ПРОГРАММЫ
ОБШЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
10-11 КЛАССЫ

ПРОГРАММЫ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
10-11 классы
Москва
«Просвещение»
2009

УДК 372.8:[512 + 517]
ББК 74.26
П78
Хнгщные полки сообществе
Составитель: Т. А. Бурмистрова
ISBN 978-5-09-018366-6
© Издательство «Просвещение», 2009
Художественное оформление.
© Издательство «Просвещение», 2009
Все права защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемые программы по алгебре и началам
математического анализа составлены в соответствии с требованиями
федерального компонента Государственного образовательного
стандарта среднего (полного) общего образования по математике. Они
позволяют получить представление о целях и содержании
обучения алгебре и началам математического анализа в 10—11
классах при обучении по учебникам, выпускаемым издательством
«Просвещение». Авторские программы составлены в соответствии
с требованиями, предъявляемыми как к базовому, так и к
профильному уровням обучения. При этом авторами программ и
учебников предлагаются различные структуры учебного материала,
которые определяют последовательность изучения материала в
рамках стандарта для старшей школы и пути формирования
системы знаний и умений, необходимых для применения в
практической деятельности, изучения смежных дисциплин,
продолжения образования, а также развития учащихся.
Каждая программа включает в себя содержание обучения,
примерное планирование учебного материала в зависимости от
отводимого учебного времени, контрольные работы.
Планирование учебного материала по алгебре и началам
математического анализа рассчитано на 2,5 ч и 3 ч (базовый уровень),
4 ч (профильный уровень) и 5 ч (углубленное изучение) в течение
года для каждого класса. Это позволяет учителю в зависимости
от количества часов выбрать любой из вариантов тематического
планирования. Уменьшение часов в рамках существующего
стандарта отрицательно сказывается не только на математическом,
но и на общем развитии учащихся.
Издательство «Просвещение» выпускает новые и
доработанные учебники по алгебре и началам математического анализа для
базового и профильного уровней, соответствующие требованиям
федерального компонента Государственного образовательного
стандарта по математике:
Ю. М. Колягин и др. «Алгебра и начала математического
анализа, 10» и «Алгебра и начала математического анализа, 11» для
базового и профильного уровней;
С. М. Никольский и др. «Алгебра и начала математического
анализа, 10» и «Алгебра и начала математического анализа, 11»
для базового и профильного уровней;
А. Н. Колмогоров и др. «Алгебра и начала математического
анализа, 10—11» для базового уровня;
Ш. А. Алимов и др. «Алгебра и начала математического
анализа, 10—11» для базового уровня;
М. Я. Пратусевич и др. «Алгебра и начала математического
анализа, 10» и «Алгебра и начала математического анализа, 11»
для профильного уровня и углубленного изучения.
Учебники Ш. А. Алимова и др., А. Н. Колмогорова и др.
могут использоваться на профильном уровне с привлечением
дополнительной литературы. Авторы указывают в квадратных скобках
порядковый номер книги из списка рекомендуемой литературы
и страницы или пункты, соответствующие материалу,
изучаемому на профильном уровне.

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева,
Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин
•
Программы по алгебре
и началам математического анализа
10 класс
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Действительные числа
Целые и рациональные числа. Действительные числа.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Арифметический корень натуральной степени. Степень с
рациональным и действительным показателями.
Основная цель — обобщить и систематизировать
знания о действительных числах; сформировать понятие степени
с действительным показателем; научить применять
определения арифметического корня и степени, а также их свойства
при выполнении вычислений и преобразовании выражений.
Необходимость расширения множества натуральных
чисел до действительных мотивируется возможностью
выполнять действия, обратные сложению, умножению и
возведению в степень, а значит, возможностью решать
уравнения х + а = Ь, ах = Ь, ха = Ь.
Рассмотренный в начале темы способ обращения
бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную
обосновывается свойствами сходящихся числовых рядов,
в частности, нахождением суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
Действия над иррациональными числами строго не
определяются, а заменяются действиями над их
приближенными значениями — рациональными числами.
В связи с рассмотрением последовательных
рациональных приближений иррационального числа, а затем и
степени с иррациональным показателем на интуитивном уровне
вводится понятие предела последовательности.
Арифметический корень натуральной степени п ^ 2 из
неотрицательного числа и его свойства излагаются
традиционно. Учащиеся должны уметь вычислять значения
корня с помощью определения и свойств и выполнять
преобразования выражений, содержащих корни.
Степень с иррациональным показателем поясняется на
конкретном примере: число 3^ рассматривается как
последовательность рациональных приближений 3м, З1»41, ....
Здесь же формулируются свойства степени с
действительным показателем, которые будут использоваться при
решении уравнений, неравенств, исследовании функций.

2. Степенная функция
Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно
обратные функции. Равносильные уравнения и неравенства.
Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.
Основная цель — обобщить и систематизировать
известные из курса алгебры основной школы свойства
функций; изучить свойства степенных функций с
натуральным и целым показателями и научить применять их при
решении уравнений и неравенств; сформировать понятие
равносильности уравнений, неравенств, систем уравнений и
неравенств.
Рассмотрение свойств степенных функций и их
графиков проводится поэтапно, в зависимости от того, каким
числом является показатель: 1) четным натуральным
числом; 2) нечетным натуральным числом; 3) числом,
противоположным четному числу; 4) числом, противоположным
нечетному числу; 5) положительным нецелым числом;
6) отрицательным нецелым числом (свойства функций
в пп. 5 и 6 изучать необязательно).
Обоснования свойств степенной функции не
проводятся, они следуют из свойств степени с действительным
показателем. Например, возрастание функции у = хр на
промежутке х > О, где р — положительное нецелое число,
следует из свойства: «Если 0 < хх < х2, р > 0, то х[ < х£».
Рассмотрение равносильности уравнений, неравенств
и систем уравнений и свойств равносильности проводится
в связи с предстоящим изучением иррациональных
уравнений и неравенств.
Основным методом решения иррациональных
уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень
с целью перехода к рациональному уравнению-следствию
данного.
С помощью графиков решается вопрос о наличии
корней и их числе, а также о нахождении приближенных
корней, если аналитически решить уравнение трудно.
Иррациональные неравенства не являются
обязательными для изучения всеми учащимися. При их изучении
основным способом решения является сведение неравенства к
системе рациональных неравенств, равносильной данному
неравенству.
3. Показательная функция
Показательная функция, ее свойства и график.
Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы
показательных уравнений и неравенств.
Основная цель — изучить свойства показательной
функции; научить решать показательные уравнения и
неравенства, простейшие системы показательных уравнений.

Свойства показательной функции у = ах полностью
следуют из свойств степени с действительным показателем.
Например, возрастание функции у = ах, если а > 1, следует
из свойства степени: «Если хх < х2, то а*1 < а*2 при а > 1».
Решение простейших показательных уравнений ах = аь,
где а > О, аф\у основано на свойстве степени: «Если
a*i = а*2, то хх = х2».
Решение большинства показательных уравнений и
неравенств сводится к решению простейших.
Так как в ходе решения предлагаемых в этой теме
показательных уравнений равносильность не нарушается, то
проверка найденных корней необязательна. Здесь системы
уравнений и неравенств решаются с помощью
равносильных преобразований: подстановкой, сложением или
умножением, заменой переменных и т. д.
4. Логарифмическая функция
Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и
натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее
свойства и график. Логарифмические уравнения.
Логарифмические неравенства.
Основная цель — сформировать понятие
логарифма числа; научить применять свойства логарифмов при
решении уравнений; изучить свойства логарифмической
функции и научить применять ее свойства при решении
простейших логарифмических уравнений и неравенств.
До этой темы в курсе алгебры изучались такие
функции, вычисление значений которых сводилось к четырем
арифметическим действиям и возведению в степень. Для
вычисления значений логарифмической функции нужно
уметь находить логарифмы чисел, т. е. выполнять новое
для учащихся действие — логарифмирование.
Доказательство свойств логарифма опирается на его
определение. На практике рассматриваются логарифмы по
различным основаниям, в частности по основанию 10
(десятичный логарифм) и по основанию е (натуральный
логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода
от логарифма по одному основанию к логарифму по
другому основанию. Так как на инженерном
микрокалькуляторе есть клавиши lg и In, то для вычисления логарифма по
основаниям, отличным от 10 и е, нужно применить
формулу перехода.
Свойства логарифмической функции активно
используются при решении логарифмических уравнений и
неравенств.
Изучение свойств логарифмической функции проходит
совместно с решением уравнений и неравенств.
При решении логарифмических уравнений и неравенств
выполняются различные их преобразования. При этом час-
6

то нарушается равносильность. Поэтому при решении
логарифмических уравнений необходима проверка найденных
корней. При решении логарифмических неравенств нужно
следить за тем, чтобы равносильность не нарушалась, так
как проверку решения неравенства осуществить сложно,
а в ряде случаев невозможно.
5. Тригонометрические формулы
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала
координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла.
Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между
синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс углов а
и -а. Формулы сложения. Синус, косинус и тангенс
двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла.
Формулы приведения. Сумма и разность синусов. Сумма и
разность косинусов.
Основная цель — сформировать понятия синуса,
косинуса, тангенса, котангенса числа; научить применять
формулы тригонометрии для вычисления значений
тригонометрических функций и выполнения преобразований
тригонометрических выражений; научить решать
простейшие тригонометрические уравнения sinx = a, cosjc = а при
а = 1, -1, 0.
Рассматривая определения синуса и косинуса
действительного числа а, естественно решить самые простые
уравнения, в которых требуется найти число а, если синус
или косинус его известен, например уравнения sina = 0,
cos a = 1 и т. п. Поскольку для обозначения неизвестного по
традиции используется буква х, то эти уравнения
записывают как обычно: sinx = 0, cosx= 1 и т. п. Решения этих
уравнений находятся с помощью единичной окружности.
Возможность выявления знаков синуса, косинуса и
тангенса по четвертям является следствием симметрии точек
единичной окружности относительно осей координат.
Равенство cos(-a) = cosa следует из симметрии точек,
соответствующих числам а и -а, относительно оси Ох.
Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и
котангенсом одного и того же числа или угла следует из
тригонометрической формы записи действительного числа
и определения синуса и косинуса как координаты точки
единичной окружности.
При изучении степеней чисел рассматривались их
свойства ap + q = ар • aqj ap~q = ар : aq. Подобные свойства
справедливы и для синуса, косинуса и тангенса. Эти свойства
называют формулами сложения. Практически они выражают
зависимость между координатами суммы или разности двух
чисел а и Р через координаты чисел а и (3. Формулы с ложе-

ния доказываются для косинуса суммы или разности, все
остальные формулы сложения получаются как следствия.
Формулы сложения являются основными формулами
тригонометрии, так как все другие можно получить как
следствия: формулы двойного и половинного углов (не
являются обязательными для изучения), формулы
приведения, преобразования суммы и разности в произведение.
6. Тригонометрические уравнения
Уравнения cosx = a, siruc = а, tgx = а. Решение
тригонометрических уравнений. Примеры решения простейших
тригонометрических неравенств.
Основная цель — сформировать умение решать
простейшие тригонометрические уравнения; ознакомить с
некоторыми приемами решения тригонометрических уравнений.
Как и при решении алгебраических, показательных и
логарифмических уравнений, решение тригонометрических
уравнений путем различных преобразований сводится к
решению простейших: cosx = a, sinx = а, tgx = а.
Рассмотрение простейших уравнений начинается с
уравнения cosx = a> так как формула его корней проще, чем
формула корней уравнения sin x = а (в их записи часто
используется необычный для учащихся указатель знака
(—1)л). Решение более сложных тригонометрических
уравнений, когда выполняются алгебраические и
тригонометрические преобразования, сводится к решению простейших.
Рассматриваются следующие типы тригонометрических
уравнений: линейные относительно sinx, cosx или tgx;
сводящиеся к квадратным и другим алгебраическим
уравнениям после замены неизвестного; сводящиеся к
простейшим тригонометрическим уравнениям после разложения
на множители.
7. Повторение и решение задач
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 2 ч в неделю в 1-м полугодии, 3 ч в неделю во
2-м полугодии, всего 86 ч
II вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
III вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
Номер
параграфа
Содержание материала
Глава I. Действительные числа
1, 2
3
Целые и рациональные числа.
Действительные числа
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
Количество часов
I
11
2
2
II
11
2
2
III
14
2
2

Продолжение
Номер
параграфа
4
5
Содержание материала
Арифметический корень
натуральной степени
Степень с рациональным и
действительным показателем
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.1
Контрольная работа № 2.1
Глава П. Степенная функция
6
7
8
9
10*
Степенная функция, ее свойства и
график
Взаимно обратные функции
Равносильные уравнения и
неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Уроки обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.2
Контрольная работа № 2.2
Глава III. Показательная функция
11
12
13
14
Показательная функция, ее свойства
и график
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Системы показательных уравнений
и неравенств
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.3
Контрольная работа № 2.3
Глава IV. Логарифмическая функция
15
16
17
18
19
20
Логарифмы
Свойства логарифмов
Десятичные и натуральные логарифмы
Логарифмическая функция, ее
свойства и график
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.4
Контрольная работа № 2.4
Алгебраические уравнения. Системы
нелинейных уравнений [2], гл. I
[2], § 1
[2], § 2
Деление многочленов
Решение алгебраических уравнений
Количество часов
I
2
3
1
1
9
2
2
2
2
1
10
2
2
2
2
1
1
14
2
2
2
2
2
2
1
1
—
—
II
2
3
1
1
10
2
1
2
2
1
1
1
10
2
2
2
2
1
1
14
2
2
2
2
2
2
1
1
13
1
2
III
3
4
2
1
14
2
1
2
3
3
2
1
12
2
2
2
3
2
1
17
2
2
2
2
3
3
2
1
16
1
2

Продолжение
Номер
параграфа
[2], § 3
[2], § 4
[2], § 5
[2], § 6
Содержание материала
Уравнения, сводящиеся к
алгебраическим
Системы нелинейных уравнений с
двумя неизвестными
Различные способы решения систем
уравнений
Решение задач с помощью систем
уравнений
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 2.5
Глава V. Тригонометрические формулы
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30*
31
32
Радианная мера угла
Поворот точки вокруг начала
координат
Определение синуса, косинуса и
тангенса угла
Знаки синуса, косинуса и тангенса
Зависимость между синусом,
косинусом и тангенсом одного и того же угла
Тригонометрические тождества
Синус, косинус и тангенс углов а и -а
Формулы сложения
Синус, косинус и тангенс двойного
угла
Синус, косинус и тангенс
половинного угла
Формулы приведения
Сумма и разность синусов. Сумма
и разность косинусов
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.5
Контрольная работа № 2.6
Глава VI. Тригонометрические уравнения
33
34
35
36
37*
Уравнение cos х = а
Уравнение sin х = а
Уравнение tg х = а
Решение тригонометрических
уравнений
Примеры решения простейших
тригонометрических неравенств
Уроки обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.6
Контрольная работа № 2.7
Повторение и решение задач
Количество часов
I
1 1 1 1 1 1
21
1
2
2
1
2
3
1
3
2
2
1
1
15
3
3
2
4
2
1
6
II
2
2
2
2
1
1
21
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
13
Н-1 | Н-1 Н-1 СО tO СО tO
10
III
3
3
2
2
2
1
25
1
2
2
1
2
3
1
3
2
1
2
2
2
1
19
3
3
3
5
2
2
1
19
10

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1.11
Вариант 1 • 2 ч з
1. Вычислите: а) -——g——; б)
( 1 f + 1 г
2. Упростите выражение —=— •ал/2 + 1.
3. Решите уравнение 8Sx + x = 85.
4. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,(43) в
виде обыкновенной дроби.
5. Сократите дробь —-—^—.
а - 2а2 + 1
6. Сравните числа:
а) (2,3)^ и Гг^! 2; б) f|l ' ' и 1; в) Зл/26 и V8.
7*. Упростите выражение
Вариант 2
б4
1. Вычислите: а) ; б)
' з 1 »5
6~S . 65
2. Упростите выражение fbM • —.
3. Решите уравнение - = -
2 2
4. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3(6) в
виде обыкновенной дроби.
Ко * Ь + 4л/б + 4
5. Сократите дробь .
1 Каждая контрольная работа разделена на две части: до
черты — задания обязательного уровня, после черты — задания более
высокого уровня.
11

6. Сравните числа:
а) (0,8)^ и - ; б) 1 и I - I ; в) i/U и 3/9.
7*. Упростите выражение
f »г- !
т3 + v/м/г + п3
Контрольная работа № 1.2
Вариант 1
1. Найдите область определения функции у = ^/б + 0,5л;.
2. Схематически изобразите график функции у = х~4 и
перечислите ее основные свойства. Пользуясь свойствами
этой функции, сравните:
а) 1 и (0,3)"4; б) (2л/з)"4 и
3. Решите уравнение Vl - х = х + 1.
4. Решите уравнение ^ yj
л: — 5
5. Установите, равносильны ли неравенства < 0 и
(5- х)(х2+ 1)>0.
6. Найдите функцию, обратную функции у = , и
укажите ее область определения и множество значений.
7*. Решите неравенство л/х + 8 > л: + 2.
Вариант 2 х
1. Найдите область определения функции у = (2х + 9)5.
2. Схематически изобразите график функции у = х~3 и
перечислите ее основные свойства. Пользуясь свойствами
этой функции, сравните:
а) 1 и f|V3; б) (Зл/б)"3 и
3. Решите уравнение л!х + 1 = 1 — х.
4. Решите уравнение
5. Установите, равносильны ли неравенства
х~ 7 >
и
12

2
6. Найдите функцию, обратную функции у = , и
укажите ее область определения и множество значений.
7*. Решите неравенство л/х - 3 > х - 5.
Контрольная работа № 1.3
Вариант 1
1. Сравните числа: а) 5~8Д и 5~9; б) — и — .
V37 V37
/ у-з*
2. Решите уравнение: а) - = 25; б) 4* + 2* - 20 = 0.
v5;
(гУ 1
3. Решите неравенство — > 1-.
/ г~\х ~6 1 Г 2 ^
4. Решите неравенство: a) (V5) < -; б) — > 1.
v 7 5 v^3/
5. Решите систему уравнений < х +
6. Решите уравнение 7х + х + 3 • 7х = 2х + 5 + 3 • 2х.
Вариант 2 г
1. Сравните числа: а) (0,5)"12 и (0,5)-п; б) б5 и 6.
2. Решите уравнение:
а) (ОД)2*-3 =10; б) 9*- 7 - 3* - 18 = 0.
( \Y 5
3. Решите неравенство 1- < --
24
4. Решите неравенство: а) (л/3) > -; б) 1—
9 V '
{jc + z/ = —2
Qx+5y = 36.
6. Решите уравнение 3х + 3 + 3х = 5 • 2* + 4 - 17 • 2х.
Контрольная работа № 1.4
Вариант 1
1. Вычислите:
a) Iogil6; б) 51+log*3; в) log3 135 - Iog320 + 21og32.
2 3 4
и log
13
3
2. Сравните числа logx — и
2 4 2 5
3. Реп1ите уравнение Iog5(2x - 1) = 2.

4. Решите неравенство log! (л; - 5) > 1.
з
5. Решите уравнение log8 х + log /^ х = 14.
6. Решите неравенство:
a) logiaO-xJ + logiCx-S)^ -1;
6 6
6)* log| х" 21°8з х ^ 3-
Вариант 2
1. Вычислите:
a) logal^l; б) UJ 3 ; в) Iog256 + 21og2 12 - Iog263.
2. Сравните числа log09 1-й log09 1-.
'2 '3
3. Решите уравнение Iog4(2jt + 3) = 3.
4. Решите неравенство \ogx(x - 3) > 2.
2
5. Решите уравнение log^ x + log9 x = 10.
6. Решите неравенство:
a) logi(x - 3) + logi(9 - х) > -3;
б)* loglx-31og2x< 4.
Контрольная работа № 1.5
Вариант 1
13
1. Вычислите: a) cos 780°; б) sin — п.
6
12 3
2. Вычислите sin а, если cos а = ия<а<-я.
13 2
3. Упростите выражение:
ч / оч / оч r>\ sin(-a) + cos(7i + а)
a) cos(a - (3) - cos(a + (3); б) —j ^ —.
1+2 cos a cos (-a)
V ^ )
4. Решите уравнение sin 5л; cos 4л; - cos 5л; sin 4л; = 1.
5. Докажите тождество cos 4a + 1 = -sin4a(ctga - tga).
Вариант 2
13
1. Вычислите: а) sin780°; б) cos — п.
6
Л Q
2. Вычислите cos а, если sin а = — ил<а<-л.
14

3. Упростите выражение: /3 л
sin -7i + ос - sin(27i + a)
a) sin(a + (3) + sin(a - (3); б) £ ^ .
к к/ 2cos(-a)sin(-a)+1
4. Решите уравнение cos 4x cos Зх + sin 4x sin Зх = 1.
5. Докажите тождество (tga + ctga)(l - cos 4a) = 4 sin 2a.
Контрольная работа № 1.6
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а) V2 cos х - 1 = 0; б) 3 tg 2х + л/3 = 0.
х 1
2. Найдите решение уравнения sin — = -- на отрезке [0; З'я].
3 2
3. Решите уравнение:
а) 3cosx - cos2x = 0; б) 6 sin2 л: - sin л: = 1.
4. Решите уравнение: -
а) 4 sinх + 5 cos x = 4; б) sin4 л: + cos4 л: = cos2 2л: + -.
4
Вариант 2
1. Решите уравнение: а) V2 sinx -1 = 0; б) tg V3 = 0.
X 1
2. Найдите решение уравнения cos — = - на отрезке [0; 4я].
3. Решите уравнение:
а) sin2 х - 2 sin x = 0; б) 10 cos2 л: + 3cosx = 1.
4. Решите уравнение: -
а) 5 sin л: + cos л: = 5; б) sin4 л: + cos4 л: = sin 2x .
А
Контрольная работа № 2.1
£ 1
1. Вычислите: а) 15' '^ ; б) f Vl28 + зЦ | : ^2.
2. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную
периодическую десятичную дробь 0,3(1).
3. Упростите выражение:
а) ^-0; б) (2V2-i.2V2 + i)^; B)
4. Сравните числа: а) 7^ и (0,7)^; б) (0,012)"3 и 1.
15

5. Решите неравенство (л/з) ^ 3V3.
6. Упростите выражение
-1
Контрольная работа № 2.2
1. Найдите область определения функции у = ух2 - Зх - 4.
2. Постройте график функции у = л/лГ+2, найдите ее
область определения и множество значений.
3. Решите уравнение:
a) Vx + 2 = 5; б) Jx + 3 = л/5- х; в) л/3 - х - х2 = х.
х - х2 =
4. Решите графически уравнение л/х- 1 = -х2 + 5.
5. Решите уравнение:
а) Мх-1 + у/х-1 = 30; б) у/х + 5 - Vx - 1 = л/2х + 4.
6. Решите неравенство Vl — х > х + 1.
Контрольная работа № 2.3
(О*
1. Постройте схематически графики функций у = —
и i/ = 7х. V7;
(л V'3 TiV'3
2. Сравните числа: а) - и - ; б) 7"0'1 и 7"1Д.
V3/ V3/
3. Решите уравнение:
а) 0,7х2+5*"6= 1; б) 2* + 3- 2^ + 1 = 12.
4. Решите неравенство: а) 5х"2 > 25; б) (0,5)* ~2^ —.
4
5. Решите графически уравнение — = Xs + 3.
V2/
6. Решите неравенство 9х — 7 • 3х - 18 < 0.
7. Решите уравнение 5* - 2 + 2* + * + 2* + 2 - 5х = 0.
Контрольная работа № 2.4
1. Вычислите:
a) Iog749; 241°^5; log^ ^49; б) 51og22 - Iog28 + 21og25.
2. Решите уравнение:
a) log4x + log2x = 6; б) log2x + Iog2(x - 1) = Iog26.
3. Решите неравенство Iog3(l - х) < 1.
16

4. Решите графически уравнение log2x = -2х + 5.
5. Решите уравнение - lg (х2 + х - 5) = lg (5х) + lg — .
2 у5х)
6. Решите неравенство log| (х - 1) - 21og3(x - 1) < -1.
Контрольная работа № 2.5
1. Найдите частное и остаток от деления многочлена
х5 + 2л;4 - Зх3 + 2л;2 - Зл; на многочлен х2 + л; + 1.
2. Разложите на множители многочлен
хъ + л;4 - 2л;3 - 2л;2 - Зл; - 3.
2 Зл; - 6 3
3. Решите уравнение
=.
х-Ъ 6 -2* (*-3)(*-1)
(2л;2 +3л;у-2i/2 = О,
4. Решите систему уравнении i o
\2у2 + ху + х + 3у = 5.
5. Решите задачу.
Две бригады, из которых вторая начинает работать на
5 дней позже первой, закончили работу за 15 дней,
считая от момента начала работы второй бригады. Если бы
эта работа была поручена каждой бригаде отдельно, то
для ее выполнения первой бригаде понадобилось бы на
10 дней больше, чем второй. За сколько дней может
выполнить эту работу каждая бригада, работая отдельно?
Контрольная работа № 2.6
1. Найдите значение выражения:
ч . 271 71 2Т1 . 71
а) sin — cos—--cos — sin—-;
5 15 5 15
б) cos315o + sin210° + tg420°.
2. Вычислите sin(a- (3), если sina = —, —<a < n; sinP = —,
o_ 5 2 5
3. Преобразуйте в произведение sina + cos a.
4. Решите уравнение sinx совл; = 0.
5. Докажите тождество
cos 3a + cos 2a + cos a + 1 n 3a a
= 2cos—-cos—.
cosa + 2cos2--1 2 2
2
6. Преобразуйте в алгебраическую сумму тригонометриче-
« А За .а
ских функции 4cos — cosa sin — .
17

Контрольная работа № 2.7
1. Вычислите arccos(-0,5) - arcsin —.
2. Найдите значения а, при которых имеет смысл
выражение arcsin (1 - За).
3. Решите уравнение:
a) sin3x cos л: - sinx cos3x = 1; б) 2cos2x + 5cosx = 3;
в) tgx - 3ctgjc = 0; г) sin3x - sinx = 0.
4. Решите уравнение:
а) 6 cos2 x + sin2 x - 5 sin x cos x = 0;
б) sin2x - 5 sin л; + 5cosx + 5 = 0.
11 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Повторение курса алгебры и начал математического
анализа 10 класса.
2. Тригонометрические функции
Область определения и множество значений
тригонометрических функций. Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций. Свойства функции у = cos л:
и ее график. Свойства функции у = sin л: и ее график.
Свойства функции у = tgx и ее график. Обратные
тригонометрические функции.
Основная цель — изучить свойства
тригонометрических функций, научить учащихся применять эти
свойства при решении уравнений и неравенств, научить строить
графики тригонометрических функций.
Среди тригонометрических формул следует особо
выделить те формулы, которые непосредственно относятся к
исследованию тригонометрических функций и построению
их графиков. Так, формулы sin(-x) = -sinx и cos(-x) = cosx
выражают свойства нечетности и четности функций у = sin x
и у = cos л: соответственно.
Построение графиков тригонометрических функций
проводится с использованием их свойств и начинается с
построения графика функции y = cosx. График функции
у = sin х получается сдвигом графика функции у = cos x
в соответствии с формулой sinx = cos x . С помощью
V ^ )
графиков иллюстрируются известные свойства функций,
а также выявляются некоторые дополнительные свойства.
С помощью графиков тригонометрических функций
решаются простейшие тригонометрические уравнения и
неравенства.
18

Обратные тригонометрические функции даются
обзорно, в ознакомительном плане. Полезно также рассмотреть
графики функций у = \cosx\, у = а + cosx, у = cos(x + a),
у = acosx, у = cos ах, где а — некоторое число.
3. Производная и ее геометрический смысл
Определение производной. Производная степенной
функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых
элементарных функций. Геометрический смысл производной.
Основная цель — ввести понятие производной;
научить находить производные с помощью формул
дифференцирования; научить находить уравнение касательной
к графику функции.
Изложение материала ведется на наглядно-интуитивном
уровне: многие формулы не доказываются, а только
поясняются или принимаются без доказательств. Главное —
показать учащимся целесообразность изучения производной и в
дальнейшем первообразной (интеграла), так как это
необходимо при решении многих практических задач, связанных
с исследованием физических явлений, вычислением
площадей криволинейных фигур и объемов тел с
произвольными границами, с построением графиков функций. Прежде
всего следует показать, что функции, графиками которых
являются кривые, описывают многие важные физические
и технические процессы.
Понятия предела последовательности и непрерывности
функции формируются на наглядно-интуитивном уровне;
правила дифференцирования и формулы производных
элементарных функций приводятся без обоснований.
4. Применение производной к исследованию функций
Возрастание и убывание функции. Экстремумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.
Построение графиков функций.
Основная цель — показать возможности
производной в исследовании свойств функций и построении их
графиков.
При изучении материала широко используются знания,
полученные учащимися в ходе работы над предыдущей
темой.
Обосновываются утверждения о зависимости
возрастания и убывания функции от знака ее производной на
данном промежутке. Вводятся понятия точек максимума и
минимума, точек перегиба. Учащиеся знакомятся с
новыми терминами: критические и стационарные точки.
После введения понятий максимума и минимума
функции формируется представление о том, что функция может
иметь экстремум в точке, в которой она не имеет
производной, например, у = \х\ в точке х = 0.
19

Определение вида экстремума предполагается связать
с переменой знака производной функции при переходе
через точку экстремума. Желательно показать учащимся,
что это можно сделать проще — по знаку второй
производной: если f"(x) > 0 в некоторой стационарной точке х9 то
рассматриваемая стационарная точка есть точка
минимума; если f"(x) < О, то эта точка — точка максимума; если
f"(x) = О, то точка х есть точка перегиба.
Приводится схема исследования основных свойств
функции, предваряющая построение графика. Эта схема
выглядит так: 1) область определения функции; 2) точки
пересечения графика с осями координат; 3) производная
функции и стационарные точки; 4) промежутки монотонности;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
5. Интеграл
Первообразная. Правила нахождения первообразных.
Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его
вычисление. Вычисление площадей фигур с помощью
интегралов. Применение производной и интеграла для решения
физических задач.
Основная цель — ознакомить с понятием интеграла
и интегрированием как операцией, обратной
дифференцированию.
Операция интегрирования сначала определяется как
операция, обратная дифференцированию, далее вводится
понятие первообразной, при этом не вводится ни
определение неопределенного интеграла, ни его обозначение.
Таблица правил интегрирования (т. е. таблица первообразных)
в этом случае естественно получается из таблицы
производных. Формулируется утверждение, что все первообразные
для функции f(x) имеют вид F(x) + С, где F(x) —
первообразная, найденная в таблице. Этот факт не доказывается,
а только поясняется.
Связь между первообразной и площадью криволинейной
трапеции устанавливается формулой Ньютона —
Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел
интегральной суммы; при этом формула Ньютона —
Лейбница также оказывается справедливой. Таким образом,
эта формула является главной: с ее помощью вычисляются
определенные интегралы и находятся площади
криволинейных трапеций.
Простейшие дифференциальные уравнения и
применение производной и интеграла к решению физических задач
даются в ознакомительном плане.
6. Комбинаторика
Правило произведения. Перестановки. Размещения без
повторений. Сочетания без повторений и бином Ньютона.
20

Основная цель — развить комбинаторное
мышление учащихся; ознакомить с теорией соединений (как
самостоятельным разделом математики и в дальнейшем —
с аппаратом решения ряда вероятностных задач);
обосновать формулу бинома Ньютона (с которой учащиеся лишь
знакомились в курсе 10 класса).
Основными задачами комбинаторики считаются
следующие: 1) составление упорядоченных множеств (образование
перестановок); 2) составление подмножеств данного
множества (образование сочетаний); 3) составление упорядоченных
подмножеств данного множества (образование размещений).
Из всего многообразия вопросов, которыми занимается
комбинаторика, в программу включается лишь теория
соединений — комбинаторных конфигураций, которые
называются перестановками, размещениями и сочетаниями.
Причем обязательными для изучения являются лишь
соединения без повторений — соединения, составляемые по
определенным правилам из различных элементов.
7. Элементы теории вероятностей
Вероятность события. Сложение вероятностей.
Вероятность произведения независимых событий.
Основная цель — сформировать понятие
вероятности случайного независимого события; научить решать
задачи на применение теоремы о вероятности суммы двух
несовместных событий и на нахождение вероятности
произведения двух независимых событий.
В программу включено изучение (частично на
интуитивном уровне) лишь отдельных элементов теории
вероятностей. При этом введению каждого понятия предшествует
неформальное объяснение, раскрывающее сущность
данного понятия, его происхождение и реальный смысл. Так
вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных
событий, связанных с некоторым испытанием;
определяются и иллюстрируются операции над событиями.
Классическое определение вероятности события с рав-
новозможными элементарными исходами формулируется
строго, и на его основе (с использованием знаний
комбинаторики) решается большинство задач. Понятия
геометрической вероятности и статистической вероятности
вводились на интуитивном уровне в основной школе.
Независимость событий разъясняется на конкретных
примерах.
При изложении материала данного раздела
подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных
областях знаний и практической деятельности человека.
8. Итоговое повторение. Решение задач
21

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 2 ч в неделю в 1-м полугодии, 3 ч в неделю во
2-м полугодии, всего 86 ч
II вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
III вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
Номер
параграфа
Содержание материала
Повторение курса алгебры и начал
математического анализа 10 класса
Глава VII. Тригонометрические функции
38
39
40
41
42
43*
Область определений и множество
значений тригонометрических
функций
Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций
Свойства функции у = cos x и ее
график
Свойства функции у = sin x и ее
график
Свойства функции у = tg x и ее
график
Обратные тригонометрические
функции
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа №1.7
Контрольная работа № 2.8
Глава VIII. Производная и ее
геометрический смысл
44
45
46
47
48
Производная
Производная степенной функции
Правила дифференцирования
Производные некоторых
элементарных функций
Геометрический смысл производной
Уроки обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа №1.8
Контрольная работа № 2.9
Глава IX. Применение производной
к исследованию функций
49
50
51
52
Возрастание и убывание функции
Экстремумы функции
Применение производной к
построению графиков функций
Наибольшее и наименьшее
значения функции
Количество часов
I
4
10
2
2
2
1
1
1
1
16
2
2
3
3
3
2
1
16
2
3
4
5
II
2
14
2
2
3
2
2
1
1
1
16
2
2
3
3
3
2
1
16
со со со to
III
4
19
2
3
3
3
3
2
2
1
19
3
3
3
3
4
2
1
21
3
3
4
5
22

Продолжение
Номер
параграфа
53*
Содержание материала
Выпуклость графика функции,
точки перегиба
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.9
Контрольная работа № 2.10
Глава X. Интеграл
54
55
56
57, 58
59
Первообразная
Правила нахождения первообразной
Площадь криволинейной трапеции
и интеграл
Вычисление интегралов. Вычисление
площадей с помощью интегралов
Применение производной и
интеграла к решению практических задач
Уроки обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 1.10
Контрольная работа № 2.11
Комплексные числа [4], гл. III
[4], п. 18
[4], п. 19
[4], п. 20
[4], п. 21
[4], п. 22
[4], п. 23
[4], п. 24
[4], п. 25
[4], п. 26
Определение комплексных чисел
Сложение и умножение
комплексных чисел
Модуль комплексного числа
Вычитание и деление комплексных
чисел
Геометрическая интерпретация
комплексного числа
Тригонометрическая форма
комплексного числа
Свойства модуля и аргумента
комплексного числа
Квадратное уравнение с
комплексным неизвестным
Примеры решения алгебраических
уравнений
Урок обобщения и систематизации
знаний
Контрольная работа № 2.12
Элементы комбинаторики [4], гл. IV
[4], п. 27
[4], п. 28
[4], п. 29
[4], п. 30
[4], п. 31
Комбинаторные задачи
Перестановки
Размещения
Сочетания и их свойства
Биномиальная формула Ньютона
Урок обобщения и систематизации
знаний
Количество часов
I
1
1
10
2
3
2
2
1
—
1 1 1 1 1 1 1 1 II 1
9
2
1
2
2
1
II
2
2
1
13
2
3
3
2
2
1
15
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
10
1
1
2
2
2
1
III
3
2
1
16
2
2
3
3
3
2
1
17
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
11
1
2
2
2
2
1
23

Продолжение
Номер
параграфа
Содержание материала
Контрольная работа № 1.11
Контрольная работа № 2.13
Знакомство с вероятностью [4], гл. V
[4], п. 32
[4], п. 33
[4], п. 34
[4], п. 35
[4], п. 36
Вероятность события
Сложение вероятностей
Вероятность противоположного
события
Условная вероятность
Вероятность произведения
независимых событий
Контрольная работа № 1.12
Контрольная работа № 2.14
Итоговое повторение курса алгебры и
начал математического анализа
Количество часов
I
1
9
2
2
2
1
1
1
12
И
1
9
2
2
1
1
2
1
7
III
1
11
2
2
2
2
2
1
18
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1.71
Вариант 1
1. Найдите область определения и множество значений
функции у = 2 cos х.
2. Выясните, является ли функция у = sin л: - tgx четной
или нечетной.
3. Изобразите схематически график функции у = sin л: + 1
на отрезке | ; 2я |.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 3 sin x cos x + 1.
5. Постройте график функции у = 0,5cosjc - 2. При каких
значениях х функция возрастает; убывает?
Вариант 2
1. Найдите область определения и множество значений
функции у = 0,5 cos х.
2. Выясните, является ли функция y = cosx-x2 четной
или нечетной.
1 Каждая контрольная работа разделена на две части: до
черты — задания обязательного уровня, после черты — задания более
высокого уровня.
24

3. Изобразите схематически график функции у = cos x - 1
на отрезке -~; 2я .
I 2 I
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = - cos2 х- - sin2 х + 1.
3 3
5. Постройте график функции i/ = 2sinx+l. При каких
значениях х функция возрастает; убывает?
Контрольная работа № 1.8
Вариант 1
1. Найдите производную функции:
а) 8*»-^; 6)(i + 7j; в)
2. Найдите значение производной функции f(x) = 1 —
в точке х0 = 8.
3. Запишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = sin л: - Зх + 2 в точке х0 = 0.
4. Найдите значения х, при которых значения производ-
« -а- X/ \ # + 1
нои функции Дх) = —^ положительны.
лс + 3
5. Найдите точки графика функции f(x) = Xs — Зх2, в
которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Вариант 2
1. Найдите производную функции:
а) 2х3 --\; б) (4 - Зх)6; в) e*sinx.
2. Найдите значение производной функции f(x)= 2 =
в точке х0 = 1. ^*
3. Запишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = 4х - sinjc + 1 в точке х0 = 0.
4. Найдите значения х, при которых значения
производной функции f(x) = —g отрицательны.
5. Найдите точки графика функции f(x) = Xs + Зх2, в
которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
25

Контрольная работа № 1.9
Вариант 1
1. Найдите экстремумы функции:
a) f(x) = xs - 2х2 + х + 3; б) f(x) = ех (2х - 3).
2. Найдите интервалы возрастания и убывания функции
f(x) = Xs - 2х2 + х + 3.
3. Постройте график функции f(x) = Xs - 2х2 + х + 3 на
отрезке [-1; 2].
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = xs - 2х2 + х + 3 на отрезке 0; - .
5. Среди прямоугольников, у которых сумма длин трех
сторон равна 20, найдите прямоугольник с наибольшей
площадью.
Вариант 2
1. Найдите экстремумы функции:
a) f(x) = xs - х2 - х + 2; б) f(x) = (5 - 4х)ех.
2. Найдите интервалы возрастания и убывания функции
f(x) = Xs - х2 - х + 2.
3. Постройте график функции f(x) = Xs - х2 - х + 2 на
отрезке [-1; 2].
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = Xs - х2 - х + 2 на отрезке -1; - .
5. Найдите ромб с наибольшей площадью, если известно,
что сумма длин его диагоналей равна 10.
Контрольная работа № 1.10
Вариант 1
1. Докажите, что функция F(x) = Зх + sinx - e2x является
первообразной функции f(x) = 3 + cosx - 2е2х на всей
числовой оси.
2. Найдите первообразную F функции f(x) = 2-Ух, график
( чЛ
которой проходит через точку АО;—.
3. Вычислите площадь фигуры F (рис. 1).
26

у к у = -х1 + 6* - 5
3 4
Рис. 1
Рис. 2
Вариант 2
1. Докажите, что функция F(x) = е3х + cos л: + х является
первообразной функции f(x) = 3eSx-sinx+l на всей
числовой оси.
2. Найдите первообразную F функции f(x) = -Зл/х, график
которой проходит через точку АО;—.
3. Вычислите площадь фигуры F (рис. 2).
Контрольная работа № 1.11
р
1. Вычислите: а) С|; б) —у.
А7
2. Сколько существует способов для обозначения вершин
четырехугольника с помощью букв А, В, С, D, E, F?
3. Запишите разложение бинома (1 + х)5.
Контрольная работа № 1.12
1. Из урны, содержащей 15 белых, 10 красных и 5 синих
шаров, наугад выбирают один шар. Какова вероятность того,
что шар окажется: а) красного цвета; б) зеленого цвета?
2. Бросаются монета и игральная кость. Какова
вероятность того, что появится решка и 5 очков?
3. Вероятность попадания по мишени равна 0,7. Какова
вероятность того, что, не попав по мишени при первом
выстреле, стрелок попадет при втором?
Контрольная работа № 2.8
1. Найдите область определения и множество значений
функции у = sin2x + 1.
2. Выясните, является ли функция у = sinx - tgx четной
или нечетной.
27

3. Сравните числа:
Л Л Q Р\
a) sin— и sin — ; б) cos— и cos—; в) sin2 и cos2,3.
4. Найдите все числа из отрезка -я; — |, для которых вы-
V3
полняется равенство sin л: = .
5. Постройте график функции у = -2 cos \х - — |.
3
Контрольная работа № 2.9
1. Найдите производную функции:
1 2 — х
а) 4х3 + —г\ б) ^sinx; в)
\yl\x\*
2. Найдите значения х, при которых значения производ-
ной функции f(x) = — + Зх2 равны нулю.
4 3
3. Запишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = 1 + 4х - sinx в точке с абсциссой х0 = 0.
4. На графике функции f(x) = Xs - Зх2 + 2 найдите все
такие точки, в которых касательная, проведенная к
графику, параллельна прямой у = Зх.
Контрольная работа № 2.10
1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции
^-.
4
х4
2. Постройте график функции у = 2х2.
4
3. Решите задачу.
Найти ромб наибольшей площади, если известно, что
сумма длин его диагоналей равна 10.
4. Найдите направления выпуклости графика функции
у = х + .
у х + 2
Контрольная работа № 2.11
1. Покажите, что функция F(x) = е2х + Xs - cosx является
первообразной для функции f(x) = 2е2х + Зх2 + sin л: на
всей числовой прямой.
2. Для функции f(x) = Зх2 + 2х - 3 найдите
первообразную, график которой проходит через точку М(1; -2).
28

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х2 + х - 6 и осью Ох.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 + 4х - х2 и у = х2 - 2х + 2.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х2 — 12 и касательными к ней, проведенными из
точки А(0; 3).
Контрольная работа № 2.12
1. На комплексной плоскости постройте точки -i, -2 + 2i.
2. Выполните действия:
a) i4 + ib - 2i; б) —^— —.
3. Решите уравнение 2z2 - 6z + 5 = 0.
4. Найдите все аргументы комплексного числа z = -2 - 2V3i
и запишите его в тригонометрической форме.
5. Пользуясь формулой Муавра, возведите в степень (1 + i)6
и результат запишите в алгебраической форме.
6. Решите уравнение zs = -27.
Контрольная работа № 2.13
t Л7 (/1-3)! А7 л
1. Упростите , где п е N, п > 4.
(п - 1)!
А3
2. Найдите значение выражения —- + С%.
3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать
с помощью цифр 0, 1, 2, 3 при условии, что цифры
в числе могут повторяться?
4. Сколькими способами можно составить букет из трех
цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?
5. Запишите разложение бинома (1 + х)6.
Контрольная работа № 2.14
1. В ящике находится 3 белых, 5 черных и 6 красных
шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность
того, что вынутый шар: а) белый или черный; б)
желтый; в) не белый?
2. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того,
что на одной кости выпало 3 очка, а на другой — четное
число очков?
29

3. В корзине лежат 5 яблок и 3 апельсина. Наугад дважды
из корзины вынимают по одному плоду (не возвращая их
в корзину). Какова вероятность того, что вторым было
взято яблоко, при условии, что первым был апельсин?
4. Имеется 13 карт черной масти и 5 карт красной масти.
Какова вероятность того, что среди двух карт, вынутых
наугад, хотя бы одна будет красной масти?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10—11 кл. общеобразо-
ват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В.
Сидоров и др. — М.: Просвещение, 2003.
2. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений /
Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.:
Просвещение, 2003.
3. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа: кн.
для учащихся 10 (11) кл. / М. И. Шабунин, М. В. Ткачева,
Н. Е. Федорова, Р. Г. Газарян. — М.: Просвещение, 2005.
4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват.
учреждений / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева
и др. — М.: Мнемозина, 2003.
5. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. гимназий /
Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева и др. — М.:
ИНОС, 2001.
6. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. гимназий /
Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева и др. — М.:
ИНОС, 2002.
7. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Элементы статистики
и вероятность: кн. для учащихся 7—9 кл. общеобразоват.
учреждений. — М.: Просвещение, 2003.
8. Математика: учеб. для общеобразоват. учреждений /
В. Ф. Бутузов, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин и др. — М.:
Просвещение, 1996.
9. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика: пособие для
учителей. — М.: Просвещение, 1976.
10. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа.
Ч. 1 / М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, А. Д. Кутасов
и др. — М.: Наука, 1987.
11. Лютикас В. С. Факультативный курс по математике:
Теория вероятностей: учеб. пособие для 9—10 кл. сред. шк. —
М.: Просвещение, 1990.
12. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников: кн.
для учащихся. — М.: Просвещение, 1996.
13. Баврин И. И. Начала анализа и математические модели
в естествознании и экономике: кн. для учащихся 10—
11 кл. — М.: Просвещение, 1999.
14. Вигдорчик Е. А., Нежданова Т. М. Элементарная
математика в экономике и бизнесе. — М.: Вита-Пресс, 1995.
30

А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын,
Б. М. Ивлиев, С. И. Шварцбурд
, : ф
Программы по алгебре
и началам математического анализа
ю класс
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Тригонометрические функции
Тождественные преобразования тригонометрических
выражений. Тригонометрические функции числового
аргумента: синус, косинус и тангенс. Периодические функции.
Свойства и графики тригонометрических функций.
Основная цель — расширить и закрепить знания
и умения, связанные с тождественными преобразованиями
тригонометрических выражений; изучить свойства
тригонометрических функций и познакомить учащихся с их
графиками.
Изучение темы начинается с вводного повторения,
в ходе которого напоминаются основные формулы
тригонометрии, известные из курса алгебры, и выводятся
некоторые новые формулы. От учащихся не требуется точного
запоминания всех формул. Предполагается возможность
использования различных справочных материалов:
учебника, таблиц, справочников.
Особое внимание следует уделить работе с единичной
окружностью. Она становится основой для определения
синуса и косинуса числового аргумента и используется далее
для вывода свойств тригонометрических функций и
решения тригонометрических уравнений.
Систематизируются сведения о функциях и графиках,
вводятся новые понятия, связанные с исследованием
функций (экстремумы, периодичность), и общая схема
исследования функций. В соответствии с этой общей схемой
проводится исследование функций синус, косинус, тангенс
и строятся их графики.
2. Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения. Решение
тригонометрических уравнений.
Основная цель — сформировать умение решать
простейшие тригонометрические уравнения и познакомить с
некоторыми приемами решения тригонометрических
уравнений.
31

Решение простейших тригонометрических уравнений
основывается на изученных свойствах тригонометрических
функций. При этом целесообразно широко использовать
графические иллюстрации с помощью единичной
окружности. Отдельного внимания заслуживают уравнения вида
sin л: = 1, cos л: = 0 и т. п. Их решение нецелесообразно
сводить к применению общих формул.
Отработка каких-либо специальных приемов решения
более сложных тригонометрических уравнений не
предусматривается. Достаточно рассмотреть отдельные примеры
решения таких уравнений, подчеркивая общую идею
решения: приведение уравнения к виду, содержащему лишь
одну тригонометрическую функцию одного и того же
аргумента, с последующей заменой.
Материал, касающийся тригонометрических неравенств
и систем уравнений, не является обязательным.
Как и в предыдущей теме, предполагается возможность
использования справочных материалов.
3. Производная
Производная. Производные суммы, произведения и
частного. Производная степенной функции с целым
показателем. Производные синуса и косинуса.
Основная цель — ввести понятие производной;
научить находить производные функций в случаях, не
требующих трудоемких выкладок.
При введении понятия производной и изучении ее
свойств следует опираться на наглядно-интуитивные
представления учащихся о приближении значений функции к
некоторому числу, о приближении участка кривой к
прямой линии и т. п.
Формирование понятия предела функции, а также
умение воспроизводить доказательства каких-либо теорем в
данном разделе не предусматриваются. В качестве примера
вывода правил нахождения производных в классе
рассматривается только теорема о производной суммы, все
остальные теоремы раздела принимаются без доказательства.
Важно отработать достаточно свободное умение применять
эти теоремы в несложных случаях.
В ходе решения задач на применение формулы
производной сложной функции можно ограничиться случаем
f(kx + b): именно этот случай необходим далее.
4. Применение производной
Геометрический и механический смысл производной.
Применение производной к построению графиков функций
и решению задач на отыскание наибольшего и
наименьшего значений.
32

Основная цель — ознакомить с простейшими
методами дифференциального исчисления и выработать умение
применять их для исследования функций и построения
графиков.
Опора на геометрический и механический смысл
производной делает интуитивно ясными критерии возрастания
и убывания функций, признаки максимума и минимума.
Основное внимание должно быть уделено разнообразным
задачам, связанным с использованием производной для
исследования функций. Остальной материал (применение
производной к приближенным вычислениям, производная
в физике и технике) дается в ознакомительном плане.
5. Повторение. Решение задач
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 2 ч в неделю в 1-м полугодии, 3 ч в неделю во
2-м полугодии, всего 86 ч
II вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
III вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
Номер
пункта
Содержание материала
Тригонометрические функции любого угла
[6], § 12
[6], п. 28
[6], п. 29
[6], п. 30
Определение синуса, косинуса,
тангенса и котангенса
Свойства синуса, косинуса, тангенса
и котангенса
Радианная мера угла
Основные тригонометрические формулы
[6], § 13
[6], п. 31
[6], п. 32
[6], п. 33
Соотношения между
тригонометрическими функциями одного и того
же угла
Применение основных
тригонометрических формул к преобразованию
выражений
Формулы приведения
Контрольная работа № 1.1
Контрольная работа № 2.1
Формулы сложения и их следствия [6], § 14
[6],
пп.34, 35
[6], п. 36
Формулы сложения. Формулы
двойного угла
Формулы суммы и разности
тригонометрических функций
Количество часов
I
6
2
2
2
8
2
3
2
1
6
4
2
II
6
2
2
2
9
2
4
2
1
7
4
3
III
7
2
3
2
10
3
3
3
1
8
5
3
2 — 27627
33

Продолжение
Номер
пункта
Содержание материала
§ 1. Тригонометрические функции
числового аргумента
1
2
Синус, косинус, тангенс и котангенс
(повторение)
Тригонометрические функции и их
графики
Контрольная работа № 1.2
Контрольная работа № 2.2
§ 2. Основные свойства функций
3
4
5
6
7
Функции и их графики
Четные и нечетные функции.
Периодичность тригонометрических
функций
Возрастание и убывание функций.
Экстремумы
Исследование функций
Свойства тригонометрических
функций. Гармонические колебания
Контрольная работа № 1.3
Контрольная работа № 2.3
§ 3. Решение тригонометрических
уравнений и неравенств
8
9
10
11
Арксинус, арккосинус и арктангенс
Решение простейших
тригонометрических уравнений
Решение простейших
тригонометрических неравенств
Примеры решения
тригонометрических уравнений и систем уравнений
Контрольная работа № 1.4
Контрольная работа № 2.4
Обратные функции [7], § 3
[7], п. 3.1
[7], п. 3.2
[7], п. 3.3
[7], п. 3.4
Понятие обратной функции
Взаимно обратные функции
Обратные тригонометрические
функции
Примеры использования обратных
тригонометрических функций
Числовые последовательности [8], гл. XI, § 1
Предел последовательности [8], гл. XI, § 5
[8], п. 5
[8], п. 6
Определение бесконечно малой
последовательности
Свойства бесконечно малых
последовательностей
Количество часов
I
5
2
2
1
12
2
2
2
3
2
1
11
2
2
2
4
1
—
—
—
—
—
II
6
2
3
1
13
2
2
2
4
2
1
13
2
3
2
5
1
—
1 1 1 1
—
—
—
III
8
3
4
1
16
3
3
3
3
3
1
13
3
2
2
5
1
6
1
1
2
2
2
13
to to
34

Продолжение
Номер
пункта
[8], п. 7
[8], п. 8
[8], п. 9
[8], п. 10
[8], п. 11
Содержание материала
Бесконечно большие
последовательности
Определение предела
последовательности
Теоремы о пределах
Признак существования предела.
Вычисление пределов рекуррентно
заданных последовательностей
Последовательности сумм. Сумма
бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
§ 4. Производная
12
13
14
15
16
17
Приращение функции
Понятие о производной
Понятие о непрерывности и
предельном переходе
Правило вычисления производных
Производная сложной функции
Производные тригонометрических
функций
Контрольная работа № 1.5
Контрольная работа № 2.5
§ 5. Применение непрерывности и
производной
18
19
20
21
Применение непрерывности
Касательная к графику функции
Приближенные вычисления
Производная в физике и технике
Контрольная работа № 2.6
§ 6. Применение производной к
исследованию функции
22
23
24
25
Признак возрастания (убывания)
функции
Критические точки функции,
максимумы и минимумы
Примеры применения производной
к исследованию функции
Наибольшее и наименьшее
значения функции
Контрольная работа № 1.6
Контрольная работа № 2.7
Итоговое повторение
Количество часов
I
—
12
2
1
1
3
1
3
1
7
2
3
2
12
3
3
3
2
1
7
II
—
14
2
1
2
4
1
3
1
9
3
3
1
2
16
4
3
4
4
1
9
III
1
2
2
2
2
17
3
2
2
3
3
3
1
12
3
3
2
3
1
14
3
3
3
4
1
10
35

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1.11
1. Найдите значение выражения:
а) 2 cos 60°- 3tg45° + sin270°;
б) 4 sin 210° -ctg 135°.
о ~ cos a
2. Сравните с нулем значение выражения , если
90° < а < 180°. ctga
g
3. Найдите значения sin a и ctga, зная, что cos a = — и
— < a < 2л.
л чт .1 sin a
4. Упростите выражение sin a
1 - cos a tga
5. Расположите в порядке возрастания числа sin Зя, cos 0,2,
cos4,2.
Контрольная работа № 1.2
1. Найдите значение:
а) sin 2a, если sin a = , я < a < —;
13 2
б) cos 6a • cos a + sin 6a • sin a, если a = -я.
о
л ,т 2 sin2 a
2. Упростите выражение .
tg2a • tga
3. Постройте график функции y = cosx. Какая из точек
М ~; 1 и К -^-; 0 принадлежит этому графику?
\ 2 / 12 /
4. Дана функция у = 1 - 2sinx. Найдите:
а) область определения и область значений этой функции;
б) все значения х, при которых у = -1.
Контрольная работа № 1.3
1. Изобразите схематически график функции и
перечислите ее основные свойства:
а) у = (х - 2)4; б) у = 0,5sinx + 2.
1 Каждая контрольная работа разделена на две части: до
черты — задания обязательного уровня, после черты — задания более
высокого уровня.
36

2. Докажите, что функция f(x) = 2xs-tgx является
нечетной.
3. Расположите в порядке убывания числа cos (-1,1),
cosO,2, cos2,9, cos4,2.
Контрольная работа № 1.4
1. Решите уравнение:
а) 2 cos л: -1 = 0;
б) cos2jc + 3sinx -3 = 0;
в) 2 sin2 x - sin 2x = cos 2x.
л/3
2. Решите неравенство sinx < —.
3. Решите уравнение cos Зх + cos x = 0 и найдите все его
Г л я1
корни, принадлежащие промежутку -—; — .
L 2 2 J
Контрольная работа № 1.5
1. Найдите производную функции:
a) f(x) = \х4 - х3 + 5; б) f(x) = 4x-±.
£ х
2. Вычислите:
а) f\ _£ I если f(x) = xcosx;
V 2)
б) /4-1), если f(x) = (Зх + 4)5.
3. Найдите все значения х, при которых f'(x) = 0, если
f(x) = cos2x + л/Зх.
4. Найдите все значения х, при которых /'(^) ^ 0, если
/(х) = 6х - х3.
Контрольная работа № 1.6
Ъх
1. Решите неравенство х ^ 0.
2+ л;
2. К графику функции f(x) = х5 - 6х3 проведена
касательная через его точку с абсциссой х0 = 1. Вычислите
тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.
3. Прямолинейное движение точки описывается законом
x(t) = t4 - 2t2. Найдите ее скорость и ускорение в
момент времени t = 3. (Время измеряется в секундах,
перемещение — в метрах.)
37

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = х3 - Зх2 + 4 на промежутке [0; 4].
5. Представьте число 42 в виде суммы трех
положительных слагаемых таким образом, чтобы их произведение
было наибольшим, а два слагаемых были
пропорциональны числам 2 и 3.
Контрольная работа № 2.1
1. Вычислите значение выражения:
а) 2 cos 60° + ctg 45° + sin 270°; б) 3tg — - cos л + sin-.
2. Сравните с нулем значение выражения cos a • ctgoc,
если 90° < а < 180°.
3. Найдите значения cos а и tg а, если sin а = — и — < а < л.
А ,т sin а + tg(7i + а)
4. Упростите выражение
1 + sin — + ос
5. Докажите тождество:
а) (2 sin a - 3cosa)2 + (3sina + 2 cos a)2 = 13;
^ч sin3 a - cos3 a
б) = sin a - cos а.
1 + sin a cos a
6. Существует ли такое значение а, при котором sin a = -=
/б ^
и cos a = J— ? (Ответ поясните.)
V 6
Контрольная работа № 2.2
1. Вычислите значение выражения:
а) sin 2a, если cos a = —-, п < a < —;
б) cos (a - (3) - 2 sin a sin (3, если a = 30°, (3 = 15°.
2. Упростите выражение:
v n r» • 9 r>\ ■» sin 2a cos a
a) cos 2a + 2 sin2 a; 6) 1-
2 sin a
3. Докажите, что sin 40° + cos 70° - cos 10° = 0.
4. Представьте в виде произведения sin a — sin a |.
V3
5. Найдите наибольшее значение выражения 5 + cos -^- - a |.
2
38

Контрольная работа № 2.3
1. Найдите область определения функции у =
о тт » ^ ^ 4?/ ч fl-*, если* ^ 1,
2. Построите график функции f(x) = 1
[лг — 1, если х < 1.
3. Докажите, что функция г/ = | jc | + xtgx является четной.
4. Постройте схематически график функции f(x) и
перечислите ее свойства:
а) 4
б) /(*) = 2 + 1,5sin2x.
5. Расположите числа в порядке возрастания: cos 0,7;
l,l); cos2,9; cos4,4.
Контрольная работа № 2.4
1. Решите уравнение:
а) cos3x + cos л: = 0;
б) sin2 x + —sin2x = 0;
в) cos2x - 7 cos л: + 4 = 0.
2. Решите неравенство (sinx + cosx)2 ^ —.
•у*
3. Решите уравнение cosx + sin— = 0. Найдите наиболь-
ший отрицательный корень этого уравнения.
\х+ =-
4. Решите систему уравнений < 2 '
[ л/3 + cos 2x = cos 2 у.
Укажите одну пару положительных значений х и у,
которая является решением данной системы уравнений.
Контрольная работа № 2.5
1. Найдите производную функции f(x), если:
^^; в) f(x) = 3(2 - х)К
2. Вычислите:
а) /' ~ , если f(x) = xcos2x; б) f'(-l), если f(x)= —£—
у2) х
39

3. Решите уравнение f'(x) = 0, если:
a) f(x) = 2х4 - 4х2; б) f(x) = 2*j2x + sin4x.
4. Докажите, что f'(x) < 0 при любом значении х, если
f(x) = x(9x- 2x2- 30).
Контрольная работа № 2.6
1. Решите неравенство: а) Xs > , w/ 9
л:^ - 4л: + 4
2. Прямолинейное движение точки описывается законом
л;(£) = t4 — 2t2. Найдите скорость и ускорение точки
в момент t = 3 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
3. Составьте уравнение касательной к графику функции
f(x) = 1 + cos л;, проведенной через его точку с
абсциссой х= —. Найдите угол наклона этой касательной к оси
абсцисс.
4. Докажите, что касательные, проведенные через точки
графика функции f(x) = 1 - cos— с абсциссами х = -п
и х = Зл, параллельны.
5. Напишите уравнение той касательной к графику
функции f(x) = 3 - 6х2 - Xs, которая имеет наибольший
угловой коэффициент.
Контрольная работа № 2.7
1. Дана функция f(x) = 0,5x4 - 4х2.
а) Исследуйте данную функцию.
б) Постройте график данной функции.
в) Найдите наибольшее и наименьшее значения данной
функции на промежутке [—1; 3].
2. Площадь прямоугольника равна 36 дм2. Какую длину
должны иметь его стороны, чтобы периметр
прямоугольника был наименьшим?
11 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Первообразная и интеграл
Первообразная. Первообразные степенной функции с
целым показателем (п Ф -1), синуса и косинуса. Простейшие
правила нахождения первообразных.
40

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Формула
Ньютона — Лейбница. Применение интеграла к
вычислению площадей и объемов.
Основная цель — ознакомить с интегрированием
как операцией, обратной дифференцированию; показать
применение интеграла к решению геометрических задач.
Задача отработки навыков нахождения первообразных
не ставится, упражнения сводятся к простому применению
таблиц и правил нахождения первообразных.
Интеграл вводится на основе рассмотрения задачи о
площади криволинейной трапеции и построения интегральных
сумм. Формула Ньютона — Лейбница вводится на основе
наглядных представлений.
В качестве иллюстрации применения интеграла
рассматриваются только задачи о вычислении площадей и объемов.
Следует учесть, что формула объема шара выводится при
изучении данной темы и используется затем в курсе
геометрии.
Материал, касающийся работы переменной силы и
нахождения центра масс, не является обязательным.
При изучении темы целесообразно широко применять
графические иллюстрации.
2. Показательная и логарифмическая функции
Понятие о степени с иррациональным показателем.
Решение иррациональных уравнений.
Показательная функция, ее свойства и график.
Тождественные преобразования показательных уравнений,
неравенств и систем.
Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.
Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение
логарифмических уравнений и неравенств.
Производная показательной функции. Число е и
натуральный логарифм. Производная степенной функции.
Основная цель — привести в систему и обобщить
сведения о степенях; ознакомить с показательной,
логарифмической и степенной функциями и их свойствами;
научить решать несложные показательные,
логарифмические и иррациональные уравнения, их системы.
Следует учесть, что в курсе алгебры девятилетней
школы вопросы, связанные со свойствами корней п-й степени
и свойствами степеней с рациональным показателем,
возможно, не рассматривались, изучение могло быть
ограничено действиями со степенями с целым показателем и
квадратными корнями. В зависимости от реальной подготовки
класса эта тема изучается либо в виде повторения, либо как
новый материал.
Серьезное внимание следует уделить работе с основными
логарифмическими и показательными тождествами, кото-
41

рые используются как при изложении теоретических
вопросов, так и при решении задач.
Исследование показательной, логарифмической и
степенной функций проводится в соответствии с ранее
введенной схемой. Проводится краткий обзор свойств этих
функций в зависимости от значений параметров.
Раскрывается роль показательной функции как
математической модели, которая находит широкое применение
при изучении различных процессов.
Материал об обратной функции не является
обязательным.
3. Повторение. Решение задач.
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 2 ч в неделю в 1-м полугодии,
2-м полугодии, всего 86 ч
II вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
III вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
3 ч в неделю во
Номер
пункта
Содержание материала
Повторение:
определение производной, производные функций
у = sin*, у = cos*, у = tgjc, у = ctgx, у = хп, где
п е Z, правила вычисления производных,
применение производной
§ 7. Первообразная
26
27
28
Определение первообразной
Основное свойство первообразной
Три правила нахождения
первообразных
Контрольная работа № 1.7
§ 8. Интеграл
29
30
31
Площадь криволинейной трапеции
Формула Ньютона — Лейбница
Применения интеграла
Контрольная работа № 1.8
Контрольная работа № 2.8
Рациональные уравнения и неравенства
[9], § 2
[9], п. 2.4
[9], п. 2.5
[9], п. 2.6
[9], п. 2.2
Деление многочленов с остатком.
Алгоритм Евклида
Теорема Безу
Корень многочлена
Формулы бинома Ньютона суммы
и разности степеней
Количество часов
I
4
8
2
2
3
1
10
2
3
4
1
III I
II
4
9
2
2
4
1
10
2
3
4
1
1 III
III
6
10
3
3
4
12
4
3
4
1
13
3
3
4
3
42

Продолжение
Номер
пункта
Содержание материала
§ 9. Обобщение понятия степени
32
33
34
Корень п-й степени и его свойства
Иррациональные уравнения
Степень с рациональным показателем
Контрольная работа № 1.9
Контрольная работа № 2.9
§ 10. Показательная и логарифмическая
функции
35
36
37
38, 40
39
Показательная функция
Решение показательных уравнений
и неравенств
Логарифмы и их свойства
Логарифмическая функция.
Понятие обратной функции
Решение логарифмических
уравнений и неравенств
Контрольная работа № 1.10
Контрольная работа № 2.10
§ 11. Производная показательной и
логарифмической функций
41
42
43
44
Производная показательной
функции. Число е
Производная логарифмической
функции
Степенная функция
Понятие о дифференциальных
уравнениях
Контрольная работа № 1.11
Контрольная работа № 2.11
Элементы теории вероятностей [9], гл. I,
§ 1, доп. гл. II
[9], п. 1.5
[9], п. 1.6
[9], п. 1.7
[9], п. 1
[9], п. 2
[9], п. 3
[9], п. 4
Перестановки
Размещения
Сочетания
Понятие вероятности события
Свойства вероятностей события
Относительная частота события
Условная вероятность.
Независимые события
Комплексные числа [7]
[7], п. 1
[7], п. 2
Алгебраическая форма
комплексного числа
Сопряженные комплексные числа
Количество часов
I
12
4
3
4
1
17
2
4
3
3
4
1
15
4
3
3
4
1
8
2
2
2
2
—
—
II
13
4
3
5
1
18
2
4
3
3
5
1
16
4
3
3
5
1
13
2
2
2
2
2
1
2
—
III
12
3
4
4
1
20
3
4
4
3
5
1
15
3
4
3
4
1
МММ 1
16
со со
43

Продолжение
Номер
пункта
[7], п. 3
[7], п. 4
[7], п. 6
Содержание материала
Геометрическая интерпретация
комплексного числа
Тригонометрическая форма
комплексного числа
Корни многочлена
Контрольная работа № 2.12
Итоговое повторение
Итоговая контрольная работа1
Количество часов
I
1 1 1
12
2
II
—
19
2
III
3
3
3
1
32
2
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1.72
1. Докажите, что функция F является первообразной для
функции / на множестве R:
а) F(x) = x*-3, f(x) = 4x*;
б) F(x) = 5x - cosx, f(x) = 5 + sinx.
2. Найдите общий вид первообразной для функции:
4
a) f(x) = — + 3cosx;
б)
= x2(l-x);
в) f(x) = 4 sin x cos x.
3. Для функции f(x)= 3 —
sin2 л:
найдите первообразную,
j. » л>г( Я 371 i
график которой проходит через точку М\ ; — I.
^ 4 4
Контрольная работа № 1.8
1. Вычислите интеграл:
л
0,5
dx
х2
V,«J Ч
а) | —%\ б) |cos2xdx.
0,25 0
1 Для составления итоговой контрольной работы учитель может
использовать пособия [2], [3], а также сборник заданий для
подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы
авторов Г. В. Дорофеева и др.
2Каждая контрольная работа разделена на две части: до
черты — задания обязательного уровня, после черты — задания более
высокого уровня.
44

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 1 - х3, у = О, х = -1.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = -х2 + 2 и:
а) касательной к этому графику в его точке с абсциссой
х = -2 и прямой л: = 0;
б) касательными к этому графику в его точках с
абсциссами х = -2 и х = 2.
Контрольная работа № 1.9
( -Л ( - - \
1. Упростите выражение — • — - .
) 1 j
2. Решите уравнение д/2*2 + 7 - 2 = х.
' /5 +л: + 3^2- у = 6,
3. Реп1ите систему уравнений
\5j2-y +2V5 + X = 11.
4. Решите неравенство ^2х2 + 7 - 2 < х.
Контрольная работа № 1.10
1. Дана функция i/ = Iog2(x - 4) - 1.
а) Постройте график этой функции.
б) Опип1ите свойства этой функции.
2. Сравните числа: а) 2,7* и 2,73; б) log02 - и Iog02l,3.
3
3. Решите уравнение 9х - 7 • 3х - 18 = 0.
4. Решите неравенство Iog5(x + 1) < 2.
5. Решите уравнение Iog2(x + 1) + Iog4(x + 5)2 = __
~2 32
[З7 + х= 10,
6. Решите систему уравнений .
[y-logsx= 2.
Контрольная работа № 1.11
1. Найдите f'(x), f'\ - если f(x) = -lnx + 3.
V •
2. Докажите, что функция у = cos(4x - 1) является
решением дифференциального уравнения г/" = -16г/.
45

3. Составьте уравнение касательной, проведенной к
графику функции у = е* через его точку пересечения с осью
ординат.
4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
у = 2хех.
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
У = -, */ = 4 и х = 4.
Контрольная работа № 2.8
1. Найдите общий вид первообразной для функции:
2
a) f(x) = — - cosx; б) f(x) = 4sinx cosx.
2. Для функции f(x)=—^—hi найдите первообразную,
COS"2 X , .
график которой проходит через точку М \ —; — .
v4 4;
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 1 - х3, г/ = 0, х = -1.
4. Тело движется прямолинейно со скоростью
Найдите длину пути, пройденного телом от момента
начала движения до его остановки.
5. Пользуясь геометрическим смыслом определенного ин-
6
теграла, вычислите Г | лс —
Контрольная работа № 2.9
1. Упростите выражение:
ч | *2-8 6*2 | L 4
б) Vl6x2-8x + l + д/л:2 - 4х + 4 при х < -2.
2. Решите уравнение V3 - 2х - х = 6.
[у- х =8,
3. Реп1ите систему уравнений < j— i—
[л/х - у/у = -2.
4. Решите неравенство V3- 2х - л: ^ 6.
46

Контрольная работа № 2.10
1. Дана функция у = log!(х + 2) + 1.
2
а) Постройте график этой функции.
б) Опишите ее свойства.
2. Сравните числа:
а) 0,3^ и 0,3-15; б) log, J и log, Vic".
о
3. Решите уравнение 9* - 7 • 3х + 12 = 0.
4. Решите неравенство Iog4(x — 2) + Iog4(jc - 8) > 2.
/ = 13,
5. Решите систему уравнении s л
Iog5*4+logiy = 2.
1 2
Контрольная работа № 2.11
1. Найдите /'(*) и /'U ], если f(x) = 21п4х + х2.
2. Докажите, что функция г/ = cos \*j2x + lj является
решением дифференциального уравнения у" = —2у.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2х, у = 4х и х= 1.
4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
5. При каких значениях параметра а наименьшее
значение функции f(x) = ех~а — х равно -3?
Контрольная работа № 2.12
1. Даны числа zx = 12 - 5£, z2 = 4 + i. Найдите:
a) zx + z2; б) гг - z2; в) гх • z2.
2. Решите уравнение:
а) х2 - 4х + 5 = 0; б) х4 + 8х2 - 9 = 0.
3. Запишите число z = V2 - V2i в тригонометрической
форме.
4. При каких значениях а и b числа zx = а + 5 - (b - 2)i
и z2 = Ъ - 1 + За/ будут противоположными?
5. Изобразите на рисунке множество точек z комплексной
плоскости, удовлетворяющих условию 2 < \г + 3£| < 3.
47

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10—11 кл. общеобразоват.
учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дуд-
ницын и др.; под. ред. А. Н. Колмогорова. — М.:
Просвещение, 2004.
2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для
10 класса / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. —
М.: Просвещение, 2003.
3. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для
11 класса / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. —
М.: Просвещение, 2003.
4. Задачи по алгебре и началам анализа: пособие для
учащихся 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Саакян,
А. М. Гольдман, Д. В. Денисов. — М.: Просвещение, 2003.
5. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа:
учеб. пособие для 10—11 кл. с углубл. изуч. математики. —
М.: Просвещение, 1999.
6. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений /
Ю. Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков,
С.Б.Суворова; под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2004.
7. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват.
учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н.
Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2003.
8. Алгебра для 9 класса: учеб. пособие для учащихся шк. и кл.
с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвил-
ло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; под ред. Н. Я. Вилен-
кина. — М.: Просвещение, 2001.
9. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват.
учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н.
Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2003.
10. Алгебра и начала анализа в 9—10 классах: пособие для
учителя / Л. О. Денищева, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев и др. —
М.: Просвещение, 1988.
48

Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин
Программы по алгебре
и началам математического анализа
10 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Делимость чисел1
Понятие делимости. Делимость суммы и
произведения. Деление с остатком. Признаки делимости.
Сравнения. Решение уравнений в целых числах.
Основная цель — ознакомить с методами решения
задач теории чисел, связанных с понятием делимости.
В данной теме рассматриваются основные свойства
делимости целых чисел на натуральные числа и решаются
задачи на определение факта делимости чисел с опорой на
эти свойства и признаки делимости.
Рассматриваются свойства сравнений. Так как
сравнение по модулю т есть не что иное, как «равенство с
точностью до кратных /п», то многие свойства сравнений схожи
со свойствами знакомых учащимся равенств (сравнения по
одному модулю почленно складывают, вычитают,
перемножают).
Задачи на исследование делимости чисел в теории чисел
считаются менее сложными, чем задачи, возникающие при
сложении и умножении натуральных чисел. К таким
задачам, например, относится теорема Ферма о представлении
п-й степени числа в виде суммы п-х степеней двух других
чисел.
Рассказывая учащимся о проблемах теории чисел,
желательно сообщить, что решению уравнений в целых и
рациональных числах (так называемых диофантовых уравнений)
посвящен большой раздел теории чисел. Здесь же
рассматривается теорема о целочисленных решениях уравнения
первой степени с двумя неизвестными и приводятся
примеры решения в целых числах уравнения второй степени.
2. Многочлены. Алгебраические уравнения
Многочлены от одного переменного. Схема Горнера.
Многочлен Р (х) и его корень. Теорема Везу. Следствия из
теоремы Везу. Алгебраические уравнения. Делимость
двучленов хт ± ат на х ± а. Симметрические многочлены.
1 Первые две темы изучаются только в профильных классах.
49

Многочлены от нескольких переменных. Формулы
сокращенного умножения для старших степеней. Бином
Ньютона. Системы уравнений.
Основная цель — обобщить и систематизировать
знания о многочленах, известные из основной школы;
научить выполнять деление многочленов, возведение
двучленов в натуральную степень, решать алгебраические
уравнения, имеющие целые корни, решать системы уравнений,
содержащие уравнения степени выше второй; ознакомить
с решением уравнений, имеющих рациональные корни.
Продолжается изучение многочленов, алгебраических
уравнений и их систем, которые рассматривались в
школьном курсе алгебры. От рассмотрения линейных и
квадратных уравнений учащиеся переходят к алгебраическим
уравнениям общего вида Рп(х) = 0, где Рп(х) — многочлен
степени п. В связи с этим вводятся понятия степени
многочлена и его корня.
Отыскание корней многочлена осуществляется
разложением его на множители. Для этого сначала подробно
рассматривается алгоритм деления многочленов уголком,
который использовался в арифметике при делении
рациональных чисел.
На конкретных примерах показывается, как
получается формула деления многочленов Р(х) = М(х) Q(x) и как
с ее помощью можно проверить результаты деления
многочленов. Эта формула принимается в качестве определения
операции деления многочленов по аналогии с делением
натуральных чисел, с которым учащиеся знакомились в
курсе арифметики.
Деление многочленов обычно выполняется уголком или
по схеме Горнера. Иногда это удается сделать разложением
делимого и делителя на множители. Схема Горнера не
является обязательным материалом для всех учащихся, но,
как показывает опыт, она легко усваивается и ее можно
рассмотреть, не требуя от всех умения ее применять.
Можно также использовать метод неопределенных
коэффициентов.
Способ решения алгебраического уравнения
разложением его левой части на множители фактически опирается на
следствия из теоремы Везу: «Если хх — корень уравнения
Рп(х) = О, то многочлен Рп(х) делится на двучлен х - хх».
Изучается теорема Везу, формулируются следствия из нее,
являющиеся необходимым и достаточным условием
деления многочлена на двучлен.
Рассматривается первый способ нахождения целых
корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами,
если такие корни есть: их следует искать среди делителей
свободного члена. Для учащихся, интересующихся
математикой, приводится пример отыскания рациональных кор-
50

ней многочлена с первым коэффициентом, отличным от 1.
Среди уравнений, сводящихся к алгебраическим,
рассматриваются рациональные уравнения. Хотя при решении
рациональных уравнений могут появиться посторонние
корни, они легко обнаруживаются проверкой. Поэтому
понятия равносильности и следствия уравнения на этом этапе не
являются необходимыми; эти понятия вводятся позже при
рассмотрении иррациональных уравнений и неравенств.
Решение систем нелинейных уравнений проводится как
известными учащимся способами (подстановкой или
сложением), так и делением уравнений и введением
вспомогательных неизвестных.
3. Степень с действительным показателем
Действительные числа. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Арифметический корень
натуральной степени. Степень с натуральным и действительным
показателями.
Основная цель — обобщить и систематизировать
знания о действительных числах; сформировать понятие
степени с действительным показателем; научить применять
определения арифметического корня и степени, а также их
свойства при выполнении вычислений и преобразовании
выражений; ознакомить с понятием предела
последовательности1.
Необходимость расширения множества натуральных
чисел до действительных мотивируется возможностью
выполнять действия, обратные сложению, умножению и
возведению в степень, а значит, возможностью решать
уравнения х + а = Ь, ах = Ь, ха = Ъ.
Рассмотренный в начале темы способ обращения
бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную
обосновывается свойствами сходящихся числовых рядов,
в частности, нахождением суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
Действия над иррациональными числами строго не
определяются, а заменяются действиями над их
приближенными значениями — рациональными числами.
В связи с рассмотрением последовательных
рациональных приближений иррационального числа, а затем и
степени с иррациональным показателем на интуитивном уровне
вводится понятие предела последовательности.
Формулируется и строгое определение предела. Разбирается задача
на доказательство того, что данное число является
пределом последовательности с помощью определения преде-
1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит
изучению на профильном уровне.
51

ла. На данном этапе элементы теории пределов не
изучаются.
Арифметический корень натуральной степени п ^ 2 из
неотрицательного числа и его свойства излагаются
традиционно. Учащиеся должны уметь вычислять значения
корня с помощью определения и свойств и выполнять
преобразования выражений, содержащих корни.
Степень с иррациональным показателем поясняется на
конкретном примере: число 3^ рассматривается как
последовательность рациональных приближений З1'4, З1'41, ....
Здесь же формулируются и доказываются свойства степени
с действительным показателем, которые будут
использоваться при решении уравнений, неравенств, исследовании
функций.
4. Степенная функция
Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно
обратные функции. Сложные функции. Дробно-линейная
функция. Равносильные уравнения и неравенства.
Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.
Основная цель — обобщить и систематизировать
известные из курса алгебры основной школы свойства
функций; изучить свойства степенных функций и научить
применять их при решении уравнений и неравенств;
сформировать понятие равносильности уравнений, неравенств,
систем уравнений и неравенств.
Рассмотрение свойств степенных функций и их
графиков проводится поэтапно, в зависимости от того, каким
числом является показатель: 1) четным натуральным
числом; 2) нечетным натуральным числом; 3) числом,
противоположным четному натуральному числу; 4) числом,
противоположным нечетному натуральному числу; 5)
положительным нецелым числом; 6) отрицательным
нецелым числом.
Обоснования свойств степенной функции не
проводятся, они следуют из свойств степени с действительным
показателем. Например, возрастание функции у = хр на
промежутке х > О, где р — положительное нецелое число,
следует из свойства: «Если 0 < х1 < х2<, р > 0, то х[ < х%».
На примере степенных функций учащиеся знакомятся
с понятием ограниченной функции, учатся доказывать
как ограниченность, так и неограниченность функции.
Рассматриваются функции, называемые взаимно
обратными. Важно обратить внимание на то, что не всякая
функция имеет обратную. Доказывается симметрия графиков
взаимно обратных функции относительно прямой у = х.
Знакомство со сложными и дробно-линейными
функциями начинается сразу после изучения взаимно обратных
функций. Вводятся разные термины для обозначения слож-
52

ной функции (суперпозиция, композиция), но
употребляется лишь один. Этот материал в классах базового уровня
изучается лишь в ознакомительном плане. Обращается
внимание учащихся на отыскание области определения
сложной функции и промежутков ее монотонности.
Доказывается теорема о промежутках монотонности с
опорой на определения возрастающей или убывающей
функции, что позволяет изложить суть алгоритма
доказательства монотонности сложной функции.
Учащиеся знакомятся с дробно-линейными
функциями. В основной школе учащиеся учились строить график
k
функции у = — и графики функций, которые получались
сдвигом этого графика. Выделение целой части из дробно-
линейного выражения приводит к знакомому учащимся
виду функции.
Определения равносильности уравнений, неравенств и
систем уравнений и свойств равносильности дается в связи
с предстоящим изучением иррациональных уравнений,
неравенств и систем иррациональных уравнений.
Основным методом решения иррациональных уравнений
является возведение обеих частей уравнения в степень с целью
перехода к рациональному уравнению-следствию данного.
С помощью графиков решается вопрос о наличии
корней и их числе, а также о нахождении приближенных
корней, если аналитически решить уравнение трудно.
Изучение иррациональных неравенств не является
обязательным для всех учащихся. При их изучении на
базовом уровне основным способом решения является сведение
неравенства к системе рациональных неравенств,
равносильной данному. После решения задач по данной теме
учащиеся выводятся на теоретическое обобщение
решения иррациональных неравенств, содержащих в условии
единственный корень второй степени.
5. Показательная функция
Показательная функция, ее свойства и график.
Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы
показательных уравнений и неравенств.
Основная цель — изучить свойства показательной
функции; научить решать показательные уравнения и
неравенства, системы показательных уравнений.
Свойства показательной функции у - ах полностью
следуют из свойств степени с действительным показателем.
Например, возрастание функции у = ах, если а > 1, следует
из свойства степени: «Если хх < х2, то а*1 < а*2 при а > 1».
Решение простейших показательных уравнений ах = аь,
где а > О, аф\, основано на свойстве степени: «Если
ах1 _ ах2^ то х^ _ Х2>>
53

Решение большинства показательных уравнений и
неравенств сводится к решению простейших.
Так как в ходе решения предлагаемых в этой теме
показательных уравнений равносильность не нарушается, то
проверка найденных корней необязательна. Здесь системы
уравнений и неравенств решаются с помощью
равносильных преобразований: подстановкой, сложением или
умножением, заменой переменных и т. д.
6. Логарифмическая функция
Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и
натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее
свойства и график. Логарифмические уравнения.
Логарифмические неравенства.
Основная цель — сформировать понятие
логарифма числа; научить применять свойства логарифмов при
решении уравнений; изучить свойства логарифмической
функции и научить применять ее свойства при решении
логарифмических уравнений и неравенств.
До этой темы в курсе алгебры изучались такие
функции, вычисление значений которых сводилось к четырем
арифметическим действиям и возведению в степень. Для
вычисления значений логарифмической функции нужно
уметь находить логарифмы чисел, т. е. выполнять новое
для учащихся действие — логарифмирование.
При знакомстве с логарифмами чисел и их свойствами
полезны подробные и наглядные объяснения даже в
профильных классах.
Доказательство свойств логарифма опирается на его
определение. На практике рассматриваются логарифмы по
различным основаниям, в частности по основанию 10
(десятичный логарифм) и по основанию е (натуральный
логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода
от логарифма по одному основанию к логарифму по
другому основанию. Так как на инженерном
микрокалькуляторе есть клавиши lg и In, то для вычисления логарифма по
основаниям, отличным от 10 и е, нужно применить
формулу перехода.
Свойства логарифмической функции активно
используются при решении логарифмических уравнений и
неравенств.
Изучение свойств логарифмической функции проходит
совместно с решением уравнений и неравенств.
При решении логарифмических уравнений и неравенств
выполняются различные их преобразования. При этом
часто нарушается равносильность. Поэтому при решении
логарифмических уравнений необходимо либо делать проверку
найденных корней, либо строго следить за выполненными
преобразованиями, выявляя полученные уравнения-след-
54

ствия и обосновывая каждый этап преобразования. При
решении логарифмических неравенств нужно следить за
тем, чтобы равносильность не нарушалась, так как
проверку решения неравенства осуществить сложно, а в ряде
случаев невозможно.
7. Тригонометрические формулы
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала
координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла.
Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между
синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс
углов а и -а. Формулы сложения. Синус, косинус и
тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного
угла. Формулы приведения. Сумма и разность синусов.
Сумма и разность косинусов. Произведение синусов и
косинусов.
Основная цель — сформировать понятия синуса,
косинуса, тангенса, котангенса числа; научить применять
формулы тригонометрии для вычисления значений
тригонометрических функций и выполнения преобразований
тригонометрических выражений; научить решать
простейшие тригонометрические уравнения sinx = a, cosx = а при
а= 1, -1, 0.
Рассматривая определения синуса и косинуса
действительного числа а, естественно решить самые простые
уравнения, в которых требуется найти число а, если синус или
косинус его известен, например уравнения sina = 0,
cos a = 1 и т. п. Поскольку для обозначения неизвестного по
традиции используется буква х, то эти уравнения
записывают как обычно: sinx = 0, cosx= 1 и т. п. Решения этих
уравнений находятся с помощью единичной окружности.
При изучении степеней чисел рассматривались их
свойства ap + q = ар • aqj ap~q = ар : а**. Подобные свойства
справедливы и для синуса, косинуса и тангенса. Эти свойства
называют формулами сложения. Практически они
выражают зависимость между координатами суммы или
разности двух чисел а и (3 через координаты чисел а и (3.
Формулы сложения доказываются для косинуса суммы или
разности, все остальные формулы сложения получаются
как следствия.
Формулы сложения являются основными формулами
тригонометрии, так как все другие можно получить как
следствия: формулы двойного и половинного углов (для
классов базового уровня не являются обязательными),
формулы приведения, преобразования суммы и разности в
произведение. Из формул сложения выводятся и формулы
замены произведения синусов и косинусов их суммой, что
применяется при решении уравнений.
55

8. Тригонометрические уравнения
Уравнения cos л: = a, sin л: = a, tgx = а.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные
и линейные уравнения. Методы замены неизвестного и
разложения на множители. Метод оценки левой и правой
частей тригонометрического уравнения. Системы
тригонометрических уравнений. Тригонометрические неравенства.
Основная цель (базовый уровень) — сформировать
умение решать простейшие тригонометрические
уравнения; ознакомить с некоторыми приемами решения
тригонометрических уравнений.
Основная цель (профильный уровень) —
сформировать понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа;
научить решать тригонометрические уравнения и
системы тригонометрических уравнений, используя различные
приемы решения; ознакомить с приемами решения
тригонометрических неравенств.
Как и при решении алгебраических, показательных
и логарифмических уравнений, решение
тригонометрических уравнений путем различных преобразований сводится
к решению простейших: cosx = a, sinx = a, tgx = а.
Рассмотрение простейших уравнений начинается с
уравнения cosx = a, так как формула его корней проще, чем
формула корней уравнения sin x = а (в их записи часто
используется необычный для учащихся указатель знака (-1)").
Решение более сложных тригонометрических уравнений,
когда выполняются алгебраические и тригонометрические
преобразования, сводится к решению простейших.
Рассматриваются следующие типы тригонометрических
уравнений: линейные относительно sinx, cosx или tgx;
сводящиеся к квадратным и другим алгебраическим
уравнениям после замены неизвестного; сводящиеся к
простейшим тригонометрическим уравнениям после разложения
на множители.
На профильном уровне дополнительно изучаются
однородные (первой и второй степеней) уравнения
относительно sin л: и cos л;, а также сводящиеся к однородным
уравнениям. При этом используется метод введения
вспомогательного угла.
При углубленном изучении рассматривается метод
предварительной оценки левой и правой частей
уравнения, который в ряде случаев позволяет легко найти его
корни или установить, что их нет.
На профильном уровне рассматриваются
тригонометрические уравнения, для решения которых необходимо
применение нескольких методов. Показывается анализ
уравнения не по неизвестному, а по значениям синуса и
косинуса неизвестного, что часто сужает поиск корней
56

уравнения. Также показывается метод объединения
серий корней тригонометрических уравнений. Разбираются
подходы к решению несложных систем
тригонометрических уравнений.
Рассматриваются простейшие тригонометрические
неравенства, которые решаются с помощью единичной
окружности.
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант (базовый уровень): 2 ч в неделю в 1-м полугодии,
3 ч в неделю во 2-м полугодии, всего 85 ч
II вариант (профильный уровень): 4 ч в неделю, всего 136 ч
Номер
параграфа
Содержание материала
Глава I. Алгебра 7—9 (повторение)
12
13
Множества
Логика
Глава П. Делимость чисел
1
2
3
4
5
Понятие делимости. Деление суммы и
произведения
Деление с остатком
Признаки делимости
Сравнения1
Решение уравнений в целых числах
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 1
Глава III. Многочлены. Алгебраические уравнения
1
2
3
4
5
6, 7, 8
9
10
Многочлены от одного переменного
Схема Горнера
Многочлен Р (х) и его корень. Теорема Безу
Алгебраическое уравнение. Следствия из
теоремы Безу
Решение алгебраических уравнений
разложением на множители
Делимость двучленов хт ± ат на х ± а.
Симметрические многочлены. Многочлены от
нескольких переменных
Формулы сокращенного умножения для
старших степеней. Бином Ньютона
Системы уравнений
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 2
Количество
часов
I
—
—
—
—
—
—
II
4
to to
10
2
2
2
2
1
1
17
2
1
1
1
3
2
2
3
1
1
*Этот параграф изучается при наличии дополнительного
учебного времени.
57

Продолжение
Номер
параграфа
Содержание материала
Глава IV. Степень с действительным показателем
1
2
3
4
Действительные числа
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия
Арифметический корень натуральной
степени
Степень с рациональным и действительным
показателями
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 3
Глава V. Степенная функция
1
2
3
4
5
6
Степенная функция, ее свойства и график
Взаимно обратные функции. Сложные
функции
Дробно-линейная функция
Равносильные уравнения и неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 4
Глава VI. Показательная функция
1
2
3
4
Показательная функция, ее свойства и
график
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Системы показательных уравнений и
неравенств
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 5
Глава VII. Логарифмическая функция
1
2
3
4
5
6
Логарифмы
Свойства логарифмов
Десятичные и натуральные логарифмы.
Формула перехода
Логарифмическая функция, ее свойства
и график
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 6
Глава VIII. Тригонометрические формулы
1
2
3
4
Радианная мера угла
Поворот точки вокруг начала координат
Определение синуса, косинуса и тангенса
угла
Знаки синуса, косинуса и тангенса
Количество
часов
I
11
1
2
3
3
1
1
13
3
2
1
2
2
2
1
10
2
2
2
2
1
1
15
2
2
2
2
2
2
2
1
20
1
2
2
1
II
13
1
2
4
4
1
1
16
3
3
1
3
3
1
1
1
11
2
3
2
2
1
1
17
2
2
3
2
3
3
1
1
24
1
2
2
1
58

Продолжение
Номер
параграфа
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Содержание материала
Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла
Тригонометрические тождества
Синус, косинус и тангенс углов а и -а
Формулы сложения
Синус, косинус и тангенс двойного угла
Синус, косинус и тангенс половинного угла
Формулы приведения
Сумма и разность синусов. Сумма и
разность косинусов
Произведение синусов и косинусов
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 7
Глава IX. Тригонометрические уравнения
1
2
3
4
5
6
7
Уравнение cos х = а
Уравнение sin х = а
Уравнение tgx = a
Тригонометрические уравнения,
сводящиеся к алгебраическим. Однородные и
линейные уравнения
Методы замены неизвестного и разложения
на множители. Метод оценки левой и
правой частей тригонометрического уравнения
Системы тригонометрических уравнений
Тригонометрические неравенства
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 8
Резерв
Количество
часов
I
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
15
3
3
2
3
2
1
1
1
II
2
3
1
3
1
1
2
2
1
1
1
21
3
3
2
4
3
2
2
1
1
3
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № I1
1. Найти остаток от деления числа 485638 [728362] на
5 [4], не выполняя деления.
2. Найти последнюю цифру числа З57 + 425 [963 + 239].
3. Доказать, что число 915 - З27 [236 + 416] делится
на 26 [17].
4. Натуральные числа 8п + 1 и 5п + 2 [6п + 5 и In + 5]
делятся на натуральное число т Ф 1. Найти т.
5. Доказать, что уравнение 26х + 39г/ = 15 [Збх + 45г/ = 11]
не имеет целочисленных решений.
*В квадратных скобках приведены задания второго варианта
контрольной работы. Задания до черты являются обязательными,
для получения оценки «отлично» необходимо выполнить одно из
заданий после черты.
59

6. Доказать, что уравнение х2 - у2 = 230 не имеет
целочисленных решений. [Доказать, что число а = (х - у)2 х
х (х + у + I)2 делится на 4 при любых целых х и у.]
7. (Дополнительно для изучавших теорию сравнений.)
Доказать, что число а = 3643 + 4115 [2554 + 4031] делится
на 7 [13].
Контрольная работа № 2
1. Выполнить деление многочлена х4 + Зх3 - 2\х2 - 43х + 60
[л-4-9л-3 + л-2 + 81л- + 70] на многочлен х2 + 2х-3 [х2-4х-5].
2. Не выполняя деления, найти остаток от деления
многочлена х4 + х3 + 7х2 + л: + 3 [2х4 - х3 - 2х2 + Зх] на
двучлен (х - 2) [(х - 1)].
3. Решить уравнение
2х3 - х2 - 13* - 6 = 0 [Зх3 - Юх2 - 9х + 4 = 0].
4. Найти член разложения бинома
х2-
15
- —
\Ю
, не содержащий х.
5. Решить уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 6) = 168х2
[(х -1)(х- 3)(х + 2)(х + 6) = 72л-2].
6. Решить систему уравнений
х2 - ху + у2 = 21,
+ 15= 0.
i/2-
Контрольная работа № 3
Базовый уровень
1. Вычислить:
1) 2"3 - 64^ _ б4з . 2-4
2х2 - Зху + 2г/2 = 4,
2х2 + Зг/2 = 14.
I
83 : 2"1
2)
2. Упростить выражение при а > О, Ъ > 0:
a-3ffib*
3. Сократить дробь
2- 7л/а
а- 49
Ь - 64
60

4. Сравнить числа:
5. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, если Ьх= —, Ь3 = -.
[2 9
Найти второй член бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, если сумма ее членов равна 1—, а зна-
о ~| 3
менатель равен — ,
Профильный уровень
1. Вычислить:
1) 2"3 - 64^ _ б4з . 2-4
2)
- 2V2
83 :2-х
Vl7-V46-V17 + V46J.
2. Упростить выражение при а > 0, b > 0:
,-зз
V2
1)
2)
3. Сократить дробь при а > 1:
- а
а - 2а2 + 1
а + 4-Уа + 4
з
а2 + 2а
4. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
L3V2-V2j
5. Упростить выражение
%4а
v-2
,1,5
2 9 ~ а 3 - а2
70,25
v-4
6. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии
первый член на 9 больше второго. Сумма прогрессии,
составленной из членов данной прогрессии с нечетными
номерами, на 12 больше суммы прогрессии, составлен-
61

ной из членов данной прогрессии с четными номерами.
Найти эту прогрессию.
[Найти сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, если сумма всех ее членов, стоящих на
нечетных местах, в 4 раза больше суммы всех ее членов,
стоящих на четных местах, а сумма первых трех членов
прогрессии равна 63.]
Контрольная работа № 4
Базовый уровень
1. Найти область определения функции
/ \y = з/Зх-7].
у = 4/2 + 0,3*
2. Изобразить эскиз графика функции у = х7 [у = х6] и
перечислить ее основные свойства. Пользуясь свойствами
этой функции:
1) сравнить с единицей (0,95)7 [(1,001)6];
2) сравнить (-2л/з)7 и (-Зл/г)7 Г(-Зл/б)6 и (-5л/з)61.
3. Решить уравнение:
8 = 1].
х - 7
4. Установить, равносильны ли неравенства ^- > 0 и
5)>0 и
5. Найти функцию, обратную к функции у =
У =
х + 2
х-3
. Указать ее область определения и
множество значений. Является ли эта функция ограниченной?
Профильный уровень
1. Найти область определения функции
у = y/l-x + V4- х2 \у = л!х + 2 + л/б- 4х - х2].
2. Изобразить эскиз графика функции у = (х - I)7 + 2
[у = (х + I)4 - 3] и перечислить ее основные свойства.
3. Решить уравнение:
= 0 [V* + Vx + 1 = -2];
= 3 L/
= 0 [2-х -
10 = 0];
62

4) J3x2 + Ъх + 1 + JSx2 + 5дГь8 = 7
[x2 - 5x + 16 - Зд/х2 - 5x + 20 = 0].
4. Решить систему уравнений
Ux-1 + yly + l = 3,
5. Решить неравенство
* + 2х - 8 > х- 4
-у _ 20
' л: + у х + у
+ у2=34
+ 2x - x2 > 6-3x].
Контрольная работа № 5
Базовый уровень
1. Сравнить числа:
Сравнить числа: 10 п
1) 5"8'1 и 5"9 [0,5"12 и 0,5"п]; 2) - и - 6^ и 64.
Р
2. Решить уравнение:
2-Зх
2) 4х + 2х - 20 = 0 [9* - 7 • 3* - 18 = 0].
5 J < 6
=25 [(ОД)2-3 =10];
3 Г 1
3. Решить неравенство | - > 1 -
4 J 3
4. Решить неравенство:
2) I —
' ' 13
х-6
С2-1
jc+6
jc2-4
5. Решить систему уравнений
х- у = 4,
:+у = 25
6. (Дополнительно.) Решить уравнение
7*+i + з • 7* = 2* + 5 + 3 • 2х [3* + 3 + 3* = 5-2
Профильный уровень
1. Сравнить числа:
(л - З)-56 и (л - З)"6 [(5 - л)18 и (5 -
2. Решить уравнение:
/ N2-8*
1) U =25 [(ОД)2*"8 = 10];
= 36J
- 17 • 2х].
2) 4х + 2х - 20 = 0
- 7
- 18 = 0].
63

3. Решить неравенство:
1)
2) 4-
i («0
*2"1
ii
jc+6 1
9
< 1
4. Решить уравнение 3* + 2 + 8 • 5* - 1 = 5х + х + 10 • 3х
[2Х + 5 - 3X + S = 2Х + 1 + 6 - Зх + 1].
5. Решить графически неравенство
2* ^ 3* - 1
6. Решить систему
2*2 > 29,
A2J 16
7. (Дополнительно.) Решить
Г1 yw+2
116/
\ /
fiV<6+ "
UJ х
•
"|з*2<з16,
[2х2-4* = 32
•
неравенство
[(Г">
3"
Контрольная работа № 6
Базовый уровень
1. Вычислить:
1) logi16 [log3^]; 2) 5
3) Iog3135-log320 + 21og36 [Iog256 + 21og212-log263].
2. Сравнить числа
logi | и logi | ^Iog0,9 11 и log0<9 1 |J.
3. Решить уравнение Iog5(2x - 1) = 2 [Iog4(2x + 3) = 3].
4. Решить неравенство log^x - 5) > 1 [log^x - 3) > 2].
5. Решить уравнение
log8 x + log^ x = 14
6. Решить неравенство
x + log9 x = 10].
-3].
64

7. (Дополнительно.) Решить неравенство
log| х - 21og3 х ^ 3 [log! х ~
Профильный уровень
1. Вычислить:
2
3) Iog3135-log320 + 21og36 [Iog256 + 21og212-log263].
о r- i 3 i 4 fi 5 i 61
2. Сравнить числа log ~ - и log я - log 4 - и log 4 — .
H |-5 [ F 8 F 7J
3. Решить уравнение Iog5(2x - 1) = 2 [Iog4(2x + 3) = 3].
4. Решить неравенство log! (x - 5) > 1 [log! (x - 3) > 2].
3 2
5. Решить графически уравнение
6
6. Решить уравнение
log8 х + log^ x = 14 [log^ ^ + log9 л: = 10].
7. Решить неравенство:
1) log^lO-x) + log1(x- 3)^ 1 [log^x- 3) + logi(9- x)> -3].
6 6 2 2
2) iog| * - 21°g3 * < 3 il°elx - 31°g2 ^ < 4]-
8. (Дополнительно.) Решить уравнение
Iog2^_ НЗх - 2) = 3 - 21og3:c_2(2x - 1)
[log,* + ! (2x + 1) = 1 + 2 log2x + ! (3x + 1)].
Контрольная работа № 7
Базовый уровень
1. Найти значение выражения:
1) sin 150° [cos 315°]; 2) cos— Г sin-у];
3) tg^. [tg210°].
2. Вычислить sin a, cos 2a [cos a, sin 2a], если cos a = —
13
и 0 < a < — sin a = — и — < a < я L
2 |_ 13 2 J
[sin a sin P - cos (a - P) 1
^p J'
3. Упростить выражение
sin (a - Р) + sin P cos а | sin а sin P - cos (а -
tgoc
3-27627 65

4. Доказать тождество
371
2 sin 2а + cos | а | - sin (л + а)
l+sin|—-а
= -2 sin a
sin2(7i - а) + cos 2а + sin а
sin2a + cos
5. Решить уравнение
sin Зх cos х = cos Зх sin x - 1
[cos 5x cos Зх = 1 - sin 5x sin Зх].
Профильный уровень
1. Найти sin a [cos а], если
tga = л/5, 7тг < а < ^ Tctga = V7, 5тг < а <
2. Вычислить cos — [tg 75°].
3. Упростить выражение sin (a + 60°) sin (a - 60°) - sin2 a
cos2 a - cos a + — cos a - —
V 6J V 6
4. Доказать тождество
sin 2a - tg a = cos 2a tg a [sin 2a - ctg a = -cos 2a ctg a].
5. Выразить sin4 a + cos4 a [sin6 a + cos6 a] через cos 4a.
6. Доказать, что если a + (3 + у = л, то справедливо равенство
а В y
sin a + sin (3 + sin у = 4 cos — cos — cos —
Ci £ La
[sin 2a + sin 2(3 + sin2y = 4 sin a sin (3 sin y].
Контрольная работа № 8
Базовый уровень
1. Решить уравнение:
1) л/2 cos х - 1 = 0 [2 sin х - 1 = 0];
2) 3tg2x +73 = 0 |"tg — - л/3 = 01
2. Найти корни уравнения sin •— = -- cos •— = - на
отрезке [0; Зтг] [[0; 4тг]].
66

3. Решить уравнение:
1) 3 cos x - cos2 x = О [sin2 x - 2 sin x = 0];
2) 6 sin2 л: - sin л: = 1 [10 cos2 л; + 3cosjc = 1];
3) 3 sin x - 5 cos x - 0 [5 sin x + 2 cos x = 0];
4) sin 6x - sin 4x = 0 [cos 5x + cos 3x = 0];
5) sin4 x + cos4 x = cos2 2x + - sin4 x + cos4 jc = sin2 2x
4 |_ 2_
Профильный уровень
1. Решить уравнение:
1) л/2 cosx-1 = 0 [л/2 sin* - 1 = 0];
2) 3tg2x + л/3 = 0
2. Найти корни уравнения sin^ = -- cos •— = - на
отрезке [0; Зтг] [[0; 4тс]]. L J
3. Решить уравнение:
1) 3cosx - cos2 л: = 0 [sin2 л: - 2 sin л: = 0];
2) 6sin2x - sinx = 1 [10cos2x + 3cosx = 1];
3) 3sinx - 5 cosx = 0 [5sinx + 2cosx = 0];
4) sin 6x - sin 4x = 0 [cos 5x + cos 3x = 0].
5) sin4x + cos4x = cos22x + - sin4x + cos4x= sin22x-- ;
6) 5 cos x + 2 sin x = 3 [cos x + 3 sin л: = 2].
4. (Дополнительно.) Решить неравенство
1 Г л/3
sin2х < -- cos Зх < -——
11 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Тригонометрические функции
Область определения и множество значений
тригонометрических функций. Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций. Свойства функции у = cosjc
и ее график. Свойства функции у = sinx и ее график.
Свойства функции у = tgx нее график. Обратные
тригонометрические функции.
Основная цель — изучить свойства
тригонометрических функций, научить учащихся применять эти свойства
при решении уравнений и неравенств; обобщить и
систематизировать знания об исследовании функций
элементарными методами1; научить строить графики три-
1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит
изучению на профильном уровне.
67

гонометрических функций, используя различные приемы
построения графиков.
Среди тригонометрических формул следует особо
выделить те формулы, которые непосредственно относятся
к исследованию тригонометрических функций и построению
их графиков. Так, формулы sin(-x) = -sinx и cos(-x) = cosx
выражают свойства нечетности и четности функций у = sin x
и у = cos л: соответственно.
На профильном уровне продолжается изучение свойств
элементарных функций методами элементарной
математики; решаются задачи разного уровня сложности на
нахождение области определения и множества значений
сложных функций.
На углубленном уровне рассматриваются
доказательства утверждений, являющихся отрицанием факта
ограниченности функции, периодичности и пр. Логическая
структура этих доказательств специально не
обсуждается. Приведенные примеры рассуждений в задачах
позволяют провести их анализ и направить в нужное русло
поиск учащихся при самостоятельном выполнении
упражнений.
Построение графиков тригонометрических функций
проводится с использованием их свойств и начинается с
построения графика функции у = cosx.
С помощью графиков тригонометрических функций
решаются простейшие тригонометрические уравнения и
неравенства.
На базовом уровне обратные тригонометрические
функции даются в ознакомительном плане. Рекомендуется
также рассмотреть графики функций у = |cosx|, у = а + cosx,
у = cos (х + а), у = a cos х, у = cos ax, где а — некоторое число.
На профильном уровне обратные тригонометрические
функции изучаются после повторения понятия взаимно
обратных функций. Применение свойств обратных
тригонометрических функций рассматривается на
конкретных примерах.
В ходе изучения темы особое внимание уделяется
исследованию функций и построению графиков методами
элементарной математики. Таким образом, при
изучении данного раздела происходит как обобщение и
систематизация знаний учащихся об элементарных функциях
и их исследовании методами элементарной
математики, так и подготовка к восприятию элементов
математического анализа.
2. Производная и ее геометрический смысл
Предел последовательности. Предел функции.
Непрерывность функции. Определение производной. Правила
дифференцирования. Производная степенной функции. Про-
68

изводные элементарных функций. Геометрический смысл
производной.
Основная цель — ввести понятие предела
последовательности, предела функции, производной; научить
находить производные с помощью формул
дифференцирования; научить находить уравнение касательной к графику
функции, решать практические задачи на применение
понятия производной.
На базовом уровне изложение материала ведется на
наглядно-интуитивном уровне: многие формулы не
доказываются, а только поясняются или принимаются без
доказательств. Главное — показать учащимся целесообразность
изучения производной и в дальнейшем первообразной
(интеграла), так как это необходимо при решении многих
практических задач, связанных с исследованием
физических явлений, вычислением площадей криволинейных
фигур и объемов тел с произвольными границами, с
построением графиков функций. Прежде всего следует показать, что
функции, графиками которых являются кривые,
описывают многие важные физические и технические процессы.
На профильном уровне учащиеся знакомятся со
строгими определениями предела последовательности,
предела функции, непрерывности функции. Правила
дифференцирования и формулы производных элементарных
функций доказываются строго.
Достаточно подробное изучение теории пределов
числовых последовательностей учащимися профильных классов
не просто готовит их к восприятию сложного понятия
предела функции в точке, но развивает многие качества
мыслительной деятельности учащихся.
3. Применение производной к исследованию функций
Возрастание и убывание функции. Экстремумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.
Построение графиков функций.
Основная цель — показать возможности
производной в исследовании свойств функций и построении их
графиков.
При изучении материала широко используются знания,
полученные учащимися в ходе работы над предыдущей темой.
Обосновываются утверждения о зависимости
возрастания и убывания функции от знака ее производной на
данном промежутке. Вводятся понятия точек максимума и
минимума, точек перегиба. Учащиеся знакомятся с
новыми терминами: критические и стационарные точки.
После введения понятий максимума и минимума
функции формируется представление о том, что функция может
69

иметь экстремум в точке, в которой она не имеет
производной, например, у = \х\ в точке х = 0.
Определение вида экстремума предполагается связать
с переменой знака производной функции при переходе
через точку экстремума. Необходимо показать учащимся не
только профильных классов, что это можно сделать
проще — по знаку второй производной: если f"(x) > 0 в
некоторой стационарной точке х, то рассматриваемая
стационарная точка есть точка минимума; если f"(x) < 0, то эта
точка — точка максимума; если f"(x) = 0, то точка х есть
точка перегиба.
Приводится схема исследования основных свойств
функции, предваряющая построение графика. В классах
базового уровня эта схема выглядит так: 1) область определения
функции; 2) точки пересечения графика с осями координат;
3) производная функции и стационарные точки; 4)
промежутки монотонности; 5) точки экстремума и значения
функции в этих точках.
На профильном уровне (после изучения второй про
изводной) схема исследования функции выглядит так:
1) область определения функции; четность (нечетность);
периодичность; 2) нули функции; промежутки знакопо-
стоянства; 3) асимптоты графика функции; 4) первая
производная; критические точки; промежутки
монотонности; экстремумы; 5) вторая производная; промежутки
выпуклости, направления выпуклостей и точки перегиба.
4. Первообразная и интеграл
Первообразная. Правила нахождения первообразных.
Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его
вычисление. Вычисление площадей фигур с помощью
интегралов. Применение интегралов для решения физических
задач. Простейшие дифференциальные уравнения.
Основная цель — ознакомить с понятием интеграла
и интегрированием как операцией, обратной
дифференцированию; научить находить площадь криволинейной
трапеции, решать простейшие физические задачи с помощью
интеграла.
Операция интегрирования сначала определяется как
операция, обратная дифференцированию, далее вводится
понятие первообразной, при этом не вводится ни
определение неопределенного интеграла, ни его обозначение.
Таблица правил интегрирования (т. е. таблица первообразных)
в этом случае естественно получается из таблицы
производных. Формулируется утверждение, что все первообразные
для функции f(x) имеют вид F(x) + С, где F(x) —
первообразная, найденная в таблице. Этот факт не доказывается,
а только поясняется.
70

Связь между первообразной и площадью криволинейной
трапеции устанавливается формулой Ньютона —
Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел
интегральной суммы; при этом формула Ньютона —
Лейбница также оказывается справедливой. Таким образом, эта
формула является главной: с ее помощью вычисляются
определенные интегралы и находятся площади
криволинейных трапеций.
На профильном уровне учащиеся знакомятся с
задачами на нахождение пути по заданной скорости, на
вычисление работы переменной силы, задачами о размножении
бактерий и о радиоактивном распаде более подробно, чем
школьники классов базового уровня, и учатся решать
простейшие дифференциальные уравнения.
5. Комбинаторика
Математическая индукция. Правило произведения.
Размещения с повторениями. Перестановки. Размещения
без повторений. Сочетания без повторений и бином Ньютона.
Основная цель — развить комбинаторное
мышление учащихся; ознакомить с теорией соединений (как
самостоятельным разделом математики и в дальнейшем —
с аппаратом решения ряда вероятностных задач);
обосновать формулу бинома Ньютона (с которой учащиеся лишь
знакомились в курсе 10 класса).
Основными задачами комбинаторики считаются
следующие: 1) составление упорядоченных множеств
(образование перестановок); 2) составление подмножеств данного
множества (образование сочетаний); 3) составление
упорядоченных подмножеств данного множества (образование
размещений).
Из всего многообразия вопросов, которыми занимается
комбинаторика, в содержание образования старшей школы
сегодня включается лишь теория соединений —
комбинаторных конфигураций, которые называются
перестановками, размещениями и сочетаниями. Причем обязательными
для изучения являются лишь соединения без
повторений — соединения, составляемые по определенным
правилам из различных элементов.
Теория соединений с повторениями не является
обязательной для изучения даже на профильном уровне, тем
не менее, полезно ввести понятие хотя бы размещений
с повторениями, так как задачи на подсчет числа этих
размещений рассматриваются уже на первых уроках при
решении задач на применение правила произведения.
Знакомство с остальными соединениями с
повторениями может быть рассмотрено с учащимися
профильных классов при наличии времени. Доказательство же
справедливости формул для подсчета числа
перестановок с повторениями и числа сочетаний с повторениями
71

следует рассматривать только при углубленном
изучении с учащимися, усвоившими применение метода
математической индукции.
Дополнительной мотивацией рассмотрения,
например, перестановок с повторениями является то, что
биномиальные коэффициенты есть не что иное, как
перестановки с повторениями. Поэтому учащиеся, знакомые
с понятием перестановок с повторениями, легко
воспринимают вывод формулы бинома Ньютона.
6. Элементы теории вероятностей
Вероятность события. Сложение вероятностей.
Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность
произведения независимых событий. Формула Бернулли.
Основная цель — сформировать понятие
вероятности случайного независимого события; научить решать
задачи на применение теоремы о вероятности суммы двух
несовместных событий и на нахождение вероятности
произведения двух независимых событий.
В программу включено изучение (частично на
интуитивном уровне) лишь отдельных элементов теории
вероятностей. При этом введению каждого понятия предшествует
неформальное объяснение, раскрывающее сущность
данного понятия, его происхождение и реальный смысл. Так
вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных
событий, связанных с некоторым испытанием;
определяются и иллюстрируются операции над событиями.
Классическое определение вероятности события с рав-
новозможными элементарными исходами формулируется
строго, и на его основе (с использованием знаний
комбинаторики) решается большинство задач. Понятия
геометрической вероятности и статистической вероятности
вводились на интуитивном уровне в основной школе.
Независимость событий вводится достаточно строго
(после определения понятия условной вероятности).
Разбирается решение задачи на нахождение вероятности
события В, состоящего в том, что при п испытаниях
наблюдаемое событие А произойдет ровно k раз, после чего
обосновывается формула Бернулли.
При изложении материала данного раздела
подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных
областях знаний и практической деятельности человека.
7. Комплексные числа1
Определение комплексных чисел. Сложение и
умножение комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа.
Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деле-
*Эта тема изучается только в профильных классах.
72

ния. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Умножение и деление комплексных чисел, записанных в
тригонометрической форме. Формула Муавра. Квадратное
уравнение с комплексным неизвестным. Извлечение корня из
комплексного числа. Алгебраические уравнения.
Основная цель — научить представлять
комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах;
изображать число на комплексной плоскости; научить
выполнять операции сложения, вычитания, умножения и
деления чисел, записанных в алгебраической форме, операции
умножения и деления чисел, представленных в
тригонометрической форме.
На примере теории комплексных чисел
старшеклассники впервые (а, возможно, и вообще единственный раз)
знакомятся со строгим построением теории чисел.
Комплексные числа вводятся либо как упорядоченная
пара чисел, либо как выражение а + Ы, где а и Ъ —
действительные числа, i — некоторый символ, такой, что i2 = —1.
Затем формулируются правила, устанавливающие
равенство комплексных чисел, вводятся числа, соответствующие
привычным для школьников нулю и единице, изучаются
правила арифметических действий над комплексными числами.
Тригонометрическая интерпретация комплексного
числа позволяет решать алгебраические уравнения (в
частности, квадратные) в поле комплексных чисел и осознанно
воспринимать основную теорему алгебры, которая
формулируется в конце темы.
8. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Линейные уравнения и неравенства с двумя
переменными. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя
переменными. Уравнения и неравенства с двумя
переменными, содержащие параметры.
Основная цель — обучить приемам решения
уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с
двумя переменными.
Изображение множества точек, являющегося решением
уравнения первой степени с двумя неизвестными, не ново
для учащихся старших классов. Решение систем
уравнений с помощью графика знакомо школьникам с основной
школы. Теперь им предстоит углубить знания, полученные
ранее, и ознакомиться с решением неравенств с двумя
переменными и их систем.
Учебный материал этой темы построен так, что
учащиеся постигают его в ходе решения конкретных задач, а
затем происходит обобщение изученных примеров. Сначала
рассматриваются уравнения с двумя переменными,
линейные или нелинейные, затем неравенства и, наконец,
системы уравнений и неравенств.
73

Изучением этой темы подводится итог известным
учащимся методам решения уравнений и неравенств.
Рассматриваются методы, с которыми они ранее знакомы не были,
но знания, которые приходится применять, хорошо
известны и предстают с новой для учащихся стороны.
9. Итоговое повторение курса алгебры и начал
математического анализа
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
II вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
Номер
параграфа
Содержание материала
Глава I. Тригонометрические функции
1
2
3
4
5
6
Область определения и множество
значений тригонометрических функций
Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций
Свойства функции у = cos x и ее график
Свойства функции у = sin x и ее график
Свойства функции у = tg x и ее график
Обратные тригонометрические функции
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 1
Глава П. Производная и ее геометрический смысл
1
2
3
4
5
6
7
8
Предел последовательности
Предел функции
Непрерывность функции
Определение производной
Правила дифференцирования
Производная степенной функции
Производные элементарных функций
Геометрический смысл производной
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 2
Глава III. Применение производной к
исследованию функции
1
2
3
4
5
Возрастание и убывание функции
Экстремумы функции
Наибольшее и наименьшее значения
функции
Производная второго порядка, выпуклость
и точки перегиба
Построение графиков функций
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 3
Количество
часов
I
18
2
3
3
3
3
1
2
1
18
1
1
2
3
2
3
3
2
1
13
2
2
3
1
2
2
1
II
19
2
3
3
3
2
3
2
1
22
3
2
1
2
3
2
3
3
2
1
16
2
2
3
2
4
2
1
74

Продолжение
Номер
параграфа
Содержание материала
Глава IV. Первообразная и интеграл
1
2
3
4
5
6
Первообразная
Правила нахождения первообразных
Площадь криволинейной трапеции.
Интеграл и его вычисление
Вычисление площадей фигур с помощью
интегралов
Применение интегралов для решения
физических задач
Простейшие дифференциальные уравнения
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 4
Глава V. Комбинаторика
1
2
3
4
5
6
Математическая индукция1
Правило произведения. Размещения с
повторениями
Перестановки
Размещения без повторений
Сочетания без повторений и бином Ньютона
Сочетания с повторениями1
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 5
Глава VI. Элементы теории вероятностей
1
2
3
4
5
Вероятность события
Сложение вероятностей
Условная вероятность. Независимость
событий1
Вероятность произведения независимых
событий
Формула Бернулли
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 6
Глава VII. Комплексные числа
1
2
3
4
Определение комплексных чисел.
Сложение и умножение комплексных чисел
Комплексно сопряженные числа. Модуль
комплексного числа. Операции вычитания
и деления
Геометрическая интерпретация
комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного
числа
Количество
часов
I
10
2
2
2
1
2
1
9
1
2
1
3
1
1
7
2
2
1
1
1
—
—
II
15
2
2
3
3
1
1
2
1
10
2
2
1
3
1
1
?
2
2
1
1
1
1
13
2
3
2
1
АЭтот параграф изучается при наличии дополнительного
учебного времени.
75

Продолжение
Номер
параграфа
5
6
7
Содержание материала
Умножение и деление комплексных чисел,
записанных в тригонометрической форме.
Формула Муавра
Квадратное уравнение с комплексным
неизвестным
Извлечение корня из комплексного числа.
Алгебраические уравнения1
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 7
Глава VIII. Уравнения и неравенства с двумя
переменными
1
2
3
Линейные уравнения и неравенства с
двумя переменными
Нелинейные уравнения и неравенства
с двумя переменными
Уравнения и неравенства с двумя
переменными, содержащие параметры
Урок обобщения и систематизации знаний
Контрольная работа № 8
Итоговое повторение курса алгебры и начал
математического анализа
Количество
часов
I
1 1 1
7
2
3
1
1
19
И
2
1
1
1
10
3
3
2
1
1
22
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № I2
Базовый уровень
1. Найти область определения и множество значений
функции у = sinx + 2 [у = 3cosx].
2. Выяснить, является ли функция у = х2 + cos х [у = х sin x]
четной или нечетной.
3. Доказать, что наименьший положительный период
функции у = cos2x у = sin^ равен л [4л].
4. Найти все принадлежащие отрезку [-л; л] [[0; 2,5л]]
ГT
корни уравнения sin л: = — cos л: = | с помощью
графика функции.
хЭтот параграф изучается при наличии дополнительного
учебного времени.
2 В квадратных скобках приведены задания второго варианта
контрольной работы. Задания до черты являются обязательными,
для получения оценки «отлично» необходимо выполнить одно из
заданий после черты.
76

5. Построить график функции у = sin х - 1 \у = cos мс + —
и найти значения аргумента, при которых функция
возрастает [убывает], принимает наибольшее [наименьшее]
значения.
Профильный уровень
1. Построить график функции у = cos 2х \у = sin х
и найти ее промежутки возрастания [убывания].
2. С помощью графика функции выяснить, сколько
корней имеет уравнение cos 2х = х * sin х \ = Чх .
2
3. Доказать, что функция у = ctg — х [у = tg4x]
периодическая с наименьшим положительным периодом Т = —-
[*■-!]
Г = — и найти ее область определения.
4. Выяснить, является ли функция
у = 3 sin х — 2 cos л: [г/ = 3 sin2 л: + cos 2x\
четной или нечетной, и найти множество ее значений.
5. Построить график функции
Контрольная работа № 2
Базовый уровень
1. Найти производную функции:
1 ( Л6 1
--^; 2) - + 7 ; 3) e*cosx; 4)-^
2. Найти значение производной функции у = f(x) в точ-
ке х0, если /(х) = 1 - 6л/^, хо = 8 м
L
-2 Х
3. Записать уравнение касательной к графику функции
f(x) = sin x - Зх + 2 [/(х) = 4jc — cos л: + 1] в точке х0 = 0.
77

4. Найти значения х, при которых значения производной
функции , W- »1 Г, «- ifil положить, [ЭТри-
цательны].
5. Найти точки графика функции
f(x) = х3- Зх2 [f(x) = xs
в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Профильный уровень
1. Найти производную функции:
2 л1— (х У i-~
1) 4-34V^; 2) £ + 5 ; 3) e'cosx; 4)
#5 ^ 3 J 1 - x
-4-; 2) 13 + - ; 3)^sin:c; 4)^—-
2. Найти значение производной функции у = f(x) в точке х0,
если /(х) = Iog2(x2 + 3), х0 = 1 [/(*) = З-3- \ х0 = 1].
3. Записать уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке х0, если
f(x) = sinx - Зх + 2, х0 = п f(x) = 4х - cosx + 1, х0 = •— .
4. Найти значения л:, при которых значения производной
функции f(x) = ехх~2 положительны [f(x) = x2e~x
отрицательны].
5. Найти точки графика функции у = f(x), в которых
касательная к нему имеет заданный угловой коэффици-
ент k, если f(x) = л/5х + 1, k = - \ f(x) = у/Зх + 1, k = - .
8 L 8J
6. Найти все значения а, при которых неравенство
f'(x) > 0 [f'(x) < 0] не имеет действительных решений,
если/(х)= -х3 + 2х2 -х + 5 \f(x)= —х3 + х2 - х - 4~|.
Контрольная работа № 3
Базовый уровень
1. Найти экстремумы функции:
1) /(*) = х3 - 2jc2 + х + 3; 2) /(х) = ^(5х - 3)
[1) f(x) = х3 - х2 - х + 2; 2) /(*) = (8 -
2. Найти интервалы возрастания и убывания функции
/(*) = Xs - 2х2 + х + 3 [f(x) = Xs - х2 - х + 2].
78

3. Построить график функции
f(x) = Xs - 2х + х + 3 [f(x) = Xs - х2 - х + 2].
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = xs - 2х + х + 3 [f(x) = xs - х - х + 2] на отрезке
hi] [hi
5. В прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 8 см
вписан имеющий с ним общий угол прямоугольник
наибольшей площади. Найти площадь прямоугольника.
[Найти наибольшую площадь ромба, сумма длин
диагоналей которого равна 12 см.]
Профильный уровень
1. Установить, при каких значениях а функция f(x) = е~2х - ах
убывает [f(x) = ах - e~Sx возрастает] на всей области
определения.
2. Найти асимптоты графика функции
х2-3
^ — и х2 + 5
3. Построить график функции f(x)= -—- I f(x) =
1 I
4. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного
около цилиндра с высотой h (оси цилиндра и конуса
совпадают).
[Найти высоту правильной четырехугольной призмы
наибольшего объема, вписанной в конус с высотой Н
(плоскости оснований призмы и конуса совпадают).]
5. Построить график функции
f(x) = -| - sin л: \f(x) = |- - cos л: I
на отрезке [-л; л].
Контрольная работа № 4
Базовый уровень
1. Доказать, что функция
F(x) = Зх + sin л: - е2х [F(x) = eSx + cosx + х]
является первообразной функции
f(x) = 3 + cos x - 2е2х [f(x) = 3eSx - sinx + 1]
на всей числовой оси.
79

2. Найти первообразную F(x) функции
f(x)=bfc [/(*)=-
I 7 1 I 3
график которой проходит через точку А 0; — \\ А 0; —
I 8Я I 4
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у-Зх- х2, х-1, х-2 \у = cos х, х = 0, х = — и осью Ох.
L 3 J
Профильный уровень
1. Найти первообразную функции
f(x)= sin (2х +| j + cos Ux +1
2. Тело движется прямолинейно со скоростью v (t) = t2 - 2t + 3
[u(£) = t2 + t - 2] (м/с). Вычислить путь, пройденный
телом за промежуток времени от t = 1 до t = 3 [от £ = 2
до * = 5].
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 - 4х + 3, у = х2 - \2х + 35, у = 8
[у = 6х- х2, у = -х2+ Ых - 40, у = 9].
3 ( \ 4 (
4. Вычислить интеграл J sin2 \х - — \dx \ cos2
Контрольная работа № 5
Базовый уровень
х + — \dx
8
1. Найти —- + Cq
lio
2. Сколькими способами из числа 15 учащихся класса
можно выбрать культорга и казначея? [Сколькими способами
7 детей ясельной группы можно рассадить на 7 стульях?]
3. Сколько различных шестизначных чисел можно
записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 таким образом, чтобы
все цифры в числах были различны? [Сколькими
способами можно составить набор из 5 карандашей, выбирая их
из 8 имеющихся карандашей восьми различных цветов?]
4. Записать разложение бинома (2 - х)5 [(2а - I)6].
5. Сколько существует различных кодов, состоящих из
двузначного числа, цифры которого выбираются из
цифр 1, 2, 3, и следующего за ним трехбуквенного слова,
80

буквы которого выбираются из гласных букв русского
алфавита? (Цифры и буквы в коде могут повторяться.)
[Шифр сейфа образуется из двух чисел. Первое,
двузначное число, образуется из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры
в числе могут повторяться). Второе, трехзначное число,
образуется из цифр 7 и 6. Сколько различных шифров
можно использовать в таком сейфе?]
Профильный уровень
1. Найти P7-A62+^-\^ + Ci-A
Чо L А7
2. См. № 2 базового уровня.
3. См. № 3 базового уровня.
4. См. № 5 базового уровня.
5. Записать разложение бинома 2
6. Используя свойства числа сочетаний, найти
7. Сколькими способами можно разложить 7 монет по двум
карманам так, чтобы ни один карман не был пустым?
[Сколькими способами 6 игроков команды могут
рассесться на двух скамейках таким образом, чтобы ни
одна из скамеек не пустовала (на одной скамейке могут
уместиться не менее 6 человек)?]
8. Найти коэффициент при х4 в разложении
(2х2 + 2х + I)5 [(1 + х + 2х2)6].
Контрольная работа № 6
Базовый уровень
1. Бросают 2 игральных кубика — большой и маленький.
Какова вероятность того, что:
1) на обоих кубиках появятся четыре очка [пять очков];
2) на большом кубике появится 2 очка, а на
маленьком — четное число очков [на маленьком кубике
появится кратное 3 число очков, а на большом — 5 очков].
2. В коробке лежат 3 черных, 2 белых и 4 красных шара.
Случайным образом вынимается один шар. Какова
вероятность того, что это или белый, или красный шар
[или черный, или красный шар]?
3. Вероятность попадания по мишени стрелком равна — — .
2t\) |_ 15 J
Какова вероятность: 1) непопадания по мишени при
одном выстреле? 2) попадания по мишени в каждом из
81

двух последовательных выстрелов? 3) попадания при
первом и промахе — при втором выстреле?
4. В коробке лежат 4 белых и 3 черных шара. Наугад
вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынуты
белый и черный шары [два черных шара]?
5. В вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов. Какова
вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых
цветков окажется по крайней мере одна гвоздика [один
нарцисс]?
Профильный уровень
1. В вазе лежат 7 яблок и 4 груши. Не глядя из вазы
последовательно берут 2 фрукта, не возвращая их обратно.
Какова вероятность того, что второй будет извлечена
груша, при условии, что первой также была извлечена
груша [вторым будет извлечено яблоко, при условии, что
первой была извлечена груша]?
2. В ящике лежат 15 красных и 5 синих шаров. Наугад
вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты
шары разных цветов [оба шара оказались красными]?
3. В коробке лежат 10 деталей, среди которых 4 [3] легче
остальных. Случайным образом на 6 [7] из них сделали
напыление. Какова вероятность того, что вынутая из
коробки деталь окажется легкой без напыления
[тяжелой с напылением]?
4. См. № 5 базового уровня.
5. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9.
Какова вероятность того, что после четырех выстрелов
мишень будет поражена хотя бы двумя пулями [после
пяти выстрелов мишень будет поражена хотя бы
четырьмя пулями]?
6. Среди 10 [12] деталей 4 [5] бракованных. Наугад
вынимают 3 детали. Какова вероятность того, что среди
вынутых деталей две окажутся бракованными?
Контрольная работа № 7
1. Вычислить:
1) (3 - 20(4 + 0 - (7 - 50 [(4 - 50 - (2 + 0(1 - 30];
2) 2^ + U T ' [iTa
2. Выполнить действия i5 + i3 + i2 [i4 + i6 + is] и результат
представить в тригонометрической форме.
82

3. Представить в тригонометрической форме число:
4. Выполнить действия:
( 71 71 ^ ( 71 71 '
1) 2 cos —hi sin — • 3 cos —hi sin —
[/ Л \ / 'л!
__ / Отг 9тг i i~~ l тг тг i
V 2 cos — + i sin — • V3 cos — + i sin — ;
Vl4(cosl8o+ isin 18°) r3(cos!5°-h isin 15°)
V7(cos36°+ i sin 36°) [5(cos60°+ isin60°)J*
5. Найти множество точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих условию:
6. Решить уравнение:
1) z2-4z + 7 = 0 [г2- 2z + 6 = 0]; 2) 2s = -27 [г4 = 8i].
Контрольная работа № 8
Базовый уровень
1. Найти множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих уравнению:
2) (х + 4)2 + (у - I)2 = 9 [(х - З)2 + (у + 2)2 = 16].
2. Найти множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
1) 2х + у - К 0 [х - 2у + 3 > 0];
2) х2 + (у - 2)2 < 4 [(х + З)2 + у2 > 1].
3. Изобразить на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
[2у + 3х^ 0,
Ъу - 2х - 4 > 0,
[у + 2х- 8 ^ 0
Зу-х-И^О,
[4jc-y-ll< О
Профильный уровень
1. Найти множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих уравнению
х2 + 4у2 - 6х + 20у + 25 = 0 [9л:2 + у2 - 12* + 4у - 8 = 0].
2. Найти множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству |л:+1| + |у|^2 [| х | + | у - 11 < 2].
83

3. Найти площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости системой неравенств
1х2+у2< 4,
\(х + у + 2)(у-х + 2)> О
4. Найти все значения а, при которых система уравнений
\х\ +2\у\ + \2х- Зу\= 12,
х2 + у2 = а
3|х| + |у| + |х + 3у| = 11,
х2 + у2 = а
имеет ровно два решения.
Замечание. Последнее задание может быть
выполнено на отдельную оценку.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10 кл.
общеобразоват. учреждений: базовый и профи л. уровни /
[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И.
Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — М.: Просвещение, 2008.
2. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл.
общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /
[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Ша-
бунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — М.: Просвещение, 2008.
3. Алгебра и начала математического анализа: дидакт.
материалы для 10 кл. общеобразоват. учреждений: профил. уровень /
[М. И. Шабунин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, О. Н. Доб-
рова]. — М.: Просвещение, 2008.
4. Алгебра и начала математического анализа: дидакт.
материалы для 11 кл. общеобразоват. учреждений: профил. уровень /
[М. И. Шабунин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, О. Н. Доб-
рова]. — М.: Просвещение, 2008.
5. Федорова Н. Е. Изучение алгебры и начал
математического анализа в 10 классе: кн. для учителя / Н. Е. Федорова,
М. В. Ткачева. — М.: Просвещение, 2008.
6. Федорова Н. Е. Изучение алгебры и начал
математического анализа в 11 классе: кн. для учителя / Н. Е. Федорова,
М. В. Ткачева. — М.: Просвещение, 2008.
84

С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников,
А. В. Шевкин
Программы по алгебре
и началам математического анализа
10 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Действительные числа
Понятие натурального числа. Множества чисел.
Свойства действительных чисел. Метод математической
индукции1. Перестановки. Размещения. Сочетания.
Доказательство числовых неравенств. Делимость целых чисел.
Сравнения по модулю т. Задачи с целочисленными
неизвестными.
Основная цель — систематизировать известные и
изучить новые сведения о действительных числах.
При изучении первой темы сначала проводится
повторение изученного в основной школе по теме
«Действительные числа». Затем изучаются перестановки, размещения
и сочетания. Здесь важно понять разницу между ними
и научиться применять их при решении задач.
Необходимо овладеть методом математической
индукции и научиться применять его при решении задач. Важным
элементом обучения является овладение методами
доказательства числовых неравенств. Делимость чисел изучается
сначала для натуральных чисел, а затем для целых чисел.
Это приводит к новому понятию: сравнению чисел по
модулю. Приводится решение многочисленных задач с помощью
сравнения по модулю. Наконец, рассматриваются
разнообразные диофантовы уравнения.
2. Рациональные уравнения и неравенства
Рациональные выражения. Формулы бинома Ньютона,
суммы и разности степеней. Деление многочленов с
остатком. Алгоритм Евклида. Теорема Везу. Корень
многочлена. Рациональные уравнения. Системы рациональных
уравнений. Метод интервалов решения неравенств.
Рациональные неравенства. Нестрогие неравенства. Системы
рациональных неравенств.
Основная цель — сформировать умения решать
рациональные уравнения и неравенства.
1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит
изучению на профильном уровне.
85

При изучении этой темы сначала повторяются известные
из основной школы сведения о рациональных выражениях.
Затем эти сведения дополняются формулами бинома
Ньютона, суммы и разности одинаковых натуральных степеней.
Повторяются старые и приводятся новые способы решения
рациональных уравнений и систем рациональных уравнений.
Рассматривается метод интервалов решения неравенств
вида
(х - хг) ... (х -хп)>0 или (х - хг) ... (х - хп) < 0. (*)
Он основан на свойстве двучлена х — а обращаться
в нуль только в одной точке а, принимать положительные
значения для каждого х > а и отрицательные значения для
каждого х < а. Решение строгих рациональных неравенств
сводится к решению неравенств вида (*).
Нестрогие неравенства вводятся только после
рассмотрения всех строгих неравенств. Для решения нестрогого
неравенства надо решить уравнение и строгое неравенство,
а затем объединить все найденные решения. После этого
рассматриваются системы рациональных неравенств.
Решению рациональных уравнений и неравенств
помогает метод нахождения рациональных корней многочлена
Рп(х) степени п ^ 3, изучение деления многочленов и
теоремы Безу.
3. Корень степени п
Понятия функции и ее графика. Функция у = хп.
Понятие корня степени п. Корни четной и нечетной степеней.
Арифметический корень. Свойства корней степени п.
Функция у = Щх. Корень степени п из натурального числа.
Основная цель — освоить понятия корня степени п
и арифметического корня; выработать умение
преобразовывать выражения, содержащие корни степени п.
При изучении этой темы сначала напоминаются
определения функции и ее графика, свойства функции у = хп.
Существование двух корней четной степени из положительного
числа и одного корня нечетной степени из любого
действительного числа показывается геометрически с опорой на
непрерывность на R функции у = хп. Основное внимание
уделяется изучению свойств арифметических корней и их
применению к преобразованию выражений, содержащих корни.
Изучаются свойства и график функции у = \[х,
утверждается, что арифметический корень степени п может быть
или натуральным числом или иррациональным числом.
4. Степень положительного числа
Понятие и свойства степени с рациональным
показателем. Предел последовательности. Свойства пределов.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Число е.
86

Понятие степени с иррациональным показателем.
Показательная функция.
Основная цель — усвоить понятия рациональной
и иррациональной степеней положительного числа и
показательной функции.
Сначала вводятся понятие рациональной степени
положительного числа и изучаются ее свойства. Затем вводится
понятие предела последовательности и с его помощью
находится сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии и определяется число е. Степень с
иррациональным показателем определяется с использованием
предела последовательности, после чего вводится
показательная функция и изучаются ее свойства и график.
5. Логарифмы
Понятие и свойства логарифмов. Логарифмическая
функция. Десятичный логарифм (приближенные
вычисления). Степенные функции.
Основная цель — освоить понятия логарифма и
логарифмической функции, выработать умение
преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.
Сначала вводятся понятия логарифма, десятичного и
натурального логарифмов, изучаются свойства логарифмов.
Затем рассматривается логарифмическая функция и
изучаются ее свойства и график.
Изучаются свойства десятичного логарифма,
позволяющие проводить приближенные вычисления с помощью
таблиц логарифмов и антилогарифмов. Наконец, изучаются
степенные функции вида у = х$ для различных значений Р
(Р е R, P е N и др.).
6. Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства
Простейшие показательные и логарифмические
уравнения. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой
неизвестного. Простейшие показательные и логарифмические
неравенства. Неравенства, сводящиеся к простейшим
заменой неизвестного.
Основная цель — сформировать умение решать
показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Сначала изучаются простейшие показательные
уравнения, находятся их решения. Затем аналогично изучаются
простейшие логарифмические уравнения. Далее
рассматриваются уравнения, решение которых (после введения
нового неизвестного t и решения получившегося рационального
уравнения относительно t) сводится к решению
простейшего показательного (или логарифмического) уравнения.
По такой же схеме изучаются неравенства: сначала
простейшие показательные, затем простейшие
логарифмические, и наконец, неравенства, сводящиеся к простейшим
заменой неизвестного.
87

7. Синус и косинус угла
Понятие угла и его меры. Определение синуса и
косинуса угла, основные формулы для них. Арксинус и
арккосинус. Примеры использования арксинуса и арккосинуса
и формулы для них.
Основная цель — освоить понятия синуса и
косинуса произвольного угла, изучить свойства функций угла:
sin а и cos а.
Используя язык механики, вводится понятие угла как
результата поворота вектора. Затем вводятся его градусная
и радианная меры. С использованием единичной
окружности вводятся понятия синуса и косинуса угла. Изучаются
свойства функций sin а и cos а как функций угла а,
доказываются основные формулы для них.
Вводятся понятия арксинуса и арккосинуса числа и с
их помощью решаются задачи на нахождение всех углов,
для каждого из которых sin а (или cos а) равен (больше или
меньше) некоторого числа. Выводятся формулы для
арксинуса и арккосинуса.
8. Тангенс и котангенс угла
Определения тангенса и котангенса угла и основные
формулы для них. Арктангенс и арккотангенс. Примеры
использования арктангенса и арккотангенса и формулы
для них.
Основная цель — освоить понятия тангенса и
котангенса произвольного угла, изучить свойства функций
угла: tga и ctga.
Тангенс и котангенс угла а определяются как с помощью
отношений sin a и cos a, так и с помощью осей тангенса и
котангенса. Изучаются свойства функций tga и ctga как
функций угла а, доказываются основные формулы для них.
Вводятся понятия арктангенса и арккотангенса числа
и с их помощью решаются задачи на нахождение всех
углов, для каждого из которых tga (или ctga) равен (больше
или меньше) некоторого числа. Выводятся формулы для
арктангенса и арккотангенса.
9. Формулы сложения
Косинус суммы (и разности) двух углов. Формулы для
дополнительных углов. Синус суммы (и разности) двух
углов. Сумма и разность синусов и косинусов. Формулы
для двойных и половинных углов. Произведение синусов
и косинусов. Формулы для тангенсов.
Основная цель — освоить формулы косинуса и
синуса суммы и разности двух углов, выработать умение
выполнять тождественные преобразования
тригонометрических выражений с использованием выведенных формул.
Сначала с помощью скалярного произведения векторов
доказывается формула косинуса разности двух углов. Затем
88

с помощью свойств синуса и косинуса угла и доказанной
формулы выводятся все перечисленные формулы.
Используя доказанные формулы, выводятся формулы для синусов
и косинусов двойных и половинных углов, а также для
произведения синусов и косинусов углов. Наконец, выводятся
формулы для тангенса суммы (разности) двух углов
тангенса двойного и половинного углов, для выражения синуса,
косинуса и тангенса угла через тангенс половинного угла.
10. Тригонометрические функции числового аргумента
Функции у = sin л;, у = cosx, у = tgx, у = ctgx.
Основная цель — изучить свойства основных
тригонометрических функций и их графиков.
Сначала говорится о том, что хотя функция может
выражать зависимость между разными физическими
величинами, но в математике принято рассматривать функции
у = f(x) как функции числа. Поэтому здесь и
рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента,
их основные свойства. С использованием свойств
тригонометрических функций строятся их графики.
При изучении этой темы вводится понятие
периодической функции и ее главного периода, доказывается, что
главный период функций у = sinx и у = cosx есть число 2я,
а главный период функций у = tgx и у = ctgx есть число п.
11. Тригонометрические уравнения и неравенства
Простейшие тригонометрические уравнения.
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим заменой
неизвестного. Применение основных тригонометрических
формул для решения уравнений. Однородные уравнения.
Простейшие тригонометрические неравенства.
Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
Введение вспомогательного угла. Замена неизвестного
t = sin л: + cos л;.
Основная цель — сформировать умение решать
тригонометрические уравнения и неравенства.
Сначала с опорой на умение решать задачи на
нахождение всех углов х таких, что f(x) = а, где f(x) — одна из
основных тригонометрических функций (sinx, cosx, tgx,
ctgx), рассматривается решение простейших
тригонометрических уравнений. Затем рассматриваются уравнения,
которые (после введения нового неизвестного t и решения
получившегося рационального уравнения относительно t)
сводятся к решению простейшего тригонометрического
уравнения. Рассматриваются способы решения
тригонометрических уравнений с помощью основных
тригонометрических формул и, наконец, рассматриваются
однородные тригонометрические уравнения.
С опорой на умение решать задачи на нахождение всех
углов х таких, что f(x) > а, или f(x) < а, где f(x) — одна
89

из основных тригонометрических функций,
рассматривается решение простейших тригонометрических неравенств.
Затем рассматриваются неравенства, которые (после
введения нового неизвестного t и решения получившегося
рационального неравенства относительно t) сводятся к
решению простейших тригонометрических неравенств.
Рассматриваются специальные приемы решения
тригонометрических уравнений и неравенств введением
вспомогательного угла и заменой неизвестного t = sinx + cosx.
12. Вероятность события
Понятие и свойства вероятности события.
Основная цель — овладеть классическим понятием
вероятности события, изучить его свойства и научиться
применять их при решении несложных задач.
Сначала рассматриваются опыты, результаты которых
называют событиями. Определяется вероятность события.
Рассматриваются примеры вычисления вероятности
события. Затем вводятся понятия объединения (суммы),
пересечения (произведения) событий и рассматриваются
примеры на применение этих понятий.
13. Частота. Условная вероятность
Относительная частота события. Условная вероятность.
Независимые события.
Основная цель — овладеть понятиями частоты
события и условной вероятности события, независимых
событий; научить применять их при решении несложных задач.
Сначала вводится понятие относительной частоты
события и статистической устойчивости относительных частот.
Затем рассматривается вопрос о разных способах
определения вероятности: классическом, статистическом,
аксиоматическом. Вводятся понятия условной вероятности и
независимых событий, рассматриваются примеры на
применение этих понятий.
14. Математическое ожидание. Закон больших
чисел1
Математическое ожидание. Сложный опыт. Формула
Бернулли. Закон больших чисел.
Основная цель — ознакомить с понятиями
математического ожидания и сложного опыта.
Вводится понятие математического ожидания и
рассматриваются задачи, в которых используется это понятие.
Формулируется закон больших чисел.
15. Повторение курса алгебры и начал
математического анализа за 10 класс
*Эта тема изучается при наличии дополнительного учебного
времени.
90

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 2,5 ч в неделю, всего 85 ч
II вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
III вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
IV вариант: 5 ч в неделю, всего 161 ч
Номер
пункта
Содержание материала
§ 1. Действительные числа
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
Понятие действительного числа
Множества чисел. Свойства
действительных чисел
Метод математической индукции
Перестановки
Размещения
Сочетания
Доказательство числовых неравенств
Делимость целых чисел
Сравнения по модулю т
Задачи с целочисленными
неизвестными
§ 2. Рациональные уравнения и
неравенства
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
Рациональные выражения
Формулы бинома Ньютона, суммы
и разности степеней
Деление многочленов с остатком.
Алгоритм Евклида
Теорема Безу
Корень многочлена
Рациональные уравнения
Системы рациональных уравнений
Метод интервалов решения неравенств
Рациональные неравенства
Нестрогие неравенства
Системы рациональных неравенств
Контрольная работа № 1
§ 3. Корень степени п
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Понятие функции и ее графика
Функция у = хп
Понятие корня степени п
Корни четной и нечетной степеней
Арифметический корень
Свойства корней степени п
Функция у = rtfx, х ^ 0
Функция у = ТЦх
Корень степени п из натурального
числа
Контрольная работа № 2
Количество часов
I
7
2
2
1
1
1
12
1
1
1
1
2
2
2
1
1
6
1
1
1
1
1
1
II
7
2
2
1
1
1
14
1
1
2
2
2
2
2
1
1
8
1
1
1
1
1
2
1
III
12
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
18
1
2
2
2
3
3
3
1
1
12
1
2
1
2
2
2
1
1
IV
13
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
25
1
3
2
1
2
2
2
3
3
3
2
1
14
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
91

Продолжение
Номер
пункта
Содержание материала
§ 4. Степень положительного числа
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Степень с рациональным показателем
Свойства степени с рациональным
показателем
Понятие предела последовательности
Свойства пределов
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
Число е
Понятие степени с иррациональным
показателем
Показательная функция
Контрольная работа № 3
§ 5. Логарифмы
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Понятие логарифма
Свойства логарифмов
Логарифмическая функция
Десятичные логарифмы
Степенные функции
§ 6. Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Простейшие показательные уравнения
Простейшие логарифмические
уравнения
Уравнения, сводящиеся к
простейшим заменой неизвестного
Простейшие показательные
неравенства
Простейшие логарифмические
неравенства
Неравенства, сводящиеся к
простейшим заменой неизвестного
Контрольная работа № 4
§ 7. Синус и косинус угла
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Понятие угла
Радианная мера угла
Определение синуса и косинуса угла
Основные формулы для sin а и cos а
Арксинус
Арккосинус
Примеры использования арксинуса
и арккосинуса
Формулы для арксинуса и
арккосинуса
§ 8. Тангенс и котангенс угла
8.1
Определение тангенса и котангенса
угла
Количество часов
I
8
1
1
1
1
1
1
1
1
5
2
2
1
7
1
1
1
1
1
1
1
7
1
1
1
2
1
1
4
1
II
9
1
2
1
1
1
1
1
1
6
2
3
1
7
1
1
1
1
1
1
1
7
1
1
1
2
1
1
4
1
III
13
1
2
2
2
1
1
1
2
1
6
2
3
1
11
1
1
2
2
2
2
1
7
1
1
1
2
1
1
6
1
IV
14
1
2
2
2
2
1
1
2
1
8
2
3
1
1
1
13
2
2
2
2
2
2
1
11
1
1
1
2
2
2
1
1
10
1
92

Продолжение
Номер
пункта
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Содержание материала
Основные формулы для tga и ctga
Арктангенс
Арккотангенс
Примеры использования арктангенса
и арккотангенса
Формулы для арктангенса и
арккотангенса
Контрольная работа № 5
§ 9. Формулы сложения
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Косинус разности и косинус суммы
двух углов
Формулы для дополнительных углов
Синус суммы и синус разности двух
углов
Сумма и разность синусов и
косинусов
Формулы для двойных и половинных
углов
Произведение синусов и косинусов
Формулы для тангенсов
§ 10. Тригонометрические функции
числового аргумента
10.1
10.2
10.3
10.4
Функция у = sin х
Функция у = cos х
Функция у = tg х
Функция у = ctgx
Контрольная работа № 6
§ 11. Тригонометрические уравнения и
неравенства
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
Простейшие тригонометрические
уравнения
Уравнения, сводящиеся к
простейшим заменой неизвестного
Применение основных
тригонометрических формул для решения
уравнений
Однородные уравнения
Простейшие неравенства для синуса
и косинуса
Простейшие неравенства для
тангенса и котангенса
Неравенства, сводящиеся к
простейшим заменой неизвестного
Введение вспомогательного угла
Замена неизвестного t = sin x + cos x
Контрольная работа № 7
Количество часов
I
1
1
1
7
1—1 i—1 i—1 i—I 1—1 1—1 1—1
5
1
1
1
1
1
5
2
1
1
1
II
1
1
1
10
2
1
2
2
1
1
1
8
2
2
2
1
1
8
2
2
2
1
1
III
2
1
1
1
11
2
1
2
2
2
1
1
9
2
2
2
2
1
12
2
2
2
1
1
1
1
1
1
IV
2
2
2
1
1
1
13
2
1
2
2
2
2
2
9
2
2
2
2
1
16
2
3
2
1
1
1
2
2
1
1
93

Продолжение
Номер
пункта
Содержание материала
§ 12. Вероятность события
12.1
12.2
Понятие вероятности события
Свойства вероятностей
§ 13. Частота. Условная вероятность
13.1
13.2
Относительная частота события
Условная вероятность. Независимые
события
§ 14. Математическое ожидание. Закон
больших чисел1
14.1
14.2
14.3
Математическое ожидание
Сложный опыт
Формула Бернулли. Закон больших
чисел
Повторение
Повторение курса алгебры и начал
математического анализа за 10 класс
Итоговая контрольная работа № 8
Количество часов
I
4
ю ю
—
—
8
7
1
II
4
2
2
—
—
10
9
1
III
6
со со
2
1
1
—
11
10
1
IV
6
со со
3
2
1
—
15
13
2
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольные работы для разных профилей,
соответствующие вариантам планирования I, II, III и IV, устроены
следующим образом. Без звездочек даны задания для
базового уровня. Они соответствуют минимальному уровню
подготовки, отвечающему требованиям стандарта по
математике. Это основной вариант контрольной работы. После
задач основного варианта контрольной работы идут
дополнительные задания, отмеченные звездочкой.
В зависимости от уровня подготовки класса, времени,
отводимого на контрольную работу, и варианта
планирования учитель может дополнить основной вариант
контрольной работы дополнительными заданиями, заменить
некоторые задания более сложными дополнительными
заданиями. При проведении контрольной работы учитель может
объявить учащимся, какие задания работы он считает
обязательными, а какие дополнительными. За выполнение
обязательной части работы ученику ставится одна отметка.
Ставить отметку за выполнение дополнительных заданий
нужно только в случае успеха и с согласия ученика.
При любом варианте планирования учитель может
предложить учащимся одного класса, имеющим различную под-
*Этот параграф изучается при наличии дополнительного
учебного времени.
94

готовку по теме, посильный уровень контрольной работы.
Тем самым разноуровневые контрольные работы позволяют
учителю дифференцировать требования к учащимся.
При варианте I планирования проведение контрольных
№ 2 и № 7 не предусмотрено, учитель может по своему
усмотрению использовать задачи этих контрольных работ
для проведения самостоятельных работ или составить
контрольную работу по заданиям двух соседних контрольных
работ, охватывающих содержание изученного материала,
подлежащего проверке.
Итоговую контрольную работу в 10 классе можно
провести в форме теста, близкого по форме к ЕГЭ, или в форме
традиционной контрольной работы, задания для которой
можно выбрать из заданий этого теста.
Итоговую контрольную работу в 11 классе можно
провести по текстам прошлогодних экзаменационных работ
с учетом формы проведения итогового контроля в регионе.
Можно провести тестирование, близкое по форме к ЕГЭ.
Для этого можно использовать две брошюры [7], в одной из
которых приведены 4 варианта теста, в другой —
подробный разбор решений двух неидентичных вариантов.
Дополнительную информацию можно получить на сайте
«Математика. Школа. Будущее» (адрес: www.shevkin.ru).
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Упростите выражение —z н • (5а - do).
\а2 - Ъ2 Ъ - а а + Ъ)
О у, I О у, О
2. Решите уравнение —= ^ = 0.
х2 - 2х х2+2х
3. Решите неравенство:
а) < 0; б) ^ 0.
Л± Л7 ( 1 1 1 71 + 3
4*. Упростите выражение —z 1—= • —^ и наи-
\п2-п п2 + п ) п2 + Зп + 2
дите значение полученного выражения при п = 0.
5*. Докажите справедливость неравенства:
а) х2 + у2 - 2х + 4у + 5 ^ 0; б) х4 - Зх2 - 2х + 6 > 0;
в) х2 + 2х + -т—± ^ 0.
х2 + 2х + 2
6*. Решите уравнение х4 - х3 - Зх2 + 4х - 4 = 0.
7*. К двузначному числу приписали цифру 1 сначала
справа, потом слева, получились два числа, разность
которых равна 234. Найдите это двузначное число.
95

Вариант 2
л л.т (6а
1. Упростите выражение
-Ьг а + Ъ Ъ - а ) Ъа +56
л--» 2* + 4 л: - 4 ~
2. Решите уравнение —-—: ^ = О.
3. Решите неравенство:
— < 0; б) —g ^ 0.
.. ,7 f 1 1 ^1 n2- 1
4*. Упростите выражение —= ъ • и найдите
\п2-п п2 + п) п - 2
значение полученного выражения при п = -1.
5*. Докажите справедливость неравенства:
а) х2 + г/2 - 4х + 2i/ + 5 ^ 0; б) х4 - 5х2 - 2х + 11 > 0;
в) х2 - 2х + -5—-J ^ 0.
л:2 - 2л: + 2
6*. Реп1ите уравнение х4 + Xs - 8х2 - 9х - 9 = 0.
7*. К двузначному числу приписали цифру 2 сначала
справа, потом слева, получились два числа, разность
которых равна 432. Найдите это двузначное число.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Вычислите:
a) e + V1^; б) 4 + V81; в) V2-V8;
ч л/54 ч
г) -q=r-\ д)
2. Упростите выражение (ifa - Vb) (л/а + i/bj (yfa + Vbj.
3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
ЗЗ/ёГ о
8l) -=; б) -= ; в)
4. Вычислите:
а) У20022 + 2 ■ 2002 ■ 498 + 4982 ;
б) ^20013 - 3 - 20012 -189 + 3 - 2001 -1892 - 1893 .
5*. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) ^24; б) i/За4, если а > 0; в) ifbx*, если х < 0.
6*. Внесите множитель под знак корня:
а) 2ч75; б) a V6, если а > 0; в) xtfe, если х < 0.
96

7*. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из
пункта А в пункт В. Скорость велосипедиста была
в 2 раза больше скорости пешехода, но в пути он сделал
остановку для устранения поломки велосипеда и
поэтому в пункт В прибыл лишь на 5 мин раньше пешехода,
который на весь путь затратил 40 мин. Сколько минут
велосипедист устранял поломку велосипеда?
Вариант 2
1. Вычислите:
a) 4 + VI27; б) 3 + Vl6; в) ^4
Ш
г) Ш.; д) (3л/7+3л/5)(3л/49-3л/35
л/2
2. Упростите выражение {4х + jy j (ifx - tfyj (ifx + tfy j.
3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 3V3; } 3V21; B)
4. Вычислите:
а) ^20012 - 2 - 2001 - 401 + 4012 ;
б) ^/17993 + 3 -17992 - 203 + 3 -1799 - 2032 + 2033 .
5*. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) ^32; б) V8o\ если а > 0; в) V^, если х < 0.
6*. Внесите множитель под знак корня:
а) 3^3; б) aV2, если а > 0; в) xifE, если х < 0.
7*. Велосипедист и мотоциклист отправились
одновременно из пункта А в пункт В. Скорость мотоциклиста была
в 3 раза больше скорости велосипедиста, но в пути он
сделал остановку для устранения поломки мотоцикла
и поэтому в пункт В прибыл лишь на 15 мин раньше
велосипедиста, который на весь путь затратил 60 мин.
Сколько минут мотоциклист устранял поломку
мотоцикла?
Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. а) Запишите в виде корня: 2^; 53; З4.
б) Запишите в виде степени: V5; v4; v26 .
I з
32-94
2. Вычислите:
2 2
23. 43
4-27627 97

3. Постройте график функции и перечислите свойства
этой функции: а) у = 2х; б) | -
3
2-
у
4. Упростите выражение
' х4-у4 Х4+у4) 6Х~4у2
5*. Упростите выражение и найдите его значение при
х = 0,025:
* + ^+*"3
v-3
6*. Вычислите предел последовательности:
ч .. 5/г3-/г2-4 _ .. 3/г2 + 4
a) hm —-——-г—-; б) hm
3/г3 + 11/г2+ 1
hm —-——-г—-; б) hm — =—г;
-+оо 3/г3 + 11/г2+ 1 п-+оо /г3 + /г2 + 1
в) lim (V/i + 1 - л/n); r) lim (4 + Ъп + 4д2 - Зга3).
Л—»■ +ОО ^ ' П—»• +ОО
7*. Четыре ученика, работая совместно с одинаковой
производительностью, выполнили задание за некоторый
срок. Один мастер и один ученик, работая совместно,
выполнили бы это задание за - того же срока. Во сколь-
3
ко раз производительность мастера больше
производительности ученика?
Вариант 2 112
1. а) Запишите в виде корня: З2; 54; 43.
б) Запишите в виде степени: V7; v2; v65 .
I 5
2. Вычислите:
I
22 • 44
-.
3. Постройте график функции и перечислите свойства
этой функции: а) у = 3х; б) у = -
V2
3 3
4. Упростите выражение
У
2-
I 11 I -I -I '
V х4 + z/4 л:4 - i/4 у 4л: 4z/ 2
5*. Упростите выражение и найдите его значение при
х = 0,0125:
\-4
98

6*. Вычислите предел последовательности:
ч ,. 4га3 -5п2- 4 .. .. га3-2га2+4
Ю .*£. 5гаЗ+12га2+13; б) ^ га2 + lira J
в) lim (Vn - 3y/n-l); г) lim (14 - п + Sn2 - 2n3).
П -► +oo ^ ' n -► +oo
П -► +oo
7*. На пяти старых станках, работающих совместно с
одинаковой производительностью, выполнили задание за
некоторый срок. На одном новом и одном старом станках,
работающих совместно, выполнили бы это задание за 0,8
того же срока. Во сколько раз производительность
нового станка больше производительности старого станка?
Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. Вычислите:
a) Iog232 + In е- lglOO;
(log2(V5 - l) + log2(V5 + l) log3 49)
6)
2. Решите уравнение:
a) fij +8-f|l -9=0; 6) log3* + 41og9* = 9.
3. Решите неравенство:
а) 2X + S- 3 • 2X + 1 + 2X> 12;
б) (log2jc)2 - 41og2x + 3^0.
4*. Докажите числовое равенство
5*. Вычислите значение числового выражения 5log827:3log25.
f2y (sY
6*. Реп1ите уравнение - — 2 • — +1 = 0.
7*. Проехав за 1 ч три четверти расстояния между
городами А и Ву водитель увеличил скорость на 20 км/ч,
поэтому остаток пути он проехал за 15 мин. Определите
расстояние между городами А и В.
Вариант 2
1. Вычислите:
a) Iog381 - In e + lglOOO;
2 • log716
б)
(log3(Vl0 + l) + log3(Vl0 - l)) log7 2'
99

2. Решите уравнение:
а) 4х - 3 • 2х + 2 = 0; б) log2x + 61og4x = 8.
3. Решите неравенство:
а) 3х + 2 — 2 • 3х + * + 3х< 12; б) (logхх)2 + 3logгх — 4 ^ 0.
4*. Докажите числовое равенство
2
5*. Вычислите значение числового выражения 7log27 8:2log3 7.
( \х ( \х
6*. Решите уравнение 2 • - - 15 • - +1 = 0.
V2/ V5/
7*. Проехав за 2 ч две трети расстояния между городами А
и В, водитель уменьшил скорость на 15 км/ч, поэтому
остаток пути он проехал за 1 ч 20 мин. Определите
расстояние между городами А и В.
Контрольная работа № 5
Вариант 1
1. Вычислите:
а) л/3 sin 60° + cos 60° sin 30° - tg 45° ctg 135° + ctg 90°;
б) cos^--V2sin- + V3tg-.
о 4 3
2. Упростите выражение:
ч (1 - cosocUl + cos a)
а) : ;
sin a
б) sin (2л + a) + cos (я + a) + sin (-a) + cos (-a).
3. Вычислите:
а) (sin a + cos a)2 - 2 sin a cos a;
б) tga + ctg a, если sin a cos a = 0,3.
4. Найдите все такие углы а, для каждого из которых
выполняется равенство:
а) sina = —; б) cosa = ; в) tga = л/3; г) ctga = -1.
5*. Вычислите:
а) tg2a + ctg2a, если tga + ctga = 3;
2 1
б) 1 , если cosa - sina = —.
tga + ctga 3
/2
6*. Вычислите arcsinl - arccos
2
.
2 arctgV3
100

7*. В прошлом году в городской думе заседали 50 депутатов
от двух партий и 5 независимых депутатов. После
выборов в этом году общее число депутатов не изменилось, но
число депутатов первой партии увеличилось на 10%,
число депутатов второй партии уменьшилось на 10%,
число независимых депутатов увеличилось на 1.
Сколько депутатов от каждой из этих партий избрано в
городскую думу в этом году?
Вариант 2
1. Вычислите:
а) л/2 sin 45° - cos 30° sin 60° + ctg 45° tg 135° - tg 0°;
б) sin- + V2cos-- V3ctg^-.
3 4 6
rt T7 ч (1 - sinoc)(l+ sinoc)
2. Упростите выражение: а) — -;
cos a
6) sin (71 + a) + cos(2л + a) - sin (-a) - cos (-a).
3. Вычислите:
а) (sin a - cos a)2 + 2 sin a cos a;
б) tg a + ctg a, если sin a cos a = 0,3.
4. Найдите все такие углы а, для каждого из которых
выполняется равенство:
а) sina = ; б) cosa = -; в) tga = -V3; г) ctga = 1.
5*. Вычислите:
а) tg2a + ctg2a, если tga - ctga = -3;
2 1
б) 1 + , если cosa + sina = —,
tga + ctga 3
** т> . л/2 1 arctgV3
6*. Вычислите arcsin arccosl + ,_ .
2 , л/3
arctg —
3
7*. В пансионате в прошлом году отдыхали 700 мужчин
и женщин и 100 детей. В этом году число мужчин
уменьшилось на 10%, а число женщин увеличилось на 10%,
число детей увеличилось на 10. В результате общее
число отдыхающих не изменилось. Сколько мужчин
и сколько женщин отдыхало в пансионате в этом году?
Контрольная работа № 6
Вариант 1
1. Упростите выражение: (к
sin(rc-a)cos a
а) cos (a + (3) + sin a sin (3; 6) sin2 a +
у ч i i Зя
tg(n + a)ctg| ——a
101

2. Вычислите sin 2004° cos 1974° - sin 1974° cos 2004°.
3. Известно, что sin a = 0,8, — < a < п. Вычислите:
a) cos a; 6) sin 2a; в) cos 2a.
4. Постройте график функции у = cos 7х cos 6x + sin 7х sin 6x.
5*. Вычислите cos 5° - 2 sin 25° sin 20°.
6*. Докажите справедливость равенства
л 2л 4л 1
cos-cos — cos— = --.
7*. Велосипедист и мотоциклист одновременно отправились
навстречу друг другу из городов А и В. После встречи
мотоциклист прибыл в город В через 1 ч, а велосипедист
прибыл в город А через 9 ч. Во сколько раз скорость
мотоциклиста больше скорости велосипедиста?
Вариант 2
1. Упростите выражение: (п Л
sin — + a cos (л-a)
а) sin (a - p) + cosasin(3; 6) cos2a + — -.
ctg(K-a)tgf Y + a)
2. Вычислите cos 2005° cos 1960° + sin 1960° sin 2005°.
3. Известно, что cos a = -0,6, — < a < л. Вычислите:
a) sin a; 6) sin 2a; в) cos 2a.
4. Постройте график функции у = sin 7x cos 6x - sin 6x cos 7x.
5*. Вычислите sin 10° + 2 sin 25° cos 35°.
6*. Докажите справедливость равенства
л 2л 4л 1
cos — cos — cos — = —.
9 9 9 8
7*. Велосипедист и пешеход одновременно отправились
навстречу друг другу из городов А и В. После встречи
велосипедист прибыл в город В через 1 ч, а пешеход
пришел в город А через 4 ч. Во сколько раз скорость
велосипедиста больше скорости пешехода?
Контрольная работа № 7
Вариант 1
Решите уравнение (1—5):
1. а) sinjc= 1; б) cosjc= -; в) ctgx= -л/3.
2. а) 2 sin2 л; + sin л; - 1 = 0; б) 3sin2jc - cos* + 1 = 0.
102

3. a) sin х- V3cosjc = 0;
б) sin2jc - 2V3sinxcosjc + 3cos2jc = 0.
4*. a) sinx = -0,5; 6) cosjc=-; в) tgx = -3.
3
5*. a) sinjc -f cosjc = 1; 6) sin2jc + cos 4л; =1,5.
6*. Решите неравенство:
а) siruc>0,5; 6) cosjc<-0,5; b) tgx^2.
7*. Если раздать каждому учащемуся по т тетрадей, то
останется а тетрадей, а чтобы раздать каждому по
п тетрадей, не хватает еще Ь тетрадей. Сколько было
учащихся и сколько было тетрадей?
Вариант 2
Решите уравнение (1—5):
1. a) cosx=l; б) sinx=—; в) ctgjc=v3.
2. a) 2cos2jc- cosjc- 1 = 0; б) 3cos2x - 2sinx + 2 = 0.
3. a) sinx + V3cosjc = 0;
б) sin2* + 2V3sinjccosjc + 3cos2jc = 0.
4*. a) cosjc = -0,5; 6) sinjc=—; в) tgjc = 2.
4
5*. a) sinx - cosx = 1; 6) sin2jc + cos4x = -0,5.
6*. Решите неравенство:
a) sinx<-0,5; 6) cosjc>0,5; b) tgx^-3.
7*. Для отопления дома ежедневно расходуют одно и то же
число килограммов угля. Через т дней после начала
отопительного сезона осталось а кг угля, а когда
пройдет п дней от начала сезона, то останется Ь кг угля. По
скольку килограммов угля расходуют ежедневно и на
сколько дней было запасено угля?
11 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Функции и их графики
Элементарные функции. Исследование функций и
построение их графиков элементарными методами. Основные
способы преобразования графиков. Графики функций,
содержащих модули. Графики сложных функций1.
1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит
изучению на профильном уровне.
103

Основная цель — овладеть методами исследования
функций и построения их графиков.
Сначала вводятся понятия элементарной функции и
суперпозиции функций (сложной функции). Затем
исследуются вопросы об области определения и области изменения
функции, об ограниченности, четности (или нечетности)
и периодичности функции, о промежутках возрастания
(убывания) и знакопостоянства функции. Результаты
исследования функции применяются для построения ее
графика. Далее рассматриваются основные способы
преобразования графиков функций — симметрия относительно осей
координат, сдвиг вдоль осей, растяжение и сжатие
графиков. Все эти способы применяются к построению графика
функции у = Af(k(x - а)) + В по графику функции у = f(x).
Рассматривается симметрия графиков функций у = f(x)
и х = f(y) относительно прямой у = х. По графику функции
У = f(x) строятся графики функций y = \f(x)\ и y = f(\x\)-
Затем строятся графики функций, являющихся
суперпозицией, суммой, произведением функций.
2. Предел функции и непрерывность
Понятие предела функции. Односторонние пределы,
свойства пределов. Непрерывность функций в точке, на
интервале, на отрезке. Непрерывность элементарных
функций. Разрывные функции.
Основная цель — усвоить понятия предела
функции и непрерывности функции в точке и на интервале.
На интуитивной основе вводятся понятия предела
функции сначала при х —► +оо, х —► -оо, затем в точке.
Рассматриваются односторонние пределы и свойства пределов
функций. Вводится понятие непрерывности функции в
точке и на интервале. Выясняются промежутки непрерывности
элементарных функций.
Вводятся понятия непрерывности функции справа
(слева) в точке х0 и непрерывности функции на отрезке.
Приводится также определение предела функции в точке «на
языке 8-5» и «на языке последовательностей». Вводится
понятие разрывной функции и рассматриваются примеры
разрывных функций.
3. Обратные функции
Понятие обратной функции. Взаимно обратные
функции. Обратные тригонометрические функции.
Основная цель — усвоить понятие функции,
обратной к данной, и научить находить функцию, обратную
к данной.
Сначала на простом примере вводится понятие функции,
обратной к данной. Затем определяется функция, обратная
104

к данной строго монотонной функции. Приводится способ
построения графика обратной функции.
Вводится понятие взаимно обратных функций,
устанавливается свойство графиков взаимно обратных функций,
построенных в одной системе координат. Исследуются
основные обратные тригонометрические функции и
строятся их графики.
4. Производная
Понятие производной. Производная суммы, разности,
произведения и частного двух функций. Непрерывность
функций, имеющих производную, дифференциал.
Производные элементарных функций. Производная сложной
функции. Производная обратной функции.
Основная цель — научить находить производную
любой элементарной функции.
Сначала вводится новая операция: дифференцирование
функции и ее результат — производная функции. Затем
выясняется механический и геометрический смысл
производной, после чего находятся производные суммы,
разности, произведения, частного и суперпозиции двух
функций, а также производные всех элементарных функций.
Доказывается непрерывность функции в точке, в которой
она имеет производную. Вводится понятие дифференциала
функции, доказывается теорема о производной обратной
функции и находятся производные для обратных
тригонометрических функций.
5. Применение производной
Максимум и минимум функции. Уравнение касательной.
Приближенные вычисления. Теоремы о среднем.
Возрастание и убывание функций. Производные высших
порядков. Выпуклость графика функции. Экстремум функции
с единственной критической точкой. Задачи на максимум
и минимум. Асимптоты. Дробно-линейная функция.
Построение графиков функций с применением производной.
Формула и ряд Тейлора.
Основная цель — научить применять производную
при исследовании функций и решении практических задач.
Сначала вводятся понятия локальных максимума и
минимума функции, ее критических точек, а затем
рассматривается метод нахождения максимума и минимума функции
на отрезке. Выводится уравнение касательной к
графику функции, исследуется возрастание и убывание функций
с помощью производных. Рассматриваются экстремум
функции с единственной критической точкой и задачи на
максимум и минимум. Проводится исследование функций с
помощью производной, строятся их графики.
105

Доказываются теоремы Ролля и Лагранжа. Обсуждается
вопрос о выпуклости вверх (или вниз) графика функции,
имеющей вторую производную, т. е. вопрос о
геометрическом смысле второй производной. Вводится понятие
асимптоты графика функции. Исследуется дробно-линейная
функция. Вводятся понятия формулы и ряда Тейлора,
показывается их применение при приближенных вычислениях.
6. Первообразная и интеграл
Понятие первообразной. Замена переменной и
интегрирование по частям. Площадь криволинейной трапеции.
Определенный интеграл. Приближенное вычисление
определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница.
Свойства определенных интегралов. Применение
определенных интегралов в геометрических и физических
задачах. Понятие дифференциального уравнения. Задачи,
приводящие к дифференциальным уравнениям.
Основная цель — знать таблицу первообразных
(неопределенных интегралов) основных функций и уметь
применять формулу Ньютона — Лейбница при вычислении
определенных интегралов и площадей фигур.
Сначала вводится понятие первообразной для функции,
непрерывной на интервале, затем понятие неопределенного
интеграла, приводятся основные свойства неопределенных
интегралов и таблица неопределенных интегралов.
Определяется площадь криволинейной трапеции как предел
интегральной суммы для неотрицательной функции.
Определенный интеграл также вводится как предел интегральной
суммы для непрерывной на отрезке функции. Приводится
формула Ньютона — Лейбница для вычисления
определенных интегралов.
Рассматриваются способы нахождения неопределенных
интегралов — замена переменной и интегрирование по
частям, метод трапеций для приближенного вычисления
определенных интегралов. Приводятся свойства определенных
интегралов и их применение для вычисления площадей
фигур на плоскости и для решения геометрических и
физических задач. Вводятся понятия дифференциального
уравнения, его общего и частного решения. Приводятся способы
решения некоторых дифференциальных уравнений.
7. Равносильность уравнений и неравенств
Равносильные преобразования уравнений и неравенств.
Основная цель — научить применять равносильные
преобразования при решении уравнений и неравенств.
Сначала перечисляются равносильные преобразования
уравнений. Подчеркивается, что при таких
преобразованиях множество корней преобразованного уравнения
совпадает с множеством корней исходного уравнения. Рассмат-
106

риваются примеры применения таких преобразований при
решении уравнений.
Затем аналогичным образом рассматриваются
равносильные преобразования неравенств и их применение при
решении неравенств.
8. Уравнения-следствия
Понятие уравнения-следствия. Возведение уравнения
в четную степень. Потенцирование логарифмических
уравнений. Приведение подобных членов уравнения.
Освобождение уравнения от знаменателя. Применение
логарифмических^ тригонометрических и других формул.
Основная цель — научить применять
преобразования, приводящие к уравнению-следствию.
Сначала вводится понятие уравнения-следствия,
перечисляются преобразования, приводящие к
уравнению-следствию. Подчеркивается, что при таком способе решения
уравнения проверка корней уравнения-следствия является
обязательным этапом решения исходного уравнения. Затем
рассматриваются многочисленные примеры применения
каждого из этих преобразований в отдельности и
нескольких таких преобразований.
9. Равносильность уравнений и неравенств системам
Решение уравнений с помощью систем. Уравнения вида
f(a(x)) = /(р(д:)). Решение неравенств с помощью систем.
Неравенства вида f(a(x)) > f($(x)).
Основная цель — научить применять переход от
уравнения (или неравенства) к равносильной системе.
Сначала вводятся понятия системы, равносильности
систем, равносильности уравнения (неравенства) системе
или совокупности систем.
Затем перечисляются некоторые уравнения
(неравенства) и равносильные им системы. Формулируются
утверждения об их равносильности. Приводятся примеры
применения этих утверждений.
Для уравнений вида f(a(x)) = f($(x)) и неравенств вида
f(a(x)) > /(р(д:)) формулируются утверждения об их
равносильности соответствующим системам.
10. Равносильность уравнений на множествах
Возведение уравнения в четную степень. Умножение
уравнения на функцию. Логарифмирование и
потенцирование уравнений, приведение подобных членов,
применение некоторых формул.
Основная цель — научить применять переход к
уравнению, равносильному на некотором множестве
исходному уравнению.
107

Сначала вводится понятие равносильности двух
уравнений на множестве, описываются те множества чисел, на
каждом из которых получается уравнение, равносильное
на этом множестве исходному уравнению при возведении
уравнения в четную степень, при умножении уравнения на
функцию, при логарифмировании, при потенцировании,
при приведении подобных членов уравнения, при
применении некоторых формул. Для каждого преобразования
уравнения формулируются соответствующие утверждения
о равносильности и приводятся примеры их применения.
11. Равносильность неравенств на множествах
Возведение неравенства в четную степень и
умножение неравенства на функцию, потенцирование
логарифмических неравенств, приведение подобных членов,
применение некоторых формул. Нестрогие неравенства.
Основная цель — научить применять переход к
неравенству, равносильному на некотором множестве
исходному неравенству.
Вводится понятие равносильности двух неравенств на
множестве, описываются те множества чисел, на каждом
из которых получается неравенство, равносильное на этом
множестве исходному неравенству при возведении
уравнения в четную степень, при умножении уравнения на
функцию, при потенцировании логарифмического неравенства,
при приведении подобных членов неравенства, при
применении некоторых формул. Для каждого преобразования
неравенства формулируются соответствующие
утверждения о равносильности и приводятся примеры их
применения. Рассматриваются нестрогие неравенства.
12. Метод промежутков для уравнений и неравенств
Уравнения и неравенства с модулями. Метод
интервалов для непрерывных функций.
Основная цель — научить решать уравнения и
неравенства с модулями и применять метод интервалов для
решения неравенств.
Сначала рассматриваются уравнения с модулями и
описывается способ решения таких уравнений переходом к
уравнениям, равносильным исходному на некотором
множестве и не содержащим модулей. Затем аналогично
рассматриваются неравенства с модулями. Наконец, для
функций f(x), непрерывных на некоторых интервалах,
рассматривается способ решения неравенств f(x) > О и f(x) < О,
называемый методом интервалов.
При обучении на профильном уровне рассматриваются
более сложные уравнения и неравенства.
108

13. Использование свойств функций при решении
уравнений и неравенств
Использование областей существования,
неотрицательности, ограниченности, монотонности и экстремумов
функции, свойств синуса и косинуса при решении уравнений
и неравенств.
Основная цель — научить применять свойства
функций при решении уравнений и неравенств.
Приводятся примеры решения уравнений и неравенств
с использованием свойств функций.
14. Системы уравнений с несколькими неизвестными
Равносильность систем. Система-следствие. Метод
замены неизвестных. Рассуждения с числовыми значениями
при решении систем уравнений.
Основная цель — освоить разные способы решения
систем уравнений с несколькими неизвестными.
Вводятся понятия системы уравнений, равносильности
систем, приводятся утверждения о равносильности
систем при тех или иных преобразованиях, рассматриваются
основные методы решения систем уравнений: метод
подстановки, метод линейных преобразований, метод перехода
к системе-следствию, метод замены неизвестных.
Рассматривается решение систем уравнений при
помощи рассуждений с числовыми значениями.
15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами1
Уравнения, неравенства и уравнения с параметром.
Основная цель — освоить решение задач с
параметрами.
Сначала обсуждается вопрос, что значит решить
уравнение с параметром. На многочисленных примерах
иллюстрируются способы решения уравнений с параметром. Затем
аналогичная работа проводится для неравенств и систем
уравнений. Рассматриваются задачи, в которых требуется
найти значение параметра, при котором выполнено
некоторое условие для уравнения (неравенства или системы).
16. Алгебраическая форма и геометрическая
интерпретация комплексного числа
Алгебраическая форма комплексного числа.
Сопряженные комплексные числа. Геометрическая интерпретация
комплексного числа.
Основная цель — завершить расширение
множества чисел введением комплексных чисел; научить
выполнять арифметические операции с комплексными числами;
*На базовом уровне обучения эта тема изучается при наличии
дополнительного учебного времени.
109

освоить алгебраическую и геометрическую интерпретацию
комплексного числа.
Вводятся понятие комплексного числа, арифметические
операции с комплексными числами, понятие сопряженных
комплексных чисел и геометрическая интерпретация
комплексного числа. Рассматриваются многочисленные
примеры на применение этих понятий.
17. Тригонометрическая форма комплексных чисел
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Корни из комплексных чисел и их свойства.
Основная цель — освоить тригонометрическую
форму комплексного числа и ее применение при вычислении
корней из комплексных чисел.
Вводятся понятия аргумента, модуля комплексного
числа, тригонометрической формы комплексного числа.
Рассматривается возведение в степень п и извлечение корня
степени п из комплексного числа.
18. Корни многочленов. Показательная форма
комплексного числа
Корни многочленов. Показательная форма
комплексного числа.
Основная цель — усвоить понятие комплексного
корня многочлена; научить применять теоремы о
комплексных корнях многочлена при решении задач; освоить
показательную форму комплексного числа.
Вводится понятие корня многочлена степени п с
действительными коэффициентами, рассматриваются теоремы
о комплексных корнях многочлена степени п. Вводится
понятие показательной формы комплексного числа.
19. Повторение курса алгебры и начал
математического анализа за 10—11 классы
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 2,5 ч в неделю, всего 85 ч
II вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
III вариант: 4 ч в неделю, всего 134 ч
IV вариант: 5 ч в неделю, всего 170 ч
Номер
пункта
Содержание материала
§ 1. Функции и их графики
1.1
1.2
Элементарные функции
Область определения и область
изменения функции. Ограниченность
функции
Количество часов
I
6
1
1
II
6
1
1
III
9
1
1
IV
11
1
1
110

Продолжение
Номер
пункта
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Содержание материала
Четность, нечетность, периодичность
функций
Промежутки возрастания, убывания,
знакопостоянства и нули функции
Исследование функций и построение
их графиков элементарными методами
Основные способы преобразования
графиков
Графики функций, содержащих
модули
Графики сложных функций
§ 2. Предел функции и непрерывность
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Понятие предела функции
Односторонние пределы
Свойства пределов функций
Понятие непрерывности функции
Непрерывность элементарных
функций
Разрывные функции
§ 3. Обратные функции
3.1
3.2
3.3
3.4
Понятие обратной функции
Взаимно обратные функции
Обратные тригонометрические
функции
Примеры использования обратных
тригонометрических функций
Контрольная работа № 1
§ 4. Производная
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Понятие производной
Производная суммы. Производная
разности
Непрерывность функций, имеющих
производную. Дифференциал
Производная произведения.
Производная частного
Производные элементарных функций
Производная сложной функции
Производная обратной функции
Контрольная работа № 2
§ 5. Применение производной
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Максимум и минимум функции
Уравнение касательной
Приближенные вычисления
Теоремы о среднем
Возрастание и убывание функций
Производные высших порядков
Количество часов
I
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
3
2
1
8
2
1
2
1
1
1
15
2
2
1
2
1
II
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
3
2
1
9
2
1
2
1
2
1
15
2
2
1
2
1
III
2
2
1
1
1
5
1
1
1
1
1
6
1
1
2
1
1
11
2
2
1
2
1
2
1
16
2
2
1
2
1
IV
2
2
1
2
1
1
6
1
1
1
1
1
1
6
1
1
2
1
1
12
2
2
1
2
1
2
1
1
18
2
2
1
1
2
1
111

Продолжение
Номер
пункта
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
Содержание материала
Выпуклость и вогнутость графика
функции
Экстремум функции с единственной
критической точкой
Задачи на максимум и минимум
Асимптоты. Дробно-линейная функция
Построение графиков функций с
применением производной
Формула и ряд Тейлора1
Контрольная работа № 3
§ 6. Первообразная и интеграл
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
Понятие первообразной
Замена переменной. Интегрирование
по частям
Площадь криволинейной трапеции
Определенный интеграл
Приближенное вычисление
определенного интеграла
Формула Ньютона — Лейбница
Свойства определенных интегралов
Применение определенных
интегралов в геометрических и физических
задачах
Понятие дифференциального
уравнения1
Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям1
Контрольная работа № 4
§ 7. Равносильность уравнений и
неравенств
7.1
7.2
Равносильные преобразования
уравнений
Равносильные преобразования
неравенств
§ 8. Уравнения-следствия
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Понятие уравнения-следствия
Возведение уравнения в четную
степень
Потенцирование логарифмических
уравнений
Другие преобразования, приводящие
к уравнению-следствию
Применение нескольких
преобразований, приводящих к уравнению-
следствию
Количество часов
I
2
2
2
1
8
2
1
1
2
1
1
4
to to
5
1
2
1
1
II
2
2
2
1
11
3
1
2
3
1
1
4
to to
7
1
2
1
1
2
III
2
2
1
2
1
13
3
1
2
1
3
1
1
1
4
to to
8
1
2
2
1
2
IV
1
2
2
1
2
1
15
3
1
2
1
3
2
2
1
4
to to
9
1
2
2
2
2
хЭти пункты изучаются при наличии дополнительного
учебного времени.
112

Продолжение
Номер
пункта
Содержание материала
§ 9. Равносильность уравнений и
неравенств системам
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Основные понятия
Решение уравнений с помощью систем
Решение уравнений с помощью
систем (продолжение)
Уравнения вида f(a(x)) = f($(x))
Решение неравенств с помощью систем
Решение неравенств с помощью
систем (продолжение)
Неравенства вида f(a(x)) > f($(x))
§ 10. Равносильность уравнений на
множествах
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
Основные понятия
Возведение уравнения в четную
степень
Умножение уравнения на функцию
Другие преобразования уравнений
Применение нескольких
преобразований
Уравнения с дополнительными
условиями
Контрольная работа № 5
§ 11. Равносильность неравенств на
множествах
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
Основные понятия
Возведение неравенств в четную
степень
Умножение неравенства на функцию
Другие преобразования неравенств
Применение нескольких
преобразований
Неравенства с дополнительными
условиями
Нестрогие неравенства
§ 12. Метод промежутков для уравнений
и неравенств
12.1
12.2
12.3
Уравнения с модулями
Неравенства с модулями
Метод интервалов для непрерывных
функций
Контрольная работа № 6
§ 13. Использование свойств функций
при решении уравнений и неравенств
13.1
Использование областей
существования функции
Количество часов
I
5
1
1
1
1
1
4
1
2
1
3
1
2
—
—
II
9
1
2
2
2
2
4
1
2
1
3
1
2
4
1
1
1
1
—
III
13
1
2
2
2
2
2
2
7
1
2
1
1
1
1
7
1
2
1
1
1
1
5
1
1
2
1
5
1
IV
13
1
2
2
2
2
2
2
11
1
2
2
2
2
1
1
9
1
2
1
1
1
1
2
5
1
1
2
1
6
1
113

Продолжение
Номер
пункта
13.2
13.3
13.4
13.5
Содержание материала
Использование неотрицательности
функции
Использование ограниченности
функции
Использование монотонности и
экстремумов функции
Использование свойств синуса и
косинуса
§ 14. Системы уравнений с несколькими
неизвестными
14.1
14.2
14.3
14.4
Равносильность систем
Система-следствие
Метод замены неизвестных
Рассуждения с числовыми значениями
при решении уравнений и неравенств
Контрольная работа № 7
§ 15. Уравнения, неравенства и системы
с параметрами
15.1
15.2
15.3
15.4
Уравнения с параметром
Неравенства с параметром
Системы уравнений с параметром
Задачи с условиями
§ 16. Алгебраическая форма и
геометрическая интерпретация комплексного числа
16.1
16.2
16.3
Алгебраическая форма комплексного
числа
Сопряженные комплексные числа
Геометрическая интерпретация
комплексного числа
§ 17. Тригонометрическая форма
комплексных чисел
17.1
17.2
Тригонометрическая форма
комплексного числа
Корни из комплексных чисел и их
свойства
§ 18. Корни многочленов. Показательная
форма комплексного числа
18.1
18.2
Корни многочленов
Показательная форма комплексных
чисел
Повторение
Повторение курса алгебры и начал
математического анализа за 10—
11 классы
Итоговая контрольная работа № 8
Количество часов
I
—
5
2
1
2
—
—
—
—
—
—
—
:
14
12
2
II
—
7
2
2
2
1
—
—
—
—
—
—
:
15
13
2
III
1
1
1
1
8
2
2
2
1
1
—
-
—
—
—
—
:
17
15
2
IV
1
2
1
1
8
2
2
2
1
1
7
2
2
2
1
5
2
2
1
3
2
1
2
1
1
20
18
2
114

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Функция у = f(x) задана графиком (рис. 3). Укажите
для этой функции:
а) область определения; б) область изменения;
в) нули и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания (убывания), наибольшее
и наименьшее значения функции.
2. Найдите область определения функции у =
3. Постройте график функции у = (х - 2)2 - 1. Укажите для
этой функции область определения, нули, промежутки
знакопостоянства, промежутки возрастания (убывания),
область изменения.
4. Докажите четность функции:
■V* — "V* "V* I -^
а) у = 7 cos 4л; + Зле2; б) у = .
х + 1 х — 2
5*. Найдите область определения функции:
а) £/ = V* - 4 + Iog3(5 -
б) у =
6*. Постройте график функции у = 2 — sin
7*. Постройте график функции у = у\х\ — 2 — 1. Укажите
для этой функции область определения, нули,
промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания
(убывания), область изменения.
Вариант 2
1. Функция у = f(x) задана графиком (рис. 4). Укажите
для этой функции:
а) область определения; б) область изменения;
в) нули и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания (убывания), наибольшее
и наименьшее значения функции.
Рис. 3
Рис. 4
115

л/4- х2
2. Найдите область определения функции у = —.
3. Постройте график функции у = (х - I)2 - 4. Укажите
для этой функции область определения, нули,
промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания
(убывания), область изменения.
4. Докажите нечетность функции:
5*. Найдите область определения функции:
а) у = л/3- х + Iog3(x2 - 1); б) у =
,2 -^ ^ч I 4
6*. Постройте график функции у = cos \ х - — + 2.
V 2 У
7*. Постройте график функции у = yj\ х \ - 1 - 2. Укажите
для этой функции область определения, нули,
промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания
(убывания), область изменения.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Найдите f'(x) и f'(x0), если:
а) f(x) = Зх5 - 12jc2 + 6х + 2, х0 = 1;
б) /(*) = xsinx, д:0 = |-.
2. Найдите f'(x), если:
a) f(x)=±2+±; б) /(х)=6л/^; в) /(х) = 5*; г)
X — о
3. Вычислите значение производной функции у = tg3x
в точке д: = .
4
4. Найдите все значения х, при которых производная
функции у = х3 - 6х2 + 9х - 11 равна нулю.
5*. Найдите /'(*)> если:
а) /(х) = ^-^; б)
^1
в) /(х) = в3 + 2х; г) /(х) = Хд/л:2 + 2х.
6*. Точка движется по прямой. Зависимость ее
координаты х от времени t задана формулой х = 13 + 20t - 5t2.
Найдите момент времени t, когда точка остановится.
7*. Вычислите производную функции f(x) = 1пл/5+ sinx.
116

Вариант 2
1. Найдите f'(x) и f'(x0), если:
а) f(x) = 5xs - 6х4 + Зх2 + 3, х0 = 1;
б) f(x) = xcosx, х0 = |-.
2. Найдите /'(*)> если:
;
в) /(x) = log5*; г) f(x)=
3. Вычислите значение производной функции у = ctg 2x
в точке х = —.
4. Найдите все значения х, при которых производная
функции у = х3 + Зле2 - 9л; - 13 равна нулю.
5*. Найдите f'(x), если:
a) fix) = ^±i; б) f(x) = jjt +
в) f(x) = е3 ~ 2х; г) f{x) = хфс^+^х.
6*. Точка движется по прямой. Зависимость ее
координаты х от времени t задана формулой х = 7 + 1б£ - 4t2.
Найдите момент времени t, когда точка остановится.
7*. Вычислите производную функции f(x)= ^v5-cosx#
Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. Дана функция f(x) = 2х3 + Зх2 - 1. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке [—1; 2].
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = х3 - Зх2 + 2х - 1 в точке с абсциссой х0 = 2.
3. Исследуйте функцию f(x) = лс3 - Зле и постройте ее график.
4. Число 72 представьте в виде суммы трех
положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были
равны между собой, а сумма квадратов всех слагаемых
была наименьшей.
5*. Дана функция f(x) = <yj-x2 + 6x - 5. Найдите:
а) область определения функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке [2; 5].
117

6*. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = xs- Зх2 + 2х + 10, параллельной прямой у = 5 - х.
7*. Определите промежутки выпуклости вверх (вниз)
графика функции f(x) = Ъх - sin 2x.
Вариант 2
1. Дана функция f(x) = Xs - Зх2 + 1. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке [-3; -1].
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = Xs + х2 - 2х + 1 в точке с абсциссой х0 = -1.
3. Исследуйте функцию f(x) = х4 - х2 + 2 и постройте ее
график.
4. Число 63 представьте в виде суммы трех
положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были
пропорциональны числам 1 и 2, а произведение всех
слагаемых было наибольшим.
5*. Дана функция f(x) = -J-x2 + 8x - 7. Найдите:
а) область определения функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке [3; 7].
6*. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = х3 + Зх2 + х + 7, параллельной прямой у = 1 - 2х.
7*. Определите промежутки выпуклости вверх (вниз)
графика функции f(x) = 7х + cos 2x.
Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. Докажите, что функция F(x) является первообразной
для функции f(x) на множестве Л, если:
а) F(x) = xs- Ъх2 + 7х.- 11 и f(x) = Зх2 - 10х + 7;
б) F(x) = 2хъ - ех и f(x) = lOx4 - ех.
2. Найдите общий вид первообразной для функции:
о
a) f{x) = —т - 2 sin л;; б) f(x) = In x.
3. Найдите ту первообразную функции у = 4xs - 8x9
график которой проходит через точку А(1; 3).
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2-4иу = 0.
5*. Вычислите неопределенный интеграл:
118

6*. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2-6х+7иу = -х2 + 4х - 1.
з
7*. Вычислите интеграл: Г|jc — 2\dx.
о
Вариант 2
1. Докажите, что функция F(x) является первообразной
для функции f(x) на множестве Л, если:
а) F(x) = х3 + 4х2 - 5х + 7 и f(x) = Зх2 + 8х - 5;
б) F(x) = Зх4 - In х и /(х) = 12х3 - ^.
2. Найдите общий вид первообразной для функции:
а) f(x)= ^ + cosx; б) f(x) = ex.
3. Найдите ту первообразную функции у = Зх2 + 4х,
график которой проходит через точку А(1; 5).
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х3, х = 0 и у = 8.
5*. Вычислите неопределенный интеграл:
a) jy/5-4xdx; б) J dx
6*. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 - 4х + 2 и у = -х2 + 6х - 6.
з
7*. Вычислите интеграл: j|x-l|dx.
о
Контрольная работа № 5
Вариант 1
Решите уравнение (1—6):
1. V* - 5 = х - 7.
2.
3. Vx2 + V*-3 =
4. log50*; + 1) + Iog5(x - 3) = 1.
6*. jsinx + 0,5| = cosx - 0,5^
7*. He решая уравнение ^/sin2jc—1 = cosjc + 1, объясните,
почему оно не имеет решений.
Вариант 2
Решите уравнение (1—6):
1. л/х + 3 = х- 3.
2. Iog2(x2 + 5х) = Iog2(3x - 8).
119

3. tJx2 + 2л; - л/л* = л/з- л/*.
5*. |л;2 + 5л;-3| = л;2-2л;- 17.
6*. |созл; + 0,51 = sinx - 0,5.
7*. He решая уравнение yjcos2x- 1 = sin л; + 1, объясните,
почему оно не имеет решений.
Контрольная работа № 6
Вариант 1
Решите неравенство (1—6):
1. л/л; + 3 > х- 3.
3. Iog2(x2 - 5л; + 8) > log2jc.
5*.
- 5)
Iog0j2(2x - 3).
7*. He решая неравенство cos Зле - 2 > Iog5(x2 - 4х + 5),
объясните, почему оно не имеет решений.
Вариант 2
Решите неравенство (1—6):
1. у!х - 5 < х - 7. 2. yl3,5x- 1,5 ^ х.
3. Iog0,5(x-6)>log0,5(x2-4x). 4.
5*. Iog3(x + 2) + log3 x < Iog3(2jc + 1).
7*. Не решая неравенство sin 5л; + 2 < log025^2 - 6х + 10),
объясните, почему оно не имеет решений.
Контрольная работа № 7
Вариант 1
Решите уравнение (1—2):
1. (л:2- 5л:-14) л/л;-6 = 0.
2. V*3 - 5л:2 -f 6л; -f 7 = Jx3 - 4х2 + 7л; + 1.
Решите неравенство (3—4):
3. (л; - 3) log0)25 х > 0.
5*. Решите уравнение 23х+7 + л/Зл: + 7 = 25*"1 + л/5л: - 1.
120

Решите систему уравнений (6—7):
\з^х + у - 2yjx- у = 4,
[2^Jx + y - т]х -у = 3.
Вариант 2
Решите уравнение (1—2):
1. (х2 -6х-Щл!х-3 = 0.
2. V*3 л/
Решите неравенство (3—4):
3. (х-4)log2Jt< 0.
4. Iog0,5(x2 - 13) < Iog0,5(3x + 27).
5*. Решите уравнение 57*"1 + V7x- I = 52д: + 4 + V2jc
Решите систему уравнений (6—7):
' -y = 3,
7*.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват.
учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н.
Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2003.
2. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват.
учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н.
Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2003.
3. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений/С.
М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А. В. Шевкин. —
М.: Просвещение, 2000.
4. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/СМ.
Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. —
М.: Просвещение, 2001.
5. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений /С.
М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А. В. Шевкин. —
М.: Просвещение, 2003.
6. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учеб.
пособие для учащихся шк. и к л. с углубл. изуч. математики /
Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашов-Мусатов, С. И. Шварцбурд. —
М.: Просвещение, 1999.
7. Шевкин А. В. Итоговый тест за курс алгебры и начал
анализа. В 2 ч. — М.: ТИД «Русское слово — учебная книга»,
2003. — (Сер. «Математика. Тесты»).
121

М. Я. Пратусевич, А. Н. Головин, К. М. Столбов
•
Программы по алгебре
и началам математического анализа
10 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Введение. Множества, логика, индукция,
начала комбинаторики. Вещественные числа
Понятия высказывания и предиката, операции над
высказываниями и предикатами. Множества: способы
задания множеств, множества истинности предиката, операции
над множествами. Парадокс Рассела1. Метод
математической индукции и его применение. Начала комбинаторики.
Правила суммы и произведения. Перестановки,
размещения и сочетания. Бином Ньютона. Понятие о множестве
вещественных чисел. Понятие супремума. Аксиома
супремума. Мощность множества. Общие свойства уравнений
и неравенств: равносильность и следование, уравнения и
неравенства с модулем. Метод интервалов.
Основная цель — ознакомить с основными
понятиями дальнейшего курса алгебры и начал математического
анализа, а также систематизировать имеющиеся знания.
В начале изучения темы вводятся понятия
высказывания и предиката, а также операций над ними. Тем самым
создается база для анализа сложных высказываний и
понимания формулировок теорем.
Дается представление о множествах, а также о способах
их задания. Результатом изучения этого раздела является
умение учащихся задавать множества
характеристическими свойствами и наоборот. Важным является понимание
того, что решение уравнения или неравенства есть
представление множеств их истинности в ином, более удобном виде.
Затем изучается метод математической индукции и
рассматриваются стандартные задачи, решаемые этим
методом. Особое внимание следует уделить пониманию того,
что метод математической индукции может
использоваться в различных формах.
Рассматриваются основные правила комбинаторики,
а также бином Ньютона. Формула бинома Ньютона
является существенным элементом курса и неоднократно
применяется в дальнейшем.
1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит
изучению на углубленном уровне.
122

В результате изучения строения множества
вещественных чисел учащиеся должны владеть понятием
ограниченности множества и отыскивать его границы, в том числе
и точные. Основным материалом этой главы, который
понадобится в дальнейшем курсе, является критерий
супремума (инфимума) функции.
Поскольку при изучении дальнейших разделов курса
учащиеся будут постоянно сталкиваться с решением
уравнений и неравенств, следует дать самые общие представления
о решении уравнений, равносильности и следовании, а
также о методе интервалов и методах решения уравнений и
неравенств с модулем, необходимых при изучении пределов.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— различать высказывания и иные типы
предложений, а также представлять сложные высказывания как
результат операций над простыми высказываниями;
— применять операции к сложным высказываниям
(например, отрицание импликации);
— отыскивать множество истинности предиката, а
также выяснять истинностное значение высказываний,
получающихся из предиката связыванием переменных, строить
отрицание таких высказываний;
— задавать множества характеристическими
свойствами и строить множества, заданные характеристическим
свойством;
— применять метод математической индукции для
доказательства тождеств, неравенств, соотношений
делимости, а также иных задач;
— решать комбинаторные задачи на непосредственное
применение правил суммы и произведения, а также
задачи, связанные с использованием формул для чисел
перестановок, размещений и сочетаний;
— решать простейшие задачи, связанные с
применением формулы бинома Ньютона;
— понимать особенности строения множества
вещественных чисел (например, недопустимость употребления
понятия «соседние числа» для рациональных и
вещественных чисел);
— отыскивать нижние и верхние границы
подмножеств R.
2. Целые числа
Деление с остатком целых чисел. Сравнения. Перебор
остатков. Делимость. Простые числа. Основная теорема
арифметики. НОД и НОК целых чисел. Алгоритм Евклида.
Основная цель — систематизировать и обобщить
знания о свойствах целых чисел, делимости и т. д.
В этой теме продолжается линия изучения дискретных
объектов, начатая в теме 1 при рассмотрении метода
математической индукции и комбинаторики. Избранная после-
123

довательность изложения единообразна как для изучения
целых чисел, так и для изучения алгебраических свойств
многочленов.
При изучении данной темы основное внимание
необходимо уделить следующему: 1) схеме построения теории
делимости целых чисел; эта схема в дальнейшем будет
практически дословно повторяться для многочленов; 2)
решению задач с целыми числами; решение задач должно быть
ведущим видом деятельности.
Следует обратить внимание на то, что методы
доказательства теорем этой темы практически совпадают с
методами решения задач.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— выполнять деление с остатком целых чисел;
— записывать сравнения целых чисел;
— решать простые задачи на делимость методом
перебора остатков;
— искать НОД двух целых чисел с помощью алгоритма
Евклида, а также линейное представление НОД;
— решать простейшие задачи, используя определение
НОД и НОК;
— решать задачи, пользуясь основной теоремой
арифметики.
3. Многочлены
Общее определение многочлена. Действия с
многочленами от одной переменной. Метод неопределенных
коэффициентов. Деление многочленов с остатком. Теорема Везу
и схема Горнера. Количество корней многочлена.
Симметрические многочлены и теорема Виета.
Основная цель — изучить многочлен как
алгебраический объект, во многом аналогичный целому числу,
и как функцию.
В начале темы дается определение многочлена,
проводятся действия над многочленами. Затем изучается метод
неопределенных коэффициентов, после чего
рассматривается деление многочленов с остатком. Формулируется и
доказывается теорема Везу, рассматривается схема Горнера.
Вводится определение симметрического многочлена и
изучается теорема Виета.
В результате изучения темы учащиеся должны:
— выполнять действия с многочленами;
— делить многочлены с остатком;
— использовать метод неопределенных коэффициентов
для решения задач;
— находить многочлен по достаточному количеству
данных;
— решать простейшие задачи на делимость многочленов;
— находить перебором целые и рациональные корни
многочленов;
124

— применять теорему Виета для нахождения
неизвестных коэффициентов многочлена и решения систем
уравнений.
4. Функции
Определения отображения и функции. Виды
отображений. Основные свойства функций: монотонность и
экстремумы, четность, периодичность, асимптоты. Графики
функций и их преобразования.
Основная цель — ознакомить учащихся с общим
понятием функции и свойствами числовых функций.
Вводятся определения отображения и функции,
рассматриваются различные отображения. Функции
исследуются на четность/нечетность, монотонность и экстремумы,
ищутся множества значений функций, строятся графики.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— задавать функцию удобным способом;
— находить естественную область определения функции;
— в простейших случаях находить образы и прообразы
элементов и множеств, в том числе множество значений
функции;
— исследовать функцию на четность, периодичность;
— находить промежутки монотонности функции, а
также множества значений для функций известного вида и их
композиций;
— строить график функции, в случае
дробно-рациональной функции используя соображения асимптот;
— строить график функции с помощью преобразований
графиков.
5. Степень, корень, логарифм
Определение и свойства степени с рациональным
показателем, представление о степени с вещественным
показателем. Степенная и показательная функции. Логарифм
числа. Логарифмическая функция.
Основная цель — ознакомить учащихся с понятием
степени в наиболее общей форме, а также со свойствами
функций, связанных с этим понятием.
Решение уравнений и неравенств в этой теме носит
пропедевтический характер, поскольку в программе 11 класса
имеется большой раздел, посвященный общим методам
решения уравнений и неравенств. Поэтому основное внимание
следует уделить формированию устойчивого навыка
тождественных преобразований соответствующих выражений.
Не следует требовать знания формулировок
соответствующих свойств, а также строгих формулировок теорем.
Такое знание должно быть «операциональным»: вполне
достаточно, если ученик правильно преобразует
выражение, следя за областью определения, не умея при этом
формулировать и доказывать соответствующую теорему.
125

В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— на уровне навыка проводить тождественные
преобразования степенных выражений и выражений,
содержащих логарифмы;
— понимать, что происходит с областью определения
соответствующих выражений при определенных
преобразованиях;
— решать простейшие уравнения, содержащие
степенные, показательные и логарифмические выражения,
пользуясь соответствующими определениями;
— строить и различать графики степенных,
показательных и логарифмических функций;
— использовать монотонность степенных,
показательных и логарифмических функций при решении
простейших неравенств.
6. Тригонометрия
Обобщенный угол и изображение вещественных чисел
точками тригонометрической окружности. Определения
синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Арксинус,
арккосинус, арктангенс и простейшие тригонометрические
уравнения и неравенства. Основное тригонометрическое тождество
и следствия из него. Формулы сложения, приведения,
двойных углов, половинных углов, понижения степени,
преобразования суммы в произведение и произведения в сумму.
Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции. Решение тригонометрических уравнений.
Основная цель — сформировать навык осознанных
преобразований тригонометрических выражений и
применения свойств тригонометрических и обратных
тригонометрических функций.
В начале темы вводится понятие обобщенного угла.
Даются определения тригонометрических и обратных
тригонометрических функций. На основе введенных
определений решаются простейшие тригонометрические уравнения.
Затем рассматриваются основное тригонометрическое
тождество и следствия из него. Формулы приведения,
сложения, понижения степени, преобразования суммы в
произведение и произведения в сумму позволяют решать различные
виды тригонометрических уравнений.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— изображать числа и множества на
тригонометрической окружности, а также записывать в виде
подмножеств R множества, изображенные на тригонометрической
окружности;
— находить значения одних тригонометрических
функций через другие;
— осознанно преобразовывать тригонометрические
выражения в соответствии с поставленной задачей;
— решать простейшие тригонометрические уравнения
и неравенства;
126

— применять свойства тригонометрических функций
при решении задач;
— решать основные типы тригонометрических уравнений.
7. Предел последовательности
Определение последовательности. Свойства
последовательности (монотонность и ограниченность) и
специфические способы их выяснения. Определение предела
последовательности. Свойства пределов, связанные с неравенствами.
Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности. Свойства пределов, связанные с арифметическими
действиями. Число е. Подпоследовательности и пределы.
Основная цель — дать представление о предельном
переходе на материале предела последовательности, а
также об основных свойствах пределов.
После введения определения последовательности и
рассмотрения свойств последовательностей дается два
определения предела. Изучаются свойства последовательностей,
связанные с неравенствами. Рассматривается теорема Вейер-
штрасса, которая применяется для доказательства
наличия предела у монотонной ограниченной
последовательности. Затем изучаются бесконечно большие и бесконечно
малые последовательности, теоремы о пределе суммы,
разности, произведении и частном последовательностей.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— знать определение предела последовательности и уметь
его формулировать «на различных языках»;
— доказывать наличие предела и вычислять его по
определению;
— использовать теорему Вейерштрасса для
доказательства наличия предела;
— вычислять пределы с помощью теорем об
арифметических действиях, а также выделяя «главную часть»
соответствующей последовательности;
— иметь представление о сравнении бесконечно
больших и бесконечно малых последовательностей.
ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
II вариант: 5 ч в неделю, всего 170 ч
Номер
параграфа
Содержание материала
Глава I. Введение
Высказывания, предикаты
Множества и операции над ними
Контрольная работа № 1
Метод математической индукции
Количество
часов
I
39
4
4
1
6
II
50
6
4
2
8
127

Продолжение
Номер
параграфа
Содержание материала
Контрольная работа № 2
Начала комбинаторики. Бином Ньютона
Контрольная работа № 3
Понятие о множестве вещественных чисел
Общие свойства уравнений и неравенств
Контрольная работа № 4
Глава II. Целые числа
Деление с остатком. Сравнения
Алгоритм Евклида. НОД и НОК
Контрольная работа № 5
Глава III. Многочлены
Определение многочлена и действия с
многочленами. Метод неопределенных
коэффициентов
Теорема Безу. Целые корни многочленов
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Контрольная работа № 6
Глава IV. Функции
Определение функции. Образ и прообраз
элементов и множеств. Композиция.
Монотонность и экстремумы функции
Четность и периодичность
Преобразования графиков
Асимптоты
Контрольная работа № 7
Глава V. Степень, корень, логарифм
Степени и корни
Логарифмы
Логарифмическая и показательная функции
Контрольная работа № 8
Глава VI. Тригонометрия
Формулы тригонометрии и
тригонометрические преобразования
Контрольная работа № 9
Тригонометрические функции
Контрольная работа № 10
Тригонометрические уравнения
Контрольная работа №11
Глава VII. Предел последовательности
Определение предела. Действия с пределами
Теорема Вейерштрасса и ее применение.
Число е.
Контрольная работа № 12
Повторение
Итоговая контрольная работа (вне сетки)
Количество
часов
I
1
10
1
2
8
2
10
4
4
2
10
4
4
2
14
4
4
2
2
2
18
6
6
4
2
27
8
2
4
1
10
2
8
6
2
10
4
И
1
12
1
4
10
2
12
6
4
2
12
4
4
2
2
16
4
4
2
4
2
2
18
6
6
4
2
30
8
2
4
2
10
2
18
8
8
2
14
4
128

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Предлагаемые контрольные работы являются
избыточными. Уровень пятерки — это верно и полностью решенные
все задания контрольной работы, кроме одного. Однако в
зависимости от уровня класса учитель может устанавливать
и свои критерии оценивания. Звездочкой отмечены задания
повышенного уровня сложности.
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Решите систему и найдите условие разрешимости через
\Х\А = В\Х
известные множества: s _
2. Изобразите на прямой множество истинности
предиката Уу(\х\ + у ^ 2 — х - у < 5) (х, у е R).
3. Пусть А = {х: Р(х)}; В = {х: Q(x)}; С = {х: R(x)}.
Запишите с помощью кванторов и логических связок
высказывание, «состоящее» из предикатов Р, Q, R и
заключающееся в том, что А з (В П С).
4. Впишите вместо пропуска слово «необходимо» или
«достаточно», запишите в форме «Если ..., то ...» и докажите
утверждение: Для того чтобы А с (В U С), ,
чтобы А\В с С.
5. Изобразите множества истинности предикатов Р и Q на
их общей области задания так, чтобы было истинно
высказывание: \/х(Р(х) л Q(x) —►
Вариант 2
1. Решите систему и найдите условие разрешимости через
\Х\В= А\Х
известные множества: <
[В\Х = Х\С.
2. Изобразите на прямой множество истинности
предиката Уу(\х\ - у ^ 2 -+ х + у < 5) (х, у е R).
3. Пусть А = {х: Р(х)}; В = {х: Q(x)}; С = {х: R(x)}.
Запишите с помощью кванторов и логических связок
высказывание, «состоящее» из предикатов Р, Q, R и
заключающееся в том, что А с (В U С).
4. Впишите вместо пропуска слово «необходимо» или
«достаточно», запишите в форме «Если ..., то ...» и докажите
утверждение: «Для того чтобы А с(ВП С), ,
чтобы А\В с С».
5. Изобразить множества истинности предикатов Р и Q на
их общей области задания так, чтобы было истинно
высказывание: \/х(Р(х) v Q(x) —►
5-27627 129

Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Найдите и докажите формулу:
15 59 (4л - 3)(4л + 1)
2. При каких натуральных п выполнено неравенство 3" > п3?
3. Докажите, что при всех натуральных п число
14 • 3" + 9 • 72п делится на 23.
4. Дана последовательность, удовлетворяющая
равенствам ап + 2 = Чап + 1 - 12а„, а1 = 7, а2 = 25. Докажите, что
ап = Зп + 4".
11 1 Л
5. Докажите неравенство —===== + -====== + ... + -==■ > - при
yjn + l yjn + 2 yj2n 5
натуральных п ^ 3.
6*. На плоскости провели несколько прямых, никакие три
из которых не проходят через одну точку. Докажите, что
полученные части плоскости можно раскрасить в два
цвета так, чтобы любые две части, имеющие общей
границей отрезок, луч или прямую, были раскрашены в
разные цвета.
Вариант 2
1. Найдите и докажите формулу:
1-5 59 (4п - 3)(4п + 1)
2. При каких натуральных п выполнено неравенство 2п > п2?
3. Докажите, что при всех натуральных п число
11 • 16" + 15 • 92п делится на 13.
4. Дана последовательность, удовлетворяющая
равенствам ап + 2 = Чап + 1 — 12а„, а1 = 1, а2 = 7. Докажите, что
ап = 4п - Зп.
5. Докажите неравенство ь ь ... + — ^ — при
^ ^ л+1/1 + 2 2п 60
натуральных п ^ 3.
6*. На плоскости провели несколько окружностей,
никакие три из которых не проходят через одну точку.
Докажите, что полученные части плоскости можно
раскрасить в два цвета так, чтобы любые две части, имеющие
общей границей дугу окружности, были раскрашены
в разные цвета.
130

Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. Сколько существует способов выбрать (без учета
порядка) одну гласную и одну согласную буквы из слова
«математика»?
2. Сколько существует способов из 10 яблок и 6 груш
выбрать 4 яблока и 3 груши?
3. Сколько существует шестизначных чисел, у которых
две четные и четыре нечетные цифры?
4. Сколько существует способов распределить 24 учеников
по 3 кабинетам?
5. В классе 10 девочек и 12 мальчиков. Сколько
существует способов выбрать группу из 6 человек так, чтобы
в ней были хотя бы 2 девочки?
/г— \ 100 /г— \ 100
6. а) Докажите, что [у2 + 1J + уу/2 - 1J — целое число.
б*) Докажите, что (V2 +1) + (у2 - l) не является
целым ни при каком натуральном п > 100.
в*) Докажите, что (у2 + l) + (у2 - lj не является
целым ни при каком натуральном п < 100.
г) Найдите коэффициент при х19 после раскрытия скобок
и приведения подобных членов в выражении (1 + х4 + х7)16.
7. Сколько существует перестановок 10 цифр, в которых
0 стоит правее 1 (между цифрами 0 и 1 могут быть
другие цифры)?
8. Сколько существует способов расставить в ряд 20
зеленых и 10 красных шаров в ряд так, чтобы никакие
2 красных шара не стояли рядом?
Вариант 2
1. Сколько существует способов выбрать (без учета
порядка) одну гласную и одну согласную буквы из слова
« комбинаторика » ?
2. Сколько существует способов из 12 карандашей и 5
ручек выбрать 5 карандашей и 2 ручки?
3. Сколько существует шестизначных чисел, у которых
четыре четные и две нечетные цифры?
4. Сколько существует способов расставить 15 книг по
3 полкам (порядок книг на полке не важен)?
5. В классе 12 девочек и 14 мальчиков. Сколько
существует способов выбрать группу из 8 человек так, чтобы
в ней были хотя бы 2 мальчика?
131

/ г— \239 • г- \239
6. а) Докажите, что [уЗ + 1J + (уз - 1J — целое число.
/г- \ 239 /г- \п
б*) Докажите, что ууЗ + 1J + (^/3 - 1J не является
целым ни при каком натуральном п > 239.
/г— \ 239 /г— \п
в*) Докажите, что (V3 +1) + (V3 - 1) не является
целым ни при каком натуральном п < 239.
г) Найдите коэффициент при х17 после раскрытия скобок
и приведения подобных членов в выражении (1 + х3 + Xs)14.
7. Сколько существует способов расставить в ряд 6
разноцветных шаров так, чтобы зеленый шар был левее
красного? (Между зеленым и красным шарами могут быть
другие шары.)
8. Сколько существует способов расставить в ряд 12
девочек и 8 мальчиков так, чтобы никакие 2 мальчика не
стояли рядом?
Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. Решите неравенство:
х(х2 + 2)(2-х)(х*-64) (х2 + 5х - Ы)(х - З)2
а) (**-1б)(* + 2)* < 0; б) WTT\ * °-
2. Решите неравенство \2х + 4| < 2|дг| + х.
3. Равносильны ли на R уравнения:
а) л/2 + дг = jchjc2-jc-2 = O;
б) Vx + З = -х + -их + 3
5 5
jc2 — 9
4. Постройте график а) у = :—:—-; б) \у + х\ = \2х - 3|.
| X | + о
5. а) Составьте неравенство с нулем в правой части, одним
из сомножителей левой части которого было бы
выражение \х - 2|, ответом в котором являлось бы
множество (1; 3] U {5}; б) Существует ли неравенство с нулем
в правой части, одним из сомножителей левой части
которого было бы выражение \х - 2|, ответом в котором
являлось бы множество (-5; -3) U {4}?
Вариант 2
1. Решите неравенство:
2 38) (х2 -6х- 16)(* + 5)2
^°; б) п^\ <0-
2. Решите неравенство: |3х + б| < 3|х| + х.
132

3. Равносильны ли на R уравнения:
a) V3 + х = х + 1их2 + ;с-2 = 0;
JC2 - 4
4. Постройте график: а) у = -.—: ; б) \у - х\ = \2х + 3|.
| х\ — 2
5. а) Составьте неравенство с нулем в правой части, одним
из сомножителей левой части которого было бы
выражение |х + 2|, ответом в котором являлось бы
множество (-5; -1] U {3}; б) Существует ли неравенство с нулем
в правой части, одним из сомножителей левой части
которого было бы выражение |х + 2|, ответом в котором
являлось бы множество (-5; -3) U {2}?
Контрольная работа № 5
Вариант 1
1. Найдите значения, которые может принимать
пропущенная цифра (*), чтобы число а делилось на число 6:
а) а = 765*8, 6 = 4; б) а = 1387*, 6 = 3;
в) а = 24*379, 6= 11.
2. Пусть остаток от деления числа х на 11 равен 7.
Найдите остаток от деления на 11 числа х2 + 6х.
3. Докажите, что число 2ns - Зп2 + п кратно 6 при любом
целом п.
4. Найдите общий вид чисел, кратных 4 и дающих при
делении на 3 остаток 2.
5. Докажите, что числа 4гс + 1 и 5п + 1 — взаимно
простые при любом натуральном п. Докажите, что число
т4 - 21т2 + 36 является составным при любом целом т.
6. Докажите иррациональность числа а = ^J5k + 3, где k e N.
7. Найдите все натуральные решения уравнения
Зх2 + Зху + 2х - у = 56.
Вариант 2
1. Найдите значения, которые может принимать
пропущенная цифра (*), чтобы число а делилось на число 6:
а) а = 234*8, 6 = 4; б) а = 21*74, 6 = 3;
в) а = 222*34, 6= 11.
2. Пусть остаток от деления числа хна 7 равен 5. Найдите
остаток от деления на 7 числа х2 + 5х.
3. Докажите, что число п5 - 5п3 + 4п кратно 5 при любом
целом п.
133

4. Найдите общий вид чисел, которые при делении на 4
дают в остатке 3, а при делении на 6 — остаток 5.
5. Докажите, что числа 2п + 1 и Зп + 1 взаимно простые
при любом натуральном п.
Докажите, что число т4 - 19т2 + 9 является составным
при любом целом т.
6. Докажите иррациональность числа а = д/Зй + 2, где k e N.
7. Найдите все натуральные решения уравнения
2х2 + 2ху - х + у= 112.
Контрольная работа № 6
Вариант 1
1. При каких значениях а и Ъ многочлен
2х4 + Зх3 - ах2 + Ъх - 3
делится без остатка на х + 3, а при делении на х - 2
дает остаток, равный 5?
2. Докажите, что многочлен (д: + 1)2п + х + х2п + х - 2х - 1,
п е N, делится на х(2х + 1)(д: + 1) без остатка.
3. Найдите все рациональные корни многочлена:
а) 12x5 - 44х4 + 23х3 + 4х2 - Зх;
б) 12x5 + 44х4 + 23х3 - 4х2 - Зх.
4. Докажите, что многочлен (х2 + 2х + 2)(4х2 + 16х + 25)
можно представить в виде суммы квадратов двух
многочленов.
5. Один из корней многочлена Р(х) = Xs - 7х2 + 14л; + г
в два раза больше другого. Найдите Р(х) и его корни.
6. С помощью разложения по степеням х - 1 многочлена
Р(х) = Xs - 4х2 + 7х + 0,1 докажите, что данный
многочлен не имеет корней на [0; 2].
7. Найдите числа а, 6, р, q так, чтобы для любого х
выполнялось равенство (х + I)8 - (ах - Ь)8 = (х2 + рх + q)4.
Вариант 2
1. При каких значениях а и Ъ многочлен
Зх4 - 2xs + 14x2 + ах + Ъ
делится без остатка на х + 1, а при делении на х + 2
дает остаток, равный 101?
2. Докажите, что многочлен (х + 1)2п + х2п - 2х - 1, п е N
делится на х(2х + 1)(х + 1) без остатка.
3. Найдите все рациональные корни многочлена:
а) 12х4 - 44х3 + 39х2 + 8х - 12;
б) 12х4 + 44х3 + 39х2 - 8х - 12.
134

4. Докажите, что многочлен (х2 + 4х + 5) (х2 + 8х + 20)
можно представить в виде суммы квадратов двух многочленов.
5. Корни многочлена Xs - 18л;2 + qx + 24 образуют
арифметическую прогрессию. Найдите многочлен и его корни.
6. С помощью разложения по степеням х + 1 многочлена
Р(х) = Xs + х2 + 2х + 8,1, докажите, что данный
многочлен не имеет корней на [-2; 0].
7. Найдите числа а, 6, р, q так, чтобы для любого х
выполнялось равенство (х - I)20 - (ах + б)20 = (х2 + рх + q)10.
Контрольная работа № 7
Вариант 1
1. Построите график функции у = ::.
2\х\
2. Найдите промежутки монотонности и множество значе-
нии функции f{x) = Х2+ 2x-h 5'
3. Известно, что f(x + 1) = 2х - 3, /(^(х)) = Зх - 4.
Найдите
4. Для функции г/ = х\х\ найдите обратную. На одном
чертеже постройте их графики.
5. Найдите функции f(x) и g(x), удовлетворяющие уело-
l
6. Дано: f(x) = х3 + Зх, ф(х) = 1 - х. Решите неравенство:
/(Ф(/(*))) </(Ф(4)).
7. Найдите все значения а, при которых наименьшее
значение функции !/ = |jc + 2| + |jc| + |jc-a| равно 4.
Постройте график функции при найденных значениях а
и исследуйте ее на четность/нечетность.
8. Решите уравнение
(2х + 1) (2 + 7(2* + I)2 + з) + Зх (2 + д/9д:2 + з) = 0.
Вариант 2 .
i тт - л, V9*2 + 6jc + 1 - 1
1. Построите график функции у = :—: .
2. Найдите промежутки монотонности и множество значе-
„ , л, v х2 + 4х + 9
нии функции fix) = —z— -.
xz + 4jc + 5
3. Известно, что f(x - 1) = 2х - 3, /(#(д:)) = д:3. Найдите g(x).
4. Для функции у = 2х + \х - 11 найдите обратную. На
одном чертеже постройте их графики.
135

5. Найдите функцию f(x), удовлетворяющую условию:
6. Дано: f(x) = хъ + 7х, <р(х) = 2 - х. Решите неравенство:
/(Ф(/<*))) </<Ф(8)).
7. При каких значениях а функция
у = а 12х - 31 + (2а - 3) 12х + 31
будет: а) четной; б) нечетной?
Постройте график функции при найденных
значениях а и укажите наименьшее значение функции.
8. Решить уравнение
(2х - I)5 (д/(2л;-1)2 + 5) + х5 (jx2 + б) = 0.
Контрольная работа № 8
Вариант 1 I—— г-
1. Вычислите: а) ^54 + 5^ - 2^; б) ?^
; б) ?
2. Упростите выражение:
а) —Те"' б)
f
х 25 l^VVa - ^^У ^4 _ a4fe2 + a2fc4 _ a4
_3 _3
3. Решите неравенство (х2 - 4x) 5 < (x — 6) 5.
4. Вычислите 8log52 +7log27.
5. Дана функция f(x) = Iog3(9 - x2).
а) Решите неравенство f(x) ^ 0.
б) Решите уравнение f(x) = 31og27(7 + x).
в) Найдите промежутки монотонности функции
Вариант 2 ГТт ГГ
1. Вычислите: а) ^24 + 43 1— - Зз -; б) -=Л
V 64 V9 з/9
64 \97 ' з/9-l з/з-1
2. Упростите выражение
3 3 Ча - 1 V| о- ~^+ 1 I
-J-; °)\jr^—тр ^Т1 + зГТ^ Г"
_2 _2
3. Решите неравенство (х2 - 5х + 4) 7 > (Зле - 8) 7.
4. Вычислите 49^ -
136

5. Дана функция f(x) = Iog5(16 - х2).
а) Регпите неравенство f(x) < 0.
б) Решите уравнение f(x) = 21og25(8 + 7х). (iY(x)
в) Найдите промежутки монотонности функции g(x) = -
Контрольная работа № 9
Вариант 1
1. Найдите cos 2а - ^- , если tga = —-.
V 3) 2
2. Найдите значение выражения (3 + 2 sin a) (3 + 2 cos а),
если sin a + cos a = а.
3. Дано tga = 2. Найдите (2 cos a - 5 sin a) (cos a + 2 sin a).
A „ cos 20° + cos 40° + cos 100°
4. Вычислите . .
д/l - cos 260°
5. Найдите cos 20a, если
sin 2a sin 5a cos — - 7a - cos 2a cos — + 5a cos 7a = -.
V2 ) V2 ) 6
6. Докажите неравенство: 16cos2 a - ctg2a < 9.
7. Найдите величины аир острых углов прямоугольного
треугольника, если
2 cos a + sin (a - p) + | sin (2a + p)| = 2(1 + cos (a + p)).
(X2 _|_ j.2 _ ^
8*. Решите систему уравнений < o '
[4xy(2y2 -1)= -1.
Вариант 2
1. Найдите sin 2a + — , если ctga = —.
V 6 J 2
2. Найдите значение выражения (5 - 2 sin a) (5 + 2 cos a),
если sin a - cos a = a.
3. Дано ctg a = 2. Найдите (3 cos a - 2 sin a) (sin a + 7 cos a).
A ^ cos 20° + sin 50° - cos 80°
4. Вычислите
y/l + cos 280°
5. Найдите cos 16a, если
cos — - 7a cos 4a cos 3a - cos 7a sin — + 4a sin 3a = -.
V2 ) V2 ) 8
6. Докажите неравенство: 9 sin2 a - tg2a < 4.
7. Найдите величины аир острых углов прямоугольного
треугольника, если
| sin (2а + р)| + sinp = 2V3(sin(a + р) + cos (а - р)).
8*. Решите систему уравнений \ о
[4ху(2у2 - 1)= 1.
137

Контрольная работа № 10
Вариант 1
1. Сравните числа: a) sin 4 и cos 2; б) tg3 и ctg5; в) ctg
и л/3; г) sin 5 + cos 6 и 0.
2. Найдите промежутки монотонности, нули, период,
область значений функции
у = 2 sin х (cos x - л/3 sin xj - 1 + л/3.
Постройте график функции. . .
3. В какой точке промежутка 0; — функция
V ^)
f(x) = tgx + 3ctgx принимает наименьшее значение?
4. Найдите множество значений функции
f(x)= -—л9 2о + 2cos4;c.
1 + 4cos22jc
5. Найдите наименьший положительный период функции
у = cos л; (4 cos2* - 3).
6. При каких значениях а функция у = 3cos Mr - — воз~
15 3 /
/ и v J
растает на промежутке \ а ; а \с
V 3 J
7. Найдите такую функцию g, что при всех х справедливо
равенство ^(cosjc- sinje)+ g\ V2cos \x- ^- \\ = 1.
8*. Дана функция
f(x) = cos3 x - a cos2 x sin x + b cos x sin2 x - sin3 x.
Найдите все пары (а; 6), при которых период функции /
2л
равен —.
3
Вариант 2
1. Сравните числа: а) sin 5 и cos 2; б) tgl и ctg8; в) ctg —
1
и —=; г) cos 5 + sin 6 и 0.
л/3
2. Найдите промежутки монотонности, нули, период,
область значений функции
у = 2 cos д: (Уз sin jc - cos xj +1,5.
Постройте график функции.
3. В какой точке промежутка 0; — функция
V 2)
f(x) = 4tgx + 9ctgx принимает наименьшее значение?
138

4. Найдите множество значений функции
f№ = i—л 9 2о 2cos4л;.
l+4sin22jc
5. Найдите наименьший положительный период функции
у = созл;(1 - 4 sin2л;).
I 9 ТГ
6. При каких значениях а функция у = -5 sin - х + —
возрастает на промежутке а; а + — ?
7. Найдите такую функцию g, что при всех х справедливо
равенство g(cos x + sinx) + g V2 sin л; = -3.
V V 4JJ
8*. Дана функция
f(x) = cos3 л; - a cos2 л; sin л; + Ъ cos л; sin2 x + sin3 л;.
Найдите все пары (а; 6), при которых период функции /
2я
равен —.
3
Контрольная работа № 11
Вариант 1
о
1. Решите уравнение 1 + sin3^ + соз3л; = -sin2л;.
2. Решите уравнение sin2 л; + сов2Зл; + sin2 5л; + cos2 7л; = 2.
3. Решите уравнение:
1 пх2 х2
a) cosх cos2л; cos4л; =-; б) 2х sin ——- + — + 1 = 0.
о X + 4 А
4. Найдите все значения параметра а, при которых
неравенство a cos2 х + (3 + 2а) sin л; - а - 6 < 0 выполняется
при всех значениях х.
5. Найдите все значения параметра а, при которых области
определения функций f(x)= и g(x)= +
cos x cos x a-cos2jc
совпадают.
6. Решите уравнение Vl - х = 2х2 - 1 + 2Wl - л;2 .
Вариант 2
1. Решите уравнение 2 cos 2л; = sin3 л; + cos3 л;.
2. Решите уравнение cos2 л; + cos2 2л; + сов2Зл; + cos2 4л: = 2.
3. Решите уравнение:
х 1 2кх2 4
а) cos -cosxcos 2л;cos4л; = —; б) (л; + 4) tg ^ + ^ = --.
139

4. Найдите все значения параметра а, при которых
неравенство a sin2 л; - (2 - За) cos х + 6 - а > 0 выполняется
при всех значениях х.
5. Найдите все значения параметра а, при которых области
определения функций f(x)= — и g(x)= — ь
sinjc sin л: cos2jc-a
совпадают.
6. Решите уравнение
Контрольная работа № 12
Вариант 1
1. Исследуйте последовательность ап = , п е N, на
монотонность. Докажите, что, начиная с некоторого
номера, все члены последовательности удовлетворяют
условию 2 < ап < 2,5.
2. Вычислите предел последовательности:
2 + 5 + 8+. .. + (371-1)1
a) lim — ; 6) lim .
*-oo^7l3 + l 71+1 ) n-*oo\ (271 - 1)(3 - 471)
b) lim \'2n~ll*n\ r) lim Un + 2- Jn + l) (2 - cos n).
n -+ oo\^ & — 3 J n -* oo ^ '
3. Имеет ли последовательность предел (ответ обоснуйте):
&/ *-9 ~Z У *-9 ~^2 9 J- > 7}з" ' • * * >
б) \/п е N 2 < ап < -—-2——;
в) 0,4; 0,42; 0,422; ...; 0,422222; ...;
п - 1 двоек
г) ап = (-1)" 2" + 1.
4. Существует ли последовательность, сходящаяся к 0
1 1 w ЛГ9
и удовлетворяющая условию: хп > ^ \/п е N?
100 пг
5. Докажите, что последовательность {#„}: ^i = 1,2;
ап + 1 = — имеет предел. Найдите этот предел.
л
6. Дана последовательность хп-а • 2п + Ъ • 3"", тг = 0, 1, ... .
а) Докажите, что Зхп + г = 7хп - 2хп _ и при всех п > 1.
б) Известно, что #1999 > 0. Верно ли, что х1998 > 0?
в) Пусть а = Ъ — 1. Существует ли арифметическая
прогрессия, среди членов которой содержатся все
числа лг0, хи ...?
140

Вариант 2
1. Исследуйте последовательность ап = , п е N, на
2tTt + 5
монотонность. Докажите, что, начиная с некоторого
номера, все члены последовательности удовлетворяют
условию 1,5 < ап < 2.
2. Вычислите предел последовательности:
/i(3/i + 2) 6п2-б\ б. ,. f 1+4+7 + ... + (3/1-2)1
2/г-1 4/i2-lJ' л^Ц (2/г + 3)(1 - 3/i) J'
2
в) lim — ——-— ; г) lim \^Jn + l - yjnj sin n.
3. Имеет ли последовательность предел (ответ обоснуйте):
я\ 9- • 9- _• 9. _•
б) Vn е ЛГ 0 < а„ < 2п + 1
;
71(71 + 2)'
в) 0,2; 0,23; 0,233; ...; 0,233333; ...;
- ч ^ ч п-\ троек
г) ап = (-1)п Зп + 1.
4. Существует ли последовательность, сходящаяся к 0
и удовлетворяющая условию: хп > \/п е N?
10 п
5. Докажите, что последовательность {ап}'. а1 = 1;
ап + 1= — имеет предел. Найдите этот предел.
6. Дана последовательность хп = а • 2~п + Ь • 3", п — 0, 1, ... .
а) Докажите, что 2хп + х = 7хп - Зхп _ 1 при всех п > 1.
б) Известно, что х1999 < 0. Верно ли, что x1998 < 0?
в) Пусть а — Ь— 1. Существует ли арифметическая
прогрессия, среди членов которой содержатся все
числа х0, х19 ...?
Итоговая контрольная работа
Вариант 1
А1. Вычислите: V48-27. 1) 36; 2) 18; 3) 6; 4) 12.
2 4
А2. Представьте в виде степени выражение 53 • 53.
1 £
259; 2) 59; 3) 252; 4) 52.
йдите значение выражения -
1) 10; 2) 5; 3) Iog210; 4) 20.
A3. Найдите значение выражения - • 2log2l°.
141

А4. Укажите множество значений функции, график
которой изображен на рисунке.
1) [-3; 7); 2) [-3; -2] U [2; 5];
3) [-4; 3]; 4) [-4; -1) U (-1; 3].
Рис. 5
А5. Найдите область определения функции
1) (0; 2);
3) [0; 2];
2) (-00; 0) U (2; +00);
4) (-00; 0] U [2; +00).
А6. На рисунке изображены
графики функций у = f(x) и у = g(x),
заданных на промежутке
[—3; 6]. Найдите все
значения х, для которых
выполняется неравенство f(x) < g(x).
1) [-3; -1] U [1; 6];
2) [-1; 1];
3) [-3; -2] U [2; 6];
4) [-2; 2].
А7. Решите неравенство -
1)(-сю;3); 2)(-оо;||; 3) (3; +сю); 4)
5
-оо;--
В1. Упростите выражение
nJn тп — п
142

00 о 2 sin 10°+ sin 50°
В2. Вычислите
2 sin 80°- V3sin50° "
83. Найдите наименьший положительный период
функции f(x) = sinjc(l - 4cos2jc).
84. Решите уравнение
sin3 х - 3 sin2 x cos x - cos x + 2 sin 2x cos л; = 0.
B5. Решите уравнение cos* - cos 2л; = cos Зле - cos4jc.
В6. Вычислите cos arcsin - + arccos —
B7. Сравните по величине Iog4964 • Iog210 и 4.
В8. Решите уравнение logx_ Х4 + Iog2(x - 1) = 3.
С1. Верно ли, что Xs + ах2 - Ъх - 1 • х2 + 1 » аЪ - 1? Если
нет, то какое из двух следований верно?
С2. Найдите все решения уравнения sin Зле + 2 cos2 8л; = 1,
принадлежащие отрезку -—; 0 .
СЗ. Решите неравенство (л/х + 2 - xj (х2 - Ъх + 6) < 0.
С4. Найдите все пары чисел (а; 6), для каждой из которых
уравнение 4 sin х - 3 cos x — а имеет единственное
решение на промежутке (6; Ъ + 4л).
С5. Вычислите сумму:
т f-3/i+ll т Гб+л-Зл2] ,. / Гл Ъ 7, ^ о Л
lim \ \ -f lim — + lim ( J4r -f 9n + 6 - 2n I.
„^oo[4n-2j n-oo[n2+2n + 3j n-oo\v /
Вари ант 2
Al. Найдите значение выражения 46р • 4~4р при р = —.
1) 1; 2) 2; 3) 32; 4) 4. 4
А2. Упростите выражение
V250
1) 1,2; 2) ^^; 3) 2,4; 4) 3л/2.
A3. Найдите значение выражения Iog4(64c), если log4c = -3,5.
1) -6,5; 2) -0,5; 3) -10,5; 4) -67,5.
А4. На одном из рисунков (см. с. 144, рис. 7) изображен
график нечетной функции. Укажите этот рисунок.
А5. Укажите множество значений функции у = 2х + 5.
1) (5; +оо); 2) (0; +оо); 3) (-оо; +оо); 4) (7; +оо).
143

■ ^
_
)
\-
•
(
\
J
N
/
у\
/
о
•
\
\
X
I
—f*
- ,
J
... 4—
1
1
I
-
0
-
X
I
/
1
У\
/
—
X
Рис. 7
A6. На рисунке изображены
графики функций y = f(x) и 1/ = £(л;),
заданных на промежутке
[-3; 6]. Укажите множество
всех значений х, для
которых выполняется неравенство
f(x) > g(x).
1) [-1; б];
2) [-3; -2] U [4; 6];
3) [-3; -1] U [5; 6];
4) [-2; 4].
Ах- 1
А7. Решите неравенство - > 0,125.
1) (-сю; 1); 2) (1; +сю); 3) (-сю; 0,5); 4) (-0,5; +оо).
В1. Упростите выражение
(а - bf
+ 2aVa + bS з(л/оЬ - b)
a- b
a4a + byjb
B2. Вычислите sin 50° (1 - 2 cos 80°).
ВЗ. Найдите наименьший положительный период
функf 1 2
д
ции f(x) = cosjc(1 - 4cos2jc).
144

В4. Решите уравнение
cos3 х - 3 cos2 x sin x - sin x + 2 sin 2x sin x = 0.
B5. Решите уравнение sin л; + sin3jc = sin 5л; + sin7x.
B6. Вычислите sin arccos arccos -
B7. Сравните по величине Iog936 • Iog620 и 3.
B8. Решите уравнение logx9 - log3jc = -1.
Cl. Верно ли, что axs + x2 - x - b • x2 + 1 » ab = 1? Если
нет, то какое из двух следований верно?
С2. Найдите все решения уравнения sin 4л; + 2 sin2 7л; = 1,
принадлежащие отрезку 0; —
СЗ. Решите неравенство (Jx + 1 — х + 1J (х2 - 5х + 6) ^ 0.
С4. Найдите все пары чисел (а; 6), для каждой из которых
уравнение 3 sin x - 4 cos х- а имеет единственное
решение на промежутке (Ь - 2л; Ъ + 2л).
С5. Вычислите сумму
+ П + \
11 КЛАСС
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
1. Предел функции и непрерывность
Понятие предела функции в точке и на бесконечности.
Асимптоты графика. Непрерывность функции в точке и на
множестве. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Основная цель — ознакомить с основными
понятиями дальнейшего курса алгебры и начал математического
анализа.
Изучение курса может быть построено так, чтобы
избежать чрезмерно подробного изложения материала темы 1.
В начале темы вводится понятие предела функции в
точке. Дается два определения предела, доказательство
эквивалентности которых отнесено к необязательному материалу.
На основании материала темы «Предел
последовательности» доказываются основные свойства предела функции.
Далее рассматриваются так называемые
«замечательные» пределы. Допустимо принять соответствующие
равенства без доказательства.
Затем вводится важнейшее понятие порядка малости,
на котором основан один из походов к изучению производ-
145

ной. Изучение этого материала может быть опущено, но
тогда учащиеся не смогут осознанно решать большое
количество задач, особенно в теме «Производная».
Основным понятием этой темы является понятие
непрерывности функции. Даются четыре равносильных
определения непрерывности и показываются ситуации, когда
уместно пользоваться каждым из этих определений.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— вычислять простейшие пределы, в том числе с
использованием «замечательных» пределов;
— иметь представление о шкале бесконечно малых
функций, в том числе о степенной шкале1;
— искать асимптоты графиков функций;
— исследовать функции на непрерывность, используя
различные определения непрерывности;
— применять теоремы о непрерывных функциях для
доказательства существования корней, а также в
простейших геометрических ситуациях.
2. Производная и ее применения
Определение производной, ее геометрический и
физический смысл, правила вычисления производных,
первообразная и неопределенный интеграл, применения
производной к исследованию функций, основные теоремы
дифференциального исчисления.
Основная цель — подробно изучить понятие
производной и различные ее применения.
Изучение строится на двух уровнях: операциональном
и смысловом. Операциональный уровень включает в себя
основные алгоритмы, связанные с изучением производной:
правила вычисления производных, нахождение
первообразных, а также стандартные задачи, связанные с
исследованием функции на монотонность и экстремумы.
Смысловой уровень связан с более глубоким изучением понятия
производной, а также с применениями основных теорем
дифференциального исчисления в нестандартных задачах.
При изучении данной темы основное внимание должно
уделяться:
1) отработке навыков решения задач с помощью
производной;
2) разбору теоретических сведений, который должен
показать важность производной и смежных понятий в
курсе математического анализа.
Следует обратить внимание на то, что методы
доказательства теорем этой темы практически совпадают с
методами решения задач.
1 Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит
изучению на углубленном уровне.
146

В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— производить вычисление производных и
первообразных;
— решать задачи на нахождение касательной к кривой
как в точке кривой, так и проходящей через точку вне
кривой, уметь находить общие касательные двух кривых;
— решать задачи, связанные с понятием кратного
корня многочлена;
— исследовать функцию на монотонность и
экстремумы, а также применять эти исследования к доказательству
неравенств и решению прикладных задач;
— применять основные теоремы дифференциального
исчисления к решению задач, связанных с
существованием и оценкой производных.
3. Определенный интеграл
Определение интеграла: различные подходы. Формула
Ньютона — Лейбница и теорема Барроу. Приложения
определенного интеграла.
Основная цель — изучить применение
определенного интеграла к вычислению площадей фигур, длин
кривых (вычисление объемов тел с помощью определенного
интеграла предполагается отнесенным к курсу геометрии),
а также решению физических задач.
В начале темы рассматриваются различные определения
интеграла. Затем изучается формула Ньютона —
Лейбница, которая применяется к решению задач, в том числе
геометрических и физических.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— оценивать значение определенного интеграла без его
прямого вычисления;
— применять формулу Ньютона — Лейбница для
нахождения определенных интегралов;
— с помощью определенного интеграла находить
площади фигур, длины кривых;
— использовать определенный интеграл при решении
физических задач.
4. Комплексные числа
Определение и свойства комплексных чисел,
геометрическая запись. Действия с комплексными числами в
тригонометрической форме. Корни из комплексных чисел.
Основная цель — ознакомить с комплексными
числами как с примером неупорядоченного числового поля,
а также примером того, как в одной и той же теме
применяются и формулы тригонометрии, и геометрические
преобразования, и векторная техника.
Вводятся понятие комплексного числа, арифметические
операции с комплексными числами, понятие сопряженных
комплексных чисел и геометрическая интерпретация ком-
147

плексного числа. Рассматриваются многочисленные примеры
на применение введенных понятий. Затем вводятся понятия
аргумента, модуля комплексного числа, тригонометрическая
форма комплексного числа. Изучается возведение в
степень п и извлечение корня степени п из комплексного числа.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— производить действия с комплексными числами;
— изображать фигуры на комплексной плоскости;
— в простейших случаях функций комплексной
переменной находить образы и прообразы элементов и
множеств, в том числе множество значений функции;
— пользоваться различными интерпретациями
комплексных чисел для решения задач.
5. Элементы теории вероятностей
Понятие вероятности. Классическое, геометрическое
и общее определения вероятности. Колмогоровское
определение вероятности. Условная вероятность, формула
полной вероятности и формула Байеса. Дискретные
случайные величины и их числовые характеристики.
Представление о нормальном распределении.
Основная цель — ознакомить учащихся с понятием
вероятности и способами решения основных типов задач по
теории вероятностей.
Основной особенностью темы является наличие
широкого спектра задач, в том числе использующих не только
классическое определение вероятности.
В результате изучения этой темы учащиеся должны:
— вычислять вероятности событий, используя
классическое и геометрическое определения;
— находить вероятность с помощью формулы полной
вероятности и формулы Байеса;
— находить числовые характеристики
(математическое ожидание и дисперсию) простейших дискретных
случайных величин.
6. Уравнения и неравенства
Общие методы и приемы решения уравнений. Задачи
с параметром и методы их решения. Иррациональные
уравнения и неравенства. Тригонометрические уравнения
и неравенства. Логарифмические уравнения и неравенства.
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств.
Основная цель — обобщить имеющиеся знания и
представления, изучить специфические методы решения
уравнений и неравенств.
Основное внимание при изучении данной темы
уделяется задачам с параметром и методам их решения.
7. Повторение
148

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
I вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
II вариант: 5 ч в неделю, всего 170 ч
Номер
параграфа
Содержание материала
Глава VIII. Предел функции и непрерывность
Предел функции в точке. Два определения.
Действия с пределами
«Замечательные» пределы. Асимптоты
Порядок малости. Шкала бесконечно малых
Контрольная работа № 1
Определение непрерывности
Теоремы о промежуточном значении
Теорема Вейерштрасса
Контрольная работа № 2
Глава IX. Производная и ее применения
Понятие производной, геометрический и
физический смысл
Производные суммы и разности. Таблица
производных
Контрольная работа № 3
Касательная
Производная произведения, частного,
композиции
Первообразная. Неопределенный интеграл
Контрольная работа № 4
Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши,
Дарбу и их применение
Исследование функции
Контрольная работа № 5
Решение различных задач с помощью
производной
Контрольная работа № 6
Глава X. Определенный интеграл
Определение определенного интеграла.
Формула Ньютона — Лейбница
Свойства определенного интеграла
Нахождение площадей и длин кривых
Решение физических задач
Различные задачи на определенный интеграл
Контрольная работа № 7
Глава XI. Комплексные числа
Определение множества комплексных чисел
Геометрическая интерпретация
Количество
часов
I
9
2
2
1
2
21
22
2
3
1
2
3
4
2
4
1
10
1
2
3
2
2
12
2
4
II
18
4
2
2
2
2
2
2
2
32
2
3
1
2
3
4
2
2
4
1
6
2
16
2
2
4
2
4
2
16
2
4
1 Контрольная работа может состоять из заданий 1а, 3, 66, 8
контрольной работы № 1 и заданий 1, 4 контрольной работы № 2.
149

Продолжение
Номер
параграфа
Содержание материала
Тригонометрическая форма записи.
Действия в тригонометрической форме. Формула
Муавра
Корни из комплексных чисел
Комплексные числа как преобразования
плоскости
Контрольная работа № 8
Глава XII. Элементы теории вероятностей
Классическое определение вероятности.
. Колмогоровское определение
Геометрическая вероятность
Условная вероятность. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
Дискретные случайные величины и их
характеристики
Контрольная работа № 9
Глава XIII. Уравнения и неравенства
Общие методы решения уравнений и
неравенств
Иррациональные уравнения и неравенства
Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства
Тригонометрические уравнения и
неравенства
Методы решения задач с параметром
Нестандартные задачи, связанные с
уравнениями и неравенствами
Упражнения
Контрольная работа № 10
Повторение
Количество
часов
I
4
2
14
4
4
4
2
50
4
6
8
10
4
6
10
2
19
И
4
2
2
2
18
4
4
4
4
2
50
4
6
8
10
4
6
10
2
20
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Предлагаемые контрольные работы являются
избыточными. Уровень пятерки — это верно и полностью решенные
все задания контрольной работы, кроме одного. Однако в
зависимости от уровня класса учитель может устанавливать
и свои критерии оценивания. Звездочкой отмечены задания
повышенного уровня сложности.
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Найдите предел:
1 3
a) lira
Лх-1 х3 - 1
б) lim
\х2-\х-2\'
150

2. Найдите предел lim — , а > 0.
*^+Ч 2х )
3. Для каждого а найдите предел lim
х - а
х2-
+ а
4. Найдите lim
sin4jc - 2cos2jc 4jc
--2х\ cos 2*
h-*0 R
5. В равнобедренном треугольнике ABC длины сторон АВ
и ВС равны 1. Пусть г — радиус вписанной в этот
треугольник окружности, a i? — радиус описанной около
треугольника окружности. Вычислите lim —, где h —
высота, проведенная к основанию.
6. Исследуйте функцию на асимптоты:
а) у = arcsin-; б) f(x) =
2х2 + 3
7. При каких а и Ъ lim | — + ах + Ъ \ - 8?
= 0.
Дока8. Пусть функция / периодическая и lim
жите, что f(x) = 0. *-*+о
Вариант 2
1. Найдите предел:
9 . 6
х2- \2х- 3|
2. Найдите предел lim I , а > 0.
l 2
2JC
х2 - 4х + а
3. Для каждого а найдите предел lim
х-*а X - п
4. Найдите lim
sin3jc • sin2jc - ^cos x + 77
5jc2
COS JC
5. В равнобедренном треугольнике ABC стороны АВ и ВС
равны, а АС = 2. Пусть г — радиус вписанной в этот
треугольник окружности, a. R — радиус описанной около
треугольника окружности. Вычислите lim —, где h —
высота, проведенная к основанию.
6. Исследуйте функцию на асимптоты:
а) у = arccos-; б) f(x) =
х
R
151

7. При каких а и Ъ lim \ax\+1 +b(x- 1)1 = 2?
j:-»+oo^ 3JC — 4 у
8. Изобразите график некоторой функции,
удовлетворяющей следующим условиям: lim f(x) = -оо, lim f(x)= oo,
lim /(*) = oo. х-1 x^+o°
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Нарисуйте график функции
\kx + 2| при х > О,
7 V } ' х2 + kx + fe2 + 1 при х < О,
если известно, что она непрерывна.
2. Найдите асимптоты графика функции f(x)-х- arcsin —.
Постройте эскиз этого графика. х
3. Известно, что функция / непрерывна. Докажите, что
непрерывна функция у = |/(jc)|.
4. Является ли функция, заданная на замкнутом
промежутке, непрерывной на этом промежутке, если ее
областью значений является замкнутый промежуток?
5. Пусть х(а) — наименьший положительный корень
уравнения \х - 3| = а для каждого а > 0. Постройте график
зависимости х = х(а). Существуют ли у функции х(а)
точки разрыва?
6. Докажите, что достаточным условием того, что
уравнение ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + е = 0 (а Ф 0) имеет хотя бы
один действительный корень, является выполнение
неравенства |a + c + e|<|& + d|.
7. Можно ли одной линией разделить сегмент круга на три
равновеликие части? (Линия не проходит по границе
сегмента.)
8. Пусть функция / непрерывна на [0; 1], причем f(f(x)) = х2
для любого х е [0; 1]. Докажите, что х2 < f(x) < x для
любого х е (0; 1).
Вариант 2
1. Нарисуйте график функции
f( ч_ П** + 2| при х > 0,
ПХ) " \х2 + kx + k2 + 1 при х < 0,
если известно, что она непрерывна.
2. Найдите асимптоты графика функции /(х) = arccos —\-x.
Постройте эскиз этого графика.
152

3. Известно, что функция / непрерывна. Докажите, что
непрерывна функция у = f(\x\).
4. Является ли функция, заданная на замкнутом
промежутке, непрерывной на этом промежутке, если она
имеет на нем наибольшее и наименьшее значения?
5. Пусть х (а) — наименьший положительный корень
уравнения (х - 2)2 = а для каждого а > 0. Постройте график
зависимости х = х(а). Существуют ли у функции х(а)
точки разрыва? Если существуют, то укажите их род.
6. Докажите, что если уравнение ах2 + (c-b)x + e-d = 0
имеет действительный корень, больший единицы, то
уравнение ах4 + bxs + сх2 + dx + е = 0 имеет хотя бы
один действительный корень.
7. Можно ли одной линией разделить равнобокую
трапецию на три равновеликие части? (Линия не проходит по
границе трапеции.)
8. Докажите, что не существует непрерывной на R
функции /, обладающей следующим свойством: число f(x)
рационально тогда и только тогда, когда число f(x + 1)
иррационально.
Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. Пользуясь определением производной, найдите
производную функции f(x) = х2 + 5х в точке х0 = 1.
2. В каких точках существует производная у данной
функции: а) у = \х + 2| + \х\; б) f(x)= <Jx + 2?
3. Может ли производная всюду отрицательной функции
быть всюду отрицательной?
4. Вычислите производную функции
f{x) = 5х4 - In* + 4sin* - (0,5)х.
5. Укажите, как минимум, две функции, производные
которых равны функции f(x) = cos л; + х2.
Вариант 2
1. Пользуясь определением производной, найдите
производную функции f(x) = х2 - Зх в точке х0 = 2.
2. В каких точках существует производная у данной
функции: а) у = \х - 2\ + \х - 1\; б) f(x) = <Jx- 3.
3. Может ли производная всюду отрицательной функции
быть всюду положительной?
4. Вычислите производную функции
f(x) = ех - х + ecosx - Зу[х.
5. Укажите, как минимум, две функции, производные
которых равны функции f(x) = sin л; + Xs.
153

Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = х2 - х - 1 в точке с абсциссой х0 = -1.
2. Напишите уравнения всех касательных к графику
функции у = х2 - 4л;, проходящих через точку с
координатами (-2; 11).
3. Найдите производную функции в точках, в которых
функция дифференцируема:
a) f(x) = cosjc • 3х + ctgx • log3xj
х°'г-\пх /1 - Ч1П г
Л 111 Л V Л , V /X Olll Л
tgx + х
Ix2 sin — jc Ф О
л:'
О, х= О
в точках хо = иихо = ^.
5. Найдите первообразную функции
f(x)= х2 yfx - cos 5х -
график которой проходит через точку М(0; 1).
6. Найдите j (2д: + | х \) dx.
Вариант 2
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = х3 - 2х - 1 в точке с абсциссой х0 = 1.
2. Напишите уравнения всех касательных к графику
функции у = х2 + Зх + 2, проходящих через точку с
координатами (2; 8).
3. Найдите производную функции в точках, в которых
функция дифференцируема:
а) f(x) = х2 • 2*+^log2x. tgx;
б) /<*> = °OSJ~?X > в> rt*> = In (x
, тт о _
4. Найдите производную функции
в точках х0 = 0 и х0 = -2.
5. Найдите первообразную функции
f(x) = x2Vx - sin3jc
1 - Зх2
проходящую через точку N(0; -1).
6. Найдите \\x-2\dx.
154

Контрольная работа № 5
Вариант 1
1. Найдите промежутки монотонности функции
а) у = (х - 1)3(2х + 3)2; б) у = ^.
2. Найдите экстремумы функции у = In (cos л;) - cosjc.
3. Найдите множество значений функции f(x) = cos3 x — cos x.
4. Сколько корней имеет уравнение х4 - 4х + 2 = О?
Вариант 2
1. Найдите промежутки монотонности функции
а) у = (х + 1)Н2х - З)2; б) у = ±.
2. Найдите экстремумы функции у = 1п(д:2 + 1) - 2arctgjc.
3. Найдите множество значений функции у = cos х • е1 ~cos 2x.
4. Сколько корней имеет уравнение Xs - Зх + 2 = О?
Контрольная работа № 6
Вариант 1
1. Решите неравенство ех > 1 + х + — при х > 0.
2. f{x) = Iog3x + 4(7x - 4). Вычислите /'(2).
3. На графике функции у = 4х найдите точку,
ближайшую к точке N(3; 6).
4. При каких значениях х наибольшее значение функции
f(t) = ts- 3t2 на промежутке [jc — 1; х] будет больше (-4)?
5. При каких значениях параметра а уравнение х3 - ах + 2 = 0
имеет хотя бы одно положительное решение?
6. Найдите все значения параметра /п, при которых при
любом Ь уравнение f(x) = b имеет не более одного
решения на промежутке [1; +оо), если f(x) = х2 - тх + т2.
7. Сколько касательных к графику функции у = х3 + 1
можно провести через точки, лежащие на: а) оси
ординат; б) оси абсцисс?
Вариант 2
1. Решите неравенство 1п(1 + х) > х 1 при х > 0.
2 о
2. f(x) = Iog2x + 5(6jc - 1). Вычислите /'(З).
3. Найдите расстояние от точки М(2; 0) до графика
функции fix) =
155

4. При каких значениях х наибольшее значение функции
f(t) = -t3 - 3t2 на промежутке [х - 1; х] будет меньше 4?
5. При каких значениях параметра а уравнение
х4 - ах3 + 27 = 0 имеет корни, большие 4?
6. При каких значениях параметра а при любом Ъ прямая
у — Ъ пересекает график функции у = х - Зах + 2а sin x + 1
в единственной точке?
7. Сколько касательных к графику функции у = х3 - 1
можно провести через точки, лежащие на а) оси
ординат; б) оси абсцисс?
Контрольная работа № 7
Вариант 1 . _ .
Г Г 13 - х\
1. Найдите интегралы: а) I е~х(е~х - 2)dx; б) у -2—-dx.
о 1 х
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
f(x) = j(sin3£ - sin£)d£, D(f) = -^-; ^- , параллельной
b v12 2)
прямой 2y - x + 5 = 0.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = ——-, у = х + 1 и х = -5.
2 2
4. Сравните по величине \2х2 cosxdx и J2*cos;t(i;t.
0 о
5. Даны функция f(x) = 4 - ах - х2, прямая /, заданная
уравнением у = -2х + 8, и точка А(0; 4).
а) Найдите все а, при которых прямая / касается
графика /.
б) Пусть Р и Q — точки касания прямой / с
графиками / (при найденных выше а). Вычислите площадь
криволинейного треугольника, ограниченного отрезком PQ
и дугами АР и AQ этих графиков.
в) Найдите наименьшее значение площадей сегментов,
ограниченных графиком функции / и осью абсцисс.
Вариант 2 е 2
1. Найдите интегралы: а) ]{х- l)\nxdx\ б) |||jc- l| - l\dx.
1 0
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
f(x) = j(sin^- sin2^)d^, D(f) = —; — , параллельной
оси абсцисс.
156

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
6 - 4л; л о
У = —-— и у = 4 - 2х.
X 2
4. Сравните по величине J -
1
5. Даны функция f(x) = 4 + ах - х2, прямая Z, заданная
уравнением у = 2х + 8, и точка А(0; 4).
а) Найдите все а, при которых прямая / касается
графика /.
б) Пусть Р и Q — точки касания прямой / с
графиками / (при найденных выше а). Вычислите площадь
криволинейного треугольника, ограниченного отрезком PQ
и дугами АР и AQ этих графиков.
в) Найдите наименьшее значение площадей сегментов,
ограниченных графиком функции / и осью абсцисс.
Контрольная работа № 8
Вариант 1
1. Вычислите ь .
1-3/ 1+3;
2. Представьте в тригонометрической форме число:
v 1 , . /5 *ч sin24o+/cosl56°
a)"1 + iV3; б) cos 35- -/sin 35-'
3. Вычислите (1 - Z)2008.
4. Изобразите на комплексной плоскости множество
точек, удовлетворяющих неравенствам:
а) 2 < \iz + 1| < 6; б) г2 - z2 - 5z - z > -4.
5. Составьте квадратное уравнение с вещественными
коэффициентами, если один из корней уравнения равен 1 - 3/.
6. При каких значениях параметра р е R среди г, таких
что \z - 1 + w3| < р существует ровно одно число г,
такое что z4 e R?
Вариант 2
л о 1+5/1-5/
1. Вычислите + .
1-5/ 1+5/
2. Представьте в тригонометрической форме число:
\ л • Гп *\ cos55° -/sin55°
a)1"lV3; б) sin32°+;cosl48°-
3. Вычислите (1 + Z)566.
4. Изобразите на комплексной плоскости множество
точек, удовлетворяющих неравенствам:
а) 1 <\iz- 1|<4; б) z2 - z - 3z - z < 2.
157

5. Составьте квадратное уравнение с вещественными
коэффициентами, если один из корней уравнения равен 2 + i.
6. При каких значениях параметра р е R среди г, таких
что |z +1 — w3| < р существует ровно одно число г,
такое что г4 е R?
Контрольная работа № 9
Вариант 1
1. Какова вероятность того, что, взяв на окружности
радиуса 1 три точки случайным образом (по дуге),
получим треугольник, один из углов которого больше 100°?
2. Двое играют в игру без ничьих. Вероятность выигрыша
первого игрока равна -. Для выигрыша в турнире нуж-
3
но выиграть три партии подряд. Какова вероятность
выиграть в турнире для первого игрока?
3. В одной урне — 10 белых шаров и 1 черный шар,
а в другой 4 белых шара и 5 черных шаров. Найдите
вероятность того, что наугад вынутый из наугад
выбранной урны шар окажется черным.
4. Волейбольная команда может с вероятностью 0,7 подать,
а с вероятностью 0,3 потерять подачу. Какое наивероят-
нейшее число подач подряд из 15 она может сделать?
5. Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд не
выпадет одна и та же сторона. Вероятность каждого события,
требующего п бросаний, положим равной —. Найдите ве-
роятность того, что опыт закончится до шестого бросания.
Вариант 2
1. Какова вероятность того, что, взяв на окружности
радиуса 1 три точки случайным образом (по дуге),
получим треугольник, все углы которого меньше 80°?
2. Двое играют в игру без ничьих. Вероятность выигрыша
первого игрока равна -. Для выигрыша в турнире нуж-
4
но выиграть три партии подряд. Какова вероятность
выиграть в турнире для первого игрока?
3. В одной урне — 8 белых шаров и 2 черных шара,
а в другой 6 белых шаров и 3 черных шара. Найдите
вероятность того, что наугад вынутый из наугад
выбранной урны шар окажется белым.
4. Волейбольная команда может с вероятностью 0,6 подать,
а с вероятностью 0,4 потерять подачу. Какое наивероят-
нейшее число подач подряд из 25 она может сделать?
158

5. Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд не
выпадет одна и та же сторона. Вероятность каждого
события, требующего п бросаний, положим равной —. Най-
дите вероятность того, что опыт не закончится до
восьмого бросания.
Контрольная работа № 10
Вариант 1 ,
1. Решите неравенство: -г—,ъ -г1 > 1.
| jc2 3jc 1|
2. Решите неравенство: yJ2x2 - 2х + 5 - ^2х2 - 2х > 1.
3. а) Решите уравнение: cosjc = 7cos4jc- cosjc + 1.
б)* При каких значениях параметра а уравнение
cos х = д/cos 4jc - cos х + а имеет решение?
4. Решите уравнение: logcos x (sin 2х) = 2 logcos x (cos х - sin x).
5. Решите неравенство: — х* ^ 3^ .
6. а) Решите неравенство \ogx + 2(x2 - 2х + 4) > 2.
б) Выясните, при каком значении параметра а
неравенство \ogx + 2(x2 - 2х + а) ^ 2 не имеет решений.
в) Решите неравенство logx + 2 (х2 - 2х + а) ^ 2 при всех
значениях параметра а.
Вариант 2
1. Реп1ите неравенство: т—^—= Ц- ^ 1.
|3jc2+11jc +9|
2. Решите неравенство: yjx2 + jc + 10 - ^х2 + jc + 3 > 1.
3. а) Решите уравнение: sin лен— = yjcos4x + sinx + 1.
б)* При каких значениях параметра а уравнение
sin х + - = д/cos 4л; + sin jc + а имеет решение?
4. Решите уравнение logsin x (sin 2х) = 2 logsin x (sin jc - cosjc).
5. Решите неравенство 5х^ °g5 х < 5^ °g5 *.
6. а) Решите неравенство Iog2_*(a2 - 2jc) ^ 2.
б) Выясните, при каком значении параметра а
неравенство loga_x + 1(a2 - 2ajc) ^2 не имеет решений.
в) Решите неравенство loga _x + 1(a2 - 2ах) < 2 при всех
значениях параметра а.
159

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Ш. А. Алимов и др. Программы по алгебре
и началам математического анализа 4
А. Н. Колмогоров и др. Программы по алгебре
и началам математического анализа 31
Ю. М. Колягин и др. Программы по алгебре
и началам математического анализа 49
С. М. Никольский и др. Программы по алгебре
и началам математического анализа 85
М. Я. Пратусевич и др. Программы по алгебре
и началам математического анализа 122
Учебное издание
Программы общеобразовательных учреждений
Алгебра и начала математического анализа
10—11 классы
Составитель: Бурмистрова Татьяна Антоновна
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор В. М. Бусев
Художник О. П. Богомолова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Технический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская
Корректор Ю. Б. Григорьева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК
005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано
в печать с оригинал-макета 03.10.08. Формат 60x901/16. Бумага газетная.
Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 8,74. Тираж 10 000 экз.
Заказ № 27627.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru

ПРОГРАММЫ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНА
УЧРЕЖДЕН
Для учителей, работающих по учебникам:
А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.
Алгебра и начала математического анализа
для 10 - 11 кл.
С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.
Алгебра и начала математического анализа
для 10 - 11 кл.
Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров
Алгебра и начала математического анализа
для 10 - 11 кл.
Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова
Алгебра и начала математического анализа
для 10 - 11 кл.
М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин
Алгебра и начала математического анализа
для 10 - 11 кл.
ISBN 978-5-09-018366-6