М. М. ПОСТНИКОВ
ТЕОРИЯ ГАЛУА
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963

517.1
П 63

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Глава 1. Элементы теории полей 9
1. Предварительные замечания 9
2. Некоторые важные типы расширений 10
3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраиче-
алгебраических расширений 13
4. Алгебраичность конечных расширений 15
5. Строение составных алгебраических расширений .... 16
6. Составные конечные расширения 18
7. Теорема о том, что составное алгебраическое расшире-
расширение является простым 21
8. Поле алгебраических чисел 23
9. Композит полей 24
Глава 2. Необходимые сведения из теории групп ... 26
1. Определение группы 26
2. Порядки элементов 28
3. Подгруппы, нормальные делители н факторгруппы ... 30
4. Гомоморфные отображения 34
Глава 3; Теория Галуа 38
1. Нормальные расширения 38
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа 42
3. Порядок группы Галуа 45
4. Соответствие Галуа . 49
5. Теорема о сопряженных элементах 52
6. Группа Галуа нормального подполя ..,.,.,... 54
7. Группа Галуа композита двух полей .......... 55
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
Глава 1. Дополнительные сведения из общей теории
групп . . . 57
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах 57
2. Нормальные ряды 58
3. Циклические группы .,,,,,,,,,,.,,,,,, 62

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Разрешимые и абелевы группы 67
5. Группы Z'n и Мп 70
Глава 2. Уравнения, разрешимые в радикалах 74
1. Простые радикальные расширения . . . . • 74
2. Циклические расширения 77
3. Радикальные расширения ¦. 82
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа .... 86
5. Уравнения, разрешимые в радикалах 89
Глава 3. Построение уравнений, неразрешимых в ради-
радикалах 91
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок .... 91
2. Разложение подстановок в произведение циклов .... 94
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа 97
4. Строение знакопеременной и симметрической групп . . 100
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа . . 105
6. Обсуждение полученных результатов 109
Глава 4. Неразрешимость в радикалах общего, уравне-
уравнения степени я>5 112
1. Поле формальных степенных рядов 112
2. Поле дробностепенных рядов 118
3. Группа Галуа общего уравнения степени п 122
4. Решение уравнений низших степеней 126
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Глава 1. Практическое вычисление групп Галуа урав-
уравнений 131
1. Задание групп подстановок степени п многочленами от
п неизвестных . . . .¦ . 131
2. Сопряженные группы подстановок 134
3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена . . 136
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся
в знакопеременной группе 140
5. Уравнения третьей и четвертой степени 141
Глава 2. Уравнения пятой степени 144
1. Транзитивные группы подстановок 144
2. Транзитивные группы простой степени 145
3. Транзитивные группы пятой степени 146
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пя-
пятой степени 149
5. Определяющий многочлен для метациклической группы 151
6. Случай уравнений в нормальном виде 153
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах . . 155
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному
виду..,..,,,..,...,....,.,..,. 157

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава 3. Решение уравнений в неприводимых радикалах 160
1. Формулировка основной теоремы 160
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям '. 161
3. Доказательство теоремы А 163
4. Мультипликативная группа классов по примарному мо-
модулю 164
5. Группы Галуа примарных круговых расширений .... 168
6. Доказательство теоремы В 171
Глава 4. Уравнения деления круга 174
1. Строение полей деления круга простого показателя . . 174
2. Решение уравнений деления круга 177
3. Прием Гаусса 178
4. Уравнение деления круга на 17 частей 181
Глава 5. Построения циркулем и линейкой 185
1. Основная теорема теории геометрических построений . 185
2. Примарные группы 194
3. Пифагоровы расширения 197
4. Некоторые конкретные задачи на построение 199
Задача об удвоений куба A99). Задача о трисекции
угла B00). Задача о трех биссектрисах B01). Задача о по-
построении правильното я-угольника. B02). Задача о ква-
квадратуре круга B05). Задача о луночках Гиппократа
B11).

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой переработанный и значи-
значительно расширенный вариант книги автора «Основы теории
Галуа», выпущенной з свет Физматгизом в 1960 г. При пе-
переработке автор стремился сохранить элементарный харак-
характер книги, так что от читателя по-прежнему требуется вла-
владение лишь основами высшей алгебры в объеме действую-
действующей программы первого курса университетов. К сожалению,
автор был лишен возможности пополнить книгу упражне-
упражнениями. Как и в «Основах теории Галуа», задачи, включен-
включенные в текст книги, совершенно тривиальны и предназначены
исключительно для самоконтроля читателя.
Теория Галуа по-прежнему излагается для полей, при-
принадлежащих некоторому единому «универсальному», алге-
алгебраически замкнутому полю характеристики 0 (для опреде-
определенности — полю комплексных чисел). Это позволяет избе-
избежать трудной для начинающего абстрактной теоремы
о существовании и единственности (с точностью до изомор-
изоморфизма) поля разложения данного многочлена. С другой сто-
стороны, при таком изложении фактической потери общности
не происходит, поскольку любое поле можно, как известно,
включить в алгебраически замкнутое.
При первоначальном изучении теории Галуа серьезные
трудности часто возникают также в связи с теоремой о про-
продолжении изоморфизма. Поэтому в этой книге теорема
о продолжении изоморфизма во всех случаях заменяется,
быть может, более кустарными, но зато значительно более
доступными соображениями теории симметрических функций.
Теория групп излагается здесь лишь постольку, поскольку
это необходимо для теории Галуа и ее применения. Отдельные
сведения из теории групп вкраплены в текст в тех местах,
где они необходимы. Никакого целостного и более или це,-

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
нее исчерпывающего изложения даже отдельных глав теории
групп в книге не дается. Однако затронутые вопросы тео-
теории групп разобраны со всей тщательностью, иногда даже
подробнее, чем это обычно принято.
При изложении теории подстановок подробно доказы-
доказывается теорема о разложении подстановок в произведение
независимых циклов, а понятие четности подстановки вво-
вводится на основе рассмотрения разложения подстановки
в произведение транспозиций. Простота знакопеременной
группы доказывается по Редей.
Задача о решении уравнений в радикалах сначала ста-
ставится и решается для произвольных (быть может, приводи-
приводимых) радикалов. В частности, уравнения деления круга по
определению считаются разрешимыми в радикалах. Класси-
Классическая постановка задачи (о решении уравнений в неприво-
неприводимых радикалах) рассматривается отдельно и значительно
позже. Читатель, желающий познакомиться лишь с основ-
основными идеями, на которых основывается применение теории
Галуа к задаче о решении уравнений в радикалах, может,
таким образом, не вникать в достаточной мере в сложную
теорию круговых расширений.
Так как полями коэффициентов общих (т. е. имеющих
буквенные коэффициенты) уравнений являются поля рацио-
рациональных функций, то для обоснования применимости к таким
уравнениям результатов теории Галуа, доказанных в книге
лишь для подполей универсального поля, нам приходится
специально доказывать, что любое поле рациональных функ-
функций можно включить в универсальное, т. е. алгебраически
замкнутое, поле (именно в поле дробностепенных рядов).
Алгебраическую замкнутость поля дробностепенных рядов
мы доказываем по Островскому с помощью леммы Гензеля.
Это доказательство хотя и не эффективно, но значительно
проще конструктивного доказательства, основанного на много-
многоугольнике Ньютона и не раз излагавшегося на русском языке.
В книге большое внимание уделяется задаче практиче-
практического вычисления групп Галуа уравнений. Эта задача по-
подробно рассмотрена как в общем виде, так и в применении
к уравнениям третьей, четвертой и пятой степени. Специаль-
Специальное внимание уделено уравнениям пятой степени. В част-
частности, полностью описаны все уравнения пятой степени,
разрешимые в радикалах.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Много места уделено также применениям теории Галуа
к теории геометрических построений. Хотя основная теорема
теории геометрических построений циркулем и линейкой не
относится, строго говоря, к теории Галуа, однако мы ее
здесь доказываем, обращая особенное внимание на алгебраи-
алгебраические тонкости доказательства, обычно оставляемые в тени.
Наряду с общими результатами теории геометрических
построений в последней главе книги рассмотрены также и
некоторые конкретные построения, и притом не только
классические (как задача о трисекции угла и т. п.), но и
более свежие (задача о луночках Гиппократа). При рассмо-
рассмотрении задачи о квадратуре круга детально доказана тран-
трансцендентность числа тс.
Для ссылок на материал первого курса использована
книга А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры», в дальнейшем
именуемая «Курс». При этом страницы указываются по ше-
шестому изданию.
В заключение автор хочет горячо поблагодарить
С. С. Рышкова и В. Г. Болтянского, прочитавших книгу
в рукописи и сделавших много ценных замечаний.
Автор

I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
1. Предварительные замечания
Полем мы называем непустое множество Р комплексных
чисел, обладающее следующими свойствами:
1) если а?Р и Ь?Р, то а + Ь^Р и ab?P;
2) если а?Р, то — а?Р и а-'?Р(при а Ф 0).
Полями являются, например, поле рациональных чисел /?,
поле действительных чисел D и поле комплексных чисел С.
Поле Р называется подполем поля К, а поле К — рас-
расширением поля Р, если любой элемент поля Р принадле-
принадлежит полю К, т. е. если ') РсК. Любое поле (в нашем
смысле) является подполем поля комплексных чисел.
Легко видеть, что каждое поле содержит единицу, а
следовательно, и все поле рациональных чисел R, т. е.
любое поле является расширением поля рациональных чисел.
В современной алгебре принято абстрактное определение
поля как множества с двумя алгебраическими операциями,
удовлетворяющими определенным аксиомам (см. Курс,стр. 276).
В отличие от таких «абстрактных» полей, поля в нашем
смысле называются числовыми. Излагаемую в этой книге
теорию можно без большого труда перенести и на случай
нечисловых полей. Переход от числовых полей к произволь-
произвольным влечет в основном лишь чисто технические трудности.
Эти трудности связаны с тем, что в нечисловом поле
некоторое кратное единицы может оказаться равным нулю,
а неприводимый многочлен — обладать кратными корнями.
') Обозначение PczK не исключает случая, когда Р совпа-
совпадает с К,,

10 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Поля, в которых это затруднение не возникает, назы-
называются полями характеристики 0 (см. Курс, стр. -280 и 296).
К ним, кроме числовых полей., принадлежат, например, поля
рациональных функций. Другая, более существенная труд-
трудность, возникающая при переходе от числовых к нечисло-
нечисловым полям, проявляется, в частности, в том, что различные
нечисловые поля, вообще говоря, никак не связаны между
собой: например, нельзя говорить о сумме элементов двух
различных полей. Эту трудность удобнее всего преодолеть,
ограничив класс рассматриваемых полей подполями некото-
некоторого достаточно широкого «универсального» поля. Именно
на этом пути, выбирая за универсальное поле поле комп-
комплексных чисел, мы и приходим к числовым полям. В общем
случае от универсального поля достаточно потребовать
алгебраической замкнутости, т. е. потребовать, чтобы любой
многочлен над этим полем разлагался в нем на линейные
множители. Легко проверяется, что вся излагаемая ниже
теория остается справедливой без каких-либо измене-
изменений, если под полями понимать подполя некоторого
алгебраически замкнутого поля характеристики 0.
Это обстоятельство мы существенно используем в гл. 4,
ч. II.
2. Некоторые важные типы расширений
Расширение К поля Р называется конечным, если
в поле К существуют такие элементы а^ .... а„, что любой
элемент р? К единственным образом записывается в виде
линейной комбинации этих элементов с коэффициентами
из поля Р:
Обладающая этим свойством система элементов av ..., ап
называется базисом поля К над полем Р.
К понятию конечного расширения можно подойти и
с другой стороны, заметив, что любое расширение L поля Р
можно рассматривать как линейное пространство над полем Р.
Действительно, элементы поля К можно складывать и умно-
умножать на элементы поля Р, причем обе операции (сложение
и умножение на элементы поля Р), очевидно, обладают всеми
необходимыми свойствами. С этой точки зрения расширение К
тогда и только тогда конечно, когда оно имеет конечную

2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ТИПЫ РАСШИРЕНИЙ 11
размерность (как линейное пространство над полем Р), а
система элементов тогда и только тогда является его бази-
базисом (в только что определенном смысле), когда она является
его базисом в смысле теории линейных, пространств. Так
как все базисы конечномерного линейного пространства
состоят из одного и того же числа векторов, то, в частности,
все базисы поля К над полем Р состоят из одного и того же
числа элементов. Это число называется степенью поля К
над полем Р и обозначается через [К: Р] (с точки зрения
теории линейных пространств степень поля К—это его раз-
размерность как линейного пространства над полем Р).
Задача. Доказать, что степень [К : Р] тогда и только
тогда равна единице, когда /( = Р.
Пусть Р—произвольное поле (числовое) и аг а„ —
произвольные числа (т. е. элементы поля С). Рассмотрим
всевозможные поля, являющиеся расширениями поля Р и
содержащие числа а,, ..., а„. Такие поля существуют, ибо,
например, к их числу принадлежит поле С всех комплекс-
комплексных чисел. Легко видеть, что пересечение всех этих полей
также является полем (вообще без труда доказывается, что
пересечение любой системы полей само является полем).
Это пересечение является, очевидно, минимальным расшире-
расширением поля Р, содержащим числа otj, .... ап (минимальность
означает, что это' пересечение является подполем любого
другого, содержащего числа аь . .., ап, расширения поля Р).
Это минимальное расширение обозначается через Р(^ а„)
и называется расширением, порожденным числами otj, .... а„.
Очевидно, что Р(а1 а„) = Р тогда и только тогда,
когда alt .... ап ? Р.
Задача. Доказать, что поле P(alt .... а„) можно
определить как совокупность всех чисел, получающихся
в результате применения к числам поля Р и числам
а1, .... ап всевозможных комбинаций четырех арифметиче-
арифметических действий.
Число а называется алгебраическим над полем Р, если
оно является корнем некоторого (не равного тождественно
нулю) многочлена с коэффициентами из поля Р. Люббй
элемент поля Р, очевидно, алгебраичен над этим полем
(если верно и обратное, т. е. если любое алгебраическое
над полем Р число принадлежит этому полю, то Р назы-
называется алгебраически замкнутым полем; ср. п. 1)#

12 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Очевидно, далее, что любое число, алгебраическое над полем Р,
является алгебраическим числом и над любым расширением
поля Р. Подчеркнем, что обратное утверждение, вообще
говоря, неверно. Например, любое комплексное число
является алгебраическим над полем D действительных чисел
(ибо оно является корнем квадратного трехчлена с действи-
действительными коэффициентами), тогда как существуют числа
(даже действительные), не алгебраические над полем R
рациональных чисел. В качестве примера неалгебраических
над полем R чисел можно указать известные числа е и и,
неалгебраичность которых доказывается в полных курсах
теории чисел (см. также ниже, ч. III, гл. 4, п. 4).
Расширение К поля Р называется алгебраически по-
порожденным, если оно порождается некоторой конечной
системой алгебраических над полем Р чисел, т. е. если
существуют такие алгебраические над полем Р числа о^,..., а,,
что /С=Р(а1, .... ал). Если, в частности s=l, то поле
К^=Р(а1) называется простым алгебраическим расшире-
расширением поля Р.
Расширение К поля Р называется составным алгебраи-
алгебраическим расширением, если существует такая цепочка под-
полей
начинающаяся с поля Р и кончающаяся полем К, что для
любого /=1, ..., s поле Ll является простым алгебраи-
алгебраическим расширением поля Lt_v Если/.^ = Li_1(cii), /= 1, ..., s,
то поле К обозначается через Р(а{)(а2) ... (с^). Подчерк-
Подчеркнем, что алгебраичность чисел а2 as над полем Р в этом
определении не предполагается.
Наконец, расширение К поля Р называется алгебраи-
алгебраическим, если любой его элемент является числом алгебраи-
алгебраическим над полем Р.
Таким образом, мы ввели следующие пять типов расши-
расширения:
1° конечные расширения;
2° алгебраически порожденные расширения;
3° составные алгебраические расширения;
4° простые алгебраические расширения;
5° алгебраические расширения.

3. СТРОЕНИЕ ПРОСТЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИЙ 13
В этой главе мы изучим соотношения, имеющиеся между
этими типами расширений, а также строение расширений
каждого из этих типов (кроме, впрочем, последнего).
3. Минимальный многочлен. Строение простых
алгебраических расширений
Пусть Р — произвольное поле и а — алгебраическое над
полем Р число. По определению, число а является корнем
некоторого отличного от нуля многочлена над полем Р
(т. е. многочлена с коэффициентами из поля Р). Многочлен,
имеющий наименьшую степень среди всех многочленов
с этим свойством, называется минимальным многочленом
алгебраического числа а. Этот многочлен неприводим, ибо
в противном случае число а было бы корнем хотя бы
одного его делителя меньшей степени, что по условию
невозможно. Любой многочлен, корнем которого является
число а, не взаимно прост с минимальным многочленом и,
следовательно, делится на этот многочлен. В частности,
неприводимый многочлен с корнем а может отличаться от
минимального многочлена лишь постоянным множителем.
Другими словами, неприводимый многочлен с корнем а
определен однЪзначно (с точностью до постоянного мно-
множителя). Степень и этого многочлена называется степенью
алгебраического числа а над полем Р. Степень п равна
единице тогда и только тогда, когда а ? Р.
Пусть а — алгебраическое над полем Р число, / (х) —
его минимальный многочлен и п — его степень..Рассмотрим
множество К всех чисел р, для каждого из которых суще-
существует такой многочлен g(x) над полем Р, что р = ?(а).
Очевидно, что
К<=Р(а).
Докажем, что К является полем. Так как сумма, разность
и произведение любых элементов из К, очевидно, снова
принадлежат К, то нужно только доказать, что для лю-
любого отличного от нуля числа Р^/С число р также при-
принадлежит К-
По определению
Р = *(«).

14 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
где g(x) — некоторый многочлен над полем Р. Поскольку
g(tx)фO, то многочлен g(x) не делится на многочлен / (х)
и, следовательно (в силу неприводимости многочлена f(x)),
многочлены g(x) и f (х) взаимно просты. Поэтому, согласно
известной теореме (см. Курс, стр. 141), над полем Р суще-
существуют такие многочлены и(х) и v(x), что
u(x) + g(x)v(x)=l.
Полагая в этом равенстве х = а, мы получим
т. е. p~1 = w(a), так что ф
Таким образом, множество К действительно является
полем. Так как, по определению, РсК и а?К, то К
является расширением поля Р, содержащим число а. Поэтому
в силу минимальности поля Р (а)
Р(<х)<=К.
Сопоставляя это включение с включением КаР(а), мы
получаем, что
К = Р(а).
Тем самым мы доказали, что
для любого элемента J3 поля Я (а) найдется такой
многочлен g(x) над полем Р, что P = g"(a).
Этот многочлен определен неоднозначно, ибо к нему
можно прибавить любой многочлен, делящийся на много-
многочлен f(x). Другими словами, если разность g(x) — g\(x)
делится на многочлен f{x), то g (a) = g: (a). Обратно, если
g (a) = g"i (a), то многочлены g(x) — g1 (x) и f (x) не вза-
взаимно просты (ибо они имеют общий корень а) и, следо-
следовательно, многочлен g(x) — g^ (x) делится на многочлен f(x).
Таким образом,
ff(a) = g"i(a)
тогда и только тогда, когда разность g(x) — gi(x)
делится на многочлен f(x).
В частности, если г(х) — остаток от деления много-
многочлена g(x) на многочлен / (х), то g (a) = r (a). Следова-
Следовательно, любой элемент поля Р(а) можно представить в виде
г (а), где степень многочлена г(х) меньше и (т. е. меньше
степени многочлена /(¦*))• Другими словами, для любого

4. АЛГЕБРАИЧНОСТЬ КОНЕЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ 15
элемента ?3 ?Я(а) существуют такие элементы b0, b1,..., Ьп_г
(коэффициенты многочлена г(х)), что
Так как разность г (х) — гх (х), где г (х) и гх (х) — много-
многочлены степени, меньшей п, делится на многочлен f (х)
степени п только тогда, когда r(x) = ri(x), то это пред-
представление однозначно. Таким образом, любой элемент р
поля Я (а) однозначно записывается в виде A). Другими
словами,
элементы
1, a a"
образуют базис поля Я (а) над полем Р.
Следовательно,
простое алгебраическое расширение Я (а) является
конечным расширением и его степень [Р (а): Р\ равна
степени числа а.
Таким образом, класс расширений типа 4° содержится
в классе расширений типа 1°.
4. Алгебраичность конечных расширений
Пусть р — произвольный элемент конечного расширения К
поля Р, и пусть [К:Р] = п. Так как в и-мерном линейном
пространстве любые я-j- 1 векторов линейно зависимы, то,
в частности, элементы
1. Р Г
линейно зависимы над полем Р, т. е. в Р существуют такие
числа с0, сх, .... сп, среди которых хотя бы одно неравно
нулю, что
Это означает, что число р служит корнем многочлена
и, следовательно, является алгебраическим (над полем Р)
числом. Тем самым доказано, что
любое конечное расширение алгебраично,
т. е. класс расширений типа 1° содержится в классе
расширений типа 5°.

16 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Кроме того, мы получаем, что
степень над полем Р любого элемента конечного
расширения К поля Р не превосходит степени п этого
расширения.
Пусть теперь аь ..., а„ — базис поля К над полем Р.
Так как числа а, а„ являются, по доказанному, алге-
алгебраическими числами (над Р), то порожденное ими расши-
расширение P(aj а„) является алгебраически порожденным
расширением. В силу минимальности этого расширения оно
содержится в поле К-
С другой стороны, так как из alt .... <хп?Р(аи .... а„)
следует, что Ь1а1~\- ... -\-Ьпап^Р(а1 ап) для любых
чисел 6, Ьп?Р, то любой элемент поля К содержится
в поле P(<Xj, .... а„), т. е.
КаР(^ ая).
Следовательно,
K=/>i од.
Таким образом,
любое конечное расширение является алгебраически
порожденным.
Другими словами, класс расширений типа 1° содержится
в классе расширений типа 2°.
5. Строение составных алгебраических расширений
Пусть К = Р (aj)... (as)—составное алгебраическое рас-
расширение поля Р. Оказывается, что любой элемент поля К
выражается в виде многочлена (над Р) от ах, а2, .... as,
т. е. для любого элемента р ? К существует над полем
Р такой многочлен g(xx xs) от s неизвестных
Мы докажем это утверждение индукцией по s. Если
s=l, то К=Р(ач), и, следовательно, в этом случае
теорема справедлива (см. п. 3). Предполагая теперь, что
теорема уже доказана для поля L = P(a{). . ,(as_{), рассмот-
рассмотрим произвольный элемент Р^/С. Так как /C=Z.(af), тр

5. СТРОЕНИЕ СОСТАВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИЙ 17
над полбм L существует такой многочлен h(x), что р = А (а,).
Пусть
". где -ft,. Ti tn€L-
По предположению индукции для любого / = 0, 1, ..., я
найдется такой многочлен ht{Xi xs-\) от s — I неиз-
неизвестных, что
Следовательно, полагая
. ¦•¦-. *
*,-1) *,
мы получим, что
р = *(«1. •••. в,).
Тем самым наше утверждение полностью доказано.
Рассмотрим теперь произвольное алгебраически порож-
порожденное расширение Р(а-\ а,) поля Р и определим по
индукции поля Lo, Z-j, .... Ls, полагая
Lo = Р, Lx = Lo (oj) i, = iw («,) ?, = Vi («#)•
Так как для любого /=1, .... 5 число а,, алгебраическое
над полем Р, алгебраично и над его расширением Lt_lt то
поле Ll является простым алгебраическим расширением
поля Lt_x и, следовательно, поле Ls—составным алгебраи-
алгебраическим расширением Р(а{).. .(as) поля Р. Поэтому, согласно
только что доказанному утверждению, любой элемент поля Ls
выражается в виде многочлена (над Р) от av .... a.s и, сле-
следовательно, принадлежит полю Р (ctj a.s). Иначе говоря,
^cP(ai a,).
С другой стороны, поле Ls содержит все числа aj, ..., a.t
и, в силу минимальности расширения Р(аи .... as).
Следовательно,
Ибо L, = P(oj)

18 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ I
Таким образом, I
любое алгебраически порожденное расширение яв~
ляется составным алгебраическим расширением.
Другими словами, класс расширений типа 2° содержится
в классе расширений типа 3°.
В частности, тем самым доказано, что
любой элемент алгебраически порожденного расши-
расширения P(<Xj <х„) выражается в виде многочлена над
полем Р от элементов alt .... as.
6. Составные конечные расширения
Пусть L — конечное расширение поля Р, К — конечное
расширение поля L,
PcLczK,
аи .... ат — базис поля L над полем Р и р:, ..., pn—
базис поля К над полем L. Таким образом,
m = [L:P], n = \K:L\.
Оказывается, что
тп элементов а$}, (=\, .... т, У=1, ..., и, обра-
образуют базис поля К над полем Р.
Другими словами, любой элемент поля К является
линейной комбинацией элементов a$j с коэффициентами из
поля Р и элементы а,^ линейно независимы над полем Р.
Действительно, любой элемент р поля К является, по
определению, линейной комбинацией элементов ^ $п
с коэффициентами из поля L:
Р = TiPi -+"•••+ Т А- ™е Ti L» 6 L>
то есть
Р = 2тА- (О
С другой стороны, для каждого У=1, .... п элемент ^
является линейной комбинацией элементов at am с коэф-
коэффициентами из поля Р\
Т/ = cl/*l -+-¦¦•+ стРт' гЛе C\J cmj 6 Р-
то есть
S

6. СОСТАВНЫЕ КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 19
Подставляя эти выражения в формулу A), мы получим, что
р2 2
Таким образом, любой элемент поля К является линей-
линейной комбинацией элементов вида <x$j с коэффициентами из
поля Р.
Предположим теперь, что в поле Р существуют такие
элементы Ау, что
2
2
Для любого У=1, .... и положим
т
Элементы fi. •••• Тя принадлежат полю L и удовлетворяют
соотношению
Так как элементы ^ р„ образуют базис поля К над
полем Z., то из этого соотношения вытекает, что
Таким образом, для любого /=1, ..., и
m
2 V< = 0.
Следовательно, поскольку элементы aj am образуют
базис поля L над полем Р, то Ау = 0 для всех / и J. Тем
самым доказано, что система элементов а,^ линейно неза-
независима.
Из доказанного утверждения вытекает, что поле К является
конечным расширением поля Р и его степень равна тп, т. е.
[K:P] = [K:L][L:P].
Эту формулу легко обобщить:
если
Р =
причем для любого /= 1 s поле Lt является конеч-
конечным расширением поля Lt_v то поле К будет конечным

20 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
расширением поля Р и
Для доказательства достаточно применить индукцию
по s.
Эта теорема применима, в частности, к любому состав-
составному алгебраическому расширению, ибо, как мы знаем,
любое простое алгебраическое расширение является конеч-
конечным расширением. Таким образом, мы получаем, что
любое составное алгебраическое расширение является
конечным расширением.
Другими словами, класс расширений типа 3° содержится
в классе расширений типа 1°.
Так как все элементы конечного расширения поля Р
алгебраичны над полем Р, то, в частности, для любого
составного алгебраического расширения Р (<Xj) (<х2). . . (a.s)
элементы аг а2 о^ алгебраичны над Р. Поэтому рас-
расширение Р(а: <Ху) является алгебраически порожденным
расширением. Таким образом,
любое составное алгебраическое расширение является
алгебраически порожденным расширением.
Другими словами, класс расширений типа 3° содержится
в классе расширений типа 2°.
Сопоставляя это замечание с результатами предыдущего
пункта, мы видим, что класс составных алгебраических рас-
расширений совпадает с классом алгебраически порожденных
расширений. При этом, если К = Р(я.1 a.s), то
K = P(cnl).. .(cns), и наоборот.
Далее, как было доказано в п. 4, класс конечных (т. е.
типа 1°) расширений содержится в классе расширений типа 3°,
т. е., по доказанному, и в классе расширений типа 2°.
Следовательно, класс конечных расширений совпадает
с классом составных алгебраических расширений.
Сопоставляя обе эти теоремы, получаем, что
следующие три утверждения равносильны:
а) поле К является конечным расширением поля Р;
б) поле К является составным алгебраическим рас-
расширением поля Р;
в) поле К является алгебраически порожденным рас-
расширением поля Р.

7. ТЕОРЕМА О СОСТАВНОМ АЛГЕБРАИЧЕСКОМ РАСШИРЕНИИ 21
Таким образом, все три термина «конечное», «составное
алгебраическое» и «алгебраически порожденное» означают
(в применении к расширениям) одно и то же.
Закончим этот пункт некоторыми замечаниями, касаю-
касающимися подполей конечных расширений.
Пусть К — произвольное конечное расширение поля Р,
и пусть L — его подполе, содержащее поле Р:
Очевидно, что L конечно над Р (ибо не может содержать
бесконечной линейно независимой над полем Р системы эле-
элементов), а К конечно над L (ибо любая линейная комбина-
комбинация над Р автоматически является линейной комбинацией
над L). Следовательно, мы находимся в условиях примени-
применимости доказанной в начале этого пункта теоремы. Поэтому.
[K:P] = [K:L][L:P].
Таким образом,
любое подполе L {содержащее поле Р) конечного рас-
расширения К поля Р является конечным расширением,
а его степень \L\P\ — делителем степени [К: Р] поля К.
Соответствующее частное jj-гш равно степени [К: Ц
поля К над полем L.
Так как простое алгебраическое расширение Р (а), порож-
порожденное некоторым элементом а конечного расширения К,
лежит в К, а его степень равна степени числа а, то
степень (над Р) любого элемента конечного расши-
расширения К пол/i Р делит степень [К: Р] поля К над полем Р.
Это — уточнение доказанного в п. 4 неравенства.
Задача. Доказать, что конечное расширение степени п
тогда и только тогда является простым алгебраическим расши-
расширением, когда в нем существует элемент, имеющий степень п.
7. Теорема о том, что составное алгебраическое
расширение является простым
В этом пункте мы докажем следующую теорему.
Любое составное алгебраическое расширение К =
= Р(а1) = (а2).. .(а,) является простым, т. е. существует
такое число 0, что
К=Р{Ь).

22 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
Рассмотрим сначала случай s = 2, когда К = Р (otj) (<x2).
Пусть fi(x) и /2(х)— минимальные многочлены (над Р)
чисел 04 и <х2 соответственно (как мы знаем, эти числа
алгебраичны над Р) и пусть
Pi = *i. h Р„ О)
— корни многочлена fl(x) и
7l = a2. Ь 7т B)
— корни многочлена /2(лг). Так как многочлены /1(х)
и f2{x) неприводимы, то среди корней A), так же как
и среди корней B), нет одинаковых.
Рассмотрим элементы
Н PL
C)
Pi-Pi
Ti — ту
где /=1,2 п, а j = 2 т (таким образом, j Ф 1).
Число этих элементов равно п(т—1) и, следовательно,
конечно. Поэтому в поле Р (даже в поле R рациональных
чисел) можно найти число с, не равное ни одному из чисел
C). Положим
6 = 04 + 0x2 (т. е. в = р, -4_c7i).
Так как число с не равно ни одному из чисел C), то
е*р,+сТ, D)
ни для каких 1=1, 2, .... л и У —2 т.
Число 0 принадлежит полю К и, следовательно, алгеб-
раично. Порожденное им простое алгебраическое расшире-
расширение Р(б) содержится в К:
Р(Ь)сК. E)
Рассмотрим многочлен
Это — многочлен над полем Р @), имеющий общий корень а2
с многочленом /2(х) (который также можно считать много-
многочленом над полем Р(Ь)). Из соотношения D) вытекает, что
никаких других общих корней многочлены gr(x) и /2(х)
не имеют (ибо если gl (^j) = 0, то число 8 — с\, будет кор-
корнем многочлена /t (х), т. е. 0 — с-уу — % Для некоторого /,
что по построению возможно только для /, ./ = 1). Следова-

8. ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 23
тельно, наибольшим общим делителем этих многочленов
является двучлен х — о^. Но, как известно (см. Курс, стр. 289),
наибольший общий делитель двух многочленов над некото-
некоторым полем (в нашем случае над полем Р(9)) также является
многочленом над этим же полем. Поэтому
а2?Р(9)
и, следовательно,
04 = 9 —ел, ?f» (9).
В силу минимальности расширения Р(а,, а2) отсюда выте-
вытекает, что
Я to, а2)сР(9).
Сопоставляя это включение с включением E) и учитывая,
что P(av <Xj) = Р (а,) (а2), мы получим
Р(а,)(а2) = Р(9).
Таким образом, для 5 = 2 теорема доказана.
Случай любого 5 сводится к случаю 5 = 2 тривиальным
применением метода полной индукции.
Доказанная теорема означает, что к приведенному в пре-
предыдущем пункте перечню равносильных свойств расширений
мы можем добавить следующее свойство:
г) поле К является простым алгебраическим расши-
расширением поля Р.
Другими словами,
конечные (т. е. составные алгебраические, т. е. ал-
алгебраически порожденные) расширения исчерпываются
простыми алгебраическими расширениями.
8. Поле алгебраических чисел
В предыдущих пунктах доказано, что классы расшире-
расширений типов Г, 2°, 3° и 4° совпадают. Остается выяснить
связи этих расширений с расширениями типа 5° (т. е. с ал-
алгебраическими расширениями). Как показано в п. 4, любое
конечное расширение алгебраично. Мы сейчас покажем, что
обратное неверно, т. е. что класс алгебраических расшире-
расширений, вообще говоря, существенно шире класса конечных
расширений. В дальнейшем этот результат не используется;

21 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
он излагается нами лишь для выяснения полной системы
соотношений между введенными классами расширений.
Пусть Р — произвольное поле. Рассмотрим множество К
всех алгебраических над полем Р чисел. Пусть а ? К и C ? К.
Тогда расширение Р(а, C) является алгебраически порожден-
порожденным и, следовательно, конечным расширением. Поэтому все
его элементы, и значит, в частности элементы a-f-f), ар,
— аи а (если а Ф 0), алгебраичны над Р, т. е. принад-
принадлежат К. Следовательно, множество К является полем. По
определению, оно является алгебраическим расширением
поля Р.
Предположим, что над полем Р существуют неприводи-
неприводимые многочлены сколь угодно большой степени (этому усло-
условию удовлетворяет, в частности, поле R рациональных чисел;
см. Курс, стр. 354). Тогда поле К будет содержать эле-
элементы сколь угодно большой, степени, и поэтому его сте-
степень не может быть конечной, т. е. поле К будет беско-
бесконечным расширением.
Таким образом, действительно существуют алгебраические
бесконечные расширения (по крайней мере, над полем рацио-
рациональных чисел).
Задача. Доказать, что поле К всех алгебраических
чисел над полем Р алгебраически замкнуто.
9. Композит полей
Пусть Кх и К2 — произвольные поля. Их композитом К
называется минимальное поле, содержащее как поле /С,, так
и поле К2- Существование поля К следует из того, что его
можно определить как пересечение всех полей, содержащих
оба поля /С, и К2- Примером композита является расшире-
расширение P(a.lt Oj), порожденное числами а, и Xj. Это расширение
будет композитом расширений Р (at) и Р{а^>.
Простой и пригодный во всех интересных случаях спо-
способ построения композита описывается следующей теоремой.
Если поля /С, и К2 являются расширениями некото-
некоторого поля Р. причем существуют такие числа 8t bs,
что
К, = Р{91 9,),
то

9. композит полей 25
Действительно, так как РсКг, то поле К\Ф\, .'.., 9S)
содержит поле K2 = P(®i в4) (и, кроме того, очевидно,
ноле К\). Поэтому в силу минимальности композита
КсК^вг 9,).
С другой стороны,
ад в,) с а:,
ибо
¦ КхсК и 9, 9,^/f.
Применим эту теорему к случаю, когда числа Ь1 0s
алгебраичны над Р, т. е. к случаю, когда поле К2 является
алгебраически порожденным (т. е. конечным) расширением
поля Р.
Алгебраические над полем Р числа Ьи .... 0^ алгебра-
алгебраичны и над полем К\. Поэтому любой элемент поля К —
= Ki (92 9^) выражается в виде многочлена от 9t, ..., 9^,
с коэффициентами из поля /С| (см. п. 5). Отсюда вытекает,
что любой элемент поля К можно представить в виде
где <хг, .... a.s?Klt ^ Рг€^2 (именно, ^ ^ СУТЬ
некоторые одночлены от 9,, ..., 9S). Таким образом,
если хотя бы одно из расширений Кх, К2 поля Р
конечно, то любой элемент их композита К имеет
вид A).
Задач а. Доказать, что композит конечных расширений
является конечным расширением.

ГЛАВА 2
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
1. Определение группы
Говорят, что в непустом множестве G определена алге-
алгебраическая операция, если задано правило, по которому
любым двум элементам a?G, b?G ставится в соответствие
некоторый однозначно определенный элемент с ? G. Элемент
с обычно обозначается через ab, в связи с чем рассматри-
рассматриваемая алгебраическая операция называется умножением.
Иногда элемент с обозначается через а-\-Ь, и тогда алгеб-
алгебраическая операция называется сложением. Мы, как пра-
правило, будем пользоваться первой, мультипликативной
записью.
Множество G с алгебраической операцией называется
группой, если
1) для любых элементов а, Ь, с^О
(ab) с— а фс);
2) существует такой элемент е ? О, что
ае = еа = а
для любого элемента а ? О;
3) для любого элемента а ? G существует такой элемент
a~1?G, что
аа~1 = а~1а = е.
Условие 1) (закон ассоциативности) позволяет однознач-
однозначным образом определить произведение любого конечного
числа элементов группы, т. е. позволяет доказать независи-
независимость произведения любых п элементов от первоначального
распределения скобок. Детальное доказательство см. Курс,
стр. 272.

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ 27
В частности, можно, говорить о произведении п равных
между собой элементов, т. е. ввести понятие о степени а"
элемента а с целым положительным показателем.
Элемент е, предусмотренный условием 2), называется
единицей группы и иногда обозначается через 1. Легко ви-
видеть, что единица группы определена однозначно, т. е. если
элементы s не' группы О обладают свойством 2), то е = е'.
Действительно, так как е обладает свойством 2), то е'е = е'.
Аналогично, е'е — е. Следовательно, е' = е.
Элемент о, предусмотренный условием 3), называется
обратным к элементу а. Легко видеть, что для любого
элемента а обратный элемент а~1 определен однозначно,
т. е. если ab — e, то Ь = а~1 (действительно, b = eb=*
= a~1ab = a~1e~a~1). Кроме того, для любого элемента
а ? О и любого целого положительного п
(ибо (ап)(а-1)п = аа ... аа'1 ... a^a'1 — e).
Мы вводим степени элемента а с целыми отрицатель-
отрицательными коэффициенгами, полагая
д-л = (дл)-1 (т. е. о-л = (о-1)л).
Кроме того, полагаем
а° = е.
Легко проверяется, что все обычные правила действий со
степенями одного элемента остаются справедливыми
в любой группе.
Подчеркнем, что справедливость в группе закона ком-
коммутативности (ab = ba), вообще говоря, не предполагается.
Группы, в которых операция удовлетворяет этому закону,
называются коммутативными или абелевыми.
В абелевых группах правила действий над степенями
сохраняются и для степеней нескольких элементов. В част-
частности, для любых двух элементов а и b абелевой группы
и любого целого п имеет место равенство
(ab)" — а"Ь'.
Если операция, заданная в группе, обозначена знаком -f-,
т. е. если группа задана в аддитивной записи, то элемент в
называется нулем и обозначается обычно символом О,

28 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
Аналогично элемент а~1 обозначается в этом случае через — а
и называется противоположным элементом, а элемент а"
обозначается через па и называется п-кратным элементу а.
Как правило, аддитивная запись группы используется лишь
для абелевых групп.
2. Порядки элементов
Пусть g— произвольный элемент группы О. Рассмотрим
всевозможные его степени
... g~\ g~\ g°^e, gi=*g, g\ ...
Если все эти степени различны, то элемент g называется
элементом бесконечного порядка; в противном случае он
называется элементом конечного порядка.
Пусть g — элемент конечного порядка, т. е. пусть
gni=Lgn* для двух различных целых чисел ret и п2. Без огра-
ограничения общности можно считать, что п: > п2, т. е. число
JV = «! — щ положительно. Так как gN = gn> (g"*)'1, то
gN = e. Таким образом, для любого элемента конечного по-
порядка существуют такие положительные целые числа N, что
gN—e. Наименьшее из этих чисел называется порядком
элемента g.
Заметим, что порядок 1 имеет только единица е группы О.
Пусть п — порядок элемента g, и пусть а — произволь-
произвольное (не обязательно положительное) целое число. Оказы»
вается, что
порядок элемента ga равен я, —/i/d, где d — наиболь*
(иий (положительный) общий делитель чисел п и а,
Действительно, во-первых,
где a^ = ajd. Во-вторых, если (ga)m — e, где т > 0, то,
разделив (с остатком) число am на п, т- е. найдя такие
Числа q И г, что
ат = щ-\-г и 0^><я
(легко видеть, что обладающие этими свойствами числа q и
Г существуют и тогда, когда число, am, отрицательно), мы

2. ПОРЯДКИ ЭЛЕМЕНТОВ 29
получим, что
Отсюда, ввиду минимальности числа п, вытекает, что г = 0
и, значит, am — nq. Сокращая это равенство на d, мы полу-
получим, что
Так как числа ах и я, взаимно просты, из.этого равенства
следует (докажите!), что т делится на пь и потому не меньше
чем л,. Таким образом, /it является наименьшим положитель-
положительным числом среди всех чисел т, для которых (ga)m = e,
т. е. является порядком элемента ga.
Из доказанного утверждения немедленно вытекает, что
1) если число а делит порядок п элемента g, то поря-
порядок элемента ga равен п/а;
2) если числа а и п взаимно просты, то порядок
элемента g" равен п;
3) порядок элемента g~l равен порядку элемента g;
4) если ga — e, то число а делится на п.
Докажем, например, следствие 4). Равенство ga = e
означает, что порядок элемента ga равен единице. Поэтому
по доказанной теореме число d равно п, т. е. а делится на п.
Задача. Докажите утверждения 1) — 4) непосредственно,
т. е. не используя доказанную выше общую теорему.
Если элемент g^ группы G имеет порядок nlt а элемент
g2 — порядок п2, то о порядке элемента gxg2 в общем слу-
случае ничего сказать нельзя (элемент g\g2 может даже оказаться
элементом бесконечного порядка). Однако,
если группа G абелева, а порядки п: и п2 элемент
тов gi и g2 взаимно просты, то порядок элемента
равен /i]/i2.
Действительно, во-первых,
а во-вторых, если (g^) — е, где т > 0, то
й потому тп2 делится на nv Следовательно, т делится
на /ij (докажите!). Аналогично доказывается, что т делится

30 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
на «2- Следовательно, т делится и на пхп%. Таким образом,
число №[«2 действительно является порядком элемента g^.
Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и
для произведения любого числа элементов (взаимно простых
порядков).
3. Подгруппы, нормальные делители и факторгруппы
Непустое подмножество И группы О называется под-
группой, если
1) произведение Л^ любых элементов hx^H, h2?H
принадлежит Н;
2) для любого элемента h ? Н обратный элемент Л
принадлежит Н.
Задача. Доказать, что подмножество Н группы О
тогда и только тогда является подгруппой, когда для любых
элементов Л, ? И и h2?H элемент hxh^ принадлежит Н.
Очевидно, что любая подгруппа является группой (отно-
(относительно определенной во всей группе операции).
Задача. Доказать, что пересечение любого числа под-
подгрупп является подгруппой.
Заметим, что подмножество группы О, состоящее из ее
единицы е, а также сама группа О являются подгруппами.
Эти подгруппы мы будем называть тривиальными подгруп-
подгруппами.
Пусть О — произвольная группа и И—некоторая ее
подгруппа. Подмножество группы О, состоящее из всех эле-
элементов вида hg, где Л— произвольный элемент подгруппы Н,
я g — некоторый фиксированный элемент группы О, назы-
называется смежным классом элемента g по подгруппе Н и
обозначается через Hg.
Очевидно, что g^.Hg (ибо е?Н).
Пусть g' — произвольный элемент смежного класса Hg,
По определению
' '
где h' — некоторый элемент подгруппы Н. Рассмотрим смеж-
смежный класс Hg' элемента g'. Любой элемент этого смежного
класса имеет вид hg', т. е. вид hh'g, где h?H. Следова-
Следовательно, так как hh' ? Н, ТО любой элемент смежного класса Hg'

3. ПОДГРУППЫ, НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОРГРУППЫ 31
принадлежит смежному классу Hg, т. е.
Hg'czHg.
С другой стороны, любой элемент hg?Hg можно прбдста-
пить в виде h(h')~l h'g = h(h')~lg'. Так как l
то, следовательно, hg ? Hg'. Таким образом,
HgczHg'.
Тем самым доказано, что
то есть
смежный класс Hg' любого элемента g' из смежного
класса Hg совпадает с классом Hg,
Отсюда следует, что
если два смежных класса пересекаются, то они
совпадают.
Действительно, смежный класс Hg элемента g, лежащего
в пересечении данных смежных классов, совпадает с каждым
из этих классов.
Теперь легко доказать, что
два элемента gt и g2 группы О тогда и только
тогда принадлежат одному смежному классу по под-
подгруппе Н, когда ^
Действительно, если g^^1 ? Н, т. е. gig2l == h, где ft ? Н,
то gx = hg2, т. е. #•, ? Hg2 и, следовательно, элемент gx
принадлежит тому же смежному классу Hg2, которому принад-
принадлежит элемент g2- Обратно, если существует такой смежный
класс Hg, что gx^Hg n9g2?Hg, то Hg1 = Hg2 и, следо-
следовательно, g!?Hg2, т. е. gx — fig2, где п?Н. Поэтому
Наконец,
смежный класс Hg тогда и только тогда совпадает
с подгруппой Н, когда g?H.
Для доказательства достаточно заметить, что подгруппу Н
можно рассматривать как смежный класс единицы е.
Пусть Hg— произвольный смежный класс по подгруппе Н.
Определим отображение а> подгруппы Н на смежный класс Hg,
положив для любого элемента п?Н
и (Л) = hg.

32 гл. 2, Необходимые сведения из теории групп
Очевидно, что это отображение взаимно однозначно (ибо
если hlg = h2g, то, умножая справа на g, мы получим, что
ftj = Л2). Таким образом, для любого смежного класса по
подгруппе Н существует (вообще говоря, не единственное)
взаимно однозначное отображение подгруппы Н на этот
смежный класс. В частности, если подгруппа Н конечна
(т. е. состоит из конечного числа элементов), то все смеж-
смежные классы по подгруппе Н состоят из одного и того же
числа элементов.
Применим этот результат к случаю, когда группа конечна.
Пусть п — число элементов группы О. Любая подгруп-
подгруппа Н конечной группы О, очевидно, конечна, и число т
ее элементов не . превышает п. Пусть k — число раз-
различных смежных классов по подгруппе Н. (Это число
конечно в силу конечности группы О.) По доказанному
выше, эти классы, во-первых, не пересекаются, а во-вторых,
каждый из них состоит из т. элементов. Поэтому все эти
классы вместе содержат km различных элементов. Следова-
Следовательно, заметив, что любой элемент g группы О обязательно
принадлежит какому-нибудь смежному классу (именно клас-
СУ Mg), мы видим, что число п всех элементов группы
равно km.
Число элементов конечной группы принято называть ее
порядком. Таким образом, введенное выше число п является
порядком группы О, а число т — порядком подгруппы Н.
Число k смежных классов по подгруппе Н называется индек-
индексом подгруппы Н (в группе О). Доказанное выше равенство
n = km означает справедливость следующей теоремы.
Порядок конечной группы делится на порядок любой
ее подгруппы. Соответствующее, частное равно индексу
подгруппы.
Эта теорема известна как теорема Лагранжа.
Вернемся теперь к рассмотрению произвольных (быть
может, бесконечных) групп.
Подгруппа Н группы О называется нормальным дели'
телем, если для любого элемента п?Н и любого элемента
g?Q элемент ghg~l принадлежит Н. Очевидно, что в абе-
левой группе любая подгруппа является нормальным дели-
делителем.
Задача. Доказать, что пересечение нормальных дели-
делителей является нормальным делителем.

3. подгруппы, нормальные делители и факторгруппы 33
Очевидно, что если подгруппа N является нормальным
делителем группы О, то она будет нормальным делителем и
в любой содержащей подгруппу N подгруппе НсО. Сле-
Следует иметь в виду, что обратное, вообще говоря, неверно:
если
NcHcO
и N есть нормальный делитель в И, то N может и не быть
нормальным делителем в О.
Задача. Доказать, что пересечение N(\H нормального
делителя N и произвольной подгруппы И является нормаль-
нормальным делителем в Н.
Тривиальные подгруппы (т. е. О и е) являются, очевидно,
нормальными делителями. Группа, не имеющая никаких дру-
других нормальных делителей, называется простой.
Пусть Н — произвольный нормальный делитель группы О и
пусть Hglt Hg2— некоторые смежные классы по нормальному
делителю И. Произвольно выбрав в классе Hgl некоторый
элемент А^, а в классе Hg2— элемент h2g2, рассмотрим
произведение h1g1h2g2 этих элементов. Так как
= h\ (sAsr1) gyg2
и, по условию, g\h2g\X?H, а значит, и fii(gih2g:i'1)?H, то
это произведение лежит в смежном классе Hg{g2 и следо-
следовательно, его смежный класс совпадает с классом Hg^g^
Таким образом, при любом выборе элементов из данных
смежных классов смежный класс их произведения получается
один и тот же. Этот однозначно определенный смежный класс
называется произведением смежных классов Hgx и Hg2 и
обозначается через Hg1-Hg2. По доказанному
Тем самым мы определили во множестве всех смежных клас-
классов по нормальному делителю Н некоторую алгебраическую
операцию. Легко проверить, что относительно этой операции
множество смежных классов является группой (единицей
является смежный класс И=Не, а класс, обратный классу Hg,
2 Зак. 160- М. М. Постников

34 ГЛ. 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
определяется формулой (Hg)*1 = Hg'1). Эта группа назы-
называется факторгруппой группы О по нормальному дели-
делителю И и обозначается через О/Н.
Для конечной группы О факторгруппа О/Н конечна и ее
порядок равен индексу подгруппы Н.
Если Н=е, то факторгруппа О/Н совпадает, очевидно,
с группой О, а если Н=О, то факторгруппа О/Н состоит
только из одного элемента (единицы).
4. Гомоморфные отображения
Пусть О и О' — произвольные группы. Отображение
ср: О -*¦ О' группы О в группу О' называется гомоморфизмом
(или гомоморфным отображением), если оно произведение
переводит в произведение, т. е. если для любых элементов glt
g2 группы О имеет место^ равенство
Полагая в этом равенстве gx~ g2 = e, мы получим, чтоср(е) =
= ср (е) ср (е), откуда следует, что ср(е) равно единице группы О'.
Далее, полагая g!=zg, g2 = g~I> мы получим, что <р(е) =
a=9(^')cp(g"~1). т- е- чт0 9(g~1) = <?(g)~l- Таким образом,
гомоморфизм Переводит единицу в единицу и обратный элемент
в обратный.
Взаимно однозначное гомоморфное отображение назы-
называется изоморфизмом (или изоморфным отображением).
Две группы называются изоморфными, если существует
хотя бы одно изоморфное отображение одной группы на дру-
другую. Изоморфные группы обладают одинаковыми алгебраиче-
алгебраическими свойствами и в общей теории групп рассматриваются
как одинаковые (см. Курс, стр. 282 и 395).
Пусть ср; O—>Of—произвольный гомоморфизм. Очевидно,
что для любой подгруппы Н группы О совокупность всех
элементов группы О', имеющих вид ср (Л), где п?Н, является
подгруппой группы О'. Эта подгруппа называется образом
подгруппы Н при гомоморфизме ср и обозначается обычно
через ср(#).
В частности, определена подгруппа ср(О) — образ группы О
при гомоморфизме ср. Эта подгруппа называется также обра-
зом гомоморфизма ср и обозначается иногда через Itncp.

4. ГОМОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 35
Если ср(О) = О', т. е. если для любого элемента gf?O'
существует такой элемент g (вообще говоря, не однозначно
определенный), что <?(g) = g'. то ср называется эпиморфным
отображением (или просто эпиморфизмом) группы О
на группу О'.
Особое значение эпиморфизмов определяется тем, что
любой гомоморфизм ср: Q —>О' можно рассматривать как эпи-
эпиморфное отображение группы О на подгруппу <р(О). Это
замечание легко обобщается: для любой подгруппы Я группы О
гомоморфизм <р можно рассматривать как эпиморфное отобра-
отображение подгруппы Я на подгруппу tp (Я). Точнее, гомоморфизм ер
определяет некоторое эпиморфное отображение ер': Я—>ср(Я)
(отображения ср и ср' на элементах подгруппы Я совпадают
и отличаются лишь тем, что ср определено на всей группе О,
а ср' — лишь на подгруппе Я).
Пусть опять ср: Q—>Qf — произвольный гомоморфизм, и
пусть Я и Я'— такие нормальные делители групп О и О'
соответственно, что ср(Я)сЯ'. Рассмотрим в группе О произ-
произвольный смежный класс Hg. Любой элемент kg этого смеж-
смежного класса при гомоморфизме ср переходит в элемент ср (Л) ср (g),
принадлежащий смежному классу H'q>(g). Таким образом,
все элементы смежного, класса Hg переходят в элементы
одного и того же смежного класса Я'ср(^). Обозначим этот
однозначно определенный смежный класс через <?(Hg):
Тем самым мы определили некоторое отображение
Это отображение гомоморфно, ибо
? № Hg2) = 9 (Hglg2) =* Я'ср (g,g2) - Я'с _
= Я'ср (*,) Я'ср (g2) =p ср (Я*,) <р (Hg2),
Мы будем говорить, что гомоморфизм ср индуцирован гомо?
морфизмом ср. Подчеркнем, что он определен только тогда,
когда
ср(Я)сЯ'.
В частном случае, когда нормальный делитель И' состоит
только из единицы е' группы О', мы получаем, что,
о»

36 ГЛ. 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
если ср(#) = е', то гомоморфизм ер: О-*-О' индуцирует
гомоморфизм ср: QJH-+Q'.
Очевидно, что
гомоморфизм, индуцированный эпиморфным отобра-
отображением, является эпиморфизмом.
Рассмотрим теперь совокупность N всех элементов,
переходящих при гомоморфизме ср: О-*О' в единицу е'
группы О'. Если a?N, b?N, т. е. ср(а) = е', ср(*) = е',
то <?(ab) = e'e' = е', т. е. ab?N. Аналогично, если a?N,
то a~*?N. Кроме того, если a?N и g— любой элемент
группы О, то cp(g'og-1) = cp(g')cp(g-) = e', т. е. gag~l?N.
Таким образом, N является нормальным делителем группы О.
Этот нормальный делитель называется ядром гомомор-
гомоморфизма ср и обозначается через Кегср.
Если ср (а) = ?(*), то <?(ab~l) — er, т. е. ab~x?N.
Обратно,, если ab~x?N, то ср (а) = ?(*). Но ab~x?N тогда
и только тогда, когда о и b принадлежат одному смежному
классу по подгруппе ЛЛ Таким образом,
при гомоморфизме ср: О —> О' элементы группы О
тогда и только тогда переходят в один и тот же
элемент группы Q', когда они принадлежат одному
смежному классу по ядру гомоморфизма ср.
Если Кегср ==е', то гомоморфизм ср называется мономор-
физмом. Из только что доказанного утверждения следует,
что мономорфизм ср: О-*-О' переводит различные элементы
группы О в различные элементы группы О', т. е. является
изоморфным отображением группы О на подгруппу ср(О)
группы О'. В частности, отображение одновременно моно-
морфное и эпиморфное является изоморфизмом, и обратно.
Так как для любого гомоморфизма ср: О—>О' с ядром N
то гомоморфизм ср индуцирует некоторый гомоморфизм
ср": OIN-+Q'.
Гомоморфизм ср определяется формулой
Если <?(Ng) = e', т. е. <?(g) = ef, то g?N и, следова-
следовательно,, Ng = N. Другими словами, ядро гомоморфизма ср

4. ГОМОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 37
состоит только из одного смежного класса N — единицы
группы Q/N, т. е. гомоморфизм _ср является мономорфизмом.
Таким образом,
любой гомоморфизм ер: Q-+Q' индуцирует мономор-
мономорфизм ср: OjN—>Of, где yV = Ker<p.
Если гомоморфизм ср является эпиморфизмом, то, как мы
знаем, гомоморфизм ср также будет эпиморфизмом, а значит
и изоморфизмом. Таким образом,
любой эпиморфизм ер: О-*-О' индуцирует изоморфизм
<р: Q/N-+Q', где N = Kercp.
Это утверждение известно как теорема о гомомор-
гомоморфизмах.
Группа О' называется гомоморфным образом группы О,
если существует хотя бы одно эпиморфное отображение
группы О на группу О' (принято говорить именно «гомо-
«гомоморфный образ», хотя, конечно, более последовательно
было бы говорить «эпиморфный образ»). Из доказанного
предложения немедленно следует, что любой гомоморфный
образ группы изоморфен некоторой ее факторгруппе.
Заметим, что обратное утверждение также справедливо:
любая факторгруппа O/N группы О является гомо-
гомоморфным образом группы О.
Для доказательства достаточно построить хотя бы одно
эпиморфное отображение ер группы О на факторгруппу QJN.
Такое отображение можно, например, определить формулой
Заметим, что так определенное отображение ер есть
не что иное, как отображение, индуцированное тождествен-
тождественным отображением группы О на себя (в общем определении
нужно за Н принять единичную подгруппу, а за И' нор«
мальный делитель N).

ГЛАВА 3
ТЕОРИЯ ГАЛУА
1. Нормальные расширения
Во всей этой главе предполагается заданным некоторое
фиксированное поле Р. Мы будем называть это поле основ-
основным полем. Все другие поля предполагаются расширениями
этого основного поля. Подчеркнем, что основное поле можно
выбрать совершенно произвольно.
Пусть f (х) — произвольный (вообще говоря, приводимый)
многочлен над полем Р. Расширение P(otj ая) поля Р,
порожденное всеми корнями av .... а„ многочлена /(*),
называется полем разложения этого многочлена (заметим,
что это определение отличается от определения, принятого
в Курсе, стр. 304, где полем разложения называется любое,
не обязательно минимальное расширение поля Р, содержащее
корни аг ап). Согласно гл. 1, п. 5, любой элемент
поля Р(аг а„) выражается в виде многочлена от
oij ая с коэффициентами из поля Р.
Конечное расширение К поля Р называется нормальным
расширением, если любой неприводимый над Р многочлен,
имеющий в К хотя бы один корень, разлагается в К на
линейные множители. Другими словами, расширение К поля Р
нормально, если выполняются следующие два условия:
1) К конечно над Р;
2) если неприводимый над Р многочлен имеет в К хотя бы
один корень, то К содержит поле разложения этого много-
многочлена.
Нормальные расширения основного поля Р мы будем
также называть нормальными полями.
Два алгебраических (над полем Р) числа называются со-
сопряженными (над Р), если их минимальные многочлены.

1. НОРМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 39
(над Р) совпадают (точнее, отличаются на постоянный мно-
множитель). Другими словами, алгебраические числа сопряжены,
если они Являются корнями одного и того же неприводимого
над Р многочлена. Понятие сопряженных чисел позволяет
следующим образом переформулировать определение нор-
нормального расширения: расширение К поля Р нормально, если
1) К конечно над Р;
2) любое число, сопряженное некоторому числу из К,
также принадлежит К.
Эта форма определения нормального расширения часто
наиболее удобна.
Пусть К—произвольное нормальное расширение поля Р.
Так как поле К, по определению, конечно над Р, то суще-
существуют такие элементы otj а^€^> что
/Г = Я(а, а,).
Пусть fi(x) — минимальный многочлен числа а(, 1=\, ..., S,
над полем Р. Так как поле К нормально (т. е. является
нормальным расширением поля Р), то многочлены /,(х),
имеющие в нем корни, разлагаются в К на линейные мно-
множители. Следовательно, в поле К разлагается на линейные
множители и произведение
/(*) = /,(*).../,(*)
многочленов /1(х) /,(*). т. е. поле К содержит поле
разложения Q многочлена f (х). С другой стороны, числа
04, .... as являются корнями (не всеми!) многочлена /(лг),
и потому поле К содержится в поле Q. Следовательно, K = Q-
Таким образом,
любое нормальное поле является полем разложения
некоторого многочлена.
Задача. Доказать, что любое нормальное поле является
полем разложения неприводимого многочлена.
Оказывается, что нормальными полями исчерпываются
все поля разложения, т. е.
любое поле, являющееся полем разложения некото-
некоторого многочлена (над полем Р), будет нормальным рас-
ширением поля Р.
Для доказательства этого важного утверждения нам по-
понадобятся некоторые сведения из теории многочленов от п
неизвестных, имеющие и самостоятельный интерес.

40 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Пусть
1 2 ... п
к ••• '„
— произвольная подстановка степени п (см. Курс, стр. 30,
а также ниже, ч. II, гл. 3, п. 1). Любому многочлену
g(xlt .... хп) от п неизвестных над полем Р отнесем
с помощью подстановки а многочлен ga(*,, .... хп), опре-
определив его формулой
ga(xl Xn) = g(Xii Xln).
Очевидно, что
ge = g
и
iSa\ — Sab'
Кроме того, равенство ga — g тогда и только тогда
имеет место для любой подстановки а, когда многочлен g
является симметрическим многочленом.
Пусть теперь
al — e, а2, ..., ап\
— все подстановки степени п. Рассмотрим многочлены
где ?—произвольный многочлен от п неизвестных хх, .... хп.
Воздействуя на эти многочлены произвольной подстановкой а
степени п, мы получим многочлены
&а{а :== 8а' За^ ' ' '' ^ап1а' ^ '
Так как подстановки
аха, а2а
Очевидно, исчерпывают все подстановки степени я (их л!,
и все они различны), то многочлены B) с точностью до
порядка следования совпадают с многочленами A). Отсюда
вытекает, что любой симметрический многочлен от ga ,
ga, .... ga является симметрическим многочленом и от

1. НОРМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 41-
xv .... хп, т. е. если ^(^ У„,)—симметрический
многочлен от я! переменных уу .... уп), то подставляя
вместо у{ многочлен ga <х{, .... хУ мы получим симме-
симметрический многочлен от хх, ..., хп. В частности, все коэф-
коэффициенты многочлена
О(х; х1 х„) = Ц (* — tf?j (*, *„)) C)
(рассматриваемого как многочлен от неизвестного х) являются
симметрическими многочленами от хх хп и, следова-
следовательно (см. Курс, стр. 322), выражаются в виде многочле-
многочленов (с коэффициентами из поля Р) от элементарных симме-
симметрических многочленов.
Вернемся теперь к доказательству сформулированного
пыше утверждения.
Пусть К — поле разложения некоторого многочлена / (х)
над полем Р. Тогда, как уже выше отмечалось, любой эле-
элемент C поля К записывается в виде многочлена от корней
а1§ .... а„ многочлена f(х) (вообще говоря, многими раз-
различными способами), т. е. существует такой многсгчлен
g(xl хп) от п неизвестных хи .... хп, что
Рассмотрим многочлен
O(x) = Q(x; a, eg,
где О(х; хх хп)—многочлен C), построенный для
многочлена g(xlt .... хп). По определению
п!
где
Согласно сказанному выше, коэффициенты многочлена б(х)
выражаются в виде многочленов над полем Р от элемен-
элементарных симметрических многочленов от alf ..., an, т. е.
выражаются в виде многочленов от коэффициентов много-
многочлена /(*)• Следовательно, О(х) является многочленом над
полем Р,

42 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Минимальный многочлен h(x) числа C (над полем Р)
имеет с многочленом О(х) общий корень C = j3, и поэтому
делит многочлен О(х). Следовательно, все корни много-
многочлена h(x), т. е. все числа, сопряженные с числом C, содер-
содержатся среди чисел Cj, ..., (Зя) и поэтому принадлежат полю К.
Таким образом, мы доказали, что все числа, сопряжен-
сопряженные с любым элементом расширения К (как мы знаем, ко-
конечного), принадлежат К- Следовательно, поле К нормально.
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа
Взаимно однозначное отображение 5 некоторого поля К
на себя называется автоморфизмом, если оно сумму пере-
переводит в сумму, а произведение в произведение, т. е. если
для любых элементов а, C поля К
(элемент, в который при автоморфизме 5 переходит эле-
элемент а, мы обозначаем через as).
Подчеркнем, что автоморфизм должен быть взаимно
однозначным отображением (преобразованием), т. е., кроме
условий A), он должен удовлетворять также следующим
требованиям:
а) для любого элемента a ? К элемент а5 однозначно
определен и принадлежит К\
б) если а Ф C, то as Ф Cs;
в) для любого элемента C ? К существует такой элемент
К что as = p.
Из условия б) следует, что предусмотренный условием в)
элемент а определен однозначно. Следовательно, обозначая
Этот элемент через Cs :
мы получим некоторое (очевидно, взаимно однозначное) пре-
преобразование 5 (так называемое обратное преобразование).
Это преобразование однозначно характеризуется тем, что
для любого элемента ?К

2. АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛЕЙ. ГРУППА ГАЛУА 43
Оказывается, что преобразование 5 также является авто-
автоморфизмом. Действительно, для любых элементов а? К
и, следовательно, по определению,
Аналогично доказывается, что
Произведением ST двух автоморфизмов S к Т назы-
называется преобразование, получающееся в результате после-
последовательного выполнения сначала преобразования 5, а затем
преобразования Т; для любого элемента а?К элемент asr
определяется формулой
Непосредственно проверяется, что преобразование ST также
является автоморфизмом.
Задача. Доказать, что умножение автоморфизмов ассо-
ассоциативно.
Умножение автоморфизмов, очевидно, обладает едини-
единицей — ею служит тождественный автоморфизм Е, оста-
оставляющий все элементы поля К на месте:
По определению (см. формулу B))
5"'5 = Е. C)
Рассмотрим теперь автоморфизм (S) , обратный авто-
автоморфизму S~l. По определению
lS-l)~lS~l = E. D)
Умножая это равенство справа -на 5 и пользуясь форму-
формулой C), мы получим, что
Подставляя это выражение в формулу D), получаем
SS'1 = Е.

44 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Итак,
Таким образом, мы видим, что относительно операции
умножения автоморфизмов множество всех автоморфизмов
является группой. Эта группа называется группой авто-
морфизмов поля К.
Задача. Доказать, что любой автоморфизм оставляет
на месте все рациональные числа (в частности, числа 0 и 1).
Пусть теперь Р — некоторое подполе поля К. Автомор-
Автоморфизм 5 прля К называется автоморфизмом над полем Р,
если он все элементы поля Р оставляет на месте, т. е.
если для любого элемента с ? Р
cs = с.
Очевидно, что совокупность всех автоморфизмов над полем Р
является подгруппой группы автоморфизмов поля К. Если
поле К является нормальным расширением поля Р, то эта
подгруппа называется группой Галуа поля К над полем Р
и обозначается символом О {К, Р).
Пусть
п
— произвольный многочлен над полем Р, имеющий в К
хотя бы один корень а:
co+Cla+ ... +спая = 0. E)
Применяя к равенству E) автоморфизм 5 из группы Галуа
О (К, Р), мы, как легко видеть, получим, что
(ибо cst=ct для любого / = 0, 1, ..., п\, т. е. что
/(а*) = 0.
Таким образом,
любой автоморфизм из группы Галуа О (К, Р) пере-
переводит каждый корень произвольного многочлена над
полем Р снова в корень этого же многочлена.
Отсюда, в частности, следует, что
для любого числа а?К и любого автоморфизма
S?G(K, Р) число as сопряжено над полем Р с числом а.
Замечание. Если считать известным понятие линей-
линейного преобразования и тот факт, что линейное преобразо-

3. порядок группы галуа 45
вание конечномерного пространства тогда и только тогда
взаимно однозначно, когда оно никакой отличный от нуля
вектор не переводит в нулевой вектор (см. Курс, стр. 205),
то можно показать, что для случая конечных (и в частности
нормальных) расширений в определении понятия автомор-
автоморфизма поля К над полем Р условие взаимной однозначности
можно опустить, т. е.
любое отображение S конечного расширения К в себя,
обладающее свойствами A) и оставляющее, на месте
все элементы поля Р, взаимно однозначно, т. е. является
автоморфизмом поля К над полем Р.
Действительно, если с ? Р и а ? К, то
(саM = csas = ccls.
Кроме того, для любых элементов аир поля К
Это означает, что отображение 5 представляет собой линей»
ное преобразование поля К, рассматриваемого как линейное
(конечномерное) пространство над полем Р (см. гл. 1, п. 2).
Поэтому, в силу отмеченного выше факта из теории ли-
линейных преобразований, для доказательства сформулирован-
сформулированного утверждения достаточно показать, что если а Ф 0, то
и as Ф 0. Но если а Ф 0, то в поле К существует такой
элемент C, что аC = 1 и, следовательно, asps=l. Таким
образом, действительно, as Ф 0.
3. Порядок группы Галуа
Пусть К — произвольное нормальное расширение поля Р.
Согласно гл. 1, п. 7. расширение К является простым алге-
алгебраическим расширением, т. е. в К существует такой эле-
элемент б, что
Степень п минимального многочлена f(x) элемента б равна
степени [К : Р] поля К над полем Р. Любой элемент а поля К
имеет однозначную запись вида
a = 60+6,6+ ... +c/,_16", где с0, сх cn-i€p-A)
Как доказано в предыдущем пункте, любой автоморфизм 5
из группы Галуа О (К, Р) переводит корень 0 снова в корень

46 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
многочлена f(x). Другими словами, каждому автоморфизму
5 ? О (К, Р) соответствует некоторый корень многочлена / (х)
(при выбранном корне б). Изучим это соответствие по-
подробнее.
Пусть 6'— произвольный корень многочлена f(x). Так
как поле К нормально и б ? К, то б' ? К- Определим пре-
преобразование 5 поля К в себя, положив для любого эле-
элемента A) из этого поля
as = Co+Cl6' + ;... +Ся_1е"'-1. B)
Так как запись элемента а в виде A) однозначна, то фор-
формула B) определяет элемент as единственным образом.
Определение преобразования 5 можно, очевидно, сфор-
сформулировать следующим образом: если
где g (х) — многочлен над полем Р, имеющий степень,
меньшую п, то
Рассмотрим теперь над полем Р многочлен g(x) про-
произвольной степени, и пусть
a =#F).
Разделим (с остатком) многочлен g(x) на многочлен f(x):
C)
Полагая в этом равенстве х = б, мы получим, поскольку
/F) = 0, что
a = r(8).
Так как степень многочлена г(х) меньше п, то отсюда
вытекает, что
С другой стороны, полагая в формуле C) х = б', мы по-
получим, что
?(8') = г (б').
Следовательно,

3. ПОРЯДОК ГРУППЫ ГАЛУА 47
Таким образом,
g F)* = ?F')
независимо от того, какова степень многочлена g(x).
Пусть теперь
ai = «-i (9), а2 = 6
— произвольные элементы поля К. Тогда
и, следовательно,
(a, -f- Sf = S (в0 + * F'> = а? + a
Таким образом, преобразование 5 сохраняет сумму и
произведение, т. е. обладает свойствами A) п. 2. Кроме
того, это преобразование, очевидно, оставляет все элементы
поля Р на месте. Поэтому (см. замечание к п. 2) преобра-
преобразование 5 является автоморфизмом поля К над полем Р,
т. е. принадлежит группе Галуа О (К, Р).
Тот факт, что преобразование 5 является автоморфизмом,
т. е., кроме свойств A) п. 2, обладает также и свойством
взаимной однозначности, можно доказать и не пользуясь
замечанием к п. 2. Действительно, рассмотрим поле Р(Ь').
Так как 6'?АТ, то
Р (б') с К.
С другой.стороны, степень поля Р(б') над полем Р равна
степени многочлена f(x), т. е. равна степени поля К. Сле-
Следовательно,
Отсюда следует, что наряду с записью A) любой элемент a
поля К имеет однозначную запись вида
а = с;+с;в'+ ... -r-Ci9. D)
с'о, с[
Определим теперь преобразование S' поля К в себя,
положив для любого элемента D) из этого поля

48 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Так как, очевидно,
S'S = SS' = E
(т. е. S' = 5), то преобразование 5 является, как и утвер-
утверждалось, взаимно однозначным преобразованием поля К на
себя (ибо из as = Cs следует, что а55' = $ss>, т. е. что
а = C и для любого элемента а ? К существует такой эле-
элемент C, именно р = а5', что Cs = а), т. е. является авто-
автоморфизмом.
Построенный автоморфизм 5 переводит корень 0 в ко-
корень б':
т. е. этот автоморфизм соответствует корню б' в указанном
выше смысле. Таким образом, доказано, что для любого
корня многочлена f(x) существует в группе Галуа О (К, Р)
автоморфизм, которому этот корень соответствует. Оказы-
Оказывается, что автоморфизм однозначно определяется соответ-
соответствующим корнем, т. е. если
то
5= Т.
Действительно, если 0s = бг, то bST~x = б, т. е. авто-
авто~X
морфизм ST~X оставляет корень б на месте и, следовательно,
оставляет на месте любое выражение вида
.. +с„_1б"-1> где с0 сп^Р,
т. е. оставляет на месте любой элемент поля К. Таким обра-
образом, STX = E и потому S=T.
Итак, элементы группы Галуа О (К, Р) (т. е. автомор-
автоморфизмы поля К над полем Р) находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с корнями многочлена f(x), и, следова-
следовательно, их число, т. е. порядок группы О (К, Р), равно
числу корней многочлена f(x), т. е. равно п (все корни
многочлена f(x) различны, так как этот многочлен непри-
неприводим). Тем самым мы доказали, что
порядок группы Галуа G {К. Р) равен степени поля К
над полем Р.

4. СООТВЕТСТВИЕ ГАЛУА 49
4. Соответствие Галуа
Пусть, как и выше, К = Р (9)—произвольное нормальное
расширение основного поля Р и О (К, Я)—его группа Галуа
над полем Р.
В этом пункте мы будем рассматривать расширения L
поля Р, содержащиеся в поле К:
PcLcK.
Такие расширения мы будем называть промежуточными
полями.
Многочлен f (х) над полем Р, корнем которого является
число 9, можно рассматривать и как многочлен над любьГм
промежуточным полем L. Очевидно, что его полем разложе-
разложения над L является поле L(Q) (почему?). Следовательно,
поле L@) нормально над полем L. С другой стороны, так
как Pel, то ЯF)с:?,@), т. е. KcL(Q), а так как LcK
и В?К, то L(b)c:K. Следовательно, K = L(b). Таким об-
образом,
поле К нормально над любым промежуточным по-
полем L.
Поэтому можно говорить о группе Галуа О (К, L) поля К
над полем L. Согласно доказанному в предыдущем пункте,
порядок группы О (К, L) равен степени поля К над полем L.
Элементами группы О (К, L) являются, по определению,
автоморфизмы поля К, оставляющие на месте любой эле-
элемент поля L. Так как PczL, то эти автоморфизмы оставляют
на месте и любой элемент поля Р, т. е. являются элемен-
элементами группы Галуа О (К, Р) поля К над полем Р. Таким
образом,
О (К. L)dO(K, Р),
то есть
группа Галуа поля К над полем L является под-
подгруппой группы Галуа поля К над полем Р. Ее порядок
равен степени [К: Ц поля К над полем L.
Пусть теперь Н — произвольная подгруппа группы Галуа
О (К, Р). Очевидно, что совокупность всех элементов поля К,
остающихся на месте при любом автоморфизме из под-
подгруппы Н, является подполем поля К. Это подполе содержит
поле Р, т. е. является промежуточным полем. Мы будем
обозначать его через К (О, И),

50 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Пусть
ТХ = Е,Т2 Тт
— все элементы подгруппы Н (таким образом, т — порядок,
подгруппы Н). Рассмотрим многочлен
Его корнями являются числа
При любом автоморфизме Т?Н эти числа переходят в числа
ег'г=ег, ьТгТ ът°'т. B)
Но элементы
ТхТ=гТ. Т2Т ТтТ,
очевидно, исчерпывают все элементы подгруппы Н (их m и
они все различны). Следовательно, числа B) с точностью до
порядка следования совпадают с числами A). Другими сло-
словами, при любом автоморфизме Т?Н корни многочлена h(x)
лишь переставляются. Поэтому любой симметрический много-
многочлен от этих корней, в частности любой коэффициент много-
многочлена h(x), остается на месте при автоморфизме Т и, сле-
следовательно (поскольку Т—любой автоморфизм из под-
подгруппы Я), принадлежит полю К (О, Н). Таким образом,
многочлен h{x) является многочленом над полем К{О, Н).
Следовательно, минимальный многочлен элемента б над полем
К (О, Н) является делителем многочлена h(x), и поэтому
его степень (т. е. степень числа 6 над полем К {О, #))
меньше или равна т. Но, как мы видели выше, поле К
является простым алгебраическим расширением любого про-
промежуточного поля (и значит, в частности, поля К (О, И)),
порожденным числом 6. Поэтому степень поля К над полем
К (О, Н) равна степени минимального (над К (О, Я)) много-
многочлена числа 6, т. е., по доказанному, меньше или равна т.
Рассмотрим теперь группу Галуа О (К, V) поля К над
полем L — K(O, И). Согласно п. 3, порядок этой группы
равен степени поля К над полем К (О, Н) и поэтому меньше
или равен т. С другой стороны, группа О {К, L) состоит,

4. СООТВЕТСТВИЕ ГАЛУА 51
по определению, из всех автоморфизмов поля К, оставляю-
оставляющих на месте элементы поля L — K{Q,H) и поэтому со-
содержит подгруппу Н. Следовательно, ее порядок не может
быть меньше т.
Отсюда вытекает, что порядок группы О (К, L) равен т
и потому она совпадает с подгруппой Н. Таким образом,
если L = K(O, H), то О (К, L) = H.
Пусть теперь L — произвольное промежуточное поле,
и пусть Н=О{К, L). Рассмотрим поле К {О, Н). Оче-
Очевидно, что
L<=K(O, H).
Согласно гл. 1, п. 6,
С другой стороны, по только что доказанному, степень
[К:К(О, #)] поля К над полем К (О, Н) равна порядку
группы H=G(K, L), т. е. равна степени [К: L] поля К
над полем L. Следовательно, [К(О, H):L] = l, т. е.
1, — К(О, Н). Тем самым доказано, что
если Н~=О(К, L), то К (О, H) = L.
Мы видим, таким образом, что любому промежуточному
полю L соответствует некоторая подгруппа группы О {К, Р)
(именно группа О (К, L)), причем для любой подгруппы Н
группы О (К, Р) существует промежуточное поле L (именно
поле К (О,' И)), которому соответствует эта подгруппа, и раз-
различным промежуточным полям соответствуют различные под-
подгруппы (потому что, если О (К, L{) = О (К, 1^), то имеем
Ц = К{0, О(К, L1)) = K(O. О (К. Ц)) = Ц.
Другими словами, мы построили взаимно однозначное со-
соответствие между множеством всех промежуточных полей vi
множеством всех подгрупп группы Галуа. Это соответствие
называется соответствием Галуа.
Повторим еще раз, что
в соответствии Галуа промежуточному подполю L
нормального поля К соответствует группа Галуа О (К, L)
поля К над полем L, а подгруппе Н группы О (К, Р) —
подполе К (О, Н), состоящее из всех элементов поля К,

52 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
остающихся на месте при каждом автоморфизме из Н.
Порядок группы О (К, L) равен степени поля К над по-
полем L, а степень поля К над полем К (О, Н) равна по-
порядку группы Н.
В частности, всей группе О (К, Р) соответствует поле Р.
Следовательно,
поле Р состоит из всех элементов поля К, остаю-
остающихся на месте при каждом автоморфизме из группы
О (К, Р).
Единичной подгруппе Е, т. е. подгруппе, состоящей
только из тождественного автоморфизма Е, соответствует,
очевидно, все поле К.
Соответствие Галуа позволяет теорию подполей данного
нормального поля в некотором смысле «отобразить» в тео-
теорию подгрупп его группы Галуа и тем самым изучить эти
подполя теоретико-групповыми методами. Например, из ко-
конечности числа подгрупп конечной группы немедленно сле-
следует, что число промежуточных подполей любого нормаль-
нормального поля конечно. Доказать этот факт, не пользуясь соот-
соответствием Галуа, довольно затруднительно.
Применяя соответствие Галуа, нужно всегда иметь в виду,
что оно «обращает знаки включения», т. е. если подполям Lx
и Z.2 поля К соответствуют подгруппы Нх и Н2 его группы
Галуа, то из
LtcLz C)
вытекает, что
Н^Щ, D)
и, наоборот, из D) вытекает C).
5. Теорема о сопряженных элементах
Пусть а—произвольный элемент нормального поля К.
Рассмотрим элементы
<xsi =о, asi <хЧ A)
где
Sl = E, S2 Sn
— все автоморфизмы из группы Галуа О (К, Р) поля К над
полем Р. При любом автоморфизме 5 поля К над полем Р

Б. ТЕОРЕМА О СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ 53
числа A) переходят в числа
¦on о СС " С С
ais=as, aV aS"S,
т. е. подвергаются лишь некоторой перестановке. Поэтому
исе коэффициенты многочлена
остаются на месте при любом автоморфизме S, т. е. при-
принадлежат полю Р.
Поскольку a —as', многочлен g(x) и. минимальный много-
многочлен / (х) элемента а имеют общий корень и,-следовательно,
многочлен g(x) делится на многочлен f(x) (ибо много-
многочлен f(x) неприводим). С другой стороны, мы знаем (см. п. 2),
что все числа а5', .... aS" (среди этих чисел, вообще говоря,
могут быть одинаковые) сопряжены с числом а, т. е. являются
корнями многочлена f (х). Таким образом, каждый корень
многочлена g(x) является корнем многочлена f (х). Пусть
g (х) = Pl (x)*i р2 (х)*' ... Pl (xfi
— разложение многочлена g(x) в произведение степеней раз-
различных неприводимых многочленов (имеющих старшие коэф-
коэффициенты, равные единице). Так как многочлен g(x) делится
на многочлен f(x) и многочлен f(x) неприводим, то много-
многочлен f (х) должен совпадать с одним из многочленов
Р](х) Pi(x) (мы предполагаем, что старший коэффи-
коэффициент многочлена f(x) раве'н единице). Пусть для определен-
определенности f(x) = pl(x), так что
«Г (*) = /(*)•• А (*А... />,(*)*«.
Так как все корни многочлена g(x) являются корнями много-
многочлена f (х), а ни один из корней многочлена р%{х), .... pt(x)
не может быть (в силу неприводимости этих многочленов)
корнем многочлена f{x), то многочлены Рч(х), ..., Pi(x)
не могут иметь корней, т. е.
р2(х)= ... =Pl(x)—\.
Таким образом.
*

54 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Отсюда, в частности, следует, что числа а5', .... aS"
исчерпывают (вообще говоря, с повторениями) все числа, со-
сопряженные с числом а. Тем самым доказано, что
элементы поля К тогда и только тогда сопряжены
(над полем Р), когда существует автоморфизм поля К
над полем Р, переводящий один элемент в другой.
6. Группа Галуа нормального подполя
Пусть промежуточное поле L является нормальным рас-
расширением основного поля Р. Тогда для любого элемента
a?Z, и любого автоморфизма S?O(K, P) элемент as также
принадлежит полю L (ибо он сопряжен с а; см. п. 2). По-
Поэтому формула
a5' = as, a ? L,
определяет некоторое преобразование S' поля L в себя.
Легко видеть, что преобразование S' является автоморфизмом
поля L над полем Р, т. е. элементом группы Галуа О (L, Р)
поля L над полем Р. (Автоморфизмы S и S' действуют
в поле L одинаково; различие между ними состоит в том,
что автоморфизм 5 определен во всем поле К, а автомор-
автоморфизм S' — только в поле L.)
Очевидно, что
т. е. что соответствие
5-^5' A)
является гомоморфным отображением группы О (К, Р) в группу
О (L, Р). Ядро этого отображения состоит из автоморфиз-
автоморфизмов 5, оставляющих на месте каждый элемент поля L, т. е.
ядром является группа Галуа О (К, L) поля К над полем L.
Так как ядро любого гомоморфизма является нормальным
делителем, то, следовательно,
подгруппа группы Галуа О (К, Р), соответствующая
нормальному промежуточному полю L (т. е. группа
Галуа О (К, L) поля К над полем L), является нормаль-
ным делителем группы О (К, Р).
Пусть теперь L—промежуточное поле, соответствующее
произвольному нормальному делителю Н группы G(K, P),
т. е. L = K(Q, H). Так как для любого автоморфизма Т?Н

7. ГРУППА ГАЛУА КОМПОЗИТА ДВУХ ПОЛЕЙ 55
и любого автоморфизма S?G(K, P) автоморфизм STS1
принадлежит Н, то для любого числа <x?Z,
то есть
Так как Т—произвольный автоморфизм из Н, то отсюда
следует, что as?L. Таким образом, все элементы, сопря-
сопряженные каждому элементу «?/., принадлежат L, т. е. L
нормально над Р. Тем самым доказано, что
подполе К (О, Н) нормального поля К, соответствую-
соответствующее нормальному делителю И группы Галуа О (К, Р) поля
К над полем Р является нормальным расширением
поля Р.
Таким образом,
в соответствии Галуа нормальным подполям соот-
соответствуют нормальные делители, и обратно.
Вернемся теперь к рассмотрению гомоморфизма A).
Пусть О' — его образ, т. е. подгруппа группы G(L, P), со-
состоящая из автоморфизмов вида 5'. Согласно теореме о гомо-
гомоморфизмах (см. гл. 2, п. 4), гомоморфизм A) индуцирует
изоморфное отображение факторгруппы О (К, Р)/О(К, L) на
группу О'. Следовательно, порядок группы О' равен индексу
подгруппы О (К, L) в группе О (К, Р). Но этот индекс равен
(почему?) степени поля L над полем Р, т. е. равен порядку
группы Q(L, P). Таким образом, порядок подгруппы О'
равен порядку всей группы О (L, Р), откуда, следует, что
O' = O(L, P). Тем самым доказано, что отображение A)
эпиморфно.- Индуцированный им гомоморфизм является, сле-
следовательно, изоморфным отображением факторгруппы
О (К, Р)/О (К, L) на группу О (L, Р). Таким образом,
группа Галуа нормального промежуточного поля L
над полем Р изоморфна факторгруппе группы Галуа
поля К над полем Р по группе Галуа поля К над полем L.
7. Группа Галуа композита двух полей
Пусть нормальное расширение К поля Р является ком-
композитом расширений К\ и К2- В группе Галуа О (К, Р) под-
полю Кх соответствует подгруппа О (К, К{), а подполю
К2 — подгруппа О (К, /<). Автоморфизмы из подгруппы
О (К, /Cj) оставляют на месте все элементы поля /Cj, а авто-

56 ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
морфизмы из подгруппы О (К, К2) оставляют на месте все
элементы поля К2. Следовательно, любой автоморфизм из
пересечения О (К, К{) П О (К. К2) оставляет на месте любой
элемент вида
. а^Н- ... +а^г, A)
где <Xj o-rG-Kj, p, Рг€^2- Но, согласно гл. 1. п. 9,
элементами вида A) исчерпываются все элементы композита К
(результаты гл. 1, п. 9 применимы, так как поля К\ и /С2
конечны над Р). Следовательно, рассматриваемое пересечение
содержит только тождественный автоморфизм. Таким образом,
если нормальное расширение К поля Р является ком-
композитом расширений Кг и /<, то
О(К,К1)Г\О(К,К2) = Е. ^ B)
Задача. Доказать обратное утверждение, т. е. доказать,
что если нормальное поле К содержит подполя К\ и К2,
удовлетворяющие условию B), то К является композитом
полей Кх и К2-
Предположим теперь, что поле /С, нормально над полем Р.
Тогда его группа Галуа О (/<( Р) является гомоморфным
образом группы Галуа О (К, Р), причем ядром соответствую-
соответствующего эпиморфизма является группа О (К, К\) (см. п. 6). Из
формулы B) непосредственно следует, что этот эпиморфизм
на подгруппе О (К, К2) является мономорфизмом. Други#и
словами, группа О(К, К2) изоморфна некоторой подгруппе
группы О(/С,,.Р). Таким образом,
если нормальное расширение К поля Р является ком-
композитом нормального расширения К\ и {вообще говоря,
произвольного) расширения К2, то группа Галуа О (К, К%)
изоморфна некоторой подгруппе группы O(Ki, P).

II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
ГЛАВА 1
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах
Пусть ср: О -+О' — произвольный гомоморфизм и Я' — не-
некоторая подгруппа группы О'. Рассмотрим совокупность Н
всех элементов группы О, переходящих при гомоморфизме ср
в элементы подгруппы Н'. Таким образом, g? H тогда и
только тогда, когда <р (?¦)?#'•
Очевидно, что подмножество Н является подгруппой
группы О. Эта подгруппа обозначается через ср~'(#') и назы-
называется полным прообразом подгруппы Н' при гомомор-
гомоморфизме ср. В этой терминологии ядро гомоморфизма ср есть
не что иное, как полный прообраз единицы е' группы О'.
Легко видеть, что полный прообраз # = ср~1(#') нор-
нормального делителя Н' группы О' является нормальным дели-
делителем группы О (доказать!). Так как ср(#)с#', то опреде-
определен индуцированный гомоморфизм
?: О/Н->О'/Н'.
Без труда проверяется (см. ч. I, гл. 2, п. 4, где разобран
случай Н' = в'), что гомоморфизм ср является мономорфиз-
мономорфизмом. Таким образом,
для любого гомоморфизма ср: О —>• G' и любого нор-
нормального делателя Н'сО' индуцированный гомомор-
гомоморфизм

68 ГЛ. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
где Н=у~1{Н'), является мономорфизмом; если ото-
отображение ср эпиморфно, то отображение ср изоморфно.
Если Н' — е', то это предложение сводится к доказанной
ранее теореме о гомоморфизмах.
Задача. Доказать, что
1) подгруппа Я группы О тогда и только тогда является
полным прообразом некоторой подгруппы группы О' при
гомоморфизме <р: О -> О', когда
КегсрсЯ;
2) если КегсрсЯ, и КегсрсЯ2, то ср (Я^ = ср (Я2) тогда
и только тогда, когда Нх = Я2;
3) если гомоморфизм ср является эпиморфизмом, то
ср (н[) = ср (Я2) тогда и только тогда, когда Н\ = Я2.
Вывести отсюда, что эпиморфизм ср: О -> О' определяет
некоторое взаимно однозначное соответствие между множе-
множеством всех подгрупп группы О' и множеством тех подгрупп
группы О, которые содержат ядро эпиморфизма у.
2. Нормальные ряды
Пусть О — произвольная группа и Ох, О2 — некоторые
ее подгруппы, из которых вторая является погруппой первой:
Цепочка вложенных друг в друга подгрупп
О1 = Я0=зЯ1=э ... =)Я^1=)Яг=) ... =>HS = G2, A)
начинающаяся с подгруппы Ох и кончающаяся подгруппой О2,
называется нормальным рядом, если для любого /= 1, .... s
подгруппа Яг является нормальным делителем подгруппы Hi_1
(нормальным делителем по всей группе О подгруппа Я,
может и не быть). Соответствующие факторгруппы Hi_1/H[
называются факторами нормального ряда A).
Подчеркнем, что мы, вообще говоря, не требуем, чтобы
нормальный ряд A) не содержал повторений: вполне может
быть, что для некоторого / подгруппа Ht совпадает с под-
подгруппой Я,_!. Конечно, при желании можно из нормальных
рядов удалять все повторяющиеся группы.

2. НОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 59
Особое значение имеют нормальные ряды
= e, B)
начинающиеся с группы О и кончающиеся единичной под-
подгруппой е. Такие нормальные ряды мы будем называть нор-
нормальными рядами группы О. Очевидно, что если группа О
конечна, то для любого ее нормального ряда B) все фак-
факторы Ht^i/Ht также конечны и
п = я,ге2 . . . ns, C)
где п — порядок группы О, а»(, *=1 s — порядок
группы Ht_JHt. Обратно, если группа О обладает нормаль-
нормальным рядом с конечными факторами, то сама группа О
также конечна и ее порядок п выражается через порядки
пи .... ns факторов нормального ряда согласно формуле C).
Пусть теперь ср: G-+G' — произвольный гомоморфизм.
Очевидно, что если подгруппа Я2 группы О содержится
в подгруппе Н{.
Н Я
то подгруппа <р(#2) группы О' содержится в подгруппе
Кроме того, если подгруппа Н2 является нормальным
делителем в подгруппе Нх, то подгруппа <р(#2) является
нормальным делителем в подгруппе cp(Wj) (доказать!). Сле-
Следовательно, для любого нормального ряда
О2 D)
цепочка
E)
является нормальным рядом. Если, в частности, О1 = О и
О2-==е (т. е. если ряд D) является нормальным рядом
группы О), а отображение ср эпиморфно, то cp(Oj) = O' и
ср(О2)=.е' (т. е. ряд E) будет нормальным рядом группы О').
Таким образом,
произвольный эпиморфизм ср: О -> О' переводит любой
нормальный ряд
F)

60 ГЛ. I. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
группы О в некоторый нормальный ряд
О'==<р(Я0)=)(р(Я1)з ...
. ... з^(Я^э? (Я,)э •.. э<р(Я,) = е' G)
группы О'.
Заметим, что для любого /=1, .... 5 эпиморфизм ер
индуцирует некоторый эпиморфизм
(ибо условия, при которых определен индуцированный гомо-
гомоморфизм, очевидно, здесь выполнены). Следовательно,
факторы ряда G) являются гомоморфными образами
факторов ряда F).
Пусть опять <р: О-+О' — произвольный гомоморфизм.
Очевидно, что если подгруппа Яг группы О' содержится
в подгруппе Н\: .
Я10Я2,
то подгруппа у~1(Н'^ группы О содержится в под-
подгруппе <р-'(яО:
Кроме того, если подгруппа Яг является нормальным
делителем в подгруппе Н[, то подгруппа ^"'(Я^) является
нормальным делителем в подгруппе (р"^). Следовательно,
для любого нормального ряда
*=0'2 (8)
цепочка
также является нормальным рядом. Если, в частности,- О\ = О
и О2 = е (т. е. .если ряд (8) является нормальным рядом
группы О'), а отображение <р мономорфно, то f~1(O'1\ = Q
и (p~1(Q'2^ = e (т. е. ряд (9) является нормальным рядом
группы О). Таким образом,

2. НОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 61
при каждом мономорфизме <р: О-*О' любому нор-
нормальному ряду
= е A0)
группы О' соответствует некоторый нормальный ряд
о=?-1 ;
группы О.
Заметим, что для любого /=1 s мономорфизм <р
индуцирует некоторый мономорфизм
Следовательно,
факторы ряда A1) изоморфны подгруппам факторов
ряда A0).
Пусть теперь О — произвольная группа и
О = Н0=>Н1=> ... =>//,_!=>//,=> ... =>Hs = e A2)
— некоторый ее нормальный ряд. Предположим, что для
любого f= 1, .... s в соответствующей факторгруппе Hl_ljHl
задан нормальный ряд
Н^Н^К^Кц-z» ... з КИ_г^Ки^ ... =>*«, = «. A3)
Рассмотрим естественный эпиморфизм
(определенный формулой yi(h) = Hih). При этом эпимор-
эпиморфизме ряду A3) соответствует нормальный ряд
Вставив для каждого 1=1, .... s между членами Ht_r
и Я, ряда A2) ряд A4), мы, очевидно, снова получим нор-
нормальный ряд группы О. Этот нормальный ряд называется
уплотнением ряда A2) с помощью рядов A3).

62 ГЛ. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
Любой фактор этого ряда имеет вид
и потому, согласно обобщенной теореме о гомоморфизмах
(см. п. 1), изоморфен факторгруппе
Таким образом,
факторы уплотненного ряда изоморфны факторам
уплотняющих рядов A3).
Так как любая непростая группа обладает нетривиаль.
ными (т. е. содержащими нетривиальные подгруппы) нор-
нормальными рядами, то любой нормальный ряд, имеющий
хотя бы один непростой фактор, обладает нетривиаль'
ными (т. е.не сводящимися к повторениям) уплотнениями.
Наоборот, если все факторы нормального ряда являются
простыми группами, то все уплотнения этого нормального
ряда сводятся к повторениям.
В заключение обратим внимание на определенный парал-
параллелизм между доказанными в этом пункте теоремами, отно-
относящимися к эпиморфизмам, и теоремами, относящимися
к мономорфизмам. Весьма глубокие основания этого парал-
параллелизма мы здесь выяснять не можем.
3. Циклические группы
Группа О называется циклической, если все ее элементы
являются степенями одного и того же элемента g0. Этот
элемент g0 называется образующей циклической группы О.
Любая циклическая группа, очевидно, абелева. .
Циклической группой является, например, группа целых
чисел по сложению. Эту группу мы будем обозначать сим-
символом 2. Ее образующей является число 1 (а также число
— 1). Циклической группой является также группа, состоя-
состоящая только из одного элемента (единицы).
В произвольной группе О степени g" любого элемента g
составляют циклическую подгруппу с образующей g. Поря-
Порядок этой подгруппы, очевидно, совпадает с порядком эле-
элемента g. Отсюда в силу теоремы Лагранжа (см. стр. 32)
следует, что порядок любого элемента группы делит,

3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 63
порядок группы (заметим, что все элементы конечной группы
являются элементами конечного порядка). Поэтому
для любого элемента g конечной группы порядка п
имеет место равенство
Это простое замечание часто бывает полезно.
Заметим, далее, что
конечная группа О порядка п тогда и только тогда
является циклической группой, когда она обладает
элементом порядка п. Этот элемент является обра-
зующей.
Действительно, если группа О циклическая и gQ— ее
образующая, то порядок элемента g0 равен п. Обратно, если
группа О обладает элементом порядка п, то среди степеней
этого элемента имеется п различных, и поэтому эти степени
исчерпывают всю группу О.
Мы видим, таким образом, что циклическая группа может
иметь несколько различных образующих (именно, любой
элемент порядка п является образующей).
Задача. Доказать, что любая группа простого порядка
является циклической группой.
Задача. Доказать, что циклическая группа порядка п
имеет ровно <р(я) образующих, где <р(«) — число положи-
положительных чисел, меньших п и взаимно простых с п.
Наряду с порядком любой конечной группе можно отне-
отнести число п — наименьшее общее кратное порядков всех ее
элементов.
Задача. Доказать, что для любой конечной группы О
число я делит порядок группы.
Очевидно, что для циклической группы число п совпа-
совпадает с порядком. Обратное, вообще говоря, не верно. Тем
не менее имеет место следующее утверждение, характери-
характеризующее циклические группы в классе конечных абелевых
групп:
конечная абелева группа О, для которой число п
равно ее порядку п, является циклической группой.
Действительно, пусть
mt, m2, ..., fftn_i A)

64 ГЛ. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
— порядки всевозможных отличных от единицы элементов
конечной абелевой группы О порядка п., и пусть п — их наи-
наименьшее общее кратное. Разложим число п в произведение
степеней различных простых чисел:
п = р11р%г ¦ • ¦ p"s-
Пусть /= 1, 2, .... s. Поскольку число п является, по опре-
определению, наименьшим общим кратным чисел A), среди этих
чисел существует хотя бы одно число, делящееся точно
на />"', т. е. имеющее чвид bp"i, где Ь взаимно просто с р"'.
Пусть это число является порядком элемента g. Тогда эле-
элемент gh имеет порядок р"' (см. следствие 1) на стр. 29).
Таким образом, для любого /—1, 2, .... s в группе О
существует хотя бы один элемент порядка р°'. Выбрав для
каждого 1=1, 2, ..., s один такой элемент, рассмотрим
их произведение. Согласно утверждению, доказанному на
стр. 29—30, порядок этого произведения равен произведению
порядков р°', т. е. равен числу п. Поскольку .последнее
число по условию равно п, тем самым доказано, что в группе О
существует элемент порядка п. Следовательно, эта группа
является циклической группой.
Пусть теперь О — произвольная циклическая группа
с образующей g0 и Н — некоторая ее подгруппа. Так как
любой элемент подгруппы Н является элементом группы О,
то его можно представить в виде g*, где d — некоторое
положительное или отрицательное целое число (вообще
говоря, определенное неоднозначно). Рассмотрим множество
всех положительных чисел • d, для которых элемент gfi
принадлежит подгруппе Н. Так как это множество непусто
(почему?), то в нем существует наименьшее число d0. Ока-
Оказывается, что любой элемент h подгруппы Н является сте-
степенью элемента g^. Действительно, по определению, суще-
существует такое число d, что А = g* (число d может быть и
отрицательным). Разделим (с остатком) число d на число d0:
Так как gr0 = g% (g^Y4 ? И, то в силу минимальности числа
dQ остаток г должен быть равен нулю. Таким образом.

3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 65
d=zdoq и h — (gd<>\q. Тем самым доказано, что элемент gft
япляется образующей группы Н, т. е. что группа Н цик-
лпчна. Итак,
любая подгруппа циклической группы является цик-
циклической группой.
Задача. Доказать, что число d0 равно индексу под-
подгруппы Н и, следовательно, делит порядок группы О (если
группа О конечна).
Заметим еще, что
для любого делителя т порядка п конечной цикли-
циклической группы О в группе О существует одна и только
одна подгруппа Н порядка т (а именно подгруппа с обра-
образующей g$m\
Отсюда вытекает, что
если конечная циклическая группа проста, то ее
порядок является простым числом (или единицей).
Отметим наконец, что
любая факторгруппа Q/H (и, следовательно, любой
гомоморфный образ) циклической группы О является
циклической группой.
Для доказательства достаточно заметить, что образующей
группы Q/H служит смежный класс Hg0, содержащий обра-
образующую g0 группы О.
В частности, любая факторгруппа группы целых чисел Z
япляется циклической группой. Изучим эти циклические
группы более подробно.
Так как группа Z абелева, то любая ее подгруппа Н
япляется нормальным делителем. С другой стороны, согласно
доказанному выше, подгруппа Н является циклической груп-
группой. Так как факторгруппы по тривиальным подгруппам нам
известны, то мы можем считать подгруппу Я нетривиальной.
Пусть число п является образующей подгруппы Н. Мы можем
считать это число положительным (почему?) и, следовательно,
большим единицы.
Подгруппа Н состоит, очевидно, из всех целых чисел,
делящихся на п. Поэтому два числа тогда и только тогда
принадлежат одному смежному классу по подгруппе И,
когда их разность делится на п, т. е. когда они сравнимы
по модулю п (см. Курс, стр. 277). Таким образом, смежные
классы по подгруппе Н суть не что иное, как классы чисел,
3 Зак 160. М. М. Постников

66 ГЛ. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
сравнимых между собой по модулю п. Другими словами,
факторгруппа группы Z по подгруппе Н является группой
(по сложению) классов чисел, сравнимых между собой по
модулю п. Мы будем эту группу обозначать через Zn. Ее
образующей является класс, содержащий число 1.
Оказывается, что
любая циклическая группа О Ф е изоморфна либо
группе Z (если она бесконечна), либо одной из групп Zn
(если ее порядок конечен).
Действительно, пусть g0 — образующая группы О. Опре-
Определим отображение <р группы 2 в группу О, полагая
<Р («) = «?. *?z-
Из правил действий над степенями следует, что для любых
чисел a, b?Z имеет место равенство
<р (а -+- 6) = <р (а) ср (*),
т. е. отображение ср гомоморфно. Его образ cp(Z) состоит
из всех элементов группы О, являющихся степенями эле-
элемента g0, т. е. совпадает с группой О. Таким образом,
группа О является гомоморфным образом группы Z и, сле-
следовательно, изоморфна некоторой ее факторгруппе, т. е.
либо самой группе G, либо одной из групп Zn (мы пред-
предполагаем, что группа О не состоит только из единицы). Какой
из групп Zn изоморфна группа О, однозначно определяется
тем, что изоморфные группы должны иметь одинаковый
порядок.
Тем самым строение циклических групп полностью опи-
описано.
Важный пример циклических групп получается на осно-
основании следующих соображений.
Пусть п — произвольное целое положительное число.
Как известно (см. Курс, стр. 127), существует точно п раз-
различных корней
степени п из единицы:
в«=1, / = 0, 1 п—\.
Произведение любых двух корней степени п из единицы и
число, обратное к корню степени п из единицы, очевидно,

4. РАЗРЕШИМЫЕ И АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 67
также являются корнями степени п из единицы. Следова-
Следовательно, совокупность всех корней степени п из единицы
является группой порядка п.
Известно (см. Курс, стр. 129), что любой корень степени
п из единицы является степенью так называемого первооб-
первообразного корня. Следовательно, группа всех корней сте-
степени п из единицы, является циклической группой по-
порядка п. Ее образующими служат первообразные корни и
только они.
Задача. Построить изоморфное отображение группы
корней степени п из единицы на группу Zn.
4. Разрешимые и абелевы группы
Нормальный ряд
О = //0зЯ,э ... эЯ,.р//р ... э//8=в A)
группы О называется разрешимым рядом, если для любого
/=1, .... s факторгруппа Ht^Ht является циклической
группой. Конечная группа, обладающая хотя бы одним раз-
разрешимым рядом, называется разрешимой; группа, не имею-
имеющая разрешимых рядов, называется неразрешимой. Примером
разрешимой группы может, очевидно, служить любая конеч-
конечная циклическая группа (разрешимый ряд состоит из группы О
и единичной подгруппы е). Неразрешимой группой является,
например, любая простая группа, если только она не является
циклической (т. е. если ее порядок не является простым
числом). Примеры таких групп будут построены ниже в
главе 2. .
Очевидно, что любое уплотнение разрешимого ряда также
является разрешимым рядом (ибо как подгруппы, так и
факторгруппы циклических групп являются циклическими
группами). С другой стороны, любой нормальный ряд конеч-
конечной группы может быть уплотнен до ряда с простыми фак-
факторами. Следовательно,
любая разрешимая группа обладает нормальным
рядом, факторами которого служат циклические группы
простых порядков (являющиеся делителями порядка
группы).
Как мы знаем, любой эпиморфизм <р: О -> G' переводит
нормальный ряд A) группы О в некоторый нормальный ряд
3*

68 ГЛ. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
группы О', факторы которого являются гомоморфными обра-
образами факторов ряда A). Так как гомоморфный образ цикли-
циклической группы является циклической группой, то, следова-
следовательно, любой эпиморфизм <р: О—*-О' переводит разрешимый
ряд группы О в разрешимый ряд группы О'. Таким образом,
любой гомоморфный образ разрешимой группы яв-
является разрешимой группой.
Пусть Н— произвольная подгруппа разрешимой группы О.
Определим отображение <р группы Н в группу О, полагая
<р (А) = A. h?H
(отображение <р есть тождественное отображение группы Н.
рассматриваемое как отображение в ббльшую группу О).
Отображение <р является, очевидно, мономорфизмом. Следо-
Следовательно, нормальному ряду A) группы О в подгруппе Н
соответствует некоторый нормальный ряд (составленный из
подгрупп <р-1 (Ht) = Ht П И), факторы которого изоморфны
подгруппам факторов ряда A). Так как любая подгруппа
циклической группы является циклической группой, то отсюда
следует, что
любая подгруппа разрешимой группы является раз-
решимой группой.
Из изложенного доказательства вытекает, что если раз-
разрешимая группа обладает разрешимым рядом длины s (т. е.
рядом, состоящим из s—1 членов), то и любая ее под-
подгруппа также обладает разрешимым рядом длины s (напом-
(напомним, что мы допускаем разрешимые ряды с повторениями).
Из доказанных двух теорем непосредственно вытека-
вытекает, что
все факторы любого нормального ряда разрешимой
группы являются разрешимыми группами.
Оказывается, что верно и обратное утверждение:
группа О, обладающая нормальным рядом с разре-
разрешимыми факторами, является разрешимой группой.
Действительно, пусть
Q — Hoz>Hi=>...z2Hi_1z2Hlz2...z2H, = e A)
нормальный ряд группы О с разрешимыми факторами
^ По определению, факторгруппа Hl-l/Hl для любого
s обладает некоторым разрешимым рядом
э...э^ = в'. B)

4. РАЗРЕШИМЫЕ И АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 69
Уплотним ряд A) с помощью рядов B). Как мы знаем, фак-
факторы уплотненного ряда изоморфны факторам ряда B) и,
следовательно, являются циклическими группами. Другими
словами, уплотненный ряд разрешим. Таким образом, группа О
обладает разрешимым рядом, т. е. является разрешимой
группой.
Частным случаем доказанной теоремы является следую-
следующее утверждение:
если группа О обладает разрешимым нормальным
делителем Н, факторгруппа О/H по которому разрв'
шима, то и сама группа О также разрешима.
Действительно, условие, наложенное на группу О, озна-
означает, что она обладает нормальным рядом
с разрешимыми факторами. Следовательно, по только что
доказанной теореме группа О разрешима.
Это предложение позволяет доказать следующее утвер-
утверждение, существенно расширяющее запас известных нам
примеров разрешимых групп:
любая конечная абелева группа О разрешима.
Доказательство мы проведем индукцией по порядку п
группы О. Если я = 1, то группа О состоит только из еди-
единицы е и, следовательно, разрешима. Предположим, что
уже доказана разрешимость любой конечной абелевой группы,
имеющей порядок меньший, чем п, и рассмотрим произволь-
произвольную абелеву группу О порядка п.
Пусть . g — произвольный отличный от единицы элемент
группы О. Так как g Ф е, то циклическая подгруппа Н
группы О с образующей g имеет порядок, больший еди<
ницы, и следовательно, порядок факторгруппы OjH меньше п
(факторгруппу строить можно, ибо в абелевой группе любая
подгруппа является нормальным делителем). Так как любая
факторгруппа абелевой группы является абелевой группой
(доказать 1), то, следовательно, по предположению индук-
индукции, группа G/H разрешима. Таким образом, в группе О
имеется разрешимый (даже циклический) нормальный де-
делитель И, факторгруппа QjH по которому разрешима. Сле-
Следовательно, по доказанной выше теореме группа О разре-

70 ГЛ. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
б. Группы Z'n и М„
Пусть я— произвольное целое положительное число. Рас-
Рассмотрим множество Zn всех классов чисел, сравнимых между
собой по модулю я. Класс, содержащий число а, мы будем
обозначать через [а] (в Курсе, стр. 227, этот класс обозна-
обозначался через Са). В множестве Zn, кроме сложения (отно-
(относительно которого оно является, как мы знаем, циклической
группой), можно определить также и умножение. Как и сло-
сложение, умножение классов сравнимых между собой чисел
определяется по представителям:
Ifl] [b] = [ab].
Это умножение, очевидно, коммутативно и ассоциативно.
Кроме того, оно обладает единицей (именно единицей этого
умножения служит класс [1], содержащий число 1). Однако
относительно этого умножения множество Zn группой не
является, потому что, например, нулевой класс [0] (состоя-
(состоящий из чисел, делящихся на я) не имеет обратного. Выясним,
какие классы имеют обратные.
Пусть [а] — произвольный класс по модулю я, для кото-
которого существует обратный класс, т. е. такой класс [Ь], что
Тогда число аЬ—1 делится на я, т. е. существует такое
целое число к, что
ab-\-kn— 1.
Очевидно, что это равенство возможно только тогда, когда
числа а и Ь взаимно просты с числом п. Таким образом,
если для класса [а] существует обратный класс, то число а
взаимно просто с числом я.
Оказывается верно и обратное, так что
класс [а] тогда и только тогда имеет обратный,
когда число а взаимно просто с числом я.
Докажем предварительно следующую лемму.
Лемма. Для любых целых чисел а и b существуют
такие целые числа и и v, кто
au-\-bv = d,
1.дц d — наибольший общий делитель чисел а и Ь,

5. группы Z'n и Мп 71
Для доказательства мы рассмотрим все числа, которые
можно представить в виде
ах-\-Ьу,
где х и у — произвольные целые числа (положительные или
отрицательные). Пусть d — наименьшее из всех положитель-
положительных чисел такого вида:
d = au + bv. A)
Разделим (с остатком) число а на число d:
a = dq + r, 0<r<d. B)
Из формул A) и B) вытекает, что
г = йA—qu)-\-b{—qv).
Отсюда в силу минимальности числа d следует, что г = О,
т. е. что а делится на d. Аналогично доказывается, что b
делится на d. С другой стороны, ясно, что любой общий
делитель чисел а и b делит число d. Следовательно, d является
наибольшим общим делителем чисел а и Ь. Лемма полностью
доказана.
Согласно этой лемме, если число а взаимно просто
с числом п, то существуют такие целые числа и и V, что
au-\-nv— 1.
Переходя в этом равенстве к классам и учитывая, что
[пг>] = [0], мы получим, что
[а\[и\ = [\\.
Таким образом, класс [и] обратен к классу [а]. Тем самым
сформулированная выше теорема полностью доказана.
Из этой теоремы немедленно вытекает, что совокупность
всех классов по модулю я, состоящих из взаимно простых
с п чисел, является группой относительно умножения (оче-
(очевидно, абелевой). Эта группа обозначается через Z'n и назы-
называется мультипликативной группой классов по модулю п.
Ее порядок равен числу <р(я) всех положительных чисел,
меньших я и взаимно простых с я.
Можно показать, что если, например, число я делится
на два нечетных простых числа, то группа Z'n не циклична.

72 ГЛ. 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
Этот факт нам не понадобится, и мы его оставим без дока-
доказательства. Случай п = ра мы изучим позже (ч. III, гл. 3,п. 4).
Рассмотрим теперь множество всех пар вида (а, Ь), где
а и b — целые числа, причем число а взаимно просто
с числом я. Разобьем это множество на классы, относя
к одному классу пары (а, Ь) и (ах, Ьх) тогда и только
тогда, когда число а сравнимо с числом ах по модулю п,
а число b сравнимо с числом bl по модулю п. Класс, со-
содержащий пару (а, Ь), мы будем обозначать через [a, b], a
множество всех классов — через М„.
Определим в множестве Мп алгебраическую операцию
(«умножение»), положив
[а, Ь] [с, d] = [ac, bc-\-d\.
Без труда проверяется, что эта формула действительно опре-
определяет в множестве Мп однозначную операцию, т. е. если
[a, b] = [ait bx\ и [с, d] = [cl, dx], то [ас, bc-\-d] =
— [ахсх, bxcx-\-dx\.
Легко видеть, что относительно так определенного умно-
умножения множество Мп является группой. Единицей этой
группы служит класс [1, 0], а обратный элемент определяется
формулой
[а, Ь\~х = [а, ab],
где а — такое число, что
[а][й] = [1] (в группе Z'n).
Группа Мп как легко видеть, неабелева (если п > 2).
Например,
[1, 2] [а, 01 = [а, 2а].
[а, 0][1, 2] = [а, 2].
Задача. Доказать, что порядок группы М„ равен щ(п).
Непосредственно из определения группы М„ вытекает,
что отображение vl>: Mn->Zn, определенное (как легко ви-
видеть, однозначно) формулой
является гомоморфизмом. Это отображение, очевидно, эпи-
морфно, и потому группа Zn изоморфна факторгруппе MJNn
группы Мп по ядру Мя отображения <|i.

5. группы Z'n и Мп 73
Ядро Nn состоит, очевидно, из элементов вида [1, Ь].
Так как
то, сопоставив классу [1, Ь\ класс [Ь\, мы получим изоморф-
изоморфное отображение группы Nn на группу Zn. Следовательно,
ядро Nn является циклическим нормальным делителем
группы Мп. Факторгруппа группы Мп по ядру Nn изоморфна,
как мы видели, группе Z'n и потому является абелевой и,
следовательно, разрешимой группой. Таким образом, группа Мп
обладает разрешимым (даже циклическим) нормальным дели-
делителем, факторгруппа по которому разрешима (даже абелева).
Следовательно, группа Мп также разрешима.

ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
1. Простые радикальные расширения
Простым, радикальным расширением поля Р называется
поле разложения К двучленного уравнения вида
хп — а = 0, где а?Р, а фО. A)
Как известно (см. Курс, стр. 128), все корни уравнения A)
получаются из одного умножением на корни степени я из
единицы. Но любой корень степени п из единицы является
степенью первообразного корня. Таким образом, если 0 —
произвольный корень уравнения A), а С — некоторый пер-
первообразный корень степени я из единицы, то числа
е = ес°, ее ее" B)
исчерпывают все корни уравнения A). Следовательно, поле
Я (С, 6) содержит все корни уравнения A), и потому
КсР(С, 9).
С другой стороны, поле К содержит числа б и SC и потому
содержит числа б и С = бС/9. Следовательно,
Я (С. В)сК.
Таким образом,
К = Р((., 9).
Может случиться, что поле Р уже содержит корень С.
В этом случае простое радикальное расширение К имеет
вид Я (9). Другой крайний случай возникает тогда, когда
а=1. В этом случае в качестве корня 6 мы можем принять
число 1, откуда следует, что /С = Р (С). (Заметим, что урав-
уравнение A) неприводимым не предполагается.)

1. ПРОСТЫЕ РАДИКАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 75
Являясь полем разложения, поле К = Р(^., 8) нормально,
и поэтому мы можем говорить о его группе Галуа О (К, Р).
Пусть 5 — произвольный автоморфизм из группы Галуа
О (К, Р). Так как число С является корнем многочлена
х"—1, то число С5 также будет корнем этого многочлена
(см. ч. I, гл. 3, п. 2). Следовательно, найдется такое число а,
что
V = (.a. C)
Если бы число V было корнем многочлена хт—1, где
т < я, то и число X, = ^,a"f~l также было бы корнем мно-
многочлена хт—1, т. е. было бы корнем из единицы степени
т < я. Но это невозможно, так как по условию число С
является первообразным корнем степени я из единицы. Сле-
Следовательно, число Са не может быть корнем из единицы
степени т, меньшей п, т. е. является первообразным корнем
степени п. Поэтому число а взаимно просто с числом п
(см. Курс, стр. 129).
Далее, так как число 8 является корнем уравнения A),
то и число 85 также будет корнем уравнения A), т. е.
найдется такое число Ь, что
8« = С*8. D)
Таким образом, каждому автоморфизму 5 ? О (К, Р) соот-
соответствует пара чисел а и Ь, причем число а взаимно просто
с числом я. Это соответствие не однозначно, ибо, например,
пара (av b{), где числа а1 и bl отличаются от чисел а и b
на, число, кратное я, также соответствует тому же автомор-
автоморфизму 5. Разберем этот вопрос подробнее.
Пусть пары (а, Ь) и (а,, Ь{) соответствуют одному и
тому же автоморфизму 5, т. е. пусть
Тогда
то есть
Св-в' = 1. ?*-*¦= 1.
Так как С — первообразный корень степени я из единицы,
то эти равенства возможны тогда и только тогда, когда

76 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
разности а — а1 и Ь — bl делятся на п, т. е. когда числа аи
b сравнимы по модулю я соответственно с числами ах и Ьх.
Другими словами, пары (а, Ь) и (alt bx) тогда и только
тогда соответствуют одному и тому же автоморфизму
S?Q(K, P), когда эти пары принадлежат одному классу
в смысле гл. 1, п. 5, т. е. определяют один и тот же эле-
элемент [а, Ь] группы Мп. Таким образом, если мы каждому
автоморфизму 5 из группы Галуа О (К, Р) отнесем элемент
[а, Ь\ группы Мп, где числа а и b определяются из фор-
формул C) и D), то мы получим однозначное отображение
группы О (К, Р) в группу Мп. Мы будем обозначать это
отображение буквой <р:
=[о, Ь\.
Оказывается, что отображение <р гомоморфно. Действи-
Действительно, если <рE)=[а, Ь] и <рG) = [с, d], т. е. если
то
Таким образом,
<р-EГ) = [ас, bc + d],
то есть
Найдем ядро гомоморфизма <р. Если автоморфизм
5 ? О (/С, Я) принадлежит ядру гомоморфизма <р. то
т. е. автоморфизм 5 оставляет на месте элементы С и 8.
Следовательно, автоморфизм 5 оставляет на месте и любой
многочлен (с коэффициентами из Р) от элементов С и б.
Поэтому, поскольку любой элемент поля /С = Р (С, б) выра-
выражается в виде многочлена от С и б, автоморфизм 5 оставляет
на месте любой элемент поля К, т. е. S = E. Таким обра-
образом, ядро гомоморфизма <р состоит только из тождествен-
тождественного автоморфизма Е, т. е. <р является мономорфизмом.
Другими словами, ср осуществляет изоморфное отображение

2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 77
группы О (К, Р) на некоторую подгруппу группы Мп. Так
как группа Мп (а потому и любая ее подгруппа) разрешима,
то отсюда вытекает, что
группа Галуа простого радикального расширения
является разрешимой группой.
Если С?Р, т. е. если K = P(Q), то образ мономор-
мономорфизма ср содержится, очевидно, в подгруппе Nn группы Мп,
состоящей из элементов вида [1, Ь]. Так как эта подгруппа
изоморфна группе Zn, то отсюда следует, что
если С ? Р, то группа Галуа простого радикального
расширения /( —РF) является циклической группой,
порядок которой делит число п.
В «противоположном» случае, когда а=1, т. е. когда
/С = Я(С) и 6 = 1, образ мономорфизма <р содержится в под-
подгруппе группы Мп, состоящей из всех элементов вида
[а, 0]. Так как эта подгруппа изоморфна, очевидно, группе z'n,
то отсюда следует, что
группа Галуа простого радикального расширения
К = Р{{.) поля Р, где С — первообразный корень степени п
из единицы, изоморфна некоторой подгруппе группы Z'9
и потому абелева.
2. Циклические расширения
Нормальное расширение К поля Р называется цикличе-
циклическим расширением, если его группа Галуа G(K, P) является
циклической группой. Примером циклического расширения
может служить простое радикальное расширение, определяе-
определяемое двучленным уравнением степени п, при условии, что
основное поле Р содержит первообразный корень степени п
из единицы (см. п. 1). Степень т этого расширения, вообще
говоря, меньше я. Равенство т — п имеет место тогда и
только тогда, когда уравнение A) из п. 1, определяющее
данное простое радикальное расширение, неприводимо.
Целью этого пункта является доказательство следующего
«обратного» утверждения.
Если поле Р содержит первообразный корень степени п
из единицы, то любое его циклическое расширение К
степени п является простым радикальным расширением,
которое определяется неприводимым двучленным урав-
уравнением степени п.

78 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
Доказательству этого утверждения мы предпошлем не-
несколько предварительных замечаний.
Пусть С — первообразный корень степени я из единицы,
а 5 — некоторая образующая группы О (К, Р) (эта группа,
по предположению, циклична, т, е. ее элементы исчерпы-
исчерпываются степенями 5° = ?| S1 S"'1). Любому элементу а
поля К отнесем элемент
(С', .)=.« +С'а* +СV+ ... +!;(я-1)'а5Я~1.
т. е. элемент
(С, а)=2С*'а*\
ft=0
где t — некоторое целое число. Элемент (С', а) мы будем
называть резольвентой Лагранжа элемента а, соответ-
соответствующей числу t.
В первую очередь мы рассмотрим резольвенту
соответствующую числу 1.
Так как а?/(, то Р(а)оК. Следовательно, в соответ-
соответствии Галуа полю Р(а) отвечает некоторая подгруппа Н
группы О {К, Р) (именно, H=Q(K, P (а)). Являясь под-
подгруппой циклической группы, группа Н циклична. За ее
образующую можно принять элемент Sd, где d — индекс
подгруппы Н. Так как S??H=Q{K, P(a)), то а5<* = а и,
следовательно, a5 =as для любых / и j. Поэтому,
обозначая через т = n/d порядок подгруппы Н, мы полу-
получим, что
л-1 т-\ d-\
(С, а) = 2 С*а«* = 2 2 Vd+i*s +J =
ft = 0 i = 0 jt=0
tn-l d-\ d-\ m-\
Но если d Ф п, то Cd Ф 1, и потому

2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
79
ибо Ся = 1. Таким образом, если d Ф п, то (С, а) = 0. Сле-
Следовательно, если (С, а) Ф О, то d — n. С другой стороны,
равенство d — n означает, что Н==Е, т. е. что Р(а) = /С.
Тем самым доказано, что
если (С, а)фО, то Р(а,) = К.
В связи с этим утверждением естественно возникает
вопрос о существовании таких элементов а ? К, что (С, а) =/= 0.
(Следует иметь в виду, что из Р (а) = К еще не вытекает,
что (С, а) =? 0.) Для ответа на этот вопрос мы восполь-
воспользуемся теоремой, доказанной в ч. I, гл. 1, п. 7. Согласно
этой теореме в поле К существует такой элемент 9, что
Так как [К: Р] = п, то 6 является корнем неприводимого
уравнения степени я. Мы покажем, что хотя бы одна из
резольвент
(С, 8), (с, е2) (се") О)
отлична от нуля.
Действительно, если все резольвенты A) равны нулю,
т. е. если
¦Vя-' =0,
я_1/ n-\\Sn~i
то, поскольку
определитель
л-1
= 0,
1
8
82
оЛ-1
1
(б2M
.. 1

80
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
равен нулю (его столбцы линейно зависимы). С другой сто-
стороны, так как отображение 5 является автоморфизмом, то
для любых / и J.
Следовательно, написанный выше определитель можно пере-
переписать в следующем виде:
1 1 ... 1
B)
б"
,л-1\Л-1
""' ... FS"")'
Полученный определитель представляет собой определитель
Вандермонда элементов б, 6s 6s" (см. Курс, стр. 50).
Как известно, он равен произведению всевозможных раз-
разностей этих элементов. Но мы знаем, что среди этих эле-
элементов нет одинаковых (ибо если 6s =6^, то 5'= 5-';
см. ч. I* гл. 3, п. 3). Поэтому определитель B) отличен
от нуля. Однако выше было показано, что он равен нулю.
Полученное противоречие доказывает, что все резольвенты A)
не могут быть одновременно равны нулю.
Таким образом,
в поле К существует такой элемент а, что
(С. «) Ф 0.
Рассмотрим теперь для элемента а с (?, а) Ф 0 резоль-
резольвенту (?', а), соответствующую произвольному целому числу t.
Применяя к резольвенте
, мы по-
поавтоморфизм 5 и учитывая, что
лучим, что
= C (ибо
(ибо Sn = E), т. е.
C)

2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 81
(ибо ^п'1 = ^'1). В
частности,
(С, аM=Г1(!:. а).
Возводя это равенство в t-ю степень и учитывая, что S
является автоморфизмом, мы получим, что
((С,«У)» = С-'(С.«)'. D)
Разделив равенство C) на равенство D) (напомним, что по
условию (С, а) Ф 0), мы получим, что
I (С, а)') (С,»)''
т. е. автоморфизм 5 оставляет на месте число
Ясно, что любая степень автоморфизма 5 также оставляет
число ct на месте. Другими словами, любой элемент группы
О (К, Р) (т. е. любой автоморфизм поля К над полем Р)
оставляет число с, на месте (ибо вся группа О (К, Р) ис-
исчерпывается, по определению, степенями автоморфизма 5),
и следовательно, ct?P (см. ч. I, гл. 3, п. 4). Тем самым
доказано, что для любого t в поле Р существует такой
элемент ct, что
(?, а) = с, (С, а)'.
Следовательно, все элементы (С', а) принадлежат полю Я(C),
где р = (С, а).
Найдем теперь сумму всех резольвент Лагранжа (у, а)
для /==0, 1, ..., п—1. Имеем
/1-1 /1-1 /1-1 Я-1 /1-1
2 К'.«) = 2 2 № = 2 «s 2 с*'. E)
Но если С* =? 1, т. е. если А =? 0, то
/i-i
<=о

82 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
ибо ?п=1. Таким образом, в сумме C) отличны от нуля
только члены, соответствующие k = О, т. е.
. п-1
2 (С, о)==по.
Поскольку (?', a)?P(C), из этой формулы следует, что
?Рф), так что Я(а)сЯ$), т. е.
ибо К = Р(а).
Так как, с другой стороны, Р(ф)сК (ибо j3 ? AT), то
Наконец, полагая в формуле D) t = n и учитывая, что
?"=1, мы получим, что
откуда следует (см. выше аналогичные рассуждения для
чисел с(), что Р"?Я. Таким образом, полагая с = рл, мы
видим, что число C является корнем двучленного неприво-
неприводимого (почему?) уравнения
хп — с = 0, где с ? Р.
Тем самым доказано, что поле К является простым ради-
радикальным расширением, определяемым неприводимым дву-
двучленным уравнением, т. е. доказано сформулированное
в начале этого пункта утверждение.
Строение циклических расширений в общем случае (когда
основное поля Р не содержит нужных корней из единицы)
будет изучено в п. 4.
3. Радикальные расширения
Расширение К основного поля Р называется радикаль-
радикальным расширением, если существует такая цепочка " .
P = LoczLlcz ... czL^czLfC ... <=Lt = K (I)
вложенных друг в друга подполей поля К, начинающаяся
с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого
/=1, ..., s поле Lt является простым радикальным расши-
расширением поля L^j. Цепочка A) называется при этом ради-

3. РАДИКАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 83
кальным рядом. Подчеркнем, что радикальное расширение
может обладать многими различными радикальными рядами.
Несмотря на то, что в радикальном ряду A) каждое
поле Lt является нормальным расширением поля Lt^x, все поле
может не быть нормальным расширением поля Р. Это свя-
связано с тем, что, вообще говоря, нормальное расширение
нормального расширения не является нормальным расшире-
расширением основного поля.
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
нормальное расширение нормального расширения было нор-
нормальным расширением основного поля, указывается следую-
следующей леммой.
Лемма. Пусть Р— произвольное поле, L — его нор-
нормальное расширение и К— нормальное расширение поля L.
Оказывается, что поле К тогда и только тогда является
нормальным расширением поля Р, когда над полем Р
существует многочлен, полем разложения которого над
полем L является поле К.
Действительно, если поле К нормально над полем Р,
то существует такой многочлен / (х) с коэффициентами из
поля Р, что
где ах ап — все корни многочлена /(*). Тогда
Кс L(*x а„)
(ибо Р с L), ас другой стороны,
L(ax <*¦„)<= К
(ибо LcK и а.г, ..., ап?К). Следовательно,
K = L(ax а„),
т. е. К является полем разложения многочлена f(x) над
полем L.
(Заметим, что нормальность поля L мы в этом рассужде-
рассуждении не использовали.)
Обратно, пусть
K = L(ax а„),
где <*!, .... ая — все корни некоторого многочлена f(x)
над полем Р. Так как поле L, по условию, н'ормально над Р,

84 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
то существует такой многочлен g (х) с коэффициентами из
поля Р, что
где Pi Cm— все корни многочлена g(x). Тогда
K = P(fo P«. <Ч «„)• B)
Так как числа ^ Cm, о^ an исчерпывают все
корни многочлена g{X)f{x), то равенство B) означает, что
поле К является полем разложения многочлена g(x)f(x)
с коэффициентами из поля Р и, следовательно, является
нормальным расширением поля Р. Тем самым лемма пол-
полностью доказана.
Мы будем называть поле К нормальным радикальным
расширением поля Р, если оно является нормальным и
одновременно радикальным расширением этого поля. Связь
нормальных радикальных расширений с произвольными ради-
радикальными расширениями описывается следующей теоремой.
Любое радикальное расширение К поля Р содержится
в некотором нормальном радикальном расширении К.
Мы докажем эту теорему индукцией по длине s ради-
радикального ряда A), которым обладает радикальное расшире-
расширение К. Если s=l, то К является простым радикальным,
а потому и нормальным расширением поля Р. Поэтому
в этом случае за поле К можно принять само поле К.
Предполагая теперь, что теорема уже доказана для всех
радикальных расширений, обладающих радикальными рядами
длины s—1, рассмотрим радикальное расширение К с ради-
радикальным рядом A) длины s. Так как поле L = LS_1 является
радикальным расширением поля Р с радикальным рядом
длины s—1, то, по предположению индукции, существует
нормальное радикальное расширение L, содержащее поле L:
LczL.
По условию поле K = LS является простым радикальным
расширением поля L=LS_V т. е.
K = L(t, 6),
где ? — первообразный корень из единицы некоторой сте-
степени п, а 6 — произвольный корень уравнения
хп — $ = 0, где Р??.

3. РАДИКАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 85
Рассмотрим минимальный многочлен g(x) числа C над
полем Р. Так как поле L нормально и C ? L с: L, то L со-
содержит все корни Pi = p, f}2> ¦•¦• ?/¦ многочлена ?(#). Для
любого /=1, .... г рассмотрим уравнение
Пусть аг — произвольный корень этого уравнения (для 1=1
положим <*1 = 6), и пусть
К=1$., а, а,).
Так как otj = 9, то поле К содержит поле К:
К с К.
Далее, над полем L поле К обладает радикальным рядом
1 = 10 с 11 с ... сХ1_1 <=.\с ... <=Zr = K, C)
где
i,==i,_1(C. а,), 1=1 г
(при /> 1 можно даже считать, что Lt = Lt_x (a(), ибо
^ij с: ij-i). По условию поле Z. является радикальным
расширением поля Р, т. е. обладает радикальным рядом, на-
начинающимся с поля Р и кончающимся полем L. Продолжая
этот ряд рядом C), мы, очевидно, получим радикальный ряд
поля .К, начинающийся с поля Р. Тем самым доказано, что
поле К является радикальным расширением поля Р.
Наконец, рассмотрим многочлен О (х) = g (x"). Коэффи-
Коэффициенты этого многочлена принадлежат полю Р. Так как
О (*) = (*"-?,) ... (*"-рг).
то числа а,, .... аг являются корнями многочлена О(х). Все
остальные корни итого многочлена получаются из корней
а,, .... аг умножением на корни из единицы степени п, т. е.
умножением на степени первообразного корня ?. Поэтому
поле К содержит все корни многочлена О(х), т. е. содержит
его поле разложения Q над полем L. С другой стороны,
L с Q и otj a/-?Q- так чт0 K=L{a.x, .... аг) с Q.
Следовательно, K = Q, т. е. К является полем разложе-
разложения над полем L многочлена О (#). Поскольку поле L является

86 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
нормальным расширением поля Р, а многочлен О(х) является
многочленом над полем Р, то отсюда, согласно лемме, сле-
следует, что поле К нормально над полем Р.
Таким образом, мы нашли поле К, содержащее поле К
и являющееся нормальным радикальным расширением поля Р.
Тем самым сформулированная выше теорема полностью
доказана.
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа
Пусть К — произвольное нормальное радикальное рас-
расширение поля Р. В его группе Галуа О (К, Р) радикальному
ряду
Р = LQ с Lx с. ... с tH1 с i, с ... с. Ls — K
соответствует ряд подгрупп
О (К. Р) = Я0 = #1= ...э//нэй,э... =Я, = ?, (О
где
И, = О(К, L,), t=l s.
Для любого /=1, .... s рассмотрим тройку полей
Так как поле Lt является нормальным расширением поля Lt_x,
то группа Я, = О (К, Lt) будет нормальным делителем группы
Я,_1 = О(/С, ?;_i). Таким образом, ряд A) является нор-
нормальным рядом.
Далее, факторгруппа Н1_х/Н1 изоморфна группе Галуа
О (Lt, Z,(_i) поля Lt над полем Ll_1, которая, как мы знаем,
разрешима (ибо поле Lt есть простое радикальное расшире-
расширение поля L(_i). Таким образом, ряд A) является нормальным
рядом с разрешимыми факторами. Существование такого
ряда обеспечивает, как мы знаем (см. гл. 1, п. 4), разреши-
разрешимость группы О (К. Р). Таким образом,
группа Галуа любого нормального радикального рас-
расширения разрешима.
Пусть теперь Q — произвольное нормальное подполе
поля К (как всегда предполагается, что Q содержит основное
поле Р). Тогда группа Галуа О (Q, Р) поля Q над полем Р
изоморфна, как мы знаем, некоторой факторгруппе группы

4. НОРМАЛЬНЫЕ ПОЛЯ С РАЗРЕШИМОЙ ГРУППОЙ ГАЛУА 87
О (К, Я). Так как любая факторгруппа разрешимой группы
является разрешимой группой, то, следовательно,
группа Галуа любого нормального подполя произволь-
произвольного нормального радикального расширения является раз-
разрешимой группой.
Оказывается, что верно и обратное:
любое нормальное поле, имеющее разрешимую группу
Галуа, является подполем некоторого нормального ра-
радикального расширения.
Другими словами, нормальными подполями нормальных
радикальных расширений исчерпываются все нормальные
поля с разрешимой группой Галуа.
Мы докажем это утверждение сначала для циклических
полей, т. е. для нормальных полей, имеющих циклическую
группу Галуа.
Пусть Q — нормальное расширение поля Я степени т
с циклической группой Галуа O(Q, P).
Рассмотрим поле
где е — первообразный корень из единицы степени т. Легко
видеть, что поле К нормально над полем Я (доказать!). Так
как поле К является композитом нормальных полей Я(е) И Q,
то, согласно теореме ч. I, гл. 3, п. 7, группа Галуа О {К, Я(е))
изоморфна некоторой подгруппе группы Галуа О (Q, Я). Так
как группа О (Q, Я) по условию циклична, а любая подгруппа
циклической группы является циклической группой, то, сле-
следовательно, группа О (К, Я(е)) является циклической груп-
группой. Ее порядок п = [К '¦ Р'(е)] делит число т, и потому
первообразный корень ? из единицы степени п является сте-
степенью корня ?, т. е. принадлежит полю Я(е):
Таким образом, поле К является циклическим расширением
степени п поля Я(е), содержащим первообразный корень
степени п из единицы. Поэтому, согласно теореме п. 2,
поле К является простым радикальным расширением поля
Я(е). Поскольку последнее является простым радикальным
расширением поля Я, тем самым доказано, что поле К пред-
представляет собой (по построению, нормальное) радикальное
расширение поля Я. Итак, доказано, что любое цикли-

88 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
ческое расширение Q поля Р содержится в некотором
нормальном радикальном расширении.
Перейдем теперь к общему случаю. Пусть Q — нормаль-
нормальное расширение поля Р, имеющее разрешимую группу Галуа
O(Q, P), и пусть
O(Q. P) = H0Z3H1=> ... sffj.pWp ... =>HS = E B)
— произвольный разрешимый ряд группы O(Q, P). Если
s=l, то группа О (Q, Р) циклична и, следовательно, со-
согласно доказанному выше, поле Q содержится в некотором
нормальном радикальном расширении поля Р. Предполагая
теперь, что теорема уже доказана для нормальных полей,
имеющих разрешимую группу Галуа с разрешимым рядом
длины s—1, рассмотрим нормальное поле Q, имеющее раз-
разрешимую группу Галуа с разрешимым рядом B) длины s.
В этом поле подгруппе Н1 группы Галуа соответствует не-
которое подполе L = K{Qt н^
Поле L нормально над полем Р, и его группа Галуа Q(L, P)
изоморфна факторгруппе O(Q, P)IHV т. е. является цикли-
циклической группой. Следовательно, согласно уже доказанному,
поле L содержится в некотором нормальном радикальном
расширении L поля Р. Рассмотрим композит Q полей Q и
L. Как мы знаем (см. ч. I, гл, 3, п. 7), группа Галуа O(Q, L)
композита Q над полем L изоморфна некоторой подгруппе
группы Галуа O(Q, L) поля Q над полем L (за основное
поле мы принимаем здесь поле L). Но O(Q, L) — Hl и, сле-
следовательно, группа O(Q, L), а потому и любая ее подгруппа
(см. гл. 1, п. 4), обладает разрешимым рядом длины s—1.
Поэтому, по предположению индукции, поле Q, а значит и
поле Q, содержится в некотором нормальном радикальном
расширении К поля L. Так как поле L является по построению
радикальным расширением поля Р, то поле К будет радикаль-
радикальным расширением и поля Р. Далее, как мы знаем, радикаль-
радикальное расширение К содержится в некотором нормальном
радикальном расширении К (быть может, совпадающем с К).
Таким образом, мы нашли нормальное радикальное рас-
расширение К поля Р, содержащее данное нормальное расши-
расширение Q с разрешимой группой Галуа. Тем самым сформу-
сформулированная выше теорема полностью доказана.

5. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ 89
5. Уравнения, разрешимые в радикалах
Говорят, что корень 6 уравнения
/(*) = 0 A)
над полем Р выражается в радикалах, если существует
радикальное расширение поля Р, содержащее корень 6, т. е.
если вычисление корня 6 сводится к четырем арифметическим
действиям и решению цепи двучленных уравнений. Если все
корни уравнения A) выражаются в радикалах, то говорят,
что это уравнение решается в радикалах.
Оказывается, что
если хотя бы один корень неприводимого уравнения
выражается в радикалах, то уравнение решается в ра-
радикалах.
Действительно, пусть корень б уравнения A) принадлежит
радикальному расширению К поля Р. Как мы знаем, ради-
радикальное расширение К можно расширить до некоторого нор-
нормального радикального расширения К. Так как нормальному
полю К принадлежит один корень неприводимого уравне-
уравнения A), то ему должны принадлежать и все остальные корни.
Таким образом, каждый корень уравнения A) лежит в ради-
радикальном расширении К, т. е. выражается в радикалах.
Нормальное радикальное расширение К, содержащее все
корни уравнения A), содержит и его поле разложения. Сле-
Следовательно, если неприводимое уравнение решается в ради-
радикалах, то его поле разложения содержится в некотором нор-
нормальном радикальном расширении поля Р. Очевидно и обрат-
обратное, если поле разложения уравнения A) содержится в
нормальном радикальном расширении, то уравнение A) раз-
разрешимо в радикалах. Но, как мы видели в предыдущем
пункте, нормальное поле тогда и только тогда содержится
в некотором нормальном радикальном расширении, когда его
группа Галуа разрешима. Следовательно,
неприводимое уравнение тогда и только тогда раз-
разрешимо в радикалах, когда группа Галуа его поля разло-
разложения разрешима.
Принято группу Галуа поля разложения некоторого урав-
уравнения называть группой Галуа этого уравнения. В этой

90 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
терминологии доказанная теорема звучит следующим об-
образом:
неприводимое уравнение тогда и только тогда раз-
разрешимо в радикалах, когда его группа Галуа разрешима.
Задача. Доказать эту теорему и для приводимых урав-
уравнений. (Указание: предварительно доказать, что композит
радикальных расширений является радикальным расширением.)
Подчеркнем, что доказанные в этой главе теоремы по-
позволяют для любого уравнения с разрешимой группой Галуа
эффективно построить радикальное расширение, содержащее
его корни, т. е. эффективно выразить его корни через ра-
радикалы. (Пример такого построения см. ниже, гл. 4, п. 4.)

ГЛАВА 3
ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ
В РАДИКАЛАХ
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок
Напомним (см. Курс, стр. 30), что подстановкой назы-
называется взаимно однозначное отображение некоторого конеч-
конечного множества М на себя. Число п элементов этого мно-
множества называется степенью подстановки. Так как природа
элементов множества М не играет в дальнейшем никакой
роли, то мы можем считать, что множество М состоит из
чисел 1, 2 п.
Если при данной подстановке а число j переходит
в число /., то подстановку обозначают символом
1 2 ... п'
i к ¦ ¦
В этой записи числа 1, 2 п можно произвольным
образом переставлять (соответственно переставляя числа iv
t2, ..., tn): если jv У2, ..., jn— произвольная перестановка
чисел 1, 2, .... п, то символ
7i h • • ¦ Jn
.0, 0, • • • h
обозначает ту же подстановку а.
Результат последовательного выполнения двух подстано-
подстановок а и b (одной и той же степени) также, очевидно, является
подстановкой. Эта подстановка называется произведением
подстановок а и b и обозначается через ab. Подчеркнем,
что подстановка ab получается при выполнении сначала

92 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
подстановки а, а затем подстановки Ь. Это замечание сущест-
существенно, так как при я > 2 умножение подстановок неком-
некоммутативно.
Легко видеть, что умножение подстановок ассоциативно
(см. Курс, стр. 34). При умножении любой подстановки а
на тождественную подстановку
/1 2 ... я\
И 2...я)
подстановка а не меняется:
еа — ае — а.
Кроме того, произведение (в любом порядке) подстановки
'1 2 ... я
а — \
на подстановку
//. /„ ... / \
,) <"
является тождественной подстановкой
а~1а = аа~1 — е.
Все сказанное означает, что
совокупность Sn всех подстановок степени я является
группой.
Единицей этой группы служит подстановка е, а подста-
подстановка, обратная некоторой подстановке а, определяется фор*
мулой A).
Группа Sn называется симметрической группой п-й
степени. Ее порядок равен я!.
Подгруппы симметрической группы Sn называются груп-
группами подстановок степени п. Другими словами, группой
подстановок (степени я) называется группа, элементами ко-
которой являются подстановки одной и той же степени п,
а операцией — умножение подстановок.
После этих предварительных замечаний вернемся к груп-
группам Галуа уравнений.
Пусть ./(х) — произвольный многочлен над основным по-
полем Р, Как мы уже говорили, группой Галуа многочлена f (х)

I. ГРУППА ГАЛУА УРАВНЕНИЯ КАК ГРУППА ПОДСТАНОВОК 93
(или уравнения / (х) = 0) называется группа Галуа G (Q, Р)
его поля разложения Q, т. е. поля
Q = /5(a1 eg,
где (Zj, .... ая — все корни многочлена /(х) (пронумерован,
ные в некотором определенном порядке). Мы будем пред-
предполагать, что многочлен f(x) не имеет кратных корней
(что, очевидно, не уменьшает общности). Как мы знаем (см.
ч. I, гл. 3, п. 2), для любого автоморфизма S?G(Q, Р) и
любого корня cij многочлена f (х) число af также является
корнем этого многочлена, т. е. существует такой индекс kt,
что
Так как автоморфизм 5 является взаимно однозначным ото-
отображением, а все корни <Zj ая различны, то
если /=Н=/. Следовательно, символ
'1 2 ... п
k2 ... kn
является символом некоторой подстановки а степени п. Чтобы
подчеркнуть зависимость подстановки а от автоморфизма,
мы будем обозначать эту подстановку через <?(S). Таким
образом, <р будет некоторым отображением группы G(Q, P)
в симметрическую группу Sn. Очевидно, что для любых двух
автоморфизмов 5, T?G(Q, P) имеет место равенство
т. е. отображение <р является гомоморфизмом. Ядро этого
гомоморфизма состоит, из автоморфизмов, оставляющих на
месте каждый из корней ах ап. Но если автоморфизм
поля Q над полем Р оставляет на месте все корни <Xj an,
то он оставляет на месте и любой элемент, выражающийся
в виде многочлена (с коэффициентами из поля Р) ото^, •...
.... ая, т. е. оставляет на месте любой элемент поля Q =
= Р(ах, .... <хл). Следовательно, ядро гомоморфизма <р со-
состоит только из тождественного автоморфизма Е, т. е. <р
является мономорфивмом. Другими словами, ср осуществляет
изоморфное отображение группы Галуа G(Q,P) на некото-
некоторую группу подстановок. Таким образом, группу Г

94 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
любого уравнения {не имеющего кратных корней) можно
рассматривать как группу подстановок. Степень этой
группы подстановок равна степени уравнения.
Заметим, что мономорфизм <р (а потому и его образ Im <p)
существенно зависит от нумерации корней многочлена/(л:).
Поэтому, рассматривая группу Галуа некоторого многочлена
как группу подстановок, мы не должны менять первоначально
введенной нумерации корней.
§ 2. Разложение подстановок в произведение циклов
Пусть
/1 2 ... п
°~\kl k2 ... kn
— произвольная подстановка степени п. Если для некото-
некоторого I число kt отлично от ;, то говорят, что подстановка а
действительно перемещает число I; в противном случае
говорят, что подстановка а оставляет число I на месте.
Рассмотрим циклическую подгруппу группы Sn, состоя-
состоящую из степеней подстановки а. Если т — порядок этой под-
подгруппы, то она состоит из подстановок
а° = е, а, а2 ат~\
причем все эти подстановки различны. Пусть 10 — произволь-
произвольное действительно перемещаемое подстановкой а число.
Обозначим через lk число, в которое переводит число t0 под-
подстановка а*. Очевидно, что подстановка а переводит число 1к
в число lk+l. Если бы оказалось, что /ft = jft+1, то, приме-
применяя к этому равенству подстановку а~*. мы получили бы,
что to = h< т- е- что подстановка а оставляет, вопреки
предположению, число t0 на месте. Следовательно, все чи-
числа /0, tv ... действительно перемещаются подстановкой а.
Среди этих чисел имеется не более т различных, ибо 1т,
очевидно, равно /0. Если числами
исчерпываются все числа, действительно перемещаемые под-
подстановкой а, то подстановка а называется циклом и обо-
Эначается символом (у, ... 1т^).
В этом случае все числа /0, tv ..., /m_! различны,

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОДСТАНОВОК В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЦИКЛОВ 95
Действительно, если, например, /л = /й+г, где 0 ^ k -\-
т—1, I > О, k^-О, то, применяя к этому равенству
m
подстановку а~к, мы получили бы, что tQ = ii> т, е. что
подстановка а1 оставляет число tQ на месте. Но для любого q
подстановка а~я переводит число / в число /0, подста-
подстановка а1 оставляет число @ на месте и подстановка а4 пере-
переводит число 10 в число tq. Следовательно, подстановка а1 =
= а~яа1ач оставляет на месте любое число iq, т. е., согласно
условию, любое число, действительно перемещаемое подста-
подстановкой а. С другой стороны, любое число, оставляемое
подстановкой а на месте, подстановка а1 также оставляет на
месте. Следовательно, подстановка а1 оставляет на месте все
числа, т. е. al = e, что невозможно, ибо I < т.
Заметим, что для любой системы ;0, 1Х, . .,, 1т_х различ-
различных чисел существует цикл (очевидно, единственный), пере-
переводящий число /0 в число 1Х, число 1Х в число i<i< • • •. число
'т-2 в число 1т_г и, наконец, число 1т_х в число /0. Этот
цикл представляется символом
, . (к к ••• 1щ-\ h ••• Jn-
Vl . к • • • 'О J\ • • • Jn-m,
где 7j Jn-m —все числа из ряда 1, 2, ..., п, отлич-
отличные от чисел 10 tm^v
Заметим еще, что запись цикла в виде (tQtx ... tm-{) не-
неоднозначна. Именно
('О к ¦ ¦ ¦ tm-l) = (h ¦ ¦ ¦ L-l 'о) = • • • = С*-1 'о к ¦ • • 'т-2>.
т. е. запись цикла можно начинать с любого действительно
перемещаемого им числа. С точностью до преобразований
такого рода запись цикла, как легко видеть, однозначна.
Количество т чисел, действительно перемещаемых цик-
циклом а, называется его длиной. Из сказанного выше ясно, что
длина цикла равна его порядку.
Наименьшая возможная длина цикла равна двум. Циклы
длины два называются транспозициями. Транспозиция (ij)
переводит число I в число /, число j — в число ; и оста-
оставляет все остальные числа на месте.
Задача. Доказать, что подстановка, действительно пе-
перемещающая только два числа, является транспозицией.

96 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
Любой .цикл длины т является произведением т — 1
транспозиций.
Действительно,
('о 'l h • ¦ • lm-д = ('о h) Со 9 ¦ ¦ ¦ ('о 'm-l)-
Два цикла называются независимыми, если они не имеют
общих действительно перемещаемых чисел. Очевидно, что
при перемножении независимых циклов порядок множителей
не играет никакой роли (т. е. независимые циклы, как гово-
говорят, перестановочны).
Оказывается, что
любая не тождественная подстановка является про-
произведением независимых циклов.
Мы докажем это утверждение индукцией по числу s
действительно перемещаемых чисел. С этой целью заметим,
во-первых, что число s не может быть равно единице. Дей-
Действительно, если подстановка а переводит число / в число
]Ф1, то число У она не может оставлять на месте, так как
в противном случае два различных числа I и j переводи-
переводились бы подстановкой а в одно и то же число у. Поэтому
s^-2. Если s = 2, то подстановка является транспозицией,
и следовательно, теорема для нее справедлива. Тем самым
начальный этап индукции обоснован.
Предположим теперь, что теорема уже доказана для всех
подстановок, действительно перемещающих менее s чисел,
и рассмотрим произвольную подстановку а, действительно
перемещающую s чисел. Пусть 10 — одно из чисел, действи-
действительно перемещаемых подстановкой а. Применяя к этому
числу изложенное выше построение (т. е. воздействуя на
него степенями подстановки а), мы получим числа l0, tlt ...
. . ., lk, .... действительно перемещаемые подстановкой а
(см. выше). Пусть ^—первое из этих чисел с положитель-
положительным номером, совпадающее с числом ;0. Такое число суще-
существует, так как, например, число tm, где т — порядок под-
подстановки а, равно числу t0. Докажем, что числа /0, tlt ...
..., lq-\ все различны. Действительно, если, например,
tt=:tl+p, то, применяя к этому равенству подстановку а~1,
мы получим @ = ( что в силу минимальности числа q не-
невозможно.
. Поскольку числа /0> 1Х lq_x все различны (и <? > 1,
ибо /q^'i! cm> выше), то мы можем составить

3. ЧЕТНЫЕ ПОДСТАНОВКИ. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА 97
... ^_i). Подстановка a(lQ lx . . . /,_1)~~1 оставляет на месте
все числа, которые оставляются на месте подстановкой а,
а кроме того и все числа /0 /?-1. Таким образом, она
действительно перемещает не более s — q чисел и, следова-
следовательно, по предположению индукции, разлагается в произве-
произведение независимых циклов. Для завершения доказательства
остается заметить, что эти циклы независимы и с циклом
Со h ¦ ¦ • *,-,)•
Так как каждый цикл разлагается на транспозиции, то из
доказанной теоремы следует, что
любая подстановка разлагается в произведение
транспозиций (уже, вообще говоря, не независимых).
Числа, входящие в независимые циклы, на которые раз-
разложена некоторая подстановка, суть числа, действительно
перемещаемые этой подстановкой. Каждый цикл разложения
состоит из тех чисел, которые перемещаются друг в друга
степенями данной подстановки. Таким образом, количество
и строение независимых циклов, на которые разлагается
подстановка, однозначно определяются этой подстановкой.
Другими словами,
разложение подстановки в произведение независимых
циклов однозначно (с точностью до порядка множите-
множителей).
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа
Как мы видели выше, любая подстановка разлагается
в произведение транспозиций. Вообще говоря, одну и ту же
подстановку .можно представить в виде произведения транс-
транспозиций многими различными способами. Например, очевидно,
что
(jk)(lk) = (tj)(jk), если 1Ф], A)
(tj)(lk) = (tk)(Jk), если ]+k B)
(формулы A) и B) выражают, как легко видеть, один и
тот же факт, но в различных обозначениях).
Лемма. Если произведение нескольких транспозиций
равно тождественной подстановке, то число этих
транспозиций четно.
Мы докажем эту лемму индукцией по числу s различных
чисел, входящих в записи данных транспозиций. Наименьшее
4 Зак. 160. М. М. Постников

98 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
возможное значение числа s равно, очевидно, двум. Если
s = 2, то рассматриваемое произведение является степенью
некоторой транспозиции и поэтому равно тождественной
подстановке только тогда, когда показатель степени четен
(ибо любая транспозиция имеет порядок 2). Таким образом,
в случае s = 2 лемма доказана.
Предполагая теперь, что лемма уже доказана для любого
произведения транспозиций, записи которых содержат ме-
менее s различных чисел, рассмотрим некоторое, равное тож-
тождественной подстановке произведение транспозиций
i).,.(l2g-ll2l!) = e, C)
в записи которых входит ровно s различных чисел. Пусть
I — одно из этих чисел. Пользуясь соотношением A) и тем,
что независимые транспозиции перестановочны, мы можем
«переместить вперед» все транспозиции, в запись которых
входит число /, т. е. перейти от произведения C) к рав-
рому произведению вида
в котором все числа kx, k2, .... k2r отличны от числа I.
Если /? > 1, то, пользуясь соотношением B) или соотноше-
соотношением
(lj)(lj) = e, E)
мы можем от произведения D) перейти к произведению
такого же вида, но с меньшим р. В результате ряда таких
преобразований мы либо полностью уничтожим все транспо-
транспозиции, в записи которых входит число I, либо получим про-
произведение, содержащее только одну такую транспозицию:
Но это произведение переводит, очевидно, число jx в чи-
число ; и потому не может быть тождественной подстановкой.
Следовательно, последний случай невозможен. Таким обра-
образом, в результате наших преобразований мы получим равное
тождественной подстановке произведение транспозиций, за-
записи которых не содержат числа I. Никаких новых чисел
записи этих подстановок, очевидно, не содержат. Следова-
Следовательно, согласно предположению индукции, в это произве-
произведение входит четное число транспозиций. Остается заметить,

3. ЧЕТНЫЕ ПОДСТАНОВКИ. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА 99
что при описанных преобразованиях число транспозиций
либо не меняется (когда мы пользуемся соотношениями A),
B)), либо уменьшается на две единицы (когда мы пользуемся
соотношением E)). Поэтому исходное произведение C) также
состоит из четного числа транспозиций. Тем самым лемма
полностью доказана.
Пусть теперь некоторая подстановка а двумя способами
разложена в произведение транспозиций:
(первое разложение содержит р транспозиций, а второе q).
Тогда
(h к) ••• (i2p-ihp)(h<,hg-d • • • (Л А) = аа-* = е,
и, следовательно, по доказанной лемме, число р-\- q четно.
Таким образом, числа р и q либо одновременно четны,
либо одновременно нечетны. Другими словами,
при всех разложениях подстановки в произведение
транспозиций четность числа этих транспозиций будет
одна и та же.
Подстановка называется четной, если она разлагается
в произведение четного числа транспозиций, и нечетной —
в противном случае. Согласно доказанной теореме, четность
подстановки не зависит от выбора' ее разложения в произ-
произведение транспозиций.
Любая транспозиция, или вообще любой цикл четной
длины, является нечетной подстановкой, а любой цикл не-
нечетной длины, в частности любой цикл длины 3, является
четной подстановкой. Тождественная подстановка, очевидно,
четна.
Если
— разложение подстановки а в произведение транспозиций,
то
«-^(/л-хь.-адад.
откуда следует, что
подстановка, обратная-четной подстановке, четна,
обратная нечетной — нечетна,

100 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
Далее, если
то
аЬ =- (/, у ... (/,_, Q(Л Л) • • • (/,_, Л).
Поэтому
произведение двух четных или двух нечетных под-
подстановок является четной подстановкой; произведение
четной и нечетной подстановок является нечетной под-
становкой.
Отсюда следует, что совокупность всех четных подста-
подстановок (данной степени п) является подгруппой симметриче-
симметрической группы Sn. Эта подгруппа обозначается через Ап и
называется знакопеременной группой степени п.
Так как для любой четной подстановки а и произвольной
подстановки b произведение bab 1 является четной подста-
подстановкой, то знакопеременная группа Ап является нормальным
делителем симметрической' группы Sn. Так как для любых
двух нечетных подстановок а и b подстановка oft четна,
т. е. принадлежит группе Ап, то все нечетные подстановки
образуют один смежный класс по подгруппе Ап. Следова-
Следовательно, факторгруппа SJAn состоит только из двух элемен-
элементов, т. е. имеет порядок 2. Поэтому
порядок группы Ап, т. е. число четных подстано-
1 .
вок степени п, равен -к п\
4. Строение знакопеременной и симметрической групп
Изучим строение группы Ап при различных значениях п.
Для п == 2 знакопеременная группа состоит только из
тождественной подстановки е.
Для п ~ 3 знакопеременная группа имеет порядок -^ 3! = 3
и, следовательно, циклична. В качестве ее образующей
можно принять любую четную подстановку (например, цикл
A.2,3)).

4. СТРОЕНИЕ ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ И СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУПП 101
Для га = 4 знакопеременная группа имеет порядок
2-41 = 12 и состоит из следующих элементов:
= A2) C 4). *2 = з
= A2 3), «, = A2 4), в3 = A3 2). s4 = (l 3 4),
Легко проверяется, что
Следовательно, подстановки е, tv t2, t3 образуют подгруппу
группы Ап. Эта подгруппа называется клейновской группой
и обозначается 54. Группа 54 абелева и имеет порядок 4.
Далее легко проверить, что
i" =h, S2/2S2" =/l. S2^S2"
~ =/3. Яз^з" ==Л. «з^звз"
=t2, S4/2S4" =/3. SfaSi
h s^S = t Shse
X — h, , srf2sfl —1\, sfasf1 — t2.
Следовательно, группа fi4 является нормальным делителем
группы Л4. Соответствующая факторгруппа AJB имеет по-
порядок 3 и поэтому является циклической группой.
Так как группа В4 абелева, то любая ее подгруппа, на»
пример циклическая подгруппа С4 второго порядка, состоящая
из тождественной подстановки е и подстановки tx, является
нормальным делителем (группы 54, но не всей группы Л4).
Порядок факторгруппы BJCi равен двум, и следовательно,
эта факторгруппа является циклической группой.
Таким образом, цепочка подгрупп

102 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
является разрешимым рядом группы Л4. Тем самым дока-
доказано, что группа А, разрешима.
Группы А2 и А3 также, очевидно, разрешимы. Таким
образом,
для га ^ 4 группа Ап разрешима.
Рассмотрим теперь "случай га ^5. Пусть N — произволь-
произвольный нормальный делитель группы Ап, отличный от е. По-
Поскольку N Ф е, то в N существует хотя бы одна подста-
подстановка t Ф е. Разложение подстановки / в произведение не-
независимых циклов может иметь одну из следующих четырех
форм:
1) * = (*„*!/2*з •••)(•¦•)••• (имеется цикл длины > 4);
2) t = (i0i1l2)(l3li ...)(...)...(имеется цикл длины 3 и
еще другие циклы);
3) t = (t0 tt i2) (подстановка t является
циклом длины 3);
4) t = (loll)(i2к)(•¦•)••• (подстановка t разла-
разлагается в произведение не-
независимых транспозиций)
(подстановка t четна и поэтому не может быть транспози-
транспозицией; многоточия обозначают некоторые числа или циклы,
которые могут и отсутствовать). Так как N является нор-
нормальным делител"ем, то для любой четной подстановки г
подстановка rtr~x, а следовательно, и подстановка rtr~xt~l
принадлежат ЛЛ В зависимости от того, какую из указан-
указанных выше форм имеет подстановка t, мы выберем подста-
подстановку г следующим образом:
2) . г = (/, i2 l4);
3) г = (/, 12 1г);
4) r = (/, t2 к)-
Сосчитав в каждом из четырех случаев подстановку
s = rtr t l, мы получим, что
1) s = (/0 i2 l3);
2) • s = (/0 /3 /, l2 /4);
3) s = (l0 /3) (/, i2);
4) « = (<^ i2) (/, ty,

4. СТРОЕНИЕ ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ И СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУПП 103
Таким образом, если в нормальном делителе N сущест-
существует подстановка t вида 1), то существует и подстановка
вида 3). Если же существует подстановка вида 2), то су-
существует подстановка вида 1) и, следовательно, по только
что сказанному, подстановка вида 3). Наконец, если су-
существует подстановка вида 3) или 4), то существует под-
подстановка, являющаяся произведением точно двух независи-
независимых транспозиций. Таким образом, в N обязательно су-
существует подстановка, являющаяся произведением точно
двух независимых транспозиций. Пусть это будет подста-
подстановка (Л/гКЛЛ)-
Пусть теперь (k1k2)(k3ki) — произвольная подстановка,
являющаяся произведением двух независимых транспозиций.
Рассмотрим подстановку
0 = 1 / / / /
где на месте точек стоят произвольные числа (конечно,
в верхней строчке эти числа отличны от чисел kv k2, kv kit
а в нижней — от чисел j\, j2, j3, y). Легко видеть, что
Of I I \ ( I I \ n~ 1 (b b \ tb b \
Ul J2> U3 JV u —\K1 K2> \K3 KV-
Кроме того, обозначая для упрощения формул подстановку
a(j\j2) через Ь, мы получим, что
b (У 1 Л) (Уз Л) ^ ~ а (У 1J2) U\ Л) (Л Л) (Л Л) а~х ==
то есть, что
Подстановки а и Ь, отличаясь транспозицией, имеют раз-
различную четность, т. е. одна из них четна, а другая нечетна.
Обозначим четную из подстановок а и b через с, т. е. по-
положим с = а, если подстановка а четна, и с = Ь, если под-
подстановка b четна. По доказанному
Так как (/, у2) (у3 У4) ? N, с?Ап, а N является, по условию,
нормальным делителем в Ап, то отсюда вытекает, что
^. Таким образом, мы доказали, что нормаль-

104 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
ный делитель N содержит все подстановки, являющиеся
произведениями двух независимых транспозиций.
Рассмотрим теперь подстановку, являющуюся произведе-
произведением двух зависимых транспозиций. Такая подстановка имеет
вид (j\ j2) (Ji j3). Так как по условию п ^ 5, то существуют
два различных числа 1Х и 12, не превосходящих п и отлич-
отличных от чисел Ji, j2 и Д. Подстановки UxJddx к) и Ci к) U\Ja)<
являясь произведениями двух независимых транспозиций, по
доказанному принадлежат нормальному делителю N. Но
(Л Л) (*i к) ¦ (h к) C/i Л) = СУг Л) C/i Л)
и, следовательно, подстановка (Л Л) (Л Л) также принадле-
принадлежит N. Таким образом, нормальному делителю N принад-
принадлежит любая подстановка, являющаяся.произведением двух
произвольных транспозиций, а следовательно, и любая под-
подстановка, являющаяся произведением произвольного четного
числа транспозиций, т. е. любая четная подстановка. По-
Поэтому нормальный делитель N содержит все четные под-
подстановки, т. е. N = Ап.
Таким образом, если N^e, то N=An. Другими сло-
словами, группа Ап не имеет никаких нормальных делителей,
кроме тривиальных, т. е. является простой группой. Итак,
мы доказали, что
для п^-5 знакопеременная группа Ап проста и, сле-
следовательно, неразрешима (ибо простые разрешимые группы
исчерпываются циклическими группами простого порядка).
Заметим, что для я = 2 и « = 3 группа Ап, очевидно,
также проста.
Из доказанных результатов относительно группы Ап не-
немедленно вытекает, что
для п^4 симметрическая группа Sn разрешима (ибо
она обладает следующим разрешимым рядом:
S2=>e, если я = 2,
53z>i43Z)e, если я = 3,
54z>/l4zM4z)C4z)e, если я = 4),
а для п^5 группа Sn неразрешима (ибо она содержит
неразрешимую группу Ап).

5. ПРИМЕР УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППОЙ ГАЛУА 105
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа
Группа О подстановок степени га называется транзи-
транзитивной, если для любых двух чисел /, j (конечно, предпо-
предполагается, что \ *Ci, j *Cn) в группе О существует хотя бы
одна подстановка, переводящая число I в число у. Значе-
Значение транзитивных групп для теории Галуа объясняется сле-
следующей теоремой.
Группа Галуа неприводимого многочлена транзи-
тивна.
Для доказательства достаточно заметить, что если мно-
многочлен /(х) неприводим, то все его корни а,, .... а„ соп-
сопряжены между собой, и поэтому для любой пары корней а,,
olj в поле Q = P(a,, .... а„) существует автоморфизм
(над Р), переводящий корень а, в корень а, (см. ч. I, гл. 3,
п. 5).
Задача. Доказать, что многочлен, имеющий транзитив-
транзитивную группу Галуа, неприводим.
Не имея в виду изучить любые транзитивные группы,
мы ограничимся рассмотрением групп, содержащих хотя бы
одну транспозицию.
Пусть транзитивная группа О содержит транспози-
транспозицию (^2)> Кроме этой транспозиции, группа О может со-
содержать и другие транспозиции вида (tj). Пусть
(hhlihh) (Mm)
— все транспозиции вида (tj), содержащиеся в группе О.
Тогда группа О не содержит ни одной транспозиции вида
(Jiq), «7=1. 2 m.
для которой число j отлично от чисел lx, t2, .... im (транс-
(транспозиции вида (lp iq), где 1 < р, q < m, группа О содержит,
ибо {lplq) — (lilp){l\lq){l\ip))- Действительно, Amq~\ это
очевидно, а для q > 1 из соотношений {j ip)^O и (ix j) =
— (/[^ (j lq){i1 tq) вытекает, что, вопреки условию, (tJ)?O.
Если теперь т < п, т. е. если существует число J -^ га,
отличное от чисел 1Х, .... 1т, то, поскольку группа О тран-
зитцвна, в ней существует хотя бы одна подстановка а,

106 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
переводящая число ^ в число у. Пусть
к ¦ •¦ 1т • ¦
а= . . . .,
J\Ji •¦¦ Jm--- J
где
Из доказанного выше следует, что ни одно из чисел
jx jm не равно ни одному из чисел tlt t2 tm, ибо
подстановка a {lxiq) о = UJq) — UJq) принадлежит группе О.
Следовательно, 2т <; п.
Если 2т < /?, то существует число k ^.п, отличное как от
чисел 1и ..., 1т, так и от чисел j\, ..., ym. В силу тран-
транзитивности группы О в ней существует хотя бы одна под-
подстановка Ь, переводящая число tl в число k. Пусть
к ••• 1т ••
x k2 . .. km ..
где
Как и выше, доказывается, что ни одно из чисел kx, .... km
не равно ни одному из чисел 1Х, ..., /т. Кроме того,
оказывается, что ни одно из чисел ku .... km не равно ни
одному из чисел у, jm. Действительно, если, напри-
например, kp = jq, то группа О содержит транспозицию
aft (/,/,)fte~! = (*'/,).
где fe' — число, переводящееся подстановкой а в число k,
что невозможно, ибо число k'', очевидно, отлично от чисел
tlt .... lq. Следовательно, Ът ^ п.
Если Зт < п, то аналогичным построением мы можем
найти т чисел 1Х, .... /т, отличных от всех ранее найден-
найденных, и тем самым доказать, что Am ^. п. Процесс построе-
построения новых чисел остановится лишь тогда, когда мы исчер-
исчерпаем все п чисел 1, 2 п. Но так как на каждом шаге
мы добавляем ровно т чисел, то такое исчерпание возможно
лишь тогда, когда т делит п. С другой стороны, процесс
должен обязательно остановиться, ибо число п конечно. Тем
самым мы доказали, что число т делит число п (степень
группы О),

5. ПРИМЕР УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППОЙ ГАЛУА 107
Так как т ^> 2, то отсюда следует, что в случае, когда
п — простое число, число т должно совпадать с п. Таким
образом, в этом случае числа lx tm исчерпывают все
числа 1,2, .... п, и потому группа О содержит любую
транспозицию (г/) (ибо (I J) = (ix i)(ix j){ix l)). Следовательно,
Q~Sn, потому что каждая подстановка разлагается в про-
произведение транспозиций. Тем самым доказано, что
транзитивная группа простой степени, содержа-
содержащая транспозицию, совпадает со всей симметрической
группой.
Применим эту теорему к задаче отыскания группы Галуа
неприводимого многочлена f (х) простой степени п. Пред-
Предположим, что все корни многочлена f(x) действительны,
кроме двух. Пусть, например, а1Р а2 — не действительные
корни многочлена / (х), а а3 а„ — его действительные
корни. Предположим далее, что основное поле Р состоит
только из действительных чисел (например, является полем R
рациональных чисел). Тогда корни oij и а2 являются, как
известно, комплексно сопряженными числами
Любой элемент а поля Q = P(a1, a2, а3, .... а„) выражается
в виде многочлена (с коэффициентами из Р) от ах, а2, .... а„:
a = g"(ai. а2- аз а/»)-
Так как все коэффициенты этого многочлена являются по
условию действительными числами, то
* = ?(«i. «а. аз а„).
то есть
а = ?(а2, а,, а3, .... а„)
(напомним, что корни а3, .... ал по условию являются дей-
действительными числами), и следовательно, a?Q. Поэтому,
полагая
as = a,
мы получим некоторое отображение 5 поля Q в себя. Из
элементарных свойств операции a->-a (см. Курс, стр. 122)
легко следует, что отображение 5 является автоморфизмом
поля Q над полем Р, т. е. S?O(Q, P)- Подстановка, соот-

108 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
ветствующая автоморфизму S, является, очевидно, транспо-
транспозицией A 2). Таким образом, группа Галуа многочлена f(x)
(рассматриваемая как группа подстановок) является транзи-
транзитивной (ибо многочлен f(x) неприводим) группой простой
степени п, содержащей транспозицию A 2). Поэтому эта
группа совпадает со всей группой Sn. Таким образом, до-
доказана следующая теорема.
Если
1) поле Р состоит только из действительных чисел;
2) многочлен f(x) неприводим над полем Р;
3) степень п многочлена f(x) является простым чи-
числом;
4) многочлен f(x) имеет точно два не действитель-
действительных корня,
то группой Галуа многочлена f(x) является сим-
симметрическая группа Sn.
Примером многочлена над полем R рациональных чисел,
который удовлетворяет условиям этой теоремы, служит
многочлен
где р — произвольное простое число. Неприводимость этого
многочлена следует из критерия Эйзенштейна (см. Курс,
стр. 353). Ряд Штурма для него имеет вид
jc5-f px-\-p, 4x4 + />, Ърх-\-А, 1,
и следовательно, согласно теореме Штурма, многочлен
х5 -)- рх -)- р имеет три действительных корня. Таким об-
образом, этот многочлен удовлетворяет условиям теоремы.
Значит, его группой Галуа является группа 56. Так как по-
последняя группа неразрешима, то уравнение
= 0
неразрешимо в радикалах. Таким образом,
над полем рациональных чисел существуют нераз-
неразрешимые в радикалах уравнения пятой степени.
Так как если все уравнения некоторой степени п раз-
разрешимы в радикалах, то разрешимы в радикалах и все
уравнения любой меньшей степени (почему?), то тем самым
доказано, что

б. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 109
над полем рациональных кисел существуют неразре-
неразрешимые в радикалах уравнения любой степени, большей
или равной пяти.
Для построения таких уравнений достаточно многочлен
х5 -\- рх + р умножить на произвольный многочлен соответ*
ствующей степени.
в. Обсуждение полученных результатов
Изложенные в конце предыдущего пункта соображения
позволяют привести, лишь отдельные примеры неразрешимых
в радикалах уравнений над полем рациональных чисел. При
этом для степеней, больших пяти, получаются обязательно
приводимые уравнения. Таким образом, вопрос о существо-
существовании неразрешимых в радикалах неприводимых уравнений
степеней, больших пяти, остается для нас пока открытым.
Кроме того, остается открытым вопрос о существовании
неразрешимых в радикалах уравнений (хотя бы приводимых)
над полями Р, отличными от поля рациональных чисел.
Для каждого конкретного поля Р (по крайней мере, если
оно состоит только из действительных чисел) примеры таких
уравнений можно пытаться построить, пользуясь теоремой,
доказанной в предыдущем пункте (при этом, конечно, нужно
предполагать, что поле Р не слишком велико, так как,
например, над полем действительных чисел любое уравнение
разрешимо в радикалах, ибо любой многочлен разлагается
на линейные и квадратичные множители). Основная трудность
здесь состоит . в доказательстве неприводимости. Так как
для произвольных полей не существует никаких критериев
неприводимости, то на этом пути нельзя надеяться получить
никаких общих результатов.
Ввиду этих затруднений целесообразно вопрос о разре-
разрешимости в радикалах любого уравнения данной степени п
над данным полем Р поставить несколько в иной плоскости,
заменив его вопросом о разрешимости в радикалах общего
уравнения степени п над полем/ Р. При этом под общим
уравнением степени п над полем Р мы понимаем урав-
уравнение
lx«-'+ ... + а„ = 0, A)
где о, ап — независимые переменные, которые мы
мыслим пробегающими независимо друг от друга все элементы

110 ГЛ. 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
поля Р. На этом пути в первую очередь нужно определить,
что значит выражение «уравнение A) разрешимо в радикалах»,
так как определение разрешимости в радикалах, которым
мы пользовались выше (для уравнений с числовыми коэф-
коэффициентами) в этом случае неприменимо.
Первое, естественно возникающее определение разреши-
разрешимости в радикалах общего уравнения A) можно сформули-
сформулировать следующим образом: уравнение A) разрешимо
в радикалах над полем* если существует такая формула:
Я(«1. «2 «„). . B)
содержащая, кроме знаков арифметических действий, только
знаки у , что при любом выборе значений а?, а\, .... а°„^Р
коэффициентов уравнения A) число R (а\, а% а°п) является
корнем уравнения (уже числового!):
(^Ввиду многозначности операции у нужно при этом огово-
оговорить, какие имеются в виду значения корней у ). В формулу B)
могут, конечно, входить и некоторые постоянные числа.
Естественно при этом требовать, чтобы эти числа принад-
принадлежали полю Р.
При этом понимании разрешимости в радикалах общего
уравнения легко видеть, что если общее уравнение степени п
разрешимо в радикалах над полем Р, то и любое (числовое)
уравнение над полем Р разрешимо в радикалах (в нашем
прежнем смысле). Отсюда, в частности, следует, что
над полем рациональных чисел общее уравнение
степени я]>5 неразрешимо в радикалах.
Изложенное определение разрешимости в радикалах
общего уравнения имеет тот недостаток, что оно совершенно
формально и, по существу, никак не связано с общими
понятиями теории Галуа. Поэтому, оставаясь на этой точке
зрения, мы не в состоянии применить развитую выше теорию
к решению вопроса о разрешимости в радикалах общего
уравнения над произвольным полем.
Более содержательная точка зрения состоит в рассмотрении
общего уравнения A) над полем Р (а^, а2, ..., ая) всех
рациональных дробей от переменных ах ап (имеющих

6. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 111
коэффициенты в поле Р). Как было сказано в ч. I, гл. 1, п. 1,
нся развитая выше теория применима не только к числовым
полям, но и к любым подполям некоторого алгебраически
замкнутого поля (характеристики 0). Поэтому, если мы,
рассматривая уравнение A) над полем P(av a2, .... а„),
хэтим применить к нему теорию Галуа, мы должны доказать,
что поле Р{ах, а2, .... ап) содержится в некотором алге-
алгебраически замкнутом поле. Если это будет доказано, то
понятие разрешимости в радикалах, так же как и найденный
выше критерий разрешимости, будет автоматически применимо
к общему уравнению A). Следовательно, определив группу
Галуа этого уравнения, мы немедленно решим вопрос о его
разрешимости в радикалах. Детальному проведению этих
соображений будет посвящена следующая глава.

ГЛАВА 4
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ ОБЩЕГО
УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ л>5
1. Поле формальных степенных рядов
Пусть Р— произвольное поле характеристики 0 (напри-
(например, числовое). Формальным степенным рядом над полем Р
от переменной х называется выражение вида
-\-Oo-\-atX-\- ...+«***+¦•¦• A)
где а_т, а_т+1, .... а0, ах, ..., ak, ...— произвольные
элементы поля Р. Подчеркнем, что ряд A) мы рассматриваем
чисто формально, не накладывая никаких ограничений
на сходимость (к тому же для произвольного (не числового)
поля Р говорить о сходимости ряда A) не имеет смысла).
Среди коэффициентов а_т, ..., а0, .... ак, ... ряда A)
могут быть равные нулю. Мы будем считать, что при
удалении (а значит, и при прибавлении) членов, имеющих
нулевые коэффициенты, ряд A) не меняется.
Степенные ряды можно складывать и перемножать точно
так же, как и многочлены. Легко проверяется, что относи-
относительно сложения и умножения совокупность Р (х) всех
формальных степенных рядов над полем Р от переменной х
является кольцом. Оказывается, что
кольцо Р (х) является полем,
т. е. для любого отличного от нуля степенного ряда /
существует такой степенной ряд g, что /# = 1.
Действительно, любой отличный от нуля степенной ряд
можно записать в следующем виде:
1х+ ... +aHxk+...),

1. ПОЛЕ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 113
где п — некоторое целое число (положительное, отрица-
отрицательное или нуль), а а0Ф0. Определим числа b0, b± **¦•••
из уравнений
а А = ! •
Так как а0ф0, то эти уравнения последовательно позволяют
однозначно определить числа b0, bx bk, ... Положив
теперь
*'
мы, очевидно, получим, что
Тем самым наше утверждение полностью доказано.
Любой многочлен ао-\-ахх-\- ... -\-архр мы можем
(добавляя члены с нулевыми коэффициентами) рассматривать
как степенной ряд. Следовательно, кольцо Р [х] всех много-
многочленов над полем Р от переменной х является подкольцом
кольца Р(х). Но так как кольцо Р (х) является полем,
то вместе с любыми многочленами оно содержит также и
все их отношения, т. е. все дробно-рациональные функции
(рациональные дроби) от переменной х с коэффициентами
из поля Р (этот факт является алгебраическим эквивалентом
того известного обстоятельства, что любая рациональная
дробь разлагается в степенной ряд). Таким образом,
поле Р(х) всех рациональных дробей является под-
полем поля Р(х).
Пусть
/*(*) = *» + /,*»-»+ ...+/„
— произвольный многочлен над полем Р (х) (со старшим
коэффициентом, равным единице). Коэффициентами fx /я
этого многочлена являются степенные ряды над полем Р
от переменной х. Мы будем предполагать, что эти коэф-
коэффициенты не содержат членов с отрицательными степенями
переменной х, т. е. что

114 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
Рассмотрим многочлен (над полем Р)
/70(z) = z" + a10z''-1+ ... + в/10
(этот многочлен получается из многочлена F (z) подстановкой
х = 0). Оказывается, что
если многочлен F0(z) над полем Р разлагается на
произведение двух взаимно простых многочленов
F0(z) = G0(z)H0{z),
то надполем Р(х) существуют такие многочлены О(х)
и H{z), что
G
причем при подстановке х = 0 многочлен О (г) переходит
в многочлен O0(z), а многочлен Н(г)-*-в многочлен H0(z).
Для доказательства мы запишем многочлен F (z) в виде
формального ряда
где
Fk{z) = auz"-i+ ... +ank< ft=li 2
и рассмотрим систему уравнений
Go (z) Я, (z) + Oi {z) Ho (z) = F, (z),
Go (z) H2 (z) + Ol (z) Я, {z) + O2 (z) Ho (z) = F2 (z),
B)
относительно неизвестных многочленов
Ot(z), O2(z) Gk(z) C)
H,{z), H3(z) //*(*)••¦¦• D)
Докажем, что всегда существуют такие многочлены C),
D), что, во-первых, они' удовлетворяют системе B),
а во-вторых, степень каждого многочлена C) меньше
степени р многочлена G0(z), а степень каждого много-

1. ПОЛЕ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 115
члена D) меньше степени q многочлена Но [z). Полагая
с этой целью
Я, (*) = />,(*),
Bk (z) = Fk (z) — Gj (z) Hk_i (z) — G2 (z) Hk_2{z) - ...
••• -Oa-xW
мы перепишем уравнения B) в следующем виде:
О0 (z) Н, (z) + Gx (z) Яо (z) = В, (z),
Go (z) H2 {z) -Ь G2 (z) Ho (z) = В2 (z).
О0 (z) Hk (z) -+- Gk (z) Ho (z) = В, (z),
Предположим теперь, что для некоторого k уже найдены
многочлены Gx{z) Gk_1(z), Hx{z) Hk_x{z), удовле-
удовлетворяющие перечисленным выше условиям. Тогда много-
многочлен Вк (z) мы можем рассматривать как известный нам
многочлен. Степень этого многочлена, очевидно, меньше
чем n = p-\-q.
Так как многочлены O0(z) n_H0(z) взаимно просты,
то существуют такие многочлены Hk(z) и Gk(z), что
(см. Курс, стр. 141). Пусть Нк (г) — остаток от деления
многочлена Hk (z) В,, (z) на многочлен Яо (г):
Н k (z) Bk (z) = Яо (z) Фк (z) + Hk (z).
Тогда
O0 (z) Hk (z) = Go (z) Hk (z) Bk (z) - O0 (z) Ho (z) ФА (z) =
= A - Gk (z) Ha (z)) Bk (z) — O0 (z) Ho (z) Фк (z),
OQ(z)Hk(z)-j-Ok(z)H0(z) = B/!(z),
где
Gk (z) = Gk (z) Bk (z) + Go (z) Фк (z).

116 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
По построению, степень многочлена Нк {z) меньше q и
потому степень многочлена Ок (z) Ho (z) — Bk (z) — O0 (z) Hk (z)
меньше n — p-\-q- Следовательно, степень многочлена Ok{z)
меньше р = л — q.
Заметим, что многочлены Gk{z) и Ик(г) определяются
единственным образом. Действительно, если
О0 (z) Нк (z) + Ok (*) Но (z) = Вк (г)
и
О0 (z) H'k (z) + O'k (z) Но (г) = Вк (г),
где степени многочленов Gk{z) и 0^ (г) меньше р, а степени
многочленов Нк(г) и и'к{г) меньше q, то
О0 (z) (Hk (z) - Н'ь (z)) = (О; (z) - Ok (z)) Ио (z),
откуда следует (в силу взаимной простоты многочленов O0(z)
и Но (г)), что разность Нк {г) — Нк (г) делится на много-
многочлен Н0(г). Поскольку степень многочлена Hk(z) — H'k{z)
по условию меньше степени q многочлена HQ(z), это возможно
только тогда, когда Нк{г) — H'k{z)=-0, т. е. когда Hk{z) =
= #^(г). Аналогично Ок (г) = Ок (г).
Предположение о том, что уже найдены многочлены
G1(z) Oll_1(z), Я] (z) Hk_1(z), нам было нужно
только для того, чтобы рассматривать многочлен Bk(z) как*
известный. Так как многочлен В: (г) нам известен с самого
начала (он равен многочлену Fl(z)), то все изложенные
рассуждения применимы и к случаю k = l. Таким образом,
начиная с k=l, мы можем последовательно (и притом
единственным образом) определить все многочлены C) и D).
Положим теперь
Собирая вместе члены, содержащие одинаковые степени пе-
переменной z, мы видим, что О (г) и H{z) являются много-
многочленами над полем Р (х) (степеней р и q соответственно).
С другой стороны, перемножая (формально) их выраже-
выражения E) и пользуясь соотношениями B), мы, очевидно, по-
получим, что
. 0{z)H{z) =

1. ПОЛЕ ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 117
Тем самым сформулированная выше теорема полностью
доказана.
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение,
легко вытекающее из доказанной теоремы:
если поле Р алгебраически замкнуто, то многочлен
степени л> 1 над полем Р(х), имеющий старший коэф~
фициент, равный единице, приводим, когда выполнены
следующие условия:
1) все его коэффициенты fu .... /„ не содержат
членов с отрицательными степенями переменной х;
2) хотя бы один коэффициент fv .... /„ имеет сво-
свободный член, т. е. содержит член с нулевой степенью
переменной х;
3) хотя бы один коэффициент fx /„ не имеет
свободного члена, т. е. начинается с члена, имеющего
положительную степень относительно х.
Действительно, в силу условия 1) для многочлена F (г)
определен многочлен F0(z) (над полем Р), получающийся из
многочлена F (х) подстановкой дг = О. В силу условия 2)
многочлен F0(z), кроме члена г", имеет еще по крайней
мере один член с отличным от нуля коэффициентом. По-
Поэтому в поле Р существует хотя бы один отличный от нуля
корень а многочлена F0(z) (напомним, что поле Р предпо-
предполагается алгебраически замкнутым). Пусть G0(z) = (z — а)р —
наивысшая степень двучлена z — а, на . которую делится
многочлен F0(z). Таким образом,
F0(z) = O0(z)HQ(z), F)
где многочлен H0(z) взаимно прост с многочленом O0(z).
Это разложение не тривиально, т. е. степень р много-
многочлена G0(z) не равна п. Действительно, если р — п, то
F0(z) = (z — а)" и, следовательно, все коэффициенты мно-
многочлена F0(z) отличны от нуля (напомним, что поле Р ми
предполагаем полем характеристики 0), что противоречит усло-
условию 3). Согласно доказанной выше теореме, разложение F)
определяет некоторое разложение F (z) = О (z) H(г) мно-
многочлена F{z). Тем самым приводимость многочлена F(z)
доказана (ибо степень многочлена О (г) равна р и, следова-
следовательно, меньше и).

118 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
2. Поле дробностепенных рядов
Пусть, как и выше, Р — произвольное поле характе-
характеристики 0. Дробпостепенным рядом над полем Р от
переменной х называется выражение вида
аох*' + ахх~* + ... + akx~* + ..., A)
где п — произвольное целое положительное число, п0, пх, ...
.... пк, ... — возрастающие целые числа
«о < «1 < • • • <пк< ¦•-
(среди них могут быть и отрицательные, но только в ко-
конечном числе), а а0, ах ак, ...—некоторые элементы
поля Р. Если п = 1, то дробностепенной ряд есть не что
иное, как формальный степенной ряд в смысле п. 1. Так же
как и для степенных рядов, мы не считаем различными
дробностепенные ряды, отличающиеся членами с нулевыми
коэффициентами. Дробностепенные ряды можно складывать
и перемножать по тем же правилам, как и формальные сте-
степенные ряды, причем, как легко видеть, относительно опе-
операций сложения и умножения совокупность Р {х} всех
дробностепенных рядов над полем Р от переменной х
является кольцом. Оказывается, что
кольцо Р [х] является полем.
Для доказательства достаточно заметить, что любой
дробностепенной ряд
no fft
/ = аохп Н- ... Н-akxn + ...
можно рассматривать как формальный степенной ряд от
переменной
j
Так как кольцо Р(?) формальных степенных рядов от пе-
переменной 5 является полем, то для ряда /, рассматриваемого
как степенной ряд от ?, существует (конечно, если / Ф 0)
такой степенной ряд g от \, что fg=\. Заменяя в ряде g
1
переменную 5 обратно на х", мы получим (уже дробносте-
дробностепенной) ряд от х, для которого fg=l.

2. ПОЛЕ ДРОБНОСТЕПЕННЫХ РЯДОВ 119
Основное свойство поля Р \х) описывается следующей
теоремой:
Если поле Р алгебраически замкнуто, то и поле Р [х]
также алгебраически замкнуто.
Другими словами, любой многочлен F (г) над полем Р {х}
разлагается на линейные множители.
Для доказательства этого утверждения, очевидно, до-
достаточно доказать, что любой многочлен
над полем Р {х} степени и> 1 приводим. Имея это в виду,
заметим, что без ограничения общности мы можем предпо-
предполагать, что в многочлене F (z) коэффициент ft при zn~l
равен нулю. Действительно, если /t Ф 0, то, введя новое
неизвестное
мы, как легко видеть, получим многочлен с равным нулю
коэффициентом fv С другой стороны, при такой замене
неприводимый многочлен останется неприводимым, а приво-
приводимый — приводимым.
Если все коэффициенты /4 многочлена F(z) равны нулю,
т. е. если F(z) = z", то многочлен F(z) приводим, так что
в этом случае теорема верна. Таким образом, мы можем
• предполагать, что среди коэффициентов fl есть отличные
от нуля. Пусть разложение отличного от нуля коэффи-
коэффициента /; в дробностепенной ряд от переменной х начинается
с члена a\xTl, где ^ =? О, a rt — некоторое рациональное
число (которое может быть и отрицательным). Пусть г —
наименьшее из чисел -~. Тогда для любого / (для которого
rt>lr.
причем равенство достигается хотя бы для одного /.
Произведем теперь замену неизвестного, положив
z = ухг.
Тогда, как легко видеть,

120 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
где
(gi = 0, ибо мы предполагаем, что fx = 0), причем для
любого /
Следовательно, разложение отличного от нуля коэффи-
коэффициента gt начинается с члена
(т. е. члена неотрицательной степени), причем хотя бы для
одного I разложение коэффициента gt имеет свободный член.
Пусть теперь т — наименьший общий знаменатель всех
показателей, с которыми переменная х входит в ряды g2, ...
.... gn. Тогда эти ряды можно рассматривать как фор-
мальные степенные ряды от переменной 1 = хт, а следо-
следовательно, многочлен О (у)— как многочлен над полем Р(Ч).
Очевидно, что этот многочлен (рассматриваемый над по-
полем Р {V}) удовлетворяет всем условиям доказанного в конце
предыдущего пункта предложения (условие 3) для него вы-
выполнено потому, что g"i = 0). Следовательно, над полем Я(Е)
этот многочлен приводим, т. е. представляется в виде про-
произведения некоторых многочленов над полем Р (?), имеющих
положительные степени, отличные от п. Полагая в коэффи-
2
циентах этих многочленов ?= хт, мы, очевидно, получим
разложение многочлена О (у) в произведение многочленов
над полем Р \х): Тем самым доказано, что многочлен О {у)
приводим. Для завершения доказательства остается заметить,
что из приводимости многочлена О (у) немедленно вытекает
и приводимость многочлена F (г). Тем самым алгебраическая
замкнутость поля Р {х\ полностью доказана.
Наряду с дробностепенными рядами от одного неиз-
неизвестного х можно определить дробностепенные ряды от
нескольких неизвестных л^, . .., хп. Совокупность Р {л:,, . ..
..., хп) всех дробностепенных рядов над полем Р от неиз-
неизвестных jfj, .... хп проще всего определить по индукции:
P{*i хп)=Р{х1 хп_х) {хп},
т. е. определить Р\хх> .... хп) как поле дробностепенных

2. ПОЛЕ ДРОБНОСТЕПЕННЫХ РЯДОВ 121
рядов над полем Р[хх ^-i} °T переменной хп. Легко
можно дать прямое (хотя и несколько громоздкое) опреде-
определение поля Р [хг х„). Например, элементами поля
Р [xlt x2}, т. е. дробностепенными рядами от двух неиз-
неизвестных хх и х2, являются выражения вида
Ik "li
S atlX\X2
j
S atlX\X2
j=0
Сложение и умножение таких рядов определяются по оче-
очевидным правилам.
Если поле Р алгебраически замкнуто, то, как мы знаем,
алгебраически замкнуто и поле Р{хх), а потому и поле
Р\х\> хъ) (как поле дробностепенных рядов над алгебраи-
алгебраически замкнутым полем Р{хх)). По аналогичным соображе-
соображениям алгебраически замкнуто поле Р {хх, аг2, хг\ и вообще
любое поле Р [хх хп\. Таким образом,
если поле Р алгебраически замкнуто, то поле
Р {х) хп) также алгебраически замкнуто.
В частности,
поле С [хх хп\ дробностепенных рядов от п пе-
переменных с комплексными коэффициентами алгебраи-
алгебраически замкнуто.
Как мы видели выше, поле рациональных дробей Р(х)
от переменной х над полем Р является подполем поля Р (х)
формальных степенных рядов. С другой стороны, поскольку
любой степенной ряд является также и дробностепенным
рядом, то P(x)czP{x}. Таким образом,
P(x)czP{x}.
Отсюда по индукции легко следует, что вообще для лю-
любого п
, P(xi *я)сР{х, хп].
Следовательно, в частности,
для любого числового поля Р поле рациональных
дробей Р{хх, .... хп) содержится в алгебраически замк-
замкнутом поле С {хх хп\.
Тем самым мы обосновали возможность применения тео-
теории Галуа к уравнениям над полями рациональных дробей
(с числовыми коэффициентами) и, в частности, к общему
уравнению степени п (см. гл. 3, п. 6).

122 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
3. Группа Галуа общего уравнения степени п
Напомним, что под общим уравнением степени п мы
понимаем уравнение вида
x" + aix»-i+ ... +ая = 0, A)
где аг а„ — независимые переменные. Это уравнение
мы рассматриваем как уравнение над полем P = P(av ..., ап)
рациональных дробей от переменных alt ..., ап с коэффи-
коэффициентами из некоторого числового поля Р. Поскольку поле
Р(а1 а„) содержится в алгебраически замкнутом поле
С \av ..., а„}, то, как мы уже неоднократно отмечали,
к уравнению A) применимы все понятия и методы теории
Галуа.
В частности, мы можем говорить о его поле разло-
разложения (над полем Р):
Q^P(tx tn),
где tx tn — корни уравнения A), т. е. некоторые
дробностепенные ряды из поля С [av .... ап). В этом поле
содержится, в частности, поле P(tv ,.., tn):
x tn)czQ.
Но ввиду известных формул Вьета коэффициенты ах, ...
.... ап уравнения A) рационально выражаются через его
корни и поэтому принадлежат полю P(tlt .... tn). Следо-
Следовательно,
tn),
и потому
Таким образом,
.... tn).
Отсюда следует, что любой элемент поля Q выражается
в виде рациональной дроби от элементов tt tn с коэф-
коэффициентами из поля Р. Действительно, совокупность всех
рациональных дробей от элементов tv ..., tn с коэффи-
коэффициентами из поля Р является, очевидно, подполем поля Q,

3. ГРУППА ГАЛУА ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ П 123
содержащим поле Р и элементы tv .... tn. Поэтому в силу
минимальности поля P(tv .... tn) это множество совпадает
со всем полем P(tx tn) = Q.
Оказывается, что
любой элемент поля Q единственным образом вы-
ражается в виде рациональной дроби g коэффициентами
из поля Р.
Действительно, если
/|(<| tn) __/,(< ,tn)
giVi tn) — gi(t, *„)'
TO
Но если дроби — и — различны, то многочлен g2fx—
?\ §2
— g\fi отличен от нуля (т. е. имеет отличные от нуля
коэффициенты). Поэтому если хотя бы один элемент поля Q
двумя разными способами выражается в виде рациональной
дроби от tfj, ..., tn, то над полем Р существует такой от-
отличный от нуля многочлен / от п неизвестных хх, х2, .... хп,
что
Рассмотрим для этого многочлена / все многочлены вида /0
(см. ч. I, гл. 3, п. 1), где
1 2 ...
'i h •••
— произвольная подстановка степени п. По определению
/„(*!. хЛ, .... xn) = f(xh, xlt xln).
Все многочлены fa отличны от нуля, и следовательно, их
произведение F{xx, x2 хп) также отлично от нуля.
Но, как мы знаем (см. ч. I, гл. 3, п. 1), это произведение
является симметрическим многочленом. Следовательно, по
основной теореме о симметрических многочленах (см. Курс,
стр. 322) многочлен F {хх, х2 хп) выражается в виде
некоторого отличного от нуля многочлена (с коэффициен»

124 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
тами из поля Р) от элементарных симметрических много-
многочленов от *; хп. Но при л:( = tt последние много-
многочлены с точностью до знаков совпадают с коэффициентами
ai> ¦ • •• ап уравнения A). Следовательно, над полем Р суще-
существует такой отличный от нуля многочлен g, что
J.... an) = F{t, tn).
С другой стороны, элемент f(^ tn) поля Q является
произведением всех элементов вида fa(tv . . ., tn), где a?Sn.
Так как среди сомножителей этого произведения содержится
равный нулю элемент / (tl tn) = fe (tx tn), то
Следовательно, мы нашли над полем Р такой отличный от
нуля многочлен g, что
Но это невозможно, ибо по условию коэффициенты аи ...
..., ап являются независимыми переменными и никакой
отличный от нуля многочлен над полем Р от них не равен
нулю.
Полученное противоречие доказывает, что предста-
представление любого элемента поля Q в виде рациональной дроби
от tx tn однозначно.
Заметим, что из доказанного утверждения следует, что
see корни t^ tn различны. Действительно, если, на-
например, tl = t2, то существует такой отличный от нуля
многочлен f от п неизвестных хг хп (именно много»
член /(*! хп) =¦ хх — х2), что f(tl *я)=?0. Та-
Таким образом,
общее уравнение A) не имеет кратных корней.
Рассмотрим теперь группу Галуа O(Q, P) поля Q над
полем Р, т. е. группу Галуа уравнения A). (Заметим, что
цоле Q конечно над полем Р (ибо оно является полем разг
ложения некоторого многочлена) и бесконечно над полем Р
(ибо оно содержит элементы ai ап, не удовлетворяю-
удовлетворяющие никакому уравнению); поэтому говорить о группе Галуа
ПОЛЯ Q над полем Р нельзя.)

3. ГРУППА ГАЛУА ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ П 125
Так как уравнение A) не имеет кратных корней, то можно
группу Галуа О(Q, Р) рассматривать как группу подстано-
подстановок (см. гл. 3, п. 1). Более точно: существует естественное
мономорфное отображение группы Галуа О (Q, Р) в симме-
симметрическую группу Sn. Подстановка
1 2 ... п
'2 ••¦',,,
соответствующая при этом мономорфизме автоморфизму
S?G(Q, P), определяется из соотношений
Следовательно, если подстановка а соответствует автомор-
автоморфизму S, то для любого элемента
/(<¦ Ц ,9v
gifx '„) ()
поля Q имеет место равенство
S _ fqjtx tn) ,
Докажем теперь, что рассматриваемый мономорфизм
одновременно является и эпиморфизмом (а значит, и изомор-
изоморфизмом), т. е. что любая подстановка а получается из не-
некоторого автоморфизма S?Q(Q, P).
С этой целью любой подстановке а ? Sn отнесем неко-
некоторое преобразование 5 поля Q, определив его формулой C).
Так как любой элемент поля Q единственным образом запи-
записывается . в. виде B), то формула C) действительно опреде-
определяет некоторое однозначное преобразование поля Q. Легко
видеть, что преобразование S взаимно однозначно (именно
обратное преобразование тем же способом строится с по-
помощью подстановки а) и сохраняет операции сложения
и умножения, т. е. является автоморфизмом поля S. Нако-
Наконец, если элемент B) принадлежит полю Р, т. е. выра-
выражается через аг ап, то многочлены / и g являются сим-
симметрическими многочленами, и потому /e = /, ga = g, т. е.
автоморфизм 5 оставляет элемент B) на месте. Таким обра-
образом, 5 является автоморфизмом поля Q над полем Р, т. е,
S ? O(Q, P). Остается заметить, что соответствующая автомор-
автоморфизму 5 подстановка совпадает,.очевидно, с подстановкой ц,

126 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
Тем самым доказано, что группа Галуа О (Q, Р) изо-
изоморфна симметрической группе Sn, т. е.
группа Галуа общего уравнения степени п над произ-
произвольным полем Р изоморфна симметрической группе Sn
степени п.
Следовательно,
общее уравнение степени п при п^>5 неразрешимо
в радикалах (каково бы ни было поле Р).
Напротив,
если п -^4, то общее уравнение степени п в ради-
радикалах разрешимо.
Последний результат общеизвестен (см. Курс, стр.
233—240), однако небезынтересно вывести известные фор-
формулы решения уравнений степени п<^4 из общих сообра-
соображений теории Галуа.
4. Решение уравнений низших степеней
Рассмотрим сначала квадратное уравнение
x2+-c,jf + aa = 0. A)
Пусть /j, t2 — его корни и Q = C(t{, t2) — его поле разло-
разложения над полем C — C(alt а2) (так как основное поле Р
не играет никакой роли, то мы принимаем за него поле С
комплексных чисел). Группой Галуа уравнения A) является
симметрическая группа 52. Так как эта группа является ци-
циклической группой второго порядка и, следовательно, не
имеет никаких подгрупп, то и поле Q не имеет никаких
промежуточных подполей. Поэтому, например, поле C(tx) сов-
совпадает с полем Q:
Единственный не тождественный автоморфизм 5 поля Q
над полем С переводит корень ^ в корень t2:
(ибо в противном случае 5 = ?).
Согласно общей теории, мы должны составить резоль-
резольвенты Лагранжа. Так как первообразным корнем из единицы

4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НИЗШИХ СТЕПЕНЕЙ 127
степени 2 является число—1, то резольвенты Лагранжа
имеют в нашем случае вид
(-1, t,) = t,-t2,
A, ^) = ^-K2.
Обозначим резольвенту (—1, tx) буквой 0:
Другая резольвента является элементарным симметриче-
симметрическим многочленом
* + '= —«1-
1-
Из равенств tl-\-t2= — а^ и tl — ?2 = 6 вытекает, что
2tl = — al 4-9, 2t2 = — al — B
(что также согласуется с общей теорией; см. гл. 2, п. 2),
т. е. что
Далее,
-д,±6
М,2 = о
92 = t\ + tl — 2txt-i = а\ —
и, следовательно,
Таким образом, мы действительно получили известные фор-
формулы решения квадратного уравнения.
Рассмотрим теперь кубическое уравнение
Полагая
мы приведем его к виду
а:3 -|- рх + q — 0, B)
где
_ а\ 2а?
Р — у h fl2>
(Это преобразование не вызывается существом дела и произ-
производится только для упрощения дальнейших выкладок.)

128 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
Пусть tv t2, t3 — корни уравнения B) и, следовательно,
Q = C(tx, t2, t3), где С = С(р, q) — его поле разложения.
Как мы знаем, группа Галуа 53 этого уравнения обладает
разрешимым рядом
Пусть L — промежуточное поле
CcLcQ,
соответствующее подгруппе А3. Тогда группой Галуа О (Q, L)
поля Q над полем L является группа А3. Эта группа цикли-
циклическая, третьего порядка и ее образующей является, напри-
например, подстановка A 2 3). Пусть 5 — автоморфизм, соответ-
соответствующий этой подстановке:
S 5 5
Так как t\ Ф tx, то tx (? L. Следовательно, поле L(tx)
должно совпадать со всем полем Q:
(почему?). В соответствии с общей теорией мы должны рас-
рассмотреть резольвенты Лагранжа
(P. >l) = h + Ptf + P2ff = t, +.(rfa
(p2, a)=h -\- ?2ti+p4'f=h
(p3. h)=h+p^f+P6tf=t,+P%
где
P— 2
— первообразный корень третьей степени из единицы. Так
как р2 = р и р3 = 1, то
(P. 'O^
(Р2. 'l) = '!
(рз, ^ = ^
Складывая все три резольвенты, мы получим
C)

4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НИЗШИХ СТЕПЕНЕЙ 129
(третью резольвенту мы не пишем, так как она равна нулю).
Этот результат также согласуется с общей теорией.
Согласно общей теории, третья степень резольвенты
(р, ^j) должна принадлежать полю L. Но
(Р O3 'M
+ Зр {ht\ -ь ы1 + htf) + б^з =
= А 4-1\4-4 — \ (t\h + t\tz 4- tlh 4- ^1^2 4-1& 4- ^?) 4-
4- 6*^3 4- ^^-(^я + ^s+^i — ht\ - f»4 - t3tf).
Выражая симметрические многочлены через элементарные
(и учитывая, что tl-\-t2-\-t3 = 0, tlt2 + tlt3-\-t2tz= p,
t1tit3 = — q), мы получим
Ah 4- & 4- *& 4- * a4 4- ^3^1 = 3^.
Wz = — q.
Далее, легко видеть, что
fit* 4 &з 4 &i — *А — ^2^1 — ht\ = 9,
где
0 = (/, — fa)(f,
Таким образом,
Мы видим, что действительно (р, t{p?L, ибо 0s = 0, и
потому 6 g L.
Аналогично вычисляется, что
11^ E)
Найдем теперь 9. Любая транспозиция переводит 9 в —9,
а любая четная подстановка оставляет 0 на месте. Поэтому
с 0 сопряжено только число —0 и, следовательно, 62?С.
Действительно, простое вычисление показывает, что
62 = -4/>3 — 27«?2. F)
5 3*к. 16в. М. М. Постннко»

130 ГЛ. 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ
Сопоставляя формулы C), D), E) и F), находим окон-
окончательно следующую формулу решения кубического урав-
уравнения:
'-У-i+Vt
т. е. известную формулу Кардано.
Уравнения четвертой степени рассматриваются аналогично.
Проведение соответствующих рассуждений предоставляется
читателю.

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ ГАЛУА
ГЛАВА 1
ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА
УРАВНЕНИЙ
1. Задание групп подстановок степени в многочленами
от п неизвестных
Пусть g(xx, .... хп)— произвольный многочлен (с коэф-
коэффициентами из основного поля Р) от п переменных
хх хп, и пусть
/1 2 ... я
— произвольная подстановка степени я. Воздействуя на
неизвестные хи .... хп подстановкой а, мы получим из
многочлена g(xx хп) многочлен
8а(*\ xn) = g(xn xln)
(см. ч. I, гл. 3, п. 1). Мы будем говорить, что многочлен
g(x: хп) принадлежит подстановке а, если много-
многочлен ga(xv • • •'• хп) совпадает с многочленом g(xu .... хп).
Любой многочлен принадлежит тождественной подста-
подстановке е. Многочлен, принадлежащий всем подстановкам
степени я, является симметрическим многочленом.
Пусть теперь О — произвольная группа подстановок сте-
степени я. Мы будем говорить, что многочлен g(xx хп)
принадлежит группе О, если он принадлежит (в смысле
предыдущего определения) любой подстановке из группы О.
Ясно, что, если многочлен g(xx, .... хп) принадлежит
группе О, то он принадлежит и любой подгруппе Н этой
группы. Мы будем говорить, что многочлен g(xx, ...,xn)
точно принадлежим группе О, если он не принадлежит
никакой большей группе.

132 ГЛ. 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
Легко видеть, что любой многочлен g(xv ..., хп) от п
неизвестных точно принадлежит одной (и только одной)
группе О подстановок степени п. Эта группа состоит из
всех подстановок а ? Sn, для которых ga = g.
Покажем теперь, что
многочлен g{xx хп) тогда и только тогда точно
принадлежит группе О, когда для любых двух под-
становок а и Ь степени п из равенства ga = gb
вытекает включение ab~l ? G, и обратно, из включе-
включения ab~l?0 вытекает равенство ga = gb.
Действительно, если ga = gb, то gab-\ = ge — ё< и потому
для многочлена g, точно принадлежащего группе О, равен-
равенство ga = gb имеет место тогда и только тогда, когда
ab~l ? О. Обратно, если равенство ga = gb имеет место
тогда и только тогда, когда ab~l ? О, то, полагая Ь = е,
мы получим, что равенство g"a = g" (= ge) имеет место
тогда и только тогда, когда а?0, т. е. получим, что мно-
многочлен g точно принадлежит группе О.
Будем говорить, что подстановки
<*! = «. «2 ат A)
составляют полную систему представителей смежных
классов симметрической группы Sn по ее подгруппе О, если
все смежные классы
0 = 0а:, Оа2 Оат
различны и любой смежный класс Оа группы Sn по под-
подгруппе О среди них содержится. Таким образом, число т
равно индексу группы О в группе Sn.
Из доказанной выше теоремы немедленно вытекает, что
многочлен g(xx дгл) тогда и только тогда
точно принадлежит группе О, когда для любой полной
системы A) представителей смежных классов группы Sn
по подгруппе О все многочлены
g g Д|» Sflj» • • • » опт
попарно различны и любой многочлен вида g9 среди них
содержатся,

1. ЗАДАНИЕ ГРУПП ПОДСТАНОВОК СТЕПЕНИ П 133
Покажем теперь, что
для произвольной группы О подстановок степени п
существует (над любым полем Р) многочлен g (дг, хп),
точно принадлежащий этой группе.
С этой целью мы рассмотрим многочлен
х„) = сххх -+- с2х2 + ... -\-с„хп.
где сх, с2 с„-—произвольные попарно различные эле-
элементы поля Р. Ясно, что для любой нетождественной под-
подстановки а степени п многочлен па отличен от многочлена п.
Другими словами, многочлен h точно принадлежит единич-
единичной подгруппе eczSn.
Пусть теперь
bx = e, bv .... bs
— все подстановки группы О. Рассмотрим многочлен
cp(f, хх, . . ., хп) от л-|- 1 неизвестных t, хх хп, опре-
определенный формулой
Этот многочлен можно рассматривать либо как многочлен
над полем Р от п-\-1 неизвестных t, xx хп, либо как
многочлен от п неизвестных хх, ..., хп над полем P(t)
рациональных функций от t (с коэффициентами из поля Р),
либо, наконец, как многочлен от одного неизвестного t над
полем Р{хх, .... хп) рациональных функций от неизвестных
хх, .... хп (с коэффициентами из поля Р).
Рассматривая его как многочлен над полем P(t), мы
можем воздействовать на него подстановками а степени п,
получая многочлены ya(t, xx хп). Рассматривая его как
многочлен от t над полем Р(хх, .... хп), мы можем гово-
говорить о его корнях. Ясно, что этими корнями служат много-
многочлены h = hbl, Пь2, .... hbs. В этом же смысле корнями
многочлена <?a(t, хх; ..., хп) являются многочлены па=Пь]а,
Н
Так как набор многочленов Ль,, •••. Ль тогда и только
тогда совпадает (с точностью до порядка) с набором
hbia hbsa, когда а?О, то <р„ = ? тогда и только тогда,
когда a?G. Другими словами, многочлен ср (рассматривае-
(рассматриваемый как многочлен от хх, ..., х^ над полем P(t)) точно,
принадлежит группе (?,

134 ГЛ. 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
Пусть теперь
ах = е, а2 ат
— произвольная полная система представителей смежных
классов группы Sn по ее подгруппе О. Тогда все много-
многочлены
?а, (t. *i Хп), cpaa(f, ХХ Хп) <?ат (t, ХХ Хп)
попарно различны и любой многочлен вида <?a(t, xv .... хп)
равен одному из этих многочленов. Поскольку поле Р бес-
бесконечно (оно содержит все рациональные числа), в нем
можно найти такое число tQ, что многочлены
<?а,(*о> х\ *«)• 9а,(*о- XV • • •• хп) 9ат(*о- Х1> - • • • хп)
над полем Р от неизвестных хх, .... хп будут все попарно
различны (число tQ следует взять отличным от корней
каждого из многочленов срО/(Л х1 дгл)—сра (f, дг, хп),
рассматриваемых как многочлены от t над полем Р (xlt..., хп)).
Таким образом, многочлен
g(xi *«) = ?('о. xi хп)
(над полем Р) будет обладать тем свойством, что равенство
?а — 8ь имеет место тогда и только тогда, когда для много-
многочлена ср (над полем Р(jt)) имеет место равенство сра = ср,,.
Отсюда следует, что поскольку многочлен ср точно принад-
принадлежит группе О, многочлен g также обладает этим свой-
свойством.
Теорема полностью доказана.
Так как многочлен, точно принадлежащий группе, одно-
однозначно эту группу определяет, а, согласно только что дока-
доказанной теореме, такой многочлен существует для любой
группы подстановок, то мы можем задавать группы подста-
подстановок, выписывая многочлены, точно им принадлежащие.
2. Сопряженные группы подстановок
Легко видеть, что для любой группы О подстановок
степени п и любой подстановки а той же степени п сово-
совокупность а~хОа всех подстановок вида а~хЬа, где b — произ-
водьная подстановка группы О, представляет собой группу,

2. СОПРЯЖЕННЫЕ ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК 135
изоморфную группе О (изоморфизм осуществляется соответ-
соответствием Ь—>а Ьа). Эта группа называется группой подста-
подстановок, сопряженной группе О (посредством подстановки а).
Очевидно, что множество всех групп подстановок сте-
степени п распадается на непересекающиеся классы, обладающие
тем свойством, что две группы тогда и только тогда при-
принадлежат одному классу, когда они сопряжены. Эти классы
называются классами сопряженных групп. Класс, содер-
содержащий группу О, мы будем обозначать символом [О].
Легко видеть, что
если многочлен g(xx хп) точно принадлежит
группе О, то многочлен ?а(х, хп). где a?Sn, точно
принадлежит сопряжённой группе а~1Оа.
Действительно, равенство (ga)b = ga> T> е> равенство
gab = ga, имеет место тогда и только тогда, когда ада~1?О,
т. е. когда Ь? а~1Оа.
Отсюда вытекает, что все группы класса [О] задаются
многочленами
g = gal, ga gam. 0)
где
«1 = «• «2 ат
— произвольная полная система представителей смежных
классов группы Sn по ее подгруппе О. (Заметим, что разные
многочлены из системы A) вполне могут принадлежать одной
и той же группе класса [О].)
Вместо многочленов A) для задания групп класса [О]
можно воспользоваться одним многочленом О (г) над полем
P(Xi xn) от некоторого нового неизвестного г, а именно
многочленом
О (z) = (z- ga) (г - gai) ...(г — gaj.
Мы будем называть многочлен О (г) определяющим много-
многочленом класса [О].
Подчеркнем, что он зависит от выбора многочлена
i хп)-
Легко видеть, что
все коэффициенты определяющего многочлена О (г)
являются симметрическими многочленами от неизвест-
НЫХ Xj, • • • t ^п*
Задача. Докажите это утверждение.

136 гл. 1. Практическое вычисление групп галуа уравнений
3. Вычисление группы Галуа произвольного
многочлена
Пусть
= аохп
•— Произвольный многочлен над полем Р без кратных кор-
корней. Раз и навсегда занумеровав его корни
ai ал
в некотором определенном порядке, будем рассматривать
его группу Галуа как группу подстановок степени п.
Пусть теперь О — произвольная группа подстановок
степени п и пусть О (z) — определяющий многочлен класса
[О]. Подставив в коэффициенты многочлена О (z) вместо
неизвестных х1 хп числа <xt ал, мы получим неко-
некоторый многочлен g(z) уже с числовыми коэффициентами.
Поскольку коэффициенты многочлена G (z) являются сим-
симметрическими многочленами от неизвестных х^ хп, все
коэффициенты многочлена g(z) принадлежат полю Р.
Легко видеть, что
если группа Галуа многочлена f{x) содержится
в группе О, то хотя бы один корень многочлена g(z)
принадлежит полю Р.
Действительно, корнями многочлена g(z) являются эле-
элементы
поля /С = Я(а, ап), где g(x: хп) — точно принад-
принадлежащий группе О многочлен от неизвестных хх хп,
по которому был построен определяющий многочлен О (z),
a Oj = е, а2, .... ат — полная система представителей смеж-
смежных классов группы Sn по ее подгруппе О. Если группа
Галуа многочлена f(x) содержится в группе О, то любая
ее подстановка а не меняет многочлена g, т. е. ga = g.
Пусть 5—автоморфизм поля К над полем Р, которому
соответствует подстановка а. Тогда
Pf = g"(«i «я)Я = «га(в1 вя)=ЙГ(в1 «и) —Pi-
Поскольку S представляет собой произвольный автомор-
автоморфизм поля К над полем Р, отсюда вытекает (см. ч. I, гл. 3,
п. 4), что элемент ^ принадлежит основному полю Р.

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОГОЧЛЕНА 137
Обратное утверждение справедливо в следующей форме:
если многочлен g (z) не имеет кратных корней и хотя
бы один его корень принадлежит полю Р, то группа
Галуа многочлена f(x) содержится в некоторой группе,
сопряженной группе G.
Действительно, пусть а — произвольная подстановка
группы Галуа многочлена / (х), и пусть 5 — соответствую-
соответствующий автоморфизм поля К — Р (ар .... ая) над полем Р.
По условию, хотя бы один корень многочлена g(z) содер-
содержится в поле Р. Пусть это будет корень fl, = ?„,(<*! а„).
Так как р, ?Я, то pf = pt. С другой стороны,
Р? = gap («1 «„) — gaj («i «я) = Р/.
где а, — представитель смежного класса, содержащего под-
подстановку а(а (таким образом, a(a = baj, где Ь?О). По-
Поскольку многочлен g(z) не имеет по условию кратных кор-
корней, отсюда следует, что р, = Ру, т. е. что l — j. Таким
образом, ala = bal, где Ь?О, т. е. a?ai Oai. Так как это
верно для любой подстановки а группы Галуа, то и вся
группа Галуа многочлена f(x) содержится в группе а^Оа^
Теорема доказана.
Доказанные теоремы дают удобный практический способ
определения класса сопряженных групп, которому принад-
принадлежит группа Галуа любого многочлена, т. е. вычисления
этой группы «с точностью до изоморфизма». Правда, для
его проведения требуется уметь определять, имеет ли данное
уравнение над полем Р хотя бы один корень, содержащийся
в этом поле, что для случая произвольного поля предста-
представляет собой сложную задачу, не имеющую пока общего
решения. Однако на практике основным полем Р является,
как правило, поле /? рациональных чисел, для которого эта
задача имеет простое и эффективное решение (см. Курс,
стр. 355—358).
Другое затруднение связано с тем, что многочлен g(z)
может иметь кратные корни, и потому доказанный выше
критерий будет неприменим. На практике в этом случае
целесообразнее всего произвести дополнительное исследова-
исследование, пользуясь теми или иными частными соображениями.
Однако с теоретической точки зрения это затруднение прео»
долевается легко. Именно, оказывается, что

138 ГЛ. 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
для любой группы О и любою многочлена f(x) над
полем Р без кратных корней всегда существует такой
многочлен g (хх хп), точно принадлежащий группе О,
что соответствующий многочлен g{z) не имеет крат-
ных корней.
Для доказательства этого утверждения, очевидно, доста-
точно доказать, что
существует такой многочлен g(xv .... хп), точно
принадлежащий группе О, что для любых подстановок а
и b степени п равенство ga(ax a/i) = g"»(ai ая).
где а, а„— корни многочлена f (x), имеет место
тогда v только тогда, когда многочлены ga(xl хп)
a gb(xl хп) совпадают, т. е. когда ab~x?Q.
С этой целью мы докажем следующее вспомогательное
предложение:
в поле Р существуют такие числа сх, .... сп, что
для любого &=1, 2 п многочлен
k{k)(xl xn)*~clxl + ctx,+ ...+ckxk
обладает следующим свойством:
если подстановки а и b степени п по-разному пере-
перемещают хотя бы одно из чисел 1, 2 k, то
АаЧ»! а„) =?/#>(«, а„).
Доказательство мы проведем индукцией по числу k.
Для k=l предложение очевидно (поскольку все корни
а,, .... ал различны, за с, можно взять любое отличное от
нуля число поля Р). Пусть это предложение уже доказано
для k—1, т. е. пусть найден многочлен h(k~X){xx дгл),
обладающий требуемым свойством. Поскольку поле Р содер-
содержит бесконечно много элементов (например, все рациональ-
рациональные числа), в нем найдется число cft, отличное от всех чисел
вида
*g-K4«l 'J-f'b "я)
где а и b — произвольные подстановки степени я, переме-
перемещающие число k в различные числа lk и Д. Очевидно, что
многочлен k

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОГОЧЛЕНА 139
обладает всеми требуемыми свойствами. Предложение до-
доказано.
Рассмотрим, в частности, многочлен
По доказанному он обладает следующим свойством:
если подстановки а и b степени п различны, то
ha(a-x ап)ф *6(а, ая).
Положим этот многочлен в основу определения нужного
нам многочлена g(xb .... хп) (см. п. 1), т. е. рассмотрим
многочлен
где ij = г, Ь2, ..., ft, — все подстановки группы О. Легко
видеть, что
для любых двух подстановок а и Ь степени п мно>
гочлены <?a(t, x{, .... хп) и <?b(t, xlt .... хп) (рассмат-
(рассматриваемые как многочлены над полем P(i)) тогда и
только тогда совпадают, когда совпадают многочлены
<pa(t, <*i а„) и <pb(t, а, а„) от t над полем
K = P(*i «„).
Действительно, если сра(Л дг, xn) = 4}b(t, дг, хя),
то cpa(f, а, ««) = ?»('• а1 ал)- Обратно, пусть
cpe(tf,ai, ..., an) = cpft(f, alt ..., ая). Корнями многочлена
<Pe('-ai ал) являются числа A6ia (a, an) A6jfl(a, an),
а корнями многочлена cp,, (f, a,, ...,ая)—4HaiaA66(aj, „„«„), ...
.... hb ь(р-\, ¦••, ая). Поскольку у равных многочленов
корни могут отличаться только порядком следования, среди
чисел hb]b(a.i an) A6j6(aj an) содержится,
скажем, число Aa(a, an) = Abifl(aj an). Другими
словами, в группе О существует такой элемент bt, что
/za(a1( ..., an) = Abb(ai. •••. «л)- Следовательно, a = bfi,
т. е. ab-l?Q, и потому <pe(*. ^i xn) = cpft(*, xt дгл)
(ибо многочлен <p(t, xlt ..., >:„) принадлежит группе О;
см. п. 1).
Пусть теперь
?«,(*. «1 «„), <?а2У, ^ а„) cpOm(f, а, а„)

140 ГЛ. 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
— такие попарно различные многочлены вида <?0(t, a,, .... <хл),
что любой многочлен этого вида равен одному из них.
Поскольку поле Р бесконечно, в нем существует такой
элемент t0, что все числа
?«, ('о- а1 ал). ?«, (*о. а1 «я) <?ат (to- а1 а„)
попарно различны. Пусть
g(*i хп) = <?(.*0, ж, х„).
Ясно, что многочлен g(x{ хп) обладает всеми требуе-
требуемыми свойствами.
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых
содержатся в знакопеременной группе
Применим изложенный выше общий метод к разысканию
уравнений без кратных корней, группа Галуа которых со-
содержится в знакопеременной группе Ап. Для этого, в пер-
первую очередь, следует отыскать многочлен g(xv .... хп),
точно принадлежащий группе Ап. Простейший такой мно-
многочлен описывается в следующей теореме.
Знакопеременной группе Ап точно принадлежит
многочлен
Д(*х
Хп) = (Х2 -
_ х,~) (х х
)¦••(*„
X
X
X (хп xn-l)
(так называемый определитель Вандермонда для неиз-
неизвестных хь .... хп\ см. Курс. стр. 50).
Действительно, под воздействием четных подстановок
этот многоцлен, очевидно, не меняется, а под воздействием
нечетных меняет знак.
Соответствующий определяющий многочлен О (z) класса
[Ап] (заметим кстати, что этот класс содержит только
группу Ап) имеет, следовательно, вид
г2 — D(x{ ха),
где D(xx дг„) = Д2(л:1 лг„).

5. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ 141
Таким образом, для того чтобы решить, содержится ли
группа Галуа некоторого многочлена f (х) с корнями а,, ..., <хя
в знакопеременной группе Ап, мы должны рассмотреть
многочлен
= «* —D (a, eg.
Число D(aj <хл) (содержащееся в основном поле Р)
представляет собой не что иное, как дискриминант мно-
многочлена f (х) (см. Курс, стр. 343). Это число отлично от
нуля (ибо многочлен f (х) не имеет по условию кратных
корней), и поэтому корни Д^, .... ал) и —A(<Xj ал)
многочлена g(z) различны. Отсюда ввиду общей теоремы,
доказанной в п. 3, вытекает следующий результат:
группа Галуа многочлена f{x) тогда и только тогда
содержится в знакопеременной группе, когда Д(<х,, ...
.... <хл)?Р, т. е. когда дискриминант многочлена f (х)
является квадратом некоторого элемента поля Р.
5. Уравнения третьей и четвертой степени
Применим теперь изложенную выше теорию к задаче
вычисления группы Галуа многочленов третьей и четвертой
степени. Для простоты мы ограничимся случаем, когда
данный многочлен неприводим. Тогда его группа Галуа
транзитивна (см. ч. II, гл. 3, п. 5). Но легко видеть, что
единственными транзитивными группами подстановок третьей
степени являются симметрическая группа 53 и знакоперемен-
знакопеременная группа Аъ (доказать 1). Следовательно,
группой Галуа неприводимого уравнения третьей
степени является либо симметрическая группа S3
(циклическая группа шестого порядка), либо знакопе-
знакопеременная группа А3 (циклическая группа третьего
порядка); в первом случае дискриминант уравнения не
является точным квадратом некоторого элемента
основного поля, а во втором является таким квад-
квадратом.
Что же касается группы 54, то можно показать (сделайте
это I), что любая ее нетривиальная транзитивная подгруппа ли-
либо совпадает с группой АЛ, либо совпадает с клейновской груп-
группой В4 (см. стр. 101), либо сопряжена с группой В4' восьмого

142 ГЛ. L ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
порядка, состоящей из подстановок
е, tb t2, tA,
S, tyS, t2S, t^S,
где e, tu t2, tA — подстановки группы Вл, a s — транспози-
транспозиция A 2). При этом класс [В4] состоит из трех групп
(перечислите эти группы), пересечение которых совпадает
с группой В4.
Группе В4 точно принадлежит многочлен g(xv х2, х3, л:4) =
as jfjATj -\- лг3лг4. Соответствующий многочлен О (г) (см. п. 2)
имеет, как легко видеть, вид
г3 — о2г2 •+¦ (о^з — 4о4) г — о4 (а\ — 4о2) — а\,
где Oj, о2, о3, о4 — элементарные симметрические функции
переменных xlt x2, x3, xt.
Пусть теперь
/ (х) = х* + а,х3 + а2х2 4- «з^ + «4
— произвольный многочлен четвертой степени без кратных
корней над полем Р. Согласно сказанному в п. 3, для
решения вопроса о том, не является ли его группа Галуа
подгруппой группы В4 (или группы, сопряженной с груп-
группой В'4), мы должны составить многочлен
1аэ-4а4)г — а^а\~4а2) — а\. A)
Корнями этого многочлена являются числа
4. а1а3+а2а4> a^ + ift, B)
где а1( а2, а3, а4 — корни многочлена f (х). Легко видеть,
что корни B) все различны. Действительно, если, например,
*А2 + аЗа4 = (Х1(Х3 + (Х2а4' Т0 а1 (а2 — аЗ> = а4 (а2 — аз)> ОТКуда
а2 = а3 или aj = <х4, что противоречит предположению об
отсутствии у многочлена / (л:) кратных корней. Таким
образом, многочлен A) не имеет кратных корней, и потому
группа Галуа многочлена f(x) тогда а только тогда
содержится в группе В4 (ила в группе, сопряженной
группе 54), когда многочлен A) имеет корень в поле Р.

5. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ 143
В частности,
если многочлен f(x) неприводим, то многочлен A)
тогда а только тогда имеет корень в поле Р, когда
группа Галуа многочлена f(x) либо сопряжена с груп-
группой Вц, либо совпадает с группой В4.
Поскольку В4 = В\ П А4,
последний случай имеет место тогда и только
тогда, когда дискриминант многочлена f(x) является
точным квадратом некоторого элемента поля Р.
Задача. Докажите, что группа Галуа многочлена f (х)
тогда и только тогда содержится в группе В4, когда все
три корня уравнения A) принадлежат полю Р.
Резюмируя все сказанное, мы получаем следующее пра-
правило для вычисления группы Галуа неприводимого много-
многочлена четвертой степени:
если дискриминант многочлена f(x) не является
точным квадратом и многочлен A) не имеет в поле Р
корней, то группой Галуа многочлена f(x) является
группа 54;
если дискриминант многочлена f(x) является точ-
точным квадратом, но многочлен A) не имеет в поле Р
корней, то группой Галуа многочлена f(x) является
группа А4;
если дискриминант многочлена f(x) не яйляется
точным квадратом, но многочлен A) имеет в поле Р
хотя бы один корень, то группа Галуа многочлена f(x)
сопряжена группе В\;
наконец, если дискриминант многочлена f {x)является
точным квадратом и все корни многочлена A) при-
принадлежат полю Р {впрочем, достаточно требовать,
чтобы только один корень принадлежал полю Р), то
группой Галуа многочлена f(x) является группа В4.
Аналогичные результаты можно получить и для уравне-
уравнений любой высшей степени. В следующей главе мы рас-
рассмотрим с этой точки зрения уравнения пятой степени.

ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
1. Транзитивные группы подстановок
Начнем с доказательства следующей общей теоремы:
Порядок транзитивной группы подстановок сте-
степени п делится на п.
Действительно, пусть О — произвольная транзитивная
группа подстановок степени п. Разобьем группу О на не-
непересекающиеся класдл, относя в один класс все подста-
подстановки, одинаково воздействующие чд число 1. В силу тран-
транзитивности группы число этих классов равно п. Пусть Н —
класс, состоящий из подстановок группы О, оставляющих
на месте число 1. Очевидно, что этот класс является под-
подгруппой группы О. Две подстановки glt g2?O тогда и
только тогда принадлежат одному классу, когда g\g2~l 6 Н>
т. е. когда подстановки gv g2 принадлежат одному смеж-
смежному классу группы О по подгруппе Н. Другими словами,
рассматриваемые классы совпадают со смежными классами
по подгруппе-Я. Следовательно, индекс подгруппы Н равен п.
Поскольку группа О обладает подгруппой индекса п, ее
порядок делится на п. Теорема доказана.
Простейшими транзитивными группами являются цикли-
циклические группы. Очевидно, что
циклическая группа подстановок степени п тогда,
и только тогда транзитивна, когда ее образующей
служит цикл длины п.
В частности, порядок такой группы равен п>
Легко видеть, что
число всех циклов длины п равно (п—1I.
Действительно, любой цикл длины п единственным
образом записывается в виде A 121г .. . 1п), где 121& • • • 1п —
некоторая перестановка чисел 2, 3 ,,. ц,

2. ТРАНЗИТИВНЫЕ ГРУППЫ ПРОСТОЙ СТЕПЕНИ 145
Поскольку циклическая группа порядка п содержит ср(я)
образующих (см. стр. 63), отсюда вытекает, что
число всех циклических транзитивных групп под-
подстановок степени п равно ~7; •
В частности, при п = 5 это число равно шести.
2. Транзитивные группы простой степени
Ясно, что группа подстановок, содержащая цикл дчины п,
транзитивна. Оказывается, что если число п является про-
простым числом р, то верно и обратное, т. е.
любая транзитивная группа подстановок простой
степени р содержит цикл длины р.
Действительно, пусть О — произвольная транзитивная
группа подстановок степени р. Разобьем множество всех
циклов длины р, не принадлежащих группе О, на классы,
относя циклы at и а2 к одному классу, если в группе О
существует такой элемент Ь, что a2 = b~lalb. Класс, содер-
содержащий цикл а, мы будем обозначать символом Са. Легко
видеть, что для любых двух циклов aj и а2 длины р,
не принадлежащих группе О, соответствующие классы Св|
и С„, либо совпадают, либо не пересекаются.
Задача. Докажите последнее утверждение.
Пусть теперь а = A{ ... 1р) — произвольный цикл длины р,
не принадлежащий группе О, и пусть Ь — произвольный
элемент группы О. Ясно, что если
L ... 1п
то
b~ ab = UxJ2 ... jp),
т. е. подстановка b" ab также является циклом длины р.
Кроме того, поскольку b(b~ ab)b~ =e, цикл b~ ab не
принадлежит группе О. Следовательно, формула
ср ф) = b~lab
определяет некоторое отображение ср группы О на класс Са.
Оказывается, что это отображение взаимно однозначно, т. е.
ИЗ равенства ср (Z>j) = ср (by) следует равенство b^ = by.

146 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
Действительно, если <р(bj = ср(Ь2), т. е. bTlabl = b2lab2, то
(й^г) а(*1*г) = в' т- е- b~lab = a, где b = blb21- Таким
образом, если подстановка ft имеет вид A), то а = Gj /2 ... jp),
откуда немедленно следует (почему?), что b — а*, где k —
такое число, что J\ = tti+\- Если k > О, то существуют
такие числа и и v, что &и-)-/гс>=1 (число & взаимно
просто с р, потому что оно меньше р). Тогда a = aku+Pv =
— ака = Ьа и, следовательно, вопреки предположению, а?О.
Поэтому k = 0, т. е. Ь = е и ftj = Z>2.
Таким образом, все классы Са состоят из одного и
того же числа элементов, равного порядку группы О, По-
Поэтому число всех циклов длины р, не принадлежащих группе О,
делится на порядок группы О и, следовательно (см. п. 1)
делится на число р. С другой стороны, согласно доказан-
доказанному в предыдущем пункте, число всех циклов длины р равно
(р— 1) 1 и поэтому на р не делится. Следовательно, группа О
непременно содержит циклы длины р. Теорема доказана.
Каждый цикл длины р, содержащийся в группе О, опре-
определяет циклическую подгруппу, состоящую из р — 1 циклов
длины р (и тождественной подстановки). Поскольку эти
циклические подгруппы пересекаются только по тожде-
тождественной подстановке (почему?), общее число циклов, содер-
содержащихся в группе О, равно (р—\)х, где х — число цик-
циклических подгрупп порядка р группы О. Следовательно,
обозначая через ру число циклов длины р, не принадлежа-
принадлежащих группе О, мы получаем уравнение
Из этого уравнения вытекает, что
л; = (р — 2)! — рг, B)
где г — произвольное неотрицательное число, меньшее чем
Р
3. Транзитивные группы пятой степени
При jt? = 5 число г в формуле B) предыдущего пункта
может принимать лишь значения 0 и 1. В соответствии
с этим мы получаем, что л: = 1 или §, т. е,

3. ТРАНЗИТИВНЫЕ ГРУППЫ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ 147
транзитивная группа пятой степени содержит либо
только одну циклическую группу пятого порядка либо
все шесть таких групп.
Если транзитивная группа О подстановок пятой степени
содержит все шесть циклических групп пятого порядка, то
ввиду тождеств
k
группа О содержит произведения любых двух транспозиций и
потому содержит любую четную подстановку. Следовательно,
в этом случае группа О является либо знакопеременной
группой А5, либо симметрической группой 55.
Пусть теперь группа О содержит только одну цикли-
циклическую группу пятого порядка, и пусть s — образующая
этой группы. Для определенности мы будем считать, что
s = A2 34 5).
Любой другой вид цикла s сводится к этому посредством
соответствующей перенумеровки переставляемых символов
1, 2, 3, 4, 5.
Циклическую группу с образующей s = (l 2 34 6) мы бу-
будем обозначать символом Сб. Ее порядок равен пяти.
Рассмотрим теперь наряду с циклом s еще подстановку
г = B 5) C 4).
Легко видеть, что
г2 = е, ¦ rs = s*r.
Поэтому подстановки
р а с2 вЗ о4
Р 1 О , Р| О » Of
г, sr, s2r, s3r, s*r
образуют группу. Эта группа называется полуметацикла-
ческой группой. Мы будем обозначать ее символом В5. Ее
порядок равен десяти. Она содержит циклическую группу С5
в качестве нормального делителя (докажите!), причем фак"
торгруппа В5/С5 является группой второго порядка и поэтому
циклична. Следовательно, группа В5 разрешима.
Рассмотрим далее подстановку
/ = B3 54).

148 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
Легко видеть, что
Поэтому подстановки
е, s, s2, s3, s4,
t, st, s2t. sH, sH,
t2, st2, s2t2, s42, s4t2.
fi, st\ s2t3, s?>, sW
образуют группу, Эта группа называется метациклической
группой. Мы будем обозначать ее символом Вь. Ее порядок
равен двадцати. Поскольку, как легко видеть, t2~r,
группа В$ содержит полуметациклическую группу В5 в ка-
качестве нормального делителя индекса 2. Поэтому
группа В'5 разрешима.
Заметим кстати, что
Задача. Докажите, что группа В'5 изоморфна группе /И5
(см. ч. II, гл. 1, п. 5).
Оказывается, что
группами С5, В5, В'5 исчерпываются (при выбранной
нумерации переставляемых символов) все транзитивные
группы подстановок пятой степени, содержащие только
одну циклическую группу пятого порядка.
Действительно, пусть а— произвольная подстановка тран-
транзитивной группы О, содержащей только одну циклическую
группу пятого порядка (а именно: при выбранной нумерации
переставляемых символов группу С5). Если эта подстановка
переводит число I в число k, то подстановка Ь =а as~k
оставляет число 1 на месте. Пусть
_ /1 2 3 4 5
b=\l t2 1г и
Тогда

4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА 149
Так как любой цикл длины 5, содержащийся в группе О,
является по условию степенью цикла s, то отсюда следует,
что
b~lab = s*. k=l, 2, 3, 4.
Поскольку
s =A2 34 5), s3 = (l 4 25 3),
S2 = A3524\ s4 = (l 543 2),
отсюда вытекает, что подстановка b совпадает с одной из
следующих четырех подстановок:
12 34 5Х /1 2 34 5\ з /1 2 3 4 5\ /12345
3
4253/'Г==\1 5432
(ибо запись цикла в виде (Пг'зМб) однозначна), и поэтому
принадлежит группе В$. Следовательно, группе В$ принад-
принадлежит и подстановка а. Тем самым доказано, что группа О
содержится в группе В'$. Для завершения доказательства
остается заметить, что единственными подгруппами группы
В'5, содержащими группу.С6, являются группы Cs, B5 ч В'&.
Теорема доказана.
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения
пятой степени
Пусть f (х) — произвольный неприводимый (над основным
полем Р) многочлен пятой степени. Поскольку группа Галуа
неприводимого многочлена транзитивна, эта группа должна
совпадать (при соответствующей нумерации корней много-
многочлена) с одной из пяти групп С5, В5, В'5, Аь и S5, пере-
перечисленных в предыдущем пункте. Согласно сказанному
в предыдущей главе, для того чтобы определить эту группу,
следует для каждой из групп С5, В5, В'5 и Аь рассмотреть
некоторый точно принадлежащий этой группе многочлен
g(xh ..., х5), составить по этому многочлену многочлен О (г)
над полем Р(хь . .., л:5), подставить в коэффициенты много-
многочлена О (г) вместо неизвестных х{ лг5 корни многочлена
/ (л:), выразить эти коэффициенты через коэффициенты много-
многочлена /(л:) и определить, имеет ли полученный многочлен
g (г) хотя бы один корень в поле Р. Если такой корень

150 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
существует и если многочлен g(z) не имеет кратных корней, то
группа Галуа многочлена / (л:) содержится в соответствующей
группе С5, В5, В'5 (или в некоторой сопряженной группе).
Степень многочлена g(z), равная индексу соответствую-
соответствующей группы в группе 5б, указана в следующей таблице:
в5
В'ь
24
12
6
2
Для составления этого многочлена можно воспользоваться
следующими многочленами, точно принадлежащими соответ-
соответствующим группам (здесь е — первообразный корень пятой
степени из единицы):
С6: (*1 + мга + Ае3 + *3*4 + «4*бI1.
Въ\ хгх2~\- х2х3-f х3х4-f х<х5-\- х5хи
В'5: (х^х2 + х2х3 -f xzxi + хАх5 + х5хх — хххя —
— JC3JC5 — *SX2 X2Xi X4-XTj) ,
А5: &.(xlt xv х3, х4, х5) (см. гл. 1, п. 4).
В общем случае коэффициенты соответствующих многочле-
многочленов g(z) (конечно, кроме многочлена, соответствующего
группе А5) весьма сложно выражаются через коэффициенты
многочлена f (х), и мы их вычислять не будем. Однако
с принципиальной стороны это вычисление не представляет
никаких трудностей и требует лишь определенного терпения.
Во всяком случае, для каждого конкретного уравнения
(с числовыми коэффициентами) это вычисление всегда можно
провести до конца в конечное число чисто механических
действий. На практике следует в первую очередь найти
дискриминант D многочлена f (х). Если он не является пол-
полным квадратом, то группа Галуа многочлена либо совпадает
с симметрической группой Sb, либо сопряжена с метацикли-
ческой группой В'у В противном случае группа Галуа со-
сопряжена с одной из трех групп С5, В5, А5. Полезно также
иметь в виду, что если многочлен g(z), соответствующий

5. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ МНОГОЧЛЕН ДЛЯ МЕТАЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 151
группе С5, имеет корень в поле Р (и не имеет кратных
корней), то группа Галуа данного многочлена сопряжена
с группой С6 (ибо эта группа не имеет транзитивных под-
подгрупп).
6. Определяющий многочлен для метациклической группы
Рассмотрим подробнее многочлен O(z) для метацикличе-
метациклической группы В'ъ. За исходный многочлен g, точно принад-
принадлежащий группе В'ь, мы примем указанный в предыдущем
пункте многочлен А2, где
А = ХХХ2 •+ ATjATg-l- X3Xi~\-XiX5-\~XbXl — ХУХ3 —
Легко проверяется, что подстановки
в
образуют полную систему представителей смежных классов
группы 55 по ее подгруппе В'у Следовательно,
Положим
H(z) = (z
Ясно, что
Таким образом, достаточно вычислить лишь многочлен H(z).
Пусть
Без труда проверяется, что многочлен А точно принад-
принадлежит полуметациклической группе В5, причем под воздей-
воздействием подстановок из группы В'ь, не принадлежащих
группе В5, этот многочлен лишь меняет знак. Следовательно,
для любой подстановки а ? 55 многочлен Аа совпадает с од-
одним из многочленов hs или — hs., причем первый случай
имеет место, когда подстановка а четна, а второй — когда
она нечетна. Отсюда вытекает, что коэффициенты Ь%, ft4, b

152 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
многочлена H(z), являющиеся симметрическими функциями
многочленов hs четной степени, не меняются под воздей-
воздействием произвольной подстановки а ? 55, т. е. являются
симметрическими многочленами от хх, дг2, х3, л;4, хъ. На-
Напротив, коэффициенты Ьх, b3, bs, являющиеся симметрическими
функциями многочленов hs нечетной степени, не меняются
лишь под воздействием четных подстановок и меняют свой
знак под воздействием нечетных подстановок.
Но легко видеть, что любой, обладающий этим свойством
многочлен b (xlt .... а:5) делится на определитель Вандер-
монда Д = Д(л:1 лг5). Для доказательства следует рас-
рассмотреть многочлен Ь(хи .... х5) как многочлен от лгх над
полем Р(х2 xs). Очевидно, что величины х2 х5 явля-
являются его корнями, т.е. при подстановке в многочлен Ь(х^ х5)
вместо неизвестной хх любой из неизвестных х2 х5
этот многочлен обращается в нуль. Действительно, например,
многочлен Ь(х2, х2 дг5) под воздействием транспози-
транспозиции A 2) с одной стороны не меняется, а с другой — меняет
знак. Поэтому он равен нулю. Следовательно, многочлен
b(xlt .... jc5) делится на разности лгх — х2, ..., х^— jc5
(теорема Безу). По аналогичным соображениям он делится
и на все другие разности вида xt — Xj, а потому делится и
на их произведение Д. Соответствующее частное ft/Д является,
очевидно, симметрическим многочленом от лг1( ..., х5.
Таким образом, мы видим, что многочлен Н (z) имеет
следующий вид:
. Н (г) = *• + Ь& Н- Ъ&* + *6 + Д (с^ + Сз^3 + <V).
где b2, b4, be, Ci, c3, с5 — некоторые симметрические много-
многочлены от хх, .... х5.
Оценим теперь степени многочленов сх, с3, с5. Много-
Многочлены hs являются квадратичными формами от неизвестных
JCp .... х5. Поэтому коэффициенты bt являются однородными
многочленами степени 2/ от хх хп. В частности, много-
многочлены й1 = Дс1, Ь3 = кс3, bs = Дс5 имеют соответственно
степени 2, 6 и 10. Но многочлен Д имеет степень 10. По-
Поэтому
Cj = O, c2 = 0, c5 = const,

б. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ В НОРМАЛЬНОМ ВИДЕ 153
Тем самым доказано, что
многочлен H{z) имеет следующий вид:
Н (z)
где b2, bv b6 — однородные симметрические многочлены
от *! хь степеней 4, 8 и 12 соответственно, Д—
определитель Вандермонда и с — постоянное число (эле-
(элемент поля Р).
Отсюда вытекает, что
многочлен О (г) имеет вид
О (z) = (г3 + b2z> + b,z + Ь6? — Dc*z,
где Ь2, ЬА, Ь6 и с имеют прежние значения, a D — квад-
квадрат определителя Д.
в. Случай уравнений в нормальном виде
Мы будем говорить, что мгюгочлен f(x) пятой степени
имеет нормальный вид, если
f(x) = x5-\-ux-\-v, A)
где и, v — элементы основного поля Р. Ниже (см. п. 8) мы
покажем, что любой многочлен пятой степени можно при-
привести к такому виду, а в этом пункте мы вычислим для
таких многочленов многочлен g(z), получающийся из най-
найденного в предыдущем пункте многочлена О (z) подстановкой
вместо неизвестных xlt .... х5 корней alt ..., a5 много-
многочлена A).
Мы имеем
где D — дискриминант многочлена A), с — некоторое число,
не зависящее от и и v, а b2, bit Ьв—симметрические много-
многочлены от корней aIf .... a5 степеней 4, 8 и 12 соответ-
соответственно. Согласно общей теории симметрических многочленов,
многочлены b2, bit b6 должны выражаться через элементарные
симметрические многочлены и и v. Но многочлен и имеет
степень 4, а многочлен v — степень 5. Поэтому
Ъг = с2и, b4 = c4«2. *e = сбц3.

154 г л1. 2. уравнения пятой степени
где с2, с3, сА — некоторые постоянные (не зависящие от а
и v). Таким образом,
g (г) = (z3 + c2az* + c^z + с6и3J — Dc2z.
(Заметим, что коэффициент v в выражение многочлена g(z)
явно не входит.)
Для того чтобы найти постоянные числа с2, ct, св и с,
мы рассмотрим многочлен
х5 — х (и = — 1, v = 0).
Для этого многочлена
otj = 0, а2 = /, а3 = — 1, а4 = — /, а5 = 1.
Следовательно,
= (/ —0)(-1-0)(~/ —0)A-0)(-1-0(-/ —ОХ
то есть
D = - 256.
Таким образом, в рассматриваемом случае
g (г) = (г3 — C2z2 + c<z — с6J + 256c2*.
то есть
g(z) = *— 2сj* + («?»+ 2с4) *< - 2 (г2с4 + «?,) г3 4-
+ (с* + 2сЛ) «2 - Bс4с6 - 256с2) z + <*
С другой стороны, легко видеть, что
A(«i 05) = - 2/. А,, (а, 05)= - 2/.
АЛ (oi, ..., а5) = - 2/, Ai5 (oj otj) = - 2/,
A»,(«i а5) = 2 + 4Л АЛ(о, а5) = -2+4Л
Поэтому
g-(^) = (« + 4LB;4-12— 160B+12+ 160 == г64-40^4-
-(- 88024 + 8960г3 + 44 800z2 + 108 544^ + 102 400.
Приравнивая коэффициенты, мы легко получим, что
с„=320, с = 32.

7. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ 155
Таким образом, мы окончательно получаем, что
g (z) = (z3 — 20uz2 + 240a22 4- 320и3J — 1024Dz.
Здесь удобно ввести новое неизвестное
Для этого неизвестного мы получим (после сокращения
на 1024) многочлен
Таким образом,
если многочлен B) не имеет кратных корней, то
группа Галуа многочлена A) тогда и только тогда со-
сопряжена некоторой подгруппе метациклической группыВ'ъ,
когда хотя бы один корень многочлена B) принадлежат
полю Р.
Заметим, что это утверждение справедливо и для приво-
приводимых многочленов A).
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах
Результаты предыдущего пункта позволяют, в частности,
полностью описать все уравнения пятой степени (имеющие
нормальный вид), которые можно решить в радикалах.
Действительно, если уравнение
x5-\-ax-\-v = 0 A)
приводимо, то оно сводится к уравнениям меньших степеней
и потому решается в радикалах. Если же уравнение A) не-
приводимо, то его группа Галуа либо содержит группу А5
(и поэтому неразрешима), либо сопряжена некоторой под-
подгруппе метациклической группы (и поэтому разрешима).
Кроме того, оказывается, что
если многочлен
(у3 — 5иу2 4-15ы2у 4- 5«3J — Dy B)
имеет кратный, корень, що уравнение (I) решается
§ радикалах.

156 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
Действительно, пусть многочлен B) имеет кратный ко-
корень у0. Тогда
(уз _ 5«у2 + 15«2у0 -f- 5«3J - Dy0 = 0, C)
2 (yg - ьиу\ + 15«2уо + бв8) (Зу2 _ 1 о«уо + 15«2) _ D = 0.
D)
Следовательно,
= О. E)
Если D = 0, то уравнение A) имеет кратные корни, при-
приводимо и решается в радикалах. Пусть D Ф 0. Тогда ввиду
равенства D)
по-
последовательно, после сокращения мы получим из уравне-
уравнения E) уравнение
5yg _ 15ну2 -f- 15м2у0 — 5и3 = 0,
из которого следует, что
уо = и.
Подставляя это значение у0 в равенство C), мы получим,
что
Du = 256н6.
Но легко сосчитать, что для уравнения A)
О=256н5 + 3125^. F)
Следоьательно,
т. е. либо и = 0, либо v = 0. В обоих случаях уравнение A)
разрешимо в радикалах.
Задача. Доказать формулу F).
Из всего сказанного вытекает следующее окончательное
утверждение.
Уравнение A) тогда и только тогда решается в ра-
радикалах, когда оно либо приводимо, либо хотя бы один
корень многочлена B) принадлежцт основному полю Р,

8. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВН. ПЯТОЙ СТЕПЕНИ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ 157
Это утверждение справедливо для любых уравнений A),
даже имеющих кратные корни.
Пользуясь формулой F), многочлен B) можно переписать
в следующем виде:
(У — иL (У2 — бну -f 25а2) — 3125г/4у.
Пусть этот многочлен имеет корень уо?Я. Полагая
где X, (i — некоторые параметры, мы получим, что
(вХ, _ ЦL («2X2 _ 6и2Х + 25и2) — 3125и V = 0.
Отсюда
3125X^8
и~ (X —1)«(Х» — 6Х + 25) ' (X —1)<(Х» —6X-f 25) " *¦ '
Таким образом,
уравнение A) тогда и только тогда решается в ра-
радикалах, когда оно либо приводимо, либо его коэффи-
коэффициенты и и v имеют вид G), где I a |t — некоторые
элементы основного поля Р.
8. Приведение уравнения пятой степени
к нормальному виду
Покажем в заключение, что любое уравнение
аох5 -f fli*4 + а2х3 + аз*2 -+¦ aix + «5 == ° A)
пятой степени может быть приведено к нормальному виду.
С этой целью мы введем новое неизвестное у, полагая
у^Со+^я + СгД^ + Сз*3-!-.^*4. B)
где е0, .... с4 — некоторые, пока неопределенные параметры.
Для того чтобы составить уравнение, которому удовлетворяет
неизвестная у, следует исключить из уравнений A) и B)
неизвестную а:. Согласно общей теории исключения (см.
Курс, стр. 340), для этого нужно составить результат много*
членов
п0Х5 + Д1*4 + «2Jf3 + Яз*2 + а4Х + <*5'
с 4*4 4- с3*3 4- сг*2 + <?!* + (cq — У)

158 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
и приравнять его нулю. В результате мы получим уравнение
а0 ах д2 а3 а4 а5 О О О
О а0 «1 а2 а3 а4 а5 О О
О 0 #о а1 а2 аз а4 а5 О
О О О aQ ax а2 а3 а4 я5
с4 с3 с2 Cj с0 — у 0 0 . О 0 =0.
О ci с3 с2 сх с0 — у О О О
О 0 сА с3 с2 сх со — у О О
О 0 0 с4 с3 с2 сх со — у О
0 0 0 0 с4 с3 с2 сх с0 — у
I
Раскрывая этот определитель, мы получим, что уравнение
для у имеет вид
у5 _|_ су _|_ С2у3 + С3у2 + С4у + С5 = О,
где Cj, .... С6 — некоторые однородные многочлены от
параметров с0 с4. Коэффициенты этих многочленов
являются многочленами от коэффициентов а0, .... а5 исход-
исходного уравнения A) и поэтому принадлежат основному полю Р.
Легко видеть, что степень многочлена Ct, t=l, .... 5,
равна /.
Выберем теперь параметры с0 с4 так, чтобы удо-
удовлетворялись уравнения
т. е. чтобы уравнение для у имело нормальный вид
Первое уравнение Сх — 0 линейно. Получив из него выра-
выражение, скажем, параметра с0 через параметры сх, с2, с3, сА,
внесем его в остальные два уравнения. В результате мы по-
получим некоторые уравнения
второй и третьей степени относительно параметров сх, с2,
с3, с4.
Выражение" С'2 представляет собой квадратичную форму
от переменных сх, с2, с3, с4. Согласно теории приведения
квадратичных форм (см. Курс, стр. 175), эту форму можно

8. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВН.. ПЯТОЙ СТЕПЕНИ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ 159
представить в следующем виде:
где «!,..., zi — некоторые линейные формы (возможно,
равные нулю) от неизвестных сх с4. Коэффициенты
этих линейных форм, вообще говоря, принадлежат не полю Р,
а некоторому большему полю, порожденному над полем Р
корнями квадратными из элементов поля Р. Потребовав,
чтобы удовлетворялись линейные уравнения
zx = iz2, *, = te4 (i = /~), D)
мы автоматически удовлетворим и квадратному уравнению
с;=о.
Решив уравнения D\ скажем, относительно неизвестных
сх, с2 и, подставив получающиеся выражения в уравнение
С'3 = 0, мы получим для параметров с3 и ci некоторое одно-
однородное уравнение третьей степени
Выбирая произвольно параметр с3, например полагая
с3—1, мы получим отсюда для параметра с4 кубичное
уравнение. Решив его, мы найдем параметр с4, а потому и
все остальные параметры с0, clt с2, с3.
Тем самым показано, что
преобразованием B) любое уравнение A) можно при-
привести к нормальному виду C).
Получающееся уравнение C) будет уравнением уже не
над полем Р, а над некоторым большим полем Q, порожден-
порожденным над полем Р корнями квадратных и кубичных уравне-
уравнений. Поскольку квадратные и кубичные уравнения разрешимы
в радикалах, уравнение A) тогда и только тогда разрешимо
в радикалах над полем Р, когда над полем Q разрешимо
в радикалах уравнение C). Поскольку на вопрос о разре-
разрешимости в радикалах уравнения C) мы отвечать умеем, от-
отсюда следует, что
для любого уравнения пятой степени A) ми можем
аффективно ответить на вопрос, разрешимо оно в ради-
радикалах или нет.

ГЛАВА 3
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ
РАДИКАЛАХ
1. Формулировка основной теоремы
Тот факт, что корень б некоторого уравнения выражается
в радикалах, означает, что он может быть получен в резуль-
результате решения цепи двучленных уравнений вида
*"' — ai = 0, *"• — aj = O x"s — as = 0,
где число ai принадлежит основному полю Р, число а^ —
/я, \ /п, \
полю P1 = Pi4|/a1 ), число а3— полю Рг = ЯД У а^ ) и т. д.
Таких «разрешающих» цепей двучленных уравнений может
существовать, вообще говоря, много. Интересен вопрос:
существует ли разрешающая цепь, состоящая из неприводи-
неприводимых уравнений? В случае, когда такая цепь существует, мы
будем говорить, что корень б выражается в неприводи-
неприводимых радикалах.
На первый взгляд кажется, что класс уравнений, корни
которых выражаются в неприводимых радикалах, значительно
уже класса уравнений, корни которых выражаются в любых
радикалах. Действительно, разрешающие цепи двучленных
уравнений, построенные согласно методам, изложенным в ч. II,
гл. 2, обязательно содержат приводимые уравнения вида
jc"—1=0.
корнями которых служат корни из единицы (этих уравнений
не будет только в том случае, когда основное поле Р со-
содержит все нужные корни из единицы), и как обойтись без
этих уравнений, а приори совершенно не ясно. Тем не менее
оказывается, что

2. СВЕДЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ к ДВУМ «tACTHbtM СЛУЧАЯМ 161
если корень некоторого уравнения выражается в ра-
радикалах, то он выражается и в неприводимых ради-
радикалах.
Эта важная теорема позволяет оценить «сложность»
любого разрешимого в радикалах уравнения. Именно за меру
сложности можно принять набор степеней неприводимых ра-
радикалов, через которые выражается корень данного уравне-
уравнения. (Вопрос о том, в какой мере этот набор степеней
определяется данным уравнением, мы здесь не рассматри-
рассматриваем.)
Доказательству сформулированной теоремы будет посвя-
посвящена вся эта глава. Мы проведем его в рамках теории
полей, и потому в первую очередь нам нужно сформулиро-
сформулировать эту теорему на языке теории полей.
Расширение К основного поля Р мы будем называть
неприводимо-радикальным расширением, если существует
такая цепочка
вложенных друг в друга подполей поля К, начинающаяся
с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого 1=1 5
где 9, — корень некоторого неприводимого (над полем L^j)
уравнения вида
x"i — a, = 0, а, 6^-1-
Интересующую нас теорему мы можем теперь сформу-
сформулировать в следующем виде (в котором мы и будем ее дока-
доказывать):
любое радикальное расширение содержится в неко-
некотором неприводимо-радикальном расширении.
Задача. Доказать, что имеет место следующее «обрат-
«обратное» утверждение: любое неприводимо-радикальное расши-
расширение содержится в некотором радикальном расширении.
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям
В этом пункте мы покажем, что для доказательства
сформулированной в конце предыдущего пункта основной
теоремы этой' главы достаточно доказать следующие ее
частные случаи.
7*5 Зак. 160. М. М. Постников

1&2 ГЛ. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
Теорема А. Если поле Р содержит все корни из
единицы степени п, то любое его простое радикальное
расширение, определяемое двучленным уравнением сте-
степени п, является неприводимо-радикальным расшире-
наем..
. Теорема В. Любое расширение вида Я (С), где С —
произвольный корень из единицы, содержится в некото-
некотором неприводимо-радикальном расширении.
В первую очередь мы рассмотрим случай, когда рассмат-
рассматриваемое радикальное расширение К поля Р является про-
простым радикальным расширением, т. е. имеет вид Р(С, 8),
где 9 — корень двучленного уравнения
хп — а = 0. а^Р, A)
а С — первообразный корень из единицы степени п. Согласно
теореме В, существует такое неприводимо-радикальное рас-
расширение L поля Р, что Р(С)с?. Пусть
K = L(9).
Поле К является.простым радикальным расширением поля L,
определяемым уравнением A) степени п, причем поле L со-
содержит, по построению, первообразный корень из единицы С
степени п. Поэтому, согласно теореме А, поле К является
неприводимо-радикальным расширением поля L.
Заметим теперь, что из определения неприводимо-ради-
кального расширения непосредственно вытекает следующая
Лемма. Если поле Q является неприводимо-ради-
неприводимо-радикальным расширением некоторого поля, которое в свою
очередь представляет собой неприводимо-радикальное
расширение поля Р, то поле Q является неприводимо-
радикальным расширением и поля Р.
Согласно этой лемме, построенное выше поле К является
неприводимо-радикальным расширением поля Р. Тем самым
в рассматриваемом частном случае наша основная теорема
доказана, ибо поле К содержит, очевидно, поле К.
Пусть теперь К— произвольное радикальное расширение
Поля Р, и пусть
— некоторый его радикальный ряд. Проведем индукцию по
числу *. Для s = 1 теорема уже доказана. Пусть она уже

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ А 163
доказана для числа s—1, т. е. пусть уже доказано, что
расширение Ls_x содержится в некотором неприводимо-ра-
дикальном расширении L поля Р. Рассмотрим композит Q
полей L и К. Легко видеть, что поле Q является простым
радикальным расширением поля L (доказать!) и потому, со-
согласно доказанному, выше, содержится в некотором непри-
водимо-радикальном расширении К поля L. Согласно лемме,
поле К представляет собой неприводимо-радикальное расши-
расширение поля Р и, очевидно, содержит поле К. Тем самым
теорема полностью доказана.
3. Доказательство теоремы А
Таким образом, нам осталось лишь доказать теоремы А
и В. В первую очередь мы докажем теорему А, как более
простую.
Пусть рассматриваемое простое радикальное расширение
К поля Р определяется двучленным уравнением
хп — а = 0, а?Я, A)
т. е. пусть
где 8 — произвольный корень уравнения A). (Напомним, что
поле Р содержит по условию все корни из единицы степени и,
т. е. содержит первообразный корень С степени я). Пусть,
далее, / (х)— минимальный многочлен числа 8 над полем Р,
и пусть т — его степень, т. е. степень [К'. Р] поля К над
полем Р. Поскольку многочлен f (х) неприводим и имеет
общий корень б с многочленом х" — а, он делит этот мно-
многочлен и потому имеет вид
/(*) = (х-6)(х-;а'0) ... (*_!>-.8).
где а1 ат-\ — некоторые целые числа. Раскрывая в этом
выражении скобки и обозначая свободный член многочлена
f(x) через (—1)тр, мы получим, что
р = Сабт,
где a = ai-f- ... -\-am_v Возводя это равенство в сте-
степень п и учитывая, что V = 1, 9" = а, мы получим, что

164 ГЛ. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
Пусть теперь а — наибольший общий делитель чисел п,
и т. Тогда, как мы знаем (см. лемму на стр. 70), сущест-
существуют такие числа и и v, что
пи -f- niv = d.
Следовательно,
a"==(a")"(am)t' = (a"py,
то есть
a = 6 (а^У1,
где «1 = njd, a e — некоторый корень из единицы степени d.
Поскольку корень е можно представить в виде С', где с —
некоторое целое число, отсюда вытекает, что многочлен
хп — a = (xd)"l~ f\ где f = CVp* ? Р делится на много-
многочлен ха— -у. Поскольку за 8 принят произвольный корень
уравнения A), можно считать, что 8 является корнем как раз
многочлена xd — f. Поскольку d^m, отсюда следует,
что f{x) — xd — -у, т. е. что d = m и многочлен хт — f
неприводим. Таким образом, поле К порождается над по-
полем Р корнем б неприводимого двучленного уравнения
хт — ^ = 0, Т ? Р,
т. е. представляет собой неприводимо-радикальное расшире-
расширение. Тем самым теорема А полностью доказана.
Замечание. Теорему А можно доказать и значительно
быстрее, если использовать теорию циклических расширений.
Действительно, как мы знаем (см. ч. II, гл. 2, п. 1),
группа Галуа поля К над полем Р является циклической
группой, причем ее порядок т делит число п. Так как
поле Р содержит первообразный корень из единицы сте-
степени т (почему?), то в силу основной теоремы о цикличе-
циклических расширениях (ч. II, гл. 2, п. 2) поле К определяетс-я
над полем Р неприводимым двучленным уравнением, т. е.
поле К, как и утверждается в теореме А, является непри-
водимо-радикальным расширением поля Р.
4. Мультипликативная группа классов
по примарному модулю
Для доказательства теоремы В мы должны предварительно
изучить строение мультипликативной группы Zn классов по
модулю п. Этому изучению и будет посвящен этот пункт.

4. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА КЛАССОВ 165
При этом мы ограничимся единственно нужным нам случаем,
когда число п примарно, т. е. имеет вид ра, где р — неко-
некоторое простое число.
В первую очередь мы рассмотрим случай, когда простое
число р нечетно (т. е. не равно двум).
Если простое кисло р нечетно, то для любого а ]> I
группа Z'pa циклично.
Пусть сначала а=1. Поскольку любое положительное
число, меньшее р, взаимно просто с р, группа Zp состоит
из всех классов по модулю р за исключением нулевого,
т. е. имеет порядок р — 1. Так как множество Zp всех
(включая и нулевой) классов по модулю р является абелевой
группой по сложению, а его подмножество Zp — абелевой
группой по умножению, причем закон дистрибутивности, оче-
очевидно, выполнен, то множество Zp представляет собой (аб-
(абстрактное) поле (см. Курс, стр. 278).
Пусть теперь т — наименьшее общее кратное порядков
всех элементов группы Zp. Тогда для любогоэлементаz?Zp
имеет место равенство zm = [1]. Другими словами, уравнение
zm = [l] над полем Zp имеет в этом поле р—1 корень.
Поэтому его степень т не меньше р— 1. (Теорема о том,
что степень уравнения не меньше числа его корней, спра-
справедлива над любым полем; см. Курс, стр. 289). С другой
стороны, число т не может быть больше порядка р— 1
группы Zp. Следовательно, оно равно этому порядку. По-
Поэтому группа Zp циклична (см. стр. 63).
Образующие [g] группы Zp принято называть первооб-
разными классами, а принадлежащие им числа g— перво-
первообразными корнями (по модулю р). Заметим, что согласно
этому определению, вместе с числом g первообразным кор-
корнем по модулю р является также и число g-\-p.
Пусть теперь а > 1. Легко видеть, что порядок ср(/>а)
группы Z'pu равен
ибо среди всех неотрицательных целых чисел, меньших ра,
не взаимно просты с ра лишь числа, делящиеся на р, а
таких чисел ровно р*'1 (все они имеют вид ри, где
0<й</?а-1).
'/«6 За к. 160. М. М. Постников

166 ГЛ. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
Рассмотрим произвольный первообразный корень g по
модулю р. Так как [g]p~\=[l], то
g'-*=l + pa. (I)
где и — некоторое целое число. Без потери общности можно
считать, что число и не делится на р, ибо в противном
случае число g можно заменить числом g-\-p. Действи-
Действительно, из равенства
+ (/»-!)(/>-2) gP-3p2+ ... = l + p(u~ gP~*+ pt).
где t — некоторое целое число, вытекает, что если и делится
на р, то „ ,
(g+P)P ~* = !+/*>.
где v=u — gp~2-\-pt на р уже не делится.
Рассмотрим теперь класс [g]pa числа g по модулю ра.
Пусть порядок этого класса равен п. Тогда имеет место
равенство [g]pa — [l]pa, т. е. равенство
gn=l+pav, B)
где v—некоторое целое число. Следовательно, между клас-
классами по модулю р имеет место аналогичное равенство [g]n =
= [1], из которого немедленно следует, что число п делится
на порядок р—1 группы Zp (ибо класс [g] является обра-
образующей этой группы). С другой стороны, число п делит
(см. стр. 63) порядок ра~1(р— 1) группы Zpa. Следовательно,
n==zPr{P—1). гДе 0<><а—1.
Возводя равенство A) в степень рг, мы получим отсюда,
что
где t — некоторое целое число. Сопоставив это равенство
с равенством B), мы получим, что
pav= pr+l(u-{-pt).
Так как число и-\-pt не делится на р (ибо на р не делится
число и), то это равенство возможно лишь при а=-г-\- 1.

4. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА КЛАССОВ 167
Следовательно, п = ра~х{р—1) = ср(ра). Таким образом,
мы нашли в группе Zpa элемент, порядок которого равен
порядку группы. Как мы знаем (см. стр. 63), отсюда сле-
следует, что группа Zpa циклична.
Пусть теперь р = 2. Очевидно, что группа Z'2 состоит
только из одного элемента (класса [1]) и потому является
циклической группой. Группа Z4 содержит два элемента и,
следовательно, также является циклической группой. Оказы-
Оказывается, что этими двумя группами исчерпываются все цикли-
циклические группы вида Zia. Именно, как мы сейчас покажем,
группа Z<f при а^Ъ не циклична.
Поскольку порядок <рB°) группы Z'2a равен 2" (числу
нечетных чисел, меньших чем 2°), для доказательства этого
утверждения достаточно показать, что
порядок любого элемента группы Zf при а ^ 3 не
превосходит числа 2"~2.
Но это очевидно, ибо для любого нечетного числа
с = 1 + 2t и любого целого числа k ^ 1 имеет место
равенство
с2* = 1 + 2ft+\, C)
где tk — некоторое целое число. Действительно, для k = 1
равенство C) справедливо (причем tl = t-\-t2), а если'оно
справедливо для k—1, то оно справедливо и для k /при-
/причем th = tk_\ -f- 2*4-i)- Следовательно, при а > 3 число с2"
сравнимо с единицей по -модулю 2°.
Оценка 2а~2 точная, т. е. в группе Ztf1 на самом деле
существуют элементы порядка 2а~2. Таким элементом является,
например, класс числа 5. Действительно, легко видеть, что
для любого целого числа k ^> 0 имеет место равенство
где sk—некоторое целое число (so = O и sft==2*~14-
—(— A —J— 2ft+2) sft_i), так что число о2" сравнимо по модулю 2я
с числом \-\-2"~1, и потому
Таким образом, порядок класса [5]^ равен 2а .

168 ГЛ. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
Класс [5]2а мы будем в дальнейшем обозначать симво-
символом х3а или просто х. Циклическую подгруппу порядка 2е
группы Ztf, порожденную элементом х^а, мы будем обо-
обозначать символом Х<р. Она состоит из элементов
в = [1]. х, jc2 at2"-'. D)
Рассмотрим теперь класс [ —1]2а числа —1 по модулю 2°.
В дальнейшем этот класс мы будем обозначать символом у2а
или просто у. Ясно, что у2 — е. Оказывается, что класс у
не принадлежит подгруппе Х2а. Действительно, если бы,
например, у = дг', где 1 <^<2а~2— 1, то число 5'-\- 1 де-
делилось бы на 2" и потому делилось бы на 4, что, как легко
видеть, невозможно (почему ?).
Отсюда вытекает, что, кроме элементов D), группа z'^f
содержит также элементы
у = еу, Ху, х2у х2а~2-1у, E)
причем все эти элементы отличны друг от друга и от эле-
элементов D).
• Поскольку элементов D) и E) вместе ровно 2а~\ они
исчерпывают собой все элементы группы Zf.
б. Группы Галуа примарных круговых расширений
Поля вида Я (С), где С—некоторый корень из единицы,
мы будем называть круговыми расширениями поля Я. Это
название связано с тем, что корни из единицы степени п
определяют разбиение окружности на п равных частей.
Показателем кругового расширения Р(С) мы будем
называть такое число п, что корень С является первообраз-
первообразным корнем из единицы степени п. Если число п примерно,
т. е. имеет вид ра, где р — простое число, то круговое
расширение мы будем называть примарным.
Как мы знаем (см. ч. II, гл. 1, п. 1), группа Галуа О (Я(С), Р)
кругового расширения Я (С) с показателем и изоморфна неко-
некоторой подгруппе мультипликативной группы Zn классов по
модулю п. Для п = ра отсюда и из результатов предыду-
предыдущего пункта немедленно вытекает, что

5. ГРУППЫ ГАЛУА ПРИМАРНЫХ КРУГОВЫХ РАСШИРЕНИЙ 169
при р нечетном (а также при р = 2 и а < 2) группа
Галуа О (Я (С), Р) примарного кругового расширения Я (С)
с показателем ра является циклической группой, поря-
порядок которой делит число ра~1 (р—1).
Пусть теперь р = 2 и d>3, Рассмотрим подгруппу Н
группы Zia, которой изоморфна группа Галуа G(P(t.), Я).
Возможны следующие три случая:
1) подгрупна Н не содержит элементов вида хку;
2) подгруппа Н содержит элементы вида хку и не со-
содержит отличных от е элементов вида хк\
3) подгруппа Н содержит элементы обоих видов.
В случае 1) подгруппа Н содержится в подгруппе Х2а
и потому является циклической группой, порядок которой
делит число 2а~2.
Если подгруппа Н содержит элемент xky, то она содержит
и элемент х2к = (jc*yJ (напомним, что у2 = е). Поэтому в слу-
случае 2) число k либо равно нулю, либо равно 1а~г. Обоих
элементов у и х^'^у подгруппа Н содержать не может,
так как их произведение равно л;2". Таким образом,
либо Н=[е, у), либо Н= [е, х2а~3у)> так что в слу-
случае 2) подгруппа Н также является циклической группой
(порядка 2, делящего число 2а~2).
В случае 3) мы рассмотрим пересечение Н0 =
0
т. е. совокупность всех элементов вида хк, содержащихся
в подгруппе Н. Это пересечение, являясь подгруппой
группы Л», представляет собой циклическую группу. Пусть
хг — ее образующая. Число г, являясь индексом подгруппы Но
в группе Х^г, делит порядок 2а~2 группы Х2а, т. е. имеет
вид 2', где 0 <[ t ^ а — 3. По условию подгруппа Н, кроме
степеней элемента хг, содержит также некоторые элементы
вида хку. Рассмотрим следующие два случая:
За) ни для одного элемента хку ? Н показатель k не
делится на г;
З6) хотя бы для одного элемента хку ? Н показатель k
делится на г.
В случае За) любой элемент хку ? Н мы можем (разделив
с остатком число k на число г) представить в виде произ-
6 Зак. 160- М. М. Постников

170 ГЛ. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
ведения (хгI • хк°у, где k0 < г. Так как хт ? Н, то хк>у ? И.
С другой стороны, если хк°у ?Н и k0 < г, то, поскольку
Л2*о — (jc*»yJ ? Яо> число 2/г0 должно делиться на г, что
возможно лишь при ko = r/2 (заметим, что в рассматривае-
рассматриваемом случае г>1). Итак, любой элемент хку?Н имеет
I ( L \2/+1
вид (хгI-х2у. Но это выражение равно \х2у) ' ибо
2у) =хг. Кроме того, любой элемент вида (хгI
( - V"
равен \jc2O . Таким образом, мы видим, что любой эле-
г
мент подгруппы Н является степенью элемента х2у, т. е.
подгруппа Н является циклической подгруппой с образую-
щей х7у. Порядок подгруппы Н равен, очевидно, 2 • 2а~2"' =
= 2a~1~t и, следовательно, делит число 2а~2 (ибо t > 0).
Наконец, в случае Зб) подгруппа И содержит, очевидно,
элемент у и потому состоит из элементов подгруппы Но и
их произведений на элементу. Эта группа уже нециклическая.
Она содержит циклическую подгруппу Но порядка 2?~7~'>
факторгруппа по которой является группой второго порядка.
Возвращаясь к группе Галуа поля Я (С), мы окончательно
получаем:
при р = 2 и а>-3 группа Галуа О (Я (С), Р) либо
является циклической группой, порядок которой делит
число 2а~2, либо, являясь нециклической группой, со-
содержит циклическую подгруппу, порядок которой делит
число 2а~2, причем соответствующая факторгруппа
является группой второго порядка.
Как случай нечетного р, так и случай р = 2 можно
объединить в следующей общей теореме:
в поле Р(С) с показателем ра существует такое
промежуточное подполе Р', что ¦.
1) группа Галуа О (Я (С), Р') поля Р(С) над полем Р'
является циклической группой, порядок которой делит
число ра~] (р— 1);
2) степень поля Р' над полем Р либо равна единице
(т. е. Р' = Р), либо равна двум.
Степень поля Р' над полем Р тогда и только тогда равна
двум, когда группа О (Я (С), Я) не циклична (и, значит,

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ В 171
/) = 2 и а>3). В этом случае поле Р' определяется как
подполе поля Р(С), соответствующее указанной в предыду-
предыдущей теореме циклической подгруппе группы О(Р(^), Р).
Пусть 5 — образующая этой подгруппы. Поскольку при
мономорфизме ср: G(P(C), P)->Z2<* (см. ч. II, гл. 2, п. 1),
эта образующая переходит в элемент хг, т. е. в класс [5г]2а,
ее действие на элементе С определяется формулой
• С* = С5'.
Аналогично действие автоморфизма Т, соответствующего эле-
элементу у, определяется формулой
Так как 5Г = 4^—(— 1, где t—некоторое целое число, то из
этих формул вытекает, что
/.2в-2\Г_._2в-3__ 2в-2в-2_,.2в-2D-1)_^3 # j-2"-2
С другой стороны, так как
(С2а-2L = С2а=1.
то С2а~2=±Л где 1=У— 1. Таким образом, мы видим,
что I ? Р (С), причем
/« = /, /г = С3-/.
Из первого равенства следует, что t?P', а из второго,
что / (? Я (ибо С3 Ф 1). Таким образом, во-первых, поле P(t)
содержится в поле Рг, а во-вторых, степень поля Р{1) над
полем Р равна двум. Это возможно только тогда, когда
Р' = РA). Таким образом,
если Р'ФР, mo P' = P{i).
в. Доказательство теоремы В
Теперь мы уже в состоянии доказать теорему В. Ее
доказательство мы проведем индукцией по показателю п
кругового расширения Р(С).
Если ге=1 (а также если ге = 2) поле 'Р(С) совпадает
с полем Р, так что в этом случае теорема В тривиальным

172 ГЛ. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
образом справедлива (за неприводимо-радикальное расшире-
расширение К, содержащее данное круговое расширение Р (С), можно
принять само поле Я).
Предположим теперь, что теорема В уже доказана для
всех круговых расширений с показателями, меньшими п
(каково бы ни было поле Р), и докажем ее для расшире-
расширения Я (С) с показателем п. Будем различать следующие два
случая:
(I) число п делится по крайней мере на два различных
простых числа;
(II) число п имеет вид р", где р — простое число.
Случай A).В этом случае число п можно представить
(вообще говоря, многими способами) в виде произведения пхп2
двух взаимно простых чисел п} и ге2, каждое из которых
меньше п. Пусть Cj и С2 — первообразные корни из единицы
степеней пх и ге2 соответственно. Так как Cj^P(C) и С2?Я(С),
то Я (С], С2)сР(С). Оказывается, что имеет место и обрат-
обратное включение Р(С)сЯ(С[, Cj), так что
= Р(С1. С2). A)
Для доказательства этого включения достаточно показать
(почему?), что произведение СХС2 представляет собой перво-
первообразный корень из единицы степени п, т. е. что из равен-
равенства (CjCj) = 1 вытекает, что т делится на п. Но если
(CiC2)m= 1, то Ci"==C2~m=l> ибо, согласно лемме, доказанной
на стр. 70—71, для взаимно простых чисел пх и ге2 суще-
существуют такие числа и и v, что пхи -f- n2v = 1, и потому
Поскольку корень С; является по условию первообразным
корнем из единицы степени ге,, из равенства СГ = 1 выте-
вытекает, что т делится на nv Аналогично, из равенства С2~т= 1
вытекает, что т делится на п2. no9toMy tn делится и на п^
(ибо т = тпхи -\- mn2v). Тем самым равенство A) полностью
доказано.
Поскольку показатель ге, расширения Я(С0 меньше п,
поле Р(СХ) содержится, по предположению индукции, в неко-
некотором неприводимо-радикальном расширении К\ поля Р.
Рассмотрим поле А", (С2). Это — круговое расширение поля /Ct
с показателем п^, меньшим п. Поэтому, снова по предпо-

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ В 173
ложению индукции, поле Ki{(.7) содержится в неприводимо-
радикальном расширении К поля Кх. Для завершения доказа-
доказательства теоремы остается теперь заметить, что поле
/>(C) = P(C,, C2) содержится в поле К и что это последнее
поле является неприводимо-радикальным расширением поля Р
(см. лемму из п. 2).
Случай (II). Пусть теперь п = ра. Наряду с полем Р (С)
рассмотрим поле Р(г(), где г\ — первообразный корень из
единицы степени ра~1(р—1). Так как ра~1{р—1)</?а,
то, по предположению индукции, поле Р{т\) содержится
в некотором неприводимо-радикальном расширении К\
поля Р. Пусть АГ = АГх (С). Как мы знаем (см. п. 5), в поле К
содержится такое подполе ATt =эATi, что группа Галуа О(К, Ki)
является циклической группой, порядок которой делит
число р"~1(р— 1). Другими словами, поле К является цикли-
циклическим расширением поля К[. Поскольку поле К[ содержит,
по построению, первообразный корень из единицы сте-
степени ра~1(р— 1), а потому и первообразный корень из еди-
единицы степени, равной степени поля К, над полем К{, к этому
циклическому расширению применима теорема, доказанная
в ч. II, гл. 2, п. 2, согласно которой поле К является
неприводимо-радикальным расширением поля к!\. Так как
поле К\ либо совпадает с полем Klt либо имеет вид К1 (/)
(см. п. 5), и потому является неприводимо-радикальным рае-
ширением поля Кх, то поле К представляет собой неприво-
димо-радикальное расширение поля /(,, а следовательно,
и поля Р. Для завершения доказательства остается заметить,
что P(C)<=/C.
Тем самым теорема В, а значит и основная теорема,
сформулированная в П. 1, полностью доказана,

ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
1. Строение полей деления круга простого показателя
В предыдущей главе было в определенной мере изучено
(в процессе доказательства теоремы В) строение произволь-
произвольных круговых расширений. В этой главе мы углубим и кон-
конкретизируем эти результаты для случая полей деления круга,
т. е. круговых расширений поля R рациональных чисел,
в предположении, что показатель расширения является про-
простым нечетным (случай р = 2 неинтересен) числом р.
Многочлен, корнями которого являются первообразные
корни из единицы некоторой степени п (и только эти корни),
называется многочленом деления круга на п частей. По-
Поскольку при р простом все отличные от единицы корни сте-
степени р из единицы являются первообразными корнями, много-'
член деления круга на р частей имеет вид
<eA>-i_|_<eA>-2_|_ ... -fjt+1 A)
и потому является многочленом над полем R. Известно (см.
Курс, стр. 354), что этот многочлен неприводим (над
полем R) (по существу, это единственное место, где мы
используем тот факт, что основным полем является поле R).
Полем разложения многочлена A) является поле деления
круга R (С), где С — произвольный первообразный (т. е. отлич-
отличный от единицы) корень степени р из единицы. Поскольку
многочлен A) неприводим, степень [R(i):R] поля /?(С)
над полем R равна р—1 (степени многочлена A)).
Рассмотрим теперь элементы

1. СТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ ДЕЛЕНИЯ КРУГА ПРОСТОГО ПОКАЗАТЕЛЯ 175
поля /?(С). Все эти элементы являются первообразными кор-
корнями степени р из единицы (и любой первообразный корень
степени р из единицы среди них содержится).
Легко видеть, что
элементы B) составляют базис поля #(С) над по-
полем R.
Действительно, их число равно степени р — 1 поля R (С)
над полем R и они линейно независимы (ибо любая нетриви-
нетривиальная линейная комбинация между ними после сокращения
на С превращается в уравнение для С степени, меньшей чем
р— 1, а такого уравнения в силу неприводимости много-
многочлена A) существовать не может).
Из результатов предыдущей главы мы знаем, что группа
Галуа G = O(R (С), R) поля R (С) над полем R циклично, а
из сказанного выше о степени поля /?(С) следует, что ее по-
порядок равен р — 1. Пусть 5 — произвольная (раз навсегда
фиксированная) образующая этой группы. Тогда
где g — некоторый первообразный корень по модулю р.
Для любого * = 0, ±1, ±2, ... мы положим
С, = С< т. е. С, = С*'.
Таким образом, С0 = С и
Cf = C/+i. C)
Поскольку S" = Е тогда и только тогда, "когда п делится
на р—1, равенство С/= Су имеет место тогда и только
тогда, когда числа I и ] сравнимы по модулю р — 1 (сле-
(следует иметь в виду, что из равенства СчУ" = С вытекает равен-
равенство 5" = Е). Таким образом, среди чисел С, имеется ровно
р — 1 различных.
За эти числа можно принять, например, числа
^ = С. С,. Са С„_2. D)
Поскольку все числа С( являются первообразными кор-
корнями, из единицы степени р числа D) лишь порядком сле-
следования отличаются от чисел B). Таким образом,
элементы D) составляют базис поля /?(С) над по-
полем R.
Как мы знаем, любая подгруппа группы G является ци-
циклической подгруппой с образующей вида §', где е —

176 ГЛ. 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
некоторый делитель числа р— 1. Обратно, для любого дели-
делителя е числа р — 1 элемент 5* является образующей некоторой
подгруппы. Пусть Re— подполе поля /?(С), соответствующее
этой подгруппе. Таким образом, Rx = R и /?,,_! = /?(С). Сте-
Степень [/?(C):/?J поля /?(С) над полем R. равна / —- ¦,
с?
а степень [Re : R] поля Re над полем R равна е. Элемент а
поля R (С) тогда и только тогда принадлежит полю Re,
когда <xse = a.
Заметим теперь, что для любого делителя е числа р— 1
все первообразные корни D) степени р из единицы можно
распределить в е групп
Г Г Г,
С».,. С2,_!, .... С,,.!
по / = — корней в каждой группе, таким образом, что
автоморфизм 5* переводит каждый корень в соседний корень
той же группы (корнем соседним с последним корнем
группы номера I мы считаем ее первый корень С/).
Пусть
/ = 0, 1 е—1,
— сумма всех корней, принадлежащих 1-й группе. Из ска-
сказанного выше непосредственно следует, что элементы
yi[ = tfp — они называются f-членными гауссовыми перио-
периодами, — не меняются под воздействием автоморфизма 5*:"
if = 1,. ' = 0. 1 е-1.
Следовательно, т)( ? Re. Так как число периодов т)( равно
степени е поля Rt над полем R и они линейно независимы
над полем R (почему?), то
периоды т)( составляют базис поля Re над полем R.
Пусть ri = 7]0. Так как ri^.Re, то R(r;)<=Re. Пусть
щ — степень поля R (тц) над полем R, т. е. степень непрц-i

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 177
водимого над полем R многочлена f(x) с корнем т). Так
как R(yj)cRe, то /»<>. С другой стороны, легко видеть,
что
¦tll = r,si, 1 = 0, 1 е—1,
откуда следует, что все периоды •»], являются корнями много-
многочлена / (х). Таким образом, многочлен f(x) имеет, по край-
крайней мере, е различных корней, и потому т^е. Следова-
Следовательно, т = е и '
я, = Rh)-
Отсюда, в частности, вытекает, что
любой период f\t выражается в виде многочлена (с ра-
рациональными коэффициентами) от периода г\.
2. Решение уравнений деления круга
В этом пункте мы применим результаты п. 1 к задаче
«решения» уравнения деления круга на р частей, т. е. к за-
задаче приведения этого уравнения к цепи возможно более
простых уравнений.
Задача. Доказать, что Re<=.Re тогда и только тогда,
когда е делится на е' и что степень [Re : Re<\ поля Rt над
полем Re- равна е/е'.
Пусть
p—l=q1q2.... qs
— разложение числа р — 1 в произведение (не обязательно
различных) простых чисел qlt q2. .... qs. Полагая
Я(о) = Я. Я«) = /^1 ...Vi, 1=1 s,
мы получим в поле /?(С) цепочку последовательно вложен,
ных друг в друга подполей
С ... С /?(,_!, = /?(„»=/? (С)
обладающую тем свойством, что каждое подполе этой це»
почки (кроме поля /?@)) имеет над предшествующим под-
полем простую степень (именно поле /?W), /=1 s
имеет над полем /?(,_t) степень qt). Другими словами, пола»
гая Кц) = /?y_i)(«j). мы получим, что

178 ГЛ. 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
причем для любого / = 1, .... s число <хг является корнем
некоторого неприводимого уравнения простой степени q, над
полем /?u_d = /?(<*! a(-i)- На языке теории уравнений
это означает, что
решение уравнения деления круга на р частей сво-
сводится к решению уравнений простых степеней qx,
Ч2 4s-
Назовем простое число р числом Ферма, если число
р — 1 является степенью двойки, т. е. имеет вид 2" (легко
видеть, что это возможно "лишь тогда, когда показатель п
также является.степенью двойки. Из только что доказанного
утверждения немедленно вытекает, что
если простое число р является числом Ферма, то
решение уравнения деления круга на р частей сводится
к решению квадратных уравнений.
Задача. Доказать обратное утверждение.
Замечание. Из теории геометрических построений (см.
ниже гл. 4, п. 1) известно, что корень некоторого уравне-
уравнения тогда и только тогда можно построить циркулем и ли-
линейкой, когда решение этого уравнения сводится к цепи
квадратных уравнений. Следовательно, имеет место следую-
следующая теорема (впервые доказанная Гауссом).
Правильный р-угольник, где р^- некоторое простое
число, тогда и только тогда можно построить цирку-
циркулем и линейкой, когда число р является числом Ферма.
Числами Ферма являются, например, числа
3, 5, 17, 257, 65531.
Существуют ли другие числа Ферма, до сих пор неизвестно..
3. Прием Гаусса
Если .бы теоремой предыдущего пункта исчерпывалось
все, что можно сказать о решении уравнений деления круга,
это совершенно не оправдывало бы труд, затраченный нами
в п. 1 на изучение строения поля /?(С) и его подполей, ибо
легко видеть, что решение любого уравнения с разрешимой
группой Галуа сводится к решению уравнений простых
степеней (так как любая разрешимая группа обладает раз.г
рещимым рядом с факторами простых порядков).

3. ПРИЕМ ГАУССА 179
В этом пункте мы дополним эту теорему принадлежащим
Гауссу изящным приемом построения «разрешающих» урав-
уравнений простых степеней или, более общо, уравнений, опре-
определяющих произвольное подполе Re поля R((.) над полями
вида Re', где е' — некоторый делитель числа е (не обязательно
отличающийся от числа е лишь на один простой множитель).
Так как Re = R(fi), где
то Re = Re> (т)), и наша задача сводится к тому, чтобы найти
неприводимый над полем /?<>- многочлен с корнем т/ (т. е.
минимальный многочлен числа т) над полем /?«>')• С этой
целью мы рассмотрим периоды
*! = %. V \е \Н-1)е'=\-е" . 0)
где h = eje'. Поскольку, как легко видеть,
(условно считаем, что т]в = тH), элементарные симметриче-
симметрические функции от периодов E) не меняются под воздействием
автоморфизма 5*, т. е. принадлежат полю /?«.-. Другими
словами, многочлен
представляет собой многочлен над полем Re<. Так как его
степень равна Л=^ [Re: /?<>¦]• то этот многочлен и является
искомым минимальным многочленом числа т\ над полем Re>.
Коэффициент этого многочлена при xh~l лишь знаком
Отличается от величины
А-1
+ v + • • • + V-U .¦ = 2о 1*,. -
Л-1 /-I /-1 Л-1 /'-1
= Zj 2j Cfte'+/e = 2j Zi^
* = 0/^0 1=0 k-0
h f-
т. е. от /'-членного гауссова периода rfe"> = r(^'\ соответг
ствующегр числу ?''. Остальные коэффициенты

180 ГЛ. 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
вычислить на основе формул Вьета, опираясь на следующее
утверждение, непосредственно вытекающее из того факта,
что периоды тH, т), 7)e_j образуют базис поля Re над
полем R.
Произведение т),т)у любых двух )-членных гауссовых
периодов является целочисленной линейной комбинацией
периодов тH, т), 1«-i-
Для практического нахождения этой линейной комбина-
комбинации Гаусс предложил записывать произведение т),т)у периодов
в следующем виде, собирая вместе произведения членов,
«отстоящих друг от друга на одном расстоянии» (и считая
при этом, что после последнего члена каждого периода снова
следует его первый член):
¦+¦
Легко видеть, что под воздействием автоморфизма S" каждый
член *ъ1+ье*)+1е произведения 7^ переходит в следующий
член il+(k+i)e{.l+ll+1)e той же скобки (считаем, что за по-
последним членом скобки следует ее первый член). С другой
стороны, являясь произведением корней из единицы степени р,
член Ci+freC,+l, также представляет собой корень из единицы
либо первообразный, либо равный единице. Таким образом,
каждая скобка либо состоит из единиц (и потому равна /),
либо представляет собой сумму первообразных корней из
единицы степени р, последовательно переходящих друг
в друга под воздействием автоморфизма Se, т. е. является
одним из периодов тH, t)j i\e_v Чтобы найти номер
этого периода, достаточно вычислить один член скобки
(скажем, первый) и посмотреть, в какой период он входит.

4. УРАВНЕНИЕ ДЕЛЕНИЯ КРУГА НА 17 ЧАСТЕЙ 181
Что же касается скобки, состоящей из единиц, то она
равна
Действительно, сумма irJo + 7li+ ••• +7l«-i равна сумме
Cq —|— Сх —|— ... 4-^,-2 всех первообразных корней из единицы
степени р и потому равна —1 (взятому с обратным знаком
коэффициенту при хр~2 в уравнении деления круга).
Тем самым мы действительно представили произведение
в виде линейной комбинации периодов \, т\х, .... "г\е_х.
4. Уравнение деления круга на 17 частей
Для иллюстрации изложенной выше общей теории рас-
рассмотрим случай р=17.
Для числа 17 за первообразный корень g можно при-
принять, например, число 6. Тогда
Поскольку р—1 = 16, за первое число е мы должны
принять число 2. Соответствующие восьмичленные периоды
имеют вид
Скобки,' на которые разбивается произведение т,®?^2),
начинаются соответственно с членов
К6 = С7 (из периода т^2)), К11 = С12 (из периода rjB)),
!?12 = С13 (из периода т,B)), V.5 =С6 (из периода rjB)),
СС7 =С8 (из периода rj<2)), К1О = СП (из периода i]f)y
К14 = С15 (из периода tj<2)), СС3 =С4 (из периода tjB)).
Следовательно, т)B)т)B) = 4т/2) -f 4rj^2)( т. е.
7jB>7jf) = — 4.
ибо

182 ГЛ. 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
Таким образом, период т,B) (вместе с периодом г\Щ является
корнем квадратного уравнения
х2-\-х — 4 = 0,
то есть
Далее, мы должны взять е = 4. Соответствующие четырех-
четырехчленные периоды имеют вид
7,D) = с + С4 + С16 ¦+ С13, г,!4) = С2 + С8 +¦ С15 + С9,
г^) = с»+ V + ^п + ^10. i{4)' = С12 4-114 +15 ¦+ ^3-
Из них нам нужны лишь периоды т)<4> и т^4) (так как е' = 2).
Согласно общей теории,
Что же касается произведения ч^4)^4), то скобки, на которые
оно разбивается, начинаются соответственно с членов
!?2 = С3 (из периода г^А СС15 = С16 (из периода т)<4)),
СС8 = С9 (из периода т^4)), СС9 =С10 (из периода т^4)).
Таким образом,
Следовательно, период т)<4> является корнем уравнения
X2 — 7)<2)ЛГ— 1=0.
то есть
B)
Далее, мы должны взять е = 8. Соответствующие дву-
двучленные периоды имеют вид
7,^8) = С12 + С5, 7,(8) = С14 + С3.
Из них нам нужны только периоды tj<8) и т$К

4. УРАВНЕНИЕ ДЕЛЕНИЯ КРУГА НА 17 ЧАСТЕЙ 183
Согласно общей теории,
7,(8) -f. Yjf = 7)«>.
Что же касается произведения т)(8)т)<18), то, как и выше, нахо-
находим, что
Согласно доказанному в п. 1, период tjW выражается через
период tjD). Чтобы найти это выражение, составим произве-
произведение rf^r^K Имеем :
) 4- ¦$>
Следовательно,
Таким образом, период г)(8) является корнем уравнения
то есть
Наконец, поскольку
то корень С (т. е., если хотите, одночленный период tj<16))
ввляется корнем уравнения
X2 — 7)(8)JC+-1=O,
то есть
Задача. Показать, что во всех формулах A), B), C), D)
перед корнем следует брать знак плюс.

184 ГЛ. 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
Подставляя выражение A) для tj<2) в формулу B), затем
получившееся выражение для т)<4> в формулу C) и, наконец,
получившееся выражение для т)<8> в формулу D), мы получим
окончательное выражение для С, содержащее, кроме арифме-
арифметических действий, лишь операцию извлечения квадратного
корня. Впрочем, для геометрических надобностей достаточно
знать число т)<8> (представляющее собой, как легко видеть,
удвоенную апофему правильного 17-угольника), так что
последнюю подстановку (приводящую к мнимостям) можно и
не делать. В результате мы получим (после некоторых упро-
упрощений) для апофемы tj(8>/2 следующее выражение:
йУи-УйУ п-
~ 16
Задача. Исследовать случай р = 13 (должны получиться
два квадратных уравнения и одно уравнение третьей степени)
и случай /7=19 (одно квадратное уравнение и два уравне-
уравнения третьей степени).

ГЛАВА 5
ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
1. Основная теорема теории геометрических построений
Известно, что любая элементарно-геометрическая фигура
определяется (с точностью до положения) длинами некоторых
отрезков. Например, окружность определяется ее радиусом,
угол — его линией косинуса (в круге единичного радиуса) и
т. п. Следовательно, любая задача на построение сводится
к задаче построения по некоторым числам (длинам данных
отрезков) новых чисел (длин искомых отрезков). В связи с этим
естественно возникает задача описания всех чисел, являю-
являющихся длинами отрезков, которые можно получить из дан-
данных отрезков геометрическими построениями с помощью тех
или иных чертежных средств. Мы ограничимся здесь клас-
классической постановкой этой задачи, когда за основные чертеж-
чертежные средства принимаются циркуль переменного раствора и
односторонняя линейка без делений.
Пусть 1, а, р, ... —длины данных отрезков (поскольку
выбор единицы длины находится всецело в нашем распоря-
распоряжении, мы можем считать, что один из данных отрезков
имеет длину 1). Мы скажем, что положительное действи-
действительное число ? может быть построено (исходя нз данных
чисел 1, а, р, ...), если, отправляясь от отрезков длин 1,
<х, р можно с помощью только циркуля и линейки
построить отрезок длины ?.
Замечание. Строго говоря, для придания этому опре-
определению точного смысла, нам. необходимо предварительно
детально описать, что мы понимаем под выражением «по-
«построить отрезок с помощью циркуля и линейки». Мы этого
делать не будем, поскольку, с одной стороны, такое описа-
описание можно найти в любом курсе теории геометрических

186 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
построений, а с другой стороны, оно нам, по существу, не
нужно. Для наших целей вполне достаточно наивного «школь-
«школьного» представления о значении этого выражения. Читатель,
знакомый с современным, формальным, определением понятия
«построить отрезок циркулем и линейкой», без труда сможет
сам изложить все дальнейшее в том же формальном
стиле.
Как известно, циркулем и линейкой можно, в частности,
построить 1) сумму двух или нескольких отрезков, 2) раз-
разность двух отрезков, 3) отрезок четвертый пропорциональ-
пропорциональный к трем данным отрезкам (этот отрезок выражается фор-
формулой able где а, Ь и с — данные отрезки), 4) отрезок
средний пропорциональный к двум данным отрезкам (этот
отрезок выражается формулой Уab, где а и b — данные
отрезки). Отсюда вытекает, что следующие действия над
числами можно осуществить с помощью циркуля и линейки:
1) действие сложения,
2) действие вычитания (для случая, когда уменьшаемое
больше вычитаемого),
3) действие умножения (сводится к построению отрезка
четвертого пропорционального к отрезкам a, b и 1),
4) действие деления (сводится к построению отрезка чет-
четвертого пропорционального к отрезкам а, 1 и с),
5) действие извлечения квадратного корня (арифметиче-
(арифметического) из положительного числа (сводится к построению
отрезка среднего пропорционального к отрезкам а и 1).
Мы будем называть эти действия примитивными. Поло-
Положительное число 5 мы будем называть примитивным, если
его можно получить из чисел 1, а, р применяя (любое
конечное число раз) примитивные действия. Оказывается, что
примитивными действиями, по существу, исчерпываются все
действия "над положительными числами, которые можно осу-
осуществить циркулем и линейкой. Именно, имеет место сле-
следующая основная теорема.
Число 5 тогда и только тогда можно построить
(исходя из чисел 1, а, C, ,. ,), ко:да это число прими-
примитивно.
Достаточность этого условия немедленно следует из всего
сказанного выше. Поэтому мы должны доказать дишь его
необходимость.

1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ 187
Для этого нам удобно несколько расширить список при-
примитивных действий. Рассмотрим следующие действия (над не
обязательно положительными числами):
1) сложение,
2) вычитание (производимое без всяких ограничений),
3) умножение,
4) деление,
5) извлечение квадратного корня (арифметического) из
положительного числа.
Мы будем называть эти действия пифагоровыми (таким об-
образом, пифагоровы действия отличаются от примитивных лишь
тем, что вычитание производится без всяких ограничений).
Запас чисел, которые можно получить из чисел 1, а, C, .. .
пифагоровыми действиями (будем впредь называть эти числа
пифагоровыми), безусловно больше запаса чисел, которые
можно получить из тех же чисел 1, а, р, ... примитивными
действиями (т. е. запаса примитивных чисел). Например, все
примитивные числа положительны (напомним, что исходные
числа 1, а, р, . .. па условию положительны), тогда как
среди пифагоровых чисел имеются и отрицательные. Однако
оказывается, что
любое пифагорово положительное число примитивно,
так что в области положительных чисел пифагоровы
действия не дают ничего нового (по сравнению с прими-
примитивными).
Для доказательства этого утверждения мы должны более
внимательно исследовать строение пифагоровых чисел. Каждое
пифагорово число f получается из исходных чисел 1, а, р, ...
в результате' применения некоторого набора пифагоровых
действий. Пусть п — наименьшее число пифагоровых дейст-
действий, необходимых для получения числа f. Это число мы
будем называть рангом пифагорова числа f. Ранг, равный
нулю, имеют исходные числа 1, a, fj, . .. и только они.
Число 0 имеет ранг, равный единице (ибо 0=1 — 1). Числа
— 1, —а, —р, .... противоположные исходным числам 1,
а, C имеют ранг, не больший двух (ибо, например,
— 1=0—1=A —1)—1). Вообще, если число f имеет
ранг п, то ранг числа —f не превосходит п-\-2. Однако
ранг числа —f может быть и меньше п-\-2. Например,
если пифагорово число у ранга п отрицательно, то
ран? числа — f (т. е. числа | f |) не превосходит п.

188 гл. 5. построения циркулем И линейкой
Мы докажем это утверждение индукцией по рангу я
числа у. Если я = О, то число 7 не может быть отрица-
отрицательным, так что .в этом случае рассматриваемое утвержде-
утверждение справедливо (потому что бессодержательно). Пусть оно
уже доказано для всех чисел ранга, меньшего чем п. Любое
число 7 ранга п выражается через некоторые числа 7i и 72
меньших рангов по одной из следующих формул:
а) 7 = Ъ 4- 72.
б) 7 = 7i — 72.
в) 7 = 7i72. A)
г\ у — .7'
причем для отрицательного 7 случай д) невозможен, а в каж-
каждом из остальных четырех случаев числа 7i и 7г можно
выбрать так, чтобы их ранги пх и п2 были связаны с ран-
рангом я числа 7 соотношением
Задача. Докажите это утверждение.
Очевидно, что число — -j = | 7 I выражается через числа
17i I и 17г I п0 тем >1*е формулам (однако, например, фор-
формула а) может перейти в формулу б) и наоборот). Следо-
Следовательно, ранг т числа — 7 не превосходит числа тх -f- т2 -+¦ 1 >
где mv т2 — ранги чисел |fj|, 1721 соответственно. Заме-
Заметим, что ранг т вполне может быть меньше суммы ntl-\- т2-\- 1.
Если число 7i положительно, то -f i = I 7i |« и потому тх = nv
Если же оно отрицательно, то, по предположению индукции,
/«!-<;«!. Таким образом, во всех случаях тх^.пх. Анало-
Аналогично т2-^. п2, и потому т ¦^.ml-\- /п2-\- 1 -<; я14-я2-+- 1=ге.
Тем самым высказанное утверждение полностью доказано.
Докажем теперь сформулированное выше утверждение
о примитивности положительных пифагоровых чисел. Для
чисел нулевого ранга оно, очевидно, справедливо. Пусть
это утверждение уже доказано для всех положительных пи-
пифагоровых чисел рани, меньшего чем п. Любое положи-

1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ 189
тельное пифагорово число f принадлежит к одному из пяти
типов A). Если оно принадлежит типу д), т. е. имеет
вид V"{\ • т0 число ii также положительно. Кроме того, его
ранг равен п— 1, и потому, по предположению индукции,
число ii примитивно. Следовательно, число f также прими-
примитивно. Если число у принадлежит типу в), или типу г), т. е.
имеет вид 7Л2 или Ti/Тг» то ли^о оба числа fi и f2 поло-
положительны (и потому, по предположению индукции, прими-
примитивны), либо оба они отрицательны, и тогда f = (— 71) (— Т2)
(или соответственно 7 =— fi/ — Тг)- Но, согласно доказан-
доказанному выше утверждению, ранги чисел — Т\ = I Til и—72=1 7г1
не превосходят соответственно рангов пх и я2 чисел fi и ^г•
Следовательно, по предположению индукции, числа — 7i
и — 72 примитивны. Таким образом, число 7 получается
из. примитивных чисел действиями умножения или деления,
и потому само является примитивным числом. Случай, когда
число 7 принадлежит типу а) или типу б), рассматривается
аналогично.
В силу доказанного предложения мы можем теперь сфор-
сформулировать нашу основную теорему в следующем виде:
число $ тогда и только тогда может быть по-
построено, когда оно пифагорово.
Как уже упоминалось, достаточность условия этой тео-
теоремы очевидна (если, конечно, знать, что положительные
пифагоровы числа совпадают с примитивными), так что мы
должны доказать лишь его необходимость, т. е. должны
доказать, что если число ? может быть построено, то оно
пифагорово. •
С этой целью мы выберем на рассматриваемой плоскости
(в которой производятся все построения) некоторую декар-
тову систему координат. Будем называть точку плоскости
пифагоровой точкой, если обе ее координаты являются пи-
пифагоровыми числами. Данные отрезки (длин 1,а, й, ...) мы
отложим на положительной оси абсцисс так, чтобы левым
концом каждого отрезка служило начало координат. Тогда
их правые концы будут являться пифагоровыми точками.
С другой стороны, ясно, что если концы некоторого отрезка
являются пифагоровыми точками, то его длина выражается
пифагоровым числом. Кроме того, задача построения отрезка
равносильна задаче построения его концов. Поэтому для
7 Зак. 160. М. М. Постников

190 гл. 5. построения циркулем и линейкой
доказательства того, что если число 5 может быть построено,
то оно пифагорово, достаточно доказать, что
каждая точка, получающаяся из пифагоровых точек
геометрическими построениями с помощью циркуля и ли-
линейки, сама является пифагоровой точкой.
Оказывается, что аналогичное утверждение имеет место
и для других элементарно-геометрических образов (прямых
и окружностей). Назовем прямую или окружность пифаго-
пифагоровой, если все коэффициенты ее канонического уравнения
(т. е. уравнения y = kx-\-b или х = а для прямой и ура-
уравнения {х—аJ-\-(у— дJ = г2 для окружности) являются
пифагоровыми числами. Тогда имеет место следующее общее
предложение:
каждая точка, прямая или окружность, получаю-
получающаяся из пифагоровых точек в результате некоторого
построения циркулем и линейкой, пифагорова.
На первый взгляд кажется, что это утверждение заведомо
ложно (впрочем, строго говоря, это действительно так). Дело
в том, что, как правило, любое построение содержит неко-
некоторый элемент произвола (например, берутся произвольные
точки, проводятся окружности произвольного радиуса и т. п.),
и, конечно, этот произвол может повлечь появление не пи-
пифагоровых образов. Однако мы можем ограничить этот про-
произвол и выбирать «произвольные» образы лишь среди пифа-
пифагоровых. При этом условии высказанное возражение
автоматически отпадает.
Однако здесь появляется другая трудность. В некоторых
построениях свобода в выборе «произвольных» образов часто
ограничена дополнительными условиями (выбираемая точка
должна лежать внутри некоторой фигуры, радиус окружности
должен быть не меньше некоторого числа и т. п.) и а приори
неясно, можно ли совместить эти условия с условием пифа-
горовости. По этому поводу можно заметить следующее.
Во-первых, в любом построении достаточно произвольно вы-
выбирать лишь точки (ибо выбор, например, произвольной
прямой сводится к выбору двух любых ее точек). Во-вто-
Во-вторых, любое условие на выбор точки, могущее возникнуть
при элементарно-геометрическом построении, требует, чтобы
точка либо принадлежала некоторой уже построенной фигуре,
либо лежала вне некоторой другой такой фигуры, наконец,
удовлетворяла обоим этим условиям. Поэтому, если мы

1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ 191
предположим, что наше утверждение справедливо для по-
построений, не содержащих произвола, то в построении, со-
содержащем произвол, нам придется выбирать точку на некоторой
пифагоровой (т. е. состоящей из пифагоровых точек, прямых
и окружностей) фигуре, возможно, вне некоторой другой
(но также пифагоровой) фигуры. Однако, поскольку среди
чисел 1, а, р, ... содержится число 1, среди пифагоровых
чисел содержатся все рациональные числа, и потому пифа-
пифагоровы точки расположены на плоскости «всюду плотно».
Поэтому вне любой фигуры пифагорову точку найти всегда
можно. Далее, легко видеть, что пересечение двух пифаго-
пифагоровых прямых или окружностей (пересекающихся в конечном
числе точек) состоит из пифагоровых точек (ибо координаты
этих точек получаются из коэффициентов пересекающихся
прямых или окружностей в результате решения линейных
или квадратных уравнений). Поэтому, для того чтобы найти
на некоторой пифагоровой фигуре пифагорову точку, доста-
достаточно найти пифагорову прямую, имеющую с этой фигурой
хотя бы одну общую точку. Ясно, что такая прямая всегда
существует (даже в классе прямых с рациональными коэф-
коэффициентами). Более того, таких прямых настолько много,
что всегда можно найти прямую, пересекающую данную фи-
фигуру в точке, не лежащей на любой другой фигуре. Таким
образом, при любом построении выбор «произвольных» то-
точек всегда можно осуществить в классе пифагоровых точек.
Отсюда следует, что наше предложение можно доказы-
доказывать лишь для построений, не содержащих произвола. Но
любое такое построение сводится к ряду построений:
1) общих точек (если они существуют) двух уже постро-
построенных прямых или окружностей;
2) прямой, проходящей через две уже построенные точки;
3) окружности с центром в построенной точке и радиу-
радиусом, равным расстоянию между двумя построенными точ-
точками.
Как мы уже видели, построения 1) пифагоровы образы
переводят в пифагоровы. Аналогичным свойством обладают,
очевидно, и построения 2) и 3) (ибо, например, коэффи-
коэффициенты уравнения прямой, проходящей через две точки, ра-
рационально выражаются через координаты этих точек). Сле?
довательно, при любом сколь угодно сложном построении
цы, исходя из пифагоровых точек, будем получать

192 гл. 5. построения циркулем и линейкой
пифагоровы точки, прямые и окружности. Наше утвержде-
утверждение (а вместе с ним и основная теорема) полностью дока-
зано.
Полученное необходимое и достаточное условие воз-
возможности построения отрезка имеет дело, по существу, лишь
с положительными числами и потому плохо приспособлено
для анализа средствами алгебры. Чтобы преодолеть этот
недостаток, мы будем говорить, что действительное число 5
(положительное, отрицательное или равное нулю) может быть
построено (исходя из положительных чисел 1, а, р, ...),
если оно либо равно нулю, либо число \\\ может быть по-
построено в ранее определенном смысле. Оказывается, что
при таком определении
основная теорема (в том виде, как она сформули-
сформулирована на стр. 189) сохраняет силу и для любых дей-
действительных чисел ?.
Действительно, при 5 = 0 это утверждение тривиально,
при i > 0 оно совпадает с основной теоремой, а при % < 0
непосредственно вытекает из этой теоремы в силу того, что
число —? может быть построено (является пифагоровым
числом) одновременно с числом ?.
Эта формулировка основной теоремы с алгебраической
точки зрения уже более удовлетворительна, однако она не
включает комплексные числа. Имея в виду перенести ее
и на этот случай, мы будем говорить, что комплексное
число $ = Si-j-/?2 может быть построено (исходя из чи-
чисел 1, а, р, ...), если могут быть построены (в смысле пре-
предыдущего определения) действительные числа ^ и ?2. Ясно,
что для действительных чисел это определение совпадает
с предыдущим.
Далее, мы скажем, что комплексное число пифагорово
(по отношению к числам 1,<х, f), ...), если оно может быть
получено из этих чисел с помощью четырех арифметических
действий и операции извлечения квадратного корня. Здесь
уже неясно, что для действительных чисел это определение
совпадает с принятым ранее. Однако это тдк. Более того,
имеет место следующее общее предложение:
комплексное число ? = ?1 + /?2 тогда и только тогда
является пифагоровым числом, когда пифагоровыми чис-
числами (в ранее принятом слысле) являются деЙствитель?
ные числа ^ и Ц.

1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ 193
Достаточность этого условия очевидна (ибо число /=]/—1
пифагорово). Что же касается необходимости, то она непо-
непосредственно вытекает из того факта, что извлечение квадрат-
квадратного корня из любых комплексных чисел сводится к ариф-
арифметическим действиям и извлечению квадратных корней из
положительных чисел (см. Курс, стр. 124—125).
Из этого предложения немедленно вытекает, что
основная теорема (как она сформулирована на стр. 189)
имеет место и для комплексных чисел.
Для применения методов теории Галуа удобно сформу-
сформулировать основную теорему в терминах теории полей.
Пусть Р— поле, порожденное над полем R рациональ-
рациональных чисел числами а, р, ... Поскольку среди исходных чи-
чисел 1, а, р, ... содержится число 1, все элементы поля Р
являются пифагоровыми числами.
Расширение К поля Р мы будем называть пифагоровым,
если
K=P(ava2 a,),
где числа a,, otg, .... а^ обладают тем свойством, что для
любого 1=1,2, ..., s число Р/ = <^ принадлежит полю
Р(аг at_i) (при 1=1 полю Р).
Ясно, что
число 5 тогда и только тогда является пифагоровым
числом, когда оно принадлежит некоторому пифагоро-
волу расширению поля Р.
Таким образом, мы приходим к следующей формули-
формулировке основной теоремы, которую будем рассматривать как
окончательную:
число 5 тогда и только тогда может быть ПО'
строено (исходя из чисел 1, а, р, ...), когда оно содер-
содержится в некотором пифагоровом расширении поля Р==
*= /г(«. р. •••)•
Замечание. Основную теорему часто формулируют
р следующем виде:
число ? тогда U только 'тогда может быть пот
строено (исходя из чисел 1, «, (J, ...), когда решение
неприводимого уравнения (над полем P = R(a,$, ...))
с корнем \ сводится к решению цепи квадратных ура-
уравнений, т. е., как говорят, число 5 выражается в квад-
квадратных радикалах (через элементы поля Р),

194 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
Очевидно, что эта формулировка равносильна нашей.
Доказанная основная теорема хотя и чрезвычайно инте-
интересна с теоретической точки зрения, может приобрести
практический интерес лишь после того, как будут найдены
достаточно простые признаки пифагоровости расширений.
Один такой признак, вполне исчерпывающий с практической
точки зрения проблему, мы докажем в п. 3. Предварительно
в п. 2 мы изложим необходимые для этого сведения из об-
общей теории групп.
2. Прнмарные группы
Пусть О — произвольная группа. Ее элемент г называется
центральным, если он перестановочен с любым элементом
группы О, т. е. если для любого элемента g?O имеет
место равенство
gz = zg.
В абелевых группах (и только в них) все элементы цен-
центральны. В произвольной группе единица е всегда цен-
центральна.
Совокупность Z всех центральных элементов группы О
называется ее центром. Легко видеть, что центр любой
группы является ее (очевидно, абелевым) нормальным дели-
делителем (возможно состоящим лишь из единицы е). Действи-
Действительно, во-первых, он непуст (содержит единицу е), во-вто-
во-вторых, является подгруппой (если zx ? Z и z2 ? Z, то для
любого элемента g?O имеет место равенство (zxz~^\g =
z^\ т. е. ZjZ-'^Z), в-третьих, для любого элемента
из включения z?Z вытекает включение gzg~l?Z
(ибо gzg-1 = zgg~l = z).
Элемент gx группы О называется сопряженным эле-
элементу g, если существует такой элемент А?О, что
#, = h~lgh. Совокупность 'всех элементов группы О, сопря-
сопряженных некоторому элементу g?G, называется классом
сопряженных элементов (определенным элементом g) и
обозначается символом [g].
Каждый класс [g] содержит элемент g (ибо g = e~lge),
любрй элемент g} класса \g\ определяет тот же класс, т. е,

2. ПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ 195
[gi\ = [g\ (действительно, по условию g: = h~lgh, и если
g'Zlgil т- е- S' = (*')~Vi*'. то g' = {h'hyxg(h'h), т. е.
g'?lg], а если g'?[g], т. е. g'= {h')~Xgh', то #' =
= ((h')~lh)~ ?i((A')~'a), т- е. ?'?[?i]). так что любые два
класса либо совпадают, либо не пересекаются. Таким обра-
образом,
группа О распадается на непересекающиеся классы
. сопряженных элементов.
Понятие класса сопряженных элементов тесно связано
с понятием нормального делителя. Именно, подгруппа Н
группы О тогда и только тогда является нормальным дели-
делителем этой группы, когда для любого элемента g?H весь
класс [g] содержится в Н. Другими словами, нормальные
делители можно определить как подгруппы, состоящие из
нескольких полных классов сопряженных элементов.
Класс [g] вполне может состоять лишь из одного эле-
элемента. Очевидно, что это имеет место тогда и только
тогда, когда элемент g централен.
Рассмотрим теперь совокупность Zg всех элементов
группы О, перестановочных с элементом g?G, т. е. сово-
совокупность всех таких элементов z?Q, что
zg = gz.
Эта совокупность непуста (ибо содержит все степени эле-
элемента g) и является подгруппой группы О (докажите!). Она
называется централизатором элемента g в группе О. Оче-
Очевидно, что
элемент g тогда и только тогда централен, когда
его централизатор Zg совпадает со всей группой О.
Каждому элементу gx класса [g] сопоставим смежный
класс x(g{) группы О по централизатору Zg, положив
i{gl)==Zgh, где h — такой элемент группы О, что gx —
= А" V*.
Легко видеть, что это определение законно, т. е. смеж-
смежный класс х(ё\) не зависит от выбора элемента А.
Действительно, если h~1gh = (h')~ighr, то {h(h')~i)g =
= g(h(h')~l), т. е. h{h')~y?Zg, и. потому Zgh = Zgh'.
Далее, легко видеть, что если x(gO7=X(g2)- где
g\> gi€.\g\> T0 Si — S2- Действительно, пусть g\ = h\ ghu и

196 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
Тогда равенство ^С (g"i) = Z (^) означает, что
hl = zh2, rnez?Zg. Поэтому gi = h2xz~lgzh2 — h2lgh2~g2.
Наконец, очевидно, что любой смежный класс Zgh
группы О по подгруппе Ze имеет вид у (g,), где g, ? [g]
(за элемент gl можно принять элемент h gh).
Таким образом, отображение % осуществляет взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между классом [g] и множеством
всех смежных классов группы О по централизатору Zg.
Следовательно, (предполагается, конечно, что класс [g] со-
состоит из конечного числа элементов)
число элементов, содержащихся в классе [g], равно
индексу централизатора Zg.
Для конечной группы отсюда и из теоремы Лагранжа
вытекает, что
число элементов, содержащихся в любом классе со-
сопряженных элементов конечной группы О делит поря-
порядок этой группы.
Применим эти общие теоремы (относящиеся к произволь-
произвольным группам) к так называемым примарным (по некото-
некоторому простому числу р) группам, которые определяются
как конечные группы, порядок которых имеет вид рп, где
и>0.
В первую очередь мы докажем, что
любая примарная группа О содержит отличные от
единицы центральные элементы.
Действительно, как мы знаем, группа О распадается на
непересекающиеся классы сопряженных элементов. Пусть
kx, k2 ks—числа элементов этих классов. Тогда сумма
k1-\-k2-\- ... -\- ks равна порядку рп группы О:
= />• A)
Все числа ft, делят порядок рп, т. е. ft, = pni, где щ ]> О,
причем хотя бы одно из этих чисел равно единице (так как
существует класс — именно класс, определяемый единицей е
группы О, — состоящий только из одного элемента). Отсюда
и из равенства A) вытекает, что по крайней мере р чисел kt
равны единице, т. е. что существует по крайней мере р
центральных элементов. Теорема доказана.
Докажем теперь, что
любая примарная группа О разрешима.

3. ПИФАГОРОВЫ РАСШИРЕНИЯ 197
Пусть рп — порядок группы О. Проведем доказательство
индукцией по числу п. Для п = 0 (а также для п = 1) тео-
теорема очевидна. Предполагая, что теорема уже доказана для
всех примарных групп порядка рк, где k < п, рассмотрим
центр Z группы О. По только что доказанному порядок
центра Z отличен от единицы, т. е. имеет вид рт, где
т > 0. Поэтому порядок рп~т факторгруппы O/Z меньше р",
и следовательно, по предположению индукции, эта фактор-
факторгруппа разрешима. Таким образом, группа О обладает раз-
разрешимым (дажа абелевым) нормальным делителем Z, фак-
факторгруппа по которому разрешима. Следовательно (см. ч. II,
гл. 1, п. 4), сама группа О также разрешима.
• 3. Пифагоровы расширения
Ясно, что если <х2?Р и а(?Р, то степень [Р(л):Р] поля
Р(а) над полем Р равна двум. Отсюда непосредственно
вытекает, что
степень [К: Р] любого пифагорова расширения К
поля Р является степенью двойки, т. е. имеет вид 2я.
Оказывается, что для нормальных расширений имеет
место и обратное утверждение, т. е.
нормальное расширение К поля Р тогда и только
тогда пифагорово, когда его степень [К: Р] является
степенью двойки.
Действительно, если степень нормального расширения К
является степенью двойки, то его группа Галуа 0 = 0 (К, Р)
примарна (по числу 2) и потому разрешима, т. е. обладает
разрешимом рядом
все факторы Н1_Х\Н1 которого являются простыми цикличе-
циклическими группами порядков, делящих порядок группы О (см. ч. IF,
гл. 1„ п. 4), т. е.—в рассматриваемом случае — цикличе-
циклическими группами второго порядка. Пусть
— соответствующая цепочка подполей поля К. Так как
[Lt: Lt_1] = 2, то Ll = Ll_1(ai), где о^ — корень некоторого
квадратного уравнения над полем Ll_l. Поскольку любое
квадратное уравнение сводится к уравнению вида х2— а = 0,

198 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
можно без потери общности считать, что a?l?Ll_v Таким
образом, К — Р{ах а„), причем для любого /= 1 п
число а2 принадлежит полю P(alt ..., a^,) (при /=1
полю Р). Другими словами, расширение К пифагорово.
Из доказанного предложения немедленно вытекает, что
любое нормальное подполе нормального пифагорова
расширения само является пифагоровым расширением.
Действительно, его степень является степенью двойки.
Далее, оказывается, что
любое пифагорово расширение К содержится в неко-
некотором нормальном пифагоровом расширении К-
Действительно, пусть [К : Р] = 2". Проведем индукцию
по числу п. Если п = 0, то К^Р, и теорему, очевидно,
справедлива (за поле К можно принять само поле К = Р).
Пусть теорема уже доказана для полей степени 2п~1. По
определению, любое пифагорово расширение К степени 2"
имеет вид L(a), где L—пифагорово расширение степени 2п~:,
а a — такое число, что a2?L. По предположению индукции,
поле L содержится в некотором нормальном пифагоровом
расширении L. Рассмотрим минимальный многочлен f(x)
числа а2 над полем Р. Поскольку a??LczL и поскольку
поле L нормально, многочлен /(х) разлагается над полем L
на линейные множители:
где р! = а2. р„ ...,Jm?l. Пусть g(х) = f(jc2) (так что
g-(a) = 0), и пусть К — поле разложения многочлена g{x)
над полем L (так что a ? К). Согласно лемме, доказанной
на стр. 83, поле К является нормальным расширением поля Р.
Кроме того, так как а?/С и LczLczK, то /С — L(a.)czK.
Наконец, очевидно, что
где fi fm — такие числа, что f2{ = ${, 1 = 1 т.
Поскольку ?(??, и потому i2l^Lhl т V поле К
является пифагоровым расширением поля L, а значит, и
поля Р (ибо пифагорово расширение пифагорова расширения

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 199
само, очевидно, является пифагоровым расширением основ-
основного поля). Тем самым теорема полностью доказана.
Полученные результаты о пифагоровых расширениях по-
позволяют доказать следующий, очень удобный на практике
критерий пифагоровости числа:
корень % неприводимого (над полем Р) многочлена f (х)
тогда и только тогда является пифагоровым числом
(т. е. может быть построен циркулем и линейкой),
когда степень поля расширения многочлена f(x) является
степенью двойки.
Действительно, если число \ пифагорово, то оно содер-
содержится в некотором пифагоровом расширении К поля Р и
потому в некотором нормальном пифагоровом расшире-
расширении К. Поскольку поле разложения многочлена fix) нор-
нормально, отсюда вытекает, что оно содержится в поле К, и
потому его степень является степенью двойки.
Обратно, если степень поля разложения многочлена f (х)
является степенью двойки, то оно пифагорово (потому что
нормально), так что число \ содержится в пифагоровом рас-
расширении поля Р и потому является пифагоровым числом.
Отметим в заключение следующий простой необходимый
(но не достаточный!) признак пифагоровости, немедленно
вытекающий из доказанной теоремы:
если число % пифагорово, то его степень над полем Р
(т. е. степень его минимального многочлена /(х)) яв-
является степенью двойки.
Действительно, степень любого алгебраического числа
делит степень поля разложения его минимального многочлена.
4. Некоторые конкретные задачи на построение
Применим полученные общие результаты к некоторым
классическим задачам на построение.
Задача об удвоении куба формулируется сле-
следующим образом: построить куб (т. е. его сторону), объем
которого вдвое больше объема данного куба. В этом случае
нам задан только один отрезок (сторона данного куба). При-
Принимая его за единичный, мы получаем, во-первых, что основ-
основным полем Р является поле R рациональных чисел, а во-вто-
во-вторых, что искомая сторона ? удвоенного куба удовлетворяет

200 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
уравнению
л?з_2 = 0.
Поскольку это уравнение неприводимо над полем R (так как
оно не имеет рациональных корней), степень числа ? равна
трем. Поэтому это число не пифагорово, т. е. не может
быть построено циркулем и линейкой. Таким образом, удвое-
удвоение куба с помощью циркуля и линейки невыполнимо.
Задача о трисекции угла формулируется следую-
следующим образом: разделить данный угол <р на три равные части.
В этой задаче даны два отрезка (например, гипотенуза и
прилежащий катет прямоугольного треугольника с углом <р).
Принимая гипотенузу за единичный отрезок, мы получаем,
что основным полем Р является в этом случае поле /?(<х),
где а = cos ф. За искомый отрезок мы примем линию коси-
косинуса угла -^. Таким образом, задача сводится к построе-
построению числа & = cos4-. Поскольку 4cos3-— — 3cos4- = cosф,
О до
это число удовлетворяет уравнению
4л;3 — Зд: — <х = 0.
Если это уравнение неприводимо над полем R(a), то число I
имеет степень 3 и потому не пифагорово, т. е. его построе-
построение невозможно. Так будет, например, при ф = 60°, когда
а=у Действительно, уравнение
8*3 — бдг — 1=0
неприводимо над полем /? == /? ("g") (B противном случае оно
обладало бы рациональным корнем, что, как легко видеть,
невозможно). Таким образом, не существует никакого по-
построения, осуществляющего деление угла в 60° на три равные
части (т. е. построение угла в 20°). Тем более не суще-
существует никакого единого построения, осуществляющего
деление на три равные части произвольного угла.
Это не мешает, конечно, существованию специальных
построений для некоторых отдельных углов (для которых
многочлен 4л:3 — Зд: — а приводим). Так, например, при
а = 0 (т. е. при <р = 90°) или при а = *- (т. е. при

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 201
<р=135°) этот многочлен приводим (над полями /?и
Уз
соответственно). В первом случае он имеет корень ~=cos 30°
/2
а во втором — корень -^- = cos 45°.
Задача о трех биссектрисах -формулируется
следующим образом: построить треугольник, если даны его
три биссектрисы. Пусть А, В, С — углы искомого треуголь-
треугольника, а Ра, pft, fir— данные биссектрисы. Очевидно, что до-
достаточно построить углы А, В и С. Из элементарной гео-
геометрии известно, что биссектрисы треугольника следующим
образом выражаются через его углы и периметр 2р:
0 .
P«
2/>sin
cos
Следовательно,
. В
ft Sin"9"
Pa ^
P* • A
sin-я-
cos
COS
A
T
В
A
2
В
T
cos
p
COS
COS
sin
B-
i —
c-
B-
c
2
-c •
2P
cos
-A
2
-C '
2~
sin
С
T
0
Yb
A .
A
cos—
P»
2p sin -я- sin -s-
B С
COS -я- COS -
В
ПТ
~"
sin-^- cos
. В
sin-^- cos
•
С
Tcos
В
9
.4
С
— В
2
— A
2
Эти равенства представляют собой два уравнения, из кото-
которых и следует найти неизвестные углы А, В к С (двух
уравнений достаточно, так как среди углов треугольника
только два независимых).
Предположим для упрощения выкладок, что фь = фс.
Тогда из второго уравнения легко выводится (сделайте это!),
что В = С, т. е. искомый треугольник равнобедренный. Но
для равнобедренного треугольника Л-)-2В = я и потому
sinT = cosS, cosT = sin5, со8С~^ =ЛлЩ-.
Кроме того,
cos—„— = 1.

202 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
Поэтому первое уравнение приобретает следующий вид:
. за
sin-н-
2 *
2 cos В — ""'
ft Ч/?
где /г = ~ . Выражая по известным формулам sin —g— и
о п
cos В через sin -у, мы получим отсюда, что величина sin -g-
является корнем уравнения
4л:3 — 4kx2 — Ъх + 2/г = 0.
Поскольку существуют значения А, для которых это урав-
уравнение неприводимо (например, в силу критерия Эйзенштейна
оно неприводимо при /г = 3), построение треугольника по
трем биссектрисам циркулем и линейкой невозможно
(даже при дополнительном предположении fJ6 = fie).
Задач-а о построении п р а в и льн or о га-у го ль-
н и к а сводится к построению первообразного корня из еди-
единицы степени га. Поскольку в этой задаче задается лишь
один отрезок (например, радиус описанного круга), основным
полем является поле R рациональных чисел.
Заметим в первую очередь, что многочлен fn(x) деления
круга на я частей (т. е. многочлен, корнями которого яв-
являются все первообразные корни из единицы степени га и
только эти корни) мы можем найти, отыскивая наибольшие
общие делители многочленов хп—1 и хт—1, где т про-
пробегает все собственные (т. е. отличные от я) делители
числа га, и освобождая от них многочлен хп—1. Действи-
Действительно, корень степени га из единицы тогда и только
тогда является первообразным корнем, когда он не служит
корнем ни одного многочлена хт—1.
Отсюда немедленно вытекает, что
для любого га многочлен деления круга на я частей
является многочленом над полем R {т. е. имеет рацио-
рациональные коэффициенты).
Степень этого многочлена равна числу всех первообраз-
первообразных корней из единицы степени га, т. е. равна числу ср(га)
чисел меньших я и взаимно простых с я.
Как мы знаем, если число га простое, то многочлен fn(x)
неприводим (см. гл. 2, п. 1). Оказывается, что это верно

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 203^
а для любого п. Однако, поскольку доказательство этого
факта в общем виде довольно сложно, мы его доказывать
не будем, а ограничимся доказательством следующего более
частного утверждения:
для любого примарного {т. е. имеющего вид ра, где р—
простое число) числа п многочлен деления круга на п
частей неприводим (над полем R).
Действительно, так как все делители числа р" имеют
вид р" и так как при с < Ъ многочлен хр — 1 делится на
многочлен хрС— 1, то
Применяя метод доказательства «от противного», мы пред-
предположим, что этот многочлен приводим. Тогда его можно
представить в виде произведения g(x)h(x) двух многочле-
многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами (см. Курс,
стр. 352). Так как
то одно из (целых) чисел g(l) и ЛA) равно ±1, а другое
равно ±р. Пусть для определенности #A)=±1.
Рассмотрим произвольный первообразный корень С сте-
степени ра из единицы, являющийся корнем многочлена g(x).
Поскольку все первообразные корни из единицы являются
степенями, любого из них, для каждого первообразного
корня С существует такое число т (взаимно простое с ра,
т. е. не делящееся на р), что С = (С')т- Следовательно,
число С является корнем многочлена g(xm). Отсюда выте-
вытекает, что все первообразные корни из единицы степени ра
являются корнями многочлена F (х), представляющего собой
произведение всевозможных многочленов вида ? (я). Поэтому
многочлен F (х) делится на многочлен f а(х)> т. е.
Z7 (*) = ./>(*)?(*).
где tp(-*O — некоторый многочлен с целыми (почему?) коэф-
коэффициентами. Следовательно,

204 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
т. е. число F(l) делится на число f аA) = р. Но это не-
невозможно, так как очевидно, что F(l)—+ I. Полученное
противоречие доказывает, что многочлен / а(х) неприводим.
Замечание. Неприводимость многочлена fpa(х) можно
также легко доказать, производя замену х = у-{-1 и исполь-
используя критерий Эйзенштейна.
Таким образом, первообразные корни из единицы сте-
степени ра являются корнями неприводимого многочлена сте-
степени <?(ра) = ра~1(р—1). Следовательно,
если построение правильного ра-угольника, где р—про-
р—простое число, а а>-1, циркулем и линейкой возможно,
то число ра~1(р — 1) должно быть степенью двойки, от. е.
либо р = 2, либо а = 1 а число р является простым
числом Ферма.
Так как любой правильный 2в-угольник, очевидно, можно
построить циркулем и линейкой, то, вспоминая результаты
гл. 3, мы получаем отсюда, что
построение правильного ра-угольника циркулем и ли-
линейкой возможно тогда и только тогда, когда либо р — 2,
либо а = 1 и число р является простым числом Ферма.
Заметим теперь, что
если числа п1 и п^ взаимно просты, то построение
правильного пхп$-угольника возможно тогда и только
тогда, когда возможно построение правильного пх-уголь-
ника и правильного п2-угольника.
Действительно, построение правильного га-угольника равно-
равносильно построению угла 2тг/га. Но если мы можем построить
угол а = 2те/га1га2, то мы можем построить как угол га2а = 2«/га,,
так и угол rata = гте/га^ Обратно, если мы можем построить
углы <Xj = 2«/я, и <х2 = 2тг/га2, то мы можем построить любой
угол вида waj-|-t»a2, где а и v — произвольные целые числа.
Принимая за и и г» решения уравнения «!«—(- «2-о == 1 (эти
решения существуют в силу взаимной простоты чисел пг и га2;
см. лемму на стр. 70—71), мы видим, что угол ua.l-\-v<x2 =
= 2я( — -)- — ) = 2к1пхп2 мы также можем построить.
Отсюда и из только что доказанной теоремы вытекает
следующий окончательный результат:
построение правильного п-угольника циркулем и линей-
линейкой возможно тогда ц только тогда, когда число п

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 205
имеет вид
2аргр2 ... ps,
где рь р2 ps—различные числа Ферма.
Задача о квадратуре круга формулируется сле-
следующим образом: построить квадрат равновеликий данному
кругу. Поскольку в задаче задан только один отрезок (ра-
(радиус круга), основным полем является поле R рациональных
чисел. Принимая радиус данного круга за единицу, мы видим,
что задача сводится к построению отрезка Yn> т. е. к по-
построению отрезка я. Мы докажем, что это невозможно, т. е.
что квадратуру круга невозможно осуществить цирку-
циркулем и линейкой. Другими словами, мы докажем, что число те
не пифагорово. На самом деле, мы докажем даже большее,
а именно что
число я не является корнем никакого многочлена
с рациональными коэффициентами,
т. е. не является алгебраическим над полем /? числом.
(Такие числа называются трансцендентными.)
Пусть
— произвольный многочлен. Положим
Оказывается, что
существуют такие функции
переменного х, не зависящие от многочлена g(x), что
для любого х имеет место соотношение
( A)
где
N
Q(х) = 2 сгдгх'+>
причем
\
для всех х и всех г = 0, 1, ..., N.
Ясно, что соотношение A) линейно относительно много-
многочлена g (х), т. е. если оно справедливо для многочленов ?-, (х)
И g%(x), TO оно справедливо и для любого многочлена вида

206 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКбЙ
a\g\(x)-\-a<iBi(x)- Поэтому его достаточно доказать лишь
для многочлена вида хг. Но в этом случае оно принимает
вид
т. е. вид
х
й4Г1 +
Поскольку, как известно из элементарного курса анализа,
за функцию qr(x) мы должны принять функцию
Так как
_ (г +1I
то ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится
для всех х и определяет функцию, модуль которой не больше
чем ai'l. Поэтому |qr (х)| < —^гу е1 •*' <[ е1 * I. Тем самым
соотношение A) полностью доказано.
Пусть теперь
ao-\-axx-\- ... +апхп
— произвольный многочлен степени п с целыми коэффициен-
коэффициентами и свободным членом а0, отличным от нуля. Рассмотрим
многочлен
где р — некоторое простое число, и соответствующий много-
многочлен
G(x) = g(x)-\-g'(x)+ ... +?<">(*).
где N=np-\- р — 1 — степень многочлена

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 207
Многочлен g(x) мы можем записать в следующем виде:
+ ... +Ьярх"
(p-i)l '
где Ьо, bv ..., Ьщ — целые числа, причем ft0 = fl^On/'~1. Та-
Таким образом, в рассматриваемом случае сь = 0, если
k < р— 1, и ck— -. р~ 7', , если&>-/>— 1. Отсюда вытекает,
что
, если г < р— 1,
то есть
V
Следователь-но,
число О @) ч^-яое; ^С-^и число р не делит коэффи-
коэффициенты а0 и ап {например, если р > \ао\ и р> \ап\), то
число О@) ме делится на р.
Рассмотрим теперь произвольный корень а многочлена / (х).
Используя тождественное соотношение л: = (л: — <x)-f-<*. мы
можем многочлен g(x) записать в следующем виде:
gy*)— (p — 1)!
где р0 Pnp-i — некоторые многочлены от а степеней,
не больших чем пр — 1 с целыми коэффициентами, деля-
делящимися на ап^~х. Отсюда вытекает, что
10 , если г < р,
О^-HjfW если г > р.
то есть
(/>+ 1) ...( Р,,,!
Следовательно,
число О (а) является многочленом от а степени,
не большей чем пр — \ с целыми коэффициентами; все
коэффициенты этого многочлена делятся на число

208 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ Й ЛИНЕЙКОЙ
Пусть теперь
а,, а2, .... ал
"-все корни многочлена /(*)• Так как а0ф0, то они все
отличны от нуля. Рассмотрим число
i4=»0(aj)-f-0(«a)+ ... + О(а„).
Это число является симметрическим многочленом от а,, .... ап
общей степени, не большей чем пр — 1, с целыми коэффи-
коэффициентами, делящимися на ра^~х. Следовательно (см. Курс,
стр. 328), оно является многочленом общей степени, не боль-
большей чем пр—1, с целыми коэффициентами, делящимися
на раппр~1, от элементарных симметрических функций кор-
корней alf ..., а„, т. е. от приведенных коэффициентов
—, —, .... д"~' многочлена /(*). Значит, это число
ап а„ а„
является многочленом с целыми коэффициентами, делящи-
делящимися на р, от целых чисел а0, ах, ..., ап_х. Поэтому
число А является целым кислом, делящимся на р.
Рассмотрим далее функцию Q(x), соответствующую много-
многочлену g(x) (см. выше соотношение A)). Пусть М — наиболь-
наибольшее значение абсолютных величин коэффициентов много-
многочлена f (х). Ясно, что абсолютные величины коэффициентов
многочлена f(x) не превосходят числа (га -\- 1 )р Мр (каждый
коэффициент является суммой не более чем (п~$-1)р произ-
ведений р коэффициентов многочлена /(*)). Следовательно,
абсолютные величины коэффициентов ct многочлена g(x) не
превосходят числа ¦ / __i\i—• ПоэтОму, если |дг| > 1, то
1*1 х
к lp
где К \ *
/C= \ , ]x; и L = (n-\-l)M\x\n+l. Аналогично, если
I x i — i
|дг| < 1. то

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЙ ЗАДАЧИ НА ПбСТРОЕНИЕ 209
е'* I \ х \
где К— i_ д? ' и ? = («+ 1)Ж. Наконец, если |*| -=1, то
где Л: = (я+1)е|-<г| и L=*
Как известно из курса анализа,
L
lim (r, ui = lim ,/\. =°-
/>-¦« (P —1I p-».«> (P — I)'
Следовательно,
для любого г > 0 а любого х существует такое
кисло Р(г, х), что
\Q(x)\ <е при р>Р(е, д:).
В частности,
существует такое число Р, что для любого
1=1. .... п
|Q(a,)|<i- при р>Р.
Следовательно,
|Q(ai)| + |Q(a2)|+ ... -НС(«Я)|<1 при р>Р.
Рассмотрим теперь число
Подставляя в соотношение A) вместо х числа aj, .... an и
складывая получившиеся равенства, мы получим, что
где ^ = Q(a1)-f- ... +Q(<*„)¦ Другими словами,
Y==0@)J5— A.
Предположим, что число В целое, и выберем простое
число р (которое пока было вполне произвольным) большим
каждого из чисел |ао|, \ап\, \В\ и Р. Тогда целое число
О @) В не будет делиться на р и потому не будет равно
числу А (которое, как мы знаем, на р делится). Следова-
Следовательно, целое число О @) В — А будет отлично от нуля.
Но это невозможно, так как оно равно числу -j, абсолютная

210 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
величина \f\ которого при р > Р меньше единицы (ибо
|f| < |Q(<*i) | + ... -j- |Q(an)|). Полученное противоречие
доказывает следующую теорему.
Если отличные от нуля числа at, .... an являются
корнями уравнения
апх''' +"п-г*"'1' + ••¦ +ai*
с целыми коэффициентами, то число
не может быть целым.
Из этой теоремы трансцендентность числа л следует уже
весьма просто. Предположим, что число я алгебраично.
Тогда число nl также алгебраично. Пусть
Pi = < Ра Рт
—'все числа, сопряженные с числом nl. Так как eKi = — 1,
то произведение
равно нулю. Следовательно, раскрывая скобки, мы полу-
получим, что
+ 22УЧ +
Обозначая отличные от нуля показатели рл, (А(г
.'.:, рх —J— ... +рт через alt a2, .... an, мы можем пере-
переписать это равенство в следующем виде:
где В — некоторое целое число. Таким образом, для того
чтобы прийти к противоречию с доказанной выше теоремой,
достаточно показать, что все числа аи о^, ..., а„ являются
корнями некоторого многочлена с целыми коэффициентами,
не имеющего никаких других корней, т. е. что любое число,
сопряженное с одним из чисел alt a2, .... an также содер-
содержится среди этих чисел. Но это почти очевидно. Действи-
Действительно, пусть a — любое из чисел alt-..., an. По условию
оно является суммой k чисел вида f^, .... f)m. Рассмотрим
все числа f х = a, f2, .... ^, которые можно представить

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 211
в виде суммы k чисел вида plf ..., pm. Ясно, что многочлен
имеет рациональные коэффициенты (ибо эти коэффициенты
являются симметрическими многочленами от чисел $х рт).
Поскольку среди корней многочлена f(x) содержится число
¦jj = а, любое число, ему сопряженное, также должно быть
корнем этого многочлена, т. е. должно быть суммой k
чисел вида pif .... pm, и потому оно должно совпадать
с одним из чисел а,, .... ая.
Тем самым трансцендентность числа тс полностью доказана.
Аналогичным методом может быть доказано следующее
общее утверждение:
числа б и sin 0 тогда и только тогда одновременно
являются алгебраическими числами, когда 6 = 0.
Доказательство этого утверждения мы опустим.
Задача о луночках Гиппократа формулируется
следующим образом: найти все луночки, т. е. фигуры, огра-
ограниченные двумя дугами окружностей, которые можно по-
построить циркулем и линейкой и для которых можно построить
(также циркулем и линейкой) равновеликий квадрат (такие
луночки называются квадрируемыми). Каждая луночка
задается длиной общей хорды, стягивающей дуги, ограничи-
ограничивающие луночку, и центральными углами 2а и 2C, измеряю-
измеряющими эти дуги (считаем для определенности, что а > р).
Мы будем рассматривать лишь луночки, для которых углы
аир соизмеримы, т. е. для которых существует такой
угол 6, что а = /и6 и p = /t6, где тип взаимно простые
целые (положительные) числа (причем т > п). В этом пред-
предположении построение луночки сводится к построению угла 6.
Рассмотрим некоторую квадрируемую луночку с углами
аир. Без ограничения общности мы можем считать, что
длина общей хорды, стягивающей дуги, ограничивающие
луночку, равна единице. Тогда нетрудно видеть, что пло-
площадь S луночки выражается формулой
?__? Р ¦ Ctg§ ctga
sin2 a sina (J ' 4 4 '
если дуги, ограничивающие луночку, расположены по одну
сторону от хорды (вогнуто-выпуклая луночка), и формулой

212 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
в противном случае (выпуклая луночка). Рассмотрим сначала
второй случай. Так как по условию а = /»6 и C = я6, то
из формулы A) вытекает, что
т sin2 n9 + n sin2 тв
Для квадрируемой луночки это число алгебраичио. Таким
образом, оба числа 6 и sin 9 одновременно алгебраичны, что,
как мы знаем, возможно лишь при 6 = 0. Следовательно,
квадрируемых выпуклых луночек не существует.
Аналогичное ргссуждение показывает, что
квадрируемая вогнуто-выпуклая луночка, определяе-
определяемая углами а = /и9 и C = я6, может существовать лишь
тогда, когда
п sin2 mb — m sin2 nb — 0. B)
Таким образом,
задача построения квадрируемых луночек (с соизме-
соизмеримыми углами i к Р) сводится к задаче пострдения
угла 6, удовлетворяющего уравнению B).
Заменив в уравнении B) величины sin mb и sin nb их
выражениями через cos 9, мы получим для cos 9 некоторое
алгебраическое уравнение, которое мы и должны исследо-
исследовать. Луночка с углами /и 9 и л9 тогда и только тогда
может быть построена циркулем и линейкой, когда это урав-
уравнение обладает действительным решением, абсолютная вели-
величина которого не превосходит единицы и вычисление кото-
которого сводится к решению цепи квадратных уравнений.
Впрочем, с вычислительной точки зрения удобнее рас-
рассматривать не число cos 9, а число ? = cos 29 -\-1 sin 29.
Это изменение, конечно, никакого принципиального значения
не имеет (ибо число X может быть построено тогда и только
тогда, когда может быть построено число cos 6). Поскольку
sin 69= (S*-1)8 , k = m, n,
4S*
уравнение для величины ? имеет вид
п{хт— IJ— тхт'п{хП— 1J = 0, C)

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 213
Таким образом, мы пришли к следующей чисто алгебраи-
алгебраической задаче:
при каких взаимно простых целых положительных
числах тип (удовлетворяющих условию т > п) реше-
решение уравнения C) сводится к решению квадратных
уравнений?
Найдя все уравнения C), сводящиеся к квадратным урав-
уравнениям, мы затем уже легко отберем среди них уравнения,
которым соответствуют «действительные» луночки, т. е.
уравнения, обладающие корнем %, модуль которого равен
единице.
Можно доказать, что
если число т составное, то, за исключением случая
т = 9, л=1, решение уравнения C) нельзя свести к ре-
решению квадратных уравнений.
Доказательство этого утверждения выходит за рамки
этой книги, и мы его опустим.
Пусть теперь число т простое. Оказывается, что
если решение уравнения C) при простом т = р сво-
сводится к решению квадратных уравнений, то число р
либо равно двум, либо является простым числом Ферма.
Для доказательства мы произведем в уравнении C) замену
jc = у —J— 1 - В результате мы получим уравнение
т. е. уравнение
2+c»/-'+ ... +сП2-
ГJ = 0. D)
Раскрыв скобки, мы получим уравнение вида
nf (р-1) + а,уар-8 + .. . + а2р_3у + а2р^ = О,
где av .... а2р-2 — некоторые целые числа.
Заметим теперь, что
если k Ф О, р, то биноминальный коэффициент Ср
делится на р.
Действительно,
Ср 1.2 ...А

214 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
и простое число р в числителе не может сократиться (ибо
все множители знаменателя меньше р).
Отсюда вытекает, что уравнение D) мы можем перепи-
переписать в следующем виде:
я (У-1-Ь аМу) J+/>/2 (у) = о.
где f1 (у) и /2 (у) — некоторые многочлены с целыми коэф-
коэффициентами, а следовательно, и в следующем виде:
яуа<"-1) + р/(у) = 0, E)
где /(у) — некоторый многочлен с целыми коэффициентами.
Это означает, что в уравнении E) все коэффициенты
а1 <hP-2 делятся на р. Поскольку старший коэффи-
коэффициент п на р не делится, а свободный член а2р_2 (равный,
очевидно, пр2 — рп = рп(п — р)) не делится на р2, урав-
уравнение E) удовлетворяет условиям критерия Эйзенштейна и
потому неприводимо (над полем /?). Следовательно, его
решение может сводиться к решению квадратных уравнений
только тогда, когда его степень 2(/j — 1) является степенью
двойки, т. е. когда число р либо равно двум, либо является
простым числом Ферма. Теорема доказана.
Оказывается, что утверждаемое этой теоремой необхо-
необходимое условие достаточным не является. Именно можно
показать, что
если р > 5, то решение уравнения C) (при т = р)
нельзя свести к решению квадратных уравнений.
Доказательство этого утверждения мы также опустим.
Таким образом, нам остается разобрать лишь случаи
/и = 2, /и = 3 и т = 5, а также случай т = 9 и я=1.
Пусть т = 2. Тогда л= 1, и уравнение C) (после сокра-
сокращения на (х—IJ) приобретает вид
лг24- 1 =0.
Следовательно, в этом случае 29 = 90°, и мы получаем, что
луночка с углами 2а—180° и 2C = 90° квадрируема.
Это — известная луночка Гиппократа.
Пусть теперь т = 3. Тогда п = 1 или п = 2. В первом
случае уравнение C) (после сокращения на (л: — IJ) имеет вид
(*2 + * +-1J— Зд;2 = 0.

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 215
Оно имеет два действительных корня (нам не интересных)
и комплексные корни
-1 , ,/ уТ
2— ± V
Следовательно, cos 29 = -L—н • откуда 29^68°, 5. Таким
образом,
луночка с углами arccos - а~~ ^^68°,5 и 3arccos^—яг—яу
яа205°,6 квадрируема.
При я = 2 мы получаем уравнение
2(лг2 + х + IJ — Злг (л; + IJ = 0.
Полагая х = у2, мы получим уравнение, разлагающееся
в поле /?(i^2, |Аз~) на два возвратных уравнения четвертой
степени, и потому сводящееся к квадратным уравнениям.
т/ ОО 1
Производя вычисления, мы получим, что cos 29 = -—^ ,
т. е. что 29 ^ 53°,6. Таким образом,
YW 1
луночка с углами 2 arccos-1—g я«107о,2 и
т/"оо 1
3 arccos ——g 7И 160°,9 квадрируема.
Эти две луночки также были построены Гиппократом.
Пусть, наконец, т = 5. Тогда я=1, 2, 3 или 4. При
п= 1 мы получаем уравнение
. (Л:4_|_ЛГ3_)_ЛГ2_)_Л._)_1J_5Л;4:_0)
которое распадается на два возвратных уравнения четвертой
степени
х* + х? + A ± |/5)лг2-|-лгН-1=0
и потому сводится к квадратным уравнениям. В этом случае
cos26~ V5 + ^V5 — 1 ^ откуда 26^4б°,9. Таким образом,
луночка с углами arccos-^ т ?^46О,9 ц
a,rccos ——¦¦ У ~ - яй 234°,4 квадрируему.

216 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
Эта луночка была найдена в 1840 г. Клаузеном.
При п = 2 мы получаем уравнение
Полагая х = у2, мы сведем это уравнение к двум возвратным
уравнениям восьмой степени
Решая эти уравнения известным методом (подстановкой
у -\ = z\, мы получим уравнения четвертой степени
z* — 3z2± j/~yZ+l = 0. F)
Решая последние уравнения методом Феррари (см. Курс,
стр. 239), мы получим для вспомогательного неизвестного и
(в Курсе это неизвестное обозначалось символом а) куби-
кубическое уравнение
16и3 —24к2 + 20к —5 = 0. G)
Так как это уравнение, как легко видеть, неприводимо
(не имеет рациональных корней), то его решение нельзя
свести к решению квадратных уравнений. Следовательно,
исходное уравнение также нельзя свести к квадратным урав-
уравнениям (ибо корни уравнения G) рационально выражаются
через корни уравнения F)). Таким образом,
при т — Ь и п = 2 квадрируемой луночки не суще-
существует.
При № = 3 мы получаем уравнение
3 (х* + х3 4- х2 + х + 1 ? — 5*2 (*2 + х + 1)»= 0,
Оно распадается (в поле /?(V^3. V^)) на два возвратных
уравнения четвертой степени, и потому его решение сво*
дится к решению квадратных уравнений. Произведя вычи*
рления, мы дегко получим, что cos 26 = t, где
^— 4
откуда 26«33°,6. Таким образом,

4. НЕКОТОРЫЕ КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 217
луночка с углами 3 arccos*s«100°,8 и
168°,0 квадрируема.
Эта луночка также была найдена Клаузеном.
При п = 4 мы получаем уравнение
Так же, как в случае л = 2, легко показать, что решение
этого уравнения нельзя свести к решению квадратных урав-
уравнений. Таким образом,
¦ при т = 5 и п = 4 квадрируемой луночки не суще-
существует.
Рассмотрим, наконец, последний возможный случай:
т = 9 и »=1. В этом случае мы получаем приводимое
уравнение
3 _|_ jpS _|_ x _j_ ! J __ 9л.8 __ 0>
распадающееся на два возвратных уравнения
После замены х-\ = у мы получим уравнения четвертой
степени
у4_|_ уЗ _ Зу2 _ 2у — 2 = 0,
Решение первого уравнения не сводится к решению ква-
квадратных уравнений, потому что кубическое уравнение, полу-
получаемое по методу Феррари, неприводимо. Что же касается
второго уравнения, то в поле R{tY%) оно распадается
на два квадратных уравнения
> — 2 = 0, \
где f\ = —Lg-:— t и потому его решение сводится к решег.
нию квадратных уравнений. Таким образом,
при т = 9 и п = 1 решение уравнения C) (точнее,
одного из его неприводимых множителей восьмой сте-
степени) саодищся, к решению квадратных уравнений,

218 ГЛ. 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
Попытаемся теперь найти соответствующую луночку.
Легко видеть, что у уравнения (9) нет действительных кор-
корней. Следовательно, для любого интересующего нас корня ?
уравнения C) (т. е. для любого корня второго из уравне-
уравнений (8)) величина ? + -|- не действительна. Однако если бы
этому корню соответствовала луночка с углом 6, то, по-
поскольку 5 = cos 29 -|- / sin 26, величина \ -j- -г- = 2 cos 2G
была бы действительной. Полученное противоречие показы-
показывает, что
при т = 9 и я = 1 квадрируемой луночки не суще-
существует.
Окончательный результат произведенного исследования
можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Квадрируемые луночки существуют лишь в следую-
следующих пяти случаях:
т = 2, т = Ъ, /и = 3, т. = 5, т. —5
д=1, п=\, « = 2, »=1, л = 3.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
«ФИЗМАТГИЗ»
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВЯТСЯ К ИЗДАНИЮ:
Бурбаки Н., Алгебра, выпуск 1, Алгебраическая струк-
структура линейной и полилинейной алгебры.
Гельфоид А. О. и Линник Ю. В., Элементарные ме-
методы в аналитической теории чисел.
Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов.
Годунов С. К. и Рябенький В. С, Введение в тео-
теорию разностных схем.
Гутер Р. С. и Овчииский Б. В., Элементы числен-
численного анализа и математической обработки результатов опыта.
Проблемы кибернетики, выпуск 8, под редакцией А. А. Ля-
Ляпунова.
Соми некий И. С, Алгебра (дополнительный курс).
X и н ч и н А. Я., Работы по математической теории мас-
массового обслуживания.

Михаил Михайлович Постников
Теория Галуа
М., Физматгиэ, 1963 г., 220 стр.
Редактор А. П. Баева
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор О. А. Сигал
Сдано в набор 27/VI 1962 г. Подписано к
печати 1/П 1963 г. Бумага 84 X 1О8'/з>. Фиэ.
печ. л. 6,875. Усдовн. печ. л. 11,28.
Уч.-и»д. л. 9,86. Тираж 11800 экз. Т-10915.
Цена книги 64 коп. Заказ М4 160.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградский Совет народного хозяйства.
Управление целлюлозно-бумажной я поли-
полиграфической промышленности. Отпечатано
в типографии № 1 «Печатный Двор»
им. А. М. Горького. Ленинград, Гатчин-
Гатчинская, 26 с матриц типографии № 2
им. Ев. Соколовой. Ленинград, Измайлов-
ский пр., 29.