/
Автор: Келдыш М.В.
Теги: анализ математика механика естественные науки теория функций избранные труды
Год: 1985
Текст
Μ. Β. КЕЛДЫШ
Избранные труц
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
академик А. П. Александров (председатель)
академик В. С. Авдуевский
член-корреспондент АН СССР
К. И. Бабенко (зам. председателя)
академик Η. Η. Боголюбов
академик Г. П. Свищев
академик Г. К. Скрябин
академик А. Н. Тихонов
академик П. Н. Федосеев
доктор технических наук
В. А. Филиппов
доктор физико-математических наук
Η. Η. Ченцов
член-корреспондент АН СССР
Т. М. Энеев
МОСКВА «НАУКА» 1985
Μ. Β. КЕЛДЫШ
Избранные труцы
МАТЕМАТИКА
ОТВЕТСТВЕННЫЕ РЕДАКТОРЫ:
член-корреспондент АН СССР
К. И. БАБЕНКО
академик
Η. Η. БОГОЛЮБОВ
доктор физико-математических наук
Н. Н. ЧЕНЦОВ
МОСКВА «НАУКА» 1985
УДК 517.5 + 519.6
Келдыш Μ. В. Избранные труды. Математика.—
М.: Наука, 1985.
Издание «Избранных трудов» выдающегося математика и механика,
Теоретика космонавтики, трижды Героя Социалистического Труда,
президента АН СССР (1961—1975 гг.) академика М. В. Келдыша
состоит из четырех книг. В настоящую первую книгу вошли ра-
боты по теории функций действительного и комплексного пере-
менного, дифференциальным уравнениям, функциональному анализу
и вычислительной математике.
Кроме этой книги, на 1985—1986 гг. намечено выпустить еще
три: «Механика», «Ракетная техника и космонавтика» и «Общие
вопросы развития науки».
Для специалистов в области математики, механики и истории
науки.
1702050000-142
К 042(02)-85 76-85-1 © Издательство «Наука», 1985 г.
ОТ РЕДАКЦИИ
Избранные труды выдающегося советского ученого в области математики
и механики, Теоретика космонавтики, крупнейшего организатора советской
науки, трижды Героя Социалистического Труда академика Мстислава Все-
володовича Келдыша печатаются в соответствии с постановлением Прези-
диума Академии наук СССР.
В настоящую первую книгу вошли математические работы М. В. Кел-
дыша. Вторую книгу составят его работы по механике. В третью книгу из-
бранных трудов М. В. Келдыша войдут его основные работы в области ра-
кетной техники, космонавтики, космических исследований. В четвертую —
статьи, речи, выступления М. В. Келдыша по общим вопросам развития
науки.
* * *
Блестящие исследования М. В. Келдыша по теории конформных отоб-
ражений, теории аппроксимации и теории гармонических функций были во
многом связаны с началом его деятельности в ЦАГИ, где в течение ряда
лет он занимался различными задачами обтекания. Многие из работ этого
периода выполнены им совместно с М. А. Лаврентьевым, который был тогда
его старшим коллегой по ЦАГИ, а с сентября 1934 г. и его научным руко-
водителем по аспирантуре в Математическом институте Академии наук СССР.
В 1938 г. М. В. Келдыш защищает докторскую диссертацию на тему
«О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и
гармонических функций». Ряд ее разделов текстуально совпадает с соот-
ветствующими статьями по этому вопросу, опубликованными в 1935 —
1937 гг. Результаты остальных разделов существенно перекрыты в его по-
следующих публикациях. Поэтому текст диссертации в настоящее собрание
не включен, приведено лишь введение в нее и ее оглавление.
В течение ряда лет М. В. Келдыш исследовал проблему полноты системы
полиномов относительно равномерной сходимости в замкнутой области.
Окончательный классический результат — «для того чтобы система полино-
мов была полной в замкнутой односвязной области G, необходимо и доста-
точно, чтобы дополнение G (относительно расширенной плоскости) представ-
ляло связную область, содержащую бесконечно удаленную точку строго
внутри» — был опубликован им в 1945 г. и потребовал весьма тонких гео-
метрических и аналитических конструкций. Мы поместили эту публикацию
сразу же после статьи 1940 г., содержащей предварительный результат.
Во второй половине 30-х годов М. В. Келдыш по инициативе С. А. Чап-
лыгина начинает заниматься вопросами динамической прочности авиацион-
ных конструкций (защита от флаттера, шимми и т. п.). С этой стороной его
деятельности связаны написанное в 40-х годах, но опубликованное в более
или менее полном виде только в 1971 г. исследование «О полноте собствен-
ных функций некоторых классов дифференциальных операторов» и работа
«О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач».
6
От редакции
Работы по трансзвуковой аэродинамике во многом инициировали иссле-
дование М. В. Келдыша «О некоторых случаях вырождения уравнений эл-
липтического типа на границе области» и выполненный в 1954 г. отчет
«Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной» —
первый советский опыт решения нестационарных двумерных газодинамиче-
ских задач разностными методами. В публикуемом его тексте опущено
несколько вспомогательных разделов, не составляющих в настоящее время
принципиального научного интереса.
К сожалению, не все неопубликованные математические рукописи
М. В. Келдыша удалось разыскать. Не удалось также разыскать русские
оригиналы статей, опубликованных на французском языке. Они даны
в обратном переводе с французского. Русские заглавия этих статей при-
водятся по тексту русских резюме.
В процессе редактирования были устранены замеченные опечатки и оче-
видные описки, уточнены и стандартизованы библиографические ссылки.
В тех случаях, когда в тексте упоминались чьи-либо работы без соответст-
вующей ссылки, дается предположительная ссылка; все такие ссылки от-
мечены звездочкой.
В подготовке материалов к печати активное участие принимали сотруд-
ники Института прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР.
В книге приведены биографический очерк π обзор научной деятельности
М. В. Келдыша. Текст ряда работ снабжен небольшими комментариями
(отмечены звездочками).
К. И. Бабенко
Η. Η. Боголюбов
Η. Η. Ченцов
КРАТКИЙ БИОГРАФИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
С именем Мстислава Всеволодовича Келдыша связаны выдающиеся дос-
тижения отечественной науки в решении государственных проблем, постав-
ленных Коммунистической партией и правительством перед советскими уче-
ными. Теоретик космонавтики, автор глубоких исследований в области ма-
тематики, механики и техники, он продолжал и развивал традиции передовых
русских ученых, соединявших свои широкие научные интересы с конкрет-
ными прикладными задачами. Президент Академии наук СССР, он был блес-
тящим организатором исследовательской работы в нашей стране, с деятель-
ностью которого связано создание и становление крупных научных коллек-
тивов и возникновение новых направлений научного поиска.
Мстислав Всеволодович Келдыш родился 29 января (по паспорту —
10 февраля н. ст.) 1911 г. в Риге в большой семье профессора Рижского по-
литехнического института, крупного инженера-строителя, впоследствии ака-
демика архитектуры Всеволода Михайловича Келдыша. В 1915 г. вся семья
Келдышей переезжает из прифронтовой Риги в Москву. В 1919 г. В. М. Кел-
дыш был приглашен в Ивановский политехнический институт, организуе-
мый по инициативе М. В. Фрунзе. Из четырех его сыновей только младшему
нравилась отцовская специальность. В Москве, куда Келдыши возвращаются
в 1923 г., Мстислав переходит в школу со строительным уклоном, а летом
ездит с отцом на стройки. В 1927 г. он оканчивает школу, но в строительный
институт его не принимают по молодости лет. По совету старшей сестры Люд-
милы он поступает в Московский университет на математическое отделение.
Склонность к математике и точным наукам у него проявилась еще в 7—
8-м классах, и учителя уже тогда отмечали его незаурядные способности
в этой области.
Во время учебы в университете М. В. Келдыш завязывает научные кон-
такты с М. А. Лаврентьевым. С весны 1930 г. он одновременно с учебой на-
чинает работать ассистентом в Электромашиностроительном институте и очень
скоро завоевывает репутацию лучшего преподавателя математики.
По окончании МГУ в 1931 г. он был направлен в ЦАГИ, где проработал
до декабря 1946 г. инженером, старшим инженером, начальником группы,
а с 1941 г.— начальником отдела динамической прочности.
Начальный период работы М. В. Келдыша в ЦАГИ связан с исследова-
ниями по нелинейным задачам обтекания. В работах этого цикла впервые
было строго рассмотрено влияние сжимаемости среды на аэродинамические
характеристики обтекаемых тел и обобщена известная теорема Жуковского
о подъемной силе; впервые установлено, что при определенных режимах ко-
лебаний крыла возникает сила тяги. Молодой ученый в совершенстве владел
аппаратом теории функций комплексного переменного, на котором базиру-
ется решение многих плоских задач гидродинамики. Им были выполнены
(частично в соавторстве с М. А. Лаврентьевым) глубокие исследования по
теории удара тела о жидкость и движения тел под поверхностью жидкости
(поплавок гидросамолета, подводное крыло).
Продолжая работать в ЦАГИ, М. В. Келдыш поступает осенью 1934 г.
в аспирантуру-докторантуру Математического института им. В. А. Стекло-
8
Краткий биографический очерк
ва АН СССР к М. А. Лаврентьеву, где занимается вопросами теории при-
ближений, тесно связанными с его прикладной тематикой. В 1935 г. ему без
защиты присваивается ученая степень кандидата физико-математических
наук, в 1937 г.— степень кандидата технических наук и звание профессора.
26 января 1938 г. им была защищена докторская диссертация на тему
«О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного
и гармонических функций».
Крупный цикл работ М. В. Келдыша и его сотрудников предвоенных
и военных лет посвящен колебаниям и автоколебаниям авиационных конст-
рукций. В этих исследованиях были заложены основы методов численного
расчета и моделирования в аэродинамических трубах явления флаттера. Они
не только привели к разработке простых и надежных мер предотвращения
флаттера, но и легли в основу нового раздела науки о прочности авиацион-
ных конструкций. Эти работы сыграли большую роль в создании скоростной
авиации в нашей стране, в обеспечении превосходства советской авиации
в ходе Великой Отечественной войны. В апреле 1942 г. начальнику отде-
ла динамической прочности ЦАГИ М. В. Келдышу была присуждена
Государственная премия за научные работы по предупреждению разрушения
самолетов.
К этому направлению тесно примыкает исследование М. В. Келдыша об
устойчивости переднего колеса трехколесного шасси, позволившее ему пред-
ложить наиболее целесообразные и простые конструктивные мероприятия
для устранения шиммирования колеса. В 1946 г. ученому была вторично
присуждена Государственная премия за научные исследования в области
теории и методов расчета автоколебаний самолетных конструкций.
В годы войны М. В. Келдыш наряду с научно-экспериментальными ис-
следованиями в ЦАГИ проводил большую работу по внедрению разрабо-
танных рекомендаций в самолетных КБ и на авиационных заводах. Эта его
деятельность была отмечена орденами Трудового Красного Знамени (1943 г.)
и Ленина (1945 г.).
Успех прикладных работ М. В. Келдыша был во многом обусловлен не
только его глубокой интуицией инженера-механика и экспериментатора,
но и выдающимся талантом математика, тонкого теоретика и творца вычис-
лительных алгоритмов и методов. И наоборот, многие его фундаментальные
математические исследования имеют своим истоком проблемы, возникшие
из его работ по механике.
В сентябре 1943 г. тридцатидвухлетний ученый был избран членом-кор-
респондентом АН СССР по Отделению физико-математических наук. В июле
1944 г. в Математическом институте АН СССР был создан отдел механики,
которым он заведовал по совместительству до 1953 г. При отделе начал
работать научный семинар, объединивший всех московских специалистов
по аэромеханике.
Одновременно он возобновляет свою преподавательскую деятельность
в Московском университете, начавшуюся в 1932 г. Здесь он читает лекции
и руководит научно-исследовательским семинаром по теории функций комп-
лексного переменного. Многие из его учеников того времени выросли в вид-
ных ученых.
В конце 1946 г. М. В. Келдыш избирается действительным членом
Академии наук СССР (по Отделению технических наук) и назначается началь-
ником (с августа 1950 г.— научным руководителем) головного научно-иссле-
довательского института, призванного решать прикладные задачи ракето-
Краткий биографический очерк
9
строения. С этого времени основное направление деятельности М. В.Келды-
ша связывается с ракетной техникой, атомной энергетикой и вычислительной
математикой.
В послевоенные годы Советский Союз был вынужден в труднейших усло-
виях решать атомную проблему. Потребовались новые методы научного ис-
следования, прежде всего эффективные методы и средства математического
расчета. Необходимость их создания вызвала в области вычислительной ма-
тематики революцию, коренным образом изменившую ее общенаучное зна-
чение.
В титаническом труде по созданию ракетно-ядерного щита нашей Родины
М. В. Келдыш принимал участие и как руководитель больших коллективов,
и как автор многих научно-технических идей и вычислительных методов.
В 1956 г. за исключительные заслуги перед государством ему было при-
своено звание Героя Социалистического Труда, а в 1957 г. его научные
достижения были отмечены Ленинской премией.
М. В. Келдыш одним из первых сумел предугадать роль вычислительной
математики в повышении эффективности научно-технического поиска. Он
был основателем созданного в 1953 г. Института (до 1966 г.— Отделения)
прикладной математики АН СССР и его бессменным директором. С деятель-
ностью этого института, носящего ныне его имя, во многом связано становле-
ние современной вычислительной математики в нашей стране.
М. В. Келдыш внес выдающийся вклад в развитие советской космической
науки и техники. Он явился одним из инициаторов широкого развертывания
работ по изучению и освоению космоса и возглавил с начала 1956 г. один из
ведущих участков в их проведении. Он вложил много таланта и труда в ста-
новление и успешное развитие таких научных направлений, как механика
космического полета и космическая навигация. Выявление новых научных
и технических задач, развитие космической техники, формирование комп-
лексных научно-технических программ, вопросы управления полетами —
далеко не полный перечень проблем, входивших в круг деятельности
М. В. Келдыша. В 1961 г. за особые заслуги в развитии ракетной техники,
создании и успешном запуске первого в мире космического корабля «Восток»
с человеком на борту он был награжден второй золотой медалью «Серп и Мо-
лот».
Большой этап жизни М. В. Келдыша связан с его деятельностью в Пре-
зидиуме Академии наук СССР, начавшейся в октябре 1953 г. и продолжав-
шейся до конца его жизни.
Избрание в мае 1961 г. М. В. Келдыша президентом Академии наук СССР
означало заслуженное признание его выдающихся способностей не только
как разностороннего ученого, но и как блестящего организатора науки.
В наше время, когда наука стала производительной силой, большие
задачи по дальнейшему развитию научных исследований и всемерному внед-
рению их достижений в народное хозяйство возложены партией и правитель-
ством на Академию наук СССР, призванную объединять усилия научных
коллективов и вырабатывать главные направления научного поиска. Годы,
когда пост президента АН СССР занимал М. В. Келдыш, были периодом
наиболее быстрого роста Академии, превратившейся в крупнейший центр
фундаментальной науки. В 1971 г. за исключительные заслуги перед госу-
дарством в развитии советской науки и техники, большую научную и об-
щественную деятельность и в связи с 60-летием М. В. Келдыш был удо-
стоен третьей золотой медали «Серп и Молот».
10
Краткий биографический очерк
Возглавляя Академию с 1961 по 1975 г., он оказывал всемерную под-
держку развитию в нашей стране новых направлений современной науки,
таких, как квантовая электроника и молекулярная биология. Он не пере-
ставал всю жизнь учиться, не терпел верхоглядства и некомпетентности
в решении научно-организационных вопросов. Его служение науке было
высокопринципиальным и самоотверженным. Когда тяжелая болезнь по-
дорвала его силы, он счел себя не вправе оставаться на посту президента
Академии наук СССР.
Большую работу вел М. В. Келдыш в Комитете по Ленинским и Государ-
ственным премиям СССР в области науки и техники, возглавляя его с 1961 г.
до своей кончины. Много было им сделано для организации международного
научного сотрудничества, для координации научных усилий социалисти-
ческих стран. Деятельность М. В. Келдыша получила всемирное признание.
Он был избран членом многих иностранных академий, почетным доктором
ряда университетов мира, награжден зарубежными орденами.
Широкий кругозор ученого-коммуниста, глубокая идейность, государ-
ственный подход к решению возникающих проблем, принципиальность,
преданность Родине и делу партии снискали ему заслуженное уважение и
авторитет. На XXII—XXV съездах КПСС он избирался членом Централь-
ного Комитета, был депутатом Верховного Совета СССР 6—9-го созывов.
Его жизнь безвременно оборвалась 24 июня 1978 г.
ОБЗОР НАУЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
М. В. КЕЛДЫША
В яркой личности Мстислава Всеволодовича Келдыша гармонически
сочетались замечательный ученый, блестящий инженер и выдающийся орга-
низатор науки. Успех многих его прикладных работ в значительной мере
был предопределен его высоким потенциалом математика, его умением в
конкретной прикладной задаче найти лежащую в ее основе математическую
проблему. И наоборот, многие его фундаментальные математические иссле-
дования имели своим истоком прикладную тематику. Обзор научной дея-
тельности М.В.Келдыша представлен по трем основным аспектам—иссле-
дования по математике, механике, ракетной технике и космонавтике.
Еще на студенческой скамье М. В. Келдыш под влиянием М. А. Лаврен-
тьева начал интересоваться проблемами комплексного анализа. В те годы
методы теории функций комплексного переменного широко использовались
для решения двумерных задач механики сплошной среды, позволяя путем
не слишком сложных расчетов доводить эти решения «до числа». В то же
время классическая теория аналитических функций быстро изменялась,
впитывая последние достижения теоретико-множественной математики,
в первую очередь теории функций действительного переменного. Молодой
Келдыш никогда не примыкал к знаменитой «Лузитании» — группе учеников
академика Η. Η. Лузина, куда входила его старшая сестра Людмила и ряд
крупных московских математиков старшего поколения. Его больше интере-
совали аналитические проблемы. Но и методы теоретико-множественной
геометрии он глубоко изучил и владел ими мастерски.
Математические труды М. В. Келдыша посвящены теории функций,
теории потенциала, дифференциальным уравнениям, функциональному
анализу, а также вычислительной математике. Наиболее обширный цикл
исследований выполнен М. В. Келдышем по теории приближений функций
комплексного переменного. Эта проблематика всегда представляла значи-
тельный общематематический интерес. Первые результаты в этой области
связаны с именами К. Рунге, Э. Бореля, Т. Карлемана, Д. Уолша, а также
В. И. Смирнова и М. А. Лаврентьева. Работы Келдыша охватывают раз-
личные разделы теории в соответствии с тем, на каких множествах, в каком
смысле, какими функциями и с какой скоростью делаются приближения.
Фундаментальным работам М. В. Келдыша, в которых окончательно
решается вопрос о равномерных полиномиальных приближениях на замк-
нутых областях, предшествовала важная работа М. А. Лаврентьева, в ко-
торой было получено предельно широкое обобщение классической теоремы
Вейерштрасса: любая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве
функция есть равномерный предел полиномов в том и только том случае,
когда множество не разбивает плоскость и не содержит областей.
М. В. Келдыш, напротив, обращает свое внимание как раз на тот случай,
когда множество состоит из замыкания одной области. После ряда предва-
рительных результатов он приходит к полному решению задачи. Ставшая
уже классической теорема М. В. Келдыша формулируется просто: любая
функция, непрерывная на замыкании области и аналитическая на множеств
ве его внутренних точек, представима равномерно сходящимся рядом по-
линомов в том и только том случае, когда дополнение к замыканию области
есть область, содержащая бесконечно удаленную точку.
12
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
Во всей почти столетней истории исследований по равномерным прибли-
жениям теорема М. В. Келдыша занимает узловое место, а заложенная в ее
доказательстве идея усреднения оказалась весьма плодотворной и позво-
лила в конечном счете дать полное решение общей задачи о том, на каких
множествах и к каким функциям могут равномерно сходиться полиномы.
Следует подчеркнуть, что теорема М. В. Келдыша лежала у истоков
множества последующих исследований по проблемам, выросшим на реаль-
ной почве теории приближений и уходящим своими интересами далеко за
ее пределы — в алгебру, функциональный анализ; достаточно назвать
в качестве одного примера бурно развивающуюся в настоящее время тео-
рию банаховых алгебр.
Продолжая изучение аппроксимационных возможностей классического
аппарата анализа — полиномов, М. В. Келдыш рассматривает проблемы
среднеквадратичных приближений по площади области, когда близость
между функцией и прибгижающим ее полиномом измеряется через интеграл
по площади области от квадрата модуля разности между ними.
Важным является установленный им общий метрический критерий пол-
ноты для широкого класса некаратеодориевых областей. Этот результат
был получен М. В. Келдышем с помощью развитого им так называемого
метода вывода полюсов, который оказался чрезвычайно плодотворным во
многих задачах; возможности этого метода и на сегодня далеко не исчер-
паны.
М. В. Келдыш изучал также проблему полноты системы полиномов
в квадратичной метрике с весом. Его работы в этом направлении открыли
по существу новую страницу в теории приближений; обнаруженные им яв-
ления затрагивают глубинные свойства аналитических функций, саму при-
роду аналитичности. С помощью упомянутого выше метода вывода полюсов
он установил общее достаточное условие на весовую функцию, гарантирую-
щее полноту системы полиномов в произвольной односвязной области.
В ряде работ М. В. Келдыш рассматривает проблемы теории равномер-
ных приближений посредством целых аналитических функций. Не делая
каждый раз соответствующих оговорок, заметим, что в этом направлении,
так же как и в некоторых других разделах теории функций и теории потен-
циала, ряд работ выполнен М. В. Келдышем совместно с его старшим кол-
легой и научным руководителем по аспирантуре М. А. Лаврентьевым.
Переход от полиномов к целым функциям меняет характер поведения
аппроксимирующих функций на бесконечности: вместо полюса появляется
существенная особенность, что значительно расширяет аппроксимационные
возможности и позволяет ставить новые задачи. Одной из таких задач яв-
ляется приближение с касанием на бесконечности, когда требуется не только
малость отклонения аппроксимируемой функции от аппроксимирующей
всюду на множестве (предполагаемом неограниченным), но и быстрое убы-
вание к нулю указанного отклонения при стремлении точки к бесконечности.
Под мерой касания понимается скорость этого убывания.
Большое влияние на последующее развитие теории оказала полученная
М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым теорема, в которой дается исчерпываю-
щее описание континуумов Карлемана. Так называются неограниченные
замкнутые множества, на которых любая непрерывная функция допускает
равномерные приближения целыми функциями с произвольно высокой ско-
ростью касания на бесконечности. Оказалось, что, помимо очевидных усло-
вий отсутствия внутренних точек у континуума и ограниченных компонент
Обзор научной деятельности М. В. Келдышх
J3
у его дополнения, решающим свойством является локальная связность кон-
тинуума в бесконечно удаленной точке.
Далее М. В. Келдыш исследует проблемы равномерного приближения
с касанием в неограниченных замкнутых областях при естественном предпо-
ложении об аналитичности функции внутри области. При этом уже произ-
вольной скорости касания ожидать нельзя: каждый раз предельно возмож-
ная скорость касания определяется геометрией области вблизи бесконеч-
ности. Для всех наиболее характерных типов областей М. В. Келдыш ука-
зывает соответствующий им допустимый порядок касания и устанавливает
точность найденных им скоростей.
Замечательным является обнаруженный им факт существования универ-
сального гарантированного порядка касания при аппроксимации целыми
функциями в любой области, граница которой представляет линию, а на-
чало и .конец ее расположены в бесконечно удаленной точке.
Созданные М. В. Келдышем новые и весьма глубокие конструктивные
методы позволили ему решить основные проблемы теории приближений це-
лыми функциями. Не перечисляя найденных им теорем, укажем только, что
в самом общем случае оказалось возможным обнаружить и установить точ-
ную количественную связь между свойствами множества, свойствами опре-
деленных на них аппроксимируемых функций, скоростью касания и поряд-
ком роста аппроксимирующих целых функций.
Большой интерес представляет классический случай равномерных при-
ближений целыми функциями на всей действительной оси. Рассматривая
дифференцируемую на оси функцию, производная которой имеет алгебраи-
ческий рост на бесконечности, М. В. Келдыш доказал, что такая функция
может быть аппроксимирована целыми функциями, порядок которых на
единицу превосходит алгебраический порядок роста ее производной, и этот
результат неулучшаем.
Сейчас уже очевидно, что теоремы описанного выше характера играют
основную роль в самых разнообразных вопросах функционального анализа,
использующих аппарат целых функций.
Можно с уверенностью утверждать, что труды М. В. Келдыша, о которых
говорилось выше, развитые в них идеи, методы и постановки составили ос-
нову современной теории приближений целыми функциями в комплексной
области и послужили отправной точкой многих последующих исследований,
с успехом продолжающихся и в настоящее время.
Конструктивная сила в математическом творчестве М. В. Келдыша про-
явилась, в частности, в работе, посвященной полноте ортогональных по
контуру полиномов. Эти полиномы обобщают обычные целые степени комп-
лексного переменного, порожденные окружностью, на произвольную замк-
нутую кривую линию с конечной длиной.
Важное место в математических исследованиях М. В. Келдыша занимают
его работы по проблеме Дирихле для уравнения Лапласа. Эта проблема за-
ключается в том, чтобы найти гармоническую в данной области функцию,
принимающую на ее границе наперед заданные непрерывные значения.
В ряде предшествующих работ были предложены различные методы решения
этой задачи, которые приводили к одной и той же функции — обобщенному
решению задачи Дирихле. Выяснилось, что совпадения решения с гранич-
ными данными невозможно требовать во всех граничных точках, и были най-
дены критерии регулярности граничной точки, гарантирующие совпадение
решения с граничными значениями в данной точке.
14
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
В ряде приложений гармонических функций важно было следить за их
поведением при вариации границы области. В этой связи М. В. Келдыш
впервые поставил принципиально новые вопросы качественного характера:
при любых малых изменениях границы фиксированной области и произволь-
ных граничных данных будет ли соответственно мало изменяться решение
задачи Дирихле внутри области, в данной граничной точке, во всей замкну-
той области? Ответы на эти три вопроса зависят только от области и выбран-
ной на ее границе точки. В соответствии с этим М. В. Келдышем были вве-
дены понятия устойчивости задачи Дирихле внутри области, в данной гра-
ничной точке, во всей замкнутой области, дан исчерпывающий анализ этих
понятий, связей между ними и разрешимостью задачи Дирихле, установлено
необходимое и достаточное условие того, чтобы граничная точка была точ-
кой устойчивости.
В этом цикле работ наблюдается особенность, характерная и для других
математических исследований М. В. Келдыша: общая теория сопровождает-
ся конструкцией уникальных примеров, подчеркивающих сущность новых
явлений. Так, наряду с общей теорией устойчивости М. В. Келдыш в ра-
боте, выполненной совместно сМ. А. Лаврентьевым, построил пример области
в трехмерном пространстве, ограниченной жордановой поверхностью с ко-
нечной площадью, в которой задача Дирихле разрешима при любых непре-
рывных данных, но неустойчива внутри области. Множество точек неустой-
чивости имеет поверхностную меру нуль, но положительную гармоничес-
кую меру.
Особое место занимает работа М. В. Келдыша, в которой он рассматривает
произвольный линейный оператор, переводящий любую непрерывную на
границе функцию в некоторую гармоническую внутри области функцию.
К этому оператору предъявляются два требования: во-первых, он должен
совпадать с классическим решением задачи Дирихле во всех случаях, когда
оно существует, и, во-вторых, верхняя грань значений оператора внутри
области не превосходит максимума граничных данных. При этом доказывает-
ся, что единственным оператором, удовлетворяющим этим минимальным тре-
бованиям, является обобщенное решение задачи Дирихле. Этот результат
завершил построение теории разрешимости задачи Дирихле с непрерывными
граничными условиями.
Уже давно было замечено, что при решении многих задач механики,
физики, техники существенную роль играет спектральная теория линейных
операторов, относящаяся как к самосопряженным, так и к несамосопряжен-
ным операторам. Именно к этим проблемам — решению принципиально но-
вых и весьма трудных вопросов теории несамосопряженных операторов —
привели М. В. Келдыша его работы по теории колебаний систем с диссипа-
цией механической энергии, имевщие большое прикладное значение.
В отличие от классической спектральной теории самосопряженных
операторов теория несамосопряженных операторов с дискретным спектром
развивалась медленно и до конца 40-х годов относилась в основном лишь
к обыкновенным дифференциальным операторам с простейшими, так назы-
ваемыми регулярными граничными условиями.
В 1951 г. М. В. Келдыш опубликовал результаты своих исследований
по спектральной теории несамосопряженных операторов. В этой работе
он впервые рассматривает широкий класс абстрактных операторов в гильбер-
товом пространстве, полиномиально зависящих от спектрального параметра;
сейчас такие семейства операторов называются пучками Келдыша. Главными
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
IS
задачами здесь являются вопросы полноты собственных и присоединенных
векторов и вопросы распределения собственных значений.
Именно на эти задачи и даются исчерпывающие ответы в упомянутой
выше работе. М. В. Келдыш вводит важнейшее понятие тг-кратной полноты
системы собственных и присоединенных векторов (теперь ее называют
кратной полнотой по Келдышу) и с помощью весьма тонких оценок резоль-
венты исследуемых операторов устанавливает фундаментальную теорему
об тг-кратной полноте.
При исследовании распределения собственных значений пучка операто-
ров М. В. Келдыш столкнулся с необходимостью применения тауберовых
теорем нового типа. М. В. Келдыш открыл новую тауберову теорему и раз-
работал новый метод доказательства таких теорем. Сразу же его теорема
нашла многочисленные применения в различных разделах математики.
Цикл работ М. В. Келдыша по несамосопряженным операторам имел
принципиальное значение для развития всей теории, а глубокие идеи, за-
ложенные в них, и тонкие аналитические методы позволили М. В. Келдышу
получить фундаментальные результаты в теории несамосопряженных опе-
раторов. И поныне идеи и методы М. В. Келдыша широко используются
в спектральной теории.
В связи с проблемой создания надежных методов борьбы с флаттером
М. В. Келдыш провел анализ применимости метода Галеркина решения крае-
вых задач к неконсервативным системам. В случае вариационных задач метод
Галеркина совпадает по существу с методом Ритца, однако способ приме-
нения этого метода, предложенный Галеркиным, не связан с вариационной
задачей, определяющей дифференциальные уравнения, и может быть при-
менен к несамосопряженным задачам.
В своем исследовании М. В. Келдыш рассматривал как обыкновенные
дифференциальные уравнения любого четного порядка, так и уравнения
с частными производными эллиптического типа и установил при общих огра-
ничениях на систему приближающих функций сходимость решений и сходи-
мость собственных значений. Тем самым им установлена применимость это-
го эффективного метода численного интегрирования дифференциальных
уравнений к широкому кругу задач механики и математической физики *.
Одним из многочисленных примеров «обратной связи» между практикой
и теорией в творчестве М. В. Келдыша служит и его работа об уравнениях
эллиптического типа, вырождающихся на части границы области, возник-
шая под влиянием его исследований по трансзвуковой газодинамике. В этой
работе впервые было обнаружено, что для эллиптических в области и вырож-
дающихся на части границы уравнений при некоторых условиях часть гра-
ницы области освобождается от задания граничных условий. При этом реше-
ние краевой задачи Келдыша можно рассматривать как стационарное рас-
пределение температуры в движущейся жидкости. Эта небольшая по объему
работа имела широкий резонанс.
Исследования М. В. Келдыша в области математики теснейшим образом
связаны с Математическим институтом имени В. А. Стеклова АН СССР.
Будучи привлеченным на работу в этот институт М. А. Лаврентьевым еще
в 1934 г., Мстислав Всеволодович нашел в творческой атмосфере института
* В настоящем издании формулировка утверждения 2 этой работы перередактирована
и добавлена ссылка на упоминавшееся выше его последующее исследование «О полноте
собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов».
16
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
те стимулы, которые позволили ему в короткий срок выполнить ряд выдаю-
щихся исследований в различных областях математики, о которых шла речь
выше. В Математическом институте М. В. Келдыш был аспирантом, докторан-
том, старшим научным сотрудником, заведующим отделом, заместителем ди-
ректора.
Когда в первые послевоенные годы перед нашей страной встали задачи
огромной государственной важности — овладение ядерной энергией, созда-
ние космического комплекса, М. В. Келдыш возглавил работы по мате-
матическому обеспечению этих программ. Решение этих задач было бы не-
мыслимо без разработки новых методов научного исследования, без создания
принципиально новых и высокоэффективных методов и средств математичес-
ких расчетов. Трудности решения этих задач усугублялись и крайней огра-
ниченностью имевшихся к тому времени средств вычислительной техники.
Советские математики с честью справились с поставленными перед ними за-
дачами, и в успешном их решении неоценима личная заслуга М. В. Кел-
дыша — и как автора, творца новых вычислительных методов и алгоритмов,
и как руководителя больших коллективов ученых. Трудно себе представить
эти успехи отечественной науки без величайшего искусства М. В. Келды-
ша — математика и глубокой интуиции инженера.
С именем М. В. Келдыша связано становление и развитие в нашей
стране современной вычислительной математики. Не останавливаясь подроб-
но на всех выполненных М. В. Келдышем работах в этой области, отметим
лишь, что такие его исследования, как работа «Решение задачи об осесиммет-
ричном движении газа с ударной волной», совершенно изменили наши пред-
ставления о границах возможного, позволили не только решить краевые за-
дачи для нелинейных уравнений газовой динамики, но и дать решение раз-
ностными методами чрезвычайно трудных нестационарных двумерных задач
газовой динамики. Идеи и методы, заложенные в трудах М. В. Келдыша,
предопределили современное развитие отечественной вычислительной мате-
матики и в первую очередь численных методов решения многомерных задач
гидро- и газодинамики и математической физики. Накопленный потенциал
позволил с успехом решать эти задачи с учетом таких особенностей, как
теплопроводность, диффузия, вязкость и химические реакции. Можно с уве-
ренностью сказать, что последующее интенсивное развитие вычислительных
методов коренным образом преобразовало общенаучное значение вычисли-
тельной математики и вывело ее из разряда подсобных средств исследования
в могущественное средство эффективизации научного поиска, незаменимое
при изучении сложных явлений механики, физики, техники.
Математическое творчество М. В. Келдыша неразрывно связано с его пе-
дагогической работой. Еще с весны 1930 г. он преподает в Электромашино-
строительном институте и быстро завоевывает там репутацию лучшего пре-
подавателя математики. В дальнейшем на протяжении десятилетий он являл-
ся профессором Московского университета, где с блеском читал целый ряд
основных и специальных курсов, руководил аспирантами. Семинары
М. В. Келдыша в МГУ всегда являлись значительным событием в математи-
ческой жизни Москвы. Его занятия с аспирантами отличались исключительной
научной отдачей, вниманием и вместе с тем вксэкой требовательностью. Пора-
жало, как при всей своей невероятной занятости он находил для этого время
и силы. Часто занятия с аспирантами происходили у него дома, начинались
в десятом часу вечера, а заканчивались далеко после полуночи. Научное
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
17
руководство молодыми учеными со стороны М. В. Келдыша всегда останется
эталоном отношений руководителя к аспиранту, учителя к ученику.
Велико влияние М. В. Келдыша на развитие математической культуры
в различных центрах нашей страны. Приведем лишь один пример, который
любил вспоминать сам Мстислав Всеволодович. В мае 1940 г. он провел месяц
в Армении, где читал по 4 ч ежедневно курс лекций, посвященных теории при-
ближений и полученным им новым результатам в этой области, ставил мно-
го нерешенных задач. Величайшее искусство, с которым читались лекции,
умение раскрыть всю красоту проблематики, увлечь новыми постановками
привели к тому, что прочитанный им цикл лекций оказал определяющее воз-
действие на зарождение современной математической школы в этой респуб-
лике и предопределил ее научные интересы на многие последующие годы.
Велико значение трудов М. В. Келдыша и всей его научной и научно-
организационной деятельности для современной математики. Сейчас все яснее
становится то громадное влияние, которое оказывает математическое твор-
чество М. В. Келдыша на развитие науки как в нашей стране, так и за ру-
бежом.
В 1931 г. молодым выпускником МГУ пришел работать М. В. Келдыш
в Центральный аэрогидродинамический институт, в общетеоретическую груп-
пу. В то время в институте работало большое число первоклассных матема-
тиков и механиков, составлявших коллектив с большим творческим потен-
циалом. Научную жизнь института возглавлял выдающийся механик
С. А. Чаплыгин. Таким образом, М. В. Келдыш с первых же шагов своей
деятельности попал в среду увлеченно, творчески работающего коллектива,
занятого решением важных общих задач из области аэрогидродинамики,
теории прочности конструкций, устойчивости движения, которые выдвигало
бурное развитие авиации.
Название первой научной публикации М. В. Келдыша, большой работы
на 40 страницах, звучит вполне академично: «Внешняя задача Неймана для
нелинейных уравнений эллиптического типа с приложением к теории крыла
в сжимаемом газе». Однако полученный в этой работе окончательный резуль-
тат — обоснование формулы Жуковского на случай обтекания профиля до-
звуковым потоком сжимаемого газа — имеет большое прикладное значение.
Проблема перенесения формулы Жуковского на случай обтекания газом
сыграла исключительную роль в истории математики и механики, а работа
М. В. Келдыша во всей этой проблематике имеет фундаментальное значение.
В самом деле, когда с ростом скоростей полета самолетов стала актуальной
задача учета сжимаемости воздуха, механики обратились прежде всего к ис-
следованию потенциальных плоских дозвуковых течений газа. Но при этом
перед ними возникала существенная трудность — нелинейный, а точнее,
кв билинейный характер уравнений, описывающих эти течения.
В то время, когда писалась статья М. В. Келдыша, теория квазилиней-
ных эллиптических уравнений и систем уравнений находилась в самом начале
своего развития. Задача об обтекании тела потоком газа стимулировала инте-
рес математиков к задаче Неймана для эллиптических квазилинейных уравне-
ний, и уже после войны возник большой поток работ из этой области. В свою
очередь, исследование квазилинейных эллиптических систем вызвало к жиз-
ни замечательную теорию квазиконформных отображений и теорию обобщен-
ных аналитических функций. В настоящее время обоснование формулы
18
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
Жуковского в более широком диапазоне чисел Маха, чем в работе М. В. Кел-
дыша, получено с помощью мощных топологических методов, но тогда такие
методы еще не были созданы. Эта история с обоснованием формулы Жуков-
ского в случае обтекания сжимаемым газом показывает, сколь плодотворна
сотрудничество математики и механики и сколь важно для механиков умение
использовать самые современные достижения математики.
Возвращаясь к работе М. В. Келдыша, нужно сказать, что для своего
времени она основана на самой передовой математической технике. В после-
военные годы работа М. В. Келдыша имела многочисленные продолжения,
когда газодинамики учитывали сжимаемость при решении тех либо иных
задач, отыскивая решение в виде ряда по степеням числа Маха, как это делал
М. В. Келдыш, а до него Рэлей. При этом строилось в явном виде несколько·
первых членов ряда, а вопрос о сходимости не затрагивался. В статье
М. В. Келдыша вопрос о сходимости — основной. Из всего сказанного ясно,
что она имеет фундаментальный основополагающий характер.
Следующая работа, близкая к предыдущей по своему духу, это работа-
строгое обоснование теории винта Жуковского». Задача о гребном винте —
нелинейная задача, и ее нелинейность вызвана тем, что свободные вихри за-
нимают в жидкости область, граница которой неизвестна. Более того, пока
не доказана теорема существования, заранее неясно, возможно ли совместное
с уравнениями гидродинамики положение равновесия системы вихрей, заме-
няющих пропеллер, и свободных вихрей. С математической точки зрения
задача сводится к построению решения системы восьми нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений. С использованием остроумного метода ите-
раций и сложных и нетривиальных оценок в работе доказывается теорема
существования и тем самым дается строгое обоснование теории Η. Ε. Жу-
ковского, причем в качестве первого приближения получаются формулы
Η. Ε. Жуковского. Обе эти работы составляют единый цикл и выполнены
в сотрудничестве с Ф. И. Франклем.
Второй большой цикл работ молодого исследователя посвящен теории
плоских безвихревых течений идеальной жидкости. Сюда относятся работа
по жесткому удару пластинки о воду и совместная с М. А. Лаврентьевым
работа об одновременном ударе о воду нескольких жестких пластинок..
Несколько работ М. В. посвящено вопросу о движении тела под поверхнос-
тью тяжелой жидкости в предположении теории малых волн. Теория волн
малой амплитуды на поверхности тяжелой жидкости — классическая, ши-
роко развитая область гидродинамики, где господствующим методом иссле-
дования был метод Фурье. В своих работах М. В. Келдыш широко использо-
вал методы теории функций комплексного переменного. Принципиально
новой была его идея ввести в качестве искомой не характеристическую функ-
цию потока, а некоторую линейную комбинацию характеристической функции
и ее производной, упростив тем самым условие на свободной поверхности. Это·
позволило ему решать задачу определения течения при заданной особенностн
под свободной поверхностью, и в частности когда задан источник, вихрь
или мультиполь.
В начале 30-х годов появился ряд конструкций глиссеров с подводными
крыльями, в связи с чем стала актуальной задача о движении крыла вблизи
поверхности тяжелой жидкости. В работе «О движении крыла под поверхнос-
тью тяжелой жидкости» (написанной совместно с М. А. Лаврентьевым) по-
строена теория движения изолированного тонкого крыла под поверхностью тя-
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
19
желой жидкости. В этом исследовании существенным образом используются
результаты предыдущей работы М. В. Келдыша, и в нем в итоге нетриви-
ального аналитического исследования получены формулы для подъемной силы,
волнового сопротивления и момента. Изученная М. В. Келдышем задача о
течении с заданной особенностью имела многочисленные продолжения.
Нужно отметить, что упомянутые работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева,
Л. И. Седова и других исследователей по теории тонкого крыла, удара о
воду, теории малых волн замечательны тем, что в них решены не только
конкретные задачи, но дано эффективное решение многих важных краевых
задач теории гармонических и аналитических функций (задача Гильберта,
смешанная задача). Эти методы решения краевых задач затем широко
использовались в многочисленных исследованиях по гидродинамике, теории
упругости и в других областях. Нет сомнения, что широкое развитие теории
сингулярных интегральных уравнений и методов решения краевых задач
теории аналитических и гармонических функций было стимулировано упо-
мянутыми выше исследованиями по гидродинамике. Мы закончим обзор
этого цикла работ упоминанием о небольшом исследовании «Некоторые
общие свойства полипланов», в котором доказывается замечательная теорема
о том, что огибающая линий действия равнодействующей сил давления
потока на любую систему профилей, имеющих угловые точки, при плавном
их обтекании есть парабола. Эта теорема обобщает известную теорему
С. А. Чаплыгина, установленную для единичного профиля.
Новые и трудные задачи механики — задачи о вибрациях на самолете —
надолго стали делом жизни М. В. Келдыша. Большой цикл его работ пред-
военных и военных лет посвящен колебаниям авиационных конструкций.
В 30-х годах в связи с ростом скоростей полетов участились аварии на
самолетах: по достижении некоторой критической скорости возникала рез-
кая тряска, в считанные секунды ломавшая самолет. Колебания такого
типа стали называть «флаттером». Флаттер грозил стать препятствием на
пути развития скоростной авиации.
В задаче флаттера наиболее важной и трудной частью исследования явля-
ется теория аэродинамических сил. М. В. Келдышу принадлежит несколько
работ по изучению аэродинамических сил, действующих на колеблющееся
крыло. Прежде всего, в 1935 г. он строго показал, что, приняв гипотезу
стационарности, можно освободиться от дополнительной гипотезы «динами-
ческой кривизны», которая обычно применялась при выводе формулы для
сил и моментов, действующих на колеблющееся крыло.
Далее в рамках строгой постановки им дано (совместно с Лаврентьевым,
1933 г.) решение задачи о движущейся пластинке, совершающей малые
гармонические колебания. Формулы для сил и моментов получены в явном
виде через бесселевы функции, и в результате их анализа установлен заме-
чательный результат о возникновении силы тяги на некоторых режимах
колебаний. В работах ЦАГИ по расчету флаттера крыла либо хвостового
оперения самолета аэродинамические нагрузки брались на основании гипо-
тезы стационарности с поправкой на конечность размаха крыла.
Крыло самолета является сложной упругой системой с бесконечным
числом степеней свободы, и для создания методики расчета на флаттер необ-
ходима схематизация упругих свойств крыла. Крыло рассматривалось как
балка, работающая на кручение и изгиб. В результате математическая задача
о расчете флаттера сводилась к решению задачи на собственные значения
2*
20
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
для несамосопряженной системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Скорость полета входит в уравнение как параметр, и требуется
определить то ее значение, называемое критическим, при котором возможны
незатухающие колебания. В те годы, когда не было ЭВМ, это была задача
колоссальной трудности, и замечательно, что для ее приближенного решения
был предложен метод, адекватный тем упрощениям, которые были сделаны
в постановке задачи. Именно, задача решалась с помощью метода Бубнова —
Галеркина. В своей работе «Вибрации в воздушном потоке крыла с подко-
сами» М. В. Келдыш дал метод расчета критической скорости крыла с под-
косами и исследовал влияние подкосов различных типов на критическую
скорость. Вместе с сотрудниками он в многочисленных работах рассмотрел
ряд задач о флаттере: была исследована фундаментальная задача о флаттере
крыла с элероном; исследовалось влияние на критическую скорость флатте-
ра размещенных под крылом сосредоточенных грузов: изучались колебания
крыла с упруго прикрепленным мотором и т. п. В этих работах не только
предлагалась методика определения критической скорости флаттера, но и
давались совершенно конкретные конструктивные рекомендации по борьбе
с флаттером.
Совершенно замечательным фактом во всех этих работах являлось то
обстоятельство, что, несмотря на кажущуюся грубость схемы, принятой
для расчетов критической скорости флаттера, она правильно отражала сущ-
ность явления. Точность получаемых в результате расчетов значений кри-
тической скорости была вполне удовлетворительной.
М. В. Келдыш занимался и экспериментальной стороной теории флат-
тера — моделированием флаттера в аэродинамических трубах. С этой целью
он предложил использовать законы механического подобия, чтобы на их
основе строить специальные флаттерные динамически подобные модели.
В 1937 г. уже была испытана первая динамически подобная модель крыла —
крыла самолета АНТ-25 в трубе Т-5 ЦАГИ. Эта была первая в мире
динамически подобная модель, на несколько лет опередившая аналогичные
зарубежные разработки. Таким образом, работы М. В. Келдыша и возглав-
лявшегося им коллектива не только дали возможность рассчитать для лю-
бого данного самолета критическую скорость флаттера, но и дали конструк-
торам средства борьбы с ним. В этих работах М. В. Келдыш выступает как
наделенный глубокой интуицией инженер-механик и экспериментатор. Но и
в этой области проявилась характерная черта творчества М. В. Келдыша —
умение найти в конкретной прикладной задаче общую теорию, лежащую в
ее основе. В связи с задачей флаттера М. В. Келдыш провел исследование
сходимости метода Бубнова—Галеркина для неконсервативных систем и
доказал применимость этого эффективного метода численного интегриро-
вания дифференциальных уравнений для решения многих задач механики и
математической физики. Эти же задачи вибраций на самолете привели
М. В. Келдыша к последующим занятиям теорией несамосопряженных опе-
раторов, в результате которых появилась такая жемчужина функциональ-
ного анализа, как его работа «О полноте собственных функций некоторых
классов несамосопряженных операторов». Эта работа открыла новую главу
в функциональном анализе, которой законно гордится советская математика.
Еще одна очень важная проблема автоколебаний на самолете — это
проблема шимми переднего колеса трехколесного шасси. На определенной
скорости разбега самолета возникают автоколебания самоориентирующегося
Обзор научной деятельности Μ. В. Келдыша
21
переднего колеса, приводящие к разрушению передней ноги шасси и к по-
следующей аварии. Колебания колеса состоят из поворотов относительно
вертикальной оси и боковых смещений и получили название «шимми». Ясно,
что возможность таких колебаний обеспечивается подводом энергии к сис-
теме стойка—колесо за счет обратных связей, возникающих при качении
колеса. Чтобы дать математическую постановку задачи о шимми, М. В.Кел-
дыш изучил упругие деформации пневматика и на этой основе предложил
теорию качения по плоскости колеса с деформирующимся пневматиком. Эта
теория качения позволила ему вывести уравнение шимми с учетом деформа-
ций пневматика, вращения стойки и ее изгиба. Полученные уравнения поз-
волили рассчитать скорость, на которой возникает шимми, и провести де-
тальный анализ зависимости необходимого для предотвращения шимми
демпфирования от конструктивных параметров стойки. Работы М. В. Кел-
дыша по флаттеру и шимми удостоены Государственных премий соответствен-
но в 1942 и 1946 гг.
С именем М. В. Келдыша связано становление в нашей стране современ-
ной вычислительной математики и, если применить модную в последнее
время терминологию, вычислительной механики и вычислительной физики.
Вопросы развития новой техники выдвинули такие задачи механики и фи-
зики, которые уже нельзя было решать на основе их грубой схематизации.
Требовалось на базе принятой модели сплошной среды провести решение
задачи с высокой точностью. Это поставило перед математикой и механикой
задачи колоссальной трудности, и преодоление их было возможно только
на пути создания новых мощных вычислительных средств и разработки но-
вых методов вычислительной математики.
Известно, что М. В. Келдыш лично не занимался научно-техническими
проблемами конструирования новых электронно-вычислительных машин,
однако роль его в становлении и развитии отечественной вычислительной
техники весьма велика. Будучи одним из главных «потребителей» ЭВМ, он
с исключительной ясностью сознавал важность ЭВМ для дальнейшего успеш-
ного развития науки и народного хозяйства. М. В. Келдыш в то же время
обращал особое внимание на необходимость непрерывного расширения работ
по математическому обеспечению выпускаемых машин, указывая на стреми-
тельное увеличение доли математического обеспечения в общем балансе ин-
теллектуальных и материальных затрат на создание новых вычислительных
машин.
В самом начале 50-х годов в МИАН им. В. А. Стеклова по инициатива
М. В. Келдыша была создана группа, которая стала заниматься как теоре-
тическими, так и практическими задачами программирования для ЭВМ. Эта
было время, когда наши известные машины БЭСМ-1 и «Стрела» еще не вошли
в строй. Но высокий научный потенциал в начатых тогда исследованиях πα
программированию определил наши успехи в последующие несколько лет.
Эти наши достижения признаны широкой математической общественностью.
В эти же годы в МИАНе под руководством М. В. Келдыша работали боль-
шие группы специалистов по вычислительной математике, и когда в 1953 г»
из МИАНа выделилось Отделение прикладной математики, то в него вли-
лись все эти группы. Организация Отделения прикладной математики,
впоследствии переименованного в Институт прикладной математики, была
важной вехой в развитии вычислительной математики и механики в нашей
стране и является крупной заслугой М. В. Келдыша. В этом институте ему
22
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
удалось собрать большое число крупных специалистов в области вычисли-
тельной математики и вычислительной техники. Исключительные волевые
качества М. В. Келдыша, его ясный ум и огромный научный авторитет
способствовали сплочению сотрудников института в единый научный кол-
лектив, достигший за короткий срок выдающихся научных результатов.
Будучи директором Института прикладной математики и обремененный
другими многочисленными обязанностями, М. В. Келдыш сумел внести и
огромный личный вклад в развитие вычислительной математики и механики.
К сожалению, его идеи и разработки не всегда материализовывались в виде
отчетов и статей, и приходится сожалеть о некоторых утерянных резуль-
татах, о которых он, всегда сдержанный и внешне несколько суховатый,
любил говорить со своими ближайшими сотрудниками.
М. В. Келдыш пришел в ракетно-космическую технику в 1946 г. и ос-
тался ей верен до последних дней своей жизни. Многие из тех, кто работал
с ним в тот период, помнят, как Мстислав Всеволодович, возглавив науч-
ный институт, реорганизовал его работу и четко направил усилия его кол-
лективов на решение главной задачи — создание теоретических основ раке-
тостроения и космонавтики. Сотрудники института, среди которых были и
ветераны ракетной техник т, очень скоро увидели и почувствовали органи-
зованность, необычайные способности и высокую человеческую культуру
нового руководителя, молодого академика-математика и навсегда прониклись
к Мстиславу Всеволодовичу глубоким уважением и доверием.
В то время возникло творческое содружество М. В. Келдыша и
С. П. Королева. Их союз в очень большой степени способствовал грандиоз-
ным успехам, которыми отмечено начало космической эры человечества и в
которых ведущая роль принадлежит нашей стране.
Круг научных проблем, которые решались в институте под непосредст-
венным руководством М. В. Келдыша, был необычайно широк и разнообра-
зен. Под его руководством был проведен большой цикл работ по теории ра-
кетных двигателей различных схем, теории горения, газовой динамике. Он
был инициатором и руководителем целого комплекса работ по гиперзвуко-
вой аэродинамике, теплообмену и теплозащите при входе в атмосферу с кос-
мическими скоростями.
Одновременно Мстислав Всеволодович руководил отделом механики
Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, ориентировав его
на проведение теоретических исследований проблем космических полетов.
В отделе разрабатывалась теория движения ракет с ЖРД, был выполнен
большой цикл исследований по динамике и управлению полетом составных
ракет. Большое значение имели работы по оптимизации параметров состав-
ной ракеты, по методам расчета движения ракет с учетом подвижности жид-
кого наполнения баков.
Глубоко понимая важность фундаментальных исследований, М. В. Кел-
дыш считал, что систематическое обеспечение работы конструкторов ракет и
космических аппаратов, создающих принципиально новую технику и тех-
нологию,— не менее серьезная задача, решение которой само по себе явля-
ется высокой наукой?*
Яркой страницей в жизни Мстислава Всеволодовича был его творческий
союз с Семеном Алексеевичем Лавочкиным, ознаменовавшийся выдающими-
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
23
ся научными и техническими достижениями, заложившими основы полета
■самолетов с большими, сверхзвуковыми, скоростями. Были разработаны
вопросы теории сверхзвуковых двигателей, исследована совместная работа
двигателя с летательным аппаратом, решены проблемы защиты от аэродина-
мического нагрева. Под руководством М. В. Келдыша были решены проб-
лемы длительного автономного полета сверхзвукового летательного аппарата,
разработаны теоретические основы и система астронавигации.
Научные и технические задачи, решавшиеся под его руководством, не
были разрозненными фрагментами, а вписывались в единую концепцию,
■сбалансированную стратегию освоения космического пространства с ее близ-
кими и дальними целями.
Авторитет Мстислава Всеволодовича был очень высок потому, что при
обсуждении любых вопросов и принятии решений он всегда исходил исклю-
чительно из интересов дела, отбрасывая иные, особенно конъюнктурные
соображения. Сталкиваясь с необъективностью, он становился жестким и не-
примиримым, и во многом благодаря его принципиальности и ответственно-
сти были выполнены важные программы, обеспечившие решение многих
задач освоения космоса.
Начиная с 1953 г. в Отделении прикладной математики Математического
института им. В. А. Стеклова АН СССР исследования динамики космиче-
ского полета проводились по нескольким направлениям: рассматривались
задачи выведения на орбиту спутника, спуск с орбиты, а в дальнейшем за-
дачи динамики полета к Луне. В октябре 1957 г. прорыв в космос свершился.
Возникла новая область техники, новая область человеческого знания, пе-
ред человечеством открылись широкие возможности и грандиозные перспек-
тивы.
М. В. Келдыш понимал, что запуск первого искусственного спутника
Земли явится только началом гигантской работы по освоению космического
пространства в интересах развития науки и народного хозяйства, прогресса
человечества. Вот почему еще задолго до этого события он приступил к раз-
работке советской космической программы, направленной на создание кос-
мических аппаратов, на их использование в народном хозяйстве и для раз-
вития науки. С этой целью им привлекаются видные ученые из разных об-
ластей науки: физики, астрономы, медики, геологи, метеорологи.
В феврале 1954 г. М. В. Келдыш собрал совещание по проблеме искус-
ственного спутника Земли, на которое были приглашены многие крупные
ученые страны. С. П. Королев в своем выступлении на совещании кратко
изложил перспективы создания искусственного спутника. Главной зада-
чей совещания было формирование научной программы будущего спутника.
Мстислав Всеволодович не сомневался, что искусственные спутники будут
сделаны, и понимал, что программа научных исследований должна быть за-
благовременно выработана.
В 1959 г. М. В. Келдыш и С. П. Королев направили в Правительство
Докладную записку о развитии научно-исследовательских и опытно-конст-
рукторских работ по освоению космического пространства, в которой были
предложены необходимые для этого организационные! меры. Прошло двад-
цать пять лет с момента написания этого документа. Сейчас видно, насколько
правильно и прозорливо М. В. Келдыш и С. П. Королев представляли раз-
витие космонавтики. Теперь большинство их предложений уже реализовано.
Созданы многочисленные серии космических аппаратов, осуществлены вы-
24
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
дающиеся научные эксперименты, развились новые научные и технические
направления. Организован ряд крупных научных центров, играющих важ-
ную роль в работах по исследованию космического пространства. В частно-
сти, на базе Отделения прикладной математики Математического института
им. В. А. Стеклова в 1966 г. был создан Институт прикладной математики
АН СССР, ставший ведущей организацией по проблемам динамики косми-
ческого полета и космической баллистики.
Возглавляя этот институт, Мстислав Всеволодович постоянно проявлял
заботу о самом широком применении электронно-вычислительных машин в
космической технике. Под его руководством в институте был создан перво-
классный вычислительный центр по обработке траекторной информации, вы-
работке управляющих команд. Этот центр наряду с другими такими центра-
ми стал одним из элементов контура управления полетом космических аппа-
ратов.
М. В. Келдыш развивал и поддерживал очень важное для космонавтики
направление — баллистическое проектирование межпланетных перелетов.
Это направление включает в себя обширный цикл работ по комплексному
анализу систем космического аппарата с целью увязки их с баллистически-
ми требованиями. Одновременно в институте развился ряд других важных
направлений, связанных с изучением космоса, физикой планет и астрофизи-
кой.
При обсуждении различных программ, проектов М. В. Келдыш делал
много замечаний, и часто таких, с которыми конструкторы не хотели согла-
шаться. В этих случаях он никогда не использовал свой авторитет и свое по-
ложение. Он говорил, что последнее слово, конечно, принадлежит конструк-
тору. Однако спустя некоторое время, как правило, его замечания прини-
мались. Его любили и уважали все, кто с ним работал, и не соглашаться с
ним было почти невозможно. Так, М. В. Келдыш очень четкой своевременно
поставил вопрос о создании массовой относительно дешевой ракеты-носителя
для запуска спутников относительно небольшого веса, предназначенных для
выполнения широкого спектра научных экспериментов в космосе. Это пред-
ложение сначала не было понято и оценено большинством специалистов.
Однако благодаря его настойчивости идея нашла свое воплощение в создании
ракет-носителей, на которых и выводятся многочисленные семейства спут-
ников «Космос».
Характерными чертами М. В. Келдыша как руководителя космических
программ страны были последовательность и настойчивость в достижении
поставленной цели, доведение до конца, «без шараханий», решения постав-
ленной задачи. Эти черты особенно четко проявились при осуществлении
программы исследования Луны и планет с помощью автоматических косми-
ческих аппаратов. Начало этих работ было положено в ОКБ С. П. Короле-
ва. В 1965 г. программу возглавил главный конструктор Г. Н. Бабакин,
человек очень высокой квалификации, увлеченный идеей полетов к другим
планетам. И естественно, что М. В. Келдыш сразу оценил Г. Н. Бабакина,
увидев в нем энтузиаста и единомышленника. Они совместно решали возни-
кающие научные и технические проблемы. Г. Н. Бабакин был постоянным
участником семинаров и совещаний, которые собирал М. В. Келдыш, а
Мстислав Всеволодович, несмотря на огромную занятость, стал своим че-
ловеком в ОКБ, на космодроме, в Центре дальней космической связи.
Огромная заслуга М. В. Келдыша в том, что он всячески поддерживал
Обзор научной деятельности Μ. В. Келдыша
25
и направлял лунную программу. Он привлек к научным исследованиям боль-
шие группы ученых, сам лично руководил семинарами, где обсуждались ре-
зультаты исследований и намечались дальнейшие планы. Не менее эффектив-
ной и систематической была совместная работа М. В. Келдыша и Г. Н. Ба-
бакина по организации исследований планеты Венера, в результате которых
были получены фундаментальные научные результаты.
С. П. Королев и М. В. Келдыш всегда считали важной целью создание
пилотируемых аппаратов, освоение космоса человеком. В связи с большой
сложностью и ответственностью пилотируемых полетов подготовка к ним на-
чалась задолго до запуска первого космического аппарата с человеком на
борту. Особое значение придавалось проблемам жизнеобеспечения, медико-
биологическим исследованиям. По инициативе С. П. Королева и М. В. Кел-
дыша была организована служба радиационного контроля космического про-
странства и подготовки космонавтов, а затем создан специальный Институт
медико-биологических проблем.
12 апреля 1961 г. Юрий Гагарин открыл эру пилотируемых полетов в кос-
мосе. М. В. Келдыш принимал активное участие в подготовке и анализе ре-
зультатов этого и последующих полетов, которые все более усложнялись.
Он придавал большое значение выходу человека в открытый космос, и, когда
такой эксперимент 18 марта 1965 г. был осуществлен, он охарактеризовал его
как начало качественно нового этапа в исследовании Вселенной. Он гово-
рил, что теперь открываются новые грандиозные перспективы создания орби-
тальных станций, стыковки космических кораблей на орбите; что в недале-
ком будущем на орбите вокруг Земли можно будет создать космический науч-
но-исследовательский институт, в котором смогут работать ученые самых
различных специальностей.
Мстислава Всеволодовича волновали и перспективы использования космо-
навтики для нужд народного хозяйства. Он хорошо понимал огромное зна-
чение использования автоматических космических аппаратов для связи и
телевидения, метеорологии и охраны окружающей среды, исследования при-
родных ресурсов, картографии и т. д. Он выступал с предложениями о более
эффективном использовании данных о природных ресурсах, получаемых со
спутников, и упорядочения системы их передачи заинтересованным минис-
терствам и ведомствам. С большим вниманием он относился к перспективам,
открываемым космической технологией, к возможности получения с ее по-
мощью различных материалов с улучшенными свойствами, и в частности
кристаллов, свободных от дислокаций.
Вспоминается, как, слушая рассказ о первых результатах экспериментов
на станции «Салют-5», он вникал в самую суть технологического процесса,
требовал обоснования каждого вывода, выявления физики явления в сопос-
тавлении с аналогичными явлениями в земных условиях. Все это характер-
но для стиля работы Мстислава Всеволодовича, его способности заставить
собеседника часто по-новому взглянуть на те результаты и те проблемы, о ко-
торых он пришел рассказать. С таким же желанием понять главное, осмыс-
лить реальные перспективы и подходил М. В. Келдыш к проблеме косми-
ческой энергетики.
Мстислав Всеволодович внес огромный личный вклад в осуществление
полета «Союз — Аполлон» и в развитие пилотируемых полетов по програм-
ме «Интеркосмос». Он был твердо уверен, что проникновение в космос яв-
ляется одним из важнейших достижений нашей эпохи.
26
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша
«Сейчас трудно перечислить все задачи практического и научного харак-
тера,— говорил Мстислав Всеволодович в одном из своих последних вы-
ступлений,— которые решаются с помощью ракет. Но если оглянуться на-
зад, то можно сказать, что мы узнали много нового о Земле, мы узнали мно-
го о ближайших планетах — о Луне, о Марсе, о Венере. Больше того, полет
в космос позволил по-иному взглянуть на Землю». Цветные фотопанорамы
планеты, переданные станциями «Венера-13 и -14» в 1982 г.,— это продол-
жение исполнения замыслов Мстислава Всеволодовича.
М. В. Келдыша знали во всем мире, отождествляя его личность с успе-
хами советской науки. Благодаря своему таланту он умел быстро ориенти-
роваться в различных областях современной науки, замечать ростки нового,
всемерно поддерживать фундаментальные исследования по наиболее пер-
спективным направлениям. И высокое звание трижды Героя Социалистиче-
ского Труда — достойная и заслуженная оценка деятельности этого заме-
чательного ученого, крупного организатора, сделавшего столь много для
увеличения мощи и авторитета советской науки.
I
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
К ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ОБЛАСТЕЙ,
ОГРАНИЧЕННЫХ СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ПОЛИНОМОВ,
ОГРАНИЧЕННЫХ В СОВОКУПНОСТИ
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
НА КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
ОБ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПОЛИНОМАМИ
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ КАРЛЕМАНА
ОБ АППРОКСИМАЦИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЯХ
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
РЯДАМИ ПОЛИНОМОВ В ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЯХ
ОЦЕНКА ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ
О ЗАМКНУТОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
С ВЕСОМ СИСТЕМ ПОЛИНОМОВ
О СРЕДНИХ КВАДРАТИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ПОЛИНОМАМИ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
О ПРИБЛИЖЕНИИ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
ОБ ОДНОЙ ТАУБЕРОВОЙ ТЕОРЕМЕ
О РЯДАХ ПО РАЦИОНАЛЬНЫМ ДРОБЯМ
1
К ТЕОРИИ
КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ *
Совместно с М. А. Лаврентьевым
Пусть D есть область Жордана, ограниченная спрямляемой кривой Г,
и пусть w = / (z) есть функция, реализующая конформное отображение кру-
га | z | < 1 на область D. Ряд граничных задач теории функций сводится к
вопросу о представимости функции In | /' (z) | при | z \ < 1 интегралом Пу-
ассона. В первом пункте настоящей заметки дается решение этой задачи, а
также задач, с ней связанных. Во втором рассматривается вопрос о предста-
вимости функции z = φ (w), обратной для w = f (z), рядом полиномов.
1. Теорема 1. Существует односвязная и однолистная область Δ,
отличная от круга \w\ < 1, ограниченная спрямляемой кривой Г, содержащая
точку w = О и такая, что при конформном отображении этой области на
круг | z | <Г 1, z = φ (w), φ (0) = 0, всякая дуга γ, принадлежащая Г, перехо-
дит в дугу окружности \ z \ = 1 той же длины.
Отметим ряд свойств области Δ.
Свойство 1. Для функции, дающей конформное отображение кру-
га | z | < 1 на область Δ, ln| /' (z)\ не представим интегралом Пуассона.
Свойство 2. Каковы бы ни были числа δ > 0, К ]> 0, существуют
числа ε > 0, ρ < 1 и на кривой | φ (w) \ = ρ система дуг с суммой длин,
равной ε, такие, что при отображении Δ на круг | z\ <[ 1 дугам у{ соответству-
ют дуги окружлосги | z\ = ρ, сумма длин которых больше, чем К\ 1η ε|_1"δ
(ср. [1]).
Свойство 3. Пусть г— конформный радиус области Δ, соответст-
вующий точке w = 0 (г = | φ' (0)| ), и пусть ψ {w) — функция, правильная
в замкнутой области и удовлетворяющая условию | Ψ (0)| = 1. Существует
абсолютная константа а > 1, такая, что
5|T(u>)||Ai>|>2iira.
г
Из рассмотрений В. И. Смирнова [2] и свойства 1 области Δ непосредст-
венно вытекают дальнейшие свойства этой области.
Свойство 4. В области Δ существует функция F (w), представимая
в Δ интегралом Коши и такая, что внутри Δ имеем | F (w)\ ^> 1, а на грани-
це Δ почти всюду | F (w) \ = 1.
Свойство 5. Для области Δ не существует полной системы полино-
мов, ортогональных по контуру Г.
2. Пусть D — произвольная однолистная и односвязная область, огра-
ниченная спрямляемой кривой Г и содержащая точку w = 0. Обозначим
через Jn (w) x полином
J η (w) = w + c2w2 + . . . + cnwn,
* Докл. АН СССР, 1935, т. 1, № 2/3, с. 85—87.
1 Полиномы Jn (w) были впервые рассмотрены Г. Жюлиа.
30 /. Теория функций комплексного переменного
реализующий минимум интеграла
^\P'n(w)\\dw\,
где Рп (w) = w + a2w2 + . . . + anwn.
Обозначим через К0 класс односвязных областей, ограниченных спрям-
ляемой кривой и таких, что In | f' (z) | представим интегралом Пуассона при
| z\ < 1, где w = f (z), f (0) = 0, есть функция, дающая конформное отобра-
жение круга на область D.
Класс К0 содержит все области, ограниченные спрямляемой кривой и
принадлежащие классу R (т, + оо) или классу R (— оо, М).
Класс К0 также содержит все области, граница Г которых обладает сле-
дующим свойством: существует число p, p > 0, такое, что какова бы ни
была дуга γ, γ с Г, отношение длины γ к ее диаметру не больше р.
Теорема 2. Для того чтобы последовательность полиномов Jn (w)
сходилась внутри области D к функции, дающей конформное отображение D
на круг \ z \ < 1, φ (0) = 0, φ' (0) = 1, необходимо и достаточно, чтобы D
принадлежала классу К0. Если область D принадлежит классу К0, то
сходимость равномерна в замкнутой области D.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. А. О некоторых свойствах однолистных функций.—Докл. АН СССР,
1935, т. 1, № 1, с. 1—4.
2. Smirnoff V. Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problèmes qui s'y ratta-
chent.— Изв. АН СССР. OMEH, 1932, № 3, с 338—372.
2
О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ОБЛАСТЕЙ,
ОГРАНИЧЕННЫХ
СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ*
Совместно с М. А. Лаврентьевым
ВВЕДЕНИЕ
Пусть D — односвязная, однолистная область, ограниченная простой
спрямляемой кривой, лежащая в плоскости комплексного переменного.
Обозначим через w = f (z) функцию, реализующую конформное отображе-
ние области D на круг | w \ < 1 и пусть z = φ (w) — обратная функция.
Ряд граничных задач теории функций сводится к следующему вопросу:
представима ли гармоническая функция In | φ' (w) \ в круге | w \ < 1 ин-
тегралом Пуассона от ее граничных значений на окружности | w \ = 1?
В. И. Смирнов, например, доказал, что необходимым и достаточным
условием для того, чтобы система полиномов, ортогональных по контуру Г
области D, была полна, является представление функции In | φ' (w) |
* Ann. sci. Ecole norm, super., 1937, t. 54, f. 1, p. 1—38.
2. О конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми кривыми 31
интегралом Пуассона. Смирнов доказал, что такое представление является
также необходимым и достаточным условием для того, чтобы всякая функция,
определенная в D и представимая интегралом Когпи, удовлетворяла принципу
максимума [1].
В первой части этой статьи мы докажем несколько теорем о соответствии
границ при конформном отображении, а затем из этих теорем получим не-
сколько геометрических условий, достаточных для того, чтобы функция
In| φ' (w)\ была представима интегралом Пуассона.
Во второй части мы построим пример области D, который дает отрица-
тельный ответ на общий вопрос, поставленный выше. Затем укажем некото-
рые свойства областей, для которых функция 1η | φ' (w) | не представима ин-
тегралом Пуассона.
Третья часть посвящена исследованию некоторых классов экстремальных
полиномов, введенных Жюлиа. Исследование сходимости этих полиномов
тесно связано с вопросом, рассматриваемым в первой части.
Результаты этой статьи были сформулированы без доказательства в на-
ших трех заметках: «К теории конформных отображений» [2], «Об одном клас-
се экстремальных полиномов» [3] и «О некоторых свойствах однолистных
функций» [4].
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
(краткое содержание) *
Следуя авторам статьи, будем использовать следующие обозначения.
Всюду в дальнейшем D — односвязная область комплексной плоскости zr
ограниченная простой замкнутой спрямляемой кривой Г. Через w = f (z)
обозначается конформное отображение области D на единичный круг | w | <
< 1, а через z = φ (w) — обратное отображение. Понятие меры множества,
расположенного на границе области D, не нуждается в этом случае в особых
пояснениях: мерой дуги спрямляемой кривой считается ее длина.
По теореме о соответствии границ отображения w = / (z) и z = φ (w) не-
прерывно продолжаются до отображений замкнутых областей. Образ мно-
жества Е, лежащего в замыкании области D, при отображении w = f (z)
будем обозначать через / (Е).
Введем в рассмотрение функцию η (ε) = sup mes / (Ε), где верхняя грань
Ε
берется по всем множествам Е, лежащим на границе области D и удовлетво-
ряющим условию mes Ε ^ ε.
Первая теорема из опущенной первой части принадлежит М. А. Лав-
рентьеву и гласит:
Теорема I. Если область D содержит круг \ z | < 1, а / (0) = 0, то
η (ε) < Kl/(i + I In ε t ),
где I — длина кривой Г, а К — абсолютная константа.
Эта теорема полностью доказана, например, в работе М. В. Келдыша
и М. А. Лаврентьева «Оценка для относительной гармонической меры» (см.
наст, кн., ст. 10). В следующем пункте первой части со ссылкой на работу
* В настоящем переводе первая часть статьи опущена, так как доказательства некоторых
приведенных в ней утверждений ошибочны. Вопрос о том, верны ли эти утверждения,
до конца не выяснен. Все четыре теоремы этой части содержатся также в работе
М. А. Лаврентьева «О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций»
(Мат. сб., 1936, т. 1 (43), вып. 6, с. 815—844). Поэтому изъятие первой части статьи
не наносит ущерба полноте, с которой представлены результаты М. В. Келдыша»
32
/. Теория функций комплексного переменного
М. А. Лаврентьева [5] была сформулирована теорема II, которая поэтому
здесь опущена. Далее анонсирована
Теорема III. Если в условиях теоремы I ми дополнительно предпо-
ложим, что каковы бы ни были две точки границы Г, отношение длины мень-
шей из дуг, опирающихся на эти точки, к ее хорде не больше ρ, ρ < оо, тогда
при конформном отображении w = / (z), / (0) = 0, области D на круг \ w | <
< 1 множеству Ε границы Г отвечает на окружности \ w \ = 1 множество
(о, такое, что
mes Щ < 2πεδ,
где δ зависит лишь от р.
В четвертой теореме рассматривается вопрос о представлении гармониче-
ской функции In | φ' (w) \ интегралом Пуассона. Первое утверждение теоре-
мы гласит, что для области D, принадлежащей классу R (т) (определение
класса см. в наст, кн., ст. 10), имеет место представимость In | φ' (w) | интег-
ралом Пуассона. Корректное доказательство этой теоремы приведено на
с. 250—252 книги И. И. Привалова «Граничные свойства аналитических
функций» (М.; Л.: Гостехиздат, 1950). Во втором утверждении аннотированно,
что представимость имеет место также и для областей D, удовлетворяющих
условиям теоремы III.
ВТОРАЯ ЧАСТЬ
1. Для того чтобы решить общий вопрос, поставленный во введении,
докажем следующую теорему.
Теорема. Каково бы ни было положительное число р, существует об-
ласть Δ, обладающая следующими свойствами:
1°. Область Δ односвязная, однолистная и ограничена простой спрямляе-
мой кривой Г, содержащей точку 2=0.
2°. Область Δ не совпадает с кругом \ z | < 1 и содержится в круге
М<р.
3°. При конформном отображении z = φ (w), φ (0) = 0, области Δ на
круг I w I < 1 каждой дуге у кривой Г соответствует дуга окружности
| w | = 1 той же длины.
2. Отметим сначала некоторые свойства одного элементарного конформ-
ного отображения, которое впоследствии нам понадобится.
Рассмотрим круг \ z | < 1. Пусть z = reiQ, а Сф — дуга окружности
| z | = 1, определенная неравенством —φ ^ θ ^ φ. Заменим дугу Сф кру-
говой дугой Сф^, расположенной вне круга \ z | < 1, концы которой совпа-
дают с точкамиV"i(P и е{{*> и которая образует угол, равный γπ, с дугой Сф.
Обозначим через Ζ)φ,γ область, содержащую начало координат и ограничен-
ную полученной кривой. Пусть w = hy (z) — функция, реализующая кон-
формное отображение области Ζ)φ,γ на круг, которая удовлетворяет условиям
hy (0) = 0, Ну (0) > 0. Функция hy (z) дается формулой
hy (z) - exp [- icp (1 + γ)] |1+Υ = z _ exp (- ,·φ) ^
Av(2) —exp[i<p(l+V)] J s-exp(icp)
Предположим, что числа φ и γ удовлетворяют неравенствам
φ < л/4, у < 1/2, (2)
2. О конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми кривыми 33
и укажем некоторые свойства функции hy (z). Используя хорошо известный
принцип Монтеля [6], докажем немедленно лемму.
Лемма 1. На части окружности \ z \ = 1, принадлежащей границе
Ζ)φ)ν, имеем неравенство
I hy (z) I > 1. (3)
Посредством элементарного вычисления получаем следующее свойство.
Лемма 2. Минимальное значение функции \ h'y (z) \ на £φ?ν достига-
ется в точке z0 пересечения дуги С^^с действительной осью 1. Это минималь-
ное значение дается формулой
«,' / ν _ 1 (1 - cos [φ/(1 + У)] 11 + cos (γπ + <Р) Ι
rty\zo)— 1 + γ sin φ sin [φ/(1 + γ)]
Из этого выражения и из неравенств (2) вытекает, что существует константа
С1? независимая от φ и γ и такая, что
| hy (*„) I > 1/(1 + С1У).
Обозначим через s длину дуги Сф, а через σ — длину дуги Сф)у. Легко
видеть, что если неравенства (2) выполнены, то существует константа С2,
независимая от φ и γ и такая, что
(σ - s)/s > С2у2.
Опираясь на эти два неравенства и принимая во внимание неравенство
\h'y (z0) |^1, получаем немедленно следующее предложение.
Л е м м а 3. Если числа φ и у удовлетворяют неравенствам (2), то су-
ществует константа С, независимая от φ и у и такая, что длины дуг Сф и
1 В самом деле, положим w = реш, ψ = φ/(1 + у). На дуге | ω | < ψ окружности | w \ =
= 1, соответствующей дуге С v, имеем выражение для модуля производной
I ,а , х sin* . Ψ + ω . ψ — ω Γ . я(т)*-^ ,
| = (* + У) "iinTSln 2 sm ~~2 LSm "^~ +
| dw
+ sin2d+v) 1+ω- _2sinCm) ±Ζ± sia(i+v) JL+Л cos (1 + γ)(я + ψ,]"1.
Очевидно, что если условие (2) выполнено, то числитель достигает максимального зна-
чения на дуге | ω | ^ ψ в точке ω = 0. Обозначим через g (ω) знаменатель выражения
dz/dw. Производная g (ω) может быть представлена в следующем виде:
+ [(sin2vl+^. + sin2vl^)co^_
ψ _{_ ω ψ — ω τ Ι
— 2 sinv —2— sin —2— cos ^π + Φ) sin ω[ ·
Предположим, что условие (2) выполнено. Тогда имеем
ψ < π/2, ψ < γπ + φ < π.
Отсюда вытекает для | ω | <ψ, что выражение g' (ω) имеет тот же знак, что и ω, сле-
довательно, g (ω) достигает своего минимума в точке ω = 0. Это доказывает, что
| dz/dw | достигает своего максимума в точке ω = 0, а минимум | dw/dz | находится
в точке zQ.
3 Μ. В. Келдыш. Математика
34
7". Теория функций комплексного переменного
£φ,γ удовлетворяют неравенству
(a-»)/i>C|l-*;(i,)[·. (4)
3. Перейдем теперь к построению области Δ, удовлетворяющей условиям
сформулированной теоремы. Построим последовательность областей Δ0,
Δ1? . . ., Am, . . ., каждая из которых содержит предшествующую. Область
Δ будет определена как сумма областей Ат.
Сформулируем следующее определение. Пусть С — дуга окружности
\ z \ = г. Обозначим через Су дугу окружности, концы которой совпадают
с концами дуги С, лежащей вне круга \ z | < г и образующей угол, равный
γπ, с дугой С.
Предположим еще, что ηη — последовательность неотрицательных чисел,
сходящаяся к нулю.
Область Δ0. Пусть ρ < 1 — произвольно малое положительное чис-
ло, которое фигурирует в формулировке теоремы. Область Δ0 есть круг
I z |< р/2.
Область Δ1β Разобьем окружность | z | = р/2 на четыре равные час-
ти, и пусть С\ — одна из этих частей. Заменим одну из дуг Cl на С\ v и обо-
значим через Dl0yy область, ограниченную остальной частью окружности
| z | = р/2 и дугой CJ, γ. Пусть w = ftj, v (z) — функция, реализующая кон-
формное отображение области Dl0t v на круг | и?| < 1 и такая, что Aj, v (0) =
= 0, hl0'у (0) > 0. В силу леммы 2 (см. п. 2) минимальное значение | hl[y (z)\
на границе области Dl0'y достигается в середине zt дуги Cj, Y. Определим те-
перь число у следующим образом: если существует значение у, не большее 1/2
и такое, что | Ajf'v (z{) \ = 1, то у равно наименьшему значению у, обладаю-
щему этим свойством, в противном случае у = 1/2.
По определению, область ΔΧ есть сумма четырех областей Ζ)0, γ· Область
ΔΧ односвязная, однолистная и ограниченная четырьмя круговыми дугами.
Далее будем обозначать эти дуги через Г}, а всю границу области ΔΧ — через
IV Очевидно, что область Δ1? так же как ее граница, содержится в круге
I* |<р.
Пусть w = Д (z) — функция, реализующая конформное отображение
области ΔΧ на круг j w \ < 1 и такая, что
Л (0) = о, fi (0) > о.
В силу принципа Монтеля и свойств функции hy (z) имеем в замкнутой
области ΔΧ неравенство \f[{z) | > 1.
Область Ат, т > 2. Предположим, что область Am-i построена
и удовлетворяет следующим условиям:
а) область Ат_! односвязная, однолистная и содержащаяся, так же как
и ее граница Гт_1? внутри круга \ z \ < р;
б) контур Гт_! есть простая кривая, являющаяся суммой счетного коли-
чества аналитических дуг Г^;
в) функция w = /m_! (z), реализующая конформное отображение области
Am_! на круг \ w | < 1, удовлетворяет условиям
/т_х (0) = 0, Гт-Х (0) > 0
и неравенству
l/^-i (z)l>l. (5)
2. О конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми кривыми 35
Предположим также, что построена область Qm_2, ограниченная простой
кривой, содержащаяся в круге \ z | < ρ и содержащая область Am_l7 а также
все регулярны^ точки Tm-V Граница Qm_2 содержит некоторую часть мно-
жества иррегулярных точек контура Гт_х (Ω0 — круг \ z | < р).
Перейдем теперь к построению области Ат. Пусть, прежде всего, Qm_! —
область, обладающая следующими свойствами:
область Qm_! содержится в области йт_2, следовательно, тем более об-
ласть Qm-i, так же как ее граница, принадлежит кругу \ z | < р;
область Qm_x содержит область Am_-1? а граница £2т_х — только все ирре-
гулярные точки контура Тт-г;
граница Qm_! есть простая замкнутая кривая;
функция /m_x (z) регулярная и однолистная внутри Ω™^.
Пусть Фт-! — область, соответствующая Qm_! в плоскости переменного
ξ = /m_! (z); ©m-i — дуги окружности | ξ | = 1, соответствующие дугам
Гт-i; z = фт-х (ξ) — обратная функция ξ = /m_x (z). В круге | ξ| < 1 име-
ем неравенство
| <р'т-г (ξ) | < 1. (6)
Разобьем каждую дугу (£$-1 на счетное количество частичных дуг та-
ким образом, что какова бы ни была дуга С подразбиения, удовлетворяются
три следующих условия:
1) область i£, ограниченная круговыми дугами С и &/2, полностью ле-
жит внутри области Фт-;и
2) внутри области К функция (рт_! (£) удовлетворяет неравенству
osc | (pw_! (ξ) \<v\m-1 min | φ^_Χ (ξ) |; (7)
3) пусть Σ — дуга границы rm_! области Am_1? соответствующая С,
а δ — хорда дуги Σ; в таком случае имеем
где дл. — длина соответствующей дуги.
Такое подразбиение, очевидно, возможно. Итак, мы получили подразбие-
ние всей окружности | £ | = 1 на счетное количество дуг Cm-i с соответст-
вующими областями К?п_1т Обозначим через 2^-1 соответствующие дуги
кривой Гт_1в Пусть μ^-i — максимальное значение | φ^-x (ξ) | в области
Km-i- Заменим дугу Cm-i окружности | £ | = 1 дугой Cm-i, γ? и пусть
D-m-i, γ — область, ограниченная остальной частью окружности и дугой
Cm-i, ν Обозначим через w = ftm-i, γ (?) функцию, реализующую конформное
отображение области Dm-i, γ на круг \ w | < 1, удовлетворяющую условиям
/C-i,Y(0) = 0, /4'-i,y(0)>0,
и пусть tn — середина дуги Cm-i, γ· Определим теперь число уп следующим
образом: если существует значение γ, не большее 1/2 и такое, что
Ι "т—1, γ (tn) I = ^m—1»
то yn равно наименьшему значению γ, обладающему этим свойством, в про-
тивном случае уп = 1/2.
3
*
36
7". Теория функций комплексного переменного
Обозначим через Dm сумму всех областей Z)^ - , а через и; = hm_x (£) —
функцию, дающую конформное отображение этой области на круг | w | < 1
и удовлетворяющую условиям
hm-г (0) = 0, /4-1 (0) > 0.
Используя принцип Монтеля, тотчас убеждаемся, что на всякой дуге
Си, имеем
|Α™-1(«)|>μ»-1. (9)
С другой стороны, применяя лемму 3 (см. п. 2) к функции Am-i, у, получим
следующее неравенство:
(alU — C-i)/*m-i > С (1 - μ* _-i)2, (10)
где С-1 — длина дуги C^-i', tfm-i — длина дуги Сп - ; С — абсолютная
константа.
По определению, область Дт есть образ области Dm при отображении
z = фт_! (ξ). Область Дт односвязная, однолистная и содержится, так же
как ее граница, в круге \ z | < р, так как область Dm лежит внутри области
Z)m_1. Конформное отображение w = fm (z) области Дт на круг | w | < 1
такое, что fm (0) = 0, f'm (0) > 0, дается формулой
U> = fm № = hm-l lfm-l («)]- (И)
Из этого соотношения легко выводим, что внутри Дт имеем неравенство
|/«(*)1>1. (12)
В самом деле, пусть Г^ — дуга границы Ат, соответствующая дуге ок-
ружности Спш - . На C*f- имеем
| /4-г (ξ) Ι > μ£_1, Ι φ™_! (ξ) | < μ^-ь
следовательно, на дуге Г^ функция /m_n (z) удовлетворяет неравенству
|/m-l(2)|>l/Mm-l,
откуда на дуге Г^ имеем
|/m(2)|=|/m-l(z)||Am-l(0|>l.
Отсюда следует, что неравенство (12) выполняется на границе Дт. Оно имеет
место внутри Ат, так как функция fm (z) не обращается в нуль внутри этой
области.
Граница Гт области Ат есть сумма счетного числа аналитических дуг
Г™» соответствующих дугам C^-i, γ. Обозначим через d длину дуги Σ^_1?
а через λ^ -— длину Г£. Пусть ν^ -— минимум | φ^_1 (ξ) | в области K^-i-
Принимая во внимание неравенство (7), имеем
λ П «*ν^ П ^П lV. - П /Λ Ι ηη \ П
2. О конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми кривыми 37
и в силу (10) получаем основное неравенство
К~7пт >(1-η™-1)^(1-μ^)2-η^-1. (13)
т
Если области Ат построены, определяем область Δ как сумму всех областей
Ага.
4. Докажем, что область Δ удовлетворяет всем условиям сформулирован-
ной теоремы. Очевидно, что область Δ односвязная, однолистная и содержа-
щаяся в круге \ z | < ρ, так как всякая область Ат удовлетворяет этим ус-
ловиям. Из последнего упомянутого свойства области Δ следует, что она не
совпадает с кругом \ z | < 1, (р < 1). Граница Г области Δ есть простая
кривая. В самом деле, дуга Г, концы которой совпадают с концами одной
аналитической дуги кривой Гт, лежит между этой дугой Тт и дугой грани-
цы Qm, имеющей те же концы. Отсюда вытекает, что дуги Г, концы которых
совпадают с концами двух дуг Гп, не имеют общих точек.
Пусть w = f (z) — функция, реализующая конформное отображение об-
ласти Δ на круг \w | < 1, / (0) = 0, /' (0) > 0. В силу теоремы Каратеодори
/ (z) = lim fm (z). (14)
Отсюда вытекает, что внутри Δ имеем неравенство
|/»|>1. (15)
Это доказывает, что граница Г есть спрямляемая кривая и что
дл. Г ^ 2π. (16)
Остается доказать, что область Δ удовлетворяет условию (3) сформули-
рованной теоремы. Чтобы убедиться в том, что условие (3) выполнено, дос-
таточно доказать равенство
дл. Г = 2π. (17)
В самом деле, из этого равенства и из соотношения (15) следует, что почти
всюду на кривой Г имеем | /' (z) \ = 1.
Согласно построению Δ кривая Г содержит все концы аналитических дуг
Г^. В силу неравенства (8) следует, что
дл. Гт<(1 +ηΛ). дл. Г. (18)
Предположим против ожидания, что дл. Г меньше, чем 2π; дл· Г =
= 2π (1 — β). В силу (18) при достаточно большом числе т получаем
дл. Гт=5|Фт(ш)||^|<2л(1--|-). (19)
с
Пусть С — окружность I w | = 1, а φ^ (w) — обратная функция /m (z).
Пусть Ет — множество точек, удовлетворяющих неравенству | φ^ (w) \ <C
< 1 — β/4. В силу хорошо известной оценки из (19) вытекает, что mes Em ^>
]> πβ, следовательно, сумма длин дуг Cm, таких, что μ^ < (1 — β/4) (Ι +
+ Цт), больше πβ. Отсюда вытекает, что существует абсолютная константа
а, такая, что сумма длин соответствующих дуг Σ^ больше α (это вытекает
из теоремы I первой части). Принимая во внимание неравенство (13)
38
/. Теория функций комплексного переменного
для каждой из этих дуг Σ^, имеем
" >(1 — Ατη) С (-§- — r\mJ — Г\„
in /η
лт+1 "™ *m-fl
Zn
для всех других дуг Σ^, используя неравенство (8), получаем
1П /Π
vm+l m-fl -^
"m-fl
откуда
Дл. Гт+1 > (дл. Гт - a) (1 - r]m) + α [1 + С (1 - η™) (β/4 - r]m)2 -r]m],
τ. е. при достаточно большом т имеем
дл. Гт+1 > (1 — Лт)-ДЛ.Гт + Са-^-.
Полученное неравенство несовместимо с (19), следовательно, дл. Г равна 2π.
5. Для того чтобы дать отрицательный ответ на поставленный во введе-
нии вопрос, докажем следующее предложение:
Пусть Δ — область, удовлетворяющая условиям теоремы, a z = φ (w) —
функция, реализующая конформное отображение круга \ w | < 1 на Δ,
φ (0) = 0, φ' (0) ]> 0. Функция 1η | φ' (w) \ не представима интегралом Пуас-
сона от ее граничных значений на окружности \ w \ = 1.
В самом деле,
$ 1η|φΗ||^|=0,
M=i
тогда в силу леммы Шварца | φ' (0) | ^ ρ < 1 и, следовательно,
In | φ' (0) I < 0.
Укажем несколько интересных свойств областей Δ, полученных при со-
поставлении результатов Смирнова [1] с приведенным выше предложением.
1°. Для области Δ не существует полной системы полиномов, ортогональ-
ных по контуру Г.
2°. Существует функция F (z), представимая интегралом Коши внутри Δ
и такая, что внутри Δ имеем | F (z) | > 1, а на границе Δ почти всюду имеем
\F(z)\ = t.
Пример такой функции получаем, полагая F (z) = /' (z), где / (z) есть
функция, реализующая конформное отображение области Δ на круг | w | <
<1.
3°. Пусть Dn — последовательность областей, сходящаяся к Δ таким об-
разом, что всякая Dn содержит Δ = Δ + Г. Обозначим через sn длину кри-
вой, соответствующей Г при конформном отображении области Ап на круг
| w |<1.
Мы имеем lim inf (sn) > 2π + α, где a — константа, зависящая только
71-* оо
от области Δ.
В самом деле, Смирнов доказал, что если существует последовательность
областей Δη, таких, что lim sn = 2π, то система полиномов, ортогональных
по контуру Г, полна [1а, с. 354]. Следовательно, свойство 1° влечет за собой
свойство 3°. Легко доказать свойство 3° непосредственно. Обозначая через
2. конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми кривыми 39
/п 00, /п (0) = 0, fn (0) > 0, функцию, реализующую конформное отобра-
жение области Δη на круг \w | < 1, получим в силу равенства | φ' (w) | = 1,
имеющего место почти всюду:
*» = $|/η(*)||ω|= 5 |4"/»[фИ]|^>/»(0)2л,
Г |№|=1
откуда
lim inf sn > lim 2π | /; (0) I = 2π | /' (0) | > 2π,
так как /' (0) ^> 1, что и доказывает 3°.
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ
1. Сформулируем несколько определений, которые мы будем использо-
вать впоследствии. Пусть D — односвязная область, содержащая начало
и ограниченная спрямляемой кривой Г. Пусть w = f (z) — функция, реали-
зующая конформное отображение области D на круг \w | < ρ и удовлетво-
ряющая условиям / (0) = 0, /' (0) = 1, и пусть φ (w) — обратная функция.
Будем говорить, что функция F (z), регулярная внутри области D, при-
надлежит в этой области к классу Ер, если существует последовательность
спрямляемых кривых Сп, лежащих внутри D и сходящихся к ее границе Г,
и такая, что интегралы
$1*Ч*)|р* (1)
Сп
остаются ограниченными.
Легко доказать, что это определение, не требующее знания конформного
отображения области D на круг, эквивалентно определению класса 2?р, дан-
ному Смирновым [1]. Согласно Смирнову, функция F (z) принадлежит
к классу Ер, если интегралы
\F(z)\»ds (2)
остаются ограниченными при г -*■ р, а Гг есть кривая, определенная уравне-
нием | / (z) | ~ г, г < р.
Очевидно, что если условие (2) выполняется, то функция F (z) удовлетво-
ряет условию (1). Докажем, что также справедливо обратное предложение.
Пусть φη (w), φη (0) = 0, φη (0) > 0,— функция, реализующая конформное
отображение круга \w | < ρ на область, ограниченную кривой Сп, и пред-
положим, что
®{w)=F\{w)\V¥W>, ф«И = ЛфИ1^ьЙ·
Функция Фп (w) принадлежит к классу Нр Риса, так как F [φ„ (w)] ограни»
чена, а у φ (w) принадлежит к классу Яр, следовательно, если г < р, то
г С |Φη(Γ*«β)|ΜΘ<ρ С|Фп(ре1в)|р<Ю = ^\F(z)\*>ds<K.
-π -л сп
С другой стороны, по теореме Каратеодори функции Фп (w) равномерно
40
/. Теория функций комплексного переменного
сходятся к функции Φ (w) внутри круга \ w | < р. Отсюда вытекает, что
[\F(z)\pds = jj |0(u;)|p|dti;| = lim [ | Фн И |р I dw | < Я.
гг М=г "^» |10jLr
Опираясь на доказанное предложение, можно сформулировать ряд
свойств функций F (z), принадлежащих к классу Ev. Известно, что функция
F (z) почти всюду на контуре Г имеет предельные значения F (z) по некаса-
тельным путям, что эта функция суммируема и что
limj \F{z)\pds = [\F(z)fds. (3)
2. Установив это, мы можем сформулировать экстремальный принцип,
который определяет функцию / (z), реализующую конформное отображение
области D на круг | w | < р,— принцип, данный Жюлиа [7].
Рассмотрим семейство функций, принадлежащих к классу Ер (р ^> 0)
в области D и удовлетворяющих условию F (0) = 1. Минимальное значение
интеграла
l\F(z)\*ds (4)
г
достигается для единственной функции F0 (z) = [/' (z)]^p.
В частности, при ρ = 1 мы имеем следующий принцип: среди всех регу-
лярных функций внутри области D, непрерывных в замкнутой области, аб-
солютно непрерывных на границе Г и удовлетворяющих условию F (0) = 0,
F' (0) = 1, функция / (z) дает наименьшее значение с интегралом
l\F'(z)\ds. (5)
Г
Указанные экстремальные свойства были доказаны Жюлиа при несколько
более ограничительных условиях, но, опираясь на равенство (3), можно ис-
пользовать его доказательство в рассматриваемом случае.
Хорошо известно, что с каждым экстремальным принципом, характери-
зующим функцию, реализующую конформное отображение области на круг,
можно связать последовательность экстремальных полиномов. Пусть ρ —
фиксированное положительное число. Экстремальный полином рп (z) опреде-
ляется следующим свойством.
Среди всех полиномов п-й степени, удовлетворяющих условию qn (0) = 1,
полином рп (z) дает наименьшее значение интеграла
μ£ = $|*»(*)ΙρΛ. (6)
г
Для того чтобы доказать существование экстремального полинома рп (z),
достаточно заметить, что полиномы qn (z), при которых интегралы (6) равно-
мерно ограничены, имеют равномерно ограниченные коэффициенты. Заме-
тим еще, что экстремальный полином рп (z) является единственным, если
ρ ^> 1. Это вытекает из неравенства Минковского.
Далее мы будем исследовать сходимость полиномов рп (z). Затем укажем
приложение полученных результатов к задаче наилучшей аппроксимации
функций в среднем порядка ρ ^> 0 на контуре Г области D2.
2 Полученные результаты обобщают несколько теорем Смирнова о системах ортогональ-
ных полиномов.
2. О конформном отображении областей* ограниченных спрямляемыми кривыми 41
3. Обозначим через z = φ (w) функцию, реализующую конформное отоб-
ражение круга \ w | < ρ на область D, удовлетворяющую условиям φ (0) =
= 0, φ' (0) = 1. Функция φ' (w) принадлежит к классу Нг, следовательног
функция In | φ' (peiQ) | определена почти всюду и является суммируемой
[8]. Положим
ФИ=ехр[^- 5£ΗΕ|1±^1η,φ'(ρβΧραθ))1^]. (7>
-π
Известно, что функция Φ (w) принадлежит к классу Нг и обладает следую-
щим свойством: какова бы ни была любая другая функция Фг (w), принад-
лежащая к классу Нг, модуль которой почти всюду имеет одни и те же пре-
дельные значения, имеем | Фх (w) \ ^ \ Φ (w) |; если знак равенства имеет
место для внутренней точки w0 (\ w0 | < ρ), то функция Фг (w) отличается
от Φ (w) только постоянным множителем, модуль которого равен единице
[9, 10]. Отсюда вытекает, что Φ (0) > 1, и если знак равенства имеет место*
то получим Φ (w) = φ' (ш). Следовательно, для того чтобы гармониче кая
функция In | φ' (w) | была представима интегралом Пуассона от ее гранич-
ных значений на окружности \w \ = р, необходимо и достаточно, чтобы име-
ло место равенство Φ (0) = 1.
4. Мы можем теперь доказать следующее свойство последовательности
экстремальных полиномов.
Теорема I. Каково бы ни было ρ ^> 0, имеет место соотношение
lim μ£ = lim J I ρη, p (z) |p ds = 2πρΦ (0) > 2πρ. (8>
71—>oo η—*<x> ρ
Заметим, прежде всего, что μ™ > μ^+ъ значит, предел μρ существует. Пусть
на плоскости переменного w = / (z) полином рпф (z) переходит в функцию
πηφ (w) и пусть βη>ρ (w) — функция Бляшке, нули которой в круге | w | <С
< ρ совпадают с нулями ппф (w). Положим
ппф И = Кр И хпф И.
в таком случае имеем
I *п,р (0) I > 1, I хп,р №е) I = I я».р (ре®) Ι, Ι φ' (ρ*'θ) I = Ι φ (р*ш) |.
Отсюда вытекает, что
π
ξ Ι Ρη, ρ (z) |ρ ds = ρ 5 Ι πη, ρ (ре**) |ρ J φ' (ρ^θ) | αθ =
Γ -π
π
= Ρ ξ Ι *η. ρ (peif>) Ιρ ΙΦ (Ρ^θ) Ι Μ > 2πρΦ (0),
-π
так как функция Xn,p (w) · Φ (w) регулярна внутри круга | w \ <. ρ и при-
надлежит к классу Н1т Таким образом,
lim μ£>2πρΦ(0). (9)
Для того чтобы доказать теорему, достаточно показать, что можно по-
строить полином q (z), такой, что
q (0) = 1, J | q (z) P ds < 2πρΦ (0) + ε. (10)
г
42
/. Теория функций комплексного переменного
В самом деле, если т — степень полинома q (z), имеем
μ^<ξ|<Ζ(Ζ)Ν*,
г
а так как последовательность μ™ убывающая, то
Km μρη > 2πρΦ (0) + ε.
Следовательно, μ£ ->- 2πρΦ (0).
Перейдем теперь к построению полинома q (z). Положим
g (θ) = Ι Φ (p^) |: φ (0),
функция g (θ) суммируемая и
2π
J 1η£(θ)<ΖΘ = 0.
ο
Таким образом, существует множество Р, такое, что функции g (θ) и 1/#(θ)
ограничены на Ρ и
J |1η*(θ)|£*θ = 1η(1+ε'), ξ *(θ)£*θ<ε\
СР СР
Обозначим через / (Θ) функцию, равную 1/#(θ) на Ρ и единице на СР.
Ограниченная функция
-π
удовлетворяет условиям
2Я
S I «(P^ie) ГΙΦ (Ρ^θ) ΙΜ < (2π + ε') Φ (0), μ (0) — 11< ε'.
ο
Таким образом, существует полином хх (w), удовлетворяющий тем же нера-
венствам. Обозначая через q1 (z) соответствующую функцию в плоскости пе-
ременного z — φ (w), имеем
|ffi(0)-l|<e'f ξ|^1(Ζ)|ρ^<(2π + ε')ρΦ(0).
г
Функция qx (w) непрерывна в замкнутой области. В силу теоремы Уолша,
так как число ε' произвольно мало, существует полином q (z), удовлетворяю-
щий поставленным выше условиям (10).
5. Для того чтобы вывести следствия из доказанной теоремы, нам потре-
буется лемма о последовательностях функций.
Л е м м а. Пусть fn (z) — последовательность функций, определенных
в круге | w | < ρ и принадлежащих к Нр (р ^> 0), и такая, что
а) Ит/„(0) =1;
П->эо
π
б) limj |/η(β«)|ΜΘ=2π;
2. О конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми кривыми 43
тогда имеем3
π
lim J |/η(**β)_1|Р£Ю = 0.
Докажем сначала эту лемму в частном случае (р = 2). При этом мы имеем
тождество
|/п (*) - 1 | 2 = [\fn (z)\ 2 - 1] - 2 (Re/n (*) - 1),
откуда
π π
S |/„(е»)-1|»<Ю<| ξ |/„(eie)|2de-2n|-4n|Re/n(0)-l|,
-π -π
что доказывает лемму при ρ = 2. Из доказанного предложения следует,
в частности, что если ρ =2, то последовательность fn(eiQ) сходится по мере
к единице. Пусть теперь ρ — произвольное положительное число. Обозна-
чим через Ъп (z) функцию Бляшке, нули которой совпадают с нулями функ-
ции /n (z), и пусть
/n (*) = К (z) £n (z).
Функция gn (z) не имеет нулей в круге. Мы можем предположить, что разло-
жение сделано таким образом, что Ъп (0) > 0. В противном случае достаточ-
но умножить функцию Ъп (z) на постоянный множитель, модуль которого
равен единице. Таким образом, функции [gn (z)]p/2, Ъп (z) удовлетворяют ус-
ловиям леммы при ρ = 2. В самом деле, очевидно, что эти функции принад-
лежат к классу Η2 и условие б) выполняется, так как почти всюду имеем
\Ьп(е®) | = 1, \gn(e*) |= | /„ (β*β) |.
С другой стороны,
*п(0)М0)-*1, |6П(0)|<1,
U„(0)|p<^- \\gn(e«)\>dB = -L· 51/п(е<в)|"£Ю-1.
-π -π
Отсюда вытекает, что условие а) леммы также выполняется. В силу дока-
занного предложения при ρ = 2 функции bn (eiQ), [gn (eiQ)]p/2 сходятся по
мере к единице; следовательно, fn (eiQ) сходится по мере к единице. Пусть
Еп — множество точек, определенных неравенством | 1 —- /n (eiQ) \ <С ε,
3 Если ρ > 1, можно доказать аналогичную лемму для функций действительного пере-
менного. Пусть fn (х) — последовательность функций, заданных на промежутке (ОД)
и принадлежащих к классу Lp. Предположим, что
1 1
lim \fn(x)dx = l, lim \\fn(x)\pdz = i,
П-*<х *J n-*oo *J
0 0
тогда имеем
1
Нт?|/Я(*)-1|Р** = 0.
n-+oo J
0
В случае ρ < 1 предположение неверно.
44
/. Теория функций комплексного переменного
и пусть 2л (1 + ηη) — величина интеграла в условии б). Тогда имеем
π
J |/nH)|Pd9=5|/n(,ie)|P_J |/η(^θ)|^θ<2π(1-ηη)-(1-β)'Λ|ΕηΙ
СЕп ~л Еп
а так как т (Еп) -+■ 2л, ηη-> Ο, то верхний предел этого интеграла меньше
2л [1 — (1 — ε)ρ]. С другой стороны,
$ |/п(*«)-1|ме< $|Μ«*)-1|ρλ + 2ρ[™№) + 5 |/η(^θ)|ρωθ],
-π Εη СЕп
следовательно, верхний предел первой части меньше 2л [1 + гр — (1 —
— ε)]ρ и предложение полностью доказано.
6. Опираясь на два ранее доказанных предложения, мы докажем несколь-
ко теорем о сходимости последовательности полиномов рП) р (z).
Пусть Fp (z) — функция, соответствующая (Ф (0)/Ф (w))p на плоскости z.
Докажем следующую теорему.
Теорема П. Полиномы pUiP (z) сходятся равномерно к функции F p (z)
внутри области D, и на контуре Г области D имеем
\im^\Fp(z)-pn>p(z)\vds=0.
П-»СХ> ρ
В самом деле, пусть jtn>p (w) — функция, в которую переходит полином
рп> р (z) на плоскости w. В силу теоремы I и равенства | φ' (реш) |= | Φ (рет) | ,
имеющего место почти всюду, получим
lim 5|яЯ)Р(рв«в)|р1^11йв = 2л.
—Я
С другой стороны, лп,р (0) = 1. Функция пП)Р (w) (Φ (τυ)/Φ (Ο))1^ принад-
лежит к классу Нр. В силу только что доказанной леммы имеем
jsil'-^'W-T^rr*-0·
-я
Возвращаясь к плоскости переменного z, получим искомое равенство
lim[\Fp(z)-pn,p(z)\pds = 0.
П-»ЭО ρ
Известно, что это равенство влечет за собой равномерную сходимость после-
довательности рп, ρ (z) к функции Fp (z) внутри области.
Из доказанной теоремы немедленно вытекает следующая теорема.
Теорема III. Для того чтобы последовательность полиномов рП)Р (z)
сходилась к функции [/' (z)] 1/p внутри области D, необходимо и достаточно,
чтобы функция 1η | φ' (w) \ была бы представима интегралом Пуассона от
ее граничных значений на окружности \w \ = р. Если это условие выполнено,
то сходимость равномерна внутри области D, а на контуре Г имеем равен-
ство
lim $ |[/(z)]i/i>-/>„,* И |p<fc=0.
П-»оо ρ
2. О конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми кривыми кЪ
Укажем еще одно приложение этой теоремы для случая ρ = 1. Пусть
2
Рп (z) =\ Рп, 1 (z) dz. Полином Рп (z) может быть определен следующим об-
0
разом: Рп (z) есть полином, реализующий минимум интеграла j | Qn (z) \ ds
г
в семействе полиномов гс-й степени, удовлетворяющих условиям Qn (0) = 0,
Qn (0) = 1. В этом случае предыдущая теорема приводит к следующему
предложению.
Теорема IV. Для того чтобы последовательность полиномов Рп (z)
сходилась к функции f (z) внутри области D, необходимо и достаточно,
чтобы функция 1η | φ' (w) \ была представима интегралом Пуассона. Если
это условие выполнено, то сходимость равномерна в замкнутой области D.
7. Пусть F (z) — функция, принадлежащая к классу Ер в области D.
Обозначим через Рп (z) полином, реализующий минимум интеграла
VP(F,Qn) = ^\F(z)-Qn(z)\*>ds (И)
г
в семействе полиномов п-й степени, и пусть μ£ (F) = μρ (F, Рп). Мы будем
говорить, что семейство полиномов замкнуто в области по отношению к
функционалу μρ (F, Qn), если, какова бы ни была функция F (z), принадле-
жащая к классу Ер1 имеем
lim μρη {F) = 0.
П->оо
В случае р = 2 это свойство эквивалентно замыканию системы ортогональ-
ных полиномов. Опираясь на полученные результаты, легко доказать сле-
дующую теорему.
Теорема V. Пусть ρ — фиксированное положительное число. Для
того чтобы семейство полиномов было замкнутым в области D по отношению
к функционалу μρ (F, Q), необходимо и достаточно, чтобы функция
In | φ' (w) I была представима интегралом Пуассона по ее граничным значе-
ниям на окружности \ w \ = р.
Условие необходимо. Пусть / (z), f (0) = 0, /' (0) = 1,—
функция, реализующая конформное отображение D на круг \w \ < р,
и пусть F0 (z) = [/' (z)l1/p. Функция F0 (z) принадлежит, очевидно, к классу
Ер. Если условие теоремы не выполнено, имеем
1πημρ(^0)>0.
Π-*·οο
В самом деле, в противном случае имеем lim μρ (F0, Pn) = 0. Принимая
во внимание неравенство Минковского при /)> 1 и неравенство
$[/ + φΓ^<$|/|ρ^ + $Μρω
при ρ <С 1, легко выводим, что
lim$|Pn(z)|pds=2ttp.
П-*оо ρ
46
/. Теория функций комплексного переменного
С другой стороны, легко видеть, что lim Рп (0) = 1. В самом деле, положим,
П-*оо
что F о (z) — Рп (z) = Ъп (z) gn (z), где bn (z) — функция Бляшке, связанная
с областью D. Функция g% (z) представима интегралом Коши, и, следова-
тельно, | $п (0) | < μ£ {F)/à, где δ — радиус круга, содержащегося в Ζ),
центр которого находится в начале координат. Отсюда вытекает, что
gn (0) Ьп (0) -> 0 и lim Рп (0) = F о (0) = 1. Если gn (z) - Рп (z)/Pn (0),
то имеем
lim$|?rt(z)|p = 2np,
П-+°о ρ
но если условие теоремы не выполнено, то Φ (0) ^> 1 и полученный результат
противоречит теореме I.
Условие достаточно. В самом деле, если условие теоремы
выполняется, из теоремы II вытекает, что
lim ξ | [/' (z)]i/p - рп> р (z) |" ds = 0. (12)
Π—»-σο ρ
Пусть F (z) — функция, принадлежащая к классу Ер. Функция
F [φ' (w)]l/V (w) принадлежит к классу Нр, следовательно, существует
такой полином х (w), что
π
ρ J \F[y{w)]fäljF)—x{w)\*de = [\F{z)-yT№*lf(*)]\pds<b.
-π Γ
В силу (12) можно найти такой полином π (z), что значение интеграла
I [/' (z)]1/p — π (z) \р ds сколь угодно мало. С другой стороны, в соатвет-
г
ствии с хорошо известной теоремой Уолша существует такой полином
хг (z), что разность х [/ (z)] — хг (z) не превышает произвольно малого поло-
жительного числа. Пусть Ρ (z) = π (z) xx (z). Используя неравенство Минков-
ского в случае ρ ^ 1 и неравенство
в случае ρ <С 1, доказываем, что можно найти полиномы π (z) и xt (z) так,
чтобы
l\F{z)-P(z)\vds<e9
г
а это доказывает теорему.
ЛИТЕРАТУРА
1. Smirnoff V. Sur la théorie des polynômes orthogonaux d'une variable complexe.— Журв.
Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1928, т. 2, вып. 1, с. 155—179.
la. Smirnoff V. Sur les formules de Gauchy et de Green et quelques problèmes qui s'y rat
tachent.— Изв. АН СССР. OMEH, 19 2, № 3, с 338—372.
2. Келдыш M. В., Лаврентьев M. A. К теории конформных отображений.— Наст, кн.,
ст. 1.
3. Келдыш М. В. Об одном классе экстремальных полиномов.— Наст, кн., ст. 4.
3. О последовательностях полиномов, ограниченных в совокупности 47
4. Лаврентьев Μ. Α. O некоторых свойствах однолистных функций.— Докл. АН СССР,
1935, т. 1, № 1, с. 1-4.
5. Lavrentieff M. Sur la représentation conforme.— С r. Acad. sci. A, 1927, t. 184,
p. 1407—1409.
6. Montel P. Sur la représentation conforme.— J. Math, pures et appl., 1917, Ser. 7, t. 3f
p. 1—54.
7. Julia G. Sur une suite double de polynômes liée à la représentation conforme des airs
planes simplement connexes.— J. Liouville, 1928, Ser. 9, t. 7, p. 381—407.
8. Riesz F. Über die Randwerte einer analytischen Functionen.— Math. Ztschr., 1923,
Bd. 18, H 1/2, S. 87—95.
9. Szegö G. Beiträge zur Theorie der Toeplizschen Formen.— Math. Ztschr., 1920, Bd. 6,
H. 3/4, S. 167—202; 1921, Bd. 9, H. 3/4, S. 167—190.
10. Smirnoff 7. Sur les valeurs des fonctions régulières a l'intérieur d'un circle.— Журн.
Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1928, т. 2, вып. 2, с. 22—37.
з
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ПОЛИНОМОВ,
ОГРАНИЧЕННЫХ В СОВОКУПНОСТИ*
1. Пусть / (z) — функция, определенная на окружности | z | = 1, распо-
ложенной в плоскости комплексного переменного z. В настоящей заметке
мы приводим достаточное условие представимости функции / (z) в виде пре-
дела последовательности полиномов Рп (z), ограниченных в совокупности
в замкнутом круге \ z | <; 1.
В статье [1] указаны три необходимых условия, которым должна удов-
летворять функция / (z), представимая такой последовательностью полино-
мов:
1) функция / (z) ограничена, | / (z) \ <С М\
2) действительная и мнимая части / (z) суть функции первого класса по
Бэру;
3) существует аналитическая функция F (z), определенная в круге | z \ <С
<С 1, предельные значения которой на окружности | z \ = 1 совпадают поч-
ти всюду с функцией / (z).
Согласно теореме Привалова это условие может быть представлено в сле-
дующей форме:
^f(z)zndz = Q, /г = 0, 1,2,3, ..., (1)
с
где через С обозначена окружность | z | = 1 [2].
В той же статье Хартогс доказал, что, каково бы ни было приводимое мно-
жество Е, характеристическая функция множества Ε может быть представ-
лена как предел последовательности полиномов, ограниченных в совокуп-
ности. Он также построил один пример совершенного множества Ρ меры
нуль, характеристическая функция которого является пределом такой после-
довательности полиномов *.
2. В настоящей статье мы доказываем следующую теорему.
* Мат. сб., 1935, т. 42, № 6, с. 719—724.
1 Метод Хартогса неприложим к любому совершенному множеству меры нуль.
48
/. Теория функций комплексного переменного
Всякая функция f (z), определенная на окружности \ z | = 1 и удовлетво-
ряющая условиям 1—3, множество точек разрыва которой имеет меру нуль,
является пределом последовательности полиномов {Рп (z)}, ограниченных
в совокупности в круге \ z | ^ 1.
3. Рассмотрим сначала следующий частный случай: функция / (z) явля-
ется характеристической функцией произвольного замкнутого множества
меры нуль, расположенного на окружности | z \ = 1. Заметим, что если мера
множества F положительна, то по теореме единственности не существует ни-
какой последовательности полиномов, ограниченных в совокупности и схо-
дящихся к функции f (z).
Пусть F — замкнутое множество, mes F = 0. Можно построить дейст-
вительную функцию и (z), определенную на | z | = 1 и обладающую следую-
щими свойствами:
1) и (z) > 0;
2) функция Ни (z) непрерывна;
3) и (z) = +оо на F;
4) и (z), так же как ее первая производная, непрерывна в интервалах
смежности к множеству F;
5) функция и (z) суммируема.
Построение такой функции было указано Фату [3]. Пусть и (х, у) — гар-
моническая функция, предельные значения которой равны и (z); v (x, у) —
ее сопряженная функция. Полагая
g (z) = в + iv, U (z) = g (*)/(» + g {%)), (2)
получаем последовательность функций, регулярных в круге | z | <С 1 и не-
прерывных в замкнутом круге \ z | <^ 1, которые удовлетворяют неравенст-
вам | /n (z) | ^. 1 и сходятся к характеристической функции F. В силу хо-
рошо известной теоремы Фейера такая последовательность может быть заме-
нена последовательностью полиномов, обладающих теми же свойствами.
Заметим, что из свойств функций fn (z) вытекает, что можно построить эту
последовательность полиномов таким образом, чтобы сходимость была рав-
номерной на множестве F, а также внутри каждого интервала смежно-
сти к F.
4. Пусть теперь / (z) — функция, определенная на окружности | z | = 1,
непрерывная на замкнутом множестве F меры нуль и обращающаяся в нуль
вне его. Обозначим через Μ верхнюю грань | / (z) |. Существует последова-
тельность полиномов, удовлетворяющих неравенствам | Рп (z) | <^ Μ и схо-
дящихся к функции / (z), при этом сходимость равномерна на замкнутом
множестве F и внутри каждого интервала смежности с F.
В самом деле, пусть ε^ — последовательность положительных чисел,
сходящихся к нулю. Разобьем множество F на конечное число частей Δ",
на каждой из которых колебание / (z) меньше εη. Пусть pf — такое число,
что на Aj1 имеем | р" — / (z) | < εη, а/£& (z) — последовательность функций,
сходящихся к характеристической функции множества Δ", конструкция
которых была указана выше. Если числа кп достаточно велики, то последо-
вательность функций
Μ*) = Σ/λ*η(*)Ρ7 (3)
(i) n J
обладает всеми свойствами искомой последовательности полиномов Рп (z).
J. О последовательностях полиномов, ограниченных в совокупности 49
В силу теоремы Фейера последовательность /n (z) может быть заменена по-
следовательностью полиномов, удовлетворяющих условиям теоремы.
5. Напомним два свойства тригонометрических многочленов Фейера:
а) пусть / (z) — функция, определенная на окружности | z \ = 1 и удов-
летворяющая условию 3; тогда комплексная гармоническая функция, пре-
дельные значения которой совпадают с предельными значениями тригоно-
метрического полинома Фейера функции / (z), является полиномом ап (z)
комплексного переменного z;
б) предположим, что в каждой из точек открытого множества О колеба-
ние / (z) меньше ε, и пусть F — замкнутое множество, содержащееся в О.
Если число η достаточно большое, то на всем множестве F имеем неравенство
I / (z) - σΛ (z) I < 2ε. (4)
6. Перейдем к доказательству сформулированной теоремы. Пусть / (z) —
функция, удовлетворяющая условиям теоремы; εΧ ^> ε2 ^> . . . — последова-
тельность положительных чисел, таких, что ряд ε = гг + ε2 + ... сходится.
Обозначим через Fn множество точек, удовлетворяющих неравенству
osc / (z) ;> εη. Множества Fn являются замкнутыми и имеют меру нуль,
a Fn_! содержится в Fn. Пусть Fn,jTn, 1 <; η <ξ m,— множество точек, принад-
лежащих Fn, дуговые расстояния которых от замкнутого множества Fn_x
не меньше 1/m, a Fbm = Fr. Пусть Δη,m, η ^ т,— множество точек, дуго-
вые расстояния которых от Fn меньше 1/4т. Множества Fn>m замкнуты, ме-
ры нуль и (при разных п) попарно не имеют общих точек, а Δη, т открытые.
Пусть zQ — точка непрерывности функции / (z). Каково бы ни было целое
положительное число ;, точка z0 не принадлежит множеству Fj\ следователь-
но, если число т достаточно велико, то точка z0 содержится в множестве
СД7>т*. С другой стороны, если точка z0 — точка разрыва, то существует
такой индекс п, что точка z0 принадлежит Fj и не принадлежит Fj_t. Как
только число т становится достаточно большим, точка z0 содержится во всех
множествах Fjt m.
Обозначим, наконец, через Нп, т множество точек из Fn, дуговые расстоя-
ния которых от замкнутого множества FUt m не превышают 1/4т. Множество
Нп>т не имеет общих точек с множествами Fki m, k Φ η, и СД^,т, k^> п.
Согласно условиям 1, 2 и конструкции множеств Fni7n существует после-
довательность функций fm (z), определенных на окружности | z | = 1 и об-
ладающих следующими свойствами:
1) l/»W \<M;
2) fm (2) непрерывны;
3) функции /m (z) сходятся к / (z);
4) на множестве Fn4 m выполнено неравенство
! /m W ~ / W К 2εη_15 ε0 = Μ. (5)
Перейдем теперь к построению полиномов Рт (z). Множество СДП> т
замкнуто и содержится в открытом множестве CFn-x. В силу свойства «б»
(см. п. 5) полиномов Фейера можно выбрать такое положительное целое чис-
ло кт, что на всех множествах СДП> m (индекс т фиксирован) справедливо:
| акт (z) - / (z) I < 2εη_1? (6)
где ση (z) — полином Фейера функции / (z).
* Через СЕ обозначается дополнение множества Ε до всей окружности | z | = 1.
4 M. В. Келдыш. Математика
50
/. Теория функций комплексного переменного
В частности, это последнее неравенство выполняется на множестве FUt m>
которое содержится в СДп,т. Сравнивая неравенства (5) и (6), получаем на
множестве FniTn следующее неравенство:
I /™ (*) - о*т I < 48»-!. (7)
Пусть г\т — последовательность положительных чисел, такая, что
^Лт -*■ 0. Опираясь на результат п. 4, можно построить полиномы рп, т (z),
удовлетворяющие условиям: на окружности | z \ = 1
I Pn, m (z) | < 4εΛ-!; (8)
на множестве FntTn
I fm (z) — аНт (z) — рп,т (z) I < r]m; (9)
на множестве CHniTn
I Pn,m (z) I < η«. (10)
Полином iPn>m (z) определим равенством
Рт (z) = akm (z) + pltTn (z) + p2>m («) + ...+ /?fr,m (z).
Полиномы Рт (z) ограничены в совокупности. В самом деле,
| Рт (z) |< Μ + 4 (ε0 + вх + . . . + em)< 5 (Μ + ε).
Полиномы Рт (z) сходятся к функции f (z). Пусть z0 — произвольная
точка окружности | z \ = 1. Мы будем различать два случая в зависимости
от того, будет ли точка z0 точкой непрерывности функции / (z) или нет.
А. Точка z0 является точкой непрерывности / (z). Каково бы ни было
целое число /, начиная с некоторого номера т точка z0 содержится в мно-
жестве СД7)7П. Начиная с этого момента согласно построению множеств
Нп,т пРи п <С ] имеем неравенство | рп>т (z) \ < ηη. Учитывая неравенства
(6) и (8), получаем
I / (*о) — pm (z0) I < пч\т + 8 (ε7·_! + Ej + . . . + гт).
Отсюда следует Рт (z0) -> / (z0), поскольку ряд Σε7· сходящийся.
Б. Точка z0 является точкой разрыва. Тогда существует число /, такое,
что начиная с некоторого номера т точка z0 принадлежит множеству Fj>m.
Начиная с этого момента имеем
поскольку множество Fj>m не имеет общих точек с множествами А7>т, / Φ η\
принимая во внимание неравенство (9), можно записать
| / (z0) - Рт (z0) |< | / (z0) - /m (z0) I + mx\m,
а так как последовательность /m (z0) сходится к / (z0), то Рт (z0) сходится
к / (z0).
7. Заметим, что дополнительное условие, что множество точек разрыва
функции / (z) имеет меру нуль, не является необходимым *. В самом деле, ха-
рактеристическая функция разреженного множества или же всякая функ-
ция, удовлетворяющая условиям (8)—(10) и принимающая лишь конечное
* Как недавно доказано (см. [4]), это условие излишне.
4. Об одном классе экстремальных полиномов
51
число различных значений, является пределом последовательности полино-
мов, ограниченных в совокупности.
8. Опираясь на теорему Лузина и Привалова об инвариантности мно-
жеств меры нуль при конформном отображении круга на область, ограничен-
ную спрямляемой кривой, можно распространить доказанную теорему на
функции, определенные на произвольной спрямляемой кривой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hartogs F. Über die Grenzfunktionen beschränkter Folgen von analytischen Funktio-
nen.— Math. Ann., 1927, bd. 98, H. 1, S. 164—178.
2. Привалов И. И. Интеграл Коши: Дис. . . . д-ра наук. Саратов, 1919.
3. Fatou P. Series trigonome triques et series de Taylor.— Acta math., 1906, bd 30, s. 335·
4*. Колесников С. В. Об одной теореме М. В. Келдыша, касающейся поточечной схо-
димости последовательности полиномов.—Мат. сб., 1984, т. 124, № 4, с. 568—570.
4
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ*
Всякому экстремальному принципу, характеризующему функцию, даю-
щую конформное отображение ограниченной, однолистной и односвязной
области на круг, как известно, соответствует последовательность экстре-
мальных полиномов.
Мы будем здесь рассматривать последовательности экстремальных поли-
номов, связанные с одним экстремальным принципом, данным Г. Жюлиа
[1]. Сформулируем принцип Жюлиа в несколько более общей форме, чем эта
сделано у автора; для этого нам понадобится следующее определение.
Пусть D — односвязная, однолистная область, ограниченная простой
спрямляемой кривой Г. Мы будем говорить, что функция F (z), заданная
и правильная в области D, принадлежит к классу Ер (р > 0), если существу-
ет последовательность спрямляемых кривых Сп, лежащих внутри области
D, сходящихся к ее границе Г и таких, что интегралы ^ | F (z) \р ds оста-
ются ограниченными. п
Можно доказать, что это определение класса Ер эквивалентно определе-
нию Ер, зависящему от конформного отображения области D на круг, кото-
рое было дано В. И. Смирновым [2].
Пусть функция F (z) принадлежит к классу Ер, a z = φ (w) — функцияr
реализующая конформное отображение единичного круга | w | < 1 на_об-
ласть D. При этих обозначениях функция
Φ (w) = F [φ (w)] y/ φ' (w)
принадлежит к классу Hv по Φ. Рису. Заметим, что из указанного предло-
жения следует, что в определении класса Яр, по Рису, концентрические ок-
* Докл. АН СССР, 1936, т. 4, № 4, с. 163-166.
52
1. Теория функций комплексного переменного
ружности могут быть заменены произвольной последовательностью спрям-
ляемых кривых, сходящихся к окружности единичного круга.
Сформулируем теперь принцип Жюлиа.
Пусть {F (z)} — семейство функций, принадлежащих к классу Ер в об-
ласти D и удовлетворяющих условию F (0) = 1.
Функционал \ | F (z) |p ds достигает своего минимального значения для
г
единственной функции рассматриваемого семейства F0 (z) = [f (z)]1/p, где
/ (z) (/ (0) = 0, /' (0) = 1) — функция, реализующая конформное отображе-
ние области D на круг | w | < р.
Пусть ρ — зафиксированное положительное число. Семейство экстре-
мальных полиномов {рп (z)} определяется следующим образом: рп (z) есть
полином, реализующий минимум интеграла μ„ = J| qn (z) \vds в семействе
полиномов п-й степени, удовлетворяющих условию qn (0) = 1.
Пользуясь обычными рассуждениями, можно доказать существование
и в случае ρ ^> 1 единственность экстремального полинома рп (z). В настоя-
щей заметке мы исследуем сходимость последовательности рх (z), p2 (z), . . .
Заметим, что в случае ρ = 2 полиномы рп (z) весьма тесно связаны с ортого-
нальными полиномами и были изучены в работах Сеге [3], Смирнова [4] и в
заметке Лаврентьева и автора [5]. В этой же заметке был исследован случай
ρ = 1; геометрический метод, примененный в ней, не распространяется на
общий случай ρ ^> 0.
Пусть φ (и;) — функция, реализующая конформное отображение круга
| w | < ρ на область D [φ (0) = 0, φ' (0) = 1]. Функция j/q/ (w) принадле-
жит к классу Нр. Обозначим через Φ (и;) максимальную функцию
»М—рЫг I IZm-l uf f <р«р(я»д}.
—π
и пусть Φ (0)/Ф(и;) переходит на плоскости z в функцию F0 (z). Тогда можно
доказать следующую фундаментальную теорему.
Теорема 1. Полиномы рп (z) сходятся равномерно к функции F0 (z)
внутри области D, и на контуре области Г имеем
liml\(f(z))VP-Pn(z)\*>ds = 0.
Г->ЭО γ
Из этой теоремы немедленно вытекает следующее предложение.
Теорема 2. Для того чтобы последовательность полиномов рп (z)
сходилась к функции F0 (z) = (/' (z))1/p, необходимо и достаточно, чтобы гар-
моническая функция In | φ'(w) \ была бы представима интегралом Пуассона
от ее граничных значений на окружности \ w \ = р. Если это условие выпол-
нено, то сходимость равномерна внутри области D, а на границе Г выполня-
ется следующее предельное равенство:
\iml\(f(z))VP-pn(z)\Pds = 0.
П->ос г
Доказательство основной теоремы основывается на двух следующих вспо-
могательных предложениях.
4. Об одном классе экстремальных полиномов
53
Лемма I. Пусть ρ — произвольное положительное число. Имеем
lim μ£ = 2πρΦ (0) > 2πρ.
П->оо
Лемма II λ. Пусть {fn (z)} — семейство функций, заданных в круге
| Ζ < 1 \ и принадлежащих к классу Нр (р ^> 0). Предположим, что выпол-
няются условия:
π
lim /n(0) = l, lim \ \fn(eiQ) \pdQ = 2π,
П->оо П->оо _л
тогда имеем следующее предельное равенство:
π
lim J |/n(e*0)_l|Pde = 0.
Укажем еще одно приложение полученных результатов. Пусть Fp (z) —
функция, принадлежащая к классу Ер в области D. Обозначим через Рп (z)
полином, реализующий минимум интеграла
Г
в семействе полиномов п-й степени. Будем говорить, что семейство полиномов
замкнуто по отношению к функционалу μ (F, Q), если, какова бы ни была
функция класса Ер, lim μη (F, Pn) = 0. Имеем следующее предложение.
71->оо
Теорема 3. Для того чтобы семейство полиномов было замкнутым
по отношению к функционалу μ (F, Ç), необходимо и достаточно, чтобы
In | φ' (и;) | был представим интегралом Пуассона.
Укажем, что существует пример области, для которой In | φ' (и;) | не
представим интегралом Пуассона [5]. С другой стороны, известны весьма ши-
рокие классы областей со спрямляемой границей, для которых In | φ' (и;) |
представим интегралом Пуассона [5], однако характеристическое геометри-
ческое сво ство этих областей еще неизвестно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Julia G. Sur une suite double de polynômes liée à la représentation conforme des aires
planes simplement connexes.— J. Liouville, 1928, Ser. 9, t. 7, p. 381—407.
2. Smirnoff V. Sur les formules de Gauchy et de Green et quelques problèmes qui s'y ratta-
chent.- Изв. АН СССР. OMEH, 1932, № 3, с 338-372.
1 Заметим, что при ρ > 0 аналогичная лемма имеет место для функции действительного
переменного: пусть /n (z) — последовательность функций, заданных на промежутке
(0,1) и принадлежащих к классу Lp. Предположим, что
1 1
lim \fn(x)dx = l, lim ^|/Jp*c=1,
0 0
тогда имеем
1
lim C|/n-l|Prf* = 0.
0
54
7. Теория функций комплексного переменного
5
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
НА КАНОНИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ*
1. Аналитическая функция w — f (z) задает гомеоморфное отображение
некоторой достаточно малой окрестности точки z, в которой производная
/' (z) не обращается в нуль, на окрестность точки w. Это отображение замеча-
тельно тем, что при нем сохраняются величины углов между соответствую-
щими линиями. Указанное геометрическое свойство является характеристи-
ческим для отображений, даваемых аналитическими функциями: всякое отоб-
ражение, при котором сохраняются величины углов,, реализуется либо
аналитической функцией, либо функцией, сопряженной с аналитической. Пер-
вый из этих классов отображений, называемых конформными отображения-
ми, обладает еще свойством сохранения направления углов.
В 1851 г. Риманом [1] был поставлен вопрос о возможности взаимно одно-
значного и конформного отображения произвольной односвязной области
на другую односвязную область. Риман показал, что эта проблема имеет фун-
даментальное значение для теории функций. Идеи Римана получили разви-
тие в целом ряде работ по геометрической теории функций. Основной теоре-
мой в этом круге идей является следующая:
Всякая односвязная область может быть отображена конформно на круг
или на полную плоскость с одной выколотой точкой. Указанное отображение
единственно, если заданы точка области, соответствующая центру круга
(или началу координат в случае плоскости с выколотой точкой), и некоторое
направление, выходящее из этой точки и соответствующее заданному направ-
лению, выходящему из центра круга.
Риманом были даны идеи для доказательства этой теоремы, однако стро-
гое доказательство им получено не было. После работ Римана следует отме-
тить работы Неймана и Шварца. Окончательное доказательство указанной
здесь теоремы было получено Каратеодори [2] **.
* УМН, 1939, вып. 6, с. 90—119.
* * В своих рассуждениях Риман принял очевидным существование функции, минимизи-
рующей соответствующий интеграл Дирихле. Строгое обоснование этого допущения
(принцип Дирихле) для областей с достаточно хорошей границей было дано спустя
пятьдесят лет Гильбертом (1901, 1904). Первые строгие доказательства теоремы (для
«хороших» областей) были даны Г. А. Шварцем (1869, 1870) и К. Нейманом (1884),
использовавшими в той или иной форме методы теории потенциала. Доказательства,
базирующиеся исключительно на методах теории функций, были даны позже осталь-
ных (1912) и вытеснили все другие (см. монографию Каратеодори [2*]). Исчерпывающее
изложение истории доказательств основной теоремы о конформных отображениях до
1918 г. можно найти в статье Л. Лихтенштейна [3*]; см. также примечания в русских
изданиях [1] и [2]. Многие рассмотренные в настоящей статье вопросы были изложены
позднее в монографиях [4*—6*]; см. там же ссылки на последующие исследования.
3. Szegö G. Beiträge zur Theorie der Toeplizschen Formen.— Math. Ztschr., 1921, Bd. 9,
H. 3/4, S. 167-190.
4. Smirnoff V. Sur la théorie des polynômes orthogonaux a une variable complexe.— Журн.
Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1928, т. 2, вып. 1, с. 155—179.
5. Келдыш М. В., Лаврентьев И. А. К теории конформных отображений.— Наст, кн.,
ст. 1.
5. Конформные отображения многосвязных областей
55
Так же как при конформном отображении односвязной области, основ-
ную роль играет теорема о возможности конформного отображения одно-
связной области на круг, так и при изучении конформных отображений мно-
госвязных областей существенную роль играет вопрос о возможности отоб-
ражения многосвязной области на ряд канонических областей. Первая теоре-
ма такого рода была дана Гильбертом [7], который показал, что произволь-
ная конечносвязная область может быть отображена на область, получаемую
выбрасыванием из плоскости конечного числа прямолинейных отрезков, па-
раллельных заданному направлению.
Интересно отметить, что в то время как дальнейшие работы, связанные
€ доказательством существования конформного отображения односвязной
области на круг, по методам уклонились от основных идей работы Римана,
доказательство указанной общей теоремы Гильберта является прямым про-
должением идей Римана. В основу этого доказательства Гильбертом был по-
ложен видоизмененный принцип Дирихле.
Кёбе [8, 9] доказал ряд других интересных теорэм об отображении мно-
тосвязной области на канонические области, получаемые удалением из плос-
кости дуг кривых, принадлежащих к различным простым семействам. Кёбе
(10, 9] указал другое чрезвычайно интересное обобщение основной теоремы
Римана. Именно, им была доказана следующая теорема:
Всякая конечносвязная область может быть отображена конформно на
область, получаемую выкидыванием из плоскости конечного числа кругов.
Второе замечательное обобщение теоремы Римана было получено срав-
нительно недавно Балле Пуссеном [11].
В настоящей статье дается изложение основных теорем о конформном
отображении многосвязных областей на канонические области. При этом мы
не претендуем на исчерпывающую полноту изложения всех полученных
в этом направлении результатов. В этой статье совершенно не затрагивается
большой круг вопросов, связанных с изучением экстремальных свойств функ-
ций, однолистных в многосвязной области, получивший большое развитие
в последние годы, главным образом в работах Грётша [12, 131. При изложе-
нии результатов мы старались выбрать наиболее простые методы доказа-
тельств; в частности, при изложении теоремы Гильберта и ряда результатов
Кёбе приводится весьма простой метод доказательства, основанный на экст-
ремальных свойствах функций, реализующих указанные отображения. Эти
методы были указаны в работах Посселя и Грётша [14, 15].
I. УНИФОРМИЗИРУЮЩЕЕ ПЕРЕМЕННОЕ
2. Существование и основные свойства униформизирующего переменного.
Всякая функция, регулярная в каждой точке некоторой односвязной области,
однозначна в этой области. Легко усмотреть, что это предложение теряет
силу, если функция рассматривается в многосвязной области.
Существуют функции, регулярные в окрестности каждой точки много-
связной области и неоднозначные в этой области; например, функция w =
-= У z регулярна в каждой точке двусвязной области 0 < ρ < \ z | < г <
< оо. Однако в каждой многосвязной области D может быть найдено такое
переменное £ = £ (z), что любая регулярная в D функция F (z) является од-
нозначной функцией от ξ. Задача построения такого переменного £ (z) весь-
ма тесно связана с задачей конформного отображения многосвязной области.
56
I. Теория функций комплексного переменного
В настоящем пункте мы докажем существование такого переменного £ (z)
и дадим ряд приложений этого результата.
Пусть D — некоторая многосвязная область (конечного или бесконечного
порядка связности), лежащая в плоскости комплексного переменного z.
Допустим, что существует функция £ (z), вообще говоря, многозначная, ре-
гулярная в окрестности каждой точки D, однолистная и имеющая односвяз-
ную область значений. Переменное £ = £ (z) мы будем называть униформи-
зирующим переменным в области D. Легко убедиться в том, что всякая
функция (вообще говоря, многозначная), регулярная в окрестности каждой
точки области D, есть регулярная однозначная функция униформизирующего
переменного £. В самом деле, пусть £0 (z) — какой-нибудь элемент функции
£ (z), соответствующий точке z0; F0 (z) — элемент регулярной в области D
функции F (z), соответствующий точке z0; z = φ (ξ) — обращение элемента
t — Zo (z)· Функция ψ (ξ) = F0 [φ (£)] продолжаема по любому пути, ле-
жащему в области униформизирующего переменного ξ, и, так как область
изменения £ односвязна, эта функция однозначна и регулярна. С другой сто-
роны, функция ψ (ξ) дает представление любого элемента функции F (z)
в зависимости от £. В самом деле, к любому элементу F1 (z) мы можем прийти
от элемента F0 (z), следуя нэкоторому непрерывному пути в области D.
Этому непрерывному пути однозначно соответствует некоторый непрерывный
путь в плоскости ξ, начинающийся в точке £0 = £0 (z0). Пусть этот путь
оканчивается в точке £х; тогда, очевидно, имеем ψ (£) = Fi [φ (£)], и если
£г = £i (z) — обращение элемента функции φ (ξ), соответствующего точке
Ех, toFx (z) =4>Ui(s)b
Заметим, что для доказательства существования униформизирующего пе-
ременного, изменяющегося в какой-нибудь односвязной области, достаточ-
но доказать существование униформизирующего переменного, область изме-
нения которого есть круг. Докажем следующую теорему.
Теорема. Во всякой многосвязной области существует униформизи-
рующее переменное, область изменения которого есть круг или плоскость с вы-
колотой точкой. Это переменное ξ (z) определено с точностью до линейного
преобразования, переводящего внутренность единичного круга (или плоскости
с выколотой точкой) плоскости ξ в себя.
Задача построения переменного униформизации была поставлена Пуан-
каре и решалась в работах Пуанкаре и Кёбе. Мы воспользуемся здесь мето-
дом доказательства теоремы, являющимся распространением метода Фейе-
ра — Ф. Риса, для доказательства теоремы Римана о конформном отобра-
жении односвязной области на круг х.
Заметим, прежде всего, что для доказательства теоремы достаточно огра-
ничиться случаем многосвязной области, имеющей больше двух граничных
точек, так как если область D имеет границу, состоящую из двух точек zt
и z2, то униформизирующее переменное определяется непосредственно фор-
мулой
В этом случае область изменения ξ есть вся плоскость (с выключенной точ-
кой £ = оо). Мы увидим, что если область имеет более двух граничных точек,
То, что метод Фейера—Риса распространяется на доказательство теоремы о существо-
вании униформизирующего переменного, было отмечено Т. Радо.
5. Конформные отображения многосвязныг областей
Ы
то область униформизирующего переменного ξ может быть принята за еди-
ничный круг, и, следовательно, в этом случае область всякого униформизи-
рующего переменного отлична отвсей ξ-плоскости.
Пусть D — многосвязная область, граница которой содержит более·
двух точек. Рассмотрим семейство функций {/ (z)}, удовлетворяющих сле-
дующим условиям:
1) функция / (z) регулярна в точке z0 области D и одна из ее ветвей удов-
летворяет условию / (z0) = 0, /'(z0) = 1;
2) функция / (z) продолжаема вдоль всякой кривой Г, лежащей в облас-
ти D]
3) функция / (z) однолистна;
4) функция / (z) ограничена в области D.
На семействе функций {/ (z)} рассмотрим функционал μ (/), равный верх-
ней границе | / (z) | в области D. Пусть /0 (z) — функция, для которой этот
функционал достигает своего минимального значения р. Докажем, что такая
функция /0 (z) существует и является униформизирующим переменным в об-
ласти D, изменяющимся в круге | £ | < р.
Покажем, прежде всего, что семейство {/ (z0)} не пусто. Для этого заме-
тим сначала, что с помощью дробно-линейного преобразования плоскости z-
можно достигнуть того, чтобы область D не содержала точек 0, 1, оо. Рас-
смотрим функцию τ = ν (z), обратную по отношению к модулярной эллип-
тической функции z = λ (τ). Функция τ = ν (z) продолжаема по всякому пу-
ти, лежащему внутри области D, так как ее точки разветвления суть 0, 1, оо.
Область значений ν (z) есть полуплоскость 3τ > 0. Полагая
f(z)= 23v(Zo) v (z) ~ v {Zn)
• n ' V (z0) v (Z) _ ν (z0) '
получаем функцию, удовлетворяющую условиям 1—4, следовательно при-
надлежащую к семейству {/ (z)}.
Докажем теперь, что существует функция /0 (z), принадлежащая семей-
ству {/ (z)}, для которой функционал μ (/) достигает своей нижней границы.
Допустим противное; тогда во всяком случае существует последовательность
функций семейства /n (z), для которых μ (/η) стремится к р. Семейство функ-
ций {fn (z)} компактно. В самом деле, рассмотрим круг \ z — z0 | < d, цели-
ком лежащий в области 2), и в этом круге рассмотрим те ветви функций
/n (z), которые удовлетворяют условию /n (z0) = 0, fn (z0) = 1. Эти ветви
однозначны и ограничены в круге \ z — z0 | < d. Применяя теорему Монте-
ля о семействах ограниченных функций, можно извлечь из последователь-
ности рассматриваемых в круге \z — z0 | < d функций сходящуюся подпо-
следовательность /n (z). Аналитические продолжения функций /n (z) рав-
номерно ограничены в области D, и поэтому на основании известной теоремы
Стилтьеса эти аналитические продолжения равномерно сходятся.
Пусть /0 (z) — предельная функция последовательности fn (z). Функция
/о (z), очевидно, удовлетворяет условиям 1, 2, 4, причем μ (/0) <^ р. Дока-
жем, что /0 (z) удовлетворяет также условию 3, а потому принадлежит к се-
мейству {/ (z)} и, следовательно, μ (/0) = р. В самом деле, условие 3 непо-
средственно следует из известной теоремы о том, что последовательность
однолистных функций имеет пределом либо однолистную функцию, либо
константу. Функция /0 (z) не может быть константой, так как удовлетворяет
условию 1.
58
/. Теория функций комплексного переменного
Чтобы доказать теорему, остается только установить, что область значе-
ний функции /0 (z) есть круг | ξ | < р.
Так как ρ (/0) = р, то эта область Δ лежит целиком внутри круга радиу-
са р. Допустим, что Δ отлична от этого круга, и пусть £0 — его точка (| £0 I <
< р), не принадлежащая к Δ. Обозначим через j - ψ (£) функцию, которая
дает конформное отображение двулистной поверхности Римана, имеющей
точку разветвления в ξ и граница которой проектируется в круг | £ | = р,
на однолистный круг | j | < р. При этом на одном из листов удовлетворяет-
ся условие ψ (0) = 0, я|/ (0) > 0. Такая функция может быть легко построе-
на. Для этого совершаем линейное преобразование круга | £ | < ρ в себя,
переводящее точку £0 в начало координат плоскости t. Если τ = Yt, то в
плоскости τ нашей двулистной поверхности будет соответствовать однолист-
ный круг | х | < l^p, причем точке z = 0 одного из листов будет соответст-
вовать некоторая точка х0. Совершая конформное преобразование круга
\ τ | < j/"p на круг | j | < р, переводящее точку τ0 в начало, получим иско-
вое преобразование $ = ψ (£). Легко убедиться в том, что функция
/1(2) = ^Ψ[/.(Ζ)]
принадлежит к семейству {/ (z)}. С другой стороны, функция t = % ($),
обратная для $ = ψ (£), регулярна в круге | $ |<р и удовлетворяет усло-
вию | х (j) | < ρ, х (0) = 0. Применяя лемму Шварца, находим | % (0) | <
<1 и, следовательно, | г|/ (0) | > 1. Отсюда следует, что μ (Д) < р, что не-
возможно, так как /х (z) принадлежит к семейству {/ (z)}. Таким образом,
предположение о том, что область значений /0 (z) не есть круг радиуса р,
приводит к противоречию. Это полностью доказывает высказанную теорему.
Заметим, что в случае односвязной области приведенные рассуждения
дают доказательство теоремы Римана.
Отметим основные свойства униформизирующего переменного ξ (z). Функ-
ция £ (z) не может быть однозначна в области D, так как область ее значений
односвязна. В самом деле, пусть С — произвольный замкнутый контур,
принадлежащий области D, не стягиваемый в точку внутри D. При обходе
контура С функция £ (z) не может возвращаться к своему исходному значе-
нию. В противном случае линии С соответствует на плоскости £ замкнутый
контур,который, очевидно, стягивается в точку; а так как функция z = z (£)
регулярна при | £ | < р, то контур С тоже должен был бы стягиваться
в точку.
Пусть ξ = £ (z), £x = £х (z) — два различных униформизирующих пере-
менных в области D, область изменения которых есть круг радиуса р. Из
свойства этих функций, доказанного в начале настоящего пункта, следует,
что £ есть регулярная функция £1? и обратно, ξΧ — регулярная функция £,
поэтому £х = h (£) дает конформное отображение круга на круг и, следова-
тельно, есть дробно-линейное преобразование.
'Униформизирующее переменное, область изменения которого есть круг,
определено с точностью до дробно-линейного преобразования, дающего отобра-
жение круга на себя.
В частности, две различные ветви функции £ = ξ (z) связаны дробно-ли-
нейным преобразованием. Совокупность всех дробно-линейных преобразова-
лий, переводящих одну ветвь функции £ (z) в другую, очевидно, образует
группу @. Обратная функция z = z (£) остается инвариантной, если над ар-
5. Конформные отображения многосвязных областей
5У
гументом произвести преобразование, принадлежащее к этой группе, и, сле-
довательно, является автоморфной функцией. Назовем эквивалентными точ-
ками круга все образы одной и той же точки z области D при преобразовании
£ = £ (z), т. е. точки, в которых функция z = z (t) принимает одинаковые
значения. Все точки, эквивалентные некоторой точке z0, получаются из нее
преобразованиями группы @. Легко показать, что группа © не содержит
эллиптических преобразований. В самом деле, всякое эллиптическое преоб-
разование, переводящее круг | £ | < ρ в себя, оставляет неподвижной одну
Η3 его внутренних точек £г (| £х | < р), но тогда в любой окрестности
точки £г существуют эквивалентные одна другой точки, что невозможно,
так как функция z = z (£) однолистна в окрестности каждой точки круга
Ι ε к р.
Не останавливаясь на более подробном изучении функции ξ = ξ (z), от-
метим еще некоторые ее свойства для случая конечносвязной области.
3. Конечносвязные области, задача Дирихле. Заметим, прежде всего,
что при изучении конформного отображения конечносвязной области можно
ограничиться рассмотрением областей, для которых континуумы, входящие
в состав границы, либо суть аналитические кривые, либо вырождаются в
точку. В самом деле, пусть С1? С2, . . ., Ср — континуумы, входящие в со-
став границы области D и не вырождающиеся в точку. Отобразим односвяз-
ную область, ограниченную континуумом Сг и содержащую область D, на
внутренность круга. При этом С2, С3, . . . перейдут в континуумы С2, С3, . . .,
лежащие внутри круга. Отобразим теперь область, ограниченную С2 и со-
держащую бесконечно удаленную точку, на внешность круга; тогда контину-
уму Сг будет соответствовать аналитическая кривая, а С3, С±, . . . перейдут в
континуумы С3, С4, . . . Отобразим теперь внешность С3 на внешность кру-
га и т. д. Проделав ρ таких операций, мы переведем область D в область Δ,
граница которой состоит из отдельных точек и аналитических кривых. Отоб-
ражение D на Δ известно, и, следовательно, изучение конформных отобра-
жений области D сводится к изучению конформных отображений области Δ.
Пусть D — некоторая многосвязная область, граница которой состоит
из аналитических кривых Сг, С2, . . ., Ср и отдельных точек. Рассмотрим
униформизирующее переменное £ (z) в области D (см. п. 2). Так как при при-
ближении z к точкам аналитической кривой Ct для любой ветви функции
£ (z) имеем | £ (z) | —>■ ρ, то функция £ (z) остается аналитической на кри-
вых Ct. Отсюда следует, что на плоскости £ каждой кривой Ct соответствует
•счетноемножество дуг круга. Это множество, очевидно, остается инвариант-
ным при преобразованиях группы ®. Докажем следующую теорему:
Мера множества Ε точек окружности | ξ | = р, соответствующего кри-
вым Ct, равна 2πρ.
В самом деле, пусть U (ξ, η) — гармоническая функция, принимающая
значения, равные 1 в точках ^иОв остальных точках окружности | £ | = р.
Функция U (ξ, η) остается инвариантной при преобразованиях Gt группы
@, так как этому условию удовлетворяют ее граничные значения. Отсюда
-следует, что преобразование z = z (£) переводит £/_(ξ, η) в ограниченную
в области D однозначную гармоническую функцию U (х, у), принимающую
значения, равные единице на кривых Ct. Вследствие единственности реше-
ния задачи Дирихле U (х, у) = 1, следовательно, и U (ξ, η) тождественно
60
/. Теория функций комплексного переменного
равна единице, а поэтому по теореме о среднем значении
—π
Это свойство множества Ε позволяет решить задачу Дирихле для конечно-
связных областей.
Пусть требуется найти гармоническую функцию и (х, г/), ограниченную*
в!) и принимающую на кривых С1? С2, . . ., Ср заданные непрерывные зна-
чения.
На плоскости ξ = £ (z) функции и (х, у) должна соответствовать гармо-
ническая функция й (ξ, η), значения которой известны в точках Е. Так как
mes Ε = 2πρ, то функция й (ε, η) вполне определяется по граничным зна-
чениям на Ε при помощи интеграла Пуассона. Найденная функция й (ξ, η)
инвариантна относительно группы преобразований @, так как ее граничные-
значения инвариантны относительно этих преобразований; кроме того, она
непрерывна в каждой внутренней точке Е. Отсюда следует, что функция и,.
соответствующая й на плоскости z, есть однозначная гармоническая функ-
ция, удовлетворяющая всем условиям задачи.
4. Двусвязные области. Пользуясь результатами предыдущего пунктаг
докажем, что всякая двусвязная область может быть отображена на кольцог
ограниченное двумя концентрическими окружностями.
Заметим, что если каждый из континуумов границы вырождается в точ-
ку, то область может быть дробно-линейным преобразованием отображена
на плоскость с выключенными точками z = 0 и z = оо.
Рассмотрим двусвязную область D, имеющую хотя бы одну невырождаю-
щуюся границу. Пусть Си С2 — граничные континуумы области (которые
можем предполагать аналитическими кривыми). Область D можно предпола-
гать ограниченной. Пусть £ (z) — униформизирующее переменное и © —
соответствующая группа линейных преобразований Gt. Для того чтобы пе-
рейти от одной ветви £ (z) к другой, надо переменное z заставить описать
один или несколько раз замкнутый контур, не стягиваемый в точку в области:
D. Отсюда следует, что группа © образована степенями линейного преоб-
разования S, соответствующего одному обходу замкнутого контура. Пре-
образование S не может иметь неподвижной точки внутри круга | £ | < р;
с другой стороны, всякое преобразование, переводящее круг | ξ | < ρ в се-
бя, либо имеет неподвижную точку внутри, либо его неподвижные точки ле-
жат на окружности. (Это следует из того, что такое преобразование перево-
дит симметричные относительно | ξ | = ρ точки снова в симметричные.) По-
этому S имеет одну или две неподвижные точки на | £ | = р. Рассмотрим от-
дельно эти случаи.
А. Преобразование S имеет единственную неподвижную точку
£о (I £o I = р) и> следовательно, является параболическим преобразованием
вида
1 1 . iK
Si — £о ~~ ξ-ςο ' ξο '
где К — действительная константа 2.
2 Легко убедиться в том, что всякое преобразование параболического типа, переводящеэ
круг | ξ | < ρ в себя, имеет указанный вид.
5. Конформные отображения многосвязных областей
61
Положим
тде ξ (z) — униформизирующее переменное. Функция zz; (z) есть однозначная
л унивалентная функция в области D, область значений которой есть еди-
ничный круг с выколотым центром, и, следовательно, эта функция дает
искомое отображение области D. В рассматриваемом случае одна из границ
D вырождается в точку; в самом деле, в окрестности точки w = 0 функция
z = z (w), обратная для функции w = z, есть однозначная ограниченная ре-
гулярная функция, и, следовательно, при w —>■ 0 переменное z стремится к оп-
ределенному пределу.
Б. Преобразование S имеет две неподвижные точки: £х, £а. В этом слу-
чае S — гиперболическое преобразование, так как окружность | £ | = р,
проходящая через неподвижные точки, переводится преобразованием S в
•себя. Поэтому S имеет вид
3 ~ Si _ z^- ξ — Si
§ —ε» ε-Ci '
где ΛΓ — действительная константа.
Функция
дает конформное отображение круга | £ | < ρ на полосу, параллельную
мнимой оси плоскости J, причем точки круга | £ | < р, эквивалентные неко-
торой точке £0, переходят в семейство точек полосы, имеющих аффиксы
j0 + 2nni. Следовательно, каждой точке z0 области D соответствует на поло-
се семейство точек j0 + 2kni. Рассмотрим функцию
Эта функция отображает полученную полосу на некоторое кольцо pt <^
<С I w I ^Ξ Рг> причем всем точкам вида j0 + 2nni соответствует одна и та
же точка кольца, и, следовательно, функция w (z) устанавливает взаимно
однозначное соответствие между точками области D и кольца р± < | w | <
< р2. Таким образом, в этом случае мы получаем конформное отображение
области D на кольцо, ни одна из границ которого не вырождается. Область/)
в этом случае также имеет невырождающиеся границы Ct, C2.
Для того чтобы рассмотреть вопрос о единственности конформного отоб-
ражения и о возможности отображения одной двусвязной области на другую,
рассмотрим задачу отыскания всех возможных отображений одного кольца
на другое.
Пусть w = / (z) — функция, дающая отображение кольца rx < \ z | < г2
на кольцо рх < | w \ < р2. Пользуясь принципом симметрии Шварца [16],
можно продолжить функцию w = f (z) в кольцо r\lr2 < | z |<r*/r1; продол-
женная функция будет однолистна и даст отображение расширенного коль-
ца на кольцо р?/р2 < | w | < pl/pv Повторяя операцию продолжения счет-
ное число раз, убедимся в том, что w = f (z) дает конформное отображение
области 0<|z|<oo на 0 < | и; | < оо. При этом легко видеть, что
lim w = 0, lim w = оо или lim w = 0, lim w = 0; первые равенства имеют
.Z-*3 Z->oo Z->0 Z->oo
62
/. Теория функций комплексного переменного
место, если окружности | z \ = r±, \ z | = г2 переходят соответственно в-
j w | = р1? | w | = р2, а вторые — если | z | = rlt | z | — г2 переходят в-
| w | = р2, | w | = рР Из указанных свойств функции w = f (z) следует, что·
она совпадает с дробно-линейным преобразованием одного из следующих
двух типов:
w = az, w = a/z
(а — комплексная константа). Отсюда следует, что всякое преобразование-
кольца r1 < \ z | < r2 на себя может быть получено обратным преобразова-
нием относительно круга радиуса r = Уr1r2 и вращением. Поэтому имеет
место следующее предложение:
Существует не более одного отображения области D на кольцо Δ, если за-
дана точка границы кольца, соответствующая некоторой точке границы-
области D.
Пусть даны два кольца: r1 < \ z \ < r2, р± < | w \ < р2; из найденного'
выражения функции w = f (z) следует, что для того чтобы существовало
конформное отображение кольца r1 < | z \ < г2 на кольцо рг < | w | < р2г
необходимо и достаточно выполнение равенства ρ 2/ρх = г2/гх.
Сопоставляя эти результаты с тем, что всякая двусвязная область, гра-
ницы которой не вырождаются, может быть отображена на кольцо, получаем
следующую теорему:
Все двусвязные области разбиваются на бесконечное множество классов^
зависящее от одного параметра. Две области, принадлежащие к различным
классам, не могут быть отображены друг на друга. Две области, принадле-
жащие к одному классу, могут быть отображены друг на друга, причем отоб-
ражение вполне определяется, если задана точка границы одной из областей*
соответствующая определенной точке границы второй области.
II. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТЬ
С ВЫРЕЗАННЫМИ ОТРЕЗКАМИ
5. В настоящем пункте рассмотрим конформные отображения многосвяз-
ной области на области, получаемые выкидыванием из плоскости отрезковг
параллельных действительной оси (Гильберт [7]), а также на области, полу-
чаемые выкидыванием из плоскости лучей, проходящих через начало коорди-
нат (Кёбе [8]), и дуг кругов с центром в начале координат (Кёбе [8]). При рас-
смотрении этих отображений будем всегда считать, что точка области D, ко-
торую мы хотим перевести в бесконечно удаленную точку области одного иа
рассматриваемых классов, отнесена в бесконечность. Доказательства теорем
будем вести, пользуясь некоторыми экстремальными свойствами указанных
областей. Эти доказательства были даны Посселем и Грётшем [14, 15]. От-
метим, что в последнее время Голузиным [17] было дано аналогичное доказа-
тельство теоремы Кёбе [8] о возможности отображения всякой многосвязной
области на область, получаемую выкидыванием из плоскости отрезков лога-
рифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. Грёт-
шем [18] были даны доказательства теорем о возможности отображения и на
другие канонические области подобного типа, например на области, полу-
ченные выкидыванием из плоскости дуг софокусных эллипсов и гипербол.
Мы остановимся подробно на доказательстве теоремы Гильберта, для осталь-
5. Конформные отображения многосвязных областей
6&
ных же канонических областей приведем лишь соответствующее экстремаль-
ное свойство, так как дальше доказательство теорем ведется совершенно ана-
логичным путем. Далее укажем другие методы доказательства теоремы Гиль-
берта, основанные на теории гармонических функций.
6. При рассмотрении задач о конформном отображении многосвязных об-
ластей существенную роль играет следующая лемма о семействах однолист-
ных функций.
Л е м м а. Семейство функций, регулярных и однолистных в многосвяз-
ной области D, содержащей точку z = оо, и имеющих в окрестности точки
оо разложение
f (z) = z + а0 + ajz + a2/z2 + . . ., (1)
нормально в области D.
Для доказательства этой леммы используем принцип площадей Биберба-
ха. Пусть / (z) = z + а0 + ajz + ajz2, + . · . — функция, однолистная вне
круга радиуса R. Тогда имеет место неравенство
Ση Ι д Ι2
Рассмотрим круг настолько большого радиуса R, чтобы его внешность
принадлежала целиком нашей многосвязной области D. При | z \ ]> R раз-
ложение (1) сходится. Применяя неравенство Шварца, а потом принцип пло-
щадей (2), находим при | z \ = R' (R' ^> R):
п=1
Отсюда следует, что функции семейства (1) ограничены в совокупности на
всякой окружности | z | = i?' и, так как они однолистны, внутри всякой ок-
ружности \ z | < R'. Пусть fn (z) — любая последовательность функций се-
мейства (1). На основании доказанного существует подпоследовательность
fn (z), сходящаяся равномерно в части области D, принадлежащей кругу
\z | < R''. Так как функции /n (z) регулярны при [ z | ^> Л, то из равно-
мерной сходимости последовательности /n (z) на окружности | z | = R сле-
дует ее равномерная сходимость при \ z \^> R.
7. Отображение Гильберта. Рассмотрим произвольную многосвязную об-
ласть/) конечного или бесконечного порядка связности. Не ограничивая общ-
ности, мы можем предположить, что область D содержит бесконечно удален-
ную точку. Тогда имеет место следующее предложение.
Теорема. Существует регулярная и однолистная в области D функ-
ция /0 (z), обладающая следующими свойствами:
1°. В окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разложение
/о (z) = z + axlz + ajz2 + . . .
2°. Всякий континуум, принадлежащий границе области Δ значений
/о (z)> есть отрезок прямой, параллельной действительной оси.
64
/. Теория функций комплексного переменного
В частности, если область!) конечносвязна, граница Δ состоит из конеч-
ного числа точек и прямолинейных отрезков, параллельных действитель-
ной оси.
Высказанное предложение было впервые доказано Гильбертом [7] для
конечносвязных областей методом, основанным на вариационном исчисле-
нии. Потом методы Гильберта были распространены на случай произвольной
многолистной области, гомеоморфной плоской области (Курант [19], Вейль
[20], Кёбе [101). Приведем весьма простое доказательство теоремы для одно-
листных областей, предложенное Посселем. Оно основывается на следующей
лемме.
Лемма. Для всякой функции £ = / (z) = z — alz + . . ., регулярной
и однолистной в области, лежащей вне отрезка (—2, 2) действительной оси,
имеет место неравенство iRa > 0; если iRa = 0, то f (z) = z.
Положим z = j + 1/j; функция
φ($)=/(^) = 5 + ^- + 1^ + ···
регулярна и однолистна в области | $ | > 1. На основании принципа площа-
дей (2) | 1 — а | <1 1 и, следовательно, | §К (1 — а) \ <; 1, iRa > 0; если
оо
?Иа = 0, то а = 0. В последнем случае 2j п I Ьп | 2 = 0, Ь2 = Ь3 = . . . =
7.-2
= 0, а, следовательно,
φ ($) = 5 + 1/1, / (*) = z.
Перейдем к доказательству теоремы. Рассмотрим семейство {/ (z)} функций
J (z) = z + cijz + cijz2 + · · ·, регулярных и однолистных в области D.
Семейство {/ (z)} не пусто, так как содержит функцию / (z) = z. На основа-
нии теоремы площадей коэффициент а± ограничен для всех функций семейст-
ва. Пусть а — верхняя грань §Каг на рассматриваемом семействе. Пользуясь
леммой п. 6, докажем 3, что существует функция семейства {/ (z)}, для кото-
рой ?Иа1 = а.
Остается доказать, что область значений этой функции/0 (z) удовлетворяет
условиям теоремы. Предположим, что граница этой области содержит кон-
тинуум, отличный от отрезка прямой, параллельной действительной оси,
и пусть Δ0 — односвязная область, содержащая Δ и ограниченная этим кон-
тинуумом, a w = ψ (ξ) = ξ + α/ξ + . . . — функция, реализующая кон-
формное отображение А0 на внешность отрезка (—Ζ, I) действительной оси.
Функция £ = w — $/w + . . ., обратная для w = ψ (t), регулярна и одно-
листна вне указанного отрезка, и в силу леммы §Κβ ;> 0, а так как β = α,
то имеем iRa J^ 0. Положим f (z) = ψ [f0 (z)] = z + (α + a)lz + . . .;
/ (z) принадлежит к семейству {/ (z)} и для нее $Яаг = iRa + iRa > $Κα,
что невозможно.
В случае конечносвязной области/) легко доказать, что функция, удовлет-
воряющая условиям теоремы, единственна. В самом деле, пусть Д (z)h/2 (z) —
две такие функции и φ (z) = Д (z) — /2 (z). Функция φ (z) ограничена в об-
ласти D, и на каждом континууме, принадлежащем к границе D, значения
ее мнимой части постоянны, так как этому условию удовлетворяют, f1 (z)
и /2 (z); поэтому граница области значений ограниченной функции φ (z) pac-
Совершенно аналогично соответствующему доказательству в п. 2.
5. Конформные отображения многвсвязных областей
65
положена на конечном числе прямолинейных отрезков, параллельных дей-
ствительной оси, что невозможно.
8. Метод Гильберта. Метод доказательства теоремы о возможности отоб-
ражения, указанный Гильбертом и в дальнейшем развитый другими иссле-
дователями, основывается на вариационном принципе.
Пусть область \ z \^> R целиком содержится в D. Положим SR (x, у) =
= х при х2 + у2 ^> R и SR (х, у) = О в остальных точках области D. Рас-
смотрим семейство S? функций U (х, у), действительных, определенных во
всей области/), непрерывных, имеющих непрерывные частные производные
первого порядка и таких, что существует интеграл
D
Семейство Ж не пусто, так как содержит функцию U = х. Доказывается, что
в семействе 3R существует функция U0 (x, #), для которой Фд (U) принима-
ет свое минимальное на Э? значение; эта функция не зависит от Л и есть гар-
моническая функция х, у. Далее доказывается, что функция комплексного
переменного / (z) = U0 + iV0 (V0 — сопряженная с U0 функция) удовлет-
воряет условиям теоремы. Доказательство распространяется на неоднолист-
ные области [19, 20].
9. Конечносвязные области. Приложение задачи Дирихле. Покажем
теперь, что отображение Гильберта для конечносвязной области можно
построить, пользуясь решением задачи Дирихле (см. п. 3). Заметим прежде
всего, что нам достаточно ограничиться рассмотрением конечносвязной
области, ни один из граничных континуумов которой не вырождается в точ-
ку. В самом деле, пусть Dn есть гс-связная область, ограниченная контину-
умами С и С2, . . ., Сп. Допустим, что η — т из граничных континуумов
вырождаются в точки. Пусть Сп-т, . . ., Сп — эти континуумы. Отобразим
область Z)m, ограниченную континуумами С^, С2, . . ., Ст, на область Гиль-
берта. Пусть Ct переходит при этом в отрезок Гг, а точки Cn_m+i, . . ., Сп,
лежащие внутри Z)m, в точки Гп_т+3, . . ., Гп. Тогда мы имеем отображение
на область типа Гильберта, ограниченную континуумами Гх, Г2, . . ., Гп.
Пусть С0, Сх, . . ., Ср — граничные континуумы области D, не вырож-
дающиеся в точки. Рассмотрим ρ 4- 1 гармонических функций F0, Vl4 . . .
. . ., Ур, определенных следующим образом: V% есть гармоническая функ-
ция, принимающая значение единицы на контуре Ct и обращающаяся в нуль
на всяком другом контуре Cj (j Φ i). Обозначим через —Ut функцию, со-
пряженную с Vt. Вообще говоря, функция Ut будет многозначной гармони-
ческой функцией. Пусть <oif & — приращение функции Ut при обходе контура
Cjf в положительном направлении (по отношению к области D). Рассмотрим
детерминант || ω4,Λ||, составленный из величин G)i>fe(i ^> 0, к > 0).
Легко убедиться в том, что этот детерминант отличен от нуля. В самом
деле, в противном случае можно было бы подобрать числа λ£, не все равные
Р
нулю и такие, что 5> λ^ω,,^ = 0 (к = 1, 2, . . ., р). Тогда функция / (z) =
i=l
ν
= Ε,λ'1 (Ui + iVi) отлична от константы, потому что значение ее мнимой
г=1
части хотя бы на одном из контуров С% (I ]> 0) отлично от нуля и равно
нулю на С0; с другой стороны, / (z) ограничена в D и ее мйимая часть при-
5 М. В. Келдыш. Математика
66
/. Теория функций комплексного переменного
нимает постоянные значения на Ск, следовательно, / (z) не может быть
отлична от константы.
Пусть v0 — гармоническая функция, принимающая значения v0 = —у
на контурах Cfc, и — и0 (х, у) — сопряженная функция.
Р
Подберем действительные константы Xt так, чтобы функция и0 + ^ λ^[/^
г=1
была однозначна; это возможно, так как || (uitJt \\ Φ 0. Легко убедиться в том,,
что при соответствующем подборе константы С функция
/о (z) = z + С + и0 + iv0 + S К (U{ + iV{)
г=1
будет удовлетворять всем условиям теоремы Гильберта.
Прежде всего докажем, что функция / (z) однолистна. Пусть границы Cf
переходят в отрезки Tt плоскости w, паралеллельные действительной оси·
Функция w = f (z) однолистна вне некоторого круга \ z | < R, так как
в окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разложение вида
/ (z) = z + ajz + . . .
Пусть значения / (z), принимаемые внутри круга | z | <] R, лежат в кру-
ге | w | <] i?'. Всякое значение w, лежащее вне круга | и; | <[ i?', очевидно,
принимается функцией w = f (z) лишь один раз. Пусть w0 — одна из таких
точек. Функция w = f (z) аналитична на кривых Ct (которые можно пред-
положить аналитическими кривыми), ибо на этих кривых постоянна е&
мнимая часть. Так как / (z) имеет лишь один полюс z = оо, то интеграл
\ _ dz, распространенный на все кривые Ct, проходимые в положи-
тельном направлении, обращается в нуль. Но этот интеграл есть непрерыв-
ная функция w0, если точка w0 не пересекает ни одной из кривых Гг, и, сле-
довательно, он обращается в нуль для всякой точки w0, лежащей внутри
области, ограниченной кривыми Гг. Отсюда следует, что всякое значение w&
принимается лишь один раз и, следовательно, w = / (z) однолистна в об-
ласти D. Условие 2° теоремы Гильберта, очевидно, также выполняется.
Условие 1° будет иметь место, если константа С подобрана соответствующим
образом. Таким образом, теорема полностью доказана.
10. Метод п. 7 доказательства возможности конформного отображения
многосвязной области на область типа Гильберта распространяется на дока-
зательство существования отображения и на другие канонические области,
надо только заменить экстремальное свойство функции, дающей отображе-
ние на область Гильберта, экстремальными свойствами функций, дающих
отображения на рассматриваемые канонические области.
Грётш [18] указал такие экстремальные свойства для функций, дающих
конформное отображение на области, у которых каждый континуум, вхо-
дящий в состав границы, есть отрезок прямолинейного луча, выходящего·
из начала координат, а также для областей, у которых все граничные кон-
тинуумы совпадают с дугами окружностей с центром в начале координат.
Именно, имеют место следующие леммы.
Лемма I. Пусть w = f (z) = z + a0 + ajz + . . . — функция, одно-
листная в односвязной области, получаемой удалением из плоскости отрез-
ка луча, выходящего из начала координат, и f(z)=^=z-\- С. Тогда имеет место
неравенство \ f (0) | > 1.
5. Конформные отображения многосвязных областей
67
Лемма II. Пусть w = / (z) = z + а0 + ajz + · · · — функция, од-
нолистная в области, получаемой удалением из плоскости дуги окружности
с центром в начале координат, и f (z) Φ z + С. Тогда \ f (0) | <[ 1.
Сформулируем две теоремы, вытекающие из этих^ лемм4.
Теорема I. Пусть D — произвольная многосвязная область. Су-
ществует регулярная и однолистная функция fx (z), удовлетворяющая усло-
виям
h (0) = 0, U (z) = z + a0 + ajz + . . .,
дающая конформное отображение области D на область, каждый гранич-
ный континуум которой есть отрезок луча, выходящего из начала координат.
Теорема II. Существует функция /2 (z), удовлетворяющая условию
/г (0) = 0, /2 (z) = z + «о + ал!% + · · ·» дающая конформное отображение
области D на область, каждый граничный континуум которой есть дуга
окружности с центром в начале координат.
Функция Д (z) определяется экстремальным свойством | f[ (0) | = min,
а функция /2 (z) — свойством | f2 (0) | = max.
В случае, если область конечносвязна, можно установить единствен-
ность функций, удовлетворяющих условиям теорем I и II. В самом деле,
если бы, например, существовали две функции /х (z) и /f (z), удовлетворяю·
щие условиям теоремы I, то функция In [Д (z)//f (z)] = φ (z) была бы регу-
лярна и ограничена в D, равна нулю при z = оо и ее мнимая часть была бы
постоянна на каждой границе D. Но тогда φ (z) = 0 и, следовательно,
И (*) = h (*)·
В случае конечносвязных областей для доказательства теорем I и II
можно также использовать решение задачи Дирихле. Именно, чтобы дока-
зать теорему I, надо строить в D гармоническую функцию arg /' (z), которая
в окрестности точки z = оо ведет себя как arctg (у/х), принимает постоянные
значения на границах D и имеет, однозначную в области D сопряженную
функцию.
Для доказательства теоремы II строится функция In | /' (z) |, которая
ведет себя в окрестности z = оо как In | z |, постоянна на границах области
D и обладает тем свойством, что ее сопряженная функция не меняется при
обходе точкой z произвольного контура области D. Такие гармонические
функции легко построить, пользуясь решением задачи Дирихле и функция-
ми Ut, Vt, построенными в п. 9.
И. В заключение укажем на один полученный Грётшем [22] результат,
являющийся весьма сильным обобщением теоремы Гильберта.
Пусть S±, S2, . . ., Sn — семейства кривых, каждое из которых тополо-
гически эквивалентно системе параллельных линий на плоскости. Точнее,
существует непрерывное преобразование конечной z-плоскости в себя, пере-
водящее систему параллельных кривых в систему Sk жордановых линий.
Пусть Си — некоторая дуга Жордана. Мы будем говорить, что Ск является
Мы не будем здесь останавливаться на доказательстве этих лемм, так как оно содер-
жится в статье Голузина [21, § δ]. Там же можно найти доказательство аналогичного
экстремального свойства, характеризующего конформное отображение многосвязной
области на область, ограниченную дугами логарифмических спиралей. Именно, для
однолистной функции, определенной в такой области и имеющей разложение / (z) =
= z + ао + hIz + · · ·» справедливо неравенство
&[е~2(И1п/' (0)]>0.
5*
4
68
/. Теория функций комплексного переменного
вырезом, принадлежащим системе Sh., если Ск — дуга одной из кривых
системы S]f.
После этих определений можно сформулировать следующую теорему
Грётша:
Пусть D есть η-связная область, содержащая бесконечно удаленную точ-
ку; 1\, Г2, . . ., Гп — ее граничные континуумы. Существует единственное
конформное отображение области D на однолистную область Δ, удовлет-
воряющее условию
f (z) = z + alz + . . ., (1)
при котором каждый граничный континуум 1\ переходит соответственно
в вырез Cfc, принадлежащий системе кривых S^..
В основе доказательства этой теоремы лежит доказательство единствен-
ности указанного отображения. Мы отсылаем читателя к работе Грётша
для ознакомления с этой частью доказательства [22]. Опираясь на единст-
венность отображения, его существование можно установить чисто тополо-
гическими методами. Мы проведем эти рассуждения, которые использова-
лись в ряде других работ (в частности, Кёбе [9, 10]) по теории конформных
отображений и теории униформизации и носят название «доказательства по
непрерывности».
Рассмотрим все тг-связные области типа Гильберта, ограниченные η
отрезками Г1? . . ., Гп, параллельными оси х. При этом две различные об-
ласти этого семейства будем считать совпадающими в том случае, если сов-
падают не только их граничные континуумы, но и нумерация этих конти-
нуумов. Между семейством Η этих областей и Зтг-мерным евклидовым про-
странством Ε может быть установлено взаимно однозначное и непрерывное
соответствие 5.
Аналогично, семейство канонических областей S, рассмотренное в тео-
реме этого пункта, отображается непрерывно и взаимно однозначно на Е.
Произвольная область D может быть отображена конформно на область
семейства Η с соблюдением условия (1). Для доказательства высказанной
теоремы достаточно показать, что каждая область семейства Η может быть
отображена конформно на область семейства S с соблюдением условия (1).
Каждая область S может быть отображена конформно на область семей-
ства Н. Пусть Нг — подмножество семейства Н, соответствующее областям S.
Если мы покажем, что Нг = Н, то отсюда будет следовать, что каждая
область семейства Η отображается на область семейства S.
Семейству S мы поставили в соответствие все Зтг-мерное евклидово про-
странство Е. Подмножеству Н1 отвечает множество Ег евклидова простран-
ства. Легко видеть, что отображению семейства S на множество Нг соот-
ветствует отображение пространства Ε на множество Ег. Это отображение
взаимно однозначно и непрерывно. Первое следует из теоремы единствен-
ности конформного отображения на области семейств S и И, а второе — из
общих теорем о конформном отображении. Для того чтобы показать, что
Н1 = Н, достаточно установить, что Ег = Е. Так как Ελ есть множество,
гомеоморфное всему пространству Е, то Ε есть односвязная область. Чтобы
доказать, что Ег = Е, достаточно установить, что Ег содержит свои гра-
ничные точки.
5 Это можно достигнуть, полагая t3n+l = xn, i3n+2 = Уп, *зп+з = 1п, где (хп, уп) — коор-
динаты левого конца Гп; 1п — длина Гп и (t1: t^. . ., f^) — точка евклидова прост-
ранства.
5. Конформные отображения многосвязных областей
69
Пусть Ρ — граничная точка Ег. Тогда существует последовательность
Рг, . . ., Рп, . . . точек Е, сходящаяся к Р. Этим точкам соответствуют
точки областей Ни Я2, . . ., Нп, . . ., которые могут быть отображены на
области 51? S2, · . ., 5П, . . . семейства S. Области Нп сходятся к области
Н0 семейства Н, соответствующей точке Р. Отсюда на основании общих
теорем о конформном отображении можно установить, что границы облас-
тей Sn остаются внутри некоторого круга достаточно большого радиуса.
По тогда семейство Su а2, . . ., Sn, . . . компактно, потому чго каждая
область S определяется группой 3/г чисел. Следовательно, из этого семейст-
ва мы можем извлечь подпоследовательность, сходящуюся к области S0
семейства S. Но тогда из общих теорем о конформном отображении следует,
что область Н0 может быть отображена конформно на область S0 и, следо-
вательно, Ρ входит в Ег.
Пользуясь приведенным выше предложением и теоремами о конформном
отображении предела последовательности областей, Грётш установил одно
еще более общее предложение.
Пусть &к — произвольное непрерывное семейство жордановых кривых,
полностью покрывающее плоскость. Каждая точка, за исключением ряда
особых точек и особых линий, лежит только на одной кривой семейства;
@fc вообще может содержать замкнутые жордановы линии без кратных
точек. Разрезом (£fr, принадлежащим системе ®fr, будем называть произ-
вольную связную систему дуг кривых семейства ®Л., образующую границу
области, содержащей бесконечно удаленную точку. Пользуясь этими опре-
делениями, можно сформулировать общее предложение Грётша:
Всякая η-связная область D, содержащая точку z = оо, может быть
отображена конформно с соблюдением условия нормировки (1) на однолист-
ную область Δ, k-я граница которой является разрезом б^, принадлежа-
щим заданному семейству <Ste.
Указанное конформное отображение, вообще говоря, не является един-
ственным, однако в весьма широких предположениях относительно ®/f
можно доказать единственность отображения. Заметим, что приведенная
теорема содержит в себе как весьма частные случаи теоремы о возможности
отображения на лучевые и спиралевидные области. Для ознакомления с до-
казательством этой теоремы мы отсылаем к уже цитированной работе
Грётша [22].
III. ОТОБРАЖЕНИЕ КОНЕЧПОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
НА ВНЕШНОСТЬ СИСТЕМЫ КРУГОВ
12. Всякая односвязная область отображается на внутренность или на
внешность единичного круга. В п. 4 было показано, что произвольная дву-
связная область может быть отображена конформно на кольцо. Этот резуль-
тат показывает, что всякая двусвязная область может быть отображена
конформно на область, внешнюю к двум кругам. В такой формулировке
теорема может быть обобщена на произвольную конечносвязную область.
Пусть D — конечносвязная область, содержащая бесконечно удаленную
точку. Тогда можно сформулировать следующее предложение, доказанное
впервые Кёбе [9].
Теорема. В области D существует единственная функция, дающая
конформное отображение D на область Δ, являющуюся внешностью системы
70
/. Теория функций комплексного переменного
конечного числа кругов, и имеющая на бесконечности разложение вида
f (z) = z + ajz + . . . + anlzn + . . .1 (1)
Рассуждения, приведенные в начале п. 9, показывают, что для доказа-
тельства существования функции /0 (z), реализующей искомое отображение,
достаточно ограничиться рассмотрением таких конечносвязных областей,
для которых граничные континуумы не вырождаются в точки.
Чтобы найти функцию /0 (z), построим последовательность однолистных
аналитических функций /х (z), f2 (z), . . ., /n (z), . . ., относительно которой
докажем потом, что она сходится к /0 (z).
Пусть С0, Сг, . . ., Ср — кривые, ограничивающие область D.
Функцию Ζλ = /х (z) определим как функцию, дающую конформное ото-
бражение внешности кривой С0 на внешность круга и удовлетворяющую
условию (1). Пусть при этом отображении линии С0, С1? . . ., Ср переходят
соответственно в] кривые Г0, С1э . . ., Ср, а область D — в область D[. Пусть
Z?! — область, состоящая из D± и инверсии D2 области Z>i относительно
окружности ГО. Область D± ограничена] кривыми С[, С2, . . ., Ср и их ин-
версиями Ср+1, . . ., С2р относительно окружности Г0.
Обозначим через z2 = (Pi (z^ функцию, реализующую конформное ото-
бражение внешности кривой С[ на внешность круга 1\ и удовлетворяющую
условию (1). При этом отображении линии Г0, Си С2, . . ., С2р перейдут
в линии Г0, 1\, С2, . . ., С2р и область Dx — в некоторую область D2. Обо-
значим через D2 область, составленную из D2 и ее инверсии D2 относительно
круга* IV Полученная область D2 ограничена кривыми С2, С3, . . ., С2р
и инверсиями этих кривых С2р+1, С2р±2, . . ., C4p-i относительно круга* Гг
Внутри области D2 лежат кривые Г0, 1\ и инверсия Г2 кривой Г0 отно-
сительно круга * IV Положим /2 (z) = φΧ [f± (z)]. Предположим, что, продол-
жая этот процесс, мы построили область D^, ограниченную кривыми С£Л\
£fc+i, · · ., Cfhl и содержащую замкнутые кривые rofc), Т^\ . . ., Г^\ Следую-
щий шаг процесса совершается следующим образом.
Строим функцию Ζγ+i — ψ/c fe), удовлетворяющую условию (1) и даю-
щую конформное отображение внешности кривой Cf^ на внешность некото-
рого круга Γ^+V. При этом отображении область Dk переходит в область
D'k+1, а кривые if \ if \ . . ., г£\ С$\ Cg>lt . . ., &ξ - в кривые Г?+1),
1?+1\ ..., rf», rjii>, eft» cJJ">.
Область Dk+1 определяем как сумму области Dk+1 и ее инверсии Dfc+1
относительно окружности Г^\ Эта область ограничена кривыми С$п\-··
. . ., Сн+1) и их инверсиями C^+V, · . ., Cj^ относительно окружности
rgj?. Внутри Dfe лежат замкнутые кривые Г^¥, . . ., if+1\ · · ·, Γ<·*+1), их
инверсии r$*ti\ · · ·, Г]^ относительно окружности Γ^Ι? и кривая Г^?·
* В математической литературе 30-х годов и сам: круг, и его граничную окружность
иногда именовали одинаково «кругом». Ниже все случаи использования термина «круг»
в смысле «окружность» отмечены звездочкой.
5. Конформные отображения многосвязных областей
71
Функцию /fc+1 (z) определяем формулой Д+1 (z) = φ^ [/fc (z)].
Замкнутые кривые T(j * делят область Z)fe на систему (р + 1)-связных
областей. Пусть Afo и Afc — две из этих областей, примыкающие вдоль кри-
вой Tj . Из самого процесса построения вытекает следующее свойство:
существует конформное отображение второго рода области Δ# на область Δ&»
оставляющее неподвижными точки кривой Tf\
Пусть Ад. — та из (р + 1)-связных частей области Dk, которая содержит
бесконечно удаленную точку. Функция fk (z) дает конформное отображение
области D на область Δ^. На основании леммы п. 6 семейство функций
{fk (z)} нормально. Обозначим через /n (z) сходящуюся подпоследователь-
ность этих функций.
Применяя теоремы о последовательностях однолистных функций, убеж-
даемся в том, что области Dk сходятся к некоторой бесконечносвязной об-
ласти D0, области Δ^ — к некоторой (р + 1)-связной области Δ. Обозначим
через Tj предел последовательности кривых Г^}.
Область Δ ограничена ρ кривыми Г/. Однолистные функции fn (z) схо-
дятся к однолистной функции w = /0 (z), дающей конформное отображение
области D на область Δ. Отсюда вытекает, что для доказательства приведен-
ной теоремы достаточно показать, что каждая из кривых Tj есть окружность.
Кривые Tj разбивают область D0 на (р + 1)-связные области, обладаю-
щие следующим свойством: две соседние области Δ' и Δ" подразделения
примыкают одна к другой вдоль одной кривой Tj. Существует конформное
отображение второго рода области Δ' на Δ", оставляющее неподвижными
точки кривой Tj.
Всякая замкнутая кривая Г7- разбивает область D0 на две: Di и D%.
Пользуясь указанным только что свойством областей подразделения и
кривых Tj, нетрудно убедиться в том, что существует конформное отобра-
жение второго рода области D[j) на D^\ оставляющее неподвижными точки
кривой Tj. Пусть d = х (£) — это отображение. Докажем, что функция
5С (£) дает конформное отображение второго рода части плоскости Q[3 ,
лежащей по одну сторону от кривой Tj с областью D± » на часть плоскости
£2а , лежащей по другую сторону, и покажем, что кривая Tj, для которой
можно построить такое конформное отображение, не может быть отлична
ют окружности.
При этом нам потребуется следующее вспомогательное предложение:
ряд, составленный из квадратов длин кривых Tj, Σ [дл. (Г7·)]2, сходится.
Пусть Tjo, Tjt, . . ., Т3р — кривые, ограничивающие область Δ. Окружим
каждую из этих кривых линией у)к, принадлежащей Δ, и пусть у)к — ин-
версия у]к относительно] аналитической кривой Tjk. Область, заключен-
ную между у]к и у)к, обозначим через CDjr Рассмотрим теперь произвольную
кривую Гг. Кривая Г. и две примыкающие к ней области подразделения
могут быть отображены конформно на одну из кривых Tjk, входящую в со-
став границы области Δ, и две примыкающие к ней области. При этом об-
ласть tojk перейдет в область соь содержащую Г|. Пусть £f = ^ик (ξ) —
функция, отображающая ω^ на ω^; δ — наименьшее расстояние от точки
произвольной кривой Tjk (к < р) до точек y'jk, y]k\ at — площадь области
<uh Кроме того, обозначим через L наибольшую из длин кривых μ^.
72
/. Теория функций комплексного переменного
Имеем
L\= \ \ ь. к (z) Ids < ^ max Ι Ψ*.»(z) I
г· 2=гъ
или L?<L.2 max |ifofjfc(z)|a.
По теореме о среднем
К *(*)!*< таг Π Ι^ΠΟΙ1*^.
|г-С|<в
Поскольку при любом z на кривой Γ;·Λ круг \z — t \ <[ δ лежит в области
(ujv находим отсюда
max | Ь, k (z) |« < -±- Jj jj I ψΙ,* (Ε) I2 ^ ^ = ^ ·
Поэтому £?<-^σ»*.
Так как области ω$ не перекрываются и все лежат внутри некоторого круга
| z | ^ i?, то сумма их площадей сходится, а потому сходится ряд ΣΙ%·
Докажем теперь, что функция £х = % (£) дает отображение Ω^ на
Ω/\ Для этого докажем прежде всего, что функция % (£) регулярна в об-
ласти Ω[*}. Пусть Ω^ —произвольная область, содержащаяся в Ω^\ ограни-
ченная кривой Tj и несколькими другими кривыми rit, 1\2, . . ., Т{ . Обо-
значим через Tik соответствующие кривые в области Ω^. На основании дока-
m
занного эти кривые могут быть выбраны так, чтобы 2 (L% + Li2) <[ ε.
В области Ω[^ имеем K=l
m
XW~ 2ju J j-C 2m L J J-ь
Пусть £l9 ξ2 — Две произвольные точки контура rifc, тогда
r |x(b)-x(C.)|<Slxf(0|rfC<4·
Отсюда непосредственно следует, что в точке £, отстоящей на расстоянии,
большем δ, от границы Ω^, имеем
m
fr=i rifc fc=i
и, следовательно, функция
*w 2ш J j-c
υ
* В последнем абзаце несколько изменен способ вывода последнего неравенства.
5. Конформные отображения многосвязных областей 73
регулярна в области ΩΧ . Так как £х = Л (£) оставляет точки Г7· неподвиж-
ными, то эта функция дает отображение второго рода Ω^} на Q2J).
Докажем теперь, что Tj есть круг *. Пусть £ = ψ (j) — функция, даю-
щая отображение Ω^ на полуплоскость 3j <С О· В верхней полуплоскости
3$ ^> 0 определим функцию ξ = Λ/ [ψ (j)], которая дает конформное ото-
бражение этой полуплоскости на область Ω^\ Так как при 3] = 0 х [ψ (])] ==
= ψ (j), то функции £ = ψ ($) и ξ = х [ψ ("$)] дают конформное отображение
всей j-плоскости на всю ^-плоскость, поэтому они совпадают с некоторым
дробно-линейным отображением, a Tj есть круг *. Таким образом, искомое
отображение области D найдено и совпадает с функцией £ = /0 (z).
Докажем теперь единственность функции /0 (z). Предположим, что су-
ществует вторая функция w = Д (z), удовлетворяющая условиям теоремы,
и пусть q>i (и>) — функция, обратная для /х (z). Тогда функция F (w) =
= Ι0 [φ0 (w)\ дает конформное отображение области /), ограниченной кругами *,
на область такого же типа Δ. Пусть Dx — область, состоящая из D и ее
инверсий относительно каждой из ее границ, а ΔΧ получена таким же обра-
зом из области Δ. Применяя принцип Шварца, убеждаемся в том, что функ-
ция F (w) дает конформное отображение области D на ΔΧ. При помощи
такой же операции из областей Dx и ΔΧ получим две новые области D2 и Δ2,
ограниченные кругами *. Функция F (w) дает отображение D2 на Δ2. Про-
должая этот процесс, получим последовательность областей Dn и ΔΛ.
Пользуясь приемом, уже примененным в настоящем пункте, установим,
что сумма квадратов длин границ области Dn и области Δη стремится к нулю.
Представляя функцию F (w) интегралом Коши и оценивая этот интеграл,
докажем, что F (w) голоморфна во всей плоскости, и так как F (w) удовлет-
воряет условию (1), то имеем F (w) = w. Это доказывает единственность
функции /0 (z).
Заметим, что из доказанной теоремы единственности следует, что после-
довательность /n (z), построенная в начале этого пункта, сходится к функ-
ции, дающей конформное отображение D на область Δ, ограниченную
кругами *.
В самом деле, выше было показано, что всякая сходящаяся подпоследо-
вательность /n (z) сходится к функции, дающей конформное отображение
D на внешность системы кругов. Если бы последовательность /n (z) расхо-
дилась, то можно было бы извлечь две сходящиеся подпоследовательности
/n (z) и fm (z), имеющие различные пределы. Но это противоречит теореме
единственности.
Приведем еще результат, непосредственно вытекающий из теоремы един-
ственности.
Всякое конформное отображение области D, ограниченной кругами *,
на другую область Δ того же типа реализуется дробно-линейной функцией.
Два конформных преобразования области D на области, ограниченные кру-
гами *, могут быть получены одно из другого дробно-линейным преобразо-
ванием.
13. Вопрос о возможности обобщения теоремы об отображении тг-связ-
ных областей на круговые области на случай областей бесконечной связ-
ности до сих пор остается не выясненным до конца, и в этом направлении
имеются лишь отдельные результаты. Наиболее сильный результат при-
надлежит Грётшу [23], который установил теорему о возможности отобра-
74
/. Теория функций комплексного переменного
жения на круговые области бесконечносвязных областей /J^, граница ко-
торых обладает следующим свойством: любой однолистый образ /)«, имеет
границу, состоящую из изолированных континуумов, могущих скопляться
около конечного числа точек сгущения. Для этого же класса областей
Грётш установил теорему о единственности отображения.
Другое интересное обобщение теоремы о конформном отображении ко-
лечносвязных областей на круговые области, также принадлежащее
Грётшу [22], состоит в том, что семейства кругов * могут быть заменены более
•общими семействами жордановых кривых, и в частности любым топологи-
чески эквивалентным семейством. Именно Грётш показал, что теорема
Кёбе может быть обобщена на случай отображения тг-связной области на
каноническую область, /с-й граничный континуум которой Ск есть жорда-
нова кривая, принадлежащая к семейству жордановых кривых S. Причем
это семейство зависит непрерывно от трех существенных действительных
лараметров и удовлетворяет следующим четырем условиям:
1) каждая кривая Ск семейства S есть простая замкнутая жорданова
кривая;
2) совокупность кривых Ск семейства S, лежащих в окрестности одной
из линий С^., может быть поставлена в непрерывное и взаимно однозначное
соответствие с окрестностью точки трехмерного евклидова пространства;
3) две различные кривые семейства S имеют не более двух общих
точек;
4) из любой совокупности кривых {Сь} семейства 5, лежащих в ограни-
ченной части плоскости и имеющих диаметры, ограниченные снизу, можно
извлечь подпоследовательность, сходящуюся к кривой Ск семейства S.
Для ознакомления с доказательством этой теоремы мы отсылаем к работе
Грётша [22]. Заметим только, что прежде всего доказывается теорема о
единственности отображения, а потом доказательство существования
получается непосредственно методом доказательства «по непрерывности».
IV . ИССЛЕДОВАНИЯ БАЛЛЕ ПУССЕНА И ЖЮЛИА
14. В 1930 г. Балле Пуссеном [11] было указано еще одно весьма инте-
ресное отображение конечносвязной области, которое, так же как и преды-
дущее отображение Кёбе, можно рассматривать как обобщение теоремы
о возможности отображения всякой двусвязной области на кольцо. Всякое
кольцо может быть получено как область, ограниченная двумя кривыми,
на которых некоторый полином первой степени Ρ (z) = z + с имеет постоян-
ный модуль. Назовем через А^ класс /?-связных областей D, обладающих
следующими свойствами:
1) область D ограничена ρ +1 замкнутыми аналитическими кривыми
^oi £-ъ · · ч Cv\
2) существует полином Ρ (и) степени /?, модуль которого остается по-
стоянным на каждой из кривых Сг.
Область Ζ), очевидно, ограничена; пусть С0 — внешний контур этой
области. В каждой области, внутренней по отношению к контуру Сь на-
ходится, видимо, один корень полинома Ρ (и). В самом деле, на Ск функция
| Ρ (и) | постоянна; если бы она не обращалась в нуль внутри Ск, то мы
имели бы Ρ (и) = const.
5. Конформные отображения многосвязных областей
75
Балле Пуссеном был поставлен вопрос о возможности отображения про-
извольной (р + 1)-связной области на область класса Ар\ Такое отображе-
ние оказывается возможным только в том случае, когда область D удовлет-
воряет некоторому дополнительному условию. Отображение возможно
всегда, если вместо класса Ар0) рассмотреть класс областей Ар, определяе-
мый следующим образом:
1) область D ограничена ρ + 1 аналитическими кривыми Ct (i = 0, 1,. ..
. . ., ρ);
2) существует полином вида
ρ (и) = (и — а^ (и — а2)т> . . . (и — ар)тР (1)
{т1 — целые числа), модуль которого постоянен на каждой из кривых Ct.
Мы будем снова через С0 обозначать внешнюю границу D, а через Ct —
кривую, окружающую корень at кратности тг·.
Пусть Δ — область, ограниченная ρ + 1 аналитическими кривыми
Г0, 1\, . . ., Гр, лежащая в плоскости комплексного переменного z (соглас-
но п. 3 границы (р + 1)-связной области можно всегда предполагать ана-
литическими кривыми), и пусть Г0 — внешняя граница Δ. Изучим все воз-
можные отображения области Δ на области класса Ар. Предположим, что
область Δ отображена на некоторую область/) класса Ар. Предположим, что
при этом отображении контур С0 соответствует контуру Г0. Пусть Ρ (и) —
лолином вида (1), соответствующий области D. Рассмотрим переменное
£ = Ρ (и) как функцию переменного z, ξ = ξ (z), в области Δ.
15. Свойства функции ξ (z). Переменное ξ (z) будет однозначной и регу-
лярной функцией z в области Δ. Эта функция обладает следующими свой-
ствами:
1°. | ξ (z) I принимает постоянные значения на каждой из кривых Г0,
V V
j. J, . . ., х р.
2°. Функция ξ (z) не обращается в нуль внутри области Δ.
3°. При обходе контура Г$ (i ^> 0) в положительном направлении
arg £ (z) увеличивается на 2ят^.
4°. При обходе контура Г0 в положительном направлении arg ξ (z) уве-
личивается на 2πμ, где μ = т1 -}- т2 -\- . . . -\- тр.
5°. ξ' (z) не обращается в нуль ни на одной из границ области Δ.
Свойства 1° и 2° непосредственно вытекают из соответствующих свойств
Ρ (и) в области Δ; свойства 3° и 4° следуют из того, что внутри Ci полином
Ρ (и) имеет тгкратный нуль, а внутри С0 μ нулей. Докажем свойство 5°.
Прежде всего докажем, что производная Р' (и) не обращается в нуль ни
на одной из кривых Ct (i ^> 0). В самом деле, если бы на одной из кривых
Ci существовала точка и0, такая, что Р' (гг0) = 0, то кривая \ Ρ (и) \ =
= | Ρ (и0) | имела бы кратную точку в и0 и разбивала бы область, лежащую
внутри Ci, по крайней мере на две части. Но тогда Ρ (и) должен был бы обра-
титься в нуль по крайней мере в двух точках 6, лежащих внутри Сь что
невозможно. Если Р' (и0) = 0 в точке кривой С0, то кривая | Ρ (и) \ =
= | Ρ (и0) I разбивает внешность С0 на две части; но тогда Ρ (и) имел бы
нули вне С0, что невозможно. Таким образом Р' (и) не обращается в нуль на
границе D. С другой стороны, границы D и Δ — аналитическое кривые,
* Так как внутри всякой области, на границе которой | Ρ (и) | = const, полином Ρ (и)
имеет нуль.
70
/. Теория функций комплексного переменного
а потому производная функции и = f (z), дающей отображение А на fl,
не обращается в нуль на границе Δ. Из равенства £' (z) = Ρ' (и) f (z)
следует, что ξ' (z) не обращается в нуль на границе Δ.
Докажем, что свойства 1°—3° определяют функцию ξ (z) с точностью
до постоянного множителя. В самом деле, допустим, что существуют две
функции ξ (z) и £х (z), удовлетворяющие условиям 1°—3° при тех же зна-
чениях чисел m1? m2, . . ., тр. Положим φ (z) = In £ (z), φΧ (z) = In £2 (z).
Разность x (z) = φΧ (z) — φ (z) вследствие условий 1° и 2° есть однозначная
и регулярная функция в области Δ. Из 3° вытекает, что действительная часть
% (z) принимает постоянные значения на каждой кривой Tt. Но тогда в со-
ответствии с п. 7 имеем % (z) = const и, следовательно, t, (z) = ct, (z).
Дальше мы покажем, каким образом построить все функции, удовлет-
воряющие условиям 1°—5° при различных значениях тъ т2, . . ., тр.
16. Построение функции ξ (z). Пусть Uu Vt (i > 0) — функции, опре-
деленные в п. 9; положим ut = Vu vt = —Ut. Пользуясь этими функциями,
легко построить гармоническую функцию V, получающую заданные при-
ращения cof при обходе контура Ci (i ^> 0). В самом деле, полагая
V = λ^Χ + λ2ν2 + · · · + Vp» (2)
всегда можно подобрать числа λ^ таким образом, чтобы V имела периоды
cof. Это непосредственно следует из того, что det || ω1λ. || не обращается в
нуль. Если положим cof = 2nmi, то функция
I (z) = eu+vi (3)
будет удовлетворять условиям 1°—4° п. 15. Таким образом, если только
существует функция £ (z), удовлетворяющая условиям 1°—5°, то она дается
формулой (3). Однако при произвольных целых числах ти т2, . . ., тр
функция (3) не будет удовлетворять условию 5°. Покажем, что существует
бесчисленное множество групп целых чисел ти1? т2, . . ., тр, для которых (3)
удовлетворяет условию 5°.
Пусть F (z) = U + Vi. Для того чтобы функция £' (z) не обращалась
в нуль на границе Δ, надо чтобы F' (z) не имела нулей на этой границе.
Если £' (z) не имеет нулей на Tt и удовлетворяет условиям 1°—4°, то во всех
точках контура Ct имеет место неравенство dV/dst ^> 0, так как периоды
V положительны. Определим область изменения точки /7-мерного простран-
ства λ (λ1? λ2, . . ., λρ), для которой функция (2) удовлетворяет неравенст-
вам dV/ds^ 0 во всех точках всех контуров Tt. Докажем прежде всего, что
эта область Л содержит точку λ (—1, —1, . . ., —1). Полагая λ$ = —1,
получаем функцию
U0 = —щ — и2 — ... — ик, (4)
принимающую значение —1 на кривых Tt (i ^> 0) и равную нулю на Г0.
Отсюда следует, что на кривых Tt (i ^> 0)
ьъ. —~ dn. =^U'
г г
где iii — нормаль к контуру Tt, направленная в область Δ. Докажем, что
ни в одной точке Tt производная dVjdsi не обращается в нуль. В самом де-
ле, в противном случае F0 (z0) = 0, так как dUJdsi = 0, и, следовательно,
ξ' (z0) = 0. Но тогда кривая | ξ (z) | = | £ (z0) | = 1/е имела бы кратную
точку z0 и мы имели бы во внутренних точках области Δ UQ = In | £0 | =
5. Конформные отображения многосвязных областей
77
■= —1, что противоречит принципу максимума. Таким образом, точка
λ (—1, —1, . . ., —1) действительно лежит в области Л.
Если точка λ (λ1? λ2, . . ., λρ) принадлежит области Л, то для любой си-
стемы точек S], s2, . . ., sp* лежащих соответственно на кривых Г1? Г2, . . .
• . ., Гр, должны выполняться неравенства
τε-^-£-+*··£-+-+*.-2β->ο· <5>
г г 1 г
Эти неравенства показывают, что точка λ должна лежать внутри одного из
2п телесных углов, образуемых гиперплоскостями
λ1^-+λ^ + ··· + λ^=0 (* = 1.2,...,n) (6)
1 г х i
в пространстве λ1? λ2, . . ., λρ. Так как функция V0 удовлетворяет неравен-
ствам (5), точка λ (—1, —1, . . ., —1) также лежит внутри этого угла. Не-
равенство (5) должно выполняться для каждой системы точек sr, s9, . . .
. . ., sp, лежащих на контурах Гг, Г2, . . ., Гр, поэтому область Л есть
7?-мерный конус, лежащий внутри всех полученных телесных углов. Этот
конус действительно содержит точки, так как точка λ (—1, —1, . . ., —1)
лежит внутри него.
Посмотрим, какова область (Ω), которую пробегает точка ω (ω1? ω,,...
. . ., ωρ) с координатами, равными периодам функции V, когда точка λ на-
ходится в области Л. Координаты точки λ и точки ω связаны линейным пре-
образованием
ω^ = ω^λ]^ + ω12λ2 +. . . + ω,·ρλρ;
следовательно, Ω есть также/^-мерный конус с вершиной в начале координат.
Этот конус содержит точку ω (ΩΧ, Ω2, . . ., Ωρ), соответствующую точке
λ (—1, —1, . . ., —1). Отметим, что конус Ω целиком лежит внутри коор-
динатного угла ωг ^> 0, потому что для всех соответствующих функций
dVldst > 0.
Полученный конус Ω содержит бесчисленное множество точек вида
2пт1, 2лт2, · · ·» 2πτ71/;, где mt — целые числа. Для каждой такой системы
чисел функция ξ (z) удовлетворяет всем условиям 1°—5° предыдущего
пункта. Таким образом, в произвольной области можно построить бесчис-
ленное множество функций, удовлетворяющих условиям 1°—5° (с различными
системами целых чисел ти т2, . . ., тр).
17. Риманова поверхность а. Для того чтобы построить конформное
отображение области Δ на область D, нам надо изучить поверхность Римана
σ, на которую функция £ (z), удовлетворяющая условиям 1°—5°, отображает
область Δ.
Пусть λ^ — значение функции U на контуре Г^. Значение | ξ (z) | на этом
контуре будет еи. Покажем, что λ^ <^ λ0 = 0. В самом деле, на контуре
Гг (* > 0) имеем dVldsi >0 и, следовательно, обозначая через nt нормаль,
направленную внутрь области, получаем dU/dni ^> 0. Это показывает, что
максимум функции U не может достигаться на линии Гг· (i ^> 0), а потому
достигается на контуре Г0. Из доказанного свойства следует, что внутри
области Δ имеем U < 0, | £ | <[ 1. Это показывает, что вся риманова по-
верхность σ расположена над кругом | £ | < 1. Граница этой поверхности
состоит из кривых yt, соответствующих контурам Гг.
78
/. Теория функций комплексного переменного
Рассмотрим кривую γ0. На линии Г0 производная dV/ds0 положительна,
так как производная U по нормали, направленной внутрь области Δ, отри-
цательна. При обходе контура Г0 увеличение arg ξ равно 2πμ, поэтому
при обходе контура γ0 точка ξ пробегает окружность | £ | = 1 в положитель-
ном направлении μ раз. Область σ примыкает к полученному контуру из-
нутри.
Пусть теперь ъ пробегает Г$ в положительном направлении. Тогда
| ξ | = βλ{ и arg£ увеличивается на 2пть. При этом dVldst = d arg Z>ldsi >
^> 0. Поэтому при обходе контура 1\ точкой z точка ξ пробегает в положи-
тельном направлении линию yt, покрывающую окружность радиуса
e%imi раз. Поверхность σпримыкает к линии yt извне, так как на контуре Гг
производная от U = 1η | ξ | по нормали, направленной в область Δ, по-
ложительна.
Предположим, что кривые Гг перенумерованы таким образом, что
λρ <С λρ-i <^ . . . <^ λ0 = 1.
υ Я · λ.·
Легко показать, что в каждую точку кольца е 1 <[ | £ | <[ е i_1 проекти-
руются μ — тг — нг2 — ... — тр точек поверхности σ. В самом делет
пусть точка £0 лежит внутри этого кольца. При обходе контуров Г7· (/ <^ i)
области Δ функция arg (£ — ξ0) приходит к своему первоначальному зна-
чению, так как £0 лежит вне окружности | ξ | = е%г, если / ^> i, то при
обходе Г/ точка ξ пробегает иг;- раз окружность радиуса е\ охватывающую
£0, и, следовательно, arg (ξ — £0) получает приращение 2яиг7·; при обходе
Г0 приращение arg (ξ — ξ0) = 2πμ. Следовательно, разность приращений
arg (i — ξ0) ПРИ обходе внешнего и внутренних контуров Δ, равная произ-
ведению 2я на число корней £ = £0 в области Δ, составляет 2π (μ — тх —
— т2 — . . . — mi+1).
Таким образом, σ есть μ-листная поверхность Римана, ограниченная
извне единичной окружностью, пробегаемой μ раз, а изнутри окружностя-
ми радиусов ех\ пробегаемыми mi раз.
18. Отображения Δ на области класса Ар. Выше было показано, что
если область Δ отображается на область D класса Ар, соответствующую
полиному (1), то функция ξ = ξ (z), определенная по условиям 1°—3°,
должна удовлетворять условию 5°. С другой стороны, для бесчисленного
множества групп целых чисел (т1, т2, . . ., тр) существует функция £(z)t
удовлетворяющая условиям 1°—5°. Покажем теперь, что для каждой из
этих групп существует полином вида (1), соответствующий некоторой облас-
ти D класса Ар, на которую можно конформно отобразить область Δ.
Построим поверхность Римана Σ, которую определим следующим обра-
зом. Вдоль каждой внутренней границы yt (i ^> 0) поверхности σ мы при- „
крепим кусок римановой поверхности функции t = yr t>, проектирующийся
в круг | ξ | ^ e%i. Это возможно, так как контур yt покрывает nrii раз ок-
ружность | ξ | = βλ* и поверхность σ примыкает к yt извне. Вдоль контура
γ0 поверхности σ мы прикрепим кусок римановой поверхности функции
t = У' £, проектирующийся в область | ξ | > 1. Полученная замкнутая
поверхность и есть поверхность Σ. Легко усмотреть, что риманова поверх-
ность Σ односвязна. В самом деле, поверхность Σ может быть отображена
гомеоморфным преобразованием на плоскость z так, чтобы ее часть σ перешла
в область Δ, части, примыкающие к yt,— в части плоскости, ограниченные
5. Конформные отображения многосвязных областей
79
контурами Гг, и, наконец, часть, примыкающая к γ0,— в часть плоскости,
лежащую вне Г0.
Таким образом Σ есть μ-листная алгебраическая поверхность жанра нуль*
Пусть ξ = Ρ (и) есть функция, дающая конформное преобразование пол-
ной ц-плоскости на поверхность Σ и переводящая и = оо в бесконечно уда-
ленную точку поверхности Σ. Такая функция, как известно, существует и
определена с точностью до линейного преобразования Рг (и) = аР (и) + β·
Легко усмотреть, что Ρ (и) есть полином вида (1). В самом деле, функция
Ρ (и) всюду регулярна и имеет μ полюсов при и = оо. Над точкой ξ = О
плоскости ξ лежат точки разветвления поверхности Σ порядков т1ч т2щ ...
. . ., тр. Пусть ах, а2, . . ., ар — точки плоскости w, соответствующие этим
точкам разветвления. Ρ (и) имеет в этих точках нули порядков т1,т2,.. .
. . ., тр. Пусть D — область плоскости и, в которую переходит σ при рас-
сматриваемом отображении Σ. Равенство Ρ (и) = ξ определяет конформ-
ное отображение области Δ на область D. В самом деле, ξ (z) дает конформ-
ное отображение Δ на σ, а Р (и) дает конформное отображение D на σ; отоб-
ражение, ставящее в соответствие точки и и z, соответствующие одной и той
же точке σ, конформно. На границах области D модуль полинома Ρ (и)
принимает постоянные значения, поэтому D (Z Ар.
Теорема. Всякая (р + 1)-связная область может быть отображена
конформно на область класса Ар.
19. Существует много областей класса Ар, на которые может быть ото-
бражена (р + 1)-связная область Δ. Вообще говоря, нельзя указать простой
характеристики семейства всех областей класса Ар, на которые может быть
отображена область Δ. Некоторые результаты в этом направлении можно
извлечь из следующей теоремы:
Пусть область Δ отображена на две области класса Ар, при этом внеш-
ним контурам этих областей Dx и D2 соответствует один и тот же контур
Г0. Предположим, что полиномы Рх (и) и Р2 (и), соответствующие этим
областям, имеют корни одной и той же кратности внутри каждых двух
кривых Ск и С», соответствующих одному и тому же контуру Тк области
Δ. Тогда область Dx получается из области D2 линейным преобразованием
и = αν + β, а значения полиномов Рг (и) и Р2 (и) в соответствующих точках
пропорциональны.
В самом деле, в этом случае функции £х (z) = Рг (и) и £2 (z) = Рг (v)
удовлетворяют условиям 1°—5° с теми же числами тг, т2, . . ., тр. Из ре-
зультата п. 13 следует, что ξΧ (z) = й£2 (z), где h — константа. Поэтому
Рх (и) = hP2 (v). Поверхности Римана σΧ и σ2 получаются одна из другой
преобразованием £х = й£2, следовательно, это же преобразование связы-
вает поверхности 2Х и 22; так как Рг (и) и Р2 (ν) отображают эти поверх-
ности на плоскость, переводя бесконечность в бесконечность, то имеем
ν = аи + β·
В частности, из этого предложения следует такой результат: если су-
ществует отображение Δ на область D класса А®\ переводящее внешний
контур Δ во внешний контур D, то это преобразование определено с точ-
ностью до линейной трансформации плоскости и.
20. Результаты Жюлиа. Жюлиа [24] показал, что области класса Ар во
всех предыдущих исследованиях могут быть заменены областями класса Вру
определяемого следующими свойствами:
1) внешняя граница С0 области D есть окружность;
8η
I. Теория функций комплексного переменного
2) каждая из внутренних граничных кривых области D есть замкнутая
аналитическая кривая;
3) существует рациональная функция R (z) с фундаментальным кругом*
С0, имеющая ρ нулей (вообще кратных), модуль которой постоянен на каж-
дой из границ CV
Заметим, что рациональная функция имеет фундаментальный круг * Г,
если ее значения в точках, лежащих внутри Г, также лежат внутри Г,
а значения в точках, лежащих вне Г, попадают вне Г.
Для доказательства возможности отображения области Δ на область D
класса Вр снова используется функция ξ (z), удовлетворяющая условиям
1°—5°, и риматгова поверхность σ. Далее вместо поверхности Σ строится
поверхность Σ', которая совпадает с Σ при | ξ | < 1 и симметрична относи-
тельно окружности | £ | = 1. Пусть R (и) — функция, дающая отображе-
ние плоскости и на поверхность Σ, причем R (0) = 0, R (оо) — оо. Легко
видеть, что R (и) есть рациональная функция. Чтобы показать, что она
имеет фундаментальный круг *, достаточно показать, что кривая γ0 перехо-
дит в круг * на плоскости и. Это следует из того, что существует конформное
отображение второго рода внутренности С0 на ее"-внешность, оставляющее
неподвижными точки С0 (ср. п. 12), так как поверхность Σ' симметрична
относительно кривой γ0. Область D, соответствующая σ, и будет областью
класса Вр, на которую отображена область Δ.
Жюлиа также установил возможность отображения любой (р + ^-связ-
ной области на область класса Ар1), определяемого следующим образом:
область D ограничена ρ кривыми С% (которые не обязательно являются прос-
тыми замкнутыми кривыми), и существует полином вида Ρ (и) = (и — й})<
х(и — а2) . . · (и — ар), обладающий следующими свойствами: 1) внутри
каждой кривой Сг (i j> 0) лежит одна из точек а; 2) \ Ρ (и) \ = const на
линии Ct.
V. КЛАССЫ КОНЕЧНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
21. В этом пункте мы укажем приложения изложенных выше результа-
тов к вопросу о возможности конформного отображения одной я-связной
области на другую.
В случае η = 1, как указано выше, две произвольные не вырождающие-
ся области могут быть отображены друг на друга, причем отображение
зависит от трех произвольных параметров. При η = 2 совокупность облас-
тей разбивается на бесконечное множество классов, зависящее от одного
параметра; области, принадлежащие к различным классам, не могут быть
отображены друг на друга; для двух областей, принадлежащих к одному
классу, существуют два однопараметрических семейства отображений друг
на друга (см. п. 4).
Рассмотрим случай η }> 2. Произвольная га-связная область может быть
отображена конформно на область, ограниченную системой кругов *, поэтому
вопрос о возможности отображения области Dr на D2 сводится к вопросу
о возможности отображения друг на друга двух круговых областей Аи
Δ2. Всякое отображение круговой области на другую круговую область
дробно-линейно (см. п. 12), поэтому класс круговых областей Δ, отображаю-
щихся на некоторую круговую область Δ0, зависит от шести действительных
параметров. С другой стороны, совокупность всех га-связных круговых
областей зависит от Зга параметров. Следовательно, все круговые области
5. Конформные отображения многосвязных областей
81
разбиваются на зависящее от 3п — 6 параметров множество классов облас-
тей, отображающихся друг на друга.
Множество всех η-связных областей Δ разбивается на классы, совокупность
которых зависит от 3п—6 параметров. Эти классы обладают следующим
свойством: для того чтобы существовало конформное отображение области
Δ1 на Δ2, необходимо и достаточно, чтобы области Δ1? Δ2 принадлежали
к одному классу.
Предположим, что существует конформное отображение га-связной
области Δ на себя. Исследуем вопрос о единственности этого отображения.
Пусть границы С1, С2, . . ., Сn области Δ переходят соответственно в гра-
ницы Си Съ, . . ., Сп области Δ'. Покажем, что преобразование с заданным
соответствием континуумов Ct единственно. Для доказательства достаточно
рассмотреть случай, когда Δ, Δ' совпадают с одной и той же' круговой об-
ластью D, расположенной между двумя концентрическими кругами* Г0 и
Гn. Всякое преобразование, оставляющее неподвижными кривые 1\ и Гп,
есть вращение около общего центра кривых Тг и Гп. Если это преобразова-
ние есть конформное преобразование D на себя, оставляющее неподвижными
граничные кривые D, то оно оставляет неподвижным еще хотя бы один
круг*, неконцентрический с Г0 и Г,, а потому, очевидно, является тождест-
венным преобразованием.
Пользуясь тем, что всякое преобразование D в себя дробно-линейно,
легко видеть, что, вообще говоря, не существует отображения D на себя,
не оставляющего неподвижными границы D.
Это приводит к следующим предложениям:
Отображение одной многосвязной области на другую с заданным соответ-
ствием граничных континуумов единственно 7.
Отображение одной η-связной области на другую, вообще говоря, опреде-
лено не единственным образом.
Число конформных отображений одной η-связной области на другую не
может превосходить η (η — \)(п — 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Riemann В. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderli-
chen complexen Grösse. Inauguraldissertation, Göttingen, 1851. (Рус. пер.: Основы об-
щей теории функций одной комплексной переменной.— В кн.: Бернгард Риман. Со-
чинения. М.; Л.: Гостехиздат, с. 49—87).
2*. Caratheodory С. Conformai represpntation. Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1932.
(Рус. пер.: Каратеодори К. Конформное отображение/Пер. с англ. М. Келдыша.
М.; Л.: Гостехиздат, 1934. 129 с).
3*. Lichtenstein L. Neure Entwickclung der Potential théorie. Konforme Abbildung.—
In: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Leipzig: Teubner, Bd. 2, H. 1.
1918-1921, S. 177-377.
4*. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверх-
ности. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 310 с.
5*. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд.
М.: Наука, 1966. 628 с.
6*. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: Изд-во иностр.
лит., 1962. 265 с.
7. Hubert D. Zur Theorie der Konformen Abbildung.— Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Gottingen,-
Math.-phys. Kl., 1909, S. 314—323.
7 Здесь предполагается, что связность п ^ 3.
6 Μ. В. Келдыш. Математика
82
J. Теория функций комплексного переменного
8. Коеbе Р. Abhandlungen zur Theorie der Konformen Abbildung.. IV.— Acta math.,
1918, bd 41, s. 305—344.
9. Koebe P. Abhandlungen zur Theorie der Konformen Abbildung. V. — Math. Ztschr.r
1918, Bd. 2, S. 198—236.
10. Koebe P, Über eine neue Methode der Konformen Abbildung und Uniformisierung.—
Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl., 1912, S. 879—886.
11. Vallée Poussin С. de la. Sur la représentation conforme des aires planes multiplement
connexes.— Bull. Cl. sci. Acad. Roy. Belgique. Ser. 5, 1931, vol. 17, N 1, p. 10—27.
12*. Grötzsch H. Über ein Variationsproblem der Konformen Abbildung.— Ber. Verh.
sächs. Akad. Wiss. Leipzig., Math.-phys. KL, 1930, Bd. 82, S. 251—263.
13. Grötzsch H. Über einige Extremalproblem der Konformen Abbildung.— Ber. Verh.
sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 1928, Bd. 80, I, S. 367—376; II, S. 497—
502.
14. Possei R. de. Zum Parallelschlichtztheorem unendlich vielfach zusammen Rängender
Gebiete.— Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. KL, 1931, S. 199—202 (см.
также: Possei R, de. Quelques problèmes de representation conforme.— J. Ecole poly-
technique, cahier 30 (ser. 2), 1932, p. 1—98).
15. Grötzsch H. Über das Parallelschlitztheorem der konformen Abbildung schlichter Ëe-
reiche.— Ber. Vehr. sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 1932, Bd. 84, S. 15—
36.
16. Привалов Л. Л. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.; Л.;
ГОНТИ, 1938.
17. Голузин Г. М. О методе непрерывности в теории конформных отображений много-
связных областей.— Мат. сб., 1938, т. 4 (46), вып. 1, с. 3—8.
18. Grötzsch H. Ober die Verzerrung bei schlichter konformen Abbildung mehrfach zusam-
menhängender schlichter Bereiche.— Ber. Verh. sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-
phys. KL, I, 1929, Bd. 81, S. 38-50; II, 1929, Bd. 81, S. 217-221; III, 1931, Bd. 83,
S. 283—297.
19. Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной. Л.; М.: Гос-
техиздат, 1934. 370 с.
20. Weyl H. Die Idee der Riemannschen Flache. В., 1912.
21. Голузин Г. М. Внутренние задачи теории однолистных функций.— УМН, 1939,
вып. 6, с. 26—89.
22. Grötzsch H. Zur Theorie der konformen Abbildung schlichter Bereiche.— Ber. Vehr.
sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 1935, Bd. 87, S. 145—158;) 2 MitteiL
S. 159.
23. Grötzsch H. Eine Bemerkung zum Koebeschen Kreisnormierungprinzip.— Ber. Vehr.
sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 1935, Bd. 87, S. 319.
24. Julia G. Leçons sur la représentation conforme des aires multiplements connexes. P.:
Gauthier-Villars, 1934.
6
ОБ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ПОЛИНОМАМИ *
В настоящей статье мы докажем несколько предложений о последова-
тельностях полиномов комплексного переменного, реализующих минимум
некоторого интеграла, который берется по области в плоскости комплексного
переменного.
Прежде всего укажем класс односвязных областей, таких, что соответ-
ствующие полиномы Бибербаха сходятся равномерно в замкнутых облас-
тях. В п. 2 будет построен пример области, показывающий, что данный
класс областей нельзя существенно расширить. В конце статьи мы коснемся
* Мат. сб., 1939, т. 5 (47), № 2, с. 391—400. 1
6. Об аппроксимации в среднем функций комплексного переменного 83
вопроса о полноте системы всех полиномов в областях, не принадлежащих
к классу областей Каратеодори, т. е. в областях, граница которых не яв-
ляется одновременно границей области, содержащей бесконечность. Мы
построим пример такой области, в которой система полиномов полна, и при-
мер области, топологически ей эквивалентной, в которой система всех по-
линомов не полна. Это показывает, что вопрос о полноте системы полино-
мов в областях, не принадлежащих к классу Каратеодори, зависит от мет-
рических свойств области.
1. Пусть D — односвязная область в плоскости комплексного перемен-
ного z, содержащая начало. Обозначим через Г границу этой области. По-
лином Бибербаха Пп (z) в области D яляется полиномом, который реализует
минимум двойного интеграла
l\\P'n(z)\*dxdy (1)
D
в семействе всех полиномов Рп (z) степени п, удовлетворяющих условиям
Рп (0) = 0, Р'п (0) = 1. (1')
Хорошо известно, что если область D принадлежит к классу Каратео-
дори, т. е. если граница Г области D является также границей некоторой
области Doo, содержащей бесконечность, последовательность полиномов
Пп (z) сходится равномерно внутри области D к функции w = / (z), дающей
конформное отображение области D на круг | w | <^ ρ и удовлетворяющей
условиям / (0) = 0, /' (0) =1. Мы указываем здесь достаточное условие
того, что полиномы Бибербаха Пп (z) сходятся равномерно в замкнутой об-
ласти D = D + Г.
Теорема. Если граница Г области D является простой кривой, кри-
визна которой ограничена, то последовательность полиномов Бибербаха
сходится равномерно в замкнутой области к функции f (z) и, каково бы ни,
было положительное число ε, в замкнутой области имеем
| / (z) - П„ (*) |< С (г)/г*-*,
где С (ε) — постоянная, зависящая лишь от г и области D.
Для доказательства теоремы нам нужно одно свойство функции / (z)r
удовлетворяющей условиям теоремы и дающей конформное отображение-
области D на круг \w | <С Р: Для любого числа η, удовлетворяющего нера-
венствам 0 <^ η <С 1, существует постоянная Сг (η), такая, что
I/'(*)-/'(*.) КС, \Zl-z^-\ (2)
Это свойство является непосредственным следствием хорошо известной тео-
ремы Келлога [1].
Напомним одно предложение Маркушевича. ·■ >
Пусть Δ — односвязная область, ограниченная простой и спрямляемой
кривой Λ. Обозначим через s длину дуги Λ, через θ (s) угол касательной к Λ
в точке s с направлением ох и предположим, что функция θ (s) удовлетворяет-
следующему условию: существуют две постоянные К и λ (К ^> 0, 0 < λ <^
<^ 1), такие, что
\Q(s,)-Q(s2)\<K \Sl-s2\K
б*
84
1. Теория функций комплексного переменного
Пусть, с другой стороны, F (z) — регулярная функция в Δ, удовлетввряю-
щая неравенству
I F (Zl) - F (z2) |< Μ I Zl - z2 |*
в замкнутой области Δ. При этих условиях для любого η (0 <^ η <^ δ) можно
найти постоянную С2, зависящую лишь от η и области Δ и такую, что при
любом целом η существует полином рп (z) степени д, удовлетворяющий в зам-
кнутой области Δ неравенству г \ F (z) — рп (z) | < С2М/пь~^.
Пусть D — область, которая фигурирует в формулировке нашей теоремы,
/ (z) — функция, которая реализует конформное отображение D на круг
| w | < р, удовлетворяющая условиям (1'). Из двух упомянутых предло-
жений немедленно следует, что при любом положительном числе η можно
найти постоянную С3, зависящую лишь от η и области D, такую, что для
любого целого положительного числа η существует полином рп (z) степени
η — 1, удовлетворяющий неравенству
1/'М-Рп« \<см-\
Можно всегда предполагать, что рп (0) = 1, потому что /' (0) = 1.
z
Пусть Рп (z) =\pn(z) dz\ полином Рп (z) удовлетворяет условиям
Л,(0)=0, Р;<<))=1, (3)
I pn (z) - f (z) |< см~\ I р'п (z) - Г (z) | < cjnw
в замкнутой области D.
Укажем теперь тождество, которое нам потребуется впоследствии.
Пусть F (z) — функция, определенная и регулярная внутри области Z),
такая, что двойной интеграл \^ I F (z) \2dxdy конечен. Тогда имеем
"Ь
[[\f'(z)-F(z)\*dxdy =
D
= ξ ξ I F (z) |2 dxdy — ξ ξ | /' (z) |2 dxdy — 2jtP2 [Re F (0) — 1 ]. (4)
D D
В самом деле, имеем тождество
I /' (*) - F (z) |2 = | F (z) I2 - | /' (z) |« + Hi) \f (z) - F (z)\ +
+ /' (*) ITV) ~ FT)],
откуда
\l\f(z)-F(z)\*dxdy =
D
= ^\F(z)\^dxdy-^\f(z)^dxdy + 2Re^[j^)[r(z)-F(z)]dxdy^
*D D
1 Это предложение не было опубликовано самим Маркушевичем. Оно немедленно следует
из теоремы о быстроте аппроксимации аналитической функции в замкнутой области
[2], из оценки быстроты аппроксимации функции, удовлетворяющей условию Гёльдери
в замкнутом круге, и из теоремы V статьи Маркугаевича [3].
6. Об аппроксимации в среднем функций комплексного переменного 85
Обозначим через z = φ (w) функцию, обратную к w — f (z). Заменим пере-
менные в последнем интеграле правой части, положив z = φ (w), тогда
2ReS$ L1~f[5e5r]dBrf,,==25Tp,I1~ReF(0)1'
N<p
поскольку/ (0) = 0 и /' (0) =1. Это доказывает тождество (4). В частности,
для полинома Бибербаха Пп (0) = 1 имеем
J S | П; (z) - /' (z) |2 dxdy = $ $ | Π; (z) |2 dxdy - Ц | /' (z) |2 d*A/. (5)
D U D
В силу (3) и Рп (0) = 1 получаем
^\P'n{z)\*dxdy= \\\j'{z)\*dxdy +
L· D
-η)
где 5 — площадь области D. Из этого неравенства и свойства минимальности
полиномов Бибербаха следует, что
sci
-η)
лр* < jj J | Π,', (z) |Ч dxdy < πρ* + —^
Сравнивая полученное неравенство с тождеством (5), получаем
| /' (z) - и':1 (z) ρ dxdy < η2(1_3η)
и, следовательно,
^ ^ | Pn (г) - Пп (z) |2 d*d» < ^α-η) . (6)
Оценим теперь разность пп (z) = Рп (z) — Пп (z). Пусть | z — z0 | < г —
круг, содержащийся в области D. В силу (6)
Г С , 2SC2
^ lM*)P<farfy< ^Λ) . (6')
Положим α0 = яп (z0)» Jtn (z) = α0 + аг (z — z0) + . . . + an (z — z0)n.
Используя неравенство Шварца, в круге \ z — z0 | <^ г получаем
г> п
|"n(z)|<|a.|.+ |«1|r + ... + |an|r'l<|a„|+(^4-ZTO|a"'l2r2m)Vl<
т=1 т=1
<|а,| + [1п(«|)~ $$ \я'п(Я)\*ахауу',
|г-2,|<г
86 /. Теория функций комплексного переменного
откуда, принимая во внимание неравенство (6') следует
|М*)К1М*о)1+^&. (?)
где С4 — постоянная, зависящая лишь от η и области D.
Граница Г области D является простой кривой ограниченной кривизны.
Отсюда следует, что можно найти два числа iV и г, обладающие следующим
свойством: какова бы ни была точка Ρ области D или ее границы Г, сущест-
вует система кругов К^, К2, . . ., Кп (η ^ Ν) радиуса г, принадлежащих
к замкнутой области D и таких, что центр К1 совпадает с началом, центр
Кт+1 содержится в Кт, а точка Ρ лежит внутри или на границе круга Кп*
В силу (7) видно, что это свойство D влечет за собой неравенство
Ι π» (*) I = I Рп (*) - пп (z) | < с^ьГЩ/^
в замкнутой области D. В силу (3) в D имеем
I / (г) - Π* (*) I < (С, + С, N уйГЩ7)/^-*. (8)
Число η произвольное, следовательно, неравенство (8) эквивалентно форму-
лировке теоремы.
2. Теперь построим пример звездной области D, ограниченной простой
аналитической кривой Г с одной нерегулярной точкой Ρ и такой, что после-
довательность соответствующих полиномов Бибербаха расходится в точ-
ке Р. Используя принцип конденсации особенностей, нетрудно построить
пример звездной области, ограниченной спрямленной кривой и такой, что
последовательность полиномов Бибербаха расходится на всюду плотном
множестве на контуре D.
Область D будет определена как предел последовательности областей
Z?j, D2, . . ., Dn, . . . Для того чтобы построить такую последовательность,
фиксируем два положительных числа R и ε и последовательность неогра-
ниченно возрастающих положительных чисел М1? М2, . . ., Мп,. . .
Область Ζ)0· Область D0 определена как произвольная звездная
область, содержащаяся в круге \ z | <^ R и ограниченная простой аналити-
ческой кривой, имеющей единственную угловую точку z0.
Пусть П(„0) (z) — полином Бибербаха, соответствующий области D0.
Рассмотрим круг \ z — z0 | <[ V2. Семейство полиномов П(^ (z) не может
быть ограничено внутри этого круга. В самом деле, z0 есть особая точка
функции w = /0 (z), /0 (0) =0, /о (0) =1, реализующей конформное ото-
бражение D0 на круг. Если последовательность П„ (z) была бы ограничена
в круге \ z — z0 I < V2, она равномерно бы сходилась внутри этого круга,
и точка z0 не была бы особой точкой /0 (z). Из этого замечания следует, что
можно найти точку z1? \ z± — z0 | <[ V2, и целое число пг, такие, что
| П<°> (Zl) | > 2Мг.
Область Dv Обозначим через 8г отрезок радиуса, исходящий из
начала, соединяющий точку zx с кривой Г0. Пусть 1\ — простая аналити-
ческая кривая, содержащаяся в круге \ z | <[ R, имеющая одну угловую
точку zx и достаточно близкая к континууму Г0 + δ^, Dx — звездная об-
ласть, ограниченная кривой 1\. Предположим, что кривая 1\ столь близка
к континууму Г0 + δ1? что при η <; п1 и в круге | z | <^ R полином Бибер-
в. Об аппроксимации в среднем функций комплексного переменного 87
баха Щ (z), соответствующий области Z), удовлетворяет неравенству
|П(Д2)-П(„0)(2)|<е/2.
Это, очевидно, всегда возможно, поскольку коэффициенты полиномов Би-
бербаха при η <^ пг являются рациональными функциями значений
K,q=\\ zP*q dxdy, jo, q < щ.
D
Пусть pj <^ 2~2 — такое число, что круг \ z — zx | <^ рх содержится
в круге | z — z0 I < V2, а в круге \ z — zx | <C Pi имеет место неравенство
Ι Π&> (z) I > Μ,.
Точка zx является особой точкой функции f± (z), ft (0) = 0, f[ (0) = 1, реа-
лизующей конформное отображение Dx на круг. Следовательно, последо-
вательность полиномов Пд (z) не может быть ограничена в круге \ z —zx\ <^
< рг. Осюда следует, что можно найти целое число п2 ^> пх и точку z2,
\z2 — Z\ I <C Pi» такие, что
I <> (*,) | > Ш,.
Область/) а- Для того чтобы построить область D2, соединим точку
z2 с кривой 1\ отрезком δ2 прямолинейного радиуса, исходящего из начала.
Область D2 — это область, ограниченная аналитической и простой звездной
кривой Г2, имеющей единственную угловую точку z2, содержащейся
в круге | z I < R и настолько близкой к континууму Ι\ + δ2,, что при
η <^ п2 в круге | z | <[ R полиномы Бибербаха П£2) (z), соответствующие
области D2, удовлетворяют неравенству | П^ (z) — П^ (z)| < ε/22.
Для того чтобы построить область D3, возьмем такое число р2 <С 2~3,
что круг | z — z2 I <! рг содержится в | z — zx | <[ рх и при | z — zx | <[ р2
I П^ (z) | ]> М2, и повторим уже описанное построение.
Действуя таким образом, получаем последовательность областей Dt,
D2, . . ., Z)n, . . ., границы которых являются аналитическими кривыми
•с угловыми точками z1? z2, . . ., zn, . . . Кривые Гп могут быть взяты таким
образом, что они сходятся к аналитической кривой Г, имеющей одну нере-
гулярную точку Ζ = lim zn. Область D является областью, ограниченной
кривой Г. Установим, что соответствующие полиномы Бибербаха Пп (z)
расходятся в точке Ζ границы Г. В самом деле, в круге | z | <^ R и при
и< пт
|nim)(z)-n^+1)(z)|<e/2^,
следовательно,
|Π^(Ζ)-Πητη(Ζ)|<ε/2"\
С другой стороны, точка Ζ принадлежит кругу \ z — zm |<^pm· Внутри этого
круга | П(п^ (z) | > Mm, тогда | ППт (z) | > Μт — ε. Это доказывает рас-
ходимость последовательности ППт (Ζ).
3. Пусть D — произвольная односвязная область. Мы будем говорить,
что функция F (z), определенная и регулярная внутри Z), принадлежит
88
1. Теория функций комплексного переменного
и
к классу В (D), если двойной интеграл ^ | F (z) |2 dxdy конечен. Будем
υ
считать, что система всех полиномов полна в области D, если для всякой
функции F (z), принадлежащей к классу В (D), нижняя грань интеграла
| F (z) — Ρ (z) I 2 dxdy, где Ρ (z) — произвольный полином, равна
D
нулю.
Известно, что система полиномов полна в D, если D принадлежит к клас-
су Каратеодори 2. С другой стороны, известны примеры односвязных облас-
тей, где система полиномов не полна. Например, такую область получаем,
разрезая круг вдоль одного из его радиусов. Эта область и все другие извест-
ные области, где система полиномов не полна, содержат граничные точки Р,
обладающие следующим свойством: существует окрестность точки Р, содер-
жащаяся в замкнутой области D. Можно поставить вопрос о полноте системы
полиномов в областях, которые обладают следующим свойством: всякая
граничная точка D является предельной точкой дополнения к замкнутой об-
ласти D. Например, такой областью является область, ограниченная двумя
касающимися окружностями | z | = 1 и \ z — α | = 1 — α, 0 < α < 1.
Построим здесь область того же типа, что область, ограниченная двумя ка-
сающимися окружностями, и такую, что система полиномов полна в этой
области. С другой стороны, установим предложение, доказывающее, что
можно построить такие топологически им эквивалентные области, что си-
стема полиномов не будет полна в этих областях. Отсюда следует, что нельзя
охарактеризовать топологическими свойствами класс областей, где система
полиномов полна. Этот класс зависит от метрических свойств областей.
Перейдем к построению такой области D, ограниченной окружностью
| z | = 1 и простой кривой Жордана Г, содержащейся в | z | < 1 и имеющей
с этой окружностью единственную общую точку z = 1, что система полино-
мов полна bD. Предполагая, что начало z = О лежит вне D, легко убедить-
ся, что, для того чтобы установить полноту системы полиномов в D, доста-
точно доказать, что условие замкнутости выполняется для функции z'1^:
ш\1\тг-р<*
dxdy = 0.
В самом деле, проведем преобразование ξ = ]/z, и пусть Δ — образ
D на плоскости переменного ξ. Каждой функции F (z) класса В (D) соответ-
ствует функция Φ (ξ) = F (ξ2) класса Β (Δ). Граница Δ есть простая жорда-
нова кривая, следовательно, система полиномов Π (ξ) полна в Δ, и мы
имеем
ω$$|ξΦ(ξ)-Π(ξ)|«(*ξ<?η = 0.
Δ
В плоскости переменного z имеем
*.Tl(YI) = Pl(z) + -±rPt(z)
1/2 у z
Этот результат был получен Фаррелем.
б. Об аппроксимации в среднем функции комплексного переменного 89
(Рх (z), Ρ2 (z) — ПОЛИНОМЫ ОТ Ζ) И
infjjjj|F(z)-/\(z) y=-P2(z)\2dxdy = 0.
D * Z
Если уравнение замыкания имеет место для z-1/*, то в силу полученной фор-
мулы оно имеет место для любой функции F (z), принадлежащей к классу
В (D).
Определим область D как предел последовательности областей Dx, D2, . . -
. . ., Dn, . . . Первая область Dx является областью, состоящей из точек,
удовлетворяющих неравенствам
| z | > 1, | z — 1/4 I > 3/4, π/2 < arg z < 2π — π/2.
Обозначим через ггх — целое число, достаточно большое для того, чтобы
можно было построить полином Pni (z) степени п1ч такой, что
1/1
*«,(*)
d^di/ <^-
и пусть осх < 1 — положительное число, настолько малое, что имеем
и
lA
— ЛЛ*)
dxdy<-~-,
ΔΧ — множество точек, удовлетворяющих неравенствам
| z | < 1, | z — αΧ Ι > 1 — α1? | arg z | < π/2.
Пусть D2 — область, состоящая из D± и множества точек, удовлетворяю-
щих неравенствам
| z |< 1, | z - аг | > 1 - alf π/22
arg z < 2π — π/22,
a тг2 — положительное целое число, такое, что можно построить полином
Рщ («)» удовлетворяющий неравенству
\\
1
|Л~
■^(2)
2 1
Возьмем а2 настолько малым, что
V-
=--Лц(*)
^Кт»
где Δ2 — область, определенная неравенствами | z | < 1, \ z — α2 | > 1 —
— α2, I arg z I < π/22.
Продолжая этот процесс, мы получаем бесконечную последовательность
областей D±, D2, . . ., Dn, . . . Пусть D — предельная область. Область D
ограничена окружностью | z | = 1 и простой жордановой кривой Г, каса-
тельной к \ z \ = i в z = I. Область D содержится вВ^+ Δλ., откуда выте-
кает, что
81
-^?—рп*(*)\ахау<~#=т
т. е. система полиномов полна в области D.
"90 У. Теория функций комплексного переменного
Пусть D1 — область, ограниченная окружностью у1 = 1 — х2 и замкну-
той кривой у2 = (λ + #) (1 — #)α, 0<λ<1, α>4. Область D1? очевидно,
топологически эквивалентна области D, только что построенной. Из предло-
жения, которое мы докажем в п. 4, следует, что система полиномов не полна
в области Dv
4. Пусть D — односвязная область, содержащаяся в круге \ z | < 1;
Ε — множество, дополнительное к D относительно \ z | < 1. Предположим,
что Ε содержит круг | z | < г, и обозначим через θ (ρ) линейную меру мно-
жества точек окружности | z \ = р, принадлежащих к Е. Тогда имеет место
следующее предложение:
Если
θ (р)< С (1 - р)2+«, а > О, (А)
истема полиномов не полна в области D.
В самом деле, функция llz принадлежит к классу В в области D. Рассмот-
рим интеграл
' dxdy,
7»Ч!!14-^)
где Dp является частью D, содержащейся в кольце ρ < | z | < 1; Рп (z) —
полином от z степени п. Для того чтобы система полиномов была полна в об-
ласти Ζ), необходимо, чтобы нижняя грань 1п стремилась к нулю, когда η -ν
—νοο. Докажем, что это противоречит условию (А). Обозначим через Δρ до-
полнение к Dp в кольце ρ < | z | < 1, и пусть К9 — кольцо ρ < \z | < 1.
Имеем
/„=$$|4 Pn{z)\dxdy-§\-\ Pn{z)\dxdy.
КР АР
П
Пусть Pn(z)= Σ Ят*т> тогДа .
^\±-PA*)f dxdy = 2n[ln± + £jW±=^]>
Яр fc=0
>,(i_p,[i+£^]. (i)
С другой стороны, используя неравенство Шварца, получаем (| z \ == р):
|-!~я.«Г<[1+1^][т + Ё<» + 4И-
Г 1 , 1 Uj | у КП
откуда
7. Об одной задаче Карлемана
91
Если функция θ (ρ) удовлетворяет условию (А), получаем
SS |-S P«(*)l ахау<К(1-9у™[1 + ^]^1]. . (2)
Δ ρ k=0
В силу (1) и (2), если число ρ достаточно близко к единице, имеем 1п ^>
^> 1 — р, и, следовательно, система полиномов не полна в D.
ЛИТЕРАТУРА
i. Kellog О. D. Harmonic functions and Greens integral.— Trans. Amer. Math. Soc, 1912f
vol. 13, p. 109—132.
2. Walsh J. L. Interpolation and approximation by rational functions in the complex do-
main.— Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 1935, N 20. 382 p.
3. Маркушевич А. И. Sur la representation conforme des domains a frontieres variables.—
Мат. сб. Н. С, 1936, т. 1 (43), вып. 6, с. 863—886.
7
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ КАРЛЕМАНА *
Совместно с М. А. Лаврентьевым
1. Постановка задачи. Пусть в плоскости комплексного переменного z
дан континуум Е, содержащий бесконечно удаленную точку z = оо. Ска-
жем, что континуум Ε есть континуум Карлемана, если, какова бы ни была
функция / (z), определенная и непрерывная на Ε (z < оо), и какова бы ни
была положительная функция ε (г), г ;> 0, можно найти целую функцию
F (z), такую, что
| / (z) - F (z) |< ε (| z I ). (1)
Карлеман [1] показал, что действительная ось является континуумом
Карлемана, им же было установлено, что вместо прямой можно взять любую
конечную систему спрямляемых кривых Жордана без кратных точек, содер-
жащих точку оо и не имеющих попарно общих точек в конечной части плос-
кости.
Рот [2] показала, что нигде не плотный континуум, образованный лучами
arg z = const, I z I ^ k ^ 0, есть всегда континуум Карлемана.
В настоящей статье мы дадим необходимые и достаточные условия, кото-
рым должен удовлетворять континуум Ε для того, чтобы он был континуу-
мом Карлемана.
2. Теорема. Для того чтобы данный континуум Ε был континуумом
Карлемана, необходимо и достаточно, чтобы:
1) Ε нигде не было плотно;
2) существует возрастающая функция г (£), lim г (t) = оо, такая, что,
t-*oo
какова бы ни была точка z, расположенная вне Е, всегда найдется кривая
Жордана, выходящая из точки z, уходящая в оо и расположенная вне Ε и вне
круга | ξ | < г (| z \ ).
* Докл. АН СССР, 1939, т. 23, № 8, с. 746—748.
92
J. Теория функций комплексного переменного
3. Необходимость условия. Необходимость первого условия очевидна.
Допустим теперь, что нигде не плотный континуум Е0 не удовлетворяет ус-
ловию 2. В таком случае дополнение к Е0, СЕ0 не связно и одна из областей
Z), составляющих это дополнение, ограничена или существует число г0 ^> О
и последовательность точек z1? z2, . . ., zn, . . ., такие, что всякая линия,
соединяющая точку zK. с точкой z = оо и расположенная вне Е0ч будет пере-
секать окружность | z | = г0. В первом случае обозначим через z0 произволь-
ную точку области D и положим / (z) = l/(z — z0); при ε (г) достаточно ма-
лом не существует целой функции F (z), удовлетворяющей на границе об-
ласти D неравенству (1). Следовательно, Е0 не может быть континуумом Кар-
лемана. Во втором случае обозначим через Dn наибольшую область, содер-
жащую точку zn и расположенную вне Е0 и вне круга \ z | <^ г0. Согласно
принятому условию все области Dn конечны. Выбирая из последовательно-
сти г1? z2, . . ., zn, . . . некоторую подпоследовательность, мы можем всегда
добиться того, чтобы все области Dn были попарно без общих точек и чтобы
граничные точки* £п области Dn, наиболее удаленные от начала z = О, удов-
летворяли неравенству | tn+l \^> 2 \ tn \^> Зг0. Заметив это, фиксируем
в каждой области Dn точку αη, | ап \ = 2г0, а на границе Dn множество 1п
точек, расположенных в круге | z — ln | ^ г0. Отобразим конформно об-
ласть Dn на круг | w | < 1 так, чтобы точка ап перешла в точку w = О, и обо-
значим через λη меру множества точек окружности | w \ = 1, соответствую-
щих множеству 1п. Рассмотрим теперь на Е0 произвольную действительную
непрерывную функцию / (z), обладающую следующими свойствами: 1) / (z) ^>
> 0 и 2) / (z) 3> 2πη/λη в точках множества 1п. Нетрудно видеть, что при ог-
раниченной функции ε (г) не существует целой функции F (z), удовлетворяю-
щей (1). В самом деле, допустим, что такая функция существует, и обозна-
чим через Ρ (z) ее действительную часть. Имеем
| / (z) — Ρ (z) |< С = const
во всех точках Е0. Отсюда, обозначая через т минимальное значение Ρ (z)
при | z I = г0, получим Ρ (αη) > η — С + #Ь η = 1, 2, . . ., что невоз-
можно, ибо при | z | = | ап \ = 2г0 функция Ρ (z) ограничена.
Достаточность условия. Допустим теперь, что континуум Ε удовлетворя-
ет условиям теоремы, фиксируем произвольное число Д, и пусть Er есть со-
вокупность точек Е, принадлежащих кругу | z | <; Д*1'), где Λν1) есть корень
уравнения г (Д(1)) = 2Д. Обозначим через Dr наибольшую связную область,
содержащую точку z = оо и не содержащую точек ER и точек круга | z | <
< г = г ^/гД). Пусть Er есть множество, дополнительное к области Dr.
Множество ER содержит множество Er, а также круг | z | <^ г, кроме того,
в силу условия 2 теоремы на окружности | z | = р, 1/2R < ρ, множества Er
и ER совпадают. Следовательно, так как ER нигде не плотно, всегда найдет-
ся число Ро < Д, сколь угодно близкое к Д и такое, что совокупность точек
Er·, расположенных на | z | = р0, будет нигде не плотна на этой окружности.
Отсюда, согласно одной лемме Лаврентьева [3], каково бы ни было число
ν, существует полином π (г, Д, ν), обладающий следующими свойствами:
| π (z, Д, ν) Ι < 2 во всех точках £*;
| π (z, Д, ν) Ι < ν во всех точках ER при | z | <^ Д/2;
| π (z, Д, ν) — 1 I <v во всех точках ER при | z | > Д.
7. Об одной задаче Карлемапа
93
Докажем теперь, что рассматриваемый континуум есть континуум Кар-
лемана. Джя этой цели возьмем произвольную функцию / (z), заданную и не-
прерывную на Е, а также произвольную положительную функцию ε (г) и до-
кажем существование целой функции F (z), удовлетворяющей (1). Не нару-
шая общности, можно, очевидно, принять, что ε (г) убывает и стремится к ну-
лю вместе с 1/г.
Построим прежде всего, согласно одной теореме Лаврентьева, полином
Р0 (z), такой, что
\f(z)- Р0 (*) I < Χ/4β(Λο), До > О
во всех точках Е, принадлежащих кругу | z | <^ i?0. Согласно той же теоре-
ме существует полином Pi (z), такой, что
\f{z) - Р0 (z) - Р?> (z) | < «МД^. г (Дх) = 2Я0
во всех точках множества ERo. Положим Рг (z) = Р^ (z) π (z, i?0, Vj), где
число vx выбираем настолько малым, чтобы при | z | <; г0 = г (R0) имели
I Pi iz) I < XU B0 всех точках ER; при | z | < R0 получим
| / (z) - Р0 (z) - Рх (z) | < ν2ε(Λ0),
а во всех точках ER при \ z \ ^ R0 имее^
|/ (z)-PQ(z)^P1(z) \<1I1b(R1).
Следуя индукции, допустим, что мы определили числа R0, Rl4 . . ., Rn
и полиномы Р0 (z), P\{z), . . ., Ρп (z) так, чго
| Pn (z) | < 1/2" при | z |< Ιν^ = г (i?„_t), (2)
|/ (z) - Р0 (z) - Рг (z) - . . . - Ρ, (z)| < ε (Як)/2* при Д^ <| z\ </?,,
(3)
к = 0, 1 л, i?_! = 0.
Определим теперь число i?n+1 и Pn+1 (z). Положим г (Лп+1) = 2Rn.
Полином Pnli (z) построим так, чтобы во всех точках множества ER имели
\f{z)-P0{z)-...-P$.l{z)\<-±rB(Rn+1).
Искомый полином Pn+1 (z) получим умножением полинома Р^+1 на полином π:
Pnfl (z) = Р^! (z) Jt(z, Дп, vn+1);
число vn+1 выбираем настолько малым, чтобы построенный полином Pn+1 (z)
обладал свойствами (2) и (3) (очевидно, при соответствующей замене η на
л + 1).
Таким образом, получаем последовательность полиномов Р0 (z),P1 (z), . . .
во
. . ., Рп+1 (z), . . . В силу (2) ряд У, Рп (z), составленный из этих полиномов,
п=0
сходится равномерно во всякой конечной части плоскости и, следовательно,
оо
его сумма есть целая функция F (z) = У| Рп (z). Кроме того, по построению,
71=0
в каждой точке Ε имеем | / (z) — F (z) | < ε (| z |). Этим самым теорема
полностью доказана.
94
1. Теория функций комплексного переменного
ЛИТЕРАТУРА
1. Carleman T. Sur un Theoreme de Weierstrass.— Ark. mat., astron. och fis., 1927, bd 20,
N 4, s. 1—5.
2. Roth A. Approximationseigenschaften und Strahlengrenzwerte meromorpher and ganzer
Funktionen.— Comment, math, helv., 1938, vol. 11, fasc. 1, p. 77—125.
3. Lavrentieff M. Sur les fonctions d'une variable complexe représentables par des series
de polynômes.— Actual, sci. et industr., 1936, t. 441, p. 1—62.
8
ОБ АППРОКСИМАЦИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЯХ*
1. Пусть D — область в плоскости комплексного переменного z, ограни-
ченная простой кривой Жордана. В силу известной теоремы Уолша [1] вся-
кая функция, определенная и регулярная в D, непрерывная в замкнутой об-
ласти D, может быть представлена равномерно сходящимся в D рядом поли-
номов. С другой стороны, Уолш доказал, что непрерывная функция, опре-
деленная на простой дуге Жордана, может быть также представлена рядом
полиномов. Лаврентьев полностью решил задачу представления непрерыв-
ной функции, определенной на нигде не плотном континууме, не разбивающем
плоскость [21, доказав, что всякая функция, определенная и непрерывная
на нигде не плотном континууме, не разбивающем плоскость, представима
равномерно сходящимся рядом полиномов от z. Используя это предложение,
мы распространим теорему Уолша на достаточно широкий класс нежорда-
новых областей.
2. Рассмотрим область D в плоскости комплексного переменного z. Для
того чтобы всякая функция, регулярная вй и непрерывная в замкнутой об-
ласти D, была представима равномерно сходящимся рядом полиномов, не-
обходимо, чтобы были выполнены два следующих условия:
1) дополнение к границе Г области D состоит из области D и области D^y
содержащей бесконечно удаленную точку; , - -_ ;
2) всякая функция / (z), регулярная вй и непрерывная в Z), регулярна
на множестве точек, внутренних для D. ' ..
Необходимость условия 2 является непосредственным следствием хорошо
известной теоремы Вейерштрасса. Для того чтобы доказать необходимость
первого условия, предположим, что дополнение к Г содержит точку z1? не
принадлежащую ни D^, ни Ζ), и пусть Бг — область, смежная к Г, содержа-
щая точку zv Функция / (z) = (z — z^-1 регулярна в замкнутой "области Dr
но не представима рядом полиномов в области D, поскольку такой ряд будет
сходиться в области Dx к функции φ (z), регулярной в ΩΛ, которая в силу тео-
ремы единственности совпадет с (z — z^-1 в области Ζ^. Из этих двух замеча-
ний следует, что в нашей задаче достаточно рассмотреть класс областей,
удовлетворяющих следующему условию.
* Мат. сб., 1940, т. 8 (50), № 1, с. 137-148.
8. Об аппроксимации аналитических функций в замкнутых областях 95
Условие А. Граница Г области D разбивает плоскость на две части
D и Doo и является одновременно границей области /)«>. Другими словами,,
граница D должна быть замкнутой кривой в смысле Шенфлиса.
Пусть А и В — две точки Г, достижимые в D, АВ — простая дуга Жор-
дана, лежащая в D. Дуга АВ разбивает область D на две части Dx и D2. Обо-
значим через 1\ и Г2 части границ Dx и Z)2, содержащиеся в Г. Будем говорить,
что две достижимые точки А и В определяют разбиение Г на две дуги 1\
и Г2. Дуга γ называется собственной дугой Г, если она не совпадает с кривой
Г. Используя это определение, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Пусть область D ограничена кривой Шенфлиса Г, допус-
кающей разбиение на две собственные дуги. Всякая функция, регулярная внут-
ри D и непрерывная в замкнутой области D, может быть представлена ря-
дом полиномов, равномерно сходящимся в замкнутой области D.
Отметим, что Брауэр построил кривую, замкнутую в смысле Шенфлисаг
не разбиваемую на две собственные дуги. Вопрос о возможности аппроксима-
ции в такой области остается открытым.
3. Для того чтобы доказать сформулированную теорему, используем
вспомогательное предложение, которое является непосредственным обобще-
нием теоремы Куранта о конформном отображении областей с переменными
границами.
Пусть D — односвязная область. Будем говорить, что граница Г области
D содержит открытую дугу Жордана /, если дуга / принадлежит границе
D и не содержит предельных точек множества Г — /.
Рассмотрим последовательность односвязных областей Ζ)1?Ζ)2,. . .,Z)n, . . .,
предельное ядро которых в смысле Каратеодори есть область D. Предполо-
жим, что граница Тп каждой области Dn содержит открытую дугу Жорда-
на /п. Будем говорить, что дуги Jn сходятся к открытой дуге / границы D>
если:
1) существует параметрическое представление дуги / и дуг /п:
z = z{t), zn = zn{t), 0<*<1,
такое, что функции zn (t) равномерно сходятся к функции z (t) внутри интер-
вала (0,1);
2) все предельные точки последовательности множеств 1\ — Jl4 Г2 —
— /2, . . ., Гп — /п, . . . лежат вне дуги /.
Используя рассуждения, аналогичные тем, которые доказывают теорему
Куранта, получаем следующее предложение.
Пусть D —односвязная область, содержащая z = 0, граница которой
содержит открытую дугу Жордана /, и пусть D1? D2, . . ., Dn, ... — по-
следовательность односвязных областей, ядро которой есть область D. Пусть
Хп (z) — функция, реализующая конформное отображение области Dn на D
и подчиненная условиям %п (0) = 0, Vn (0) > 0, а ωη (z) — обратная функ-
ция. Если границы Dn содержат открытые дуги Жордана /п, сходящиеся к
/, то две последовательности
«1 (z), ω2 (z), . . . ωΛ (z), ...
равномерно сходятся на всяком замкнутом множестве, принадлежащем D +
+/; предельной функцией этих последовательностей является, очевидно, z.
4. Укажем теперь некоторые топологические свойства области, которая
фигурирует в формулировке теоремы. Пусть А и В — две достижимые точки
96
/. Теория функций комплексного переменного
границы Г области Ζ), которые определяют разбиение Г на две собственные
дуги 1\ и Г2. Континуумы 1\ и Г2 не разбивают плоскость, так как никакая
собственная замкнутая часть кривой Шенфлиса не разбивает плоскость.
Обозначим через Г12 общую часть 1\ и Г2. Докажем, что множество Г12 со-
стоит из двух континуумов, не имеющих общих точек. Пусть с — простая
дуга Жордана, соединяющая достижимые точки А и В и лежащая внутри D.
Обозначим через Dx часть D, ограниченную 1\ + с, а через D2 часть D,
ограниченную Г2 + с. Континуумы 1\ и Г2 являются собственными дугами Г,
откуда следует, что можно провести две кривые Лх и Л2, исходящие из внут-
ренней точки С дуги с, не имеющие общих точек, отличных от С, уходящие
в бесконечность и такие, что, кроме С, кривая At не имеет общих точек с
замкнутой областью Dt. Кривая Л = Лх + Л2 разбивает плоскость на две
части, а точки А и В содержатся в различных частях, так как. кривая с име-
ет только одну точку пересечения с кривой Л. С другой стороны, множество
Г12 не имеет общих точек с Л, откуда и вытекает, что Г12 не может сводиться
к одному континууму. Обозначим через ©х и К2 максимальные континуумы,
содержащие точки А и В и содержащиеся в Г12. Докажем, что Г12 сводится
к ег + е2.
Предположим, напротив, что множество Г12 содержит континуум (£, от-
личный от Кх и (£2. Тогда можно построить две ломаные замкнутые кривые
сг и с2, такие, что:
1) внутренняя область diy ограниченная ci? содержит континуум ©г;
2) области αγ и d2 не имеют общих точек;
3) континуум (£ лежит вне областей dx и d2\
4) множество Г12 не имеет общих точек с кривыми сг и с2.
В самом деле, очевидно, что можно построить две кривые с[ и с2, ограни
чивающие области dx и d2 и удовлетворяющие условиям 1—3. Покажем, что
можно провести две кривые сх, с2, удовлетворяющие всем четырем сформу-
лированным условиям. Докажем, например, что если кривая с[ содержит
точки множества Г12, то можно провести кривую сг, расположенную внутри
d{, окружающую континуум ©i и не имеющую общих точек с Г12. В самом де-
ле, в противном случае, каково бы ни было положительное число ε, сущест-
вует последовательность точек Рг, Р2, . . ., Ρη(ε) множества Г12, таких,
что расстояния PtPi+l не превышают ε; точка Рг лежит на сьаРп(£) —
на ©!· Пусть σ — множество всех предельных точек многоугольников
ΡλΡ2 · · · Ρ η (г)- Множество Кх + σ есть континуум, принадлежащий Г12,
и мы пришли к противоречию, поскольку континуум 6Х по предположе-
нию является максимальным континуумом. Поскольку рассмотренные выше
точки А и В являются достижимыми точками Г, можно предположить, что
сечение с области D, соединяющее эти точки, имеет лишь одну точку пере-
сечения с каждой из кривых сг и с2. Пусть Аг и Вг — точки пересечения с
с сг и с2. Кривая сг не имеет общих точек с множеством Г12. Отсюда следует,
что мы можем разбить кривую с1 на конечное число дуг, обладающих следую-
щим свойством.
Условие В. Всякая дуга_ разбиения имеет общие точки с одной
и только одной из двух областей Dx, Z>2.
Обозначим через А1ч Л2, . . ., Ап точки, реализующие такое разбиение
кривой сх, и пусть Вг, В2, . . ., Вт — точки, реализующие аналогичное раз-
биение с2.
Пусть теперь а2 — простая ломаная линия, исходящая из точки Л2,
лежащая внутри D^ и простирающаяся в бесконечность. Если кривая а2
8. Об аппроксимации аналитических функций в замкнутых областях 97
имеет дуги, расположенные внутри областей аг или d2, мы проведем деформа-
цию кривых сх и с2. Пусть λ — последняя дуга а2, лежащая внутри аг или
d2l имеющая свои концы на сг или же на с2. Предположим, что λ лежит в dx;
если же она расположена в d2, действуем совершенно аналогичным образом.
Дуга λ разбивает область dx на две части. Континуум ©х лежит внутри
одной из этих областей, которую обозначим через δ'. Другая часть dx будет
обозначена через δ". Заменим кривую сг границей δ'. Очевидно, что после
этой операции сформулированные выше условия 1—4 продолжают выпол-
няться.
Пусть с[ и с[ — части начальной кривой с1? принадлежащие границам δ'
и δ". Рассмотрим три случая.
Первый случай. Число точек At, лежащих на c'i, больше 1.
В этом случае деформация кривых сх и с2 относительно а2 закончена, а кри-
вую а2 никаким модификациям подвергать не надо. Для того чтобы разбие-
ние деформированной кривой сх удовлетворяло условию В, нужно к точкам
Л г, лежащим на с'ъ подсоединить максимум еще одну точку, поскольку дуга λ
является внешней к D. Следовательно, в этом случае число точек At, реали-
зующих разбиение условия В деформированной кривой с1? меньше числа η
точек Ai, задававших разбиение начальной кривой сг.
Второй случай. Точка А2 лежит на с[, и других точек А на c'i
нет. В этом случае заменяем кривую а2 частью а2, соединяющей дугу λ с бес-
конечно удаленной точкой, а точку А2 — началом полученной кривой.
Очевидно, что эта точка и точки Лг, лежащие на с[, реализуют разбиение В
деформированной кривой с1ч а точка А2 деформированной кривой сх соеди-
няется с бесконечно удаленной точкой кривой а2, лежащей в £)«, и вне как
d1? так и d2.
Третий случай. На с[ лежит ровно одна точка А^ отличная от
А2. В этом случае мы еще слегка деформируем кривую сх так, чтобы дуга λ
кривой а2 была расположена снаружи получающейся области dx. Если эта
последняя деформация достаточно мала, то новых точек пересечения сх с D
не возникает. Для того чтобы получить разбиение В деформированной кри-
вой сх, следует, быть может, присоединить еще одну точку к точкам Лг, ле-
жащим на с[.
Дуга λ кривой а2 теперь лежит снаружи аг и d2. Если имеются еще дуги
а2, расположенные внутри dx или d2, повторим описанное построение отно-
сительно последней из этих дуг и т. д.
Этот процесс продолжается до того момента, когда возникнет первый или
второй случай, или же до того момента, когда все дуги кривой а2, располо-
женные внутри аг или d2, будут исчерпаны. Если наш процесс окончится пер-
вым случаем, то число точек At, реализующих разбиение В деформированной
кривой с1ч и аналогично число точек Bt, реализующих разбиение деформи-
рованной кривой с2, меньше, чем это же число для соответствующей началь-
ной кривой. Если процесс кончается вторым случаем, или же если на каж-
дом шаге построения представляется лишь третий случай, числа точек А г
и Bt для деформированных кривых сг и с2 равны, самое большее, соответст-
вующим числам для начальных кривых, а точка А2 кривой сг соединяется
с бесконечно удаленной точкой ломаной линией а2, лежащей в £)«, и вне как
du так и d2.
Пусть теперь А3 — точка деформированной кривой с1? отличная от Аг и Л2,
а а3 — простая ломаная линия, лежащая внутри /)«,, не имеющая общих
точек с линией а2 и соединяющая точку А3 с бесконечно удаленной точкой.
7 М. В. Келдыш. Математика
98
J. Теория функций комплексного переменного
Проведем деформацию кривых сг и с2 относительно а3 совершенно аналогич-
но описанной деформации этих кривых относительно а2. Следует только при-
нять меры предосторожности, когда на очередном шаге построения мы стал-
киваемся с третьим случаем, а точкой At, лежащей на с][, оказывается точ-
ка А2. В таком случае мы заменяем точку А2 точкой А2 деформированной
кривой с1? лежащей в окрестности дуги λ линии а3, а кривую а2 кривой а2,
соединяющей точку А2 с бесконечно удаленной точкой, расположенной в
окрестности линии а3. Очевидно, что можно провести эту кривую а2 внутри
Doo и снаружи аг и d2.
После деформации с1 и с2 относительно а3 либо число точек At или Bt
будет сокращено, либо новая точка на кривой сх будет соединена с бесконеч-
но удаленной точкой ломаной линией, лежащей в D^ и снаружи dx и d2.
Продолжая описанный процесс относительно всех остальных точек А%
и Ви мы получаем после конечного числа шагов две кривые с1? с2, удовлетво-
ряющие ранее сформулированным условиям 1—4, а подразбиения В этих
кривых Л1? А2, . . ., Av, Вг, В2, . . ., Ββ таковы, что каждая точка At (Bi)y
i > 1, соединяется с бесконечно удаленной точкой кривой at (β£), располо-
женной вне областей с1? ~й2 и D, причем кривые ai? β^ не имеют общих точек
попарно.
Система кривых с, сх, с2; ai? β;· реализует разбиение плоскости на ко-
нечное число областей: 1) области dx и d2, 2) две области Δ', Δ", каждая из
которых ограничена одной из дуг подразбиения сх, одной из дуг подразбие-
ния с2, одной из кривых oLt и одной из кривых β;·; 3) конечное число областей,
каждая из которых ограничена дугой подразбиения В кривой сг (с2) и дву-
мя кривыми at (β;·).
Мы предположили, что множество Г12 имеет континуум (£, отличный от
&! и (£2. Легко убедиться, что этот континуум не может быть расположен
ни в какой из областей нашего подразбиения. В самом деле, кривая с не мо-
жет лежать ни в d1? ни в d2 в силу условий 1—4; она не может лежать и в дру-
гой области подразбиения, поскольку, по построению, даже сама граница
такой области может иметь общие точки лишь с одним из двух континуумов
Г1? Г2. Это доказывает, что множество Г12 состоит из двух континуумов &1У
е2.
Обозначим еще через γ1? γ2 множества точек 1\, Г2, не принадлежащих к
Г12, и пусть γ1? Υ2 — замыкания γ1? γ2. Легко видеть, что множества γ1? Υ2
являются континуумами.
5. Построим теперь область Δ, содержащую Ζ), граница которой являет-
ся кривой Шенфлиса, составленной из части Г, содержащей ν1? и открытой
жордановой дуги /, предельные точки которой на Г лежат в Г12.
Обозначим через_С линию Жордана, простирающуюся до бесконечности,
лежащую снаружи D и исходящую из некоторой точки на γΧ, достижимой от-
носительно Doo. Пусть Ρ — точка множества γ2, d (Ρ) — расстояние от Ρ
до континуума 1\ + С. Построим круг К (Р) с центром в точке Ρ и радиусом
г (Р) = d (Р)/2. Множество £> точек, принадлежащих области D или же по
крайней мере одному из кругов К (Р), само является областью. Обозначим
через ©оо область, содержащую бесконечно удаленную точку, граница Λ
которой содержится в границе ©. Докажем, что граница Λ является кривой
Шенфлиса и что ее внутренняя область Δ удовлетворяет ранее сформулиро-
ванным условиям.
8. Об аппроксимации аналитических функций в замкнутых областях 99*
В самом деле, пусть Δ — внутренняя область смежности к Л, содержа-
щая D и все круги К (Р). Обозначим через Аг часть Л, содержащуюся в Гг
а через 7 остальную часть Л, и пусть Л2 — замыкание 7.
Пусть Q — произвольная точка 7. Покажем, что часть множества 7, со-
держащаяся в некоторой окрестности Q, является жордановой дугой, по од-
ну сторону которой лежат точки области Δ, а по другую сторону — точки
©оо. Пусть U (Q) — окрестность Q, расстояние которой от Тг превышает
число 6; Q' — точка из 7, лежащая в U (Q). Множество 7 содержится в гра-
нице D, откуда следует, что можно найти точку Q" окрестности U (Q), сколь-
угодно близкую к Q' и принадлежащую одному из кругов К {Р"). Радиус
г (Р") этого круга превышает, очевидно, δ. Следовательно, существует круг
радиуса δ, принадлежащий области Δ и окружность которого проходит через
точку Q. С другой стороны, всякая точка 7 является предельной точкой мно-
жества £)«,. Этого достаточно для того, чтобы утверждать, что связная часть·
7, принадлежащая к U (Q) и содержащая Q, является дугой Жордана, при-
надлежащей границам Δ πβ».
Мы можем теперь утверждать, что множество 7 состоит из счетного числа
замкнутых или открытых дуг Жордана и в последнем случае предельные точ-
ки этих дуг лежат на Г. Мы докажем, что 7 является единственной открытой
дугой (Жордана и что предельные точки ее концов лежат на двух континуу-
мах ©! и ©2, содержащихся в Г12.
Покажем сначала, что все предельные точки множества 7, лежащие на
множестве Г + С, лежат также и на Г12. В самом деле, эти предельные точки
должны принадлежать 1\ + С, потому что γ2 находится внутри Δ. Пусть
Q — предельная точка 7, лежащая на 1\ + С. Обозначим через Q' точку 7,-
расстояние которой от Q меньше ε. На расстоянии от Q', меньшем ε, мы мо-
жем найти точку Q", принадлежащую некоторому кругу К {Р"). Расстояние?
между Р" и Гх + С удовлетворяет неравенству
d (Ρ") < г (Ρ") + 2ε,
где г (Р") — радиус К (Р"). Следовательно, \
г (Р") = У2а (Ρ") < V (Ρ") + ε,
откуда
r (Pff) < 2ε, P"Q<r (Ρ") + Q"Q < 4ε.
Отсюда следует, что точка Q является предельной для точек Р" с γ2> τ· е-
Q d Г2, и, следовательно, Q содержится в Г12. Теперь докажем, что 7 не со-
держит замкнутых жордановых дуг. Действительно, внутренняя областьг
ограниченная такой замкнутой кривой J, должна содержать точки S и, сле-
довательно, область D, но это невозможно, так как 7 не имеет точек пересе-
чения с С._
Пусть 7 — максимальна_я открытая жорданова дуга, принадлежащая 7.
Предельные точки концов 7 принадлежат Г12. Предельные точки одного из
концов 7 лежат на континууме (£2, а другого — на (£2- В самом деле, если
7 имела предельные точки лишь на одном из континуумов £х или (£2, к при-
меру на ©j, то область, ограниченная 7 + ©х, содержала бы область Dr
что невозможно, так как кривая С не имеет общих точек ни с (£3, ни с 7.
Покажем, что множество 7 не может содержать более одной дуги Жорданаг
концы которой имеют предельные точки на ©д и ©2. В самом деле, если бьг
их там было две, то множество 7г + Sn + 72 + (£2 было бы границей об-
7*
100
/. Теория функций комплексного переменного
ласти, содержащей Ζ), но это невозможно, так как кривая С не может иметь
общих точек с этим множеством.
Мы установили, что граница Л области ©«, состоит из открытой дуги Жор-
дана / и части Аг множества Г. Эта часть Аг не разбивает плоскость, посколь-
ку она содержится в 1\. Докажем, что континуум Л есть кривая Шенфлиса,
внутренней областью которой является Δ. Прежде всего, не существует об-
ласти Δ', отличной от Δ и ©<*>, граница которой содержится в А. В самом де-
ле, граница Δ' не может содержать точек из /, поскольку окрестность такой
точки полностью покрыта множеством Δ -f- / -f- ©<х>, и граница Δ' не мо-
жет содержаться в Лх, так как Аг не разбивает плоскость. С другой стороны,
очевидно, что всякая точка Л является предельной точкой как дляА, так
и для ЗХо. Эти два свойства характеризуют кривые Шенфяиса.
Множество Аг содержится в 1\. Покажем, что оно содержит уг. В самом
деле, множество Аг содержит каждую точку γΧ, так как в противном случае
граница Λ, охватывающая D, не разбивала бы плоскости. Оно содержит
vx, поскольку является замкнутым. Обозначим через Л2 замыкание дуги /.
Множество Л2 принадлежит Г12 + /. Отсюда вытекает, что Л2 не имеет об-
щих точек с С, следовательно, Л2 не разбивает плоскость. __
6. Пусть / (z) — голоморфная функция в D, непрерывная в D. Докажем,
что существует ряд полиномов, равномерно сходящийся в D к функции / (z).
Функция / (z) непрерывна на континууме 1\, а 1\ не разбивает плоскость.
Пусть ε — произвольно малое положительное число. В силу ранее упомяну-
той теоремы Лаврентьева существует полином Ρ (z), такой, что на Тг имеем
\f(z)~P(z)\< ε. (1)
Положим
φ (z) = f (z) - Ρ (z). (2)
Осуществим конформное отображение области Δ на круг | £ | < 1 и обо-
значим через β дугу окружности | £ | =1, соответствующую открытой дуге
Жордана / границы Δ, а через α дополнение к β относительно | £ | = 1.
Пусть D± — область, соответствующая D в этом отображении. Область Dt
лежит внутри круга | £ | < 1. Ее граница состоит из дуги α и множества γ,
расположенного внутри | £ | < 1. Множество γ соответствует части грани-
цы Г области D, содержащейся внутри Δ, которая является частью конти-
нуума Г2. Отсюда следует, что множество γ (замыкание у) не разбивает плос-
кость.
Пусть А' и В' — две достижимые граничные точки Δ, не принадлежащие
континууму Л2; А'В' — жорданова дуга, принадлежащая Δ и не имеющая
общих точек с континуумом Г2. Дуга А'В' разбивает область Δ на две части:
Δ', не содержащую точек Г2, и Δ", содержащую точки Г2. Граница Δ' состоит
из дуги А'В' и части Л' континуума Л2. Пусть Л" — часть Л, принадлежа-
щая границе Δ". Обозначим через аг и βΧ две дуги окружности | £ | = 1,
соответствующие Л' и Л" при конформном отображении Δ на круг. Дуга ах
лежит внутри дуги а. Множество у не имеет предельных точек на дуге а1у
т. е. аг есть открытая жорданова дуга. Действительно, при конформном ото-
бражении Δ на круг | £| < 1 дуга А'В' переходит в жорданову дугу λ, кон-
цы которой совпадают с концами aj. Дуга λ разбивает круг на две области.
Пусть δ' — одна из этих областей, соответствующая Δ'. Область δ' ограниче-
на ai и λ и не содержит точек γ; следовательно, у не имеет предельных точек
на аЛ.
S. Об аппроксимации аналитических функций в замкнутых областях 101
Обозначим через а2 некоторую дугу окружности | ξ | = 1, лежащую внут-
ри а1? а через а3 дугу | £ | = 1, лежащую внутри а2; пусть γ2 и 7з — Допол-
нения к а2 и а3 относительно границы области Dx. Очевидно, что континуум
γ3 не разбивает плоскость.
Пусть φΧ (£) = φ (ΣΤ1 (ξ)), где £ = £ (z) дает конформное отображение
области Δ на круг | £ | < 1. На континууме 1\ функция φ (z) удовлетворяет
неравенству | φ (z) | < ε. В силу непрерывности φ (z) это неравенство вы-
полняется в некоторой части Z), лежащей в области Qu содержащей конти-
нуум Гх. Отсюда вытекает, что можно найти такое число ρ (ε) < 1, что в час-
ти замкнутой области Dl9 лежащей вне круга | £ | < ρ (ε), имеем | (pi(£) | <
< ε. С другой стороны, если функция £ = £ (z) непрерывна внутри Δ, то
функция φΧ (£) непрерывна на у.
Из этих замечаний следует, что функция φΧ (£) обладает следующими
свойствами:
1) на дуге а2 имеем | φΧ (£) | < ε;
2) колебание φΧ (£) в точках континуума γ3 меньше 2ε.
В силу второго свойства существует функция φ2 (£), определенная и не-
прерывная на γ3 и удовлетворяющая на γ3 неравенству
;φ1(£)-φ2(£) |< 4ε.
Континуум γ3 не разбивает плоскость; таким образом, в силу теоремы
Лаврентьева можно представить функцию φ2 (£) на γ3 с какой угодно точ-
ностью полиномом, а следовательно, можно найти такой полином πΧ (£),
что на γ3
I «МО-МО |< 4ε. (3)
Положим
% U) = «pi (Ε) - щ. (Е). (4)
Функция г^ (£) удовлетворяет на континууме γ3 неравенству
lti(0l<4e, (5)
а в точках дуги а2 ее колебание меньше 2ε:
osc^ (£)<2ε. (6)
Построим последовательность областей D^, Z>2, . . ., Dn\ . . ., Для ко-
торой область Dx является ядром и такую, что каждая область D„ содержит
П1ч а границы областей D^ содержат открытые жордановы дуги Jn , сходя-
щиеся к граничной дуге ах области Ог. Пусть %п (£) — функция, отображаю-
щая конформно область D^ на Ог и удовлетворяющая условиям
dy(1)
Χ^(0) = 0, _g-(0)>0;
ωη1} (£) — обратная функция к у$ (£). Положим
Ψ2)(Ε) = ψ1ΙΧ?>(ε)1· (7)
Установим, что если число η достаточно большое, то в области Dx будет
выполнено следующее неравенство:
\Ьа)-^' (Е) К 9ε. (8)
102
/. Теория функций комплексного переменного
Достаточно доказать, что это неравенство имеет место на границе Dx.
Покажем сначала, что если число η достаточно большое, то неравенство (8)
выполняется на дуге а2. В силу (6) существует число h, обладающее следую-
щим свойством: для любой точки £0 дуги а2 выполнено неравенство
I *х (0 — "Фж (Со) I < 2е
при условии, что ξ — произвольная точка из Dx, содержащейся в круге
| £ — £0 | < h. Функции $? (£) равномерно сходятся на дуге а2, следова-
тельно, можно найти целое число пх, такое, что если п^> п1ч то | %п (£) —
— S I < h на всей дуге а2. Отсюда, если η ^> п1ч на дуге а2 имеем
|Ψ«'(ξ)-ψ,(ξ)Ι<2ε. (9)
Покажем теперь, что если число η достаточно велико, неравенство (8)
-выполняется на γ2. Обозначим через а^3) часть границы Ζ)^, соответствующую
дуге а3 при конформном отображении Dx на D^. Если η достаточно велико,
то о43) есть частичная дуга открытой жордановой дуги /(„\ Обозначим через
2δ расстояние между дугой а3 и континуумом у2. Функции ω^ (£), реализую-
щие конформные отображения D^ на Dx, равномерно сходятся к ε на дуге
<х3; таким образом, существует число п2, такое, что если η > п2, то расстоя-
ние между о43) и у2 превышает 6.
Обозначим также через рп верхнюю грань расстояний от граничных то-
чек Dx до границы Dn\ Заметим, что limpn = 0.
Пусть εο — произвольная точка континуума γ2· Оценим величину
| Ψ^1) (εο) |· Рассмотрим наибольшую связную часть Gn (εο) области Dn\
содержащую точку εο и лежащую в круге | ε — εο Ι < δ. Расстояние меж-
ду εο и границей Gn (εο) не превышает рп. Рассмотрим функцию ψ£ (ε) в
области Gn (ε0). Величина | ψ£} (Б) I в Gn (E0) не превышает максимума
l^i (ε) К который мы обозначим через М. Оценим | Ψ^ (Ε) | на части гра-
ницы Gn (t0), содержащейся внутри круга | ε — εο Ι < δ. Эта часть при-
надлежит образу γ^3) континуума γ3 ПРИ отображении ω(?Χ) (ε), так как рас-
стояние между ajf и εο превышает δ. Отсюда вытекает, что на части границы
Gn (ε0)> содержащейся в | ε — εο Ι < δ> имеем | ψ£} (ε) Ι < 4ε.
Применяя теорему Неванлинны и Мийю [3], получаем оценку:
таким образом, если число п2 достаточно велико, то при п^> п2 получим
Ι Ψ£> tt0)\< 5ε. (10)
В силу неравенств (5) и (10) при η ^> п2 на континууме у2 выполнено нера-
венство (8). Следовательно, если η ^> шах (п1ч п2), неравенство (8) выполня-
ется на всей границе области Dx.
Поскольку функции ψ£} (ε) голоморфны в замкнутой области 25ь то из
неравенства (8) вытекает следующее: можно построить полином κΧ (ε),
8. Об аппроксимации аналитических функций в замкнутых областях 103
удовлетворяющий неравенству
|iMQ-*i(£)l<9e (И)
в замкнутой области Dlu
Положим ωΧ (ξ) = πλ (ξ) + >Ч (£); тогда
ω1(0-φ1(0=κ1(ξ)-ψ1(ξ)
и, следовательно, выполнено неравенство
l<Pi(Q-<M£) |< 9ε (12)
в замкнутой области D±.
Пусть z = z (ξ) — конформное отображение круга | ξ | < 1 на область
Δ» S = S (z) — обратное отображение и ω (z) = ω [ε (z)]. Функция ω (z)
удовлетворяет неравенству
| ω (z) - φ (z) |< 9ε (13)
в области Д. Отсюда вытекает, что функция ω (z) обладает следующими свой-
ствами:
1) на части границы Δ, лежащей в области Ω, содержащей континуум
1\, выполняется неравенство | ω (z) | < 10ε;
2) функция ω (z) непрерывна на жордановой дуге /.
Построим последовательность областей Dl4 D2, . . ., Dn, . . ., ядром ко-
торой была бы область Δ и такую, что каждая область Dn содержит Δ, а гра-
ницы Dn,содержат открытые жордановы дуги, сходящиеся к /. Обозначим
через" xn (z) функцию, реализующую конформное отображение Dn на Δ и
удовлетворяющую в точке z0 области Δ условиям %п (z0) = 0, %п (z0) ^> 0.
Положим, что ωη (z) = ω [%η (z)].
Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые мы использовали для
установления неравенства (8), докажем, что при достаточно большом числе η
в замкнутой области Δ выполняется неравенство
| ω (z) - ωη (z) I < 20ε. (14)
Для того чтобы доказать неравенство (14), разделим границу Δ на две
части: на дугу Л(1) d / и часть Л<2>, целиком лежащую в области ΩΧ. На ду-
ге Л(1) неравенство (14) является следствием равномерной сходимости после-
довательности XnX) (z) к z на этой дуге. На части Л<2> доказывается неравен-
ство (14) с помощью неравенства Мийю—Неванлинны. Функция ωη (z) ре-
гулярна в замкнутой области Δ; таким образом, можно найти полином Q (z),
удовлетворяющий в Δ неравенству
| ω (z) - Q (z) |< 20ε.
Пусть Π (z) = Ρ (z) + Q (z); тогда в D имеем
/ (z) - Π (z) = <p(z)-Q (z),
и, следовательно,
I / (z) - Π (z) |< Ι φ iz) - ω (*) I + Ι ω (z) - Qfr) | < 30ε.
Это доказывает, что функция / (z) есть предел последовательности полино-
мов, равномерно сходящейся в замкнутой области D.
104
/. Теория функций комплексного переменного
ЛИТЕРАТУРА
1. Walsh J. L. Ober die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen.— Math«
Ann., 1926, Bd. 96, S. 430—436.
2. Lavrentieff M. Sur les fonctions d'une variable complexe representables par des series
de polynômes.— Actual, sci. et industr., 1936, t. 441, p. 1—62.
3. Неванлинна P. Однозначные аналитические функции. M.; Л.: Гостехиздат, 1941.
338 с.
9
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
РЯДАМИ ПОЛИНОМОВ
В ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЯХ*
Пусть D — односвязная область плоскости комплексного переменного;
Г — ее граница; D = D + Г — замкнутая область. Если ряд полиномов
равномерно сходится в замкнутой области D, то его сумма непрерывна на D
и голоморфна внутри D. В настоящей статье мы доказываем следующее пред-
ложение.
Τ е о р_е м а. Для того чтобы всякая функция, непрерывная в замкнутой
области D и голоморфная внутри D, могла быть представлена равномерно
сходящимся на D рядом полиномов, необходимо и достаточно, чтобы допол-
нение к D состояло из одной области D^, содержащей бесконечно удаленную
точку.
В том случае, когда Г есть кривая Жордана, это предложение было уста-
новлено Уолшем [1]. Позднее Фаррель [2] установил аналогичное предложе-
ние для функций, принимающих постоянные значения на всех простых кон-
цах области, предполагая, что граница области является также границей
некоторой области, содержащей бесконечно удаленную точку, и два различ-
ных простых конца границы не покрывают одну и ту же геометрическую точ-
ку. Мной было установлено предложение в том случае, когда область, удов-
летворяющая условиям теоремы, может быть разбита некоторым сечением
на две части D± ио2, границы которых 1\ и Г2 не имеют вне γ общих точек
[3]. Однако существует область, построенная Брауэром, для которой один
из простых концов границы покрывает всю границу. Эта область, очевидно,
не удовлетворяет предыдущему условию.
Лаврентьев установил следующий замечательный результат, которым
мы будем пользоваться при доказательстве теоремы: если нигде не плотный
континуум Ε не разбивает плоскость, то всякая непрерывная на Ε функция
может быть представлена равномерно сходящимся на Ε рядом полиномов.
Заметим, что лемма I этой статьи есть частный случай результата, полу-
ченного в нашей предыдущей работе [3], однако мы приводим ее доказатель-
ство, чтобы сделать чтение статьи независимым.
Необходимость условий теоремы почти очевидна. В самом деле, если су-
ществует область Dx, смежная кои отличная от D^, то ряд полиномов, рав-
номерно сходящийся на/) и, в частности, на границе Dl4 сходится в Dx к го-
* Мат. сб., 1945, т. 16, № 3, с. 249—257.
9. О представлении функций комплексного переменного рядами полиномов 105
ломорфной функции. Функция / (z) = (z — 2i)~\ _где zx — точка Ог, голо-
морфна в D, непрерывна на D и не представима на D равномерно сходящимся
рядом полиномов.
Перейдем к доказательству достаточности условий теоремы.
Лемма I. Пусть Ε — континуум, обладающий следующими свойствами:
1) Ε расположен в полуплоскости у > 0;
2) множество внутренних точек Ε есть область;
3) множество <β граничных точек Ε состоит из отрезка К (—1 <С х <Ζ
< 1) оси х и континуума &г, не разбивающего плоскость и не имеющего пре-
дельных точек на интервале —1 < х < 1 оси х.
Тогда всякая функция f (z), непрерывная на Ε и голоморфная во внутрен-
них точках Е, представима равномерно сходящимся на Ε рядом полиномов.
Обозначим через Δ множество внутренних точек Ещ а через Δοο дополнение
к Е. Множество Δοο есть область. Построим последовательность областей
Δη, ограниченных линиями Жордана Сп и обладающих следующими свойст-
вами:
1°. Область Δη лежит в полуплоскости у ^> —iln и содержит континуум
Ε и прямоугольник — iln < у <^ 0, —1 < х <^ 1.
2°. Дополнения к Δη — области Δ^° имеют пределом область Δοο.
Очевидно, что при достаточно большом η расстояние от каждой точки g\
до границы Сп будет меньше любого положительного числа η.
В силу теоремы Лаврентьева [4] можно построить полином Ρ (z), удов-
летворяющий неравенству
\f(z)-P(z)\<B (1)
на множестве ёг + Кг, где Кх — отрезок V2 ^ х <С 1. Положим φ (z) =
= / (z) — Ρ (z), и пусть Μ — максимум функции φ (z) на Ε. На множестве
. | *.(*) Ц< ε, (2)
поэтому можно указать такое число ηΧ, что в каждой точке Е, расстояние
которой от Щх меньше η1? также выполняется неравенство (2).
Обозначим через ψ^ (z) функцию, реализующую конформное отображение
области Δη на Δ и переводящую точки —1, |, 1 отрезка К границы Δ в точки
—1 — iln, I — iln, 1 — iln границы Δη. Положим φη (z) = φ [ψη (z)] и по-
кажем, что при достаточно большом η на Ε
| φ (z) - φη (z) | < 3ε. (3)
Обозначим через г расстояние от множества $г до отрезка у = 0, | х \ <С 3/4,
и пусть η — наименьшее из двух чисел ηΧ и J^ (-х" ) . Разобьем континуум
Ε на множество Η точек, отстоящих от $г на расстоянии, меньшем η, и замк-
нутое множество F остальных точек. Множество F, очевидно, содержится
в Δ + К.
Покажем, что на F функции φη (z) сходятся равномерно к φ (z). Пусть
Δη — область, состоящая из Δη и ее зеркального отображения относитель-
но прямой у = —iln, а Δ' — область, состоящая из Δ и ее зеркального отоб-
ражения относительно прямой у = 0. Область Δ' есть ядро последователь-
ности областей Δη, и Δη сходятся к Δ'. Ввиду того, что замкнутое множество
F содержится внутри Δ\ функции ψη (z), дающие конформное отображение
106
/. Теория функций комплексного переменного
Δη на Δ', сходятся равномерно на F к z. В силу непрерывности φ (z) на Ε
функции φη (z) равномерно сходятся на F к φ (z) и начиная с некоторого η
на множестве F выполняется неравенство (3).
Установим теперь, что при достаточно большом η неравенство (3) выпол-
няется и на множестве Η = Ε — F. Пусть Сп — отрезок | х | <^ 3/4 прямой
у = — 1/и, а Сп — остальная часть контура Сп. При достаточно большом η
образ Сп при отображении Δη на Δ покроет отрезок у = 0, | х \ <^ 1/2 гра-
ницы Δ, так как внутри Δ' функции ψη (z) сходятся равномерно к z. В силу
теоремы Каратеодори о соответствии границ при отображении на нежордано-
ву область дуга Сп переходит в точки континуума ёг + Кг, и поэтому на
Сп предельные значения | φη (z) | меньше ε. Выберем η настолько большим,
чтобы расстояние от каждой точки Щг до части Сп контура Сп было меньше
η. Пусть теперь z0 — произвольная точка Н; тогда можно найти точку zx
на части Сп, расположенной в верхней полуплоскости у ^> 0 так, чтобы
I zo — zi I < 2η, потому что расстояние от точек Η до &г меньше η.
В силу определения г точки границы Δη, попадающие в круг К (z, r)
с центром BZjH радиусом г, принадлежат Сп, поэтому на части границы Δη,
содержащейся в К (zl4 г), предельные значения | φη (z) \ меньше ε. С другой
стороны, в силу принципа Мийю—Неванлинны [5] часть границы Δη, лежа-
щая вне К (zl4 r), имеет в точке z0 гармоническую меру, не превосходящую
_2_
1 ^-arcsin r-\z«-zi\ <Ατ/Ι^-^|
г + «о — *! ^ π Г г
поэтому согласно теореме о двух константах, применяемой к субгармониче-
ской функции | φη (z) I, получаем оценку
l9„W|<e + 4V/"-7LM<2e·
Учитывая, что на Я выполнено неравенство (2), из последнего неравенства
заключаем, что на Я, а значит, и на всем континууме Ε = F + Η выполня-
ется неравенство (3).
Функция φη (z) голоморфна на /?, поэтому ее можно заменить полиномом,
удовлетворяющим неравенству | φ (z) — Q (z) | < |/"ε. Полагая R (z) =
:= Ρ (z) + Q (z), получаем полином, удовлетворяющий на Е неравенству
I / (z) — R (z) | < 3 У ε, что доказывает лемму I.
Пусть F — замкнутое плоское множество. Компонентой множества F
мы назовем континуум С, принадлежащий F и такой, что не существует
континуума С", содержащего С, отличного от С и содержащегося в мно-
жестве F.
Лемма II. Пусть каждая компонента С замкнутого множества F
покрыта односвязной областью G (С). Можно построить конечное число одно-
связных областей Gl4 G2, . . ., Gm, обладающих следующими свойствами:
1) области Gl4 G2, - - ., Gm покрывают все множество F;
2) две различные области Gt и Gk не имеют общих точек;
3) каждая из областей G^ содержится в некоторой области G (С).
Рассмотрим какую-нибудь из областей G (С) и покажем, что ее можно за-
менить областью G' (С) так, чтобы G' (С) содержала компоненту С и граница
G' (С) не содержала точек множества F. Назовем ε-цепочкой последователь-
ность точек Р1? Р2, . . ., Рп множества F с расстояниями PtPi+l4 не превы-
9. О представлении функций комплексного переменного рядами полиномов 107
шающими ε. При достаточно малом ε не существует ε-цепочки с начальной
точкой вне G (С) и конечной точкой на С. В самом деле, в противном случае
для каждого ρ мы построим 1/р-цепочку Р[р\ Р^\ . . ., Р{р) с начальной
точкой вне G (С) и конечной точкой на С. Обозначим через С" континуум,
являющийся топологическим пределом для полигонов Р[р\ Р%"\ . . ., Р%\
Континуум С" состоит из точек F. Но тогда С не является компонентой мно-
жества F, так как континуум С = С + С" состоит из точек F и отличен
от С.
Пусть Ε (С) — множество точек Р, обладающих следующим свойством:
существует е0/2-цепочка с начальной точкой вне G и конечной точкой, от-
стоящей от Ρ на расстоянии, не превышающем ε0/2. Множество Ε (С) не име-
ет общих точек с С, и граница Ε (С) не содержит точек F. Область G' (С) мы
определим как наибольшую связную область, содержащую С и лежащую
в G (С) — Ε (С). Ее граница, очевидно, не содержит точек F.
Каждая точка F покрыта одной из областей G' (С). На основании леммы
Гейне—Бореля можно выделить конечное число из этих областей, допустим
Gu G2, . . ., Gii покрывающих все множество F. Каждую из Gk мы можем
заменить областью Gk CZ Gk c полигональным контуром, не содержащим то-
чек F, так, чтобы Gk покрывала туже часть множества F, что и область Gk-
Можно также! считать, что ни одна из областей Gk не содержится целиком
в другой.] Удаляя из всех областей Gk точки, принадлежащие границам
других областей Gi, . . ., G/, получим конечное число односвязных областей
G1? G2, . . ., Gm без общих точек, покрывающих все множество F. Граничные
точки Gk не содержат точек F. Наконец, область Gk принадлежит некоторой
области Gj или G]< являющейся областью G' (С) и поэтому содержащейся
в области G (С).
Л е м_м а III. Пусть D_— область, граница Г которой не имеет точек
внутри D, а дополнение к D состоит из одной области Ζ^, содержащей бес-
конечно удаленную точку. Если прямая у — а пересекает область D, то вся-
кая функция f (z), непрерывная на D и голоморфная eD, может бить представ-
лена равномерно сходящимся рядом полиномов на множестве Da, состоящем
из точек D, лежащих в полуплоскости у ^ а.
Замкнутое множество Da состоит из связных компонент С, не имеющих
обш^х точек. Дополнение к каждой компоненте С состоит из одной области,
содержащей бесконечно удаленную точку. В самом деле, если одна из об-
ластей Δ1τ на которые распадается дополнение к С, не содержит бесконечно
удаленной точки, то_в ней можно выделить точку z^, не принадлежащую Da,
а следовательно, и D. Но точка zL не принадлежит Лоо, а дополнение к D тож-
дественно с Doo.
Докажем, что можно построить полином Рс (z), удовлетворяющий на С
неравенству
| / (z) - Рс (z) | < ε. (4)
Для нигде не плотной компоненты это вытекает из теоремы Лаврентьева,
поэтому утверждение надо доказать только для компонент, имеющих внут-
ренние точки.
Пусть С — компонента Ла, имеющая внутренние точки. Проведем пря-
мую у = а'', а' < а, пересекающую область!). Часть Da области/), лежащая
108
/. Теория функций комплексного переменного
в полуплоскости у ^> а', распадается на счетное множество областей. Дока-
жем, что все внутренние точки С принадлежат одной из этих областей О.
Чтобы это показать, достаточно установить, что две произвольные внутрен-
ние точки zx и z2 компоненты С могут быть связаны линией Жордана у'г
состоящей из внутренних точек D'a. Пусть γ — кривая Жордана, лежащая
в области D и связывающая точки zx и z2. Дополнение к Щ + у состоит из об-
ласти Δοο, содержащей бесконечно удаленную точку, и из счетного множества
ограниченных областей Ах, Δ2, . . ., Δη, . . . Если линия γ не лежит в полу-
плоскости у^> а!, мы проведем все сечения областей Δη прямой у = а"т
а' <С а" < а. Ни одно из этих сечений не может содержать точек, принадле-
жащих D. В самом деле, если бы сечение Δη содержало точку, не принадле-
жащую D, то вблизи нее мы можем найти точку z', лежащую вне D и принад-
лежащую Δη. Граница Δη состоит из точек D, поэтому область смежности
к D, содержащая точку z', лежит внутри Δη. Но это невозможно, так как D
имеет единственную область смежности D^. Построим линию γ', заменяя все;
части γ , принадлежащие к каждой области Δη и лежащие под прямой у =
= а", отсекающими их сечениями Δη линией у = а". Линия γ' лежит в полу-
плоскости у ^> а'', состоит из точек Ζ>, а следовательно, Da и соединяет точки
zx и z2.
Рассмотрим множество Е, состоящее из компоненты С и замкнутой об-
ласти О. Это множество удовлетворяет условиям леммы I. В самом деле,
множество внутренних точек Ε есть область О, лежащая в полуплоскости
у ]> а''. Множество граничных точек Ε состоит из отрезков прямой у = а'г
множества, расположенного в полуплоскости у ^ а', и континуума, не раз-
бивающего плоскости, так как это множество содержится в части границы
D, лежащей выше у = а', не разбивающей плоскости. Ввиду этого на мно-
жестве Е, а следовательно, и на компоненте С можно построить полиномт
удовлетворяющий неравенству (4).
Обозначим через G (С) область, содержащую компоненту С и такую, что·
во всех точках Ζ)α, принадлежащих G (С), еще выполняется неравенство (4).
Это возможно в силу замкнутости С и непрерывности функции f (z) — Рс (z)-
Из леммы II вытекает, что мы можем покрыть все множество Da конечным
числом областей Gx, G2, . . ., Gm, не имеющих общих точек, так, чтобы каж-
дая область Gk содержалась в некоторой области G (С). Пусть Fk — часть
Da, содержащаяся в области Gk; тогда, полагая
Рк « = Рс (z)
и учитывая, что (4) имеет силу в точках Da, принадлежащих G (С), находимт
что на Fk удовлетворяется неравенство
| / (z) - Pk (z) | < ε. (5>
Множества Fk лежат внутри неперекрывающихся областей Gk, и в Gk сущест-
вует полином, удовлетворяющий на Fk неравенству (5), поэтому в силу тео-
ремы Рунге можно построить полином Ρ (z), удовлетворяющий на множестве
Ъа = ΣΡ^ неравенству | / (z) — Ρ (z) | < ε, а это доказывает лемму III.
Переходим к доказательству теоремы. Предположим, что проекция D
на ось у имеет длину больше единицы, и обозначим через К круг, содержа-
щий D. Пусть / (z) голоморфна вДи непрерывна на D.
Проведем две прямые у — ах и у = а2, а2 — ах = 1, пересекающие об-
ласть D. Построим полином Рх (z), удовлетворяющий неравенству | / (z) —
9. О представлении функций комплексного переменного рядами полиномов 109
~~ Pi (z) I < ε Β точках D, лежащих в полуплоскости у > аг, и полином
Ρ2 (z)> удовлетворяющий неравенству | / (z) — Р2 (z) | < ε в части D, рас-
положенной в полуплоскости у ^ α2· Через Μ обозначим верхнюю грань
лолиномов | Рг (z) |, | Р2 (z) | в круге К. Положим
(Pi(z) при t>(at + a*)/2,
ф(^0-(р2(2) при *<(α1 + α2)/2.
Обозначая через Л (/) часть D, лежащую в полосе | у — t | < 1/2 на Л (г),
имеем неравенство \
| / (z) - φ (z, 0|<β, (6)
а в круге Ζ | φ (z, t) | < Μ.
у+гЫ
Пусть φ(Ζ)= \ cp(z,t)dt. В силу (6) на D
2/-V2
| / (z) - φ (*) |< ε (7)
я в круге К
\ψ(Ζ)\<Μ. (8)
Пусть Г — замкнутый контур в круге К; тогда для точки z, лежащей
взутри Г, имеет место формула
<рМ=-щ:)-Т=~*—"йг^З Г=^ ^dTb (9)
Г Δ
где ξ — ξ + £η; Δ — область, ограниченная линией Г. Чтобы доказать эту
формулу, обозначим через Ct пересечение прямой у = t с областью Δρ, по-
лучаемой удалением из Δ круга | ξ — z | <^ р, и предположим, что паралле-
ли оси х пересекают Г только в конечном числе точек. Общий случай может
•быть получен предельным переходом. Заметим, что для аналитической на Су
функции в силу теоремы Коши
■^S *(0dt—Σ|*ατρ)dCrft
Cy (У)
dy
(£r — точки] пересечения Cj, и Гр; d^r — дифференциалы вдоль линии Гр)
л сумма распространяется на все точки пересечения Су и Гр (Гр — контур
Δρ). Учитывая это, имеем
Ι ^?-*?β ^*}*-6 £#*0
dy
(
Су y-V. Cy Cy
+J,;i{jf^^-"-jT'--,+v'c)-:';-'"",,^+
у-У, 1 (у) р j cv
-Σ
^гр) '£Γρ
ςΓ _« dy
110
/. Теория функций комплексного переменного
Интегрируя это выражение по у и учитывая, что для параллелей оси х, не
пересекающих Γ, ν ^ \^ =υ, так как Су пусто, получаем
cv
_ i· диоде [ Cy(t)dt CC (P(S'Ti + V»)-<P(e^-1Mdt^==0f
Kp ' Γ Δρ
где Kρ— контур круга | ξ — z \ = ρ и Гρ = Г — Kρ. Учитывая, что в кру-
ге К функция φ (z), очевидно, удовлетворяет условию Липшица | φ (zt) —
— Φ (2г) I < A I zi — z2 К заключаем, что при ρ -»- 0 первый контурный:
интеграл имеет пределом 2шср (z) и, следовательно, переход к пределу при.
р -»- 0 дает формулу (9). __ __
Пусть Г — контур, охватывающий замкнутую область D, Δ' = Δ — D*
Контур Г можно взять столь близким к Ζ), чтобы при любом z
4-$SÄ<i- w
Δ'
Обозначим через μ максимум функции — \ \ . __ ^Т^Тогда внутри Г
+-fSS'";'1+1'it"-:r'""j|^<
D Δ7
Функция -я- . \ ф, голоморфна в точках D, поэтому можно построить по-
2,211 J ς — z
Г; __
лином Ρ (z), удовлетворяющий^ на D тому же неравенству | φ (z) — Ρ (z) | <C
< ε (μ + 1), и в силу (7) на D | / (z) — Ρ (z) | < ε (μ 4- 2). Так как ε про-
извольно, то это доказывает теорему.
ЛИТЕРАТУРА
1. Walsh /. L. Ober die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen.— Math.
Ann., 1926, Bd. 96, S. 430—436.
2. Farrel 0. I. On approximation to a mapping function by polynomials.— Amer. J. Math.r
1932, vol. 54, p. 571—578.
3. Keldysh M. Sur l'approximation des fonctions analytiques dans de domaines fermés.—
Наст, кн., ст. 8.
4. Laurentieff M. Sur les fonctions d'une variables complexe représenta blés par des seriez
de polynômes.— Actual, sei. et industr., 1936, t. 441, p. 1—62.
5. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. M.; Л.: Гостехиздат, 1941. 338 с.
10. Оценка для относительной гармонической мери 111»
10
ОЦЕНКА ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ*
Совместно с Μ. А. Лаврентьевым
(
В главе V книги [Н] были даны геометрические признаки, характеризую-
щие замкнутые множества положительной абсолютной гармонической меры.
Приведем ряд оценок для гармонической меры граничных множеств относи-
тельно данной области. Некоторые из этих результатов позволяют сущест-
венно упростить и дополнить излагаемую выше теорию единственности ана-
литических функций.
Итак, пусть дана область G, а на ее границе Г — система дуг γ1? γ2, . . ..
. . ., γη, сумма диаметров которых равна заданной величине ε. Требуется
оценить сверху и снизу гармоническую меру данной системы дуг относитель-
но области G в некоторой фиксированной ее точке.
Заметим прежде всего, что характер оценок не будет зависеть от порядка
связности области G, если, конечно, этот порядок есть заранее фиксирован-
ное число. В самом деле, пусть порядок связности области G равен к. Отобра-
зим конформно G на область g, полученную удалением из единичного круга
к — 1 кругов; системой прямолинейных сечений (купюр) области g мы мо-
жем превратить ее в односвязную область g*.
Пусть, далее, при нашем отображении система дуг {γ7·} перейдет в систему
дуг {Yj}. В еилу инвариантности гармонической меры гармоническая мера
системы дуг {γ^·} относительно g будет равна гармонической мере системы
дуг {yj} относительно G; вместе с тем в силу аналитического характера гра-
ницы области g* подходящим выбором купюр мы можем добиться того, что·
гармонические меры {γ7·} относительно g и g* будут иметь один и тот же
порядок малости по отношению к ε.
По этой причине мы в дальнейшем ограничимся случаем, когда G одно-
связна. Кроме того, будем всегда предполагать, что область G содержит
точку z = 0, и будем оценивать гармоническую меру {γ7·} в точке z = 0.
1. Случай одной дуги. Начнем с рассмотрения простейшего случая, ког-
да η = 1. Покажем прежде всего, что при малых ε порядок малости гармони-
ческой меры дуги γΧ будет не ниже Ye- В самом деле, обозначим через г
расстояние между уг и началом z = 0 и построим область Δ, получаемую
удалением из плоскости круга С: \ z — z0 | <^ ε/2, содержащего дугу у1г
и части луча arg z = arg z0, расположенного вне круга С. В силу теоремы
Мийю—Карлемана (см. [Н, с. 109]) будем иметь ω (0, γ1? G) <; ω (0, С, Δ).
Отсюда, вычисляя гармоническую меру окружности круга С, окончательна
получим
ω(0,γ1,σ)<*1/ε/τ, (1)
где К — некоторая константа. Этим самым показано, что гармоническая
мера оценивается сверху через диаметр дуги и через расстояние г данной
дуги до точки, в которой вычисляется гармоническая мера.
* В кн.: Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.; Л.: Гостехиздат,
1941, с. 365—379. (Приложение). Далее цитируется как Н.
112
/. Теория функций комплексного переменного
Если дополнительно допустить, что при отображении w = / (z), / (0) =
= 0, области G на круг \ w \ <^i имеем |/' (0) | = 1 (т. е. что конформный
радиус G относительно точки z = 0 равен единице), то по теореме Кёбе
(см. [Н, с. 88]) область G будет содержать круг | z | ^ XU и оценка (1) примет
вид ω (0, γ1? G) <^ iK)fe· Нетрудно видеть, что аналогичной оценки снизу
де существует. В самом деле, рассмотрим область G, образованную двумя
кругами Сх: | z | < 1 и С2: | z — 2 | < 1 + а, где 0 < а. Примем за γΧ
полукруг | z — 2 | = 1 + α, arg (z — 2) < π/2. В силу принципа гармони-
ческой меры имеем
ω (0, γ1? G)< ω (0, γ?, Gx) = mes γ!, f
тде γ* — дуга окружности С1? принадлежащая кругу С2; отсюда ω (0,
γ1? G) <^ 2)Лх при малых α. Кроме того, очевидно, что при а, достаточно ма-
лых, конформный радиус G в точке z = 0 будет сколь угодно близок к 1.
Разобранный пример показывает, что при оценке снизу необходимо
учесть не только размер дуги, но также и расположение дополнительной
части границы. Для этой цели рассмотрим совокупность {Г} дуг Г, разделяю-
щих G на две области (Gx и G2), такие, что Gx содержит точку z = 0, а гра-
ница области G2 содержит дугу у±. Обозначим через ρ (γΧ) нижнюю границу
длин дуг Г.
При этих обозначениях, используя теорему Альфорса (см. [Н, гл. IV,
§ 4]), нетрудно показать [1], что
ω (0, у» G) > exp {-Z/p2 (Tl)>, (2)
где К — константа, зависящая только от диаметра области G.
Укажем на некоторые приложения отмеченных оценок. Сочетая оценки
(1) и (2) с теорией искажения Кёбе (см. [Н, гл. IV, § 3, формула (32)]), нетруд-
но показать, что при конформном отображении жордановых областей прямое
и обратное отображения будут равномерно непрерывны в соответствующих
областях. Вводя, далее, соответствующую метрику из тех же оценок, можно
получить теорему Каратеодори [2] о соответствии границ при конформном
отображении произвольных односвязных областей.
Те же оценки для гармонической меры позволяют легко получить сле-
дующее важное предложение Куранта [3, 4] (см. также [5]).
Пусть нам даны две произвольные замкнутые жордановы линии уг и
у2. Установим между γΧ и γ2 произвольное гомеоморфное соответствие /.
Обозначим через ρ (γ1? γ2, /) максимум расстояний между соответствующими
точками, а через ρ (γ1? γ2) нижнюю границу чисел ρ (уи γ2, /) при всех воз-
можных соответствиях /. При этих обозначениях теорема Куранта может
быть сформулирована следующим образом: пусть дана последовательность
замкнутых линий Жордана уи γ2, . . ., уп, . . ., сходящаяся к замкнутой
линии Жордана γ0, и пугть w = fn (z), fn (0) = 0, fn (0) > 0 есть функция,
рггшзуюцгя конформное отображение единичного круга \ z\ <^ 1 на область,
ограниченную линией уп (п = 0, 1, 2, ...). Для того чтобы последователь-
ность функций fn (z) равномерно сходилась в круге \ z | <^ 1, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
lim ρ (γ0, γη) = 0,
Π->οο
причем при выполнении этого условия будем иметь lim fn (z) = /0 (z).
10. Оценка для относительной гармонической мери
ИЗ
При тех же условиях последовательность функций, обратных функциям
w = fn (z)> B области, ограниченной кривой γ0, непрерывно сходится к функ-
ции, обратной к w = /0 (z).
2. Системы дуг. Особый интерес для приложений к общей геометричес-
кой теории функций представляют оценки гармонической меры для систем
Дуг.
В количественном отношении в настоящее время можно считать доста-
точно развитым лишь вопрос об оценке гармонической меры сверху [6, 7].
Так же как в случае одной дуги, будем считать, что конформный радиус
данной области G (относительно точки z = 0) равен единице.
Следует отметить, что как бы мало ни было число ε, можно всегда по-
строить область G конформного радиуса единицы, а на границе G опреде-
лить такую систему дуг {yt} с суммой длин меньше ε, что ω (0, {yt}, G) >
> 1 - ε.
Это предложение показывает, что для получения нужной оценки необ-
ходимо на рассматриваемую область наложить дополнительные ограниче-
ния.
Введем одно геометрическое понятие. Пусть С — гладкая замкнутая
кривая плоскости z и t — произвольная точка на С. Обозначим через α (t)
угол, образованный осью х и касательной Τ к кривой С в точке t. Пусть
t0 есть точка С, наименее удаленная от точки z = 0. Предполагая, что на-
чальное значение α (t) в точке t0 заключено между 0 и л: 0 < α (t0) <π,
обозначим через т (С) я Μ (С) соответственно нижнюю и верхнюю границы
значений непрерывной функции α (t), когда точка t, начиная с £0, описывает
в положительном направлении кривую С.
Скажем, что односвязная область D принадлежит классу R (т) (соот-
ветственно R' (М)), если, какова бы ни была замкнутая область Dl4 Dt d
d D, всегда найдется замкнутая гладкая кривая С\ содержащаяся в D
и такая, что: 1) область, ограниченная С, содержит Dt\ 2) т <; т (С) (или
соответственно Μ > Μ (С)).
При таком определении может быть доказана следующая теорема [7].
Теорема. Если область G принадлежит классу R (т), т ^> — оо,
или R' (Μ), Μ <^ + оо, и имеет] относительно точки z = 0 конформный
радиус г, то
ω (0, E,G)<K (mes Ef \ , 0 < δ < 1,
где Κ, δ — константы, зависящие только от т или соответственно от М\
Ε — произвольное замкнутое множество, лежащее на границе области G;
mes Ε — линейная мера Е.
Приведем теперь с доказательством одну оценку для гармонической
меры, когда граница области G есть спрямляемая кривая.
Теорема. Если область G содержит круг | ξ | < 1, а граница Г
области G есть спрямляемая кривая длины Ζ, то для гармонической меры
измеримого множества Е, лежащего на Г, имеем
ω(0,^^)<1 + |1η^θ3£)[ ,
где К — абсолютная константа.
Докажем предварительно следующую лемму.
8 М. В. Келдыш. Математика
114
/. Теория функций комплексного переменного
Лемма. Пусть G — область, ограниченная спрямляемой кривой Г;
Гг — линии уровня, соответствующие \ z \ = г при конформном отобра-
жении ξ = / (z) круга \ z | <^ 1 на G. Тогда длины 1Г линий Гг возрастают
вместе с г и при г ->-1 1Г имеет пределом длину I линии Г.
Чтобы установить это предложение, нам надо будет опираться на утвер-
ждение, являющееся частным случаем одной теоремы Харди:
Пусть g (z) — функция, регулярная внутри круга \ z \ <^ 1; тогда сред-
нее значение
^'г) = 4г S ΙδΗθ)Κθ» о<г<1,
есть возрастающая функция г.
В самом деле, при г <С^ ρ <^ 1 можно функцию g (z) представить интегра-
лом Пуассона
«iz\-J- I (P*-r2)g(pg*P)
откуда
l^^e 'Ι4* 2π J P2 + Γ2 _ 2pr cos (Θ — q
Умножая обе части этого неравенства на — d0 и интегрируя, получим
μ (er. г)< μ {g, ρ).
Перейдем к доказательству леммы. Имея в виду, что длина 1Г линии
уровня Гг дается формулой
π
lr = rl\f(z)\dQ, (3)
—π
на основании теоремы Харди заключаем, что 1Г возрастает вместе с г. Дока-
жем теперь, что если г ->1, то 1Г имеет пределом длину I границы Г. В самом
деле, если граница Г — аналитическая кривая, то это очевидно в силу не-
прерывности /' (z) в замкнутом круге. Чтобы установить это предложение
для произвольной спрямляемой границы, построим последовательность
областей Dn, сходящихся к D и ограниченных аналитическими кривыми Тпг
длины которых № имеют пределом I. Пусть fn (z) — функция, дающая кон-
формное отображение круга на область Dn при условии /п (0) = / (0),
fn (0) = /' (0); Г(гп) — линии уровня при этом отображении; Z^n) — дли-
на Г(гп). Из равномерной сходимости f'n (z) к /' (z) при | z \ = г <[ 1 сле-
дует lim Z(rn) = lr, а в силу теоремы Харди Z(rn) < Z<n>. Имея еще в виду, что
П—>оо
1(п) _^ ^ заключаем, что 1Г < Z. С другой стороны, вследствие стремления
Гг к Г при г -> 1 имеем lim lr >= Ζ. Отсюда заключаем, что
г->1
lim Zr = Ζ, (4)
что и требовалось доказать.
10. Оценка для относительной гармонической меры 115
Сделаем еще одно замечание, непосредственно вытекающее из доказан-
ной леммы.
Пусть (As) — дуга Г, соответствующая дуге (φ, φ + Δφ) окружности
I z I = 1; As — ее длина и аналогично (Asr) — дуга Гг, соответствующая
дуге (φ, φ + Δφ) окружности \ z \ = г; Asr — ее длина. В силу непрерыв-
ности / (z) дуга (Asr) при г ->1 стремится к дуяе (As), и поэтому lim Asr^
r-*l
> As. Но это совместимо с (4) только тогда, когда для всех дуг
lim Asr = As. (5)
г—1
Перейдем к доказательству теоремы. Не нарушая общности, можно счи-
тать, что Ε состоит из конечного числа дуг {γ^}. Пусть (θ£, θ£) — система
дуг окружности, соответствующая при отображении w = f (z), / (0) = 0,
дугам yk. Обозначим через ε сумму длин дуг γ^, а через η — сумму длин
ДУГ (θ*, θ£):
η = Σ (θ* - Θ0.
В силу леммы имеем
π
J |/'(гв«в)|йв<г, о<г<1.
—π
Следовательно,
π
11п+|/'(Ф«>)И<г. (*>
—π
С другой стороны, так как G содержит круг | ξ ] <^ 1, то в силу леммы
Шварца | /' (0) | ]> 0, и, следовательно,
π
I In |/'(/·<?«>) )<*θ = In |f(0)|>0. (**)
—π
Из (*) и (**) получаем
S J In" I /' (reiQ) \dQ > J ln~ | f (re*) \ dQ > — I.
4
Отсюда при г ->- 1 получим
ε = mes Ε = 2 J | /' (eiQ) \ dQ > т\е-Ч\
т.е. η<^—1. ° η .Отсюда, учитывая, что η < 2π, получим искомую оценку.
| ш ε Ι
3. Теорема Φ. и Μ. Рис—Лузина—Привалова. Выше был приведен
ряд предложений, дающих оценку гармонической меры множества в зави-
симости от линейной меры множества. В частности, последняя теорема дает
такую оценку в случае, если граница области есть спрямляемая кривая.
Из этой теоремы следует, что функция, дающая конформное отображение
8*
116
/. Теория функций комплексного переменного
области D, ограниченной спрямляемой кривой Г, на единичный круг, аб-
солютно непрерывна на границе Г и что всякому множеству меры нуль,
лежащему на Г, соответствует множество меры нуль на окружности
μ 1 = 1.
В такой формулировке без количественных оценок, оказывается, имеет
место и обратное предложение. Именно, с одной стороны, Лузиным и При-
валовым [8] и, с другой стороны, Ф. и М. Рис [9], а также Ф. Рисом [10]
была установлена следующая важная теорема:
При конформном отображении области, ограниченной спрямляемой
кривой на другую область того же класса, множеству меры нуль на границе
одной области соответствует множество меры нуль на границе второй
области.
Иными словами, при конформном отображении областей со спрямляе-
мыми границами имеет место инвариантность класса граничных множеств
меры нуль.
Эта теорема играет весьма важную роль при изучении граничных зна-
чений в областях со спрямляемой границей. Но оказывается, что, опираясь
на нее, можно получить также ряд теорем о функциях, мероморфных в кру-
ге. Мы дадим ниже примеры таких приложений.
Имея в виду последнюю теорему, для доказательства теоремы
Ф. и М. Рис—Лузина—Привалова нам достаточно доказать, что при кон-
формном отображении круга | z | < 1 на область D со спрямляемой грани-
цей Г всякое множество меры нуль окружности | z \ = 1 переходит в мно-
жество меры нуль на Г. Пусть z = re^ и s (φ) — длина дуги Г, соответствую-
щей дуге (0, φ) окружности; тогда, очевидно, достаточно установить, что
возрастающая функция s (φ) абсолютно непрерывна.
Обозначим через ξ = / (z) функцию, реализующую конформное отобра-
жение круга на область D. Длина 1Г линии уровня Гг области D, соответст-
вующей кругу | z | = г, выражается формулой
я
4ч = \ |/4«·»)|Λρ.
—π
Учитывая, что последний интеграл возрастает вместе с г и что в силу
леммы (с. 114) 1Г имеет пределом длину I границы Г, заключаем:
π
| /' (rei(v) I dcp <[ Ζ. Полученное неравенство позволяет к функции /' (z)
—π
применить теорему Фату (см. [Н, гл. VII, § 3]), и, следовательно, при
г -vl функция /' (z) имеет почти всюду предельные значения, которые мы
будем обозначать /' (eiQ).
Для доказательства абсолютной непрерывности s (φ) покажем, что
φ
*(<р) = $|/'(*'вЛ<ю.
υ
Обозначим через As длину дуги (As) границы Г, соответствующей дуге
окружности (φ, φ + Δφ)? а через Asr — длину дуги (&sr) линии уровня
Гг, соответствующей дуге (φ, φ + Δφ) окружности \ z \ = г.
На основании замечания к лемме (с. 115) lim Asr = As. Длина дуги
г->1
10. Оценка для относительной гармонической меры
И7
φ+Δφ
(Asr) выражается интегралом Asr = \ \ f (reiQ) \ dQ. Если r-vl, τα
φ
I /' (eiQ) I имеет предел почти всюду, и интеграл, стоящий справа, ограничен
(<7), поэтому, применяя лемму Фату о последовательностях положитель-
ных функций с ограниченными интегралами, заключаем, что функция
| /' (eiQ) I суммируема и Д«> $ | /' (eie) \ сЮ.
Нам надо установить, что здесь имеет место равенство, и для этого, оче-
видно, достаточно теперь показать, что
π
jj !/'(<?«>) |^θ>/. " (б>
—π
Пусть ρ > 1. Функция φρ (z) = у f (z) регулярна внутри круга \ z | < 1,.
так как /' (z) не обращается в нуль. Докажем, что
π π
. lim J \<fp{re*)\de= J |φΡ(^θ)μθ. (7>
r_>1 —π —π
В самом деле, имея в виду, что почти всюду срр (reie) ->φρ (eie), мы мо-
жем найти множество Ε значений Θ, 0 <[ θ < 2π, и число г0, такие, что при
г ]> г0 на Ε имеют место неравенства
I Фр (eiQ) — Фр (г^е) I <С ε и mes ^ ]> 2π — ε. Но тогда при г > г^
|5 |<рр(ге*в)|йв —$ |φ'(β*θ)|^θ| <2πε.
С другой стороны, применяя неравенство Гёльдера, получим
ξ |TP(re*e)|de<(S dQf-1/P(l |/'(re*e)|de)1/p<iW-vp
СЕ СЯ Ci£
и аналогично
J |φρ(^θ)μθ</1/ρε1-1/Ρ;
СЯ
здесь С2? — множество, дополнительное к Ε относительно отрезка [0, 2я]г
Следовательно,
π
I (I Фр («ш) I — ΙΨΡ («ie) I) ^θ < 2πε + 2/i/pei-i/P,
—π
и, так как ε произвольно, это доказывает (7). Имея в виду, что μ (φρ, г) —
возрастающая функция (см. с. 114), из (7) выводим
2π 2π
0 υ
Перейдем в обеих частях этого равенства к пределу при ρ -»- 1. Имея в виду,,
что φρ (eiQ) меньше не зависящей от р, суммируемой функции 1 + I /' (eie) \r
можно перейти к пределу под знаком интеграла (теорема Лебега), тогда
118
/. Теория функций комплексного переменного
π
получим —Zr<^ \ [ /' (eiQ) \ d9, что доказывает неравенство (6) и приведенную
—π
выше теорему.
Заметим, что из существования почти всюду предела /' (reiQ) по нека-
сательным путям следует, что почти всюду на границе отображение обладает
консерватизмом углов.
Доказанная теорема об инвариантности множеств меры нуль при кон-
формном отображении областей со спрямляемой границей позволяет непо-
средственно распространить ряд граничных свойств функций, регулярных
в круге, на случай любой спрямляемой области. В частности, из теоремы
Фату (см. [Н, гл. VII, § 3]) и теорем единственности для ограниченных
функций, доказанных для случая круга, следует:
Функция f (z), регулярная и ограниченная в области D со спрямляемой
границей Г, имеет почти всюду на Г угловые предельные значения. Две огра-
ниченные функции, имеющие одинаковые угловые предельные значения на мно-
жестве положительной меры границы Г, совпадают.
4. О предельных значениях мероморфной функции. Опираясь на дока-
занную теорему Рис—Лузина—Привалова, можно установить ряд теорем
о предельных значениях мероморфной функции в круге или в области са
спрямляемой границей.
Прежде чем к этому перейти, укажем здесь несколько более общую фор-
мулировку принципа гармонической меры для случая круга, отказываясь
от ограничений, налагаемых на дуги αΖ, и от непрерывности функции / (z)
на αΖ. Это предложение было дано Приваловым [11].
Пусть Ε — произвольное множество, лежащее в области G. Внутренней
гармонической мерой множества Ε мы будем называть верхнюю грань гар-
монических мер замкнутых множеств F, содержащихся в Е:
(ut (z, E, D) = sup ω (z, F, G), F CZ E;
тогда имеет место следующее предложение:
Пусть f (z) — функция, ограниченная внутри единичного круга, имеющая
предельные значения в точках множества Щ окружности; множество этих
предельных значений обозначим Е. Если область G содержит все предельные
значения функции f (z) и если f (z) при \ z | <^ 1 лежит вне Е, то внутрен-
няя гармоническая мера Ε в точке / (z) не меньше гармонической меры Щ
в точке z:
wt (f (z), Ε, G) > ω (z, &, | z |< 1).
Если Щ состоит из конечного числа дуг, на которых / (z) непрерывна, то
это предложение есть частный случай принципа гармонической меры.
Сделаем следующее замечание. Если F a G — замкнутое множество,
a Fn — последовательность замкнутых множеств, предельные точки которой
лежат на F, то
ТТгд ω (z0, Fn, G) < ω (z0, F, G).
В самом деле, пусть Δ CZ'G — область, ограниченная конечным числом
дуг Жордана, содержащая F, не содержащая z0 и обладающая следующим
свойством: гармоническая функция h (z), определенная в части G, дополни-
10. Оценка для относительной гармонической мери 119
тельной к Δ, равная нулю на границе G и единице на границе области Δ,
удовлетворяет неравенству h (z0) < ω (z0, F, G),+ ε.
Множество Fn при достаточно большом п будет лежать внутри области
Δ, и поэтому
ω (z0, Fn, G)< h (z0) < ω (z0, F, G) + ε.
Переходя к доказательству теоремы, обозначим через f замкнуто^ мно-
жество, принадлежащее множеству Щ, на котором функция / (z) непрерыв-
на и гармоническая мера которого удовлетворяет неравенству
ω (z0, F, I z |< 1) > ω (z0, ff, | z |< 1) - ε.
Такое множество ψ существует в силу С-свойства измеримых функций [12].
Множество F предельных значений / (z) на f замкнуто и содержится в Е.
Пусть Wn — множество, полученное проектированием f на окружность
I z | = 1 — i/n. Множество Fn значений / (z) на fn при η ->- оо имеет пре-
делом F. Так как / (z) непрерывна на f, на окружностях | z | = 1 — \/п
можно построить системы конечного числа интервалов Δη, содержащие
множества f n' и такие, что множества Ση значений / (z) на Δ„ сходятся
к F. В силу принципа гармонической меры, так как начиная с некоторого
η / (z0) лежит вне Ση, имеем
ω (z0, Δη, Ι z |< 1)< ω (/ (z0), Ση, G).
С другой стороны,
lim inf ω (z0, Δη, | z | < 1 — i/n) > ω (z0, 5", | z | < 1)
П-*сэо
и
lim sup ω (/ (z0), Ση, G) < ω (/, (z0), F, G),
следовательно,
ω (/ (z0), F, G) > ω (z0, Г, | z |< i) > ω (z0, fff |Tz |< 1) - ε,
что доказывает теорему.
Первая теорема, касающаяся множества предельных значений произ-
вольной мероморфной функции, была получена Лузиным и Приваловым
18], которые показали, что две различные мероморфные функции не могут
иметь одинаковых предельных значений на множестве положительной меры
окружности | z | = 1. Привалов [13] показал, что метод доказательства этого
предложения позволяет установить следующую более сильную теорему:
Если w = / (z) — функция, отличная от кочстацты, мероморфная
в единичном круге, имеющая угловые предельные значения на множестве Ег
точек окружности | z | = 1 положительной меры, то множество Еи, этих
предельных значений содержит замкнутое множество положительной гар-
монической меры.
Нам, очевидно, достаточно рассмотреть тот случай, когда множество Ею
не покрывает всю плоскость, так как в противном случае теорема очевидна.
Далее, множество Ег можно считать совершенным, a Ew — замкнутым и
ограниченным. В самом деле, обозначая через а значение, не принадлежащее
к Еш, мы можем вместо функции / (z) рассмотреть функцию 1/(/ (z) — a),
не принимающую значение oof В силу С-свойства мы теперь можем выделить
совершенную часть множества Ez положительной меры, на которой предель-
120
/. Теория функций комплексного переменами
ные значения / (z) непрерывны. Рассматривая вместо Ег это совершенное
множество, в качестве множества значений будем иметь ограниченное зам-
кнутое множество.
Построим для каждой точки z0 множества Ег сектор с центром в точке
z0, ограниченный отрезками лучей, проведенных из точки z0 под углом 45°
к касательной, и дугой окружности радиуса l/η, где η — целое число.
Обозначая через Μ максимум / (z) на множестве Ег, подберем число η =
= η (z0), так, чтобы внутри сектора | / (z) | < 2М.
Функция η (z0) принимает счетное число значений на множестве положи-
тельной меры Ег, поэтому существует такое N, что множество точек Ег,
в которых η (z0) = Ν, имеет положительную меру. Мы выделим совершенное
множество Ρ положительной меры, обладающее этим свойством (п (z0)= N).
Выберем число г > 1 — i/N так, чтобы на окружности | z | = г функция
/ (z) не имела полюсов, и составим область D как сумму области \ z | <^ г
и всех секторов, соответствующих точкам множества Р. Граница области D
будет состоять из совершенного множества Р, отрезков лучей, проведенных
из концов интервалов смежности Ρ под углом 45° к касательной, и из дуг
окружности 1 z | = г. Легко убедиться, что это будет спрямляемая кривая Г.
Функция / (z) ограничена на Г и в области D имеет лишь конечное число
полюсов. Оставляя Г неизменной в окрестности совершенного множества Р,
мы можем ее деформировать таким образом, чтобы область, ограниченная Г,
не содержала полюсов. Тогда в полученной области / (z) будет ограничена.
При конформном отображении внутренности Г на круг множество Ρ перей-
дет в множество Рг положительной меры, лежащее на окружности, а функции
/ (z) — в функцию φ («г), ограниченную внутри круга.
Пусть E'w — множество предельных значений φ (х) на множестве Рг.
Если все значения функции φ (х) при | х \ <^ 1 попадают на Ew, то E'w будет
положительной гармонической меры, так как φ (х) не постоянна и, следова-
тельно, Ew имеет внутренние точки. Если при некотором | х0 | < 1 значение
φ (х0) не принадлежит E'w, то по предыдущей теореме получаем, выбирая
в качестве G круг достаточно большого радиуса:
ω (φ (х0), E'w, G) > ω (x0, Ρ, \ x |< 1) > 0,
т. е. снова убеждаемся, что E'w имеет положительную гармоническую меру.
Так как множество Ew содержится в Ew, это доказывает теорему.
Доказанная теорема может быть также распространена на тот случай,
когда рассматриваются предельные значения только по радиусам. Но в этом
случае приходится требовать, чтобы множество Ег было множеством вто-
рой категории на некоторой дуге окружности и чтобы каждая порция Ег
имела положительную гармоническую меру [13].
Привалов [13] показал, что из доказанной теоремы путем весьма простых
рассуждений можно вывести предложение, содержащее в себе как частный
случай теорему (см. [Н, с. 217]):
Если функция / (z) мероморфна в единичном круге \ z \ < 1 и при \ z \ <
< 1 не принимает значений, принадлежащих к множеству ее угловых пре-
дельных значений, то множество точек окружности \ z \ = 1, в которых у
f (z) есть угловые предельные значения, имеет меру 2π или нуль, смотря по
тому, будет ли функция f (z) ограниченного вида или нет.
10. Оценка для относительной гармонической меры
12f
В самом деле, если функция / (z) имеет предельные значения на множест-
ве Ег точек окружности, то множество Ew ее предельных значений на Е^
содержит ограниченное замкнутое множество положительной гармоничес-
кой меры Fw. По условию теоремы / (z) выпускает множество значений Fw,
и, следовательно (см. [Н, с. 211]) будет функцией ограниченного вида-
В этом случае она имеет предельные значения почти всюду по окружности.
Плеснером [14] была установлена теорема относительно характера пове-
дения мероморфной функции вблизи окружности:
Если функция / (z) мероморфна внутри единичного круга, то окружность
может быть разбита на три множества Ег, Ег, Еъ, обладающие следующими,
свойствами'.
1) mes Еъ = 0;
2) в каждой точке z0 множества Ег функция / (z) приближается к един-
ственному предельному значению по всем путям, не касательным к окруж-
ности | z | = 1;
3) каков бы ни был угол с вершиной в точке z0 множества Е2, совокупность-
предельных значений функции / (z) при приближении z к z0 внутри этого
угла покрывает всю плоскость.
Рассмотрим все квадраты на плоскости с рациональными координатами.
Множество этих квадратов счетно, поэтому мы их можем расположить
в последовательность ΔΧ, Δ2, . . ., Δ^, ...
Допустим, что множество точек, не принадлежащих ни к множеству Е1г
ни к множеству Е2, имеет положительную меру mes E3 ^> 0. Если z0 не при-
надлежит к Е2, то мы можем из этой точки провести два луча внутрь круга
| z | <^ 1 так, чтобы при z -+z0 внутри полученного угла предельные значе-
ния / (z) не покрывали бы всю плоскость. Множество $(z0) этих предельных:
значений замкнуто, поэтому можно найти квадрат Ак, не имеющий общих
точек с $(z0). Теперь внутри угла, соответствующего точке z0, построим
сектор s (z0) с вершиной в точке z0, обладающий следующими свойствами^
1) сектор s (z0) имеет угол при вершине вида π/2η, η — целое;
2) ось сектора s (z0) составляет с радиусом Oz0 угол φ, соизмеримый с π
(пусть pn/q — величина этого угла; мы будем его считать положительным,,
если ось сектора лежит внутри угла, составляемого радиусом с положитель-
ным направлением на окружности и отрицательным в противном случае);.
3) радиус сектора г = 1/иг, где т — целое число (имея в виду, что мно-
жества $ (z0) и Ак не имеют общих точек и замкнуты, а, следовательно, рас-
стояние между ними отлично от нуля, мы можем выбрать число т = т (z0)·
так, чтобы выполнялось условие);
4) внутри сектора s (z0) функция / (z) не принимает значений, лежаших
внутри квадрата Ак.
Через EntmtP9qik обозначим множество точек окружности, не принадле-
жащих к Ελ, которым поставлен в соответствие сектор с углами φ = ρπ/q,.
θ = π/2η и радиусом г = 1/иг и квадрат Ак. Тогда каждая точка множества.
£3 принадлежит к одному из множеств EnimtPiqiJr. Каждый индекс этого мно-
жества пробегает счетное число значений, поэтому совокупность всех мно-
жеств 2?nfm>p>(7>fe счетна. Если mes E3 ^> 0, то по крайней мере одно из мно-
жеств EnmiViqik будет положительной меры. Обозначим его En^w^v^q^y
и пусть Ρ — совершенное множество положительной меры, содержащееся
В ^n0i то, ро'7о»Й"о·
Пусть а — центр квадрата Δ^; δ — длина Akn. .л
422
/. Теория функций комплексного переменного
Рассмотрим функцию ψ (z) = 1/(/ (z) — α). Функция ψ (z) во всех сек-
торах s (z0), соответствующих точкам jP, в силу условия 4 удовлетворяет
неравенству | ψ (z) | < 1/δ.
Пусть r > 1 — 1/m0 выбрано так, что на окружности \ z \ = г функция
f (z) не имеет полюсов. Определим область D как сумму круга \ z \ <^г
и всех секторов s (z0), соответствующих точкам Р.
Граница Г области D состоит из дуг окружности | z | = г, множества Ρ
и отрезков лучей, проведенных под углом—π ТГТГК К0НЦам интервалов
-смежности Ρ с большим аргументом и под углом — π -| i_ K концам интер-
валов смежности с меньшим аргументом.
Легко убедиться, что граница Г спрямляема. В самом деле, длина Г
не превосходит суммы 2гсr + mes Ρ + 2σ7η гДе σ& — периметры подобных
треугольников, основания которых стягивают интервалы смежности мно-
жества Р. Периметры этих треугольников образуют сходящийся ряд, так
как сумма длин их оснований сходится.
Все полюсы функции ψ (z), лежащие внутри D, принадлежат кругу
| z | <^ г, поэтому их число конечно и мы можем так деформировать кривую
Г, оставляя ее неизменной в окрестности Р, чтобы область D не содержала
полюсов ψ (z). Но тогда ψ (z) ограничена в области D и, следовательно,
почти всюду на Г имеет предельные значения по всем некасательным путям.
С другой стороны, mes Ρ > 0, поэтому множество Рг точек Р, в которых
существует касательная к кривой Г, также имеет положительную меру.
Но касательная в точке Ρ к Γ совпадаете касательной к кругу. Сопоставляя
это с существованием почти всюду на Г предельных значений ψ (z), заклю-
чаем, чго на множзствз Р1 можно найти точку z, в которой ψ (z), a следова-
тельно, и f (z) имзют определенное предельное значение по всем некасатель-
ным путям к окружности. Но тогда z1 принадлежит к Е1 и, следовательно,
предположение mes E3 > 0 привело нас к противоречию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. А. О непрерывности однолистных функций в замкнутых областях.—
Докл. АН СССР, 1936, т. 4, № 5, с. 201—210.
2. Caratheodory С. Conformai representation. Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1932. (Рус.
пер.: Kavameodopu К. Конформное отображение/Пер. с англ. М. Келдыша. М.; Л.:
Гостехиздат, 1934. 129 с).
3. Courant R. Über eine Eigenschaft der Abbildungen.— Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttin-
gen, Math.-phys. Kl., 1914, S. 101—107.
4. Courant R. Bemerkung zu meiner Note «Über eine Eigenschaft etc.».— Nachr. Kgl.
Ges. Wiss. Göttingen, Math-phys., KL, 1922, S. 69—70.
5. Rado T. Sur la représentation conforme de domains variables.— Acta sei. math. Szeged,
1923, k. 1, Ν 3, old. 180-186.
•6. Лаврентьев М. А. О некоторых свойствах однолистных функций.— Докл. АН СССР,
1935, т. 1, № 1, с. 1—4.
7. Лаврентьев М. А. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций.—
Мат. сб., 1936, т. 1 (43), вып. 6, с. 815—846.
Я. Luzin N. TV., Privalou I. I. Sur l'unicité et la multiplicité des fonctions analytiques.—
Ann. sei. Ее. Norm. Sup., 1925, vol. 42, Ν 3, p. 143—192.
9. Riesz F., Riesz M. Über die Randwerte einer analytischen Funktion.— In: 4e Congr.
Scand. Math., Stockholm, 19J6: C. r. du quatrième congrès (1916) des mathématiciens
Scandinaves. Uppsala, p. 27—44.
40. Riesz F. Über die Randwerte eines analytischen Funktionen.— Math. Ztschr., 1923,
Bd. 18, H. 1/2, S. 87-95.
11. О замкнутости ортогональных с весом систем полиномов 123
11. Привалов И. И. О предельных значениях аналитических функций.— Докл. АН СССР,
1938, т. 19, № 6, с. 663—666.
Л2. Лузин II. П. Интеграл и тригонометрический ряд.— Мат. сб., 1916, т. 30, вып. 1,
с. 1—242.
13. Привалов И. И. Приложение понятия гармонической меры множества к некоторым
проблемам теории функций.— Мат. сб., 1938, т. 3, (45), № 3, с. 527—534.
14. Plessner Α. Über das Verhalten analytischen Funktionen am Rande ihres Definitionsbe-
reichs.— J. reine und angew. Math., 1927, Bd. 158, S. 219—227.
11
О ЗАМКНУТОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
С ВЕСОМ СИСТЕМ ПОЛИНОМОВ *
1. Пусть D — однолистная и односвязная область в плоскости комплекс-
ного переменного; h (z) — положительная функция в D с конечным инте-
гралом
Цл(г)Лх<оо " (1)
D
и ограниченная снизу на всяком замкнутом подмножестве области. По
•определению, голоморфная внутри D функция / (z) принадлежит к классу
Нр, если конечен интеграл
§h{z)\f(z)\*do. (2)
D
Система всех полиномов комплексного переменного z называется замкнутой
в области D по отношению к весу h (z), если на семействе всех полиномов
Ρ (z) для всякой функции класса HD обращается в нуль нижняя грань
интеграла
- §h(z)\f{z)-P(z)\*d<j. (3)
Если система полиномов замкнута по отношению к весу h (z), то орто-
тональные с весом h (z) полиномы в области (получаемые ортогонализацией
•степеней z) обладают большинством элементарных свойств ортогональных
рядов с весом h (z) = 1; в частности, всякая функция класса HD разлагается
в равномерно сходящийся внутри области ряд ортогональных полиномов.
2. В случае, когда область D есть круг, а вес h (z) равен квадрату моду-
ля аналитической внутри круга функции φ (z), вопрос о замкнутости систе-
мы полиномов рассматривался Шагиняном. Им был получен ряд достаточ-
ных критериев, которым должна удовлетворять функция φ (z) для замкну-
тости системы.
Можно показать, что в круге \ z | <^ 1 существуют веса, равные квадрату
модуля аналитической функции, при которых система полиномов неполна.
В качестве такого веса может быть выбрана функция h (z) =
= |ехр [(z + l)/(z— 1)]|. Отметим здесь еще следующее достаточное условие
для полноты системы полиномов в круге:
* Докл. АН СССР, 1941, τ. 30,'№ 9, с. 771—773.
124
/. Теория функций комплексного переменного
Если вес h (z) сохраняет постоянное значение на всякой окружности-
| z | = с, h (z) = х (I z I), то система полиномов полна в круге \ z | < 1.
Пусть h (z) — вес, заданный в области D; z = φ (ξ) — функция, дающая
конформное отображение круга на область D. Будем говорить, что вес h (z)
удовлетворяет условию А, если в круге | ξ | < 1 система полиномов замкнута
при весе h [φ (ξ)]. В частности, если h (z) сохраняет постоянные значения:
на линиях уровня, h (z) удовлетворяет условию А.
3. Известно, что при h (z) = 1 система полиномов будет полной не во
всякой односвязной области. Например, в области К0, получаемой удале-
нием из круга | z | < 1 радиуса arg z = 0, система полиномов незамкнута.
Имеет место следующее предложение.
Теорема. Во всякой односвязной области можно построить весг
удовлетворяющий условиям п. 1, при котором система полиномов замкнута*
Наметим доказательство.
Пусть ξ = ω (z) — функция, реализующая конформное отображение D
на круг | £ | < 1; Ср — линии уровня | ω (z) \ = ρ; DQ — область, ограни-
ченная линией Ср; р0, р1? . . ., prt, . . . — последовательность чисел, стремя-
щихся к 1. Положим h (z) = αη в области DQn — Dpn_v причем убывающая
последовательность чисел а0 = 1, а1? . . ., ап, . . . строится следующим
образом.
Пусть выбраны числа а0, а1? . . ., ап_ь определим число ап. Для этого-
строим систему полиномов Ρη> 0 (z), Pn, i (2Ь · · ·» Pn,n(z), удовлетворяю-
щую неравенствам
\[<i>(z)]k«>'(z)-Pn,k(z)\*do<.-L, к = 0,1, 2, ... п,
и в качестве αη выбираем наибольшее число, удовлетворяющее неравенствам
J_
2п
ап<аи_ь ап ^ | Рп, к. (z)|2 da <-^ , fc = 0, 1,
Нетрудно усмотреть, что для построенного таким образом веса удовлетво-
ряется условие замкнутости для всех функций вида [ω (z)]feG)' (z):
inf 55 [ [ω (z)]V (z) — Ρ (z) |2A (z) da = 0. (4)
Построенный вес удовлетворяет условию А, поэтому из (4) легко вывести
замкнутость по отношению к любой функции класса HD.
4. В произвольной односвязной области нельзя построить вес, ограни-
ченный снизу во всей области, при котором замкнута система полиномов
во всей области. Следующая теорема дает оценку порядка убывания веса
при приближении к границе, который, вообще говоря, надо иметь для
полноты.
Теорема. Пусть D — произвольная односвязная область. Если вес
h (z) удовлетворяет условию А и
τ . « In In In (1 lh (z)) ^ 0
limJ?—ъш~ >2'
где d — расстояние от точки z до границы области D, то система полиномов
замкнута в Ω при весе h (z).
12. О средних квадратичных приближениях функций комплексного переменного 125
В частности, из этого предложения следует, что при весе
h (z) = exp {—exp [1 — | ω (z) |]"α}, α > 4,
где ω (z) — функция, реализующая отображение D на круг | £ | <^ 1, си-
стема полиномов будет полной.
Следующее предложение показывает, что полученную оценку нельзя
Существенно улучшить.
Теорема. Существует односвязная область, в которой при всяком
еесе, удовлетворяющем условию
,. In In In (1 h (z)) . 0
hmdir ln(lAl) <2'
система полиномов незамкнута.
Пример такого рода области может быть получен удалением из единич-
ного круга спирали ρ = 1 — 1/1η φ, π <; φ <^ οο. Заметим еще, что
в случае области К0 (см. п. 3) для замкнутости достаточно, чтобы вес удов-
летворял условию А и на радиусе arg z = О
liminf falnl"dM*» >t
dJo ln(l/rf) ^lf
а из неравенства
,. lnlnln(l/&(z)) . ,
hm sup . /tv ,4 v " < 1
d_0 F ln(l/d)
следует незамкнутость системы.
12
О СРЕДНИХ КВАДРАТИЧНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЯХ ПОЛИНОМАМИ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО*
i. Рассмотрим в области D плоскости комплексного переменного z ве-
совую функцию h (z), положительную и обладающую ненулевой нижней
гранью в каждой замкнутой подобласти области D. По определению, функ-
ция / (z), аналитическая в области D, принадлежит к классу Я, если интеграл
§h(z)\f(z)fdxdy
D
конечен.
Система полиномов называется полной в области D при весе h (z), если
нижняя грань интеграла
§h(z)\f(z)-P(zy*dxdy
* Мат. сб., 1945, т. 16 (58), № 1, с. 1—18. Излагаемые здесь результаты приведены без
доказательств в [1].
126
/. Теория функций комплексного переменного
на семействе всех полиномов обращается в нуль для каждой функции класса
Η. Если система полиномов полна относительно веса h (z), обычными мето-
дами устанавливается, что всякая функция класса Η может быть разложена
в ряд Фурье по полиномам, ортогональным с весом h (z), причем ряд равно-
мерно сходится во внутренней части D и сходится в среднем с весом h (z)
в области D.
Если h = 1, существуют области, где система полиномов неполна. В ка-
честве примера такой области можно привести единичный круг, из которога
удален радиус arg z = 0. Известно, что при h = 1 система полиномов полна
в областях, граница которых является одновременно границей некоторой
области, содержащей бесконечно удаленную точку. В областях, которые на
принадлежат к этому классу, система полиномов может быть как полна, так
и неполна; это зависит от метрических свойств области. Полное решение
задачи о полноте системы полиномов представляет существенные трудности»
Докажем, что в произвольной односвязной области можно построить
ограниченный сверху вес h (z), при котором система полиномов полна. Такой
вес, вообще говоря, должен убывать, когда точка z приближается к границе
области; потребуем, чтобы
11 fJ?1 ln(l/d(«)) >Z'
где d (z) — расстояние от точки z до границы области. Эта оценка не может
быть улучшена в следующем смысле: существует такая область, что при
всяком весе, удовлетворяющем неравенству
,. lnlnln(l//i(z)) ^0
система полиномов неполна. Приведем пример такой области.
2. Пусть S = ξ (z) — функция, реализующая конформное отображение
области D на единичный круг; z (ξ) — обратная функция.
Будем говорить, что вес h (z) удовлетворяет условию А, если система по-
линомов полна в круге, когда за вес взят h [z (ξ)]. Имеет место следующая
лемма.
Лемма. Если вес удовлетворяет условию А и если для всех функций
[£ (z)]n£' (z) выполнено условие
inf $51 [Z (z)]X (z) - Ρ (*)'[» h (z) do\dy = 0,
то система полиномов полна в области D при весе h (z).
В самом деле, если / (z) принадлежит к классу Д", то функция / [z (£)]x
Xz'(£) принадлежит к классу Н, отвечающему весу h [z (ξ)] в круге |ξ |<^ 1»
Если условие А выполняется, существует полином<2 (£) = ао + #i t + . . ·
. . . + α„ξη, такой, что
Я
A [z (С)] | / [г (ξ)] *' (ξ) - Q (ξ) |2 dl ац < ε,
IfiRi
следовательно,
Й h (*) I / (z) - <? [£ (z)] да |2 Ac «ty < ε.
12. О средних квадратичных приближениях функций комплексного переменного 127
Функция Q [£ (z)] ξ' (z) является суммой членов вида ак [£ (z)]fr£' (z), ко-
торые в силу условий леммы могут быть приближены полиномами в среднем^
с весом h (z). Значит, можно найти полином Ρ (z), такой, что
§h{z)\f{z)-P{z)\*dxdy<:b;
D
следовательно, система полиномов полна в области D при весе h (z). В круге-
| ξ | <^ 1 существуют веса, которые при | £ | -► 1 стремятся к нулю настоль-
ко быстро, насколько требуется, и при которых система полиномов полна.
Это вытекает, например, из следующего предложения:
Если вес h (ξ) постоянен на каждой окружности \ ξ | = р, т. е. h (£) =
= φ (ρ), тогда система полиномов полна в круге \ ξ | <^ 1 при весе h (ξ).
В самом деле, предположим, что / (£) принадлежит к классу Η в круге-
IU<1. Тогда
ffi Ф(Р)|Ш|2«*1<>.
Подставляя в интеграл вместо / (£) ее разложение в ряд Тейлора
f(Z) = a0 + a1t+... +ап? + . . .,
получаем
> °° *
S Л (О I / (ξ) I2 dl <Ζη = 2π 2 Ι α„|2 · $ <P (p) P*" dp < oo.
|£l<i n=o о
Полагая Pn (£) = a0 + α2ξ + . . . + αηξη, получим
oo
55 А(0|/(0-Р„(0|^йл = 2я Σ |^|2-5ф(р)р2п+1йр-
Правая часть равенства стремится к нулю как остаток сходящегося ряда?
следовательно, условие, которое должно быть выполнено, чтобы система
была полной, удовлетворяется.
Для веса в круге, заданного квадратом модуля аналитической функции,
не обращающейся в нуль в круге, ряд достаточных условий полноты систе-
мы полиномов был указан Шагиняном. Можно привести пример аналити-
ческого веса, при котором система полиномов неполна. Таким будет, на-
пример, вес
Л (0 = I ехр [(С + 1)/(Е - 1)] Ι-
Докажем это предложение. Функция / (ξ) = ехр [(1 + £)/2 (1 — £)]
принадлежит к классу Н. Предположим, что существует последовательность
полиномов, для которой
lim 55 МЕ)|/«)-*»(Е)|2«*1 = 0.
П->оо |;|<1
Тогда существует такая постоянная М, что
й h{l)\Pn{l)\*dl-d4<M.
lEKi
128
/. Теория функций комплексного переменного
Внутри круга | £ | < 1 полиномы Рп (£) сходятся к / (£). Оценим полиномы
Ри (£) в точке ξ отрезка 1/2 < ξ <С 1 вещественной^и*: Положим σ + ix =
= (ξ + 1)/(£ — 1), и пусть Са — окружность, σ = const. Эта окружность
касается единичного круга в точке ξ = 1 и проходит через точку ξ = (σ +
+ 1)/(σ — 1). При —1 <[ σ < 0 получаем
(1-ξ)2^(ξ)=^ξ^Τ(1-ξ)2^
Со -^
Вдоль Са имеем
I dE I = Va | 1 - С I1 Л,
-следовательно,
(1-ξ)3|Ρη(ξ)Ι2<^5^η(Ι)Ι2|1-ΕΙ1^.
Умножим обе части неравенства на eGda и проинтегрируем от —1 до 0. Обоз-
начая через D0 луночку, ограниченную окружностями | ξ | = 1 и C_i,
получаем
Do
Принимая во внимание, что
h (ξ) = *?σ, do dx = 11 _ |4 d?0 ^Ло,
находим
следовательно,
IP (tu W e Ψ* mVz
1 nlb)l^\n(i-l) У (1 —ξ)3/2 '
Полученное неравенство несовместимо со сходимостью полиномов Рп (ξ)
к функции /(E)» поскольку на оси ξ имеем
/ (ξ) = ехр [(1 + 1)12 (1 - ξ)].
Таким образом, для этой функции / (£) условие полноты системы полиномов
не может быть выполненным.
3. Доказательство существования для произвольной односвязной обла-
сти веса h (z), при котором система полиномов полна, может быть получено
путем очень простых рассуждений, которые мы здесь приведем, хотя этот
факт вытекает из последующих рассуждений.
Пусть D — односвязная область; ξ (z) — функция, реализующая кон-
формное отображение D на единичный круг; рх, р2, . . ., рп, . . . — последо-
вательность чисел, стремящихся к 1. Обозначим через Ср линию уровня
| ξ (z) | = р, через D9 — область, ограниченную линией Ср. В области Dp
функции [ξ (z)]A£' (z) — аналитические, поэтому можно построить полиномы
12. О средних квадратичных приближениях функций комплексного переменного 129
Ρ nit (z) так> чтобы были выполнены следующие неравенства:
jjjj \im№(*)-Pr*(*)\*dxdy<-L, ft = l, 2, ... ч
Модули функции [ξ (z)l4' (z), Prife (z) суммируемы с квадратом в об-
ласти D, следовательно, можно найти такую положительную постоянную
αη, что будут выполнены неравенства
<*n I) \tt(z)fX'(z)-PnA*)\2dxdy<:±, λ· = 1, 2,...,л.
D-Dp
Определим теперь вес h (z). Пусть в области -DP/H1 — -Dp
h (z) = min (1, αΧ, α2, . . ., αη).
Тогда
+ jj§ «n|E,rS'-PnV|«did.v<4-,
следовательно, последовательность полиномов /\^, Pfr+ijt» . . . сходится
в среднеквадратичном с весом h (z) к функции £*£'. Вес удовлетворяет ус-
ловию А, поскольку он сохраняет постоянные значения на линиях уровня;
значит, в силу леммы, доказанной в п. 2, система полиномов полна относи-
тельно этого веса h (z) в области D.
4. Перейдем теперь к оценке порядка убывания веса в односвязной
области.
Теорема. Если в односвязной области D вес h(z) удовлетворяет усло-
вию А и неравенству
lim inf = iiL^Eii^^ ^ 2, (1)
d-*0 1п(Ш(г)) ^
где d (z) — расстояние от точки z до границы области, то система полино-
мов полна с весом h (z) в области D.
Предположим, что область D содержит начало координат и что круг
| z | <; г полностью лежит вй,а круг | z | <[ R содержит область D. Обо-
значим через Еь множество точек области D, расстояния которых до границы
Г области D по меньшей мере равны 26. Пусть $б — замкнутое множество,
образованное всеми теми связными компонентами е§ множества Еь, площадь
каждой из которых превышает πδ2(1_ε1). Число связных компонент, принад-
лежащих к ё'б, удовлетворяет, очевидно, неравенству
т (в)< i?2/62'i-ei), - (2)
а диаметр каждой компоненты — неравенству
φ Ы > #-*. (3)
Пусть D& — дополнение к множеству $а относительно области D.
Область Оь содержит только те компоненты е'ь множества Е§, площадь ко-
9 М. В. Келдыш. Математика
130
/. Теория функций комплексного переменного
торых не превышает πδ2^-^). Расстояние каждой точки области D$> до гра-
ницы Г области^ не превышает 3δ1_ε». В самом деле, это очевидно для точек
D&, лежащих вне Е&. Если точка D& принадлежит Е&, она содержится в од-
ной из компонент е'ь. Круг с радиусом δ1"8* и центром в этой точке имеет
площадь, которая превышает площадь е&, следовательно, он содержит точку,
лежащую вне е'ь и Е&; вот почему расстояние такой точки D& до Г не пре-
вышает 2δ + δ1"8* < 3δ1"ε1 (δ < 1).
Обозначим через Δβ область, расположенную вне Шь- Пусть G^ (z) —
функция Грина этой области с полюсом в бесконечности и ρ = ехр {—G& (z)}.
Нам нужны некоторые свойства функции Грина.
А. Существует постоянная кг, которая не зависит от δ и такая, что линия
уровня CPl
Pi = 1 — ехр (-fci/δ2) (4)
находится внутри Eq/2.
Доказательство этого свойства опирается на следующую теорему Лав-
рентьева:
Пусть £1? £2 — такие две точки односвязной области В, содержащей
Z, = 0, что каждое сечение В, которое отделяет точки £1? £г от точки
Z, = 0, имеет длину, превышающую d1; тогда при конформном отображении
В на круг, если только ξ = 0 преобразуется в w = 0, получим
| w (&) - w (Ь) | > ехр (-cL4-*),
где с — числовая постоянная; L — диаметр области В [2].
Предположим, что точка z0 лежит вне 2?в/2. Построим односвязную
область Δ (z0), расположенную вне $β, содержащую внешность круга
| z | = R и такую, что каждое простое сечение области Δ (z0), которое от-
деляет z0 от бесконечно удаленной точки, имеет длину, превышающую
δ/4. Для этого проведем кривую 17о, которая соединяет точку z0 с окруж-
ностью | z | = R и, проходит вне Е^/2- Построим также квадратную сетку
со стороной квадратов σ = δ/2]/2 и одной из вершин в точке z0. Пусть
λΖ — ломаная линия, образованная сторонами квадратов этой сетки, сое-
диняющая z0 с | z | = R и расстояние которой от линии lZo не превышает
δ/2. Если Яг0 имеет кратные точки, мы удалим все петли из Х'2й и получим,
таким образом, ломаную λΖο, которая сама себя не пересекает и расстояние
которой от $й по меньшей мере равно δ/2. Область Δ (z0) будет определена
как сумма внешнего круга | z \ ^> R и множества точек, которые находятся
от λΖο на расстоянии, меньшем δ/2. Легко видеть, что Δ (z0) удовлетворяет
всем требуемым условиям.
Пусть GZo (z) — функция Грина области Δ (z0), имеющая полюс в бес-
конечности. Область Δ (z0) содержится в Δ6, следовательно,
Gz0 (z) < G6 (z), p (z0) < ехр {-GZl (z0)}.
Пусть также w (z) — функция, осуществляющая конформное отображе-
ние A(z0) на круг | и; | < 1 и преобразующая z = оо в w = 0. Тогда имеем
. I "> (z0) | = ехр {—GZo (z0)}.
С другой стороны, функция ξ = 1/z преобразует область Δ (z0) в область
1 Под сечением понимаем замкнутую'кривую или же дугу, имеющую начало и конец
на границе В. В последнем случае сечение называется простым.
12. О средних квадратичных приближениях функций комплексного переменного 131
Δς, расположенную внутри круга | ξ | <[ 1/г, и каждое простое сечение
области Δε, которое отделяет точку ξ = i/z0 от начала, имеет длину, превы-
шающую 6/4Д2. Каждое сечение Δς, которое разделяет точку границы Δςτ
соответствующую точке exp {i arg w(z0)} круга | w | = 1, и точку £0 от на-
чала, также будет иметь длину, превышающую 6/4Л2; значит,
1 ~ Ρ (*о) > 1 - I и> Ы I > ехр {-16сЛ4г-25-2}.
Итак, вне 2?б/2 имеем ^
ρ (z0) < 1 — ехр (—Λ^δ'2),
следовательно, линия CPl расположена внутри 2?а/2.
Б. Существует константа /с2, которая не зависит от δ, такая, что в любой
точке границы Δ5 имеем
dGbldv > ехр (-/с2о-2), (5)
где ν — нормаль внутрь области Δβ.
Аналогично тому, как мы строили область Δ (z0), участвующую в дока-
зательстве предыдущего свойства, можно построить для каждой граничной
точки из Δβ односвязную область ΔΧ (z0), расположенную вне #в, содер-
жащую круг | z | > R и круг К6 с радиусом δ/8, который касается #л
в точке z0. Причем его можно построить так, что его полуокружность S&
со средней точкой z0 принадлежит границе Аг (z0), а каждое простое сечение
Аг (z0), отделяющее S& от точки z = 00, будет иметь длину, превышающую
δ/4. Обозначим через Δβ диаметр дуги S^, а через К& полукруг, ограничен-
ный этим диаметром и дугой S& и содержащий точку z0. Реализуем конформ-
ное отображение w (z) области ΔΧ (z0) на круг | w\ <^ 1, которое преобразует
z = оо в w = 0, а точку z0 в w = 1; обозначим через С линию, соответствую-
щую Δ6. Каждое простое сечение, которое отделяет точку z от диаметра Δ&
и точку Zq от точки z = оо, имеет длину, превышающую δ/8. В силу теоремы
Лаврентьева точка w линии С, которая соответствует точке z диаметра Δ6τ
удовлетворяет неравенству
| w — 1 | > ехр {—4Λ1δ~2}.
Обозначим через Kw луночку, принадлежащую кругу \ w | <[ 1, содер-
жащую точку w = 1 и ограниченную окружностью | w \ = 1 и окруж-
ностью, которая к ней ортогональна и проходит через точки e-i(P, ei(P,
где φ = ехр (—4/с1б~2). Предыдущее неравенство показывает, что образ-
полукруга Къ покрывает луночку Kw. Реализуем отображение полукруга
К& на полукруг Im (t) }> 0, | ξ | < 1, таким образом, что дуга S& преоб-
разуется в отрезок —1, 1 вещественной оси, а точка z0 — в £ = 0. Обозна-
чая через zx и z2 концы дуги S&, имеем
1 z — Z\ z0 — Z4
dz \z=zu
ς +1 z — z2 z0 — zi '
Построим еще отображение if^ на полукруг Im (ω) > 1, | ω | < 1, такг
чтобы дуга окружности | w | = 1 преобразовалась в отрезок —1, 1, а точка
iv = \ — в ω = 0:
ω + l =gim *■
^ L=1 ~~ 2 C g 2
9*
132
/. Теория функций комплексного переменноги
Эти соотношения и функция w (z) определяют функцию ξ (ω), которая реа-
лизует отображение полукруга плоскости ω на область, расположенную
внутри полукруга плоскости £, причем диаметр одного из полукругов соот-
ветствует диаметру другого, а точка ω = 0 преобразуется в ξ = 0. Про-
должая ξ (ω) в круг | ω| < 1 и используя неравенство Шварца, получаем
| d £/<2ω l^o <C 1 ·> следовательно,
. * / \ I 8 . φ | if со ] ^4
Подставляя значение φ, находим, если δ достаточно мало,
I *>' ЫI > 4" ехР (~ 4ftl6"2) > ехР (— к^2>>-
Обозначая через GZo функцию Грина области Δ1? получим
б>-^=КЫ|>ехР(-м-2).
dv ^ dv
В. Если CPl и Ср9 — две линии уровня функции G6 (z), расположенные
внутри Еь/2, тогда расстояние d между этими линиями удовлетворяет нера-
венству
d > к, | р2 - Pl |*/«\ (6)
где к3 — постоянная, не зависящая от δ.
Предположим, что рх ^> р2, и пусть zx — точка CPl, a z.2 — точка СР2,
для которых | zx — z2 I = d.
Линия CPl разлагается на несколько замкнутых кривых. Пусть С — одна
из этих кривых, которая содержит точку zx. Диаметр С превышает δ1-8*,
поскольку одна из компонент #б расположена внутри С. Обозначим через
В область, расположенную вне С, через G (z) функцию Грина области В,
имеющую полюсом бесконечно удаленную точку, через w (z) функцию, реа-
лизующую конформное отображение В на единичный круг и такую, что
w (оо) = 0. В силу принципа максимума G (z) превышает функцию Грина
внешности CPl, т. е.
Ge (2) + In ρ! < G (z) = In [1/| w (z) |].
Использование этого неравенства в точке г2 линии уровня CPz дает
Pi — Р2 < 1 — I и> Ы |.
Обозначим через z0 точку линии С, расстояние которой до zx равно
51'Ei/^, и сделаем преобразование ξ = i/(z — z0).
Тогда область В преобразуется в область #ς, не содержащую точки
ξ = оо, а точки z = оо, zx, z2 переходят в ξ = 0, ξ1? ξ2, причем
|Ь|__«_. b-bfr^^-^-g-,
если δ достаточно мало. Применяя к отображению w (z + Ι/ξ) области В^
да круг | w | <^ 1 теорему Лаврентьева, получаем
Pi — Р2 < 1 — | ™ (z2) | <(| w (zi) — w (z2) | <
12. О средних кваоратичных приближениях функций комплексного переменного 133
поскольку d <^ δ. Неравенство (6) немедленно вытекает из полученного
неравенства.
Пусть / (z) — функция, аналитическая внутри линии уровня С9 области
Δδ и Удовлетворяющая внутри С9 неравенству | / (z) \ <С М. Тогда, как
известно, можно найти полином рп (z), удовлетворяющий неравенству
I / (г) - Fn (*)\<С (р\ ёь) Р'п,
где р' < р. Ниже мы будем существенно использовать это неравенство,
только необходимо уточнить, каким образом постоянная С зависит от #б
и р\ f
Докажем следующее предложение:
Пусть f (z) — аналитическая функция на множестве Е^/2, удовлетворяю-
щая неравенству \f(z) | < М. Тогда, если η > ехр (δ2^)"1, существует
полином Рп (z), степень которого не превышает η и который удовлетворяет
на мнсж:стве $δ неравенству
|/(2)_/»„(*)|<ЛГвхр(^-)-[1 —-J-exp( §-)]", (7)
где ft4 — постоянная, которая не зависит ни от п, ни от δ, ни от функции
/(2)·
Рассмотрим функцию Грина G^ (z) области Δδ. Она может быть пред-
ставлена формулой
где Сб — граница Δ^; г — расстояние точки z от s; у — константа Робена
для множества $$. Разобьем каждый из контуров, образующих Сб, на дуги
Δ,. так, чтобы выполнялось соотношение
l.i^<fa=i. (8)
2π J ov n v '
При этом на каждом контуре остается дуга Δ^, такая, что
д0ь „ ^ 1
2лГ
2π J ^ν ^
N
Число дуг Adi не превышает п, а число ду/ Δ : не превышает числа т (δ) —
компонента множества #б. Положим пп (z) = Ц (z — zt), где zt — точка
U)
дуги Δ5.. Степень π„ (z) не превышает п. Оценим отношение у \ πη (z) \l
/ехр (—γ + G§) на линии уровня Ср области Δ6 при
1 - Чг ехр (-М~2) > Ρ > 1 ~ ехр (-к^2). (9)
134
/. Теория функций комплексного переменного
Мы имеем
к6(2)-Т-4-Ь|Яп(2)||<
<ZliH-^lnr-lnrH+Ll-^ S -^inH'
Δ
s.
где r£ = I z — z£ |.
В силу неравенства (6) для точки z, расположенной на Ср,
г>*,|1-р|»^>^!Гвхр(-^г), г{>^ехр(-^),
следовательно, по формуле конечных приращений
|l»,-l.n|<^«,(^).V
Оценим Δς.. Из неравенства (5) и (8) следует
А8{<^ехР(-р-)<2яехр(-й---^)<ехр(-^г)
для достаточно малого δ.
Полученное неравенство показывает, что при достаточно малом δ
| In г — In г£ | < ехр (—1/3δ2+ε*)·
Легко также найти, что на линии Ср
| In г |< Λ5/δ2,
где &5 не зависит от δ. Последние оценки доказывают, что, принимая во
внимание (2), имеем
Поскольку G& (z) = —In p, получаем
(10)
Чтобы получить полином Рп (z), удовлетворяющий неравенству (7),
построим интерполяционный полином Лагранжа, который принимает
в точках zt значения / (zt). Чтобы оценить приближение, воспользуемся
формулой Эрмита для остатка
где Гб — граница множества Еь/2.
Ь2п
ч
12. О средних квадратичных приближениях функций комплексного переменного 135
Положим "
Рх = 1 — ехр (—Λ^δ"2), ρ2 = 1 — V2exp (—kfi'^y.
Как было доказано ранее, линия уровня СР1 расположена внутри мно-
жества Еь/2.
Оценим разность (11) на линии уровня СРа. На линии С9г будет
IM«)I<-^[i + Mxp(-^)J\
Контур Γβ расположен вне CPl, функция lnn {t)]"1 — регулярная вне CPl?
следовательно, из (10) вытекает, что на Гб имеем
11±Г) | < ехр (- пу) p?[l + К ехр (- -~^j J.
В силу неравенства (6), когда точка z расположена на СР2, a t — на Гб,
имеем
|«-*|>*.|p.-pi|V«.>-^rexp(-^).
В силу предыдущих неравенств внутри СР2, и в частности на $б» будет
l/«-'.WI<*3*-«p(£)[1 + *.«р (-£*)Г (£) V г..
(12)
Остается оценить длину Гб. В силу конструкции Е& можно в любой точке
Гб построить круг радиуса б, касающийся Гб снаружи, а центр которого
находится на границе области D. Отсюда следует, что два отрезка длины б,
взятые на внешних нормалях в двух различных точках области, не имеют
внутренней точки пересечения, значит, (δ/2)· дл. Гб не превышает площади
области D и, следовательно, дл. Гб <С 2яЛ2/б.
Принимая во внимание выбор значений рх и р^, а также полученную
оценку Гб, нетрудно вывести из (12), что существует не зависящая от δ
и η постоянная &4, такая, что на $ь выполняется неравенство (7).
Перейдем теперь к доказательству теоремы, сформулированной в начале
этого пункта. В силу (1) можно найти такие константы /сие, что
AlzXfcexpf-exp^-^]. ,. (13)
Пусть ξ (z), £ (0) = 0 — конформное отображение области D на круг
| ξ I <С 1· Так как согласно гипотезе h (z) удовлетворяет условию А, в силу
леммы п. 2 достаточно установить полноту многочленов для функций вида
f(z) = [Z(z)H'(z). (14)
Функция ξ (z) отображает круг (радиуса б) с центром в точке контура Γβ
множества ЕЬ/2 внутрь единичного круга; таким образом, на Гб получаем
К (z) |< 1/6, | / (г) |< 1/6. (15)
136
/. Теория функций комплексного переменного
Пусть Рп (z) — полином, удовлетворяющий (7) и имеющий степень
w=[exp^ir] + 1' (16)
где [х] означает целую часть х. Оценим уклонение
μΛ = SS Л I / — ^РЛ И ^я: ^У = SS Л I / — ^^ Iя Лж: dy Ч- SJ А | / — />Л |» Ля: di/.
d h D6
Принимая во внимание (15) и (16), выводим из (7):
"β
X$$M*(ty<exp[]n-J- + A LexpJ-l^-il-jjx
X ^hdxdy<Ccexv[— exp^JL_)],
где с — постоянная, которая не зависит от б, значит,
lim$$A|/— Pn\*dxdy = 0.
Оценим теперь часть интеграла по области Dg. В силу неравенства Мин-
ковского
[^ h\f-Pn\* dxdyf < [J f h I /1» dxdyf + [J J h | Pn ρ dxdy]'2.
Первый член правой части неравенства не превышает площади образа
Оь в круге, а, значит, стремится к нулю с δ. Остается доказать, что второй
член стремится к нулю. Оценим максимум | Рп (z) \ в области Db.
Область Оь лежит внутри круга \ z | <^ R, который является линией
уровня Ср для внешности круга | z | <[ г при ρ = r/R. Этот последний круг
содержится в множестве Щ^% поэтому-то линия уровня Сг/н дополнения
к $ь содержит круг | z | <[ i?, а значит, и область D. На $ь при достаточно
малом 6 получаем | Рп (z) | <[ 2/0.
Следовательно, в силу известного обобщения теоремы Бернштейна внут-
ри Cr/h, а значит, в области D, имеем
1^«1<т(тГ- <17>
С другой стороны, как было установлено, расстояние от некоторой точки
области D(, до границы D не превышает 3δ1-ε», значит (см. формулу (13)),
в Db
h (z)<k exp [-exp 6Д'К.^ ]
12. О средних квадратичных приближениях функций комплексного переменного 137
и, следовательно,
J jj h (z) 11\ (z) ,'· dxdy < 4 (τ-)2" exP I" exP 3e'-16-<1-eiH2+e>j · jj J dxdy <
Об ^β
< exp |^ In -p + 2 In — exp — - exp ^.^ he) J .
Возьмем εΧ и ε2 таким образом, чтобы 2 + ε2 <^ (1 — εΧ)(2 + ε); тогда
lim JJ h\Pn\2dxdy = 0,
откуда следует lim μη = О, что доказывает сформулированную теорему.
Учитывая теорему этого пункта, можно указать конкретный пример
веса, при котором система полиномов полна; таков, например, вес
h (z) = exp — exp —- Ι,
где ε — произвольное положительное число. Действительно, h сохраняет
постоянные значения на линиях уровня области D, следовательно, он удов-
летворяет условию А. С другой стороны, в силу упомянутой выше теоремы
Лаврентьева в точке z, расстояние которой до границы D равно d, получаем
1- |C(Z)|<c/d,
значит, h удовлетворяет условиям теоремы этого пункта.
5. Докажем теперь следующее предложение:
Существует такая ограниченная односвязная область, что при каждом-
весе h (z), удовлетворяющем неравенству
τ In In 1п(1/Д (z)) ^0 /1Q4
l3?4up ИД.» <2' (18)
еде d — расстояние от точки z до границы D, система полиномов неполна.
Докажем, что область D, которая получается путем удаления из единич-
ного круга спирали
г = ехр (—1/1п θ), θ > 2π + 1, (19)
обладает этим свойством.
Для того чтобы доказать, что если вес удовлетворяет неравенству (18)г
то система полиномов неполна, достаточно установить, что семейство поли-
номов, удовлетворяющее неравенству
§h\P\2dxdy<M, (20)
является нормальным в круге | z\ <Г 1. В самом деле, в этом случае после-
довательность полиномов, которая сходится в среднем к определенной
функции / (z) класса Я, будет удовлетворять условию (20), а так как она
сходится в Z), тогда в силу того, что она является нормальной, она должна
будет сходиться к аналитической функции во всем круге \ z \ <^ 1.
138 J [. Теория функций комплексного переменного
Класс Η содержит функции, нерегулярные в круге \ z | < 1, поскольку
функция / (z) = Y(z — z0), где z0 — точка линии (19), принадлежит к
классу Н, следовательно, система полиномов неполна при таком весе h.
Так как внутри D вес h ограничен снизу, из (20) немедленно вытекает,
что полиномы Ρ (z) равномерно ограничены в окрестности каждой точки
круга \ z | < 1, расположенной внутри D. Для того чтобы доказать, что
семейство {Р (z)} является нормальным, нужно еще доказать, что полиномы,
удовлетворяющие неравенству (20), являются равномерно ограниченными
в окрестности каждой точки линии (19).
Из (18) следует, что существуют постоянные ft и ε, при которых
A (z) > ft exp [—exp (d-&-*)]. (21)
Преобразование
C = —ilnz (22)
ставит в соответствие линии (19) линию
η = 1/ln ξ, ξ>2π + 1, (23)
плоскости ξ = ξ + ir]. Обозначим через Са линию, образованную дугами
и дугой окружности, касающейся этих дуг в точках с абсциссами ξ = 2π + 1
и расположенной слева от прямой ξ = 2π + 1. Пусть Аа — область, огра-
ниченная линией Са и содержащая дугу (23). Если а достаточно мало, функ-
ция, обратная к (22), отображает Δα однолистно на область Da, которая
содержится в единичном круге и содержит линию (19), расстояние которой
до точки z = 0 превышает а. Это будет иметь место, например, при а <^
<^ а0 = 8i/12.
Определим в области Δαο функции
■ n(C) = i[i(S)], A1(S)=A[z(S)]-|2'(S)l*. (24)
Принимая во внимание, что в Daa производная z' ограничена снизу и свер-
ху, заключаем, что существуют постоянные fti и с1? такие, что при а0/2 <^
<; а ^ а0 на линии уровня Са имеет место неравенство
К (£) > *i exp [—exp (ci£G+ei> (2"ε>)] > kx exp [—exp (cj"/*)] (25)
при εΧ <[ ε/4.
Для того чтобы доказать, что семейство полиномов Ρ (z) ограничено
в окрестности каждой точки линии (19), нужно установить, что семейство
-функций Π (ξ), голоморфных в области Δαο и удовлетворяющих нера-
венству
$$|П(Е)|»М9($с1т|<М, (26)
является равномерно ограниченным в окрестности любой точки линии (23).
Рассмотрим функцию
<p(S) = ехр[ехр(-1/ВД] (27)
12. О средних квадратичных приближениях функций комплексного переменного 139
Легко видеть, что в области Δ(Χο имеем
| φ (ξ) Ι > ехр [ехр (| - с)2], (28)
где с — постоянная. Оценим Π (ξ) в точке £0» расположенной в области
Δαο/2» отстоящей от границы Δαο/2 на расстоянии, превышающем δ2. Пусть
w = ωα (£, ξ0) — функция, реализующая конформное отображение Δα
на круг | w | < 1 и такая, что точка ξ = £0 преобразуется в w = 0. Тогда
лри а0/2 <^ α ^ α0 в силу формулы Грина
следовательно, интегрируя обе стороны равенства по параметру а от а0/2 до
я0, находим
"■«w-^SStS-i**»'^^
где s — длина линии Са\ Δ — область, которая содержится между линиями
Са0 и Са0/2-
Легко подобрать постоянную к2 таким образом, чтобы
)d(s, а)/д(1, η) |<*Д1+е'.
Оценим | ω' (ξ, ξο) Ι· Β каждой точке ξ линии Са можно построить круг
К^ радиуса 1, который касается Аа снаружи. В силу принципа Монтеля,
когда внешность К^ отображается на круг | w | < 1 так, что точка £0 пере-
ходит в w = 0, производная в точке ξ превышает | ωα (£, £0) I· Учитывая,
что расстояние от £0 до £ не меньше δ, заключаем, что в точках окружно-
сти К^ при отбражении на круг | w | < 1 производная не превышает 2/δ + 1
и, значит,
Ι ω; (ξ, Ь,) |< 2/δ + 1 < 3/β.
Используя (28) и полученные оценки, находим
iп «») I2 < ^У *» S SIп ® I2 ехр [~ ехр $ - с>2]
6?ξ6?η ^
Δ
< 3fe2 1 φ (ξπ) Ι Ρ Г йх g) I π (П I2 ехр fexp (^ξ2"8/2) - ехр (ξ - с)2] ^ ,
Δ *
а так как последний множитель ограничен в области Δ некоторой постоян-
ной &з, получаем
\ит\\*<г Зк*кз ΙΦ (Со) I
Это неравенство показывает, что в окрестности каждой точки кривой
(23) функции Π (ξ) ограничены, откуда следует, что семейство {Р (z)} нор-
мально в круге \ z | < 1.
6. Заметим, что если рассматриваются некоторые частные классы об-
ластей, тогда порядок убывания веса, который позволяет утверждать, что
система полиномов полна при таком весе, может быть понижен по сравнению
с тем, что был приведен в п. 4. Например, для области К0, получающейся
140
/. Теория функций комплексного переменного
удалением из круга | z | < 1 радиуса arg z = 0, можно доказать, что система
полиномов с весом h (z) будет полна, если h (z) удовлетворяет условию А
и неравенству
d_0 ln(l/d(z)) ^
где d (z) — расстояние от точки z до радиуса arg z = 0.
Доказательство этого предложения почти то же, что и доказательство тео-
ремы п. 4. только в оценке функции Грина для внешности множества #<у
нужно вместо использования теоремы Лаврентьева построить более точную·
оценку для линий уровня, которую можно получить совершенно элементар-
но. А именно, в этом случае внутри Е&/2 лежит линия уровня Ср при ρ =
= 1 _ е-№ш
Аналогичным образом нужно модифицировать оценку нормальной произ-
водной функции Грина.
Столь же легко доказать, что если вес h (z) удовлетворяет неравенству
,. 1η1η1η(1//φ)) . Л
limsup . , \, \ " < 1,
система полиномов неполна в области К0. Можно также рассмотреть другие
частные области и другие классы областей.
Заметим еще, что доказательство теоремы п. 4 может быть повторено без.
всяких изменений для доказательства следующего предложения:
Пусть О — ограниченное открытое множество, образованное счетным
числом областей Dx, D2, . . ., Dn, . . ., a f (z) — функция, определенная на О
и совпадающая с аналитической функцией /n (z) в каждой области Dn. Если
вес h (z), определенный на О, удовлетворяет неравенству (1), где d (z) — рас-
стояние от точки z до границы О, и если
s
h(z)\f(z)\2dxdy<
о
тогда существует последовательность полиномов Рп (z), такая, что
lim Ц h (z) J / (z) — Pn (z) |2 dxdy = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Келдыш М. В. О замкнутости ортогональных с весом систем полиномов.— Наст. кн.г
ст. 11.
2. Лаврентьев М. А. О непрерывности функций, унивалентныу в замкнутых областях.—
Докл. АН СССР, 1936, т. 4, № 5, с. 225-226.
13. О приближении голоморфных функций целыми функциями 141
13
О ПРИБЛИЖЕНИИ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ*
1°. Известно, что непрерывная функция / (z), определенная на жорда-
новой линии С без кратных точек, начинающейся и оканчивающейся в бес-
конечности, может быть приближена целой функцией G (z) так, чтобы на
линии С
| / (2) -G(Z) |< 8(| Ζ |),
где ε (t) — произвольная положительная функция, имеющая отличную от
нуля нижнюю грань в каждом конечном интервале и убывающая как угод-
но быстро при t —►■ оо. Этот результат был установлен Карлеманом для слу-
чая спрямляемой жордановой линии [1] и переносится на произвольную жор-
„данову линию [2]. В настоящей заметке рассматривается приближение це-
лыми функциями голоморфных функций в областях с бесконечно удаленной
граничной точкой и устанавливается ряд теорем о возможном порядке убы-
вания уклонения при \ z \ —►■ оо, а также ряд теорем о росте приближающей
целой функции.
2°. Рассматривая приближение целыми функциями функций, голоморф-
ных в областях с жордановой границей, непрерывных вплоть до контура,
можно установить следующие предложения.
Теорема 1. Пусть С — кривая Жордана без кратных точек, начи-
нающаяся и оканчивающаяся в бесконечности-, D — область, ограниченная
.линией С; f (z) — голоморфная в области D функция, непрерывная на D -\- С
{исключая бесконечно удаленную точку). Каковы бы ни были положительные ε
и η, существует целая функция G (z), удовлетворяющая неравенству
\f(z)-G(z)\<B ехр (- | z |V*-n) < (1)
в замкнутой области D. При этом существует область рассматриваемого
типа и голоморфная в ней функция f (z), при которых теорема не имеет места,
#сли правую часть неравенства (1) заменить любой убывающей функцией
"Ψ (Ι Ζ \)·> для которой
,. . е In ψ (t)
lim inf —■—■- = — оо,
а также при ψ (t) = ехр (— af!*), a ^> 0.
В различных частных классах областей можно осуществить приближение
дел ой функцией так, чтобы уклонение более быстро убывало на бесконеч-
ности.
Теорема 2. Если область типа, рассмотренного в теореме 1, лежит
внутри угла | ag z | ^ а/2, / (z) — голоморфная в D функция, непрерывная
на D + С (исключая бесконечную точку), то при любых положительных ε
и η можно построить целую функцию G (z), удовлетворяющую неравенству
\f(z)-G(z)\<E ехр {-ехр ^ - η)1η*1}. (2)
* Докл. АН СССР, 1945, т. 47, № 4, с. 243-245.
142
I. Теория функций комплексного переменного
Для функций, определенных в угле, теорема не имеет места, если правую часть
неравенства заменить убывающей функцией, для которой
Л. . » In ψ (О
t—>оо I
а также при ψ (t) = exp (— atn/a), a ]> 0.
Теорема 3. Пусть D — область, лежащая в полосе \ у | <^ π/2, огра-
ниченная линиями Жордана, идущими из —оо в +оо; / (z) голоморфна в Z>
и непрерывна на D -\- С {за исключением бесконечно удаленных точек). При-
любых ε и η можно построить целую функцию, удовлетворяющую неравен-
ству
| / (z) - G (z) |< ε exp {- ехр[(1 - η)| z |]}, (3>
причем для функций, определенных в полосе, теорема не имеет места, если
правую часть неравенства заменить убывающей функцией, для которой
τ . , In ψ (О
liminf ^f-^==— оо,
f-><x> e
а также при ψ (t) = exp (— аех), а ^> 0.
3°. Для функций, аналитических в замкнутых областях (исключая бес-
конечную точку), можно в ряде случаев установить, как можно ограничить
рост приближающей функции в зависимости от роста голоморфной функции
/ (z) и быстроты убывания уклонения. Будем обозначать через Μ (г) макси-
мум модуля функции/ (z) в точках области!), лежащих внутри круга | z | <i rr
и через SR (г) максимум модуля целой функции в круге | z \ <[ г. Тогда имеют
место следующие предложения.
Теорема 4. Пусть f (z) голоморфна в угле | arg z | < α/2; число ρ·
удовлетворяет неравенству 0 <^ ρ <^ π/α; ε и δ — произвольные положитель-
ные числа. Существует целая функция, удовлетворяющая неравенству
| / (г) - G {z) |< ε exp (- | z |p) (4)·
в угле | arg z | <^ а/2 — δ, максимум модуля которой удовлетворяет нера-
венству
1п9)?^)<(1 -fr)2Jt-a
„ , 7 ip + ln+
К + Л max —
(i+O
,2π-α J
где k — константа, зависящая от δ, а К — константа, зависящая от ε-
и δ. Можно построить также целую функцию, удовлетворяющую неравен-
ству (4), рост которой ограничен неравенством
In Я? (г) < (г + 6)* [if + /с (г + 6)р + А 1п+ Μ (г + δ)],
где %— большее из чисел 2, π/(2π — а).
Отметим одно следствие этой теоремы: если в угле | arg z | <^ а/2 функция·.
/ (z) такова, что
,. In In Μ (г) /ς\
limsup i—i-i- = v, (ol·
13. О приближении голоморфных функций целыми функциями 143
то при 0 <; ρ ^ π/а можно построить целую функцию, удовлетворяющую-
в угле | argz| <^ α/2 — δ неравенству (4), порядок которой не превышает
большего из чисел ν, ρ, π/(2π — α), причем указанная граница для порядка
не может быть понижена.
Теорема 5. Пусть f (z) голоморфна в полосе \ у \ ^ π/2; ε и δ — произ-
вольные положительные числа. Существует целая функция, удовлетворяю-
щая неравенству
\f(z)-G{z)\<vr\'\ (6)
такая, что
In 9)t (г) < (1 + г (1п+г)2) [К + k ln+r + к (г 1п+г)р +
. + к \п+М (кг \п+г + к)],
где к — константа, зависящая от г, а К — от гиб. Можно также пост-
роить целую функцию, удовлетворяющую (6), так, что ее рост ограничен не-
равенством
In 3R (г) < (г + δ)2 [К + k (r + δ)2 + k ln+M (г + δ)].
Из этой теоремы вытекает следующее следствие: если голоморфная в по-
лосе | у | <^ π/2 функция / (z) удовлетворяет условию (5), то существует це-
лая функция, удовлетворяющая неравенству (6), порядок которой не выше
большего из чисел ρ + 1, ν + 1. Указанная граница для порядка не может
быть понижена.
Теорема 6. Пусть f (z) голоморфна в полосе \ у \ ^ π/2; ей δ — произ-
вольные положительные числа. Существует целая функция, удовлетворяющая
неравенству
\f(z) — G(z) |<eexp (- exp \ z\)
в полосе I y\| '^ π/2 — δ, рост которой ограничен неравенством
1п9» (г) < К №1+^г + (г + δ)2 Ы+М (г + δ)].
4°. Если / (х)—функция действительного переменного, имеющая пер-
вую производную, то можно дать оценку роста приближающей целой функ-
ции в зависимости от роста ее производной и убывания уклонения на беско-
нечности. Мы отметим здесь только один частный результат.
Теорема 7. Пусть f (х) определена при —оо < х <оо и μ (£) —
максимум | f(x)\ при \ х | < t. Если
limsup —, ; ' = ν,
то существует целая функция порядка не выше ν + 1, удовлетворяющая
неравенству \ f (х) — G (х) | < ε, где ε — любое положительное число. Ука-
занный порядок роста G (х) не может быть понижен.]
ЛИТЕРАТУРА
1. Carleman Т. Sur un Theoreme de Weierstrass.—Ark. mat., astron. och fis., 1927, bd 20r
N 4, s. 1—5.
2. Келдыш Μ. В., Лаврентьев М. А. Об одной задаче Карлемана.— Наст, кн., ст. 7.
144
I. Теория функций комплексного переменного
14
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ*
Совместно с И. И. Ибрагимовым,
1. Пусть / (z) — целая функция, а
я1? а2> · · ч ani · · · (1)
— последовательность узлов интерполяции. Обозначим через Μ (г) макси-
мум модуля целой функции Μ (г) = max \ f (z) |, через η (г) число узлов ин-
\г\<г
терполяции, лежащих в круге | z \ <^ г. Легко установить, что при любом Θ,
удовлетворяющем неравенству 0 < θ < 1/2, существует константа С (Θ),
такая, что из неравенства
η (Θγ) > С (θ) In M {r) (2)
вытекает равномерная сходимость интерполяционного ряда Ньютона к функ-
ции / (z). Мы установим, что при θ ]> 1/2 аналогичное предложение не имеет
места уже в классе функций бесконечного порядка, удовлетворяющих не-
равенству
1η Μ (г) < exp (In r)l+e + С,
где ε — произвольно малое положительное число. В случае функций ко-
нечного порядка известны условия сходимости ряда Ньютона более точные,
чем условие (2) *. Условия сходимости ряда Ньютона более узки, чем усло-
вия единственности целой функции по ее значениям в точках α1? α2, · · ·
. . ., αη, . . . Например,] единственность имеет место в случае выполнения
неравенства
~^n(Qr)>C (θ) In Μ (г), 0<θ<1, (3)
Мы указываем процесс интерполяции, сходящийся к целой функции при ус-
ловиях, весьма близких к условиям единственности, и в частности при вы-
полнении неравенства (3) 2.
2. Теорема 1. Если последовательность узлов интерполяции аи
а2, . . ., ап, . . . и целая функция f (z) удовлетворяют неравенству
η (Θγ) > С (θ) In M (r) (4)
при
0<θ<-2~> С(в)> 1η[(1-«),θ] '
то интерполяционный ряд Ньютона сходится равномерно к функции f {z)m
* Мат. сб., 1947, т. 20(62), № 2, с. 283—290.
1 См., например, Gelfond A. Sur le developpement des fonctions entieres d'ordre fini en
serie d'interpolation de Newton.— Atti Accad. naz. Lincei, Mem. CI. sci., mat. e natur.
Sez. 1, 1930, vol. 11, p. 377—381.
2 Интерполяционные ряды, обладающие такими свойствами, строились для функций
первого порядка А. Гельфондом.
14. Об интерполяции целых функций
145
Предположим, что
! «1 К \<h I <· · ·>
и пусть sn (z) — сумма η первых членов ряда Ньютона:
гп (z) = f (z) — sn (z).
Пусть I z | <^ p, где ρ — произвольное фиксированное положительное чис-
ло. При достаточно большом η можно положить
η
'»w=-sr S -Ч ·
кн-Ы. П«-«*ХС-«) '
6 i=l
^ ΚΙ+ρ е /, _p_V
^ Ι-„|/β-|«ηΙ "" !-θ Γ ki;'
Отсюда, используя неравенство
t< _ki+p
получим
β —
Ι η I
и в силу неравенства (4)
|rnW|<erp{»[_la^^ + ^+ln(i+^)]}1?l^.
Коэффициент при га в аргументе экспоненты имеет пределом отрицательную
величину
— In—д— +
θ ^ С (θ) '
и поэтому остаточный член rn (z) стремится к нулю.
3. Теорема 2. Каково бы ни было число Θ, удовлетворяющее неравен-
ству Χ/2<^θ<[1, и положительное число ε, существует целая функция,
модуль максимума которой удовлетворяет неравенству
1η Μ (г) < exp (In r)1+e + С, (5)
и последовательность узлов интерполяции, удовлетворяющая условию
τ n(Qr) /βν
• lz-bam=°°' (6>
такие, что ряд Ньютона для функции f (z) расходится.
10 Μ. В. Келдыш. Математика
146
/. Теория функций комплексного переменного
Обозначим через ΘΧ число, удовлетворяющее неравенству
1/2 < ΘΧ < /Θ72,
и пусть
«η = «* = (θ/θα)* (7)
при 2<'-1,1+η < « <! 2i£ltn. Определим целую функцию рядом
/(Ζ)=2Λ^+1 Π^-α/Λ (8)
fc=l 3=1
где
vj = 2i1+\ n, = /vbl. (10)
Прежде всего установим, что функция / (z) и точки ап удовлетворяют ус-
ловиям (5) и (6). Оценим | / (z) | при
а* < θ | z I < а*+1.| (11)
Обозначая через щ (г) общий член ряда (8), докажем для | z | !> aj+i/θ не-
равенство
l»i-i(*)l<-Trl»i(*)l· (12>
В самом деле, при θ | z \ ^> aj+i функция Uj (z) не имеет нулей и степень
Uj (z) выше степени и^г (z), поэтому при θ | z | ^> o&j+i
Uj-Az) I
<; max
"j-1 (*)
-jW
Mj(2) I "9|2|=aj+1
max | Mj-1 (z) |
6|2|=aj+1
min | и. (z) |
e|z|=aj+1 '
Тогда в силу (7) и (9) имеем
MJW I [(ΘΑ)2-!]^1 ^ ' '
откуда следует неравенство (12), если учесть, что
U — 1) ν^ — 2лг,_! = (7 — 1)(20"-1)1+η — 2 - 2<'-«1+η) > 1.
Докажем теперь, что при достаточно большом j в круге θ | z | < aJfl выпол-
няется неравенство
I и/и W/в/ W I < V2. (13)
В самом деле, функция и;Ч1 (z)/k7· (z) регулярна в круге θ | z | < otj+lt
следовательно, в этом круге;
14. Об интерполяции целых функций
147
Mj+iW
Uj (2)
" вм^+1|"*(,)| ^<«ж,е)"г»
<(trfl^(^+ovL3(Ayr.
откуда при достаточно большом у очевидно вытекает неравенство (13).
Применяя неравенства (12) и (13), получим оценку | / (z) | в круге
θ | z I < afc+i при достаточно большом А:
оо
!/(*)Ι<*'(-^)<Σ max lBjWI<Trr max l^(2)l =
, v 2nr.+l fc—1 , x V.
= ^Α^Γ Π ^ + <, <
2Θ - θ! «fc+i
θ - ΘΧ θ Χ
fr-1
дч-η
*-l - , лО. , .2 j=l
*н[.№(4-+4-)]<-»[»(тГТ <
j—1
^ 29-θ! /39 \(fe+D2-2(^)1+T1 ,,.
^ 9(9-90 V 9i У ' * '
Чтобы доказать неравенство (5), заметим, что при z, удовлетворяющем
неравенству (11), имеем
In | z I > In ak — In θ = k In (θ/θ^ — In Θ,
поэтому в силу (14)
/ In I z I - In θ \1+η
ln\f(z\^\n 3Θ M"l'l-lnM2 ο1 '"β"1""' ' ■ in 2Θ~Θ1
An I / (^; I <C in -g— ^- ln 0 _ ln 0i j ·Δ +ln e_bi .
Если η выбрано так, что η < ε, можно найти константу С, для которой
In \f(z) |<exp(ln|z|)1+s + C.
Покажем, что условие (6) выполняется. Если z удовлетворяет неравен-
ству (11), то
M(\z \) < Μ (αΜ/β)
и
η (θ ! z !) = η (ak) = 2 + 221+η + . . . + 2*Ι+1 > 2*1+η.
Применяя неравенство (14), получим ^j
T^L> *■* [(* + 1Л2*-»'+-Ча-21 + ,„ ;£=ir]- ,
что доказывает (6), так как правая часть стремится к оо вместе с к.
Остается еще установить расходимость интерполяционного ряда. Пусть
Π «ДО/(О л
Pk = rVl+... +νλ._1+»Λ (0) = ± -^г- \ —^
ft-l
10*
148
I. Теория функций комплексного переменного
— остаточный член ряда Ньютона для суммы порядка ν2 + ν2 + ...
...+ Vfc_i + щ в начале координат. При / < к член uj (z) ряда (8) представ-
ляет собой полином степени ниже vx + v2 + . . . + vfe_i + щ и поэтому
часть остаточного члена, соответствующая Uj (z), при j <^k равна нулю.
При ]^>к члены ряда Uj(z) также не влияют на величину остаточного
члена ρ^, потому что функция
,Чф- Π («-«/'(«-<*»)"*!
голоморфна в" круге | t | <[ ак/в и, следовательно, не влияет на величину
интеграла. В силу этих причин остаток р^ может быть записан в виде
, 1 ТТ v. *,, f Μ') dt
Ъ Π(*-α/'(*-αΛΓ*+1
Τ" i=i J
= ±■53" Π «^^» \ »-,)-^ =
Подставляя сюда значения Л^, afe и применяя формулу Стирлинга, полу-
чим
ft-l
, = ±171гП^(^-),"Р9,ГЧ1+е1),
Pi-
Ι/ κπ. .
где εΛ. стремится к нулю при возрастании &. По определению, числа 9Ь 2e2^> 1,
следовательно, рк —►- с» и ряд Ньютона расходится.
4. Известно, что целая функция определяется единственным образом по
своим значениям в точках an, если ее максимум модуля Μ (г) удовлетворяет
неравенству
η (Θγ) > с In ΛΤ (г) (15)
при 0 < θ < 1, с > 1/1η (1/Θ). Более точное условие единственности может
быть записано в виде · -
и^Г-ети">1' (16>
где iV (r) — функция Неванлинны, определяемая равенством
"и-Е'-та-^· (17>
|ая|<г О
Заметим, что если выполнено условие (15), можно выбрать число ΘΧ, такое,
что θ < ΘΧ < 1 и удовлетворяется неравенство
Л^(01г)/1пМ"(г)>1. (18)
14. Об интерполяции целых функций
141)
В самом деле, из (17) вытекает
Ьг
откуда на основании (15) находим
ΛΓ(θΙΓ) 1η(θ!/θ) .
In Μ (г) ^ с
чтобы было удовлетворено неравенство (18), достаточно положить θ!^> Qecf
при этом можно выбрать ΘΧ <С 1, так как вес < 1.
Мы укажем интерполяционный процесс, сходящийся к функции / (z),
если выполнено условие (18).
Теорема 3. Если последовательность узлов интерполяции al9 а2, . . .
и целая функция / (z) удовлетворяют условию
1^-Шг>^ 0<θ<1' (19)
то интерполяционные полиномы
η
Рη (Ζ) = Σ / К) Pnk (Ζ).
fc=l
где
11 (ak - a) d=l
сходятся равномерно к функции f (z) и, каково бы ни было число θ' ^> Θ, при
достаточно большом η \f(z) — Pn (z) | < θ'η. Рассмотрим функцию
Yl(z-ak) Π [КР-РМС-*)]
Pn (z, £>) есть рациональная функция £, вычет которой в точке ξ = z равен
единице, а вычеты в точках ак равны pnk (z), поэтому
1 Π РпъМ
^o-yb-E-^i
Л:=1
Умножая это равенство на / (ξ) dt, и интегрируя по окружности θ | £ | =
= | ап |, получим
f(z)-Pn(z) = -±r С Fn(l,z)f(l)dl. (21)
θ|ξ|=1«η1
Если | ξ Ι = Ι α„ |/θ, то
Ι-ηΙ·/β*-^ε
αη(ε-«&)/«
= 1.
150
/. Теория функций комплекснооа переменного
Используя это равенство, на основании выражения (20) получаем оцен-
ку при θ | I | = | ап |:
|^,Ρ| = θ"Π|-?-|Π
fc=l
η
η
= —— Π -^ Π
α,
a.
1—i-
UN.
Π
ΚΡ/θ2-(ξ-*Κ
КГ/Р-ал;
1 —
Π
fr=l
1 +
θ2α,.Ζ
I«»I- — ®*-*c
Пусть z содержится в круге фиксированного радиуса ρ, тогда
1 +
θ2ν
КГ-и^с
<i +
l«„l(i-B) '
Замечая, что при достаточно больших η и А;
(1+А)
1 +
θ2ρ
Ι«„Κ1-θ)]<1 + ε'
где ε — произвольно малое число, и в силу равенства
Π
7г=1
= е-*Щ*пЪщ
IC-PI
_ш »
получаем для θ | ξ | = | яп |
|JVl«,*)|<C(e)eB(l + e)V-*(|o»l)
где С зависит только от ε и р. Применяя полученную оценку, из (21) выводим
при ! ъ | < ρ
I / (.) - Рп (z) I < ^!L θ" (1 + ef е-»^М (i^i) .
и в силу (19) при достаточно большом η
| / (г) - Рп (г) ! < 2С (ε) θη(1 + ε)".
Полученное неравенство доказывает теорему.
• 15
ОБ ОДНОЙ ТАУБЕРОВОЙ ТЕОРЕМЕ*
В настоящей заметке дается доказательство одной общей тауберовой тео-
ремы. Эта теорема обобщает известные результаты Харди и Литтлвуда [1],
имеющие приложения в теории чисел и использованные Карлеманом [2] и
его учениками для оценки собственных значений некоторых несамосопря-
женных дифференциальных уравнений. Излагаемая здесь теорема была ис-
пользована для оценки собственных значений некоторых общих классов
несамосопряженных функциональных уравнений [3].
* Тр. МИАН СССР, 1951, т. 38, с. 77—86.
15. Об одной тауберовой теореме
151
Теорема. Пусть φ (х) и ψ (х) — положительные возрастающие
функции, определенные при х ^>0, причем φ (х) дифференцируема и удовлет-
воряет условиям
lim φ (х) = оо
ЭС-*оо
и при х ^> α > О
αφ (ж) < жф'(ж) < βφ (ж), (1)
где α гг β — два числа, удовлетворяющие неравенствам
О < α < β < α + 1, (2)
а при х < α/2
φ (ж) = о; ψ (ж) = о,
к пусть
где m — целая часть β. 2?с/ш л/ш ж ->- —оо
/(*)/*(*)-*1, (4)
то
Для доказательства теоремы заметим прежде всего, что из неравенства
(1) вытекает при х0~^> а
Φ (*о) ("У" < φ (*) < φ (*ο) (^)β, (6)
«L^-^^q/ixXJafSL^ (7)
Выберем число μ так, чтобы выполнялись неравенства
β — m < μ < α — m + 1, (8)
и положим
'.<·>-S ii!!$- (9)
— СХ)
—оо
где путь интегрирования, идущий из -—оо в х, имеет начальный участок,
совпадающий с частью отрицательной оси, и не пересекает положительной
152
/. Теория функций комплексного переменного
части действительной оси. Покажем, что интегралы (9) и (9а) существуют
и на отрицательной части оси:
Л-LW"1- (10>
В самом деле, в силу неравенства (6) на отрицательной части действительной
оси
и г\<[ ^φ(ξ) Ι? d(f{l) < φ(Γ) Ι ?^φ(ξ) < φ(α) rP-"-1 I
n Г> ^ J (ξ + r)m+1 ^ J (ξ + r)m+1 ^ rm+1 J ξ"1*1 ^ «'J
Or г
г
Это доказывает существование интеграла (9), так как β — τη — μ — 1 <
< —1, а в силу (4) существует интеграл (9а) и имеет место (10).
Выражения для функций /μ(#) и g^x) преобразуем к виду
м*>-^$<И*^· (11)
8*М = *»1 (ξ^Ιμ . (Ha)
где
π μ(μ + 1). ■ ■ (μ + ™ — 1)
Xm^ - fcin μπ ml
Докажем, например, формулу (11). Имеем
Вычисляя интеграл по контуру L по вычету относительно точки t = ξ
\7П+1
и стягивая затем контур L к пути (—оо, х), получим
J (*-*)·» (ξ —i J""1 j^ (*-*)·* (ξ-l)1"*1 j^t* —Χ)μ(ξ-*)'"1'1
' = μ(μ + 1)...(μ + Μ-1) ^^ i
15. Об одной тауберовой теореме
15£
откуда
J^ (*_*)!* (ξ _*)«*■! ™μ (ξ_*)"»-Ι1 '
что доказывает формулу (11).
Рассмотрим теперь функции
х
/·μ(Χ)=$(*-Χ)"Ημ-1/μ(*)^, (12)
и
βμ(Χ) = $(^-^)",+μ-^μ(0^. (12а)
υ
где интегрирование ведется по контуру, не пересекающему положительной
части действительной оси. На отрицательной части действительной оси
имеем
Ы-гЕЙ-1· ,13>
В самом деле, используя неравенства (6), получим на основании (11)
/ /_и_х { αψ(1) I к ? *Р(*> >„ ФИ |
4- κ ? *φ(ξ) > κ^φ(α) г*-!»-* 4- *""*αφ(α) ? Β*-«-μ-1 <№ >
г
И-mn (2α — га —μ)
Выберем теперь число b > О так, чтобы при r^>b
1 —ε< /μ(~Γ)λ <1 + ε· (15)
Положим
-b -r
*V (- Г) = F? + ^ = J (« + Γ)·»+^/μ (i) * + J (* + Γ)"+^/μ W *,
U -Ь
-Ь -г
<?μ (- г) = Gj» + Gf =\{t + r)^-igll (t) dt+ l(t + r)*^-^(i) Л,
тогда при г ^> 2b имеют место следующие оценки:
| F^ Ι < 2m+»1-1/*brm+»1-1, 16μ1} Ι < 2m+^-1g4rm+^-1,
где /* и g* — максимумы модуля /μ (t) и #μ (t) на интервале (—δ, 0). Ис·
пользуя (14), получим
—г —г ·
| F^ | = I J (t + г)"·^-1^ (t) dt I > Cir"-"·-'1 J (i + r)"·^"11 di | > C2r«,
-ь -ь
154
/. Теория функций комплексного переменного
где С1и С2 — константы, не зависящие от г. Имея в виду полученные оценки
и неравенство α ^> т + μ — 1, заключаем, что при г ->- оо
ЗД?-*о, <#>/*«-* о.
В силу (14) предельные значения F^/G^ заключены между 1 — ε и 1 + ε.
Это доказывает, что при г—►■ оо предел отношения
S с« + с»)
равен единице.
Функции Ρμ (х) и 6?μ (ж) могут быть записаны в виде
^W=-»wS(--f-P^?-. (16)
о
^(x)==-xmll$(-fp^f. (16а)
О
Действительно,
X X ОО
ρμ (х) =\(t- х)^-%(t) dt= xm(l \ (t- *)«+n-i di \ d<p^ =
о о ^ '
X CX) OO
= xm(1 (то + μ) j (t - *)"·^Λ J ^+ξμ+1 = xm!l (то + μ) J φ (ξ) <Ιξ Χ
О 0 * ' О
0 V ' О
Из представлений (16) и (16а) легко заключить, что вдоль каждого лу-
ча θ = arg x = const
lim llK J = 1. (17)
В самом деле, в силу положительности функций φ (ξ) и ψ (ξ) функции
— (—xY^+MF^ (х) и — (—ж)-(т+^С?д (ж) положительны на отрицательной
части действительной оси и их мнимые части имеют знак, совпадающий со
знаком мнимой части х. Отсюда заключаем, что эти функции не обращаются
в нуль в плоскости с вырезанной положительной частью действительной
оси, а аргументы значений этих функций заключены между 0 и —π в верхней
полуплоскости и 0 и +π в нижней полуплоскости. Этого достаточно, чтобы
заключить, что 1η [F^ (#)/6?μ (х)] есть голоморфная функция в плоскости,
разрезанной вдоль положительной оси, удовлетворяющая неравенству
— Tt<<Im In
|<л. (18)
В силу неравенства (18) и соотношения (13) заключаем, что на каждом
луче имеет место (17). В самом деле, семейство функций ωη = In [F^ (2пх)/
15. Об одной тауберовой теореме
155
,/6?μ (2пх)] нормально в силу (18), и так как на отрицательной части действи-
тельной оси φη (х) -*- 0, то φη (х) ->- О во всей купированной плоскости.
Представления (16) и соотношение (17) мы используем для доказатель-
ства асимптотического равенства (5).
Положим
оо
X + iY = -xU(-*)-<"*^(*)= jj Χ=τ~β? · (19)
О
оо
U + iV = _ κ-14 (_ x)-(m^Gx {х) = J *£L JL·.. (19а)
О
Докажем прежде всего, что при достаточно малом θ на луче arg х = θ
lim Y{re*) =1. (20)
Г->оо 7(Π?'Θ) V '
Для этого оценим функции X и У. Полагая ж = σ + it,
γ ? '(ξ-σ)φ(ξ) ^ r_F τφ(ξ) <g
J (ξ—σ)2 + τ2 рт+Д ' J (5_<j)a + T2 .m+μ '
о о
имеем
σ/2 за/2
m< 2 f Φ(ξ)»,|(· Φ(ξ)# Ι . ο Г φ
lxl<—i -ξ^δ + Ι 5 (ξ_σ)ξ,»+μ|+3 5 "Τ
(l)dl
Применяя левое неравенство (6) и учитывая, что т + μ — α < 1, полу-
чим
σ/2 σ/2
J_ ( φ(ξ)<% 2 Φ (σ) Γ οξ < 2m+^a Φ(σ) .
<5 J cm+μ ^ α σα J ρ+μ-α ^ α _ m _ μ _^_ 1 m+μ '
0 0
аналогично, используя правое неравенство (6) и учитывая, что т + μ — β *>
>0:
оо оо
о Г φ(ξ)<?ξ ^о φ(σ) i' dl ^ 2 / 3 \P+i-m-;i φ (σ)
3σ/2 3σ/2
Для оценки среднего члена заметим, что
_d__^l JP4|) _ _φ(ξ)
d? В Я» Hi = HI» ^ 1^ W
ο!ξ С7ГИ-Д — ρψ \ Τ^ r7 cm+μ+Ι '
а в силу (7)
φ (ξ)
ς№1 ■<(«-»-μ)-^-<·α"^<(β-«-μ)75&-<ο.
(21)
156
/. Теория функций комплексного переменного
Учитывая эти неравенства и (6), при | Φ (ξ) | < 1
3σ/2 /Гч ,г 3σ/2
σ/2 /сч 7Г 3σ/2
г- φ(ξ)|% II i· / φ (ξ) φ(σ) \ ^ |
J (ξ-σ)ξ™+μ |^| J Um^ "^ΓΠΓ)Τ=Τ "
J/2 σ/2 '
3σ/2
Ι Ρ φ (σ + m dl Ι φ (σ/2) 2„,.+li+1_„ Φ («)
^| J (σ + #ξ)7^μ+1 1^ (σ/2)™+μ+1 ^ σ™+μ '
Наконец, отметим еще следующее неравенство:
2_ С φ(ξ)<Ζξ < 2 φ (о) / α V* Г φ(ξ)^ξ <σ™+μ-α-1_2^_ V Ф(*>^ Φ (q>
ν σ J ξ™+μ , ■ σ φ(α) \ б / J ξτη+μ ^ ψ (α) J ξ™+μ σ™+μ '
ο υ ο
Полученные оценки дают неравенство
|X(a + iT)|<Ct.£gL,. (22>
где С3 — постоянная, зависящая от α, β, т и μ. Оценим теперь разность
У (σ + ix) — π
3σ/2
<p(q)
-m+μ
<| V Γ Φ (ξ) φ(ο) Ι τ^ξ 1
^1 J [ ξ^+μ σ»4-μ J (ξ-σ)2 + τ* Ι"1"
0/2
σ/2 οο σ/2
4- Κ 4- С Φ (^ τ^ Ι » Φ(σ> ( С _L С τ^ \
~Ч J "^ J ξ™+μ (ξ-σ)2 + τ' Ι"1" σ™+μ ^ J "*" J 1*-σ)* + *Γ
υ 3σ/2 —οο 3ο/2
Учитывая, что на луче arg х = θ, имеем σ = tg θ и, имея в виду неравенство
(22) и (16), получим
3σ/2 3σ/2
I t' \< Ф(д/2) Ι" τ 1 ξ - σ Κ < 2w.+f,+1-q tg θ In 2 φ (σ)
σ/2 ν ' ' ο/2
Далее, в силу неравенства (6)
а а а
Г τφ(ξ)«% < _4τ_ Г' φ(ξ)<*ξ < 4а" (' φ (ξ) ^ξ
J Γ(ξ_σ)2 i Τ21ξτη^μ ^ σ* J ξ™+Α ^ φ(α) J ξ™+μ Λ
о о υ
у σΤΜ+μ-α-1 JEi^L tff 0
σ/2 σ/2
Г τφ(ξ)<Ζξ 4τ г φ (ξ) dJj < 2m+^+1'a Q φ (g)
J [(ξ —σ^ + τ^ξ771^ ^ σ* J ξ™μ ^ α — m — μ + l g σ"^μ '
^ τφ(ξ)^ξ 6τ £ φ(ξ)<Ζξ
σ)2 + τ2]ξτη+μ ^ σ
3 \β+1-τη-μ, φ (g)
^ Γ(ξ_ σ)2 + τ2Ιξ^+μ ^ σ J ξτη+μ-ri ^ /71 +μ — β
3σ/2 LV ' J за/2
Χ
/ 3 \β+1-τη-μ
(—) ^θ·
.m+μ
15. Об одной глауберовой теореме
157
и, наконец,
l + l^^^i^^.
—оо за/2 σ/2
Ha основании полученных неравенств
\Y{o + ir)-n ^L\<Wn^.^L. (23)
В силу неравенств (22) и (23)
| Χ (σ + ir) | < CbY (a + ix).
Имея в виду это неравенство и то, что из (20) следует
и Х(ге™) + 1У(ге™) ^
r^o C7(r,ie)+?T(r,ie)
заключаем, что отношение Υ (reiQ)/V (reie) стремится к единице при г -^ оо.
Полученное предельное равенство (20) и выражении (19) для функций
Υ и V мы используем для доказательства асимптотического равенства (5).
Докажем прежде всего, что при достаточно больших σ, σ^>σ' (ε), имеет
место неравенство
ψ(σ)<φ(σ)(1 + β). (24)
Пусть η > 0; полагая στ = (1 + η) σ, имеем в силу положительности и воз-
растания ψ (ξ)
σ(1+2η) σ(14-2η)
V(a 4-iT\> С ^(ξ) dl ψ(α) Г Tl «g
σ
(ξ-σ^ + τ* ξ™^ ' [(1 + 2η) <5]m+l1 J (ξ_σ1)2 + τ2
>
1 („ 1 +η tt\ ψ(σ
(„_1±1JEL)
ν η <si/
(1 + 2η)™+μ V η ai / σ™+μ
откуда, полагая ri = a\ + tJ, tg θ = τ/α и применяя (23):
ψ (σ\ ^ —(1|нЛГТ, a σ™+μ1/ (^ie) <
r v ' ^ π — η * (1 + η) tg θ ч ' ^
<(i , οη)^,, π + 04ΘΙη(1/θ) Г(Г1^) / σ Хж+μ
я, так как в силу (6) φ (σ) < (1 + η)Ρφ (σ), получим
, / \^t\ . ο \r π + σ4θ1η(1/θ) У(гЛет) . ч
ψ (σ) <Γ (1 + 2η)3 _Λ * , \,' —ν J φ (σ).
Выберем число η = η' столь малым, чтобы 1 + 2η' < (1 + ε)1/3Ρ, после
этого подберем θ = θ' так, чтобы
я + сг4ечп(1/е') <(1 + еу/,
158
/. Теория функций комплексного переменного
И, наконец, основываясь на (20), выбираем σ' столь большим, чтобы при
Γ(*'?<(1 + 8)ν.,
Тогда, очевидно, при σ ^> σ' будет выполняться неравенство (24).
Покажем теперь, что при а ^> О" (ε) выполняется неравенство
ψ (σ)> (1 - ε) φ (σ). (25)
Положим σΧ = (1 — η) σ и оценим V (σ1? τΧ), разбив интервал интегри-
рования (0, оо) на четыре части: (0, σ;), (σ', (1 — 2η) σ), ((1—2η) σ, σ), (σ, οο).
Имеем в силу (6)
x^(l)dl ^ τ! } Ψ(ξ)<?ξ tg9 1 Φ(σ)
[(ξ _ σ1)2 + τ2] ξτπ+μ \ η-σ1α J ξτπ+μ ^ η' σ φ (α)
/_α \α ?' ψ(ξ)^ξ *θ_ fl« \ *(l)al _μ Φ (σ)
\ б / J ξ^+μ ^ if φ (β) J ξτπ+μ στη+μ *
Χ
£7Π+μ
0 0
Применяя (24) и левое неравенство (6), получим
σ(1-2η) σ(1-2η)
Г xrflDdZ <τ1(1+ξ) Γ <P(S)# <
J# [(ξ - σ1)2 + τ|] ξ™+μ ^ η^31 J, ξ™+μ ^
σ(1—2η)
с ^_
η^σ σ« J ξ»η+μ-α ^ η2 α -f- 1 _ m _ μ ^τη^μ '
<τ,(1+β) Φ (a) (' <Ε < (Ι-^)^1-"1^ tgB φ (g)
о
Применяя (24) и правое неравенство (6), имеем
У τ^ξ^ξ ^Ti(l-f ε) У Φ(ξ)<*ξ <
(l-fe)tge φ(σ) ? # < (1 + e) tg θ φ (σ)
^ η^σ σΡ J ξτπ+μ+Ι-ρ ^ (β — Ζη — μ)^ στπ+μ "
σ
Наконец, в силу возрастания ψ (ξ)
(? ^(ξ)^ 1 4»(σ) π
J [(ξ _ β1)2 + τ2] ξ^η+μ ^(1_2η)™ΗΧ στη+μ ·
На основании полученных неравенств
У №, Ti) ^ (1 _ 2η)„1+μ "^Γ + C6 "7J3T στη+μ "
Сопоставляя это неравенство с (23), найдем
ψ(σ)>|_(1_2η)^φ(σ)-^91η4-φΗ]-ρ{^—С.^?-Ф(а)
16. О рядах по рациональным дробям
159
Выберем теперь η и θ так, чтобы
(l_24)^_C191nl>-|/l--|-, C3-H£<_L.
После этого можно задать σ" столь большим, чтобы при гг ^> σ*
V(ne
-1>Ι/ i L·
У (n*w)
тогда при σ ^> σ" неравенство (25) будет выполнено.
Установленные неравенства (24) и (25) доказывают теорему.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hardy G. Я., Ltttlewocd J. E. Tauberian theorems concerning power series and Dirich-
let's series whose coefficients are positive.— Proc. London Math. Soc, 1914, vol, 13r
• p. 174—191.
2. Carleman T. Ober die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partiller Differential-
gleichungen.— Ber. Vehr. sachs. Acad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 1936, Bd. 88T
S. 119—134.
3. Келдыш Μ. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов
несамосопряженных уравнений.— Наст, кн., ст. 30.
16
О РЯДАХ
ПО РАЦИОНАЛЬНЫМ ДРОБЯМ*
N
1°. Для рациональной функции f(z)= N —__п при любом α Φ 0 уравне-
п=1 п
N
ние f (z) = а имеет ровно N корней, а при условии 21 ^п ф0 уравнение
п=1
/ (z) = 0 имеет N — 1 корень. В настоящей заметке дается обобщение этой
теоремы для одного класса мероморфных функций конечного порядка. Мы
будем обозначать через Τ (г), N (г, а) и т (г, а) характеристики Неванлинны
для мероморфных функций.
°° А
Теорема. Пусть f(z)= > ■ \ мероморфная функция конечного'
n=l
оо
порядка, причем 2 | Дг1<С + °°· При любом а Ф 0
71=1
l-6(a) = TT^-^L = l (l)
оо
и порядок N (г, а) равен порядку Τ (г). Если 2 ^п Φ 0» сформулированные
свойства также имеют место при а = 0.
* Докл. АН СССР, 1954, т. 94, № 3, с. 377—380.
160
/. Теория функций комплексного переменного
Заметим, что условие \ Апф0 существенно, так как, например, функ-
п=1
r^v ctg Jtz — i 1 1 VI 1
ДИЯ J (Ζ)— я% + 1 ——sr———+ 2π + 2-A (n*+l)(z-n)
v ' v / \ > / n__.00
ве обращается в нуль
2°. Заметим, что: если φ (z) регулярна при \ z | ^ г и Re φ > 0, то
т (г, φ)< In I 1 + φ (0) |< φ (0), (2)
так как
2Л
-L·^ 1η+|φ(Γ^θ)μθ<_1_^ 1η+|φ(Γ^) + 1μθ=1η|1 + φ(θ)|<|φ(θ)|
о о
Докажем теперь, что Τ (г, /) = N (г, оо) + О (1). Полагая hn = \hn |ег\
-4η = «η + *>Κ, имеем
гт„
/ (Ζ\ _ Υ1' g n(ancosTyt —bnsinTn) yi "
|Лп|>г п |Лп|>г
\hn\>r n \hn\>r \hn\^r П
I^Kr |Лп|<г П |Ля|<г
тде Σ' распространяется на слагаемые с положительными значениями коэф-
фициентов a^cosi^ — basmxn, ansintn + bncosxn, an, 6n, а Σ" — на
слагаемые с отрицательными значениями этих же коэффициентов. У всех
слагаемых первых четырех сумм действительные части имеют один и тот же
знак, поэтому, применяя отмеченную лемму, имеем
Ι η I
\hn\>r ~ "η / iy>r
η аналогичные неравенства для других трех сумм. Последние четыре суммы
оцениваются следующим образом:
4 1Лп1<г п ' ч |лпкг п 1
--('•Е'-^-р=кг)<Е'-Ц'1·
так как при всех преобразованиях модуль Σ' не меняется, а в третьей части
неравенства все слагаемые Σ' имеют положительную действительную часть.
Применяя известное неравенство
ν
т (г, ψ1 + ф2 + . ·. + φΡ) < 1пр + S т (г, щ),
16. О рядах по рациональным дробям
161
получим
т
v i/g<r \ξβτ ' ηΙ ;
3°. Мы начнем с доказательства теоремы для а = 0и предположим, что
55 4П = 1. Считая 1 < /с < 2, оценим интеграл
п=1
hA
й Ν~Η*- И Σ.-£%τ *<
r<|z|<frr
<Σ
Ι Μ» I
ss
r<"|?|<itr
da
2M„I
|г-А«' l/Cii
|/in|<2r r<jz|<frr
2r
SS
da<
Г<|2|<2Г
где С — числовая постоянная, а ε (г) -*· О при г -^ оо. Отсюда следует, что
существует число ρ (г), удовлетворяющее неравенству г < ρ (г) < кг и та-
кое, что
2Л
jj |/(peie)-
1
ре
,»θ
<ю<-
р(г)
р(*-1) '
Мера множества тех значений Θ, для которых \ f (z) — | > 1/2р при
z = peie? очевидно, не превосходит 2г(г)/(к — 1). Поэтому, обозначая через
Ε множество тех значений Θ, для которых | / (pei0) | < 1/2р, мы тем более
получаем для его меры тЕ оценку
гпЕ < 2ε (г)/ (к — 1). (3)
Оценим Τ (г). Пусть к' ^> /с, тогда
Τ (г)< Г (р) = ш (р, 0) + iV (p, 0)< m (ρ, 0) + ЛГ (Л'г, 0). (4)
На основании формулы Иенсена, обозначая через ап нули / (z),
l/(P*ie) I 2jl J 1*'г)« + р»-2Л'грс<м(в-<р) ^
+ Σ 4l?fe'°l<-^r(*V)+ Σ ■»
(feV)8-gTipg'
,»θ
k'r (pe™ - an)
поэтому
m
CE ' V #
ln2p , fc' + fc e(r) r ,,, ν , J_ у f ln
<^- + ΙΓ=3 4π(Λ-1) У (/СГ)+ 2π Zj. J
|an|<fc'r Ε
JQ
Р±^£-\Ю. (5)
fcV(pe,e-an) 1
* Здесь СЕ — дополнение множества Е до окружности.
11 Μ. В. Келдыш. Математика
162
/. Теория функций комплексного переменного
Интегралы, стоящие под \, оценим отдельно прл |αη| <^ 2 1-г:
(к'гУ — α ре;
<(ln 1^ rf3<
kr(pe'°-an)
/rc£
(2Λ'/(Α;' -f- /ν;)
In
2лк'е
mE
In
AV
(«')
и отдельно при | an |
(А'г)я
k + k'
r:
\
In
5, peie
k>r (9ew - an)
da=·ξ in
1 —
(*,r-|gt>|)(fc'ran+|an|p)
k'r\<xn\(pe*-*u)
k'r
dd:
0)
^ /v — /c \ h, r J ^ κ' — κ \an
где С — числовая постоянная. В силу (4) — (7), а также используя (3) и
неравенство N (к'г, 0) = V In ^— < Τ (к'г), получим, предполагая
In г = о (Т (г)): |а*'^'г
Г (г) < в1 (г) Г (к'г) + N (к'г, 0), ^ (8>
где εΧ (г) ->- 0 при г->оои фиксированных к' Φ к Φ I.
Докажем (1) при а = 0. В противном случае существует постоянная а9
0 < а < 1, такая, что при г > г0 имеем N (г, 0) < аГ (г). Но тогда из (7)
следует, что при любом к' и β, удовлетворяющем неравенству α < β < 1,
и при г > г (к\ β) имеем Τ (г) < βΓ (А'г). Взяв ρ так, чтобы к,р > г (к , β),
получим Г (А'") > βρ"'Τ (#*) и, полагая рп = к'", найдем Τ (рп) >
> β"ρΓ (к'р) pl;1^ ln/l . Так как к' можно взять сколь угодно близким к еди-
нице, а β зафиксировать, полученное неравенство противоречит предположе-
нию о конечности порядка / (z).
Покажем теперь, что порядок N (г, 0) равен порядку Τ (г). В самом деле,
если предположить противное, то можно выбрать число μ, меньшее, чем
порядок λ функции Τ (г), и такое, что N (г, 0) < г'1 при г > г\ Зафиксиро-
вав произвольное к' > 1, выберем число р0 так, чтобы при ρ > рэ выполня-
мось неравенство Ак^гг (р)< 1 и чтобы Τ (ρ0) > 2 (Α;'ρ0)μ; последнее воз-
ложно, так как μ < λ. Тогда в силу (8)
т ^р·) > ттты (Г (ро) - Ν {к'ро)) > ^W т (ро) ^ m'w'
Продолжая последовательно применять неравенство (7), получим
т(к'пр0):
Т(Ро)>(2к'»)пТ(о0)
'ч (Го). · .Ci (к · Хро)
и, полагая рп - к'пр0, найдем Τ (рп) > Τ (ρ0) (ρη/ρο)μ+112/1'*'\ чт,° противо-
речит предположению о конечности порядка Τ (ρ), так как к' можно вы-
брать сколь угодно близким к единице.
Утверждение теоремы для произвольного а приводится к доказанному
для а = 0. В самом деле,
cp(z) =
/(*)-
(Σ#-)+Σ
AJK
и ряд коэффициентов абсолютно сходится и имеет сумму а Ф 0.
π
ТЕОРИЯ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
О СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
О ТЕОРЕМЕ ЛИУВИЛЛЯ
ДЛЯ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ЭФФЕКТИВНОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ОБ ЕДИНСТВЕННОСТИ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА
О ПРЕДСТАВИМОСТИ РЯДАМИ ПОЛИНОМОВ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
О РАЗРЕШИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ОБ ОДНОЙ ОЦЕНКЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА
О РАЗРЕШИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ
17
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ*
Совместно с М. Л. Лаврентьевым
Пусть
Рг (х, у, z), Р2 (х, у, z), . . ., Рп (х, у, z), . . . (1)
— последовательность гармонических полиномов, АРп(х, у, z) = О, сходя-
щаяся в каждой точке шара S: х2 + у2 + z2 ^ 1 пространства (х, у, z). В этой
заметке мы укажем некоторые свойства предельной функции последователь-
ности (1), а также множества иррегулярных точек этой же самой последова-
тельности.
Введем несколько геометрических понятий г.
Определение 1. Скажем, что замкнутое и ограниченное множество
Ε есть множество типа М, если, каково бы ни было множество Ег, замкну-
тое и содержащееся в Е, всегда существует порция Е2 множества Ег, такая,,
что: 1) Е2 является границей некоторой области А, которая содержит точ-
ку сю; 2) всякая точка Ε принадлежит либо Е2, либо области Δ.
Определение 2. Скажем, что замкнутое и ограниченное множест-
во Ε есть множество типа М*, если, каково бы ни было множество Ег, замк-
нутое и содержащееся в Е, всегда существует его порция Е2, которая не раз-
бивает пространства.
Определение 3. Пусть Ε — множество типа М, содержащееся
в сфере S, и пусть Dx, D2, . . ., Dn, ... — все области, смежные2 к Е. Скажем,
что Dnx, D7i2, . . .,Z)nv ... — подпоследовательность первой категории, если,
каково бы ни было замкнутое множество Ег, содержащееся в Ε, всегда сущест-
вует порция Е2 множества Ег, такая, что всякая область Dt, граница
которой принадлежит Е2, не входит в последовательность {Dn]c}.
Установив это, можно доказать следующие теоремы.
Теорема I. Для того чтобы множество Ε сферы х2 + у2 + z2 ^ 1
было множеством иррегулярных точек сходящейся в сфере последовательно-
сти гармонических полиномов, необходимо и достаточно, чтобы: 1) Ε было
совершенным, нигде не плотным, непрерывным и связным с поверхностью сфе-
ры (условие Монтеля [2]); 2) чтобы Ε было множеством типа М.
Аналогичные результаты получаются и для сходящихся последователь-
ностей гермонических функций, регулярных в произвольной области.
Доказательство первой части теоремы (необходимость условия) аналогич-
но доказательству теоремы о множествах иррегулярных точек последова-
тельностей полиномов комплексного переменного z [3]. Для доказательства
второй части теоремы необходимо использовать следующий результат: ес-
ли заданы т областей Dx, D2, . . ., Dm, внешние одна относительно другой,
со связными, границами и т гармонических функций Ux{x, у,z), . . ,,Um(x,y,z),
* С. г. Acad. sci. A, 1936, t. 202, p. 1149—1157.
1 Множества Μ и Μ* были изучены Хартогсом и Розенталем [1].
2 Т. е. Ε получается из S удалением всех областей D\.
166
/7. Теория гармонических функций
где Ut (х, у, z) регулярна в Dt, то существует ряд гармонических полиномов,
равномерно сходящийся внутри каждой области Dt и сумма которого равна
иг в Z?lf U2 в D2, . . ., Um в Dm-
Теорема П. Для того чтобы функция U (х, у, z), определенная в та-
ре S : х2 + у2 + z2 < 1, была представима последовательностью гар-
монических полиномов, достаточно, чтобы одно из трех следующих условий
было выполнено:
1°. U — гармоническая и регулярная функция в S, за исключением точек
множества Ε (особое множество), которое является множеством типа М*;
функция U представима на Ε последовательностью гармонических полино-
мов.
2°. U — гармоническая и регулярная функция в S, за исключением точек
замкнутого множества Е, которое принадлежит сумме счетного числа жор-
дановых поверхностей', функция U есть функция первого класса Бэра на Е.
3°. U — гармоническая и регулярная функция в S, за исключением точек
замкнутого множества Ε меры нуль, которое является множеством типа
М*; функция U есть функция первого класса Бэра на Е.
В доказательствах 2° и 3° используем два следующих предварительных
предложения. ,
Лемма I. Каковы бы ни были простая4" жорданова поверхность S
и функция f, определенная и непрерывная на S, существует последователь-
ность гармонических полиномов, равномерно сходящихся к f на S.
Лемма II. Каковы бы ни были замкнутое множество Ε меры нуль,
не разбивающее пространства, и функция f, определенная и непрерывная на
Е, существует последовательность гармонических полиномов, равномерно
сходящаяся к f на Е.
Теорема III. Пусть U (х, у, z) и V (х, у, z) — две функции, пред-
ставимые в S последовательностями гармонических полиномов, имеющие
одно и то же особое множество Е. За исключением частичной последователь-
ности областей БПл, Dll2, . . ., Dn], . . . первой категории, если U и V совпа-
дают на Е, то они совпадают в Dn (η Φ η1{).
В доказательстве этой теоремы используем следующий результат: пусть
D — произвольная область, а Р{, Р2, . · ·, Рп-> · · · — последовательность
функций, непрерывных в D = D + D' и гармонически^ в D. В этих усло-
виях, если функции Рп ограничены в совок} пности вйи сходятся к нулю
на границе D, то они сходятся к нулю в D.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hartogs F., Rosenthal А. ПЬег Folgen analitischer Funktionen.— Math. Ann., 1928,
Bd. 100, H. 1/2, S. 212—263; 1931, Bd. 104, H. 4, S. 606—610.
2. Montel P. Sur quelques families de fonctiones harmoniques.— Fund, math., 1935, t. 25,
s. 388-407.
3. Lavrentieff M. Sur un probleme de M. P. Montel.— C. r. Acad. sci. A, 1929, vol. 188,
p. 689-691.
Бернацкий нам сообщил, что этот результат был получен также Саксом.
Т. е. S гомеоморфна двумерной сфере.
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов
167
18
О СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ*
Совместно с М. А. Лаеренггыееым
ВВЕДЕНИЕ
В этой статье мы будем изучать сходящиеся последовательности гармо-
нических полиномов трех независимых переменных [11.
Пусть
Рх (х, г/, z), Р2 (х, у, z), . . ., Рп (х, у, z), . . . (1)
— последовательность гармонических полиномов, сходящихся в области
D трехмерного пространства. Для исследования последовательности (1) очень
важно ввести понятие иррегулярной точки. Будем говорить, что точка М0
области D есть регулярная точка последовательности (1), если существует
сфера, содержащаяся в области D, центр которой совпадает с точкой М0,
и такая, что последовательность (1) сходится равномерно внутри этой сфе-
ры. В противном случае точка М0 будет называться иррегулярной точкой
последовательности (1). По известной теореме о равномерно сходящихся по-
следовательностях гармонических функций предельная функция последо-
вательности (1) будет регулярной гармонической функцией вне множества
Ε иррегулярных точек этой последовательности. Монтель [2] доказал, что
это множество Ε совершенно, нигде не плотно, непрерывно и связно с гра-
ницей области D.
В исследовании сходящихся последовательностей гармонических поли-
номов стоят две следующие фундаментальные проблемы.
1. При заданной последовательности полиномов, сходящейся в области
D, найти структуру множества иррегулярных точек этой последовательности.
2. Каковы условия для того, чтобы функция, определенная в D, была бы
пределом последовательности полиномов?
В дальнейшем мы укажем необходимые и достаточные условия для того,
чтобы множество Ε было множеством иррегулярных точек. Затем приведем
несколько теорем о структуре предельной функции последовательности (1)
и несколько условий, достаточных для того, чтобы функция была пределом
последовательности гармонических полиномов.
В случае двух переменных задача о структуре множества иррегулярных
точек, а также задача о структуре предельной функции последовательности
гармонических полиномов были полностью решены [3,4]. Изучение после-
довательностей гармонических полиномов трех независимых переменных
имеет много общего с этими исследованиями, так же как с исследованиями
о последовательностях полиномов комплексного переменного [3, 5].
Первое условие, достаточное для того, чтобы функция была пределом
последовательности гармонических полиномов (с тремя переменными),
дается теоремой, доказанной в случае выпуклых областей Бергманом [6],
а Сёге [7] и Уолшем [8] в общем случае. Эта теорема обобщает теорему Гиль-
* Тр. Тбил. мат. ин-та, 1937, т. 1, с. 105-184.
168
II. Теория гармонических функций
берта—Рунге о представлении аналитических функций рядами полиномов
комплексного переменного.
Теорема 1. Пусть U (х, у, z) — гармоническая, регулярная функция
внутри области D, граница которой является связным множеством. Суще-
ствует ряд гармонических полиномов, равномерно сходящийся внутри обла-
сти D к функции U (х, у, z).
Заметим, что формулировка теоремы не требует, чтобы область D была
односвязной. Например, область, ограниченная тором, удовлетворяет фор-
мулировке теоремы.
Изложим здесь доказательство сформулированной теоремы.
Пусть F — произвольное замкнутое множество, содержащееся в D,
а ε — сколь угодно малое положительное число. Для того чтобы доказать
теорему, достаточно установить, что существует гармонический полином
Ρ (х, у, z), удовлетворяющий на множестве F следующему неравенству:
| Ρ (х, у, z)-U (х, y,z)\< ε. (2)
В самом деле, если взять последовательность замкнутых областей Dn,
сходящихся к D, и последовательность чисел εη, стремящихся к нулю, то
получим последовательность гармонических полиномов Рп (х, у, z), равно-
мерно сходящихся к функции U внутри D.
Пусть Δ — область, содержащая множество F, лежащая в D вместе со
своей границей и ограниченная связной аналитической поверхностью Σ.
Функция U регулярна в замкнутой области Δ = Δ + Σ. Внутри Δ функция
U может быть представлена формулой Грина
где г — расстояние между точкой Μ (х, у, z) и переменной точкой Μ' (ξ,
η, ξ) на поверхности Σ ; η — внешняя нормаль к поверхности Σ. Пусть η —
произвольное положительное число. Аппроксимация интеграла конечной
суммой приводит к неравенству, выполняемому на множестве F:
Κ**>-4γ£[τ(4Β-^·Η<^
г
где at, Uu (dU/dn)i — постоянные числа; rt — расстояние между точкой Μ
и точкой Mi, лежащей на поверхности Σ. В силу этого неравенства для до-
казательства существования полинома, удовлетворяющего неравенству (2),
1 д ( 1 \
достаточно доказать, что функции — и ~~оп~ \~Г~) могут быть разложены
в ряды гармонических полиномов, равномерно сходящиеся на замкнутом
множестве F-
Пусть S — сфера, центр которой находится в начале и которая содержит
область Δ. Поверхность Σ связна. Отсюда вытекает, что каждую точку Mt
можно соединить с точкой N поверхности сферы S кривой С, проходящей вне
Δ. Пусть δ — расстояние от кривой С до множества F. Отметим на кривой С
последовательность точек Μ = А0, Аг, А2, · - -,Ап = Ν, такую, что расстоя-
ние между двумя последовательными точками не превышает δ/2. Функции
1 д ( 1 \
—» Τ^ΓΙΤ") являются рациональными функциями, единственный полюс
18. О сходящихся!последовательностях гармонических полиномов 169
которых совпадает с точкой А0. Пусть V — произвольная гармоническая
рациональная функция, имеющая единственный полюс в А 0. Разложение V
по сферическим функциям вокруг точки Аг равномерно сходится вне сферы
радиуса δ/2 и, в частности, на множестве F. Следовательно, функцию V
на множестве F можно представить сколь угодно точно рациональной гар-
монической функцией, единственный полюс которой совпадает с точкой Аг.
Совершенно аналогично перейдем от точки АЛ к точке А2 и, продолжая та-
ким же образом шаг за шагом, после конечного числа действий, придем
к рациональной функции Vn, имеющей только полюс Ап = N и которая
сколь угодно мало будет отличаться от V на множестве F. Используя разло-
жение по сферическим функциям вокруг начала, функцию Vn, а следова-
тельно и V, можно представить гармоническим полиномом со сколь угодно
малой погрешностью. Это завершает доказательство теоремы.
Теперь мы установим обобщение доказанной теоремы, которая нам по-
требуется для изучения задач 1 и 2, поставленных в начале этого подраздела.
Теорема 2. Пусть заданы т областей Du D2, . . ., Dm, не имеющих
попарно общих точек, границы которых связны, пусть в каждой из этих
областей Dj определена регулярная гармоническая функция Uj. Тогда суще-
ствует ряд гармонических полиномов, сходящийся в каждой области Dj
к соответствующей функции Uj.
В самом деле, пусть F — замкнутое множество, содержащееся в сово-
купности областей Dj. Можно найти т областей Δα, Δ2, . . ., Am, ограничен-
ных связными аналитическими поверхностями S{, S2, - - ., Syn, не имеющих
попарно общих точек, содержащихся соответственно в областях D{, D2, - - *
. . ., Dyn и содержащих в совокупности множество F.
Выражение
т
равно Uj в области Δ7· и нулю вне этой области. Следовательно, Ф= 21 Ф?
3=1
равно Uj в каждой области Dj. Аппроксимация интегралов конечными сум-
мами приводит к сумме рациональных функций 23 Rf\ каждая из которых
3, η
имеет единственный полюс, лежащий на одной из поверхностей Sj. Эта сум-
ма 23 ^j ) может представлять функцию Uj на части множества F, содержа-
7, П
щейся в Aj с какой угодно точностью. Поверхности Sj являются связными
и внешними одна относительно других; следовательно, какова бы ни была
точка Μ поверхности 57·, существует кривая С, лежащая вне всех областей
Δ7·, соединяющая точку Μ с точкой А поверхности некоторой фиксированной
сферы, содержащей все области Аг. Эта кривая С находится вне множества
F, следовательно, используя описанный метод в доказательстве теоремы 1г
получаем гармонический полином, сколь угодно мало отличающийся от
функции Uj на части F, лежащей в Δ7·.
170
//. Теория гармонических функций
1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛИНОМОВ,
РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ
НА ЗАМКНУТОМ МНОЖЕСТВЕ
Пусть F — замкнутое множество, не разбивающее пространства,
а Рп (х, г/, z) — последовательность гармонических полиномов, равномерно
сходящихся на множестве F. Предельная функция U (х, г/, z), очевидно, не-
прерывна на F и гармоническая в каждой внутренней точке множества F.
Известно, что в случае двух независимых переменных два упомянутых свой-
ства функции являются одновременно достаточными для того, чтобы она бы-
ла представима равномерно сходящимся рядом гармонических полиномов
14, с. 37]. В случае пространства вопрос о достаточности этих свойств остает-
ся открытым. Не известно также, будет ли функция, определенная и непре-
рывная на нигде не плотном замкнутом множестве, не разбивающем про-
странства, представима последовательностью полиномов, равномерно сходя-
щейся на этом множестве.
Заметим, что некоторые теоремы о последовательностях полиномов двух
переменных, равномерно сходящихся на континууме, не всегда переносятся
на случай пространства. Например, в плоскости всякая функция, опреде-
ленная и непрерывная на замкнутой жордановои кривой, представима
равномерно сходящейся последовательностью гармонических полиномов.
С другой стороны, можно построить жорданову поверхность, гомеоморф-
ную поверхности сферы, и функцию, определенную и непрерывную на этой
поверхности, которая не может быть пределом равномерно сходящейся по-
следовательности гармонических полиномов. Это немедленно вытекает из
того известного факта, что задача Дирихле в пространстве не всегда имеет
решение. В самом деле, пусть S — замкнутая жорданова поверхность, а φ —
функция, определенная и непрерывная на этой поверхности, такая, что соот-
ветствующая задача Дирихле не имеет решения. Если функция φ предста-
вима последовательностью гармонических полиномов, равномерно сходя-
щейся к φ на S, то эта последовательность равномерно сходится в области,
ограниченной S, а ее предел есть решение задачи Дирихле.
Установим здесь две теоремы о представлении непрерывной функции,
определенной на замкнутом множестве, равномерно сходящейся последова-
тельностью гармонических полиномов.
Теорема 3. Если задано ограниченное замкнутое множество F про-
странственной меры нуль, не разбивающее пространство, то всякая функ-
ция, определенная и непрерывная на множестве F, есть предел равномерно
сходящейся на F последовательности гармонических полиномов.
Пусть / (я, у, z) — функция, определенная и непрерывная на F, и пусть
Σ — сфера, содержащая множество F. Можно построить непрерывную функ-
цию, определенную в шаре Σ и совпадающую с функцией / (я, г/, z) на мно-
жестве F. Обозначим эту функцию также через / (х, у, z). Пусть ε — произ-
вольно малое положительное число. Существует такое число р, что в каждой
сфере радиуса 2р колебание функции / (я, г/, z) не превышает ε/2. Обозначим
через Δ открытое множество, содержащее замкнутое множество F и состоя-
щее из конечного числа областей Аг, каждая из которых ограничена связной
аналитической поверхностью. Множество F имеет пространственную меру
нуль, следовательно, можно построить множество Δ таким образом, чтобы
его объем не превосходил 2πρ3β/ω, где ω — колебание функции / (х, г/, z)
в шаре Σ. В каждой области Δ^ построим гармоническую функцию Ut,
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов 171
предельные значения которой на границе области Δ^ равны / (х, у, z). Пусть
U — функция, непрерывная, определенная в Δ, совпадающая с i/j в обла-
сти Aj. Докажем, что на множестве F выполнено неравенство
f (х, у, z) — г<17 <f (х, у, z) + ε.
В самом деле, пусть А — произвольная точка множества F. Обозначим
через Sr шар радиусом г с центром в точке Л, а через аг—множество всех то-
^ек поверхности сферы Sr, принадлежащей множеству Δ. Существует число
г', удовлетворяющее неравенству ρ ^ г' <^ 2р и такое, что поверхностная
мера множества ог> не больше 2πρ2ε/ω. В самом деле, в противном случае
мы имели бы
об. (Δ) > \ mes (σΓ) dr > —^—- ε.
Ρ
Пусть At — область, содержащая точку А. Обозначим через D область, ко-
торая является наибольшей связной частью At, содержащей точку А и содер-
жащейся в шаре Sr>. Построим гармоническую функцию V, определенную
в шарэ Sr>, предельные значения которой равны / (А) + ω на στ> и / (А) +
-j- ε/2 на остальной части поверхности сферы Sr'.
В силу принципа минимума внутри шара Sr> получаем неравенство
У>/(Л) + е/2.
С другой стороны, используя теорему о среднем, получим для точки А
V(A) = f(A)+±- + . J,;;(o>-^-)</(^) + 8.
Рассмотрим функцию Ut в области D. В силу принципа максимума имеем
внутри А$, а следовательно, на части границы D, лежащей на поверхности
Sr>, неравенство Ui<Cf(A) + ω. Отсюда вытекает, что в каждой точке
этой части границы области D имеем £/г < У, так как эта часть содержится
в о'г. На части границы D, содержащейся внутри SV, имеем С/г· = / <
■< / (А) + ε/2 = У. Следовательно, на всей границе D имеем Ut < У. При-
меняя принцип максимума, получаем U (А) < У (Л) < / (А) + ε. Аналогич-
ным образом доказываем неравенство U (A) ^> f (А) — ε. Каждая область
Af ограничена связной поверхностью. В силу теоремы 1 можно найти ряд гар-
монических полиномов, равномерно сходящийся к функции U на множе-
стве А. Следовательно, можно найти гармонический полином, удовлетво-
ряющий неравенству
f (А) - г< Pn(A)<f (А) + в
на всем множестве F. Это доказывает сформулированную теорему.
Другое условие, достаточное для того, чтобы непрерывная функция была
представима равномерно сходящимся рядом гармонических полиномов,
дается следующей теоремой.
Теорема 4. Каковы бы ни были простая жорданова поверхность S,
т. е. гомеоморфная плоскому замкнутому диску, и функция /, определенная
и непрерывная на 5, существует последовательность гармонических поли-
номов, равномерно сходящаяся к f на поверхности S.
172
77. Теория гармснических функций
<
Для того чтобы доказать сформулированную теорему, нам потребуется
следующая вспомогательная геометрическая лемма.
Лемма 1. Пусть S — простая жорданова поверхность и пусть Alt
А2, . . ., Δη, ... — последовательность открытых множеств, границы
которых Σ1? Σ2, . . ., Ση, . . . состоят из конечного числа аналитических
поверхностей. Допустим, что:
1) последовательность А1т . . . Δη, . . . сходится к поверхности S, т. е.
какова бы ни была последовательность точек Αλ, А2,- - -, Ап, . . ., где каждое
А% £=Ξ Ak, все ее предельные точки лежат на S\
2) объем каждой области Ап превосходит некоторое фиксированное по-
ложителъное число а.
Тогда площади границ Ση неограниченно возрастают.
Прежде всего сделаем следующее замечание.
Пусть Ε = {С } — множество континуумов С, расположенных в некото-
рой плоскости π и таких, что: 1) число областей смежности каждого конти-
нуума С превосходит 2; 2) два различных континуума С и С" не имеют об-
щих точек. Тогда множество Ε счетно.
В самом деле, каждому континууму С можно поставить в соответствие
три квадрата, вершины которых имеют рациональные координаты и которые-
принадлежат различным областям смежности континуума С. Пусть С
и С" — два различных континуума множества Е\ (А5', Δ'2, Аз) и (ΔΧ, Δ2»-
Δ3) — тройки квадратов, соответствующие этим континуумам.Континуум
С" полностью содержится внутри какой-то области смежности D континуума
С", следовательно, по крайней мере два из квадратов ΔΧ, Δ2, Δ3 принадле-
жат к Ζ). С другой стороны, область D содержит только один из квадратов
Ai, Δ2, Δ3. Отсюда следует, что системы квадратов, соответствующие конти-
нуумам С и С", различны. Но множество, каждый элемент которого образо-
ван тремя квадратами с рациональными вершинами, счетно, и, следователь-
но, тем более множество Ε счетно.
Пусть теперь F — замкнутое плоское множество, такое, что каждый
континуум С, содержащийся в F, имеет не более двух смежных областейг
и пусть К — произвольно большое положительное число. Тогда существует
открытое множество А, содержащее множество F и обладающее следующим
свойством: какова бы ни была область Ω, ограниченная аналитическими кри-
выми и принадлежащая А, имеет место неравенство
I > аК, (3>
где I — длина границы Q, α σ — площадь области Ω.
Пусть А — произвольная точка F, а С — наибольший континуум, со-
держащий точку и принадлежащий множеству F. Могут представиться толька
два случая: континуум С не разбивает плоскости (в частности, вырождается
в точку А) либо С имеет только две области смежности. Обозначим через $с
область, содержащую континуум С и обладающую следующими свойствами:
1) область ®с односвязна, если континуум С не разбивает плоскости, в про-
тивном случае область Фс двусвязна; 2) расстояние от каждой точки ftc
до континуума С не превышает ρ (ρ — положительное число, которое будет
фиксировано ниже); 3) пусть Г — часть границы Фс, принадлежащая одной
из областей смежности D континуума С, тогда расстояние от произвольной
точки границы D до Г не превышает р; 4) граница области Фс не содержит то-
чек множества F.
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов 173
Множество F может быть покрыто конечным числом областей Ф^, и пусть
^d, ®с2, · · ч ®сп —эти области. В силу свойства 4 областей 0^ можно так
видоизменить области Ф^, что они сохранят свойства 1—4 и по-прежнему
будут содержать множество F, но станут попарно непересекающимися. Объ-
единение построенных областей О^ будет обозначаться через Δ. Мы докажем,
что если число ρ достаточно мало, то это открытое множество Δ обладает
указанным выше свойством (3).
Пусть Ω — область, содержащаяся в Δ. Область Ω есть дополнение
к внутренности одной из областей Ф^, скажем Ф^. Мы можем предполагать,
что область Ω односвязна или двусвязна и каждый из ее контуров не стяги-
вается в точку посредством непрерывной деформации внутри области Ф^.
В самом деле, рассмотрим область Ω', ограниченную внешним контуром об-
ласти Ω и ее внутренним контуром в случае, когда этот последний сущест-
вует и не стягивается в точку в υ^. Область Ω' принадлежит к Ф^, площадь ее
превышает площадь Ω, а контур более короткий, чем контур Ω. Следователь-
но, если неравенство (3) имеет место для Ω', то тем более это неравенство бу-
дет иметь место для области Ω.
Для доказательства неравенства (3) мы будем различать два случая.
Случай 1. Континуум С не разбивает плоскости, или же диаметр
внутренней области смежности к С превышает Зр. Разобьем всю плоскость
на квадраты со стороной р. Пусть δ — один из построенных квадратов, со-
держащий точки области Ω. В силу свойств 2, 3 области Фс квадрат δ' —
концентрический с δ, со стороной 5р, содержит точку А границы об-
ласти Ω. Точка А лежит на одной из граничных кривых области Ω. Пусть
Г — эта кривая.
Пусть δ" — квадрат, концентрический с δ, со стороной 7р; Ι (δ) —длина
дуги Г (δ) кривой Г, расположенной внутри δ". Если эта длина не больше р,
то кривая Г замкнута и расположена целиком внутри δ". В этом случае
область Ω односвязна (так как диаметр внутренней области смежности к С
превышает Зр, то диаметр всякой нестягиваемой в 0^ кривой превышает
р) и ограничена Г. В силу изопериметрического неравенства имеем
1> — σ>— σ. (4)
Допустим теперь, что, каков бы ни был квадрат δ, длина Ι (δ) превышает ρ,
площадь σ (δ) части Ω, лежащей в δ, не превосходит р2 и, следовательно,
4&)>-1-σ(δ).
С другой стороны, любая точка Ω принадлежит одному из квадратов δ
и содержится не более чем в 49 квадратах, следовательно,
Случай 2. Диаметр внутренней области смежности к С не больше Зр.
Пусть δ — квадрат, содержащий точки Ω. Концентрический квадрат δ'
со стороной 5р содержит точку А внешней граничной кривой области Ω;
пусть это будет кривая Г. Мы снова рассмотрим квадрат δ" со стороной
7р. Если длина дуги Г, лежащей внутри одного из квадратов δ", не больше р,
то мы получим оценку (4), в противном случае имеет место оценка (5). Отсюда
вытекает, что если ρ }> (49 р#)~\ то неравенство (3) удовлетворено.
174
77. Теория гармонических функций
Установив это, перейдем к доказательству нашей леммы. Пусть S —
простая поверхность Жордана, заданная уравнениями х = х (и, ν), у =
= у (и, v), z = z (и, ν), О ^ и ^ 1, 0 <^ ν <; 1. Не ограничивая общности,,
можно всегда предположить, что поверхность S содержится в кубе0 ^ х ^ \у
0^Ζ/<;1,0^Ζ^1. Обозначим через Fx множество точек поверхности Sr
содержащихся в плоскости х = const. Множество Fx замкнуто и только для
счетного числа значений х может содержать континуум, разбивающий плос-
кость более чем на две части. В самом деле, в противном случае мы имели бы
в плоскости и, ν несчетное множество соответствующих континуумов, не-
имеющих попарно общих точек и каждый из которых разбивал бы плос-
кость и, ν более чем на две части. Пусть Ε — множество значений х, таких,
что соответствующее множество Fx не содержит континуума, разбивающего-
плоскость более чем на две части. Очевидно, mes Ε = 1.
Рассмотрим последовательность областей Δ1? Δ2, . . ., Δη, удовлетворяю-
щих условиям леммы. Мы можем предположить, что границы Σ„ областей
Δη не содержат участков плоскости. Обозначим через Апх плоское открытое
множество, состоящее из всех точек плоскости х = const, расположенных
в Ап, а через ΣηΧ границу множества ΔηΧ. ΣηΧ состоит из конечного числа
аналитических кривых, принадлежащих Ση.
Пусть N — произвольно большое положительное число; Еп — множество·
всех точек х, для которых имеет место неравенство
2Ν
№.(Snx) >_пл. {Аах).
Из доказанного выше предложения следует, что lim Еп = Е, таким обра-
зом, при достаточно большом числе η имеем Еп ^> 1 — ос/2. Начиная с этого-
момента
α < об. (Δη) < ~ ^ пл. (ΔηΧ) dx<:-j- + ^) Дл· (snx) d с < -^ + -^ пл. Sn,
откуда пл. (Sn) !> N и, следовательно, lim пл. (Sn) = оо.
Перейдем теперь к доказательству сформулированной теоремы. Пусть
Σ —сфера, содержащая поверхность S; f (х, г/, z) — непрерывная„функция,
заданная в шаре Σ, значения которой на поверхности S совпадают со зна-
чениями данной функции /. Обозначим через ω колебание функции / (х, г/, z}
в шаре Σ, и пусть ρ — положительное число, такое, что колебание функ-
ции / не превосходит наперед заданного положительного числа ε/4 во вся-
кой сфере радиуса Зр. Построим содержащую поверхность S область Δ, со-
держащуюся в сфере Σ, ограниченную связной аналитической поверхно-
стью и обладающую свойством: какова бы ни была область Ω, прыадле-
жащая Δ, ограниченная аналитическими поверхностями и ,об.(Р)^>я
(α = 2πρ3ε/ω), поверхность границы Ω превосходит К = 16πρ2 (Ι + 3ω/ε).
Существование такой области Δ есть следствие только что доказанной
леммы. В самом деле, если такой области Δ не существует, можно построить
последовательность областей Ωη, сходящихся к 5, объемы которых превос-
ходят а, тогда как площади их границ меньше К.
Пусть U — гармоническая функция, заданная в Δ, граничные значения
которой совпадают с граничными значениями / (х, у, z). Тогда на всей по-
верхности S имеем следующее неравенство:
f-B<U<f + E. (6)
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов 175
В самом деле, пусть А — точка поверхности S. Обозначим через Sr сферу
радиуса г с центром в точке А, и пусть D — наибольшая связная часть об-
ласти, содержащей точку А и содержащейся в £3р. Обозначим через С гра-
ницу области D. Определим в сфере 53р непрерывную функцию гр следующим
образом: в шаре 52р
φ = / + ε/4,
вне сферы £2р
*-' + -г + -^(—τ).
где г — расстояние от точки А до переменной точки. Заметим, что
*<*·*«>- ш \т+т+(£-;}***-
= 4πρ(ω J-)2.
Пусть теперь V — гармоническая функция, граничные значения которой
на поверхности С области D совпадают со значениями функции φ.. В обла-
сти D имеем неравенство U <; V. В самом деле, на части С, содержащейся
внутри 5ар,
U =/</(il) + e/4<F,
а на части С, лежащей на поверхности 53р,
С/</(Л) + ω = V.
Докажем следующее неравенство:
F(i)</ (A) + г,
из которого следует правая часть неравенства (6). Обозначим через G (а)
множество точек сферы £20, удовлетворяющих неравенству V > а, и пусть
Га — часть поверхности уровня V = а, содержащаяся в границе G (а).
В случае а > / (Л) + ε/4 граница множества G (а) состоит из поверхности
Г,£ и части поверхности сферы £2р, так как на части С, содержащейся внутри
£2р, имеем F =/ (4) + ε/4. Прежде всего мы докажем, что объем множества
G (/ (А) + ε/2) не превосходит 2πρ3ε/ω. В самом деле, в противном случае,
обозначая через η нормаль к поверхности уровня в точке области Ζ), мы по-
лучили бы
b(V,D) ρ \^ (ffldrdydz.
υ
В силу неравенства Шварца имеем
U
п=ПА)А-±.
Если объем G (/ (А) -\- ε/2) превышает 2πρ3ε/ω, то объем каждой областп
176
//. Теория гармонических функций
G (a), a<.f(A) + ε/2, также больше 2πρ3ε/ω, поскольку в этом случае
G (/ (А) + ε/2) содержится в G (а). В силу конструкции области Δ площадь
границы G (а) превышает К = 16πρ2 (Ι + 3ω/ε). Часть этой границы, лежа-
щая на поверхности S2p, имеет площадь не больше 16πρ2, поэтому
пл. (Га) > 48 πρ2ω/ε.
Область D содержится в £зр, следовательно, об. (D) < 36πρ3. Отсюда выте-
кает неравенство 0 (F, D) ^> 4πρω2.
С другой стороны, на основании принципа Дирихле
0 (F, Л)< 0 (С/, Л)< 0 (С/, SSQ) < 4πρω2;
таким образом, мы получили противоречие, и, следовательно,
об. G(f (А) + ε/2) <2πρ3ε/ω.
В силу этого неравенства можно найти сферу Sr, ρ ^ г <1 2р, такую, что
мера множества gr точек поверхности Sr, принадлежащих кб(/ (А)-\~ ε/2),
не превышает 2πρ2ε/ω (см. с. 170). Пусть Vx — определенная внутри Sr гар-
моническая функция, граничные значения которой на gr равны / (А) + ω,
a на остальной части поверхности Sr равны / (А) + ε/2. Обозначим через
D± связную часть D, содержащую точку А и содержащуюся в Sr. На множе-
стве gr имеем
У</(Л)-1-и=71,
а на другой части границы D\
V<f(A) + ε/2<7Χ.
Отсюда выводим, что внутри Dx имеем V ^ Vv Применяя теорему о среднем
значении к поверхности сферы Sr, получаем
^μ)</Η) + ^+-^-(ω-^-)</μ) + β,
откуда
U(A)<f(A) + ε/2.
Совершенно аналогично доказывается левая часть неравенства (6). Поверх*
ность Δ связна; отсюда вытекает, что можно найти гармонический полином,
удовлетворяющий неравенству
/- ε<Ρ</ + ε
на поверхности S.
2. НЕСКОЛЬКО ПОНЯТИЙ
О ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВАХ
В дальнейшем будем рассматривать некоторые специальные классы замк-
нутых множеств в трехмерном пространстве. Эти классы множеств совершен-
но аналогичны множествам, которые используются для исследования по-
следовательностей гармонических полиномов двух переменных. Не входя
в подробности, изложим здесь необходимые определения (см. подробнее
[2-4]).
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов 177
Определение 1. Мы скажем, что замкнутое и ограниченное мно-
жество Ε есть множество типа М, если, каково бы ни было замкнутое множе-
ство Е1ч содержащееся в Е, всегда существует замкнутая порция Е2 множе-
ства Е1ч такая, что: 1) Е2 есть граница некоторой области D, содержащей
точку оо ; 2) всякая точка Ε принадлежит либо Е2, либо области D.
Порция Е2 множества Е1ч удовлетворяющая указанным условиям, будет
называться элементарной порцией Ех относительно Е.
Определение 2. Мы скажем, что ограниченное, замкнутое, нигде
не плотное множество Ε есть множество типа М*, если, каково бы ни было
замкнутое множество Е1ч содержащееся в Е, всегда существует некоторая
порция Е2 от ЕЛ, не разбивающая пространства.
Очевидно, что всякое множество типа М* является также множеством
типа М, но можно привести примеры множеств типа Μ, не являющихся мно-
жествами типа М*. Конструкция примеров множеств типа Μ и типа М*
совершенно аналогична конструкции в случае плоских множеств [2—4].
Заметим, что всякое множество типа М, а тем более всякое множество
типа М* нигде не плотно. Самые простые множества типа М* —это множест-
ва, образованные конечным числом простых жордановых поверхностей.
Пусть Ε — произвольное множество типа Μ и пусть
Е0, Ех, . . ., Еп, . . ., Εω, . . ., Еа, ... (7)
— трансфинитная последовательность множеств, такая, что: 1) Е0 = Е;
2) если задано множество Еа, получаем Еа+\ путем удаления из Еа элемен-
тарной порции Еа (относительно Е); 3) если определены Еа , η = 1, 2, 3, . . .
для α = lim ап, положим Еа = Eai Π ^α2 Π · · · В силу теоремы Бэра су-
Г(->оо
ществует число β, β <^ Ω, что при α ^> β все Еа = О, тогда как Е$Ф 0.
Назовем классом Ε нижнюю границу чисел β для всех последователь-
ности (7).
Заменяя слова «элементарная порция» на «порция, не разбивающая про-
странства», мы получаем аналогичную классификацию множеств типа М*.
Пусть Ε — множество типа Μ. Можно разбить множество .Енадве части Е0,
Ех (Е = Е0 + Ег), такие, что: 1) всякая порция множества Е0 (ядра
Е) есть множество типа М, не являющееся множеством типа М*; 2) какова
бы ни была замкнутая область D, внешняя к Е0, множество точек Е, содержа-
щихся в D, есть множество типа М*.
Пусть Ε — замкнутое, ограниченное и нигде не плотное множество. Мы
назовем областью смежности к Ε всякую, не содержащую точки оо область,
граница которой принадлежит Е. Нам потребуется определение, связанное
с последовательностями областей смежности.
Определение 3. Пусть Dl4 D2, . . ., Dn, . . . суть все области
смежности к Е. Будем говорить, что D,H,Dn2, . . ., Dnk4 . . .— частичная под-
последовательность первой категории, если, каково бы ни было замкнутое
множество Ег, содержащееся в Е, всегда существует порция Е2 множества
Ег, такая, что всякая область Dn, граница которой принадлежит Е2, не при-
надлежит подпоследовательности Dn]r
Будем говорить, что подпоследовательность Dmi, Dm2, . . ., Dmi. . . второй
категории, если она не первой категории и если дополнительная подпосле-
довательность {Dn}, η Φ mt, первой категории.
12 Μ. Β. Келдыш. Математика
178
77. Теория гармонических функций
Объединение конечного числа подпоследовательностей областей смежнос-
ти первой категории является также подпоследовательностью первой катего-
рии.
Сформулируем следующую теорему:
Для того чтобы множество типа Μ было множеством типа М*, необхо-
димо и достаточно, чтобы всякая подпоследовательность областей смежности
была первой категории.
3. МНОЖЕСТВО ИРРЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК
Вернемся к изучению сходящейся в области последовательности гармони-
ческих полиномов. Опираясь на теоремы 1 и 2, доказанные во введении, мож-
но установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы множество
Ε было множеством иррегулярных точек сходящейся последовательности
гармонических полиномов. ,
Ход доказательства этих условий совершенно аналогичен процессу, ис-
пользуемому для решения аналогичной задачи в случае последовательности
полиномов комплексного переменного. Для определения множества иррегу-
лярных точек в случае полиномов комплексного переменного используются
следующие свойства аналитических функций [4].
1°. ТеоремаБэра: для того чтобы функция, заданная на замкнутом
множестве, принадлежала бы первому классу, необходимо и достаточно, чтобы
она была бы точечно разрыта на каждой замкнутой части множества.
2°. Принцип максимума.
3°. Свойство нормальности всякого семейства аналитических
функций, ограниченных в совокупности в области D.
4°. Те оремаМон тел я: если заданы т областей Dl4 D2, . . ., Dmr
не имеющих попарно общих точек, а в каждой области Dn задана регулярная
аналитическая функция fn (z), то существует последовательность полиномов
от z, равномерно сходящихся в каждой области Dn к функции fn (z).
Аналогичные свойства имеют место для гармонических функций в про-
странстве. В самом деле, теорема Бэра и принцип максимума видоизменяются
очевидным образом; свойство нормальности 3° семейства гармонических
функций, ограниченных в совокупности, дается теоремой Монтеля; наконец,
свойство, аналогичное свойству 4°, дается теоремой 2 этой статьи.
Опираясь на теорему 2, докажем сначала следующую лемму.
Лемма 2. Пусть D — произвольная область-, F — континуум, содер-
жащийся в замкнутой области D и связный с границей Г области D\ Fx —
замкнутое множество, содержащееся в F и дополнение которого есть область.
Предположим, что функция U (х, у, z) удовлетворяет следующим условиям:
1) существует последовательность гармонических полиномов {Рп}, сходя-
щаяся к U в каждой точке F±;
2) какова бы ни была область смежности Dk к Рг -\- Г, существует после-
довательность гармонических полиномов Q^\ сходящихся к U в каждой точке
этой области.
При этих условиях существует последовательность гармонических поли-
номов {Rn (х, у, z)}, сходящаяся к U в каждой точке D и такая, что: 1) в каж-
дой области, содержащейся в Fl4 множество иррегулярных точек по-
следовательности Rl4 R2, . . ., Rn . . . совпадает с множеством иррегулярных
точек последовательности Рх, Р2, . . ., Рп, . . .; 2) в каждой области Dk mho-
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов 179
жество иррегулярных точек последовательности Rx, R2, . . ., Л,г, . . . сов-
падает с множеством иррегулярных точек последовательности Ql \ Q^ ,..·
0{k)
• · · ? ν ^ ? · · ·
Мы не воспроизводим здесь построения, которое следует выполнить для
доказательства этой леммы, так как оно совершенно аналогично построению,
выполняемому для доказательства аналогичной леммы для аналитических
функций (см. [4, с. 48—50]). Нужно только заменить в этом последнем плоские
области областями в трехмерном пространстве, а полиномы комплексного
переменного гармоническими полиномами.
Опираясь на указанную лемму и на свойства 1°—3° гармонических функ-
ций, докажем следующее предложение.
Фундаментальная лемма. Для того чтобы функция V\ опре-
деленная в области D, была представима рядом гармонических полиномов в
области D, необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было замкнутое
множество Е, содержащееся в D, существовала порция Ех множества Е, такая,
что функция U, рассматриваемая на множестве £/1т состоящем из Ег и всех
областей смежности Ех, будет пределом последовательности гармонических
полиномов, ограниченных в совокупности на п,х.
При таких же условиях, если Г — граница D, а Е — сингулярное мно-
жество С/1, то существует ряд гармонических полчномов, сходящийся к U в
каждой точке!) и равномерно сходящийся внутри всякой односвязной области,
которая является областью смежности к Ε + Г.
В силу теоремы Бэра условие леммы необходимо. Доказательство доста-
точности аналогично доказательству соответствующей леммы о полиномах
одного комплексного переменного (см. [4, с. 50—53]).
Из фундаментальной леммы легко вывести необходимые и достаточные
условия для того, чтобы множество Ε было множеством иррегулярных точек
сходящейся последовательности гармонических полиномов.
Τ е о ρ е м а 5. Пусть D — область, граница которой связна. Для того
чтобы множество Ε области D было множеством иррегулярных точек схо-
дящейся в D последовательности гармонических полиномов, необходимо и до-
статочно, чтобы: 1) Ε было совершенным, нигде не плотным, непрерывным
и связным с границей Г области D (условие Монтеля); 2) чтобы Ε было мно-
жеством типа М.
Условие необходимо. В силу теоремы Монтеля, упомянутой во
введении, остается доказать условие 2. Пусть Рг (х, у, z), Р2 (х, у, z), . . .—
последовательность гармонических полиномов, сходящаяся в каждой точке
D; Ε — множество иррегулярных точек этой последовательности;/^ — замк-
нутое множество, содержащееся в Е. Если последовательность Рп (х, у, z)
сходится в каждой точке Ег, то существует порция Е2 можества Ελ, такая,
что полиномы данной последовательности ограничены в совокупности на Е2,
таким образом, какова бы ни была конечная область Δ, граница которой при-
надлежит 2?21послеДовательность сходится равномерно внутри Δ; следователь-
но, всякая точка Δ есть регулярная точка последовательности.
Условие достаточно. Пусть Ε — множество, содержащееся в D,
удовлетворяющее условиям теоремы. Построим трансфинитную последо-
вательность множеств Е0, Ег, . . ., Εω, . . ., Еа, . . . следующим образом:
1) Е0 = Е; 2) если Еа заданно, получаем Еа+1 путем удаления из Еа элемен-
Т. е. множество, где Uk— негармоническая.
12·
180
77. Теория гармонических функций
тарной порции Еа (относительно Е) этого множества; 3) если β — трансфинит-
ное число второго рода и если определены все множества Еа (α <^ β), то
мы принимаем за Е$ общую часть всех множеств Еа (а <^ β). После этого
построим в D функцию U (х, у, z): в каждой точке Еа, а = 0,1, 2, . . ., ω, . . .,
имеем U (x, y,]z) = 0, в любой другой точке D имеем U = 1. Построенная функ-
ция удовлетворяет условиям фундаментальной леммы, следовательно, су-
ществует последовательность гармонических полиномов, сходящаяся к
U (х, у, z) в каждой точке D; сходимость является равномерной в каждой
области смежности к Ε -\~ Г. Итак, всякая точка Ε есть точка разрыва
U (х, у, z), а Е — множество иррегулярных точек построенной последова-
тельности.
Подобными рассуждениями можно доказать следующее предложение:
Для того чтобы множество Ε было сингулярным множеством предельной
функции, заданной в области D, необходимо и достаточно, чтобы Ε было мно-
жеством типа М.
4. ПРЕДЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Как непосредственное следствие фундаментальной леммы и результатов
предыдущего подраздела получаем предложение о предельной функции схо-
дящейся последовательности гармонических полиномов, являющееся све-
дением общей задачи о структуре предельной функции.
Теорема 6. Для того чтобы функция U (х, у, z) была представима
рядом гармонических полиномов в области D, необходимо и достаточно,
чтобы: 1) сингулярное множество Ε функции U было множеством типа М;
2) каково бы ни было замкнутое множество Ελ, содержащееся в Ε, существует
такая элементарная порция Ε\ множества Ех,что функция U, рассматри-
ваемая на множестве £'2, будет пределом последовательности гармонических
полиномов, ограниченных в совокупности на Е2.
Пусть U — функция, являющаяся пределом последовательности гармони-
ческих полиномов, а Ё — сингулярное можество U. Установим предложение,
доказывающее, что, вообще говоря, значения функции U во множестве облас-
тей смежности к Ε не являются независимыми от значений С/на множестве Е.
Докажем прежде всего следующее предложение.
Лемма 3. Пусть D — произвольная область, a Ul4 U2, . . ., Uv, . . .—
последовательность функций, непрерывных в замкнутой области D и гармони-
ческих внутри области D. При этих условиях, если функции Un ограничены
в совокупности в D и сходятся_к нулю в каждой точке границы D, то они рав-
номерно сходятся к нулю в D.
В силу упомянутой ранее теоремы Монтеля семейство функций Un явля-
ется нормальным в области D. Следовательно, если последовательность
иг, С/2, . . ., Un, ... не сходится равномерно к нулю внутри D, то можно
найти подпоследовательность UUi, Un2, . . ., Unk, . . ., сходящуюся в не-
которой точке А области D к числу а, отличному от нуля. Рассмотрим зам-
кнутое множество/^, состоящее из границы области D и точки А. Последова-
тельность функций Uni, Un2, . . ., Unk, . . ., непрерывных и ограниченных в
совокупности на F, сходится к функции Ф, непрерывной на множестве F,
равной нулю на границе D и равной α в А. В силу известной теоремы суще-
ствует последовательность линейных комбинаций Vm= 21 ат PUn функций
р=1 ' Р
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов 181
Un , равномерно сходящаяся к функции Φ на множестве F. Функции Vm не-
прерывны в D, гармонические внутри D и сходящиеся равномерно к нулю
на границе D\ следовательно, они сходягся равномерно к нулю в замкну-
той области/), а число α не может быть отличным от нуля.
Опираясь на установленное предложение, мы можем доказать следующее
предложение.
Теорема 7. Пусть U (х, у, z), V (х, у, z) — функции, представимые
рядами гармонических полиномов в области D, имеющие одно и то же множест-
во особых точек Е. Если U uV совпадают на множестве Е, последовательность
смежных областей, в которых они различны, имеет первую категорию.
В самом деле, пусть Un и Vn — две последовательности гармонических
полиномов, сходящихся соогветсгвенно к функциями uV. Последовательность
гармонических полиномов Рп = Un — Vn сходится в области D, и ее предел
равен нулю на сингулярном множестве Е. Пусть Ех — замкнутое множествог
принадлежащее Е. Последовательность Рп сходится на Ελ, следовательно,
существует некоторая порция Е2 множества Ег, такая, что полиномы Рп
ограничены в совокупности на Е2. Из доказанной леммы следует, что, какова
бы ни была область смежности D1r к Е2, граница которой принадлежит Е2г
полиномы Рп равномерно сходятся к нулю внутри Dk, следовательно, внут-
ри Dk функции U и V совпадают. Это доказывает, что последовательность
областей, где функции U и V не совпадают, первой категории.
5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В силу теоремы 7, для того чтобы значения предельной функции U в об-
ластях смежности Dk не зависели от значений U на множестве Е, необходимо,,
чтобы последовательность всех областей смежности DX,D2, . . ., Dn, . . .была
бы первой категории, т. е. чтобы множество Ε было множеством типа М*.
В силу теоремы 6 это условие является также достаточным. Имеет места
следующее предложение.
Пусть U — функция, определенная в области D, со связной границей.
Для того чтобы функция U была представима рядом гармонических полино-
мов, достаточно, чтобы она удовлетворяла следующим условиям: 1) U — гар-
моническая и регулярная в D, за исключением точек замкнутого мно-
жества Ε (сингулярного множества), являющегося множеством типаМ*;.
2) каково бы ни было замкнутое множество Ех, содержащееся в Е, су-
ществует такая его порция Е2, что функция U представима на Е2 рядом гар-
монических полиномов.
В самом деле, если множество Ε есть множество типа М*, то, каково бы ни
было замкнутое множество Ех, содержащееся в Е, существует порция Е2
множества Ег, не разбивающая пространства, следовательно, Е2 = Е2, а из
условия 2 сформулированного предложения непосредственно вытекает,
что условие теоремы 6 выполнено. Установив это, мы можем сформулировать
следующую теорему.
Τ е о ρ е м а 8. Для того чтобы функция U, определенная в области, ог-
раниченной связной аналитической поверхностью, была бы представима после-
довательностью гармонических полиномов, достаточно, чтобы было выпол-
нено одно из двух следующих условий:
1) U — гармоническая и регулярная в D, за иключением точек замкнутого'
множества Е, принадлежащих сумме счетного числа простых жордановыаг
поверхностей; функция U есть функция первого класса в смысле Бэра на Е\.
182
//. Теория гармонических функций
2) U — гармоническая и регулярная в D, за исключением точек замкнутого
множества Ε меры нуль, являющегося множеством типа М*, функция U
есть функция первого класса на Е.
Докажем, например, первую часть этой теоремы. Пусть Sl4 52, .. ., Sn, . . .
есть счетное число простых жордановых поверхностей, содержащих множест-
во Е, и пусть Е1 — замкнутое множество, содержащееся в Е. Множество
Е1 есть сумма счетного числа замкнутых множеств Еп точек из Ег, принад-
лежащих Sn. В силу известной теоремы существует порция Е2 множества
Е1, содержащаяся в одном из этих множеств (пусть это будет множество Еп),
а следовательно, на простой жордановой поверхности. Эта порция Е2 не
разбивает пространства; следовательно, множество Ε есть множество типа
М*. Для доказательства теоремы остается лишь доказать, что условие 1
предложения, сформулированного в начале этого подраздела, выполнено.
Пусть E1 — замкнутое множество, содержащееся в Е\ Е2 — порция Е1у
принадлежащая просгой жордановой поверхности. Функция U есть функция
первого класса Бэра на замкнутом множестве Е2. Отсюда следует, что
можно построить последовательность функций fn (x, y, z), определенных и
непрерывных на всей поверхности Sn и сходящихся к функции U на множест-
ве E2· В силу теоремы 4 такую последовательность непрерывных функций
можно заменить последовательностью гармонических полиномов, сходящих-
ся к U на множестве Е2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Келдыш М. В., Лаврентьев М. А. О последовательностях гармонических полино-
мов.— Наст, кн., ст. 17.
2. Montel P. Sur quelques familles de fonctions harmoniques.— Fund, math., 1935, t. 25,
s. 388—407.
3. Lavrentieff M. A. Sur un problème de M. P. Montel.— С. г. Acad. sei. A, 1929, vol. 188,
p. 689—691.
4. Lavrentieff M. A. Sur les fonctions d'une variable complexe représentables par des se-
ries de polynômes.— Actual, sci. et. industr., 1936, t. 441, p. 1—62.
5. Hartogs F., Rosenthal A. Ober Folgen analitischer Funktionen.— Math. Ann., 1928,
Bd. 100, H. 1/2, S. 212—263; 1931, Bd. 104, H. 4, S. 606—610.
6. Bergman S. Über der Entwiclung der harmonischen Funktionen der Ebene and des Rau-
mes nach Orthogonalfunktionen.— Math. Ann., 1922, Bd. 86, p. 237—271.
7. Frank F., Mises R. Die Differential und Integralgleichungen der Mechanik und Physik.—
Braunschweig, 1930, Bd. 1, S. 760. Рус. пер.: Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные
и интегральные уравнения математической физики. Л.; М.: Гостехиздат, 1937. 998 с.
8. Walsh J. L. The approximation of harmonic functions by harmonic polynomials and by
harmonic rational functions.— Bull. Amer. Math. Soc, 1929, vol. 35. p. 499—544.
19. О теореме Лиувилля для субгармонических функций 183
19
О ТЕОРЕМЕ ЛИУВИЛЛЯ
ДЛЯ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*
1. Пусть U (хг, х2, . . ., хп) — субгармоническая функция η переменных,
определенная во всем пространстве. Известно, что в случае η = 2 для этого
класса функций может быть обобщено предложение Лиувилля для гармо-
нических функций. Именно, имеет место следующая
Теорема. Если значения субгармонической функции U (х, г/), опре-
деленной на всей плоскости х, у, не превосходят некоторой константы:
U (я, у) < С,
то функция U (х, у) постоянна.
Это предложение есть непосредственное следствие теоремы Ф. Риса о том,
что среднее значение субгармонической функции U (х, у) на круге радиуса г
€ центром в фиксированной точке Ρ (х0ч у0)
π
90?р (и, г) = —2— \ U (#0 + г cos φ, у0 + г sin φ) <3φ
—π
есть возрастающая и конвексная функция In r. В нашем случае, когда
U <^ С, очевидно, что среднее не превосходит С и, следовательно, не может
быть отлично от константы. Но тогда
U fa, у0) = ®р (t/, г)
для любой точки Р, а, следовательно, функция U гармонична, и из обычной
теоремы Лиувилля следует U (х, у) = const.
С другой стороны, в этой формулировке теорема Лиувилля не обобща-
ется на субгармонические функции в случае η ^> 2. В самом деле, функция
U (хг, х2, . . ., хп), равная —1 при R = {х\ -f х\ 4- . . . + xl)1'* и — 1/Д*-»
при R > 1, субгармонична как верхняя огибающая двух гармонических
•функций и ограничена во всем пространстве.
Привалов показал, что в том случае, когда субгармоническая функция
любого числа переменных гармонична в окрестности бесконечно удаленной
точки, не имеет точек минимума и ограничена сверху во всем пространстве,
она не может быть отлична от константы. Он поставил вопрос о том, не достаточ-
но ли для устанавления теоремы Лиувилля ограничиться требованием от-
сутствия точек минимума у субгармонической функции, или в случае отри-
цательного ответа на этот вопрос, нельзя ли требование о гармоническом
характере функции на бесконечности заменить требованием равномерной
непрерывности субгармонической функции.
В настоящей заметке мы покажем, что при η ]> 3 существуют субгармо-
нические функции, равномерно непрерывные во всем пространстве, не имею-
щие точек минимума и ограниченные снизу и сверху во всем пространстве.
Для случая η = 3 установим теорему, из которой вытекает, что всякая
равномерно непрерывная во всем пространстве субгармоническая функция,
* Мат. сб., 1937, т. 2 (44), г. 369-Я7Р.
184
//. Теория гармонических функций
не имеющая точек минимума и ограниченная сверху, обращается в постоян-
ную. С другой стороны, при η = 3 можно построить пример субгармонической
функции, отличной от константы, не имеющей точек минимума и ограничен-
ной, а также пример субгармонической функции, равномерно непрерывной
во всем пространстве и ограниченной, но отличной от константы.
2. Пусть /г ^> 3. Мы укажем пример ограниченной субгармонической
функции U (х1ч х2, . . ., хп), равномерно непрерывной во всем пространстве,
не имеющей точек минимума и отличной от константы. Для этого рассмотрим
функцию
σο
«7,—J.
da
η—2
(i)
Функция иг гармонична вне положительной части оси хг и при прибли-
жении к оси хх стремится к —сю. Пусть Dp — область, образованная всеми
точками, удовлетворяющими неравенствам хг ^ 0, х\ + х\ 4- . . . + %п <С Р*
и всеми точками, удовлетворяющими неравенствам хг <^ 0, х{ + х\ + . ..
. . . + Хп ^ р. Через Гр обозначим границу Dp.
Легко усмотреть, что в точке Х\ = —р, х{ = 0 (i ^> 1) функция Ux дости-
гает своего максимума на Гр и стремится к своей нижней грани на Гр при
хх —> со, поэтому на Гр
_Ι . . „г-7Г К (α + Ρ)η 2
(α2 + ρ2)
или, полагая
г — С da Г _ С da
5 (1 + α2) 2
имеем на поверхности Гр
С с
— < Uг < 2— . (2)
рП-2 \ ^ 1 ^ рП_2 ' > \-Ч
Легко убедиться, что вне всякой области Dp функция U1 остается равно-
мерно непрерывной. Для этого достаточно показать, что частные производ-
ные функции иг BReDp ограничены, а это доказывается так же, как неравен-
ство (2).
Рассмотрим еще субгармоническую функцию
и определим функцию С/, равную U1 вне области Dx и равную верхней оги-
бающей функций U1 и U.2 в области Ωλ. Функция U гармонична в окрестности
каждой точки, лежащей вке"В1 и на 1\; последнее следует из того, что в каж-
дой точке Гх имеем U2 ^ —С2 <С Ux. В окрестности каждой точки Dx
функция U субгармонична как верхняя огибающая двух субгармонических
функций. Поэтому U есть субгармоническая функция во всем пространстве.
19. О теореме Лиувилля для субгармонических функций 185
Докажем, что построенная функция U удовлетворяет всем требованиям,
поставленным в начале этого пункта. Очевидно, что U отлична от константы
и ограничена, потому что —2Сп <J U <! 0. В самом деле, правому неравен-
ству удовлетворяют обе функции U1n U2, а левому неравенству удовлетворя-
ет U1 вне Вг, а внутри D1 удовлетворяет t/2, а следовательно, и С/, так как
С/> С/2.
Чтобы доказать, что U равномерно непрерывна и не имеет точек минимума,
рассмотрим замкнутые множества ΔΧ и Δ2, в которых функция U совпадает
соответственно с U1 и t/2. Пусть Л — граница Аг и А2. Докажем прежде
всего, что область Δ2 содержит область Dp при достаточно малом р. В самом
деле, если рп~2 <^ сп/(2Сп), то в области Dp имеем
- U± < -сп/р«-* < -2Сп < t/2,
и, следовательно, U = С/2.
Рассмотрим теперь границу Л. Очевидно, Л есть аналитическая поверх-
ность вращения около оси хг. Легко усмотреть, что каждый луч, выходящий
из точки оси хх и перпендикулярный к этой оси, пересекает Λ не более одного
раза. В самом деле, на Λ имеем U± = t/2, а с другой стороны, полагая ρ =
+ . . . + Хпч легко убедиться, что
dUJdp > 0 и dUJdp = 0.
Поверхность Λ пересекает ось xL не более одного раза. Действительно, Λ
не может пересекать ось хг при хх ^ 0, так как во всякой такой точке Ux =
= —со. Покажем, что Λ имеет лишь одну точку хх = —ξ пересечения с
осью хх при —1 <; хг <; 0. Для этого рассмотрим функцию Ux — t/2 = φ (#i)
в точках этого отрезка. Точки пересечения Λ с отрезком —1 <^ хг ^ О.совпа-
дают с точками этого отрезка, в которых φ (х±) = 0. На основании неравен-
ства (2) и формулы (3) φ (—1) > 0 и φ (0) = —ос, а поэтому φ (х^ имеет
нечетное число нулей на отрезке —1 <; хх <; 0. Если это число превышает
единицу, то φ (х^ обязательно имеет точку минимума, но непосредственное
вычисление показывает, что на отрезке —1 <^ хг <1 0 имеет место
d^UJdxl < 0, d2Uldx\ > 0, ь -^ '■ Λ
и, следовательно, φ" (хг) <^ 0 и φ (хг) не может иметь точек минимума.
Таким образом, Λ имеет одну точку пересечения с осью хг, пересекается
с каждым лучом, выходящим из оси хг и перпендикулярным к ней, не более
одного раза и лежит целиком внутри Ог; из этого вытекает, что Λ есть» связ-
ная поверхность вращения, меридиан которой может быть задан уравнением
ρ = ψ (хг), хг > — ξ.
В частности, какова бы ни была точка Ρ поверхности Λ, в любой окрест-
ности Ρ существует другая точка Р' поверхности Λ, имеющая большую ко-
ординату хг.
Докажем теперь, что U обладает остальными требуемыми свойствами.
Функция U равномерно непрерывна во всем пространстве. В самом деле, U
равномерно непрерывна на Δ2, так как в этой области U = С/2, a U2 равно-
мерно непрерывна во всей области/^, содержащей Δ2. Функция U равномер-
но непрерывна на Δ1? так как Аг лежит целиком вне некоторой области Dp и
U = Ux на Δ1? а вне Dp функция U1, как указано выше, равномерно непре-
рывна. , j Vj N f с .
186
II. Теория гармонических функций
Остается показать, что U не имеет точек минимума. В самом деле, точка
минимума не может быть внутренней точкой Δ1? так как U гармонична в ок-
рестности такой точки. Точка минимума не может быть внутренней точкой
Δ2, так как в такой точке
дх\ dxi ^
Наконец, минимум не может достигаться в точке Ρ границы Л, так как в лю-
бой окрестности Ρ есть точка Р' с большей координатой^, и, следовательно,
U (Р) = U, (Р) > U, (/>') = U (/>').
Таким образом, Ρ действительно удовлетворяет всем требованиям, постав-
ленным в начале этого пункта.
3. Дальше мы покажем, что в случае η = 3 нельзя построить ограничен-
ную сверху субгармоническую функцию, отличную от константы, не имею-
щую точек минимума и равномерно непрерывную во всем пространстве.
Немного видоизменив пример предыдущего пункта, можно получить
для η = 3 ограниченную субгармоническую функцию, отличную от констан-
ты и не имеющую точек минимума. Для этого рассмотрим две субгармони-
ческие функции
? ехр (-«)*» t с/2 = _/2_ 1 ) (4)
и области Dp, определенные в п. 2. Функцию U определим так, чтобы она
совпадала с 17 г вне Dx и не была равна верхней огибающей функций U1 и
U2 в области Dx. To, что функция U субгармонична, ограничена и не имеет
точек минимума, показывают рассуждения, вполне аналогичные тем, которые
были приведены в п. 2.
Субгармоническая функция U, равная —1 при R = (х2 + У2 + z2Y/z <C
< 1 и —i/R при R ^> 1, показывает, что в случае η = 3 существуют ограни-
ченные и равномерно непрерывные во всем пространстве субгармонические
функции.
4. В дальнейшем будем рассматривать субгармонические функции трех
переменных х, у, z. Будем обозначать через Μ (г) mm (г) соответственно мак-
симум и минимум субгармонической функции на сфере х2 + у2 + z2 = г2.
Функция М(г) есть возрастающая функция г и поэтому всегда имеет конеч-
ный или бесконечный предел при г —> ос.
Теорема 1. Если субгармоническая функция U (х, у, z) ограничена
сверху и равномерно непрерывна во всем пространстве, то
lim sup т (г) = lim Μ (г). (5)
Г—>оо Г-*оо
Отсюда вытекает следующее предложение.
Теорема 2. Всякая ограниченная сверху, равномерно непрерывная во
всем пространстве субгармоническая функция, не имеющая точек минимума,
есть константа.
В самом деле, в этом случае т (г) есть убывающая функция, и потому из
(5) и из неравенства т (г) <^ Μ (г) вытекает т (г) = Μ (г) = const, а следо-
вательно, и U (х, у, z) = const.
19. О теореме Лиувилля для субгармонических функции 187
5. Переходя к доказательству теоремы 1, отметим прежде всего, что всякая
ограниченная сверху субгармоническая функция, определенная во всем
пространстве, совпадает с потенциалом отрицательного распределения масс.
В самом деле, функция U ограничена сверху в каждой сфере х2 + У2 + z2 <Ξ
^ г2. Из результатов Ф. Риса * вытекает, что в круге радиуса г функция U
лиюжет быть представлена в виде
U (Р) = -%Οτ(Ρ,Μ)αμ(Ε) + НГ(Р),
(г)
тде Gr (Ρ, Μ) — функция Грина для рассматриваемой сферы; μ (Ε) — поло-
жительная, аддитивная и непрерывная сверху функция множества; Нг (Р) —
.наилучшая гармоническая мажоранта функции U в сфере радиуса г. Hr (P)
есть возрастающая] функция г, и, так как U <^ С, функции Hr (P) ограниче-
ны сверху в своей совокупности. Поэтому
H{P)=limHr(P)
Г->оо
существует и ограничена сверху, а следовательно, обращается в константу.
С другой стороны, из известного выражения для функций
Gr(P,M) = J=r =йг 1
РМ ОР Р*М
(М* — инверсия Μ относительно сферы (г), О — начало координат) непосред-
ственно следует, что
(Г) (г)
(Н) (г)
а следовательно,
ir) (оо)
и, таким образом,
(оо)
В частности, из указанного вытекает, что если субгармоническая функция
ограничена сверху, то существует интеграл
Ш-йг<°°· (7)
(оо)
В дальнейшем будем считать, что С = 0.
* Riesz F. Sur les fonctions subharmoniqucs et leur rapport a la theorie du potentiel. II —
Acta math., 1930, Μ 34, s. 321—326.
188
II. Теория гармонических функций
6. Допустим теперь, что субгармоническая функция (6) (С = 0) равномер-
но непрерывна, а равенство
lim sup т (г) = lim Μ (г)
Г—>оо Г—хуо
не выполнено. Тогда на всякой сфере радиуса г с центром в начале можно
найти точку Рг, такую, что
U (Рг) < -2ε, (8)
где ε — некоторое положительное число. Функция U (Р) равномерно не-
прерывна, поэтому существует число δ ^> 0, такое, что при Р'Р" ^ δ
| U (F) - U (Р") | < ε.
Пусть Кг — сфера радиуса δ с центром в точке Рг; 2Г — ее поверхность.
Из (8) следует, что на 2Г имеем U (Р) <^ —ε и, в частности, среднее значение
U на ΣΓ удовлетворяет неравенству
9» (U, ΣΓ) = SS г/ da у Ц do < — ε. (9>
Вычислим это среднее значение 3ft (t/, 2r). Если в точке Μ находится
масса т, то среднее значение потенциала этой массы на сфере 2Г будет равно
m/δ или mlPrM в зависимости от того, находится ли точка Μ внутри или
вне ΣΓ. Это вытекает непосредсгвенно из того, что Ж (т/РгМ, Σν) равно
значению в точке Μ потенциала массы с поверхностной плотностью
т/(пл. 2Г), равномерно распределенной по сфере 2Г. На основании сделан-
ного замечания
-■^-rSSSo+SSS-fr-· <10>
где СКГ — область, лежащая вне сферы радиуса δ.
Положим Φ (ρ) = у\^ αμ, где (ρ) есть сфера радиуса ρ с центром в на-
чале. Имея в виду, что для всякой точки, лежащей на сфере х2 + у2 + z2, =
MPr > I r - ρ Ι,
из формулы (10) получаем
Г—б r-f-б +оо +°°
О г—б r-f-6 U
Отсюда и из неравенства (9) заключаем, что при любом г
с?Ф(р) . ε
£/Ф(р)
FM= [ аФ{9) >■
λ) j 6 + k-pi^
о
19. О теореме Лиувилля для субгармонических функций
189
и при этом согласно (7) существует интеграл
J 6 + Р v-
о
Докажем, что это невозможно, и тем самым теорема 1 будет доказана.
7. Лемма. Пусть Φ (ρ) — возрастающая функция р, для которой су-
ществует интеграл \ , ' <^ -{- ос, и пусть
о
£/Ф(Р) .
*(г)-$
• + |Р-г| '
о
тогда
lim inf F (ρ) = 0.
ρ->οο
Имея в виду, что
^Ф(Р)
F(r) = f(r)+ $
2г
fi + lP-1-Г
тде f(r)=\ *,,'., и что
о
f д-У^ ■<2\тп!е1->0.
J б + |г —р| ^ J δ-ΗΡ
|р-г|'
о
-|-сх) -|-оо
2Г 2г
достаточно показать, что lim inf / (r) — 0.
, г -*оо
Допустим от противного, что при любом г ^> 1 имеем / (г) ^> а. Тогда
R R 2Г
£/Ф(Р)
а(Я-1)<$/(г)*=$А-$-
■ + к-рг
0 0 0
Меняя порядок интегрирования, получим
2Я R 2Д
«<Д-1)<$ *Ф(р) J T+f^-J 1η(^^-Ρ)(^Ρ/^φ(ρ)<
0 ρ/2 0
2R
0
откуда
а(Д—2)
Φ (Я)
4 In [(Л +20)/40] "
С другой стороны, интегрируя по частям и применяя полученную оценку
для Φ (R), находим
R R R
Г <*Ф(р) __ ф(Д) ? Ф(Р)Ф ^ α i' (ρ-2) dp
3 0 + р — 0 + Я ■+" ) (й + р)« ^ 4 J (о + р)Чп[(р + 20)/40] '
0 0 0
что невозможно, так как левый интеграл сходится по условию леммы, а пра-
вый расходится.
190
77". Теория гармонических функций
20
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ*
Совместно с М. А. Лаврентьевым
1. Пусть © — область пространства Μ (х, у, z), ограниченная простой
замкнутой жордановой поверхностью S.
Рассмотрим две последовательности областей
ограниченных аналитическими поверхностями. Пусть ©£г) ограничена S^V
причем Sfc1* являются внешними к Ю = © + 5, 5^2) — внутренними к
JD; 5^ и Ξψ равномерно сходятся (в смысле Фреше) к S при /с —> оо.
Поставим в соответствие всякой непрерывной функции φ (х, у, z) две после-
довательности гармонических функций
Ρ? (Μ, φ), Р(21} (Μ, φ), . . ., Р%~ (Μ, φ), . . .,
Р?} (Μ, φ), Р22) (Μ, φ), . . ., Pf (Μ, φ),
где функция Ρ^ (Μ, φ) определена и гармонична в £$} и совпадает с
φ (Μ) на поверхности £^г).
Последовательности Р^ и Р^2) сходятся к двум гармоническим функ-
циям в SD: соответственно к РЫ (Μ, φ) и Р& (Μ, φ) (функции PW и Р(2>
зависят лишь от значений φ на S).
Определения. Будем говорить, что точка М0 области O есть
точка устойчивости для задачи Дирихле в £), если, какова бы ни была не-
прерывная функция φ, предельные значения PW (Μ, φ) и Р^ (Μ, φ) для
Μ —> М0 существуют и равны.
Если хотя бы одна внутренняя точка © является точкой устойчивости
то всякая внутренняя точка β будет точкой устойчивости; в этом случае
мы скажем, что задача Дирихле устойчива внутри SD.
Если каждая точка S есть точка устойчивости, можно доказать, что по-
следовательность Р^ (Μ, φ) равномерно сходится к φ на S. В этом случае
будем говорить, что задача Дирихле устойчива в замкнутой области SD.
2. Укажем некоторые результаты, касающиеся устойчивости задачи Ди-
рихле.
Теорема 1. Для того чтобы регулярная точка S (относительно задачи
Дирихле) была бы точкой устойчивости, достаточно, чтобы задача Дирихле
была устойчива внутри SD.
Следствие. Для того чтобы задача Дирихле была устойчива в замк-
нутой области ©, необходимо и достаточно, чтобы: 1) задача Дирихле всегда,
была разрешима в ©; 2) эта задача была устойчива внутри S.
ТеоремаП. Для того чтобы задача Дирихле была устойчива внутри,
©, необходимо и достаточно, чтобы множество точек неустойчивости из
S было множеством гармонической меры нуль.
Заметим, что всякое множество точек S, которые можно заключить в
систему шаров со сколь угодно малой суммой диаметров, является множест-
вом гармонической меры нуль.
* С. г. Acad. sci. A, 1937, t. 204, p. 1788—1790.
20. О задаче Дирихле
191
Теорема III. Существует область ©, граница которой S является
жордановой поверхностью конечной площади и такая, что задача Дирихле всег-
да разрешима в © и неустойчива внутри ξ).
Более того, область © может быть построена так, что множество Ε точек
неустойчивости будет множеством поверхностной меры нуль. В силу теоре-
мы II это множество Ε является множеством положительной гармонической
меры.
3. Пусть Ε— открытое множество; Ех, Е2, . . ., Еп, ... — последо-
вательность открытых множеств, сходящихся к Е, где Еп содержится в Е,
а его граница Sn образована из конечного числа аналитических поверхностей,
не имеющих попарно общих точек. Обозначим через Vv гармоническую функ-
цию, определенную вне Еп + Sn, обращающуюся в нуль на бесконечности и
в единицу на 5П. Назовем внутренней емкостью открытого множества Ε
число λ, определенное равенством
где ν — внутренняя нормаль к Sn.
Теорема IV. Пусть Μ — граничная точка области ©. Обозначим
через Хк внутреннюю емкость множества точек, не лежащих в '£> = © + S и
расстояние которых от точки Μ заключено между i/2k и l/2fc"1. Тогда Μ
будет точкой устойчивости или неустойчивости в зависимости от того,
расходится или сходится ряд с общим членом Хк/2К.
4. Понятие устойчивости задачи Дирихле тесно связано с задачей пред-
ставления функций рядами гармонических полиномов.
ТеоремаУ. Если задача Дирихле разрешима в ©, то для того чтобы
всякая функция, непрерывная в © и гармоническая в ©, была пределом рав-
номерно сходящейся в © последовательности гармонических полиномов, не-
обходимо и достаточно, чтобы задача Дирихле была устойчива в замкнутой
области ©.
21
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ*
Совместно с М. А. Лаврентьевым
В работе рассматривается вопрос об устойчивости решений задачи Дирихле-
при малых деформациях границы области. Устанавливаются критерии устой-
чивости и дается приложение результатов к вопросам аппроксимации функ-
ций рядами гармонических полиномов.
Пусть D — произвольная односвязная область трехмерного пространства,,
удовлетворяющая условиям разрешимости задачи Дирихле при любых не-
прерывных граничных условиях. Из принципа максимума непосредственна
следует, что всякое решение задачи Дирихле для области D будет устойчивым.
* Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, № 4, с. 551—593.
192
//. Теория гармонических функций
относительно заданий на границе, т. е. при равномерно малой вариации гра-
ничных условий будет также равнОхмерно мала вариация решения проблемы
Дирихле.
В настоящей статье, ограничиваясь случаем, когда граница!) есть простая
замкнутая поверхность Жордана, мы исследуем вопрос об устойчивости
задачи Дирихле при варьировании границы области D. В первой главе уточ-
ним постановку задачи об устойчивости и докажем ряд вспомогательных
предложений. Во второй — установим связь между различными понятиями
устойчивости и разрешимостью задачи Дирихле. В третьей — дадим пример
области, для которой задача Дирихле всегда разрешима, но не все решения
которой устойчивы. В четвертой — приведем необходимые и достаточные
условия устойчивости в терминах, близких к условиям Винера разрешимости
задачи Дирихле; здесь же мы приводим один простой геометрический при-
знак, достаточный для устойчивости. В последней главе дадим приложения
развитой теории к задаче аппроксимации гармонических функций рядами
гармонических полиномов.
Формулировки основных результатов данной статьи см. в ст. 20 наст. кн.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНАЯ КОНСТРУКЦИЯ
В дальнейшем через D будем обозначать односвязную область простран-
ства трех измерений, ограниченную простой замкнутой поверхностью S.
Каждой поверхности мы отнесем две последовательности простых замкнутых
аналитических поверхностей
s±J s2, . . ., sn, . . ., (1)
Sl4 S2, . . ., Sn, . . ., (2)
обладающих следующими свойствами: 1) каждая из этих последовательностей
равномерно сходится1 к поверхности 5; 2) поверхность sn принадлежит области
D и области dntl, (ограниченной поверхностью sn+i; поверхность Sn распо-
ложена вне области D, причем принадлежит области Z)n_i, ограниченной по-
верхностью 5n_i. Таким образом, последовательности областей
dx, d2, . . ., dn, . . ., (3)
Dl4 D2, . . .,Dn, ... (4)
-сходятсяк области/), причем первая есть монотонно возрастающая, а вто-
рая — монотонно убывающая.
Пусть теперь φ (х, г/, z) = φ (Ρ) — функция точки Ρ (х, г/, z) простран-
ства, определенная и непрерывная в некоторой окрестности поверхности S.
1 Последовательность Sx, S2, . . ., Sn, . . . равномерно сходится к поверхности S:
Sn^ S при η —* оо,
если выполняется следующее условие: какова бы ни была последовательность точек
Рг, Р21 . . ., Рп, где Рп—точка поверхности Sn, все ее предельные точки лежат на S.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
193
Обозначим через ип^ (Р) (Un^ (P)) гармоническую функцию, правиль-
ную в области dn (Dn) и принимающую в каждой точке Q поверхности
sn ($η) значение φ (Q). Мы получим, таким образом, две последовательности
гармонических функций:
М1,ф (Р), Щл (р), · · ·» и„|ф (Р), · · ·, (5)
υ19ψ (Р), и^ (Р),..., с/п,ф (П... (6)
Покажем, что каждая из этих последовательностей (5) 1г (6) равно-
мерно сходится2 внутри области D . В самом деле, так как функции по-
следовательностей (5) и (6) ограничены в своей совокупности, то, следова-
тельно, (5) и (6) компактны; нам достаточно доказать их сходимость
внутри D. С другой стороны, в силу принципа максимума если две функции
φΧ (Ρ) и φ2 (Ρ) отличаются всюду не больше, чем на ε, то модули разностей
u",<ri ~~ Ип,дв, UPt4l — U„t (^ также не превышают £. Отсюда заключаем,
что предложение достаточно доказать для случая, когда φ (Ρ) есть полином
относительно х< г/, z. Заметив это, представим полином φ (Ρ) в виде разности
двух субгармонических функций h (Ρ) и g (P):
φ (Ρ) = Α (Ρ) - g (P),
Рассмотрим последовательность (6); имеем 17Пч φ = t/n>/i — ^п,£> но в силу
свойств субгармонических функций всюду внутри области Dn, а следователь-
но, и на поверхности £п+1 будем иметь
Un,h{P)>h{P), Un,8(P)>g(P),
т. е. последовательности Un,h и UUig (η = 1, 2, 3, . . .) суть последователь-
ности не возрастающие и ограниченные. Значит, эти последовательности
сходятся, а вместе с ними сходится и последовательность (6). Сходимость по-
следовательности (5) доказывается вполне аналогично.
Из равномерной сходимости последовательностей (5) и (6) следует, что их
предельные функции суть гармонические функции, правильные в области
D; мы их будем в дальнейшем обозначать соответственно через щ (Р) и U^P):
иф (Р) = lim iv ер (Ρ), υφ (Ρ) = lim Un% Φ (Ρ).
П-*оо П-*оо
Отметим сейчас же, что в силу принципа максимума функции иф (Р) и
С/ф (Р) зависят только от вида S, от значений, принимаемых функцией
φ (Ρ) на поверхности 5, и не зависят ни от поведения φ (Ρ) в окрестности
S (само собой предполагается, что при этом φ (Ρ) остается непрерывной в
окрестности 5), ни от закона образования равномерно сходящихся последо-
вательностей (5) и (6) 3.
2. РАЗРЕШИМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА
Введем ряд определений, касающихся, с одной стороны, вопроса разре-
шимости проблемы Дирихле, с другой — вопроса устойчивости.
2 Доказательство сходимости ряда (5) можно найти в работах [1, 2].
3 Все отмеченные свойства функции и были впервые получены Винером (см. [2, 3]).
13 Μ. Β. Келдыш. Математика
194
77". Теория гармонических функций
Определение 1. Точка Q поверхности S называется правильной
точкой (относительно проблемы Дирихле), если, какова бы ни была непрерыв-
ная функция φ (Ρ), все предельные значения функции и^ (Р) при Ρ —> Q
равны φ ((?). Если все точки поверхности S суть правильные точки, то оче-
видно, что при любой непрерывной функции φ (Ρ) функция и^ (Р) будет
равномерно непрерывна в области D и ее предельные значения на S будут
совпадать со значениями φ ((?); в этом случае мы будем говорить, что для
области D проблема Дирихле всегда разрешима.
Определение 2. Мы скажем, что точка Ρ области D есть точка
устойчивости проблемы Дирихле, если для любой непрерывной функции
φ (Ρ) будем иметь щ (Р) = С/ф (Р).
Если каждая точка области D будет точкой устойчивости, то в силу до-
казанного выше (см. подразд. 1) для любой непрерывной функции φ (Ρ}
последовательности (5) и (6) будут равномерно сходиться внутри D к одной
и той же функции и^ (Р) = С/ф (Р); в этом случае мы скажем, что проблема
Дирихле устойчива внутри области D.
Скажем, что точка Ρ поверхности S есть точка устойчивости проблемы
Дирихле, если точка Ρ — правильная точка и если при любой непрерывной
функции φ (Μ) имеем
lim C/φ (Μ) = lim Un,9 (Ρ) = φ (Ρ).
Μ-*Ρ η-*οο ^_
Если, какова бы ни была непрерывная функция φ (Ρ), последователь-
ность (6) будет равномерно сходиться на S к ср (Р), а внутри D к ггф (Р), то
мы скажем, что проблема Дирихле устойчива в замкнутой области.
При выяснении связи между разрешимостью проблемы Дирихле и ее
устойчивостью наряду с введенным понятием мы будем существенно пользо-
ваться понятием гармонической меры, хорошо изученным в случае плоской
задачи.
Определение 3. Пусть Δ—произвольная конечносвязная область,,
граница Σ которой состоит из конечного числа замкнутых поверхностей
Жордана, и пусть F — произвольное замкнутое множество поверхности Σ.
Построим семейство {U (Р)} всех супергармонических функций, правиль-
ных в Δ и таких, что: 1) U (Р) > 0 всюду в Δ; 2) какова бы ни была точка
Q множества F, все предельные значения U (Р) при Ρ -> Q не меньше 1.
Гармонической мерой множества F в точке Ρ, Ρ α Δ, относительно области
Δ назовем нижнюю границу значений функций U (Р) семейства {U (Р)} в
точке Р. Это число будем обозначать по аналогии с плоским случаем через
G (F, А, Р):
G (F, А, Р) = inf {U (Ρ)}.
Имея понятие гармонической меры замкнутого множества, нетрудно построить
всю теорию гармонической меры. Пусть О есть открытое множество поверх-
ности Σ; за гармоническую меру О мы примем число
G (О, А, Р) = 1 - G {СО, А, Р),\
где СО — замкнутое дополнение к множеству О.
Пусть теперь Ε есть произвольное множество поверхности Σ, и пусть
{0} — семейство всех открытых множеств, содержащих Е. Верхней гармони-
ческой мерой множества Ε мы назовем нижнюю границу гармонических
21. Об устойчивости решений задачи Дирихлз
195
мер множеств О семейства {О}:
U (Ε, Δ, Р) = inf G (О, Δ, Ρ).
За нижнюю гармоническую меру множества Ε примем число *
G(E, Δ, Ρ) = 1 —G (CE, Δ, Ρ),
где через СЕ, как раньше, обозначено дополнение к Е. Множество Ε будем
называть гармонически измеримым, если его верхняя и нижняя гармониче-
ские меры совпадают; в этом случае их общее значение назовем гармоничес-
кой мерой множества Е:
G (Е, A,P)=U (Е, A,P) = G (Ε, Δ, Ρ). (7)
Отметим несколько элементарных свойств гармонической меры, сущест-
венных для дальнейшего. Докажем прежде всего, что гармоническая мера
G (Е, А, Р) измеримого множества Е, рассматриваемая как функция точки
Р, есть гармоническая функция, непрерывная в области Δ.
Пусть сначала множество Ε замкнуто. Рассмотрим произвольную сферу
σ, содержащуюся в Δ. Заменим каждую функцию U семейства {U} непрерыв-
ной функцией U', совпадающей с U вне σ и гармонической в σ. Нижняя
граница {U'} совпадает с нижней границей {С/}; кроме того, семейство {£/'},
будучи ограничено снизу, компактно внутри σ. Следовательно, нижняя
граница {U'} и {U} будет непрерывна в σ, т. е. G непрерывна в Δ. Но так
как G, кроме того, есть нижняя граница супергармонических функций, то
отсюда следует гармоничность Gb Δ. Если теперь Ε— открытое множество, то
гармоничность G (Ε, Δ, Р) следует из равенства G (Ε, Δ, Р)= 1— G (СЕ, Δ, Ρ).
Пусть теперь Ε есть произвольное гармонически измеримое множество. По-
строим последовательность открытых множеств Оп, содержащих Е, так,
чтобы на всюду плотном множестве точек области Δ
lim G (Оп, Δ, Ρ) = G (Ε, Δ, Ρ).
71->οο
Семейство гармонических функций G (Ε, Δ, Ρ) нормально. Это влечет за
собой выполнение написанного предельного равенства всюду в Δ и гармо-
ничность G (Ε, Δ, Ρ). Из доказанного свойства гармонической меры, в
частности, следует, что если хотя бы в одной точке области G обращается в
нуль, то она равна нулю тождественно. Таким образом, свойство множе-
ства Ε точек Σ иметь гармоническую меру нуль не зависит от положения
точки Ρ в области Δ.
Пусть ΔΧ и Δ2 — две конечные области, содержащие одну и ту же точку
Р0, такие, что: 1) границы ΣΧ и Σ2 областей ΔΧ и Δ2 состоят из конечного
числа замкнутых поверхностей Жордана; 2) область ΔΧ содержится в области
Δ2 и 3) существует множество Е, принадлежащее одновременно ΣΧ и Σ2.
При этих условиях в силу принципа максимума всегда имеем
G (Е, Аи Р0) < G (Ε, Δ2, Ρ0), (8)
причем если гармоническая мера множества Ε относительно области Δ2
отлична от нуля, то знак равенства может достигаться только при совпаде-
нии областей ΔΧ и Δ2.
Из неравенства (8) легко получить следующее предложение, существен-
ное для теории гармонической меры: всякое открытое множество имеет поло-
жительную гармоническую меру.
13*
196
/7". Теория гармонических функций
В самом деле, пусть О — произвольное открытое множество поверхности
Σ, Q — точка этого множества и ρ (ρ > 0) — расстояние от точки Q до
множества, дополнительного к О. Фиксируем в области Δ точку Р0,
отстоящую от Q не больше, чем на V3p, и построим сферу σ с центром в точке
Р0 радиуса 2/3р. Пусть Ох есть часть поверхности сферы σ, расположенная
вне Δ; тогда, с одной стороны, очевидно имеем
G (Ои а, Р0) > 0;
с другой — применяя дважды (8), получим
G (О, Δ, Р0) > G (Ои σ, Р0),
отсюда окончательно
G (О, Δ, Р0) > 0.
Опираясь на определение гармонической меры, нетрудно также получить
следующее свойство: пусть дана последовательность областей Δ1? Δ2, . . .
. . ., Δη, . . ., ограниченных поверхностями Жордана Σ1? Σ2, . . .
. . ., Ση, . . м сходящаяся к Δ и такая, что последовательность Σ1? Σ2, . . .
. . ., Ση, . . . равномерно сходится к поверхности Σ. Пусть, кроме того, на
каждой из поверхности Ση последовательности задана область Оп, так что
при η -> оо область Оп равномерно сходится к некоторой области О поверх-
ности Σ, т. е. каждая точка О есть предельная для точек Оп, и все предель-
ные точки последовательности Рг, Р2, . . ., Рп, . . ., такой, что Рп CZ Оп,
лежат на О, тогда как предельные точки СОп лежат вне О. При этих условиях
для любой точки Р0 области Δ имеем
lim inf G (Оп, Δη, PQ) > G (Ο, Δ, Ρ0).
Отметим в заключение еще некоторые предложения относительно гармо-
нической меры, имеющие место в известных теориях мер.
Каково бы ни было гармонически измеримое множество, всегда существует
содержащееся в нем замкнутое множество, гармоническая мера которого
сколь угодно мало отличается от гармонической меры данного множества.
Если дано счетное число непересекающихся гармонически измеримых
множеств, то их сумма будет гармонически измерима, причем ее гармоничес-
кая мера будет равна сумме гармонических мер данных множеств.
Если дана счетная последовательность гармонически измеримых множеств,
таких, что каждое следующее содержится в предыдущем, то их произведе-
ние будет гармонически измеримым, причем его гармоническая мера будет
равна пределу гармонических мер данных множеств.
3. АППРОКС ШАЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
НА ПОВЕРХНОСТИ ЖОРДАНА
Доказательства ряда предложений об устойчивости задачи Дирихле
опираются на следующую теорему [3, 4].
Теорема1. Пусть Σ — простая поверхность Л ордана (гомеоморфная
плоскому кругу или сфере) и f (Ρ) = / (х, у, z) — функция, определенная
и ограниченная во всем пространстве
I / С*» У, z) | < ω
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
197
и непрерывная вне поверхности Σ. С другой стороны, пусть Δ1? Δ2, . . .
. . ., Δη, . . .— последовательность областей, сходящаяся к поверхности* Σ,
каждая из которых содержит Σ и ограничена аналитической поверхностью.
Через Vn (P) мы обозначим гармоническую функцию, принимающую предель-
ные значения f (Ρ) на границе Ση области Δη. Если функция f (P) непрерывна
на некотором замкнутом множестве Ε поверхности Σ , то последовательность
Vn (Ρ) сходится равномерно к f (Ρ) на Ε.
Доказательство этой теоремы основывается на следующей вспомогатель-
ной геометрической лемме.
Лемма 1. Пусть Σ — простая поверхность Жордана и Ох, 02, . . „
. . ., Оп, . . .— последовательность открытых множеств, границы которых
НХ1 Н2, . . ., Нп . . . состоят из конечного числа аналитических поверх-
ностей. Допустим, что:
1) последовательность Ох, 02, . . ., Оп, . . . сходится к Σ, т. е. если точка
Рп принадлежит кОп, то все предельные точки последовательности Ρ 1? Р2, ...
. . ., Рп, . . . лежат на Σ;
2) объем каждого множества Оп превосходит некоторое фиксированное
положительное число а.
При этих условиях площади поверхностей Пп неограниченно возрастают
вместе с п.
Переходя к доказательству леммы, сделаем прежде всего следующее за-
мечание.
Пусть # — множество континуумов С, расположенных в некоторой
плоскости и удовлетворяющих условиям: 1) число областей смежности каж-
дого континуума С превосходит два; 2) два различных континуума С и
С", принадлежащие #, не имеют общих точек. Тогда множество <8 счетно.
В самом деле, каждому континуум С множества $ можно поставить в
соответствие три квадрата q1, q2, q3, которые принадлежат различным областям
смежности континуума С и вершины которых имеют рациональные координа-
ты. Пусть С и С" — два различных континуума множества ё и (q\, q2, q^),
(qi, q\, q"2) — соответствующие тройки квадратов. По условию 2 континуум,
С" содержится в одной из областей смежности G континуума С" и, следова-
тельно, по крайней мере два из 'квадратов > q[, q\, а"ъ содержатся в G. С дру-
гой стороны, область G содержит только один из квадратов qx, q'2, %. От-
сюда следует, что системы квадратов, соответствующие различным кон-
тинуумам С' и С", также различны. Множество всех систем из трех квадратов с
рациональными вершинами счетню и, следовательно, тем более множество
# счетно.
Пусть теперь F — замкнутое плоское множество, такое, что каждый кон-
тинуум С, содержащийся в F, имеет не более двух смежных областей, и пусть-
К — произвольно большое положительное число. Тогда существует откры-
тое множество О, содержащее F и обладающее следующим свойством: какова
бы ни была область Ω, ограниченная аналитическими кривыми и принадлежа-
щая О, имеет место неравенство · >л
I > Ко, (9>
где σ — площадь Ω; I — длина границы Ω.
4 То есть если точка Рп содержится в A#i, то все предельные точки последовательности
Рг, Р2, . . ., Рп, - - - лежат на Σ.
198
/7. Теория гармонических функции
В самом деле, пусть Ρ — произвольная точка F, а С — наибольший
континуум, содержащий точку Ρ и принадлежащий множеству F. Конти-
нуум С либо не разбивает плоскости (и может, в частности, выродиться в
точку Р), либо разбивает плоскость на две части. Обозначим через ·& (С)
область, содержащую континуум С и обладающую следующими свойст-
вами.
1°. Если С не разбивает плоскости, область Φ (С) односвязна, в против-
ном случае ·& (С) двусвязна.
2°. Расстояние от каждой точки Φ (С) до континуума С не превышает ρ
(ρ — положительное число, которое будет фиксировано ниже).
3°. Если Г — часть границы Φ (С), принадлежащая одной из областей
смежности G континуума С, то расстояние от произвольной точки границы
G до Г не превышает р.
4°. Граница области Φ (С) не содержит точек множества F.
На основании леммы Бореля—Лебега все множество F может быть по-
крыто конечным числом областей Φ (С). Пусть Φ (С^), ·& (С2), . . ., ·& (Сп) —
эти области. Обозначим через О открытое множество, получаемое после
удаления^ граничных точек областей Φ {Сх), Φ (С2), . . ,,θ (Сп) из суммы
этих областей. По построению областей Φ (Ck) и на основании свойства 4°
областей Φ (С) множество О содержит множество F.
Докажем, что если число ρ достаточно мало, то построенное открытое
множество О обладает указанным выше свойством: какова бы ни была об-
ласть Ω, ограниченная аналитическими кривыми и содержащаяся в О,
имеет место неравенство (9).
Пусть Ω — область, лежащая в О. Так как О содержится в сумме областей
Φ (Ск) и не содержит граничных точек этих областей, то область Ω также не
содержит граничных точек Φ (Ck) и, следовательно, лежит целиком в одной
из этих областей. Пусть Φ (С) — эта область. Мы можем предполагать, что
область Ω односвязна или двусвязна и в последнем случае внутренний кон-
тур области Ω не стягивается в точку внутри ·& (С). В самом деле, рассмот-
рим область Ω', ограниченную внешним контуром области Ω и тем из ее
внутренних контуров, который не стягивается в точку внутри Φ (С) (если
такой контур существует). Область Ω' принадлежит д (С), площадь ее не
меньше, чем площадь Ω, а длина границы Ω' не превосходит длины границы
Ω. Следовательно, если мы докажем, что для области Ω' удовлетворяется
неравенство (9), то тем более это неравенство будет иметь место для Ω.
Для доказательства неравенства (9) мы будем различать два случая.
Случай 1. Континуум С либо не разбивает плоскость, либо диаметр
внутренней области смежности С превышает Зр.
Разобьем всю плоскость на квадраты со стороной р. Пусть δ — один из
построенных квадратов содержащий точки Ω. В силу свойств 2° и 3° области
Φ (С) концентрический квадрат б' со стороной 5р должен содержать точку Ρ
границы областей Ω. Точка Ρ расположена на одной из граничных кривых
области Ω; пусть Г — эта кривая. Пусть δ" — квадрат, концентрический с
δ, со стороной 7р; Ι (δ) — длина дуги Г (δ) кривой Г, расположенной внутри
δ". Если Ι (δ) <^ р, то кривая Г замкнута и расположена целиком внутри
δ", так как Г имеет точку на δ'. В этом случае область Ω односвязна и огра-
ничена кривой Г. В самом деле, диаметр внутренней смежной к С области
превышает Зр и, следовательно, диаметр всякой не стягиваемой в точку в
области Φ (С) замкнутой кривой превышает р.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле 199
Применяя изопериметрическую теорему, имеем
Z>_*L„ >_*!.„. (Ю)
Допустим теперь, что Ι (δ) > р. Площадь σ (δ) части Ω, содержащаяся в
■δ,не превышает р2 и, следовательно, Ι (δ)]> — σ(δ) .Заметим,что если Ζ(δ)!>
;> ρ хотя бы для одного квадрата, то это неравенство имеет место для всех
квадратов δ, содержащих точки Ω, так как в противном случае, как мы ви-
дели выше, длина всей границы Ω не превосходит р. С другой стороны, лю-
бая точка Ω принадлежит одному из квадратов δ и содержится не более чем
в 49 квадратах δ". Суммируя по всем δ, содержащим точки Ω, получаем
С л у ч а й 2. Диаметр внутренней области смежности к С не превосхо-
дит Зр.
Пусть δ — квадрат, содержащий точки Ω. Концентрический квадрат со
стороной 5р содержит в этом случае точку Ρ внешней граничной кривой Г
области Ω. Мы снова рассмотрим квадрат δ" со стороной 7р. Если длина
дуги Г, лежащей в одном из квадратов δ", не превышает р, то опять имеем
оценку (10); в противном случае имеет место оценка (11). Таким образом,
если только 49ifp <^ 1, то неравенство (9) удовлетворено.
Перейдем теперь к доказательству нашей леммы.
Пусть Σ — простая поверхность Жордана, заданная уравнениями
х = х (и, ν), У = У (и, v), z = z (и, ν), 0 ^ и, ν^ 1.
Не ограничивая общности, можно всегда предположить, что поверхность
Σ содержится в кубе 0 <^ х, г/, z <^ 1. Обозначим через Fx множество точек
поверхности Σ, расположенное в плоскости х = const. Множество Fx
замкнуто и только для счетного числа значений х может содержать конти-
нуум, разбивающий плоскость более чем на две части. В самом деле, в про-
тивном случае мы имели бы в плоскости (и, ν) несчетное множество соот-
ветствующих континуумов, не имеющих попарно общих точек и каждый из
которых разбивал бы плоскость (и, ν) более чем на две части. Пусть Ε —
множество значений х, таких, что соответствующее множество Fx не содер-
жит континуума, разбивающего плоскость более чем на две части. Очевидно,
mes Ε = 1.
Рассмотрим последовательность открытых множеств Ои 02, . . ., Оп, . . .,
удовлетворяющих условиям леммы. Мы можем предположить, что границы
Нп множеств Оп не содержат плоских участков. Обозначим через Опх
плоское открытое множество, состоящее из всех точек Оп, расположенных в
плоскости х = const, а через Нпх — границу множества Опх. Граница Нпх
состоит из конечного числа аналитических кривых, принадлежащих Нп.
Пусть N — произвольно большое положительное число; Еп — множества
всех х, для которых имеет место неравенство
дл. (Япх)>—- -пл. (Опх),
где а — число, определенное в условиях леммы.
200
77. Теория гармонических функций
Из доказанного выше предположения и из сходимости Опх к Fx следует,
что lim Еп = Ε, и поэтому при достаточно больших значениях η имеем
mes Еп^> 1 — а/2.
Но если выполнено написанное неравенство, то
а<об. (0n)<-|--f- ^ пл. (Опх) dx < -|- +
+ -ggr § ДЛ. (Япх) dx < -у- + -^ пл. (#„),
откуда пл. (Нп) ^> /V и, следовательно, lim пл. (Яп) = ею.
71->оо
Установленная лемма позволяет перейти к доказательству сформулиро-
ванной теоремы.
Функция / (х, у, z) непрерывна на замкнутом множестве Е; следователь-
но, существует число р, обладающее следующим свойством: колебание
/ (х, y,z) во всякой сфере с центром в точке Ε и радиусом Зр не превышает
наперед заданного положительного числа ε/4. Обозначим, кроме того, через
ω полное колебание функции / (Р).
Построим область Δ, содержащую поверхность Σ, ограниченную связной
аналитической поверхностью и обладающую следующим свойством: ка-
кова бы ни была область Ω, принадлежащая Δ, ограниченная аналити-
ческими поверхностями и объем которой превосходит а = 2πρ3ε/ω,
площадь границы Ω превышает К = 16πρ2 (1 + 3ω/ε). Существование та-
кой области Δ есть следствие только что доказанной леммы. В самом деле,
если такой области не существует, мы могли бы построить последовательность
сходящихся к Σ областей Ω^, объемы которых превосходят а, а площади
границ остаются меньше К, что противоречит лемме.
Так как области Δη сходятся к Σ, начиная с некоторого η все области
Ап содержатся в Δ. Мы докажем, что если область Δη принадлежит Δ, то
во всякой точке Ρ множества Ε имеет место неравенство
/(P)-e<Vn (/>)</(/>) +е. (12)
Так как число ε произвольно мало, из (12) следует равномерная сходимость
функций Vn (Ρ) κ / (Ρ) на множестве Е.
В самом деле, пусть Ρ — точка множества Е. Обозначим через σΓ шар
радиусом г с центром в точке Р. Пусть Ьп—наибольшая связная часть области
Δη, содержащая точку Ρ и принадлежащая σ3Ρ. Обозначим через Сп гра-
ницу области δη.
В шаре σ3Ρ определим непрерывную функцию φ (Ρ) следующим образом:
1) в шаре σ2Ρ имеем
. φ (Μ) = / (Ρ),+ ε/4;
2) вне сферы σ2Ρ
Φ«=/(ρ)+1 + ^(ω-1)-
где г — расстояние от точки Ρ до переменной точки М. Заметим, что
♦<»^-ш*м*м-эд**»*-*»(—4-;·
σ3Ρ
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
201
Пусть теперь Wn — гармоническая функция, значения которой на гра-
нице δη совпадают со значениями φ. В области δη имеем неравенство Vn ^
^ Wn. В самом деле, на части Сп, содержащейся внутри σ3ρ,
Vn=f<f(P) + ε/4 < Wn,
так как в шаре σ8ρ колебание / не превышает ε/4; на части границы Спу
лежащей на поверхности сферы σ3ρ,
Vn<f(P) + <o=Wn,
так как граничные значения Vn в δη не превосходят / (Ρ) + ω. На основа-
нии принципа максимума всюду в δη имеем Vn <^ Wn.
Докажем теперь неравенство Wn (Ρ) ^ / (Ρ) + ε, из которого очевидно
следует правая часть неравенства (12).
Обозначим через δη (а) множество точек области δη, которые принадле-
жат шару σ2ρ и в которых удовлетворяется неравенство Wn > α, и пусть
ГГ1 (а) — часть поверхности уровня Wn = а, содержащаяся в σ2ρ. Если
удовлетворяется неравенство а^> f (Ρ) + ε/4, то граница множества δη (а)
состоит из Гп (а) и части поверхности сферы σ2Ρ, так как на части границы
δη, принадлежащей шару σ2Ρ, имеем
Wn = / (Ρ) + ε/4.
Докажем прежде всего, что объем множества δη (/ (Ρ) + ε/4) не превы-
шает 2πρ3ε/ω. В самом деле, в противном случае, обозначая через ν нормаль
к поверхности уровня в точке области δη, имеем 5
и в силу неравенства Шварца
dW
dx dy dz
α=/(Ρ)+-|
>1Ж.
15j[ S пл.гпи^^]2, (13)
4
так как —j-^-dv постоянно, если αν — расстояние по нормали между дву-
мя бесконечно близкими поверхностями уровня; нижний предел интеграла
мы взяли, имея в виду, что в области
Wn > / (Ρ) + ε/4.
Если объем области δη (/ (Ρ) + 1/2) превосходит 2πρ3ε/ω, то при
а < / (Ρ) + ε/2 объем δη (а) также больше 2πρ3ε/ω, так как δη (/ (Ρ) + ε/2)
в этом случае содержится в δη (а).
Имея в виду, что δη (а) всегда содержится в Δ, заключаем из свойств Δ,
что площадь границы δη (α) превышает К. Эта граница состоит из Гп (а)
6 Как и выше, θ (W, δ) обозначает интеграл Дирихле функции W в области δ.
202
77". Теория гармонических функций
и части поверхности сферы σ2Ρ, площадь которой, очевидно, не превосходит
16πρ2, поэтому
пл. (Гп (а)) > К — 16πρ2 = 48 πρ2ω/ε. (14)
Область δη содержится в σ3ρ, следовательно,
об. (δη) < 36 πρ3. (15)
На основании (13)—(15) заключаем:
*(^η, δη)>4πρω2.
С другой стороны, в соответствии с принципом Дирихле имеем
* (Wn, δη) < О (φ, δ,) < Ο (φ, σ3Ρ) < 4πρω2.
Таким образом, мы получили противоречие, и, следовательно,
об. en(/(P) + -L.)<i!!£Le. (16)
Из неравенства (16) вытекает, что можно найти сферу аг, ρ <^ г ^ 2р,
такую, что поверхностная мера множества Εγη) точек поверхности сферы
σΓ, принадлежащих к δη (/ (Ρ) + ε/2), не превышает 2πρ2ε/ω. В самом деле,
в противном случае
2Р
об. 8n(/(P) + -^)>$mesE<n>dr>-^£e.
'р
Пусть Wn — гармоническая функция, определенная в сфере σΓ, граничные
значения которой на Е^ равны / (Ρ) + ω, а в точках поверхности аг, лежа-
щих вне Ег*\ равны / (Ρ) + ε/2. Обозначим через б^ наибольшую связную
часть δη, содержащую точку Ρ и содержащуюся в σΓ. На множестве Е^
имеем
остальные части границы δη совпадают с частями границы δη, лежащими
внутри ση, и, следовательно, внутри σ2ρ; поэтому в этих граничных точках
Wn =f(P) + e/2 = W'n.
На основании принципа максимума в б', имеем Wn <^ W'n. Применяя тео-
рему о среднем значении к функции Wn в сфере σΓ, получаем
Ρ^Ρ)</(Ρ)+^ + -^(ω--|-)</(/>) + ε.
Учитывая, что W'n (P) > Wn (Ρ) > Vn (Ρ), имеем
Vn (P) < / (Ρ) + ε.
Совершенно аналогично доказываестя левая часть неравенства (12).
21, Об устойчивости решений задачи Дирихле
203
4. НЕКОТОРЫЕ РЕДУКЦИИ ВОПРОСА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
В ГРАНИЧНОЙ ТОЧКЕ
При обозначениях, принятых в подразд. 1, пусть на поверхности S нам
даны две точки Р1 и Р2, и пусть кусочно-непрерывная функция φ (Ρ) равна
нулю в pi-окрестности 6 точки Рг, равна ν (ν ^> 0) в р2-окрестности точки
Р2 и ограничена снизу фиксированным числом — к (к ^> 0):
φ(Ρ)=0, РЛ<Рь
<р(Р) = ν, РР2<р2,
φ (Ρ) > — к всюду.
При этих условиях существует функция ε (ν), ε (ν) ]> 0, lim ε (ν) = 0,
V—>эо
такая, что для всех достаточно больших η будем иметь при ΡΡλ < V2 Pi
Un, φ (Ρ) > - ε (V), i/n, φ (Ρ) > - 8 (ν), (17)
где и/г?ф (Ρ) и Ur,tq> (P) —функции, определенные в подразд. 1.
Ограничимся доказательством второй части неравенства (17). Обозначим
через Sm и S^ части поверхностей sm, Sn, расположенные в р^окрестности
точки Р, и через s(™, S^ —части, расположенные в р2-окрестности точки Р2·
Фиксируем число ε. В силу теоремы 1 (см. подразд. 3) существует такое число
Nu что из положительности Un^(P), η ^ N1usl Sm, τη Ι> Nu будет следовать
неравенство
Un, φ (Ρ) > - В (18)
для всех точек р^-окрестности точки Ри расположенных в слое, заключен-
ном между поверхностями s,n и Sn. Кроме того, в силу отмеченных выше
свойств гармонической меры существует такое число N2, что при η ^> Ν2
гармоническая мера поверхности 5,(,1) будет превосходить некоторую поло-
жительную константу α
G (S^, Dn, Ρ) > a (19)
для любой точки Ρ области dNi. Отсюда заключаем, что всюду в области dNt
при п^> N2 имеем
υη,ψ (Ρ) > αν - к (1 - а), ' (20)
т. е. при ν достаточно большом функция Σ7η,φ (Ρ) будет положительна
в замкнутой области djv1? а, следовательно, в силу специального подбора
числа JVX при п, большем ΝΙ и N2, функция Un^(P) будет больше —ε во всех
точках pi/2-окрестности точки Ри принадлежащих Dn. Наше утверждение
полностью доказано.
Приведенные рассуждения, очевидно, автоматически переносятся на слу-
чай конечносвязных областей; в частности, получим следующее предложе-
ние.
Пусть а есть поверхность сферы, принадлежащей области D. Обозначим
через Δ область, ограниченную 5иа,а через δη и Δη области, ограниченные σ
и соответственно поверхностями sn и Sn. Фиксируем на поверхности S точ-
6 р-Окрестностью множества Ε мы будем называть совокупность всех точек, расстояния
которых до Ε не превышают р.
204
ТТ. Теория гармонических функций
ку М. Пусть νη (Ρ) (Vn (Ρ)) — гармоническая функция, правильная в об-
ласти δη (Δη) и удовлетворяющая следующим условиям:
νη (Ρ) > — k (k > 0) в области δη,
У η (Ρ) > — k (k > 0) в области Δη,
νη (Ρ) = Vn (Ρ) = 0 в р-окрестности точки Μ,
νη (Ρ) = Vn (Ρ) = ν на поверхности σ.
При этих условиях, как бы мало ни было число ε, при ν достаточно боль-
шом во всех точках р/2-окрестности точки М, принадлежащих δη (Ап)г
будем иметь
νη (Ρ) > - ε, Vn (P) > - ε.
Докажем теперь следующую лемму.
Лемма 2. Построим три специальные последовательности гармониче-
ских функций
и[(Р), U',(P), ..., U'n{P), .. .,
U[ (P), U"2 (Р), ..., Un (Р), ■ ■ ·,
v^p), v2(P), ···, νη(Ρ), ...
Функции Un и Uп правильны в области Dn, функция Vn — в области Δ^,
причем и'п (Р) совпадает с функцией С/п, φ(Ρ), где φ (Ρ) заключена между
нулем и единицей, равна нулю в некоторой окрестности точки Мг поверхно-
сти S и равна единице в некоторой окрестности другой точки М2 той же
поверхности', функция Un (Ρ) = £/η,φ (Ρ) при φ (Ρ) = i/r, где г есть расстоя-
ние от некоторой фиксированной точки Р0 области D до точки Р; функция
Vn (P) равна нулю на Sn и единице на а. При этих обозначениях каждое из-
трех следующих условий
WmU'n(Mi)=0, (21)
71-* оо
НгаС7;(Мх)=-=^-, (22)
\imVn(M1) = 0 (23)
П-*оо
есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка Μλ была точ-
кой устойчивости. Кроме того, каждое из этих условий есть условие, до-
статочное для того, чтобы М1 была правильной точкой.
Необходимость условий (21) и (22) есть следствие определения устойчи-
вости. Докажем необходимость условия (23). Для этой цели допустим, что
lim Vn (Μ,) = α > 0,
и построим непрерывную неотрицательную функцию φ (Ρ), равную нулю
в р-окрестности точки Мг и равную ν (ν ]> 0) в р-окрестности некоторой точ-
ки Μ2 поверхности S. Число ρ мы выберем при этом настолько малым, чтобы
р-окрестности точек Мг и М2 не пересекались, а число ν — настолько боль-
шим, чтобы при всех достаточно больших η на поверхности σ имело место
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
205
неравенство
С/п,ф(Р)>1. (24)
Такое ν существует в силу отмеченных выше свойств гармонической меры.
Из неотрицательности φ и неравенства (24) следует, что всюду в области Δ„
будем иметь
Un,v (Ρ) > Vn (P).
Следовательно,
lim г/П|ф {Мх) > а > 0,
п-»оо
учитывая, что φ (Мх) = 0; отсюда заключаем, что Мг не есть точка устой-
чивости.
Переходя к доказательству достаточности условий, ограничимся рассмот-
рением условий (22) и (23), ибо доказательства достаточности (21) и (23)
вполне подобны.
Начнем с доказательства достаточности условия (23). Нам нужно дока-
зать, что при соблюдении условия (23), какова бы ни была функция φ (Ρ),
определенная и непрерывная в окрестности поверхности S, всегда имеем
lim υηΛ (Мг) = φ (Мг), lim Σ7φ (Ρ) = φ (Мг),
П-+00 Ρ-*ΜΧ
а также
lim иф (Р) = φ (Мг).
р-*мх
Для этой цели фиксируем функцию φ (Ρ) и произвольное положительное
число ε. Определим теперь число ρ настолько малым, чтобы в 4р-окрестности
точки М1 колебание функции φ (Ρ) не превышало числа ε/2. Построим
вспомогательную функцию ψ(Ρ), обладающую следующими свойствами:
1)ψ (Ρ) определена и непрерывна в окрестности поверхности S; 2) ψ(Ρ) =
= φ (Мх) во всех точках 2р-окрестности точки Мг; 3) колебание ψ (Ρ) в 4р-
окрестности точки М1 не превосходит ε/2; 4) ψ (Ρ) = φ (Ρ) вне 4р-окрестно-
сти точки Мх. В силу принципа максимума, очевидно, имеем
■ I Un^ (Р) - Un# (Р) \ < ε/2, | Ип§ф (Р) - ипЛ (Ρ) | < ε/2. (25)
Кроме того, в силу рассмотрений, сделанных в начале этого подраздела,
существует положительная константа ν, такая, что при всех достаточно боль-
ших значениях η во всех точках Δη, принадлежащих р-окрестности точки М1ч
будем иметь с
ип# (Р) + Wn (Ρ) > φ (Мг) - ε/8; Un# (Ρ) - vVn (Ρ) < φ (Мг) + ε/8. (26)
Аналогично, обозначая через νη (Ρ) гармоническую функцию, правильную
в области δη и принимающую на sn значение нуль, а на σ значение единица,
будем иметь
ип# (Ρ) + ννη (Ρ) > φ (Мг) - ε/8, ипЛ (Ρ) - ννη (Ρ) < φ (Мг) + ε/8 (27)
для всех точек области δη, принадлежащих р-окрестности точки Мг. Из не-
206
77. Теория гармонических функций
равенств (26) и (27) получаем
I ипЛ (Р) - φ (Мг) | < 2Wn (Ρ) + ε/4,
I un^ (Ρ) - φ (Мг) I < 2ννη (Ρ) + ε/4.
С другой стороны, в силу условия (23) и непрерывности функции Vn (P)
найдутся_такие числа ^ и η, 0 < η < ρ, что во всех точках замкнутой
области D, принадлежащих η-окрестности точки М1ч будем иметь
0 < VN (Ρ) < ε/8ν;
но так как в силу принципа максимума при n^>N Vn (P)<CVn (P) и при
всех η νη(Ρ) < Vn (P), то, следовательно, во всех точках замкнутой области
D, принадлежащих η-окрестности точки М1ч при η ^ Ν будем иметь
1 £/»,* (Р) ~ Ψ (^i) I < ε/2, „ (28)
а для всех точек области δΛ, принадлежащих той же окрестности,
I ипЛ (Р) - φ (Μ,) Ι < ε/2. (29)
Сопоставляя неравенства (25), (28) и (29) при п^> Ν, окончательно полу-
чаем
I U„,9 (Р) - φ (Μ,) Ι < ε/2, Ι ип,ф (Ρ) - W(M,) | < ε/2,
что полностью доказывает высказанное утверждение.
Из доказанной достаточности условия (23) нетрудно показать достаточ-
ность условия (22). В самом деле, рассмотрим функцию Грина для области
Vn (P) = U"n (P) - 1/r,
где г — расстояние от точки Р0 до точки Р. Построенная функция Vn(P)
отрицательна в области Dn и равна нулю на поверхности Sn. Обозначим че-
рез — μ (μ ]> 0) ее максимальное значение на сфере σ. В силу принципа мак-
симума будем иметь
0 > - μνη (Μ,) > Vn (M}),
но так как по условию lim Vn (Мг) = 0, то, следовательно, lim Vn(M1)'= 0,
Π—*σο Π—*σο
т. е. из условия (22) следует условие (23).
Рассуждения, подобные приведенным при доказательстве леммы 2, поз-
воляют установить следующий критерий правильности точки поверхности
S: для того чтобы точка Ρ поверхности S была правильной точкой, необхо-
димо и достаточно существование гармонической функции U (М), правиль-
ной в D и такой, что: 1) lim U (Μ) = 1; 2) U (Μ) < 1 в области D.
М-+Р
Глава II
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
5. СВЯЗИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ПОНЯТИЯМИ УСТОЙЧИВОСТИ
И РАЗРЕШИМОСТИ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ
Начнем с выяснения связи между вопросами разрешимости и устойчи-
вости проблемы Дирихле. В силу леммы 2 мы имеем здесь прежде всего еле*
дующее предложение.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
207
Теорема 2. Если точка Μ поверхности S есть точка устойчивости,
то эта точка Μ — правильная точка (относительно проблемы Дирихле),
Установим теперь связь между устойчивостью внутри области, в замкну-
той области и разрешимостью проблемы Дирихле.
Теорема 3. Если проблема Дирихле всегда разрешима в области D
и если проблема Дирихле устойчива внутри D, то она устойчива в замкнутой
области D.
В самом деле, пусть φ (Ρ) — произвольная функция, определенная и не-
прерывная в некоторой окрестности поверхности S. В силу условий теоремы
и определений, принятых в подразд. 1, функция υφ (Ρ) равномерно непре-
рывна в области D и принимает на поверхности S значения φ (Ρ); кроме
того, внутри области D имеем
lim Σ7η§φ (Ρ) = щ(Р), (30)
W-»oo
причем сходимость равномерна внутри области D.
Заметив это, фиксируем произвольное положительное число ε и опреде-
лим число т так, чтобы при η ^> т из выполнения неравенства
| Ε/„,φ (Р) - щ (Р) | < ε/2
на поверхности Syn следовало неравенство
Ι υη,φ (Ρ) - φ (Ρ) |< ε
на граничной поверхности S. Существование такого числа т следует из тео-
ремы 1. Зафиксировав т, в силу равномерной сходимости последовательно-
сти £/i,<p, U2,q>, . · ., Un,q>, . . . внутри D мы можем определить такое число Nr
N ^> т, что при η ^> Ν на поверхности sm будем иметь
I С/пзФ (Р) - Щ (Ρ) Κ ε/2,
но в таком случае в силу выбора числа т и принципа максимума при η ^> Лг
в замкнутой области D получим
Ι *7η,φ - Щ (Ρ) Ι < ε.
Теорема полностью доказана.
Совершенно аналогично на основании теоремы 1 можно построить дока-
зательство следующего утверждения.
Теорема 3'. Если проблема Дирихле устойчива внутри области Dr
то каждая правильная точка границы S области D есть точка устойчивости
для проблемы Дирихле.
При выводе критериев устойчивости в области оказывается весьма суще-
ственным редуцировать общую задачу устойчивости к устойчивости пробле-
мы Дирихле в отдельных точках. Мы имеем здесь следующие теоремы.
Теорема 4. Для того чтобы проблема Дирихле была устойчива вну-
три области D, необходимо и достаточно, чтобы множество точек неустой-
чивости поверхности S было множеством гармонической меры нуль.
Докажем сначала достаточность условия. Зафиксируем произвольную
функцию φ (Ρ), определенную и непрерывную в окрестности поверхности S.
Обозначим через Ε совокупность точек устойчивости поверхности S. В силу
условия теоремы имеем
G(E,D,P0) = 1, (31)
208
ТТ. Теория гармонических функций
кроме того, в каждой точке Μ множества Ε имеем
lim υη.φ (Μ) = lim U4 (Ρ) = lim щ (Р) = φ (Μ).
Заметив это, обозначим через Кг верхнюю границу значений разности
£/φ (Ρ) — щ (Ρ) и рассмотрим функцию
Vi (P) = K1-Uq> (Ρ) + ич (Ρ).
Гармоническая функция Vx (P) неотрицательна в области D, причем все
ее предельные значения на множестве Ε равны Кх\ следовательно, в силу
(31) имеем
V1(P)>KiG(E, D, Р) = Ки
т. е. C/φ (Р) — щ (Ρ) ^ 0 в области D.
Аналогично, обозначая через К2 верхнюю границу разности и^ (Р) —
— C/φ (Р) и рассматривая функцию
V2 (Ρ) =Κ2-ηφ (Ρ) - C/φ (Ρ), *
докажем, что С/ф (Ρ) — ия(Р) >0в области D. Таким образом, С/ф (Р) =
= и<р (Р), т. е. проблема Дирихле устойчива внутри области D.
Докажем теперь необходимость условия. Для этой цели допустим, что
множество Ε точек неустойчивости поверхности S имеет положительную гар-
моническую меру G (Е, D, Р) ^> 0, и докажем, что в этом случае проблема
Дирихле не будет устойчива внутри D. В самом деле, обозначим через Vn (P)
и νη (Ρ) гармонические функции, правильные соответственно в областях Δη
jh δη 7 и принимающие на поверхностях Sn, sn значения 0, а на сфере а зна-
чения щ (Р) + 1/р, где ρ — радиус сферы σ, а φ (Ρ) = 1/РР0- Последова-
тельность функций
V, (Р), V2 (Ρ) Vn (P), ... (32)
монотонно убывает вй, а последовательность
ν, (Ρ), ν2 (Ρ), ...,νη (Ρ), . . . (33)
монотонно возрастает, причем в силу леммы 2 в каждой точке Μ множества Ε
имеем lim Vn (Μ) ^> 0. Отсюда заключаем, что существуют два положитель-
77—>оо
ных числа ε и η, такие, что на некотором множестве £", G (£", Δ, PJ ^> η,
Ε' (Ζ Ε, будем иметь lim Vn (M) ^> ε, где Δ — область, ограниченная S
П->оо
и σ; Рх — фиксированная точка области Δ.
Обозначим теперь соответственно через Еп и еп,т множества точек поверх-
ностей S и 5Ш, в которых Vn (Μ) ^> ε. Множества Еп и еПут суть открытые
множества; следовательно
lim G (епт, 6т, Рг) > G (Еп, Δ, Рг).
т-*оо
Кроме того, так как последовательность (32) монотонно убывает, то мно-
жество Еп содержит множество Е' и, следовательно, при любом η имеем
G(En4 Δ,Λ)>η-
7 Δη согласно обозначениям, принятым в подразд. 3, есть область, ограниченная поверх-
ностью Sη и поверхностью сферы σ с центром в точке Р0, принадлежащей D; δη — об*
ласть, ограниченная яп и σ.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
209
Отсюда заключаем, что, каково бы ни было число я, при т достаточно
большом, совокупность точек поверхности 5^, в которых
Vn (Ρ) = Vn (Ρ) - ν* (Ρ) > ε,
будет иметь относительно точки Рх гармоническую меру, большую η ; но
в таком случае, так как всюду Vn (Ρ) > v-m (P), будем иметь
Vn (Ρ,) - vm (P,) > εη.
Следовательно, обозначая соответственно через V (Ρ) и ν (Ρ) пределы по-
следовательностей (32) и (33), всюду в области Δ будем иметь
V (Ρ) > υ (Ρ). (34)
Полагая, как и раньше, φ (Ρ) = 1/РР0ч докажем, что функции иф (Р)
и C/φ (Р) не совпадают внутри D. Допустим от противного, что иф (Р) =
= C/φ (Р), но в таком случае, полагая РР0 = г, получим
V (Р) = C/φ (Р) + 1/г.
Кроме того, по построению, ν (Ρ) = υφ (Ρ) + 1/г, следовательно, всюду
в области Δ имеем V (Ρ) = ν (Ρ), что противоречит (34). Теорема полностью
доказана 8.
Сопоставляя теоремы 2—4, получим как следствие теорему, дающую воз-
можность судить об устойчивости в замкнутой области по устойчивости
в граничных точках.
Теорема 5. Если каждая точка поверхности S есть точка устойчи-
вости, то проблема Дирихле устойчива в замкнутой области.
Глава III
ПРИМЕР НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
6. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ
В предыдущих подразделах были даны определения устойчивости задачи
Дирихле и было показано, каким образом различные определения связаны
между собой. Для того чтобы оправдать эти определения, покажем теперь,
что неустойчивость задачи Дирихле в самом деле может иметь место. Оче-
видно, что всякая иррегулярная точка границы области является точкой не-
устойчивости. Уже отсюда следует, что если задача Дирихле не всегда раз-
решима в области D, то она неустойчива в этой области. Однако существуют
области D, в которых задача Дирихле разрешима при любых непрерывных
данных и в то же время неустойчива. Докажем следующее предложение:
Существует односвязная область D, ограниченная простой замкнутой
поверхностью Жордана £, имеющей конечную площадь, и обладающая свой-
ствами: 1) проблема Дирихле разрешима в области D при любых непре-
рывных данных на S; 2) проблема Дирихле неустойчива внутри области D;
3) множество точек неустойчивости границы D имеет поверхностную меру
нуль.
8 Несущественно меняя доказательство необходимости условия, можно также получить
следующий результат: для того чтобы проблема Дирихле была устойчива внутри облас-
ти D, достаточно, чтобы она была устойчива в одной точке области Ζ>·
14 М. В. Келдыш. Математика
210
II. Теория гармонических функций
7. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
При построении области D, обладающей указанными свойствами, мы бу-
дем опираться на три вспомогательных предложения из теории гармониче-
ских функций, на доказательстве которых остановимся прежде всего.
Лемма 3. Пусть Σ — система конечного числа кусков аналитических
поверхностей', V — потенциал простого слоя с непрерывной плотностью,
распределенной на Σ.
Каковы бы ни были положительные числа г и η, можно построить непре-
рывную во всем пространстве функцию W, обладающую следующими свойст-
вами:
1°. W есть потенциал простого слоя с непрерывной плотностью, распо-
ложенной на конечном числе сфер σ1? σ2, . . ., оп, центры которых лежат на Σ.
2°. Сумма площадей поверхностей сфер ак не превосходит η.
3°. На каждой сфере ак функция W принимает постоянное значение, рав-
ное значению V в центре ак.
4°. Во всем пространстве имеет место неравенство \ V — W | < ε.
В самом деле, заданная функция V может быть представлена в виде
γ ( d\ _ С С Ρ ds
<РН$
R
где R — расстояние от точки Ρ до точки Μ поверхности Σ ; ρ — плотность
слоя на Σ; ds — элемент поверхности Σ.
Обозначим через Ρ какую-нибудь точку Σ; пусть Σ (Ρ) —некоторый од-
носвязный кусок Σ, содержащий точку Р. Мы назовем внутренним радиусом
г' куска Σ (Ρ) (относительно точки Р) верхнюю грань радиуса сферы с цент-
ром в точке Р, не содержащей точек Σ, не лежащих внутри Σ(Ρ). Внешним
радиусом участка Σ(Ρ) относительно Ρ будем называть нижнюю грань ра-
диусов сфер с центром в Р, содержащих Σ(Ρ). Очевидно, г' < г".
Имея в виду, что Σ состоит из конечного числа кусков аналитических по-
верхностей, легко убедиться, что существует число А, такое, что, каково бы
ни было число δ, область Σ может быть разбита на конечное число кусков
Σ (Ph) с внутренними и внешними радиусами rk и rk и площадями sk, удовле-
творяющими следующим условиям:
r£<6, rk<Ark, sk<Ark2. (a)
Перейдем теперь к построению сфер σ1? σ2, . . ., ση. Обозначим через μ
максимум |.р (Μ) | и через s площадь Σ. Пусть d — число, обладающее сле-
дующим свойством: какова бы ни была сфера радиуса Ы с центром Р, инте-
грал \\-=-, распространенный на часть Σ, содержащуюся в этой сфере,
J J MP
не превосходит ε/12μ (Λ + 2). Легко показать, что такое число существует
в силу аналитического характера Σ.
Пусть теперь δ — число, удовлетворяющее неравенствам
и такое, что при МхМг <^2δ
| V (МО - V (Мг) | < ε/4,- | ρ (Μ\) - ρ (Мг) | < erf/24s. (с)
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
211
Разобьем поверхность Σ на части Σ (Рк), удовлетворяющие условиям (а)
Через σ& обозначим сферу с центром в точке Рк и радиусом рк = — гкЛ/ -~.
Из неравенства рк < гк/2 и из определения чисел гк следует, что сферы ок
не имеют общих точек. Построенные сферы удовлетворяют условию 2° лем-
мы. В самом деле,
Упл. Ы = ^4лр£<^я^-^<г],
так как площадь Σ (Рк) превышает пгк.
Функцию W мы определим теперь следующим образом: 1) W = V (Рк)
внутри и на границе сферы ок; 2) вне сфер ак функция W есть решение задачи
Дирихле, исчезающее на бесконечности и принимающее на поверхностях
ок постоянные значения V (Рк)-
Очевидно, что построенная функция удовлетворяет условиям 1° и 3°
леммы. Остается доказать, что удовлетворяется условие 4°.
Условие 4°, очевидно, выполняется внутри каждой из сфер, так как
Рк < η < δ, а при РкМ < δ
\V(M)-V (Ρ,) Ι < ε/4.
Докажем, что условие 4° выполняется вне сфер σ^. Для этого рассмотрим
вспомогательную функцию
υ(Ρ)=Σ
Ррч
гармоническую вне сфер σ^. Покажем прежде всего, что \ U — V | < ε/4
вне сфер ак. Функция U — V гармонична в области Du лежащей вне сфер
ок и Σ, и исчезает на бесконечности. Поэтому достаточно доказать, что пре-
дыдущее неравенство выполняется на границе этой области. Рассматривае-
мая разность может быть записана в виде
2-λ pp. J рм
a·) L * (ςρλ)
Точка границы Dx принадлежит к одной из частей этой границы, состоящей из
участка Σ (Рк), лежащего вне ок, и поверхности ак. Пусть / — индекс этой
части. Имеем в силу (а), (Ь) π определения рк
PP. ^ Ρ, Г ^ Г У η ^12
3 J
Рассмотрим теперь члены суммы, такие, что хотя бы одна точка Σ (Рк)<
попадает в сферу радиуса d с центром в точке Р. Вследствие того, что гк <
< δ < d, для этих слагаемых Σ(Ρ1{) содержится в сфере радиуса 3d с цент-
ром в точке Р.
Если к φ /, то, обозначив через Μ произвольную точку Σ (Рк), можно·
напиёйть
' ;' Д _ 1 РМ ^ 1 Щс + гн
РР'к ~ РМ РК ^ Ш ТГк
14*
212
'II. Теория гармонических функций
и, так как при к Φ j имеем PPt. > г£, r£ < Лт>, получаем
1 <(1 + ^) 4
РР
рм
откуда
рр* Лрм
Имея в виду оценку для Sjp(Pj)/PPj и полученное неравенство, можно для
суммы всех рассматриваемых слагаемых написать
Σ'Ι<Σ'[
(к) L
РР,.
+
5 #11<£+<*+М5£
гсяЛ)
где интеграл, стоящий справа, распространяется на часть Σ, лежащую вну-
три сферы радиуса Ы с центром в точке Р, но тогда по самому определению
числа d получаем | Σ' | < ε/6.
Остается еще оценить сумму Σ" слагаемых, обладающих следующим свой-
ством: 2(Pfr) лежит целиком вне сферы радиуса d с центром в точке Р. Имеем
I ^ 2j pp.
ρ (Μ) ds
Ты
<
^
(кЛ Lv/l, \
\p(M)~p(Pk)\ds
Tm
•|pC>)I \\
2(Pfc)
PM-
I£jLds
PM РРъ
(к) L2(*>) Σ(ΡΛ) x '" x x fc
Но в области Σ (Pk) имеем MPk < 2δ и, следовательно, в силу (с)
| ρ (Μ) - ρ (Ρ,) Ι < ed/24*, \PM-¥Fk\<2b\
кроме того, РРк ]> d, PM^> d и | ρ (Ρλ.) | < μ, поэтому в силу (Ь)
2δμ
+ —< —
^ гь ^- lz
и, следовательно,
! С/ (Р) - F (Р) |< | Σ' | + | Σ" | < ε/4.
Оценим теперь разность \ U — W | в области Ζ)2, лежащей вне сфер ок.
Функция U — W гармонична в области D2 и исчезает на бесконечности,
поэтому достаточно ее оценить на границе D2. В точке Ρ границы D2 имеем
W = V (Р/,), поэтому
\ U (Р) - W (Р) \ ^ \ U (Р) - V (Р) \ + \V (Р) - V (Р,) | < ε/2.
Таким образом, в об»«рети D2 имеем одновременно два неравенства
| и — W |< ε/2, | U - V |< ε/2, .
откуда следует | V — W | < ε, и, следовательно, условие 4° леммы выпол-
няется. Это полностью'доказывает лемму 3.
Отметим следующее специальное предложение, которое нам потребуется
непосредственно при конструкции области D.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
213
Лемма 4. Пусть σ1? σ2, . . ., ση — конечное число сфер, лежащих
внутри сферы D0; V (Ρ) — непрерывная функция, определенная внутри
D0, гармоническая всюду в D0, за исключением поверхностей сфер ак, обращаю-
щаяся в нуль на границе D0u равная единице в сферах ак.
Существует система сфер σ/Γ>7η, обладающая следующими свойствами:
1) сфера ок,т лежит внутри сферы ак:
2) сумма площадей поверхностей сфер ок,т не превышает η;
3) непрерывная в D0 функция U (Р), гармоническая вне поверхностей сфер
ак,т, равная нулю на границе D0 и единице на границах Ок,т, удовлетворяет
неравенству
\U(P)-V(P)\< г.
Это предложение есть непосредственное следствие леммы 3. Пусть ак —
сфера, концентрическая с ак, содержащаяся в ок, и V (Р) — непрерывная
в D0 функция, гармоническая во всех точках D0, не лежащих на поверхно-
стях ак, обращающаяся в нуль на поверхности й0ив единицу на поверхно-
стях ак. Если радиусы сфер ак достаточно близки к радиусам соответствую-
щих сфер ок, то имеем 9
| V (Р) - V (Р) | < ε/2. (35)
Функция V' (Р) может быть представлена как сумма потенциалов простого
слоя Vv лежащего на поверхностях {σ^.}, и V'2, лежащего на поверх-
ности D0:
V' (Ρ) = V[ (Ρ) + V\ (Ρ). (36)
На основании леммы 3 можно построить сферы ак,т с центрами на поверхно-
сти ок, удовлетворяющие условиям 1 и 2, и потенциал простого слоя Уц
лежащего на поверхности этих сфер, удовлетворяющий неравенству
I Vl (Ρ) - V[ (Р) | < ε/6 (37)
всюду и неравенству
! Vl (Ρ) + Vl (Ρ) - 1 |< ε/6
на поверхности σ*·,m. Но тогда функция U — Vi — V2, гармоническая в Z)0,
всюду, кроме поверхностей ак,т, на этих поверхностях и на границе D0
не превосходит ε/З; следовательно, всюду в D0 эта функция остается меньше,
9 В самом деле, если pi и р^ — радиусы сфер σ& и ок, а гк — радиус наибольшей кон-
центрической с ок сферы, принадлежащей D0, то на основании принципа максимума
имеем в слое между сферами с радиусами pic и гк
V{P)> ^ \'1Г-~) ·
где R — расстояние от центра σ^. до Р. В частности, на сфере получим
Pfr / Ρ* ~ Pfr \
P* \ ^-P/r /
а так как V (Ρ) < 1, то отсюда следует, что на ок имеем V (Р) -* 1 и тогда всюду
в D0 V (Ρ) - V (Ρ).
214 II. Теория гармонических функций
чем ε/З. Это вместе с (35) и (37) дает
| U (Р) - V' (Р) | < ε/2, (38)
и из (35) следует выполнение свойства 3.
Лемма 5. Пусть L — система конечного числа дуг аналитических
кривых; F — замкнутое множество, не имеющее общих точек с L. Тогда су-
ществует окрестность Δ (ε) системы дуг L, обладающая следующими свой-
ствами:
1) замкнутое множество F и замкнутая область Δ (ε) не имеют общих то-
чек',
2) каковы бы ни были область Ζ), содержащая F, и гармоническая в области
D функция U, удовлетворяющая неравенству \ U | < 1 и обращающаяся
в нуль на части границы D, лежащей вне области Δ (ε), на всем множестве F
удовлетворяется неравенство \ U | < ε.
В самом деле, пусть 0 < ε < 1. Обозначим через I сумму длин дуг си-
стемы L, а через ρ расстояние между множеством F и системой линий L.
Рассмотрим функцию
L
где R — расстояние от некоторой точки Ρ до точки Μ системы линий L.
Пусть Δ (ε) — множество точек, в которых W (Р) ^> 1; Δ (ε) содержит си-
стему линий L. На множестве F, очевидно, имеем W < ε и, следовательно,
F и Δ (ε) не имеют общих точек. Пусть/) — произвольная область, содержа-
щая F, a U — функция, определенная в D и удовлетворяющая требованиям,
поставленным в 2). В точках границы D, лежащих вне Δ (ε), имеем U =
= 0 < W, а в точках границы D, принадлежащих Δ (ε), U < 1 < W.
На основании принципа максимума всюду в D имеет место неравенство
U < W, а, следовательно, на множестве F имеем U < ε. Аналогично пока-
жем, что на этом множестве U ^> — ε.1
8. КОНСТРУКЦИЯ ОБЛАСТИ
С НЕУСТОЙЧИВОЙ ЗАДАЧЕЙ ДИРИХЛЕ
Теперь мы можем перейти к построению области, удовлетворяющей
условиям предложения, сформулированного в начале этой главы.
Пусть D0 — сфера радиуса 1 с центром в начале координат и ε — произ-
вольная положительная величина. Построим системы конечного числа
сфер σ№.. .frn, определяемые следующим образом: система akl состоит из
одной сферы радиуса V2 с центром в начале координат. Остальные системы
сфер должны удовлетворять условиям:
a) сфера σ*Λ... kn содержится в akxk%... ъПшт1\
b) сумма площадей поверхностей всех сфер σ^...^ не превышает 2~п;
c) пусть Un — непрерывная в D0 функция, гармоническая всюду, кроме
точек поверхностей сфер σ^2...^, обращающаяся в нуль на границе D0
и равная единице на поверхности каждой из сфер су^,...лп· Тогда имеет ме-
сто следующее неравенство:
|tfn-C„-i |< ε/2", я>1.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
215
Построение систем сфер, удовлетворяющих всем поставленным условиям,
возможно в силу леммы 4. При этом мы можем считать, что ни одна из сфер
σ№ не содержит начала координат.
Пусть. Π — совершенное множество точек, принадлежащих системе
■сфер (Тл·^·.... &п при любом значении п.
R CHiy h) множество II имеет поверхностную меру, равную нулю.
В силу а) и с) последовательность функций Un сходится к функции С/,
непрерывной в2)0и гармонической в области /)(0), получаемой удалением из
Л0 точек множества П. На множестве Π функция U принимает значения,
равные единице. Имея в виду, что иг (0) = 1, получаем U (0) }> 1 — е.
Определим теперь систему аналитических дуг h^.. л-п следующим обра-
зом: дуги lbllt2 соединяют некоторую точку Р0 границы D0 с точками Р^,
лежащими на поверхностях σ№. При этом дуги Zfrlfr2 не пересекаются нигде,
кроме точки Р0, и ни одна из цих не проходит через начало координат.
Дуги Z№...bn_l5i соединяют точку Ры2...кп_г поверхности сферы a/,lfct...fcn_1
с точками Рм^.л^и лежащими на сферах afelfc2...fen_lj{. При этом дуги
4ifc2...fcn_ri остаются внутри области ~οκΧκ2...κη-ν получаемой удалением из сферы
'σ№...&η_1 всех сФеР awv...fcn_Li, и не имеют точек пересечения, отличных от
* kifci...^-!·
Пусть ^Hikt...k — множество точек, отстоящих от 1^2...и на расстоя-
нии, не превышающем δη, и принадлежащих области %li#ifr . Число δη мо-
зкет быть выбрано настолько малым, чтобы выполнялись условия:
d) множество £№.../Сг1 _1 = УАк1к2...кп_1,г не содержит контуров, не стяги-
(г)
ваемых внутри него в точку;
e) площадь поверхности множества Δ(η) = 2 Afc^ л не превосходит
•1/2п;
f) каковы бы ни были область Ω, содержащая начало координат, и гармо-
ническая функция Η (Ρ), определенная в Ω, удовлетворяющая в Ω неравен-
ству | Η (Ρ) Ι < 1 и обращающаяся в нуль в точках границы Ω, не принад-
лежащих Δ(η>, выполняется неравенство | Η (0) | < ε/2η.
Возможность удовлетворить условию f) вытекает из леммы 5. Что же
касается условий d) и е), то им, очевидно, удовлетворить можно.
Через D мы обозначим область, получающуюся удалением из сферы D0
точек, принадлежащих множеству Π и всем множествам Δ^). В силу усло-
вия d) область D односвязна. Легко усмотреть, что граница области D
есть простая замкнутая поверхность Жордана. Мы будем ее обозначать че-
рез S. Часть S, принадлежащую границе сферы Z)0, обозначим через £0;
множество точек S, получаемое удалением из S множеств Π и S0, обозначим
через St. Пользуясь условием е) и тем, что множество Π имеет поверхност-
ную меру нуль, легко усмотреть, что S имеет конечную площадь:
пл. (S) < пл/(50) + V2.
Докажем, что область D удовлетворяет условиям предложения, сформу-
лированного в начале этой главы. Прежде всего мы покажем, что проблема
Дирихле разрешима в области D при любых непрерывных данных на по-
верхности S.
216
II. Теория гармонических функций
Заметим, что всякая точка S, принадлежащая S0 + Su есть регулярная
точка. В самом деле, в окрестности такой точки Ρ поверхность S кусочно-
аналитична. Отсюда следует, что Ρ есть регулярная точка и, более того, точ-
ка устойчивости задачи Дирихле. Нужно еще показать, что любая точка
множества Π есть регулярная точка. Для этого достаточно установить
существование регулярной гармонической функции W, определенной и огра-
ниченной в D, обращающейся в нуль на части границы S0 и равной единице
на St + Π (см. подразд. 3).
Пусть Dn — область, получаемая удалением из сферы D0 множества точек
Δη = Δ<2> + Δ<3> + . . . +Δ(η> и точек, принадлежащих всем сферам п-то
порядка σ^2...Λ · Через ΖΚη> обозначим область, получаемую удалением из
D0 всех сфер п-то порядка (XMfc2...fcn· Пусть Wn — гармоническая в Dn функ-
ция, равная нулю в точках границы Dn, принадлежащих 50, и единице во
всех точках границы Z)n, принадлежащих D0. Под Un будем подразумевать
функцию, определенную в условии с).
Имея в виду, что 2i σ№2...κη содержит Δ<η> и все сферы σ№...&· , и при-
(ки ..., Ttn) n
меняя принцип максимума, убеждаемся, что Wn ]> Wn+i в области Dn.
В самом деле, в точках границы Z)n, принадлежащих S0 и Δ<η), имеем
Wn = P^n+i, а на сферах oklktmtmlen выполняется неравенство Wn = 1 > Wn+i
Замечая, что Wn ]> 0, на основании теоремы Харнака заключаем, что по ·
следовательность Wn сходится равномерно внутри D. Пусть W— предель"
ная функция этой последовательности. Функция W гармонична в D и имеет"
предельные значения, равные нулю на £0, так как W < Wn. Предельные
значения W на St равны единице, так как точки S1 регулярны. Остается до-
казать, что предельные значения ТУ равны единице в точках множества П.
В этом легко убедиться, сравнив области Dn и ZKn> и применив принцип мак-
симума к разности Wn — Un. Имеем в Dn неравенство Un < Wn и, следо-
вательно, U < W; но предельные значения С/, а следовательно, и W на мно-
жестве Π равны единице.
Докажем теперь, что проблема Дирихле неустойчива внутри области D.
В самом деле, рассмотрим функцию U (Р), определенную на с. 215.
Функция U (Р) есть правильная гармоническая функция в области Dy
имеющая непрерывные предельные значения на S.
В начале координат имеем
U (0) > 1 — ε. (39)
Пусть φ (Ρ) — непрерывная во всем пространстве функция, совпадаю-
щая с U (Р) в сфере D0 и равная нулю вне сферы D0. Значения φ (Ρ) на 5,
очевидно, совпадают с предельными значениями U (Р) на S. Покажем, что
какова бы ни была односвязная область/)', граница S' которой есть поверх-
ность Жордана, целиком лежащая вне области D = D + 5, гармоническая
функция U' (Р), определенная в D' и имеющая на S' предельные значения,
равные φ (Ρ), удовлетворяет неравенству
U' (0) < ε. (40)
Предполагая, что e<jjl/2f и сравнивая неравенства (39) и (40), убеждаем-
ся, что проблема Дирихле с граничными данными на S, равными φ (Ρ), не-
устойчива в области D.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле 217
Докажем неравенство (40). Для этого заметим прежде всего, что точки
поверхности S' лежат в области, образованной внешностью сферы D0 и ко-
нечным числом множеств Д(п). В самом деле, если бы существовало бесконеч-
ное множество А{п\ содержащих точки S', то расстояние между S' и Π было
бы равно нулю и, следовательно, S' и Π имели бы общую точку, что невоз-
можно по предположению. Пусть Δ^, Δ(2\ . . ., А^ суть все те области
Δ^, которые содержат точки S'. Обозначим через Нк (Р) гармонические функ-
ции, определенные вне Δ^, равные единице на границе Δ<Α> и обращаю-
щиеся в нуль на бесконечности. Согласно f) имеем
\Нк(0) |< ε/2*;
с другой стороны, учитывая, что φ (Ρ) = 0 вне D0, φ (Ρ) < 1 в D0, и приме-
няя принцип максимума, заключаем:
U' (Р) < Н, (Р) + Н2 (Р) + . . . + Нп (Р)
в области D' и, следовательно,
ff'(0)<-J-+-fr + ... + -£r<e.
Таким образом, D удовлетворяет всем поставленным выше условиям.
Заметим, что каждая точка неустойчивости границы S области D есть
точка множества П. Множество П, как уже было отмечено, имеет поверх-
ностную меру, равную нулю. С другой стороны, из теоремы 4 следует, что
гармоническая мера множества Π положительна. Пользуясь свойствами с)
и f), можно показать, что гармоническая мера Π превышает 1—2ε. Таким
образом, имеем предложение:
Существуют односвязная область D, ограниченная простой замкнутой
поверхностью Жордана S конечной площади, и совершенное множество Пг
лежащее на S, поверхностной меры нуль и такое, что гармоническая мера Π
в точке области D превосходит 1 — ε, где ε ^> 0 — произвольно малое число.
Отсюда, в частности, вытекает следующее предложение:
Существуют односвязная область D, ограниченная простой замкнутой
поверхностью Жордана S конечной площади, и ограниченная гармоническая
функция, отличная от нуля и имеющая почти всюду на S предельные значе-
ния, равные нулю.
В самом деле, всем условиям теоремы удовлетворяет гармоническая мера
множества П, т. е. G (П, D, Р).
Глава IV
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
В ГРАНИЧНОЙ ТОЧКЕ
9. ПОНЯТИЕ ВНУТРЕННЕЙ ЕМКОСТИ
ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА
Можно указать критерий устойчивости задачи Дирихле в точке границы S
области D, аналогичный критерию Винера, для того чтобы точка границы
была регулярной. Для формулировки этого критерия нам понадобится По-
нятие внутренней емкости открытого множества, аналогичное обычному по-
нятию емкости множества.
218
77". Теория гармонических функций
Пусть О — открытое множество, дополнение к которому есть связный
континуум, содержащий бесконечно удаленную точку. Обозначим через
0Х, 02, . . ., Оп, . . . последовательность открытых множеств, обладающих
следующими свойствами:
1) множество Оп содержится в Оп+1 и в О и при η ->- сю lim On = О;
2) множество Оп ограничено конечным числом аналитических поверхно-
стей и его граница Ση является в то же время границей области, содержащей
бесконечно удаленную точку.
Построим последовательность функций Vn, гармонических вне множеств
Оп + Ση, имеющих на Ση предельные значения, равные единице, и исчезаю-
щих на бесконечности.
Внутренней емкостью множества О мы будем называть число
Ι С Р dV
λ = — -i-Hm \\—2-da,
где ν — нормаль к поверхности Ση, направленная вне множества Оп. В том
случае, когда множество О есть открытое множество, граница Σ которого
является суммой конечного числа аналитических поверхностей, ограничиваю-
щих область, содержащую бесконечно удаленную точку, внутренняя ем-
кость множества О может быть определена непосредственно формулой
где V—гармоническая функция, определенная вне О + Σ, исчезающая на
бесконечности и имеющая предельные значения, равные единице на Σ.
В этом случае внутренняя емкость О совпадает с обычной емкостью О.
Вообще говоря, внутренняя емкость λ не превосходит обычной емкости у
множества О. В этом легко убедиться на основании принципа максимума.
Отметим следующее предложение, доказательство которого непосред-
ственно вытекает из принципа максимума.
Пусть О — открытое множество, дополнение которого связно; Ε —
замкнутое множество, лежащее внутри О. Емкость множества Ε не пре-
восходит внутренней емкости множества О.
10. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ТОЧКЕ
Пользуясь определением внутренней емкости, можно сформулировать:
Теорема 6. Пусть Ρ — граничная точка D;Xn— внутренняя емкость
множества Еп точек дополнения к D = D + S, расстояние которых от точ-
ки Ρ заключено между 2~n+L и 2~п. Точка Ρ является точкой устойчивости
или неустойчивости задачи Дирихле в зависимости от того, расходится или
сходится ряд 10
1 2"λη. (41)
г=1
10 Как известно, согласно Винеру, точка Ρ границы S области D является регулярной
или иррегулярной точкой в зависимости от того, расходится или сходится ряд ^ 2ηγη,
n=l
где уп — емкость множества Еп точек дополнения к D, расстояние которых от Ρ заклю-
чено между 2~п~1 и 2"п.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
219
Доказательство этой теоремы опирается на следующую известную лем-
му:
Пусть О ограничено системой Σ аналитических поверхностей, V — гар-
моническая функция, определенная вне О + Σ, равная единице на границе О
и исчезающая на бесконечности, и пусть у — емкость Е. Тогда
y/r"<V(P)<y/r', (42)
где г" — максимальное, а г' — минимальное расстояние от Ρ до точек мно-
жества О = О -+ Σ.
Докажем теперь, что если ряд (41) сходится, то точка Ρ есть точка не-
устойчивости.
Для этого подберем такое число т, что
|, 2Х<1/4. (43)
Пусть φ (Μ) — непрерывная во всем пространстве функция, равная
нулю вне сферы ат^ радиуса 2"m+1 с центром в точке Р, принимающая зна-
чение единица в точке Ρ и нигде не превосходящая по абсолютной величине
единицу. Мы покажем, что задача Дирихле в области D с граничными дан-
ными φ (Μ) на S неустойчива в точке Р.
В самом деле, пусть S' — какая-нибудь аналитическая поверхность,
лежащая вне области D, и U — гармоническая функция, определенная вну-
три области D' ZJD, ограниченной поверхностью S', и принимающая пре-
дельные значения φ (Μ) на 5". Вся поверхность S' лежит вне некоторой
сферы с центром в точке Ρ и радиусом 2~q. Обозначим через Оп множество
точек дополнения к D', лежащее в слое, заключенном между сферами радиу-
сов 2"n+1 и 2~" с центрами в точке Р. Пусть Wn — гармоническая функция,
■определенная в области ·0·η, являющейся дополнением к Оп, исчезающая
на бесконечности и принимающая на границе $п значения, равные единице.
Тогда имеем
u^wm + wm+1 + ... + wq = vm,q.
В самом деле, на части границы 5", лежащей вне сферы am_i, имеем U = О
и Vm q ^> 0, а на части границы, лежащей внутри этой сферы, — U <^ 1,
V :> 1
* т, q ^ *- ·
С другой стороны, емкость множества Оп не превосходит λη и, еле-
Q
довательно, в силу (42) Wn (Ρ) < 2ηλη, а поэтому U (Р)< 5J 2ηλη < V4.
п=т
Это доказывает неустойчивость рассматриваемой задачи Дирихле в точке Р.
Для того чтобы доказать вторую часть теоремы, отметим прежде всего
следующую элементарную лемму.
Лемма 6. Пусть V (Р) — гармоническая функция, определенная в сфе-
ре х2 + У2 + z2 ^ ^2» удовлетворяющая неравенству О < V (Р) < 1 и при-
нимающая значение V0 < 1 в начале координат. Тогда в точке Ρ сферы
х2 -\- у2 -\- z2 = Q2R2, О < θ < 1, удовлетворяется неравенство
Γ(Ρ)</(Θ, F0)= 2(1+Θ)Γ0 —-<1;
ν /\/\ υ/ ((1_Θ)2 + 4Θ70)1^[1_Θ + ((1-Θ)2 + 4ΘΓ0)1^ ^
при этом знак равенства достигается для функции U (Р), имеющей предель-
ные значения, равные единице во всех точках сферы Σ: х2 -\- у2 -\- z2 = R2,
220
77. Теория гармонических функций
удовлетворяющих неравенству
cos ψΤΓ&Μ) > 1-2F0,
где Μ — произвольная фиксированная точка сферы х2 + у2 + z2 = i?2,
и предельные значения, равные нулю, в остальных точках этой сферы.
В самом деле, пусть V (Р) — функция, имеющая непрерывные предель-
ные значения и удовлетворяющая условиям леммы. Тогда имеем (полагая
R = 1)
\^Vda=^Vda = inV0. (44)
С другой стороны, функция V выражается интегралом Пуассона:
V(P)=± [[ (\-p*)V(M)de
4π J J (i + p2_2pcos\l))3/* '
где ρ = OP, ψ — угол между лучами OP и ОМ. Имея в виду неравенства
0 < V (М)<С 1 и то, что множитель при V под знаком интеграла есть убы-
вающая функция ψ, заключаем, что V (Р) ^ U (Р).
Непосредственное вычисление U дает U (Р) = / (OP/R, V0).
Таким образом, лемма доказана для непрерывной в замкнутой сфере
функции V. Предельным переходом легко ее распространить на любую огра-
ниченную функцию.
Допустим теперь, что в точке Ρ поверхности S ряд (41) расходится. Для
того чтобы доказать, что проблема Дирихле всегда устойчива в точке Ρ по-
верхности S, согласно подразд. 3 достаточно показать, что устойчива задача
Дирихле с граничными данными на S, равными единице в точках S, при-
надлежащих сфере РМ < 1, и нулю вне этой сферы п.
В силу расходимости ряда (41) расходится один из рядов
оо
25 2»i+^i+j, 7=1, 2,' 3.
г=1
Подобным изменением области D мы можем всегда достигнуть того, что-
бы расходился ряд, соответствующий / = 3. Обозначим через Оп множество
точек дополнения к области D = D + S, принадлежащее слою, заключенно-
му между сферами радиусов 2~зп~2 и 2~зп~3 с центрами в точке Р, и удовле-
творяющее следующему условию: множество Оп есть сумма конечного числа
односвязных областей, каждая из которых ограничена аналитической по-
верхностью; емкость γη множества Оп превосходит λ3(η+1)/2. Такие множест-
ва существуют в силу самого определения внутренней емкости. Очевидно,
ряд
Σ23"γη (45)
расходится. Пусть Wn — гармоническая функция, определенная в области
Δη, получаемой удалением из сферы РМ <; 1 множеств 019 02, · . ., #n-i»
исчезающая на сфере РМ = 1"и имеющая предельные значения, равные еди-
нице на границах Oj (/ <^ /г). Мы докажем, что
lim Wn(P) = 1. (46)
11 Мы считаем, что S имеет точки, лежащие вне сферы РМ < 4.
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
221
В самом деле, если это не так, то
Wn(P)<a<i, (47)
так как функции Wn (Ρ) возрастают вместе с п. Имея в виду, что Wn {Μ) < 1
и гармонична в сфере РМ <[ 2~зп, на основании доказанной леммы заклю-
чаем, что Wn (Μ) < к < 1 в слое 2~зп~3 <; РМ < 2~зп~2, где А; зависит толь-
ко от а. Пусть Яп (М) — гармоническая функция, определенная вне Оп,
принимающая значения, равные единице на границе Опч и исчезающая на бес-
конечности. Положим
И'а (М) =(i-k) [Яп (М) - г3„ ^-з } ·
На основании (42) функция #n (М) отрицательна при РМ > 2~3'1 (так
как расстояние от таких точек Μ до всякой точки Оп превышает 2~3?г—2"3/1~2),
а в начале координат
Н'п (0) > (1 - к) {^ --2_з„_Т"2_з„_2} >(!-*) V.2-.
Из указанных свойств Нп (М) следует
Wn+1 (Μ) > Wn (Μ) + Η'η (Μ).
В самом деле, правая часть отрицательна на сфере РМ = 1, а на грани-
цах 0% не превосходит единицы. Таким образом, написанное неравенство вы-
полняется на границе области An+b а следовательно, и всюду в An+i.
Но тогда
Wn+1 (0) > Wn (0) + 23" (1 - ft) Vn.
Но это неравенство не совместимо с (46), так 1«ак ряд (45) расходится.
Пусть теперь φ (Μ) — непрерывная вне D функция, равная единице
в точках сферы РМ ^ 1 и принимающая предельные _значения, равные
нулю в точках S, лежащих вне этой сферы. ПустьDnZJD —последователь-
ность областей, ограниченных простыми аналитическими поверхностями
Sn, сходящимися к S. Обозначим через Un (M) гармоническую в Dn функ-
цию, принимающую на Sn значения φ (Μ). Чтобы доказать устойчивость
проблемы Дирихле в точке Р, достаточно показать, что
lim Un (P) = 1.
П-*оо
Множества 01ч 02, . . ., От начиная с некоторого момента остаются вне об-
ласти Dn. Пусть δη — общая часть областей Dn и Ат. На границе δη имеем
Un (М) > Wm (Μ). В самом деле, в точках границы б,г, принадлежащих SUJ
имеем Un = 1, Wn <1,ав точках границы δη, принадлежащих сфере РМ =
= 1, имеем U„ > 0, Wn = 0. Так как Ρ содержится в δη, из доказанного
следует Un (Ρ) > Wm (Ρ), и поэтому в силу (46) и так как Un (Ρ) < 1:
lim Un (P) = 1.
n-*oo
Таким образом, теорема 6 полностью доказана.
222
ТУ. Теория гармонических функций
И. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ, ДОСТАТОЧНЫЙ
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Доказанная теорема позволяет установить простое и наглядное геомет-
рическое ус* пвие, достаточное для того, чтобы точка Ρ границы S была точ-
кой устойчивости.
Пусть σ (г) — поверхность сферы с центром в точке Ρ и радиусом г.
Обозначим через δ (г) наибольший диаметр связной части множества точек
е (г) сферы σ (г), принадлежащих дополнению к замкнутой области D. Тогда
имеет место следующее предложение:
Для того чтобы точка Ρ поверхности S была точкой устойчивости, до-
статочно, чтобы существовали числа г0 ^> 0 и /с^>0, такие, что при г <^ η>
в(г)>Л (48>
Заметим прежде всего, что теорему достаточно доказать при к ^> 1.
Для доказательства этого предложения_мы оценим снизу внутреннюю
емкость множества еп точек дополнения к D, заключенных между сферами
σ„ = σ (2-") и an_x = σ (2^).
Допустим, что 1/271"1 < г0; тогда в силу (48) существует замкнутое мно-
жество /п, содержащееся в еп и обладающее следующими свойствами:
1) множество/ (г) точек /п, лежащих на σ (г), пусто или связно; 2) диаметр
d (г) множества / (г) удовлетворяет неравенству
d (r) > гк (49)
для множества η значений г, принадлежащих интервалу (2~п, 2~п+1), линей-
ная мера которого превосходит 2~п — гп, где гп— сколь угодно малое фик-
сированное положительное число.
Внутренняя емкость λη множества еп превышает емкость γη множества
/п, поэтому нам достаточно оценить снизу число γη.
Обозначим через Рг, Рг концы диаметра множества / (г); пусть Μ (г, s) —
ближайшая к отрезку РГРГ точка пересечения множества / (г) с плоскостью,.
проходящей через точку s отрезка РГРГ и перпендикулярной к этому отрез-
ку. Через ρ (s, г; Μ) мы обозначим расстояние от произвольной точки Μ
до точки Μ (г, s). Пусть точка Μ принадлежит сфере σ (г') и проектируется
в точку s' прямой РГРГ. Тогда имеем
ρ (*, г; М) > V, (|r-r'|+ I*-*' I)·
Пусть Рг — точка отрезка РГРГ, совпадающая с Рг, если d (г) <; 2~~п\
и Р\ — точка отрезка РГРГ, отстоящая на расстоянии 2~пт от Ри в том слу-
чае, когда d (r) ^ 2~~пк. Построим гармоническую вне множества fn функцию
а-п+1 ' ' .
Vn=Cn \ αΓ \ р(5, '; М) '
где
Сп = 2п*~* [1 + п(к + 1) 1П2]"1.
Функция Vn всюду положительна и исчезает на бесконечности. Докажем,
что Vn < 1 во всем пространстве. В самом деле, пусть Μ лежит на σ (г') и
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле
22а
sr — проекция Μ на РГРГ. Тогда легко усмотреть, что
■пк
С d* <<i С da —
J р(,, п Μ) **** J |a| + |r_,.'|
= 4 |ln(^4r- +k-r'|)—ln|r-r'|}
и, следовательно,
a-n+i
Fn<4Cn J |1п(^ + |г-г'|)-1п|г-г'|}^<
2-n
—2_ri
= 8Cn{1i-(l_lni)-(ir + ^r)(l-In(Jr + ^r)) +
Оценивая разность двух первых слагаемых, пользуясь теоремой о конечной
приращении, получаем
Vn(M}<8Cn1+n^la2 <i.
Вычислим еще коэффициенты сп при /Г1 (R2 = х2 + у2 -\- z2) в разло-
жении Vn (Μ) по степеням 1/R. Имеем
9-П+1
*п=Сп jj dr J ds>Ch-^\-±r — εη) ,
PrPr
так как множество значений г в интервале (2~п, 2~ш'1), для которых d (г) <С
< 2"пА, имеет меру меньше εη. Подставляя значение Сп, имеем
сп > (2"п - гп)/{8 Ц + п(к + 1) In 2]}.
По определению емкости множества мы можем построить замкнутую ана-
литическую поверхность Σ, содержащую множество /п и гармоническую
функцию £/'(М), определенную вне Σ, исчезающую на бесконечности, при-
нимающую предельные значения, равные единице на Σ, и такую, что коэф-
фициент с\ при R'1 в разложении V (М) по степеням i/R удовлетворяет не-
равенству Сп ^> уп + εη, где уп — емкость множества /п. С другой стороны,
разность V — Vn положительна вне Σ и исчезает на бесконечности; поэтому
коэффициент при i/R в разложении этой функции, равный сп — сп, положи-
телен и, следовательно,
Τη > с'п — ε > сп — ε,
откуда
Уп > (2"п - ε„)/{8 f 1 +' Λ (Α + 1) In 2]}.
224
V/. Теория гармонических функций)
Учитывая, что внутренняя емкость λη множества еп превышает γη, а гп —
сколь угодно малое число, заключаем
λη > 2-rt~3 H + n(k + l) In 2Г1.
Отсюда непосредственно следует расходимость ряда *Σβηλη, а, следова-
тельно, точка Ρ есть точка устойчивости задачи Дирихле.
Глава V
ПРИЛОЖЕНИЕ
К ВОПРОСАМ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ
ГАРМОНИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
Отметим в заключение одно приложение развитой выше теории к задаче
аппроксимации функций гармоническими полиномами.
Теорема 7. Пусть D есть область Жордана, для которой проблема
Дирихле всегда разрешима. При этих условиях^для того чтобы любая функ-
ция F (Р), непрерывная в замкнутой области D и гармоническая внутри D,
была представима в D равномерно сходящимся в D рядом гармонических поли-
номов, необходимо и достаточно, чтобы проблема Дирихле была устойчива
е замкнутой области D.
Докажем достаточность условия. Построим функцию φ (Ρ), непрерывную
во всем пространстве и совпадающую с F (Р) в области Т). Построим, кроме
того, последовательность аналитических поверхностей
расположенных вне D, равномерно сходящуюся к границе S области D.
Пусть Un (P) есть гармоническая функция, правильная в области Dn, огра-
ниченной Sn, и совпадающая на Sn с φ (Ρ). В силу условия устойчивости
последовательность U1 (Ρ), U2 (P), . . ,j_Un (Ρ), . . . сходится равномерно
к функции F (Р) в замкнутой области D. С другой стороны, так как Dn со-
держит D и так как Un (P) правильна в Dn, то отсюда следует, что сущест-
вует гармонический полином Rn (P), отличающийся от Un (P) меньше чем
ла 1/л, в каждой точке области D. Последовательность полиномов Ri (P),
R2 (P), . . ., Rn (Ρ) есть, очевидно, искомая.
Докажем теперь в условиях теоремы, что если любая функция F (Р),
непрерывная в D и гармоническая в D, представима равномерно сходящим-
ся рядом гармонических полиномов, то проблема Дирихле устойчива в замк-
нутой области D.
Итак, пусть φ (Ρ) — произвольная непрерывная функция, определенная
в окрестности границы S области D. Так как согласно условию теоремы проб-
лема Дирихле всегда разрешима для D, то существует гармоническая функ-
ция F (Р), правильная в D и совпадающая на S с функцией φ (Ρ). Заметив
это, зафиксируем число ε, ε ^> 0, и построим согласно условиям доказывае-
мой части теоремы гармонический полином R (Р), отличающийся от F (Р)
в каждой точке D меньше чем на ε/2:
| R (Ρ) - F (Р)\< ε/2. (50)
Отсюда в силу непрерывности R (Р) и φ (Ρ) существует окрестность Δ по-
22. Эффективное решение некоторых краевых задач
225
верхности 5\ для которой будем иметь
\Η(Ρ)-φ(Ρ)\<Ε/2. ,. _ (51)
Обозначим, как и раньше, через Un, φ (Ρ) гармоническую функцию, при-
нимающую на поверхности Sn значения φ (Ρ). В силу принципа максимума
и (51) для всякой поверхности Sn, принадлежащей Δ, будем иметь
\R(P)-Un,v(P) |< ε/2 (52)
для всякой точки Р, принадлежащей D. Следовательно, для тех же точек
Ρ будем иметь
| *■(/»)-tfn,„(/>)|<е
при всех достаточно больших значениях п. Так как ε можно взять сколь
угодно малым, а функция φ (Ρ) была произвольная непрерывная функция,
то отсюда заключаем, что проблема Дирихле устойчива в D.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wiener N. Certain notions in potential theory,— J. Math, and Phys. Massach. Inst·
Ser. 2, 1924, vol. 3, N 78, p. 24—51.
2. Wiener N. The Dirichlet problem.— J. Math, and Phys. Massach. Inst., 1924, vol. 3.
N 3, p. 127—146.
3. Келдыш Μ. В., Лаврентьев М. Α. Ο последовательностях гармонических полино-
мов.— Наст, кн., ст. 17.
4. Келдыш М. В., Лаврентьев М. А. О сходящихся последовательностях гармониче-
ских полиномов.— Наст, кн., ст. 18.
22
ЭФФЕКТИВНОЕ РЕШЕНИЕ
НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*
Совместно с Л. И. Седовым
В настоящей заметке мы приводим ряд формул, дающих эффективное ре-
шение некоторых краевых задач для уравнения Лапласа, имеющих прило-
жение в гидродинамике и теории упругости.
1. Требуется определить функцию ω (z) = и — iv комплексного пере-
менного z = х -\- iy, голоморфную в нижней полуплоскости Im z < 0,
ограниченную на бесконечности и удовлетворяющую следующим граничным
условиям: на отрезках ак <; х <^ Ьк действительной оси, где
— оо < ах < Ъг < . . . < Ъп = Ь0 < оо,
заданы значения ν = ν0 (х) и на отрезках bk-iak заданы значения и (х) =
= Щ Со-
поставленная задача, вообще говоря, не имеет ограниченного решения
ω (z). Условия возможности ограниченного решения и формулы, дающие его,
были установлены Вольтерра [1] и Синьорини [2].
* Докл. АН СССР, 1937, т. 16, № 1, с. 7—10.
15 М. В. Келдыш. Математика
226
II. Теория гармонических функций
Эти условия не удовлетворяются во многих приложениях, в которых это
z
условие заменяется лишь требованием об ограниченности интеграла \ co(z)dz
—г
в окрестности каждой точки действительной оси. Решение этой задачи воз-
можно всегда и зависит от η + 1 произвольных постоянных. Это решение
дается следующей формулой:
1 C0 + ClZ + ... + Cnzn
2ш [111ш-шши*-ъя)]Ъ
S=l
τ s bo s 8 J
dx
m
f S 60 8 "
η h
+ m [Π (, - ls) («- ».) ]v, [Σ [ T^T »' fo ~ *> (« ~ fl*> Π (* ~ О x
, Χ (Χ - Ь.)]V,d* - V J -^ Βο [Π (* - as) (x - Ь9) fdx] , (1)
где C0, Cx . . ., Cn — произвольные действительные постоянные. Первый
член формулы (1) дает общее решение поставленной задачи при
Щ (*) = Щ (х) = °-
Решение подобной же задачи для произвольной области может быть по-
лучено из формулы (1) после конформного отображения заданной области
на нижнюю полуплоскость.
В задачах гидродинамики требуется обычно найти решение, конечное
в точках ак и исчезающее на бесконечности. В этом случае постоянные Ск
определяются и формула (1) приводится к виду
η ak j τ— -
(2)
Σ S i/n4^-^4
Для приложений требуется иногда определение функции ω (z), удовле-
творяющей тем же краевым условиям и имеющей в заданных точках нижней
полуплоскости полюса с заданными главными частями разложения в ряд
Лорана. Очевидно, достаточно найти такую функцию при и0 (х) = v0 (x) =
= 0. Функция ω (z), имеющая полюс в точке z = z0 и удовлетворяющая этим
краевым условиям, дается формулой
22, Эффективное решение некоторых цраевых задач
227
где kj — коэффициенты главной части разложения в точке z0 функции
f« = »Wj/"ll7=i7· _. <4>
Укажем еще, что в случае, когда функции и0 (х) и v0 (x) даются многочленами,
решение задачи, рассмотренной в начале этого пункта, может быть пред-
ставлено с помощью неопределенного гиперэллиптического интеграла [3].
2. Пусть Dn — Аг-связная область, совпадающая с плоскостью комплекс-
ного переменного z, разрезанной вдоль η отрезков действительной оси
ак <; х <; Ькч к = 1, 2, . . ., п. Рассмотрим задачу определения функции
комплексного переменного ω (z) — и — iv, удовлетворяющей следующим
условиям: 1) ω (z) = и — iv однозначна и голоморфна в области Dn; 2) исче-
зает на бесконечности; 3) ] ω (z) dz ограничен в окрестности отрезков афк\
4) ν (х, у) принимает заданные значения vr (х) и v2 (x) на нижней и верхней
сторонах указанных отрезков.
Заметим, что поставленная задача при произвольных vx (x) и v2 (x) не
имеет ограниченного решения в точках акЪк.
Положив
щ (z) = (ω (z) + "ω"(Ι))/2, ω2 (z) = (ω (z) - αΓ(Ι))/2, ' (5)
легко усмотреть, что определение ωΧ (z) в нижней полуплоскости сводится
к задаче, рассмотренной в начале п. 1, при и0 = 0, v0 = (vx + v2)/2. Для
определения функции ω2 (z) в нижней полуплоскости даются значения ее
мнимой части на действительной оси: на отрезках акЬк
— Im ω2 (z) = (vx — v2)/2,
на отрезках Ък-гак
Imco2 (z) = 0.
Это приводит к следующей формуле
ω(Ζ) = ω1(Ζ) + ω2(Ζ)==2π4Π(2-α8)(2-63)]ν.+
ψ s S k=lakL k s^k S J
3. Рассмотрим задачу Дирихле для области Dn, определенной в п. 2.
Пусть требуется определить гармоническую функцию ψ, регулярную в об-
ласти Dn4 включая бесконечно удаленную точку, значения которой заданы
на границах Dn1. Положим w = φ + εψ, где φ — гармоническая функция,
сопряженная с ψ, и ω (z) = и — iv = dw/dz. Вычисляя граничные значения
функции ν по формуле ν = — dtyldx, определим функцию ω (z) с помощью
х Мы будем считать эти значения непрерывными.
15*
228
//, Теория гармонических функций
формулы (6). При этом надо положить
*, Ъъ. I
Ьг.— X гтт ?Х — Ът lVl
так как разложение ω (z) должно начинаться с членов второго порядка.
Остальные n — 1 постоянных С/ и постоянная интегрирования определяются
из уравнений
?
ImV (ù(z)dz=\t)(aJ() — С, k=l, 2, ..., п. (8)
о
Функция w (z) определяется формулой
z
w(z) = l(ù(z)dz + C. ,, (9)
о
Остается установить однозначность ψ и разрешимость системы (8). Пер-
вое следует из однозначности граничных значений ψ и из соотношения (7).
Покажем, что система уравнений (8) совместна и независима. Пусть
свободные члены этих уравнений равны нулю, тогда должны выполняться
n — 1 условий:
Т с;+с'-|--+с--;Г *-* *-i. 2 —1.
Л" s
Это возможно только в том случае, если на каждом отрезке Ькакы много-
член степени n — 2, стоящий в числителе, имеет по крайней мере один корень,
но тогда этот многочлен должен иметь n — 1 корней и поэтому С0 = Сг = . ..
. . . = Сn-2 = 0, после этого очевидно, что постоянная С также равна
нулю. Отсюда следует независимость и разрешимость.
4. Задача Неймана в области Dn для функции φ сводится снова к опре-
делению функции ω (z) = dw/dz = и — iv (w = φ + hp) по заданным на
отрезках аkbк значениям ν = дφ/ду. Функция ω (z) определяется формулой
(6). Константы Ск могут быть подобраны так, чтобы функция φ имела задан-
ные периоды при обходе отрезков аkbк. Разрешимость соответствующей
системы уравнений может быть установлена рассуждениями, уже исполь-
зованными в п. 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Volterra V. Sopra alcune condizioni carratteristiche per le funzioni di variabile comples-
sa.— Ann. mat. pura ed appl. Ser. II, 1902, vol. 11, p. 1—55.
2. Signorini A. Sopra un problema al contoro nella teoria délia funzioni di variabile comp-
lessa.— Ann. mat. pura ed appl. Ser. III, 1916, vol. 25, p. 255—273.
3. Лаврентьев M. Α., Келдыш M. В. Общая задача о жестком ударе о воду.— Тр. ЦАГИ,
1935, вып. 152, с. 5—12.
23. Об единственности задачи Неймана
229
23
ОБ ЕДИНСТВЕННОСТИ
ЗАДАЧИ НЕЙМАНА *
Совместно с М. А. Лаврентьевым
В своей монографии по теории потенциала г Η. Μ. Гюнтер отметил как
до сих пор не разрешенный вопрос об единственности решения задачи Ней-
мана для областей, ограниченных поверхностями Ляпунова. В настоящей
заметке мы имеем в виду привести весьма простое геометрическое решение
этого вопроса для класса областей, содержащего области, ограниченные по-
верхностями Ляпунова.
Обозначим через Τ (α, к, h) тело вращения, ограниченное поверхностью
z = к (х2 + у2) 2 (к > 0, а ^> 0) и плоскостью z = h (h > 0); точку (0, 0, 0)
тела будем называть его вершиной, а часть границы Г, лежащую в плоско-
сти z = h,— его основанием.
Мы скажем, что односвязная область D принадлежит к классу А, если,
какова бы ни была точка Ρ границы области D, можно построить тело Т',
конгруэнтное Τ (α, к, /г), принадлежащее замкнутой области D и имеющее
свою вершину в точке Р.
Если при этом числа а, к, h могут быть взяты не зависящими от точки Р,
то мы скажем, что область D принадлежит к классу В (а, к, К).
Очевидно, что совокупность областей класса А содержит все области,
ограниченные поверхностями Ляпунова.
Теорема 1. Пусть U есть гармоническая функция, отличная от
константы, правильная в области D, и пусть в точке Р0 границы D функ-
ция U имеет единственное предельное значение Z70, равное нижней границе
ее значений в D. Если в область D можно вписать тело Т', конгруэнтное Τ
и с вершиной в точке Р, то имеем
,. . . U(P)-U{P0)' n
J im inf —v ' v — "> 0,
P->Po ^o
где Ρ — точка оси тела Τ'.
В самом деле, обозначим через σ границу Г', через σ' основание Т' и
через а" часть σ, дополнительную к σ'. Пусть С/х — минимум U на σ\
Ui ^> U0. Построим в Τ гармоническую функцию V, равную U0 на а"
и равную Ux на σ'. В силу принципа максимума имеем
,. . , U{P)—U(P0) ^ τ V(P) — V(Po) ,Λ,
lim inf —v ' v — > hm —v ; v — . (1)
P-»P0 PPo P-Po ^o
Легко усмотреть, что в силу неравенства (1) и в силу того же принципа
максимума для доказательства теоремы достаточно в области Τ (α, k, h)
построить гармоническую функцию W, удовлетворяющую следующим ус-
* Докл. АН СССР, 1937, т. 16, № з, с. 151-152.
1 Gunther N. La theorie du potentiel et ses applications aux problemes fondamentaux de
la physique mathematiqiu1. Paris, 1935. 303 p. Пер. на рус. яз.: Гюнтер Η, Μ. Теория
потенциала и ее приложение к основным задачам математической физики. М.: Гостех-
издат, 1953. 406 с.
230
77. Теория гармонических функций
ловиям: 1) W = О в вершине тела Т\ 2) W отрицательна на боковой по-
верхности тела Т\ 3) dWIdz >0 в вершине тела Т. Кроме того, очевидно,
достаточно построить такую функцию при достаточно малых значениях А.
При соответствующем подборе положительных постоянных λ и β и при
достаточно малом h можно достигнуть выполнения всех поставленных усло-
вий, положив
W = г cos θ + λΓ1+3Ρ1+β (cos θ), (2)
где г = Yx2 -\- у2 + zl\ θ — угол, составляемый радиусом-вектором точки
(х, у, z) с осью z; P1+$ (t) — решение уравнений Лежандра порядка 1 + β,
регулярное и равное единице при t = 1.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекают следующие резуль-
таты.
Теорема 2. В области D, принадлежащей классу А, не существует
гармонической функции, непрерывной в D, отличной от константы и имею-
щей на границе D нормальную производную, равную нулю.
Теорема_3. Если гармоническая функция U, определенная и непрерыв-
ная в области D, принадлежащей к классу В (а, А, К), удовлетворяет условию
| dUldn | < ε, где дп — элемент нормали к границе Ζ), то функция U укло-
няется от константы не больше чем на Каг. где d — диаметр области D>
а К зависит только от а, к и h.
24
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЯДАМИ ПОЛИНОМОЕ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*
ВВЕДЕНИЕ
Результаты настоящей работы касаются вопроса о представимости функ-
ций комплексного переменного рядами полиномов, а также вопросов пред-
ставимости рядами гармонических полиномов функций, определенных в
трехмерном пространстве. По своей тематике работа разбивается на три
части.
В первой части мы занимаемся вопросами сходимости в замкнутых об-
ластях некоторых классов экстремальных полиномов, связанных с функцией,
реализующей конформное отображение области на круг. Мы занимаемся
в первую очередь вопросом о сходимости в замкнутой области экстремаль-
ных полиномов, минимизирующих интегралы по контуру области. Этот воп-
рос связан с одним интересным классом областей со спрямляемой границей.
С рассмотрения этого класса областей мы начинали изложение. Результаты
первой главы позволяют до конца решить вопрос о сходимости в замкнутой
области упомянутых полиномов, а также дать ответ на ряд других гранич-
ных вопросов теории функций. Мы укажем здесь на вопрос о полноте этих
полиномов. В первой же части мы занимаемся вопросом сходимости в замк-
* Дис... д-ра физ.-мат. наук. М.: МИАН, 1937. 195 с.
Диссертация была защищена 26 января 1938 г. Ниже приводится только введение
в диссертацию π ее оглавление.
24. О представлении функций рядами полиномов
231
нутой области полиномов Бибербаха, а также вопросом о замкнутости се-
мейства полиномов (в смысле среднего уклонения по площади) в некаратео-
доревых областях.
Результаты второй части связаны с проблемой представимости функции
сходящимися рядами полиномов. В первой главе мы даем расширение тео-
ремы о возможности аппроксимации аналитической функции, непрерывной
в замкнутой области, ограниченной кривой Жордана, на весьма широкий
класс нежордановых областей. Во второй главе мы занимаемся вопросом
о структуре функций, заданных на границе области и представимых схо-
дящейся (неравномерно) последовательностью полиномов, ограниченных в
совокупности.
Третья часть работы посвящена вопросам теории гармонических функ-
ций от трех переменных и вопросам представимости функции рядами гар-
монических полиномов трех переменных. Вопросы представимости функции
рядами гармонических полиномов на плоскости получили полное решение
в работах М. А. Лаврентьева. Однако случай трех переменных существен-
ным образом отличается от двумерного. Это связано с тем, что в случае трех
переменных усложняется вопрос о разрешимости проблемы Дирихле в од-
носвязной области. Исследования рядов полиномов связаны, наряду с проб-
лемой разрешимости задачи Дирихле, с новой задачей об устойчивости за-
дачи Дирихле при вариации границы области. Первая глава последней
части работы посвящена вопросу об устойчивости задачи Дирихле. Здесь
дано полное решение ряда основных вопросов об устойчивости задачи Дирихле.
Во второй главе мы прилагаем полученные результаты к вопросу о пред-
ставимости функций равномерно сходящимися рядами гармонических поли-
номов на континуумах. Кроме того, в этой же главе мы изучаем вопрос о
структуре функций, представимых сходящимся рядом гармонических поли-
номов.
Результаты первой главы первой части, а также часть результатов
третьей части мною получены совместно с М. А. Лаврентьевым.
Я пользуюсь здесь случаем выразить мою благодарность М. А. Лаврентье-
ву, руководившему моей научной работой с самого момента ее начала и,
в частности, давшего мне много советов при составлении этой работы.
Часть результатов этой работы была уже опубликована в различных
журналах *.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ЧАСТЬ] I. О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПОЛИНО-
МОВ
Глава 1. Об одном классе областей со спрямляемой границей
Глава 2. Семейства полиномов, минимизирующих интегралы по конту-
ру области
Глава 3. Семейства полиномов, минимизирующих интегралы по площа-
ди области
* См. статьи 1—4, 17, 18, 20, 21 в данной книге, а также подготовленные во время работы
над диссертацией и вышедшие несколько позже статьи 6 и 25. С этими же вопросами
связаны последующие исследования М. В. Келдыша, изложенные в статьях 8, 9, 11,
12, 27, 28.
232
ТУ. Теория гармонических функций
ЧАСТЬ II. О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕ-
РЕМЕННОГО СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ ПОЛИНОМОВ
Глава 1. Равномерная аппроксимация функций в замкнутых областях
Глава 2. Последовательности полиномов, ограниченных в совокупности
ЧАСТЬ III. ПРЕДСТАВИМОСТЬ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
РЯДАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ И УСТОЙЧИ-
ВОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
Глава 1. Об устойчивости" задачи Дирихле
Глава 2. Сходящиеся последовательности гармонических полиномов
25
О РАЗРЕШИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ*
В настоящей заметке я имею в виду сообщить ряд результатов, касаю-
щихся вопросов разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, а также
представимости функций равномерно сходящимися рядами гармонических
полиномов. При этом изложение будет вестись для случая пространства трех
измерений, однако результаты непосредственно могут быть перенесены и
на большее число измерений.
1. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
Пусть D — произвольная область, Σ — ее граница, du d2, . . ., c?n, . . .—
последовательность областей, ограниченных аналитическими поверхностя-
ми 517 S2, · · ·» ^п» · · -1 таких, что dn = dn + Sn содержится bDh области
dn сходятся к D так, что каждое замкнутое множество, принадлежащее Dy
начиная с некоторого п, принадлежит dn. Пусть / (Р) — непрерывная на
Σ функция, φ (Ρ) — непрерывная во всем пространстве функция, совпадаю-
щая с / (Р) на Σ. Следуя Винеру [1, 2*, 3*], рассмотрим последовательность
функций
^1, Φ (*/» ^2, φ vw» · · ·» wn,(p \Р)ч · · ·»
Unt{p определена в dn и совпадает с ср(Р)на Sn. Пусть uf(P)— предел αη>φ (Ρ)
в D. Функция Uf(P) называется обобщенным решением задачи Дирихле с
граничными данными / (Р).
Мы скажем, что задача Дирихле с данными / (Р) разрешима в граничной
точке Q, если lim uf (P) = f (Q).
P-*Q
Пусть Q — произвольная точка Σ, тогда имеет место
Теорема 1. Если Ρ -*Q, то или все предельные значения щ (Р) не
больше f ((?), или все предельные значения щ (Р) не меньше f (Q).
Пусть ω (Q, /) — колебание х функции щ (Р) в точке Q. Из теоремы 1
следует
* Докл. АН СССР, 1938, т. 18, № 6, с. 315—318.
1 При этом мы будем считать ω (Q, /) положительным, если предельные значения uf (P)
не меньше / ((?), а в противном случае — отрицательным.
25. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле 233
Теорема 2. Колебание ω (Q, f) есть линейный функционал от f (P),
Этот функционал может быть выражен в виде
<■>«>./) =$[/(^)-/(?)]tf«>Q.
Σ
где coq (e) — положительная непрерывная аддитивная функция множества
е, е CZ Σ. Из указанных результатов вытекает, что существует счетное мно-
жество иррегулярных точек Σ: Qln Q2, . . ., Qn, . . ., таких, что из разре-
шимости задачи Дирихле для данных f (P) в точках этого множества сле-
дует разрешимость задачи Дирихле для данных f (P) в области D. Условия
разрешимости в D могут быть представлены в виде
llf(P)-f(Qn)]d<OQn = 0 (n = 1,2,...).
Σ
2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
Пусть D — односвязная область, граница Σ которой является границей
области Doo, содержащей бесконечно удаленную точку. Рассмотрим пос-
ледовательность односвязных областей D1, D2, . . ., Дг, . . ., ограниченных
аналитическими поверхностями 5Х, 52, . . ., 5П, ... и таких, что Dn Ζ)
ID D = D + Σ, Dn сходятся к D, т. е. каждое замкнутое множество, при-
надлежащее Doo, начиная с некоторого п, лежит вне Dn. Пусть / (Р) и
φ (Ρ) — функции, определенные в р^зд. 1. Рассмотрим последовательность
функций
^1.ф(^). и^(Р),...,ия,9(Р),. ..;
Un. φ (Ρ) гармонична в Dn и совпадает с φ (Ρ) на Sn. Функции Un,φ сходятся
в Ζ), и сходимость равномерна внутри D.
Пусть Uf (Ρ) — предельная функция. Мы скажем, что задача Дирихле с
данными / (Р) устойчива внутри области D, если в точках D Uf (Ρ) = щ (Ρ).
Задача Дирихле устойчива в замкнутой области D, если на Σ функции
С/П>Ф(Р) сходятся равномерно к f (Р). Задача Дирихле с данными / (Р)
устойчива в граничной точке Q, если Uf (Q) = f (Q). Если это равенство
выполняется для любой непрерывной функции / (Р), то точка Q называется
точкой устойчивости 2. Отметим здесь же, что из устойчивости задачи Ди-
рихле в замкнутой области следует ее разрешимость.
Устойчивость в граничной точке. Отметим прежде всего
следующее свойство функции Uf (P).
Теорема 3. Пусть Q — граничная точка D. Все предельные значе-
ния функции Uf (Ρ) при Ρ ->(? заключены между Uf (Q) и f (Q).
Обозначив через Ω ((?, /) колебание функции Uf (Q) в точке Q, получим
следующую теорему.
Теорема 4. Колебание Ω (Q, f) есть линейный функционал от f (P).
Этот функционал может быть представлен в виде
Σ
2 Эти определения для областей с жордановой границей были даны и изучены автором
и М. А. Лаврентьевым [4], однако примененный ранее метод существенно опирался на
то, что граница области жорданова.
234
77". Теория гармонических функций
где Qq (e)—положительная непрерывная аддитивная функция множества
е, е с Σ.
Каждая точка устойчивости Σ есть в то же время регулярная точка. Для
точек устойчивости имеем следующий критерий.
Τ е о ρ е м а 5. Пусть Q — граничная точка D, λη — внутренняя емкость
14] множества точек Ζ)^, расстояние которых от Q заключено между 21~Л и
2~п. Точка Q будет точкой устойчивости или точкой неустойчивости в
зависимости от того, расходится или сходится ряд ^2ηλη.
Устойчивость в области. Следующие теоремы связывают
устойчивость задачи Дирихле в области с устойчивостью в граничных точ-
ках.
Теорема 6. Для того чтобы задача Дирихле с данными / (Р) была ус-
тойчива внутри области, необходимо и достаточно, чтобы она была устой-
чива во всех точках границы, за исключением множества гармонической меры
нуль.
Теорема 7. Если задача Дирихле разрешима в D и устойчива внутри
D, то она устойчива в замкнутой области D. Если задача Дирихле устой-
чива внутри D и разрешима в граничной точке Q, то она устойчива в Q.
Теорема 8. Если задача Дирихле устойчива в каждой точке Σ, то она
устойчива в замкнутой области D.
Теорема 9. Существует счетное множество точек Qx, Q2, · · ·
. . ., Qn, . . ., таких, что для устойчивости задачи Дирихле с данными
} (Р) в области D необходимо и достаточно выполнение равенств
[[f(P)-f(Qn)]dQQn = 0 (n = l,2,...).
Области устойчивости. Теперь мы дадим ряд предложений,
характеризующих классы областей, в которых устойчива всякая задача
Дирихле.
Теорема 10. Для того чтобы всякая задача Дирихле была устойчива
е замкнутой области D, необходимо и достаточно, чтобы каждая точка Σ
была бы точкой устойчивости.
Теорема 11. Для того чтобы всякая задача Дирихле была устой-
чива внутри D, необходимо и достаточно, чтобы множество точек неустой-
чивости имело гармоническую меру нуль.
Из теоремы 7 следует, что в областях такого типа каждая регулярная
точка есть точка устойчивости.
Теорема 12. Для того чтобы задача Дирихле была устойчива в D
при всех граничных данных, при которых она разрешима, необходимо и дос-
таточно, чтобы множество регулярных точек Σ совпадало с множеством
точек устойчивости.
Мы отметим здесь, что в случае жордановой границы Σ теоремы 5, 7, 10
и 11 были получены ранее автором совместно с М. А. Лаврентьевым [4].
В этой же работе был дан пример области, в которой разрешимая проблема
Дирихле может быть неустойчива внутри.
26. Об одной оценке для функции Грина
235
3. ПРЕДСТАВИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
РЯДАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
С вопросом об устойчивости задачи Дирихле тесно связан вопрос о пред-
ставимости функций рядами гармонических полиномов на континууме.
Пусть F — континуум, / (Р) — функция, заданная на F и представимая на
F равномерно сходящимся рядом полиномов. Тогда^ / (Р) должна быть не-
прерывна на F и гармонична во внутренних точках F. Отметим следующее
предложение.
Τ е о ρ е м а 13. Пусть F — континуум, Ρ — граничная точка F, λη (Ρ) —
внутренняя емкость множества точек Оп дополнения к F, расстояние
которых от F заключено между 2х~п и 2"η, γη (Ρ) — емкость Оп. Для того
чтобы всякая функция f (Ρ), непрерывная на F и гармоническая во внутренних
точках F, была представима равномерно сходящимся на F рядом гармони-
ческих полиномов, необходимо и достаточно, чтобы: 1) континуум F не раз-
бивал пространство, 2) ряды ^2пуп (Ρ), 5*2ηλη (Ρ) одновременно сходились
или расходились в каждой граничной точке F.
Отметим еще следующее предложение.
Теорема 14. Существует нигде не плотный континуум F, не разби-
вающий пространство и обладающий следующим свойством.
Если две функции U и V, представимые на F равномерно сходящимися
рядами гармонических полиномов, совпадают на некоторой порции F, то
они совпадают на всем континууме F.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kellog О. D. Foundation of potential theory. В.: Springer, 1929. 384 p.
2*. Wiener N. Certain notions in potential theory.— J. Math. and Phys. Massach. Inst.,
1924, vol. 3, N 1, p. 24—51.
3*. Wiener N. The Dirichlet problem.— J. Math, and Phys. Massach. Inst., 1924, vol. 3,
N 3, p. 127-146.
4. Keldych M., Lavrentieff M. Sur les problème de Dirichlet.—С. r. Acad. sci. А, 1937,
t. 204, Ν 4, p. 1788—1790.
26
ОБ ОДНОЙ ОЦЕНКЕ
ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА*
Совместно с М. А. Лаврентьевым
1. Пусть D есть область, ограниченная замкнутой гладкой поверхностью
S пространства трех измерений (x, у, z). Обозначим через G (Ρ, Q) функцию
Грина для области D с полюсом в точке Q. В ряде вопросов теории потен-
циала играет существенную роль следующая оценка для функции G:
G(P, Q)XAas/PQ3, (l)
* Докл. АН СССР, 1939, т. 24, № 2, с. 102—103.
236
77. Теория гармонических функций
где А — константа, зависящая только от вида области D, а σ и s — соот-
ветственно расстояния точек Р, Q до поверхности S.
Для случая, когда D есть сфера, оценка (1) получается непосредственно
из выражения дляС Розенблатт1 показал, что (1) имеет место также, когда S
обладает ограниченной кривизной (1). Мы имеем в виду показать, что (1)
имеет место, когда S есть произвольная поверхность Ляпунова 2.
2. Доказательство базируется на одном вспомогательном построении.
Фиксируем два положительных числа ρ < V2, а < 1 и обозначаем через
Pjc (0 решение уравнения Лежандра порядка &, регулярное и равное единице
при t = 1. Пусть, далее, г = Yx2 + у2 + z2, а θ — угол, составляемый
радиусом-вектором точки (х, г/, z) с осью z. Обозначим через Τ (α, β) тело,
содержащее точки положительной части оси z и ограниченное поверхностями
г cos θ — r^P1+a (cos θ) = 0, (2)
г = Р. (3)
Часть поверхности (2), принадлежащей к границе Г, мы назовем боко-
вой поверхностью Т.
Заметим, что в окрестности начала поверхность (2) имеет вид
1+а
z = -1 Pi+a (0) I (1 + ε) (*» + y>)~ ,
где ε стремится к нулю, когда точка (х, у) стремится к началу.
Построим внутри Τ гармоническую функцию
Wa, ρ (г, θ) =™ [г cos θ - r^P1+a (cos θ)] - ±- r»Pa (cos θ). (4)
Нетрудно убедиться, что можно выбрать числа р0 < τ/2 и β так, чтобы
при ρ < Ро функция Wa,p удовлетворяла неравенствам:
на боковой поверхности Τ Wa,p > 0,
на остальной части границы Τ TFa>p > 1.
Отметим, кроме того, что в теле Τ на оси z имеем
W<(A+ В) г/р. (5)
3. Пусть D — область, ограниченная поверхностью Ляпунова S с по-
казателем v. Обозначим через Τ (α, ρ, Μ) тело, конгруэнтное Τ (α, ρ), имею-
щее вершину в точке Μ поверхности S и внутреннюю нормаль в точке Му
совпадающую с внутренней нормалью к S. Полагая α < ν, мы можем вы-
брать число р1? не зависящее от М, так, чтобы боковая поверхность тела
Τ (α, ρΧ, Μ) лежала вне D.
Рассмотрим функцию Грина G (P, Q). Очевидно, что
G(P, Q))<i/iPQ: (υ)
Докажем, что
G (Р, Q) < Α&ΙΡφ, (7)
где Ах — константа, зависящая только от вида области D.
1 Rosenblatt A. Sur la fonction de Green d'un domaine borne de Tespace euclidien a trois
dimensions.— C. r. Acad. sci. A, 1935, t. 202, p. 22—24.
2 Поверхность S называется поверхностью Ляпунова, если, каковы бы ни были две точ-
ки Мг и М2 поверхности, угол ψ между нормалями к S в Μг и Μ2 удовлетворяет нера-
венству ψ < К (Мг, Μ2)ν, где К и ν, 0 < ν < 1,— заданные константы.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
237
Пусть d — диаметр D; доказательство (7), очевидно, достаточно провести
для случая σ < (pJkd)PQ. Пусть Μ — точка 5, ближайшая к Р0, и ρ =
= (Pi/2d) P0Q. Рассмотрим тело Τ (α, ρ, Μ) и соответствующую функцию
Wa,p,M· Имея в виду, что G (P, Q) = 0 на поверхности S, а в точках сферы
MP = ρ в силу (6) и выбора ρ
V ,V>^ Pi pbQ
заключаем на основании принципа максимума, что в точках области /),
принадлежащих телу Г (α, ρ, М),
G(P,Q)<-%-W™u ,
v 'v/^ Pi P0Q
и на основании (5) в точке Р0, лежащей на оси тела Τ (α, ρ, Μ),
G(P0,Q)< й --=-= ^ ш,
что доказывает неравенство (7). Исходя из (7) и рассматривая G(P, Q) как
функцию Q, при помощи тех же самых рассуждений докажем, что
G(P,Q)< 1024^+*)a jg* , (8)
V V/ ^ р5 ρφ
27
О РАЗРЕШИМОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ .
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ*
В настоящей статье мы будем рассматривать задачу Дирихле, не накла-
дывая каких бы то ни было ограничений на области, в которых она решает-
ся, но оставаясь в классических предположениях относительно граничных
значений, которые будем считать непрерывными.
Аналитические методы решения задачи Дирихле, ведущие свое начало
от Неймана [1*] и получившие полное развитие в работах Фредгольма [2*]
по теории интегральных уравнений, позволили получить полное решение
этой задачи лишь при известных ограничениях, налагаемых на границу
области. Для полного решения задачи Дирихле потребовалось создание
более гибких методов теоретико-функционального характера. Начало созда-
ния этих методов, основанных на разнообразных идеях, можно отнести к
работам Шварца [3*]. Весьма сильное влияние на все дальнейшее развитие
теории оказали работы Пуанкаре [4*] с созданным в них методом размета-
ния. Идеи Пуанкаре, заложенные в этом методе, нашли свое развитие в ра-
ботах Перрона [5*] и еще более непосредственно у Балле Пуссена [6*].
Для исследования вопросов о разрешимости задачи Дирихле чрезвы-
чайно существенной оказалась введенная Винером [7*, 8*] теоретико-по-
тенциальная мера множеств — емкость множества, являющаяся обобщением
* УМН, 1941, вып. 8, с. 171—231.
238
77. Теория гармонических функций
известного понятия электростатической емкости. В этой статье мы изложим
вопросы разрешимости задачи Дирихле в направлении, ведущем свое на-
чало от Винера. С другой стороны, в ряде приложений теории гармониче-
г ских функций является существенным не только вопрос о возможности ре-
шения задачи Дирихле, но также и вопрос об устойчивости решения задачк
Дирихле при вариации границы области. Мы остановимся также и на этом
вопросе.
Все дальнейшее изложение мы будем вести, для определенности, в про-
странстве трех измерений, однако результаты переносятся без существенных
изменений на случай любого числа измерений. Только случай двух измере-
ний в ряде вопросов представляет специфические особенности, на которые мы
будем указывать. Мы будем часто пользоваться понятием субгармонической
функции, а также простейшими свойствами этих функций, которые будем
считать известными.
I. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
1. Относительно областей, в которых мы будем рассматривать задачу
Дирихле, будем предполагать, что границы их образуют ограниченные мно-
жества. К этому случаю, очевидно, может быть сведен инверсией произволь-
ный случай.
При исследовании решения задачи Дирихле в произвольной области D
мы будем опираться на то, что для некоторых классов областей решение
задачи Дирихле известно, и будем строить решение в области D, аппрокси-
мируя D такими областями.
В качестве исходного класса областей может быть выбран, например,
класс областей К, являющихся суммой конечного числа сфер г. В самом деле,
для каждой области такого типа решение задачи Дирихле можно построить
повторным применением альтернирующего метода Шварца исходя из из-
вестного решения задачи Дирихле для сферы.
Если в области D решение задачи Дирихле возможно при любых непре-
рывных граничных значениях, то мы будем называть ее нормальной об-
ластью.
2. Пусть D — произвольная область, на границе Г которой задана не-
прерывная функция / (Р). Построим непрерывную во всем пространстве
функцию φ (Ρ), значения которой на Г совпадают с / (Р), и последователь-
ность нормальных областей
dlf d2, . . ., dn, . . ., (1)
сходящихся к области!), каждая из которых лежит вместе со своей границей
Гп внутри области D. В качестве областей dn могут быть выбраны, напри-
мер, области класса К. Обозначим через un, Ф (Р) решение задачи Дирихле
в области dn при граничных данных φ (Ρ). Решение задачи Дирихле в об-
ласти D может быть получено на основании следующей теоремы Винера.
Теорема I. Последовательность функций
и1,(р, Щ, (ft · · ·1 ип, φ» · · · '^/
сходится равномерно внутри области D. Предельная функция щ (Р) не за-
1 В случае бесконечной области одна из сфер заменяется внешностью сферы.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
23»
висит ни от вида функции φ (Ρ) вне границы D, ни от специального выбора
последовательности областей dn. Если при граничных значениях / (Р) реше-
ние задачи Дирихле в области D существует, то оно совпадает с функцией
. и, (Р).
Сделаем прежде всего одно замечание, которое нам понадобится еще и в
дальнейшем: если функция φ (Ρ) непрерывна, то при любых ε и R можно
найти функцию ψ (Ρ), являющуюся разностью двух субгармонических 2
функций, удовлетворяющую при х2 + у2 + ъ2 < R2 неравенству
|φ(Ρ)-ψ(Ρ) |< ε. (3)
В самом деле, мы можем построить дважды дифференцируемую функцию
ψ (Ρ), удовлетворяющую неравенству (3) при х2 + у2 + z2 < R2 и равную
нулю при х2 + у2 + z2 > 2R2. Полагая
—4πμ = (Δψ + | Δψ | )/2, —4πν = (—Δψ + | Δψ |)/2,
мы представим функцию ψ (Ρ) как разность субгармонических функций,
являющихся потенциалами масс μ и v.
Переходя к доказательству теоремы, заметим прежде всего, что если в
окрестности границы Г две функции φ (Ρ) и ψ (Ρ) удовлетворяют неравенству
| φ (Ρ) — ψ (Ρ) | < ε, то в силу принципа максимума при достаточно боль-
шом η в области dn
Ι "η, φ — "η, ψ Ι < 6.
Отсюда следует, что щ не зависит от вида функции φ (Ρ) вне Г и, кроме того,
что доказательство сходимости последовательности (2) достаточно провести
для того случая, когда функция φ (Ρ) есть разность двух субгармонических
функций:
φ (Ρ) = h (Ρ) - g (P). (4)
Мы предположим еще пока, что области dn возрастают, dn CI <7n+-i· В со-
ответствии с (4)
В силу известных свойств субгармонических функций всюду в области
dn+i и, в частности, на границе Гп области dn
ип+1,л>Л. Bn+lfg>gr, ~ (5)
а поэтому на основании принципа максимума в области dn
ип+1, Л ^ мп, /г? ^гг+1, g J^ Mn, g·
Таким образом, последовательности^thи и,г, g суть возрастающие последова-
тельности ограниченных гармонических функций и в силу теоремы Хар-
нака сходятся равномерно внутри D', вместе с ними также последователь-
ность (2) сходится равномерно внутри D.
2 Если D — бесконечная область, то мы будем говорить, что функция W (х, у, z) суб-
гармонична в бесконечно удаленной точке, если функция
1 ш( х у )
-]/~X* + y2 + Z* \ /.г2+2/2+22 ' tfxi + yi + z* ' j/*2 + I/2 + Ζ2 /
субгармонична в начале.
240
II. Теория гармонических функций
Докажем, что предел не зависит от выбора последовательности (1), и
вместе с тем освободимся от ограничения о возрастании областей dn. В самом
деле, в противном случае мы могли бы построить две различные возрастаю-
щие последовательности областей dn и dn так, чтобы соответствующие функ-
ции и1(р и u'nt φ сходились к различным пределам. Но тогда существовала бы
возрастающая последовательность областей аПл, dmi, dr2, d'mz, . . ., такая, что
соответствующая последовательность функций и„и φ, u'mu(iJ, иПг%^, u'mi^, . . .
была бы расходящейся, что, по доказанному, невозможно.
Нам остается доказать, что если задача Дирихле с граничными дан-
ными / (Р) разрешима в D, то функция uf (P) является ее решением. Это вы-
текает непосредственно из того, что в этом случае мы можем φ (Ρ) выбрать
совпадающей внутри D с решением задачи Дирихле, и тогда uni f = φ (Ρ).
3. В случае, если задача Дирихле не имеет решения в области D при
заданных граничных условиях, функцию щ (Р), получаемую описанным в
предыдущей теореме процессом, мы будем называть обобщенным решением
задачи Дирихле. Эта функция, как мы увидим дальше, в известном смысле
наиболее тесно связана с заданными граничными значениями. Сейчас мы
покажем, следуя Винеру, что процесс Перрона для решения задачи Дирихле
приводит всегда к функции, совпадающей с щ (Р).
Теорема II. Функция щ (Р), полученная процессом Винера, совпа-
дает с верхней гранью непрерывных субгармонических в области D функций
ν, удовлетворяющих на границе области D неравенству
lim sup i; (P)< / (Q) (6)
P-*Q
при стремлении точки Ρ к Q изнутри области, а также с нижней гранью
супер гармонических в области D функций w, удовлетворяющих на границе
области D неравенству
lim inf w {P) > / «?). (7)
Пусть ν (Ρ) — произвольная субгармоническая в области D функция,
удовлетворяющая неравенству (6). Докажем, что в области D
и, (Ρ) > ν (Ρ). (8)
Для этого мы предположим, что функция / (Р) продолжена внутрь области
так, что
f(P)>v (P), (9)
что всегда можно допустить, так как, если бы это неравенство не выполня-
лось, мы бы заменили функцию f(P) верхней гранью / (Р) и ν (Ρ).
Рассмотрим теперь последовательность областей (1) и соответствующую
последовательность гармонических функций (2). В силу неравенства (9)
имеем на границе dn неравенство
ν (Р) - iv/ (P) < 0, (10)
и так как слева стоит субгармоническая функция, то это неравенство в силу
принципа минимума выполняется всюду в dn, а отсюда непосредственно сле-
дует неравенство (8).
Чтобы установить справедливость первой части теоремы, нам надо еще
показать, что для любого ε > 0 можно подобрать субгармоническую* функ-
27, О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
241
цию, удовлетворяющую неравенству (6) и в точке Р0 области D неравенству
ν (Р„) > и, (Р„) - ε. (11)
Для этого введем дважды дифференцируемую функцию Д (Р), удовлетворяю-
щую неравенству
| U (Р) -f(P)\< ε/2, (12)
представим ее в виде разности двух субгармонических функций
/i (Ρ) =g(P)-h (P)
и положим
νη (Ρ) = «η,.? (Ρ) - uh (Ρ) + ε/2
внутри области dn и
i-n (Ρ) = g(P)- uh (Ρ) + ε/2
в точках D, не принадлежащих dn. Функция vn(P) будет субгармонической.
Она удовлетворяет неравенству (6) в силу (12) и неравенства щ > /г, вы-
текающего из (5). С другой стороны, при достаточно большом п, очевидно,
νη (Ρ) будет удовлетворять неравенству (11).
Совершенно аналогичным путем доказывается, что uf (P) есть нижняя
грань супергармонических функций, удовлетворяющих неравенству (7).
4. В дальнейшем изучение вопроса о разрешимости задачи Дирихле в
области D сведется к исследованию обобщенного решения задачи Дирихле
Uf (P) вблизи границы области.
Пусть Q — граничная точка области; если при приближении точки Ρ к
Q изнутри функция uf (P) имеет предел и
lim и, (Р) = / «?),
P-+Q
то мы будем говорить, что проблема Дирихле с граничными данными / (Р)
разрешима в точке Q. Если проблема Дирихле разрешима в точке Q при
любых непрерывных граничных условиях, точку Q будем называть регуляр-
ной точкой границы области. Остальные точки границы носят название
иррегулярных точек.
Легко указать примеры областей, граница которых имеет иррегулярные
точки. Рассмотрим, например, область, получаемую удалением центра из
единичного круга плоскости х, у. Точка границы х = у = 0 будет иррегу-
лярной точкой. В самом деле, проблема Дирихле с граничными данными,
равными нулю на окружности и единице в центре круга, неразрешима в
точке х = у = 0, так как в этом случае функция щ (Р) должна удовлетво-
рять в силу принципа максимума неравенству
и,(Р)<в1и J_-
у х1 -t- У
при сколь угодно малом положительном ε, и, следовательно, uf (Ρ) = 0.
В случае функций двух переменных всякая точка границы, содержащаяся в
некотором континууме, принадлежащем границе, есть регулярная точка [9].
Это свойство пропадает уже для случая трех измерений. Лебегом в 1912 г·
был дан пример области, ограниченной поверхностью, имеющей всюду
16 М. В. Келдыш. Математика
242
//. Теория гармонических функций
касательную плоскость, кроме одной точки возврата, являющейся регуляр-
ной точкой границы [10*].
Чтобы воспроизвести этот пример, рассмотрим функцию
ν (Р) = γΧ* + у* + z2 + х In (Yx* + t + z2 — x),
гармоническую вне положительной части оси х. Поверхности уровня ν = с
этой функции суть поверхности вращения около оси х. При с < 0 меридианы
этих поверхностей заканчиваются в начале координат, касаясь положитель-
ной оси х. Построим замкнутую поверхность вращения, совпадающую в
окрестности начала с поверхностью уровня ν = —1 и не пересекающую по-
ложительной части оси х, и обозначим через D область, ограниченную
этой поверхностью. На границе области D мы зададим непрерывные гранич-
ные данные, совпадающие со значениями ν вне начала и равные —1 в нача-
ле координат. Легко усмотреть, что обобщенное решение задачи Дирихле
совпадает с v.
В самом деле, функция ν гармонична в D и непрерывна в каждой точке
замкнутой области, за исключением начала координат. Отсюда легко за-
ключить на основании принципа максимума, что
\uf(P)-v(P)\< e
V х + у +z
при сколь угодно малом ε, и поэтому щ = v. Начало координат есть ирре-
гулярная точка границы нашей области, так как при приближении Ρ к
началу вдоль отрицательной части оси х функция ν имеет предел 0 и, следо-
вательно, не стремится к заданным предельным значениям.
5. Регулярность граничной точки часто может быть установлена на ос-
новании следующей теоремы.
Для того чтобы точка Q границы D была регулярной точкой, необходимо
и достаточно, чтобы существовала субгармоническая функция ν, определен-
ная в точках D, принадлежащих некоторой окрестности точки Q, обращаю-
щаяся в нуль при Ρ = Q и такая, что
v(P)<% (pQ), (13)
где χ — отрицательная убывающая функция.
Для доказательства достаточности сформулированного условия, а также
для вывода из него простейших геометрических критериев регулярности
граничной точки мы отсылаем к статье И. Г. Петровского [9]. Из этих кри-
териев мы здесь отметим только следующий. Если можно построить сферу,
не содержащую точек D, поверхность которой проходит через граничную
точку Q, то точка Q регулярна. Отметим, что из доказанного предложения
следует, что регулярность или иррегулярность граничной точки зависит
только от поведения границы/) вблизи этой точки и, следовательно, является
локальным свойством.
Мы докажем здесь близкое к предыдущему предложение, которое нам
будет удобно непосредственно использовать.
Теорема III. Для того чтобы точка Q границы области была регу-
лярной точкой, необходимо и достаточно, чтобы существовала субгармо-
ническая функция, отрицательная в области D и обращающаяся в нуль a
точке Q.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
243
Условие это необходимо, так как в случае регулярности точки Q суб-
гармонической функцией, обладающей указанными свойствами, будет обоб-
щенное решение задачи Дирихле, построенное для граничной функции
/ (Р), обращающейся в нуль в точке Q и отрицательной в остальных точках
границы.
Докажем теперь, что граничная точка Q регулярна в случае существова-
ния субгармонической функции ν (Ρ), обладающей указанными свойствами.
Пусть / (Р) — произвольная непрерывная в D = D + Г функция (Г — гра-
ница D), ε произвольно мало. Выберем число ρ так, чтобы внутри сферы
PQ < ρ выполнялось неравенство
f(P)>f (Q) - ε, (14)
и пусть Δ — часть Ζ), принадлежащая сфере PQ < р.
Рассмотрим последовательность областей dn и соответствующую после-
довательность функций ип, /. Выберем число N столь большим, чтобы мно-
жество е точек сферы PQ = р, лежащих в области Z), но вне d^, имело пло-
щадь, не превосходящую 4πρ2ε/Μ, где Μ — максимум функции / (Р). Через
Η (Ρ) мы обозначим гармоническую внутри сферы PQ < ρ функцию, рав-
ную единице на е и нулю на дополнении множества е относительно сферы
PQ = р. На основании теоремы Гаусса о среднем
Η (Q) < ε/Μ. (15)
Внутри D функция ν (Ρ) отрицательна, поэтому можно подобрать число
к так, чтобы внутри d^
и, (Р) > kv (Ρ) + / «?). (16)
Пусть еще число Ν1 столь велико, что при тг > iV\ выполняется также не-
равенство
un,t(P)>kv(P)+f(Q). (17)
Обозначим через Δη общую часть области dn и сферы PQ < р; тогда при
η > Ν1 в точках Δη будем иметь
и„,, (Р) > f (Q) - г + kv (Р) - 2МН (Р). (18)
Имея в виду, что слева в этом неравенстве стоит гармоническая, а справа —
субгармоническая функция Р, в силу принципа максимума его достаточно
доказать в граничных точках Δη. При этом мы будем различать три случая:
1) точка Ρ принадлежит границе dn, 2) точка Ρ принадлежит дополнению
множества е и 3) точка Ρ принадлежит е.
В первом случае неравенство (18) следует из (14), так как два последних
члена в (18) отрицательны; если Ρ принадлежит к дополнению множества е,
то (18) вытекает из (17); наконец, если Ρ принадлежит к е, то Η (Ρ) = 1 и
(18) имеет место, так как / (Q) < Μ, ν (Ρ) < 0.
Совершая в (18) предельный переход и принимая во внимание (15), за-
ключаем, что . ,,..
liminf ut (Ρ) >/«?) — 3ε.
16*
244
II. Теория гармонических функций
Заменяя в приведенных рассуждениях / (Р) на —/ (Р), докажем, что
lim sup щ (Ρ) </(<?) + 3ε,
P-*Q
а отсюда следует, что щ (Р) принимает значение / (Q) в точке Q, и, следова-
тельно, точка Q регулярна.
В частности, отметим вытекающий из доказанной теоремы признак регу-
лярности граничной точки, указанный Булиганом [11*]. Для этого опреде-
лим функцию Грина G (Р, Q) в области D как предел функций Грина
Gn (Ρ, <?), соответствующих областям dn. Функция G (Р, Q), очевидно, может
быть получена как сумма 1/PQ и обобщенного решения задачи Дирихле
Uf (Ρ) при / = —i/PQ. Из доказанной теоремы очевидно следут, что необ-
ходимым и достаточным условием регулярности граничной точки является
обращение в нуль в этой точке функции Грина.
П. ЕМКОСТЬ МНО/КЕСТВ.
МНОЖЕСТВО ИРРЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК
1. Пусть μ (е) — абсолютно аддитивная неотрицательная функция
В- множеств, определенная на некотором В-множестве Ε 3. Понимая интеграл
в смысле Радона, мы определим потенциал распределения массы μ (е) фор-
мулой
V(P) = ^^fl, (1)
Ε
где г — расстояние от точки Ρ до переменной точки интегрирования. Как
известно, полученная функция супергармонична и, в частности, непрерывна
снизу. Число μ (Ε) мы будем называть полной массой нашего распределе-
ния. Теперь мы можем ввести следующее определение 4.
Емкостью с (Е) множества Ε мы будем называть верхнюю грань полной
массы для всех распределений μ (е) на множестве Е, для которых во всем про-
странстве
V (Р) < 1· (2)
В частности, если для всякого распределения массы, отличного от нуля,
условие (2) не выполняется, то емкость множества Ε равна нулю. Это поз-
воляет дать еще следующее определение множеств емкости нуль: множество
Ε имеет емкость, равную нулю, если не существует распределения массы
на Ε с конечным потенциалом. Простейшим примером множества нулевой
емкости является множество, содержащее только одну точку. Дальше мы
остановимся подробнее на множествах нулевой емкости.
Из определения емкости легко усмотреть следующие ее свойства:
1. Если множество Ег подобно Е2 и получается растяжением Е2 в к раз,
то с (Е±) = кс (Е2).
Нам достаточно предполагать Ε измеримым В и функцию μ (е) определенной на 2?-мно-
жествах.
Это определение емкости, совпадающее с определением Винера в случае замкнутого
множества, было дано Балле Пуссеном [6 *].
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
245
2. Если Ех Ζ) Е2, то с (Ег) > с (Е2).
оо ею
3. Если E = %EW то с(£)<Цс(£п).
1 1
4. Емкость сферы равна ее радиусу.
Первые три свойства непосредственно вытекают из самого определения
емкости, поэтому мы остановимся только на доказательстве последнего.
Пусть нам дана сфера OP = R и пусть μ (е) — произвольное распределение
массы на этой сфере, удовлетворяющее условию (2) во всем пространстве.
Функция V (Р) при OP > R гармонична, при ОР = R имеем V (Р) < 1,
поэтому в силу принципа максимума при ОР > R
V (Р) < RlOP.
Умножая обе части на ОР и переходя к пределу по ОР-+■ оо, исходя из
выражения (1), получим
μ (Ε) =Jim OP-V (Ρ) < R.
ОР-»оо
Таким образом, с (Ε) ^ R.
С другой стороны, распределение массы на поверхности сферы с плот-
ностью 1/4π# удовлетворяет условию (2). Отсюда вытекает, что с (Е) = R.
5. Для всякого ε можно указать замкнутое множество /*\ содержащееся
в Ε и удовлетворяющее условию с (F) > с (Ε) — ε.
В самом деле, дополнение к множеству Ε всегда можно покрыть откры-
тым множеством О так, чтобы μ (ОЕ) < ε.
Пусть F — дополнение к множеству О. Очевидно, в Силу (2)
V_JiAfl^lHi следовательно,
с (F) > μ (F) >μ(Ε)- ε.
Для нас понятие емкости будет существенным в случае открытых и замк-
нутых множеств. Мы остановимся подробнее на емкости замкнутых мно-
жеств.
2. Пусть Ε — ограниченное замкнутое множество. Обозначим через De
ту из областей смежности Е, которая содержит бесконечно удаленную точку,
и пусть Ее — граница области De. Замкнутое множество Ее является частью
Е. Через Dt мы обозначим открытое множество, дополнительное к множест-
ву Ее + De.
Теорема IV. Существует распределение массы μ (е) с полной массойг
равной емкости с {Е), для которого удовлетворяется неравенство (2) и имеют
место следующие свойства'.
1) масса μ (е) расположена на Ее\
• 2) потенциал V (Р) массы μ (е) равен единице в Dtu совпадает с обобщен-
ным решением задачи Дирихле Uf=i (P) в области Dei для граничных данных
f (Ρ) = 1 на Ее.
В самом деле, пусть du d2, . . ., dn, ... — возрастающая последователь-
ность областей класса К, сходящихся к De. Граница Гп каждой области dn
состоит из конечного числа поверхностей, образованных пересекающимися
кусками сферических поверхностей. Обозначим через νη (Ρ) функцию, рав-
246
77. Теория гармонических функций
ную единице на дополнении к dn, непрерывную во всем пространстве, гар-
моническую в dn и обращающуюся в нуль на бесконечности. Обозначая через
ν внешнюю нормаль к Гп и полагая в точках Гп
1 dv<n [
мы можем функцию νη (Ρ) представить в виде
pn(M)d<s f» £/μη(β)
MP,_JjMSiS_J
где μη (е) — некоторое распределение массы на Гп. Полные массы μη (Γη)
ограничены, так как μη (Г„) < с (Гп) в силу νη (Ρ) < 1, ас (Гп) не пре-
восходят емкости сферы достаточно большого радиуса. В силу известной
теоремы Радона из последовательности ограниченных функций множеств
μη (е) мы можем извлечь слабо сходящуюся последовательность μη (е).
Предельное распределение μ (е) будет лежать на границе Ее области De.
Пусть
(Р) = \
Ее
В силу слабой сходимости μ„ρ (е) вне Ее будем им.еть
V (Р) = lim у-, (Р) = lim vn (P),
р—>οο
и, следовательно, F (Ρ) = 1 в Df и У (Ρ) = Uf=1 (P) в £>е. Функция V (Р)
непрерывна снизу, поэтому в точках Ее выполняется неравенство
V (Р) ^1 и, следовательно, выполняется условие (2) и μ (Ε) ^с (Ε).
С другой стороны, μ (Ε) > с (Ε), так как если μ' (е) — распределение,
удовлетворяющее условию (2), то в силу принципа максимума в области De
V (Ρ) < νη (Ρ), откуда
μ' (Ε) = Jim W-V' (Р) < Jim 6F-vn (Ρ) = μη (Ε),
ΟΡ-»οο ΟΡ->οο
и поэтому с (Ε) = sup μ' (Ε) < μ (£").
Можно доказать, что распределение с полной массой, равной емкости
множества, удовлетворяющее условию (2), единственно. Потенциал этого
распределения мы будем называть потенциалом множества Ε и будем обо-
значать через We(P)- Мы докажем, что для всякого распределения массы на
Ε с полной массой, равной емкости, потенциал совпадает с функцией Uf=i (P)
в области De. В силу этого понятие потенциала замкнутого множества од-
нозначно определено в области De.
Пусть μΧ (е) — распределение массы на Е, для которого μ1 (Ε) = с (Ε),
Vi (Ρ) < 1·
Очевидно, что в области dn в силу неравенства для Vx (P) и принципа
максимума имеем Υλ (Ρ) < νη (Ρ), и поэтому
V± (Ρ) < Uf=1 (P) (3)
в области De. С другой стороны, пусть S — произвольная сфера, содер-
жащая множество Е. В силу известных свойств потенциала и условия
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле ^ 247
μ, (Ε) = с (£)
S
На основании доказанного выше предложения имеем также
S
Это в соединении с неравенством (3) показывает, что на поверхности сферы
S имеем Vx (Ρ) = E//=i (P); это равенство, очевидно, сохраняет силу вне 5,
а поэтому и всюду в De.
Отметим несколько простых свойств функции Uf=i или WE>
1. Если с (Е) > 0, то верхняя грань WE (P) в обасти De равна единице.
В самом деле, в этом случае WE (Ρ) > 0. Допустим, что всюду в De
WE(P)<M<1;
тогда в области dn
WE (Ρ) < Μνη (Ρ),
и, следовательно, в De
WE(P)<MWE(P),
что невозможно.
2. Если функция и (Р) гармонична в области De (и, следовательно, рав-
на нулю на бесконечности) и удовлетворяет неравенству и (Р) <^ 1, то
и (Р) < WE (Ρ).
3. Если Ех Z) Е2, то WE, > WE% в области Dei.
4. Если Ε = Ег + Е2, то WE < WEl + WEi.
5. Имеют место неравенства с (E)/R < WE (Ρ) ^ с (i?)/p, где ρ —
наименьшее, ай- наибольшее расстояние от точки Ρ области De до точек
множества Е.
3. Прежде чем переходить к дальнейшему изучению емкости множеств,
мы остановимся специально на множествах емкости нуль. Мы уже указали,
что изолированная точка является множеством емкости нуль. Можно при-
вести ряд геометрических критериев, достаточных для того, чтобы замкнутое
множество имело емкость нуль. Мы укажем здесь следующие два критерия:
1) множество, являющееся счетной системой спрямляемых кривых, имеет
емкость нуль;
2) всякое множество линейной меры нуль имеет емкость, равную нулю.
Первое из этих предложений непосредственно следует из того, что по-
тенциал \ ^ обращается в бесконечность во всех точках s спрямляемой
L
кривой L, в которых μ' (s)>0, и, следовательно, если множество Ε является
счетной системой спрямляемых кривых, то не существует на Ε распределе-
ния массы с конечным потенциалом.
Если множество Ε имеет линейную меру нуль, то, по определению, его
можно заключить в конечное число сфер Сх, С2, . . ., Ск, сумма радиусов
которых сколь угодно мала. Емкость Ε не превосходит суммы емкостей С%щ
н так как емкость сферы Ct равна ее радиусу, то с (Е) = 0.
248
II. Теория гармонических функций
Пусть а — произвольное положительное число. Мы будем говорить, что
множество Ε имеет нулевую меру порядка а, если множество Ε можно за-
ключить в систему конечного числа сфер Ct радиусов rt так, чтобы сумма
2г? была сколь угодно мала. В частности, при а = 1 мы получаем множе-
ства линейной меры нуль, при α = 2 — множества плоской меры нуль, при
α = 3 — множества объемной меры нуль.
Если Ε имеет линейную меру нуль, то емкость Ε равна нулю. С другой
стороны, каково бы ни было α ^> 1, можно построить замкнутое множество,
имеющее меру нуль порядка α и вместе с тем имеющее положительную ем-
кость. В частности, существуют множества положительной емкости и по-
верхностной меры нуль 5.
Было бы интересно выяснить, не имеет ли множество емкости нуль также
нулевую меру порядка α при любом α > 1.
Мы докажем здесь следующее необходимое условие, которому должно
удовлетворять множество емкости нуль.
ТеоремаУ. Проекция множества емкости нуль на любую плоскость
имеет плоскую меру, равную нулю.
В самом деле, допустим, что проекция замкнутого множества Ε на не-
которую плоскость (пусть плоскость z = 0) имеет плоскую меру, отличную
от нуля; докажем, что с (Е) > 0. Обозначим через Ρ (α, β) ближайшую к
плоскости z = 0 точку множества Е, лежащую на прямой х = а, у = β, и
пусть ρ (α, β; Μ) будет расстояние от точки Ρ (α, β) до некоторой точки М*
Положим
где Ег — проекция Ε на плоскость z = 0. Функция V (М) есть потенциал
положительного распределения массы на Е, и если мы докажем, что V (М)
ограничен, то с (Е) > 0. Обозначая через х, у, z координаты Μ, имеем
γ{М)< [[ dad* =-< 2nd,
ν(*-α)3 + (2/-β)2 *
где d — диаметр множества Ez.
В частности, из доказанного предложения следует, что всякое множест-
во, содержащее внутренние точки, а также всякая открытая жорданова по-
верхность имеют положительную емкость.
4. Множества емкости нуль играет особую роль при изучении особенно-
стей гармонических функций.
Мы начнем с доказательства следующей теоремы, указанной Василеско
[12].
Теорема VI. Пусть V (Р) — ограниченная и гармоническая функция
в области D, удовлетворяющая неравенству
lim sup V (/>)< Μ
во всех точках границы D, за исключением замкнутого множества точек Ε
ъ Для случая α = 2 примером такого множества является множество, построенное на
с. 284-285.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
24S
емкости нуль. Тогда в области D
V (Р) < И.
В самом деле, пусть De — область, дополнительная к Ε до всего про-
странства^^, d2, · · ·, dn, . . .—последовательность нормальных областей#
принадлежащих De и сходящихся к De. Через νη (Ρ) мы обозначим гармони-
ческую в dn функцию, равную нулю на бесконечности и имеющую предель-
ные значения, равные единице на границе dn. Так как Ε — множество ем·
кости нуль, то всюду в De, и в частности в области D,
lim vn = WE = 0.
Π—>οο
Если мы дополним определение функции νη (Ρ), положив ее равной единице
вне dn, то νη (Ρ) будет супергармонической функцией во всем пространстве»
На границе D
lim sup V (/>)< Μ + (А - Μ) νη (Ρ),
где А — верхняя грань функции V (Р).ЧИмея в виду, что V гармонична*
а νη (Ρ) супергармонична в D, заключаем, что в области D
V (/>)< Μ + (А - Μ) νη (Ρ)
и, следовательно, V (Ρ) ^ Μ.
В частности, из доказанной теоремы вытекает следующее усиление тео-
ремы о единственности решения задачи Дирихле.
Если две ограниченные гармонические функции U(P) и V(P) в области D
принимают одинаковые предельные значения во всех точках границы D, за
исключением замкнутого множества точек емкости нуль, то они совпадают
всюду в D.
Результат получается непосредственным применением предыдущей тео-
ремы к разности U — V. I
Докажем теперь следующее свойство множеств емкости нуль, отмечен-
ное Булиганом [11*].
Если функция V (Р) гармонична и ограничена в окрестности замкнутого
множества Ε емкости нуль, то она гармонична во всех точках множества Е,
В самом деле, построим нормальную область D, содержащую Е, так,
чтобы функция V (Р) была гармонична в D — Е, и пусть U (Р) — гармони-
ческая в области D функция, равная V (Р) на границе D. Гармоническая в
D — Ε функция U — V ограничена и имеет предельные значения, равные
нулю во всех граничных точках этой области, за исключением множества
емкости нуль. По предыдущей теореме заключаем, что всюду в D — Ε имеем
U = V, и, следовательно, положив V (Р) = U (Р) также в точках Е, мы
получим гармоническую на Ε функцию.
В частности, из доказанной теоремы следует, что ограниченная гармони-
ческая функция, множество особых точек которой ограничено и имеет ем-
кость нуль, обращается в нуль.
Наряду с этим предложением мы отметим еще следующую теорему Васи-
леско [12].
Если гармоническая β окрестности замкнутого множества Ε функция
имеет предельные значения, равные +°° во всех точках Е, то емкость Ε
равна нулю.
250
77". Теория гармонических функций
В самом деле, пусть V (Р) — гармоническая в окрестности Ε функция,
предельные значения которой на Ε равны +°°- Построим нормальную об-
ласть D, содержащую Е, так, чтобы в точках D — Ε функция V (Р) остава-
лась положительной. Пусть We — потенциал Е, a U (Р) — гармоническая
в D функция, равная We (Ρ) на границе D. Разность We — U супергармо-
тшчна bD я равна нулю на границеD, а поэтому вйи,в частности, в D — Ε
имеем We — U ^ 0, причем равенство может иметь место только в том слу-
чае, когда с (Е) = 0, так как если с (Е) > 0, то функция We не может быть
тармонической всюду в D. Каково бы ни было ε, предельные значения гар-
монической в D — Ε функции &V не меньше предельных значений гармони-
ческой же функции We — U, поэтому всюду в D — Ε справедливо We —
— U < eV, откуда следует, что We = U, и, следовательно, емкость
с(Е) равна нулю.
5. Введем несколько определений, касающихся границы области. Точку
границы области, являющуюся предельной для дополнения к замкнутой
области, мы будем называть внешней граничной точкой. Все остальные точки
границы мы будем называть внутренними граничными точками области.
Совокупность внешних граничных точек образует внешнюю границу области.
Внешняя граница области D ограничивает область D', состоящую из D и
внутренних граничных точек D.
Точку Q границы D мы будем называть точкой «нулевой емкости», если
точки границы D, принадлежащие сфере достаточно малого радиуса с цент-
ром в Q, образуют множество емкости нуль. В противном случае мы будем
говорить, что точка Q есть точка «положительной емкости». В силу последне-
го предложения п. 3 точка нулевой емкости не может быть внешней граничной
точкой. Множество, получаемое добавлением к D точек нулевой емкости
границы D, есть снова область, так как около точки нулевой емкости можно
всегда описать сферу, заполненную точками D и точками нулевой емкости.
-Эту область мы будем называть D.
Если функция V (Р) гармонична и ограничена β области D, то оца может
'быть гармонически продолжена β область D.
В самом деле, пусть Q — точка нулевой емкости границы D. Около Q
мы опишем сферу К столь малого радиуса, чтобы множество Ε точек грани-
цы Ζ), принадлежащее К, имело емкость, равную нулю. В силу теоремы V
множество Щ точек границы D, лежащее на поверхности сферы 5, имеет
меру нуль.
Пользуясь интегралом Пуассона, мы определим в К гармоническую
функцию U (Р), равную V (Р) в точках 5, не принадлежащих Щ.
Функция U — V ограничена и гармонична в области К — £ и равна
нулю во всех точках границы, за исключением множества Ε емкости нуль.
Отсюда заключаем, что V (Р) = U (Р) в области К — Е, и, следовательно,
V (Р) имеет непрерывные предельные значения в точках нулевой емкости
и эти предельные значения вместе с функцией V (Р) образуют гармониче-
скую функцию в области D. )
6. Вернемся теперь к изучению потенциала замкнутого множества в об-
ласти De. Прежде всего мы докажем следующую теорему, принадлежа-
щую Василеско [12].
Во всякой точке Q положительной емкости границы De
lim sup WE (P) = 1 (4)
при приближении точки Ρ в области De.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
251
Для доказательства мы разберем отдельно случаи, когда точка Q принад-
лежит к внешней границе йеик внутренней границе De.
В первом случае рассмотрим точку Qn, внешнюю для De и отстоящую от
точки Q на расстояние, не превышающее i/n. Наибольшая сфера с центром
в точке Qn, не содержащая точек De, будет иметь общую точку Qn с границей
De, отстоящую] от Qn на расстояние, не превышающее 2/п. Точка Qn будет
регулярной точкой границы De, и, следовательно, в этой точке WE имеет
предельное значение 1. Число η может быть взято сколь угодно большим,
и это доказывает (4).
Если точка Q принадлежит внутренней границе De, то в силу предпо-
ложения теоремы точки границы De, попадающие в сферу произвольного
радиуса р, образуют множество Ер положительной емкости. Верхняя грань
функции WE в области De равна единице. Поэтому точки, в которых удов-
летворяется неравенство WE > 1 — ρ, образуют область Δρ, имеющую гра-
ничную точку на Ер. Множество Ε при достаточно малом ρ нигде не плотно
в сфере радиуса 2р, поэтому в этой сфере Δρ и De имеют общие точки. Но в
таких точках WE > 1 — р.
Таким образом, в сфере радиуса 2р с центром в Q существуют точки,
в которых WE > 1 — ρ, и, следовательно, (4) имеет место в точке Q.
Только что полученное предложение позволяет установить следующую
важную теорему, доказанную Эвансом [13*].
Теорема VII. Каково бы ни было множество Ε положительной ем-
кости, граница области De содержит регулярную точку.
Эта теорема часто носит название леммы Келлога [14*], которым она
была высказана как гипотеза. В основе ее доказательства лежит следующее
предложение.
Пусть Ε — ограниченное совершенное множество, μ (е) — положительное
распределение массы на нем. Потенциал этого распределения *
ν{Ρ) = ^1ψ. (5)
Ε
непрерывен * в точке множества Е, если он непрерывен в этой точке на мно-
жестве Е. Множество точек непрерывности V (Р) всюду плотно на Е.
Прежде всего, как мы отмечали уже выше, потенциал положительного
распределения массы непрерывен снизу и, следовательно, есть функция
первого класса в смысле Бэра. На основании теоремы Бэра множество точек
непрерывности V (Р) на множестве Ε всюду плотно на Е, и нам нужно
только доказать, что в каждой точке Q непрерывности V (Р) на множестве
Ε функция V (Р) непрерывна в абсолютном смысле.
Обозначим через VQ (Ρ) потенциал массы μ (е), лежащей внутри сферы
PQ < р, и через Vp (Ρ) потенциал массы μ (е), лежащей вне этой сферы.
Функция V (Р) конечна в точке Q, поэтому число ρ мы можем выбрать столь
малым, чтобы выполнялось неравенство
Fp (<?) < ε/8. (6)
С другой стороны, функция V (Р) непрерывна в точке Q на Е, а функция
Ур (Р) непрерывна в Q в абсолютном смысле, поэтому при достаточно
В топологии расширенной прямой.
252
77. Теория гармонических функций
малом δ в сфере PQ <ic; δ мы будем иметь
| V'p (Ρ) - Гр (<?) | < ε/8 (7)
и в точках Е, принадлежащих этой сфере,
W(P)-V(Q)\< ε/8. (8)
Но тогда, очевидно, в точках Е, принадлежащих сфере PQ < δ,
VP (Р)< | V (Ρ) -V(Q)\ + VP (Q) + I V'p (Q) - Vp (Ρ) | < 3ε/8. (9)
Пусть теперь Μ — произвольная точка сферы PQ < δ/2, и обозначим
через Мх одну из ближайших к Μ точек Е. Очевидно, что Μλ принадлежит
сфере радиуса δ. Если Ρ — какая-нибудь точка Е, то ММХ < MP ъ
МХР < ММХ + MP < 2МР,
а потому в силу (9)
Fp (Μ) < 2FP (Л/j) < 3ε/4. (10)
Имея в виду, что
V (Q) - V (М) = [Vp (Q) - Vp (M)] + IV'P (Q) - V'p (M)],
получаем, применяя (6), (7) и (10) при MQ < δ/2, неравенство
\V(Q)-V(M)\< e,
что и доказывает наше предложение.
Переходя к доказательству леммы Келлога—Эванса, заметим, что в силу
теоремы III каждая точка границы Z)R, в которой
lim WE (Ρ) = 1, t (11)
регулярна. На основании теоремы IV
Ее
Функция We (Ρ) ограничена в точках Ее нулевой емкости, поэтому масса
μ (е) распределена на множестве Ёе точек Ее положительной емкости. На
основании доказанной теоремы мы можем найти точку Q множества Ее, в
которой функция WE непрерывна, а так как верхняя грань We (Ρ) в точке Q
равна единице, то имеет место (11).
7. Результаты предыдущего подраздела позволяют изучить множество
иррегулярных точек границы области, а также определить обобщенное ре-
шение задачи Дирихле как функцию, обладающую известными предельны-
ми свойствами на границе области.
Мы начнем с доказательства следующей леммы Булигана.
Лемма I. Пусть f (Q) определена и непрерывна на границе области
D. Множество Ег точек Q границы D, в которых все предельные значения
обобщенного решения задачи Дирихле не попадают в открытый интервал
(f(Q) — ε> f (Q) + ε)» есть замкнутое множество емкости нуль.
Множество Ег замкнуто; действительно, если Qu Q2, . . . — сходящаяся
к Q последовательность точек Ее, то мы можем построить последовательность
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
253
точек Рп, таких, что
Qjt~n < l/i», I / (Qn) - щ KPn) I > ε - 1/в;
так как точки Рп сходятся к Q, то функция щ (Р) имеет в Q предельные зна-
чения, лежащие вне открытого интервала (/ (Q) — ε, / (Q) + ε).
Докажем, что Ег не разбивает пространства. В самом деле, множество
Ег нигде не плотно на внешней границе D, так как на внешней границе D
всюду плотно множество точек, через которые проходит поверхность сферы,
не содержащей точек D. Замкнутое нигде не плотное на внешней границе
D множество, очевидно, не разбивает пространства.
Пусть Dee — область, дополнительная к Ег. Эта область содержит D.
Допустим, в противоречие с утверждением теоремы, что емкость мно-
жества Еъ положительна, и рассмотрим потенциал We этого множества.
На основании леммы Келлога—Эванса существует точка Q множества Ег,
в которой WEz принимает значение 1. Функция Wee — 1 есть отрицательная
гармоническая в D функция, имеющая предельное значение 0 в точке Q, по-
этому Q есть регулярная точка границы D\ но это приводит к противоречию,
так как из определения ЕЁ следует, что все точки этого множества иррегу-
лярны.
Теперь сформулируем следующее предложение (принадлежащее Васи-
леско):
Теорема VIII. Множество иррегулярных точек границы области
есть счетная сумма замкнутых множеств емкости нуль.
В самом деле, множество иррегулярных точек может быть получено как
множество точек границы, в которых предельные значения функции Грина
G(P, M) не равны нулю, и, следовательно, это множество есть объединение
множеств точек Q границы, в которых
lim sup G (Ρ, Μ) > 1/rc, η = 1, 2, . . .,
а по предшествующей лемме каждое из этих множеств есть замкнутое мно-
жество емкости нуль.
В разделе I мы дали пример односвязной области, имеющей одну иррегу-
лярную точку. Имея в виду, что регулярность или иррегулярность гранич-
ной точки зависит только от поведения границы области в окрестности этой
точки, легко построить примеры областей с любым конечным числом ирре-
гулярных точек. Василеско, используя метод сгущения особенностей, дал
пример односвязной области со всюду плотным множеством иррегулярных
точек.
Полученные результаты позволяют доказать весьма важные свойства мно-
жества иррегулярных точек.
Теорема IX. Две гармонические и ограниченные в области функции,
имеющие одинаковые предельные значения во всех регулярных точках границы,
совпадают всюду внутри области.
Эта теорема является непосредственным следствием следующей леммы.
Лемма П. Если две гармонические функции U, V ограничены в области
D и на множестве регулярных точек предельные значения U не превосходят
предельных значений V, то в области D справедливо U <^ V.
В самом деле, пусть Ев — множество точек границы D, в которых
lim sup (V — U) > ε.
254
77. Теория гармонических функций
Множество Еъ замкнуто и состоит из иррегулярных точек. В силу теоре-
мы VIII множество иррегулярных точек, а следовательно и Ег, может быть
представлено как сумма счетного числа множеств емкости нуль. Но тогда и
емкость множества Ег равна нулю, и в силу теоремы VI U — V <^ ε, что и
доказывает лемму.
В частности, полученное свойство множества регулярных точек показы-
вает, что обобщенное решение задачи Дирихле может быть однозначно опре-
делено следующим свойством: обобщенное решение задачи Дирихле есть ог-
раниченная гармоническая функция, принимающая заданные граничные зна-
чения во всех регулярных точках границы области.
Последняя теорема и вытекающие из нее следствия были впервые уста-
новлены в работе Эванса, давшего доказательство леммы Келлога—Эванса.
Сведение этих теорем к лемме Келлога—Эванса было дано еще раньше в ра-
ботах Келлога [14*], Булигана [11*] и Василеско [15*]. В случае гармони-
ческих функций двух переменных соответствующие вопросы были решены
раньше. Доказательство теоремы для этого случая было впервые дано
И. Г. Петровским [16*]. Метод И. Г. Петровского основывается на идеях,
совершенно отличных от тех, которые мы изложили выше.
III. КРИТЕРИЙ ВИНЕРА РЕГУЛЯРНОСТИ ТОЧКИ.
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ИРРЕГУЛЯРНОЙ ТОЧКЕ
1. Используя понятие емкости множества, Винер дал следующий крите-
рий регулярности точки.
Теорема X. Пусть Q — граничная точка области, уп — емкость мно-
жества Еп точек дополнения к области D, расстояния которых от Q заклю-
чены между 2~~и и 2~п+1. Для того чтобы Q была регулярной точкой, необ-
ходимо и достаточно, чтобы расходился ряд с*
Σ2ηΤη· (1)
Необходимость. В самом деле, допустим, что ряд (1) сходится
в точке Q. Выберем число т так, чтобы
оо
£ 2"Тп<г±-, (1')
n=m-fl
и рассмотрим в области D задачу Дирихле для граничных значений
О при Щ > 2~т,
) . i_2™PQ при Ρρ<2-
Мы покажем, что на всякой сфере PQ < ρ найдется точка области Ζ), в кото-
рой обобщенное решение задачи Дирихле удовлетворяет неравенству щ(Р) ^
< 1/2.
В самом деле, в области Dp, получаемой удалением из D точек сферы
TQ<2'P, имеем
»/ < WEm+i + · ■ ■ + W*v + Wm (2)
так как это неравенство справедливо во всех регулярных точках границы Dv.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
255
Рассмотрим функцию
wm,p = s wE. (3)
i=m+l
в области Dp, состоящей из точек D, принадлежащих сфере PQ < р, и из
точек сферы PQ < 2~р, где 2~р < р. Точка Q принадлежит D9P, а в силу (Г)
и свойства 5 потенциала замкнутого множества WmtP (Q) < 1/4; поэтому
хотя бы в одной регулярной точке границы Dp предельные значения Wmt р
не превосходят 1/4. Эта точка Р0 должна принадлежать сфере PQ — р, так
как во всех регулярных точках Ек (т + 1 <; к <^ р) предельные значения
We,,, а следовательно, и Wmf p не меньше единицы. В силу (2) при достаточно
большом ρ
Щ (Ро) < V4 + 1/(2рр) < V,.
Так как ρ сколь угодно мало, то полученное неравенство доказывает ирре-
гулярность точки Q.
Достаточность. Обозначим через ер множество точек дополнения
к D, удовлетворяющих неравенствам 2~п/р<; PQ ^2~(п~1>/р, и через γρ емкость
е?п. Если ряд (1) расходится, то также расходится и ряд
Σ2"Λ>γ}» (4>
так как уп < γρρ + γ£ρ_1 + . . . +4νην-ν^
Пусть ρ не превосходит диаметра D. Для доказательства регулярности
точки Q в силу теоремы III достаточно доказать, что потенциал Wep множе-
ства точек Ер дополнения к D, удовлетворяющих неравенству PQ <р, при-
нимает значение 1 в точке Q. Не ограничивая общности, мы можем предпо-
ложить ρ = 1. В силу расходимости ряда (4) расходится один из рядов
Σ 2»»γ£ρ., Σ VMPJZjM,... · Σ 2»p+(p'-i)/p
Упр*+рг-1>
(Л) (П) (П)
мы можем всегда предполагать, что расходится первый из этих рядов, так
как в противном случае этого можно достигнуть растяжением области.
Выберем теперь число Νρ столь большим, чтобы
Νρ
Σ (2"*γ?,,)>2Ρ/». (5)
Тогда легко убедиться, что всюду вне множества Ер
(1 + 2-рА) WEp> 2 W р (Ρ) /Σ 2"Рурпрг. (6)
71=1 βηρ* 71=1
В самом деле, при к Φ η расстояние от множества ef?pi до впРг не меньше,
чем 2~пр — 2^п+1>р+1/2>2~пр (1 — 2"р+1/р), поэтому в силу свойства 5 потен-
циала замкнутого множества на е^рг
Wj, <2"P(l + 2-P*)ypnPu
256
II. Теория гармонических функций
Отсюда следует, что на каждом из множеств еРрг, а следовательно, и всюду *
правая часть неравенства (6) не превышает /
Νρ
Σ 2"PV^ (1 + 2_Р/2)
±- < 1 + 2-Р/4,
1
поэтому неравенство (6) удовлетворяется во всех регулярных точках множе-
ства Ер, а следовательно, всюду вне Ер. С другой стороны, снова в силу свой-
ства 5 потенциала замкнутого множества функция
W p (tf)>2»*YiU
еПр2
поэтому правая часть (6) в точке Q не меньше единицы.
Имея в виду, что эта функция регулярна, а следовательно, непрерывна
в Q, заключаем, что]
и, так как ρ сколь угодно велико, WEp принимает значение 1 в точке Q и
точка Q регулярна.
2. Из полученного критерия Винера легко извлечь ряд достаточных кри-
териев регулярности точки чисто геометрического характера.
Сделаем прежде всего следующее замечание: емкость множества Ε точек
сферы радиуса R площади S не меньше S/AnR.
В самом деле, в центре сферы потенциал We принимает значение с (E)/R.
С другой стороны, так как множество иррегулярных точек Ε есть сумма зам-
кнутых множеств емкости нуль, почти всюду на Ε потенциал We равен еди-
нице. В силу теоремы о среднем значении в центре сферы
WE => (E)/R > S/4nR*.
Теперь мы можем доказать следующее предложение.
Угловая мера пересечения сферы с центром в иррегулярной точке и допол-
нения к области стремится к нулю вместе с радиусом сферы.
В самом деле, если существует бесчисленное множество сфер S4 с цент-
рами в точке Q, угловая мера пересечения которых с дополнением к D оста-
ется большей, чем а, и радиусы гг· которых стремятся к нулю, то найдется
бесконечно много множеств Еп1 содержащих точки пересечения одной из
* Если точка Ρ лежит в сферическом слое между множествами e%v2 и е^к+1) р2, то правую
часть (6) можно оценить сверху через
2 + 2 2%(1 + 2-р/2)
А = !__ < 1 + 2-Р'2 + 21-?/2,
1
А < 1 + 2"р/4 при ρ > 8.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
257
сфер Sr{ с дополнением к D. В силу сделанного замечания для этих множеств
Ут ^> ос2~т/4я, и, следовательно, ряд (1) расходится и точка Q регулярна.
Обозначим через S (р) площадь пересечения сферы радиуса ρ с центром
в точке Q и дополнения к области D. Тогда если S (р) ]> рк (к ]> 2), начи-
ная с некоторого р, то точка Q регулярна.
В самом деле, допустим, что при 2Γη+1 Ζ> ρ > 2~п имеет место неравенст-
во S (р) ^> рк\ и оценим емкость множества Еп точек дополнения к D, удов-
летворяющих неравенству 2"n < PQ < 21_п. Рассмотрим потенциал -
п*>--Ь S ^г S
г
где 5Р — множество точек пересечения сферы радиуса ρ и дополнения к Ζ),
а г — расстояние от Ρ до точки интегрирования.
Легко усмотреть, что при заданной площади S (р) выражение"^ТоГ" \ "~Г"
'(Р)
будет иметь наибольшее значение, если Sp есть сферический круг с цент-
ром на оси QP. Обозначая через δ расстояние QP, простыми вычислениями
найдем
Si
|δ-Ρ! + |/(δ-Ρ)2 + ^Γ^(Ρ) l^-Pl + l^^iP)
Отсюда, имея в виду, что £ (р) > р* и δ < 2р < 4δ на Еп, получаем в точ-
ках Еп
21-п 2"(η+1)
4
' ^ пк j | ft __ о Ι-Ι-2~™"'Ζ " пк
_2-(n+l)
2х '" 2 ^"^х/
У '^ λΛ J I ft _ ρ J + 2~nk'2 ^ и/f _J |i| + 2"nfc/2<4
Это неравенство показывает, что емкость Еп не меньше полной массы потен-
циала V (Р), и, следовательно, уп > l/(2nnk), что доказывает расходимость
ряда (1).
Аналогичным образом можно установить следующий, критерий регуляр-
ности.
Если множество Sp при ρ <^ р0 содержит связную часть, диаметр Φ (ρ)
которой удовлетворяет условию Φ (ρ) ^> pfc (k ^1), то точка Q регулярна.
Пусть Ар, В ρ — концы диаметра связной части Sp, удовлетворяющие не-
равенству ЛрВр ^> рк, и пусть Μ (s, p) — ближайшая к отрезку АрВр точка
пересечения множества Sp с плоскостью, проходящей через точку s отрезка
АрВр перпендикулярно к этому отрезку. Через г (s, ρ; Μ) мы обозначим рас-
стояние от произвольной точки Μ до точки Μ (s, ρ). Если точка Ρ принадле-
жит сфере PQ = р' и проектируется в точку s' отрезка АРВР, то
г (s, р; Р) > V, (| ρ - р'| + I * - *' I).
17 Μ. В. Келдыш. Математика
258
//. Теория гармонических функций
Пусть Ср — точка отрезка АРВР, отстоящая на расстояние 2~п1г от точки
Ар. Рассмотрим потенциал положительного распределения массы на множе-
стве ЕП1 определенный формулой *
2-п+1
r(s,p;*)
*P°P
Докажем, что V (Ρ) < 1. В самом деле, если MQ = р', s' — проекция ЛГ
на прямую Лр#р, то
-nfe
) r(s,p;M) <2 J « + |ρα-Ρ'| <41П
АрСр —2—η^
и, следовательно,
nnfr-l
1 +
2"" Ι ρ — p'|
oTlff-l /» I 4 1
v ' ^ z + щЛ — l)ln2 J n 2^10 —p'l
2~
2~"
^2 + и(А;-1)1п2 J Ш ^l^ 2nk\t\) ^ 2 + w(/c-l)ln2 ^ l'
Отсюда следует, что емкость Еп не меньше полной массы потенциала V,
т. е.
-га+1
2пъ-з ,. I* j _ 2"(п+3)
7n^ 2+n(*-l)ln2 J P J ^5— 2 + |ЦЛ-1)1п2
2-я АрСр
Полученное неравенство доказывает расходимость ряда (1) и, следователь-
но, регулярность точки Q.
Мы не будем останавливаться здесь на дальнейших примерах регулярных
точек. Отметим, что критерий Винера позволяет также устанавливать ирре-
гулярность граничной точки. Например, легко установить, что если вблизи
точки Q граница области содержится внутри поверхности вращения с урав-
нением меридиана у = Ае'1/*, то точка Q иррегулярна. К этому типу при-
надлежит иррегулярная точка в приведенном выше примере Лебега.
3. Теорема Винера дает полное решение вопроса об условиях, которым
должна удовлетворять область, чтобы она была нормальной, т. е. чтобы за-
дача Дирихле была разрешима при произвольных непрерывных граничных
данных. Если граница области содержит иррегулярные точки, то встает воп-
рос об условиях, которым должны удовлетворять граничные значения, для
того чтобы задача Дирихле была разрешима. С этой точки зрения представ-
ляет интерес более детальное изучение обобщенного решения задачи Дирих-
ле в окрестности иррегулярной точки.
* Чтобы выражение для V (Р) имело смысл, нужно установить, что интеграл
С' ds
\ r is р. m является измеримой функцией р. Соответствующее аккуратное рассуж-
дение можно найти в книге Н. С. Ландкофа «Основы современной теории потенциала»
(М.: Наука, 1966, с. 359—360).
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
259
Пусть Q — иррегулярная граничная точка, σ (ρ, Q) — часть поверхности
сферы радиуса ρ с центром в Q, содержащаяся в области D. Обозначим через
т (A Qi Ρ) среднее значение функции щ на σ (ρ, Q):
я
σ(ρ,0)
и. d<z
ν r' пл. σ (ρ, (?)
тогда можно установить следующую теорему Брело [17*]: среднее значение
т (/, Q, р) имеет предел т (/, (?) ггри ρ —» 0.
Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда / (Q) = 0 и
/ (Р) >0 в остальных точках границы Ζ), так как / (Р) — / (Q) всегда есть
разность двух функций такого рода. Обозначим через т (/, Q) нижний пре-
дел т (/, Q, р) при ρ —» 0. Для доказательства теоремы -достаточно устано-
вить, что при достаточно малых ρ
т (/, Q,p)<m (/, Q) + ε. (7)
Пусть число р0 выбрано так, что
т (/. Q, р0) < т (/, Q) + ε/2
и при PQ < р0
| / (Р) | = | / (/>) - / (Q) |< ε/2.
Обозначим через Τ (Ρ) гармоническую при i^ < р0 функцию, опреде-
ленную как интеграл Пуассона от значений на PQ = р0, равных щ (Ρ) + ε/2
внутри D и равных ε/2 вне D. В общей части Δ области D и сферы Р() < р^
"* u,(P)<V(P), (Г)
так как это неравенство удовлетворяется во всех регулярных точках грани-
цы Δ. В силу теоремы о среднем
7(<?) = lib" SS uf(p)d° + -T<mV'Q) + *·
Р° асро, Q)
Поэтому и на основании (7') можно указать рх так, чтобы при PQ < рх
и, (Р) < m (/, ρ) + ε,
а тогда при р < рх выполняется неравенство (7).
Теперь мы установим следующее предложение.
Теорема XI. Все предельные значения функции uf (P) в граничной
точке Q заключены между числами f (Q) и т (/, Q).
Очевидно, что утверждение теоремы надо доказать только в случае ирре-
гулярной точки. Если Q — иррегулярная трчка, то мы рассмотрим снова
множество Еп точек дополнения к Z), лежащих в слое 2"п <^ PQ ^ 21~п, и их
-емкость уп. Обозначим еще через Μ максимум функции / (Р).
Допустим, например, что в точке Q
260
/7. Теория гармонических функций
Зададимся произвольным числом ε, и пусть η = ε/11; фиксируем число
т так, чтобы , * r Ju .-
1 2>ъ<1\/М, (9)
m{f, <?) - η <т (/, <?, 2-") < т (/, ρ) + η (10)
и площадь σ (Q, 2~m) точек сферы Р() = 2~m, лежащих внутри Z), удовлет-
воряла неравенству
σ (<?, 2"w) > 4я2-^ (1 - η/Λ/). (И)
Обозначим через V (Р) гармоническую в сфере PQ <^ 2"т функцию, оп-
ределенную как интеграл Пуассона от граничных значений на сфере PQ =
= 2"т, равных Uf (Ρ) внутри D и нулю вне D. Тогда в силу принципа макси-
мума
\V(P)\<M, (12)
а на основании теоремы о среднем значении и неравенства (11)
\V(Q)-m(f,Q,2^)\<i\
и, следовательно,
W(Q)-m(f, <?)|<2η; (13)
в частности, в силу (8)
V(Q)<f «?) + 2η. (14)
Выберем теперь число ρ столь большим, чтобы в точках сферы PQ <
< 2~р выполнялись неравенства
. | V (Р) - V (О) |< η, (15)
\f(P)-f(Q)\< η· (16)
Пусть Wj — потенциал множества Ej. Расстояние от точки сферы PQ <
<; 2~<р+1) до точек множества Ej при / > ρ превышает 2~j — 2~<р+1> >
> 2~(;+1>, и поэтому в сфере TQ < 2~(р+1>
Wj (Ρ) < 2i+1Vy-, " (17)
Пусть Δ — наибольшая связная область, содержащая точки сферы PQ <
<^ 2~(р+1> и принадлежащая пересечению D со сферой PQ^<C 2~m. В области Z>
имеют место неравенства
uf(P)<V(P)-V(Q) + f(Q) + 24 + 2M 2 Wj (П (18)
Κ/(/>)>Γ(Ρ)-4η-2Μ S W,(P). (19)
Так как в обеих частях неравенств (18) и (19) стоят гармонические функции,
достаточно доказать справедливость этих неравенств в регулярных точках
границы Δ.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле 261
Докажем,- например, первое из этих неравенств.
Если точка Ρ лежит на части сферы PQ= 2~m, принадлежащей D, то
Uf (Ρ) = V (Ρ) и в силу (14)
-У «?) +/«?) + 2η > О,
поэтому неравенство (18) выполнено.
Если точка границы Δ лежит в слое 2~р <; PQ < 2~т, то она принадле-
жит одному из множеств Ej. В регулярной точке этого слоя в силу (12)
V(P) + 2M Σ WS(P)>M,
поэтому, учитывая (14), заключаем, что правая часть (18) больше М, и не-
равенство выполнено, так как | щ (Р) | < М.
Наконец, если регулярная точка границы Δ лежит в сфере PQ < 2~р, то
в силу (16) Uf(P) </(<?) + η, правая же часть (18) на основании неравен-
ства (15) превосходит / (Q) -\- η.
Таким образом, (18) доказано для любой граничной точки Δ, а следова-
тельно, внутри всей области Δ. Из неравенства (18) в силу (15) и (17) заклю-
чаем, что в сфере PQ < 2~~^+1>
Μ*Κ/№) + 3η + 2Μ Σ 2*iTj,
7=m+l
и на основании (9)
»/(^)</(<?) + 7η</(ρ) + ε. (20)
Аналогично неравенство (19) вместе с (15) и (17) дает при PQ < 2"<ρ+1>
u,(P)>V(Q)-5r]-2M S 2^Vm·
j=m -fl
Применяя (13) и (19), находим
и, (Р) > т {f, Q) - ε. (21)
Число ε может быть взято сколь угодно малым, поэтому полученные не-
равенства (20) и (21) доказывают теорему.
Сделаем еще несколько замечаний по поводу доказанной теоремы. Если
точка Q есть граничная точка нулевой емкости, то, как было доказано выше,
Uf (P) остается регулярной в точке (?, поэтому в этом случае все предельные
значения щ (Р) совпадают с т (/, Q). Это предельное значение, вообще гово-
ря, не совпадает с / (Q). В случае, если точка Q есть точка положительной
емкости границы, легко убедиться в том, что числа т (/, Q) и / (Q) ограничи-
вают наименьший промежуток, содержащий все предельные значения щ (Р)
а точке Q.
Колебанием ω (Q, f) решения задачи Дирихле в граничной точке Q мы
назовем разность
ω (Q, f)=m (/, Q) - f (<?).
Очевидно, что ω ((?, /) есть линейный функционал от граничных значений
f(P)·
262
II. Теория гармонических функций
Пусть φ (Ρ) — некоторые фиксированные непрерывные данные на гра-
нице D, и допустим, что ω (Q, /) Φ 0. Рассмотрим задачу Дирихле для про-
извольных граничных данных / (Р). Мы можем решение задачи с данными
/ (Р) представить в виде
uf = аыф + ν, а = ω (Q, /)/ω ((?, φ),
где z; есть решение задачи Дирихле по данным / — αφ, которое, как легко
убедиться, остается непрерывным в точке Q: ω (Q, / — αφ) = 0.
Это показывает, что характер разрыва обобщенного решения задачи Ди-
рихле в иррегулярной точке не зависит от граничных данных, а целиком оп-
ределяется структурой границы области вблизи этой точки.
Пользуясь общими результатами функционального анализа о форме ли-
нейных функционалов, мы можем колебание решения задачи Дирихле пред-
ставить в виде
<u(Q,f)=l[f(P)-f(Q)]do>Q(e),
где cuq (е) — абсолютно аддитивная функция множеств, определенная на
границе Г области D. Мы дальше покажем, что эта функция тесно связана с
гармонической мерой множеств.
Условие разрешимости проблемы Дирихле в граничной точке при дан-
ных / (Р) может быть, очевидно, записано в виде следующего условия орто-
гональности:
Г
Мы докажем здесь еще следующее предложение, касающееся вопроса о
разрешимости задачи Дирихле в области при заданных граничных значе-
ниях.
Теорема XII. Существует счетное число иррегулярных точек Qx,
С^> · · -1 Qni · · · границы области D, таких, что для разрешимости задачи,
Дирихле в области D необходимо и достаточно, чтобы задача Дирихле была
разрешима в точках (?1? Q2, . . ., Qn, . . . Условия разрешимости задачи Ди-
рихле с граничными данными f (P) могут быть записаны в **'%
lU(P)-f(Q)]^Qn(e) = 0. n = 1,2,3,...
г
В самом деле, пусть R1 (Ρ), R2 (P), . . ., Rm (Ρ), . . .— множество всех
полиномов от х, у, z с рациональными коэффициентами. Множество этих по-
линомов счетно, и любая непрерывная функция / (Р), заданная на Г, может
быть представлена как предел некоторой подпоследовательности этих поли-
номов.
Рассмотрим множество Ет чисел ω (Q, Rm) для всех иррегулярных то-
чек Q границы D. Мы можем найти счетное множество точек Q{™\ (?2™\ · · ·
• . ., <?η™\ · · ., таких, что множество &т чисел ω ((?(nm\ Rm) плотно на мно-
жестве Ет. Пусть Ql4 (?2, . . ., (?п, . . .— счетное множество иррегулярных
точек, состоящее из всех точек вида (?jm) (/', т = 1, 2, 3, . . .). Множество
чисел ω (Qn, Rm) содержит множество <Ет, а поэтому, каковы бы ни были
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле 263
полином Rm и иррегулярная граничная точка Q, существует последователь-
ность Qri% QV2 , . . ., QVn , . . ., такая, что
lim ω (QPn, Rm) = ω (<?, i?m). (22)
η—>οο
Допустим, что для граничных данных / (Р) задача Дирихле разрешима
в точках <?!, <?2, . . ., Qn, . . .:
ω (<?„, /) = 0, (23)
и пусть Q — произвольная иррегулярная точка границы Д, а ε>0 произ-
вольно мало. Функция / (Р) непрерывна, поэтому можно найти полином
i?m (Ρ), такой, что | / (Р) — Rm (Ρ) | < ε. Но тогда в силу принципа мак-
симума для гармонических функций | Щ-ът (Ρ) I < ε, следовательно, учи-
тывая (23),
Ι ω (<?Λ, Rm)\ = Ι ω (0„, Rm-f)\< 2ε,
и на основании (22) | ω (<?, Rm) | < 2ε и
Ι ω «?, /) I < Ι ω (<?, Дте) I + | ω «?, Rm - f) |< 4ε,
что доказывает разрешимость задачи Дирихле в рассматриваемой области.
IV. ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА МНОЖЕСТВ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
1. Емкость множества является некоторой абсолютной мерой этого мно-
жества. При изучении свойств гармонической функции в области наряду с
этой абсолютной мерой удобно пользоваться некоторой мерой множества то-
чек границы, связанной с областью. Эта мера носит название гармонической
меры множества.
Пусть D — произвольная область трехмерного пространства, границу
которой обозначим через Г. Пусть F — произвольное замкнутое множество,
принадлежащее Г; построим семейство супергармонических в D функций,
удовлетворяющих следующим условиям: 1) какова бы ни была точка Q мно-
жества F, все предельные значения функции этого семейства V (Р) при Ρ —>
—> Q не меньше единицы; 2) V (Ρ) ^ 0 всюду в области D.
Гармонической мерой множества F в точке Ρ области D мы будем назы-
вать нижнюю границу функций V (Р) семейства {V (Р)} в точке Р:
h(F,D,P) = ini{V(P)}.
Если множество F совпадает со всей границей Г области/), гармоническая
мера F есть обобщенное решение задачи Дирихле с граничными значениями,
равными единице на Г. В случае, если область D ограничена, очевидно, что
h (Ρ) = h (Г, Ζ), Ρ) = 1, но для неограниченной области, содержащей бес-
конечно удаленную точку, h (Ρ) отлична от единицы, так как h (P) как регу-
лярная функция обращается в нуль на бесконечности.
Если множество О открытое, то мы положим
h (О, D,P) =h (Ρ) - h (CO, D, P),
где CO — дополнение к О.
Гармоническая мера произвольного множества Ε определяется по анало-
тии с лебеговой мерой множества. Верхней гармонической мерой множества
264
77". Теория гармонических функций
Ε точек границы в точке Ρ мы назовем нижнюю грань гармонических мер в
точке Ρ открытых множеств О, содержащих Е:
Ъ (Е, D, Р) = inf h (О, D, Ρ), OZjE.
Нижнюю гармоническую меру D определим равенством
h (Ε, D, Ρ) =h (Ρ) - Ъ {СЕ, Ζ), Ρ),
где СЕ — дополнение Ε на Г. Легко убедиться в том, что верхняя и нижняя
меры множества удовлетворяют неравенствам
О < h (Ε, Ζ), Р)< Ъ {Ε, D, Р)< h (P).
Множество Е гармонически измеримо, если его верхняя и нижняя меры
совпадают; общее значение этих мер мы назовем гармонической мерой изме-
римого множества.
Так же как в случае лебеговой теории меры, доказывается, что гармони-
ческая мера h (E,D, P) есть абсолютно аддитивная функция множеств, оп-
ределенная на семействе, содержащем все ^-множества границы Г области D.
Если множество Ε измеримо, то оно содержит замкнутое множество F,
такое, что h (F, D, Ρ) > h (Ε, Ζ), Ρ) — ε.
Отметим еще ряд специфических свойств гармонической меры.
Гармоническая мера h (Ε, Ζ), Ρ) гармонически измеримого множества Ε
-есть гармоническая функция точки Р.
В случае замкнутого множества это следует непосредственно из резуль-
татов Перрона (см. [9]). Если множество открытое, то сформулированный
результат вытекает непосредственно из определения меры.
Пусть теперь Ε — произвольное гармонически измеримое множество и
{0} — семейство открытых множеств, содержащих Е.
Семейство гармонических функций {h (О, D, Р)} нормально в области Z),
так как 0 < h (О, D, Р) < 1.
Пусть Оп — последовательность множеств {О}, таких, что на всюду плот-
ном множестве точек
h (Ε, D, Ρ) = lim h (On, D, P).
П->оо
В силу нормальности, а следовательно, равномерной непрерывности семей-
ства функций {h (О, Ζ), Ρ)} последнее равенство имеет место всюду в области
D и сходимость h (On, Z), Р) к функции h (£, Ζ), Ρ) равномерна; отсюда вы-
текает гармоничность функции h {Ε, Ζ), Ρ) в области D.
В частности, из доказанного предложения вытекает следующее важное
свойство гармонической меры.
Если гармоническая мера множества Ε обращается в нуль в одной точке
области Ζ), то она тождественно равна нулю.
Отметим еще следующее существенное свойство гармонической меры.
Если гармоническая мера Ε не обращается в нуль в области D, то ее
верхняя грань при различных положениях точки Ρ равна единице:
sup h {E,D, Ρ) = 1.
Так как множество Ε положительной гармонической меры содержит зам-
кнутое множество F положительной гармонической меры, то теорему доста-
точно доказать для случая замкнутого множества. Пусть h (F, D, Ρ) —
гармоническая мера замкнутого множества и
0<supfe(/\ D, Ρ) = α<1. (1)
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
265
Функция h (F, D, Ρ) в каждой регулярной точке множества СЕ обращается
в нуль в силу результатов Перрона. Если U (Р) — супергармоническая функ-
ция в области D, положительная и большая единицы на множестве F, то·
легко усмотреть, что. из (1) следует
h (F, D, Ρ) < aU (Ρ). (2>
В самом деле, написанное неравенство имеет место во всех регулярных
точках границы. Поэтому во всех этих точках aU (Ρ) — h (F, D, Ρ) ^ 0.
Рассуждая так же, как при доказательстве леммы II, докажем, что эта
неравенство имеет место всюду в D. Но это невозможно, так как в силу оп-
ределения гармонической меры мы получили бы из (2)
h (F, D, Ρ) < ah (F, D, P) при a < 1.
Укажем здесь один принцип, позволяющий оценить изменение гармони-
ческой меры множества при варьировании границы области, указанный в
плоском случае Карлеманом.
Пусть Z?! ий2 — две области, имеющие Ρ общей точкой, такие, что: 1) об-
ласть Ζ?! содержится в D2, 2) существует множество Е, принадлежащее одно-
временно границам обеих областей Dl4 D2\ при этих условиях имеет место не-
равенство
h {Ε, Du P)< h (Ε, D2, Ρ). (3)
Доказательство этого принципа следует непосредственно из принципа
максимума.
Следующее предложение дает связь между введенной раньше емкостью
множества и гармонической мерой.
Если множество Ε точек границы области имеет емкость нуль, то гар-
моническая мера Ε равна нулю.
Это предложение, очевидно, достаточно доказать в случае замкнутого
множества, так как если с (Е) = 0, то всякое замкнутое множество, содер-
жащееся в Е, имеет емкость нуль. Имея в виду, что гармоническая мера во
всех регулярных точках множества СЕ обращается в нуль, заключаем, что
множество точек Г, в которых h (Ε, D, Ρ) отлична от нуля, есть сумма зам-
кнутых множеств емкости нуль. Этого достаточно, чтобы доказать, что
h (E, D, Р) обращается в нуль.
Принцип максимума, содержащийся в теореме VI, может быть сформули-
рован в более общей форме.
Если ограниченная гармоническая функция U (Р) удовлетворяет неравен-
ству
lim sup U (Р)< Μ (4)
во всех точках границы области, за исключением множества Ε гармониче-
ской меры нуль, то всюду в D ЩР) ^ М.
В самом деле, пусть Р0 — точка области D, а О — открытое множество
границы, содержащее Ε и такое, что h (О, D, Р0) < ε. Обозначая через К
максимум функции U (Р) в области D, имеем
U (Р)< Μ + {К - М) h (О, D, Р), (5)
так как это неравенство выполняется во всех регулярных граничных точках
D. В самом деле, если граничная точка лежит вне О, то (5) имеет место в си-
266
II. Теория гармонических функций
лу (4), если же регулярная точка Ρ принадлежит О, то h (О, D, Р) = 1 и (5)
снова выполняется. Но из (5) следует U (Р0) < Μ + (К — М)г, что доказы-
вает теорему.
В частности, если две ограниченные функции имеют всюду на границе,
за исключением множества' меры нуль, одинаковые предельные значения,
то они совпадают.
2. Пользуясь гармонической мерой множества, можно дать следующее
интегральное представление обобщенного решения задачи Дирихле:
uf{P)=]f{M)dh{e,D, P). (6)
г
Пусть {Е(} — произвольное разбиение Г на гармонически измеримые мно-
жества, Mt — верхняя грань, тг — нижняя грань значений / (М) на мно-
жестве Е{. Чтобы установить справедливость представления (6), достаточно
показать, что'
2 т,ЩЕь D, Р) < и, (Р) < Σ M,h (Ev D, Ρ). (7)
При доказательстве этого неравенства достаточно ограничиться случаем,
когда / (Р) > 0.
Обозначим через Ft замкнутое множество, содержащееся в Еи и через
Ot — открытое множество, содержащее Et, удовлетворяющие неравенствам
h (Ft, Ζ), Ρ) + г/п > h (Eu Z>, Ρ) > h (Ot, D, Ρ) - ε/η, (8)
где η — число множеств Et. В области D
uf{P)^^Mih{Ou D, Ρ). (9)
В самом деле, если Ρ — регулярная граничная точка Ot, то h (Ог, D, Р) —
= 1 и h (Qj, D, Ρ) ;> 0. Неравенство (8) имеет место, так] как щ (Р) =
= f (P) К Mt. Из (8) и (9) следует, что
uf(P)<2iMih{Ei,D,P) + EM,
где Μ — максимум функции / (Р). Это доказывает правое неравенство (7)#
Аналогично
Щ(Ρ)>ΣΜ(^. Л. Р) > Σтда, D'P)]-iiM.
Заметим здесь, что, используя теорему XI, легко установить, что введен-
ная выше функция множеств cuq (e), выражающая колебание обобщенного
решения задачи Дирихле, для всякого множества е, для которого Q не явля-
ется предельной точкой, может быть представлена в виде,
ως (е) = lim sup h (e, D, Ρ).
V. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
1. Из принципа максимума непосредственно следует, что задача Дирихле
всегда устойчива относительно граничных данных: если две непрерывные
функции /х (Р) и /2 (Р), заданные на границе области, удовлетворяют нера-
венству
1Λ (Ρ) - U (Р) I < ε,
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
267
то соответствующие обобщенные решения задачи Дирихле удовлетворяют не-
равенству
I uh (Р) - «/, (Р)К«
ъо всей области D. С другой стороны, в ряде вопросов представляется су-
щественным знать, будет ли устойчиво решение задачи Дирихле при вариации
границы области. Во всем дальнейшем при изучении вопроса об устой-
чивости решения задачи Дирихле мы будем рассматривать области /), гра-
ница которых не имеет внутренних точек, т. е. такие области, что в окрест-
ности любой точки их границы существуют точки множества, дополнитель-
лого к D. Пусть D — область, не имеющая внутренних граничных точек.
Рассмотрим последовательность нормальных областей
/)1? /)2, . . ., /)п, . . ., (1)
содержащих замкнутую область/) = D + Г и сходящихся к области D так,
что всякое замкнутое множество, принадлежащее дополнению к /), начиная
<с некоторого п, остается вне области Z)n.
Пусть / (Р) — непрерывная функция, заданная на Г, φ (Ρ) — непрерыв-
ная функция, определенная во всем пространстве и совпадающая с / (Р) на
транице Г. Рассмотрим последовательность гармонических функций
ии*(Р), υ2,φ(Ρ), ..., 17η,φ(Ρ), . . ., (2)
тде функция Unt4> определена в области Dn и принимает значения φ (Ρ) на
транице /)„. Пользуясь рассуждениями, проведенными при доказательстве
теоремы I, легко установить, что последовательность (2) сходится в замкну-
той области/), причем сходимость равномерна внутри области/) и предельная
«функция Uf (Ρ) не зависит ни от значений функции φ (Ρ) вне границы Г об-
ласти Ζ), ни от частного выбора последовательности (1), а целиком опреде-
ляется значениями / (Р).
Пусть, как и выше, щ (Р)— обобщенное решение задачи Дирихле в облас-
ти /). Мы будем говорить, что задача Дирихле устойчива внутри области D,
если при любой непрерывной функции / (Р) внутри D Uf(P) = щ(Р).
Если задача Дирихле устойчива внутри области /), последовательность
{2) сходится равномерно к щ (Р) внутри D.
Если при любой непрерывной функции f (P) последовательность (2) схо-
дится равномерно к функции / (Р)на границе Г области /), мы скажем, что
задача Дирихле устойчива в замкнутой области D.
В этом случае функция Uf (Р) непрерывна в замкнутой области и являет-
ся решением задачи Дирихле, а последовательность (2) сходится равномер-
но к этому решению в замкнутой области D.
Для того чтобы оправдать введенные определения, мы докажем следую-
щее предложение.
Теорема XIII. Пусть Δ1? Δ2, . . ., Δ„, ... — произвольная после-
довательность нормальных областей, сходящаяся6 к области /), Vn (Ρ) — гар-
моническая функция в Δ„, равная φ (Ρ) на границе Δη.
1. Если задача Дирихле устойчива внутри области /), то последователь-
ность Vn (Ρ) сходится равномерно к щ (Р) внутри D.
Сходимость понимается в том смысле, что каждая точка D, начиная с некоторого п,
принадлежит всем Δη, а каждая точка, лежащая вне D, начиная с некоторого п, лежит
вне Δη.
268
II. Теория гармонических функций
2. Если задача Дирихле устойчива в замкнутой области D, то последо-
вательность Vn (Ρ) сходится равномерно к uf{P) в замкнутой области в том-
смысле, что при п^> Ν (ε) в общей части областей Δη и Dn ..
| щ(Р) - Vn (Ρ) Ι < ε.
Первую часть теоремы достаточно доказать для случая, когда функция^
φ (Ρ) субгармонична, так как любая функция φ (Ρ) в окрестности области D
может быть представлена с любой степенью точности как разность двух суб-
гармонических функций.
Пусть
— последовательность областей, сходящихся к D изнутри,
И1.Ф (Р), И2, φ (Ρ), . . ., Un,q> (P), ... (4)
— решения задачи Дирихле в областях (3) при граничных данных φ (Ρ).
Каково бы ни было число т, при достаточно большом η dmCZAn(Z Dm и в.
силу субгармоничности функции φ (Ρ)
Um,v(P)<Vn(P)<Umtv(P).
Если задача Дирихле устойчива внутри D, то функции (2) и (4) сходятся
к Uf (Ρ), а на основании полученного неравенства последовательность
Vn (Ρ) также сходится к щ (Р). _
Если задача Дирихле устойчива в замкнутой^ области D, то функции.
Unf(p (Ρ) сходятся равномерно к Uf (P) в области D. Отсюда и из непрерыв-
ности функций Ur, φ следует, что существуют число т = т (ε) и окрестность
Φ (ε) границы Г области D, такие, что в Φ
| Un (Р) - φ (Ρ) |< ε/2.
Если число η достаточно велико, то граница Ση области Δη находится
внутри θ, и так как на Ση имеем Vn (Ρ) = φ (Ρ), то в области Δη
I Vn (Ρ) - Um (Ρ) Ι < ε.
Имея в виду, что щ (Р) имеет предельные значения / (Р) на Г, из двух
полученных неравенств заключаем, что при достаточно большом η в общей
части D и Δη .
| Vn (Ρ) - и, (Ρ) Ι < ε.
2. При изучении вопроса об устойчивости решений задачи Дирихле в.
области важную роль играет понятие точки устойчивости границы области.
Точка Q границы области D называется точкой устойчивости, если для
любой непрерывной функции / (Р)
U, (Q) = lim Un-j, (Q) = f (Q). (5>
П—>оо
Если хотя бы для одной непрерывной / (Р) в точке Q не имеет места ра-
венство (5), мы будем говорить, что Q есть точка неустойчивости.
Относительно точек устойчивости можно доказать следующее предло-
жение.
Теорема XIV. Точка устойчивости является регулярной точкой, и
функция Uf (P) непрерывна в точке устойчивости.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле 269
Пусть Q — точка устойчивости Г. Для доказательства высказанной тео-
ремы достаточно установить, что если / (Р) совпадает со значениями на Г не-
которое непрерывной субгармонической функции φ (Ρ), заданной в окрест-
ности D, то
lim и, (Р) = f (Q), lim U, (Ρ) = / (О). (6;
P—Q P-*Q
Если функция φ (Ρ) субгармонична, то в области D
φ (Ρ) < и, (Ρ) < U, (P), (7)
поэтому первое из соотношений (6) есть следствие второго. По определению
•точки устойчивости при достаточно большом η
f (Q) < υη,φ (<?) <Uf(Q) + B=f (Q) + ε;
-фиксируем п и выберем р-окрестность точки Q, в которой продолжает выпол-
няться неравенство £/η>φ (Р) < / (Q) + ε; такая окрестность существует в
«силу непрерывности £/Γ>φ.
Функции С/П>ф убывают, поэтому неравенство продолжает иметь силу во
всей р-окрестности точки Q при всяком т ^ п. Это доказывает, что
lim sup Uf (Ρ) ^ / (Q). Из (7) следует, что lim inf Uf (Ρ) ;> / (Q), и поэто-
p-*q ρ—q
му второе из соотношений (6) выполнено.
Мы обратимся теперь к выводу критерия для точек устойчивости. Этот
критерий, аналогичный критерию Винера для регулярных точек границы,
•будет выражен в терминах емкости открытых множеств. Для вывода крите-
рия для точек устойчивости отметим прежде всего некоторые вспомогатель-
ные предложения.
Назовем ступенькой относительно точки Q функцию ψρ (Ρ), равную еди-
нице в некоторой сфере с центром в точке Q, (JP < р, и равную нулю вне
ятой сферы. Для функции ψρ (Ρ) мы можем определить последовательность
(2) функций UnAh. Предельную функцию последовательности Ζ7η,ψ обозначим
через ЕЛ|,р.
Лемм а III. Для того чтобы точка Q была точкой устойчивости, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для каждой ступеньки ψρ (Ρ) относительно
точки Q имело место равенство
U% (О) = 1. (8)
Необходимость. В самом деле, если существует ступенька с
центром в Q, для которой равенство (8) не выполнено, то мы построим на Г
непрерывную функцию / (Р), такую, что /((?) = 1 и / (Ρ) <^ ψρ (Ρ) на Г.
Тогда, очевидно, Uf (Q) <^ Uq, (Q) < 1, и, следовательно, задача Дирихле
неустойчива в Q для данных / (Р).
Достаточность. В самом деле, пусть / (Р) — произвольная не-
прерывная функция на Г. Пусть т — минимум / (Р), а р выбрано так, что
при TQ < ρ имеем / (Ρ) > / (Q) — ε. Тогда на Г
f (Ρ) > If «?)-*]% (Ρ),
ж, следовательно,
U, (Q) > [/ (Q) - г] U% (Р) =/(«?)- ε.
270
//. Теория гармонических функций
Аналогично докажем, что Uf (<?)</((?) + ε, а поэтому Uf (Q) = /((?), иг
следовательно, Q есть точка устойчивости.
Мы отметим еще следующее предложение.
Лемма IV. Пусть значение f (Q) в точке Q превосходит значения функ-
ции f (Ρ) в остальных точках границы Г. Для того чтобы имело место равен-
ство
U} «?) = / (<?), (9)
необходимо и достаточно, чтобы точка Q была точкой устойчивости.
Очевидно, надо только доказать, что из (9) вытекает, что точка Q есть точ-
ка устойчивости. Пусть μ < / (<?) есть максимум / (Р) при PQ = р, где ρ —
произвольное число. Тогда, очевидно,
/ (<?) = U, (Q)< μ + [/ (<?) - μ] U% (О)·,
и, следовательно, Uy\- (Q) > 1, а так как U·^ (Q) ^ 1, то лемма доказана·
Леммы III и IV позволяют установить следующее предложение.
Теорема XV. Пусть Q — граничная точка области D, λη" — емкость
открытого множества Оп точек дополнения к D, расстояния которых от точ-
ки Q заключены между 2~η+1 и 2"n. Q будет точкой устойчивости или точкой
неустойчивости в зависимости от того, расходится или сходится ряд
Σ2ηλη. (Ю)
Доказательство этого предложения вытекает из соответствующего кри·
терия Винера для регулярности точки.
Докажем, что точка Q есть точка неустойчивости, когда ряд (10) сходит-
ся. Для этого выберем число т столь большим, чтобы :
S 2"λη<ν*.
Через х обозначим ступеньку относительно точки Q при ρ = 2~m. Из лем
мы III следует, что Q есть точка неустойчивости, если Ux (Q) < 1.
Рассмотрим области Dn последовательности (1). Граница Гп области D^,
лежит вне некоторой сферы PQ < 2~qp. Пусть Ef} — множество точек до-
полнения к Dn, расстояния которых от Q заключены между 2~j+1 и 2~J,
a Wf(P) — потенциал этого замкнутого множества. В области Dn имеем
Qn
π < У, wW — rw{n)
Множество Ej содержится в Оп, потому его емкость меньше λ7· и Vf^ (Q) <L
< 2jXj, значит,
qn
U*.X(Q)< Σ 2^.<V4,
j=m+l
а, следовательно, U% (Q) < V4-
Для доказательства достаточности условия теоремы построим для каж-
дого η замкнутое множество &п, содержащееся в Оп, емкость которого ^у
не меньше 1/2λ«.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
271
Обозначим через Δ область, дополнительную к сумме множеств &п. Точ-
ка Q является регулярной точкой границы Δ, так как расходится ряд22'Уг
Рассмотрим произвольную ступеньку ψρ (Ρ) с центром в точке Q, и пусть
2~т < i/2p# Обозначим через VPiV (Ρ) решение задачи Дирихле в области Δ
для граничных данных, равных единице на множествах Шт+1, . . ., $ν и
равных нулю на множествах ё\, . . ., ёт. Пусть т < 1 — максимум функ-
ции 7p>f) (Ρ) на сфере PQ = р. Тогда
' VPiP(P)^(i -m)%(P) + m.
При достаточно большом] η область Dn не содержит точек множеств $1У
$2, · · ·, #Р, и тогда
VP,P(P)<Un,%(P). (И)
Докажем, что
•lim Vp,p (О) = 1. " (12)
р->ое
В самом деле, функция Vp (Ρ), определенная в области Δ по граничным
значениям, равным нулю на $1? . . ., &т и равным единице на Щп при п^> т,
в точке Q имеет предельное значение, равное единице, поэтому в точках об-
ласти Δ, лежащих на некоторой сфере PQ — г (ε),
<Fp(i>)>l-e.
j,G другой стороны, в силу принципа максимума в D
νρ(Ρ)<νρ>ρ(Ρ) + υ(2*Ψ$),
поэтому при PQ = 'г (ε)
'шУр,р(Р)>\-г-1/(2рг(в)).
Так как во всех регулярных точках множеств $п, п^> т, V9iP имеет пре-
дельные значения, равные единице, то в силу принципа максимума и
^Ρ,ρ(0>1-ε-1/(2ρΓ(ε)),
а это доказывает (12). Из (И) и (12) следует lim Un^ (Q) = 1, а, следова-
П->ое
тельно, точка Q есть точка устойчивости.
3. Перейдем теперь к исследованию устойчивости решения задачи Ди-
рихле в области.
Для того чтобы установить критерий устойчивости решения задачи Ди-
рихле, мы начнем с доказательства следующей леммы.
Л е м м а V. Если последовательность функций ΖΛ,>φ (Ρ) сходится к обоб-
щенному решению задачи Дирихле внутри области D, то всюду на граница
D, кроме множества точек гармонической меры нуль,
U, (Q) = f (Q). (13>
В самом деле, пусть Ε — множество точек границы, в которых Ζ7/ (Q) Φ
Φ f (Q), и допустим, что Ε имеет положительную гармоническую меру
h(E, D, Р)>0.
Имея в виду, что множество иррегулярных точек границы D имеет гармо-
ническую меру нуль, можно найти положительное число α и замкнутое мно-
272 77. Теория гармонических функций
жество £', принадлежащее Е, не содержащее иррегулярных точек границы
и имеющее положительную гармоническую меру, во всех точках которого вы-
лолняется одно и то же из двух неравенств:
U, (Р) -/(/>)> a, Uf (Ρ) -f(P)< -а.
Допустим, например, что во всех точках Е' выполняется первое неравенство.
Пусть Μ — максимум функции φ (Ρ), являющейся продолжением / (Р)
вне границы области D. При всех достаточно больших значениях η
υη,φ (Ρ) - щ (Ρ) + 2М > (2М + α) h (Е\ Ζ), Ρ), (14)
так как на множестве £", содержащем только регулярные точки, левая часть
превышает 2М + а, а вне Е' левая часть неравенства положительна. Имея
в виду, что в области D sup h (Ε', D, Ρ) = 1, мы можем найти точку Р0,
лежащую внутри D и такую, что
h(F' П Ρ 1*ч 2М + Д/2 a
/г(£,/ЛЛ))> ш + а '
но тогда в силу (14) υη>φ (Р0) > щ (Р0) + а/2 при всех достаточно больших
η и, следовательно, Uf (Ρ) Φ щ (Ρ) внутри области D.
Теперь мы можем установить следующий критерий устойчивости задачи
Дирихле внутри области.
Теорема XVI. Для того чтобы задача Дирихле была устойчива внут-
ри области D, необходимо и достаточно, чтобы множество точек неустой-
чивости границы D имело гармоническую меру нуль.
Для доказательства необходимости условия теоремы заметим прежде
всего, что в силу принципа максимума
Ι #η,φ — ипЛ | < max | φ — ψ |.
Поэтому если в точке Q границы области имеет место равенство Uf (Q) =
—/ (Q) в случае, когда / (Q) есть произвольный полином относительно х, у,
z с рациональными коэффициентами, то оно имеет место для любой непрерыв-
ной функции / (Р), так как всякая непрерывная функция может быть пред-
ставлена как предел такого рода полиномов. Множество всех полиномов с ра-
циональными коэффициентами счетно. Пусть Д19 R2, . . ., Rn, ... — эти по-
линомы. Если задача Дирихле устойчива внутри Ζ),το множество Еп точек
границы, в которых Upn (Q) Φ Rn (Q), имеет гармоническую меру нуль в силу
доказанной леммы. С другой стороны, каждая точка неустойчивости принад-
лежит одному из множеств Еп и, следовательно, гармоническая мера мно-
жества точек неустойчивости равна нулю.
Докажем, что условие теоремы достаточно. В самом деле, пусть Ε — мно-
жество точек неустойчивости. В силу условия теоремы h (Ε, D, Ρ) = О,
и поэтому можно найти открытое множество О, содержащее Е, гармоническая
мера которого в точке Р0 области D не превосходит ε. Пусть Μ — максимум
функции φ (Ρ), тогда
| U, (Р) - щ (Р) |< 2 Mh (О, D, Р),
так как функция Uf (Ρ) — щ (Ρ) не превышает 2М на множестве О и равна
нулю всюду вне О. В частности, отсюда следует
| Uf (P0) - uf (P0) | < 2Мг,
и поэтому всюду внутри D имеем Uf (Ρ) = uf (P).
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
273
Области, обладающие тем свойством, что задача Дирихле устойчива в их
замыкании, характеризуются следующей теоремой.
Теорема XVII. Если каждая точка границы области D естъ_точка
устойчивости, то проблема Дирихле устойчива в замкнутой области D.
Имея в виду, что точка устойчивости есть регулярная точка, для доказа-
тельства этой теоремы достаточно установить следующую лемму, которая нам
понадобится еще в дальнейшем.
Л е м м а VI. Если проблема Дирихле разрешима при граничных данных
f (P) и во всех точках границы, за исключением, может быть, множества то-
чек Ε емкости нуль Uf (Q) = / (Q), то последовательность UUi4) (P) сходит-
ся равномерно к f (P) на границе D.
Заметим прежде всего, что, так же как при доказательстве достаточно-
сти условий предыдущей теоремы, мы установим, что внутри области D
U,(Q)=ut(Q).
Пусть ε — произвольно малое положительное число, φ (Ρ) — непрерыв-
ное продолжение / (Ρ), Μ — максимум модуля φ (Ρ). Выберем число δΧ так,
чтобы при Р±Р2 < 2бх
Ι φ (Pi) - φ (Рш) I < ε/4. (15)
Функция uf (P) непрерывна в замкнутой области и принимает значения
/ (Q) на границе/), поэтому можно указать число δ2 так, чтобы в точках сфе-
ры радиуса δ2 с центром в произвольной граничной точке Q имело место не-
равенство
I и, (Р) -/(<?) |< ε/4. (16)
Через δ мы обозначим меньшее из двух чисел 6J? δ2. Обозначим через Еп
множество точек области D, в которых
I Un,<,(P)-uf(P) | > ε/4. (17)
Имея в виду, что внутри D функции Ε/„,φ (Ρ) сходятся к щ (Р), мы можем
выбрать число Ν± так, чтобы при п^> Nx
об. Еп < πεδ3/24Μ. (18)
Число Ν2 выберем так, чтобы при η ^> Ν2
об. (Dn - Л)< πεδ3/24Μ. (19)
Имея в виду, что объемная мера множества Ε равна нулю, мы можем выбрать
число iV3 так, чтобы при n^>N3 множество точек Еп границы D, в которых
\Un(P)-f(P) | > ε/4, (20)
удовлетворяло неравенству
об. Еп < πεδ3/24Μ. (21)
Пусть N равно наибольшему из трех чисел Nu N2, N3; покажем, что при
η ^> N в каждой точке границы D
\Un.*{Q)-f{Q) К*.
В самом деле, покажем прежде всего, что существует сфера 5р с цент-
ром в точке Q и радиусом р, заключенным между δ/2 и δ, такая, что
поверхностная мера пересечения множества Нп = Еп + Еп + (Dn — D)
18 Μ. В. Келдыш. Математика
274
77. Теория гармонических функций
с поверхностью этой сферы удовлетворяет неравенству
ms (#ηρ)<πεδ2/12Μ. (22)
Действительно, если бы выполнялось обратное неравенство для всех pt
заключенных между 6/2 и δ, то мы имели бы
δ
об. Нп>\ ms(//nP)dp>Jte63/24M,
6/2
что невозможно в силу неравенств (18), (19) и (21).
Пусть число ρ взято в интервале δ/2, δ так, что удовлетворяется неравен-
ство (22). Обозначим через Δρ,η наибольшую связную область, содержащую
точку Q и принадлежащую пересечению Dn и сферы Sp. Граница Δρ,η со-
стоит из точек границы Гп и точек поверхности Sp. Функция
\Un,^(P)-f(Q)\ (23).
во всех граничных точках Δρ,η, не принадлежащих Н7ф, не превышает ε/2»
В самом деле, если граничная точка Δρ,η принадлежит границе Dn, то это
имеет место в силу неравенства (15); если граничная точка лежит на S9 и
внутри D и (23) превышает ε/2, то в силу неравенства (16) и определения мно-
жества Ε эта точка принадлежит Еп. Наконец, если граничная точка ΔΡ} η ле-
жит на Sp и на границе D, то из (15) и определения множества Еп следует,
что эта точка входит в Еп.
Пусть Wp (Ρ) — гармоническая функция, определенная в сфере Sp ин-
тегралом Пуассона от граничных значений, равных ε/2 вне Нпр и 2М на ΗΩρ.
Тогда в Δρ,η
\un,v(P)-f(Q)\<Wp(P),
так как правая часть равна 2М на Нпр и превышает ε/2 во всех других гра-
ничных точках области ΔΡ}71. Применяя теорему о среднем значении и (22),
получим
\Un(Q)~f(Q)\<Wp(Q)<^-+2M m^p) <е.
4. Заканчивая исследование областей с устойчивой задачей Дирихле»
отметим, что если область ограничена конечным числом поверхностей Жор-
дана, то можно указать на следующую связь, существующую между разре-
шимостью и устойчивостью задачи Дирихле: если проблема Дирихле устой-
чива внутри области и разрешима в области, то она устойчива в замкнутой
области.
Доказательство этого предложения непосредственно вытекает из сле-
дующей теоремы.
Теорема XVIII. Пусть Σ — простая поверхность Жордана (гомео-
морфная плоскому кругу или сфере) и f (Ρ) = f (х, у, z) — функция, опреде-
ленная и ограниченная во всем пространстве и непрерывная вне поверхности Σ.
С другой стороны, пусть Аи А2, . . ., Δη, ... — сходящаяся к Σ последова-
тельность областей, каждая из которых содержит Σ и ограничена аналити-
ческой поверхностью. Через Un (P) обозначим гармоническую функцию, при-
нимающую предельные значения f (Ρ) на границе Ση области ΔΛ. Если функ-
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
275
ция f (Ρ) непрерывна на некотором замкнутом множестве Ε поверхности Σ г
то последовательность Un (Ρ) сходится равномерно к f (Ρ) на Ε.
Доказательство этой теоремы основывается на следующей вспомогатель-
ной геометрической лемме.
Лемма VII. Пусть S — простая поверхность Жордана и Δ1? Δ2, . . .
. . ., Δη, ... — последовательность открытых множеств, границы которых
Σ1? Σ 2, . . ., Ση, . . . состоят из конечного числа аналитических поверхностей.
Допустим, что:
1) последовательность Δ1? Δ2, . . ., Δη, . . . сходится к S, т. е. если точ-
ка Рп принадлежит к Δη, то все предельные точки последовательности ΡЗт
Ρ2, · · ·, Рп, · · · лежат на S\
2) объем каждого множества Δη превосходит некоторое фиксированное
положительное число а.
При этих условиях площади поверхностей Ση неограниченно возрастают.
Переходя к доказательству леммы, сделаем следующее замечание.
Пусть $ — множество континуумов С, расположенных в некоторой плос-
кости π, удовлетворяющее условиям: 1) число областей смежности кажного
континуума С превосходит 2; 2) два различных континуума СЛ и С2, принад-
лежащие $, не имеют общих точек. Тогда множество $ счетно.
В самом деле, каждому континууму С мы можем поставить в соответст-
вие три квадрата Δ1? Δ2, Δ3, принадлежащие различным областям смежности
континуума С и такие, что вершины их имеют рациональные координаты.
Пусть С и С" — два различных континуума множества & и (Ai, Δ2, Δ3),
Ι» Μ 19
(Δ17 Δ2, Δ3) — соответствующие тройки квадратов. По условию 2) конти-
нуум С" содержится в одной из областей смежности D континуума С", и,.
// // //
следовательно, по крайней мере два из квадратов Δ1? Δ2, Δ3 содержатся в D.
С другой стороны, область D содержит только один из квадратов Δ1? Δ2, Δ3.
Отсюда следует, что системы квадратов, соответствующие различным конти-
нуумам С", С", также различны. Множество всех систем из трех квадратов
с рациональными вершинами счетно, и, следовательно, a fortiori множество
ё счетно.
Пусть теперь § — замкнутое плоское множество, такое, что каждый
континуум С, содержащийся в f, имеет не более двух смежных областей, и
пусть К — произвольно большое положительное число. Тогда существует
открытое множество Δ, содержащее $~ и обладающее следующим свойством:
какова бы ни была область Ω, ограниченная аналитическими кривыми и при-
надлежащая Δ, имеет место неравенство
1>Ко, (24)
где σ есть площадь Ω, а I — длина границы Ω.
Пусть Ρ — произвольная точка JT, а С — наибольший континуум, со-
держащий точку Ρ и принадлежащий множеству §". Континуум С либо не
разбивает плоскости (и может, в частности, выродиться в точку Р), либо раз-
бивает плоскость на две части. Обозначим через Φ (С) область, содержащую
континуум С и обладающую следующими свойствами:
1) если С не разбивает плоскости, область Φ (С) односвязна, в противном
случае Φ (С) двусвязна;
2) расстояние от каждой точки θ (С) до континуума С не превышает ρ
(ρ — положительное число, которое будет фиксировано ниже);
18*
276
//. Теория гармонических функций
3) пусть Г — часть границы θ (С), принадлежащая одной из областей
смежности D континуума С; расстояние от произвольной точки границы D
до Г не превышает р;
4) граница области θ (С) не содержит точек множества $~7.
На основании леммы Бореля—Лебега все множество $F может быть по-
крыто конечным числом областей θ (С). Пусть Φ (С^), θ (С2), . . ., 'θ (Сп) —
эти области. Обозначим через Δ открытое множество, получаемое после уда-
ления граничных точек областей θ (Ct) из суммы этих областей. По построе-
нию областей θ (Ct) и на основании свойства 4 областей Φ (С) множество Δ
содержит множество W.
Мы докажем, что если число ρ достаточно мало, то построенное открытое
множество обладает указанным выше свойством: какова бы ни была область
Ω, ограниченная аналитическими кривыми и содержащаяся в Δ, имеет место
неравенство 1^> Κσ, где σ — площадь Ω, а I — длина границы Ω.
Пусть Ω — область, содержащаяся в Δ. Так как Δ содержится в сумме
θ (Ck) и не содержит граничных точек областей Φ (Cfr), то область Ω также не
содержит граничных точек O (Ck) и, следовательно, содержится целиком в
одной из областей Φ (Ck). Пусть θ (С) — эта область. Мы можем предпола-
гать, что область Ω или односвязна или двусвязна и в последнем случае внут-
ренний контур области Ω не стягивается в точку внутри O (С). В самом деле,
рассмотрим область Ω', ограниченную внешним контуром области Ω и тем
из ее внутренних контуров, который не стягивается в точку внутри θ (С)
(если такой контур существует). Область Ω' принадлежит к θ (С), площадь
ее не меньше, чем площадь Ω, а длина границы Ω' не превосходит длины гра-
ницы Ω. Следовательно, если мы докажем, что для области Ω' удовлетворя-
ется неравенство (24), то тем более это неравенство будет иметь место для Ω.
Для доказательства неравенства (24) будем различать два случая.
1-й случай. Континуум С не разбивает плоскости, или диаметр внут-
ренней области смежности к С не превышает Зр.
Разобьем всю плоскость на квадраты со стороной р. Пусть δ — один из
построенных квадратов, содержащий точки Ω. В силу свойств 2 и 3 области
θ (С) концентрический квадрат со стороной 5р должен содержать точку Ρ
границы области Ω. Точка Ρ лежит на одной из граничных кривых области Ω.
Пусть Г — эта кривая. Пусть б" — квадрат, концентрический с б, со сторо-
ной 7р, I (б) — длина дуги Г (б) кривой Г, расположенной внутри б". Если
Существование области $ (С), обладающей указанными свойствами, может быть уста-
новлено следующими рассуждениями.
Пусть Фх (С) — область, обладающая свойствами 1, 2, 3. Назовем ε-цепочкой после-
довательность точек Рг, Р2, . . ., Ρ η множества F с расстояниями P\Pi+1, не превышаю-
щими ?. При достаточно малом е, s < *0, не существует ε-цепочки с начальной точкой
вне \ (С) и конечной точкой на С. В самом деле, в противном случае для каждого η
мы рассмотрим l/n-цепочку Ρψ\ Ρ%1\ . . ., Р^ такого рода и обозначим через С пре-
дельное множество для полиномов Ρ[η^Ρ^η\ . . Р$; С есть континуум, состоящий,
очевидно, из точек F; но тогда С не есть максимальный континуум, так как С + С
есть также континуум, который не совпадает с С, имея хотя бы одну точку на границе
Oi (С).
Пусть, теперь Ε (С) — замкнутое множество точек Ф± (С), обладающих следующим
свойством: существует е0/2-цепочка с начальной точкой вне Ьг (С) и с конечной точкой,
отстоящей от Ρ на расстояние, не превышающее ε0/2. Наибольшая связная область
Φ (С), содержащая С и принадлежащая множеству Ф± (С) — Ε (С), и будет обладать
свойствами 1—4.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
277
I (б) < р, то кривая Г замкнута и расположена целиком внутри б", так как Г
имеет точку на б'. В этом случае область Ω односвязна и ограничена кривой Г.
В самом деле, диаметр внутренней смежной к С области превышает Зр,
и, следовательно, диаметр всякой нестягиваемой в точку в области θ (С)
замкнутой кривой превышает р. Применяя изопериметрическую теорему,
имеем]
/> —σ> —σ. (25)
Допустим теперь, что I (б) > р. Площадь σ (δ) части Ω, содержащейся в
б, не превосходит р2, и, следовательно, i(6)^> — σ (δ). Заметим, что если
г
Ι (δ) > ρ хотя бы для одного квадрата, то это неравенство имеет место для
всех квадратов б, содержащих точки Ω, так как в противном случае, как мы
видели выше, длина всей границы Ω не превосходит р. С другой стороны,
любая точка Ω принадлежит одному из квадратов б и содержится не более
чем в 49 квадратах б". Суммируя по всем б, содержащим точки Ω, получаем
*>4-Σ>>>-4^Σσ(β)β-*Ρ-· (26)
2-й случай. Диаметр внутренней области смежности к С превосхо-
дит Зр.
Пусть б — квадрат, содержащий точки Ω. Концентрический квадрат со
стороной 5р содержит в этом случае точку Ρ внешней граничной кривой Г
области Ω. Мы снова рассмотрим квадрат б" со стороной 7р. Если длина
дуги Г, лежащей в одном из квадратов б'', не превосходит р, мы снова имеем
оценку (25); в противном случае имеет место оценка (26).
Таким образом, если только ρ < l/(i9K), то неравенство (24) удовлетво-
рено.
Перейдем теперь к доказательству нашей леммы.
Пусть S — простая поверхность Жордана, заданная уравнениями
х = х (и, ν), у = у (и, у), z = z (и, ν) (О < и, ν < 1).
Не ограничивая общности, мы можем предположить всегда, что поверхность
S содержится в кубе 0 <! х, у , z <^ 1. Обозначим через Fx множество точек
поверхности S, расположенное в плоскости х = const. Множество Fx замк-
нуто. Множество Fx только для счетного числа значений х может содержать
континуум, разбивающий плоскость более чем на две части. В самом деле,
впротивномслучаемыимелибы в плоскости (и, ν) несчетное множество соот-
ветствующих континуумов, не имеющих попарно общих точек, каждый из
которых разбивал бы плоскость (и, ν) более чем на две части. Пусть Ε —
множество значений х, таких, что соответствующее множество Fx не содер-
жит континуума, разбивающего плоскость более чем на две части. Очевидно,
mes Ε = 1.
Рассмотрим последовательность открытых множеств Δ1? Δ2, . . ., Δη, . . .,
удовлетворяющих условиям леммы. Мы можем предположить, что границы
Ση множеств Δη не содержат плоских участков. Обозначим через Δη>Λ. пло-
ское открытое множество, состоящее из всех точек Δη, расположенных
в плоскости х = const, а через Ση>Χ границу множества Δ^; Ση>Χ состоит
из конечного числа аналитических кривых, принадлежащих 2Г|. Пусть
N — произвольно большое положительное число, Еп — множество всех хг
278
77. Теория гармонических функций
для которых имеет место неравенство
дл. 2jn>oc>-^— -пл. Δ1}Χ.
Из доказанного выше предложения и из сходимости АПгХ к Fx следует, что
lim Еп = Е, и поэтому при достаточно больших значениях η имеем
mes Еп > 1 — а/2.
Но если выполнено написанное неравенство, то
ос = об. Δη<-^-+ \ пл· &n,xdx^
Еп
^"1Г + W" J ДЛ-2п,я;^<-2- + -2дГПЛ. Ση,
откуда пл.Еп ^ N и, следовательно, lim пл.Еп = оо.
П-*эо
Установленная лемма позволяет перейти к доказательству сформулиро-
ванной теоремы.
Функция / (.г, у, z) непрерывна на замкнутом множестве Е, следователь-
но, существует число р, обладающее следующим свойством: колебание
/ (х, г/, z) во всяком шаре с центром в точке Ε и радиусом Зр не превосходит
наперед заданного положительного числа ε/4.
Построим содержащую поверхность S область Δ, ограниченную связной
аналитической поверхностью и обладающую следующим свойством: какова
бы ни была область Ω, принадлежащая Δ, ограниченная аналитическими
поверхностями, объем которой превосходит а = 2πρ3ε/ω, площадь границы
Ω превосходит К = 16πρ2 (1 + 3ω/ε). Существование такой области Δ
есть следствие только что доказанной леммы. В самом деле, если такой об-
ласти не существует, мы могли бы построить последовательность областей
Qm, сходящихся к 5, объемы которых превосходят ос, а площади границ
остаются меньше К, что противоречит лемме.
Так как области Δη сходятся к S, то, начиная с некоторого п, все обла-
сти Δη содержатся в Δ. Мы докажем, что если область Δη принадлежит Δ,
то во всякой точке Ρ множества Ε имеют место неравенства
/ - ε < t/n < / + ε. (27)
Так как число ε произвольно, то из (27) следует равномерная сходимость
функций Un к / (х, г/, z) на Е.
Пусть Ρ — точка множества Е. Обозначим через Ег шар радиуса г
с центром в точке Р. Пусть δα — наибольшая связная часть области Δη,
содержащая точку Ρ и принадлежащая 2зр. Обозначим через Сп границу
области б,г.
В шаре Σ3Ρ мы определим непрерывную функцию следующим образом:
1) в шаре Σ2Ρ имеем W = f (Ρ) + ε/4;
2) вне сферы Σ2ρ имеем W = f(P) + -^-+ r~2p (o> 1-^ у
где г — расстояние от точки Ρ до переменной точки М.
Заметим, что
э<^>=s s j т'+ш+(£-п*.**-м—и
2зр
2
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
279
Пусть теперь Vn — гармоническая функция, значения которой на грани-
це Δη совпадают со значениями W. В области ΔΛ мы имеем неравенство
ип < νη.
В самом деле, на части Сп, содержащейся внутри Σ3Ρ,
Un = / < / (Ρ) + ε/4 < Vn,
так как в шаре Σ3Ρ колебание / не превосходит ε/4; на части границы Сп,
лежащей на поверхности сферы Σ3Ρ, Un^f(P) + ω = Vn, так как гра-
ничные значения Un в Δη не превосходят / (Ρ) + ω. На основании принципа
максимума всюду в Δη имеем Un <; Vn. Мы докажем неравенство Vn (Ρ) <^
<; / (Ρ) + ε, из которого следует правая часть неравенства (27).
Обозначим через Δη (а) множество точек области бЛ, принадлежащих
шару Σ2Ρ, в которых удовлетворяется неравенство Vn ^ а, и пусть Гп (а) —
часть поверхности уровня Vn = α, содержащаяся в Σ2Ρ. Если удовлетворяет-
ся неравенство а^> f (Ρ) + ε/4, то граница множества Δη (а) состоит из
Гп (а) и части поверхности сферы Σ2Ρ, так как на части границы ΔΛ, при-
надлежащей шару Σ2Ρ, имеем Vn — f (P) + ε/4.
Мы докажем прежде всего, что объем множества Δη (/ (Ρ) + ε/4) не пре-
восходит 2πρ3ε/ω. В самом деле, в противном случае, обозначая через ν нор-
маль к поверхности уровня в точке области Δη, имеем
S{VnAn) = \\\{^f)" dxdydz,
где, как и выше, 3D (V, D) обозначает интеграл Дирихле функции V
в области D.
В силу неравенства Шварца
25(7η,Δη)> (jj jj J |-^| dydydz )2/об. Δη >
α=/(Ρ)+ε/2
>[ ) \-^\im.Tn(a)dv\ /ο6.ΔΛ, (28)
α=/(Ρ)+ε/4
dV
так как —— dv постоянно, если dv — расстояние по нормали между двумя
бесконечно близкими поверхностями уровня; нижний предел интеграла мы
взяли, имея в виду, что в области бп Vn !> / (Ρ) + ε/4.
Если объем области Δη (/ (Ρ) + ε/2) превосходит 2πρ3ε/ω, то при
η < / (Ρ) + ε/2 объем Δη(α) также больше 2πρ3ε/ω, так как Δη(/ {Ρ) + ε/2)
в этом случае содержится в Δη (а). Имея в виду, что Δη(α) всегда содержится
в Δ, заключаем из свойств Δ, что площадь поверхности Δη (а) превышает К.
Эта поверхность состоит из Г (а) и части поверхности сферы Σ2Ρ, площадь
которой, очевидно, не превосходит 16πρ2; поэтому
пл. Гп (а) > К — 16πρ2 = 48πρ2ω/ε. (29)
Область δΛ содержится в Σ2Ρ, следовательно,
об. δη < Збяр2. (30)
На основании (28)—(30) заключаем: 3) (Vn, δη) > 4πρω2.
280
77. Теория гармонических функций
С другой стороны, на основании принципа Дирихле
3) (Уп, βη) < 2D (W, βη) < 2) (ТУ, Σ2Ρ) < 4πρω2.
Таким образом, мы получили противоречие, и, следовательно,
об. Δη (/ (Ρ) + ε/2) < 2πρ3ε/ω. (31)
Из неравенства (31) вытекает, что можно найти сферу ΣΓ, ρ < г < 2р,
такую, что поверхностная мера множества G(rn) точек поверхности сферы ΣΓ,
принадлежащих к Δη (/ (Ρ) + ε/2), не превышает 2πρ2ε/ω.
Пусть V{n — определенная в сфере 2Г гармоническая функция, гранич-
ные значения которой на G^n) равны f(P) + ω, а в точках поверхности ΣΓ,
лежащих вне 6>η\ равны / (Ρ) + ε/2. Обозначим через Δ(„υ наибольшую
связную часть Δη, содержащую точку Ρ и содержащуюся в ΣΓ. На мно-
жестве G<n) имеем Уп < V™ = /(/>) + ω.
Остальные части границы Δ^ совпадают с частями границы Δη, лежащи-
ми внутри Ση и, следовательно, внутри Σ2ρ, поэтому в этих граничных точ-
ках Vn = V™ = /(/>) + ε/2.
На основании принципа максимума в Δ^ имеем Уп <; У£\ Применяя
теорему о среднем значении к функции у£* и сфере ΣΓ, получаем
П1></(^) + 4- + -^-(со--|-)</(Р) + е.
Вспоминая, что У£} (Р) > Уп {Р) > ?7П (Р), имеем С/п (/>) < / (Ρ) + ε.
Совершенно аналогично доказывается левая часть неравенства (27).
5. Мы приведем теперь пример, который показывает, что неустойчивость
решений задачи Дирихле действительно может иметь место не только в замк-
нутой области, но и внутри области. Именно, мы докажем следующее пред-
ложение.
Существует односвязная область D, ограниченная простой замкнутой
поверхностью Жордана S, имеющей конечную площадь, и обладающая следую-
щими свойствами:
1) задача Дирихле разрешима в области D при любых непрерывных данных
на S;
2) задача Дирихле неустойчива внутри области D;
3) множество точек неустойчивости границы S имеет поверхностную
меру нуль.
При построении области D, обладающей указанными свойствами, мы
будем опираться на два вспомогательных предложения из теории гармони-
ческих функций, на доказательстве которых мы остановимся прежде всего.
Лемма VIII. Пусть Σ — система конечного числа кусков аналитиче-
ских поверхностей, V — потенциал простого слоя с непрерывной плотностью,
распределенного на Σ. Каковы бы ни были положительные числа ε и η, можно
построить непрерывную во всем пространстве функцию ТУ, обладающую
следующими свойствами:
1) W есть потенциал простого слоя с непрерывной плотностью, располо-
женного на конечном числе сфер σ1? σ2, . . ., оп, центры которых лежат на Σ;
2) сумма площадей поверхностей сфер σΛ. не превосходит η;
3) на каждой сфере ак функция W принимает постоянное значение, рав-
ное значению V в центре ак;
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
281
4) во всем пространстве имеет место неравенство \ V — W | < 2ε.
В самом деле, заданная функция V может быть представлена в виде
Σ
где г — расстояние от точки Ρ до точки Μ поверхности Σ; ρ — плотность
слоя на Σ и ds — элемент поверхности Σ.
Обозначим через Ρ какую-нибудь точку Σ, и пусть Σ (Ρ) — некоторый
односвязный кусок Σ, содержащий точку Р. Мы назовем внутренним радиу-
сом г' куска Σ (Ρ) (относительно точки Р) верхнюю грань радиуса сферы
с центром в точке Р, не содержащей точек Σ, не лежащих внутри Σ (Ρ).
Внешним радиусом г" участка Σ (Ρ) относительно Ρ мы будем называть
нижнюю грань радиусов сфер с центром в Р, содержащих Σ (Ρ). Очевидно,
r ^ r ·
Имея в виду, что Σ состоит из конечного числа кусков аналитических
поверхностей, легко убедиться в том, что существует число А, такое, что,
каково бы ни было число б, область Σ может быть разбита на конечное число
кусков Σ (Рк) с внутренними и внешними радиусами гк, гк и площадями,
удовлетворяющими следующим условиям:
П?<6, r"k<^Ark, sk<^Ark. (*)
Перейдем теперь к построению сфер σ1? σ2, . . ., оп. Обозначим через μ
максимум ρ и через s площадь Σ. Пусть d — число, обладающее следующим
свойством: какова бы ни была сфера радиуса Ы с центром Р, интеграл
] ] ds/PM, распространенный на часть Σ, содержащуюся в этой сфере, не
превосходит ε/6μ (А + 2). Легко показать, что такое число существует
в силу аналитического характера Σ.
Пусть теперь б — число, удовлетворяющее неравенствам
*<* 6<тжг· 6<жг/^
24μβ ' ^ 6μΑ
и такое, что при ММ < 26
| V (Мг) - V (М2) | < ε/2, | ρ (Мг) - ρ (М2) \ < ed/12*.
Разобьем поверхность Σ на части Σ {Рк)ч удовлетворяющие условиям (*).
Через ак мы обозначим сферу с центром в точке Ρ и радиусом pfr = —— |/ — .
Из неравенства рк <г^/2 и из определения чисел т> следует, что сферы оъ. не
имеют общих точек. Построенные сферы удовлетворяют условию 2 леммы VIIL
В самом деле,
4 5Zj ^Р^== 5L πΓ*'"Γ < η'
так как площадь Σ (Рк) превосходит лгк.
Функцию W мы определим теперь следующим образом: 1) W = V (Рк)
внутри и на границе сферы ок, 2) вне сфер ок функция WecTb решение зада-
чи Дирихле, исчезающее на бесконечности и принимающее на поверхности
ак постоянное значение V {Р^). Очевидно, что построенная функция удовлет-
282
77". Теория гармонических функций
воряет условиям 1 и 3 леммы. Остается доказать, что удовлетворяется усло-
вие 4.
Условие 4, очевидно, выполняется внутри каждой из сфер ок, так как
pfc < η < δ, а при МРк < δ
\V(M)-V (Рк) | < ε/2.
Докажем, что условие 4 выполняется вне сфер ак. Для этого мы рассмотрим
вспомогательную функцию
U
■*р(**>
Ρ Ρ г.
гармоническую вне сфер σ^. Мы покажем прежде всего, что \ U — V | <
<С ε/2 вне сфер ак. Функция U — V гармонична в области Dx, лежащей вне
-сфер ак и Σ, и исчезает на бесконечности. Поэтому достаточно доказать, что
предыдущее неравенство выполняется на границе этой области.
Рассматриваемая разность может быть записана в виде
Zj ррь ) J />м
Точка границы D принадлежит к одной из частей этой границы, состоящей из
части Σ (Ρк), лежащей вне акч и поверхности σ^. Пусть j — индекс этой ча-
сти. Имеем
Ρ (Pj) . Ar. μ Г s β
ΨΙ^<-Κ-<Α»ν-δ<1Γ-
PP. rj
Рассмотрим теперь номера к членов суммы, такие, что хотя бы одна точка
Σ (Рк) попадает в сферу радиуса d с центром в точке Р. Вследствие того что
г'к < δ < d, для этих значений к участок Σ (Рк) содержится в сфере радиуса
3d с центром в точке Р.
Если к Φ /, то, обозначив через Μ произвольную точку Σ (Рк), можем
лаписать
_ 1 1 ТЕ 1 Щг+Г1
РРк РМ РРк ^ РМ РРк
я, так как при к Φ j имеем РРк > r£, r\ > Ari, получаем
1 <(1 + Л)4г.
РРк ^х ' РМ
откуда
*^к S(Pfc) ^M
Имея в виду оценку для SjP (Pj)/PPj и полученное неравенство, можем
для суммы всех рассматриваемых слагаемых написать
ΙΣΙ-ΙΣ'[-^-$5%-]Ι<τ+μ+^5^.
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
283
где стоящий справа интеграл распространяется на часть Σ, лежащую
внутри сферы радиуса 3d с центром в точке Р\ но тогда по самому определе-
нию числа d получаем |2 '|<ε/3.
Остается еще оценить сумму Σ" слагаемых, обладающих следующим свой-
ством: Σ (Pfc) лежит целиком вне сферы радиуса d с центром в точке Р.
Имеем
<*) ^(Pfc) Σ(Ρ^) ^/Kjf "fr >
Но в области Σ (Pk) имеем МРк < 2δ, и, следовательно,
| ρ (Μ) - ρ (Ρ,) | < *ε/12*, | iW - PFfc |< 2δ;
кроме того, РРк > d, iW > d, | ρ (i\.) | < μ, поэтому
|Χ|<2δμ/ω2+ε/12<ε/6,
и, следовательно,
|t/(/>)-F(i>)|<|2'| + |2H<«/2.
Оценим теперь разность \ U — W | в области 2)2, лежащей вне сфер σ^·
Функция U — W гармонична в области D2 и исчезает на бесконечности, по-
этому достаточно ее оценить на границе D2- В точке Ρ границы D2 имеем
W = V (Ръ), поэтому
| U - W |< | U (Р) - V (Р) | + | V (Р) - V (Pt) | < ε.]
Таким образом, в области D2 имеем одновременно два неравенства
\ U — W \ <С г, | С/ — V | < ε, откуда получаем | V — W | < 2ε, и,
следовательно, условие 4 леммы выполняется. Это полностью доказывает
лемму VIII.
Отметим следующее специальное предложение, которое нам потребуется
непосредственно при конструкции области D.
Лемма IX. Пусть σΧ, о2, . . ., ση — конечное число сфер, лежащих
внутри сферы D0, V (Ρ) — непрерывная функция, определенная внутри D0,
гармоничная всюду в D0, за исключением поверхностей сфер σ^, обращающаяся
в нуль на границе D0 и равная единице в сферах σΑ..
Существует система сфер oft:>m, обладающая следующими свойствами:
1) сфера afr,m лежит внутри сферы ак\
2) сумма площадей поверхностей сфер а^,ш не превосходит η;
3) непрерывная в D0 функция U (Р), гармоническая вне поверхностей сфер
<Ук,т, равная нулю на границе D0 и единице на границах okiiYl, удовлетворяет
неравенству \ U (Р) — V (Ρ) | < ε.
Это предложение есть непосредственное следствие леммы VIII. Пусть
σ£ — концентрическая с σ^. сфера, содержащаяся в вк, и V (Р) — непре-
рывная в й0 функция, гармоническая во всех точках D0, обращающаяся
в нуль на поверхности й0ив единицу на поверхностях σ^. Если радиусы
сфер σ^ достаточно близки к радиусам соответствующих сфер о^, то, так как
284 77". Теория гармонических функций
задача Дирихле устойчива в области D0 — Σσ^, имеем
\V(P) - V {Ρ) Ι < ε/2. . (32)
Функция V (Ρ) может быть представлена как сумма потенциала простого
слоя Vl4 лежащего на σ/f, и слоя V2, лежащего на границе D0:
V' (Ρ) = V[ (Ρ) + V'2 (Ρ). (33)
На основании леммы VIII мы можем построить сферы σ^?τη с центрами
на поверхности σ&, удовлетворяющие условиям 1 и 2, и потенциал простого-
слоя, лежащего на поверхностях этих сфер, удовлетворяющий неравенствам
| У\ (Р) - V[ (Ρ) Ι < ε/6 всюду, (34>
I V[ (Ρ) — V<l (Ρ) — 1 I < ε/6 на поверхностях σ^>τη.
Но тогда функция U (Р)— V1 (Ρ)— V2 (Ρ), гармоническая в D0, всюду, кро-
ме поверхностей (Х^,т, на этих поверхностях и на границе D0 не превосхо-
дит ε/З, а в таком случае эта функция всюду в D0 остается меньше, чем ε/3.
Это вместе с (32) и (34) дает| U (Р) — V '{Р)\ <ε/2, и из (32) следует выпол-
нение условия 3.
Лемма X. Пусть L — система конечного числа дуг аналитических кривых,
F — замкнутое множество, не имеющее общих точек с L. Тогда существует
окрестность Δ (ε) системы дуг L, обладающая следующими свойствами:
1) замкнутые множество F и область Δ (ε) не имеют общих точек;
2) каковы бы ни были область D, содержащая F, и гармоническая в области
D функция U, удовлетворяющая неравенству \ U \ < 1 и обращающаяся
в нуль на части границы D, лежащей вне области Δ (ε), на всем множестве F
удовлетворяется неравенство \ U | < ε.
В самом деле, пусть ε ^> 0 (ε < 1). Обозначим через I сумму длин дуг
системы L, а через ρ расстояние между множеством F и системой линий L*
Рассмотрим функцию
w=^j±4 (35>
L
где г — расстояние от некоторой точки Ρ до точки Μ системы линий L.
Пусть Δ (ε) — множество точек, в которых W (Р) ^> 1; Δ (ε) содержит систе-
му линий L. На множестве F, очевидно, имеем W <С ε, а, следовательно, F
и Δ (ε) не имеют общих точек.
Пусть D — произвольная область, содержащая F, a U — функция, опре-
деленная в D, удовлетворяющая требованиям, поставленным в формули-
ровке свойства 2 леммы X. В точках границы D, лежащих вне Δ (ε), имеем
О = U < W, а в точках границы D, принадлежащих Δ (ε), U < 1 < W.
На основании принципа максимума всюду в D имеет место неравенство
U < W, а, следовательно, на множестве F имеем U < ε.
Аналогично покажем, что на этом множестве U ^> —ε.
Теперь мы можем перейти к построению области Ζ), удовлетворяющей
условиям предложения, сформулированного в начале этого подраздела.
Пусть D0 — сфера радиуса 1 с центром в начале координат и ε — про-
извольная положительная величина. Построим системы конечного числа
сфер σ^..^ , определяемые следующим образом: система o^t состоит из
одной сферы радиуса 1/2 с центром в начале координат;
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
285
(a) сфера σ*Λ...*η содержится в σ^...*^;
(b) сумма площадей поверхностей всех сфер σ^2...& не превосходит 2"п;
(c) пусть Un — непрерывная в D0 функция, гармоническая всюду, кро-
ме точек поверхностей сфер σ^2.../(· , обращающаяся в нуль на границе D0
и равная единице на поверхности каждой из сфер α^2...& ; тогда имеет
место следующее неравенство: Un — ип-г < г/2п(п ^> 1).
Построение систем сфер, удовлетворяющих всем поставленным условиям,
возможно в силу леммы IX. При этом мы можем считать, что ни одна из
сфер σ^β не содержит начала координат.
Пусть Π — совершенное множество точек, принадлежащих системе
сфер {a^,...fe } при любом значении п. В силу (Ь) множество Π имеет по-
верхностную меру, равную нулю.
В силу (а) и (с) последовательность функций Un сходится к функции С/,
непрерывной вй0и гармонической в области Z>(0>, получаемой удалением
из D0 точек множества П. На множестве Π функция U принимает значения,
равные единице. Имея в виду, что 17г (0) = 1, получаем U (0) > 1 — ε.
Определим теперь систему аналитических дуг Ζ^..^ следующим обра-
зом: дуги Ζ№ соединяют некоторую точку Р0 границы D0 с точками Р^2,
лежащими на поверхности σ№. При этом дуги Ζ№ не пересекаются нигде,
кроме точки Р0, и ни одна из них не проходит через начало координат.
Дуги Z^2...frnii соединяют точку iV,...*^ поверхности сферы σ^...^
с точками Р*л...*М1, лежащими на сферах σ^,...*^. При этом дуги Ζ*Λ..^η_14
остаются внутри области ohi1t2m^kn_v получаемой удалением из сферы о^2.,т1Сп_1
всех сфер σ^...* $, и не имеют точек пересечения, отличных от /\7-в...&п_г
Пусть Afelfr2...feri — множество точек, отстоящих от 1и,ч2...ъп на расстоя-
ние, не превышающее δη, и принадлежащих области 'Оцхк,...чп_1- Число δ„
может быть выбрано настолько малым, чтобы выполнялись условия:
(d) множество Д(№•■•fcn) =У±кШг fc i не содержит контуров, не стягивае-
(i) П
мых внутри него в точку;
(e) площадь поверхности множества Δ<">= 2 &Ыг к- не превосхо-
дит 2"n; (№...fcn) n
(f) каковы бы ни были область Ω, содержащая начало координат, и гар-
моническая функция Η (Ρ), определенная в Ω, удовлетворяющая в Ω
неравенству | Η (Ρ) | < 1 и обращающаяся в нуль в точках границы Ω,
ле принадлежащих Δ<η\ выполняется неравенство | Η (0) | < ε/2η.
Возможность удовлетворить условию (f) вытекает из леммы X. Что же
касается условий (d) и (е), то им, очевидно, удовлетворить можно.
Через D мы чэбозначим область, получающуюся удалением из сферы D0
точек, принадлежащих множеству Π и всем множествам Δ^. В силу усло-
вия (d) область D односвязна. Легко усмотреть, что граница области D
есть простая замкнутая жорданова поверхность. Мы будем ее обозначать
через S. Часть £, принадлежащую границе сферы D0, обозначим через £0,
множество точек S, получаемое удалением из S множеств Π и S0, обозначим
через Sx. Пользуясь тем, что множество Π имеет поверхностную меру нуль,
а также условием (е), легко усмотреть, что S имеет конечную площадь:
пл. S < пл. S0 + 1/2.
286
ТУ. Теория гармонических функций
Докажем, что область D удовлетворяет условиям предложения, сформу-
лированного в начале этого подраздела. Прежде всего мы покажем, что
проблема Дирихле разрешима в области D при любых непрерывных данных на
поверхности S.
Заметим прежде всего, что всякая точка S, принадлежащая S0 + Slr
есть регулярная точка. В самом деле, в окрестности такой точки Ρ поверх-
ность S кусочно-аналитична. Отсюда следует, что Ρ есть регулярная точка и,
более того, точка устойчивости задачи Дирихле. Нужно еще показать, чта
любая точка множества Π есть регулярная точка. Это следует непосредст-
венно из теоремы III, если принять во внимание, что построенная функция
U (Р) гармонична в D, принимает значения, равные единице, на П, и в D
С/(Р)<1.
Докажем теперь, что проблема Дирихле неустойчива внутри области D*
В самом деле, рассмотрим функцию U (Р). Она есть правильная гармо-
ническая функция в области Ζ), имеющая непрерывные предельные значения
на S. В начале координат имеем
U (0) > 1 - ε. (36)
Пусть φ (Ρ) — непрерывная во всем пространстве функция, совпадающая
с U (Р) в сфере D0 и равная нулю вне сферы D0. Значения φ (Ρ) на S, оче-
видно, совпадают с предельными значениями U (Р) на S.
Мы покажем, что, какова бы ни была односвязная область D', граница
5' которой есть жорданова поверхность, целиком лежащая вне области
D = D + S, гармоническая функция U' (Р), определенная вй'и имеющая
на S' предельные значения, равные U (Р), удовлетворяет неравенству
U' (0) < ε. (37)
Предполагая, что ε < V2, и сравнивая неравенства (37) и (36), убеждаем-
ся в том, что проблема Дирихле с граничными данными на S, равными
U (Р), неустойчива в области D.
Докажем неравенство (37). Для этого заметим прежде всего, что вся по-
верхность S' лежит вне сферы D0 и в конечном числе множеств Δ<η>. В самом
деле, если бы существовало бесконечное множество множеств Δ^η), содержа-
щих точки S", то расстояние между S' и Π было бы равно нулю и, следова-
тельно, S' и Π имели бы общую точку, что невозможно по предположению.
Пусть AW, Δ<2>, . . ., Δ(™> — все те области Δ<η\ которые содержат точки
5". Обозначим через Нп (Р) гармоническую функцию, определенную вне
Δ(η>, принимающую значение 1 на границе Δ<η> и обращающуюся в нуль
на бесконечности. Согласно (f) имеем | Нп (0) | < ε/2".
С другой стороны, имея в виду, что φ = 0 вне D0 и U < 1 в Z)0, и приме-
няя принцип максимума, заключаем, что
U'(P) < НХ(Р) + Bt(P) + . . . + Нт (Р)
в области D и, следовательно,
^'(0)<-|--f^+...+^r<e.
Таким образом, D удовлетворяет всем поставленным выше условиям.
Заметим, что каждая точка неустойчивости границы S области D есть
точка множества П. Множество П, как уже было отмечено, имеет поверхност-
ную меру, равную нулю. С другой стороны, из теоремы XVI следует, что
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
287
гармоническая мера множества Π положительна. Пользуясь свойствами (с)
и (f), можно показать, что гармоническая мера Π в точке О превосходит
1 — 2ε. Таким образом, имеем следующее предложение: существует одно-
связная область D, ограниченная простой замкнутой поверхностью Жорда-
на S конечной площади, и лежащее на S совершенное множество Π поверхност-
ной меры нуль, такие, что гармоническая мера Π в точке О области D пре-
восходит 1 — ε, где ε ^> 0 — произвольно малое число. Отсюда, в частности,,
вытекает следующее предложение: существует односвязная область D, огра-
ниченная простой замкнутой поверхностью Жордана S конечной площади, и
ограниченная в D гармоническая функция, отличная от нуля и имеющая почти,
всюду на S предельные значения, равные нулю.
В самом деле, всем условиям первого предложения удовлетворяет гармо-
ническая мера h (Π, D, Μ) множества П.
Отметим, что задача Дирихле на плоскости будет устойчива в любой ко-
нечносвязной замкнутой области без внутренних граничных точек. Доказа-
тельство этого факта без труда можно извлечь из следующей леммы
Мийю — Неванлинны [18].
Пусть граница области G содержит точку на каждой окружности-
х2 + У2 = г2, О < г < R, а и (х, у) — гармоническая в G функция, удовлет-
воряющая условиям:
1) и (х, у) > 0 внутри G;
2) в точках границы G, лежащих в круге х2 + У2 <Ξ ^2>
lim sup и (х, у) > 1.
Тогда при г = Ух2 + у2 < R
u(x,y)> — ^csm-irF7-.
6. До сих пор мы занимались вопросом об устойчивости решения задачи
Дирихле при произвольных граничных данных. Однако может быть постав-
лен вопрос об устойчивости при заданных граничных данных/ (Р). Мы оста-
новимся на вопросе об устойчивости в замкнутой области при заданных
граничных значениях.
Если для некоторой функции / (Р) последовательность (2) сходится
к / (Q) на границе области равномерно, то задача Дирихле с данными / (Р)
устойчива в замкнутой области.
Легко установить, что задача Дирихле с граничными данными / (Q) будет
устойчива в замкнутой области, если в каждой граничной точке
Uf (О) = / (О). (38)
Это вытекает непосредственно из леммы VI, если доказать, что из (38)
следует разрешимость задачи Дирихле в области/) при данных/ (Р). Послед-
нее непосредственно следует из известной теоремы функционального анализа,
утверждающей, что если последовательность непрерывных функций Un (P)
сходится к непрерывной же функции/ (Р) в каждой точке замкнутого множе-
ства и функции Un (P) ограничены в совокупности, то можно построить
последовательность линейных комбинаций функций Un (P), сходящихся
к / (Р) равномерно. Эти линейные комбинации будут гармоническими функ-
циями и, следовательно, будут сходиться к решению задачи Дирихле.
С точки зрения устойчивости задачи Дирихле при заданных граничных
данных представляет интерес более детальное изучение функции Uf (Q)
288
ТУ. Теория гармонических функций
в окрестности точки неустойчивости. Здесь может быть установлено предло-
жение, вполне аналогичное теореме о поведении обобщенного решения вбли-
зи иррегулярной точки.
Предельные значения функции Uf (Ρ) в точке Q заключены между Uf (Q)
и / (<?).
Доказательство этого предложения проводится аналогично доказатель-
ству теоремы XI. Разность
Ω (/,<?) = £7, (<?)-/(<?)
есть линейный функционал от / (Р) и может быть представлена в виде
Q(f,Q) = <i{f(P)-f(Q)]dQQ(e),
Σ
где Ω<2 (е) — положительная непрерывная аддитивная функция множеств.
Условия устойчивости задачи Дирихле в замкнутой области могут быть
сведены к счетному числу условий вида
^[f(P)-f(Q)]dQQn(e) = 0:
Σ
Среди различных возможных данных на границе области особый интерес
представляют те, для которых задача Дирихле разрешима. В связи с этим
встает вопрос о выделении класса областей, в которых устойчивы все разре-
шимые задачи Дирихле. Этот класс областей имеет значение также в прило-
жениях вопросов устойчивости задачи Дирихле к проблеме представимости
функций рядами гармонических полиномов. Он характеризуется следующей
теоремой. __
Теорема XIX. Для того чтобы в замкнутой области D была устой-
чива всякая разрешимая в D задача Дирихле, необходимо и достаточно,
чтобы множество точек устойчивости границы совпадало с множеством ирре-
гулярных точек.
Достаточность условия этой теоремы непосредственно сле-
дует из леммы VI, если принять во внимание, что емкость множества иррегу-
лярных точек равна нулю и, следовательно, для рассматриваемых областей
емкость множества точек неустойчивости равна нулю.
Докажем необходимость условия. Для этого надо показать, что
если некоторая регулярная точка границы D является точкой неустойчиво-
сти, то существует разрешимая в области D задача Дирихле, неустойчивая
в области D. Чтобы это установить, в силу леммы IV достаточно показать,
что для произвольной регулярной точки Q границы D можно построить гар-
моническую eD функцию Π (Ρ), непрерывную в замкнутой области Q, значение
которой в точке Q превосходит ее значения во всех других точках D.
При доказательстве этого предложения мы будем опираться на две леммы,
первая из которых дает оценку для гармонической функции, регулярной
в сфере, а вторая касается вопросов емкости множеств. ^
Лемма XI. Пусть V (Р) — гармоническая функция, определенная
в сфере х2 + у 2 + z2 < R2, удовлетворяющая неравенству О < V (Р) <1 w
принимающая значение V0 < 1 в начале координат. Тогда в точке Ρ сферы
я2 + У2 + z2 = Э2Д2, О <С θ <^ 1, удовлетворяется неравенство
f (θ, V0) < V (Ρ)< F (θ, V0),
(39)
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
289
где
0<F(B,V0)= , 2(1 + Θ)Γ0 t
0</(θ,70) = Г _2(1-Q)V0 ^
При этом в правой части неравенства (39) равенство достигается только
для функции U (Р), имеющей предельные значения, равные единице в точках
сферы х2 + У2 + z2 = Я2, удовлетворяющих неравенству
cos (ОРТОМ) > 1 - 270,
и предельные значения, равные нулю в остальных точках этой сферы. Знак
равенства в левой части имеет место только для функции и (Р), имеющей
значения, равные единице в точках сферы, для которых cos {OP, ОМ) <
<; 2V0 — 1, и предельные значения, равные нулю в остальных точках этой
сферы.
Докажем, например, часть леммы, относящуюся к правому неравенству
(39). Пусть V (Р) — функция, имеющая непрерывные предельные значения
на сфере х2 + у2 + z2 = R2 и удовлетворяющая условиям леммы. Обозна-
чая через S поверхность сферы, имеем
^Vds = ^Uds = inV0. (40)
ь s
С другой стороны, функция V выражается интегралом Пуассона
F J_i' Г (Д1-р»)Г(М)&
[ ' 4л J J (Я2 + р2__ 2#pcos\|))3/? '
S
где ρ = UP и ψ есть угол между лучами ОР и ОМ. Принимая во внимание
(40), неравенство 0 < V (М) < 1 и то, что множитель при V (М) под знаком
интеграла есть убывающая функция ψ, заключаем, что V (Р) <^ U (Р).
Непосредственное вычисление функции U дает U (Р) = F (Θ, V0).
Таким образом, лемма доказана для функции V (Р), непрерывной
в замкнутом шаре. Предельным переходом легко ее распространить на
любую ограниченную функцию.
Лемма XII. Пусть Ε— замкнутое множество, емкость γ которого
отлична от нуля. Обозначим через Δ область, дополнительную к Е, и пусть
η — сколь угодно малое положительное число. Существует абсолютно аддитив-
ная положительная функция множеств μ (е), определенная на Е, е d Ey
и обладающая следующими свойствами:
(a) μ (Ε) > γ - η, (41)
(b) функция V(P)=^-^- (42)
Ε
непрерывна во всем пространстве и удовлетворяет неравенству
F(P)<1. (43)
Обозначим через W (Р) потенциал множества Е, через μ (е) распределение
массы на Е, порождающее этот потенциал. Функция W (Р) удовлетворяет
19 М. В. Келдыш. Математика
290
77". Теория гармонических функций
неравенству If^l и непрерывна всюду, за исключением иррегулярных,
точек Е.
Если каждая точка множества Ε есть регулярная точка относительна
задачи Дирихле, то функция W (Р) непрерывна во всем пространстве, и мы
можем положить μ (е) = μ (е).
Допустим, что множество Ε содержит иррегулярные точки.
Множество иррегулярных точек на Ε мы обозначим через Щ. Тогда
& = $i +[#2 + .. · + $п + . .. ,
где каждое слагаемое Щп замкнуто и имеет емкость, равную нулю. Потенциал:
всякой положительной массы, лежащей на замкнутом множестве нулевой
емкости, не может оставаться всюду конечным, поэтому μ (&п) = 0, и, сле-
довательно, так как функция μ (е) непрерывна сверху, существует открытое
множество Оп, содержащее ёп и такое, что μ (Οη) <С η/2η.
Обозначим через О сумму множеств Оп, тогда μ (Ο) < η.
Мы определим теперь функцию множеств е а Е следующим равенством:
μ (е) = μ (СО X е), (44>
где СО — дополнение к множеству О. Очевидно, функция μ (е) обладает
свойством (а):
μ (е) = μ (СО X е) = μ (Ε) - μ (Ο) > у - η.
Функция (44) обладает свойством (Ь), так как μ (е) <^ μ (е), и поэтому
V (Р) <[ W (Р). Остается еще доказать, что функция V (Р) непрерывна во
всем пространстве. Она непрерывна во внутренних точках Ε и вне Е, так как
если е принадлежит окрестности такой точки, то μ (е) = μ (е) и, следователь-
но, V (Р) гармонична в окрестности этих точек. Из построения функции
μ (е) следует, что μ (е) = 0, когда е принадлежит окрестности иррегулярной
точки множества Е, так как Щ d О, и поэтому V (Р) гармонична, а значит,,
непрерывна на множестве #. Остается установить непрерывность V (Р)
в регулярных граничных точках множества Е.
Пусть Р0 — регулярная граничная точка множества Е. Обозначим через
σ сферу РР0 <8 и положим
оЕ σΕ
где σΕ — пересечение множества Ε со сферой σ. Пусть, кроме того,
Wa = W - Wa, V'a=V- Va.
Интеграл W имеет конечное значение в точке Р0, поэтому число δ мы мо-
жем выбрать настолько малым, чтобы
W„(P0)<b/7, (45>
где ε ^> 0 — произвольно^ малое число. Функция WG непрерывна в точке Р0,
так как она гармонична в сфере σ; функция W также непрерывна в точке Р0,
потому что Р0 есть регулярная точка.
Мы1 можем найти число δΧ<; δ, такое, что в сфере σΧ (РР0<С δΧ) выпол-
няются неравенства
I W'„ (Ρ) - Wo (P0) I < ε/7, \W(P)-W (P0) | < ε/7. (46)
WT0= [ [ ^(g) . V„ = { d(x(e)
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
291
Но имея в виду, что
Wo (Ρ) = Wo (P0) + [W (Ρ) - W (Po)] + [WO (Po) - Wo (P)],
заключаем на основании (45) и (46), что WG(P) < 3ε/7 в сфере σΧ.
Из неравенства \л(е) < μ(β) следует VG (P) < Wa(P), и поэтому
VG (Р)< 3ε/7 в сфере ох.
Функция VG непрерывна в точке Р0. Построим сферу σ2 (РР0 < δ2),
бг < δ1? такую, что в σ2
I Va (Ρ) - V'a (P0) I < ε/7.
С
Тогда в σ2
\V(P)-V (Ρ0) |< I Va (Ρ) - Va (Po) I + Va (P) + Va (P0) < ε.
Это доказывает непрерывность V (Р0) в точке Р0, а следовательно, и выска-
занное предложение.
Перейдем к построению функции Π (Ρ). Обозначим через Еп множество
точек дополнения к J9, принадлежащих сферическому слою 2"(ПП) <^
<[ РР0 <^ 2"п. Пусть уп — емкость множества Еп. В регулярной точке рас-
оо
ходится ряд 2 2ηγη, а поэтому расходится один из рядов 2,2зп+"7Тзп+7'
71=1 (П)
О = 1, 2, 3).
Не ограничивая общности, мы можем допустить расходимость ряда
Jj28"v3tl. (47)
Пусть μη (е) — положительная, вполне аддитивная функция множеств
е, [е С £3(71+1)» такая, что
μη = μη(£3(π41))>1/2Υ3(η+1;§ (48)
и функция . -
Vn{P)= S ^1 (49)
S3n+3
непрерывна во всем пространстве и удовлетворяет неравенству Vn (Ρ) < 1.
Пусть Ρ — точка, лежащая вне Е3п+3, ρ — наименьшее и Л — наиболь-
шее расстояния от точки Ρ до точки Е3п+3. Из аналитического представления
Vn (P) сразу следует неравенство
μη/Д < Vn (Ρ) < μη/ρ. (50)
Рассмотрим гармоническую вне Е3п+3 функцию
Wn (Ρ) = Vn (Ρ) -μη/[2-3η - 2-(3η+2>]. (51)
Пользуясь (49)—(51), заключаем, что Wn (P) есть непрерывная во всем
пространстве, гармоническая вне Е3п+3 функция, удовлетворяющая следую-
щим условиям:
(a) Wn (Ρ) <1 на множестве Е3п+3;
(b) Wn (Ρ) > 0 в точках, удовлетворяющих неравенству РР0 < 1/2зп+3;
(c) Wn (Ρ) < 0 в точках, удовлетворяющих неравенству РР0 > 1/2зп;
(d) 23^1μη<^η(Ρ0)<23^μη;
19*
292
IT. Теория гармонических функций
(е) Wn (Ρ) > —23ημη Β0 всем пространстве.
Определим теперь числа а1? а2, . . ·, #т · · · Число аг мы подберем так,
чтобы максимум функции a^W^, который достигается в точке множества EQ,
был равен единице. Пусть числа а1? а2, . . ., ап^ уже выбраны таким обра-
зом, что регулярная вне множеств 2?6, Е9, . . ., Е3п функция
П^ = a.W, + a.2W2 + ... + a^HVi
удовлетворяет во всем пространстве неравенству Πη_Χ <^ 1; тогда число ап
мы подбираем так, чтобы максимум функции
П„ = axWx + a2W2 + ... + α^ΤΡ^ + αηΤ7η
на множестве Е3п+3 был равен единице. Легко усмотреть, что регулярная вне
Ε β, Е9,. . ., Е3п+3 функция Пп (Р) удовлетворяет всюду неравенству Пп (Ρ) ^ 1.
В самом деле, Пп (Р) = Πη_Χ (Р) + anWn (Ρ), и в силу свойства (с) на ESj
Е9, . . ., Е3п имеем Нп-г (Ρ) > Πη (Р). Все выбранные числа ап, очевидно,
положительны.
Докажем, что
Σαη\νη(Ρ0) = \. · (52)
п=1
В самом деле, допустим, что
т—1
Пт„1 (Р0) = Σ α.^η (Ρ0) < α < 1 (53)
( i
при любом т; тогда в силу леммы XI в сферическом слое 2~(ЗГГЧЗ) ]> РР0 ^
> 2"(зт-4) имеем
Пт_1(^)<^<1,
где К — константа, зависящая только от а. Имея в виду, что Wm (Ρ) ^ 1,
заключаем, что ат > 1 — К, откуда на основании (d)
amWm(P0)>(l-K)2™^m,
-что противоречит предположению (53), так как ряд Σ23ημη расходился
(μη > ν2γ„).
Докажем, что ряд Σα^ΡΓ^ (Ρ) сходится равномерно во всем пространстве.
В самом деле, оценим сумму
IWt= Σ anWn(P).
Эта функция правильна всюду, кроме множеств E3<N+1), . . ., E3Nl+3,
и в силу (с) отрицательна на бесконечности, поэтому для оценки ее сверху до-
статочно ее оценить на множествах E3N].3, . . ., E3jsr1+3. В силу (с) на мно-
жестве Е^р{.3 имеем Wn (Ρ) < 0 при п^> р, поэтому на множестве Е3р+з
П^,^1<Плг,р. (54)
Из (Ь) следует, что при РР0 < 2~зр и η <; ρ все функции Wn (P) по-
ложительны. В частности, в этой сфере положительна функция П^-х (Р).
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле
293'
β силу леммы XI имеем на множестве Е3р+3
Пя_х (Р) > L (П*-! (Ро)),
где L (а) — положительная функция, определенная при 0 < α < 1,
и такая, что
lim L (а) = 1. (55)
а-»1
Имея в виду, что
Пр (Р) = UN.X (Ρ) + ПЛ-,Р (Ρ),
и принимая во внимание неравенство Пр (Ρ) <^ 1, заключаем, что на всем
множестве Е3р+3 имеет место неравенство
UNp (Р)< 1 - L ЦЬ-х (Р0)).
Отсюда и из (54) заключаем, что на Е3^+3, . . ., £злг^з> а следовательно,
и во всем пространств}
TlN,Nt (P)<l-L (Π*-! (Ρο)). (56)
Оценим теперь Пл\лг1 снизу. На основании свойств (е) и (d) функций
Wn (P) имеем
Πν, т (Ρ) > - 7.23Xun > - 16 Σ OnWn (Po). (57)
Ν
В силу (52), (55)—(57) заключаем, что при достаточно большом N и произ-
вольном N-l функция Un,Ni может быть сделана меньше любого заданно-
оо
го положительного числа. Это показывает, что ряд Π (Ρ) = ^ anWn(P}
n=l
сходится равномерно и, следовательно, функция Π (Ρ) непрерывна. Эта функ-
ция гармонична в D, так как множества Еп лежат вне D. Функция Π (Ρ)
на любом из множеств Е3п удовлетворяет неравенству Π (Ρ) <С 1.
В самом деле, имеем на Е3п+3
П(Р) = ПП(Р)+ %а№(Р),
n-fl
причем Пп (Р) < 1, Wk < О при к > п.
С другой стороны, в силу (52) Π (Р0) = 1 и, следовательно, функция*
Π (Ρ) удовлетворяет всем поставленным требованиям.
ЛИТЕРАТУРА
1*. Neumann С. Untersuchungen tiber das logarithmische und Newton'sche Potential-
Leipzig, 1877.
2*. Fredholm I. Sur une classe] d'equations fonctionelles.— Acta math., 1903, bd 27,
s. 365-390.
3*. Schwarz H. A. Zur Integration der partiellen Differentialgleichung (1869).—In:
Zusatz Gesamm. math. Abh., В., 1890, Bd. 2.
4*. Poincare H. Sur la equations aux derivees partielles de la physique mathematique.—
Amer. J. Math., 1890, vol. 12, p. 211—294.
5*. Perron O. Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe7 fur Au = 0.—^Math..
Ztschr., 1923, Bd. 18, H. 1, S. 42—54.
294
77". Теория гармонических функций
6*. Vallee Poussin С. de la. Extension de la method du balayage de Poincare et probleme
de Dirichlet.— Ann. Inst. Poincare, 1933, t. 2. (См. также: Vallee Poussin C. de la.
Le potential logarithmique, balayage et representation conforme. P.: Hermann, 1949.)
7*. Wiener N. Certain notions in potential theory.— J. Math, and Phys. Mass. Inst., 1924,
vol. 3, N 1, p. 24—51.
8*. Wiener N. The Dirichlet problem.— J. Math, and Phys. Mass. Inst., 1924, vol. 3,
N 3, p. 127-146.
9. Петровский И. Г. Метод Перрона решения задачи Дирихле.— УМН, 1941, вып. 8,
с. 107—114.
10*. Lebesgue Η. Sur le probleme de Dirichlet.— Rend. Circ. mat. Palermo, 1907, t. 24,
p. 371—402. (См. также: Lebesgue H. Sur le cas d'impossibilite du probleme de Di-
richlet ordinaire.— Soc. math. France, с. г. seances, 1913, p. 17.)
11*. Bouligand G. Fonctions harmoniques. Principes de Picard et de Dirichlet.— Mem.
sci. math., 1926, fasc. 11.
12. Vasilesco F. Sur les singularites des fonctions harmoniques.—J. math, pures et appl.
Ser. 9, 1930, t. 9, fasc. 1, p. 81—111. (См. также: Vasilesco F. La notion de point irre-
gulier dans le probleme de Dirichlet. P.: Hermann, 1938.)
13*. Evans G. C. Applications of Poincares sweeping-out process.— Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1933, vol. 19, p. 457. (См. также: Evans G. C. Modern methods of analysis in po-
tential theory.— Bull. Amer. Math. Soc, 1937, p. 481—502.)
14*. Kellog O. D. Foundation of potential theory. В.: Springer, 1929.
15*. Vasilesco F. Sur la methode du balayage de Poincare son extension par M. de la Vallee
Poussin, et le probleme de Dirichlet generalise.—J. math, pures et appl. Ser. 9, 1935,
t. 14, fasc. 2, p. 209—227.
16*. Петровский И. Г. Einige Bemerkungen zu des Arbeiten von Herren O. Perron und.
L. A. Lusternik iiber das Dirichlet'sche Problem.—Mat. сб., 1928, т. 35, с. 105—110.
17*. Brelot Μ. Families de Perron et probleme de Dirichlet.— Acta Szeged, 1939, t. 9,
p. 133—153. (См. также: Брело М. Основы классической теории потенциала. М.:
Мир, 1964.)
18, Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.; Л.: Гостехиздат, 1941.
338 с.
28
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ*
За последние два десятилетия был создан целый ряд методов для решения
задачи Дирихле в произвольной области при непрерывных граничных
значениях (Винер, Перрон, Балле Пуссен). Эти методы ставят в соответствие
произвольным непрерывным данным на границе гармоническую в области
функцию, которая совпадает с решением задачи Дирихле, если последнее
существует. Однако оказывается, что для граничных данных, при которых
задача Дирихле неразрешима, все построенные методы приводят к той же
гармонической функции, называемой обобщенным решением задачи Дирихле.
Эта функция может быть охарактеризована как гармоническая функция,
принимающая заданные граничные значения во всех точках границы, кроме,
быть может, множества точек емкости нуль.
Обобщенное решение задачи Дирихле является функциональным про-
должением классической задачи Дирихле, удовлетворяющим следующим
свойствам:
1°. Af (P) есть оператор, ставящий в соответствие всякой непрерывной
функции, заданной на границе области D, гармоническую внутри области D
функцию точки Р.
* Докл. АН СССР, 1941, т. 32, № 5, с. 308—309.
28. О задаче Дирихле
295
2°. Если при данных на границе / (Р) задача Дирихле разрешима,
функция Af (P) совпадает с решением задачи Дирихле.
3°. Af (P) есть дистрибутивный оператор:
Acxh+c«ji = C\Aft + c2Af2.
4°. Af (P) удовлетворяет неравенствам
min / (Ρ) < Af (P) < max / (Ρ).
Монна [1] был поставлен вопрос о том, будет ли обобщенное решение зада-
чи Дирихле единственным оператором, обладающим сформулированными
свойствами, и были даны соображения о форме оператора Af (P), однако един-
ственность его установлена не была. Аналогичный вопрос был предо мной
поставлен Шаудером в устной беседе.
Ниже приводится доказательство того, что единственным оператором,
обладающим свойствами 1°—4°, является обобщенное решение задачи Ди-
рихле.
Пусть Wf (Ρ) — винеровское обобщенное решение. Для того чтобы до-
казать, что Af (Ρ) = Wf (P), достаточно установить, что во всех регулярных
точках границы области функция Aj (P) принимает предельные значения
/ (Q). В самом деле, в силу теоремы Келлога — Эванса (см. [2] ) две ограни-
ченные гармонические функции, принимающие одинаковые предельные зна-
чения на множестве регулярных точек, совпадают внутри области.
Пусть Q — регулярная точка границы D. Существует гармоническая
функция Vq (Ρ), регулярная в области!), непрерывная в замкнутой области,
обращающаяся в нуль в точке Q и отрицательная во всех других точках
замкнутой области D [3].
Обозначим через φ (Ρ) предельные значения функции Vq (Ρ) на границе/).
В силу свойства (2) оператора Af имеем
Αφ (Ρ) = VQ (P). (1)
Докажем теперь, что предельные значения Af (Ρ) в точке Q не могут
превосходить / (Q). Пусть ε ^> 0 произвольно мало. Имея в виду, что φ (Q) =
= 0, в остальных точках границы φ (Ρ) <С 0, можно подобрать константу С
так, чтобы во всех точках границы области выполнялось неравенство
f(P) + CV(P)< /((?)+ ε.
В силу свойства 4°
A,+C(f(P)< /«?) + ε. (2)
Из (1) и свойства 3° оператора Af следует
Af+cv = Af + CAy = Af + CTQ;
поэтому в силу (2)
Af(P)<f(Q) + E-VQ(P). (3)
Имея в виду, что
lim VQ (Ρ) = О,
P-*Q
296
II, Теория гармонических функций
заключаем отсюда, что предельные значения Af (Ρ) при Ρ -*- Q не превосхо-
дят f (Q) + ε и, следовательно, / (Q). Аналогично устанавливается, что пре-
дельные значения Af (Ρ) при Ρ -*- Q не больше / (Q), поэтому предел Af (P)
при Ρ ->Q существует и равен / (Q).
ЛИТЕРАТУРА
1. Monna A. F. Het problems van Dirichlet.— Nieuw arch, wisk., 1938, bd. 19, biz. 247—
250.
2. Vasilesco F, Sur la mtthode du balayage de Poincaré sen extension par M. de la Val-
lée Poussin, et la problème de Dirichlet généralisé,— J. math, pures et appl. Ser. 9,
1935, t. 14, fasc. 2, p. 209—227. (См. такще: Vasilesco F. La notion de point irrégu-
lier dans le problème de Dirichlet. P.: Hermann, 1938.)
3. Келдыш M. В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле.— УМН, 1941, вып. 8,
с. 171—231·
Ill
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ
ВЫРОЖДЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ
О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
О ПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
29
О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ВЫРОЖДЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ*
В ряде работ рассматривались уравнения эллиптического типа вида
д2и , т* д2и . ди , , ди , п / ^ г\\ /л\
-е^ + Уг^- + ^-1Г + Ь-^ + си = 0 (с<0) (1)
в области, расположенной в полуплоскости у ^> 0, граница которой содер-
жит отрезок оси х. При общих ограничениях на гладкость границы области
устанавливается существование решения задачи Дирихле для уравнения (1).
Рассмотрим уравнение
г / \ т д2и , д2и , ди . , ди . ~ / ^ п\ /о\
L(U) = V-^ + ^- + а-аГ + ь^Г + си-° (с<°) (2)
*
в области Δ, ограниченной отрезком (0, 1) оси х и гладкой кривой Г, опираю-
щейся на отрезок (0, 1) и расположенной в полуплоскости у ]> 0. Предпо-
лоложим, что а, 6, с являются аналитическими функциями х, у.
Задачей D будем называть задачу Дирихле для уравнения (2) при непре-
рывных данных на границе. Задачей Ε назовем задачу определения ограни-
ченного в области Δ решения уравнения (2) при непрерывных данных на Г.
Теорема. Если т < 1, то всегда существует решение задачи D,
а задача Ε неопределенна.
Если т = 1 и α (#, 0) < 1, то всегда существует решение задачи D,
а задача Ε неопределенна; если же т = 1 и а (х, 0) ^ I, то задача D, вообще
говоря, не имеет решения, а задача Ε всегда имеет единственное решение.
Если 1 < т <С 2 и а (х, 0) <^ 0, то всегда существует решение задачи D,
а задача Ε неопределенна; если же 1 < т <. 2 и а (х, 0) > 0, то задача D, вооб-
ще говоря, не имеет решения, а задача Ε всегда имеет единственное решение.
Если т > 2 и а (х, 0) < 0, то задача D всегда имеет решение, а задача Ε
неопределенна; если же т > 2 и а (х, 0) ^ 0, то задача D не всегда имеет
решение, а задача Ε всегда имеет единственное решение.
Для доказательства заметим, что функция ν, удовлетворяющая неравен-
ству L (v) <C 0, не может иметь внутри Δ отрицательного минимума.
Установим теперь две леммы.
Лемма 1. Если существует функция W, положительная в Δ + Г,
стремящаяся равномерно к бесконечности при приближении к отрезку
О ^ х ^1 и удовлетворяющая неравенству L (W) < 0 в Δ, то решение задачи
Ε единственно. ν
В самом деле, пусть и — решение (2), равное нулю на Г. В силу
L (eW — и) <С 0 функция εW — и не может иметь в Δ отрицательного ми-
нимума, и, так как ее предельные значения на границе положительны,
всюду в Δ имеем eW — и > 0. Отсюда и ^ 0, и, так как аналогично получим
и ^ 0, имеем и = 0.
Лемма 2. При любых данных на Г существует решение задачи Е.
Если для каждой точки х0 отрезка 0 <^ х ^ 1 можно построить функцию у,
непрерывную в некоторой окрестности σΧο (у !> 0, (х — х0)2 + у2 <^ Р2)»
* Докл. АН СССР, 1951, т. 77, № 2, с. 181-183.
300
777. Дифференциальные уравнения
равную нулю в х0, положительную в остальных точках σΧο и удовлетворяющую
во внутренних точках оХ) неравенству L (ν) < 0, то при любых данных на
границе существует решение задачи D.
Функцию ν будем называть барьером в точке х0. Пусть/ — произвольная
непрерывная функция в Δ. Обозначим через Δη часть Δ, расположенную
в полуплоскости у ]> η. Пусть иц — решение задачи Дирихле для уравне-
ния (2) в Δη, принимающее значения / на границе Δη. Решение иц в Δη
существует, так как уравнение (2) не вырождается в Δη. В силу с ^ 0 имеем
в Δη неравенство | иц | ^ max | / | , поэтому семейство функций {иц} ком-
пактно внутри Δ. Пусть и — предел равномерно сходящейся подпоследова-
тельности семейства {иц}. Очевидно, L (и) = 0, и, так как все точки Г регу-
лярны, функция и принимает значения / на Г. Таким образом, решение зада-
чи Ε всегда существует. Если в каждой точке 0 <[ я < 1, г/ = 0 существует
барьер ν, то обычными рассуждениями доказывается, что и принимает зна-
чения /на0<;:г<^1,г/ = 0, следовательно, существует решение задачи D.
Чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно построить барьеры
в точках отрезка г/ = 0, 0 <; я <; 1 для всех случаев, когда утверждается
существование решения задачи D, и функцию W для всех случаев, когда
утверждается единственность решения задачи Е.
Во всех случаях выражение для барьера будем брать в виде
v = y* + (х-хо)2, 0<β<1;
тогда
L (ν) = β (β - 1) i/^+β-2 + αβΖ/β-1 + 2 + 26 (х — х0) + cv.
Если т < 1, то при достаточно малых у, \ х — х0 \
L (ν) < ν2β (β - 1) */^β-2 < 0.
При т = 1, а (х, 0) < 1 выберем β так, чтобы β < 1 — а (х0, 0), тогда
L (ν) < ν2β [β - 1 + а (*0, 0)] г/Р-1 < 0
при достаточно малых | х — х0 \ ну.
В случае 1 < т <С 2 и а (х, 0) <; 0 выбираем β < 2 — иг,
L (ν) < β (β - 1) jr-^β + 2 + 26 (х-х0) + w < ν,β (β - l)ir-*-e<0
вблизи (#ο, 0).
Наконец, при т > 2, а (х, 0) < 0 и малых у, \ х — х0 \
L(ν) < βα»Μ + 2 + 2Ь(х — х0) + cv]<-^a (х0, 0) у^<0.
Перейдем к установлению единственности задачи Е. Покажем, что во
всех требуемых случаях можно выбрать функцию, удовлетворяющую усло-
виям леммы 1, в виде
W = -log у - (х - а)п + С,
где α выбрано так, чтобы расстояние от области Δ до прямой х = а было
больше единицы.
Пусть, например, т = 1, а (х, 0) > 1,
L (W) = 1""а — η (η — 1) (х — α)"-* — пЪ (х — а)п~х + cW.
30. О собственных значениях и функциях несамосопряженных уравнении 301
В области Δ при достаточно большом А имеем в силу аналитичности
а (х, у)
I — а <Ау.
Показатель η можно выбрать столь большим, чтобы
п _ 1 > 3 | Ъ (х — а) |, η (η - 1) > ЗА;
после этого подберем С столь большим, чтобы W ^> 0 в Δ. С другой стороны,
будем иметь
L(W)<- "(γ1) +CW<:0.
Аналогичным образом разбираются случаи 1<Ст<с2,а(х, 0)^>0 и т>2,
я (я, 0) > 0.
30
О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ*
1. Все рассматриваемые ниже уравнения в соответствующем пространстве
Гильберта могут быть приведены к виду
y = L(X)y+f, L (λ) = К0 + ХКг + ... + ληΚη, (1)
где у и/ — элементы гильбертова пространства; λ — комплексный параметр;
Ki — вполне непрерывный оператор.
Вполне непрерывный оператор R (λ) есть резольвента L (λ), если
(Е + R) (Е — L) = Е. Если резольвента существует при некотором λ = λ0,
то она на всей плоскости есть мероморфная функция λ. Будем говорить, что
у есть собственный элемент при собственном значении λ = с, а у1ч у2, . . .
• . ., ук — присоединенные к нему элементы, если
τ , ч г , \ . 1 8L (с) . - , 1 dkL (с) /оч
y=L(c)y, yk = L(c)y1; + ^—^yk_1 + ...+w-^y. (2)
Заметим, что если у есть собственный элемент, а уг, у%, . . ., z/fc — присоеди-
ненные к нему элементы, то у (t) = ect ( yk + Ук-i^jj" + ···+# -jpJ есть Ре'
шение уравнения у = К0у + Кг -^- + . . . + Кп —|- .
Если λ = с есть полюс резольвенты R (λ), то главная часть резольвенты
есть сумма слагаемых вида г
~^ч~ + ~Г, ^г1 Ь-.-Ч 5^гт ' (*)
(λ-е)1 (λ-О
* Докл. АН СССР, 1951, т. 77, № 1, с. 11—14.
1 Под yz мы понимаем оператор Af = (/, z) jr.
302
III. Дифференциальные уравнения
где y(i\ y(i\ .. ., Утг1 — собственная функция и присоединенные к ней
функции для уравнения (1), a z^\ z[l\ . . ., z^.-i — собственная функция
и присоединенные к ней функции при λ = с для сопряженного уравнения
z= L* (X)z, где L* (λ) — оператор, сопряженный с L (λ).
Собственные и присоединенные функции, входящие в выражение (3)
для полюса резольвенты, при каждом собственном значении могут быть
всегда выбраны таким образом, чтобы между всеми собственными и присо-
единенными функциями уравнения (1) выполнялись равенства: при к =
= 0, 1, . . ., rrti — 1, I = 0, 1, . . ., ntj — 1
(2 г&7. &)+(Σ (I)γ^> Щ+· ■ ■
v=0 v=l
η—1
• · · + (Σ (/) Y^~1' Ζ(Λ) = Mfc.m^-1-l, (4)
где положено
v-wii^+i&r+■■·+&■}-'£*»■'■ <5>
ν=ο
Число Ν всех собственных и присоединенных функций, соответствующих
полюсу резольвенты, мы будем называть кратностью собственного значения.
Заметим, что след главной части оператора--г- ft (λ) для полюса λ = с равен
N/(c -λ).
Исходя из собственных и присоединенных элементов, удовлетворяющих
равенствам (4), построим η систем собственных и присоединенных элементов
^ = [-J-^i(t/H+i/£i4r + --- + y(i)-i-)]i=0 (v = o,...,n-D.
Определение. Система собственных и присоединенных элементов
уравнения (1) называется η-кратно полной, если любая система из η элемен-
тов гильбертова пространства /1? /2, . . ., /п может быть представлена как
предел линейных комбинаций /vA) = 2flfrtfBv-i,fc» ν = 1, 2, . . ., тг, с коэффи-
циентами, не зависящими от v.
В частности, при η = 1 мы имеем полноту в обычном смысле.
Сделаем еще следующее замечание. Положим
|4>=м(Ц[т4пг+14г+...+т|т].
тогда
г—1
2j (ZVfe, uJi) = б^б/^т >i
V=l J
30. О собственных значениях и функциях несамосопряженных уравнений 30$
Если имеют место сходящиеся разложения
/ν=Σ Σ <#«&.* (ν = 1,2,... ,#i), (6)
то коэффициенты этих разложений определяются формулами
П-1
ак = ZJ (/v+1» ^v.rii.—fc+l)·
V=0
Отсюда, в частности, следует, что разложения вида (6) единственны.
2. Назовем оператор Η полным, если система его собственных функций
х = ХНх, λ Φ оо полна.
Теорема 1. Пусть Η — полный самосопряженный оператор, некото-
рая степень которого Нт имеет конечную абсолютную норму, А — произ-
вольный вполне непрерывный оператор, Вг, В2, . . ., Вп-1 — ограниченные
операторы.
Система собственных функций уравнения
у = (А+ %НВг + ... + λ^ΗΒ^ + ληΗ) у, ' (7)
а также система собственных функций сопряженного уравнения п-кратно
полна. Собственные значения уравнений (7) асимптотически приближаются
к лучам arg λ = knln.
Заметим, что в условиях теоремы 1 сходимость разложений (6), вообще
говоря, не имеет места.
Пусть оператор Η положителен. Обозначим через φ (х) число собственных
значений Н, не превышающих х, и пусть φη (х) = φ (хп); через ψν (х)
обозначим число собственных значений уравнения (7), расположенных
в угле (2ν — 1) π/η < arg λ < (2v + 1) η/η, с модулем, не превосходящим х.
Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 оператор положителен, та
собственные значения уравнения (7) асимптотически приближаются к лучам
arg λ = 2νπ/η и при любом ε ^> 0 существуют сколь угодно большие значения
х, для которых удовлетворяется неравенство
(1 — ε) φη (х) < ψν (х) < (1 + ε) φη (х).
Налагая ограничения на φ (х), можно получить более точное предложе-
ние.
Теорема 3. Если в условиях теоремы 2 φη (#)/ω (х) ->■ 1 при х -*■ оо,
где ω (х) — возрастающая, непрерывно дифференцируемая функция, удов-
летворяющая неравенствам αω (х) < Χω' (х) < βω (х), β < α + 1, то
Ψν (ж)/срп (х)-> 1.
Доказательство этого предложения основывается на следующей теореме
тауберова типа.
Теорема 4. Пусть φ (х) к ψ (х) — положительные возрастающие
функции, определенные при х ^> 0, причем φ (х) -*■ оо, αφ (х) < #q/ (x) <Z
< βφ (х) при β < α + 1, гг положим
где яг есть целая часть β. 2?с/ш при х -*■ оо гглеееле / (#)/# (х) -*■ 1, то
<р(х)Л|) (ж) -*■ 1 при х -*■ оо.
304
/77". Дифференциальные уравнения
3. Приведенные в § 2 результаты могут быть использованы для установ-
ления полноты системы собственных функций и для установления асимпто-
тических выражений для собственных значений широких классов несамосо-
пряженных дифференциальных уравнений.
В качестве примера рассмотрим в области D, удовлетворяющей условиям
Ляпунова, уравнение с частными производными эллиптического типа
т т
Μλ(Μ)=Σ^^^+Σ^^+(Γ°+λΓ1+···+λ%)Μ=0> (8)
гД=1 г к г-l г
коэффициенты которого являются непрерывно дифференцируемыми функ_
паюшхцХъ, . . ., хт, причем pilt и ^действительны и rn> a, JJ Piklih^> PS £2
ъ D при а > 0, β > 0.
Теорема 5. Для уравнения М% (и) = 0 при граничном условии и = 0
гмгг \ pik —^- cos (iV, х^) — аи = 0, где а — непрерывная, комплексная функ-
ti dXi
ция точки границы области, а N — нормаль к границе D, имеют место
■следующие утверждения: » ·
1) система собственных и присоединенных функций η-кратно полна;
2V \
2) собственные значения, расположенные в угле Jt^argX<^
^ 2ν + 1
<^ !—π, имеют асимптотические выражения
л (ν) / *т Ρ dXldx2...dxn γ*/ηη ·
I 2 Л J 1/ А(жь x2, . . . , л: ) J
2 2νπ
£0e am — объем единичной сферы т-мерного пространства и Δ (ж1? #2, · · ·
.. . ., жт) — определитель \ р^ |.
Отметим, что при тг = 1 часть теоремы, касающаяся асимптотических
выражений собственных значений, была установлена Карлеманом [1].
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений в ряде случаев
могут быть установлены более точные теоремы*
Рассмотрим уравнение
Μλ (и) = в(«> + Pl (я, λ) иО*-1) + . . . + рт-х (х, %) и' + (9)
+ [*«(*. λ)+ λη] «]=0,
где рк (х, λ) — полином от λ степени меньше, чем кп/т.
При некоторых ограничениях на граничные условия можно установить
я-кратную полноту системы собственных функций уравнения (9), а при
т <^ η — сходимость я-кратных разложений.
Для определенности укажем лишь случай граничных условий:
уОг) (о) = уФ) (1) -< (Λ = 0, 1 л — 1). (10)
Теорема 6. Система собственных функций уравнения (9) при гранич-
ных условиях (10) η-кратно полна.
При т^> η имеют место равномерно сходящиеся разложения
оо
0ν = Σ Σ 44-1, k (ν = 1, 2,.... л) ,.. (11)
i=i fc
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 305
для η произвольных дифференцируемых т раз функций, удовлетворяющих
граничным условиям.
При η = т существует подпоследовательность частных сумм разложе-
ний (11), которая равномерно сходится.
Отметим, что в случае η = 1 этот результат получен Биркгофом [2].
В случае η = т Я. Д. Тамаркин [3] установил ряд предложений о разло-
жении [одной функции в ряд по собственным функциям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Carleman Т. Ober die asymptotische Vereilung der Eigenwerte partiller Differential-
gleichungen.— Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. KL, 1936, Bd. 88,
S. 119—134.
2. Birkhoff G. D. One the asymptotic character of the solutions of certain linear differential
equations containing a parameter.— Trans. Amer. Math. Soc, 1908, vol. 9, p. 219—231.
3. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных диффе-
ренциальных уравнений. Пг.: Тип. М. П. Фроловой, 1917.
31
О ПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ*
Глава I
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе мы излагаем некоторые общие свойства линейных функцио-
нальных уравнений, которые нам понадобятся в дальнейшем. Мы не пре-
тендуем на полную новизну всех указанных в этой главе предложений,
однако ряд из них, по-видимому, в нужной нам форме нигде не отмечен.
Все рассмотрение мы будем вести в пространстве Гильберта ф, хотя
многие из результатов можно было бы изложить и в более общем виде.
1. Следуя общепринятому определению, элемент х (λ) гильбертова про-
странства будем называть аналитической функцией комплексного переменного
λ в некоторой области D плоскости λ, если в каждой точке D отношение
[х (λ + К) — х (X)]/h сильно сходится к некоторому пределу х' (λ).
Ограниченный линейный оператор Α (λ) называется аналитической функ-
цией λ в области D, если в каждой точке этой области отношение [Α (λ +
+ h) — A (k)]/h сходится по норме § к некоторому пределу Α '(λ).
* УМН, 1971, т. 26, вып. 4 (160), с. 15—41.
Эта статья была написана в 1950 г. Она содержит подробное изложение первой час-
ти работы «О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов ве-
самосопряженных уравнений», опубликованной автором в Докл. АН СССР, 1951, т. 77,
№ 1. Содержание статьи докладывалось в 1951 г. па заседании Московского математи-
ческого общества. Тогда же ее рукопись была предоставлена автором в распоряжение
ряда математиков.
20 М. В. Келдыш. Математика
306
/77". Дифференциальные уравнения
В дальнейшем будем использовать ряд достаточно очевидных свойств
аналитических функций х (λ) и Α (λ), не останавливаясь на их доказатель-
ствах. В частности, для х (λ) и Α (λ) имеет место теорема Коши об обращении
в нуль интеграла по замкнутому контуру и представление интегралом Коши.
Максимум || х (λ) || и || Α (λ) || не достигается внутри области аналитичности.
В окрестности изолированной особой точки имеют место разложения
—оо
-^-Σ ρ£τ· (2)
—оо
сходящиеся по норме локально-равномерно относительно λ.
Особая точка с есть полюс, если разложение (1) (соответственно (2))
содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями (λ — с).
Если в D функции х (λ) и Α {λ) имеют в качестве особых точек лишь полюса,
мы их будем называть мероморфными функциями. Мероморфные х (λ) и
Α (λ) допускают представления
х (λ) = ъ (λ)// (λ), Α (λ) = Аг (λ)ΑΡ(λ), (3)
где / (λ) и F (λ) — числовые аналитические в D функции, а хг (λ) и Аг (λ)
аналитичны в D.
Функция х (λ) (соответственно Α (λ)) целая, если она аналитична во всей
плоскости. Порядком целой функции х (λ) (соответственно Α (λ)) называется
число
,. In In || л? (λ) || Λ. In Id ||Л (λ) || \
lim sup ! " \ ;" lim sup . " ; "'- .
,λ,->οοΡ 1η|λ| ν |λ|-*~ 1ηΙλΙ У
Мероморфная во всей плоскости функция х (λ) (соответственно Α (λ))
называется функцией конечного порядка р, если в представлении (3) в каче-
стве хг (λ) и / (λ) (соответственно Аг (λ) и F (λ)) могут быть взяты целые функ-
ции порядка ρ и не могут быть выбраны функции порядка ниже р.
Опираясь на одну известную теорему Адамара, легко доказать следую-
щее предложение: если мероморфная функция х (λ) (соответственно Α (λ))
порядка ρ есть целая функция, то порядок целой функции равен р.
Отметим еще, что для функции х (λ) (соответственно Α (λ)) имеет место
теорема Линделефа: егли на сторонах угла \ arg λ | ^ α функция х (λ)
удовлетворяет неравенству \\ х (λ) || < 1, а внутри угла \\ х (λ) || <
< Се ехр (ε | λ |π/2α), то всюду внутри угла \ х (λ) || <; 1.
В дальнейшем через Α* (λ) будем обозначать оператор, сопряженный
с Α (λ). Если оператор Α (λ) аналитичен при λ = с, то Α* (λ) аналитичен
при λ = с.
2. Оператор Α (λ) будем называть вполне непрерывным в области Dr
если он вполне непрерывен в каждой точке D.
Если оператор Α (λ) вполне непрерывен в окрестности изолированной
особой точки λ = с, то коэффициенты в разложении (2) также вполне не-
прерывны. Это непосредственно следует из того, что коэффициенты
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 307
разложения (2) определяются интегралами
А" = ΙΕΓ §Α Μ (λ ~ с)"(п+г) dX>
и, следовательно, заменяя интеграл конечными суммами, мы представим Ап
как предел равномерно сходящейся последовательности вполне непрерыв-
ных операторов.
Вполне непрерывный оператор, являющийся аналитической функцией
в области Z), обладает следующим свойством.
Если λ изменяется на ограниченной замкнутой части F области Ζ),
а элемент х принадлежит ограниченному множеству X гильбертова про-
странства, то множество элементов Α (λ) х компактно.
В самом деле, из любой последовательности Α (λη) хп при λη £= F, хп ΕΞ X
можно извлечь подпоследовательность Α (λη ) хп так, чтобы λη сходи-
лись к точке λ0 множества F. В окрестности точки λ = λ0 оператор Α (λ)
разлагается в ряд по степеням λ — λ0:
Α (λ) = Α0 (λ0) + (λ - λ0) Ar (λ0) + . . .,
причем все коэффициенты Α* (λ0) являются вполне непрерывными опера-
торами; применяя диагональный процесс, из последовательности хп мож
но извлечь подпоследовательность х > так, чтобы все последователь-
ности Аъ (λ0) х ' сходились; легко установить, что последовательность
ρ
Α (λη') хп' будет сходящейся, что и требовалось доказать.
Пользуясь ортогональной системой координат, введем матричное пред-
ставление оператора у = Α (λ) х:
оо
Уг= Σ <Μλ)^. (4)
Тогда установленное только что свойство вполне непрерывного оператора
эквивалентно следующему.
Если вполне непрерывный оператор Α (λ) есть аналитическая функция λ
в области D, то для каждого замкнутого множества F, принадлежащего D,
можно указать последовательность положительных чисел εη, стремящихся
к нулю, для которых выполняются неравенства
ОО ОО ОО
Σ i Σ aikxk I* < en 2 I ** I2-
OO OO OO
Σ Ι Σ aikxk |2 < en S I xk |2.
Второе из этих неравенств есть следствие полной непрерывности Α* (λ).
3. Оператор R (λ0) называется резольвентой оператора Α (λ0), если
[Е + R (λ0)][Ε - Α (λ0)] = Ε, (6)
где Ε — единичный оператор.
Если только резольвента существует, то R есть также вполне непрерыв-
ный оператор, так как из (6) следует R = (Е + R) А. Легко устанавливает-
ся следующее предложение.
20*
308
777". Дифференциальные уравнения
Если Α (λ) есть вполне непрерывный оператор, аналитически зависящий
от λ в области D, и существует резольвента Α (λ) при λ = λ0, то резоль-
вента существует во всей области D, за исключением множества изолиро-
ванных точек, и является мероморфной функцией λ.
В самом деле, рассмотрим уравнение
х = Α (λ) х + f (7)
или в ортогональной системе координат
оо
*1=Σβ«(λ)*» + /{. (8)
Обозначим через !рР подпростанство (хг, х2, . . ., хп, 0, 0, . . .), через
{QPl подпространство (0, . . ., 0, хп+п хп+ъ, . . .) и через Ρ и Р± проекцион-
ные операторы, соответствующие этим пространствам. Пусть теперь Δ —
произвольная, замкнутая подобласть Ζ), содержащая λ0, а ε19 ε2, . . . —
числа, соответствующие области Δ в неравенствах (5). Выберем η столь
большим, чтобы εν^ < 1. Первые η уравнений системы (8) запишем в виде
Рх = РАРх + РАРЛх + Pf, (9)
а остальные уравнения (8) в виде
Ргх = РхАРх + ΡλΑΡλΧ + Pxf; (10)
по предположению || РХА || < епП в Δ, поэтому оператор Ε — РгА в облас-
ти Δ имеет резольвенту Ε + Sx = Ε + ΡλΑ -j- (Ρ\Λ)2 + · · ·» являющуюся
аналитической функцией λ, норма которой не превосходит (1 — εη+1)"1.
Уравнение (10) эквивалентно следующему:
Рхх = (Е + S,) Р.АРх + (Е + SJ PJ, . (И)
а уравнение (9) можно заменить уравнением
Рх = РА [Е + (Е + S±) РгА] Рх + Ρ [Е + А (Е + S±) PJ /. (12)
Полученное соотношение представляет собой систему алгебраических
линейных уравнений относительно хх, х2, . . ., хп, коэффициенты которых
являются голоморфными функциями λ в Δ. Определитель этой системы dn (λ)
отличен от нуля в точке λ0. В самом деле, так как оператор Ε — Α (λ0)
имеет резольвенту, уравнение (12) должно иметь решение при любом /,
а следовательно, при произвольном свободном члене. Поэтому алгебраи-
ческая система уравнений относительно х1ч х2, . . ., хп имеет решение вида
Рх= -TJU SP[E + A(E + 6\) Рг] U
где S (λ) — оператор, аналитически зависящий от λ, и дп (λ) — голоморф-
ная функция λ. Для решения (7) получаем
х = Рх + ΡλΧ = (Ε + R) f,
где
E + R==4JX)lE + (E + Ji) PiA\{SP[E + A(E + S±) P]}.
Имея в виду, что все операторы, входящие в правую часть, являются ана-
литическими функциями λ, заключаем, что в Δ резольвента" существует
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 309
везде, кроме конечного числа точек, в которых dn (λ) = 0, а корни dn (λ)
являются полюсами резольвенты. Это доказывает высказанное предложение.
Заметим еще, что если R (λ) есть резольвента Α (λ), то Л* (λ) есть ре-
зольвента Α* (λ).
4. Если существует нетривиальное решение уравнения у = А (с) у, то,
по определению, у есть собственный элемент, ас — собственное значение
оператора Α (λ). Элемент ук мы называем присоединенным элементом по-
рядка к к собственному элементу у, если ук получается в результате реше-
ния цепочки уравнений
у = А(с) у,
л i \ I I дА(с)
(13)
л / ч , 1 дА (с) , ,1 дкА (с)
Будем говорить, что г/, уг, у2, . . . образуют цепочку присоединенных
элементов.
Известно, что для вполне непрерывного оператора при заданном соб-
ственном значении число линейно независимых собственных элементов
конечно. Ниже мы покажем, что в случае, когда резольвента Α (λ) есть
мероморфная функция λ, порядок присоединенных элементов не превос-
ходит порядка полюса резольвенты при λ = с.
Заметим, что в случае, когда Α (λ) есть полином относительно λ:
Α (λ) = А0 + ХАХ + . . . + λΜη,
то
и (t) = ect (i/fc + -fl-ifo-i + ... + 4г У)
удовлетворяет уравнению
и = А0и + Лг — + ...+Ап—^ .
Пусть у — собственный элемент. Обозначим через т максимальный
порядок присоединенных к у элементов. Число т + 1 будем называть крат-
ностью собственного элемента у.
Канонической системой собственных и присоединенных элементов при
λ = с
0<*>.»?\....уЯ£ (A: = 1,2,...) (14>
будем называть систему, обладающую следующими свойствами:
1°. Функции i/(fe) образуют базис подпространства собственных элемен-
тов, соответствующих λ = с.
2°. у№ есть собственный элемент, кратность которого достигает воз-
можного максимума т1 + 1·
3°. у№ есть собственный элемент, не выражающийся линейно через-
уЮ, . . ., z/(fc-1), кратность которого достигает возможного максимума тк + 1^
4°. Элементы (14) образуют цепочку присоединенных элементов.
Отметим два очевидных свойства канонической системы элементов.
310
777. Дифференциальные уравнения
Произвольный элемент порядка h есть линейная комбинация элементов
у{р при / < h.
Кратность собственной функции сху^ + . . . + cvy^ при cv Φ- 0 рав-
на mv + 1.
Числа m1? m2, ... не зависят от выбора канонической системы. Число
iV == /тгг -f- 1 -f- /7г2 + 1 + - . - будем называть кратностью собственного
значения λ = с.
5. Пусть у, z — два элемента ф. Условимся обозначать через yz опе-
ратор, определяемый равенством
Bf = (/, z) у.
Легко видеть, что (yz)* = zy, а след оператора yz равен (у, z).
Отметим теперь следующее свойство резольвенты вполне непрерывного
оператора.
Если λ = с есть полюс резольвенты, то с есть собственное значение опе-
ратора Α (λ), а главная часть резольвенты при λ = с может быть пред-
ставлена в виде
(15)
где y{k\ yf\ . . ., y^l (Λ = 1, 2, . . .) — произвольная каноническая систе-
к
ма оператора Α (λ) при λ = с, α Ζ&\ z[\ . . ., z^l — некоторая кано-
ническая система оператора Α* (λ) при λ = с, определяемая единственным
образом при задании системы i/(fc>, у^\ . . ., i/^.
Пусть главная часть резольвенты при λ = с имеет вид
До #1 , R
+
m-l
(λ-с)'" ' (λ-c)™-1 ' '" ' λ-c ·
В силу (6) имеем R = AR + А. Подставляя сюда разложение R при λ = с
ж сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ, получим
R0 = A (с) R0,
Ъ = А(с)Ъ+Ц^По, (16>
Лт_1 = А(с) R^ + .. ■+(т_1), дст_1 До·
Имея в виду, что R* (λ) есть резольвента Α* (λ), можем также написать
R$ = A*(c)Rt,
В* /l*/-\ D* I * дА*(ё) п*
R1=A*(c)R1+-w^-LR0, (16#>
Д^ = Л* (с) Д^ + ■ . ■ + (т _ 1у / До ·
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 311
Пусть у, Уц . . -, yh — цепочка присоединенных элементов. Положим
1b_[*_^WJ[_iBr + _E7 + ... + Tb_]. (17)
В силу равенств (13) элемент ηΛ не имеет полюса при λ = с и поэтому яв-
ляется голоморфной функцией λ в D. Если г/7· = yf\ где у]к) — элементы
канонической системы, то мы будем обозначать выражение (17) через ηΜ.
Докажем, что кратность собственного элемента не превосходит иг, где
т — порядок полюса резольвенты. В самом деле, из (17) следует
^^ + ^ + --- + T^ = iE + RM]^ <18)
Имея в виду, что v\h (λ) голоморфна, а порядок полюса R (λ) равен т, на-
ходим h <^ т — 1. Покажем теперь, что
R0 = ya)z(D + z/(2>z<2> + . . . + i/(Vo)z(v„), (19)
где yW, г/(2), . . ., i/(v») — все собственные элементы канонической системы
кратности иг, a z(l\ z(2\ . . ., z<v°) — система линейно независимых собст-
венных элементов оператора Α* (λ) при λ = с, определяемая единственным
образом.
Из уравнений (16) следует, что при любом х элемент R0x есть собствен-
ный элемент кратности не меньше иг, а, следовательно, равной иг. Поэтому
R0x = сгуО) + . . . + Cvj,(v.>.
В силу линейной независимости yW ck является линейным функционалом
от х, и, следовательно, единственным образом можно определить z^ так,
чтобы ск = (х, z<fe>), а поэтому R0 имеет форму (19). В силу независимости
у№ мы можем х подобрать так, чтобы было (у®\ х) = 1 и (y(i\ x) = О
при / φ к. Тогда R*x = z^), а это на основании (16*) позволяет заклю-
чить, что zW есть собственный элемент Α*(λ) при λ = с кратности, равной иг.
Чтобы установить линейную независимость z^\ положим yt = Уг в
равенстве (18). Сравнивая коэффициент при (λ — с)~т, получим
вт-1,Л»№>=3(Л?>(с)^0))У0).
3=1
и в силу независимости у^)
(η£° (с), *<Л) = 8kj8m-h h (; < ν0), (20)
полученные соотношения доказывают линейную независимость z^\
Установим теперь, что
я,· = Σ (г/(к)4"° + г/f 4*1 + ...+ у№) +
fc=i
vt ' ^
+ Σ №№ + ...+ V&z<fi) + ...+ Σ у™*™, (21)
fr=V0-fl fe=V|_1fl
причем '
312
777. Дифференциальные уравнения
1) 2/(V/~1+1\ y^l~1+2\ . . ., yiVl) — все собственные элементы выбранной
канонической системы, имеющие кратность т — Z;
2) при vz_t <С к ^ ν^ z(fe), 4Л), . . ., zp есть цепочка присоединенных
элементов сопряженного оператора при λ = с; элементы z№ линейно не-
зависимы;
3) имеет место система равенств:
(^)(c),z0)) = 6l!j8m.h (/<v,),
(η?} (с), £) + (^ Ιτ ^ (с), *°>) = M«ri. fc У < n-i), (22)
<пг w. «h+(44 4fc) w. «a)+■ · ■+(-H* ^ <<>· zG))=m»
a<v0).
Мы предположим, что высказанное положение установлено при i <
<Ζ ρ *^ т, и установим его при £ = /?. Положим при ν > О
i?p+v = § <»?М*> + · · · + »&*<*>) + Σ (j#M*i + · · · + yf+U<*>) + · · ·
fr=l fe=V0+l
vp-l
...+ Σ ^W + Jv. (23)
Если x — произвольный элемент ф, то на основании (16) легко убедиться,
что элементы z/v = Svx (v = 0, 1, 2, . . ., т — ρ — 1) удовлетворяют це-
почке уравнений (13) и, следовательно,
VP
fc=i
В силу независимости у№ коэффициенты являются линейными функцио-
налами #, и мы можем положить
причем элементы Zjfe), входящие в эту формулу, определяются единствен-
ным образом.
В силу (23) и (24) оператор Rp может быть записан в виде (21) при i = ρ
и выполняется свойство 1. Остается установить при i = ρ свойства 2 и 3.
Умножая (р + 1)-е уравнение системы (16*) справа на х и учитывая, что
при i < ρ свойство 2 выполняется, получим
i = 0 fr=V/_j_
1 <Τ*Α·Μ ■
(ρ - J)i dcP"'
>)=0,
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 31$
откуда в силу независимости элементов у®)
Ж _ А* (д) -(*> . ■ 1 дР~1А*(с) к)
Ζρ-1 — Λ WZ^ + ... +_____ ZW
при ν^_! <С к ^ Vi. Имея в виду, что z<k\ 4*\ · · ·, zjS-i образуют цепоч-
ку, заключаем из полученного соотношения, что z^\ z^\ . . ., Zpli также
образуют цепочку.
Установим теперь свойство 3 при i = р. Положим в (18) у = у№ и при-
равняем коэффициент (λ — с)~т+р в правой и левой частях. Используя уже
известные выражения для Ri при i <^ р, а также равенства (22) при i =
= ρ — 1, получим следующее соотношение:
£ {(ч^ w. 4j)) + 4- (4 !# <* 4-0 + ■·.·.+. тг (■&№ <с>·zU))} у*+
3=1
+ Σ № <<*z^)+-J- {-i ^ <«>·z-*)+· · ·
.7=V0+1
•. ■ + Σ (η^ {c)'zU))y0)=6m-p'шу{к)-
^=vp-l
В силу независимости у& отсюда получаем систему равенств, которые вместе-
с равенствами (22) при i = ρ — 1 дают полную систему равенств (22) для
i = p.
Вытекающие из (22) равенства
(< (с), *0>) = вЛ (/, к < vp)
доказывают линейную независимость элементов z*1), z(2), . . ., z(vp\
Формула (21) доказывает, что резольвента может быть представлена »
виде (15), причем z&\ zf\ ... — цепочка присоединенных элементов и
zW, z<2>, . . . линейно независимы. Остается доказать, что система соб-
ственных и присоединенных элементов оператора Α* (λ)
z<n,z?\...,z%k (14·>
каноническая. Для этого достаточно показать, что кратность собственных
элементов Α* (λ) при λ = с не превосходит т1 + 1 = т, а каждый соб-
ственный элемент кратности μ + 1 может быть выражен линейно череа
элементы z^k\ для которых тк ;> μ. Положим
где 2, z±, . . ., Ζμ, — цепочка присоединенных элементов, произвольного·
314
77/. Дифференциальные уравнения
собственного элемента кратности μ + 1. Функция ξμ (λ) голоморфна, и
idw^+T^F+---+^=[li+R'i^m-
(19*)
В силу голоморфности ξμ (λ) порядок полюса правой части не выше т и,
следовательно, μ + 1 <! иг. Приравнивая нулю коэффициенты при
(λ — c)~m, . . ., (λ — с)~^+2\ вычисленные на основании формулы (21),
и используя линейную независимость z(/f), получим последовательно системы
равенств
«μ (*).»<*)= О при 7<v0, j
(Εμ (*)> Уи)) = О ПРИ V0</<Vlf
(^(^yh + 4r(-^^(i))=0 при /<v°'
Используя эти соотношения и приравнивая в (19*) коэффициенты при
{λ — c)~(Ll+I), найдем
- = Σ{(Ws).Λ-i) + · · · + („-μ-Β, (^-1?) ·*(i))}z<"° + · · ·
ν?η-μ-2 vm-u-l
···+ £ {(εμ(^»?)) + -^(-^-.^>)}^)+ ^ (^(5)'^"))Ζ№)·
ντη-μ-3+1 ντη-μ-2+1
Это доказывает представимосгь z через z<fc) с тк^ μ, так как при v^x <
< & ^ Vi имеем тк = т — i — 1.
В дальнейшем мы будем использовать следующее следствие, вытекающее
на основании простых вычислений из выражения (15) для резольвенты.
Пусть ξ (λ) — элемент §, являющийся голоморфной функцией λ в ок-
рестности полюса λ = с резольвенты R (λ). Главная часть R (λ) ξ (λ) мо-
жет быть записана в виде
VL y{j) · η Г y{j) , № Ι ,
2j \αλ mj Τ^Τ -τ fli. V [(λ-Ο» + Γ=7 J + · · ·
(j)
* ' г + ··· + π l· (25)
.. . + α it 0
тде
L (λ — c) J (λ —с) J
aj0 = (l (с), zW),
ajl = (i(C),z<'>)+^(^-,z<i)), (26)
В силу линейной независимости i/<fr> легко убедиться, что выражение (25)
обращается в нуль только тогда, когда все ajft = 0.
6. Пусть вполне непрерывный оператор Α (λ) является аналитической
функцией в области D. Резольвента R (λ) является мероморфной функцией.
HI. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 315
Для каждого полюса резольвенты построим каноническую систему соб-
ственных и присоединенных элементов. Совокупность всех цепочек вида
(14), соответствующих всем собственным значениям Α (λ) в D, будем назы-
вать канонической системой собственных и присоединенных элементов опе-
ратора Α (λ) в области D.
Мы будем пользоваться единой нумерацией для всех цепочек (14), вхо-
дящих в каноническую систему Α (λ).
Каждой цепочке канонической системы у(к\ у&\ . . ., у№ оператора
к
Α (λ) отвечает цепочка канонической системы z&\ z[\ . . ., 4? оператора
Α* (λ), определяемая формулой (15).
Отметим следующее предложение.
Цепочки собственных и присоединенных элементов канонической системы
юператора Α (λ) в области D удовлетворяют следующей системе равенств:
(4{P(c}),zU)) = 6,}*mrk,
(ηΓ (с}), z[JY+ -i- (Α η£> (Cj). zlb) = 845mrl> h,
' (27)
чХ (cj. *i?p + 4r (~i лР (cj). *S?J + · · · + ^j И£ чЗР (с,). *<'>) = м·^
* ^ ' j' ^ dc J '
zde yW — собственный элемент, принадлежащий собственному значению Cj, a
При с;- = ск формулы (27) вытекают из (22). Если с;- φ ск, то
*<*> ,
(λ-^)"+1 '
1 ^ I
1 (λ-^)Λ ' ···
, #»
' λ-cj
голоморфно при λ = с7·; поэтому при ξ (λ) = η^ (λ) выражение (25) об-
ращается в нуль. Приравнивая нулю коэффициенты (26), получим форму-
лы (27).
7. В силу изложенного в п. 5 главная часть резольвенты относительно
полюса λ = с есть вырожденный оператор, представляемый в виде ILuv,
где и и ν — элементы гильбертова пространства §. Если В (λ) — опера-
тор, голоморфный при λ = с, то легко убедиться, что главные части опера-
торов В (λ) R (λ) и R (λ) Β (λ) также будут вырожденными операторами.
Поэтому может быть однозначно определен след операторов, представляю-
щих собой главные части В (λ) R (λ) и R (λ) Β (λ). След вырожденного опе-
ратора Еш;, очевидно, равен Σ (и, ν).
При исследовании собственных значений оказывается полезной сле-
дующая теорема.
След главной части оператора —-^- R (λ) для полюса λ — с равен
N/(c — λ), где N — кратность собственного значения λ = с оператора
Α (λ).
316 7*77. Дифференциальные уравнения
В силу (6) имеем
Поэтому главная часть оператора —-^—- R (λ) равна главной части В (λ) =
= [Ε — Α (λ)] 37? (λ)/3λ. Из выражения (15) получаем для главной части
dR (λ)/3λ
уЩЪ + yWzft+... + yPzto
(к) г=о νΛ с)
mfr /frx (к) Ι7(*)
= _V Y Г у 1 У1 1 -4-^1 х
х i
(λ-с)1
[(λ-cf1 +···■+ λ-cj'
где сумма распространяется на все к, для которых yW есть собственна»
функция при λ = с. Из последнего выражения вытекает, что главная часть
оператора В (λ) совпадает с главной частью оператора
<Л) г=0 v ' v '
След главной части полученного оператора, очевидно, равен
ςςΓ£
^ 0 ν
Г^7 )'
\h) i=o
(λ-Γ)1+1 + (λ-c)1
и в силу (27) последнее выражение равно
тк
™к + 1 N
7 I / Ι λ — С 2mJ
с — λ с — λ*
(/f) г=о {к)
8. Рассмотрим цепочку (14), входящую в каноническую систему соб-
ственных и присоединенных элементов оператора Α (λ). Производными
цепочками мы будем называть цепочки вида
* " - [£е'к' (""+·& τ+- + "" т) L · <28>
Определение. Система собственных и присоединенных элементов,
оператора Α (λ) называется η-кратно полной, если любая система из η эле-
ментов /о, /i, . . ., fn-i может быть представлена как предел линейных
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 317
комбинаций
/v,*=SS*2WFiV) (v = o,i,...,*-i) (29)
fc=l (Л)
«с коэффициентами, не зависящими от v.
В частности, в случае η = 1 это определение совпадает с обычным опре-
делением полноты системы всех собственных и присоединенных элементов.
Заметим, что в случае, когда кратности всех собственных элементов равны
N
единице, разложения (28) имеют вид /ν> Ν= 53 arpclyik). Прием, ведущий
свое начало от Пуанкаре, позволяет установить следующее предложение.
Пусть Α (λ) есть целая функция λ и решение уравнения
y = A(%)y + f
при /, не зависящем от λ, удовлетворяет условию
4λ)||μλ| = ο№η+2). (30)
111 г/'
где Cj — фиксированная система замкнутых кривых, таких, что на Cj вы-
полняется Qdj < | λ I < dj, где 0 < θ < 1 — постоянная, a dj —> оо.
Для произвольных η элементов /0, /1? . . ., /п_х им,еют место разложения
/v = limSSa«,v) (31)
7—*> С. (Л)
г^ ν J
е смысле сильной сходимости, причем внешняя сумма распространяется на
собственные значения, расположенные внутри Су. , ? ·
Рассмотрим решение уравнения д^
у = Α (λ) у + g0 + glk + . . . + gn-^-K · - · (32)
В силу (30)
S IIг/WII\dkI = o(<у.
Имея в виду, что г/ (λ) является мероморфной функцией λ, и перенося хо-
рошо известные рассуждения из теории функций, получим
у (λ) = lim 53 ω (λ, ck)f (33)
где ω (λ, cfo) — главная часть у (λ) относительно полюса ск.
Пусть /0, /1? . . ., /п_! — система η произвольных элементов. Положим
g(k) = lE-A (W-fn-i + λ/η-2 + · . · + (-lr^-Vol =
= go + λΛ + λ«Λ + . . . (32*)
Решение уравнения (32) тогда имеет вид
у (λ) = -/„_, + λ/η_2 + . . . + (-1)«-Ιλ«-7ο + · · ·, '
318
/77. Дифференциальные уравнения
так как η первых членов разложения решений уравнения (32) и (32*) долж-
ны совпадать. Используя (33), получим
fdn~v'^ (λ, ск) >
cj
причем на основании (25), полагая ξ (λ) = g0 + ^λ + . . . + ^n_^n_1r
(7l_v_l)i ^ ^n-v-l Д=о
("-ν)! y^-i , / r.m, (w-v + ififc-l)! y№) \
l!(rc — ν — 1)! c?i-v+l "T" " ' · "t" V / (и —v —1)J/raj n-v+mk 1*
#0 / cfr — α™^'
v(*>
Положим
«г/с?=<-!-(;)«<:
mk
Тогда предыдущее выражение приведется к виду 5j «л0©/?' ν\ причем
h I
ωΛ - 2j №-** (- 1) 2j (w,v,i)!(f,0l (- 1) [i ) ·
Вычислим внутреннюю сумму
I
г=0
(-1/ /dn-v-l Л (_1){/η г..,_Л
(д - ν -1)! V dx*-*"1 Z-i К }\i) λ=1'
Полученное справа число равно вычету относительно бесконечно удаленно»
точки выражения
J
_fclLZ(_1)1(r)t,-,,-M,
(τ-1)
ν ' г=0
который, в свою очередь, равен вычету функции
irr^ Σ (~i ]i (Г) τη~ν+'~'~1=(-1)1 τ^(τ - 1)ν·
(τ- ,
так как при Ζ > η две последние функции совпадают, а при I < га их раз-
ложения около бесконечно удаленной точки отличаются только членами
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 319*
с положительными степенями т. Вычет полученной функции равен Ы, и
поэтому
Л
,rt(*. V) _ V (V) 7/(^ гУ~1 — ,/*' V>
1 = 0
Таким образом,
1 / и»-*-*.
(n —v —1)!
что доказывает высказанное предложение.
9. В дальнейшем мы будем рассматривать случай, когда
Α (λ) = А0 + Α,λ + . . . + Αηλη. (34>
Мы установим соотношения биортогональности, которым в этом случае·
удовлетоворяют системы производных цепочек у$\ *//£'1} , · . ., У%' η_1)·
Прежде всего заметим, что в рассматриваемом случае
есть полином относительно λ степени η — 1. В самом деле, ξ,!* (λ) голо-
морфна при всех λ, а при λ —> оо имеем в силу (34) || ffi (λ) || = О (| λ Ι71"1')*
Положим
• ^-Λ=^·ο)+λα"·1)+..-+λη-1^·η-1) (35>
и воспользуемся соотношениями, аналогичными (27) для сопряженного опе-
ратора, которые получаются из (27) заменой η, z, с на £, у, с. Легко убе-
диться, что таким образом мы получим следующие соотношения биортого-
нальности:
71-1
ν=ο
Σ(ω*,ν).#ν)) = Μ„. (36)
Из этих соотношений непосредственно вытекает следующее предложение.
Для оператора вида (34) может существовать лишь единственная си-
стема разложения η элементов /0, Д, . . ., fn^1 вида
/ν=ΣΣ«·ν) (v = o,i n —i).
k=i (Λ)
Коэффициенты этих разложений определяются формулами
α^ = ηΣ(!ν,φν)). (37)
V=0
Замечание. Рассмотрим гильбертово пространство ξ)71, состоящее
из систем η элементов (х(°\ х^\ . . ., х(п~^) с нормой
[||a(0)ll2 + ll*(I)lla+ · · · + II rfn_1> II2 ]1/s.
320
III, Дифференциальные уравнения
Очевидно, что тг-кратная полнота системы собственных и присоединенных
Функций есть полнота системы векторов U^ = (*//f'°\ у{нЛ) » · · ·» *//?'η-1))
в простренстве §п. Изучение оператора (34) в пространстве § может быть
сведено к изучению оператора, содержащего λ в первой степени, в простран-
стве §п, компоненты которого определяются формулами
(Ло*(°> + λ μ^°) + А&т+ . . .+μητ(η"1)), λ*(°>, λ*ω, . . ., ЛяС1"1)). (38)
Отмеченные выше свойства оператора (34) могут быть выведены из со-
ответствующих свойств операторов, линейно зависящих от λ. Однако ре-
зультаты дальнейших глав будут тесно связаны с частной формой (38) или
{34), поэтому мы предпочли и в этой вводной главе принятый способ изло-
жения.
Отметим, что каждый линейный оператор Ж в пространстве §п может
быть записан в виде
yii) = "5 K5ix® (У = 0,1,..., η — 1),
г = 0
где Kji — оператор в пространстве §. Оператор CfC мы будем изображать
матрицей || ΑΓ^||.
Глава II
ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ
10. В настоящей главе мы доказываем теорему об га-кратной полноте
системы собственных и присоединенных элементов для одного класса функ-
циональных уравнений. Эта теорема может быть положена в основу дока-
зательства предложений о полноте системы собственных функций широких
классов несамосопряженных уравнений.
Пусть Η — вполне непрерывный самосопряженный оператор. Собствен-
ные значения уравнения
х = Шх (39)
будем обозначать^ ht, а ортогонализированные собственные элементы xt.
Если Hxi = 0, то hf = оо.
Если система собственных элементов (39) при λ Φ оо полная, будем
называть оператор Η полным. В этом случае все ht конечны.
Нижнюю грань чисел р', для которых
У —1~^<+ос,
будем называть порядком ρ оператора Н. Очевидно, что в случае, когда
порядок ρ оператора Η конечен, при т ^> (2р)-1 абсолютная норма оператора
Нт конечна.
Через Ша\ а ^> 0, будем обозначать самосопряженный оператор, имею-
щий собственные элементы xt при собственных значениях | ht |α.
Докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть Η — полный, самосопряженный, вполне непрерыв-
ный оператор конечного порядка, А0, А1ч . . ., ^4n-i — произвольные вполне
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 321
непрерывные операторы. Для каждого из уравнений
у = (А0 + λ# (1/'% + ... + %п-1Н((п-1),п)Ап_х + ληΗ) у, (40)
у = (At + λ4?Да/"> + ... + λ""1 AUHan-1),n) + К"Н) у , (40*)
система собственных и присоединенных элементов η-кратно полна.
Собственные значения уравнений (40) и (40*) асимптотически прибли-
жаются к лучам
arg λ = νπ/η (ν = 0, 1, . . ., 2η — 1).
В частности, при η = 1 из сформулированной теоремы следует полнота
системы собственных и присоединенных элементов уравнения у = Ау + КНу.
Доказательству сформулированной теоремы предпошлем ряд вспомо-
гательных предложений, которые будем использовать и в дальнейшем·
11. Лемма. 1. Пусть Η — вполне непрерывный самосопряженный опе-
ратор, такой, что Нт имеет конечную абсолютную норму, К1ч К2ч . · .
ρ
. . ., Кр — ограниченные операторы. Оператор К = [[KiHm'1, тх + Щ +
1
+ . . . + mv = т, имеет конечную абсолютную норму N (К), причем
N (К) < || Кг\\ \\К2\\... || Кр || N (Нт)· (41)
Обозначим через ht собственные значения Н; имеем
N(Hm)=V^fh2m.
Заметим, что если оператор А ограничен, а В имеет конечную абсолютную
норму, то
N (АВ) < || Л || N (В).
В самом деле, обозначая через || ailt || и || bik || матрицы А и В в ортогональ-
ной системе координат, получим
ν» (АВ) =Σ ΙΣ aisbsj |2= 2 (Σ I S*iAi I2) < Σ ИII2ΣΙ ь„ |2 = \а ψ ν* (В).
ij s (j) г s (j) s
Отсюда непосредственно следует, что лемма верна при ρ = 1. Допуская,
что лемма верна при ρ — 1 сомножителях, докажем ее для ρ сомножителей.
Положим
К' = Hmi Π К{Нтг, К" = Π К{Нт^Кр
и выберем в качестве системы координат систему собственных элементов
оператора Н; тогда .
№ (К) < || Кг |» N* (К') = || Кг |> £ | Кц ρ = || К, |> £ \^ ·
В силу теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом
1 < тЛ 1 , тР 1
1МтЧ^Гр Wl + % |л.Г1+тор mi + mP \hs\n
j
21 Μ. В. Келдыш. Математика
322
777. Дифференциальные уравнения
поэтому
#2 (К) < ^— II Кг ||2 V ^- + —^—1| Кг ||2V
Л
7711 II JF\ II2 /V2 / /Г"* |7™i+™i\ , mp
• || #! ||2 TV2 (K"*Hmi+m*) Η J— || K± ||2 iV2 {K"Hm*mv).
ml + ™p " " V ' ' ™i + mp
К каждому из полученных слагаемых применим лемму для ρ — 1 сомножи-
телей, тогда получим неравенство (41).
В случае, когда Η — несамосопряженный оператор, при т = 1 лемма
остается верной. Легко убедиться, что при т > 2 она уже не верна. В самом
деле, пусть все элементы матрицы, исключая й2т, 2&+2> равны нулю, а
^2fr+i, 2fr+2 = 1 и все элементы К, исключая K2j+2)2j+n равны нулю, а.йГ2/+2, 27+1 =
= 1; тогда при т > 2 имеем Нт = О и, следовательно, N (Нт) = 0. С дру-
гой стороны, например, (КН)2 есть диагональная матрица с нечетными эле-
ментами, равными единице, а с четными — равными нулю, и, следовательно,
N {(КН)2) = оо.
При доказательстве последующих предложений будем использовать
теорему Шура [1]: сумма обратных величин квадратов модулей соб-
ственных значений оператора λΚ не превосходит квадрата абсолютной
нормы К, а также следующее предложение (см. [2, 3]).
Если оператор К имеет конечную абсолютную норму, то резольвента
λΚ может быть представлена в виде
Ε + R(k) =D (λ)/Δ (λ),
где D (λ) — операторная функция, удовлетворяющая неравенству
α Δ (λ) выражается через собственные значения оператора λΚ формулой
Δ (λ) = Π (1 - λ/λ;) exp (λ/λ,·).
Теорема. Пусть К = ΚΧΚ2. . . Kq, где Кг, К2, . . ., Kq — вполне
непрерывные операторы. Если операторы KtKi+l. . .Ki+p (Kq+j = Kj) имеют
конечные абсолютные нормы, то собственные значения оператора λΚ удов-
летворяют неравенству х
а
<тЕ^2(ВД+1-'-*1+г))' (42)
\K\*vlq
а резольвента оператора К выражается в виде
Д (λ) = Д (λ)/Δ (λ), (43)
где D (λ) — целая операторная функция порядка 2p/q, a
где т — наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству т < 2p/q.
1 При ρ = 1 сходимость ряда, стоящего в левой части, без указания верхней грани для
его суммы была установлена С. Г. Чангом [4].
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 32
В пространстве $$д (см. п. 9) введем оператор
110 Κλ 0 0 ... 0 J
I о о к2 о ... о
ж=
Kq О 0 0 ... О
Оператор CfCv будет изображаться матрицей, у которой все члены i-й
строки, кроме члена, стоящего в (i + ρ + 1)-й колонке, равны нулю, а в
(* + Ρ + 1)-й колонке стоит оператор KtKi+1. . .А^г+р. Отсюда легко ус-
мотреть, что
1=1
(44)
Обозначим через Л (λ) резольвенту уравнения
х =~- ККх + /, (45)
а через Щ и Л (λ) — единичный оператор в §? и резольвенту уравнения
ξ = μΜξ + φ. (46)
Расщепляя уравнение (4δ) на q уравнений в пространстве ф, положив
Φ = (Λ/i, - - ·, /g-l),
я = μΛΓ^ + /,
Xl == \1&2Х2 \ J li
Xq-1 — \^KqX + /q-!,
можно свести решение уравнения (46) к решению уравнений вида (45).
Это даст следующее выражение для резольвенты (46):
» + Λ(μ) =
Q-1
μ«Π>.(* + /?(μ«)) ... μ»^ Π *i <* + *<!*«)) Π^ + μΜ Π*4
2 2 12
μ^ f[K.(E+R (μ9)) . . . μ«-« Д ^ (Ε + Л (μ?)) Д *Ч + μ9"3 Π Ki
3 3 13
AM
(47>
μΑΓ (Ε+Β (μ*)) . . . μ"Κ (Ε + R (μ*)) Π Κ. + £
Формула (47) показывает, что собственные значения (46) имеют вид у/~сч
где с — собственное значение уравнения (45). Покажем, что если с есть
собственное значение (45) кратности Ν, то каждое значение корня }/~с есть
собственное значение кратности N для уравнения (46).
21"
324
777. Дифференциальные уравнения
Для исчисления кратности собственного значения воспользуемся пред-
ложением п. 7. Пользуясь выражениями для матриц операторов Ж и Щ +
+ Л (μ), легко убедимся, что матрица оператора Ж \М + Л (μ)] имеет в
качестве диагональных членов операторы
ч ° '
μ*"1* (Ε + R (μ% μ*"1 ЦК^Е + R (μ?)) Къ . . .
2
...,μ^*ς(*+Λ(μ«))Π*|.
1
Поэтому след главной части оператора Ж \Щ -\- Я (μ)] при полюсе μ =
Я/-
= сг = у с равен следу главной части оператора
2 1
и, так как след главной части каждого из операторов, стоящих в скобках,
равен следу главной части 2 К [Е + R (μ*7)], нам надо вычислить след глав-
ной части q^q~xK [Ε + 7? (μ*7)], который в силу п. 7 совпадает с главной
частью при μ = сг выражения ςμ4~τΝ/(ο — μ*7), равной Л7(сх — μ). В силу
п. 7 отсюда следует, что кратность сх для уравнения (46) равна N.
Обозначим через Яр (τ) резольвенту уравнения
ξ = хХ*1 + φ; (48)
тогда из разложения при μ = 0 убеждаемся, что
g _f- ^ (μ) = {£ + μ«^ + ... + μ^-1^"1} {% + Яр (μρ)}. (49)
В силу (49) собственные значения уравнения (46) имеют вид с1 = у/ с2, где
с2 — собственное значение (48). Докажем, что кратность с2 равна сумме
кратностей собственных значений уравнения (46) вида самом деле,
пусть с17 с^, . . ., ε1ωρ_1 — различные значения у с2. Обозначим через N
кратность с2 для (47) и через п, пг, . . ., /гр_х кратности с1? с^, . . ., с1©р_1
для (46). В силу (49)
X [ё + Л (μ)] + а*» [Ш + Я (ωΧμ)] + ... + ω^Χ [8 + Μ (cup-iu)] =
. =Ρμ^1^Ρ1& + ^Ρ(μρ)1
Вычислим сумму следов главных частей левой и правой частей отно-
сительно полюсов с1? с^ц . . ., с^р_х, заметив, что в правой части мы мо-
жем определить сумму следов главных частей как след суммы, главных
частей. Применяя предложение п. 7, получим
Р-1
°V*j
ρμΡ^Ν'
fr4jQ ^ω^-ω^μ cp _ μ* '
откуда следует равенство
N = η + пг + . . . + пъ_л.
2 Это следует из равенства ел. (АВ) — ел. (ВА).
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 325
Обозначая через λ;·, μ;·, τ;· собственные значения (45), (46) и (48), с учетом
их кратности получим на основании изложенного выше и теоремы Шура
Σ fij^" < υ Σ й^ < т Σ "kf < τΝ2 {MV)
и, используя (44), получим неравенство (42).
Чтобы доказать вторую часть предложения, применим теорему Кар-
лемана к уравнению (48); тогда
PW 1Т(1-т/т.)ехр(т/т.)
i
где ЗЗр (τ) — операторная функция второго порядка.
Установленная выше связь между μ;· и τ показывает, что
причем в силу известных свойств бесконечных произведений каждый
сомножитель Π сходится и есть функция порядка не выше 2р. На основа-
нии (49)
2Р—1
25(μ)=[^ + ^(μ)]Π(1-^)βΧρ[3 -r(ir)] =
_ (% + V-CtC + - + μ^1^-1) Я>р (μΡ)
ρ-1 2ρ-1
М('-^М§ЛШ]
Полученное для 3) (μ) выражение показывает, что 30 (μ) есть мероморфная
функция порядка 2р, и, так как 3) (μ) не имеет полюсов, 3) (μ) есть целая
функция порядка 2р. Таким образом,
2р-1
где 3) (μ) — целая операторная функция порядка 2р. В силу установленной
выше связи между λ8· и μ7· имеем
п(.-^МР[|Ч(й>п(-е-[|+(т)']· <50>
где т — наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству т < 2/?/д.
326
777. Дифференциальные уравнения
Положим
Ζ)(λ) = [£+^(λ)]Π(1-^-)^ρ[|4-(^)']'
D (λ) есть целая функция λ. На основании (47)
l| g + Я (μ) || > || Ε + R (μ') ||, J
откуда, учитывая (50),
II D (λ) ||< || m (XV) и, (51)
следовательно, Ζ) (λ) есть целая функция порядка 2p/q, что доказывает
утверждение теоремы относительно представления (43).
Доказанная теорема и лемма настоящего пункта позволяют непосред-
ственно установить следующую теорему.
Теорема. Пусть Η — вполне непрерывный самосопряженный опе-
ратор, такой, что
Zj |л4|" ^^
К — ограниченный оператор. Собственные значения оператора λΚΗ удов-
летворяют неравенству
V4 1
<
,Мр -|*|ρΣ-π6*·· (52)
а резольвента оператора выражается в виде
Ε + Д (λ) = D (λ)/Δ (λ), (53)
где D (λ) — целая операторная функция порядка не выше р, а
л<ч-п(*ЧН[|Ж)']·
здесь т — наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству т < р.
В самом деле, выберем рациональную дробь, удовлетворяющую нера-
венству ρ <; p/2q ^ m + 1. Оператор Η мы можем считать положительным,
так как в противном случае теорему достаточно доказать для (KU'^iUH),
где U — унитарный оператор, переводящий Η в положительный. Приме-
няя предыдущую теорему к оператору тпру ((II К \\ H)1/Q)q и пользуясь
леммой настоящего пункта для вычисления правой части (42), получим,
что
! < н к fp/q V -
μ.|2Ρ/« \'ii и £j μ.jap/? »
a D (λ) есть целая функция порядка 2p/q. Имея в виду, что 2p/q можно вы-
брать сколь угодно близким к р, заключаем, что порядок D (λ) не превосхо-
дит ρ и выполняется неравенство (52).
Заметим, что более детальные рассуждения позволяют установить в
предположениях теоремы, что тип D (λ) — минимальный.
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 327
Отметим еще следующее следствие доказанного предложения.
Теорема. Пусть Η — вполне непрерывный самосопряженный опе-
ратор, такой, что
1МР
< <х>»
i.
К1ч К2, . . ., Кп — ограниченные операторы. Обозначая через λ;· собственные
значения уравнения
х = (кК.Н + λ2Κ2Η2 + . . . + ληΚηΗη) х, (54)
а через R (λ) его резольвенту, имеем
Zj i λ. |ρ ^ w Δ(λ) '
где D (λ) — операторная целая функция порядка р, и
4W-n (.-£)«» [24-(*Л.
где т — наибольшее целое числоч удовлетворяющее неравенству т < р.
Рассмотрим в пространстве фп операторы
#i #n ^n_i Кп-ъ ... ^2
О О Ε 0 ... О
0 0 0 Я ... О |, (55)
ЗС--
£•0 0
я о ... о
о я ... о
о 0 ... Я
о
(56)
Очевидно, оператор Μ самосопряженный и каждое собственное значе-
ние hi оператора Η порождает собственное значение кратности η оператора
Ж. Уравнение
ξ = %JX3t\ + φ
распадается на систему
х = λ (КпНх1 + Кп_хНх2 + . . . + КгНх) + /,
хг = 1Нх2 + /lf
(57)
(58>
a^-i = λΗΧ + /η_!.
Это позволяет выразить резольвенту уравнения (57) через резольвенту
328
777". Дифференциальные уравнения
уравнения (54)
E + R(X)
λη-1Ηη-1 (E+R (λ)) .
λη-2Ηη-2 (E+R (λ)) .
λΗ(Ε + R (λ))
^ г ^ \
. . λ""1^"1 (E+R (λ)) J lkKn_i+1(Hk + Я*"1 ...
Яп-2яп-2 (# + д (λ)) jj КкКп_шНк + ЯМ ...
.XH(E+R (λ)) 7, λ*Κη-1+Χ + Н'-П
(59)
где i = l, 2, . . ., гг — 1 и Я =0 при I < 0. Пользуясь выражениями
(55), (56), (59), легко установить, что для любого λ^ след главной части опе-
ратора ЖЖ (<о + Л (λ)) совпадает со следом главной части оператора
А№# +<рК2Н* + ... + ληΚηΗη).(Ε + Я (λ)).
Поэтому собственные значения (54) и (57) совпадают, и, следовательно, по
предыдущей теореме
Σ—1— <п||лг|| V —!—.
|λ.|Ρ^ и "^1|Л.|Р
С другой стороны, || Л (λ) ||< || 25 (λ) ||, где 3) (λ) = {g + Λ (λ)) Δ (λ),
что доказывает утверждение относительно порядка D (λ).
12. Лемма. Уравнения (40) и (40*) имеют мероморфные резольвенты
R (λ) u Д* (λ), допускающие представления
Д (λ) = Γ (λη) + Д (λ)(£ + Γ (λη)), ' ' (30)
Д* (λ) = Τ (λ'4) + (Ε + Τ (λΛ)) β* (λ), х ' (60*)
где Γ (λ) — резольвента оператора λΗ, α Β (λ) — вполне непрерывный ме-
роморфный оператор, норма которого в каждом угле
νπ/η + δ < arg λ < (ν + 1) η/η — δ (61)
стремится к нулю при | λ | —► οο равномерно относительно arg λ.
Заметим, что при доказательстве этой леммы мы не будем предполагать
конечности порядка Н.
Доказательство леммы достаточно провести для уравнения (40), так как
тогда формула (60*) для резольвенты (40*) может быть получена переходом
к сопряженному уравнению.
Для полного установления леммы достаточно доказать, что резольвента
Д (λ) существует и допускает представление (60) в угле (61), удовлетворяю-
щее сформулированному условию, так как тогда
В (λ) = (R (λ) — Τ (λη))(Ε — Я (λη)), (62)
31, О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 329
и, так как в силу п. 3 существование R (λ) в угле (61) обеспечивает меро-
морфность R (λ) во всей плоскости, формулы (62) и (60) имеют смысл во всей
плоскости. ^
Выбрав в качестве системы координат систему собственных элементов
операторов λΗ и положив
ft = (/, и*), Av = Ι| ajj? ||, а?Р = (Axuk4 щ) (ν = 0, 1, . . ., η — 1),
приведем уравнение (40) к виду
v—l оо п
Xi=Σ tit^ Σα^*+V ^+^ (63>
v=o ' i ' k=L l
причем в силу полной непрерывности операторов Av
I l^a^x^Kel fix, p, (64)
i=m+l fr=l г=1
где' em —> 0 при т —» ос. Систему (63) перепишем в виде
1-~ оо
Σ. , IM ηλν V/i^r 4- *i * /β-ν
S,gI1 Ai д _λ" *-* ~h~~Ffi' ( *
Учитывая, что вторые слагаемые правой части являются координатами
элемента (Ε + Γ (λη)) /, и обозначая через С (λ) оператор, определяемый
первыми слагаемыми, перепишем уравнение (65) в виде
х = С (λ) х + {Ε + Γ (λη)) /. (66)
Оценим норму С (λ) в угле (61). Выберем β (| λ|) < 1 так, чтобы β (| λ|) —> 0
и | λ | β (| λ |) —> оо при | λ | —> ос, и пусть т — первое целое число, для
которого У | hm | ;> | λ | β (| λ |); тогда при | λ | —> оо имеем т —> оо и
гт —> 0. Заметим еще, что в угле (61)
λν-ν/η
К - λη
< '
sin иб
и при |А, |Ι/"< |λ|β(|λ i)
λν^"ν/η
fc.-λ*
г
β(1-ν/»α)η
Имеем
λν I h{ |1~ν/η
i=l v=0 *
>Σ{ΣΙ4^Σ°»4Τ+ »ΣΙΣ Ι^Σ°*4!Γ<
ν=ο г=1 г /f=l v=0 i=m-f-l l k=l
<η(τ^ε0 + ^)|μ|| = ο(1)|μ||.
330
777. Дифференциальные уравнения
В силу полученной оценки при достаточно большом | λ | в угле (46) резоль-
вента оператора С (λ) определяется формулой
В (λ) = С (λ) + С2 (λ) + . . ., и В (λ) = о (1).
Из (66) получаем
х = Ε + Τ (λ") + В (λ)\(Ε + Τ (λ")) /,
и, следовательно, лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы полноты, сформулированной
в п. 10. Заметим прежде всего, что в силу леммы этого пункта резольвента
В (λ) при достаточно большом | λ | не имеет полюсов в угле (61). Это дока-
зывает утверждение теоремы об асимптотическом поведении собственных
значений.
Докажем теперь гс-кратную полноту системы собственных и присоеди-
ненных функций, например, для уравнения (40). Заметим, что резольвента
уравнения (40) есть мероморфная функция конечного порядка. В самом
деле, в силу леммы настоящего пункта резольвента (40*) есть мероморфная
функция λ, и, не ограничивая общности, можно предположить, что λ = 0
не является полюсом. Обозначая через Ε + 7?* (0) обратный оператор для
Ε — А*, приведем уравнение (40*) к виду
у = {§ (Е 4- 7?* (0))4#(ν/Λ)λν + (Ε + R* (0))Ηλη} у + (Е+ й* (0))/.
Обозначая через S* (λ) резольвенту полученного уравнения, имеем
Ε + 7?* (λ) = (Ε + 5* (ЩЕ + Л* (0)).
В силу теоремы п. 11 5* (λ) есть мероморфная функция порядка не выше
ргс, где ρ — порядок оператора Я, и, следовательно, порядок 7? (λ) не пре-
восходит ргс.
Согласно замечанию п. 9 гс-кратная полнота системы собственных и при-
соединенных элементов эквивалентна полноте в пространстве §п векторов
«7|» = (*?·«, #·», ..., »?·-1>).
где у®'71'* — производные цепочки собственных и присоединенных элемен-
тов (п. 8)
rf · ■>_[.£ л· (<А*> + * 4г + - + ν«4) ]Μ·
Если система собственных и присоединенных элементов (40) не является
полной, то в фп можно найти вектор / = (/<°), /(*), . . ., /(П"1))» ортогональ-
ный ко всем U^:
(/, £7f)=sV^!^V)) = 0.
v=0
Рассмотрим решение уравнения
z _ ц* + ха*Н[ п } + ... + h^Ati^ п ! + ληΗ) z =
= /(0) + λ/(1) + ... + λη-1/(η-1) = ξ (λ)> (67)
31. О полноте собственных функций несамосопряженных линейных операторов 331
Легко убедиться, что
х (λ) = R* (λ) ξ (λ)
есть целая функция. В самом деле, применяя формулы (25) и (26) п. 9,
получим для главных частей функции z (λ) относительно ее полюсов с, вы-
ражение
s(j) Г гО') г^ 1
α>· тз 1ГГг7 + Ч «ri [ (λ _с.γ + ^Т. | + -
где
«„-(«О). М+ЦЗ;. Щ + - + Тг{Ц· »»)·
Подставляя сюда значение ξ (λ) = /<°> + λ/W + . . . + λη"Γ /("-1) и поль-
зуясь формулой, определяющей yf,v\ легко получим
v=o
Докажем теперь, что на каждом луче, отличном от действительной оси,
отношение z (λ)/λη-1 стремится к нулю. В силу леммы настоящего пункта
координаты z (λ) имеют вид
Μλ)=—%гггЬ+ h H\n №·
h. — λ h. — λ
г г
Используя обозначения, введенные при доказательстве леммы, получим
отсюда неравенство
Ι«(λ)|< 1f^.) II ξ (λ) 1 + m (]/ Σ Ι^λ>Ι2 + ΙΙ*ΙΙΙΙξ||).
из которого непосредственно следует
|| z (λ) || = о (1) Ι λ Γ*. (68)
Таким образом, z (λ) есть целая функция конечного порядка, удовлет-
воряющая на каждом луче, отличном от действительной оси, соотношению
(68). В силу теоремы Линделефа заключаем, что соотношение (68) удовлет-
воряется равномерно на всей плоскости λ и, следовательно, z (λ) есть по-
лином степени не выше η — 2:
Ζ (λ) = Z(°) + Ζ^λ + . . . + Ζ«)λΚ
Покажем, что z (λ) = 0. В самом деле, если zW Φ 0, то из (67) полу-
чаем, что левая часть этого уравнения есть полином степени λη+/\ причем
коэффициент при λη+Α, равный HzW, в силу полноты оператора Η отличен
от нуля. Полученное противоречие доказывает теорему полностью.
332
777. Дифференциальные уравнения
32
ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ*
Совместно с В. Б. Лидским
ВВЕДЕНИЕ
Одним из основных методов получения разложений по собственным
функциям линейного оператора А, действующего в гильбертовом простран-
стве H, является метод, использующий представление оператора контур-
ным интегралом от его резольвенты. Этим методом пользовался еще О. Коши,
который применял его к исследованию рядов по собственным функциям
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Указанный метод основан на следующей формуле, справедливой для
любого ограниченного оператора А:
Ah = JL [ λ[(Α — Щ-Ъ dk; ' (1)
с '.
интеграл берется по контуру, содержащему все особенности резольвенты
оператора. Равенство (1) устанавливается вычислением вычета при λ = оо.
Пусть, например, А — вполне непрерывный оператор. Тогда, как из-
вестно, его резольвента R% = (А — λΕ)'1 является мероморфной функцией
с точкой сгущения полюсов в нуле. Пусть существует последовательность
замкнутых контуров Cfc, стягивающихся к нулю и таких, что
lim || ξ λ (Α — λΕ)-% d% ||= 0. (2)
Тогда, используя тот факт, что вычет резольвенты в каждом ее полюсе ра-
вен оператору проектирования Р^ на соответствующее корневое подпро-
странство, получают сходящееся разложение
оо
Ah=^l1[Plih. (3)
* В кн.: Тр. IV Всесоюз. математического съезда. Л.: Изд-во АН СССР, 1963, т. 1,
с. 101 — 120.
ЛИТЕРАТУРА
1. Schur I. Über die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer an-
wendung auf die Theorie der Integralgleichungen.— Math. Ann., 1909, Bd. 66,
S. 488-510.
2. Carleman T. Zur Theorie der linearen Integralgleichungen.— Math, Ztschr., 1921, Bd. 9,
S. 196—217.
3. Hille E., Tamarkin J. D. On the characteristic value of linear integral equations.— Acta
math., 1931, bd 57, s. 1—76.
4. Chang S. H. On the distribution of the characteristic values and singular values of Г-
near integral equations.— Trans. Amer. Math. Soc, 1949, vol. 67, N 2, p. 351—367.
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 333
В частности, когда все полюсы простые 1, разложение (3) принимает вид
оо
Ah= 2 λ* (Α* ψ*) Φ*. (4)
fr=l
где щ — собственные векторы оператора А, а % — сопряженного к нему
оператора А*.
Заметим, что когда А — самосопряженный (или в более общем случае
нормальный) вполне непрерывный оператор, последовательность контуров
Сч всегда существует. Это объясняется спецификой самосопряженного опе-
ратора, сказывающейся, в частности, в том, что резольвента такого опера-
тора медленно растет при приближении параметра λ к спектру. Равенство
(4) в самосопряженном случае хорошо известно под названием теоремы
Гильберта—Шмидта.
В случае общего самосопряженного ограниченного оператора, когда
резольвента уже не мероморфна и спектр 2 может быть непрерывным, ин-
теграл (1) тем не менее удается представить в виде
Ah = ^kdPkh (5)
а
и получить спектральное разложение 3, обобщающее формулу (3).
В то время как в теории самосопряженных операторов уже сравнитель-
но давно получены общие результаты окончательного характера, для ли-
нейных несамосопряженных операторов разложение удалось получить лишь
в некоторых частных случаях.
Внешней причиной этого являются трудности, возникающие при оцен-
ке резольвенты. Истинная причина, разумеется, кроется в сложной спект-
ральной структуре несамосопряженного оператора.
Класс несамосопряженных операторов, для которых справедливо без-
условно сходящееся разложение по собственным функциям, еще не вполне
очерчен (неизвестно, например, принадлежат ли этому классу эллиптичес-
кие дифференциальные операторы с частными производными). Однако уже
сейчас ясно, что сходящееся по норме спектральное разложение не является
обязательной принадлежностью общего линейного оператора.
По-видимому, дальнейшее развитие теории пойдет по пути установления
обобщенных спектральных разложений.
Отметим, что к настоящему времени в теории несамосопряженных задач
накоплен большой материал, и характерно, что за самые последние годы
теория пополнилась рядом новых важных исследований. Особенно заметны
успехи в области операторов с дискретным спектром 4. Этой теме мы посвя-
тим в нашем обзоре первые три параграфа.
В случае кратных полюсов в формуле (4), кроме собственных векторов, появляются
присоединенные.
Под спектром понимают совокупность всех нерегулярных точек резольвенты.
Разложение (5), впервые полученное Д. Гильбертом в 1904 г. (см. [1]), было выведено
из интеграла (1) Е. Хеллингером [2] в 1909 г.
Так принято называть операторы, спектр которых состоит из собственных значений ко-
нечной кратности, имеющих лишь одну точку сгущения.
334
///. Дифференциальные уравнения
1. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ
И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ВЕКТОРОВ
После того как в 1908 г. Д. Биркгоф [3] получил разложение по собст-
венным функциям несамосопряженной краевой задачи для обыкновенного
линейного дифференциального уравнения тг-го порядка при регулярных
однородных условиях на концах конечного интервала [а, Ь], появился ряд
исследований [4—6]. В этих работах результаты Биркгофа обобщались на
случай других краевых задач для обыкновенных дифференциальных урав-
нений и систем, рассматриваемых на конечном интервале. Разложения во
всех случаях были получены описанным во введении методом Коши.
Дело в том, что в задачах для обыкновенных дифференциальных урав-
нений может быть найдена асимптотика решений при условии, что х изме-
няется в конечном интервале, а λ велико. Используя асимптотику решений,
удается оценить функцию Грина соответствующей задачи и доказать су-
ществование подходящей последовательности контуров.
Более сложное строение функции Грина в задачах с частными производ-
ными явилось, по-видимому, причиной того, что работ, посвященных кра-
евой несамосопряженной задаче для частных производных, продолжитель-
ное время почти не было.
Существенный вклад в эту область внесла известная работа Карлемана
[7] (1936 г.). В этой работе в случае краевой задачи для уравнения эллип-
тического типа
L(u) = — Y. яц(*) а,, "д. +Y,bs{x)-^r +c{x)u = w, (6)
CRi i j ST s
и\г = 0 П)
при п ==■ 3 был найден главный член асимптотики собственных значений
μ^ при к —> оо. При доказательстве Карлеман развил новый метод получе-
ния асимптотики собственных значений, основанный на оценке следа ите-
рированной функции Грина с последующим применением тауберовой тео-
ремы.
В процессе доказательства Карлеман существенно использовал также
свои предыдущие результаты, полученные в работе [8] (1921 г.), где им была
исследована резольвента интегрального уравнения с ядром, обладающим
интегрируемым квадратом (ядро типа Гильберта—Шмидта) 5.
Работы Карлемана сыграли выдающуюся роль в развитии теории не-
самосопряженных задач. Его методы позволяли оценивать резольвенту как
функцию параметра и в случае задачи с частными производными. Сущест-
венно также, что они могли быть использованы и при исследовании опе-
раторов, действующих в абстрактном гильбертовом пространстве.
Однако один из основных вопросов, а именно вопрос о полноте системы
собственных и присоединенных векторов в случае задачи с частными про-
изводными, оставался и после работ Карлемана еще продолжительное вре-
мя открытым.
В 1951 г. М. В. Келдышу в работе [10] удалось найти в абстрактной
форме широкие условия полноты.
5 Оценки резольвенты для ядер типа Гильберта — Шмидта были затем передоказаны
иным путем в важной работе Хилле и Тамаркина [9]. В этой же работе впервые было
установлено, что детерминант Фредгольма свертки двух ядер типа Гильберта—Шмидта
имеет нулевой род, а также получен ряд других результатов.
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 335
В этой же работе была доказана теорема об асимптотике собственных
значений операторов, действующих в абстрактном гильбертовом простран-
стве. Из этой теоремы, в частности, следовало, что если Lx — эллиптический
самосопряженный дифференциальный оператор с дискретным спектром, то
при его возмущении дифференциальным оператором меньшего порядка со-
храняется главный член асимптотики собственных значений. Не имея воз-
можности более подробно останавливаться на этом вопросе, сформулируем
теорему Келдыша о полноте. Мы приведем ее в следующем сокра-
щенном виде:
Пусть вполне непрерывный оператор А, для которого нуль не является
собственным значением, имеет вид
A=H{E + Q), (8)
где Q — вполне непрерывный оператор, а Н — самосопряженный вполне не-
прерывный оператор, такой, что при некотором ρ ^> О
ΣΚ|ρ<,οο (9)
(vk — собственные значения Η).
Тогда система собственных и присоединенных векторов оператора А
Фи Ф21 - · ·, Фл, · · · (10)
полна в гильбертовом пространстве ф.
Другими словами, каков бы ни был элемент h и каково бы ни было ε,
найдется такое N и такие числа ск, что
N
ЦЛ~ Σ <VP*I<e. (И)
Систему собственных и присоединенных векторов мы ниже будем называть
системой главных векторов.
Сформулированной теоремой полнота системы главных векторов уста-
навливается не только для задачи (6), но и в случае краевой задачи для
эллиптического уравнения любого порядка, рассматриваемого в конечной
области пространства η измерений. В самом деле, в этих условиях диффе-
ренциальный оператор L имеет вид
L = LX + L2, (12)
где Lx — самосопряженный эллиптический' оператор, a L2 — оператор
меньшего порядка, ввиду чего оператор L2U^ вполне непрерывен. Уравне-
ние (Lx + L2) и = μΜ представим в виде (Е + L2L?) Lxu = μη, отсюда
и = Ц1 (Е + L2LlW· (13)
Полагая здесь Li1 = Я, (Е + L2L^l)~1 = Ε + Q и μ"1 = λ, мы приходим
к задаче на собственные значения для оператора (8). Условие (9) при этом
оказывается выполненным 6.
β Полнота системы собственных и присоединенных векторов эллиптического дифферен-
циального оператора была доказана Ф. Браудером в работе [11] без ссылки на теорему
М. В. Келдыша.
336 777. Дифференциальные уравнения
Приведем доказательство теоремы Келдыша о полноте, сохраняя в су-
щественном первоначальное доказательство (ср. [11] и [12]).
1. На случай вполне непрерывных операторов вида
А = КН, (14)
где Η — самосопряженный ограниченный оператор, удовлетворяющий
условию (9), а К — любой ограниченный оператор, может быть перенесена
теория определителей Фредгольма.
Пусть λ1? λ2, . . . — отличные от нуля и занумерованные с учетом крат-
ности собственные значения оператора A; v1? v2, . . . — как и выше, соб-
ственные значения Н.
Оказывается, что всегда справедливо неравенство
Σ|λ*|ρ<ΙΙ*||ρ ΣΚ|ρ·
Учитывая этот факт и полагая7 μ^ = λ^1, рассмотрим следующую целую
функцию (детерминант Фредгольма оператора А):
^)=n(i-fW2(f)4·
i=i Ч г ' fc=i Ч г '
Здесь η — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству η -\- 1 ^
^ р. Очевидно, что при таком выборе Δα (μ) операторная функция
DA (μ) = ΔΑ (μ)(Ε - μΛ)"1 (15)
также является целой. В силу известных теорем теории функций Ад (μ) —
целая функция порядка не выше р.
Оказывается, при выполнении условия (9) порядок целой функции
Da (μ) также не выше р.
Таким образом, мероморфная операторная функция (Ε — μ^4)-1, где
А — оператор вида (14) и собственные значения Η удовлетворяют условию
(9), представима в виде отношения целых функций, каждая из которых
порядка не выше р:
| ΔΑ (μ) |< ехр Сх \ μ |р, || DA (μ) || < ехр С2 \ μ р. (16)
2. Из оценок (16) не следует, разумеется, существования последователь-
ности контуров, на которых выполнялось бы условие (2). Однако для до-
казательства полноты системы главных векторов нет необходимости в такой
последовательности.
Дело в том — и это весьма существенно для дальнейшего,— что иссле-
дование полноты системы главных векторов вполне непрерывного опера-
тора можно свести к изучению некоторого вполне непрерывного оператора
с единственной точкой спектра в нуле. Это дает возможность обойти те
трудности, которые возникают при исследовании мероморфной резольвенты
оператора, и свести дело к изучению некоторой целой функции.
Для большей общности мы проведем соответствующее рассуждение в
случае произвольного вполне непрерывного оператора, хотя при исследо-
7 Обратные величины собственных значений принято называть характеристическими чис-
лами оператора.
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов Г 337
вании полноты у операторов специального вида (8) оно используется не
в полном объеме.
Пусть А — произвольный вполне непрерывный оператор. Обозначим
через &! замкнутую линейную оболочку главных векторов этого оператора
<Pi, <р2> · · ·, <Ρη. · · ·> (17)
относящихся к ненулевым собственным значениям. Пусть 0,2 — ортого-
нальное дополнение к £Li. Так как 0,г — инвариантное подпространство А,
то &2 есть инвариантное подпространство сопряженного оператора А*.
Обозначим через V оператор, индуцируемый А* на £12.
Мы сейчас покажем, что для полноты системы (17) в области значений
оператора А необходимо и достаточно, чтобы
V = 0. (18)
Действительно, если система (17) полна и, значит, Ah FE Ui при любом h,
то для любого g (ΕΞ £L2 имеем {Ah, g) = 0. Следовательно,
0 = (Ah, g) = (h, A*g) = (h, Vg) (19)
при любом h, и поэтому V = 0. Обратно, если выполнено условие (18), то,
прослеживая равенства (19) справа налево, мы заключаем, что Ah ΕΞ Q-i
при любом h, и, следовательно, система (17) полна.
Покажем теперь, что вполне непрерывный оператор V имеет единствен-
ную точку спектра в нуле, или, как иногда говорят, является волътерро-
вым оператором.
Допустим противное, тогда Vg — λ0# = 0, λ0 Φ 0. Умножая скалярно
на произвольный вектор h, получаем
(Vg - l0g, К) = (g, (A - λ0Ε) h) = 0. (20)
Известно, что прямое дополнение к подпространству всех векторов вида
(А — λ0£) h лежит в &Χ. Поэтому из (20) следует, что g = 0, и мы прихо-
дим к противоречию.
Итак, доказательство полноты системы главных векторов вполне не-
прерывного оператора можно свести к доказательству равенства нулю не-
которого волътеррова оператора.
3. В условиях рассматриваемой теоремы равенство (18) доказывается
следующим образом.
Рассмотрим функцию
ω (μ) = ((Ε - μΡΤ1*, Κ), (21)
где g и h е= &2· Так как V — вольтерров оператор, то ω (μ) — целая функ-
ция. Обозначая через Ρ оператор проектирования на £12» будем иметь
(Ε - μν)'1 = Ρ (Ε — μΑ*)-1 Ρ. -
Так как оператор Л* имеет вид (14), то согласно (16) ω (μ) — целая функ-
ция порядка не выше р.
Мы сейчас покажем, что при μ —> оо вдоль каждого луча, отличного от
вещественной оси, функция ω (μ) остается ограниченной. Отсюда в силу
теоремы Фрагмена—Линделёфа будет следовать, что ω (μ) = const. Так как
далее = (Vg, h), то, следовательно, (Vg, h) = 0 при всех g и h^&2,
а, значит, равенство (18) действительно имеет место.
22 М. В. Келдыш. Математика
338 777. Дифференциальные уравнения г
Таким образом, достаточно показать, что
| ω (re**) |< С, y (22)
когда г —> оо. Докажем этот факт.
Мы имеем
(5 - μΛ*)-1 = {Ε — μ(Ε + Q*) Я)-1 = (Я + S - μΗ)~\Ε + Q*)~x =
= (Е + (Е- μ#)"1 5)-»(^ - μ#)"1(£ + <?*Г," (23)
где через S обозначен вполне непрерывный оператор, такой, что Ε + S =
= (Ε + (?*)-1. Полагая μ = reia, оценим правую часть (23). Заметим, что
собственные значения (Е — рЩ'1 имеют вид (1 — re^v^Y1. Так как
sin^a
то оператор (Ε — μΗ *) равномерно ограничен. Более того, для фиксиро-
ванного / имеем
|(*-μ»Γ·/Ι·-£1Γ=^ρ-+ Σ jr^kj- <24>
Выбрав N достаточно большим, можно сначала вторую сумму сделать <ε/2,
после чего за счет выбора г можно первую сумму сделать <ε/2. Таким об-
разом, при г —> ею
|| (Ε-μΗ)-4 Ц — 0. (25)
Используя этот факт, покажем, что
lim || (Ε - μΗ)-1 S || = 0. (26)
Г—>оо
По заданному ε представим вполне непрерывный оператор S в виде S =
= 5j + S2, где || Si |К-2-sin a, a S2 — конечномерный оператор. Пусть
элемент Л таков, что || h\\ ^ 1. Имеем
|| (Е - μΗΓΞΗ || < || (Ε - yJIpSih || + |J (Ε - μΗ)~^^ || <
<^-|μ|| + ΙΙ(«-μ^Γ1^||, (27)
и так как множество S2fe конечномерно и ограничено, то в силу (25) вто-
рое слагаемое в (17) при достаточно большом г также <;(ε/2) ||/И|. Таким
образом, формула (26) действительно имеет место. Из представления (23)
теперь уже прямо следует ограниченность нормы (Ε — μ^*)"1 при г-^ со.
Следовательно, | ω (reia) | < С, что и утверждалось.
Выделим существенный элемент, содержащийся в изложенном доказа-
тельстве: конечность порядка резольвенты вольтеррова оператора V, обус-
ловленная неравенством (9), позволяет в силу теоремы Фрагмена—Лин-
делёфа по поведению резольвенты в секторе, не содержащем спектра опе-
ратора А*, где она сравнительно просто оценивается, делать заключение
о резольвенте оператора V в целом.
Доказанная теорема о полноте получила в дальнейшем развитие в ряде
работ, на которых мы ниже остановимся.
На последующие работы оказала влияние также известная работа
М. С. Лившица [13], в которой была получена треугольная модель для
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 339
ограниченного оператора вида у
А = AR + iAi, (28)
где мнимая эрмитова компонента Aj вполне непрерывна и имеет след 8.
Из этой модели, в частности, следовало интегральное представление воль-
террова оператора. М. С. Лившицем был установлен также следующий факт.
Если оператор (20) вполне непрерывен и А\ ^ 0, то для полноты системы
собственных и присоединенных векторов необходимо и достаточно, чтобы
оо
2. lmX* = Sp^I. (29)
Эта теорема, полученная М. С. Лившицем с использованием треуголь-
ной модели, была затем значительно проще доказана Б. Р. Мукминовым
[14].
Можно показать, что из формулы (29) сразу следует равенство нулю
вольтеррова оператора V, действующего в 02; верно также и обратное.
2. ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ,
ТРЕУГОЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ
Перейдем теперь к более поздним результатам. Пусть А — вполне не-
прерывный оператор. Условимся собственные значения sn оператора Υ А* А
называть сингулярными значениями оператора А.
Очевидно, что всегда sn —> 0. Мы будем рассматривать только такие
операторы А, для которых при некотором ρ > 0
i*S<°°. (30)
7=1
Показатель ρ характеризует степень уклонения оператора А от конечно-
мерного. Чем меньше р, тем быстрее числа sn стремятся к нулю и тем лучше
оператор аппроксимируется конечномерными.
Если ρ = 2, то оператор А называется оператором типа Гильберта—
Шмидта. Интегральные операторы этого вида были исследованы Карлема-
ном [8]. При ρ = 1 оператор А называется ядерным (по поводу ядерных
операторов см. [15]). Введем еще одну характеристику оператора А. Из-
вестно, что множество значений квадратичной формы (Ah, h) заполняет
на комплексной плоскости либо некоторый угол π *с вершиной в начале
координат, либо всю плоскость.
Если оператор А самосопряжен и неотрицателен, то значения (Аh, /г)
заполняют положительную полуось. В общем случае, умножая оператор
на подходящую комплексную постоянную, можно добиться того, чтобы
биссектрисой угла значений формы (Ah, h) была положительная полуось.
Раствор этого угла может служить характеристикой уклонения оператора
Говорят, что вполне непрерывный оператор А имеет след, если сходится ряд из собст-
венных значений sn неотрицательного оператора УА*А : 2% < оо. При этом под
следом понимают V, (А%к, %к), где %к — некоторый ортонормированный базис в $р.
k=i
22*
340
777. Дифференциальные уравнения
От неотрицательного самосопряженного. Оказывается справедлива следую-
щая теорема.
Если оператор А удовлетворяет условию (30) при р>1 и если
—π/2ρ < Arg {Ah, h) < π/2ρ, .. (31)
то система главных векторов оператора А полна в ξ).
Первоначально этот факт был установлен в ряде частных случаев раз-
ными методами В. Б. Лидским: для случая ρ = 2 — в работе [16] с исполь-
зованием результатов Карлемана [8]; для случая ρ = 1 — в работе [17]
на основании формулы следов
Σ(4(*.Χ*)= Σλ», (32)
которая, как доказано в работе [17], справедлива для любого ядерного
оператора (в формуле (32) λ^ — собственные значения А, а %к — произ-
вольный ортонормированный базис).
Однако, после того как была доказана минимальность типа первого
минора Фредгольма Da (λ) при условии (30) 9, сформулированную выше
теорэму оказалось возможным доказать единым методом, применяя теоре-
му Фрагмена—Линделёфа к функции (21).
Как показали Б. Я. Левин и В. И. Мацаев, условия полноты (30) и
{31) являются точными: при данном показателе ρ сходимости ряда (30) и
более широком, чем (31), секторе значений квадратичной формы можно
указать оператор с неполной системой главных векторов.
Дальнейший прогресс в исследовании полноты был обусловлен рабо-
тами М. Г. Крейна, Л. А. Сахновича и М. С. Бродского. Л. А. Сахнович
и М. С. Бродский получили новые треугольные представления вольтерро-
вых операторов. Остановимся коротко на этих работах.
Л. А. Сахнович [19, 20], обобщая результаты М. С. Лившица, построил
треугольную модель ограниченного оператора
A =AR + iAl4 (33)
обладающего тем свойством, что, каковы бы ни были два инвариантных
подпространства Я2 и Я2 оператора Ач Нг d Н2 и dim H2 Q Ηλ > 1, най-
дется инвариантное подпространство Н3 оператора Ач такое, что Я2 CZ Я3 С
С Я2 и #! φ Яз φ Η2.
В частности, как показал Л. А. Сахнович, указанным свойством обла-
дает любой оператор (33) при условии, что А± — типа Гильберта—Шмидта.
В том случае, когда спектр А состоит лишь из нулевой точки и Ai — типа
Гильберта—Шмидта, оператор (33) унитарно эквивалентен оператору
X
2f=lf{t)N(x,t)dt, (34)
о
а См. по этому поводу [18]. Как стало известно авторам, В. И. Мацаев показал, что если
оператор V — вольтерров и sn = о (я*-1^), то
In || (Я-μΤΟ"11|= ° (IMP)·
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 341
где / (/) — вектор-функция, вообще бесконечномерная, а N (х, t) — мат-
ричное ядре, удовлетворяющее условию
1 1 оо
SS Σ \ni5{x,t)\*dxdt<oo. (35)
О 0 i, j=l
Из представления (35) сразу следует, что если А — вольтерров опера-
тор и 4/ — типа Гильберта—Шмидта, то А — также типа Гильберта—
Шмидта.
Этот факт оказал заметное влияние на ряд последующих работ (см. ниже).
В частности, он позволил Л. А. Сахновичу усилить теорему В. Б. Лидского
о полноте в случае операторов типа Гильберта—Шмидта в следующей форме.
Если А — вполне непрерывный оператор, Ar ^ О и Ai ^ О и если Ai —
шипа Гильберта—Шмидта, то имеет место полнота.
Другое треугольное представление для вольтеррова оператора было
получено М. С. Бродским [21]. Треугольное представление М. С. Бродско-
го действует в том же гильбертовом пространстве, что и оператор А, и со-
впадает с оператором А полностью, а не с точностью до дополнительной
компоненты, как это имеет место в моделях М. С. Лившица и Л. А. Сахно-
вича.
Переходя к изложению этого вопроса, предположим сначала, что А —
линейное преобразование в тг-мерном пространстве, все собственные зна-
чения которого равны нулю.
Пусть
ег, е2, . . ., еп (36)
— ортонормированный базис, в котором матрица преобразования являет-
ся треугольной 10. Тогда
Аех = О,] Ае2 = а12ег, . . ., Аеп = а1пех + а2пе2 + . . . + ап_Ьпеп. (37)
Обозначим через Рк оператор проектирования на подпространство, на-
тянутое на первые к векторов базиса (36), и пусть АРк = Рк — Рк-г. Из
формулы (37) тогда сразу следует, что при любом h
и
Ah= J, Ру^ААРф. (38)
■η
Заметим еще, что согласно (37) J1. АРкАРк_г = 0. Перейдя в этом равенстве
к сопряженным операторам и полагая А1==—-(Л— А*), запишем (38)
в виде
Ah=2i Σ Ρ^Α^Ρφ. (39)
Это представление, как показал М. С. Бродский, обобщается на случай
любого вольтеррова (вполне непрерывного) оператора А, действующего в ©.
А именно, любой вольтерров оператор всегда представим в виде
A=2i \P{x)A1dP{x). (40)
Существование такого базиса устанавливается известной теоремой И. Шура.
342
777". Дифференциальные уравнения
Здесь А\, как и везде,—мнимая компонента оператора A; 9R — некото-
рое замкнутое множество отрезка [0, 1]; Ρ (х), х ΕΞ 2R,— непрервывная
на Ж и монотонно возрастающая цепочка проекционных операторов, проек-
тирующих на инвариантные подпространства оператора А, причем Ρ (0) =
= 0, Ρ (1) = Ε, и если (α, β) — дополнительный интервал к множеству 3R,
то оператор Ρ (β) — Ρ (а) одномерен.
Интеграл (39) понимается как предел последовательности частных сумм
в обычной операторной норме.
Заметим, что доказательство существования цепочки проекторов Ρ (х)
основано на теореме Неймана—Ароншайна [22] о существовании у вполне
непрерывного оператора, действующего в ©, нетривртльного инвариант-
ного подпространства. Цепочка такого вида была построена независимо
Л. А. Сахновичем в [19, 20] и лежит в основе полученных там результатов.
Представление (39) оказалось весьма удобным при исследовании воль-
терровых операторов. Новые важные предложения относительно сходи-
мости интегралов типа (40) в условиях, когда Ρ (х) — монотонная цепочка
проекторов, необязательно порожденная уже заданным вольтерровым опе-
ратором, a Ai — некоторый самосопряженный вполне непрерывный опе-
ратор, были получены И. Ц. Гохбергом, М. Г. Крейном и В. И. Мацаевым
[23—26]. Эти же авторы, используя треугольные представления, установи-
ли следующий факт, обобщающий приведенную выше теорему Л. А. Сах-
новича.
Пусть V = VR + iVj — волътерров оператор и пусть хк — собственные
значения Vj, а ак — собственные значения VR. Тогда при ρ > 1 ряды
ЗЫр. (Ц)
2 <**|р (42)
сходятся и расходятся одновременно.
Подчеркнем, что сформулированное утверждение позволяет судить о
росте целых функций DA (μ) и Δ^ (μ) в случае вольтеррова оператора, когда
мы располагаем сведениями лишь о мнимой или о вещественной компонен-
тах оператора. Порядок этих функций при ρ > 1 не выше р. Это позволяет
усилить сформулированную на с. 340 теорему о полноте следующим образом.
Если оператор А таков, что его мнимая часть АХ = —(А — А*) удовлетво-
ряет при ρ > 1 условию (30), и если выполняется условие (31), то имеет
место полнота.
При ρ = 1 сходимость ряда (41) не влечет за собой в общем случае схо-
х
димость ряда (42). Примером может служить оператор Af= i \ f (t) dt,
о
у которого мнимая компонента одномерна, а собственные значения
ση = η'1 {η = ± 1, ± 2, . . . ).
Вольтерровы операторы, мнимая компонента которых имеет след, были
подвергнуты детальному исследованию в работах М. Г. Крейна [27, 28].
М. Г. Крейн связывает с вольтерровым оператором V = Vr + iVj аналити-
ческую функцию
/ (z) = Det {(Ε - zVR)(E - zV)-1}. (43)
Так как (Ε — zVR)(E — zV)'1 = Ε + izVj {Ε — zV)'1 и Уг имеет след, то
32. Вопроси спектральной теории несамосопряженных операторов 343
стоящий в правой части (43) определитель равномерно сходится и представ-
ляет собой целую функцию (напомним, что V — вольтерров оператор и,
следовательно, (Е — zV)'1 — целая функция); нулями / (z) являются числа
σ^1. Как доказывает М. Г. Крейн, функция / (z) внутри верхней и нижней
полуплоскостей представима в виде отношения двух ограниченных голо-
морфных функций. Отсюда на основании теоремы М. Г. Крейна [29] и тео-
ремы Левинсона [30] следует, что существует общий конечный предел
,. n+(r,VR) n_(r,VR) h
lim = lim = — . (44)
7-->оо ' r-+oo ' JL
Здесь через п+ (г, VR) и тг_ (г, VR) обозначено число характеристических
чисел σν1 оператора VR на интервалах (0, г) и (— г, 0) соответственно. Фор-
мулы (44) содержат асимптотику собственных значений вещественной ком-
поненты вольтеррова оператора, мнимая компонента которого имеет след,
и дополняют предыдущий результат М. Г. Крейна, И. Ц. Гохберга и
В. И. Мацаева. Замечательно то, что в том случае, когда Fj ^ 0, в формуле
(44)
h = Sp VT. (45)
Поэтому если Fj ;> 0 и общий предел в (44) равен нулю, то Vx = 0.
В этом случае и весь оператор F, будучи самосопряженным вольтерровым,
равен нулю.
Установленный факт относительно вольтерровых операторов приводит к
следующей теореме о полноте.
Если вполне непрерывный оператор А = AR + ΙΑτ таков, что Л/ > 0,
и если выполняется одно из двух условий
lim n+ (r, AR)lr = 0 (46)
или
lim n_ (r, AR)lr = 0, (47)
Г—>оо
то система главных векторов А полна.
Эта теорема содержит результат В. Б. Лидского о полноте для операто-
ров, имеющих след (р = 1), как частный случай, ибо если оператор А имеет
след, то выполняются оба условия (46) и (47) теоремы М. Г. Крейна.
Далее М. Г. Крейн находит необходимое и достаточное условие полноты
для вполне непрерывных операторов Л, таких, что Ατ .> 0, Sp Aj <^ сю.
Полнота имеет место тогда и только тогда, когда
Р / л ч р
С n(r,AR) , (* η (г, А)
dr
-\^^-dr = o{9), (48)
при условии, что ρ —>-оо, минуя некоторое множество конечной логарифми-
ческой длины.
Здесь η {г, А) — количество характеристических чисел в круге радиуса г.
Одновременно с работой М. Г. Крейна появилось важное исследование
Б. Я. Левина [31], в котором была получена в тех же предположениях
344
III. Дифференциальные уравнения
(Aj > О и Sp Aj < оо) следующая оценка:
Y^^Ldr-\^^-dr^9^AI + o{9) (49)
О О
при ρ —>■ оо, минуя множество конечной логарифмической длины, а также
ряд других результатов.
Во всех перечисленных работах о полноте системы главных векторов на
вполне непрерывный оператор налагались условия, при которых резоль-
вента оператора представляется в виде отношения целых функций конеч-
ного порядка. Между тем попытка освободить теорему М. В. Келдыша от
условия (9), до сих пор не увенчавшаяся успехом, приводит к целым функ-
циям бесконечного порядка. В связи с этим представляет большой интерес
результат В. И. Мацаева [25], согласно которому система главных векторов
оператора А = Η (Ε + Q) (ср. с (8)) полна, если только
где sk — собственные значения YQ*Q. Условие (9) может быть отброшено.
В этих предположениях резольвента, вообще говоря, не представляется от-
ношением целых функций конечного порядка.
Мы не коснулись интересного исследования Д. Э. Аллахвердиева [32]
об условиях полноты в случае слабо возмущенных нормальных операторов,
где автору удалось перенести на этот случай теорему М. В. Келдыша; не
освещены также новые глубокие теоремы В. И. Мацаева, основанные на
тонких оценках целых функций, а также ряд других исследований.
Однако даже из неполного обзора видно, что задача об условиях полноты
за последние годы продвинута далеко вперед.
Этот прогресс был достигнут благодаря сочетанию геометрических и
аналитических методов.
3. ТЕОРЕМЫ О СУММИРУЕМОСТИ
И СХОДИМОСТИ РЯДОВ
ПО ГЛАВНЫМ ВЕКТОРАМ
Следует подчеркнуть, что, так как система главных векторов не является
ортогональной, из ее полноты не следует сходимость ряда Фурье по элемен-
там этой системы. Более того, как показывают примеры, в найденных
условиях полноты формально написанные ряды вида (3) и (4) в общем случае
расходятся.
В связи с этим становится актуальной задача определения коэффициен-
тов линейной комбинации (11) собственных и присоединенных элементов,
приближающей данный элемент / с наперед заданной точностью.
Для одного класса операторов эта задача решена в работе В. Б. Лид-
ского [33], где выдвинута идея суммирования рядов по главным векторам
методом Абеля. Коротко остановимся на этом вопросе.
Пусть А — вполне непрерывный оператор и пусть sh. — его сингуляр-
ные значения (собственные значения оператора Υ А* А). Предположим, что
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 345
оператор А удовлетворяет условию (30) при некотором ρ Ι> 1
оо
Σ rf < зо (50)
и при некотором ρ' > ρ условию
— π/2ρ'< Arg (Л/г, Л) < л/2р\ (51)
Предполагая для простоты письма, что все характеристические числа
μλ. оператора Л — простые, обозначим через срд. собственные векторы Ау
а через i|)fe — собственные векторы А *, нормированные условием (cpfr, ψλ.) = 1.
Пусть / = Ah, где h — произвольный элемент гильбертова пространства.
Формально написанный ряд (4) для вектора / = Ah, вообще говоря, расхо-
дится. Справедлива, однако, следующая теорема.
Если вполне непрерывный оператор А удовлетворяет условиям (50) и
(51), то при любом t > 0 сходится ряд
σο Ν8+1
и (0 = Σ ( Σ exp (- μ£) (/, ψη) φη), (52)
s=l n=JVs+l
и
lim и (t) = /. (53)
f-o
В формуле (52) α — любое число, удовлетворяющее условию р' > α > ρ;
7VS — некоторая подпоследовательность чисел натурального ряда, не за-
висящая от t.
Таким образом, заменяя условие (31) несколько более жестким (51),
можно гарантировать не только полноту системы главных векторов, но
и суммируемость соответствующих разложений.
Можно показать, кроме того, что в условиях (50) и (51) при любом
/ = Ah справедливы следующие оценки:
Ns
| и (t) - Σ exp (- μ£) (/, xh) φ, | < exp a* {- t | μ*β |α + | μ*, |ρ Ο (1)} · || / ||,
(54)
\\f-u (t) || < i< \\h Ι (κ > 0). (55)
Эти формулы дают возможность по заданному ε выбрать сначала доста-
точно малое t >0, а затем при выбранном t столь большое Ns, чтобы с по-
мощью содержащихся в формуле (54) коэффициентов удовлетворить неравен-
ству (И).
Доказательство теоремы проводится посредством введения в интеграл
Коши суммирующего множителя.
Пусть п
и О = -ш J ехР (- и·"') (Е - μ^Γ1 h ■$-. (56>
У
где у — бесконечный контур, охватывающий все полюсы подынтегральной
функции и содержащийся в секторе убывания функции ехр (— μα£). С по-
11 Интеграл (56) превращается в интеграл (1), если сделать замену λ = μ-1 и полошить
t = 0.
346
III. Дифференциальные уравнения
мощью оценок (16) и с учетом минимальности типа DA (μ) и ΔΑ (μ) можно
доказать существование уходящей в бесконечность последовательности кон-
туров ук, на которой подынтегральная функция стремится к нулю. Это дает
возможность представить интеграл рядом из вычетов (52).
В связи с формулой (52) коснемся одного вопроса, имеющего и самостоя-
тельное значение.
При α = 1 разложение (52) принимает вид
оо .«+1
и (t) = S [ ?■ ехр (- μ**) (/, %) щ] (57)
e=i k=N8+l
я, как легко заметить, является решением ьадачи Коши для уравнения
duldt + Lu = 0 (L'1 = Α) (58)
при начальном условии
u\t=o = f. (59)
Сходимость ряда (57) при £> 0 означает, таким образом, что если оператор
L в уравнении (58) обладает вполне непрерывным обратным, удовлетворяю-
щим условиям (50), (51), то решение задачи Коши (58), (59) разлагается
в сходящийся при t > 0 ряд Фурье по главным векторам оператора L
(ср. [34]).
Указанным условиям удовлетворяют, например, дифференциальные
эллиптические операторы, порядок которых 2т больше числа η независимых
неременных. Следовательно, в этих случах решение задачи Коши может
Ъыть найдено методом Фурье. В отношении уравнений (58) с эллиптическим
оператором указанный результат, по-видимому, может быть усилен, ибо он
получен с помощью весьма общей оценки резольвенты (16), не учитывающей
специального вида оператора.
Отметим, что для резольвенты эллиптического оператора (6) с двумя
независимыми переменными справедлива следующая оценка, полученная
В. Б. Лидским [35]:
σο
|| (L - μΕ)-11| < ехр {α» | μ | V ' | (60)
при всех μ. В этой формуле μ^. — собственные значения оператора (6). Не-
равенство (60) оказывается более точным, чем общая оценка, даваемая фор-
мулой (16), и позволяет распространить сформулированный выше резуль-
тат о сходимости ряда Фурье на случай эллиптического оператора (6) при
η = 2.
Вопрос о сходимости ряда (57) при t = 0 даже в случае дифференциаль-
ных операторов с частными производными остается открытым. Вообще к
настоящему времени сходимость разложений по главным векторам установ-
лена, как уже указывали во введении, для весьма узкого класса операторов.
Кроме хорошо известных старых исследований о сходимости рядов в слу-
чае задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, укажем на
результаты Б. Р. Мукминова [14], И. М. Глазмана [36], А. С. Маркуса
137], в которых рассмотрены операторы, действующие в абстрактном гиль-
бертовом пространстве ξ). Остановимся коротко на результате И. М. Глаз-
мана.
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 347
Бесконечная система элементов φΛ (А = 1, 2, . . .) называется базисом
Риса своей замкнутой линейной оболочки, если при некоторых т и Μ и всех
JV и ск справедливо неравенство
т Ъ Ы2 < Я (Ф1.<Pi)Wi<^ Σ Iс*I3· (61)
Мы не останавливаемся на том, что при выполнении условия (61) система
<Pfr линейно независима и действительно образует базис12. Отметим лишь, что
условие (61) выполняется, очевидно, тогда, когда углы между векторами
системы близки к прямому.
Оказывается, что если срд. — собственные векторы некоторого диссипа-
тивного А (т. е. Ai > 0), то углы между ними могут быть оценены через
соответствующие собственные значения. А именно, справедливо неравенство
| (ф|, φ,·) |2 < 4 Ira λ, Im λ,/| λ, - % |2 (62)
(предполагается, что || φ^ || = || φ;· || = 1). С помощью этого неравенства до-
казывается следующая теорема.
Если ψ;;. — бесконечная система нормированных собственных векторов
ограниченного диссипативного оператора А и если
ΣΙγπ λ| Im λ^.
μ. -Lp ^^ 1 *"'
то система щ является базисом Риса своей замкнутой линейной оболочки.
В более ограничительных предположениях эта теорема была ранее полу-
чена Б. Р. Мукминовым другим путем.
А. С. Маркус [37] обобшил теорему Мукминова—Глазмана, введя поня-
тие базиса Риса из подпространств. Оценив угол между подпространствами
неравенством типа (62), А. С. Маркус устанавливает, что при определенных
ограничениях на собственные значения диссипативного оператора А его
корневые подпространства образуют базис Риса своей замкнутой линейной
оболочки.
В заключение отметим, что условие (63) и ему аналогичные налагают
жесткое ограничение на собственные значения, так что класс операторов,
для которых они выполняются, весьма узок.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА
И СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Из общих вопросов остановимся сначала на работах, которые развивают
результаты М. С. Лившица [13] и посвящены приведению ограниченного
оператора А к треугольному виду.
Мы уже указывали в связи с представлениями вольтерровых операторов,
что Л. А. Сахновичу [19] удалось построить треугольную модель ограничен-
ного линейного оператора, обладающего достаточным запасом инвариантных
12 Можно доказать, что если система φ^ образует базис Риса, то существует ограниченный
непрерывно обратимый оператор С, который переводит систему φ^· в ортонормирован-
ный базис.
348
/77. Дифференциальные уравнения
подпространств. В общем случае модель Л. А. Сахновича имеет вид
х
3/=-^-$^0М)/(9Л. " (64)
О
Оператор (64) действует в гильбертовом пространстве § вектор-функций
/ (0 = {/i (0* · · ·}> удовлетворяющих условию
ОС 1
SSi/.(oi"^<oo.
s=l О
В формуле (64) N (х, t) — некоторое матричное ядро. Оператор А унитарно
эквивалентен исходному оператору А с точностью до некоторого инвариант-
ного относительно А и А* подпространства, на котором выполняется равен-
ство А А* = А*А.
При дополнительных условиях, налагаемых на оператор А, можно вы-
полнить дифференцирование под знаком интеграла в формуле (64) и тем
самым упростить модель. Например, в случае, когда в формуле (33) Ατ —
типа Гильберта—Шмидта и спектр оператора А веществен, формула (64)
принимает вид
х
Af = H(x) f(x) + ^N(x, t) f (t) dt, (65)
о
где Η (х) — эрмитов оператор, а N (х, t) — матричное ядро, удовлетворяю-
щее условию (35). Мы уже указывали на эффективность треугольного пред-
ставления в случае вольтерровых операторов.
М. С. Бродский в работе [38] (1960 г.), обобщая свой результат [21]t
получил треугольное представление ограниченного оператора А с вещест-
венным спектром и мнимой вполне непрерывной компонентой Ατ при до-
полнительном предположении относительно строения инвариантных под-
пространств оператора А. Треугольное представление выглядит следующим
образом:
A=\a{x)dP (х) + 11 \ Ρ (х) ΑτdP (х). (66)
Ж Ъс
В этой формуле Ρ (х) — монотонная цепочка проекционных операторовг
проектирующих на инвариантные подпространства оператора А (ср. с (40)),
а α (х) — некоторая вещественная функция, значения которой совпадают
со спектром А.
Как показали Ю. И. Любич и В. И. Мацаев [39], условия, налагаемые
М. С. Бродским на инвариантные подпространства оператора А, выполняют-
ся, если
ε
\ln+ln+M(t)dt< оо, Μ (t) = sup || (Л — λ^)"11|).
Jf |Ιπ1λ|>*
Это условие является весьма широким; как доказал В. И. Мацаев, оно
выполняется, если сходится ряд Σ | τ п\ /(2п + 1), где хп — собственные
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 349
значения ΑΙη и, следовательно, практически при любом вполне непрерыв-
ном 13 А^
Дальнейшее усовершенствование треугольных представлений пойдет,
по-видимому, по пути упрощения вольтеррова слагаемого в формулах (65)
и (66). Интересные результаты в этом направлении получены Л. А. Сахно-
вичем [40]. Желательно также избавиться от условия вещественности спектра
операторов. Хотя невещественный спектр оператора с вполне непрерывной
мнимой частью дискретен, отщепление соответствующих инвариантных под-
пространств является далеко нетривиальной задачей.
Коснемся теперь другого направления в теории линейных операторов —
мы имеем в виду теорию спектральных операторов Н. Данфорда [41] (1954 г.).
В этой теории предполагается, что ограниченный оператор Г, действующий
в банаховом пространстве, обладает приводящим его семейством проекторов
Ε (δ) (δ — любое измеримое по Борелю множество комплексной плоскости).
Семейство Ε (δ) предполагается равномерно по δ ограниченным:
II Ε (δ) И < Μ (67)
и счетно-аддитивным: для каждой последовательности δη непересекающихся
•борелевских множеств
#(ивп)/ = |я(вп)/. (68)
1 1
тде ряд справа сходится сильно.
При некоторых естественных дополнительных предположениях относи-
тельно семейства Ε (δ) устанавливается, что соответствующий оператор Г,
называемый спектральным, представим в виде
Τ = S + Ν, (69)
тде S = j\λΕ (αλ), a N — обобщенный нуль-степенной оператор в смысле
И. М. Гельфанда (lim >/|| Тп\\ = 0), причем операторы N и S перестановочны.
Представление (68) является полным аналогом жордановой формы. Как
доказывает Н. Данфорд, для любой однозначной аналитической на спектре
Τ функции / (λ) справедлива формула
ос
п=0
хорошо известная в конечномерном случае.
Работам по дальнейшему развитию теории спектральных операторов
посвящен обстоятельный обзор Н. Данфорда [42] (1958 г.). Из обзора видно,
что усилия математиков, работающих в этом направлении, нацелены на по-
лучение достаточных условий, налагаемых на сам оператор Τ и его резоль-
венту, при которых оператор является спектральным. Полученные к настоя-
щему времени условия содержат требование не более чем степенного роста
резольвенты при приближении параметра λ к точке спектра. Кроме того,
требуется, чтобы для любых двух элементов х и у, таких, что функции В.%х
Отметим, что в предположении Σ | хп |р < оо треугольное представление (66) ранее
было получено И. Ц. Гохбергом и М. Г. Крейном.
(70)
350
7/7. Дифференциальные уравнения
и R^y не имеют общих точек нерегулярности, выполнялось неравенства
II х II ^ с II х + У II ПРИ некоторой не зависящей от х и у постоянной с.
Как утверждается в обзоре, все дифференциальные операторы с обыкно-
венными производными и регулярными краевыми условиями (операторы,
изученные Д. Биркгофом) являются спектральными. В схему Н. Данфорда
укладываются и некоторые сингулярные задачи. Утверждается, например,
что изученный М. А. Наймарком в работе [43] оператор
I (У) = -d*y/dx* + q (x) у, (71)
определенный на многообразии функций у (х) ΕΞ L2(0, + сю), у' (0) =
= hy (0), при условии
оо
$(l+*»)|?(i)|Ar<oo (72)
о
является спектральным (q (x) и h, вообще говоря, невещественны).
Среди дифференциальных операторов, для которых ранее не было полу-
чено разложение в интеграл Фурье, спектральным, как утверждается в об-
зоре, оказывается оператор
4y) = -^+a^L + q(x)y, (73)
где Re а Φ 0; q (x + π) = q (х). При вещественном q (х) и а = 0 оператор
(73) является самосопряженным: его спектр, как хорошо известно, представ-
ляет собой бесконечную серию интервалов, уходящих в + сю. Все точки
спектра являются двукратными.
Как показал М. И. Серов [44], в случае комплекснозначной функции
q (х) и а = 0 картина мало меняется: интервалы деформируются в криволи-
нейные отрезки, асимптотически сохраняя длины и расстояния между сосед-
ними концами. Если, однако, в формуле (73) положить Rea Φ 0, то спектр
меняется существенно. Несколько первых интервалов расщепляются в-
овалы; все остальные лакуны затягиваются, и дважды сложенный луч рас-
щепляется в кривую, асимптотически близкую к параболе.
М. И. Серов, исследовавший оператор (73) по предложению И. М. Гель-
фанда, оценил резольвенту оператора при приближении параметра к спектру.
Однако получить разложение в интеграл Фурье ему не удалось. Тем более
интересно, что этот вопрос решается из общих соображений.
Следует отметить, что доказательства анонсированных Н. Данфордом
результатов, к сожалению, до сих пор не опубликованы. Между тем непол-
ная формулировка результатов и отсутствие доказательств приводят к недо-
разумениям. Так, вопреки содержащемуся в обзоре утверждению, Б. С. Пав-
лов [45] показал, построив противоречащий пример, что оператор (71) при
условии (72) не является спектральным. Соответствующее утверждение
оказывается неверным даже в том случае, когда
оо
\(l + x*n)\q(x)\dz<oo (я>1). - (74)
о
В связи с теорией спектральных операторов отметим предпринятую
В. Э. Лянце [46] интересную попытку построить теорию спектральных
операторов в условиях одной лишь полноты системы инвариантных подпро-
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 351
странств, без предположения о равномерной ограниченности спектрального
семейства (67) и счетной аддитивности (68). Хотелось бы надеяться, что эта
теория найдет приложения.
В заключение остановимся на проблеме разложения по собственным
функциям обыкновенного дифференциального оператора в случае неогра-
ниченной области определения функций.
Мы уже упоминали известную теорему М. А. Наймарка [43] о разложе-
нии по собственным функциям уравнения Штурма—Лиувилля с невещест-
венным потенциалом q (x), удовлетворяющим условию (72). Эта теорема
М. А. Наймарка была обобщена В. Н. Фунтаковым [47] на случай диффе-
ренциального оператора четного порядка
I (у) = уьп) + р2 φ у(2п-2) + . . .+р2п (х) у, (75)
действующего в L2 (0, + оо), в предположении, что коэффициенты ps (x)
экспоненциально убывают при х —>-оо.
Новый подход к задачам разложения по собственным функциям диффе-
ренциального оператора предложен в работе В. А. Марченко [48].
Пусть
I (у) = d*yldx* -q(x)y (76)
— дифференциальный оператор, определенный в L2 (О, оо) на многообразии
функций, удовлетворяющих краевому условию
у' (0) = hy (0), (77)
q (x) — произвольная комплекснозначная функция, суммируемая в каждом
конечном интервале, a h — комплексное число.
Пусть ω (s, x) — решение уравнения I (у) + s2y = 0, удовлетворяющее
начальным условиям
ω (s, 0) = 1, (oi (s, 0) = h. (78)
Сопоставим каждой финитной функции / (х) ω-преобразование Фурье
оо
Ef (s) = J / (х) ω (s, x) dx. (79)
о
Если Eg (s) — ω-преобразование Фурье функции g (x), то в случае вещест-
венных q (х)и/г, как известно, справедливо следующее равенство Парсеваля:
оо -^-оо
lf(x)g (z) dx = J Ε, (VI) Ε8 (fk) dp (λ), (30)
0 —оо
где ρ (λ) — неубывающая вещественная функция. Оказывается, правую часть
этой формулы можно истолковать так, чтобы равенство Парсеваля сохра-
нилось при произвольных q (х) и /г, т. е. в несамосопряженном случае.
Переходя к изложению этого вопроса, заметим, что ω (s, x) и cos sx
связаны преобразованиями
ω
(s, Χ) = cos sx + ^ К (x, t) cos st dt, (CI)
352
/77. Дифференциальные уравнения
х
cos st = ω (s, t) + ξ Η (x, t) ω (s, t) dt, (82)
о
тде К и Η — гладкие ядра. Подставляя ω (s, х) из формулы (81) в (79), лег-
ко — на основании теоремы Палея—Винера— убедиться в том, что Ef(s) —
четная функция экспоненциального типа с интегрируемым квадратом на
вещественной оси. Обозначим через Ζ топологическое пространство всех
целых четных функций, интегрируемых на вещественной оси, со следующим
определением сходимости: Fn (λ) -*F (λ), если
+°°
lim \ \F(k) — Fn(X)\dX = 0
и степени ση функций Fn (λ) ограничены в совокупности. Легко видеть, что
произведение Ef (Υ λ) Eg (Υ λ) принадлежит Ζ, и можно показать, что множе-
ство таких произведений плотно в Ζ.
Правую часть в формуле (80) поэтому можно рассматривать как линейный
функционал в Ζ, заданный на плотном многообразии. Последний по непре-
рывности можно продолжить на все пространство Ζ.
Таким образом, в самосопряженном случае оператор (76) порождает
некоторый непрерывный функционал в Ζ, для которого справедлива формула
(80). Как доказывает В. А. Марченко, это утверждение сохраняет силу и в
общем случае, т. е. всегда с оператором (76), можно связать непрерывный
функционал (R, F (λ)), F (λ) £Ξ Ζ, для которого справедлива формула
оо
lf(x)g (x) dx = (R, Ef (Yl) Eg (j/λ)). (83)
о
Замечательно, что В. А. Марченко удалось решить и обратную задачу:
восстановить функцию q (х) и h по заданному функционалу (i?, F (λ)).
Отметим, однако, что отыскание аналитического выражения для функ-
ционала R удается провести до конца лишь при дополнительных ограниче-
ниях, налагаемых на функцию q (x). Например, при условии (72) удается
показать, что
О
где
В± (λ) = у (λ ± Ю, 0) h - у' (λ ± Ю, 0); тг (z) = m (z)/[l + hm (z)]\
т (z) — аналог функции Вейля.
В более общем случае функционал представляется интегралом по кон-
ТУРУ* охватывающему спектр оператора. Стянуть этот контур на спектр пока
не удалось.
Можно думать, что идея сопоставления линейному оператору функцио-
нала на некотором топологическом пространстве аналитических функций с
последующим изучением носителя этого функционала найдет применение и
в случае общего линейного оператора. До сих пор, однако, она реализована
лишь в случае задачи для одного обыкновенного дифференциального урав-
нения второго порядка и системы (см. [49]).
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов 353
ЛИТЕРАТУРА
1. Hubert D. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. В.:
Teubner, 1924.
2. Hellinger E. Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlich vielen
Veräiderlichen.—J. reine und angew. Math., 1909, Bd. 136, S. 210—271.
3. Birkhoff D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equa-
tions.— Trans. Amer. Math. Soc, 1908, vol. 9, p. 373—395.
4. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных диф-
ференциальных уравнений. Пг., 1917.
5. Tamarkin J. D. Some general problems of the theory of ordinary linear differential
equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions.—
Math. Ztschr., 1927, Bd. 27, S. 1—54.
6. Birkhoff D., Langer R. The boundary problems and developments associated with a
system of ordinary linear differential equations of the first order.— Proc. Amer. Acad.
,. Arts and Sei., 1923, vol. 58, p. 51—128.
7. Carleman T. Über die asymptotische Verteilung der Eigen werte partieller Differenti-
algleichungen.— Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-phys. KL, 1936, Bd. 88,
S. 119—134.
8. Carleman T. Zur Theorie der linearen Integralgleichungen.— Math. Ztschr., 1921, Bd 9,
S. 196—217. , J , л
9. Hille £., Tamarkin J. D. On the characteristic value of linear integral equations.—
Acta math., 1931, bd 57, s. 1—76.
10. Келдыш M. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов
несамосопряженных уравнений.— Докл. АН СССР, 1951, т. 77, № 1, с. 11—14.
11. Browder F. On the eigenfunction and eigenvalues on the general linear elliptic differen-
tial operations.— Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1953, vol. 39, p. 433—439.
12. Налант Ю. Д. Об одном признаке полноты системы собственных и присоединенных
векторов полиномиального пучка операторов.— Докл. АН СССР, 1961, т. 141, № 3,
- с. 558-567.
13. Лившиц М. С. О спектральном разложении линейных несамосопряженных операто-
ров.— Мат. сб., 1954, т. 34 (76), № 1, с. 145—199.
14. Мукминов Б. Р. Разложение по собственным функциям диссипативных ядер.— Докл.
АН СССР, 1954, т. 99, № 4, с. 499—502. . г
15. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires.— Mem. Amer.
Math. Soc, 1955, N 16, p. 191-140.
Iß. [Лидский В. Б. Теоремы о полноте системы собственных -и присоединенных элементов
у операторов с дискретным спектром.— Докл. АН СССР, 1958, т. 119, №' 6, с. 1088—
- 1091.
17. Лидский В. Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след. — - Докл. АН СССР,
1959, т. 125, № 3, с. 485—487.
18. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных
операторов.— Тр. ММО, 1962, т. 11, с. 3—35.
19. Сахнович Л. А. О приведении несамосопряженных операторов к треугольному ви-
ду.— Изв. вузов, 1959, т. 8, № 1, с. 180—186.
20. Сахнович Л. А. Исследование треугольной модели несамосопряженных операторов.—
Изв. вузов, 1959, т. 11, № 4, с. 141—146.
21. Бродский М. С. О треугольном представлении вполне непрерывных операторов с од-
ной точкой спектра.—УМН, 1961, т. 16, № 1 (97), с. 135—141.
22. Aronszain N., Smith R. Invariant subspaces of completely continuous operators.—
Ann. Math., 1954, vol. 60, N 2, p. 345—350.
23. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. О вполне непрерывных операторах со спектром, сосре-
доточенным в нуле.— Докл. АН СССР, 1959, т. 128, № 2, с. 227—230.
24. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. О вольтерровых операторах с мнимой компонентой того
или иного класса.— Докл. АН СССР, 1961, т. 139, № 4, с. 779—782.
25. Мацаев В. И. Об одном классе вполне непрерывных операторов.— Докл. АН СССР,
1961, т. 139, № 3, с. 548—551.
26. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. К теории треугольных представлений несамосопряжен-
ных- операторов.— Докл. АН СССР, 1961, т. 137, № 5, с. 1034.
27. Крейн М. Г. К теории линейных несамосопряженных операторов.— Докл. АН СССР,
1960, т. 130, № 2.
28. Крейн М. Г. О признаках полноты системы корневых подпространств диссипативно-
го оператора.— УМН, 1960, т. 14, № 3, с. 87.
23 М. В. Келдыш. Математика
354
///. Дифференциальные уравнения
29. Крейн M. Г. К теории целых функций экспоненциального типа.— Изв. АН СССР»
Сер. мат., 1947, т. И, с. 309—326.
30. Levinson N. Gap and density theorems.— Amer. Math. Soc. Colloq. Pubis, 1940, vol. 26,.
N 13.
31. Левин Б. Я. О вполне непрерывных несамосопряженных операторах.— Тр. Харьк.
ин-та путей сообщения, 1959, вып. 35, с. 5—23.
32. Аллахвердиев Д. Э, О полноте системы собственных и присоединенных элементов не-
самосопряженных операторов, близких к нормальным.— Докл. АН СССР, 1957г
т. 115, № 2, с. 207—210.
33. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных,
операторов.— Докл. АН СССР, 1960, т. 132, № 2, с. 275—279.
34. Расулов М. Л. Асимптотическое представление решений граничных задач с комп-
лексным параметром для уравнений эллиптического типа.— Докл. АН СССР, 1959,.
т. 125, № 2, с. 42—45.
35. Лидский В. Б. О разложении в ряд Фурье по главным векторам эллиптического опе-
ратора.— Мат. сб., 1962, т. 57, вып. 2, с. 137—150.
36. Глазман И. М. О разложимости по системе собственных элементов диссипативных
операторов.— УМН, 1958, т. 13, вып. 3, с. 81.
37. Маркус А. С. О базисе из корневых векторов диссипативного оператора.— Докл*
АН СССР, 1960, т. 132, № 3, с. 524-527.
38. Бродский М. С. О треугольном представлении некоторых операторов с вполне не-
прерывной мнимой частью.— Докл. АН СССР, 1960, т. 133, № 6, с. 1271—1274.
39. Любич Ю. И., Мацаев В. И. К спектральной теории линейных операторов в бана-
ховом пространстве.— Докл. АН СССР, 1960, т. 131, № 1, с. 21—23.
40. Сахнович Л. А. Спектральный анализ несамосопряженных вполне непрерывных опе-
раторов с единственной точкой спектра: Автореф. дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. Харь-
ков. Харьков, ун-т, 1960.
41. Danford N. Spectral operations.— Pacif. J. Math., 1954, vol. 4, N 1, p. 321—354.
42. Данфорд И. Обзор по теории спектральных операторов.— Математика, 1960, т. 4,.
№ 1, с. 53—100.
43. Наймарк М. А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям не-
самосопряженного дифференциального оператора второго порядка на полуоси.— Тр.
ММО, 1954, т. 3, № 270, с. 182.
44. Серов М. И. О некоторых свойствах спектра несамосопряженного дифференциального-
оператора второго порядка.— Докл. АН СССР, 1960, т. 131, № 1, с. 27—30.
45. Павлов Б. С. О несамосопряженном операторе на полуоси.— Докл. АН СССР, 19611
т. 141, № 4, с. 807—810.
46. Лянце В. Э. Об одном обобщении понятия спектрального оператора.— Докл.
АН СССР, 1962, т. 142, № 2, с. 278—281.
47. Фу ишаков В. Н. О разложении по собственным функциям несамосопряженного диф-
ференциального оператора произвольного четного порядка на полуоси.— Доюк
АН СССР, 1960, т. 132, № 4, с. 777-780.
48. Марченко В. А. Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингу-
лярных дифференциальных операторов второго порядка.— Мат. сб., 1960, т. 52 (94),.
№ 2, с. 739—788.
49. Рофе-Бекетов Ф. С. Разложение по собственным функциям бесконечных систем диф-
ференциальных уравнений в несамосопряженном и самосопряженном случаях.—
Мат. сб., 1960, т. 51 (93), № 3, с. 293-342.
IV
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
МАТЕМАТИКА
О МЕТОДЕ Б. Г. ГАЛЁРКИНА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ДВИЖЕНИИ ГАЗА
С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ СЧЕТНЫХ МАШИН
33
О МЕТОДЕ Б.Г.ГАЛЕРКИНА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ *
В статье дается доказательство сходимости метода Галеркина
для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений
В 1915 г. Б. Г. Галеркин предложил метод решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений, который был им применен к
решению ряда задач об устойчивости упругих систем [1]. Впоследствии выяс-
нилось, что в случае вариационных задач этот метод по существу совпадает
с методом Ритца. Однако способ применения этого метода, предложенный
Галеркиным, не связан с вариационной задачей, определяющей дифферен-
циальные уравнения, и может быть приложен и к несамосопряженным
уравнениям. В последнее время метод Галеркина получил весьма широкое
распространение в применении к несамосопряженным системам при изу-
чении неконсервативных механических систем и неизменно приводил к хо-
рошим результатам.
Метод Ритца для решения вариационных задач получил обоснование в
простейших случаях еще в работах самого Ритца. В дальнейшем этому ме-
тоду был посвящен целый ряд исследований и особенно глубоко он был
изучен в фундаментальных работах Н. М. Крылова и Η. Η. Боголюбова.
Наряду с этим, насколько нам известно, применение метода Галеркина к
несамосопряженным системам до сих пор не получило обоснования. В ряде
мест даже высказывались сомнения в законности его применения М. Недавно
появилась работа Г. И. Петрова [2], где было дано обоснование метода
Галеркина для некоторых частных случаев путем сведения исследования о
сходимости к изучению бесконечной системы линейных уравнений.
Мы также используем связь метода Галеркина с системами линейных
уравнений и в широком классе случаев даем доказательство сходимости
этого метода при существенно необходимых ограничениях, наложенных
на систему приближающих функций.
В разд. 1 рассматривается общее обыкновенное дифференциальное урав-
нение 2тг-го порядка, причем мы ограничиваемся простейшими граничными
условиями. Перенесение доказательства на другие граничные условия не
представляет существенных трудностей. В разд. 2 детально разбираются
для уравнения 2-го порядка все граничные условия, связывающие значения
функций и производной на каждом из концов интервала. В разд. 3 рассмат-
ривается задача Дирихле для уравнений с частными производными. В этом
случае при общих ограничениях, наложенных на систему функций, уже не
имеет места равномерная сходимость решений; устанавливается их сходи-
мость в среднем и сходимость собственных значений. Само исследование
бесконечной системы в этом случае становится также значительно сложнее·
* Изв. АН СССР. Сер. матем., 1942, т. 6, № 6, с. 309—330. Статья сопровождается ком-
ментариями редколлегии, отмеченными сносками в круглых скобках и помещенными
в конце статьи.
358
IV. Вычислительная математика
1. УРАВНЕНИЯ 2п-го ПОРЯДКА
Рассмотрим на интервале 0 ^ х <^ 1 уравнение 2п-го порядка
„2п„ 2-1
г=0 КГ
зависящее от параметра λ, изменяющегося в области D комплексной плос-
кости. Коэффициенты уравнения предполагаются непрерывными функциями
х и λ, когда х изменяется на интервале (0, 1), а λ — в области!), и аналити-
ческими функциями λ bD. Мы будем предполагать, что коэффициенты диф-
ференцируемы по х столько раз, сколько это нам в дальнейшем потребуется,
и что ρ (х) > 0.
Рассмотрим систему S, образованную уравнением (1) и простейшими гра-
ничными условиями *
„<*> (0) = ylV (1) =0 Г (к =-- 0, 1, . . ., η - 1). (2)
При фиксированном λ система S, как известно, либо имеет решение при
любом значении правой части (1), либо однородная система S (получаемая
при / (х) = 0) допускает решения, отличные от нуля. Значения λ, при кото-
рых имеет место последнее обстоятельство, носят название собственных зна-
чений.
Академик Б. Г. Галеркин предложил метод решения системы S, требую-
щий для построения каждого приближения решения системы алгебраиче-
ских линейных уравнений. Этот метод сводится к следующему.
Пусть
<Pl (*), Ф2 (Л?), · · ·, Фт (*), · · · ' (3)
— система функций, удовлетворяющих граничным условиям (2). Положим
Ут = *Jm)<Pl (X) +4Ш)ф2 (*) + ..·+ 4Г} Фт (*) (4)
я построим для определения констант х[т) систему линейных алгебраических
уравнений следующим образом:
1
llL(ym)-nVidx = 0 (i = l,2,...,m).. (Ь)
о
Система эта имеет следующий вид: ^
- 2с«(хМт)-л=о, .. (6)
и коэффициенты ее суть голоморфные функции λ в D.
Собственные значения системы S ищутся как пределы собственных чисел
системы (6) алгебраических уравнений, и, если λ не есть собственное число
системы S, ее решение ищется как предел последовательности
Ух (*), Уг (*),· · ч Ут (*), · ·· (7)
с коэффициентами, определенными из уравнений (6).
Как известно, в том случае, когда уравнение (1) может,|),$тъ поручено
как уравнение Эйлера для действительного функционала, метод Галёркина
33. О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач 359
«овпадафт с методом Ритца для решения соответствующей вариационной за-
дачи. Однако ε отличие от метода Ритца метод Галеркина применим и к
несамосопряженным уравнениям и к уравнениям с комплексными коэффи-
циентами.
Мы докажем следующее предложение.
Если система функций, составленная из η первых степеней х и из п-х
производных от функций последовательности (3)
. ., 1,-х, х2 *п-\ <pi"\ ч4"\ . . ., Ф(Г , · · - (8)
полна в смысле среднего квадратичного уклонения, то:
1) собственные значения системы S получаются предельным переходом из
собственных значений систем (6);
2) если λ — простое собственное значение системы S, то соответствую-
щая собственная функция системы S получается как предел последователь-
ности (7) с коэффициентами, полученными из решения однородных урав-
нений (б)(2);
3) если λ не есть собственное число системы S, решение S есть предел
последовательности (7) с коэффициентами, определенными из (6) при том же
значении λ.
Производные у$ (х) при / < η сходятся равномерно к соответствующим
производным решения у, а у^ (х) сходится в среднем к z/(n) (х).
Для доказательства заметим, что уравнение (1) всегда можно записать
в виде
■£г (РУ™) + ^г £ 9) (*. λ) уО + £ г} (х, λ) у(й = / (х). (Г)
3=0 .7=0
Далее, при доказательстве можно предполагать, что функции ср^} (х)
образуют нормированную ортогональную систему с весом ρ (х):
г / ν , ч f 0» тф к,
W№dx-\lt m=k ■ (9)
В самом деле, если это не выполняется, то можно построить новую сис-
тему функций tym (x), полученную из системы (3) линейным преобразованием,
т!риводящим к ортогонализации системы п-х производных функций (3):
т m
Ψ™ = Σ amk<f>ki <Ρτη= Σ PmA-
г=0 г=0
"Я ·5 '..
Система алгебраических уравнений иг-го приближения, получаемая исходя
лз последовательности функций tym, может быть выведена из системы (6)
т
путем замены переменных гДт) = Σ $ыхкт) и образования линейных комби-
к=г
наций уравнений системы (6) At = Σ atk^k- Отсюда вытекает, чтособст-
венные значенияп системы (6) и At = 0 совпадают, а последовательность ;(7)
не изменяется 4 при переходе от последовательное^ срт к последователь-
ности -фто. * ' , 1 «μ?
360
IV. Вычислительная математика
Отметим некоторые свойства разложений по системе функций ср^ (х).
В силу граничных условий (2) каждая функция ср™} (х) ортогональна ко
всем степеням хп при к < п:
1
lxh'^)(x)dx = 0 (Л О),
о
Отсюда и из полноты системы функций (8) вытекает, что всякая функция
/ (х), ортогональная ко всем φ™4 Kf^mdx = 0], есть полином (η — 1)-й
степени
/ (х) = с0 + сгх + .. . . + Сп-гх"-'1,
1
а всякая функция g (х), ортогональная к первым степеням xiAgx* dx = 0,
о
к < п), может быть приближена в среднем линейными комбинациями функ-
ций φ^\ В частности, если система φ^ ортогонализирована с весом ρ (я),
разложение g (x) в ряд Фурье по функциям ср™} сходится в среднем к g (x).
Если функции φ^ (х) ортогональны, то в силу граничных условий
1 η г
\ <р* утг (рфЙ}) dx = (-1)" \ р^УЯ dx = (<-J
i dx % lo.
(-1)", m = k,
тфк.
Следовательно, система (6) может быть записана в виде
т
4W)+ S^(M4m)-/i = o, (io)
k=l
причем
n-l
(- 1)" Aik = J [^(^) + £ Γ/φ.«] φ,Λτ,
1
(-1)ηΛ = $/·«Ρ,<**.
0 j=Q j=0
1
■ I
о
Для дальнейшего положим
где
η—1 1 η—1
«« = S φ!η) 2 ?;φ1Λ ^; ь«= (- i)n S φ, Σ ^j) <**· (42)
j^o ο j=o
Выражение aib. получается я-кратным интегрированием по частям слагае-
мого Ai1n соответствующего первому члену в квадратных скобках выраже-
ния (11).
33. О методе Б. Г. Галёркина для решения краевых задач
361
Система (10) получается усечением бесконечной системы линейных урав-
нений
ОО
*i+ Σ4*(λ)**-Λ = ο. (13)
k=l
Докажем, что система (13) эквивалентна системе S в следующем смысле:
решению у (х) системы S соответствует решение системы (13)
1
хк=$ру^п)ах (14)
о
оо
со сходящейся суммой квадратов 21 I xt I < + оо и, обратно, всякому
к=1
решению системы (13) со сходящейся суммой квадратов соответствует реше-
ние системы S. В частности, собственные значения системы (13) и системы
S совпадают.
Пусть у (х) — решение системы S. Разложим у^ в ряд Фурье по ортого-
нальной системе функций ср^; (х). Определяя коэффициенты по формулам
(14), получаем сходящееся в среднем разложение
f'W~S *«q£H (15)
m=l
так как у^п)(х) в силу граничных условий ортогональна к 1, х, х2, . . ., я71"1.
Интегрируя это разложение и определяя константы из граничных усло-
вий, получим равномерно сходящиеся разложения
уО)(х)= |*«<р# (}<т). (15')
Умножим уравнение (1') на φ^ (х) и проинтегрируем по промежутку (0,1).
Методом интегрирования по частям получим следующее соотношение:
1 η--1 η—1
jj |Wn>q>in) + £ ад^^Ч- (-1)" £ г#и><р, - (-1)" Μ J dx = о. (16)
0 3—0 3=Q
Подставляя сюда разложения (15) и (15х) и производя почленное интегри-
рование рядов, убеждаемся, что хк удовлетворяют системе (13).
Обратно, допустим, что хк есть решение системы (13) со сходящейся сум-
мой квадратов. Пользуясь теоремой Фишера — Риса, мы образуем функцию
η (х) с разложением в ряд по ортогональной системе φ(^:
ос
η(*)« Σi ««я&Ч*) (17)
m=l
И ПОЛОЖИМ
оо
у{х)= 2 *т<рт(*)·
т=1
Полученный ряд и его производные порядка меньше η сходятся равномерно,
так как они получаются интегрированием ряда (17) и, кроме того, г/<п) (х) =
■3 62
IV. Вычислительная математика
4.V..
= η (х) почти всюду. Функция у (х), очевидно, удовлетворяет граничным
условиям, и надо доказать, что она удовлетворяет дифференциальному
уравнению (1').
Из определения у (х) следует, что уравнения (13) можно записать в виде
(16). Интегрируя η раз по частям последние два члена интегрального выра-
жения (16), получим
1 п—1 х х п—1
S [ру™ + Σ m(i) + S · · · И Σ пум - f) dxn] <pi»> dx = o.
0 j=0 0 0 j=0
Отсюда вытекает, что функция, стоящая в квадратных скобках, как ортого-
нальная ко всем φ^ будет многочленом степени η — 1:
^- п—1 х х п—1
РУ™ + Σ WU) + S · · · Ι Σ ПУ® dxn = C0 + C1x + ... + Спхп.
3=0 0 0 j=0
Дифференцируя это соотношением раз, убеждаемся,что у(х) удовлетворяет
уравнению (1).
Докажем теперь, что собственные значения системы (13) получаются
^peдeльным переходом из собственных значений системы (10), а решения
х\* · · ·> хт-> · - · системы (13) получаются предельным переходом из решений
.#im\ . . ., х^ системы (10), причем имеет место сильная сходимость:
lim S |*»-4m)|f=0. (18)
т-*х k=l
В силу результатов Коха (3) о линейных системах для этого достаточно
установить, что ряд
Σ|Λ«(λ)|» (19)
г, к
равномерно сходится в области D [3, 4]. Из (18) непосредственно вытекает,
что последовательность г/(^) сходится в среднем к тг-й производной решения
5, аг/m при / < η сходится равномерно к yj (х).
Мы докажем, что ряд (19) сходится внутри области D изменения λ и сум-
JMa его внутри D равномерно ограничена.
Так как члены ряда (19) суть квадраты модулей аналитических функций,
то отсюда вытекает равномерная сходимость ряда (19) внутри D х.
Достаточно доказать сходимость и ограниченность суммы рядов
Σ |««|8. ΣΙΜ3·
г, к г. к
Рассмотрим первый из этих рядов. На основании неравенства Бесселя
для ортогональной с весом ρ (х) системы φ^) имеем
оо у 1 п—1
^K*i2<$|£<rf(*)|
г=1 0 j=0
dx
а Последнее вытекает хотя бы из того, что во всякой подобласти D ряд (19) можно
мажорировать рядом гармонических функций с ограниченной суммой, и из теоремы
Харнака.
33. О методе Б. /\ Галёркина для решения краевых задач
363
П— 1
:так как ailc есть г'-й коэффициент Фурье функции—т-г- V, ^-фл^. Таким об-
разом,
з=о
оо 1 п—1
гД /с=1 0 7=0
2 da:
(20)
Выразив φ"' (х) через щ (#) формулой
ф/с
Л/
получим
η—1
Σ ад#> (*) = $ (Σ * <*> ^Ξ^τ) 9i° W *.
J—О
0 J=0
следовательно, левая часть этого равенства есть коэффициент Фурье функ-
ции от £, получаемой делением выражения в скобках, стоящего под знаком
интеграла, на ρ (t) на интервале О^Цжи равной нулю при х < t <^ 1.
На основании неравенства Бесселя
ΣΙ&φ*
fc=l j=О
в силу (20)
О")
<
ЛЕ*<*.ч^т^
(аг _ f)n-i-l 12 di
о j=o
Χ η—1
ρ С)
,n-j-l
i,fc о 0 j=0
2 £#
P(0
0 j=0
Отсюда вытекает, что ряд Σ j aife|2 сходится, а сумма его ограничена внутри
области D. Рассмотрим теперь ряд Σ| biJs (λ) |2. Пользуясь выражением
для &ifc, в силу неравенства Шварца находим
1 1 п-1
dx,
откуда
|6«Ι*<$|φ1Ν*·$|ΣΓ^
0 0 3=0
УДа
1 η—1
(*) 0
(fc) 0 j=l
.вычисляя стоящие справа суммы так же, как это делалось выше, найдем
IX.
'2 dt " dx
г, U l 0 0
1 я п—1
/> (t) ρ (х)
X
0 0 3=0
dt dx
p(t) ρ (х) '
что доказывает ограниченность суммы ряда, стоящего в правой части.
Этим вполне доказывается высказанное выше предложение о сходимости
метода Б. Г. Галёркина.
364
IV. Вычислительная математика
\
2. УРАВНЕНИЕ 2-го ПОРЯДКА
Остановимся подробнее на случае уравнений 2-го порядка. Рассмотрим
уравнение 2-го порядка
^(py')+il9(*>b)y] + r(xA)y = 0, (21)
удовлетворяющее условиям разд. 1, и рассмотрим граничные условия вида
у' (0) = h0y (0), у' (1) = hiy (1). (22)
Мы докажем сходимость метода Галеркина при следующих условиях, на-
ложенных на систему (3):
а) функции фт (х) дважды дифференцируемы и удовлетворяют гранич-
ным условиям (22);
б) система из производных ср'т (х), дополненная разрывной функцией
ψ (х), определенной равенствами
Ψ(0) = /*ο~\ ψ(1) = -^\ ψ(*) = 1, 0<я<1,
если ни одно из чисел fe0, 1пх не равно нулю, и ψ (х) = 0 при h0 = О или
h1 = О, полна в пространстве с расстоянием
1
P{f.i) = lp\f-g\2dx + eo\f(0)-g{Q)\' + *1\fH)-g(l)\*,
О
где ef = 1, если ht отлично от нуля и бесконечности, и ef = О, если ht = О
или ht = оо;
в) если h0 = hi = О, система пар функций (φ£, φ!) полна в пространстве
паР {\у dx,y), где у — функция с суммируемым квадратом, а расстояние
определяется формулой
1
p(f,g) = lp\f-g\*dx + \F(0)-G(Q)\*,
О
где F (х) = J fdx\ G (x) = Igdx. В частности, условие в) выполнено,
если система производных {φη (х)} полна и система функций (3) содержит
единицу.
Мы остановимся на случае, когда fe0, hx отличны от нуля и бесконечно-
сти. Остальные случаи рассматриваются подобным же образом.
Пусть hi конечны (ht Φ О, оо). Систему производных от функций после-
довательности (3) мы можем считать ортогональной в пространстве с рас-
стоянием ρ (/, g):
1
$ру'гЩ dx + φ· (0) щ (0) + φ· (1) φ* (1) = 0.
о
33. О методе Б. Г. Галёркина для решения краевых задач 365
Рассмотрим разложение в ряд Фурье функции / с конечной нормой
Ρ (/, 0):
/~Sw· (23)
Это разложение сходится в пространстве с расстоянием ρ (/, g). Из опреде-
ления расстояния следует, что это разложение сходится в среднем на ин-
тервале 0 < х <С 1, а в точках х = 0 и х = 1 сходится в обычном смысле.
В силу граничных условий (22) легко показать, что функции Ц)'т (х) удов-
летворяют соотношению
1
\ Wm dx + Ц (0) φ;„ (0) + ψ (1) φ™ (1) = 0.
ο
Имея в виду, что система функций if), φ{,φ2? . . ., φ™, · . · полна в простран-
стве с расстоянием
1
P(f,g) = l\f-g\2<lx + \g(0)-f(0)\* + \g(l)-f(l)\\
о
заключаем, что вся функция /, удовлетворяющая соотношениям
1
ξ fa'mdx + /(0)q4(0) + /(l)q>m(l)= 0,
о
имеет вид / = Сг|г, всякая функция, удовлетворяющая соотношению
1
$/ψ^ + /(0)ψ(0) + /(1)ψ(1) = 0, (24)
о
принадлежит к линейному пространству, определяемому функциями φ™.
В частности, ряд Фурье (23) сходится к / в пространстве с расстоянием
ρ (/, g)-
Бесконечная система (10), сечением которой получаются уравнения для
п-то приближения Галёркина, может быть получена из соотношений
1 1
J {L (у) — /} Vi dx = l(py' + qy) φ{β — ξ [(py' + qy) ψ[ — (ry + /) φ{J dx = 0
о о
(25)
формальной подстановкой рядов
2/ = S*i<Pi, y'=S*i<Pi- ' (2б)
Если у (х) есть решение системы 5, то г/' удовлетворяет соотношению
(24) в силу граничных условий, и поэтому разложение сходится к у по рас-
стоянию ρ (/, g). Разложение для у сходится равномерно в силу сходимости
в среднем ряда для г/' на (0,1) и сходимости ряда
Jj *г<Рг (0) = η^ J^ Х&\ (0).
Отсюда следует законность формальной подстановки рядов (26) в (25),
а поэтому решению системы S соответствует решение уравнений (10)
366
IV. Вычислительная математика
со сходящейся суммой квадратов
1
*i = lm/Vid* + У (0) ΦΙ (0) + У' (!) <Fl I1)·
о
Обратно, если имеем решение системы (10) со сходящейся суммой квадра-
тов, то полагаем
Второе из этих разложений сходится по расстоянию ρ (/, g), а первое рав-
номерно. Функция у есть интеграл от г/1? поэтому удовлетворяется соотно-
шение, полученное из (25) заменой у' на уг в проинтегрированных членах
(при х = 0, 1). Интегрируя по частям это соотношение и пользуясь гранич-
ными условиями для (jpj, получим
J [py' + qy+\(ry- /) dx\ φ! dx + ^- [рУ1 (0) + qy (0)] -
о
q>i(i)
ni
А,
[руг + ЯУ + jj (Η/ — /) dx]x=1 = °»
откуда вытекает
Р2/' -Ь ^i/ -l·- $ (Π/ — f)dx = C,
о
1
\рУг + «/Ь=о = С, [pj/i + gj/l^i + ) {ry — /) dx = С.
о
Первое из этих соотношений показывает, что у есть решение уравнения,
а из сравнения первого с другими следует
У (0) = Уг (0), у' (1) = У1 (1),
и в силу разложения для у и г/1? сходящихся при х = О, 1, функция г/ удов-
летворяет граничным условиям.
Чтобы завершить доказательство, надо еще установить сходимость ряда
(19). Имеем
Ат = [prWi + дум* — <vWi]x=o— IPWi + дум* + φ1φ'*]*=1 +
1
+ llQWk — πρ,·φ*1 йл.
о
Доказательство сходимости ряда протекает вполне аналогично тому, как это
делалось в разд. 1, только надо иметь в виду граничные условия для функ-
ций (рь а также то, что выражение вида
1
Сч>1(0) + К<1>\+(1)^<р1ах
о
есть коэффициент Фурье функции, равной С при х = 0, К при х = 1 и / (х)
при 0 < х < 1.
33. О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач 367
3. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Рассмотрим в области D пространства η измерений х (хг, . . ., хп) урав-
нение эллиптического типа
η η
коэффициенты Аи В которого зависят линейно от параметра λ, при гра-
ничном условии
и = О на границе Г области D. (28)
Коэффициенты уравнения (27) будут предполагаться непрерывными иг
имеющими достаточно большое число частных производных по^, а граница
области D — имеющей непрерывную кривизну. В силу эллиптичности
уравнения квадратичная форма
Σ РгМ* ' (29>
положительна, и мы будем предполагать, что она не вырождается и на гра-
нице Г области D.
Уравнение (27) будем в дальнейшем записывать в следующем аиде:
^)-ΣΜΣ""^-)^Σ^+Ι"-'· (30>
vD
a<i = a'i + λα|,
сть
/С
ь, -
..
= ы + хы
I»)
(31>
— система функций, имеющих непрерывные вторые производные и удовлет-
воряющих граничному условию. Так же как и в случае обыкновенного урав-
нения, метод Галеркина состоит в отыскании приближений для решения
задачи в виде
т
ит=ЕЛь ' (32)
причем константы гДт) определяются из системы уравнений
J (L(um)-f)^dx = 0. (33)
Предположим, что функции (31) удовлетворяют следующему условию С.
Какова бы ни была функция Φ (х1ч . . ., хп) с интегрируемым квадратом
градиента
^ |gradCP!2d.r<+ оо,
<->
обращающаяся в нуль на границе Г, существует последовательность линей-
ных комбинаций Фт из функций (31), градиенты которых сходятся
368
TV. Вычислительная математика
в среднем к градиенту Ф:
lim \ | grad (Φ — Фт) |2 dx = 0. (34)
ГИ->оо
Тогда собственные значения уравнения (30) получаются предельным пере-
ходом из собственных значений системы (33), а градиенты функций (32)
сходятся в среднем к градиенту решения уравнения (30).
Заметим, что условие С эквивалентно следующему требованию: система
векторных полей, составленная из:
а) градиентов функций фт,
б) всех векторов вида Pt = 0 (i Φ у, &), Pj = дц)т/дхк, Pk = —dtpm/dxj,
в) градиентов всех гармонических полиномов,
полна в пространстве векторных полей Ρ (Р1? Р2, . . ., Рп) с расстоянием
р(Р',П= ΙΣ\Ρ\-ΡΙ\^Χ.
D 1=1
При доказательстве высказанного предложения можно предполагать, что
градиенты системы функций (31) ортогонализированы в следующем смысле:
SE^^HO- --{· (35)
Для всякого вектора Р можно построить коэффициенты Фурье по фор-
мулам
Ум-^&РиРг^х. (36)
Если вектор Ρ есть градиент функции, обращающейся в нуль на гра-
нице D, или аппроксимируется в среднем градиентами таких функций, то
имеет место в смысле сходимости в среднем равенство
P=Sy,8radVl. (37)
3=1
Необходимым и достаточным условием сходимости в среднем ряда (37)
к некоторому вектору указанного типа является сходимость ряда Σ | yj |2.
Вместе с рядом (37) мы будем рассматривать также ряд
Σ УМ. (38)
3=1
Из сходимости в среднем ряда Σ \ yj |2 следует сходимость в среднем
ряда (38). В самом деле, обозначая через 1Х отрезок, параллельный оси х1У
соединяющий точку х с контуром Г, и имея в виду, что φ; обращается в нуль
на Г, имеем
33. О методе Б. Г. Галёркина для решения краевых задач
369
где δ — диаметр области D. Поэтому
\ |S2/j<Pj|2^<s \ | Σ Уз Srad <Pj Г dx'
D
имея в виду, что
' 7·ΡΙΜ*>κγ,1!,
iyk (i)
и в силу ортогональности градиентов φ7·
Г> D i,k (j) * <*) l
Из этого неравенства непосредственно следует сходимость в среднем
ряда (38).
Из (39) также следует, что из сходимости в среднем последовательности
Р(т=^уТе^ъ (40)
вытекает сходимость в среднем последовательности
Ψτη=Σν№- (41)
Нам понадобится еще следующее утверждение: если последовательность
(40) слабо сходится к нулю, то и последовательность (41) сходится слабо к
нулю. Слабая сходимость (40) к нулю означает, что ограничены нормы
D (г)
и для любого вектора Q с ограниченной нормой
lim l4ZQiP[m)dx = 0.
m-*°° D (г)
Из (39) следует ограниченность норм функций г|?т; поэтому для установ-
ления слабой сходимости (41) надо только показать, что для всякой функ-
ции g с интегрируемым квадратом
lim $£1|>тАс = 0. . (42)
т—>оо ρ
Очевидно, что (42) достаточно установить для непрерывных функций g.
Переходя к пределу в равенстве
D D
где G = ^ g (xi, x<l, ..., хп) dxi, получим ^ \pmg dx = ^ P^G dx, откуда сле-
0 D D
дует равенство (42).
Рассмотрим уравнение
λ^-Σ^Σ*»-^-0· (43)
(г) г (ft)
24 Μ. В. Келдыш. Математика
370
IV. Вычислительная математика
В силу предположений, сделанных относительно коэффициента/?^, сущест-
вует функция Грина для уравнения (43), с помощью которой решение урав-
нения записывается в виде
. U = \G{x,l)F(l)dl. (44)
D
Формула (44) дает решение задачи Дирихле для уравнения (43), если функ-
ция F (ξ) удовлетворяет условию
| F {%') - F (%") |< К | 1'Г |λ (0 < λ < 1),
где | ξ'ξ"| — расстояние между точками ξ', ξ". В частности, (44) удовлетво-
ряет уравнению (43), если функция F (ξ) имеет ограниченные частные произ-
водные.
Из известных свойств функции Грина вытекает, что она сама и ее частные
производные могут быть записаны в виде
dG α. (х, ξ)
β<*,ξ)Η*Μ-.
μξΓ"2 <>*i \^\n~1
где α, at — равномерно непрерывные функции переменных xt и \к в обла-
сти D.
Нам понадобится дальше следующее предложение.
Если функция F (ξ) суммируема в степени q ^ 1, то выражение (44)t
а также.
D г
определены почти всюду, причем при ρ <^——ψ q функпия | U\p суммируема,
а при ρ<; ——τ-g функция | U{ |p суммируема и
ODD D
Это предложение непосредственно следует из следующей леммы.
Лемма. Пусть а <С п, g > 1, q *^ ρ < — g, функция F (ξ) определе-
на и положительна в области D, \ F \ч суммируема и Δ (х) — подобласть Dt
зависящая от точки х, диаметр которой не превосходит δ. Тогда функция
цг)= 5 ZM (Γ = |*ξ|) (46)
Δ (я)
конечна почти всюду в D и
l\I(x) \p dx < Св^+1/Р^/(1)-а (ξ I F (ξ) \q dl)1/q , (47)
D D
где С — константа, зависящая от чисел а, д, р, п.
Установим сначала неравенство (47) для ограниченной функции F (ξ).
33. О методе Б. Г. Галёркчна для решения краевых задач 371
В этом случае / (х) всюду конечна. В силу одной теоремы Риса (см. [5])
функция
П1)
\\F{l)\qdl
есть логарифмическая выпуклая функция переменных у = Ир, β = i/q
в треугольнике 0 <; γ <; β, 0 <; β <; 1, т. е. при 0 < t < 1, γ = yxt +
+ γ2 (1 — t), β = β^ + β2 (1 — t) имеем
^(T.PKICiTi.fcW'Wl^P·)]1-'.
Вычисляя пределы средних при γ = β = 0, получим
(· F (ξ) dl
тхХ ) ~
Q(0,0) = max * ff = шах $£<*««,
Vb х А(х)
где Сх зависит только от η и а. С другой стороны, в силу неравенства Гель-
дера при ар < η
Δ(,Χ) Ai.x) Δ (я)
поэтому
D Δ(Χ) ^ £> Δ^) ,
< J F d| [max J -^-] VP = C26«/P-« J F (ξ) dg, ,-
D D D
где C2 зависит только от η, ρ и α. Полученное неравенство дает
ρ (i/p, 1)<саб"/р-«.
В силу логарифмической выпуклости G при 0 <; i/q <; 1, 1/g > 1//? > rc/ag
ρ (J-, _Ц < Qi-i/я(о, 0) ρ1/. (-J-, l) < c\-1/Qcyi+1/v+1/q)-a.
Правая часть этого неравенства конечна, так как a/q < η, и, следователь-
но, (47) доказано для ограниченной F (ξ).
Пусть теперь F (ξ) — функция с суммируемой q-й степенью. Построим
возрастающую последовательность ограниченных функций Fn (ξ), сходящую-
ся в среднем степени q к F (ξ).
В силу теоремы Лебега
IF(x) = \\m hm{x)·
m-->oo
Так как последовательность 1F возрастает, неравенство (47) для F получает-
ся предельным переходом из соответствующего неравенства для Fm. В част-
ности, отсюда вытекает, что функция If{%) почти всюду конечна.
24*
372
IV, Вычислительная математика
Обратимся тейерь к рассмотрению системы уравнений (33).
Имея в виду ортогональность функций φ;· (35) и в силу формулы Грина
SV1 5 /Г1 dv \ j С ди dv j
D г k κ υ κ
имеющей место для всякой функции w, удовлетворяющей соотношению (28),
систему уравнений (33) запишем в виде
т
yW = _ 2 А}.у™ + f} (7 = 1,2,..., т), (48)
s=l
где
<9φ
Ajs=S [Σа% ~^ +bcps)ф*dx' ъ=5 ^dx- ^
D (i) * D
Система (39) является усечением бесконечной системы
0j+S4.y. = /j (* = 1,2,...). · (50)
Рассмотрим преобразование в гильбертовом пространстве
оо
Yi = f}-IiA}.y» (51)
s=l
и докажем, что при Σ-y) < +оо и
из (51) следует, что Yj есть коэффициент Фурье вектора
^=- S -Иг (Σв<в*+bw -;) **■ "~ <пя>
β J (i)
В самом деле, полагая
°^=- S -аг (ΣЯ{кГ>+Ьи(т) -')di'
О д (г)
т т
1 *« · 1
в силу формулы Грина получим
у(г'=ΙΣ pi*ur 5-di=- S 4>ja w^=
771
= J φ, (2/4«iW) + bum _ /\ rfg = _ £ ^..y. + /,.
^ l
В силу доказанной леммы из сходимости в среднем рядов (52) вытекает
сходимость в среднем U{m) к Uu и, следовательно, Υ^η) сходится к коэффи-
33. О методе Б. Г. Галёркина для решения краевых задач
373
циенту Фурье вектора Ut. Заметим, что в смысле сходимости в среднем
77.— V V. Фз
так как Ut приближается в среднем векторами U\m\ являющимися гра-
диентами непрерывных функций, обращающихся в нуль на границе D.
Докажем теперь, что коэффициенты Фурье градиента решения уравнения
(30) дают решение системы (50) со сходящейся суммой квадратов и, обратно,
всякому решению системы (50) со сходящейся суммой квадратов соответст-
вует решение уравнения (30), градиент которого определяется формулой
Пусть и — решение (30). Тогда в смысле сходимости в среднем
и = Σ ?/j<Pj> grad и = 2 Уj grad φ,..
Решение и удовлетворяет соотношениям
$[£(») — f]<p,dx=0,
D
а применяя формулу Грина, получим
$[Σ'»£-5ξ--(Σ*-£+,,-Η*-*
и i,k г
подставляя сюда сходящиеся в среднем разложении и, grad и, убедимся,
что yj удовлетворяют системе уравнений (50).
Обратно, если г/7- есть решение системы (50) со сходящейся суммой квад-
ратов, то в силу того, что преобразование (51) равносильно (53), а также
полагая ut = 4Lyjd(pj/dxi, и = Σ?/7·φ7·, получаем почти всюду
»i—S^-(E «Л+ *»-/) ^ (5*>
О д
аналогично докажем, что почти всюду
и = — J G(2 *i«i + Ъи — 1)d\. (55)
Функции | и |2, | ut |2 интегрируемы, поэтому F = Σα^ + Ъи — f имеет
также интегрируемый квадрат. Из сделанного выше замечания следует, что
как и, так и ut интегрируемы в степени рг = 2п1(п — 2).
Применяя повторно это предложение, убедимся, что как гг, так и uif
а следовательно, и функция F интегрируемы в степени рг >nl(n — 1). Но
тогда в силу неравенства Гельдера
I) l д ' D
D V
374
IV. Вычислительная математика
Имея в виду, что ρ (η — 1)/(р — 1) < η, заключаем, что и и ut ограничены.
Теперь из (54) следует, что ut непрерывны, удовлетворяют условию Гель-
дера с любым дробным показателем и равны производным от и. В силу этого
F непрерывна и удовлетворяет условию Гельдера, а поэтому и удовлетворяет
уравнению (30) и граничному условию (28).
Из доказанной эквивалентности задачи Дирихле для уравнения (30) и
системы (50), в частности, следует совпадение собственных значений для
системы (50) и уравнения (30).
Мы докажем теперь, что собственные значения (50) и его решения по-
лучаются предельным переходом от системы (48), причем
m
lim Σ|2/;-?/ΓΙ2 = 0.
m->oo j=i
Отсюда, очевидно, будет следовать высказанное выше предложение о мето-
де Галеркина.
Для установления этих свойств системы (50) достаточно показать, что
преобразование (51) вполне непрерывно 2, т. е. что из слабой сходимости
У (Уп Уъ · - ·, 2/т, · · -) к нулю:
оо
ИтуГ> = 0, Ъ\у1Г>\*<М,
т-*оо j=i
следует сильная сходимость к нулю последовательности
lim f, |yf>|2 = 0.
m-»oo i=l
Числа yjm; определяются как коэффициенты Фурье вектора Ufl\ опреде-
ленного формулой (53), поэтому нам достаточно доказать, что из слабой
сходимости к нулю функций Fm (ξ):
\im\Fm{l)g{l)d\ = 0, \\Fm(l)\*dl<M, (56)
следует сходимость в среднем к нулю векторов
D J
Чтобы это усмотреть, сделаем прежде всего следующее замечание.
Если функция Η (х, ξ) равномерно непрерывна, когда х и ξ изменяются
в D, то из (56) следует равномерная сходимость к нулю функций
hn{x) = lH{x,l)Fm{l)dl.
D
*Δ Легко убедиться, что в случае уравпений с частными производными ряд Σ | Ajs | 2, во-
обще говоря, уже не будет сходящимся. Для этого достаточно рассмотреть уравнение
Δφ + Хду/дх = 0
в квадрате 0 < х, у < π и систему приближающих функций
4 s;n nr s;ti тч
S3. О методе Б. Г. Галёркина для решения краевых задач 375
В самом деле, при любом Ε область D можно разбить на конечное число
частей Da так, чтобы для точки ξ, лежащей в Ζ)α, удовлетворялось неравен-
ство
| Η (х, I) - На (х) \<Е, На = Н (я, ξα),
где ξα — фиксированная точка Da. Тогда
\hm(x)\KE\\Fm\άl + Σ\Ha(x)\]^Fmdl\^:EγM^oбъeмD +
D (a) Da
+ тах|Я(*,£)|.2| $ * т *Ъ I ,
(а) гЗа
и, так как Ζ?α не зависит от х, это показывает равномерную сходимость hm
к нулю.
В силу свойств функции Грина G (х, ξ), отмеченных выше, мы можем ее
производные представить в виде
dG/dxj = aj (х, I) + β, (х, ξ),
причем слагаемые β7· (х, ξ) равномерно непрерывны при изменении х в об-
ласти Ζ), а первые слагаемые удовлетворяют неравенствам
\а,(х, I) \<AI\xl Г1
и обращаются в нуль при | xl·, | > δ, где δ сколь угодно мало. Тогда
U\m) = $ а} (х, t) Fm (ξ) dl + $ β, (x, ξ) Fm (I) dt
Ъ D
Первые слагаемые этих выражений С^т) (х) в силу нашей леммы удовлетво-
ряют неравенствам
• [Siffn,d*T/4^e[Si*ii><r/\
D D
и, следовательно,
J | ET5W1> |« г7ж < (СЛв)я Af.
о
Вторые слагаемые в силу слабой сходимости к нулю последовательности
Fm (I) и равномерной непрерывности ядер β7· (х, ξ) равномерно сходятся к
нулю. Так как δ может быть выбрано как угодно малым, это доказывает
сильную сходимость U(™' к нулю.
ЛИТЕРАТУРА
1. Галеркин Б. Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равнове-
сия стержней и пластин.— Вестн. инженеров, Пг., 1915, № 19, с. 897—908.
2. Петров Г. И. Применение метода Галёркина к задаче об устойчивости вязкой жидкос-
ти.— ПММ, 1940, т. 4, вып. 3, с. 3—11.
3. Koch Η. von. Sur la determinants infinis et les equations diiferentielles lineaires.— Acta
math., 1892/1893, bd 16, s. 217—295.
4. Riesz F. Les systemes d'equations lineaires a une infinite· d'inconnues. P.: Gauthier-Vil-
lars, 1913.
5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: ГОНТИ, 1939. 337 с.
376
IV. Вычислительная математика
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДКОЛЛЕГИИ
*х) В тексте статьи М. В. Келдыша дано пять ссылок, но список литературы отсутствует.
Редакция восстановила ссылки [1, 4, 5], однако названия двух работ: [2] и [3], в ко-
торых, по словам М. В. Келдыша, высказывались сомнения в применимости метода
Бубнова—Галеркина к несамосопряженным задачам, восстановить не удалось. В свя-
зи с этим изменена нумерация ссылок, и работа Г. И. Петрова упоминается теперь как
[2], а не [4], как было в тексте статьи. Редакция добавила также ссылки [3, 4] на ори-
гинальную работу фон Коха, упомянутую в статье без ссылки, и книгу Ф. Риса. Тео-
рия фон Коха приведена также в «Курсе современного анализа» Уиттекера и Ватсона.
Об оригинальной работе И. Г. Бубнова, предшествовавшей статье Б. Г. Галеркина,
М. В. Келдыш узнал от И. М. Виноградова уже после опубликования своего иссле"
дования. По поводу последовавших работ других авторов на эту тему см.: Михлин С. Г*
Вариационные методы в математической физике. 2-е изд. М.: Наука, 1970.
^ Утверждение 2 сформулировано в статье М. В. Келдыша без требования простош
собственного значения. Как показывают простые примеры с жордановыми клетками,
буквально в такой форме это утверждение неверно. Поэтому редколлегия сочла умест-
ным сделать соответствующее минимальное исправление.
*3) М. В. Келдыш ссылается на теоремы Коха об определителях бесконечного порядка
(см. примеч. 1). Действительно, из них вытекает утверждение 2 в исправленной (см.
примеч. 2) формулировке. Однако проще не прибегать к теоремам Коха, а воспользо-
ваться следующими хорошо известными фактами. Из сходимости ряда (19) следует,
что оператор Α (λ), определяемый бесконечной матрицей (Aik (X))?°fe==1, является ком-
пактным линейным оператором в Z2, аналитически зависящим от комплексного пара-
метра λ. Матрица усеченной системы (10) определяет в Ζ2 конечномерный оператор
Ат (λ), сходящийся по доказанному при т -* оо к Α (λ) в операторной норме равно-
мерно в области D. Резольвента R (λ) = [Ε + Α (λ)]-1 оператора Α (λ) — мероморф-
ная операторнозначная функция в области D, имеющая по предположению лишь прос-
тые полюсы. Строение резольвенты в окрестности полюса хорошо известно (см., на-
пример, статью «О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжен-
ных линейных операторов» в наст. кн.).
Если λ — точка регулярности резольвенты R (λ), то при /п> т0 (λ) она являет-
ся и точкой регулярности резольвенты Rm (λ) оператора Ат (λ), и Rm (λ) -» R (λ).
Если λ0 — полюс #(λ), то при достаточно малом ε в круге | λ — λ0 | < ε точка λ<>
будет единственной особой точкой оператора R (λ), причем полюсом первого порядка.
При m > тх (λ0, ε) резольвента Rm (λ) имеет особенность в круге | λ — λ0 | < ε.
Из сказанного следуют утверждения 1 и 3, сделанные М. В. Келдышем.
Известно, что оператор
Ρ = —U- [ R (λ) d%
|λ-λ0|=ε·
является проектором на инвариантное подпространство, отвечающее собственному
значению λ0, одномерное по предположению. Аналогичный интеграл для Rm (λ) дает
при т^т1 проектор Рт на инвариантное подпространство оператора Ат (λ). Ясно,
что Рт —* Ρ при т —* оо, откуда следует утверждение 2.
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 377
34
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ДВИЖЕНИИ ГАЗА
С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ *
Совместно с К. И. Бабенко, И. Μ. Гелъфандом,
Н. А. Дмитриевым, О. В. Локуциевским, Η. Η. Ченцовыи
Глава I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
Рассматривается задача об установлении движения идеального газа в
цилиндрической области (х, у, ψ) (х отсчитывается по оси, у — по радиусу,
ψ — угол), которое сопровождается ударной волной. Движение предпола-
гается осесимметричным, т. е. не зависящим от ψ, ударная волна движется
вдоль оси; на бесконечности, в том направлении, куда движется волна, газ
покоится.
Движение газа описывается четырьмя уравнениями:
а) сохранение импульса
ря + Рх = О, РУ + РУ = 0, (1.1)
б) сохранение массы
(«-ifeiH-0· (1·2>
в) изменение энтропии
1 . κ · 2 . /л <у\
—ρ—р-р=—да. i1·3)
и условиями для скачков на ударной волне
[Т] = 0, [ρ (Ν - Dn)] = 0, (1.4)
[p + p(N-Dnr] = 0, [_^r-^ + (iV-Dn)2] = 0,
где [/] — скачок функции / на волне; ж, у — цилиндрические координаты
(эйлеровы); α, δ — произвольные лагранжевы координаты; х = и, у = ν —
проекции скорости на оси х и у; Τ — тангенциальная (по отношению к
ударной волне) составляющая скорости движения газа; N — нормальная
составляющая; Dn — скорость движения ударной волны по нормали к
ней; ρ — давление; ρ — плотность, κ = 5/3; q — заданная функция коор-
динат.
* Отчет Отделения прикладной математики Μ И АН СССР. М-, 1954. 158 с. В пуб-
ликуемом тексте отчета опущены разд. 10, 19 и 24, содержащие системы расчетных
формул, поскольку они не представляют существенного интереса.
378
IV. Вычислительная математика
Требуется найти стационарное решение этой системы, т. е. решение, за-
висящее только от у и комбинации х — D0t, где D0 — неизвестная постоян-
ная (стационарная скорость ударной волны).
Искать стационарное решение мы будем методом установления. Выбрав
подходящим образом начальные данные и решая получившуюся смешанную
задачу, мы можем рассчитывать, что при t -> оо решение асимптотически
выйдет на стационарный режим.
2. ОСОБЕННОСТИ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА
Полученная из предварительных исследований картина стационарного
течения показана на рис. 1. На рис. 1, а ударная волна остановлена, если
же рассмотреть движение газа в эйлеровых координатах, то получится кар-
тина, изображенная на рис. 1, б.
Рис. 1
При х = —оо газ покоится. Газ перед ударной волной немного разогрет
и движется к х = —оо. Ударная волна также движется к х — —оо со ско-
ростью, превышающей скорость движения газа перед ней. Скорость газа за
ударной волной также больше скорости газа перед ударной волной, но
меньше, разумеется, скорости самой ударной волны.
Так как скорость ударной волны больше скорости распространения ма-
лых возмущений перед ударной волной, то решение системы перед волной
не зависит от решения за ударной волной. Таким образом, установившееся
течение определяется только граничными условиями при х = —оо. Поэтому
мы будем считать поток перед ударной волной установившимся и заранее
известным и обратимся к изучению течения за ударной волной, которое
определяется положением в начальный момент и условиями на ударной
волне.
Непосредственно за волной около оси имеется область дозвукового (от-
носительно волны) течения, все остальное — область сверхзвукового тече-
ния. Как видно из рис. 1, течение около оси оказывает влияние на далекие
от оси участки ударной волны, но обратного влияния нет.
Поэтому мы, по-видимому, можем заменить нашу задачу об установле-
нии стационарного режима в безграничной области на аналогичную задачу
для ограниченной области. Для этого введем переменную заднюю границу
области, которая будет двигаться вслед за ударной волной примерно с той
же скоростью, и верхний край так, чтобы в предполагаемом стационарном
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 379
*-
решении область дозвукового течения не входила в зону влияния этих гра-
ниц. Наконец, зададим на этих границах краевые условия, которые не про-
тиворечили бы характеристике стационарного режима. При этом возникает
ч<краевой эффект» — новое стационарное решение около вновь введенных
границ будет сильно отличаться от истинного решения. Но в интересующей
нас области, куда влияние этих границ при соответствующим образом
подобранных граничных условиях не достигает, решение должно быть близ-
ким к истинному.
3. ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Движение газа будем рассчитывать в лагранжевых координатах, так
как для решения системы разностных уравнений применим метод «прогон-
ки», устойчивый только при определенном направлении прогонки, причем
•это направление зависит от характера течения газа относительно системы
координат. В эйлеровых координатах есть области дозвукового и сверхзву-
кового течений. В лагранжевой системе координат течение относительно
«системы координат является дозвуковым и прогонка устойчива.
Сами же лагранжевы координаты удобно выбрать следующим образом:
з качестве первой координаты а частицы взять время t0 прохождения удар-
ной волны по этой частице, в качестве второй координаты Ъ взять эйлерову
координату у частицы в этот же момент t0. При таком выборе координат
ударная волна становится прямой, а линии Ъ = const при t ->- оо асимпто-
тически приближаются к линиям тока стационарного режима. Кроме того,
-если в разностной схеме выбрать шаг по а равным шагу по времени, то удар-
ная волна на каждом счетном слое будет проходить через счетные точки,
коль скоро так было в начальный момент. Все это вместе взятое сильно об-
легчает решение задачи. t
4. ЗАДАЧА ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Область, в которой ищется решение, показана в координатах а, Ъ в не-
который момент на рис. 2. Передняя и задняя границы с течением вре-
мени движутся по пространству; оба края неподвижны.
Заменяя в системе (1.1)—(1.3) дифференцирование по г и у дифференци-
рованием по α и δ и производя некоторые преобразования с уравнениями
импульса, получаем:
ди . dv 1 dp // оч
«-**+-«»=-— -гг. <4-2)
М»-Ш)-0· <4·3>
1 dp v. dp 2 /7 /ч
р dt p dt 3
^aзoвeм систему (4.1)—(4.4) для краткости «большой». Эйлеровы и лагран-
жевы координаты связаны уравнениями малой системы
dxtdt = и, ду/dt = v. (4.5)
380 IV. Вычислительная математика
При отыскании стационарного режима в настоящей задаче, по-видимому
можно принять такое упрощающее предположение: считать, что нам заранее
известны не изменяющиеся во времени величины
р_/р+ = ω, p., vju_ = tg ε, [(wj2 + (02W*P- = (M_)\ (4.6)
где ε — наклон линии тока, а М_ — число Маха. Здесь и далее индексом.
«—» будем отмечать величины перед ударной волной, индексом «+» — за
ударной волной.
Остальные краевые условия следующие: на оси Ъ — 0
у = 0, и = 0, (4.7>
дх — η ди _ η дР _ π СР _ п.
~дь ~ и' - ~оъ — и' 7Г — и' "д&"— и'
на крае Ъ = Ь0
ρ = ρ (a, t) — заданная нами функция,
на задней границе а = a (t)
ρ = ρ (b, t) — заданная нами функция. . (4.9^
Для численного определения стационарного решения поставленной выше
краевой задачи были предложены две методики расчетов: одномерная про-
гонка (метод «колбас») и двумерная прогонка (метод «матричной прогон-
ки»). В обоих способах стационарное решение системы линейных уравнений,
аппроксимирующих дифференциальные уравнения (4.1)—(4.4) и краевые·
условия (4.7)—(4.9) и связывающих между собой значения искомых величин
в узлах некоторой точечной решетки, разыскивалось методом установления.
Последовательность расчетов при этом такова: по величинам, заданным в
узлах некоторого плоского слоя решетки, определяются величины последую-
щего слоя и т. д.
Различие указанных методов в основном определяется разной структурой
«зацепления» выписываемых разностных уравнений. В первом случае си-
стема линейных уравнений распадается на подсистемы, соответствующие-
«колбасам» — прямолинейным рядам узлов Ъ = const, и каждая подсистема
решается линейной прогонкой независимо от других. Во втором случае-
система не распадается, поэтому методика расчетов несравненно более трудо-
емка. По первой методике были проведены экспериментальные расчеты,
давшие достаточно удовлетворительные результаты; по второй методике-
ввиду ее трудоемкости экспериментальные расчеты не проводились. Следует
отметить, что теоретически вторая методика, быть может, несколько предпоч-
тительнее первой. В частности, она позволяет более естественным спосо-
бом вводить граничные условия и т. п.
Глава II
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ОДНОМЕРНОЙ ПРОГОНКИ
5. СХЕМА СЧЕТНЫХ ТОЧЕК
Система дифференциальных уравнений аппроксимируется системой ко-
нечно-разностных уравнений.
Поясним устройство решетки счетных точек (рис. 3). Шаг h по оси а
выбираем равным шагу τ по оси t (на рис. 3 шаг h взят вдвое большим τ,.
(4.8)
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 381
иначе было бы трудно сделать чер-
теж понятным). Жирные прямые,
параллельные оси а,— это основ-
ные «колбасы». Каждая колбаса
определяется ^-координатой, равной
п%, и &-координатой, равной kl. Для
основных колбас η -\- к — четное
число, для вспомогательных — не-
четное. Основные величины и, ν, р,
р, s считаются в точках на основных
колбасах, имеющих координаты (п%,
mh, kl) с четной суммой к -\- т (на
рис. 3 они отмечены кружком).
Далее мы будем называть их'основ-
ными точками. На вспомогательных
«колбасах» лежат вспомогательные
точки (tit, mh, kl) с нечетной суммой
к + ш (на рис. 3 они помечены черными точками). В них считаются по
разностным формулам вспомогательные величины ж, у, ха, уа, Хъ, уъ- Кро-
ме того, на рис. 3 на вспомогательных «колбасах» между вспомогательными
«черными точками» располагаются дополнительные «двойные» точки, в
которых вспомогательные величины досчитываются интерполяцией вдоль
вспомогательных «колбас». Плоскость ударной волны на рис. 3 заштрихо-
вана.
Решетка построена так, что в начальный момент одна из Ь-линий, несущих
основные и вспомогательные точки, совпадает с ударной волной. И в даль-
нейшем, как видно из рис. 3, на каждом счетном слое волна совпадает с
такой Ь-линией. Расчетная схема будет трехслойной. В согласии с чертежом
будем считать, что мы по (п — 1)-му и га-му слоям определяем (п + 1)-й
слой. Значение любой функции / в точке решетки с координатами t = пх,
а = mh, b = kl будем обозначать /™^.
Рис. 3
6. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ
НА УДАРНОЙ ВОЛНЕ
Можно показать, что если величины (4.6) задаются постоянными, то
тогда волна изменяется, оставаясь себе подобной, т. е. имеют место соотно-
шения
tf-YpJpl, u_=u<LYpJp\
Р- = Р-Р+/Р°+,
(6.1)
Рт=Р*
(волна движется в положительном направлении оси а, нулевым индексом
отмечаются значения величин при t = 0).
Имеют место также соотношения
(Dn-N)± = (D°n-N°)±fpJpl (6.2)
Условия (6.1) и (6.2) таковы, что если они выполнены, то автоматически
выполнены условия на ударной волне (1.4), а также упрощающее предполо-
жение (4.6).
382
IV. Вычислительная математика
Из условий (6.2) можно получить важную формулу. Именно, вычитая из>
<<-|-»-условия «—»-условие и учитывая, что [Dn] = О, имеем
[N] = [NQ]YJJ^+. (6.3)
Найдем выражения для скачков к, v. Спроектируем разрыв [N] на оси
Ох и Ог/, получим
[и] = [N] sin φ, [ν] = [Ν] cos φ, (6.4)
где φ — угол между нормалью к фронту волны и осью Оу.
Поскольку на ударной волне у = &, то уравнение фронта ударной волны
в некоторый момент времени есть
х = х (у) = х(Ь).
Тогда
etc: φ -- —dxldb = —хь = —dx (y)/dy, (6.5)
слелгжгпилыю,
sin<p = i/Yl + {xb)*, cosy = — xb/\fl + (xb)*. (6.6)
Поэтому, представляя и = и_ + [и], ν = у. + Ы, получаем следую-
щие соотношения:
u = %YJ, v = \lYJ, p = p°, (6.7)
где
λ = fи0. + [N]Q / 1 1 —Lr ,
Таким образом, формулы (6.7) дают нам простые условия на ударной волне.
Отметим еще значения производных эйлеровых координат по лагранже-
вым. На ударной волне
ха = D — н, уа = —у, г/ь = 1. (6.8)
Наконец, дифференцируя (6.5) вдоль волны по £, получим
З.^/д* = dD/db. (6.9)
7. РЕШЕНИЕ МАЛОЙ СИСТЕМЫ
Дифференцируя по а и по b уравнения малой системы (4.5), получаем
дифференциальные уравнения для нужных нам величин ха, уа, хЬч уъ\
dxjdt = ди/да, dxb/dt = ди/дЪ, (7.1)
dyjdt = dv/да, dyb/dt = dv/db. (7.2)
Интегрируя уравнения (4.5) и (7.1), (7.2) по t от (п — 1) τ до (п + 1) τ
и заменяя производные справа разностями, получаем расчетные формулы.
Расположение основных и вспомогательных точек в плоскости (£, а)
показано на рис. 4, а.
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 38S
ST7+7H
τ
J
О
it
}-*—■ ^-
с
'
\ ° т+2,н-7
Рис. 4
Относя уравнения к точке (-)т, к, видим, что в этой точке у нас есть
«производные» (iim+i — Um-i)/2h и (z;™+i — vZi-i)/2k для первых уравнений
из (7.1) и (7.2). За значения щп и Vm в этой точке для уравнений (4.5) мы
можем взять полусуммы (щп-и + ^m-i)/2 и (Vm+i + z;m-i)/2 (всюду верх-
ний индекс обозначает номер слоя, нижний — номер «радиуса» (6-линии)).
Аналогично расписываются производные ди/db и dv/db.
Окончательно имеем следующие расчетные формулы:
ym1 = yZ1 + t(yl+l + v^.1),
n+1
%т — хт "Г" τ \Цт+1 ~Т~ ^m-l)?
n+1
\xa)m — \xa)m H J~~ (ит+1
Um-l)i
(Уа)\
n+1
■{УаТш1 ^—{V^-Vl^),
чП-1
n+1
/ чП+1 /„ \7l-l i ь / 71+1
\xb)m, к = (xb)m, к ~Г "of \um, fen
21
( чп+l i \п-\ I f / n+1
(Уь)т,к = (Уь)т, к "Τ "gf Vym, K+l "
un+1 _L 7,n_1
" umt fe-1 "T" ^771, fc+1 '
^-m, fe—1/>
n+1 , n-1 n-1 ч
' Vm, fc-l "T ym, fe+1 — ^w, fc-l/i
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
где второй нижний индекс обозначает номер α-линии. В формулах (7.3)—(7.6)
этот нижний индекс опущен, так как он одинаков у всех величин, входящих
в эти формулы.
Отметим, что величины хь и уъ (п + 1)-го слоя можно считать только
тогда, когда на (п -\- 1)-м слое уже сосчитаны и и i\
Дополнительные точки считаются интерполяцией по α-линии (см., напри-
мер, рис. 3). Пусть у дополнительной точки индекс т + 1, тогда величины
/ чП+1 / чП+1
\ха)т+1ч \%b)m+li
/ чП+1 / ч
№>М+1» \Уа)
""+1 / \П+1
m+i и (уь)т+1 считают интерполяцией типа
\ха)т±1 :
п+Х ■
ν.[(*Χ+1 + (*ΧΛ1.
(7.9)
Величины х и у в дополнительных точках не нужны. Затем считают вспомо-
гательные величины, нужные для прогонки большой системы.
384
IV. Вычислительная математика
Формула для якобиана Δ = д (х, у)1д (а, Ь) записывается следующим
образом:
К? = (*Л+г {уъЖ1 - (ч)Т ЫГ; (7.Ю)
Nm считается как во вспомогательных, так и в дополнительных точках»
Во вспомогательных точках считались
ρ Τ t^m, fr+i f I'm, fr-1
Am,*-*— ^T- ,
* m, k
Gm, k = l(xa)m, k (Уа)т±1, k — (Уа)т, k (xa)m±l, fr]/Am±l,fc?
K%, k = [(Xa)m, *№±l, к - (Уа)т, k (xb)w±1,k]/M±l,k, (7.11)
Fm% fc = J?m> fc [(Уь)т, k (Уа)т±1,к + (хъ)т, к (xajm±l,k]fkm±i,k,
Вт, к = Ет, к 1(Уь)т, к (Уь)т±1, к + {Xbfm, к {ч)т±1, кУ&т±1, к-
Таким образом, величины во вспомогательных точках считаются по фор-
мулам (7.3)—(7.8) и (7.10), (7.11), а в дополнительных — по формулам (7.9).
Все эти формулы теряют смысл для точек на ударной волне. Как было
замечено в конце разд. 5, дополнительные точки на волне лежать не могут.
Вспомогательные точки считаются по разностным аналогам формул (6.8),
<6.9): ^
%т, к = %т-2, к + 2хОт_15 ft, (7.12)
Vm\=h, (7.13)
(Xajm,\= Dm-l,li—C-l.lt. (7·14)
(ya№\ = -vnm-hk, (7.15)
(Xb)mS = -J- (Dm-!, m - An-1, *-l) + (ч)т-2, ». (7Л6)
ЫГ = 1. (7.17)
•Счет производных яа, хь ведется с запаздыванием на один] шаг по времени.
На пересечении ударной волны и края Ъ = Ь0 (к = К) формула (7.16) за-
меняется формулой
{Хь)т*К = {хъ)Гт-2, К + у (°т-2, К — £>m-l, K-l)· - О-Щ
Кроме того, на волне считаются вспомогательные величины: Δ^1"1 определя-
ется равенством (7.10),
„% Τ ^w, fc+1 "Г Рт, к-1 "Г Рт-2, Е+1 "Г Рт-2, fr-1
Δ —κΤ" i^T '
дп
™ (^b)m-l, к (Qm-l, fc "b (^m-bfc (Xa)m-i, к β%
~ Δ*
дт-1, fc
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 385
На оси Ъ = 0, кроме значений в волновой точке, величины хь и уь счи-
таются по формулам
Wml = 0, (7.20)
(Уь)т\ = Wm\ 4- -f («d + О- " (7.21)
На пересечении оси с волной все величины считаются по волновым фор-
мулам, только хъ — по формуле (7.20). На краю Ъ = Ь0 теряют смысл
формулы (7.7) и (7.8). Вместо них введем следующие:
(#b)m, Κ = \Хъ)т, Κ + ~ (^m+1, Κ + Um-.h κ — Ww> Κ-1 — Ww> K-l)t ( ' .22)
(^ь)т^К = (^bJm^K + — (l>m+l, К + *>m-i, К — 1>т?К-1 — ^m^K-l). (7.23)
Так как при счете величин малой системы используются величины
большой системы с того же слоя, то в этом варианте счета малая система
решается после большой.
8. РЕШЕНИЕ БОЛЬШОЙ СИСТЕМЫ
Уравнения (4.1)—(4.4) преобразуются таким образом, чтобы в них не
входили явно производные р. Получается система
du . dv 1 dp /q 0\
хь-зГ + Уь-эГ = - — ТГ, (8·2)
dp , y,p I du dv , dv du \ 2 xpi; /Q Q\
"Λ-+-Δ-(^-^Γ-^-ΑΓ + *α-^ Уа1г)в"Г»Р-"Т-; (8'3)
ds/dt = 2Uqyi~l^9 (8.4)
s = p-ipL/*u (8.5)
Система трех уравнений (8.1)—(8.3) решается прогонкой. Уравнение
(8.4) интегрируется по £, ρ находится по s и ρ из уравнения (8.5).
Расчетные формулы для s и ρ пояснений не требуют. Покажем, как де-
ляется прогонка уравнений (8.1)—(8.3) вдоль каждой из «колбас».
Переход к разностным формулам производится в два этапа. Сначала за-
меняются разностями производные по t и по Ь. Тогда для величин и, vs p
вдоль каждой «колбасы» (п + 1)-го слоя действуют обыкновенные дифферен-
циальные уравнения. Затем методом конечных разностей эти обыкновенные
уравнения численно решаются.
Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений осущест-
вляется посредством двух схем.
1. Схема «крестик» (считается «колбаса» с индексом η -\- 1, к):
e//«->[/S+1(a)-/r(a)]/2Tf
df/дЪ -+ [/?+1 (a) - fU (a)]/2Z, (8·6)
df/да -> i/2 IdfT1 (a)/da + dfi'1 (a)fda].
Коэффициенты в уравнениях берутся с и-го слоя. Схема — второго порядка
точности, нейтральная при выполнении условия типа Куранта.
25 М. В. Келдыш. Математика
386
IV. Вычислительная математика
2. Схема «треугольник» (считается «колбаса» с индексом лг + 1, к):
df/9t-+{fi+1 (а) - V2 [/S,i (a) + /S-i (α)]}/τ,
0//вЬ~> [Л?+1 И - /*-i (а)1/2И. (8.7)
df!da-+dfi+1{a)fda.
Коэффициенты в"уравнениях берутся с /г-ro слоя. Схема — первого порядка
точности, устойчивая при выполнении условия типа Куранта.
Переход κ разностным уравнениям. При счете неизвестной колбасы
(п + 1)-го слоя нам надо решать систему двух обыкновенных дифференци-
альных уравнений и одного чисто разностного. В этом последнем уравне.
нии неизвестные величины входят только в комбинации (хьУкЩ+1 (а) +
+ (Уь)к^к+1 (а). Таким образом, в каждой счетной точке α-линии имеем
готовое выражение для величины
ЫП „П+1 · /п, \П П+1
т, ft^m, ft "t" \Уъ)т, кРт, ft
Отметив это, сделаем во всех счетных точках переход от неизвестных иШу &·,
п+1 п+1 1+1
vm,k к новым неизвестным zWfk, wm,k·
*тч к = \хЪ)т, кит, к "Г \Уь)т, к"т, ft»
• ^ т, ^ = V^aM, ft^m, к + 13/аМ, ^m, к'
U^nS = [(Уь)т, ft^m^ft — (Уа)т, к^кУ^п, к* (3·8)
"m, ft = [\xa)m, kzm, ft — \xb)m, ft ^m, ftj/^w, ft»
где Δ*, fc = (д:а)^1 fc (y^ fc — (s^, k (ya)^ k.
Пусть на рассматриваемой «колбасе» (п + 1)-го слоя и, значит, на соот-
ветствующей «колбасе» (п — 1)-го слоя счетные точки имеют номера т — 1
и т + 1 (в формулах (8.8), наоборот, счетные точки имеют индексы т — 2,
т, т + 2). Указанные дифференционально-разностные уравнения относим
по координате а к точке а = mh (см. рис. 4, б).
В нашей схеме мы полагаем
/m, ft = U (Лп+1, ft + /m-l, ft)·
Здесь / — любая искомая функция, входящая в систему (8.1)—(8.5). За-
меняя производные вдоль «колбасы» (т. е. по а) на два разностных отношения
вида (/m+i — /m_i)/2/i, получим два соотношения между
п+1 п+1 п+1 тт пИ „п+1 п+1
Рт-и, ft» ^m+1> fr, t/w+1) ft И Pm-l, ft» ttm-1, ft» ^m-1, ft·
Коэффициенты берутся из точки ( )"h ft.
Подставим вместо йиуих выражения через znw. Величину z можно зара-
нее вычислить, поэтому на каждом интервале (т — 1, т + 1) получаем два
линейных разностных соотношения между неизвестными ш^}г,ft, /?w+-i, ft
и ww+i, ft» Pm+i, ft- Таким образом, для неизвестных величин w и ρ в счет-
ных точках нашей «колбасы» получаем систему разностных соотношений.
Присоединяя к этой системе еще граничные условия, решаем получившуюся
систему методом прогонки.
Схема «крестик»— второго порядка точности, но нейтральная; поэтому,
заменяя дифференциальные уравнения в частных производных обыкновенны-
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 387
ми, возьмем схему «крестик» с некоторым весом α и добавим к ней схему
«треугольник» с весом β/2, так что а + β = 1.
Пусть мы имеем в точке (п -\- \) х, (т — 1) τ прогоночное соотношение
-W41 γ П+1 , V
Рт-1 = Лт-iW'm-i -f- Y m-l· * (8.9)
Тогда с помощью соотношений между величинами ш£\ъ ^, р£11% *· и Wm+lt &,
/С+Л, л·, а также соотношения (8.9) можем выразить ш£\ и />т+Д через \Vml\>
Таким образом, получаем новое соотношение того же вида, что и (8.9):
Рт+1 = Xm+lWm+l + *тп+1· (8.10)
Это и есть прогонка. Мы не будем тут исследовать разрешимость трех исполь-
зованных соотношений, так как обыкновенные дифференциальные уравнения
в неизвестных w и ρ (предполагаем z уже сосчитанным) совпадают ( с неболь-
шими изменениями) с обыкновенными дифференциальными уравнениями
разностных схем в лагранжевых координатах для неустановившегося
одномерного течения; а из теории таких разностных схем известно, что при
правильно выбранных начальных прогоночных коэффициентах прогонку
можно осуществлять беспрепятственно; в частности, всегда можно начинать
со значений Х0 = 0, Y0 = ρ — заданное (заданное ρ удобно брать из со-
ответствующей точки предыдущего слоя).
Все сказанное выше относилось
к счету -обыкновенных точек. Мето-
дика счета перед ударной волной
(интервал ат-\ = (т — 1) h, am+i =
= (т + 1) h, рис. 5) несколько
иная. Производная по t записыва-
ется в виде разности
(/«-1-/ΤΛ)/2τ или (/ГД-/£-1)/т
(fm-i — среднее по четырем точкам) и вычисляется обычным образом. Про-
изводную по b относим к точке (пх, (т— 1) h) и берем как полусумму соот-
ветственных разностных соотношений для точек (hx, (т — 2) /&) и (nx, mh)*
Производная по α в схеме «крестик»
да
'т-1
lh
т-1 __ fn
1 imv\ Jm
2 2h
-1
в схеме «треугольник»
df
да
-/!
П+1
2/г
Таким образом, для величин и, ν, ρ ъ точках (пх, (т — 1) h) и (пх, (т +
+ 4) Λ) имеем два разностных уравнения, соотношение прогонки в (т — 1)-й
точке
Ρ*™-! = Хт-1 (ха)т-1 ит-1 + Хт-1 (Уа)т
-xV^l + Ym-l
(8.11)
25'
38S
IV. Вычислительная математика
и, наконец,
СЛ = №-1иГЛ + Ыт-i »1% (8.12)
Исключая из этих четырех соотношений pm-i, vm-x, um_u получаем со-
отношение между величинами на ударной волне
Pmk = X* l(yb)l-lU^ll - {XbiL-lVmlu + Υ*, (S.13)
η+1
где Ζ* и Υ* определены.
Подставляя в (8.13) условия (6.7) на ударной волне, получаем для р^+г
квадратное уравнение. Решив его, определяем на ударной волне р^+и
dLTdLKmeu^+^v^+i (см. (6.7)). При прогонке мы получали не только вы-
ражение рт+1 через i0m+i, но и wm-i через wm+i. Поэтому, двигаясь от точек
на ударной волне, мы можем рекуррентно определить w во всех счетных
точках. Теперь, зная значения w и z, мы можем во всех счетных точках опре-
делить р, и, v. После этого по известному /?, интегрируя уравнение (8.4),
определяем величины s и р.
9. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОКОЛО КРАЕВ ОБЛАСТИ
Проведенная методика не охватывает счет на оси. В этом случае пользу-
ются симметрией задачи относительно оси, полагая
ttm, -1 = Ип> 1* Vm, -1 = ит, it Рт, -1 = Рт, ν vm, о === О»
и ведут счет по стандартным формулам. Исключение составляет неопределен-
ность vmto/ym,Q. Мы полагаем, что на краю Ь= Ь0 функция ρ = ρ (a, t) за-
дана. Точнее, будем считать, что по краю величина ρ уже установилась, и
будем «сносить» ее параллельно ударной волне, положив
п+1 п-1
Рт+2, К = Рт, К
(индекс к = К соответствует краю Ъ0 = ΚΖ). Эти формулы действуют всюду,
за исключением волновой и предволновой точек. О методах расчета /?, и, ν
в этих точках сказано ниже. Зная /?m+1, мы можем найти sn+1 и pn+1 по фор*
мулам разд. 10. Таким образом, интегрирование большой системы (4.1)—
(4.4) на краю сводится к определению значений функций и и ν из уравнений
(4.1) и (4.2).
Заменим
d//db-4/w,K-i-/m,K)/J.
Используя возможность сноса р, обычным образом составим разностную
схему для уравнений (4.1) и (4.2):
п+1 п-1 2τ /_n-i ,
*го-1, К — Sm-l, К — —д —^ (Рт-1, К +
1 vPm-1, K + Pm-1, К'
+ Pm-З, К Рт-2, К-1 — Pw, K-l)> (9,1)
Wm-1, К — HVn-l, К — ——x ——λ (Pm-l, К — Pms, к).
"(Pm-l, К "^Pm-l, К)
34. Решение задачи об осе симметричном движении газа с ударной волной 389
где
Zm-l, К = (#b)m-l, К^т~-1, К + (Уо)т-1, К Vm~lly Ki (9.2)
Wm-i, К = \Xa)m-l, КЦт-1, К Τ" Wa)m-1, K^m-1, Ю
а Zw-Vk ^y^nt-i.K определены, как и в разд. 8. По сосчитанным z£*k»
WmtV находим um^Ki ν^κ (формулы (8.8)).
Особый счет приходится вводить в волновой и предволновой точках, так
как после сведения задачи для неограниченной области к краевой задаче
(см. разд. 4) пределы функции ρ по ударной волне и по краю Ь = Ь0, вообще
говоря, совпадать не будут. Поэтому ρ на волне предлагается считать по
одной из следующих (все обозначения видны из рис. 3):
/п+1 1 /„и+1 , п+1 ч
Рт+1, К = -у \Рт+1, К-2 "Г Pm-1, Kjt
П+1 Λ П+1 , I П+1 /Q Q4
^ _ Рт+1, К = д, 1 Рт+1, К-2 + д ■ z Рт-1, К» (У-о)
п+1 2/г η , J n+i
Рт+1, К = 2/Г+ТΡ"». к-1 + "2Л+Т^т-1' к'
Соответственно меняются формулы (9.1):
n+i ^п-1 2τ Г п_1
Zm-l, К = *m-i, К — —~г —~i Г Pm-β, К +
1 Wm-1, К "Г Pm-l, К> L
I * /^W_1 I r.n+1 \ «п Л1 "I
~Г — (Pm-l, К + Рт+1, К) — Рт, К-1 — Рт-2, К-1 | ,
„n+i ,„п-1 2τ
Wm-1, К = ^т-1, К
I / п+1 I п-1 Г ~9~" \Р™>-Ъ К +
^(Рт-1.К + Рт-1.К) L 2
> т-1, К Τ Vm-1, К'
I ^n+1 \ -Л1 1
+ Рт+1, К) — Рт-3, К I .
Так как рт++\,к (волновое) известно, то по формулам разд. 6 все осталь-
ные величины легко определяются.
Наконец, на ударной волне величина ρ нам задается. Мы определяем
по ней величину Sm++i. Кроме того, из условий на ударной волне определя-
ется скорость ударной волны, которая нужна нам для определения эйлеро-
вых координат ударной волны на следующем слое.
На этом счет большой системы на (п + 1)-м слое заканчивается, и пере-
ходят к счету малой системы.
Глава III
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ДВУМЕРНОЙ ПРОГОНКИ
11. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ И УСЛОВИЙ
НА УДАРНОЙ ВОЛНЕ
Можно показать, что из условий для скачков на ударной волне (1.4) и
условий (4.6) для величин на ударной волне получаются следующие соотно-
шения: г
_ 4 + ω
Р+—Ρ- 4ω + 1 '
390
IV. Вычислительная математика
и, = Υρ, r Μ I^cocose , ' sin φ
+ + V*P- L lA + ω 4
Z) = YJl —= Γ Μ |/"5a7sin (ε — φ) + /4
(11.1)
где φ — угол между направлением ударной волны и осью.
На оси выполняется естественное граничное условие ν = 0.
Что же касается верхнего края и задней границы, то мы будем задавать
там величину р, отправляясь от значений ρ на нижнем слое. Для расчетов
будет выгодно выделить три уравнения, содержащие производные только
гг, ν и р, и заменить всюду ρ на q = Υ р. Последняя замена делает условия
на ударной волне линейными относительно г/, ν и q. Тогда система урав-
нений движения (4.1)—(4.4) в лагранжевых координатах приводится к виду
■5ч. + -5-«. + -*~Й-0. . (1»·2)
дЯ | 5/eg / д" .. __^_7. i—r —г ^ 4-
dt хаУь — хъУа \ да оЬ дЬ да )
р=р0 Ы-4Л ^
Ввиду того что мы произвели буквенную замену Y~p = g, нам пришлось
обозначить тепловыделение q (формулы (4.4)) буквой Q\ у0, р°, а?2, г/2,
жь, J/J в (11.5) — значения соответствующих величин в некоторый момент £0.
Величины ук ха, Хъ, Уа, Уь удовлетворяют соотношениям
дТа ОН дУп dv
dt da
дхь ди
ot db
dt да '
oyb dv
dt ~ дЪ ·
ду
dt
= гл (11.7)
12. СХЕМА СЧЕТНЫХ ТОЧЕК
Зададимся шагом τ по времени, равным ему шагом h вдоль оси а, и, во-
обще говоря, переменным шагом вдоль волны. Построение решетки счетных
точек ясно из рис. 6.
В процессе счета может случиться, что нам придется удерживать заднюю
границу на месте, хотя это и приводит к увеличению числа счетных точек в
слое t = (η + 1) τ на целый столбец (на рис. 6 он нанесен пунктиром); зато
на других слоях можно будет без ущерба откинуть даже несколько столбцов.
В точках построенной решетки будем считать неизвестные функции и,
v, q, которые будем обозначать и^д, Vm,k, Qm,h·, где индекс η — номер
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 391
слоя по времени (t = ητ), индекс т — номер столбца (а = mh) и индекс к —
К-1
номер строки (b = 2i h,i;+i, /*, *+i = fofV.)·
/,·=ο
Все остальные величины — ρ, г/, ха, Хъ, Уа, Уь — будем вычислять на
полуцелых слоях, т. е при t = η + V2t. При этом величины р, г/, хь, уъ
будут вычисляться в центрах параллелепипедов решетки, а величины #а,
уа — в центрах квадратных граней этих параллелепипедов (рис. 7). Соот-
ветственно величины р, г/, хь, уь будут маркироваться индексами η + V2,
тга + V2, Л + V2, а величины ха и уа — индексами η + V2, m + V2, к.
Рис. 6 Рис. 7
Систему дифференциальных уравнений заменим системой разностных
уравнений, в которые войдут значения величин только в счетных точках.
Точно так же поступим и с граничными условиями, записав их в виде соотно-
шений между величинами в счетных точках, лежащих на границе счетной
области.
При этом мы так запишем разностные уравнения, чтобы они были ли-
нейными относительно величин с неизвестного слоя. Эту «линейную» систе-
му будем решать рекуррентно, от слоя к слою, т. е. по величинам слоя
η — V2 и тг-го слоя будем определять величины слоя η + ^2» а по величинам
л-го слоя и слоя η + V2 — величины (η + 1)-го слоя и т. д.
Ниже приводится вывод расчетных формул.
13. РЕШЕНИЕ МАЛОЙ СИСТЕМЫ
Распишем уравнения (11.6) в разностях по кресту, показанному на рис. 8, а,
а уравнения (11.7) — по гиперкресту — вершинам октаэдра (рис. 8, б).
Рис. 8
392
IV. Вычислительная математика
Получаем
[(Л, * - (ха)А И/τ = (bJUi, * - ««, *)/*.
\(У<)т\ ft — (уД fe]/T = (l&+1, ft — I&, ft)//*,
[(#b)m+V2, fc+V2 — (xb)m+y2, ft+V2]/T == (ttm+l, ft+1 — ^m+l, ft + ttm, ft+1 — ^m, ft)/2Zfc+i/2»
[(2/b)m+V2, fc+Vi — (Уъ)т±у2, ft+vJ/T = (ym+l, ft+1 + 4, ft+1 — vm+l, ft — U, ft)/2Zft+i/2,
(Ут^/г, fc+Vi — 2/mf*/2, Λ·+ν2)/τ== (yw+l, ft+1 + ^+1, ft + l^rn, ft+1 + U, ft)/4.
В каждое из этих линейных соотношений входит только одно неизвест-
ное — первое слагаемое в левой части соотношения. Разрешая соотношения
относительно него и учитывая, что τ = /г, получаем следующие расчетные
формулы:
\xa)rn+1/o, ft "— \xa)m+1/2, k "Г um+l, k um, ft»
/ \r,+1/2 / \W-V9 1 *» w
(i/Jm+Vi, ft = \Уа)т+У\, k + *Wl, ft — I'm, ft»
(13.1)
ЫП^/г / \П—г!г I ^ / n I n n n \
m+Vn fr+Vi === V^bV+Vi. fc+Vi Г "ОТ V^m+l, ft+i -j- Um} fc+1 Bm+i ft — Um} ftj,
(13.2)
/ \W+,/i / \H-Vi ! τ / n Iя n n \
(Уь)т+У'2, ft+Vi = \Уъ)т+Уг, &+V2 г "от Vym+1, ft+1 "Г *V ft+1 — *Wl, fr — ym, ftj»
i/m+Vi, fr+Vi = J/m+vV fr+Vf + "4" (vm+l, ft+1 + ^m, ft+1 + *>m+l, ft + *>m, ft )· " (13.3)
Уравнение сохранения массы у нас уже проинтегрировано (соотношение
(11.5)).
Поэтому расчетная формула для ρ будет иметь вид
^я+Vi ^-V« *m+V«f fr+Vi /г/^, \"-Vi 1 /~ \w-Vt i /„. \"-Vs«
Pm+Vi, fr+V« = Pmi-Vi» ft+Vi n+Vi UV^aM+Vz, fr+l"T V^oM+Vt, frJ \УЬ)т+У2, ft+V2 —
ym+Vi, fr+V.
— [(^a)m"+V2, ft+i +(?/a)m""+1V2, ftl (*b)m~+»/2, ft+i/Л {[(^aCvl ft+l +
+ (*a& ft] (Л ft+7, - [(УаА № + (Л tl (*Л. W/.}"1· (13·4)
Формулы (13.1)—(13.4) позволяют
определить величины р, г/, ха, уп,
хъ, уъ всюду, кроме точек на ударной
волне (рис. 9, точки на жирной ли-
нии). Расчет этих величин на удар-
ной волне будет описан в разд. 15.
(Для точки на ударной волне не су-
ществует соответственной точки на
Рис. 9 нижнем слое, ср. рис. 8 и 6.)
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной , 393·
14. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬШОЙ СИСТЕМЫ]
Дифференциальное уравнение (11.2) распишем в разностях по квадрат-
ным граням параллелепипедов с центром (п -f- 1/2, т + 1/2, к):
(ит+1, к + ит, к — ит+1, к — ^т, к) (ха)т+уг, к +
+ (*>т+1, к + *>т, к — *>т+1, к — *>т, к) (Уа)т^Ъ, к +
4τση
+ . IX [«(Ятк и - flSft) + β (ri»i. * - Я1, *)] = 0, (14.1)
Pm+V2. ft =
m+V2, ^
J_
2
Pm+72, V·»
Λ = 0,
Λ = Κ.
I Pm+Vi, K-*/2'
Следует отметить, что вместо величины gwv2, * в коэффициент при третьем
слагаемом подставлена величина q^ h.
Уравнения (11.3) и (11.4) расписываем по параллелепипедам решетки:
f„V+1 I i,V+1 _L_ 7iT,+1 _L_ nn+1 »,П i," т,П
VKm+l, ft+1 r Mm+1, ft: ~T am, ft+1 ~r um, к — um+l, ft+1 — um+l, к — Urn, k+1 —
— Mm, ft) (*b)m+72, k+V2 Η" V^m+l, ft+1 + ym+l, к ~l· ^m, ft+1 + *V ft —
η η η η \ / \г?+1/2 I
— ^m+1, ft+1 — vm+l, к — Vmj йч-1 — vm, к) (Уь)т+у2, ft+Vi ~T
4тС, ft+V.
r.+V.
r~ /«"+1 i л"+1 Vм"1 V·1 \ i
LOC (<7m+l, ft+1 + Ят, ft+1 — <7m+l, ft — #m, ftj +
Zft+i/2Pm"+V2, ft+*/2
+ β (?тИ, ft+1 + Ят, ft+1 — ?m+l, к ~ Ят, ft)] = 0, (14.2)
„r+1 . r>+l . Г7+1 , r»+l η η η η .
<7m+l, ft+1 + #m+l, ft + Qm, ft+1 T?m,/f — </m+l, ft+1 — <7m+l, ft — Qm, ft+1 — #m, ft +
» 5 „n f 2τ г™ /™n+1 J_ i/71+1 tj71*1 i,714"1 \ l
Τ "β" ?m, ft+V2 "!"■£" la VMm+l, ft+1 "Γ um+l, ft — Hm> ft+1 — ^m, ft) -f-
+ β (Нт+l, ft+1 + Mm+1, ft — um, ft+1 — ^m, ft)] (Уь)т+*/2, ft+«/· —
г / n+l . „r»+l _.rj+l n+1 ч ,
■ [a (Um+lt ft+i -f ^m, ft+1 — um+l, ft — Um, k) +
'fr+Vi
+ β (ttm+l, ft+1 ~l· ttm, ft+1 — um+l, ft — Mm, ft)] (Уа)т+1/2, ft+*/2 +
i 2τ r_ /,/"+1 i n+1 „n+l r)+i ч i о /, η . r,
+ 1 La (^m+l, ft+1 + *V ft+1 — Vfn+1, ft — vm, ft) + Ρ (^m+1, ft+1 + l?m, ft+1 —
η η \i /„ \^+1/2 2t r / я+1 i _,w+l i
— Vm+1, ft — yw, ft/J V'Mm+Vz, ft+V« J" ^ \bm+l> fr+1 "Γ ym+l, ft — ^m, ft,+i ■
— Pm^ft) + β (ym+l, ft+1 + ^m+1, ft — ym, ft+1 — *>m, ft)] (^b)m+V9, ft+Vtj X
Χ [(Λ »+«/. (УьС^. fc+V. - (*b№. №/, (УаТЛ ft+V.1"1 +
+ ""β-?™, *+*/■ (ym, ft + Vmt ft+i)/(^2/m+V2, »+Vii —
= 2TpSJ.i/If ft+i/2gm, ft+V,/? (^+V2» am+V2» ^i-1/.)·
(14.3)
Уравнения (14.2), (14.3) расписаны по параллелепипеду с координатами
центра (п + 1/2, т + 1/2, Λ + 1/2).
394
IV. Вычислительная математика
В уравнениях (14.2) и (14.3) для] краткости было обозначено g™, k+y2 ^
= (?m,fc + #m,k+l)/2.
В уравнениях (14.1)—(14.3) известные величины перенесем в правую
часть. Обозначая буквами коэффициенты при неизвестных, получим
l^m+l, к "Τ" um, kl Лт+Ч2, k + l^m+1, k + ^m, k\ ^>m+V2, k +
+ [ql% k - ql+,\] M^\ k = £#/„ „ (14.4)
где
^m+72, k — l^aJmfVz, λ» пт+1/2, k — \Уа)т^/2, k»
^m+V2, k
m+V2, k = \um+i,k -\~ um, /f) (^a)m+V2, k + \vm+l, k + Vm> fr) (Z/Jm+l, k —
4βτ Ят, k , η η v
pm+V2, k
величина ρ^1-ν2, к та же» что и в уравнении (14.1), индекс к принимает
значения 0, 1, . . ., К. Далее
Кит+1, k-Ц "t" ttm+l, k) + [Цт, k+l "Г um, k)\ r m+V2, k+l "Г
+ [(*>m+l, k+l + Vmfl, k) + (tf, k+l + *V k)] C+i/2, k+l +
+ [(?££, hi - tf&. о + (eK1** - flKMi лед.»«=β, *+i. (14.5)
где
^ m+Vt, k+l — \xb)m+l/tt fr+Vi» ""w+V2, k+l — li/bM+Vi. k+Vt»
дгп+»/2 4ατ gffl+i, r» + ^m, fr+i .
*v m-rVi, k+l — -Τ o«n+Vi '
n+Vs /Π in i , n i , n \ / \n+*/2 I
Tlm+Vi, k+l = (ит+1, k+l + ^m+1, k + ttm, k+l + Ит, k) WM+72, * Wi "Г
. / Π . Π , Π i 71 \ / \7l+V2
+ (Ут+1, k+l + Vm+lt и + Ут, fe+i + Ут, kj Vi/binn-Vi» k+Vi —
/о яп a_ nm
4ρτ Ут, k t" «m, k+l / n лп . n _n v.
i 0 n4,i/ \Qm+l, k+l — ?mH, k -h 4m, k+l — Vm, k)j
^■+V. 2Pm+//lffc+V,
индекс A: + 1 принимает значения 1, . . ., К (об уравнении с r]m"+v2,o
см. матричную запись уравнений разд. 11). Наконец,
l(?m+lv k+l + ffwul, k) + (Jib, k4l + Qm, k)\ +
I Г/,,7141 I т,7141 \ /ti7141 ti714^1 Μ J7n+Vt
r/Tin+l n+1 ч , /,.n4l „n+l Μ rn+V« _i
— 1(Цт+1, кл\ — Km+lf fr) -+- V^m, k+l — ^m, k)\ ^wh-Vi, k "T"
+ l(^m+l, k+l — Ущ+l, k) "Г Vym, k+l — ^m, k)J <-m+y2, k —
- [(СЛ, k+l + l«?i. k) - «V+l + Л?*)] ^-V, » = C2& *. (14·6)
где
Яп+Vi 5 ατ /Λη . jn ν / 4η+ν2 rn+1/2
m+Vi, k = — ~ ^m» k+1 + ^m» A^ Vi^Wwu-Vi, k+*A«/rh+V2, fc+Vt»
Lr,+1/ 5 ОТ/ П . Π ν г/ \П41/2 . / \W+Vl 1 гЯ+Vl
m+Vi, k = "β" у (^тп, k+l + <7m, k) K^Jmi-Vi. *+l "Γ V?/aM+V2, kj «/щ+Vi. *+V« »
>n+Vi : 5 ατ , h , η - ν r//v, 4n+*/2 _i_ („ \w+V« i r^+Vi , , .
^m+V«, k = — -J- (^m, k+l + Qm, k) i\xa)m+V2, k+l "t" \ха)т+*/9, к\ «/m+Vi, k+Vi»
Si. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 395
л т+7», Л" — "Г" ~Т~ \"т· λ'+1 ~т~ Vim, fc; \хЬ)т+г/2, fe+I/2«/ WI+V2, fe+Vi»
bm+72, & === Qrn+1, fc+1 1" #m+l, fc "T" #m, fc+1 "T Vm, fc -Τ-
+ Tpm+i/2j /f+i/2 (#m> λ·+1 -f- #m, /J Vm+V2, fc+V«
g- Τ (ω, fc+1 + Qm, fc) (*>m, fc+1 + Vm, *)/Ут+»/·, *+*/■ +
-g- (#m, fc+1 "Г £m, fe) -/m+Vi, fr+V« X
/„Π i _ П „Π Π \ / \W+7a Ι
X J ^— (Ит+1, fc+1 + ^rn+1, fc — ^m, fc+1 — um, к) УУь)т+у2, fc+7« T"
2βτ
д~ l^mH, fc+1 "Г ^m+1, fc — *V fc+1 — ^m, fcj V^bM+Vi» fe+Vi — J?
pTyn η in n\r/ \η+1/2 Ι / \η+ν« 1 г
i (*>m+l, fc+1 — *>m+l, fc Τ ym, fc+1 — *V fc) l(#a)m+7i, *+l ~+~ \xa)m+yt, fcJ "Г
+ μΤ уп и in n\r/ \n+i/9 t I \71+1/г i "l
"τ Bm+1, fc+1 — Ит+1,«г + wm, fc+1 — ^m, fc) L WaV+Vi. fc+1 + (J/Jm+Vi. И }■ I
'fc+Vs . J
rri+V2 rr/«. xH+V» i //¥V \П+7« -i / \П+7г
«/m+7i. fr+Vi = \1(^αΜ+ν2, fc+1 "Γ VXoM+7«. feJ \Уъ)т+*/г, *+Vi —
Разностные уравнения (14.1)—(14.6) имеют смысл для всех параллеле-
пипедов, кроме параллелепипедов (перед ударной волной (рис. 10). Мы да-
дим два варианта записи разностных уравнений для точек на ударной волне.
/7+/ /7 + /
"К
/7+/
ххххххххх
——i 6 А α о о α о—
ХХХХХХХХХ
~т Q т 9 Q т т Ч~~
ххххххххх
——о -о о о о Λ' ■ о о——
Рис. 10
В первом варианте для параллелепипеда, содержащего ударную волну
(параллелепипед (п, т + 1, к) — (п + 1, т, к + 1) на рис. 10, б), пи-
шутся те же уравнения (14.1)—(14.6), только вместо несуществующих вели-
чин ttJi+ii ym+i, Ят+i берутся величины, полученные линейной экстраполя-
цией:
П су 71 П
ит+1, к — ^ит, к — "m-1, fc»
Vrru-1, к = 6Vmj fe — Vm-1, fc»
^m+1, fc = Щт, fc — 4m-lt fc·
(14.7)
396
IV. Вычислительная математика
(Заметим, что если на (п + 1)-м слое волна проходит по точкам (т -f- 1)-го
столбца, то на п-ж слое она проходит по точкам m-го столбца.)
При втором варианте выбирается новая система координат, относительно
которой ударная волна является неподвижной:
ix = i, αΧ = а — t, Ъх — Ь,
при этом частные производные по направлениям осей для любой функции
заменяются:
д/dt = dldtx — д/даи
д/да = д/даг, д/db = д/дЪ1т
Преобразовав указанным образом систему (11.1), мы можем заменить
в уравнениях производные на разности, как это сделано в формулах (14.1)—
(14.3). Полученные таким образом разностные соотношения будут связывать
основные величины в вершинах косого параллелепипеда (см. рис. 10, б) *.
15. РАЗНОСТНАЯ ЗАПИСЬ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ]
К системе разностных уравнений надо присоединить граничные условия.
Мы сделаем это следующим образом.
1. Во всех счетных точках на оси, кроме осевой точки на ударной волне,
задаем v£\ = 0. В осевой точке на ударной волне это условие совпадает
с одним из условий на ударной волне.
2. Во всех точках на верхнем краю, включая точку на ударной волне, но
исключая точку на задней границе, задаем величину gJ^K·
3. Во всех точках на задней границе задаем величину д?р*&·
Возможно несколько вариантов задания q. На верхнем краю можно,
по-видимому, положить grp = const. При задании дгр можно также отправ-
ляться, как показывает опыт, от предыдущего η слоя. Так как в стационарном
режиме безграничной задачи величина ρ и, стало быть, величина q должны
падать по направлению от ударной волны, то надо сносить q либо параллельна
ударной волне, либо параллельно оси Z, т. е. либо
(7rp(r+l), к — </гр (п+1)-1, к>
либо
</гр (п+1), к = <7гр (п+1), к-
Последний вариант следует применять тогда, когда при счете на предыду-
щем слое
4τρ (п+1), к <^ </гр (п+1)-1, к-
4. В каждой счетной точке на ударной волне, исходя из формул (11.1),
пишутся соответствующие граничные условия:
Руд, к+У2 — Руд, k+Vt·
* Получающаяся система разностных уравнений не отличается принципиально от систе-
мы (14.1) — (14.3) и потому опущена ввиду громоздкости. Описанные способы построе-
ния разностных формул на интервале перед ударной волной были опробованы в одно-
мерных расчетах (см. Келдыш М. В. Избранные труды. Механика. Статья 29).
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 3.*7
, n+i n+i г ллс, · /„aw+1-i
Иуд,» = ?уд,»^со8ек — vfesin(9)/f ],
*>уд% = £удД [μ* sin ε* + vfe cos (φ)Γ1]»
Dk+1 = gmft [μ& sinгк cob(φ)Γ1 — μ& cos гк sin (φ)&η+1 + 6fc],
где величины рудд+ν,, μ^> νκ» δ/t Раз и навсегда вычислены по формулам
Руд, fc+V· = Pfr+Vi 4ω АЖ +1 ' ^fe = т/Т11 Mfe r 5co&'
fe
/3p:
Vfe = / /- f "fe == у ·
УЩ f4 + V f3p^
Значения Mk, ρ£, ρ&+ν2» cofc, щ+1/2, cos гк, sin efe задаются согласно разд. 4.
5. В соотношения на ударной волне, связывающие величины со слоев с
целыми номерами, входит неизвестная функция φ — наклон ударной волны
{см. рис. 1, а). Для ее подсчета мы воспользуемся тождеством
д dX(y,t) д dX(y,t)
dt ду ду dt '
тде х = X (Ь, £), у = Ъ — соотношения, задающие форму ударной волны
{в эйлеровых координатах).!
По определению (см. рис. 1, а)
дХ _ дХ _ D
-jf — ctg(p, — — — inr^-*
отсюда
д . д D
или
dq>(b,t) n 0<Р(М) · dD(b,t)
—^ = -Дсо8ф^^-б1Пф ^
€ граничным условием φ (0, £) = π/2.
Нам будет удобнее считать не саму величину φ, а какую-нибудь ее
тригонометрическую функцию, например величину z (Ь, t) = cos φ. Для
z (Ь, t) имеем уравнение (D — абсолютная величина нормальной скорости
ударной волны)
dz n dz /Л „ч dD
с граничным условием z (0, t) = 0.
Соответствующее разностное уравнение напишем в виде
(Zfr+i + Zk Zk+1 — Zk) =
= - 2T*K%D2i% [α (z£l - ΖΓ1) + β (zSn - *2)]/b+Vl -
- 2τ [1 - (Ζ»»] №i'/2 - ОГ,г)Пы.г/г.
398 IV. Вычислительная математика
Откуда при к > О
n+i 1 Г „пм f л 2ατ w+Vinn+,/t\ ■ n .
Zk+i = -β- j — zfc i 1 ρ— z^+i^+f/J 1 + zk+1 4-
+ Zk + -J— Zk+i/2U}c+i/2 (Zk+1 — Zk) -f
**+Vi
+ ΤΓ7-11 - (Лч (Яй'1 - D*+,/2)
*»+Vt
где z* — i -+- — zk±i;2Uk+i/2.
Величина z£+] = 0.
Так как Ζ) > 0, z > 0, то разностный счет по (п + 1)-му слою устойчив.
В этих формулах и ниже для краткости обозначено:
Zk+i/2 = V2 (Zk + Zk+1), Ar+«/i = V2 (At + Af+l).
Точно так >йе легко вычислить, что на ударной волне
ха = и — D/sin φ, уа = ν,
xb = c\gq>, Уъ=1-
Зная величину z на слое η + 1/2, сразу получаем
(ха)Ж* = <!% - Dr'vVi - (жГЛл Ыйй = - »Л
УД, fc+Vt= V г ~ (zk^f,) /Zt+v.i (Уь)уд, fc+Vi — le
6. Все эти формулы зацеплены друг за друга, поэтому мы будем находить
искомые величины путем последовательных приближений.
При вычислении (п + 1)-го слоя мы найдем первое приближение величин
ха-> хь> Уа-> Уъ на ударной волне. В соответствующие формулы вместо вели-
чин un+1f\ у"14-1/!, Dn+1/*, z4+1/* подставим ип, vn, Dn, zn. Затем определяем
первое приближение величины zn+L. В качестве Dn+1/* снова берем D. После
этого определяем величины на (я + 1)-м слое. По первым приближениям
и1*1, vn+i, qn+i, Dn+\ zn+1 величины хТЧ\ хТ1г, yT'\ уТы определя-
ются вторично. При этом в расчетных формулах в качестве величин zn+t/*y
Dn+1/\ Иуд1/г, 1;уд1/ч будем на этот раз брать величины
*"+■/. = i/2 (Zn + z^i), Z)n+,/2 = V2 {D4 + Dn+1),
u^f* = V2 (un + b"+1), v^h = V2 (vn + i^+i).
Дальнейшие пересчеты излишни, нужно лишь заново определить вели-
чины и, v, q на (п -f- 1)-м слое. Заметим, что пересчитывать все величины
(п + 1)-го слоя было бы крайне невыгодно. Однако при матричной прогонке
этого делать и не надо. Пересчет величин zn+1, (#а)уд1/г, (#ь)уд7\ (Ыуд7'»
(2/ь)уд/г будем делать в середине расчетов по определению величин (п +
+ 1)-го слоя так, чтобы нам пришлось пересчитать величины un+1, va+1,
qn+L только на ударной волне.
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной
16. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнения (14.4) —(14.6) удобно записать в матричном виде. Объединим
г 41 77+1
величины иШ) о, иШ}1,.
Um, Κ» vm, 0» vm, Ь· · ·» um, K> 4m, 0» 4m, 1»
?т?К, ГД^
Рис. 7i
*=.?
*=/
/*=/?
/77
К — номер крайнего ряда в три вектора-столбца (рис. 11):
uv+1 —
ит —
rt+1
%т, 0
,п+1
т, 1
U
п+1
Ут =
п+1
vm, 0
п+1
Vm,l
п+1
Чт
"+1
Чт, О
„п+1
Чт, 1
п+1
Чт, К
(16.1)
О ит, К| рта, К | \\Чт, К ||
Тогда все К + 1 уравнений системы (14.4) с фиксированным индексом
т + V, удобно объединить в одно соотношение между двумя соседними
тройками векторов:
ΑΑ (и- + О + ΕΓΛ (v-i + О + ΜΑ (q^i - qi+1) = £&. (16.2)
где iO„ ^m++v2, Mm+v2-диагональные матрицы, а Ц+Υ/, — вектор с компо
нентами lm"+v„ fr:
-^rn+Vz —
о
о .
0
0
£>m+*'2 —
0
^m+Va, 0
0
&m+V2, 1
0
о
/Lfn+1/a
Λ* m+Vo =
о
m+Va, о
0
0
0 Mm+ytti . . .
p"+7a
£>m+Va
0
0
. . Mn+lJ*
т+1/2, К
Sm+7a
Sm+Va, 0
im+Va, 1
Sm+Vi, К
400
IV. Вычислительная математика
Несколько сложнее записываются в матричном виде уравнения (14.5) и
(14.6). Присоединим к системе (14.5) в качестве уравнения с номером нуль
граничное условие ν^# = η^//,,ο = 0, а к системе (14.6) в качестве
последнего уравнения граничное условие ?те+\,к = Sw+iIki
где
£m+v„к заранее задано. Тогда расширенная система (14.5) при фиксиро-
ванном индексе т + V2 запишется в матричном виде
rm+Vi (ЧпГ+1 + ЧтХ)
7П+Ч2
^ m+V« Vum+1 Τ" um
) + bm+V*Vm+l + bm+y2Vm + ^ η
jn+1
(16.3)
Здесь матрицы F£tf,, О,. ЭД22, N»„%}t
уже не являются диагональными:
тп+Vt —
""т+Д/i
l"m+*/!
0
ъ-т+Чг
г m+Vi, 1
0
0
0
0
/nrti+V»
«m+Va. 1
0
0
0
1
WmfVi, 1
0
0
0
0
' m+Vs. 1
' т+»/«,2
0
0
0
/in+Vi
/f»+Vi
0
0
0
/тШ+Vt
"■щ+Vn l
/nrn+Vi
0
0
0
0
E-n+Vt
fm+Vt. 2 · ·
0 . .
0 . .
0 ..
0 . .
Wm+Vi. 2 · ·
0 . .
0 ..
0 ..
0 . .
/Tfl+Vt
«"m+ViiS · ·
0
0 . .
0
0
0
jpn+Vi
0
0
0
• "m+Vtf K-
/Tfn+'/i
• «Ιη-Η/„Κ
0
0
0
• Сгщ+ν,, K-]
. (Tm+Vt, К
0
0
0
i 0
'm+V„ К
0
0
0
1 0
/Tfl+Vl
b"m+«/„ К
0
0
0
i 0
/nrn+Vi
«//,=
о
m+Vn 1
0
— iVm+72,2
0
0
m+Vii2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ЛГ*/'
m+Vi, K-l
iVm+»/2, К
0
0
0
0
(В матрицах Fm++v2, Gm++v2, 6Si+V/„ ЛС+//, элементы, отличные от нуля, стоят
только на главной диагонали и диагонали под нею.)
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 401
Аналогичным обр
^m+VzHm+l Τ" °m+V*
азом записываем расширенную систему (14.6):
чТ + (Н
где матрицы имеют вид
° m+Vz —
1 1 0
0 1 1
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
ггп+У2
■"m+Vi=j
• ■L,m+1/i —
y-tn+Vz
^m+Va —
Am+Vz —
rin+Vz
nm+y2,0
0
0
0
о
7-n+Vz
—^m+Vz»
0
0
0
0
1 sm+4t
0
0
0
1 о
1 irn+1/2
0
0
0
о
0
0
1
0
0
0
Η
н\
0
0
<п+Уг rn+Vs \ „n+l
»+1 , /рп+'/г | р-л+Vi \ "+1
. ..0
. ..0
.. .0
. . . 1
. . .0
. . .0
n+V,
т+'/г, 0
ч+Vi
m+V,, 1
0
0
0
τ n+V,
^m+Уг
rn+Vs
—^m+V
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
c"+V«
0 ... 0
rrn+Vj Π
«т+>/г, 1 · · · υ
,0
z, 1
^mW» 0
/-m+V,
0
0
0
Лт+1/г,1
0
0
0
, 1
0 ... #m+Vz, *
(«
1
0
0
0
0
0
о
1
:-г
0 ... -ff m+Vz, K-l
0 ... 0
0 ...
7-n+V?
^rn+Ve. 1 · · ·
С
с
Ι rn+V2 \ n+l ■
г + -^m+Vj um +
f-n+Чг
1
1
0
0
0
0
0
0 0 ... 0 0
1 0 . ..0 0
1 1 . . .0 0
0 0 ... 1 0
0 0 ... 1 1
0 0 .. .0 1
0 0 .. .0 0
0
0
гмг+Vs
"т+»/г, К-1
1
1
0
'
о I
0
Π rn+7. 0
0 ... -Ьт+Vi, K-2 v I
U · · · — -^m+Vz» K-
0 ...
0
/-m+Vj
t'm+Vi, 1 · · ·
0
0
0
η /"η+Vi
о ... —Cw„
0 ...
0 ... 0
υ ... лт+1/2) к
0 ... Ят+'/г.К-
0
0
0
-2
Κ-
-X i'm^.K-ll
о I
0
0
0
/in+Vj
1 ^m+Vs. K-l
0
о |
0
0
ТГП+Чг
-1 "-т+У„К-1\\
о I
»
'
•
(16.4)
01
0
0
0
0
1
1
4
26 M. В. Келдыш. Математика
402
IV. Вычислительная математика
(В матрицах S, *5, Н, L, С, К элементы, отличные от нуля, стоят только на
главной диагонали и диагонали над нею.)
Уравнения по косому параллелепипеду (см. разд. 14) приведем к анало-
гичному виду.
Заметим, что так как в граничные условия на ударной волне входит ус-
ловие Ууд^о = 0, то можно было бы краевое условие на оси записать в
виде i>mVi>0 + ^mto = 0, что эквивалентно нашему условию v^0 =
= 0. Аналогично, так как й^к задано, то краевое условие на верхнем
краю можно записать в виде qZf+ик + Ят\ = £m+v2f к· При этом
система уравнений заменяется на эквивалентную, и матричная форма запи-
си новой системы выглядит несколько проще, так как матрица G заменится
на матрицу G, матрица S — на матрицу 5, т. е. число различных матриц
уменьшится. Мы будем использовать эту форму записи при исследовании
вопросов устойчивости, но в практических расчетах такая запись может
оказаться менее удобной и приводит к большим погрешностям вычислений.
17. решение системы матричных уравнений
Нашу систему матричных уравнений будем решать методом матричной
перегонки. Это значит, что сначала мы будем разыскивать линейное соот-
ношение вида
qm =Фт um +Tm vm +«т , к1'·1)
где Φ, Ψ — матрицы, а θ — вектор.
Три матричных уравнения (16.2)— (16.4) с индексом η + V2, m + V2 свя-
зывают шесть векторов: u^1, v^1, q™+1 и Um+ь Vm+i, Чт+и Если
бы соотношение (17.1) для тройки векторов iC+1, v^+1, q^1 было известно,
71+1 7Ι+1 71+1
то, подставив в матричные уравнения выражение qm через um и vm ,
« п+1 п+1
а затем исключив из трех уравнении неизвестные um и vm , мы получи-
ли бы линейное соотношение между qlJT+i, iC+\» vJJU» которое уже не-
трудно привести к виду (17.1).
Граничное условие на задней границе легко записать в матричном виде:
??p*j = заданному,
Чгр =ФгриГр +^rp Vrp + «Γρ , \1'·4
где матрицы Фгр1 и Ψ^ρ1 — нулевые, а все компоненты вектора θ^ρ1 равны
соответствующим компонентам вектора qrp1, известного нам из граничных
условий.
Отправляясь от соотношения (17.2), мы рекуррентно найдем прогоночные
соотношения (17.1) при всех значениях т. Таким образом, на ударной волне
у нас для 3 (К + 1) неизвестных будет 3 (К + 1) линейных соотношений:
2 (К + 1) граничных условий на ударной волне и К + 1 соотношение для
каждой компоненты вектора q^1. Разрешая эту систему, находим значения
величин и, у, q на ударной волне. После этого мы легко сможем рекуррент-
но определить величины и, у, q в остальных счетных точках.
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 403
Соотношения (16.2) — (16.4) после подстановки q^+1 из (17.1) имеют вид
+ -^m+V2Um+l + ^m+V*vm+l = ?m+V« + Mm+yflm , (17.3)
l -
V^m+Ve ~T Mm+yJVm ) um "+■ ("-m+i/2 -J- лУт+1/еТ m J Vm -j- 'Vm+i/2qm+1 -f-
TW/jUffl+i + b-m+i/2vm+1 = η7η+1/2—-Vm+i/,Um , I1'·4)
"Τ" V" m+Va — ^m+VJ um+l ~T V^m+Ve — Am+72J vm+l — fem+V* — OU™ · V1'-°/
Встает вопрос, как из этих уравнений проще всего определить q££\
через и^\ и vi^Ii· Если бы коэффициенты системы были коммутирующими,
то мы бы перенесли члены с Um+i и Vm+i B правую часть и решили бы с по-
п+1 n+1 W+1
мощью теории детерминантов получившуюся относительно pm+i, um , v^
систему. При этом мы бы не только получили выражение qj^i через ujjj^
и Vm+i» но заодно и выражения iim+1 и v^+1 через те же u^+i и v£+i· Тогда
при обратной прогонке нам бы только приходилось подставлять величины
в готовые формулы:
J um = й (um+1, vw+i), vm = г; (ите+1, vm+1), qm = q(um+v vm ).
Следует отметить, что нельзя, определив и, v, q на ударной волне, пытаться
определить и, v,qB остальных точках при помощи только разностных урав-
нений. Это эквивалентно решению некорректной граничной задачи, когда все
три неизвестные функции задаются на одной из границ. При счете по слою
эта некорректность будет проявляться в виде неустойчивости счета.
Выведем формулы решения системы линейных уравнений с некоммути-
рующими коэффициентами
аги + Ьги + sxq = tl9
а2и + b2v + s2q = *2, (17.6)
а3и + b3v + s3q = t3.
Решение системы усложняется еще тем, что в некоммутативном кольце
коэффициентов имеются делители нуля, т. е. элементы, не имеющие обрат-
ных. Поэтому будем предполагать, что система разрешима, коэффициенты
^i? 62, 5з имеют обратные и, наконец, из системы первых двух уравнений
можно выразить и и ν через q и правые части. Пусть эти предположения
выполнены. Выразим и из первого уравнения и подставим это выражение
во второе и третье уравнения, затем выразим из преобразованного второго
уравнения ν и подставим в преобразованное третье. Тогда получим
l(s3 — a3al\) — (63 — «3«i1bi)(62 — ^i1^)"1^ — «2%Ч)1 Я. =
= (t3 — а3а1\) — (b3 — а3а1%)(Ь2 — a^b^ih — <*2<ь\). (17·7)
Заметим, что над коэффициентами s и свободными членами t мы проде-
лывали одни и те же операции, поэтому правая часть (17.7) получается из
26*
404
I\r. Вычислительная математика
коэффициента при q заменой s на t. Получаем выражение для q:
q = R~4(t3 — a3d[\) — (b3 — α3α[%)φ2 — ^i^i)"1^ — α2α^\)]η
где R — «детерминант» системы:
R = (53 — а3(н\) — (Ь3 — α3<Η%)&1 — a2a1'1bi)'1(s2 — ^«ГЧ)·
Выведем сразу и формулы для и и v.
Подставляя выражение для q в преобразованное второе уравнение и
разрешая его относительно ν, получаем
ν = (Ьъ — а^Ь^'Ч^ — α2θ[\) — (s2 — «2^1) Φ- (Ι7·8)
Наконец, из первого уравнения получаем
и = aj"1^ — bxv — 5xg). (17.9)
Следует отметить, что во все эти формулы входят только три обратные
матрицы tfi\ (62 — tfotf^i)"1 и R'1. Все эти матрицы существуют в силу
сделанных выше предположений.
Подставляя в формулы (17.8), (17.9) выражения коэффициентов из си-
стемы, выделяя свободный член и выписывая коэффициенты при иУ£Х и
^mlii получаем следующие формулы.
А. Формулы прогонки:
Rm^t = $-(-H-L+Sa>m)AmM-[(C + K+STm)-
_ (_ я - L + S<bm) Am (В - Μ ¥т)] Qm [Μ - (F + ΝΦη) Δ„Μ],
Фт+1 = - (Яж+'лГ1 {(Я -L) - (- Η - L + о'фт) АтА - [(С + К +5Ψ J -
_ (_ Я - L + 6'Фт) Ат(В-М ¥т)] Qm [F-(F+ NOm) AmA]},
' Тт+1 = - (/U-дГ1 {(С -К)-(-Н- L+SQJ АтВ -[(C+K + S FJ-
_ (_ Я - L + £Фт) Ат (В - Μ ¥т)] Qm [G-(F + NOm) AmB]},
6m+i = (i?m+vs)_1 «»♦>/. — J0m — (— Я — L + £Фт) Am (?m+,/2 + Μ θ J -
-[(с + ^ + ^т)-(-я-/: + ^Фт)Ат(я-л/гт)]йтх
X [W/. - ^6m - (F + MDm) Am (?m+1/! + M0m)]},
где Am = (Л - МФт)-ь Ω„, = [(G + N¥w) - (F + МФт) Ат(В-М ¥m)]-\ ,
Б. Формулы обратной прогонки:
»»1 = О» (W/. - ^т - ЛС\ - «Л - (/? + #Фт) Ат (£m+Vt + MQm —
- Аи^ - АСЬ) - [ЛГ - (*" + ^Фт) АтМ] <£&>,
С = Ат [|m+Va + М0т - 4iC\ - Л?^ - (5 - МГт) С1 - ЭД&].
g"m+1 = Фтмгт+1 + «' + θ„.
(В написанных выше формулах опущен верхний индекс га + х/2, и нижний —
и» + х/,.)
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 405
18. ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
При построении разностной схемы мы внесли в задачу ряд изменений —
заменили безграничную задачу на ограниченную, частные производные за-
менили разностями и т. п. Возникают вопросы: имеет ли вообще система раз-
ностных уравнений при каких-нибудь начальных данных решение или нет,
имеет ли система разностных уравнений стационарное решение, устойчива
ли это решение, будет ли сходиться при итерировании решение нашей систе-
мы к стационарному решению, как велико отличие стационарного решения
системы разностных уравнений от стационарного решения системы диффе-
ренциальных уравнений.
Можно сказать следующее: число уравнений, связывающих известный
слой с неизвестным, равно числу неизвестных величин; некоторая модель-
ная задача в наших разностных уравнениях с нашими граничными условиями
поставлена корректно и имеет решение, притом ограниченное и единствен-
ное; оператор перехода от неизвестного слоя к известному при ограничен-
ности известных величин также ограничен, и все собственные значения этого
оператора не превосходят по модулю единицы. Это значит, что для течений,
близких модельному, наши разностные уравнения имеют решение, это
решение ограничено, и численные ошибки, допущенные в процессе счета,
затухают как по пространству, так и по времени. (Это относится главным
образом к уравнениям для u, у, q; отсюда, в частности, вытекает, что прого-
ночные формулы будут непротиворечивы.)
Что же касается точности решения, то хотя в системе разностных урав-
нений часть коэффициентов берется с нижнего слоя и при переходе от од-
ного слоя к другому мы делаем ошибку второго порядка малости (по отно-
шению к решению дифференциальных уравнений); но эти коэффициенты
написаны таким образом, что при подстановке в разностные уравнения ве-
личин точного стационарного режима (стационарного решения системы
дифференциальных уравнений) в правых частях вместо нулей будут стоять
величины выше второго порядка малости. (В левых частях стоят разности —
величины первого порядка малости.) Это показывает, что стационарное
решение системы разностных уравнений будет значительно меньше отли-
чаться от стационарного режима движения газа, чем стационарное решение
разностной системы первого порядка точности.
Погрешности решения системы разностных уравнений для u, у, q можно
проконтролировать, подставляя полученные значения ип*1ч y"+1, qn+i
в разностные уравнения разд. 14. Система разностных уравнений для осталь-
ных величин — распадающаяся, поэтому она в оценке погрешности решения
не нуждается. Отклонение же решения системы разностных уравнений от
решения системы дифференциальных уравнений можно оценить, подставляя
вычисленные значения величин в разностные уравнения, аппроксимирующие
некоторые дифференциальные уравнения — следствия из дифференциаль-
ных уравнений задачи.
Например, по смыслу задачи должно выполняться равенство dxjdb =
= дхъ1да. Аппроксимируя это дифференциальное соотношение разностным^
получаем, что
Κ*η)Α у + (*Х+Д,»- (*Х--1 m - КО., n-il ,
. \\ХЬ> «<+'/„, И-'/а ~ (хЬ)т-Чг, Wit* ^. Π - - . -
+ h ·
406
IV. Вычислительная математика
Или, записывая это равенство в виде приближенного интеграла по контуру
ЛЧ/
£>70i/ л+Уг
/77+/
Г с (
1
1
1
t
т+Уг
/п
1 ct
I
}
1
m-fc
/77-/
к+Г
X
Рис. 12
(рис. 12), получаем (обходя контур против часовой стрелки)
Xa)m-Vti к + (Sa)m+V„ * ~ (*a)m-V«, λ+1 — (Ха)т+У2, Λ+lJ +
Глава IV
УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
20. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
МЕТОДОМ «КОЛБАС»
Так как малая система (4.5) решается прямым интегрированием, то ис-
следовать на устойчивость надо только большую систему. Так как для боль-
шой системы составляется разностная схема «крестик» и к ней добавляется
с малым весом схема «треугольник», то мы сначала выведем условия ней-
тральности схемы «крестик» и затем покажем, что бесконечно малая при-
бавка схемы «треугольник» делает разностную систему устойчивой по вре-
мени.
Напишем уравнения для вариаций и, ν, ρ и будем считать их коэффициен-
ты постоянными:
д^\ Е — 1 dp
dt "τ" dt ~ R dx »
p ^!L 4_Γ — 1 dP
dt
dt
R do
(20.1)
* + т-(<*£-'£+'£-»£)-ь
где Δ = AG — BF; κΠ/Л = с2 — квадрат скорости звука.
Выразим из уравнений (20.1) ди/dt, dv/dt, dp/dt и напишем дифференци-
ально-разностные уравнения (здесь h — шаг по у):
„1+1 __ j.n-l
2τ
»^+i.
„n-l
2τ
—nr[-J-<»(
dx
dx
)-
р?«-
'Pfc-i
β
■rfp|
da:
2h
dx
,n+l
+
)]·
34. Решение задачи об осесимметричном движении гага с ударной волной, 407
Рк Рк
nil
2τ
[>(■**"
+ А
"fr+l ■
ук-1
2h
JLBfdv'k
(:
dx
+
Η'1
dx
+
dx
dx
*/r-l
(20.2)
Уравнение инвариантно относительно переносов. Поэтому ищем собст-
венную вектор-функцию в виде
w0 exp (i — # J exp (iakh)
v0 exp ( г — дм exp (iakh)
po exp ( £ — x J exp (ш&Л)
Так как нас интересуют только ограниченные на всей плоскости функции,
то z и а — действительные. Предполагая, что при далных числах щ, vQj
р0 мы написали собственную три-функцию, и обозначая ah = φ, получаем
w0
(λ- т) = —ш lG (λ+х)iz -2F тг sin *!*»
(λ-4-) = —Ωτ[2^*81ηφ-Β(λ + 4-)^]ρο, (20.3)
Ρο(λ ^) = ^[β(λ+-^)**Βο—2*,_*-isinq)Be +
+ 2vl -Ь. i sin φ^ο — -Β (λ + -j-J izv0 .
Чтобы существовали нетривиальные u0, у0, p0> необходимо и достаточно, что-
бы детерминант системы (20.3) был равен нулю: к
λ—г
*-4-
— lG\} + —)lz- — L2Л^Γlsln(P-
-2F-|-isinφ] _Β(λ + 4-)] ·
пс [°(λ+4-)1'Ζ-
— 2F -r- i sin φ
-5(λ+4" )*]
λ—г
= 0.
Раскрывая (20.4), получаем
' (*-хУ-(^-тШ<^+-г)*-2т<Н*-
-(>-T-)i-[2'1T,si'"f—Β(λ+4-)'2]'=°·
Отсюда два тривиальных корня λ = ±1.
(20.4)
(20.5)
408 IV, Вычислительная математика
После элементарных преобразований имеем
(λ—Η2 + ^Ηλ+4>- 2l «Η1+
+ [24-J-sin(p — £^ + -^)z]2} = 0. (20.6)
Очевидно, что уравнение (20.6) инвариантно при замене λ на l/λ. Таким
образом, схема бывает или неустойчивой, или нейтральной. Схема нейтраль-
на, если | λ | = 1 при любых φ и z. В этом случае (т. е. при | λ | = 1)
λ + Ι/λ = 2w, где w действительное, | w | <^ 1; и обратно, если
λ2 — 2wX + 1=0, где w действительное, | и? | ^ 1, то | λ | = 1. Так как
(λ — l/λ)2 = (λ + 1/λ)2 — 4, то (20.6) можно переписать в виде
w2 + l&{lGwz — F-JTsin(p]2 + \Bwz — ^-i-sincp]2} —1 = 0. (20.7)
Очевидно, что при | w | ^> 1 левая часть уравнения в нуль не обращается.
Таким образом, если уравнение (20.7) имеет действительные корни, то они
по модулю меньше 1.
Напишем уравнение (20.7) в каноническом виде:
u^[l + ^^(G» + B*)]-2w^-ain^z-^(GF+ AB)-
~ [l--^(-f)2sin4(/',2 + ^2)l=0. (20.8)
Это уравнение должно иметь действительные корни при любых z и φ. По-
ложим z — 0. Тогда уравнение (20.8) перейдет в
у2- [1--^(^-)%т2Ф(^2+ А2)} =0. ' (20.9)
Чтобы уравнение (20.9) имело действительные корни при любом φ, необхо-
димо и достаточно, чтобы
тИтТ^ + ^Х1· ' (20-Ю>
Условие (20.10) будет только необходимым условием для того, чтобы корни
уравнения (20.8) были действительными. Однако, как мы сейчас покажем,
оно будет и достаточным.
Пусть
τ ^с \AG — BF\ ' ^U.ll/
что эквивалентно (20.10). Покажем, что при этом условии при любых z и φ·
дискриминант уравнения (20.8) больше нуля, т. е.
+ [l + ^-z2(G2 + S2)] [l—^(-^-)%Ιη2φ(^ + ^2)]>0. (20.12)
Это справедливо, так как по предположению (20.10) последний множитель
больше нуля, а все остальные величины очевидным образом положительны-
Итак, при выполнении условия (20.11) схема «крестик» нейтральна.
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 4091
Покажем теперь, что условие (20.11) при естественном предположении
β < 1, так как α + β = 1, достаточно для устойчивости решения общей раз-
ностно-дифференциальной схемы (усреднения «крестика» и «треугольника»).
Проводя те же выкладки, что и в схеме крестик, получаем
■|f —>/о |_λ!~ 4" +β(λ + Τ" — 2 cos φ) ] exp (i-i-sjexp (iky),
^-/ο[λ+4-+β(λ-4-)1^τθΧρ(^^)θΧρ(^)' (20·13>
-jr~~*/oexp (i — #)exp(z'&(p)«2sin φ*
Поэтому, чтобы получить уравнение для усредненной системы, надо в урав-
нении (20.5) делать замену
λ — 1/λ -*λ — 1/λ + β (λ + 1/λ — 2 cos φ),
λ + 1/λ ->λ + 1/λ + β (λ - 1/λ).
Тогда получаем уравнения для тривиальных корней
λ - 1/λ + β (λ + 1/λ - 2 cos φ) = 0, (20.14)
λ2 (1 + β) — 2β λ cos φ + β— 1 = 0. (20.15)
Будем считать β < 1. Тогда получим корни разных знаков и действительныеу
так как дискриминант (20.15) β2 cos2 φ + 1 — β2 ^> 0. Подставляя λ = 1
и λ = —1 в уравнение (20.15), получаем 2β (1 ± cos φ)= 0. Поэтому корни
лежат в сегменте (—1, +1)? что нам и требуется.
Исключив тривиальные корни, получим уравнение, соответствующее-
уравнению (20.6):
[q + ${w-bosy)f+^\^Gz{w + $q)-F^ sincp]2 +
+ [Bz(w + $q) — Λ-^81ηφ]} = Φ(λ,β,Ζ,φ) = 0, (20.16>
где w = λ + 1/λ; q = λ — 1/λ.
При фиксированных z и φ уравнение (20.16) задает неявную функцию
λ (β). При β = 0 λ (0) являются корнями уравнения (20.6).
Покажем, что αλ |р=0 = —$А(0)сф, где s — положительная величина.
Это будет значить, что собственные значения сползают с единичной окруж-
ности внутрь круга.
Напишем производные
λ»
Л (λ + 1/λ) ' λ - 1/λ Д (λ — 1/λ) λ + 1/λ ' ,οη ,ο>
αλ λ—· π = —λ— · (гильу
Откуда (
Φ^ (β=ο = 2 -^ + -£· 2 -g- [ (fi» + Ζ?2) Ар, - (GF + ΑΒ) -J- z sin φ] ,
(20.19)
Φρ |;.=ο = 2% Κ — cos φ) + 2q0 -£■ {(G2 + Я2) z*w0 - (GF + ΑΒ) ~ г sin φ} ,
410
IV. Вычислительная математика
COS
,}/
Подставляя (20.19) в (20.17), получаем
/{w0 + -^l(G* + B*)z*w0-(GF + AB)Jrzsin4,]} =
= -λ0[1-οο8φ/[«;0[1 + -^-(σ2 + ^)Ζ^_
_(GF + 45)-I-zsinφ.-£■!}. (20.20)
Нам достаточно доказать лишь, что cos φ не превосходит знаменателя дроби,
чтобы показать,, что αλ |β=0 = —sK0d$, сф |> 0.
Заметим, что в силу условия (20.10)
(20.21)
(20.22)
| cos φ I» < 1 < -£- (-^J sin2 φ (*» + Α>).
Поэтому покажем, что
| w0 cos φ Ι /1 w\ [ 1 + -£■ (G2 + B*) z* 1 - w0 (GF + AB) JL. z sjn φ _£.
В самом деле, поскольку u>0 — корень уравнения (20.8), то
^l[l + ^r(G2 + B^z^]-w0-^(GF + AB)^rzsmq> =
= «;0-J.(GF + ^)^-ZSin9 + l--^(^-)2sm2?(F2 + ^) =
=4f'§L1+5r(c'+fl')z'l+[1--^{-r)>siii'4'<^+il")l}· <20·23)
Заменяя в неравенстве (20.22) числитель на большее выражение по фор-
муле (20.21), а знаменатель — на равное по формуле (20.23), получаем оче-
видное неравенство
2\w0\[l-^(±)\in*y(F* + A^]1/'/{wlll + ^z*(G* + B*)] +
справедливое при любом z. Этим наше утверждение доказано.
21. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
МЕТОДА МАТРИЧНОЙ ПРОГОНКИ
Уравнения модельной задачи выписываются следующим образом. Все
коэффициенты в уравнениях (11.2) — (11.5) полагаются постоянными, шаги
по пространству также предполагаются постоянными, член bUqvlr переносит-
ся в правую часть. Затем рассматриваются вариации неизвестных функций
и получающиеся для них линейные уравнения. Член b/6qv/r при варьировании
полагается постоянным и исчезает, так что фактически исследуется не ци-
линдрическая, а плоская задача:
dt dt · дх
= 0,
(21.1)
34. Решение заоачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 411
F^. + G^. + M^ = 0, (21.2)
^. + GA^--BA^+A^-FA^ = 0. (21.3)
Здесь ди, δν, 6q — вариации; Δ = b/&q/(AG — BF).
По правилам разд. 14 для вариации составляются разностные уравнения.
Заметим, что операции перехода к вариациям и к разностям коммутируют
(при постоянных коэффициентах).
Таким образом, оператор перехода от слоя к следующему слою записы-
вается при помощи Зоо2 линейных разностных уравнений для трех функций,
каждая из функций задается своими значениями во всех целочисленных точ-
ках плоскости. Собственными функциями этого опё{>а$ора очевидным обра-
зом могут быть только экспоненциальные функции. Так как при исследова-
нии устойчивости мы рассматриваем только ограниченные функции, то мы
будем иметь дело с экспоненциальными функциями мнимого аргумента.
Итак, собственная три-функция разностного оператора имеет вид (значок
вариации δ здесь и всюду ниже мы опускаем)
и ехр (щтк) exp (ivkl)
ν ехр (ψτηΚ) ехр (ivkl)
q exp (ψτηΚ) exp (ivkl)
Разыщем, спектр нашего оператора. Для этого заставим μ, ν пробегать
все действительные значения и выясним, каковы те λ, при которых сущест-
вуют постоянные и, ν, р, не равные все три нулю и удовлетворяющие раз-
ностным уравнениям. Так как коэффициенты постоянны, уравнения инва-
риантны относительно параллельного переноса, а решения инвариантны
с точностью до множителя, то достаточно подставить наши выражения в лю-
бую тройку разностных уравнений, например при η = 0, т = 0, к = 0.
Тогда, отправляясь от уравнений (21.1)—(21.3) и правил разд. 14, получаем
следующие подстановки:
в уравнении (21.1)
du/dt—> (λ — 1) и (el»h + 1),
dv/dt -> (λ — 1) v(e^ + 1), (21.4)
dq/dx-> (αλ + β) -J- q (e№ _ 1),
в уравнениях (21.2) и (21.3)
-»(λ — 1) и (e*h + 1) (еш + 1),
ди
ди
dt
dq
-> (λ — 1) v (e^h + 1) (еы + 1),
-^ (λ — 1) q (е№ + 1) (e™1 + 1),
dt
-|^—>2(αλ + $)^-q(e№ + I) (e™1 — i), (21.5)
-g—>2(αλ + β)-^ и (*<■*-l)(*«vi+i)f
412
IV. Вычислительная математика
-g—* 2 (αλ + β) -J- ν (eW - 1) (e™ + 1),
_|L _> 2 (αλ + β) -£- *{e*h + 1) (*ы -1).
Получаем после сокращения на 2 ехр (ψ,Λ/2) и 2 ехр (Ы/2) систему
(λ — l)cos ψ Аи + (X — iycos^Bv + 2*(αλ + β) JL sin iif- .Μ?= 0,
(λ — l)cos -^-cos-^-Ftt + (λ— 1) cos-^-cos-^-Gi; +
+ 2i (αλ + β) -τ-cos-Sy- sin^-Mg = 0,
(λ — 1) cos -^>- cos -^- g + 2 (αλ + β) Ι (-γ sin -у- cos -^- GA —
-^0Ο8^81η^^Δ)^ + 2(αλ + β)^~^81η^0Ο8~^Δ +
+ -^-cos-^-sin-^-^4A^z; = 0.
Полагая cos (μΗ/2) cos (vZ/2) Φ 0, можно сократить уравнения на cos (μ^/2)
и cos (νΖ/2). Заметим, что при cos (νΖ/2) Φ 0 с точки зрения устойчивости
безразлично, писать ли первые два уравнения по квадрату или по отрезку.
Детерминант полученной системы
Л (λ — 1) В (λ — 1) 2 (αλ + β) i -^- tg -^ Μ
^(λ —1) G(X — i) 2(aX + &)i^rtg^-M
Ι τ . vZ Ι τ \x,h
2(al + P)i[-Ttg — G- 2(αλ + β); [ rtgyF+ λ-1
должен равняться нулю. Раскрывая его, получаем
Отсюда λ0 = 1. Этот корень появился из-за того, что систему можно привес-
ти к одному уравнению второго порядка с одной неизвестной (именно с q)r
а не к уравнению третьего порядка.
Приравняем к нулю второй множитель, предварительно поделив на (λ —
— I)2 и сделав замену λ = (z — l)/(z + 1). При этом
24if = 2a-l_z,
34. Решение задачи об осесимметричном движении ваза с ударной волной 413
Таким образом, Re (2α — 1 — z) = О или Re z = 2α — 1 при α > 1/2 >
;> β. Но так как при λ = (z — i)l(z + 1) условие | λ | < 1 переходит в Re z^>
^> 0, то условие α }> 1/2 необходимо и достаточно для того, чтобы спектр
оператора лежал в единичной окружности и оператор перехода от п-го слоя
к (п + 1)-му был устойчив.
22. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СХЕМЫ]
МЕТОДА МАТРИЧНОЙ ПРОГОНКИ ОКОЛО OCHJ
Дальнейшие исследования устойчивости будем проводить на модельном
движении при В = 0, F = 0. Тогда, если не считать член v/r малым, при
варьировании получается следующая система:
ди Μ dq n| dv M dq _n (e)e) ,
dt n 6 Л d* ~ 6 G dy ' 6 у
Тогда изменением масштаба по пространственным осям система приводится
к виду
dt ^ дх —v' dt ^ ду ~и» (ΔΔ'Δ>
dq
\ dx { ду J { у
dt
Из этих уравнений получим систему дифференциально-разностных уравне-
ний, если произведем замену
df/dt -+ [/#* (у) + Г+1 (у) - А+1 (у) - Гт (»)]/2τ, ·
df/dx -+ {а [/Й_\ (у) - А+1 (у)] + β [/*+1 (у) - /Г, (у)]}/К (22.3)
«fo ~* 2 I ^ + dy j1" 2 I dy + i/y У"
Эта дифференциально-разностная система задает оператор перехода от п-го
слоя к (п + 1)-му слою.
Собственные функции этого оператора надо искать в виде ехр (щтЬ) f (i/),
так как по х оператор однородный и инвариантный относительно параллель-
ного переноса. (Дальше мы покажем, что y~rf(y) — бесселева функция.)
Подставляя эти выражения в дифференциально-разностные уравнения при
т = 0 и сокращая на 2 ехр (i\ihl2), получаем правила подстановки:
4— ^(λ-D/cosJ^, ^-.^-(«A+fl/rinJf-, (22.4)
где λ — собственное значение.
414
IV. Вычислительная математика
Применяя (22.4) к системе (22.1), получаем
4; (λ -1) cos J£. и (у) + Л. («λ + β) sin -*£■ q (у) = О,
_L (λ _ i) CoS J^. „ {y) + («λ + β) cos ψ J*M- = 0, (22.5)
4-(λ- i)cos-^q(y)+ 6»['JL(oA + β) SmJj.B(j,) +
+ (αλ + β)οο8^4^-]+&2(αλ + β)οο8^-^ = θ. '
Мы не можем найти сразу решение этой системы. Поэто>му из первого и вто-
рого уравнений выразим и (у) и ν (у)
•«--«■Нтё*-)·»-'!?-·».
dv(y) / αλ + β \ Jg (У)
и подставим их в третье уравнение. После подстановки получаем
Можно показать, что это уравнение имеет ограниченные при у ->- + °°
решения, лишь когда выражение в квадратных скобках отрицательно. Вне
зависимости от знака этого выражения уравнение (22.7) при у —>-0 имеет
единственное с точностью до множителя ограниченное решение. Выведем
эти утверждения из известных свойств бесселевых функций. Для этого сде-
лаем замену q (у) = укр (у) и подберем к так, чтобы коэффициент при dp/dy
обратился в 1/у:
У
« Jg- + 2ky*-i ^ + к(к-1) »*-р + t</*-i -g-
dy* « ""* dy r'vv ->v r \ «ν dy i
+ A,", - [4(-!-)'* J* + Ц-^-J] ,V=0. (22.8)
Значит, выбираем 2fe + x=l, /b = 1/2 — τ/2:
Решениями уравнения
*-$-+»-£■ + <·»'-*'>*= О
при s>0 и 0<i/<oo будут функции Бесселя /±й. (у"[/"«). По известной
формуле * при ν ^> —τ/2
ν π/.2
Л te) = -— - [ cos (z cos θ) sin2v Θ<ΖΘ. (22.10)
1 См.: Титчмарш Ε. Теория функций. М.: Наука, 1953, с. 75, задача 5.
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 415
Поэтому функция z~vJy_(z) при ν ^> —1/2 ограничена на [0, оо]. Следователь-
но, функция ykJ-k (yYs) ограничена^ на 0 <^ у <^ оо, так как —к = —1/2 +
+ τ/2 ^> —1/2. При s < О или при s комплексном ограниченных решений
при у —>- оо нет. Отсюда получается уравнение
т. е.
Мт)*-¥-+-М-£й-]Г—<■>·
"(4йУГ-— *(τΝ-¥-«»
и (αλ + β)/(λ — 1) — число мнимое, Re [(αλ + β)/(λ — 1)]
λ = (z — l)/(z + 1) получаем
Re (2α — 1 — z) = 0, Re z = 2α — 1 > 0.
Так как условие | λ | <J 1 переходит в Re z > 0, то их ограниченные собст-
венные функции соответствуют собственным значениям | λ | ^ 1.
(22.11)
0. Отсюда при
23. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СХЕМЫ
МАТРИЧНОЙ ПРОГОНКИ ПО СЛОЮ
Будем исследовать плоскую модельную задачу
Область, в которой будем определять неизвестные функции, и способ
задания граничных условий для задачи показаны на рис. 13.
P=PaW
ν=σ
/77+f /77
Рис. 13
Разностные уравнения напишем по правилам разд. 14, а краевые условия
при у = 0 и у = 1/кр выпишем в виде
ym-f-l, 0 + vm, О — 0»
Рт+1, К + Ргп, К + Ob2 (ит+1, к — ВТО| к) = Em+Vi, К, (23.2)
«приближенном» к разностным записям второго и третьего уравнений (23.1)
(см. рис. 11). Тогда нашу систему удобно записать с помощью блочных мат-
риц:
Ε 0 <зЕ
0 G τΝ
b*<sS ЪНС S
„n+l
um+l
n+l
vm+l
nn+l
+
Ε 0 — <sE
0 G τ-V
11 un+1
m
Pn+1
1II rm
1 =
tn+1'« [
1 *m+Vi
η™+»/2
Cn+Vi
1 *m+Vi II
(23.3)
416
TV. Вычислительная математика
здесь а = 2aAi/A.z; τ = 2aAt/Ay, где Ai — шаг псГвремени, Ах, Ау — шаги
ло пространству; Ε — единичная матрица;
10 0 0 0
G =
1
0
О
1
1
о
о
1
1
о
о
1
0 0 0
s =
N=
0
•1
0
0
0
0
1
—1
... о
0
0
0
1
—1
0
о о
о о
о о
1 0
—1 1
с=
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
—1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
—1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
—1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
Введем матрицу Г = S — b2a2S — bh2CG τΝ. Легко сосчитать, что
Ε 0 — аЕ
О G τΝ
b*aS ЬНС S
Ε + WaT-iS —РхаГЧХГ1 σΤ~1
—РатСГЧПГи (r' + JW'WW1 —τΓ^-^Γ"1
—WaY-lS —bHl^CG-1 Г"1
Умножая на эту обратную блочную матрицу, получаем
О = Фтит + Tmvm + вт _ рт = _ (фт - 2сх2а2ФтГ-^ +
+ 2a*T*VnTCrWr*S - 2α2σΓ-^) um+1 - *Fmvm+1 + вт +
+ Фтбт + УтЧт + Ът + {β - 2θΦη - 2Ь2а3ФтГ"^ -
— 2b2TG2x¥mTG-1Nr-1S — 2b2G2V1S) p.
Таким образом, из прогоночного соотношения для функций в тга-м верти-
кальном ряду р^ = Фтит + Ψτην™ + вт мы сейчас получим прогоночное
соотношение для функций в (т + 1)-м вертикальном ряду.
Обозначим
R = Ε - 2аФт - 2b2a3OmT-1S + 2b2xa2WmTG'1NT'tS+ 2b2a2T'1S. (23.4)
Получаем
Фт+1( = Л-* (фда + 2b2a2OmV1S + 2b2T24>mTG-1Nr~1S — 2b2aV1S)1
Tm+1=/?-i^m, (23.5)
6m+l = Λ"1 (— fyn— Фт1т+» ·8 — УпМт+Чг + £т+»/8)·
Для устойчивости счета необходимо || J?_I|| < 1.
Сделаем следующее важное замечание: из Wm = 0 следует, что Ψ™+1 = О,
причем это соотношение при || Д"г|| < 1 будет устойчивым, т. е. возмущение
о*. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 417
при прогонке затухает. Поэтому положим Ψ = 0, тогда устойчивость про-
гонки целиком зависит от матрицы Ф. Соотношение для Φ будет иметь вид
Фтн, = (Я - 2аФт- 2Ь«о»ФтГ15 + 2&2о*Г-^НФт +
+ 2&2с2ФтГ-^ — VPaT^S).
(23.6)
В первую часть формулы (23.6), кроме переменной матрицы Фто, входят
только Ε и постоянная матрица Г_15, которую можно записать в виде
T^S = {Ε - b2a2E — bVW)-1, W = S^CGrW.
(23.7)
Если матрица Ф0 коммутирует с матрицей W (например, Ф0 = 0), то, оче-
видно, и все последующие матрицы Фт также коммутируют с W. Поэтому
эволюция возмущения δΦ прогоночной матрицы, коммутирующего с W, мо-
жет быть исследована в терминах спектра W.
Лемма. Матрица W имеет полный базис собственных векторов. Одно
собственное значение W равно нулю, остальные отрицательны и однократны.
Доказательство. Для упрощения будем проводить выкладки
при К = 4.
£-! =
1—1
G-!=
Ι-
Ο
о
о
о
1
—1
1-
—1
1—1
-1 1 —
1—1
о
о
о
о
1
-1
1-
1 —
о
о
о
о
1
-1
с=\
Ν=\
—1
0-
0
0
0
0
—1
0-
0
0
1
-1
0-
0
0
0
1
-1
0-
0
0
1
-1
0-
0
0
0
1
-1
0-
0
0
1
-1
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
й-*с=4
„ G~lN=\
—1
0-
0
0
0
0
—1
1-
-1
1-
2-
-1
0-
0
0
0
1
-2
2_
—2
-2
2-
-1
0-
0
0
0
1
-2
2-
2-
-2
2-
-1
0
0
0
0
1
-1
-1
1
-1
1
0
0
0
0
0
1
Чтобы провести дальнейшее исследование, введем новый базис:
«1 =
Z,=
.,1к =
*К+1
Действуя непосредственно матрицами 5~1С и G~*N на векторы нового бази-
са, получаем, что в новом базисе эти матрицы записываются следующим
образом:
—1
0
0
0
0
2
—1
0
0
0
—2
2
—1
0
0
2
—2
2
—1
0
0
0
0
0
0
£-*С =
27 М. В. Келдыш. Математика
6"^ =
1
—2
2
—2
1
0
1
—2
2
—1
0
0
1
—2
1
0
0
0
1
—1
0
0
0
0
0
418
IV. Вычислительная математика
^CG~lN =
-
1—1
0
0
0
0
2
—1
0
0
0
—2
2
—1
0
0
2
—2
2
—1
0
1
—2
2
—2
0
0
1
—2
2
0
0
0
1
—2
0 ·
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Так как последний столбец в матрице S гС состоит целиком из нулей, то
видно, что если в tP^N нижнюю строку заменить нулями, то их произведение
не изменится:
О
О
О I. I 2 —2 1 О О L (23.8)
О
О
Из этого представления вытекает, что матрица W = S~1CG"1N — сим-
метрическая, с нулевыми последней строкой и последним столбцом. Поэто-
му она имеет базис из К + 1 собственных векторов, все собственные значе-
ния действительны, и 1к+1 — собственный вектор, отвечающий нулевому
собственному числу. Чтобы найти остальные собственные числа, рассмотрим
действие этой матрицы на инвариантное подпространство, натянутое на
Z1? Z2, . . ., Ζκ, которое описывается ее главным минором TFK, получаемым вы-
черкиванием последних столбца и строки. Из представления (23.8) выте-
кает, что WK равно произведению укороченных матриц 5"1С и ^Γ^Ν с от-
брошенными последними строкой и столбцом. Нетрудно подсчитать, что эти
сомножители могут быть записаны соответственно в виде
-2 (Е + Τ)'1 +Е = - (Е+ Τ)'1 (Ε - Г),
2 (Е + Г*)"1 — Е={Е — Т*)(Е + Г*)"1,
где Ε, Τ, Τ* — матрицы порядка К:
Е-.
1 0 0 0
0 10 0
0 0 1 01
0 0 0 1
' т\
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
о [
0
1
о|
зг* =
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
о|
0
0
0 j
Подставим эти выражения в характеристическое уравнение матрицы WK
и умножим это уравнение слева на det (Ε + Τ) = 1, а справа на det (Ε +
-j- Г*) = 1. Заменяя произведение детерминантов на детерминант произ-
ведения, получаем
det \(Е-Т) (Е- Г*). + λ (Ε + Τ) (Ε + Τ*) \ = 0,
или (после раскрытия скобок)
/к (λ) = det I (Ε + Ε') - (Γ + Γ*) + λ [(Ε + Ε') + (Τ + Γ*)] | = 0,
где £'= Τ Τ* — матрица, получаемая из Е занулением последнего диаго-
нального элемента. Таким образом, мы приходим к следующему уравнению:
2(λ + 1) λ-1 0 0
λ-1 2(λ + 1) λ-1 0
0 λ-1 2(λ + 1) λ-1
0 0 λ—1 λ+1
= 0.
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной 419
Раскрывая детерминант сначала по первому столбцу, а затем по первой
строке, получаем рекуррентное соотношение
1к (λ) = 2 (λ + 1) /»_! (λ) - (λ - 1)Чк.2 (λ).
Подсчитав корни (1 4= У λ)2 характеристического уравнения z2 —
— 2 (λ + l)z + (λ — Ι)2 = 0 этого соотношения и приняв во внимание,
что многочлен 1г (λ) = λ + 1, находим
/* (λ) = \ (1 + fir + % (i - /λ)2*.
Найдем корни уравнения /к (λ) = 0:
(1 + Уλ)2Κ = (-1)(1 - УХ)**, У1 = (1 - ε2Κ) (1 + ε,*)"1,
где ε2κ = —1. Для "|/"λ имеем 2К различных значений, но только К значений
для λ. Так как | 1 + У λ |2К = | 1 — У λ |2К, то У λ — чисто мнимое число,
т. е. λ < 0, как и утверждалось. Лемма доказана.
Возвратимся к исследованию устойчивости прогонки. Подставим в (23.6)
выражение Г"1 из (23.7) и, чтобы освободиться от обратных операторов,
умножим и числитель и знаменатель на Ε + Ъ2а2Е — b2x2W:
Φ (E + bWE — bH2W) — 2b*sE
m+1 — Ε + Ь^Е — b*i*VV — 23^ (Ε — bH^V ) ' К ш°' J
Последняя операция законна, так как все матрицы Фт у нас по предположе-
нию коммутируют с W. По этому же свойству матрицы Фт приводятся в соб-
ственном базисе матрицы W к диагональному виду и их соответствующие соб-
ственные значения φ™ связаны по (23.9) рекуррентными соотношениями
σφ£κ- ^ + ™ + м\\\)-2М f · (23.10>
(1 + 6W + W Ι λ. Ι) - 2σφ« (1 + ЪЧ* | λ.|)
где I Xt I = — λ^ поскольку Хг <^ 0. Все выражения в скобках в дробно-
линейном рекуррентном соотношении (23.10) положительны. Поэтому, как
известно из теории таких соотношений, если начальное сро <С 0, то итера-
ции по формуле (23.10) остаются отрицательными, ограниченными и сходят-
ся к пределу — отрицательному стационарному значению
σφ(1) = — Ъа (1 + Ъ2%2 \ Xt |)V..
Эта сходимость является экспоненциальной, поскольку
1 + 6?τ21 λ. | — 62σ2
*PJ£fi _
rfq># | 1 + V%> | λ. | + W - 2σφ£ (1 + 5Ч« | λ. |)
а верхняя грань этой величины по множеству всех срт < 0 строго меньше 1-
Таким образом, процесс (23.5) прогонки Фт оказывается спектрально
устойчивым, если в качестве граничного условия задавать величины ро,&»
принимая тем самым Ф0 = 0, Ψ0 = 0.
Рассмотрим теперь прогонку вектора 9m4i = —Д_1Эт + · · · (см· третью·
из формул (23.5)). Подставляя Wm = 0 в выражение (23.4) для R, после эле-
ментарных преобразований получаем
Ε — ь*в2Е — &x*W
^"1=-б
Ε -4- Ь*<5*и — №τ*,ν 4- 26*Са4> W — 25-V^
27*
420
TV. Вычислительная математика
Отсюда вытекает, что R приводится к диагональному виду в собственном ба-
зисе W и для собственных чисел при неположительных собственных числах
φ™ имеет место представление
_! 1_&2σ2+62τ2|λ.|
Гг =
1 + Ъ*з* + ЬЧ* | λ. | + 2 W | λ411 σφ£ | + 2 | σφ;
(*) I -L 9 I Лт(*> Ι
Числитель этого выражения по модулю строго меньше знаменателя,
max | rj1 I < 1. Поэтому прогонка вектора 9т спектрально устойчива. Ана-
логично из второго соотношения (23.5) видим, что стационарное значение
Wm = 0 прогоночного оператора Wm спектрально устойчиво.
Остается исследовать при Wm = 0 устойчивость процесса обратной про-
гонки, когда на каждом шагу т мы решаем систему двух векторных урав-
нений
ит — σΡτη = — <УРт+1 — ttm+i + Sm+Vi»
— Фит + рт = вт
— первого разностного уравнения системы (23.3) и прогоночного соотноше-
ния с Wm = 0. Решая систему (23.11), находим
ит = — (Е — аФту1 (орт+1 + ит+1) + ...,
t Рт = — Фт (Е — О^т)'1 (орт+1 + Вщ+l) + - - - ,
т. е. из-за специфики второго уравнения (23.11) векторы ит и рт выражают-
ся только через линейную комбинацию орт+1 + ит+1 и, конечно, через век-
торы £m+i/2 и 9т. Такиь образом, для zm = ит + орт имеем рекуррентное
соотношение
zm = — MmzmH + ... , Mm = (Ε + оФт)(Е — аЭтГ\ (23.12)
где опущены слагаемые, выражающиеся через |m+v2 и 9т. Поэтому достаточ-
но сделать обратную прогонку только для zm, а затем из системы
ит + аРт = zmi ит — аРт = — zm+l + £m+V,
с известными правыми частями найти ит и рт при всех т:
ит = (zm — zm+1 + gm+i/2)/2, pm = Qm + Фтида = (zm — ит) σ"1.
Эти рассуждения показывают, что спектральная устойчивость обратной про-
гонки равносильна устойчивости рекуррентного счета по (23.12). Выражаю-
щаяся через Фт матрица Мт приводится к диагональному виду в собствен-
ном базисе матрицы W. Для ее собственных чисел μ$ имеем по (23.12)
■ ий? = (1-а|Ф{г|)(1 + о|ФЙ|Р<1,
поскольку, как было доказано выше, все собственные числа ср^ < 0.
Таким образом, мы доказали, что метод матричной прогонки в рассмот-
ренной нами форме спектрально устойчив. Следует, однако, оговориться, что,
когда условие Куранта не выполнено, т. е. Ъо > 1, возможность расчета πα
матричным формулам может зависеть от способа их записи.
35. Математические вопросы теории счетных машин
421
35
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ СЧЕТНЫХ МАШИН*
Совместно с А. А. Ляпуновым и М. Р. Шура-Бурой
Современные электронные счетные машины совершили переворот в об-
ласти применения математических расчетов в естествознании, техникет
экономике и других отраслях, намного расширив круг задач, доступных ма-
тематическому исследованию. Однако значение математических, логических
и технических принципов, положенных в основу создания электронных счет-
ных машин, далеко выходит за пределы области конструирования и приме-
нения собственно математических счетных машин. Эти принципы могут быть
применены к созданию ряда новых автоматических устройств, освобождаю-
щих мозг человека от выполнения многих функций, процесс выполнения кото-
рых удается описать определенной последовательностью логических или
арифметических операций. Среди этих функций могут быть названы такиет
как управление рядом производственных процессов, диспетчеризация на
производстве или транспорте, службы обработки и выборки различного рода
информации, перевод с одного языка на другой и т. д. Все эти вопросы в на-
стоящее время находятся в самой начальной стадии исследования. Решение
их и создание новых машин-автоматов, которые смогут выполнить функции
человеческого интеллекта в новых, часто совершенно неожиданных направле-
ниях требует усилий ученых самых различных специальностей в области изу-
чения и расчленения на элементарные акты сложных процессов, выполняв-
шихся до сих пор человеческим мозгом, процессов, над анализом выполне-
ния которых мы никогда не задумывались.
Вот почему принципы устройства электронных машин и особенно мате-
матические основы их функционирования должны стать достоянием широ-
кого круга ученых и инженеров, а не только математиков и конструкторов
машин.
ДИСКРЕТНЫЕ И МОДЕЛИРУЮЩИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
Простейшие устройства для производства счета, вероятно, так же древ-
ни, как и сам счет. В своем развитии математические машины довольно чет-
ко разделяются на два класса: счетные «дискретные» машины и «модели-
рующие» непрерывные машины. Простейшие счетные машины — счеты,
арифмометры и др. — служат для выполнения основных арифметических
действий. Моделирующие машины выполняют значительно более сложные
операции.
Основаны эти машины на аналогиях, которые имеют место в совершенно
различных на первый взгляд явлениях. Например, сушествует полная не
В кн.: Сессия АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. Пленарные
заседания. М.: Изд-во АН СССР, 1957, с. 100—130.
Отредактированный текст доклада, зачитанного М. Р. Шура-Бурой 15 октября
1956 г. на сессии Академии наук от имени трех авторов. Этот же доклад в необработан-
ном виде был опубликован в «Вестнике Академии наук СССР» (1956, № 11, с. lfi—37).
422
IV. Вычислительная математика
только качественная, · но и количественная аналогия между дискретными
механическими системами и электрическими цепями, если поставить в со-
ответствие массам, коэффициентам демпфирования и упругим константам
механической системы коэффициенты индукции, сопротивления и обратные
величины емкостей электрической системы, а перемещениям, скоростям и
силам механической системы — заряды, токи и напряжения электрической
системы. На математическом языке это значит, что соответствующие меха-
нические и электрические системы описываются одними и теми же диффе-
ренциальными уравнениями. Например, для простейшей цепи с емкостью,
сопротивлением и самоиндукцией
г d2e . п de , e
^-^ТГ + Я-тт-Ч- —=е,
dt2 ^ at
где е — заряд; L — самоиндукция; R — сопротивление; с — емкость и ε —
напряжение, а для простейшей колебательной механической системы
где т — масса; h — коэффициент демпфирования; к — коэффициент упру-
гости; х — перемещение; F — сила.
Аналогии описанного типа позволяют заменять исследования механи-
ческих явлений исследованием электрических, строить электрические мо-
дели для изучения механических процессов. На этом принципе создаются
широко распространившиеся электрические модели, имеющие большое
значение для различных систем управления.
Однако можно пойти дальше и, подобрав электрическую или механиче-
скую модель, отображающую заданную систему уравнений, получить элект-
рическую или механическую систему для решения заданной абстрактно сис-
темы уравнений. Если мы предусмотрим изменение параметров моделирую-
щей системы, то получим машину для решения целого класса задач.
Существуют весьма далеко идущие аналогии между различными на пер-
вый взгляд явлениями. Можно построить электромеханические аналогии и
отличные от тех, которые были изложены выше. Можно установить полные
аналогии между такими различными явлениями, как электростатическое
поле, распределение температур в однородном теле, поле скоростей при те-
чении несжимаемой жидкости, поле тяготения. Все эти явления описываются
одними и теми же дифференциальными уравнениями.
Количество типов дифференциальных уравнений значительно меньше,
чем число описываемых ими явлений природы, и каждое уравнение описы-
вает целый класс явлений. Выбирая из этих явлений те, которые проще всего
поддаются технической реализации, можно создать моделирующее устрой-
ство для решения этого уравнения или для целого класса уравнений.
Используя принцип электрического и механического моделирования,
удалось создать интересные и нужные машины для решения математических
задач. Особенно важно использование моделей для исследования в лабора-
торных условиях ряда приборов или элементов систем управления, при из-
учении которых модель заменяет реальную систему.
При решении задачи на модели, как правило, не надо иметь ее полное
математическое описание, следует провести лишь некоторый не очень глу-
бокий анализ, позволяющий построить модель. С этой точки зрения ^приме-
нение моделирующих машин представлялось особенно привлекательным.
35. Математические вопросы теории счетных машин
423
так как оно, казалось бы, вело к устранению необходимости создания спо-
собов решения математических задач и передачи этих функций машине, све-
дя роль математического исследования к установлению необходимых ана-
логий. Однако оказалось, что принципы, заложенные в моделирующих
машинах, содержат в себе ряд ограничений.
Во-первых, новые задачи физики и техники привели к сложным поста-
новкам математических задач. Создание какого-то устройства, моделирую-
щего их в лабораторной обстановке, стало невозможным, и именно поэтому
жизнь еще настойчивее требовала рассчитывать эти задачи.
Во-вторых, различные явления описываются одними и теми же диффе-
ренциальными уравнениями или моделируются, как правило, только если
отвлечься от ряда вторичных факторов, которые по-разному влияют в раз-
ных явлениях.
Например, поле скоростей несжимаемой {жидкости, описываемое урав-
нением Лапласа, корректируется наличием вязкости, тогда как в явлениях
стационарного распределения тепла, описываемого тем же уравнением Лап-
ласа, в известных случаях надо учитывать наряду с теплопроводностью из-
лучение. Учет вязкости и учет излучения не имеют ничего общего.
Эти причины определили границы точности расчетов на моделирующих
машинах и поставили границы их применимости для сложных математи-
ческих расчетов, а иногда даже и для простых расчетов, требующих высо-
кой точности.
Оказалось, что единственным путем для решения большинства задач,
выдвигаемых техникой и физикой, является алгоритмическое решение, сво-
дящее вычисление искомых величин к
последовательности арифметических опе-
раций.
Для того чтобы сравнить решение за-
дачи моделированием с алгоритмическим
решением, рассмотрим совсем простой при- ^ .rr ^ яп <z j:
мер. Пусть надо вычислить площадь, распо-
ложенную под кривой, заданной уравнением у = / (х), между ординатами
ь
х = а и х = Ь, или \/ (х) dx (рисунок).
а
Существует множество различных машин, основанных на принципе
моделирования, созданных для решения этой важнейшей в математике за-
дачи. Можно, например, измерить эту площадь, изготовив сосуд с вертикаль-
ными стенками, в основании которого лежит измеряемая криволинейная
трапеция, и, заполнив его жидкостью, определить объем жидкости, вошед-
шей в этот сосуд при помощи мензурки. Однако и это и любое другое моде-
лирующее устройство будет осуществлено с ограниченной точностью. Бо-
лее того, при ограниченных размерах устройств точность механических
устройств нельзя беспредельно увеличивать.
Алгоритмическое решение этой же задачи сводится к последовательному
суммированию площадей вписанных прямоугольников
Уо (*i — *о) + 01 (яа — *i) + · · · + Уп-i (*n — *n-i)·
Этот процесс позволяет вычислять интеграл с любой наперед заданной сте-
пенью точности. Все зависит от того, сколько операций нужно провести для
получения результата с нужной точностью в наиболее приемлемое время.
424
IV, Вычислительная математика
Мы будем говорить, что математическая задача решена алгоритмически,
если указан однозначный процесс вычисления искомых величин. Как пра-
вило, конечный алгоритм решает задачи приближенно, но позволяет полу-
чить приближение любой степени точности.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ДИСКРЕТНОГО СЧЁТА
И АЛГОРИТМЫ
Даже для такой простой задачи, как вычисление интеграла, алгоритми-
ческое решение с применением простейших вычислительных устройств типа
счет или арифмометра становится иногда затруднительным. Для реально
существующих в настоящее время задач физики и новой техники алгоритм
часто содержит несколько десятков и даже сотни формул, а количество
арифметических операций, которые следует провести для получения резуль-
татов, исчисляется сотнями тысяч и даже десятками миллионов. Вычисление
таких задач обычными вычислительными средствами невозможно. Задача в
10 млн. операций требует затраты 100 тыс. ч работы вычислителя.
По существу математика уже давно опережала практические возможности
расчетов. В прошлом веке и в первой половине XX столетия в математике
получили широкое распространение так называемые теоремы существования,
устанавливающие существование решения той или другой задачи. Доказа-
тельства этих теорем во многих случаях содержат данные для составления
алгоритма численного решения задач, однако фактически по этим алгорит-
мам никто никогда не вычислял, так как для практического вычисления
алгоритмы были недоступны вследствие их трудоемкости. Так обстояло дело
со многими задачами в гидродинамике, теории упругости и ряде других об-
ластей. Задачи, для которых был создан математический алгоритм, решались
зачастую посредством дорогостоящих опытов и моделирования.
Развитие техники и особенно атомной техники поставило очень остро
вопрос о необходимости производства сложных математических расчетов по
созданным алгоритмам. Заменить важнейшие расчеты предварительными
модельными опытами стало невозможно. В реализации математических рас-
четов произошел переворот после появления в сороковых годах нашего
столетия универсальных быстродействующих счетных машин.
Что нового заложено в эти машины? Машина производит арифметиче-
ские операции над числами в цифровом представлении. Применение сна-
чала электромеханических реле, а затем электронных триггерных ячеек поз-
волило, используя в основном принципы дискретных механических счет-
ных устройств, создать несравненно более быстродействующие устройства
для счета.
Одним из существенных свойств новых машин является их способность
выполнять элементарные операции счета за очень короткие промежутки
времени, измеряемые тысячными и даже миллионными долями секунд. Но
если даже производить вычисления с произвольно большой скоростью, то
для записи промежуточных результатов вычисления и для ввода чисел в
счетное устройство и снятия всех промежуточных результатов или,
если угодно, для управления ходом вычислений понадобилось бы непри-
емлемое время.
Второе важное свойство быстродействующей машины заключается в том,
что она имеет устройство, на котором могут быть записаны все исходные и
промежуточные результаты и вообще любые числа,— это так называемое
35. Математические вопроси теории счетных машин
425
«запоминающее устройство», или «память» машины: процесс записи на со-
временных запоминающих устройствах, основанных на электронных или дру-
гого рода электромагнитных явлениях, происходит очено быстро.
Однако самое важное свойство быстродействующих электронных машин
состоит в том, что в них осуществлено автоматическое управление ходом
вычисления по задаваемой программе, описывающей произвольный алго-
ритм вычислений. Именно это свойство быстродействующих счетных машин
придает им значение, далеко выходящее за пределы математических приме-
нений.
Чтобы разобраться в том, что представляет собой программное управ-
ление, надо более точно определить, что такое алгоритм решения математи-
ческой задачи.
В простейших случаях это последовательность арифметических операций,,
которые надо провести над исходными данными и над результатами проме-
жуточных вычислений, чтобы получить ответ. Однако иногда по ходу вы-
числений в зависимости от промежуточных результатов надо решать, как
дальше вести вычисления. Например, сопротивление воздуха полету сна-
ряда при разных скоростях вычисляется по разным формулам, поэтому при
вычислении траектории снаряда надо выбирать формулу для сопротивления
в зависимости от скорости полета снаряда.
Предположим, что сопротивление вычисляется по двум разным формулам
в зависимости от того, превосходит ли скорость снаряда заданное значение
Уг или она меньше этого значения. Обозначим через S± вычисления по первой
и S2 — по второй из формул. В алгоритм решения нашей задачи входит осо-
бое действие — выбор. Последнее — действие следующего вида: если из
двух несовместимых возможностей А и В реализуется А, то дальше реали-
зуется процесс вычисления Sl4 а если В,— то S2. Это уже не есть арифмети-
ческое действие, а логический акт. Стало быть, алгоритм решения этой за-
дачи состоит не только из арифметических, но и из логических актов и в за-
висимости от логических условий может разветвляться. Такой особенностью
обладает почти каждый сколько-нибудь сложный алгоритм, но всякий
алгоритм может быть записан в виде последовательности арифметических и
логических актов 5Ι£2 . . . SkJ причем каждая из букв обозначает или ариф-
метическую операцию St = α, или логическую операцию Sj = ρ того типа,
как это было описано выше. Если St — арифметическая операция, то даль-
ше выполняется следующая операция Si+1. Если St — логическое ус-
ловие, то вслед за St выполняется или операция Si+1, или совершается
перескок на другую операцию Sj.
Мы привели пример элементарной альтернативы в качестве логического
условия, но часто альтернатива зависит от ряда логических условий и для
ее решения надо провести логические действия.
Поэтому наряду с арифметическими операциями машина должна прово-
дить и логические. Это легко реализуется теми же в принципе счетными
устройствами при помощи операций логического сложения и умножения с
использованием для логической функции двух значений/? = 1; 0 в зависимо-
сти от того, истинно или ложно высказывание р. Автоматическое управление
машины должно допускать реализацию логической альтернативы. Возмож-
ность реализации логических альтернатив может быть обеспечена, напри-
мер, наличием операции следующего вида: если ρ = О, вычисление продол-
жается с операции 5г; если ρ = 1, вычисление продолжается с операции Sj.
426
IV. Вычислительная математика
Весьма существенным является сокращение записи алгоритма, которое
.может быть выполнено применением логических операций. Для применения
машины нужно сначала выписать алгоритм, а потом записать его с помощью
определенного кода в запоминающие устройства машины. Если алгоритм
Ηβ обладает никакими особенностями, для того чтобы записать его, нужно
выписать подряд все элементарные операции, требующиеся для вычисления
результата. При применении машины для решения такой задачи существен-
ной экономии времени расчета получить нельзя, наоборот, такую единичную
задачу обычно проще решать непосредственно. Тем не менее если по одному
и тому же алгоритму надо повторить вычисления много раз, меняя лишь
входные данные, как это бывает, например, при вычислении таблиц, приме-
нение машины уже становится разумным.
Однако, как правило, при составлении алгоритма задачи нет необходи-
мости выписывать все элементарные операции, которые надо выполнить.
Это происходит потому, что алгоритмы большинства задач обладают боль-
шой степенью цикличности, точнее говоря, алгоритмы содержат повторяю-
щиеся куски из тех же элементарных операций, совершаемых над новыми
числами.
Простейшими циклами являются так называемые итерационные. Пример
такого цикла дает решение уравнения х = / (х) итерациями хп = / Orn-i)·
Если функция / (х) вычисляется алгоритмом S1S2S3 . . . Sn, то алгоритм
вычисления итераций будет состоять из повторяющихся кусков выписан-
ного вида. При вычислении х может быть задано количество необходимых
итераций, требующихся для получения х с заданной точностью, но, вообще
говоря, машина сама определяет необходимое количество итераций по за-
данным критериям точности, сравнивая или последовательные итерации,
или левую и правую части уравнения. В зависимости от того, больше или
меньше заданного е результат сравнения двух последовательных прибли-
жений, машина может определить, надо ли продолжать дальше вычисления
или их надо прекратить.
В обоих случаях не надо выписывать всех повторных операций алгорит-
ма. Алгоритм выписывается в виде *S1*S2 . . . Smp.
В случае, когда задано число h циклов итерации, ρ означает следующее
действие: если число уже проведенных циклов меньше h, цикл надо повторить,
■если же число проведенных циклов равно h, вычисление прекращается.
Во втором случае ρ означает другое действие:
если | хп — хЛ_1 [ ^ ε, цикл надо повторить,
если | хп — xn_i | <] е, цикл прекращается.
Оба эти действия выполняются элементарными логическими операция-
ми и могут быть переданы машине. Во втором случае машина сама «решает»,
когда точность вычисления стала достаточной.
Второй типичный цикл — это цикл с переадресацией. Его можно просто
получить на примере вычисления интеграла по формуле
х
ξ / (х) dx = у0 (хг — х0) + yi(X2 — Xi) + ...+ Уп-i (*п — *n-i).
Выписав ряды чисел
Xqj #i, . . ., хп', ?/о» 2/i» · · ·» Упч
35. Математические вопросы теории счетных машин
427
мы можем в алгоритме выписать подряд все последовательные операции, ко-
торые надо провести над этими числами. Однако можно алгоритм записать
значительно короче:
тде Sl4 S2, S3, ρ означают следующие операции: 5Х — вычесть х0 из хг;
£2 — результат помножить на у0; S3 — результат прибавить к ранее полу-
ченной сумме (она была 0 до начала вычислений); ρ — если произведено
уже η циклов вычислений, прекратить вычисления, если же число повтор-
ных циклов меньше п, то увеличить индексы чисел на единицу и повторить
дик л.
Таким образом, введение операции ρ позволяет избежать выписывания
в алгоритме всех циклов вычисления.
Подчеркнем, что в обоих случаях введение циклов основано на операции
«сравнения двух чисел и в зависимости от результата сравнения далее вы-
полняются различные вычисления.
Цикличность большинства математических алгоритмов позволяет про-
водить их сокращенную запись и не вписывать в программу решения зада-
чи на машине всех потребных для этого операций. Надо задать только
циклы вычислений.
Изложенные выше принципы универсальных цифровых машин начали
возникать еще в первой половине прошлого столетия и в законченном виде
'были сформулированы в 40-х годах XX в.
Необходимый запас исходных данных, состоящих из численных значений
исходных величин и из описания алгоритма, мы будем называть исходной
информацией. Исходную информацию надо передать машине, после чего ма-
шина должна автоматически провести решение задачи.
Программы. Для «записи» различных чисел надо иметь различные состоя-
ния машины. Это затрудняет точное изображение чисел при помощи одной
•физической величины, как это делается обычно в моделирующих машинах,
так как точность измерений ограничивает количество различимых состоя-
ний одной величины. Значительно лучше изображать числа в машине спосо-
бами, соответствующими цифровым системам счисления. Если мы имеем
л физических величин, каждая из которых имеет ρ различимых состояний,
то общее число состояний системы рп; следовательно, мы можем изобразить
■столько же чисел. Такой способ записи чисел не только проще, но и устой-
чивее, и в силу быстрого роста функции рп при сравнительно малом числе
элементов ρ позволяет записать много чисел.
Простота цифрового изображения позволяет применять даже так назы-
ваемые «избыточные коды», при которых диапазон могущих быть изображен-
ными в машине чисел значительно больше диапазона употребляемых чисел.
При этом часть кодов оказывается «лишенной смысла», что может быть исполь-
зовано в целях автоматического контроля и даже в целях автоматического
исправления возникших при обработке информации ошибок машины.
Запись в машине; чисел обычно реализуется при помощи различного
рода реле и электронных устройств, для которых проще всего осуществить
два различимых состояния. Ввиду этого чаще всего машина ведет счет в
двоичной системе чисел, требующих для своей записи двух цифр 0 и 1, кото-
рые фиксируются двумя состояниями элементарных устройств.
428
IV. Вычислительная математика
Например, число 23 может быть записано в виде 10111, что означает
1.24 + 0.2з + 4.22 + i.2i + 1-2° = 23.
Наряду с числовой информацией для автоматической работы машины
следует сообщить информацию о реализуемом алгоритме. Для изображения?
этой информации можно применить такой же цифровой способ изображения,,
поставив в соответствие каждому элементарному акту, который может вы-
полнять машина, некоторое число. Это число называется кодом соответствую-
щей информации. В силу устойчивого дискретного характера цифрового
изображения информации соответствие элементарный акт—код может быть
в значительной степени произвольным. Та или иная система в установлении
этого соответствия определяется удобством пользования и простотой физи-
ческой реализации воспринимающих эту информацию устройств.
Интересно отметить, что любой код можно интерпретировать и как неко-
торое число, и как информацию об элементарной операции машины.
Так как реализация всякого алгоритма сводится к переработке инфор-
мации, а выполнение каждого элементарного акта алгоритма приводит к
новым данным, то для продолжительной автоматической работы машина
должна обладать способностью хранить значительное количество инфор-
мации. Функцию хранения выполняет запоминающее устройство машины,
которое в современных машинах обладает весьма большим объемом.
Как правило, память машины состоит из нескольких запоминающих
устройств, обладающих различным быстродействием. Наиболее быстродей-
ствующее из этих устройств составляет так называемую оперативную па-
мять. Такое разделение памяти объясняется стремлением упростить техни-
ческую реализацию машины, свести к минимуму объем наиболее быстродей-
ствующей и поэтому наиболее сложной части памяти. Скорость выполнения!
тех или иных элементарных операций при этом, конечно, зависит от тогог
к какому из запоминающих устройств следует обратиться для их выполнения^
Память удобно схематически представлять себе в виде совокупности яче-
ек с фиксированным числом подразделений, в каждом из которых могут быть
реализованы физические состояния, фиксирующие цифры. Таким образом,,
в каждой ячейке памяти может быть записан цифровой код, изображающий
число или какую-либо иную информацию. Каждой такой ячейке ставится в
соответствие номер, так называемый адрес ячейки, и элементарные акты реа-
лизуемого алгоритма сводятся к некоторой обработке кодов, содержащихся
в той или иной ячейке памяти. Подобно тому как в вычислительном алгорит-
ме, составленном для некоторого класса задач, вместо чисел фигурируют
буквы, так в алгоритме, описанном в терминах элементарных операций ма-
шины, фигурируют адреса ячеек памяти. В памяти современной автомати-
ческой машины хранится как числовая (обрабатываемая) информация, так и?
информация об алгоритме обработки.
Информация о каждом элементарном акте, выполняемом машиной, мо-
жет быть изображена при помощи кода, а весь алгоритм решения задачи, по-
скольку он расчленен на элементарные акты, изображается в виде последо-
вательности кодов, так называемой программы.
Автоматическая цифровая вычислительная машина с программным управ-
лением имеет специальное устройство управления, которое обеспечивает вы-
полнение той или иной элементарной операции в зависимости от кода, по-
ступившего в это устройство. Автоматическое выполнение ряда различных
операций становится возможным благодаря тому, что каждая элементарная
35. Математические вопроси теории счетных машин
429
операция включает в себя выбор из памяти машины кода для устройства уп-
равления.
Таким образом, после выполнения очередной операции машина автома-
тически переходит к выполнению следующей, так как соответствующий код
оказывается в устройстве управления. Существенной особенностью совре-
менных автоматических машин является то обстоятельство, что порядок вы-
бора новых управляющих кодов, так называемых команд, из памяти машины
может зависеть от результатов вычислений. Эта возможность реализуется
в машине прежде всего при помощи специальной элементарной операции,
в информации о которой указываются различные адреса ячеек памяти, хра-
нящих коды, которые надо выбрать в качестве новой команды вслед за этой
специальной операцией, и те или иные условия, при которых следует вы-
брать команду в одной из указанных ячеек памяти. Очевидно, что если пре-
дусмотреть в машине операцию выборки в зависимости от условия одной из
двух команд, то нетрудно реализовать при помощи нескольких таких опе-
раций выбор одного из нескольких путей продолжения работы. Возможность
такого разветвления существенно упрощает алгоритм, если он предназначен
для решения большого класса задач.
Еще более существенной особенностью современных автоматических ма-
шин является возможность преобразования кодов команд. Эта возможность
вепосредственно вытекает из цифрового представления команд и того обсто-
ятельства, что коды команд хранятся в памяти машины наряду со всей про-
чей информацией. Используя преобразование кодов команд, можно не только
выбрать новый путь вычисления в зависимости от полученных результа-
тов, но и предусмотреть существенную переработку всей программы вычис-
лений.
Преобразование кодов команд позволяет в ряде случаев во много раз со-
кратить объем программы. Замечательно, что эта экономия достигается не
лутем сокращения реализуемого исходного алгоритма, а, наоборот, при по-
мощи его расширения, т. е. включения в него новых вспомогательных опе-
раций, в том числе операций над кодами команд. Вспомогательные операции
■обеспечивают осуществление циклов и изменений хода вычислений в зависи-
мости от логических альтернатив. Рассмотрим в качестве простого примера
программу интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения
методом Эйлера. Пусть у' = х + у2, ух=0 = 0, и требуется определить функ-
цию у (х) в интервале (0, 1) на сетке с шагом h.
Как известно, метод Эйлера заключается в последовательном отыскании
.значений функций у (kh) = ykJ где к — целое число, по формуле
Ук+i = У* + hyi (к = 0, 1, . . .).
Программа для этой задачи расписана в таблице.
Для того чтобы машина правильно восприняла эту программу, ей следу-
ет придать цифровую форму кодов и поместить в соответствующие ячейки
памяти. Для этого автоматическая машина снабжается специальным устрой-
ством ввода исходной информации, которой обычно придается форма проби-
вок на ленте или перфокартах.
В приведенном примере алгоритм последовательного вычисления значе-
ний искомой функции расчленен на некоторые «элементарные операции».
Понятие «элементарной операции» является условным, хотя для каждой кон-
кретной машины это понятие точно определено.
430
IV. Вычислительная математика
Содержание ячейки памяти (команды и числа)
Переслать содержимое ячейки 19 в ячейку 21. Выбрать следующую команду
из ячейки 2
Умножить содержимое ячейки 19 на содержимое ячейки 19 и поместить ре-
зультат в ячейку 20. Выбрать следующую команду из ячейки 3
Сложить содержимое ячейки 18 с содержимым ячейки 20 и поместить резуль-
тат в ячейку 20. Выбрать следующую команду из ячейки 4
Умножить содержимое ячейки 20 на содержимое ячейки 1/ и поместить
результат в ячейку 20. Выбрать следующую команду из ячейки 5
Сложить содержимое ячейки 19 с содержимым ячейки 20 и поместить резуль-
тат в ячейку 19. Выбрать следующую команду из ячейки 6
Сложить содержимое ячейки 18 с содержимым ячейки 17 и поместить резуль-
тат в ячейку 18. Выбрать следующую команду из ячейки 7
Изменить содержимое ячейки 1, увеличив на единицу номер ячейки, в кото-
рую происходит пересылка. Выбрать следующую команду из ячейки 8
Выбрать следующую команду из ячейки 11, если число, хранящееся в ячей-
ке 16, меньше числа, хранящегося в ячейке 18; в противном случае выбрать-
следующую команду из ячейки 9
Выбрать следующую команду из ячейки 1, если содержимое ячейки 1 не сов-
падает с содержимым ячейки 14; в противном случае выбрать следующую·
команду из ячейки 10
Переслать содержимое ячейки 15 в ячейку 1. Выбрать следующую команду
из ячейки 11
Отпечатать 100 чисел, хранящихся в памяти, начиная с ячейки 21. Выбрать
следующую команду из ячейки 12
Выбрать следующую команду из ячейки 1, если содержимое ячейки 1 совпа-
дает с содержимым ячейки 15; в противном случае выбрать следующую ко-
манду из ячейки 13
Прекратить дальнейшую автоматическую работу
Переслать содержимое ячейки 19 в ячейку 121. Выбрать следующую команду
из ячейки 2
Переслать содержимое ячейки 19 в ячейку 21. Выбрать следующую команду
из ячейки 2
Единица
h
Нуль
Нуль
При выборе набора элементарных операций для автоматической машины
надо руководствоваться следующими соображениями. Во-первых, этот набор
должен быть полным, т. е. обеспечивать возможность (по крайней мере тео-
ретическую) реализации любого наперед заданного алгоритма. Следует, од-
нако, заметить, что уже очень небольшой набор из так называемых элемен-
тарных операций математической логики в силу известных результатов обес-
печивает возможность реализации любого алгоритма. Во-вторых, желатель-
но, чтобы набор элементарных операций обеспечивал расчленение алгорит-
ма на возможно меньшее число элементарных актов выполнения операций из
этого набора. В-третьих, весь выбранный набор элементарных операций дол-
жен иметь достаточно простую физическую реализацию.
Следует заметить, что второе и третье требования противоречат друг
другу. Разрешение этого противоречия может быть найдено на пути автома-
Адрес
в памяти
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
35. Математические вопроси теории счетных машин 431
тического дешифрирования. Последнее означает, что в машине фактически
достаточно реализовать лишь очень небольшой набор простейших операций,
а более сложные операции будут выполняться машиной как последователь-
ность этих простейших операций по специальным закоммутированным.
в устройстве управления программам. Выбор этих более сложных операций
зависит от типов алгоритмов, для реализации которых предназначается
машина.
Значение счетных машин для математики. Современные быстродействую-
щие универсальные машины могут выполнять несколько тысяч операций
в секунду. Если считать, что вычислитель может провести на ручных машинах
около 1000 операций за рабочий день, то это значило бы, что в одну секунду
машина может провести работу, совершаемую несколькими людьми за день^
Конечно, нельзя буквально время, затраченное человеком и машиной,
сравнивать по операциям. Для машины надо вычисление расчленить на зна-
чительно более элементарные акты, поэтому операции машины надо перево-
дить в операции человека с коэффициентом, значение которого трудно точно
определить, но, вероятно, он равен 1/3—1/4. По ряду других обстоятельств,,
связанных с техникой работы на машине, этот коэффициент надо еще умень-
шить примерно в 10 раз. В итоге получается, что день работы машины заме-
няет несколько лет работы одного вычислителя.
В связи с такими возможностями счетные машины не только позволили
значительно быстрее решать задачи и проводить большее количество расче-
тов, но они сделали возможными те расчеты, которые ранее по своему объему
были недоступны. Это относится ко многим задачам ядерной физики,
гидроаэромеханики и других технических областей. Поэтому в настоящеег
время многие прикладные задачи, решение которых в силу их недоступности
расчетам проводилось моделирующими опытами, будут значительно проще
и рентабельнее решаться расчетами.
Часто бывают превратные толкования значения машин в математике.
Надо себе четко представить, что машина сама не вырабатывает методов
решения математических задач. Для решения математических задач на маши-
не заранее должен быть разработан алгоритм. Если угодно, машина заменяет
не научного работника, а вычислителя, труд которого формализован и может
быть описан небольшим числом элементарных актов. Однако уже теперь
машине могут быть переданы и некоторые функции, требовавшие более
высокой квалификации, о которых речь будет идти дальше. Кроме того, при-
менение машин часто устраняет необходимость разработки грубых оценоч-
ных методов решения математических задач, к которым приходилось прибе-
гать в связи с тем, что нельзя было организовать реализацию алгоритмовт
дающих точное решение задачи.
Появление машин не только привело к реализации разработанных методов
решения задач, но стимулировало разработку численных методов решения
принципиально новых задач. Особенно следует отметить развитие разност-
ных методов решения краевых задач для нелинейных уравнений с частными
производными.
Работы в этом направлении проводились Дж. Нейманом и его учениками
в Америке и у нас И. М. Гельфандом, С. К. Годуновым, К. И. Бабенко,
О. В. Локуциевским, А. Н. Тихоновым, А. А. Самарским, К. А. Семендяе-
вым, Л. Д. Ландау, Η. Η. Мейманом и др. Развитие этих методов дало воз-
можность провести на машинах решения ряда важнейших задач гидродина-
мики и физики.
432
IV. Вычислительная математика
Следует особо отметить проведенные в последние годы под руководством
К. И. Бабенко и И. М. Гельфанда работы по развитию разностных методов
решения нестационарных задач газовой динамики в пространстве двух изме-
рений и нестационарных задач нелинейной теплопроводности для многих
измерений. Подробное изложение этих работ, имеющих выдающееся научное
значение и заслуживающих быть изложенными в специальном докладе, не-
возможно провести в рамках этой статьи. Эти методы впервые сделали доступ-
ным решение любых краевых задач газовой динамики в пространстве более
одного измерения и, в частности, дают возможность реализовать решение
-смешанных стационарных задач газовой динамики с переходом скорости
течения через скорость звука.
Возможность реализации широких классов алгоритмов привела к такому
положению, когда мы решаем не только те задачи, для которых уже иссле-
дованы вопросы существования, но часто вынуждены применять алгоритмы
для численного решения без полного исследования их сходимости.
В отличие от того, что было в XIX и начале XX в., развитие численных
методов уже обгоняет исследования вопросов существования и качественные
методы. В какой-то степени в области уравнений математической физики мы
возвращаемся к положению, имевшему место в XVIII столетии, когда часто
умели вычислять решения задачи без достаточно строгого обоснования.
Несмотря на возможность решать на машинах задачи с десятками миллио-
нов операций, уже сейчас физика и техника выдвигают задачи, по своему
объему практически мало доступные для современных машин. К таким зада-
чам относятся дву- и трехмерные задачи математической физики и, в частно-
сти, трехмерные задачи газовой динамики и задачи расчета гетерогенных
атомных котлов, для которых физические величины, характеризующие тече-
ние процесса, зависят от времени и шести переменных — трех координат,
двух углов, определяющих направления лучей, выходящих из точки, и
энергии нейтронов. Если в реакторе нет симметрии, сократить число пере-
менных нельзя. В этом случае сетка, по которой надо вычислять, должна
была бы иметь не менее 106—107 узлов, а количество операций для полного
расчета задачи достигало бы десятков миллиардов операций. Расчет такой
задачи на современных машинах занимал бы тысячи часов, т. е. время, прак-
тически совершенно неприемлемое.
При этом надо подчеркнуть, что важно повысить не только скорость вы-
полнения арифметических операций, но и производительность машины в це-
лом, что также зависит от совершенства логики машины и совершенства ряда
^е вспомогательных устройств.
В настоящее время создаются машины с быстродействием около 20 000
операций в секунду. Описанные выше задачи приводят к постановке вопроса
о повышении быстродействия машин по крайней мере в 10—20 раз, т. е.
доведения быстродействия до сотен тысяч и даже нескольких миллионов опе-
раций в секунду. Необходимо также дальнейшее повышение емкости
запоминающих устройств машины, в частности емкости оперативной памяти,
которая сейчас состоит из 1000—4000 ячеек.
В литературе имеются указания о работах по созданию машины «Ларк»,
•совершающей миллион операций в секунду.
Метод Монте-Карло. Возможно, что для решения некоторых задач,
требующих при применении обычных методов расчета очень большого объ-
ема вычислений, результаты могут быть достигнуты путем применения так
называемых вероятностных методов — методов Монте-Карло.
35. Математические вопросы теории счетных машин
433
Идея систематического применения методов Монте-Карло к решению
задач математической физики принадлежит Дж. Нейману и У л ему и по-
лучила распространение в последнее десятилетие. Однако элементы ста-
тистического подхода к решению уравнений математической физики были
даны еще в 1928 г. в работе Куранта, Фридриса и Леви.
Суть методов Монте-Карло состоит в том, что для решения задачи строит-
ся некоторый случайный процесс. Статистическая обработка результатов,
получаемых в этом процессе, доставляет решение задачи. Так, например,
для вычисления интеграла можно применить формулу среднего значения
U (Р) dp = Sf (Q),
где S — объем области интегрирования, a Q — подходяще выбранная точка·
Определяя Q случайным процессом с равномерным распределением и
осредняя результаты полученных случайных значений интеграла, мы с
вероятностью, стремящейся к 1, будем приближаться при достаточно боль-
шом числе испытаний к точному значению интеграла. Могут быть построены
аналогичные процессы для значительно более сложных задач. При вычис-
лении кратного интеграла погрешность метода Монте-Карло определяется
числом N испытаний и не зависит от числа измерений области интегриро-
вания. Поэтому применение метода Монте-Карло особенно выгодно для
многократных интегралов. Порядок ошибки при осреднении N испытаний
равен Υ DIN, где D — дисперсия случайной величины.
Отметим здесь, что И. М. Гельфанд и Η. Η. Ченцов указали на воз-
можность применения методов Монте-Карло к вычислению континуальных
интегралов, появляющихся в квантово-механических задачах.
Статистические методы могут быть разработаны для большинства задач
математической физики, для многомерных задач они могут доставлять боль-
шую экономию, особенно в случае, когда в результате вычислений надо
найти не распределения, а отдельные величины.
При применении методов Монте-Карло необходимо для построения слу-
чайного процесса создать в машине последовательность случайных чисел.
Это можно сделать при помощи вычислений по некоторым формулам или
при помощи специальных устройств для выработки случайных чисел.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
К РЕАЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЮЩИХ АЛГОРИТМОВ
Вычислительная машина не только производит арифметические дейст-
вия, но она автоматически реализует алгоритмы. Поэтому счетные машины
или аналогичные им устройства могут быть применены к реализации всех
процессов, которые мы сумеем алгоритмизировать. Такие процессы весьма
разнообразны, и круг их непрерывно расширяется.
К этим процессам, например, относятся: 1) программирование матема-
тических задач; 2) перевод с одного языка на другой; 3) хранение, обра-
ботка и выдача информации; 4) управление производственными процессами;
5) диспетчеризация на производстве и транспорте; 6) управление движением
и боевыми действиями самолетов и других машин.
Остановимся на принципах, положенных в основу разработки ряда из
этих алгоритмов.
28 М. В. Келдыш. Математика
434
TV. Вычислительная математика
Автоматизация программирования. Автоматический характер работы
современных счетных машин предъявляет особые требования к подготовке
исходной информации. Исходная информация, как отмечалось, должна со-
держать полное описание реализуемого алгоритма, точнее говоря, програм-
му, т. е. коды команд, выполняя которые машина решит задачу. Составле-
ние программы для реализации сколько-нибудь сложного алгоритма ока-
зывается довольно трудной задачей, так как составитель должен одновре-
менно учитывать и самые мелкие детали алгоритма и в то же время четко
представлять себе алгоритм в целом. Программы сложных задач, выпол-
няемых на машине, содержат по нескольку тысяч команд.
Ограниченный объем памяти машины приводит к необходимости много-
кратно использовать ячейки памяти для записей новых результатов и тем
самым осложняет задачу описания алгоритма необходимостью рациональ-
ного распределения памяти.
Трудности составления программы усугубляются необходимостью су-
щественно сокращать количество команд по сравнению с числом выпол-
няемых операций, для чего требуется введение вспомогательных операций,,
т. е. расширение исходного алгоритма. Если учесть, что автоматические
быстродействующие машины желательно в первую очередь использовать
для решения наиболее сложных задач, то становится ясным, что без удовлет-
ворительного решения проблемы программирования невозможно эффектив-
ное использование машин. .
Необходимость в научном подходе к проблеме программирования поро-
дила новый раздел в вычислительной математике. Перед программированием
в широком смысле этого слова, с одной стороны, стоит задача разработки
эффективных приемов компактного описания, составления и контроля про-
грамм для реализации конкретных алгоритмов, а с другой — выработка
математических критериев для оценки различных алгоритмов и систем
операций в машинах. Важным шагом по пути разработки удобных методов
описания алгоритмов явился операторный метод, предложенный в 1953 г.
А. А. Ляпуновым. Практическое применение этого метода и дальнейшее
уточнение понятия оператора легли в основу нового метода автоматизации
программирования.
Сущность метода заключается в следующем. Если в алгоритме идут
подряд однородные операции, например операции вычисления по арифме-
тическим формулам, операции вычисления по логическим формулам, опе-
рации над кодами команд, то они объединяются в укрупненные операторы.
Таким образом, используются укрупненные арифметические, логические и
другого вида операторы. Алгоритм расчленяется на сравнительно неболь-
шое число укрупненных операторов Sx, S2, - . ., Sn.
Задачу составления программы алгоритма можно разбить на три этапа-
I. Составление операторной схемы алгоритма.
П. Составление программ алгоритмов отдельных операторов по услов-
ной, привычной для математика информации о них.
III. Составление программы исходного алгоритма по известным програм-
мам операторов или группам из них и информации об операторной схемег
описывающей порядок применения операторов.
Все методы автоматизации программирования сводятся или к частичной,,
или к полной передаче этапов II и III машине. Для этого этапы II и III
должны быть формализованы, т. е. должен быть разработан алгоритм их
35. Математические вопросы теории счетных машин 43^
выполнения. Существуют различные способы частичной или полной авто-
матизации этапов II и III.
По литературным данным, в США распространен метод, основанный на
использовании библиотеки программ уже запрограммированных операторов
или групп операторов. Введение этих программ в общую программу авто-
матизировано.
Близким по идее является метод введения в машину укрупненных опе-
раций программным путем. У нас в Советском Союзе в этом направлении
работает группа ленинградских математиков под руководством Л. В. Кан-
торовича.
Полная передача машине функции III и наиболее полная передача функ-
ции II реализована в универсальной программирующей программе, разра-
ботанной в Математическом институте АН СССР. Идея создания универ-
сальной программирующей программы принадлежит Э. 3. Любимскому и
С. С. Камынину, осуществившим в 1954 г. упрощенный вариант такой
программы для машины «Стрела-1». Создание более совершенного варианта
потребовало усилий большого коллектива программистов. В этой работе,
выполненной под руководством М. Р. Шура-Буры, кроме авторов первой
программы, приняли участие Вс. С. Штаркман, Э. С. Луховицкая, И. Б. За-
дыхайло и др.
Выполнение этапов II и III объединено в единую программу. Для обыч-
но встречающихся типов операторов реализованы в виде программ блоков
алгоритмы написания необходимых команд составляемой программы. Про-
граммирующая программа имеет блоки для составления программ ряда
обычно встречающихся типов операторов. Другие блоки программирующей
программы осуществляют объединение подпрограмм для отдельных опера-
торов в единую программу алгоритма. Эти блоки допускают также включе-
ние подпрограмм «нестандартных» операторов, т. е. групп из произвольных
команд. В программирующую программу введен ряд принципов экономии
алгоритма составляемой программы.
При использовании программирующей программы программист должен
составить операторную схему программы, информацию об этой схеме и
отдельных операторах и дать указания о распределении памяти машины.
Программирующая программа автоматизирует наиболее трудоемкую часть
составления программы. С начала 1955 г. рабочие программы для машины
«Стрела-1», как правило, составляются при помощи программирующей
программы.
Исходя из тех же идей, программирующие программы были созданы
в 1956 г. А. П. Ершовым в Вычислительном центре для машины БЭСМ.
Последняя программа несколько отличается от прообраза. Эти отличия
упрощают саму программирующую программу, но в то же время некоторые
из них (например, способ введения условных чисел) существенно осложня-
ют ее применение и делают ее малоэффективной.
Оценивая эффективность какого-либо метода автоматизации, следует
принимать во внимание не только отношение количества исходной для сос-
тавления новой программы информации к числу команд в готовой програм-
ме, но и «качество» этой информации. В частности, очень большое значение
имеет возможность подготовки разных частей исходной информации неза-
висимо друг от друга. Отсутствие такой возможности сильно снижает эф-
фективность метода и в ряде случаев делает его применение нецелесообраз-
2:*
436
IV. Вычислительная математика
ным. Программирующая программа, основанная на операторном методе,
и в этом смысле оказывается наиболее перспективной.
Автоматический перевод. При помощи вычислительных машин можно
переводить тексты с одних языков на другие. Для этого требуется составить
специальный словарь и выработать систему правил, облекающую правила
процесса перевода в форму алгоритма. Эта система правил должна быть
запрограммирована.
Наибольшие трудности представляет работа по составлению алгоритма
перевода, поскольку она требует необычного подхода к процессу перевода
и к языку в целом.
Дело в том, что человек-переводчик руководствуется в основном смыс-
лом переводимого текста; прочитывая фразу, он уясняет себе ее содержание
и передает его на другом языке. Правила перевода, пригодные для машины,
не могут апеллировать к смыслу фразы, а должны исходить только из формы
ее написания.
Для правильного перевода необходимо считаться с грамматическими
особенностями слов обоих языков. Поэтому нужно предоставить в распо-
ряжение машины грамматическую информацию о переводимых словах.
Так как в самом тексте такой грамматической информации нет, то ее прихо-
дится включать в словарь. Эта информация будет извлекаться из словаря
для всех слов переводимой фразы вместе с их переводами.
В задачу правил перевода входит, используя строение переводимого
текста, а также грамматическую информацию о составляющих его словах,
выяснить, как расположить переводы слов и какую грамматическую форму
им придать для того, чтобы связь между понятиями, содержащимися в пе-
реведенной фразе, была эквивалентна связи между понятиями в переводи-
мой. Для этого приходится выяснить, какие грамматические конфигурации
языка, на который переводят, соответствуют грамматическим конфигура-
циям того языка, с которого переводится.
Установление соответствий между грамматическими конфигурациями —
это новая и своеобразная лингвистическая задача, которая требует деталь-
ного изучения структурных особенностей обоих языков, так как точность
установления соответствия структур должна быть такова, чтобы при ус-
ловии правильного перевода и соблюдения структурных соответствий была
бы обеспечена правильность передачи содержания.
Первые указания на возможность использования машин для перевода
появились в американской литературе начиная с 40-х годов, а в 1954 г. в
Нью-Йорке была проведена публичная демонстрация перевода с русского
языка на английский на машине ИБМ с программой, содержавшей весьма
ограниченные возможности.
У нас первые опыты по переводу с английского языка на русский были
сделаны в 1955 г. в ИТМ и ВТ АН СССР Д. Ю. Пановым, И. К. Вельской,
И. С. Мухиным, Л. Н. Королевым, С. Н. Разумовским, Г. П. Зеленкевич.
Работа по переводу с французского и английского на русский язык ведется
в Математическом институте А. А. Ляпуновым, О. С. Кулагиной, Т. Н. Мо-
лошной, И. А. Мельчуком и др., . и в 1956 г. были реализованы первые
опыты по переводу с французского языка на русский. Сейчас в обоих инсти-
тутах ведется работа по переводу с нескольких языков на русский. При пе-
реводе с английского языка на русский и с французского на русский правила
перевода устанавливались путем анализа и сопоставления грамматических
правил исходного и русского языка, а также, главным образом в части
35. Математические вопросы теории счетных машин
437
построения фраз, эмпирическим путем на основании анализа сопоставления
исходных и переведенных фраз.
В работах Математического института по переводу с английского на
русский язык для анализа и построения переведенных фраз были исполь-
зованы данные структурного языкознания. Типичные структуры английских
предложений были описаны при помощи некоторых элементарных, преиму-
щественно двучленных отношений между словами.
Элементарные грамматические отношения в английском языке были
поставлены в соответствие элементарным русским отношениям. Это позво-
ляет, зная структуру английского предложения, получить структуру пе-
реводящего его русского предложения, а также грамматическую информа-
цию о форме входящих в оба предложения слов.
На первых порах словарь и правила машинного перевода разрабаты-
ваются не для французского или английского языка во всей полноте, а для
некоторых, так сказать, ограниченных языков. В первых опытах правила
перевода были разработаны применительно к языку научной математиче-
ской литературы. С одной стороны, это сужает словарный запас до 1000—
1500 слов, с другой — ограничивает разнообразие и степень сложности
грамматических структур.
Кроме того, в первых опытах приходится сознательно жертвовать мно-
гими стилистическими возможностями русского языка и удовлетворяться
требованиями того, чтобы содержание переводимого текста было передано
правильно, в правильной грамматической форме, хотя иногда и несколь-
ко тяжеловесно.
В связи с машинным переводом возникают две группы проблем. Первая
состоит в нахождении четких формальных соответствий между языками.
С этим связано разбиение формально эквивалентных между собой слов язы-
ка на классы (разбиение близко к делению на части речи, но не совпадает с
ним); выделение внутри каждого класса групп слов, преобразующихся πα
одним и тем же формальным правилам; выделение элементарных граммати-
ческих конфигураций, которое характеризуется взаимным расположением
слов и их грамматическими формами, а также выяснение того, какие грам-
матические конфигурации одних языков способны формально соответство-
вать конфигурациям других языков так, чтобы это соответствие обеспечивала
правильную передачу смысла переводимых фраз. Другими словами, это за-
дача лингвистической систематики на логико-математической основе.
Вторая группа проблем заключается в поиске путей такой реализации
переводческих алгоритмов, при которой производительность машины ока-
жется по возможности большой. Для этого требуется найти такую органи-
зацию алгоритма перевода и такое его кодирование на языке машины, при
котором загрузка машинного оборудования для хранения словаря, текста и
программ была бы не слишком велика, а также чтобы машинное время, не-
обходимое для извлечения слов, грамматических сведений, анализа пере-
водимой и синтеза переведенной фразы, было возможно малым.
В частности, целесообразно снабжать слова в словаре максимально пол-
ной грамматической информацией, включающей в себя все необходимые-
для анализа переводимой и синтеза переведенной фраз признаки, т. е. поз-
воляющей вести процесс перевода без повторного обращения к тексту, ина-
че говоря, такой, чтобы формальными преобразованиями грамматической
информации о переводимой фразе можно было получить всю необходимую
информацию о структуре, которую должна иметь фраза в переводе.
438 TV. Вычислительная математика
Принципиально задачи перевода могут быть решены на существующих
цифровых машинах. Однако для практической работы необходимо создание
специально приспособленных для перевода машин с очень большим объе-
мом памяти, с быстрой выборкой для словаря, со специальными читающими
и печатающими устройствами, с большим быстродействием. Это ставит спе-
циальные задачи перед конструкторами таких машин.
Информационные машины. Машины-диспетчеры. Технические и логи-
ческие возможности вычислительных машин позволяют использовать их
для хранения информации большого объема, обработки этой информации и
быстрой выдачи справок по записанным в машину признакам информации.
Такого рода машины могут быть использованы, например, в библиотечном
деле, при решении экономических вопросов и, в частности, вопросов плани-
рования. Подобные электронные справочные машины уже получили за гра-
ницей некоторое распространение. Алгоритм их действия весьма прост, и их
создание упирается в основном в вопросы конструкции.
Существуют также машины, способные выполнять арифметические и
логические операции и обладающие памятью и программным управлением,
которые автоматически совершают определенные конторские операции:
оформление заказа, сделанного по определенной форме, распределение опе-
рации между исполнителями, оценку производимой работы и выдачу кви-
танции. Такие машины заменяют человека при выполнении четко очерчен-
ного круга функций интеллектуального характера.
Управление самолетом. Задачи информационной или конторской машины
не требуют значительных вычислений. Однако встречаются и такие случаи,
когда машина, принимающая решения об образе действий, должна выпол-
нять довольно сложные и специальные расчеты. Таковы, например, функ-
ции машины, управляющей посадкой самолета, бомбометанием, навигацией
и другими эволюциями самолета.
Машины могут использоваться также для выполнения диспетчерских
функций на авиалиниях.
Имеется сеть воздушных сообщений, управляемых машиной. От каждого
пункта сети непосредственно в машину поступают телеграфные запросы
о воздушных перевозках с указанием числа пассажиров, веса грузов и пунк-
та следования. В ту же машину поступают сведения о загрузке самолетов и
их расположении в полете или в состоянии ожидания. Машина просматри-
вает, какими способами можно удовлетворить имеющиеся запросы и вызы-
вать ли на линию новые самолеты или давать указание тем, которые находят-
ся в пути, о взятии дополнительных грузов. Машина находит вариант,
удовлетворяющий все запросы, но из всех возможных вариантов она выбира-
ет тот, который экономически наиболее выгоден.
Имеются сообщения о том, что экономический режим, созданный машиной,
оказывается даже более благоприятным, чем тот, который имелся до установ-
ления машины-диспетчера. В Англии фирма, владеющая большим количест-
вом столовых и ресторанов, использует вычислительную машину для того,
чтобы рассчитывать меню на следующую неделю, используя данные о
спросе за предыдущую неделю и об особенностях календарных сроков.
Управление· производственными процессами при помощи цифровых вы-
числительных машин. Грубо говоря, всякое управление каким-либо техно-
логическим процессом состоит в следующем: производятся измерения неко-
торых параметров, характеризующих состояние регулируемого процесса,
результаты ряда таких промеров сопоставляются между собой и в зависимости
35. Математические вопросы теории счетных машин
439
ют результатов сопоставления принимается решение об актах управления
процессом.
Таким образом, по существу в основе управления технологическим про-
цессом лежит алгоритм, определяющий акты управления в зависимости от
целей процесса и от изменения характеризующих его параметров. Такой
алгоритм может быть реализован в машине дискретного действия. Тем са-
мым управление процессом передается машине.
В отношении реализации принятого машиной решения есть две возмож-
ности: либо ее осуществляет человек по сигналу, данному машиной, либо
реализация решений также автоматизируется. В случае, если информация,
поступившая в машину, не предусмотрена вложенным в нее алгоритмом,
машина должна вызывать квалифицированного работника, задачей которого
будет принятие решения в необычных условиях.
Такая мера позволяет строить управляющий алгоритм для машины в рас-
чете только на сравнительно часто возникающие варианты течения техноло-
гического процесса. Это позволяет упростить как строение алгоритма, так
и устройство машины.
В настоящее время имеются станки-автоматы и даже целые поточные
линии, управляемые цифровыми вычислительными машинами. Разрабатыва-
ются проекты целых заводов-автоматов.
Разработка алгоритма, описывающего управляющий производством
процесс, есть задача, пограничная между математической логикой и соот-
ветствующей отраслью технологической науки. Однако задача разработки
алгоритма требует также анализа действий человека, управляющего про-
цессом.
Одной из основных задач в области конструирования машин, управляю-
щих непрерывно протекающими процессами, является создание устройств
для переработки непрерывных величин в дискретные и обратно.
Другие процессы, поддающиеся механизации. В последнее время появля-
ется все больше и больше попыток моделировать на машине те или иные
процессы человеческого мышления. Для иллюстрации такого рода возмож-
ностей могут служить различного рода игры. Если нам известны правила,
ло которым следует вести игру, то всегда можно задать машине программу
реализации этих правил. Однако не всегда может быть задан алгоритм, од-
нозначно выбирающий наилучший ход; в этом случае машину можно заста-
вить реализовать одну из многих возможностей. Можно при помощи надлежа-
щей программы «научить» ее тем или другим действиям. Например, можно
«научить» «запоминать» удачные и неудачные варианты игры и «исключить»
в дальнейшем повторение неудачных ходов, т. е. создать как бы «обучаю-
щиеся» и накапливающие «опыт» программы. В качестве примера можно
указать на попытки создать машину, играющую в шахматы.
Любопытный пример «самообучающейся» программы был составлен в
Кембриджском университете Эттингером. Эта программа должна моделиро-
вать процесс выработки условных рефлексов у животных. Программа по-
зволяет реализовать следующий процесс. Оператор вводит в машину различ-
ные сигналы-стимулы. На каждый из этих сигналов машина может реагиро-
вать выдачей нескольких сигналов. Получив ответный сигнал, оператор
условным кодом выражает одобрение или неодобрение ответному сигналу
машины в зависимости от того, «правильно» или «неправильно» реагировала
машина. Вначале машина на «стимулы» дает случайные ответы, но програм-
ма ответов построена так, что машина постепенно приучается давать на за-
440
IV. Вычислительная математика
данный стимул ответы, получающие сигналы одобрения. В такую программу
могут быть также введены элементы случайного процесса, и тогда в ответах
машины будет некоторая степень нерегулярности. Если при ряде «пра-
вильных» ответов оператор начнет выдавать сигналы неодобрения, то маши-
на начнет «сбиваться» и «забывать» выработанный условный рефлекс и
будет снова давать беспорядочно ответы.
О теории и значении управляющих алгоритмов (кибернетика). Цифровые
математические машины, благодаря возможности реализации на них авто-
матического выполнения логических алгоритмов, открывают новые возмож-
ности передачи машинам выполнения широкого круга управляющих функ-
ций, выполнявшихся ранее человеком. Если раньше основным устремлением
техники была замена физического труда человека работой машины, то в на-
стоящее время техника открывает широкие возможности для передачи маши-
нам ряда функций интеллектуальной деятельности человека. Недалеко то
время, когда на крупных заводах будет автоматизирована не только работа
отдельных станков, но и управление всем производственным процессом.
Многие другие функции управления в разнообразных областях будут сня-
ты с человека.
Всякий интеллектуальный процесс, после того как он алгоритмизирован,
уже не требует вмешательства интеллекта и потому может быть механизи-
рован. Основным условием возможности передачи машине какого-то управ-
ляющего процесса является создание алгоритма, описывающего процесс
при помощи элементарных логических операций или операций, сводимых
к ним и выполнимых на машине.
Следовательно, механизация некоторых функций возможна тогда, ко-
гда они в принципе описываются конечным алгоритмом и когда мы настолько
детально изучили процесс выполнения этих функций, что умеем его расчле-
нить на последовательные акты изображаемыми в машине элементарными
логическими операциями.
Задача техники дискретных машин — это задача создания устройств,
способных с высокой степенью надежности реализовать все возрастающие
по сложности и объему информации логические алгоритмы. Решение этой
задачи требует разработки новых, более совершенных элементов машин и
развития схем машины.
Чем более высокой квалификации человека требовал процесс, тем слож-
нее и, как правило, длиннее алгоритм этого процесса. Поэтому для замены
квалифицированного труда требуется значительное повышение быстродей-
ствия машины и увеличение памяти для хранения информации. Между про-
чим, было бы интересно ввести меру «квалификации» алгоритма.
Задача расширения области механизации управляющих процессов —
это задача разработки алгоритмов для них. Почти каждая наука изучает оп-
ределенную область управляющих процессов, и поэтому вопросы алгорит-
мизации чрезвычайно широки и связаны со многими отраслями науки.
Наука о способах создания и выяснения строения алгоритмов, отображаю-
щих окружающие явления, и об описании этих алгоритмов — это новая от-
расль знаний, известная под названием «кибернетика».
Изучение алгоритмов конкретных управляющих процессов выдвигает
ряд вопросов о свойствах алгоритмов и методах их описания. Эти вопросы
можно подразделить на четыре группы.
1. Выделение комплекса признаков, характеризующих течение задан-
ных управляющих процессов и построение алгоритмов, ведущих процесс
35. Математические вопросы теории счетных машин
441
по заданным признакам. В некоторых случаях совокупность признаков стро-
ится так, чтобы всегда достигалась поставленная цель. Иногда это практи-
чески неосуществимо, и может быть построен лишь такой алгоритм, который
достигает цели с большой вероятностью.
2. Изучение структуры алгоритмов и нахождение оптимальных форм их
реализации на автоматической машине. Сюда входят вопросы, относящиеся
к рациональному выбору элементарных операций алгоритма, вопросы состав-
ления наиболее экономного алгоритма, вопросы синтеза сложных алгорит-
мов из более простых.
3. Теория автоматов, изучающая синтез сложных автоматических ма-
шин, состоящих из элементарных ячеек. Эти ячейки связаны в сеть и пере-
рабатывают по элементарным правилам сигналы, идущие по сети. Теория»
изучает логические возможности сложных автоматов и способы создания
надежных автоматов из элементов, могущих дать отказы. Эта теория близка
к формальной теории алгоритмов математической логики.
4. Вопросы измерения количества информации и ее оптимальное кодиро-
вание, допускающее наиболее экономное ее хранение и передачу. Выработ-
ка устойчивых кодов при заданных возмущениях в системе, хранящей ин-
формацию.
Ко всем этим вопросам в некоторых случаях нужен подход с учетом всех
возможностей, т. е. теоретико-множественный, но во многих случаях более
плодотворным оказывается подход статистический.
Последняя группа вопросов является существенной для машин, так как
всякий алгоритм обычно перерабатывает большую информацию, которую
надо хранить в памяти машины. Широта и своеобразие тематики по алго-
ритмизации процессов требуют многостороннего подхода к решению этой
задачи и объединения усилий представителей различных научных специаль-
ностей.
Если до сих пор алгоритмический подход к описанию процессов исполь-
зовался в математике, в математической логике и в отдельных областях тех-
ники, то сейчас алгоритмические подходы к описанию явлений должны рез-
ко расшириться и войти во многие новые науки. Например, для управляю-
щих машин на производстве требуется алгоритмизация технологических
процессов, для реализации перевода — алгоритмизация процессов лингвис-
тики. Для передачи машине широкого круга функций человека необходима
алгоритмическое моделирование функций мышления и поведения, и в этом
кибернетика должна соприкасаться с биологией и психологией.
Для дальнейшей механизации функций головного мозга интересно на
только изучение логических схем процессов, но важно было бы знать, как
реализуются эти процессы. Однако не надо думать, что при выполнении тех
или иных управляющих процессов машины имитируют процессы, проис-
ходящие в головном мозгу, что надо стремиться к созданию имитации этих
процессов. Техника очень часто идет путями, отличными от используемых
в живой природе для решения тех же задач. И в этом отношении ярким приме-
ром является широкое применение в технике вращательного движения,
которое очень ограниченно используется при выполнении тех же функций
физического труда в живой природе. Точно так же все попытки реализации
в технике машущего полета потерпели неудачу. Не только материальная
реализация актов управляющего процесса, но и сами отдельные акты мышле-
ния вряд ли совпадают с логическими актами управляющего процесса, вы-
полняющегося машиной.
442
IV. Вычислительная математика
Всякая машина может выполнять некоторый ограниченный класс алго-
ритмических процессов, заложенных нами в ее конструкцию, скорее, в прог-
рамму, управляющую ее действием. Машина может выполнить только неко-
торый класс функций интеллекта, заложенных нами в нее. Возможно, что
не всякий процесс, реализуемый человеком, может быть описан логическим
алгоритмом и введен в машину. Многие акты нашего поведения определяются
статистическими процессами, что затрудняет их моделирование, хотя некото-
рые статистические процессы могут быть реализованы на машине. Простей-
шим примером этого является реализация методов Монте-Карло.
Возможно, что никакая управляющая машина никогда не сможет моде-
лировать мозг, а будут моделировать только выполнение мозгом ограничен-
ного класса функций.
Однако по мере совершенствования машинной техники и главным об-
разом по мере развития алгоритмов процессов класс функций, выполняемых
машиной, будет все время расширяться, а главное — будет возрастать «ква-
лификация» машины, машинам будут передаваться функции все более и более
высокой квалификации.
Примером этого служат вычисления на машине. Сначала машине «по-
ручался» вычислительный процесс, и для этого надо было составить всю
программу счета. Введение программирующих программ позволило самые
трудоемкие части составления программы «поручить» машине, сократив не-
формальную часть до составления операторной схемы программы. В даль-
нейшем и эта часть будет значительно сокращена и машины будут по формулам
и некоторой добавочной информации составлять и схему программы, и даже
схему вычислений для определенных классов уравнений.
В какой-то мере этот процесс формализации все более «высоких» функций,
процесс формализации действий с все более широкими понятиями напоми-
нает процесс формализации, который происходил в математике. Сначала
даже процесс решения уравнений описывался словами. Потом появились
буквы для обозначения чисел и были формализованы действия с числами.
Дальнейшим шагом явилась формализация отношений между функциями
и еще дальше — формализация операторов.
Существенным обстоятельством является то, что алгоритмизированный
процесс машина может осуществлять значительно быстрее, чем человек, и
поэтому на машине возможна даже реализация процессов, бывших недос-
тупными человеку по своему объему. Применение машин, реализующих ал-
горитмы, освобождает человеческий интеллект от выполнения функций,
алгоритм действия которых нами изучен, и тем самым освобождает его для
решения новых, более принципиальных задач.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. (Abel N.) 344
Адамар Ж. (Hadamard J.) 306
Аллахвердиев Д. Э. 344, 354
Альфорс Л. (Ahlfors L. V.) 112
Ароншайн H. (Aronszain N.) 342, 353
Бабакин Г. Н. 24
Бабэнко К. И. 377, 431, 432
Вельская И. К. 436
Бергман С. (Bergman S.) 167, 182
Бернацкий 166
Бернштейн Ф. (Bernstein F.) 136
Бибербах Л. (Bieberbach L.) 63, 82, 83,
85, 86, 87, 230
Биркгоф Г. Д. (Birkhoff G. D.) 305, 334,
350, 353
Бляшке В. (Blaschke W.) 41, 43, 46
Боголюбов H. H. 357
Борель Э. (Borel E.) 11, 107, 198, 276, 349
Браудер Ф. (Browder F.) 335, 353
Брауэр Л. (Brouwer L.) 95, 104
Брело M. (Brelot M.) 259, 294
Бродский M. С. 340, 341, 348, 353, 354
Бубнов И. Г. 20, 376
Буллигатт Г. (Bouligand G.) 244, 249, 252,
254, 294
Бэр P. (Baire R.) 47, 166, 177—179, 251
Балле Пуссен Ш. (La Vallée Poussin С.)
55, 74/75, 82, 237, 244, 294
Василеско Ф. (Vasilesco F.) 248—250,
253 254 296
Ватсон Г. H. (Watson G. N.) 376
Вейерштрасс К. (Weierstrass К.) И, 94
Вейль Г. (Wevl H.) 64, 82, 352
Винер H. (Wiener N.) 192, 193, 218, 225,
232, 235, 237, 238, 240, 244, 254, 256,
258, 269, 270, 294, 352
Виноградов И. M. 376
Вольтерра В. (Volterra V.) 225, 228
Гагарин Ю. А. 25
Галеркин Б. Г. 5, 15, 20, 357, 358, 375,
376
Гейне-Борель 107
Гёльдер (Holder) 84, 117, 371, 373, 374
Гельфанд И. М. 349, 350, 431, 432, 433
Гельфонд А. О. 144
Гильберт Д. (Hubert D.) 19, 54, 55, 62—
68, 81, 167, 305, 333, 334, 339-341,
348, 353
Глазман И. М. 346, 347, 354
Годунов С. К. 431
Голузин Г. М. 62, 67, 69, 81, 82
Гохберг И. Ц. 342, 343, 349, 353
Грётш Г. (Grötzsch H.) 55, 62, 66—69,
73, 74, 82
Грин (Green) 130, 132, 133, 139, 140, 168,
187, 206, '244, 253, 334, 370, 372, 373,
375
Гротендик A. (Grothendieck A.) 353
Гюнтер H. M. (Günther N.) 229
Данфорд H. (Danford N.) 349, 350, 354
Дженкинс Дж. (Jenkins J. A.) 81
Дмитриев Н. А. 377
Ершов А. П. 435
Жордан (Jordan) 29, 67, 88, 91, 94—96,
98-100, 105, 108, 112, 141, 142, 174,
192, 194—197, 199, 209, 215—217, 224,
231, 274, 275, 277, 280, 287
Жуковский H. E. 7, 17, 18
Жюлиа Г. (Julia G.) 29, 31, 40, 47, 51—53,
74, 79, 80, 82
Задыхайло И. Б. 435
Зеленкевич Г. П. 436
Зигмунд А. 375
Ибрагимов И. И. 144
Иенсен (Jensen J. L. W. V.) 161
Камынин С. С. 435
Канторович Л. В. 435
Каратеодори К. (Caratheodorv С.) 37,
39, 54, 81, 83, 88, 95, 106, 112, 122
Карлеман T. (Carleman T.) И, 12, 91 —
94, 111, 141, 143, 150, 159, 265, 304,
305, 325, 332, 334, 339, 340, 353
Келдыш В. М. (отец) 7
Келлог О. Д. (Kellog О. D.) 91, 235,
251-254, 294, 295
Кёбе П. (Koebe Р.) 55, 56, 62, 64, 68, 69,
74, 82, 112
Колесников С. В. 51
Королев Л. Н. 436
Королев С. П. 22—25
Кох (Koch H.) 362, 375, 376
Коши О. (Cauchy A. L.) 306, 332, 334,
346
Крейн М. Г. 340, 342, 343, 349, 353, 354
Крылов H. M. 357
Кулагина О. С. 436
Курант P. (Courant R.) 64, 81, 82, 95,
112, 122, 385, 386, 420, 433
Лавочкин С. А. 22
Лаврентьев М. А. 5, 7, 8, И, 12, 14, 15,
18, 19, 29-32, 46, 47, 52, 54, 91—94,
444
Именной указатель
100, 101, 104, 105, 107, 110, 111, 122,
130—132, 137, 140, 143, 165—167, 182,
190, 191, 225, 228, 229, 231, 233—235
Лангер P. (Langer R.) 353
Ландау Л. Д. 431
Ландкоф Н. С. 258
Лебег A. (Lebesgue H.) 117, 198, 241, 258,
279, 294, 371
Леви П. (Levi P.) 433
Левин Б. Я. 340, 343, 354
Левинсон H. (Levinson N.) 343, 354
Лившиц М. С. 338—341, 347, 353
Лидский В. Б. 332, 340, 341, 343, 344,
346, 353, 354
Линделёф (Lindelöf) 306, 331, 337, 338,
340
Липшиц 110
Литтлвуд Дж. (Littlewood J. Е.) 150,
159
Лиувилль (Liouville) 183, 351
Лихтенштейн Л. (Lichtenstein L.) 54, 81
Лузин Н. Н. И, 51, 115, 116, 118, 119,
122, 123
Лукоциевский О. В. 377, 431
Луховицкая Э. С. 435
Любимский Э. 3. 435
Любич Ю. И. 348, 354
Лянце В. Э. 350, 354
Ляпунов А. А. 421, 434, 436
Ляпунов А. М. 229, 236, 304
Маркус А. С. 346, 347, 354
Маркушевич А. И. 83, 84, 91
Марченко В. А. 351, 352, 354
Мацаев В. И. 340, 342—344, 348, 353,
354
Мейман H. H. 431
Мельчук И. А. 436
Мизес P. (Mises R.) 182
Мийю (Milloux H.) 102, 103, 106, 111, 287
Минковский Г. 40, 45, 46, 136
Михлин С. Г. 376
Молошная Т. Н. 436
Монна А. Ф. (Monna A. F.) 295, 296
Монтель П. (Montel P.) 33, 34, 36, 47,
139, 165—167, 179, 180, 182
Мукминов Б. Р. 339, 346, 347, 353
Мухин И. С. 436
Наймарк М. А. 350, 351, 354
Неванлинна P. (Nevanlinna R.) 102—104,
106, НО, 111, 148, 159, 287, 294
Нейман Дж. (Neumann J.) 431, 433
Нейман К. (Neumann С.) 17, 54, 228, 229,
237, 293, 342
Павлов Б. С. 350, 354
Палант Ю. Д. 353
Палей P. (Paley R. E. А. С.) 352 '
Панов Д. Ю. 436
Парсеваль 351
Перрон О. (Perron О.) 237, 240, 264, 265,
293 294
Петров Г. И. 357, 375, 376
Петровский И. Г. 242, 254, 294
Плеснер A. (Plessner A.) 121, 123
Поссель P. (de Possel R.) 55, 62, 64, 82
Привалов И. И. 32, 47, 51, 82, 115, 116,
118-120, 122, 123, 183
Пуанкаре A. (Poincaré H.) 56, 237, 293,
317
Пуассон С. (Poisson S. D.) 29, 31, 41, 44,
53, 114, 220, 250, 259, 260, 289
Радо Т. (Radô T.) 56, 122
Радон 244, 246
Разумовский С. Н. 436
Расулов M. Л. 354
Риман Б. (Riemann В.) 54—56, 58, 77—
79, 81
Рис M. (Riezs M.) 115, 116, 118, 122
Рис Ф. (Riezs F.) 39, 47, 51, 56, 115, 116,
118, 122, 183, 187, 347, 361, 371, 375r
376
Ритц 15, 357, 359
Робен 133
Розенблатт A. (Rosenblatt A.) 236
Розенталь A. (Rosenthal A.) 165, 166,
182
Рот A. (Roth A.) 91, 94
Рофе-Бекетов Ф. С. 354
Рунге К. (Runge С.) И, 108, 168
Рэлей 18
Сакс 166
Самарский А. А. 431
Сахнович Л. А. 340—342, 347—349, 353,
354
Сегё Г. (Szegö G.) 47, 52, 54, 167
Седов Л. И. 19, 225
Семендяев К. А. 431
Серов М. И. 350, 354
Синьорини A. (Signorini A.) 225, 228
Смирнов В. И. И, 29—31, 38, ЗУ, 46, 47,
51—54
Смит P. (Smith R.) 353
Стирлинг Дж. (Stirling J.) 148
Тамаркин Я. Д.^ (Tamarkin J. D.) 305r
332, 334, 353
Титчмарш E. (Titchmarsh E. С.) 414
Тихонов А. Н. 431
Уиттекер Э. (Whittaker E. Т.) 376
Улем С. M. (Ulam S. M.) 433
Уолш Дж. (Walsh J. L.) 11, 42, 46/ 91,
94, 104, HO, 167, 182
Фаррель О. (Farrel О. I.) 88, 104, НО
Фату П. (Fatou P.) 48, 51, 116—118
Фейер Л. (Fejér L.) 48—50, 56
Фишер (Fischer) 361
Фрагмен (Phragmen) 337, 338, 340
Франк Ф. (Frank F.) 182
Франкль Ф. И. 18
Фредгольм И. (Fredholm I.) 237, 293,
334, 335, 340
Фреше 190
Именной указатель
445
Фридрис 433
Фрунзе М. В. 7
Фунтаков В. Н. 351, 354
Фурье Ж. (Fourier J.) 126, 344, 346, 350,
351, 360, 361, 363, 365, 366, 368, 372—
374
Харди Г. (Hardy G. H.) 114, 150, 159
Харнак 216, 239, 362
Хартогс Ф. (Hartogs F.) 47, 51, 165, 166,
182
Хеллингер Е. (Hellinger E.) 333, 353
Хилле E. (Hille E.) 332, 334, 353
Чаплыгин С. А. 5, 17, 19
Чанг С. Г. (Chang S. H.) 322, 332
Ченцов H. H. 377, 433
Шагинян 123, 127
Шаудер 295
Шварц X. (Schwarz H. A.) 38, 54, 58,
61, 63, 73, 85, 90, 115, 132, 175, 201,
237, 238, 279, 293, 363
Шенфлис 95, 96, 98, 100
Шмидт Э. (Schmidt E.) 333, 334, 339—
341, 348
Штаркман Вс. С. 435
Штурм-Лиувилль 351
Шур И. (Schur I.) 322, 325, 332, 341
Шура-Бура М. Р. 421, 435
Эванс Г. (Evans G. С.) 251—254, 294,
295
Эйлер Л. (Euler L.) 358
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 134
Эттингер 439
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции h
Краткий биографический очерк 7
Обзор научной деятельности М. В. Келдыша И
I
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. К теории конформных отображений. Совместно с М. А. Лаврентьевым 29*
2. О конформном отображении областей, ограниченных спрямляемыми
кривыми. Совместно с М. А. Лаврентьевым 30
3. О последовательностях полиномов, ограниченных в совокупности .... 47
4. Об одном классе экстремальных полиномов 51
5. Конформные отображения многосвязных областей на канонические
области 54
6. Об аппроксимации в среднем функций комплексного переменного поли-
номами 82*
7. Об одной задаче Карлемана. Совместно с М. А. Лаврентьевым .... 91
8. Об аппроксимации аналитических функций в замкнутых областях .... 94
9. О представлении функций комплексного переменного рядами полино-
мов в замкнутых областях 104
10. Оценка для относительной гармонической меры. Совместно с М. А. Лав-
рентьевым 111
11. О замкнутости ортогональных с весом систем полиномов 123
12. О средних квадратичных приближениях полиномами функций комплекс-
ного переменного 125
13. О приближении голоморфных функций целыми функциями 141
14. Об интерполяции целых функций. Совместно с И. И. Ибрагимовым . . . 144
15. Об одной тауберовой теореме 150
16. О рядах по рациональным дробям 159
II
ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
17. О последовательностях гармонических полиномов. Совместно с
М. А. Лаврентьевым 165
18. О сходящихся последовательностях гармонических полиномов. Совмест-
но с М. А. Лаврентьевым 167
19. О теореме Лиувилля для субгармонических функций 183
20. О задаче Дирихле. Совместно с М. А. Лаврентьевым 190
21. Об устойчивости решений задачи Дирихле. Совместно с М. А. Лаврен-
тьевым 191
22. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических
функций. Совместно с Л. И. Седовым 225
23. Об единственности задачи Неймана. Совместно с М.А. Лаврентьевым- 229
24. О представлении рядами полиномов функций комплексного перемен-
ного и гармонических функций 230
Содержание
447
25. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле 232
26. Об одной оценке для функции Грина. Совместно с М. А. Лаврентьевым 235
27. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле 237
28. О задаче Дирихле 294
III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
29. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на
границе области 259
30. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов
несамосопряженных уравнений 301
31. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных
линейных операторов 305
32. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов.
Совместно с В. Б. Лидским 332
IV
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
33. О методе Б. Г. Галёркина для решения краевых задач 357
34. Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной.
Совместно с К. И. Бабенко, И. М. Гелъфандом, Н. А. Дмитриевым,
О. В. Локуциевским, H. H. Ченцовым 377
35. Математические вопросы теории счетных машин. Совместно с А. А. Ля-
пуновым и М. Р. Шура-Бурой 421
Именной указатель 443
Мстислав Всеволодович
КЕЛДЫШ
Избранные труды
МАТЕМАТИКА
Редакторы
Л. Е. КОНОНЕНКО, Т. С. СМИРНОВА
Художник
В. Н. ТИКУНОВ
Художественный редактор
Т. П. ПОЛЕНОВА
Художественно-технический редактор
Э. Л. КУНИНА
Корректоры
Н. Б. ГАБАСОВА, И. А. ТАЛАЛАЙ
И Б № 29066
Сдано в набор 25.06.84
Подписано к печати 20.02.85
Т-00949. Формат 70xl00Vie
Бумага люксоарт
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. печ. л. 36,45. Уч. изд. л. 34,7
Усл. кр. отт. 36,45. Тираж 2750 экз.
Тип. зак. 490
Цена 3 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва В-485,
Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6