I I I I I I I I I I I L_
zzzzzzz Углубленное zzzzz:
zzzzzzz изучение zzzzz:
 алгебры ~ 1111L
М.Л.Галицкий и математического :
M.M.Мошкович
С.И.Шварцбурд анализа
®ПРОСВЕЩЕНИЕ 10-11
Предел функции. Непрерывность
y=f(x)
X
у
f(a)
y=f(x)
X
lim f(x)=b
x—a
lim f(x)=f(a)
x— a
Бесконечные пределы функции
y=f(x)
у
y=f(x)
о
a
х
о
a
х
lim f(-x)=+ oo
x—a
lim f(x)=-OO
x-a
lim f(x)=b
lim f(x)=b
Производная
У
y-f(a)=f'(a)(x-a)
ff(a)=tgvp
У
y=f(x)
y=f(x)
о
X
о
X
f (x)>0 f" (х)<о
f'(x)>0 f"(x)>o
У
У
y=f(x)
y=f(x)
о
X
о
X
f(x)<0	f"(x)<0
f'(x)<0 f"(x)>0
М.Л.Галицкий
М.М.Мошкович
С.И.Шварцбурд
Углубленное
изучение
алгебры
и математического
анализа
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
И ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Под редакцией М. Л. Галицкого
Рекомендовано Главным управлением
развития общего среднего образования
Министерства образования
Российской Федерации
3-е издание, доработанное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1997
УДК 372.8
ББК 74.262.21
Г15
Рецензент
учитель математики школы № 67 Москвы Л. И. Звавич
Галицкий М. «Л. и др.	Ч
Г15 Углубленное изучение алгебры и математического ана-
лиза: Метод, рекомендации и дидакт. материалы: Посо-
бие для учителя / М. Л. Галицкий, М. М. Мошкович,
С. И. Шварцбурд. — 3-е изд., дораб.— М.: Просвещение,
1997,—352 с.—ISBN 5-09-006592-6.
Данная книга предназначена для учителей, работающих в школах и клас-
сах с углубленным изучением математики. Она содержит методические реко-
мендации по изучению некоторых теоретических вопросов и решению задач,
планирование уроков, образцы самостоятельных и контрольных работ по всем
темам и экзаменационные работы за 1982—1996 гг.	I
ББК 74.262.21
ISBN 5-09-006592-6
© Издательство «Просвещение», 1997
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Классы с углубленным изучением математики существуют уже
давно, они прочно вошли в систему школьного образования, помог-
ли выпуску целого поколения молодых математиков, инженеров и
техников.
Предлагаемая читателям книга «Углубленное изучение курса
алгебры и математического анализа» содержит методические реко-
мендации и дидактические материалы по этому курсу и предназна-
чается для учителей школ и классов с углубленным изучением ма-
тематики. Эти материалы написаны в соответствии с учебным по-
собием Н. Я. Виленкина, О. С. Ивашева-Мусатова и С. И. Шварц-
бурда «Алгебра и математический анализ» для X класса и таким
же пособием для XI класса, выпущенными издательством «Просве-
щение» соответственно в 1995 и 1996 гг. С дидактическими матери-
алами, помещенными в книге, знакомились участники семинаров
в Московском городском институте усовершенствования учителей,
где авторы вели занятия с учителями школ и классов с углублен-
ным изучением математики.
Данное пособие содержит:
—	примерное планирование учебного материала для X и XI
классов с углубленным изучением математики;
—	решения и рекомендации к решениям наиболее трудных, с
точки зрения авторов, задач из вышеназванных учебных пособий;
—	методические рекомендации к решению задач по некоторым
разделам курса;
( — контрольные и самостоятельные работы по всему курсу ал-
гебры и математического анализа для X и XI классов с углублен-
ным изучением математики;
—	экзаменационные работы с решениями или указаниями, пред-
лагавшиеся на выпускных экзаменах в предыдущие годы.
Планирование учебного материала дано из расчета 5,5 ч в неде-
лю в X классе и 5 ч в неделю в XI классе.
Рекомендации к решению задач даны по следующим темам: ме-
тод математической индукции; применение теоремы Безу и ее след-
ствий к разложению многочлена на множители и решению уравне-
ний высших степеней; нахождение асимптот графиков функций; ис-
следование функций с помощью производной; применение опреде-
ленного интеграла к нахождению площадей плоских фигур; нахож-
дение наибольшего и наименьшего значений функции; различные
способы доказательства неравенств и др.
з
В настоящей книге именно решение задач рассматривается как
главное средство углубленного изучения математики в школе.
В ней учитель сможет увидеть, как решение той или иной задачи
помогает глубже заглянуть в теоретический материал, сделать то
или иное обобщение.
Самостоятельные и контрольные работы в книге даны в шести
вариантах и охватывают все темы программного материала. К ва-
риантам № 1 и № 2 решения приведены полностью, а к остальным
вариантам даются ответы (к более трудным упражнениям — реко-
мендации к их решениям). Вычислительная часть предлагаемых
работ может быть выполнена с использованием микрокалькуля-
торов.
Самостоятельные работы рассчитаны на один урок или его
часть, причем не обязательно предлагать учащимся всю работу це-
ликом, можно дать часть заданий. Задания выбираются по усмот-
рению учителя, в зависимости от состава класса и его подготовлен-
ности. Возможен пропуск той или иной самостоятельной работы и
использование ее упражнений для индивидуальной работы с уча-
щимися.
Контрольные работы рассчитаны на один или два урока. В каж-
дой контрольной работе кроме основной части имеется до-
полнительная часть, отмеченная знаком «°». Она предназначена
для наиболее сильных по успеваемости учащихся, и в том случае,
если основная часть работы выполнена на оценку 4 или 5, за допол-
нительную часть выставляется отдельная оценка. При этом зано-
сить в журнал оценку ниже 4 не рекомендуется, а оценку 4 выстав-
лять только по желанию учащегося. Последняя контрольная рабо-
та в XI классе рассчитана на три урока.
Хотя книга «Углубленное изучение алгебры и математического
анализа» предназначена для учителей школ и классов с углублен-
ным изучением математики, она может оказать помощь учителям
общеобразовательных школ при ведении факультативных занятий
и математических кружков.
Пользуемся случаем выразить благодарность В. С. Гершману,
оказавшему помощь при подготовке данного издания.
Критические замечания и пожелания просим присылать по ад-
ресу: 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издатель-
ство «Просвещение», редакция математики.
Авторы
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Номера уроков	Содержание учебного материала
	X КЛАСС (5 ч в неделю в I полугодии, 6 ч в неделю во II полугодии, всего 187 ч) Действительные числа (14 ч)
1—4	Действительные числа и бесконечные десятичные дроби. Рациональные и иррациональные числа. Самостоятельная работа № 1
5-9	Арифметические действия над действительными числами. Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные. Микрокалькулято- ры и их применение в вычислениях. Самостоятельная работа № 2
10—13	Координаты на прямой и на плоскости. Координаты точки, делящей от- резок в данном отношении. Расстояние между двумя точками, заданны- ми своими координатами
14	Контрольная работа № 1 Многочлены (30 ч)
15—17	Выражения и классы выражений. Тождественные преобразования це- лых рациональных выражений. Самостоятельная работа № 3
18—21	Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Дока- зательство тождеств и неравенств методом математической индукции
22	Контрольная работа № 2
23—26	Многочлены от одной переменной. Канонический вид целых рациональ- ных выражений. Деление многочленов с остатком. Самостоятельная ра- бота № 4
27—29	Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, нахождение целых корней многочлена. Теорема Виета
30	Тождественное равенство рациональных выражений, каноническая форма рациональных выражений
31—32	Контрольная работа № 3
33—38	Уравнения, тождества, неравенства. Равносильные уравнения и нера- венства. Основные методы решения уравнений. Самостоятельная рабо- та № 5
39—42	Решение и доказательство неравенств
43—44	Контрольная работа № 4 Функции (18 ч)
45—48	Числовые функции. Способы их задания. График функции. Операции над функциями. Композиция функций
5
Продолжение
Номера уроков	Содержание учебного материала
49—54	Преобразование графиков функций. Графики линейной, квадратичной и дробно-линейной функций. Самостоятельная работа № 6
55—58 59—60 61—62	Четные и нечетные функции. Возрастание и убывание функций Числовые последовательности. Рекуррентные соотношения Контрольная работа № 5 Предел и непрерывность (25 ч)
63—67	Бесконечно малые функции. Операции над бесконечно малыми функци- ями. Предел функции на бесконечности. Свойства предела функции при	оо
68—70	Бесконечно большие функции. Горизонтальные и наклонные асимпто- ты. Самостоятельная работа № 7
71—73	Предел последовательности. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности
74 75—80	Контрольная работа № 6 Предел функции в точке и его свойства. Непрерывные функции. Точ- ки разрыва. Вертикальные асимптоты
81—84	Арифметические операции над непрерывными функциями. Теоремы о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке
85 86—87	Обратная функция Контрольная работа № 7 Производная и ее приложение (35 ч)
88—91	Приращение функций. Дифференцируемые функции. Производная. Фи- зический смысл производной. Дифференциал. Приближенные вычисле- ния. Самостоятельная работа № 8.
92—95	Геометрический смысл производной. Касательная прямая к графику функции и ее уравнение. Непрерывность дифференцируемой функции. Самостоятельная работа № 9
96—99	Техника дифференцирования. Дифференцирование линейной комбина- ции функций. Дифференцирование степени функции и произведения функций. Дифференцирование дроби. Вторая производная
100—101 102—105	Контрольная работа № 8 Необходимое условие экстремума функции. Отыскание наибольших и ’ наименьших значений функции на отрезке	|
106—111	Теорема Лагранжа и ее следствия. Исследования функции на возраста- ние и убывание. Достаточное условие экстремума функции. Исследова- ние графиков функций на выпуклость и точки перегиба. Самостоятель- j ная работа № 10
112—116	Применение производных к исследованию функции и построению гра- фиков, к нахождению наибольших и наименьших значений функции
117—118 119—122	Контрольная работа № 9 Производные и доказательство неравенств. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Приложение бинома Ньютона для при- ближенных вычислений. Самостоятельная работа № 11
6
П родолжение
Номера уроков	Содержание учебного материала
123—124 125—131 132—133 134—138 139—142 143—144 145—149 150—153 154—160 161 — 162 163—166 167—171 172 173—176 177—180 181—183 184—185 186—187	Тригонометрические функции (50 ч) Длина дуги. Радианное измерение дуг и углов. Координатная окруж- ность Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс чис- лового аргумента. Периодичность тригонометрических функций. Непре- рывность синуса и косинуса. Четные и нечетные тригонометрические функции. Гармонические колебания. Решение тригонометрических 1	Л/2*	Л/з" уравнений sin х = а, cosx = a (а = 0,	, ±1); tgx = a, ctgx = a(a = 0, ±—J=r, ±1, ±Д/з”) с использованием единич- \з ной окружности Контрольная работа № 10 Тригонометрические формулы сложения. Формулы приведения. Триго- нометрические функции двойного и тройного аргумента. Тригоно- метрические функции половинного аргумента. Самостоятельная рабо- та № 12 Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение и произведения этих функций в сумму. Сложе- ние гармонических колебаний Контрольная работа № 11 Дифференцирование тригонометрических функций. Дифференцирова- ние композиции функций. Самостоятельная работа № 13 Решение простейших тригонометрических уравнений. Определение арк- синуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса Основные методы решения тригонометрических уравнений Контрольная работа № 12 Доказательство и решение тригонометрических неравенств. Самостоя- тельная работа № 14 Обратные тригонометрические функции. Вычисление пределов, связан- ных с обратными тригонометрическими функциями. Уравнения и нера- венства, содержащие обратные тригонометрические функции Контрольная работа № 13 Повторение (15 ч) Предел и непрерывность функции. Производная. Исследование функ- ций с помощью производных Многочлены от одной переменной. Теорема Безу и ее следствия Уравнения и неравенства с одной переменной Контрольная работа № 14 Решение задач
7
П родолжение
Номера уроков	Содержание учебного материала
	XI КЛАСС (5 ч в неделю, всего 170 ч) Интеграл и дифференциальные уравнения (28 ч)
1—9	Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенно- го интеграла. Знакомство с техникой интегрирования. Самостоятельная работа № 1
10—16	Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Началь- ные условия. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференци- альное уравнение гармонического колебания. Применение дифференци- альных уравнений
17	Контрольная работа № 1
18—23	Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл. Формула Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к решению геометриче- ских и физических задач. Самостоятельная работа № 2
24—27	Свойства определенного интеграла
28	Контрольная работа № 2 Показательная, логарифмическая и степенная функции (42 ч)
29—32	Показательная функция, ее свойства и график. Самостоятельная рабо- та № 3
33—36	Логарифмическая функция, ее свойства и график. Самостоятельная ра- бота № 4
37—42	Основные методы решения показательных и логарифмических уравне- ний и неравенств
43—44	Контрольная работа № 3
45—50	Число е. Натуральные логарифмы. Некоторые4 пределы, связанные с числом е. Производная показательной и логарифмической функций Са- мостоятельная работа № 5
51—52	Дифференциальное уравнение процессов органического изменения
53—54	Контрольная работа № 4
55—58	Степенная функция и ее производная. Сравнение роста показательной, логарифмической и степенной функций. Самостоятельная работа № 6
59—62	Преобразование иррациональных выражений. Самостоятельная рабо- та № 7
63—68	Иррациональные уравнения и неравенства
69—70	Контрольная работа № 5	* Многочлены от нескольких переменных. Системы уравнений и неравенств (24 ч)
71—74	Стандартный вид многочлена от нескольких переменных. Симметриче- ские многочлены. Доказательство неравенств. Самостоятельная рабо- та № 8
8
П родолжение
Номера уроков	Содержание учебного материала
75—78	Геометрический смысл одного уравнения с двумя переменными. Систе- мы уравнений. Метод исключения, метод алгебраического сложения. Самостоятельная работа № 9
79—80 81—82 83—86	Метод замены переменных Контрольная работа № 6 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Системы иррациональ- ных уравнений. Самостоятельная работа № 10
87—90	Системы показательных, логарифмических и тригонометрических урав- нений. Самостоятельная работа № 11
91—92	Решение неравенств с двумя переменными. Понятие о линейном про- граммировании
93—94	Контрольная работа № 7 Комплексные числа (20 ч)
95—99	Комплексные числа и операции над ними. Самостоятельная рабо- та № 12
100—104	Геометрическое изображение комплексных чисел. Полярная система координат и тригонометрическая форма комплексного числа. Умноже- ние, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометри- ческой форме. Формула Муавра
105 106—110	Контрольная работа № 8 Извлечение корня из комплексных чисел. Комплексные корни алгебра- ических уравнений. Понятие об основной теореме алгебры. Самостоя- тельная работа № 13
111 — 112 113—114	Применение комплексных чисел Контрольная работа № 9
115—11	Элементы комбинаторики (12 ч) Основные понятия и принципы комбинаторики. Правило суммы и пра- вило произведения. Формулы для числа размещений, перестановок и сочетаний (с повторениями и без повторений). Формула Ньютона. Ре- шение комбинаторных задач
126	Контрольная работа № 10 Элементы теории вероятностей (14 ч)
127—135	Случайные события. Вероятность. Теорема сложения. Независимые случайные события. Условная вероятность. Формула умножения. Само- стоятельная работа № 14
136—139 140	Формула Бернулли. Закон больших чисел Контрольная работа № 11 Повторение (30 ч)
141 — 143 144—145	Действительные числа. Модуль числа. Числовые функции, их свойства Предел и непрерывность функции. Производная и первообразная
9
	Продолжение
Номера уроков	Содержание учебного материала
146—149	Применение производной. Касательная. Исследование функций. Наи- большее и наименьшее значение функции. Решение задач
150—151	Контрольная работа № 12
152—155	Тригонометрические функции и их свойства. Решение тригонометриче- ских уравнений и неравенств. Самостоятельная работа № 15
156—158	Показательная и логарифмическая функции и их свойства. Решение по- казательных и логарифмических уравнений и неравенств. Само- стоятельная работа № 16
159—162	Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств по все- му курсу
163- 164 165—167 168—170	Комплексные числа Контрольная работа № 13 Решение задач по всему курсу
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
В настоящем разделе приводятся методические рекомендации
к решению задач по отдельным темам курса алгебры и математи-
ческого анализа. В некоторых случаях разъясняется содержание
изучаемого материала, сообщаются дополнительные сведения для
учителя, приводятся доказательства теорем, выводы формул
и т. д. Многие пункты содержат указания к решениям или решения
задач из учебных пособий* для X и XI классов. Дополнительные
упражнения могут быть использованы учителем при работе в клас-
се и для домашних заданий.
1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
В основе метода математической индукции лежит принцип ма-
тематической индукции, который принимается как аксиома.
Утверждение Р (л), зависящее от натурального числа п, спра-
ведливо при любом n£N, если:
1) утверждение Р (п) справедливо при п=1\
2) для всякого k£N из справедливости Р (k) следует справедли-
вость P(k+ 1).
Доказательство методом математической индукции проводится
следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверя-
ется при л=1. Эту часть доказательства называют базисом индук-
ции. Затем следует часть доказательства, называемая индукцион-
ным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения
при n = k+i в предположении справедливости утверждения при
n — k (предположение индукции).
В учебном пособии для X класса рассматривается применение
метода математической индукции в задачах на суммирование, дока-
зательство тождеств и неравенств, выводятся формулы n-го члена
и суммы первых п членов арифметической и геометрической про-
грессий. Среди упражнений встречаются также и задачи, связан-
ные с рекуррентным способом задания последовательности. Поми-
мо задач, имеющихся в учебном пособии, полезно предложить уча-
щимся также и задачи на делимость, показать применение метода
* См.: Виленкин Н. Я., Иваше в-М у с а т о в О. С., Шварц-
бурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса.— М.: Просвещение,
1995. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Ш в а р ц б у р д С. И.
Алгебра и математический анализ для 11 класса.— М.: Просвещение, 1996.
11
математической индукции при решении некоторых геометрических
и других задач.
Пример 1. Доказать, что число 7n+1 -j-82n-1 делится на 19 при
любом натуральном п.
Решение. Если п = 1, то 72-|-81 = 57, а 57 делится на 19. Пред-
положим, что для некоторого натурального k число 7А+14-82А-Г де-
лится на 19. Докажем, что в таком случае и 7ft+24-82ft+l делится
на 19.
В самом деле,
7А + 2_^82й+1==7<7А+1+б4.82А-1 = 7(7й+1+82А-1) + 57.82А-1>
Так как каждое слагаемое полученной суммы делится на 19, то и
7*-ь2_|_82*-ь1 также делится на 19. Утверждение доказано.
Пример 2. В плоскости проведено п прямых, из которых ника-
кие две не параллельны и никакие три не проходят через одну
точку. На сколько частей разбивают плоскость эти прямые?
Решение. Сделав соответствующие рисунки, легко убедиться
в том, что одна прямая разбивает плоскость на 2 части, две пря-
мые — на 4 части, три прямые — на 7 частей, четыре прямые — на
11 частей.
Обозначим через N (п) число частей, на которые п прямых раз-
бивают плоскость. Можно заметить, что W(l) = 2, N (2) = N (1 )-|-2,
/V (3) = М (2)4-3, N (4) = М (3)4-4. Естественно предположить, что
N(n) = N(n-\) + n.
Складывая почленно п равенств:
ЛА (1 ) = 2,
W(2) = 7V (1)4-2,
W(3) = /V (2)4-3,
N(n) = N (n-l)4-n,
получим Af(п) = 24"24“34“44“• • • 4-и, или
(1)
Докажем справедливость формулы (1) методом математической
индукции.
Для п— \ формула уже проверена. Сделав предположение ин-
дукции, рассмотрим k4-1 прямых, удовлетворяющих условию зада-
чи. Выделим из них произвольным образом k прямых. По предпо-
х	1 , М*+1)
ложению индукции, они разобьют плоскость на 1-J-----— частей.
Оставшаяся (&4-1)“я прямая разобьется выделенными k прямыми
на k 4-1 частей и, следовательно, пройдет по k 4-1 части, на кото-
рые плоскость уже была разбита, и каждую из этих частей разде-
лит на 2 части, т. е. добавится еще Л 4-1 часть.
Итак, N(fe+l) = ^fe) + fe+l = l + М\+1> +6+1 = 1 +
_|----------, что и требовалось доказать.
12
В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некото-
рого утверждения не для всех натуральных и, а лишь для п^т,
где т — фиксированное натуральное число. Например, для доказа-
тельства свойств многогранников нам пришлось бы начинать с дг = 4.
В этом случае принцип математической индукции формулиру-
ется следующим образом.
Пусть т— некоторое натуральное число. Утверждение Р (п),
n£N, верно для всех натуральных значений гг^т, если выполняются
два условия:
1) утверждение Р (п) справедливо при п = т\
2) для всякого натурального k^m из справедливости Р (k) сле-
дует справедивость P(k-^l).
Отметим, что так как в этом случае предположение индукции
имеет измененный вид (предполагается, что доказываемое утверж-
дение справедливо при дг = й^дп), то при значениях п<пг утверж-
дение может быть как верным, так и неверным. Проведенное дока-
зательство методом математической индукции не дает оснований
для утверждения о его справедливости для 1^дг<дп.
Пример 3. Найти все n£N, для которых справедливо неравен-
ство 2п > 2п* — Зп + 1.
Решение. При п=\ неравенство справедливо. Предположим,
что для некоторого натурального k имеет место неравенство
2k > 2k2 — 3k + 1. Так как неравенство 2*+1 >2 (&4- 1 )2 —3 (k -J- 1 )-|- 1
можно переписать в виде 2*^’ — 2k2 — k>0 или 2 (2k — 2k2-\~3k — 1)4-
-|-2&2 —7&-j-2>0, то для проведения индукционного шага доста-
точно выполнение неравенства 2k2 — 7&4-2>0. Это последнее не-
равенство верно при Следовательно, дп = 1 не может быть
базисом индукции — мы не сможем сделать первого же индукци-
онного шага. Естественно попытаться за базис взять m = 4. В этом
случае индукционный шаг выполним, однако непосредственная
проверка показывает, что при дг = 4 неравенство 2n>2rr-Зп-\-1 не
является верным. Следовательно, ди = 4 также не может служить
базисом индукции. Лишь при m = 6 это неравенство справедливо,
так что за базис индукции можно взять ди = 6 (при ди^6 индукци-
онный шаг также выполняется). Следовательно, неравенство
2п>2п2 — Здг-h 1 верно при всех натуральных дг^б. Отметим, что
для некоторых значений дг, меньших 6, дг = 1, 2, это неравенство так-
же справедливо. Таким образом, неравенство справедливо при
дг= 1, 2 и дг^б, n$N.
В некоторых задачах принцип математической индукции приме-
няется в следующей форме.
Утверждение Р (дг), где п — натуральное число, верно для всех
натуральных n^m (m£N), если выполнены два условия:
1) Р (п) справедливо при п = т и п = т-{-\\
2) для всякого натурального k^m из справедливости Р (k) и
Р (k +1) следует справедливость P(k-\-2).
В качестве примера рассмотрим упражнение 80 из учебного по-
собия для IX класса.
13
Пример 4 (80). Последовательность чисел а0, аь ап состав-
ляется по следующему закону: первые два числа а0 и ах даны, каж-
дое же следующее равно полусумме двух предыдущих. Доказать,
что
„ __________________ 2al + a0 I ( iyi-1 а1”ао
Un~ з М
Решение. Проверим справедливость утверждения при /г = 0 и
/г=1. Имеем:
204 + flo «! —а0
°"-----------------------3---TF7
+±р_а|.
Докажем, что для всякого натурального k из справедливости
утверждения при n = k—i и n — k следует его справедливость и
при n = k-\- 1.
Имеем:	~ _ak_x + ak
ak +1	2	=
2ai + a0	j^_2 / ai — ао а\ — ао \
‘ 3	}	\3*2*~2 3.2*“7_
~	2	~
__2fli ~i~flo	/ \\k—2 2 (fl| — a0)“”(ai — go)
3	’	2.3.2*-1	~
__ 2al flo I / 1	al — a0
3 l” \	3.2* •
Приведем решение еще нескольких задач из учебного пособия
для IX класса.
Пример 5 (85(2)). Докажите тождество
X .	. х2”	__ 1	х— х2”
TZ7	’777*
Решение. Пусть
X	X2	х4	X2” 1
л<'*>=-Й?+1±7+т^? + -+£7’
--------------------------------
При п=1 имеем:	х 1—г
Положим для сокращения записи 2к = т. Будем иметь:
В(А:+1)-В(А!)=—!—(^2Е_	М =
' 1 ’	' ' 1 — х у 1 _х2”	l—x^J
1	x_x2'"_(i+yn)(x_xm)	_ 1	xw-xm+1	_ х”
~ 1—X	1—х2"	— 1—х	1—ж2”	1—х2”	’
14
Таким образом, Л (£-|- 1)—A (k) = B (£-|-1) — В (k), k£N. Следова-
тельно, из равенства A(k) = B(k) следует равенство Д(£-|-1) =
= В(й+1).
Пример 6 (86 (5)). Последовательность Фибоначчи определя-
ется следующими условиями:
ао = 0, ®i = l, а„+1 = а„А-ая-1-
Докажите, что
ая+га<,+2 — ая-ол+з=( —If-
Решение. Из условия следует, что До=1, а3=2, а4 = 3. При
л=1 имеем: а2а3—ata4= 1 -2—1-3 = ( —1)‘.
Пусть равенство справедливо при n = k, k£N:
ak+lak + 2 akak + 3 = ( If-
При n = £4~l имеем: at+2at+3—at+lat+4 = ak+2ak+3 —
ak+1 (a4+34“ ak+i) = afc+2a*+3 ak+la4+3 ak+ lak+2 = (ak +1 4" ak) ak+3
ak+ lak + 3 ak+lak + 2 = ak+\ak + 3^T akak-t-3~ak+lak + 3 — ak+iak + 2==
= -(ak+lak+2-akak+3)= -(- If = ( - If+ 1.
Значит, равенство справедливо при любом натуральном значении п.
Пример 7 (89(3)). Докажите неравенство
2я > л3, и >10, n£N.
Решение. При л=10 неравенство справедливо: 210>103.
Пусть при каком-либо произвольном значении £>10, k£N, спра-
ведливо неравенство 2*>£3. Докажем, что тогда неравенство
2*+1>(£-|- I)3 также справедливо. Имеем: 2*+1 = 2-24>2£3=£3 + £3.
Осталось доказать, что при £>10 £3>3£24-3£4- 1. Так как при
£>10 имеем: £3-9£2 = £2(£-9)>0, то £3>9£2 = 3£2 + 3£2 + 3£2>
> 3£2 4- 3£ 4- 3 > 3£2-j- 3£ + 1, что и требовалось доказать.
Дополнительные упражнения
1.	Докажите справедливость равенств:
а)	24- 164-5б4- -4-(3/г —2)-2"= 104- (Зл-5).2я+1;
б)	54-454-3254-...4-(4/г4-1)-5"-' = л-5";
.	1	. 7	17	2л2-1	_ п2
’ 1-3 ' 3-5 “|_5-7	" + (2„ — 1) (2л+ 1)	2«4-1’
. 1-7	3-9 ,5-11 .	(2л-1) (2л 4-5) __л(6л-|-1)
3-5 +5-7	7-9 “*	(2л4-1)(2л-|-3) ~ 3(2л4-3)’
д\	I	о I	п2 I I_____1___________ лп— 1 _ 2я_,
д; 3-4 ^4-5' 1" 5-6 Т--Г(л4-2)(л4-3) ’	“ «4-3	3’
е) 3	.	4	________л 4-2	__	л(л-Ь5)	.
; 1-2-4-5 ' 2-3-5-6	(„4-1) („4-3) („4-4)	8 (л-Ь 1) (л4-4) ’
ж) 34-204-1684-...4-(2л4-1).2я-|./г! = 2я.(л4-1)!-1;
з)	| -2! + | -3!+| -4! + ...4-| .(л4-1)!=-^±Д -2.
15
2.	Докажите, что при n£N'.
а) о3 + 11п кратно 6;	б) 7я + 3и—1 кратно 9;
в) 5я —Зя + 2п кратно 4; г) 5 • 23я_2-|- З3я~1 кратно 19;
д) 62я4-19я-2л+1 кратно 17; е) 22/—1—9п2-|-21« —14 кратно 27.
3.	Дано: «1 = 4, ап+1 — Зап — 2. Докажите, что а„ = Зя+1,
n£N.
14	1
4.	Дано:	а„+1=—(27а„ + 32). Докажите, что ап =
=4(9я-2), n£N.
5. Дано: at = 1,	а2 = 9,	a„+2 = 9a„+l — 20a„. Докажите,	ЧТО
ап = 5я — 4я, n£N. 6. Дано: 0) = 3,	а2= 15,	a„+2 = 5a„+1 —4ая. Докажите,	что
а„ = 4я-1, n£N. 7. Дано: О| = 29,	а2 = 85,	an+2 = 5a«+i — 6a„. Докажите,	что
ал = 2л + Зл+2, иеЛГ.
8. Докажите неравенства:
а) 5л>7п —3 при n£N\	б) 2я”1	(n-|-1) при	п^7\
в) Зя>2л-|-п при n£N\	г) 4л>Зя-|-п2 при n^N\
д) 4Л>3Л + 2Л при n£N, п^2.
9.	Докажите, что п прямых, лежащих в одной плоскости и име-
ющих общую точку, делят плоскость на 2п частей.
10.	Докажите, что п различных точек, лежащих на прямой, де-
лят ее на п + 1 интервалов (из которых два интервала бесконечны).
И. На сколько частей разбивают пространство п плоскостей, из
которых каждые три пересекаются и никакие четыре не имеют об-
щей точки?
(п— 1)л(л+1)
Ответ. --------	- 4- п 4-1.
о
12.	В плоскости проведено п окружностей так, что каждые две
из них пересекаются в двух точках и никакие три не имеют общей
точки. На сколько частей разбивается при этом плоскость?
Ответ, п2 — и-1-2.
13.	Докажите, что сторона правильного многоугольника, имею-
щего число сторон, равное 2я, выражается через радиус /? описан-
ной около многоугольника окружности следующей формулой:
ar = R V2-V2+V2 + ...4-V?.
14.	Докажите формулу	я 2д8ОЙКИ
(a\ + a2 + ... + aJi=a2 + al + ... + a2 + 2ala2 + 2ala3 + ... + 2an_]an.
15.	Докажите, что
(х+а|)(х+а2)...(х+ап) = хя + (а1 + а2 + ... + а„)хя_1 +
+(0)02 + «Мз + - + «„-!«„) x”-2 +... + о,о2...оя.
16.	Докажите, что если а~>Ь и а, b — положительные числа, то
an>bn(n£N).
16
17.	Докажите неравенства:
а)	л+1 + п+2 +-+3»+1 > ’
б)	2я-1 (ап4-Ь")^(а4-Ь)п, если а и b — положительные числа;
в)	д/7<14-1= 4--U 4---4--U <2д/й”;
у2 уЗ	ум
\ 1 А .А . 2п~~1	1
Г 2 ' 4 6	' 2п Л/Зп+1 ’
18.	Докажите, что (и4~ 1)(«4~2)... (n-|-«) = 2'1’ 1 •3-5-...-(2n — 1).
Ill _L
19.	Вычислите произведение A =22 -44-88• 1616... .
Ответ. A =4.
2.	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Одним из способов решения уравнений высших степеней явля-
ется способ разложения на множители многочлена, стоящего в ле-
вой части уравнения. Этот способ основан на следующем примене-
нии теоремы Безу.
Если число а является корнем многочлена Р (х), имеющего сте-
пень и, то этот многочлен можно представить в виде Р (х) =
= (х — а) Q (х), где Q (х) — частное от деления Р(х) на х —а, мно-
гочлен степени п—1.
Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения
Р(х) = 0 степени /г, то с помощью теоремы Безу можно свести зада-
чу к решению уравнения степени п—1, т. е., как говорят, понизить
степень уравнения.
Возникает естественный вопрос: как найти хотя бы один корень
уравнения?
В случае уравнения с целыми коэффициентами можно отыскать
рациональные, в частности целые корни, если, конечно, они суще-
ствуют.
Способ отыскания рациональных корней алгебраического урав-
нения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.
Теорема. Пусть несократимая дробь является корнем урав-
аохп + а1хп 14-...4-ая_1х4-а„ = 0	(1)
с целыми коэффициентами. Тогда число р является делителем сво-
бодного члена ап, a q — делителем старшего коэффициента а0.
Доказательство. Подставив дробь в уравнение (1) и
освободившись от знаменателя, получим равенство:
аорп 4- atpn~ 'q 4-... 4- ап-1 РЯп~1 + ап<Г = 0.	(2)
Перепишем равенство (2) двумя способами:
anqn = р( — аоРп~' — a\Pn~2q —  — an_lqn->);	(3)
аорп=q( — alpn~t — - — ап-iP<T'2 — an<7"~1 )•	(4)
17
Из равенства (3) следует, что произведение anqn делится на р, и по-
скольку qn и р взаимно просты, то ап делится на р. Аналогично из
равенства (4) следует, что а0 делится на q. Теорема доказана.
Укажем на два очевидных следствия доказанной теоремы.
Следствие 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффи-
циентами является делителем его свободного члена.
Следствие 2. Если старший коэффициент уравнения с целыми
коэффициентами равен /, то все рациональные корни уравнения,
если они существуют, целые.
Пример 1. Решить уравнение
2х3-7х2 + 5х-1=0.
Решение. Найдем рациональные корни уравнения. Пусть не-
сократимая дробь является корнем уравнения. Тогда р надо ис-
кать среди делителей свободного члена, т. е. среди чисел ±1, а
q — среди положительных делителей старшего коэффициента: 1;
2. Таким образом, рациональные корни уравнения надо искать сре-
ди чисел ±1,	. Проверка показывает, что корнем уравнения
1
является только число —.
Разложим левую часть уравнения на множители, учитывая, что
нужно вынести за скобку множитель (2х—1). Перепишем уравнение
в виде 2Х3 —х2 —6х24-Зх + 2х—1 =0. Получим: х2(2х—1) —
-Зх(2х-1) + (2х-1) = 0, или (2х-1)(х2-Зх+1) = 0.
Приравнивая второй множитель к нулю, приходим к квадратно-
му уравнению, имеющему корни —£—.
Ответ. х1=-, х2)3 = —
Как уже отмечалось выше, понижение степени уравнения
Р(х) = 0 в случае, когда известен его корень а, сводится к нахожде-
нию частного от деления Р (х/ на х —а.
Деление многочлена
Р (х) = аохп + а1хл-1 + ... + ап
на двучлен х — а удобно выполнять по так называемой схеме Горне-
ра. Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х —а через
(?(х) = &охл“, + 61хл-2 + ... + &л_1, а остаток — через Ьп. Так как
P(x) = Q(x)(x—а)-|-6Л, то имеет место тождество
a0^ + ai^-1 + ... + а„=(Мл~1 + ^i^-2+ - + 6„-i) (х— а) + Ья.
Раскроем в правой части этого равенства скобки и сравним коэф-
фициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что
а0 = 60 и при 1	имеют место соотношения ak = bk — abk_i. От-
сюда следует, что bQ = aQ и = + при
18
Вычисление коэффициентов многочлена Q (х) и остатка Ьп запи-
сывают в виде следующей таблицы:
а0	fli	^2		an-l	an
^о = ао	*4” &о	"Г ft bi		bn-l=an-l + + abn-2	<’„ = O. + “*n-l
Она называется схемой Горнера. В первой строке этой таблицы
записаны коэффициенты многочлена Р(х). Во сторой строке полу-
чаются коэффициенты частного и остаток. Старший коэффициент
частного равен старшему коэффициенту делимого. Если уже запол-
нено несколько клеток второй строки, то следующая пустая клетка
заполняется так: берут стоящее над ней число первой строки и при-
бавляют к нему произведение а и предыдущего элемента второй
строки. В последней клетке второй строки под свободным членом
делимого получается остаток от деления.
Так как по теореме Безу дл = Р(а), то схема Горнера позволяет
находить значение многочлена Р (х) при х = а. Во многих случаях
вычисление по схеме Горнера удобнее, чем непосредственная под-
становка а в многочлен Р (х).
Пример 2. Вычислить Р (3), где
Р (х) = 4х5-7х4 + 5х3-2х+ 1.
	4	— 7	5	0	-2	1
3	4	5	20	60	178	535
Значит, Р (3) = 535.
Пример 3. Разложить на множители с целыми коэффициента-
ми многочлен
Р(х) = 2х4-7х3-Зх24-5х-1.
Решение. Ищем целые корни среди делителей свободного
члена: ±1. Подходит —1. Делим Р (х) на х-|-1:
2	— 7	-3	5	— 1
2	-9	6	-1	0
Р(х) = (х+ 1)(2х3-9х2+6х- 1).
Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его
свободного члена: ±1. Вычисления показывают, что целых корней
19
нет. Так как старший коэффициент многочлена не равен 1, то мно-
гочлен может иметь дробные рациональные корни. Дробными кор-
Имеем:
Р(х)=(х+1)(х-1)(2х2-8х+2) =
=(х-Н)(2х— 1)(х2-4х-Ь1).
Трехчлен х2 — 4х+1 на множители с целыми коэффициентами
не раскладывается.
Ответ. Р(х) = (х4- 1)(2х— IH*2 — 4x4-1)-
Дополнительные упражнения
1.	Докажите, что многочлен с положительными коэффициента-
ми не может иметь положительных корней.
2.	Докажите, что число 1 является корнем многочлена тогда и
только тогда, когда сумма его коэффициентов равна нулю.
3.	Для того чтобы число — 1 являлось корнем многочлена, не-
обходимо и достаточно, чтобы сумма его коэффициентов, стоящих
на четных местах, равнялась сумме коэффициентов, стоящих на не-
четных местах. Докажите.
4.	Разложите на множители с целыми коэффициентами:
а) х3 — 2х2 —5x4-6;	б) х3 — Зх24-^4-1;
в) 2х34-5х24-х —2;	г) х3 —2х—1;
д) х44-4х3-25х2-16x4-84; е) х5 6-2х4-13х3 + 26х24-36х-72.
5. Решите уравнения:
а) х3 — 5х4-4 = 0;	б) х3 —Зх2-|-2 = 0;	в) х3 — 7х — 6 = 0;
г) х3-8х24-40 = 0;	д) 8х3-4х4-1=0;	е) 16х3-6х-1=0;
ж) 2х4 —5х3 —х24-3х4-1 =0;	з) 2х4 — 7х3 —7x24-3x4-1 =0;
и) х3 —5x24-3x4-1 =0;	к) 2х4 —5х34-5х2 —2 = 0.
6. Найдите а и решите уравнение, если известен один из его
корней:
а) 2х3 —(а-|-4) х24-2 (а—1) х4-« = 0, Xj = 0,5;
б) 6х34-2(а — 9)х2 — 3(2а— 1)х4-а = 0, Xj=^-.
м
20
7.	Решите уравнения:
4(х+3)5
2х3 + х2 —8х —4	2Х2 —Зх —2
х2 —5х —6	_ 4x2 — 20
2х3 + Зх2 — 2х — 3 “ 2x2-hx-3‘
8.	Решите уравнения:
а) (х+ 1)(х + 3)(х+5)(х + 7) = 9; б) (х2 + Зх+2)(х24-9х+20) = 4;
в) (х—1)(х —5)2(х—9)= —39; г) (х2-2х)(2х-3)(2х-1) = 2,5;
д) х4 — 2Х3 —х2 —2х-|-1 =0;	е) х4-|-х3— 16х2 + 2х+4 = 0;
ж) х4 — бх34-4Х2 + 5х4- 1 = 0;	з) х4 + 2х3 — 9х2—6х4-9 = 0;
„)5x + A=2^ + J?+4;	к,
9.	Многочлен Р (х) = 2х3-|-х2-|-ах-|-6 при делении на х-|- 1 дает
остаток 18, а на х—2 делится без остатка. Найдите корни многочлена.
10.	Многочлен Р (x) = x3 + ax2H-ftx-h^ при делении на х-|-1 и
на хН-2 дает остаток 12. Один из корней многочлена Р (х) равен 1.
Найдите остальные корни многочлена.
11.	Решите неравенства:
а) х3-4х2 + 5х-2>0;	б) х3-12x4-16>0;
В) хЗ-5х2_|_8х-4<0;	г) х3-7х2+16х-12<0;
д) (х2-Зх)(х-1)(х-2)<24;	е) (х-2)(х-3)2(х-4)>20;
ж) (х2-6х4-8)(х2—18х4-80X64; з) х3(х-|- 1)>(13х-|- 12)(х+1);
и) х’(ж-2)<(7х-6)(х-2>;
л) (х24-5х)(х2-9x4- 18)>(х3 —9х)(х2 —х —30);
м) (х3 — 16х)(х24-х—6)>(х24-4х)(х2 —х— 12);
и) х(х~6)	о) 4Х2 |х|-12х24-9 |х|-2<0.
12.	Решите неравенства (а — параметр):
а)ах24-1>0;	б)	ах2 —4<0;	в)	х2 —ах<0;
г) ах<—;	д)	— ^х;	е)	х2 — 2ах-|-1>0;
ж) ах2 —2х—1 >0;	з)	ax2-f-ax — 5^0;	и)	х2 —ах-|-а—1 J>0.
13.	При каких значениях параметра а решениями неравенства
относительно х являются все действительные числа:
а) х2 —2х-|-а —3>0; б) ах2 —2х-]-3>0; в) х2 —9х-|-(а —3)2>0;
г) ах2-6х- 1 <0; д) ах2-2ах-3<0; е)	<2?
21
14.	Решите системы неравенств:
а) Г Зх2 — 4х 4- 1	О,
I Зх2 — 5х4-2<0;
в) f (х2 —6 |х| +9)(|х| -2)>0,
2х2-5х+3<0;
х2-7х-18<0,
(х —2)2 —4| х — 2| +3>0;
12х + 3| <2,
Зх2— 12.
*4-2 <3’
ж) ( 10<х2-8х4-25<18,
( 74-6|2х—3| -(2х-3)2<0;
д)
з)
2х+3	7
7ГГ<з;
4-х	'
х3<25х,
х2—9|х| + 14 п
х —3	’
|х-4|.(|х4-3|-8)<0;
к) ( 2х4
Ответы к дополнительным упражнениям
5. в) Xj = — 2, Х2 = — 1, х3 = 3; ж) х, = —0,5, х2= 1, х34 = 1 ±д/2? 6. б) а = — 1,
Xj=—0,5, х23=—2±Д/б". 7. a) Xj= —1, х2= —1,5. 8. a) Xj = x2=—4, х34 =
= —4±VTo"; в)х12 = 5±д/кГ, х34 = 5±д/з". 9. Xj = 0,5, х2 = 2, х3= — 3. 10. х2 = —3,
х3 = 2.11. а) х= 1, х>2; г) х<2,2<х<3; о) — 2<х<2, х=/= ±0,5. 12. а) При а>0
х — любое действительное число, при а<0 —
3. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Первые упражнения по теме основаны на определении предела
функции в точке.
Определение 1. Число b называется пределом функции f в
точке а, если для любого е>*0 найдется такое число 6>>0, что из
неравенства 0<|х—а|<6 следует неравенство |/(х) —й|<е.
Для доказательства того, что число b является пределом функ-
ции f при х —> п, достаточно найти число 6>>0, о котором говорится
в определении предела, по заданному е>0.
Пример 1. Доказать, что
г 2x2-18
пт -----------------------— = 12.
х—3
3
Решение. Пусть е>0 — произвольное положительное число.
Составим неравенство
1^—- 12|<е.	(1)
I х—3	|
22
Неравенство (1) равносильно неравенству
0<|х-3|<|,
(2)
из которого следует, что в качестве 6 можно взять ~. В силу равно-
сильности (1) и (2) из неравенства 0< |х— а| <6 будет следовать
неравенство (1).
Пример 2. (342(1)). Доказать, что
limx2 = 16.
х->4
Решение. Надо доказать, что по любому заданному 8>0
можно подобрать такое б>0, что из неравенства 0<|х — 4|<б
следует неравенство
I-V2—161 = |*4-4| • |х —4| <е.	(3)
Число б будем выбирать постепенно. Сначала рассмотрим
окрестность точки 4 радиуса 1 (6=1), т. е. значения х, для
которых |х—4| < 1. В рассматриваемой окрестности
|х-(-4| = |х-4 + 8|<|х-4| +8<9
и поэтому |х + 41 • |х —4| <<9 |х —4|. Чтобы выполнялось неравен-
ство (3), достаточно, чтобы |х — 4| <4- Таким образом, в качестве
б можно взять меньшее из чисел 1 и т. е. 6 = min(l; -0.
Определение 2. Число Ь называется правым (левым) пре-
делом функции f в точке а, если для любого е>0 найдется число
б>0 такое, что из неравенства а<х<а-|-б (а —б<х<а) следует
неравенство |/(х) —й|<е.
Для обозначения правого (левого) предела функции f в точке
а используют следующую символику:
lim /(х) = 6; ( lim /(х) = 6)
х-нх-1-0	х->а—О
или более краткую символику:
/(а4-0)=6; (f(a — Q) = b). В
В качестве примера рассмотрим функцию
/(х)=-^=|	1
при х>0,
при х<0:
Эта функция имеет в точке 0 как правый, так и левый пределы,
причем /(-|-0)=1, /( — 0)= — 1. В самом деле, в любой «правой
полуокрестности» точки 0, т. е. при 0<х<б (б>0), имеем /(х)= 1,
и поэтому для любого 8>0 выполняется неравенство |/(х)—1| =
= 11 — 11 =0< е; это и означает, что lim f (х)= 1. Аналогично до-
Н-0	'
называется, что lim /(х)= — 1.
х->- —О
23
I x I
Итак, функция f (x)=—, не имеющая предела в точке 0, имеет
в этой точке правый предел, равный 1, и левый предел, равный — 1.
Тот факт, что правый и левый пределы этой функции не равны
друг другу, не является случайным, ибо справедливо следующее
утверждение: предел функции f при х-^ а существует тогда и толь-
ко тогда, когда существуют и равны между собой оба односторон-
них предела f (а —0) = / (а-|-0).
Для доказательства этого утверждения достаточно вос-
пользоваться определениями 1 и 2 и учесть, что если неравенство
|/(х) — &|<е справедливо для всех значений х, удовлетворяющих
неравенству 0<|х — а| <Сб, то оно справедливо и для всех значе-
ний х, удовлетворяющих каждому из неравенств a — 6<Zx<Za и
а<х<а-|-6. Верно и обратное: если неравенство |/(х) —й|<е
справедливо для всех значений х, удовлетворяющих каждому из
неравенств а — ^СхСа и а<х<а + 62(б!>0, 62>0), то оно
справедливо и для всех значений х, удовлетворяющих неравенству
0<|х — а|<б, где 6 = min(6i; 62).
Пример 3. (352(6)). Найти односторонние пределы функции
х-|-2 при х< — 1,
f(x) =
х2 при — 1 О<2,
5 —х при х^2
в точках х= — 1 и х = 2. Существуют ли пределы функции f при
х-^ — 1 и х —> 2?
Решение. Для значений х< — 1 функция определяется фор-
мулой f (х) = х-(-2. Следовательно, левый предел функции в точке
х= — 1 определяется равенством lim /(х) — lim (х + 2). Так
х-^-1-0	х->—1—О
как предел функции х + 2 при х^- —1 равен 1, то lim /(%) =
х —— 1 —О
= lim (х+2) = lim (х4-2)=1.
х —— 1 —0	х->- — 1
Рассуждая аналогично, имеем lim /(х) = lim х?= lim х2=1.
х——1+0	х-> —1+0	х —* — 1
Так как lim f (х) = lim /(х)= 1, то lim /(х)=1.
х-* — 1— 0	х->—I-f-О	х —>• — 1
Аналогично находим, что lim f(x) = 4, lim /(х) = 3, и так
х->2 —0	х->-2-|-0
как lim f(x)=/= lim f (х), то limf(x) не существует.
х->2 —0	х->2-|-0	х-»-2
Рассмотрим несколько примеров на вычисление предела функ-
ции в точке.
у 100 । п 50_о
Пример 4. Найти lim —~.
Е	x^i х^-зх^+г
Решение.
х|00+2х50 —3 _ ..	(х100—о+гсх50—1) _
х20-Зх'° + 2 хТ! (х20— 1)—3 (х10— 1) ~
lim
Х-И 1
..	(х" + х98+... + х+ 1)+2 (х49 + х48+ - + х+ 1) _ 100 + 2-50
Х™ (х,9 + х|8+... + х+1)—3(х9 + х8 + ... + х+1) ~ 20-3-10
24
Пример 5. Найти lim ^х+4—2-
х+5
Решение.
р ух-|-4 — 3 р х + 4-9	р 1	1
lim v _— = lim---------» .------= lim   -—=— .
x->5	x~5	x->5 (x-5)(V% + 4 +3)	x->5 V% + 4 +3	6
Вычисление пределов, содержащих иррациональности, иногда
упрощается введением новой переменной.
Пример 6. Вычислить
зу--------------------------------
р 3-VT+22
lim-----—-—
5
х—5
3 .----
Решение. Пусть ух+22 = /, тогда x=t3 — 22. Если х—>- 5, то
/ — 3.
з,____
,.	3—Д/-Х4-22	3-Z	1:„	1	_	1
!Тз х—5	-|1з/2-27 Й /2+3< + 9	27-
Пример 7. Вычислить
Решение. Введем подстановку Д/х-(- 11 =/. Тогда х=/4—11.
Если х->-5, то /-^2.
4 ----------------
р Д/х+П -2 р t — 2 р	1	1
lim -2—L—-— = lim —---= lim —-------= — .
x+5	^“5	^2/4-16	(Z2 + 4)(/ + 2) 32
Пример 8. Вычислить
lim
x->5 Vx+11 -2
Решение.
p y]x+4 -Д/х + 22
lim -----------—!----=
x->5	-2
J____1_
6 27 __ 112
1	” 27 ‘
32
Рассмотрим несколько упражнений, связанных с понятием не-
прерывности функции в точке.
Пример 9. Дана функция
/(х) =
при х=/=0, х=/= —1, х=/=2, х=/=1;
1
при остальных значениях х.
25
Выяснить, является ли функция f непрерывной в точках:
0; -Г, 2; 1.
Решение. Найдем предел функции / при х->0:
J____1_
г/ \	х х+1	.. х(х — 2)
lim f (х) = lim —;—-4- = lim---------=
х->0	х-»0	1	| 1	х->-0 2х(х+1)(х—1)
х — 2 "П х
= lim----—------= 1.
х+о 2 (х+1) (х-1)
Имеем: lim f (x) = f (0). Следовательно, функция f в точке
х-> 0
х=0 непрерывна. Легко видеть, что в точках —1, 2, 1 функция f
непрерывной не является.
Пример 10. Даны функции
/(*)={
3x4-7 при х<1,	( 2х —5 при х<5,
х2 при х>1; ё(Х)~| Зх при х>5.
Исследовать на непрерывность функцию f(g(x)).
Решение. Так как 2х—5<1 при х<3, 2х—5^1 при
З^х^б, Зх> 1 при х>5, то
f(g(x)) =
3(2х —5) + 7 при х<3,
(2х—5)2 при 3^х<Д
(Зх)2	при	х>5.
Легко видеть, что точками разрыва функции f(g(x)) будут толь-
ко точки х = 3 и х = 5.
х7—\
Пример 11. Дана функция f(x) = -^—. Как следует доопре-
делить эту функцию в точке х= 1, чтобы она стала в этой точке не-
прерывной?
__ I 7
Решение. Так как lim —=~ , то доопределяем функцию в
х-+ 1 •*— 1
точке х—1 значением, равным j, получаем функцию
g{x) =
Л—; ПРИ
л — 1
7	,
— при х= 1,
непрерывную в точке х=1.
Пример
12. При каких значениях а и b функция
f (х) =
ах+ 1 при х<2,
3 при х=2,
x2-|-Z> при х>2
будет непрерывной в точке х=2?
26
Решение. Функция f непрерывна в точке х = 2, если
lim /(х) = lim /(х) = /(2) = 3.
х-^2-0	х-^2 + 0
Имеем:
2а+1=3,
4 + 6 = 3.
Решив систему уравнений, находим а=1, Ь= — 1.
Дополнительные упражнения
а)
в)
д)
1. Вычислите пределы
lim
х-^3
х3 —27
9 —х2
р	32?-1-1
lim —;
1 2? — 7?4-6х-|-5
~~2
lim
х->3
х3-3?-9х+27
х4-18?4-8!
ж) lim
х-> —
х11 —2х—1
х5—2х—1 ’
И)
хЗО_2х27 + 3х13_2
Г™ х37 —5х|04-Зх3+1 ’
функций:
б)
..	х5—32
lim	;
х->2 х3—Зх—2
lim -+4*+3 ;
х 1 2? — 3? 4- 1
р Зх4 — 4х34-1
lim------—!;
х-» 1 Зх—х3 —2
\ р / 1	.	6 \
3) 11т	а);
х-» — 3\х“Гд х^ —9/
ч р /	3	1	\
к) игп( ——г-5—о--------------й)-
х -> 2 \ ? — Зх2-|-Зх—2 х 2 J
2. Вычислите пределы функций:
a) lim
x4-h? —7? — 13х —6 е
?4-? —х—1
. Р	х4 — ? — 3?4-5х—2
0) iTt х5-4х4 + 4х3+2х2-5х+2 ’
В)
(1 +х)(1 +2х)(1 +3х)- 1 .
11 т		у
X
г)
д)
lim
х->- 1
х4-?4-...4~^"—.
х— 1
ж) Нт
х-> 1
(х2+х-2)30
(х4-2х3 + 2х—I)10
Г (*3-Зх2 + 4)50 .
х'-?2 (х2-Зх + 2)100 ’
lim (1+«)‘-<'+М .
х^О	?-hX7
lim ;
х->-о	?4-Зх
(1+х)(1+Зх)(1+5х)(1+7х)-(1 + 16х)
X2
и) Ит
х->- О
27
3. Вычислите пределы функций:
ч р д/5-х —2
a) lim Л------;
’	1 х2 —5x4-4
б)
г) lim----
X—1
д)
р х2 —6x4-5
х+1 V2X-H7 -3
р X7— 1
lim —=---;
х —1 х ух — 1
lim ^+^-г
е)
.. 2—“\/Зх —2
lim —;	----
. . Л V Л, - 1
lim —у------
хд/7-i
ъ.___
ч Р Д/З-Х -1
ж) lim-—— -----;
х->2	4 —2х
4. Вычислите пределы функций:
.____	3,____ ,____________
________ _____ _____________ з_____
lim ^-2^+1., б) [im
'-1	«^77-2
Пт (	__Д/5х2+4х3 — Ух4н~8х3 \
х-Г1! \Д/3 + х -2
/ з
3	3	\ з
х3 —2
г) 1*т I ----з--
х^2 \ (х-Д/2 )2
5.	При каких значениях а функция
( х3 — 4x24-3	, 1
»Х)_	- ПрИ
[ а при х — 1
будет непрерывной в точке х0=1?
6.	При каких значениях а и b функция
ах24-3х4- 1	<
x_j	при х>1,
х-\-Ь	при х^ 1
будет непрерывной в точке х0=1?
7.	При каких значениях а и b функция
/(*) =
f(x} =
ах2 4-6x4-3
х— 1
х+1
при
при
х< 1,
х^ 1
будет непрерывной в точке х0=1?
8.	Найдите пределы функций:
б)
Hill -7=----- ,
л sin х— 1
lim
”5 с“('+?)
cos Зх
lim ------------г= .
5л 2 COS X + V3
6
28
в)
д)
9. Найдите пределы последовательностей:
,.	/ 2п2 4- п . 6/г3 + 1 \
lim ( -г—Ц-Ч-----V
л оо \ Зл — 1	1 — 9п2 /
Нт (/г+1)3-(/г-2)3 .
л-> оо (2л—1) (п-F3)
2л+1+зп ’
1+5 + .„+(4п-3) .
(2л+1)(1-5л) ’
/12 + 22 + ... + «2	л\
lim (—-----11-------z-);
.^оо \ (»+1)(л+2)	з/
lim
Л-> ОС
е)
ж) lim
Л-> ОС
lim
л->- ОС
/ /г4 _____ п2 \
\лг3Н-8 л 4-2/’
2к + (-1)п .
lim ----------,
л+оо 5л + (-1)й
lim
2п+1+3
—!—+... -|------!------\
6-11	(5п —4)(5л+1)/
К) lim <"+2)! + «!
}	(«4-2)!	•
10.	Найдите пределы последовательностей:
a) lim —, Зп+* ;	б) lim (Д/л2-|-Зп —Л/п^ — п);
Я—оо у4п2-|-Зл-|-1	п->- оо
в) lim (Д/л2 — 5 — л-|-1);	r) lim (Д/4л24-Зл —2 — 2л—1);
Л —оо	’ л —> оо
д) lim 1-2+3-4 + ...-(2л) . е) lim (A/(„ + a)(rt + z,)_„).
л->оо	л-> оо
11.	Найдите lim ап, если известно, что при любом n£N:
\ Г\ ^«4-1	^2л4~7 ч
a)	0<а„<—; б) 2^ап<-^', в)
Зл -р 1 Зл 4~ 3
п	п
Ответы к дополнительным упражнениям
1.	д) 1; ж) 3; 3) -1; и) —£; к) -1. 2. а) 2; б) -1,5; г) З50; д) я("+1-)-;
О	О	4	Z
(97\10	14	9	1	18
4)	; з) 8; и) 86. 3. г) 4,5; д) —; е) -; з) —. 4. а) -; б) —;
Z /	О	О	OZ	О	Z1
д/Г
в) —6. 5. а=—5. 6. а=— 4, Ь=— 6. 7. а = 5, Ь=— 8. 8. a) 1; б) -2; в) ;
г) —4Д/з”- 9- а) б) 2; в) 4,5; г) д) е) 0,5; ж) — ; з)
У	*DO	DO
и) —к) 1 10. а) б) 2; в) 1; г) —1; д) —1; е) • П. а) 0;
б)	2; в) 3. f
4. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Напомним основные определения и факты.
Определение 1. Прямая х—а называется вертикальной
асимптотой графика функции f, если хотя бы один из пре-
делов lim f (х) или lim f (х) равен + оо или —оо.
х->-а-|-0	х^а — 0
Определение 2. Прямая y = kx~\~b называется асимптотой
графика функции f при х-^+ оо, если функция f представима в виде
/(х) = йх+& + а(х),	(1)
29
где	lim а(х) = О.
х-> -|- со
При этом если k =/=0, то асимптота y = kx-\-b называется на-
клонной, а если k = 0 — то горизонтальной.
Теорема. Для того чтобы график функции f имел при х-+ + оо
асимптоту y = kx-\-b, необходимо и достаточно существование пре-
делов:
lim = k и lim (/(х) — kx)—b.	(2)
x-> -|-oo X	x-> _|_ oo
Доказательство. Необходимость. Пусть график
функции f имеет при х-^4-°° асимптоту y = kx-\-b, т. е. для f
справедливо представление (1). Тогда
lim Нх)= ljm kx+b+a(x}= Hm (k+b_+^\k.
X->4~oo X	x->-]-oo	X	x_^_|_oo\	X	X /
lim (f (x) — kx)= lim (d-|-a (x)) = b.
X —+ oo	X-> + co
Достаточность. Пусть существуют пределы (2). Из вто-
рого из этих равенств следует, что разность f (х) — fex — b является
бесконечно малой при х->-р°°- Обозначив эту бесконечно ма-
лую через а(х), получим для f (х) представление (1). Теорема до-
казана.
Замечание. Аналогично определяется асимптота (наклонная
и горизонтальная) и доказывается теорема для случая х->—оо.
В качестве примера рассмотрим упражнение 299 из учебного
пособия.
_J
299 (4). Для графика функции f (х)=-"4_р[ горизонтальной
асимптотой как при х->Н-оо, так и при х->— оо является пря-
мая у=1. Это следует из того, что lim f(x)=l. Вертикальных
х->- оо
асимптот данная функция не имеет (х4+ 1 не обращается в нуль ни
в одной точке).
х4— 1
299(5). График функции ф(х)=-^-^ имеет наклонную асимп-
тоту у = х как при х-► 4- оо, так и при х->—оо, так как
lim	lim (<р(х) —х) = 0.
Это следует также из того факта, что функцию <р(х) можно пред-
ставить в виде <р(х)=х-|-а(х), где а(х) = — и lim а(х) = О.
.................... '  ............... Xs+6	х—► оо
Вертикальной асимптотой для графика функции <р(х) является
3 Г~
прямая х= —уб, так как lim <р(х)=оо.
Графики функций z/ = tgx и z/ = ctgx имеют вертикальные
асимптоты у—-^-\-яп и у = пп, n£Z, соответственно. График функ-
30
ции z/ = arctgx имеет при х-^-Г00 горизонтальную асимптоту
//=”, а при Х-*—оо асимптоту у=—^. График функции
z/ = arcctgx имеет также две горизонтальные асимптоты: у = 0 при
х-^4-оо и у = л при х-^—оо. График функции z/ = loga х(а>0,
а=/=1) имеет вертикальную асимптоту х = 0.
Рассмотрим еще несколько примеров нахождения асимптот.
Пример 1. f(x)=^.
lim /(х)= 1; lim f(x)= —1. Следовательно, график имеет две
X —► ~оо	X—►— оо
горизонтальные асимптоты: у=1 и //= — 1.
Пример 2.
Найдем пределы функции при х—^4-°° и при х-*—оо.
Разделим числитель и знаменатель на |х|:
ф(х) =
W+5
|х|
Зх+1
1x1
Пусть х-^+ оо. Можно рассмотреть функцию на любом проме-
жутке (а; + оо), где а^О, например на (0; Н-оо). Так как в этом
случае |х| =х, то f (х)=—---;—и,следовательно, lim
3-|_1	х-+оо
X
Пусть х —>— оо. Можно считать, что х<0, тогда |х| = —х и
/(х)=---------т— и, следовательно, lim /(х)=——.
3+1	Х->-оо
X
' Итак, график функции имеет две горизонтальные асимптоты:
1 । 1
— при X —>-j- ОО и у=— — при х->-----оо.
Пример 3. f(x)=4r.
е
Так как lim — = 0, то прямая у = 0 является горизонтальной
: -	Х-> 4- оо в
асимптотой графика функции при х-^+оо. Заметим, что прямая
у = 0 не является горизонтальной асимптотой графика f при
х-^_ оо, так как lim /(х)= —оо.
х-> — оо
Для выяснения расположения графика функции относительно
асимптоты необходимо определить знак разности f (x)-(kx-^b) от-
дельно в каждом из случаев: х-^+ °°,	— °° - Если он будет по-
ложителен, то график функции расположен над асимптотой, а если
31
Рис. 1
Рис. 2
отрицателен, то под асимптотой; если же разность f (х)— (kx-^-b)
меняет знак, то асимптота пересекает график.
При нахождении вертикальной асимптоты также нужно рассмот-
реть предел функции отдельно в каждом из случаев: х—>а-|-0 и
х—>-я —О, где а — точка разрыва (полюс) функции.
_1_
Пример 4. f (х) = 2х.
Функция f определена для всех значений х, кроме х = 0. Найдем
пределы функции при х-^±оо и при х-^±0. Имеем:
11 1
lim 2Х = 1, lim 2х=4-°°, lim 2х = 0.
±оо	4-0	—0
Отсюда следует, что у=1— горизонтальная асимптота при
х—>±оо, а х=0 — вертикальная асимптота при х—>-4-0. Так как
1 1
при х>0 имеем 2х > 1, а при х<0 0<2х < 1, то при х>0 график
расположен выше асимптоты z/=l, а при х<0 — ниже (рис. 1).
х
Пример 5. f (х) = ех~*?.
Функция определена для всех значений ху кроме х=±1. Имеем:
XX	X
lim е1-х2 = 1, lim е1-х2 = + оо, lim е1~*? =0,
*—±оо	*—-1-0	*—-1+0
X	X
lim е1-х2 = 4-оо, lim ех~^ =0,
*—1-0	*—i+o
т. е. у — 1— асимптота при х-^± оо, х= — 1— асимптота при х->— 1 — 0 и х= 1 —
асимптота при х-+1— 0. График функции f (х) изображен на рисунке 2.
Пример 6. f (х) = х cos .
Функция определена при х#=0. Так как lim (х cos — ) = 0, то вертикальной
х—0\	X/
асимптоты у графика нет. Так как lim ( xcos —)= оо, то горизонтальной асимпто-
*— <ю \	X j
ты также нет.
32
Выясним, есть ли у графика f наклонная асимптота. Так как
k = lim	lim cos— =1, b = lim (/(x) — kx) =
X-*- 00 X	X-*- 00	X	X-K 00
X COS —— X
то прямая y — x — наклонная асимптота графика функции при х-+ оо (рис. 3).
Дополнительные упражнения
1.
5.
9.
Найдите асимптоты графиков функций:
1 о
у =------7’» 2. у
*	(х-2)2	*
х2+1 а
у= ; 6.
i/ = arcsin —; 10.
=-5 ; 3. i/ = '\/x2 —4; 4. у = —*+1 ;
у==^т~'' 7- i/==xarctgx; 8- у=х(2-\
1
и= arccos —.
*	X
Ответы к дополнительным упражнениям
1. х=2, z/ = 0. 2. у = х. 3. у=— х, у — х. 4. у= — 1, у=1. 5. х= —1, х=1,
У= —X, у=х. 6. у = 0. 7. у= — у х— 1, !/=jX— 1. 8. у=2х+ 1.9. у = 0. 10.1/=у •
5. ПРОИЗВОДНАЯ
Вычисление производной по определению. Согласно определению,
значение производной функции / в точке а выражается формулой
(I)
й-^0	п
Положив в формуле (1) h = x — а, получим:
=	(2)
х->- а ли
2 Заказ 134
33
Пример 1. Пользуясь определением производной, вычислить
значение производной функции /(х) = х3 —Зх в точке 1.
Решение. Для вычисления (1) воспользуемся формулой (2):
f' (1) = lim ----------—------ = lim (х^ + х —2) = 0.
Пример 2. Найти /' (2), f' (6), если f (х)= lx2 —6x-f-5|. Дока-
зать, что в точках 5 и 1 функция не имеет производной.
Решение. Так как при 1^х^5 значения функции вычисля-
ются по формуле f (х)= — х2-|--6х — 5, а при х^5 по формуле
/(%) = х2 —6х + 5, то
/' (2)= lim /(x)~Z9(2) = lim (-^.+ 6х~5)~.3 =
х-2 х — 2	х^2	х-2
= — lim ——= — lim (х—4) = 2;
Х->2	Х—2	х->2*
f' (6)= lim	= lim (^-6х+5)-5 = ljm ^6х 6.
х^6	Х~6	Х —* 6	X— 6	Х_6 X — 6
Докажем теперь, что в точке х=5 функция не имеет производ-
ной. Составим «разностное» отношение:
/(х)-/(5)	|^-6x+5|
х —5	х—5
Так как односторонние пределы
lim	llm ^z»£±5 = |lm(;(_1) = 4.
х-.-5 + О X 5	x-^5-|-0 X О	x->5 a
.. f (x)—/(5)	..	x2—6x+5 i- / i\ л
lim L———= — hm ---------r1—= — lim (x—1)= —4
x^5-o -«-5	x->-5 —0 x-5	x^5
..	/(%)-/(5)	,
не равны, то lim------— не существует, т. е. данная функция не
х->-5 Х—
имеет производной в точке х = 5. Аналогично доказывается, что в
точке х= 1 функция также не имеет производной.
Пример 3. Дана функция
flr\_ [ ? при Х<1,
' ' '	( ах+b при х> 1.	i
При каких значениях а и Ь функция f будет дифференцируемой в
точке х= 1?
Решение. Необходимым условием дифференцируемости функ-
ции является ее непрерывность. Функция f будет непрерывна в точ-
ке х=1, если lim f(x)= lim /(х) = /(1), т. е. если a + ^=U
х-И-0	х-^14-0
или b= 1 а.
Для дифференцируемости функции f в точке х=1 требуется су-
ществование предела
НтШ!!!.	(3)
х-> 1 х 1
34
Для существования предела (3) необходимо и достаточно существо-
вание и равенство односторонних пределов
lim /мцо) „ ,.га IM-Im
Имеем:
lim
х+1-0	*-1
lim	=
-^1+0 х~ 1
= lim ——lim (%+ 1) = 2;
х 1 — О х 1 х 1
ax-\-b— 1	.. а(х— 1)
lim —-I—-— = hm——т-2 =
-» 1+о	х 1	х->1 х i
а.
Следовательно, должно выполняться равенство а = 2. Учитывая,
что Ь—1—а, находим Ь —— 1.
Исследование функции на возрастание и убывание. Напомним
условия, обеспечивающие монотонность функции на заданном про-
межутке.
Теорема 1. Для того чтобы функция f возрастала (убывала) на
данном интервале (или на открытом луче, или на числовой пря-
мой), достаточно, чтобы производная f' была положительной (отри-
цательной) в каждой точке этого интервала (открытого луча, пря-
мой). Если при этом функция f непрерывна в каком-либо из концов
промежутка возрастания (убывания) (достаточно даже соответст-
вующей односторонней непрерывности), то этот конец можно при-
соединить к упомянутому промежутку.
Замечание. Подчеркнем, что требование положительности
(отрицательности) производной /' на данном промежутке не явля-
ется необходимым условием возрастания (убывания) функции на
этом промежутке. Так, функция f (х) = х3 возрастает на /?, но про-
изводная этой функции f' (х) = 3х^ не является положительной в
каждой точке числовой прямой (она обращается в нуль при х=0).
Имеет место следующая теорема:
Теорема Г. Если производная f' неотрицательна (непо-
ложительна) в любой точке некоторого промежутка и равна нулю
лишь в конечном числе точек, то функция f возрастает (соответст-
венно убывает) на этом промежутке.
Доказательство теорем 1 и V приводится в учебном пособии.
Для доказательства следующей теоремы нам понадобится вспо-
могательное утверждение.
Лемма. Если функция f возрастает (убывает) на промежутках
(а\ с] и [с; Ь), то f возрастает (убывает) на (а\ Ь).
Доказательство. Пусть a<Zxx<Zx2<Zb. Если хх и х2 при-
надлежат оба одному из промежутков (а; с], [с; Ь), то f (xj</(х2),
так как f возрастает на соответствующем промежутке. Если же
х1€(а; с), х2С(с; Ь), то / (xjc/(с)</(х2). Лемма доказана.
Легко понять, что лемму можно переформулировать и на слу-
чай, когда какая-либо из точек а или b будет принадлежать упомя-
нутым промежуткам, или если а= — оо или Ь=-]-оо.
35
Теорема 2. Функция f возрастает (убывает) на промежутке 1,
если производная этой функции положительна (отрицательна)
всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек,
в которых функция непрерывна (в этих точках производная может
и не существовать).
Доказательство. Пусть для определенности промежуток /
совпадает с некоторым интервалом (а;Ь) и пусть неравенство
/'(%)>0 выполняется в каждой точке интервала (а; Ь), за исключе-
нием точек хь х2, •••» хп- Будем считать, что эти точки занумерованы
в порядке возрастания, т. е. а<х1<х2<...<хл<й. Так как на
каждом из интервалов (a; xj, (х/, х2), ..., (хл; Ь) выполняется условие
(х)>0 и в точках хь х2, ..., хп функция непрерывна, то согласно
теореме 1 функция возрастает на (a; xj, [xf, х2], ..., [хя; Ь). Для за-
вершения доказательства осталось несколько раз последовательно
применить доказанную лемму. В самом деле, так как f возрастает
на (a; xj и [xf, х2], то f возрастает на (а; х2]. Далее точно так же до-
казываем, что f возрастает на (а; х3] (так как f возрастает на (а; х2]
и [х2; х3]) и т. д. Через конечное число шагов получим, что функция
возрастает на (а; Ь). Теорема доказана.
В случае (х)<0 доказательство аналогично.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Исследовать функцию f (х) = х3 — 2x2-h3x— 1 на
монотонность.
Решение. Имеем: (х) = 3х2 — 4x4-3. Так как дискриминант
квадратного трехчлена Злг — 4х-|-3 отрицателен, а старший коэф-
фициент положителен, то Зх2 —4х4-3>>0 для любого x£R. Следо-
вательно, функция f является возрастающей на всей числовой пря-
мой (теорема 1).
Пример 2. (459(1)). Найти промежутки монотонности функ-
ции
f (х) = х3 — Зх2 +3x4-2.
Решение. Находим производную	(х) = 3 (х—I)2. Так как
(х)^0 при всех x£R и /'(х) = 0 лишь при х=1, то согласно тео-
реме 1' функция возрастает на R (возможна ссылка и на
теорему 2).
Пример 3. Исследовать на монотонность функцию
f (х) = х5 — 5 |х— 11.
Решение. Функция f непрерывна на R. Представив функцию
в виде
£ / \ f х54-5х —5 при х<1,
5x4-5 при х>1,
находим:
5(х4+1) при х<1,
'	'	(5(х4— 1) при х>1.
36
Очевидно, f' (х)>0 для всех x£R, за исключением одной точки
х=1 (в этой точке производная не существует), в которой функция
непрерывна. Следовательно, функция возрастает на R (теорема 2).
Пример 4 (459(7)). Найти промежутки монотонности функ-
ции /(х) = (х-1)4(х+2)3.
Решение. Функция дифференцируема на R. f (х)=(х-|-2)2Х
Х(х—1)3(7х+5). Рассмотрим промежутки ( — оо; — jj, [1; -f-оо ).
5
На этих промежутках f' (х)^0 (/'(х) = 0 при х=—2, х=—у,
(51
— °°’ —71
и на [1; + оо).	Г 5	1
Рассмотрим промежуток 1-у; 11. На этом промежутке
5
(х)^0 (/'(х) = 0 при х=—у; х=1). Согласно теореме Г функ-
ция убывает на yJ 1]-
Пример 5. Дано f (х) = х3 — 3 |х|. Найти промежутки монотон-
ности функции f.
Решение. Так как
f f ^ + 3х при х<0,
/	— | х3 —Зх при х>0,
то
3(х2+1) при х<0,
' ' ' (З^х2—1) при х>0,
/' (х) = 0 при х=1, /' (х) не существует при х = 0. Точки 0 и 1 раз-
бивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых
производная сохраняет постоянный знак: f' (х)>0 при х<0 и
х>1, /' (х)<0 при 0<х<1. Учитывая непрерывность функции в
точках 0 и 1, заключаем, что функция возрастает на промежутках
( —оо; 0] и [1; + оо) и убывает на [0; 1] (теорема 1 или 2).
Пример 6. При каких значениях т функция
f (х) = 2х3 —3 (ди+ 2) х2 + 48дих + 6х—3
возрастает на всей числовой прямой?
Решение. Имеем: /' (х) = 6 (х2 — (ди + 2) х + 8т+ 1). Функция
f будет возрастающей на R, если (х)^0 при любом x£R. Так как
f' (х) является квадратным трехчленом с положительным старшим
коэффициентом, то это условие будет выполняться только в случае,
если дискриминант трехчлена неположителен, т. е. если (ди + 2)2 —
— 4 (8ди-|-1)^0. Решив неравенство, находим нужные значения
для т\ 0^ди^28.
Геометрический смысл производной. Решение большинства за-
дач по этой теме основано на прямом использовании уравнения ка-
сательной:
у — f(xQ)=f'(x0)(x— х0).	(1)
37
Необходимо иметь в виду, что угловой коэффициент k касатель-
ной равен, с одной стороны, тангенсу угла а между касательной и
осью абсцисс, а с другой — значению производной функции f в точ-
ке х0:
fc = tga = f'(x0).	(2)
Рассмотрим некоторые задачи на геометрический смысл произ-
водной.
Пример 1. Написать уравнение касательных к графику функ-
ции /(х) = л?— Зх + 2 в точках пересечения этого графика с осью
абсцисс.
Решение. Абсциссы точек касания найдем, решив уравнение
х2 — Зх-р2 = 0. Имеем: Xj = 1, х2 = 2. Воспользовавшись уравнением
(1), находим искомые уравнения касательных: у=1—х и у = х—1.
Пример 2. Какой угол образует с осью абсцисс касательная
к гиперболе f (х) = —”, проведенная в точке с абсциссой х0 = д/б^?
Решение. Находим производную f' (x) = J^. Воспользуемся
формулой (2): tg a = f' (д/б~) = 1, a = -^-.
Пример 3. Найти угол между касательными к графику функ-
ции f (x) = xs-~7x24- 14х — 7, проведенными в точках с абсциссами
1 и 2.
Решение. /' (х) = 3х2— 14х-|- 14. Угловые коэффициенты каса-
тельных равны: ki = f/ (1) = 3, й2 = /'(2) = —2. Искомый угол ф най-
дем по формуле tg ф=	’ ^меем:	откуда ф = -^.
Пример 4. В какой точке касательная к графику функции
^(х) = х2: а) параллельна прямой // = 2x4-5; б) перпендикулярна
этой же прямой?
Решение, а) Прямые параллельны, если их угловые коэффи-
циенты равны. Угловой коэффициент прямой // = 2x4-5 равен
&! = 2, угловой коэффициент касательной &2 = 2х0, где х0— абсцисса
точки касания. Из уравнения 2х0 = 2 находим х0=1. Значит, каса-
тельная должна быть проведена в точке М (1; 1).
б) Воспользуемся тем, что прямые y = klx-}- !>i и y = k2x-^b2 пер-
пендикулярны, если Л1-Л2= — 1. В нашем случае kl=^2f поэтому
,11	о	1	1 о
k2 =	» и из уравнения 2х0= —находим х0 = — —. Зна-
X	v /	1	1 \
чит, касательная должна быть проведена в точке АН— — ; —
Пример 5. Найти уравнение параболы y = ax2-f- bx + 1, каса-
ющейся прямой z/ = 7x-j-2 в точке М (1; 5).
Решение. По условию задачи точка М (1; 5) лежит на парабо-
ле y==ax2 + bx-j-1, следовательно, а4-&4-1=5. Кроме того, из
условия задачи следует, что у' (1) = 7. Так как у' (x) = 2ax-j-^, то
получаем 2а-\-Ь = 7. Решив систему
38
( a + b+l=5,
I 2a + Z> = 7,
находим a = 3, b=l. Уравнение параболы: z/ = 3x2-|-x+1.
Пример 6. Является ли прямая // —х—1 касательной к кри-
вой z/ = x3 — 2x4- 1?
Решение. Решив уравнение х3 — 2x4- 1 = х— 1, находим общие
точки прямой и кривой: М{ (1; 0) и Л42(—2; — 3). Производная
функции z/ = x3 —2x4-1 равна //' = Зх3 —2 и ее значения в точках
пересечения равны у' (1) = 1, у' (—2) — 10. Но угловой коэффициент
прямой у — х—1 равен 1. Следовательно, данная прямая является
касательной к кривой // = х3 — 2x4-1 в точке Mj (1; 0).
Дополнительные упражнения
1.	Докажите, что следующие функции недифференцируемы в
указанных точках:
a)	z/ = x4“ Iх —2|, х0==2;
б)	г/= lx3 — х|, Xi = 0,	х2=1,	х3= — 1;
\	_ I	ПРИ
в'	^~(х4-2	при	х>0,	хо =	О;
\	 f х	ПРИ	1»
г)	3 —х при х>1, х0=1;
д)	у=\х4, хо=О;
е)	у — У/х4-2х2-\- 1, Xj = 1, х2= —-1.
2.	Исследуйте на
a) z/ = 3x2 —вх3;
монотонность функции:
б) z/= х3 — бх24” 15х—1;
г) z/ = Vx2~“4x —5;
данные функции являются монотонными на
\	*2+ 1
3.	Докажите, что
всей числовой прямой. Укажите, какие из них являются возрастаю-
щими, какие — убывающими:
а)	у = —• х3 4“ Эх2 — ЗОх — 2;
б)	z/ = x5 —5х34“20х —3;
в)	z/ = 3|x— 11 —х3;
г)	// = 2х9-Зх64-6х3-9х24-18х-3.
4.	Покажите, что любая касательная к кривой у = х54-Юх —3
составляет с осью Ох острый угол.
5.	На кривой у =—1~2 найдите точку, в которой касательная
14*- л
параллельна оси абсцисс.
6.	В каких точках линии y — x3-j-x — 7 касательная к ней парал-
лельна прямой у = 4х — 2?
39
7.	На параболе z/ = x2 взяты две точки с абсциссами х} = 1,
х2 = 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы
касательная будет параллельна проведенной прямой?
8.	При каком значении а касательная к параболе z/ = ax2-h
+ *—3 в точке М(Г, а —2) параллельна прямой 3// —6х=1?
9.	Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (1; 3),
касающейся графика функции у = 8 л/х—7 и пересекающей в двух
различных точках график функции z/ = x24-4x—1.
10.	Является ли прямая у = 2х—1 касательной к графику
функции #=д/4х —3 ?
11.	Исследуйте функции и постройте их графики:
а) У = (х+1)2(х—2);	б) у = х(х— 1)(х2— 1);
в) «/ = (х+1)2(3 —х);	г) у = (х—2)2(х+1)2;
д) z/ = x3(x2 — 1)(х-Ь 1);	е) //^(х2 — I)2;
ж) z/ = (x2—I)3;	з) i/ = (x+l)2(2 —х)3;
u \ 11			к)		1+х+х2 .	л) у--	2х24-х+ 1
*4 У	х2 —4 *		У~	1+х2 ’		1+х2	’
м) у =	£+2	н)		х2+5 .		_ х2 —5
			У =	х-2 ’	О) У =	х—2 ’
п) У =	з?+2х—2 . х— 1	’	р)	У =	х4—1 х2 —4 ’	С) у =	=1±^. х2 —4 ’
т) у =	х2-! х(4 —х2) ’	у)	У =	1-х2 . х2 —4 ’	Ф) У	_(х-1)(х2-1) х (4 —х2)
Ответы к дополнительным упражнениям
2. а) Убывает на ( — оо; 0] и на + оо^, возрастает на £(); -^-j ; б) возраста-
ет на в) убывает на [0; 1], возрастает на [1; + оо); г) возрастает на [5; + оо), убы-
вает на ( — оо; — 1]; д) возрастает на ( — оо; — 1) и на ( — 1; 0), убывает на [0; 1) и на
(1; -|-оо); е) возрастает на
убывает на ( —
3. а) Убывает; б) возрастает; в) убывает; г) возрастает. 5. (0; 1). 6. (1; —5),
(—1; —9). 7. (2; 4). 8. 0,5. 9. z/ = 2x-|-l. 10. Является.
6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Существует ряд приемов и способов решения тригонометриче-
ских уравнений (неравенств), предусмотреть которые общей тео-
рией не представляется возможным. Назовем некоторые из них: ме-
тод замены переменной, разложение на множители, введение вспо-
могательного аргумента, применение рационализирующих подста-
новок, преобразование произведения тригонометрических функций
в сумму и наоборот, использование свойств симметрических много-
членов, применение оценок и неравенств, использование свойств
элементарных функций и т. д.
40
Рассмотрим на примерах некоторые приемы решения тригоно-
метрических уравнений и неравенств.
Пример 1. Решить уравнение:
a)	sinxcosx=j; б) sin (л cos 4х)= 1; в) cos (Д/4— |х|) =0.
Решение, a) sin2x = 0,5, 2х = ( — 1)*-^- + л&,
х=(-1)*й+4’*€Z-
б)	Имеем: л cos 4х=т. е. cos 4x=-^-|-2fc, k£Z. Но
|cos4x|<Zl, поэтому k = 0. Имеем cos4x=0,5, его решением явля-
ется х= ±-^+-2 ’ n^Z-
в)	Имеем: Д/4—1*1 =у+2л/г, k£Z. Так как О^.у/4— |х| ^2,
то k = 0. Таким образом, получаем уравнение Д/4— |х| =у, его ре-
_иЛ
шением является х=±(4——).
Пример 2. Решить уравнение 4 sin3 x+cos2 х-|-3 sin х=2,75.
Найти все решения уравнения, удовлетворяющие условию:
a) cosx<0; б) *б[-|;	; в) х^[—.
Решение. Так как cos2 х= 1 — sin2 х, то уравнение может быть
переписано в виде:
16 sin3 х —4 sin2 х-|- 12 sin х — 7 = 0.
Решив его как уравнение третьей степени относительно sin х, полу-
чим: sinx=0,5,
х = ( —1)*-^--|-л&, k£Z, или
Из полученной совокупности хорошо видно, что условию
5л
а) удовлетворяют числа х= — -|-2лп, n£Z, условию б) только
ЧИСЛО Х = —, а условию в) число х = —
Ответ. (—1)ллп, n€Z; а)	+ 2 л и, n£Z; б) ; в) —	.
Пример 3. Решить уравнение:
а)	2 sin 2х—д/3~ + 2 д/3~ sin х = 2 cos х;
б)	sin 2х tg x=sin 2х.
Решение, а) Так как sin 2х=2 sin х cos х, то перепишем дан-
ное уравнение в виде:
4 sin х cos х — 2 cos х+2 д/3~ sin х —д/У = 0
х=-^ + 2лп,
о
х=-^-4-2л/г, ngZ.
О
41
и разложим его левую часть на множители. Имеем:
2 cos х(2 sin х— 1 )-|-д/3~(2 sin х— 1 ) = 0,
(2 sin х— 1) (2 cos х + д/з”) = 0,
sin х=0,5,
д/з"
COS х = —— •
Ответ. (-V)k^ + nk, k£Z-, ±^- + 2nk, k£Z.
б) Имеем: sin 2x(tg x — l) = 0^>
(sin 2x = 0,
( cos x=/=0, -4Ф»
tgx=l;
X = Л&,
х=-^--|-л&, k£Z.
Ответ. nk, -^ + лй, k£Z.
Пример 4. Решить уравнение:
a)	3 sin 2x-|-cos 2x —4 cos5 x= Г,
б)	| sin x — 2 cos x| =sin x;
в)	2 cos 3x=3 sin x-pcos x.
Решение. Все три уравнения являются примерами уравне-
ний, приводящихся к однородным.
а) Так как sin 2х = 2 sin х cos х, cos 2x=cos2 х — sin2 х, то пере-
пишем данное уравнение в виде
6 sin х cos x+cos2 х — sin2 x —4 cos2 x=sin2 x + cos2 x,
или
sin2 x —3 sin x cos x-f-2 cos2 x = 0.
Легко видеть, что числа	n£Z, не являются решениями
данного уравнения. Следовательно, разделив все его члены на
cos2x=/=0, получим уравнение, равносильное данному:
lg’x-3 tgx+2=0^[;|J-'^
Ответ. -^- + л£, arctg2 +k£Z.
х=у +лй,
x=arctg 2-|-л&.
б) |sin х — 2 cos х| =sin хо
sin х^О,
sin х —2 cos x=sin х, о
sin x — 2 cos x= —sin x
sin x^O,
cos x = 0,
sin x = cos x
x = -^- + 2ли,
х = -£-4-2ли,
Ответ. у-|-2лп, “- + 2ли, n£Z.
42
в) Так как cos Зх=4 cos3 х—3 cos х, то уравнение можно пере-
писать в виде:
8 cos3 х —6 cos х = 3 sin x-j-cos х,
или
8 cos3 х = 3 sin х + 7 cos х,
8 cos3 х = (3 sin х + 7 cos х) (sin2 x+cos2 х).
Так как числа -^ + лп, не являются корнями данного урав-
нения, то разделим все его члены на cos3x, получим уравнение,
равносильное данному:
8 = (3 tg х + 7) (tg2 х+ 1).
Раскрыв скобки, придем к уравнению
3 tg3 х+7 tg2 х + 3 tg х- 1 =0,
решив которое получим:
tgx= —1,
-2±Д/7’
[tgr=------JL-.
Ответ. — “ + л&, arctg	k£Z.
Рассмотрим уравнения, при решении которых можно применять
метод введения вспомогательного аргумента. К таким уравнениям
относятся уравнения, линейные относительно sin х и cos х:
a sin x-\-b cos х—с (а2 + &2=/=0).
Данное уравнение после деления всех его членов на уа2 + &2
приводится к виду: sin (х+ф) = ^==^==, где ф— вспомогательный
угол такой, что sin ф — . т - - , cos ф= . Уравнение имеет
решение тогда и только тогда, когда |с| ^\]а2 + Ь2.
Пример 5. Решить уравнение 4 sin х + 5 cos х = 6.
Решение. Так как Д/42 + 52 = д/?Г, то данное уравнение рав-
носильно уравнению
4	.	, 5	6
—= Sin х + —7= COS X ——7= .
Д/41	V41	Д/41
Так как ^=у + ^=у==1, то существует такой угол ф, что
4	5 Л 5\
СО5Ф = -у=, Sin<₽=V4r Vg(P=4>
43
IT	•	.	.	6
Имеем: sin x cos ®4-cos x sin ф=—==
Л/41
sin (x+<p)=^= (<p = arcsin .
Так как
Д—|< 1, то окончательно получаем:
V41 |
х= —arcsin ——1? arcsin—^4-л£, k£Z.
д/ТГ	д/ТГ
Отметим, что уравнения вида a sin x+b cos х — с можно решать
также и с помощью универсальной подстановки.
Пример 6. Решить уравнение:
a)	sin5x=sin3x; б) cos х2 + 2 sin2 х= 1; в) tg5x = tg3x.
Воспользуемся условиями равенства одноименных тригономет-
рических функций:
. о Г а — В = 2ли,
sin a = sin ро . £	. ’
L а + ₽ = л + 2ли, n£Z.
cos a = cos p о a ± p = 2nn, n£Z.
a — р = шг,
ау=у+л/г, k£Z,
Р=/=у-|-шп, m£Z-
Решение.
a) sin 5x = sin
= 2nn,
= л-р2ли
x = m,
JT . ЛЛ
X==8+T-
f-v	JT । JTZl	—•
Ответ, л/г,	n£L.
б)	Имеем: cos # = 1 — 2 sin2 xocos x2 = cos 2xo
Гх2 —2x —2лп = 0,	Гх=1±Л/1+2шг',
[x2 + 2x — 2шг = 0	[x= — 1 ±УГ+2шГ (n = 0, 1, 2, ...).
Ответ. ± 1 ±V1 +2шг (« = 0, 1, 2, ...).
2х = шг,
cos 3x=/=0 оx—nk, k^Z,
cos 5x=/=0.
Ответ. Ttk, k£Z.
Пример 7. Решить уравнение
2 cos2 x —3 cos x+sin x+ 1 =0.
Решение. Данное уравнение может быть сведено к алгебраи-
ческому уравнению относительно tg^ с помощью формул
в) tg 5x= tg 3xo
44
о , х	, . 2 X
2tg-2	l-‘g J
sin x =-----, cos x =-------,
i+tg2!
верных для всех x=/= л + 2лл. Отметим, что замена sin х и cos х вы-
ражениями, содержащими tg ~, может привести к потере корней
вида х = л-|“2лп, n£Z. Удовлетворяют ли эти значения х исходно-
му уравнению, выясняется проверкой.
Выполнив в данном уравнении подстановку tg-^ = f, которую
называют универсальной, получим уравнение
з/4+/3-/2+/=о.
Оно имеет корни ^ = 0, /2= —1. Возвращаясь к переменной х, по-
лучим совокупность уравнений tg-| = O, tg-^-= — 1, откуда х = 2л&,
х= — у + 2л/г, k£Z. Осталось проверить, не удовлетворяют ли ис-
ходному уравнению числа х = л-|-2лп, n£Z. Имеем:
2 cos2 (л-|-2шг) —3 cos (^ + 2nn) + sin (л-|-2лп)-|- 1 =/=0.
Ответ. 2л&, —-^ + 2лй, k£Z.
Пример 8. Решить уравнение 8 cos4 x-hcos 2х-|-4 sin2 2х = 3.
Решение. При решении таких уравнений удобно использовать
формулы понижения степени
. 9	1—cos 2а 9	14-cos 2а
sin а—---------, cos а =-------.
Обозначив cos2x = /, используя формулу sin2a=l—cos2 а, полу-
чим уравнение
8(-Ц1)2-Н + 4(1-/2)=3.
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых полу-
чим уравнение 2/2 —5/ —3 = 0. Учитывая, что UICL находим
— тг, т. е. cos2x=—4-, х=±4 + я;п» n£Z.
2	2	о
Ответ.
Пример 9. Решить уравнение cos x-|-sin-^ = 2.
Решение. Так как функции cos х и sin — имеют наибольшее
значение, равное 1, то сумма их равна 2, если cosx=l и sin j=l
одновременно, т. е.
cos х= 1,
< . х	Г х = 2л&,	х = 2л4~8лт, tn^Z.
sin—= 1	|х = 2л-|-8лп
Ответ. 2л + 8лди, m£Z.
45
Пример 10. Решить неравенство --------^2cosx4-l.
COS X
Решение. Обозначив cosx=/, получим неравенство
Решив его методом интервалов, получим: /^ — 1, 0<7^-^.
Возвращаясь к переменной х, имеем:
cos х< — 1, [cos х= — 1,
Л 1 1
OCcosx^— 0<cosx^—
х = л 4~2ли,
—4 + 2лп<х< —4 + 2лл,
м
-^- + 2ли^х<-^--|-2лп, n£Z.
О	Л
Дополнительные упражнения
1. Решите уравнения:
a) sin (л cos х) = 0;
д/2-
в) cos (tg Х)=^~;
д) (х2 —2) |sin х| =sin х;
ж) |4 —х2! sin х=х2 —4;
и) |cosx| cos x-|-sin2 х=0,5;
„.	2 / 2л	\ 1
б) cos2 cos х)=7;
\ о	/	*
г) ctg (sin х) = у[3 ;
е) (х2-]-^) cos х=3х |cos х|;
з) sin 4х ctg х = 0;
к) | sin х| cos х=0,5.
2. Найдите все решения уравнения (cos (лх2)) cos (л (х2^-1)) =
= — 1, удовлетворяющие неравенству 4Х2 —8х4“3<0.
3. Решите уравнения сведением к алгебраическому относи-
тельно какой-либо тригонометрической функции:
а)	10 sin2 х—д/3~ cos х= 1;
б)	tg2 х — 2 tg х-рб ctg х = 3;
в)	1 4-2 cos2 х-|-2 д/2~ sin x-hcos 2х = 0;
г)	sin Зх—10 cos2 х —5 sin х4-6 = 0.
4.	Найдите все решения уравнений, удовлетворяющие ука-
занным условиям:
а)	д/3 sin х —2 cos2 х— 1, |х —у л;
б)	1 — 5 |cos х| 4-2 sin2 х=0, sinx<0;
в)	cos х4~(1 4-cos х) tg2 х= 1, tgx^O;
г)	2 cos2 х4-3 sin х=0,	<0;
jr —7х+12
д)	2sin2 х4-5 cos х4-1 =0,
1) sinx<0; 2) х£[л; 2л]; 3) х£[ — л; 0];
е)	24“ 6 sin х cos x=cos 4х,
46
1) cosx<0, 2) xg[y; 3) x2-3x + 2<0;
X X 2 lsin *1 n л Л™ 3л\
*’ tgX—cosT~2==0’
з) 2 cos 3x—cos x = Д/cos X, XH — —y
5.	Решите уравнения способом разложения на множители:
а) 1+sin 2х = 2 sin x + cos х;
б)	4 sin 2х sin х —2 cos х-|-4 sin2 х—1 =0;
в)	(2 sin х— 1)(2 sin 2x4- 1) = 3 — 4 cos2 х;
г)	(1 — ctg х) sin2 x = cos х — sin x;
д)	д/з" ctg x sin 3x=sin 3x;
e)	tg 3x sin 4x = sin 4x.
6.	Решите уравнения сведением к однородным:
a)	lsin х| = cos х; б) |sin х| = |cos х|; в) д/У |sin х| = — cos х;
г)	|3 sin x-pcos х| = — 2 cos х; д) 2 sin х |cos х| =cos 2х;
е)	3 cos2 х = 2 sin 2х; ж) 5 sin2 х—1 =3 sin х cos х;
з)	sin х sin 2х-|-2 cos х cos 2х-|- 10 cos3 x-j-4 sin3 x = 2 sin x.
7.	Решите уравнения с помощью введения вспомогательного
аргумента:
a)	sin 2x+cos 2х=д/2";	б)	sin Зх+2 д/2" cos Зх = 2;
в)	6 sin xcos х —4 cos 2х = 5;	г)	2 cos +1	2 Д/3	sin х.
8.	Докажите, что уравнения не имеют решений:
а)	5 sin х —7 cos х = 9;	б)	sin x4-cos х = д/$Г tg
в)	sin 3x-(-sin lOxcos Зх = ^-;	г)	yja— 1 sin х-(-а cos х = 2а.
9.	Найдите все значения параметра а, при которых уравне-
ния имеют решения:
а) 5 sin х + 24 cos2 — = а; б) 3 sin х cos х —4 sin2 х = а;
в) a sin 2x4-2 cos2 х = 2а.
10.	Решите уравнения, используя условия равенства одно-
именных тригонометрических функций:
а)	3 sin х — 4 sin3 x=sin 5х; б) cos 6х= 1 — 2 sin2 х;
в)	cosx=sin5x;	г) 2 — д/У cos 2x4- sin 2х=4 cos2 Зх;
д)	tggcosx) = ctg(nsinx); е) 2 sin2 (у cos2 х)= 1 — cos (л sin 2х).
11.	Решите уравнение, применив универсальную подстановку:
а) 10 cos 2x4-8 = tg х; б) 3 sin 2x4-cos 2х = 24-tg х;
в)	2 sin2 x4-cps х—3 sin х4~ 1 =0;
47
г)	6 cos %+ 12 sin x + 25 sin x cos x 4-6 = 0.
12.	Решите уравнения, используя формулы преобразования сум-
мы тригонометрических функций в произведение и произве-
дения в сумму:
a)	sin x-|-sin Зх=4 cos2 х;
б)	cos х — cos 5х = 2 sin2 Зх;
в)	cos 5x-|-cos 3x = cos 9x-|-cos 7x;
г)	sin 5x—sin 3x=sin 9x—sin 7x;
д)	sin x + 2 sin lOx cos 3x = 0;
e)	sin x sin 2x— sin 3x sin 4x = cos 5x cos 2x;
ж)	cos 2x cos 5x4-sin 4x sin 3x = cos 3x cos 2x;
з)	sin 4x sin 6x4- sin x cos 3x= sin x sin 3x4- sin 4x cos 6x;
и)	cos x —4 sin x cos2 x—cos 3x=sin 2x—cos 2x— 1;
к)	1 — 3 cos 2x+sin 2x = 4 sin x—2 cos x.
13.	Решите уравнения, используя формулы понижения степени:
а) 1 — cos 4x4-2 cos2 х = 0;
б)	cos 4x4-2 sin4 х=0;
в)	sin2 x-h cos2 2х— sin Зх cos х = 1;
г)	1+8 sin2 2х cos 2х = 4 sin2 Зх;
д)	cos 4х=4 sin2 х + 8 cos4 х —4;
е)	2 sin6 х-рб cos6 x-j-cos 4х = 0;
ж)	5 sin4 2х—4 sin2 2х cos2 2х —cos4 2x4-4 cos 4х = 0.
14.	Решите уравнения, используя подстановки sinx+cosx=/,
sin х — cosx = /, tgx + ctgx = / и др.:
a) sin 2х = 2 (1-|-sin x-hcos х); б) 2 cos х—sin 2х = 2 + 2 sin х;
в) sin 2x4-3 "\/2~(sin х—cos х) = 5; г) sin 2х—4 sin х=44-4 cos х;
д)	tg2x + ctg2x—3(tgx+ctgx)H-4 = 0;
е)	2(tgx—ctgx)=V3 (tg2 x+ctg2x) —2 Д/З ;
ж)	4 tg2 x-|-ctg2 x+6 tg x—3ctgx — 8 — 0;
з)	| sin x4-cos x| = 1 4-2 sin 2x; и) |cos x—sin x| = 1 — 2 sin 2x;
к) |sin x4-cos x| = 1 4-sin 2x; л) 2 sin 2x-\~y/2 sin ^x —^ = 1.
15.	Решите уравнения:
a) tg x4-ctg x=3 — sin 2x;	6) 2 (sin 2x — cos 2x) = tg x4-ctg x;
B)|—-------;| = 3 + 72''	r) ltgx-ctgxl=-4-—4;
д) 5 cos 2x=—4 (sin4 x4-cos4 x); e) sin4 x4-cos4 x = 0,75 sin 4x.
16.	Решите уравнения, используя ограниченность синуса и
косинуса:
a) sin у —cos 6х = 2;	б) sin -^4-cos х — 2;
48
в) sin 2x-|-sin (x-|-jj = 2;
д) sin (*4-y) sin 3x= 1;
ж) |sin x| =cos 2x— 1;
и) Д/cos x-\-y/3 sin x —2 —
к) ^sin-^+cos-^—д/2" +'
г) sin 3x4-cos 2x=—2;
e) sin 2x sin (x+y)= 1;
з) |cos x| =sin Зх— 1;
x д/з\
2 — 2 ’
^=-1
3
17.	Решите уравнения:
a)	ctgx |sinx|=0,5;	6) —— — =2cosx+1;
sin x
в)	2sin2x+sinx2=l;	r) 2 cos2 x—cos x2= 1;
д)	cos(-ycosx) = cos(-y-cosx); e) sin nx2 = sin л (x24-2x);
«)	—ctg3x=2sin(2x+f);
з)	12 ctg 2x—4 ctg3 2x-|-tg2 x-|-ctg2 x= 14;
X Ч л 9	r> /х.я\./3хл\.
и)	cos x — 3 cos x-|-cos x—2 cos (2 + 4J s,n (“2—Tj*
к)	1 4-8 sin 2xcos2 2x=4 sin2 (Зх-|--^;
л)	tg Зх cos x-|-sin x-|-V2~ sin 4x=0;
m)	sin 3x—3 = cos 4x-|-5 cos 2x;
h)	sin 5x4-sin 3x=4 sin 2x;
a)
o)	tg x4-ctg x = 2 sin (x4-4j-
18.	Решите уравнения:
3 cos X ,	sin 2x Л .
—------= 1; 6) ----------= — 2 sin x;
1 + sin x	1 4*-cos x
14- sin 2x
sin 4x
-------------= cos x;
4 sin x —sin 3x
= 1;
x sin3x4-sinx . ~ ftt
Д) —;-----;— = sin2x+Д/3 cos 2x;
|cos x|
a • /	1 яX 14"cos 2x
e) 4 y2 sin(x+—) = —--------;
X 4/	1-sin x
cos x ctg x
r.\ -\lcT / x	3x\	(1 4-cos 2x) tg x
3) y2 (cos- —cos—)=—-------i-A-.
\ z	z /	cos x
19. Найдите все решения уравнений, принадлежащие указан-
ным промежуткам:
49
1 — tg2 x
a)	—  ;-----1 4-cos x=2 cos 2x; x(4n; 2nl;
l + tg*x
6)	1 4-cos 4x4---= 2sin2x; x(40; я].
l + tg2x
20.	Решите уравнения:
a) 2 sin 6x=tg2x—2 sin 2x;
6)	2 sin2 (x—j) = 2 sin2 x — tg x;
в) ctg x+sin 2x=ctg3x;
r) sin 4x (2-|-sin 14x) = 2 ctg 3x cos 4x;
д) cos 3x-|-cos x
ctg(x+|)ctg(x + ^-) = 0;
e) 2 (cos4 x4-sin xsin 2x4-sin4 x)=cos x—sin2 2x-|-4 cos 2x;
ж) 4 sin (j+2x) + 2 cos2^-|-20 cos — x) 4-7 = cos x;
з)	2 sin2 x-|-2 tg2 x—4 tg х4-2д/2” sin x 4-3 = 0;
и)	2 (cos Зх+sin x sin 2x)=4 cos3 x-|-3 tg x;
к)	cos 2x-|-4 sin x sin2 2x-|-2 sin xcos 4x=0.
21.	Решите уравнения:
a)	sin x cos6 x—sin6 x cos x = sin 2x;
6)	sin3 x cos7 x—cos3 x sin7 x=cos 2x;
в)	3 sin 4x—8sin22x=l;
r) cos x4-cos2 x-|-sin3 x=0;
д)	2 sin2 x=ctg2 ---------2 ctg ctg x;
e)	2 (sin 3x—sin 2x cos x) = 3 ctg x—4 sin3 x;
ж)	cos x(l 4-cos x) — 1 =-------sin x(l 4-sin x);
1 — sin 2x
4 sin 2x	nr
3)		= V2’»
cos 2x — cos x
. sin 2x — cos x .
и)	= 1;
sin x— cos 2x
4 sin2 cos % + cos 4% + Д/з" sin 3x
K) -----------------------------= 1.
2 cos x— 1
22.	Решите уравнения:
a)	cos х+Д/1 —sin 2x =0; 6) sin х=д/1 -|-sin 2x;
v Д/2 —2 cos 2x л	t ч Д/24-2 cos 2x o	,
в)	—---------==2cosx— 1; r) ——:-------------= 2sinx—1;
sin x	cos x
д)	sin 2x —2 д/У cos2 x = 2 Д/2 + 2 cos 2x»
e)	д/З^ sin 2x-|-2 sin2 x= — 2 Д/2 —2 cos 2x ;
ж)	д/tg2 X4-16 ctg2 x—8 = tg x—2 ctg x.
50
23.	Найдите все решения уравнения
Д/1 + sin 2х — д/У cos Зх = О,
принадлежащие отрезку р; —j.
24.	Найдите все х, удовлетворяющие условию ~< |3х — 2л | ^л
и являющиеся решениями уравнения
sin x-j-cos х —cos 2x = cos Зх—sin 2x— 1.
25.	Найдите все значения параметра а, при которых уравнение:
а) 2 cos2 х + (2«+ 1) sin х — а — 2 = 0 имеет на отрезке [0; л] ровно
три корня;
б) 2 cos2 Зх + (4а2 —7) cos Зх-|-2а2 —4 = 0	имеет на отрезке
[ял!	„
—у ровно пять корней.
26.	Найдите все действительные значения параметра а, при
которых уравнения имеют решения. Найдите эти решения:
a)	sin2 х—3 sin x-|-a = 0;
б)	cos4 х —(а+1) cos2 х —(а + 2) = 0;
в)	a sin х+2Уа+1 cos x = 2a-j- 1;
г)	sin 2х—(а+ 2) (sin x+cos х)Н-2а+ 1 =0;
д)	sin4 х + cos4 х = а;
. a2	sin2x + a2 —2
.
1—tg2x cos 2х
27.	Решите неравенства:
a) sin х cos х>-г;
в) sin (2л cos х)<0;
д) sin2 х^0,5;
ж) 2 sin2 x—sin х<0;
и) sin 2x>cos 2х;
л) tg2 Зх> 1;
28. Решите неравенства:
а) 11 sin x-|-cos 2x^6;
в) 2 cos2 х — 7 sin х>5;
д) л/з (tg x + ctg х)>4;
ж) 2 cos4 х0,5-j-cos 2х;
и) 4 sin х-]—— <8;
sin х
б) Д/Уcos x—sin х>л/2 ;
г) cos (0,5л sin х)> —;
е) |cos х| <0,5 д/У;
з) 2 cos2 х+д/з cos х^0;
к) д/У sin x-j-cos х<0;
м) |tg (2х—£)|<Уз.
б) cos 2х< 2 + УЗ cos х;
г) 2 (sin2 х+1)<7 cos х;
е) 2 tg 2x^3 tg х;
з) 2 cos 2х—5<4 УГ sin х;
к) 4 cos х-— >8;
COS X
л) sin 2х — 6 sin х+Уз cos х<У27.
51
29.	Решите неравенства на указанных промежутках:
a) д/F (sin 2х —cos х) + 2 sin х> 1, х£[0; л];
б) "\/2~(sin 2x + sin х) —2 cos х< 1, х£[0; л];
в)	sin x<sin 2xcos х, xf —у;
г)	sin 2х sin x>cos х, х£ —у;
30.	Решите неравенства:
Зя
4
Зл
~4~
a)	cos x+cos 2x+cos 3x<0;
б)	cos x+cos 3x>cos 2x + cos 4x;
в)	cos x cos 3x< cos 5x cos 7x;
r) 2 cos 2x+ sin 2x< ctg x;
д) 5 sin2 x+sin2 2x>4 cos 2x;
e) 2 cos3 x4-cos x—3sin2x+3<0;
1 4- sin —— уЗ cos —
Ж) ---------------?-->0.
44-4 sin *4-2 cos %4-sin 2x
31.	Найдите область определения функций:
а)	г/ = д/2 sin х— 1 + ^7 х—# \
б)	у — Д/1 — 2 cos х +д/10х —х2;
в)	У = ^~!--+V6X-X2;
2 sin х — 1
г)	у=—!----Д/9х—х2 — 14;
sin х
д)	y=V2sinx—д/З +	1
убх— х2 — 8
Ответы к дополнительным упражнениям
1.	а) г) ( — 1)л arcsin-^-4-лл; д) —1; д/з~; лл, n£Z\ ж) —у! ±2; у4"2лл,
. л , лп л ,	.	. 2л . о	о	. ч л 2л . 7л . Зл
з) -4—у, ^ + лл*; и) ±—4-2лм. 2. 1; \2. 4. а) — ; —; г) —; ж) —;
. 5. д) ±у4-лл. 6. г) -^-4-2л/г; arctg у 4-л (2л 4-1); з) —агс!§24-лл.
8. в) У к а з а н и е: |sin3x4-sin 10х cos Зх|	Д/1 4~sin2 10х	. 9. б) — 4,5^а^0,5.
10. д) 2 arccos —J=r4-ли; е) ~-4-лл, ±arcsin -Д=^4"лл. 11. в) -^-4-2лл, л4-2лл.
дДГ	2	д/5^	2
1 о \ л I ЛИ л лл _ л .	. л лл _ Зл . п
13. ж) -д-4—Т-; ±т-4--п-. 15. в) -4-ля; г) ± —4-—. 16. а) — 4-6лл;
о 4	О z	Z	о 2	2
б) 2л + 8яп; д) -^ + лп; ж) -~ + 2лп; и) -^- + 4лд; к) ^.-|-12л/1. 17. д)
ztj+лп; м) ±y + nn, у + 2лл; н) ; о) у + 2лп. 18. г) (2« +1);
* Здесь и далее n£Z.
52
\	л	i	1 । л	i л	\	5jt	.	я	Зя	.	ли Я	।	\	я ।
e)	— 2 arctg	— 4-2ял.	19.	a)	—;	6)	—;	—.	20.	a)	—, ±—	4-лл;	6)	—+
о	о	4	4	zb	4
। ЯЛ	Я ।	\ Я । ЯЛ Я ЯЛ Я . ЯЛ . Я	. .	мд4-| я I
+-Г; в)	-+ШГ,	г) -+—;	д) -+—, т+—; е)	±-+ЯЯ;	и) (-»)«+*-+
-|-ял; к)	( — l)rt + 1	arcsin—^--|-ял.	21.	г) я + 2ял,	—zbarccos	-—^^--|-2ял;
2	4	д/2
д) ~2 +ял; е) ±у + 2ял; з) (— 1)я+1 i+ял, 2 arctg д/2”+2ял; и) 2ял, —у +
+ 2ял; к) ял, ±—+ 2ял. 22. д) -^- + ял; е) ял; ж) -^-4-ял. 23.	; JlZL.
о	z	3	16	8
25. а) а=1; б) а=±д/2~. 26. а) — 4^а<2, х = ( — 1)" arcsin ——-^--|-ял;
б)	— 2^а^ —1, х= ±arccos \^4~2 +ял; в) — l^a^l, x=arcsin—-—±
а 4-2
=Ьагссоз-^~^- + 2ял; г) |а|<д/Г, x = -^±arccos -^ + 2ял; д) 0,5<а<1,
л-|-2	4	Л/2
*= ±--arccos (4а —3)4--^-; е) |а|>1, \а\=£У/3, x=±arcsinA/—4-ял.
4	2	у 14-а2
28. ж) х=4+-у-; 3) х^(-1Г + '1+лп. 29. a) £<х<^,
4	&	о	Ь 4	6
_ я 2я Зя _л . я .	Зя . Зя .	_
б) 0<х<—;	-<х<——. 30. ж) — 4-4ял<х<——|-4ял, ——|-4ял<х<Зя-р4ял.
4	14	1	х	х
31' ' fr Ф > [°;	¥)»(% Ф т!
Lb ь j l о J L о/ \ь b/\b j \ 3J
7. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ
Вычисление площадей плоских фигур основано на геометри-
ческом смысле определенного интеграла.
Если функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке [а; Ь\
ь
то определенный интеграл ^f(x)dx численно равен площади со-
а
ответствующей криволинейной трапеции (рис. 4):
ь
S = \f(x)dx.	(1)
а
Следующая теорема часто используется при решении задач.
53
Если фигура ограничена графиками непрерывных на отрезке
[а, Ь] функций Л (х) и f2(x) и прямыми х—а, х=Ь, причем для
всех х£[а; Ь] выполняется неравенство /2(х)>Д(х), т0 площадь
фигуры может быть вычислена по формуле
ь
S^fAxj-fAxVdx.	(2)
а
Доказательство формулы (2) в случае, когда функции (х) и /2(х)
неотрицательны на отрезке [а; Ь], приводится в учебном пособии.
Приводим доказательство формулы (2) в общем случае. Пусть
наименьшее значение непрерывной на отрезке [а; Ь] функции (х)
равно /1(х0)=—дп<0	(рис. 5). Рассмотрим фигуру, огра-
ниченную графиками функций y = fx (х)-|-дп, y = f2(x)-\-m и прямы-
ми х = а, х = 6, т. е. фигуру, получающуюся из данной параллель-
ным переносом вдоль оси Оу. Так как /2(х)-|-дп>/1 (х) + ап>0, то
ь	ь
s = J ((f2 (x) + m) — (ft (х)+т)) dx=\(f2 (x)—ft (х)) dx.
а	а
Очевидно, такую же площадь имеет и данная фигура. Формула
(2) доказана.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями у = х? — 9 и у = — х2-|-4х — 3 (рис. 6).
Решение. Находим абсциссы точек пересечения графиков
функций /1(х) = х2 —9 и /2(х)= — х2 + 4х — 3. Равенство х2 —9 =
= — x2-f-4x — 3 справедливо при х= — 1, х = 3. Так как при
— 1 ^х^З разность значений функций /2(х) — Д (х)= —2 (x-h 1)Х
Х(х —3)^0, то, применяя формулу (2), находим:
3	3
s= $ ((-x2 + 4x-3)-(x2-9))dx=-2 J(-x24-2x4-3)tZx=21|.
-1	-1
Отметим, что если в формуле (2) положить Д(х) = 0, /2(х) =
= /(х)>0, то получим уже знакомую формулу (1):
ь
S = jj f (х) dx;
если же взять Д (х) = /(х)^0, /2(х) = 0 (рис. 7), то
ь
S=-\f(x)dx.	(3)
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ями z/ = x3, у —0, х—— 1.
Решение. График функции z/ = x3 (х£[—1; 0]) расположен
ниже оси Ох (рис. 8). Поэтому для вычисления площади приме-
ним формулу (3):	о	4
S= x3dx= 4"|—1 Т*
54
В большинстве встречающихся на практике случаев при реше-
нии задачи на нахождение площади фигуры удается данную фигу-
ру разбить на конечное множество таких частей, к каждой из ко-
торых применима какая-нибудь из формул (1) — (3).
Так, если y = f(x) (х£[а; 6]) — непрерывная функция, график
которой пересекает ось абсцисс в конечном числе точек (рис. 9),
то из формул (1) и (3) следует, что площадь фигуры, ограничен-
ной графиком функции /, осью Ох и прямыми х = а; х = д, вычис-
ляется по формуле:
S = J |/(х)| dx.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной отрез-
[л 7л |	✓‘ч	1	« 7л
— —; —	оси Ох,	графиком функции	z/ = cos	х и прямой	х=— .
Решение. Решив уравнение cosx = 0, получим, что график
функции z/ = cos х на отрезке “£“] пересекает ось Ох в точках
х1=“у» х2 = -^ (Рис- Ю). Следовательно,
7л	л	7л
“б”	Т	“
S= |cosx| dx= cos xdx— cosxdx = 3,5.
л	л	л
55
Рис. 11
Рис. 12
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = х* и касательными к графику функции // = ? в
точках %!= — 1 и х2 = 2.
Решение. Площадь фигуры равна сумме площадей фигур
МРК и KPN (рис. 11). К каждой из них применима формула (2).
Находим уравнения касательных: у=— 2х— 1, у = 4х — 4 и абсцис-
су их точки пересечения: хо = О,5. Вычисляем искомую площадь:
0,5	2
S= j (х2—( —2х—l))dx+ J (х2-—(4х—4)) dx=
-1	0,5
0,5	2
= J (x+D2dx+$ (х-2)^хЦ(х+1)3|^+4(х-2)3|*5 = 2,25.
-1	0,5
Замечание 1. Если на отрезке [а; Ь] выполняется одно из не-
равенств:
ИЛИ Л(х)>/2(х),
то площадь фигуры, ограниченной линиями z/ = fi(x), z/ = /2(x),
х=а, х = 6, может быть вычислена по формуле:
ь
s = | J(/,(x)-f2(x))dx|.	(4)
d
Замечание 2. Если фигура ограничена линиями x = q)j (z/),
-v = T2(//X // = с, y = d, где c<d и ф2(//)><Pi (У) на [с; d] (рис. 12), то
ее площадь может быть вычислена по формуле:
d
S = J(q>2(//) —	(5)
56
получающейся из формулы (2) после перемены ролей х и у. Очевидно,
из формулы (5) можно получить формулу, аналогичную формуле (4).
Дополнительные упражнения
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) z/ = x2+l, z/ = 0, х==0, х = 2; б) // = 8х —х2, у = 0; в) z/ = 2x3,
z/= О, х = 2; г) у==^2х — 1 , у = 0, х=5; д) у=У]1 —х, // — О,
х= — 3; е) £/=д/4 — |х| , у = 0\ ж) z/ = x2, z/ = (x — 2)2, // = 0;
з) у=у[х, у=у]8 — х, z/ = 0; n)z/ = tg2x, у = 0, х = -^-; к) z/ = cos2x,
хс[— j; jj, z/ = 0; л) z/ = sin2x, xg[0; л], z/ = 0.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) // = х2, z/ = 4; б) = A х = 0, z/ = 8; в) у=У|хГ, // = 2;
г) z/ = 4x —х2, # = 3; д) z/ = x2 —4x4-6, г/= 6 — х; е) # = 8х —х2—10,
у —8 — х; ж) z/ = sin2x, z/ = cos2x, xg	.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) z/ = 2x2, z/ = 0, х= — 1; б) z/ = x2 —4х, г/ = 0; в) у = 3х—х2,	—4;
г) у= — х2 + 2х+1, у = х— 1; д) у=^х —|, z/=| х2 —| х + 2;
е) #=18х —х2, z/ = x2 + 8x—12; ж) z/ = x2 —6x4-5, # = 5 —2х—х2.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой
z/ = x2 —4х+5, касательной к ней в точке М (4; 5) и прямой х=1.
5.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у =
= —х2+4х—3 и касательными к ней в точках М (0; — 3) и N (3; 0).
6.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой // —х2—
— 2а, касательной к ней у = 2х—5 и прямой х=3.
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у =
, z/ = 0, х = 3 и касательной к графику функции у=Л в точке с
ординатой, равной 1.
8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций у= 1 + cos лх и z/ = 2x2 —2, пересекающимися в точках, абсцис-
сы которых — целые числа.
9. При каком значении а площадь фигуры, ограниченной ли-
3 Iх| 4 х	3 -ч
ниями у =--------- И у = ах\ равна — ?
10. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями i/ = sin |х|
и у= Iх| —л.
Ответы к дополнительным упражнениям
9	2	2	2
1. а) 4 —; в) 8; г) 9; е) 10-=-; ж) 4. 2. д) 4,5; е) 4,5; ж) 1. 3. а) 0,5; б) 10 4;
3	3	«5	и
г	343	19	5	9
в) 2о|; г) 4,5; д) 3; е) 4. 9. 5. 2Т- 6. 24. 7. —. 8.	9. а=4. 10. 4 + л2.
О	о	4	о 1о	и
57
8. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЧИСЛОМ е
При решении задач по этой теме используются так называемые
«замечательные пределы»:
,im 0+тУ=е’	(*)
Х->оо \	•*/
1
lim(l+a)7=e,	(2)
а -> О
Нт1Н1±а)=11	3
а + 0	а
(4)
а^О а
Доказательство формул (1) и (2) приводится в учебном пособии.
Приведем доказательство формул (3) и (4). Имеем:
lim "	= |im in (i _j_= in Hm (1 -|-a)0 = In e = 1.
a—>- 0	a	a-> 0	a—>- 0
Для доказательства формулы (4) введем подстановку е°—1=0. Тог-
да In (1+0) = а; 0->-0 при а-»-0. Имеем:
lim е ~1 = Нт---------= 1.
a — 0 a ₽—0 In (1 +0)
Из формулы (3) непосредственно следует, что если а(х) и 0(х)
бесконечно малые функции при х->а и предел lim существу-
ет, то
litnlnU±a(x)) = lim«(x);
х-+а 0 (X)	х-+а 0 (х)
.. ln(l+a(x)) .. a(x)
lim ———— = lim —— .
x-^a 1П (1 + p (X)) x-»a ₽ (x)
Докажем, например, равенство (6).
Имеем:
(5)
(6)
in (1+а(х))
«+)
limln-(l+tt<x»==|im f -------<*<*>	\ = |im±W.
x->a In(l + ₽(X)) x->al ₽ (x) In (1 +P (x)) j x->a₽(x)
\	₽ (X)	/ 1
Аналогично доказывается и равенство (5).
Рассмотрим некоторые упражнения из учебного пособия.
169(3). Вычислить предел lim (sin x)tg х .
л
Решение. Так как
/	------\(sin х— l)-tg х
(sin x)tg x= V( 1 +(sin X-1 ))sin
lim (1 +(sin х— 1))
Л
Х^~2
е,
58
1 — cos
lim (sin x— 1) tg x= — lim I sin x-
ч -A -(H
= -	(sinx-tg(T-|)) = °.
TO
lim (sin x)tgJt = e°=l.
170 (2,3). Вычислить пределы:
4. In x — Ina	.. In cos ax
2)	hm--------; 3) lim-------.
x^a X—a	x_0 In cos bx
Решение. 2) Пусть x— a = t, тогда x=/ + a и 0 при x-+- a.
Имеем:
lim
x->- a
In x — In a
x—a
= lim
.. In (t + a) — In a
= 11 m-----------=
/->o	*
In(i+A 1
t	a ’
1
.. In cos ax .. (cos ax— 1) In (cos axcos ax !)
3)	lim-----------= lim--------------------------:-----=
x-^0 In COS bx x->^0	---1-----
(cos bx— 1) In (cos6xcos bx~1)
~ . 9 ax	I
.	2 sin —	2	--------
.. cosax—1	..	2 a	f.	cosax—1
= lim------------= lim----------—	, так как hm cos ax =
x^O cos bx— 1 x^Ogsin2—	x-^0
1 •	« cos bx— 1
= limcosax =e.
x->- 0
172(1,3). Вычислить пределы:
♦	_i_
. 4 ..	In (x2 —x+ 1)	...	/ COS X \
1) lim —-7T---------- ; 3) lim I-----И .
x —> co In (x,04-x+ 1)	X+O\cos2x/
Решение.	z
9	2 In |x| 4-ln (1 —
i) f(x)= ln(^-*t.!i=----------------L—
In (x -|-x-}-l) io |n |x| _|_ |n Л
Следовательно, lim f(x) = 0,2.
..	/ COS X \ Л 1 П
lim (-------И = е15.
x-»0 \ cos 2x /
59
1) lim---------------,
х->о sin сх — sin dx
173(1,2). Вычислить пределы:
еах-еЬх	г ln(l + sin Зх)
----------; 2) и m---------------
. _	_____ х+о In (1 4-tg 4х)
Решение. 1) Так
еах — еЬх
sin сх—sin dx
как
е“-1	е»*_1
а---------b-------
ах	Ьх
sin сх , sin dx
с--------d-
сх
dx
еах — еЬх
«• Sin а	..
hm------= 1, то lim
а->0 а	х->-0 sin ex— sin dx
При решении упражнения 173(2) можно
ство (6).
использовать равен-
.. In (1 4-sin Зх) .. sin Зх
2) lim—----------- = lim-----
х->0 ln(14-tg 4х) х+о tg 4х
и
Г	1
lim------= 1 ;
а + о а
а — b
c — d
2
4 •
9. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ и логарифмические уравнения
И НЕРАВЕНСТВА
Методы решения показательных и логарифмических уравнений
и неравенств достаточно полно рассмотрены в учебном пособии для
XI класса.
Остановимся на некоторых вопросах, связанных с равносиль-
ностью уравнений, источниками потери и приобретения корней
при решении логарифмических уравнений.
При преобразовании логарифмических выражений часто исполь-
зуются формулы:
log„ х	. , ч
а — х,	(1)
loga(xi/) = logax+logaz/,	(2)
log<2=logax—log„i/,	(3)
logo x° = a log„ х,
где a > 0, a =/= 1.
Особенность формул (1) — (4) заключается в следующем: если
их левую и правую части рассматривать независимо друг от друга,
то замечаем, что они определены на разных множествах значений
переменных. Например, в формуле (1) левая часть определена при
х>0, а правая при любом x£R. В формулах (2) и (3) левые части
определены для всех пар чисел хну одного знака, а правые лишь
для х>0, у>0. В формуле (4) при a = 2k, k£Zy &=/=0 левая часть
определена для всех х=/=0, правая же только при х>0.
Отмеченное обстоятельство означает, что применение этих фор-
мул может изменить область определения уравнения, т. е. привести
к неравносильным уравнениям.
60
Так, замена выражения a°*af(x) выражением /(х), так же как и
применение формул потенцирования:
•oga f (*)+ loga g (*)= loga (/ (x) g (x)),
•oga/(x)-logag(x)=loga-^,	(I)
gW
2HogJ(x) = log.(/(x))2* (fc£Z, fe^O),
вообще говоря, расширяет область определения уравнения,, что
может привести к появлению посторонних корней. Применение же
формул логарифмирования:
•Oga (f (х) g (х))= loga f (Х)+ 10ga g (X),
•oga-^ = loga/(x)-logag(x),	(II)
g(x)
•oga (/ (x))2fe = 2k log. f (X) (fc£Z, k Ф 0),
наоборот, может привести к потере корней ввиду возможного суже-
ния области определения уравнения.
Появляющиеся при потенцировании посторонние корни уста-
навливают обычно с помощью проверки (подстановкой в исходное
уравнение). В случае, когда такая проверка затруднительна, целе-
сообразнее заменить исходное уравнение равносильной системой,
состоящей из данного уравнения и необходимых неравенств. В по-
лученной смешанной системе уравнения решают, а неравенства
проверяют. При этом иногда удается заменить систему более про-
стой и облегчить необходимую проверку.
Пример 1. Решить уравнение
3log3(x2-2x-l)_(_j|. = 2
Решение. Применив формулу (1), получим уравнение
х2 —2х—1 + х= 2,	(6)
корни которого
1±
Х1,2 —--
Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлет-
воряет неравенству
х2-2х — 1>0.	(7)
Однако проверку корней можно упростить следующим образом.
Переписав уравнение (6) в виде
х2 —2х—1=2 —х,	(8)
видим, что выражение х2 — 2х— 1 положительно тогда и только тог-
да, когда х<2. Таким образом, вместо проверки неравенства
(7) можно осуществить проверку условия х<2. Теперь легко ви-
1____________________л/13
деть, что только х=--у— является корнем исходного уравнения.
61
Решение уравнения (5) можно оформить следующим образом:
х2—2х—1>0,	(x?-2x-\>Q,
( х2 — 2х— 1 +х = 2	( х2 — 2х— 1=2 — х
( 2 — х>0,
(х2 —х—3 = 0
Пример 2. Решить уравнение
log2x+log2(4x—х2—1)=1.	(9)
Решение. Уравнение (9) равносильно системе:
(9)
х>0,
4х —х2—1>0,
log2 х(4х—х2— 1) = 1
х>0,
4х—х2—1>0,	(*)-«►
х(4х—х2— 1) = 2
( х>0,	х>0,	з’+л/ТГ
(х(4х—х2—1) = 2	( х3 — 4х24-х4-2 = 0	х=—.
В системе (*) неравенство 4х—х2—1>0 можно опустить, так как
оно следует из неравенства х>0 и уравнения х(4х—х2—1) = 2
этой системы.
В отличие от уравнений, в случае решения неравенства провер-
ка, как правило, неосуществима, поэтому необходимо выполнять
лишь равносильные преобразования.
Пример 3. Решить неравенство
log2x+log2(x3 — 2x+3)>log2(x4 — 2).	(10)
Решение. Неравенство (10) равносильно системе неравенств:
х>0,
х3 — 2х+3>0,
х4 —2>0,
х(х3 —2х+3)>х4 —2.
(И)
Заметим, что неравенство х3 — 2х+3>0 системы (11) следует из
остальных неравенств системы. Следовательно,
^|2x2-3x-2<0 ^V2<-^<2.
4 _-
Ответ. у2 <х<2.
Как мы уже отмечали, применение формул логарифмирования
(II) может привести к потере корней, чего, естественно, допускать
не следует. Как же быть, если при решении уравнения или нера-
венства мы сталкиваемся с необходимостью использовать эти фор-
62
мулы? Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере
корней, ими пользуются в виде:
ioga(f (x)g(x)) = logo|f (х)| +loga |g(х)|,
•Oga = 10ga If (Х)| -Hog„ |g (X)|,	(III)
g(x)
loga(f(x))2‘ = 2£ loga|f(x)|.
Отметим, что первые две формулы группы (III) также не являются
универсальными, так как они могут привести к расширению обла-
сти определения уравнения и, следовательно, появлению посторон-
них корней. Но это не так опасно, как сужение области определе-
ния и потеря корней. Как уже отмечалось, посторонние корни могут
быть установлены с помощью проверки.
Укажем на возможность такого преобразования уравнения, при
котором формулы логарифмирования не приводят ни к потере кор-
ней, ни к приобретению посторонних корней. Оно заключается, в
случае необходимости, в переходе от уравнения вида
loga(/U)g(*)) = Mx)	(12)
к совокупности (дизъюнкции) уравнений
Г loga f (х)+ loga g (х) = Л (х),
[ loga (— / (х)) + loga ( —g (х)) = Л (х),
равносильной уравнению (12).
Пример 4. Решить уравнение
log2 (sin х cos х) = log2 sin2 x-log2 cos2 x.	(13)
Решение. Уравнение (13) равносильно совокупности урав-
нений
(log2 sin x-plog2 cos x)2 = 41og2 sin x-log2 cos x,	(14)
. (log2( —sin x) + log2( —cos x))2 = 4 log2(— sin x)-log2(— cos x). (15)
Преобразуя каждое из уравнений (14) и (15), получаем:
(log2 sin х— log2 cos x)2 = 0,
(log2 (— sin x) — log2 ( — cos x))2 = 0
Г log2 sin x=log2 cos x,	x= —+ 2ли,
[ log2( —sin x) = log2( —cos x) х =	+ n£Z
о x=“-pn;fe, k£Z.
Отметим, что если воспользоваться формулами группы (III), то мы
получим уравнение
(log2 |sin х| + log2 |cos x|)2 = 4 log2 |sin x| -log2 |cos x|,	(16)
являющееся следствием уравнения (13).
Уравнение (16) равносильно уравнению
log2 |sin х| =log2 |cos х|,
63
корни которого: х=±-^4-шг, n£Z. Посторонними корнями явля-
ются: х=—	n£Z. Отбросив их, получаем: х = -^-|-шг,
n£Z.
Отметим, что применение равенства
loga(f(x))2* = 2HogJf(x)| (fegZ, k^O)
приводит к равносильному уравнению. Левая и правая части ра-
венства определены при одних и тех же значениях х.
По той же причине приводит к равносильному уравнению при-
менение формулы
log 2kf (х) = -~г log /(х).
Пример 5. Решить уравнение
10g4 x24-log/64 = 2.	(17)
Решение.
(17) о log2 |xl4-log|,| 2 = 2olog2 |x| = 1 о |x| =2.
Ответ. ±2.
Пример 6. Решить уравнение
yiog2(x2-14x4-49)8 + 6 log4 Д/14-2х =7.	(18)
Решение.
Заметим, что х<7, преобразуем подкоренное выражение следу-
ющим образом:
log^x2 — 14х-|-49)8= 16 log2 |х — 7| = 16 log2(7 —х).
Следовательно,
(18) о8д/1оё2(7-х) 4- 3 log2 (7 - х) = 11.
Обозначив "\/log2 (7 —х) через у, получим Зу24-8у — 11 = 0, откуда
у—1. Далее имеем: ylog2(7--x) = 1, откуда х = 5.
Примером преобразований, которые могут привести как к поте-
ре корней, так и к приобретению посторонних корней, может слу-
жить также переход к новому основанию логарифма, содержащему
переменную.
Если при решении уравнения применяется формула
=	(19)
logAW«(x)
то могут быть потеряны корни, при которых Л(х)^0 или
й(х)=1. Например, если в уравнении
log2lx=log8X	(20)
перейти к основанию х, то получится уравнение
1 _ 1
108Д2х)~,	8 ’
Бх х
64
единственным корнем которого является х = 2. Однако легко ви-
деть, что х=1 является корнем уравнения (20), но этот корень ока-
зался потерянным. Это произошло при использовании формулы пе-
рехода к основанию х. Переход к основанию х сузил область опре-
деления уравнения (появилось дополнительное ограничение х=И=1,
но как раз х=1 является корнем уравнения).
Значит, прежде чем переходить к основанию х, необходимо было
сначала выяснить, не является ли х=1 корнем данного уравнения,
включить его в ответ, так как оно оказалось корнем уравнения, а
затем, рассмотрев случай х=/=1, воспользоваться формулой перехо-
да. В данной задаче выбор нового основания, равного х, не являл-
ся необходимым, переход к основанию 2 не осложнил бы решения
задачи, но позволил бы избежать потери корня.
Отметим, что применение формулы (19) справа налево может
привести к расширению области определения уравнения. При этом
посторонними корнями могут оказаться те значения х, при кото-
рых основание логарифмов й(х) не удовлетворяет условиям
0<й(х)=/=1.
При решении логарифмических уравнений иногда удобно поль-
зоваться следующей формулой:
u°Sa v=v°Sa “ (u>0; и>0; а>0; а=И= 1).	(21)
Для доказательства формулы (21) достаточно найти логарифмы
по основанию а от и и v а . Эти логарифмы будут равны одному
и тому же выражению logau-logau. Из равенства логарифмов по
одному основанию будет следовать справедливость формулы (21).
Пример 7. Решить уравнение
210g5x + 3x°g52=8.
Решение. Заменив xlog52выражением 210g5X, получим уравне-
ние 4*2log5X=8, равносильное данному. Решив его, получим
х = 5.
Некоторые показательные и логарифмические уравнения удает-
ся решить, используя свойство монотонности показательной и лога-
рифмической функций.
Пример 8. Решить уравнение
3Х + 4Х = 7.
Решение. Легко угадать и проверить, что х= 1 — корень дан-
ного уравнения. Покажем, что других корней уравнение иметь не
может. Воспользуемся тем, что при а>\ функция ах является воз-
растающей. При х>1 имеем: 3Х + 4Х>7, а при х<1 имеем:
Зх-|-4х<7, т. е. уравнение имеет единственный корень х=1.
Справедливы следующие общие утверждения, которые можно
использовать при решении уравнений (и неравенств).
а)	Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то
уравнение f(x) = b не может иметь на этом множестве более одного
корня.
б)	Если на множестве X функция f возрастает, а функция ср
3 Заказ 134
65
убывает, то уравнение f (х) = ф (х) не может иметь на множестве
X более одного корня.
Пример 9. Решить уравнение
log2x + 3 log2 (х + 3) = 6.
Решение. Воспользуемся тем, что сумма двух возрастающих
функций есть функция, возрастающая на их общей области опреде-
ления. Теперь ясно, что данное уравнение не может иметь более од-
ного корня. Легко заметить, что х = 1 — корень данного уравнения.
Ясно, что он единственный.
Пример 10. Решить уравнение
4х + (х-13)«2х-2х + 22 = 0.
Решение. Решив квадратное относительно 2х уравнение, полу-
чим:
Г 2*=2,	(22)
[2Х=11- х.	(23)
Корнем уравнения (22) является х=1, причем в силу возраста-
ния функции 2х этот корень единственный.
Далее замечаем, что так как z/ = 2x является функцией возрас-
тающей, а функция £/= 11 — х — убывающей, то уравнение (23)
также не может иметь более одного корня. Легко угадать единст-
венный корень уравнения (23): х = 3.
Ответ. Г, 3.
Свойство монотонности можно использовать также и при реше-
нии неравенств.
Пример И. Решить неравенство
8х + 3-2х+1<7.
Решение. Функция f (x) = 8x-|-3-2x+1 возрастает на R как
сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что х = 0—
единственный корень уравнения /(х) = 7. Следовательно, неравен-
ство f(x)<7 удовлетворяется при х<0.
Ответ. х<0.
В заключение рассмотрим две задачи, при решении которых ис-
пользуются оценки левой и правой части уравнения (неравенства).
Пример 12. Решить уравнение
log2 (х2 + 4) —log2 х=4х—х2 —2.	(24)
Решение. Левая часть уравнения определена при х>>0 и рац-
на log2 (х+у). Поскольку х-Р — ^4 при х>0 (неравенство
Коши!), то log2(x + ^>2.
Кроме того, при любом х имеем:
4х —х2 —2 = 2 —(х —2)2^2.
66
Следовательно, уравнение (24) равносильно системе уравнений
•og2(x+|) = 2,
4х — х2 — 2 = 2,
откуда х=2.
Пример 13. Решить неравенство
log3(4 —sin3x)<cos-^.	(25)
t)
Решение. Оценим снизу левую часть неравенства. Так как
sin Зх^ 1, то
log3(4 — sin Зх)^ 1.	(26)
Правую часть неравенства оценим сверху:
12х
cos-^<l.	(27)
Из неравенств (26) и (27) следует, что неравенство (25) может иметь
место только в случае, когда одновременно выполняются условия
1 О у
1°£з(4 —sin Зх)= 1 и cos—г—=1.
О
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
sin Зх= 1,	(28)
' cos-^=l.	(29)
Приведем два способа решения этой системы.
12х
I способ. Найдем общий период функций sin Зх и cos——.
О
Период функции sin Зх равен 7,=-^-; период функции cos-ф- равен
о	5
72 = Так как -р-=4, то 5Т1 = 4Т2. Следовательно, Т =
О	/ 2 D
==5Т1 = 4Т2 = -!^- — общий период указанных функций,
о
Найдем общие корни уравнений (28) и (29)
10л
промежутке, имеющем длину , например на
□
корни уравнения (28):
• о 1	л । 2лп п
sin Зх= 1х —— 4-—
о о
на каком-нибудь
[Л 10л \ у у и
0; -пт-). Найдем
О /
у—у	Г r\ 10 л \	л 5 л 3 л
Промежутку 0; -пт-) принадлежат: -т-, -т-, пг,
Найдем теперь корни уравнения (29). Имеем:
12%	.	5л/? гл-'t
cos —=-= 1 ^>х=-^-,
о	о
у—у	I у\ 10 л \	л 5 л 5 л 5 л
Промежутку 0; -п?-) принадлежат: 0,	, пт-, -it •
| О /	О О Z
13л	17л
“б-’ "б--
67
Таким образом, общим корнем уравнений (28) и (29) на £();
является %=-—-. Отсюда следует, что все решения системы уравне-
ний (28) — (29) записываются в виде:
5л . 10л/и
, m^z.
О о
II способ. Общие корни уравнений (28) и (29) можно найти,
составив и решив уравнение
л । 2 ли 5 л/г	/ог\\
б" ' з~==-б~
в целых числах.
Уравнение (30) перепишем в виде 1 -|-4/г = 5£, или
k-l=4(n-k).	(31)
Из (31) следует, что k— 1 должно быть кратно 4, т. е. k— 1=4/и,
где m£Z.
Итак, имеем: k = 4m+l, rn£Z, откуда
Х=—(4m+l) =—Н——, m$Z.
О	о о
Дополнительные упражнения
1. Решите уравнения:
а) 4,5-(|у-х-3^' = 4.2^;
В) з-г^-^б-г’-'-гЛ
д) 22х+94-5-2х+4- 3 = 0;
ж) 2-9х+3-6х = 9-4х;
и) (д/б+д/35" )+(д/б- W )=
б) у^=г-2|х|=(2Д/г/-2;
г) 9х—2х+0,5 = 8 д/2”-2х —32х_|;
е) 3-4|х|—7-2' + 1х1 + 8 = 0;
з) 2-3'+3|х|4- 1 =9|х|-|-2-31 + 1х|;
12; к) 9Х4-9~Х—Зх+‘—3*-х—3'-х+4=0;
л) 8х + 8~х-5(2х+2-х) + 8 = 0; м) 27х- 12х+2- 18х-2-8х=0.
2.	Решите уравнения:
а) (|)Х+у=2х;	б) 4х-(7-х)2х+12-4х=0;
в) 8-х-2х+23-х=г, г) 3х-1 • х2 + (3Х-2х) х = 2х+1 — 2 3х-1;
д) (Д/4 +V15 )X+(V4-Vi5 У=(2 д/2 )х; е) 2^- = х2-4х4-5.
3.	Решите уравнения:
а) 4sinx_22+sinx+3 = 0; б) 3s'"2 х + 4 • 3cos2 х = 13;
в) ^sin х । 2 4C0S х_з. 2sin x + cos
.	. XX	/п \
1 4- 4 sin — cos —	cos I—— x)
r) 5	2	2—24-5 V2 '-5 = 0.
68
4.	Решите неравенства:
а) |2Х-5| <3; б) 3?>8Ь
г) 5cos2x + 70<3.25cos2x;
е) 26х+" —3-23х+6+4<0; ж) 4|2х-" — 3-2' + |2х“" + 8<0;
27,х|; в) (х2-2х-3)(2х-8)<0;
д) Qx2 —2х—1 । ^ рх2 —2х —2_qx2~2x — 3
1 । 24х+3 > 17 • 2х2+2х*
Л) 16sin2jt+16cos2x<10;
к) 22х2-4х+1 —9-2х2“2х4-4<0;
. 3-9'4-5 ...	.	4'4-5
м) ~7Ti---н) “7ТТ—
3 + —1	2х+'-1
9'4-4'	-	. 5-15'4-9'4-6
о) -----^5; п) ---------1-1—
’ 6'-9'	' 2-15'4-25'4-3
р) (х2+1)3х-|>(х2-|-1)2; с) 1x1х2-2'-3 *
5.	Решите неравенство 4х — 2х+ —3<
ется решением данного неравенства?
6.	Решите неравенство 9х-0,5 — 3х-1
ли, что число
7.	Решите
1
--- является решением
1g 9	Е
системы неравенств:
явля-
1 log2 56 + log2 7 < 0. Верно
неравенства?
0,2sin2nx>l,
9^-зх1_82.3|х2~3х14-81 <0;
2х —8
8?-45-х2>
б)
2 ИХ
cos -
3	2 <1,
ОД*2 ~2'-0,125 <q.
0,5х2-2' —2
3'4-х2—19	о
3'—9	> ’
8. Решите уравнения:
а) б3'062 =6; б) 2х2-2х=Зх-2; в) 3sin x=2tg х;
г) 2llog2 х1 = 3; д) 3-2llog2Xl = 7-4г2;
е) (16 — х2) lg sin х—0; ж) (sin x)-lg(16— х2) = 0;
з) log (cos 2х-]-3 sin х) = 0; и) log3x (Д/3~ sin х—cos х) = 0;
Л
к) log 9 sin х=—0,5; л) log 9 sin л (х2—2х-|-5,25) = 0.
f ь8 cos2 х	’	7	&0,8 (Зх—х2)	V	7
9. Решите уравнения:
a) lg sin x=lg cos x; 6) log2 sin 2x=log2 (— cos x);
в) log7(sin 3x-]-sin x) = log7( — sin 2x);
r) log9 ? sin2x=log9 x20,5;
д) '°§4_?_зх(СО5 -«—cos 3x) = log4 x2_3* sin 2x;
e) |sin x| .(log2(20 — x2)— l) = sin x.
69
10.	Решите уравнения:
а)	2 log2x4-log2(3— х)=1; б) 2 log2 sin х — log2 cos х = — 0,5;
в) log2 sin х-|- log2 cos x=—2; г) Iog2(4x-|-4) = x4-log2(2x+' —3);
д)	0,5 log2(x—2)4 + 2 log2(l — x) = 2+-|log227;
e)	log2 x2— 2 log2 x—4'°g8 2 ^ = 0; ж) log2(22x-1— 4)log2(4x— 8) = 6;
з)	log2 "\/2x— 1 + log2 Д/4х—2 4- log2 \/8x —4 — 3,5;
и)	logxA/9 +21ogx(xA/3) + (logxA/8T)2 = 22;
к)	log2(3x2 + 5x —2)= 1 4-log2(3x— 1) log2(x + 2);
л)	log2 x+(x—5) log2 x4~6 —2x=0;
m) 4log’ X=x'+Iog2 x; h) xlg(25x’= 16;
o) x'°g6 x=3-23'°Вб x~2; n) 3'°g< x = 6-x°g23.
11.	Решите уравнения:
a) log2 x+log^ 8 = 2,5; 6) log3 x2 4-logx4 27 = 2,5;
в) log4(4x2)4-log2—=5; r) log sinx-log n cosx = 0,25;
7 ,v,64\^ / I 62 x ’ /	®o,5 sin 2x	°0,5sin2x
Д) log3 (5 tg2 x) = 2 logo 54-2 log1 (2 cos x);
e) 25х-5х log2 564-3 log2 7 = 0; ж) 49X-7X log2124-2 log2 3 = 0;
з)	logw(x2-2x)-loglx_2|^-=|;
и)	loghx2—x)-log2^-4-log^x2=4;
к)	log^x2 —x)=log^|x|4-log^ |x—1|;
л)	logo,5 (0,5 sin 2x)=log^5 tg x-f- log05 sin2 x;
m) logs.n *( 1 — cos 2x) = 2C0S 8x+ log x 2; h) log3 x= log4 (x2 — 5);
°) l°g6(x2 + 9) — log6 x = 6x — x2 — 8.
12.	Сколько корней имеют уравнения:
а) log2nx = cosx; б) log2x=— cos х; в) log t x = cosx?
32
13.	Решите неравенства:
a) log3^fzJ.<l; б) log^dx—2|—3)>0;
в) log2^7~r< И г) log, (х3 — 4х4-5)< — 1;
д) log3(44-log05(x24-2x))>0; е) log6(32'°8з(4’х)4-3х-10)< 1;
ж) log3(4x — 3-2х+14-8)< 1;	з) logsfx2 — 4 |х| 4~4)<0;
1
и) x‘°g3X.log2x<l;	к) 2llog2Xl <4,5х—х2;
л) (|)l,°g2Xl>x2-2x+2;	м) 0,5log2°’5X
70
14.	Решите неравенства:
а)	(9х— 10-3x-'+l)lg2(4x-l)<0;
б)	(22х+'~9-2х-]-4) lg2(x+3)>0;
в)	(2х—3)(2 log2x— l)log^x<0;
(7^-l0x + 3)i^(x+l)
г'	2 — 5"	'
д) (5х—х2) log^(|x| — 2)>0; е) j--2*^0^2*6^ gg; — 2;
т
ж) (-01083|О8°'2(х2“°’8)< 1;	3) log4x2<log2(4-x)+10g2(3-х);
и) log2(x—3)< log4 (5 —х)2; к) 2 log4 х-|-log2 (хл—11х4~18)>3;
л) log2 х2< log2 (8 — х2);	м) lg(9'8X4-l)>l-lg3+lg3.
15.	Решите неравенства:
а) 4 log2 х—8 log4 х — 5>0; б) log2(log2 х —3 log, х4-2)< 1;
7	7
в) log2Vx — 2 log2 х4~1>0;
г) log4 (2х) + 3 log2 х<4;	д) log± 2 > log, 2;
е) 2 log2(2x— 1) — log2x_। 16<2; ж) log2 x4 + 2 log4x2 8<4;
з) 4 (log| x+ log2 2)— 12 (log2 x — log, 2)4- 1 >0;
и) log2 (Зх2 - 5x—2) - 3 log2 (3x—2)< 1,5 log2 (1 - x)2 - 2.
16.	Решите неравенства:
a) log,_,(2x2 — 9x-|-13)>2; 6) log,_2 Д/22 —x < 1;
в) log2x_6(x2-9)<2; r) log5w_4x2>l;
Д) log2 ?(1,5—|x—11)<0; e) log , (x2 —3x-|-|Y>0;
Ж) log, |3x-~p < 1;	3) log3_,-i|i->l;
и) (0,05)_|ogx-W5x>(2 Д/5 )'°gx-°'25(4x-l);
к) |Og2,(-jL.22x+,+4)>1’ л) l°g2x-i (9х-2.3x+24-81)<0.
17.	Решите неравенства:
a)	logx_,21og4^/g|<l;
6)	logs-, (x—2) log,_2 (6x— x2)^ log5_, (Зх2— 10x4- 15);
ч	1	>og3 У/2х—1
log3(2x—l)-log,_, 9 log3(x—1)
r) 510g9 x < 2 - x'°g3 5;	A) 310g4 x > 6 - xlog2 3;
e)	log3(4-|-cos 6x)^sin 4; ж) log4 (5 — sin 4)^ cos x;
О	4
71
з) д/lg sin х <9 — х2; и) log2(4 — Д/х+ 1 )>log3 х.
18.	Найдите область определения функций:
а) у="\/9«2х+1 — 4х —32 + lg sin х;
б)	y=Vlogo.3(52x+l-4-5x);
в)	y = \og^27^-2-\/<F^).
19.	Найдите все решения неравенства log02 (29 —4х —2х2)< — 2,
являющиеся решениями уравнения |2х-|-5| +2 |х— 11 = 7.
20.	Найдите все значения параметра а, при которых каждое ре-
шение неравенства log2 x2^log2(x-j- 1)—1 является решением не-
равенства 16Х2 —а4^0.
21.	При каких значениях а многочлен
р (х) = х4 + (а + 3) х2 + (4а-5-2а+1 + 16) х+2а + 1
является квадратом многочлена второй степени?
22.	Для каждого значения параметра а найдите все решения
неравенства
/ 1 \8+-og„x>/lWx	. fl¥sJ)
\ 10/	\2/
принадлежащие интервалу 0<х<1.
23.	Найдите тот корень уравнения
logo,5* — logo,5x+a = 0 (а<0),
который больше 1.
24.	Найдите все значения а, для которых неравенство
а.4х-4-2х + За+ 1 >0
будет справедливо при всех значениях х.
25.	Решите уравнения (неравенства) (а — параметр):
а)	4-1х-и_22-1х-п_а = 0;
б)	4|х|-2|х1+, + о = 0;	в) д/а(2х-2)+1 = 1 -2х;
г) log2(l +а-4х) = х+ 1; д) к^(4х+а)+(х-|-1) log5 2 = 0;
5
е) x‘+log“ х>а2 х(а>0; а=#1); ж) loga (1 — х2)^ 1 (а>0; а=#=1);
з)	logx+2(2x+a)=l;	и) log2x(x2 + a)= 1;
к) 4х — (а+ 1) 2х-|-а<:0; л) log2cosx—2а log2 cos х-|-2 —а2 = 0.
26.	Найдите все значения а, для которых уравнение
1 + log2 (ах) = 2 log2 (1 — х)
имеет единственное решение.
27.	Найдите все значения а, для которых уравнение
log3(9x4-a) = x
имеет два действительных и различных корня.
72
28.	Найдите все значения а, при которых уравнение
4х + 4-х _(а+1)(2* + 2-х) + а + 2 = 0
имеет единственное решение.
Ответы к дополнительным упражнениям
1. а) — 1; 3; г) 1,5; з) 0; к) 0. 2. а) 1; б) 1; 2; в) 2; г) —2; 1; д) 2; е) 2.
3. а) лп, n£Z. 4. и) х^ — 1, х^З, х= 1; л)	+	н) “" Ь
х>2; р) х=0, х>1; с) 1<х<3; т) х< — 1; у) x<log3 1,5; 1<х<2. 7. а) 1; 2;
б) —1; 3; в) х<—Д/2; VF<x<3; г) — 1<х<1. 8. б) 2; log23; г) 3; 1;
О
е) —4; ^ + 2лп, n£Z; ж) 0;	Л) 1»5. 9. д) ; е) —4; 0;
_1_	__4_
Vi?. 10. в) -£-+2лл, ^ + 2лп, n£Z; и) З3; 3 15; н) 0,01; 4; o)-i; 6.
12	12	о
11.	б) ±д/з"; ±Д/2Л г) -т4-2лп, n£Z- е) log53; log5 log2 7; з) —2; 4; н) 3; о) 3.
4	з
12.	а) Один; б) два; в) одиннадцать. 13. в) 1 <х< 11, х#=3; и) 0<х<у2 , х^=1;
к) 0,5<х<3,5; л) х=1. 14. а) 0,25<х<0,5; 0,5<х<1; в) Д/2~^х< log2 3; х=1;
з) х<0, 0<х<2; к) х>2; м) 0<х<0,1; х> 10. 15. ж) 0< |х| <— ; -^=< W <Д/2\
1	5
16. а) 2<х<3; х>4; е) — <х<2, х=^1, х#=1,5. 17. б) —<х<5, х=#=3;
е) -^-4-блЛ,	ж) 2л4-8л£, k^Z\ з)	и) — 1<х<3. 18. а) 1<х<л;
б) log50,8<x<0. 19. -2,5<х< —14-Д/З*- 20. |а|>2. 21. При а = 3. 22. При
1-Д/1-4а
а>1 0<х<-^-; при 0<а<1 0<х<а8. 23. х = 0,5	2	. 25. а) При
а	_____
-3^а<0 х= 1 ±log2(2 —Д/4 + а ), ПРИ я<—3, а^0 решений нет; б) при а^1
x=±log2(14-Vb^ ), при а>1 решений нет; в) при 0<а^1 x=log2a, при осталь-
ных а решений нет; г) при а = 0 х — — 1, при 0<а^ 1 х= log2 *	, при а<0
--- а
x=log2----------, ПРИ ^>1 решений нет; д) при 0<а<1 x==log2 (1 ±УГ—а"), при
x=log2(1 + д/1 —а ), при а>1 решений нет; е) при а>1 0<х<а-^, х>а^2",
при 0<а<1 а^2'<х<а—ж) при а>1 решений нет, при 0<а<1 — 1<х^—Vi—а ,
Л][—а ^х< 1; з) при а<4,	х = 2 — а, при остальных а решений нет;
3	3	.	2
и) при 0<а<—, — <а^1 х= 1 ±Д/1 —а , при а<0 х= 1 + ~а , ПРИ а~~^
х=1,5, при а>1 решений нет; к) при а>1 0^x^log2a, при а=1 х—0,
при-0<а<1 log2a^x^0, при а^0 х^0; л) при а<-у2, а^у/2 х=
— dzarccos 2а~-{-2лл, n£Z, при —Д/2^— 1 х= ±arccos 2а±^2 ~
+ 2лм, n£Z, при — 1 <а<д/2” решений нет. 26. а>0, а— —2. 27. 0<а<-^-. 28. а —2.
73
10. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
При решении задач по теме используются формулы:
(а“)' = аи In а-и',	(1)
(е“)' = еи-и',	(2)
(loga«)'=-— (u>0, a>0, а=£1),	(3)
и In а
(1п«)'=4,	(4)
где и = и(х)— дифференцируемая функция.
Из формул (1), (2) и (4) следует, что
\axdx=— + С; \exdx = ex+C\	=1п|хЦ-С.
J	In a J	J х
В случае, когда функция u = u(x) является линейной, u~kx-\-b,
формулы (2) и (4) принимают вид:
(ekx+bY==kekx+b,
(\n(kx + b)Y=-^^ (kx+b>0)
и в соответствии с ними имеем:
\ekx+bdx=±ekx+',+ C-, $77^=7	|Лх+*1+С (k=£0).
Пример 1. Найти промежутки монотонности и точки экстре-
мума функции
/(х)=1п (2x4-4)4-х2+ х.
Решение. Функция определена на ( — 2; 4-°°)-
ГМ = 12,+Д7’).х>-2.
Критические точки функции: —1,5 и —1.
Легко видеть, что /' (х)>0 при —2<х< —1,5, х> —Г,
/' (х)<0 при —1,5<х< —1.
Следовательно, функция (непрерывная в точках —1,5 и —1) воз-
растает на ( — 2; —1,5] и на [—1; -|-оо), убывает на [—1,5; — 1].
Тогда Xj= —1,5 — точка максимума, точка х2= —1—точка
минимума функции.
ех
Пример 2. Исследовать функцию	и П0СТР0ИТЬ ее
график.
Решение. 1) Функция определена всюду, кроме точки х0 —2.
£>(/) = (—оо; 2)11(2; 4-оо).
2)	Функция не является ни четной, ни нечетной:
74
3)	Уравнение f(x) — O корней не имеет. График функции не пе-
ресекает оси абсцисс.
4)	Функция непрерывна на (— оо ; 2) и (2; + оо). На каждом из
этих промежутков функция сохраняет постоянный знак: /(х)>0
при х>2, /(х)<0 при х<2.
Точка х0 = 2 — точка разрыва функции.
lim /(х)=Н-оо, lim /(х)= — оо.
х->2-|-0	х->-2 —О
Прямая х = 2 — вертикальная асимптота графика функции.
• 5) lim /(х)= + оо.
Х-» 4- оо
Далее, так как lim ех = 0, lim	= 0, то lim /(х) = 0.
X—>-—оо	х —— оо %	х—>-—ОО
Это значит, что прямая // = 0 — горизонтальная асимптота графи-
ка функции /(х) при х->—оо.
6)	Имеем: /' (х) = -у—• Так как f' (х)>0 при х>3,
(х)<0 при х<2, 2<х<3 (рис. 13), то f (х) возрастает на
[3; + °°), убывает на (— оо ; 2) и (2; 3] (учтена непрерывность функ-
ции в точке 3).
7)	Имеем: /" (х)=	. Так как при х>2 f" а
(х 2)
при х<2 /" (х)<0, то нд промежутке (2; Н-оо) график функции
обращен выпуклостью вниз, а на промежутке (—оо; 2) выпук-
лостью вверх.
8)	Так как / (0)——0,5, то график функции пересекает ось ор-
динат в точке М (0; —0,5).
Учитывая проведенное исследование, строим график функции
(рис. 14).
ПримерЗ. Найти число положительных корней уравнения
ех = ах2 в зависимости от а(а>0).
Решение. Данное уравнение рав-
носильно уравнению
ех
Проведем исследование функции
/(х) = -^ на (0; + оо).
Имеем: f'(х)—^Х	, х>0.
f
X
Рис. 13
75
f' -	+
.......♦...I  
f 0^2	*
Рис. 15
Так как /' (x)<0 при 0<x<2,
f' (x)>0 при x>2 (рис. 15), то на (0; 2]
функция убывает, а на [2; + оо) возра-
стает.
Наименьшее значение на (0; Н-оо)
функция принимает в точке х0 = 2. Это
наименьшее значение равно 7(2) =
= 0,25е2.
Учитывая непрерывность функции
и тот факт, что / (х)-^+ оо при х-> + 0
и при Х-^+ оо приходим к выводу, что
£ (/) = [0,25е2;-|-оо ) и, следовательно
один корень, если а = 0,25е2; два корня, если а>0,25е2. При
0<а<0,25е2 уравнение корней не имеет (рис. 16).
Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравне-
ниям.
Задача 1 (радиоактивный распад). Известно, что при радио-
активном распаде скорость распада пропорциональна имеющемуся
количеству вещества. Найти закон радиоактивного распада, если
количество вещества в начальный момент времени / = 0 равно ап0,
а период полураспада (время, за которое распадается половина
имеющегося вещества) равен Т.
Решение. Пусть m(t)—масса вещества в момент времени
t. Согласно условию задачи получаем дифференциальное уравнение
m' (t) = — km (/), где &>0.	(1)
В уравнении (1) поставлен знак «минус» потому, что m(t) — функ-
ция убывающая, следовательно, т'(t)<zO.
Разделив в уравнении (1) переменные, получим:
проинтегрировав, имеем:
In т= — + In С, m = Ce~kt.	(2)
Константа С находится из условия m(0) — mQ:
m0=Ce~k'° = C, т. е. С = т0.
Окончательно получаем:
m(t) = mQe~ki.	(3)
Зная период полураспада 7\ найдем коэффициент k. Так как
т (Г) = О,5апо, то из (3) находим: mQe~kT = Q,5mQ, е~*7 = 0,5, kT = In 2,
In 2
, In 2	—7“ z
k — -^-; m = moe
76
В физике закон радиоактивного распада обычно выражают че-
рез период полураспада Т:
т (/) = ди0(е1п 2)
Таким образом, получаем следующий закон радиоактивного рас-
пада:
т=т^2) 
Задача 2. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоро-
стью 5 м/с. На полном ходу ее мотор был выключен, и через 40 с ее
скорость стала равной 2 м/с. Считая, что сила сопротивления воды
пропорциональна скорости движения лодки, определите скорость
лодки через 2 мин после выключения мотора.
Решение. Составим уравнение движения лодки на основании
второго закона Ньютона: — диа = Лсопр, а так как Fconp = feu, то
— та = kv, или mv' kv = Q, откуда
7 k
v —----v.
т
Решив полученное дифференциальное уравнение, находим:
v = voe т .
-40 —
Используя начальные условия, получим: 2 = 5е т, откуда
Поэтому через 2 мин после выключения мотора скорость лодки бу-
/40 ДГ\120
дет равна и = 5-(Д/— ) =0,32 м/с.
Ответ. 0,32 м/с.
Задача 3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точ-
ку 4(1; 2), если отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной,
проведенной через произвольную точку кривой, равен удвоенной
ординате точки касания.
Решение. Пусть М (%; у) — произвольная точка искомой
кривой.
Уравнение касательной в точке М имеет вид:
У — У=У'(х)(Х— х),
где X, Y — текущие координаты точек касательной.
Из условия задачи следует, что Y — 2у при Х = 0.
Тогда из уравнения (1) получаем: 2у — у— ~ху', т. е. у= — ху'.
Так как у'=^, то последнее уравнение можно переписать в виде:
^4-—=0
у ' х
(1)
77
In |//| H-ln |x| = In Cf, xy = C.
Учитывая, что кривая должна проходить через точку А (1; 2), нахо-
дим С = 2, и, следовательно, уравнение кривой имеет вид
ху = 2. Искомая кривая — гипербола.
Дополнительные упражнения
1.	Вычислите значение производной функции в указанной
точке.
а) у=д/5 + ^2х, х0 = 1п2;	б)	у = хе*'плх, х0=1;
8Х + 4Х+3-2Х	1 о	ч	е3х~6 о
в) У =---—------, x0 = log43;	г)	У=—*0 = 2;
д) z/ = x2ln(2x — 1), х0=Г,	е)	// = - (2* — , х0=	— 1;
ж) z/ = ln3 х+5 In2 х, х0 = е;	з)	у = х In2 (3 — 2х), х0=1.
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции в ука-
занной точке:
а) у = е sin-g-, х0=1;	б) у = е	, х0=-;
в) у = 0,5х In (2х—3), х0 = 2;	г) у = х2 In (3 —х), х0 = 2.
3.	Напишите уравнение касательной к графику функции:
а)	у = е2х~1 + 2х, параллельной прямой у — 4х-{-\\
б)	z/==x2 — In (2х— 1), параллельной прямой у — 2х — 3.
4.	Прямая у=— Зх1п2 — 5 является касательной к графику
функции	/(х) = 4ж-3-2х+1 + х1п2.
Найдите координаты точки касания.
5.	При каком значении а прямая z/ = 9x+« является касатель-
д*_____________________________3*+1
ной к графику функции f(x) =----------?
In 3
6.	При каком значении а прямая у —ах является касательной
к графику функции у = ех~1—Зх?
7.	При каком значении а(а>0) кривая z/ = alnx имеет с гра-
фиком функции /(х) = 2х2 одну общую точку?
8.	Найдите критические точки функции:
а) у = 2х + 23~х + х In 4;	б) z/ = (x2 + 5x + 7) е"х;
в) z/ = 0,5x In х — х In 2;	г) у = е**~*х — х2-1~4х;
д) у = 2х — х2 In 2 — х-23-х;	е) z/ = x3 (24-3 In х) — 36х In х+ 1.
9.	Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функ-
ции:
а) // = 2-4х —9-2х4"(2 In 2) х —3;	б) // = (2х2-3х) ех\
в) // = 34-2х —х2 —2хе3-х;	г) // = (11 4-*— х2) е~х;
78
д) i/ = x+ln(x2 — 3);	е) у = 1п (х2 —6х+9) + 2х;
ж) у = х(х—3) In х-ЬО.бх2-!-?;	з) i/ = x2-|-3x+ In (2х+6).
10.	Постройте график функции:
б) у=е1~х‘;
г) у = (хг — 3) ех\
е) z/ = x2 —2х —2 In (х—1);
з) у = х3 In2 х.
решений уравнения в зависимости от а:
—; в) In х = ах2.
X
а) У = ех\
е~х
в> У=—\ ''
д) у = х— In (х+ 1);
ж) у — х24-4 In (3 — х);
11.	Найдите число
а) ех = ах(а>0); б) In х =
12.	Вычислите интеграл:
a) J (4Х + 2Х) In 2dx; б)	dx;
х f Зх-|-1 j	\ С 2х—3	,
“>)—“*•
-'г г -.....
dx.
x— 2
13.	Вычислите определенный интеграл:
In 2	log32	з	е
a) J [ex+e~x)dx; б) $ (3х- l)2dx; b)J-^-; г) j-+*g*dx.
0	0	2	1
14.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = е2х, у = 2-$-ех, х=1;	б) у = ех+\ у = е2х, х=1п5;
в) у = е — 1, z/ = 5(l — е х);	г) у=-, У=~2^Г •
In 2
15.	Решите уравнение	(е2а+2х—еа~х) dx= I.
0 X
16.	Решите неравенство	(9' — 3<+1)dt^0.
17.	Найдите общее решение дифференциального уравнения:
а)/=—Зу;	6)/=^-;	в) у' = 2х{у— 1);
г) у' = Зу + 2;	д.) у'= у cos х;	e)y' = yctgx.
18.	Найдите решение дифференциального уравнения, удовлет-
воряющее указанным начальным	условиям:
а) 2/д/х =1/, у(4)= 1;	б)	(х+ 1)y'-\-xy = 0,	i/(0)=l;
в) tg x-dy = ydx, у(^= — 1;	г)	sin 2xdy = 2y cos 2xdx,	у (^ = 3;
д) у' = у sin х, у(^ = 3-,	е)	ху' = 5у, у(\) = 2.
79
19.	Найдите	наименьшее	значение	функции	y = f(x),	если
{х-1)у' = 2у-\ и /(2)=1.
20.	Найдите	наибольшее	значение	функции	y = f(x),	если
2у cos 2xdx = (l H-sin 2х) dy и /0^=1.
21.	Постройте график функции y = f(x), если:
а)	2у sin 2xdx + cos 2xdy = G и /0^= —1;
б)	sin 3xdy = 3y cos 3xdx и /0^ = 2.
22.	Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М (0; 1),
для которой угловой коэффициент касательной в любой точке кри-
вой равен удвоенной ординате точки касания. Изобразите эту кри-
вую.
23.	Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М (1; 3),
для которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ох
делится пополам в точке пересечения с осью Оу,
24.	Найдите уравнение кривой, проходящей через точку М (2; 3),
расстояние от любой точки которой до начала координат равно
длине отрезка касательной к кривой в этой точке от рассматривае-
мой точки до точки пересечения с осью абсцисс.
25.	Период полураспада некоторого вещества равен 1000 лет.
Сколько останется этого вещества через 100 лет?
Ответы к дополнительным упражнениям
б)
4	г-	13
1. а) — ; в) 6-|-12 уЗ ; д) 2; ж) —.2. а) у = 2 — х; в) у = 2х— 4. 3. a) z/ = 4x;
о	в
3	1
i/ = 2x-4-ln 2. 4. (0; -5). 5. а=-9. 6. а=-2. 7. а = 4е. 8. д) 2; —
4	In 2
е) 2; —. 9. а) Возрастает на (— оо; —2), [1, 4- оо), убывает на [ — 2; 1]; в) убывает на
е
(—оо; 1], [3; 4- оо), возрастает на [1; 3]; д) возрастает на ( —оо; —3]; (Д/!Г; + 00),
убывает на [ — 3; — Д/з”); ж) возрастает на ^0;	, [1,5; 4- °°), убывает на 1,5^ .
11. а) Два решения при а>е, одно решение при а = е, нет решений при 0<а<е;
б) одно решение при и а = , два решения при <а<0, нет решений
при a<Z----; в) одно решение при а^0, а =
1
2е ’
два решения при 0<а<—,
нет решений при • 13- а) 1,5; б) log3-^=-; в) 1 -|- In 2; г) 1	• 14. а) 0,5е2 —
-е-2-|-1п4; б) 12,5-5е + 0,5е2; в) 6 In 5 — 8; г) 7,5-8 In 2. 15. а = 0. 16. 0^х<
<log35. 17. а) у = Се~3х; б) у = Сх?. 18. а) у = е^х~2; б) z/ = (l 4-х) е“х;
в) у=— 2 sin х; г) z/ = 3sin2x. 19. 0,5. 20. 1. 21. а) у=— 2 cos 2х; б) z/ = 2sin3x.
22. i/ = e2x. 23. i/2 = 9x. 24. х# = 6, у = 1,5х. 25.	.
Д/2
80
11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнение А(х) = В (х) называется иррациональным, если хотя
бы одно из выражений А (х) или В(х) иррационально. Так, ир-
рациональными являются уравнения ух— 2 =2х—1, ух—1=2,
д/х —5 — д/2х-ЬЗ =д/7 —х и т. д.
В некоторых случаях можно сделать вывод о решении иррацио-
нального уравнения, не прибегая к преобразованиям. Так, напри-
мер, уравнения д/бх—2 = — 1, д/х —5 =3 —х не имеют решений,
что следует из определения арифметического корня. Аналогично
легко видеть, что каждое из уравнений д/х — 2 =6 —Зх и
д/х—2 +Д/10 —5х =0 имеет единственный корень, равный 2.
Один из основных методов решения иррациональных уравне-
ний — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же
степень. Отметим, что уравнение Ал(х) = Вл(х) при п четном явля-
ется следствием уравнения А(х) = В(х), а при п нечетном равно-
сильно уравнению А(х) = В(х). Следовательно, при возведении
обеих частей уравнения в четную степень возможно появление по-
сторонних корней и поэтому необходима проверка корней.
2л ---
Иррациональное уравнение у/(х) = <р(х) равносильно системе
<р(х)>0,
f (х) = Ф2п(х).
(*)
Заметим, что приписывать неравенство f (х)^0 в системе (*)
излишне — оно следует из уравнения (2)._____
Пример 1. Решить уравнение ух3 —Зх+1 =х— 1.
Решение. Уравнение равносильно системе
{х>1,
х3-Зх+1=(х-1)2	(х(х2-х-1) = 0
х = 0,5 (1 + д/5).
гл 1+W
Ответ. —2~ •
Пример 2. Решить уравнение
у2 cos 2хд/з” sin х = — д/2~ cos х.
Решение. Уравнение равносильно системе
{cos х^О,	Г cos х^О,
2 cos 2x-h Д/3 sin х = 2 cos2 х	(2 sin2 х—д/з" sin х = 0
х—л-|-2лп,
2л . о n£Z.
х= —Н-2ли,
9 L 3
Ответ. л-|-2лп, —+ 2лп, n£Z.
«5
81
3 .--- 3 ----- 3 __
Пример 3. Решить уравнение ух —2 -|-уЗх —4 = ух.
Решение. Возведем обе части уравнения в куб по формуле
(a + bf = a3 + b3 + 3ab(a + b).
Получим уравнение, равносильное данному:
4х-64-3 Д/(х—2) (Зх—4) (Д/х—2 + Д/2х-4 ) = х.	(1)
3 г~
Заменим выражение в скобках выражением ух. Получим:
Д/(х—2)(3х—4) х = 2 - х.	(2)
Уравнение (2) является следствием уравнения (1), поэтому необхо-
димо будет сделать проверку. Возведем в куб левую и правую ча-
сти уравнения (2):
х(х —2)(Зх-4) = (2-х)3.
Последнее уравнение имеет корни: хх = 2, х2=1.
Проверка показывает, что х2=1—посторонний корень.
Ответ. 2.
Некоторые иррациональные уравнения удается решить с по-
мощью введения новой переменной.
Пример 4. Решить уравнение Д/2х— 1 — 2д/2х — 1 = 3.
Решение. Положив Д/2х — 1 = у, где у 0, перепишем уравне-
ние в виде у2 — 2у — 3 = 0. Корнями этого уравнения служат у{ = 3,
z/2= —1. Имеем: Д/2х— 1 =3, х=41.
Ответ. 41.	____
Пример 5. Решить уравнение д/х — 1 = х— а (а — параметр).
Решение. Перепишем уравнение в виде:
х—1—Д/х—4 4-1—а = 0	(1)
и рассмотрим его как квадратное относительно д/х — 1. Находим
дискриминант уравнения D = 4a — 3. Уравнение (1) имеет решение
3
только в случае, если а^—.
Имеем:	.---- > _л/4а о
д/^т=‘ 7 3,	(2)
у—j- = 1+д/4а-3	(3)
Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда,
когда 1—д/4а —3 ^0, т. е. при а^1. Решив уравнения (2) и (3),
получим при —
_2а+1-Д/4а-3	__2а+1+у/4а-3
Xi—	2	,	х2—	3
Таким образом, приходим к следующему ответу:
82
при	уравнение имеет два корня: х{ и х2; при л>1 уравне-
_ 3
ние имеет один корень: х2; при а< — решении нет.
Некоторые иррациональные уравнения удается решить, исполь-
зуя свойство монотонности функций.
Пример 6. Решить уравнение Д/х— 3 =5 — х.
Решение. Так как функция д/х — 3 является возрастающей,
а функция 5 — х убывающей (на общей области определения), то
уравнение не может иметь более одного корня. Легко угадывается
единственный корень уравнения: х0 = 4.
Ответ. 4.
Пример 7. Решить уравнение yj2x—l -рд/х-р3 =3.
Решение. Функция Д/2х— 1	+ 3 возрастающая на всей
области определения. Легко видеть, что х0=1 — корень уравнения.
Других корней уравнение иметь не может.
Ответ. 1.
Рассмотрим уравнение с параметром, при решении которого
удобно использовать свойство монотонности функций и идею заме-
ны переменной.	____ ________
Пример 8. Решить уравнение У/Зх—2 -рд/х+2 = я.
Решение. Функция f (х) = Д/Зх —2 -|- д/х -Ь 2 определена и
возрастает на промежутке -j-oo^. Наименьшее значение она
2	[2 д/б" \
принимает в точке -г-;	—5—; + 00 1. Следовательно, при
уравнение f(x) = a имеет единственное решение, при
О
2 д/б
a<Z—5— решении нет.
О	г—
2 А/6
Итак, пусть	. Переписав уравнение в виде
м
Д/Зх-2 = a-V*+2,	(1)
возведем обе его части в квадрат:
Зх-2 = а2-2а^х+2 +*4-2.	(2)
Уравнение (2) является следствием уравнения (1). Перепишем его
В ВИАе:	2(х+2) + 2а V*+2 -а2-8 = 0.	_____ (3)
Уравнение (3) является квадратным относительно Л/х-^-2. Решив
его, получаем совокупность двух уравнений:
Д/х4-2 = ~а~А/За2+_16_ ,	(4)
-°+^23а2+16 .	(5)
83
При	—г— уравнение (4) решений не имеет, а уравнение (5) ийе-
О
ет корень	______
_ 2а2 + 4-а уЗаЧЙб
Х~	2
т	«	-2Д/б
Так как при любом —5— исходное уравнение имеет корень,
и притом только один, то найденный корень и является корнем ис-
ходного уравнения.
л	2^6	2а2 + 4-а Д/За2+16	2 д/б л
Ответ. При 3........ х=--------%-------, при а<—— ре-
шений нет.
Пример 9. Решить уравнение Д/х2— ах + 2 = х—1.
Решение. Уравнение равносильно системе
f 1,	( х> 1,
( х2 —ах+2 = (х—I)2	((а —2)х=1.
При а = 2 система решений не имеет, при а#=2 получим
х> 1,
’ ‘ 1
. Х~ а-2 ’
при 2<а^3, приходим к ответу: при
а^2, а>3 решений нет.
Заметив, что —
а — 2
2<аг^3 x = -^-g, при
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с решением ирраци-
ональных неравенств.
Пример 10. Решить неравенство у/х — 4 <6 —х.
Решение. Переписав неравенство в виде
x-\-^Jx — 4 <6,
рассмотрим функцию / (х) = х+ух —4 . Эта функция определена
и возрастает на промежутке [4; + оо). Легко видеть, что уравнение
х + Ух — 4 = 6 имеет единственный корень: х = 5. Следовательно,
данное неравенство будет выполняться при 4^х<<5.
Ответ. 4^х<5.
Пример 11. Решить Неравенство ~\]2х-\-7 >	•
Решение. Положим \2x-\-7 =у. Тогда х~^~2—• Исходное
неравенство примет вид:
тя	У2-4z/ + 3<0.
Имеем:	'
<Л/2х+7 <3,
1<2х + 7<9,
— 3<х<1.
84
Пример 12. Решить неравенство
д/х3 + х-9 >х-1.	+	। ~ +
Решение. Рассмотрим два слу- .^5 q 2	3*
чая: а) х^1; б) х<1. В случае
а) имеем:	Рис- 17
х> 1,
х3Н-х —9>(х—1 )2.
Заметим, что приписывать неравенство х3Н-х— 9^0 в системе
нет необходимости — оно следует из второго неравенства системы.
Решив систему, получим: х>2.
В случае б) решений нет, так как при х< 1 х3-Рх — 9<0.
Ответ. х>2.
При решении иррациональных неравенств можно также приме-
нять метод интервалов. Этот метод основан на следующем утверж-
дении.
Если функция f на интервале (а\ Ь) непрерывна и не обращает-
ся в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Пример 13. Решить неравенство
4л2 — 8х—5 < 2х-|- 1
Д/Зх2— 6х	3
Решение. Область определения неравенства (— оо; 0)U
U(2; +00). На области определения данное неравенство равно-
сильно следующему: (2x-h 1) (6х— 15 —Д/Зх (х —2))^0. Для реше-
ния последнего неравенства применим метод интервалов. Рассмот-
рим функцию
/(x) = (2x-j-1)(6х—15 —д/3х(х —2)).
Решив уравнение /(х) = 0, находим ее нули: —0,5; 3. На каждом из
промежутков (— оо; — 0,5), ( — 0,5; 0), (2; 3), (3; + °°) функция f не-
прерывна и не обращается в нуль. Следовательно, на каждом из
них она сохраняет постоянный знак. Легко видеть, что если
х<—0,5, то /(х)>0, а если —0,5<х<0, то /(х)<0. Далее, так
как f (1,5)<0, а /(4)>0, то f (х)<0 при 2<х<3 и /(х)>0 при
х>3 (рис. 17).
Ответ. —0,5^х<0, 2<Cx^J3.
Дополнительные упражнения
б) Д/х2 —5х =3х —х2;
г) д/2х + 3 + д/х+ 1 =5;
е)	д/х-1 +Д/3-2х = 1;
з)	Д/2х- 1 + Д/бх — 1 =д/2х+ 1 .
б)	Д/5 cos х — cos 2х -h 2 sin х = 0;
1. кешите уравнения:
а) Д/х —3 +Д/12 —4х =0;
в) д/9 —х =х+ 1;
д) Д/2 —J— 4х — х2 = 2 — х;
ж) Д/х+1 +Д/7 —х =2;
2. Решите уравнения:
а) Д/2 sin х = —д/З^ tg х;
85
в)	Д/cos 2х4~Д/сГ sin х = — 2 cos x; г) Д/1 sin 2х 4~УЙГsin х=0;
д) Д/sin Зх-f-sin х = Д/sin 2х; е) Д/cos Зх-|-cos х =д/2” cos 2х;
ж)	cos х —sin х= у2 sin* 2 х—1 , х£[ —л; л];
з)	Д/1 —2 cos2 х 4-sin x-|-cos х=0, х(=[0; 2л];
и)	Д/2 —2 sin2 х — Д/cos 2х = 1;
Д /4sin2(«+-)-3
К) у 2COSX =2cos(y+x);
л) "^34-24 sin2 2x-sin 0^- —2х) +2 д/з" sin Зх=0.
3.	Решите уравнения:
3 (х—3)4-4 Д/гх2 —7x4-6
а । ----------------= ] •
2х (х—2)
б) Д/4Х2—д/х”—2 = 3 ~\[х — 2х;
в) ~Д/19 —х Ч-^х2-45х+ 133 = 6У7-2х;
г) Д/х-3-|-д/2х-7 +Д/х+1+ЗУ2х-7 = 7д/2;
д) Д/х^-Зх-рг -|-Д/х2-8х4-7 =~\/х2 —24x4-23;
е) 3_yiog^-(6 —Зх) 4-log3(x2 —4х-|-4) = 8;
ж) Vi +log3 • log. 9+W=0;
з) У1-|-log. У27” • log3 х-Ь 1 =0;
и) Д/Зх2 —7х-|-3 —Д/х2 —2 =Д/Зх2 —5х—1 -Ух2-Зх+4.
4. Решите неравенства:
а) Ух-3 <5 —х;	б) У9 —Зх 4~У4-х >У2х4-25;
в) Ух24-2х—8 >2х—5;	г) Д/ —х2-|-8х—12 >10 —2х;
д) У-х2-2х-Гз~>х4- 1; е) Д/х34-2х-32 >х-2;
ж) Д/х2 —Зх —4 <х—2;	з) Д/х2 —5x4-6 <х—2;
и) Ух4-8 — д/х-|-3 >д/х";	к) Ух 4- 6 >Ух 4- 1 4~У2х — 5;
л) У3x4- 1 -У4х-3 >д/х; м) Ух-3 4-Д/Н-х <2д/2;
н) У2х—3 4-УЗх-5 <У4х-7 4-У5х—9.
5. Решите неравенства:
а) (х—3)(х-5)Д/х2- 10x4-24 <0;
б) (х—1)(х—2)4 * б)(х-5)У(2х-3)(х-3)(х-6) >0;
86
(х-3)(х-5)д х-4
в)----—— \/у=2
х2 —2х—3 л /—г-77
1—х	V г 9^^’ 1 / ~~2—Г—ГТ УХ“Ь9 *
1—х	у х — 2	х^ — 6х-|-5
д) (х2 —7%+ 10)(Д/7 — 2х —х —4)>0;
е х-зУГГ? <Q	4х-5 х-Ц
^-6х-27	’	V?3"i7	2 Д/У '
6. Решите неравенства:
а) д/2-Д/2+7<3,О89(х+3>;
log3 log J X - 1 )
б)	Д/х-|-2Ух—1 +V*—2Д/х—1 >3	~	;
в)	Л/7-1оё2(*—I)2 + log2(1 — х)4>4;
ч Д/4 + Зх —х2	Д/^ + Зх —х2
г)	—2х1).у->	/|3	;
ч х—5	х —5
Д) ^^>7=3'
е) 2х2-Зх+7<7У(2х-1)(х-1);
ж) х2 — 5х + 6<3У(х—1)(х —4);
з>У^?+4<5УЖ-
7.	Решите неравенства:
а) хД/3 —х<—2;
в) xV5-^<-3;
Д) д/х3 —Зх24-2х > х — 1;
ж) х2 + 4хД/х—1 <12(х—1);
и) I(X-I)+1>A/2X-1;
8.	Решите неравенства:
а)	Д/2'+2х-1 <2-2х;
в) 2х — 1 >д/4х + 2х+'-3;
д) log2(^/x+4 —х —2)<0;
б)	хУЗ-х > —2;
г) хУГД<-2;
е) Д/х3 —5х2 + 6х <х—2;
э) -^ + -7<У6 —х +°>5>
к) д/ТТ<зх_лу3х_|.
б) д/26 — 25х > 6 — 5х;
г) 3х- 1 <Д/9х-Зх-2;
е) log। (х—Д/х2 — 2х —3 )^0;
ж) д/2 log4 х >1о£2Д/х;
з) log2|-2\
и) Д/1 —log5(x2 —4х + 5) <log5(бх2 — 20х+25);
к) Vlog4( —4 + 8х—2Х2) > log2 (— 2 + 4х—х2);
л) 52х-|2-3^7=Т_4.5х-6<51+зл/7=Т
87
9. Решите уравнения и неравенства (а и b — параметры):
a) д/х—3 = х—а\ ,
в) д/х—а = Ь — х;
д) Д/2х— 1 —Д/х — 2 = а;
ж) д/Зх—а = а —2х;
и) х+Д/1 —х2 =а;
л) х—2Д/х^Н-а<0;
б) Д/х2 —ах-)-За = 2 — х;
г) Д/2х—4 +Ух+7 =а;
е) Д/2Х2 —2ах+ 1 = х—2;
з) Д/х— 1 + д/З —х = а;
к) Д/|х| + 1 — уТхГ = а;
м) д/2х-4 +Д/х + 7 >а.
Ответы к дополнительным упражнениям
5л	2л	„	. Зл л л . л । ла
2. а) лп, — + 2лп, n£Z\ в) —+ 2лп, n€Z; ж) —; и)	,
n£Z; к) ^+2яп, n^Z. 3. д) —2; 1; е) -1; ж) •/-; и) 2. 4. а) 3<х<4;
3	И4-Л/22	г-
б) — 12,5 <х<0; в) х<—4, 2<х<—; д) -3<х<у2-1; ж) 4<х<8;
3
з) х=2, х>3; и) 0<х<1; л) —<х<1; н) х>2. 5. а) 3<х<4, х=6; б) х>6,
х=1,5, х=2, х=3; в) 1<х<2, х>5, х=4; д) х< —I, 2<х<3,5; е) 2<х<3,
6<х<9; ж) — 1<х<0, 4<хС6. 6. а) — 1+^-<х<2; б) у<х<2;
2	]_ т_	з_	2	4
в) 1 4-28 <х< 1 +22, 1 — 22<х<1— 28; г) — 1<х<0; х = 4; е) — 3,5<х<0,
1,5<х<5; ж) 0<х<5~^, 5 + ^<х<5-, з) -0,5<х<1. 7. а) х<-1;
б) — 1<х<3; в) х< — 1; г) х< — 1; д) 0<х<1, х>3~^^3'; е) х=2, 3<х<
<2 + Д/2"; ж) х=2; з) х<0, х = 2; и) 0,5<х<1, х>1. 8. а) — 0,5^х<0;
л/5"_5
б) 0<х< 1; в) х = 0; г) х>1; д) -У—--<х<0; е) х>3; ж) 1 <х< 16; з) х>4;
и) 0^х^4, х^=2; к) 2 —0,5Д/б~С*^2-|-0,5д/б", х=#2; л) 3<х<19. 9. а) При
2,75<Ja<J3 х=0,5(2а-|-1	11 ), при а>3 х=0,5(2а + 1 -|-Д/4а — 11 ), при
__4
а<2,75 решений нет; б) при —4^а<4 х=------— , при а< —4, а^4 решений
__________а —4
в) при b^a х = 0,5 (26-|-1 — Д/46 —4а-|-1 ), при Ь<а решений нет; г) при
а>3 х = За24-11 — 2а^2а2-|- 18 , при а<3 решений нет; д) при 0,5 Д/б"а<Д/з"
нет;
х=3а2— 1 ±2а Д/2а2 —3 , при а>д/3~ х = 3а2— 1 4-2а Д/2а2 —3 , при а<0,5Д/^ ре-
шений нет; е) при х = а-2~1-У/а2~4а-^-7 , при
4
а>0 х = -^(4а-|-3 —д/8а-|-9), при а<0 решений
8
9
<4
нет;
решений нет; ж) при
з) при Д/2~^а^2
\/4а —а	гг л	ч
х — 2±_1-------, при а<у2, а>2 решении нет; и) при 1<а<\/2
х = 0,5(а±Д/2 —«2), при — 1 <а< 1 х = 0,5(а —^2 —а2), при а< — 1, а>Д/2~ ре-
/ 1 \2
шений нет; к) при 0<а^1 х=±0,25(а----\ , при а^О, а>1 решений нет; л) при
О а < 1 2 — а — 2 —а < х< 2 — а-\-2 У/[—а , при а<0 0 х< 2 — а -|- 2 д/1 —а ,
при а>1 решений нет; м) при а>3 х>За2-{- 11 —2а Д/2а2-р 18 , при а<3 х>2.
88
12. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
При доказательстве неравенств используются самые разнооб-
разные приемы и методы.
Иногда нужный результат можно получить исходя из определе-
ния, т. е. из рассмотрения разности между левой и правой частями
неравенства, иногда полезным оказывается использование некото-
рого известного неравенства или оценка левой и правой частей не-
равенства. Иногда неравенство удается доказать путем сведения
его с помощью равносильных преобразований к очевидному (верно-
му) неравенству.
Пример 1. Доказать, что сумма двух взаимно обратных поло-
жительных чисел не меньше двух.
Решение. Пусть а — положительное число. Имеем: а +	’
— 2 = ~0, следовательно, а-|-“^2.
Пример 2. Доказать неравенство
а2 + Ь2 + с2 ab + ас + Ьс.
Решение. Сложив верные неравенства
a2 -\-b2^2ab,
а2-\-с2^2ас,
b2-\- с2^2Ьс
и разделив почленно на 2, получим доказываемое неравенство.
Пример 3. Доказать, что если числа а2, ...» ап образуют
арифметическую прогрессию, то ak+ian_k^alan (& = 0, 1, ..., и—1).
Решение. Пусть d — разность прогрессии. Тогда
ak+xan_k-axan = (a. + dk)(a{-\-d(n —	1)) — ^ (^-f-d (n-1)) =
= d2k (п — k— 1)>0, так как O^k^n— 1.
Пример 4. Пусть положительные числа аь а2, ...» ап образуют
арифметическую прогрессию. Доказать, что
---- п --------- а а
а}ап ^а{а2-...-ап	•
Решение. В силу неравенства Коши,
п.	-ha2 + ••• + ап	ai~han
y/ala2-...-an <---------= —— .
Далее, ak^.xan_k^axan (для й = 0, 1, 2, ..., и— 1) (см. пример 3). По-
этому
(a1a2-...-aJ2 = (aIart)(a2^-i)---(^i)Xaia«A
или
^аха2-...-ап^у[а{ап.
(1 \ л
1+“) яв-
ляется возрастающей.
89
Решение. Рассмотрим /г-j-l положительных чисел
1; 1+-; 1+-;	1+1
п 1 п	' п
п чисел
и применим к ним неравенство Коши. Получим:
1 -|- П 1 Н п +1 ГТ-ГТ—	я + 1 / 	.
W+y. - е- >++> W+y. -
('+7ТтУ + '>(‘+ +
что и требовалось доказать.
Рассмотрим некоторые упражнения из учебного пособия.
274.	Доказать неравенства:
1)	х2 + г/2>|; 2) х4+/>|; 3)
при условии, ЧТО Х^О, Z/^О И X-|“Z/=1.
Решение.
1)	х2 +z/2==(x+z/)2 —2xz/ = 1 -2xz/> 1 -2 (^)2=1;
2)	x4 + / = (x2 + i/2)2-2x2/>1-2x2//2>1-2(^)4=|;
3)	x8 + //8 = (x4 + /)2-2xV>±-2xV>^-2(^)8=-lg.
275.	Доказать неравенства:
3)	«!>л2; 4) 1 +-’L+_L + ...+-L >2^+1 -2;
»3) тЪ+тк+тТУ 14> Л/(« + *)(^ + /)(с + т)>^7+
-b-yjklm (а>0; Ь>0; с>0; /г>0; />0; т>0);
16) Д/л
‘7>(‘+7У<(>++гУ+'<^
18) 2<(1+1)-+'<(1++)Ч4;
19) (х, + х2 + ... + х„)(-1 + -1+...+1-)>л2 (х,>0, i=l, 2. n);
23) (а + й)п<2п-1(ая + />я)(а>0, 6>0).
Решение.
3) Воспользуемся неравенством из примера 4. Взяв aj = l,
--------------------- п ------- -------- п --
«2 = 2, .., ап = п, получим: yl-п у1 -2-...-П, или ум \п\, от-
п
куда п!^п2.
Знак равенства имеет место лишь при п—\ и при п = 2.
90
4) Доказательство проведем методом математической индук-
ции. При и=1 данное неравенство верно, так как 3>2д/2". Пусть
данное неравенство верно при n — k\ докажем, что оно будет вер-
ным и при n = k-\-\. Имеем:
1
L+...+ -!=+-Д= >2=
= 2(Vfe+T-V^ + 2)++ 2y[k + 2 -2 =
=(#гетда)+2да-2>
>fe-WrTWf)+2^“2=2^+7“2-
13) Неравенство справедливо при а>0, b>0, с>0.
Решение. Пусть b-j-c = 2x, с-)-а = 2у, a-)-b = 2z. Тогда
a + b-f-c = x + y + z, a = y + z — x, b = x-\-z — y, с = x-\-y — z.
Имеем:
2а . 2b . 2с _ y+z — x . x+z — y . x+y — z _
b + c'c + a'a + b x	’ у ' z
-(v+7) + (7+7) + (7+7)-3>2 + 2 + 2-3=3'
14) Возведем обе части данного неравенства в куб:
abc + bck + acl + ckl + abm + bkm + alm + klm	(1)
3 _____ 3 ___ 3 ____
abc + kirn+ 3\abcklm (^Jabc + ~\lklm ).
Неравенство (1) перепишем в виде:
(abm + bck + acl) + (alm + bkm + ckl)	(2)
^Зу/abcklm -(S/abc +'\[klm).
Для доказательства неравенства (2) применим к каждому слагае-
мому левой части неравенство Коши:
abm + bck + acl 3 ~\ja2b2c2klm ,
alm + bkm -J- ckl 3 ^abck2l2m2,
Сложив почленно эти неравенства, получим неравенство (2).
16)	Воспользуемся неравенством из примера 4. Положив 04 = 1,
«2 = 2, ..., ап = п, получим:

—	14-м
т. е. \п уп! .........
17)	Из результата примера 5 следует, что последовательность
/i , 1V	_
ал = (1+ —) является возрастающей: «л<ал+1, т. е.
(1+1)-<(, +. г.
91
Для доказательства того, что ал<3 (или, что то же самое,
ал+1<3), можно воспользоваться формулой Ньютона.
18)	Пусть Ьп = (\ +“У+1- Тогда bn_x = ( 1 zyY- Имеем:
*я-1__/ п \я./л4-1\я + 1___	«2л+1
bn U-1/ \ п )	~~ (/г-1)я (м+1)л+1
__/ п2 у п 	/. .	1 у п
’„+1______________________’7+Т-
Согласно неравенству Бернулли,
Так как
1, т. е.
,	,	/1 I 1 V+1 ^/l I 1 \я
bn<bn_i\ неравенство (1+J	<(1 +—’f ) Д°казано-
По неравенству Бернулли,
(1+1)п+,>1+^±1 = 2+1 >2.
у п /	п	п
Осталось доказать неравенство
14
-1-Y<4(n = 2, 3, ...)•
п— 1 /
При /г = 2 и п = 3 неравенство выполняется.
При /г^4 имеем:
< 3 (1 + -V) = з+-Ц- < 4.
у п — 1 /	п —1
19)	Указание. Примените неравенство Коши к числам аъ аъ ...,
1	1	1
..., ал, а затем к числам — , — , ..., — и перемножьте полученные не-
а1 а2	ап
равенства.
23) Применим метод математической индукции. При п=\ нера-
венство справедливо. Предположим, что справедливо неравенство
(а-± b)k^.2k~' (ak + bk). Тогда
(a + b)k^i=(a + b)k(a + b)^2k~i(<ak + bk)(a + b) =
= 2*-' (a*+l + ^+l + a6A + a*6)<2*-'-2 (a*+l+ />*+') =
= 2*(а*+' + &*+1),
так как разность (ak+l bk+') — (abkakb) = (a — b)(ak — bk)^Q и,
следовательно, abk + akb ak+1 + bk+
92
13. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Решение систем линейных уравнений. Линейным уравнением с
переменными хь х2, ...» хп называется уравнение вида
a1xl + a2x2 + ... + a„xx = i>.	(1)
Числа аь а2, •••> ап— коэффициенты уравнения — любые действи-
тельные числа.
Для решения системы т линейных уравнении с п переменными
удобно пользоваться методом Гаусса.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Дана система
|2x + 3z/ = 8,	m
t 3x4-0,5/7 = 4.
Преобразуем ее в равносильную систему так, чтобы коэффициент
при х во втором уравнении равнялся нулю. С этой целью умножим
первое уравнение на —1,5 и прибавим почленно ко второму урав-
нению системы. Получим систему
Г 2х-|-3^ = 8,	/л\
\—4у = -8,
откуда легко находим, что у = 2, х=1.
Ответ. (1; 2).
Пример 2. Решить систему уравнений
' х4-//4-2==6,
- 2x4-3z/-52=-7,
3x4-5z/4“4z = 25.
Решение. Прибавляя почленно первое уравнение, умножен-
ное на —2, ко второму уравнению системы и, умноженное на — 3,
к третьему уравнению системы, получим систему, равносильную
данной:
х4-//4- 2 = 6,
/7 —72= —19,	(4)
.	2/74- 2 = 7.
Заметим, что второе и третье уравнения системы (4) содержат
только переменные у и 2. Исключим из третьего уравнения пере-
менную у. Для этого умножим почленно второе уравнение на —2 и
прибавим к третьему уравнению:
*4-/7 + 2 = 6,
/7-72=-19,	(5)
2 = 3.
Подставив 2 = 3 во второе уравнение системы (5), находим:
/7 = 2. Далее,.подставив /7 = 2 и 2 = 3 в первое уравнение, находим:
х=1. Итак, данная система имеет единственное решение (1; 2; 3).
Системы вида (2) и (5) называются треугольными.
93
Пример 3. Решить систему уравнений
1x-\-2y — z = 2,
2х—i/ + 3z = 5,
х—3i/-|-4z= 1.
(6)
Решение. Постараемся привести систему к треугольному виду:
(6)
х 4-2^ —2 = 2,
— 5z/-|-5z = 1,
— 5у 5z = — 1
х-|-2# —z = 2,
— 5i/ + 5z= 1,
0-z = -2.
Последнее уравнение противоречиво, система не имеет решений.
Рассмотрим систему, в которой число переменных не равно чис-
лу уравнений.
Пример 4.
( х—2#-|-3z = 5,
\2x-3y + 2z=l.
Умножив первое уравнение на —2 и прибавив почленно ко вто-
рому уравнению, получим:
( Х-—2z/-|-3z = 5,
(z/ —4z=—9.
Перенесем слагаемые, содержащие переменную z, в правую
часть уравнений. Система примет вид:
(x—2y = 5 — 3z,
( z/ = 4z —9.
Относительно переменных хну система (8) имеет треугольный
вид. Находим:
f x=5z — 13,
I j/ = 4z —9.
Система (7) имеет бесконечно много решений вида (5z—13;
4z —9; z), где z— любое действительное число.
Ответ: (5z—13; 4z — 9; z), где z£R.
При исследовании систем двух линейных уравнений с двумя пе-
ременными удобно пользоваться следующей геометрической интер-
претацией.
Будем считать, что в каждом уравнении системы хотя бы один
из коэффициентов при переменных отличен от нуля. В этом случае
каждое уравнение системы является уравнением некоторой прямой
на координатной плоскости.
Эти прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпа-
дают. В первом случае система имеет одно решение, во втором не
имеет решений, а в третьем система имеет бесконечное множество
решений.
Пример 5. Решить систему уравнений
Г (а-|- 1) x-|-2z/ = 2a4-4,
| x-haz/ = 3.
(9)
94
Решение. Воспользуемся геометрической интерпретацией си-
стемы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Начнем со случая а = 0. При а = 0 система, очевидно, имеет
единственное решение.
Пусть теперь а=/=0. Перепишем систему (9) в виде:
1	. 3
—
а а
(Ю)
Угловой коэффициент прямой, задаваемой первым уравнением
системы, равен —0,5(а+1), а угловой коэффициент прямой, зада-
ваемой вторым уравнением системы, равен —Поэтому при
—	0,5 (а-|- 1)=/= — —, т. е. при а=/= 1 и а=/= —2 эти прямые пересека-
ются, и, следовательно, система имеет единственное решение. Най-
дем это решение.
Приравнивая правые части уравнений системы (10), получаем:
х 3
—	0,5 (а+ 1) x-ha + 2= — ~ + ~, откуда после упрощений находим:
х = 2	(а=/= 1; а=/=—2). Подставив найденное значение х в лю-
бое из уравнений системы (10), имеем у= . При а=—2 пря-
мые параллельны и не имеют общих точек. Подставив а= —2 в ис-
ходную систему, получим систему ( х — 2// = 0, явно не имеющую
( х —2z/ = 3,
решений.
При а—\ прямые совпадают, система имеет бесконечно много
. п	1	I х+# = 3,
решении. Подставив а=1, получим систему < о равно-
I х+у = 3,
сильную одному уравнению x-|-z/ = 3, все решения которого имеют
вид (/; 3 —/), где t£R.
Ответ. При а =/=—2, а=/=1 система имеет единственное реше-
2 (а4~3)	1	о
ние: х =	» У= а~+2 ’ ПРИ а= система решении не имеет;
при а=1 система имеет бесконечно много решений (/; 3 —/),
где
Отметим, что исследование можно провести и без использова-
ния геометрической интерпретации. Проиллюстрируем это решение
на том же примере.
Умножим второе уравнение системы на —1 и прибавим к пер-
а
вому уравнению, умноженному на —, получим:
(а2 + а — 2) х = 2 (а2-}-2а — 3), или
(а + 2)(а-1)х = 2(а + 3)(а-1).	(11)
Если а =/=—2, а=/=1, то уравнение (11) имеет одно решение:
95
2 (a4-3)	и
x=——. Подставляя найденное значение x в любое из уравне-
а4-2	!
ний системы, находим*: у =—— . При а= — 2 система J х —2z/ = 0,
а+2	\х-2у = 3
несовместна, при а=1 система ( х-|-# = 3, имеет бесконечно много
(х4-# = 3
решений, и мы получили такой же результат, что и раньше.
Решение нелинейных систем уравнений. Решение систем урав-
нений основано на правилах перехода к равносильным системам
или к следствиям. При решении систем уравнений применяются
различные методы: разложение на множители, исключение пере-
менных, алгебраического сложения, замены переменных и др.
Дадим указания и краткие решения некоторых упражнений из
учебного пособия.
293 (3). Решите систему уравнений
x+z/==x2,
Зу — х=у2.
Решение. Выразив z/ = x2 —х из первого уравнения системы
и подставив во второе, получим уравнение х4 — 2Х3 — 2х2-|-4х=0,
корни которого х=0, х = 2, х= Решениями исходной систе-
мы являются: (0; 0), (2; 2), (Д/2; 2-Д/2), (-Д/2; 2 + д/2).
295. Решите системы уравнений:
7)	( /+/+Л,	*¥. Ю) +
(х4-# = 4;	3____
{х + у + Зу/Ьху =Ь.
7)	Указание. Первое из уравнений системы является одно-
родным уравнением. Разделите почленно на z/4.
10)	Указание. Первое уравнение системы можно привести к
виду	если вынести за скобки в первом подкорен-
3 ----------- 3	t-
ном выражении ух4 и во втором у у4.
298. Решите системы уравнений:
•) л? = 243,	2) (	=
(!024)МИ’	=	Л
3) f log2(# —x)-log8(3#-5x) = 0,	7) f cos2 #4-3 sin x sin у = 0,
| x24-#2 = 5;	121 cos 2x —cos 2# = 10;
8)	f tgx-bctg# = a, 11) f д/д — х —V# —x =V#,
I ctgx+tg#^2;| vr-+v—-=W;
12> Vx-bV7 —Vx—V# = i.
. Vx2—# h-Wh-# = 1.
96
Решение.
1)	Из первого уравнения находим: х = 243у; подставив его во
1	2	10
— 4	/2\— 4
второе уравнение, получим: 1024у = — -243^, или (уР =-д , откуда
// = 5. Затем находим х = 3.
Ответ. (3; 5).
2)	Указание. Логарифмированием обоих уравнений по осно-
ванию 10 сведите систему к рациональной относительно перемен-
ных и=—~—^ v = y[x
~	/16	4\
Ответ- (вГ; 9>
3)	Из первого уравнения находим: (z/ —х)3 = Зу —5х. Разделив
полученное уравнение почленно на второе уравнение системы, по-
лучим: 5(z/ — x)3 = (3z/ — 5x)(x2 + z/2). После преобразований имеем:
z/(2z/2-10xz/+12x2) = 0.
Ответ. (1; 2); (-А/5; 0); N=; 4А
тх ТЛ	•	COS2Z/ , .	. л
7) Из первого уравнения находим sin х—-----------(sin у=/=0, так
3 sin у
как в противном случае sin z/ = cos у = 0) и, подставляя во второе
уравнение (заменив в нем cos 2х на 1 —2 sin2 х), после преобразова-
ний получаем:
2 cos2 2у + 25 cos 2у — 13 = 0,
откуда cos 2# = -^. Тогда из второго уравнения получаем:
cos 2z/ = |,
у является следствием
cos 2х = —
cos2x = -^. Система уравнений
исходной системы. Решив ее, получаем:
х= +ян, ngZ,
у=	k£Z.
Выбираем пары чисел хну таким образом, чтобы sin х и sin у име-
ли разные знаки (см. первое уравнение исходной системы).
Ответ.
х=( — I)"-1-1-ли, ПЕ4
// = (-1у+1^ + лй, k£Z-
х=(-1)'1+'-14-лл, n£Z,
kez.
4 Заказ 134
97
8) Система разрешима, если а <2 О или а^2:
x=arctg-----------\-nk,	k£Z,
, а ± Л]а2 — 2а .	г ~
z/ = arctg--------\-пп,	n£Z.
И) Указание. Перепишите систему в виде:
д/а —X =г\]у — х +л/у,
. У1Ь — х =л/у — \1у—х,
возведите каждое из уравнений в квадрат и сложите полученные
уравнения. Система имеет решение при а^Ь>0.
ab	а-\-Ь
Ответ. х=—— ; у = —J—.
а-\-Ь я 4
12) Указание. Возведите каждое из уравнений системы в
квадрат, затем, после уединения корня и повторного возведения в
квадрат, получите систему:
1
*-//=4 >
Ответ.
5 . 3\
8’8/
Дополнительные упражнения
1.	Решите системы уравнений:
a) J x-]-z/ = 3;	б) ( 2х — у = 3, в) Г Зх-|-л/ = 7,
t 2х — 3z/=H;	\бх —3z/ = 2;	(6x + 2z/=14;
г) ( ах + у = 3а— 1, д) Г (а + 2) х + // = 3,
( х + ау = 2\	1 ах-\-2у=\.
2.	Найдите все значения параметра а, при которых система
уравнений:
а)	На+\)х + 2у = а,
1 x + (a + 2)z/ = 0 не имеет решении;
б)	( ах + (а + 6) у = 3,
| x + az/ = a —2	имеет бесконечное множество решении.
3.	Решите системы уравнений:
а)
x + z/ + z = 2,
2х—3z/ + 5z= — 1,
— 5x+2i/ — z= — 3;
б)
х+«/ + г= 1,
3x+5z/ + 2z = 3,
2x-|-4//-|-z = 2;
в)
*+2z/ + z = 3,
— 2х -|“ у -|“ 3z = 1,
x-|-7z/-|-6z = 8.
98
4. Решите системы уравнений:
а) Г x2 = 4x-|-5i/,
I у2 = 5х+4у,
г) (х3 —1/3 = 65,
( х2// — ху2= —20;
д) Г x+3xz/4-2i/= —4,
I 3х—ху + у = 3\
5. Решите системы уравнений:
а) Г x2-|-z/2-|-3xi/ — 4х — 4z/4-3=0, б)
( xz/4-2x4-2z/ = 5;
в) f x4 + yt + x2 + y2 = 22,
б)
ху + 24=^~, в){х3 + //3 = 7,
зу [хгу + у2х=-2-,
ху-6=^-,
е) (ху + 2у2 + 2х — у = 7,
I Зху — у2 + 6х + Зу = 20.
I ху = 2;
д) ( x24-6xj/-|-4i/2==20,
| х + 2у + ху = 6;
х /у-~ху_
у \ х )
2y2 — xl = 1;
ж)
6. Решите системы уравнений:
а) ( 2Х24-Зху + 2у2 = 4, б)
( 4Х2 — 4ху — z/2 = 8;
в) Г х2 — 3xz/ + 2 = 0,
I у2 + ху — 3 = 0;
е) Г х3— у3 = 7,
I 2х?у — Xi/2 = 6;
7. Решите системы ;
а) Л]хг-\-4у =2у — х,
хУ/^ — у2 = 2х + 1;
в) ( ху[у'+уу/х=6,г)
I x2z/-|-xz/2=20;
, х—Д/х2—i/2
е) -----\ ..-— — х,
. Х + ^-~У
2(х + у) = 3ху,
х2+у2+2х+2у — 7х//4-3=0;
г) ( 5(х4 + /) = 41 (x24-i/2),
(x24-xz/4-z/2=13;
е) f (х+//+ 1)24-(x+i/)2 = 25,
t x2-i/2 = 3;
з) Г 2+_L_|_Xj/ = 5
I х—у
]	. 6(х — у) А
ху-\—Ц-^ = 4.
I х+л
х2 — ху+у2 = 3,
2Х2 — ху — у2 = 5;
х3 —2//3 = 6,	д) Г хР + 2ху-Зу2 = 0,
2xiy — xy2 = Q;	{ х|х|-|-z/|z/| = —2;
ж) ( 4у2—3ху = 2х — у,
| бх2 — Зу2 = 4х—2у.
уравнений:
б) y/xi — 4xy + y2 =х — у,
;	Д/^+1б|7Г=3 +lyl- 2Х2;
х+у+3 д/х7=1, д) (у}х+2у —yjx— 1=1,
=10; [ Д/5-21/ +2=Vx+2i/;
у
у
= 185;
99
8.	Решите иррациональные уравнения сведением к рациональ-
ным системам:
а) Д/49 —2х + д/33 + 2х =4; б) д/17 —х +Д/х—1 = 2;
в) д/х-1 + Д/2-Х = 1;	г) Д/2 —х + Д/х-1 = 1;
д) д/24 -|- х + Д/12 — х =6;	е) д/х+Д/х—Д/1 —х = 1.
9.	Решите системы уравнений:
а) I 3*' ’ + дЛ4-3’ = /,
( 32х+у + Зх+24,= 12;
б) Н2х+уУ = 9, в
(2х+//)-2х=18;
д) f i/25x=4200, е)
( х—log2(8i/)==3;
Х3=£/-',
5
(Зу2+ 1) log3 х=4,
, (д/х")2у2+10 = 27;
(х+^-З^Ц,
_j,	.2 log7(x+i/)=x—у,
ж) (3x-w)x+!/ = 4,	з) Г 2-15х+15»=5х-3-»(
।	I 2-Зх-у_Х=3-9Х
48x+!' = 27x2-18xi/ + 3j/2;
10.	Решите системы уравнений:
а)
б)
в)
г)
д)
e)
ж)
(1+logx«/) log2 х—3,
logs (^х2) —0,5 log1r-z/4 = 7;
V7	v
x log2log j 4 = y^[y (\ogx4 — 2),
У —
log 64-log4 x —2;
У
lg2f=31g2x+lg2i/,
lg2(// — 3x) + lgxlg j/ = 0;
1оёд/7 x2+logxr/ = 5,
2 log? x _	— , ,
-—— = 5 — 2 +log9 x;
logs#
log2 x + log|i/ —log^(x4-i/)=l,
3	3	3
log^x-log3 1/+Iog3 (x+z/) = 0;
’ 2 log2(x+i/) —log2x=2 log164 — log±(3i/ — x),
log2	xy + 3--= 2 log4 —;
[	62x24-3x+1-#	& x
х'О85Ч«/'Ов5Х = 50,
log25 x + log25 У = 1A
xl+log7* = 49x,
log7J/ —log7x=l.
100
И. Решите системы уравнений:
a)	sin z/4-cos 2х = 2, .	5л [x+i/=T;	6)	Л x-^=6’ . tg x tg z/= 1;
в)	• 2 i • 2	I sin x+sin у = -^,	r)	.	Л x+^=6’
	4л		д/з"
			sin x sin y= —— ; t	2
д)	1 у~х=з> cos2 лх + cos2 л у = j ;	e) J	f sin у = 5 sin x, [ 3 cos x4-cos z/ = 2;
ж)	Г sin x-hsin у= 1,	3) .	f 6 cos x4-4 cos y — 5.
	| cos x-j-cos у = Г,		( 3 sin x-j-2 sin z/ = 0;
и)	• 2	1	2	11 sin х4-cos У — -7Т ,		
	и 16 . % + //	х — у	5 [sin /cos 2 =8;	K) .	sin x+cos y = J, cos 2x+2 cos y= 1;
л) 1	( 3 sin (х — 2у)-|-2 sin у cos i ( cos (х—z/) = 3 cos (x+у)-,	(x—	y)=o.
м)	4 cos у (cos x—cos y) = cos х+у sin у sin - x , 2	2	2		
	2^-x=y;		
н) Г sin (2x-hz/) = 2 sin уу
( sin (2у4-х) = 3 sin х.
12.	Решите системы уравнений:
f cos x=sin y,
( д/2 — 2 cos 2x = 2 cos 2y\
f cos x = 2 sin y,
б) ( sin х = 2 cos уу
г) ( д/cos 2z/+ cos х = — cos у,
Д) f д/sin х = cos yy
( cos 2x = sin2 y\
e) | д/cos *+sin у — — sin x,
( cos x —sin //= cos2 x.
13.	Найдите все решения системы уравнений, удовлетворяющие
указанным условиям:
а)
sin 2x = sin у,
sin x = cos у,
О^х^л, O^z/^л;
б) Г sin х 4-cos z/= 1,
[ cos 2x —cos 2y = 1,
0^х^2л, 0^z/^2n;
в) ( |sin x| sin y= —0,25,
| cos (x4-//)4-cos (x — y) = 1,5, 0<х<2л, 0<//<2л.
101
14.	Решите систему уравнений
(2 х -|- 2х cos 2у + cos у = О,
( 2~х — 2х sin 2у — sin z/ = 0.
15.	Решите систему уравнений
Г tg2x=tg(8 — у),
I log2 У = log2 (4у — у1 2) — log2 х.
16.	Найдите все пары (х; у), удовлетворяющие условиям:
а) ( 2|х-3| = 32-у,
I \У~31+У2+ 1 <31/;
б)
17.	Решите системы уравнений:
а)	Tt LO II II о ++11	6)	xy + yz= —4, yz + xz = — 9, xy -|- xz = — 1;
в)	' х + у= — 1, xy + yz + xz= —10, k x2 + z/24-z2 = 29;	r)	' x + y + z=l, x2 + y2-i-z2= 1, x3 * * * * 8 + y3 + z3 = 1;
д)	' x + y + z = 9, -+-+-=1, X у г . xy + xz + yz = 27\	e)	x3 = xz/z-|-2, y3 — xyz-j-3, z3 = xyz — 3;
ж)	'	+V^=4, X-h//H-2 = 6, . x2 + i/2 + z2=18;	з)	’ log2x+log4x4-log4z = 3,5, log4x+log4 z/ + log2z = 4,5, log4 x+l°g2l/ + log4z = 4.
Ответы к дополнительным упражнениям
1. а) (4; —1); б) нет решений; в) бесконечно много решений вида (/; 7 — 3f), t£R\
ч у .	За + 2	1
।) при аФ zb 1 единственное решение: х =-------, у — -------; при а= — 1 нет ре-
а-|- 1	а+ 1
шений; при а= 1 бесконечно много решений вида (/, 2 — /), t^R\ д) при а=#= —4 един-
5	2 — 2а	„ о	Q
ственное решение: х =-----у—-----------; при а= — 4 нет решении. 2. а) а= — 3;
а-}-4	a~i~4
б) а —3. 3. а) (1; 1; 0); б) ^1 —1,5/; --; /^; t£R\ в) нет решений. 4. а) (0; 0), (9; 9),
б) ( — 4; —2), (4; 2). Указание. Введите подстановки: ху — и, —=v. %ля нахож-
у
дения х2 и у2 почленно перемножьте и разделите эти равенства; в) (2; — 1), (— 1; 2),
д) (1; -!),(-!; 3). 5. б) (2; 1), (1; 2); г) ( + 3; 4=1), ( + 1; +3). 6. д) (-1; -1),
(- 1,5; 0,5); ж) (0; 0), (1,1),	; —10. 7. а) (- 1; 0),(-0,5; 0,5); б)(0; -9), (0; - 1),
(1; 0); г) ( — 4; -1), (-1; -4); д) (5; 2); е) (0,25; 0,2); з) (9; -4), (16; -3); и) (4; 4)
8. а) —16; 24; б) 1; в) 1; 2; г) 1; 2; 10; д) 3; -24; -88; е)
25
Указание: д/х" = и, л]\—х = v, ух — ЛД
х =w. Уравнение сводится к системе
102
u^-w— 1, u2-\-v2= 1, w2 — u2 — v. 9. a) (0; 1), (1, 0); r) (1; 1), ^2; А; ж) 6|-; —-A
_з 2 X	/ X /
з)	(“4’ “4)io*a) (2,4)> (212; 2-9); б) (25; 25); b) (1; 4)> (l; 2); r) (9; 9K
(Vl°g2 5; V(,og25)4 X д)	-0; e) (1; 1), (с; 3c), где OO, c£R.
11. а) ^2л/г;	—2лА; б)	+ л/г; -1-|-лА	—-^- + лА
у 2	/	\«3 о /	\ о	□	/
в)	—-~ + лА Д)	Л + ч‘\ е) (2л^; л+ 2 л/г); л) (nk\ -^-4-лА
У О	О / у 3	□ /	у z /
(zbarctg^^ + лй; ±-^-+л/г); н) (лй; ли), (±arctg-l-+лй; ±arctg-^ +ли).
,2. а) (у + лй; лл); б) (лй; у + л«); г) +	я+2я«). (±arccos|+2nft;
^-+2лл^;е) (-у+2лй;(-1)" arcsinj + лл). 13. а) (у;о), 0г;у);б)
(|;Т)’ (V;7)’ (Т^)'14’ (°;|+211")’ (0.5; ^- + 2лл). 15,(4-л;л).
16. а) (3; 2); б) (2; 1). 17. а) (2; 2; 3), (-3; 7; -2); б) (1; 2; -3), (-1; -2; 3);
В) (_3; 2; 4), (2; -3; 4), (-4; 3; -2), (3; -4; -2); д) (3; 3; 3); е) (2; W’, Д/Й
(д/ojT; УГб"; -д/^б"); ж) (1; •; 4), (I; 4; 1), (4; 1; 1); з) (2; 4; 8).
14. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ
И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ
Формирование умения решать задачи на нахождение наиболь-
ших и наименьших значений — одна из самых важных целей изуче-
ния математического анализа в школе. Решение задач этого типа,
основанное на применении производной, имеет большую приклад-
ную направленность.
Известно, что если функция f непрерывна на отрезке [а; 6], то
она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения,
т. е. график функции имеет на этом отрезке точки с наибольшей
(Л1) и наименьшей (ди) ординатой (рис. 18).
Если функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение
в некоторой внутренней точке отрезка [а; 6], то это наибольшее
(наименьшее) значение совпадает с наибольшим (наименьшим)
максимумом (минимумом) функции f внутри [а; Ь]. Но может ока-
заться, что наибольшее (наименьшее)
значение функции достигается не во
внутренней точке отрезка [а; Ь], а на од-
ном из его концов. На рисунке 18 функ-
ция /, непрерывная на отрезке [а; Ь], в
точках %i и х3 имеет максимумы, а в точ-
ке х2—минимум. Наибольшее значение
функция принимает в точке х3— в точке
Рис. 18
Здесь и далее n£Z, k£Z.
103
наибольшего из максимумов. Свое наименьшее значение функция
принимает на правом конце отрезка — в точке Ь. Заметим, что функ-
ция f в точке b не имеет экстремума, так как справа от точки b
функция не определена.
Поэтому правило нахождения наибольшего и наименьшего зна-
чений функции, непрерывной на отрезке, формулируется следую-
щим образом.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, не-
прерывной на отрезке и имеющей на нем конечное число критиче-
ских точек, нужно найти значения функции во всех критических
точках и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наи-
большее и наименьшее. (Критической точкой функции называется
внутренняя точка области ее определения, в которой производная
равна нулю или не существует.)
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f (х) = 5	1 — х на отрезке [4; 40].
Решение. Находим критические точки функции, лежащие
внутри данного отрезка:
Г(х)= . 5	-1,
д/2х+ 1
П'(х) = 0, ^х_12
(4<х<40 о х“12’
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критиче-
ской точке: f (4) = 11,/ (12)= 13, f (40) = 5. Из полученных значений
выбираем наибольшее и наименьшее:
max/(х) = /(12) = 13, min / (х) = / (40) = 5.
[4, 40]	[4, 40]
Пример 2. Дана функция /(х) = lx2 —6х-|-5|. Найти наиболь-
шее и наименьшее значения функции / на отрезке [2; 6].’
Решение. Рассмотрим функцию / на отрезке [2; 6]:
и	—х2 + 6х —5 при 2<х<5,
'	х2 —6х-]-5 при 5^х^6.
Для нахождения критических точек функции /, непрерывной на
[2; 6], нужно найти внутренние точки отрезка [2; 6], в которых про-
изводная равна нулю или не существует. Имеем:
ч / — 2x4-6 при 2<х<5,
/	|2х — 6	при 5<х<6.
В точке х = 5 производная не существует; /'(х) = 0 при х = 3. Итак,
критические точки: 3 и 5.
Вычисляем значение функции в критических точках и на концах
отрезка: /(2) = 3, /(3) = 4, /(5) = 0, /(6) = 5;
max / (х) = /(6) = 5, min / (х) = /(5) = 0.
[2, 6]	[2, 6]
Замечание. При нахождении критических точек можно ис-
ки
пользовать соображения геометрического характера, изобразив
схематически график функции (рис. 19).
Приведем пример задачи геометрического содержания, которая
сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функ-
ции, непрерывной на отрезке.
Пример 3. В основании пирамиды MABCD лежит прямоуголь-
ная трапеция ABCD, в которой АВ и CD параллельны, угол АВС пря-
мой. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. Через
вершину М и произвольную точку К, взятую на ребре ВС, проведе-
но сечение, параллельное прямой АВ. Найти наибольшую и наимень-
шую площади сечения, если АВ = 2, ВС = 5, CD=\, МВ = 2л/2.
Решение. Сечением пирамиды является прямоугольный тре-
угольник MKN (рис. 20). Проведем DL — высоту трапеции. Точку
пересечения прямых DL и /<W обозначим через Р. Пусть ВК = х,
тогда KC = PD = 5-x, AL=\, РК=\, МК^хГ+Я. Из подобия
Пгх*т т гл л	PN PD	пкт 5 — х
треугольников PDN и LDA находим:	откуда PN =
AL , LD	D
ьл * т 5 ^ii 10 х
и KN=——h 1 =—— .
D	D
Площадь сечения MKN равна s(х)=-^КМ— х)Х
ХД/г’ + в, гдеО^х^б. (Заметим, что при х=0 и х = 5 сечениями
являются соответственно треугольники АМВ и MCD.) Перепишем
формулу для площади в виде:
s(x)=-^V(10-x)2(x2 + 8), 0<х<5.
Рассмотрим функцию /(х) = (10 — х)2(л^Н-в), где О^х^б. Найдем
ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0; 5]. /' (х) =
= 4 (х—10) (х2 —5x4-4), где 0^х^5, /' (х) = 0 при х= 1 и х—4. Вы-
числяем /(0) = 800, /(!)== 729, /(4) = 864, /(5) = 825. Таким образом,
наибольшее значение функции /(х) достигается в точке 4, наимень-
шее в точке 1. В тех же точках соответственно достигаются наиболь-
шее и наименьшее значения функции s(x). Находим s (4) = 1,2 д/б~,
105
$(1) = 2,7. Наибольшая площадь сече-
V	ния равна 1,2 д/б”, наименьшая 2,7.
Отметим два частных случая, когда
наибольшее (наименьшее) значение
\	находится наиболее просто.
\	1. Если функция возрастает (убы-
\	вает) на отрезке [а; Ь], то ее наиболь-
шее и наименьшее значения достига-
т	I	ются на концах отрезка (рис. 21, 22).
____________I_________________ Заметим, что минимумы и максимумы
"да х0 b х функции на отрезке [а; 6] в этом слу-
чае отсутствуют, а наибольшее и наи-
рис 24__________________меньшее значения у непрерывной функ-
ции на отрезке обязательно существуют,.
2. Если функция /, заданная на отрезке [а; Ь], возрастает на [а; х0]
и убывает на [х0; 6] (рис. 23), то f (х0) является наибольшим значе-
нием функции на отрезке [а; Ь]. Аналогичное замечание и для наи-
меньшего значения (рис. 24).
Пример 4. Найти наибольшее значение функции
f (х) = х In 5 —х In х
Г5 о cl
на отрезке hr; 2,5 .
L о J
к
Решение. (х)= In 5 —In х—1 = In--------In х, /'(х) = 0 при
5
х=~. Сравнение значений функции на концах отрезка и в крити-
ческой точке приводит к сложным вычислениям. Вместо этого про-
ведем исследование функции на монотонность. Учитывая непре-
5	5	5
рывность функции в точке хо~~ и тот факт, что при —про-
5
изводная положительна, а при — <х^2,5 отрицательна, приходим
[5	51
-у; —I функция возрастает, а на
промежутке ; 2,б| убывает. Это и означает, что значение функ-
106
ции в точке х0=— является наибольшим из всех значений функции
на данном отрезке.
Отметим, что наибольшее и наименьшее значения функции, не-
прерывной на отрезке, тесно связаны с таким понятием, как мно-
жество значений функции на этом отрезке, а именно имеет место
следующая теорема.
Множество значений функции f, непрерывной на отрезке [а; &];
есть отрезок \т\ Л4], где т = min/(%), Л4 = гпах/(х).
[а, Ь]	[а.д]
Так, в примере 1 множество значений функции на рассматрива-
емом промежутке есть отрезок [5; 13], в примере 2 — отрезок
[0; 5].
Многие задачи, в том числе геометрического содержания (см.
пример 5), приводят к необходимости отыскания наибольшего или
наименьшего значения функции на открытом промежутке, конечном
или бесконечном. Нужно иметь в виду, что функция, заданная на от-
крытом промежутке, даже если она непрерывна, может не иметь на
нем наибольшего или наименьшего значения либо ни того, ни дру-
гого. Так, например, функция у = х2 на интервалах (— 5; —1), (2; 5),
(1; -h°°) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения, а на
интервалах (— 3; 2), (—оо; — наибольшего.
Совершенно очевидно, что правило нахождения наибольшего и
наименьшего значений, сформулированное выше для функции, за-
данной на отрезке, неприменимо к функции, заданной на открытом
промежутке (не исключена возможность отсутствия какого-либо из
этих значений). В этом случае для решения задачи обычно прово-
дят исследование функции на монотонность либо выясняют пове-
дение функции вблизи концевых точек или при	Иногда
полезно представить график функции схематически.
Пример 5. Правильная треугольная призма имеет объем
16 дм\ Найти длину стороны основания призмы с наименьшей пол-
ной поверхностью.
Решение. Полная поверхность призмы вычисляется по фор-
а2д/з"
муле S=—g |-За/г, где а — сторона основания, h — высота приз-
мы. По условию задачи объем призмы равен 16 дм3, т. е.
а2Д/з"	64 тл
—-—/г =16, откуда	-	. Имеем:
с д/з / 2 . 128\ п
s==JHa +—)•а>0-
Задача свелась к нахождению наименьшего значения функции
на промежутке (0; Н-оо).
Проведем исследование функции на монотонность:
s,=	. о>0
а
107
Так как на промежутке (0; 4]
функция убывает, а на проме-
жутке [4; + оо) возрастает, то
значение функции в точке х0 = 4
наименьшее из всех ее значений
на промежутке (0; -роо).
Итак, полная поверхность
призмы наименьшая при стороне
основания 4 дм.
В случае, если исследование
на монотонность затруднительно,
часто помогает следующее оче-
Рис- 25	видное утверждение.
Если функция принимает наи-
большее (наименьшее) значение на множестве X в некоторой точ-
ке xQ£X, то на любом подмножестве множества X, содержащем
точку Xq, функция будет принимать наибольшее (наименьшее) зна-
чение в той же точке х0.
Например, функция, график которой изображен на рисунке 25,
наибольшее значение на отрезке [а; Ь] принимает в точке х0. Ясно,
что наибольшее значение этой функции на любом промежутке [с; d\
(или (с; d)), содержащем точку х0 и содержащемся в [а; 6], достига-
ется также в точке х0.
Пример 6. Дана функция f (х) = х sin 2х-|-0,5 cos 2х. Найти
наименьшее значение функции на интервале л).
Решение. Находим производную /'(х) = 2х cos 2х. Замечаем,
/л \
что на интервале (yj nJ находится лишь одна критическая точка
функции х0 = -у-. Рассмотрим функцию f на отрезке |у, л|.
Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической
точке: /00=—0,5, / 0^)= —/ (л)==0,5. Видим, что наимень-
шее значение функции f на отрезке nj достигается в точке
— внутренней точке отрезка. Следовательно, наименьшее
промежутке, являющемся подмноже-
Зл
*о = —
значение функции на любом
1Л I	ОЛ
у, л| и содержащем точку х0=—, достигается в
этой же точке. Интервал 0г» является подмножеством отрезка
[л 1	Зл
—; л и точка х0 = — принадлежит этому интервалу; следовательно,
,	/ л \	Зл
наименьшее значение функции на (у; л \ достигается в точке х0 = —.
min /(х)= min f (x) = f (—— —
Л Л Гл 1	\ 4 /	4
108
Среди задач на наибольшее и наимень-	Zu
шее значение немало таких, решение кото-
рых сводится к исследованию квадратного Ь
трехчлена. В этом случае наряду с примене- I
нием производной можно применить хорошо |
известный прием выделения полного квад-	I
рата. Следует также обратить внимание на	I
тот факт, что функция f (x) = ax?-\-bx-\-c	1
(а#=0) достигает экстремального значения	I
при xQ=—^, причем если а>0, то	I
/(х0)— минимальное, а если а<0 —мак-	“TJ1
симальное значение функции. Можно также
построить схематически график функции,	.
используя соображения геометрического ха-	I
рактера.	I
Пример 7. Найти наибольшее и наи-	\
меньшее значения функции f(x) = cos2x —	-7 Д /
— 8cosx на отрезке [0; 2л].	у /
Решение. Представим данную функ- _р хф/
цию в виде f (х) = 2 cos2 х — 8 cos х— 1, сде-
лаем замену cosx = f. Так как —Рис. 26
при 0^х^2л, то задача свелась к нахож-
дению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функ-
ции ф (/) —2/2 — 8t— 1 на отрезке [—1; 1] (рис. 26). Критическая
точка /0 = 2 не принадлежит отрезку [—1; 1]. Следовательно, наи-
большее и наименьшее значения функция принимает на концах от-
резка. Вычислив ф ( — 1) = 9, ф (1)= —7, получаем, что наибольшее
и наименьшее значения функции cos2x — 8 cos х соответственно
равны 9 и —7.
Решение, приведенное в примере 7, поучительно еще и тем, что
оно показывает, как удачная замена переменной может облегчить
нахождение производной и критических точек. Так, например, зада-
чу о нахождении наибольшего (или наименьшего) значения функ-
ции cos2 х sin х на отрезке [0; л] с помощью подстановки sinx=/
можно свести к более простой задаче нахождения наибольшего
(наименьшего) значения функции (1 —/2)/ = / —/3 на отрезке [0; 1],
а нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции
log3 х —6 log2 х + 9 log2 х-|-3 на отрезке [2; 8] подстановкой
log2x = / сводится к нахождению наибольшего (наименьшего) зна-
чения функции /3 — 6/2 + 9/+ 2 на отрезке [1; 3].
Пример 8. Найти наименьшее значение функции
^ = (х—1)(х —2)(х —3)(х —4)Н-3.
Решение. Преобразуем функцию следующим образом:
z/ = (x2 —5х + 4) (х2 — 5х-]-6) + 3 =
= (х2-5х + 4)2 + 2(х2-5х + 4)+1+2 = (х2-5х + 5)2 + 2.
109
Ясно, что наименьшее значение функции равно 2 и достигается
б + УЁГ
ОНО при Х = '
При решении многих задач на наибольшее и наименьшее значе-
ния можно применять неравенство Коши, связывающее среднее
арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел:
а\ + 02 4- •• + ап д Г~ ~~~	/ 1 \
----------> уа{а2(1)
Следует иметь в виду, что в неравенстве (1) равенство будет
иметь место лишь в том случае, если все числа аь а2, ..., ап равны.
В связи с этим часто удобно пользоваться следующими следствия-
ми неравенства Коши:
1) произведение п положительных величин с данной (постоянной)
суммой становится наибольшим, когда все эти величины равны;
2) сумма п положительных величин с данным (постоянным) про-
изведением становится наименьшей, когда все эти величины равны.
Пример 9. Из всех прямоугольных параллелепипедов с дан-
ной полной поверхностью найти тот, объем которого наибольший.
Решение. Пусть х, у, z — измерения прямоугольного паралле-
лепипеда, S — полная поверхность, V — объем.
Очевидно, S = 2 (xy-\-yz-\- xz), V = xyz. Заметив, что сумма ве-
S
личин ху, yz и zx равна — ,.т. е. является постоянной, приходим к
выводу, что произведение xy-yz-xz=V2 принимает наибольшее
значение, если ху — yz = xz, т. е. при x — y = z. Таким образом, ис-
комым параллелепипедом является куб.
Пример 10. Дан угол а и точка М внутри его. Каким обра-
зом следует провести через точку М прямую, чтобы она отсекла от
угла треугольник наименьшей площади?
Решение. Пусть АВ — произвольная прямая, проходящая че-
рез данную точку М (рис. 27). Обозначим ОВ = х, ОА=у. Прове-
дем через точку М прямые MAfJlOB и Л4Л42||ОА. Обозначим
ММХ — а, ММ2 = Ь. Числа а и b заданы (фактически они являются ко-
соугольными координатами точки Л<). Из подобия треугольников
АМ{М и АОВ имеем:
а у — b	а . b .	zi\
— = - , или h — =1.
У	х У
Так как площадь треугольника АОВ Bbl-
д.	с 1
числяется по формуле 5=—xz/sina, то
она будет иметь наименьшее значение
при наименьшем значении произведения
ху. По теореме о средних (с учетом (1)) по-
лучим:
в
М2
Рис. 27
1
о
откуда
= 4 — , (2)
ХУ v
(3)
по
В неравенстве (2) (а значит, и в неравенстве (3)) равенство будет
a b 1
достигаться в том и только в том случае, когда —	откуда
х = 2а, у = 2Ь и данная точка М является серединой АВ. Итак, пря-
мая, отсекающая от данного угла треугольник наименьшей площа-
ди, должна быть проведена через точку М так, чтобы отрезок ее АВ
делился в этой точке пополам.
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений мож-
но решать различными способами. Общий метод решения таких за-
дач основан на применении аппарата дифференциального исчисле-
ния. Однако решение с помощью производной не всегда является
лучшим. В некоторых случаях решение с помощью элементарных
приемов проще и изящнее. Следует показывать учащимся различ-
ные способы решения одной и той же задачи. Так, в примере 5 наи-
меньшее значение функции f (а) = а2при а>0 можно найти
также и с помощью неравенства о средних.
Действительно, представив функцию в виде f (а) — а2
и применив неравенство Коши, получим:
/(а)>ЗД/а2.-^-^-=48.
Равенство будет иметь место лишь в случае, когда а2=~>
т. е. при а = 4. Итак, наименьшее значение функции равно
/(4) = 48.
Применение различных приемов решения задач способствует
активизации мыслительной деятельности учащихся, вызывает у них
интерес к решению задач и к изучению математики в целом.
Пример И. Найти наименьшее значение функции
х4 + 3
У =—1—
* х
на интервале (0; Н-оо).
Решение. Перепишем функцию следующим образом:
Задача свелась к нахождению наименьшего значения суммы по-
ложительных величин, произведение которых постоянно:
з 1 1	1	1
х-------— 1.
XXX
Следовательно, наименьшее значение суммы будет достигаться
ч 1
при равенстве всех слагаемых, т. е. при х =—, откуда х=1. Наи-
меньшее значение функции на интервале (0; Н-оо) равно 4.
Пример 12. В правильной четырехугольной пирамиде сумма
высоты и стороны основания равна 3. Найти наибольший возмож-
ный объем пирамиды.
111
Решение. Пусть х — сторона основания, h — высота пирами-
ды, V — объем пирамиды. V=4 х2/!. По условию задачи х4-й = 3.
и
Следовательно, объем пирамиды равен У (х)=-^ х2 (3 —х); 0<х<3.
Представим V (х) следующим образом:
|/(х)=|х2(6-2х); 0<х<3.
Рассмотрим произведение х2 (6 — 2х) как произведение трех поло-
жительных множителей х-х*(6 — 2х), сумма которых постоянна.
Наибольшее значение произведения достигается лишь в случае, ес-
ли х=6 —2х, т. е. при х = 2. Следовательно, наибольший объем пи-
4
рамиды равен У(2)=у.
Рассмотрим несколько задач на нахождение наибольшего и
наименьшего значений тригонометрических функций.
Пример 13. Найти множество значений функции
у = а sin <ох-|-6 cos сох(а2-рб2=/=0).
Решение. Записав функцию в виде
у=у/а2 + Ь2 (.... а  sin (ох-h—=L= cos (ox
(1)
/ a Vi/ b V i
и заметив, что ...J = 1,приходим к выводу, что
существует такое а, что
ь
---	— cos а, —7.= sin а
'а2 + *2----------------------Л]а2 + Ь2
и функция может быть записана в виде:
у = У/а2 + Ь2 sin (сох-pa).	(2)
Из (2) следует, что наибольшее значение функции равно
У/а2-{-Ь2, наименьшее (—д/а2-Р^2 )• Множество значений функции —
отрезок [ — Д/a2 + &2; д/а2 + Ь2 ].
Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
у = а sin2 x-pfe sin xcos x-j-c cos2 x.
Решение. Перепишем функцию в виде:
у=^(1 — cos 2x)4“Sin2x 4-^(1 4-cos 2х),
ИЛИ
b . л । с — л л . ci -I- с
У = -2 Sln 2*Н — cos 2*Н—.
112
и, применив результат примера 13, получим, что наибольшее и наи-
меньшее значения функции соответственно равны:
а + с ± Д/&2 + (с —я)2
2
Пример 15. Среди прямоугольных треугольников с данной ги-
потенузой с найти тот, который имеет наибольший радиус вписан-
ной окружности. Найти этот радиус.
Решение. Пусть а и Ь — катеты, а — один из острых углов,
г — радиус вписанной окружности. Тогда имеем:
а + Ь — с с (sin a-hcos a— 1) Л	л
Г = —2~ =---------2-------’ 0<а<2;
так как наибольшее значение выражения sina-pcosa равно "\/2~
/	л\	,
(при a=— I, то наибольшее значение радиуса равно —.
Итак, среди прямоугольных треугольников с данной гипотену-
зой наибольший радиус вписанной окружности имеет равнобедрен-
ный треугольник.
Дополнительные упражнения
1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
указанных промежутках:
а)	у= — 4х2-|-5х — 8 на [2; 3];
б)	z/ = x3 + 3?-2 на: 1) [-2; 2]; 2) (-оо; 0);
в)	z/=|x —3| на: 1) [0; 4]; 2) [4; 5];
г)	z/ = x2+ |х-|-2| на [ — 3; —1];
д)	//=|х2 —6х| на [—1; 3];
е)	у= 1 — cos 4x-|-cos 2х на ^0; yj;
ж)	у = 5 sin х-|-0,5 sin 2х — 2х на у; oj ;
з)	z/ = e-2xcos2x на [О; -y-j;
и)	у = ^±1 на [_1; 1];
'х—2 L J
Зх+2 + 2-3-х-1	г .
к)	у=------------- на [-1; 1].
In о
2.	При каком значении длины высоты прямоугольная трапеция
с острым углом 45° и периметром 4 см имеет наибольшую
площадь?
3.	Две вершины прямоугольника лежат на диаметре полу-
окружности, а две другие на полуокружности. Вычислите наиболь-
ший периметр прямоугольника, вписанного в полукруг радиуса
5 см.
4.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник
из
с острым углом ф. Боковые ребра наклонены к плоскости основа-
ния под углом 30° и имеют длину /. При каком значении ф объем
пирамиды будет наибольшим? Вычислите этот наибольший объем.
5.	Квадрат ABCD вращается вокруг оси, лежащей в его плоско-
сти и проходящей только через вершину А. Каким должен быть
угол между стороной АВ и осью вращения, чтобы объем полученно-
го тела вращения был наибольшим?
6.	Криволинейная трапеция ограничена кривой у = ех и прямы-
ми z/ = 0; х=0; х = 1. В какой точке кривой у — ех (0<х< 1) следу-
ет провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной
трапеции обычную трапецию наибольшей площади?
7.	На рисунке 28 изображен график функции f. Найдите наи-
большее и наименьшее значения функции на промежутках: а) [0; 5];
б) [3; + °°); в) (5; 7]; г) (5; + оо), если известно, что на промежутке
[5; —1~ оо ) функция f убывает и lim f (х) = 2.
сю
Ответы к дополнительным упражнениям
1. а) —14, —29; б) 1) 18, —2; 2) 2, не существует; в) 1)3, 0; 2) 2, 1; г) 10, 2; д) 9,
п . J .	. п 2л НД/З . .	е~°'75л	,1	„245	5
0; е) 2 g , -1; ж) 0, ------—; з) 1,	") у. -3; к) —; —.
2. 2(У]2— 1) см. 3. ЮД/б" см. 4. у,	5.45°. 6. (0,5; у/ё). 7. а) 5, 1; б) 5, 1, в) наи-
большего нет, наименьшее 3; г) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ДЛЯ X КЛАССА
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1	С-1
1.	Сколько корней имеет уравнение
2	2	4л2 —45__zp
5 + 2х 5 —2х 4?-25 “ ’
2.	Докажите, что не существует рационального числа г такого, что
1О' = 2.
3.	При каких целых значениях а уравнение
4х2 + ах + 9==0
имеет рациональные корни, сумма которых является целым
числом?
Вариант 2	С-1
1.	Решите уравнение
1	1 _х2-15
3 + х 3-х~ ^-9 '
2.	Докажите, что число д/ЁГ не является рациональным.
3.	При каких целых значениях а квадратное уравнение
ах2+ 20х + 9 = 0
имеет рациональные корни, сумма которых является целым
числом?
Вариант 3	С-1
1.	Докажите, что уравнение
2 х—4 _	1
х2 —4	х2-|-2х х2 —2х
имеет один корень.
2.	Докажите, что не существует рационального числа г такого, что
5Г = 3.
3.	При каких натуральных значениях а корни уравнения
Эх2 —24х —а2 = 0
рациональны?
115
Вариант 4	С-1
1.	Найдите все корни уравнения
2	4x2-77 _	2
7 + 2х	4x2-49 “ 7 —2х ’
4 г~
2.	Докажите, что число у2 не является рациональным.
3.	При каких целых значениях а уравнение
2x2-h^x-h8 = 0
имеет рациональные корни и их сумма — целое число?
Вариант 5	С-1
1.	Докажите, что уравнение
2___х2-45 _ 2
54-х х2 —25~5 —х
имеет один корень.
2.	Докажите, что число д/9~ не является рациональным.
3.	При каких целых значениях а квадратное уравнение
ах2-^ 1 Ох -|- 8 = О
имеет рациональные корни, сумма которых — целое число?
Вариант 6	С-1
1.	Сколько корней имеет уравнение
1	4x2-15 _	1
3 + 2х 4x2-9“ 3 —2х *
3 Г“
2.	Докажите, что число уб не является рациональным.
3.	При каких натуральных значениях а корни уравнения
4х — 6х — а2 = 0 рациональны?
Самостоятельная работа № 2
Вариант 1	С-2
—	23
3 и —
с точностью до 0,0001.
2.	Укажите пример двух неравных иррациональных чисел аир,
разность которых есть число рациональное.
3.	Докажите, что если а и р — иррациональные числа и а=/=Р, то
их частное и разность не могут одновременно быть рациональ-
ными числами.
4.	Решите неравенства:
а) ||х-1|-3| <2; б) х2-2 |х| - 15>0.
Вариант 2	С-2
1.	Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел и
с точностью до 0,0001.
116
2.	Приведите пример двух неравных иррациональных чисел аир,
частное которых — число рациональное.
3.	Даны иррациональные числа аир, а=/=р, причем а—р — число
рациональное. Докажите, что a-j-2p — иррациональное число.
Рациональным или иррациональным является число a2-|-ap — 2р2?
4.	Решите неравенства:
а)	б) Зх2~8 И +4<0.
Вариант 3	С-2
1.	Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел у/ и —
с точностью до 0,0001.
2.	Приведите пример двух иррациональных чисел аир, сумма ко-
торых — число рациональное.
3.	Докажите, что если сумма и произведение двух иррациональных
чисел aj и а2 есть числа рациональные, то ai и а2 имеют вид
гДе а и — рациональные числа.
4.	Решите неравенства:
а) | |2х—3| — 11 >2; б) Зх2-5 |х| + 2<0.
Вариант 4	С-2
—	23
3 И —
с точностью до 0,0001.
2.	Приведите пример двух иррациональных чисел аир, произведе-
ние которых — число рациональное.
3.	Числа a, Ь и ~\[а—\Гь рациональные. Докажите, что д/а"
и yfb —рациональные числа (а=#6).
4.	Решите неравенства:
а)4^птг<1: б) (2х-1)2-18 |2х-и+45<о.
Вариант 5	С-2
1.	Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел д/ТсГ
53
и — с точностью до 0,0001.
41
2.	Приведите пример двух иррациональных чисел аир, чтобы чис-
ло а-]-2р было числом рациональным.
3.	Числа аир иррациональные, причем a-hP — число рацио-
нальное и а#=—Р- Докажите, что число а —2р иррациональ-
ное. Рациональным или иррациональным является число а2 —
- ар- 2Р2?
4.	Решите неравенства:
а) 112%+ 11 -5| <4; б) 3/ + 8 |х| -3>0.
Вариант 6	С-2
1.	Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел д/ТГ и
с точностью до 0,0001.
117
2.	Приведите пример двух иррациональных чисел аир, чтобы чис-
ло 2а — р было рациональным.
3.	а и р — числа иррациональные, причем а —2р — число рацио-
нальное, а#=2р. Докажите, что число а-^Зр иррациональное.
Рациональным или иррациональным является число а2-]-ар —
-бр2?
4.	Решите неравенства:
а) иГ9'Г-7<2; б) (х—I)2 —2 |х—11 — 63<0.
| ох — Z |	1
Контрольная работа № 1
Вариант 1	К-1
1.	Даны точки А (-2; 5), В (2; 2), С (10; 0).
а)	Докажите, что треугольник АВС тупоугольный.
б)	Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Найдите коор-
динаты точки D.
2.	Исходя из определения модуля действительного числа, решите
неравенство |х —3| + |2 + х| ^2х + 3.
3°. Докажите, что число 2 д/2~-|-3	5 д/б" не является рациональ-
ным числом.
Вариант 2	К-1
1.	Даны точки ЛД1; 3), М (9; 3), Р(-7; 9).
а)	Докажите, что треугольник КМР тупоугольный.
б)	Пусть КА — биссектриса треугольника КМР. Найдите коор-
динаты точки А.
2.	Исходя из определения модуля действительного числа, решите
неравенство |х-|-3| — |2 — х| ^Зх — 2.
3 __ з
3°. Докажите, что число уЗ + у4 не является рациональным числом.
Вариант 3	К-1
1.	Даны точки А ( — 7; 15), В (10; 10), С (4; 4).
а)	Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б)	Пусть СМ — биссектриса треугольника АВС. Найдите коор-
динаты точки М.
2.	Исходя из определения модуля действительного числа, решите
неравенство |3 — х| + |х-|-4| <3.
3°. Докажите, что число 3 д/б"+5 д/3~+7 д/2* не является рациональ-
ным числом.
Вариант 4	К-1
1.	Даны точки К (—7; —3), М (2; 9), //( — 13; 5).
а)	Докажите, что треугольник КМН остроугольный.
б)	КВ — биссектриса треугольника КМН. Найдите координаты
точки В.
118
2.	Исходя из определения модуля действительного числа, решите
неравенство |5 — 2х| + |х-|-3| ^5.
3°. Докажите, что число Д/У + Д/У не является рациональным числом.
Вариант 5	К-1
1.	Даны точки £)(—4; —5), Е (3; 2), /С (8; —3).
а)	Докажите, что треугольник DEK прямоугольный.
б)	ЕС — биссектриса треугольника DEK, Найдите координаты
точки С.
2.	Исходя из определения модуля действительного числа, решите
неравенство |2х —7| + I х—8| ^8.
3°. Докажите, что число 3 д/У — 5 д/У-|~ 7 д/У не является рациональ-
ным числом.
Вариант 6	К-1
1.	Даны точки Д (—2; -9), В (-7; 3), С ( — 13; -5).
а)	Докажите, что треугольник АВС остроугольный.
б)	BE — биссектриса треугольника АВС, Найдите координаты
точки Е,
2.	Исходя из определения модуля действительного числа, решите
неравенство |4 —2х| — |5х—12| >6.
4
3°. Докажите, что число Д/У + Д/У не является рациональным числом.
Самостоятельная работа № 3
Вариант 1	С-3
1.	При каких значениях а справедливо равенство
/За-hl ।	4	2\ . За4-1	За2-5а+1 _ 2-За
\ 6а *" 3а4-3 Z) ’ 3a-h3 2а	““ 2	’
2.	Докажите тождество
X2 (у - z) + у2 (Z - х) + Z2 (х - у) -= (х—у) (у - Z) (х—Z).
3.	Докажите, что если натуральное число не кратно 5, то квадрат
этого числа при делении на 5 не может дать остаток, равный 2.
Вариант 2	С-3
1.	При каких значениях а справедливо равенство
а-\-6 (а 2 I а — 6 \	1—54а
,	 4 6а —а +п - -. тт )---п—= — а?
а2 — 6а \	9а 4~ 54 /	9а
2.	Разложите на множители (xz/-|-xz-|-z/z)(x-j-z/H-г) — xyz.
3.	Докажите, что если число не кратно 7, то квадрат этого числа
при делении на 7 не может дать остаток, равный 3.
119
Вариант 3
С-3
1.	При каких значениях а справедливо равенство
/За + 4.	4	„\ . За + 4 За2 + а — 1 _ _ За+1 ?
\6а + 6'3а + 6 V ' За + 6	2а + 2	2 '
2.	Докажите тождество х(у2 — г2) + у(г2 — х?) + г(х? — у2) =
= (x—y)(y — z)(z — x).
3.	Докажите, что если число не кратно 6, то квадрат этого числа
при делении на 6 не может дать остаток, равный 2.
Вариант 4
С-3
1.	При каких значениях а справедливо равенство
а+9 ( а~3 19 I 161+54а +а= -3?
а2—9 \9а + 81+У	9а + 27 '
2.	Разложите на множители x(y-\-z)2 + y(z + x)2-\-z(x+y)2 — 4xyz.
3.	Докажите, что если число не кратно 5, то квадрат этого числа
при делении на 5 не может дать остаток, равный 3.
Вариант 5	С-3
1.	При каких значениях а справедливо равенство
/За —2 . 4	2\ За	За2—11а + 9 . За-3_р
\6а —6 ' За За-2 2а-2	+ 2 ““ '
2.	Докажите тождество
X (у + Z) (у2 — Z2) + у (Z + х) (Z2 — X2) 4- Z (х + у) (х2 — у2) =
= <х—у) (у — z) (г — х) (х+у + z).
3.	Докажите, что если число не кратно 7, то квадрат этого числа
при делении на 7 не может дать остаток, равный 5.
Вариант 6
С-3
1.	При каких значениях а справедливо равенство
/ а —8	2 I in	. а2—Юа+16 . 54а—109 .
(--------а + 10а — 16 ) :------------—5--— + а = 2?
\<9(а_|_4)	)	а-|-4	9а—18
2.	Разложите на множители (х —z/)3 + (z/ —z)3-h(z —х)3.
3.	Докажите, что если число не кратно 6, то квадрат этого числа
при делении на 6 не может дать остаток, равный 5.
Контрольная работа № 2
Вариант 1	К-2
1.	Докажите методом математической индукции, что
1	.	6	. 20 .	.	2п— 1 ол—1____ 2м 1
3^5 “Г 5^7	“l”’”“h(2«-hl)(2«-h3)	—2^ + 3 “3 ’
2.	Докажите, что 7л + Зл+1 делится на 4 при всех натуральных зна-
чениях п.
120
3.	При каких значениях k сумма кубов корней трехчлена йх2 —
— 6£*+2/г-|-3 равна 72?
4°. Последовательность (х„) задана рекуррентно: Х! = 3, х2 = 6,
х„+2 —Зх„+14-2х„= — 1, n£N. Докажите, что x„ = 2'l-|-n, n£N.
Вариант 2	К-2
1.	Докажите методом математической индукции, что
24-184-60 + ...4-п(п4-1)(2л—l)=|n(«+l)(n + 2)(3n-l).
2.	Докажите, что 7-52л-1 + 23л+1 делится на 17 при любом на-
туральном значении п.
3.	При каких значениях b сумма квадратов корней трехчлена
Ьх24~(Ь + 2) х — 4Ь равна Ю-?
4°. Докажите, что при n£N,	справедливо неравенство
2п^п2 + п + 2.
Вариант 3	К-2
1.	Докажите методом математической индукции, что
1.3.5.	. 2л— 1।	« +1
2.	Докажите, что 10я — 9и—1 делится на 81 при n£N.
3.	При каких значениях k модуль разности корней трехчлена
Z?x2 +2 (Z? + 1) %—12 равен 8?
4°. Докажите, что если а{ = 2. а2 = 8, ал+2 = 4ал+1 — Зал, иСЛГ, то
ал = Зл—1, n£N.
Вариант 4	К-2
1.	Докажите методом математической индукции, что
4 + 60 +... + (п + 1) (Зи- 1 )-4л-1 = п2-4п.
2.	Докажите, что 6л+1 + 72л“1 делится на 43 при любом натураль-
ном значении п.
3.	При каких значениях а сумма квадратов корней трехчлена
(а— 1) х^ + ах—3(а— 1) равна 10?
4°. Докажите, что при п^4 имеет место неравенство Зл>5и2.
Вариант 5	К-2
1.	Докажите методом математической индукции, что
1-8 . 2.11	л(Зл-Ь5) _л(/2-Н1)
4-7	7.10	(3„_pi)(3rt + 4) Зи + 4
2.	Докажите, что для любого натурального п справедливо утверж-
дение: 32л —8п—1 кратно 16.
121
3.	При каких значениях а модуль разности квадратов корней трех-
члена (а4-1) х24-(^4-3) х —4а —4 равен 15?
4°. Докажите, что если a^l, a2 = 5, ал+2 = 5ал_|_1 — 6ал, n£N, то
ал = Зл —2Л, n£N.
Вариант 6	К-2
1.	Докажите методом математической индукции, что
3.2 + 4.22 + 5 - 23 + ... + (п + 2)2я = (и+ 1)2л+1- 2.
2.	Докажите, что для любого натурального п справедливо утверж-
дение: 5-9л-1 -|~24л-3 кратно 7.
3.	При каких значениях k сумма кубов корней трехчлена 2&Х2 —
— (fe-hl)x—4k равна 7?
4°. Докажите, что при n£N,	справедливо неравенство
2л>п(и + 4).
Самостоятельная работа № 4
Вариант 1	С-4
1.	Выполните деление с остатком х3— Зх + 2 на х — 2.
2.	Многочлен Р (х) при делении на х — 1 дает остаток 3, а при деле-
нии на х — 2 дает остаток 5. Найдите остаток от деления много-
члена Р(х) на х2 —3x4-2.
3.	Найдите все значения а, при которых выражение
+	15Х2— 18x4-9
является многочленом второй степени относительно х.
Вариант 2	С-4
1.	Выполните деление с остатком х54-2 на х—1.
2.	Многочлен Р (х) при делении на х— 1, х4-1, х — 2 дает в остатке
соответственно 4, 2, 8. Найдите остаток от деления многочлена
Р (х) на х3 —2Х2 —х4-2.
3.	Докажите, что многочлен х34-5 не делится на приведенный
квадратный трехчлен с целыми коэффициентами.
Вариант 3
С-4
1.	Выполните деление с остатком х6 —2 на х2 —х4-1-
2.	Многочлен Р(х) делится на х—1 без остатка, а при делении на
х4-2 дает остаток 3. Найдите остаток от деления многочлена
Р(х) на х2-|-х—2.
3.	Найдите все значения а и Ь, при которых многочлен
х4-а2х34-74х24-&х4-25
является квадратом многочлена второй степени относительно х
с целыми коэффициентами.
122
Вариант 4	С-4
1.	Выполните деление с остатком х4 —Зх2-]-! на х —2.
2.	Многочлен Р (х) делится без остатка на х—а и на х — Ь (а=£Ь).
Докажите, что Р(х) делится без остатка на (х — а)(х— Ь).
3.	Докажите, что если п кратно 3, n£N, то Xя— 1 делится без остат-
ка на х24-х-]- 1.
Вариант 5	С-4
1.	Выполните деление с остатком х4-|-х-|- 1 на х2-j- 1.
2.	Многочлен Р(х) при делении на х — 2 дает в остатке 5, а при де-
лении на х-]-5 дает в остатке —2. Найдите остаток от деления
многочлена Р (х) на х2-|-Зх—10.
3.	Представьте многочлен 9х4 — 6х3-|-ах2 — 4х-|-4 в виде квадрата
трехчлена. При каких значениях а это возможно?
Вариант 6	С-4
1.	Выполните деление с остатком х8—1 на х2-|-2.
2.	Многочлен Р (х) делится без остатка на х — 1 и х-|- 1, а при деле-
нии на х-]-3 дает в остатке 8. Найдите остаток от деления много-
члена Р(х) на ^Н-Зх2 — х — 3.
3.	Докажите, что многочлен х6-|-х2-|-а не делится на многочлен
x3-j-x-j-a ни при каких значениях а.
Контрольная работа № 3
Вариант 1	К-3
1.	При каких значениях а и Ь многочлен 2х4-]-Зх3 — ах^-^-Ьх — 3 де-
лится без остатка на х-|-3, а при делении на х — 2 дает остаток,
равный 5?
2.	Найдите целые корни многочлена х4 —27Х2—14х-|-120.
3.	Докажите, что нечетная степень числа 48, увеличенная на 1,
кратна 7.
4.	Разложите на множители методом неопределенных коэффициен-
тов многочлен х4— 10х3-|-27х2— 14х-|-2.
5°. Разложите на множители многочлен х12 — Зх6-|- 1.
Вариант 2	К-3
1.	При каких значениях пгип многочлен х^ + тх-\-п делится без
остатка на трехчлен х2 + Зх-|-10?
2.	Разложите на линейные множители многочлен
х4 + 2х3 - 1 Зх2 - 38х — 24.
3.	Докажите, что четная натуральная степень числа 57, уменьшен-
ная на 1, кратна 203.
4.	Разложите на множители методом неопределенных коэффициен-
тов многочлен х4—12х3-|-43х2 —42х-|-6.
5°. Разложите на множители многочлен (x2-f~x-[~ 1)(х2-|-х-|-2)— 12.
123
Вариант 3	К-3
1.	При каких значениях тип многочлен Зх4 — 2х3-]-тх-\-п де-
лится без остатка на х — 2, а при делении на х—1 дает остаток,
равный (— 14)?
2.	Разложите на линейные множители многочлен
х4 + ! Ох3 + 37 х2 + 60х + 36.
3.	Докажите, что четная натуральная степень числа 43, уменьшен-
ная на 1, кратна 77.
4.	Разложите на множители методом неопределенных коэффициен-
тов многочлен х4 +х3 —5х2+13х —6.
5°. Разложите на множители многочлен a164-a8-h 1.
Вариант 4	К-3
1.	При каких значениях а и b многочлен 2х4-|-ах3-|-6х — 2 де-
лится без остатка на трехчлен х2 —х —2?
2.	Разложите на множители многочлен х4 + х3 — бх2 — 4x4-8.
3.	Докажите, что нечетная натуральная степень числа 17, увели-
ченная на 1, кратна 9.
4.	Разложите на множители методом неопределенных коэффициен-
тов многочлен х4 —4Х3 —20х24-13х —2.
5°. Разложите на множители многочлен
(х2 — 6x4-3) (х2 —6x4-5) — 15.
Вариант 5	К-3
1.	При каких значениях а и Ь многочлен Зх4 — 2х34- 14х24-^х4-^
при делении на (х4-2) дает остаток, равный 101, а на (х4- 1) де-
лится без остатка?
2.	Найдите целые корни многочлена х4 —4х34-5х24-22х —24.
3.	Докажите, что четная степень числа 19, уменьшенная на 1, крат-
на 36.
4.	Разложите на множители методом неопределенных коэффициен-
тов многочлен х4 — х3 —67Х2—11x4-6.
5°. Разложите на множители многочлен х84-4х44-16.
Вариант 6	К-3
1.	При каких значениях k и р многочлен х4 — px? + kx —12 де-
лится на многочлен х2 —2х — 3?
2.	Разложите на линейные множители многочлен
х44-4х3— 19Х2 —46x4- 120.
3.	Докажите, что нечетная степень числа 21, увеличенная на 1,
кратна И.
4.	Разложите методом неопределенных коэффициентов на множите-
ли многочлен х44-6х3 — 21х24-78х—16.
5°. Разложите на множители многочлен
(х2 —5x4-3) (х2 —5х —5) —9.
124
Самостоятельная работа № 5
Вариант 1	С-5
1.	Найдите действительные корни уравнения Зх3 —бх^Зх —5 = 0.
2.	Найдите действительные корни уравнения
2х4 + Зх3-8х2-9х + 6 = 0.
3.	Решите уравнение (х+ 1)(х—2)(х-рЗ)(х — 4)= 144.
Вариант 2	С-5
1.	Найдите действительные корни уравнения
4х5 + 8х4 + бх3 + Юх2 —Зх—6 = 0.
2.	Найдите действительные корни уравнения
2х4-5х3-х2 + 5х + 2 = 0.
3.	Решите уравнение (х—1) (х —2) (х —3) = 6.
Вариант 3	С-5
1.	Найдите действительные корни уравнения
Зх5-6х4 + 4х3-8Х2-Зх + 6 = 0.
2.	Найдите действительные корни уравнения
5х4 — Зх3 — 4Х2 — Зх + 5 = 0.
3.	Решите уравнение (х — 3) (х + 2) (х — 6) (х— 1 ) + 56 = 0.
Вариант 4	С-5
1.	Найдите действительные корни уравнения
2х5 + 4х4 —бх3— Юх2 —7х— 14 = 0.
2.	Найдите действительные корни уравнения
4х4 — Зх3 —8х2 + Зх+4 = 0.
3.	Решите уравнение (х + 2) (х—3) (х-|-4)= 126.
Вариант 5	С-5
1.	Найдите действительные корни уравнения
Зх5-6х4-8х3+ Юх2 — 16х + 32 = 0.
2.	Найдите действительные корни уравнения
__4х3_। 4% | 4 — 0
3.	Решите уравнение (х-|-3)(х —2)(х —6)(х-р7)= — 180.
Вариант 6	С-5
1.	Найдите действительные корни уравнения
2х5 + 6х4-7х?-21х2 — 4х- 12 = 0.
2.	Найдите действительные корни уравнения
2х4 — 7х3 —5х2+7х+3 = 0.
3.	Решите уравнение (x-f-6)(x —7)(х-|-2)(х—3)+180 = 0.
Контрольная работа № 4
Вариант 1	К-4
1.	Докажите, что если А (х)>0 для всех х, при которых определе-
ны функции /(х) и ф(х), то неравенства /(х)<<р(х) и
f(x) А (х)<<р(х) А (х) равносильны.
125
2.	Докажите, что при а>0 имеет место неравенство
(а + 3)(а + 6)(а + 2)(а+1)>96а2.
(х2 + Зх-18)(4х2-4х+1)
3.	Решите неравенство 77—5х+6)(3х2_8х+14) <°-
4.	Решите уравнение ---------Зх__ ==—3—.
J	х-3	2 —2х х2-!
«5°. Докажите, что при любых действительных значениях х и у имеет
место неравенство х2-^ 10z/2 — 6xz/ + Юх — 26z/ + 30>0.
Вариант 2	К-4
1.	Докажите, что если функция А (х) определена для всех зна-
чений х, при которых определены функции f (х) и ф(х), то нера-
венства f(x)><p(x) и /(х)-|-Д (х)>ф (х)4-Л (х) равносильны.
2.	Докажите, что неравенство
(a2 h3a+l)(a4 a2 hl)^5
а3
выполняется при значениях а>0. При каких значениях а имеет
место равенство?
о П	(Зх2 —5х-|-2) (х2 —4х-|-4)	.
3.	Решите неравенство ----------————-------<0.
.	4	.	1 2х
4.	Решите уравнение	।	•
5°. Докажите, что при любых действительных значениях хи у имеет
место неравенство х2-|-z/2 + xz/-|-х — z/-|-3>0.
Вариант 3	К-4
1.	Докажите, что если Л(х)<0 для всех значений х, при которых
определены функции /(х) и ф(х), то неравенства f (х)<ф(х) и
f (х)Д (х)>ф(х)Л (х) равносильны.
2.	Докажите, что при и>0 имеет место неравенство
(5 + п)(и + 4)(п + 8)(п + 2)>128и2д/5.
о n	(x2-5x-6)(5x2-h2x-h2)	.
3.	Решите неравенство —г-------------;------<0.
(Эх2 - 6х 4-1) ( - Зх2 + х+2)
4.	Решите уравнение ——-------1 -— ——!—.
3(х—1) ' 4 —х2	* + 2
126
5°. Известно, что число "\/2~ является корнем уравнения х3 —
— (а + 2)x?-\-bx—2а = 0 (а и b — целые). Найдите значения
а и b и остальные корни уравнения.
Вариант 4	К-4
1.	Докажите, что если f (х)>0 и ф(х)>0 при всех значениях х, то
неравенства f (х)<ф (х) и /2 (х)<ф2 (х) равносильны.
2.	Докажите, что при а>2 имеет место неравенство
а3 — 4а2 + 6а — 4 > 0.
о гл	4л2 — 5х— 6	. А
3.	Решите неравенство ---------------->0.
к	(5-х2-4х)(4х2-4х4-1)
12x2
4.	Решите уравнение —g +	।	-
5°. Докажите, что при любых действительных значениях хну имеет
место неравенство 2x2 + 9z/2 — 6xz/+ 6//+ 3 >> 0.
Вариант 5	К-4
1.	Докажите, что если функция А (х) определена для всех зна-
чений х, при которых определены функции /(х) и ф(х), то нера-
венства /(х)<ф(х) и /(х)Ч-Д (х)<ф(х)-М (х) равносильны.
2.	Докажите, что если а >>0,8, то имеет место неравенство
(-!-+v-Ц-+v-i-r) (8а - 5) > 9.
\а 2а — 1 5а — 4/v	'
При каких значениях а имеет место равенство?
о П	(х2 —4х—5) (Эх2 —6х+1) Л
3.	Решите неравенство —;------——------1—->0.
(х2-2х-15)(5х2-х + 4)
12 2х 3
4.	Решите уравнение ----7 =——---------- .
4-х2 х+1 х —2
5°. Докажите, что при любых действительных значениях х и у имеет
место неравенство 4x2 + 26z/2 — 20ху— 12x-h34z/-|- 14>0.
Вариант 6
К-4
1.	Докажите, что если Л(х)>>0 для всех х, при которых опре-
делены функции /(х) и ф(х), то неравенства /(х)^ф(х) и
/(х) А (х)^ф(х) А (х) равносильны.
2.	Докажите, что неравенство 4а4—12а3+13а2 —6а+1 ^0 выпол-
няется при всех действительных значениях а. При каких значе-
ниях а имеет место равенство?
127
3.	Решите неравенство	——^(З-^+^+О	g
г	(3^-12х+12)(^ + х+8)
4.	Решите уравнение	—|—^—=  X .
jc — 9 XI х о
5°. Известно, что число 1+д/2" является корнем уравнения
х3 * * + ах2 + &х+а + 2 = 0 (а и Ь — целые). Найдите значения а и b
и остальные корни уравнения.
Самостоятельная работа № 6
Вариант 1	_____ С-6
1.	Дана функция f (х) = ^+--. Найдите f	.
q и g,	.	.	Зх2 -р Зх—6
2.	Изобразите схематически график функции у =—±—j—.
3.	Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (3; 5) и
В(1; —2), и прямой, параллельной ей, проходящей через точку
С (Г, — 1). Найдите отношение площадей треугольников, отсекае-
мых этими прямыми от осей координат.
Вариант 2	С-6
1. Дана функция = Найдите /) •
о тл /С	.	«	204-6х —2л2
2. Изобразите схематически график функции у = —+------— .
3. Прямая, проходящая через точку С(—2; 1), параллельна пря-
мой, проходящей через точки Л(—2; —6) и В (7; 3).
а) Напишите уравнения этих прямых.
б) Найдите отношение периметров треугольников, отсекаемых
прямыми от осей координат.
Вариант 3
С-6
1.
2.
Дана функция	‘ • Найдите f
1	\ £ I 1 С } J
Изобразите схематически график функции z/=	6
3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки М (1; 2) и
Н (0; 5), и прямой, параллельной ей, проходящей через точку
Р (— 3; — 2). Найдите отношение площадей треугольников, отсе-
каемых этими прямыми от осей координат.
С-6
Вариант 4
1. Дана функция /(x)=42TJ- Найдите /(л/ухт
1 + л	\ V 1 -г «
128
2.	Изобразите схематически график функции у =	.
3.	Прямая, проходящая через точку Л4(—3; —4), параллельна
прямой, проходящей через точки Р (2; 0) и /С (0,5; —1).
а)	Напишите уравнения этих прямых.
б)	Найдите отношение периметров треугольников, отсекаемых
прямыми от осей координат.
Вариант 5
С-6
1.	Дана функция = Найдите f	.
2.	Изобразите схематически график функции у-~-^^~^х .
3.	Прямая, проходящая через точку С, параллельна прямой, прохо-
дящей через точки А (5; 2) и В{— 1; —2).
а)	Напишите уравнение прямой, проходящей через точку С, если
С является точкой пересечения прямых 2х-\-у=— 7 и х-\~2у —
= —8.
б)	Найдите отношение площадей треугольников, отсекаемых пря-
мой АВ и параллельной ей прямой, проходящей через точку С,
от осей координат.
Вариант 6
1. Дана функция f(x)
7+3' НаиАите^у-^J.
С-6
2.	Изобразите схематически график функции у
4х — 8
х2-|-2х — 8
3.	Через точку Д, являющуюся точкой пересечения прямых х—1 и
Зх — у = 7, проведена прямая, параллельная прямой, проходя-
щей через точки С (1; — 1) и D (5; 5).
а)	Напишите уравнения этих прямых.
б)	Найдите отношение периметров треугольников, отсекаемых
этими прямыми от осей координат.
Контрольная работа № 5
Вариант 1	К-5
1.	Докажите, что произведение двух нечетных функций есть функ-
ция четная на их общей области определения.
2.	Дана функция у =	/ , „ •
хг — 6х-|- 13
а)	Найдите наибольшее значение функции.
б)	Докажите, что на промежутке [3; + оо) функция убывает.
3.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
/(%) = |х —21+3 |xl+Vx2 + 4x+4.
4.	Даны функции f(x) = 2x2—1 и <р (х)—У/Зх— 1 . Найдите / (<р (х));
<Р (/(*))•
5 Заказ 134
129
5°. Найдите наибольшее значение функции
у = 2х—V*2 —4х-|-4 —	20х-Ь25.
Вариант 2
К-5
1.
2.
3.
Докажите, что если функция /(х) убывает на множестве X и
£>0, то функция &«/(х) также убывает на множестве X.
Дана функция у
13
а)	Найдите наибольшее значение функции.
б)	Докажите, что на промежутке ( — оо; —1] функция возрастает.
Исследуйте на четность и нечетность функцию
/(х) = (х3-Зх24-1)(х-|-2)6 — (х34-Зх2 — 1)(х—2)6.
4. Даны функции /(х)=(х — 2)2 и у(х)=~\[х. Найдите /(<р(х)) и
<Р (/(*))•
5 . Найдите наименьшее значение функции
у—Д/4Х2 —4х+ 1 + Vx2~6x4-9 — 2х.
Вариант 3	К-5
1.	Докажите, что произведение четной функции на нечетную есть
функция нечетная на их общей области определения.
9
2.	Дана функция У=^+6>+7 
а)	Найдите наибольшее значение функции.
б)	Докажите, что на промежутке (— оо; —1] функция возрас-
тает.
3.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
(2х-3)-|х+4|	(2x4-3)-|Х—41
М '	(хЧ-1)(Зх—1)	(х—1)(Зх-|-1) *
4.	Найдите f (ф (х)) и ф(/(х)), если / (х) = 4х4 —4Х2, ф (х)=Д/*+ 1 •
5°. Найдите наибольшее значение функции
у = 2х - Ух2-10x4-25 - V4X2 4-12x4-9.
Вариант 4	К-5
1.	Если функция y = f(x) возрастает на множестве X и а<0, то
функция y = af(x) убывает на множестве X. Докажите.
2х34- х2-^ 1
2.	Функцию у=—~— представьте в виде суммы четной и не-
четной функций.
3.	Найдите наибольшее значение функции // — —2х44-3х2 —6 и до-
/ л W \ .
кажите, что на интервале 10; -у-J функция возрастает.
4.	Найдите /(ф(х)) и ф(/(х)), если /(х)=-^-, <р(х) = 3х2—1.
5°. Найдите наименьшее значение функции
у=У/х?— 14х-|-49 — Д/х24-4х-|-4 4-Д/х2”.
130
Вариант 5	К-5
1.	Докажите, что если функция f (%) убывает на множестве X и
0, то функция kf (%) возрастает на множестве X.
2.	Дана функция у =	•
а)	Найдите наибольшее значение функции.
б)	Докажите, что на промежутке [3; 4"°°) функция убывает.
3.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
г / ч х2— Зх-|-2 . х24_3х4_2
f (х) = —--!---| .
х3 — 4x4-1	х3 —4х—1
4.	Даны функции /(х)=1 — Зх2 и ф (х) = д/1 — 2х. Найдите f (ф (х)),
<₽(/(*))•
5°. Найдите наибольшее значение функции
у = Зх—Д/Эх2 —6х+ 1 — у/4х? — 12x4-9 .
Вариант 6	К-5
1.	Докажите, что сумма двух нечетных функций есть функция не-
четная на их общей области определения.
2.	Дана функция У^= 2x-^Z'3 .
а)	Найдите наименьшее значение функции.
б)	Докажите, что на промежутке (—оо; 1] функция убывает.
3.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
f(x) =—-----------|2х—11---------------|2х+11.
(Зх—2) (х+1)	(Зх+2) (х- 1)
4.	Даны функции f (х) = 3х4— 2Х2 и <р (х)=“\/3х4- 1 . Найдите
/(<р(х)) и <р (/(х)).
5°. Найдите наименьшее значение функции
у=Д/Эх2 —6x4- 1 + Д/х2-)- 2x4- 1 — Зх.
Самостоятельная работа № 7
Вариант 1	С-7
х3 4~ 3
1.	Найдите асимптоту графика функции У = ~ъ—	0 
л — оХ ф Л
Зх
2.	Докажите, что функция / (*)= 2х—1 ~ бесконечно малая при
хоо.
3.	Найдите луч (Л4;4“°°), на котором выполняется неравенство
lx2-4х + 3| > 104.
Вариант 2	С-7
1.	Найдите асимптоту графика функции У — ^—~
131
2
2.	Докажите, что при х->- оо функция ф (х) = ^— 5-- бесконечно
большая.	4
3.	Найдите луч (Л4;4~оо), на котором выполняется неравенство
Вариант 3
С-7
1.
2.
3.
I Зх
Найдите асимптоту графика функции у=~ъ—?---------•
Ju <5 X £
Докажите, что функция / (х) ==—*+-— 5 бесконечно малая при
х-|- 1
Х—^ оо.
Найдите луч (Л4; 4-°°)» на котором выполняется неравенство
Вариант 4
С-7
1.
2.
3.
2х3+ 15
Найдите асимптоту графика функции z/=	*
Докажите, что при х—>—оо функция y = 4x4 — 5x3-j-8x2-l-7
бесконечно' большая.
При каких значениях а функция у = —— 2 будет беско-
нечно малой при х-> + оо? Найдите луч (М; + оо), на котором
выполняется неравенство |z/| <0,01.
Вариант 5	С-7
1 и «	,	.	4 х2 —8x4-7
1.	Найдите асимптоту графика функции У = -^---------1.
хг Зх ~~ 10
2.	Найдите луч (М;+°°), на котором выполняется неравенство
lx3 —8x-h 11 >Л09.
on	х^ 4~ 2Х2 4~ 1	2. I < а:
3.	При каких значениях а функция у =-----—----------лг-f-a будет бес-
х4~ £
конечно малой при х-> оо?
1.
2.
С-7
Ьх бу-
s.
Вариант 6
и о	1	.	7 х2 — 8х 4~ 2
Найдите асимптоту графика функции у = -	•
При каких значениях а и b функция f (х) = -—
дет бесконечно малой функцией при х-^Ц-оо? Найдите луч
(М; —J—оо), на котором выполняется неравенство |/(х)| <0,0001.
2x4-3
Докажите, что функция у = —— бесконечно большая при
х-+- оо.
132
Вариант 1
1.
2.
Контрольная работа № 6
Дана функция /(х)= 3х+5‘
функции
К-6
2|х| —1
„3 при х<2,
5	Найдите пределы этой
ТТ27 ПРИ
при х->--оо и Х->Н-ОО.
/2п + (-1Г	2" — 2~п\
\6«—( —1)"	2" + 2~nJ
четвертый член бесконечной геометрической прогрес-
Найдите
Найдите
сии, если ее сумма равна 8, сумма второго и третьего членов рав-
на 3, а знаменатель прогрессии является числом рациональным,
л о и •	1*	( 1 “I- 4 + 7 4“ ••• И- (Зл — 2)	Зл-|-1\
4. Найдите lim (- -у , •---------	'
п ОО X	2Л 4- 1
3.
4
Вариант 2
1.
Дана функция /(*) =
при
X
К-6
Найдите пределы
2.
3.
X
2х —4
1 — |х —2|
---------------------------х--- ИРИ
этой функции при X оо и +
т т о «.	/ 5п3	. 1 — Зя2 \
Найдите lim (, ).
оо \ 1 +5/Г	3n+ 1 /
Найдите пятый член бесконечной геометрической прогрессии, ес-
2	„	1
ли ее сумма равна —, а третий член равен — .
□	4
34-6+ 12 +... Н-3-2"-1
оо.
4°. Найдите lim
5-2"+1 + 3
Вариант 3
К-6
1.
2.
Дана функция
/(*) =
(2 + Зп)2
Найдите пределы
Зх
4-|х|
2х-(-5
х-|-6
этой функции при X------оо и
D	1-	/ (—3)”4-2"
Вычислите lim ( — -----,
я+оо \(-3)Л“1+2',-н (Зп—1) (п+1)7
Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрессии, ес-
О	13
ли ее сумма равна 3, а сумма первого и третьего членов равна —.
4°. Найдите lim +	+ —Н--------------Y
„+ОО yl-7 ' 7-13 '	^(6/2-5) (бл+1)/
3.
133
Вариант 4
1.
Дана функция /(*) =
1 — х
5 —2х
X
|3-х|-Ы
при
при
К-6
Найдите пределы
оо.
2.
этой функции при х—оо и х-^4"
D	।.	/ 6 • 4Л 4- 1 0л + 1\
Вычислите hm (—---------2	|.
\3.2л+1	/
Найдите пятый член бесконечной геометрической прогрессии, если
ее сумма равна 4, разность между первым и третьим членами равна
7
—, а знаменатель прогрессии является числом рациональным.
ло тт »	г / 12 +22 +... +/г2	4я2 + 2/г —6\
4 . Найдите lim '	— 1
П —оо
3 (2и+ 1)
Вариант 5
1.
Дана функция f(x) —
К-6
Найдите пределы этой
2.
3.
ЗН-2|х|
ПРИЛ
9х
зТ+2 ПРИЛ
функции при Х->----оо и
_	..	( п (п +1) (п + 2)
Вычислите lim (------------
оо \ (п4~3) (п4-4)
Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрес-
3
сии с положительными членами, если ее сумма равна j, а тре-
тий член
4°. Найдите
1
равен —.
14-6 4- 36	4- 6'
4-6”+2+1
lim
Вариант 6
К-6
Зх	г
7—р	прих<—5,
|_|7_Х|	Найдите преде-
37+20- "Р“*>-5-
лы этой функции при X----оо и х—^+°°-
2. Вычислите lim р+'>-<"-+2->L".+jl-<" + 3><" + 4+
„+оо\	(л + 4)(/г + 5)	«4-5	/
3. Найдите пятый член бесконечной геометрической прогрессии, ес-
4
ли ее сумма равна -г-, разность между первым и третьим члена-
ми равна 1,5, а знаменатель прогрессии является числом рацио-
нальным.
1. Дана функция /(х) =
п ).
134
4°. Найдите lim—J= f—Ц=
п oo yZl \ 1-р уЗ
1
W+W
Л/2/ч— 1 +д/2л+1
Контрольная работа № 7
К-7
Вариант 1
1. Найдите пределы:
б) lim
X—>- —
х3-|-4х24-6х+3
2х> + Зх+\
2.
3.
4.
Дана функция f(x) =
2х+1
— ПРИ
2 —х2 при
— 3 при
х< — 1,
-1<х<2,
х>2.
а) Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график,
б) Найдите lim /(х), limf(x), Пт/(х).
х-»-—2	х —► О	х-> 5
Докажите, что уравнение х3—5х-|-3 = 0 на промежутке [ — 3; —2]
имеет корень. Найдите значение этого корня с точностью до 0,1
(используйте микрокалькулятор).
Докажите, что функция g(x) = x^— 6x-j-10 необратима. Найдите
функцию, обратную g (х) на промежутке [3; -|-оо), и постройте
ее график.
Найдите
6°. Найдите
5.
Hm I2 —22-|-32 —42-|-...-|-(2n—I)2 —(2п)2
п->оо	4л2 —3
значения параметров а и b из условия
lim	\= 5
Вариант 2	К-7
1.	Найдите пределы:
к Р 2 — Vх 3
2. Дана функция /(х) =
lim
1
х’ + бх2 —7х+ 1
2х2 + Зх-5
3 при х< —2,
х2^-! при —2<х<2,
-~i при х>2.
а)	Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график.
б)	Найдите limf(x), lim/(x), lim f(x).
x->- 7	x->- 1	x ——3
3.	Докажите, что уравнение x3 + x—11=0 на промежутке [2; 3]
имеет корень. Найдите значение этого корня с точностью до 0,1
(используйте микрокалькулятор).
4.	Докажите, что функция g (х) = х~-\-8х+ \0 необратима. Найдите
функцию, обратную данной на промежутке (—оо; —4], и по-
стройте ее график.
135
г ц « I. 22-42 + 62-82+...+ (4£ —2)2 — 4£2
5.	Найдите lim -------1------------------—-—- .
й->оо	4£2 + 3* + 4
6°. При каких значениях а функция
Ф(х) =
2Х2 —6х
х —3
при х<3,
ах-(-2 при х^З
будет непрерывной в точке х = 3?
Вариант 3
К-7
1.	Найдите пределы:
a) lim
х —1
3 V
1-х3/’
б) lim
х3 + 4х + 5
2х2-5х-7 ‘
/ 2
м-^2
2. Дана функция /(х) =
_ _2
X
V%4-3
-1
при х< —2,
при —2^х^6,
при х>6.
а)	Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график.
б)	Найдите lim/(x), lim/(x), lim f (x).
x->- 1	x->- 9	x —— 4
3.	Докажите, что уравнение 2X3 — 5x-]-l=0 на промежутке [0; 1]
имеет корень. Найдите значение корня с точностью до 0,1 (ис-
пользуйте микрокалькулятор).	______
4.	Составьте функцию, обратную функции g (х) = 3 д/х — 4, и по-
стройте ее график.
с о „ р	62 - 92+ 122 — 152 4-... + (6п)2-(6м-ЬЗ)2
5.	Найдите lim --------1-----Ц———-—-—1—- .
п —>- оо	18/1 “|“ 7
6°. При каком значении а функция
Ф(х) =
х2 —3x4-2
х2—1
4х— а
при |х| < 1,
при |х|^1
будет непрерывной в точке х=1?
К-7
Вариант 4
1. Найдите пределы:
б) lim
х3 + 2х2 — 5х-|-2
Зх2 —5x4-2
2. Дана функция f(x) =
2
|х—1|
2 —Зх
при х< — 1,
при —1^х<2,
при х^2.
а)	Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график.
б)	Найдите пределы этой функции при х->3, х-^0, х->—105.
136
3.	Докажите, что уравнение Зх3 —6х —5 = 0 на промежутке [1; 2]
имеет корень. Найдите значение корня с точностью до 0,1 (ис-
пользуйте микрокалькулятор).
4.	Докажите, что функция g (х) = — +	10 необратима. Най-
дите функцию, обратную ей на луче [4; -]-оо), и постройте ее
график.
г тт »	1-	21 2 5 * —32 + 42 —52 + ... + (2/02 —(2&+1)2
5.	Найдите игл -----—.........-; 7—*——- .
^оо	3£-2fc2
6°. Найдите постоянные а и b из условия:
lim (—т-;—ах— Ь ) = 0.
x^oo\X-hl	/
Вариант 5
К-7
1. Найдите пределы:
б) lim
х-> —
х3 4~ 4Х2 4~ 4х 4- 1
Зх2 -h 5x4-2
27 \
£-21)'
2. Дана функция f (х) =
2
X
2x4- Ю
3x4-1
3
при х<0,
при 0^х<2,
при х^2.
а)	Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график.
б)	Вычислите пределы этой функции при х-+- 10, х->—10, х-> 1.
3.	Докажите, что уравнение Зх3 — 2х^ + 2 = 0 на промежутке
[—1; 0] имеет корень. Вычислите значение корня с точностью до
0,1 (используйте микрокалькулятор).
4.	Докажите, что функция g (х)= ух-|-5 —4 обратима. Составьте
g-1(x) и постройте график обратной функции.
5.	Найдите lim ^-^-74...+(2n+2f-{2n + 3f
л_^оо	4 л —блг
6.	При каких значениях b функция
й(х) =
Зх2- 12х
-----— при х<4
х —4 г
Ь2х — 4 при х^4
будет непрерывной в точке х = 4?
Вариант 6
К-7
1. Найдите пределы:
ч р 4—Д/х — 1
a) lim —;
7 х+17 х2 — 17х
р 2х34-4х2 —х —2
б) lim —-4---------------
— 2	Зх2 -|-7х4"2
2. Дана функция/(х) =
5	1
-- при Х< —1,
— 6х при — 1<х^0,
0 при х>0.
137
а)	Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график.
б)	Вычислите пределы этой функции при х-+ 3, х-*—0,5, х-*—5.
3.	Докажите, что уравнение 2х3-|-Зх —4 = 0 на промежутке [0; 1]
имеет корень. Найдите значение этого корня с точностью до
0,1 (используйте микрокалькулятор).
4.	Является ли функция g(x) = 3 — 2х — х2 обратимой функцией?
Составьте функцию g-‘(x) на промежутке (— оо; —1] и по-
стройте график полученной функции.
с о „ р 32-42 + 52-62 + ... + (2m-F1)2-(2« + 2)2
5.	Найдите lim ------1v 9——-—- .
п > оо	3*? — 7п
6°. При каких значениях с и d
lim 6S±i+d(x-i0=2?
x->.-j-oo \3лг — 4	/
Самостоятельная работа № 8
Вариант 1	С-8
1.	Пользуясь понятием дифференциала, найдите приближенные
з ______________________________________
значения выражений: а) 3,0133; б) у27,018. Ответы проверьте на
микрокалькуляторе.
2.	Найдите значения производной функции у= |х-[-3| в точках
х = 0, х— —3.
3.	При каких значениях n£N I Зп , — 1,5 I<0,02?
г	I 2п— 1 I
Вариант 2	С-8
1.	Пользуясь понятием дифференциала, найдите приближенные
4 ____
значения выражений: а) 4,0074; б) у 16,47. Ответы проверьте на
микрокалькуляторе.
2.	Найдите /' (а), если f (х) = (х — а) ф (х) и функция ф(х) непре-
рывна в точке х0 = а.
3.	Не пользуясь понятием предела, докажите, что последователь-
/ п2 — Зп -|- 5 \
ность (—-j-j-j—\ ограниченная.
Вариант 3	С-8
1.	Пользуясь понятием дифференциала, найдите приближенные
5 ____
значения выражений: а) 2,0035; б) у243,33. Ответы проверьте на
микрокалькуляторе.
2.	Найдите значения производной функции у=\х—l|-hl*l в то4-
ках х0 = 0, Х! = 1, х2 = 2.	/5л+3\
3.	Докажите, что последовательность (- —возрастающая.
Вариант 4	С-8
1.	Пользуясь понятием дифференциала, найдите приближенные
з_______________________________________
значения выражений: а) 2,0073; б) у27,57. Ответы проверьте на
микрокалькуляторе.
138
2.	Докажите, что функция /(х)=|х—а\ <р(х), где <р(х) непрерывна
в точке х0 = а и ф(а)=#0, не имеет производной в точке х0 = а.
3.	При каких значениях n£N I 7"+ 13 — 2 4 I<0,03?
| 3/2-J-3	3 I
Вариант 5	С-8
1.	Пользуясь понятием дифференциала, найдите приближенные
значения выражений: а) 2,0134; б) д/80,71 . Ответы проверьте, на
микрокалькуляторе.
2.	Найдите значения производной функции у = \[х* в точках х0=1,
=0.
3.	Не пользуясь понятием предела, докажите, что последователь-
/ п2 -|- Зп + 4 \
ность I——) ограниченная.
Вариант 6	С-8
1.	Пользуясь понятием дифференциала, найдите приближенные
5 ______________________________________
значения выражений: а) 1,9955; б) у31,79. Ответы проверьте на
микрокалькуляторе.
2.	Найдите (а), если f (х) = |х —а| ф (х), где ф (х) — непрерывная
в точке х0 = а функция и ф(а) = 0.
3.	Докажите, что последовательность (	) убывающая.
Самостоятельная работа № 9
Вариант 1	С-9
1.	Каково взаимное расположение касательной к графику функции
у = х? в точке с абсциссой х0= —1 и прямой у = 3 — 2х?
2.	Докажите, что касательная к графику функции у = 2х3 в точке
с абсциссой х0= — 1 является асимптотой графика функции у =
_ 6х24-34х-Н22
*4-5
3.	Найдите £ (2&—I)2.
Вариант 2	С-9
1.	Через точку М (2; 8) к кривой у = х3 проведена касательная /.
Найдите все общие точки прямой / и кривой z/ = x3.
2.	Докажите, что наклонная асимптота графика функции
2x2-h7x-h4
У~ 2х+3
параллельна касательной к графику у = у[х в точке с абсциссой
хо = О,25.
3.	Найдите £ k(2k-\-l).
k=i
139
Вариант 3	С-9
1.	Каково взаимное расположение касательной к графику функции
//= х3 в точке с абсциссой х0=1 и прямой z/ = 3x-|-5?
2.	Найдите точку пересечения касательной к графику функции
z/ = x2H-3 в точке с абсциссой х0= — 1 и наклонной асимптоты
. д.	4Х2-}-8x4-3
графика функции у =—2х+4~" ‘
3.	Найдите £ (2k — I)3.
£=i
Вариант 4	С-9
При каком значении а прямая у = 3х + а является касательной
к графику функции z/ = x3?
Найдите координаты точки пересечения касательной к графику
функции
графика
1.
2.
3.
Найдите
// —3— х2 в точке с абсциссой х0=—3 и асимптоты
.	Зх^ 4~ Зх 4“ 4
фу„КЦИИ y-^+|7.
Z *<3*— 1).
£=1 .
С-9
Вариант 5
1.	Каково взаимное расположение касательной к графику функции
// = 4 —х2 в точке с абсциссой х0 — 2 и прямой у —8 — 4х?
2.	Найдите координаты точек пересечения касательной к графику
функции z/ = 7 —х2 в точке с абсциссой х0 = 3 с асимптотами гра-
х3 — 2Х2 4- 3
фика функции У=-^—г—г-
п	л
3.	Найдите £ k2(k+l).
Вариант Б	С-9
Является ли прямая z/ = 6х-|-4 касательной к графику функции
z/==2x3? Если является, то найдите координаты точки касания.
Найдите все общие точки прямой z/ = 6x-|-4 и кривой у = 2х3.
Докажите, что касательная к графику функции z/ = x2— 4 в точке
с абсциссой х0=—2 и наклонная асимптота графика функции
gx2 — 4x4-9
у ~~—-——!— параллельны.
О — £Х
1.
2.
3.
Найдите £ (3& —2)2.
fc=i
Контрольная работа № 8
Вариант 1	К-8
1.	Материальная точка движется по прямой согласно уравнению
s(t) = t3-^- + 2t-\ (см).
140
а)	Найдите ее скорость в момент времени / = 3 с.
б)	В какой момент времени ускорение будет равно 9 см/с2?
2.	Найдите (1), если f (%) = —.
х 4- 2
3.	Дана функция ф(х) = у—. К ее графику в точке х0 = 2 проведе-
на касательная /.
а)	Напишите уравнение касательной /.
б)	Существует ли касательная к графику функции ф, отличная
от I и параллельная /? Если существует, найдите ее уравнение.
4.	Дана функция g (х) = 3х(2х — I)5. Найдите все значения х, при
которых: a) g' (х) = 0; б) g' (х)>0; в) g' (х)<0.
IX2—! I
- в области ее опреде-
ления?
6°. Известно, что (х —2)50 = a0x50 + aiX49 + ...-ha49x+a50. Найдите сум-
му 50й0-|-49# j2#4g-|-#49.
Вариант 2	К-8
1.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(Z) = 2/3 —2,5f + 3/+l (м).
а)	Найдите скорость точки в момент времени t—\ с.
б)	В какой момент времени ускорение будет равно 19 м/с2?
2.	Найдите f' (4), если f(x)———.
1________________________х *
3.	Дана функция ф(*) = ^тр4 • К ее графику проведена касатель-
ная т в точке с абсциссой х0=—3.
а)	Напишите уравнение касательной т.
б)	Существует ли касательная к графику функции ф, отличная
от т и параллельная /п? Если существует, найдите ее уравнение.
4.	Дана функция g(x) = 2x(l —х)5. Найдите все значения х, при
которых: a) g' (х) = 0; б) g' (х)^0; в) g' (х)<0.
5.	Докажите, что функция у = 11 — х2! в точках х= 1 и х= — 1 не-
дифференцируема.
6°. Известно, что (3 —2х)40 = а0х404-^1Х39 +... + ^зэх + ^4о- Найдите
сумму 40• 39а04~39 • 38а] -р... 4-3• 2йз?4~ 2^38.
Вариант 3	К-8
1.	Материальная точка движется по прямой согласно уравнению
s(/) = /3 + ^-4Z + 3 (м).
а)	Найдите ее скорость в момент времени t = 2 с.
141
б)	В какой момент времени ускорение будет равно 9 м/с2?
2.	Найдите f' (1), если /(%)= * V*~+4*
2 ух
х__з
3.	К графику функции ф(х)=-^—- в точке с абсциссой х0 = 3 про-
ведена касательная I.
а)	Напишите уравнение касательной I.
б)	Существует ли касательная к графику функции ф, отличная
от I и параллельная /? Если существует, найдите ее уравнение.
4. Дана функция g(x) = 2x(l —Зх)7. Найдите все значения х, при
которых: a) g' (х) — 0; б) gz(x)^0; в) gz(x)<0.
5. Докажите, что функция у = Д/81 — 18х2Н-х4 в точках 3 и —3 не-
дифференцируема.
6°. Известно, что 3(4х—3)зо = 6охзо-|“&1Х29 + ... + 629х+^зо- Найдите
30fe0-|-29fe1 +... + 2^8 Н” ^29-
Вариант 4	К-8
1.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
х(/) = 2/3 + ^—-7^ + 3 (см).
а)	Найдите ее скорость в момент времени t=\ с.
б)	В какой момент времени ускорение будет равно 11 см/с2?
о и ° t/ /с\\	с / \_ 243х 2Х3 ~\fx
2.	Найдите / (9), если /(х) =----------.
2__х
3.	К графику функции ф(х) = у-р^ в точке с абсциссой х0=—4
проведена касательная т.
а)	Напишите уравнение касательной т.
б)	Существует ли касательная к графику функции ф, отличная
от т и параллельная zn? Если существует, найдите ее уравнение.
4.	Дана функция g(x) = 2x(3x— I)5. Найдите все значения х, при
которых: a) g' (х) = 0; б) gz(x)>0; в) gz(x)^0.______________
5.	Докажите, что в точках 2 и —2 функция // = Д/х4 — 8х2~Ь 16 не-
дифференцируема.
6°. Известно, что 3(3x + 4)20 = c0x20H-CiXl9H-...H-Ci9x + c20. Найдите
2О-19со—19- 18fj+ ... —3-2с17Н-2с18.
Вариант 5	К-8
1.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
х(/)==1/3_^ + 1+0,5 (м).
142
а)	Найдите ее скорость в момент времени / = 3 с.
б)	В какой момент времени ускорение будет равно 4 м/с2?
п и » г//П\	г/ \	27VT+8X2
2.	Найдите / (9), если /(*)=——f=—.
X ух
з__х
3.	К графику функции <р (х) = -х^4 в точке с абсциссой х0= — 3
проведена касательная т.
а)	Напишите уравнение касательной т,
б)	Существует ли касательная к графику функции ср (х), отличная
от ди и параллельная дп? Если существует, найдите ее уравнение.
4.	Дана функция g (х) = 2х(Зх-|-4)5. Найдите все значения х, при
которых: a) g' (х) = 0; б) g' (х)>0; в) g'(x)<0.
5.	Дана функция й(х) = х |х|.
а)	Найдите h' (3), h' (—5).
б)	Пользуясь определением производной, найдите h' (0).
6°. Известно, что 4 (2х+l)15 = a0x15 + a1x14-h... + a14x-|-a15. Найдите
15а0— 14^-1-... — 2а13 + а14.
Вариант 6	К-8
1.	Материальная точка движется прямолинейно по закону
х(/) = 6/3 + 2/ — 7 (м).,
а)	Найдите ее скорость в момент времени / = 3 с.
б)	В какой момент времени ускорение будет равно 54 м/с2?
2.	Найдите f' (1), если f (х)=——х	.
х I 2
3.	К графику функции ф(х)=-^~^- в точке с абсциссой х0=— 2
проведена касательная /.
а)	Напишите уравнение касательной I.
б)	Существует ли касательная к графику функции ф, отличная
от I и параллельная Z? Если существует, найдите ее уравнение.
4.	Дана функция g(x) = 3x(5x—4)3. Найдите все значения х, при
которых: a) g' (х) = 0; б) g' (х)>0; в) g' (х)^0.
5.	Дана функция h (х) = 2х-|- |х— 11.
а)	Найдите h' (0), h' (3).
б)	Пользуясь определением производной, докажите, что функ-
ция h недифференцируема в точке х0=1. Является ли функция
непрерывной в точке х0=1?
6°. Известно, что (Зх-2)25 = В0х25 + В1х24 + В2х23 + ... + В23х2 + В24х+
+ В25. Найдите 25-24В0 + 24.23В1 + 23-22В2 + ... + 2В23.
143
Самостоятельная работа № 10
Вариант 1
С-10
1.	Найдите промежутки возрастания, убывания, экстремумы, про-
межутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
функции у= — 4- х34-5х24- 12.
«5	_
2.	Найдите экстремумы функции z/ = 2x2 —у/х.
3.	Через точку М (0; 3) к графику функции у = -^ проведена каса-
тельная. Напишите ее уравнение.
Вариант 2	С-10
1.	Найдите промежутки возрастания, убывания, экстремумы, про-
межутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
функции // = 2х3Н-Зх2—12х + 5- г-
2.	Найдите экстремумы функции у = х% — i).
3.	Через точку М (2; 0) к графику функции z/ = 3 —х2 проведены ка-
сательные. Напишите уравнения этих касательных.
Вариант 3	С-10
1.	Найдите промежутки возрастания, убывания, экстремумы, про-
межутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
функции 1/=^-+^+12х+16.
О Z
2.	Найдите экстремумы функции у = х2 \ —2х.
3.	Через точку М( — 1; 0) к графику функции // — Д/2х— 1 проведе-
на касательная. Напишите ее уравнение.
Вариант 4	С-10
1.	Найдите промежутки возрастания, убывания, экстремумы, про-
межутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
функции // = —+ X2 —3x4- 1 •
о
2.	Найдите экстремумы функции z/ = (2 —х)Д/х24~^+1 -
3.	Через точку М (2; 0) к графику функции у=~\J\ — х проведена
касательная. Напишите ее уравнение.
Вариант 5
1.	Найдите промежутки возрастания, убывания, экстремумы, про-
межутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
функции у = — 4 х3 — 4x2-j- 13.
О
2.	Найдите экстремумы фунции у = 8х2— д/2х".
2
3.	Через точку М (0; 2) к графику функции У = ~ проведена каса-
тельная. Напишите уравнение этой касательной.
144
Вариант 6	С-10
1.	Найдите промежутки монотонности, экстремумы, промежутки
выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции
у=-±х? + 4х?-\2х+18.
О
2.	Найдите экстремумы функции у = 4Х2 Д/1 — 4х._____
3.	Через точку М (1; 3) к графику функции у=Л]1 — х проведена
касательная. Напишите уравнение этой касательной.
Контрольная работа № 9
Вариант 1
К-9
1.
2.
3.
Дайте определение непрерывности функции в точке и на отрез-
ке. Докажите теоремы о непрерывности суммы и произведения
двух непрерывных в точке функций.
X2
Исследуйте функцию и постройте ее график: у —	.
В арифметической прогрессии шестой член равен 3, разность
прогрессии d^0,5. При каком значении d произведение первого,
четвертого и пятого членов будет наибольшим?
4°. Докажите, что функция z/ = 0,2x5-|-x4-|-2x3-|-2x2-|-5x возрастает
на
Вариант 2
К-9
1.	Дайте определение производной функции в точке. Докажите тео-
рему о производной суммы двух дифференцируемых функций.
х3
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график: У—~—•
3.	Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, что-
бы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?
4°. Докажите, что функция у= — 0,2х5-|-0,5х4 — x3-hx2 — х убы-
вает на R.
Вариант 3	К-9
1.	Дайте определение критических точек и точек экстремума. Дока-
жите теорему о достаточном условии существования экстремума.
х -I-12
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график: У~	•
3.	Число 180 представьте в виде суммы трех неотрицательных сла-
гаемых так, чтобы два из них относились как 1 : 2, а произведение
трех слагаемых было наибольшим.
4°. Докажите что функция у= — 0,2х5-]-0,5х4 — ~ х3 —х2 —Зх убыва-
ет на R.
Вариант 4	К-9
1.	Дайте определение предела функции в точке. Докажите теорему
о непрерывности дифференцируемой в данной точке функции.
145
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график: У = ~^—- •
3.	Число 8 представьте в виде произведения двух положительных
чисел так, чтобы сумма квадратов множителей была наименьшей.
4.	Докажите, что функция //— 0,8х5 —х4 +Зх3 —2х2 3 + 4х возрастает
на R.
Вариант 5
К-9
1.	Докажите теорему о производной степени и произведения двух
функций.
^2
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график: у = _ .
3.	В арифметической прогрессии второй член равен 6. При каком
значении разности прогрессии d^.2 произведение первого, треть-
его и шестого членов прогрессии будет наименьшим?
4.	Докажите, что функция у = 0,2х5 — 1,5х4-|-7-| х3 —21х2 + 52х+7
возрастает на R.
Вариант 6	К-9
1.	Докажите теорему о производной частного.
х3
2.	Исследуйте функцию и постройте ее график: у — -^-.
л —4
3.	Разность двух положительных чисел равна 13,75. Каковы долж-
ны быть эти числа, чтобы разность между удвоенным квадра-
том большего числа и кубом меньшего числа была наибольшей?
4.	Докажите, что функция у= — 0,8х5 — Зх4-|-2у х3-)- 12Х2— 16х-|-8
убывает на R.
Самостоятельная работа № 11
Вариант 1
1. Докажите неравенство
С-11
»>». ь>й.
2.
3.
Найдите разложение бинома
Упростите выражение
(3 - 2х)4 + 8х (3 - 2х)3+24Х2 (3 - 2х)2 + 32Х3 (3 - 2х) + 16х4.
Вариант 2	С-11
. п	/а + 3\5 . а5 + 243
1.	Докажите неравенство I——2—’
2. Найдите разложение бинома (а2 —а-1)7.
3. Упростите выражение
(2х - 1 )4 - 8х (2х - 1 )3 + 24Х2 (2х - 1 )2 - 32Х3 (2х - 1) + 16х4.
146
Вариант 3
С-11
( I L \ _3	„ -3 I L -3
Р j	, а>0, Ь>0.
2.	Найдите разложение бинома (62-j-6-1)6.
3.	Упростите выражение
(2 —Зх)4+12х(2 —Зх)3Н-54х2 (2 —Зх)2 + 108х3 (2 — Зх) + 81х4.
Вариант 4
1.	Докажите неравенство (0,5а 1 )4^--+ 16 , а>0.
С-11
2.	Найдите разложение бинома (а3-\-а 2)7.
3.	Упростите выражение
(2х+ I)5— 10х(2х+ 1)4+ 10х2(2х+1)3-80х3(2х+1)2 +
+ 80х4 (2х+ 1)- 32х5'.
Вариант 5	С-11
1 гт	/2c-hl\3	8?-hl
1.	Докажите неравенство	(—-—1	, с>0.
2.	Найдите разложение бинома (2а — а-1)7.
3.	Упростите выражение
(Зх—I)4— 12х(Зх-1)3 + 54х2(Зх-1)2-108х3(Зх-1) + 81х4.
Вариант 6	С-11
t п	/1-Ь36\-3^27-Ь^-3	- п
1.	Докажите неравенство (—g—]	» b>v.
2.	Найдите разложение бинома (х-3 — 2Х2)6.
3.	Упростите выражение
(4х —З)4- 16х(4х —З)3 + 96х2(4х-3)2~ 256х3(4х-3) + 256х4.
Контрольная работа № 10
Вариант 1	К-10
1.	Известно, что tg а= —и ^-<а<с2л. Найдите значения sin а
/ о
и ctg а.
л w	14-cosa (. . /l-J-cosa\2\
2.	Упростите выражение ----------—:( 1-М--------) )•
sin2 а \	\ sin а / /
147
3.	Дана функция f (х) = sin х + 5 cos у х.
а)	Найдите f (0), /(7л), /(-12л).
б)	Покажите, что число 8л является периодом этой функции,
в) Найдите основной период функции /.
4.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
Ф (х) = х3 + 2 sin x-pctg х.
5.	Решите уравнение 2sin3 х-|“3 sin2 х—2 sin х = 0.
6.	Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармони-
ческого колебания, заданного формулой z/ = sin ^2х-ру^ . По-
стройте график этой функции.
7°. Докажите, что sin3 а (1 -j-ctg a) + cos3 а (1 + tg а)<—.•
Вариант 2	К-10
5 л
1.	Известно, что ctga=—— и у<Са<л. Найдите значения cos а
и tg а.
_ __	(sin а + cos а)2— 1
2.	Упростите выражение ----------------.
tg a —sin a cos а
3.	Дана функция f (x) = sin 2х-|-5 cos 4х.
а)	Найдите f (0), / (-у). /(—^р) •
б)	Покажите, что число Зл является периодом функции /.
в)	Найдите наименьший положительный период функции /.
4.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
ф (х)= — Зх2Н-2 cos x-j-Зх sin х.
5.	Решите уравнение 2 cos3 x-j- 5 cos2 х — 3cosx = 0.
6.	Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармони-
ческого колебания, заданного формулой у = 2 sin ^2х — у) . По-
стройте график этой функции.
7°. Докажите, что
sec х — cos х cosec х— sin х I > 1
tgx+l ctgx+l I 2
Вариант 3	К-10
1	Зл
1. Известно, что cosa=-------=• и л<а<—. Найдите значения
уЗ
sin а и ctg a.
л	sin a . cos a	1
2. Упростите выражение-------------г-— --------:----;----•
l-|-ctga 14-tga sina-j-cosa
148
З..Д	ана функция f (х) = 3 tg-| х + 5 cos 2х.
а)	Найдите /(0), /(8л), /(-^).
б)	Покажите, что число 8л является периодом функции f.
в)	Найдите наименьший положительный период функции f.
4.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
Ф (х) = 3х |х| — 2sin х + 3 tg х.
5.	Решите уравнение 2 sin3 х —3 sin2 х—2 sin х=0.
6.	Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармони-
ческого колебания, заданного формулой у = —2 sin ^2х+у) .
Постройте график этой функции.
7°. Докажите, что
1 + tg x+ctg X
sec2 x + tg x
_________ctgx_________q4+l
cosec2 %4-tg2 x—ctg2 x 2a2
Вариант 4	K-10
1.	Известно, что sina=-----U и	Найдите значения
д/б	2
cos а и tg a.
2
----------h tg a • ctg a
2.	Упростите выражение tg a+ctg a________________ctg a
(sina + cosa)2	tga-|-ctga
3.	Дана функция f (x) = 4 ctg 3x-|-5 sin 4x.
а)	Найдите /(7). f (-Ц1) . / (~J) •
б)	Покажите, что число Зя является периодом функции /.
в)	Найдите наименьший положительный период функции f.
4.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
Ф (х) = 3 (х2 — 1) — 2 |sin х| -1-х3 tg х.
5.	Решите уравнение 2 cos3 х-|-5 cos2 х-(-2 cos х=0.
6.	Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармони-
ческого колебания, заданного формулой у= — 2 sin ^2х—у) .
Постройте график этой функции.
7°. Докажите, что (1 + sin a-|-cos a)-(l — sin a-|-cos a)«(l + sin a —
— cos a)-(sin a-|-cos a— 1)^ 1.
Вариант 5	K-10
1. sin a =.; a , где a<0. Найдите значения остальных тригоно-
Va 4-6
метрических функций.
149
2. Докажите, что если А—---------, а В =--------, то 4Д2В2 —
1 — sin а	1 + sin а
— 2АВ = А2А~ В2.
3.	Дана функция f (x) = cos 4х — 2,5 sin 2х.
а)	Найдите f (0), f
б)	Докажите, что число 5л является периодом функции f.
в)	Найдите основной период функции /.
_________________________________________________________%
4.	Исследуйте на четность и нечетность функцию <p(x) = cos ——р.
5.	Решите уравнение 2 cos3 х —3 cos2 x-j-cos х = 0.
6.
Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармони-
ческого колебания, заданного
формулой
Постройте график этой функции.
i/ = 2 cos (-у —2х) .
-о „	1— cos2 х .	1— sin2 х ~ r
7. Докажите, что------------------|------------->0,5.
| sin x-f-cos х cos x+sin х
Вариант 6	К-10
1.	tg а = "^а~~ > где a<Z — 1. Найдите значения остальных тригоно-
метрических функций.
2.	Докажите, что если M = seca+1, a N = seca—1, то М2 — 4 —
= N(2M — N).
3.	Дана функция f (х) = 2 sin 2,5х — 3 cos 0,75х.
а)	Найдите f (0), /(5л), /( — Юл).
б)	Покажите, что число 16л является периодом /.
в)	Найдите основной период функции /.
4.	Исследуйте на четность и нечетность функцию
х31-х29
<p(x) = sin ^_1 .
5.	Решите уравнение 4sin3x = sinx.
6.	Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармони-
ческого колебания, заданного формулой у= — 2 cos (у — 2х) .
Постройте график этой функции.
70 ГТ	I CtgX	1 -|-tg X-h Ctg X I 64+l
7.	Докажите, что -------z-------------—I < —x .
I 1 tg2 x	1 + tg x-l-tg2 x 2&2
Самостоятельная работа № 12
Вариант 1	С-12
1.	Упростите выражение cos (л H-2a) + sin (л + 2a) tg <*)•
2.	Решите уравнение sin 5x-j-д/3~ cos 5х= 1.
150
3.	Найдите основной период функции у= 1 — 8 sin2 х cos2 х.
4.	Проверьте равенство
“\ /I । 1 ГГ । 1 .а ___________ ___
У2’ + '2 V2 + 2COSa =sln Т’ если л<а<2л.
Вариант 2	С-12
1.	Упростите выражение sin (л —2а) ctg 0- —a) —cos (л —2а).
2.	Решите уравнение cos Зх — sin Зх=\^.
3.	Найдите наименьший положительный период функции
у = sin х cos х cos 2х cos 4х.
4.	Проверьте равенство
Л Л 1 "Л /1 I 1	а
\/ —— — \/—4-—cos а = cos — , если л<а<2л.
V 2	2 V 2	2	4
Вариант 3
С-12
1.	Упростите выражение sin (л-|-2а) ctg	cos (л-|-2а).
2.	Решите уравнение sin 3x-|-cos Зх= — д/2".
3	Найдите наименьший положительный период функции
4.	Проверьте равенство
Л/тг + тг Л/тг+тг cos а =— cos 4» если Зл<а<4л.
V 2	2 у 2	2	4
Вариант 4	С-12
1.	Упростите выражение cos (л —2а) —sin (л —2а) tg (а—у).
2.	Решите уравнение cos 5х—sin 5х= — 1.
3.	Найдите наименьший положительный период функции
z/ = ctgx — tg х.
4.	Проверьте равенство
Л/4 + 4-cosa =sinv, если Зл<а<4л.
у 2	2	4
Вариант 5
С-12
1.	Упростите выражение cos (л-h 2a) + cos (1,5л — 2a) tg ^j-|-a
2.	Решите уравнение cos 5х —д/3~ sin 5х= — 1.
151
3.	Найдите основной период функции f (х) = 16 sin2 х cos2 х— 1.
4.	Проверьте равенство
"\ /1 । 1 ’У Л 1 п	а	л
V?+2 V2 + 2COS2(1 =S,n‘2 ’ еСЛИ 7<а<л-
Вариант 6
С-12
1.
2.
3.
4.
Упростите выражение cos	л — 2ajtg(n — a)4-sin
Решите уравнение cos 2x+sin 2х=д/2".
9.	fg %
Найдите основной период функции у —--------— cos 2х.
l+tg2*
Проверьте равенство
®	Зл - л
+ -gCos2a = —cos-g, если — <а<2л.
Контрольная работа №11
Вариант 1	К-11
(IH-tg a) sin (j — a)
1.	Докажите тождество ------------------Z. —sjn
1-tga	\4 '	/
2.	Найдите sin 2a, cos 2a, tg2a, если ctg а = д/2~+ 1.
3.	Решите уравнение cos x —cos 2x=sin Зх.
4.	Проверьте равенство —-------4sin70° = 2.
sin 10°
5.	Найдите угол между асимптотой графика функции у
_х3-2х2Ч-3
*41
и касательной к этому графику в точке с абсциссой х0=1.
6°. Докажите тождество
1 -|-2 cos 2a + 2 cos 4a+ 2 cos 6a = s— —
sin a
Вариант 2
K-ll
V-	л . /Л \
2 cos a —2 sin f —— a 1
1.	Докажите тождество --------—----- =д/2Г.
2 sin acos a
2.	Найдите sin (a —20), если tga = 2,4, tg0=—0,75, 0<a<y.
3.	Решите уравнение cos 2x-|-cos x=sin Зх.
4.	Проверьте равенство tg 20°-|-4 sin 20° = д/з”«
5.	Найдите угол между наклонной асимптотой графика функции
2л2 — 4x4-7
+3
152
и касательной к этому графику, проведенной в точке с абсциссой
х0= — 1.
6°. Докажите тождество
1 —2 cos 4а+ 2 cos 8а —2 cos 12а = — с-°- 1-4а .
cos 2а
Вариант 3	К-11
(1— tga)cos(j — a^
1.	Докажите тождество -----------12----L = cos( — -4-ai
1+tga	\4 •	/•
2.	Найдите sin 2a, cos 2a, tg 2a, если ctga=l—д/F.
3.	Решите уравнение cos 2x —cos 3x=sin 5x.
4.	Проверьте равенство 4 cos 20° = д/з” ctg 20° — 1.
5.	Найдите угол между наклонной асимптотой графика функции
у = ——— и касательной к графику этой функции, проведен-
ной в точке с абсциссой х0=1.
6°. Докажите тождество
1 1	। д 1	 2 sin 9х
cos х cos 2х cos 2х cos Зх	cos 9х cos 10х sin 2x cos lOx
Вариант 4
K-l 1
sin a-f-2 sin
Докажите тождество -------------—
2 cos (——a\
1.
2.
3.
4.
5.
/  уз
cos a a
5	4
Найдите cos (2a —0). если tga =—rx-; tgP=^-; O<0
Решите уравнение cos Зх+cos 2x=sin 5x.
Вычислите без применения таблиц cos—sin .
Найдите угол между касательной к графику функции
__2л3 —5х2 + 4
У~ з?-2х+2 ’
2 '
проведенной в точке с абсциссой хо = О, и асимптотой графика
этой функции.
6°. Докажите тождество
8 ctg 24a+ 4 tg 12a+ 2 tg 6a-Mg 3a = ctg 3a.
Вариант 5
(1 -Mg 2a) cos Л-- + 2a
1.	Докажите тождество -----------2-----
1 — tg 2a
cos
K-l 1
153
5	3	3
2.	Найдите cos(2a-|-p), если tga=—, ctg P=-j > n<p<-gn.
3.	Решите уравнение sin 2x-|-sin x = sin Зх.
4.	Проверьте равенство ctg 70°—д/З = —4 cos 70°.
5.	Найдите угол между касательной к графику функции у =
2х& “Ь 4~ 7	u	°
=----, проходящей через точку Л ( — 2; 4), и наклонной
асимптотой графика этой функции.
6°. Докажите тождество
.	,	.	. I • с 1-0 Sin5a-Sin4a
sin 2a + sin 4a-|-sin 6a-|-sin 8a=---------.
sin a
Вариант 6	K-ll
\/F cos a —2 sin	+ a )
1.	Докажите тождество ---------------------=д/2”.
2 sin (у-а)~А/з" cos а
2.	Найдите sin 2а, cos 2а, tg2a, если ctga = 3— д/2
3.	Решите уравнение sin 3%+sin 2x=sin 5х.
л п	1—2 cos 80°	. опо
4.	Проверьте равенство -----------= 4 cos 20 .
cos 80°
5.	Найдите угол между наклонной асимптотой графика функции
х’-бх + ЗО
У = -Х--5
и касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0=1.
6°. Докажите тождество
----!-------1------------1----!	1-... ч	-=
cos 2х cos 4х cos 4х cos 6х cos 6х cos 8х------------cos 18х cos 20х
__	2 sin 18х
sin 4х cos 20х
Самостоятельная работа № 13
Вариант 1
1. Найдите
С-13
lim
х->0
sin 2х — 2 sin Зх+sin 4х
х2 sin Зх
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции i/=l-|-
+ sin22x в точке с абсциссой х0=-^-.
3.	Найдите /' (л), g' , если:
б)	g (х) = х sin (Зх+ 1) + 2 ctg (Зх+ 1).
154
z/ = Л/1 —sin2 х
4.	Постройте график функции
(1 — tg X) tg0- + x)
t-tg (j + x)
Вариант 2
С-13
1. Найдите
cos 2х— 2 cos x + cos 4х
lim---------5---------------
г —Л	хг cos X
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции //=14-
H-cos22x в точке с абсциссой х0=-£.
О
3.	Найдите f'(я), g' 2 3) ’ если:
. С . v tg X
а)	/(*) = .	;
sin х—2
б)	g (х) = х cos (2x-f-3)— 3tg(2x+3).
4.	Постройте график функции

sin2.Г Ctg2x(14-tg2x)
Ч-tg
Вариант 3	С-13
t тт о	2cos х — sin 2х
1.	Найдите lim —-----—----.
_ / л	\2
I -Z- — X. I COS X
2 \2	/
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции z/ = sin23x
в точке с абсциссой х0 = у.
3.	Найдите /' (л), g'	, если:
ч с z ч 2 cos х4- sin x
a)	/(*)=—---------;
3 sin x —COS X
6)	g (x) = 4 ctg (1 — 3x) — x sin (3x— 1).
4.	Постройте график функции
2 /	\	(Я \
_________ cos ( — x) cos (— — Xi
у=Vl+tg2x--------—---—.
tg ( 2”~X) Sin (л —
Вариант 4
1. Найдите
C-13
lim
л
~8
y/2 —cos 2x—sin 2x
(8x —л)2
155
2. Напишите уравнение касательной к графику функции // = cos23x
в точке с абсциссой х0 = 4.
м
3.
Найдите /' (л), g'(5 23 *”)
если:
a)	f (х)=
2 cos х—3 sin х
1 + 4 cos х
б)	g(x)=3 tg(5 — 2х)—xcos (5 — 2х).
4. Постройте график функции
g=VF+ctpT-
tg sin <л+-"0
ctg (л — x)
C-13
Вариант 5
1. Найдите
,. sin Зх sin 2х—0,5 cos х4-0,5 cos2 5х
lim-------------------------1----------
x->-0	5jt cos x
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции g = 2cos22x
в точке с абсциссой х0 = -^-.
3.	Даны функции:
a) f (х)=х sin (2х4-4)4-2 ctg (2x4-4);
б) g(x)
ctg х
cos х—2
Найдите f' - & (7) •
4. Постройте график функции
t/=V14-tg2x
ctg (л —x)*sin (2л + х)
tg2 х
Вариант 6
1. Найдите
С-13
lim
sin 4х — 2 cos 2х
7л \2
( — — 2xj cos 2х
2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = 3 —
— 2sin23x в точке с абсциссой х0 = -^-.
3. Даны функции:
а) /(х) =
3 cos 2х—2 sin 2х
1—4 sin 2х
б) g(x) = 3 ctg(2x—5)4-х sin (2х—5).
Найдите /'(л), g/	•
156
4.	Постройте график функции
cos2 х ctg(n-2x)(l-tg 2х)
l+ctg(ji —2х)
Контрольная работа № 12
Вариант 1	К-12
1.	Решите уравнение 2 sin (5х 4-3)4-3 cos2 (5х4-3) = 3,25.
2.	Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у =
=sin(4x —2) и у =—cos (Зх-|-«5).
3.	Решите уравнение sin2 х4-sin2 2x4-sin2 Зх=2.
4.	Докажите, что при а>0, Ь>0 уравнение
a sin 5x4-2	4” cos 5х4-2а = — 4Ь
не имеет решений.
5.	Найдите а 4~ Р, если ctg а = 0,75, tg р = 7; 0< а< j, л<С Р<С-| л.
6°. Решите уравнение
cos2 x4-cos2 2x4-cos2 3x4“ cos2 4х= 1— .
Вариант 2	К-12
1.	Решите уравнение 2 cos (Зх4-5)4“3 sin2 (3х4-5) = 3 j .
2.	При каких значениях х функции z/ = tg(4x4-3) и z/ = ctg(x4-5)
принимают равные значения?
3.	Решите уравнение 2 cos2 2x4~cos x4-cos 9х= 1.
4.	Докажите, что уравнение
sin x4“Sin 2x4“sin 3x4-sin 4x4-sin 5x=5
не имеет решений.
5.	Найдите а —р, если ctga = 0,6, ctg Р = 4;	л<а<С-|л,
2л < р < 2 л.
6°. Решите уравнение
sin2 2x4“cos2 4х4“2 sin 2х=34-2 cos 4x4-2 sin 2х cos 4х.
Вариант 3	К-12
1.	Решите уравнение 4 cos (4х—1 )4-12 sin2 (4х—1)= 11.
2.	Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у =
= cos(5x —2) и у = — sin (4x4-1).
3.	Решите уравнение cos2 x4-cos2 2x4-cos2 Зх= 1.
4.	Докажите, что уравнение
a sin 7x4-2 Д/18 —За cos 7х= 18 — 2а4-3 sin 7х
не имеет решений.
5.	Найдите а4“Р, если ctg а = 0,75, ctg Р—у ;	, л<р<-у-.
6°. Решите уравнение
cos x4-cos 2x4-cos 3x4-cos 4х= —0,5.
157
Вариант 4	К-12
1.	Решите уравнение 4 sin (5x4- 1 )4-7 cos2 (5x4- 1 ) = 7 j .
2.	При каких значениях х функции y = ctg(2x —3) и у = tg (7х4" 1)
принимают равные значения?
3.	Решите уравнение 2 sin2 2x4- sin х4- sin 9х= 1.
4.	Докажите, что уравнение
sin x-j-cos 0- —2x^4-tg Зх sin 0*+Зх) = 3
не имеет решений.
1	2
5.	Найдите а — 0, если tga = — tg0=l —; л<а<1,5л,
4	о
0<₽<у.
6°. Решите уравнение
sin2 2x4-cos2 4х —2 sin 2х = 3 —2 cos 4x4-2 sin 2х cos 4х.
Вариант 5	К-12
1.	Решите уравнение 2 sin (2х-|-4)-|-5 cos2(2х4-4) = 4,75 .
2.	Найдите абсцийсы точек пересечения графиков функций
// = tg(3 —4х) и z/ = ctg(5 —х).
3.	Решите уравнение 2 cos2 x-j-cos 3x4-cos 4х= 1.
4.	Докажите, что уравнение
a sin Зх + 2 Д/2а2 + 6а + 4 cos Зх= — 6а —8
не имеет решений.
5.	Найдите 2а + 0, если tg а = — 2, ctg 0 = у ; у < а< л, 0<0<у.
6°. Решите уравнение
sin2 Зх-j-cos2 6x4-3 sin 3х4-2 = 3 cos 6x4-2 sin Зх cos 6х.
Вариант 6	К-12
1.	Решите уравнение 3 cos (2x4- 1) —3 sin2 (2x4- 1 )= —3,75.
2.	Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
z/ = cos (х2 — 5х-Р 1) и z/ = sin (2х —х2).
3.	Решите уравнение sin2-^4-sin2-^4-sin2 2х = 2.
4.	Докажите, что уравнение
sin x4-sin 0 —2x^4-ctg Зх cos 0 —3x^4“ cos 4х = 4
не имеет решений.
5.	Найдите 2а 4- 0, если tg а = 0,5, tg 0 = 7; 0< а<у, л< 0< 1,5л.
6°. Решите уравнение
cos 2x4-cos 4x4-cos 6x4-cos 8x= — ~ .
158
Самостоятельная работа № 14
Вариант 1	С-14
1.	Может ли выражение 3 sin2 а-|-5 sin а cos а принимать значение:
а) 4,45; б) V17~ (используйте микрокалькулятор)?
2.	Найдите множество значений функции
у= 13 sin (-^-+4х) cos (4х—у) .
При каких значениях х функция принимает наибольшее и наи-
меньшее значения?
3.	Решите неравенство 2-hcos 2х<3 cos х.
Вариант 2	С-14
1.	Докажите, что sin202x-|-cos40 2х^ 1. При каких значениях х до-
стигается равенство?
2.	Используя микрокалькулятор, сравните значения функции
у — cos (2х—у) cos — 2х\
с числом 0,934.
3.	Решите неравенство tg х-|-2 ctg х>3.
Вариант 3
С-14
1.	Докажите неравенство 4 cos2 а + 3 sin а cos а^4,5. При каких
значениях а достигается равенство?
2.	Может ли функция f (х) = 8 sin (2х —sin ^2х+-у-^ прини-
мать значение: а) — Зд/jT; б) 1,18 (используйте микрокальку-
лятор)?
3.	Решите неравенство 2 sin2 2х+2 cos2 х>3.
Вариант 4	С-14
1.	Решите неравенство cos15 x-hsin18 х^ 1.
2.	Используя микрокалькулятор, сравните значения функции
у = 4 sin (д| — Зх) cos (Зх+y)
С числом Д/7,469.
3.	Решите неравенство —tg* ^2.
1-tgx
Вариант 5	С-14
1.	Докажите, что 11 -f-Д/З sin 2а — 2 cos2 а |	- 4-- •
а
При каких значениях а и а достигается равенство?
2.	Используя микрокалькулятор, докажите, что значения функции
159
y = 6 sin \ 3х—yj sin (3x4~-^J заключены между числами —2,224
и 3,777.
3.	Решите неравенство sin Зх>>4 sin2 х.
Вариант 6	С-14
1.	Докажите, что sin13 a-hcos15 1. При каких значениях а
достигается равенство?
2.	Используя микрокалькулятор, сравните значения функции
у = 4 sin ^4х + у^ cos 0- — 4х) с tg76°.
3.	Решите неравенство cos 3x4-4 cos х< 1.
Контрольная работа № 13
Вариант 1
1.	Найдите lim------~2х---.
л . /л \
х->— arcsin ( — — х 1
2	\2	)
2.	Вычислите:
a) sin 12 arcsin — г,	б) arcsin (sin 5).
3.	Решите неравенство cos cos 2x4- sin — sin 2х^^- .
4.	Решите неравенство arcsin х< arccos х.
5°. Решите неравенство sin3x>sin5x.
К-13
Вариант 2	К-13
, тт »	.. sin (arcsin 2х) arctg 2х
1.	Найдите lim-------4-----------—.
(х2—-х) arcsin Зх
2.	Вычислите:
a) cos (2 arcsin ; б) arccos (cos 4).
3.	Решите неравенство sin cos 2x4- cos sin 2х^-^ .
4.	Решите неравенство arctg х< arcctg х.
5°. Решите неравенство cos2 х — cos24x<c0.
Вариант 3
1. Найдите
К-13
lim
3 arcsin
4
4х — л
160
2.	Вычисите:
a) sin (2 arccos -^0 ; б) arcctg(tg2).
3.	Решите неравенство cos у cos 2х — sin у sin 2х^ — у .
4.	Решите неравенство arccos х< arcsin х.
5°. Решите неравенство cos Зх—cos 2x^0.
Вариант 4
«	„	.. tg (arctg 2х) arcsin 5х
1.	Найдите lim —----1.
л cos 2х
2.	Вычислите:
(24 \
2 arccos — ) ; б) arcctg (ctg 6).
3.	Решите неравенство sin у cos 2х—cos у sin 2х^
4.	Решите неравенство arccos (х2 — 4x-h3)L>y.
5°. Решите неравенство sin 2x-h sin 4x^0.
К-13
Вариант 5
1. Найдите
К-13
lim
0
arcsin Зх cos
х sin 4х
2.	Вычислите:
a) cos (2 arcsin ; б) arcsin (sin 6).
\	и /
3.	Решите неравенство cos у cos Зх—sin у sin Зх^—у .
.	. 2Х2 — 9х + 8	л
4.	Решите неравенство arcsin-----------<у .
5°. Решите неравенство sin2 х— cos2 2х>0.
Вариант 6
К-13
. тт о	(sin Зх—sin х) arcsin х
1.	Найдите lim---------—5--------.
х-^0	Ьх2
2.	Вычислите:
a) tg (у arccos у) ; б) arccos (cos (— 5)).
3.	Решите неравенство sin у cos 2xH-cos у sin 2х^у .
4.	Решите неравенство arctg Зх—arcctg Зх>»0.
5°. Решите неравенство cos2 х—sin2 2x^0.
6 Заказ 134
161
Контрольная работа № 14
Вариант 1
К-14
1.	Решите неравенство	.
2.	Установите промежутки монотонности, экстремумы, нули функ-
3 —%2
ции / (х) = —у • Найдите асимптоты и постройте график этой
функции.
3.	Разложите на множители многочлен x3-j-8x-]-24.
4.	Докажите, что при всяком n£N число 10л + 45п—1 кратно 27.
5.	Найдите все решения уравнения sin 2x + cos х-|-2 sin х= — 1,
удовлетворяющие условию 0<х<5.
Вариант 2
К-14
1.	Решите неравенство	.
2.	Установите промежутки монотонности, экстремумы, нули функ-
ции f (х) = ^(3 — х)3. Найдите промежутки выпуклости и вогну-
тости, точки перегиба и постройте график этой функции.
3.	Решите уравнение х4 — х3— Юх2 — х+ 1 =0.
4.	Докажите, что если п — натуральное число и и^4, то 2л<и!.
5.	Найдите все решения уравнения sin2 х — д/з" sin 2х—cos2x=—2,
удовлетворяющие условию 0<х<4.
Вариант 3
К-14
1.	Решите неравенство 2x-j--^^3.
2.	Установите промежутки монотонности, экстремумы, нули функции
У=-х---. Найдите асимптоты и постройте график этой функции.
3.	Разложите на множители (х —2)(х —З)2(х —4)—12.
4.	Докажите, что при n£N Зп-\-2п—1 делится на 4.	•
5.	Найдите все решения уравнения
д/з" sin х + 2 cos х = д/3~ + sin 2х,
удовлетворяющие условию 0<х<2.
Вариант 4	К-14
1.	Решите неравенство	•
2.	Установите промежутки монотонности, экстремумы, нули функ-
ции //=-у-(х — 2)3. Найдите промежутки выпуклости и во-
гнутости, точки перегиба и постройте график этой функции.
3.	Решите уравнение х4 —5х3 + 4х24-5х+1 =0.
162
4.	Докажите, что при	и n£N имеет место неравенство
2л<2-(и—1)!.
5.	Найдите все решения уравнения
5 cos2 х — д/3~ sin 2% + 3 sin2 х = 2,
удовлетворяющие условию 0<х<5. ’
Вариант 5	К-14
in	9	18 —х2
1.	Решите неравенство —	.
2.	Установите промежутки монотонности, экстремумы, нули функ-
2 у*
ции у =------. Найдите промежутки выпуклости, точки пере-
гиба и постройте график функции.
3.	Решите уравнение 2х3 —Эх2-)-12х—5 = 0.	\
4.	Докажите, что при всех n£N 5лН-4и + 7 кратно 8.
5.	Найдите все решения уравнения 2 sin2 2х — л/3~ sin 4х + 1 =0,
удовлетворяющие условию 0<х<2.
Вариант 6	К-14
1.	Решите неравенство t *
2.	Установите промежутки монотонности, экстремумы, нули функции
4________лр
у =	. Найдите асимптоты и постройте график этой функции.
3.	Решите уравнение х4 —4х3 —4Х2—16х+16 = 0.
4.	Докажите, что при и^З, n£N справедливо неравенство
2л<0,5 (п+ 1)!.
5.	Найдите все решения уравнения sin 4х—л/3~ sin 2х = 2 cos 2х —
— д/3~, удовлетворяющие условию 0<х<1.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ДЛЯ XI КЛАССА
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1	С-1
1.	Вычислите интегралы:
. f (2 — 3 V*j2	f /sin 2х“2 sin2 х\2 Л
а)	dr. 6) \ (	,_|8<	) dr
2.	Докажите, что функция F (x) = 3x+sin2 Зх является первообраз-
ной для функции f (х) = 6 cos2 0- — Зх) .
3.	Постройте график функции
у = sin х Д/cos2 х + cos х Д/sin2 х •
Есть ли у этой функции точки, в которых она недифференци-
руема?
163
Вариант 2	С-1
1.	Вычислите интегралы:
а)	dx; б) cos ^2х —cos ^4х+-^ dx.
2.	Докажите, что функция F (x) = 3x4-2 sin 2x4-0,25 sin 4х являет-
ся первообразной для функции /(x) = 8cos4x.
3.	Постройте график функции
y=F\/sin2 2х 4-2 sin х cos х.
Есть ли у этой функции точки, в которых она недифференцируе-
ма?
Вариант 3
С-1
1.	Вычислите интегралы:
ч f 3 sin2 х— 2 cos 2х j	Г 14-2x ,
а) \---------------dx; б) \  ;?• .Т.-7 dx.
J l+cos2x	J y/i-x2
2.	Докажите, что функция F (х) —4x4- cos2 4х является первообраз-
ной для функции /(х) —8 sin2 0- —4х) .
3.	Постройте график функции
у = cos х д/cos2 х — sin х
Есть ли у этой функции точки, в которых она недифференци-
руема?
Вариант 4
С-1
1.	Вычислите интегралы:
а) ^Ху S*n cos dx'
л гт	г / \ о ... sin 8х
2.	Докажите, что функция F (х) = 3х— sin 4х-|--— является пер-
вообразной для функции f (х) = 8 sin4 2х.
3.	Постройте график функции
y=yJl—4 sin2 х cos2 х — cos2 x+ sin2 x. .
Есть ли у этой функции точки, в которых она недифференцируема?
Вариант 5
С-1
к Вычислите интегралы:
dx;
а
tg* + ctgx \2^х
1 4-tg x tg 2х/
2. Докажите, что функция F (x) = 5x4-cos2 ^5х—-0 является пер-
вообразной для функции f (х)= 10 cos2 (5x4--^) .
164
3. Постройте график функции
у = sin х "\Zsin2 х -И cos х д/cos2 х.
Есть ли у этой функции точки, в которых она недифференцируема?
Вариант 6	С-1
1. Вычислите интегралы:
ч Г 4 cos2 %4-cos 2х	Г	п:———
а) \-------------dx; б) \ х у2х+ 1 dx.
J	1 — cos 2х	J
2. Докажите, что функция
F (х) = 6x^-4 sin ^2х — у) 4~0,5 sin ^4х — -у-)
является первообразной для функции f (х)= 16 sin4 (у 4-*) •
3. Постройте график функции
V. 2 X ~ . X X
sin - — 2 sin у COS у.
Есть ли у этой функции точки, в которых она недифференцируема?
Контрольная работа № 1
Вариант 1	К-1
1.	Найдите решение дифференциального уравнения у' — ху2, удов-
летворяющее начальному условию //(1)= — 2.
2.	Материальная точка массы дп=1 движется по прямой под дей-
ствием силы, которая меняется по закону F(/) = 8—12/. Найди-
те закон движения точки х— х(/), если в момент времени /==0 ее
координата равна 0 и скорость равна 1. В какой момент времени
скорость точки будет максимальной?
3.	Функция y = f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
у"4~9z/ = 0 и начальным условиям /(0) = 3, /'(0) = 9. Найдите ее
наименьшее значение на отрезке ; yj .
4°. Для функции f (х)={2к1хРпри<х>0 найдите первообразную F,
график которой проходит через точку М ; 1) . Постройте гра-
фик первообразной.
Вариант 2	К-1
1.	Найдите решение дифференциального уравнения х?у' = у3, удов-
/14'1
летворяющее начальному условию у (1) = ^=.
2.	Найдите кривую, проходящую через начало координат, если пер-
165
перпендикуляр к любой касательной к этой кривой, проведенной
через точку касания, пересекает ось Ох в точке, абсцисса кото-
рой на 2 единицы больше абсциссы точки касания.
3.	Функция y = f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
у" 16// = 0 и начальным условиям f (0) = 2, (0)= — 8. Найди-
[л л
—; — .
4°	. Для функции /(х) = | fos*	найдите первообразную
F, график которой проходит через точку М (1; 2). Постройте
график этой первообразной.
Вариант 3	К-1
1.	Найдите решение дифференциального уравнения //'sin2x=
о	/ л \ Зл
= cos у, удовлетворяющее начальному условию у
2.	Ускорение точки (при движении по прямой) в момент времени
t равно 1 H-sin 2t. Найдите закон движения точки x=x(t), если
в момент времени / = 0 координата точки равна 2 и скорость
равна 1.
3.	Функция у = f (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
у" =—9// и начальным условиям /(0) = 3,	(0)=—9. Найдите
[л л!
то; vl •
IZ о J
4°. Для функции / (х) = I J,	найдите первообразную F,
I Л 11г1 Л 1
график которой проходит через начало координат. Постройте
график этой первообразной.
Вариант 4
К-1
1.	Найдите решение дифференциального уравнения х4у' = у~\
удовлетворяющее начальному условию у(\)= — 1.
2.	Найдите кривую, проходящую через точку Л4(Г, 0), если извест-
но, что перпендикуляр к любой касательной к этой кривой, про-
веденный через точку касания, проходит через начало ко-
ординат.
3.	Функция у = f (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
у" = — 1 бу и начальным условиям f (0) = 2, (0) = 8. Найдите ее
наибольшее значение на отрезке —
4°.
Для функции /(х) =
1
(х-1)2
при х<0,
cos 2х при х^О
найдите первообразную
F, график которой проходит через точку М (у; 1J. Постройте
график этой первообразной.
166
Вариант 5
К-1
1.	Найдите решение дифференциального уравнения х~ъу' = 2у\
удовлетворяющее начальному условию //(!)= — 1.
2.	Материальная точка массы т= \ движется по прямой под дей-
ствием постоянной силы F= —2. Найдите закон движения точки
х — х(/), если в начальный момент времени / = 0 координата рав-
на 10 и скорость равна 3. В какой момент времени точка вернет-
ся в исходное положение?
3.	Функция у = [(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
у" + 4у-=^0 и начальным условиям /(0) = 3, f' (0) —6. Найдите ее
наибольшее значение на отрезке 0; у .
4°. Для функции /(%) =
1	л .	. п
——при —-<х<0,
COS X	2
----у при Х^О
1+х2 к
найдите ту перво-
образную F, график которой проходит через начало координат.
Постройте график этой первообразной.
Вариант 6	К-1
1.	Найдите решение дифференциального уравнения у' cos2x =
= sin2 у, удовлетворяющее начальному условию //(л) = -^-.
2.	Найдите кривую, проходящую через начало координат, если из-
вестно, что перпендикуляр к любой касательной к этой кривой,
проведенный через точку касания, пересекает ось Оу в точке, ор-
дината которой на 0,5 больше ординаты точки касания.
3.	Функция y — f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
у"-\~у = § и начальным условиям /(0) = 5, /'(0) = 5. Найдите
наименьшее значение функции y = f(x) на отрезке 0; — .
4°. Для функции /(х) =
1 при х< 1,
—f= при х^ 1
ух
найдите первообразную F,
график которой проходит через точку Л4(0; 1). Постройте
график этой первообразной.
Самостоятельная работа № 2
Вариант 1	С-2
1.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 4/ = х2
и // = Д/32х.
2.	Найдите значения А и В, при которых функция f(x)=A cos 2лх+
3
+ В удовлетворяет условиям	2 и ^/(x)dx = 6.
о
167
3.	Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на 10 см,
если известно (по закону Гука), что действующая сила пропор-
циональна сжатию пружины и что для сжатия на 1 см необходи-
ма сила в 20 Н.
4.	Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
з _____________________
вычислите	~\j4x — х2 — 3 dx.
i
Вариант 2	С-2
1.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
z/ = sin22х(о^х^у) и осью Ох.
2.	Найдите значения Л, В и С, при которых функция f (х) = Лх2-Г
А-ВхА-С удовлетворяет условиям /'(1) = 0, f (2) — f' (2) = 2,
1
h(x)dx=|.
J	о
о
3.	Тело движется прямолинейно со скоростью v (t) = 6t — t2 (м/с).
Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения до
его остановки.
4.	Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
6
вычислите |х —3| dx.
о
Вариант 3	С-2
растянуть
4. Пользуясь
вычислите
Вариант 4
1. Вычислите
1.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — 8~\/2хР
и z/ = cos лх.
2.	Найдите значения А и В, при которых функция f (х) = Лх-Г В
удовлетворяет условиям f (2) — /' (2)= 1,	/2 (х) dx^0,25.
о
3.	Силой в 180 Н пружина растягивается на 2 см. Первоначальная
длина пружины 20 см. Какую нужно совершить работу, чтобы
пружину до 25 см?
геометрическим смыслом определенного интеграла,
-1 _________
Д/ —2х —х2 dx.
-2
С-2
4 __
площадь фигуры, ограниченной линиями у=\8х и
2. Найдите значения А и В, при которых функция /(х)=Л cos — x+
2	2
“ГВ удовлетворяет условиям f' (1)= 1,5 и /(х) dx = 3.
о
168
3. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из
одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со ско-
ростью Uj (/)=3/2 + 4/ (м/с), другое — со скоростью и2(0 = 2/ (м/с).
Какое расстояние будет между телами через 4 с?
4. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
2
вычислите | |х — 11 — 11 dx.
о
Вариант 5	С-2
X
1+2л2+х4 ’
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у
х = 0, х = 1, у = 0.
2.	Найдите значения Л, В и С, при которых функция вида f (х) =
= АхР-\-Вх+С удовлетворяет условиям f' (0) = 2, /(1) —/'(!) =
= 1, \f(x)dx=0.
О
3.	Пружина растягивается на 2 см под действием силы в 60 Н. Ка-
кую надо затратить работу, чтобы растянуть пружину на 12 см?
4.	Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
2	_______
вычислите Д/4х —х2 dx.
о
Вариант 6
С-2
1.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
z/ = cos2 2х —у х^^ и осью Ох.
2.	Найдите значения Л и В, при которых функция f (х) = Лх + В
1
удовлетворяет условиям /(1)(1)^ — 2, ^f(x)dx = 2.
о
3.	Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из
одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со ско-
ростью Uj = 9/2 + 2/ (м/с), другое — со скоростью v2 = 2t (м/с).
Через сколько секунд расстояние между ними было равно 81 м?
4.	Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
4
вычислите ^(|х—11 + 13 —х|)dx.
о
Контрольная работа № 2
Вариант 1	К-2
1
1. Вычислите интеграл
0,5
1
2. Решите неравенство \ (2/3z — /2) dz^O.
2xdx
У/4 — х2
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
y = Q,5x2 — Зх-|-2 и у = х — 4.
4°. При каких значениях х,	, обращается в нуль та из пер-
вообразных функции /(x) = 2cos2x — sin х, которая при х = л
имеет значение, равное —1?
Вариант 2	2	К-2
1.	Вычислите интеграл x^l 4-*3 dx.
о
।
2.	Решите неравенство (/z34-z2) dt>Q.
о
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций z/ = x2 —6x4-4 и z/ —4 —х2.
4°. Напишите уравнение касательной, параллельной оси абсцисс, к
X
графику функции f (х) = ^ (sin t — sin 2/) dt, xg py ; -y-j .
о
Вариант 3	K-2
2
1.	Вычислите интеграл \ >	.
J д/25-х4
2
2.	Решите неравенство	Эх2) dy'^A.
1
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
у=— х2-\-х-\-6 и у —6 — Зх.
4.	Найдите максимумы функции
/ (х) = ^ (sin 2/ —cos/) d/, О^х^л.
о
Вариант 4	К-2
।	т-)	С Зхб/х
1.	Вычислите интеграл \ —z= .
1
2.	Решите неравенство 0“4-3jw2) dv >2.
о
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
у — 3 — |х| и // = х2 — 3.
4°. При каких значениях х(Е[О; 2л] обращается в нуль та из первооб-
разных функции f (x) = cos х— sin х, которая при х = -£- рав-
на — 2?
170
Вариант 5
2
1. Вычислите интеграл
о
К-2
$(v+4^)dx>-L
2. Решите неравенство
1
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией |z/|=2x —х2.
4°. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = ^ (cos 2/4-cos /) dt, л<х<-^-,
о
параллельной прямой х-\-у=\.
Вариант 6
1.	Вычислите интеграл
2.	Решите неравенство
3.	Вычислите площадь
— 4x4-6, у = х — 4, х —0, х = 3.
4°. Найдите минимумы функции
1
f dx
J d+2x)3 ’
о
$(y+-T-)rfu<4-
фигуры, ограниченной линиями
К-2
У = х"~
f (х) = ^ (2 cos21 — sin 2/), О^х^л.
о
Самостоятельная работа № 3
Вариант 1
С-3
1.	Постройте график функции //=д/4х — 2x+1 -|- 1 4” 2х.
2.	Найдите все корни уравнения (4У'П х = —U, удовлетворяющие
\ " /	уЗ
неравенству х2 — 8x4-12^0.
?-з
3.	Дана функция /(х) = 7 х .
Найдите: a) lim /(х); б) lim /(х).
х —±0	х-> ± ОО
4.	Найдите наибольшее значение функции	z/ = (sin^-
Вариант 2	С-3
/ 1 \ |х-2| + 1 -х
1.	Постройте график функции у = 1 — \
2.	Решите неравенство	(7х— х2 — 6) (Д/б^ —25cos2 х)2>0.
171
3.	Дана функция	.
Найдите: a) lim f (х); б) lim f (х).
X—► 1	Х->- ± ОО
4.	Найдите наименьшее значение функции
// = (3 + 2Д/2Г + (3-2У2)\
Вариант 3	С-3
1.	Постройте график функции // = (0,25)|х|-2х.
2.	Найдите все корни уравнения 0,31-tg х= 1, удовлетворяющие не-
равенству х2 —6х-|-5<0.
2?
3.	Дана функция /(х) —3х2-1 .
Найдите: a) lim f (х); б) lim f (х).
х-^1±0	х^±<х>
4.	Найдите наибольшее значение функции

Вариант 4	С-3
1.	Постройте график функции у = д/3-32х+1 — 6-Зх+1 4~3Х|1.
2.	Решите неравенство (3 + 2х — х2)(4s,n2х — 2)2>0.
3.	Дана функция
Найдите: a) lim/(x); б) lim f (х).
1	X—* ± оо
4.	Найдите наименьшее значение функции у = 7х2+2х.
Вариант 5	С-3
1.	Постройте график функции z/ = 2|x-11-0,5~х.
2.	Найдите все корни уравнения 16соь х = 8, удовлетворяющие нерат
венству х2 —7х-|-10<0.
3.	Дана функция / (х) = (у)х2~4 .
Найдите: a) lim /(х); б) lim f (х).
х 2 -t О	X + ОО
3х
4.	Найдите наибольшее значение функции у = ———•.
у т *
172
Вариант 6	С-3
1. Постройте график функции у=у\ +(jY — (-^Y * +QY-
2.
Решите неравенство (х2— х—6)0-—0,008ctg
3. Дана функция f	.
о — z
Найдите: а) Игл / (х); б) lim /(х).
Х->-0	X-»- ± оо
4. Найдите наименьшее значение функции у = 51 +х-|-51 х.
Самостоятельная работа № 4
Вариант 1	С-4
1.	Решите уравнение 22х+|х|=-^-.
«5
2.	Упростите выражение
3.	Постройте график функции
у=— log± (I — х) + log3 Д/Эх2 —6х+ 1 .
4.	Зная, что log123 = a, найдите log4 36.
Вариант 2	С-4
1.	Решите уравнение 2,х-3,+2х = 63.
3 log (5-Vio‘)-4 log4 (УТ-Д/Г)
2.	Упростите выражение 4 2V
3.	Постройте график функции
У = logo,5 (16 — 8х+X2) + log2 (2х—8).
4.	Зная, что log23 = a, log53 = 6 и log73 = c, найдите log140 9.
Вариант 3	С-4
—-1 _|_х
1.	Решите уравнение 3 2	=8.
~	log г— 2	Р)_2
2.	Упростите выражение 5 V5 +log3-------—|-log i (уЗ — у2 ).
W
3.	Постройте график функции
У = log2 (х — -0 — log± V4X2 —4х+1 .
2
173
4.	Зная, что log23 = a, log52 = 6, найдите log60 8.
Вариант 4	С-4
1.	Решите уравнение 0,73|х|-х = 2.
О w	<7 + V35~) + 2 l°g6
2.	Упростите выражение 6 v	.
3.	Постройте график функции
// = log3(2—0 —logjx2— 12х+36).
4.	Зная, что log204 = a, найдите log25 10.
Вариант 5	С-4
1.	Решите уравнение 0,22х-|х-11 = 0,03.
log 0,04
2.	Упростите выражение 3 3	+ log25(3-|-2д/$Г) — logj (\/2 — 1).
3.	Постройте график функции
z/ = log2(|x —4Ц-х).
4.	Зная, что log36 = a, log56 = 6, log105 6 = c, найдите log76.
Вариант 6	х ix_1(	С-4
1.	Решите уравнение 73	4 = 2.
J 9 log8 3~2^~ +4 log з (54-3 VT)
2.	Упростите выражение (—J
3.	Постройте график функции
У= Hog3(x —2)l+log3(3x — 6).
4.	Зная, что log32 = a, log53 = 6, найдите log30 18.
Контрольная работа № 3
Вариант 1	К-3
1.	Решите уравнение (х2 —4) log3(l —х2 —Зх) = 0.
2.	Решите неравенство 63х-2^22х35х~6.	,
3.	Решите уравнение
•°g2(2x+ O+log^ 3 = log23 —х.
~Г
4.	Решите неравенство log2 sin х— 3 log 2>2.
5.	Решите уравнение log2 cos х = log4 sin 2х.
6°. Сравните числа log78 и log67.
174
Вариант 2
1.	Решите уравнение (х2 —х —2) log2 (х2 —4х + 4) = 0.
on	7tgx , 7ctg(v+x)^50
2.	Решите неравенство 1	+7 4	.
3.	Решите уравнение
logf (27х) - 2 log3 ^7 = 405+^8
4.	Решите неравенство log 5 (4х —3-2x+1+9)г^0.
х2---------------------------
4
5.	Решите уравнение log^- ( — sin	log3 -s-in^— .
6°. Сравните числа log24 72 и logj2 18.
Вариант 3
1.	Решите уравнение ^2х —	0 log05 (1 — х?) = 0.
2.	Решите неравенство 52х2“3хН-54х2-6х+2>>26.
3.	Решите уравнение
log7 (3х-1 + log, 0,125) + х(log7 21 - 1 )= 1 + log7 9.
W
2
4.	Решите неравенство log2 cos х—- log	4^1.
5.	Решите уравнение logj (4 cos x) = log3 sin x.
T
6°. Сравните числа log67 и log56.
Вариант 4
1.	Решите уравнение tg лх log3 (-j- x — x2^ = 0.
з i
2.	Решите неравенство (дJ x
3.	Решите уравнение	t
logs 5 + (l h+) log3 2=log3 (2х + log8^_ 25).
4.	Решите неравенство log2 (2x) + 3 log2 x<4.
5.	Решите уравнение log05 sin x = 2 log025 ( — cos x).
6°. Сравните числа log36 и log18 72.
Вариант 5
1.	Решите уравнение 0	logs (Зх — х2-^- 1 ) = 0.
2.	Решите неравенство 5sin лх + 51-5,п лх^6.
3.	Решите уравнение
Ig(2x+l) + x(2-lg50) = lg3-lg5-0,5 1og<2.
4.	Решите неравенство 2 log2 х—logx 16<2.	2
К-3
К-3
К-3
175
5.	Решите уравнение 1-j-log^ cos х= log2(3 —3 sin х).
6°. Сравните числа log10 11 и log9 10.
Вариант 6	К-3
1.	Решите уравнение ctg лх log3(4x2 —4х+1) = 0.
2.	Решите неравенство 4-34х~ — 9-24х-2<5-62х-1.
3.	Решите уравнение
-I 4
2 1og*(8r) + 31og2^/f =34	.
4.	Решите неравенство logj (2х-|-5)-|-log5(16 — х2)^ 1.
5.	Решите уравнение log5 (Д/2* sin х) = log25 (2-|-cos х).
6°. Сравните числа log26 и log24 648.
Самостоятельная работа № 5
Вариант 1	С-5
1.	Дана функция / (х) = (2х+1) е2х.
а)	Найдите промежутки монотонности, точки экстремума функ-
ции, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
б)	Найдите множество значений функции, если х£[ —2; 0].
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции z/ = x2-h
+ 1 — In (2х—1), паралелльной оси Ох.
X I 1
3.	Для функции /(х) = ——, где х>0, найдите первообразную
F (х), которая при х=е принимает значение, равное е. В каких
точках кривая y = F(x) пересекает ось Ох?
Вариант 2	С-5
1.	Дана функция /(x) = x-]-ln (х2-]-1).
а)	Найдите промежутки монотонности, точки экстремума функ-
ции, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
б)	Найдите множество значений функции, если х£[ —3; 0].
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции	-
в точке ее максимума.
3.	Вычислите е cos х+2 sin х dx.
Вариант 3	С-5
1 п д.	их 2* + 2,-х + х1п2
1.	Дана функция f (х) =-------------.
In 2
а)	Найдите промежутки монотонности, точки экстремума функ-
ции, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
б)	Найдите множество значений функции, если х£[—1; 1].
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции у =
= 1п (5 — х2), параллельной прямой у=— 4х.
176
J
3.	Для функции / (х) = {	найдите первообразную,
график которой проходит через точку М( — 1; 2).
Вариант 4	С-5
1.	Дана функция f (х) = х — 1 — In (2х — 6).
а)	Найдите промежутки монотонности, точки экстремума функ-
ции, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
б)	Найдите множество значений функции, если х£[4; 5].
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции у = ех +
+ е~х, параллельной прямой //=1,5х.
3.	Для функции / (х)= 1+е2х найдите первообразную F (х), график
которой проходит через точку М ; -0 . Найдите координаты
точки пересечения кривой y = F(x) с осью Ох.
Вариант 5	С-5
1 тт д.	fi \	4х—3*2Х .
1.	Дана функция /(х) =--------
In 2
а)	Найдите промежутки монотонности, точки экстремума функ-
ции, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
б)	Найдите множество значений функции, если х£[0; 1].
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции // = х2 —
— Зх+1пх в точке ее минимума.
3.	Вычислите 1 +*П-- dx.
1
Вариант 6	С-5
1.	Дана функция f (х) = х— 1 -J- In (3 — х).
а)	Найдите промежутки монотонности, точки экстремума функ-
ции, промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
б)	Найдите множество значений функции, если х£[0; 2].
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции у = хе2^~Ьх
в точке ее минимума.
3.	Для функции / (х)= — 1-----!—, где х>0, найдите первообраз-
х In 4
ную F (х), которая при х = 2 принимает значение, равное
2,5. В каких точках кривая y = F(x) пересекает ось Ох?
Контрольная работа № 4
Вариант 1
1 и °	1*	/Зх-|-15\х 1
1.	Найдите предел lim (	)
X —► оо \ Зх+1 /
К-4
177
2.	Исследуйте на экстремум и монотонность функцию
/(х) = х2 —In (2х — 1).
3.	Найдите кривую, проходящую через точку М ^2; -0, зная, что уг-
ловой коэффициент касательной в каждой точке этой кривой ра-
вен отношению ординаты этой точки к ее абсциссе, взятому с
противоположным знаком.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями г/ = 23-х,
у = 4х, у= 16.
5.	Найдите все корни уравнения |cos х\ = 2 cos x + sin х, при-
надлежащие отрезку [0; 2л].
6°. При каких значениях а уравнение
4х-(а + 3)«2х + 4а-4 = 0
имеет один корень?
Вариант 2	К-4
1 U “	г ln(l-htg2x)
1.	Найдите предел lim----------.
х-^о In (1 + sin Зх)
2.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
ос/__________9, С/+ 1
f(x) =---------- на отрезке [0; 2].
In 5
3.	Скорость охлаждения тела по закону Ньютона пропорциональна
разности температур тела и среды. В резервуаре с температурой
10° тело остыло от 100° до 70° за 30 мин. Через сколько минут оно
остынет до 50°?
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями х// = 2, // = 4,
х = 1.
5.	Найдите все корни уравнения 2 |sin х| cosx=sin2x, принадле-
жащие отрезку [0; 2л].
6°. При каких значениях а уравнение
25х —(а —4) 5х —2а2+10а—12 = 0
не имеет действительных корней?
Вариант 3	К-4
1 и »	г /4х+7у+2
1.	Найдите предел lim ( .	)
2.	Найдите наименьшее значение функции f (х) = 0,5х In х — х In 3
на отрезке [3; 4,5].
3.	При прямолинейном движении тело удаляется от фиксирован-
ной точки. Скорость движения в любой момент времени
численно равна у пройденного пути. Найдите путь, скорость и
ускорение как функцию времени, если в начальный момент вре-
мени пройденный путь равен е.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями // = 3Х,
// = 4 —х, у=\.
178
5.	Найдите все корни уравнения |sin х| =2 sin x + cos х, принадле-
жащие отрезку [0; 2л].
6°. При каких значениях а уравнение
36х + (а- 1) 6х + а- 2а2 = 0
имеет два действительных и различных корня?
Вариант 4	К-4
! тт «	1. In(l+sin2x)
1.	Найдите предел lim----------.
х+0 tg Зх
2.	Исследуйте на экстремум и монотонность функцию
z/ = x2 —2х—In (1 — 2х).
3.	Найдите кривую, проходящую через ючку ЛЦ0;2), если угловой
коэффициент касательной в любой iочке кривой равен произве-
дению координат точки касания.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 — ех
-х 4
и// = е -д.
5.	Найдите все корни уравнения sin 2x = cos х |cos х|, принадлежа-
щие отрезку [0; 2л].
6°. При каких значениях а уравнение
9x_3x+i_a2 + 5a_4 = 0
имеет один действительный корень?
Вариант 5	К-4
(2x4- 1 \3х—1
о---Q )	' *
2.	Докажите, что функция z/ = e“2xsin х на отрезке |-р убывает.
3.	К началу радиоактивного распада имелся 1 г радия А, Через
сколько минут его останется 0,125 г, если его период полураспа-
да равен 3 мин? (Известно, что скорость уменьшения массы ра-
диоактивного вещества m(t) со временем t пропорциональна его
количеству.)
6 — 4х
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=—-— и
у = 4 — 2х.
5.	Найдите все корни уравнения |cos х| =2 sin х —cos х, принадле-
жащие отрезку [0; 2л].
6°. При каких значениях а уравнение
49х + (а—1) 7х — 2а2 + 4а-2 = 0
не имеет ни одного действительного корня?
Вариант 6	К-4
.	.. In (14-arcsin 2х)
1.	Вычислите предел lim—-----------
х->о In (14-tg 5х)
179
2.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (х) — 3-—---|-8х на отрезке [—1; 2].
In 3
3.	Найдите кривую, проходящую через точку 7И (0; —2), для кото-
рой угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен ор-
динате этой точки, увеличенной на 3 единицы.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= ,
z/ = x, х = —4.
5.	Найдите все корни уравнения sin2 х= I sin х| cos х, принадлежа-
щие отрезку [0; 2л].
6°. При каких значениях а уравнение
16х —(5 —а) 4х-|-6 —2а = 0
имеет два действительных и различных корня?
Самостоятельная работа № 6
Вариант 1	4	С-6
1.	Дана функция f (х) = ( 1 — 2 sin Зх)3.
Найдите: a) D (/); б)	(у)-
2.	Вычислите lim 6 + -.
Х++оо 6Х-3Х+/
3.	Исследуйте функцию у = х2(1—In х) и постройте ее график.
Вариант 2
1.	Дана функция f (x) = (sin х — cos
Найдите: a) D (/); б) /'(у)-
О D	1.	1п2х+3х
2.	Вычислите lim -----------.
_|_оо In х-|-5х
3.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
1-х2
у = х-е	.
2.
3.
Вариант 3	3
1.	Дана функция f (x) = (cos2 2х — 0,25)2.
Найдите: a) D б) /'(О).
4x_i_2x —%2
Вычислите lim ------.
х^ + оо 4Х—1 — 2"-|-Зх3
Исследуйте функцию и постройте ее график:
г/ = х (2 — In х)2.
Вариант 4
1. Дана функция /(х)=(1 —1§^2х)л.
Найдите: a) D(/); б) Д 0).
С-6
С-6
С-6
180
2. Вычислите lim -=---.
x^+ooV7+2
3. Исследуйте функцию и постройте ее график:
е2х-1
Вариант 5
8_
1.	Дана функция f (x) = (cos 2%-j-sin 2х)3.
Найдите: а) О (/); б) /'(0).
2.	Вычислите lim	.
х^+оо 5х-4х2-7
3.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
1 + In х
у=~7~-
С-6
Вариант 6
С-6
1.
2.
3.
Дана функция / (х) = (4 sin2 х— 3) 3.
Найдите: а) £>(/); б) /'(ту)-
о	..In2 x-f-In X-J-2X2
Вычислите lim —---------------- .
оо In3 х4-3 In х — Зх3
Исследуйте функцию и постройте ее график:
1+х2
у=—
Самостоятельная работа № 7
Вариант 1
С-7
1. Упростите выражение
(\[а — y[b )3 + 2а у/а 4- b
За2 ЗЬ ~\fab
a + V^y(a2+aZ>_2fe2)2
а \а — Ь\а /
2. Найдите lim (3x4-5) (2х —+ З )•
х —>- -f- оо	__________
3. Постройте график функции у = tg х Д/2 + 2 cos 2х.
С-7
Вариант 2
1. Упростите выражение
3. Постройте график функции у — Д/(1 — |х — 2| )2.
181
Вариант 3
С-7
1.	Упростите выражение
2.	Найдите lim—-^.V——= .
х—>-1 2 ух —у5 —х2
о	,	sin Зх—sin х
3.	Построите график функции у= —	--= .
у 2 — 2 cos 2х
Вариант 4
1.	Упростите выражение
— у/п )3 + 2m2 : у/гп + п у[п । 3 у/тп — 3/2
т у[т -|- п Л[п	т п
2.	Найдите lim	12 .
х+ 4 д/i — 3
3.	Постройте график функции у — ctg ху[\ — cos 2%.
С-7
Вариант 5
С-7
1.	Упростите выражение
П тт «	..	Д/1—sin 2х — 1
2.	Найдите lim-2------F.=— .
х->-о	2—у5х + 4
3.	Постройте график функции у= \(\х — 3| — 2)2.
Вариант 6
1.	Упростите выражение
(х + //^:д/х~р	\ 3 .
\ ух Vх — \у /
2.	Найдите lim (2х + 1)(Д/9х2 + 2 — Зх).
Х-» + 00	'	,	О
о	.	.	cosx-hcos3x
3.	Построите график функции у = —----------
у 1 -J-cos 2х
Контрольная работа № 5
Вариант 1
Решите уравнения:
1.	Д/7-Л/х2-4х + 4 = х-3.
2.	У1 —2 cos х =sin х.
3 _______ _______
3.	Ух4-5 =Ух+1 .
182
С-7
К-5
Решите неравенства:
4.	У12х-\-7 — Д/5 — % >~\[х.
5.	д/logg х — log4 > 0,5.
6°. 74-2х>2Д/х2 + 9х 4-Д/х-Д/Г+Э.
Вариант 2
Решите уравнения:
1.	х -р ~Д 3 -f- у х6— 2х -р 1 =4.
2.	Д/^ — д/з” sin х = д/2" cos х.
3.	Л/2х2-5х+\2 4~2х2 = 5х.
Решите неравенства:
4.	д/б— х2	х 4- 1.
5.	2х+А/7 + 4х<6-4а/7.
6°. ДЗ —х 4-Дх—1 >32~Х + 3Х“2
Вариант 3
К-5
К-5
Решите уравнения:
1. х+Д/т+д/^-бх+Э = 4.
2. д/3 — 2 cos х = —д/З^ sin х.
3 W+W=2'3 4 5-
Решите неравенства:
4. (х2—1)Д/х2 —4x4-3 >0.
5. Д/1 — log5(x4-2) <log5(5х4- 10).
6°. 2Д/?4-Зх>9-2х-Ух-Д/х4-3.
Вариант 4	К-5
Решите уравнения:
1. 24-Д/з-V?-2x4- 1 =х.
2. д/4 —3 sin х = — 2 cos х.
3. Д/Зх2 —6x4-7 4-х2 = 2х4-7.
Решите неравенства:
4 (х—ajVx2 —5x4-4 >о
5 —х	'
183
5. Д/5-4х >2Х—1.
6°. Л/7 — х + Д/х + 1 + cos 2лх>5.
Вариант 5	К-5
Решите уравнения:
1.	х+Уз-У?-6х + 9 =2.
2.	д/9 + 2 cos х = —3 sin х.
3.	2хД/х” + д/? —1=0.
Решите неравенства:
4.	2Д/х +2 — Д/х— 1 >3.
6°. 2х4-5>2Д/х1 2 * 4 5 + 5х +д/х-Д/х+5.
Вариант 6	К-5
Решите уравнения:
1. Дб —"\/х2 + 4х+4 — х=2.
2. Д/1 —2 sin х = cos х.
д/х" — д/х"
Решите неравенства:
4. (х2-9)Д/х2 + Зх-10 <0.
5. Д/10 —9х >4 —3х.
6° Д/6 — х — | х — 51 + д/х—4 >2.
Самостоятельная работа № 8
Вариант 1
С-8
1 тт »	х	X^ — Zxy±^y f _
1. Найдите отношение — , если -т~—5—=1,5.
У	^ + у
2. Дано квадратное уравнение х2 —2х—1=0, корни которого а и
р. Составьте новое квадратное уравнение с корнями а-|-2р и
Р + 2а.
184
3. Найдите наименьшее значение функции z/ = 2x-j-9*22~x и устано-
вите, при каком значении х оно достигается.
4. Решите уравнение cos х + 2 sin3 х=0.
Вариант 2	С-8
, 7Т „	sin3 а + 3 sin2 а cos а	. л
1.	Найдите значение выражения -------------г---- если tga = 2.
cos а 4- sin а
2.	Дано квадратное уравнение х2— 2х— 2 = 0, корни которого а и
р. Не решая уравнения, найдите а5-рр5.
3.	Докажите неравенство
(a3-\-b)(a + b3)^4a2b2 (а>0, 6>0)
и установите, при каких значениях а и b имеет место знак равен-
ства.
4.	Решите уравнение 9х2+3х-р2-6х2+3х = 3-4х2+3х.
Вариант 3	С-8
1.	Известно, что х = 1,6. Найдите —.
ПГ4-/	*
2.	При каких значениях а сумма квадратов корней трехчлена
x2-h(a-h2) х + а равна 3?
3.	Докажите, что при всех 0<а<у
(2 sin а-]-!—(2 cos а-] !—^^8.
у	cos а/ у	sin а/
При каких значениях а£^0; имеет место знак равенства?
3 /----- 3 ---------- 3 ---------
4.	Решите уравнение у(х+I)2-Р2у(х—I)2 =3 ух2—1 .
Вариант 4	С-8
1.	Известно, что -^ = -|; найдите значение выражения	2 '
2.	Дано квадратное уравнение 2Х2 —2х—1=0, корни которого а и
р. Составьте новое квадратное уравнение с корнями а3р и о,р3.
3.	Докажите, что при а>0, 6>0 справедливо неравенство
(а2 + ab + b2) (ab—^^^24. При каких значениях а и b имеет
место знак равенства?
4.	Решите уравнение sin3 x-h3 sin2 х cos х = 2 cos х.
Вариант 5	С-8
t тт о	sin2 а —2 cos2 а	, Л
1.	Найдите значение выражения ---------------— , если ctga = 2.
3 sin a cos а-|-cos а
2.	При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения
х2 —(«+1) x-ha2 = 0 будет наибольшей?
3.	Докажите, что при а>0, 6>0, с>0 справедливо неравенство
cfb + Ь5с + с5а За2Ь2с2.
185
4.	Решите уравнение
log|(x+2)—3 10g2(xH-2) log2(l — x) + 2 logl(1 — x) = 0.
Вариант 6
1.
2.
3.
4.
и „	у	(y + x)(y — 2x)	„ -
Найдите отношение —, если  : :—= —0,5.
X	лЧЗг/2
Дано квадратное уравнение х2— Зх-]-1=0, корни которого
О и	-	а4₽ + ар4
р. Не решая уравнения, найдите ——г~ 
а +Р ? + х + 4
Найдите наименьшее значение функции у =—--j-r— на (0; J
X -J- 1
Решите уравнение 2 sin3 х^-4 cos3 х = 3 sin х.
С-8
а и
оо).
Самостоятельная работа № 9
Вариант 1	С-9
1.	Являются ли равносильными системы уравнений:
{х —// = 0, и (ху — у\
2х-\-у — 3	| 2х + // = 3?
2.	При каких значениях а совместна система уравнений
' ах-\-у= 1,
4 х + // = 2,
<х — у = а?
3.	Решите систему уравнений
Г x2-h2//2 —х + 2// = 6,
I l,5x2 + 3z/2-x + 5z/=12.
Вариант 2	С-9
1.	Какой совокупности систем уравнений равносильна система
уравнений
I (х — 4) (г/ — 2х) = х(2х—Z/)?
2.	При каких значениях а совместна система уравнений
|х+« = 2,
z/ + z = 4,
x-f-z = 2a,
x-\-2y-\-3z = a?
3.	Решите систему уравнений
Г х2 —2xj/ + i/2 + 2x2z/ —9 = 0,
(х—У — x2z/ + 3 = 0.
Вариант 3	С-9
1.	Являются ли равносильными системы уравнений:
f x-f-2y = 0, и (хЦ-2// = 0,
(Зх —2z/ = 4	| (Зх-2yf= 16?
!«6
2.	При каких значениях а совместна система уравнений
(х+у = 2,
<х-}~ ау = 3,
(ах + // = 3?
3.	Решите систему уравнений
xV-y + 3xr/-2 = 0,
2х2у2 + 2ху— I -у = 0.
Вариант 4	С-9
1.	Какой совокупности систем уравнений равносильна система
уравнений
f (х+у)2 = х+у,
1(х+у)(у+\) = 2х(у+\)?
2.	При каких значениях а совместна система уравнений
х— w = 2,
У — 2 = 3,
2х — z — а,
[х + у + ? = 2?
3.	Решите систему уравнений
Г х — 3//-|-2xz/= 3,
I у — х~ХУ= —3.
Вариант 5	С-9
1.	Являются ли равносильными системы уравнений:
(х — у=1, и { (х—y)(x2-j-4y2) = x2 + 4y2,
(x+i/=l |x + i/=l?
2.	При каких значениях а совместна система уравнений
' х+у = а,
< ах — 2у = 4,
х-\-ау = 2?
3.	Решите систему уравнений
Зх + 2у +	= 5,5,
Вариант 6	С-9
1.	Какой совокупности систем уравнений равносильна система
уравнений
(х + у)(х — 2у) = 2х — 4//,
(х-2)2 + //(х-2)-2//2 = 0?
2.	При каких значениях а совместна система уравнений
' x-\-2y = Q,
// + 22 = 0,
г + 2х = 3а,
. x + // + 2z = a2?
3.	Решите систему уравнений
( 2х?у4 + х*у + 5ху2 + 2 = 0,
( Зх2у4 + х?у + Зху2 —1=0.
Контрольная работа № 6
Вариант 1	К-6
1.	Постройте график уравнения х^ + у2 — 2у — 8 = 0.
2.	При каких значениях а система уравнений
Г (а+ 1) * + // = 3,
( 2х —(а —2) у = 6
не имеет решений?
3.	Решите систему уравнений
f х-\-у — 2ху= — 1,
| х2 4- у2 + Зху = 11.
4.	На нефтепромысле сначала работали две буровые установки, а
через некоторое время вступила в строй третья установка, в ре-
зультате чего производительность нефтепромысла увеличилась
в 2 раза. Сколько процентов производительность второй установ-
ки составляет от производительности первой, если известно, что
за три месяца первая и третья установки выдают нефти столько
же, сколько вторая за полтора года?
5.	Решите уравнение tgx=tg3x.
6°. Решите систему уравнений
f х + у= 10,
[ ху — 22 = 25.
Вариант 2	К-6
1.	Постройте график уравнения |х—1| + |//|=2.
2.	При каких значениях b система
f х —(6— 1) z/ = 2,
t(&4-2)x+2i/ = 44-&2
имеет бесконечно много решений?
3.	Решите систему уравнений
(х3 + 2х2// — 3z/3 = 0,
t х2 + у2 = 2.
4.	Из А в В и из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда
первый прошел половину пути, второму осталось пройти 15 км,
188
а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти
8 км. Сколько километров останется пройти второму пешеходу,
когда первый закончит переход?
5.	Решите уравнение ctg2x = ctg5x.
6°. Решите систему I +
( 6x4~4z/ —г>2.
Вариант 3	К-6
1.	Постройте график уравнения у2 — j?=l— 2х.
2.	При каких значениях т система
{(m-f- 1) х — у = т,
(т — 3) хА~ту= — 9
имеет единственное решение?
3.	Решите систему уравнений
{X — ху + у= 1,
x2-hi/2 + 2x4-2i/= 11.
4.	Продают три куска ткани. Продали третью часть первого куска,
половину второго и весь третий кусок, в котором была — часть
всей ткани. Сколько процентов ткани продано, если всего оста-
лось ее столько же, сколько было во втором куске?
5.	Решите уравнение tg3x=tg7x.
6°. Решите систему уравнений
у 4-х — z = 1,
2ху — z2 = 1.
Вариант 4	К-6
1.	Постройте график уравнения х^//2 — 4х4-3 = 0.
2.	При каких значениях а система уравнений
{х-\-ау= 1,
ах — Зау = 2а + 3
не имеет решений?
3.	Решите систему уравнений
( х2 — Зху + у2= — 1,
( Зх2 —1/2 = 2.
4.	Два мотоциклиста выезжают одновременно из пунктов А и В на-
встречу друг другу и встречаются через 1 ч 20 мин. Сколько вре-
мени требуется первому из них на весь путь от А до В, если изве-
стно, что второй затратил на этот же путь на 2 ч меньше?
5.	Решите уравнение ctg5x = ctg4x.
189
6°. Решите систему
( 2y — 2x—z = 1,
lx2 + z/2 + 2f/z+l<0.
Вариант 5	К-6
1.	Постройте график уравнения |х| + |«/4-2| = 1.
2.	При каких значениях b система уравнений
( bx-j-y = 3,
( x + by = 3b
имеет бесконечно много решений?
3.	Решите систему уравнений
Г x3-f-y3 + xy=ll,
( х+у = 3.
4.	Два велосипедиста выезжают одновременно из пунктов А и
В навстречу друг другу и встречаются через 2 ч 40 мин. Если бы
они оба выехали из пункта А и поехали в пункт В, причем вто-
рой выехал бы на 3 ч позже первого, то второй велосипедист до-
з
гнал бы первого, пройдя — расстояния от А до В. Сколько време-
ни потребуется первому велосипедисту на путь из Л в В?
5.	Решите уравнение tg2x=tg6x.
6°. Решите систему уравнений
( х-|-2// = 6,
(2(xz/ + 22) = 22+13.
Вариант 6	К-6
1.	Постройте график уравнения | |х| — |z/| | = 1.
2.	При каких значениях т система уравнений
((т — 1)х + // = 3,
I 2хА~ту = 2
имеет единственное решение?
3.	Решите систему уравнений
Г У3 + ^У — 2х3 = 0,
| x2 + 2xz/ = 3.
4.	Объем А составляет третью часть суммы объемов В и С, а объем
В пятую часть суммы объемов Л и С. Какую часть сумма объемов
А и В составляет от объема С?
5.	Решите уравнение ctgx=ctg5x.
6°. Решите систему
г’ + З//2 — 2i/z+l<0,
z — 2х-\-у = 1.
190
Самостоятельная работа № 10
Вариант 1	С-10
1.	Решите систему уравнений и дайте ее геометрическую интерпре-
тацию:
( 4% + 2// = 5,
( 6% + 3// = 7,5.
2.	Решите систему уравнений
х + У + z — 11,
’ 2x4-3// —2z = 7,
3%4-2// + 5z = 0.
3.	Решите систему уравнений
( д/х +2У7=4^[ху,
I х + 4г/ = 2.
Вариант 2	С-10
1.	Решите систему уравнений (т — параметр)
{т2х-\-у = 1,
8%H-2// = zn.
2.	Решите систему уравнений
' x-\-y — z = — 1,
« Зх —2//Н-4г = 9,
2х -|- Зу -|- 22 = 1.
3.	Решите систему уравнений
( x-j-З д/х/7 = 2,
I 2 у[ху— у = 3.
Вариант 3	С-10
1.	Решите систему уравнений и дайте ее геометрическую интерпре-
тацию:
( 4х + // = 6,
t 1 Ох+ 2,5//= 16.
2.	Решите систему уравнений
х — y-\-z = — 1,
’ 2x + 3// + 4z = 5,
Зх — 2у — 2z= —7.
3.	Решите систему уравнений
f 2 Д/х +д/7 = 3 у/ху,
I х + у=\7.
191
L
Вариант 4
С-10
1.	Решите систему уравнений (т — параметр)
Г x + (m+V)
| пгх^-2у — т.
2.	Решите систему уравнений
x—y—z— — 1,
4% + 5// — 3z = 6,
2x-|-3f/ — 2z —3.
3.	Решите систему уравнений
Вариант 5	С-10
1. Решите систему уравнений и дайте ее геометрическую интерпре-
тацию	( x-h3z/ = 2, ( Зх — у= — 4.
2. Решите	систему уравнений -x-f-y-j-z = —3, - 2х + 2у — 3г = 3, Зх 4-4# + 5z = — 6.
3. Решите	систему уравнений 1 У[х+У[у=4, IVx-l +^у-5=2.
Вариант 6
1.	Решите систему уравнений (пг — параметр)
{тх+ */ = L
х-\-ту = — 1.
2.	Решите систему уравнений
— х — y-\-z = 3,
 5x + 2z/ + 3z=-4,
3x + 4z/ —2z= —9.
3.	Решите систему уравнений
f х? + уЛ/ху = \4,
I У2 + хЛ/ху = —7.
С-10
192
Самостоятельная работа № 11
Вариант 1
1.	Решите систему уравнений
Зх+!. 2^___1
у — х = 3.
2.	Найдите все решения системы уравнений
Г (1 — cos 2х) tg у = 1,5,
I tg У~ cos х=0,5,
удовлетворяющие условию О^х^л, л^//^2л.
3.	Найдите все числа х и у, для которых
161og2x+l=21og2l/(
log2 х2 > log4 у.
Вариант 2
1.	Решите систему уравнений
4
1—0,2 \ogxy _ Т
. У	л >
2 +log,	= log, 4.
2.	Найдите все решения системы уравнений
1. 5л
sin x-|-cos 2z/= — 1,
удовлетворяющие условию О^х^л, л^#^2л.
3.	Найдите все числа х и у, для которых
{ 2х-5 = 4у(у + 2),
1 2х"2-1/<1.
Вариант 3
1.	Решите систему уравнений
16,
625T = 2,5z/.
2.	Найдите все решения системы уравнений
{sin х='\[2 sin у,
cos 2х + д/^ cos z/ = 0,
удовлетворяющие условию 0^х^2л, 0^#^2л.
3.	Найдите все числа хну, для которых
f log2 х+1 =2 log2 у2,
( log4x>log2z/.
С-11
С-11
С-11
7 Заказ 134
193
Вариант 4
1. Решите систему уравнений
. 3 log5(x+//) = x—у.
2. Найдите все решения системы уравнений
I. 5л
Х+У = ~2>
cos х-4-sin 2z/ = 1,
удовлетворяющие условию 0^х^2л,
3. Найдите все числа х и у, для которых
( 2х+2-5 = //(//-2),
1 2х-|-1
Вариант 5
1. Решите систему уравнений
* + 2у
X 4 = у\
х + 2у
у 2 =x2(x>0; z/>0).
2. Найдите все решения системы уравнений
| 2 cos x = sin у,
{ 2 sin х + ^3~ cos 2у — О,
удовлетворяющие условию 0^х^2л, 0^z/^2n.
3. Найдите все числа хну, для которых
( 9 log2 х+ 1 = log2 у2,
1 log2x>log8i/.
Вариант 6
1.	Решите систему уравнений
log2 (ху) log2 у = 3,
, log^ + log^ у2 = 20.
2.	Найдите все решения системы уравнений
— cos x-|-cos 4//= 1,
<	. л
Х+У=2 ’
Л	л А
удовлетворяющие условию — — ^х^.— ,
3.	Найдите все числа хну, для которых
( 4х=4у2+ 1,
t 22х-'<2//.
С-11
С-11
С-11
194
Контрольная работа № 7
Вариант 1	К-7
1.	Решите систему уравнений
х + у : 1
xyz 2 ’
y + z___ 5
xyz 6 ’
x-\-z_2
. xyz ~ 3 '
2.	Решите систему уравнений
( log3(l +V«+7)= 1 — log9x,
(	x3H-x2z/ = 4.
3.	Решите систему уравнений
л
|*о д/з"
cos x-|-sin 2# = -у- .
4.	Изобразите на координатной плоскости множество решений си-
стемы неравенств и найдите площадь полученной фигуры:
( 1,
( |*| — 1.
5°. При каких значениях а система уравнений
{У —	= а,
у — х=\
имеет единственное решение?
Вариант 2	К-7
1.	Решите систему уравнений
' Х| + *24-*з+*4= 10,
*t + *2 — *з — *4= — 4,
] *!—*2+*3—*4= —2,
*! — Х2 — *з + *4 — 0.
2.	Решите систему уравнений
("^х? — 3у —х—у,
| 2х+1 —6 = 2У.
3.	Решите систему уравнений
Jcos (*+//) = 2 cos (*—у),
1
sin * sin у — —— .
195
4.	Изобразите на координатной плоскости множество решений сис-
темы неравенств и найдите площадь полученной фигуры:
( х2 + //2<2х,
I | у | + 1 < X.
5°. При каких значениях а система уравнений
Г у — х = 0,
( у — У[х — а
имеет единственное решение?
Вариант 3	К-7
1. Решите систему уравнений
' Х| + *2 + Х3 — Х4 = 6,
*2 + х3 + х4 — Xj = O,
*3 + х4 + Х| — х2 = 2,
k х4 + х1 + х2 — х3 = 4.
2.	Решите систему уравнений
[(^х + у + 3)-2* = 5^ + у,
( 2x+log2(x + z/) = 4.
3.	Решите систему уравнений
. 5л
. х+^=-6-’
sin X-j-COS = j .
4.	Изобразите на координатной плоскости множество решений си-
стемы неравенств и найдите площадь полученной фигуры:
[ х2 + «/2>2,
< |//| <2 — х,
( 1.
5°. При каких значениях а система уравнений
/ У = У/\—х,
(у = а — х
имеет единственное решение?
Вариант 4	К-7
1.	Решите систему уравнений
ху __ 2
х + у 3 ’
yz __ 2
y + z 3 ’
xz  1
хz 2
196
2.	Решите систему уравнений
{ log2(3 —	2//)=1 — 10g4 у,
(xz/2 = 2z/3+ 1.
3.	Решите систему уравнений
log3tgx+log3tgi/ = 0,5,
tgXCOSZ/ = -^-.
4.	Изобразите на координатной плоскости множество решений си-
стемы неравенств и найдите площадь полученной фигуры;
f х? + у2^2у,
(	1 — |х| д/З.
5°. При каких значениях а система уравнений
Г х—у[у=О,
I х—у = а
имеет единственное решение?
Вариант 5	К-7
1.	Решите систему уравнений
|Х1Н-х2 + х3 = 4,
Х2 + *3 + Х4 = 7,
х3 + х4 + Х1 = 8,
х4Н-Х1 + х2 = 2.
2.	Решите систему уравнений
log2 X 4- log2 (у — ху} = О,
. V*4-4i/2 = х — 2у.
3.	Решите систему уравнений
। л
х + ^=6’
	.	3
Sin X COS У=-т .
4.	Изобразите на координатной плоскости множество решений си-
стемы неравенств и найдите площадь полученной фигуры:
 24-f/>|x|,
— 1-
5°. При каких значениях а^О система уравнений
Г у—л/х =0,
( у — ах —а
имеет единственное решение?
197
Вариант 6	К-7
1.	Решите систему уравнений
' x + y — z = xyz,
 x—2y + z = 2xyz,
х+у— 3z = 3xyz.
2.	Решите систему уравнений
Г (2х+1-3)2у-| = 1,
(Д/зТ+У =х+у.
3.	Решите систему уравнений
{sin х = 3 sin у,
2 cos z/H-cos х = — 1.
4.	Изобразите на координатной плоскости множество решений си-
стемы неравенств и найдите площадь полученной фигуры:
I У <хД/з".
5°. При каких значениях а система уравнений
f у + У/х =а,
1 i/4-x=0
имеет единственное решение?
Самостоятельная работа № 12
Вариант 1	С-12
1.	Дано: Zj = 3-H, z2 = 2i.
и о	ч 22	(zi4-z2\в
Найдите: а)--; б) (	—).
\ 3z2 )
2.	Решите уравнение х2 —4x-f-20 = 0.
3.	При каких х£/? и y^R числа
zx = x*-[-yi — 5 — — и z2= —// —х2/ —4/
будут сопряженными?
4.	Докажите, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный
на 1, делится на 8.
Вариант 2	С-12
1.	Дано: Z| = lH-2z, z2=—3z.
Найдите: a) —;	6) (—-----).
Zj	у 2z2 J
2.	Решите уравнение x2 — 6x-P 13 = 0.
3.	При каких x£R и y£R числа
2j=X — -—4H-5z и 22=Z/2+l—3xz
будут противоположными?
198
4.	Докажите, что квадрат натурального числа или делится на 4,
или при делении на 4 дает в остатке 1.
Вариант 3	С-12
1. Дано: Z| = 3/, z2 = 4 — i. Найдите: а)	б) Z2	(Z1~Z2\6 \ 4Z| ) ’
2.	Решите уравнение х2Н-2х + 26 = 0.
3.	При каких x£R и yCR числа
Zj = 2x2 — 4 — yi — 1 и z2 —у — З + х2/ — 2Z
будут равными?
4.	Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится
на 8.
Вариант 4	С-12
1.	Дано: Z|=4H-3z, z2= — i.
Найдите: а) —; б)	.
Z2	\ 4z2 /
2.	Решите уравнение х2-]-4х-|-40 = 0.
3.	При каких x£R и y£R числа
2| = х —-у —4i + 4 и z2 = y — 84-х2/ — 4i
будут противоположными?
4.	Докажите, что если натуральное число не делится на 5, то его
квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 5.
Вариант 5	С-12
1.	Дано: z1 = 3 + 4z, z2 = z.
Найдите: а) — ; б) (------— ) .
Z2	\ 3Z2 /
2.	Решите уравнение х2 — 10х-|-34 = 0.
3.	При каких xgjR и y£R числа
21 = x24-4z/ — yi и z2==44-t/—х2/
будут сопряженными?
4.	Докажите, что разность между квадратом натурального числа,
не делящимся на 3, и 1 делится на 3.
Вариант 6	С-12
1.	Дано: Zj =4/, z2 = i — 3.
Найдите: а) — ; б) (—-— | .
Z2	\ 3z, /
2.	Решите уравнение х2Н-8х + 41=0.
3.	При каких хЕЛ и y^R числа
Zj = //2—у —2x + 4Z и z2 = 3 ——Зх/
будут равными?
199
4.	Докажите, что произведение квадрата натурального числа на нату-
ральное число, предшествующее этому квадрату, делится на 12.
Контрольная работа № 8
Вариант 1	К-8
1.	Представьте в тригонометрической форме:
а) 2 = 2г, б) z = 1 + cos 2а-Н sin 2а ^у<СаСл) .
2.	Пусть	z2= — sin-^ + zcos-^-.
Вычислите (2j22)8.
3.	Изобразите на рисунке множество точек z комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих условию
( 2<|z-i|<4,
( 0^ Re 2^2.
4°. Найдите наименьшее и наибольшее значения |z|, если
2 = sin 2а-Н (sin а-j-cos а).
Вариант 2
К-8
1.	Представьте в тригонометрической форме:
а) 2=1 — д/2"; б) 2 = 1 — cos 2а-Н sin 2а (л<а<-у-) .
2.	Пусть 2! = cos sin , 22= 1 — i д/з".
о	о
Вычислите (—.
\22/
3.	Изобразите на рисунке множество точек z комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих условию \z — 3|=2|z|.
4°. Найдите наибольшее и наименьшее значения |z|, если
2 = 3 sin a-\-i cos а.
Вариант 3
К-8
1.	Представьте в тригонометрической форме:
а) 2=—Зг, б) z— 1 — i tg а ^у<Са< л^ .
2.	Пусть Zi=y[3 — i, z2 = cossin.
D	/2Л6
Вычислите I — i.
V2/
3.	Изобразите на рисунке множество точек z комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих условию
1 < |2- 11 <2,
0^ Im 2< <.
4°. Найдите наибольшее и наименьшее значения |z|, если
z = cos 2а-Н (sin a — cos a).
200
Вариант 4
К-8
1.	Представьте в тригонометрической форме:
а) 2 = д/5”1; б) 2= 1cos 2а —z sin 2а (л<а<-у-) .
2.	Пусть zx = cos v + z sin , 22= 1-j-z д/з".
о	о
Вычислите (z^)12.
3.	Изобразите на рисунке множество точек z комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих условию 12-|-2/1	12 — 11.
4°. Найдите наибольшее и наименьшее значения |г|, если
2 = 1 +2 cos а — i sin а.
Вариант 5	К-8
1.	Представьте в тригонометрической форме:
a) z=y[5— 3; б) z= 1 — cos 2а — i sin 2а 0^<а<2л) .
2.	Пусть Zj = cos -|-z sin, 22 = — 1 +i д/з”.
Вычислите (ZjZ2)18.
3.	Изобразите на рисунке множество точек z комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих условию
f \Z\<2,
t |2-3z|>3.
4°. Найдите наибольшее и наименьшее значения |z|, если
z = sin 2а — i (cos а — sin а).
Вариант 6	К-8
1.	Представьте в тригонометрической форме:
а) 2 = (1—	б) 2= 1 — i ctg а (л< а<-у-) .
2.	Пусть Zj=—л/3~Н-1, 22 = cos y-j-z sin .
Вычислите I — ) .
\21/
3.	Изобразите на рисунке множество точек z комплексной плоско-
сти, удовлетворяющих условию
\z — i\ _ 1
\z —5/| “ 3 ’
4°. Найдите наибольшее и наименьшее значения |z|, если
2 = sin a + z(2H-cos a).
Самостоятельная работа № 13
Вариант 1	С-13
з____
1.	Найдите значения у — I.
2.	Составьте уравнение наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющее корни %| = 2, х2 = 3 — 2z.
201
3.	Сумма квадратов корней уравнения х3 —Зх2^-^ —2 = 0 рав-
на 1. Найдите X и решите это уравнение.
Вариант 2	С-13
1.	Найдите значения Д/1 + z Д/З^.
2.	Составьте уравнение наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющее корни Х|= —1, x2 = 3H-4z.
3.	Сумма кубов корней уравнения х3 — х2 + Хх — 1=0 равна 1. Най-
дите X и решите это уравнение.
Вариант 3	С-13
1.	Найдите значения д/1 — z.
2.	Составьте уравнение наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющее корни Xj = x2=l, x3 = z.
3.	Произведение двух корней уравнения x3-j-Xx — 2 = 0 равно 2.
Найдите X и решите это уравнение.
Вариант 4	С-13
1.	Найдите значения — i.
2.	Составьте уравнение наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющее корни х{=—2, x2 = z, х3=1—z.
3.	Сумма квадратов корней уравнения х3 — кх?-\-7х — 5 = 0 (Х>0)
равна — 5. Найдите X и решите это уравнение.
Вариант 5	С-13
з_____
1.	Найдите значения Д/1-j-z.
2.	Составьте уравнение наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющее корни X! = l—z, x2=1H-2z.
3.	Сумма кубов корней уравнения х3-]-х2Н-х —Х = 0 равна — 1.
Найдите X и решите это уравнение.
Вариант 6	С-13
1.	Найдите значения Д/1 -f-z д/з”.
2.	Составьте уравнение наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющее корни Xj = 1, х2 = х3=1—z.
3.	Сумма двух корней уравнения х3 —х2Н-Х = 0 равна 2. Найдите
X и решите это уравнение.
Контрольная работа № 9
Вариант 1	К-9
1.	Решите уравнение на множестве комплексных чисел
6х4 - 19х3 + 25Х2 - 19х + 6 = 0.
2.	Решите в комплексных числах уравнение z2-|-z = 0.
202
3.	При каком значении a£R число
Xl	( • Зя Зя\\5
I Д/2 I Sin -—r-H COS —- I )
\v \	20 '	20 //
является корнем уравнения
х3 — (а + 3) х2 + 6а2х-]-а2 — 5 = 0?
Найдите остальные корни уравнения при найденном значении а.
4.	Решите уравнение 3 sin х + 4 cos х = 5 cos Зх.
5.	Решите неравенство (2х —3) (2х2 —7х-|-6)<0.
6°. Решите в целых числах уравнение 2х-|-3// = 7.
Вариант 2	К-9
1.	Решите уравнение на множестве комплексных чисел
10х4 + 39х3 + 49х2 + 39х+ Ю = 0.
2.	Решите в комплексных числах уравнение |z| — 2z = 2i — 1.
3.	При каком значении b£R число
_	32
Х| —А/г/	Чя	. 11Л\\27
(д/2 (^-cos—+ lS,n—
является корнем уравнения
х3-(& + 6) х2 + 8й2х-7 + 62 = 0?
Найдите остальные корни уравнения при найденном значении Ь.
4.	Решите уравнение 5 sin х—12 cos х= 13 sin 5х.
3*_5
5.	Решите неравенство —5------>0.
6°. Решите уравнение в целых числах 2ху-Зу2 — 4у-\-2х = 2.
Вариант 3	К-9
1.	Решите уравнение на множестве комплексных чисел
6х4+ 19х3 + 25х2+ 19х + 6 = 0.
2.	Решите в комплексных числах уравнение z |z| -]-2z-H = 0.
3.	При каком значении a^R число
32
Х'~	(	19я	. . 19я\\9
(^2 (cos—	))
является корнем уравнения
х3 + (2 — а) х2 —4а2х-]-5-|-а2 = 0?
Найдите остальные корни уравнения при найденном значении а.
4.	Решите уравнение cos 2х —sin 2х = л/2~ sin 7х.
5.	Решите неравенство (7х —4) (Зх2 —5х-|-2)>>0.
6°. Решите уравнение в целых числах Зх — 2у = 8.
203
1.
2.
3.
4.
5.
6°.
Вариант 4
Решите уравнение на множестве комплексных чисел
1 Ох4-З9х3 + 49х2-39х+ 10 = 0.
Решите в комплексных числах уравнение \z\ = 2i (г-h 1 )•
При каком значении b£R число
 32
является корнем уравнения
x3-(Z>4-1)x2-2&2x+3 + &2 = 0?
Найдите остальные корни уравнения при найденном значении Ь.
Решите уравнение 2 д/б” cos Зх —4 sin Зх=6 cos 5х.
n	2x2-llx-hl5 ~
Решите неравенство ---———<0.
Решите в целых числах уравнение х(х-\-у — l) = z/ + 1-
Вариант 5	К-9
Решите уравнение на множестве комплексных чисел
12х4 + 37х3 + 49х2 + 37х+ 12 = 0.
Решите в комплексных числах уравнение \z\ = i (2z-j- 1).
При каком значении a£R число
_	8
Х'~ /'лГГ /  9л , . , 9л\\25
(	( sin —--Н cos —-) I
\ v \	20	20/7
К-9
1.
2.
3.
4.
5.
6°.
является корнем уравнения
х? + (2-а) х2 + 4а2х+ 1 +а2=0?
Найдите остальные корни уравнения при найденном значении а.
Решите уравнение д/У cos Зх —sin Зх = 2 cos 5х.
Решите неравенство (3х—15)(2Х2 — 7х-|-5)>0.
Решите в целых числах уравнение Зх — 5z/ = 0.
Вариант 6	K-9
1.	Решите уравнение на множестве комплексных чисел
12х4 — З7х3 + 49х2-37х+ 12 = 0.
2.	Решите в комплексных числах уравнение |z| = 1 -|-2/z.
3.	При каком значении b£R число
(^(s’n^-'cos^-))6
204
является корнем уравнения
x3 + bx2 + (b2-l)x-4 + 2b2 = 0?
Найдите остальные корни уравнения при найденном значении Ь.
4.	Решите уравнение 2 sin 2х+д/2Г cos 2х = 5 sin 7х.
5.	Решите неравенство <0.
6°. Решите в целых числах уравнение 2Х2 — 3xy-j-2x-j-3y — 3. .
Контрольная работа № 10
Вариант 1	К-10
1.	Сколько чисел, меньших 105, можно записать из цифр 7, 6, 4?
Сколько среди них нечетных?
2.	Найдите сумму четырехзначных чисел, полученных при всевоз-
можных перестановках цифр 3, 7, 7, 5.
3.	Найдите все корни уравнения
Д/3 sin 2х-]-2 cos2 х = 2 д/2~ sin х,
Гл 3л1
принадлежащие у; — .
4°. Докажите, что 5Л+ 12п+ 15 при любом натуральном п кратно 16.
Вариант 2	К-10
1.	Сколько существует различных треугольников, длины сторон ко-
торых принимают значения: 8, 10, 12 и 14 см? Сколько среди них
равносторонних, равнобедренных и разносторонних?
2.	Сколько чисел, меньших 1000, можно составить из цифр 5, 7 и 3?
3.	Найдите все корни уравнения
Д/2 + 3 sin х cos х — 2 cos 2х = — cos х,
принадлежащие [0; л].
4°. Докажите, что Зп-J-5п + 1п + 1 кратно 4 при любом натураль-
ном п.
Вариант 3	К-10
1.	Сколько чисел, меньших 104, можно составить из цифр 3, 5, 8?
Сколько среди них четных?
2.	Найдите сумму четырехзначных чисел, полученных при всевоз-
можных перестановках цифр 8, 3, 3, 4.
3.	Найдите все корни уравнения
уЗ cos2 х— sin 2х = — sin х,
[Зя 5 л 1
—; — I.
4°. Докажите, что 5" + Зп + 2 кратно 4 при любом четном n£N.
Вариант 4	К-10
1.	Сколько существует прямоугольных параллелепипедов, измере-
ния которых являются целыми числами от 5 до 14? Сколько сре-
ди них правильных призм?
205
2.	Чему равна сумма четырехзначных чисел, полученных при все-
возможных перестановках цифр 2, 5, 5, 5?
3.	Найдите все корни уравнения
Д/cos 2x-h5 sin х cos х4-3 = 2 cos х,
принадлежащие [0; л].
4°. Докажите, что 7п-\-Зп — 1 кратно 9 при n£N.
Вариант 5	К-10
1.	Сколько чисел, меньших 104, можно составить из цифр 1, 2, 4, 6?
Сколько среди них нечетных?
2.	Найдите сумму трехзначных чисел, полученных при всевозмож-
ных перестановках цифр 3, 3, 2.
3.	Найдите все корни уравнения
V —3 sin 2х—4 cos2 х = д/2" sin х,
[л 3л1
— ’ ~2~ ‘
4°. Докажите, что 7"-|-11лН-4 делится на 6 при любом четном n£N.
Вариант 6	К-10
1.	Сколько существует различных треугольников, длины сторон ко-
торых принимают значения: 5, 6, 7, 8, 9? Сколько среди них рав-
носторонних, равнобедренных и разносторонних?
2.	Сколько чисел, меньших 104, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
3.	Найдите все корни уравнения
д/1 +3 sin х cos х —cos 2х = д/б" cos х,
принадлежащие [л; 2л].
4°. Докажите, что 16я — 4п — Зп делится на 9 при n£N.
Самостоятельная работа № 14
Вариант 1	С-14
1.	В партии из 40 деталей 5 оказались с дефектами. Какова веро-
ятность того, что взятые наугад 4 детали окажутся без
дефектов?
2.	В первой команде шахматистов 7 гроссмейстеров и 3 мастера
спорта, а во второй 4 гроссмейстера и 6 мастеров спорта. Сбор-
ная, составленная из игроков первой и второй команд, содержит
10 человек: 8 человек из первой команды и 2 человека из второй.
Из сборной команды наугад выбирается один шахматист. Како-
ва вероятность того, что он гроссмейстер?
3.	Решите систему уравнений
Д/sin х cos у = 0,
2	о 7
cos х —cos 2z/ = -r .
4
206
Вариант 2	С-14
1.	Собрание, состоящее из 30 человек, среди которых 8 женщин,
выбирает делегацию из 3 человек. Найдите вероятность того, что
в делегацию войдут двое мужчин и одна женщина, считая, что
все присутствующие равноправны быть избранными.
2.	Из 10 винтовок, среди которых 6 снайперских и 4 обычные, на-
угад выбирается одна и из нее производится выстрел. Какова веро-
ятность попадания, если вероятность попадания из снайперской
винтовки 0,9, а из обычной 0,7?
3.	Решите систему уравнений
ysin у sin 2х = 0,
cos x-pcos2 z/ = 0,25-|- sin у.
Вариант 3	С-14
1.	На стеллаже 20 учебников, 7 из них в переплете. Наугад выби-
раются 4 учебника. Какова вероятность того, что все они будут
в переплете?
2.	Детали от двух станков поступают в общий бункер. Вероятность
выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,02, для
второго 0,01. Производительность первого станка в три раза
больше производительности второго. Какова вероятность того,
что взятая наугад из бункера деталь будет бракованной?
3.	Решите систему уравнений
( Д/ — cos у - sin х = 0,
( sin z/-|-cos 2х= 1,5.
Вариант 4	4	С-14
1.	В партии из 40 деталей 4 оказались с дефектами. Какова вероят-
ность того, что взятые наугад 3 детали окажутся без дефектов?
2.	Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов:
70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал пер-
вого цеха имеет 10% брака, а второго 5%. Найдите вероятность
того, что одна взятая наугад болванка не имеет дефектов.
3.	Решите систему уравнений
Д/cos х - sin 2// = 0,
sin2 у — cos 2х= 1,5.
Вариант 5	С-14
1.	Собрание, состоящее из 35 человек, среди которых 14 женщин,
выбирает делегацию из трех человек. Найдите вероятность того,
что в делегацию войдут две женщины, считая, что все присутст-
вующие равноправны быть избранными.
2.	Группа учащихся состоит из 10 отличников, 7 хорошо успевающих
и 3 успевающих слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут
получить с равной вероятностью как отличную, так и хорошую
оценку. Хорошо успевающие учащиеся могут получить с равной
вероятностью отличные, хорошие и удовлетворительные оценки.
207
Слабоуспевающие могут получить с равной вероятностью хоро-
шие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для
сдачи экзамена наугад вызывается один учащийся. Какова ве-
роятность того, что он получит хорошую оценку?
3.	Решите систему уравнений
д/sin х • cos 2у = О,
~\/2 sin у + sin2 х = cos х-\- 1,25.
Вариант 6
С-14
1.	В лотерее разыгрывается 100 билетов, из которых 20 выигрыш-
ных. Некто покупает 5 билетов. Какова вероятность того, что хо-
тя бы один из купленных билетов выиграет?
2.	Детали на сборку попадают с двух автоматических линий. Изве-
стно, что первая линия дает 2% брака, вторая 4%. Найдите ве-
роятность попадания на сборку бракованной детали, если с пер-
вой линии поступило 50 деталей, а со второй 30 деталей.
3.	Решите систему уравнений
Д/cos х - sin 2у = 0,
sin 2x-Pcos у = 0,5.
Контрольная работа № 11
Вариант 1	К-11
1.	На карточке спортлото написаны числа от 1 до 49. Какова вероят-
ность/того, что наугад зачеркнутое число на этой карточке кратно 6?
2.	В магазин вошли 11 покупателей. Вероятность совершить покупку
каждым из них равна 0,1. Какова вероятность того, что 7 из них
совершат покупку?
3.	Решите неравенство Зх<62х-1.
4.	Решите уравнение sin4 x-hcos4 fx + ^ = 0,25, если х£ | л;
5°. При каких значениях а неравенство log3_a fx2-h^<:2 вы-
з
полняется при любом действительном значении х?
Вариант 2	К-11
1.	В круг радиуса 10 см вписан квадрат. Какова вероятность того,
что наугад поставленная в данном круге точка не попадет на
квадрат?
2.	Из последовательности чисел 101, 102, 103, ..., 200 выбирают под-
ряд с возвращением 10 чисел. Какова вероятность того, что сре-
ди них кратных 8 будет не более одного?
208
3.	Решите неравенство log^x—1)2<4.
4.	Решите уравнение sin4 x-hcos4 x = 0,5-|-cos 2х, если xg ; rcj.
5°. При каких действительных значениях а неравенство
2(1-а)-92х + а<1 +(2-а)34х+1
не имеет решений?
Вариант 3	К-11
1.	Записаны подряд все натуральные числа от 1 до 51. Какова ве-
роятность того, что наугад зачеркнутое число при делении на
5 дает остаток, равный 1?
2.	В мастерской работают 10 станков. Для каждого станка вероят-
ность выхода из строя к концу рабочего дня равна 0,1. Найдите
вероятность того, что к концу дня выйдут из строя 3 станка.
3.	Решите неравенство 51-2х<Зх.
4.	Решите уравнение cos4 х+ sin4 (х-~)= 1,25, если х£ ; 2л|.
5°. При каких действительных значениях а неравенство
•oga-з (1*1 +4)>2
справедливо при всех действительных значениях х?
Вариант 4
К-П
1.	Около круга радиуса 6 см описан правильный треугольник. Ка-
кова вероятность того, что наугад поставленная в построенном
треугольнике точка не попадет на круг?
2.	Из последовательности чисел 5, 6, 7, ..., 100 выбирают наугад с
возвращением 8 чисел. Какова вероятность того, что среди них
кратных 7 будет не более одного?
3.	Решите неравенство log2(х + 2)2>4.
4.	Решите уравнение sin6 хЧ-cos6 x = -^| + cos 2х, если xg
5°. При каких действительных значениях а неравенство
22х+1 (а-2) + 4х(1 -а)>а-2
имеет хотя бы одно решение?
Вариант 5	К-11
1.	Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что
произведение очков, выпавших на обеих костях, не больше 24.
2.	В магазин входят 8 покупателей. Найдите вероятность того, что 3
из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку
каждого из них равна 0,3.
3.	Решите неравенство 23х-1 >32х+1.
4.	Решите уравнение cos4 (x4-y^4-cos4 х=0,25, если х£ ; 2n;j.
5°. При каких действительных значениях а неравенство
log а (х1 2 + 3)>1
а— 1
справедливо при всех действительных значениях х?
Вариант 6	К-11
1.	В круг радиуса 3 см вписан правильный шестиугольник. Какова
вероятность того, что наугад поставленная в круге точка не по-
падет на шестиугольник?
2.	Из последовательности чисел 25, 26, 27, ..., 99 выбирают наугад
с возвращением 8 чисел. Какова вероятность того, что среди них
кратных 6 будет не более двух?
3.	Решите неравенство log2 (2x4-1 )2<4.
4.	Решите уравнение sin4 х4-cos4 х= cos2 2x4-sin х cos х,
если х£[0; л].
5°. При каких действительных значениях а неравенство
(а — 1) 4х4-22х+1 (3-а) + а> 1
справедливо при всех действительных значениях х?
Контрольная работа № 12
Вариант 1
К-12
1. Дана функция f (х)="\/-Д_ +Д/—‘° Лтт •
у sin х \ х — 11лг-|-18
а) Найдите область определения функции /.
б) Назовите хотя бы одно рациональное и одно иррациональное
число из области определения /.
в) Является ли функция / четной или нечетной?
г) Найдите предел функции / при х->0.
2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии с поло-
жительными членами сумма первого и третьего членов равна
j, разность между первым и пятым членами равна -Ц. Найди-
те отношение суммы квадратов членов прогрессии к квадрату
суммы всех ее членов.
210
3. В правильную четырехугольную пирамиду, объем которой V, впи-
сана правильная четырехугольная призма, вершины верхнего ос-
нования которой лежат на боковых ребрах пирамиды, а плос-
кость нижнего основания призмы является плоскостью основа-
ния пирамиды. Найдите наибольший возможный объем призмы.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у = у/2х, каса-
тельной к этой кривой в точке с абсциссой хо = О,5, и прямой у = 0.
5°. Решите уравнение
sin 2x^3 sin 2х —cos -0 = cos 2x^2-|-sin — 3 cos 2xY
Вариант 2	К-12
1.	Дана функция /(х) =---------1— ъ--------•
sin Зх 1 — хг
а)	Найдите область определения функции /.
б)	Назовете хотя бы одно рациональное и одно иррациональное
число из области определения /.
в)	Выясните, является ли функция / четной или нечетной.
г)	Найдите lim / (х).
О
2.	Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрес-
3	1
сии равна —, второй ее член равен —у - Найдите сумму квад-
ратов всех членов этой прогрессии.
3.	Каждая из боковых сторон и меньшее основание трапеции рав-
ны а. Найдите большее основание трапеции так, чтобы ее пло-
щадь была наибольшей.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой г/ = х2 + 1, каса-
тельной к ней в точке с абсциссой х0=1, и прямой х = 0.
5°. Решите уравнение 3s,nx = 4— cos2 4^.
Вариант 3	К-12
1 гг	.	£ Z \ I sin Зх д/4-*2 —*4 + 5
1.	Дана функция /(x)=log9------------------1----х.
х	cos лх
а)	Найдите область определения функции /.
б)	Назовите хотя бы одно рациональное и одно иррациональное
число из области определения /.
в)	Выясните, является ли функция f четной или нечетной.
г)	Найдите предел функции f при х-^0.
2.	Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрес-
2	8
сии равна , а сумма кубов ее членов равна — . Найдите пятый
член прогрессии.
211
3.	Найдите размеры открытого бассейна объемом 18 м3 с дном в
форме прямоугольника, стороны которого относятся как 1:3, так,
чтобы на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество
материала.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линией у = У/\ — %, ка-
сательной к ней в точке с абсциссой хо = О, и прямой у = 0.
5°. Решите уравнение
sin2 х —cos2 Зх = 2 | sin Зх| -J- |s+n х| — j .
Вариант 4	К-12
1 гт д.	. sin Зх	tg 2лх
1.	Дана функция /(х) =--------—,	= ♦
v ' sin 8х д/2-6х4-11?
а)	Найдите область определения функции /.
б)	Назовите хотя бы одно рациональное и одно иррациональное
число из области определения /.
в)	Выясните, является ли функция f четной или нечетной.
г)	Найдите lim f (х).
х —► О
2.	В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма членов,
стоящих на четных местах, в два раза меньше суммы всех членов
прогрессии, стоящих на нечетных местах. Найдите пятый член
прогрессии, если сумма первых пяти членов прогрессии равна 31.
3.	Площадь равнобедренной трапеции с углом при основании 60°
равна 2 \/з" дм2. Найдите длину высоты трапеции наименьшего
периметра.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линией у = х3 и каса-
тельной к этой линии в точке с абсциссой х0=1.
5°. Решите уравнение
cos х ^4 —cos-^ — 5 cos x) = sin x^5 sin x —sin-0.
Вариант 5
K-12
1.	Дана функция f	§+ AA^x2^- 0 (6 — x2) -|- x.
а)	Найдите область определения функции f.
б)	Назовите хотя бы одно рациональное и одно иррациональное
число из области определения /.
в)	Выясните, является ли функция / четной или нечетной.
г)	Найдите предел функции / при х->0.
2.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
з
8,	а сумма первых пяти ее членов равна 7 — . Найдите шестой
член прогрессии.
12
3.	Объем правильной треугольной пирамиды равен Угол наклона
боковой грани к плоскости основания равен ф. При каком значе-
нии ф площадь боковой поверхности пирамиды наименьшая?
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линией у = 2^~^ — 1,
касательной к этой линии в точке с абсциссой х0 = 2, и пря-
мой х = 0.
i-О ГЛ	nlcos 2x1 sin Зх — COS Зх
5	. Решите уравнение	==-----т=-----.
Вариант 6
К-12
1.	Дана функция /	+ Д/_£Ц±
sin 2лх у 9 —
а)	Найдите область определения функции f.
б)	Назовите хотя бы одно рациональное и одно иррациональное
число из области определения f.
в)	Выясните, является ли функция f четной или нечетной.
г.) Найдите lim/(x).
х->0	*
2.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4,
а сумма квадратов всех ее членов равна -у. Найдите первые че-
тыре члена прогрессии.
3.	В круг радиуса R вписана трапеция так, что ее большее основа-
ние является диаметром круга. Какой угол образует боковая
сторона трапеции с большим основанием, если площадь трапе-
ции наибольшая?
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линией z/ = x2-|-2x+1,
касательной к ней в точке с абсциссой х0=1, и прямой х= — 1.
5°. Решите уравнение sin2 х + д/3~ sin 2x+cos -^ = 5 — 3 cos2 x.
b
Самостоятельная работа № 15
Вариант 1	С-15
1.	Найдите Е (J), если f (x) = sin 2х + 2 cos х и £>(/)=^; л|.
2.	Решите неравенство sin 2 х— sin x>sin Зх.
3.	Решите уравнение arccos (sin (2 arctg х)) = 0.	,
Вариант 2	С-15
1.	Найдите	наибольшее и наименьшее значения функции
z/ = sinxcos2x на [0; л].
2.	Решите неравенство cos Зх — cos 2xZ>cos 4х.
3.	Решите уравнение arcsin (ctg (0,5 arcsin х)) = у .
213
Вариант 3	С-15
1.	Найдите Е (/), если f (x) = sin 2х — 2 cos х и D(f)= |jrc; -yj.
2.	Решите неравенство cos х—sin3x<Zsinx.
3.	Решите уравнение arctg (sin (2 arccos х))=^-.
Вариант 4	С-15
1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у —0,5 cos х sin 2х на [ — л; л].
2.	Решите неравенство sin 4х — sin Зх>> sin 5х.
3.	Решите уравнение arcsin (cos (2 arcctg х)) = 0.
Вариант 5	С-15
1.	Найдите Е (f), если /(x) = sin x-j-cos 2х и £)(/) = [0; л].
2.	Решите неравенство sin х+cos x>cos Зх.
3.	Решите уравнение arccos (tg (0,5 arcsin х)) = 0.
Вариант 6	С-15
1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
z/ = sinxsin2x на [ — л; л].
2.	Решите неравенство sin x-hcos 3x<cos х.
3.	Решите уравнение arcctg (cos (2 arcsin х)) = -^-.
Самостоятельная работа № 16
Вариант 1	С-16
1.	Решите уравнение -------------=2Л/з".
sin 2х-2 cos 2х-2 v
2.	Решите неравенство log4(х — 2)2 + log2(x-j- 1 )< 1.
3.	Найдите точки экстремума функции
// = log^x — 3 log2x+l.
Вариант 2	С-16
1 П	sin (3-2Х)	о
1.	Решите уравнение -------;--------г =2.
3 sin 2х-1-4 sin3 2х"1
2.	Решите неравенство logt (х—S^-t-logj (2 — x)^logi 27.
э”	Т	з”
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
// = е-2х Н-4е~х + 6х + Л/3.
214
Вариант 3	С-16
sin41+x
1.	Решите уравнение ------------=4.
sin 4х cos 4х
2.	Решите неравенство log3(4 — x)-|-log9(2— х)2<И.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
// = (2Х—1 )2 (2х —4).
Вариант 4
1 n	sin 2x+1	.
1.	Решите уравнение -------------= — 1.
1-2 sin2 2х"1
2.	Решите неравенство log9(2x — З)2 -|-log3(2 — 2x)^log32.
3.	Найдите точки экстремума функции
In X
У~ 1 + In2 х ‘
Вариант 5
1.	Решите уравнение ---------=
2cos2(t)-'
1.
С-16
2.	Решите неравенство log, (х—4)2+log, (х —2)^log, 3.
т	т	т
3.	Найдите точки экстремума функции
«/ = е-х(х2 + х — 5).
Вариант 6	С-16
1.	Решите уравнение
sin 4х	_
(cos 4Х—1 + sin 4X—1) (cos 4X—1 — sin 4х-1)
2.	Решите неравенство |Og4(x — 2)2-(-log2(l — х)> 1 + log23.
х3
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции У —
Контрольная работа № 13
Вариант 1	К-13
1.	Найдите все действительные значения хи//, при которых комп-
лексные числа
= log,, (д) + 2xz и Z2 = log±z/ — yi
будут сопряженными.	2
215
2.	Найдите все решения уравнения
sin4 j + sin4(j+^ = |(l — sin 2х),
принадлежащие [0; 2л].
3.	Решите неравенство 4%2_х+2-|-64х<< 17*2х2"|"2х.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линией у — х6 — Зх и
касательной к ней в точке с абсциссой х0=1.
5.	В основании четырехугольной пирамиды EABCD лежит квадрат
ABCD. Ребро ED является высотой пирамиды. Длина высоты
равна длине сторон основания пирамиды и равна 3 дм. Найдите
наибольший объем пирамиды, вершина которой лежит на ребре
AD, а основанием является сечение пирамиды EABCD плоскостью
параллельной прямым ВС и ED.
Вариант 2	К-13
1.	Найдите все действительные значения а, при которых равны
комплексные числа
2, = 3-]-2а-Н (а4+ 2) и z2 = 6 —а2-Н (4 —а).
2.	Решите неравенство log2(5 —x2)>log2(|x| — 1).
3.	Найдите все значения а, при которых уравнение
х2 — х cos а — 0,5 cos 4а = 0
имеет два действительных различных корня, сумма квадратов
которых равна 0,25.
4.	Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана урав-
нениями z/==x3H-l, х = 2, z/ = 0.
5.	АВСА\ВХСХ — правильная треугольная призма. Через ребро
основания АВ и точку Л4, взятую на ребре В{СХ, проведено сече-
ние. Найдите наибольшую и наименьшую площади сечения, если
высота призмы равна 2 см, а высота основания 3 см.
Вариант 3	К-13
1.	Известно, что число i является одним из корней уравнения
х4-(2а + &+1)х3 + (За + 56)х2-8х+13 = 0, где a^R, b£R.
Найдите значения а и b и решите уравнение при найденных зна-
чениях а и Ь.
2.	Решите уравнение
161og^----91og8(2x) = 8~
VF
3.	Решите неравенство cos 2х-Р cos х^О, где х£[ —л; л].
216
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
z/ = x2 —4х-|-3 и касательной к графику функции у = (3х— 1) в
точке с абсциссой х0=1.
5.	В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида,
имеющая наибольший объем. Найдите двугранный угол при реб-
ре основания пирамиды.
Вариант 4
К-13
1.	Найдите все значения для которых комплексные числа
z, = 9“ + 3 + i log5(6 —а) и z2 = 4-3a + z log05(а+1)
будут сопряженными. -
2.	Решите неравенство 4"\/х2 + Зх	— 5х — 12.
3.	Решите систему уравнений
. 2л
х+у=~,
sin у = 2 sin х.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линией у=*+1 , каса-
тельной к ней в точке М (2; 3), и прямой х = 4.
5.	В конусе объема V расположен второй конус так, что его верши-
на лежит на основании данного конуса, а основанием является
сечение данного конуса плоскостью, параллельной его осно-
ванию. Найдите наибольший возможный объем второго конуса.
Вариант 5	К-13
1.	Вычислите (1 -\-i д/3~)17 + (1 — i
2.	Решите уравнение 1о£2(д/2Г sin x)==log4(cos 4х —cos 6х).
3.	Решите неравенство 9~хН-2-31+х>7.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
f/=V3 ~ и 1/=|х+П—2.
5.	Длины двух непересекающихся ребер треугольной пирамиды рав-
ны а, все остальные ребра имеют длину, равную 1. При каких значе-
ниях а объем пирамиды будет наибольшим? Вычислите этот объем.
Вариант 6	К-13
1.	Найдите все действительные значения хну, при которых комплекс-
ные числа
Zi = log2xz/ + xi и z2 = logy(2x) + 2z/i
будут равными.
217
2.	Найдите все решения уравнения
cos х —sin х = 1 —-sin 2х,
|х	Зя I л
———	— •
2	4 I о
3.	Решите уравнение 22x+1 -f- 18-2“2х — 11 -2х — 33-2-х + 26 = 0.
4.	Напишите уравнение касательной к графику функции
/(*)= J
In 2
параллельной прямой х— z/-|~l=0.
5.	Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какой длины
должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вра-
щением этого треугольника вокруг боковой стороны, был наи-
большим?
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ
И КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ДЛЯ X КЛАССА
Вариант 1	С-1
1.	Один корень, х = 4,5.
р_
2.	Пусть 1(Р=2, где p£N, q^N. Тогда 1Ор = 2‘7. Левая часть равен-
ства делится на 10, правая нет. Равенство верным быть не может.
3.	Корни рациональны, если а2—144 = и2, ngZ. Так как X|-j-x2 =
= —— — целое число, то a = 4k, k£Z. Имеем: 16&2— 144 = /г2, т. е. п2
кратно 16, п = 4р, p£Z. Далее, k2 — р2 = 9, (k + p) (k — р) = 9. Так как
k и р целые, то возможны следующие случаи:
(k + p = 9,	(k-\-p=\y	Г^ + р= — 9,
( £ — р = 1;	(ft — р = 9;	(ft — р= — 1;
р + р=-1,	Г £ + р = 3,	f fc + p=-3,
—р=—9;	— р —3;	\k — p=—3.
Решив каждую систему уравнений в отдельности, получим: &=±3,
k= ±5. Следовательно, а=±12, а==±20. Ответ: а=±12,
а = zb 20.
Вариант 2	С-1
20
1. 5. 3. Из условия следует, что Х|Н-х2 =——. Так как xl-j-x2—
целое, то а может принимать значения ±1; ±2; ±4; ±5; ±10;
±20. Корни рациональны, если 100 — 9a = k2, k£Z\ этому условию
удовлетворяет только а = 4. Ответ: а = 4.
Вариант 3	С-1
1. Решив уравнение, получим х = 3. 3. Корни рациональны, если
144 + 9а2 = ап2, m£Z. Очевидно, т2 кратно 9, m = 3k. Имеем:
16-|-а2 = £2, й2 —а2=16, откуда |&|=5, |а|=3. Ответ: а = 3.
Вариант 4	С-1
1. х=5,5. 3. а=±8, а=±10.
Вариант 5	С-1
1. Решив уравнение, получим х = 9. 3. а = 2.
219
Вариант 6
С-1
1. Уравнение имеет один корень х = 2,5. 3. а = 2.
Вариант 1	С-2
1.	д/3« 1,73205, -^«1,35294,
Д/З+-^«3,0850, д/З-^-» 0,3791,
Д/З-^-«2,3434, Д/3:^« 1,2802.
2.	а = 4,123123312333..., 0 = 2,012012201222..., тогда а —0 — 2,111... .
3.	Допустим противное: j==ri> & — р = г2, где г\ и г2 — рациональ-
ные числа, тогда р=—. Так как из условия следует, что r}=/= 1,
1	Г1	Г2
г2 и г{ — 1 — рациональные числа, то - — рациональное число,
т. е. р — рациональное число, а это противоречит условию. Следо-
вательно, частное и разность двух неравных иррациональных чисел
одновременно не могут быть рациональными числами.
Вариант 2
С-2
1. д/б «2,23607, 44» 1,38710,
<5 1
д/5 + 4?- «3,6232, д/5 - 44 «0,8490,
<51	<51
Д/5.44«3,1О17, д/5:44« 1,6121.
<51	<51
2. а = 1,5д/З,	0 = 7 д/З, тогда | = -^-€Q.
3..а-|“2р = (а —Р) + Зр. Так как а —р — рациональное число, а
Зр — иррациональное, то сс-|--2р — иррациональное число.
а2+ар-2р2 = (а + 2р)(а-р).
Так как а-|-2р — иррациональное число, а а — Р=/=0 — рациональ-
ное число, то (а-р2р)(а — Р) — иррациональное число.
Вариант 3	С-2
1. «3,9361; «1,3554; «3,4139; «2,0505.
3. Пусть a1-j-a2 = r1 и a,i-a2 = r2, где гх и г2— рациональные числа.
Решим уравнение х* — гхх-\-г2 = Ъ\
_ rx±\jr2x-±r2
х~ 2
Пусть У = а, а |(r? — 4г2) = Ь, тогда x = a±V^» где х является
или ab или а2.
220
Вариант 4
С-2
1. «2,9426; «0,5215; «2,0967; «1,4308.
2. Из равенства ~\fa	=—^—^-== следует, что число у/a -\-У[Ь
\а — yb
рационально. Но тогда число y/ci, являющееся полусуммой рацио-
нальных чисел л/аи у/a—yfb, рационально. Точно так же
доказывается рациональность у[Ь.
Вариант 5
1. «4,4550; «1,8696; «4,0878; «2,4463.
Вариант 6
1. «4,4676; «2,1657; «3,8172; «2,8817.
Вариант 1
С-2
С-2
К-1
1. а) ДВ = д/42 + 32 = 5, ЛС-Д/122 + 52 = 13, ВС = у№ + 22 = 2 УГГ
Воспользуемся теоремой косинусов: АС2 = АВ2 -\-ВС2 — 2ДВХ
X ВС -cos В, cos В = -2- + — - 1 — < 0; следовательно, 90°<В<180°,
20 yV7
т. е. треугольник АВС тупоугольный.
б) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем:
BD __ АВ _ 5	__ 5
DC~~ АС~ 73’ ТЗ’
2 + 4-'° ,!
Т7=49’
+ 13
г+4-°
'Ч>

Ответ: D ^4 ; 1
2.	Рассмотрим промежутки: а) х<—2; б) —2^х<3; в) х^З.
а)	( x<Z—2,	f x<z—2,
(_х+3_2_х<2х+3^1х>-0,5 нет Решении;
б)	( — 2<х<3,	(— 2<х<3,	. , .
( —х+3 + 2 + х<2х+3	(х>1	oi^xc
в)	( х^З,	(х^З,
I х—3 + х+2<2х + 3	I 0-х> —4 х^л-
Ответ: х^ 1.
3.	Пусть 2 "\/2 4-3 УЗ 4-5 У& = г, где г — рациональное число.
Тогда 2У24-Зд/З=г —5^/5,
221
35+ 12 д/б =r2+ 125-Юг д/5,
12Д/6 + Юг V5‘=r2 + 90,
864 + 500г2 + 240г д/30 = (г2 + 90)2,
240г д/30 = (г2 + 90)2 - 864 - 500г2,
GJ7T_ (г2 + 90)2- 864 - 500г2
—	240г

Пришли к противоречию: г, — рациональное число, а л/ЗО" — число
иррациональное, следовательно, г не может быть рациональным
числом.
Вариант 2	К-1
1. а) Вычислим длины сторон треугольника МКР’. МК = 8, МР —
= 2 л/73~, КР = Ю. Воспользовавшись теоремой косинусов, получим,
что cosMtfP<0, следовательно, 90°< АМКР< 180°, т. е. тре-
угольник МКР тупоугольный.
б) По свойству биссектрисы угла треугольника имеем:
АР ~ КР — °’8’	°’8’ *А~ 1 9 ’ Уа 53‘
2. х<21
о
3. Пусть д/3+д/4=г, r£Q, г=/=0. Имеем: 3 + 4 + 3 УГГ (д/З +
+д/Т) = г3, 7 + 3 у[\2 г — Р, д/нГ = г ~7 . Получилось, что УПГ — ра-
циональное число.
Вариант 3	К-1
1. a) cos АСВ = 0=> Л АСВ — прямоугольный;
1=+ Ответ: М(4; '+)
2. |3 — х| + |* + 4|	|3 — х+*+4| =7; решений нет.
Вариант 4
К-1
1. а) МК= 15, К/7 =10, М/7 = "\/24Т, МН>МКЖН, cos МКН>
>0=> Z-MK.H — острый, треугольник МКН остроугольный;
б) ^-=1,5, Х= 1,5. Ответ: В (-7; 6,6).
2. х — любое действительное число.
Вариант 5	К-1
1. а) ОЕ = 7д/2, ОК = 2У37, ЕК = 5у/2, cos DEK = 0, Z.DEK —
прямой; б) С^З; —3-|).
2. 2|<х<7.
О
222
Вариант 6	K-l
1. а) ЛВ=13, ДС=УТ37’, ВС=10, cos ДСВ>0, ААСВ — острый;
б) £(“8^; ~6^)-
2. Решений нет.
Вариант 1	С-3
1.	а=/=0, а=/=— 1, а=£—у.
2.	x2(z/-z) + i/2(z — x) + z2(x—i/)=x2(z/ — z)4-
+ #2(z — // + i/ — x) + z2(x — z/)=x2(// — z) — i/2(i/ — ;z) —
-y2(x-y) + z2(x-y) = (y — z)(x?—y2) — (x—y)(y2 — z2) =
= (x—y)[y — z)(x — z).
3.	Числа; не кратные 5, составляют четыре подмножества множе-
ства натуральных чисел {5п± 11n£N}, {5n±2|n(EAf}; квадраты
этих чисел при делении на 5 дают остатки или 1, или 4.
Вариант 2	С-3
1. а=/=0, а=/=6, а=/=—6.
2. Раскрывая скобки, находим:
X2!/ + 2xyz + X2Z + ху2 -I- y2Z + yz2 + xz2 = х2 ( у + Z ) +
4-ху (у + z)+ xz (у + z) + yz (y + z) = (y + z)(x+y)(x + z).
Вариант 3	С-3
1. a=£ — 1, a =/= — 2, a=^ — 1 .
О
Вариант 4	С-3
1- a=/=—3, a=/=3, a=/=—9. 2. (% + у) (x-\-z) (y + z).
Вариант 5	С-3
1. a =/= 1, a =/=0, a=/=-y.
Вариант 6	С-3
1. a=#=—4, a=/=2, a=#=8. 2. 3(x—y)(y — z)(z—x).
Вариант 1	K-2
1.	Обозначим данное утверждение через Р(п), где n£N. Р (1) —
справедливо, так как при п= 1 левая и правая части равенства прини-
мают значение . Докажем, что P(k)=^P (k-\- 1) для k£N. Имеем:
1 I 5 I	I___2* 1______—i I_____2fe 4- 1____
3-5	5-7 “* •" (2Й+ 1) (2fe + 3)	(2*4-3) (2*4-5) “
_ 2‘	1	2*4-1	2t_2‘(2* + 5 + 2*+l)	i_
2*4-3	3	(2*4-3) (2*4-5)	(2*4-3) (2*4-5)	3 —
_ 2*+'	1
— 2*4-5	3’
223
Итак, утверждение справедливо при и=1, и из его справедливости
при n = k следует, что оно верно и при n = k-\-1. Значит, утвержде-
ние справедливо для любого натурального значения п,
2.	Обозначим данное утверждение через Р (п), где n£N. Докажем
справедливость утверждения для и=1. Действительно, 714-32=16,
а 16 кратно 4.
Докажем, что Р(6)=>Р(6-]- 1), k£N. Имеем:
7^’+3^2 = (3 + 4)7^ + 3fe + 2 = 4.7fe+3(7fe + 3fe+l)
Так как по предположению индукции 7*-h3*+1 кратно 4, а 4-7*
также кратно 4, то наше утверждение доказано.
3.	Пусть х, и х2 — корни данного трехчлена, тогда
Х1 + х2 = 6,	(1)
(36)2-6(26 + 3)>0.	(3)
Из условия вытекает, что 6#=0. Так как ^ + х^ = (х1 + х2)3 —
— 3xiX2(XjH-x2), то, учитывая (1) и (2), имеем:
72 = 216- 18,
К
откуда находим: k = 0,5. Условие (3) выполняется. Ответ: 6 = 0,5.
4.	При п—\ и и = 2 утверждение справедливо: 04 = 2-1-1=3,
а2 = 4 -]-2 = 6. Пусть хй = 2*4-6, xfe+1 = 2*+14-6-|- 1. Докажем, что
тогда хАЧ_2 = 2*4"2 4-£ 4-2. Имеем:
= 3^-|-1 2xfe 1 =
= 3(2*+1 + 644)-2(2* + 6)-1=2-2*+1 + 6 + 2 = 2*+2 + 6 + 2.
Итак, утверждение справедливо при п = 1 и при и = 2, а из его спра-
ведливости при n = k и n = k-\-\ следует, что оно справедливо и при
n = k-\-2. Значит, оно имеет место для всех натуральных значений п.
Вариант 2	К-2
2.	ап = 7-52n~l -]-23n+1. При п—\ имеем: а1 = 51 делится на
17.	= 8а*4-7’ 17-52*-1, 6£ЛГ. Отсюда следует, что если ak делит-
ся на 17, то ай+1 также делится на 17.
3.	Обозначим корни трехчлена через xt и х2. Из условия имеем, что
Ь=/=0, тогда
।	ft 4~ 2
Х1 + х2=----j-,
. х1х2=—4,
x?+xf=10^.
Так как xf + x$=(xt + х2)2 — 2Х|*х2, имеем:
1Л 7	(Z> + 2)2 . Q b-f-2	,5	, о .	3
10 9=	+8, -^-=±з> или &( = 3, ft2=—
224
4. При п = 5 неравенство справедливо: 32^32. Пусть 2k~^k2-\-
4-64-2 (6^5). Докажите, что тогда 2*+'^(6-|- 1)2-|-(64- 1)4-2,
т. е. 2*+*>624-364-4. Имеем:
2k+'-k2-3k-4 = 2(2k-k2-k-2) + k2-k.
Осталось убедиться в том, что при справедливо неравенство
/г2 — k = k (k —1)>0. Но это очевидно.
Вариант 3	К-2
3. (xl — x2f=(xl + x2)2 — 4xlx2, —	4--у- = 64, 1562 — 146 — 1 =
= 0, 6. = 1, 62= —jL
Вариант 4	К-2
3. ах = 2, а2=-|- 4. 3*+1-5(6-|- 1)2 = 3 (3*-562)4-5 ( 262 - 26- 1)>
>0, так как 2k2 — 2k—1>0 при k 1>4.
Вариант 1	С-4
2.	P(x)=(x-l)Q1(x)-|-3,	(1)
Р(х)=(х—2) Q2(x)-|-5.	(2)
Из (1) и (2) следует, что Р(1)=3, Р(2)=5.
Пусть Р(х) = (х2 — 3x4-2) Q (х)4-«х-|-6, или
Р(х)=(х-1)(х-2)9(х)4-ах4-й.	(3)
Подставив в (3) последовательно х=1 и х=2, получим систему
уравнений
( а 4- b = 3,
\2а 4- Ь = 5,
откуда а = 2, 6 = 1. Ответ: 2х-|-1.
3. Будем искать многочлен второй степени в виде х2 -[• пгх-4- п. Тог-
да должно выполняться тождество
(x24-wix-|-n)2 = x44-ax34-15Х2—18x4-9, или
x4-|-2/nx3-|-(m24-2n) x2-|-2/nnx-|-n2 = x44-ax34- 15Х2— 18x4-9.
Полученное равенство будет тождеством, если
2т = а,
m2-|-2n=15,
2тп= —18,
п2 = 9.
Решив полученную систему уравнений, находим а——6.
Д/^-бх3-)- 15Х2- 18x4-9 = х2 - Зх 4- 3.
Ответ: а= —6.
8 Заказ 134
225
Вариант 2
2. По условию
С-4
P(x)=(x-l)Ql(x)4-4,	(1)
P(x)=(x+1)Q2(x)+2,	(2)
P(x) = (x-2)Q3(x) + 8.	(3)
Пусть Р(х)=(х3—2k2 — х+2) Q (xj + a^ + bx+c, или
P(x) = (x-l)(x+l)(x-2)Q(x) + ax2 + &x+c.	(4)
Из (1), (2) и	(3) следует, что Р(1) = 4, Р(—1) = 2,	Р(2) = 8. Тогда
из (4) получаем:
f a-\-b-\-c = 4,
< а — 6-|-с = 2,
[4а + 2Ь + с = 8.
Решив полученную систему уравнений, находим а = Ь = 1, с = 2.
Ответ: х24-х4-2.
3. Пусть х34-5 = (х24-/пх4-и)(х4-а), где m и п — целые. Имеем
тождество: x3-|-5 = x3-|-(/n + a) x2+(/na4-n)x-|-na, откуда
/п4~а = 0,
та 4- п = 0,
па = 5.
Так как а = — т, то п = т2. Подставив эти значения а и п в послед-
нее уравнение системы, получаем равенство т3=—5, которое ни
при каком целом т верным быть не может.
Вариант 3	С-4
2. -х4-1. 3. а=±4, Ь=—80.
Вариант 4	С-4
2. Пусть Р(х) = (х— a)Qi(x), Р (х) = (х—b)Q2(x),
Р (х) = (х —а) (х— b) Q (х)4-/их4-«.
Так как Р(а)=Р(Ь)=0, то имеем:
ma + n = 0,	(1)
mb-\-n = 0.	(2)
Так как а=£Ь, то из (1) и (2) находим /п = п = 0.	,
3. х34—1 =(x3)t—1 =(х3—l)Af (х).
Вариант 5	С-4
2. х4-3. 3. а=13, (Зх2 —х4-2)2, или (-Зх24-х-2)2.
Вариант 6	С-4
2. х2—1. 3. Докажите, что равенство
х64-х24-а==(х34-х4-а) (х34-wx24-«x4- 1)
не является тождеством ни при каких значениях а, т, п.
226
Вариант 1	К-3
1.	Пусть Р (х) = 2х4-|-Зх3 — ах2 + Ьх — 3, тогда Р( — 3) = 78 —
-9а-36, Р (2) = 53 — 4а + 26.
Из условия имеем: Р( — 3) = 0, Р(2) = 5; получаем систему уравне-
ний относительно а и Ь:
( За + 6 = 26,
(2а —6 = 24,
откуда а=10, Ь= — 4.
2.	Пусть Р(х) = х4 —27Х2—14x-h 120, Р(2) = 0, следовательно,
Xj = 2 — корень многочлена Р (х). Воспользуемся схемой Горнера и
разделим многочлен Р (х) на х — 2:
Получим многочлен Р2(х) = х* — х — 20, корни которого х3 =—4,
х4 = 5. Следовательно, корнями многочлена являются числа Xi = 2,
Х2==	3, х3 —	4, х4 = 5.
3.	Если п — нечетное, то
аЛ+1=(а+1)(ал-1-ая-2 + ...-а+1).	(1)
Следовательно, при нечетном п из (1) следует, что 48"-|-1=496
(6£ЛГ) кратно 49 и, следовательно, кратно 7.
4.	} Пусть Р (х) = х4 — 10х3 + 27х2 — 14x4-2 = (x2-hax+6)«(x2+cx-h6),
где а, 6, с, k — целые числа, тогда х4—10j?+ 27Х2—14х + 2 = х4 +
-Н(а4-с) x3 + (6-|-6-hac) х2 + (а6-|-6с) x+bk. Следовательно, имеем:
' а + с= -10,	(1)
b + k + ac = 27,	(2)
ak-\-bc — —14,	(3)
66 = 2.	(4)
Для решения задачи достаточно найти одно решение системы в це-
лых числах. Одним из решений уравнения (4) в целых числах явля-
ется пара 6=1, 6 = 2. Одним из решений системы
а-\~с = —10,
ас = 24
227
является а = —4, с = —6. Найденные числа а= —4, Ь=1, с — —6
и k = 2 удовлетворяют уравнению (3), следовательно,
х4-10х34-27х2-14х4-2=(х2-4х-|-1)(х2-6х4-2).
5.	х12 — Зх64- 1=(х6 — I)2 — х6 = (х6 + х3— 1)(х6—х3— 1).
Вариант 2	К-3
1.	Разделим многочлен х34-тх-|-п на трехчлен х2 + Зх+10.
x3-|-0-x2+mx4-n л^+Зх+Ю
х3-|-Зх2 4-1 Ох х—3
— Зх4 +(/п— 10) х 4- п
-Зх2 -	9х—30
(tn — 1) х-|-(л4-30).
Так как деление выполняется без остатка, то (m— 1)х4-(«4-30) =
=0, а это возможно (при любом значении х) только в случае, если
т = 1, п = — 30.
2.	(х4-1)(х4-2)(х4-3)(х-4).
3.	Пусть п — натуральное число, тогда 2п — четное натуральное
число. Тогда S72" — 1 =3249"— 1 =3248*А, где A^N, но 3248 =
= 203-16.
4.	Р(х) = (х2 —6x4-ОСх2 —6x4-6).
5.	Пусть х24-х-|-1=^, тогда
(х2 4- X 4- I) (X2 4- X 4- 2) - 12=у (у 4-1) -12 = у14- у - 12 =
=(1/4-4)(^-3) = (х2+х4-5)(х2 + х-2) = (х+2)(х-1)(х24-х+5).
Вариант 3	К-3
1. т= -17, п = 2. 2. (х4-3)2(х4-2)2. 4. (х24-Зх-2)(х2-2х4-3).
5. (а24-а4-1)(а2-а4-1)(а4-а24-1)(а8-а44-1).
Вариант 4	К-3
1. а= —5, Ь = 5. 2. (х-1)(х-2)(х4-2)2. 4. (х2-7х-|-2)(х24-Зх-1).
5. х(х—2)(х—4)(х—6).
Вариант 5	К-3
1. а = 0, />=-19. 2. х=1, х=—2. 4. (х2—9x4-2)(х2-|-8х4-3).
5. (х44-2х24-4)(х4 — 2х24-4).
Вариант 6	К-3
1. р = 3, k= — 14. 2. (х-2)(х—3)(х4-4)(х4-5).
4. (х24-9х-2)(х2-Зх4-8). 5. (х-|-1)(х-1)(х-4)(х-6).
Вариант 1	С-5
1. Разложив на множители левую часть уравнения, получим:
(Зх—5)(х2-|-1)=0. Единственный действительный корень уравне-
1 2
НИЯ Х= 1 -т- .
о
228
2. Разложим левую часть уравнения на множители, представив 8Х2
как 2x2-h6x2, получим:
(2х4 + Зх3-2х2)-(6х2 + 9х-6) = х2(2х2 + Зх-2)-
— 3 (2х2-|-Зх—2) = (2х2 + 3х —2) (х2 —3), (2# + 8х-2) (х2-3) = 0,
откуда 2х2-|-Зх —2 = 0, или х2 —3 = 0. Решив каждое квадратное
уравнение, получим: хх =—2, х2 —у, х3=—"\/з", х4=д/з\
3. Преобразуем левую часть уравнения:
((х-2)(х+1))((х+3)(х-4)) = (х2-х-2)(х2-х-12) =
= У(у + 10) = /Г+ Юу, где z/ = x2 — х — 12.
Получим уравнение у2 + 10z/ —144 = 0, откуда /л=8, z/2= —18.
Но z/ = x2 —х—12. Получаем совокупность уравнений:
Г х2 —х—12 = 8,
[ х2 —х—12= — 18.
Первое из них имеет корни 5 и 4, второе корней не имеет.
Ответ: х}=4, х2 = 5.
Вариант 2	С-5
1. Сгруппировав последовательно по два члена, получим:
4х4(х + 2) + 5х2(х + 2)-3(х + 2) = 0, (х + 2) (4х4 + 5х2-3) = 0.
Ответ: Xj = —2, х2 з= (Л/ТУ —5).
2. Так как х2^=0, то, разделив обе части уравнения на х2, получим
уравнение, равносильное данному:
2^+^)_5 (,_!)_ |=о.
Пусть х---—у, тогда х?-\--у = z/2-|-2. Следовательно, 2 (у2 + 2) —
X	л
— 5у — 1=0, yt=\, z/2=l|.
1	1	г-
„	х~ Т=1>	1+ у5	1—Д/5	1
Имеем:	*	( откуда xt =—, х2 =—, х3= — ,
X---= 1 7Г.
х 2
х4 = 2.
3. Так как (х—1)(х —2)(х —3)= 1-2-3, то легко находим одно из
возможных решений: х = 4. Раскрыв скобки, получим: х3 —
— бх2-^ Их— 12 = 0. Разделив левую часть уравнения на х — 4, по-
лучим уравнение х2 —2х-|-3 = 0, которое действительных корней не
имеет. Ответ: х = 4.
Вариант 3	С-5
1 о	I Л /УТз" —2 о	,
1. х, = 2, х2 з=± у-^-з— • 2. х|==х2=1-
3. х, = — 1, х2 = 5, х3 4 = 2 ± 2 д/2^.
229
Вариант 4	С-5
1. х,= —2, х2 3 = ± 0,5 д/ТТ. 2. х1.2=±1, х34=3±^3 .
3. х=5.
Вариант 5	С-5
1. х1 = х2==2, х3= — 2. 2. х|2=±1, х3 = 2, х4=—
3. х,= —4, х2 = 3, х3.^^ .
Вариант 6	С-5
1. Х[ — 3, %2, 3	2. 2. Х\, 2 — i 1 у Х^ 4 =	~	.
3. х, = 4, х2=—3, Хз,4=-^^.
Вариант 1	К-4
2.	Так как а>0, то а + 3^2д/зУ, а4-6>2д/ба\ а-|-2>2у/2а,
а+ 1 ^2~\[а. Так как левые и правые части неравенств — положи-
тельные числа и а не могут одновременно равняться 1, 2, 3, 6 то
(а + 3)(а + 6)(а + 2)(а+ 1)>96а2.
3.	Данное неравенство равносильно неравенству
(х+6)(х-3)(2х-1)2
(х—2) (х—3)
(х + 6)(2х-1)2
х — 2
Х=/= 3
<0,
2^
2 ’
|<х<2.
4.	Имеем:	-|-——= ,3 -о-
х-3	2(х—1)	№-1
4(х2-1) + Зх(х-3)(х+1) = 6(х-3),
Зх3-2х2- 15х+14 = 0,
х= 1,
х=2,
7
X— 3 ,
х = 2,
7
х~ 3 
Ответ: 2;	.
о
5.	Преобразуем левую часть неравенства: x24-10i/2 — 6xz/+10x —
-26// + 30 = (x-3//4-5)24-(f/!4-4i/ + 4)+ 1 =(x-3y+5f+(y+2f+
+ 1>0. Другой способ решения: см. вариант 2, № 5.
230
Вариант 2
К-4
2. Преобразуем левую часть неравенства к следующему виду:
-2 + 3аа+* •а4~^+‘ = (а +7+3) (а2 + - 1)>(2 + 3)(2- 1) = 5.
Равенство имеет место только при а=1.
3. Данное неравенство равносильно неравенству
/	2\	о	х=/=1,
(х— 1) ( х——) (х —2)2	х=/=2,
	9
	<	&
_(х4-7)(х—1)	х~ у
		“>0.
	1 х+7
Ответ: х<—7, у<х<1, 1<х<2, х>2.
4. Освободившись от знаменателя, получаем уравнение 2х3 —
— 7х2-|-9 = 0, являющееся следствием исходного. Из трех его кор-
ней Xi= — 1, х2 = 3, х3=1,5 посторонним корнем является xt= —1.
Ответ: 3; 1,5.
5. Рассмотрим левую часть неравенства как квадратный трехчлен
относительно х: Р (x) = x2-h(y-h 1) *+//2 —// + 3. Первый коэффици-
ент Р (х) положителен, а дискриминант отрицателен: (z/-j-l)2 —
— 4z/2-|-4z/ — 12= — 3 (у— I)2 — 9<0. Следовательно, Р(х)>0 при
любом х.
Вариант 3	К-4
п	I	2	1	1	I	г* Л Q 1
3. х< —1, —^-<х<-, т <х<1, х>6. 4. 3, —.
о	о о
5.	Так как д/2"—корень уравнения, то имеем: (Д/2~)3— 2(а + 2)4-
+ b л/2 — 2а = 0, или
4(a4-l) = (ft + 2)V2.	(1)
Так как а и b — целые, то из (1) следует, что Ь= —2. В противном
Vjr- 4 (а +1)	г? 1	1
2 =— число рациональное. Если Ь = — 2, то а= — 1.
Таким образом, получаем уравнение х3—х2 —2х +2 = 0, корни ко-
торого х}=1, х2 з=	Ответ: а= — 1, Ь=— 2, х} = 1, х2 =
= — ~\[2
* '	Вариант 4	К-4
3. —5<х<—0,75, 1<х<2. 4. Г, -2.
Вариант 5	К-4
2. а=1. 3. х<—3, — 1<х<|, |<х<5, х>5. 4. 1; —1,5.
О о
Вариант 6	К-4
2. 4а4— 12а3 + 13а2 — 6а + 1 =(а- 1)2(2а- 1)2>0.
Равенство выполняется при а=1 и а = 0,5.
3. —1<х<2, 2<х<6. 4. —1. 5. а=—2, b= — 1, х, = 0, х2 =
= 1—V2.
231
1.
Вариант 1
2	, ,
С-6
с ( у а2 —1 \ \ а — 1 /	a — I	ii-^i / i
/(-—— 1=-у-====~2—=-m----------= где а >1,
\	/ Уа2-1 У .	£±1_1
у а— I ) а 1
„ „	, 3х2 + 3х—6	3 (х-1) (х+2)	„	3
2. Преобразуем дробь --?—-—=— ----------= 34----—г.
н	J	г	X2—1	(Х-1)(х+1)	х+1
з
Следовательно, у = 3+	 , где х=/=1. График изображен на ри-
сунке 29.	х
3. Уравнение прямой, проходящей через точки Л (3; 5) и В (1; —2),
z/4-2 х— 1
имеет вид:
Уравнение
или у = 3,5х—5,5.
прямой, параллельной ей и проходящей через точку
запишется в виде:
z/ = 3,5 (х—1)—1, или z/ = 3,5x —4,5.
Прямые z/ = 3,5x —5,5 и z/ = 3,5x—4,5 отсекают от оси ординат
отрезки, длины которых соответственно равны 5,5 и 4,5. Так как
прямые параллельны, то отсекаемые ими треугольники подобны.
Следовательно,	Q /ссч()
•^1	/ о,э\z 121
S^ = \4j/ =“8Г ’
Вариант 2
1. Ь, где — 1 <£>< 1. 2. // = --^- — 2, где х=/= —2 (рис. 30). 3. Урав-
и л У “F 6	х *4- 2	л
нение прямой ЛВ:	, или у = х — 4; уравнение
прямой, параллельной Л В, проходящей через С ( — 2; 1): у = х-\~3.
С-6
Рис. 31
Рис. 32
Отсекаемые от осей координат прямоугольные треугольники по-
добны. Прямая у = х—4 отсекает от оси абсцисс отрезок длиной 4,
а прямая y = x-f-3— отрезок длиной 3. Из подобия треугольников
Pi 4
следует, что — = —.
г 2 О
Вариант 3	С-6
1- ^(ги^)) = с’ где —2- ^==1+тЬ’> где х=^2
(рис. 31). 3. у= — Зх+5, у=— Зх— 11,	=	.
Вариант 4
1. k, где — 1</г<1. 2. у = j + 2, где х=#=1 (рис. 32).
о \	2	4	2	о. pi	2
3- а)	У— зх	з >	У— зх	2’	б) р2	з	•
Вариант 5	С-6
1. с, где — 1^с<1. 2. У = узт + 6, где х=#=— 1.
„	\	2	5	_2 v 4 . Л. S, _ 16
3. а)у—3х З,у—Зх з , б) 25 .
Вариант 6	С-6
1. у, где —1<//<1. 2. У=-^4< где х=#2.
3.	а) у = 1,5х—2,5, i/=l,5x-5,5; б) -^ = 4-
г 2	1 1
Вариант 1
К-5
9	\	8
2-
так как min ((х—3)2-|-4)=4, то max у = у (3)=2.
R	R
3.	/ ( — x) = f(x). Функция четная.
233
4.	/(<р(х)) = 2(Д/Зх-1 )2—l=6x—3, где x>|;
<p (f (x))=Л/З (2X2— 1)— 1 = Л/бх2 —4 .
5.	Из условия имеем: у — 2х — |х— 2| — |2x-j-5|.
Если х^ — 2,5, то z/ = 5x + 3; max z/ = z/( — 2,5)= —9,5.
(_оо, -2,5]
Если —2,52^X5^2, то у = х — 7; max z/ = z/(2)=—5.
[-2,5, 2]
Если х>2, то у= — х — 3; max у = у (2) = — 5. (В каждом из слу-
(2;+оо)
чаев учтена монотонность функции.) Таким образом, maxz/=—5.
я
Вариант 2	К-5
1.	Пусть Xi<x2, х^Х, x2gX. Так как функция f — убывающая, то
Z(xi)>/(x2)- Так как &>0, то kf (xx)>kf (х2), т. е. функция
kf(x)—убывающая на множестве X,
2.	а) Преобразуем данное выражение:
13	_	13	.
х? + 2х+3~ (х+1)2 + 2 ’
так как min ((х+1)2 + 2) = 2, то max у = у( — 1) = 6,5.
R	R
б)	Пусть h (х) = х2 + 2х + 3. Так как функция й(х) — убывающая
13
на рассматриваемом промежутке и й(х)>0, то функция у =-----
h(x)
возрастающая на промежутке ( —оо; —1].
3.	/( —х) = /(х). Функция четная.
4.	/(<p(x)) = f(V7) = (V7-2)2; <р(/(х)) = ф ((х-2)2)=У(х-2)2 =
= |х-2|.
5.	Если х^0,5, то у ——5х-|-4; min у =1,5.
(-оо, 0,5]
Если 0,5^х^З, то z/=— х4~2; minz/= — 1.
[0,5; 3]
Если х^З, то у = х—4; min у— — 1.
[3, -Ь ОО )
Следовательно, minz/ = z/(3)= — 1.
R
Вариант 3	К-5
2. a) maxf/ = z/( —1) = 2 j. 4.	/ (ф (х)) = 4х(х+1), х> — 1;
R	4
ф(/(х))=|2х2-1|. 5. -3.
Вариант 4	К-5
„	2л3	. j^+l „	о/^3\2.7	.7
2. Я = -^ + -^- 3. ;,= -2(/-7) -4?; тах,= -4?.
234
4.	1, если
/(<₽(*))={ ,
— 1, если
ф(/(х)) = 2. где х=/=0.
Вариант 5	К-5
2. а) 5,5. 3. Функция нечетная. 4. /(<р(х)) = 6х—2, где х^0,5;
Ф (/(х)) = Д/бх2—1 . 5.-1.
Вариант 6	К-5
2. —4. 3. Функция четная. 4. f (<р (х)) = 27х2-|- 12х+ 1, xZ>—
ф(/(х))=|Зх2-1|. 5. 1.
О
Вариант 1	С-7
1. у — х-^-3. 2. Докажем, что для любого е>0 существует такое
Л4>0, что при |х| >М выполняется неравенство |/(х)|<е. Имеем:
I/(х)1 =1т~"о |<8> отсюда |4х—2|>—. Так как |4х—2|>
14х| —2, то достаточно решить неравенство 4 |х| —2>>— . Решив
1 /	3\	8	34-28
это неравенство, получим: |х| >—6 2-[~— \. Положим М =	.
Из наших рассуждений следует, что при |х| >М выполняется нера-
венство |/(х)| <е. Следовательно, функция f — бесконечно малая
при х-^оо.
3. lx2 —4х-|-3| ^х2 —4х-|-3 = (х —2)2—1. Решив неравенство
(х—2)2 — 1 > 104, получим, что на луче (Л4;-|-оо), где М — 2-f-
+Vi + io4, выполняется неравенство lx2 — 4x-h3| > 104.
Другое решение. Рассмотрим функцию f (х) = lx2 — 4х-[-3|
на луче (3; 4-оо). При х>3 f (х) = х? — 4х + 3.
Имеем: {	~ «>2 + УТТЖ.
Вариант 2	С-7
1. у=1. 2. Чтобы доказать, что <р(х) — бесконечно большая функ-
ция, достаточно доказать, что f (х) =	—4— бесконечно малая
функция при х-^оо.
3. При х> 1 имеем:
|2х+ 1 I  2х+ 1	2х + х   3
а^ + Зх I х2+3х	х2-|-Зх х4-3
Решив неравенство -^^<0,001 (учитывая, что х>1), находим
х>>2997. На любом луче (Л4; + °°), где Л4^2997, выполнено нера-
венство I 2*+1 |<0,001. Можно взять, например, 714 = 3000.
I x24-3x I
235
Вариант 3	С-7
1. у = 2х—6. 3. При х>5 имеем:
|-^4Л\+3\+‘ | = |х+2 + JOX~9 | = х + 2 + --°—-9 >х+2.
I х2 —6x4-5	|	|	х2 —6х-|-5 |	х2—6х-|-5
Решив неравенство х+2>105, находим х>105 —2; М = 105 —2.
Вариант 4	С-7
1. у = '2х-\-12. 3. а = 4. При а = 4 имеем: у =	' ^Ри Х'>
имеем:	Решив неравенство
<0,01 (учитывая, что х>1), находим х>150. Искомый луч
(М\ —|—оо ), где М ^150 (например, (160; + оо )).
Вариант 5	С-7
1. у = 4. 2. При х>3 имеем: lx3 — 8х-|- 11 = Щх2-8)4- 11 =
= х(х2 —8)4-1 —х3 —8х-|-1 >х3 —8х. Найдем луч, принадлежа-
х3
щий (3; 4-°°), на котором выполнено неравенство х3 — 8х> — (1).
Решив (1) (с учетом того, что х>3), находим: х>4. Итак, при х>4
х3	х3
имеем: |х3 —8x4-11	. Из неравенства у>109 находим
х>1000д/2~. Следовательно, на любом луче (Af; +оо), где
1000 "\/2Г (например, М = 2000), выполнено неравенство
lx3-8х+ 11 > 109. 3. а = 0.
1.
Вариант
у = 7. 2е а = 6, й = 2.
С-7
6
1.
lim /(х)= lim
lim /(х) = lim
Вариант
2 |х| — 1
х-3
Зх + 5
, 1+2х =
К-6
lim
1,5.
~2х~' = -2;
х-3
2 +
п
Нт /2м + (-1)"	2я-2
2^ оо \6л-( —1)л 2я4-2
2
3 ’
2.
б-i—:
п
3. Пусть ах — первый член, q — знаменатель прогрессии. По условию
задачи |^" =8, a^4”^i^2 = 3. Исключив из этих равенств ах,
получим уравнение 8g3— 8^4-3 = 0. Подстановкой 2q = z приводим
уравнение к виду: г3—4г 4-3 = 0. Легко видеть, что г=1 является
236
корнем этого уравнения. Понизив степень, получаем квадратное урав-
нение z*+z —3 = 0, оба корня которого иррациональны. Из условия
2q = z находим <? = 0,5. Далее находим	а^ — ах <?3 = 0,5.
4. Так как 1 + 4+7 +... +(3/г-2)=-+|р2.. п = п (3п~1) , то иско-
мый предел равен
hm /М31-1)3Г!±1,\ |im ^7»-1_=_7
л-> оо \2(2л+1)	/ лоо 4(2л+1)	8
Вариант 2	К-6
1. lim /(х) = lim 2^т = |;
х-> — оо	х-> — оо 4Л	z
lim f (х)= lim *~lx~2' = lim ‘~^х~2* = — 1.
х->4-°°	х-»- + оо х	х->Ц-оо х
2. 1 3. ± 4. 0,3.
«5	10
Вариант 3	К-6
1. lim /(х) = 3, lim /(х) = 2. 2.0.3.1.4 1
X-»-—оо	х->4-оо	в
Вариант 4	К-6
1. JlmJW-0,5.	2- 4- 3-	4- 4-
Вариант 5	К-6
1. -0,5; 3. 2. -4. 3. А.4.^.
Вариант
— 3; 0. 2. —5. 3. 1 4.-4=.
8 V2
Вариант
х	х2 + 2x4-4-12	(х—2)(х
6
1.
К-6
X
К-7
*• *> ^2—VZ8--	(x-2)(^+2x+4)=!Lm27^7=2 ;
6)	lim 1£±12Е±зх±з) = _1
*--1	(х+1) (2х+ 1)
2.	а) Из теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного
непрерывных функций следует, что функция f непрерывна в любой
точке х=/= — 1 и х=/=2. Исследуем функцию на непрерывность в точ-
ках х = — 1 и х=2.
lim /(х) = Ит 2х+* = 1, lim f(x)= lim (2 — x?) = 1, поэтому
x->—i—o	x-> — 1 x	x->—14-0	x —— 1
lim /(x)=l. Итак, lim / (x) = /( — 1 )= 1. Следовательно, функ-
X-»-—1	x —>• — 1
Ция f непрерывна в точке х= — 1.
237
Рис. 33
lim f(x)= lim (2 — x2) = lim (2 —x2)= —2;
x->2 —0	x->2 —0	x->2
lim f(x) = lim (— 3)= lim ( —3)= —3.
x->-24-0	x->2-}-0	x-^2
Так как lim /(*)=/= lim f (x), to lim f (x) не существует. Следова-
x->-2 —0	x-»-24-0	x->2
тельно, функция f в точке х — 2 непрерывной не является, х = 2—
точка разрыва функции (рис. 33).
б) lim /(х) = /(—2)= 1,5, lim f (х)=/(0)=2, lim/(х)=/(5)= —3.
3.	Пусть Р(х) = х3-5х + з/р(-3)=-9<о/р(-2) = 5>О. Так
как Р(х)— непрерывная функция и на концах отрезка [ —3; —2]
имеет разные знаки, то она обращается в нуль хотя бы в одной
внутренней точке этого отрезка. Найдем значение корня с точно-
стью до 0,1. Разобьем отрезок [ — 3; —2] на 10 равных частей, полу-
чим точки: —3; —2,9; —2,8; ...; —2. Так как Р (— 2,5)= — 0,125<0,
Р{ — 2,4)= 1,176>0, то х^ — 2,5, х^—2,4 — приближенные зна-
чения корня с точностью до 0,1 с недостатком и с избытком соответ-
ственно.
4.	Функция g(x) необратима, так как при	уравнение
х2—6x-h 10 = z/ имеет два корня. На промежутке [3; + оо) функция g
монотонная (возрастающая), следовательно, на этом промежутке суще-
ствует функция g~l. Решим уравнение х2—6х-|-10 = # относительно
х(х^З). Имеем: х=3 д/z/ — 1 . Значит, g~l (х) = 3-(-Д/х— 1 (рис. 34).
с .. — 1 «3—1 *7 —...—1 *(4n—1)	«. (3 + 4л-1)л
5-	-----------------------= ~л"2"(4п2~—з, ~ ~ °’5'
lim ф(х) = 1,5, если
X —>- оо
'4Ь + 2а = 0,
а_< с откуда а= — 3, Ь =1,5.
. -2~1Д
Вариант 2
ч (2-Vx-3)(2+Vx-3)	1-х
1. а) lim --*------	,	= 11 m---------.---
Х^1 х(х-7)(2 + У/х-3)	х-7 x(x-7)(2+Vx-3)
х. .. х? + 6х— 1	6
б) I1™ 2х+5 =~7 '
К-7
1 .
28 ’
238
2. а) Функция непрерывна в любой точке х=/= —2 и х=/=2. Исследу-
ем функцию на непрерывность в точках х=±2; lim /(х) = 3,
х-> -2-0
lim f (х) = 5. Так как lim f(x)=/= lim /(х), то Ит/(х)несу-
х-^-2-Ь0	х-> —2 —0	х— 24-0	х^ — 2
ществует. В точке х= —2 непрерывности нет. Так как lim /(х) =
х—2 + 0
= lim f (x) — f (2) = 5 и, следовательно, lim f (x) = f (2), то в точке
Х-+2-0	х->2
х=2 функция непрерывна (рис. 35).
б) lim/(x) = f(7)=|, lim/(х) = /(1) = 2, lim f(x)=f(-3) = 3.
3. Пусть <p(x) —x3-|-x— 11, тогда ф(3)=19>0, а ф(2)—— l<0,
и так как ф(х) непрерывна, то существует точка с (2<с<3), в ко-
торой ф(с) = 0. Найдем с с точностью до 0,1. Разобьем отрезок [2; 3]
на 10 равных частей: 2; 2,1; 2,2; ...; 2,9; 3. Найдем ф (2,1)0,46>0.
Так как в точках 2 и 2,1 функция имеет разные знаки, то х«2,0 с
точностью до 0,1 с недостатком и х«2,1 с точностью до 0,1 с из-
бытком.
4. Так как при у> —6 уравнение х^вх-Ь Ю = у имеет два корня,
то функция необратима. Функция х24-8х-|“10 на промежутке
( —оо; —4] убывающая и потому на этом промежутке обратима.
Решив уравнение х2 + 8х+ 10 ==у при х^ —4 относительно х, полу-
чим х= —4 —Д/б-|-у. Обратная функция имеет вид: у=—4 —
-Д/б + х.
, ..	— 2-6—2-14 —2-22 —... — 2 (8Л—2)
’ Л™	4fe2 + 3* + 4	“
= lim -2(6+14 + 22 + -+(8fe-2)) = Hm — 2k (8k+ 4) = _2
Л»	4fe2 + 3* + 4	4^00 2 (4*2 + 3fe + 4)
/j 1 •	/ \	2x (x 3) л
6. lim ф(х)=ит----------— = 6,
x+3-0	x+3 x~°
lim ф (x)= lim (ax-|-2) = 3a-(-2;
x->34-0	x+3
3a+ 2 = 6, a=j.
Вариант 3	K-7
1. a) —0,5; 6) — . 2. Рис. 36. 3. «0,2 с недостатком.
4. (x—3)2 + 4, x>3. 5. -1. 6. 4,5.
239
л
1 2
-/ О
-2
X
1.
Вариант 4	К-7
1. а) Г, б) 2. 2. Рис. 37. 3. «1,7 с недо-
статком. 5. 1. 6. а=1, Ь= — 1.
Вариант 5
а) 1; б) 1. 3. »—0,7 с
О
4-. 6. & = 2 или Ь——2.
Вариант 6
1. а) —-4^; б) —1,4. 3. »0,8 с недостатком. 5.
1 оо
d=-2.
5.
Рис. 37
К-7
недостатком.
£
7 ’
К-7
6. с = 6,
Вариант 1
1.	Воспользуемся формулой для приближенного вычисления значе-
ния функции вблизи точки a: f (а + й) = / («) + /' (a) h.
а)	Рассмотрим функцию f(x) = x3, а = 3, й = 0,013, f (a) = f (3) =
= 27, /,(х) = 3х2, f'(a) = f' (3) = 27, f (3,013)^27 + 27-0,013 = 27 +
+ 0,351=27,351. На микрокалькуляторе 3,0133« 27,3525.
3 г~
б)	Рассмотрим функцию /(х)=ух, а = 27, й = 0,018. f(a) =
31	—	1	1
= /(27)=V27=3, f(x)=+-, f'(a)— f' (27)=^. /(27,018)»
зл/И?
»3+~0,018 = 3 + 0,000(6) = 3,000(6). На микрокалькуляторе
V27.0I8 «3,0006665.
2.	,,+зь-з	3
h	h	r
/(0)=lim »w-»t0> = i, »(-3+»>-«(-3) w
57 v '	h^0 h	h	h
Ho lim не существует. Следовательно, функция не имеет произ-
Л-^0 "
водной в точке х0=—3.
3 I
2л—1
С-8
I; так как n£N, то 1,5,
2п— 1
Вариант 2
1. а) 257,792; б) 2,015. 2. f (а) = ф(а).
Q п .и2 —Зи-|-5	. я2 + 5 и2 + 5я2 а
О. о<---—<—— <----------2— = о.
я +1	п	п
Вариант 3	С-8
1. а) 32,24; б) 3,0008. 2. у' (0) и у' (1) не существуют, у' (2) = 2.
Вариант 4	С-8
1. а) 8,084; б) 2,984. 3. п>66.
С-8
240
Вариант 5	С-8
1. а) 16,416; б) 2,997. 2. у' (1)=-|-, у' (0) не существует.
О
Вариант 6	С-8
1. а) 31,60; б) 1,997. 2. f' (а) = 0.
Вариант 1	С-4)
1. Параллельны. 2. Уравнение касательной i/ + 2 = 6 (х-|-1), или
___у»  л .р	бх2 -j- 34х -J- 22 л . . .	2	« , .
// = 6x4-4. Так как — , с — = 6х + 4Н------—, то у = 6х4-4 —
х+5	х+5 п
уравнение наклонной асимптоты.
3.	12_|_224-324-. | (2л)2 - 2«<2" + ‘)(4"+1)	n(2/i+l)(4n+l)
6	3
224-424-624-...4-(2n)2=22(l24- 224-...4-n2)=-2"^+lj(2n~l~1), 
□
У (2k — 1 )2 = ”<2n+t)(4n + 1) _ 2n («+ 1) (2n+ 1) _ n(4n2—1)
Другое решение. £ (2k— 1)2= £ (4/г2 — 4&4- 1)=
4=1	4 = 1
= 4 £ k2-4 £ k + n=2n(n+l)(2n+l)-2n(n+l) + n=n(4n2-,) .
4=1	4=1	3
Вариант 2	C-9
1. M(2; 8), JV(—4; -64). 3. "<n+1H4n+5> .
Вариант 3	C-9
1. Параллельны. 2. (0,5; 1). 3. n2(2n2—1).
Вариант 4	C-9
1. a=±2. 2. (-1,5; 3). 3. n2(n+l).
Вариант 5	C-9
1. Совпадают. 2. (2; 4), (1; 10), (3; -2). 3. ” <«+4) (”+2) (3«+1)
Вариант 6	C-9
1. Является; координаты точки касания (— 1; —2); кроме точки
«	/о ie\ □	«(би2 —Зя—1)
касания, общей точкой является точка (2; 1о). 3. ----------•
Вариант 1	К-8
1. a) v = s'(t) = 3t2 — 3/4-2, s' (3) = 20 м/с;
б) а = и'(/) = 6/ —3, 6/ — 3 = 9, / = 2 с.
241
+ +
1	X
12	2
Рис. 38
2. /(х)=8У7+|,Г(х)=ф-^,Г(1)=2.
3. a) <p(x)=£t|, х0 = 2, Ф (2)=4, Ф'(х)=
==3-х+х+2=__5_^ ф'(2) = 5.
(3-х)2	(3-х)2 Y V ’
Уравнение касательной: у — 4 = 5 (х—2), или z/ = 5x —6.
б) Угловой коэффициент касательной равен 5. Следовательно,
к
----—=5. Отсюда х0 = 2 или х0 = 4. Напишем уравнение касательной к
(3 — xf
графику функции ф в точке с абсциссой х0 = 4. Имеем ф(4)= —6.
Уравнение касательной: z/-|-6 = 5 (х—4), или # = 5х--26.
g (х) = 3х(2х — I)5. Находим производную:
g' (х) = 3 ((2х— 1)5+ 10х(2х — 1)4) = 3 (2х— I)4 (12х— 1).
а) £'(*) = 0
1
Х~ 12
6) g'(x)>0 о
в) g'(x)^0
Х^Т2’
х=± (рис. 38).
5. У = | у—7 | = |х+ 11, х=А 1; у( l+ft)h у{ °
l-1+й+Н-О
h
1Л|	„	..	|й|
=—г-. Но lim-;— не существует.
" л—о "
Следовательно, у'(— 1) не су-
ществует.
6. Находим производные левой и правой частей равенства:
50(х—2)49=50а0х494-49а1х48+48а2х47 + ..+2а48х-|-а49. При х= 1
имеем: 50а0 + 49а(-)-48а2-|- ,..-|-2а48-Ьа49 = —50.
Вариант 2	К-8
1.	а) и(/) = х/(/) = 6/2-5/ + 3 (м/с), у(1) = 4 (м/с);
б) a(t) = v'(t)=l2t-5 (м/с2), 12Z —5= 19, / = 2 (с).
2.	/(х)=^—2Д/7, /'(х)=(32х-2-2д/7у=—-Х=, f (4)= —1,5.
3.	а) фЧх)^"^ , х0=_3, Ф(— 3) = 4, Ф'( — 3)=— 5,
у — 4= — 5(х-|-3), у—— 5х— 11.
242
б) Угловой коэффициент касательной ра- * । t ж
5	11
вен —5. Имеем: —---—=—5. Отсюда т
(x+4f	°
х0= —3 или х0= —5. Уравнение касатель-	Рис. 39
ной в точке с абсциссой х0 = — 5: у4-6 —
= —5(х-|-5), или у=— 5х—31.
4.	g'(x) = 2((l-x) — 5х(1 —х)4) = 2 (1 — х)4 (1 —6х).
a)	g'(x) = 0
х= 1;
б)	g'(x)>0 о
х= 1;
в) g'(x)<0 о
х>1 (рис. 39).
5.	Пусть
F (х)= 11 - х2!,	+	П-(1+й)г1-11-11 _
_ I-2/1-/12! _ |ft|-|2 + ft|
h	h
т	r F(l+/z)-F(l)	^(1-ЬЛ)—F(l) o
Так как lim ——-----------— = 2, lim —-----£--— = — 2,
h-++0	h	h-^—0	“
F(l-p/i)-F(l)
to lim------------- не существует. Следовательно, F (1) не суще-
л-^о л
ствует, т. е. функция в точке х— 1 не является дифференцируемой.
Аналогично доказывается, что функция недифференцируема и в
точке х = — 1.
6.	Взяв первую и вторую производные от левой и правой частей ра-
венства, получим:
40 • ЗЭ^х38 4- 39 • Зв^х37 4- 38 • ЗУ^х36 4-... 4- 2а38=6240 (3 - 2Х)38.
Положив х=1, имеем:
40 • 39а0 4- 39 • 38а! 4- 38 • 37а2 4-... 4- 2а38 = 6240.
Вариант 3	К-8
1. а) 14 м/с; б) 1 с. 2. 1,5. 3. а) у = х— 3; б) у = х — 7.
4. а) ± 1; б) х<^, х=1; в)	х>|. 6. 360.
Вариант 4	К-8
1. а) 4 м/с; б) 0,5 с. 2. —1. 3. а) у=— 5х — 26; б) у=—5х— 6.
4. а)± б) -^<х<|, х>|; в) х<±, хЦ. 6. 10260.
Вариант 5	К-8
1. а) 3,5 м/с; б) 4,5 с. 2. 1. 3. а) у= — 7х— 15; б) z/=—7х —43.
4	-3’ —д ;б)Х=-з,Х>—-В) Х<-д, -_<Х<--.
5. a) ft'(3) = 6, h' (-5)= 10; б) h' (0)==0. 6. 120.
243
+	 Вариант 6	К-8
0	10	1. а) 164 м/с; б) 1,5 с. 2. —10,5.
Рис 40	3- а) i/ = x4-2; б) i/ = x-|-6.
4. а) 0,2; 0,8; б) 0,2<х<0,8,
х>0,8; в) х<0,2, х=0,8. 5. а) /г'(0)=1, h' (3) = 3. 6. 5400.
Вариант 1	С-10
1. Пусть / (х)= —х3-|-5х2-|- 12. Имеем: f' (х)=х(10 — х), /' (х) = 0
при х=0, х=10. Знаки f указаны на рисунке 40. Функция
убывает на промежутках ( — оо; 0], [10; -|- оо), возрастает на [0; 10],
х=0 — точка минимума, fmin = f (0)= 12; х= 10 —точка макси-
мума, /тах = /(10) = 178|. /" (х)= 10—2х, /"(х) = 0 при х=5,
f" (х)>0 при х<5, f" (х)<0 при х>5. График функции выпуклый
вверх на промежутке [5; +оо), выпуклый вниз (вогнутый) на
( — оо; 5], х=5 — точка перегиба. 2. Пусть <р (х) = 2х2 —"\/7. Имеем:
<₽'(*)= 8*2^- 1 ; ф'(х) = 0 при х=0,25, <р'(х)>0 при х>0,25,
<р'(х)<0 при 0<х<0,25, х=0,25 — точка минимума. 3. Пусть
N (xQ‘, —) — точка касания, х0=/=0. Так как у'(х)=—то
\ хо/	хг
У'(хо)=—j > и уравнение касательной в точке с абсциссой х=х0
*0
запишется в виде:	1	\ ,
У-—=—^(х—х0).
Х0	Xq
Точка М (0; 3) принадлежит касательной, следовательно, ее коорди-
наты удовлетворяют уравнению этой касательной: 3---=—, от-
*0 хо
2	3	9
куда х0=-т-. Тогда у(х0)=-^, у' (х0)= ——. Уравнение искомой ка-
о	£	4
9
сательной имеет вид: у——— х + 3.
Вариант 2	С-10
1.	Пусть /(х) = 2х34-Зх2-12x4-5, /'(х)=6(х-1)(х4-2), /'(х)=0
при х— —2, х= 1.
Знаки производной показаны на рисунке 41. Схематически стрелками
указаны промежутки возрастания и убывания функции. х==—2 —
точка максимума, /тах = / (— 2) = 25; х=1—точка минимума,
/mi„ = /(l)= —2. f" (х)= 12 (х-|-0,5), f" (х)=0 при х= —0,5. Знаки
второй производной, промежутки выпуклости и вогнутости показа-
ны на рисунке 42. В последующих вариантах мы также будем поль-
f +	-	*	Г -	+
f ^-2	1	f -0.5
Рис. 41	Рис. 42
244
Рис. 43
Рис. 44
зоваться схематическим изображением поведения функции. Точка
х= — 0,5 — точка перегиба.
2.	Пусть ф(х) = х2(д/7-1), ф'(х) = 2,5хД/7“2х. ф'(х) = 0 -<=>- х=
=41, ф' (х)>0 при x>4f , ф' (х)<0 при 0<х<4|. Следовательно,
ZD	ZD	ZO
16	/16\	256
х= 25—точка минимума, фт1п = ф	.
3.	Если N (х0; 3 —х^) — точка касания, то уравнение касательной
запишется в виде:
у — (3 — xg)= — 2х0(х —х0).
Точка М (2; 0) принадлежит касательной. Получаем уравнение х^—
— 4х0 4-3 = 0, откуда х0=1 или х0 = 3. Уравнение касательной в
точке х0= 1: //=-2x4-4. Уравнение касательной в точке х0 = 3:
у — -6х-|“ 12.
Вариант 3	С-10
1.	у' (х) = (х + 3) (х-|-4), у' (х) = 0 при х—— 4, х= — 3 (рис. 43).
х= —4 — точка максимума, //тах —(— 4)=-|; х = —3 — точка ми-
нимума, ут\п = у (— 3) = 2,5. Точка х= — 3,5 является точкой пере-
гиба (рис. 44).
2.	у' (х) =	_ , у' (х) = 0 при х=0, х=4- Знаки производной
yl— 2х	ь
и промежутки монотонности указаны на рисунке 45.
х = 0— точка минимума, ymm — y (0) = 0;
2	/2\	4 д/б"
х = - —точка максимума, ут^у[^=-^-.
3.	У=^~-
д/з
Вариант 4
1. у' (х) = (х4-3) (х— 1), у' (х) = 0 при х= — 3, х=1 (рис. 46).
х= — 3 — точка максимума, z/max = // (—-3)= 10; х = 1— точка мини-
С-10
ч>‘
г
1
Рис. 45
Рис. 46
245
r_
f
-1
4>
Рис. 47
S' 1
4
Рис. 48
0
2
мума, i/min = У (1 )= —"з • x= — 1—точка перегиба (рис. 47).
2. У'(х)=	’ У'^ = 0 ПрИ Х = 0’ Х = 7 (рИС' 48)’
х = 0— точка минимума, ymin = y (0) — 2; x=j— точка максимума,
'/тах = '/(|) = -^Л/2Г- 3. У=— 0,5х+1.
Вариант 5	С-10
1. Промежутки убывания (— оо; —4], [0; 4-оо), промежуток воз-
растания [ — 4; 0]. ymin = y( — 4)=— 8|, утм = у(О) = 13. График
функции выпуклый вниз на промежутке (— оо; —2] и выпуклый
вверх на промежутке [ — 2; +оо), х= — 2 — точка перегиба.
2. ymin = y(^)=-4- 3. // = 2 —0,5х.
\ о /	о
Вариант 6
С-10
1.	Промежутки убывания (— оо; 2], [6; +оо), промежуток возра-
стания [2; 6]. ymin = y (2) = 7^, ymax = y (6)= 18. График функции
выпуклый вверх на промежутке [4;-|-оо), выпуклый вниз на
(—оо; 4], х=4— точка перегиба.
4 Л АГ
2.	!/т!п=У(0)=0, //max = //(0,2)=-^-.
1
Вариант 1
К-9
2.	1) D(f)={x\x^-l}.
2)	Функция не является ни четной, ни нечетной.
3)	i/ = 0 при х=0, у^О при х> — 1, у<0 при х< — 1.
4)	У' = Х^^ : / = ° ПРИ *=—2, х=0; />0 при х<—2,
х>0;* z/'cO при — 2<х< —1, — 1<х<0. В точках х= — 2 и
х=0 функция непрерывна. Следо-
_	+ вательно, функция возрастает на
______।______j	j_______промежутках ( — оо; —2] и [0; + оо),
f S'-2	-1_0 S"' убывает на промежутках [ — 2; — 1)
и ( — 1; 0] (рис. 49). х= — 2— точ-
Рис. 49	ка максимума, утлк = у (—-2) =
246
Рис. 51
Рис. 53
= —4; х=0— точка минимума, ymin = y (0)=0.
2
5)	у" =----J ; i/">0 при х>— 1, у"при х< — 1. На проме-
жутке (—оо; — 1) график функции обращен выпуклостью вверх,
на промежутке (— 1; -poo) — выпуклостью вниз.
6)	Так как lim /(х) = оо, то прямая х— — 1—вертикальная асимп-
— 1
X2	1	1
тота графика функции. Так как = х— 1 4~ , и lim =0,
-	х+1	’ х+1
X—> оо Х+1
то прямая у = х—1—наклонная асимптота. График функции
изображен на рисунке 50.
3.	По условию задачи а6=3, d^0,5. Имеем: а, = 3 — 5d,
а4 = 3 — 2d, a5 = 3 — d', а1а4а5=(3 — 5tZ) (3 — 2d) (3 — d). Рассмотрим
функцию f (d) = (3 — 5d)(3 — 2d)(3 — d), где d^0,5. f' (d) =
= —6 (5tZ2—17d+12), где d>0,5. f'(d) = 0 при d=l, d = 2,4
(рис. 51).
Ясно, что наибольшее значение функция принимает в одной из то-
чек: d = 0,5 или d = 2,4. Найдем значения функции в этих точках:
/(0,5) = 2,5, f (2,4)=-^-. Так как /(2,4) >/(0,5), то наибольшее
значение функция f (d) на промежутке [0,5; + оо) принимает в точ-
ке d = 2,4.
247
4.	/ = х2(х-|-2)2-|“2(х+1)2 + 3>0, следовательно, функция возра-
стающая.
Вариант 2
2. 1) О(/) = {х|хУ=±д/3).
К-9
2)	Так как для любого х из области определения функции
у( — х)= — у(х), то функция нечетная.
3)	y = Q при х = 0, z/>0 при 0<х<д/3 и х< — д/з", z/<0 при
—д/з”<х<0 и х>"\/У.
£ (9 — л^)
4)	у' = ——• Так как функция нечетная, то можно провести
исследование, ограничиваясь значениями х^О. Функция возраста-
ет на промежутках [0; д/У) и (д/3~; 3], убывает на промежутке
[3; + оо); х = 3 — точка максимума, //гпах = //(3)= — 4,5.
5)	У"
__6х +
“ (3-х2)3
График обращен выпуклостью вверх при х>д/3~ и выпуклостью
вниз при О^хСД/з". (Учитывая, что для — Д/<Г<х^О график об-
ращен выпуклостью вверх, получаем, что х = 0 — точка перегиба.)
6)	х=д/зГ — вертикальная асимптота. Найдем наклонную асим-
птоту графика функции:
k = lim ** = — 1,
Х+оо 3-Х2
b = lim (	-|-х^ = 0,
х-> ОО \3 л J
у=—х—наклонная асимптота. График функции изображен на
рисунке 52.
3. Первое число х, тогда второе число х—8. Рассмотрим функцию
f (х) = х3 (х — 8). (х) = 4х2(х —6); /'(х) = 0 при х=0, х=6 (рис. 53).
На промежутке ( — оо; 6] функция убывает, на промежутке [6; + оо)
функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функ-
ция будет принимать в точке минимума х = 6. Итак, первое число
равно 6, второе число равно —2.
4. у' = — (х2 — x-Г 1)2<0, или у'= — (х2 (х— 1)2 + (х— 1 )2 + х2)<0,
следовательно, функция убывающая.
Вариант 3	К-9
о ,	2(х+3)	Q
2. у =-------4—; х=—3 — точка максимума,
//тах = //( —3)= 27 . у" = —, х=—4 —точка перегиба.
График изображен на рисунке 54. 3. 40, 80, 60.
о /	2х
• У —	(х2-!)2
'/тах = //(0) = 0. у
Вариант 4
; х=0 — точка максимума,
//__ 6^ + 2
(х2-!)3 
К-9
248
График изображен на рисунке 55. 3. 2 л/1Г, 2д/2~.
Вариант 5	К-9
х /х_2)
2. У'= . _ 2 ; х=0 —точка максимума, ymiX = y (0) = 0; х=2 —
(X 1)
точка минимума, ymin = у (2) = 4. у" = ——7. 3. — 4.
Вариант 6	К-9
__ |2)	r~
2. у'= ^_4yj '» х=—2 уЗ —точка максимума,
Ут^ = У (— 2Д/3^)= —-3 ~\/3; х=2У/3—точка минимума.
ут,п = у(2^) = 3л/3. у"=~£^} •
3. 5; 18,75.
Вариант 1	С-11
1.	Рассмотрим функцию /(х) —х7. Имеем: f' (х) = 7х6, /"(х) = 42х5,
/" (х)>0 при х>0, т. е. выпуклость графика функции направлена
вниз; следовательно,
₽ /a + b\^f(a) + f(b)	/а + Ь\1а7 + Ь7	- Л
---2---’ т- е- \ Т~) ^ля а>0, b>Q-
2.	(Л>_1у = (л»)« + б(^(-±)+|5(лг)<(-1)2 +
+2o(^(_±)*+,5(I.)!(_iy+^(_i)‘+(-iy=
= х,2-6х9+ 15х6 — 20х3+ 15-6х-3 + х~6.
3.	Данное выражение можно представить в виде: ((3 — 2х)Ч-2х)4 =
= 34 = 81.
249
Вариант 2
С-11
1.	Рассмотрим функцию f(x) = x5. Имеем: /'(х) = 5х4, f" (х) = 20х3,
f" (х)>0 при х>0, т. е. выпуклость графика функции направлена
вниз; следовательно,
/xt + x2\	f(xt) + f(x2)
'\ 2	2
Положив Xi = a, х2 = 3, получим:
'« + 3\5<- а5+ 243
. 2 Р 2
2.	(а2-а-у=^2)7 + 7(а2)6(-в-,)+21 (а2)5 (— а“1 )2 4-
4-35 (а2)4 (— а-1)3 4-35 (а2)3 (- а"1)4 4-21 (а2)2 (-а~')5 +
4-7(а2)( — а_|)6-|-( — а_1)7 = а14 — 7а1|-|-21а8 — 35а5-|-35а2 —
-21а-' + 7а-*-а~7.
3.	Данное выражение можно представить в виде: (2х — 1 —2х)4= 1.
Вариант 3	С-11
2. &|2 + 669+ 15Z>6+20/>3+ 15 + 6/>-3+/>-6.
3. (2 —3х+3х)4=16.
Вариант 4	С-11
2. а214-7а164-21ан + 35а6 + 35а + 21а-4 + 7а-9-Ьа-14.
3. (2x4-1 —2х)5=1.
Вариант 5	С-11
2. 128а7 - 448а5 4- 672а3 - 560а 4- 280а “1 - 84а ~3 4-14а ~5 - а ~7
3. (Зх—1 — Зх)4= 1.
Вариант 6	С-11
2. х-18 - 12х~13 4- 60х-8 — 160х~3 4- 240Х2 - 192х7 4- 64х12.
3. (4х—3 —4х)4 = 81.
Вариант 1	К-10
1. sina=—ctga=—2.	3. a) f (0) = 5, f(7n)=l—^=,
f (— 12л)= -5.
б) /(x4-8n) = sin-|-(x4-8n)4-5 cos (х4-8л) = sin 0-х 4- 12л ^4-
4-5 cos 0 x-|-6n^ = sin х-|-5 cos j x=f (х).
\ гр 2Л 4л гр 2л 8л гр л Л гр Z-J Л m Z-J л 8л
в^'=^=-’ Г2=у=-; г'=4-з- Г2=8,3’ г=8-з=--
2	4
4.	Функция нечетная.
5.	sin х(2 sin2 % + 3 sin х —2) —0
sin х = 0,
1
sin х = —, -о
sin х= —2
sin х = 0,
1
sin Х=“
х=ли,
х=~ + 2ли,
о
х=-^--|-2лп, n£Z.
О
250
Рис. 56	Рис. 57
6.	Д=^1, (0 = 2, Г = л;, ф = у. График функции изображен на рисун-
ке 56.
7.	Преобразуем левую часть неравенства:
sin3 а (1 +ctg a) + cos3 а (1 + tg а) =
= sin2 a (sin a-|-cos a)-|-cos2 a (sin a + cos a) =
= sin a + cos a <2.
Преобразуем правую часть неравенства:
Следовательно, неравенство верное.
Вариант 2	К-10
1. cosa=— tga=—2. 2 ctg2 а.
10	о
3.	а) /(0)=5, f(y)=3^=±. f(^)=-4.
б)	f (x-|-3ji) = sin 2 (х-|-Зл) + 5 cos 4 (x+3n) = sin 2х+5 cos 4х=
= f(x).
в)	Тх = я, т2=^, Т = л.
4.	Функция четная.
5.	cos х(2 cos2 х + 5 cos х —3) = 0 о
cos х = 0,
1
cos Х = ~2 ’
cos х= —3
Х = у + лл,
х=±4“Ь2лп, n£Z.
О
6.	Преобразуем правую часть равенства, получим:
у = 2 sin (2х+-у^;
5л
тогда А=2, <0 = 2, 7’ = л, (р=^~. График функции изображен на
«3
рисунке 57.
251
1—	cos2 х ,	1— sin2 х I	1	1
------------1-----------i —------------> — , так как
sinx+cosx cosx+sinx| |sin x + cos x|
Вариант 3
К-Ю
1.	sin а= -, ctg а=^-. 2.0. 3. а)Н0)=5,/(8л)=5,/(-^)=
= —2,5; в) Т=4л. 4. Функция нечетная.
5.	л,п, —+	-у-4-2шг, ngZ.
6.	у = 2 sin (2*+^). 4=2, о) = 2. Г = л, ф=-^.
7.	Преобразуем левую часть неравенства, получим: sinxcosx<l.
Преобразуем правую часть неравенства, получим: ~
Следовательно, неравенство верное.
Вариант 4
1. cosa=----^L, tga = ~. 2. sin2 a.
\/5	&	2
К-10
5 Л/З
—1— ; в) Г = л. 4. Функция
з. а)Ц^=0, f =	=
четная. 5. у+лл, ±-у--Ь2ли, n£Z.
6.	у = 2 sin ^2х+-^У Л =2, о) = 2, Т — я, <р=-у-.
7.	После упрощения левой части неравенства получим:
4 cos2 a sin2 а = 4 cos2 а (1 — cos2 а) = 4 cos2 а — 4 cos3 4 а =
К-10
Вариант 5
ii । -\ Ft	i л i
1.	|cosa|=\/l--—— =—
V a 4-ft "\ja2+b2
Так как a<0, то a принадлежит III или IV четверти. Если а при-
надлежит III четверти, то
cosa=---r—— , tga=—i^-, ctga=——, seca =
lftl 6_____ a
У/^+Ь2	\a2+b2
= ——nA—, cosec a=——1—.
\b]	a
Если a принадлежит IV четверти, то cosa=^==L=,
4 a .	|b| Va2 + ^2	Vfl2 + ^2
tga = ^|-, ctSa = — ’ seca= N- , cosec a = -^-J...
3. а) /(0)=1,	в> Т==п-
4. х=^1, следовательно, область определения функции несиммет-
252
рична относительно нуля. Функция не является четной и не явля-
ется нечетной.
5. у+лп, ±у+2лп, 2лп, n£Z.
Вариант 6	К-10
.	.	а1 2 *—1	.	.	а2—1
1.	ctga=^-( Icosa^p^p
Так как а< — 1, то а принадлежит либо II, либо IV четверти. Если
jt j	а?— 1	.	2д т-7
а принадлежит IV четверти, то cos а=-5-, sin а = —^—- . Если а
а + I	а 4" I
т j	1 — а2	— 2а
принадлежит II четверти, то cosa =-г, sina = -2—.
1 + а	а + 1
3.	а) /(0)=-3, /(5л)=4~^ , /( —10л)=0; в) 7"=8л.
4.	Функция нечетная. 5. ял, ±-^4-лл, n£Z.
Вариант 1
С-12
Возможен и другой способ решения:
~	. sin 2a cos a sin 2a cos a —cos 2a sin a ,
— cos 2a H-------=--------------------= 1.
sin a	sin a
o 1 . c । Д/З к 1
2.	“ sin 5x+-^- cos 5x—у ,
• r~	л ।	p • л 1	.
sin 5% cos—4-cos 5x sin —, sin
о	о
5x+t=£+2jvi’
<3 о
5хН“=^?--|-2л/1, n£Z',
о О
2 ’
л . 2лп
х=~зо+— 
х=7о+—- rt€Z-
3.	f (х) = 1 — 8 sin2 х cos2 х= 1 — 2 sin2 2x=cos 4x, T=y.
4. Л =
1 о 2 ®
r2cos 2
2
cos 2 •
1 Clf\ IYC1IY JI W	IV 2	2	* v* ж *	•
jCOSy ="^sin2 j . Далее, так как л<а<2л, то
-г<“г<-тг • Получаем ,4 = sin —.
4	4	2 J	4
253
Вариант 2
С-12
1. sin 2а tg a-hcos 2а = 1.
2 а	а
COS — =COS — .
4	4
Вариант 3
1. 1. 2.	n£Z. 3. л.
4 о
Вариант 4
4	1 л ।	л । 2л z" ^7 о
’• L * 2- Io+-n’ -5+-"’ rt6Z- 3- 2-
Вариант 5
L L 2- "б+т"’ Io+-n- neZ- 3- 2-
Вариант 6
1. 1. 2. -^-Н-лл, n£Z. 3. л.
О
Вариант 1
»=
С-12
С-12
С-12
С-12
К-П
(1-f-tg а) sin
1. ---------------
1— tg а	\4	/	\4	/	\4	/
2. Воспользуемся формулой sin 2а =	♦
-Г	♦	1 лЛГ I -о 2(V2-1)
Так как tga=—=— = Д/2 —1, то sin 2a=------=----- =
д/2+1	1+(W-D2
Л/2-l	1 о	1—tg2a	1-(д/2"-1)2	1	, о
=—---= =—т= , cos 2a =--=7—=----—Ч, —-7= , tg 2a
2—у2 У2	l+tg2a	1-|_(д/2—I)2	\2
3.
а . Зх . х а . Зх Зх
2 sin — sin -2=2 sin — cos — ,
. Зх / . x . /л . Зх\\ А
sin-^-^sin g- — sin	-I-—^ = 0,
254
Зх /л .	\ . /л . х\ Л
sin — cos (7 + *) Sin (j+-J = O;
•	Зх	л	2 л
sin—= 0,	х=—и,
~	о
COS 4-х) = О, X = v4-Jtn,
у 4	/	4
5*п(т+|) = 0;	х=-^ + 2лп, nEZ.
Ответ: уп, уЧ-ли, —уЧ-2лл, nEZ.
4. Преобразуем левую часть равенства:
1 л • 7по 1—4 sin 70° sin 10°	1 — 2 (cos 60° —cos 80°)
	4 Sin 70 =	=-i	----- =
sin 10°------------------------------------------------sin 10°-sin 10°
__2 cos 80°_g
sin 10°
5. Угловой коэффициент асимптоты k{ = lim —=1. Найдем угло-
X-^ 00 *
вой коэффициент касательной:
, ,х} = (Зх2-4х)(х2+1)-2х(х3-2? + 3)
k2=y' (\)= — 1,5, tgy^l 'Y^5-1 |=5,
Ф«78° 41', где ф— угол между асимптотой и касательной.
6.	1+2 cos 2а + 2 cos 4а + 2 cos 6а =
__sin а + 2 sin а cos 2а 4-2 sin а cos 4а + 2 sin а cos 6а
sin а
sin а + sin За —sin a + sin 5а —sin За+sin 7a —sin 5a sin 7a
sin a	sin a
Вариант 2	К-11
1	л /о <> 204 Q л * 2лп л I л	л 1	z** *7
L V2 - 2- 325 • 3. 3+—. 2+2™’ 4+lWl’ "eZ-
Вариант 3
2.	tg a= — (1 Ч-Д/^Г), sin2a=— , cos2a=— , tg2a=l.
3.	—, -7Ч-л«. ё+— ’
6. Воспользуемся формулой tga — tg р= sin . Имеем:
cos a cos В
tg2x-tgx=———,
cos 2х cos х
tg3x —tg2x=----—----,
cos Зх cos 2x
K-ll
, ,n , n	Sin X
tg 1 Ox—tg 9x=-------------
cos Юх cos 9x
255
Складывая почленно, получим:
tg 10х—tg x=sin х
cos 2х cos х
cos lOx cos 9x
откуда находим:
1	*	_tglOx —tgx__	2 sin 9x
cos 2x cos x	cos lOx cos 9x sin x sin 2x cos lOx
Вариант 4	K-l 1
2. cos(2a-₽)= —3. т+лп, T+—, j+—. «6Х.
4. —0,5. 5. Прямые параллельны, угол q> = 0.
6. Воспользуемся формулой ctg a —tg а = 2 ctg 2а, или 2ctg2a +
4-tga = ctga. Имеем:
8 ctg 24а-|-4 tg 12а-|-2 tg 6а 4- tg За =
= 4 (£ ctg 24a-|-tg 12a)+2 tg 6a-}-tg 3a =
= 4 ctg 12a+ 2 tg 6a-|-tg 3a =
= 2 (2 ctg 12a 4-tg 6a)4-tg 3a = 2 ctg 6a-|-tg 3a = ctg 3a.
	Вариант 5	K-l 1
2.	123 п 2jtzi	1 о	/** *7 •хзт. з.	л-|-2лп, n£Z. о4о	о Вариант 6	K-11
2. 3.	sin 2a=—б-’ cos2a=—, tg2a =	7	. -у-(3/г±1), л(2«4-1), n£Z- Вариант 1 • 2 sin ——	C-13
1.	..	2 sin Зх cos х — 2 sin Зх	2 (cos х— 1)	..	2 lim	5	= lim —	5		 = — lim z = X.+ 0	л sin 3x	x->o	xr	x->o py	-1.
2.	=	//'(х)=4 sin 2xcos 2х=2 sin 4х; у' ние касательной: и —	. *	*	। 4	g		Уравне-
о \ с/z \	— 4 cos x (2 — 3 cos x) — 3 sin x (1 — 4 sin x)	4 4
3. a) f'(y)=------------——-------3------------ , Л(л)=т;
(2 — 3 cos xf	a
6) g'(*) = sin (Зх-I-l)4-x-3 cos (3x4-1)--. f .
sin2 (3x+ 1)
Если x= 2 , to 3x-|-l=y. Следовательно, g' (я~2) = sin y-f-
+T3cos7—7T=-5-
Sin 2
4. Областью определения данной функции является множество
действительных чисел, не равных где n£Z. Преобразуем пра-
вую часть равенства:
256
лЛ----~	, (1 — tg х) (1-|-tg х)
l-tgf-l+x)	(l-tgx)(l+ctgx)
= I cos x| tg X.
Если из графика функции
sin х при — ^+2лп<х<-^ + 2лп,
/(Х)=	2 23п
— sin х при g-4-2nn<x<-^—|-2лп
исключить точки с абсциссами х=^п, где n£Z, то получим график
данной функции (рис. 58).
Вариант 2	С-13
i. -9. 2. (, = 1уз+|-^,. 3. а) /'(»)--0,5;
б)г'(^)------7.
4. Областью определения функции является множество действи-
тельных чисел, не равных и -g-(4^ + 3), где k£Z. Преобразуем пра-
вую часть равенства:
л Л ~ ctg 2х(14-tg 2х)	.	. ctg 2х+1	.	.
yl — sin2 x —-—4——~= cos x —-——= cos x .
l+tg(|-2x)	‘+«‘g2x
Если из графика функции /(х)= |cos х| исключить точки с абсцисса-
ми и -|-(4fc-|-3), где k£Z, то получим график данной функции
(рис. 59).
Вариант 3	С-13
2. у=\. 4. Исключив из графика функции
9 Заказ 134
257
__ sin x при — j-|-2nn<x<y+2nn,
— sin x при у-|-2шг<х<-у- + 2л/г, n£Z
точки с абсциссами -у-, n£Z, получим график данной функции
(рис. 60).
Вариант 4	С-13
л/sT
у=Х.
4. Графиком данной функции будет график функции
— 1 при 2лп< х<л + 2ли,
1 при —л 4~2лп<х<2лп, n£Z,
если исключить из него точки с абсциссами уп, где n£Z (рис. 61).
Вариант 5	С-13
1. -6,25. 2. у = 2.
Вариант 6	С-13
1. 0. 2. 1/=-6х+^+2.
Вариант 1	К-12
1.	Заменим cos2(5x-|-3) на 1—sin2(5х-|-3), получим уравнение
3 sin2 (5х+3) — 2 sin (5x4-3)4-0,25 = 0, откуда
sin (5x4-3)=j,
sin (5x4-3)=-^;
„__Z | \Л	3 I ЯП
x~'	30	5
-1) .-arcsmn£Z.
258
2.	cos	—4x+2^ = cos (л — Зх—5) -<=>y — 4x4-2 = ±(л — Зх—5)4-
4* 2ля, nfZ.
Ответ: 7 —у4-2ля,	у+-^-, n£Z.
3.	Преобразуем левую часть равенства, используя формулу
. 9	1 — cos 2а
sin а=---------, получим:
1— cos 2х	(	1— cos 4х	(	1— cos	6х о
2	1	2	’	2
2 cos2 х-\-2 cos 5xcos х = 0, cos x(cos x-j-cos 5x) = 0;
л, ,
х = у + ли,
[COSX=0,	x — ~ I nn
cos x=cos (л —5x),	6	3 ’
x==y+^-’
Так как	c{£4"t то уравнение имеет корни:
I ) L® м | z
Л . ЛЯ Л . ЛЯ	„
t+V ё + -’ W n^Z-
4.	Перепишем данное уравнение в виде:
a sin 5x4-2 y]ab-\-b2 cos 5х= —2 (а-\-2Ь).
Разделим обе части уравнения на d, где
d = y/a2-\-(2 ~\lab-\-b2)2 = « + 26>0,
получим:
а . . . 2ylab^b2 - о
—--г sin 5x4------гхг— COS 5х= — 2,
а -\-2Ь	а-\-2Ь
sin (5х-|-ф)=—2, где ф = arccos *
Уравнение решений не имеет.
|+7
5.	tg (а -|- Р) =--—= — 1. Так как л<а + р<2л, то а + р=-^-.
|-’з‘7
6.	Воспользуемся формулой cos а =---------, получим уравнение
cos 2x + cos 4x + cos бх-j-cos 8х= —0,5.
Умножим обе части уравнения на 2 sin х:
2 sin х cos 2x4-2 sin х cos 4x4-2 sin x cos 6x4-2 sin x cos 8x= —sin x.
259
Заменим произведение тригонометрических функций суммой:
sin Зх—sin x + sin 5х —sin Зх-j-sin 7х —sin 5x-|-sin 9х —
— sin 7x-hsin x = 0,
откуда sin9x=0, x=-^-, ngZ.
Так как числа х = л&, k£Z (корни уравнения sin х = 0), не являются
корнями исходного уравнения, то необходимо исключить из значе-
ний п числа, кратные 9.
Ответ:	, n£Z,	k^Z.
Вариант 2	К-12
।	. зх 5 . 2лм 1	15. 2л/1	_ /v
’• ±9-3+—’ ±загсс05б-з+— ’ neZ-
2.	Решим уравнение:
tg(4x+3) = ctg(х+5), tg(4x+3) = tg(y — х—5) ,
4х+3=^- —х —5 +лп, ngZ; х—1,6+-^-, n£Z.
2	1U	5
3.	cos 4х 2 cos 5х cos 4х = О,
cos 4х (1 + 2 cos 5х) = 0;
_________________л . лл
cos4x = 0,	х = ~8 ' Т ’
cos 5х= -1, х== ± 2^_|_	, n^z.
4.	Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо выполне-
ние условия: sin x=sin 2x=sin 3x = sin 4x=sin 5x= 1, но если
sinx=l, то sin2x = 0. Следовательно, уравнение решений не
имеет.
>2-1
5.	tg(a —Р) = —- -1. = 1. Так как л<а<—л, —	— Р<
1+-.1 2 2
,3 4
__ п	Зл	о л	о Зл
< — 2л, то ——<а —р<—— и а —р=—— .
6.	(sin 2х—cos 4х)2-|-2 (sin 2х—cos 4х) —3 = 0,
. ViT-i
arcsin ---
х = (-1)"-----+ n£z.
Вариант 3	К-12
1	I	I I I	1 (	1 \  1 I Л/2	— /v
L ±72 + 4+^’ ±4 (Я-arCC0S б)+4+-Т ’ n6Z‘
2	. ^ + 3 + 2лп, -A+l+2^ nez
260
_ Л । ЗТП JT । JT/2 — rj
3	- Т+Т’ б+“’ "CZ-
5.	. 6.	, n£Z, n=/=9&, k£Z. Указание. Умножить обе части
уравнения на 2sin-^.
Вариант 4	К-12
л /	1 \k	1	। л& 1 /	। \Ь	•	1 i Jik 1 t n	*
L (-1) 30-5+-’ б*-1) arCS,nK+--5’ k^Z-
2- 18 + 9+V’ ”eZ- X (-1) ЗО+-’ в+-’ "tZ-
5.	6.	(-ly+'A+^L, n^Z.
Вариант 5	К-12
1. (-1)*-^--2+jfc, (-!)*+'• arcs^n 0,1 +-y— 2, KZ.
2. 1,6—£- + nfc, k£Z. 3. £+4. ±^-+2nk, k£Z.
Iv	О О	<5
к	I 2nzi JTZl z । \ fi _L | Л । JlZl _»
5. -• 6. -e+—,	(-i)	-18+-, nez.
Вариант 6	К-12
1. ±j+nn-0,5, n£Z. 2. -1+^+4, nEZ.
7±д/41—4л+16шг, где n>0, n£Z. 3. j+-y, y+^p. n£Z.
5.	6. neZ, n=A9k, kez.
Вариант 1	C-14
1.	3 sin2 a+ 5 sin a cos a = 0,5 (3 -|- 5 sin 2a —3 cos 2a)<
< 0,5 (3 + Д/34> < 0,5 (3 + 5,83) < 4,45.
0,5(3-У34)<УГ7 <4,2<0,5(3 + У34).
Ответ: а) Не может; б) может.
2.	13 sin 0^ + 4х) cos ^4х—-у-) = 6,5 (sin (вх—-^-) + sin .
max у = 6,б(1+^) при х=^+^-, neZ\
nun z/ = 6,5(^—1+-YJ при Х=—-Р—, n£Z.
Множество значений функции: ^(д/2^—2); -y-(V^ + 2)j .
3.	2 —J—2 cos2 х — 1 <3 cos х<^>2 cos2 х—3 cos х+ 1 <<0-ф>
о —<cos х< 1.
Ответ: —-^-|-2л&<:х<2л&,	+ k£Z.
«5	о
261
Вариант 2	С-14
1. sin20 2x5^ sin2 2х, равенство достигается при 2х = ли или 2х =
= -^- + лп, n£Z; cos40 2x^cos2 2х, равенство достигается при
2х—^-\-яп или 2х = ли, n£Z. Сложив почленно неравенства, полу-
чим: sin20 2x + cos40 2x^sin22x+cos22x= 1. Равенство достигается
Л& 1 п
при х = — »
3. tgx+-^->3«
tg х
tg2 х—3 tg r-I-2
tg x
0<tg X<_ 1,
tgx>2
ли<х<-^-4"я/г,
4
arctg 2 + ли<х< — + ли, n£Z.
Вариант 3	С-14
1. Равенство достигается при а = 0,5 arccos 0,8 +ли, n£Z. 2. а) Мо-
gr \	г»	л		Л	।	л । л ।
жет;	б)	не может.	3.	—г + ли<х<	— — + ли,	— + ли<х<+ +
'	4	6	6	4
+ ли, n£Z.
Вариант 4	С-14
1. х = -^- + лп, х = 2ли, ngZ. 2. z/ < Д/7,469. 3. arctg-^ + ли^
^х<“ + лп, n£Z.
Вариант 5	С-14
1. Равенство достигается при |а| = 1, а = -^- + ^-, n£Z.
О Л X
3. 2лп<х<-^- + 2лп, ^- + 2лп<х<л + 2ли, n£Z.
о	о
Вариант 6	С-14
1. Равенство достигается при а = 2шг или а=у4-2лл, n£Z.
2. r/<tg76o. 3. 4+2лп<х<-^- + 2лл, n£Z.
о	<5
Вариант 1	К-13
JT	/	JT /	/ г\	JT
L — — x = t, x= — — t. t^-О при х-+—.
л — 2х	2t л
lim------------- = lim---= 2.
Л nr.c;»	И	arcsin t
262
2. a) sin (2 arcsin—)=	_। ।-----1-----1----1—।—►
/	12\ 7 /	12\	° —	—	—	— Я *
= 2 sin (arcsin—j cos (arcsin-jgj =	8	8	8	8
12 д Г. 144"_ 120 .	Рис- 62
— 2‘ 13 V 1	169 — 169 ’
6) arcsin (sin 5) = arcsin (sin (5 — 2л)) = 5 — 2л, так как —
<5-2л<-£.
3.	Упростив левую часть неравенства, получим: cos(2х—
Используя единичную окружность, имеем:
— -^-4-2лп^2х — ^^-^- + 2лп,
л ।	5л .	_
—+ лл<х<— + ли, n£Z.
4.	Так как arcsin x-j-arccos * = -77, |х| <1, то arccosx=y —
— arcsin х. Тогда исходное неравенство примет вид: arcsin х<
. л	•	.	_ л	1 - Д/F
< — —arcsin х, или arcsin х<т, откуда — 1^х<Цг-.
&	4	2.
5.	Обозначим /(x) = sin Зх—sin 5х. Так как период функции / ра-
вен 2л и функция f нечетная, то достаточно найти решения нера-
венства /(х)>0 на промежутке [0; л].
Уравнение sin Зх — sin5x = 0 имеет на отрезке [0; л] корни: 0,
л Зл 5л 7л
"8 ’ Т’ Т’ Т’ л’
Применив метод интервалов, находим решения неравенства
f(x)>0 на [0; л] (рис. 62):	^<х<-^-, -у-<х<^-.
Теперь учтем нечетность функции f. Решениями неравенства на
/	л	/\	5 л	Зл	7л
(—л; 0] будут: — -<х<0, —-<х<—• —л<х<—- .
Наконец, учитывая периодичность функции /, находим все решения
неравенства.
Ответ: -^ + 2ли<х<-^ + 2ли, -^• + 2л/г<х<^- + 2ли, — v +
о	о	о	о	о
-	|-2лп<х<2лп,	— 4г + 2ли<х< — -^--|-2лп,	— л 4-2л/г< х<
о	о
<	—-^- + 2лп, n£Z.
О
Вариант 2
К-13
<	..	sin (arcsin 2х) arctg 2х ..	/2
1. lim-------i-;-------------— = lim (--------г
(x^ — x) arcsin 3x
arctg 2x 3x	_ _ J 1
arcsin 3x3/	3
263
+ - + —
----1-----------h--------1-----1	1	►
0	st	Я 2Я-Jt-x
5	3 5	2
2. a) cos
Q •	7 '
2 arcsin —
.	98 _ 527 .
625 — 625 ’
Рис. 63
6) arccos (cos 4)= arccos (cos (2л—4))=2л — 4, так как 2л —4£[0; л].
3.	-2-4-л/i^xsCл-|-лл, nfZ.
О
4.	Так как arctg х-|-arcctg х=—, то arcctg х=у—arctg х.
Подставив в данное неравенство у —arctg х вместо arcctg х, полу-
чим arctg х<—, откуда х<1.
5.	Преобразуем левую часть неравенства, получим: cos2x —
— cos 8х<0. Пусть f (x) = cos 2х —cos 8х. Так как функция f четная
и ее период равен л, то достаточно найти решения неравенства
/(х)<0 на промежутке |0;	. Находим корни уравнения
/(х)=0 на [О; у1; 0,-g-, у,-у-.
Применив метод интервалов (рис. 63), находим решения нера-
венства f (х) = 2 sin 5х sin Зх<0 на |0; уj : ‘5<^х<^у» “5"*^
<х^у. Так как функция f четная, то решениями неравенства
/(х)<0 на (—4- °] бУДУт: — 7<х<~V’
Учитывая периодичность функции f (заменив промежуток —
<х< —г- промежутком —<х<-—), находим все решения нера-
D	2	Э /
венства.
О	л ।	л । 2л >	Зл ।
твет: —+ ли<х<—+ли, — -Ьли<х< ——|-шг,
Э	О	э	о
Л |	Л .	Z- *7
——4-л/г<х< — — 4-лп, n£Z.
О	э
Вариант 3	К-13
1. 1|. 2. a)	б) 0,5. 3. -^+лп^х^ + пп, n£Z.
4. -^у-<х<1. 5. — у-4-2лп^х<-^-4-2л/1, -^•4-2лп<х<
^^4-2лл, n£Z.
Вариант 4	К-13
1. 10. 2. а) §!; б) 6-я. 3. -§- +л/г^ х<-^-4-лп, n£Z.
264
4. 1<х<3. 5. лл<х<-^--|-лп,	лп<х^-=^-|-лп, n£Z.
о	2	«3
Вариант 5	К-13
1.	2. а) б) 6 —2л. 3.	+	n<x<|+^п, n^Z.
4. 1<х<2, 2,5<х<3,5.
5. ттяп<х<--\- яп, —+лп<х< —4-ли, n£Z.
О	2	2	О
Вариант 6	К-13
1.	0,4. 2. а) б) 2л-5. 3. |-|-лл<х<-^-|-лл, n£Z.
4. х>~. 5. -^-+2лп^х<:-^-+2лп, n£Z.
о о	о
Вариант 1
К-14
1 2	9~^<о	х3-3х + 2<0	(х-1)2(х + 2)<0
X 3x4-1	х(Зх4-1)	Х(3х-Ь1)
Ответ: х^—2, —-|-<х<:0, х=1.
о
2.	Функция определена при любом х=/= — 2.
£, z х _(х+3)(х+1)
' 1 }	(х + 2)2
Критические точки функции: х= — 3, х= —1 (рис. 64); х= —3 —
точка минимума, /min = /( —3) = 6; х= — 1—точка максимума,
/тах = /( — 1) = 2. Функция возрастает на [ — 3; —2) и на ( — 2; — 1],
функция убывает на (— оо; —3] и на [—1; + °°)-
3_^2
Найдем асимптоты графика функции. Так как lim —— =оо,
то прямая х=—2 является вертикальной асимптотой. Найдем на-
клонную асимптоту:
, j. 3 —%2	« 1 1. /3 —х2 . \ о
k= lim —— = — 1, ft = lim (——4-х) = 2.
Прямая у = 2 — х является наклонной асимптотой. График функции
изображен на рисунке 65.
Г -	
f ^4 ^-2	*
Рис. 64
265
3.	х3+8х+24 = х3Н-2х2—2х2—4х+12х+
Ч-24 = (х+2)(х2-2х4-12).
4.	При п=\ имеем: 10 + 45—1=54,
54:27 = 2. Докажем, что из справедли-
вости утверждения для n = k, где k£N,
следует справедливость утверждения для
n = k-\- 1.
Ю*+1 + 45(6+1)—1 =
= 10 (10* + 456 — 1) - 4056 + 54.
Так как 10(10^ + 456—1) кратно 27 (по
допущению), а (4056):27= 156 и 54 крат-
но 27, то 1 О*-1-1 + 45 (6 + 1) — 1 кратно 27.
Вариант 2
(х_|_2)2 (х — 4)
1. После преобразований получим: -----------^0.
Ответ: — 1<х^4, х= — 2.
2. £)(/) = /?; f(x) = O при х = 0, х=3.
/'(х)=Ц(х-3)2(3-4х).
3	3
Критические точки функции: —, 3 (рис. 66); х——— точка макси-
r с /3\ о 51
мума, /тах = /у = 3 —.
Функция возрастает на I — °°;	, убывает на —; 4-оо1.
Г(х) = |(3-х)(2х-3), Г(х) = 0
при х= 1,5, х = 3.
График функции выпуклый вверх на (—оо; 1,5], [3; +оо), вы-
пуклый вниз (вогнутый) на [1,5; 3] (рис. 67), х= 1,5 и х = 3 — точки
перегиба. График функции изображен на рисунке 68.
Г +
4
Рис. 66
г -	*
---------1--------1------
f X—X 1,5	з \
Рис. 67
266
справедливость утверждения
4. При и = 4 имеем 24= 16, а
4! = 24, т. е. утверждение спра-
ведливо. Докажем, что из спра-
ведливости утверждения при
n = k, где k£N и fe^4, следует
при n — Имеем:
2*+I = 2-2/е< 2-А>! <(£ Д- 1 )-£!=(£-}- 1)!.
5. 3 sin2 х—2 д/3* sin х cos x-j-cos2 х=0, (д/3~ sin х—cos х)2=0; tg х=
х=^-4-лп, ngZ.
о
О	л 7 л
твет: — , — .
о о
Вариант 3	К-14
1. х^—0,5, х=1. 2. График изображен на рисунке 69.
3. х2 —6x4-8 = //. Имеем: (х2 — 6х+9) (х2 — 6x4-8)— 12 = // (у-\- 1) —
-12 = //2 + //-12 = (z/ + 4)(//-3) = (x2-6x+12)(x2-6x+5) =
= (х-1)(х-5)(х2-6х4-12).
Г- Л Л
5- 6’ 2 •
267
Вариант 4
К-14
1. —l<Zx<0, 0<х<у, х=2. 2. График изображен на рисун-
ке 70.
О 1 г л/о" 3±УГз” - л 4л
3. 1±у2, —г~. 5. у, —.
Вариант 5	К-14
1. -6<х<0, х=3, х>6. 3. х1 = х2=1, х3 = 2,5. 5.	.
Вариант 6	К-14
1. х=—0,5, — 4-<х<0, 0<х<1. 3. 3±д/5. 5.	.
3	’	4	12
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ
И КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ДЛЯ XI КЛАССА
Вариант 1	С-1
1.	а) —^^-dx=A(4x 3—12х 24~9х 2)tZx —
J X	J
—-+с.
X
2	8
х2 гл/7
л Ху*
б) Преобразуем подынтегральную функцию:
/sin 2x —2 sin2 x\2	/2 sin x cos x — 2 sin2 x\2 л . 2	2	• 2n
(------------) =(-------------------) = 4 sin x cos x = sin 2x.
\	1 — tg x /	\	1 — tg x /
Тогда имеем:
sin2 2xdx={ -—dx—4- x—4 sin 4x-|-C.
J	j Z	2 о
2.	Докажем, что F' (x) = /(x). Имеем:
F' (x) = 3 + 6 sin 3x cos 3x = 3 + 3 sin 6x = 3 (1 + sin 6x) =
= 3^1 -j-cos	cos2 (у —3x) = f (x).
3.	После упрощения получаем: z/ = sin x |cos x|+cos x |sin x|. Так
как период этой функции равен 2л, то достаточно построить ее гра-
фик на отрезке [0; 2л], а затем, воспользовавшись периодичностью
функции, построить график на всей прямой.
На [0; 2л] имеем:
sin 2х при 0^х<у,
OJT
при —^Х<Л,
//=] Зл
— sin 2х при л^х<—,
0 при 4^<х<2л.
268
График функции показан на рисунке 71.
Функция недифференцируема в точках вида x=^-k, k£Z.
Вариант 2	С-1
2	1_1_2	2	1
1.	а)	—— 3*+4 dx=\(х2 — Зх 2Н-4х 2)dx = f-х2 —6х2—
J х \х	J
__1_
— 8х 2 + С.
б) cos ^2х—cos ^4х + ^-^ dx=
5 (cos (6х +л) + со5 (2х-]-~)) ^х~
if	11
= g- J (—cos 6x—sin 2x) dx= —— sin 6x-|- — cos 2x+ C.
2. F' (x) = 3-|-4 cos 2x-|- cos 4x=34~4 cos 2x-|-2 cos2 2x— 1 =
= 2 (cos 2x-|- 1)2 = 8 cos4 x.
3. Перепишем функцию в виде: у= | sin 2х| 4- sin 2х. Учитывая, что
период этой функции равен л, строим ее график на отрезке [0; л].
Имеем:
2 sin 2х при 0^х<у,
4 = Л
0 при —^х^л.
Используя периодичность, строим график на всей прямой (рис. 72).
Функция недифференцируема в точках вида х = у/г, k^Z.
Вариант 3	С-1
1. а) 2,5 tgx—3,5х-|-С; б) arcsin х—2"\/1—х2-|-С.
3. Рис. 73. Функция дифференцируема на всей числовой прямой
(в точках x=^+nk, k£Z, производная равна нулю).
Вариант 4	С-1
1. а) х3 — у х2 — ^-4- С; б) sin 7х — -^ cos Зх-)-С.
269
Рис. 74
3. Рис. 74.
k£Z.
Функция недифференцируема
в точках x = ~4-—fe,
Вариант 5
С-1
1. a)	arctg x-j- С; б) — 2 ctg 2х — 4х+ С.
Вариант 6	С-1
1.	а) -2,5 ctg х-Зх+ С; б) 0,1 (2х+1)25-|(2х+1)15 + С.
Вариант 1
К-1
1.	Разделяя переменные, получаем: ^ — xdx.
(Так как у (1 )= — 2=И=0, то функция у (х) = 0 не является решением
уравнения.) Интегрируя, имеем: —у = 0,5х2-рС. Найдем теперь
такое значение для С, чтобы выполнялось условие z/(l)=—2.
Имеем: —-L. = l-pC, откуда С = 0. Таким образом, получаем
—- = О^х2, т. е. у=—Ответ: у=—
2.	Согласно второму закону Ньютона mx" = F. В нашем случае
/и=1, F = 8—12/. Следовательно, требуется решить уравнение
х" = 8—12/. Имеем: х' = 8/ —6/2 + Cj, х = 4/2 —2/34-С2;
х(0) = С2 —0, t>(0) = C1 = 1, поэтому х(/) = 4/2 —2/3 +/. Скорость
2
максимальная, если V' (/) = 8 — 12/ = 0, откуда t = —(c).
Ответ: х(/) = 4/2 — 2/3-|-/, /=-|(с).
3.	Общим решением дифференциального уравнения у"-[-9у = 0
является функция f (х)= С?! cos Зх+ С2 sin Зх. Найдем производ-
ную: (х)= —3Cj sin Зх-|-ЗС2 cos Зх. Так как /(0) = 3, /'(0) = 9,
то С1 = С2=3. Искомая функция имеет вид: f (х) = Зд/2” sin ^Зх-j-y) .
Критические точки функции: х = -^- + ^-, n£Z. Отрезку -^7 J тг
1^0	L ® J
принадлежит только точка . Находим: f = 3 д/2", /(-0 = 3.
Ответ: 3.
270
Рис. 75
' 7	( 1—cosx при х>0.
График первообразной изображен
на рисунке 75.
Вариант 2	К-1
1.	Разделим переменные: y~3dy = x~2dx. Интегрируя, имеем:
—-^2=С. Учитывая условие у (1 ) — ^= , находим С = 0. Сле-
довательно, z/2 = 0,5x. Условию у(1)=-^= удовлетворяет функция
#=д/0,5х. Ответ: #=д/0,5х.
2.	Пусть (х; у) — произвольная точка кривой y — f(x). Угловой ко-
эффициент касательной в точке (х; у) равен у' (х). Угловой коэффи-
циент прямой, перпендикулярной касательной, равен-----------—.
У'(*)
Уравнение этой прямой, проходящей через точку касания, имеет вид:
Y-y(x)=—-L-(X-x).	(1)
У (х)
2
Так как Y = 0 при Х = х + 2, то из (1) получаем: у(х)=-.
у'М
Таким образом, задача свелась к нахождению частного решения
дифференциального уравнения уу' = 2, удовлетворяющего началь-
ному условию z/(0) = 0. Имеем: ydy = 2dx, z/2 = 4x-|-C. Так как кри-
вая должна проходить через начало координат, то и(0) = 0 и, сле-
довательно, С = 0. Уравнение кривой имеет вид: у* = 4х. Ответ:
//2 = 4х.
3.	Решением дифференциального уравнения, удовлетворяющего на-
чальным условиям, является функция у = 2 (cos 4х— sin 4х). Крити-
ческой точкой функции, принадлежащей отрезку ; yj , является
точка = Наибольшего значения функция достигает на пра-
вом конце отрезка:	2. Ответ: —2.
д	f 1+sinx при х<0,
r х+1 при х>0.
График первообразной изображен на рисунке 76.
271
К-1
Вариант 3
1. у = х+^. 2. 0,5/2+1,5/4-2-0,25 sin 2/. 3. -3^2.
4 F(x\=ix при х<1,
' ;	( 0,5 (X2-)- 1) при х>1 (рис. 77).
Вариант 4	К-1
1. У=~~- 2. х2 + 1/2=1. 3. 2д/2.
4. F(х) = |	при х<0>
( 1-|-O,5sin2x при х>0 (рис. 78).
Вариант 5	К-1
I. У=-^- 2.-1’ + 3<+Ю, Z = 3 с. 3. ЗД/2.
4.	F(x)=l tgxnp” —Т<х<0,
( arctg х при х^О.
Вариант 6	К-1
1. у = х-\--^. 2. z/ = x2. 3. 5.
4 с/х) = р+1 ПРИ *<Ь
' '	( 2У/х при х> 1.
Вариант 1	С-2
з.---
1. Решив уравнение лг= у32х, находим абсциссы точек пересече-
ния графиков функций Xi = 0 и х2 = 2.
2	,	/	О	4	\
S = (Д/327-X2) dx=(4д/32х3 -4) 12=31 •
J	х2*	о / I о 3
о	/1 \	1
2.	/'(х)=—2лА sin 2лх,	2, — 2лЛ=—2, Л=— . Из ус-
ловия ^/(x)dx=6 следует, что В = 2. Ответ: Л=—, В = 2.
J	л
о
272
3.	По закону Гука сила сжатия равна F (s) = ks, где s (в метрах) —
величина сжатия пружины, 0^s^0,l. Для нахождения коэффици-
ента k воспользуемся тем, что по условию F (0,01) = 20. Имеем:
20 = 6-0,01, откуда 6 = 2-103^^, и поэтому F (s) = 2- 103s (Н),
0<s<0,l.	i
Вычислим работу по формуле A=^F (s)ds. Имеем:
0,1	2°
А = j 2- 103sds = 2-1034Г‘ = Ю (Дж),
о
Ответ: 10 Дж.
. лг. з Т	J #2=4х—х2—3, _ ( (х—2)2 + «/2= 1,
4.	z/=v4x-x2-3	|;>0.
Следовательно, требуется найти площадь полукруга с центром
Л4(2; 0) радиуса /?=1. Ответ: Д.
Вариант 2
С-2
sin22x=0,	х=0,
<Х<у	Х = у.
Л	Я
V	2
S = j sin2 2xdx=| j (1 - cos 4x) dx =|	sin 4x) |2
о	о
~	Л
Ответ: —.
2.	/'(х) = 2Дх+В. Так как f'(l) = 0, то 2Д + В = 0.	(1)
Так как /(2)-f (2) = 2, то В + С = 2 (2).
1
Условие ^f(x)rfx=-| дает -у+у+С=-| ^)-
о
Решив систему уравнений (1), (2) и (3), находим: Д=-—1,
В = 2, С = 0.
3.	Решив уравнение 6Z —/2 = 0, находим время от начала пути
(/ = 0) до остановки (/ = 6 (с)).
6
s = ((6/-t2)dt = (3t2-4-/3^|в=36 (м).
J	\ о / |о
о
4.	S = 9.
Вариант 3	С-2
1. ^(12-л). 2. Д = 1,5, В=-0,5. 3. 11,25 Дж. 4. 5=Д.
12л v	4
273
Вариант 4	С-2
1.	2,2. 2. Д = ——, В = 1,5. 3. 80 м. 4. S=l.
Л
Вариант 5	С-2
1.	0,25. 2. А = -1, В = 2, С —0. 3. 21,6 Дж. 4. 5 = л.
Вариант 6	С-2
1.	V- 2. Л = —2, В = 3. 3. 3 с. 4. S=10.
4
Вариант 1
К-2
Г 2xdx =	=Vi5’—2Д/3".
j	Ч0.5	v
0,5 v
1
2.	Так как ^(2/3z — t2) dz — (t3z2 — /2z)|^ = /3 — /2, то данное неравен-
о
ство равносильно неравенству /3 —/2^0. Решив последнее неравен-
ство, получим Г / = 0,
[/>1.
Ответ: / = 0,	1.
3.	Пусть /(х) = х —4, g (х) = 0,5х2 — Зх-|-2. Решив уравнение
f(x) = g(x), получим: Xj = 2, х2 = 6. Так как при 2^х^6 разность
/ Iх) —g (*) = — 0,5г2+ 4х — 6= —0,5 (х — 2) (х —6)>0, то на отрез-
ке [2; 6] график функции f расположен не ниже графика функции
g и, следовательно, площадь фигуры равна:
6	6
S = ^ (f (x) — g(x)) dx = ^( — 0,5x2 + 4x —6) dx = 5j.
2	2
4. Любая первообразная данной функции имеет вид:
F (x) = sin 2x + cos х+ С.
Из условия F (л) = — 1 получаем, что С = 0. Таким образом, задача
свелась к решению системы	Л
/ . о ,	л (Г cos х = 0, Js.n2x+cosx=0	|sinx=-0,5, 1 — х  	I л	. Зл (2-^2	[	|<м,5 |<ог$5 |сч II	II	II н	н	н
Вариант 2	С-2
1.	Замечаем, что d (1 +x3) = 3x2dx. Поэтому, сделав подстановку
1 -|-х3 = /, получаем х2 Д/1 -Ь х3 dx —
следовательно,
иугdt' так как 3x2dx = d/,
274
2	_____ 3
Jx2Vl+x3dx = |(l+x3)21* =^.
0
2.	Преобразуем левую часть неравенства:
Неравенство принимает вид: z2 (z-\-2)>Q. Решив его методом ин-
тервалов, получаем z>>—2, Ответ: —2<z<c0, г^>0.
3.	Пусть /(х) = 4 —х2, g (х) = х?~ 6хН-4. Уравнение f(x) = g(x)
имеет два корня: 0 и 3. Разность f (х) — g (х) = 2х(3 — х)^0, если
О^х^З. Следовательно, площадь фигуры равна:
з
S = 2 J(3x-x2)dx=9.
О
4.	/' (x) = sin х — sin 2х,	;-y-j . Так как касательная должна
быть параллельна прямой z/ = 0, то ее угловой коэффициент ра-
вен 0. Абсциссу точки касания найдем, решив систему
' sin х—sin 2х = 0,
 Зл .7л
1 —<х<-.
Ее решением является х0 = —. Найдем значение функции f в точ-
О
5л
ке х0 = —:
° 5я
з
f ( (sin / — sin 2/) dt~ — cos t
\ <5 / J
0 1
Уравнение касательной: y=—
5л
3 +4- cos 2t
о 2
5л
т  1
о	4 *
Вариант 3	K-2
1. arcsin 2. x = -|. 3. 10^. 4. ymax = у = 0.
2	5	3	о	\ 2 /
Вариант 4	K-2
1. 3(2-Д/2). 2. 0<u<l, «>1. 3. 14|. 4. х, = 0, x2=y,
х3 = 2л.
Вариант 5	K-2
I. ^.2. ^-1.3. 2|.4. (,= -« + 4-4-
275
Вариант 6	К-2
1.	2. и<0 и v = 2. 3. 1б|. 4. z/min==i/(£)=£-1.
Вариант 1	С-3
1.	Подкоренное выражение равно (2х—I)2. Следовательно, у =
= |2Х-1Ц-2Х, или
(2x+1 —1 при х>0,
у | 1 при х<0.
График изображен на рисунке 79.
2.	Данное уравнение равносильно уравнению sin2x=j, корнями
которого являются числа х=±-^- + ли, ngZ.
Решив неравенство х2 —8х-]-12^0, получаем 2^х^6. Кор-
нями, удовлетворяющими условию 2<Jx<;6, являются числа:
5л 7л 11л
“б“ * Т ’ “б“ ’
г2— з	г2 —3
3.	а) Так как lim -------= — оо, lim ------— + оо и 7> 1, то
х->- 4-0 х	х-+ —0	*
lim f (х) = 0, lim /(х)=Н-оо,
х->-4-0	х->-—0
£__3	£___з
б) lim ------=4-00, lim -----= — оо, следовательно, lim /(х)=
X-, 4- оо X	X—ОО X	Х-*4-ОО
= 4-оо, lim /(х) = 0.
Ответ: lim/(x)=0, lim/(x)=4°°> lim / (х)= 4-°°, lim f(x)=O.
х-> 4-0	х ——О	х-*-4-°°	х—►—оо
4. Наименьшее значение функции z/ = x2 —2х равно z/(l)= — 1.
Функция (^2^ Убывающая. Следовательно, наибольшее значе-
ние функции у = (^=у~2х равно '=^/2.
276
С-3
Вариант 2
1. Запишем функцию в виде:
( 3 при
| 32х 3 при
График изображен на рисунке 80.
2. Неравенство равносильно системе:
cos2
Исключив из промежутка 1<х<6
л	2л
х<у,
л
з-’ 7
, . 1
COS Х=/= ±2- •
л 2л 4л
числа у, -у, -у,
I 2л _ 4л 4л
з~<х<Т’ -•
5л
-Q-, ПО-
О
5л
лучим
5л
т<х
3. а) Так как М =	=
'	,v ’	2Х+1 — 4х	4‘(2 —2х)	4*(2 — 2х)
= 1—2 , х=#=1, то lim / (х)= —.
4х	4
б) lim f (х)=
6.
-1)=
4. Числа (3 + 2Д/2Г и(3-2д/2)х взаимно обратные, поэтомуу^2.
Очевидно, что у = 2 при х = 0. Следовательно, 2 является наимень-
шим значением функции.
Вариант 3	С-3
График функции изображен на рисунке 81. 2. х{=^-, х2=-~-.
a) lim f (х) = + оо, lim /(х) = 0; б) lim /(х) = 9. 4. 9.
1.
3.
С-3
л
7’
1 .
4 ’
Вариант 4
1. График функции изображен на рисунке 82. 2. — 1<х< —
-7<х<7’ -4<х<— - —<х<3-	3- а) l'm/(x) = T;
б) lim /(х) = 0, lim f(x) = у. 4.
Y —Ь. -X- ГО	Y —Ь-   ГО
277
Вариант 5	С-3
2.	3. lim /(х) = 0, lim f(x)= + оо, lim f(x)=\.
о о	х-^2 + 0	х—2-0	х^±оо
4. у =—Ц-<0,5.
зх+—
зх
Вариант 6	С-3
2. — 2<х<—у, —у<х<у, у<х<—, —<х<3.
3. a) lim f (х)= — 0,5; б) lim /(х)=1, lim /(х)= — оо. 4. 10.
X —0	X —оо	X ——оо
Вариант 1	С-4
1.	Рассмотрим два случая: а) х^О; б) х<0. Согласно определе-
нию модуля в случае а) получаем уравнение 23х = ^-, которое реше-
ний не имеет, так как 23х^1 при х^О, а ~<1.
О
В случае б) уравнение принимает вид 2Х = -^. Его решением яв-
ляется х=—log23<0. Ответ: х= — log23.
2.	Обозначим данное выражение через А. Имеем:
А = (5log5 °’5)-1 + log3	+ log3 (7 + 2 VTO ) =
=2+1оьШШ^=2+1'о8,81=6.
3.	Проведем тождественные преобразования второго слагаемого:
ogs’V9-’12 —6х+1 = log3"\/(3x — I)2 =log3 |Зх— 11 = 1 4-logs| x~||-
Областью определения исходной функции является промежуток
( — оо; —Но при х<— справедливы равенства:
у	О /	О
logl (I ~ *) = “log3 (I “ х)’
3 х
•og3 | X — у |= log3 (у— х).
Следовательно, функция может быть записана в виде:
у = 1 4-2 log3(y — х).
Для построения ее графика перепишем функцию в виде:
z/=14-2 1og3( —(х—у)).
278
Следовательно, график исходной функции может быть получен из
графика функции z/ = log3x в результате следующих преобразо-
ваний:
1) симметрия относительно оси ординат,
2) растяжение от оси абсцисс с коэффициентом 2,
3) параллельный перенос, при котором начало координат 0(0; 0)
переходит в точку

График функции изображен на рисунке 83.
4 log 36^'Og|236—log|2(12'3)= 1+|ogi23_ 1+a
|0В12 4 log12— ~ I —log]23— 1—a
3
Вариант 2	C-4
1.	Рассмотрим два случая: а) х^З; б) х<3.
В случае а) имеем: 23х-3 = 63, т. е. 8х-1 = 63. Но при х^З 8х-1 ^64
и, следовательно, решений нет.
В случае б) уравнение принимает вид 23+х = 63, откуда х =
= log263 — 3. Легко проверить, что условие х<сЗ выполняется.
Ответ: x = log263 —3.
2.	Обозначим данное выражение через А. Имеем:
у|—43 1о^2	log2 (V5_-V2') =
= 4	W-VF =4l°g25==25.
3.	Область определения функции: x>4. Следовательно,
logo,5 (16 — 8x 4- x2) == logo,5 (X—4)2 =
= 2 log0,5 |x — 4| =2 logo,5(x—4),
log2(2x—8)= — log0,52 — logo,5 (x—4)= 1 — log0,5 (x—4).
Таким образом, функция может быть записана в виде: t/=l +
+ logoff* — 4). График функции изображен на рисунке 84.
279
Рис. 85
4.	Замечаем, что 140 = 2^«5«7. Следовательно,
1о	2	2	_________2_______
Ogl4° log3 140	log^-S-?)	2 log3 2 + log3 5 + 10g3 7
__	2	__ 2abc
2.1.1	2bc + ac + ab
a~bc
Вариант 3
C-4
1. x=2 (log3 8—1). 2. 2. 3. График функции y= 14-2 log2 (x—
К	QK А ЗЬ
изображен на рисунке 85. 4.	4.^+1' *
Вариант 4	С-4
1. Решений нет. 2. 7. 3. у = 3 log3(6 — х) — 1. График функции
изображен на рисунке 86. 4. -ц—~у.
Вариант 5	С-4
1. х= - 1 + logo,2 0,03. 2. 25. 4. -—J—j-.
cab
Вариант 6	C-4
1. x=3+12 * l°g^2 . 2. 0,000125. 4. 4тЙт •
7	ab + b+\
Вариант 1	K-3
1. Корнями данного уравнения являются корни уравнения х2 —4 =
= 0, при которых множитель log3 (1 —х2 —Зх) определен, а также
корни уравнения log3(l —х2 —Зх) = 0. Ответ: —3; — 2; 0.
2. Разделим обе части неравенства на 63х-2(63х-2>0 при любом х).
/9\х—2	/9V-2. /9\о
Получим неравенство	>1, т. е.	1 , Равносиль'
ное данному. Так как р>1, то последнее неравенство равносильно
неравенству х —2^0, откуда х^2. Ответ: х^2.
280
3.	Так как log^3= — 2 и x=log22x, то данное уравнение равно-
Т”
сильно следующему:
log2 (2х + 1) + log2 2х = 2 + log2 3.	(1)
Потенцируя в левой и правой частях уравнения (1), получаем урав-
нение
4Х + 2Х=12.	(2)
Ответ: log2 3.
4.	-^ + 2лп<х<у + 2лп, ^ + 2nnCxC^ + 2nnt n£Z.
5.	Уравнение равносильно системе
{cos х>0,
sin 2x=cos2 х.
Ответ: arctg0,5-|-2лп, n£Z.
6.	Имеем:
= Vlog7 8 ' log7 6 <
V 1о£б?
log78 + log76 log7 48
2	“2
<1.
Следовательно, log7 8<log6 7. Возможен другой способ решения:
log78— l = log7y, log6 7 — 1 = log6-g-. Очевидно, log7y<log6-^.
Вариант 2	К-3
1. -1; 1; 3. 2. —^+шг<х<-£ + шг, n£Z. 3. 3,	. 4. -l,5<x<
<— 0,5"\/jr, l,5<x<log23, log23<x^2. 5. -у-4-2лп, n£Z.
6. Имеем:
log,, 72=	= 3 + 2 '°gi 3 ;
log2 24	3 + log23
|0е,г18=-^=‘+21°е‘3
& log2 12	24-10g23
Пусть log23 = / (/> 1).
log24 72-log1218=^
1+2Z	3	о
2 + <	(3 + /)(2 + O
Следовательно, log24 72>log12 18.
Вариант 3	K-3
1. -0,5. 2. x<0, x>l,5. 3. 2. 4. -4 + 2лп<х<-^4-2лл,
z	о
2лиx<C—-J-2ли, n£Z. 5. -г^--|-2лд, -гт--|-2ли, fi£Z.
6. log67<log56.
281
Вариант 4	К-3
1. 1, 2. 2. -1<х<0, х>3. 3.	4. 2_|5<х<2.
5. -^--|-2лп, n£Z. 6. log36>log1872.
Вариант 5	К-3
1. 3. 2. 2п + ±, 2п— 1<х<2п, n£Z. 3. 1. 4. 0<х<^-,
1<х<4. 5. -^--|-2л/г, n£Z. 6. log,01 Кlog9 10.
Вариант 6	К-3
1.	где n6Z, п=#0. 2. х<1,5. 3. 2, 2~'°. 4. -1<х<4.
5. -^+2nn, -^--|-2jui, n£Z. 6. log26>log24648.
£	О
Вариант 1	С-5
1.	а) /'(x) = 2e2x-h2 (2х+1) е2х = 4е2х(х+1); /'(х) = 0 при х= — 1,
(х)<0 при х< — 1, f' (х)>0 при х> —1. На промежутке
(— оо; —1] функция убывает, на промежутке [—1; + оо) возрастает,
х0= — 1—точка минимума.
f" (х) = 4е2х(2х-|-3); /" (х) = 0 при х——1,5, f" (х)<0 при
х< —1,5,	(х)>0 при х> —1,5. График функции обращен вы-
пуклостью вверх на промежутке (— оо; —1,5], выпуклостью вниз
на промежутке [1,5; -j-oo), Xj= —1,5 — точка перегиба.
б) Функция f всюду непрерывна. Поэтому множество ее значе-
ний на любом отрезке есть отрезок [/и; Л4], где ш и М соответствен-
но наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке.
Из пункта а) следует, что наименьшее значение функции на отрез-
ке [ — 2; 0] равно f (— 1) = —е~2. Для нахождения наибольшего зна-
чения сравним /( — 2) и /(0). Имеем: /(— 2)= — Зе-4, /(0)=1.
Следовательно, наибольшее значение функции на [--2; 0] равно 1.
Множество ее значений на [ — 2; 0] есть отрезок [ — е~2; 1].
2.	у' = 2х—^-т=2(2^~х~1^ , х>|; у' = 0 при х= 1. Уравнение
касательной: у = 2.
3.	^(х)=1-рА., где х>0. F(x) = x+ln х+С.
Из условия F(e) = e находим: С== — 1. Следовательно, первооб-
разная имеет вид: F (x) = x-h In х—1.
Уравнение х-]-1пх—1=0, или 1пх=1—х имеет корень
х=1. Других корней это уравнение иметь не может, так как функ-
ция // = 1пх возрастающая, а у—\— х убывающая. Таким об-
разом, кривая у = х-\-\п х— 1 пересекает ось Ох в точке М (1; 0).
282
Вариант 2
С-5
1.
а) Г(х)=ц__а±_
U+ I)2
1+х2
; /' (х) = 0 при х= — 1. При любом
значении х#= —1 производная f' (х)>0. Отсюда следует, что функ-
ция возрастает на всей числовой прямой, точек экстремума нет.
2(x-h1)(x2-hl)-2x(x-hl)2_2(l-hx)(l-x)
1 { ’	(1+х2)2	(1+х2)2	•
Учитывая знаки второй производной, приходим к выводу, что гра-
фик функции обращен выпуклостью вверх на промежутках
(— оо; — 1] и [1; 4- оо) и выпуклостью вниз на [— 1; 1], х}= — 1 и
х2=1—точки перегиба.
б)	Так как функция возрастает на /?, то она возрастает и на
[ — 3; 0]. Следовательно, наибольшее значение ее на этом отрезке
равно /(0) = 0, наименьшее значение равно f ( — 3)= — 3 + In 10.
Множество значений функции /: [ — 34” In 10; 0].
2. у' = — 4хе-2х. Точка х0 = 0, очевидно, есть точка максимума функ-
ции. Уравнение касательной: у=\.
3 С e3c°Sz+2 sin xdx= -И e3cosx+2 d (3 cos x + 2) = -1 e3cosx+2 + C.
J	О J	3
Вариант 3
C-5
1. а) Функция убывает на промежутке ( — оо ; 0] и возрастает на про-
межутке [0; + оо), хо = О — точка минимума. График обращен вы-
пуклостью вниз на всей числовой прямой. Точек перегиба нет.
б) [—; —------1].
[in 2	2 In 2 J
2. у = 8 — 4х. 3. F(x) =
х4-3 при х<0,
ех4-2 при х^0.
Вариант 4
С-5
1. а) (3; 4] — промежуток убывания, [4; 4” оо ) — промежуток возра-
стания, х0 = 4 — точка минимума. График обращен выпуклостью
вниз на всей области определения. Точек перегиба нет.
б) [3 — In 2; 4 —In 4].
2. Зх —2z/4-5 —3 In 2 = 0. 3. F (x) = 0,5e2x4~x — 0,5. Кривая y =
= F(x) проходит через начало координат, других точек пересече-
ния с осью Ох нет.
Вариант 5	С-5
1. а) [—1; 0]—промежуток убывания, (—оо; —1], [0; 4"°°) —
промежутки возрастания; х0= —1—точка максимума, Х| = 0 —
точка минимума. График обращен выпуклостью вверх на про-
межутке ( — оо ; log2 0,75], выпуклостью вниз на [log2 0,75; 4“ 00 ),
x3 = log20,75 — точка перегиба.
б) [--------1---------—
[ In 2 In 2
2. у= —2. 3. 1,5.
283
Вариант 6	С-5
1. а)( — оо; 2] — промежуток возрастания, [2; 3)— промежуток убы-
вания; х0 = 2— точка максимума. График обращен выпуклостью
вверх на всей области определения.-Точки перегиба отсутствуют.
б) [In 3-1; 1].
2. у — е~3. 3. F (х) = 5 — х —; F (х) = 0 при х = 4.
In 4
Вариант 1
К-4
2. Областью определения функции является промежуток (0,5; +°°)-
В любой точке области определения функция имеет производную.
Найдем производную функции f:
Г(х)=
2(2х+1)(х-1) .	1
2х-1	’	^*2 ‘
области определения). Решая систему
По теореме Ферма все точки экстремума должны удовлетворять
уравнению /' (х) = 0, х>^ (так как f (х) имеет производную на всей
(/'(*) = 0,
1 находим: х=1.
2 ’
Так как на промежутке — <Сх<1 производная (х)<0, а
2 л 1	11	С* Z1 j	Cl
на промежутке 1 <x< -j- оо производная
f' (x)>0 и в точке x0= 1 функция непрерыв-
на, то х0=1 является точкой минимума
функции: z/min = /(l) = 1. Используя при-
знак возрастания (убывания) функции, при
ходим к выводу, что на промежутке (—; 1
функция убывает, на промежутке [1; +оо)
возрастает. 3. Из условия следует, что
Разделяя переменные, имеем:
dy__ dx
У ~	'
Интегрируя, получаем: ху = С. По условию
у (2) = ~, значит, С=1. Таким образом, ис-
комой кривой является гипербола, уравне-
ние которой ху = \.
4. Построим графики функций r/ = 23-x, z/ = 4x
284
и z/=16 (рис. 87). Найдем абсциссы точек их пересечения. Имеем:
23-Х=4Х при х=1, 23~х = 16 при х= — 1, 4Х = 16 при х = 2.
Искомая площадь равна: S = SABCD — (SABEF + SFECD). ABCD —
прямоугольник, SABCD = 3-16 = 48. Фигуры ABEF и FECD — криво-
линейные трапеции и, следовательно,
АХ 12
^FECD = \^X	= —-- =“5--
FECD J	2 In 2 11 1П 2
1	11
Таким образом, искомая площадь равна: S = 48-----
In
5. Рассмотрим два случая: a) cosx^O; б) cosx<cO.
В случае а) имеем:
cos х^О,
.	7л
• tgx=-l, о х = ^-.
0^х^2л
В случае б) имеем:
(cos х<0,
tgx=—3, о х = л—-arctg3.
0<х^2л
Ответ: х{=^~, х2 — л — arctg 3.
6. Решив квадратное уравнение относительно 2х, находим:
Г 2* = а-1,
[2Х = 4. Если а*С1, то уравнение 2х=а— 1 решений не имеет
и, следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень
х = 2. Исходное уравнение будет иметь единственное решение и тог-
да, когда а— 1 =4, т. е. при а = 5. Очевидно, что во всех остальных
случаях уравнение будет иметь два различных корня.
Ответ: а^. 1, а = 5.
Вариант 2	К-4
1 гг	1.	1п(14-а)	,
1. Так как lim-------=1, то
а+0 а
limjn(l±tg2x)=|itn tg2± 2
о In (1-|-sin Зх) x-»-osin3x
2 375	25
‘ In 5 ’ In 5 ’
3.	По закону Ньютона имеем: -^- = 6 (Г—10). Разделяя перемен-
ные, получим:	= dt, откуда In (7 — 10) = &/-|- С.
285
Так как 7’(0)=100, то С = 1п90. Из условия Т'(30)==70 на-
ходим, что k——In . Имеем: InfT—10) = 1п90—
□U Л	о U	Л
При Т = 50 получаем: 4''п'| = 'п7’ т- е- ^ = 60.
Ответ: Через 60 мин.
।
4.	S = J (4—|)dx=2 —1п4.
1
7
5.	0, л, 2л, arctg 2, 2л —arctg 2.
6.	Решив квадратное относительно 5х уравнение, находим:
Г 5Х = 2а -6,
[5Х = 2 — а. Очевидно, исходное уравнение не будет иметь ни од-
ного корня, если будут одновременно выполнены условия:
2а — 6^0 и 2 — а^О. Решив полученную систему неравенств, по-
лучим 2^а^3.
Вариант 3	К-4
In х— In —	Г 91
1. е1,5. 2. /' (х) = -—£—Так как функция убывает на 3; —
и возрастает на 4,5^, то наименьшее значение достигается в
9	г /9\	9 /А с . 9	. о\ 9 о	+ 1
точке х0 = — и равно /( — ) = — (0,5 In-In 3)= ——— . 3. s = e
С	У в J Ё \	6	J
/	1 j'+I „	1 т'+' Л о I > 2	е Зл	о
s ——e	, s =тге . 4. S= Н------------. 5. х.=—, х2 = 2л —
3	9	1пЗ	4
,	1	„ Л Л 1	_ 1
-arctg-. 6. 0<а<з и з<а<2-
Вариант 4	К-4
2
1. у. 2. х = 0— точка минимума; при х^0 функция убывает, при
О^хС-^- возрастает. 3. z/ = 2e0,5x2. 4. S = ^(51n3 —4). 5. Xj=-^-,
2	о
х2 — у x3 = arctg 0,5, х4 = л —arctg 0,5.
6. а^1, а^4 и а = 2,5.
Вариант 5	К-4
1. е6. 3. 9 мин. 4. S = 8 — 6 In 3. 5. Xj=y, х2 = л. 6. а=1.
Вариант 6	К-4
1-4-2. minf(x) = /(0)=-^, maxf(x)=7(2)=U4+16.
5	[-1;2]	1п3	(-1,2]	1п3
286
3. у = ех-3. 4. S=12-2 In 3. 5. x, = 0, х2 = л, х3 = 2л, x4=-J,
x5=-y-. 6. a<3, a=/=l.
Вариант 1
1. а) Область определения функции состоит из всех
которых выполнено условие 1—2 sin 3x^0. Решив
7 л . 2лл	л . 2ля _ „
получим: — — ч—— <х<—4—3“ , ^Z.
C-6.
таких х, для
неравенство,
б) /'(х)=-|-(1 — 2 sin Зх)3 (— 6 cos Зх), /Ду) = 8.
2. lim ———= lim --------------------так как lim
х^+оо 6 —3'4-Х8 Х^+оо	X—*--|-с
\2/ ‘Г6Ж
Нт — = 0 и lim — = 0.
Х->- -|-оо 6х	х-> 4- оо 6
3. Функция определена при х>0. Функция дифференцируема на
всей области определения. Найдем производную: у' (х) = х(1 — 2 In х);
у' (х) = 0 при х==у[е.
Так как у' (х)>0 при 0<х<д/Г, / (х)<0 при х>у[е и в точке
х = у[е функция непрерывна, то на промежутке (0; д/ё”] функция
возрастает, а на промежутке [\[е\ + оо) убывает; точка х = у[е яв-
ляется точкой максимума. Вычислим значение функции в точке
пределы функции при х-^4~0 и
Haft-
т. е.
максимума: у(\[е) —
Найдем вторую производную: у" (х)= — (1 +2 In х). Исследуя
функцию с помощью второй производной, приходим к выводу, что
х = —i=- — точка перегиба, так как при 0<х<—у" (х)>0, а при
\е	\е
X>-U у"(х)<0.
\е
Найдем I, „
как	х2 (1 — In х) = х2 — х2 In х, то
дем lim (хЧпх). Пусть х = е“/,
Х-+4-0
In х= — t. Тогда при х-^ + 0 /-
lim (х21пх) = —lim -^- = 0. Следовательно,
х-^4-0	/-^4-оо е
lim х2(1 — 1пх) = 0. Так как lim In х =
Х->-4-0	X —> 4~ ОО
= 4~оо, то lim x2(l — In х)= — оо. Гра-
оо
фик функции изображен на рисунке 88.
Так
287
Вариант 2
С-6
1.	а) Область определения функции найдем, решив неравенство
sin х—cosx>0, или sinfx—jj>0, откуда ^ + 2лп<х<-^+
+ 2лп, n£Z. —
,, t, , , V2 (cos x+sin х)
б) f' (Х)=-------------—₽ ;
(sin х — cos	+ v
—+3
_	.. ln2x+3x .. x
2.	lim -----•—= hm -----------
X-*- + оо 1П X-|- 5x X-. 4- oo In X
--------------------------l-o
3
5 ‘
3.	Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой.
Так как lim f(x)=O, то прямая у = 0 — горизонтальная асимпто-
та графика функции. Функция нечетная. Найдем производную:
/'(х)=(1—гх2)?-*2. Так как f' (х)<0 при х< —и ПРИ ’
/'(х)>0 при — -—г<х<-^=- и так как функция в точках х=
1 /11
и х=^= непрерывна, то на промежутках f-—оо; -=| и
[1	.	\ .	к	Г 1	1 1
4-ooj функция убывает, а на промежутке---------=; —=1
~	1	«	i J
возрастает. Точка х= — -^=- является точкой минимума, х=-^=- —
точкой максимума; /	= “Д/Т > f (^)=Л/1 '
Найдем вторую производную: f" (х)=2х(2х2—3)-е1-л?. Точки пере-
гиба: х=0 и х=±Д^. График функции изображен на рисун-
ке 89.
Вариант 3
С-6
1. a)	n£Z; б) 0. 2. 4. 3. Рис. 90.
288
Вариант 4	С-6	Ум
Рис. 91
Вариант 6	С-6
1. а) 1 + лп<х<^ + яп, nEZ-, б) 0. 2. —
Вариант 1	С-7
1. Обозначим данное выражение через А. Имеем:
А =
За~\[а —За	4-36 "\/а
3 У/а (а у/а -\-b ~\[b)
(a-ft)2(a + 2i>)2 =
a — b)2{a + 2b)2 = 4a(a + 2b)2.
2. lim (Зх+5)(2х—Д/^ + З )= lim
х-> 4- оо	х —-|- оо
- 3 (3x4-5)
2х+^4х? + 3
Ю Заказ 134
289
з
Д=(Д/^(Д
2.
3- У = tg х Д/2 + 2 cos x.
Так как 1 + cos 2х = 2 cos2 х, то
у = 2 tg x|cos х|, или
{2 sin х, если cosx>0,
— 2 sin х, если cosx<0.
График функции изображен на
рисунке 92.
Вариант 2	С-7
1. Обозначим данное выражение
через А.
.?/-- . 1 —У/тп
’	’ г——
У1тп
3 ._4 __
\m\lmn =
7 _1_
= ml2n4.
I-Vi-Зх2 _1;„	зх’и+У COS X )
hm-----v _. = lim--------—_______'__=
x->0 1—ycosx	(1 —COS x) (1 + yl —Зх2)
✓ X \ 2
1 i m ^X2 lim	V C0S X Z2 1;
= lim------------- lim----j— = o lim
x^°2sin2- l + Vl-Зх2 x-o
2
= 6.
3. y= | |x—2| — 11. Построим график функции y= |x|. Затем стро-
им график функции ф (х)= |х —2| — 1. Он может быть получен из
графика функции z/=|x| параллельным переносом, при котором
начало координат переходит в точку А (2; —1). Наконец, строим
график функции //=|ф(х)| (рис. 93).
Вариант 3	С-7
1. уД/а” 2. ——. 3. График изображен на рисунке 94.
Вариант 4	С-7
1. 3. 2. —5,25. 3. График изображен на рисунке 95.
У н
X
Рис. 94
290
Рис. 95
Вариант 5	С-7
1	.^+Л/Г. 2.±.
Вариант 6	С-7
£
1. (х-у)\ 2.
Вариант 1	К-5
1.	V7-V^-4x+4 =х-З^Д/7-|х-2| =х-Зо
( xj>3,	( Y^> %
, , I	I Л О,	r“
I---	-<=H д: с	л х = 5.
(у9 —х = х—3	(х2 — 5х = 0
2	VT^2cos х - sin х^>/ sinx>°>
( I — 2 cos x = sin x
^fsinxX),	f sinx>0, х"+2дп, nez.
[ cos x — 2 cos x = 0	(cosx = 0	2
Ответ: х = -^--|-2шг, n£Z.
3.	Возведем обе части уравнения в шестую степень. Получим урав-
нение х3 + 2х2 —7х —24 = 0, единственным действительным корнем
которого является х = 3.
Проверка показывает, что 3 — корень исходного уравнения.
I---- г- !----- [0<х<5,
4.	Л/2х + 7 >Д/х +Д/5 —х о {	t---
v	v 1х+1>Уб7^7
(0<х<5,
t 2Х2-Зх+ 1 >0
Г0^х<0,5,
[ 1 <х<5.
5.	Данное неравенство равносильно следующему:
"\/log2 х — j (1 + log2 х)>0,5. Введем подстановку: "\/log2 х =/;
291
/2 — 4/-|“3<0, 1</<3. Следовательно, исходное неравенство
равносильно неравенству 1 <Vlog2 х <3, откуда 2<х<29.
6.	Пусть д/х" — "\/х+9 = у, у < 0. Тогда 2х+9 — 2 '\/х2 + 9х = у2, ил и
гх-г^+эх =//2-9.
Данное неравенство принимает вид: у2 — у — 21>0. Оно равно-
сильно совокупности неравенств у^ — 1, Так как //<0, то
окончательно имеем: у^. — 1, или у[х—Д/хН-9 — 1. Решив это
неравенство, получим: 0^х^16.
Вариант 2	К-5
1. 2. 2. 2лп, у+2лл, n£Z. 3. 1, 1,5. 4. — д/5’<х<1.
5.
6. Рассмотрим левую часть неравенства:
Л>0, 1<х<3.
Имеем: Д2 = 2-р2 д/(3—х)(х — 1). Так как д/(3 — х)(х— 1)
< ———L2 = i, то Д2^4. Учитывая, что А ^0, получаем А <2.
При этом Д = 2 только при х=2.
Рассмотрим правую часть неравенства: В = 32-Х4-3Х_2^2.
В = 2 только при х=2. Таким образом, получаем:
Л<2, о
В>2
А = 2,
В = 2.
Но А = В = 2 только при х=2. Ответ: х=2.
Вариант 3	К-5
1. х=1. 2. х= —	х— —arccos-|+2лп, /i£Z.
3. x,=jy, х2 =—. 4. х< — 1, х>3, х=1. 5. — 1<х<3.
6. х^ 1.
Вариант 4	К-5
з
1. х=3. 2. х=л4~2ли, х=л — arcsin —+2лп, n£Z. 3. х, = — 1,
х2 = 3. 4. х=1, 4^х<5. 5. х<1. 6. х = 3.
Вариант 5	К-5
1. х=1. 2. х= — у+2ли, х= arccos-| +л (2и+1), n£Z.
3. х=-4—. 4. х>1, х^2. 5. 1 <х<81. 6. х>0.
2 л/2
292
Вариант 6	К-5
1. х=0. 2. х=2лп, n£Z. 3. х= 16. 4. 2^х^3 и х= —5. 5. 0<х< 1.
6. х=5.
Вариант 1	С-8
1.	Из равенства --- = 1,5 следует, что z/=/=0. Разделив,
+ У к	2
числитель и знаменатель дроби на у , получим:
Решив полученное уравнение относительно —, находим —=1
х е
или — = —5.
у
2.	Найдем сумму и произведение корней нового квадратного урав-
нения:	(а + 2р) + (Р + 2а) = 3 (а + Р)==6,
(а + 20)(р + 2а) = 5а₽4-2(а2 + 02)=2(а + ₽)2 + а0 = 7,
так как по теореме Виета f а-|-р = 2,
| ар=-1.
Новое квадратное уравнение имеет вид: х2 — 6х 4-7 = 0.
3.	Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и сред-
нем геометрическом двух положительных чисел:
2х + 9-22-х>2Д/2х-9-22-х, или 2х+9-22~х> 12.
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда слагаемые
2х и 9-22“х равны. Имеем: 2Х = 9-22“Х, откуда x=log2 6. Таким обра-
зом, наименьшее значение функции равно 12 при x = log26.
4.	Записав уравнение в виде:
cos x(cos2 x + sin2 х) + 2 sin3 х = 0,
получим уравнение третьей степени, однородное относительно sin х
и cos х. Решив его, находим:
tgx= —1, х= — -2-4-л/г, n£Z.
Вариант 2	С-8
1.	По условию tg а = 2, значит, cos а=/=0. Разделив числитель и зна-
менатель дроби на cos3 а, получим:
sin3 а + 3 sin2 а cos а	tg3 а + 3 tg2 а
cos3 а + sin3 а	l+tg3a
Значение дроби равно -у-.
293
2.	Так как а5 + р5 = (а + р)(а4-а3р + а2₽2-ар3+р4)==(а + р)Х
Х(а4 + Р4 — аР (а2-|-р2)4-а2Р2), то для решения задачи надо найти
а + Р, а-Р, а2+Р2 и а4±р4. Имеем: а + р = 2, а>р= —2, а2 + р2=8,
а4-|-р =56. Следовательно, а54~Р5=152.
3.	Указание. Воспользуйтесь очевидными неравенствами
а3 + Ь>2 л/a^b, а + Ь3^2У]аЬ3.
4.	—3; 0. Указание. Разделите обе части уравнения на 4^+3х.
Вариант 3	С-8
1. ±0,5. 2. а= — 1. 3. a = v- 4.
4	7
Вариант 4	С-8
1. —13. 2.	16x4-1 =0. 3. а = Ь=^2. 4. ^ + лп, n£Z.
Вариант 5	С-8
1. -0,7. 2. а=1. 3. a5b + b5c + ac5^3\a^b^ = 3a2b2c2.
4. -0,5;	.
2	Вариант 6	С-8
1. 1; — 0,6. 2. 2|. 3. ^±£±А = (х+1) + -±т-1>
>2"^(х+ 1±-j- _ 1 = 3' г+1=4т при х=| <х>0>-
4.	n£Z.
4	Вариант 1	С-9
1.	Вторая система равносильна совокупности двух систем:
a) f *—У>	0) ( у = 0,
(2x+z/ = 3;	\2х + у = 3.
(
Пара чисел (1,5; 0), являющаяся решением системы б), не является
решением системы ( х—у — 0,
1 2х + у = 3.
Следовательно, исходные системы уравнений не равносильны.
2.	Складывая и вычитая второе и третье уравнения системы, полу-
чаем:	а_|_2	2 —а
Х = —, у=— •
Подставив найденные значения
имеем:
х и у в первое уравнение системы,
а(а-}-2)	2 —а
2	1	~
1, или а2-]-а = 0,
294
откуда а = 0, а= — 1. Легко проверить, что как при а = 0, так и при
а= — 1 система совместна. Ответ: а = 0, а= — 1.
3.	Заменяя второе уравнение системы уравнением, получающимся
от сложения первого уравнения, умноженного на —3, и второго,
умноженного на 2, получим, что исходная система равносильна си-
стеме уравнений
или системе
— x+2z/ = 6,
4//,
f(6-4//)24-2//2-(6-4i/) + 2i/ = 6>
I х = 6 — 4у.
Первое уравнение системы имеет два корня: yt = 1, у2=^  Система
(2	4\
У ’ 3/
Вариант 2	С-9
1.	Исходная система уравнений равносильна совокупности четырех
систем:
{х = у — 1, [х = у — 1, Гх=1 — у, (х=1—у,
х —4=—х; (// — 2х = 0; (х —4=—х; —2х = 0.
2.	Складывая первые три уравнения, имеем: x-|-//-|-z = a-|-3. Из
первого, второго и третьего уравнений последовательно находим:
z = a-|- 1, х = а— 1, у = 3 — а. Подставив найденные значения х, у и
z в последнее уравнение исходной системы, получаем: а= —8. Лег-
ко проверить, что при а=—8 система совместна.
Ответ: а== — 8.
3.	Умножив второе уравнение системы на 2 и сложив с первым
уравнением, получим уравнение (х — у)2 + % (х — у) — 3 = 0, откуда
х —z/=l, или х — у— — 3. Следовательно, исходная система равно-
сильна совокупности двух систем:
а) ( х— z/=l, б) ( х — у— — 3,
(x2z/ = 4;	(%2// = 0.
В случае а) имеется одно решение (2; 1), в случае б) два решения:
(0; 3), (-3; 0).
Ответ: (2; 1), (0; 3), (-3; 0).
Вариант 3
С-9
1. Не являются. 2. а = 2. 3. (Г, 1), ( — 1;
-1), (2^13-
13;
w)’
Вариант 4	С-9
1. ( х + у = 0,	( х+у — 0, ( х+у=1, ( х + у—1,
I х+у = 2х;	0; \х+у — 2х\ | у+1 =0.
2. а = 8. 3. (2; 1), (3; 0).
295
Вариант 5	C-9
1. Являются. 2. а = 0, а=±2. 3. (1; 1).
Вариант 6	С-9
1.	( х+у = 2, ( х+у = 2, f х—2у = 0, (х—2у = 0,
[х — 2 = у; [х—2=—2у; [х — 2 — у; [ х—2= —2у.
п л 4 о ,	.	. ч / 35	3 \
2.	а —О, а=у. 3. ( — 1; 1), /; — -------к
\ V105"	УГ05/
Вариант 1	К-6
1.	Перепишем уравнение в виде: х2 + (// — 1 )2 = 9. Графиком уравне-
ния является окружность с центром в точке М (0; 1) радиуса 3.
2. При а = 2 система принимает вид:
( Зх-\-у = 3,
t 2х = 6.
Ее решением является пара чисел х=3, у—— 6.
Пусть а=/=2. Угловой коэффициент прямой, задаваемой первым
уравнением системы, равен — (а-|- 1), а угловой коэффициент пря-
мой, задаваемой вторым уравнением системы, равен —. Для то-
го чтобы система не имела решений, т. е. чтобы прямые были па-
раллельны, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были рав-
2
ны: —(а-Н 1)— а2.'~2 * откуда находим: ^ = 0, а2=1. При а —0
система принимает вид:
Г x+f/ = 3,
( 2x + 2i/ = 6
и имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают). При
а=1 система принимает вид:
( 2х + // = 3,
12х + у = 6
и решений не имеет. Ответ: а=1.
3.	Подстановка x-j-y = ut xy = v приводит к системе уравнений
( u = 2v — 1,
| и2 + v = 11,
решениями которой являются пары чисел:
| и = 3, ( и= —3,5,
| v = 2; | v = — 1,25.
296
Решив совокупность двух систем
( х-|-у = 3, ( х-\-у ——3,5,
( ху = 2;	| ху = — 1,25,
получаем:
-7+V69"
( х=2, (х=1, х~ 4
1'7=1; ( У = 2\	_7_д/б9"
—4—;
7. Пусть х, у, z — производительности
ственно. Имеем систему:
/ x4-i/4-z = 2(x4-z/),
I 3(x4-z)=18i/.
Обозначив —=/, —=и, получим:
X	X	J
( 1+/ + и = 2 + 2/,
( 1 + ^ = 6/,
— 7—у69
Х~ 4
-7+А/69
.	4
I, II и III установок соответ-
4	2	у 2 п
откуда / = —, т. е. ~=—. Следовательно, производительность вто-
рой установки составляет 40% от производительности первой.
5. Из уравнения следует: Зх=х-|-лп, n£Z, или х = ^-, n£Z. Но
при n = 2k-\-l, k£Z числа х=--(2&-h 1) не являются решения-
ми уравнения. При n = 2k получаются числа x=nk, k£Z, кото-
рые являются корнями исходного уравнения. Ответ: x = nk,
k£Z.
6. Из второго уравнения системы следует, что xz/^25. Но у =
= 10 —х, т. е. х(10 —х)^25, откуда (х —5)2^0 и, следовательно,
х = 5. Теперь находим: z/ = 5, z = 0.
Проверкой убеждаемся в верности найденного решения.
Ответ: (5; 5; 0).
Вариант 2	К-6
1.	График уравнения |х—11 + |z/| =2 (1) может быть получен
из графика уравнения |х| + |у| = 2 (2) параллельным переносом
г(1; 0), т. е. переносом, при котором начало координат переходит
в точку М (1; 0).
График уравнения (2) симметричен относительно осей Ох и Оу,
так как уравнение (2) не меняется при замене у на — у и х на — х.
Следовательно, график уравнения (2) можно построить сначала
только в I четверти (где х^0 и z/^О и уравнение принимает вид
x-|-z/= 1), а затем последовательно отобразить его относительно
оси Оу во II четверть и относительно оси Ох в III и IV четверти.
График уравнения (2) изображен на рисунке 96, а график уравне-
ния (1)—на рисунке 97.
297
2.	Система имеет бесконечно много решений, если прямые, задава-
емые уравнениями системы, совпадают. Так как при 6=1 прямые
различны, то рассмотрим случай 6=/= 1. В этом случае для совпадения
прямых необходимо равенство их угловых коэффициентов. Имеем:
1 __	6 + 2
6-1“	2 '
Решив уравнение, находим: 6i = 0, 62= — 1. Прямые будут совпа-
дать только при 6 = 0. Ответ: 6 = 0.
3.	Первое уравнение системы является однородным уравнением
третьей степени относительно х и у. Так как никакая пара чисел
вида (х; 0) не является решением системы, то, разделив все члены
уравнения x3 + 2x2z/ —3z/3 = 0 на z/3, получим уравнение
откуда находим, что —=1. Система уравнений
у
( х=у,
I х? + у2=2
равносильна исходной. Ее решениями являются (1; 1) и ( — 1; — 1).
4. Пусть U] и и2 — скорости пешеходов, s — расстояние между А и
В. Из условия задачи следует:
s  5—15
2^1 v2
s ___5 — 8
2у2
Перепишем систему в виде:
и2 2(5-15)
У,	5	’
V2_ S
“ 2(s-8) ’
Приравняв правые части, получаем:
2(5- 15) _	5
S ~" 2 (s-8) ’
298
ц2 _ 3_
V, ~ 4 '
откуда находим s = 24. Но тогда
Искомая величина s — s~ равна 6 км.
5. Из уравнения следует, что Зх = лп, или
х=-у-, n£Z. Но при и = 3й, k£Z получаются
числа вида x=nk, при которых не опре-
делены как левая, так и правая части
уравнений. При и = 3й±1 получаем х =
= ±у+лп. Ответ: x=±j + nn, n£Z.
6. Подставив z = x2 + 4i/2 + 8 в неравенство
6x-|-4t/ — z^2, полу-
чим: (х—3)2 + (2«/—1)2<0. Отсюда следует, что х=3, У = ^- Из
первого уравнения системы находим z=18.
Ответ: f 3; ;
18).
Вариант 3	К-6
1.	Рис. 98. 2.	т=£—3. 3. (1; 2), (2; 1), (1; —4), ( — 4; 1).
4. 50%. 5. х=лп, х=у + ^-, n£Z. 6. (1; 1; 1).
Вариант 4	К-6
1. Окружность с центром (2; 0) радиуса 1. 2. а = 0. 3. (1; 1),
( —1; —1). 4. 4 ч. 5. Нет решений. 6. (2; 1; —3).
Вариант 5	К-6
2. Ь=1, Ь= — \.	3. (2; 1),	(Г, 2).	4. 8 ч. 5. у л, n£Z.
6. (3;	2).
Вариант 6	К-6
2. /п=^2, m=/=-l. 3. (1; 1), (-1; -1). 4. |. 5. х=^+лп,
Х=Т+2Г’ nez-6-(2; 1; 4)‘
Вариант 1	С-10
2
1.	Умножив второе уравнение на у, получим систему уравнений
/4х4-2г/ = 5,	(1)
|4x+2z/ = 5,	(2)
равносильную одному уравнению 4хН-2у = 5, имеющему бесконеч-
(5________________________4/ \
/;—£—к где t£R. Прямые (1) и (2) совпа-
дают. Ответ: (t\ 5~4/\ t£R.
299
2.	Прибавляя почленно первое уравнение системы, умноженное на
— 2, ко второму уравнению и, умноженное на —3, к третьему
уравнению, получим систему, равносильную исходной:
’ x+y+z=l,
' y — 4z = 5,
_у + 2г=-3,
Прибавив почленно второе уравнение полученной системы к треть-
ему уравнению, получим систему, равносильную исходной:
' x + y + z=\,
 y — 4z = 5,
z= — 1,
откуда последовательно находим z= — 1, у= 1, х=1.
Ответ: (1; 1; — 1).
3.	Возводя первое уравнение системы в квадрат, получаем:
{ х+4~\[ху +4у=16ху,	( 1 4-2~\[ху = 8ху,
\ x-|-4z/ = 2	(x-j-4i/ = 2.
Первое уравнение последней системы является квадратным отно-
сительно У/ху. Решив его, находим: д/х//~=0,5. Получаем систему
уравнений	fxz/ = 0,25,
I х-Ь4«/ = 2.
Ее решение (1; -j) является решением исходной системы.
Ответ: (1; 0,25).
Вариант 2	С-10
1.	Прибавляя почленно второе уравнение системы к первому уравне-
нию, умноженному на —2, получим систему, равносильную исходной:
Г 2 (4 — т1 2 * * * * * В) х—т — 2,
( 8х-\-2у = т.
Рассмотрим три случая: а) т = 2; б) т=—2; в) т=£±2.
В случае а) получаем:
1	4x+i/= 1.
(4х4-£/=1
Система имеет бесконечно много решений вида (/; 1—4/), где /£/?.
В случае б) получаем систему:
( 0-х = —4,
t4x+y= — 1,
не имеющую решений.
В случае в) имеем:
— 1
Х 44-2т ’
__m2 + 2/n + 4
У 4 +2m
300
Ответ: При т = 2 бесконечно много решений: (/; 1—4/), /£/?;
при т= — 2 решений нет; при ап=/= ±2 одно решение
/	1	. т2 4- 2m 4- 4 \
\	4 4-2m ’	4 4” 2m /
2.	(1; — 1; 1).
3.	Из условия следует, что х=/=0, z/#=0 и что х и у должны быть од-
ного знака.
Если х>0, z/>0, то У[ху =У[х -л[у, и система принимает вид:
г+^у?У7=2,
2V* Vy—У=3.	°'
Умножив первое уравнение системы (1) на 3 и сложив со вторым
уравнением, умноженным на —2, получаем уравнение, являющее-
ся следствием системы (1):
3x4-5V7V7+2i/ = 0(х>0; i/>0).	(2)
Уравнение (2), очевидно, решений не имеет. Следовательно, и сис-
тема (1) не имеет решений.
Если х<0, у<0, то У[ху = У/ — х • Д/— у . Обозначив — х=хь
— z/ = z/b получаем систему уравнений:
— х14-Зд/хГд/уГ = 2,
2л/^^+У1 = 3.	< >
Решив эту систему, находим:	4
Ответ: ( — 1; —1), (—у; — у).
Вариант 3	С-10
1. Нет решений. Прямые параллельны. 2. ( — 1; 1; 1).
3. (1; 16), (8,5; 8,5).
Вариант 4	С-10
1. При m= 1 бесконечно много решений: (1—2/; /), /£/?; при
т~—2 бесконечно много решений:	(/4-1; 0,	при	m =/= 1,
— 2 одно решение (1; 0). 2. (1; 1;	1). 3. (1;	1).	
Вариант 5			С-10
1. ( —1; 1). 2. (Г, —Г, -1). 3. (1; 9),	/25 . 49 \ \ 9 ’ 9 )'		
Вариант 6			С-10
1. При т= 1 нет решений, при т = — 1 бесконечно много решений:
(/—Г, /), /£/?; при ди#=±1 одно решение (——г-; —-—Y
\т— 11 —т/
2. ( — 1; — Г, 1). 3. ( — 4; -1).
301
Вариант 1
С-11
1.	f Зх+1-2у=1	Г Зх+1-2х+3 = 3~2,	Г 6Х=6~3,	( х= —3,
|//_х = 3	(z/ = x + 3	(// = х + 3	|z/ = 0.
Ответ: (—3; 0).
2.	Из второго уравнения найдем tg z/ = 0,5-|-cos х и подставим в
первое уравнение:
2 sin2 х (0,5 + cos х)= 1,5,
2(1— cos2 х) (0,5 + cos х) = 1,5,
8 cos3 х + 4 cos2 х —8 cos х 4-2 = 0.
Применив подстановку 2cosx=/, приводим уравнение к виду:
23 + z2 — 4г+ 2 = 0, откуда z23= — 1 ±д/з". Следовательно,
cosx = -^, или cos х= ^~2 1 . Так как 0<х^л, то Xj=y,
д/з~— 1 п	п
x2 = arccos^—-—. Подставив х= — во второе уравнение исходной
Z	о
5л
системы, находим tgz/=l, и так как	то у——. Анало-
д/з"_ 1	д/Т
гично находим, что если x=arccos-^-2—, то у — л 4- arctg-y-.
~	/ л 5л \	/ Д/з — 1	.	. Д/з \
Ответ:	larccos-^-T—; л +arctg-2^-)•
3.	Так как х>0, z/>0, то неравенство log2 x2Z>log4 у равносильно
неравенству log2у^4 log2 х(1). Из первого уравнения системы на-
ходим:
log2 У = ^ (1 + 16 logl х).	(2)
Подставив в (1) значение log2 у из (2), получаем неравенство:
4(1 4-16 log2x)<4 log2х.
4 Г“
Далее имеем: (4 log2 х —1)2^0, х=Д/2. Из (1) находим z/ = 2.
Ответ: (Д/2~; 2).
Вариант 2	С-11
1.	Пусть пара чисел (х; у) есть решение исходной системы. Тогда,
очевидно, х>*0, z/>0, х=/= 1. Прологарифмировав обе части первого
уравнения по основанию х, получим уравнение
4
(1— 0,2 logx у) logx z/=-g ,	(1)
являющееся квадратным относительно logx у. Решив его, получим
logxz/ = 1 или logxz/ = 4, откуда у = х или z/ = x4.
Если z/ = x, то второе уравнение исходной системы при-
нимает вид:
2 + logx(l-|) = logx4.	(2)
302
Решив уравнение (2), получим х = 4. Таким образом, (4; 4) — одно
из решений исходной системы.
Если у = х\ то второе уравнение исходной системы не имеет ре-
шений. Ответ: (4; 4).
2.	Перепишем второе уравнение системы в виде:
cos 2у = — 1 — sin х.	(1)
Так как по условию О^х^л, то sin х^О и уравнение (1) выполня-
ется только если sinx = 0, т. е. при х = 0 или х = л. Если х=0, то
= и Условие	не выполнено. Если х = л, то у=^,
условие л^у^2л выполнено. Ответ: (л; -у).
3.	Из первого уравнения системы находим: 2х = 5-|-4у (у+ 2). Из
неравенства 2Х~2 — у^Л находим: 2Х^4 (у+1). Следовательно,
5 + 4у(у + 2)^.4(у+ 1), или (2у+ 1)2<0, откуда у= — 0,5.
Ответ: (1; -0.5). Вариаят 3	C-II
1. (4; 2). 2. (i; i), (£;	3. (2; >/2).
Вариант 4	С-11
1. (4; 1). 2. (2л;	3.(1; 3).
Вариант 5	С-11
1. (1; 1), (4; 2). 2. (|; f),	3. (д/2; 2).
Вариант 6	С-11
1. (4; 2), (-4; -2), (4; 0,5), (-4; -0,5), (0,25; 2), (-0,25; -2),
(0,25; 0,5), (-0,25; -0,5).
2. (|; О), (-|; л). 3. (0,5; 0,5).
Вариант 1	К-7
1:. Переписав уравнения в виде:
1 । j__j_ _L_i L—A J I L—£
yz'xz 2 ’ xz' xy 6 ’ yz' xy 3 ’
11,1
с помощью замены —=a, —= p, — = c получаем систему линеи-
yz xz xy	J	J
ных уравнений:
a+b=^.
и ।	5
Z’ + c=6-
.	2
a+C=3‘
303
Сложив полученные уравнения, находим: а-|-6 + ^=1» откуда
а — Ь —	с==^- Получаем систему уравнений:
ху = 2,
- xz = 3,
#z = 6.
Перемножив полученные уравнения, имеем: xyz= Если xyz =
= 6, то х=1, у = 2, z = 3; если xyz= — 6, то х= —1, у=— 2,
2=-3. Ответ: (1; 2; 3), (-1; -2; -3).
2.	Так как log9 x=log3 Д/х\ то, потенцируя в первом уравнении, по-
лучаем систему уравнений, равносильную исходной:
fV7(i+V7+7)=3,
1 х2(х+^) = 4.
1Л	I 4
Из второго уравнения находим х-|-//=— и подставляем в первое
уравнение системы:
(W(l+^-3.
\Z(x + y) = 4.
Приведем первое уравнение системы к виду: х —ЗД/х^Н-2 = 0, от-
куда у[х = \, Д/х^=2, или х, = 1, х2 = 4.
Окончательно имеем:
Ответ: (1; 3), ^4; —
3.	Перепишем второе уравнение системы в виде:
cos x-hsin 2у — sin 4 — 0.
о
Воспользовавшись формулой
sin а —sin р = 2 sin—g-2-cos—-
получаем:
cosx+2sin(i/ —-0cos(z/ + -0 = O.	(1)
Но из первого уравнения исходной системы имеем:
*/ + £=*.	(2)
Следовательно, уравнение (1) примет вид:
cos х + 2 sin (у — cos х = 0.	(3)
304
Уравнение (3) равносильно совокупности уравнений:
a) cosx = 0; б) 1-|-2 sin = 0.
В случае а) имеем:
л .
//==4 + ^»
О
В случае б) получаем: sin (у —*0 = ~4» откуда
у — 2лпу
z/ = 4“ + 2nn, n£Z.
о
у-1=-^+2^
и<
л 7 л । /-ч
р —б=т+2я/г’
Учитывая, что x=z/ + -tt, имеем:
х = ^ + 2лп,
о
у = 2ли;
х=^+2ли,
1/=4?--|-2ш1, ngZ.
О
Ответ:
л .
Л ।
у=-+пп;
О
х=-^+2ли,
О
у = 2лп.
Ответ можно записать также в виде:	у-|-лп),
f~-|-2nn; 2шг\ n£Z.
\ о	/
4.	Множество решений первого неравенства есть круг с центром
в начале координат радиуса 1 (рис. 99). Множество решений второ-
го неравенства есть угол, заштрихованный на рисунке 100. Множе-
ством решений системы является пересечение полученных мно-
жеств (рис. 101). Площадь полученной фигуры равна площади по-
лукруга, равной у, сложенной с площадью треугольника, равной 1.
305
5.	Подставляя у= 1 -|-х из второго уравнения системы в первое, по-
лучим уравнение:
х—ух-а+1=0,	(1)
квадратное относительно "\[х. Его дискриминант D = 4a — 3 неотри-
цателен при . При этих значениях а имеем:
(2)
Совокупность (2) будет иметь единственное решение
1_д/4а-3	,
и когда ---*2---<0, т. е. при а>1.
з
Ответ: а=~, а> 1.
4
Вариант 2
3
когда а = —
К-7
1.	(Г, 2; 3; 4).
2.	Из первого уравнения системы следует, что ух (1). Возведем
в квадрат обе части первого уравнения системы. Имеем: х2— Зу =
+ или
Учитывая (2), имеем: { х^_причем условие (1) выполняет-
ся. Используя (3), получаем уравнение 2х+1 —6 = 22х-3, имеющее
корни *! = 2 и x2 = log212. Если х = 2, то у=1. Так как из (1) и
(3) следует, что х^З, a log2 12>3, то, отбрасывая x2 = Iog2 12, при-
ходим* к выводу, что решениями исходной системы являются пары
чисел (log23,5; 0) и (2; 1). Ответ: (log23,5; 0), (2; 1).
3.	Из первого уравнения системы получаем cosxcosz/ =
= —3 sin х sin у. Следовательно, исходная система равносильна си-
стеме уравнений:
3
COS X COS У = -^ >	(1)
sin х sin у = — 4.	(2)
4
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2) и складывая их, получим:
cos (х+у) = 1,
cos (х—
Эта система равносильна совокупности двух систем:
х+у=2пп,	(х+у = 2лп,
x—y=j+2nk-, б) ' x—y=~+2nk.
где n£Z, k£Z.
306
В случае а) получаем:
х=-^--|-л (п + &),
У = —£ + л(и —£)•
В случае б) получаем:
х = — + л (п — k),
z/ = “-|-л (п — k), n£Z, k£Z.
Ответ: 0г+л(п + &); —л (и —А)),
— ^- +л (/г +^); -£- + л(п —&))» 72 k£Z.
4.	Так как неравенство x2 + z/2^2x можно переписать в виде
(х—1 )2 + у21, то множеством его решений является круг с цент-
ром в точке А (1; 0) радиуса 1 (рис. 102). Множеством решений не-
равенства |z/|-|--l^x является угол, изображенный на рисунке
103. Множество решений системы есть пересечение полученных
множеств (рис. 104), т. е. сектор ВАС. Так как центральный угол
сектора равен 90°, а радиус 1, то его площадь равна
5.	Имеем:	( у —X = Q,	Г у = х______	(О
( у=У/х — а (х=“\/х —а.	(2)
Уравнение (2) равносильно системе
f х>0,	Г х>0,	(3)
(х2 = х — а	(х2 —х+а = 0.	(4)
Дискриминант уравнения (4) D = l—4a неотрицателен при
При этих значениях а имеем:
_ 1 — Д/1 — 4а
2_____
__ 1 +V1 - 4а
—	2
307
Учитывая условие (3), делаем вывод, что
уравнение (4), а значит, и исходная систе-
ма имеют единственное решение, если
1-Д/1-4а	1
--у-----<0, т. е. при о<0и если а=у.
Ответ: а<0, а=4-.
Вариант 3
К-7
1. (3; 2; 1; 0). 2. (1; 3).
3.	(j+лтг; у—л/г), ^-у-4-л/г; — л/г), n£Z.
_________________________________д
4.	Рис. 105. Площадь равна 2 .
5.	Подставив во второе уравнение системы //=д/1 — х, перепишем
его в виде:	—а — х. Обозначив д/1 — х = получим урав-
нение t2 — t-\-a— 1=0, откуда / =	. Единственное реше-
.	5	1 — Д/b —4а	~
ние будет в случае, когда a = j и когда ---~-----<0, т. е. при
5
а<1. Ответ: а=—, а<1.
Вариант 4	К-7
1. (1; 2; 1). 2. (3; 1). 3.	(у+л/г, у+2л/г), где n^Z, k£Z.
4.	— ; сектор круга с центром (0; 1), радиусом 1 и дугой 60°.
- -А 1
5.	а<0, а=—.
4
Вариант 5	К-7
1. (0; -1; 5; 3). 2. (2; 1), (1; -±). 3. (|+л/г; -^-л/г), n£Z.
4. 5=^-. 5. а = 0, а=^.
£ £
Вариант 6	К-7
1. (0; 0; 0), (1; —1; —1), (-1; 1; 1). 2. (1; 1). 3. (2л£; л + 2л/г),
k£Z, n£Z. 4.4. Круговой сектор с центром круга (0; 0), радиусом 1 и
«5
дугой 120°. 5. а = ^-, а<0.
Вариант 1	С-12
1.	a) 3=^=-^±^=-0,2 + 0,6z;
2, З-z	(3-0(3 + 0
/2i + z2\8_(1+08 _(204 _ 1
\ 3z2 )	28	28	16 ’
308
2.	х2 —4x4-20 = 0, (х—2)2= —16, х—2=±4/, х=2±4/. Можно
решить, пользуясь формулой корней квадратного уравнения.
3.	Комплексные числа z^x2— 54-(z/4-7)z и z2 = — у — (х2-|-4)i
будут сопряженными, если выполнены условия:
( х2 —5= —у,
( z/4-7 = x24-4.
Решив систему, находим: х, = 2, yt = l; х2=—2, у2=1.
Ответ: (2; 1), (—2; 1).
4.	Имеем: (2/г 4- 1 )2—1= 4л (л 4-1)- Так как п (п4-1) делится на 2,
то 4л (л 4-1) кратно 8.
Вариант 2	С-12
. z2_ 3i	3i(l—2i)
' Z| — l+2i~~ (l+2i) (l—2i) —
1,24-0,6/;
б) /*'~>гЛ6— zi-2Z-3\6_ (1+Q6^ 8 .
’ \ 2z2 ) ~ у 2(—3i) ) ~ —36 — 729 Z’
2.	X2 —6x4-13 = 0, x=3±V9—13 = 3±д/ —4 = 3±2z.
3.	(2; —1), (2; 1). 4. Пусть A—данное натуральное число. Если
А=4п, то Д2 делится на 4; если Д=4л±1, то А2 при делении на
4 дает в остатке 1; если А=4п-}-2, то А2 делится на 4.
Вариант 3	С-12
’• а> 4+#1’ б> -А -2- -‘±5г’3- (И 4).	4).
4.	(2zi-|- I)2 —(2zn-|- l)2 = 4(zz (n4- 1) — m(m+ 1)) = 8.
Вариант 4	С-12
1. а) 34-4/; б) —64. 2. — 2±6/. 3. (2; 2).
Вариант 5	С-12
1. а) -44-3/; б) — 128/. 2. 5±3/. 3. (1; 1), (-1; 1).
4. (Зи±1)2—1=9л2±6л кратно 3.
Вариант 6	С-12
1.а) -0,4-1,2/; б)^/.2. -4 + 5/.3. (-|;Д/2).
4. п2(п2 — 1) = (и — 1)и(п-|- 1)л. Из трех последовательных на-
туральных чисел п—1, п и п-j-l одно делится на 3. Легко видеть,
что данное выражение делится также и на 4.
Вариант 1	К-8
1.	a) z = 2i = 2 (cosу + * sin б) z= 1 +cos 2а-Н sin 2а =
— 2 cos2 аН-2/ sin a cos а = 2 cos а (cos а + * sin а) =
=—2 cos а (cos (л-Рa)4“i sin (л-|-а)). Так как у<а<л, то
— 2 cos а>0и, следовательно, —2 cos а — модуль, а л + а — аргу-
мент данного комплексного числа.
309
2.	21 = '\/з'+; = 2 ^cos^-+z sin
• л . . л	/л.л\|../л|л\	13л.
z2= -sin 2? + I cos 24 =cos (-+-) + < s.n (- + -) = cos—+
. . .	13л
4-isin —.
z,z2 = 2 (cos (б+-24-) + * Sin (-+—^ = 2 (cos —+ z sin —);
(z,z2)8 = 28 (cos-^4-rsin-yb)=128(l-iV3).
3.	Множество точек, удовлетворяющих первому неравенству, есть
кольцо с центром в точке А (0; 1), с радиусами 2 и 4. Множество то-
чек, удовлетворяющих второму неравенству, есть полоса с граница-
ми х = 0 и х = 2. Прямая х = 2 является касательной к окружности
х2 + (//—1)2 = 4 (рис. 106).
4.	|z| = Д/sin2 2a-|-(sin a-hcos а)2 = Д/sin2 2а-|-sin 2а + 1 .
Найдем наибольшее и наименьшее значения подкоренного выраже-
ния. Пусть sin2a = f, —Тогда задача сводится к нахож-
дению наименьшего и наибольшего значений функции ф(/) = /2-|-
+ /+1 на [—1; 1]. Ответ: , д/3~.
Вариант 2
К-8
1.	a) z— 1 — д/^ = (д/2~— 1) (cos л-Мsin л);
б)	z = 1 — cos 2a-Н sin 2a = 2 sin a (sin a-H cos a) =
= — 2 sin a ( — sin a — i cos a) = — 2 sin a (cos ('у'-’a) +
-Hsin^L-a)).
2.	z2=l—1^3 =2Q —z^) = 2(cos( —-0 + zsin ( —y));
1 /	/л . л\ . . . /л . л\\	1 /	Пл . . . 11л\
(C0S (в + з) + ‘ S'n (в + 3))= 2 (C0S + ' S,n -24-)’
. . .	11л\
j-zsin— } =
i
310
3.	Пусть z=x-\-yi, где x£R, y£R. Тогда z —3 = x—3 + yi, |z— 3| =
=У/(х—3)2 + у2, |z| =	+ .
Из условия имеем: ~\](x—3)24~Z/2 =2 Д/х24-«/2• откуда (%4- 1 )2 +
+ #2 = 4.
Ответ. Окружность с центром в точке Л( — 1; 0) радиуса 2.
4.	|z| = Д/9 sin2 а + cos2 а = Д/8 sin2 а+ 1 .
Наибольшее значение |z| равно 3, наименьшее 1.
Вариант 3	К-8
1. a) 3(cos (—0 + zsin (—0);
б)----!—(cos (л — а) + i sin (л — а)),
cos а
2. 64/. 3. Часть кольца с центром (1; 0) и радиусами 1 и 2, заклю-
ченная между z/=0 и у = у/3 (рис. 107). 4. max |z| = l,5, min |z|=0.
Вариант 4	К-8
1. а) (д/ЁГ-{-l)(cos 0-|-/sin 0);
б) — 2 cos a (cos (л —а)4-/ sin (л— а)).
2. —4096/. 3. Полуплоскость, расположенная ниже прямой у =
= ~2Х~ 4"’ включая точки этой прямой. 4. max |z| =3, min |z| =
_Уб~
3	Вариант 5	К-8
1. а) (3 —д/5)(соз л-Н sin л);	б) -2sina(cos(y4-a)4-
4-isin (y4-a)). 2. —2'8/. 3. Пересечение двух кругов с центрами
д/з"	/—
(0; 0), (0; 3) и радиусами 2 и 3. 4. min |z|=-^-, max|z| = y3.
Вариант 6	К-8
I. a) (V2-I)(cos(-|) + <sin(-i)); б) -_!_(coS(^+«) +
4-/ sin (у 4~a))- 2. —4^5 i- 3. Окружность с центром (О; -0 и ради-
усом 1,5. 4. max|z|=3, min|z| = l.
Вариант 1	C-13
1. —z = cos	у4-2л/г^4-* sin —у4-2л&), k£Z.
3____ ~ y+2iifc	— ^+2nk
\ — i = cos--x----1- i sin-5----=
О	о
(л , 2л&\ । . . / л . 2л&\ г n 1 о
-б+— )+,s,n(“+—/’k=Q’ b 2-
311
Если k = 0, то Д/— z =0,5 (л/3^ — /);
з________________
если k=\, то у — i=i;
если k — 2, то д/ — /: = — 0,5 (д/з" + i).
Ответ: /, 0,5(д/з" —Z), -0,5(Д/З +1).
2. х1==2, х2 = 3 —2/, х3 = 3 + 2/.
а (х — 2) (х — 3 + 2/) (х — 3 — 2z) = 0, а=/=0, a£R.
Ответ: а (х3 — Зх^Збх—26) = 0, а#=0, a£R. (В дальнейшем мно-
житель а будем опускать.)
3. Согласно теореме Виета имеем: х1Н-х2Н-х3 = 3, х1х2 + *1*з +
+ х2х3 = Х, XjX2x3 = 2. Воспользуемся тождеством (Xj + x2 + x3) =
= х? + д^Н~д^ + 2(х1х2 + х1х3Н~х2х3). Имеем: 9 = 1 + 2Х, откуда Х = 4.
Уравнение примет вид: х3 —Зх2 + 4х —2 = 0. Решив его, находим:
х,= 1, x23=1±l Ответ: Х = 4, Xi=l, х23=1±/.
Вариант 2	С-13
1.	V14-/V3 =Д/2(COS (j+2"‘) -\-i sin (у+2»*)) =
= д/2~ (cos (-2-4-л/г)-Н sin (-^-4-лй)); k = 0,1.
При fe = 0 V1+ZV3 =3^ + ^z;
при k=\ V1 +1 д/з = —-у- • Ответ: ±(-Дг+-у-»)•
2.	х{= - 1, х2 = 3 + 4/, х3 = 3 —4z; (х+ 1)(x-3-4z)(x — 3-|-4z) = 0.
Ответ: х3— бх2 4-19x4-25 = 0.
3.	По теореме Виета имеем: х1-|-х24-*3= 1, Х|Х2 + x^-f-х2х3 =
= Х, Х|Х2х3=1. Воспользовавшись формулой х3 4-*2 +-*з—
— Зх1х2х3 = (х, + х24-х3) (xf + x|-|-x| —Х|Х2 —Х|Х3 —х2х3), или Х?4-
+ 4 4- 4 — 3X]X2X3 = ( X, + Х2 + Х3) (( X, + Х2 + х3)2 — 3 ( X, Х2 + X, Х3 4- Х2Х3)),
получаем —2=1—ЗХ, откуда Х=1. Подставив Х=1 в уравнение,
имеем: х3 —x2-hx—1 =0. Корнями уравнения являются Xj = 1,
x2 = it х3 = —i. О т в е т: Х= 1; Xi = Г, x23=±i.
Вариант 3	С-13
6	Зг	6
1. Д/2 (cos^-4-z sin—^(14-z), Д/2 (cos-^ — z sin-^-Y
\	1у	у	IX	IX/
2. x4 —2x34~2x2 —2x4-1 =0. 3. X=l; x, = l, х2.3=^Ц^.
Вариант 4	С-13
1. ±-L(l-z). 2. x5 —x34-4x2 — 2x4-4 = 0. 3. X = 3; ^ = 1, x2>3 =
= l±2z.	Вариант 5	C-13
6	3/-	6
1. Д/2-(cos 4-z sin	—14-z), — д/2 (cos-^j4-zsin-^).
2. x4 — 4X34~ 11 x2 — 14x4“ 10 = 0. 3. X= — 1; xx —— 1, x2x3=±z.
312
С-13
Вариант 6
1.	\/2 (Cos(^+4) + isin(A + ^\ Л = 0, 1, 2, 3.
2.	7-5/+ 12/- 16x4 12х-4 = 07/
3.	К = 2‘, Х| = — 1, %2,з== 1 ~+~ i*
Вариант 1	К-9
1.	Так как х=0 не является корнем данного уравнения, то оно рав-
носильно уравнению
6 (^+7)-19 (х+|)4-25 = 0.
Обозначив х+—=у, получим уравнение 6i/2—19i/+13 = 0,
i 13
корни которого 1 И j .
Решив совокупность уравнений
находим корни исходного уравнения.
2.	Пусть z — x + iy, тогда z = x—iy, x£R, y£R.
Имеем: (x+iy)2 + x—iy = 0, или x2 — y2 + x+(2xy — y)i = 0.
Воспользовавшись условием равенства комплексного числа нулю,
получаем:
f х2 —z/2 + x=0,
Ь(2х-1) = 0.
Решив эту систему, находим: xt = 0, yt = 0; х2 =— 1, у2 — 0;
1 Уз 1 Уз
х3—2 < Уз— 2 > х4 — 2 . 1/4 —	2 •
Ответ: Zi=0, z2= — 1, z3A=^ + i^~.
3.	Так как ^s,n 20 + 'cos 20) =(cos2o+z sln 20J =cost +
4-i sin ^-=^=(1 — г). то Xj = 1 + f. Подставив x=14-i в данное
уравнение, получим:
(1 +03 —(а4~3)(1 +z)2 + 6a2(l +0 + а2 —5 = 0, или
7 а2 —74-/(6а2 —2й —4) = 0.
Учитывая, что и используя условие равенства комплексного
числа нулю, имеем:
J а2= 1,	_ 1
13а2 — а — 2 = 0
313
При а=1 исходное уравнение принимает вид:
х3 — 4Х2 -|- 6х — 4 = 0.
Решив его, найдем корни: 2, 1-Н, 1— I.
4.	Разделив почленно обе части уравнения на 5, получим:
3 .	। 4	л
— Sin х + т COS x = cos Зх.
о	о
„	/3\2 I /4\2	. з
Так как (т)+(т) = 1. то существует такое а, что sina=-=-,
cosa=4. Далее имеем: cos (х— a) = cos Зх-ф>
5
-»• Г Зх—х— а + 2лп,
[Зх=—(х—а) + 2шг, nfZ
„	4
Так как a = arccos =, то
О
a I
х= —g+лп,
а । лп - ъ
х=4+^’
1	4 I
х= — — arccos =—|-шг,
2	О
1	4 . лп	~ т
х=—arccos—n£Z.
4	D Л
5. Нулями функции /(х) = (2х —3)(2х2 — 7х+6) являются числа
3	3
log23, j и 2. Так как —<log23<2, то, решив неравенство мето-
дом интервалов, получим:
2
2 ’
6. Перепишем уравнение в виде: 2 (х-\-у)-\-у = 7 (1). Обозначим
х-\-у = п (2). Тогда уравнение (1) примет вид: 2n-|-z/ = 7 (3),
откуда у = 7 — 2п (4). Учитывая (2) и (4), находим: х=п —
— (7 —2л) = 3п —7.
Итак, решением данного уравнения являются все пары вида:
Г х=3и— 7,
|i/ = 7— 2и, где n£Z.
Вариант 2	К-9
*	2	5 -lii'VJT
''	5 ’	2 ’	2
2.	Пусть z = x+iy, x£R, y£R, тогда \z\ =^Jx? + y2.	Имеем:
+	— 2 (х+iy) = — 1 + 21, откуда
| Vx24-1/2 _ 2x= — 1,
314
4	4
Решив систему, получим х=—, у =— 1. Ответ: z = — — i.
3.	b = — 1; х, = 3, х2>3 = 1 ± I.
4	1	5	। Tin 1	5	। л / л । , \ «V
• — 7агсс031з+ у- агсс05'1з + б’(2и+1). «€Z.
5. l<x<log35, х>1,5.
6. Перепишем уравнение в виде:
2х(у+\) = Зу* + у + 2.	(1)
Так как при у = — 1 равенство (1) не выполняется, то разделим обе
его части на у +1, имеем:
2х=	, или 2x = 3z/~HH—-J-r-
//4-1	57	//4-1
Так как 2х и Зу + 1 — целые, то число
1
//+1
должно быть также це-
лым. Но это возможно только в случае, если //4-1 = 1 или
z/ + 1 = — 1. Отсюда находим: у —О или у= — 2. Получаем пары це-
лых чисел: Xj = l, л/1 = 0; х2=—3, у2=—2.
Возможен и другой путь рассуждений. Перепишем уравнение
в виде:
2x(//+1)-(3z/2 + 4//4-1)=1, или 2х(у+!)-(// +1)(3^+1)=1.
(у + 1)(2х—З#—1)=1, откуда имеем:
у+1 = 1,
2х—3z/-l = l,
или
у+1 = -1,
2х—Зу— 1 = — 1.
Ответ: (1; 0), (-3, -2).
Вариант 3	К-9
1.	2. z = (l-V2)i. 3. а—\, x,.2=l±j,
п л л . 2л Зл . 2л	~	-	2	1 А	<
хз=-3- 4- Зб+-Гп’ 2о+т"- n(EZ- 5- 3<Х<|°^4’ Х>1‘
6. (2k; 3£ — 4), где k£Z.
Вариант 4	К-9
1. 2,5; 0,4; -1±,~ . 2. z = - 1 +^= . 3. Ь= - 1; х12= 1 ±i, х3= -2.
4. arccos-п^-4-яп, — arccos, ngZ. 5. х<2,5, log26<
х	о	О	О 4
<х<3. 6. (0; -1), (2; -1).
Вариант 5	К-9
= -1±г, х3= —1. 4. -£ + яп,	n^Z- 5- l<x<log315,
х>2,5. 6. (5k; 3k), k£Z.
315
Вариант 6
К-9
1	4	3	1±/ уЗ л	1 . Q 1	1	«	.	.
1- 3.	4-. --2--’ 2’ z==~ з1- 3- &=,; х1.2= — *±г> хз=1-
4. arccos т-+~Е~>	— к arccos т+тг+4г	k^Z. 5. х<0,
Э	D D	У	Э У У
log63<x<4. 6. (2; 3), (0; 1).
□
Вариант 1	К-10
1.	К числам, меньшим 105, относятся все однозначные, двузначные,
трехзначные, четырехзначные и пятизначные числа, составленные
из цифр 7, 6, 4. Их количество равно:
3 + З2 + з3 + з4 + з5 =	1 j = 363.
Нечетных чисел будет: 1 -4~ 3 З2-|-З3 З4 = 121.
2.	Количество четырехзначных чисел равно: Р(1; 2; 1) = —	- =
3! о
-----=3 ра-
2! 1! г
= 12. Числа 3 и 5 в каждом разряде встретятся Р (2; 1) =
за, а число 7 в каждом разряде встретится Р3 = 3! = 6 раз. Поэ-
тому сумма всех четырехзначных чисел равна:
1111 (3-3 + 7-6 + 3-5) = 73 326.
3.	Уравнение равносильно системе
Г sin х^О,
( 3 sin 2x4-2 cos2 х = 8 sin2 х.
Решив однородное относительно sin х и cos х уравнение
4 sin2 х—3 sin xcos х —cos2 х=0,
получим: tgx=l, tgx=—0,25. Учитывая условия sinx^O и
‘Т’] ’ П0ЛУчим: х=л —arctg 0,25. Ответ: х=л —arctg 0,25.
4.	При п> 1 имеем:
5л+12п+15 = (4+1)я+12п+15 =
= (4н + С^, + С24л-2 + ... + СГ242 + Сл-14+1)+12п+15 =
= (4л + ^4л-1 + ... + СГ242) + (Сля"14+1 + 12и+15) =
= (4« + Сл4л-1 + ... + Сл-242) + (4и+ 1 + 12и+ 15) =
= 4Л + С1п4п~1 +... + Сл “242 4- 1 би 4- 16.
Так как каждое слагаемое делится на 16, то и сумма делится на
16. При п=1 значение данного выражения равно 32 и также де-
лится на 16.
316
Вариант 2	К-10
1.	Количество различных треугольников равно числу сочетаний с
повторениями из 4 элементов по 3:
Из них число разносторонних треугольников равно числу сочетаний
из 4 элементов по 3, т. е. С% = 4. Равносторонних треугольников бу-
дет 4, следовательно, равнобедренных будет 12.
2.	К числам, меньшим 1000, относятся однозначные, двузначные и
трехзначные числа, составленные из цифр 5, 7 и 3. Их число равно:
3 + 32 + 33 = 39.
3.	Уравнение равносильно системе
{cosx^O,
24-3 sin х cos х — 2 cos 2x = cos2 x.
Решив полученное однородное относительно sin х и cos х уравнение
4 sin2 х-рЗ sin х cos х —cos2 х=0,
получим: tgx= —1, tgx = 0,25. Так как cosx^O и х£[0; л], то
Зл
окончательно получаем х = —.
4.	При п^2 имеем:
3я = (2 + 1)”=(2Я + С'2Л~14-... + Ся-222) + (СГ '2 + 1),
5я = (4 + 1 )я = (4Я + С'4Л~1 +... + Сл~ ’4) + 1,
7я = (6 + 1 )я = (6я + С\6п~1 +... 4- СГ262) 4- (Сл~ '6 4- 1 )•
Так как в каждом из равенств первое слагаемое правой части де-
лится на 4, то достаточно убедиться, что выражение
(2Ся-*4-1)4-14-(6СГ' +1)4-1
также делится на 4. Имеем: (2и + 0+ 1 + (6n + 1) + 1 = 8и + 4
делится на 4. При п= \ значение выражения равно 16 и, очевидно,
делится на 4.
Вариант 3	К-10
1.	120, 40. 2. 59994. 3. 2n-arctg3. 4. (4-f- 1 )я-|-(4 — 1 )я4-2: 4.
Вариант 4	К-10
1. 220, 100. 2. 18887. 3. 0.
Вариант 5	К-10
1. 340, 85. 2. 888. 3. л — arctg2.
Вариант 6	К-10
1. 35; разносторонних 10, равносторонних 5.
2. 4 + 42 + 43 + 44 = 340. 3. 2n-arctg2,5. 4. 16л-4л-3и =
= (15+ 1)л-(3+ 1)л-Зи.
317
Вариант 1	С-14
1.	4 детали из 40 можно выбрать С^о способами. Вероятность ВЫбо-
^5
ра 4 деталей без дефектов равна — «0,573.
С40
2.	Нас интересует событие А — «выбранный из сборной шахматист-
гроссмейстер». Рассмотрим два события: — «выбранный шахма-
тист из первой команды», Х2 — «выбранный шахматист из второй
команды». Эти события несовместны и X1|JX2= £7, где U — досто-
верное событие. Кроме того, из условия задачи следует, что
P(Xi) = 0,8, Р(Х2) = 0,2, P(A\Xl) = 0J, Р(Д|Х2) = 0,4. Пользуясь
формулой полной вероятности, получим:
Р (А) = 0,8 • 0,7 + 0,2 • 0,4 = 0,64.
3.	Данная система равносильна совокупности двух систем:
a) sin х = 0,	б)
cos2 х —cos 2z/=j ;
sin х>0,
cos z/ = 0,
9	Л 7
cos х —cos 2z/ = — .
В случае а) имеем:
sin x = 0,
1 —cos 2y=^^
sin x=0,
o 3 о
cos 2//=—-
x —nrz, n£Z,
y= arccos ( —	+ k^Z.
Так как cos 2y = 2 cos2 у— 1, то в случае б) имеем:
sin х^0,
cos z/=0,
2	3
COS x = -r
4
sin x^0,
cos z/ = 0,
. Л/з
cos x = r
x=(-l)'’^ + nn> ngz,
+ k£Z.
Ответ: ynn;
nez, k£Z.
± 1 a rccos ( -1) + л*), ((-1)” 14- ля; j 4- лй),
Вариант 2	С-14
1.	Делегацию из 3 человек можно выбрать С|о способами. Двух
мужчин можно выбрать С22 способами, а одну женщину Cls способа-
ми. Следовательно, делегацию, состоящую из двух мужчин и одной
женщины, можно выбрать C22«Cg способами. Тогда искомая веро-
ятность равна:
CL-C1
Р=-^«0,455.
сзо
318
систем:
' sin z/^0,
sin 2х=0,
k cos x + cos2 у = 0,25 + sin у.
2.	0,82.
3.	Система равносильна совокупности
а) Г sin z/ = 0,	б)
| cos x+cos2 у = 0,25 + sin z/;
Ответ:	arccos ( — ~) + 2лй; лп), ^ + л£; (— 1)л-^-+лп),
^2л&; ( — 1)я arcsin -^у^- + лп), ngZ, k£Z.
Вариант 3	С-14
1. «0,0072. 2. 0,0175. 3. (лп-, -^ + 2лб), (ij+лп; у + 2лй),
n£Z, keZ.
Вариант 4	С-14
1. «0,723. 2. 0,915. 3. (j+лл; 7+^),
(±у+2лп; ^-+л^, n£Z, k£Z.
Вариант 5	С-14
1. C|4.^2L»0,292. 2. -£г. 3. (л-|-2лл; ( —1)* arcsin ^-4-лА:\
С|5	12	\	«	/
(у+2лп; (- l)*j+nfc), nez, kez.
Вариант 6	С-14
I. 1-_£к«0,68. 2. 0,0275. 3. (у+лл; ±у+2лА
С100	'	7
^+2лп; у+л/г), ^4-2лп; j+лб),
(_51 + 2лп; 2лй), (--^ + 2лп; 2лб), neZ, keZ.
Вариант 1	К-11
1.	Чисел, кратных 6, всего 8, следовательно, Р = ~^~0,163.
2.	Вероятность совершить покупку каждым покупателем р = 0,1.
Тогда <?= 1—0,1 =0,9. По формуле Бернулли находим:
Р711 = С;г0,17-0,94«22.10-6.
3.	3x<62x-1^3x<^^12x>6^>x>logI26.
л г-,	,	. о 1 — cos 2a 9	14- cos 2a
4.	Применяя формулы sin a=-----, cos a=----
/	/	nW2
/i r> \2 I 14-cos (2x-h—) \
(cos2*Y । I	\	2/1  1
\	2	) +\	2	/ =T-
имеем:
319
После упрощений получаем уравнение cos 2х-|-sin 2х= 1, корнями
которого, удовлетворяющими условию л^х^—, являются числа
5л
Х1 = л и Х2 = —.
5.	Для того чтобы неравенство выполнялось при любом х, необхо-
димо, чтобы 0< ——-< 1. В этом случае данное неравенство равно-
сильно неравенству
о । 1	/3 —а\2	9 . 1	/3-а\2
ЛГ+4>(~3-)’ ИЛИ ^ + 1—(—) >0-
Ясно, что последнее неравенство будет выполняться при любом х
в том и только в том случае, если ——3 ) >0. Таким образом,
задача свелась к решению системы
Вариант 2	К-11
1.	Площадь квадрата равна 200 см2, площадь круга 100л см2. Сле-
довательно, вероятность того, что наугад поставленная точка не по-
падет на квадрат, равна:
_ 100 л—200
Р~	100л
^«0,363.
2.	Среди данных чисел, кратных 8, будет 13 (101 8л 200). Веро-
ятность выбрать из данных 100 чисел число, кратное 8,
13
равна -— = 0,13. Так как выбранное число возвращается обратно,
1 ии
то имеем повторение независимых испытаний. Вероятность события
А — «в результате 10 испытаний чисел, кратных 8, будет извлечено
не более одного» — равна:
Р (А) = Роло + Р110 = С?о • 0,13° • 0,8710 + с;0 • 0,13 • 0,879« 0,620.
3.	Имеем:
log2(x — 1 )2 < 4 о log2 |х— 1 I < 1 о — 1 <log2 |х— 1 I < 1 о
o|<|x—1|<2«^
3,
2
2 '
4.
sin4 * * * x-|-cos4 х=0,5 +cos 2х -<=>-
-<=>-( sin2 x+cos2 х)2 —2 sin2 х cos2 х=0,5 +cos 2х о-
<=>- 1 —1 sin2 2x=0,5 + cos 2x«$=>cos2 2х—2 cos 2х=0^
ocos 2х = 0ох=-^-+^р-, n£Z. Ответ: .
4	2	4
320
5. После упрощений получаем:
(а —4)81х< 1 —а.	(1)
Рассмотрим 3 случая: а) а<4; б) а = 4; в) а>4.
В случае а) неравенство (1) принимает вид: 81х> и всегда
имеет решение.
В случае б) неравенство (1) принимает вид: 0«81х< —3 и реше-
ний не имеет.
В случае в) неравенство (1) принимает вид: 81*< и при
а >4, очевидно, решений не имеет.
Ответ: а^4.
Вариант 3	К-11
1. «0,216. 2. «0,0574. 3. x>log75 5. 4.	2л. 5. 4<а<5.
Вариант 4	К* 11
1.	. 2. «0,670. 3. х< —4, — 2,5<х<—2, -2<х<
< — 1,5, х>0. 4.	5. а<2; а>3.
о «3
Вариант 5	К-11
1.	2. «0,254. 3. x<log86. 4. -у-;	5. а>1,5.
"э"
Вариант 6	К-11
1.	. 2. «0,878. 3. -2<х<-|, -|<х<1. 4. 0,
2л	3	3
л л	с.
— , — , л. 5. 1
4	2
Вариант 1	К-12
1. а) Область определения функции найдем, решив систему:
-А_>0,
sin х
10 —х2
X4— 11Х2-!-18
(1)
(2)
Ясно, что если а — одно из решений системы, то и —а также явля-
ется ее решением. Это значит, что область определения функции f
симметрична относительно начала координат. Очевидно, достаточ-
но найти только положительные решения системы. Положительны-
ми решениями неравенства (2) будут числа из промежутков
0<х<д/2~ и 3<x<V10. Пересечением этих промежутков с мно-
11 Заказ 134
321
жеством положительных решений неравенства —— >0 будут про-
sin х
межутки 0<х<д/2~ и 3<х<л (так как л<3,15, а д/Т0^>3,15,
то лСД/ю")- Таким образом, область определения функции со-
стоит из промежутков: — л<х<—3, — д/$Г<х<0, 0< x<"\/F,
3<х<л.
б) Рациональное число 1, иррациональное .
в) Функция является четной: /(— х) = /(х).
Г) lim/(x)=l+^.
х—0	6
2. Из условия имеем:			Я1(1+<72)=|.	(1)
	at4-ai<72 =	5^ 4 ’		
	а1~'а1?3 4 =	15 16	Ml-/)=-£•	(2)
о
После почленного деления (2) на (1) получаем 1— q2 = —. Учитывая,
_ л	1
что <7>0, находим д--.
Пусть S — сумма всех членов, a S, — сумма квадратов всех
членов прогрессии. Тогда
С—	о __ а* .
5	1-4 ’ 51	1—’
Si = (1 —- /?)2 = 1-<7 = 1
S2 l-д2 1+<7	3’
3. Пусть а и Н соответственно сторона основания и высота пирамиг
ды, ахи h — сторона основания и высота призмы (рис. 108).
Объем пирамиды вычисляется по формуле V = ^-a2H, а объем
О
призмы — по формуле V^x^h.
Н h х	t Н z ч
Справедливо равенство: —н~~=~а' 0ТКУДа п = — -(а — х).
322
Таким образом, объем призмы равен:	х2(а — х), Q<Zx<a.
Исследуем на экстремум функцию /(х) = х2(а —х), 0<х<а:
Г/'(х)=О, Г 2ах—Зх2 = 0,	_ 2а
| 0<х<а<>( 0<х<а	-^х— 3 .
Так как при 0<х<-^- f' (х)>0, а при -^-<х<а f' (х)<0 и так
□	о
2а	с
как в точке х= — функция f непрерывна, то на промежутке
(О; -y-j функция возрастает, а на промежутке	убывает.
Следовательно, наибольшее значение на рассматриваемом проме-
жутке функция принимает в точке х=—. 1ак как ——положи-
тельная постоянная, то при х=^- объем V призмы принимает наи-
большее значение. При х=-у- имеем й=~ и	а2Л=у V.
4.	Уравнение касательной: z/ = x-|-0,5. Площадь S искомой фигуры
получим, если из площади Si треугольника АВС вычтем площадь
S2 криволинейной трапеции ОВС (рис. 109): S = Si — S2. Имеем:
_i_
2
5.=|, S2=JV27dx=|.
Следовательно, 5=4-.	°
о
5.	Данное уравнение равносильно следующему:
2 cos 2x+sin-y-=3,	(1)
которое, в свою очередь, равносильно системе уравнений:
cos 2х= 1,	(2)
'	sin-^=l.	(3)
Решая систему, находим:
х =	ли, n£Z,	(4)
kez.	(5)
Требуется выяснить, при каких п и k уравнения (2) и (3) будут
иметь общие корни. Так как общий период функций, входящих в
уравнение (1), равен 4л, то сначала достаточно найти решения
уравнения на отрезке [0; 4л]. Уравнение (2) на этом отрезке имеет
0л О/i	/ о \	9л 1 Зл 17 л
; л; 2л; Зл; 4л, а уравнение (3) — корни: у; л; — ; —— ; -у- .
Единственным общим корнем уравнений (2) и (3) на [0; 4л] являет-
ся х = л.
Итак, все корни уравнения (1) могут быть записаны в виде х=
= л-|-4лдп = л (1 -|-4m), m£Z.
323
Рассмотрим другой способ решения.
Приравняв правые части (4) и (5), получим уравнение в целых
числах: 5п — 46=1. Решим его. Имеем: n — 4(k — n)=\ (6). Пусть
k — n = m (m£Z) (7). Тогда уравнение (6) примет вид: п — 4пг =
= 1, откуда
J п= 1 -|-4дп,	(о)
( k—\ +5ап, m£Z.	(9)
Формулы (8) и (9) содержат все решения уравнения 5и —46=1
в целых числах. Подставляя и=14-4аи в (4) (или й=14-5аи в
(5)), получаем: х=л(1+4/и), m£Z.
Вариант 2	К-12
1.	а) Область определения функции найдем из условия:
sin Зх=/=0,
cos х=/=0,
1-х2 У=0
хф-тг, n£Z,
О
kez,
Решив полученную систему, находим, что областью определения
функции является отрезок [ — д/з”; д/з”], из которого надо исключить
0а1	а	а
;	±1; ±^-; ±-^.
м	Z
б)	Рациональным числом из области определения функции яв-
ляется, например, число — , иррациональным Д/З.
в)	/( — х) = — /(х), значит, функция нечетная.
г)	lim f (х) = 0.
х->0
2.	Задача сводится к решению
системы:
Д1 _3
1 — q 4 ’
= 1,
1
^=-3-
Искомая сумма квадратов всех членов прогрессии равна
3.	Обозначим большее основание трапеции через х. Тогда площадь
трапеции равна:
S =	Д/За2 — х24-2ах, 0<х<За.
S'(x)= 2°2+-^-^_-,	= о х=2а.	'
2 "\/За2—+	(0 < х < За
Исследуя функцию на монотонность, делаем вывод, что на проме-
жутке 0<х^2а функция возрастает, а на промежутке 2a<Jx<3a
убывает. Наибольшее значение функция принимает в точке х=2а.
324
4.	S = J(x2+l-2x)dx=J(x-l)2dx=^-^~
0	0
5.	Перепишем уравнение в виде:
3sinx+cos2^=4.
«5
(1)
Так как 3sinx<3 cos2-^^l, то уравнение (1) равносильно системе:
О
3sinx=3, fsinx=l,	х=-^+2л/г, ngZ,
2	__1	I I — 1	ЗлЛ 1 — п
COS —=1	1^1 COS 3 |—1	х = —, k^Z.
1 + cos —	Зл
Период функции cos2-^-=--------равен период функции 3s,nx
равен 2л. Следовательно, общий период функций, входящих в ле-
вую часть уравнения (1), равен 6л. На отрезке [0; 6л] находятся
следующие числа вида у + 2лп: у;	• Осталось проверить, ка-
«, Зл/г л Зл/г 5л Зл& 9л
кое из уравнении:	=у, —, ——=— удовлетворяется
при целом значении k. Целый корень имеет только третье уравне-
ние: Л = 6. Таким образом, корнями исходного уравнения являются
9л
числа х=—+ 6лп, ngZ.
Другой способ решения.
Решим в целых числах уравнение у4-2ли=-^1. Имеем: 2-|-8п =
= 3k, или и —3(3л — k) = 2. Обозначим Зп — k = m, уравнение при-
мет вид: я = 3/и-|-2, где m£Z. Подставив п = 3/и + 2 в равенство
х=у+2л/1, получим:
х=у+2л (3/n + 2)=-y-+6nm, /nEZ.
Ответ: -у-Ц-бл/г, n£Z.
Вариант 3	К-12
1. а) 0< |х|<|, l<|x|<i, -^<|х|<У5;
Z Z	о о
б) т-; в) не является четной и не является нечетной;
□
г) I-V5. 2. -1г. 3. 2; 6; |. 4. 4- 5. ±^+лп, n£Z.
Z	IO	Z,	о	о
Вариант 4	К-12
1, а) 0< |х| <|, |< 1x1 <|, |< 1x1 <^>
325
б)	в) функция не является четной и не является нечетной;
5 у7
г) 2. 1. 3. д/3 дм. 4. б|. 5. 2л + 4л6, k£Z.
Вариант 5	К-12
1. a) 0<|x|^Y’ IХ1 -у-< 6) 0,5; в) не является чет-
ной и не является нечетной; г) 2+д/б. 2 1 3. arctg д/2. 4. 1
О	о
5. у+2л£, k£Z.
Вариант 6	К-12
1. a) 0<|х|<-£, |<|х|<|, 1<|х|<1, 1<|х|<-^,
о о	Z Z	о о
<|х|<-^=; б) 0,1; 0,5д/2"; в) четная; г) -Д+—. 2. 2; 1; 4; т-
Д/5	’	Зл	2	4
3. 60°. 4. 2-1. 5. —^+5л6, k£Z.
и	О
Вариант 1	С-15
1.	/' (х) = 2 (cos 2х—sin х),
Р'(х) = °,	.
ол
я	Х = -т-.
|?<Х<Л	6
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на ; л| :
= f = ~	/ (я)= — 2. Таким образом, min f (х) =
/	\ & /	г л 1
3 Г-	Т;я
= -4д/3, max/(х) = 0.	L J
(Н
Так как функция непрерывна на отрезке |у; л|, то Е (/) =
= [-1,5 Д/З; 0].
2.	Данное неравенство равносильно неравенству
sin 2х—(sin Зх+sin х)>0,
или sin 2х—2 sin 2х cos х>0, sin 2х(2 cos х— 1)<0.
Последнее неравенство равносильно совокупности систем:
а)
sin 2х>0,
1
cos х<—;
sin 2х<0,
1
COS Х> g- .
В случае а) находим:
2п,п+^<2х<^+2лп, n + 2nn<Zx<Z-^--^2nn, n£Z.
326
В случае б) находим: —^-i-2nn<Zx<.2nnt n£Z.
Ответ: — ^ + 2лп<.х<2пп, ^-\-2nn<Zx<Z^ + 2nn,
о	о	2
Зл
л4-2л/г<х< —+ 2ли, n£Z. Решение можно провести также и с по-
мощью метода интервалов.
3.	Имеем: sin (2 arctg х)= 1, 2 arctg х=-^--|-2лп, ngZ, arctg х =
= у+лл, (1). Но arctg х<у. Следовательно, урав-
нение (1) имеет решение только при л = 0. Получаем arctg х=-^-,
откуда х=1.
Вариант 2	С-15
1.	Имеем: z/ = sin xcos 2х, или # = sin х( 1 —2 sin2 х). Пусть
sinx = /, 0^/^1, так как О^х^л. Таким образом, задача сво-
дится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функ-
ции ф (/) = /(1 —2/2) = / —2/3 на [0; 1].
ф'(/)=1-6/2,
{ф'(0 = 0, Z=_L
| 0</<1	д/б ’
Так как <р(0) = 0,	<р(1)= — 1,то наибольшее зна-
чение функции равно > наименьшее значение равно —1.
2.	—4+2л/1<х< —4+2лл, 1+2пп<х<^+2лп,
3	оо	о
1+2лп<х<^-+2ПП, ^- + 2nn<x<^- + 2nn, n^Z.
3.	Имеем: ctg (0,5 arcsin х)= 1, 0,5 arcsin х=-^ + лл, n£Z, arcsin x=
= -^ + 2лп, ngZ. Последнее равенство возможно только при л = 0. По-
лучаем arcsin х=—, откуда х=1.
Вариант 3	С-15
1. [б; ^Цг-1- 2. -^4-2лп<х<-^4-2ли, у+2лп<х<^- + 2лл,
-^ + 2л/г<х<^- + 2лп, n£Z. 3.	.
Вариант 4	С-15
2. ^4-2л/г<х<^+2лп, |+2шг<х<^- +
327
+ 2шг, л + 2л/г<х< —+ 2лп, —+ 2шг<х<: —+ 2шг, —-|-2шг<
<х<2л-|-2шг, n£Z. 3. ±1.
Вариант 5	С-15
1. Го; ~1. 2. 2л/г<х<^Н-2ли, -Ц^4-2шг<х<л; + 2шг, -^ +
|_ о!	12	12	12
+ 2лп<х<.^-+2пп, n£Z. 3. 1.
Вариант 6	С-15
1. —§—;----— • 2. -& + 2лп<х<-^ + 2лп, л-|-2лп<х< —+
-|-2лп, -^-|-2л/К х<2л+ 2ли, n£Z. 3. 0.
Вариант 1
1. Сделав замену 2х-2 = /, получим уравнение:
sin 4/
sin t cos t
С-16
(1)
Имеем:
(1) о
2 sin 4/
sin 2t
2Д/3 о
cos 2t—^~,
sin 2/=#=0
-*=> cos 2t=^~ -$=>
о t =	+ ^n, n£Z.
Получаем совокупность уравнений:
2I-2='T5’+Ir" (л=0’ ’> 2’	2х=4+4ля (л=0, 1, 2,...),
2х-2=—^-4-лп(я=1> 2, 3, ...)	2х=-^4-4ля(п=1, 2, 3,...) ,
Ответ: log2y, log2(±у4-4лл)(п= 1, 2, 3, ...).
2. Данное неравенство равносильно неравенству
log2 |x—2|+log2(x4-l)<l <=►
|х —2|.(х+1)С2,
х=/=2,
х>-1.
Рассмотрим два случая:
(х—2)(х4-1)<2
х>2,
х2 — х — 4^0
328
б) ( — 1<х<2,	J—1<х<2,	/-1<х<0,
1(2 — х)(х+1)<2	(х2 — х>0	I 1<х<2.
Ответ: — 1<х<0, 1<х<2, 2<х<——.
3. г/'= 3 log2 х—!---—=—-—(log2X — 1).
х In 2 х In 2 х In 2 v 62	7
y' = 0 при log2x—1=0, т. e. при Xj=-^; x2 = 2. Так как y'Z>0
при 0<x<~ и x>2, у'<0 при ~<x<2, to x==t>— точка
максимума, x=2— точка минимума.
Вариант 2	С-16
1. Решений нет. 2. 1^х<2, 2<х<4. 3. Функция возрастает на
[0; оо], убывает на (— оо; 0].
Вариант 3	С-16
1. Решений нет. 2. 1 х< 2, 2 < х< 4. 3. ( — оо; 0], [log2 3; + °°) —
промежутки возрастания, [0; log2 3] — промежуток убывания.
Вариант 4	С-16
1. >og2 (-+ 2лп), log2 0^-4-2шг), n>0, n£Z. 2. ~<х<1.
Q	1
3. х=~ — точка минимума, х=е — точка максимума.
Вариант 5	С-16
1. log3(n;/i), n£N. 2. 2<х<4, 4<х^5. 3. х= — 2 — точка мини-
мума, х = 3 — точка максимума.
Вариант 6	С-16
1. log4 (-у--|-4шг), log4 (-^ + 4шг), и^0, ngZ. 2. х< — 1.
3. (0; 1), (1; V7] — промежутки убывания, [\/е\ + °°)— промежу-
ток возрастания.
Вариант	1	К-13
1. Задача сводится к решению системы
[ ,0^(Й = ,0&±У’	(1)
( 2x=z/.	(2)
X	1
Обозначив log^-g через z, перепишем уравнение (1) в виде z=—,
откуда находим: Zi=l, z2= — 1. Пусть z=l. Имеем:
	ьо| * II
iog4=i,^.	2х=1/,
. 2х=у	VV ОС
	1	1-
329
Полученная система решений не имеет.
Пусть z= — 1. Имеем:
iog4=-i,^
2x=z/
X __1_
~2~ У'
2х=у,
х>0,
У>0,
y^i.
Х = 1,
У = 2
Ответ: (1, 2).
2.	Воспользуемся формулой sin2a=-—c°s-— . Имеем:
sin 2х).
После упрощений получим:
(sin х—cos х)2 —2 (sin х—cos х) — 3 = 0,
откуда sin х — cos х= — 1. Ответ: 0; -у-.
3.	Так как 64х = 26х>0, то, разделив все члены неравенства на 26х,
получим неравенство, равносильное данному:
16-22х2-8х- 17.2?-4х+ 1 <0.
Откуда получаем:
‘ <2х2-<х<1 т> е.
10
( 2х2-4х<1,	( х2 —4х<0,	Г 0<х<4,
(2х2-4х>2-4	I (х—2)2>0	1 х=/=2
0<х<2,
2<х<4.
Ответ: 0<х<2, 2<х<4.
4.	Уравнение касательной к графику функции z/ = x3— Зх в точке
с абсциссой х0= —1 имеет вид у = 2. Решив уравнение х3 —Зх = 2,
найдем абсциссы точек пересечения касательной с графиком функ-
ции z/ = x3 —Зх: Xj = — 1 (точка касания) и х2 = 2 (рис. 110).
Рис. 110
Рис. 111
330
2
Площадь фигуры равна: S= (2 —(х3 —Зх)) dx=6,75.
-1
5.	Сечением пирамиды является трапеция. Пусть х—мень-
шее основание сечения. Тогда высота сечения равна 3 — х, а высота
второй пирамиды х. Объем второй пирамиды равен: V (х) =
=”(9 — х2) х, 0<х<3. Исследуя функцию V (х), находим, что
max V(x)= У(Д/3)=Д/3.
(0; 3)
Вариант 2	К-13
1. а=1. 2. 1<х<2, —2<х< —1.
3.	Пусть х{ и х2 — корни данного уравнения. Тогда x1H-x2 = cosa,
xix2= —0,5 cos 4a. Имеем:
xf-p^ = (x1 + х2)2 —2x^2 = cos2 a-|-cos 4a.
Согласно условию получаем уравнение:
cos2 a + cos 4a = 0,25,
1±^1+2coS’2«-1=1,
8 cos2 2a + 2 cos 2a — 3 = 0.
Решив квадратное уравнение, найдем:
1	3
а) cos2a=-g; б) cos2a=— —.
Дискриминант квадратного уравнения х2—xcosa— 0,5cos4a = 0
равен D=cos2 a+2 cos 4a= 1.+c°s 2a _|_ 2 (2 cos2 2a — 1). Если cos 2a =
1	3
=~, то £><0, если cos2a=——, to D>0.
Таким образом, если cos 2a= — , то исходное уравнение имеет
действительные и различные корни, удовлетворяющие условию
x? + xf = 0,25.
(з\
— jj + wi, n£Z.
* '
4.	У = л^ (х3^-1)2 dx=^-л.
-i
5.	Если Л4 не совпадает ни с Вь ни с Сь то сечением является тра-
пеция	(рис. 111). Пусть DxN = x, тогда ДВ = 2д/з\ Л^ =
= ^=£. £W=V4 + x2.
Площадь трапеции равна:
5(х)=-^ДУ44-х2, 0<х<3.
v 3
331
Площадь прямоугольника ААХВ{В равна 4Д/3~, площадь тре-
угольника АВСХ равна д/39\ Вычислив S (0) = 4 д/з", S (3)=д/ЗЭ\ де-
лаем вывод, что площадь сечения равна:
S(x)=-^ Д/4 + х2, 0<х<3.
у 3
Для нахождения наибольшей и наименьшей площади сечения най-
дем производную:
S'(x) =---* (x-l)(x-2) S/(x) = 0 при Х=1 и х=2.
Уз
Сравниваем 5(0)=-^, 5(1)=-^, S(2)=-^£, 5(3)=-ЦЛ и
уЗ	уЗ	уЗ	уЗ
приходим к выводу, что minS (x) = S (3)=Д/39\ maxS (x) = S (0) =
[0; 3]	[0; 3]
= 4д/з\ Ответ: 4д/3~, *\/39\
Вариант 3	К-13
1. а = 3, 6=1; xt—i, x2——i, х3 = 4-|-Уз~, xt=4—"\/з\
2. 2Д/Т; —!=. 3. —х=±л- 4. 4,5. 5. arctg2^/2.
у2
Вариант 4	К-13
I. а=1. 2. х^О, х= — 4. 3. х=-^--|-лп, у=^—лп, n£Z. 4. 2 In 3.
5.^.
Вариант 5	К-13
1. 217. 2. ^+2лп, у + 2лл, ^-+2лп, n£Z. 3. x<-log32, х>0.
. 1С 1 е	2	2Д/з
4. 16у. 5. а=у=, V=—.
Вариант 6	К-13
1. х=1, У = ^- 2. х=^-, х=^-. 3. х=1, x=log23—1. 4. у =
3 _ l+yTT' 1 ч-УГГ	7—V17'
= *-4- 5-	-^—Р' ~t—P-
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБРАЗЦЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ ЗА КУРС
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
1 982 ГОД
Вариант 1
1.	Даны два комплексных числа:
2
z{ = a — i, z2 = 24 -(cos — i sin .
Найдите все значения при которых Zi = z2.
2.	К графику функции f (х) = 2 sin2 х-ГД/З-sin 2х, где х£ |jrc; ,
проведена касательная, параллельная прямой у = 4х-|-1. Найди-
те координаты точки касания.
3.	Решите неравенство 2 log2 х —3 logx4^4.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у2 — х и
x + f/ = 2.
5.	В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат
ABCD. Известно, что прямая SD перпендикулярна плоскости
АВС и что площадь треугольника ЗЛС равна 2д/У. Какой дол-
жна быть длина стороны основания пирамиды, чтобы ее объем
был наибольшим?
Вариант 2
1.	Даны два комплексных числа:
2
Z! = l-|-ai и z2 = 24-(sin j-H cos.
Найдите все значения при которых z?=4
2.	К графику функции f (х) = д/У sin 2х-|-2 cos2 х, где х(е|^-;	,
проведена касательная, параллельная прямой 12х — 3z/ = 2. Най-
дите координаты точки касания.
3.	Решите неравенство 2’logx9 — log3 х>3.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = х и
X—У = 2.
5.	АВСОА^С^ — правильная четырехугольная призма (ABCD и
А^С^ — основания призмы). Известно, что площадь четырех-
угольника ADiCiB равна 4д/з\ Какой должна быть сторона
основания призмы, чтобы ее объем был наибольшим?
333
1 983 ГОД
Вариант 1
1.	Вычислите (---—
X 1+*
2.	Найдите все решения уравнения 3 cos 2x-h4 sin2 + j)= 1»
принадлежащие отрезку 2л} .
3.	Решите неравенство log| (4х)-|-logx 8^ — 2.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями i/=|x2 — Зх|4-
4-х и z/ = x4-4.
5.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар радиуса
1. Найдите длину высоты пирамиды, при которой ее объем наи-
меньший.
Вариант 2
1.	Вычислите (----
2.	Найдите все решения уравнения 5 cos 2x4-4 cos2 ^-£.4-^= — 1,
Г
принадлежащие отрезку л; — .
3.	Решите неравенство logx9 —log|(3x)^ — 2.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями z/=|x24-4x| —
— 2х и у — 10 —х.
5.	Найдите наибольший возможный объем правильной треугольной
пирамиды, вписанной в шар радиуса /?.
1 984 ГОД
Вариант 1
1.	Вычислите (1 4-* д/^)7 + (1 — * Vs")7-
2.	Решите уравнение sin4-^4-sin4 fy4-4>)=T(4”s^n если
х£[0; 2л].	V 7
3.	Решите неравенство 4Х4-3-22“Х< 13.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у =	, касательной к графику этой функции в точке с абсцис-
сой х0= 1 и прямой х = 3 (In 3^1,1).
5.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб с ребром,
равным 1, так, что одно основание лежит на основании пирами-
ды, а вершины противоположного ему основания — на боковых
ребрах пирамиды. В пирамиде с наименьшим объемом найдите
величину угла наклона боковой грани к основанию пирамиды.
334
Вариант 2
1.	Вычислите	i)7 +	— i)7.
2.	Решите уравнение cos4y-|-cos4 0- —-0=j(l — sin 2х),
Г л Зл]
если х£^ ——] •
3.	Решите неравенство 9х + 2-31-х>7.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
х —4
у —----> касательной к графику этой функции в точке с абсцис-
сой х0= 1 и прямой х = 5 (In 5^ 1,6).
5.	Сечением правильной четырехугольной пирамиды, проходящим
через высоту пирамиды и апофему, является правильный тре-
угольник со стороной, равной 2. В пирамиду вписана правиль-
ная четырехугольная призма так, что нижнее основание призмы
принадлежит основанию пирамиды, а вершины верхнего основа-
ния лежат на боковых ребрах. В призме, имеющей наибольший
объем, найдите отношение ее высоты к стороне основания.
1 985 ГОД
Вариант 1
1.	Число x=-j-~г является корнем уравнения 2Х3—а2х2-|-2а2х—а —
— 2 = 0, a£R. Найдите значение а и решите уравнение при най-
денном значении а.
2.	Найдите все корни уравнения cos4 x-|-sin	+ 0 sin (у— x^~
= 0,25, принадлежащие отрезку [““yi у-j •
3.	Решите неравенство log2 (Зх-|-1) log0>5 (6х-|-2)< — 6.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
£/ = ЗД/4х+1 , касательной к графику этой функции в точке с
абсциссой х0 = 2 и прямой у = 0.
5.	В шар радиуса R вписан цилиндр. Найдите угол между диаго-
налью осевого сечения цилиндра и плоскостью основания, при
котором площадь полной поверхности цилиндра будет наиболь-
шей. Найдите значение этой наибольшей площади полной поверх-
ности.
Вариант 2
1.	Число х=-—у является корнем уравнения 2х3 + «2х2 + 2а2х+
+ 2 — а = 0, a£R. Найдите значение а и решите уравнение при
найденном значении а.
335
2.	Найдите все корни уравнения sin4 х— cos cos (т~~ / =
= 0,25, принадлежащие отрезку [ — л; 2л].
3.	Решите неравенство logj (1 — 2x)-log3(3 — 6х)< — 2.
з”
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у==3 Д/5 —2х , касательной к графику этой функции в точке с
абсциссой х0=—2 и прямой у = 0.
5.	Конус описан около шара радиуса R. Образующая конуса со-
ставляет с плоскостью основания угол 2а. При каком значении
а площадь осевого сечения конуса будет наименьшей? Найдите
значение этой наименьшей площади.
1 986 ГОД
Вариант 1
1.	Найдите все значения a£R, b£R, которых выполняется ра-
венство
4i — 2ab — аЫ = 3 — а2 + b2i.
2.	Решите уравнение 2 cos х—|cos х| = tg х+sec х.
3.	Решите неравенство
>og2(x2 — 2x4-1) — 4х<8 + 2(х+1) log0>5(1 —х).
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = у[х\
у = У] — 2х, у = 2.
5.	Объем конуса равен V, Найдите наибольший объем цилиндра,
вписанного в этот конус.
Вариант 2
1.	Найдите все значения a£R, b£R, для которых выполняется ра-
венство
a2 + (ab+ 1) i — 5 = ai — b2 + bi,
2.	Решите уравнение |sin х| + 2 sin x=ctg x-h cosec x.
3.	Решите неравенство
(х-3)2?-2х4-16>8(х-2?-2х-3).
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=^—х,
y=yfix, у = 3.
5.	Объем шара равен V, Найдите наибольший объем цилиндра,
вписанного в этот шар.
336
1 987 ГОД
Вариант 1
1. Вычислите
. л
Sin у— г COS
(W+04
4
2.	Найдите все решения уравнения Д/2 sin х = — д/3~ tg х, принад-
лежащие промежутку [л; Зл].
3.	Решите неравенство log2 (х2 —Зх)^5 +log05 (х+4).
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
2
У
(2х— I)2
, касательной к графику этой функции в точке с абс-
циссой х0= 1 и прямой х=2.
5.	Укажите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума
функции z/ — 8x — 2x+I — х In 2. Найдите наибольшее и наимень-
шее значения этой функции на [—1; 1].
Вариант 2
1. Вычислите
16/
/ . л	л\2
^n-^cos-)
(«W-i)4
2.
3.
Найдите все решения уравнения
~\/2 cos х = —д/З* ctg х, принад-
лежащие промежутку
Решите неравенство log0>5(2x2 + 3x)^log2(2 — х) —3.
л е 5л
7; ~
4.
5.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
2
(2x4- I)2
касательной к графику этой функции в точке с абс-
I
2
3
4
5
6
7
?
Г
I
I’
Н
II
I)
I
циссой хо = О и прямой х=1.
Укажите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума
функции у = 4х — 8* + х In 2. Найдите наибольшее и наименьшее
значения этой функции на [—1; 1].
1 988 ГОД
Вариант 1
1.	Решите уравнение z6-|-(8 — Z)z3 + (1 4-i)6 = 0.
2.	Найдите область определения и область значений функции
sin Зх
у =--------7-----г •
1—2 sin (-5-—2х )
337
3.	Многочлен Р (х) делится без остатка на х+1, а при делении на
х2 — Зх дает в остатке 7х— 1. Найдите остаток от деления много-
члена Р (х) на х3 —2Х2 —Зх.
4.	Через точку Л( —3; 1) проведена прямая, которая является ка-
сательной к графику функции z/= у8 —х2. Определите угол на-
клона этой прямой к оси абсцисс. Сделайте рисунок с изображе-
нием графика данной функции и данной касательной.
5.	Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением
у (/)= 15 + 0,2/. Вычислите длину уклона, если поезд прошел его
за 20 с. (Путь измеряется в метрах.)
Вариант 2
1. Решите уравнение z4 + (2— 4/) z2 — (1 — i)6 = 0.
2. Найдите область определения и область значений функции
3. Многочлен Q(x) делится без остатка на х —2, а при делении на
х^х дает в остатке —4х+2. Найдите остаток от деления много-
члена Q(x) на х3 —х2 —2х.
4. Через точку Л (9; —3) проведена прямая, которая является ка-
сательной к графику функции //=д/18 —х2. Определите угол на-
клона этой прямой к оси абсцисс. Сделайте рисунок с изображе-
нием графика данной функции и данной касательной.
5. Скорость автомобиля при торможении выражается формулой
v (/) = 18— 1,2/. Вычислите путь, пройденный автомобилем, если
он остановился через 15 с после начала торможения. (Путь изме-
ряется в метрах.)
1 989 ГОД
Вариант 1
1.	Найдите z12, если
2 л / . Зл । • Зл  .\
COS — ( Sin — + I COS — + И .
о \	4	4	/
2.	Найдите все решения уравнения
Д/4 cos х —6 sin х =Д/2 — 3 tg х,
принадлежащие [ — л; л].
3.	Решите неравенство logx > **
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
//=^/3x4-2, у = у/2х, у — 0.
338
5.	Найдите все значения a£R, при которых области значений функ-
ций /(х) = хе‘+х и g (х) = х4 — 4х + а3 + а совпадают.
6.	Два точечных заряда 8-10-6 Кл и 27-10-6 Кл находятся в ваку-
уме на расстоянии 0,2 м друг от друга. В какой точке отрезка, со-
единяющего эти заряды, напряженность, создаваемая этими за-
рядами, электрического поля наименьшая, если заряды разно-
именные? Напряженность поля в точке вычисляется по формуле
£=-^, где £ = 9-109 --
Г
Кл2 ‘
Вариант 2
1. Найдите z30, если
2. л (1	5л । . .	5 л \
sin Н — cos -£- + * sin — \.
2.	Найдите все решения уравнения
д/4 sin х—6 cos х =д/2 —3 ctg х ,
принадлежащие [л; Зя].
3.	Решите неравенство
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
___________________________ з.______
у = у]Зх — 2 , у—\4х , у = 0.
5.	При каких a£R области значений функций f (x) = exln х и
g (х) = 3х4 — 4х3 + а3 + За2 совпадают?
6.	Два одноименных точечных заряда 81 • 10“6 Кл и 16-10“6 Кл на-
ходятся в вакууме на расстоянии 0,26 м друг от друга. В какой
точке отрезка, соединяющего эти заряды, потенциал электриче-
ского поля наименьший? Потенциал электрического поля, созда-
ваемого зарядом q, вычисляется по формуле
<р=-^-( где Л = 9-109	•
г	Кл
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных за-
даний.
1 990 ГОД
Вариант 1
1.	Решите систему уравнений
х + // = л,
sin х + sin у — cos к cos у — 1
1 — cos у
339
2.	Решите неравенство (х2 —2х —8) (log2 2х-|-5 log05 x-J-1 )^0.
3.	Изобразите на чертеже множества А и В комплексных чи-
сел, удовлетворяющих соответственно уравнениям + = 0 и
az +	= 2 д/2"» где а = 0,5(1—/). Найдите все общие точки мно-
жеств А и В.
4.	График функции z/ = x2 + 4x + 4 пересекается с графиком ее пер-
вообразной в точке с абсциссой 0. Найдите площадь фигуры,
ограниченной графиками этих функций.
5.	Исследуйте функцию
(х2 — х) ех~1
У = - |х-Ц '
Постройте график функции, найдите множество ее значений.
6.	Из трех резисторов, соединенных параллельно, составлена элек-
трическая цепь. Известно, что сопротивление первого резистора
в 9 раз больше сопротивления второго. При последовательном
соединении этих резисторов сопротивление цепи равно /?. Най-
дите сопротивления резисторов, при которых сопротивление ис-
ходной цепи будет наибольшим.
Вариант 2
1.	Решите систему уравнений
у — х=л,
COS X—COS у + COS X cos у
1 —sin х
2.	Решите неравенство (27х2 + 26х—1) (log3 9х—log^ х—7)>0.
3.	Изобразите на чертеже множества А и В комплексных чисел,
удовлетворяющих соответственно уравнениям zz + az + azA~7==Q
и \z — а| = |z — а — 6|, где а= — 2 — 2L Найдите все общие точки
множеств А и В.
4.	График функции z/ = x2 — 2х-|- 1 пересекается с графиком ее пер-
вообразной в точке с абсциссой 3. Найдите площадь фигуры,
ограниченной графиками этих функций.
5.	Исследуйте функцию
Постройте график функции, найдите множество ее значений.
6.	Три конденсатора, соединенных параллельно, образуют батарею
емкостью С. Найдите емкости конденсаторов, при которых ем-
кость батареи, полученной при последовательном соединении
этих же конденсаторов, будет наибольшей, если известно, что
С2:С3 = 2,25.
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
140
1991 ГОД
Вариант 1
1.	Решите уравнение 27х —3-18х—12х4-3-23х = 0.
2.	Решите уравнение cos =ctg х. Укажите решения урав-
cos х—sin х
нения, для которых выполняется неравенство sinxcosx>0.
3.	Решите систему неравенств
( Д/(2х-1)(х+3)>х+1,
I log3x-2 28>2.
4.	Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
о ________________________
вычислите	Д/З —2х —х2 dx,
-1
5.	М — множество точек zx комплексной плоскости таких, что
|^ + д/2|	* К— множество чисел z2 комплексной плоскости
вида z2==izi, где z^M. Найдите расстояние между фигурами
М и К.
6.	При каких значениях параметра а прямая у=^/ах касается
графика функции 4/ = 1пх—ах2?
Вариант 2
1.	Решите уравнение 8х — 2-20х + 3*50х = 6- 125х.
2.	Решите уравнение	—^-^ = tg4- Укажите решения урав-
cos x + sin х	*
нения, для которых выполняется неравенство cosxsinx<0.
3.	Решите систему неравенств
V(2x-3)(х4-2) >х,
1°ёзх-1 27 <2.
4.	Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла,
-1 _______________________
вычислите	Д/ —х2 —6х —5 dx.
-2
5.	М — множество чисел z^ комплексной плоскости таких, что
| — z{i — 2 д/2"*1 = 1- К— множество чисел z2 комплексной плос-
кости вида z2= — izb где zx£M. Найдите расстояние между фи-
гурами Л1 и /С
6.	При каких значениях параметра а прямая у — ах-\—касается
уа
графика функции у = ~\[х?
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
341
1 992 ГОД
Вариант 1
1.	Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетво-
I 2 4” 1 I	(X Е
ряющих условию |г_2| ^0,5.
2.	Решите неравенство
l°g2x+2,5(l’5-X)>0
(х+о,5)(х-1) "" ’ '
3.	Решите уравнение ctg 2x-cos 5x+sin х = 0.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
z/ = 0,5x2 —2х+1 и z/ = 6,5—1,5 |х—5|.
5.	Сколько корней имеет уравнение 4е“х(х2-|-х —5)= 1?
6.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
д/б9 — ЗОх = 9 — Зх и неравенство log15ax+3(3x2 —6,5х-|-2 + а)^х
имеют только одно общее решение.
Вариант 2
1.	Изобразите множество точек комплексной плоскости, удов-
|z + 2f|	о
летворяющих условию
2.	Решите неравенство
1оёГз-х(*+0»5)<0
х(1-х)
3.	Решите уравнение sin 7x-ctg 2x=cos Зх.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
//= — 0,5х2 + х + 7,5 и у = 1,5(|х+2| — 1).
5.	Сколько корней имеет уравнение ех~1 (х2 — 3х — 3)+ 12 = 0?
6.	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
^(х+г^ь^хЧзх+г) и неравенство 2“+1-4х+“ + 7-2х<0 име-
ют только одно общее решение.
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
1 993 ГОД
Вариант 1
1.	Найдите сумму таких чисел z, что г4 = л/3~ —z. Укажите одно из
этих чисел.
2.	Решите уравнение Vcos 2/ — 3 sin 2/ =cos t.
342
3.	Решите неравенство 2х-5х >10.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = х2 —4х-|-4 и касательными к этому графику, проходящими че-
рез начало координат.
5.	Найдите все такие числа а, для каждого из которых существу-
ет только одно число Ь, такое, что b2
6.	Какие значения может принимать сумма чисел хну, если
|z/| =(х —2) (4 —х)?
Вариант 2
1.	Найдите сумму всех таких чисел z, что z4=l—Укажите
одно из этих чисел. ______________
2.	Решите уравнение Д/5 sin 2и — cos 2и = sin и.
3.	Решите неравенство 3х-2х ^6.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
// = х2 + 6х + 9 и касательными к этому графику, проходящими
через начало координат.
5.	Найдите все такие числа Ь, для каждого из которых существу-
ет ровно три различных числа а, таких, что а(& + а2)=1.
6.	Какие значения может принимать разность чисел у и х, если
|у| = -4х(х + 2)?
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
1 994 ГОД
Вариант I
1.	Найдите все комплексные z, удовлетворяющие условию
4-1=0.
о	1
2.	Пусть /(х) = Зх . Решите неравенство: 2f (x) + f (1— x)<j.
3.	Изобразите на координатной плоскости линию, задаваемую
уравнением \у\ = х^ — 4|х| +4, и найдите площадь фигуры, огра-
ниченной этой линией.
4.	Не пользуясь микрокалькулятором и таблицами, сравните числа
log43 и log32.
5.	Сколько различных корней имеет уравнение
Д/ —х2 —21лх (sin Зх cos 6х—sin xcos 8х) = 0?
6.	Найдите наименьшее значение длины отрезка прямой у = а с
концами на графиках функций #=уХ и у = 2х + Д/х2 + 5.
Вариант II
1.	Найдите все комплексные z, удовлетворяющие условию
343
z2-2(z + z)4-4 = 0.
2.	Пусть f (x) — 2^~3x. Решите неравенство:
f(x)4-2/(3-x)<0,75.
3.	Изобразите на координатной плоскости линию, задаваемую
уравнением |у| = 3 4- 2 |х| — х2, и найдите площадь фигуры, огра-
ниченной этой линией.
4.	Не пользуясь микрокалькулятором и таблицами, сравните числа
log35 и log57.
5.	Сколько различных корней имеет уравнение
Д/25лх—х2 (cos x-cos 7x-hsin x-sin 5х) = 0?
6.	Найдите наименьшее значение длины отрезка прямой у = Ь, кон-
цы которого принадлежат графикам // = 2х—Д/1 4-Х2 и у = 2х.
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполненных заданий.
1 995 ГОД
Вариант I
1.	Найдите пару комплексных чисел z2, для которых одновре-
менно выполняются соотношения
2z14-z2=ll/ и 2z! —322/=17.
2.	Решите систему уравнений:
log2(xf/)—|log2(x2)=l,
•ogx2 (у2) + 10g2 (у + 6)=4.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 4 + sinx, i/ = sin 2x + cos х, х = 0 и х = л.
4.
5.
6.
Исследуйте функцию f (х) = х2 — 6x4-8~\[х на монотонность.
Решите неравенство tg 4- sin 2.
При каких р наименьшее значение функции g(x) =—х34-
4-2JOX2 — 2,25р на отрезке [ — 3^2 \ 3] достигается в двух различ-
ных точках?
Вариант II
1.	Найдите пару комплексных чисел (г; ш), для которых одновре-
менно выполняются соотношения
3z —2w = l и z —	6/.
2.	Решите систему уравнений:
344
logo,5x + 3 (•*2/)+ * = 10g4 (У2),
log,4-0,25 log2(i/2) = 0,5.
У
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
z/ = cos2x—6, z/ = sin x-hsin 2х, х=0 и х= — л/2.
4.	Исследуйте функцию
g (х) = 9х— 12 In х—2ху[х
на монотонность.
5.
6.
Решите неравенство 1 +tg
2лх
х2 + 4
4лх
х2 + 4 ’
При каких а наибольшее значение функции
/(х) = х3 +
+ 5ах2 + 2а на отрезке [ —2 д/3^; 2] достигается в двух различ-
ных точках?
^5 COS
1 996 ГОД
Вариант 1
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
у=(2х 4- 3) д/2х+3 + х2,
2.
3.
4.
не пересекающей прямой у = х.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=z/2—6у + 5
и х=0.
При каких р числа cos 6р, sin 4р, cos 2р в указанном порядке об-
разуют геометрическую прогрессию?
Решите неравенство log_2x+2
7.0,5х —22х+5
1—21—х
<-1.
Не пользуясь
микрокалькулятором, определите, удовлетворяет ли данному не-
равенству число —0,75.
5.	Найдите точку графика функции у=-±=, сумма расстояний от
Vх
з
которой до прямых у = 0 и г/=——х наименьшая.
6.	Отметьте на комплексной плоскости все точки z, если известно,
что треугольник с вершинами в точках, соответствующих числам
Zi = 2, z2 = z и z3 = 2i — z, является равнобедренным.
Вариант 2
1.	Напишите уравнение касательной к графику функции
у = (1 — х) Д/1 —* ~ ^2>
не пересекающей прямой z/ = 3x.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х=#2-|-5# + 5
и х= — 1.
345
3.	При каких t числа cos 7/, cos 2/, cos 11/ различны и в указанном
порядке образуют арифметическую прогрессию?
4.	Решите неравенство log2x_1 (9-23“2х — 2х+1)^2. Не пользуясь
микрокалькулятором, определите, удовлетворяет ли данному не-
равенству число 1,75.
5.	Найдите точку графка функции z/ = lnx, сумма расстояний от
которой до оси ординат и до прямой z/ = 2,4x наименьшая.
6.	Отметьте на комплексной плоскости все точки z, для которых
точки, соответствующие числам z{ = 2it z2 = z и z3 = -^z-h 1, явля-
ются вершинами прямоугольного треугольника.
ОТВЕТЫ К ЭКЗАМЕНАЦИОННЫМ РАБОТАМ
1 982 ГОД
Вариант 1
1. а= —1. 2.	1). 3. 0<х<1, 1<х<8. 4. 4,5. 5. 2.
Вариант 2
1. 1. 2. (^; 1Y 3. 0<x<-Y 1<х<3. 4. 4,5. 5. 2.
\ 12	/	81
1 983 ГОД
Вариант 1
1. 8i. 2. —, л +arcsin-?-, 2л — arcsin-?-. 3. —<х<1. 4. И-—. 5. 4.
2	3	3	3	о
Вариант 2
;	л	4	5л	11	5
I. —. 2. л + arcsin — , 2л —arcsin--, — . 3. 0<х<—, — ^х< 1, х>3. 4. 35 —.
8	5	5	2	9 3	о
е 8Я3Д/з
5‘ —•
1 984 ГОД
Вариант 1
1. 128. 2. 0; -^р-, 2л. 3. 0<x<log23. 4. 6 In 3. 5. arctg 4.
Вариант 2
1.	2. -у, я, -у-. 3. х<0, x>log32. 4. 164-4 In 5. 5. 0,25 Л/з".
1 985 ГОД
Вариант 1
1. а= — 1; 0,5; ±«. 2. ±4-.	• 3. -4-<х<—х>1. 4. 6,75. 5. а =
4	4	4	3	24
= 0,5 arctg 2; S=n/?1 2 * 4(1 +У/5).
Вариант 2
1. а = 1, %!= — 0,5, х2 3= ±г. 2. —~
х< — 1. 4. 13,5. 5. a=i, S = 3R2\3.
О
л л Зл 5л 7л 4
“Т’ Т’	Т* ’ "9
2 ’
347
1 986 ГОД
Вариант 1
'.(ЗИМ-З;-1).	+
4V
n£Z. 3. х<—3, — 2<х<1. 4. 4. 5.
Вариант 2
1. (2; 1), (1; 2), (1; —2), ( — 2; 1). 2. —-^- + 2лл, arccos-|--|-2лл, n£Z.
2	3
V
3. — 1<х<2, х>3. 4. 12. 5. -т=.
УТ
1 987 ГОД
Вариант 1
1. — i. 2. л, 2л,	, Зл. 3. — 4<х<0, 3<x<J4. 4. 2-?-. 5. Промежуток убыва-
6	3
ния — (— оо; 0], промежуток возрастания — [0; 4-оо), min у= — 1, max 1у =
[-1. И	[-1; И
= 4 —In 2.
Вариант 2
1. i. 2.	3. —2<х< — 1,5, 0<х<2. 4. 2~. 5. Промежуток воз-
2	2	3	2	3
растания—(— оо; 0], промежуток убывания — [0; 4-оо), max z/ = 0; min у =
[-1; i] [—i; i]
= 1п2 —4.
1988 ГОД
Вариант 1
1. —2, —/, 1±/Д/з", ± 0,5 д/з" 4-0,5/. 2. х^лп, х^= — -?- + лл, n£Z;
3
f“1; _^)и(_^2-; ¥)U0f: ‘1 • Х 2x2 + x-L 4- 45°-
I	£ у	£	£ J £ I
Вариант 2
1. ±1Л/Г, ±V2 (1+0- 2. х^-^+яп, n£Z; [-1; 3). 3. ^-Зх+г. 4. 135°.
О
5. 135 м.
1 989 ГОД
Вариант 1
1. —641. 2. —— л+arctg-^-; arctg-?-. 3.
О	О	О
4. 1-^.5. а=1. 6. 0,08 м (от первого заряда).
3
/з-У5~. 1\.Л. 3+W\
\	2	’ 2/и\ ’	2	/
348
Вариант 2
1. i. 2. л + arctg ; 2л + arctg -^.3. (3	= l)u^2; 3+^
5. а = 0; а=—3. 6. 0,08 м (от второго заряда).
1 990 ГОД
Вариант 1
1. (2лл; л —2лл),	2. (0; 2]j{4}. 3. л/2—У/21. 4. 2,25. 5. £(/) = /—1; J
9	13	\ е J
U(l; +oo). 6.	Rz—K Rs~R-
1<5	10	10
Вариант 2
1-	(-y+2n/i; j+'2n/»y n€Z. 2. |±|u[3; + oo). 3. 14-2*. 4. 2,25.
5. £(/)=(—1; ±1 U(l; +oo). 6. C,=AC; C2=±C; C3=±C.
\	С J	1 <7	117	117
1991 ГОД
Вариант 1
1.	0; log, 53. 2. £+лЛ, n£Z. 3. (. 4.	. 5. 1. 6. a=0,25e-'-5.
’ о	\ о /	2	□
Вариант 2
1. log042. 2. -^-+2лй. 3. (L+J^ ; +oo). 4.	5. 2. 6. a=-L
О	\ О	/	□ Z	10
1 992 ГОД
Вариант 1
I. Вся плоскость, кроме круга с границей (х + 2)1 2 + у2 = 4 и точки Л (2; 0).
2. (-2,5; -1,5)U(-1,5; -0,5)U{0,5)U( 1; 1.5). 3.	'±^+яп, n£Z.
о 4 о
4.	25,5. 5. 3 корня. 6. (—1;	lj U(5; +оо).
Вариант 2
1.	Круг с центром в точке (0; 2) и радиусом г = 2, исключая точку Л (0; 1).
2.	(-0,5; 0)Щ1; 2)U(2; 3)uUl. 3. £+-^; ±^ + лл; ±^+пп, n£Z. 4. 25,5. 5. 2
^2J о 4 о	О
корня. 6. [0,5; 2).
1 993 ГОД
Вариант 1
1.0; у/2 (cos + *sin* 2- 2лп; —arctg6 + 2nw, n^Z. 3. (0; 1)U
1	3
U(log25; +oo). 4. 5-. 5. a<^-. 6. 1,75<% + //<4,25.
о	61—
V4
349
Вариант 2
1.0; Д/2~ Qcos Q—n>/ + r sin(—ЕГ//	у+2лл; arctg 0,1-h 2 лп, n£Z.
3.	(-оо; 0)U[log32; 1]. 4. 18. 5. ft<—2-. 6.
д/Г
1 994 ГОД
Вариант 1
9
1. -1; 1±2/. 2. (-оо; - 1)U(2; + оо). 3. 10у. 4. log43>log32. 5. 127.
6. а — 1,25.
Вариант 2
1. 2; ±2/. 2. [1; 2]. 3. 36. 4. log35>log57. 5. 152. 6. 6 = 0,5.
1 995 ГОД
Вариант 1
1. Zi = 2,5 — 7,5r; г2=—5 —4/. 2. (— Д/2”; —2), (2; 2). 3. 24-4я. 4. Функция f воз-
растающая. 5. [2—д/з”; 1)0(1; 2+Д/З]. 6. 1,5; 27(2V2+1)
14
Вариант 2
(5
Л/4 1
— 2; —I. 3. Зя —2. 4. Функция g убыва-
ющая. 5. {-4-2Д/з'}и{-4 + 2Д/з}и[0; 2](J(2; 4-оо). 6. -0,6; 3^+> .
1 996 ГОД
Вариант 1
1. 1/=х+3.2. Ю-^-.З. ±0,25arccos4+-^,n£Z. 4.(4(~5+1og27);
3	4	2	\ 3
-|)и(0; Ц
Не удовлетворяет. 5.
. 6. Прямая // = 2x4-1 и две окружности
(-0,5; 0), (0,5; 2).
Вариант 2
исключением точек
1. </ = Зх+8. 2. |.3. ^+^-,neZ. 4.(0; 1)и[1,5; |(1+ log2 3)). Не удовлетво-
ряет. 5. [0,2; In 0,2). 6. Три окружности (x-h I)2-[•(//— 1)2 = 2, x2-P(i/ —2)2 = 8, за иск-
лючением точек ( — 2; 4), (2; 0), (0; 2).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................................... 3
Примерное планирование учебного материала ......................... 5
Методические рекомендации ............................................ 11
1.	Метод математической индукции ................................. —
2.	Решение уравнений высших степеней ............................ 17
3.	Предел и непрерывность функции ............................... 22
4.	Асимптоты графика функции .................................... 29
5.	Производная .................................................. 33
6.	Тригонометрические уравнения и неравенства ................... 40
7.	Применение определенного интеграла к вычислению площадей	53
8.	Некоторые пределы, связанные с числом е ...................... 58
9.	Показательные и логарифмические уравнения и неравенства . .	60
10.	Производная показательной и логарифмической функций ....	74
11.	Иррациональные уравнения и неравенства ....................... 81
12.	Доказательство неравенств .................................... 89
13.	Системы уравнений ...................-........................ 93
14.	Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений . .	103
Дидактические материалы ............................................. 115
Самостоятельные и контрольные работы для X класса.................. —
Самостоятельные и контрольные работы для XI класса ...............163
Ответы, указания и решения к самостоятельным и контрольным работам
для X класса .....................................................219
Ответы, указания и решения к самостоятельным и контрольным работам
для XI класса ...................................................268
Приложение .........................................................333
Образцы экзаменационных работ за курс средней школы ....	—
Ответы к экзаменационным работам ................................347
Учебное издание
Галицкий Михаил Львович
Мошкович Матвей Моисеевич
Шварцбурд Семен Исаакович
УГЛУБЛЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редакторы Л. М. Котова, Л. В. Кузнецова
Младший редактор Л. И. Заседателева
Художник переплета Б. А. Николаев
Художник рисунков Н. Н. Рожнов
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Технические редакторы С. И. Терехова, Н. Н. Матвеева
Корректоры Н, В. Бурдина, Л. С. Вайтман
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Сдано в набор 13.05.96. Подписано к пе-
чати 31.12.96. Формат бОХЭО1/^. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 22,0+0,31 форз. Усл. кр.-отт. 22,81. Уч.-изд.
л. 20,95+0,45 форз. Тираж 15 000 экз. Заказ № 134.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственно-
го комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский ордера Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Го-
сударственного KOMjiTcra Российской Федерации по печати. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.
учебно-методическую, развивающую,
научно-познавательную литературу
по всем школьным предметам
D контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ,
□ книги крупным и мелким оптом со складов издательства,
□ розничным покупателям — книги из нашего киоска,
О «Книгу — почтой».
Телефоны: отдел реализации
книжный киоск
отдел рекламы
факс отдела реализации
289 44 44
289 13 36
289 52 84
289 60 26
E-mail: textbook@glasnet.ru
или
textbook@glas.apc.org
Наши книги оптом и в розницу
можно приобрести в издательстве
по адресу:
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Проезд: ст. метро «Белорусская», далее трол.18 до
ост. «Гостиница «Северная»; ст. метро «Рижская», далее
трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».
Торговый дом «Просвещение»:
129626, Москва, ул. Новоалексеевская, 8.
Справки по телефону: 2870869
«Книга — почтой»: 117571, Москва, пр. Вернадского, 88
АО «Учебная литература». Справки по телефону: 4374697
Площадь плоской фигуры
S=- \ f(x)dx
ь
J f(x)dx=F(b)-F(a), F'(x)=f(x)
a
Таблица интегралов
Г	v 4+"1
Jx"dx=-JTr+C (d#-1)
J -^-= In |х| +С
JQXdx=MF+c
J exdx=ex+C
cosx dx=sinx+C
sinx dx=-cosx+C
5 cos2x tgx+C
dx
sin2 x
=-ctgx+C
dx	x Л
|/o2-x~=arc sin o’ +c
f dx 1	. x , ~
j x2+a2 a arc *9 a +C
Учебно-методический комплект
углубленного изучения
алгебры и математического анализа
включает:
•	Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд.
Алгебра и математический анализ, 10
•	Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд.
Алгебра и математический анализ, 11
•	М. Л. Галицкий, М. М. Мошкович, С. И. Шварцбурд.
Углубленное изучение алгебры
и математического анализа.
Методические рекомендации к учебникам
•	В. И. Рыжик.
Дидактические материалы по алгебре
и математическому анализу
® ПРОСВЕЩЕНИЕ
М11И1М' 567444'
iП7ш<: 23 0”" ’ ’