АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ им. Л. В. КИРЕНСКОГО
Л. А. АЙЗЕНБЕРГ
ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА
В КОМПЛЕКСНОМ
АНАЛИЗЕ
Первые приложения
Ответственный редактор
кандидат физико-математических наук
А. М. Кытманов
НОВОСИБИРСК
«НАУК А»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1990

УДК 517.5 : 771.64 : 621.391
Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложе-
приложения/ Айзенберг Л. А.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.—
248 с.
ISBN 5-02-029314-8.
В монографии впервые систематически изложены формулы Карлеиана, по-
позволяющие восстанавливать значения голоморфных в области функций по их
значениям на части границы области. Рассмотрены различные обобщения этих
формул. Отражены их первые приложения: «внутренние» (к задачам анали-
аналитического продолжения в теории функцпй) и «внешние» (к теоретической и
математической физике, экстраполяции и интерполяции сигналов с финитным
спектром Фурье).
Книга предназначена для математиков и физиков-теоретиков, интересую-
интересующихся комплексным анализом, а также для специалистов по обработке
сигналов.
Ил. 9. Библиогр.: 244 назв.
Рецензенты
член-корреспондент АН СССР В. К. Иванов
доктор физико-математических наук А. П. Южаков
Утверждено к печати
Институтом физики им. Л. В. Кнренского СО АН СССР
А 1G02070000--127 237-90 I полугодие © Издательство «Наука», 1990
ISE.\ 5—02—02931/1—8

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 8
Часть I
ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА В ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
Глава 1. Одномерные формулы Карлемапа 15
1. Метод Голузина — Крылова —
2. Метод М. М. Лаврентьева 23
3. Метод Кытманова 25
4. Граничные значения интеграла Карлемана — Голузина — Кры-
Крылова 27
5. Случай полуплоскости 29
Глава 2. Обобщения одномерных формул Карлемана 33
6. Формула логарифмического вычета в духе Карлемана ... —
7. Формулы Карлемана для функций от матриц пли от элементов
банаховой алгебры 34
8. Абстрактная формула Карлемана 37
9. Общий подход Видеиского — Гавуриной — Хавина .... 46
Часть II
ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА
В МНОГОМЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ АНАЛИЗЕ
Глава 3. Интегральные представления голоморфных функций многих
комплексных переменных и логарифмический вычет .... 50
10. Интегральное представление Мартинелли — Бохнера и форму-
формула логарифмического вычета Южакова — Руса —
11. Основная интегральная формула Лере — Коппельмана и ее
следствия 57
12. Кратная формула Коши, формула Бергмана — Вейля, интег-
интегральные представления для строго псевдовыпуклой и п-круго-
вой области 67
13. Формула Андреотти — Норге и ее обобщения 75
14. Кернфункция Бергмана, ядро Сеге и интегральные представле-
представления с голоморфным ядром по границе Шилова 85
15. Интегральные представления функций, голоморфных в клас-
классических областях 94
Глава 4. Многомерные аналоги формулы Карлемана с интегрированием
но граничным множествам максимальной размерности .... 99
1С. Формула Карлемана на основе ядра Мартннелли — Бохнера или
Коои — Фаитаипье —

A
17. Теоремы существования 10s*
18. Формула многомерного логарифмического вычета в духе Кар-
лемана 114
19. Формула Карлемана на основе ядра Андреотти — Норге . . 115
Глава 5. Многомерные формулы Карлемана для множеств меньшей раз-
размерности . . 119
20. Простейшие подходы —
21. Формулы Карлемана с интегрированием по одномерным мно-
множествам . . 129
22. Граничные множества единственности для плюригармониче-
ских функций и восстановление этих функций 132
23. Существование формул Карлемана для подмножеств границы
Шилова 137
Глава 6. Формулы Карлемана в однородных областях 149
2/1. Формулы Карлемана в классических областях —
25. Случай шара и поликруга 156
26. Формулы Карлемана в областях Зигеля '. 158
Часть III
ПЕРВЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 7. Приложения в комплексном анализе 163
27. О критериях голоморфной продолжимости в область функций,
заданных на части ев границы
28. Аналитическое продолжение С «острия клина» 182
Глава 8. Приложения в физике и обработке сигналов 185
29. Примеры приложений формул Карлемана в теоретической н
математической физике —
30. Экстраполяция функций, голоморфных в произведении полу-
полуплоскостей пли полос. Аналитическое продолжение спектра . 188
31. Интерполяция функций класса Винера. Аналог теоремы Ко-
телышкова для неравномерных отсчетов 200
Глава 9. Вычислительный эксперимент 216
32. Аналитическое продолжение спектра Фурье одномерных фи-
финитных сигналов. Сверхразрешение —
33. Интерполяция сигналов с финитным спектром Фурье . . . 223
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 227
ПРИМЕЧАНИЯ 238
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ . 242
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 245
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ . 247

ПРЕДИСЛОВИЕ
Интегральные представления голоморфных функций играют
важную роль в классической теории функций одного комплексного
переменного и в многомерном комплексном анализе (в последнем
случае наряду с интегрированием по всей границе 3D области D
часто встречается интегрирование по границе Шилова S = S(D)).
Они решают классическую задачу восстановления в точках обла-
области D голоморфной функции, достаточно хорошо себя ведущей при .
подходе к границе 0D, по ее значениям на 3D или на S. Наряду с
этой классической задачей можно и естественно рассматривать
следующую: восстановить голоморфную функцию в D по ее значе-
значениям на некотором множестве М cr 3D, не содержащем S. Конеч-
Конечно, М должно быть множеством единственности для рассматривае-
рассматриваемого класса голоморфных функций (например, тех из них, кото-
которые непрерывны на D или входят в класс Харди HP(D), p^l).
Первый результат в направлении решения такой задачи полу-
получил Т. Карлеман в 1926 г. [199] для области ДсС одного специ-
специального вида. Его идею введения «гасящей» функции в интеграль-
интегральную формулу Коши развили Г. М. Голузин и В. И. Крылов в
1933 г. [68] применительно к односвязным плоским областям. Их
метод предусматривал построение некоторой вспомогательной голо-
голоморфной функции, зависящей от множества М, что было возможно
для односвязных областей D с: С1, но, вообще говоря, уже невоз-
невозможно для многосвязных областей в С1 или для областей в С",
п > 1. Другой метод, основанный на аппроксимации ядра интег-
интегрального представления, предложил М. М. Лаврентьев в 1956 г.
[107]. Оказалось, что этот метод успешно работает в отмеченных
случаях, когда неприменим подход Голузина — Крылова.
Автор в течение многих лет занимался интегральными пред-
представлениями голоморфных ф]ункций многих комплексных перемен-
переменных. Его интерес к построению формул Карлемана резко возрос
после выхода книги М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. П. Ши-
шатского [111] по некорректным задачам анализа и математиче-
математической физики. Автору удалось также заинтересовать этим направ-
направлением и некоторых молодых красноярских математиков.
Предлагаемая монография написана на основе спецкурсов, про-
прочитанных автором на математическом факультете Красноярского
университета, и содержит результаты, полученные в основном за

Предисловие
последние 4 года, значительная часть которых еще не опубликова-
опубликована. Не исключено, что при их изложении автор пошел не наилуч-
наилучшим путем, однако желание выпустить книгу достаточно быстро,
чтобы привлечь внимание математиков к новому разделу комплекс-
комплексного анализа, сыграло здесь решающую роль.
Монография состоит из трех частей. Часть I посвящена форму-
формулам Карлемана в теории функций одного комплексного переменно-
переменного и их обобщениям, в частности, на случай решений эллиптиче-
эллиптических систем весьма общего вида. Мы приводим также очень общий
подход Виденского — Гавуриной — Ханша. В этой части изложе-
изложены методы Голузина — Крылова и Лаврентьева. Последний метод
позволил получить теорему существования для (неодносвязных)
областей в С1 формул Карлемана с голоморфным ядром. Интерес-
Интересно, что самая простая формула Карлемана, известная автору, по-
получена при п — 1 для областей специального вида физиками-тео-
физиками-теоретиками В. А. Фоком и Ф. М. Куни [156], хотя ее можно извлечь
и из работы [68].
Отметим еще метод Кытманова, применимый к областям с до-
достаточно богатой группой автоморфизмов, позволивший в случае
однородных областей в Сп, п > 1, построить формулы Карлемана,
оказавшиеся для шара и поликруга более простыми, чем получен-
полученные другими методами. Для иллюстрации в простейшем случае
подход Кытманова приведен и в части I при п = 1.
Часть II, посвященная многомерному комплексному анализу,
начинается с гл. 3, в которой изложены интегральные представле-
представления голоморфных функций многих комплексных переменных и
формулы логарифмического вычета. В основном глава составлена
из материалов первых двух глав книги [34]. Исключение составля-
составляет разд. 15 об интегральных представлениях функций, голоморф-
голоморфных в классических областях, следующий работе [221], а также не-
некоторые нсжые результаты разд. 13. В этой части метод Голузи-
Голузина — Крылова применяется в сечениях области D комплексными
прямыми или используется метод Лаврентьева, а в некоторых слу-
случаях — и другие подходы.
Рассматриваемая в этой книге задача восстановления голоморф-
голоморфной функции в области D по ее значениям на части границы 3D
(на части границы Шилова S) не является, как известно, коррект-
корректной, но она условно устойчива, если ограничиться классом голо-
голоморфных в D функций, удовлетворяющих условию |/(z)|<C,
z e D, или другому подходящему неравенству. Оказалось, что само
существование формулы Карлемана для компакта К с 3D эквива-
эквивалентно условной устойчивости этой задачи для компакта К. Дан-
Данный результат мы приводим (не только для голоморфных функ-
функций, но и для решений эллиптических систем дифференциальных
уравнений весьма общего вида), однако, как правило, в книге нет
оценок условной устойчивости (о них см., например, [111, 109,
112, 38].

Предисловие
Заметим, что если в первых двух частях книги изложены все
известные автору формулы Карлемана из комплексного анализа,
то при написании части III автор следовал своим личным вкусам.
Приложения формул Карлемана начались недавно, почти все ре-
результаты части III получены за последние 2 года. Отметим
разд. 27, содержащий описание следов на М <=¦ dD голоморфных в
D функций. Интересно, что и здесь самый простой результат фак-
фактически уже содержался в работе В. А. Фока, Ф. М. Куни [156].
Кроме того, в разд. 28 кратко приведены приложения к аналити-
аналитическому продолжению «с острия клина» (результат А. А. Гончара
и его некоторые следствия; по поводу теоремы Боголюбова «об
острие клина», ее обобщений и уточнений см. обзор В. С. Влади-
Владимирова [59]). Мы не коснулись ряда других приложений формул
Карлемана в комплексном анализе (см. о них, например,
[191, 192]).
Приводя примеры приложений формул Карлемана к задачам
теоретической и математической физики, автор надеется, что их
количество и значение будут расти.
При рассмотрении задач экстраполяции и интерполяции спект-
спектров Фурье финитных сигналов (или, что по существу равносиль-
равносильно, сигналов с финитным спектром Фурье) использована та же
идея, которая была в методе Голузина — Крылова, но уже по от-
отношению к «внутренней» задаче аналитического продолжения
(множество М лежит в области D, а не на ее границе). Эти же
результаты можно было бы получить и исходя из интерполяцион-
интерполяционных идей книги [155].
Отметим гл. 9, посвященную вычислительному эксперименту,
в котором применялись некоторые изложенные ранее в книге ме-
методы экстраполяции или интерполяции сигналов (в основном по-
пока одномерных) с фипитным спектром, что связано с задачей
сверхразрешения физических приборов, борьбы с узкополосным
шумом и т. д....
А. М. Кытманов написал для этой книги гл. 6 и сделал ряд
замечаний. Л. Н. Знаменская, Н. С. Красикова, А. М. Кытманов,
Т. Н. Никитина, Н. Н. Тарханов, Ю. В. Хурумов, А. К. Цих,
Б. А. Шаимкулов предоставили в распоряжение автору свои еще
не опубликованные работы. В полезных обсуждениях прикладных
результатов, вошедших в книгу, приняли участие М. Л. Агранов-
Аграновский, К. С. Александров, Г. В. Алексеев, В. А. Игнатченко,
М. М. Лаврентьев, В. П. Паламодов, Н. Н. Тарханов. В вычисли-
вычислительном эксперименте участвовали Б. А. Кравцов и Р. Ф. Минен-
кова. Л. Н. Знаменская и Л. В. Нонкина оказали большую помощь
при подготовке рукописи к изданию. Считаю своим приятным дол-
долгом выразить им всем свою искреннюю признательность и благо-
благодарность.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
И ФОРМУЛА СТОКСА
Будем считать, что читатель знаком с понятиями внешней диф-
дифференциальной />-формы класса С" на многообразии X, ее внешне-
внешнего дифференциала, а также формы типа (р, q) на комплексном
аналитическом многообразии, р-цепш с и ее границы дс. Часто бу-
будет использоваться формула Стокса.
Теорема 0.1 (формула Стокса). Если ю—р-форма класса С1
на многообразии X и с — (р + 1)-цепь в X, то
\ со = J dco.
Эс с
Предполагаются известными понятия цикла, точной и замкну-
замкнутой формы, (Э-точной и ^-замкнутой формы, а также цикла, гомо-
гомологичного нулю, так что из теоремы 0.1 вытекает
Следствие 0.2. Интеграл от точной формы по циклу равен
нулю.
Следствие 0.3. Интеграл от замкнутой формы по циклу, го-
гомологичному нулю, равен нулю.
В дальнейшем, как правило, будем рассматривать ограниченные
области D комплексного пространства С" переменных z =
= B,, ..., zn), где zh = xh + iyk, к = 1, ..., п. Предполагаем, что С"
ориентировано так, что
f dxi Л • • • Л dxn Д dyt Д • • • Л dyn =
Ъ
= (~тГ.Сd~ZlЛ • • • <&• Л *iЛ • • • Л <ь»>°-
ъ
Границе 3D области D приписываем ориентацию, индуцированную
ориентацией D. Если D = {z: p(z)<0), где р — действительно-
действительнозначная функция класса Ст в окрестности dD и grad р = f р^ , ...
• • • > Р*п) ^ 0 на dD, то будем писать 3D <= С. Согласно формуле Стокса
(- if J 2 (- ir1 ij air л • • • л 4-i л di}+1 л ...
ас з=1

Предварительные сведения
Заметим, что в ряде книг (см., например, [55, 157]) принята та-
такая ориентация С", что
\ dx1 Д dyx Д • • • Л dxn Д dyn =
Ъ
= (—If)" J d'zi Л dzx Д ... Л dzn Л d«n > 0.
Легко видеть, что интегралы, вычисленные при данной ориентации
и ориентации, принятой нами, отличаются множителем (—I)"!"-1''2.
Как частный случай следствия 0.3 получается
Теорема 0.4 (Коши — Пуанкаре). Пусть функция j{z) го-
голоморфна в области D сг С". Тогда для любой (п+ 1)-цепи о в D
интеграл
/ (z) dz = ) / (zx, . . ., zn) dz1 /\ ... /\dzn = O.
да да
Пусть D — ограниченная область в С" с кусочно-гладкой гра-
границей dD, и области Do, Do таковы, что Docz Docz Docz D. На
D\D0 задана внешняя дифференциальная форма а размерности
2ге — 1, непрерывная в D\D0 и замкнутая в области D\D0- Об-
Область D можно аппроксимировать изнутри многогранниками Dm,
т — \, 2, ..., Dq с Dm, так, чтобы для всякой непрерывной в
D\D0 формы р степени 2п — 1 выполнялось
lira f р = f p.
m-*°° dhm dD
С другой стороны, в силу замкнутости формы а
J о= \ а,
значит, верно
Следствие 0.5. При сделанных предположениях
аг>„ ас
Это следствие часто используется далее при доказательстве
справедливости различных интегральных представлений.

10 Предварительные сведения
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА
Если F — замкнутое, a Q — открытое множество в Сп и m =
= 0,1,2, .... о», 0<Л<1, 0<r«S2n, 0<p, g*?n, то C?A(F) —
класс внешних дифференциальных форм размерности г, коэффици-
коэффициенты которых продолжаются в окрестность F как пг раз непрерыв-
непрерывно дифференцируемые функции, причем все производные порядка
пг (при то<°°) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем К.
C™?(F) — подкласс класса C?+"g(F), состоящий из форм типа
(р, q). При А = 0 этот индекс будем опускать. С™? (Q)—проек-
(Q)—проективный предел классов C™t'q(F), fccQ.
Аналогично определяется условие 3D е Ст-У, где 3D — граница
ограниченной области в С". В частности, ограниченная область со
связной границей называется областью Ляпунова, если 3D е С\
А>0.
Пусть X и Y — дифференцируемые многообразия и /: X -*¦ Y —
отображение класса С1. Точка р е X называется критической точ-
точкой отображения /, если min (dimX, dim Y)> rank(d/)p, где
(df)P — дифференциал отображения / в точке р. Множество значе-
значений отображения / на критических точках обозначим wr(/).
Теорема 0.6 (Сард). Если dimX = dim Y, то лебегова мера
wr(/) в Y равна нулю. Если ХеС", УеС°% /еС", то также ле-
лебегова мера wr(/) в Y равна нулю.
В дальнейшем будем пользоваться простейшими понятиями тео-
теории меры, не объясняя, например, слова «конечная борелевская
мера» или sup относительно данной меры ц, (обозначение vraisupj.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Предполагается, что читатель знаком с простейшими свойства-
свойствами голоморфных функций одного и многих комплексных перемен-
переменных. Их можно найти в первых главах учебников [55, 62, 138, 157,
176, 165]. Например, считается известным, что такое комплексная
прямая, комплексная гиперплоскость, круговая область, и-кру-
говая область, строго псевдовыпуклая область, однородная область,
порождающее многообразие, строго логарифмически выпуклая
и-круговая область, СЯ-функция.
Напомним, что если f(z\, ..., zn)—голоморфное отображение
области ДсС в пространство той же комплексной размерности,
/ =(/ь • • •, U), fk=>uk + ivk, zk = xk + iyk, к = 1, ..., п, то
а/2 ^(/г ...,/„) а д(и , ..., ип, v , ..., оп\
dz ~~ d(zv ...,zn) ~ d(xv ..., хп, yv ...,yn) '

Предварительные сведения 11
Если граница dD ограниченной области D кусочно-гладка, форма
а е С„,„_1 (dD) является d-точной, т. е. на dD справедливо равенст-
равенство а = д$, где Р е Сп,п-ъ (dD), a функция / голоморфна на D, то
по формуле Стокса (см. следствие 0.2)
J fa =
OD dD dD
Область ДсС назовем линейно-выпуклой, если для каждой
точки ? <= dD существует комплексно (п — 1)-мерная аналитиче-
аналитическая плоскость, проходящая через ? и не пересекающая D. Обо-
Обозначим Dr = rD — гомотетию области D с коэффициентом г > 0.
Область D назовем сильно звездной, если Dr^>D при г > 1. Пред-
Предполагается известной теорема Гефера, а также теорема единствен-
единственности Садуллаева.
Теорема 0.7 (Садуллаев). Пусть D с С" — область с гладкой
границей, М cz dD — порождающее j-мерное многообразие класса
С3, множество К <= М имеет положительную j-мерную меру на М.
Если ограниченная в D голоморфная функция f имеет радиальные
предельные значения /(?)=0 для всех ? <= К, то j = 0 в D.
Считаются известными простейшие свойства функций класса
Харди HP(D), где D — область в С со спрямляемой границей (см.,
например, [134, 100, 34]); в частности, тот факт, что функции
класса Харди Hl (D) представимы через свои граничные значения
на dD формулой Копта, а также что при автоморфизмах единично-
единичного круга класс Харди Н1 переходит в себя.
Пусть теперь ограниченная область flcC" имеет гладкую гра-
границу dD. Тогда классы Харди HP(D) по определению состоят из
таких функций /, голоморфных в D, для которых
Йт f l/(?-evs)|pdoj<oo, @.1)
е-»о ад
где V; — вектор (единичный) внешней нормали к dD в точке ?,
a da — элемент поверхности — мера Лебега, 0 < р < °°.
Нам потребуется для j^Hx(D) слабая сходимость /|ei>m (где
Dm — некоторая аппроксимирующая D последовательность обла-
областей, Dm<=Dm+\ <=zD) к граничным значениям / на dD в том смыс-
смысле, что
lira [ /v = \ /v @.2)
dD
Для всякой внешней дифференциальной формы v e C2n-i(D\Di).
Этот факт вытекает из более сильных утверждений, если D — об-
область Ляпунова (см. [164]). Но можно не требовать dD e С1Л, если
область D с кусочно-гладкой границей такова, что каждое ее сече-
вие комплексной прямой, проходящей через начало координат, од-

12 Предварительные сведения
носвязно, а также существует гомеоморфизм ifeC1 области D на
единичный шар, при котором сечение D каждой комплексной пря-
прямой указанного пучка прямых конформно отображается на сечение
шара той же прямой (этим двум условиям удовлетворяют, напри-
например, линейно-выпуклые ограниченные области с гладкой границей
[182]). Пусть Dm — прообраз шара радиуса 1—(то+1) при ото-
отображении ip, где тп — 1, 2, .... Тогда можно задать классы Харди
HP(D), заменяя требование @.1) на
sup
При этом из теоремы Фубини нетрудно получить
Предложение 0.8. Если голоморфная в ограниченной обла-
области ДэО функция / принадлежит классу HP(D), 0 < р < °°, то:
1) почти в каждом сечении а области D пучком комплексных
прямых, проходящих через 0, функция /|а входит в класс Нр(а);
2) / е L%o(dD), где /|aD построено по сечениям.
Области Dm удовлетворяют условию @.2). Разумеется, вместо
пучка комплексных прямых, проходящих через 0, можно использо-
использовать пучок параллельных прямых. Будем обозначать ДеЯ, если
D — ограниченная область в С" с кусочно-гладкой границей 6D,
в которой определены классы Харди HV(D) с указанным свойством.
Наконец, считаются известными понятия внешней и внутрен-
внутренней функции из теории функций одного комплексного переменного
(см., например, [100]). Под границей области ДсС1 обычно пони-
понимается жорданова кривая. Спрямляемая кривая Г называется ре-
гулярной, если /(Г П U(a, r))^cr, где U(a, r)—круг с центром в
любой точке а ё Г радиуса г, а I — длина кривой. Обозначим
ядро Пуассона для единичного круга.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
С" — пространство п комплексных переменных, точки этого
пространства обозначаются z, ?, z°, ?° и т. д. Если z=(z\, ..., zn),
то z=(Ii, ..., zn). Для z, ?eC обозначим <z, ?> = zi?[ + ...
.-.. + zn?n, |z| = ]/Xz,z), (|z|= max|z{|, z' = (zx, .. .,гп_г), 'z =
ккл
= (z2,.:..,zn).
Введем обозначения для шара Вп = Вг = Вг(а) = В (а, г) =
— {z: \z — a\<r}, поликруга Un — U=U(a, r)={z: \zt — a,\ < rif

Предварительные сведения 13
i = 1, ..., п), его остова Лг = (z: \zt — а{\=г{, i = 1, ..., и}, обоб-
обобщенного шара 5" (а) = {z: | z1 — а1 ^ + ... + | ъп — ап |4а<1 < г2},
где <z = (ai, ..., а„). Вообще, знаком {z: ..Л обозначается множе-
множество из С" (в частности, из С1), другие случаи специально огова-
оговариваются. R" — пространство п действительных переменных, его
точки обозначаются г, у я т. д.
Если /, / — векторы с неотрицательными целыми координата-
координатами (мультииндексы), то |/| = ц + ... + г„; неравенство I^J озна-
означает, что ik^jh, к = \, ..., п, где / = (м, ..., in), / = (/ь •.., /„).
Далее, Л = h\... in\,
dz = dz1 /\ ... Д dzn; dzj = dz^/\ . .. Д dzip, где / = (ilt .. ., tp).
dz [j] = dzt /\ ... /\ dZj_x Д dzj+1 /\ ... Д dzn. Знак [ ] часто будет
употребляться в том же смысле, означающем, что соответствую-
соответствующий элемент пропущен.
Пусть М — множество в_ С", тогда дМ — граница М, СМ —
внешность М, т. е. C"W, М — замыкание М, a intM — внутрен-
внутренность М; М с=сг N означает, что М — компакт и М <= int N. Если
w=(wu ..., wn), ф = (<рь ..., ф„), то <ш, йф> == widepi + ... + wndyn,
(w, ф(а+1)> = ЮхфГ*4 + . .. + г%ф""+1, где а + 1 = (а, + 1, ..., а„ +
+ 1). Далее, 0 =@, . . ., 0)— начало координат;
^Р = ^1 л Л —
Ф фх /\ ••* /\ Фп *
Мы часто будем записывать функцию ip(z) вместо i|)(z, z). Знаком
0 обозначим пустое множество, а ^г — окружность dU@, r). Меру
Лебега обозначим то, а /-мерную меру Лебега соответственно ms.
Пусть П = {z: Im z > 0) с С1 — верхняя полуплоскость, а П =
= {z: Re z < 0} — левая полуплоскость, %е — характеристическая
функция множества Е.
Класс функций, голоморфных в области D (на компакте К),
обозначается A (D) (соответственно А(К)). Как обычно, С(К)--
класс непрерывных на К функций. Далее Ас (D) = A (D) Г\ С(D).
Aa(D)—класс голоморфных_ в области D функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию Гёльдера на D порядка а > 0. Далее, ./Га(П) — образ
Aa(U) при конформном отображении П на U = U@, 1), а Н\ —
класс функций, производная которых входит в класс Харди Я1.
II ... II — норма в банаховом пространстве, в частности, || . .. || — нор-
норма в Нр.
Пусть Z — множество целых чисел, a ZP(X)—множество р-мер-
ных циклов на многообразии X, но Ъ\Л (D) — класс внешних
дифференциальных форм типа (р, q), которые d-замкнуты в D и

14 Предварительные сведения
входят в класс Ck(D). Кроме того, ReAc(D)—класс функций, яв-
являющихся действительными частями функций из AC(D). Обозна-
Обозначим Ph(D)—класс плюригармонических в области D функций,
a Phc(D) = Ph(D)PiC(D). Далее CR{M)— класс СЯ-функций, не-
непрерывных на М.
Индекс ? (или z) у множества интегрирования означает, что ?
(соответственно z)—переменное интегрирования; \dD\ —образ 8D
при отображении z-»-(lzil, ..., IzJ). suppa — носитель формы a,
т. е. supp a = {z: a(z)?=0); De — е-окрестность D. C*(E)—прост-
C*(E)—пространство, сопряженное к С(Е). Знаком / иногда будет обозначаться
единичный оператор в соответствующем пространстве.
Если х — элемент банаховой алгебры с единицей, то sp х —
спектр элемента х (см. [48, гл. 1]). Если W — матрица пХп, то
WT — транспонированная матрица, W* = W. Запись W > 0 озна-
означает, что W положительно определена, а ТУЭД7* < / означает, / —
— И^И7* положительно определена (здесь / — единичная матрица);
-i— знак прямой суммы матриц. Пусть т0 = \W: W е С71 , WW* <
>/|— «обобщенный единичный крут». Знак ? указывает конец
доказательства.

Часть I
ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА В ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
ГЛАВА 1
ОДНОМЕРНЫЕ ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА
1. МЕТОД ГОЛУЗИНА —КРЫЛОВА
Пусть D — односвязная ограниченная область комплексной
плоскости С со спрямляемой границей dD. Для функций / из
класса Харди Hl{D) справедлива формула Коши (см. [134, с. 205])
8D '
На границе dD рассмотрим измеримое множество М положитель-
положительной меры Лебега. Ставится задача восстановления /(z) в D по гра-
граничным значениям не на всей границе dD, как в A.1), а только
на М cz QD. Применяя простую, но очень плодотворную идею Кар-
лемана, построим «гасящую» функцию, которая позволит изба-
избавиться в A.1) от интегрирования по dD\M. Для этой цели нужно
сконструировать вспомогательную функцию (p(z)<= H°° (D), удов-
удовлетворяющую двум условиям:
1) lq>(?) I = 1 почти всюду на dD\M,
2) |фB)| >1 В Я.
Это можно сделать, решая подходящую задачу Дирихле, на-
например, рассматривая функцию
1
м
где s — дуга 0D, a G — функция Грина для области D. Формула
A.2) представляет гармоническую а ограниченную в D функцию
и(х, у) такую, что
A почти пс году на М,
0 почти всюду на дМ\М,
т. е. гармоническую меру М относительно области D. Пусть v —
сопряженная к и гармоническая функция, тогда q>(z)= exp(u + iv)
Удовлетворяет указанным условиям 1) и 2).

16 Гл. 1. Формулы Карлемана при п = 1
Теорема 1.1. (Голузин — Крылов). Если /е Я1 (D) и множе-
множество М <=¦ 0D положительной меры Лебега, то для любой точки
геД верна формула Карлемана
сходимость в A.3) равномерна на компактах в D.
Доказательство. Функция /ф принадлежит классу Харди
Hl(D), здесь иг — целое положительное число. По формуле Ко-
ши A.1)
dD
далее
М
ЭГ)\М
Остается заметить, что второй интеграл в A.4) равномерно стре-
стремится к нулю при m ->- оо на всяком компакте Kcz D. О
Аналогично для любого положительного о > 0 можно рассмот-
рассмотреть функцию /(z)cpa(z) = /(z)exp aln(p(z) и получить формулу
а выбор ветви логарифма не играет роли, так как не меняет мно-
множитель \&
1РШ
Следствие 1.2. При условиях теоремы 1.1
М о М
Доказательство очевидно, так как
lim ф (a) - i|j @) =[{~^ (о)) da, A.7)
О
где существование предела в левой части A.7) эквивалентно су-
существованию несобственного интеграла в правой части. ?
Если теперь сравнить A.1) и A.6), то получим для z<=D

1. Метод Голузина — Крылова 17
Иногда можно построить более простую «гасящую» функцию
ф(г) и не только для односвязных областей D. В рассматриваемых
далее примерах г», у» — точки, переходящие в точку °° при соот-
соответствующем конформном отображении.
Пример 1. Пусть область D односвязна и М — дуга контура
dD. Рассмотрим односвязную (не обязательно конечную) область
D'^D такую, что dD\M<^dD', но М П dD' = 0. Тогда в качестве
ф(г) можно взять функцию, конформно отображающую область
D' на внешность единичного круга СЕ/@, 1) так, чтобы точка г„
лежала вне D. Или, например, можно рассмотреть qp(z) = exp g(z),
где w = g(z) конформно отображает D' _ на полуплоскость
{ш: Re w > 0} так, чтобы точка г„ лежала вне D.
Пример 2. Пусть D — двухсвязная область, dD = C\ U Сг, где
С- — замкнутые простые контуры, i = 1, 2, и Ci — внешний контур,
а Сг — внутренний. Если Л/ = С2, то в качестве ф(г) удобно взять
функцию, конформно отображающую внутренность С\ на CU@, 1)
так, чтобы точка zM лежала внутри Сг.
Если же С% — незамкнутая кривая, то следует рассмотреть
q>(z)= O(g(z)), где v = g(z) конформно отображает внешность С2
на CU@, 1) и г„ = м, a w — Ф(и) отображает внутренность g{C\)
опять на CU@, 1) так, чтобы |у«,| < 1. Если М = С\, то в качест-
качестве ф(г) можно рассмотреть функцию, конформно отображающую
внешность С2 на CU@, 1) так. чтобы гю лежала во внешности С\.
Аналогичные примеры нетрудно привести и для я-связных об-
областей в случае, если М — один из граничных контуров.
Пример 3. Предположим, что dD содержит дугу f окружно-
окружности dU@, г) и что U@, r)f\D = 0. Рассмотрим M = дЬ\у, тогда
верна формула A.3), где <p(z) = z. Если же йс/7@, г) и 0 §? D,
то можно взять ф(г)= 1/z.
Пусть D — {z: p< \z\ < г) — кольцо, тогда
Если требуется восстановить голоморфную функцию /(z) не во
всей области D, а лишь на некотором подмножестве D, то иногда
задача существенно упрощается.
Пример 4. Разобьем границу dD области D на две части:
Cx = {z: z^dD, RezSsa) и C2 = {z: ze<9D, RezsSa}, где a s R1.
Тогда для точек z^D\ = {z: z sD, Re z>а) имеет место формула
а для точек z e ?J
Л. А. Айзенберг

18 Гл. 1. Формулы Карлемана при п = 1
Пример 5 (Карлеман). Область D ограничена прямыми ОВ
и ОА и простой спрямляемой кривой АВ, лежащей внутри угла
АОВ. Пусть ?• АОВ = яа, 0 < а < 2. Рассмотрим в качестве М
указанную кривую АВ, тогда для точек z, лежащих па биссектри-
биссектрисе угла АОВ, справедлива формула
где ?о — комплексное число, соответствующее вершине угла (точ-
(точке О),(?—?„)* а = ехр — 1п(?— ?„)I, выбор ветви логарифма не су-
существен так же, как и в формуле A.5). Для доказательства фор-
формулы A.9) достаточно заметить, что функция
J A.10)
при фиксированном z является как функция ? функцией класса
H°°(D) и что при ?е dD\M, a z — на указанной биссектрисе,
l^*(?) I — 1» и, наконец ^»(z) = em.
Очевидно, этим методом можно восстановить голоморфную
функцию f(z) не только на биссектрисе, но и во всем угле АОВ,
выбирая меньший угол так, чтобы точка z оказалась на его биссек-
биссектрисе. Но тогда в формуле Карлемана A.9) множество М будет
зависеть от г, «гасящая» функция A.10) тоже зависит от z (не
только потому, что z входит в знаменатель показателя, но и пото-
потому, что в этом случае а зависит от z).
Заметим в заключение, что «гасящую» функцию ф, удовлетво-
удовлетворяющую условиям 1) и 2), можно строить и другими способами,
не обязательно с помощью A.2). Указанный подход Голузина —
Крылова давал функцию <р, удовлетворяющую условию 1), и
|ф(?)! = е почти всюду на М. Между тем для выполнения 2) до-
достаточно, чтобы было верно 1) и 1ф(?I>1 почти всюду на М,
если ф не имеет нулей в D. Таким образом, 1ф| не обязательно
должен быть постоянным почти всюду на М. Проиллюстрируем
сказанное характерным примером.
Пример 6 (Фок — Куни). Пусть область D ограничена кон-
контуром, состоящим из отрезка действительной оси и спрямляемой
кривой М, лежащей выше действительной оси. Тогда для z <= D
верны формулы (сравни с A.3) и A.6))
/ B) = Ит _L Г
м

1. Метод Голузина—Крылова 19
Формулы A.11) и A.12) нашли применение прп изучении дис-
дисперсионных соотношений в теоретической ядерной физике (см.
разд. 29). Далее обозначим (сравни с. A.3))
м
Теорема 1.1 утверждает, что последовательность fm(z) при т-*-°°
равномерно на компактах в D сходится к f(z), если /e#'(D).
Для классов Харди IP, 1 < р < °°, можно получить более сильную
сходимость.
Теорема 1.3 (Патил). Если /еЯ'(!7@, 1)), К/?<<», Т0
lim |/ — /m||P = 0. A.13)
m-»oo
Доказательство этой теоремы опирается па ряд вспомогатель-
вспомогательных утверждений. В случае круга U@, 1) пространство Харди Нр,
1 < р < оо, можно отождествить с подпространством таких
f <= Lp(dU@, 1)), для которых равны нулю коэффициенты Фурье
с отрицательными номерами
2Я
п = 1,2,.... При 1 < р < °° часто рассматривают естественную про-
проекцию Р: Lp -*- Нр, которую можно задать либо с помощью соответ-
соответствующих рядов Фурье
- 2j cne
либо с помощью интеграла типа Коши
и
J
аи
Для любой ф е Z/°°(9t/@, 1)) определим оператор Теплица Т*,
действующий из Нр в Нр: Tvf = P{(pf). При этом в силу классиче-
классической теоремы М. Рисса (см. [134])
11Г,И ^ С,11фИ». A.14)
Лемма 1.4. Если ф, -ф е L" EC/) и феЯ", либо греЯ", го
T^ = TJ*. A.15)
Доказательство. Достаточно рассмотреть представление <р
и 1|з рядами Фурье и следующие частные случаи, где nt, тпг > О,
Ф! = е 1 , ф2 = е 2 , ^ = е J , i)j2 = e . Тогда,
2*

20 Гл. 1. Формулы Карлсмат при п — 1.
очевидно, Т^ч% = Т^Т^, Т%%= Т^т%, Г,л= Т^Т^, но Т^Ф
фТ^Ту. Поэтому при условиях леммы верно A.15), но Т*,Ф
Лемма 1.5. Если h, I/ft е Я™ и ф=|А|~2, то оператор Теплица
Тч обратим и Гф1 = ThTfr.
Доказательство. Действительно,
ThT^Tv = Th (T-J9) = ThTl/h - /. a
Рассмотрим далее характеристическую функцию %м множества
Л/ 1+B1)
| ()Х
Лемма 1.6. ¦фт(г) = 1ф(г) l2m, zedU, где ф (z)— функция из
формулы Карлемана A.3).
Доказательство. Функцию ф(г) из A.3) для случая круга
U@, 1) можно задать формулой
м
В интеграле A.16) ядро Шварца таково, что его действительная
часть является ядром Пуассона для круга. Интеграл Пуассона от
Хм решает соответствующую задачу Дирихле, поэтому
Фт (z) ^ЧГ) - ехр 2тХм (z) = 1 + (е2т - 1) Хм (z). a
Лемма 1.7. Оператор Т^т обратим и
гр—1 т гр
Доказательство сразу следует из леммы 1.5, так как
фт, 1/фт еЯ". a
Определим для каждого a <=?/((), 1)
ee(z)=-1/A-az), zsC/@, 1),
тогда ea e Яр, 1 ^ /? < oo.
Лемма 1.8. j&c^a рассмотреть Т^^ как оператор на Нр,
1 < р < oot то
Доказательство. Нам потребуется описание пространства,
сопряженного к Нр. Обозначим Яр@)={/: /еЯ' /@)= 0) = zHp.
Тогда при 1 <р<°°, 1/р + l/q = i, пространство Hq@) является
сопряженным. к Нр и эта двойственность реализуется скалярным

1. Метод Голузина — Крылова 21
произведением
(другое, но эквивалентное приведенному, описание пространства,
сопряженного к Я", см. в [100, гл. VII]).
Для всякой функции g e Я'@) имеем
так как (Р/, g) = (/, g) для /e=Lp, g<=#«@). Далее, используя
формулу, комплексно-сопряженную к формуле Коши для круга
U@, 1), получим
(еа/фт, g) = (e,
следовательно,
и для доказательства A.17) остается применить лемму 1.7. П
Лемма 1.9. Пусть К—компакт в U@, 1) и I ^ р ^ °о. Тогда
равномерно для а е К
Д оказательств о. Заметим, что (см. A.16))
1 < _1_
\ ) те
где а > 0 и а зависит от \а\. П
' Обозначим через S — оператор Теплица на Н", 1 < р<°°, соот-
соответствующий %м- Тогда/+ \е —i)S = T^mvL G + (е2пг—I)»?)
существует по лемме 1.7. Кроме того, по леммам 1.8 и 1.9
ll(/ + (e2m — l)S)~leJp ->- 0 при т -> оо. Далее из леммы 1.7 и
A.14) получаем
Множество {ej, as U@, 1) является фундаментальным в Н", по-
поэтому (см. [72, гл. V]) для любой функции / е Нр
. lim. | (/ + (.«" — 1) Я) /|р = 0.
m-юо
Кроме того,
(/ + (е*»_ \)S)~lf = f — (e2m— l)(/ + (e2m— l)S)-lSf.
Следовательно, мы доказали (учитывая, что lim (e2m — l) e~2m == 1 j.
m-»oo ' /

22 Гл. 1. Формулы Карлемана при п = 1
Лемма 1.10. При 1<р<ооц/<=#»
lim 1 е™ (I + (е2т - l) S)~l Sf - / |jp = 0.
Доказательство теоремы 1.3 будет теперь закончено,
если показать, что
fn = e2m(I + (e2m-l)S)-lSf. A.18);
Действительно, заметим, что
а правую часть A.18) в силу леммы 1.7 запишем в виде
^/„Л^Я/. A-20)
Далее по лемме 1.4 получим вместо A.20)
,2т
" L21
как видим, правые части A.19) и A.21) совпадают. П
Обсудим, для каких односвязных ограниченных областей D
верна теорема 1.3. При ее доказательстве существенную роль игра-
играла теорема М. Рисса — неравенство A.14). Кроме того, при дока-
доказательстве леммы 1.8 была применена формула, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженная к интегральной формуле Коши для крута U@, 1), запи-
записанной в виде интегральной формулы с ядром Сеге
at/
В отличие от формулы Коши интегральная формула A.22) с яд-
ядром Сеге не является универсальной (верной для любых областей
с достаточно хорошей границей). Для других областей D есть своя
формула с ядром Сеге
/(о)= \f(z)S(a,~z)da, A.23)
Ъ
дЪ
где ядро Cere S(a, z) по а входит в класс Харди H2(D), a S вхо-
¦дит в тот же класс по z, здесь da — элемент длины дуги dD. Фор-
Формула A.23) верна для }<=H2(D). И при доказательстве аналога
леммы 1.8 для области D нужно использовать не функции ea(z),
a S (a, z). Но на этом пути можно надеяться получить обобщение
теоремы 1.3 лишь для класса H2(D). Однако можно вместо A.23)
рассмотреть формулу, полученную из A.22) с помощью конформ-

2. Метод Лаврентьева 23
ного отображения z = ip(w) области D на круг U@, 1):
/A,F)) = JL Г /<*{»))*Ч»)*р
Это интегральное представление верно для / е //' (/}) и можно в
аналоге леммы 1.8 для области D вместо eo(z) взять
Наконец, при доказательстве леммы 1.8 существенную роль иг-
играло описание пространства, сопряженного к Hv. Данное описание
опирается на следующий факт:
V (dU) = Нр + HL, A.25)
где H*L — пространство Харди для внешности единичного круга.
Этот факт имеет место тогда и только тогда, когда для рассматри-
рассматриваемой области D проекция Р: Lv -*¦ Hv непрерывна (см., напри-
например, [37]). Таким образом, все упирается в непрерывность Р. Из-
Известно, что Р непрерывна в случае, когда dD является регулярной
кривой (см. [203]).
Итак, можно доказать следующее утверждение:
Теорема 1.11. Если D — односвязная ограниченная область
с регулярной границей dD, a /e№(B), К р< °°, то верноAЛЗ).
2. МЕТОД М. М. ЛАВРЕНТЬЕВА
Пусть на множестве dD\M ядро Коши -тг-r-z (здесь z<=D
аи L, — z
фиксированна) удалось в какой-то подходящей метрике (чтобы
можно было сделать предельный переход под знаком указанного
ниже интеграла B.1)) аппроксимировать функциями gz,m(?)e
^H°°(D). Эти функции ортогональны рассматриваемым голоморф-
голоморфным функциям /eff1 (D) при интегрировании по 3D. Кроме того,
lim
и мы приходим к следующей формуле:
/(*)= lim f/(?)f4rT^7 -ft.™@1^- B-2)
f /(?)[-^7-гЦ- —ft.»(?)ld? = o, B.1)
В формулу B.2) в качестве параметра под знаком интеграла вхо-
входит z. Если функции gz.mfe) голоморфно зависят от параметра z,
то в формуле B.2) получается голоморфное ядро. Эта идея полу-
получения формулы Карлемана с помощью аппроксимации ядра Коши
может быть описана с помощью введенного М. М. Лаврентьевым
понятия функции Карлемана. Функция двух комплексных пере-

24 Гл. 1. Формулы Карлемана при п = 1
менных z, % и положительного переменного а, которую обозначим
G(z, ?, ее), называется функцией Карлемана множества М в обла-
области D, если:
1) G (z, I, a) = ¦ + G (z, ?, а), где G по % является функцией.
класса H°°(D);
2) Т" J \G(z>ba)\\dZ,\*^.C{z)a, где постоянная C(z) зави-
П dD\M
СИТ ОТ Z.
Примером функции Карлемана является ядро в формуле Кар-
Карлемана A.3)
И вообще, если дана функция Карлемана G, то верна и формула
Карлемана
B.3)
"¦"'" м
Очевидно, что формулы B.2) и B.3) эквивалентны.
Метод М. М. Лаврентьева получил важные приложения в тео-
теории некорректных задач анализа и математической физики [111].
Покажем, что и в нашем случае этот метод приводит к очень об-
общим результатам.
Теорема 2.1. Пусть D — ограниченная область, граница ко-
которой состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких жор-
дановых непересекающихся кривых, и М — открытое подмножест-
подмножество 3D. Тогда существует для функции / из класса W (D) формула
Карлемана B.2) с голоморфным по z e D ядром, которое строится
с помощью цепочки интегралов и разложений в ряды.
Доказательство. Из обобщенной теоремы Рунге (см., на-
например, [165, с. 20]) вытекает, что компакт dD\M является при
малых е >0 компактом A (Z)e) -выпуклым. Рассмотрим последова-
последовательность компактов Km, m = 1, 2, ..., Кт+\ => Кт, [} Кт — D, каж-
дый Кт является А (Д.)-выпуклым. Функция A/2я?) • 1/(? — z) го-
голоморфна на (dD\M)XKm, а каждая ф1ункция из A((dD\M)XKm)
равномерно на этом компакте приближается функциями из
A(DcXDt). Действительно, из А(Ог)-выпуклости dD\M и Кт вы-
вытекает A (Dt XDE)-выпуклость (dD\M)X Km, что легко доказать с
помощью двойной интегральной формулы Коши (см. разд. 12),
примененной к окрестности (dD\M) X Km, и того, что интеграл яв-
является пределом интегральных сумм. Итак, равномерно на
(dD\M)XKm

3. Метод Кытманова 25
где /m,n(?, г)е4(ДХД,). Положим gz,m(Z,) = fm,nm(%, z), где п
±= n(m) выбрано так, чтобы на рассматриваемом компакте
1 1
Функция gz.m(%) голоморфна на DtXDe и верна формула Карле-
мана B.2). ?
В этом доказательстве мы на самом деле использовали не от-
открытость М, а только тот факт, что М содержит окрестность не-
некоторой точки из 3D, поэтому верно
Следствие 2.2. Утверждение теоремы 2.1 сохраняется, если
М содержит хотя бы одну точку из 3D вместе с ее окрестностью
на dD.
Наконец, отметим, что голоморфное ядро в формуле Карлемана
из теоремы 2.1 или следствия 2.2 строится столь же конструктив-
конструктивно, насколько конструктивно можно построить приближение в тео-
теореме Рунге, т. е. с помощью цепочки интегралов и разложений
в ряды.
3. МЕТОД КЫТМАНОВА.
Этот метод появился применительно к однородным областям в
С". Проиллюстрируем его в случае простейшей однородной обла-
области— круга ?7@, 1)сС. Пусть М — множество положительной
меры Лебега на dU. Рассмотрим фиксированную точку a^U и
образы w (М) = Ма множества М при автоморфизмах круга
w=-(a —1IA—at), w(a)=0, w@) = a.
Предположим, что для каждого w(M) существует последователь-
последовательность функций фт = фта^ L°° (Ма)такая, что для всякой f ^ Hl (U)
(?).f-. C.1)
Теорема 3.1 (Кытманов). Если /е= Hl(U) и множество 1с
с dU положительной меры Лебега, то для любой точки а е JJ вер-
верна формула
/(а)= limJL f / @ ф^ («,(?)) т^. C.2)
М
Доказательство. При автоморфизме w = w(?) справедливо
равенство
dw 1 — | а |2 dt,
w
i-at,

26 Гл. 1. Формулы Карлемана при п = 1
2
2л | ? — а \
где ~~ ' 2 = &> — ядро Пуассона для круга U@, 1). Пусть
2л | ? а \
, тогда fa^W{U) и согласно C.1)
(а) = /«(О)= lira-^ ]"/«(и>)ч4И-^,
откуда
/(а)= Шп^ |/(Офат(^(С)I^!-^-. C.3>
^ |
Применяя формулу C.3) к функции /(?) A — а?), получаем
C.2). ?
Пример 1. Пусть
Ф*1 (z) = exp [m (hM (z) - hM @))], C.4)
м
тогда верно C.1), так как здесь <Pm(z)— та н?е «гасящая» функ-
функция, что и в разд. 1, но рассматриваемая только для точки 0.
Далее
м
Если теперь сделать замену переменных z -*¦ w(z), ? -*¦ w(X), то
2z dl (t + z l Л-а'
поэтому ф„ (ц' (z)) = exp [та (км (г) — Ал1 (а))Ь следовательно,
М
и получилась формула Карлемана A.3) для круга #@, 1). Одна-
Однако последовательность фт не обязательно строить по формуле C.4).
Пример 2. Пусть М — дуга из dU, но не вся окружность dU.
Можно построить многочлен Pa(t,) такой, что Ра@)= 1 и |РО(^I <
< 1 при % е= w(M). Тогда

4. Граничные значения 27
поэтому согласно теореме 3.1 имеет место формула
/(а)= lim ±r
Рассмотренный метод Кытманова позволил в случае однород-
однородных областей С" получить наиболее простые многомерные форму-
формулы Карлемана (см. гл. 6).
4. ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА КАРЛЕМАНА
ГОЛУЗИНА — КРЫЛОВА
Речь пойдет о вычислении
м
правой части формулы Карлемана A.3) не для z^D, как в этой
формуле, а для z <= 3D. Пусть М — замкнутое подмножество
dU@, 1) положительной меры_Лебега, a D = ?7@, 1).
Лемма 4.1. Если fe=A(U), то для z^dD\M имеет место ра-
равенство /(z) = /(z), а для z^M почти всюду J(z) = -jf(z), при
этом интеграл в D.1) понимается в смысле главного значения по
Коши.
Доказательство. Пусть z e dD\M, т. е. z лежит на неко-
некоторой дуге if из открытого подмножества dD\M. Рассмотрим об-
область Z>i=Z)U?/(z, e), где е>0 выбрано так, чтобы je4(fli),
В границу Di вместо части f Г) U(z, г) входит dU(z, e)\D. Из фор-
формулы A.16) следует, что при малых е>0 для ?^ U(z, e)\D вер-
верно неравенство |ф(?)|<1. Поэтому можно повторить доказатель-
доказательство теоремы 1.1 для данного z и области Di, и получим, что в
этом случае J(z) — f(z).
Далее рассмотрим zejf. Почти для всех таких z
@? +
1т I Т
М dD\M
D.2)
где первый интеграл в D.2) нужно понимать в смысле главного
•значения по Коши. Разделим D.2) на (pm(z). Учитывая, что
1ф(?)| = 1 при %edD\M и icp(z)|=e для z&M, получим, что
второе слагаемое в новом равенстве стремится к нулю при то -*¦ °°.
Следовательно, J (z) = ~f (z) почти при всех z е М. П
Теорема 4.2. Если f<^Aa(U), то сохраняется утверждение
леммы 4.1.

28 Гл. 1. Формулы Карлемана при п = 1
Доказательство. Случай z e M рассматривается так же,
как при доказательстве леммы 4.1. Пусть z e= dD\M, Тогда иа
A.16) получаем, что lq>(z)l = 1, а
i^^, D.3)
м
где ф = arg ?, 6 = arg z. На каждом из открытых интервалов из
dD\M функция D.3) строго убывает, является гладкой с отрица-
отрицательной (по 6) производной. Поэтому на каждом из них
lim f f{®Zt{Z) Ф™ @ ^ = °' <4>
что сразу следует из леммы Римана — Лебега после замены пере-
переменных, при которой в качестве новой переменной следует взять
функцию D.3). В D.4) Е} — один из интервалов dD\M = [j Ej.
Кроме того,
2
я,-
} Ei
где С не зависит от т. Отсюда и из D.4) вытекает, что
о. D.5)
Далее интеграл из D.1) равен
до
до od\m
Функция (j(l)~j(z))l(l — z) принадлежит Hl(U), так как /е=
е4"A7). Значит, первый интеграл в D.6) равен нулю по теореме
Коши. Отсюда, учитывая D.5) и лемму 4.1, получаем J(z)—f(z). П
Утверждения леммы 4.1 и теоремы 4.2 для zeilf легко рас-
распространяются на случай /еЯ'(?7), при этом используются фор-
формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши от функции из L1 (dU)
(см. [134]). Что же касается случая z^dD\M, то ограничимся
fH'(U)>l
f()
Теорема 4.3. Если f^Hl(U), то почти всюду на М имеет
место равенство J(z) = -~ / (z). При f^Hp(U), р>1, почти для
всех z e dD\M верно J(z) = /(z).

5. Случай полуплоскости 29
Доказательство. Рассмотрим последовательность функций
fm^Hp(U) из теоремы 1.3. При z^dU\M интеграл в D.1) равен
jm(z). Согласно теореме 1.3
f(z)= lira /m(z), z<=dU,
m-»oo
в смысле Lp. Поэтому почти всюду на dD\M верно /(z)=/(z). П
В этой теореме можно и при z е dD\M рассматривать случай
/еЯ'([/), но доказательство значительно сложнее, и мы его не
приводим. Заметим еще, что результаты этого раздела можно рас-
распространить на тот же класс областей, для которого верна теоре-
теорема 1.11. На этом пути получается следующий результат.
Теорема 4.4. Пусть D — односвязная ограниченная область
с регулярной границей 3D. Если /е #'(?)), то почти всюду на М
имеет место J (z) = -j f(z). Если /e= HP(D), p > 1, тогда почти всю-
всюду на dD\M верно /(z) = /(z).
И в этой теореме при z e dD\M можно рассматривать случай
/еЯ1 (D), но доказательство уже не может использовать теорему
1.11 и становится значительно сложнее.
5. СЛУЧАЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Полуплоскость П не является ограниченной областью, но фор^
мулы Карлемана для нее играют важную роль в дальнейшем изло-
изложении. Пусть множество fcR! = ОН имеет положительную меру
Лебега (не обязательно конечную). Рассмотрим интеграл Пуассона
oo
который определяет гармоническую положительную функцию и в
П, граничные значения которой на R1 во всех точках непрерывно-
непрерывности %м совпадают с %м (см. [100, с. 138]).
Если
м
то функцию v, сопряженную к и, можно построить следующей
формулой:
1 г*
v (ж' У> — 1 J
(x~t)y>M(t)dt
(х - tf
Нсли же E.2) не выполняется, то нужно применить несколько бо-

30 Гл. 1. Формулы Карлемана при п = 1
лее сложную формулу (см. [100, с. 135]) •
v{x, J/) = —
В любом случае мы получим голоморфную функцию (p(z) =
= exp(u + iv), являющуюся «гасящей» функцией для осуществле-
осуществления идеи Карлемана. Отметим, что (р е Яш(П) и l<lcp(z)|<e
при z e П.
Теорема 5.1. Если /еЯ'(П), 1 «? р< оо, nfcR1 = дПмле-
ет положительную меру Лебега, то для любой точки геП верна
формула Карлемана с равномерной сходимостью на компак-
компактах из П
LfJWfjL. E.з)
Доказательство проводится так же, как доказательство
теоремы 1.1, и сводится к оценке интеграла
-•нг 1
На множестве R'\Af функция 1ф@1 почти везде равна 1; поэтому,
применяя неравенство Гёльдера, получим для модуля интеграла
E.4) оценку для lip + 1/q = 1, р > 1:
1 "«Н"Т I ттЫ" <5-5»
Lr!\m J Lr!\m * J
Отсюда следует, что /т -*• 0 при та ->- °° равномерно на компактах
из П. Если же р = 1, то
-«| J l/w!^' E'6)
Rl\M
и вновь получаем равномерное ка компактах из П стремление Jm
к 0 при m ->¦ оо. ?
Эта теорема не распространяется на случай р = °° не только
потому, что в этом случае нет оценок вида E.5) или E.6), но
прежде всего потому, что для функций класса Я°°(П) нет интег-
интегральной формулы Коши. Но в этом случае зато верна формула
Пуассона: если / е= #Р(П), 1 sS/> < °°, то для геП
- E'7)

п. Случай полуплоскости 31
(см. [100, с. 142]). Ядро Пуассона абсолютно интегрируемо на R1,
поэтому тем же способом, идущим от Карлемана, легко получается
Теорема 5.2. Пусть /бЯр(П), 1 < р ^ °°? и М имеет поло-
положительную меру Лебега, тогда для геП справедлива следующая
формула, предел в которой достигается равномерно на компак-
компактах из П,
м
Для рассмотрения многомерных аналогов формул Карлемана
желательно расширить класс функций, для которых верны эти
формулы в полуплоскости П. Пусть /еЛ(П). Заметим, что
1-«Л_ттр,г7,0) 1))тогда и только Т0ГДЙ1 когда (см_ [100> с 147])
„-е=Яр(П), 1<р<оо. E.9)
B + *J/
Теорема 5.3. Если функция /ei(II) удовлетворяет условию
E.9) и множество М cz R1 имеет положительную меру Лебега, то
верна следующая формула, предел в которой достигается равно-
равномерно на компактах из П,
<5-10>
м
Доказательство. Пусть функция F (w) = fit -t-j-^ U тогда
F(w)<^ HP(U) и по теореме 1.1 для нее справедлива формула Кар-
Карлемана
F (w) = lim -75—-
m->oo '"nt
M
где М — образ М при конформном отображении w =(i — z) (i + z)~l
полуплоскости П на круг U@, 1), а <р играет роль ср для множе-
ctb&JH. По теореме М. А. Лаврентьева (см. [134, с. 293]) множест-
множество М — тоже положительной меры Лебега. Далее сделаем обрат-
обратное отображение в формуле E.11)
и учтем, что при этом гармоническая мера М переходит в гармо-
гармоническую меру М (подробнее о гармонической мере множеств см.
в [126, 147]), следовательно, ф перейдет в <р, и мы приходим к фор-
формуле E.10). D
Для случая D = H верна и теорема 4.2 с соответствующими из-
изменениями.

32 Гл. 1. Формулы Карле.мсна при п = 1
Теорема 5.4. Пусть М — замкнутое подмножество R1 поло-
положительной меры Лебега. Рассмотрим
м
Если /еЛ"(П), то для zeR'W имеет место /(z)=/(z), а для
z<=M почти всюду J (z) = -jf(z), при этом интеграл в E.12) нуж-
нужно понимать в смысле главного значения по Ноши.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.2.
Следствие 5.5. Если выполнены условия теоремы 5.4 и мно-
множество М ограничено, то
/(оо)= lim-^- \ f {t) [q> (t)]m —^—. E.13)
Доказательство формулы E.13) сразу вытекает из теоремы 5.4
и того факта, что для ограниченного множества М
J
м
(см. [100, с. 158]). Действительно, достаточно заметить, что из
E.14) следует ф(°°)= 1. ?
В двух следующих примерах рассматривается случай, когда
МcR1 есть некоторый отрезок [а, Ь] (интервал (а, Ь)).
Пример 1* Пусть М = [а, Ь]. Тогда (см. E.14))
i Г dt 1 , z — 6
— 1 г = —г In =
M
Отметим, что гармоническая мера отрезка [a, b], т. е. Rei|j(z), рав-
равна углу, под которым виден этот отрезок из точки z, деленному на
я. Далее
Ф (z) = ехр ф (z) =
и мы получаем для /еЯр(П), 1 < /? < °°, следующую формулу
Карлемана:
E.15)
Выбор ветви логарифма в ty(z) не играет роли для формулы
E.15), так как не меняет множитель [ф(О/фB)]т-
Пример 2 (Крейн — Нудельман). Опираясь на спектральную
теорию усеченного оператора Гильберта, можно получить для

6. Логарифмический вычет 33
функций класса Н2 совсем иную формулу, нежели E.15) (см. [98,
99]). Приведем ее в том виде, в каком она дана в [98, 99], где
М = (—1, 1), a D — П- — нижняя полуплоскость. Тогда для всякой
функции из #2(П_)
e~i%xdx
E.16)
где голоморфные в П_ ветви ln[(l + z)(l—z)~'] и У1 — z2 выде-
выделяются условиями, что при г->-ге(—1, 1) первая стремится к
действительному, а вторая — к положительному числу. Формула
E.16) легко распространяется на случай, когда М — любой конеч-
конечный интервал.
ГЛАВА 2
ОБОБЩЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ФОРМУЛ КАРЛЕМАНА
6. ФОРМУЛА ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ВЫЧЕТА
В ДУХЕ КАРЛЕМАНА
Пусть D — ограниченная область в С1 с кусочно-гладкой грани-
границей 3D. Рассмотрим функцию f^Ac(D) и множество_Мс: 3D по-
положительной меры Лебега и предположим, что A (f{D))—выпук-
(f{D))—выпуклая оболочка f(dD\M) не содержит начало координат. Тогда су-
существует функция F^ A(f(D)) такая, что F@)= I, a
sup |*»|<1. F.1)
Эту функцию F можно использовать в качестве «гасящей» для
получения формулы логарифмического вычета, основанной на той
же идее Карлемана введения «гасящей» функции.
Теорема 6.1 (Айзенберг). Для всякой функции <p^A
справедлива формула
где Е, — множество нулей / в D, в формуле F.2) каждый нуль
считается столько раз, какова его кратность.
3 Л. А. Айзенберг

34 Гл. 2. Обобщения
Доказательство. По классической формуле логарифмиче-
логарифмического вычета имеем
y(a)Fm(f(a))= ^ ф(«) = ^ f Ф (?)*
DM
т I
М dD\M
и последншТ: интеграл стремится к нулю при т -*¦ оо в силу F.1). П
Если полиномиально-выпуклая оболочка f(dD\M) не содержит
нуля, то в качестве F можно взять полином Р.
Наложенные в теореме 6.1 требования на f(dD\M) означают,
что М должно быть достаточно большим. Но это дало возможность
получить формулу F.2), в которой, как и в классической формуле
логарифмического вычета, в левой части равенства не фигурируют
нули функции /.
Следствие 6.2: ¦
]im_L_ Г
м
где N — число нулей функции / в D (с учетом кратности).
7. ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА ДЛЯ ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ
ИЛИ ОТ ЭЛЕМЕНТОВ БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЫ
Обозначим G а С" ограниченное множество пХ п матриц ю.
По теореме Гершгорина (см. [114, с. 198]) существует ограничен-
ограниченная односвязная область D <= С1 с кусочно-гладкой границей, со-
содержащая все собственные значения всех матриц W e G. Тогда
для всякой функции f<=Ac(D) определена f{W), где W e= G (см.
[114, § 5.8]), с помощью формулы Коши
1<№ = Ш ^fWizt-W^dz. G.1)
3D
Определение G.1) легко распространяется на класс Hl(D). Теперь
можно получить матричный аналог теоремы 1.1.
Теорема 7.1 (Худайберганов). Если f^Hl(D) и множество
М <= 3D положительной лебеговой меры, то для любой матрицы
ffeG верна формула Карлемана
f(W)= lim^ [/®(?/-ИГ1{<Р«Нф(ИОГ1}"Ч. G.2)
м
где функция ф — та же, что и в формуле A.3).

7. Банахова алгебра 35
Доказательство. Пусть Xi, Х2, ¦ ¦., X, — различные собст-
собственные значения матрицы W с кратностями т,\, т^, ..., ms соот-
соответственно. В силу формулы Коши для фупкций от матриц G.1)
и теоремы о спектральном разложении (см. [114, с. 163]) получаем
Э0
= Km
m-*oo
где Zw — компоненты матрицы W. Здесь мы воспользовались тем,
</-l)l f / (О —^-j- = 2л*/0-» (Xft) =
что
М
и возможностью дифференцировать формулу Карлемана A.3) под
знаком интеграла. ?
Для обобщенного единичного круга То в качестве D можно
взять (см. [167, с. 109]) обычный круг ?7@, 1), поэтому верно
Следствие 7.2. Если G = то, то справедлива формула G.2),
где M<=dU@, 1).
Следствие 7.3. Если mi = m^ = ... = ms = 1, то
т^-. G.3)
Доказательство следует из теоремы 7.1 и теоремы 5.5.2
из [114, с. 167]. ?
Из G.3) в силу G.2) получаем
Следствие 7.4 (интерполяционная формула Сильвестра).
Пусть далее D — односвязная ограниченная область, DaC\
и А — банахова алгебра с единицей (не обязательно коммутатив-
коммутативная). Обозначим
QD = {х: х^=А, sp х <= D).
з*

36 Гл. 2. Обобщения
Для любой функции f^A(D) определим f(x), гейв, так, как это
принято в теории банаховых алгебр ([48, § 4]).
Теорема 7.5 (Елин). Для всех x^QD, любой функции
/еЯ'(В) и множества М с 3D положительной лебеговой меры
справедлива формула Карлемана
f (х) = lira JL f / (?) (S _ a;)-i фт (?) [ф (.с)]- d?, G.4)
m-»cx> ^Jl' •'
M
M
в которой предел достигается равномерно на компактах К cr QDi
удовлетворяющих условию
U spx<=D. G.5)
Доказательство. Заметим, что в формуле G.4) элементы
алгебры А [<р(х)]~т и (? — х)~* перестановочны как значения го-
голоморфных функций на одном и том же элементе х. Выберем про-
простую замкнутую гладкую кривую f cz D так, чтобы множество
U spa: лежало внутри ¦у. Тогда для любого х^К справедлива
хек
формула Коши (см. [48, с. 56])
Отсюда и из теоремы 1.1, используя обозначение fm из теоремы
1.3, получим
- хГЧг
В силу теоремы 1.1
lim sup |/(z)-/m (z)| = 0.
m-»oo zeEV
Осталось показать, ll(z —ж)~Ч1 < то при (z, z)e{(z, ж): zs^? х^Ю.
Предположим противное, тогда существует последовательность

8. Абстрактная формула 37
{х3} cz К, сходящаяся к точке xG е К и такая, что
lim max || (z — х-)'1 || = оо. G.6)
Так как sp я0 лежит внутри f, резольвента i?(z, xo) = (z — xo)~l
голоморфна в окрестности i (см. [48, с. 25]), следовательно, ее
норма достигает на компакте f своего максимума С. Обозначим
У1 = Xj — хо. Не ограничивая общности, можно считать, что Hz/jH <
<{2С)~\ Тогда
г — X,i = (z - хо — г/j) = [1 — г/Дг - я0)"'] (г — х0).
Далее
что противоречит G.6). ?
Из утверждения теоремы 7.5 вытекает поточечная сходимость
для x^QD. Условие G.5) справедливо для любых компактов Kcz
<= QD, если, например, Л — алгебра квадратных матриц, или про-
пространство непрерывных на компакте функций на локально ком-
компактной абелевой группе. В частности, верно
Следствие 7.6. В формуле Нарлемана для голоморфных
функций от матриц G.2) сходимость равномерна на всяком ком-
компакте К<= G.
8. АБСТРАКТНАЯ ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА
Примененный здесь метод позволяет выяснить условия сущест-
существования абстрактной формулы Карлемана не только в случае голо-
голоморфных функций. Практически почти без изменения он распро-
распространяется на решения общих эллиптических систем дифференци-
дифференциальных уравнений с коэффициентами, удовлетворяющими условию
Гёльдера.
Пусть Р — эллиптический (к X I) -матричный дифференциаль-
дифференциальный оператор порядка р, заданный в ограниченной области Q <= Rnt
коэффициенты которого входят в класс C0>>(Q), О <Я< 1.
Для компакта K<^Q через [С™(К)]' обозначим векторное про-
пространство ростков на К вектор-функций (Z-столбцов) класса С™ в
окрестности К, т. е. множество классов эквивалентности вектор-
функций класса С" в окрестности К, где две вектор-функции счи-
считаются эквивалентными, если их производные до порядка та сов-
совпадают на К. Мы сделаем это пространство нормированным, поло-
положив для f^[Cm(K))'
sup \Daf(x)\.

38 Гл. 2. Обобщения
Если при этом [Ст(К)]' — банахово пространство, то компакт К
называют тп-регулярным (см. [233, с. 207]). Таковы, например, за-
замыкания ограниченных областей с границей класса С°° (см. [233,
с. 215]). Всякий компакт О-регулярен.
В [Cm(Q)](, как обычно, вводится топология проективного пре-
предела банаховых пространств [Ст(К)]\ К~п, так, что [Cm(Q)\l
является пространством Фреше. Далее обозначим [Cm>x(Q)]' множе-
множество вектор-функций /e[Cm(Q)]', производные порядка т кото-
которых удовлетворяют на каждом компакте К из Q условию Гёльдера
с показателем X. Это векторное пространство, наделенное семейст-
семейством полунорм (здесь Kdi)
Р
[a\=m
K
также является пространством Фреше.
Пусть О (?2)— векторное пространство решений системы урав-
уравнений
. Р/ = 0 (8.1)
в й. Известно, что <?(й)с: [С*(Я)]' (см. [205]). Из теоремы Арце-
ла — Асколи и внутренних оценок шаудеровского типа для реше-
решений системы (8.1) (см. [205]) следует, что O(Q) с топологией, ин-
индуцированной вложением в [C(Q)]', является пространством Фре-
Фреше — Шварца, и эта топология совпадает с индуцированной из
[CK(Q)f
Рассмотрим (kj X I) -матричные дифференциальные операторы
Pi порядка Pi < т, где 0 ^ т^ р — 1, с коэффициентами класса
С в окрестности К, j = 1, ..., s. Многие краевые задачи для
эллиптических систем включаются в следующую схему: даны gj e
е= [cn~Pj (К)]*'", где ./ = 1, ...,«, найти / с= О (Q) П [Ст (Я~)]\ удов-
детворяющую условию
Р}1 = g} в [cm~Pj (K)fj, j = 1, ..., s. (8.2)
Компакт К назовем множеством единственности (задачи (8.2)),
если соответствующая однородная (&, = 0) задача имеет только
нулевое решение.
Пример 1 (задача Дирихле). Эта задача соответствует слу-
случаю p~2(m+l), I = 3QeC'"+1, s = l, причем Р\ = /; — единич-
единичная (IXI)-матрица. К является множеством единственности, если,
например, Р = Л — оператор Лапласа, и не является таковым для
некоторых классов сильно связанных систем (см. [44, с. 171]).
Пример 2 (задача Коши). Эта задача соответствует случаю
m — p~l, s = lf Pi=Ii. Если ге = 2 и Р — ——, то множеством
dz
единственности является любой компакт ZcQ, имеющий предель-

8. Абстрактная формула 39
пую точку, или любой компакт К <= 3Q положительной меры Ле-
Лебега, если dQ спрямляема. В случае, когда дифференциальные опе-
операторы Р вещественно-аналитические в Q, примером множества
единственности задачи Коши является всякий замкнутый кусок
гладкой гиперповерхности, лежащей в Q.
В этом последнем случае задача (8.2) относится к задачам
аналитического продолжения, поэтому, она, вообще говоря, некор-
некорректна по Адамару (об этом случае см. [148]).
Формулы, дающие решение задач вида (8.2), назовем форму-
формулами Карлемана. Цель раздела — доказать существование формулы
Карлемана для решения общей задачи (8.2).
Компакт К cr Q назовем множеством устойчивости (задачи
(8.2)), если для каждой точки ieQ существует та^ая постоянная
с = с (К, х), что
\f(x)\<ct\Pif\TPi (8.3)
для всех f^O(Q)u[Cm(Q)]'. Очевидно, каждое множество устой-
устойчивости является и множеством единственности.
Из теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного
функционала в пространстве С (К) следует (сравни с [233, с. 259]),
что для компакта устойчивости К существуют такие (I X k}) -мат-
-матрицы Wlja.{x, у) (где iefi, у е= К) регулярных мер на К с конеч-
конечной полной вариацией, / = 1, ..., s, Hall «S m — p^ что для /е
eC(Q)fl [Cm(Q)]1 и любой точки х е= Q справедливо интегральное
представление
/ (*) = f S 2 Ща (х, У) Da (P, (и, О) / (у)). (8.4)
jiX||a||«
Пример 3. Среди компактов устойчивости выделим те, для
которых существует постоянная с = с(К) (не зависящая от х), для
которой верно (8.3). Иначе говоря,
||5|У|
3=1
Такие компакты назовем множествами полной устойчивости. Если
dQ e Cm+l и является множеством единственности в задаче Дирих-
Дирихле для эллиптического уравнения порядка 2(тге+1) с коэффици-
коэффициентами из C°°(Q), то dQ — множество полной устойчивости в силу
соответствующего принципа максимума ([233, с. 203]). Множества
полной устойчивости в задаче Коши для голоморфных функций
многих переменных — это компакты, содержащие границу Шило-
Шилова области Q, которая есть наименьшая из таких множеств.
В обоих примерах пересечение любого числа множеств полной
устойчивости снова является таким зке мпожеством. Неизвестно,
верно ли это в общем случае.

40 Гл. 2. Обобщения
Развивая теорию решений системы (8.1) со значениями в ло-
локально выпуклом пространстве в духе работы Глисона [208], мож-
можно получить дальнейшую информацию о матрицах 2>lja для ком-
компактов полной устойчивости. Для более общих компактов единст-
единственности можно гарантировать существование _ более сложных
иптегральных формул, чем (8.4). Компакт ЯсЙ назовем множе-
множеством условной устойчивости (задачи (8.2)) если из того, что
2
следует для всех ^efi равенство lim/j(a;) = 0. Из следующей тео-
ремы вытекает, что если компакт Zcfi и однородная задача (8.2)
имеет только нулевое решение в классе вектор-фуякций f^C(Q) с
ограниченной нормой |)/|^, то К — множество условной устойчи-
устойчивости.
Теорема 8.1 (аналог теоремы Витали). Пусть компакт KczQ
и однородная задача (8.2) имеет только нулевое решение в (J(Q).
Если последовательность fi^C(Q) равномерно ограничена на каж-
каждом компакте из Q и DaPJi сходится на К для Hall «S тп — ph ) =
= 1, ..., s, то ji сходится в топологии [Cp-k(Q)]'.
Доказательство. Допустим, что последовательность ft(x)
не сходится в некоторой точке ае Q. Тогда из последовательности
/i(a)eC можно выделить две подпоследовательности, сходящиеся
к различным пределам Ai и А%. Пусть соответствующие подпосле-
подпоследовательности вектор-функций будут fi,i(x) и fii\x). Они ограни-
ограничены в топологии <7(Й), индуцированной из [C(Q)]', поэтому из
них можно выделить новые подпоследовательности fitl{x) и }*,2(х),
сходящиеся в топологии [CP>*'(Q)]1 к вектор-функциям /* и /2 из
C(Q) соответственно. Получаем Ах = /* (а) ф /* (а) = А„. Но после-
последовательности DaPjfi_1(x) и D^Pjfj^ix), как и подпоследователь-
подпоследовательности D"P.j/i, сходятся во всех точках К к равным пределам при
«all < i» - ph / = 1, ..., 8. Отсюда Pj (ft - /*) = О^в [cm~P} (K)fj
для j — 1, ..., s, поэтому по условию теоремы f1^f2 в Q. Получи-
Получили противоречие с тем, что /* (а) Ф /* (а). ?
Теорема 8.2 (Айзенберг — Тарханов). Пусть К — компакт
условной устойчивости задачи (8.2) в Q. Тогда существуют такие
(IX kj)-матрицы Ш]а(х,у) {где 1€Й, у е К) регулярных с конеч-
конечной полной вариацией мер на К, где Hall < m — pit / = 1, ..., s,
что для всякой вектор-функции /е C(Q)D [Cm(Q)Y и любой точки

8. Абстрактная формула 41
справедлива абстрактная формула Карлемана
2 Wlja(x,y)Da(Pj(y,d)f{y)), (8.5)
MI<P
причем предел в правой части (8.5) достигается в том смысле, что
для любого е>0 существует N = N(e) такое, что для всех i>N
sup \\i,Wija{x!y)Da(Pj(y,d)f(y))-f(x)\<E. (8.6)
)n[cm(Q)rK'=1
Обратно, из существования формулы (8.5) с указанными свойст-
свойствами вытекает, что К — компакт условной устойчивости зада-
задачи (8.2).
Доказательство. Наделим векторное пространство X =
= <?(О)П [Cm(Q)]' топологией так называемого двунормового про-
пространства. Именно, пусть на X имеются две нормы 11/1 = 11/11^ и
J/II* — 2 il^j/Цк '• Последняя действительно норма, поскольку
компакт К условной устойчивости является, очевидно, компактом
единственности задачи (8.2). Норма II-II сильнее, чем 11-11*, т. е. ес-
если Н/,-11 -> 0, то и II/{II* -*¦ 0. Будем говорить, что последовательность
{/(} из X является ^-сходящейся к /о^Х, если supj/i|-<oo
limfi/i—/ol*=O. Если последовательность {/<} из X ^-сходится к
/о s X, то ll/i — /o'l < М, поэтому по теореме 8.1 имеет место /< -*¦ /о
в топологии [CV*(Q)]1, следовательно, |/0|^ lim|/{|. В этих усло-
виях в работе Алексеевича и Семадени [189] показано, что на X
можно определить такую локально выпуклую векторную тополо-
топологию ц, что ^-сходимость совпадает с (г-сходимостью, а топологиче-
топологическое сопряженное пространство (X, ц)' состоит из таких линейных
функционалов F на X, которые ^-непрерывны, т. е. если /*Д-/0, то
F(fi)-*- F(fo), причем топология \i с такими свойствами неедин-
неединственна.
Из определения множества условной устойчивости вытекает,
что линейный функционал бг(у — х) на X, ставящий в соответст-
соответствие вектор-функции /еХ значение ее г-й (l^r^l) компоненты
в точке iel!, является *{-непрерывным. В силу результата из
[189] общая форма ^-непрерывного линейного функционала F на
X есть
F=]\mFu (8.7)
г-»оо
где FiS(X, 11-11*)', а предел в (8.7) понимается по норме (X, II-H)'.
Здесь (X, 11-11*)' — векторное подпространство (X, II-В)'. Остается

42 . Гл. 2. Обобщения
воспользоваться стандартными рассуждениями с использованием
теоремы Рисса для описания общего вида непрерывных линейных
функционалов на (X, 11-11*).
Обратно, пусть теперь справедлива формула (8.5), где сходи-
сходимость понимается в смысле (8.6). Рассмотрим последовательность
/,e(?(Q)n [Cm(Q)Y, 1/ils <Д4\ i = 1, 2, ..., такую, что
Отсюда и из (8.5) с учетом (8.6) получаем, что для всех х е Q
верно равенство \imfi(x) = 0. Следовательно, компакт К является
компактом условной устойчивости задачи (8.2). ?
Пример 4 (задача Дирихле). При условиях примера 3 на
скалярный дифференциальный оператор Р множество условной
устойчивости на <9Q только одно — вся граница <9Q. Если коэффи-
коэффициенты дифференциального оператора Р вещественно аналитичны,
то по теореме 8.1 всякий компакт K<^Q с непустой внутренностью
является • множеством условной устойчивости задачи, так как в
этом случае все решения однородного уравнения Pf = 0 будут ве-
вещественно-аналитическими в Q (см. [166, с. 412]).
Пример 5 (задача Коши). Оценки условной устойчивости
задачи Коши для (скалярного) эллиптического уравнения второго
порядка с коэффициентами класса C2(Q) получены Ландисом [113]
и Лаврентьевым [108]. Из их результатов, в частности, следует, что
множествами условной устойчивости на границе шара являются
¦компакты с непустой (в смысле топологии границы) внутренно-
внутренностью. В задаче Коши для голоморфных функций одного перемен-
переменного множества условной устойчивости — это компакты, имеющие
предельную точку внутри области, или компакты положительной
лебеговой меры на границе односвязной области.
Примеры компактов условной устойчивости задачи Коши для
голоморфных функций многих комплексных переменных или, в си-
силу теоремы 8.2, примеры компактов, для которых есть формула
Карлемана для голоморфных функций многих комплексных пере-
переменных, см. в гл. 5. С помощью многомерного аналога теоремы
Хинчина — Островского (для компактов Bп—1)-мерной меры из
dQ <=¦ С" об этой теореме см. [4]) легко показать, что полномерные
компакты единственности, лежащие на dQ, являются компактами
условной устойчивости. При этом можно рассматривать и более
широкий класс H°°(Q) голоморфных функций. Используя методы
работы {141], теорему Хинчина — Островского можно распростра-
распространить на компакты, лежащие на порождающих многообразиях
М ^ С3, Л/cffie С1, положительной меры на М. Эти компакты,
•следовательно, тоже' являются множествами условной устой-
устойчивости.

8. Абстрактная формула 43
Возникает вопрос, будет ли любой компакт единственности для
голоморфных функций компактом условной устойчивости. Ниже
дается отрицательный ответ на этот вопрос и построены соответст-
соответствующие контрпримеры для компактов, лежащих на границе полк-
круга или шара в С". Оба примера основаны на построении в об-
области D неприводимого гладкого аналитического множества А,
содержащегося в множестве нулей ограниченной голоморфной
функции и такого, что А содержит порождающее многообразие
M<=-dD, а в окрестности некоторой точки zo^dD пересекает 3D
по гладкому максимально комплексному многообразию. В случае
шара этот пример интересен еще и с точки зрения граничного по-
поведения аналитических множеств.
Предложение 8.3 (Красикова — Хурумов). Пусть D cz С" —
выпуклая область, А с D — неприводимое аналитическое множест-
множество такое, что
1) А = (z: F(z)= 0), где F Ф 0 — ограниченная голоморфная в
D функция;
2) А Л 3D содержит порождающее С-многообразие Afc:C";_
3) в в-окрестности некоторой точки Zq ^ А Л dD множество А —
О-мкогообрагие с краем L — Л Л dD П {z: \z— zo\ < е), и F непре-
непрерывно продолжается на D U L.
Тогда L является компактом единственности, но не компактом
условной устойчивости.
Доказательство. По граничной теореме единственности
Пннчука для порождающих многообразий М — множество единст-
единственности для Ac(D) (см. [133] в случае М, dD e С2 и [164] или
[170] для указанных в предложении условий гладкости). Покажем,
что и L — множество единственности. Предположим, что j^Ac{D)
и / = 0_на L. Применяя граничную теорему единственности в про-
проекции А на комплексно (п—1)-мерную касательную плоскость к
А, проведенную в точке zo, получим, что / = 0 на М и, следова-
следовательно, / = 0, т. е. L — компакт единственности. С другой стороны,
L не является компактом условной устойчивости, поскольку после-
последовательность функций fn(z) = F(z + A — 1/ге) (г — z)), где 1 —
произвольная фиксированная точка в D, равномерно стремится к
пулю на L, но /n(z)-> F{г)Ф 0 в D. ?
Построим аналитические множества с указанными в предложе-
предложении свойствами для поликруга и шара в С".
Пример 6. Рассмотрим произвольную последовательность
(aj с(—я/2, л/2), всюду плотную на этом интервале, и последова-
последовательность ith), 0 < th < 1, такую, что ряд 2 h сходится A < к < °°).
Пусть B(t,)—произведение Бляшке в круге Ul=.U@, 1) с нуля-
миаь=-A — lk)e . В единичном поликруге Un рассмотрим мно-
множество A — {z: z^Un, F{z)— z2 — B(z\)== OK Тогда Л удовлетворя-
удовлетворяет условиям предложения. При этом А содержит порождающее
многообразие M.= {z: Ы = 1, Rezi>.O, i;z2l < 1, ..., JzJ < 1>,

44 Гл. 2. Обобщения
a I=4fl dll" П {z: Re z\ =S —1/2} будет компактом единственности,
но .не компактом условной устойчивости.
То, что граничное поведение множества А удовлетворяет усло-
условиям предложения, непосредственно вытекает из следующего из-
известного свойства произведения Бляшке (выполнение остальных
условий очевидно).
Лемма 8.4. Пусть B(t)—произведение Бляшке в единичном
круге Ux с нулями {ah} и пусть ?0 ^ dUl. Тогда имеет место один
из двух случаев: а) если точка ?о — предельная для {ак}, то пре-
предельное множество для B(t,) в точке ?о совпадает с Е/1; б) если ?о
не является предельной для {ah}, то B(t,) голоморфно продолжает-
продолжается в окрестность ?о-
Доказательство. Утверждение а) см., например, в [88,
с. 133]; утверждение б) вытекает из равномерной сходимости B(t,)
в окрестности точки ?о, которая доказывается стандартным об-
образом. ?.
Из тех же соображений, которые использованы в примере 6,
можно построить аналогичный пример для единичного шара Вп.
Заметим, что шар вписан в область G — {z: \z\\ •... • |zj < n~nl2}
и дВп пересекается с dG по тору —— = )z: I zx \ — .. . = | zn | =
Уп
= \/Уп]. После замены w\ = nnl2z\ ¦... • zn, W2 — l/nz2, ..., wn =
= l/nzn область G преобразуется (биголоморфно вне плоскостей
{z: z, = 0}) в область G\ = {w: |«;il<l}, а В" — ъ область B\^G\,
причем dG\ и дВ\ пересекаются лишь по остову А единичного круга.
Как и в примере 6, в G\ можно рассмотреть график А \ отображения
W2 = B(w\) и взять его прообраз в Вп. Но, вообще говоря (в зависи-
зависимости от скорости стремления daj} к единице), при пересечении
А\[\В\ множество А\ может разбиваться на счетное число компо-
компонент связности, каждая из которых будет гладкой вплоть до дВ\.
Мы укажем такую скорость стремления {\ak\} к единице, при ко-
которой одна из компонент А\ П В\ не «обрывается» вблизи А, а до-
достигает в качестве предельного множества открытой области М\ =
= {w: Re wx > 0} П А на А.
Пример 7. Пусть {afe}cr [—-*¦¦,-*¦) — произвольная последо-
вательность, плотная на этом интервале. Рассмотрим последова-
последовательность tk = 2~8 и произведение Бляшке 5E) с нулями ah =
— A— tk) e , к 5= 2. Пусть А — неприводимая компонента множе-
множества \z: z<=Bn, F(z) = z2 — B{n2z1-...-zn)IVn = o\ в единич-
единичном шаре Вп, замыкание которой содержит точку zq =
— {—1/(УпВ(—1)), Д(_1)/угё, 1/УЙ, ..., 1/Уп}. Тогда_множество
А удовлетворяет условиям предложения. При этом А содержит
область М = {z: largfo •... • zn)\ < я/2, \zx\ = ... = IzJ = 1/Уга) на

8. Абстрактная формула 45
торе А/1/п, и для достаточно малых е замыкание множества Ь =
= А п дВп п В(z0, е), являющегося вещественно-аналитическим
Bга — 3)-мерным многообразием, будет компактом единственности,
но не компактом условной устойчивости. (Мы рассматриваем ветвь
arg % со значениями на (—я, я].)
Доказательство. Для краткости ограничимся случаем п =
= 2 (в общем случае доказательство аналогично). Отметим, что
вещественная аналитичность пересечения А и дВ2 вблизи го сле-
следует из соотношения 8F П <9(|zil2 + \z2\2)^ 0, которое проверяется
прямым вычислением. Рассмотрим в круге U = {wf. |u>il<l} об-
области Vk = Rku Sk (здесь и далее к = 2, 3, ...), где Rh — кольцо
{у-V 1—УЛ^<|^1|<1— 4/256}, a Sk— сектор /и^: w1<=U,
arg— <y|- Нам достаточно установить включение Ао = |ш: и\ =
А
= B(w1), w1^U\\jVh\cz Вг. Действительно, тогда нужное
k I
граничное поведение компоненты связности множества А\ П Ви
содержащей Ао, будет следовать из леммы. Поскольку В\ = iw:
ф1 (wi)<~ 1н>г1 < фг(m^i)}, где ф1_2 — A ^ VI — I^il2I/2, достаточно
доказать, что (pi(wi)< \B(wi)\ при u^ eC/\ U Ffe. Для этого нам
ft
потребуется несколько простых неравенств. Из неравенства
Vl-6< 1-6/2 @< 6 «S 1) получаем, что
(8-8)
С помощью свойств автоморфизмов круга нетрудно получить сле-
следующую оценку для сомножителей 6(?) = (|а|/а) (а — ?)/A — at,)
произведения Бляшке в круге U:
| Ъ (С) | > 1 - 2 min |{5j4|, l^||J-j; (8.9)
если
arg|
>|. (8.10)
Обозначим bk(wi) = b(w\) с a — ah. Для оценки произведения Бляш-
Бляшке нам потребуется элементарное неравенство
. (8.11)
ft=i fe=i
Круг U разбивается на объединение областей Rj = [w^. | wx | <; 1 —
— у%} и /?h = {wx\ I — i/ffe < | wt | < 1 — tk\ =) Ffe э oh. Докажем
неравенство <pi < \B\ в i?j.
1. Покажем, что \bh\ > 1—A — ф1)/2*~' при w^ еДд. В силу не-
неравенств (8.8) и (8.9) достаточно доказать, что 1 — VI — \w\\j2k <

46 Гл. 2. Обобщения
-\wi\) или 2h+4k<(l-\wl\K'2. Поскольку 1 — {w^
> Vh = 2~1в, это следует из неравенства 2~а X 2h+1<Z 2~2i, эквива-
эквивалентного очевидному неравенству — 8* + к + 1 < — 24. Из оценки 1
в силу (8.11) находим q>i(u>i)< \B(w\) ] при «iE^. Следующие
оценки 2 и 3 получаются аналогично 1.
2. |bft+i|>l-(l-<Pi)/2i+2, где -А; + 2 < / < оо, у * ft и
1 — y^ft<|f'il или I wi I < 1 — 4i T-e- wi^Rk-
3. |6»|>1-A-ф1)/2, если |ы>1|<1-У4 или 1 — *Ц/256 <
< | шг | < 1, т. е. U7: e U\Rh.
Из (8.8) и (8.10) легко следует оценка
4. 16*1 > 1 —A —ф!>/2 па U\Sh.
Оценки 3 и 4 дают \bk\ > 1 — A — фО/2 в U\Vk. Из этой оценки
и оценки 2 с помощью неравенства (8.11) имеем, что ф1 < \В\ в
R'k\vh- П
9. ОБЩИЙ ПОДХОД ВИДЕНСКОГО —
ГАВУРИНОЙ — ХАВИНА
Пусть D — область в С1 _с достаточно хорошей границей, Е —
множество из замыкания D .области D. Рассмотрим некоторый
класс А функций из A(D), имеющих угловые граничные значения
почти всюду на dD. Множество Е назовем множеством единствен-
единственности класса А, если из / <= А, /1е==0 следует, что / равна пулю
тождественно. Пусть {Фх} — семейство функций из A(D), X > 0, все
нули которых простые, имеющих угловые граничные значения поч-
почти Есюду на dD и таких, что
><*? = /(«) + V. . /(D (9>1)
Иначе говоря, мы предполагаем, что к интегралу (9.1) можно при-
применить теорему Коши о вычетах, ряд в правой части (9.1) абсо-
абсолютно сходится. Обозначим для К <= В
2лi J Ф,
тогда (9.1) можно записать в виде равенства, в котором фигури-
фигурирует интеграл по мере и.>,,2:
f / (
5
Отсюда вытекает )г

9. Общий подход ' 47
Теорема 9.1 (Виденский; — Гавурина — Хавип). Если для
всякого z^D
lim Фя,(г) = 0, (9.2)
sup
Х>0
J
<оо,
то для z^D при условии Фх(г)Ф0 верна формула
/(г) = ИтФх(г)(/фм. (9.3)
Очевидно, формула Карлемана A.3) есть частный случай об-
общей интерполяционной формулы (9.3). Приведем еще один из-
известный
Пример. Пусть A=H"'(D), D = U@, 1), Е — счетное под-
подмножество круга U такое, что
Точки множества Е занумеруем в порядке возрастания модулей.
Обозначим Фт — конечное произведение Бляшке, построенное по
первым т точкам Е. Тогда (9.2) выполнено и нз теоремы 9.1 по-
получаем
m
Далее укажем приложение общей формулы (9.3) к задаче вос-
восстановления голоморфной функции, удовлетворяющей условию Лип-
Липшица, по ее следу на граничном множестве единственности, кото-
которое может иметь нулевую меру Лебега. Пусть Ла — множество го-
голоморфных в круге U @, 1) функций, удовлетворяющих в U ус-
условию Липшица порядка а, где 0 < а ^ 1. Рассмотрим множество
Е <^U, не имеющее предельных точек в круге U. Положим для
Введем следующий класс голоморфных в круге U функций Л =
= U Ла. Множество Е является множеством единственности для
Л, если выполнено условие (см. [200])
f lnpE(eie)d0 = -oo. (9.4)
ви
Если же верно
f lnpE(Ve)d0>-oo, 2
ОСТ zsEFlU

48 Гл. 2. Обобщения
то существует нетривиальная функция из Ai, равная нулю на Е
(ом. [90]), значит, Е не является множеством единственности ни
для Л[, ни для Л. Важный частный случай Е <= dU; тогда, для
того чтобы Е было множеством единственности для Л, необходимо
и достаточно выполнение условия (9.4). При этом Е может иметь
нулевую меру Лебега.
Определим Et = iz: ге dU, pE(z)< t), где t > 0. Построим внеш-
внешнюю функцию Ф*,а, модуль которой равен 1 почти везде на dU\E\,
равен Ре почти везде на Е\\Е^ и равен и." почти везде на Е„ где
К > 0, Я|л = 1. Так же, как в разд. 1, эту функцию можно найти
в виде ехр(м + iv), где и — решение соответствующей задачи Ди-
Дирихле. Рассмотрим еще проекцию окружности 3U в множество Е,
т. е. функцию ПЕ, удовлетворяющую условию \z — IIE(z)\= pE(z),
HE(z)^E при всяком z^dU. Нетрудно показать, что эта проек-
проекция существует и UE(z)=z при ге? П dU, а на dJJ\E функция
HE(z) непрерывна, за исключением не более чем счетного мно-
множества.
Теорема 9.2 (Виденский — Гавурина — Хавин). Если верно
(9.4), то для всякой /еД,, и любого z^U справедлива формула
Доказательство. Применяя формулу Пуассопа, получим
]п|Фх.а(г)| = а- f P{eie,z)]npE(eie)dQ-a\nX
<С(а, г) Г \ \прЕ(е1в)<1в-т(Ер)\пХ\.
Если тЕ = 0, то в силу (9.4)
!™ I
= —оо.
Если же тЕ > 0, тогда
lim m (Ep) In k = lim m /Z?t Чп X = + ос;
в обоих случаях верно (9.2). Если /еЛ„и min|OXia|>0, то функ-
и
ция }(ФКа)~1 представима интегралом Коши
ft) 1 Г /Ш^ /qfix

9. Общий подход 49
Представим правую часть в (9.6) в виде
и обозначим /i и /г второе и третье слагаемое соответственно. Да-
Далее из неравенств
а почти всюду при ^е?, следует, что
Нш/1<оо. (9.7)
И, наконец, очевидно
]im/2<oo. (9.8)
Теперь из (9.7) и (9.8) получаем (9.5). ?
Далее рассмотрим класс H\{U), он не входит ни в один класс
А*, 0 < а ^ 1. Однако множество Е является множеством един-
венности и для этого класса (см. [54]), если верно (9.4). Сохраня-
Сохраняется и восстанавливающая формула (9.5), а именно, можно дока-
доказать следующее утверждение.
Теорема 9.3. (Виденский — Гавурина — Хавин). Если верно
(9.4), то справедлива и формула (9.5) для всяких f^H\, z^U,
01
Отметим, в частности, что при выполнении условий теоремы 9.2
или 9.3 формула (9.5) восстанавливает соответствующую функцию
и в случае, когда множество единственности Е с: dU имеет нуле-
нулевую меру Лебега.
Л. А. Айзенберг

Часть II
ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА
В МНОГОМЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ АНАЛИЗЕ
ГЛАВА 3
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ
10. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАРТИНЕЛЛИ — БОХНЕРА
И ФОРМУЛА ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ВЫЧЕТА
ЮЖАКОВА — РУСА
1°. Теорема 10.1. Пусть f^Ac{D), где область Z)cC" огра-
ограничена и имеет кусочно-гладкую границу 3D, тогда справедлива
формула Мартинелли — Бохнера:
6d @, z ф.
где
Доказательство. 1. Прямым подсчетом л.егко установить
замкнутость ядра Мартинелли — Бохнера со относительно ? на мно-
множестве C"\{z}.'Отсюда и из формулы Стокса @.1) вытекает A0.1)
для случая гФ D. Если же г е 5, то в силу той же формулы Сток-
Стокса интегрирование по dD можно заменить интегрированием по сфе-
сфере dBr(z) достаточно малого радиуса г.
2. В достаточно малой окрестности точки z e D функция /(?)
разлагается в кратный степенной ряд по мономам вида (? — г)е,
поэтому для доказательства A0.1) достаточно показать, что
-fgf J а - .у 2 <- ^ (Ь - н> € №i л « - {"' Г*'# '¦
{ Г
двг k=i U, 'если р = 0.
A0.3)
3. Заметим, что при замене переменных tk — zh = е h(t,'k—zft)'
где tk действительны, й = 1, ..., п, множество dBr(z) переходит в
it R
себя, а подынтегральная форма в A0.3) умножается на е 11...
... е , поэтому верно A0.3) для случая (i ?= 0.

10. Формула Мартинелли—Бохнера 51
4. Если [5 = 0, то левая часть A0.3) по формуле Стокса равна
' B() B()
J ^ J
Br(z) Br(z)
...Ad\u-zh\ = n\ f #Л1Л...ЛЛ„ = 1. п
т1+,.'+т„<1
Tj>0
Следствие 10.2. Пусть /e= Hl(D), где область D ограниченна
и ДеЯ, гогЗа верна формула Мартинелли — Бохнера A0.1).
2°. Пусть в области ВсС" задано голоморфное отображение
и; ¦=/(*), A0.4)
где w ={w\, ..., wn), / = (/i, .. ., /п). Точка аеД называется нулем
отображения A0.4), если f(a)=O. Множество нулей отображения
A0.4) обозначим Et. Если в изолированной точке a^Et якобиан
отображения -г
0, то а называют простым нулем отображения
A0.4). Верно следующее утверждение, которое мы докажем не-
несколько позднее.
Предложение 10.3. Если замыкание окрестности Ua нуля
а отображения A0.4) не содержит других нулей этого отображе-
отображения, то найдется такое г > 0, что почти при всех ^еВ, отобра-
отображение
w = f{z)-% A0.5)
имеет в Ua лишь простые нули, причем число их не зависит ни от
?, ни от выбора окрестности Ua.
Указанное в этом предложении число пулей отображения A0.5)
в Uа назовем кратностью нуля а отображения A0.4) и обозначим
Ha(f) (динамическое определение кратности).
Пример. Для отображения w\ = zx, w2 ~z\ + zl точка @, 0)
является нулем кратности 2. Действительно, отображение w\ =
= Zi — ?i, Щ = 2* + z\ — ?2 при малых |?| и ?i Ф Са в окрестности
этой точки имеет два простых нуля(?15 ]/ ^2 — Zi) и (Si? —V ?2 — ?1)
Из локальной обратимости голоморфного отображения в точках,.
где его якобиан j- ф 0, следует
Предложение 10.4. Кратность простого нуля равна 1.
Рассмотрим случай нуля, не являющегося простым.
Предложение 10.5. Если а — изолированный нуль отобра-
отображения A0.4) и -т- = 0, то его кратность [!«(/)> 1.
В силу предложения 10.5 естественно называть изолированный
нуль отображения A0.4) кратным, если ¦%- =0.
OZ a
4*

52 Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
*
Подобно тому, как в теории функций одного комплексного пере-
переменного логарифмический вычет выражает число нулей голоморф-
голоморфной функции, его многомерные аналоги связаны с числом нулей
голоморфного отображения. Следующий многомерный аналог клас-
классического логарифмического вычета Коши основан на интеграль-
интегральном представлении Мартинелли — Бохнера A0.1)^
Теорема 10.6. Пусть отображение f<^An(D), где область D
ограничена, граница dD кycoчнo-глadкaя и не codepжuт нулей это-
этого отображения. Tozda отображение f имеет в D только изолиро-
изолированные нули и число их, если считать кaжdый нуль столько раз,
какова его кратность *, выражается формулой
N = N(f, D)=\ ш(/(г), Ш, (Ю.6)
dD
где
7—1
Теорема 10.7 (принцип Руше). Пусть отображение A0.4)
и область D ydoвлeтвopяют условиям теоремы 10.6, а отображение
). Если при z^dD, Os?ifs?l, cпpaвedлuвo условие
f(z)+tg(z)?-O, (ЮЛ)
то отображение A0.4) и отображение
w = f(z)+g(z) A0.8)
имеют в D одинаковое число нулей.
Замечание. Условие A0.7) выполняется, например, в сле-
следующих случаях: 1) \g\ < |/| на dD; 2) llgll < 11/11 на dD; 3) для
каждой точки ге dD хотя бы для одного индекса /, / = 1, ..., п,
выполняется неравенство \gj{z) I < l/j(z) I; 4) для каждой точки
ге dD хотя бы для одного индекса / справедливо неравенство
Regj(z)< Re/,(z) либо Im gj(z)<Imfj(z) и т. д. ...
Для доказательства указанных утверждений нам потребуются
некоторые леммы.
Лемма 10.8. Если отображение f^An(D), то для любого ку-
кусочно-гладкого цикла ч ^Z2n-i(D\Ef) интеграл \ &>(/,/) есть целое
v
число.
Доказательство. Так как A0.4) отображает область D\Et
в Сп\{0), а в С"\{0} базу Bга— 1)-мерных гомологии образует сфе-
сфера дВТ, то образ цикла ^ при отображении A0.4) гомологичен
NdBT, где N — целое число. Отсюда и из формулы Мартинелли —
* Впредь всюду, где речь идет о числе нулей, каждый нуль считается
столько раз, какова его кратность. Аналогично, если происходит суммирова-
суммирование по множеству Ef
р
ние по множеству

10. Формула Мартинелли—Вохнера 53
Бохнера A0.1) получим
V /(V) дВг
J () f ( ?) D
/(V)
Лемма 10.9. Пусть отображение A0.4) и область D удовлет-
удовлетворяют условиям теоремы 10.6. Если при этом все нули отображе-
отображения A0.4) в области D простые, то для любой функции ере Л
имеет место формула
J(Ю.9)
В частности (при <р = 1), справедливо A0.6).
Доказательство. Форма фсо(/, /) замкнута в D\Ef, что
можно проверить так же непосредственно, как при доказательстве
замкнутости формы Мартинелли — Бохнера A0.2). Далее
f Фсо (/,/) = 2 J Фсо (/,/), (Ю.Ю)
dD asEf dUa
где Ua — достаточно малая окрестность точки а. Возьмем в каче-
качестве Ua связную компоненту множества {z: z^D, \f(z)\ < е), со-
содержащую а. Так как -г- ф 0, то при достаточно малом е ото-
(Хм d
Сражение / биголоморфно в Ua, поэтому по формуле Мартинелли —
Бохнера A0.1)
f Ф« (/, /) = f Ф (Г1 @) « (С О = Ф (Г1 @)) = Ф (а).
диа еве
Отсюда и из A0.10) следует A0.9). О
Лемма 10.10. При выполнении условий теоремы 10.7 справед-
справедливо равенство
f со (/,/)= J <»(/ + *, 7Ti). (io.li)
ас ёс
Доказательство. Согласно A0.7) интеграл
есть непрерывная функция t на отрезке [0, 1], которая по лемме
10.8 принимает только целые значения. Поэтому J(t) постоянна и,
значит, У@) = /A), т. е. верно A0.11). ?
Доказательство предложения 10.3. Возьмем е>0
такое, чтобы е<[ min |/(z)|. Тогда по лемме 10.10
гее!7а
f со (/,/)= f <в (/ — ?, 7=1) A0.12)
диа диа

54 Гл. 3. Интегральные представления при п> 1
для t,<=B,. По теореме Сарда 0.6 mes/nz: zeZ),-^ =0|) = О,
следовательно, почти при всех ?<=.Ве отображение A0.5) имеет
только простые нули. Для таких ? согласно лемме 10.9 интеграл
в правой части A0.12) равен N(f — Z,, Ua). Из равенства A0.12)
вытекает, что
и, значит, N(f — %, Ua) не зависит от выбора ^sfi,, Если Ua —
другая окрестность точки а, то по следствию из формулы Стокса
j <в(/,/)= j со(/,/). ?
ov'a
Попутно доказано, что кратность изолированного нуля голо-
голоморфного отображения A0.4) выражается формулой
М/)= \ ©(/,/)• (Ю.13)
аиа
Доказательство теоремы 10.6.
1. Предположим сначала, что^ #0. Прежде всего покажем, что
отображение A0.4) может иметь в D лишь изолированные нули.
Возьмем е так, чтобы 0<;e^minl/l. Из теоремы Сарда 0.6 и лем-
мы 10.10 следует, что почти при всех t,^Be система A0.5) имеет
¦в D лишь простые нули, причем их число к > 0, не зависит от
Если Е)Ф0, то для любой точки аП)^Е} можно выбрать по-
последовательность точек ?(т) -> 0, ?(т) е Вс так, чтобы при % = ?(т)
отображение A0.5) имело простые нули (z7"'1, . .., zm-k), к>1,
и z7"'1 -> аП) при m -*¦ <». Действительно, так как j- ^=0, то в любой
окрестности точки аш найдется точка zml, в которой ^=^=0. Возь-
Возьмем ?<т) = f(zm-1), тогда z'1 — простой нуль отображения A0.5)
при ? = ?(т). Согласно теореме Сарда 0.6 можно добиться, немного
изменяя ?(т>, чтобы и остальные нули этого отображения были
простыми. Ясно, что ?GП) -> 0 при zm'1 -»¦ аA).
С другой стороны, покажем, что при любом выборе ?(т) -> 0 про-
простые нули {zml, . .., zm'h} дают в качестве предельных точек одно
и то же конечное множество* {а11), ..., й'"}сД следовательно,
Е/ = {аA), . . ., ат). Действительно, заменяя последовательности
}z '} !m=ii / = 1, • ¦ •, к, подпоследовательностями, можно сделать
* При этом некоторые из точек а'1), ..., а(*> могут совпадать.

10. Формула Мартинелли—Бохнера 55
их сходящимися к некоторым точкам аш efl,/ = 1, ..,, А (так как
на 3D нет нулей). Множество Е} состоит только из этих точек.
Предположим противное, что существует точка bU)^Ef, bil) Ф aU),
/ = 1, ..., к. Тогда аналогично предыдущему получим последова-
последовательность точек |(т) -> 0 таких, что при ? = |(m) система A0.5)
имеет лишь простые нули {и;™-1, ..., wm-h), причем wmJ -*- bu\ j —
= 1, ..., к, при m -*¦ °°. Выберем полином ф так, чтобы ф(аA)) = ...
... = ф(а<*>) =Ф(ЬB)) =... = cp(fe(ft)) =0, а фFA))=1. Согласно
лемме 10.9
J
9D
Переходя к пределу при иг -»-<», получим противоречие
f Ф«> (/. 7) = ? Ф («U)) = 0, f фсо (/, /) = ? Ф (Ь0)) = 1.
6d j=i eD j=i
Таким образом, множество ?/ конечно.
Докажем формулу A0ЛЗ). Окружим^ каждую точку a^Ej ок-
окрестностью Ua так, чтобы U а <= ?), 1/а(]Ць = 0 При а?= b, a, !>e Z?/.
Учитывая замкнутость формы со(/, /) в />\Ё; и формулу A0.13),
найдем
J © (А 7)= S f «(/, /)= 2 ц„(л = N(f, D).
dD aeEf dUa a?Ef
При этом, если Е, Ф 0, то N{f, D)=k> 0.
2. Пусть теперь —==0. В этом случае интеграл в правой части
A0.6) равен нулю, так как в форму о)(/, /) входит df—j-dz. По-
Покажем, что N(/, D) также равно нулю, т. е. / ие имеет нулей в D.
Предположим противное, что /(а)=0 для некоторой точки _а е D.
Так как /Ьо^О, то найдется голоморфное отображение g: Б -*¦ С"
такое, что g(a) = 0, \g\ < I/I, на 3D и - ^g =s 0 (можно, на-
например, взять линейное отображение g(z)='k(z~ а), где % =
= НЯдИ — матрица с достаточно, малыми элементами такая, что
(а)
rang
По лемме 10.10 и п. 1 этого доказательства
f <в(/,/)= Гсо(/+ *,7+
ас J
Противоречие. П

56 Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
Доказательство теоремы 10.7 следует из сопоставле-
сопоставления теоремы 10.6 и леммы 10.10. ?
Доказательство предложения 10.5. Согласно опреде-
определению кратности изолированного нуля, (хо(/)^0. Отметим, что
гг Ф 0, иначе бы не было вообще изолированных нулей (см. п. 2
OZ
в доказательстве теоремы 10.6). Найдется точка zo <= Ua такая, что
¦J-\ ^0 и | /(zo)| <min| /|. Теперь из предложения 10.4, при-
мененного к отображению и; =/(z) —/(z0), и теоремы 10.7 следует,
что fia(/)> 1. Если м-Л/)= 1, то для любого ?eJ5t, где е достаточ-
достаточно мало, отображение A0.5) имеет в Ua ровно один нуль, т. е. ото-
отображение A0.4) взаимно-однозначно в окрестности точки а. Тогда
по теореме Осгуда это отображение биголоморфно в окрестности а
и — 5^= 0. П
OZ a
Выясним геометрический смысл формулы A0.6). Пусть в
Rn\{0} задана (п— 1)-мерная замкнутая кусочно-гладкая поверх-
поверхность (цикл) S={x: x = x(t), fe/"-1}, /»-i = {f. t = (tu ..., tn-i),
i j
..., in_j), /= 1, . .., n— 1.
Индексом поверхности S относительно начала координат называет-
называется число
Jo (S) = 4; j J7r 2 (- irЧ** f/] =
S i=i
... xn{t)
= у <J
A0.14)
где 2K = —— мера (объем) единичной сферы в R". Под-
()
ынтегральная форма в A0.14) выражает меру проекции элемента
поверхности на единичную сферу с центром в пуле (телесный угол,
под которым «виден» этот элемент из начала координат). Интег-
Интеграл A0.14) можно представить в виде
dD
С \ Г п п
= f~ J TFvn 2 (~ lf~\du [j] Д dv + 2 (- i)i+r-\du Д cfo [/]

11. Формула Лере — Коппелъмана 57
где ч = f(dD); ?, = щ+ivj, / = 1, .. ., п; здесь
с ( п п
J [тЫ 2 (~ W~\du [/] Д dv + V (- 1У+"-V" Д
\j=x
согласно следствию из формулы Стокса. Таким образом, можно
считать обоснованным следующее утверждение.
Теорема 10.11 (Принцип аргумента). При выполнении усло-
условий теоремы 10.6 число нулей отображения A0.4) в области D
равно индексу относительно начала координат образа f(dD) гра-
границы области D при отображении A0.4) (числу «обходов» поверх-
поверхности f(dD) вокруг 0).
Этот факт нетрудно получить и из топологических соображений.
Теорема 10.12 (Южаков — Рус). Пусть D — ограниченная
область с кусочно-гладкой границей, отображение f^An(D) и не
имеет нулей на dD, тогда для любой функции <p^Ac(D) справед-
справедлива формула *
\ ф(о (/,/)= 2 4>(а)- A0.15)
6d aeE]
Доказательство. Выберем е>0 так, чтобы e<min|/|.
dD
Почти при всех ? еД, отображение A0.5) имеет в D лишь простые
нули и по лемме 10.9
( <рео(/-?,/=?)= 2 ФЫ- (Ю.16)
an aiSEf-t
Теперь устремим t, к нулю, при этом (см. п. 1 доказательства тео-
теоремы 10.6) нули отображения A0.5) стремятся к нулям отображе-
отображения A0.4), причем к каждому нулю / стремится столько простых
нулей / — ?, какова его кратность. Переходя в A0.16) к пределу
при ? -*¦ 0, получаем A0.15). ?
11. ОСНОВНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЛЕРЕ — КОППЕЛЪМАНА
И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
1°. Рассмотрим следующую, важную для дальнейшего, внеш-
внешнюю дифференциальную форму, зависящую от голоморфного ото-
отображения /, непрерывной вектор-функции wm и непрерывно-диф-
* Напомним, что в формуле A0.15) каждый нуль считается столько раз,
какова его кратность.

58
- Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
ференцируемых вектор-функций w{i), ..., и;'"'
О (jo) JD (»-i) Л __ (-D 2 <"@), dfy
И {w , w , ..., w ,f)- {Ш)П <(p@) ;> Л
<«,<*>, df>
(li.i)
Теорема 11.1 (Основная интегральная формула). Пусть D —
ограниченная область с кусочно-гладкой границей, отображение / е
ei*(S) не имеет нулей на dD, вектор-функции w{0)^C(dD) и
WU) e Cl(dD), j = 1, ..., п — 1, удовлетворяют условию
<wU)(z), /B)>^0, ze№, 7 = 0, 1, ..., п-1. A1.2)
Тогда для любой функции <p^Ac(D) имеет место формула
f
3D
u'@), wM,
\ f) = 2 Ф (а).
A1.3)
Укажем другие формы записи ядра Q. Обозначим
цШ = < J» /> ' 7 = 0'1' ••••"— !•
тогда из A1.1) следует
п(п—1)
Q = {~{Lr (м<0)'df) лd <"A>' «*/> л • •. л «* <«("
а условие A1.2) переходит в условие
Далее, из A1.4) находим
1
,.(«-!)
A1.4)
A1.5)
A1.6)
где
суммирование происходит по всевозможным наборам (ii, .. ., г„-\)
чисел, взятых измножества {1, 2, .. ., п). Отметим еще, что Q(f, ...
..., /, /)=(о(/, /), т. е. формула A0.15) является частным случа-
случаем формулы A1.3), при этом условие A1.2) означает, что 1/1=^0
на dD.
Для доказательства теоремы 11.1 нам потребуются некоторые
простые свойства ядра Q.

11. Формула Лере — Коппелъмана
59
Лемма 11.2. Q(wi0\ wA), . . ., iv{n~u, /) не зависит от вектор-
фунщии w@).
Доказательство. Пусть Qi и Q2 — две формы вида A1.4),
зависящие от м<0), иш, .. ., и{п~1) и vi0\ uU), ..., и(п~1) соответствен-
соответственно. Нужно показать, что Qi = Qj. Обозначим s@) = и@) — у@), тогда
z, z), /(«)> = О,
A1.7)
Используя представление Qi и йг в виде A1.6), получим, что
форма Qi — Q2 имеет в качестве коэффициентов определители
„(п-1)
(О) A)
Sl Ul\
A1.8)
Далее, из A1.5) находим
/=
отсюда и из A1.7) вытекает обращение в нуль определителей
A1.8). О
Лемма 11.3. Если вектор-функции w{U, ..
.. ., р{п~1) входят в класс С2{3D), то разность
,,(п-1) „A)
Q(w
@)
W
A)
W
O-I) А_
A1.9)
есгь д-точная форма.
Доказательство. Разность A1.9) представляется в виде
суммы аналогичных разностей форм, у которых отличается только
один из аргументов, поэтому достаточно доказать, что 9-точна раз-
разQ(w A> {и /)Q(@) n\ {2\ <l) /)
ность Q(ww, w
Действительно,
pn\ w{2\
w
<n~l)
р
, /).
A
n(n—l
A
.
Й
- Q (
) - Q
\/) =
где при переходе к последнему равенству использована лемма
11.2. ?

60
Гл. 3. Интегральные представления при п
Отметим ближайшие следствия формулы A1.3).
Следствие 11.4 (Лере — Коппельман). Если
w
@)
удовлетворяет условию
<w{1)(z, а), z-аУФО,
., w
(п-1)
, ae=D, / = 0, 1, ..., п- 1,
то для всякой функции феЛс(В) имеет место обобщенная фор-
формула Коши — Фантаппъе
, w
W
,A-1)
, z — а) = <р (а).
A1.10)
Следствие 11.5 (Лере). Если вектор-функция w<^Cx(dD) и
iw{z, a), z — аУ Ф 0, где z^dD, a^D, то всякая функция <ре
Л представима формулой Коши — Фантаппъе
\ ерю (z — a, w) = ф (а), A1.11)
6D
где
со (z — a, w) = i —
2 (-
Д
<w,z-a}n
Доказательство. Из A1.4) получаем, что
n
где
A1.12)
Далее, учитывая (И.6), находим
Q (w, w, .. .,w,z — a) =
(n — i)\
U,
...[A]
«in
%n
f\dz =
li\ Wu . . . Wln
... [k] ...
Wn И-'ni • • • Wnn
z—a,w). а
Заметим, что вектор-функция A1.12) удовлетворяет условию
<и, 2-а> = 1, zezdD, a^D. A1.13)
Придадим формуле A1.11) более абстрактный вид. Зафиксируем
точку о^й и будем рассматривать в пространстве С2" комплекс-
комплексных переменных (z, и) поверхность Ma = {(z, и): <и, z — a> = 1,
z e= dD).
Следствие 11.6 (Лере). Пусть вектор-функция u(z, а), ге
е dD, a s Z), принадлежит по z классу С1 (<9Z)) м удовлетворяет ус-

^__ 11. Формула Лере — Коппелъмана 61
ловию A1.13). Обозначим а — цикл на Ма, который описывает точ-
точка (z, u), когда z пробегает dD. Цикл а входит в некоторый класс
h е Я2„_1 (Ма). Для любой функции <p<=Ac(D) и любого цикла
ре/г имеет место формула Коши — Фантаппье
п п
/V (И 1)! I / Ч 'V / A\i — 1 7 Г ¦, А 7 /А Л Л /Ч
ф (а) = <•> ¦>» Ф (z) 2d (~ j) Mid" f/J Л dz- A1.14)
Доказательство. Заметим, что A1.14) есть A1.11) для
Р = а. Для того чтобы получить A1.14) с любым § е А из A1.11),
достаточно убедиться в том, что форма 9BHB — а, и) замкнута
на поверхности Ма. Действительно, на Ма среди dzx, . . ., dzn,
du\, . .., dun только 2п — 1 независимых дифференциалов, а указан-
указанная форма имеет максимальную размерность 2п — 1, поэтому она
замкнута. О
Отметим, что формула Коши — Фантаппье (тем более обобщен-
обобщенная формула Коши — Фантаппье) — это есть не одно интегральное
представление для функций ц> ^ AC(D), а целое множество таких
представлений, зависящих от выбора вектор-функции w. Для раз-
различных классов областей D удается выбрать так и>, чтобы выпол-
выполнялись условия следствия 11.5 и w было голоморфно по а в D.
Таким образом, получаются интегральные представления с голо-
голоморфными ядрами.
Классическая формула Коши для голоморфных функций одного
комплексного переменного
dD
обладает двумя замечательными свойствами, вызвавшими большое
число ее приложений:
1) она универсальна, т. е. верна для любой области D с доста-
достаточно хорошей границей dD, и ядро Коши l/2ni(z — а) не зависит
от вида D;
2) ядро Коши голоморфно по о^Д при фиксированном z^dD.
Для голоморфных функций многих комплексных переменных
нет интегрального представления с двумя аналогичными свойства-
свойствами, а существуют либо универсальные формулы, но с неголоморф-
неголоморфным ядром (например, формула Мартинелли — Бохнера A0.1)),
либо неуниверсальные, но обладающие голоморфными ядрами.
Аналогично следствию 11.5 получается следующее утверждение.
Следствие 11.7. Если область D и отображение / удовлетво-
удовлетворяют условиям теоремы 11.3 и вектор-функция w^C1(dD) такова,
что <ц», f>?=0 на dD, то справедлива для всякой
формула
f ф© (/,№)= 2 Ф(а), A1.16)
dD SE

62 Гл. 3. Интегральные представления при п> 1
(- I)' v>, dw []] Л df
где
Заметим в заключение, что формулам A1.3), A1.10) и A1.16)
можно придать более абстрактный вид, подобно тому, как фор-
формулу A1.11) мы привели к виду A1.14).
2°. При п = 1 формула Коши — Фантаппье A1.11) или обоб-
обобщенная формула Коши — Фантаппье A1.10) превращаются в клас-
классическую формулу Коши. Однако для голоморфных функций од-
одного комплексного переменпого можно получить и другие интег-
интегральные представления, восстанавливающие значения функции в
точках zefl по ее значениям на dD, не совпадающие с формулой
Коши, например, с помощью конформного отображения.
Пусть w = ty(z) есть конформное отображение замкнутой обла-
области D на замкнутую область U (здесь w = w\, z = z\). Рассмотрим
обратное отображение z = Q(w), z^D, ше5. Теперь из классиче-
классической формулы Коши A1.15) получим
1 ic\ i w 1 I ± /л / w 0' (л) dT\ 1 [ с /л / w 9 (л) ("П — w) df]
dG dG
или в других обозначениях
dD
где функция ф непрерывна по совокупности переменных при z e
еД ? е В, голоморфна по ? в D и ф(з, z)= 1. Формула A1.17)
не получается сразу из общих формул A1.10) и A1.11). Естествен-
Естественно обобщить соответствующим образом формулы A1.10) и A1.11).
Предложение 11.8. Пусть wU)(?, z) удовлетворяют усло-
условиям следствия 11.4, функция ф(?, z) при фиксированном z^D
принадлежит AC(D) по ? и ф(г, z)= 1. Тогда для всякой f<^Ac(D)
и любой точки z e D верны модификации формул A1.10) и A1.11):
,Ь) ,...,К- , С,— Z)=J(Z), A1.18)
dD
\ /фСО (^ — Z, !i/' )=/(z). A1.19)
3D
Доказательство. Применяя A1.10) к функции /(?)ф(?, z)
при фиксированном zefl, получим
(/<pQ = /(z)<p(z,z) = /(z). ?
При ге = 1 формулы A1.18) и A1.19) содержат все возможные

П. Формула Лере — Коппелъмана 63
интегральные представления — аналоги интеграла Коши. Очевидно,
что формула A1.17) содержится в формулах A1.18) и A1.19), ко-
которые при п = 1 имеют вид A1.17), но от функции ф(?, z) требу-
требуется лишь, чтобы при фиксированном z ^ D она входила по ? в
класс AC(D) и чтобы ф(г, z) = 1. Пусть теперь дано некоторое ин-
интегральное представление для функций / е AC{D)
= 55 J
D
J
где ядро #(?, z) по % непрерывно на dD при фиксированном ze
еД Вычитая из A1.20) классическую формулу Коши, получим
J
dD
для всех f^Ac{D). Отсюда следует (см., например, [134, гл. III;
124, с. 131]), что разность #(?, z) — (? — z) продолжается с dD
в D как функция класса Ас(D), которую обозначим g(?, z). Тогда
где ф удовлетворяет указанным требованиям. Формула A1.19) и
при п > 1 обладает известной законченностью.
Предложение 11.9. 1. При биголоморфном отображении
замкнутой области D ядро фо)(г —a, wil)) преобразуется в ядро
того же вида. 2. Если п = 2, функции F\(z) и F2(z) принадлежат
AC(D) и F\ + F2 Ф 0 в D, то воспроизводящее ядро
F ф ш (z — а, шA)) + F ф ш (z — а, ц>B))
^1 + ^2
ссгь снова ядро того же вида, как и A1.19).
Можно поставить и более общий вопрос об общем виде формулы
логарифмического вычета
f ф«)х(?)= S ф(«), (И.21)
dD ae?/
справедливой для всех ц>^ AC(D), отображений f<^An(D) и не
имеющих нулей на dD; здесь %е C2n-\{dD).
Будем рассматривать случай п > 1. Выясним, при каких усло-
условиях любая форма, удовлетворяющая A1.21), имеет вид Q(wiQ\
wA), .. ., w[n~v, f) при подходящих w[0), wil), .. ., w{n~1). В форму
й множителем входит произведение df = — dz, поэтому если яко-
якобиан отображения / вырождается в точке 2° ^ dD, то и все формы
вида A1.1) вырождаются в этой точке. Добавляя d-точное слагае-
слагаемое типа (п, га— 1) к форме Q, всегда можно найти %, удовлетво-
удовлетворяющую A1.21) и невырожденную в точке zq. Поэтому естествен-
естественным условием на / является следующее: — =^= 0 на dD.

64 Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
Любые две формы вида A1.1) для одного и того же отображе-
отображения / отличаются друг от друга на 3-точное слагаемое (см. лемму
11.3). Отсюда следует, что если любая форма, для которой выпол-
выполняется A1.21),. имеет вид A1.1), то любая форма, ортогональная
голоморфным функциям при интегрировании по границе области
D, продолжается в D как d-точная. При п = 2 из одного результата
Даутова (см. [25, теорема 26.10]) получаем, что D — псевдовыпук-
псевдовыпуклая область. Мы потребуем несколько больше: D — строго псевдо-
псевдовыпуклая.
Теорема 11.10 (Даутов). Пусть D — строго псевдовыпуклая
область в С", п > 2, отображение f^An(D), причем у2Ф® на dD.
Тогда любая форма % степени 2ге — 1 на dD, удовлетворяющая ус-
условию Гёльдера с показателем т > 1/2 и условию A1.21), имеет
вид й(и;@), wa\ ..., w{n~l\ /) для подходящих вектор-функций
wa)^Cx(dD), / = 0, 1, ..., га-1, если: 1) п = 2, либо 2) п > 3
и комплексные касательные к поверхности* f{dD) не заходят в
начало координат.
Следствие 11.11 (Даутов). Пусть D — строго псевдовыпук-
псевдовыпуклая область в С2 либо строго псевдовыпуклая и линейно-выпуклая
область в С", п > 3, и %a(z)—форма по z ^ dD степени 2п — 1,
удовлетворяющая условию Гёльдера с показателем х > 1/2 и та-
такая, что для всех а е D и для всех <р е AC(D)
Ф(о)= \ <p(z)xa(z).
6d
Тогда существует гладкая по z^dD вектор-функция wa(z), для
которой <,wa(z), z — аУФО на dD и
Xa(z)=Q(z — a, wa(z),z — a, ..., z — a, z — a).
Это следствие утверждает, что для указанного класса областей
при п > 1 любое интегральное представление для голоморфных
функций с ядром, удовлетворяющим условию Гёльдера с показа-
показателем т > 1/2, есть обобщенная формула Коши — Фантаппье (фор-
(формула A1.10)). Доказательства теоремы 11.10 и следствия 11.11
можно найти в [25, § 26].
Отметим еще одно формальное обобщение формулы Коши —
Фантаппье A1.11), состоящее в том, что в знаменателе ядра
<o(z — a, w) вместо скалярного произведения <w, t, — z> рассматри-
рассматривается <w, (?(S)~^(z)>, где Q^An(D). По теореме Гефера
2
3=1
* t(dD) —гладкая поверхность (возможно, с самопересечением), так как
dD — гладкая и ^ ^=0 на dD.

11. Формула Лере-Коппельмана
65
где <?«(?, z)<^An(DXD). Обозначим Q = detllg«ll. Из A1.11)
следует
Предложение 11.12 (Айзенберг). Для всякой f^Ac(D) и
любой точки z^-D справедлива формула
— Q(z),w)=f(z)t A1.22)
где
dD
4 ' ' Bщп (w,fyn
Хотя формула A1.22) является формально более общей, чем
формула Коши — Фантаппье A1.11), но тем не менее каждая из
них является простым следствием другой.
3°. Формула Мартинелли — Бохнера A0.1) получается из фор-
формулы Коши — Фантаппье A1.11), если взять w = ? — z.
4°. Область D = {z: p(z, z)<0) называют регулярной линейно-
выпуклой, если действительная функция р принадлежит классу С2
в окрестности D, причем grad р Ф 0 на dD и для всякой % е QD
касательная аналитическая плоскость {z: <z — ?, grad p(?)> = 0}
не пересекает D. Для такой области в качестве w в формуле
A1.11) можно рассмотреть grad p, в этом случае для f^A
получаем
1.23)
где
Ptn
Zr&n
, 7 = 1,
В A1.23) так же, как в формуле Коши при п = 1, внешнее
переменное z входит только в знаменатель ядра, и этот знамена-
знаменатель является линейной функцией от z, взятой в степени п. Такая
хорошая структура ядра повлекла за собой ряд красивых прило-
приложений формулы A1.23).
Представим dD в виде объединения непересекающихся множеств
Гт, тп = 1, ..., п, так, чтобы Рр ^=0 на Г™. При этом на Гт
[/] Л dl = (-
-?- dl [го] Л
л. а. Айзенберг

Гл. 3. Интегральные представления при п> 1
поэтому формулу A1.23) можно записать в виде
|чт-1 Г f(QL(p)d?[m]/\
J Pi
m=i
р- <gradp(?), ? —z>"
1 т »т
где L(p)-— определитель Леей:
О р^ ... ре
- ^(Р) = -
P?
fen
A1.24)
Точка % е дВ называется точкой строгой псевдовыпуклости, если
форма Левн
п
положительна для всех таких л, что
A1.25)
Предложение 11.13. Определитель Леей L(p) равен произ-
произведению собственных чисел формы Леей на гиперплоскости
A1.25), умноженному на Igrad p(?) I2.
Из этого предложения следует, что интегрирование в формуле
A1.23) производится по замыканию множества точек строгой псев-
псевдовыпуклости дВ. Из теоремы 14.10 вытекает, что указанное за-
замыкание в рассматриваемом случае регулярной линейно-выпуклой
области D содержит границу Шилова S(D). В этом утверждении
требование линейной выпуклости D можно отбросить, а именно,
верна следующая
Теорема 11.14 (Росси — Базнер). Пусть D — ограниченная
область, dD^C2. Тогда S(D) содержится в замыкании строго псев-
псевдовыпуклых точек дВ.
Отметим, что всякая регулярная выпуклая область является
и регулярной линейно-выпуклой, поэтому для нее верно интег-
интегральное представление A1.23). В частности, для эллипсоида В =
= {z: a,|z1l2 + ... + aJzJ2<i?2}; a.>0) j = l; ,.., щ получаем
¦¦•«» (я-1I
2 (-
л
Формула A1.26) при ai = ... = ап = R = 1 называется формулой

12. Представления специального вида 67
Бохнера для функций, голоморфных в единичном шаре. Ядро в
(И.26) голоморфно по z и антиголоморфно по ? (т. е. голоморфно
по ?). Такие воспроизводящие ядра при интегрировании по 6D
называются ядрами Сеге (см. разд. 14). .
В следующем разделе мы осветим и некоторые другие следствия
интегрального представления Коши — Фантаппье.
12. КРАТНАЯ ФОРМУЛА КОШИ,
ФОРМУЛА БЕРГМАНА — ВЕЙЛЯ,
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТРОГО ПСЕВДОВЫПУКЛОЙ
И и-КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
1°. Пусть Di e С?4 — ограниченная область с кусочно-гладкой
границей, г=1, . .., п; область D = D\ X . . . X Dn с С" называется
полщилиндрической областью (в частности, поликругом или поли-
полидиском, если все Д; — круги). Множество Г = dD\ X . .. X dDn,
снабженное естественной ориентацией, индуцированной ориентаци-
ориентацией области D, назовем остовом области D.
Теорема 12.1. Пусть D — полицилиндрическая область, z —
любая точка D, функция f e AC(D), тогда справедлива формула
Коши
/(e)= * f/jf>*. A2.1)
/V ; Bju-)nJ z~a '
Заметим, что в формуле Коши A2.1) остов Г играет ту же
роль, какую играет вся граница области в классической формуле
Кошп при л = 1. Из наличия интегрального представления по осто-
остову следует, что для функций из AC(D) справедлив относительно
остова принцип максимума модуля (см. теорему 14.10).
Кратная формула Коши A2.1) является примером формулы с
голоморфным ядром, но неуниверсальной (верна только для поли-
полицилиндрических областей).
Доказательство. Формулу , A2.1) легко получить повтор-
повторным применением классической формулы Коши для га —1, однако
мы приведем другое доказательство, показав, что A2.1) вытекает
и) формулы Коши — Фантаппье A1.14) при подходящем выборе
Цикла интегрирования р. Этот же способ нам потребуется далее
при выводе формулы Вейля.
Представим dD в виде U уь гДе Ъ = iz: ze Б, zt е Щ}. Над
каждой гранью -у. рассмотрим вектор-функцию и(г) = (и[г), ..., и^),
где Ujl) = Ьц{%{ — пгУ1, t, / = 1, . . ., п. Очевидно, ии) удовлетво-
удовлетворяют условию A1.13). Теперь рассмотрим в пространстве С2п ори-
ориентированную поверхность p, = {(z, uli)), z е ^Д, i = 1, .. ., п.

68 Гл. 3. Интегральные представления при п> 1
Объединение U Р» не является циклом, так как над каждой
гранью ft вектор функция w(t) своя. В то же время дТ> — цикл и
множество {(z, и): z^dD) также было бы циклом, если бы и бы-
была непрерывной поге dD.
п
В множестве (J Pi имеются «дырки», расположенные над теми
точками, где пересекаются грани ^, т. е. над ребрами. Эти «дырки»
мы «заклеим» следующим образом: если к ребру Yv-ij сходится
j граней Y»' ••••Y»-» т0 наД таким ребром построим множество
Все
п
поверхности ft ...ь добавим к [) р4; полученная (ориентированная)
поверхность р является циклом. К р применим формулу A1.14).
Заметим, что все u(i) голоморфны по z, поэтому du J [/] Д dz = 0,
i, 7 = 1, ..., п, значит, интеграл A1.14) по каждому [}< равен ну-
нулю. Если / < п, то на Pi ...ь все du [к] Д dz = 0, так как и голо-
голоморфно зависит от z и от (у —1) независимого параметра X, т. е.
всего есть п + j — 1<2и — 1 независимых дифференциалов. По-
Поэтому интеграл A1.14) по Pi,.л- тоже равен нулю. Осталось
вычислить этот интеграл по Pi ..лп-
На Г = fi...n компоненты щ вектор-функции и имеют вид
следовательно,
где мы использовали элементарное равенство
J 2<-ir1^m = ?4irr (i2.2)
Чтобы убедиться в правильности A2.2), достаточно заметить, что

12. Представления специального вида 69
левая часть в A2.2) по формуле Стокса равна
f
л! (n-l)V
Следствие 12.2. При условиях теоремы 12.1
2°. Пусть в области D <= С" задан набор голоморфных функций
Xi(z), ..., 5C«(Z)> N~^n, и набор плоских областей D\, . .., DN, при-
причем Di<=%i(D), i = l, . .., N. Множество А = {z: z e D, Xi(z)sA,
i = l, ..., -/V) называется аналитическим полиэдром. Связная компо-
компонента аналитического полиэдра называется полиэдром Вейля, если
границы dDi кусочно-гладкие и пересечение / граней vf = {z: ze Z),
%< e dDi, %k e 'Dft, k Ф i) имело размерность не более 2и — / (чтобы
п
грани пересекались в общем положении). Обозначимyi ..in= П Y»j-
Эти re-мерные ребра мы снабдим естественной ориентацией, опре-
определяемой порядком граней yi , . .., yin. Объединение всех таких п-
мерных ребер назовем остовом полиэдра А и обозначим о. По тео-
теореме Гефера
Определитель detll^ll, i = i\, ..., in; / = 1, ..., «, обозначим Qtr..in.
Теорема 12.3 (Вейль). Пусть А — полиэдр Вейля и /е
& AC(D), тогда для геД верна формула
(Am) {
Формула A2.3) называется интегральным представлением Берг-
Бергмана— Вейля. Она обобщает интегральную формулу Коши A2.1)
для полицилиндрических областей и превращается в нее, если N =
= и, %i = Zi, i = l, ..., и. Формула A2.3) восстанавливает значения
голоморфной функции / в А по ее значениям на w-мерном остове о
и имеет голоморфное по z ядро, причем вид ядра зависит от области.
Доказательство в основном повторяет доказательство тео-
теоремы 12.1. Над каждой гранью ч< рассмотрим вектор-функцию

70 Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
«(i>=(«A1),..., «{,'>), где
п
(i) V IY \
ик = Яш Zi qij Vbj — zi)i
над каждым ребром yt ...*„ множество р{ ...jn = |(С, «): ^ е yi ...{„»
w = 2 hju^> ^jS^O, 2 ^; — l|- Так же, как при доказательстве
теоремы 12.1, устанавливается, что
J
Г /(
J -
v
X
I
Bit()" ^ J Л
Для простоты проделаем указанные вычисления для п = 2:
; 1
X
J
!l!2 . а
j=i
3°. Строго псевдовыпуклые области играют важную роль в мно-
многомерном комплексном анализе. Этими областями (так же, как и
полиэдрами Вейля) можно аппроксимировать изнутри всякую об-
область голоморфности. Для того чтобы получить из формулы Коши —

12. Представления специального вида 71
Фантаппье интегральное представление функций, голоморфных в
строго псевдовыпуклых областях, н,ам потребуются некоторые вспо-
вспомогательные предложения.Обозначим D(, = {z: z^Q, p(z)<8), где
D = {z: ze=(?, p(z)<0), D <= Q, p<=C2(Q), grad р Ф О на dD и
функция р строго плюрисубгармонична в Q; далее V6 = (z: z e (?,
lp(z)!<6}, #.,,=¦{(?, z): ?eFe, zsft, |g-z|<e>, где e > 0,
б > 0. Пусть Сх(Уь, Н)—пространство функций класса С1 в Fe со
значениями в пространстве Н.
Лемма 12.4. Для всякой строго псевдовыпуклой области D
существуют положительные постоянные е, б, о и функции F е
е С1 (Ut б), G s С1 (С/г 6), Ф е С1 (F6, Л (/).)) такие, что:
1) O = ^G zw f/te; F(z, z) = 0; |GI>6 на f/e(S; |Ф|>6 вне
Uty,
2) 7m С/Е]в имеет место неравенство
3) ,(t, ) ( p
Доказательство. Пусть вначале область D строго выпук-
выпукла, точнее, пусть функция р строго выпукла в Q, тогда введем
Из формулы Тейлора следует, что существует о > 0 такая, что для
teZ?6'i z^D&' имеет место неравенство 2 Re ./?(?;, z)^p(^) —
— p(z)+ al? — z|2 и в этом случае утверждения леммы справедливы.
В общем случае для всякой точки % е dD существует (см. лем-
лемму 12.5) такое биголоморфное отображение w(z, ?,) некоторой ок-
окрестности C/V точки ?, на некоторую окрестность нуля В в простран-
пространстве С^, что обратное отображение z(w, |) переводит строго плю-
рисубгармоническую функцию p(z) в строго выпуклую функцию
pp-(w) = p{z(w, ? ))переменного w в области В. По формуле Тейлора
существуют е' > 0, о'> 0 такие, что для \w'\ < e', \w — w'\<e'
2Re 2 ~t- (^ - ^) > РГ (w') - РГ (^ + o'\w'-w |
поэтому существуют такие е' > 0, о' > 0, что
2Re 2 -Ss— ^ (s. s) - ^ B,01 >

72 Гл. 3. Интегральные представления при п
если \% - %\ < е\ IS - ъ\ < е'. Обозначим
г (ю (С, f) ^
ЬЫе?)(
= 2 %P f 2 ^
. A2.5)
Здесь IS —SI < e', IS —zl < e'. Рассмотрим такие точки S1, • • •, SN
на 5D, чтобы
Пусть функции {ф,>,=1 n образуют разбиение единицы в Vy и
носитель ф, содержится в В > ( ?*). Обозначим
где С е ^6', 11 — z | < 2е = min e].
Теперь из A2.4) — A2.6) получаем
2ReF(S, z)^p(S)-p(z)+olS-z|2, (S, z)e f/2ee. A2.7)
Здесь a=minffj. Тем самым доказано утверждение 2), утвержде-
утверждение 3) проверяется непосредственно.
При малых 6'>0 из A2.7) следует, что при ?^^6'i z<=D(,>,
|?|2?
S, z)>0. A2.8)
Зафиксируем непрерывную однозначную ветвь \nF в области
{F: ReF>0} и рассмотрим вещественнозначную финитную функ-
цию хB) класса С°° с носителем в шаре 5ге@), причем %{z)=\
в 58@). Введем внешнюю дифференциальную форму .4(S, z) типа
(О, 1), гладко зависящую от параметра t,(=Vt':
Air z) = Pz[x^^lnFl' еСЛи ze=suppgradzx(? — z),
' ~ |0, если z ф. supp gradz % (? — z).
Форма 4(S, zJeC'IF,, C(I»a)J_, где 0 < б < б', поэтому из из-
известных результатов о решении <9-задачи (см., например, [34, jreo-
рема 25.3]) следует существование функции В(%, z)^Cl(Vt, C(Dt))
такой, что
dzB(l, z) = A(t, z). A2.10)
Положим
)[B?)] при Se7e,ze2)e,|S-2Ke.
)] при &e=7e,z€=A>,|?-z|>e.
A2.11)

12. Представления специального вида 73
Это определение корректно, так как при |? — z| = e справедливо
Fexp[-flE, z)] = exp[lnF-5(?, z)]. Теперь из A2.9)-A2.11)
вытекает утверждение 1) леммы. П
Лемма 12.5. Пусть D = {z: ге(), p(z)<0} — строго псевдо-
псевдовыпуклая область. Для любой точки t, e dZ) существует такое би-
голоморфное отображение некоторой окрестности Uy точки ? на
некоторую окрестность нуля в пространстве С^, чго ири эти ото-
отображении область D П f^r биголоморфно эквивалентна выпуклой
области в С?, а обратное отображение переводит строго плюрисуб-
гармоническую функцию p(z) в строго выпуклую функцию.
Доказательство. Параллельным переносом можно добить-
добиться, чтобы точка % была нулем, тогда в некоторой окрестности нуля
По теореме о неявной функции в меньшей окрестности нуля за ло-
локальные координаты можно принять функцию
и любые линейные функции И72, ..., wn, являющиеся координатами
f ар (oi , зр@) J „
в гиперплоскости \z: -^—гх + ... + -^—zn — Ut. Строгая псевдо-
псевдовыпуклость в точке 0 теперь означает, что
n __ Э2р @)
где y>U; Cji — . В#новых локальпых координатах
п
Р = *! + 2 «ji^i + о (| и> |2). A2.12)
j,i=l
Здесь Xi = Re w\. Функция A2.12) строго выпукла в координатах
w. Если е > 0 достаточно мало, то Ве @) Л D — выпуклая область
в координатах w, где Ве@)= {w: \w\ < e). О
Лемма 12.6. При условиях леммы 12А
Ф(?,*) = 2 Л(Е,*)(&-*«)»
г=1
гйеР4(^, z)e С1 (V., 4(Дв)), » = 1 п, ^^г^В,
Доказательство. Обозначим С(?, z, и?)=Ф(^, z)—Ф(^, н?),
С(%, z, w)^Cl(Vt, A(DtXDt)). При фиксированном t, e F« функ-

74 Гл. 3. Интегральные представления при п> 1
ция С входит в идеал / голоморфных функций, равных нулю на
множестве {(z, w): z^D6, w e Da, z= w). По теореме Гефера иде-
идеал / имеет образующие W\ — z\, ..., wn — zn, и разложение С(%, г,
w) по этим образующим можно сделать непрерывно дифференци-
дифференцируемым по параметру ? (см. [34, теорема 25.2']), т. е. существуют
Qi{%, z, ^еС^б^ф.ХД.)), i= 1, ..., и, такие, что
71
С (?, z, w) = 2 & (?, z, w) (u>i - Zi).
Отметим, что F(t,, ?) = 0, значит, и Ф(?, ?) = 0 (см. доказательство
леммы 12.4), поэтому
п
Ф (?, z) = С (?, z, ?) = S ,Р{ (?, z) E4 - zO,
Используя вектор-функцию Р = Р(^, 2) = (Pi(^, z), .. ., Pn(l, z)),
существование которой доказано в лемме 12.6, теперь из формулы
Коши — Фантаппье получаем следующее утверждение.
Теорема 12.7 (Хенкин — Рамирез). При условии леммы 12.4
для всякой f^Ac(D) и любой точки z^D имеет место формула
/(г)= f
)). A2.13)
Ядро в интегральном представлении A2.13) не выписано явно,
однако оценки из леммы 12.4 позволяют получить информацию об
особенностях этого ядра, что оказалось достаточным для многочис-
многочисленных важных приложений (см. обзор ,[163]).
4°. Пусть D — полная ограниченная и-круговая область с цент-
центром в нуле (какая-либо гладкость dD не предполагается), М ¦—
множество векторов к с целыми неотрицательными взаимно про-
простыми координатами. Для каждого к <= М возьмем точку ?.(&), в ко-
которой достигает максимума на dD моном |?*1 (такую точку можно
выбрать не единственным способом, возьмем одну из них). Соот-
Соответствующий остов AC(ft) = {z: \zi\ = 1^(^I, i = l, • --> п^ обозначим
просто А (к). Наконец, рассмотрим любой остов, входящий в 3D,
и обозначим его А @).
Теорема (Леу — Айзенберг — Гиндикин). Для всякой /е
A(D) справедливо интегральное представление: при z^D
ряд в A2.14) сходится абсолютно и равномерно на каждом ком-
компакте в D.
/•Доказательство. Можно считать, что f^A(D), так как
вместо D можно рассмотреть гомотетию Dr, 0 < г < 1, а затем еде-

13. Формула Лндреотти — Норге 75
лать предельный переход при r^- i. Представим /(z) в D степен-
степенным рядом
^r J /(QT+ 2 2Z J ^ri
; LA(o) ueA/j=i Д(й) b J
B<Ч J ^ + Ik J &*-,*? '
где kj = (Ai/, . . ., Any) и
так как И < l?*| при геД ?<(
Отметим, что формула A2.14) универсальна для рассматривае-
рассматриваемого класса областей.
5°. Пусть область D = D\ X ... X ?>п_— такая, как в Г. Функции
i|);(zj) голоморфны соответственно на D] и не имеют нулей на dDs,
j = 1, ..., п.
Предложение 12.9. Пусть D^H, a j^Hl(D), тогда спра-
справедлива следующая формула логарифмического вычета:
гйе е правой части формулы A2.15) каждый нуль вектор-функ-
вектор-функции 1ф = ('ф1, ..., tyn) считается столько раз, какова его кратность.
Формула A2.15) сразу получается и-кратпым применением фор-
формулы логарифмического вычета из теории функций одного комп-
комплексного переменного. Здесь использован специальный вид if>, у ко-
которой каждая координата есть функция одного переменного. Для
произвольной голоморфной вектор-функции г|: формула A2.15),
вообще говоря, неверна (см. [171]).
13. ФОРМУЛА АНДРЕОТТИ - НОРГЕ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ
\°. Пусть a = (ai, ..., а„), где псе а( — целые неотрицательные
числа. Обозначим (w,j a) = «'Ji1 + . ¦ • + wnfnn. Здесь w =
= (wu ..., wn), / = (/i, ...,/„); далее,
n
У\ (— I)-7' iw. dw [j] Д if
«• (/' -) = Ч^Г-2 <^

76 Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
Теорема 13.1 (Андреотти — Норге). Пусть функция qje
eic(Z)), где D — ограниченная область с кусочно-гладкой грани-
границей, тогда для всякой точки, ге D ц. любого а
J ф (I) «а (? ~Z,(l- i)"+1) = />"ф (z). A3.1)
Отметим, что ядро в формуле A3.1) имеет вид
Bя*)»
Формула Андреотти — Норге A3.1) обобщает формулу Мартинел-
ли — Бохнера A0.1) на случай, когда речь идет о вычислении не
значения голоморфной функции в заданной точке, а значения лю-
любой ее производной. При а = 0 из A3.1) получается A0.1). За-
Заметим, что при п > 1 ядро <о« не является производной от ядра и,
и только в случае и = 1 формула A3.1) превращается в формулу,
получающуюся простым дифференцированием формулы Коши.
Доказательство основано на той же идее, что и доказа-
доказательство теоремы 10.1.
1. Легко проверяется, что форма й>„(? — z, (? — z)a+l) замкнута.
Зафиксируем точку z е D; в силу следствия из формулы Стокса
интегрирование по dD можно заменить интегрированием по дВт (z).
2. В достаточно малой окрестности точки z голоморфная функ-
функция ф(?) разлагается в кратный степенной ряд с центром в точ-
точке z, значит, для доказательства A3.1) достаточно установить, что
j=l
1 A3.2)
1, если а =(р. v '
3. Заметим, что при замене переменных t,j — zj = е j (^-—z^),
0 < tj < 2я, 7 = 1, ..., n, множество 55(ra)(z) переходит в себя,
а подынтегральная форма в A3.2) умножается на е ^ * "^ ...
г*„(рп-а„)
• •.с ! поэтому верна та часть A3.2), которая касается
случая а Ф $.
4. Если а = р, то интеграл в A3.2) по формуле Стокса равен
J I fei — zx I
д
Д

13. Формула Андреотти — Норге 77
J 1С,—х
^„ —zn| = и! j dt = l. D
ti>0
Формулу Андреотти — Норге можно обобщить в духе формулы
Коши — Фантаппье.
Теорема 13.2. Пусть выполнены условия теоремы 13.1 и век-
вектор-функция w^C\ @D) удовлетворяет условию
<w(t,z), (?-*)(вН)>=*0, zczD, t^dD,
тогда
WteWE-*, w) = Da<f(z). A3.3)
Доказательство можно дать либо тем же способом, каким
доказана теорема 11.1 (способ Котшельмана аналитический), либо
геометрическим, который мы и изложим (способ Хенкина). Каж-
Каждый из интегралов A3.1), A3.3) представляет собой интеграл от
одной и той же внешней дифференциальной формы
ф@= 2(-i)'~V»[/we A3.4)
1=1
по циклам
То =
соответственно, которые лежат в пространстве Ц)Щ на поверхности
Ма) = {(?, w): С е32), (i;, (С- z)(a+1)> = 1}.
На этой поверхности форма A3.4) замкнута и для доказательства
того, что интеграл A3.3) равен интегралу A3.1), достаточно уста-
установить, что циклы чо и "f гомологичны на Мх- Рассмотрим множе-
множество <? = {(?, v): ?еЗД у-=Я,у° + A-XJu1, 0<К1), Ясно: что
Т — То = <9@. Далее
— а) »«

78 Гл. 3. Интегральные представления, при п > 1
т. е. Q с М[а\ Итак, на Л/1™' циклы ^о и fi гомологичны. ?
Наконец, моншо сделать дальнейшее обобщение формулы A3.1)
аналогично теореме 11.1. Обозначим
' "'' Д
), df> Д Л
Теорема 13.3. Если выполнены условия теоремы 13.1 и век-
тор-функции w{0)<=Ct(dD) и w{i) <=C\(dD), /=1, ..., га-1, удов-
удовлетворяют условию
<u;w(S, z), (?-z)(a+1)>^0, геД^ЕЩ j = 0, 1, ...,.<;-1,
mo j Ф (Q Qa (ш@), ..., i^—", ? - z) = D> (z). A3.5)
3D
Доказательство аналогично доказательству теоремы 11.1.
2°. Возникает задача: нельзя ли построить формулу многомер-
многомерного логарифмического вычета, опираясь не на интегральное пред-
представление Мартинелли — Бохнера A0.1), а на более общее интег-
интегральное представление Андреотти — Норге A3.1), т. е. поставлен
вопрос о вычислении интеграла
'««(/Л). A3.6)
где f<^An(D) и не имеет нулей на 3D, или, что то же садюе (срав-
(сравните A0.16) и A1.3), A3.1) и A3.5)),
фйаО^, ...,ш("-1),/). A3.7)
оЪ
Мы не знаем ответа в общем случае, поэтому перечислим ча-
частные случаи, когда интегралы A3.6), A3.7) удалось сосчитать.
1. При п = 1 интегралы A3.6) и A3.7) принимают вид
gi! Г Ф (g)
ЯП ' *'
jWfE!_
дЪ
A3.8)
Здесь Ц2(/), как обычно, кратность пуля z функции /, которая, сле-
следовательно, в окрестности этого нуля имеет вид / (z1) = i|!z (z') X
X (z'—z) , где ф2 голоморфна в данной окрестности, t|iz(z)?=
?=0; наконец, каждый пуль и правой части A3.8) считается столь-
столько раз, какова его кратность.

13. Формула Андреотти — Норге
2. Если а=@, ..., 0), то см. формулы A0.16) и A1.3).
3. Пусть все корни системы /=0 в Д простые, т. е. в окрестно-
окрестности каждого корня якобиан -^ отличеп от нуля. Тогда v\i = fj(z),
/== 1, .. ., п, образуют в этой окрестности систему локальных коор-
инат. В силу замкнутости соа и Qa интеграл A3.6) (соответственно
13.7)) равен сумме интегралов по границам достаточно малых ок-
1естпостей корней системы / = 0, а в каждой из них заменой пере-
генных сводится к интегралу A3.1). Таким образом, в этом случае
ттёграл A3.6) (соответственно A3.7)) равен
(z)
4. Если функцию ф можно разделить па /п, т. е. ф/ а ^ AC(D),
то интеграл A3.6) можно записать в виде
ф v (_ !>;-! 7p+V-«*+D ш л
(" - 1)! «1 Г '
ф ( !> 7
(" - 1)! «1 Г i=i '
т. е. получается интеграл вида A0.16), но не для отображения /,
а для отображения /(a+1) = (/i1 , ...,/n" )» нули которого отли-
отличаются от нулей / только своими кратностями. Поэтому интеграл
A3.6) (соответственно A3.7)) равняется
2ф(г) _ V ФB>
а asEf I W
5. Рассмотрим теперь общий случай f^A"(D) и / не имеет
пулей на dD. Введем цикл Г == {z: z^dD, I/2B) I =...= I /„(л) I =
= e), где e<min|/(z)||. ' Можно показать, что интегралы A3.6)
3D
и A3.7) равны
а интеграл A3.9) в очень общей ситуации равен (сравните [34, § 4])
Здесь Га = (z: z е С/в, |Д.(г) I = e<, i = 1, ..., и).
Поскольку функция z,- — щ обращается в нуль в точке а, то по
теореме Гильберта о нулях {ц — a,j) j принадлежит идеалу,
порожденному функциями /i, ..., /„ (если все fa — полиномы, то

Гл. 3. Интегральные представления при л
j^ 2 deg/f + 1 — и, а в общем случае Nj < H<»(/))i т. е.
fc°i (z) голоморфны в окрестности ?/« точки а е ?Л Обозначим Ва =
Применяя обобщенную формулу преобразования вычета Гротен-
дика [102], получим, что выражение A3.10) равно
Далее обозначим {5S = 2 ^«j и мы приходим к следующему
3=1
утверждению.
Теорема 13.5 (Кытманов). Интегралы A3.6) и A3.7) равны
-2 2
П
ftsj=aj
a
Рассмотрим далее случай, когда все нули / лежат внутри области
D. Пусть теперь q>, fu ..., /„ — полиномы fj = Pj + Qj, где Pj —стар-
пше однородные части fh j — i, ..., п. Предположим, что система
^ = 0, ; = 1, ..., п, имеет только один общий корень — начало коор-
координат, тогда все корни системы f} = 0, / = 1, ..., п, дискретны.
По теореме Гильберта о нулях получаем
где Ьц — некоторые полиномы, а степени Nj < 2 deg /» + 1 — п.

13. Формула Андреотти — Норге 81
Рассмотрим функции
ft (*) = 2 ПЬц = *fj + i Q&i = z? +
il i=l
где degRf<N}. К глобальному вычету A3.10) применим обобщен-
обобщенную формулу преобразования вычета Гротендика (см. [102]), тогда
выражение A3.10) можно записать в виде
^ jj
n
где P» = 2 fcsj> s = 1, ..., к; 5 =
Сумма циклов 2 rgiO гомологична циклу Г8 = {#: \gj\=rh
E
g
j = 1, ..., га}, если г, достаточно велики, а Тв по теореме Южа-
кова (см. [34, § 4]) гомологичен циклу Г = iz: Izjl == г,, 7 = 1, ...
I Л' • 1 *^*
..., п}, так как | Zj3 \ > | Rj | на Г, если г; достаточно велики.
Тогда A3.11) преобразуется к виду
"
!2""
Bлг)
aj' ' i
n X.
s=l Sj J
Далее
„(P+i)
2
п
где 7 = (-yl7 ..., yn), Ry ~ Л11 ,.. Дпп, причем этот ряд на Г сходит-
сходится равномерно, поэтому его можно почленно интегрировать, при этом
A3.12) примет вид
П Jmd
n
^4
ftspo TT ft , я
s=l Sj 3
фВ ТТ
6 Л. А. Айзенберг
f  ••¦ Zr>

82 Гл. 3. Интегральные представления при п
где m; = deg/j, / = 1, ..., п, deg(p = M. Мы получаем следующее
утверждение.
Теорема 13.6 (Кытманов). Если все нули отображения f
лежат в области D, то интегралы A3.6) или A3.7) равны
а! 2 2 , ¦ № + t"- X
я- S mj(.j+l) Ц
Ц V <*1 (Ti + h + 1) ~ 1)! . ..
Х • • • (Л'„ (У„ + К + 1) - 1)! ^ __ ^
A3.13)
В этой теореме содержится важный случай а=@, ..., 0), т. е.
случай вычисления глобального логарифмического вычета, построен-
построенного на основе формулы Мартинелли—Бохнера A0.1), если ф,
/ь ..., /п — полиномы. С другой стороны, мы знаем по формуле
Южакова — Руса A0.16) (см. также A1.3), A1.16)), что этот вы-
вычет равен
2 ф(в). A3.14)
Сравнивая A3.14) и A3.13) при а=@, ..., 0), можно получить
ряд следствий, которые нашли применение при решении систем
нелинейных алгебраических уравнений и в математических зада-
задачах химической кинетики (см. [34, § 21], а также [102, 101, 23,
49, 50]). Рассмотрим систему алгебраических уравнений
z)=O, / = 1, .., п, A3.15)
где Pj(z) — однородные полиномы старшей степени по совокупно-
совокупности переменных, имеющие только один нуль — начало координат;
степени Р} обозначим через /с,, тогда deg Q, < kh j = 1, ..., п. По
теореме Руше 10.7 система A3.15) имеет конечное число нулей.
Пусть mi, • •., mn — такие натуральные числа, что уравнение
Г'
j?jWjij\z) — Zj\zj\ (шло)
5=1 з=1
имеет решение вида
Щ = %aiX{z)zm\ /=1, ...,n, A3.17)
где Щг — полиномы от ъ. Указанному условию заведомо удовлет-
удовлетворяют nij = \к\ + i—n, / = 1, ;.., п (см теорему Мэколея [216]).
Решение A3.17) (вообще говоря, не единственное) уравнения

13. Формула Андреотти — Норге 83
A3.16) можно найти методом неопределенных коэффициентов,
т. е. uji(z) определяются после решения соответствующей системы
линейных уравнений.
Следствие 13.7 (Айзенберг). Пусть cp(z)—полином степе-
степени М, тогда
Г м 1
2 ф (а) = «и фДА 2 Цг1 <">>0>} ' A3Л8)
L j=0 J
г p-miai -™п*пЛ (а!
С 1 Z 2. . . . 2„ == <
I J [0
где Ai — якобиан системы A3.15), а Дг = detll%ll, суммирование
в левой части A3.18) производится по всем корням системы A3.15),
$Ш—линейный функционал на полиномах от zv . .., zn, zxl, ...
заданный равенством
(а! если Pj = тп;а3 + пг} — 1, / = 1, ...,«,
<
противном случае.
Особенно простой вид система A3.15) имеет в случае
U = % + Qj(*) = o, j = i,..., п, A3.19)
где deg Qj < kh j = 1, ..., п. Здесь можно взять т< = k{, i = 1, ...
..., п, тогда !<;{ = 2{г, определитель Дг = 1, и мы приходим к
следующему утверждению.
Следствие 13.8 (Айзенберг). Для системы A3.19) и поли-
полинома <p(z) степени М справедлива формула
5
2.w-»U-4^ 5 (-
SEj L V ...г„" [0A=0
[0A=0 /
A3.20)
где 51 — линейный функционал на полиномах от z\, ..., zn, —, ...
zi
... , —, который каждому такому полиному сопоставляет его сво-
zn
Оодный член.
G. Укажем на связь между интегралом A3.6) и тонятием следа
функции относительно отображения. Предположим, что отображе-
отображение f^An(D) обладает тем свойством, что для каждого y\^f(D)
система уравнений /(z)= t\ имеет в D одно и то же конечное число
корней с учетом их кратностей. Обозначим эти корни z(v)(ii).
Следом голоморфной функции ф е A (D) относительно отображе-
отображения / называется функция
голоморфно зависящая от г\.
С*

84 Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
Предложение 13.9 (Цих). Интеграл A3.6) и след ТгДф)
связаны формулой
dD '
Определенный по формуле A3.21) след допускает следующую
алгебраическую интерпретацию. Пусть Ог и Оч — кольца голо-
голоморфных функций в D и f(D) соответственно. В наших предполо-
предположениях относительно / кольцо Ог является конечным расширением
кольца С?п в следующем смысле: существует конечный набор функ-
функции {ea(z)}cr Ог такой, что всякую функцию у^0г можно пред-
представить в виде
В таком случае след элемента ср расширения Ог => Оп определяется
как след матрицы (сумма диагональных элементов) Hc«p(ti)II, задан-
заданной системой равенств
cp(z)ea(z) = Scap(/(z))ep(z).
Э
Причем след 2саа(т)) эт°й матрицы совпадает со следом A3.21)
a
(см. [171, § 6]). Заметим, что в качестве набора iea(z)} может слу-
служить базис фактор-кольца 0JI(f), где /(/) — идеал в 0г, порож-
порожденный компонентами /i, ..., /„ отображения /. Если / полиноми-
полиномиально, то Оz можно заменить на кольцо многочленов С [z]. Например
к •
если /j(z) = Zj} + {члены степени <^}, то базис в C[z]//(/)
составляют мономы zx 1 . . . znn, 0 < ai < к\ — 1, ..., О < а„ <
< кп — 1. Об отысканиях базиса в других ситуациях см. моногра-
монографию [171].
3°. Для получения многомерных аналогов формулы Карлемана
для производной голоморфной функции желательно использовать
не формулу Андреотти — Норге A3.1), а похожую формулу, но с
однородным ядром. Введем вектор Р =(р, ..., р), где р — натураль-
натуральное число.
Теорема 13.10 (Косбергенов). Пусть функция q><^Ac(D),
где D — ограниченная область с кусочно-гладкой границей, тогда
для всякой точки ге D и любого a
\ Ф (С) (I - zf-*-1 «Р-г (S - МБ - ^)Р) = D\ (z), A3.22)
дЪ
где р>
Доказательство почти полностью повторяет доказательство тео-
теоремы 13.1, поэтому мы его не приводим. И в этом случае нетрудно
получить аналоги утверждений 13.2—13.5, используя указанные
соображения.

14. Голоморфное ядро 85
14. КЕРИФУНКЦИЯ БЕРГМАНА,
ЯДРО СЕГЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
С ГОЛОМОРФНЫМ ЯДРОМ ПО ГРАНИЦЕ ШИЛОВА
1°. Пусть Q — компакт в С", a <В— некоторая совокупность дей-
действительно значных функций, полунепрерывных на Q. Множество
Sg {Q) a Q называется границей Шилова множества Q относи-
относительно $', если: 1) Sg (Q) является определяющим множеством
для совокупности <8 на компакте Q, т. е. оно замкнуто и для любой
функции ф е <§\
supcp(z)= sup ф(г); A4.1)
zsQ zS(Q)
2) Sg(Q) минимально, т. е. никакое собственное подмножество
не является определяющим.
Аналогично вводится понятие границы Шилова в случае, когда
<§ — совокупность комплекснозначных функций, при этом нужно
A4.1) заменить равенством
sup|cp(z)|= sup
Теорема 14.1 Если совокупность & действительных полуне-
полунепрерывных сверху на компакте Q функций удовлетворяет условию:
из фе^1 следует, что все функции вида [ф(г) + In Iz,- — с\] е S,
i = 1, ..., п, где с — любое комплексное число, то граница Шилова
Sg (Q) существует и единственна.
Доказательство. Множество определяющих множеств не
пусто, например, Q — определяющее. Пусть {Г,} — последователь-
последовательность вложенных определяющих множеств: Г,¦=> Г;+1, / = 1, 2, ... .
ос
Тогда Г = Л Г^ — определяющее, так как для полунепрерывных
функций ф
lim sup ф (z) = sup ф (z).
J-.00 я=г,- zer
Теперь из леммы Цорна следует, что существует минимальное оп-
определяющее множество — граница Шилова.
Докажем единственность Sg{Q). Пусть существуют две гра-
границы Шилова S1 = S\ (Q) и S2 = S2g (Q); тогда найдется та-
такая точка z° e ,S1\<S'2 и такое г > 0, что поликруг U(z°, r) не пере-
пересекаются с iS2. Существует функция ф е S1, достигающая макси-
максимального на S1 значения М в пределах U(z°, г)п S1 и остающаяся
меньше этого М на множестве Sl\U(z°, r) (иначе бы S1 не было
минимальным определяющим множеством). Положим
m — sup ф (z),
тогда тп<М.

Гл. 3. Интегральные представления при п
С другой стороны, существует точка z1 e S2\Sl такая, чтг
cp(z') = M. Так как zl<?U(z°, г), то найдется такое i, чтг
I z\ — z\ | > г. Пусть R = sup | Zj — z' |, выберем К > 1 так,чтобы
гей'
m + In (i? + ?i I z' — z\ |) <^M + In (^|2? — z] I).
Рассмотрим функцию of (z) = [q> (z) + In | z$ — z' — X B? — zj) j] e.
e #. Очевидно, if (z1) = JW 4- In (k \ z\ — z\\); если z e SL\U (s°, r)
<;./W + ]n (?i|z? — z] |); если же zeS'flf/fz0, г), то i))(z)^M4
+ In |г( - z? + A - X)(z? - z?) I <Л/ + In (Л|г? - z}\ - \z\ - z\ | 4
4-|zj — z° |) <Af 4- In (A,|z" — z\ |). Итак, для z e S1 верно неравен
ство if (z) < if (z1), что невозможно, так как Sl — граница Шилова мно
жества Q относительно <§. П
Следствие 14.2. Пусть некоторая совокупность <В помп-
лекснозначных функций, модуль которых полунепрерывен сверху
на компакте Q, удовлетворяет условию: из фе!1 следует, чтс
<p(z)(Zj — с)<^<§, i = l, ..., п, где с — любое комплексное число.
Тогда Sg (Q) существует и единственна.
Доказательство сводится к проверке того факта, что со-
совокупность {lnlcp(z)|}, где (ре^, удовлетворяет условиям теоре
мы 14.1. ? _
Если D — ограниченная область, а & = AC(D), то Sg(D) на-
называют просто границей Шилова области D и обозначают S(D)m
Если & = A (D) то S% (d) называют границей Бергмана область
D и обозначают B(D). Если <% — множество всех полиномов, ti
Sg \D) называется полиномиальной границей области D и обоз-
обозначается P(D).
Следствие 14.3 Пусть D — ограниченная область в С". Гра-
Границы S(D), B(D), P(D) существуют, единственны и P(D)c
cB(D)<=.S(D)adD.
Примеры. 1. Если D - шар, то S(Z)) = B(D) = P(D)= dD'.
2. Если D — поликруг, то S{D) = B(D) = P(D) = Г, где Г — его
остов.
3. Пример области голоморфности, для которой границы Шило-
Шилова и Бергмана имеют разную размерность (Айзенберг). Пусть
Функции fm,j = z1mzi, пг, / = 1, 2, ...,_ принадлежат Ас (?))>
их модули l/mjl достигают максимума на Л в точке (zi, z2), где1
| Zj | = ехр I —-^г), |z2| = |z1| ' . Отсюда нетрудно видеть, что
5(Z))={z: |z,| < 1, \Z2\ =jR(|ziI)}, где
Zj', если 0< |zx |<! 1,
если I z, I = 0.

14. Голоморфное ядро 87
Всякая функция из A (D) голоморфна и в замкнутом бикруге
[/(О, 1), поэтому B(D)=S(U)=T = {z: lzil = lz2l = 1}. Итак, для
области D граница Шилова S(D) трехмерна, а граница Бергмана
B{D) двумерна.
2°. Пусть D — ограниченная область в Сп, функция h{z, z)e
^C(D) и положительна в D. Обозначим L\ = L\ (D) совокупность
всех функций f^-A(D) с конечной нормой
у/2, A4.2)
где dv — элемент объема, интеграл в A4.2) понимается как не-
несобственный; Ь^ является гильбертовым пространством со ска-
скалярным произведением (/, g) = ) jghdv. Легко видеть, что если
Ъ
иоликруг U(z°, г) ш D, то для всякой функции / е L\ справедливо
неравенство
A4.3)
где постоянная с зависит от г, h, но не от / и не от z".
В L\, как в гильбертовом пространстве, существуют полные
ортонормальные системы. Пусть {(pm(z), т = 0, 1, 2, ...} —одна из
них, а ат — коэффициенты Фурье относительно этой системы функ-
функции /ei?. тогда ряд
/(г)= ? am4-m(z) A4.4)
т—о
сходится по норме, а значит, в силу A4.3) сходится равномерно и
абсолютно внутри D, т. е. на компактах из D. Далее рассмотрим
РЯД
2 <pm{z)^Jz;) = K(z,Z). A4-5)
Теорема 14.4 (Бергман). Ряд A4.5) сходится абсолютно и
равномерно внутри D XD. При фиксированном t, e D этот ряд
сходится относительно z no норме пространства L\.
Доказательство. Пусть а е Д тогда, учитывая ортонор-
мальность системы (фт) и неравенство A4.3), получаем
ДГ
М
, 2|ф«(в)|*
;0 ту Ttx-^o \
отсюда
M \2
m=o
М

Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
Рассмотрим точки z<^D и ? е ?), и пусть поликруги U(z, r) и
?/(?, р) входят в D вместе со своими замыканиями. Тогда
м \2 м м
отсюда следует равномерная и абсолютная сходимость ряда
A4.5) внутри DXD. Наконец, из A4.6) вытекает, что равенство
A4.5) является при фиксированном ? ^ D разложением K(z, t,)
по полной ортонормальной системе {q>m(z)}. П
K{z, t,) называют кернфункцией Бергмана для области D отно-
относительно веса h или просто кернфункцией. Заметим, что К (z, ?) =
= K(t,, z) и K(z, ^) голоморфна по z и антиголоморфна по t, в
DXD.
Теорема 14.5 (Бергман). Если /е L\{D), mo для z^D
f(z) = $f(t)K(z,l)hAL,t)dvi. A4.7)
b
Доказательство. Представим / и К по формулам A4.4)
и A4.5), тогда
/ ft) К (Z, I) h (t, t) d4 = J( S «тФт (С)) X
2 9j B) фТШ А (С, Ё) ^S = 2 am<pm B) = / (z). D
Отметим без доказательства следующие результаты Бергмана.
1. Кернфункция K(z, t,) не зависит от выбора полной ортонор-
ортонормальной системы {фт}, а зависит лишь от области D и весовой
функции h.
2. Если А^1, то положительно определенная дифференциаль-
дифференциальная форма
2д21пК (z, 2
задает в области D эрмитову метрику, инвариантную при биголо-
морфных отображениях. Ее называют метрикой Бергмана.
Приведем примеры вычисления кернфункции, ограничиваясь
полными и-круговыми областями D и весовой функцией h = 1.
В качестве полной ортонормальной системы удобно взять мо-
мономы {ahzk}, &=(&!, ..., к„) ki = 0, 1, 2, ..., j = 1, 2, ..., п, где

14. Голоморфное ядро 89
Полнота этой системы следует из того, что в рассматриваемом клас-
классе областей голоморфные функции разлагаются в ряд Тейлора,
а ортонормальность — из A4.8) и
Пример 1 Поликруг. Для поликруга f7@, г), г = {ги ..., г„),
из A4.8) получим
f
Далее по формуле A4.5) (здесь Xj= zfer
]
1 дп
1 1
«v;...г A -xyf ...(i-Xnf яjA(r-г/,)
Пример 2. Шар. Для шара В (О, R) по формуле A4.18)
2 (fci+...+ftn + B)i
1
. z^i + • • • + znln | i . \
поэтому (здесь х = ~г ¦ ' I ^
« /
V- • ¦ • y.
к*
(m-f 1) ... (m +n) *V m!
_Пп2П
n H m=o
m ^
япП2п A _ .
3°. Пусть Z) — ограниченная область в С" с кусочно-гладкой гра-
границей 3D. Для функции f^Ac(D) запишем формулу Мартинел-
ли — Бохнера A0.1), в виде
/@=
дЪ

SO Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
где ? ^ D, a da — элемент поверхности 3D. Далее по формуле
A4.7)
/ (z) = f Г f / (П) Л/" (Л, « doJ К (z, ?) А (?,
dLsd J
4= f
j
эЪ
Здесь ядро
В (z, ц) = f Л/ (л, S) Я (г, t) h (r, I) dyj A4.9)
b
голоморфно по z s Z) и непрерывно по r\ s 5Z), если интеграл A4.9)
равномерно сходится на каждом множестве вида i(z, ц): z e Q,
г\ е 3D), где С* — произвольный компакт из Z). Для этого чтобы
это было верно, достаточно чтобы до переменному % имело место
IIМ (т), Z) \Ь ^ С и С не зависело от ц Указанное неравенство
верно, если, например, й = [р(?, dD)]4n~2. Таким образом, комбини-
комбинируя интегральное представление Мартинелли — Бохнера A0.1) и
формулу Бергмана A4.7) (со специально выбранной весовой функ-
функцией), мы доказали, следуя идее Г. М. Хенкина, следующий ре-
результат.
Т е о р е ма 14.6 (Бангарт). Для всякой ограниченной области
D с кусочно-гладкой границей 3D существует интегральное пред-
представление функций / е AC(D)
A4.10)
on
где z^D; ядро B(z, %) голоморфно по z<^D и B(z, %)<^C{(z, ?):
z^D, ^e dD). Если же область ДеЯ, то A4.10) верно для функ-
функций из Hl(D).
Верно и такое утверждение:
Теорема 14.7 (Бангарт). При условиях теоремы 14.6 сущест-
существует интегральное представление A4.10) с ядром B(z, ^)еЛ{(г,
?): z^D, ^s D,} и класса Н%г при всяком z^D.
Ядро, о котором идет речь в этой теореме, голоморфное по z
и аптиголоморфное по ?;, называют, как мы уже отмечали в разд. 11,
ядром Сеге. Интегральное представление вида A4.10) с ядром Се-
ге существует и в случае, когда интегрирование происходит не по
всей границе dD, а лишь по границе Шилова S(D). Приведем без
доказательства соответствующий результат для случая, когда D —
полная ограниченная м-круговая область с центром в 0, на \dD\
задана конечная мера X. Мера X называется массивной на границе
Шилова области D, если для всякого Е с \dD\ нулевой меры Я.
имеет место включение \dD\\E => \S(D) I.

Н. Голоморфное ьдро 91
Теорема 14.8 (Айзенберг). Пусть на \dD\ задана конечная
мера %. Для того чтобы существовало интегральное представление
любой f^Ac(D) и z^D, где ядро Сеге h{zt,) — h{z\t,\, ...
. ¦., %п%п) при фиксированном геВ входит по ? в A(D), а при
фиксированном % е 3D входит по z в A(D), причем h не зависит
от j, необходимо и достаточно, чтобы мера К была массивной на
границе Шилова области D.
Ядро Сеге разлагается при ze D, ?, е dD в кратный степенной
ряд
а=(а1 «и)
CCj.'O
= [ f
где
Приведем несколько примеров вычисления ядер Сеге, ограни-
чквшись случаем п ==2. Если граница области Z) имеет вид dD =
= {z: \z&\ =O(lzil), 0< Ui'l < г}, где функция Ф убывающая, то
интегрирование на \dD\ по мере К можно заменить интегрирова-
интегрированием на отрезке [0, г] по некоторой мере К1, которая может быть,
1) частности, задана с помощью возрастающей непрерывной функ-
функции.
1. Рассмотрим последовательность областей DP — iz: U2I2 +
+ Izii2/P<l, 0< Uil < 1), /> = 1, 2, ..., а в качестве меры %' на
[О, 1] возьмем меру, порожденную функцией |zil2. Ядра Cere hP
для областей Dp будут иметь вид
где
Гг 2? • 1 \р а
L(j J
Остается найти в конечном виде функции
h (x x\- { У {Р(Л + 1) + Л1! hit
ГД6 х\ —¦ z\t,\, Х2 = 22^2. Заметим, чта z.& Dp, -.t, s 5Z),, поэтому

92 Гл. 3. Интегральные представления при п> 1
< 1, l*iA — х2)-р1 < 1. Далее
dP(m+l)-i
J 2
Теперь получаем
Итак, для f^Ac(Dp) и zeJ3p справедлива формула
Здесь Ua|2=1 —l^iT- В случае р = 1 для шара
получаем
A4.12)—интегральное представление Бохнера (см. формулу A1.26)
При П = 2, OCi = OC2 = R = 1) •
2. Пусть D = iz: IzJ + lz2l < 1, 0*?lzi!<l}, а в качестве ме-
меры %' на @, 1] рассмотрим обычную меру Лебега. Тогда
Lj J B^IB^)! •
a ядро Cere для данного случая имеет вид
где снова xJ = z,?<, г = 1, 2. Так как IzJ + Ы < 1 и l^il +

14. Голоморфное ядро 93
1, то У\х\\ + Vla^l < 1, поэтому
2 2 ~4
3. Более общий случай представляют собой области Dpq =
[ - - ]
— \z: |Zj |p + |z21*< lj, p, g = 1, 2, ... . Рассмотрим ту же меру,
что и в п. 1, тогда можно показать, что
гДе J/jji == ^i/Pen. 2/i22 = ^2/9lej2; e^, eJ2 —все корни степени р, q из
единицы, /i = 1, ..., p; h = 1> ¦ • •» 9- Ядра Cere Л„, рациональ-
рациональны [76]).
4°. Теперь поставим вопрос об интегральных представлениях по
границе Шилова для функций, голоморфных в произвольных об-
областях. Соответствующий результат приведем без доказательства.
Теорема 14.9 (Глиссон). На границе Шилова S(D) ограни-
ограниченной области D cz С" существуют положительная мера \л и р,-
измеримая функция Q(z, ?), z еД ? е S(D), такая, что:
а) при фиксированном % ^ iS(D) функция Q е Л (Z?) no z;
б) Q(z, %) интегрируема по мере цс при фиксированном z&D;
в) функция.
непрерывна в D;

94 Гл. 3. Интегральные представления при п > 1
г) для всякой / e AC{D) и ге D
f(z)= j f(t)Q(z,QdK. A4.13)
S(D)
Ташш образом, граница Шилова играет в теории функций многих
комплексных переменных ту же роль, какую играет вся граница
области в теории функций одного комплексного переменного. На
границе Шилова не только достигают максимума все функции из
AC(D), но и значения этих функций внутри области восстанавли-
восстанавливаются с помощью интегрального представления A4.13) по зна-
значениям на границе Шилова. Заметим, что если D — круговая силь-
сильно знездная область, то в дополнение к утверждению теоремы 14.9
ядро Q(z, ?) можно взять из C(DXS).
Дополним теорему 14.9 простым, но часто полезным утвер-
утверждением, в некотором смысле обратным к этой теореме.
Теорема 14.10. Если М — компакт из 8D и для всяких /е
и zeD
A4.14)
м
где и, — положительная мера на М, функция R при фиксированном
z e D абсолютно интегрируема по мере р-с, то М ^ S (D).
Доказательство. Пусть /еAC{D), тогда для любого на-
натурального m
1/B)Г =
м
м
м
Теперь, извлекая корень степени m и устремив m -*- °°, получим,
что М — определяющее множество. Значит, M=>S(D). ?
15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ,
ГОЛОМОРФНЫХ В КЛАССИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ
Классическими областями называют области в С™ следующих
четырех типов (см. [167]).
1. Область Du образованная матрицами z из m строк и к столб-
столбцов (с комплексными элементами), удовлетворяющими условию
/(«) _ zz* > о,
где /<т) — единичная матрица порядка m; z* — матрица, комплек-
комплексно-сопряженная с транспонированной матрицей z .
2. Область Dn, образованная симметрическими матрицами по-
порядка к, удовлетворяющими условию Im — zz > 0.
3. Область Dm, образованная кососпмметрическими матрицами
порядка к, удовлетворяющими условию Iw + zz > 0. . .

15. Классические области 95
4. Область Div, образованная n-мерными векторами (z\, ...
..., zn)—z, п>2, при условии (zz'J + 1 — 2zz' >0, |zz'l<l.
Все эти области являются полными ограниченными круговыми
выпуклыми областями комплексной размерности п, равной соот-
, A-(A--fi) k{k~l) Л7. . 7ТТ
ветственно т/с, т,—-, к . «.Укажем остов (границу Шило-
Шилова) каждой из этих областей:
1. Остов iSi области Di состоит из матриц ист строками и к
столбцами, удовлетворяющими условию ии* = 1{т). В частности,
при т = к многообразие Si совпадает с множеством всех унитар-
унитарных матриц.
2. Остов Sn области Du состоит из всех симметрических унитар-
унитарных матриц порядка к.
3. Остов Sni области Dm определяется по-разному в зависимо-
зависимости от четности А:. При к четном SUI состоит из всех кососимметри-
ческих унитарных матриц порядка к. При к нечетном Sm совпада-
совпадает с множеством матриц вида uFu', где и — любая унитарная мат-
матрица, а
0 1\ / 0
4. Остов iSiv области Z)IV состоит из всех векторов вида ещх, где
ieR*a хх' = 1, а <р удовлетворяет условию 0 < <р < 2я.
Все эти остовы & — Siv являются порождающими многообра-
многообразиями. Для классических областей справедливы интегральные пред-
представления с ядрами Сеге для функций из Ac{D):
f(z)= \ ]{QH{z, Qdp, A5.1)
s
где z <= D}; S = iSj; / = I, II, III, IV; d\i — мера Хаара многообра-
многообразия S. Она является в рассматриваемом случае нормированной ме-
мерой Лебега d\i = da/V (S). Отметим, что ц, инвариантна относитель-
относительно поворотов, т. е. цЕ = ц(еи'Е) для всякого ц.-измеримого мно-
множества Е с: S.
Приведем конкретный вид ядра Cere H(z, %) для классических
областей:
1) для области Di
2) для области Dn
Н(z,"t) =
3) для области Z?in

96 Гл. 3, Интегральные представления при п~> 1
4) для области Div
H(z, l)=H(z, ф, х) = [(х - e-*z) {х — e~*>z)']-<»/«>.
Подробное доказательство A5.1) можно найти в [167]. Здесь
ограничимся простыми соображениями, исходящими от Митчел
[221] и позволяющими быстро доказать формулу A5.1) для клас-
классических областей Di при к = m, Du, Dm при четном к, Diy. В этих
случаях перепишем A5.1) в виде интегрального представления с
ядром Коши
/(*)= f Я (z, ?)/(?)?, A5.2)
s
где K(z, Е)=^-Че1-"(Е-г),
для Dip = m, Для 1)ц р = —~-, для /)ш р = ~ ;
для ?)IV;
m
С = cml Д d^j для Di,
? = СиЛ d^jft Для
ft-1
== cft3 Д d^fe для
I = cni Д c?Cj Для
и порядок следования дифференциалов выбраны так,
чтобы
где V = F(S)— объем остова 5.
Теорема 15.1. Для f ^ Ac(D), где D — классическая область
Di при k = m, Dn, Dm при четном к или DLv, справедливо интег-
интегральное представление с ядром Коши A5.2).
Доказательство. Ограничимся случаем Dz при к = тп, дру-
другие случаи рассматриваются аналогично. Известно, что множество
аналитических автоморфизмов Du переводящих z в 0, и обратных
автоморфизмов можно записать в виде (см. 175])
— dz*%)~\
*)-l{wd + az)= A5.3)
= (a*w + zd*) (d* + z*aw)"',

15. Классические области 97
при условиях
aG(m) — zz*)a* = fm), d(fm) — z*z)d*=Ilm),
z*a*a = d*dz*, A5.4)
a*a - zd*dz* = Iim\ d*d — z*a*az = /(m).
Эти преобразования не меняют остов Si. Предположим, что / <s
eA{Di), и рассмотрим выражение
F(z, t, I*, i) =
где dvt — элемент объема остова Si, dvi = det~m^. При отображе-
НИИ A5.3) k=^;WK
S = detTm(a + wdz*) det"m (d* + z*a*w).
aw v ' v '
Далее, так как w*w = Iim),
dvt = det-m(d + w*az)del-m(d* + z*a*w)dvw
> — z*z).
Таким образом,
f F C, t, t*, t) = det"m d det-m (/(m) - z*Z) f /0 (w) dytt,
Si si
где /0(»)=der(d* + z*a%)/(a(w))e4(BI). A5.5)
По классической теореме Картана функция из А (Бх) разлага-
разлагается на Dt в равномерно сходящийся ряд однородных полиномов
j=o
где Pj(w)—однородные полиномы степени /, в частности,
= /о(О). Так как множество S! круговое, то (сравни с доказатель-
доказательствами теорем 10.1 и 13.1) для / > 0 верно равенство
Pj(w)dvu=O.
S]
Следовательно,
Si
и из A5.4) и A5.5) получаем
Л. А. Айзенберг

98 Гл. S. Интегральные преОставлекия при п > 1
Теперь, учитывая ?*? = Vm\ находим
derM(/(m) - %*z)dvt = det""E - z)i,
т. е. для функций f^A(Di) верно A5.2).
Пусть теперь f ^ Ac{Di), тогда f(tz) при 0 < ? < 1 входит в
класс A(Di), поэтому
f(tz)= f /s: (z, о
и остается сделать предельный переход при t -*¦ °°. ?
Отлетим теперь связь интегрального представления с ядром Се-
ге A5.1) с решением_некоторой минимальной проблемы. Рассмот-
Рассмотрим подкласс QcA(D) функций таких, что /(z)=l, где z — фик-
фиксированная точка D. Предположим, что существует функция
M(z, t,)^ Q, которая минимизирует интеграл
fAb/6=0. A5.6)
s
Положим
„,. / г\ ?! (z, t) V (S) „
\ М (z, w) dvw
S
тогда
CM(x,w
w)d»w
Доказательство того, что указанная экстремальная проблема имеет
решение, аналогично хорошо известному доказательству похожего
факта для интегрирования по всей области D и ядра Бергмана (см.
[195]). Для рассматриваемых классических областей ядро Сеге из
A5.7) имеет указанный выше вид (короткое доказательство этого
факта см. в [220]). Далее из минимального свойства имеем для лю-
любого е > 0 и / е A (D)
s s
откуда
2Rp F \ M* И (у\ t G)] rlv- -4- I f I2 I I / (Y\ 1 G\ I2 r]v* ~> П
L s J s
Теперь из произвольности I e I и arg 8 следует, что
s
т. е. верно A5.1). Одновременно мы получили, что минимальное

10. Использоаание ядра Ыартинелли — Бохнера 99
значение интеграла A5.6) равно
"E.Е)
так как
Теперь осталось, как и при доказательстве теоремы 15.1, сделать
переход от класса A(D) к классу AC{D). Таким образом, интеграль-
пое представление A5.1) для функций, голоморфных в классиче-
классических областях, нетрудно получить, либо опираясь на алгебраическую
структуру этих областей, либо решая соответствующую экстремаль-
экстремальную задачу на минимум интеграла A5.6) (в последнем случае то-
тоже приходится при вычислении явного вида решения использовать
указанную алгебраическую структуру).
ГЛАВА 4
МНОГОМЕРНЫЕ АНАЛОГИ ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА
С ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ПО ГРАНИЧНЫМ] МНОЖЕСТВАМ
МАКСИМАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
16. ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА
IIА ОСНОВЕ ЯДРА МАРТИНЕЛЛИ — БОХНЕРА
ИЛИ КОШИ — ФАНТАППЬЕ
1". Первоначальная идея Карлемана построить «гасящую» функ-
функцию, позволяющую из интегрального представления голоморфных
функций с интегрированием по всей границе dD области D полу-
получить интегральное представление с интегрированием по множест-
множеству М с 3D, сводилась к необходимости располагать функцией ср (z)
класса H°°(D), удовлетворяющей двум условиям (см. 1):
1) |ср(?) 1= 1 почти всюду на dD\M,
2) |Ф(г)| >1 в D.
Однако в случае области D <=¦ С", п > 1, такой функции не су-
существует уже для строго псевдовыпуклых областей, если, напри-
например, dD\M содержит хотя бы одну внутреннюю точку а границы
dD. Действительно, рассмотрим для простоты выпуклую область
D с С2 с гладкой границей, и пусть <х0 — касательная комплексная
прямая к dD в точке а. Будем сдвигать аа параллельно внутрь D.
При малых сдвигах пересечение сдвинутой комплексной прямой
аа и dD будет лежать в окрестности Ua c dD\M точки а на dD.
Найдутся такие сдвиги, что ср |~ будет на ап П dD почти всюду по
модулю равна 1, но на <ха П D — больше 1, что невозможно.

100
Гл. 4. Максимальная размерность
Правда, доказано существование функций класса Н°° (D) со
свойством 1) (для шара см. [36]), но этого мало для осуществле-
осуществления идеи Карлемана. Можно применить идею Карлемана в сечени-
сечениях области D комплексными прямыми.
Рассмотрим ядро Мартинелли — Бохнера со(^ — z, ? — z) (см.
разд. 10) и зафиксируем точку z^D. Все комплексные прямые,
проходящие через z, не лежащие в гиперплоскости {?: ?i = zj,
можно записать в виде а = а (у, z)= {?: ?i = z\ + t, ?2 = Z2 + v2t,...
.. , ?n = zn + vnt, t e С1}, где у =(Уг, ¦ •., vn). Важную роль для
дальнейшего играет следующий факт.
Лемма 16.1.
где
2я» t /\ "
di> Л «to
A6.1)
Bл1)
A6.2)
Доказательство. Сделаем сдвиг в С" так, чтобы гипер-
гиперплоскость {?: X,\=z\} перешла в гиперплоскость {?: %\ = 0), тогда
ядро _Мартинелли — Бохнера со(? —z, ? — z) перейдет в ядро
со(?, ?). Далее, произведем замену переменных ?i = ?, ?2 = v2t, ...
...,?„ = г;п^, получим
t2 " 0 ... 0
0
Заметим, что
где
-vnf 0
3=1
; d т Л d v [Л.
all/*
5-'
ыг>2
Г/]
Zzi/t
Ь2«2
. . .
• . •
...In
In
feni
fen»
V
t
~t2
0
[/]
0
— v^t2
t
0
... vn
... vn
... 0
t
t2
tn, если / = 1,
0, если /> 1.

16. Использование ядра Мартинелли — Бохнера 101
Поэтому верно равенство A6.1). Для доказательства A6.2) исполь-
используем формулу Мартинелли — Бохнера A0.1) и формулу Конш в
сечениях a(v, z) П Z> (кроме комплексных прямых, лежащих в ги-
гиперплоскости {?: ?i = zi>, и кроме таких а, что сечение аЛсШ не
является кусочно-гладким, т. е. формулу Коши применяем почти
во всех сечениях а П D)
f /(?)ffl(?-z,!-i) = /(z) f K(v), A6.3)
dD (a}
откуда и из A0.1) вытекает A6.2). Q
Отметим, что форма K(v) есть форма Фубини — Штуди, запи-
записанная в локальных координатах в С". Интеграл A6.2) можно
вычислить непосредственно (см., например, лемму 19.2 или [175,
с. 20]), тогда A6.3) даст новое доказательство формулы Мартинел-
Мартинелли — Бохнера A0.1) с использованием почти во всех сечениях
классической формулы Коши для голоморфных функций одного
комплексного переменного.
В этом пункте будем в дальнейшем считать, что область D
принадлежит одному из следующих классов: 1) классу выпуклых
ограниченных областей с кусочно-гладкой границей, 2) классу ли-
линейно-выпуклых областей с гладкой границей. Обозначим N = N(z, M)
множество таких v, что пересечение a(v, z)[\ M имеет положи-
положительную меру Лебега. Если множество Мс dD имеет положитель-
положительную Bп — 1) -мерную меру Лебега, то
0<]Ч(у)<1 О 6-4)
(форма Я (у) имеет постоянный знак, из A6.2) следует положитель-
положительность интеграла A6.4)). Для каждой a(v, z) при v&N рассмот-
рассмотрим голоморфную по t функцию q>z,v(t)= ехр1рг,„(?), построенную
по методу разд. 1 с помощью формулы, аналогичной A.16), что
возможно в нашем случае, так как сечение а П D выпукло, если D
из класса 1), и связно и односвязно, если D из класса 2) (см.
[182]). В обоих случаях ОеЯ.
При интегрировании по М формы Мартинелли — Бохнера ю (? —
— z, % — z) можно в силу A6.1) интегрировать сначала по t, затем
по v. На этом пути приходим к следующему многомерному аналогу
формулы Карлемана.
Теорема 16.2 (Айзенберг). Для множества М <=¦ dD положи-
положительной Bп — 1)-мерной меры Лебега, голоморфной функции /е
е Hl(D) и точки zeflcC", n > 1, справедливо интегральное пред-
представление
^ fK^)]m<oU-Z!.?-i). A6.5)
N

102 Гл. 4. Максимальная размерность
Доказательство. По построению
о(г>,г)ПМ
Из A6.6) следует голоморфность функции ф1,»@ по t при фикси-
фиксированных z, у. Обозначим
Используя формулу A6.1) и формулу Коши в почти всех сечениях
a(v, z)uD (в которых функция / входит в класс Я1 как функция
одного комплексного переменного t) в точке t = 0, получаем для
любого натурального m
l[^]"'(i"-l-i)- <16J>
N
Положим
Д [/(С)[Ц^Го>(С-г.С-г), A6.8)
jv
отсюда и из A6.7) вытекает
J- J l/ll»(C-'.S-'")lt A6.9)
так как на множестве Q\M имеем Icp2,c(t)l = 1.
Если rre2n-i(^\^/)= 0, то из неравенства A6.9) следует, что
/(z)=/m(z) для всех тп, т. е. в этом случае (для такой точки z)
формула A6.5) верна и без предельного перехода. Если же
"^n-i (Q\M)> 0, то введем множество Ж таких у, что v^N,
mi{a(v, z)u(Q\M))> 0; тогда из A6.9) получаем
I/I
JV
где постоянная Сг оценивает сверху модуль ядра Мартинелли —
Бохнера <о(? — z, % — z) при данной фиксированной точке zsD
и любом % s 3D. Заметим, что из A6.6) следует, что при v <= N
справедливо
I
a(i>,z),T(Q\CAf)
поэтому из A6.10) вытекает формула A6.5). ?

16. Использование ядра Мартинелли — Бохнера 103
Возможно, что сходимость в A6.5) равномерна на каждом ком-
компакте, лежащем в области D. В частности, постоянная Сг может
быть выбрана одной и той же для z из такого компакта.
Задача аналитического продолжения, решаемая формулой Кар-
лемана или ее многомерными аналогами, не является, как известно,
корректной. Однако она будет условно устойчивой, если ограни-
ограничиваться классом голоморфных функций f*=Ac{D), удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству I/I ^ С с фиксированной постоянной С. Данный
факт следует из соответствующей теоремы о двух константах. Нап-
Например, для кольца D = (z: р < Izl < г} с: С и множества М = ^г,
рассмотренных в примере 3 из разр. 1, нужно воспользоваться
классическим утверждением Адамара: если /е Ac(D),mp= max| /|,
mr — max | /1, тогда верно неравенство
Vr
| / (z) | < mpln r-In |2|)/<ln r~ln pVrln |2hln p)/(ln r-In p). A6.11)
Действительно, в рассматриваемом классе функций mp < С, и если
mr{fi)-^O, то из A6.11) вытекает, что !/Дг)|->-0, т. е. задача,
решаемая формулой A.8), устойчива в этом классе.
В случае односвязной области D с С1 можно рассмотреть гар-
гармоническую меру множества М <=¦ 3D, пц (М) > 0, в области D от-
относительно точки 2, т. е. функцию о>(з), язляющуюся решением
соответствующей задачи Дирихле (o>(z)—это функция и(х, у) в
формуле A.2) из разр. 1), тогда вместо A6.11) справедливо (см.,
например, [147, 111])
\f(z)\<Ci-°Mml'u\ A6.12)
где 7» = max|/|. Из A6.12) также следует устойчивость задачи,
м
решаемой формулой Карлемана, в соответствующем классе
функций.
Понятие гармонической меры обобщено для множеств в С",
п > 1, Садуллаевым [141]. Пусть D с С" — область с гладкой гра-
границей 3D, обозначим Aa(t,)={z: z&D, \z — %\ «? a6c(z)}, где ? «=
е 3D, а >= 1, 6E(z) — расстояние от точки _z до касательной плоско-
плоскости к 3D в точке %. Для множества K^zD рассмотрим Н(К, D) —
класс неотрицательных плюрисупергармонических в D функций и
таких, что u%(z)>l для z<=K, где u^{z) = u(z), если z^D, и
w*(z)= inf Игл иA),
если z e 3D. Функция
о>* (г, К, D) = limco (J, /?, D) = lira f inf u(S)\
1^7 I^F UeH(K.D) J
называется Р-мерой множества К относительно области D. Эта
функция плюрисупергармонична в D и для всех z^D справедливо

104 Гл. 4. Максимальная размерность
неравенство О«?со*(г, К, D)^l. Из результатов Садуллаева [141,
142] следует, что если f^Ac(D), I/I <C в D и I/I < m на М, то
для всех z^D имеет место неравенство
|/(г) |<ci-^e.K.%^.*.*», A6.13)
обобщающее неравенство A6.12). Из A6.13) будет следовать ус-
условная устойчивость задачи, решаемой формулой Карлемана, если
множество М<= 3D таково, что его Р-мера co*(z, M, D)=?0 (и зна-
значит, co*(z, M, Z))>0). Нужная нам информация о неравенстве ну-
нулю Р-меры множества М <= 3D содержится в следующей теореме
(ее доказательство см. в [141]).
Теорема 16.3 (Садуллаев). Если область D <= С" имеет глад-
гладкую границу и Q с dD является порождающим многообразием клас-
класса С3, а М — подмножество Q, имеющее положительную меру Ле-
Лебега на Q, то w*(z, M, Б)Ф- 0 для всех z e D.
Так как вся граница dD области D является порождающим
многообразием, то из теоремы 16.3 вытекает условная устойчивость
задачи аналитического продолжения, решаемой формулой A6.5),
если dD e С3. Однако для рассматриваемого в этом пункте класса
областей D, у которых сечения комплексными прямыми односвяз-
ны, можно обойтись и без указанного дополнительного требования
dD e С3. Нужно для каждой точки z*=-D выбирать некоторую комп-
комплексную прямую а (у, z), для которой v e N, и к сужению f\a при-
применить одномерную теорему о двух константах A6.12). Другой
способ состоит в том, чтобы применить A6.12) для всех комплекс-
комплексных прямых а (у, z), v s N, затем проинтегрировать соответствую-
соответствующее неравенство по множеству N.
Заметим, что если рассмотреть оператор Rmf = fm, где /m опреде-
определена равенством A6.8), то семейство {Rm} будет регуляризирую-
щим семейством для данной задачи аналитического продолжения
при подходящем выборе пространства (см. примеры из [111]). Точ-
Точность приближенного решения оценивается неравенствами A6.9)
или A6.10). Указанные неравенства позволяют получить оценки
для точек z, лежащих в области D.
Далее обсудим вопрос о граничных значениях многомерного
интеграла Карлемана A6.5), т. е. о вычислении следующего вы-
выражения:
— правой части формулы A6.5) не для г^В, а для z^dD. При
z e dD\M интеграл в A6.14) собственный, а при z e M он рас-
рассматривается в смысле главного значения по Кошн. Пусть (как
в разд. 4) М — замкнутое множество.
Теорема 16.4. Если f^Aa(D), то для z^dD\M имеет ме-
место равенство /(z)= /(z), а для ze=M почти всюду J (z) = -jf(z)-

16. Использование ядра Мартинелли — Бохнера 105
Доказательство. Утверждение этой теоремы получается
из леммы 16.1, теоремы 4.2, обобщенной для почти всех сечений
аП.0 (что возможно, если D — области, которые рассматриваются в
настоящем пункте, см. разр. 4), а также того факта, что интеграл
A6. 14) при z <= М (понимаемый в смысле главного значения по
Коши) почти при всех z из М можно в силу A6.1) представить в
виде повторного интеграла: одномерного интеграла типа Коши по
сечению а (у, z)!)dD (который почти для всех v^N понимается
тоже в смысле главного значения) и собственного интеграла по
переменным v. ?
Аналогично получается следующее утверждение, опирающееся
на теорему 4.4 почти во всех сечениях a(v, z)D D, v s N.
Теорема 16.5. Если /e #'(/)), то почти всюду на М имеет
место J (z) = tj- f(z). Если /еЯр(О), р > 1, тогда почти всюду
на dD\M верно J(z) = f(z).
Здесь и при z^dD\M можно рассматривать случай /е #'(/)).
Утверждение теоремы 16.5 сохранится и в этом случае, но дока-
доказательство станет значительно сложнее.
2°. Приведем еще один результат, тоже опирающийся на ин-
интегральное представление Мартиыелли — Бохнера,— формулу Кар-
лемана для конуса (в некотором смысле этот результат напоминает
самый первый результат самого Карлемана, см. пример 5 в разд. 1).
Рассмотрим область Do, ограниченную частью поверхности Т кону-
кону°
са с вершиной в точке z°
2П-1
— У Г? —
l-—
где т = tg;p, p > 1, и гладким куском поверхности S, лежащим
внутри Т.
Пусть
К (id + bin) = Ер |^- (гост + т|2п — тх2п — ocoj, о > 0,
К {х2п) = Ер (а1/р) fa реа при а ->- схз,
где г = — а0 + т (х2п — а:гп)>0; Zj=Xj + ixj+n, /=1,..., п;
2П-1
2
Ер — целая функция Миттаг — Лефлера Ер (и) = ж
НГ1
i)'

106 Гл. 4. Максимальная размерность
Далее при п > 2 положим
* = 2 (S,- - *i? + 2 (^v+n - xv+n)\ a2 = s +
3=1 V=l
Введем дифференциальную форму
где
Теорема 16.6 (Ярмухамедов). Для всякой функции /е
^Ac(Do) и точки z eDo с С, /г>1, справедливо интегральное
представление
f(z) = hm f/(C)-Qa(t,z). A6.15)
0-кю§
/?сли l/(z)I^C га/щ z^D и т?г^тах|/|. го для всякой точки
В
z e Z)o верно неравенство
A6.16)
где Д = Д (z) = max | гта + т?2п — та;?„ — а01.
Заметим, что неравенство A6.16) (аналог теоремы о двух кон-
константах для данного случая) влечет условную устойчивость зада-
задачи аналитического продолжения, решаемой формулой Карлема-
на A6.15).
3°. Идею, примененную в п. Iе («гасящая» функция строится
в сечениях области комплексными прямыми), можно использовать
и для других ядер — частных случаев ядра Коши — Фантаппье,
а не только для ядра Мартинелли — Бохнера. Продемонстрируем
это на одном характерном примере. Для того чтобы избежать гро-
громоздких выражений, ограничимся случаем п = 2. Тогда из форму-
формулы A1.23) с помощью замены переменных получаем так называе-
называемый интеграл Темлякова II рода для /е Hl(D) игеД
2л .
/B) = Ш dt)dx J к-»)' dh (Ш7)
о о I6!=i Vb '
где D — двоякокруговая выпуклая область пространства С2 с цент-
центром в нуле, граница которой dD eC2 и строго логарифмически вы-
выпукла. Из этих свойств границы следует, что ее можно задать в
виде dD = {z: Uil =п(т), Ы=г2(т), 0^т<1), где ri@) = O,

16. Использование ядра Мартинелли — Бохнера 107
0<г1(т)<г1(т)/т, г1
)<;
[х
-J j^
о
Наконец, и в A6.17) имеет вид
и = т-^-г +
Пусть далее L(/) = / + zj^ + z2/*2- Если /еА(й), то L(/)
тоже входит в ^(fl) и, следовательно, представима в D степенным
рядом
то существует единственное голоморфное в D решение / уравнения
L(j) = F, и это решение разлагается в области D в степенной ряд
uhh
Заметим, что
поэтому, если от обеих частей формулы Темлякова A6.17) взять
оператор L~\ то получим интеграл Темлякова I рода для F е
ffJ9fl
I
F(r'Tfl'"}*-
Эта формула удобна тем, что внутренний интеграл в ней имеет яд-
ядро Коши; это обстоятельство помогает при некоторых приложени-
приложениях интегралов Темлякова. Одним из таких приложений и является
своеобразная формула Карлемана с голоморфным ядром. В каждом
сечении области D комплексной прямой, проходящей через нуль,
мы будем строить «гасящую» функцию по методу разд. 1, т. е.
функцию ф(,г(и). Пусть Е cz дТ) — измеримое множество, а %е(?, т,
X)—его характеристическая функция. Тогда из формулы A6.18)
получается:
Теорема 16.7 (Шейнов). Если функция
j
151=1

108 Гл. 4. Максимальная размерность
почти при всех {t, т) отлична от нуля, то для F — ?(/)«= Hl(D)
и z^D справедлива формула
17. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
1°. Теоремы о существовании многомерных аналогов формулы
Карлемана с интегрированием по граничным множествам макси-
максимальной размерности можно получать двумя способами: либо ис-
используя идеи М. М. Лаврентьева (см. разд. 2), либо опираясь на
результаты разд. 8. Обсудим первый подход. При п > 1 ядро ин-
интегрального представления голоморфных функций, в котором инте-
интегрирование производится по dD, т. е. соответствующую внешнюю
дифференциальную форму типа (n, n — 1)_ нужно аппроксимиро-
аппроксимировать на dD\M (где M<=-dD, m2n-\(M)>0) d-замкнутыми в D внеш-
внешними дифференциальными формами того же типа. Эти формы по
своим свойствам очень напоминают голоморфные функции одного
комплексного переменного (см. [25], где указанные свойства под-
подробно изложены). В частности, имеет место следующий аналог
теоремы Рунге.
Предложение 17.1. Пусть ?2\ <= Йг — открытые множества
в С". Следующие условия эквивалентны:
1. Всякую форму из Zriin-.1 (Qj) моэюно приблизить в метрике
CjT.n-i (^i) формами из Zn,n-i (^г)-
2. Любая ограниченная связная компонента множества Cn\Qi
пересекается с множеством Сп\й2.
Доказательство этого утверждения в той его части, где речь
идет о приближении, можно проделать столь же конструктивно,
как и доказательство теоремы Рунге для голоморфных функций од-
одного комплексного переменного, т. е. с помощью цепочки интегра-
интегралов и разложений в ряды (см. [25, § 9]). Это же замечание отно-
относится и к следующему утверждению об аппроксимации на ком-'
пактах.
Предложение 17.2. Пусть К — компакт в С" у которого 211-
мерная мера ni2n(K)— 0. Тогда пространство форм типа {п, п — 1),
бесконечно дифференцируемых и д-замкнутых в окрестности К,
плотно в Cnin-i(K).
Наконец, отметим еще, что если в предложении 17.1 (в той
его части, где речь идет о приближении форм) и в предложении
17.2 соответствующие внешние дифференциальные формы голо-,
морфно зависят от параметра, то и аппроксимирующие формы мож-.
но выбрать такими, чтобы они тоже голоморфно зависели от дан-
данного параметра. Это следует из конструктивных доказательств ука-

17. Теоремы существования 109
занных предложений (см., например, [25, § 9, 11]) с помощью це-
цепочки интегралов и разложений в ряды.
Далее для данной ограниченной области D <= С" с кусочно-глад-
кусочно-гладкой границей 3D рассмотрим интегральное представление A4.10)
с голоморфным по z ядром
f(z)= f f(Z)B(z,l)dat, A7.1)
где /eicP), ядро B(z, t,) по переменному z входит в A(D) и
B(z, ?)eC({(z, ?): zsfl, ?е#/)}). Пусть множество M <= 3D не
просто имеет положительную меру ni2n-i{M), но и содержит хотя
бы одну внутреннюю точку границы 3D. Соответствующую окрест-
окрестность этой точки на 3D обозначим Жег Ж. Форму B(z, ?)dxz на
компакте K = 3D\M можно согласно предложению 17.2 и сделан-
сделанному замечанию аппроксимировать на К формами из Zn,n-i (U),
голоморфно зависящими от z, где U — окрестность К. А эти послед-
последние формы можно аппроксимировать формами _из Z~n_1 (?гх),
где U\ — некоторая окрестность замкнутой области В, т. е. на ком-
компакте К можно получить равномерно сходящуюся последователь-
последовательность форм а3- е Zn,n-i (C^i) по t, и ocj e A (D) по z такую что
Пта,-(г, Q = B{z, l)dat A7.2)
для всех Z, е К. С другой стороны,
f/(?)aj(«,?) = 0, / = 1,2,...; A7.3)
вычитая теперь из равенства A7.1) равенство A7.3) и учитывая
A7.2), приходим к следующему интегральному представлению:
/(z)=lim J/(?)[B(z,?)*TC-am(z,?)]. A7.4)
Если теперь вспомнить, что М сг Л/, то из A7.4) получаем много-
многомерный аналог теоремы 2.1.
Теорема 17.3 (Айзенберг). Пусть D — ограниченная область
б С" с кусочно-гладкой границей 3D и множество М <= 3D содержит
хотя бы одну точку из 3D вместе с ее окрестностью на 3D. Тогда
для функций из Ас(Р) существует формула Карлемана
f(z)= lim$f{i)(B{z,Qdoz-am(z,i)] A7.5)
с голоморфным по z ядром, которое строится с помощью цепочки
интегралов и разложений в ряды. Если же область D s H, то A7.5)
верно для функций из Hl (D).
Рассмотрим теперь вопрос: можно ли избавиться от требования,
чтобы множество М содержало хотя бы одну внутреннюю точку
3D? Покажем, что это возможно; что если просто ni2n-i(M)>0, то

НО Гл. 4. Максимальная размерность /
существует формула Карлемана вида A7.5), хотя и без утвержде-
утверждения о голоморфности ядра по z. При этом потребуется еще одно ут-
утверждение про аппроксимацию форм (см. [25], разд. 11). ,
Предложение 17.4. Если D — ограниченная область в С"
с кусочно-гладкой границей и z° e D — произвольная фиксирован-
фиксированная точка, то формы вида ai + аг где а1 е Zn,n- {d) и а2 е
eZ^n-^CXi0], плотны в Cn,n-,{dD).
Введем несколько подпространств пространства C(dD). Будем
говорить, что функция феС(сШ) ортогональна голоморфным функ-
функциям при интегрировании по dD, если
dD
для всех /е4E). Подпространство C(dD), состоящее из таких
функций, обозначим O(dD). Обозначим O\(dD) подпространство
функций q^C(dD) таких, что существует форма Р е Zn)B-i (fi),
для которой р1ео = Ф<2о. Далее, обозначим 02 (&D) пространство
функций (p^C(dD) таких, что существует форма yeCf)
для которой dyldD = yda. Очевидно включение O2(dD)a
O(dD)
Поставим нужную для дальнейшего задачу описания мер, орто-
ортогональных при интегрировании на dD пространствам О (dD), O\ (dD)
пли O2(dD). При п = 1 и D = U — единичный круг функции
из О CD) сами голоморфно продолжаются внутрь D, поэтому
результаты, решающие указанную задачу, можно рассматри-
рассматривать как обобщение классической теоремы Риссов (см., например,
[134; 34, с. 73]:
Пусть ц — комплекснозначная борелевская мера на единичной
окружности д U.
Jzi<ffi = O, / = 0,1,2,..., A7.6)
817
тогда и только тогда, когда мера ц абсолютно непрерывна отно-
относительно меры Лебега и существует такая функция f^Hl(U), что
р, (Е) = \ f (zj dzx для любого борелевского подмножества Е cr 3U.
'е
Поставленную задачу решает следующее утверждение.
Теорема 17.5 (Айзенберг). I. Пусть D е Я, а ц — комплек-
комплекснозначная борелевская мера на dD.
f
= 0 A7.7)
для всех (p^O(dD) тогда и только тогда, когда существует такая
функция f&Hl(D), что ц(Я)= \f(z)daz для любого борелев-
Е
ского подмножества Е cz dD.

' 17. Теоремы существования 111
II. Равенство A7.7) справедливо для всех q><=Oi(dD) тогда и
только тотда, когда мера ц порождается формой /do, где f^H1 (D).
III. Если п> 1 и граница dD связна, то A7.7) верно для всех
q>eO2(dD) в том и только том случае, когда мера ц порождена
формой jdo, где / «= Hl{D).
Итак, теорема 17.5 — обобщение классической теоремы Риссов,
однако ее можно трактовать и иначе. Естественно назвать меру |л
слабым решением касательных уравнений Коши — Римана, если
верно A7.7) для всех q><=O(dD). Тогда из части / теоремы 17.5
получается, что комплекснозначная борелевская мера ц на dD тог-
тогда и только тогда порождена формой ]da, где j<=Hx{D), когда \к
является слабым решением касательных уравнений Коши —
Римана.
Доказательство теоремы 17.5 проведем для части II,
а часть I — следствие части II. Для иллюстрации метода сначала
проводится доказательство для п = 1, а затем указываются измене-
изменения, необходимые для доказательства при п> 1.
1. Если (f^C(dU) и
f tp{z1)z[dz1 = O, 7 = 0,1,2,..., A7.8)
dU
то фе AC{D), что можно показать различными элементарными спо-
способами. Например, это сразу следует из классической теоремы
Фейера о равномерной сходимости последовательности средних
арифметических частичных сумм ряда Фурье непрерывной функции
Ф к этой функции, если только записать ряд Фурье в комплексной
форме.
Пусть далее X — банахово пространство, X* — сопряженное к
X, а Г — линейное множество в X*. Рассмотрим два свойства зам-
замкнутости Г:
а) если хт е Г и lim хт(х) ¦= х* (х) для всех х s X, то х* е Г;
G) если х% ф Г, то существует такой элемент х ^ X, что
хо* (х) = 1 и х* (х) = 0 для х* «= Г.
Для сепарабельного банахова пространства X из свойства а)
множества Г вытекает свойство б) (см. теорему Банаха [41, с. ^08]
или [72, с. 473, упр. 16] о том, что в рассматриваемом случае свой-
свойства а) и б) эквивалентны).
Переходим к доказательству теоремы Риссов.
Пусть С* — пространство, сопряженное к C(dtl), тогда Г <= С*,
где /—множество мер v вида dv = /(zi)dzi, где f(zi)^Hl(U).
Нужно показать, что цеГ. Сначала установим, что Г замкнуто в
смысле а). Пусть
dvm = fm(zl)dzl, /,,
lira, f ^(zjdxm = f ^(zjdvo A7.9)

112 Гл. 4. Максимальная размерность
для всех i{i(zi)e C(dU). Если применить A7.9), где в качестве яр
взято ядро Коши, и использовать ограниченность по норме слабо
сходящейся последовательности функционалов, то получим, что по-
последовательность /m(zi) равномерно сходится внутри круга U. Пре-
Предельная функция /o(zi), очевидно, входит в класс Hl(U). Для до-
доказательства равенства dvo = /o(zi)ctei достаточно показать, что
lim ( ${zl)dvn = \ ^{,z1)j0(z1)dzx
для всех ty^C(dU) или для множества функций г|), всюду плотно-
плотного в C(dU). В качестве такого множества рассмотрим множество
всех полиномов P(z\, 1/zi). Каждый из них представим в виде
Pi{%[) + P2(ljzi), а полином Pi ортогонален функциям класса Hl(U)
в смысле интегрирования по окружности д U. Следовательно, надо
выяснить, справедливо ли равенство
lim f Pjj]fn(z1)dz1=\ Pj^Uizudz,. A7.10)
Интегралы в A7.10) равны некоторой линейной комбинации от со-
соответствующих функций и их производных в нуле. Теперь A7.10)
следует из равномерной сходимости fm к /о в U.
Итак, Г обладает свойством а), значит, и свойством б). Пусть
ц, Ф Г, тогда существует функция ф ^ C(dU) такая, что
f Ф &)/(*!) d3l = 0 A7,11)
6и
для всех / е Нх (U), но
$4(z1)dVL=l. A7.12)
ви
Из A7.11) вытекает A7.8), поэтому <p^Ac{D), а всякая функция
из AC[D) может быть аппроксимирована на окружности dU поли-
полиномами от z\, поэтому A7.12) противоречит A7.6).
2. При п > 1 доказательство проводится точно так же, но с за-
заменой ядра Коши на ядро Мартинелли — Бохнера, с использова-
использованием результатов об условиях продолжимости функций из C{dD)
до функций класса AC(D) (см., например, i[25, § 3]), с заменой
разложения P{zu l/zi) = Pi(z\)+ P2(i/zi) на разложение из пред-
предложения 17.4. ?
Предложение 17.6. Пусть D^H, а множество М <= 3D,
тп2п-\{М)> 0, то М — множество единственности функций класса
ffl(D), т. е. если угловые граничные значения функции f^Hl(D)
равны на М нулю, то / = 0.
Это предложение легко доказывается, например, методом сече-
сечений множества М пучком комплексных прямых, проходящих через
фиксированную точку a<=D, или пучком параллельных комплек- *

17. Теоремы существования 113
сных прямых. Тогда почти во всех сечениях / s Hl (D) входит и в.
соответствующий класс Я1 для этого сечения (см. предложение
0,8) • И нужный нам факт будет вытекать из аналогичной гранич-
граничной теоремы единственности для функций одного комплексного пе-
переменного (см., например, [134]) и элементарной теоремы един-
единственности для голоморфных функций многих комплексных пере-
переменных (в которой из равенства / = 0 на достаточно густом
множестве пересечений комплексных прямых с областью D дела-
делается вывод о том, что / га 0 в D). О
Следствие 17.7. При условиях предложения 17.6 сужения
функций из O(dD) на dD\M плотны в пространстве Ldo(dD\M),
где 1<<7<оо.
Доказательство. Действительно, в противном случае суще-
существуют функции g е L%(dD\M) и ср е LvdE (dD\M), 1/p + l,/q=
= 1, такие, что
j gydo = i, A7.13)
dD\M
но
j = O A7.14)
dD\M
для всех f<=O(dD). Доопределим ф нулем на Ж и рассмотрим
меру р. = fa, тогда из A7.14) и теоремы 17.5 получаем, что су-
существует функция F<^№{D) такая, что \i=Fa. Далее из F\M~
= 0 следует, что F^O и
j gcp da = \ gF da = 0,
dD\M 0D\M
что противоречит A7.13). О
Заметим, что если множество М <= dD открыто в топологии dD,
то также нетрудно показать, что сужения функций из O(dD) на М
плотны в C(dD\M). Следствие 17.7 и данное замечание приводят
нас к следующей теореме существования многомерного аналога
формулы Карлемана.
Теорема 17.8 (Айзенберг). Пусть D^H и множество М <=
<= 3D имеет положительную Bп — 1) -мерную меру Лебега. Тогда
для функций из HP(D), р>1, существует формула Карлемана ви-
вида A7.5). Если множество М открыто в топологии dD, то это же
верно для функций из Hl (D).
Впрочем, последнее утверждение этой теоремы можно было и
не приводить, так как для открытого множества М <= dD теорема
17.3 дает более сильный результат.
2°. Из теоремы 8.2 сразу следует
Следствие 17.9 (Айзенберг — Тарханов). Если М с dD —
компакт условной устойчивости для пространства AC(D), где D —
ограниченная область в С", то для f<=zAc(D) и z^-D справедлива
8 Л. А. Айзенберг

114 Гл. 4. Максимальная размерность
формула Карлемана
fm(?), A7.15)
где Цг,т(%) — меры (регулярные) с конечной полной вариацией на
М, z^D, т = 1, 2, ..., причем предел в правой части A7.15) до-
достигается в том смысле, что для любого е > 0 существует N = iV(e)]
такое, что для всех m> N и фиксированном z e D
sup ) /(С)<*Ц*,т(?) — /(*)<в. A7.16)
1Л In*1
М
Обратно, из существования формулы Карлемана A7.15) со сходи-
сходимостью в смысле A7.16) вытекает, что компакт М <= dD является
компактом условной устойчивости для голоморфных функций из
Ac(D).
Заметим, что если тп2П-\ {М) > О, то компакт М является компак-
компактом условной устойчивости (см. пример 5 из разд. 8). Но и среди
компактов меньшей размерности тоже есть такие. Наконец, отмс-
отмстим еще, что сходимость в смысле A7.16) есть и в ранее постро-
построенных формулах Карлемана (см. разд. 1—3, 5, 7, 16 и, например,
неравенство A6.9)).
18. ФОРМУЛА МНОГОМЕРНОГО
ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ВЫЧЕТА В ДУХЕ КАРЛЕМАНА
Применим ту же идею, которая уже демонстрировалась при
п — 1 в разд. 6. Пусть D — ограниченная область в С" с кусочно-
гладкой границей dD, отображение f^An(D) не имеет нулей на
dD, вектор-функции w@)^C{dD) и w{i) e Cl(dD), i = 1, ..., п — 1,
удовлетворяют условию A1.2). Рассмотрим множество М cz dD,
ni2n-\ (М)>0, и предположим, что A(f(D)) — выпуклая оболочка
f(dD\M), не содержит начало координат. Тогда существует функ-
функция F<= A(f(D)) такая, что ^@)= 1, но верно F.1). Эту функцию
используем в качестве «гасящей» для получения формулы логариф-
логарифмического вычета в духе Карлемана, основанной на основной ин-
интегральной формуле A1.3).
Теорема 18.1 (Айзенберг). Для всякой функции фе^4с(/))
справедлива формула
lim \<pFn(f)Q(wl0\...,wln-1\f)= 2 ЧФ). A8-1)
Следствие 18.2. При выполнении условий следствия 11.7
верна формула
lim fcpFm (/)«(/>')= S Ф(«)- A8.2)
j E
m->°o

19. Использование ядра Андреотти — Норге 115
Следствие 18.3. Если выполнены условия теоремы 10.12,
тогда справедлива интегральная формула, основанная на формуле
Южакова — Руса A0.16),
lira С cpFm(/) со (/,/)= S Ф(«). A8.3)
E
Следствие 18.4. При условиях теоремы 18.1
lim f Fn (/) Й (u/°\ ..., w(n~l\ /) = N, A8.4)
где N — число нулей отображения / в D (с учетом кратности).
Если полиномиально-выпуклая оболочка f(dD\M) не содержит
пуля, то в качестве F можно взять некоторый полином. Требования
на М в теореме 18.1 и ее следствиях означают, что М должно быть
достаточно большим. Можно обойтись и без этого требования, но
тогда нужно заранее знать нули в области D отображения /. В фор-
формулах же A8.1) — A8.4) этого не требуется. В некотором смысле
эти формулы строятся значительно проще, чем сами многомерные
формулы Карлемана (интегральные представления, а не формулы
логарифмического вычета). Дело в том, что они восстанавливают
функцию ф не во всех точках некоторой области, а лишь в нулях
отображения /. Если же нужно получить интегральное представле-
представление в духе Карлемана только для какой-то одной точки, то это зна-
значительно проще.
19. ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА
НА ОСНОВЕ ЯДРА АНДРЕОТТИ — НОРГЕ
Будем рассматривать тот же класс областей D с: С", что и
в разд. 16, п. 1°. Возьмем ядро формулы A3.12). Тогда аналогично
лемме 16.1 получается
Лемма 19.1.
(С - z)p-a~^p.1 (? - z, (I - 1)р) = Ц ^ Д *р,« (v), A9.1)
где
¦kr> lv\-( 11"-1 {П ~ 1)! рП~Х vP-1*P-a'-1 dvAdv
P-a'-i P-a2-l
V = V2
Заметим, что при а = @, ..., 0), р — 1, форма KP,a(v) превраща-
превращается в формулу X(v) из леммы 16.1, а равенство A9.1) — в равенст-
равенство A6.1). Итак, однородное ядро Андреотти — Норге на комплекс-
комплексных прямых, проходящих через фиксированную точку z^D и не
8*

116 Гл. 4. Максимальная размерность
лежащих в гиперплоскости it,: t,i — zj, есть производная ядра Ко-
ши, умноженная на форму KPta(v), заданную на множестве этих
прямых. Далее обозначим
Лемма 19.2. Интеграл от %i(v, то) по Cm равен 1, т. е.
J X, (и, тп) = 1. A9.4)
с™
Доказательство. При m = 1 положим v\ = re"9, тогда
В случае произвольного натурального числа тп будем интегрировать
форму A9.3) сначала по vm = re'e при фиксированном v* = {vi, ...,
..., Vm-i), получим
Jm= | Хх (v, тп) — (— l)w • рт' \ | и* |2р~2 <fo* Д di?* X i
ст-1
2Я оо
Г2Р—1
X —¦
*
Этот интеграл, следовательно, не зависит от тп. Теперь из 7i = 1
следует A9.4). П
Отметим, что при р = 1 из A9.4) вытекает равенство A6.2).
Рассмотрим далее множество N(z, M), где z — фиксированная точ-
точка области D, а множество M<=dD, тп2п-\(Щ>0. Будем для прос-
простоты предполагать, что п = 2, т. е. D <= С2, а М — любое множество
из 3D положительной трехмерной меры Лебега. Очевидно, что
m2(N(z, M))>0.
Лемма 19.3. Существуют различные точки fi, •••> Vе С1, та-
такие, что множество ? = {!г:уеС1, v*i(esN(z, M), i = l, ..., m) имеет
положительную двумерную меру Лебега.
Доказательство проведем от противного. Пусть для любых
различных Tfi, ..., TmSC1 множество Е такое, что т2(?)=0. Пере-
Перепишем условие ivji^N, г = 1, .... тп} в виде v{<=Nm, где f =
= (Ть • • -, Тт) ^ Cm, 7Vm = W X... X N. Теперь по теореме Фубини для
внешних дифференциальных форм (см., например, [173, с. 246])

19. Использование ядра Андреотти — Норге 117
имеем
J dV= J (§d\iy\dVP. A9.5)
Здесь dV— евклидов объем в Cm; dVP — форма пространства СР"*
для метрики Фубини — Штуди; d^ — мера, абсолютно непрерывная
относительно двумерной меры Лебега. Поскольку m2m (Nm) >0, то
левая часть равенства A9.5) отлична от нуля. С другой стороны,
по предположению для различных ^ь ..., ут е С1 внутренний ип-
теграл в правой части равенства A9.5) равен нулю. Множество
комплексных прямых СР, задаваемых такими f, у которых хотя
бы две координаты совпадали, имеет нулевую Bт — 2) -мерную
меру. Следовательно, правая часть в A9.5) равна нулю. Противо-
Противоречие. ?
Обозначим
vU) = w, 7 = 1, 2, ..., Ы+1. A9.6)
Рассмотрим следующее конечное семейство множеств прямых: I, =
= Zj(z, uin) = {l:l^C2, ti^Zi + t, %2 = Z2 + v^t, t^C\ v^E), / =
= 1, 2, ..., |aI H- 1, и пусть Ms = M П /,-. Ясно, что Mf <= M и тг(М}) >
> 0. Теперь для каждой прямой lt (соответствующее v^N(v, M)),
j — 1, 2, ..., led + 1, определим срез-функцию
а также голоморфную по t «гасящую» функцию cpzu(j)(?) =
= ex-pypzv(j)(t) (см. разд. 1, 16). Кроме того, при дифференцирова-
дифференцировании формулы Карлемана A.3) можно получить следующее равенст-
равенство:
Обозначим
#Mz = Я (щ, *, угМ}) @), ..., ^S)) @)).
Далее находим производные до порядка |а| включительно от
/»E) (t) по t в точке t = 0. Для всякой прямой из ls рассмотрим
систему
/ = 1, 2, ..., |а| + 1. Отсюда получаем выражение для Daf(z), ко-

118
Гл. 4. Максимальная размерность
торое с учетом A9.6) имеет вид
1
7i .--
, A9.8)
,—1
п
Yi
Yi
1 Yl -.-
Yw
lol+l
= П (Y«-Yi)-
1 Y|a|+i • • •
Определитель Вандермонда В по выбору чисел 7/ отличен от нуля.
Равенство A9.8) в силу A9.7) можно переписать в следующем
виде:
N+i
С W
A9.9)
где Pj — произвольная прямая из lj и
Умножим равенство A9.9) на форму KPla{v) при га = 2 и проинтег-
проинтегрируем по множеству Е из леммы 19.3
с |a|+i
5?»a/ (z) \k1(v,l)= lim 2 (- 1) 2 5,. J XP,a (v) x
X
Далее заметим, что для рассматриваемого множества Е (см. A9.2)
и A9.4)) 0< \ ЯРа(у)^1. Теперь с помощью леммы 19.1 получа-
получаем следующее утверждение:

20. Простейшие подходы
Теорема 19.4 (Косбергенов). Для всякой функции
и точки z^D справедлива формула
?
Отметим, что при выводе формулы A9.10) мы фиксировали z,
поэтому числа ^ь Чь •••> Ti«i+i зависят, вообще говоря, от z. Если
в A9.10) положить а = @, 0) и р = 1, то получится формула A6.5)
для п = 2, /e^c(.D). Опираясь на формулу A9.10) для функций
f<=Ac(D), нетрудно распространить ее на функции класса Харди.
Следствие 19.5. Формула A9.10) верна для feH1 (D).
Обозначим правую часть в A9.10) при фиксированном т (без
предельного перехода) через RmDaf. Семейство {Rm) является регу-
ляризирующим для рассматриваемой задачи при подходящем выборе
пространства.
Аналогично доказательству неравенства A6.9) можно обосно-
обосновать следующую оценку, дающую информацию о точности прибли-
приближенного решения:
Daf(z)-RmDaf(z)\^ J 2
\В\\ ЯР>а (v) }=!
X
ГЛАВА 5
МНОГОМЕРНЫЕ ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА
ДЛЯ МНОЖЕСТВ МЕНЬШЕЙ РАЗМЕРНОСТИ
20. ПРОСТЕЙШИЕ ПОДХОДЫ
1°. Обобщим формулу Карлемана A.3) на функции, голоморф-
голоморфные в поликруге U1 = 17@, 1) = {z: z e Cj, Izd < 1, i = 1, ..., у}, остов
которого обозначим А'. Переменное zeC будем записывать z0).
Через Щ= H)(U') обозначим класс Харди функций из A{W) та-

120 Гл. 5. Меньшая размерность
ких, что при
J |/(/¦?«>) | Ли,-< С.
Р1звестно, что / (?0)) = lim / (г?0)) существует почти всюду на А1
Г-»1—О
и определяет функцию из ?'(AJ) (см., например, [138, с. 43]). Пусть
М — измеримое множество из А1. Обозначим М?(Н) = М0 [i№:
wd) е д^ WV~1) = ^~1)). Существенной проекцией М назовем
множество
essprjM = {s°-1): ^'еД'4, mx (M&-») > о}.
Введем функцию
= exp (m J П ^ (z,, ?{) 5 (Zj1 S,-) dml
l м {=i J
где л5ро Пуассона
и я9/?о Шварца
Лемма 20.1. А. К !&,M,m(z0)) ] < em 5дя z(i) s [7j.
Б. Существует множество А с= Aj-1, mj_i(^) = Bn)i~1, такое, что
для всех Z,u~v e=A и zte U1 предел
Ига ?j?M,m (r^"", Zj) = gjiAr>m (^W-1', Zj)
r-n—0
существует; для каждого ?а~1) ^ А функция fj,M,m(StJ~"» zj) голо-
морфна по Zj в U1.
В. Для всех ?(J'-n e4 предел
lim gj>M,m (С0', rSi) - ft.M.™ (?(i))
существует почти для всех ^еД1. Таким образом, gj,M,m определе-
определена почти всюду на Д' (в смысле лебеговой меры m/j.
Г. Почти всюду на А5
Мы не приводим доказательство этой леммы. Оно нетрудно в
использует хорошо известную технику теории функций в поликру-
поликруге. Для п = 2 его можно найти в [229].

20. Простейшие подходы 121
Лемма 20.2. Пусть f <^Нп и j; = 1, 2, ..., п. Тогда:
а) для всех (zJ+i, ..., zn)е Un~> функция f(-,zj+1, ..., zn)e H);
б) существует множество A\ c= A3', ^(.Ai) = BлI, такое, что для
всех ^())e4i и (zj+i, ..., zn)<=?7"-J' предел
lim / (r?0), zi+1, ..., zn) = / (CG\ z;+1, . .., zn)
1—0
существует. Для каждого ?u>e-4i функция /(?(j), •)
в) Зля почти всех ? е Д"
Доказательство. По формуле Пуассона для поликруга
= 1 I /(?) И
При всех (zj+i, ..., zn)^Un~' внутренний интеграл — функция из
Ll(As) по ?(J). Функция, представимая интегралом Пуассона, вхо-
входит в класс Харди Н1, если она голоморфна (это хорошо известное
при п = 1 утверждение без труда обобщается на случай п > 1, см.,
например, [229, теорема 2.1.3]). Отсюда получаем утверждение а),
остальные доказываются так же легко. ?
Рассмотрим оператор
T*1^)^^-".) ' B0Л)
где /ie( ,
Лемма 20.3. Если h = f\M, где f e H), то для почти всех
Zj<= U1 и почти всех wa~u еДи предел в B0.1) существует и
B0#2)
Равенство B0.2) тоже верно Зля всея Zj-et/1 и почти всех шн~п s
Заметим, что если /=1, то почти при любом z^ei/1 правая
часть в B0.2)—характеристическая функция essprj-Ж", следователь-
следовательно, ess pr,- M измеримо и характеристическая функция этого

122 Гл. 5. Меньшая размерность
множества эффективно (с помощью интегралов и предельных пере-
переходов) выписывается по множеству М.
Доказательство леммы 20.3. Рассмотрим интеграл
т м;-п z\_ 1 Г *(С)ц.м,т(еш)*ме,)
множество М измеримо и h^L1 (M), поэтому из теоремы Фубини
следует, что почти для всех t,u~l) е Д-1'-1 интеграл в B0.3) сущест-
существует. Кроме того, Jr,m{i,u~l\ Zj)=O для почти всех t,u~n <? ilf
Из лемм 20.1 п 20.2 получаем, что/(Б0"", O^.M.mCS0', О
Следовательно, по формуле Коши (или Сеге)
Используя п. Г леммы 20.1, находим, что
\Jr,m\ls ,Zj) —/^ >2j;|^=.
J I / (I) 11 <*? I
.,.))' B0-4)
^.м.»(?"-п, *jL*l при ^"-"eessprjJIf, поэтому ^„.„(Б'*-1», г,) I >
> 1 и
m-*oo ^
С другой стороны, из B0.4) следует, что для почти всех ^^Д'"
Л.™ к0'1', *}) \ < | / (С0', z}) | + 2яA1|г,|) j" | /(С) I dm, (Ь). B0.5)
По теореме Фубини правая часть в B0.5) — функция из L'(Aj"')
для всех Zj e U1. Применение теоремы Лебега доказывает равен-
равенство
(j-1\ Zj) = lim lim j Jr%m (? , Zj) x
}'—i
X Ц & (riVii t,i) dm.j-.1 = lim
»=1 r-*l—Од?—1
V»/ frC — l)\TTl D/«,.. 5- \ ,7™. /*-(j—1L
^ X.esspr;M \t / XX \ ^i' ti/ ""*j 1 \э / '
Теперь утверждение леммы 20.3 следует из свойства ядра Пуассона
для поликруга (см., например, [138, с. 27]).

20. Простейшие подходы 123
Пусть теперь М <=¦ Дп. Введем множества Ми ] = 1, ..., п; М» =
= М и il/j = essprj-i^fj+i, 7 = 1, ..., га —1. Для функции hLl(M)
рассмотрим оператор
Ьм (A) = JlMl (Л, м, (• •. (Jn,M
Теорема 20.4 (Даутов — Мкртчян). Если тпп(М)>0 и h —
= /1м, где /e/f,i, то для всех z^Un верна многомерная формула
Карлемана
f = LM(h). B0.6);
Доказательство. По теореме Фубини тп, (Mj) > 0. При
п=1 утверждение теоремы — это формула A.3). Для ге>1 теоре-
теорема доказывается индукцией по к с применением леммы 20.3. Отме-
Отметим, что формула B0.6) при п > 1 имеет неголоморфное ядро. П
2°. Пусть D — полицилиндрическая область в С", т. е. D =
= Z>i X...XZ>n, где Dj — плоские односвязные ограниченные облас-
области со спрямляемыми границами dDh ] = 1, ..., п. Пусть множество
M = MiX...XMn, где mi(Mi)>0, Mf<=dD(, ? = l, ..., п. Рассмот-
Рассмотрим ту же задачу, которая решалась в предыдущем пункте. По-
Поскольку в данном случае множество М является топологическим
произведением, осуществить конструктивное аналитическое продол-
продолжение с М в D легче.
Обозначим tu,-(zj) гармоническую меру множества Mj относи-
относительно области Dj a (o,(Zj) — функцию, гармоническую в Д-, кото-
которая сопряжена с (o,(zj). Пусть далее g(z) = (l, 92, ••-, Чп) — некото-
некоторая вектор-функция с положительными компонептайи, причем
</,, / = 2, ..., п, зависит только от zi, ..., г,-. Кроме того, обозначим
м{»мм
ехР
где о — положительный параметр. В дальнейшем важную роль бу-
будут играть неравенства (?о = О)
i
2 gt [I - coj (z«)] - gi+1©i+1 (zj+1) < 0, / = 0, ..., n - 1. B0.7)
Теорема 20.5 (Ишанкулов). Если во всех точках z^D вы-
выполняются неравенства B0.7), то для всякой функции f^A(D
верна многомерная формула Карлемана
Й G
IЙ ^ B0>8)
неравенства B0.7) выполняются равномерно на компактах
из D, то и предел в правой части формулы B0.8) достигается рав-
равномерно' на этих компактах.

124
Гл. 5. Меньшая размерность
Доказательство. Пусть \f(z) I < С в D, обозначим
С) = с, (z}) = J_ J ~3 , / = 1, . . ., n — 1; c0 = 1,
2я^.1Ч-2Л
У = 1, ...,»;
/o(z, q) =
Оценим разность для
l/a(a,g)-/(z)| = |/0(
X П G\Qu (tk,
-r^f/(C)ftGL.i
(Zjli) •' ._, J
;+i, • • •, zn) X
• • • i 2И I x
n—i
IT
X
i- Г Г«-1 ГГ , ч
Ml
X \ш
+
Ш
< С dn Щ Cj j exp Ja I 2 9j [1 -
/tt2 \ f n~2
+ c dn-i Д c,- I exp a S ?j f 1 — ©,•
\j=0 / I j=0
+

20. Простейшие подходы 125
... + С dz сх ехр {а [1 — а1 (гг)) — q.2a2 (z2)\} + С dx ехр [ — am1 (Zl)] =
= С 2 dj+i (П а ехр Г 2 ?i [1 - «i (*0l - ?i+i<»,4-i (zi+i)] •
j=0 \i=0 J ( Li=O I
Полученная оценка доказывает оба утверждения теоремы. П
Отметим, что при п = 1 формула B0.8) превращается в формулу
Карлемана A.3), а при я>1 представление B0.8) имеет неголо-
неголоморфное ядро.
Два следующих пункта посвящены многомерным аналогам фор-
формулы Карлемана с голоморфным ядром.
Отметим, что напрашивающийся вариант формулы Карлемана
с голоморфным ядром — повторный интеграл в духе Карлемана —
для полицилиндрических областей вполне очевиден. Речь идет
о формуле B0.8) при и>1 и д = 1, т. е. об интегральном пред-
представлении
» / (?) exP j •¦- ^j v tj \*j7 Tj VTj/ I
/B) = Jim (^ J (^-«iI..¦(?„-«„) :^ C B0-9)
ч
где я|), = (Oj + Ш} или, другими словами, ехр % = <pj — «гасящая»
функция из формулы Карлемана A.3). В действительности, как
легко видеть, ф-«гасящие» не во всей области D, а лишь в ее
подобласти
\z: 2(Oj(Zj)>w—l}.
D б
j
3 . Пусть D — n-круговая область в С". Требование ОеО не
накладывается, т. е. голоморфные в D функции представимы, во-
вообще говоря, рядом Лорана, а не Тейлора. Обозначим Аг — тор
(остов) из D. В этом пункте предполагается, что функция f^
и / е С (D U Аг), если Аг <= 3D.
Предложение 20.6 (Аграновский — Айзенберг). Для
п (f-rn/m\ _ (zm/ym\
[K4f У '<%
если в D есть точки z, у которых координата Zj = 0, то в B0.10)
нужно вместо t^zjm писать 1.
Доказательство сводится к разложению /(z) ъ D в ряд
Лорана и использованию формулы для его коэффициентов
ah = -Ц- Г . J®\ , B0.11)
Bяг) J gfei+1 . ?ftn+1
где & = (&!, ..., /tn). Для дальнейшего полезна запись B0.10) в

126 Гл. 5. Меньшая размерность
виде формулы с ядром Сеге
f(z)=hmj f?)U ~—~ dp, B0.12)
!__
i e D, г = (n, ..., rn), а мера
1 Bя*)п Ч • ¦ ¦ Sn
положительна.
Пусть теперь Q — круговая область в С, O^Q. Голоморфные в
Q функции раскладываются в ряды Картана по однородным поли-
полиномам и можно применить ту же идею, что и в предложении 20.6,
с использованием следующего вспомогательного утверждения, ко-
которое нетрудно доказать индукцией по числу переменных п.
Лемма 20.7. Для целых kt верно тождество
2 А >_ "
Следствие 20.8:
o jm=i ^(^)П
4
B0.13)
l4
Теперь из разложения функции f^A(Q) в ряд Картана, B0.11)
и B0.13) следует, если Дгс=(?, утверждение.
Предложение 20.9 (Аграновский — Айзенберг). Для вся-
всякой точки zeQ
(
j кч = iuu , ду-у Tj ' . ^f4 — d(i, B0.14)
J (ЙьЧ)
где .мера ц — га же, что и в формуле B0.12).
Интересно сравнить формулы B0.10), B0.14) с формулой, в ко-
которой предельный переход отсутствует, но появляется несобствен-
несобственный интеграл. Мы приведем ее без доказательства.
Предложение 20.10 (Мкртчян). Для всякой точки z из
многомерного многоугольника Бореля Q = {z: Kz с G>, где G — об-

20. Простейшие подходы 127
ластъ, в которой f(z) голоморфна, а #, = {?: ? == xz, 1 т — 1/21 «?1/2,
те С1}, справедлива формула
exp t Jfl - 1
" ,2
B0.15)
Отметим, что формула B0.15) верна для более широкой обла-
области, чем Q (но не чем D).
4е. В этом пункте рассмотрим некоторые общие соображения о
построении формул Карлемана с голоморфными ядрами. Пусть
D — ограниченная область в С" с кусочно-гладкой границей 6D.
Потребуем, чтобы 3D являлась объединением конечного числа кус-
кусков гиперповерхностей, либо аналитических, или имеющих голо-
голоморфный «барьер», гладко зависящий от точки из этого куска (на-
(например, такой «барьер» есть для выпуклых, линейно-выпуклых
или строго псевдовыпуклых гиперповерхностей, см. разд. 11, 12).
Тогда существует для функций из AC(D) интегральное представ-
представление с ¦ голоморфным ядром, которое можно явно выписать в виде
суммы интегралов по некоторым граням и некоторым ребрам на
0D с помощью интегральной формулы Коши — Фантаппье A1.14)
и идеи Норге получения из этой формулы интегрального представ-
представления с голоморфным ядром для функций, голоморфных в анали-
аналитических полиэдрах (см. разд. 12 и обзор [163]). Подчеркнем, что
речь идет о явно выписанных интегральных представлениях с го-
голоморфными ядрами, а не о теоремах существования типа теорем
14.6 и 14.7. Пусть N — объединение упомянутых граней и ребер,
по которым ведется интегрирование в интегральном представлении
с голоморфным ядром. Отметим, что по теореме 14.10 граница Ши-
Шилова S(D) обязана содержаться в N. Запишем указанное интеграль-
интегральное представление коротко в виде
f(z)= \j(OR(z,Z,dl,dl), B0.16)
jv
где R = R(z, ?, d?, dt,)—соответствующая внешняя дифференциаль-
дифференциальная форма по ? с коэффициентами, зависящими от ? и голоморфно
зависящими от г. Напомним, что B0.16) — просто краткая запись;
в действительности N состоит, вообще говоря, из граней и ребер
разной размерности, а форма R на каждой грани или кажлом реб-
ребре имеет свой вид (для п = 2 явный вид B0.16) можно сразу по-
получить из формулы, приведенной в [5]). Пусть для множества
М а N выполняются условия 1) и 2), аналогичные соответствую-
соответствующим условиям разд. 1: 1) существует функция cpfz)e //™ (D), для
которой 1ф|=1 почти всюду на N\M (на каждом ребре и грани

128 Гл. 5. Меньшая размерность
термин «почти всюду» означает, что речь идет о лебеговой мере
той размерности, которую имеет это ребро или грань); 2) |<р|>1
в D. Иначе говоря, для точек N\M существует единый голоморф-
голоморфный «барьер».
Применим теперь формулу B0.16) к функции /срт (предельным
переходом изнутри области D можно показать, что она верпа не
только для класса AC{D), но и для #~(Z)); впрочем, в примерах
достаточно требования ц>^AC(D)), разделим обе части полученной
формулы на cpm(z) и перейдем к пределу при m-»-<». Ядро R в
B0.16) равномерно ограничено по модулю, когда z принадлежит
компакту из D. Поэтому интеграл по N\M в рассматриваемой фор-
формуле стремптся к 0 при m ->• оо. Приходим к следующему утверж-
утверждению.
Предложение 20.13 (Айзенберг — Назарян). Для функций
f^Ac(D) и точек z^D справедлив многомерный аналог формулы
Карлемана с голоморфным ядром
Шя*- B0Л7)
м
Приведем примеры конкретных реализаций формулы B0.17).
Пример 1. Пусть D = {z: г, < Uii < RA, r2< Iz2l <i?2> — то-
топологическое произведение колец в С2. Для функций f<^Ac(D)
верна кратная формула Копт A2.1), в которой интегрирование
производится по четырем остовам. Из предложения 20.10 легко
получается аналог формулы Карлемана для этой области, в кото-
котором интегрирование происходит только по двум остовам
где М = AHl,r2 U Akj.h.,, Ar.P = {z: lz,|=r, |z2l=p>.
Пример 2. Рассмотрим область D <= С2, ограниченную гипер-
гиперповерхностями Ti = {z: |z2l=r} и Г2 = {г: U2l=4Uila}, а также
некоторой выпуклой гиперповерхностью класса С2, кусок которой,
входящий в 3D, обозначим S; пусть S гладко сопряжен с Г] и Г2.
В данном случае N состоит из S и остова Др,,, где г = Ара. Однако
по Др,г можно не интегрировать, так как из предложения 20.10
следует (см. также формулу A.1.23)):
f{z) = m^w
s
3 S = {(zi> z2): p = 0}; 6, = p~ pi' -r — pLp" - ; 6., = p't p" = —
Пример 3. Для полиэдра Вейля D = {z: z еД,, Jx,(z)l > 1,
= 1, ..., M, где %t(z) голоморфны в области D\ <=¦ Cn, D <= Z>i, i =

21. Одномерные множества 129
= 1, ..., п, в интегральном представлении Бергмана — Вейля A2.3)
интегрирование происходит по остову о — объединению и-мерных
п
ребер 7у.л„= Д Yy где грани ys = {z: z^Du \%t(z)\ = 1). Можно
выбросить из остова а ребра, принадлежащие какой-то фиксиро-
фиксированной грани. Пусть, например, М = aVyi, тогда
/(*)=lim-i- У f
m^oo Bя»)п „ ~VM J
Пример 4. Если область D лежит в части пространства С",
задаваемой неравенством Re\|)(z)<0, где ty^A(D), то ребра из N,
лежащие на поверхности {z: Rei|)(z) = 0}, можно не включать в М,
если в качестве ф(г) в формуле B0.14) взять ф(г) = ехр[—if(z)].
21. ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА С ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
ПО ОДНОМЕРНЫМ МНОЖЕСТВАМ
Обсудим вопрос о восстановлении голоморфных функций в об-
области D <= С" по их значениям на некотором одномерном множестве
положительной линейной меры на границе 3D.
1°. Зафиксируем набор положительных чисел В —{pi, ..., Ъп)
такой, что л, In 6i, ..., In Ьп положительны и линейно независимы
над кольцом целых чисел. Пусть {?r}^=i — возрастающая последо-
последовательность всевозможных конечных произведений элементов В.
Тогда равенство /(&J, ...,Ь„) =ф(?) устанавливает взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие между функциями, голоморфными в окре-
окрестности нуля в С", и функциями, представимыми рядом Дирихле
с показателем In qt:
С ( )С = 5 ед$. B1.1)
Если ряд Тейлора функции / сходится в единичном поликруге
U = 17@, 1), то ряд B1.1) сходится з левой полуплоскости П,
причем граничные значения / и <р подчинены известной связи меж-
между периодическими функциями п переменных и почти периодиче-
периодическими функциями одного переменного, изученной Бохнером (см.
[140]). Из его результатов, в частности, вытекает, что если /<=
A то
sup |ф| = тах|/|, B1.2)
Re?«o fj
Л. А. Айзенберг

130 Гл. 5. Меньшая размерность
при ^s[/ (см. кратную формулу Коши A2.1)). Здесь использова-
использовано следующее обозначение Бохнера:
Пт± \ g(y)dy.
-А
Формулу B1.3) (точнее, ту ее часть, в которой речь идет о равен-
равенстве Mv функции /E)) можно рассматривать как своеобразный
аналог кратной формулы Коши в поликруге U, но для одномер-
одномерного множества интегрирования. Можно получить аналогичную
формулу для восстановления функции по ее значениям на некото-
некоторой последовательности точек остова Г.
Теорема 21.1_(Знаменский). Для всякой функции
и любой точки z^U справедлива формула
? f
где последовательность б(/) зависит от выбора В. При 8(/) = —i/
формула B1.4) верна для z^U.
Отметим, что размерности «множества интегрирования» в фор-
формулах B1.3) и B1.4) не зависят от числа переменных.
Всякая функция из AC(U) может быть равномерно на U при-
приближена полиномами P{z). В этом случае последовательность со-
соответствующих полиномов Дирихле РFЕ) сходится равномерно на
замыкании левой полуплоскости П = {^: Re 5=^0). Используя свой-
свойство B1.2) и неравенство Коши для коэффициентов полинома, не-
нетрудно заметить, что при наложенных на bs ограничениях эта
функция раскладывается в абсолютно сходящийся в полуплоскости
со
П ряд Дирихле 2 ajaj- И наоборот, если функция равномерно на
_ ;=i
П приближается полиномами Дирихле указанного вида, то она есть
сужение некоторой функции из AC(U) на аналитическую кривую
|(&i, ....Ь„): ^еС'|. Таким образом, установлен изоморфизм меж-
между Ас(U) и алгеброй функций из А(П), равномерно на П прибли-
приближаемых полиномами от ЬЕ.
Пусть a(v) определено для всех целых ve2. Введем
^2m
Лемма 21.2. Если xjn иррационально, то Sv{ehx) = O.
Доказательство:
2m
= 0.

21. Одномерные множества 131
Доказательство теоремы 21.1. Пусть сначала f(z) = zi,
тогда для любых iV>max/i, zsU, a<0
N
= 2
m=lft=l
= /(zb«), B1.5)
где zba~(z1b^, .. .,znbn). Переходя в обеих частях равенства B1.5)
к пределу при N -*¦ °°, получаем для любого монома, а следователь-
следовательно, и для любого полинома
Тем самым формула B1.4) доказана для полиномов при б(/) = —i/
и гб?/, Поскольку всякая функция f^Ac{U) равномерно аппрок-
аппроксимируется полиномами, то B1.4) верно и для таких функций.
Остается показать, что можно так выбрать б(/), чтобы формула
B1.4) имела место и для точек z^U. Положим /о = 0. Пусть jN-\
определено. Найдется jx>NjK-i такое, что для всех f(z) = zl,
max lt < N
vez
B1.6)
где )я > J Jn. Положим б (v) = — у — 1 — г v, /jY-! < I v | < jK,
тогда формула B1.4) получается для полиномов из B1.6). Поскольку
полиномы плотны в AC(D), а обе части равенстза B1.4) и нера-
неравенства B1.6) при фиксированном z непрерывны по / в естествен-
естественной топологии равномерной сходимости, приходим к утверждению
теоремы. П
Пусть теперь D — полная n-круговая область в С", се dD.
Следствие 21.3. Всякую функцию f<=Ac(D) можно кон-
конструктивно восстановить по ее значениям на множестве
М = \z: z} = е5Ъ}, j = 1, ..., и, — it, e= M'\,
где M' <=¦ R1 — произвольное множество положительной линейной
меры.
Доказательство. Функция ф (Q = / («А". • • • ^ cnbn) голо-
голоморфна в П, ограничена в ней, непрерывна на П, и ее значения
на множестве iM' = {?: — it, e M'} определяются значениями / на
М. Затем функцию <р(?) можно восстановить в П с помощью фор-
формулы Карлемана E.3). Далее по формуле B1.4) функция / вос-
восстанавливается в некотором поликруге с центром в нуле. Теперь
о*

132 Гл. 5. Меньшая размерность
можно вычислить значение / в любой точке из области Z), раскла-
раскладывая ее в ряд Тейлора с центром в нуле или используя формулы
преобразования Бореля функций многих комплексных переменных
(см., например, [136, с. 251]).
2°. Пусть D — звездная область, OeZ)<=C"; всякая функция
feA(D) раскладывается в некотором поликруге U@, r)<=D в ряд
Тейлора
2Xa B1.7)
Пусть кривая у = {z: zt = гф\, г = 1, . . ., и, ? е 7] cz 3D, где f —
отрезок [0, ic], лежащий на мнимой оси в С1, где с > 0.
Теорема 21.4 (Болотов). Коэффициенты Тейлора функции
определяются по значениям f на у формулой
m
•¦¦*« X
X
V
где rb = (r1b1, .. .,rnbn), ветвь логарифма выбирается так, чтобы
г
= — от.
Доказательство этой теоремы легко получается примене-
применением методов предыдущего пункта и формулы Карлемана из разд. 5
Оно не для верхней полуплоскости П, а для левой полуплоскости
П). О
Заметим, что, зная коэффициенты da ряда B1.7), можно вос-
восстановить /(z) в поликруге ?/@, r)<=D, а значение / в любой точке
asfl можно получить с помощью разложения Миттаг — Лефлера
функции -ф (?) = /(?а).
Теорема 21.4 не укладывается в результаты разд. 17, поэтому
заранее не ясно, есть ли условная устойчивость рассматриваемой
задачи аналитического продолжения с кривой "(<= 3D в область D.
Для п = 2 соответствующая оценка условной устойчивости этой за-
задачи приведена в [47]. Мы ее не приводим ввиду громоздкости.
22. ГРАНИЧНЫЕ МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕННОСТИ
ДЛЯ ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЭТИХ ФУНКЦИЙ
1°. Пусть D — ограниченная односвязная область в С", a S =
= S(D) — ее граница Шилова. Рассмотрим следующие задачи.
1. Какие замкнутые множества М <=¦ S являются множествами
единственности для плюригармонических в D функций?
2. Описать класс 8 замкнутых множеств М на 5, для которых
из того факта, что функция f^Ac(D), /?=0 в 5 и 1/1 = 1 на М,
следует / s const.

22. Плюригармонические функции 133
Эти задачи по существу эквивалентны: от второй к первой мож-
можно перейти логарифмированием, а от первой ко второй — рассмот-
рассмотрением функции ex])(u + iv), где и — плюригармоническая функция
из первой задачи, a v — сопряженная к пей плюригармоническая
функция. Следовательно, указанная эквивалентность действитель-
действительно есть, если в первой задаче имеются в виду не функции из
Phc(i>), а такие функции u^?hc(D), что сопряженные к ним
плюригармопические функции тоже непрерывны на В. Будем об-
обсуждать вторую задачу.
Сама граница Шилова 5 е= <S. В самом деле, пусть /=И=0 на D
и !/| = 1 на S; тогда Ц//К1 и I/K1 в D, значит, 1/1 = 1 в D,
поэтому / = const. Если М е $, то М — множество единственности
для алгебры AC{D). Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмот-
рассмотреть вместо / функцию ехр /.
Теорема 22.1 (Кытманов — Никитина). Если Ме.&, функ-
функция F = AC(D), 1Л<1 на D и \F\ = 1 на М, то FGl#)=Tl-
окружность радиуса 1 с центром в нуле.
Доказательство. Пусть F (М)Ф fi, тогда множество ^Л
\F(M) открыто в "(\. Рассмотрим на fi функцию <р е С°°, равную
нулю на F(M) и положительную на *(]\F(M). Продолжим ср в еди~
ничный круг U как гармоническую и пусть f^A(U), Бе/ = ф.
Очевидно f^Ac(U), положим g(z) = f(F(z)), тогда g^Ac(D).
Кроме того, Reg — Ref(F(z)) = O на М и Reg>0 в D. Отсюда
следует, что lexpgl = 1 на М и lexpgi > 1 в D. О
Рассмотрим аналитические диски ч|) с границей на S, т. е.
¦ф: U->-D, aps^4c(C/) и i|)(fi)c:?. Пусть В — объединение некото-
некоторого числа таких дисков, а М — объединение их границ ^(^i).
Множество М назовем счетно-линейно связным, если для любых
точек z, «?ejf существует непрерывное отображение о: [0, 1] -*¦
-*-В\)М такое, что a@) = z, оA)=м; и а([0, 1]) можно предста-
представить в виде объединения не более чем счетного числа подмножеств
дисков из В U М.
Теорема 22.2. (Кытманов — Никитина). Пусть М — замкну-
замкнутое множество единственности для функций из AC(D) и M^S яв-
является объединением границ аналитических дисков. Если М счет-
счетно-линейно связно, то М s jg.
Доказательство. Пусть / ^AC{D), /?=0 на D и 1/1 = 1 на
М и пусть г|з—аналитический диск, причем -^(^\)<=.М. Тогда 1/1 =
= 1 на -ф(^i>, следовательно, /=сф на -ф(С/). В силу счетной ли-
линейной связности М для любых z, w^-M существует отображение
а с указанными свойствами. Тогда /(а) непрерывна на отрезке
[0, 1], а /(о([0, 1])) есть не более чем счетное множество. Кроме
того, /(о([0, 1])) компактно и связно, поэтому f(z) = f(w). Итак,
/^ const на М, следовательно, / = const в D. ?
Заметим, что в случае поликруга U=Un~{z: |г3-|<1, / =
= 1, ..., п) рассматриваемые аналитические диски if имеют вид
zj = &i@. гДе / = 1, • ¦ ., re, а bj(t) — конечные произведения Бляшке.

134 Гл. 5. Меньшая размерность
Внутренние функции F^AC(U) представимы в форме (см. [138,
с. 97])
где Q — полином без нулей в U, а Р — моном с коэффициентом,
который по абсолютной величине равен 1, далее Q — полином, ко-
коэффициенты которого комплексно-сопряжены с коэффициентами
полинома Q, и P(z)Q(ilz) тоже является полиномом. В работе
[60] построен широкий класс рациональных внутренних функций
для обобщенного единичного круга то. Это позволяет построить до-
достаточно большое семейство множеств из классов <§ для данных
областей.
Обсудим вопрос о восстановлении плюригармонической функции
U в D по ее значениям на множестве М^8. Удобнее даже вос-
восстанавливать голоморфную функцию feAc(D), действительная
часть которой задана на М. Пусть М удовлетворяет условиям тео-
теоремы 22.2, тогда М = (J г|)а G^, где гра — аналитические диски.
а
С помощью классической формулы Шварца получпм значения / на
•фа(С/), а затем с помощью формулы Сохоцкого — значения / на
i}v(Yi) (почти везде). Эти значения необходимо согласовать между
собой, поскольку формула Шварца восстанавливает функцию /
только с точностью до аддитивной постоянной. Для этого нужно
воспользоваться счетной линейной связностью М. Особенно просто
провести указанное согласование, когда все диски т[%с имеют общую
точку. После того как мы таким образом получим на М значения
голоморфной функции (почти везде в смысле меры той же раз-
размерности, какова размерность границы Шилова), необходимо вос-
воспользоваться подходящей формулой Карлемана для восстановления
/ уже во всей области D. Приведем примеры реализации данной
идеи.
Пример 1. Пусть D = U2 = {z: Ы<1, |z2! <l)il= U i|>,,
teE
где i|)( задается системой уравнений ?i = е", ?2 = teir, —я < т < я,
Е = it: t = eu, a^c^b). В силу теоремы 22.2 множество Ме= <g\
С помощью классической формулы Шварца получим значения
функции /(zj, tzi) для Uil<l и fe?. Далее, зафиксировав z\
(при lzi!<l), воспользуемся формулой Карлемана A.3) по пере-
переменному Z2. Окончательно имеем
f(z)=
^Л

22. Плюригармонические функции 135
где ф(а) = Ф(а,Я) 4
Е
Пример 2 (Ишанкулов). Снова D = U2, a M = АиВ, где
А = Ц: ?, = eia, I52! = 1), В = {1: 15,1 = 1, ?2е#), # = {?2: 1Ы =
= 1, a^argt,2^b}. С помощью классической формулы Пуассона
получим значения u(zi, ?2) для \zi\ < 1 и ?2е#. Далее, зафикси-
зафиксировав 2i (при lzil<l), воспользуемся формулой Карлемана A.3)
.у - л. du(zV У о
для голоморфной функции —т . .Зная производную, легко наи-
ти функцию и:
Bm)
Формула B2.1) верна для функций u^Ph{D)(]C2(D). В работе
[85] можно найтп оценку условной устойчивости для рассматри-
рассматриваемой задачи.
Пример 3. Пусть D — полная круговая область с центром в
нуле, М — множество, лежащее на 3D, и т2п-\ (М) > 0. Кроме того,
М= U'Фа. где 1ра задается системой уравнений ?i=pe'T, ?2 =
а
= aipe", ..., %п — cCn-ipe'T, 0 ^ т < 2я. С помощью классической
формулы Шварца получим значение функции /(zj, aiZi, an-\Z\),
а затем, применяя формулу Сохоцкого, найдем
Итак, мы получили на множестве М значения голоморфной
функции f^Ac(D). Для восстановления / в области D можно
воспользоваться формулой Карлемана, в которой интегрирование
происходит по множеству М (например, если D удовлетворяет ус-
условиям п. 1° разд. 16, то годится формула A6.5)).
2°. Приведем два результата о граничных множествах едпн-
ственпости для плюригармонических функций, которые формально
не вытекают из общей теоремы 22.2 хотя бы потому, что относят-
относятся к неограниченным областям. Пусть D = {z: у, = Im Zj > 0, / =
= 1, ..., 11} — произведение верхних полуплоскостей и u(z) =
= и(х, y)^Vhc(D). Рассмотрим функцию ty(x) = u(x, 0), же Л/,
на множестве
М~{х: а}<Xj<bj, j—i, ..., n—\, — °° <xn< °°).

J36 Гл. 5. Меньшая размерность
Ставится вопрос, определяет ли функцию и(х, у) в D задание
функции ty(x)? Пусть сопряженная к и плюригармоническая функ-
функция v тоже входит в класс T?hc{D).
Предложение 22.3 (Ишанкулов). Если
limu(z) = 0, B2.2)
то из Ц(х) = 0 следует, что u(z) = O в области D.
Заметим, что область D биголоморфно отображается на единич-
единичный поликруг U, но из B2.2) еще не следует, что после такого
отображения функция u + iv перейдет в функцию класса AC{U).
Однако доказательство этого (и следующего) предложения легко
получить с помощью преобразования Фурье по переменным х (см.
[85]). Оценку условной устойчивости для рассматриваемой задачи
(но уже в случае ограниченной полицилиндрической области) так-
также можно найти в работе [85].
Рассмотрим далее биполосу в пространстве С2, являющуюся
произведением двух полос: D = {z: 0<у,<1, у = 1, 2>. В данном
случае остов области D — объединение четырех плоскостей -Pi =
= {z: г/i = г/2 = 0}, P2 = {z: г/1=0, г/2 = 1}, P3 = {z: yl = y2=<[} и
Pi = {z: г/i = 1, г/г = О}. Для того чтобы единственным образом опре-
определить плюригармоническую в области D функцию, достаточно за-
задать ее граничные значения только на двух из указанных четырех
плоскостей (сравните с примером 1 из разд. 20).
Предложение 22.4 (Ишанкулов). Пусть функция u(zi,z2)e
еphc(D) и удовлетворяет условию B2.2). Если и = 0 на двух из
четырех плоскостей Pi, Р2, Рз, Pi, то и = 0 в области D.
3°. В этом пункте D — n-круговая область в С", OeD, Q —
круговая область в С", 0^ Q, а Я — многомерный многоугольник
Бореля. Эти области рассматривались в разд. 20, п. 3°. Там были
получены формулы Карлемана с ядрами Сеге B0.12), B0.14) и
B0.15). Эти ядра мы обозначим hm(z, ?), hm(z, \) и Ht(z, ?) со-
соответственно. Заметим, что
оо
hm @,1) = hm @,1) = 1, f Ht @,1) = 1. B2.3)
0
Относительно функций / сохраним условия разд. 20, п. 3°.
Предложение 22.5 (Аграновский—Айзенберг). Для всякой
функции и = Re /
/(z)=lim lu{Q{2hm{z,l)-
1 (z) = lim f ц (I) [2hm (z, ?) - 1] dft + i Im / @), z e Q, B2.4)
т-»оод
oo
/ (z) = f dt J и (?) [2Ht (z, t) — 1] dp + Hm / @), гей
о дг

23. Подмножества границы Шилова 137
Докажем, например, первую из формул B2.4). Ядро Шварца в
ней обозначим Sm(z, ?); из B2.3) следует, что Sm@, ?)=1. Кроме
того, из B0.12) получаем
/@)=f/(Qdfi. B2.5)
Из действительности меры ц вытекает, что B2.5) верно и для
антиголоморфных функций. Далее для всякой точки zsfl
Наконец, если воспользоваться очевидным равенством для ядра
Пуассона P(z, ?) = ReS(z, ?) и возможностью в рассматриваемых
областях функции uePhc(D) аппроксимировать на Z) функциями
M = Re/, где f^Ac(D), то из предложения 22.5 получим
Предложение 22.6 (Аграновский—Айзенберг). Для плю-
ригармонических функций us классов Phc(D), Phc(<?) и РАС(Й)
соответственно верны формулы
¦ и (z) = lim \ и (?) Re [2hm (z, ?) - 1] dp, ze=D,
и (z) = lim f u (?) Re [2%ra (z.'Q - 1] d(i, 2 s <?, B2.6)
u(z) = J<ftJ u(?)Re[2^(z,Q-l]rffi, гей
о лГ
Заметим, что если не требовать (как это мы и делали в пред-
предложении 20.6), чтобы 0 ^ D, то тор Дг не будет множеством един-
единственности для плюригармонических функций (окружность — мно-
множество единственности для функций, гармонических в круге, но не
в кольце!), поэтому в этом случае не могут существовать аналоги
в духе Карлемана формул Пуассона или Шварца. Кроме того, ин-
интересно отметить, что аналоги формул Пуассона B2.6) и Шварца
B2.4) в духе Карлемана значительно проще, чем аналоги этих
формул в классическом духе для рассматриваемых областей (см.,
например, [92, 94]).
23. СУЩЕСТВОВАНИЕ ФОРМУЛ КАРЛЕМАНА
ДЛЯ ПОДМНОЖЕСТВ ГРАНИЦЫ ШИЛОВА
1°. Пусть D — ограниченная круговая сильно звездная область
в С", a S = S(D)—ее граница Шилова. Подпространство следов на
S функций из AC(D) обозначим As. Рассмотрим на S положитель-
положительную меру ц, инвариантную относительно поворотов z -> eilfz (где

138Гл. 5. Меньшая размерность
0ф), для которой имеет место интегральное представление
(см. теорему 14.9 и замечание, сделанное после ее формулировки)
для f^Ac(D) и zefl
[ B3-1)
здесь h(z, ?)е C(DXS). Обозначим через 0ц(?) подпространство
функций феСE), ортогональных голоморфным функциям при
интегрировании по S в том смысле, что
f фц = О
S
для всех f^-As. Для рассматриваемого класса областей D про-
пространства Харди HP(D) вводятся следующим образом: f^H(D)
если /si(Р) и при любом г, 0 < г < 1,
Лемма 23.1. Пусть f^H"(D), />5=1, тогда предел
lim /Ю = /Ш B3.2)
r^l—о
существует почти всюду на S (в смысле меры \i), функция f ин-
интегрируема на S и для z^D верна формула B3.1). Сужение
fz(t) = f(zt) функции f на комплексную прямую, проходящую че-
через Омг, принадлежит HP(U) (где U — единичный круг) для поч-
почти всех z^S.
Доказательство. Из свойств инвариантности меры ц, отно-
относительно поворотов следует
2Я
S S S
отсюда вытекает
2JI
JJ|/(re*№V<C7. B3.3)
S О
Внутренний интеграл в левой части B3.3) не убывает с возраста-
возрастанием г, поэтому он является ограниченной функцией от г для поч-
почти всех Е; е S. Поскольку существуют радиальные граничные зна-
значения (и даже угловые граничные значения) у функций из HP(U)
почти всюду на dU, то предел

23. Подмножества границы Шилова 139
существует почти при всех (?, <p)sU5> ф): 5е<^, 0<р
Граница Шилова круговой области инвариантна относительно по-
поворотов, поэтому предел в B3.2) существует почти всюду на S. ?
Следующее утверждение распространяет на рассматриваемый
класс областей теорему 17.5.
Теорема 23.2 (Знамеиская). Для того чтобы для заданной
на S меры v и для любой функции (peO,,(S) имело место равен-
равенство
f cpdv = 0, B3.4)
s
необходимо и достаточно, чтобы существовала функция f^
такая, что v e /ц.
Доказательство. Необходимость. Пусть Г с: С* (S) —
совокупность мер в = /ц, где /eff'(D). Нужно показать, что мера
v принадлежит Г.
Докажем, что Г — слабо секвенциально замкнуто, т. е. для лю-
любой последовательности мер {Qm = fm\i}, m = l, 2, ..., из Г, которая
*-слабо сходится к 0о, сама мера 0о также принадлежит Г. Для
C(S
lim f i|)d0m = f tyd%.
m^°° S S
Возьмем в качестве функции -ф ядро h(z, ?). Так как *-слабо схо-
сходящаяся последовательность функционалов ограничена по норме
h(z,l)dQm\^C1\\h\\,
s
то из B3.1) получаем
Qd <C|fe( OKCj max
i
где К — компакт из области D. Следовательно, |/m(z) | (),
поэтому из последовательности {/«} можно выбрать подпоследова-
подпоследовательность {/mj}), равномерно сходящуюся на компактах в D. Оста-
Остается показать, что предельная функция /о этой подпоследователь-
подпоследовательности тоже входит в класс Харди №(D). Это вытекает из нера-
неравенства
.?| B3.5)
S S
и ограниченности нормы 6т:
II 9т ||= f|/m(Q^<C. B3.6)
S
Неравенство B3.1) следует из свойства меры (см. доказательство

140 Гл. 5. Меньшая размерность
леммы 23.1) и следующего неравенства:
2Л 2Л
]
почти при всех г е S. В силу равномерной сходимости подпоследо-
подпоследовательности {/«»;} на компактах из D можно переходить к пределу
под знаком интеграла в левой части неравенства B3.5). Поэтому
из B3.6) получаем
при любом г, 0<г<1. Покажем, что Эо = /оц.. Для этого достаточ-
достаточно доказать, что
= lim [ i|)/mcfyi - f т|?/ой(* B3.7)
для всех ty^C(S) или для множества функций, всюду плотного в
C(S). Рассмотрим в качестве такого множества совокупность всех
полиномов P(t,, ?) и покажем, что верно B3.7) для любого монома
Имеем
2П
= яг J W* (rS)'d(i j /m (гв^) ездм"^ф. B3.8)
S So
Разложением /т в ряд по однородным полиномам Pq степени q
для внутреннего интеграла из правой части B3.8) получаем ра-
равенство
2Я
-If
2л J
— У Р
1т W
)Z4 z=o
Следовательно, интегралы в B3.8) есть линейные комбинации от
значений соответствующих функций и их производных в нуле. Для
функций класса Hl(D) этот факт легко доказать, опираясь на толь-
только что установленное и лемму 23.1, с помощью предельного пе-
перехода.
Далее так же, как при доказательстве теоремы 17.5, получаем,
что если v Ф Г, то существует функция <реСE) такая, что для
любой f<^Hl(P)
f <p/d|i = 0, B3.9)
но
I
= 1. B3.10)

23. Подмножества границы Шилова 141
Из равенства B3.9) вытекает, что (peOfE), поэтому равенство
B3.10) противоречит условию B3.4).
Достаточность. Пусть v = /ц, где /е #>(?)). В силу лем-
леммы 23.1 имеем
lim
для всех феО„E). ?
Борелевское множество М с: S положительной меры ц (М) > 0
назовем множеством единственности функций класса Hl(D) отно-
относительно меры ц, если для любой /еН'(В) из условия /(z)=0
почти всюду на М следует, что / = 0. Следующая лемма позволяет
описать введенные множества единственности.
Лемма 23.3. Для того чтобы множество McS было множе-
множеством единственности функций класса Hl{D) относительно меры
\i, необходимо и достаточно, чтобы ни один ненулевой однородный
полином не был равен нулю почти всюду на М.
Для доказательства этой леммы потребуется следующее утверж-
утверждение.
Лемма 23.4. Пусть Mt = {f. te С1, t? eJf) и а(М) = {?: ^eS,
mi(Ml)>0), где в данном случае mi — лебегова мера на единич-
единичной окружности. Тогда \i(M\a(M)) = 0.
Доказательство. Пусть % = %м\ЩМ), тогда
2П
так как внутренний интеграл равен нулю.
Доказательство леммы 23.3. Необходимость очевидна. До-
Докажем достаточность. Пусть /е Я1 (D) и /(z) = 0 почти всюду на М.
Тогда из леммы 23.1 и классической теоремы единственности (см.,
например, [67, с. 413]) получаем /(z) = 0 почти всюду на а(М).
Если / Ф 0, то для некоторого ;
/(*)= S Pm(z),
где Pm — однородные полиномы степени m и Pj(z)^kO. Поэтому
p.(Z) = iimiM. B3.il)
Далее, учитывая, что а(М) состоит из окружностей, лежащих на
комплексных прямых, проходящих через начало координат, полу-
получаем, что Pj(z) = O на а(М). По лемме 23.4 этот полином равен ну-
нулю и на М. ? *
Теперь распространим на рассматриваемый класс областей след-
следствие 17.7 и теорему 17.8.

142 Гл. 5. Меньшая размерность
Следствие 23.5 (Знаменская). Если М с S — борелевское
множество единственности функций класса //' (D) относительно
меры ц, то сужения функций из O^iS) на SW плотны в Ь^(8\М),
1<д<«>.
Теорема 23.6 (Знаменская). Пусть множество М с: S удовлет-
удовлетворяет условиям следствия 23.5. Тогда существует последователь-
последовательность (fm.zi^^O^S), тя=1, 2, ..., аппроксимирующая ядро h(z,t,)
при каждом фиксированном z^D в смысле сходимости в L^S \М)
и для всякой функции f^Hp(D), где 1/р + 1/д = 1, и любой точки
z^D справедлива формула Карлемана
f (z) = lim j / (?) [h (z, I) - ifn,z (S)] dp. B3.12)
m->oo M
Если множество М открыто, то сужения функций из 0^E) на S\M
плотны в C(S\M) и интегральное представление B3.12) верно
для функций класса Hl(D).
Доказательства этах утверждений, по существу, не отличаются
от доказательств упомянутых следствия 17.7 и теоремы 17.8.
2°. Поставим вопрос, нельзя ли в результатах предыдущего
пункта отказаться от требования, чтобы область D была круговой?
В этом пункте рассматриваются ограниченные сильно звездные
(относительно нуля) области D с границей Шилова S^C2. Кроме
того, предполагается, что все сечения dD комплексными прямыми,
проходящими через 0 и точку на S, целиком лежат на S. Отметим,
что из этого условия не следует, что сама область D является кру-
круговой. Например, у области
граница Шилова S = {z: Izi + ll=V2, lz2i = 1/2 \z{\} обладает тре-
требуемым свойством, но сама область D не круговая.
Пусть оеС" и аФО, обозначим р« = {z: z = at, zeC", feC1} и
Da = It: t e C1, -j—-i-e D\. По теореме Римана существует функция
<fa(K), отображающая круг U—U@, 1) на область Da, причем
фо@) = 0, ф„@)>0.
Предложе itji е 23.7. Функция т (а, Л) = arg фа (Л) непрерывна
на множестве SXU.
Для доказательства этого утверждения нам потребуется ряд
лемм. Зададим вектор-функцию F(u), отображающую единичный
шар В на нашу область D,
Щи (I и \)
z = F(u) =
О, если и = 0.

23. Подмножества границы Шилова
143
Ле'мма 23.8. Отображение F — гомеоморфизм единичного ша-
шара В tya область D. При ае С*\{0), k^U выполняется равенство
- OJT^- B3-13)
Мы опускаем доказательство этой леммы. Рассмотрим семейство
функций J а (к) = i In фа (к), а <= S, здесь можно выбрать однознач-
однозначную ветвь логарифма, так как область Da односвязна и отображе-
отображение ф конформно. Для данного семейства функций справедлива
следующая
Лемма 23.9. Если иа (к) = Re Ja(k) = argq)a(A,), а для 0 < t < 2я,
О < f' < 2л и 0<ос<1 выполнены условия \иа(ен) \ =С М, | M(j (e») —
— uu(e"')|</s:|t—f |а ге/?а дюбол ae=S, то \Ja(k)\<Q, где Q —
некоторая постоянная, не зависящая otu^SuX^U.
Доказательство. По формуле Шварца
/. <*) - иа ( fa) = ± ? [иа (т) - ua (fa)} }±\% + iCa. B3.14)
Из равенства B3.14) найдем оценку для Са: \Са\ ^ \Ja{k) I + ЗМ
для всех Х<= U\{0), а по непрерывности Ja(k) и в точке О
Заметим, что
B3.15)
I — aQfr^r'\|<minf2M, К
V к' /1 I
пусть е = BМ/К)иа, тогда, разбивая интеграл в B3.14) в сумму
интегралов по кривым fi = (т: т = е'\ a.rg(k/\k\ — e)^ t ¦¦
s? arg(k/\X\ + е) и 42 = dU\fi, получаем оценку
B3.16)
Рассмотрим отображение го = — i ,' ' круга U на верхнюю по-
полуплоскость. Из B3.16) имеем
где
ШТ)
Ш — Г]
dw
sin e
I = — i' . , . ; 2 arctg w = — i In т + i In гт-т-; ^ — отрезок дей-
ствительной оси, соединяющий точки
e-!e + l

144 Гл. 5. Меньшая размерность
Далее из неравенств iarctguH < \w\ и \w — t\\> \w\ получаем
^+^ + ic-i- <23i7>
Несобственный интеграл в правой части B3.17) сходится, так как
0<а<1. Покажем, что оценка \Са\ не зависит от а. Заметим, что
Фо@) = Ra —конформный радиус отображения сра и, в силу огра-
ограниченности области D, существует такое R>0, что DaBR(Q),
поэтому из B3.15) следует \Са\ < ЗМ + |lni?l. Окончательно имеем
оценку
Заметим, что области D, рассматриваемые в данном пункте,
удовлетворяют условиям леммы 23.9: ограниченность и„(е") выте-
вытекает из сильной звездности области D, а условие Липшица — из
дважды гладкости границы Шилова. Из этой леммы получаем оцен-
оценку I фа (Ц | ^ exp Q, верную для всех а е S и К е U, так как Фа S
eC(f/) при фиксированном а (см., например, [67, с. 411]). Далее
|^-Я1|, B3.18)
h
т. е. условие Липшица в U верно с постоянной, не зависящей от
а е S. Теперь можно усилить лемму 23.8.
Лемма 23.10. Функция }(а, \) — F(a%j\X\) непрерывна в
SXU.
Доказательство. Предположим, что существуют последова-
последовательности ат -+¦ а, Хт -*¦ X и ео > 0 такие, что для любого N найдут-
найдутся т, j > N, для которых
где Xm,Xj<^dU (так как из леммы 23.8 вытекает непрерывность
функции /(а, X) в SX U). Можно выбрать
б < 8о/4с°
так, чтобы (см. неравенство B3.18))
| / {ат, Хт) — / (ат, A — б) Хт) | < eQ6<^,
тогда
Получаем, что \f(am, A - S)kn)-/(aJ, (I - б)^) I > eo/2, что про-
противоречит непрерывности /(а, X) в SXU.

23. Подмножества границы Шилова 145
Доказательство предложения 23.7. При фиксирован-
фиксированном а е= S, О «S t s? 2л, функция
/ 1 *ч Фа (*«*')-Ф„ W
u (а, Я, i) = arg
^—
Ке Л
является гармонической по 1е(/ и, в силу гладкости dDa, равно-
равномерно по t ограниченной при фиксированном aeS (см. [67,
с. 409]), т. е. для .некоторого К(а)>0 \и(а, Я, t)\^K(a).
Докажем непрерывность функции %{а, Я) в точке (а0, Яо), где
Яое dU. Заметим, что угол наклона хорды гладкой дуги равен углу
наклона касательной в некоторой внутренней точке дуги, стягивае-
стягиваемой этой хордой, т. е. и(а, Я, t) = x(a, Яе"") при некотором 0<9<
< 1. Рассмотрим точку z° = /(a°, Яо). Из условий, наложенных на
границу Шилова S, следует, что для любого 8 > 0 существуют та-
такие т = Т(е) и а = а(е), для которых из |/(а, Яо) — z°l < ¦у и т = о
вытекает: угол и(а, Яо, t), образованный касательными к dDa в точ-
точке ф0(Яое'') и к dU в точке Яое'е', отличается от угла во, образован-
образованного касательными к dDa в точке Фа»(Я0) и к dU в точке Яо, на
величину, меньшую е/2, для любого 6, 0 < 0 < 1. Получаем, что
\и(а, Яо, t) — Qo\ < е/2 при |/(а, Яо)— z°\ < 7- По лемме 23.10 можно
указать такие 6 = 6G), T!==Tl(i()> что \j(a, %) — z°\ < 4 как только
|а — а°\ <6 и largЯ —arg^ol < tj, следовательно,
1и(а, Я, f) — во! <е/2. B3.19)
Покажем, что это неравенство B3.19) имеет место и в той части
А некоторой окрестности Яо, которая лежит в U. Положим
v{a. Я, t) = u(a, Я, t) — Q0, тогда при каждом t и a, UI < т, к —
— а°\ < б, по формуле Пуассона
v (а, Я, t) = f у (в, Zis, 0 ^ (eis, Я) d*.
о
Разбивая интеграл в сумму интегралов по дуге (argko — ц,
+ л) и оставшейся части окружности Z, получаем оценку
Последний интеграл равномерно стремится к нулю при Я -*• Яо, Я е
е С/. Значит, можно указать такое tji, что при |Я — Xol<r)i и Яе
^ (9С7 будет |у(а, Я, i) I < 8, т. е. \и(а, Я, ^) — во1 < е при всех t и а,
\а~~ а°[<б, Ui<x. Если А — указанная часть окрестности Яо, то
для Я е Д, t -*¦ 0 имеем (а, Я, г)->-агд<Ра(Я), поэтому |argcpa^) —
—60|<е. Итак, т(о, Я)еСEХ?Г). ?
Наложим на область Z) дополнительное требование: существо-
существование формулы B3.1) с ядром h^C(DXS). Будем обозначать
Sr = {Z: 2 = афа(Я)/к1, а е S, 1Я|=г}, 0<г<1. Если v — положи-
Ю Л. А. Айзенберг

146 Гл. 5. Меньшая размерность
тельная мера на S, то определим положительные меры р, и ц," на
S и Sr соответственно равенствами:
J f(aV-^f)Wa(X)\\dk\, B3.20)
J f(a%gf)\<f'a(k)\\dk\, B3.21)
где/е?(?>)•
Определим класс Й"(D) — Н%(О), р>0, как класс тех /<=
<s A (D), для которых при всех г, 0 < г < 1,
/|р<7цг<С,. B3.22)
Определенную почти всюду на S (в смысле меры ц,) функцию /*
назовем предельным (граничным) значением функции f^Hp(D),
если
/* «П^ГГ- = Нт
для почти всех a&S nX^dU.
Предложение 23.11. Если f — функция класса HP(D), то
для почти всех ?,^S существуют ее предельные значения /*, при-
причем /* интегрируема по мере ц и
B3.23)
s
Доказательство. Введем обозначение
Функция g(a, г) не убывает с ростом г (см., например, [134,
с. 204]), а из B3.20) и B3.22) имеем
g(a, r)dv<C/,
s
следовательно, для почти всех а<=5 существует предел g(a, 1) =
= lim g(a,r), функция g{a, 1) интегрируема
r-»l—О
lim fg(a, r)dv
r-»i-o g

23. Подмножества границы Шилова 147
и g(a, r)^g(a, 1). Тогда почти всюду на dU существует предел
(см. [134, с. 203])
/„(Х)= lim
В каждом сечении границы Шилова 5 комплексной прямой,
проходящей через 0, выберем по одной точке а, у которой суще-
существует функция /а, и обозначим это множество 3. Для sej поло-
поло*(/11 /() П *
у фуц /, Д
жим /*(афо(Х)/1а1) = /а(А,). Покажем, что /* — предельное значение
функции /. Если а^З, то это очевидно. Пусть Ь е 5\5, тогда выбе-
выберем такую точку а^З, что фа(А,1) = фь(А,2). Автоморфизм круга
ф<Гхфь переводит 0 в 0, a Xi в А*, поэтому <рб(Я) = фа(ЯДД2). При
всех t, 0<t<l, имеем ф&(Л2А?) = ф„(АД<) и /(афй(А,2Х0/к1) =
/(^^/||) Переходя к пределу, получим
/.PL.X)- Urn
Покажем, что /* е= Lp (S) = Ц, (S):
f
s im=i
s im=i
J
Докажем равенство B3.23). Для всех zelz: z — а ° . , a,(=D,
|Я| =r), 0 < г< 1, имеем
остается перейти к пределу при г-*-1. ?
Теперь распространим на рассматриваемый случай теорему 17.5.
Теорема 23.12 (Знаменская). Пусть v — положительная мера
на S, а ц — мера, определенная равенством B3.21). Рассмотрим
у. — произвольную меру на S. Равенство для всех y^O^S)
) (fdx = 0 верно тогда и только тогда, когда существует такая
s
Функция f e IP (D), что х = /ц.
Доказательство этой теоремы в основном повторяет дока-
доказательство теоремы 23.2, только вместо полиномов P(z, z) рассмат-

148 Гл. 3. Меньшая размерность
риваются полиномы P(z, w(z)), где ws(z) = zil\z\2, j = 1, ..., п. Эти
полиномы плотны в C(S) (см. [25, с. 52]). Точно говоря, использу-
используется плотность в С(S) произведений P{z, w(z))g(z), где
а плотность таких произведений следует из непрерывности функ-
функции g(z) (см. предложение 23.7).
И, наконец, так же, как следствие 23.5 и теорему 23.6, получа-
получаем следующий результат.
Теорема 23.13 (Знаменская). Пусть МaS — борелевское
множество единственности для функций класса Hl(D) относитель-
относительно меры fi. Тогда сужения функций из 0^E) на S\M плотны в
L"(S\M), Kq<°°. Для всякой функции /е #*>(?)), р>1, и лю-
любой точки z^D верна формула Карлемана B3.12). Если множество
М открыто, то сужения функций из O^S) на S\M плотны в
C(S\M) и интегральное представление B3.12) справедливо для
функций класса Hl(D).
Сделаем в заключение два замечания.
1. Результаты этого пункта справедливы и без требования, что-
чтобы сечения dD Пос, где a^S, целиком лежали в S. Вместо этого на
область D можно наложить следующее требование: множество
S'= \z: z = а-2——, a^S, \X\ = l\ дважды гладкое. Тогда сохра-
сохраняются теоремы 23.12 и 23.43, но переформулированные для мно-
множества S' вместо границы Шилова S.
2. Можно ослабить условие S&C2, заменив его следующим:
1) множество dDa есть гладкая кривая для всех aeS; 2) касатель-
касательная к dDa непрерывно зависит от точки касания ф«(А,) при aeS
и фиксированном K^dU; 3) если Ва(Х) — угол между касательной
к dDa в точке фо(Х) и действительной прямой, то \Ва(Х) — 8„(?/) I <
^Ш-\'\а, 0<а<1, для всех ae=S.
Второе замечание сохраняется, если в нем всюду вместо S пи-
писать S'.
3е. Если подмножество M^zS(D), где D — ограниченная область
в Сп, является компактом условной устойчивости, то справедлива
формула Карлемана A7.15) (см. следствие 17.9). В этом случае не
нужно налагать на область D условий предыдущих пунктов. Но
верно п обратное: из существования формулы Карлемана A7.15) со
сходимостью в смысле A7.16) вытекает, что компакт MaS(D)
является компактом условной устойчивости для голоморфных функ-
функций из AC{D). Поэтому верно
Следствие 23.14. Если область D удовлетворяет условиям
пункта 1° или 2°, а компакт McS(D) является множеством един-,
ственности для функций класса Hl(D), то М является компактом
условной устойчивости для функций из AC(D).

24. Классические области 149
ГЛАВА 6
ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА В ОДНОРОДНЫХ ОБЛАСТЯХ
24. ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА В КЛАССИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ
1°. Пусть D — классическая область в С", a S — ее остов (гра-
(граница Шилова). Определим классы Харди HP(D) следующим обра-
образом: функция /е4E) входит в класс HV(D), 0 </><<», если
sup f|/(r?)|P4i<oo, B4.1)
где мера р, — та же, что и в формуле A5.1). Для любой функции /,
заданной в D, и для любой точки ? е S введем срез-функцию Д (К),
Is U = U1, по формуле Д(Х)=/(Я?). Эту срез-функцию можно
рассматривать как след функции / на круге U, вложенном в D.
Данное понятие дает возможность связать некоторые многомерные
свойства / с соответствующими одномерными свойствами Д с по-
помощью леммы, которая была нами уже фактически доказана при
доказательстве леммы 23.1.
Лемма 24.1. Если f e= Lp (S), р > 1, то
dU
где dm1=2^:-r нормированная мера Лебега на окружности dU.
Далее отметим, что при почти всех ?е S функция /t()(),
если f^Hp(D) (см. лемму 23.1), поэтому Д(Я) имеет радиальные
граничные значения при почти всех X. Итак, для почти всех ^eS
существует предел lira /(r?) = /*(?). Кроме того, по лемме 24.1
Г-»1—О
s да
f [ B4.2)
да
где 0 ^ г < 1. Внутренний интеграл в левой части равенства B4.2)
не убывает с возрастанием г, поэтому из B4.1) и B4.2) вытекает
lim
r-»l-Og
т. е. f*^Lp(S). Обратно, пусть теперь f^A(D), срез-функция
/te Hp( U) для почти всех ? е 5, а радиальные граничные значения
f*^LpLS). Тогда
f | / (г?) |рф = [ ф f | / (rK) fdm, < f ф f | /С
S S 8U S 9t7

150 Гл. 6. Однородные области
значит, функция /(z) входит в класс Харди HP(D). Мы доказали
для 0 < р < °° (случай р = °о очевиден) следующее утверждение.
Предложение 24.2. Для того, чтобы функция f<^A(D)
входила в класс Харди HP(D), 0 < р ^ °°, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы срез-функция /t e HP(U) для почти всех %^S и ради-
радиальные граничные значения /*ei> (S).
В дальнейшем /* также обозначим /.
Предложение 24.3. Пусть Е<=¦ S и рЕ>0, тогда Е — мно-
множество единственности для каждого класса HP(D), 0 < р < °°.
Доказательство. Рассмотрим функцию / ^ Нр (D), для ко-
которой /U = 0. Проведем комплексную прямую Zc = iz: z = Х%, К е
е С1} через точки ? е S и начало координат. Тогда 1^Г\ S = iz: z —
= ЛЕ;, \Х\ = 1). Обозначим через L(E) множество таких Zt, что ^П
П 2? измеримо и mi(Ztn Е)> 0. По теореме Фубинп L(?)—множе-
L(?)—множество положительной меры в L(S) (поскольку L(S)cz CP", то на
LE) есть соответствующая мера). Согласно предложению 24.2
срез-функция Д е Н"( U) для почти всех ? е S. По классической
граничной теореме единственности (см., например, [134, 67]) Д = 0
в С/ почти для всех ? е 5, для которых Zt e L(E).
Пусть Af = {z: ге г5) сД 0 < г < 1. Мы получили, что на мно-
множестве положительно11 меры из М функция / равна нулю. По тео-
теореме 0.7 / = 0. ?
Для дальнейшего введем инвариантное ядро Пуассона для клас-
классической области .
Если / е L1 E), то через Р [/] обозначим ее преобразование Пуас-
Пуассона
B4.3)
s
Можно показать (для шара см. [140, с. 52]), что для любого авто-
автоморфизма г|з области D
B4.4)
О понятии .^/-гармоничности см. также в [140].
Лемма 24.4. Функция j<=A(D) принадлежит классу Hl(D)
тогда и только тогда, когда |/| обладает в области D М-гармони-
ческой мажорантой. При этом па S существует такая положитель-
положительная мера ц, что / = Р [ц].
Доказательство. Пусть ze D, рассмотрим автоморфизм я|)
такой, что ^@)=z. Тогда при 0 «S г < 1 функция /(п|з(^))е Л (^),
следовательно, 1/(гф(?)I субгармонична на D. Применяя лемму
24.1 и B4.4), получим, что

24. Классические области 151
Если /ей1 (D), то в силу слабой компактности С*(S) найдется
возрастающая последовательность г} ->- 1 при j -*¦ °°, такая, что
l/fo?) I-* Ц в слабой топологии С*(S). Ясно, что |fi|< ) |/| dfi
~ в
и |/(з) I ^ Р[ц]B); отсюда следует, что Р[ц] является Л/-гармони-
ческой мажорантju |/| и || ц|| = ] |/| d\i. Обратное очевидно. ?
s
Из этой леммы вытекает следующее утверждение.
Предложение 24.5. Пространство Hl(D) инвариантно отно-
относительно биголоморфных автоморфизмов D.
2°. Пусть D — классическая область, множество M<=S и цМ>
> 0. Применим для построения соответствующей формулы Карле-
мана идею, уже обсуждавшуюся для случая круга U1 в разд. 3:
сначала восстанавливаем значение функции в точке 0, а затем
«разносим» ее по всей области D с помощью автоморфизмов.
1. Пусть D = Dy и m = k. Параметризуем Si следующим обра-
образом: ? = ещи, 0 ^ ф < 2л, u^SU(k), где SU(k) — группа специаль-
специальных унитарных матриц, т. е. det и = 1. Поскольку det % =
= eiH det и = е'"ф, то множество {?: ? = Ы, \Х\ = 1>, u^SU(k) пе-
пересекает множество элементов группы SU(k) ровно в к точках, со-
соответствующих корням из единицы е'*ф = 1.
Лемма 24.6. Мера Хаара dfi многообразия Si может быть за-
записана в виде
d\x = h(u) dcpdfio (и),
где d\iQ — нормированная мера Лебега на SU(k), ah — гладкая по-
положительная функция на SU(k).
Доказательство. По теореме Фубини d\i = h(u, cp)dqxfy,o.
Пусть Е с Si и имеет вид
Е = {?: t = Sj,t = (hi, а*?ф<р, ue?,c SU(k)},
тогда в силу инвариантности меры ц относительно поворотов полу-
получаем, что для всякого фо интеграл
Р
[ h (и, ф + ф0) d\i0 = J hx (ф + ф0) dy
не зависит от фо, поэтому для всех аир
Э
1 О. B4.5)
Из B4.5) следует, что hi не зависит от ф. Точно так же доказы-
доказывается, что h не зависит от ф.

152
Гл. 6. Однородные области
Пусть /3*0 на SU(k), продолжим ее на Si как постоянную ш
<р функцию. Тогда
f/dn= jdcp J /Афо = 2л j"
% -я SU(ft) SlT(fc)
следовательно, /»>0на SU(k). Итак,
где А, = 6**, а мера ц,\ положительна на многообразии SU(k). P
Обозначим
Мо.и = {?: ? е= Ж, 5 -=Яи, Я = е'", 0 < ф «? 2л>, u
М'о = {и: и е SU {к), тхМ0>и > 0}.
По теореме Фубинн |Х0 (Л/о) > 0. Обозначим
Лемма 24.7. Пусть f^Hl(D{), тогда справедлива формула
Iim f^ofT^ B4-6)
Доказательство. В сечении области Бг комплексной прят
мой' 1и, и е Мо, воспользуемся классической формулой Карлемана
A.3)
1. 1 Г
= ^2srJ
J0,U
Умножая обе части этого равенства на d\ii ж интегрируя по Мй-
получим B4.6). Предельный переход под знаком интеграла здесь
возможен в силу теоремы Лебега, так как
_L Г
2Ш J
JL f
2it J
0,и
el/1
Мы воспользовались тем, что Re [г{зо(?)— 'фо(О)] = —Re 1ро@) < 0.
Функция J \f(t)\dq> интегрируема по Мо. Множитель к в B4.6)
*

24. Классические области 153
появился за счет того, что SU(k) инвариантна при вращениях и
. 2я .
Пусть далее qu(z)—автоморфизм области Du переводящий точ-
точку А в 0. Обозначим
= Фа (^Фа'И). | М = 1), w<=SA = <pA(SU(k)),
M'a = {w: w<=Sa, m1MAtW>0},
(мы пишем, что г|5д зависит от ?,, поскольку Я и w — функции %).
Теорема 24.8 (Кытманов — Никитина). Пусть /еЯ1^),
m = к, тогда для любой точки А <= Z?i
lim \f&)\^-]H(A,r)dK. B4.7)
Доказательство. Для Л = 0 формула B4.7)—это уже до-
доказанное равенство B4.6). Положим /а(ъ) =/(фа1(С))» тогда
/а@) = /D) и /АеЯ'(А) в силу предложения 24.5. Применим к
/Л лемму 24.7, а затем сделаем обратное преобразование, тогда по-
получим
ПА) -
Размерность Si равна половине размерности пространства С",
a d\i — нормированная мера Лебега на Si, поэтому
где J(z, А)— матрица Якоби преобразования qu(z).
С другой стороны (см. [167, с. 98])
Idet/(E, A)\=P{A, I).
Далее, используя соотношение
!Р(А, t) = H(A, Б)Я(Е, А)/Н(А, А)
и применяя B4.8) к функции /(?)#-'(?, A)eHl(D), получаем
B4.7). ?

154
Гл. 6. Однородные области
2. Пусть D = Di и тп< к.
Теорема 24.9 (Кытманов — Никитина). Для всякой функциг
j<=Hl(Dx), m < k, и точки Ai^Dl верна формула Карлемана
¦lira
ы
Б,
где А = I „ ] — матрица порядка kX k,
М =
H(AU
•)•
где E — множество всех (k — m)X k-матриц, удовлетворяющих ус
ловиям VV* = /<*-m), liV* = 0.
Доказательство. Идея доказательства этой теоремы состо-
состоит в том, чтобы продолжить функцию / на множество М е D^
где D\—область типа Di в пространстве квадратных матриц Z по-
порядка к. Затем нужно применить теорему 24.8 к области D\ и да-
лее вернуться к Di. Пусть Z = I „I — матрица порядка к, где
Z\ — это (тп X к) -матрица. Очевидно, что D\ — D\[\{Z: T = 0},
Положим /, (Z) = jM 0 j = / {ZJ, тогда Д е Я1 (Z)J). Применим
B4.7) для М = М, А •
_ 0
Так как М с= Su то Af с Sf, поскольку $?* = I{h\ причем М име-
имеет положительную меру на Si. Получаем
-lim ¦ .,... X
X
Л/
Фа
- Фа (Л) J
dav, B4.9>
где do^, day — мера Лебега соответственно на *Si и Е. '¦
В ([167, с. 94]) показано, что для фиксированной матрицы ?i
найдутся две унитарные матрицы: (тп X тп)-матрица Р и (кХк)-
матрица Q такие, что P?i(? =(/(m), 0). Отсюда следует, что VQ =
= @, Г), где Т — унитарная матрица порядка (к — тп). Поэтому,
Фа
_ Фа ^)
dav =
Si
@,
Фа
40, Г)

24. Классические области
155
Если if>A голоморфна по Т при фиксированном
следнии интеграл в силу формулы A5.1) равен
[(»¦)[
М, то по-
B4.10)
Теперь из B4.10) получим утверждение теоремы, так как (см.
[167, с. НО])
Осталось проверить голоморфность функции 1)>а
@, Т)
по Т. По-
Покажем, что г];А не зависит от Т. Действительно, функция ^А полу-
получается при интегрировании по МАк ядра Шварца, но это множе-
множество не зависит ни от V, ни от Т, так как ? е ffl только в том
случае, когда t\ •= M. Легко показывается, что автоморфизм фА для
(АЛ
А — I |«не смешивает» матрицы ?i и V. О
3. Случай областей Dn и для четного k — Dm аналогичен слу-
случаю 1. При этом формула B4.7) полностью сохраняет свой вид.
4. Пусть D = Dlu и к нечетно.
Теорема 24.10 (Кытманов — Никитина). Для голоморфной
функции fe Hl(Dm) при нечетном к и всякой точки Ai^Dui
справедлива формула Карлемана
V' °
"' _ Фа
где А =
0 0
0 А1
матрица порядка (к + 1),
0 Р
? состоит из к-векторов, удовлетворяющих условиям РР* = 1,
р$ = о, Р'Р + ъ? = /(fe).
Доказательство проводится так же, как доказательство преды-
предыдущей теоремы. Нужно продолжить /(?i) до функции /(?)
еЛ^Й1), где
f°
1
применить к / формулу из п. 3 и вычислить интеграл по «лишним»
переменным (ср. [167, с. 96, 97}). ?

J56 Гл. 6. Однородные области
5. Пусть D = Div.
Лемма 24.11. Нормированная мера Лебега на 5!V может быть
записана в виде d\i = dqd\io{x), где d\io(x)—положительная мера
на сфере Sn = ix: же R", хх' = 1).
Доказательство сразу следует из вида Siv = {%'¦ ? = е!фж,
x^Sn). ?
Пусть М <=¦ Siv и цМ > 0. Рассмотрим автоморфизм <ра области
переводящий точку «еД1Т в 0. Введем множества Ма,у =
1A) |Х| = 1), у е фАEя), М'а = \у:
/ефл(), 1а,у>}
Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 24.8.
Теорема 24.12 (Кытманов — Никитина). Для всякой функ-
функции / е //> (Di\) и точки а е ?)IV
где фа = ехр г|зо,
25. СЛУЧАЙ ШАРА И ПОЛИКРУГА
Идея использования однородности области D позволяет получить
новые формулы Карлемана для шара и полукруга, более простые,
чем приведенные для этих областей в разд. 16, 20. t
Г. Пусть Un = {z: \z}\ < 1, / = i, ..., п) — единичный поликруг
в С, а А" — его остов. Рассмотрим множество Ж<=ДП, т„М > 0.
Обозначим '?=(?2, . .., ?>»)е А", А. е С1 и a<^Un. Рассмотрим
множество
^ x + ai ^(X-hfO + a.a-A,)
/Ь/ ...
J»J a. L
7 = 2, .... в, Ul=l),
измеримое относительно меры ш\ для почти всех а и '?. Через Afe
обозначим множество {'?: X е A", wx1A/a>/E> 0). Из теоремы Фу-
бини следует, что 7Ип_1Ма >¦ 0. Положим
1 Г
2л« J
где z и % связаны так же, как в определении Ма,'ъ-

25. Шар и поликруг 157
Так же, как теорема 24.8, доказывается и следующее утверж-
утверждение.
Теорема 25.1 (Кытманов). Пусть /е IP([/"), Мс А
тппМ > 0, тогда для a^Un
B5.1)
j=2
Формула B5.1) значительно проще формулы B0.6).
2°. Пусть теперь В = В\ @) — единичный шар в С". Обозначим
через р, нормированную меру Лебега (меру Хаара) на дВ:
Рассмотрим Фа(г)—автоморфизм шара В, переводящий точку
цеВвО, а точку 0 — в а, где а Ф 0, причем Фа(ФаB))^ z. Такой
автоморфизм имеет вид (см., например, [140, с. 34])
Ф„(г) =
Пусть множество Л/ с 3S, |яЛ/ > 0. Определим множества
МаЛ = {г: ге М, z = Фа(ЯФа(Q), |X| = 1}, ?еЙ =
}, Фа =(Фад, ... ФО,П),
Отметим, что Bп — 2) -мерная мера Лебега множества Ма поло-
положительна. Введем функцию
... 1 Г ч + ^ ^ч
„,п(«)|Фа,11\
|Фо|Фа>1(*) у-
Аналогично доказательству теоремы 24.8 получаем результат.

158 Гл. 6. Однородные области ^
Теорема 25.2 (Кытманов). Если /е #'(#), множество М
<= дВ, \iM > 0, тогда для всякой точки а е В
/(в)== * lim Г /С) Г^Ьц,, B5.2)
где »а = (о0(Фа); co0 = 2jt-g; Я, = J\
Отметим, что формула B5.2) проще формулы A6.5), рассмат-
рассматриваемой для D = В.
26. ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА В ОБЛАСТЯХ ЗИГЕЛЯ
Важную роль в характеризации однородных ограниченных об-
областей играют области Зигеля. Пусть V — выпуклый открытый
острый конус в пространстве R™ с вершиной в начале координат.
Функция F(u, v): Cm X Cm ->¦ С является У-эрмитовой невырожден-
невырожденной формой,_ если: а) F(u, v)=F(v, и), б) F линейна по и,
в) F(u, !i)ef и г) F(u, ц) = 0 тогда и только тогда, когда ц = 0.
Областью Зигеля (второго рода) называют область D с: С" =
= СХСт вида
D = {(z, и): jeC», цеСт, hn z - F{и, u)^V). B6.1)
Всякая область Зигеля вида B6.1) биголоморфно эквивалентна ог-
ограниченной области. Фундаментальная теорема Винберга — Гинди-
кина — Пятецкого-Шапиро (см. [53]) утверждает, что обратно: вся-
всякая ограниченная однородная область в С" биголоморфно эквива-
эквивалентна однородной области Зигеля вида B6.1).
Остовом области Зигеля B6.1) назовем множество (границу
Шилова)
S = {(z, и): Imz = F{u, и)}.
Оно является гладким порождающим многообразием в С". Действи-
Действительно, для каждой точки (z°, u°) e S комплексная касательная
плоскость имеет вид
Т% B°, и0) = {(z, и): z — z° = 2i [F (и, и0) — F (и0, и0))},
комплексная коразмерность 7% равна к и совпадает с действитель-
действительной коразмерностью многообразия S. Следовательно, многообразие
S является порождающим (см., например, [164, с. 34]).
Мера Лебега и. на S задается (с точностью до постоянного мно-
множителя) дифференциальной формой со = dx[\du[\du, где х — Re z.
Поскольку D — биголоморфно эквивалентна ограниченной области,

26. Области Зиге.гя 159
мы можем определить класс Aa(D)c A (D) так же, как в случае
полуплоскости.
Пусть М — замкнутое ограниченное множество в S такое, что
\iM > 0. По теореме Садуддаева 0.7 М — множество единственности
для Aa{D). Поэтому так же, как и для классических областей (см.
разд. 24), естественно возникает задача построения для множества
М формулы Карлемана. Но в отличие от классических областей в
области Зигеля D нет, вообще говоря, точки, через которую можно
провести достаточно мощное семейство комплексных прямых, пере-
пересекающих остов S по кривой. Действительно, проводя через точку
(z°, u°)e=D комплексную прямую {(z, и): z = z° + at, и = и° + Ыг
яеС, бе С1", t e С1}, получим, что ее пересечение с S задается
уравнениями Imz°-,F(u0, w°) = -Im at + IF (a0, b)+tF(b, я°) +
+ \t\2F(b, b). Для того чтобы данное множество являлось окруж-
окружностью (или прямой), нужны жесткие ограничения на а и b (на-
(например, при й = 0 вектор а должен быть таким a = A[Imz° —
— F(u°, и0)]). Поэтому методы разд. 24 автоматически не перено-
переносятся на области Зигеля.
Мы поступим следующим образом: сначала восстановим значе-
значение функции / в одной из бесконечно удаленных точек S, затем
с помощью автоморфизмов «разнесем» его на S, а далее функцию /
можно аналитически продолжить с S в область D с помощью лю-
любого интегрального представления (например, из [65]) для этой
области.
Рассмотрим семейство комплексных прямых
f? = at + z
\т| = и,
где (z, u)^ S, teC, a — точка из конуса V. Эти прямые пересе-
пересекают S по прямой it: lmt = 0), а область D — по полуплоскости
П = it: Imf>0}. Действительно, Im ? — F(y\, y\)=lmz — F(ii, u) +
+ Im at = a Im t. Если Im t > 0, то я Im t^V. Без ограничения общ-
общности можно считать, что а — (\, ..., 1)е7, а z = x+iy, x =
= @, Х2, ..., хп). Тогда остов S расслаивается па прямые Ьх,и =
={(?>Tl):? — t + z,\] = u.teR1}, (z, в)е5. Если компакт M^S,
цМ > 0, то обозначим M>XyU — М П 1'х,ы М' = {('х, и): т1М>х,и'> 0}сг
cRft~1xCm. Множество М' измеримо относительно меры
m-2m+k-\ и по теореме Фубини ni2m+k-\M' > 0. Комплексные прямые-
1'х,и определяют одну бесконечно удаленную точку на замыкании
3 остова S в СР*+"\ которую обозначим символом °°.
Теорема 26.1 (Кытманов — Никитина). Пусть f^Aa(D), a>0f
тогда
/(оо)=
2лг
М'

160 Гл. в. Однородные области
где ф = ехр х|э;
, / \ 1 Г dt
'х,и
(и,иу
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(t) = f(t+z, и), тогда FeEAa(U), поэтому (см. следствие 5.5)
ЧОттГ- B6.3)
м'х,и
Отметим, что dzf\du[\du = йж[\du[\du = dt/\d'x/\du/\du. Умножая
B6.3) на d'x Д du Д du и интегрируя по M', получаем
B6.2). Возможность предельного перехода под знаком интеграла
по М' обосновывается тем, что интегралы по М>х,и равномерно ог-
ограничены при всех /. П
Пусть теперь область Зигеля D однородна. Каждый биголоморф-
ный автоморфизм D является рациональной вектор-функцией. Сре-
Среди всех автоморфизмов можно выделить аффинные, они составляют
¦транзитивную подгруппу автоморфизмов, которая транзитивна и
на S. Но аффинные автоморфизмы не переводят бесконечно удален-
удаленные точки в конечные. Поэтому сначала с помощью некоторого авто-
автоморфизма переведем нашу бесконечно удаленную точку °° в неко-
некоторую конечную точку на S, а уже затем сможем применять аф-
аффинные автоморфизмы. И тем самым точку оо Mbi можем отобразить
в любую точку S. Полученный автоморфизм имеет, вообще говоря,
особые точки на 5, но множество таких точек имеет меру (и.),
равную нулю, так как многообразие S порождающее. Следовательно,
можно считать (в случае необходимости немного уменьшив М),
что М не пересекается с этим множеством.
Итак, пусть (O(z, и), 4я (z, и))—автоморфизм Д переводящий
фиксированную точку (z°, ц°)е S\M в точку оо, где Ф=(ФЬ ...
..., Ф„), W=(WU ..., Ч?п).
Теорема 26.2 (Кытманов — Никитина). Если f^Aa(D), то
/rfVO j/O\ __ ^ 1:™ I 41- ,,\ Z1 (z' u) dO^dV^dV /Oft /Л
/(z ,u)_ —lim \f(z,u) , B6.4)
C-m
гдеС = 2т f d'O /\dW /\dW; g(z, ы) = Ф(ФB, и), W (z, u)).
M'
Доказательство сразу следует из теоремы 26.1. ?
В разд. 24 для классических областей D использовалось выра-
выражение меры fi(cpa(z)) через ядро Пуассона. В областях Зигеля та-
такая связь неизвестна. Приведем два примера па изложенные ре-
результаты.
Пример 1. Пусть D = {{z, и): z е= С1, и е= Cm, Im z - \щ\2 - ...
... — \um\2 > 0). Эта область биголоморфно эквивалентна шару. Для
того чтобы явно выписать в этом случае ядро в формуле B6.4),

26. Области Зигеля '161
можно биголоморфно отобразить D на шар В, в В сделать пово-
поворот, а затем произвести обратное отображение В на D. При этом
получим автоморфизм области D, переводящий единственную бес-
бесконечно удаленную точку S в любую другую точку S. Вычисле-
Вычисления показывают, что для D ядро в B6.4) имеет вид
Л
где p(z, и, 2°, ц°) = U(z°-z) -2<и, uo>l2m{2U<z° - z) - 2<ц,
o>l2 + [(il2l(° + o)(|°|2 l( + z) + 4»(z-»)<«, й°> X
()]
Пример 2. Пусть D = т+— труба будущего (см. [57]), т. е.
трубчатая область над конусом будущего т+ = {z: ге С™, у\ > j/г +•••
¦.. + Ут У1>0}. Остов 5 этой области совпадает с R"
(в данном случае V — эрмитова форма F = 0). Если z° = х° е 5,
то ее можно перевести в бесконечно удаленную точку так: сначала
сдвинуть ее в 0 с помощью параллельного переноса х -*¦ х — х°,
а затем сделать инверсию х-»-— (х/х2), где х% = х\—х\— ... — я?.
Ядро в B6.4) примет вид
их
к* - да-1 к-*?
Итак, для функций / из Ла(т+) и точек xa^S справедлива фор-
формула
1 \Хо)
1 С
— ж» + » (ж —
где фасо получается из <р после соответствующей замены перемен-
переменных. Можно считать, что (х — х°J?=0 на множестве М.
В заключение обсудим вопрос, как восстановить значения / на
остове S, если область Зигеля D не является однородной. Зафик-
Зафиксируем точку (z°, u°)^S. Рассмотрим те комплексные прямые, про-
проходящие через эту точку, которые пересекают область D. Такие
прямые составляют два класса:
1) Za = {(z, и): z = at+sP, и = и0,-*е С1}, ae7cR", множе-
множество la(]D является полуплоскостью П относительно t;
2) ZM = ((z, и): z = 2i[F(b, и0)-pF(b, b)]t + z°, u = bt + u°,
t e C1}, b e= Cm, /? e C1, F(&, &)s F, в этом случае lb,P П D — круг ра-
радиуса р с центром в точке t = —р.
В самом деле, если z = at + z°, u = bt + и°, то Im z — F(u, и) =
= Imzo+Imaf-/T(w0, и0)- tF(b, u°)-tF(uu, b)~ Н\ЩЬ, b) =
= lmat-tF(b, u°)-tF{u°, b)- \t\2F(b, b)^V. Если F{b, b) = 0,
т. е. Ъ — О, то получаются прямые первого класса. Если же
F{b, Ъ)Ф0, то
11 Л. А, Айзенберг

162 Гл. 6. Однородные области
Im ujt - tFj (b, u°) - if, (u<\ b)-\tfFi (b, b) =
F}(b,b)\
i -
j (b, b)
i -
j (*.
11 / = 1| 2, ..., k,
Следовательно, для того чтобы область D пересекалась с такой пря-
Р.{и°,Ь)-±а,
мой, нужно, чтобы F{b, Ь)е= V и f ^b fc. = р для всех / =
= '1,2,..., к. Это соответствует прямой второго класса.
Пусть (z°, и0) е 5 и конус FxOuO = {{х, и0): х = х° + х,х^в V)
пересекает М по множеству положительной меры mh. Тогда в точ-
точке (z°, u°) можно следующим^ образом восстановить значение функ-
функции f^Aa(D). Рассмотрим прямые 1а первого класса; можно счи-
считать, что а\ — 1. Учитывая, что dxx /\ ... /\ dxk=th~1dt Д da2 Д ...
... Д da^, получаем
(*! - x°i)~hdx = ^ЛДЛ^Д . . . Ada*.
Обозначим $/«=•= Ze П М и ii? = (a: a\ = 1, miilf,, > 0). Применяя ме-
метод доказательства теоремы 26.1, находим, что
J
м
Таким образом, мы аналитически продолжаем функцию / на не-
некоторое большее множество М\. Применяя этот метод снова, полу-
получаем продолжение / на множество М%, обладающее свойством: если
(jz°, u°) e S и Vx0 u0 П М имеет положительную меру mh, то точки
(х + iy0, и°)^М2, где х е Rn. Пусть теперь (z°, u°) — произвольная
точка S. Рассмотрим прямую 1Ь,Р второго класса. Если Fi(b, Ь)Ф0
(это предположение не снижает общности), то положим
p^lF^b, u^ + iftWF^b, Ъ)Г\
тогда z1 = t + zj, для z е= гь р. Обозначим Мь ~ М2 П 4,р, ДГ' =
»= {b: b e Cm, milfi, > 0). Последнее множество имеет положитель-
положительную 2т-мерную меру Лебега. Далее dz1f\du/\du = \t\2mdt/\db/\db,
т. е.
[(Zl - zj) | zx - z\ l2™]-1^/\ди/\дп = t^dt^db^db.
Теперь можно восстановить значение функции f(at + z°, bt + u°)
в точке t = 0 по теореме 4.2, а затем, умножая полученное выра-
выражение на dbf\dbn интегрируя по М', получить формулу
где Afj — проекция множества Жг на плоскость переменных (zj, и).

Часть III
ПЕРВЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛАВА 7
ПРИЛОЖЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОМ АНАЛИЗЕ
27. О КРИТЕРИЯХ ГОЛОМОРФНОЙ ПРОДОЛЖИМОСТИ
В ОБЛАСТЬ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ ПА ЧАСТИ ЕЕ ГРАНИЦЫ
1°. Известно следующее классическое утверждение. Пусть D
ограниченная плоская область с гладкой границей 0D, функция /
C(D) тогда
f/(*i)<P <*!)&! = О B7.1)
вЪ
для всех функций <p^Ac(D) в том и только том случае, если /(z)
продолжается в область D как голоморфная функция класса AC(D)
(см., например, [124, с. 131]).
Это утверждение имеет целый ряд важных следствий в теории
функций одного комплексного переменного. Оно обобщалось на
многомерный случай, при этом роль голоморфной формы (p(zi)dzi
в B7.1) играют внешние дифференциальные формы класса
Znn-i(D)- Следующее предложение приведено с доказательством
в [25, с. 35-37].
Предложение 27.1 (Вайнсток — Аронов — Даутов). Пусть
D — область в С" с гладкой границей и f<=C(dD). Тогда для того,
чтобы существовала функция F^AC(D) такая, что F\BD = f, необ-
необходимо и достаточно, чтобы
f/a=O B7.2)
аи
для любой формы а е Zn,n-i {)
Аналогичное утверждение справедливо и при описании следов
на dD функций класса Харди (см. [164, с. 17—19]).
Предложение 27.2. Пусть D — область Ляпунова в С".
Функция f^Lp(dD), 1<р<оо1 голоморфно продолжается в об-
область D как функция класса HP(D) тогда и только тогда, когда
верно B7.2).
Иногда вместо условий ортогональности вида B7.1), B7.2) рас-
рассматривают условия ортогональности лишь счетному семейству
функций (форм). Например, при п = 1 и односвязной области D
И*

164 Гл. f. Приложения в теории функций
условие B7.1) можно заменить на ортогональность всем мономам:
2Г&1~0,те«=0,1,2,... B7.3)
3D
Рассмотрим теперь вопрос об описании функций, заданных на
части границы области, которые могут быть аналитически продол-
продолжены в заданную область. Этот вопрос до недавнего времени оста-
оставался без ответа. Можно показать, что решения этой задачи в виде
обращения в нуль некоторого семейства линейных непрерывных
функционалов (как в B7.1) — B7.3)) не существует.
Приведенные в данном пункте результаты опираются на неко-
некоторое утверждение из функционального анализа. Пусть A: X-*-Y —
непрерывное линейное отображение топологического векторного
пространства X в пространство У. Введем ядро этого оператора
кег А — {х: х е X, Ах = 0} и его образ im А = {у: у е у, у = Ах,
igI). Обозначим через Л*: У* -*¦ X* сопряженный оператор, где
X*, У* — сопряженные к X, У пространства. Оператор А* опреде-
определяется равенством (A*f) (x) = f(Ax) для iel, где /ef* Будем
предполагать, что У — банахово пространство, а Р — непрерывный
проектор в У. Тогда Z = кег Р — векторное подпространство У, ко-
которое наделяется индуцированной нормой. Норму в сопряженном
пространстве Z* обозначим \\-\\z*- Каждый непрерывный линейный
функционал на У посредством сужения определяет непрерывный
линейный функционал на Z. В частности, кег А* можно рассмат-
рассматривать как векторное подпространство (kerP)*, поэтому для вся-
всякого функционала /екегЛ* определена норма ||/||(кегР)* •
Предложение 27.3 (Тарханов). Пусть А: X -*¦ У — непре-
непрерывное линейное отображение локально выпуклого пространства X
в рефлексивное банахово пространство У с замкнутым образом,
а Р — непрерывный проектор в У, причем ker(P ° А)— 0. Тогда у е
^ im{P " А) в том и только том случае, когда Ру = у и для всякой
последовательности {/ДекегЛ* такой, что f/jfl(kerP)* -*- 0, имеет
место
НтШ = 0. B7.4)
J-*oo
Лемма 27.4. im А = {у: y^Y, f(y) = O для всех /«=кег4*}.
Доказательство. Действительно, из теорем 4.7(а) и 4.12
(см. [139]) вытекает, что imA = {y: y^Y, f(y)—O для всех /е
^kerA*} (в [139] требуется, чтобы Хш У были банаховыми, однако
в той части этих утверждений, которую мы используем, достаточно
требовать лишь локальную выпуклость). По условию im А замкнут,
поэтому im A = im А. О
Лемма 27.5. Подпространство кег А* плотно в (кегР)* по нор-
норме пространства (кегР)*.
Доказательство. Так как оператор Р непрерывен, то 2==
= кег Р — замкнутое подпространство У, поэтому Z — рефлексивное

27. Продолжение с части, границы 165
банахово пространство (с индуцированной нормой, см. [139, с. 126]).
Для доказательства леммы по теореме Хана — Банаха достаточно
проверить, что если F — непрерывный линейный функционал на
Z*, равный нулю на кет А*, то F = 0. Однако из рефлексивности Z
заключаем, что существует вектор z^Z такой, что F(f) = f(z) для
всех /е2*. В частности, f(z)=?O для любого функционала /е=
екегЛ*. Теперь по лемме 27.4 заключаем, что найдется вектор
ieX такой, что z = Ах. Далее Р ° Ах = 0, так как Pz = 0. По ус-
условию предложения 27.3 заключаем, что х = 0. Поэтому z = 0, от-
откуда F = 0. ?
Лемма 27.6. Условие B7.4) эквивалентно следующему: суще-
существует постоянная О 0, зависящая от у, такая, что для всех / e
Л справедливо неравенство
B7.5)
Доказательство. Снабдим векторное пространство
рассматриваемое как подпространство (kerP)*, индуцированной
нормой. Тогда условие B7.4) означает, что функционал / -*¦ f(y)
на кегЛ* непрерывен в нуле, а условие B7.5) есть условие огра-
ограниченности этого функционала. Из функционального анализа хо-
хорошо известно, что эти два условия для линейного функционала на
метризуемом топологическом векторном пространстве являются рав-
равносильными. ?
Доказательство предложения 27.3. Необходи-
Необходимость. Пусть у = Р ° Ах для некоторого вектора х е X. Тогда из
Р2 = Р следует Ру = Р2 ° Ах = у. С другой стороны, если последо-
последовательность {/ДекегЛ* такова, что ||/;-||(кегР)* ~*» т0
Поскольку А*], = 0, а вектор z = A — Р) ° Ах е ker P, то
откуда следует B7.4).
Достаточность. Пусть вектор у s Y и такой, что у = Ру и
выполняется условие B7.4). Рассмотрим следующий линейный
функционал F па пространстве (kerP)*. Пусть /e(kerP)*. По
лемме 27.5 найдется последовательность if^^kevA* такая, что
Wf~fi Ikker P)* -*~ 0 при / -*¦ 0. Положим
F(f) = -limf}(y). B7.6)
Покажем, что предел в B7.6) существует для всякого /е(когР)*.
Для этого достаточно проверить, что числовая последовательность
{/()} является фундаментальноп. Однако по условию B7.5)
B7.7)
Так как последовательность {/,} сходится по норме (kerP)*, то она
!*• Л. А. Айзенберг

166 Гл. 7. Приложения в теории функций
фундаментальна относительно этой нормы, поэтому из оценки
B7.7) вытекает и фундаментальность {/,(#)}•
Докажем теперь, что предел в правой части B7.6) не зависит
от выбора последовательности {/.,} <= ker А*, аппроксимирующей /
по норме (kerP)*. Действительно, если {gj) — другая последова-
последовательность с этим же свойством, то |/j —flicker!>)*->¦ О, откуда но
условию B7.4) fi(y)~ gj{y)-+ 0 при / -> <». Итак, F — линейный
функционал на (kerP)*, корректно определенный равенством
B7.6). Убедимся в его ограниченности. В самом деле, используя
неравенство B7.5), получаем для всех /e(kerP)*
| F(f) | = lim | /,- {у) |< Clim 1/,-herP,* = Cl/lberP)..
Поскольку Z рефлексивно, то найдется вектор z e ker P такой, что
для всех / е (ker Р) *
F(f) = f(z). B7.8)
Если /екегЛ*, то в качестве аппроксимирующей последова-
последовательности {j}} в B7.6) можно взять стационарную последователь-
последовательность {/}. Тогда из B7.6) и B7.8) получаем, что для всех
/ е ker A*
№. B7.9)
Наконец, B7.9) означает, что /(j/ + z)=O для всех f^kerA*. От-
Отсюда по лемме 27.4 заключаем, что существует такой вектор х^Х,
что у + z = Ах. Поэтому у = Ру—р°Ах, т. е. у ^iraP ° А. ?
Заметим, что в приведенных утверждениях пространство ker A*
можно заменить на любое плотное в нем подпространство.
Теперь применим предложение 27.3 для решения задачи, по-
поставленной в начале этого раздела.
Теорема 27.7 (Тарханов). Пусть D — область Ляпунова в С"
и М<=¦ дВ — измеримое множество, т2П-\(М)> 0. Для функции /е
^LP(M), 1 < р < °°, существует функция F<^HP(D) такая, что
нормальные предельные значения F почти всюду на М совпадают
с f в том и только том случае, когда
lim
з^х м
для всякой последовательности {gj)czZ'^%n_1\D), для которой
limf-iU =0.
j->cJI "° \\L<l(dD\M)
Здесь da — элемент поверхности dD, a l/p+ \/q — 1.
Доказательство. Положим X = HP(D), a Y = Lp(dD) —
рефлексивное банахово пространство. Далее, оператор сужения А:
ff"(D)->-Lp(dD) имеет замкнутый образ, что вытекает из предло-
предложения 27.2. Пространство LP(M) будем считать подпространством

27. Продолжение с части границы 167
Lp(dD), продолжая каждую функцию из LP(M) нулем на dD\M.
Тогда проекция Р: Lp(dD)^>- LP(M) является непрерывным проек-
проектором и кег Р ~ Lp(dD\M). При этом отображение Р ° A: HP(D)-*-
-*LP(M) задается сужением на М угловых граничных значений
функций из Нрф) и является взаимно-однозначным, так как М —
множество единственности для класса HP(D) (что легко показать
с помощью предложения 0.8).
Можно проверить, что функционалы вида
fg, B7.10)
во
где g^Zn,n-i(D), плотны в пространстве кег А*. Действительно,
обозначим через Ф семейство функционалов на Lp(dD) вида
B7.10). По теореме Хана — Банаха достаточно проверить, что если
G ^(кег А*)* и С(ф)=0 для всех фе ф7 то G = 0. По той же
теореме G можно продолжить до непрерывного линейного функ-
функционала на L4(dD)=> ker А*, после чего G по теореме Никодима
представляется в виде (?(ф)=ф(/) для всех ф <^(Lp(dD) )*, где /е
е Lp (dD). Условие С(ф) = 0 для всех (реф означает выполнение
условия B7.2), следовательно, согласно предложению 27.2 / = AF
для некоторой функции F<^HP(D). Если ф^кег^*, то G(q>) —
= (p(AF) = (A* о ф) (F)= 0, так что G = 0 на ker А*. Теперь утвер-
утверждение теор'емы вытекает из предложения 27.3 и замечания, сде-
сделанного после его доказательства. О
Случай р = оо в теореме 27.7 формально не удается исследовать,
опираясь на предложение 27.3, так как пространство L°° (dD) не
является рефлексивным. Однако небольшие изменения в доказа-
доказательстве позволяют распространить теорему 27.7 и на этот вариант.
Теорема 27.8 (Тарханов). Утверждение теоремы 27.7 верно
и при р = °°.
Рассмотрим более трудный случай р — 1.
Теорема 27.9 (Тарханов). Пусть М — множество с непустой
внутренностью на границе области Ляпунова D <= С", а ц — комп-
лекснозначная борелевская мера на М такая, что Ijxl (M\int M) = 0.
Тогда для существования функции / е Я1 (D) такой, что на мно-
множестве int M мера \х порождается угловыми граничными значения-
значениями /, т. е. d[n = fda, необходимо и достаточно, чтобы для всякой
последовательности {gj} cz Z^>n_1 {d) такой, что
= 0, B7.11)
имело место равенство
[fedli-0. B7.12)
lim
12*

168
Гл. 7. Приложения в теории функций
Это утверждение обобщает часть II теоремы 17.5.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
йц = fda на int М для некоторой функции / е Н1 (D), а последова-
последовательность {gj} удовлетворяет условию B7.11). Далее из
I (xl (AAint М) = 0 получаем
||
dD
dD\M
Следовательно, верно B7.12).
Достаточность. Заметим (ср. с леммой 27.6), что условие
B7.12) эквивалентно следующему: существует постоянная С > О,
зависящая от ц и М, такая, что для всех ge Z~n_1(D) справедли-
справедливо неравенство
,J da
M
B7.13)
Далее, если int Ж ?=0, то подпространство C{dD\M), образованное
функциями вида JL где geZ^^Z)), плотно в C(dD\M)
da
dD\M
(ср. с замечанием после доказательства следствия 17.7).
Рассмотрим теперь следующий линейный функционал F на про-
пространстве С(сШ\.М)._Пусть i|i e С(сШ\Л/). Найдется последователь-
последовательность {tyj} a Zn,n-i (D) такая, что
(dD\M)
= 0.
Положим
B7.14)
С помощью оценки B7.13) нетрудно показать, что предел в B7.14)
существует для всякой функции \$<=C(dD\M). Из условия B7.12)
вытекает, что этот предел не зависит от выбора последовательности
{%}сг Zn,n-i{D), для которой {i|),/da} аппроксимирует о]). Таким
образом, функциоиал F определен корректно, и вновь, применяя
оценку B7.13), получаем, что F ограничен на C(dD\M).
Следовательно, по теореме Рисса существует такая комплексето-
значная борелевская мера \х\ конечной полной вариации на ком-
компакте dD\M = dZAint M, что для всех ij) e C(dD\M)
B7.15)
dD\M
С другой стороны, из определения функционала F равенством

27. Продолжение с части границы 169
B7.14) вытекает, что для всех geZ^n
=~$!-а^ B7.16)
м
причем интегрирование здесь производится фактически по множе-
множеству int M.
Наконец, обозначим через ц, меру, совпадающую с ц на ivAM
и с |j,i на dD\int M. Тогда и. имеет конечную полную вариацию на
dD, а из равенств B7.15) н B7.16) следует, что для всех ge
<= Zn,n-i (Ъ) верно
иА.&и
6D dV\M M
По теореме 17.5 существует функция / = Я'G3) такая, что на
множестве int M имеет место равенство d[i = fda. П
Отметим следующий результат, который приведем без доказа-
доказательства.
Теорема 27.10 (Тарханов). Пусть D — область Ляпунова в
С, а М — замкнутый кусок границы dD такой, что dD\M имеет
связное дополнение в С". Для функции f^C(M) существует функ-
функция F^H1(D)f]C(DUM) такая, что F\M = f, в том и только в том
случае, если выполняются условия теоремы 27.9 (см. B7.12)).
Приведем в заключение этого пункта уточнение теоремы 27.8.
Пусть D — ограниченная область с гладкой границей dD, точку
z° e= dD назовем точкой Лебега суммируемой функции /ei1 CD),
если
f \f(z)-f(z°)da =
Точка z° e E с dD называется точкой плотности множества Е, если
.. min_1(E(\B(z°,r))
lim —-— 7-s—rr = 1.
r-o msn_1(dDnB{z°,r))
Теорема 27.11 (Шаимкулов). Если М — замкнутое множе-
множество на границе dD области Ляпунова D <= С" и m2n-i (М) > 0,
функция f непрерывна на М, то для существования такой функции
F^H°°(D), угловые граничные значения которой в каждой точке
z плотности множества М совпадают с f(z), необходимо и доста-
достаточно, чтобы для всякой последовательности {gjjczZ^n^yD) такой,
что
lim
)-
x(eD \ М)
= 0,

170 Гл. 7. Приложения в теории функций
имело место равенство
lim ,f fgJ = 0. B7.17)
Для доказательства этой теоремы потребуется вспомогательный
результат, имеющий и самостоятельный интерес.
Предложение 27.12. Пусть D — ограниченная область с
гладкой границей dD и f<^Ll(dD). Для всякой точки Лебега z°
функции f верно
lira f|/(Q[co(?-z+ f_i+)-co(?_z- ?-I-)] = /(zo), B7.18)
t±-*z° dD
где точки z+ e D и z~ e Cn\?) лежат внутри прямого конуса с вер-
вершиной z°, осью которого является нормаль к dD в точке z°, а угол
Р между осью и образующей меньше я/2, причем a\z° — z+\ =^
< \z° - z~\ ^ b\z° -z+\,0<a<b< +oo.
Доказательство. Достаточно показать, что
Km f [/(&) — /(й°Л [со (S — «+, ? — i+) — g> (S — z~, C-i")] = 0.
B7.19)
С помощью унитарного преобразования и сдвига переведем точку
z° в точку 0, а гиперплоскость, касательную к dD в точке z°, в ги-
гиперплоскость а = {w: Im wn = 0). При этом ядро Мартинелли —
Бохнера не изменится, a dD в окрестности U точки 0 будет зада-
задаваться системой уравнений ?' = w', t,n = ип + гр (w), здесь w =
= (и/, ип)^а, функция р(«?)е Cl(U П а). Обозначим через z* про-
проекцию точек z* на ось Im wn-
Зафиксируем е > 0 и возьмем в гиперплоскости а шар В с цент-
центром в 0, такой, что для любого w e В
1°.
2°. |m;-z±| <C\^(w)-z±\, где 1|з(и?)=-(и?', м„+гр(и;)).
Такой шар, удовлетворяющий условию 1°, существует, так как
z° — точка Лебега функции /. Можно его выбрать так, чтобы было
верно и 2° (см., например, [73]). Отметим, что радиус шара В и
постоянную С можно выбрать независимо от z°.
Пусть В' = {?: l^dD, ? = г|з(ц>), w e= 5}, тогда
lim f Г/ (?) — /@)] [ш (? _ z+, ? _ z+) — со (? — а~, ? — I")] = 0,
z±->z° dD\B'
и этот предел достигается равномерно по z°. Остается оцепить ин-

27. Продолжение с части границы
171
теграл B7.19) по множеству В'. Имеем
у ( i^-i
В силу 2°
:-*+!
> — a zn
12П
lc-«+lan
„— |2"
где d, d\ и ai < 1 — некоторые постоянные. После замены пере-
переменных ? = 1|з(ы>) получим (здесь / — соответствующий якобиан)
f [/ (С) - / @)] [со (? - z+ j - i+) - со (S - z-'S - г")
в этом последпем интеграле ядро с точностью до постоянного Мно-
Множителя есть ядро Пуассона для полупространства (см., например,
[145, с. 75]). Теперь из Iе и свойства интеграла Пуассона (см. [145,
с. 238]) находим
где постоянная С не зависит от z°. О
Отметим еще следующее простое утверждение.
Лемма 27.13. Пусть М <= dD и f e= L°° (dD) п С (М), тогда все
точки плотности множества М являются точками Лебега функции /.
Доказательство теоремы 27.11. Необходимость.
Пусть М' — совокупность точек плотности множества М (заметим,
что тп2п-\М = Ш2п-]М'). Предположим, что F e H°° (D) и на М' вер-
верно равенство F =/, а последовательность {gj} удовлетворяет усло-
условиям теоремы, тогда
M
M
8D
I
8D\M
- f Fgj.
8D\M
Отсюда получаем
fg}
°(dD\M)
d0
поэтому верно B7.17).

172 Гл. 7, Приложения в теории функций
Достаточность. По теореме 27.8 существует функция Fе
е Н" (D), такая, что почти всюду на М имеет место равенство F =
— /. Функцию F можно представить через свои угловые граничные
значения на dD интегралом Мартинелли — Бохнера, точнее
\ F(Qw(Z-z,Z-z)= w B7.20)
6d 10, z<?D.
Положим для z<? dD Ф (z) = ) /(?) со (? — z, ? — z). Пусть z° e Л/',
тогда по лемме 27.13 z° является точкой Лебега функции /. Рас-
Рассмотрим предел
lim [Ф (z+) — Ф (z~)],
где z+, z~ удовлетворяют условиям предложения 27.12. Согласно
B7.20) и B7.18) получаем
lim [ф(г+)-Ф(г~)] = lim F(z+) = /(a°),
причем этот предел достигается равномерно в достаточно малой
окрестности z° в М'. Отсюда вытекает, что F = / на М'. П
Отметим, что если область D имеет связное дополнение, то во
всех формулировках этого пункта пространство Zn,n-i {D) можно
заменить на Z^n-i (С").
2°. Распространим основной результат п. 1° на подмножества
границы Шилова S — S(D) для ограниченных круговых сильно
звездных областей D. Будем использовать обозначения и предпо-
предположения разд. 23, п. 1°. Здесь также jx — мера на S, инвариантная
относительно поворотов. Нам потребуется интегральное представле-
представление вида B3.1), где h(z, ?)— ядро Сеге.
Теорема 27.14 (Знаменская). Пусть Мс S — измеримое мно-
множество. Функция f^L^il(M), 1 < р < °°, голоморфно продолжает-
продолжается в D в том смысле, что существует функция F^HP(D), у кото-
которой радиальные предельные значения почти всюду на М совпадают
с /, в том и только в том случае, когда для любой последователь-
последовательности {ф^} с 0„E), такой, что
Нт||фП| , =0, 1 + 1=1,
имеет место
lim f fq.jdn =-- 0. B7.21)
Предварительно докажем следующее вспомогательное утверж-
утверждение.

27. Продолжение с части границы 173
Лемма 27.15. Функция f e L%(S), Kp<ooi голоморфно
продолжается в область D в том и только в том случае, когда
-- О B7.22)
для любого полипома g(z, z)<^ O»(S).
Заметим, что общий вид указанных полиномов приведен в [24].
По ядру Cere h(z, ?) стандартным образом (см. [167]) строится
ядро Пуассона
'Ш4^ B7-23)
Ядро Пуассона B7.23) является аппроксимативной единицей,
т. е. обладает свойствами:
Э ) %J \ L,) Z) s^ U,
S
в) lim J &(Z,z)dlil*=O
для всякой окрестности U(z°) точки z° s S. Отсюда получаем (ср.
[34, с. 36} и [24]), что для / е= L^ (S), 1 < р < оо, и
J B7.24)
s
имеет место равенство
lim flFr-/||p = 0, B7.25)
r^i—0
гйе Fr(z) = F(rz) и \\-\\р — норма в L^.
Доказательство леммы 27.15. Необходимость
очевидна, и вытекает из существования предельных значений функ-
функций класса HP{D).
Достаточность. Если феЛс(D), то для z^D справедливо
интегральное представление Пуассона
9(z)=U(S)^(S,z)d|it. B7.26)
s
д
Рассмотрим оператор^' i = 1, ..., п, и пусть Т — произвольный
дифференциальный оператор конечного порядка с постоянными ко-
коэффициентами. Из B7.26) следует, что для всякой фе4(В)
B7.27)

174 Гл. 7. Приложения в теории функций
где индекс z у оператора Т означает, что его надо применять по
переменным z. Из B7.27) вытекает, что Tz ( — 0> (?, z) J е О„. (S).
Отметим, что для рассматриваемого класса областей
МJ 2ф(Л
3=0 k
где (ф;)— полная в H2(D) ортонормальная относительно меры ц
на S система однородных полиномов, здесь / — степень полинома,
а к — его номер среди однородных полиномов данной степени /.
I д \ I
Отсюда и из B7.23) следует, что Тг I -=- 3* (?, г) I —полином
\Szi ) |z=e
от ?, ?, поэтому
Т D- F {z)\ I = f 1A) Тг D- $> (I, z)\ I dH = 0,
т. e. -=- F (z), г == 1, ..., re, и все ее производные в точке z = 0 об-
ращаются в нуль. Функция F(z) действительно аналитическая, так
как &>(?,, z) является действительно аналитической по ъ. Следова-
тельно, з=~ F(z)b=Q, j = 1 и, что и означает включение F(z)e
^A(D). Из B7.25) находим, что ILFjp < С11/ИР, где С — постоянная,
не зависящая от г. Таким образом, F(z)s HP(D).
Теперь из B7.25) и леммы 23.1 следует, что для почти всех
z^S радиальные предельные значения функции F(z) совпадают
c/(z). ?
Доказательство теоремы 27.14 можно получить, опираясь на
предложение 27.3, но мы приведем другое доказательство. Будем
рассматривать L4UVi(M) как подпространство в L4dVL(S), состоящее
из функций, равных нулю в точках S\M. Тогда L9(S) = L (М) ф
®Lg(S\M). Обозначим я — проектор на Lq(M), a Jti — проек-
проектор на L4(S\M), и пусть Р — совокупность всех полиномов из
O^(S). Функция /е/>(Ж) естественно задает лилейный непрерыв-
непрерывный функционал Т на ЬЧ(М).
Из леммы 27.15 вытекает, что существование голоморфного про-
продолжения эквивалентно существованию такой функции /i e
*=LP(S\M), что определенный ею функционал Т\ ^(Lq(S\M) )*
удовлетворяет соотношению
0 B7.28)
для любого <р е Р,
Если продолжение существует, то из B7.28) и непрерывности
Т\ следует B7.21). Обратно, пусть выполнено условие B7.21).

27. Продолжение с части границы 175
Тогда Г(л(ф)) = 0 при (реРи rci((p)=O, что означает следующее:
если я1(ф')=я,(ф") и ф', ф'еР, то Г(я(ф'))=» Г(я(ф")) +
+ Г(я(ф'-ф"))=Г(я(ф")), т. е. на щ{Р) функционал Тх одно-
однозначно определяется из условия B7.28). Непрерывность так опре-
определенного на п\{Р) функционала в нуле (а, следовательно, и на
tti(P)) получаем из B7.21). Теорема Хана — Банаха гарантирует
существование продолжения Т\ на все L"(S\M). Таким образом,
фупкция / голоморфно продолжается в область D. О
Отметим в заключение, что если указанное в теореме 27.14
голоморфное продолжение существует, то оно единственно в том и
только том случае, когда сужения функции из O^S) на S\M плот-
плотны в L<(S\M).
3°. Приведем более обозримые критерии голоморфной продол-
продолжимости функций, заданных на части границы области, для случая
п = 1. Вернемся к единичному кругу U==U@, 1) и функциям
м
из теоремы Патила 1.3.
Теорема 27.16 (Патил). Пусть М <= dU и 0<пг](М)<
<m.\{dU). Если 1 < р < °°, то f<=Lp(M) есть сужение па М не-
некоторой функции /е]/* тогда и только тогда, когда sup||/m|p<;oo.
m
Функция f^Lc°(M) есть сужение на М некоторой функции f <^ Н°°
тогда и только тогда, когда sup lim ||/m||p<; oo.
р>1 m-»oo
Доказательство. Необходимость очевидно вытекает
из теоремы 1.3. Докажем достаточность в случае 1 <р<°°.
Из «-слабой замкнутости замкнутых шаров в Нр следует существо-
существование подпоследовательности т, -*- °° такой, что fm^ *-слабо схо-
сходится к некоторой функции f°<^Hp. Пусть F e Lp(dU) определена
равенством F = /хм. Обозначим / = PF (напоминаем, что Р: Lp -*¦
-*¦ Нр — естественная проекция, см. разд. 1), тогда согласно A.18)
/m — в A Т в й) J .
Для каждой g e Я9@) имеем
(e2mi [I + e21"^]-^/, g) = (Ц, Sg) m-^ (/», Sg) = (Sf, g).
По лемме 1.10 первое из этих скалярных произведений сходится к
(f, g). Следовательно, f = Sf°. Это значит, что P((f— /°)%м) = 0,
поэтому в силу A.25) (/ — f°)%M есть граничные значения на ок-
окружности dU некоторой функции из ti*L. По теореме единственно-
единственности для функций класса Харди (см. [134]) почти всюду на М функ-
функции / и f совпадают.
Рассмотрим случай р = °°. Тогда для всякого р, 1 < р < °°, вы-
выполнены условия уже доказанного случая, следовательно, фупкция

176 Гл. 7. Приложения в теории функций
/ почти всюду на М совпадает с некоторой функцией fe П Нр
1<Р<°о
и из предыдущего доказательства вытекает, что
i"l/°riClV/P<C B7.29)
av j
для всех р, причем постоянная С не зависит от р. Устремив в
B7.29) р -*• °°, получим, что |/°1 ^С почти для всех точек окруж-
окружности 8U. Отсюда по теореме Смирнова (см. [134, с. 260]) полу-
получаем, что /° е Я" и HflL ^ С. П
Заметим, что это утверждение так же, как в разд. 1, распро-
распространяется на случай более общих областей.
Теорема 27.17. Если D — односвязная ограниченная область
е С1 с регулярной границей, М<= 3D, 0 < тп\{М)< m\{dD), то со*
храняется утверждение теоремы 27.16.
Отметим, что требование тп\ (М) < тп\ CD) в теоремах 27.16 и
27.17 существенно. Например, пусть D = U и M — dU, тогда по
формуле A.16)
. 1 Г g -4- g dl __
Ф B) - exp^j. J ^—z -~ = e
au
и каждая из функций fm равна просто интегралу типа Коши от /:
м
Очевидно, H/mllp < °°, но F не обязана совпадать (почти всюду на
dU) с /.
4°. Еще более простое решение рассматриваемой задачи принад-
принадлежит В. А. Фоку и Ф. М. Куни [156]. Оно опирается на очень
простые формулы A.11) п A.12) из разд. 1 пример 6. Пусть (как
и в упомянутом примере) область Do ограничена контуром, состоя-
состоящим из отрезка действительной оси и гладкой кривой М, лежащей
в верхней полуплоскости П. Идея Фока — Куни состоит в примене-
применении формул «типа» A.11) п A.12).
Обозначим
ж
пусть Ш — внутренняя часть кривой М (т. е. эта кривая без кон-
концов).
Если освободиться от лишних ограничений, которые были в ра-
работе [156] и не позволяли получить необходимое и достаточное ус-
условие существования аналитического продолжения, по сохранить
основную идею этой работы, то получится следующий результат.

27. Продолжение с части границы 177
Теорема 27.18 (Фок —Куни). Пусть f ei(M)n С(М). Для
о
того чтобы существовала функция F е Л (Do) Л C(Do U М) такая, что
о
ее сужение на.М совпадает с /, необходимо и достаточно выполне-
выполнения условия
^l^Uo. B7.30)
Доказательство. Вначале отметим, что условие B7.30) эк-
эквивалентно следующему: для всякого х>0 существует с = с(х) та-
такая, что для всех о > 0
!/„(/) |<сего. B7.31)
Иначе говоря, условие B7.30) означает, что 1/о(/I растет медлен-
медленнее любой экспоненты ехр(тс), где т > 0.
Необходимость. Пусть функция F, указанная в формули-
формулировке теоремы, существует. Обозначим Мх = M\{z: Im z < т), где
т > 0, ?>о,т = Dq\{z: Im z ^ т). Граница области Z?o,t состоит из глад-
гладкой кривой Мх и отрезка Рг, параллельного действительпой оси.
Пусть MitT и Л/г.т — части кривой М, не вошедшие в ДГТ (так ска-
сказать, «отрезанные» ее концы). Тогда по интегральной теореме Коши
. B7.32)
м
Оценим интегралы, стоящие в правой части равенства B7.32):
f 1
Ml,t
аналогично оценивается интеграл по множеству Мгл. Далее
\ f (?) exp (— ioTs) d? = ета \ / (x + ix) exp (— iax) dx,
где aT + tr, bT + ix — концы отрезка Рх. Последний интеграл стре-
стремится к нулю при о -*• °° по теореме Римана — Лебега, следова-
следовательно, он ограничен по абсолютной величине. Итак, верно B7.31).
Достаточность. Пусть для всякого т > 0 верно неравенство
B7.31). Рассмотрим функцию F(z), заданную двумя эквивалент-
эквивалентными формулами вида A.11) и A.12)
F (z) = 1im ± j / (Q «Pt-MC"'I ъ B7.33)
~*°° м
оо
FW = Ы§ Т=Г -БГ JехР(iaz){j /(?) ехР(~ W)dZ) da. B7.34)
м /

178 Гл. 7. Приложения в теории функций
Первое слагаемое в B7.34) задае_т две функции, голоморфные со-
соответственно в областях Do и I\\Dq такие, что разность их предель-
предельных значений по нормалям (или по углам определенного ограни-
ограниченного раствора, а соответствующие точки г+еДо и z~ e U\Do
о
при стремлении к точке % ^ М находятся на равных расстояниях
от ?) на М равна /(?) (см. [124, с. 67—69]), причем если одна из
о
этих функций непрерывна в соответствующей области вплоть до М,
то другая тоже обладает данным свойством. Второе слагаемое в
B7.34) в силу B7.31) голоморфно в полуплоскости П. Итак, пра-
правая часть формулы B7.34) задает две функции Fi(z)^A(D0) и
о
^2(z)s A (JI\Dq) такие, что для всякой точки %^-М верно (в ука-
указанном смысле) равенство
^i(t)-**(?) = /(?), B7.35)
причем если одна из этих функций непрерывна в соответствующей
области вплоть до Л/, то другая тоже обладает этим свойством.
Далее заметим, что из формулы B7.33) вытекает, что F%{z)=O
при Imz> maxim ?, поэтому /^(zJssO. Теперь из B7.35) получа-
м
ется утверждение теоремы. ?
Следствие 27.19. Если заданная на М функция имеет вид
о
где А — постоянная, а функция f e L(M)f](CM), то для суще-
существования функции
о
где Fe A(DQ)U C(D0 U M) и Ф\° = ср, необходимо и достаточно,
чтобы
чтобы
\м
lim ^ ln+ \ <р @ ехр (- foQ dt, - UiA(— Що)
\
= 0. B7.36)
В B7.36) интеграл следует понимать в смысле главного значе-
значения по Коши.
Обобщим теорему 27.18 следующим образом. Пусть М — дуга
гладкой границы dD односвязной ограниченной ^бласти D. Соеди-
Соединим концы М гладкой кривой I, лежащей вне D, и обозначим D\
область, ограниченную контуром Z U (dDW), причем кривая / вы-
выбрана так, чтобы D\ => D. Пусть 1\ — дуга /, лежащая в I вместе
со своей окрестностью (относительно I). Рассмотрим голоморфную
функцию aj)(z)e A (Di), у которой Re i|j(z) — гармоническая мера
дуги Zi относительно точки г в Д. Предположим, что кривая
(dD\M)U I настолько гладкая, что функция i|) входит в класс Cl(D).

27. Продолжение с части границы 179
Заметим, что функция а]) однолистна на множестве D\. Это легко
проверить, если рассмотреть полуплоскость П и гармоническую
меру отрезка действительной оси (см. разд. 5, пример 1). Далее
нужно сделать конформное отображение D\ на П и воспользовать-
воспользоваться инвариантностью гармонической меры при таком отображении
(см. [126]). Теперь из формулы A1.17) получаем для области D
обобщенную формулу Коши
8D
Действительно, формулу B7.37) можно записать в виде
г) <g
3D
()
_ 1 Г / (?) Ф (?.
где функция ф (t,, z) = ^^,а^^ удовлетворяет условиям, пало-
женным для справедливости формулы A1.17). Далее на основе
формулы B7.37) строятся два варианта формулы Карлемана, ана-
аналогичные формулам A.11) и A.12),
J/my(P?p,.»(p-*W)l<t B7.38)
м
7 W - 2лг J Ц> (С) - * (z) п^ +
М
± j ехр [- а^ (z)] [ f / (?) ^ (S) ехр [аф E)] d?) dff. B7.39)
о \м )
Обозначим
f
м
Теперь, используя формулы Карлемана B7.38) и B7.39), анало-
аналогично доказательству теоремы 27.18 получим доказательство сле-
следующего утверждения.
Теорема 27.20 (обобщенная теорема Фока — Куни). Пусть
f^L(M)uC(M). Для того чтобы существовала функция Fe
о
е A(D) П C(D U М) такая, что F\<> =/, необходимо и достаточно
выполнения условия
B7.40)
Отметим, что утверждения, аналогичные теоремам 27.18 и 27.20,
можно получить и для случая f^Lp(M), р>1 (без требования

180 Гл. 7. Приложения в теории функций
/еС(М)). Как и в п. Г—3°, соответствующая функция F (ана-
(аналитическое продолжение /) будет входить в класс Харди HP(D).
5°. Можно усилить результаты, приведенные в п. 4°, избавив-
избавившись от каких-либо условий гладкости dD\M и от требования, что-
чтобы f^L(M). Пусть D — односвязная область с жордановой грани-
границей dD, в которую входит гладкая открытая дуга М. Соединим кон-
концы М кривой /, лежащей вне D, и обозначим D\ — область, огра-
ограниченную контуром I U (dD\M), который тоже предполагаем жорда-
новым. Пусть co = co(z, l\, D\) — гармоническая мера дуги h отно-
относительно точки z в D\ (здесь 1\ — связная часть Z, лежащая в I
вместе со своей окрестностью). Рассмотрим голоморфную функцию
i|)(z)e A(Di), у которой Re aj) = со. Как известно (см. [126, с. 40]),
¦ф конформно отображает D\ на полосу Q = {w: 0 < Re w < 1), при-
причем 1\ переходит в прямую {w: Re w = 1}, a dDi\T\ — в прямую
{w. Rew = 0}. Обозначим Mz = М П {z: zefl,, co(z)<g}, где 0<
< е < 1. Рассмотрим следующее условие: для всякого е, 0 < е < 1,
существует такая постоянная С = С(е), что для а >0
f /(?)*'(?)ехр И,(
М
B7.41)
где f^C(M) — некоторая фиксированная функция. Рассмотрение
условия C3.1) не требует (в отличие от B7.40)) ни гладкости dD\,
ни интегрируемости / на всей дуге М. Теми же методами, которые
применялись в п. 4°, с использованием указанного конформного
отображения D\ на полосу Q, получаем результат.
Теорема 27.21. Пусть f^C(M). Для того чтобы существова-
существовала функция Fe A(D)(]C(D U М) такая, что F\M = f, необходимо
и достаточно выполнения условия B7.41).
Отметим, что эта теорема допускает обобщение. В действитель-
действительности использовались лишь жордановость dD\ (но не dD), поэтому
дуга М может быть и типа кривой у = sin(l/x), лишь бы каждая
Мг состояла из гладких дуг общей конечной длины.
Применим полученный результат к следующей задаче: дана од-
односвязная область D с жордановой границей и гладкая открытая
дуга М cz D, которая делит D на две области D = D\ U D2; нужно
описать функции f^C(M), которые аналитически продолжаются
до функций, голоморфных в D. Таким образом, речь идет об изу-
изучении возможности аналитического продолжения уже с внутренней
дуги (а не с граничной, как в п. 1°—4°). На dDOdDi выберем
Дугу h, лежащую в dD Л dD\ вместе со своей окрестностью, а на
dD Л dD2 — аналогичную дугу h. Рассмотрим функции ^i(z)^ A(D),
Reaj)i(z)=co(z, lh Д), j = l, 2. Условие B7.41), где ^ = ip,-, необ-
необходимо и достаточно для возможности аналитического продолжения
функции f^C(M) в области A, i = 1, 2. Если же выполнены оба
таких условия, то / продолжается аналитически и в D\, и в ?>2,
и мы получаем функцию F e A (Di) П А (Дг) Л C{D) такую, что

27. Продолжение с части границы 181
FlM = /. Очевидно, что F голоморфна и во всей области D. Таким
образом, приходим к следующему утверждению:
Следствие 27.22. Пусть f^C(M). Для того чтобы существо-
существовала функция F^A(D), такая, что F]M = f, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы выполнялись два условия вида B7.41), где г|з = гр(,
; = 1, 2.
Заметим, что в пределе (если 1\ стремится к dD П dD\, a h —
к dD П dDn) получается равенство i|)i + ярг s 1, поэтому указанные
два условия можно записать в виде одного.
В заключение укажем, что методы п. 4° не только позволяют
получить необходимые и достаточные условия существования анали-
аналитического продолжения непрерывной на гладкой дуге функции, но
и осуществить такое аналитическое продолжение с помощью фор-
формул B7.38) и B7.39), в которых в качестве множества интегриро-
интегрирования следует взять Mt при'Всяком е, 0 < е < 1.
6°. Теми же методами, которыми была найдена формула E.16)
из примера 2 (см. разд. 5),.можно дать критерий голоморфной про-
продолжимости как функции Н2(П-) некоторой функции /е
eL2([-l, 1]).
Теорема 27.23 (Крейн — Нудельман). Для того чтобы функ-
функция /ei!'[(-l, 1)] совпадала почти всюду на (—1, 1) с некоторой
функцией F^H2(Tl-), необходимо и достаточно, чтобы
ехр(лЯ)Ф/(Я)еЬ2[(-оо, оо)], где
e~lXxdx. B7.42)
Приведем еще решение следующей задачи. Через а($) обозна-
обозначим класс сужений на множество U: UI > {}} граничных значений
функций, ограниченных и голоморфных в полуплоскости П. Здесь
[5 > 0. В каком случае функция из L°°[{t: \t\ > {}}] аналитически
продолжается до функции из a(jl)? Ответ на этот вопрос содержит-
содержится в утверждении, которое мы приводим без доказательства (см.
[239]).
Теорема 27.24 (Штейнер). Пусть /sL°°[U: UI > р}], р > 0.
Рассмотрим функции
—р
= - $ f(t)eiztdt
голоморфные соответственно в И и П-. Для того чтобы /ея(^),
необходимо и достаточно, чтобы:
1) существовали пределы g\ (x) = lim g\ (x + iy), g2(x) =
= lim gi{x — iy) при у ->- оо равномерно в каждом интервале луча
{х: Х>0) U функция g{x) = gl(x)— g2{x)^L2[(Q, oo)];

182 Гл. 7. Приложения в теории функций
2) интегральное уравнение
Р
*(*) = \f{t)eMdt, x>0, B7.43)
-Э
имело ограниченное в (—[J, fj) решение.
Решение интегрального уравнения B7.42) и восстанавливает
;?ц(Р) в интервале (—[}, {}).
7°. Наконец, упомянем самый первый результат, полученный в
направлении решения задачи, рассматриваемой в настоящем разде-
разделе (см. [134, с. 138]).
Теорема 27.25 (Тумаркин). Необходимым и достаточным ус-
условием для того чтобы f(eie) — измеримая функция, заданная на
множестве MczdU@, 1), почти всюду на М совпадала с граничны-
граничными значениями F(eie) некоторой функции класса Н", является су-
существование последовательности многочленов ipm(z)} таких, что:
1) {pm(eie)} почти всюду на М сходится к f(e'e);
2) НпТ Upm(eib)\vdQ<oo.
m-»oo e
Доказательство. Достаточность. Из условия 2) и
теоремы Хинчина — Островского (см. [134, с. 118]) вытекает, что
последовательность {pm(z)} сходится равномерно на компактах из
U к некоторой функции F е Нр, причем на множестве М последо-
последовательность {рт(е*)} почти всюду сходится к F(eif>) — угловым гра-
граничным значениям функции F(z). Необходимость легко по-
получить, аппроксимируя функцию F(z) функциями F(rz), r-*-l—О,
а затем приближая F(rz) в замкнутом круге U многочленами Тей-
Тейлора. П
Эту теорему можно, очевидно, распространить на более широкий
класс областей, а также рассмотреть ее многомерные аналоги, на-
например, для звездных (сильно звездных) областей D <= С", ДеЯ.
28. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ С «ОСТРИЯ КЛИНА»
Iе. Пусть область D = D\ X ... X Dn такова, что все D3 ограни-
ограничены простыми кривыми dDj, / = 1, ..., п. Рассмотрим открытые
подмножества Es границы dDj и обозначим Fs = Д,- U Es, j =* 1, ..., га;
Я = ?1Х...Х#П; F = FX X...XFn; V, = ЕХ X ... ХЯН X?i X
X... ХЕп; V) = EtX • ..XE^XDjXE^X ... ХЕп~ Vt\E;
У — U Vj\ V — U Vj = V\E. Гармоническую меру множе-
множества dDj\Ej относительно области Dj обозначим h}. Гармо- <
ническая в области D, функция h} будет непрерывной на Fs, если (,
положить hj \Е. = 0. Пусть далее h{z)= hx(z{)+ ... + hn(zn), zeF,;
W = {z: zeF, h(z)< 1), W° = W\E, H = int W. Отметим, что Е —
«острие клива» W — является пересечением границ всех УД / ==

^ 28. Продолжение с «острия клина» 183
= 1, ..., п. В следующем утверждении |/|? — sup-норма функции /
на множестве Е.
Теорема 28.1 (Гончар). Пусть f e C(V)UCR(V°). Тогда су-
существует fc=C(W) f\CR(W°) такая, что /1у = /. Если |/|у<+°°,
то для z e W верна оценка
Первое утверждение этой теоремы означает, что из существо-
существования Cff-продолжения функции /еС(Е) с «острия» Е в V вы-
вытекает существование и СД-продолжения в «клин» W. Здесь речь
идет об аналитическом продолжении в «клин» W, так как f e
ezC(W)UCR(W°) в том и только в том случае, если f^C(W)U
[\А(Н). Второе утверждение теоремы (неравенство B8.1)) является
вариантом теоремы «о двух константах» для данного случая.
Если каждое Е} спрямляемо, то можно рассмотреть функции
(t)dt
где ?B)*-?i(zi)+... + ?n(zn), g,eA(Dj), Re^, = fe3-, / = 1, ..., n.
Для feAc(D) справедлива формула Карлемана, если z&D,
/(z)=lim/m(z) B8.2)
m-»oo
(ср. с замечанием по поводу формулы B0.9), у нас fe3 = 1 — as,
Справедливы следующие вспомогательные утверждения, которые
приведем без доказательства.
Лемма 28.2. Если f е С(V) П СЕ(V0) и 1/1* < +°°, го формула
J(z)=limfm(z), ze=H, B8.3)
«1-х»
определяет голоморфную в области Н функцию f.
Отметим существенное различие формул B8.2) и B8.3): пер-
первая восстанавливает в области И функцию f^Ac(D) по ее значе-
значениям на Е, вторая осуществляет голоморфное продолжение функ-
функции f(t), <e?t в область Н, если / допускает CR-продолжение в
Vй с дН — часть границы Н с минимальной комплексной струк-
структурой.
Лемма 28.3. Пусть f^CR(W°), \f\w0 = M< + оо, для неко-
некоторого фиксированного j и всякого t<=E lim |/(z)|s^/ra, тогда

184 Гл. 7. Приложения в теории функций
для z e W° имеет место неравенство l/(z) I =5 m1~h{z)MhM.
Наметим доказательство теоремы 28.1. С помощью формулы
B8.3) определяется голоморфная в области Н функция /. Далее
используем аналогичные формулы Карлемана для областей мень-
меньших размерностей и полагаем f — / на V. С помощью тех же фор-
формул можно доказать непрерывность f на W0 и равенство | / \w0 ~
— 1/1уо- Наконец, непрерывность f{z), гей7, в точках Е устанав-
устанавливаем с помощью леммы 28.3. О
2°. Отметим следствия результата п. 1° и разд. 27, п. 4°.
Пусть область D =Doi X ... Don с С" такова, что все области
Dos имеют вид области Do, указанный в разд. 27, п. 4° (кривая
о
Mj для каждой области Do, своя, / = 1, ..., п). Обозначим М =
о о о
= М\ X .. . X Мп и рассмотрим для функции /ef (M), интегрируе-
интегрируемой по каждому переменному на М = М\ X ... X Мп при фиксиро-
фиксированных остальных переменных,
Следствие 28.4. Если
то существует функция f e C(W)C\ CR(W°) такая, что f\v=f, где
W и V определены так же, как в п. 1°, с заменой множества
о
Е на М.
Наконец, пусть область D = D\ X ... X Dn такова, что все D}
о
имеют вид, рассмотренный в разд. 27, п. 4°. Снова для f^C(M)
вводим величины (предполагая, что указанные далее интегралы
существуют ввиду интегрируемости / на М по каждому перемен-
переменному)
/¦«,.,•(/)=J_/«)!>;&
Следствие 28.5.
то верно утверждение следствия 28.4.
В духе разд. 27, п. 5° нетрудно усилить и эти следствия.

29. Теоретическая и математическая физика
ГЛАВА 8
ПРИЛОЖЕНИЯ В ФИЗИКЕ И ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ
29. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ФОРМУЛ КАРЛЕМАНА
В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
1°. Рассмотрим пример введения «гасящей» функции в диспер-
дисперсионные соотношения вперед (Фок — Куни). Сделаем переход от
переменной со — энергия рассеиваемой частицы — к переменной z
по формуле
2/(l + 22), B9.1)
где m — масса покоя рассеиваемой частицы. Функция B9.1) про-
производит конформное отображение единичного полукруга U П П на
верхнюю полуплоскость П так, что отрезок [—1, 1] переходит в от-
отрезок [—m, m], а полуокружность — в два луча [—°°, —т] и [т,
+°°]. При этом задача аналитического продолжения в верхнюю
полуплоскость функции F((n), заданной в «физической» области
энергии [—0°, —т] и [т, +°°], равносильна задаче аналитического
продолжения в полукруг функции
заданной на соответствующей полуокружности. Тогда, применяя
формулу A.11), получаем значение амплитуды рассеяния (функ-
(функции F) в верхней полуплоскости П через ее значения в «физиче-
«физической» области энергии
я
„ I 2mz \ ,. if F(rasecffi) T.-r im\i 7
F 5-1 = lim-TT- 1 -; , . , exp ii (z — e ф) dw.
V 1 + z / ,--»oo 2я J 1 — z exp (— icp) ri;v 'J Y
0
Далее из B7.30) находим условие аналитической продолжимости
в верхнюю полуплоскость энергии амплитуды рассеяния, заданной
в «физической» области энергии
я
lim -
0~+оо
а
F (m sec q>) eiq> exp (— ioei4>) dy
== 0. B9.2)
Если же существует такое аналитическое продолжение, которое пе-
прерывно вплоть до границы, то необходимо выполнение более силь-
сильного условия, чем B9.2)
lim
13 л. А. Айзенберг
\ F (m sec <р) е1ф ехр (— iae%4>) dtp
= 0. B9.3)

186 Гл. 8. «Внешние» приложения
2°. Приведем принадлежащий Фоку и Куни [156] пример рас-
рассеяния вперед протонов на протонах, как можно с помощью ра-
равенства B7.36) выразить константу взаимодействия я-мезонов с
нуклонами /2 через значения усредненной по поляризации ампли-
амплитуды рассеяния вперед протонов на протонах аРР(в>) в «физиче-
«физической» области энергии или в некоторой ее части [т, соо] (например,
из фазового анализа экспериментальных данных при упругом рас-
рассеянии йрр(со) известна в [т, 1, 32 т]). аРР(а) имеет в точке со =
= т* = т — ц2/2т (где \i — масса покоя зт-мезона) простой полюс
с вычетом /2/16я и 1таРр(и)=0 при т,2П < ю < тп% (где rri2n =
Пусть функция z(co)— преобразование Кристоффеля — конформ-
конформно отображает полуплоскость П на прямоугольник с основанием
на действительной оси так, что точки пг^п и m переходят в лежа-
лежащие на мнимой оси точки В и С — нижнюю правую и верхнюю
правую вершины этого прямоугольника, а отрезок [пг, соо) перехо-
переходит в верхнюю и левую его стороны. Нижнюю левую вершину пря-
прямоугольника обозначим А, а верхнюю левую — D. Рассмотрим об-
обратную к г(ю) функцию (o(z). Функция aPp(co(z)) голоморфна
внутри прямоугольника ABCD и имеет на его стороне ВС простой
полюс в точке ?„=г(те„) с вычетом iz' (тя)/2/16я. Тогда из B7.36)
получаем
Пш4-1п+ \ app{^{l))e~icldt, + ^g-1 z'(mn) | е~г°'л j = 0. B9.4)
О^оо а
BCDA
Интеграл в B9.4) (и ниже) следует понимать в смысле главного
значения по Коши. Заметим, что B7.36) — необходимое и достаточ-
достаточное условие соответствующего аналитического продолжения — бы-
было найдено в разд. § 27 при предположении, что часть границы
области, лежащая в П, гладкая. Однако эта гладкость использо-
использовалась лишь при доказательстве достаточности. Здесь же мы ис-
используем необходимость, поэтому B9.4) верно и для кусочно-глад-
кусочно-гладкой ломаной BCD А. Так же, как от B9.2), мы перешли к B9.3),
можно, считая, что соответствующее аналитическое продолжение
непрерывно вплоть до границы области, замепить необходимое ус-
условие B9.4) на более сильное:
lim
J
°— BCDA
= 0. B9.5)
Далее, учитывая, что Im f = 0 и
Пт ехр (— га?я) = + оо,
Re j аРР (со (?)) ехр [га (? - ?я)] d? = О,
ВС

29. Теоретическая и математическая физика 187
получаем из B9.5) f = Нш/С, где
сЪа
3°. В работе [125] рассматривалась задача экстраполяции ампли-
амплитуды рассеяния адронов, основанная на ее голоморфности, и отме-
отмечалось, что экспериментальные данные задают f(xj) в ряде дис-
дискретных точек Xj е [—1, 1] (отрезок [—1, 1] в этом случае являет-
является «физической» областью). Функция f(z) голоморфна в плоско-
плоскости с разрезами (—°°, а) и (а, °°) вдоль действительной оси, а>1.
Нужно аналитически продолжить / в точку Ь, где 1 < Ъ < а.
В предшествующих работах (см. библиографию в [125]) для ре-
решения такой задачи строились формулы Карлемана, но эти фор-
формулы дают комплексное значение f(b) даже в тех случаях, когда
оно должно быть действительно (в частности, действительны все
f(Xj)). В этом случае вся мнимая часть f(b) является дополни-
дополнительной ошибкой, возникающей при экстраполяции.
Чтобы избавиться от этого недостатка, в [125] построена фор-
формула экстраполяции Карлемана для гармонической функции Re /.
Однако эта формула достаточно сложна. Учитывая, что в рассмат-
рассматриваемой задаче ставится не «граничная» проблема аналитическо-
аналитического продолжения (т. е. как в формулах Карлемана, где речь идет
об аналитическом продолжении с части границы области, в кото-
которой голоморфна соответствующая функция), а «внутренняя» (т. е.
аналитическое продолжение с множества, лежащего внутри обла-
области голоморфности функции), более простое решение можно полу-
получить, заменяя формулу Карлемана ее дискретным аналогом (ср.
п. 5° с п. 1° — 4° из разд. 30). При этом будет выполнено и тре-
требование, чтобы f(b) было действительным, если действительны
все f(Xj).
Пусть М = {xj} — множество различных точек, расположенных
в круге ?/@, г), не имеющее предельных точек на окружности
dU@, r). Тогда тем же методом, идущим от идеи Карлемана (ср.
с разд. 30), или с помощью интерполяционных методов (см. [155])
получим формулу
4, B9.6)
в которой сходимость равномерна на компактах из ?7@, г). Оче-
Очевидно, что если z, все х5 и f(Xj) действительны, то правая часть в
B9.6) тоже действительна.
Выпишем формулу Эрмита для остаточного члена в B9.6)
(ср. с C0.8))
в'и
13*

188 Гл. 8. «Внешние» приложения
где Вт — произведение Бляшке для круга U ~ U@, г):
B9.7) получена в предположении, что функция /еЛ'(Р) (в слу-
случае необходимости можно уменьшить радиус г, тогда / будет даже
голоморфной на U(Q, r)). Из B9.7) получается оценка для опи-
описанной задачи экстраполяции с отрезка [—1, 1] в точку Ь, 1 < Ъ <г,
B9'8>
Неравенство B9.8) означает, что соответствующий экстраполяци-
онный процесс быстро сходится при т -*¦ °°. Однако нужно иметь
в виду, что задача аналитического продолжения с отрезка [—1, 1]
в точку Ъ > 1 является некорректной (она условно устойчива, см.
разд. 30), поэтому для успешной экстраполяции нужна большая
ТОЧНОСТЬ f(Xj).
Подобных примеров можно изложить довольно много. Ограни-
Ограничимся указанными тремя случаями применения идей и формул
Карлемана в теоретической и математической физике. Надеемся,
что многочисленные серьезные приложения впереди.
30. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ,
ГОЛОМОРФНЫХ В ПРОИЗВЕДЕНИИ ПОЛУПЛОСКОСТЕЙ ИЛИ ПОЛОС.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПЕКТРА
1°. Рассмотрим класс Винера Wa функций из L2(Rn), имею-
имеющих преобразование Фурье (спектр)
?(©)= J f(z)e-™i<a's>dx, C0.1)
Rn
носитель которого сосредоточен в параллелепипеде {со: 1g);I=SoCj,
7 = 1, ..., n}czRn. Кроме того, введем класс Wa,+ функций из
L2 (R"), у которых носитель спектра входит в {со: 0 ^ ©j ^ a}, j =
= 1, ..., п} cz R+ = {со: щ > 0, / = 1, ..., п}.
Отметим, что иногда преобразование Фурье C0.1) записывают
без множителя (—2л) в показателе степени. Но стандартные про-
программы для ЭВМ относятся к виду C0.1) преобразования Фурье,
поэтому мы и используем этот вариант данного преобразования.
Рассмотрим далее класс Харди H2(D0) функций, голоморфных
в произведении полуплоскостей Da = {z: lmzj> —в, 7 = 1, ..., п) с
с С". Здесь и далее а — фиксированная положительная постоян-

30. Экстраполяция 189
ная. Н2 (Da) выделяется из A (Л,) условием
C0.2)
где —о < j/j < о», / = 1, ..., га. Этот класс содержит, в частности,
класс Wa,+- Действительно, по теореме Винера — Пэли (см. [116,
137]) функция из Wa,+ является целой функцией экспоненциаль-
экспоненциального типа и, легко видеть, входит в класс H2(Da) при любом о>0
(см. [146, гл. III, § 2, 4]).
Известно, какую большую роль играет преобразование Фурье
в математической физике (см., например, [56, 58]). Иногда оно за-
задано лишь на части действительного подпространства R" <= С" и
возникает задача аналитического продолжения на все R" или даже
на Da. Пусть Ni — ограниченная последовательность различных то-
точек полуплоскости {zr. Im Z; > —а), не имеющая предельных точек
на ее границе, l—i, ..., п. Кратная последовательность М =
= N\ X ... X Лтп содержится в области Da. Множество М является,
очевидно, множеством единственности для функций из A (А,).
Итак, рассмотрим следующую задачу экстраполяции в классе
H2(Da): нужно восстановить /(z) в Д, по значениям на М. В част-
частности, для М из действительного подпространства R" будет реше-
решена задача аналитического продолжения /(г) с М на все R". При
этом нужно, чтобы экстраполирующие функции сходились к /(z)
в смысле L2(Rn) (последнее требование важно, чтобы можно бы-
было делать преобразование Фурье). Укажем метод экстраполяции
со сходимостью в H2(De) (и тем более в L2(Rn)).
Пусть N = {xij), /=1, 2, 3, ..., l = i, 2, ..., га. Обозначим
,wm „ „ л *"» ~ ~х* + 2ig ТТ(ц ~ '">(Ж;р ~ *li + 2ta)
(Ol/rt, U, и. I) = = I ¦ = ,
ux + 2iG Щ(их + 210)(хх)
где xh = (xlhl, ..., Znkn); мультинндекс к = (ки ..., кп); черта над х
означает, как обычно, взятие комплексно-сопряженного (здесь
х — не обязательно действительно; но применяется это в случае
действительных х, см. разд. 32, 33, поэтому мы не стали вводить
новое обозначение).
Теорема 30.1 (Айзенберг). Для всякой функции /(z)'e
е Я2 (Da) справедливо равенство
m n
/ (z) = lim 2 / Ы П «(m, zuki,l). C0.3)
m-»oo hv..., kn—l 1=1
Сходимость в C0.3) равномерна на компактах из Da, и, более то-
того, есть сходимость по норме Н2 (Da).
Приведем два частных случая формулы C0.3) в более обозри-
обозримой записи, считая для простоты, что М с: Rn.

190 Гл. 8. «Внешние» приложения
С л е д с т в и е 30.2. При п = 1
Следствие 30.3. При п = 2
S
J
Доказательство теоремы 30.1 можно провести двумя спо-
способами: либо на идеях интерполяции, либо на идее Карлемана
построения интегрального представления голоморфной функции по
части границы области, много раз применявшейся в этой книге.
При первом подходе получается некоторая дополнительная инфор-
информация: сумма в правой части C0.3) дает наилучшее приближение
к /(г) в смысле метрики H2(Da) среди функций вида
C0.6)
5=1
Лемма 30.4. При п=1 и /е#2(Д,), /(и)=0, где u<=Da,
функция f ортогональна на R1 — ia функции (z — п + 2кг).
Доказательство. Для функций из H2(Da) справедлива
формула Коши, в которой интегрирование производится по пря-
прямой R1 — го (см. [100, с. 145]), поэтому
+ ОО -\- ОО
I / {ос ~~~ zcj) dx \ т (х ~~~~ ?Q) dx
(Аналогичное утверждение для круга см. в [155, с. 274].)
Лемма 30.5. Пусть га = 1 и /еЯ2(?)с), Ni = ЬД,
Обозначим
П
J

30. Экстраполяция 191
Тогда для z e Д, справедливо равенство
m
/ B) = 2 / (**) 9ft (z) 5m (z) + rm (z), C0.7)
где для остаточного члена rm(z) имеет место формула Эрмита
+ °о
Г
J
и равномерно на каждом компакте из Da
limrm(z) = O, C0.9)
следовательно, при п = 1 верно C0.3).
Первая идея доказательства. Простая, но плодотвор-
плодотворная идея Карлемана состояла в построении вспомогательной функ-
функции Fm(z), которая бы была голоморфной в заданной области D,
достаточно хорошо вела себя при подходе к границе dD, удовлет-
удовлетворяла условию \Fm(z)\ — 1 на куске L границы dD и условию в
D lira Fm (z) = 0. Наличие такой «гасящей» функции позволяет
т-»оо
убрать при интегрировании в формуле Коши указанное множество
L из множества интегрирования dD (см. разд. 1). Несколько ви-
видоизменяя эту идею, построим функцию Fm(z) с условием \Fm\ = 1
на всей границе области А,, т. е. на прямой R1 — ia. В качестве
Fm можно взять произведение Бляшке Вт.
Вторая идея доказательства. Изучение известных
фактов об интерполяции и приближении в смысле средних квадра-
квадратичных голоморфных в круге функций (см. [155, § 9.1 и 10.7])
подсказывает, что и в случае полуплоскости Dc полезно использо-
использовать произведение Бляшке Bm(z). Если после доказательства лем-
леммы 30.5 повторить рассуждения из [155, § 9.1] с использованием
леммы 30.4 и соответствующими очевидными изменениями для по-
полуплоскости, то дополнительно к утверждениям леммы 30.5 полу-
получится, что сумма в правой части C0.7) дает наилучшее приближе-
приближение в смысле метрики L2(R' — ia) (а значит, в смысле метрики
пространства Я2 (A,)) f(z) среди функций вида
т
Доказательство леммы 30.5. Обозначим ^Т полуокруж-
полуокружность, лежащую в Da, радиуса г с центром в точке —га, а ГГ — ее
диаметр, лежащий на прямой R1 — го. По теореме Коши о вычетах
получаем (считая г достаточно большим, чтобы точки z и х}, j =
= 1, 2, ..., лежали внутри контура ГГ U fr, а Гг и ]г ориентирован-

192 Гл. 8. «Внешние» приложения
ными соответствующим образом) для z Ф xh /=1,2,...,
1 Г /(?)d? 1 С / (Е) dg
2ni J Bm(O(C-«) "*¦ 2ni J Бт(О(С-«) ^
7
C0.10)
Далее с помощью известной оценки для функций класса Харди
Я2 (А,) и равенства lim | Bm(?) | = 1 получаем (ср. [100, VI С]),
что при г-*-оо второй интеграл в C0.10) стремится к пулю. По-
Поэтому при г -*¦ оо из C0.10) следует C0.7) и C0.8). Замыкание
N\ последовательности N\ компактно в Da, значит, равномерно на
любом компакте из A,lim Bm(z) — 0, отсюда приходим к C0.9). О
т-»оо
Пусть /p=(ii, ..., iP)—упорядоченный по возрастанию набор
р различных чисел из A, 2, ..., п), a z(Ip)— вектор, у которого
координаты с номером ?'( есть %iv I — 1, ..., р, а остальные коорди-
координаты ?jt /^A, ..., п), j ^ 1Р. Через Лр обозначим упорядоченный
набор чисел из A, 2, ..., п), которые не вошли в 1Р. Наконец, обо-
обозначим RJP — произведение прямых {?3: ^eR1 — щ, /s//p} и
/о — пустое множество.
Лемма 30.6 Для остаточного члена rm в формуле C0.3) име-
имеет место многомерный аналог формулы Эрмита:
Доказательство проводим по индукции. При /г = 1 формула
C0.11) есть просто формула C0.8), уже установленная в лемме
30.5. Пусть C0.11) верно для всех пространств С, к<:П— 1. До-
Докажем аналогичное равенство для С". Каждую область Dh j = 1,...
..., п, в соответствующей полуплоскости построим так же, как об-
область, ограниченную контурами Г, и fr в доказательстве леммы
30.5. Обозначим zxk(Ip) вектор, у которого координата с номером
U есть zip I = 1, ..., р, а остальные координаты: х ., / ф Ip, j e
еA, ..., п). Затем повторяя рассуждения этого доказательства и
применяя формулу A2.15), получим
Г
,
3=1 3=1
n—l m '—тт }1
" ~ 2 f(zxb(fp))}-yr • C0.12)
,=1 1-i Bmj \zj)

30. Экстраполяция 193
Умножим C0.12) на Ц Bmj(Zj) и вместо каждой суммы
m
2 1(™м) п ф»«(*,-)
при /> > 0 напишем, согласно индуктивному предположению,/(г) —
— rm(z), где rm(z) имеет вид C0.11) (для пространств Сп~", р =
= 1, ..., /г—1). Наконец, все интегралы и оставшуюся интерполя-
интерполяционную сумму (соответствующую 1Р при р = 0) перенесем в одну
часть полученного равенства, а все слагаемые с /(z)—в другую.
Суммируя все эти слагаемые и учитывая, что
находим, что
т п
/ (Z) = 2 / (xk) И tpftjj (Zj) Bmj (Zj) + Гт (z),
kl fen=l j=l }
где rm(z)— из формулы C0.11). Q
Равенство C0.11) является многомерным аналогом формулы
C0.8). Такого вида выражение для остаточного члена обычно на-
называют формулой Эрмита (см. [144]).
Далее укажем многомерный аналог леммы 30.4, который дока-
доказывается аналогично.
Лемма 30.7. Пусть f(z)<= H2(D<,) и для ue=Da имеет место
равенство f(u)=O, тогда / ортогональна на произведении прямых
iz: Zj e= R1 — ia, / = 1, ..., п) функции
п
п—=
z и
п=
j=1 z. — и. -\-2io
Доказательство теоремы 30.1 в части, касающейся
равномерной сходимости на компактах из Da, сразу вытекает из
леммы 30.6, так как на ROIP
П Bm}(t
J
и равномерно на каждом компакте из Д,
lim П Д^(^)
где р — 0, 1, ..., п — 1. Осталось установить сходимость в форму-
формуле C0.3) по норме пространства H2(Da). Здесь следовало бы полу-
получить подходящую оценку для || гт \\дг ,D , но это сделать трудно.

194 Гл. 8. «Внешние» приложения
В теореме 30.10 приведена оценка для функций из Я2(Д,+Л), a >
> h > 0. Она достаточна для приложений к аналитическому про-
продолжению функций из Wa,+, Таким образом, теорема 30.1 пол-
полностью доказана для f(z)eH2(Da+h). Однако можно установить
нужную сходимость и без упомянутой оценки. Из леммы 30.7
обычными для теории интерполяции рассуждениями (см. [155,
§ 9.1]) можно вывести, что сумма в правой части C0.3) дает наи-
наилучшее приближение /(z) в смысле метрики H2(Da) среди функ-
функций вида C0.6). Далее, перегруппировывая, можно заменить пре-
предел сумм в C0.3) интерполяционным рядом (ср. с [155, § 9.1])
разложения /(z) по ортогональным >на iz: 2,-eR1 — ja, jf = l, ..., n)
функциям, полученным в результате ортогонализации дробей вида
C0.6). Поэтому сходимость в C0.3) имеет место в смысле L2 на
указанном произведении прямых, а значит, по свойствам функций
Я2 и в смысле Я2(А,) (см. [34, гл. 8]). ?
Аналитическое продолжение по формуле C0.3) и преобразова-
преобразование Фурье можно записать в виде одной формулы, поскольку от
дробей в правой части C0.3) преобразование Фурье легко вычис-
вычисляется с помощью вычетов (здесь xh действительны). Обозначим
.с* и, р,,. o-ta. -е-Пг-Ч-п '*'• ~'" ~ Г' {Т'"r 2ia)-
5=1 XlV ХЦ }=1 Xlq ~ xlj
m
Q(m, и, q, I) = 2j e a(m, u, p, q, I).
p=i
Следствие 30.8. При условиях теоремы 30.1 в L2(suppg)
верна формула
m n
g(a>)= Hm 2 f(xh)Ji^(m, со,, кь I). C0.13)
m-юо ftj hn—l i=l
Следствие 30.9. При п = 1 формула C0.13) имеет вид
g (со) = lim 4яае~41Ш1Т \. / (xh) Zj — X
хП
Остаточный член в формуле C0.13) обозначим гт(ю). По тео-
теореме Планшереля

30. Экстраполяция 195
С другой стороны,
поэтому для оценки остатков гт и гт достаточно оценить гт в нор-
норме пространства #2(Д,). Мы сделаем эту оценку для функций из
H2(Da+h)t где 0 < h < о (функции из WZ,+ входят в каждый из
этих классов). Обозначим R" (о + h) = {2: Im z} = —а — h, j = 1, ...
/ = 1, ..., Z — 1, Z + 1, ..., n), l^l^n. Пусть
I ( j I/|2I^|W| [Z],
где \dz\[l] = \dz1\/\.../\\ dzt^ | Д I dzi+11 Л • • • Л I dzn I; далее обо-
обозначим
U —i,.+2ia|
) 1. Положим Л =S-1(82/2).
Теорема 30.10. Ясш f^H2(Da+h) и
2 In II /II, 2, п, , .л- 2 In е- In 2
m>
-2ЫР(А) ' {dV.lb)
то справедлива оценка остаточного члена в формуле C0.3)
e2n. C0.15)
Из этой теоремы следует, что если S(A) убывает достаточно
быстро, то процесс экстраполяции (аналитического продолжения),
указанный в теореме 30.1, быстро сходится. Для доказательства
теоремы 30.10 нам потребуется связь того факта, что f&H2(Da),
с принадлежностью / классу Я2 в сечениях. Если f^Hp(Da), то /
входит в аналогичный класс почти во всех сечениях (ср. с предло-
предложением 0.8). При р = 2 ситуация улучшается. Действительно, из
теоремы Планшереля (см. о пространстве Н2 в трубчатой области
в связи с этой теоремой в [146, гл. III, § 2]) легко следует
Лемма 30.11. Пусть f^H2(Da+h) и 1Р фиксирован (здесь К
<р<п — 1). Тогда для всех ?,-, /еA, ..., га), ]Ф1Р, функция
i(z(Ip)) входит по z в аналогичный класс Харди, а ее норма там
не превосходит || / ||Н2(Р А2лпур~пУ2.
Доказательство теоремы 30.10. В формуле C0.11) со-
содержится 2" — 1 интеграл. Оценим, например, интеграл
H-ia

196 Гл. 8. «Внешние» приложения
остальные интегралы оцениваются аналогично. Норма C0.16) в
Я2 (Do) не превосходит нормы функции
1 Г f(ly^ «пКх ,„ ...
25 XJ e«(Cx)(ti-'x) ' ( '
В —га
В силу свойств функций класса IP{Da+h) интеграл C0.17) равен
2* J 5mi(?l)(?1-Zl) • C0-18)
H-i(J-i/i
Далее воспользуемся тем, что интеграл типа Коши от функции
Ф из L2 на прямой задает в соответствующей полуплоскости функ-
функцию класса Я2 с нормой, не превосходящей нормы <р в L2 (ср. [34,
с. 192, упр. 10, 11]). Отсюда и из леммы 30.11 получаем, что нор-
норма функции C0.18) в H2(Da) не превосходит нормы в H2(Da+h),
а эта последняя не больше, чем
f(z)
—F7
где R" (о + Щ = {z: Im zt = —а — h, 1 = 1, ..., п}. Далее, выделяя
при интегрировании по прямой {z\\ Im21 = —о — Ь) множество
iz\: iRezil >Л}, разбиваем интеграл, задающий квадрат нормы
C0.19), на два интеграла и находим для этого квадрата нормы
оценку сверху
откуда и из C0.14) следует C0.15). ?
2°. В задаче экстраполяции голоморфных на R" функций есте-
естественнее рассматривать не класс Я2(А,), а класс Я2((?„}, где Q<s =
= {z: I Im Zj\ < о, / = 1, ..., n) — произведение полос. Действитель-
Действительно, класс H2(Da) содержит Wa,+, в то время как H2(Qa) содержит
Wa- Приведем результат для а = л/2, так как в этом случае ядро
экстраполяционной формулы при аналитическом продолжении в
R" действительно (общий случай сводится к данному соответству-
соответствующей гомотетией). Пусть
\e -j-e )(u xlv)e ^^Ve p — e 3) \e + e 3J
Теорема 30.12 (Айзенберг). Для /(z) eЯ2(Qn/z) верно
i
m n j
/(z)= lim 2 /ЫП«(т, zj7 Л,-, у'), C0.20I
m-»oo ftx kn=l j=l I
гЗе предел нужно понимать в смысле нормы пространства H2(Qn/2). 1

30. Экстраполяция 197
Следствие 30.13. При п — 1
Следствие 30.14. Если М и ъ из действительного подпрост-
подпространства R" с: С", то C0.20) справедливо для плюригармонических
функций из класса Re H2(Qn/2). Сходимость в C0.20) в этом слу-
случае понимается в смысле L2(Rn), кроме того, она равномерна на
компактах в R".
Доказательство теоремы 30.12 повторяет доказательст-
доказательство теоремы 30.1 с заменой произведения Бляшке для полуплоско-
полуплоскости на произведение Бляшке для полосы {z: Umzl < я/2}
Заметим, что из свойств преобразования Фурье сразу следует
утверждение.
Лемма 30.15. Если f^Wa, mo /(z)exp [2л i <a, z>]
czH2(D(,), и обратно, если f^W%a,+, wo/(z)exp[—2л?<а, z>]
Данный факт позволяет для экстраполяции класса Винера Wan
указать более простую формулу, чем C0.20), сведением к ситуа-
ситуации, уже рассмотренной в теореме 30.1.
Следствие 30.16. Если f^Wa, to имеет место формула со
сходимостью в пространстве H2(Qa) при всех о > 0
/ (г) = Пш е-2"(а'г> 2 / (Ч) e2m<a>Xft> П««(rn, z}, k,, j). C0.21)
m->oo ft1,...,ftn=l i=l
Следствие 30.17. При п = 1 и действительных хк формула
C0.21) принимает вид
3°. Отметим, что задачи аналитического продолжения, рассмот-
рассмотренные в этом разделе, не являются корректными, но они условно
устойчивы в силу принципа компактности голоморфных функций,
если наложить дополнительное условие вида |/(г)|<С или
C
)
В двух предыдущих пунктах речь шла об аналитическом про-
продолжении функций с финитным спектром Фурье (классы Винера).
Заменяя прямое преобразование Фурье на обратное, можно из ре-
результатов данного раздела извлечь результаты об аналитическом

198 Гл. 8. «Внешние» приложения
продолжении спектров Фурье (преобразований Фурье) финитных
сигналов (т. е. функций с носителем на компакте и класса L2 на
этом компакте). Формулы C0.3) и C0.21) при этом сохранят свой
вид, но в них нужно о заменить на —а. В литературе по обработ-
обработке сигналов рассматривается важная для «сверхразрешимости»
физических приборов задача аналитического продолжения спектра
с части R" на все R" (см. [169, 51, 135]). Для решения этой зада-
задачи Д. Слепян предложил метод разложения в ряд по системе
функций с двойной ортогональностью — так называемых «волновых
вытянутых сфероидальных функций» (см. [236, 159, 169, 51, 135]).
Другой метод принадлежит Гершбергу — Папулису (см. [207, 227]).
В этом разделе предложен более простой метод.
При приложениях указанных формул к задаче аналитического
продолжения спектра Фурье сигнала, сосредоточенного на компак-
компакте ХсК", нужно учитывать, что обычно f(Xj) известны неточно.
На самом деле, мы будем рассматривать f(xj) + 6j + е,, где 5j —
ошибка, возникающая за счет неточного знания функции g(t)
(т. е. 6j — преобразование Фурье в точках х, от «шума» ni (t) на
К; мы считаем, что ni(?)e L2(K)), a e,- — случайная ошибка в вы-
вычислении преобразования Фурье. Если ] | /ij (t) \2dt <; v2, то по тео-
к
реме Планшереля ошибка в спектре в смысле средних квадратич-
квадратичных тоже <v. Иначе обстоит дело с «вычислительным шумом»
n2(Xj)= 8j. Пусть
1 n
тогда дополнительная ошибка в смысле средних квадратичных при
применении формулы C0.3) или C0.21) (кроме ошибки экстрапо-
экстраполяции, о которой речь идет в теореме 30.10, и ошибки от шума
п\ (t)) не больше, чем
т
2 _ |efc|n(m,ft). C0.23)
Обозначим е—тах|еь|, ц(т) = maxц(т, к), тогда C0.23) не превос-
К k
ходит тпец(т). Учитывая случайный характер гк, эту оценку
можно уточнить (ср. с [87]), существенно ее улучшив. Однако нуж-
нужно иметь в виду, что \х.{т) растет с ростом т, поэтому при приме-
применении указанных формул экстраполяции необходим обычный в та-
таких случаях (см. [169, 51, 135, 236, 159]) компромисс между необ-
необходимостью взять т достаточно большим, чтобы обеспечить точ-
точность экстраполяции, но не столь большим, чтобы «вычислитель-
«вычислительный шум» «2 существенно мешал. Поскольку этот последний шум
зависит только от алгоритма приближенного вычисления преобра-
преобразования Фурье и от точности вычисления на ЭВМ, он может быть

30. Экстраполяция 199
сделан очень малым. Вычислительный эксперимент на аналитиче-
аналитическое продолжение спектра и «сверхразрешение» см. в разд. 32.
4°. Рассмотрим обобщение результатов п. 1° на случай кратной
экстраполяции. Пусть п — \, N\ = {xj), Ima;j> — (о — е), а се-
секретность точки Xj, /=1, 2, .... Пусть дано кратное произведение
Бляшке
z-Xj \a)
j=1 \z - х. + 2io
Аналогично лемме 30.5 доказывается следующая
Теорема 30.18 (Айзенберг — Худайберганов). Для f e Я2(Da)
и z e Da справедлива формула со сходимостью в смысле простран-
пространства Я2 (А,)
Т
где
xl
Этот результат можно распространить на голоморфные функ-
функции многих комплексных переменных, а также на голоморфные
функции от одной или нескольких матриц (см. [31]).
5°. Отметим в заключение этого раздела более общую задачу
экстраполяции: дана функция /еЯ2(П) на отрезке, например,
[—1, 1], нужно найти ее на всей действительной оси. Эта задача
более трудная, чем рассматриваемая в п. Iе — 3°, так как здесь
речь идет об аналитическом продолжении функции класса Харди
Я2 не внутри соответствующей области, а на ее границе. Решение
для Я2(П_) было приведено в формуле E.16). Оно было найдено
М. Г. Крейном и П. Я. Нудельманом (см. [98, 99]) и предназнача-
предназначалось для аналитического продолжения спектров Фурье. Результат,
содержащийся в формуле E.16), безусловно, значительно более
трудный и тонкий, чем приведенные, хотя у них есть одно пре-
преимущество — простота, позволяющая надеяться на приложения.
Формулы предыдущих пунктов этого раздела можно рассмат-
рассматривать как дискретные аналоги формулы Карлемана, когда ставит-
ставится не «граничная», а «внутренняя» задача аналитического про-
продолжения.
М. Г. Крейн и П. Я. Нудельман решили и другую задачу: для
функции /si2[(-1, 1)] найти функцию Fe=H2(H-) так, чтобы

200 Гл. 8. «Внешние» приложения
где е — заданное фиксированное число,
и F имела минимальную норму в L2[(—°°, °°)] (ср. с замечанием
после формулы C1.6) в разд. 31). Пусть g и G — обратные пре-
преобразования Фурье от / и F соответственно.
Теорема 30.19 (Крейн — Нудельман). Задача отыскания
функции F имеет единственное решение. Функцию G можно най-
найти из интегрального уравнения
0<*<oo, C0.24)
где ц = ц(е)—некоторая положительная функция аргумента е,
определяемая из интегрального уравнения
2ц2 Г _J
л J 1 —
th
— E2
а Ф/(Я) задана формулой B7.42). Верно асимптотическое ра-
равенство
Если в интегральном уравнении C0.24) верхний предел °° за-
заменить конечным числом а > 0, то получится уравнение, в связи с
решением которого и была получена система функций с двойной
ортогональностью.
31. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА ВИНЕРА.
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ КОТЕЛЬНИКОВА
ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНЫХ ОТСЧЕТОВ
1°. Классическая теорема Котельникова (см. [95, 169, 174])'
утверждает, что для функций / из класса Винера WJ справедливо
следующее интерполяционное разложение:
+ 00
i
ji \ V i n A\Sin2na (x — kA)
h=—°
где А = 1/2о, а ряд C1.1) равномерно сходится на компактах в
R1 и в смысле L2(R') (в смысле средних квадратичных). Функция
f(x) аналитически продолжается на всю комплексную плоскость

31. Интерполяция 201
С как целая функция конечной степени * <2ла (например, с по-
помощью той же формулы C1.1)). Теорема Котельникова имеет
важное значение для теории связи. Есть ее обобщения на много-
многомерный случай (см. [82, 187]). В C1.1) использованы равномер-
равномерные отсчеты {А;Д}, что не всегда удобно (см., например, [169]), по-
поэтому C1.1) обобщалось на случай неравномерных отсчетов, но
при этом либо отсчеты распределялись некоторым регулярным об-
образом, либо использовался интерполяционный ряд Лагранжа (при
некоторых ограничениях на множество точек отсчета [169, 116,
64]) с канонической функцией этого множества (бесконечным про-
произведением), что неудобно для приложений [169].
Оказалось, что метод из разд. 30 работает в значительно более
общей ситуации по сравнению с рассмотренной в этом разделе.
Обсудим вначале случай, когда М — множество единственности
для класса Харди H2{Da), т. е. если /е//2(Д,) и /|м = 0, то / = 0.
Соответствующие условия на М = N\ X ... X Nn можно извлечь из
результатов о произведениях Бляшке в H2(Da) при га = 1 (см., на-
например, [100, с. 150]) и следующего утверждения.
Предложение 31.1. Для того чтобы М было множеством
единственности в H2(Da), необходимо и достаточно, чтобы каждое
множество Ni, I = 1, , п, являлось множеством единственности
для класса Я2 в соответствующей полуплоскости.
Доказательство. Необходимость. Рассмотрим функ-
функции fi(Zj)^ Н2({г,: ImZj>—о)), / = 1, ..., п. Тогда их произведе-
произведение / = /i, ... in входит в класс Харди #2(Д,). Фиксируем функ-
функции /г, ..., /„, отличные от тождественного нуля, и пусть функция
/i равна нулю на множестве Ni. Тогда / = 0 на множестве М, сле-
следовательно, / = 0; поэтому /i = 0. Итак, мы доказали, что iVi —
множество единственности для соответствующего класса Харди Я2.
Аналогично показывается, что N2, ..., Nn являются множествами
единственности для классов Н2 в соответствующих полуплоскостях.
Достаточность легко получается применением метода сече-
сечений области Da комплексными прямыми и леммы 30.11. ?
Следствие 31.2. Для того чтобы М = N\ X ... X Nn <r Rn
было множеством единственности в H2(Da), необходимо и доста-
достаточно, чтобы
оо
~~' L = оо, г-1,...,«, C1.2)
где Nt = {?()}, / = 1, 2, ...; штрих означает, что в сумме отсутству-
отсутствуют слагаемые, у которых x,j = 0.
Теорема 31.3 (Айзенберг). Если М — множество единствен-
единственности для H2(Da), то для всякой f^H2(Da) верна формула C0.3)
со сходимостью в H2(DC). В частности, это верно для функций из
* Мы используем вид C0.1) преобразования Фурье, поэтому эта оценка
отличается от привычной.
4 Л. А. Айзенберг

202 Гл. 8. «Внешние» приложения
класса WZ,+- Для функций же из класса BunepaW^ справедливо ра-
равенство C0.21) со сходимостью в пространстве Н2 (Q<j) при всяком а>0.
Доказательство приведем для простоты в случае п = 1,
т. е. вместо громоздкой многомерной формулы Эрмита C0.11) бу-
будем пользоваться простой формулой C0.8). Оценим остаточный
член rm в интерполяционной формуле C0.3). По формуле C0.8)
где у = Im z. Так как М — множество единственности для Н2, то
предел соответствующего произведения Бляшке Bm(z) при m -*¦ °°
должен быть равен нулю. В противном случае можно было бы по-
построить функцию из Н2, равную нулю на М, но не равную тожде-
тождественно нулю (ср. с [ЮО, с. 149]). Поэтому из C1.3) следует рав-
равномерная сходимость на компактах в Da в формуле C0.3). Относи-
Относительно сходимости в смысле #2(Д,) следует повторить конец до-
доказательства теоремы 30.1. ?
Формулы C0.3) и C0.21) и являются аналогами теоремы Ко-
тельникова C1.1) для множества М неравномерных отсчетов, ко-
которое есть множество единственности в Я2 (А,). Отметим связь
формул C1.1) и C0.22) в случае, когда множество отсчетов явля-
является равномерным. Функции
sin2na(z — kA)/2na(x — kA), C1.4)
по которым раскладывается в ряд в формуле C1.1) любая функ-
функция класса Винера Wa\ сами входят в этот класс, к = 0, ±1, ±2,....
Поэтому формула C0.22) верна и для функций C1.4). Следова-
Следовательно (для этих функций в правой части C0.22) останется толь-
только одно слагаемое),
sin 2яа (z - кА) '' 2ige2Jli(ftA-z> fr (г - /А) (АД - /А + 2ia) ,„, ~
2яа (z-kA) ^ * - АД + 2ia ^п (г - /Д + 2ш) Д (к - j) ' (б1^
В C1.5) есть сходимость, равномерная на компактах из Qa, и, кро-
кроме того, в смысле H2(Qa) при всяком о > 0.
Итак, в случае равномерных отсчетов коэффициенты в формуле
C0.22) стремятся к коэффициентам в формуле Котельникова
C1.1). В реальных применениях C1.1) используется для конечно-
конечного числа отсчетов, тогда задача восстановления / е WJ имеет мно-
много решений, а формула C1.1) в этом случае дает единственное ре-

31. Интерполяция 203
шение с минимальной энергией
\f(x)\4x. C1.6)
Аналогично формулы C0.4), C0.22) (и их многомерные аналоги
C0.3), C0.21)) с конечным числом отсчетов (уже не обязательно
равномерных) дают единственное решение, минимизирующее ин-
интеграл уже не по R1, как в C1.6), а по прямой R1 — ia (соответ-
(соответственно в многомерном случае по произведению аналогичных
прямых).
2°. В рассмотренной задаче хотелось бы в качестве М брать
множество единственности не для всего класса Я2, а для класса
Винера W а. Иначе говоря, в теореме 30.3 множество М гущег
чем нужно для задачи интерполяции функций класса Винера. Од-
Однако соответствующий результат для множества единственности
Wa или Wa,-\- не верен. Мы будем говорить о множествах единст-
единственности класса Wa,+ так как в силу леммы 30.15 достаточно по-
получить результат для этих множеств единственности (классы мно-
множеств единственности для И^ и W^-i- совпадают).
Не уменьшая общности, можно считать, что в feR" не вхо-
входят точки, у которых хц\ = 0. Тогда штрих в условии C1.2) можно
не писать. Обозначим через А множество тех чисел из {1, 2, ..., п)г
для которых из 1^А следует
3=1 Ц
Построим для 1^А произведение Бляшке для полуплоскости
{zt: Im zi > —о):
C1.7)
Наша цель состоит в том, чтобы расширить возможности при-
применения формулы C0.3) или C0.21) путем дополнительного пре-
предельного перехода при a -*¦ °° (т. е. граничная прямая в соответст-
соответствующих полуплоскостях отодвигается в бесконечность). Вначале
приведем следующий результат, в котором множество М характе-
характеризуется скоростью убывания произведения Бляшке C1.7) при
о -*- °°.
Теорема 31.4 (Айзенберг). Если для всех j;eR" и Is A
выполняется условие
е\ 0, C1.8)
то М — множество единственности для класса Wa,+ и существуют
14*

204
Гл. 8. «Внешние» приложения
такие последовательности {ар} и [т°] {зависящие, вообще говоря,
от х), р = 1, 2, , что для всякой /е И7»,-!- и mp^ ш^имеетп место*
тр п
f(x) = lim 2 f(xh) U ю(стр, mp, жь fcz, Z)- C1.9)
ftfti г
/7/ж этом если C1.8) достигается равномерно по х на компактах в
R", то сходимость в C1.9) тоже равномерна на тех же компактах
(выбор аР и Тор0 зависит, вообще говоря, от данного компакта).
Если C1.8) достигается равномерно на всем R", то вместо C1.9)
можно пользоваться формулой, в которой сходимость тоже равно-
равномерна на R" и еще в смысле L2(Rn)
f(x) = lim lim
p-»oo
n
fixh)Ii
р, rn, xh kh I). C1.10)
Доказательство. Так же, как при доказательстве преды-
предыдущей теоремы, рассмотрим, для простоты, случай п = 1. Пусть
/ePFa,+, тогда
отсюда и из теоремы Планшереля
а
L" о
поэтому
2л* .!
f (и — ia) du
(и - iff) (и - ia - x)
X
\ i :
'" ~ ia~
Теперь из C1.8) и C0.8) вытекают первые утверждения тео-
ремы, при этом бесконечное произведение Бляшке ВОр равномерно
на компактах в R1 аппроксимируем конечными произведениями
Бляшке В 0. Аналогично получается последнее утверждение
Ор,тр
этой теоремы, только нужно сначала сделать предельный переход
по то, а потом по р. П
* В обозначении <в из разд. 30 теперь добавляется аргумент а, в кото- '!
ром не было нужды ранее, так как в разд. 30 о" было фиксировано.

31. Интерполяция 205
Дополним еще теорему 31.4 замечанием, что если выполняется
условие C1.8), в котором вместо нижнего предела рассматривает-
рассматривается обычный предел, то и в утверждениях теоремы не нужно рас-
рассматривать последовательность {ор} и вместо, например, формулы
C1.10) следует писать формулу
т п
/(ж) = Нт lim 2 f{Xk)Y^(>i {a, m, xi,kl,l). C1.11)
Чтобы выяснить, насколько условие C1.8) близко к необходи-
необходимому, наложим на М дополнительные условия. Пусть для I -e A
мы иначе нумеруем точки множества Ni — {xi3), / = 0, ±1, ±2, ...,
и существует
7П
lim У —• C1-12)
Построим для 1^А канонические целые функции
¦«(!,)= lim П f1-^:
с нулями на множествах Nt соответственно. Тогда функции Бляш-
Бляшке C1.7) можно выразить через канонические функции C1.13)
а условие C1.8) примет вид
Г1*™ ,0. C1.14,
Теперь можно сформулировать утверждение о том, насколько ус-
условие C1.14) близко к необходимому.
Предложение 31.5. Если для 1&А = {1, 2, ..., п), a;eR"
и достаточно больших а > 0
C1.15)
и i|)isL2(Rn), то М не является множеством единственности для
класса ,+
Доказательство. Из C1.15) вытекает оценка
C1.16)
для достаточно больших а > 0. Каноническая функция C1.13)
действительна на действительной оси (в этом пункте все Хц дейст-
действительны), следовательно, в симметричных относительно этой оси
точках она принимает одинаковые по модулю значения, поэтому

206 Гл. 8. «Внешние» приложения
из C1.16) следует, что i|^ еРРа/2. Получаем, что произведение
^i (zi) • • • 'Фп (zn) s W?/2, значит, множество М не является множест-
множеством единственности для класса Винера Wa/2, поэтому не является
множеством единственности для класса
Об условиях, при которых каноническая функция 1|) входит в
L2, см. работу [160]. При некоторых ограничениях на нули можно
указать асимптотику канонической функции (см. [116]), что по-
позволяет нижний предел в C1.8) или C1.14) заменить на просто
предел.
До сих пор предполагалось, что спектр Фурье рассматриваемых
функций из класса Винера входит в L2 (К), где К — компакт в R".
Если это условие заменить на более сильное требование: спектр
Фурье входит в LP(K), где 2 < р < °°, то вместо Ус в C1.8) или
C1.14) нужно писать о'~1/р. Заметим, что в прикладных задачах
спектр Фурье ограничен по модулю (р = °°). В этом случае вместо
C1.14) будет справедливо более слабое достаточное условие
.....
ИЬ, (хЛ
' '; 1;' = 0. C1.17)
]im , , . ;
__ о !*,(*,+ 2,0I
3°. Рассмотрим, для простоты, случай п = 1 и множество М =
= {/А}, ; = 0, ±1, ±2, ..., равномерных отсчетов — множество
единственности для W\, если А ^ 1/2а. Множество единственно-
единственности назовем минимальным, если из него нельзя выбросить ни од-
одной точки без нарушения свойства быть множеством единственно-
единственности. Множество единственности назовем избыточным, если оно ос-
остается множеством единственности при выбрасывании любого сво-
своего конечного подмножества. Обычно в пространствах голоморфных
функций множества единственности избыточны. Однако в классах
Винера W? и Wa,+ есть и минимальные. Например, в классе W]/2
множество целых точек {/} есть минимальное множество единст-
единственности, что доказывается примером функции sinn;r/(;r — /о), у
которой нули — все целые точки, кроме /о.
Чтобы понять причину минимальности, рассмотрим для множе-
множества М каноническую функцию
1— #7) = Asin ^-
j
Далее
I if (ж + 2ia) I =
и равенство C1.14) принимает вид
im y=r
В силу теоремы 31.4 выполнение C1.18) есть достаточное усло-
условие, чтобы М было множеством единственности для Wa,+. Отсюда
lim -y=r sin^-o: ехр2лст[а — j-) = 0. C1.18)

31. Интерполяция 207
получаем аналогичное достаточное условие для Wa'
lim
1
. я
sm-r-i
C1.19)
Каноническая функция i|; (z) = A sin jz не входит в класс
L2(R'). Однако если выбросить из М какую-нибудь точку /оА, то
новая каноническая функция уже входит в L2(R'). Согласно пред-
предложению 31.5 получаем достаточное условие на то, чтобы ilf\{/0A)
не было множеством единственности в VFa»
or ехр 2лст Ba — ±-\^СфО. C1.20)
C1.20) должно выполняться для достаточно больших a > 0. От-
Отсюда, сравнивая C1.19) и C1.20), находим, что одновременно М
и Л/\{/оД} являются множествами единственности для Wa тогда
и только тогда, когда А < 1/2а. Если же А = 1/2а, то М является
множеством единственности, а ЛА{;'оД} нет. Более того, выбросить
из М какое-то конечное число I точек — это значит каноническую
функцию ф(ж + 2?.о) разделить на многочлен степени I от о, т. е.
умножить левую часть в C1.19) на этот многочлен. Как видим,
что при А < 1/2а это делать можно, не нарушая C1.19), а при
А = 1/2а нельзя даже при 1=1. Если же при А = 1/2а выбросить
I точек и вставить I новых, то условие C1.19) не нарушается.
Предложение 31.6. Множество М = (/A), j = 0, ±1, ±2, ...,
при А < 1/2а является избыточным множеством единственности
для W а, а при А = 1/2а в М можно передвигать на свободное ме-
место любое конечное число точек, не нарушая свойства М быть ми-
минимальным множеством единственности для W а. В обоих случаях
верна формула
"у
Si „Д., ««, + 210
C1.21)
т(а)> 0 — любая функция при условии
4r
(a)
<oo. C1.22)
Сходимость в C1.21) равномерна на компактах в R1.
Доказательство. Почти все уже обосновано перед форму-
формулировкой этого предложения. Нуждается в доказательстве только
тот факт, что в C1.21) можно брать любую функцию пг(с) поло-
положительного аргумента а при условии C1.22). Верна формула ти-
типа C1.21), но с двумя пределами, как в C1.11). При оценке ос-
остаточного члена с помощью формулы C0.8) нам нужна не C1.14),

208
Гл. 8. «Внешние» приложения
а оценка, аналогичная C1.14), в которой вместо
I of (x + 2га) | = lim (x + 2ia)
д7—У
стоит
(x + 2ia)
7")
т. е. нужно в C1.14) отбросить
Далее
поэтому
Ат — lira
ТТ fl
4а2
-, | if (x + 2га) | = ДI sin -
x «p?
X
откуда
<
Л sin
я (х +
-. C1.23)
Таким образом, нужная оценка выполняется равномерно на ком-
компактах из R1, если т = т(а) удовлетворяет условию C1.22). П
Аналогичное предложению 31.6 утверждение верно и при п > 1.
В этом случае множество единственности М = N\ X ... X Nn назо-
назовем минимальным, если ни в одном Nh I = 1, ..., п, нельзя выбро-
выбросить ни одной точки, не нарушая свойства М быть множеством
единственности.
Обсудим теперь возможность передвигать в равномерной сетке
Котельникова все точки. Пусть хц = jAt + clh где \си\ < Lh 1 — 1, ...

31. Интерполяция 209
..., п. Используя точную оценку Левина [115] снизу для li|);l, до-
докажем следующее утверждение.
Предложение 31.7. Для всякой функции fe=wi верна
формула со сходимостью в Rn {равномерной на компактах)
тп(о) п
f {х) = lim У / {xh) exp [2i <a, xk— х}] Д со (а, то (а), xh, kt, I),
C1.24)
где в каждое со входят соответствующие дроби при j от —то (о) до
пг(а) и j Ф kh а то(о) удовлетворяет условию C1.22), в следую-
следующих случаях:
1) при любых Li, если Дг< 1/2аг, 1 = 1, ..., п,
2) при условии
Li<^r, 1 = 1, ...,п, C1.25)
если Д( = 1/2аг, и конечное число точек хц передвинуто на любое
свободное место.
Если спектр Фурье функции f(x) ограничен по модулю, то ус-
условие C1.25) можно заменить на
?г<*-, 1=1,...,/». C1.26)
4а,
Доказательство. Для канонической функции %, построен-
построенной по точкам Хц = /А; + ctj, где \сц\ < Lh 1 = 1, ..., п, верна оцен-
оценка Б. Я. Левина
'1:1^11^1
' ' —. C1.27)
|*i +'I'll
Аналогично C1.23) получаем при то > L;+ 1, I = 1, ..., п,
*| + 4а2
a из C1.22) и А; < 1/2а; вытекает C1.14) при любом Lt. Если же
А[ = l/2oci (максимальное расстояние по Котельникову), то C1.14)
верно при условии C1.25). В случае, когда спектр Фурье функции
f(x) ограничен по модулю, то вместо C1.14) нужно рассматри-
рассматривать C1.17), что справедливо при условии C1.26). Соответствую-
Соответствующие оценки достигаются равномерно на действительных ком-
компактах. ?
Следствие 31.8 (Левинсон). В случаях 1) и 2) из предло-
предложения 31.7 множество М есть множество единственности (в пер-

210 Гл. 8. «Внешние» приложения
вом случае — избыточное, во втором — минимальное) для класса
Винера Wa- При этом оценка C1.26) точна.
Доказательство. Большая часть утверждений этого следст-
следствия сразу вытекает из предложения 31.7, так как в этом предло-
предложении не просто доказано, что М — множество единственно, а дан
способ восстановления функции / е Wan по значениям на М с по-
помощью формулы C1.24). Докажем точность оценки C1.26). На-
Например, при п = 1 и L = 1/4а = А/2 можно следующим образом
выбрать cf.
-|, 7<0.
Тогда получится множеством = in + у I А , / = 0, 1, ± 2, + 3, ...
М = М\|- i А}, где M = ^/+1JAJ,/ = O, ±1, ±2, ..., ±3, ...,-
минимальное множество единственности для W&, значит, М уже
не является множеством единственности. Противоречие. О
4". Предыдущие результаты (см. пп. 2 , 3°) показывают, что
указанные интерполяционные формулы позволяют восстанавливать
функции класса Винера И^а,+ по значениям на множествах единст-
единственности М при выполнении некоторых достаточных условий на то,
чтобы множество было множеством единственности для класса
Wa,+» весьма близких к необходимым (аналогично для функций
класса Винера W1^). Возникает гипотеза, что, например, формула
C1.11) верна для любой функции /е Wa,+ и любого множества М
единственности этого класса И^а,+- Не имея пока доказательства
этой гипотезы, приведем результат, показывающий, что это дейст-
действительно так при некоторых дополнительных условиях на множе-
множество М. Для простоты ограничимся случаем п = 1.
Множество М назовем картрайтовским для класса W^-i-» если
из \f(xk) I «? е для /е Wa,+, xh €E M, следует \f(x) I s? Смг для всех
х е В.\ где постоянная См зависит лишь от множества М и не за-
зависит от / (о теореме Картрайт, утверждающей, что для равномер-
равномерной сетки при А < 1/2а это верно, и ее обобщениях см. [116, 115,
117, 119, 154]).
Левин ввел понятие некоторой регулярности распределения то-
точек хк е М, назвав множество М в случае выполнения условий
этой регулярности Д-множеством (см. [116, с. 611]). Пусть h,(Q) —
индикатор целой функции /, а #(8)—индикатор множества М
(т. е. индикатор канонической функции этого множества), 0 < 9 <
< 2я. Оказалось, что требование, чтобы М было Д-множеством
(или несколько более слабое требование, чтобы М было «правиль-

31. Интерполяция 211
ным множеством», см. [116]), а также, чтобы hf(Q)< Я(8), 0 < 8 <
< 2л, является широким достаточным условием представимости
целой функции: интерполяционным рядом Лагранжа с узлами ин-
интерполяции из множества М (см. [116, гл. IV, § 4]).
Наконец, ниже будет указано еще одно дополнительное усло-
условие. Не всякое множество единственности для класса Винера со-
содержит минимальное множество единственности; следовательно,
требование, чтобы М содержало минимальное множество единст-
единственности, является дополнительным условием. Наконец, запишем
формулу C1.11) при п = 1 в виде
/(г)=1шсроD C1.28)
где
Если М — множество единственности для класса Харди H2(DG), то
для всякой функции /eWi,-j- каждая <р„(х) совпадает с /, поэто-
поэтому C1.28) верно тривиальным образом. Если же М не является
таковым, то ц>а{х) есть наилучшее приближение к f(x) в метрике
H4D0).
Теорема 31.9 (Айзенберг). 1. Если множество М является
картрайтовским для класса Wat+ с соответствующей постоянной
См, то C1.28) верно для всякой функции f e PFa,+ с равномерной
сходимостью на R1, при этом
^ll C1.30)
2. Если множество М содержит минимальное множество един-
единственности для Wa,+> mo для / е ^а,+ справедливо равенство
C1.28) с равномерной сходимостью на компактах.
3. Если для множества М и функции f e Wa,+ выполняются
достаточные условия Левина для представимости f интерполяцион-
интерполяционным рядом Лагранжа, то верно C1.28) равномерно на компактах.
Доказательство. Ограничимся доказательством первого ут-
утверждения теоремы. Пусть /е JFai+, значит (см. C0.1))
o, C1.31)
а $0((о)— преобразование Фурье функции ц>„(х) из C1.29). Носи-
Носитель i|),t(co) лежит на положительном луче R+ (ср. [100, с. 162]).
Представим i|H(w) в виде ¦фа1(со)+ if,,2 (со), где supp if,,1 <r [0, a],
a supp г|з„2 с [a, +«>). Соответственно, функцию <fa(x) представим

212 Гл. 8. «Внешние» приложения
в виде ^а1(х) + (ра2(х), где ф„' — обратное преобразование Фурье
вида C1.31) от фД i = i, 2. Тогда <pe1ew?>+, a (f,2eH2(D.) при
всяком о > 0. Далее
= JlsHI2<
о
поэтому, отмечая, что преобразование Фурье от ц>а(х) есть преоб-
преобразование Фурье от ц>а(х — ia), умноженное на ехр(—2лио),
оо оо -j-oo
| ф* (ж) | < J | г|? (со) | d@ = J j фо (ж - to) e~2™x dx
[
где
По построению в каждой точке я3 е Л/ имеет место равенство
^) = фа («j) = ф,,1 (xj) + ф52 (ж,), откуда получаем
следовательно, для всех jeR1 верно
так как/—фоеИ74,+. И, наконец,
5°. В случае равномерных отсчетов множество функций C1.4)
является ортогональной системой при интегрировании на R1. Если
же отсчеты неравномерны, то множество
8in2na(x-xh)/2na,(x-xk), A==l, 2, 3, ..., C1.32)
уже таковым не будет, но его можно ортогонализовать обычным
способом (см., например, [86]) и получить уже ортогональную
систему
ft

31. Интерполяция 213
Предложение 31.10. Если М — множество единственности
для Wa\ то для всякой функции / е Wal верна формула со схо-
сходимостью в смысле H2(Qa) при всяком о>0 (и тем более равно-
равномерной на компактах из R1 и в смысле L2(W)
/(*)= 2 (liajhf(x}))<ph(x). C1.33)
(
=i Vj=i
Нетрудно получить и многомерное обобщение C1.33). В слу-
случае равномерных отсчетов (т. е. в случае, когда вместо C1.32)
рассматривается C1.4)) каждая ц>к — одна из функций C1.4) и из
C1.33) получается классическая формула Котельникова C1.1).
Однако для неравномерных отсчетов C1.33) не имеет простоты
формула C1.1), коэффициенты aih вычисляются довольно громозд-
громоздко (нужно считать определители порядка к) и для приложений,
видимо, удобнее пользоваться формулами из п. 1° — 4°. Для ко-
конечного числа отсчетов пг и а фиксированы, и эти формулы хоро-
хорошо интерполируют даже для неравномерных отсчетов с большими
пропусками (см. разд. 33).
6°. Заметим, что для экстраполяции спектров Фурье финитных
сигналов (множество М — на компакте) нужно знать f(xk) с высо-
высокой точностью (см. разд. 32), а для интерполяции между отсчета-
отсчетами высокая точность f(xh) уже не обязательна (см. разд. 33). Де-
Дело в том, что задача экстраполяции не является корректной,
а лишь условно устойчивой (об этих понятиях см. в [111]). Задача
же интерполяции обычно корректна. Для равномерной сетки Ко-
Котельникова при А < 1/2а это следует из теоремы Картрайт, кото-
которая доказана и для многих случаев неравномерных отсчетов (см.
[116, 115, 117, 119, 154]), но всегда для избыточных множеств
единственности. Обратное неверно: опираясь на пример из работы
[212] можно, как любезно сообщил автору Б. Я. Левин, построить
избыточное множество единственности, для которого рассматривае-
рассматриваемая задача интерполяции некорректна.
7°. Рассмотрим имеющую физический смысл задачу экстраполя-
экстраполяции амплитуды (модуля) спектра Фурье / финитного сигнала.
Пусть cp(z) = /(z)/(z), где в наше случае /(z) и / (z) входят в класс
Я2(<?0), поэтому ср(z)€= Я1 (<?0)П #"(<?„)с Я2(<?„), так как
J | (р \" dx <; max | ФI J I Ф | dx.
На действительном подпространстве Rn функция ц>(х)= \f(x) I2.
Итак, для экстраполяции или интерполяции \f(x) |2 можно исполь-
использовать формулы C0.20), C0.21). Еще более просто это обосновы-
обосновывается, если f(x) действительна, тогда \f(x)\2 =(/(я)J — спектр
автокорреляции исходного сигнала.
Физический смысл имеет и задача экстраполяции фазы (аргу-
(аргумента) спектра Фурье финитного сигнала. Рассматриваемые мето-

214 Гл. 8. «Внешние» приложения
ды можно применять при дополнительном условии In /(z)e H2(Qa);
в частности, спектр не должен иметь нулей в Qa. Тогда arg / =
= Imln/(z) и применимо следствие 30.14.
8°. В связи с проблемами вычислительной томографии [204,
232], при восстановлении пространственной картины землетрясений
[222] и в других прикладных задачах встречается необходимость
обращения преобразования Радона по неполным данным. Этому
вопросу посвящена работа [226], в которой указанное обращение
«ведено к восстановлению спектра Фурье на прямой, если значе-
значения его известны на всей прямой, кроме некоторого интервала
(—р, р), т. е. к задаче интерполяции спектра Фурье. В этом слу-
случае применимы методы этого раздела и можно обойтись более про-
простым вариантом, рассмотренном в п. 1°, т. е. формулой C0.22).
С другой стороны, возможно, что лучше использовать формулу
C1.21), следующим образом выбирая множество отсчетов: Мр =
= {/А}\(—р, р), где / = 0, ±1, ±2, ..., А < 1/2а. Согласно предло-
предложению 31.6 Мр есть такое множество единственности для Wai Для
которого верна формула C1.21). Но можно утверждать большее:
задача интерполяции, в которой рассматриваются f(xh), xheMQ,
корректна при любом р. Пусть на интервале (—р, р) содержится р
точек вида 7'А. Число р нечетно.
Предложение 31.11. Если целая функция конечной степе-
степени f типа =?2яа и для х е Мр верно неравенство If (я) I =ё е, то для
любого ^eR1
\f(x)\<C,e, C1.34)
где
(ptC<31-35)
Доказательство основано на следующей оценке Бернштей-
на (см. [43, с. 448, 607]): пусть М» = {xs}, /==0, ±1, ±2, ..., 0<
< х}+1 — Xj s? l/2afx, где ц > 1 — целое число, тогда
l/WKe/cos^- C1.36)
для х е= Ri. Оценка C1.36) точна хотя бы для некоторых ц. Рас-
Рассмотрим целую функцию
(Р-О/2
П
где число о>0 выбрано так, чтобы 2Л(ро + а)< 1. Тип этой
функции *?2я(ра + а). Согласно C1.36) для leR1
!/(*)!<¦
cos яЛ (pa -f- a)
(P-O/2
JJ sin 2na (x ~ /Д)

31. Интерполяция 215
На множестве Л/ = {-=- + /А|, / = 0, ± 1, ± 2, . . .,±р 0 ¦ ,
справедливо неравенство
(P-D/2
sin2mr(a: —/Д)
^ sin рлстД П sin2 л Act B/ — 1),
поэтому для х е Мр U М
|/(*I< Ь^т •
cos яД (pa + a) sin ряДа JJ sin2 яДа Bk — 1)
h=l
Далее вновь применяем неравенство C1.36) и, учитывая, что
.. (а 2?Аа
л A — 2аА), соэлА(а + ро)^ II
sin /лАст ^ . _"" sin ^- л A — 2осД), / = 1, 3, ..., р,
получаем
I / (x) I =sC - X
BрДо" \р (, 2рАо \ „ 2 д • я A — 2аД)
i I I 1 — 2 I COS ЯСС/\ Sin — —
1 —2аД/ \ 1 —2аДУ 2
X 11 sir „ '-Aк—1) . F1.01)
Знаменатель правой части C1.37) достигает своего максимума при
а=A — 2аД)/2(?+ 1)А. C1.38)
При указанном выборе а из C1.37) получаем неравенство C1.34).
Вычислительный эксперимент, связанный с предложением 31.11
описан в разд. 33.
Укажем без доказательства два многомерных обобщения этого
предложения. Обозначим через М произведение п равномерных
(по отсчетам) множеств вида {/Д} где Д < 1/2а. Пусть iWp =
= М\{х: X] е= (-р, р), ] = 1, ..., п},' М% = М\ U {х: х^{- рг
р), / = 1» 2, ..., к — 1, к + 1, ..., п). В следующем предложении
/ — целая функция конечной степени по каждому переменному типа
=С2яа (т. е. мы для простоты рассматриваем случай ai = ... = а„ =
= а, в общем случае оценки более громоздки).

216 Гл. 9. Вычислительный эксперимент
Предложение 31.12 (Айзенберг — Кравцов—Шаимкулов).
Если для ielj {для х^М%) верно |/(ж)| «? е, то для jeR"
V П sinI"<1J2aA)Bfc-l)
C1.39)
(соответственно
|/(*)|<С?е, C1.40)
где СР задано в C1.35)).
Заметим, что из C1.39) и C1.40) при п = 1 получается
C1.34) и что Ср растет с возрастанием р или А.
В заключение этого раздела упомянем более тонкую оценка
Бернштейпа, чем C1.36) (см. [43, с. 454]). Если взять а из C1.38)
и применить к функции g(x) эту оценку, то вместо C1.34) можно
получить
- 2аД)
,w = ^ Г—— + —L- + . .. + 2jV1,1 I;
( + 1) ( ' М
где Z,w = ^ Г—— + —L- + . .. + 2jV1,1 I; TV - целое число,
не меньшее, чем (р + 1) A — 2аД)-'. Можно дать и многомерные
обобщения C1.41), рассматривая множества Мр или Л/р как в
предложении 31.12.
ГЛАВА 9
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
32. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПЕКТРА ФУРЬЕ
ОДНОМЕРНЫХ ФИНИТНЫХ СИГНАЛОВ.
СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕ
1 . При проведении вычислительного эксперимента по экстра-
экстраполяции спектра Фурье одномерных финитных сигналов использо-
использовалась формула C0.4), в которой о>0 заменено на —о (см. соот-
соответствующее замечание в разд. 30). Все вычисления делались с
двойной точностью. Вначале рассматривалась простейшая функция
f = (x— 2 — 2?)~' из класса Харди Я2 и точки xh из отрезка [0, 1].
Для функций этого класса формула C0.4) (с заменой а на —а)
верна для 0 < о ^ 2. Оказалось, что при а = 1/2, те = 22 функция
/ была аналитически продолжена с хорошей точностью (ошибка
менее 0,1 %) с отрезка @, 1] на отрезок [0, 30].

32. Аналитическое продолжение спектра
217
0,50
Далее взяли более сложную функцию
точки xh — опять из [0, 1], программа оптимизации аналитического
продолжения уравнивающая продолжение, выданное ЭВМ, с точ-
лой формулой^ выдала оптимальные значения те =11, о = 1,12.
Результаты экстраполяции см. на рис. 1, а. Здесь и далее показана
экстраполяция амплитуды функции (спектра), аналогичные ри-
рисунки можно было бы привести и для фазы. Вертикальной чертой
на графике указан тот участок (начинающийся от нуля), на кото-
котором брали точки xh. Далее рассматривался прямоугольный сигнал
(результаты оптимизации те = 14, о = 0,59), треугольный сигнал
(тп =10, о = 0,42), сигнал — кусок синусоиды от 0 до 2л (тп = 10,
о = 0,23). Экстраполяцию спектров этих сигналов см. на рис. 1, б,
1, в и 1, г соответственно. На тех же рисунках показана экстрапо-
экстраполяция (естественно, несколько худшая) тех же спектров при
15 Л. Л. Айзенберг

218 Гл. 9. Вычислительный эксперимент
«среднеоптимальных» параметрах то и а (одинаковых для всех
трех спектров) то = 11, а = 0,41 (сплошная линия — точная функ-
функция, штриховая — оптимальная экстраполяция, длинноштриховая —
среднеоптимальная 'экстраполяция).
Во всех указанных вычислениях значения f(xk) вводились
в ЭВМ с двойной трчностью. Если же вводить их с одинарной точ-
точностью, то. полоса ^астот, на которую удается сделать аналитиче-
аналитическое продолжение, уменьшается в 5—6 раз. Этот факт, а также то,
что в реальных вычислениях тп нельзя брать слишком большим,
объясняется следующей особенностью формулы C0.4): при росте
тп или х слагаемые в C0.4) растут по абсолютной величине (это
обычное свойство интегральных формул Карлемана и их дискрет-
дискретных аналогов, например формулы C0.4)). Если бы j(xh) были вве-
введены в ЭВМ точно и все вычисления были сделаны абсолютно точ-
точно, то чем больше тп, тем на больший отрезок можно было бы ана-
аналитически продолжить f(x). Но в реальных вычислениях на ЭВМ
это невозможно и неточность в f(xk) (а также неточность в под-
подсчете значений дробей в C0.4)) приводит к тому, что слагаемые в
C0.4) перестают друг друга гасить и далее экстраполяция уже не
получается.
Если же вводить значения f(xk) в ЭВМ с большой точностью,
то следует ожидать, что полоса возможной экстраполяции значи-
значительно возрастет.
2°. Рассматриваемый метод аналитического продолжения спект-
спектра может применяться двумя принципиально разными способами:
1) спектр Фурье в хк вычисляется на ЭВМ;
2) спектр Фурье в хк сразу измеряется на физическом приборе.
Данный раздел посвящен только первому способу.
Обычно при вычислении спектра Фурье на ЭВМ непрерывное
преобразование Фурье заменяют дискретным. В нашем случае это
нежелательно. Дело в том, что дискретное преобразование Фурье
хотя и является голоморфной функцией, но не входит в класс Хар-
ди Я2. В частности, оно неинтегрируемо с квадратом (не входит в
класс L2[(—°°, °°)]). И если применять данный метод, то надо
брать очень много точек сигнала, чтобы вычислить J(xk) с очень
большей точностью и этим компенсировать указанный недостаток.
И еще надо иметь в виду, что алгоритм быстрого преобразования
Фурье (БПФ) сходится медленно (см. [89]).
Предполагается вычислять спектр Фурье иначе: ввиду дискре-
дискретизации сигнала применять не дискретное преобразование Фурье,
а заменять дискретный сигнал непрерывным ступенчатым или ло-
ломаным, т. е. сигнал будет или суммой прямоугольных сигналов,
или ломаной линией. От каждого звена такого сигнала спектр
Фурье можно задать точной формулой, а ЭВМ будет поручено
только сложить эти элементарные спектры. Данное сложение мож-
можно сделать, в частности, применив несколько раз БПФ. При не
очень большом числе точек (так обычно и бывает на реальных фи-

32. Аналитическое продолжение спектра
219
0,5-
%0
зических приборах) сложение не
внесет существенной погрешности,
поэтому f(xk) удастся ввести очень
точно.
Задача экстраполяции спектра
Фурье финитного сигнала не явля-
является корректной, но условно устой-
устойчива. Если точные значения f(xh) за-
заменить 1 очными же значениями дру-
другого спектра /i (xk) так, чтобы соот-
соответствующие сигналы g(t) и gi(t)
мало отличались в смысле средних
квадратичных то и ве^ь спектр f\(x)
будет в силу равенства Парсеваля
мало отличаться в смысле средних
квадратичных от спектра f(x). Если
же просто заменять f(xh) какой-то затупленной функцией ](хк) +
+ nh, to ошибка при экстраполяции может стать очень большой.
На рис. 2 показана экстраполяция спектра треугольного сигнала,
представленного как сумма 9 прямоугольных сигналов (ш = 12,
0 = 0,44).
3°. Был проведен вычислительный эксперимент на сверхразре-
сверхразрешимость. Рассматривались два прямоугольных сигнала, на их сум-
суммарном спектре «отрезаны» частоты, начиная с 0,25. Затем (моде-
(моделируя плохую разрешимость прибора из-за узкой полосы пропу-
пропускания частот) сделано обратное преобразование Фурье и показано,
что в этом случае два прямоугольных сигнала сливаются в один
(разрешения нет). После этого полоса частот с помощью формулы
C0.4) была расширена в два раза до 0,50, а затем сделано обрат-
обратное преобразование Фурье, в результате разрешение появилось
(рис. 3).
Для задачи аналитического продолжения спектра Слепян пред-
предложил метод разложения в ряд по системе функций с двойной ор-
ортогональностью — так называемых «волновых вытянутых сферои-
сфероидальных функций» (см. [169, 51, 135, 236, 159]). Однако реального
приложения этот метод не получил, по-видимому, из-за того, что
метод сложен и при его применении было очень трудно (несмотря
на использование современных ЭВМ) справиться с некоррект-
некорректностью задачи (см. [129]). Был проведен лишь вычислительный
эксперимент на сверхразрешение (см. [206]), но «разрешались» не
два реальных сигнала, а две б-функции. Другой (итерационный)
метод предложили Гершберг и Папулис (см. [207, 227]). Формула
C0.4) дает более простое решение задачи аналитического продол-
продолжения спектра, что позволяет надеяться на более успешное приме-
применение метода. И метод Слепяна и рассматриваемый метод являют-
являются аналитическим продолжением в его чистом виде. Ряд методов
15*

220
Гл. 9. Вычислительный эксперимент
8,0-
3,2-
/У
//
\ I
ЧУ
У
. 5.
(в том числе — нелинейные) направлены на регуляризацию данной
задачи, что, естественно, «ограничивает возможности экстраполяции
спектра» ([51, с. 176]), но зато делает эту экстраполяцию более
помехоустойчивой. Вероятно, можно получить хорошие результаты,
если сочетать рассматриваемый метод с регуляризацией.
Обычно предполагают, что большинство физических приборов
работают как свертка (см. [169, 51, 135, 159, 111])
= f f(x)h(y-x)dx,
C2.1)
где f(x)—входной сигнал; F(y)—сигнал, выдаваемый прибором
на выходе; h (x)—отклик прибора на воздействие, описываемое
б-функцией Дирака (h(x) называют импульсной переходной функ-
функцией или аппаратной функцией рассматриваемого прибора).
В различных областях физики и техники возникают задачи,
приводящие к необходимости решения интегрального уравнения
C2.1). Так, в оптике это нужно при попытке исключить влияние
дифракции в телескопе, микроскопе или спектрографе, в радиоаст-
радиоастрономии — при устранении сглаживающего воздействия антенны,
в радиотехнике •— при необходимости восстановления формы вход-
входного импульса по импульсу на выходе фильтра, в антенной техни-

32. Аналитическое продолжение спектра
221
ке — при восстановлении диаграм-
диаграммы направленности по данным
измерений и т. д.
Пусть /((о), F((u) и %(ш) —
преобразовашш Фурье функций
f(x), F(x) и h(х) соответственно.
Тогда из C2.1) следует F(m) —
й, откуда
). C2.2)
Равенство C2.2) позволяет вычис-
вычислить спектр Фурье / там, где
Ъ (и) Ф 0. И возникает задача ана-
аналитического продолжения спектра
/, что позволило бы с помощью Рис. 4.
обратного преобразования Фурье
найти по спектру / (со) входной сигнал f(x).
Для успешной экстраполяции нужно знать f((o) на некотором
участке как можно точнее. Числитель в формуле C2.2) мы можем
вычислить на ЭВМ с любой разумной точностью, поэтому весь во-
вопрос заключается в возможности вычисления знаменателя в C2.2)
с хорошей точностью. Для применения рассматриваемого метода в
физике или технике желательно взять случай, когда передаточная
функция %(ш) (спектр Фурье аппаратной функции) известна точ-
точно (и такие случаи бывают, см. [164]) или с очень хорошей точ-
точностью. Тогда можно надеяться, что действительно удастся расши-
расширить полосу частот, которую «видит» данный прибор.
Упомянем еще один вычислительный эксперимент, моделирую-
моделирующий ситуацию, когда разрешимости нет из-за действия внешней
помехи («паразитной осцилляции»). Вновь входной сигнал—два
прямоугольника аппаратная функция h(x) = ciexp(c2x), где
с\ > О, с2 < 0. Паразитная осцилляция n(t) = A (sin 2яа>1? +
+ sin 2яйJ0. где А = 5 • 10~3, «1 = 0,3125, ю2 = 0,3750. Иначе го-
говоря, в спектре Фурье есть помехи при частотах 0,3125 и 0,3750.
По формуле C0.4) было сделано аналитическое продолжение с не-
зашумленного участка [0, 0,250] на отрезок [0, 0,375], после чего
разрешение появилось (рис. 4). Но еще большего эффекта в этом
случае можно добиться, если использовать не экстраполяцию, а ин-
интерполяцию спектра Фурье.
Сделаем еще следующее замечание: если на интересующем нас
участке (полосе частот) передаточная функция %(<») имеет конеч-
конечное число нулей, то, выбрасывая каждый нуль с некоторой его
окрестностью, мы приходим к задаче уже не экстраполяции, а ин-
интерполяции спектра Фурье, заданного формулой C2.2). Для интер-
интерполяции уже не нужна большая точность / в точках отсчетов (за-
(задача корректна, сравни с разд. 33). Следовательно, в этой ситуа-
ситуации метод должен работать успешно.

222
Гл. 9. Вычислительный эксперимент
0,50
4°. Особенно простой вид формула C0.4) (с заменой о на —о)
принимает в случае, когда точки xh берутся с постоянным шагом
Д. В частности, при экстраполяции на один отсчет получаем при-
приближенную формулу
C2.3)
где мы считаем xi = 0, а
m—l
п
J=0
' — к — m) + km -\- p (/ — m)
j — k — m)+km-\-p (j — k)'
2ai
Разностное соотношение C2.3) можно использовать для экстрапо-
экстраполяции на один отсчет, а затем повторить всю процедуру снова
и т. д При этом нет необходимости вычислять коэффициенты а,
для каждой точки экстраполяции, время работы программы (и так
небольшое) сильно сокращается, а алгоритм экстраполяции по
формуле C2.3) легко реализовать аппаратно. При вычислительном
эксперименте на тех же спектрах, что и выше (см. п. 1°), было от-
отмечено, что способ, заданный формулой C2.3), несколько уступает
в «дальности» экстраполяции, чем непосредственное применение
C0.4). Объясняется это ухудшением при итерациях, по-видимому,
некорректностью задачи аналитического продолжения. Однако
C2.3) можно использовать иначе. Проводя экстраполяцию двумя
способами с помощью формул C0.4) и C2.3) в случае, когда от-
ответ неизвестен, мы можем сравнивать полученные результаты и
пока различие небольшое считать, что имеется хорошая экстрапо-

33. Интерполяция сигналов 223
ляция. В частности, рассматривалась величина
m
/(Am) - 2 в,/((л» — j) A) C2.4)
и сравнивалась с отличием экстраполяции спектров прямоугольно-
прямоугольного сигнала и отрезка синусоиды по формуле C0.4) от точных
спектров (соответственно рис. 5, а, б, где величина C2.4) дана
в увеличенном масштабе). Там, где начинается существенное отли-
отличие- экстраполяции от точного спектра, начинает расти и величина
C2.4). Этот факт позволяет подбирать оптимальные тп и о в от-
отсутствие точной формулы спектра. Их нужно подбирать так, что-
чтобы величина C2.4) не росла как можно дальше от того отрезка,
с которого производится экстраполяция.
33. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ
С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ ФУРЬЕ
Вычислительный эксперимент был проведен с помощью форму-
формулы C0.4) с двумя сигналами с финитным спектром Фурье:
1) спектр — отрезок синусоиды от 0 до 2л,
2) спектр — прямоугольник с носителем на отрезке [3, 5]. Эти
сигналы относятся к классам W2a<+ и Wl6,+ соответственно. Для
вычислений использовалась конечная сумма из C0.4) с тп = 20 и
о=1. Если ранее при вычислительном эксперименте на экстрапо-
экстраполяцию нужно было подбирать оптимальные тп и о (см. разд. 32),
то в данном случае это делать не нужно (задача корректна), хоро-
хорошие результаты пблучились при первых же взятых тп и о. Графи-
Графики разбиты вертикальными линиями на три участка: на первом и
третьем было взято по 10 точек отсчета, нужно восстановить сиг-
сигнал на втором. При введении сигналов в точках отсчета с 7, б, 5, 4
точными знаками восстановленный сигнал на графопостроителе не
отличался от точного. Отличие началось, когда взяли сигнал с 3
точными знаками (т. е. допускался случайный шум, возникающий
при отбрасывании остальных знаков, до 1 %; рис. 6, а, б).
Далее второй интервал был вдвое сокращен (выброшено 4 от-
отсчета вместо 9). Тогда при 3 точных знаках в точках отсчета вос-
восстановленный в выброшенном из шкалы отсчетов интервале сигнал
не отличался на графике от точного. И различие началось только
при 2 точных знаках (шум до 9 %; рис. 7, а, б).
Обсудим теперь вопрос об изменении постоянной СР из форму-
формулы C1.4) (см. также C1.35)), если вместо интервала (—р, р),
содержащего р точек отсчета, взять меньший интервал, содержа-
содержащий q таких точек. Тогда из C1.35) можно получить
2>+lV Р Сч_^г ^(Р+ЛР_Р Ся
п

224
Гл. 9. Вычислительный эксперимент
где при q нечетном
i
A(p,q) =
а при q четном
Q7S
А {Р, q) = si
ft=O
2Р
В разд. 31 из шкалы равномерных отсчетов выбрасывался интер-
интервал (—р, р). Аналогичные оценки нетрудно получить при выбра-
выбрасывании любого интервала. В вычислительном эксперименте рас-
рассматривались интервалы, не симметричные относительно начала

33. Интерполяция сигналов
Рис. 8.
Рис. 9.
координат. В нашем случае р = 9, a q = 4, тогда из C3.1) получаем
для первого сигнала
68С4 < С9 < 422С4 C3.2)
и для второго
50С4 < С9 < 307С4. C3.3)
При указанных вычислениях (с 7, 6, 5, 4, 3 точными знаками
в точках отсчета) постоянная Сд для первого сигнала в среднем
равна 505,04172, для второго — 198,42594. При выбрасывании 4
точек отсчета в проведенном эксперименте (с 3, 2 точными знака-
знаками) постоянная С4 для первого сигнала в среднем равна 2,8674228,
а для второго — 1,3967844. Отношение С9/С4 в первом случае равно
176,1327, во втором — 142,05914, что согласуется с неравенствами
C3.2) и C3.3).
На рис. 7 видны «выбросы» в самом левом и в самом правом
участке рассматриваемого графика, что связано с особенностями
формулы C0.4) и не может служить препятствием для ее приме-
применения, так как эти «выбросы» находятся не там, где сигнал нужно
восстановить, а там, где мы его знаем.
Данный вычислительный эксперимент показывает, что рассмат-
рассматриваемый метод может успешно применяться в тех случаях, когда
необходима интерполяция сигналов с финитным спектром Фурье:
при борьбе с узкополосным шумом в заданной полосе, при необхо-
необходимости обращения преобразования Радона по неполным данным
в вычислительной томограф(ии и в других ситуациях.
Наконец, начался вычислительный эксперимент на интерполя-
интерполяцию двумерных сигналов с финитным спектром. Отметим два слу-
чая^ приведенных соответственно на рис. 8 и 9, где, как и выше,
изображена амплитуда сигнала. В первом — сигнал имеет вид
и2)
2ЯИ 2
е 1 —11 — е

226 Гл. 9. Вычислительный эксперимент
во втором
где ui = 2nixi, U2 = 2nix2. В первом случае рассматривался квад-
квадрат со стороной [0, 0,48], в его углах брались квадраты со сторо-
стороной длины 0,15 и в каждом из них — по 36 точек, в которых сиг-
сигнал считался известным, т. е. мы знали сигнал на 39 % площади.
Во втором случае рассматривался квадрат со стороной [0, 1], а дли-
длина сторон четырех маленьких квадратов была равна 0,1, в каж-
каждом из них рассматривалось 9 точек, в которых сигнал считался
известным, т. е. мы знали сигнал на 4% площади. В точках от-
отсчета сигналы задавались с одинарной точностью, восстановлен-
восстановленные сигналы (в больших квадратах) на графиках не отличались от
точных (ошибка в четвертом знаке).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аграновский М. Л., Айзенберг Л. А. Восстановление голоморфных и плю-
ригармоннческих функций в круговых областях по значениям на торе II
Спб. мат. журн.— 1989.—Т. 30, № 1.—С. 175—177.
2. Айзенберг Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах анали-
аналитических функций двух комплексных переменных II Докл. АН СССР.—
1958.—Т. 120, № 5.-С. 935-938.
3. Айзенберг Л. А. Интегральные представления функций, голоморфных в
кратно-круговых областях /I Докл. АИ СССР.— 1961,—Т. 138, № 1.—С. 9—
12.
4. Айзенберг Л. А. Некоторые граничные свойства аналитических функций
многих комплексных переменных // Исследования по современным проб-
проблемам теории функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1961.—
С. 239-2'И.
5. Айзенберг Л. А. Интегральные представления голоморфных функций двух
комплексных переменных // Докл. III Сибпр. конф. матем. и мех.—
Томску Том. ун-т, 1964.— С. 31—32.
6. Айгенберг Л. А. Интегральные представления голоморфных функций мно-
многих комплексных переменных / Докл. АН СССР.— 1964.— Т. 155, Л« 1.—
С. 9-12.
7. Айзенберг Л. А. Интегральные представления функций, голоморфных в
n-круговых областях // Мат. сб.— 1964.—Т. 65, № 1.—С. 104—143.
8. Айзенберг Л. А. Об одной теореме о границе Шилова для функций мно-
многих комплексных переменных И Учен. зап. МОПИ,—М., 1966.— Т. 166.—-
С. 175-170.
9. Айзенберг Л. А. Линейная выпуклость в Сп и разделение особенностей
голоморфных функций I/ Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. math.—1967.—V. 19,
N 7.— P. 487—493.
10. Айзенберг Л. А. О разложении голоморфных функций многих комплекс-
комплексных переменных на простейшие дроби / Сиб. мат. журн.— 1967.— Т. 8,
Л! 5.-С. 1124-11/12.
11. Айзенберг Л. А. Интегральные представления голоморфных функций мно-
многих комплексных переменных /I Труды Моск. мат. об-ва.— М., 1970.—
Т. 21.—С. 3-26.
12. Айзенберг Л. А. Полиномы, ортогональные голоморфным функциям мно-
многих комплексных переменных и аналог теоремы Риссов // Докл. АН
СССР.— 1971.—Т. 199, № 2.—С. 255—257.
13. Айзенберг Л. А. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифми-
логарифмического вычета и решения систем нелинейных уравнений // Докл. АН
СССР.— 1977.—Т. 234, Л1» 3.—С. 505—508.
14. Айкеиберг Л. А. Многомерный аналог формулы Карлемана / Докл. АН
СССР.— 1984.—Т. 277, № 6.—С. 1289—1291.
15. Айзенберг Л. А. Многомерные аналоги формулы Карлемана с интегриро-
интегрированием по граничным множествам максимальной размерности // Много-
Многомерный комплексный анализ.— Красноярск, 1985.— С. 11—21.— (Сб. на-
упн. трудов/ИФ СО АН СССР).
16. Айзенберг Л. А. Применение многомерных формул Карлемана // Мат.
вестн. (Югослав.).— 1986.—Т. 38.— С. 365—374.

228 Список литературы
17. Айзенберг Л. А. Экстраполяция функций, голоморфных в произведении
полуплоскостей или полос. Аналитическое продолжение спектра II Докл.
АН СССР.— 1986.— Т. 290, № 2.— С. 265—268.
18. Айзенберг Л. А. Множества единственности для классов Винера. Аналог
теоремы Котельникова для неравномерных отсчетов. Обращение преобра-
преобразования Радона по неполным данным.—Красноярск, 1987.— 24 с.— (Пре-
(Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т физики; N° 38М).
19. Айзенберг Л. А. Аналог теоремы Котельникова для неравномерных отсче-
отсчетов. Экстраполяция и интерполяция амплитуды спектра Фурье финитных
сигналов II Докл. АН СССР.— 1988.— Т. 300, № 2.— С. 338—341.
20. Айзенберг Л. А. Мпожества единственности для классов Винера. Аналог
теоремы Котельникова для неравномерных отсчетов. Обращение преобра-
преобразования Радона по пеполиым данным Ц Мат. вестн. (Югослав.).— 1988.—
Т. 4.- С. 175-180.
21. Айзенберг Л. А. О возможности аналитического продолжения в область
функции, заданной на дуге границы этой области. Обобщенная теорема Фо-
Фока — Куни I/ Комплексный анализ и математическая физика.— Красно-
Красноярск, 1988.—С. 5—11.— (Сб. научн. трудов/ИФ СО АН СССР).
22. Айзенберг Л. А. Экстраполяция функций, голоморфных в произведении
полуплоскостей или полос. Аналитическое продолжение спектра // Сиб.
мат. журн.— 1988.—Т. 29, № 4.—С. 3—11.
23. Айзенберг Л. А., Быков В. И., Кытманов А. М., Яблонский Г. С. Определе-
Определение всех стационарных решений химической кинетики с помощью моди-
модифицированного метода исключения. I. Алгоритм. II. Приложеппя / Физи-
Физика горения и взрыва.— 1983.—¦№ 1.— С. 60—73.
24. Айзенберг Л. А., Даутов Ш. А. Голоморфные функции многих комплексных
переменных с неотрицательной действительной частью. Следы голоморф-
голоморфных и плюригармонических функций на границе Шилова // Мат. сб.—
1976.—Т. 99, № 3.—С. 342—355.
25. Айзенберг Л. А., Даутов Ш. А. Дифференциальные формы, ортогональные
голоморфным функциям или формам, и их свойства.— Новосибирск: Нау-
Наука. Сиб. отд-ние, 1975.— 114 с.
26. Айзенберг Л. А., Кравцов Б. А. Вычислительный эксперимент по сверх*
разрешению физических приборов экстраполяцией спектра Фурье одно-
одномерных финитных сигналов / Письма в ЖТФ.—1987,— Т. 13, в. 19.—
С. 1193—1197.
27. Айзенберг Л. А., Кравцов Б. А. Вычислительный эксперимент по аналити-
аналитическому продолжению спектра Фурье одномерных финитных сигпалов.
Сверхразрешение // Автометрия.—1989.—№ 1.—С. 60—64.
28. Айзенберг Л. А., Кравцов Б. А., Шаимкулов Б. А. Об интерполяции сигна-
сигналов с финитным спектром Фурье. Вычислительный эксперимент / Там
же.- № 4.- С. 23-29.
29. Айзенберг Л. А., Назарян Э. О. О многомерном аналоге формулы Карлема-
на с голоморфным, ядром // Изв. вузов. Математика.— 1984.— № 9.— С. 3—5.
30. Айзенберг Л. А., Тарханов Н. Н. Абстрактная формула Карлемана Ц
Докл. АН СССР.— 1988.—Т. 298, № 6.—С. 1292—1296.
31. Айзенберг Л. А., Худайберганов Г. О кратной экстраполяции голоморф-
голоморфных функций от матриц и функций, голоморфных в произведении полу-
полуплоскостей II Изв. вузов. Математика.— 1988.— № 6.—С. 3—10.
32. Айзенберг Л. А., Цих А. К. О применении многомерного логарифмического
вычета к системам нелинейных алгебраических уравнений / Сиб. мат.
журн.—1979.—Т. 20, № 4.—С. 699—707.
33. Айзенберг Л. А., Цих А. К., Южаков А. П. Многомерные вычеты и их
приложения / Итоги науки и техники. Современные проблемы матема-
математики (фундаментальные направления).—М.: ВИНИТИ, 1985.— Т. 8.—
С. 6-64.
34. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в
многомерном комплексном анализе.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние,
1979.— 366 с.
5.

Список литературы 229
35. Александров А. В. Аппроксимация рациональными функциями и аналог
теоремы М. Рисса о сопряженных функциях для пространств i' с ре
<= @, 1) а Мат. сб.— 1978.— Т. 107, № 1.— С. 3—19.
36. Александров А. Б. Существование внутренних функций в шаре II Мат.
сб.-1982.-Т. 118, № 2.-С. 147-163.
37. Александров А. Б. Два аналога теоремы М. Рисса о сопряженных функ-
функциях для пространств Смирнова Ер, 0 < р < 1 // Теория операторов и
теория функций.—Л., 1983.—С. 9—20,— (Сб. научн. трудов/Ленингр. у-нт).
38. Аниконов Ю. Е., Узаков М. М. Оценки устойчивости в многомерных зада-
задачах аналитического продолжения // Неклассические уравнепия математи-
математической физики.— Новосибирск, 1985.— С. 3—7.— (Сб. научи. трудов/ВЦ СО
АН СССР).
39. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн — Заде С. М. Особенности диффе-
дифференцируемых отображений. Т. 2. Монодромия и асимптотика интегралов.—
М.: Наука, 1984,- 336 с.
40. Аронов А. М., Даутов Ш. А. Об одном результате Б. Вайнстока // Неко-
Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных.—
Красноярск, 1973.—С. 193—195.—(Сб. научн. трудов/ИФ СО АН СССР).
41. Банах С. С. Курс функционального анализа.—Киев: Наук, думка, 1948.—
216 с.
42. Беллман Р. Введение в теорию матриц.— М.: Наука, 1969.— 367 с.
43. Бернштейн С. Н. Перенесение свойств тригонометрических полиномов на
целые функции конечной степени // Собр. соч. Т. II.— М.: Изд-во АН
СССР, 1957.— С. 446—467.
44. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных.— М.:
Наука, 1981.— 448 с.
45. Благовещенский А. С. О восстановлении функции по известным интегра-
интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий // Мат. заметки.— 1986.—
Т. 39, № 6.-С. 841-849.
46. Болотов В. А. О восстановлении голоморфных функций по значениям на
некоторых одномерных множествах И Многомерный комплексный ана-
анализ.— Красноярск, 1985.— С. 223—226.— (Сб. паучн. трудов/ИФ СО АН
СССР).
47. Болотов В. А. О восстановлении голоморфных функций многих перемен-
переменных по значениям на некоторых одномерных кривых / Изв. вузов. Ма-
Математика.— 1986.— № 12.— С. 64—67.
48. Бурбаки Н. Спектральная теория.— М.: Мир, 1972.— 184 с.
49. Быков В. И., Кытманов А. М., Лазман М. 3., Яблонский Г. С. Кинетиче-
Кинетический полином для одномаршрутной гс-стадийной каталитической реакции //
Химическая кинетика в катализе.— Черноголовка, 1985.— С. 69—74.— (Сб.
научн. трудов/АН СССР. Ин-т хим. физики).
50. Быков В. И., Кытманов А. М., Лазман М. 3., Яблонский Г. С. Результат си-
системы уравнений квазистационарности для одномаршрутного гс-стадийно-
го механизма // Хим. физика.—1987.—№ П.—С. 1549—1553.
51. Василенко Г. И., Тараторин А. М. Восстановление изображепий.—М.: Ра-
Радио и связь, 1986.— 303 с.
52. Виденский II. В., Гавурин Е. М., Хавин В. П. Аналоги интерполяционной
формулы Карлемана — Голузина — Крылова // Теория операторов и тео-
теория функций.—Л., 1983.—С. 21—32.— (Сб. научн. трудов/Ленинград, у-нт).
53. Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И. О классификации
и канонической реализации комплексных однородных ограниченных обла-
областей I/ Труды Моск. мат. об-ва.—1963.—Т. 12.—С. 359—388.
54. Виноградов С. А., Широков Н. А. Нули аналитических функций с произ-
' водной из Н1 /I Записки паучн. семин. Леницгр. отд. Мат. ин-та АН
СССР.—1972.—№ 30.—С. 154—157.
55. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных пере-
переменных.— М.: Наука, 1964.— 410 с.
56. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1967.—
436 с.

230 Список литературы
57. Владимиров В. С. Голоморфпые фупкцпп с положительной мпимой частью
в трубе будущего. I // Мат. сб.— 1974.—Т. 93.—С. 3—17.
58. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.— М.:
Наука, 1976.—280 с.
59. Владимиров В. С. Функции многих комплексных перемепных в матема-
математической физике II Проблемы математики и механики.— Новосибирск: На-
Наука. Сиб. отд-ние, 1983.— С. 15—32.
60. Владимиров В. С. Произведение Бляшке в «обобщенном» единичном кру-
круге и полная ортонормированная система в трубе будущего / Труды Ма-
тем. ин-та АН СССР.—1984.—Т. 166.—С. 44—51.
6!. Владимиров В. С, Сергеев А. Г. Комплексный анализ в трубе будущего /
Итоги науки п техники. Современные проблемы математики (фундамен-
(фундаментальные направления).—М.: ВИНИТИ. 1985.—Т. 8.—С. 191—266.
62. Ганнинг Р.. Россп X. Аналитические фупкции многих комплексных пе-
переменных.— М.: Мир, 1969.— 396 с.
63. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормирован-
нормированные кольца.— М.: Наука. I960.— 316 с.
64. Гельфонд А. О. Проблема представления п единственности целой аналити-
аналитической функции первого порядка // Успехи мат. наук.— 1937.— № 3.—
С. 144—147.
65. Гиндикпн С. Г. Анализ в однородных областях // Успехи мат. наук.—
1961—Т. 19, № 4.—С. 3—92.
66. Гиндикпп С. Г. Об универсальной интегральной формуле для краткокру-
говых областей в га-морном комплексном пространстве II Спб. мат. жури.—
1966.-Т. 7, № 3.—С. 708-712.
67. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменно-
переменного.— М.: Наука, 1966.— 628 с.
68. Голуяин Г. М., Крылов В. И. Обобщенная формула Cavleman'a и ее при-
приложение к аналитическому продолжению функций // Мат. сб.— 1933.—
Т. 40, № 2.—С. 144—149.
70. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. I.—
М.: Мир. 1982.— 496 с.
71. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов.—
М.: Мпр. 1988.—488 с.
72. Данфорд Н.. Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория.— М.: И.зд-
во иностр. лит., 1962.— 895 с.
73. Даутов Ш. А., Кытманов А. М. О граничных значениях интеграла типа
Мартинелли — Бохнера / Некоторые свойства голоморфных функций мно-
многих комплектных переменных.— Красноярск, 1973.—• С. 49—54.-— (Сб. на-
учн. трудов/ИФ СО АН СССР).
74. Даутов Ш. А., Мкртчян Е. С. Восстаповление функций пз Я1 в поли-
полицилиндре II О голоморфных функциях многих комплексных перемен-
переменных— Красноярск, 1976.— С. 39—'i5.— (Сб. научн. трудов/ИФ СО АН
СССР).
75. Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных.—
М.: Изд-во иностр. лит., 1954.— 167 с.
76. Зиновьев Б. С. О воспроизводящих ядрах для кратно-круговых областей
голоморфности I/ Спб. мат. журп.—1974.—Т. 15. № 1.—С. 35—48.
77. Знаменская Л. II. Обобщение теоремы Ф. и М. Риссов и существование
многомерной формулы Карлемапа Ц Сиб. мат. журн,— 1988.—Т. 29, № 4.—
С. 75—79.
78. Зирмснская Л. Н. Многомерные аналоги теоремы Ф. и М. Риссов и фор-
формулы Карлемана // Изв. вузов. Математика.—1989.—Л» 7.—С. 67—69.
79. Знаменский С. В. Связь аналитических функций многих комплексных пе-
переменных с рядами Дирихле одного переменного // Докл. АН СССР.—
1975.— Т. 223. № 3.—С. 544—547.
80. Знаменский С. В.. Мкртчян Е. С. Определяющие наборы функций.— Крас-
Красноярск, 1979,—18 с— (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-пие. Ип-т физики;
Л» ИМ).

Список литературы 231
81. Иванов В. К., Васин В. В.. Танана В. П. Теория линейных некорректных
.чадач и ее приложения.— М.: Наука, 1978.— 206 с.
82. Игнатьев Н. К. Оптимальная дискретизация двумерных сообщений // Изв.
вузов. Радиотехника.—1961.—№ 6.—С. 684—691.
83. Ишанкулов Т. Об одной задаче аналитического продолжения для функ-
функций двух комплексных переменпых // Некорректные математические за-
задачи и проблемы геофизики.—Новосибирск, 1979.—С. 71—76.—(Сб. науч.
трудов/ВЦ СО АН СССР).
84. Ишанкулов Т. Об одной задаче аналитического продолжения для плюрц-
гармонической функции // Неклассические проблемы математической фи-
лнки.—Новосибирск, 1981.—С. 84—92.—(Со. науч. трудов/ВЦ СО АН
СССР).
85. Ишанкулов Т. О двух задачах аналитического продолжения для функций
многих переменных // Сиб. мат. журн.—1984.— Т. 25, № 3.— С. 89—
91
86. Канторович Л. В., Лкилов Г. П. Функциональный анализ.— М.: Наука,
1977.— 742 с.
87. Кахап Ж.-П. Случайные функциональные ряды.— М.: Мир, 1984.— 366 с.
88. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств.— М.: Мир,
1971.—312 с.
89. Компьютеры в оптических исследованиях.— М.: Мир, 1983.— 486 с.
00. Коренблюм Б. И. О функциях, голоморфных в круге и гладких вплоть до
его границы // Докл. АН СССР.— 1977,—Т. 200, № 1.—С. 24—27.
01. Коробейник Ю. Ф. Об одной задаче аналитического продолжения в С? //
Сиб. мат. журн.— 1988.—Т. 29, № 1.—С. 80—88.
92. Косбергенов С. Обобщение формул Шварца и Пуассона в относительно
полных n-круговых областях / Спи. мат. жури.— 1986.— Т. 27, № 5.—
С. 198.
93. Косбергенов С, Кытманов А. М. Обобщение формул Шварца и Рисса —
Херглотца в областях Рейнхардта / Изв. вузов. Математика.—1984.—
.Y» 10.— С. 60—63.
94. Косбергенов С, Никитина Т. Н. О двух аналогах формулы Пуассона для
функций, голоморфных или плюригармонических в гс-круговых областях /
Изв. вузов. Математика.—1984.—№ 8,—С. 21—23.
95. Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в элект-
электросвязи II Материалы к I Всесоюзи. съезду вопр. техн. рсконстр. связи.—
1933.— (Сб. науч. трудов/Управл. связи РККА).
96. Кравцов Б. А., Миненкова Р. Ф. Реставрация сигналов и сверхразреше-
сверхразрешение.— Красноярск, 1987.— 24 с— (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т
физики; № 467Ф).
97. Красносельский М. А., Забрсйко П. П. Геометрические методы нелинейно-
нелинейного анализа.—М.: Наука, 1975.— 512 с.
98. Крейн М. Г., Лудельман П. Я. О некоторых новых задачах для функций
класса Харди и континуальных семействах функций с двойной ортого-
ортогональностью // Докл. АН СССР.- 1973.- Т. 209, № 3.— С. 537-540.
99. Крейн М. Г., Нуделыиан П. Я. Аппроксимация функций из L2(<»u w2) пе-
передаточными функциями линейных систем с минимальной энергией /
Пробл. передачи информ.— 1975.—Т. И, № 2.—С. 37—60.
100. Кусис П. Введение в теорию пространств №>.— М.: Мир, 1984.— 366 с.
101. Кытманов А. М. Об одной системе алгебраических уравнепий, возникшей
в химической кинетике / Многомерный комплексный анализ.— Красно-
Красноярск, 1985.—С. 97—108.— (Сб. науч. трудов/ИФ СО АН СССР).
102. Кыт.манов А. М. О формуле преобразования вычета Гротендцка и неко-
некоторых ее приложениях // Сиб. мат. журн.— 1988.— Т. 29, № 3.— С. 198—
202.
103. Кытманов А. М., Никитина Т. Н. О множествах единственности для плю-
плюригармонических функций II Многомерпый комплексный анализ.— Крас-
Красноярск, 1985.-С. 235-238-(Сб. науч. трудов/ИФ СО АН СССР).

232 _ Список литературы
104. Кытманов А. М., Никитина Т. И. О грапичных множествах единственно-
единственности для плюригармонических функций II Изв. вузов. Математика —
1988.-№ 1.-С. 25-28.
105. Кытманов А. М., Никитина Т. Н. Аналоги формулы Карлемана для клас-
классических областей / Мат. заметки.— 1989.—
106. Лаврентьев М. М. К вопросу об обратной задаче потенциала // Докл. АН
СССР.— 1956.— Т. 106, № 3.— С. 389—390.
107. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа II Изв. АН
СССР. Сер. мат.—1956.—Т. 20.—С. 819—842.
108. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравне-
уравнений второго порядка // Докл. АН СССР.—1957.—Т. 112, № 2.—С. 195—
109. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической фи-
физики.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1962.— 92 с.
110. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных
уравнений.— Новосибирск: Новосибирск, ун-т, 1973,— 72 с.
111. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шншатский С. П. Некорректные задачи
математической физики и анализа.—М.: Наука, 1980.—286 с.
112. Лаврентьев М. М. Некоторые вопросы аналитического продолжения с
внутренних множеств // Сиб. мат. журн.— 1983.—Т. 24, № 5.—С. 123—128.
113. Ландис Е. М. О некоторых свойствах решений эллиптических уравне-
уравнений II Докл. АН СССР.— 1956.- Т. 107, № 5.- С. 640—643.
114. Ланкастер П. Теория матриц.—М.: Наука, 1978.—280 с.
115. Левин Б. Я. О функциях конечной степени, ограниченных на последова-
последовательности точек II Докл. АН СССР,— 1949.— Т. 65, № 3.— С. 2С5—268.
116. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.— М.: Гостехиздат,
1956.— 632 с.
117. Левин Б. Я. Обобщение теоремы Картрайт о целой функции конечной
степени, ограниченной на последовательности точек Ц Изв. АН СССР.
Сер. мат.— 1957.— Т. 21, № 4,— С. 549—558.
118. Лере Ж. Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном
аналитическом многообразии,— М.: Изд-во иностр. лит., 1961.— 140 с.
119. Логвиненко В. Н. Теоремы М. Картрайт и вещественные множества един-
ствепности для целых функций многих комплексных переменных // Тео-
Теория функ., функ. анализ и их прплож.— 1957.-—№ 22.— С. 85—100.
120. Логвиненко В. Н. Условия ограниченности и условия медленного роста
вдоль вещественной гиперплоскости целых функций экспоненциального
типа / Сиб. мат. жури,— 1988.— Т. 29, № 1.— С. 126—138.
121. Матвиенко А. II. Об аналитическом продолжении образов Фурье финит-
финитных функций I/ Вестн. МГУ. Сер. 15, Вычисл. математика и кибернети-
кибернетика.— 1988.—№ 2.—С. 8—15.
122. Милнор Д. Особые точки комплексных гиперповерхностей.— М.: Мир,
1972.— 127 с.
123. Мкртчян Е. С. Восстановление голоморфных функций по значениям на
некоторых множествах единственности / Некоторые вопросы многомерно-
многомерного комплексного анализа.—Красноярск, 1980.—С. 95—114.—(Сб. научи.
трудов/ИФ СО АН СССР).
124. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Физ-
матгиз, 1962.— 600 с.
125. Мухамеджанов А. М., Ярмухамедов Р., Ярмухамедов III. Оо аналитическом
продолжении сечений реакций / Теорет. и мат. физика.— 1988,— Т. 74,
ЛЬ 2.— С. 270—280.
126. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции.—М.: Гостехиздат,
1941.—388 с.
127. Никитина Т. Н. Об одной некорректной задаче в многомерном комплекс-
комплексном анализе Ц Изв. вузов. Математика.— 1984.— К& 6.— С. 43—46.
128. Никольский II. К. Лекции об операторе сдвига.— М.: Наука, 1980.— 384 с.
129. Обработка изображений при помощи цифровых вычислительных машин:
Сб. переводов.— М.: Мнр, 1973.— 204 с.

Список литературы 233
130. Одвирко-Будко Б. И. Об оценках условий устойчивости в задаче аналити-
аналитического продолжения с подобласти регулярности II Изв. вузов Матема-
Математика.—1986.—№ 12.—С. 67—69.
131. Павлоцкий И. П. Обобщение теоремы Фока —Куни «о введении гасящей
функции в дисперсионные соотношения» II Вестн. МГУ. Сер. физики аст-
астрономия.—I960.—№ 3.—С. 10—12.
132. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике.— М.: Мир, 1971.—
496 с.
133. Пинчук С. И. Граничная теорема единственности для голоморфных функ-
функций нескольких комплексных переменпых II Мат. заметки.—1974 — Т 15
№ 2.-С. 205-212.
134. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций.— М.: Гостех-
издат, 1950.— 336 с.
135. Прэтт У. Цифровая обработка изображепий. Кн. 2.— М.: Мир, 1982.—
792 с.
136. Ронкин Л. И. Введение в теорию целых функций многих переменных.—
М.: Наука, 1971.-430 с.
137. Ронкин Л. И. Элементы теории аналитических функций многих перемен-
переменных.—Киев: Наук, думка. 1977.—168 с.
138. Рудин У. Теория функций в поликруге.— М.: Мир, 1974.— 160 с.
139. Рудин У. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1975.— 445 с.
140. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С".— М.: Мир, 1984.—
456 с.
141. Садуллаев А. Граничная теорема единственности в С / Мат. сб.— 1976.—
Т. 101, № 4.—С. 568—583.
142. Садуллаев А. Плюрисубгармопические функции / Итоги науки и техни-
техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления).—
М.: ВИНИТИ, 1985.—Т. 8.—С. 65—114.
143. Седлецкий А. М. О полноте и пеминимальпости систем экспонент в
Lp(— я, я) // Спб. мат. журн.— 1988.—Т. 29, № 1.—С. 159—170.
144. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория фупкций комплекс-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1964.— ^38 с.
145. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функ-
функций.—М,: Мир, 1973.—342 с.
146. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых прост-
пространствах.— М.: Мир, 1974.— 332 с.
147. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т. 2.— М.: Изд-во
иностр. лит., 1962.— 416 с.
148. Тарханов Н. Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем / Докл.
АН СССР— 1985.— Т. 284, № 2.— С. 294—297.
149. Тарханов Н. Н. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплек-
комплексов.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989.— 200 с.
150. Тарханов Н. И. Ряд Лорана для решения эллиптических систем,— Новоси-
Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.—300 с.
151. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных
переменных / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1957.— Т. 21.— С. 89—92,
152. Темляков А. А. Интегральные представления функций двух комплексных
переменных // Докл. АН СССР.- 1958- Т. 120, № 5.- С. 976-979.
153. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач,—
М.: Наука, 1979.— 288 с.
154. Трибель X. Теория функциональных пространств.— М.: Мир, 1986.—448 с.
155. Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функция-
функциями в комплексной области.—М.: Изд-во иностр. лит., 1961.— 508 с.
156 Фок В. А Куни Ф. М. О введении «гасящей» функции в дисперсионные
соотношения //Докл. АН СССР.—1959.-Т. 127. № 6.-С. 1195-1198.
157. Фукс В. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплекс-
ных переменных.—М.: Наука, 1962,—419 с.
158. Фукс Б. А. Специальные главы теории аналитических функции многих
комплексных переменных.—М.: Наука, 1963.—427 с.
16 л. А. Айзенберг

234 Список литературы
159. Функции с двойной ортогопальностью.— М.: Сов. радио, 1971,— 276 с.
160. Хейфиц А. И. Характеристика пулей некоторых специальных классов це-
целых функций конечной степени II Теория функ., функ. анализ и их прн-
лож.- 1969.-№ 9.-С. 3-13.
161. Хенкин Г. М. Банаховы пространства аналитических функций в шаре и в
бицилиндре неизоморфны // Функцион. анализ —1968.— Т. 2, № 4.—
С. 82—91.
162. Хенкин Г. М. Интегральное представление функций, голоморфных в стро-
строго псевдовыпуклых областях и некоторые приложения II Мат. сб.— 1969.—
Т. 78, № 4,—С. 611—632.
163. Хенкин Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном ана-
анализе II Итоги науки и техники. Современные проблемы математики
(фундаментальные направления).—М.: ВИНИТИ, 1985.—Т. 7.—С. 23—
124.
164. Хенкин Г. М., Чирка Е. М. Грапичные свойства голоморфных функций не-
нескольких комплексных переменных // Итоги науки и техники. Современ-
Современные проблемы математики (фундаментальные направления).—М.:
ВИНИТИ, 1975.— Т. 4.- С. 13—142.
165. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких переменных.— М.:
Мир, 1968.— 279 с.
166. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частны-
частными производными. Т. I.— M.: Мир, 1986.— 462 с.
167. Хуа Локен. Гармонический анализ функций многих комплексных пере-
переменных.— М.: И.зд-во иност. лит., 1959.— 163 с.
168. Худайберганов Г. Формула Карлемана для функций от матриц / Сиб.
мат. журп.— 1988.—Т. 29. № 1.—С. 207—208.
169. Хургии Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике.—
М.: Наука, 1971.—408 с.
470. Хурумов Ю. В. Существование предельных значений и граничная тео-
теорема единственности для функций, мероморфных в клине в С".— Красно-
Красноярск, 1982.— 20 с— (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т физики;
№ 20М).
171. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения.— Новосибирск: Наука.
Сиб. отд-ние, 1988.— 240 с.
172. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел.— М.: Мир,
1974.— 187 с.
173. Чирка Е, М. Комплексные аналитические множества.— М.: Наука, 1985.—
272 с.
174. Шабат "В. В. Введение в комплексный анализ,— М.: Наука, 1976.— Ч. I.—
320 с.
175. Шабат Б. В. Распределение значений голоморфных отображений.— М.:
Наука, 1982.—288 с.
176. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ.— М.: Наука, 1985.— Ч. П.—
464 с.
177. Шаимкулов Б. А. Восстановление голоморфных функций по их значе-
значениям на некоторых множествах единственности // Докл. АН УзССР.—
1988.—№ 8.—С.
178. Шаимкулов Б. А. О критерии разрешимости некорректной задачи Коши
для голоморфных функций II Тезисы докл. Всесоюзн. конф. по геометр,
теории функций.— Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.—
С. 109.
179. Шейнов В. П. Распространение формулы Голузина — Крылова на случаи
двух комплексных переменных Ц Учен. зап. МОПИ.—М., 1962.—Т. 110.—•
С. 133—140.
180. Южаков А. П. О логарифмическом вычете / Некоторые свойства голо-
голоморфных функций многих комплексных переменных.— Красноярск, 1973.—¦
С. 181—191.- (Сб. научн. трудов/ИФ СО АН СССР).
181. Южаков А. П. Элементы теории мпогомерных вычетов.—Красноярск: Кра-
снояр. ун-т, 1975.— 182 с.

Список литературы 235
182. Южаков А. П., Кривоколеско В. П. Некоторые свойства линейно-выпук-
линейно-выпуклых областей с гладкими границами вС" // Сиб. мат. журн.— 1971.— Т. 12,.
№ 2.— С. 452—458.
183. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа / Мат. замет-
заметки.- 1975.-Т. 18, № 1.-С 57-61.
184 Ярмухамедов Ш. О задаче Кошп для уравнения Лапласа // Докл. АН
СССР.— 1977.-Т. 235, № 2.—С. 281-283.
185 Ярмухамедов Ш. Интегральная формула Мартинелли — Бохнера и прин-
принцип Фрагмена — Линделефа // Докл. АН СССР.—1978.—Т. 243, № 6 —
С. 1414—1417.
186. Ярмухамедов Ш. Об аналитическом продолжении голоморфного вектора
по его граничным значениям на куске границы // Изв. АН УзССР. Сер.
физ.мат.— 1980.— № 6.— С. 34—40.
187. Ярославский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений.— М.:
Сов. радио, 1979.—312 с.
188. Aizenberg L. A., Bykov V. I., Kytmanov A. M., Yablonskii G. S. Search for
steady-states of chemical kinetic equations with the modified method of eli-
elimination. I. Algorithm. II. Application / Chem. Eng. Sci.—1983.—V. 38,
N 9.— P. 1555—1567.
189. Alexiewiez A., Semadeni Z. Linear functional on two-norm spaces / Studia
math.- 1958.-V. 17, N 2 —P. 121—140.
190 Andreotti A., Norguet F. Probleme de Levi pour les cla'sses de cohomologic /
' С. г. Acad. Sci.- 1964.-V. 258- P. 778-781.
191. Baouendi M. S., Treves F. A property of the functions and distributions anni-
annihilated by a locally integrable system of complex vector fields / Ann. of
Math.— 19S1.—V. 113, N 2.- P. 387-421
192. Baouendi M. S., Treves F. About the holomorphic extension of CR-functions
on real hypersurfaces in complex spaces // Duke math. J.—1984.— V. 51,
N 1.—P. 77—107.
193. Bergman S. Ober die ausgezeiclineton Randfliichen in der Theorie der Funk-
tionen von zwei komplexer Veranderlichen // Math. Ann.—1931.— Bd 104.—
S. 611—636.
194. Bergman S. t)ber eine Integraldarstellung von Funktionen von zwei Koraple-
xen Veranderlichen / Мат. сб.— 1936.— Т. I.— С. 242—257.
195. Bergman S. The kernel function and conformal mapping.— New York: Amer.
Math. Soc, 1950.— 161 p.
196. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's for-
formula I/ Ann. Math.— 1943.— V. 44.— P. 652—673.
197. Bungart L. Boundary kernel functions for domains on complex manifolds /
Pacif. J. Math.— 1964.—V. 14, N 4.— P. 1151—1164.
198. Bungart L. Holomorphic functions with values in locally convex spaces and
applications to integral formulas / Trans. Amer. Math. Soc—1964.—V. Ill,
N 2.— P. 317-344.
199. Carleman T. Les fonctions qussianalytiques,— Paris, 1926.— 116 p.
200. Carleson L. Sets of uniquenness for function regular in the circule / Acta
Math.— 1952.- V. 87.— P. 325-3'i5.
201. Coifman R., David G., Meyer Y. La solution des conjectures de Calderon /
Adv. Math.— 1983.— V. 48, N 2.— P. 144—148.
202. Coifman R., Mclntosh A., Meyer Y. L'integrale de Cauchy definit un opera-
teur borne sur L2 pour les courbes lipschitziennes // Ann. Math.— 1982.—
V. 116, N 2.- P. 361-387.
203. David G. Operateurs integraux singuliers sur certaines courbes du plan com-
plexe / Ann. Sci. Ec. norm. Super.—1984.—V. 17, N 1.—P. 157—189.
204. Davison M. E., Grunbaum F. A. Tomographic reconstruction with arbitrary
directions / Comm. Pure Appl. Math.—1982.—V. 34.—P. 77—119.
205. Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial
differential equations / Comm. Pure Appl. Math.— 1955.— V. 8.— P. 503—538.
206. Friedcn B. R. Band-unlimited reconstruction of optical objects and spectra II
J. Opt, Soc. Amer.— 1967.— V. 57.— P. 1013—1019.
16*

236 Список литературы
207 Gershberg R. W. Superresolution through error energy reduction // Optica
Acta.— 1974.— V. 21, N 9.— P. 709—720.
208 Gleason A. M. The abstract theorem of Cauchy — Weil / Pacific J. Math.—
" 1962,— V. 12, N 2.— P. 511—525.
209. Gleason A. M. The Cauchy — Weil theorem // J. Math. Mech.— 1963.— V. 12.—
P. 429—444.
210. Gonchar A. A. On analytic continuation from the "edge of wedge" // Ann.
Acad. Sci. Finnical. Ser. AI: Mathem —1985.—V. 10.—P. 221—225.
211. Henkin G. M., Leiterer J. Theory of Functions on Complex Manifolds.—Ber-
Manifolds.—Berlin: Akademie-Verlag, 1984.—226 p.
212. Koosis P. Functions de type exponentiel. presque bornees et de croissance
irreguliere sur Гахе гёсе / С. г. Acad. Sci. Ser. A.—1977.—V. 285, N 5.—
P. 345-346.
213. Koppelman W. The Cauchy integral for functions of several complex va-
variables И Bull. Amer. Math. Soc— 1967.— V. 73, N 3.— P. 373—377.
214. Leeuw de K. Functions on circular subsets of the space of n complex variab-
variables // Duke Math. J.— 1957.— V. 24, N 3.— P. 415—431.
215. Levinson N. Cap. and density theorems.— New York: Amer. Math. Soc, 1940.
216. Macaulay F. S. Algebraic Theory of Modular Systems.— Cambridge, 1916.
217. Martinelli E. Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di piu va-
riabili complesse // Mem. r. Acad. Ital.— 1938.— V. 9.— P. 269—283.
218. Martinelli E. Contributi alia teoria dei residui per le funzioni di due variabili
complesse // Ann. mat. pura ed. appl.— 1955.— V. 39, N 4.— P. 335—343.
219. Martinelli E. Sopra una formula di Andreotti-Norguet / Boll, unione math,
ital.— 1975.- V. 11, N 3.- P. 455-457.
220. Mitchell J. The kernel function in the geometry of matrices / Duke Math. J.—
1952.— V. 19.- P. 575-584.
221. Mitchell J. Remarks of Cauchy's integral formula in matric spaces / Proc.
Amer. Math. Soc— I960.—V. 11.—P. 299—301
222. Natterer F. Some ill-posed problems arising in connection with Radon's
integral equation Ц Publ. Instit. analis. appl.— 1983.— N 8.— P. 21—39.
223. Norguet F. Representations integrates des fonctions de plusieurs varisbles
complexes // С r. Acad. Sci.—I960.—V. 250, N 10.—P. 1780—1782.
224. Norguet F. Problemes sur les formes differentielles et les courants // Ann.
Inst. Fourier.— 1961.— V. 11.— P. 1—82.
225. Norguet F. Introduction aux fonctions de plusieurs variables complexes rep-
representations integrales // Lect. Not. Math.—1974.—V. 409.—P. 1—97.
226. Palamodov V., Denisijuk A. Inversion de transformation de Radon d'apres
les donnee in completes / С r. Acad. Sci. Ser. A.— 1988.— V. 307.— P. 181—
183.
227. Papoulis A. A new algoritm in spectrum analysis and bandlimited extrapola-
extrapolation I/ IEEE Trans.— 1975.— V. CAS-22.— P. 735—742.
228. Patil D. I. Representation of №>-functions И Bull. Amer. Math. Soc— 1972.—
V. 78, N 4.— P. 617—620.
229. Patil D. I. Recapturing #2-function on a polydisc / Trans. Amer. Math. Soc—
1974,— V. 188.— P. 97—103.
230. Ramires de Arellano E. Ein Divisionsproblem and Randintegraldarstellungen
in der komplexen Analysis /I Math. Ann.— 1970.— Bd 184, N 3.— S. 172—187.
231. Roos G. L'integrale de Cauchy daus Cn / Lect. Not. Math.— 1971— V. 409.—
P. 176—195.
232. Ruff L. T. Tomographic imaging of the larthquake rupture process // Geo-
phys. res. letters,—1984.—V. 11, N 7.—P. 629—632.
233. Schulze В., Wieldenhain G. Metoden der Potentialtheorie fur elliptische Dif-
ferentialgleichungen bebiebiger Ordnung.— Berlin: Academie-Verlag, 1977.—
408 s.
234. Segre B. Sull'estensione formula di Cauchy e sui residui degli integrali re-pli
nella teoria della funzioni di /г-variabili complesse Ц Atti Congres. Union,
matem. ital.— Bologna, 1938.— P. 174—180.

Список литературы 237
235. Severi F. Funzioni analitiche e forme differenziali // Atti Congres. Union.
matem. ital.— Roma, 1953.— P. 125—140.
236. Slepian D. Prolate spheroidae wave functions, Fourier analysis and uncer-
uncertainty. IV. Extention to many dimensions; generalized prolate s'pheroidal
functions // Bell. Syst. Techn. J.— 1964.— V. 43, N 6.— P. 3009—3057.
237. Stein E. M. Boundary behaviour of holomorphic function of several complex
variables.— Princeton: Princ. Univ. Press, 1972.— 72 p.
238. Steiner A. Zum Mechanismus der Quasianalytizitat gewisser Randfunktionen
auf endlichen Intervallen // Ann. Acad. Sci. Finnicae. Ser. AI: Mathem.—
1970.— V. 459, N 1- S. 1—33.
239. Steiner A. Abschnitte von Randfunktionen beschrankter analytischer Funk-
tionen I/ Lect. Notes Math.— 1974.— V. 419.— P. 342—351.
240. Weil A. L'integrale Cauchy et les fonctions de plusieurs variables I/ Math.
Ann.— 1935.— Bd 111.— S. 178—182.
241. Weinstock В. М. Continious boundary values of analitic function of several
complex variables // Proc. Amer. Math. Soc— 1969.— V. 21, N 2,— P. 463—466.
242. Youla D. C. Image restoration by the method of convex projections / IEEE
Trans.— 1982.— V. Ml-1, N 2.— P. 81—95.
243. Young L. С On D. I. Patil's remarkable generalization of Cauchy formula /
Lond. Math. Soc. Lect, Note Ser.—1974.—V. 12.—P. 137—138.
244. Zin G. Esistenza e reppresentazione di funzioni analitiche, le quali, su una
curva di Jordan, si riducono a una funzione assegnata Ц Ann. Mat. pura ed
appl.— 1953.- V. 34.— P. 365—405.

ПРИМЕЧАНИЯ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Теорема 0.7 — частным случай результата Садуллаева Г141]. Предложе-
Предложение 0.8 в более сильной формулировке (условия 1) и 2) необходимы и доста-
достаточны для /е//р(О)) отмечалось для w-круговых областей автором [2].
ГЛАВА 1
1. Теорема 1.1 принадлежит Голузпну п Крылову [68]. В этой же работе
содержались примеры 1—4. Пример 5 взят из работы Карлемана [199]. Фор-
Формула A.9) привела к названию «формулы Карлемана». Пример 6 был в
статье Фока и Кунп [156]. Патил [228], не зная о работах Карлемана и Го-
лузпна — Крылова, вповь открыл формулу A.3), но доказал больше, чем бы-
было в [68], а именно: получил теорему 1.3. В [243] опубликован восторженный
комментарий к работе [228], но не упоминаются ни статьи [199, 68], ни книга
Привалова [134], в которой приведена теорема Голузина — Крылова 1.1. За-
Заключительное замечание этого раздела о возможности обобщения результата
Патила (теорема 1.11) принадлежит автору.
2. Идея получения формул Карлемана, изложенная в данном разделе,,
и понятие функции Карлемапа принадлежат Лаврентьеву [107, 109—111], а за-
замечание о том, что этим методом можно получить теорему 2.1,— автору.
3. Метод отыскания формул Карлемана, использующий однородность об-
области D cz С", придумал Кытманов (см., например, [105]).
4. Теорема 4.2 доказана Кытмановым и Никитиной, а теоремы 4.3 и 4.4 —
автором.
5. Теоремы 5.3 п 5.4 взяты из статьи Кытманова н Никитиной, пример 1
принадлежит Крепну и Нудельману [98, 99].
ГЛАВА 2
6. Теорема 6.1 получена автором.
7. Теорема 7.1 принадлежит Худайбергапову [168], а теорема 7.5 — Елпну.
8. Результаты этого раздела найдены Тархановым и автором [30], кроме
предложения 8.3, примеров 6 и 7, которые принадлежат Красиковой и Ху-
румову.
9. Данный раздел написан на основе работы Виденского — Гавуривой —
Хавана [52].
ГЛАВА 3
10. Формулу A0.1) вывели Мартинелли [217] п Бохнер [196] независимо
друг от друга и разными методами. Понятие индекса поверхности относительно
точки принадлежит Пуанкаре. Динамическое определение кратности нуля
встречалось в работах Сегре [234], Севери [235], Мартппелли [218]. В основ-
пом мы здесь следуем монографиям [122, 176], однако при выводе свойств
кратности нуля и доказательстве дискретности компактного множества нулей
голоморфного отображения пе опираемся на локальную теорию аналитических

Примечания 239
функций (Южаков). Теорема 10.7 (принцип Руше) является частным случаем
теоремы Пуанкаре — Боля (см. [97, с. 14]). Формула A0.15) выведена Южако-
вым [181, 180] и Русом [231]. П. 2 написан А. П. Южаковым [34] и поме-
помещается здесь с его согласия. Обзор новых результатов о многомерном лога-
логарифмическом вычете см. [33, гл. 2].
11. Формула Коши — Фантаппье A1.11) получена Лере [118] (см. также
[6, И, 162, 213]). Формула Лере — Коппельмана A1.10) отмечалась Русом [231],
однако фактически содержалась еще в работе Коппельмана [213]. Формула
A1.10) тоже принадлежит Русу [181]. Формула A1.3), обобщающая формулу
Лере — Коппельмана A1.10), выписана в работе [13]. Предложения 11.8, 11.9
и 11.12 взяты из статен автора [6, 11]. Теорема 11.10 и следствие 11.11 полу-
чепы Даутовым [34]. Формула A1.23) для выпуклых областей принадлежит
Лере [118], она была распространена на регулярные линейно-выпуклые об-
области автором [9, 10]. Формула Бохнера A1.26) отмечалась в работе [196].
12. Интегральное представление для функций, голоморфных в аналитиче-
аналитическом полиэдре весьма общего вида, было опубликовано в ряде статей Берг-
Бергмана (см., например, [194]). Формула A2.3) принадлежит Вейлю [240], а идея
приведенного доказательства — Норге [223, 224]. Теорема 12.7 сформулирована
Хенкиным [161, 162], близкий результат независимо, но несколько позднее
получен Рамирезом де Ареллано [230]. Формула A2.14) в неявном виде со-
содержалась в статье Леу [214]. Точнее, там говорилось о существовании такой
формулы, но ее ядра не были выписаны. Это было сделано при п = 2 и неко-
некоторых условиях на границу 0D (обеспечивающих однозначный выбор Д(&))
автором [7], а затем для любого п и без всяких условий на границу дЪ —
Гиндикиным [66]. Он же выяснил, что имеется задача интегральной геомет-
геометрии, приводящая к формуле A2.4). Нужно восстановить функцию на п-мерном
торе, если известны ее интегралы по замкнутым вполне геодезическим гипер-
гиперповерхностям на отом торе. Эта задача так же связана с рядами Фурье, как
известная задача Радона — с интегралами Фурье. Обзор новых результатов
об интегральных представлениях голоморфных функций многих комплексных
переменных и их приложениях см. в статье Хенкина [163].
13. Формула Андреотти — Норге A3.1) опубликована в [190, 225] (см.
также [219]), она имеет важные применения в теории -g-псевдовыпуклых об-
областей. Приведенное доказательство, формулы A3.3), A3.5), задача в п. 2°
и случаи 1—4 принадлежат автору [13]. Теоремы 13.5 и 13.6 доказаны Кыт-
мановым, следствия 13,7 и 13,8 — автором [13], предложение 13.9 — Цихом,
а теорема 13.10 — Косбергеновым.
14. Понятие границы Бергмана, кернфункции Бергмана (при h = 1) встре-
встречалось в ряде работ Бергмана (о границе Бергмана см., например, [193]). По-
Понятие кольцевой границы было введено Шиловым (см., например, [63]), он же
доказал существование и единственность этой границы для пространства мак-
максимальных идеалов нормированного кольца. Теорема 14.1, следствие 14.2 и
пример области голоморфности, для которой границы Шилова и Бергмана име-
имеют разную размерность, принадлежат автору (см. [158, § 15, 16; 8]). Теоре-
Теоремы 14.6 и 14.7 сформулировал Бангарт [197, 198], 14.8 — автор [7, 3], теоре-
теорему 14.9 — Глисон [208]. Очень общие результаты о существовании интеграль-
интегральных представлений см. в работе Глисона [209]. Наконец, теорема 14.10 отме-
отмечалась автором [34].
15. Доказательства этого параграфа изложены исходя пз работы Мпт-
чел [221, 220], а сами интегральные представления функции, голоморфных в
классических областях, принадлежат (за исключением некоторых частных
случаев, например, для шара) Хуа Локену [167].
ГЛАВА 4
16. Лемма 16.1 независимо отмечалась Гриффитсом — Харрисом [70] и
Кытмаповым (см. [34, с. 262—263]), теоремы 16.2, 16.4 и 16.5 принадлежат ав-
автору [14, 15], теорема 16.3 — Садуллаеву [141]. Теорема 16.6 получена Ярмуха-

240 Примечания
медовым [185], а теорема 16.7 — Шейновым [179]. Формулы A6.17) и A6.8)
найдены Темляковым [151, 152].
17. Предложения 17.1, 17.2 и 17.4 доказаны Даутовым (см. [25, гл. 3)],
следствие 17.9 вытекает из результата Тарханова и автора [30], остальные
результаты этого параграфа принадлежат автору .[15, 12, 25].
18. Теорема 18.1 предложена автором.
19. Результаты отого параграфа принадлежат Косбергенову.
ГЛАВА 5
20. Теорема 20.4 доказана Даутовым и Мкртчяном [74], а теорема 20.5 —
Пшанкуловым [84, 85]; предложения 20.6, 20.9 принадлежат Аграновскому
и автору [1], а предложение 20.10 — Мкртчяну [123]. Результаты п. 4° взяты
из работы Назаряна и автора [29].
21. Теорема 21.1 принадлежит Знаменскому [80], а теорема 21.4 —Бо-
—Болотову [47].
22. Теорема 22.1, 22.2, примеры 1, 3 найдены Кытыановым и Никитиной
[104], пример 2, предложения 22.3 и 22.4 — Ишанкуловым [85]. Предложения
22.5 и 22.6 отмечались Аграновским и автором [1].
23. Результаты этого раздела принадлежат Знаменской [78, 79].
ГЛАВА 6
24. Результаты этого раздела принадлежат Кытманову и Никитиной [105].
25. Формулы B5.1) и B5.2) найдены Кытмановым.
26. Утверждения этого раздела получены Кытмановым и Никитиной.
ГЛАВА 7
27. Предложение 27.1 доказано Вайнстоком [241] для случая, когда 3D
удовлетворяет большим требованиям, чем гладкость, например, если D — об-
область Ляпунова. А в приведенной формулировке оно принадлежит Аронову
и Даутову [40]. Предложение 27.2 взято из обзора Хенкина и Чирки [164].
Предложение 27.3, теоремы 27.7, 27.8, 27.9 и 27.10 принадлежат Тарханову,
а теорема 27.11 — Шаимкулову [178]. Предложение 27.12 также получено
Шаимкуловым, оно усиливает результат Даутова и Кытманова [73]. Знамен-
Знаменская распространила результаты Тарханова на подмножества границы Шилова
круговых сильно звездных областей (теорема 27.14). Теорема 27.16 принадле-
принадлежит Патилу [228], а теорема 27.17 сформулирована автором. Теорема 27.18,
по существу, содержалась в работе Фока — Куни [156], нужно было только
освободиться от лишних ограничений. Теорема 27.20 (обобщенная теорема Фо-
Фока — Куни) и результаты п. 5° получены автором [21]. Теорема 27.21 найде-
па Крейном — Нудельманом [98, 99], а теорема 27.22 — Штейнером [239].
В п. 6° приведен самый первый результат, полученный в направлении реше-
решения задачи, рассмотренной в 27. Он принадлежит Тумаркину (см. [134, с. 138]).
Более сложное решение аналогичной задачи см в [244].
28. Теорема 28.1 получена Гончаром [210]. По поводу теоремы Боголюбо-
Боголюбова «об острие клина», ее обобщений и уточнений см. обзор Владимирова [59].
Следствия 28.4 п 28.5 отмечены автором [21].
ГЛАВА 8
29. Результаты пунктов 1° п 2° принадлежат Фоку — Куни [156]. а ре-
результаты п. 3° — автору и Шаимкулову (они сделаны под влияпием работы
Мухамеджанова — Р. Ярмухамедова— Ш. Ярмухамедова [125]).

Примечания 241
30. Результаты п. 1°— 3° получены автором [17, 22], а п. 4°—Худайбергано-
вым и автором [31]. Теорема 30.19 принадлежит Крейну — Нудельману [98, 99].
31. Формула C1.1) представляет собой классическую теорему Котельни-
кова (см. [95, 169, 174]), она была обобщена на многомерный случай в [82,
187]. Следствие 31.8 было найдено Левинсоном еще в [215], оценка C1.35) —
Бернштейном (см. [43, с. 448, 607]). Предложения 31.11, 31.12 взяты из ра-
работ [27, 28]. Остальные утверждения этого раздела принадлежат автору
[18-20].
ГЛАВА 9
32. Результаты принадлежат Кравцову и автору [26, 27], кроме вычисли-
вычислительного эксперимента (см. рис. 4), взятого из работы Кравцова — Миненко-
вой [96].
33. Соответствующий вычислительный эксперимент опубликован в работе
Кравцова — Шаимкулова — автора (см. [28, 27]). Вычислительный экспери-
эксперимент для двумерных сигналов (см. конец разд. 33) принадлежит Миненко-
вой и автору.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аграновский М. Л. 7, 125, 126, 136,
137, 227, 240
Адамар (Hadamard J. S.) 39, 103
Айзенберг Л. А. 33, 40, 65, 74. 83, 86,
91, 101, 109, 110, 113, 114, 125,
126,- 128, 136, 137, 189, 196, 199,
201, 203, 211, 216, 227, 228, 235
Акилов Г. П. 231
Александров А. Б. 229
Александров К. С. 7
Алексеев Г. В. 7
Алексеевич (Alexiewicz A.) 41, 235
Апдреотти (Andreolii А.) 3, 75—78,
84, 115, 235, 239
Аниконов Ю. Е. 229
Арнольд В. И. 229
Аронов А. М. 163. 229, 240
Арсенин В. Я. 233
Арцела (Arzeia С.) 38
Асколи (Ascoli G.) 38
Банах (Banach S.) 165, 167, 175, 229
Бангарт (Bungart L.) 90, 235, 239
Бауенди (Baouendi M. S.) 235
Боллман (Bellman R. Е.) 229
Бергман (Bergman S.) 3, 67, 69, 85—
88, 98, 129, 235, 239
Бершнтейн С. Н. 214, 216, 229. 241
Бицадзе А. В. 229
Благовещенский А. С. 229
Бляшке (Blaschke W.) 43, 44, 47,
188, 191, 197, 202—205
Боголюбов Н. Н. 7, 240
Болотов В. А. 132, 229, 240
Боль П. Г. 239
Борель (Borel F. E. J. E.) 126, 132
Бохнер (Bochner S.) 3, 50—53, 61, 65,
76, 78, 82, 90, 92, 99-102, 105, 106,
112, 129, 130
Бурбаки (Bourbaki N.) 229
Быков В. И. 228, 229, 235
Вайнсток (Weinstock В. М.) 163, 236,
240
Вандерыонд (Vandermonde А. Т.) 118
Варченко А. Н. 229
Василенко Г. И. 229
Васин В. В. 231
Вейль (Weil A.) 3, 67, 69, 70, 128,
129, 236, 239
Beiic (Weiss G.) 233
Виденский Н. В. 3, 6, 46—49, 229,
238
Внльденхайи (Wieldenhain G.) 236
Винберг Э. Б. 158, 229
Винер (Wiener N.) 188, 189, 197, 200,
202. 203. 20G, 210, 211
Виноградов С. А. 229
Витали (Vitali G.) 40
Владимиров В. С. 7, 229, 230, 240
Гавурина Е. М. 3, 6, 46—49, 229, 238
Ганнинг (Gunning R. С.) 230
Гельфанд И. М. 230
Гельфонд А. О. 230
Гершберг (Gershberg R. W.) 198, 219,
236
Гершгорин С. А. 34
Гефер (Hefer H.) 11, 64, 69
Гёльдер (Holder L. О.) 10, 30, 38, 64
Гильберт (Hilbert D.) 79, 80
Гиндикин С. Г. 74, 158, 229, 230, 23!)
Глиссон (Gleason A. M.) 40, 93, 236,
239
Голузин Г. М. 3, 5, 6, 15, 16, 27, 230,
238
Гончар А. А. 7, 183, 236, 240
Грин (Green G.) 15
Гриффите (Griffth Ph.) 230, 230
Гротендик (Grothendieck A.) 80. 81
Грюнбаум (Griinbaum F. А.) 235
Гусейн^аде С. М. 229
Давид (David G.) 235
Дависон (Davison M. Е.) 235
Даджион (Dudgeon D. Е.) 230
Данфорд (Dunford N.) 230
Даутов Ш. А. 64, 123, 163, 228—230,
239, 240
Денисюк А. С. 236
Дзин (Zin G.) 237
Дцрак (Dirac P. A. M.) 230

Именной указатель
243
Дирихле (Dirichlel P. G. L.) 15, 38,
39, 42, 48, 130
Д\'глис (Douglis A.) 235
Един М М. 36, 238
Забрейко П. П. 231
Зигель (Siegel К. L.) 158—160, 230
Зиновьев Б. С. 230
Знаменская Л. Н. 7, 139, 142, 147,
148, 172, 230, 240
Знаменский С. В. 130, 230, 240
Иванов В. К. 2, 231
Игнатченко В. А. 7
Игнатьев Н. К. 231
Ишапкудов Т. 123. 135, 136, 231, 240
Кальдерон (Calderon А. Р.) 235
Канторович Л. В. 231
Карлсман (Carleman Т.) 1—7, 15, 16,
18, 20, 23, 24, 26, 27, 29—31, 33—
37, 39, 41, 42, 47, 50, 99—101,
103—106, 113—115, 117, 119, 125,
127—129, 132, 134, 137, 148, 149,
152, 156, 158, 159, 179, 183, 187,
190, 218, 235, 238
Карлесон (Carleson L.) 235
Картан (Cartan H. Р.) 97, 126
Картрайт (Cartwright M.) 210, 213
Кахаы (Kahane J.-P.) 231
Койфман (Coifman R.) 235
Коллпнгвуд (Collingwood E.) 231
Коппельман (Koppelman W.) 3, 57,
60, 77, 236, 239
Коренблюм Б. И. 231
Коробейник Ю. Ф. 231
Косбергенов С. 84, 119, 231, 239, 240
Котельников В. А. 4, 200—202, 209.
213, 231, 241
Коши (Cauchy О. L.) 3, 5, 9, 11, 15,
16, 22, 24, 28, 30, 31, 34-36, 38, 39,
42, 46, 48, 52, 61. 62, 64, 65, 67,
69, 70, 74, 76, 77, 96, 99, 101, 102,
104, 106, 107, 111, 112, 122, 127,
128, 130, 177—179, 190, 196, 235,
239
Кравцов Б. А. 7, 216, 228, 231, 241
Красикова Н. С. 7, 43, 238
Красносельский М. А. 231
Крейн М. Г. 32, 81, 199, 200, 231, 238,
240, 241
Кривоколеско В. П. 235
Крылов В. И. 3, 5, 6, 15, 16, 27, 230,
238
Купи Ф. М. 6, 7, 18, 176, 177, 179,
185, 186, 233, 238. 240
Кусис (Koosis P.) 231, 236
Кытманов А. М. 1, 3, 6, 7, 25, 27, 80,
82, 133, 153—160, 228—232, 235,
238—240
Лаврентьев М. А. 31
Лаврентьев М. М. 3, 5—7, 23, 24, 42,
108, 232, 238
Лагранж (Lagrange J. L.) 211
Лчзмап М. 3. 229
Лаидис Е. М. 42, 232
Ланкастер (Lankaster P.) 232
Лебег (Lebesque H. L.) 11, 13, 16,
28-32, 47-49, 02, 101, 110, 116,
117, 122, 149, 151, 153, 156, 157,
162, 169—172, 177
Лебедев Н. А. 233
Леви (Levi E. Е.) 66
Левин Б. Я. 209—211, 213, 232
Левинсон (Levinson N.) 209, 236, 241
Лейтерер (Leiterer J.) 236
Лере (Lei-ay J.) 3, 57. 60, 232, 239
Леу (Leeuw do К.) 74, 236, 239
Липшиц (Lipschitz R. О. S.) 47, 144
Ловатер (Lohwater A.) 231
Логвиненко В. Н. 232
Лоран (Laurent P. A.) 125
Ляпунов А. М. И, 163, 166, 169, 240
Майер (Meyer Y.) 235
Маколей (Macaulay F. S.) 82, 236
Макинтош (Mclntosh A.) 235
Матвиенко А. Н. 232
Мартинелли (Martinelli E.) 3, 50—53,
61, 65, 76, 78, 82, 89, 90, 99—102,
105, 106, 112, 170, 172.236,238
Мерсеро (Mersereau R. М.) 230
Милнор (Milnor J.) 232
Миненкова Р. Ф. 7, 231, 241
Миттаг-Леффлер (Mitttag-Leff-
ler M. G.) 105, 132
Митчел (Mitchell J.) 236, 239
Мкртчян Е. С. 123, 126, 230, 232, 240
Мусхелишвили Н. И. 232
Мухамеджапов А. М. 232, 240
Назаряп Э. О. 128. 228, 240
Наттерер (Natterer F.) 236
Неванлинна (Nevanlinna R. Н.) 232
Никитина Т. Н. 7. 133, 153—156,
158—160, 231, 232. 238, 240
Никольский Н. К. 232
Ниренберг (Nirenberg L.) 235
Нонкина Л. В. 7
Норге (Norguet F.) 3, 75—78, 84, 115,
127, 235, 236, 239
Нудельмап П. Я. 32, 181, 199, 200,
231, 238, 240, 241

244
Именной указатель
Одвирко-Будко Б. И. 233
Островский (Ostrowski О.) 42, 182
Павлоцкип И. П. 233
Паламодов В. П. 7, 236
Папулис (Papoulis A.) 198, 219, 233,
236
Патил (Patil D. I.) 19, 175, 236, 238,
240
Поли (Paley R. Е. А. С.) 189
Пинчук С. И. 43, 233
Планшерель (Plancherel A.) 195
Привалов И. И. 233, 238
Пуанкаре (Poincare J. Н.) 9, 238
Пуассон (Poisson S. D.) 12, 29—31,
48, 120-122, 137, 145, 150, 160,
171, 173
Прэтт (Pratt W. К.) 233
Пятецкий-Шапиро И. И. 158, 229
Радон (Radon J.) 214, 225, 239
Райков Д. А. 230
Рамирез (Ramires de Arellano E.) 74,
236, 239
Рафф (Ruff L. Т.) 236
Риман (Riemann G. F. В.) 28, 111,
177
Рисе М. (Riesz M.) 19, 22, 39, 42,
НО, 111, 168
РиссФ (Riesz F.) 110, 111
Романов В. Г. 5, 232
Ронкин Л. И. 233
Росси (Rossi H.) 66, 230
Рудин (Rudin W.) 233
Руиге (Runge К. D. Т.) 24, 25, 108
Рус (Roos G.) 3, 50, 57, 82, 115, 236,
239
Руше (Rouchet E.) 52, 239
Садуллаев А. 11, 104, 233, 238, 239
Сард (Sard A.) 10, 54
Совери (Severi F.) 236, 238
Сегё (Szego G.) 3, 22, 91, 92, 95, 98,
122, 126, 172, 173
Сегре (Segre В.) 236, 238
Седлецкий А. М. 233
Семадени (Semadeni Z.) 41, 235
Сергеев А. Г. 230
Сильвестр (Sylvester J. J.) 35
Слепян (Slepian D.) 198, 219, 236
Смирнов В. И. 233
Сохоцкий Ю. В. 28, 134, 135
Стейн (Stein E. М.) 233, 236
Стоилов (Stoilov S.) 233
Стоке (Stokes G.. .G.) 8, 57, 76
Танана В. П. 231
Тараторин А. М. 229
Тарханов Н. Н. 7, 40, 113, 164, 166,
167, 169, 228, 233, 238, 240
Тейлор (Taylor В.) 71, 125, 129, 132
Темляков А. А. 106, 107, 233, 240
Теплиц (Toeplitz О.) 19, 20
Тихонов А. Н. 233
Трев (Treves F.) 235
Трябель (Triebel H.) 233
Тумаркни Г. Ц. 182, 240
Узаков М. М. 229
Уолш (Walsh J. L.) 233
Фаитаппье (Fantappie L.) 3, 61, 62,
64, 65, 67, 71, 74, 77, 99, 106, 127,
239
Фок В. А. 6, 7, 18, 176, 177, 179, 185,
186, 233, 238, 240
Фреше (Frechet M. R.) 38
Фриден (Frieden В. R.) 235
Фубини (Fubini G.) 12, 101, 117, 123,
151, 152, 159
Фукс Б. А. 233
Фурье (Fourier J. В. J.) 2, 4, 7, 111,
136, 188, 189, 194, 197—201, 206,
209, 211—214, 216, 218, 219, 221,
223, 225, 239
Хаар (Haar A.) 95, 151, 157
Хавин В. П. 3, 6, 46, 47, 48, 49, 229,
238
Хан (Hahn H.) 165, 167, 175
Харди (Hardy G. Н.) 5, 11, 12, 15,
16, 19, 22, 119, 139, 150, 163, 175,
180, 188, 199, 201, 211, 218
Харрис (Harris J.) 230, 239
Хейфиц А И 234
Хенкин Г. М 74, 77, 90, 234, 236, 239,
240
Хёрмандер (Hormander L.) 234
Хинчин А. Я. 42, 182
Хуа-Локен (Hua-Lokeng) 234, 239
Худайбергапов Г. 34, 199, 228, 234,
238, 241
Хургин Я. И. 234
Хурумов Ю. В. 7, 43, 234, 238
Цих А. К. 7, 84, 228, 234, 239
Чандрасекхаран
ran К.) 234
Чирка Е. М. 234, 240
(Chandrasekha-

Предметный указатель
245
Шабат Б. В. 234
Шаимкулов Б. А. 7, 169, 216, 228,
234, 240, 241
Шварц (Schwartz J.) 230
Шварц (Schwartz L.) 38
Шварц (Schwartz К. Н. А.) 120, 134,
135, 137, 155
Шейнов В. П. 107, 234, 240
Шилов Г. Е 3, 5, 6, 39, 85, 86. 90, 91
93—95, 132—134, 137, 139, Ш,
145, 147, 148, 172, 230, 239, 240
Широков Н. А. 229
Шишатскин С. П. 5, 232
Штейнер (Steiner A.) 181, 236, 240
Штуди (Study E.) 101. 117
Шульцс (Schulze В.) 236
Эрмит (Hermite С.) 187, 191—193,
202
Южаков А. П. 3, 50, 57, 82, 115, 228,
234, 235, 239
Юла (Youla D. С.) 236
Яблонский Г. С. 228, 229, 235
Якоби (Jacobi С. G. J.) 153
Яковлев В. П. 234
Янг (Young L. С.) 236
Ярославский Л. В. 235
Ярмухамедов Р. 232, 240
Ярмухамедов Ш. 106, 232, 235, 239,
240
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналог теоремы Рупге для форм 108
— формулы Карлемана многомер-
многомерный 101, ИЗ
— формулы Эрмита остаточного чле-
члена многомерный 192
Граница Бергмана 86
— полиномиальная 86
— Шилова области 86
— Q относительно совокупности
% 85
Единица аппроксимативная 173
Индекс поверхности 56
Интеграл Темлякова I рода 107
II рода 106
Кернфункция Бергмана 88
Класс Винера 188
Компакт т-регулярный 38
Кривая регулярная 12
Круг обобщенный единичный 14
Кратность нуля голоморфного ото-
отображения 51
Круг обобщенный единичный 14
Мера гармоническая 15
— инвариантная относительно пово-
поворотов 137
— массивпая на границе Шилова 90
Р — мера множества К относитель-
относительно области D 103
Метод Голузина — Крылова 15, 16
— М. М. Лаврентьева 23, 24
— Кытманова 25—27
Метрика Бергмана 88
Множество единственности 38
для классов Хардп 141, 201
избыточное 206
класса #' относительно меры it
141
минимальное 206, 208
— картрайтовское 210
— (компакт) полной устойчивости
39
— (—) условной устойчивости 40
— (—) устойчивости 39
Нуль отображения 51
— ¦— кратный 51
— — простой 51
Область Зигеля второго рода 158
— линейно-выпуклая 11
— регулярная 65
— полицилипдрическая 67
Оператор Теплица 19
Определитель Леви 66
Ориентация пространства 8
Остов 13
«Острие клина» 182, 183
Оценка Бернштейна 214
— Левина 209
Подход общий Виденского — Гаву-
рина — Хавииа 46—49
Полиэдр Вейля 69
Преобразование Пуассона 150
Пример области голоморфности, для
которой границы Шилова и Бергма-
Бергмана имеют разную размерность 86
Примеры вычисления кернфуикции
89
ядер Сеге 91—93

246
Предметный указатель
формул Карлемапа 18, 128, 129
Принцип аргумента 57
— Руше 52
Проекция существенная 120
Произведение Бляшке 190, 203
— — кратное 199
След голоморфной функции относи-
относительно отображения 83
Срез-функцпя 149
Теорема Котельникова 200
— Сарда 10
Точка Лебега функции 169
— плотности множества 169
¦Формула Андреотти — Норгс 76
— Бергмана — Вейля 69
— интегральная основная 58
— Карлемана 16
абстрактная 41
для голоморфных функции от
матриц 34
— ¦ от элементов банаховой
алгебры 36
— Коши — Фантаппье 60
— обобщенная 60
— Мартинелли —¦ Бохнера 50
— Стокса 8
— универсальная 61
— Фока — Купи 18
— Эрмита остаточного члена 191
— Хенкина — Рамиреза 74
Функция аппаратная 220
— «гасящая» 15
— Карлемана 24
—передаточная 221
Цикл 8
Ядро Пуассона 12, 120, 150
— Ссге22, 67

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
A (D) 13 S(D) 86
А (К) 13 Sg{D) 85
?!3
in .з fitm
Я (а) 12 U{a> Г) 12
r( } W" 188
Я {а, г) 12 а 1Ь8
В? (а) 13 ^2,+ 188
Qn g TFT 14
С* 14 W* 14
СтД (F) 10 <ш' dtp^ 13
С^Ю wr(/I0
С (А') 13 Z 13
СМ 13 ZP(X) 13
СЯ(Л/I4
13
^ 14 |S[ 12
?><=Я12 ||г|| 12
(d/)p Ю s' 12
d- 13 'j 12
dzi 13 3i 13
d-Ц] 13 <z, ?> 12
<ftp n SB! 83
ф К 83
11 i0 Ь 13
dz U Д(г) 74
SfleC'8 Л 47
I 3BI 14 Л,47
essprjA/ 120 ^(Z) 51
tt*(D) И П 13
fl'i 13 ii 13
П 13 T0 14
i<H3 X? 13
intJtf 13 Q(w@), w'1», .... w1-1',/) 58
-VczciV 13 co(/, ш) 62
86 «(? —z, ? —z) 50
14 4- 14
i°fcc(D) 14 II...II 13
3>(l,z) 12, 150 II... lip 13
Rn 188 П 14
I4 0 13