 + х
7-х
+ 10
7-х
19 + х
г) 27 + х + 27 - х = - 3;
д) х л/ х- 5 = 18.
2. Решить неравенство
(х2 + 2х - 8) V х2- 2х - 15 > 0.
Контрольные работы. 9 класс
155
Контрольная работа № 4
(Тема «Элементы тригонометрии»)
Вариант 1
1. Найти sin (у- 2а), если sina = -jy и а е (у, л).
2. Сравнить числа 2 sin 31° и 1.
sin a - sin 7a
3. Упростить выражение ---------=—.
cos a - cos 7a
4. Решить уравнение sin2 x + 2 cos x + 2 = 0.
л
5. Построить график функции у = sin (2х - у).
Вариант 2
л 4 л
1. Найти cos (-7- + 2 а), если cos a = у, a е (- 0).
О J Z
2. Сравнить числа 2 cos 61° и 1.
cos 2a + cos 4a
3. Упростить выражение ——х------;—3.
r sin 2a + sin 4a
4. Решить уравнение 3 - 3 sin х - cos2x - 0.
1 л
5. Построить график функции у = cos ( у х + у).
156
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 5
(Тема «Последовательности и прогрессии»)
Вариант 1
1. Числа а, Ь, с образуют геометрическую прогрессию.
Доказать, что выполнено равенство
2. Последовательность (ап) такова, что сумма п ее первых
членов (при любом п) равна 2П - 1. Найти вид этой по-
следовательности.
3. Докажите, что Зп +1 + 5 • 11п 8 при всех
натуральных п.
4. Дана геометрическая прогрессия. Сумма трех ее первых
членов 91. Если к этим числам прибавить соответствен-
но 25, 27 и 1, то полученная тройка составит арифмети-
ческую прогрессию. Найти седьмой член данной
геометрической прогрессии.
5*. Последовательность задана рекуррентно
Хп +1 — х п — 2хп.
Доказать, что если Х]=4, то последовательность
возрастающая.
Контрольные работы. 9 класс
157
Вариант 2
1. Числа а, Ь, с образуют арифметическую прогрессию.
Доказать, что выполнено равенство:
(а + с)2
2
- ab - Ьс.
2. Последовательность (ап) такова, что сумма п ее первых
членов (при любом п) равна 5П - 1. Найти вид этой
последовательности.
3. Докажите, что 5П +1 + 7 17п [ 12 при всех
натуральных п.
4. Дана геометрическая прогрессия из трех чисел. Если
ее второй член увеличить на 2, то получится арифме-
тическая прогрессия, а если потом увеличить последнее
число на 9, то получится геометрическая прогрессия.
Найти данные числа.
5*. Последовательность задана рекуррентно
Хп+1 =хп2 + 4хп.
Доказать, что если xi = 3, то последовательность воз-
растающая.
КАРТОЧКИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА АЛГЕБРЫ 8 КЛАССА
1. Дана функция f (х) = ах + 1 - а.
а) Доказать, что ее график проходит через точку
с координатами (1, 1).
б) Найти точки пересечения ее графика с осями
координат.
в) Найти все значения а, при которых уравнение
f (х) = х2 имеет корни.
г) Найти все значения а, при которых неравенство
f (х) = 4х - х2 - 3 выполняется при всех значениях х.
д) Пусть а отрицательно. Найти наименьшее
значение площади фигуры, отсекаемой графиком
функции f от осей координат.
2. Дана функция f (х) = 1 - | х - а |.
а) Выяснить, при каком значении а число 3 является
корнем уравнения f (х) = 0;
Карточки для повторения курса алгебры 8 класса
159
б) При а = 2 решить неравенство f (х) > (х- З)2.
в) Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
функции f и осью абсцисс.
г) Найти все значения а, при которых точка пересе-
чения графика функции f с осью координат лежит
ниже прямой у = - 5.
д) Найти все значения а, при которых уравнение
f (х) = | х | имеет корни.
3. Дана функция f (х) = х + 3.
а) Найти ее область определения.
б) Вычислить f (1 + 2>/3) + f (4 - 4^/3).
в) Решить неравенство (х - 5) f (х2 - 4х) > 0.
г) Доказать неравенство f (х) < х + 3,25.
д) Найти все значения а, при которых эквивалентны
уравнения
(х - a) f (х) = 0 и х2 - (а - 3) х - За = 0.
4. Дана функция f (х) = х2 - 2х - 3.
а) Решить неравенство f (х) > 0.
б) Построить график функции у = | f (х) |.
160
Карп А.П. Задачи по алгебре
в) Найти =-----ь , где Х] и Х2 — корни урав-
эХ1 Х2 ЗХ2 X]
нения f (х) = 1.
г) Найти все значения а, при которых графики функ-
ций f и у = ах2 имеют ровно одну общую точку.
д) Написать уравнение касательной к графику функции
f, проходящей через точку с координатами (1, - 4).
5. Дана функция f (х) = х2 + 2ах - 7а - 10.
а) Пусть а = - 1. Решить уравнение f (х) = 0.
б) Найти все значения а, при которых уравнение
f (х) = 0 имеет корни.
в) Найти все значения а, при которых уравнение
f (х) = 0 имеет корни разных знаков.
г) Найти все значения а, при которых уравнение
f (х) = - 4 имеет ровно один корень.
д) Найти такое значение а, чтобы сумма квадратов
корней уравнения f (х) = 0 была наименьшей.
6. Дана функция f (х) = х4 - 5х2.
а) Решить уравнение f (х) = - 4.
б) Решить неравенство f (х) > - 4.
в) Найти точки пересечения графика функции f
с осями координат.
Карточки для повторения курса алгебры 8 класса
161
г) Разложить многочлен f (х + 1) — f (х — 1) на линейные
множители.
д) Найти наименьшее значение функции f.
7. Дана функция f (х) =
а) Найти точки пересечения ее графика с осями коор-
динат.
б) Решить уравнение
f (х) = . . 1
v 4 (х - 2)
в) Выяснить, при каком значении а уравнение
(х - 2) f (х) = а имеет два корня.
г) Решить неравенство f (х) > f (- х).
Д)
Найти наименьшее значение функции
х - 2-
У ~ f (х)
на
множестве [3, +оо).
2 2
8. Дана функция f (х) = х - 4ах + 5а .
2
а) Решить уравнение f (х) = 2а .
б) Доказать, что f (х) > 0 при всех значениях а.
в) Найти наибольшее значение функции
g(x) f(x)+T
। !-пм
162
Карп А.П. Задачи по алгебре
г) Пусть h (а) = Х]Х2 + х( + х2, где xi и х2 — корни
уравнения f (х) = За2. Построить график функции
y = h(a).
д) Найти все а, при которых оба корня уравнения
f (х) = За2 больше единицы.
9. Дана функция f (х) = х + -р.
। Л.
а) Найти наименьшее значение функции f на множе-
стве (0; + оо).
б) Найти все значения а, при которых уравнение
f (х) = а имеет два различных корня.
в) Написать уравнения прямых, проходящих через
точку с координатами (у; 1) и имеющих с графиком
функции f ровно одну общую точку.
г) Проверить, что данная функция удовлетворяет при
любом х * 0 соотношению 4f ( —) f (х) =
X Ч-Х
д) Найти все функции, удовлетворяющие этому соот-
ношению при всех х 0.
10. Дана функция f(x) = x3-4x.
а) Существует ли такое целое число п, при котором
f (п) — простое число?
Карточки для повторения курса алгебры 8 класса
163
б) Доказать, что число f (п) кратно трем при любом
натуральном п.
в) Решить уравнение f(x) = 15 в натуральных числах.
г) Решить уравнение f (х) - Зх2 - 6х + 1996 в целых
числах.
д) Выяснить, какие общие натуральные делители мо-
гут иметь числа f (п) и п - 1.
н*
КАРТОЧКИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ
9 КЛАССА
1. Дана функция f (х) =
х - а
х - b
а) Найти область определения функции f при а = 2,
Ь = -3.
б) Решить уравнение f (х) = (f (х)) 1 при а = 2, b = - 3.
. _ . л/ х — а
в) Решить уравнение f (х) = при а = 2, b = - 3.
л/ х - b
г) Выяснить, существуют ли а и b такие, что уравне-
ние, данное в пункте б), имеет решение.
д) Решить уравнение, данное в пункте в), при произ-
вольных а и Ь, но таких, что число а является
его корнем.
2. Дана функция f (х) = V х2 - 5х + 6 + ^х2- 8х + 15.
а) Найти область определения функции f.
Карточки для повторения курса алгебры 9 класса
165
б) Решить уравнение f (х) = х2 - 13х + 30.
в) Решить уравнение f (х) = V3.
г) Найти наименьшее значение функции f на луче
[5, +со).
д) При каких а уравнение f (х) - а имеет два корня?
4 I у
3. Дана функция f (х) = У х - 2х.
а) Найти область определения функции f.
б) Упростить выражение f(l +^2).
I
в) Решить неравенство f (- х) < f (х).
г) Исследовать функцию f на монотонность.
д) Упростить выражение f (1 + V18- 12^/2 ).
4. Дана функция f (х) = ах + 1.
а) Построить графики функций f при а = 1
и при а = - 1 .
б) Доказать, что последовательность (ап) такая, что
an = f (п) является арифметической прогрессией.
в) Найти сумму первых ста членов этой последова-
тельности.
166
Карп А.П. Задачи по алгебре
г) Найти все такие а, что ап > 25 при всех п > 8 и толь-
ко при них.
д) Выяснить, существует ли такое а, что числа ч2 и
содержатся в последовательности an = f (п).
5. Дана функция f (х) = х2 + 2х + 1.
а) Выписать три первых члена последовательности (Ьп):
Ьп = f (n).
б) Построить график функции у = f (х + 1) - f (х).
в) Доказать, что последовательность (ап) такая, что
Sn = f (п) является арифметической прогрессией, на-
чиная со второго члена.
г) Можно ли выбрать из последовательности (сп), та-
кой, что Cn = f (п), подпоследовательность, являю-
щуюся геометрической прогрессией?
100
д) Найти: сп.
п=1
6. Дана функция f (п) = Зп.
100
а) Найти: £ .
б) Доказать, что последовательность (ап):
an = kf (п) — геометрическая прогрессия
для любого к 0.
Карточки для повторения курса алгебры 9 класса
167
в) Последовательность (Ьп) такова, что Sn = f(n)-1.
Определить вид (Ьп).
г) Выяснить, можно ли из последовательности (ап)
извлечь трехэлементную арифметическую про-
грессию?
100
д) Найти: S nf<n)-
п=1
2
7. Дана функция f (х) = Л0-:*-
1 Dili А
а) Решить уравнение f (х) = 0.
б) Доказать, что f (х) - (sin у + cos |-)2.
в) Найти наименьшее значение функции f.
г) Построить график функции у (х) = f (х) + f (- х).
д) Решить уравнение f (х) = х2 + 2.
8. Дана функция f (х) = cos 2х + 4 cos х + 3.
а) Вычислить f (л).
б) Решить уравнение f (х) = 0.
в) Найти наименьшее значение функции f.
168
Карп А.П. Задачи по алгебре
г) Найти наибольшее значение функции f.
д) Выяснить, при каком а из уравнения f (х) = О
следует уравнение (а2 - За + 2) х1996 = а2 - 5а + 6.
9. Дана функция f (х) = a sin 2х + b sin х (a, b е R).
а) Решить уравнение f (х) = 0 при а = 1, b = 2.
б) Найти наименьшее значение функции
g (х) = f (х) + 2cos х при а = 1, b = 2.
в) Выяснить, существуют ли числа а и b такие, что
f (х) > -^ при всех х.
г) Пусть а и b положительны. Решить уравнение
f (х) = а + Ь.
д) Найти а и Ь, такие, что уравнение f (х) = 0 эквива-
лентно уравнению sin х = 0.
10. Дана функция f (х) = х2 - 2ах + 2а.
а) Выяснить, при каких значениях а уравнение
f (х) = 0 имеет корни.
б) Решить уравнение f (| х |) = f (х).
в) Последовательность ап такова, что Sn = f (п). Выяс-
нить, может ли последовательность ап быть стаци-
онарной.
Карточки для повторения курса алгебры 9 класса/69
г) Обозначим сц(а) и 012(a) углы из промежутка
, л л .
(-у; — ), являющиеся решениями уравнения
f (tg х) = 0. Построить график g (а) =--— --—.
cos2 ai cos2 а.2
д) Найти все а, при которых уравнение f (sin х) = О
имеет решения.
ТЕСТЫ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ
8-9 КЛАССОВ
Предлагаемые работы проводились Санкт-Петербургским
университетом педагогического мастерства в школах города.
Каждая из них рассчитана на два урока и содержит в каждом пунк-
те задания разной сложности — на выбор. Задания «А» оценива-
лись тремя, «Б» — шестью, «В> — девятью баллами, причем из
каждого пункта учащемуся засчитывалось только одно задание.
Оценка 15 баллов за работу свидетельствует об успешном ус-
воении базовых знаний, 35 баллов — о высоком уровне владения
материалом программы специализированных классов.
Тест № 1 (за 7 класс)
Вариант 1
1. Упростить выражение:
За- 4 а а 5 -2а
А. Ч---г : з ~ Ч-----
а ч- 1 а + 1 а — 1 а ч-1
х ___________2______ х2- 1 4х2 ч- 8х ч- 4
ах - 2а2 х2 - 2а ч- х - 2ах + х (хч-1)(хч-3),
Тесты по курсу математики 8-9 классов
171
В. Вычислить —5-2, если
х8-х4 + Г х2 + х+ 1 7
2. Решить систему уравнений:
2х у__2
3 + 4 ~ 6’ Б х2 + 4у2 + 4ху = 25,
х_2х 13 ’ | 9х2-бху + у2 = 1.
4 3 12’
3. А. Построить график функции у = 2х - 1 и выяснить,
проходит ли он через точку с координатами
(3,76; 4,42).
Б. Построить график уравнения (у - 2х + 1) (х - 1) = О
и найти все значения а, при которых ему принадле-
жит точка с координатами (а, а + 3).
В. Задать графиком и аналитически функцию, прини-
мающую на интервале (0, 1) все значения из отрезка
[О, 1] и только такие значения. Выяснить, сколько
существует таких функций.
4. А. Заказ по выпуску машин завод должен был выпол-
нить за 20 дней. Но уже за 18 дней завод перевы-
полнил план на 6 машин, так как ежедневно
выпускал по 3 машины сверх плана. Сколько машин
должен был выпустить завод по плану?
Б. Маша и Катя купили вместе 15 карандашей и рези-
нок, причем каждая из девочек купила не меньше
двух карандашей. Известно, что Катя купила вдвое
172
Карп А.П. Задачи по алгебре
меньше карандашей, чем Маша резинок, и вдвое
больше резинок, чем Маша карандашей. Известно,
что Маша купила резинок больше, чем Катя.
Сколько карандашей и резинок купила каждая из
девочек?
5. А. Построить треугольник по двум сторонам и медиа-
не, проведенной к одной из них.
В. Построить треугольник, если даны угол А, сторона
а и сумма сторон b + с.
Вариант 2
1. Упростить выражение:
Д 3У-2 , 3 У + 3 1 у
у2 - 4 у2- 4 3 У + 2
2а _________1_______ / х2-9 х2 + 6х + 9 \
а2- 4х2 2х2 - За + 6х - ах х - 2 (х - 2) (х + 3) )
В. Вычислить —5-т---, если известно,
х8 + х4+Г
2. Решить систему уравнений:
х2 + 9у2 + бху - 25,
4х2 - 4ху + у2 = 9.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
173
_ 2х2 2 2у2 2 2z2 2
в. —----= z2; —2— = X2; —----= у2.
у2 + 2 z2 + 2 х2 + 2
3. А. Построить график функции у = - 2х + 3 и выяснить,
проходит ли он через точку с координатами
(6,78; - 10,46).
Б. Построить график уравнения (у + 2х - 1)(х + 1) = 0 и
найти все значения а, при которых ему принадле-
жит точка с координатами (а; а + 3).
В. Задать графиком и аналитически функцию, опреде-
ленную на отрезке [0, 1] и принимающую там все
значения из интервала (0, 1) и только такие значе-
ния. Выяснить, сколько существует таких функций.
4. А. Путь от А до В пешеход проходит за 2 ч. Если он
увеличит скорость на 2 км/ч, то уже за 1,8 ч он прой-
дет на 3 км больше, чем расстояние от А до В. Най-
ти расстояние от А до В.
Б. Толя и Петя купили тетради и ручки, причем всего
20 предметов. Толя купил в 4 раза меньше тетрадей,
чем Петя ручек, и в 4 раза меньше ручек, чем Петя
тетрадей. Известно, что Петя купил больше тетра-
дей, чем Толя. Сколько ручек и тетрадей купил каж-
дый?
5. А. Построить треугольник по двум сторонам и высоте,
проведенной к одной из них.
В. Построить треугольник, если даны угол А, сторона
а и разность сторон b - с.
174
Карп А.П. Задачи по алгебре
Тест № 2 (за 7 класс)
Вариант 1
1. Упростить выражение:
- а - 24 а . а 6а - 1
а - 5 +а + 5’а2-25+а-5’
к Г 1 У + 6 V1 У , 3(х-2у + 3)Л
1Х~У 2х2-у2-хуА х + 3 х2-9 )
В. Вычислить, если известно, что сумма двух первых
дробей равна третьей и х 0,5у :
1_ 1 __2
4х2 + 1 + у2 + 1 + 2ху + Г
2. Решить систему уравнений:
Л х Х = £ х_2у__А
3 2 3’ 2 5 10’
х + у
Б- ~-=12; (х+ у) (х - у) = 3.
В. Х +у + ху = - у; 2х2 - 5ху + 2у2 = 20.
3. А. Написать уравнение прямой, проходящей через точ-
ки с координатами (1; 5) и (-1; 1).
v
Б. Построить график уравнения (—L— - 2) (х - 2) = 0.
X — Z
Тесты по курсу математики 8-9 классов
175
В. Определить, какие значения может принимать
2|х| +3
функция у = -|—i-----—.
I х I + 1
4. А. В трех цехах завода работает 650 человек. Причем
во втором в 4 раза больше, чем в первом, а в третьем
столько, сколько в двух первых вместе. Определить,
сколько рабочих работает в каждом цехе.
Б. Таня и Катя пошли в мороженицу. Известно, что
шарик сливочного мороженого стоит 40 коп., оре-
хового — 70, ананасового — 1 руб. Известно, что
девочки купили по 12 шариков, потратив денег по-
ровну, причем Таня купила ананасового морожено-
го столько, сколько Катя орехового, орехового
столько, сколько та — сливочного, а сливочного
столько, сколько Катя ананасового. Найти, сколько
шариков сливочного мороженого купила Таня.
5. А. В треугольниках АВС и AiBiCi : АС = AiCi. BD и
BiDi — соответственно медианы, О и Oi — их се-
редины. DO = В]О], угол BDA равен углу B1D1A1.
Доказать, что треугольники АВС и A|B]Ci равны.
Б. В треугольнике АВС ВМ — медиана, AN — высота,
СК — биссектриса. Известно, что они пересекаются
в точке О, причем ВО = СО. Доказать, что тре-
угольник АВС равносторонний.
Вариант 2
1. Упростить выражение:
7 - 5m 4m m2-16 9m-23
A. 7~ + T • + 7 .
m - 4 m + 4 4m m - 4
776
Карп А.П. Задачи по алгебре
r [ * х + 4 V1 х у+ 2x4-2^
Iх + У ~ х2 + Зху + 2у2J12 + 2 (у + 2) + у2_4 J’
В. Вычислить, если известно, что сумма двух первых
дробей равна третьей и — х * у:
1 1 ____2
х2 + 1 + 9у2 + 1 + Зху + 1'
2. Решить систему уравнений:
А *_Х = Л. 2х У_В
5 3 15’ 3 4 12’
Б- ^^=18; (х-у)(х + у) = 2.
2 2
В. -~"У - ху = Зх2 + 4ху + Зу2 = 7.
3. А. Написать уравнение прямой, проходящей через точ-
ки с координатами: (1,1) и (-1,5).
Б. Построить график уравнения (—+ 2) (х + 3) = 0.
X 4" j
В. Выяснить, какие значения может принимать
функция
4. А. Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех из-
готовил деталей в 3 раза больше, чем третий, а пер-
вый столько, сколько второй и третий вместе.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
177
Определить, сколько деталей изготовил каждый
цех.
Б. Толя и Петя вЬшили по 6 стаканов сока и потратили
денег поровну, причем известно, что стакан яблоч-
ного сока стоит 25 коп., клубничного — 50, апель-
синового — 75 коп. Толя выпил апельсинового сока
столько, сколько Петя клубничного, клубнично-
го -----сколько тот яблочного, а яблочного — сколь-
ко тот апельсинового. Найти, сколько стаканов
яблочного сока выпил Толя.
5. А. В треугольниках АВС и A|BiCi BD и BiDi — бис-
сектрисы, О и Oi — их середины. DO = О|Вь Углы
В и Bi равны, углы BDA и B1D1A1 равны. Доказать,
что треугольник АВС равен треугольнику A]BiCi.
Б. В треугольнике АВС ВР — биссектриса, СМ — ме-
диана, АК — высота. О — точка пересечения всех
трех. Угол РВС равен углу КАВ. Доказать, что тре-
угольник АВС — равносторонний.
। 2~ 1204
178
Карп А.П. Задачи по алгебре
Тест № 3 (за 8 класс)
Вариант 1
1. А. Упростить выражение:
4 V 61 - 2V104 + 3 \ .
’ £ 'У
Б. Выяснить, иррационально ли число
4 ^4-2<3 + а/97- 56^3 .
В. Доказать, что число л/р2+ 1 иррационально при
любом простом р.
2. Доказать неравенства:
А. х2 + 5 > 4х.
а3 - Ь3 а - b
Б. ------т >---если 0 > b > а.
а3 + Ь3 а + Ь’
3. Построить график функции:
А. у = - 2х2 + 4х.
(I х | + 2) (х2 - 5 | х | + 6) w
Б. у =----------i—]----------- и наити область
IхI -2
её значений.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
179
(х - 1) (х2 + 4х + 3)
В. у =------1—i--------- и, пользуясь им, установить,
I х I + 1
при каких значениях а уравнение f(х) - а имеет
два различных корня.
4. А. Расстояние между двумя пунктами по реке равно
2 км. Лодка совершает путь в оба конца за
1 ч. 30 мин. Найти скорость лодки в стоячей воде,
если скорость течения реки равна 1 км/ч.
Б. Из города А в город В, находящийся на расстоянии
105 км от А, со скоростью V км/ч выходит автобус.
Через 30 мин из А выходит автомобиль со скорос-
тью 40 км/ч, догоняет автобус и возвращается об-
ратно. Выяснить, какой может быть скорость V,
чтобы автомобиль смог возвратиться в А раньше,
чем автобус прибудет в В.
5. A. ABCD — параллелограмм, точки М и Н лежат
соответственно на АВ и CD, AM = СН. Доказать,
что прямая МН проходит через точку пересечения
диагоналей параллелограмма.
Б. Высота трапеции, диагонали которой перпендику-
лярны, равна 4. Найти площадь трапеции, если из-
вестно, что длина одной диагонали 5.
Вариант 2
1. А. Упростить выражение
/ ? /1
3 Д/ 3f -VT32+4 Д/ 2~.
УЗ У 1о
12*
180
Карп А.П. Задачи по алгебре
Б. Выяснить, иррационально ли число
7 а/ 11 - 6д/2 +л/198- 140д/2.
В. Доказать, что число р2 + 5 рационально только
при р = 2 ( р — простое число ).
2. Доказать неравенства:
А. х2+10>6х.
_ а2 - b2 а + b
Б. ~ >---------г, если b > а > 0.
а2 + Ь2 а - Ь’
В. х2 - 3 V х2-3 > |.
4
3. Построить графики функций:
А 1 2
A. y = -jx +х.
(IX | + 3) (х2 - | X | - 2) „
Ь. у =---------;—:--------- и наити область
|х| +2
её значений.
(2-х)(х2 + х-1)
В. у = i—।--- и, пользуясь им, установить,
IX | +2
при каких значениях b уравнение f (х) = b имеет
ровно три различных корня.
4. А. Моторная лодка против течения прошла 10 км, а
по течению она шла на 30 мин меньше, чем против
течения. Найти собственную скорость лодки, если
скорость течения реки 2 км/ч.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
181
Б. От пристани вниз по реке, скорость течения кото-
рой V км/ч, отходит плот. Через 1 ч вслед за ним
выходит катер, скорость которого в стоячей воде
равна 10 км/ч. Догнав плот, катер возвращается об-
ратно. Определить все значения V такие, что к мо-
менту возвращения катера плот пройдет меньше
15 км.
5. A. ABCD — параллелограмм. Точки М и Н лежат на
АВ и CD. МН проходит через точку пересечения
диагоналей. Доказать, что AM = СН.
Б. Диагонали трапеции пересекаются под углом 90°.
Средняя линия трапеции равна 6,5, а одна из диаго-
налей 5. Найти площадь трапеции.
182
Карп 4.П. Задачи по алгебре
Тест №4 (за 8 класс)
Вариант 1
1. Решить уравнение:
2 _ 10 1
х2+10х + 25 25-х2 “х-5’
„1 17 6
D. q 4" п — 1 .
х2- 5х + 6 х’ + х - 12 х2 + 2х - 8
/ 9 \ 2
„ х - Зх + 2 2-х
В. ---------- - х =----.
I х J х
2. Упростить выражение:
А. 4 лДТ - 0,5 V56 - 3
Б. (2- <5) V 1 +л/5 + л/5^5 - 11.
В. л/11 -6V2 + V33 -20 V2 + л/19-6<2 .
3. Доказать неравенство:
25
А. 4хч--> 20, если х > 0.
х
а + b а2 + Ь2
Б. —г----г > ----т, если а и b положительны.
а2 + Ь2 а3 + Ь3
В. х - 2у < 200, если известно, что х и у неотрица-
тельны и выполнено равенство Vx - Vy = 10.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
183
4. А. Построить график функции у= - х2 + 2х - 4 и ука-
зать ее наибольшее значение.
Б. Построить график функции у = х2 - 3 | х | + 2 и,
пользуясь им, указать область значений функции
у = х2 - 31 х | +2, где
а) х е (- оо , + оо); б) х е [-2, 1].
В. Построить график уравнения | у + х | = х2 - Зх + 2, и
указать, пользуясь графиком, все числа а, при ко-
торых уравнение |х + а| = х2-Зх + 2 имеет как по-
ложительное, так и отрицательные решения.
5. А. Из вершины тупого угла В ромба ABCD опуще-
ны перпендикуляры ВМ .и ВН на прямые AD
и DC. Доказать, что луч BD является биссектри-
сой угла НВМ.
Б. Выяснить, в каком отношении луч ВР делит сторо-
ну АС треугольника АВС , если известно, что точ-
ка Р делит медиану АА] в отношении АР : PAi =
= 1:2.
Вариант 2
1. Решить уравнение:
А 1 + 12 = 1
х2 - 12х + 36 + 36 - х2 х + 6‘
Б 1 31 . , . 9
х2-7х+12 х2 + 2х-24 х2 + Зх-18
184
Карп А.П. Задачи по алгебре
2. Упростить выражение:
А. 3 Д/з| - V132+4 Д/2-^.
“ 3 “ 1о
Б. (3 - V10) л/1 +V10 + л/ 13410-41.
В. 4 28- 10^3 + V 31 - 12 л/3 - л/ 13-4л/3.
3. Доказать неравенство:
49
А. 9а + — < - 42, если а < 0.
а
_ 2 i_2 3 i_3
3 4- D d + О
Б. —,---т > ----т , если а и b положительны.
а + b а + b
В. х> 10-у, если известно, что х и у неотрицатель-
ны и выполнено равенство Vx = 420 - л/у.
4. А. Построить график функции у = - х2 + 4х - 5 и ука-
зать ее наибольшее значение.
Б. Построить график функции у = х2 - 5 | х | + 6 и, поль-
зуясь им, найти область значений функции
у = х2 - 5 | х | +6, где
а) х е (-оо, + оо); б) х е [- 3, 2].
В. Построить график уравнения | у - х | = х2 - 5х + 6, и
найти, пользуясь им, все числа а, при которых
— ____________________*
и
Тесты по курсу математики 8-9 классов
185
уравнение |а-х| = х2-5х + 6 имеет как положи-
тельные, так и отрицательные решения.
5. А. Из вершин тупых углов В и D параллелограмма
ABCD опущены перпендикуляры ВМ и DH на
прямую АС. Доказать, что прямая BD делит от-
резок МН пополам.
Б. В трапеции ABCD основание АВ в два раза боль-
ше основания CD. Точка М — середина диагонали
BD. Выяснить, в каком отношении луч AM делит
сторону ВС.
186
Карп А.П. Задачи по алгебре
Тест № 5 (за 9 класс)
Вариант 1
1. Упростить выражение:
_ cos 2а ,
. Доказать, что ------,— = cos а.
1 - tg а
Б. Построить график функции у = tg у - •
В. Найти множество значений функции
f (х) = 2 - 2 cos х + cos 2х.
3. А. Решить уравнение д/ 2х - 3 = 3 - х.
Б. Решить уравнение х2 - 14х + 27 = 3 а/х2- 14х + 25.
В. Выяснить, при каких значениях а уравнение
V х - 3 = а -1 х | имеет решения.
4. А. В арифметической прогрессии (уп) уг=1, уз = -2.
Найти yi и сумму первых четырех членов.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
187
Б. Найти сумму всех рациональных членов последо-
вательности ап = 2= + 3\ имеющих номера, не боль-
шие 30.
В. Найти наименьший член последовательности
ап = 2-4п’3-13 • 2П’3.
5. А. В равнобедренном треугольнике АВС (АС = ВС)
угол В равен 60°, ВС = 2. Найти площадь круга,
описанного около этого треугольника.
В. ABCD — вписанный в окружность четырехуголь-
ник, причем диагональ АС — биссектриса угла
DAB. Доказать, что: AC BD = AD • DC + АВ • ВС.
Вариант 2
1. Упростить выражение:
А- 1+а0,5 1-а'
\ /
а3-8 а2 + а (а+1)2 + з] ^ab
|а2-5а + 6 ай а-3 J
л/ 26 - 15 V3
2 „
2. А. Доказать, что --------------= sm 2а.
tg а + ctg а
188
Карп А.П. Задачи по алгебре
Б. Построить график функции
X
y = ctgj-
sin х
1 - cos х'
В. Найти множество значений функции
f (х) = 2 sin х - cos 2х.
3. А. Решить уравнение ^4х - 3 = х - 2.
3._________
Б. Решить уравнение х2 - 4х - 15 = 3 v х2- 4х - 13.
В. Выяснить, при каких положительных b уравнение
а/ - х - 2 = b + х имеет решения.
4. А. В геометрической прогрессии (Ьп) Ьг = 8, Ьз = 4. Най-
ти bi и произведение первых четырех членов.
Б. Найти сумму всех рациональных членов последова-
тельности Ьп = 2"3 + 5"2 с номерами, меньшими 37.
В. Найти наименьший член последовательности
ап = 3 • 9“-5-13 • Зп~5.
5. А. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
угол С равен 30°, АС = 3. Найти длину окружнос-
ти, описанной около треугольника.
В. ABCD— вписанный в окружность четырехуголь-
ник, причем угол ВАС равен углу DBC. Докажите,
- что
AC BD = АВ • ВС + AD DC.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
189
Тест № 6 (за 9 класс)
Вариант 1
1. Упростить выражение:
х - 9 х - Зх0’5
х°’5-3+ х°’5-3
( 1 1 1. <р +<q
[(Vp-W + O/p+Wp p-q ‘
л/38 + 17 <5 - л/17 <5-38
В. з, _ 3, .... ----Г
< 1 + Зх + <х (3 + х) - < <х (3 + х) - (1 + Зх)
2. А. Решить уравнение < х - 3 = х - 5.
Б. Решить неравенство < 8 - х + < 2х + 8 > < 5х +16.
В. Выяснить, при каких значениях а множеством ре-
шений неравенства х<х- а<х < ах - а2 будет отре-
зок, длина которого меньше единицы.
sin (л - 2 а)
3. А. Упростить выражение --------------
2cos (у + а)
Б. Выяснить, сколько корней имеет уравнение
1 + sin X л 71
----2— = а на отрезке [- -г-; х] в зависимости от а.
cos х
190 Карп А.П. Задачи по алгебре
В. Изобразить на чертеже множество точек с коорди-
натами (х, у), удовлетворяющими уравнению
sin х + sin у
--------------------------Z_ = q
cos х - cos у
2x__3
4. А. Построить график функции у = —---—.
X ~ I
Б. Исследовать функцию у = —------- -
х2 - 4х + 3 + х2 - 1
на монотонность.
В. Выяснить, существует ли такая функция g, что при
любом х выполнено равенство cos х = g (1 + х4).
5. А. Задана последовательность ап = 2 • Зп. Доказать,
что она является геометрической прогрессией и най-
ти сумму ее первых пяти членов.
Б. Последовательность (Ьп) задана рекуррентно:
Ьп = к Ьп -1 + /, где к ф 1, к, / е R. Известно, что она
является арифметической прогрессией. Найти ее
разность.
В. Последовательность (ап) задана рекуррентно:
ап +1 = а п - ап - 4, (п > 1); а] — а.
Известно, что она является геометрической про-
грессией. Найти а.
и
Тесты по курсу математики 8-9 классов
191
Вариант 2
1. Упростить выражение:
2х0,5 + х х - 4
А. тгт- + (Г? + 2.
2 + х0’5 2 + х0’5
(а - b)3 (Va + Vb)~3 + 2а Va+а Vb 3 (Vab - b)
aVa + Ьл/b а - Ь
2 (4 + Зх) + л/х (12 + х) + л/ 2 (4 + Зх) - ^х (12 + х)
л/ 26 - 15 <3 + >/26 + 15 VI
2. А. Решить уравнение х + 6 = х - 6.
Б. Решить неравенство л/11 + х + 2 - 2х < V 1 -5х.
В. Выяснить, при каких значениях а множеством ре-
шений неравенства xVx + ах < а2 - aVx будет отре-
зок, длина которого больше единицы.
3
cos (у л + 2а)
3. А. Упростить выражение ——-----------г—.
2 sm (л + а)
Б. Выяснить, сколько корней имеет уравнение
1-cos х
sin* 2 3 х
на отрезке [0, л], в зависимости от а.
192
Карп А.П. Задачи по алгебре
В. Изобразить на чертеже множество точек с коорди-
натами (х, у), удовлетворяющими уравнению
sin х - sin у
. гт . , 2х + 3
4. А. Построить график функции у =------—.
X + 1
Б. Исследовать функцию у = —-----—------
х2 - 5х + 6 + "V х2 -4
на монотонность.
В. Выяснить, существует ли такая функция g, что для
любого х выполнено равенство cos х = g (1 + х6).
5. А. Задана последовательность ап = 3 + 2п. Доказать,
что она является арифметической прогрессией и
найти сумму ее первых пяти членов.
Б. Последовательность (Ьп) зддана рекуррентно:
Ьп = kbn i + /, где k, / е R. 1*0. Известно, что она
является геометрической прогрессией. Найти ее зна-
менатель.
В. Последовательность (ап) задана рекуррентно: an + i =
= а2п - ап - 9, (п > 1), ai = а. Известно, что она явля-
ется геометрической прогрессией. Найти а.
Тесты по курсу математики 8-9 классов
193
Тест № 7 (за 9 класс)
Вариант 1
X — Ч X -f- ZX о 5
1. А. Упростить выражение —-------+ ——-------2х ’ .
х 2 х “F 2
(а2 - Ь2) (л/а + Vb )
Б. Упростить выражение —=—==—=—.
N а + У a b + у b + Nab
В. Доказать, что если числа х и у таковы, что Vy х,
а %-- Л/ ~ = х - л/х. то выполнено равенство
х N х
л/х = X + Vy.
2. А. Найти все целые решения системы неравенств
/ Зх-5>2
\ 23-4х>5.
(х2 - 4х + 3) (х2 - 5х + 4)
Б. Решить неравенство ----------х - 2---------~
В. Решить неравенство х4 + 1 > х.
3. А. Решить систему уравнений
х2 - у2 = 5
х + у = - 1.
Б. Решить систему уравнений
I 3-1204
ху-х-у = -3
7 2-1
х у + ху = - 2.
194
Карп А.П. Задачи по алгебре
В. Выяснить, при каких значениях параметра а систе-
I +у= 1
। , имеет бесконечно
-а =у+1
ма уравнений
значение функции
много решений.
4. А. Построить график функции у= х2 - 6х + 5 и найти
координаты точек графика с ординатой, равной 5.
Б. Найти наименьшее
у = х4 - 5х2 + 2.
В. Дана функция
х- 1,
ах2 + 2х + а,
х + 2,
если х < О,
f (х) =
если х > 1.
Найти все значения параметра а, такие, что функ-
ция у = f (х) является возрастающей.
5. А. Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью
40 км/ч. После того как автобус проехал 30 км, из
пункта А со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль,
который прибыл в пункт В на 5 мин позже авто-
буса. Найти расстояние между пунктами.
Б. Мотоциклист и велосипедист совершили двухчасо-
вую безостановочную поездку. При этом мотоцик-
лист проезжал каждый километр на 4 мин быстрее,
чем велосипедист. Найти скорость каждого, если
расстояния, которые каждый из них проехал за
2 часа, отличаются на 40 км.
В. Турист на дорогу из А в В автобусом затратил
15 мин, а на дорогу из пункта В в пункт С пеш-
Тесты по курсу математики 8-9 классов
195
ком — 4 ч. Обратно он двигался из С в В автобу-
сом, а из В в А пешком. Доказать, что на обратный
путь он затратил не менее 2 ч.
Вариант 2
1. А. Упростить выражение
(ху)0’5 + X X - у _ 0>5
х0,5+у°,5 х0.5_у0.5
Б. Упростить выражение
(а2-Ь2)(^Г + ^Ь)
Va* + у/ а3Ь - у/ ab3 - V17
В. Доказать, что если числа а и b таковы, что
а + b + 2 д/ а + b - ab + 2 д/ ab, то выполнено равен-
ство ab = а + Ь.
2. А. Найти все целые решения системы неравенств
5х-3>5
35 - 6х > 14.
х2 + 6х + 5
Б. Решить неравенство ---------5--------< 0.
(X - 3) (х2 + Зх + 2)
В. Решить неравенство х6 + 1 > - х.
3. А. Решить систему уравнений '
13*
196
Карп А.П. Задачи по алгебре
Б. Решить систему уравнений
у2 + ху = - 2
х2 + ху = 3.
В. Выяснить, при каких значениях параметра а систе-
. У = х| - 1
| v , Y + я I - 1 имеет Р°вно два ре-
У । А т d | — 1 .
ма уравнений
шения.
4. А. Построить график функции у = х2 + 4х + 3 и найти
координаты точек этого графика с ординатой, рав-
ной 3.
Б. Найти наименьшее значение функции
у= х5 6 - Зх3 + 3.
В. Дана функция
3-х,
Ьх2- 4х + Ь,
f (х) = “
если х < О,
если 0 < х < 1,
если х > 1.
Найти все значения параметра Ь, такие, что функ-
ция у - f (х) является убывающей.
5. А. Из города А в город В выехал велосипедист. Спус-
тя 1 ч 12 мин вслед за ним выехал мотоциклист,
скорость которого на 30 км/ч больше скорости ве-
лосипедиста. Через 30 мин после своего выезда мо-
тоциклист, обогнав велосипедиста, находился от
него на расстоянии 3 км. Найти скорость мотоцик-
листа.
Б. На обработку одной детали первый рабочий затра-
чивает на 1 мин меньше, чем второй. Сколько дета-
лей обрабатывает каждый из них за 0,5 часа, если
Тесты по курсу математики 8-9 классов 197
первый обрабатывает за это время на одну деталь
меньше, чем второй?
В. Первая бригада убрала часть поля за 40 мин, а за-
тем вторая бригада убрала оставшуюся часть за
1,5 часа. Доказать, что если бы сначала вторая
бригада убрала ту часть поля, которую убирала
первая, а затем первая — ту часть, которую уби-
рала вторая, то на всю работу ушло бы не менее 2
часов.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
§ 1. Углубленное повторение курса алгебры
7 класса
1.1. Разложение на множители
1. а) (а - b2) (а2 + ab2 + Ь4).
2. а) (а + 2b + 2с) (а + 2b - 2с).
3. а) (а - b)2 (а2 + 2аЬ - Ь2).
4. a) (m + З)2 (9 - т2 - 6т).
5. а) (х + а) (а - 2).
6. а) (х + а) (х3 - а).
7. (x + z)(x + y)(y + z).
8. а) (х - 1) (х - 3).
9. а) (х- 1) (х + 1) (х - 3) (х + 3).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
199
10. а) х4 + 4 = х4 + 4х2 + 4 - 4х2 = (х2 + 2)2 - (2х)2 =
= (х2 - 2х + 2) (х2 + 2х + 2).
11. а) (х2 - х + 1) (х2 + х + 1).
12. х2у + ху2 + x2z + xz2 + yz2 + y2z + 3xyz =
= (x2y + xy2 + xyz) + (x2z + xz2+ xyz) + (yz2+
+ y2z + xyz) = xy (x + у + z) + xz (x + у + z) +
+ yz (x + у + z) = (x + у + z) (xy + xz + yz).
13. a2 + b2 + 3c2 + 2ab + 4ac + 4bc =
= a2 + b2 + 4c2 + 2ab + 4ac + 4bc - c2=
= (a + b + c)2 - c2 = (a + b + c) (a + b + 3c).
1.2. Преобразования алгебраических выражений
14. 15. ----------^4-------• 16- °-
2 (2у - х) (2х2 + у + 2)
32
17. !. 18.
1 - х
1 1 1 1
19. 1 + -j—=• + -х—у + ... + —~тт —
1-2 2-3 n (n + 1)
.,111 11,1
= l+l-j+2-j+...+ n-n+1-2-n+|.
200
Карп А.П. Задачи по алгебре
20. ——+ —2— =
22 - 1 З2 - 1 п2 - 1
111
1 • 3 + 2 • 4 + " + (п - 1) (n + 1) ~
1 /1 1 1 1 ч
2 +2 п п.+ Р*
1.3. Условные равенства
24. Так как а + b + с = 0. то с = - (а + Ь). Подставим:
а3 + Ь3 + с3 = а3 + Ь3 - (а + Ь)3 = - ЗаЬ (а + Ь),
ЗаЬс = - ЗаЬ (а + Ь).
Таким образом, равенство выполнено.
27. Из условия ясно, что
X2 (х + у) + у2 (х + у) = 2 (х + у)2 - 2 (х + у).
Так как х + у > 0, имеем
х2 + у2 = 2 (х + у) - 2, т.е. (х - I)2 + (у - I)2 = 0.
Отсюда х = у = 1.
28. 0.
29. Ясно, что а2 + ас - b2 + Ьс.
Отсюда (а - Ь) (а + Ь + с) = 0 и, так как числа а, Ь, с
положительны, а = Ь. Аналогично, Ь = с.
Ответ: 12.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
201
30. Из данного равенства получаем:
а2 = (а + b - с)2 - Ь2 = (а - с) (а + 2Ь - с);
b2 = (а + b - с)2 - а2 = (Ь - с) (2а + b - с).
а2 + (а-с)2 2 (а - с) (а + b - с) а - с
Отсюда b2 + (b_c)2-2(b-c)(a + b-c)~b-c-
1.4. Решение уравнений
31. х=1. 32. х = 1 и х = 3.
33. {1,2,3}. 34. а) {±2}.
35. а) {1; 5}. 36. а) {2}.
37. а) а = |. 38. а) 0 и - 1.
а - 1
39. а) Если а = -1, то 0, если а*-1, то X=a7+Tf-
40. а) При а = 0 х — любое, при а * 0 х = а + 1.
41. а) При а = 0 х — любое, при а = -1—нет решений,
а -4
при а*0, а^-1 х =------г.
н а + 1
1.5. Решение систем уравнений
42. а) х - любое, у = 3 - 2х.
43. а) Нет решений.
202 Карп А.П. Задачи по алгебре
45. а) (2; 1), (-2;-1). 46. а) (0; 0).
47. а) (4; 5), (4; - 5), (- 4; 5).
48. а) (2; 1), (2; - 1), (-2; 1), (-2; -1).
49. а) (1; 1), (-1; - 1).
50. а) Вычтем из первого уравнения второе:
х2 - ху - 2у2 = 0.
Отсюда, раскладывая на множители, получаем
(х + у) (х - 2у) = 0. Таким образом, или х = -у, или
х = 2у. Подставив, находим ответ: (2, 1), (- 2, - 1).
51. (±2; 0), (1; 1), (-1; -1). 52. х=1, у = 2, z = 3.
53. Перемножим данные уравнения: x2y2z2 = 62. Отсюда
xyz = ± 6. Деля на данные уравнения, находим ответ:
(1, 2, 3), (- 1, -2, -3).
54. а) (1, 2, 3), (- 1, -2, -3).
1.6. Графики уравнений
55. а) см. рис. 21. 56. а) см. рис. 22.
57. а) см. рис. 23. 58. а) одна точка (0; 0).
j
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
203
59. а) см. рис. 24.
60. а) одна точка (2; 1).
61. а) Имеем
у = х,
2. Отсюда график данного уравнения
состоит из двух точек: (0.0) и (1,1).
204
Карп А.П. Задачи по алгебре
Рис. 25
62. а) см. рис. 25.
63. См. рис. 26.
64. См. рис. 27. 65. у = 2х-1.
66. ^ = 0.
X
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
205
§ 2. Неравенства
2.1. Доказательство неравенств
3. а) 5х2 - бху + 2у2 = 4х2 - 4ху + у2 + х2 - 2ху + у2 =
= (2х - у)2 + (х - у)2 > О
5. 2х2 + 2у2 + z2 + 2xz + 2yz = х2+ у2 + z2 + 2xz + 2yz + 2ху +
+ х2 + у2 - 2ху = (х + у + z)2 + (х - у)2 > О.
6. (1 + ab)2 + (1 + cd)2 + (ас)2+ (bd)2 - 1 =
= (1 + ab + cd)2 + (ас - bd)2 > 0.
8. Достаточно доказать, что а + а10<1+аи, но
а11 - а10 + 1 - а = (а10 - 1) (а - 1) =
(а — 1)" (а9 + а9 + ... + а + 1)>0.
15. Достаточно доказать, что а4 + ab3 + Ьа3+Ь4 > а4+
+ 2а2Ь2 + Ь4, т. е. ab3 + Ьа3 > 2а2Ь2, но т. к. ab > 0, до-
статочно доказать, что а2 + b2 > 2аЬ, а это очевидно.
18. а) х4 + у4 + 32 = х4 + у4 + 24 + 24. Пользуясь неравенст-
вом, доказанным в задании 17, получаем требуемое.
19. Заметим, что
, А
1 Ьс ас
- — + — ><
2 а b
1 ас ab
• 2 b + с
1 be ab
2 а + с
Складывая эти неравенства, получаем требуемое.
206
Карп А.П. Задачи по алгебре
•-> r~i Cl и
22. Заметим, что -------------— < --------
1 + а + b 1 + а
b b
1 + а + b 1 + Ь’
Складывая эти неравенства, получаем требуемое.
24. Достаточно доказать, что
2а3 + 2Ь3 + 2с3 > a2b + ab2 + b2c + Ьс2 + ас2 + а2с.
Но а3 + Ь3 > a2b + ab2; а3 + с3 > ас2 + а2с;
Ь3 + с3 > Ьс3 + Ь2с.
Складывая эти неравенства, получаем требуемое.
27. Если х < 1, то х3 < 1 и х4 - х3 + 1 > 0; если же
х>1, то х4 - х3 - х3 (х - 1) > 0 и х4-х3+1>0.
28. Если, например, |х| < 1. то требуемое неравенство вы-
полняется, т. к. у2 + z2 > | yz | > | х | | yz |. Если же
|х|>1; |у|>1; |z|>l, то х2>х; у2 > у; z2>z; и
x2 + y2>x + y + z> xyz.
29. Доказательство данного неравенства сводится к дока-
зательству неравенства х" + у < I + ху, но если х < у,
то х2 < ху и т. к. у2 < I, неравенство выполняется, если
же у < х, то у2 < ху и т. к. х2 < I, неравенство также
выполнено.
I I 2
31. Так как ---г>—-, где 1<к<п'-п, имеем:
п + к п2
1
4-
п
1 ’.11 1 1 п2-п
п + 1 П П п2 п2 П п
п2 - п раз
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
207
1
32.
п
33.
36.
1
' Т22' '"'п2 " ‘ ' 1 ' 2 " 2'3 (н - >)п
1,1 1 1 ' 1 2п-1
— 1 + 1—г‘ + ...+ . — — 2 — —
2 п -1 n п
(2ху)2+ z2 > 4xyz, но х4 + 4у4 > (2ху)2.
Из условия имеем х = у+10. Поэтому надо доказать,
что (у + 10)2 - 2у2 < 200.
Но неравенство у2 + 20у + 100 - 2у2 < 200 эквивалентно
очевидному (у - 10)2 > 0.
37. Так как а+Ь+с<1 и а>Ь>с>0,
имеем а2 + Ь2 + с2 + 2ab + 2ас + 2bc < 1,
но 2b2 < 2аЬ; 2с2 < 2ас; 2с2 < 2Ьс,
поэтому а2 + ЗЬ2 + 5с2 < (а + b + с)2 < 1.
2.2. Текстовые задачи
38. Первый прибыл раньше. 39. Первый выиграл.
40. Обозначим пройденное расстояние S. Тогда затрачен-
S S
ное первым пешеходом время t = 2V~+2V2‘ ^озна‘
чим время, затраченное вторым пешеходом Т, тогда
Т Т 2S
имеем ^-Vi + —Ni = S. Отсюда Т = сравним ве-
2 2 V] + \ 2
Vi + V2 2
личины t и Т . Но > хт—г?-- Поэтому t > Т.
2V] У 2 V1 + У 2
Ответ: раньше придет второй пешеход.
208
Карп А.П. Задачи по алгебре
2.3. Неравенства с двумя переменными
на координатной плоскости
41. а) см. рис. 28.
43. а) см. рис. 30.
42. а) см. рис. 29.
44. а) см. рис. 31.
Рис. 29
Рис. 30
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
209
45. а) см. рис. 32. 46. а) см.рис. 33.
47. См. рис. 34.
Рис. 32 Рис. 33
Рис. 34
14-1204
210
Карп А.П. Задачи по алгебре
2.4. Решение неравенств.
Уравнения и неравенства с модулями
48. а) х < - 2; х > 3. 49. а) (-1; 2).
50. а) х < - 1; х > 2. 51. а) х > 4; х < 2.
52. а) х = 5; х = - 1. 53. а) х = |.
54. ч 1 a) x = j. 55. а) х = - — .
56. а) [1;2]. 57. а) х = 3 |.
58. а) х = ± 5. 59. a)
60. а) х > 4; х < - 2. 61. а) (1,5).
62. а) (-1, 0) U (0, + оо). 63. а) (- оо; - 1)<J (4,5; + оо).
64. а) (- оо, -3) kJ (2, + оо). 65. а) 0. 66. а) х > 3.
67. а) Ясно, что все х < 2 являются решениями. Найдем ре-
шения, большие 2: х - 1 < 2х - 4, х > 3.
Ответ: х < 2, х > 3.
68. а) Ясно, что решением может быть только х > 0, поэ-
тому достаточно решить уравнение х + 2 = 2х.
Ответ: х = 2.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 2 Н
69. а) При а > 0 — два, при а = О — одно, при а < 0 —
ни одного.
2
70. а) При а >0 х = уа, при а<0 х = 0.
71. а) При а > 0 х > р при а = 0 — 0, при а < 0 х <-.
72. а) Если а > 1, то х < а + 1; если а = 1, то нет решений;
если а < 1, то х > а + 1.
2.5. Графики с модулями
73. а) См. рис. 35.
75. а) См. рис. 37.
74. а) См. рис. 36.
76. а) См. рис. 38.
14*
ОТВЕТЫ. УКАЗЛНтРЕШЫЩ
212 Карп А.П. Задачи по алгебре
о
Рис. 42
-2—
. У-=
См. рис. 40.
78. а)
77. а) См. рис. 39.
80. См. рис. 42.
79. а) См. рис. 41.
82. См. рис. 44.
81. См. рис. 43.
11
с. 41
у = х
Рис. 44
214
Карп А.П. Задачи по алгебре
Рис. 49
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
215
83. См. рис. 45. 84. См. рис. 46.
85. См. рис. 47. 86. См. рис. 48.
87. См. рис. 49.
§ 3. Квадратные корни
3.1. Иррациональные числа
6. Заметим, что если е Q, то ^/n е N. Но квадрат на-
турального числа при делении на 3 может давать лишь
остатки 0 и 1.
11. Докажем, что для любого п существует такое нату-
ральное к, что в записи числа Зк встретится п нулей
подряд. (После этого доказательство можно вести ана-
логично проведенному выше.) Но для этого достаточно
доказать, что для любого n е N найдется k е N такое,
что 3k - 1 • 10 п. Будем рассматривать остатки от деления
на 10п чисел вида Зк, где к = 1, 2,... 10n + 1. Ясно, что сре-
ди них найдутся равные. Пусть, например, совпадают ос-
татки при делении на 10п у чисел Зт и 31 (т > /), но тогда
3m-3z; 10п и Зт-/- 1 : 10п.
.. ,(Vl5-3) (<5 +A/3-V2)
15. а)--------р----------. 16. Нет; да.
17. Да; да.
18. Да; нет.
216
Карп А.П. Задачи по алгебре
19. Да; да. 20. Нет.
21. Так как x + y = reQ, y = r-a-bA/2,
то ху = (г - а) а - 2Ь2 + (г - 2а) Ь^2,
и так как ху е Q, то г = 2а.
Отсюда у = а - b42.
22. Нет. 23. Да.
j.2_
24. Так как 4a + Vb = г е Q, то ^<b = - eQ.
Пусть теперь Vb £ Q,
но^/а=г-л/Ь и 4a4b = r/b -b.
Имеем г < e Q, л/b e Q — противоречие.
25. a e Q, b = 0. 26. a e Q, b = c = 0.
27. Подставим число 1 + 42 в уравнение
3 + 242 + а + 2a42 + b = 0.
Так как числа а и b — рациональные, имеем
3 + а + b = 0,
2а + 2 = 0.
Ответ: а = -1, Ь = -2.
29. Пусть а и b — рациональные числа (а < Ь). Для до-
казательства достаточно рассмотреть числа
a+b b-а
и а +
2
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
217
3.2. Определение и простейшие свойства
арифметического квадратного корня
30. а) х > - 2.
31. а) х*2.
32. а) х = 3. 33. а) 0. 34. а) [ 3, 5].
35. а) [-2, - 1)U(- 1, 1) U (1, +оо).
36. а) х = ± 4; б) х = 0; в) 0.
f а = 0
37. Верно, если 1 ь > О ИЛИ
38. Искомое множество — третья четверть координатной
плоскости.
а > О
Ь = 0’
40. х>0. 41. х>0.
42. [-1; 1].
3.3. Сравнение выражений, содержащих радикалы
43. <998 • V1996 < 1997.
44. < п - 1 • < n + 1 < п.
45. <1998 + <1996 < 2<1997. 46. <n-k + <n + k < 2<n.
47. <3 + <5 > <2 + <6.
48. <ТЗ + <5 < <0 + <8.
49. Решение сводится к сравнению чисел mn и
(n - k) (т + к), т. е. к сравнению числа к (n - m - к) с
нулем.
Ответ: если к<п-ш, то <п - к + <т + к > <п + <т,
если к > п - т, то <п - к + <т + к < <п + <т.
50. <п < п.
218
Карп А.П. Задачи по алгебре
51. Пусть а е М. Будем рассматривать натуральные числа
ai= [д/а]; аг = [Nal] и т. д. Ясно, что а > ai > аг > но
в таком наборе может быть лишь конечное число раз-
личных чисел. Равенство же а; = aj +1 возможно только,
если а; = 1.
52. О < V37 - 6 < поэтому (^37 - 6)3 <
Ответ: три нуля.
53. (V37 + 6)3 - (<37 - 6)3 е N.
Ответ: три нуля.
54. Нет. 55. Нет.
56. 7 - 2 ^/2 > 1, 3 - 2 ^/2 < 1, поэтому при всех натураль-
ных тип (7 - 2 V2 )т > 1 > (3 - 2>/2 )п.
57. Если такие тип существуют, то равны и сопря-
женные: (5-3 V2)n = (3 - 5 л/2)т. Но таких тип нет,
т. к. |3-5л/2 I > 1, а 15-3 <2 | < 1.
3.4. Преобразование выражений,
содержащих радикалы
58. а)л/2-1. 59. а) | х | у2.
60. а) х2 (у - I)2 z2 л/х. 61. а) - л/ Зд/З - 5.
62. 0. 63. 0. 64. 3. 65. 4. 66. 10.
67. 0, если ху > 0; - 2ху, если ху < 0.
68. 0.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
219
69. 3, если х>2; 2х-1. если -1<х<2; -3, если
х >-1.
70. Достаточно домножить каждую дробь на выражение,
сопряженное знаменателю.
Ответ: n + 1 - 1.
V6 + V2
2
V10 + V2
2
74. 3 + ^.
3.5. Доказательство неравенств с радикалами
77. аI. 2 3 + 1 - 4 л/а2-3 = а2 - 3 - 2)2.
78.
Заметим, что для всех k = 1, 2, ... п. Поэтому
1 I
।— + ... + ।— ~
V2 \п
§ 4. Квадратные уравнения
4.1. Решение квадратных уравнений и уравнений,
сводящихся к квадратным
I. a) Xi =- 1; х2= I39.
2
3. a) Xi = 3; Х2 = 1~.
5. а) {±3;"±2}.
7. а) {0; ± 1}.
2. a) Xi = 5; Х2 = 3.
4. а) {10, 5у}.
6. а) {1, 1|}-
8. а) {2, 3}.
220
Карп А.П. Задачи по алгебре
9. а) {-3; 2}. 10. {-6; - 6; ± V5}.
2 3 3
И. {у |}. 12. {1; 2; 3}.
3
13. Обозначим х + — = t. Имеем
х
(t - 2)2 = 5t - 16,
t2 - 4t + 4 = 5t - 16,
t2 - 9t + 20 = 0, ti = 4, t2 = 5.
( 5± V13t
Ответ: (1, 3, —------1-
14. a) {±3; ± 1}. 15. a) {0; - 1; 2; 3}.
16. Ясно, что число x = 1 не является решением данного
уравнения, поделим уравнение на (х - I)2 и обозначим
(х-2)(х+1) 2
t =-----—:----. Имеем r-t-2 = 0; ti = -l, t2 = 2.
Ответ: {±^3; 0, 3}.
17. Заметим, что х2 + 2 = х +
значив х + 1 = и; х2 - х +
2 (и + v)2 = 9uv. Отсюда и
п 11 1 3±vib
Ответ: (1, у, —--------|.
+ х2 - х + 1. Поэтому, обо-
= v, получаем уравнение
- 1
= 2v; u = -v.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
221
4.2. Уравнения с параметрами
18. a) xi = а + I; х2 = а.
19. Xi=a; х2 = —, если а * 0; х = 0, если а = 0.
а
20. а) если а = 4, то х = 5;
если а = 0, то х = - 3;
если а * 4; а * 0, то Xi = а - 3, х2 = а + 1.
21. а) ОДЗ: х*а. Проведем преобразования:
х2 - (5а. + 3) х + 6а2 + 9а = 0; X] = 2а + 3; х2 = За.
Выясним, при каких значениях a xi = а, или х2 = а;
2а + 3 = а при а = -3, За = а при а = 0.
Ответ: при а = 0 х = 3; при а = - 3 х = -9; при
а * 0, а * - 3 X] = За, х2 = 2а + 3.
22. Если m = 0, то 0, если m * 0, то Xi = 3m; х2 = - 2m.
m + 1
23. При m*0, m*±l X] =------------; x2=l; при m = 0,
m
m = - 1 x = 1; при m = 1 уравнение не определено.
4.3. Системы уравнений
13 х
24. а) (2; 1); (у у).
25. а) (2; 3); (3; 2).
222
Карп А.П. Задачи по алгебре
26. а) Обозначим u = ху; v = х + у. Имеем:
I UV = 6, Ju = 3, I 11 = 2,
I и + v = 5, Т-е' J v = 2, И | v = 3.
Jxi = 2, Jx2=l,
Ответ: i . S
lyi = i; 1у2 = 2.
27. а) (± 3; ± 1); (± 1; ± 3). 28. а) (1; 6); (6; 1).
29. а) Обозначим и = х + у; v = xy. Имеем и2-4и + 4 = 0.
Таким образом, и = 2, но х2 + у2 = и2 - 2v, тогда
(4 - 2v) v = -160. v2-2v-80 = 0; vi = 10; v2 = -8.
Ответ: (4, - 2), (- 2, 4).
30. а) Обозначим и = x + у; v = ху.
Имеем и2 - 2v = 13; и (и2 - 3v) = 35.
Таким образом,
u2-2v= 13,
и (2и2 - Зи2 + 39) = 70.
Отсюда Hi =2; и2 = - 7, и3 = 5.
Г2± V22 2 +V22 J
Ответ: —-----> —~ 2)-
3 1 2 1
31. а) (0; 0); (^; -^); (j; |).
32. а) Домножим первое уравнение на 13, а второе на 14
и рассмотрим разность полученных уравнений:
15х2 + 94ху - 40у~ = 0.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
223
Отсюда Xi = - -j-yi; х2 = у Уг-
Ответ:
20 3
(±-^=; +-^=); (±2, ±5).
1 л/47 ’ + х'477
4.4. Теорема Виета
33. а) Да; б) нет. 34. а = -2. 35. 6. 36. 14. 37. -2.
38. -у. 39. сх2 + Ьх + а = 0.
41. Заметим, что
х3у + х2у2 + ху3 = ху (х2 + ху + у2) = ху ((х + у)2 - ху).
Но числа ху и х + у являются коэффициентами квад-
ратного уравнения и по условию рациональны.
43. к <-4. 44. а ±2 '
45. ai =- 2,5, а2= 1,5. 46. а = 1.
47. aj = (к а? = 4. 48. э 1 Р = -2, q = j
4.5. Исследование квадратного уравнения
50. Xi >0; Х2 > 0.
51. (- 2,5, - 2] U [2, + оо).
224
Карп А.П. Задачи по алгебре
53. При а - 0 уравнение имеет вид - Ьх = - b и корни у не-
го, очевидно, есть. Пусть а ф 0. Рассмотрим дискрими-
нант (а + Ь)2 + 4а (а - Ь) - (а - Ь)2 + 4а2 > 0.
54. а>0.
57. Если а или b равны нулю, требуемое, очевидно, вы-
полнено. Пусть а * 0; b * 0, рассмотрим три дискри-
минанта D] = а2 - b; D2 = b2 - a; D3 = 1 - ab. Если два
первые из них отрицательны, то а2 < Ь, Ь2 < а и
ab < 1, т.е. D3 > 0.
59. bi = 3; Ь2 = -|\ 60. ai = bi = l; а2 = 2, Ь2 = 3.
61. Возможны три ситуации:
а) первое уравнение не имеет корней, т. е. - 3 < а < 0,
тогда подходят все Ь;
б) первое уравнение имеет два различных корня, т. е.
а > 0 или а < - 3. Тогда эти два корня являются и кор-
нями второго уравнения, поэтому
j b2-4 = a + 4,
[ а + 2 - Ь.
Отсюда ai = - 4; bi = - 2; а2 = 1; b2 = 3;
в) первое уравнение имеет один корень, т. е. а = 0 или
а = -3. Находя соответствующие корни и подставляя их
во второе уравнение, находим:
_ аз = 0, а4 = 0, аз = -3, а6 = -3,
b3 = 0; [b4 = 4; [b5=l; lb6 = -3.
Ответ: все пары (а; Ь), где -3 < а < 0 и пары: (0; 0),
(0; 4), (-3; 1),(-3; -3),(-4; -2),(1; 3).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
225
62. а> =0; а2 = 2.
63. а = 0. 64. з = 3.
65. Если данные уравнения имеют общий корень, то он
является корнем их разности: (За - 4) х + 5а - 2 = 0, т. е.
это число
2 - 5а
За-4’
Выясним, при каких значениях
а
оно является корнем данных уравнений. Подставив,
получим
Ответ:
2-5а
За-4
(а + 4) (2 - 5а)
За - 4
+ 6а = 0.
8 ±2^637 у
69 >
2
4.6. Квадратные уравнения
с целыми коэффициентами
68. Пусть хо — корень данного уравнения, тогда
Хо2 - рхо - q = 0 и q • х0, но q — простое число, поэ-
тому хо = ± 1 или Хо = ± q. Подставляя, находим ответ:
Р = 2, q = 3.
69. {-1; -2; 4; 5}.
71. Пусть xi и Х2 — корни данного уравнения:
17 17 ж, п
xi Х2 = - —, но по условию - — е N, т. е. а = — 17, или
а = -1. Но а = — 17 не подходит, ибо корни xi и Хг
различны.
Ответ: а = - 1.
j 5—1204
226 Карп АЛ. Задачи по алгебре
•% i
V.
§ 5. Простейшие понятия теории функции
я
5.1. Понятие функции -
1. а) Да. 2. а) Да.
_ " . ' ’ " Г.
3. а) Нет. , 4. а) Да.
5. а) Да. 6. а) Нет.
7. а) Да. / 8. а) Да. *
9. а) Нет. 10. а) На рис. 2 и рис. 5.
5.2. Область определения функции
П. a) R. 12. a) R.
13. а) х>0. 14. а) х*2.
15. а) [- 1; 1)U(1, 3) U (3, +оо).
5.3. Кусочно-линейные функции
21. а) см. рис. 50. 22. а) см. рис. 51.
23. а) см. рис. 52.
24. а) см. рис. 53.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
227
5.4. Область значений функции
25. a) R. 26. а) (-оо; -2)U(-2; +8). 27. а) {0, 1,2}.
28. а) [0; +оо). 29. а) {- 1; 1}.
30. а) (- оо; 0) U {2} U (3; + оо).
15*
228
Карп А.П. Задачи по алгебре
31. a) R. 32. а) (- оо, 0) kJ (0; + оо).
33. а) у > - 5. 34. а) (- оо ; - 2 ] kJ [ 2; + оо).
35. а) (0, 1]. 36. а) [-{;
37. а) [- 1, + оо I. 38. Например, у = х.
39. Например, У = 2х- 1.
40. Например, У = 4х - 1, 2х+ 1, если х е [0; у] Д I, если х е (^; 1]
41. Например, у = < 2, 3, если х е [0; у] Д 11 если х е (^; 1]
42. Например, у = - 1 2 ’ 2х- 1, если х = 0 и х = если х * 0, х 1. 1,
4х - 1, если х е [0; у]
43. Например, У = ‘ 1, А 2Ч если х е (-; j)
Зх, 2 если х е [у; 1]
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 229
4х- 1, если 0 < х < ^ ,
44. Например, у - 2х + 1, если | < х < 1,
о, если Л 1 1 х = 0, х = ^, х=1
5.5. Наибольшие и наименьшие значения функции
45. а) у = 0. 46. а) у = 2. 47. а) - 1.
48. а) Наибольшее 2, наименьшее 0.
49. а) Наибольшее 1, наименьшее -2.
5.6. Некоторые специальные функции
Рис. 54
Рис. 55
230
Карп А.П. Задачи по алгебре
52. См. рис. 56.
53. См. рис. 57.
54. См. рис. 58.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
231
5.7. Простейшие функциональные уравнения
59. f (л/ х + 2) = х + 2; g (Vx + 2) = 3 Vx + 2 - 2.
•»
60. f(x) = 2x. 61. f(x) = 6x-+l.
62. f(x) = ^y^ + 2. 63. f(x) = | + 3.
64.
2x2+ 14x + 11
f(x) =---------—
(x-1)2
2
65. f(x) = x + y.
,, c, . 3 x 1
66. f(x)-8x 8 + 2'
4x + 3 4t + 3
67. Пусть t = 3^4, тогда x ±= ^—4.
Подставив в данное равенство f, получим
2f ~4) 4-f (t) = • Заменяя t на x и решая по-
3t - 4 3t - 4
6х2-15х+1
лученную систему, находим f (х) = _ д—•
68.
f (х) = | (4х 4-
х - >/У 2х 4- 2^/3
<Зх+1 ’ V3-1
5.8. Простейшие преобразования графиков
71. См. рис. 59.
73. а) см. рис. 60.
232
Карп А.П. Задачи по алгебре
74. а) см. рис. 61.
79. См. рис. 63.
75. а) см. рис. 62.
82. Нет.
83. а) см. рис. 64.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
233
Рис. 646
234
Карп А.П. Задачи по алгебре
84. а) см. рис. 65.
85. а) см. рис. 66.
86. а) см. рис. 67.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
235
87. а) см. рис. 68.
88. а) см. рис. 69.
89. а) см. рис. 70.
236
Карп А.П. Задачи по алгебре
§ 6. Квадратный трехчлен. Рациональные
уравнения и неравенства
6.1. Построение графиков
1. а) см. рис. 71. 2. а) см. рис. 72.
3. а) см. рис. 73. 4. а) см. рис. 74.
5. а) см. рис. 75. 6. а) см. рис. 76.
7. а) см. рис. 'll. 8. а) см. рис. 78.
Рис. 71
Рис. 72
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
237
238
Карп А.П. Задачи по алгебре
I— з
Рис. 80
X
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
239
9. а) см. рис. 79.
10. а) ясно, что абсциссы х точек графика таковы, что
у — х2 = 3 — 4х,
у-х2 = 4х-3.
3 - 4х > 0. При
этом условии имеем
См. рис. 80.
11. а) см. рис. 81.
6.2. Решение неравенств.
Уравнения и неравенства с модулями
i.
12. а) х < 2; х > 4. 13. а) (1, 5).
14. а) (-да, 1)0 {2} 0(3, + ®).
15. а) (- оо, 3) О (4, 5) О (5, + ®).
16. а) (1, 3) О (3, 5).
17. а) (- оо, 1) О (1, 2) О (3, + оо).
18. а) (-оо, 1) О (4, +оо).
19. а) (-оо, 1)0 (1.2) О (7,+ оо).
20. а) (0, 1) О (3, +оо).
21. а) (-оо, - 1]о||}о»[3;+оо).
22. а) {-1, 1,2, 6}. 23. а)-12, 5.
г- (5-л/ЗЗ 1
24. а) х < 3 + V7? х > 6. 25. а) —~; 4 .
V 4 >
240
Карп А.П. Задачи по алгебре
6.3. Исследование квадратного трехчлена
26. а < 0, с > О, b > О.
32. Рассмотрим трехчлен f (х) = ах2 + Ьх + с. Так как
f (2) f (0) < 0, данный трехчлен имеет корни, поэтому
дискриминант Ь2-4ас неотрицателен.
35. а) [-1, 9]. 36. а>0.
37. а) (- 2, 0]; в) а = - 20. 38. а) 5.
39. (- 1; - 2 + >/б). 40. 8.
9-^97 9 + ^97 41. , и . . 4 4 1 + >/2 ~| 42. а)[ 2 ; 2 J
43. а) (- 3; 2). 44. а) а > j .
45. а) 0] О [ 1, + оо).
46. а) Обозначим f (х) = х2 - (а + 1) х - а2 Ясно, что для
выполнения требуемого в задаче необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись неравенства
f (1) <0,
f(2)<0.
Таким образом, имеем
а2 + а > 0,
а2 + 2а - 2 > 0.
Ответ: а < - 1 - э/з; а > - 1 + л/3.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
241
4
47. а) а < 1-ру .
48. а) Требуется, чтобы неравенство f (х) = х2 + 4ах + а > О
выполнялось при всех х < 1. Но это верно в следую-
щих ситуациях:
а) трехчлен у = f (х) не имеет корней, т. е. О < а < ^-;
[ D>0
б) его корни больше 1, т. е. ] f (1) > О,
[-2а> 1.
Ответ: 0 < а < -т-
4
49. [0; VI]. 50. а<-3. 51. (-2; 0).
6.4. Задание параболы, тремя точками
52. у = х2-4х + 3. 53. а) у = х2-5х + 6;
б) бесконечно много.
54. Нет. 55. Ноль; одну; две.
56. Ноль; одну; две.
„ , ч (x-xi)(x-x2) , „ (х-х0)(х-х2)
57. р (X) = уо 7--77------7 + У1 7---77-----7 +
н (Хо - Х1) (хо - х2) J (Х1 - Хо) (XI - х2)
(х - Хо) (х - Х1)
+ У2 (х2-хо) (х2- Х1)’
16-П04
242 Карп А.П. Задачи по алгебре
6.5. Касательные к. параболам
58. а) у = 2х-1. 59. а) у = -2х-1; у = 4х-4.
•' ' •> ... >-.
60. См. рис. 82. 61. а) у = 4х-4.
' ' ' - • ...
62. Пусть координаты точки А (0; - а), а> 0. Тогда най-
дем координаты точек В, С, Bj, С1. Находя теперь пло-
щади обеих фигур, видим, что они равны 2а Va.
Рис. 82в
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
243
6.6. Наибольшие и наименьшие значения
квадратных трехчленов
3 13
63. а) -1. 64. а) 65. а) -6. 66. а) - 1.
67. Введем новую переменную t = х2 - 4х + 3.
Ответ: - 16.
68. а) |. 69. а)
_л 1 1 ~ 7
70. у = тг +-ч-----—. Ответ: -
J 2 2(х2-3х + 3) 6
71. а) - 6; б) - 7; в) - 6. 72. См. рис. 83.
9
73. См. рис. 84. 74. у = 3. 75. у = 3. 76.-.
77. 2. 78. 16. 79. |.
16*
244
Карп А.П. Задачи по алгебре
§ 7. Степень с рациональным показателем
7.1. Определение и простейшие свойства степени
с целым показателем
1. R
3. а) х * 1; х * 3.
5. а) х # 1.
7. а) (-3; 3).
2. а) х 3.
4. а) х # 0; х * 3
6. а) х * 2, х * 3
8. а) а= 1.
9. а) Требуется выяснить, при каких значениях
параметра а уравнение х2 - (2а + 3) х + а2 + 5а = 0
имеет корни 2 и 3.
Ответ: а = 1.
10. См. рис. 85. 11. См. рис. 86.
12. См. рис. 87. 13. См. рис. 88.
14. См. рис. 89. 15. См. рис. 90.
16. См. рис. 91. 17. ^30 < ^20
18. 235 < з24. 19. 223 < З17.
20. 6|5>915.
Рис. 90
Рис. 89
246
Карп А.П. Задачи по алгебре
21. б65 = 265 • З65. Поэтому достаточно сравнить 265 и З45,
но 265 < 266 = 822 < 922 = З44 < З45. Ответ: б65 < З110
22. а) х > 2. 23. а) [- 1; 5].
24. а) х < - 1. 25. а) 3 < х < з|.
26. а) (-»; |)U(|; +»)• 27. m > 3.
28. m > - 2. 29. m е Z. .
30. ш < 0. - 31. При нечетных т,
больших 3.
7.2. Определение корня натуральной степени
и его простейшие свойства
V4
36. а) -у.
V4 -VI + 1
37. а)
2
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
247
л/4 + ^6 + V9 (V3 - <2) (WT + 2^ + 4)
38» н) • 39.
р У'
40. a) R. 41. а) х>-3.
42. а) х = 3.
43. а) [- 5; т 3) U (- 3; - 2] U [2; 3) U (3; + оо].
44. Вся плоскость. 1 45. Первая координатная четверть.
46. Вся плоскость. 47. Третья координатная четверть.
48. См. рис. 92. 49. Вся Плоскость.
50. Первая и четвертая координатные четверти.
51. а) х = - 1. 52. а) 0.
53. a) R. 54. а) х > 0.
55. [-2; 1]. л 56. х = 3.
57. х = 1. 58. х = ^2 +1.
59. 1 х--2-
60. Зх3 + Зх2 + Зх + 1 = 2х3 + (х + I)3. Поэтому данное урав-
нение эквивалентно следующему: х + 1 - - V2 • х.
Ответ: .
\2 + 1
248
Карп А.П. Задачи по алгебре
61. а) Ш >3.
62. а) Ш < V28.
63.
Ш <Vio.
64. a) VU > 1; VlJ > 1,
65. V5 + VTJ < V2 + <5.
поэтому VT2 >2.
66. Заметим, что V100 + V90 + V81 >^9+^6 + V4,
т.е. VfO - ^9 < W - VI.
п 1 1
Поэтому ----------------- < -----------
Шо + Ш + Ш 3^9 +’^6 + л/4
7.3. Преобразование выражений,
содержащих радикалы
67. а) 2-V3.
69. а) х21 у |.
71. - ^(3-V5)2.
73. Vxy.
75. а) 0.
79. 2^3.
68. а) 2 - V5.
70. а) ху2.
72. (л/3 - 2)6.
74 а / У.
* V х2 •
76. а) ху.
78. 1.
80. 1.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
249
81. 2.
82. <3 + 1.
7.4. Определение и простейшие свойства степени
с рациональным показателем
83. а) х > 0.
85. а) х>0.
87. а) х>0.
89. а) х = 8.
91. а) х = 8.
93. х>4.
95. (|, 4).
84. a) R.
86. а) х > 0.
88. а) х > 0.
90. а) х = 2Т.
92. а) а > 0.
94. х > 6.
96. (4, 6).
§ 8. Элементы теории функций.
Степенная функция
8.1. Область определения функции
1. a) R.
2. а) (-оо, 1] [3; + оо).
3. а) (- оо, 2] О (3, 4) U (4, + оо].
250 Карп А.П, Задачи по алгебре
4. а) [2, 5]. 5. а) [0, + оо).
6. а) ( - оо, 1] [Ю, + оо).
8.2. Область значений функции
7. а) [0; +оо]. 8. а) $2 , + оо). 9. а) (0; 1].
8.3. Четность и нечетность функций
. ч/ Л, •• . , Ч-. . . , z
12. а) Функция не является ни четной, ни нечетной, ее об-
ласть определения не симметрична относительно нача-
ла координат.
13. а) Четная. 14. а) Нечетная.
15. а) Общего вида. 16. а) Четная.
17. a) D (у) = {0}. Функция и четная, и нечетная.
18. а) Нечетная.
19. а) Нечетная.
20. а) у =
если
если
х > 0 ,
п — четная функция,
X L/
у = х — нечетная функция.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
251
22. а) у=“ х2 - 4х, если х < 0 , . — четная функция. х 4- 4х, если х > 0
у = - х2 - 4х, если х > 0 , — нечетная функция. - х - 4х, если х < 0 х3-х2
24. а) у = х _ 1 ’ сслп х * 1 — четная функция. 1, если х = 1
Доопределить до нечетной невозможно.
26. а) См. рис. 93. Доопреде-
лить до нечетной невоз-
можно.
в) См. рис. 94 (а, 6).
27. Четная.
Рис. 94а
Рис. 946
252
Карп А.П. Задачи по алгебре
29. Четная. 30. Нечетная.
31. Четная. 32. Нечетная.
33. Четная. 34. Четная.
35. Нечетная. 36. Четная.
\ 37. Да. 38. f (0) = 0.
39. Нет, нет. 40. Четная; нечетная.
42. а) а = 1; б) а = - 1. 43. а) а = 0.
44. а) а = 1. 45. 0.
48. а) Возьмем любой х е D (f).
Так как х = 1 — ось симметрии графика, то
2-х g D (f) и f (2 - х) = f (х),
но функция четная, поэтому
х-2 е D(f) и f(х-2) = f(2-x) = f(x).
Используя симметрию относительно прямой х=1,
получаем
4-xeD(f) и f(4-x) = f(x-2) = f(x).
Это показывает, что х = 2 — ось симметрии графика.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
253
б) Аналогично можно доказать, что прямые х = 3,
х = 4, х = 5 и т. д. являются осями симметрии. Можно
также использовать свойства осевой симметрии.
8.4. Монотонность функции
50. На (- оо, 2,5] убывает; на [2,5; + оо) возрастает.
51. На (- оо, 0) и на (0, + оо) убывает.
52. На (- оо, 0) и на (0, + оо) возрастает.
53. На [0, + оо) возрастает.
54. Возрастает на R. 55. Возрастает на R.
56. На [0; 1] функция возрастает, на [1; 2] — убывает.
57. На (-оо, - л/5 ) и на (- V5; - 2) возрастает, на
(2, -J5) и на (V5, 4" оо) убывает.
58. На [1; +оо) функция возрастает.
62. а) убывающая, б) убывающая, в) возрастающая,
г) возрастающая.
66. Возрастает на [0; + оо).
67. На (-оо, 1) и на (1; + оо) возрастает.
68. На (- оо; 2] функция убывает, а на [2; + оо) функция воз-
растает.
69. На (- оо; 3) возрастает, а на (4; + оо) убывает.
254 Карп А.П. Задачи по алгебре
70. Функция возрастает на [0; + оо) и убывает на (- оо; 0].
71. а > 0. 72. а < 3.
73. а < 0. 74. а < 0.
75. Убывает на R. 76. Возрастает на R.
77. Возрастает на (- оо, 1) и на [1; + <ю].
78. а) Для того, чтобы данная функция была убывающей,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись нера-
J а < О,
венства 1 . . .
[ а + 1 < 4.
Ответ: а < 0.
79. а) (0; |].
8.5. Построение графиков функций с помощью
сжатий и растяжений вдоль осей координат
82. f (х) = 0 при всех х е D (f).
83. Например,
f(x) =
0, если хе Q,
1, если х е R\Q.
84. Например, f (х) = х (х - 1) (х - 2).
85. Например, f (х) = х (х - 1) (х - 2).
86. См. рис. 95.
88. См. рис. 97.
87. См. рис. 96.
89. См. рис. 98.
256 Карп А.П. Задачи по алгебре
8.6. Степенная функция
90. а) См. рис. 99. ‘ 91. а) См. рис. 100.
92. а) См. рис. 101. 93. а) См. рис. 102.
94. а) См. рис. 103. 95. а) См. рис. 104.
96. а) См. рис. 105. 97. а) См. рис. 106.
98. а) См. рис. 107. 99. а) См. рис. 108.
Рис. 101
Рис. 102
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
257
Рис. 108
258
Карп А.П. Задачи по алгебре
100. а) См. рис. 109. 101. а) См. рис. 110.
102. а) См. рис. 111. 103. а) См. рис. 112.
104. а) См. рис. 113. 105. а) См. рис. 114.
106. а) См. рис. 115. 107. а) См. рис. 116.
108. а) См. рис. 117. 109. а) См. рис. 118.
Рис. 109
Рис. Ш
Рис. 112
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
259
17
260 Карп А.П. Задачи по алгебре
НО. При а = 0 — одну, при а>0 — две,
при а < 0 — ни одной.
111. Одну при любом а.
112. При а = 0 — ноль, при а * 0 — одну.
113. При а < 0 — ноль, при а > 0 — две.
114. а) (0, 0) — центр симметрии графика.
115. а) (-1, 0) — центр симметрии графика.
116. а) х = 0 — ось симметрии графика.
117. Одно.
118. Одно.
119. Одно.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
261
§ 9. Иррациональные уравнения
и неравенства
9.1. Эквивалентность уравнений
1. а) нет; б) да. 2. а) нет; б) да.
3. а) да; б) да. 4. а) да; б) да.
5. а) нет; б) нет. 6. а) да; б) нет.
7. а) да; б) да. 8. а) нет; б) да.
9. а) нет; б) нет. 10. а) нет; б) да.
11. а) да; б) нет. 12. а) нет; б) да.
13. а) нет; б) нет. 14. а) да; б) нет.
15. а) нет; б) да. 16. а) да; б) да.
17. а) да; б) нет.
18. Например, D (f) - D (g) = [2; + оо).
19. Например, х = 0 — не корень уравнения f (х) = g (х).
20. Например, все корни уравнения f(x) = g(x) больше 3.
21. Например, уравнение f(x) = -g(x) не имеет корней.
262 Карп 4.П. Задачи по алгебре
9.2. Область допустимых значений уравнения
22. а) х > 7. 23. а) 0.
24. а) 0. 25. a) Xi = 1 у, Х2 = 2.
26. а) 0. 27. а) х = 6.
28. а) {0; 12}. 29. а) а > 0.
30. (- ОО, 2] о [3, + оо).
31. Требуется выяснить, при каких значениях b выраже-
ние а2 - 2ab + 4Ь всегда неотрицательно.
Ответ: [0, 4].
1 3-V13 1
32. а > Зу; а = 3. 33. а- 2 , а< 3>
34. (-0О, 0).
9.3. Область возможных решений уравнения
35. а) 0. 36. а) 0.
37. а) х= 1. 38. а<0.
39. (-оо, ->/2)U(l, + oo). 40. (-оо; - 1] (1, 3].
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
263
Рис. 119
41. См. рис. 119.
9.4. Различные методы решения
иррациональных уравнений
42. а) х = 6,5. . 43. а) х = 3.
44. а) х = 1. 45. a) Xi = 3; Х2 = V14.
—1± vy
46. а) {2,3}. 47. а) {1, -у—}.
264
Карп А.П. Задачи по алгебре
48. х = 79. 49. {--Ь -Ь
03 OZ
4
50. х = 7 ур 51. а) х = 1.
5 ± V33
52. а) {2; 3; ——?• 53- а> Ь1;
54. {-2, 5,5}. 55. а) х, = 1, х2 = -6.
56. Обозначим у = V х - 1, тогда имеем систему уравнений
х2 + 1 = у
у2 + 1 = X
Отсюда (х - у) (х + у) = у - х и т.д.
Ответ: нет решений.
57. а) {|; -Ц}.
58. Домножим на сопряженное:
х - 2 = (2 - х) х2 + Зх + 2 + л/ х2 + 2х + 4).
Но уравнение
х2 + Зх + 2 + х2 + 2х + 4 = - 1
не имеет решений.
Ответ: х = 2.
со л 4.4 а /"23"
59. а) х = ± з -р .
60. а) Нет решений.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
265
61. а) х = 6.
62. а) х = 3.
63. а) х2 - 4х + 5 > 1; 2х2- 8х+ 17 > 3, поэтому
х2 - 4х + 5 + 2х2 - 8х + 17 > 4.
Ответ: х = 2.
64. х = 1.
9.5. Простейшие иррациональные неравенства
„ \ 1
65. а) х>2. 66. а) x>-j.
67. а) (1, 5). 68. а)[-|;8).
69. а) х= 1. 70. а) 0.
71. а) [-|; -у). 72. а) х>3.
73. а) х > 5; х = 4. 74. а) х > 7, х = 2.
75. а) х>5; х < 1; х = 2.
266
Карп А.П. Задачи по алгебре
§ 10. Элементы тригонометрии
10.1. Преобразования тригонометрических
выражений.
1. а) а2 - 1. 2. а) 3.
40
3. а) 12. 4. а)
с ч 3 2V3 г ч _
5. a) yQ + —. 6. а) - 3.
7. а) (V15 + V8).
8. a) sin а = sin (а + р - Р) = sin (а + Р) cos Р -
- sin р cos (а + Р).
Ответ: ~ ЛЯУ).
9. а) - 2 или 10. а) можно.
И. 1. 12. 13. 0. 14. 1. 15. |. 16. |.
' 2 о 4
17. 18. |. 19. |. 20. 21. 4-
10 о 2 2 2
22. Преобразуем левую часть равенства:
sin а + sin 2а + ... + sin па =
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 267
. а . _ .а . -а
sin а • sin — + sin 2а • sin у + ... + sin па • sin —
------------------—------------------ =
sin —
1 , а За За 5а
=----у (cos - - COS -у + COS — - COS -у- + ...
— 2 2 2 2
... + cos (па - у ) - cos (па + у )) -
------ (cos у - cos ((п + у) а)) =
2« VA. 2. X
Sin у
.па . п + 1
sin — • sm —— а
' а
sin 2"
10.2. Решение простейших тригонометрических
уравнений
24. а) х = - 4 + як, к е Z. 25. 4 а) х = 4к, к е Z.
26. а) x = j + y, keZ. 27. 0 2 ч 2 1 к . „ а) х = — у + z + keZ. Зл 6 3
28. а) х - + у + лк, к е Z. 29. л а) х = лк, х = у + 2лп; к,п е Z.
30. а) х = 2лк, к е Z.
_ - ч . 7Г
31. а) а= 1, корни: xi =-,
к
Х2 = у.
ft
268
Карп А.П. Задачи по алгебре
10.3. Периодичность функций
ПЛ I х — 4, если 4 < х < 6
35. См. рис. 120. 36. у = 5 » .
J [ 2, если х = 4.
37. Периодическая. 38. Периодическая.
39. Непериодическая. 40. Непериодическая.
41. Периодическая. 42. Периодическая.
44. Например, см. № 37. 45. Например, у = {х}.
47. Возьмем любой элемент х е D (1).
Имеем f (2 - х) = - f (х) = - f (х - 2) и
f(x)= -f(-x) = f(2 + x).
(Числа - х, х - 2, х + 2 из D (f) — очевидно.)
Число 2, таким образом, является периодом, т. к.
f (х - 2) = f (х) = f (х + 2).
Рис 120
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 269
51. Докажем, что число 2 — период. Имеем для
любого х:
f (х + 2) = | + (х + 1)- f2 (х + 1) = | +
+ л/ 1 + f (x) - f 2 (X) <f (x)- f2 (x) -f (x) + f2 (x) =
= | + I f (x) -1 I = f (x).
(Так как ясно, что f (х) > при всех х).
10.4. Основные свойства тригонометрических
функций
52. а) Наименьший период л.
53. а) Наименьший период 2л.
54. а) Наименьший период л.
55. а) Наименьший период 2л.
56. а) Наименьший период 2л.
57. а) Наименьший период 12 л.
58. а) Наименьший период л.
2л
59. а) Наименьший период —.
60. а) Наименьший период л/2л.
61. а) Функция непериодична. Предположим противное,
пусть Т — ее период. Тогда для всех х имеем
270
Карп А.П. Задачи по алгебре
cos (х + Т) + cos V2(x + Т) - cos х + cos ^/2х. Подставим
в это равенство значение х - 0: cos Т + cos V2 Т = 2.
[ Т = 2 лк, где к е N,
Отсюда: S ’
\2 Т = 2 л/, где / е N,
и ^2 = е Q — противоречие.
Ответ: Г - 11
L 4’ J
62. а) Наименьший период 1.
63. а) Непериодическая. 64. а) Непериодическая.
71 7Г
65. На [ - — + 2лк; — + 2лк ] возрастает;
л 3
на [у + 2лк; ул + 2лк] убывает (к е Z).
66. На [2лк; л + 2лк] убывает; на [л + 2лк; 2л (к+ 1)]
возрастает (к е Z).
Т Т / , 71
67. На 2 + л*) возР^стает (к е Z).
68. На [-у + лк; у + лк] возрастает; на [у + лк; уу + лк]
убывает (к е Z).
л л
69. На [лк; у + лк] убывает; на [у + лк, л (к + 1)] возраста-
ет (к е Z).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 27/
71 Л
70. На [-у + 2лк; у + 2лк) возрастает,
на [ у + 2лк; у л + 2лк ] убывает (к е Z],
71. На [-у; у] возрастает.
72. На [0; л/л] и на [^2л;^3л] убывает; на [л/л; л/2л] и на
[л/Зл; л] возрастает.
73. Функция у = sin х на отрезке [ 0; у] возрастает от 0
_ 1
до 1, но функция у = t — t убывает на отрезке [-, 1] и
Г1 и
возрастает на отрезке [—, 1].
Ответ: на [0; ~] убывает, на [у; у] возрастает.
Z ’
74. На [-у; 0] и на [у; у] возрастает; на [0;у] и на
г л л, _
[--; -у] убывает.
75. [0, 1]. 5 76. [-|;|].
77. [-л/2; л/2]. 78. [- л/ТЗ; л/13].
79. [0; 8]. 80. 2].
81. [-2у; 6]. 82. [-|, 0]. 83. [-|; 3].
272
Карп А.П. Задачи по алгебре
71 71
84. На отрезке [—, — ] функция у = sin х принимает все зна-
чения от | до 1, но на отрезке [у, 1] функция
у = t2 - 1 принимает все значения из отрезка [- ^, 1].
Ответ: [ - 1 ].
85. [1; + оо ).
2
86. ( - оо, j ] U [ 2, + оо ).
87. +
89. [О, <2 ].
91. [О, 75].
88. (-оо, 1 ] kJ [ 1, +оо).
90. {0}.
92.
71 , 9л
=- + лк, — + лк
7 14
k е Z.
93. ^--^ + 2лк, ~^ + 2лк )и(-^ + 2лк, -^ + 2лк^ к е Z.
94. ( 2лк, + 2лк ) kJ -у + 2лк; л + 2лк ) kJ
3 5л
kJ ( 2 я + 2лк, — + 2лк ) ( к е Z).
95. ( л + 2лк, 2л (к + 1)), к е Z.
96. ( - — + 2 л к, у + 2 л к где к е Z.
97. ( л + 2лк, 2л (к + 1)), к е Z.
98. Да.
99. а) См. рис. 121.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
273
100. а) 0. 101. а) 0.
п
102. а) х = 2лк, х = у + 2лп; к, n е Z.
103. а) 0. 104. R.
105. х = ±1. 106. х=1.
107. Рассмотрим квадратный трехчлен
х2 - 2 (cos лу + cos nz) х + 4.
Поскольку его дискриминант
(cos лу + cos nz)2 - 4 < 0,
то его значения неотрицательны.
18-1204
V
274
Карп А.П. Задачи по алгебре
Поэтому данное уравнение эквивалентно системе:
х2 - 2 (cos лу + cos лг) х + 4 = О,
х2 + у2 + z2 + 2 (у + z - 1) = 0.
Из первого уравнения имеем х = 2, у = 2k, z = 2п или
х= -2, y = 2k+ 1, z = 2n + 1, где к и n е Z.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
275
Подставляя х = ± 2 во второе уравнение, получаем
(y+l)2 + (z+l)2 = 0.
Отвепт. х = 2, у =-1, z =-1.
109. См. рис. 122. ПО. См. рис. 123.
111. См. рис. 124. 112. См. рис. 125.
113. Пусть точка с координатами (а, Ь) является сере-
диной хорды синусоиды. Тогда имеются точки с ко-
c + d
ординатами (с, sine), (d, sind) такими, что ——= а’
sin с + sin d , . с - d
-----------= b, т. е. sin a cos —х— = b. Отсюда ясно,
что вопрос о том, является ли точка с координатами
(а, Ь) серединой хорды синусоиды, сводится к разре-
шимости уравнения sin a cos х = b, а оно разрешимо,
если | b| < | sin а | (см. рис. 126).
18*
276 Карп А.П. Задачи по алгебре
10.5. Графики тригонометрических функций
114. а) См. рис. 127. 115. а) См. рис. 128.
116. а) См. рис. 129. 117. а) См. рис. 130.
118. а) См. рис. 131. 119. а) См. рис. 132.
120. а) См. рис. 133. 121. а) См. рис. 134.
122. а) См. рис. 135. 123. а) См. рис. 136.
Рис. 129
Рис. 130
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
277
278
Карп 4.П. Задачи по алгебре
124. а) См. рис. 137.
125. а) См. рис. 138.
10.6 . Некоторые задачи с параметрами
126. а) Очевидно, нет. Множество значений функции
у = a sin х + b sin 2х симметрично относительно начала
координат; б) нет;, в) да.
127. [-1; 1 ].
128. х = 0 — корень уравнения sin х = a sin х2, поэтому он
должен быть корнем и первого уравнения. Отсюда:
а = 0. Это значение, очевидно, подходит.
Ответ: а = 0.
129. а е R \ Q.
130. а > -
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
279
§ 11. Последовательности и прогрессии
11.1. Различные способы задания последователь-
ностей. Свойства последовательностей
4. а > 0.
5. в) an > Vn, поэтому последовательность (ап) — неогра-
ниченная.
г) - ^ < ап 2, при всех п. Последовательность (ап) —
ограниченная.
7. Если (ап) — периодическая последовательность, то
найдутся такие натуральные пик, при которых
sin n = sin к, т. е.
. п-к n+к Л
sin —— cos —2— ~ 0’ но это невеРно-
8. Все периодические.
9. a2 = ai, если ai = 0, или ai = 6, но тогда аг =
= аз = а4 =... и т. д.
Ответ: ai = 0, ai = 6.
10. Например, при ai = - 3 (ап) возрастающая.
11. ai = 0.
12. Нет. 14. ап = -2 • 3П + 4П.
280 Карп А.П. Задачи по алгебре
11.3. Арифметическая и геометрическая прогрессии
30. с = 0.
32. Стационарные последовательности (ненулевые).
33. Если последовательность является арифметической
прогрессией, то xn + 2 = 2xn +1-хп. Таким образом,
х2п +1 - хп = 2хп +1 - хп, отсюда х2п +1 = 2хп +1 и хп +1 = 0
или хп +1 = 2 для всех п e N. Проверяя эти случаи, на-
ходим ответ.
Ответ: а = b = 0, а = b - 2.
34. Нет.
35. Пусть есть такая прогрессия с первым членом b и зна-
менателем q. Тогда / = bqn; VF = bqm; >/3 = bqZ, где ш, п,
1 е Z. Отсюда ^2 = qm-n, ^3 = q/-n, т.е. найдутся целые
числа к и р такие, что л/2=Чк, 7з = qp. Но тогда
(^2)р = (д/з )к и 2Р = Зк — противоречие.
Ответ: нет.
36. а) 3; 13; 23; б) 3; 5; 7. 37. 5, 11, 17, 23.
39. Пусть а - d, а, а + d — цифры такого числа, но их
сумма кратна трем, т. е. число непростое.
Ответ: нет, не могут.
40. Нет.
41. Из условия ясно, что члены последовательности имеют
вид а; - kd, где k е Z, d — разность прогрессии, поэ-
тому сумма членов прогрессии равна
kd + (k + n-l)d
----------------- 1 Id (n — их число).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
281
42.
Отсюда (2к + п - 1) п - 22
2к + п - 1 = 1,
или 1
п = 22,
Ответ: — 10d, -9d, -8d,
6d.
и
2k + n - 1 = 2,
или 1 .
( n - 11.
lid, или -4d, -3d, -2d,
26.
43. 11.
44 ацагп n = ai + a2ntl (n + 1) (число членов прогрессии
равно 2n + 1), но ai + a?n+i = аг + а2п, поэтому равен-
ство возможно только если ai+a2n+i;=0.
Ответ: 0.
46. am + n = 0. 47. -(m + n).
48. 0.
50. 2b = а + с, поэтому а2 + 8Ьс = а2 + 4ас + 4с2= (а + 2с)2.
53. З17.
ai996 • q - ai
55. ai + ... + ai996 = _ < >
ч 1
1 1 _ 1
1 1 _ ai996 q ai _ ai996 q - ai 1
ai ai996 j__j q~l ai • ai996-
q
Отсюда ai • ai996= 100,
( r--------------------------7----41996
но ai • аг... • ai996 =(^ai • ai996)
Ответ: 101996.
56. 125. 57. 1, 3, 9 или 9, 3, 1.
282
Карп А.П. Задачи по алгебре
58. 1, 4, 7 и 7, 4, 1- 59. 9992. 60. 499500.
61. Пусть S= 1 + 11 + ... + 11...1,
(п раз)
9S« 10—1 +102-1+ ...,+10°-1
Ответ:
1 f(10n- 1)
9( 9
А
- п
7
62. -5050.
63. Данную сумму можно разбить на ряд сумм геометри-
ческих прогрессий со знаменателем 2.
Ответ: 49 • 250 + 1.
Ответы к контрольным работам по курсу
алгебры 8 класса
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. 3-а. 2. См. рис. 139. Нет. 3. ± 1. 4. (-2; 3).
Вариант 2
1. 10-2Ь. 2. См. рис. 140. Нет. 3. ±1. 4. (4, 1).
Рис. 139
Рис. 140
284
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 2
Вариант 1
2. [0; 5}. 3. х > 5. 4. а) х < у; х > 1. б) х < у; х > 3. 5. См. рис. 141.
Вариант 2
2 1
2. {0;-3}. 3. -у <х<6. 4. а) - 2<х<- 1. б) у < х < 4. 5. См. рис.
142.
Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. [ Z; 4 )<J (4; + оо ). 2. a) ЗТ5 < 4л/3. в) VTT + >/3 > V5 + V7. 3. а) О,
б) 8, в) 8, г) д) - 1.
3
Рис. 1446
Рис. 144в
286 Карп А.П. Задачи по алгебре
Вариант2
1. [-5) U (5, + оо). 2. a) 2V7 > Зл/2, б) Л + <2 > <3 + <5. 3. а) <5,
б) 16, в) 6, г) Д) 1.
Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. а) { - 4; - 2; - 1; 1 }. б) х = 6; в) если а = 1, то х = 1. если а * 1,
то Xi = а; Х2 = . 2. 45. 3. Восемь решений: (±2, ±1); (±1; ±2).
а — 1
Вариант 2
1. а) {- 1, 1, 4, 6}; б) {1}; в) если а = 0, то х = 1; если а # 0, то xi = а + 1;
Х2 = ~. 2. 76. 3. (1; 1);(- 1, 1); (- 1; - 1).
а
Рис. 145
Рис. 146
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 287
Контрольная работа № 5
Вариант 1
1. 1.1. См. рис. 143. 1.2. [1, + оо) (- оо, -6). 1.3. См. рис. 144
2. а) См. рис. 145. б) См. рис. 146. 3. f (- 1) = 2.
288
Карп А.П. Задачи по алгебре
Вариант 2
1. 1. 1. См. рис. 147. 1.2. [2, + oo)CJ(-oo, 0). 1.3. См. рис. 148.
2. а) См. рис. 149. б) См. рис. 150. 3. f (1) = 20.
Контрольная работа № 6
Вариант 1
1.а) (-3, 0)U(6, 7); б) [->/30; 0] U [4, V30]. 2.
З.а) (- оо; - 4|] [0; + оо); б) а > 4, а < - 4 у
Вариант 2
1. а) (- оо; - 3) [ 0; 4) [ 6; + оо), б) - оо; - VT4] U [0; + со). 2.
3. а) (-оо; -|]О[0, +оо), б) (-оо; -9) U (- 1; -|)U(0; +оо).
Ответы к контрольным работам по курсу
алгебры 9 класса
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. а) [ 1 |; 4) U (4; + оо); б) [2; 5]. 2. ’<5 <^2 + 1. 3. а) 6'^2; б) т/2;
। 1 1
в) хз; г) а« - Ьд; д) 4.
В а р и а н т 2
1. р|; 3)0(3, +оо); б) [5, 8]. 2. >/29 >>/5 +1. 3. а) 4’^3; б) >/3;
в) хз; г) а + 1; д) 2.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. См. рис. 151. Возрастает на (-оо; 1)ина(1, + со); Е (f) = R\{2}. 2. На
(-оо; 2) возрастает; на(3; + оо) убывает. 4. См. рис. 152.
В а р и а н т 2
1. См. рис. 153. Убывает на (-оо; - 2) и на (-2; + оо). E(f) = R\{2}. Воз-
растает на (-оо, 1); убывает на (3, + оо ). 4. См. рис. 154.
| 9—1204
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
291
19*
292
Карп А.П. Задачи по алгебре
Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. а) {0; 5}; б) {1; 2}; в) (4. 1 г) 0; д)х=12. 2. х<-5;
х = 2; х>5.
В а р и а н т 2
1. а) {-4; 4}; б) {0; I}; в) {6; 1 у}; г) 0; д) х = 9.
2. (-оо; -4]U {-3} u[5; + оо).
Контрольная работа № 4
В а р и ант 1
!• зз8+7б9' - sin31 ° >1. 3. - ctg 4а. 4. х = л + 2лк. к g Z.
5. См. рис. 155.
В а р и а н т 2
. 7<3 12 л
Ь ~эд- + 5у. 2. 2 cos 61° <1. 3. ctg За. 4. х = у + 2лк, к g Z.
5. См. рис. 156.
Контрольная работа № 5
В а р и а н г 1
2. Геометрическая прогрессия.
4. 7 • З6 или
Вари а н г 2
2. Геометрическая прогрессия. 4. 4; 8; 16 или Ц.
ОТВЕТЫ К КАРТОЧКАМ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА 8 КЛАССА
1. б) С осью Ох: а 0 j. если а * 0. С осью Оу: (0; 1 - а);
в) а — любое; г) [0; 4]; д) 2.
2. а) а = 2, а = 4; б) (2; 3); в) 1; г) (-оо; -6)0(6; + оо); д)[— 1; 1].
3. а) [3; +оо]; 6)3; в) [5; + оо) U {1; 3}; д)а>-3.
1 4
4. а) (-оо; -1)0(3; + оо); б) см. рис. 157; в) -—; г) а=1; a = j;
Д),У = -4.
5. а) {-1; 3};б) (-оо; - 5] О [-2; + оо); в) (-у; + со); г) а=1; а = 6;
ч 7
Д) а = -^.
6. а) {±1; ±2}; б) (— 1; 1) О (—оо; - 2) О (2; + со); в) с осью Оу:
1з~ 25
(0; 0), с осью Ох: (0, 0), (± V5; 0); г) 8х(х-^у )(х + ^у ); д)
7. а) с осью Оу: (0; - у); с осью Ох: нет; б) - 6; в) (0; |) U ( + оо);
г) (0; 2) U (2; + оо); д)
8. a) {а; За!; в) -j------;
a + 1
г) см.рис. 158;
Д) а > 1 + —
9. а) 1;б) (-со;-l)<j(l; + co); в)у = -;х = ^; д) f (х)' = х+ ^-.
2 2 4х
10. а) да: х = — 1; б) х = 3; г) 0; д) 1 и 3.
ОТВЕТЫ К КАРТОЧКАМ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
КУРСА 9 КЛАССА
1. а) (- оо; - 3) kJ [2; + оо); б) 0; в) [2; + оо); г) [а; + со); д) да.
2. a) (-oo;2]U{3}U[5; + oo); б) {3; 1}; в) {2}; г) л/б; д) а > >/б.
3. а) (-оо; 0] kJ [2; + оо); б) 1; в) (-оо;-2]; г) на (-оо; 0] убывает,
на [2; + оо) возрастает; д) л/2 - 1.
2
4. а) см.рис. 159; в) 100 +5050а; г) ( 2j; 3]; д) нет.
5. а) 4,25, 100; б) см.рис. 160; г) можно; д) 348550.
Рис. 160
Рис. 159
296
Карп А.П. Задачи по алгебре
Рис. 161
6. а) -у2-!;
в) геометрическая прогрессия;
г) нельзя;
х 199-3"" + 3
д) ----4----•
7. а) - у + 2лк. к е Z; в) 0;
г) см.рис. 161; д) 0.
8. а) 0; б) л + 2лк, к е Z; в) 0;
г) 8; д) а = 2.
9. а) лк, ке Z; б) - 2;
в) нет; г) 0;
д)а = 0, b * 0 и 1^-1 > 1.
I I
10. а) (-оо; 0] и [2; + оо);
б) при а = 0 х — любое;
при а * 0 х > 0; в) нет;
г) см.рис. 162; д) (- оо; 0].
Рис. 162
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................................... 3
§ 1. Углубленное повторение курса алгебры 7 класса......... 5
1.1. Разложение на множители .......................... 5
1.2. Преобразование алгебраических выражений........... 7
1.3. Условные равенства ............................... 8
1.4. Решение уравнений................................ 10
1.5. Решение систем уравнений......................... 11
1.6. Графики уравнений.............................. 13
§ 2. Неравенства ........................................ 15
2.1. Доказательство неравенств........................ 15
2.2. Текстовые задачи................................. 19
2.3. Неравенства с двумя переменными на координатной
плоскости ............................................ 20
2.4. Решение неравенств. Уравнения и неравенства с мо-
дулями ............................................... 21
2.5. Графики с модулями............................... 24
§ 3. Квадратные корни..................................... 25
3.1. Иррациональные числа ........................... 25
3.2. Определение и простейшие свойства арифметичес-
кого квадратного корня................................ 28
3.3. Сравнение выражений, содержащих радикалы ........ 30
3.4. Преобразование выражений, содержащих
радикалы............................................... 31
3.5. Доказательство неравенств с радикалами......... 33
§ 4. Квадратные уравнения ............................... 34
4.1. Решение квадратных уравнений и уравнений, сводя-
щихся к квадратным................................... 34
4.2. Уравнения с параметрами . ...................... 37
4.3. Системы уравнений.............................. 38
4.4. Теорема Виета................................... 39
4.5. Исследование квадратного уравнения.............. 41
4.6. Квадратные уравнения с целыми коэффициентами .... 43
§ 5. Простейшие понятия теории функции .................. 44
5.1. Понятие функции................................. 44
5.2. Область определения функции..................... 46
5.3. Кусочно-линейные функции........................ 47
5.4. Область значений функции........................ 48
5.5. Наибольшие и наименьшие значения функции ...... 52
5.6. Некоторые специальные функции................... 53
5.7. Простейшие функциональные уравнения............. 54
5.8. Простейшие преобразования графиков.............. 57
§ 6. Квадратный трехчлен. Рациональные уравнения
и неравенства........................................... 61
6.1. Построение графиков ............................ 61
6.2. Решение неравенств. Уравнения и неравенства с мо-
дулями .............................................. 62
6.3. Исследование квадратного трехчлена.............. 64
6.4. Задание параболы тремя точками.................. 69
6.5. Касательные к параболам......................... 70
6.6. Наибольшие и наименьшие значения квадратных
трехчленов . ........................................ 71
§ 7. Степень с рациональным показателем.................. 74
7.1. Определение и простейшие свойства степени с це-
лым показателем...................................... 74
7.2. Определение корня натуральной степени и его про-
стейшие свойства..................................... 77
7.3. Преобразование выражений, содержащих радика
лы................................................... 80
7.4. Определение и простейшие свойства степени с рацио-
нальным показателем.................................. 82
§ 8. Элементы теории функций. Степенная функция ......... 84
8.1. Область определения функции..................... 84
8.2. Область значений функции........................ 85
8.3. Четность и нечетность функций................... 85
8.4. Монотонность функции............................ 91
8.5. Построение графиков функций с помощью сжатий и
растяжений вдоль осей координат...................... 96
8.6. Степенная функция............................... 98
§9. Иррациональные уравнения и неравенства..............102
9.1. Эквивалентность уравнений.......................102
9.2. Область допустимых значений уравнения............ЮЗ
9.3. Область возможных решений уравнения.............105
9.4. Различные методы решения иррациональных уравне-
ний .................................................106
9.5. Простейшие иррациональные неравенства...........109
§ 10. Элементы тригонометрии ............................111
10.1. Преобразования тригонометрических выражений .... 111
10.2. Решение простейших тригонометрических уравне
ний............................................... 114
10.3. Периодичность функций............................116
10.4. Основные свойства тригонометрических функций .... Ц9
10.5. Графики тригонометрических функций...............125
10.6. Некоторые задачи с параметрами...................127
§11. Последовательности и прогрессии......................128
11.1. Различные способы задания последовательностей.
Свойства последовательностей...........................128
11.2. Метод математической индукции....................131
11.3. Арифметическая и геометрическая прогрессии.......132
Контрольные работы по курсу алгебры 8 класса ..............138
Контрольные работы по курсу алгебры 9 класса...............149
Карточки для повторения курса алгебры 8 класса ........... 158
Карточки для повторения курса алгебры 9 класса ............164
Тесты по курсу математики 8-9 классов .....................170
Ответы, указания, решения..................................198
Издательская фирма «Мир и семья-95»
представляет Вашему вниманию серию учебной и
педагогической литературы «МАГИСТР»
(Математика, Алгебра, Геометрия, Искусство, История)
Серию «МАГИСТР» открыла ставшая уже известной по всей Рос-
сии книга петербургского математика и методиста Бориса Герма-
новича Зива «Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы», выдержав-
шая за 1996 г. 4 издания!
1. Зив Б. Г. «Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы».
Для тех, кому еще не Довелось ознакомиться с этим уникальным
задачником, сообщаем, что книга эта вобрала в себя опыт много-
летней преподавательской работы автора.
Основная цель издания - помочь учителям организовать ра-
боту с учащимися по решению геометрических задач в классе
и дома с учетом их индивидуальных особенностей и уровня
подготовки. Учитель найдет здесь готовые апробированные
материалы для проведения уроков. Кафедра геометрии Мос-
ковского педагогического государственного университета и
Санкт-Петербургский университет педагогического мастерст-
ва одобрили и рекомендовали эту книгу педагогам и учащим-
ся как универсальный задачник для массовой школы. В конце
книги приведены ответы, даны указания к задачам, могущим
вызвать затруднения, а также помещены решения наиболее
сложных задач.
Формат 60x90/16, 624 стр., обложка твердая целлофанированная,
бумага белая офсет N 1, тираж 10 000 экз.
Цена - 21000руб. (без доставки)/-26000 (предопл. с дост.)/ - 33000
(налож.плат.)
На основе задачника по геометрии Б. Г. Зива разработан и выпу-
щен комплект раздаточных материалов.
2а. Зив Б. Г «Раздаточные материалы к урокам геометрии. 7 класс».
26. Зив Б. Г «Раздаточные материалы к урокам геометрии. 8 класс».
2в. Зив Б. Г «Раздаточные материалы к урокам геометрии. 9 класс».
Серия учебной литературы
«МАГИСТР»
КА РП Александр Поэлевич
ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
для 8-9 классов с углубленным изучением математики
Ответственный за подготовку издания: Александр ПОЛУДА
Компьютерный набор, верстка: Екатерина ПЕНЯЕВА
Редактор: Алексей ВЫСКУБОВ
Издание подготовлено в издательстве НПО "Мир и Семья-95"
Санкт-Петербург, ул. Уральская, 17, тел. (812) 350-1774.
Отпечатано с готовых диапозитивов в Великолукской городской
типографии Упринформпечати Псковской области.
Формат 60*90/16. 20 печ.л. Бумага офсетная № 1, плотность 80 г/м2.
Тираж 20000 экз., (1-й завод 5000). Заказ № 1204
Смоленки.
Малый
Средний пр.
Ча. "МИР И СЕМЬЯ-95"
ул. Уральская,
гие книги серии
ы сможете приобрести
бед Вамп зпаннтельно пасшпвешше и пепёдаб'ота'н
дЬдё заданнпка дли 3-0 классов с углуплйпш’1мшз]
:м математики, вышедшего в 1003 году под пубви
шк», L ооавлено несколько со
лишен паздел «Ответы и указан!
тнптъ псп олкзованпе задапПик
воувгскни уп
Александр Поэлевич Карп
родился в 1959 году в Ленин-
граде. Окончил математичес-
кий факультет Ленинградского
Педагогического института им.
А.И.Герцена. С 1980 года рабо-
тает в физико-математической
школе №30. С 1989 года в Уни-
верситете Педагогического Мас-
терства. С 1992 года председа-
тель городской экзаменацион-
ной комиссии по математике.
Отличник народного просвеще-
ния РФ, соросовский учитель.
Автор многочисленных книг и
статей.