И. X. Ганев

ФИЗИКА
И РАСЧЕТ
РЕАКТОРА
Под общей редакцией
академика Н.А.ДОЛЛЕЖАЛЯ
Допущено Государственным Комитетом
СССР по народному образованию.
в качестве учебного пособия для студентов
энергомашиностроительных
специальностей вузов

2-е издание, переработанное
и дополненное

МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1992

ББК 31.46
Г 19
УДК 621.039.51 (075.8)
Р е ц е н з е н т : доцент МИФИ А. Н. Климов

Ганев И. X.
Г 19
Физика и расчет реактора: Учеб. пособие для
вузов/Под общ. ред. Н. А. Доллежаля.— 2-е изд.,
перераб. и доп.— М.: Энергоатомиздат, 1992.—
496 с: ил.
ISBN 5-283-03820-3

Г

Рассмотрены профилирование энерговыделения, темпера­
турные и мощностные эффекты и коэффициенты реактивности,
отравление реактора ксеноном и самарием, выгорание ядерного
топлива в процессе работы реактора, характеристики выгорания
и воспроизводства топлива, способы регулирования реактив­
ности. По сравнению с 1-м изданием (1981 г.) большее
внимание уделено вопросам ядерной безопасности.
Для студентов вузов энергомашиностроительных специ­
альностей. Может быть полезна разработчикам ЯЭУ.
3602020000-009
051(01)-92 К Б - * > - " 3 - Ц
ББК 31.46

Учебное издание
Ганев Игорь Христович
ФИЗИКА И РАСЧЕТ РЕАКТОРА
Зав. редакцией В. В. Климов
Редактор Г. В. Чернышева
' Художественный редактор Т. А. Дворецкова
Технический редактор Н. В. Чиранова
Корректор Н. И. Курдюкова
ИБ № 2723
Сдано в набор 02.07.91. Подписано в печать 16.10.91. Формат 60x88Vi6Бумага офсетная № 2. Гарнитура «Тайме». Печать! офсетная. Усл.
печ. л. 30,38. Усл. кр.-отт. 30,62. Уч.-изд. л. 32,72. Тираж 1000 экз.
Заказ № 2739.
Энергоатомиздат. 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Набрано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового
Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография»
Министерства печати и массовой информации РСФСР. 1130 54,
Москва, М-54, Валовая, 28.
Отпечатано в типографии НИИ Геодезия
г. Красноармейска, Московской обл.
I S B N 5-283-03820-3 \ "
© Энергоиздат, 1981
© Автор, 1992, с изменениями
2

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ
ИЗДАНИЮ

Первое издание серии из пяти учебных пособий «Ядерные
реакторы и энергетические установки», осуществленное в 1981 —
1983 гг., включало настоящее пособие по физике ядерных
реакторов и учебные пособия [24—27], написанные на основе
курсов, читаемых по конструированию ядерных реакторов
и управлению ими, по ядерным энергетическим установкам
в целом и по радиационной безопасности АЭС. В учебных
пособиях был затронут и ряд смежных вопросов, посвященных
расчетам теплосъема, прочности, защиты от излучений, безопас­
ности и надежности. Общий тон предисловий ко всем пяти
томам серии при первом издании' отражал благополучное
состояние развивающейся ядерной энергетики СССР и мира,
так как к моменту их написания еще не произошла крупная
ядерная авария на АЭС «Три-Майл-Айленд» в США. К сожале­
нию, эта авария не привела к строгой ревизии проектных
решений и опыта эксплуатации реакторов типа РБМК, ВВЭР
и БН в Советском Союзе. Сказалась инерция успешной,
практически безаварийной работы многих. блоков этих реак­
торов в течение длительного времени и общая инерция
и успокоенность, как мы теперь говорим, «эпохи застоя».
Известно также, как трудно что-либо внедрить на нормально
работающих АЭС с полностью разработанной и утвержденной
документацией.
26 апреля 1986 г. разделило эпоху ядерной энергетики
в СССР и в ряде других стран мира на дочернобыльский
и послечернобыльский периоды.
Одной из причин аварии на Чернобыльской АЭС явилось,
по-видимому, недостаточное понимание персоналом АЭС опас­
ности нестрогого обращения с ядерным реактором, которое
выразилось в отключении ряда защитных устройств и в грубом
нарушении регламента эксплуатации. Особенно это было
недопустимо в реакторе РБМК с положительными обратными
связями между некоторыми параметрами среды активной зоны
и мощностью реактора. Последние обстоятельства были в ос­
новном известны не только из опыта эксплуатации и проектной
з

документации, но и из ряда книг и учебных пособий, например
[14, 24, 26]. Ясно, что для того чтобы хорошо что-то усвоить
и использовать в своей работе, необходимо не только изучить
теорию, например теорию процессов в ЯЭУ, но и иметь
высокий уровень внутренней ответственности и дисциплини­
рованности. Именно этого не хватает, как мы видим в послед­
ние годы, во многих сферах народного хозяйства СССР,
когда многие тяжелые аварии происходят из-за невнимания,
равнодушия или недостаточного профессионализма специали­
стов.
Дисциплинированность и ответственность нужны и в студен­
ческие годы, когда будущий проектировщик или эксплуатаци­
онник ядерного реактора имеет время, чтобы уяснить процессы,
происходящие в ядерно-энергетической установке, и понять
взаимосвязь ее элементов. Хорошим подспорьем в этом деле
может служить предлагаемая серия учебных пособий, где ясно
и достаточно подробно изложены основы ядерной энергетики.
Среди авторов пособия—чл.-корр. АН СССР И. Я. Емельянов,
доктора техн. наук В. И. Солонин, Ю. А. Егоров, Б. Г. Ганчев,
Л. В. Константинов, Б. И. Каторгин, кандидаты техн. наук
В. И. Михан,
Р. С. Демешев,
И. X. Ганев,
А. И. Ефанов,
Л. Л. Калишевский, Н. Ф. Рекшня, Л. А. Кузнецов, С. В. Селиховкин и др. Многие из авторов имеют большой опыт
практической работы в атомной промышленности, и все без
исключения — большой стаж преподавательской работы в Мо­
сковском
государственном
техническом
университете
им. Н. Э. Баумана.
Серия «Ядерные реакторы и энергетические установки»
в послечернобыльский период поможет воспитанию кадров
в области ядерной энергетики, на долю которых выпадает
создание и освоение безопасных и надежных ядерных реакторов.
Определенный вклад серия может внести и в разъяснение
основ ядерной энергетики для широкой общественности страны.
Ведь другой, сколько-нибудь серьезной альтернативы исполь­
зованию ядерной энергетики для покрьАгия больших энер­
гетических потребностей человека на достаточно долгий ис­
торический период пока не видно.
Академик Н. А. Доллежаль

4

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО
ИЗДАНИЮ

ВТОРОМУ

Во втором издании сохранилась общая структура пособия —
вначале рассматривается расчет эффективного коэффициента
размножения и пространственно-энергетических распределений
плотности потока нейтронов в реакторе с фиксированными
размерами и составом активной зоны, а затем — физические
процессы, приводящие к изменениям состава при работе
ядерного реактора на мощности.
По сравнению с первым изданием учебное пособие до­
полнено главами, в которых описаны физические особенности
основных типов энергетических ядерных реакторов, эксперимен­
тальные методы определения их физических характеристик
и рассмотрены нейтронно-физические задачи, связанные с эк­
сплуатацией и безопасностью ядерных реакторов.
Автор признателен рецензенту книги—доценту МИФИ
А. Н. Климову, внимательно просмотревшему рукопись учеб­
ного пособия и сделавшему ряд полезных замечаний, учтенных
в окончательной редакции книги. На содержание пособия
безусловно повлияли длительная совместная работа автора
со многими сотрудниками Научно-исследовательского и кон­
структорского института энерготехники (НИКИЭТ), ИАЭ
им. И. В. Курчатова и ряда других организаций и обсуждение
с ними вопросов, рассматриваемых в данной книге. Выражаю
за это благодарность коллегам по работе, а также сотрудникам
кафедры
физико-энергетических
установок
МГТУ
им. Э. Н. Баумана, где автор почти четверть века (с весны
1966 г.) читает лекции, совмещая это с основной производ­
ственной деятельностью в НИКИЭТ.
При подготовке учебного пособия использовался ряд книг
и учебных пособий, приведенных в списке литературы, но
в большинстве случаев без ссылок в тексте, что допустимо
в подобного рода изданиях. В наибольшей степени использованы
данные из учебного пособия Ю. А. Казанского и Е. С. Матусевича [17], касающиеся экспериментальных методов физики реакто­
ров, а также из книг Е. С. Глушкова, Н. Н. ПономареваСтепного, В. Е. Демина [5] по тепловыделениям в ядерных

реакторах, Е. И. Игнатенко и др. [10] о маневренности энерго­
блоков с ВВЭР и др.
Содержание учебного пособия отвечает программам курсов
по физике ядерных реакторов, читаемых в МГТУ
им. Н. Э. Баумана на кафедре, основанной и в течение 1960—
1987 гг. руководимой акад. Н. А. Доллежалем.
Работа над рукописью 2-го издания книги в течение
полутора' лет занимала большую часть свободного времени
автора и явилась своеобразным хобби, ставшим возможным
только благодаря терпению и сочувствию жены, а на последнем
этапе—и сотрудников. Всем им автор выражает искреннюю
благодарность.
И. X. Ганге

СПИСОК
дЗ
а. е. ы\
др
дрК
ДС
ДСТ
АЭС
БЗВ
БН

СОКРАЩЕНИЙ

—аварийная защита
—атомная единица массы
—автоматический регулятор
—автоматическое регулирование и компенсация
—атомная станция (АЭС, ACT и т. и.}
—атомная станция теплоснабжения
—атомная электростанция
—боковая зона воспроизводства
—реактор на быстрых нейтронах с натриевым тепло­
носителем
БР
—реактор на быстрых нейтронах, или быстрый реак­
тор
ВВЭР —водо-водяной энергетический реактор
ВКГ
—внутрикассетная гетерогенность
ВП
—выгорающий поглотитель
ВТГ
—внутритвэльная гетерогенность
ГВП
—гомогенный выгорающий поглотитель
ГПД
—газовые продукты деления
ГЦН
—главный циркуляционный насос
ДКЭР —датчик контроля радиального энергораспределения
ДП
—дополнительные поглотители
ДПЗ
—датчик прямой зарядки
ЗВ
—зона воспроизводства
ЗБО
—зона большого обогащения
ЗМО
.— зона малого обогащения
ИКВ
—избыточный коэффициент воспроизводства
HJKBA —ИКВ активной зоны
KB
^-коэффициент воспроизводства
КВА
—KB активной зоны
КВБ
—KB боковой зоны воспроизводства
КВТ
—KB торцевой зоны воспроизводства
КГ
—компенсирующая группа
КК
—коэффициент конверсии
КМПЦ —контур многократной принудительной циркуляции
КО
—компенсирующий орган
КоСУЗ —контур охлаждения стержней СУЗ
КПД
—коэффициент полезного действия
Л АР
—локальный автоматический регулятор
л. с. к. —лабораторная система ,координат
МКР
—мощностной коэффициент реактивности
МКУ
—минимальный контролируемый уровень
НВАЭС —Нововоронежская АЭС
ОР
—орган регулирования
ПД
—продукты деления

ПКГ
РБМК
РР
СВП
СУЗ
с. ц.и.
т. а.
ТВС
твэл
ТЗВ
ТК
ТКР
ТР

—периферийная компенсирующая группа
—реактор большой мощности канальный
—ручной регулятор
—самоэкранированный выгорающий поглотитель
—система управления и защиты
—система центра инерции
—тяжелый атом
—тепловыделяющая сборка
—тепловыделяющий элемент
—торцевая зона воспроизводства *
—топливный (технологический) канал
—температурный коэффициент реактивности
—реактор на тепловых нейтронах, или тепловой
реактор
—тепловая электростанция
—температурный эффект
—управляющая группа
—укороченный стержень-поглотитель
—центральная компенсирующая группа
—ценность нейтронов деления
—Чернобыльская АЭС
—эффективное граничное условие
—ядерная энергетическая установка

ТЭС
т. эф.
УГ
У СП
ЦКГ
ЦНД
ЧАЭС
ЭГУ
ЯЭУ
Индексы
а. з.
—активная зона
выг
—выгорание
г, гор —горячий
гр
—граничный
зап
— запаздывающий
з. н.
—запаздывающий нейтрон
и. я.
—йодная яма
крит, кр—критический
м
—мощностной
неот
—неотравленный
от
— отравленный
опер
—оперативный
т
—тепловой, тепловыделяющий
тепл
—теплоноситель
топ
—топливо
т. ц.
—топливный цикл
уст
—установка
х, хол —холодный
э
— экстраполированный
эф
—эффективный
яч
— ячейка
8

Часть 1
ФИЗИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ РЕАКТОРА
С Ф И К С И Р О В А Н Н Ы М И РАЗМЕРАМИ
И СОСТАВОМ АКТИВНОЙ ЗОНЫ
Глава 1
ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР И НЕЙТРОННО-ФИЗИЧЕСКИЕ
ОСОБЕННОСТИ ПРОИСХОДЯЩИХ В НЕМ
ПРОЦЕССОВ*

1.1. Качественное
описание
нейтронно-физических
процессов
1. Цепная реакция деления ядер. Научная и техническая
осуществимость цепной реакции деления ядер сравнительно
проста. Еще задолго до появления на Земле человека в Африке,
в Габоне, на базе уранового месторождения самопроизвольно
образовался и в течение нескольких тысяч лет действовал
природный ядерный реактор.
Цепная реакция состоит из двух повторяющихся событий —
деления ядра с образованием от двух до четырех свободных
нейтронов и пробега нейтрона до поглощения его ядром,
приводящего к новому делению.
Большая энергия, выделяющаяся при делении ядра, сти­
мулировала использование реакции деления в военных и мир­
ных целях. Нестационарная цепная реакция с быстрым нараста­
нием интенсивности делений используется в ядерном оружии
и в импульсных реакторах, стационарная — в ядерных реак­
торах.
Ядерный реактор — это устройство, в котором можно осу­
ществлять управляемую цепную реакцию деления атомных
ядер. Та часть ядерного реактора, где размещается ядерное
топливо и происходит цепная реакция деления ядер, называется
активной зоной.
Цепная реакция всегда и в любом месте размещения
реактора может начаться самопроизвольно, как только будет
достигнут такой состав и размер активной зоны, который
соответствует условиям протекания самоподдерживающейся
реакции деления ядер. Это связано с тем, что в природе
* При первом чтении гл. 1 можно бегло просмотреть или пропустить
и вернуться к ней после гл. 9 или 12 для повторения основных понятий.
9

всегда имеются нейтроны, связанные с космическим фоном
или с самопроизвольным делением ядер. Эти нейтроны дают
начало затухающей, стационарной или развивающейся цепной
реакции в зависимости от характера создавшихся условий ее
протекания.
Судьба нейтрона, образовавшегося в результате цепной
реакции, протекающей в активной зоне реактора, заканчивается
двумя событиями—либо его поглощением в активной зоне,
либо безвозвратным вылетом из нее—утечкой. Часть ней­
тронов, вылетающих из активной зоны, возвращается обратно
в результате рассеивающих столкновений с ядрами отража­
теля, которым является слой любых материалов, окружающих
активную зону. Слой отражателя, в котором проходят все
траектории нейтронов между двумя актами деления ядер
в активной зоне, называется полным, или физически бес­
конечным отражателем. Дальнейшее увеличение толщины от­
ражателя не будет оказывать влияния на ход цепной реакции
в активной зоне.
Если при изменении размера или состава реактора в нем
начинается стационарная цепная реакция, то говорят, что
реактор достиг критичности, или критического состояния.
При этом полное число свободных нейтронов, находящихся
в каждый данный момент времени в реакторе или в его
едицичном объеме, постоянно. Постоянно во времени и число
делений ядер в реакторе за единичный интервал времени (или
его мощность).
Наиболее часто критичность достигается увеличением раз­
мера активной зоны при постоянном ее составе или удалением
из реактора поглощающего нейтроны стержня. При этом
размер активной зоны или положение стержня является
критическим параметром. Критическому состоянию соответ­
ствует критический размер активной зоны или критическое
положение регулирующего стержня. Активная зона, отражатель
и регулирующие стержни являются основными частями реак­
тора как ядерно-физического устройства.
Кроме нейтрона в цепной реакции деления участвует
делящийся нуклид. Термин нуклид обозначает вид атома,
в ядре которого содержатся конкретные числа протонов
и нейтронов, что определяет его ядерные свойства. Нуклиды
различаются и по энергетическому состоянию ядра, вли­
яющему, например, на скорость его радиоактивного распада.
Нуклид называется делящимся, если он способен делиться
под действием нейтронов с любой кинетической энергией,
в том числе равной нулю.
Имеется лишь один природный делящийся нуклид. Это —
изотоп урана с полным числом протонов и нейтронов, равным
235, из которых протонов 92, нейтронов 143. Он обозначается
ю *

символом 2 3 5 U. Содержание 2 3 5 и в природном
уране со­
234
ставляет 0,714%. В уране содержится 0,006%
U и 99,28%
238 у 238 и т а к ж е делится под действием нейтронов, но
только в том случае, когда их энергия превышает определенный
предел, или порог. Такие нуклиды называются пороговыми,
или делимыми.
Два природных делимых нуклида ( 2 3 8 U и 232 Th) занимают
особое место в ядерной энергетике. Поглощая нейтроны без
последующего деления, каждый из них испытывает по два
последовательных Р "-распада
и 2превращается в искусственный
2з9
делящийся нуклид — Ри и ^ и соответственно. Таким
путем значительная часть природных запасов урана и тория
может быть превращена в делящиеся нуклиды, что существенно
расширит
топливную базу ядерной энергетики. Поскольку*
238
232
U и Th можно рассматривать как сырье для производства
делящихся нуклидов, их называют также сырьевыми нуклидами.
В цепной реакции при каждом акте деления происходит
потеря нейтрона, а также потеря одного делящегося ядра,
что . изменяет состав активной зоны и нарушает условия
критичности. Для их восстановления требуется подпитка зоны
протекания цепной реакции делящимися ядрами. Эта подпитка
производится цзвне, но одновременно происходит и изнутри
за счет производства делящихся нуклидов из сырьевых. До­
пустим, что в некотором реакторе возможно воспроизводство
на каждый акт деления одного нового делящегося ядра за
счет захвата одного нейтрона из числа возникших при этом
делении ядром сырьевого нуклида без его деления. Тогда
данный реактор не требуется подпитывать делящимся топливом
извне, так как в нем происходит воспроизводство всего
разделившегося материала.
Если число делящихся ядер сохраняется во времени, то
коэффициент воспроизводства KB =1 и реактор не требует
внешней подпитки делящимся топливом.
Желательно, чтобы реактор не только обеспечивал сам
необходимую подпитку собственной цепной реакции делящимся
топливом, но и производил избыточное -делящееся топливо
для снабжения им других реакторов для их начальной загрузки
или подпитки. Такой режим возможен и называется расширенным воспроизводством делящегося материала, при этом KB
больше единицы.
Возможность расширенного воспроизводства топлива в каж­
дом конкретном ядерном реакторе определяется разностью
между средним числом нейтронов, возникающих при делении
ядра вследствие поглощения одного нейтрона, и двумя ней­
тронами, обеспечивающими собственные нужды цепной реакции
по поддержанию стационарного числа делений и стационарного
числа делящихся ядер. Эта разность определяет предельную
11

избыточную наработку токарного делящегося м а е р к ^ а , По­
скольку деление ядра происходит лишь в 70—80% случаев
поглощения нейтрона делящимся ядром, рассматривается имен­
но поглощение нейтрона, а не деление ядра.
Число нейтронов на один акт поглощения нейтрона ядром
делящегося нуклида максимально для случая деления 23 ^Ри
быстрыми нейтронами, т. е. нейтронами, возникающими при
делении ядер и обладающими большими кинетическими энер­
гиями. Это обстоятельство стимулировало разработку и со­
здание реакторов на быстрых нейтронах, которые позволят
в будущем решить проблему самообеспечения ядерной энер­
гетики делящимся топливом. Оптимальная работа быстрых
реакторов возможна лишь на искусственном плутониевом
топливе.
Продуктами цепной реакции являются энергия, излучения
и ядра новых элементов, образующиеся в результате деления
исходных ядер. Примерно 80% энергии деления выделяется
при торможении в веществе новых ядер (точнее, ионов),
обладающих кинетической энергией, или осколков деления.
Затормозившиеся осколки называются продуктами деления.
2. Наиболее простые ядерные реакторы. Первый ядерный
реактор был построен в 1942 г. в США под руководством
Э. Ферми. Такого же типа реактор был создан в СССР
в 1946 г. под руководством И. В. Курчатова. Эти реакторы
представляли собой графитовые цилиндры с большим числом
параллельных вертикальных отверстий, расположенных на
одинаковых расстояниях друг от друга. В отверстиях раз­
мещались тепловыделяющие элементы (твэлы) в виде стержней
из металлического природного урана в герметичной алюмини­
евой очехловке. Реакторы регулировались вертикально пере­
мещаемыми поглощающими стержнями из кадмия и зарабо­
тали сразу же, как только был достигнут надкритический
размер активной зоны, окруженной графитовым отражателем,
а регулирующий стержень установлен в критическое положение.
Если уровень мощности реактора мал и не влияет на
температуру или состав активной зоны, то изменение этого
уровня всегда сводится к трем операциям по перемещению
стержня: 1) перемещению стержня в сторону вывода поглоти­
теля из реактора до момента, когда скорость нарастания
мощности окажется приемлемой, 2) выдержке стержня в этом
положении до момента достижения необходимого уровня
мощности, 3) перемещению стержня в сторону ввода поглоти­
теля, в первоначальное критическое положение. При этом
общее число свободных нейтронов в активной зоне реактора
увеличивается и остается постоянным на новом уровне. Ввод
в критическую систему любым способом некоторого числа
нейтронов приводит к повышению уровня мощности реактора,
12

который в дальнейшем сохраняется во времени, так как
каждый нейтрон, с учетом усреднения историй жизни ней­
тронов, поддерживает свое существование за счет смены
поколений нейтронов в стационарной цепной реакции.
Достижение критичности в первых реакторах на природном
уране оказалось возможным только при гетерогенном раз­
мещении стержневых урановых твэлов в графитовом замед­
лителе, т. е. веществе, при соударении с ядрами которого
нейтрон теряет свою кинетическую энергию и скорость и замед­
ляется. Необходимость замедления связана с малым числом
ядер делящегося нуклида в природном уране и ростом
вероятности
деления при снижении скорости нейтрона. По­
238
скольку
U хорошо поглощает замедляющиеся нейтроны,
было принято гетерогенное размещение топлива и замедлителя.
Родившиеся быстрые нейтроны вылетают из твэлов в замед­
литель, замедляются там
до энергий, лежащих вне области
238
сильного поглощения в
U, а затем диффундируют обратно
в твэл, вызывая там новое деление.
Хорошим замедлителем является и обычная вода, но она
сильнее, чем графит, поглощает нейтроны и эти потери
нейтронов препятствуют достижению условий критичности на
природном уране.
При использовании водяного замедлителя
35
содержание * U в уране, или обогащение урана, должно
быть выше, чем в природном уране, и это достигается
в настоящее время разделением изотопов урана.
Условия цепной реакции в природном реакторе в Габоне
были достигнуты несколько миллиардов лет назад при проник­
новении почвенных вод в глубь уранового месторождения
с235богатым содержанием урана в руде. В то время содержание
U в уране было в несколько
раз выше в связи с2 3тем,
235
что постоянная ос-распада
и в 6,35 раза больше, чем 8 U.
Из рис. 1.1 видно, что обогащение урана 2 3 5 U

«

9

2-10 лет назад было равно 3,5%, что оказалось достаточным
для начала цепной реакции в присутствии водяного замедли­
теля.
Природный реактор управляется за счет саморегулирования.
Излишне большая скорость поступления почвенных вод в ура­
новый пласт переводила реактор в надкритическое состояние,
в котором мощность росла по экспоненциальному закону до
уровня, достаточного для испарения и удаления из активной
зоны всей поступающей туда избыточной воды, и реактор
вновь становился критическим, но на новом, более высоком
уровне мощности. При снижении поступления воды условия
13

Рис. 1.1. Содержание 2 3 5 U в природ­
ном уране (х5, %) и относительные
массы 2 3 5 U и 2 3 8 U на Земле в зависи­
мости от времени
(t=0—настоящее
время):
1—х5 (/), %; 2—M5(t)/M5(0) = ехр (-А.Л);
3—M8(0/M8(0) = e x p ( - V ) ,
[х5(0) =
_9
-1
= 0,714%; 9Л,5 = 0,976-10
год
; Х8 =
= 0,154-ИГ год - 1 ]

-5

-2

- 1 0

1

t7109MT

для протекания цепной реакции ухудшались, реактор становил­
ся подкритическим и его мощность снижалась до той поры,
пока содержание замедлителя в рудном пласте на становилось
опять оптимальным, соответствующим критическому режиму.
Мощность реактора стабилизировалась на низком уровне.
Работа природного реактора
сопровождалась выгоранием
235
35
U, и сегодня содержание ^ U на данном месторождении
несколько ниже наблюдаемого на всех других месторождениях
значения 0,714%, что и явилось свидетельством существования
природного реактора.
Если учесть, что природный реактор образовался сам собой
задолго до появления не только теории ядерных реакторов,
но и самого человека, то легко поверить в простоту изготов­
ления и запуска реактора даже в домашних условиях, например
по такому «рецепту»: «Подвесьте цилиндрическое алюминиевое
ведро или кастрюлю с внутренним диаметром 25,4 см на
равных расстояниях от стен, потолка и пола и положите на
дно 8 кг соли
уранилфторида U 0 2 F 2 с ураном, обогащенным
235
до 93,4%
U. Залейте соль водой до высоты 33,7 см
и размешайте до полного растворения соли с помощью
кадмиевого стержня ййй*' пластины. Выньте стержень с помо­
щью нитки и блока, отойдя на расстояние 3—4 м. Если
температура воды комнатная, то реактор окажется в критичес­
ком состоянии».
Секрет уверенности в предсказании результата прост: «ре­
цепт» является описанием ранее проведенного критического
эксперимента с реактором без отражателя («голым» реактором).
Чтобы исключить отражатель, сосуд подвешивается подальше
от строительных конструкций. Хорошим отражателем является
сам человек, любая часть его тела, поэтому для пуска реактора
нужно отойти от него подальше. Приближение каких-либо
предметов или человека к реактору без отражателя увеличит
отражение нейтронов, снизит их утечку и приведет к увеличе14

нию мощности, которая самоограничится вследствие разогрева
и расширения активной зоны. При большом снижении утечки
всплеск мощности может бьЛъ столь велик, что приведет
к разложению воды на водород и кислород, радиолитическому
вскипанию воды и выбрасыванию части раствора из сосуда.
После этого реактор станет подкритическим, а уровень об­
лучения нейтронным и у-излучением человека, подошедшего
к нему, может оказаться смертельным. Подобного типа аварии
неоднократно происходили на ранних стадиях развития ядерной
энергетики. В настоящее время реакторы снабжаются конт­
рольно-измерительной и защитной аппаратурой, устройствами
по управлению цепной реакцией и обслуживаются только
дистанционно.
3. Основные параметры цепной реакции. Удобной харак­
теристикой цепной реакции является число нейтронов, рожда­
ющихся в среднем в размножающей среде при поглощении
в ней одного нейтрона. Среда может быть гомогенной или
гетерогенной, состоящей из ячеек с повторяющейся структурой
и составом.
Еще более распространенная характеристика, вычисление
которой является целью большинства реакторных расчетов,—
число нейтронов, рождающихся в ядерном реакторе в среднем
при исчезновении одного нейтрона за счет поглощения в активной
зоне или утечки из нее.
Оба описанных функционала безразмерны, так как рас­
считываются как отношения чисел нейтронов, участвующих
в тех или иных процессах за единичный временной интервал.
С точки зрения исчезновения нейтрона как продолжателя
цепной реакции поглощение в активной зоне или утечка из
нее эквивалентны, поэтому эти процессы могут суммироваться.
Появление новых нейтронов, т. е. их рождение, причинно
связано с поглощением нейтронов делящимися или делимыми
нуклидами. Каждый индивидуальный акт поглощения нейтрона
в размножающей среде активной зоны может сопровождаться
или не сопровождаться появлением новых нейтронов. Все
акты гибели нейтрона усредняются и приводятся к одному
обобщенному акту исчезновения нейтрона, для которого суще­
ствует конечная вероятность рождения, получаемая путем
рассредоточения вероятности рождения на все акты поглощения
и утечки.
Рассмотрим применение второго из отмеченных функци­
оналов. Пусть закончился жизненный цикл одного обобщен­
ного, или среднего в отмеченном выше смысле, нейтрона
в результате поглощения или утечки. Усреднение по жизненным
циклам всех нейтронов позволяет приписать данному обобщен­
ному исчезнувшему нейтрону некоторое число вновь возникших
нейтронов. Это число может быть равно единице, больше
15

или меньше нее и определяет процесс размножения нейтронов
в реакторе и характер цепной реакции, которая является
соответственно стационарной, нарастающей или спадающей
во времени.
Общепринятое название данного функционала — эффектив­
ный коэффициент размножения нейтронов в реакторе Кэф.
Слово «эффективный» подразумевает, что учитывается не
только поглощение нейтронов, но и их утечка из всего объема
активной зоны. Поэтому Кэф в большинстве случаев относится
только ко всему реактору.
Рассмотрим первый функционал. Допустим, что размер
реактора бесконечно большой и утечка равна нулю, причем
состав активной зоны реактора — однородный. Тогда Кэф пре­
вращается в КаЭтот пример говорит о происхождении термина К^9 но
смысл его шире отмеченного. Это—коэффициент размножения
нейтронов, не учитывающий их утечку, или коэффициент
размножения в среде активной зоны. Если активная зона
состоит из частей, разнородных по составу, то К^ будет
иметь свое значение для каждой из подзон реактора. Хотя
в неоднородйой активной зоне путем усреднения и можно
было бы найти некоторое среднее значение К^, эта процедура
обычно не применяется. Вместо этого определяется Кэф,
в котором учитываются значения К^ всех отдельных зон
и общая утечка нейтронов из реактора.
В критическом реакторе КЭф=19 т.е. число нейтронов,
рождающихся в объеме реактора в единицу времени, равно
числу нейтронов, поглощающихся или испытывающих утечку
за то же время. На каждый исчезнувший нейтрон появляется
один новый нейтрон, цепная реакция стационарна и мощность
реактора постоянна во времени. Однако уровень мощности
может быть произвольным, если тепло отводится из реактора
теплоносителем таким образом, что состав и размеры реактора,
а также температура всех его компонентов остаются постоян­
ными.
В реальных реакторах, работающих на больших уровнях
мощности, изменение уровня приводит, как правило, к измене­
нию состава, размеров, температуры реактора и, следовательно,
Кэф. Критичность в реальных реакторах поддерживается с по­
мощью органов регулирования условий протекания цепной
реакции и ее интенсивности.
Для описания цепной реакции часто используется понятие
«реактивность», производное от Кэф. Реактивность—разность
между числом рождающихся нейтронов 0* и числом нейтронов,
испытывающих поглощение и утечку, 77, ®',• отнесенная к числу
рождающихся нейтронов. Этот функционал равен нулю в кри­
тическом реакторе, отрицателен в подкритическом и больше
16

рис. 1.2. Зависимость
критической
массы U 0 2 F 2 от высоты активной
зоны растворного реактора:
j диаметр активной зоны 25,4 см;
2—30,5 см;
5 — 38,4 см;
4—50,8 см;
5—76,2 см

/%<р,кг

нуля в надкритическом реак­
торе. Из данного определения
реактивности следует, что
^-(Я+^)_, _ я + ^ _
1_
или Р = =

~^Г' * э ф = ^ *

10

20

30 И4 Иг S0H{а з

(1.2) '
Понятие реактивности связано, в частности, с реакторными
экспериментами, в которых внесенная в критическую систему
положительная реактивность может быть рассчитана на основа­
нии измерения скорости роста мощности реактора или его
периода разгона, т. е. времени увеличения мощности в «е» раз.
4. Физические особенности растворных гомогенных реакторов.

Введя определения К^ Кэф и реактивности, вернемся к примеру
* «домашнего» растворного реактора.
На рис. 1.2 приведены экспериментальные результаты по
критическим параметрам цилиндрических реакторов без от­
ражателя с гомогенным раствором соли уранилфторида. При­
веденный выше в «рецепте» изготовления реактора случай
отмечен кружком (точка а) на кривой зависимости критической
массы от критической высоты для диаметра активной зоны
25,4 см.
Отмеченная точка а и аналогичные точки на других кривых
соответствуют минимальным критическим размерам, в данном
случае — высотам активной зоны реактора. В этих точках
размножающие свойства материала активной зоны оптималь­
ны, что дает максимум материального параметра среды,
пропорционального ^ — 1 [см. (3.23)]. При меньших размерах
критичность не может быть достигнута ни при каких значениях
концентрации соли. Эти размеры ядернобезопасны при любых
загрузках и концентрациях соли. Поэтому размешивание соли
в точке а с помощью кадмиевого стержня безопасно, но при
условии, что стержень компенсирует рост реактивности за
счет создания частичного отражателя телом размешивающего
соль человека.
Для критических высот больших, чем высота Ни соответ­
ствующая точке а, например для Н2, существуют два значения
критических масс в точках б и в. Оказывается, критичности
можно достичь как в области больших загрузок, сдвигаясь
вдоль прямой А от точки г к точке в? так и при малых
2 Заказ 2739

17

загрузках, увеличивая их от точки д к б. Материальные
параметры среды в точках бив
практически .одинаковы, но
они являются сложными функциями не только Кы и входящих
в него параметров, но и длин замедления и диффузии
нейтронов, и эти парциальные физические характеристики
различны в точках
бив.
Между точками бив
реактор надкритичен, так как при
соответствующих точкам прямой А загрузках критические
высоты меньше Н2.
Высота Н2 выбрана так, что ей соответствует минимальная
критическая масса М2 для сосуда данного диаметра (точка б).
При меньших массах соли критичности нельзя достичь ни при
каких высотах. Снижение критической массы от М1 до М2 при
движении от точки а к б объясняется тем, что критическая
концентрация соли падает быстрее, чем растет объем раствора.
При высотах, больших Н2, падение концентрации замедляется
и рост объема ведет к повышению критической массы.
В точке с минимальной критической массой безопасно
изменять концентрацию соли за счет добавления или испарения
воды, при этом высота отличается от Н2 и система становится
подкритичной. Однако увеличение концентрации соли при
сохранении Н2 переводит реактор в надкритическое состояние.
Допустим, что в рудном пласте природного реактора масса
топлива была больше минимальной критической массы и эта
масса гомогенно разбавлялась водой. Размеры системы уве­
личивались при снижении концентрации делящегося материала
и постепенно достигали критических значений. Этот процесс
иллюстрируется переходом из точки е в точку в при постоянной
массе Мъ.
При увеличении диаметра сосуда минимальная критическая
высота снижается. Постепенно темп снижения замедляется
и при переходе от диаметра 50,8 см к диаметру 76,2 см
уменьшения высоты почти не происходит. При больших
уплощениях активной зоны радиальная утечка нейтронов
становится намного меньше осевой и реактор становится
физически бесконечным по радиусу. Это означает, что после
некоторого значения дальнейшее увеличение радиуса при
постоянной высоте не влияет на Кэф реактора, т. е. утечка
по радиусу становится пренебрежимо малой по сравнению
с утечкой нейтронов по высоте. Цилиндрический реактор
становится эквивалентен плоскому реактору достаточно боль­
шого размера по всем направлениям, кроме одного.
В реакторе, близком к полубесконечному, небольшое умень­
шение высоты вызывает значительный рост критической массы
ввиду его большого объема и необходимости повышения
концентрации соли для увеличения материального параметра
среды.
18

Значительное влияние малых изменений высоты на Кэф ре­
актора покажем на примере аварии, случившейся на ранней
стадии развития реакторостроения при сбросе поглощающего
стержня в сильно уплощенный растворный реактор с большим
отношением критического диаметра к высоте. Казалось бы,
стержень должен был перевести реактор в подкритическое
состояние, заглушить его. Однако при сбросе стержня реактор
стал надкритическим, произошел неконтролируемый разгон
реактора со значительной вспышкой делений из-за возник­
новения гидравлической волны, связанной с падением тела
в жидкость. При увеличении высоты критический диаметр
сильно уменьшился и реактор достиг критичности частью
объема активной зоны. Образовался так называемый местный
реактор, т. е. локальная область надкритичности в пределах
активной зоны, причем поглощающий стержень оказался вне
этой области.
Отсутствие в активной зоне возможности образования
локальных критических масс — один из показателей безопас­
ности ядерных реакторов—достигается надлежащим выбором
композиции активной зоны и мест размещения регулирующих
стержней.

1.2. Роль нейтронно-физических
при проектировании ядерных

расчетов
реакторов

1. Физическое проектирование. Этим термином обозначен
процесс первоначального выбора основных технических реше­
ний по ядерному реактору с учетом происходящих в нем
нейтронно-физических явлений, если известны назначение ре­
актора и основные технические требования.
Первое принимаемое решение — выбор энергетического спек­
тра нейтронов в реакторе, т. е. числа нейтронов с данной
энергией в зависимости от их энергии. Если необходимо
сократить критическую массу и получить большую реактив­
ность на единицу загрузки делящегося нуклида, то в реактор
необходимо поместить замедлитель и сделать спектр мягким,
содержащим значительную группу тепловых нейтронов, т. е.
нейтронов, находящихся в тепловом равновесии с ядрами
среды активной зоны. В реакторах на тепловых нейтронах,
или тепловых реакторах, основная доля делений ядер проис­
ходит под действием тепловых нейтронов.
Наилучший делящий­
233
ся нуклид для тепловых 2 реакторов
— U, но чаще исполь­
5
зуется более доступный ^ U.
Наработка избыточного делящегося топлива максимальна
в
реакторах с жестким спектром нейтронов, работающих
без специального замедлителя, со слабо замедляющим
2*

19

теплоносителем, в качестве которого наиболее часто ис­
пользуется натрий. В реакторах на быстрых нейтронах,
или в быстрых реакторах, единственным
приемлемым де­
239
лящимся нуклидом является
Ри, нарабатываемый 2 3в8 те­
пловых и быстрых реакторах из сырьевого нуклида
U.
После выбора типа реактора начинается длительный процесс
оптимизации состава и размеров активной зоны и отражателя
в тепловых реакторах, а в быстрых реакторах — активной
зоны и зон воспроизводства ядерного топлива, окружающих
активную зону реактора.
В начальном состоянии быстрого реактора зоны воспро­
изводства содержат только сырьевой материал (обычно обед­
ненный уран) и служат для полезного использования нейтронов
утечки из активной зоны реактора.
Общая для тепловых и быстрых реакторов задача — вырав­
нивание объемного распределения энерговыделения и выбор
способов и средств компенсации реактивности.
Необходимость выравнивания, или профилирования, энер­
говыделения связана со спадом плотности энерговыделения
от центра активной зоны к периферии из-за утечки нейтронов
с наружной поверхности активной зоны. Существует много
способов профилирования. Суть их сводится к тому, что
в тех областях, где больше нейтронов, размещают меньше
делящихся ядер, либо меньше замедлителя, либо больше
поглотителя нейтронов. Эти меры принимают по отдельности
или в некоторых комбинациях.
Органы регулирования призваны обеспечивать управление
цепной реакцией и безопасность ядерного реактора. Их эф­
фективность должна быть достаточной для создания необ­
ходимой подкритичности в состоянии реактора с максимальной
избыточной реактивностью.
Принципиальный выбор тех или иных средств компенсации
реактивности и порядка их действия оказывает большое
влияние на основные характеристики реактора — коэффициенты
неравномерности энерговыделения, эффекты реактивности, за­
грузку топлива.
Конкретизируем изложенное на примерах физического про­
ектирования отдельных реакторов.
2. Наработка плутония и его использование в ядерных
взрывных устройствах.* Первые реакторы, созданные под
руководством Ферми и Курчатова, были прототипами реак­
торов, которые нарабатывали плутоний для атомных бомб.
Чтобы уяснить требования к этим реакторам, рассмотрим
качественно принцип действия атомной бомбы, которую точнее
* В данном пункте делаются качественные оценки, показывающие невоз­
можность ядерного взрыва в энергетических или исследовательских реакторах.
20

следовало бы называть ядерной. Атомная бомба представляет
собой импульсный ядерный реактор, разрушающийся в процес­
се однократного выхода на большой уровень мощности. Целью
является обеспечение в процессе взрыва деления как можно
большего числа ядер, заложенных в бомбу. Идеальный режим
работы бомбы включает две начальные операции: первая —
сообщение реактору максимально возможной реактивности
в условиях, когда фон нейтронов равен нулю, т. е. когда
цепная реакция не может начаться, и вторая — как можно
более быстрый заброс в готовую к размножению систему
максимально возможного количества нейтронов. Нейтроны
производят деления ядер, размножаются, в системе накаплива­
ется энергия, что в первую очередь приводит к разогреву среды.
В процессе нарастания мощности атомной бомбы должны
быть приняты меры по обеспечению внешнего давления на
активную зону, препятствующего ее расширению и разлету.
В процессе разгона из бомбы уходят нейтроны утечки
и у-излучение, температура материалов повышается до тысяч
градусов, происходит резкое расширение активной зоны и раз­
лет испарившихся материалов, т. е. тепловой взрыв.
Существует много способов, чтобы сообщить бомбе боль­
шую начальную реактивность, но нельзя избежать нейтронного
фона, так как ядра тяжелых атомов всегда испытывают
спонтанное деление. Особенно
интенсивно спонтанное деление
240
идет в изотопе плутония 2 3 9 Ри, который накапливается при
захвате нейтронов ядрами
Ри. Поэтому основным требова­
нием к изотопному составу плутония 2для
атомных бомб
40
является минимальное содержание в нем2 3 8 Ри. Этого можно
добиться, сокращая время облучения
U таким 2 3образом,
9
чтобы 2 4в0 нем накопилось некоторое количество
Ри, но
чтобы
Ри еще не успел накопиться в заметных количествах.
При первых разработках наиболее доступным замедлителем
был графит, хотя можно было бы использовать и тяжелую
воду, но для этого нужно было развивать промышленность
по разделению изотопов водорода. По той же причине
экономии ресурсов в качестве теплоносителя была выбрана
вода вместо более предпочтительных газов. Вода очень хорошо
замедляет
нейтроны, смягчает их спектр, и накапливаемый
9
Ри начинает выгорать, что ухудшает изотопный состав
плутония.
Для сокращения объема воды в первых реакторах она
подавалась в тонкий зазор между алюминиевой противоосколочной очехловкой уранового блочка и алюминиевой трубой,
размещаемой в графитовой кладке. Блочки проталкивались
через систему труб, на вход которых подавалось свежее топливо
из природного урана, а с выхода отгружалось отработавшее
топливо, содержащее плутоний и продукты деления.
21

Алюминий был выбран в качестве конструктивного матери­
ала ввиду малого поглощения в нем нейтронов, низкой
температуры воды, которая отводила тепло для сброса без
полезного использования, а также ввиду его доступности
и низкой стоимости.
Оптимальный по физике диаметр урановых блочков не
мог быть слишком малым или слишком большим из-за
конкуренции двух процессов, связанных с поглощением ней­
тронов и влияющих на возможность достижения К^ > 1 в среде
с природным ураном и графитом. Оба процесса связаны
с явлением самоэкранирования поглощающих ядер.
В процессе
23
замедления нейтронов ими являются ядра ®U, особенно
сильно поглощающие нейтроны, энергии которых находятся
вблизи резонансных уровней ядра. Увеличение диаметра ура­
нового блочка
noBbiniaef вероятность избежать резонансного
238
захвата в
U, так как процесс замедления нейтронов
протекает в основном в графите вне блока, а поглощение
нейтронов, замедлившихся до резонансных энергий,2 3происходит
на поверхности блока и поэтому невелико. Ядра 8 U внутри
блока не поглощают нейтроны ввиду их практического от­
сутствия из-за резкого снижения числа резонансных нейтронов,
движущихся от поверхности блока к центру. Данный процесс
ведет к росту К^ при увеличении диаметра уранового блочка.
Этому же способствует надпороговое деление ядер 22 3358 и
быстрыми нейтронами, возникшими при делении ядер
U
и еще не вышедшими из сравнительно толстого блока.
Коэффициент, который показывает, во сколько раз увеличива­
ется при этом число быстрых нейтронов, можно назвать
коэффициентом размножения на быстрых нейтронах. Большее
единицы значение этого коэффициента также повышает
К^ размножающей среды.
Для замедлившихся тепловых нейтронов полезным для
цепной реакции и К^ является их поглощение ядрами 2 3 5 U.
Вероятность такого поглощения, называемая коэффициентом
использования тепловых нейтронов, или сокращенно коэффици­
ентом теплового использования, падает при росте диаметра
блока в силу того же эффекта самоэкранирования ядер.
Средняя по объему блока плотность тепловых нейтронов,
т. е. их число в единичном объеме, оказывается ниже, чем
в замедлителе, и это приводит к относительному росту
захватов нейтронов в замедлителе и падению К^.
Значения отмеченных коэффициентов и вероятностей зависят
от соотношения объемов графита и урана в активной зоне
реактора. При увеличении объема графита растет вероятность
избежать резонансного поглощения, но уменьшается коэф­
фициент теплового использования вследствие роста поглощения
нейтронов в графите. Для подъема К^ можно рассчитать
22

оптимальный шаг расстановки алюминиевых труб, или топ­
ливных каналов в графитовой кладке реактора. Необходимый
изотопный состав топлива с малым содержанием 2 4 0 Ри
достигается выбором времени прохождения топливным блоч­
ком активной зоны при его движении сверху вниз в трубе
канала. Скорость движения блочков должна быть ниже на
периферии реактора, где плотность нейтронов меньше.
Рассмотрев наработку плутония, вернемся к его исполь­
239
зованию в атомной бомбе. Сравним загрузку
чистым
Ри
24(J
и загрузку плутонием, содержащим 10%
p u при энерго­
выделении
взрыва, соответствующем 650 кт тротила, или
3 10 9 МДж. Если принять, что отражатель эквивалентен пол­
ному водяному, то из полной начальной загрузки 50 кг
плутония, которая близка к этому значению в обоих случаях,
в 37 кг необходимо полностью разделить все ядра (10 26
делений), а оставшиеся 13 кг создадут небольшую надкритичность с КЭф примерно 1,02 в конце работы в активной зоне
с большим содержанием продуктов деления. Полностью ис­
пользовать реактивность не удается ввиду замедления времен­
ных процессов из-за роста периода разгона реактора при
приближении избыточной реактивности к нулю и трудности
удержания среды с условной (без отвода тепла) температурой
порядка 10 *° К. Реальная температура ниже условной на
несколько порядков, так к$к в процессе нагрева потери энергии
на световое излучение пропорциональны температуре в чет­
вертой степени. В любом случае удержание сжатой плазмы
за счет внешнего давления и инерции вещества возможно
лишь в течение интервала времени, равного примерно 50 мкс,
так как время процессов теплового расширения при импульсном
нагреве определяется временем прохождения звука через дан­
ную систему. При подходе к этим 50 мкс система выходит
на греющий уровень мощности, при котором плутоний греется,
поглощает теплоту плавления, нагревается дальше с поглоще­
нием теплоты испарения. Для обеспечения этих процессов
энергией надо разделить в течение первых мгновений ядра
примерно в 2 мг плутония, а «остальные» 37 кг разделить
за оставшиеся 20—50 мкс. Мощность должна подняться за
это время примерно на 7 порядков, т. е. средний период
разгона должен составлять 1—2 мкс.
В состояниях с большой надкритичностью период реактора
равен отношению времени жизни
нейтронов, которое в подоб­
7
ных системах близко к 10 ~ с, к значению избыточного
коэффициента размножения, т. е. АГэф — 1. При сближении от­
дельных частей активной зоны с помощью направленного
взрыва с возможным уплотнением плутония
до плотности
3
вьхше нормального значения 19,25 г/см (имплозии) Кэф изменя­
ется от глубоко подкритических значений (0,5—0,6) до высокой
23

Рис. 1.3. Влияние интенсивности
спонтанного деления на возмо­
жность большой энерговыра­
Ц(Нп) ботки в ядерном реакторе:
А—топливо
с 10% 240Ри; Б—чис­
239
тый Ри; / — «греющий» уровень
мощности; МРи — масса плутония
в заряде; Nn—полное число нейтро­
нов в системе; т — период разгона
реактора;
разлет топлива из-за
теплового расширения

надкритичности (1,4—1,7). Пусть при прохождении сближа­
ющимися частями активной зоны последних 0,5 м со скоростью
500 м/с Кэф—1 изменяется от 0,007 до 0,7 в течение 1000 мкс.
Период реактора падает с 14 до 0,14 мкс,2 3 9и в конечном
состоянии мощность реактора с чистым
Ри достигает
греющего уровня.
При дальнейшем подъеме мощности на 6—7 порядков
из-за глубокого выгорания топлива и падения реактивности
начальный период разгона 0,14 мкс растет до конечного
значения, близкого к 5 мкс. При среднем периоде в 1—2 мкс
этот процесс укладывается в разрешенные 50 мкс.
239
Интенсивность спонтанного
деления
Ри составляет 36 де­
240
6
лений на 1 г за 1 ч, а Ри—1,5* 10 дел./(г-ч) с образованием
при делении одного ядра 2,2 нейтрона. Интенсивности ис­
точников нейтронов
в двух рассматриваемых вариантах топлива
3
равны 1,1* 10~ и 4,8 нейтр./мкс, т.е. различаются в 4400
раз.
Это приводит к тому, что в топливе, содержащем 10%
240
Ри, греющий уровень достигается раньше при периоде
разгона, примерно равном 2 мкс (рис. 1.3). Интервал времени
интенсивного деления плутония начинается со2 3значения
периода
9
на порядок большего, чем в случае чистого
Ри, и осущест­
вить достаточно полное энерговыделение не удается, так как
реактор разлетается и цепная реакция прекращается.
24

Из качественного описания процессов взрыва видно, что
в обычных ядерных реакторах ядерный взрыв, т. е. возмож­
ность деления ядер в массе порядка единиц или десятков
килограммов делящегося нуклида за малые доли секунды,
полностью исключен. Это связано: 1) с технической невоз­
можностью внесения в реактор большой реактивности за
короткое время: 2) с отсутствием механизмов удерживания
от развала или разлета расплавившуюся, а тем более ис­
парившуюся активную зону и 3) с большой калорийностью
ядерного топлива. Действительно, для нагрева до плавления
и испарения рассмотренной активной зоны достаточно раз­
делить всего лишь 2—3 мг плутония, тогда как даже при
умеренном6 ядерном взрыве необходимо разделить 2—3 кг,
т. е. в 10 раз больше.
Аварийный разгон ядерного реактора можно рассматривать
как вспышку делений. Анализ всех ядерных аварий за всю
историю реакторостроения 19показывает,
что вспышки делений
20
никогда це превышали 10 —10 делений [18]. Этому соот­
ветствует энерговыделение 300—3000 МДж. Даже20 в черно­
быльской аварии произошло примерно
(4—8)-10 делений,
235
или разделилось около 0,15—0,3 г
U (выделилось 12,4—
24,8 ГДж, что эквивалентно взрыву 2,7—5,4 т тринитротолу­
ола).
Произвести вспышку делений в указанном диапазоне в энер­
гетическом ядерном реакторе, например при неисправности
системы управления и защиты и выдвижении из активной
зоны регулирующих стержней с проектными скоростями, также
практически невозможно.
Реально
происходящие вспышки ле­
17
19
жат в диапазоне 10 —10 делений и не приводят к сущест­
венным разрушениям элементов активных зон.
Существует класс импульсных исследовательских реакторов,
в котором режим нейтронных вспышек является нормальным
проектным режимом. Однако получить хороший нейтронный
импульс с большой вспышкой делений в таких реакторах
далеко не просто. Требуется, например, «выстреливать», т. е.
выбрасывать с большой скоростью, поглощающий стержень
из активной зоны.
Таким образом, тепловое расширение активной зоны с по­
вышением температуры и снижением плотности всех ее ком­
понентов, а тем более расплавление или разрушение активной
зоны являются защитным механизмом, не позволяющим
произойти в ядерном реакторе явлениям, даже отдаленно
напоминающим ядерный взрыв.
Возвращаясь к взрыву, отметим, что силы внешнего
давления и инерции вещества не препятствуют выходу
До 10—15% энергии деления с нейтронным и у-излучением,
происходящему в заключительной фазе, на протяжении
25

последних 5—10 периодов
разгона. Сначала со скоростью
кванты
света вылетают у
> выходящие
из делящихся ядер,
4
за ними со скоростью (2^-3)-10 км/с — нейтроны, которых
вскоре обгоняет световое излучение, испускаемое разогретой
до высокой температуры активной зоной. Разлет плазмы
создает ударную волну. Дополнительным фактором ядерного
взрыва является радиоактивность продуктов деления.
Если по энергии эквивалентного взрыва при аварийном
ядерном разгоне реактор на много порядков не доходит до
уровня атомной бомбы и эта энергия в тротиловом эквиваленте
не может превысить 0,6—6 т, то по радиоактивности, запасен­
ной в продуктах деления, эти устройства становятся более
близкими. В активных зонах реакторов мощностью 2,5—
3,4 ГВт, входящих в блоки АЭС электрической мощностью
1 ГВт, находится 1—2 т продуктов деления7 (ПД) в основном
с короткоживущей (период полураспада 7 1/2 = 1-^2 ч) актив­
ностью. Среди продуктов деления имеются и долгоживущие
нуклиды с Т1/2 = 30-^-90 и более лет.
Еще больший период полураспада имеют актиноиды, накап­
ливающиеся в топливе при захвате нейтронов делящимися
и сырьевыми нуклидами. Высвобождение активности долгоживущих радионуклидов — основная опасность аварий на ядер­
ных реакторах.
Благоприятным обстоятельством является малая энергия
при ядерной аварии реактора. В результате даже при рас­
плавлении топлива и разрушении реактора и его защитных
оболочек на местность может быть выброшено не более
нескольких процентов твердых ПД. Радиоактивные благород­
ные газы ксенон и криптон, являющиеся также ПД, рассе­
иваются в атмосфере и не представляют большой опасности.
Поскольку суммарный выброс радиоактивности при мак­
симальной аварии реактора может оказаться эквивалентным
активности ядерного взрыва средней мощности, в ЯЭУ при­
нимаются многочисленные меры, предотвращающие разруше­
ние реактора при ядерных авариях. Эти меры касаются также
выбора внутренних свойств по саморегулированию активной
зоны, ограничивающих возможные ядерные разгоны, совер­
шенствования СУЗ реактора и снабжения ЯЭУ защитными
барьерами, пассивными системами отвода тепла и оболочками
безопасности.
Место, где сосредоточена основная радиоактивность реак­
тора,— твэлы с ядерным топливом и продуктами деления.
Основными требованиями по соблюдению безопасности в лю­
бых аварийных ситуациях является непревышение допустимых
пределов повреждения твэлов. В ЯЭУ используется принцип
многобарьерности на пути выхода продуктов деления из
топлива в окружающую среду. Барьерами являются: топливная
26

матрица, оболочка твэлов, герметичный контур, первичного
теплоносителя, корпус реактора, оболочка безопасности АЭС,
выдерживающая давление при разрыве контура первичного
теплоносителя.
3. Канальные реакторы в энергетике. Возможность после­
довательной замены топлива в каждом из каналов без
остановки реактора позволяет работать с минимальной из­
быточной реактивностью в рабочем состоянии реактора. Ней­
тронный баланс улучшается, так как2 3 нейтроны
поглощаются
8
не в регулирующих стержнях, а в
U, в результате чего
образуется плутоний. Длительное облучение топлива без огра­
ничений на изотопный состав плутония
приводит к значитель-.
239
ному выгоранию накопленного
Ри в реакторе без хи­
мической переработки. Вследствие
последнего производимый
240
плутоний содержит до 40%
Ри и может использоваться
только в реакторах на быстрых нейтронах, для которых он
является хорошим топливом.
При переходе от промышленных канальных реакторов,
производящих плутоний для военных целей, к энергетическим
повысились температура теплоносителя (что привело к замене
алюминия цирконием), а также температура топлива и глубина
его выгорания. В этих условиях металлический уран пришлось
заменить более стойким в термическом и радиационном
отношении диоксидом урана.
Возможность использования обогащенного урана позволила
уменьшить диаметр твэлов до 10—15 мм для развития повер­
хности теплосъема и повышения удельной мощности каналов.
В СССР в качестве замедлителя в канальных реакторах
используется графит, а в качестве теплоносителя — кипящая
вода, тогда как за рубежом в основном приняты тяжеловодный
замедлитель и тяжеловодный некипящий теплоноситель. Рас­
смотрим последний вариант канального реактора как более
интересный в смысле его физического проектирования. Отличие
заключается в использовании замедлителя в качестве средства
регулирования реактивности путем понижения его уровня или
полного слива в аварийных ситуациях, при выходе из строя
Других органов регулирования. Реактивность падает ввиду
роста утечки нейтронов из-за больших пробегов в поперечном
направлении и «прострелов», т. е. прямого вылета через
образовавшиеся полости в продольном направлении парал­
лельно каналам. Дополнительно реактивность падает и в ре­
зультате ужестчения спектра нейтронов.
К тем же результатам по снижению реактивности можно
прийти, добавляя в жидкий замедлитель растворимую соль
сильнопоглощающего нейтроны ) [емента, например гадолиния.
Система жидкого поглотителя может применяться как аварий­
ная или как система нормальной эксплуатации, например при
27

переходе от начальной загрузки к загрузке установившегося
режима перегрузок топлива.
В канальных реакторах с графитовым замедлителем и лег­
ководным кипящим теплоносителем абсолютное значение от­
рицательных эффектов реактивности при отклонениях от оп­
тимального паросодержания выше, чем в тяжеловодных ре­
акторах. Замедляющая способность графита втрое ниже, а лег­
кой воды — в 7 раз выше, чем тяжелой воды. Обычная вода
поглощает нейтронов на три порядка больше, чем тяжелая.
Поэтому эффекты потери воды при вскипании или прибавлении
при схлопывании пузырьков проявляются значительно сильнее,
чем у тяжелой воды. Соответственно сильнее и рост реак­
тивности при запуске реактора и появлении в нем пара. Но
запуск реактора проходит под внимательным наблюдением
оператора, тогда как аварийные эффекты роста мощности
или повышения давления могут произойти внезапно и реактор
должен отреагировать на них за счет саморегулирования.
Использование графитового или тяжеловодного замедлителя
с небольшой замедляющей способностью приводит к необходи­
мости увеличения объема замедлителя и габаритных размеров
активных зон, которые для реактора электрической мощностью
1 ГВт близки к 8—10 м. Такие размеры требуют больших
оболочек безопасности вокруг реактора, что повышает капи­
тальную составляющую стоимости вырабатываемой энергии.
Применение в качестве замедлителя и теплоносителя обыч­
ной воды, замедляющая способность которой в 22 раза выше,
чем графита, позволило уменьшить габаритные размеры ак­
тивных зон до 3—4 м, что способствовало широкому развитию
водо-водяных реакторов, охлаждаемых кипящей и некипящей
легкой водой.
4. Водо-водяные реакторы. Первые водо-водяные реакторы
были развиты для энергетических установок подводных, а затем
и надводных судов, для которых вопрос о габаритах и массе
установок стоит особенно, остро. Основные решения по физике
активной зоны являются следствием тактико-технических тре­
бований к энергетической установке и кораблю в целом.
Подводная лодка
длиной 100 м и средним диаметром 12 м
4
имеет массу 10 т. Если необходимо с места развивать скорость
20 м/с за 100 с, то мощность на валу составит 20 МВт без
учета сопротивления воды. Приняв коэффициент 2 на со­
противление и КПД энергетической установки 20%, получим
тепловую мощность реактора 200 МВт.
При охлаждении некипящей водой поверхности твэлов из
коррозионностойкой стали допустим удельный энергосъем до
2 МВт на 1 м 2 поверхности покрытий твэлов. Приняв коэф­
фициент неравномерности энерговыделения по объему активной
зоны равным 2,7, найдем необходимую поверхность теплосъема
28

/270 м2) при средних тепловых нагрузках 740 кВт/м2. Если
твэлы с высотой активной части 1 м наружным диаметром
6 мм расставить с эффективным шагом 8 мм, то диаметр
активной зоны будет равен 1 м при числе твэлов 1,4*104.
Для удобства загрузки и перегрузки твэлы объединяют
в небольшие пучки, окруженные кожухами с головками для
захвата и концевиками для установки в опорные плиты —
тепловыделяющие сборки (ТВС). Твэлы и ТВС размещаются
в площади поперечного сечения по треугольным сеткам со
своими шагами — межцентровыми расстояниями. В простран­
стве между ТВС могут размещаться регулирующие элементы.
Для более редкого вывода кораблей с ЯЭУ из действия
кампания реактора между его полными перегрузками должна
быть возможно больше. Это обеспечивается большой началь­
ной загрузкой делящегося нуклида, дающей большую началь­
ную избыточную реактивность в рабочем состоянии по тем­
пературе и степени отравления реактора ксеноном и самарием.
Запас реактивности существенно увеличивается в холодном,
неотравленном состоянии.
Компенсация избыточной реактивности при минимальных
коэффициентах неравномерности энерговыделения — основная
задача физического проектирования судовых реакторов.
Самоэкранированные выгорающие поглотители нейтронов
(СВП) позволяют скомпенсировать запас реактивности на
выгорание топлива. СВП облегчают механическое регулирова­
ние и позволяют выравнивать распределение энерговыделения
при их размещении в центральных частях активной зоны.
Достоинства СВП предопределили их применение и в стаци­
онарных энергетических реакторах.
Минимизация коэффициента неравномерности энерговыделе­
ния на протяжении всей кампании реактора достигается
выбором конструкции механических органов регулирования
реактивности, их состава и порядка перемещения отдельных
регуляторов.
В водо-водяных энергетических реакторах АЭС, охлажда­
емых водой под давлением, более экономичным, чем СВП,
средством компенсации реактивности, идущей на обеспечение
выгорания между частичными перегрузками, оказалось хими­
ческое, или мягкое, регулирование с помощью раствора бор­
ной кислоты в общем контуре теплоносителя. На интервале
времени между частичными перегрузками концентрацию борной
кислоты изменяют от максимального значения в начале
интервала до нулевого в конце. В рабочем состоянии реактора
реактивность при этом остается близкой к нулю. Регулирование
считается мягким, поскольку поглощающие стрежки прак­
тически не входят в активную зону и мало искажают форму
распределения энерговыделения.
29

Основная задача физических расчетов энергетических реакто­
ров— оптимизация их топливных характеристик, которая до­
стигается улучшением нейтронного баланса, повышением глуби­
ны выгорания и наработки делящихся нуклидов из сырьевых.
Большое внимание при проектировании любых реакторов
уделяется вопросам их ядерной и радиационной безопасности.
Присущая активной зоне, или внутренняя, безопасность до­
стигается повышением отрицательных обратных связей между
мощностью, температурой среды и реактивностью за счет
снижения обогащения топлива и уменьшения шага ТВС.

1.3. Физические особенности ядерного
реактора в сравнении
с энергоисточниками
на органическом
топливе
1. Источник энергии. По способу использования тепловой
энергии ядерный реактор близок к традиционным устройствам,
использующим энергию сжигания органического топлива. В тех
и других установках подогревается вода или газ с последующим
машинным или безмашинным способом преобразования теп­
ловой энергии в электрическую. Основное различие проявляется
в источнике энергии и в деталях, сопутствующих процессу
ее выработки.
При горении органического топлива происходит соединение
атомов углерода и кислорода с перестройкой электронных
оболочек атомов, увеличением энергии связи атомов в об­
разующихся молекулах и преобразованием части массы покоя
атомов в полезную энергию. Выделяющаяся энергия расходу­
ется на увеличение кинетической энергии атомов и молекул
и на возбуждение атомов с последующим высвечиванием
электромагнитных квантов, в том числе в световом диапазоне.
Перестройка ядер в процессе их деления ведет к увеличению
энергии связи нуклонов в ядрах осколков деления и превраще­
нию части массы покоя нуклонов в полезную энергию. Энергия
высвобождается в виде кинетической энергии осколков деления
и энергии сопутствующих излучений: нейтронного, у- и Ризлучения.
В обоих случаях полученная энергия приводит к нагреванию тел,
т. е. увеличению кинетической энергии атомов и молекул вещества.
2. Использование продуктов сжигания топлива. Органическое
топливо может быть использовано как ценное сырье для
химической промышленности. После сжигания потенциальные
возможности использования продуктов его сгорания, за ис­
ключением основного продукта — тепла, невелики. Часть об­
разующихся оксидов углерода, серы, азота и других продуктов
30

может улавливаться фильтрами и превращаться в полезные
химические продукты. Другая часть выбрасывается в атмос­
феру? вызывая нежелательные экологические последствия.
Ядерное топливо применяется только в ядерных реакторах.
j-Io дополнительно к теплу, выделяющемуся при сжигании
ядерного топлива, образуются нейтроны и у-кванты, которые
могут использоваться для научных и технических применений
в исследовательских и материаловедческих реакторах.
Ряд радиоактивных
нуклидов
из137числа85продуктов
деления,
106
lA
90
103
например " Т с ,
Ru, C e , Sr,
Cs, Kr,
Rd, 147 Pm,
можно выделить и полезно использовать для стерилизации
продуктов питания, в медицине, для у-дефектоскопии изделий
и для других целей.
Некоторые актиноиды, образующиеся в ядерном топливе,
имеют целевое применение, причем их получение в ряде
случаев идет по специальным программам. К таким нуклидам
относятся:
244
С т — ос-излучатель с высокой удельной мощностью
(2,65 Вт/г) и периодом полураспада Г 1/2 = 18,1 года, использу­
емый в изотопных источниках энергии, например на космичес­
ких объектах;
252
Cf—спонтанно делящийся с Г 1/2 = 2,65 года нуклид, испо­
льзуемый для изготовления компактных
и мощных источников
11
нейтронов интенсивностью до 10 нейтр./с, применяемых для
создания нейтронного фона при пуске реакторов, для элемент­
ного определения составов материалов с помощью нейтронноактивационного анализа и в медицине—для радиотерапии рака;
238ри—интенсивный ос-излучатель с Г 1/2 = 87,4 года, при­
меняемый в изотопных источниках энергии (0,56 Вт/г) и для
изготовления плутоний-бериллиевых нейтронных источников
для241пуска реакторов;
Am—у-излучатель с Г 1/2 = 433 года (0,11 Вт/г), исполь­
зуемый для определения плотности жидкостей, измерения
толщин
и расстояний;
239
Pu,
Pu, 2 3 3 U, 3Н-нуклиды, используемые в ядерных
и термоядерных реакторах в качестве топлива.
Нейтронное облучение применяется для улучшения качества
полупроводников путем, например, радиационного легирования
кремния, а у-излучение можно использовать для облучения
продуктов, упрочнения полимеров или древесины при при­
ближении к этим материалам
твэлов с продуктами деления
60
или кобальтовых
( Со) у-источников, получаемых при ак­
59
тивации Со нейтронами.
3. Топливный цикл реактора более сложен, чем цикл котла
на органическом топливе. Незамкнутый топливный цикл вклю­
чает добычу
урановой руды, выделение урана, его обогащение
23s
изотопом U, изготовление топлива, твэлов и ТВС, облучение
31

ТВС в ядерном реакторе, расхолаживание и хранение от­
работавших ТВС. В замкнутом топливном цикле добавляются
химическая переработка отработавшего топлива с отделением
от него продуктов деления и плутония, повторное изготовление
твэлов из регенерированного урана с добавлением в него
свежего обогащенного урана или плутония.
Добытое на рудниках природное органическое топливо
поступает в топку парового котла, где происходит его быстрое
и практически полное (до 90%) сжигание. Выбрасывание или
переработка золы и задержанных дымовыми фильтрами ок­
сидов завершает топливный цикл органического топлива.
В реакторе за одну кампанию топлива Га, равную времени
пребывания данной части топлива в активной зоне, может
быть сожжена лишь часть атомов тяжелых элементов (урана,
плутония или. тория) вследствие особенностей цепной реакции
деления ядер. В любой момент времени при работе реактора
на мощности масса делящихся нуклидов должна быть не
меньше критической, при которой Кэф=1.
В тепловых реакторах современных АЭС топливный цикл,
как правило, разомкнут. Тяжелыми атомами являются атомы
обогащенного
урана в форме диоксида, содержащего 2—3%
235
U в 2канальных
реакторах с графитовым замедлителем
35
иЗ—5%
U в корпусных реакторах с водяными замедлителем
и теплоносителем. Описанный топливный 2цикл
можно назвать
35
урановым. В нем в 239
основном 2 3сгорает
U и происходит
8
некоторая наработка
Ри из
U.
Оптимальный топливный цикл в быстрых реакторах — плу­
тониевый,
в котором 2основным
делящимся нуклидом является
239
38
Ри, а сырьевым — U. Тяжелые атомы больших быстрых
реакторов тепловой мощностью на уровне 4 ГВт содержат
примерно 15% плутония и 85% обедненного или природного
урана в форме смешанных диоксидов, карбидов, нитридов
или металлов. Тяжелые атомы зон воспроизводства при их
загрузке в реактор состоят целиком из обедненного урана.
Коэффициент воспроизводства делящихся нуклидов в ак­
тивной зоне таких реакторов (КВА) близок к 1 или немного
превышает 1, и содержание делящегося материала в активной
зоне не изменяется во времени. Топливо как бы «горит, не
сгорая» (как легендарная птица Феникс). По этой причине
большие быстрые реакторы во Франции названы «Феникс».
При условии многократной регенерации топлива в замкну­
том топливном цикле быстрого реактора можно обеспечить
сжигание природного урана до 80—90%, т. е. до уровня,
близкого к уровню сгорания органического топлива. Невоз­
можность достижения полного сжигания природного урана
или тория связана в основном с потерями топлива при
химической переработке. Накапливаемые в топливе актиноиды —
32

рис. 1.4. Схема диффузионного раз­
деления изотопов урана (7—завод по
разделению изотопов урана)

^пр
Мпп
п
Р,

£>0Б

*
i

ХПР
s

М

хов

Чпв
"отй Ь 5 о т в

трансурановые элементы нептуний, америций, кюрий, калифор­
ний и др.—являются хорошим топливом быстрых реакторов.
4. Расход природного урана. В отличие от ТЭС, где
используется все добываемое природное топливо, в реактор на
тепловых нейтронах закладывается лишь часть добытого
природного урана, так как начальные загрузки осуществляются
обогащенным ураном. Часть добываемого урана—обедненный
уран—пока почти не используется и хранится на складах до
момента широкого ввода в эксплуатацию энергетических быстрых
реакторов, работающих в плутониевом топливном цикле.
Для экономических оценок стоимости тепла или электро­
энергии, вырабатываемых на АС, необходимо знать начальные
вложения природного урана, показывающие, какую массу
природного урана надо добыть, чтобы обеспечить начальную
загрузку АС обогащенным ураном. Другой необходимый
параметр—годовая подпитка АС природным ураном, т. е.
масса природного урана, обеспечивающая годовую подпитку
АС обогащенным топливом.
Пусть на завод по разделению изотопов урана (рис. 1.4)
поступает природный,
или естественный, уран с массовым
i35
Р
содержанием
\J ЛГ5 = 0,714%, производится обогащенный
уран с повышенным содержанием, или обогащением, 2 3 5 U
xf — l-f-90% и получается обедненный,
или отвальный, уран
235
ТВ
с пониженным содержанием
и Х5 = 0,1-5-0,4%. Если соот­
ветствующие массы урана
обозначить М пр? Моб и AfOTB и,в каж­
235
дой категории масса
U пропорциональна х5, то баланс
масс при разделении изотопов урана запишется в виде
Мир = Моб + Мотв; М пр х? р = Мобxf + МотвхГ.
Исключив М отв , получим формулу для определения массы
добываемого природного урана, из которой можно произвести
необходимую массу обогащенного урана:
МПР = М06
П

Р

OD

- , об

-,ОТВ

5

5

vnp

vOTB

X5

X5

.

(1.3)
v

'

При больших обогащениях почти весь природный урал
идет в отвал и масса отвального урана лишь ненамного
меньше массы добываемого природного урана:
v66

Ynp

Л/охв = М п р ^ ^ .
3 Заказ 2739

(1.4)
-

33

Повышение обогащения топлива подпитки увеличивает
глубину выгорания обогащенного урана, но при этом требуется
большая масса добываемого природного урана, причем оба
параметра практически пропорциональны х$. Поэтому масса
выгоревшего ядерного топлива, отнесенная к массе добывае­
мого природного урана, практически не зависит от обогащения
и составляет как для водо-водяных, так и для уран-графитовых
реакторов с кипящей водой одну и ту же величину, близкую
к 0,5—0,6%. Остальные 99,4% природного урана в современ­
ных реакторах на тепловых нейтронах, работающих в открытом
топливном цикле, не выгорают, т. е. ядра урана остаются
неразделившимися.
5. Теплотворная способность ядерного топлива. Теплотворная
способность чистых делящихся нуклидов, 6 например 2 ^ 5 U,
в случае деления
80% его ядер в 2,2-10 раз выше, чем
7
угля: 6,5 • 10 против 29 МДж/кг соответственно. Здесь принято,
что при облучении нейтронами примерно 20% ядер 223365 U
захватывают нейтроны без деления и превращаются в
U.
Примерно такую же теплотворную способность имеют и при­
родные уран или торий, если учесть возможность преоб­
разования сырьевых атомов в делящиеся при многократных
облучениях и регенерациях топлива в замкнутом топливном
цикле реакторов-размножителей на быстрых нейтронах.
В разомкнутом топливном цикле реальная теплотворная
способность тяжелых атомов с обогащением 2—5% делящимся
нуклидом снижается в 20—50 раз, что все еще в (0,5-^-1) • 105 раз
выше, чем органического топлива.
В таком же соотношении находятся массы топлива, сжига­
емого на тепловой электростанции и на АС за одно и то
же время при их равной тепловой мощности. Например, при
мощности 3 ГВт на ТЭС необходимо использовать 100 кг
угля за 1 с, тогда как на АЭС—90—170 кг низкообогащенного
урана за 1 сут. Следовательно, если начальная загрузка
тяжелых атомов в свежем топливе одного реактора составляет
90—170 т, то он сможет работать без догрузки топлива около
трех лет.
Органическое топливо непрерывно поступает в топку котла
и тотчас же сжигается, тогда как в реакторе время между
полными или частичными перегрузками топлива имеет порядок
сотен суток. Это обусловлено возможностью загрузки в реактор
избыточной, сверх критического значения массы топлива.
Образующаяся при этом избыточная реактивность подавляется
введением в активную зону поглощающих нейтроны стержней
или использованием каких-либо других способов компенсации
реактивности.
Если в котле расход топлива полностью определяется его
теплотворной способностью и мощностью установки, то в ре34

акторе расход топлива при его подпитке зависит от многих
Факторов и может меняться в довольно широких пределах.
Эти пределы определяются значениями коэффициентов кон­
версии или воспроизводства топлива в тех активных зонах,
куда догружается топливо подпитки.
В реакторах-размножителях на быстрых нейтронах, работа­
ющих в замкнутом плутониевом цикле, расход обогащенного
топлива, поступающего в цикл извне, отсутствует. Вместо
этого происходит расширенное воспроизводство, или бридинг,
делящихся нуклидов при КВ>1.
Подпитка топливного цикла быстрых реакторов-размножи­
телей производится только отвальным или природным ураном,
непосредственно поступающим в топливный цикл без обогаще­
ния [коэффициент Mup/Mo6 = 1]. Годовой расход отвального
урана невелик
и определяется необходимостью восстановления
238
потерь
U при производстве из него плутония и при его
непосредственном прямом 2 3делении
быстрыми нейтронами.
8
Дополнительная- подпитка
и нужна для разбавления из­
быточного наработанного делящегося материала сырьевым
материалом до той кондиции, которая используется в реак­
торах, потребляющих это топливо.
Таким образом, вопросы загрузки и расходования топлива
в ядерном реакторе значительно сложнее, чем в котле, тогда
как системы преобразования энергии практически идентичны.
6. Потенциальная опасность ядерного топлива. Если тепловой
реактор работает 1 год без перегрузок на мощности 3 • 103 МВт,
то пэнергия, которая будет выработана за этот год, составит
10 6МДж, что эквивалентно одноразовой загрузке в ТЭС
3-10 т угля.
Высвободить всю эту гигантскую энергию в виде взрыва
невозможно, так как реактор разрушится из-за тепловых
процессов
и цепная реакция прекратится уже при выделении
2
3
10 —Ю МДж. Однако опасность разрушения реактора уже
сама по себе является большой угрозой ввиду возможности
высвобождения радиоактивности, связанной с продуктами деле­
ния и находящейся внутри оболочек твэлов.
В физике цепной реакции существует механизм, позволя­
ющий резко ускорить интенсивность цепной реакции и сделать
ее быстро нарастающей. Для этого необходимо ввести реак­
тивность, превышающую долю запаздывающих нейтронов
Р = 0,007, например равную 0,01. Тогда произойдет разгон
реактора на мгновенных нейтронах с периодом
увеличения
2
мощности реактора4 в «е»
раз порядка 10~ с в тепловых
5
Реакторах и 10 ~ —10 ~ с в быстрых. При нормальном
Функционировании системы аварийной защиты разгон произойТи
не может, так как реактор будет остановлен сбросом
в
активную зону поглощающих стержней при превышении
•

35

некоторого заранее заданного уровня мощности или скорости
ее нарастания. В случае же преднамеренного отключения или
выхода из строя аварийной защиты разгон реактора будет
продолжаться до тех пор, пока не сработают отрицательные
обратные связи между мощностью и реактивностью.
Падение реактивности происходит обычно прежде всего
при нагревании самого топлива, и этот эффект наиболее
важен, так как за очень короткие времена ядерных разгонов
теплоноситель или замедлитель существенно прогреваться не
успевает.
Доплеровский коэффициент реактивности,2 3связанный
с до8
плеровским уширением резонансных уровней
и при нагрева­
нии топлива, является одним из наиболее важных показателей
внутренней безопасности ядерных реакторов.
Принципы, закладываемые в СУЗ реактора, призваны
исключить возможность ядерных аварий. Тем не менее время
от времени они все же происходят, и в отличие от котла
даже остановленный реактор требует внимания и выполнения
определенных правил по соблюдению ядерной безопасности
и предотвращению неконтролируемых разгонов. Эти правила
должны также соблюдаться при изготовлении, хранении, транс­
портировке и химической переработке ядерного топлива.

Глава 2
СВЕДЕНИЯ ИЗ ЯДЕРНОЙ И НЕЙТРОННОЙ ФИЗИКИ

2.7. Структура

и свойства

ядер

1. Состав ядер. Ядра атомов состоят из А нуклонов:
Z положительно заряженных протонов и А—Z нейтральных
нейтронов. Общее число нуклонов в ядре А называется
массовым числом, faK как масса ядра, выраженная в атомных
единицах (а. е. м.), совпадает с А в пределах ±0,1 а. е. м.
Число протонов Z совпадает с атомным номером элемента
в Периодической системе элементов и определяет число
электронов, которые могут присоединиться к ядру, образуя
нуклид—вид атома с данным числом протонов и нейтронов
и определенным ядерным энергетическим состоянием. Атомный
номер равен заряду ядра, выраженному в единицах заряда
электрона. Массовое число и заряд записываются слева от
символа элемента ^Эл, например \Н — водород. Указание
атомного номера рядом с символом элемента не обязательно,
но полезно, так как помогает проследить при ядерных реакциях
и превращениях законы сохранения суммарных чисел
36

л й Z ядер и реагирующих с ними или образующихся при
~а.-пяле ядра частиц. Состояния ядер могут быть: основным
или невозбужденным, возбужденным,
обозначаемым звездочкой
7
рядом с А, например *Li, метастабильным, т. е, возбуж­
денным с длительным временем
жизни, обозначаемым буквой
254m
уп рядом с А, например
Es.
Между всеми нуклонами действуют притягивающие силы
ядерного, или сильного, взаимодействия, превышающие силы
кулоновского электростатического отталкивания- протонов. Вы­
лет из возбужденных или + радиоактивных ядер у-квантов,
6 "-частиц (электронов), р -частиц (позитронЬв), нейтрино
связан с возникновением этих частиц в момент испускания
за счет энергии возбуждения ядра при ядерных реакциях или
за счет массы покоя в случае проявления сил* слабого
взаимодействия, вызывающих Р-распад ядер. При ое-распаде
испускаемые радиоактивными ядрами ос-частицы, состоящие
из двух протонов и двух нейтронов (ядра 2 Не), являются
частью исходных, материнских ядер.
Элемент может иметь один или несколько изотопов, т. е.
нуклидов с равным числом протонов Z и разным числом
нейтронов А — Z. При Р-распаде общее число нуклонов в ядре
сохраняется. Такие ядра называют изобарами, т. е. равномассовыми. При последовательных Р~-распадах атомный номер
образующихся элементов растет и они
сдвигаются в сторону
+
конца периодической системы, при Р -распадах атомный номер
уменьшается.
Нуклиды с равным числом нейтронов называются изо­
топами.
Наиболее неожиданная разновидность нуклидов — изомеры,
имеющие одно и то же число протонов и нейтронов. Изомеры
образуют пары нуклидов, один из которых находится в ос­
новном состоянии стабильного или радиоактивного ядра,
а другой
— в метастабильном состоянии с временем жизни
9
от 10~ с до времен, измеряемых секундами, сутками и9 годами.
Неосновные состояния с временем жизни 10
—10 ~ с счита­
ются возбужденными. Возбужденные ядра при распаде пере­
ходят либо в возбужденное состояние с меньшей потенциальной
энергией, либо в основное состояние. Как правило, нуклид
становится метастабильным при переходе ядра из более
возбужденного состояния в менее возбужденное. Длительное
время жизни в метастабильном состоянии связано со значитель­
ным различием суммарных моментов количества движения
нуклонов ядра в метастабильном и основном состояниях.
Подобные переходы сильно заторможены законами квантовой
Механики, что и приводит к большому времени жизни.
В большинстве случаев ядерная изомерия возникает в ра­
диоактивных ядрах. Один и тот же вид радиоактивного
37

превращения происходит как с основного, так и с метастабильного уровня, но период полураспада—различный.
Переход ядра в менее возбужденное состояние сопровож­
дается рождением и вылетом из ядра у-квантов—квантов
высокоэнергичного электромагнитного излучения. При доста­
точно большой энергии возбуждения ядро может вместо
у-кванта испустить частицу, например нейтрон. Из метастабильного состояния ядро может перейти и в основное состояние.
Наличие метастабильных состояний оказывает влияние на
процессы накопления в реакторе различных нуклидов. При
расчете изменений нуклидного состава в реакторе ядернофизические свойства каждого нуклида должны учитываться
отдельно.
2. Массовые характеристики ядер. Массы всех нуклидов
в основных состояниях ядра М (A, Z) с большой точностью
измерены и табулированы. Они складываются из массы ядер
МЯ{А9 Z) и массы связанных в атоме электронов. Масса
электрона примерно в 1,8 • 103 раз меньше массы нуклона.
Поскольку во всех ядрах, кроме }Н, число нуклонов не менее
чем вдвое превышает число электронов, соотношение
масс
3
ядра и электронов возрастает примерно до 4-Ю , и массу
ядра можно считать драктически совпадающей с массой
нуклида.
Массы ядер, нуклонов и нуклидов удобно измерять в атом­
ных единицах
массы. 1 а. е. м. численно равна 1/12 массы
2
нуклида 6 С, что близко к средней массе 1 нуклона в этом ядре.
Рассмотрим зависимость средних масс нуклонов в ядрах
тп от массового числа нуклида А. Если переходить от
углерода к более легким ядрам, то тн будет постепенно
увеличиваться вплоть до 1,0073 а. е. м. в водороде, ядро
которого состоит из одного протона.
При переходе от углерода к более тяжелым ядрам вначале
обнаруживается снижение тн до 0,9988 а. е. м. в ядрах fs'
62
Ni,
затем увеличение т н до 0,999—0,9993 а. е. м. в области ядер со
средними значениями массовых чисел А = 90 -г-140 и дальнейший
подъем до 1,0002 а. е. м. в области тяжелых ядер с А = 230 ч-240.
Следовательно, зависимость гпн(А) имеет минимум в об­
ласти устойчивых и сильно связанных ядер с А = 60 -г- 62.
Меньшая устойчивость тяжелых ядер объясняется ростом сил
кулоновского отталкивания протонов, пропорциональных квад­
рату Z. Устойчивость легких ядер снижается из-за уменьшения
удерживающих сил поверхностного натяжения при модельном
представлении ядер в виде сфер из положительно заряженной
ядерной жидкости.
За меру устойчивости принята разность между массой
свободного нейтрона тп= 1,0087 а. е. м. или массой свободного
протона тр= 1,0073 а. е. м. и средней массой нуклона в ядре.
38

Чем меньше mH, тем больше эта разность и тем большую
энергию, эквивалентную недостающей массе, надо затратить,
чтобы разделить ядро на отдельные частицы. Соответственно
при соединении протонов и нейтронов в ядро или при
присоединении их к ядру под действием ядерных сил притяже­
ния происходит потеря массы, переходящей в энергию воз­
буждения ядра с последующим высвечиванием ядра у-квантами
или другими частицами.
Несмотря на близость т н к 1 а. е. м. на всем интервале
массовых чисел высвобождение ядерной энергии при реакциях
деления тяжелых ядер или синтеза легких обусловлено потерей
всеми нуклонами исходных ядер части массы покоя при
превращении в более сильно связанные ядра.
В теории относительности Эйнштейна доказан принцип
эквивалентности массы и энергии, согласно которому выделя­
ющаяся при ядерных превращениях энергия
Е=т0с2,
где т0—масса, кг; с — скорость света, м/с.
При анализе элементарных актов ядерных реакций массу
удобнее выражать в атомных единицах массы:
1 а. е. м. = 1,6606-10 ~ 27 кг,
а энергию — в электрон-вольтах (эВ), 1 эВ равен энергии,
приобретаемой электроном при прохождении разности потен­
циалов 1 В, т. е.
1 эВ=1,602-10" 19 Дж.
При этом энергия, измеряемая в мегаэлектрон-вольтах (МэВ),
связана с массой (а. е. м.) соотношением
£=931,5т.
(2.1)
Например, при делении ядра 2 3 5 U на два ядра с массовыми
числами в интервале 90—140 средняя масса нуклона в резуль­
тирующих ядрах снижается по отношению к исходному ядру
примерно на 0,001 а. е. м., что эквивалентно примерно
200 МэВ—энергии, выделяющейся при делении одного ядра.
При
делении в энергию превращается лишь 0,1% массы ядра
2
U и практически вся масса переходит в массу продуктов
деления (за вычетом 1,1% массы, уходящей со свободными
нейтронами).
Разность точной массы нуклида М(А9 Z) и массового
числа А называется избытком массы (в алгебраическом смысле)
и не превышает ±0,1 а. е. м. во всем возможном диапазоне
изменения массовых чисел ядер (рис. 2.1). Для A>AQ избыток
массы Ат = М(А, Z)—А не зависит от соотношения между
числами протонов и нейтронов в ядре и определяется только
39

0,1

Рис. 2.1. Зависимость избытка массы ядер
от массового числа А:
1 — нечетные Z и А — Z; 2—нечетные А;
3—четные Z и А—Z

!

0,08
'

0,06

значением А. При меньших A Am
максимален в ядрах с нечетным
±0,0Ч
числом как протонов, так и ней­
ft»
тронов, что свидетельствует об
ог
их наименьшей устойчивости.
1 2
Г
Наиболее
сильно
связаны
и устойчивы четно-четные ядра.
5:
Промежуточное положение зани­
и
3 \
мают ядра с нечетным числом
Б -oftг
только протонов или только ней­
-0,04
тронов, т. е. нечетным А.
\
\
Если средняя масса нуклона
-0,00
в ядре меньше 1 а. е. м., то избыт­
ки масс отрицательны, что связано
-0 ; 00
с выбором атомной единицы мас­
'
сы. (Если бы в качестве таковой
чу
была выбрана 1/118 часть массы
1.2 3 5 10 Z0 30 50100ZOO А
нуклида soSn, то во всем диапазо­
не А избытки масс были бы положительными.) Минимум
избытка
8
массы, равный —0,0984 а. е. м., имеет нуклид so Sn. Это не
противоречит
минимуму среднего удельного избытка массы Am/А
60 62
в нуклидах ' Ni ввиду домножения функции Am/А на линейно
растущую функцию А, По этой же цричине наблюдаются
максимумы положительных избытков массй в области легких ядер,
хотя максимальный удельный избыток массы достигается при А = 1
в водороде. Am/А называют также декрементом массы цуклида.
Если пренебречь избытком массы, то масса нуклида равна
А, т. е. пропорциональна числу нуклонов. Экспериментально
измеренные объемы ядер КЯ(Л) = 7,24-10~ 39 А, см 3 , также
пропорциональны А, что свидетельствует о постоянстве плот­
ности ядерного вещества всех ядер.
Избыток массы удобно использовать при определении числа
ядер или частиц в массе М или
в единичном объеме вещества.
12
Используя известную массу С, можно определить моль как
количество вещества с числом частиц NM, равным их числу
в 12 г нуклида 12 С:
•

4- °>

12

NM = М,

12 С

12

1

12гя0

т0

N А>

23
где
М
г—экспериментальная масса нуклида
12с = 1,9927 -10
12
24
С;
т 0 = 1,6606-10~ г—масса
в гра**
граммах
1 а. е. м.;
23
NA = 6,022-10 част./моль (или а. е. м./г)—число Авогадро.
40

Масса моля, или молярная масса, выражается в граммах,
если NA измеряется в 1/моль, или в а. е. м., если NA — в
е. м./г- Число частиц в массе М вещества найдем по формуле
1

Ari

V

(А + Ат)^

У

где Ami—избыток массы (см. рис. 1.1); At— массовое число,
а е. м. Если вместо М{ использовать3 удельную массу (плот­
ность) вещества /-го сорта
yt (г/см ), то Jf{—число ядер
3
этого вещества в 1 см , или ядерная концентрация вещества.
При объединении свободных протонов и нейтронов в ядро
их масса уменьшается в результате действия ядерных сил
притяжения нуклонов друг к другу. Рассмотрим образование
нуклида
с массой М(А, Z) из Z атомов водорода массой
и
Мн
^ — % нейтронов, газность масс свободных частиц
и нуклида называется дефектом массы:
5m = ZMH + (A — Z)mn-M(A,
Z).
Дефекты масс Ът значительно больше по абсолютному
значению избытков масс нуклидов Am, поскольку Ът описы­
вают переход от свободных частиц к частицам, связанным
в ядрах, тогда как Am—переход от частиц, связанных в ядрах,
к такому 2же числу частиц, но связанных как бы в ядре
углерода
\ С. Последнее справедливо, так как в случае
2
6 С массовое число численно совпадает с массой, выраженной
в атомных единицах массы.
Дефекты масс растут 5от нуля в ядре iH и 0,0165 а. е. м.
в fH до 1,8 а. е. м. в 92 U. Разделим полный дефект массы
на число нуклонов А:
Ът Z , , , Д
z\
М(А, Z)
— =—Мн+ 1
\УПп——
-=

А

A
А
\
J
= - ( M H - m n ) + mw-

А

А

'.

Удельный дефект массы, приходящийся на один нуклон, по
традиции называют упаковочным множителем. Дефекты масс
позволяют определить энергию связи нуклонов в ядрах.
3. Энергия связи нуклонов в ядрах. Используя (2.1), пере­
ведем дефект массы и упаковочный множитель в полную
энергию связи всех нуклонов в ядре, выраженную в мегаэлектрон-вольтах:
в

£ с в = 931,5 5т,
среднюю энергию связи одного нуклона в ядре:
6с. = 931,5 Ьт\А.

(2.3)
(2.4)
41

1

~ -

x

Z8n 50n

?П„
CI

8n

J

Ofl

zonJS*\i8Zp

I.

В

Рис. 2.2. Зависимость средней энергии
связи нуклона в ядре от массового числа:
1—нечетные Z и А—Z; 2—нечетные А; 3 —
четные Z и А—Z (и — нейтрон; р—протон)

*

Зависимость ёсв от массового
числа нуклидов приведена на
7
HB
рис. 2.2 и имеет следующие осо­
2 ' к ^Z
бенности:
.6
о
О,-) т~
максимальные
M
-ь-8,8 МэВ имеют ядра со сред­
5
ними
массовыми
числами
А = 50 н- 70, минимальные—лег­
кие ядра, вплоть до sCB = 0 у {И;
3
в области тяжелых ядер проис­
,т
J
ходит снижение есв до 7,4 МэВ
при ,4 = 235-f-240;
Z
тонкая
структура
кривой
гсъ(А) проявляется в наличии ло­
кальных максимумов вблизи
1
ядер, в составе которых число
Wl
протонов или нейтронов равно
0<
/f 2' 3' !> f(
1 z0305 0 10 ozo WA
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, а также
четным числом протонов или
в повышении ев ядер
нейтронов по сравнению с рядом расположенными ядрами
с нечетным числом соответствующих частиц (последние особен­
ности на рис. 2.2 не проявляются ввиду грубости масштаба);
в области легких ядер наблюдаются три зависимости
средней энергии связи нуклонов от А, верхняя из которых
соответствует ядрам с четным числом как протонов, так
и нейтронов, средняя—ядрам с нечетным А, нижняя — ядрам
с нечетным числом протонов и нейтронов;
энергии связи большинства ядер, кроме самых легких,
довольно близки и лежат в * интервале 7—8,8 МэВ, и эти
цифры дают представление об энергии, выделяющейся, на­
пример, при захвате медленного нейтрона ядром какого-либо
конструкционного элемента в активной зоне реактора.
Высвобождение энергии в реакциях деления или синтеза
ядер обусловлено увеличением ёсв при делении тяжелых ядер
на два более легких или при синтезе двух ядер в более
тяжелое. При синтезе дейтерия и трития £^ё СВ1 - продуктов
2. u
9

z

си

-J>*

i

4

реакции Не и нейтрона равна 4-7,15 = 28,6 МэВ, а исходных
нуклидов 2 Н и 3 Н 2-1 + 3-3 = 11 МэВ, и энергия синтеза,
выделяющаяся при этой реакции, составляет 17,6 МэВ. В случае
деления ядер £J4,-6CBI- ОСКОЛКОВ, например USe и 625Sm и трех
i

нейтронов, равна 78-8,7+155-8,1 МэВ, а исходного ядра
42

235и и поглощенного им нейтрона 236-7,4МэВ, что приводит
к2 энергии деления 195 МэВ.
Локальные максимумы. кривой всв(^4) связаны с наличием
в ядрах некоторых избранных групп, или «коллективов»,
состоящих из определенного числа протонов или из такого
же числа нейтронов. Согласно законам квантовой механики,
описывающим различные формы движения нуклона внутри
ядра, эти группы, или ядерные оболочки, имеющие максималь­
ную групповую энергию связи, содержат определенные числа
протонов или такие же числа нейтронов. При продвижении
от центра ядра к периферии встречаются оболочки, содержащие
2, 6, 12, 8, 22, 32, 44 нуклона одного сорта. Оболочки
заполняются последовательно от центра ядра. Суммирование
чисел нуклонов в оболочках дает так называемые магические
числа 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 протонов или нейтронов,
свидетельствующие о повышенной устойчивости ядер с замкну­
тыми нуклонными оболочками—магических ядер. в Особенно
устойчивы дважды магические ядра типа fHe, \ О, 828РЬ,
содержащие заполненные оболочки протонов и нейтронов.
Помимо оболочек в структуре ядер заметна тенденция
к образованию пар протонов или нейтронов, связанных сильнее,
чем все нуклоны в среднем. Парная энергия, дополнительно
выделяющаяся при образовании пар, увеличивает среднюю
энергию связи нуклонов. Энергия связи последнего, присо­
единяемого к ядру, нейтрона, называемая энергией присоедине­
ния, или равная ей энергия отрыва последнего нейтрона
велики, если присоединяемый нейтрон четный, и малы, если
нейтрон нечетный.
Существует определенная корреляция между значением
энергии присоединения нейтрона и вероятностью присоедине­
ния, т. е. захвата нейтрона ядром. Вероятность захвата велика
в ядрах3 с нечетным
числом
нейтронов, таких как ^Не, \°Ъ,
5
5
зЬ1, 48 Cd, 64 Gd, 92 U и др., и становится малой, если
число нейтронов в перечисленных нуклидах увеличить на один.
Слабо поглощает нейтроны графит, состоящий в основном
из 6 С и широко применяемый в реакторах как замедлитель
и отражатель. Однако у двух других слабопоглощающих
замедлителей—бериллия и тяжелой воды, в состав которых
входят нуклиды 4 Be и jH, число нейтронов нечетное. Для
легких ядер основное значение имеет правило их максимальной
Устойчивости при числе протонов, равном числу нейтронов
„A—Z. В силу этого отмеченные нуклиды слабо поглощают
нейтроны, а 4 Be легко теряет «лишний» нейтрон под действием
Y-квантов, испускаемых продуктами деления, или ос-частиц.
Кривая гсв(А), приведенная на рис. 2.2, относится к стабильым и долгоживущим а-активным нуклидам. Таких нуклидов
известно примерно 320. К ним можно добавить около 1600
43

Р-активных нуклидов, имеющих при постоянном А либо много
нейтронов и мало протонов, либо
наоборот. В первом случае
+
ядра Р "-активны, во втором р -активны. По мере отклонения
соотношения числа нейтронов и протонов от значения, харак­
терного для стабильных ядер, периоды полураспада этих ядер
приближаются к нулю с одновременным снижением энергии
связи вплоть до нулевой. Оптимальное для стабильности
отношение числа нейтронов к числу протонов равно 1 для
легких ядер вплоть до foCa, затем оно постепенно увеличива­
ется примерно до 1,5 в области тяжелых ядер. Последнее
связано с квадратичным по Z ростом кулоновского оттал­
кивания протонов и необходимостью скомпенсировать элект­
ростатическое отталкивание силами ядерного притяжения за
счет добавки к ядру электрически нейтральных нейтронов.
4. Энергия возбуждения ядра и ядерные уровни. Отмеченные
в предыдущем пункте свойства ядер связаны с квантовомеханическими особенностями движения нуклонов, а именно,
с наличием в ядре дискретных энергетических уровней. Со­
гласно принципу Паули на каждом энергетическом уровне,
характеризуемом полным набором квантовых чисел, может
находиться лишь один нейтрон или один протон.
Квантовые числа, будучи умноженными на постоянную
Планка, описывают: собственный момент количества движения
нуклона при его вращении вокруг оси, проходящей через
центр частицы,— спин; орбитальный и полный векторы-момен­
ты количества движения частиц относительно центра самосог­
ласованного поля ядерных сил; проекции полного векторамомента на направление внешнего поля и ряд других форм
движения нуклонов в ядре. Моменты количества движения
изменяются только дискретно с минимальным интервалом,
равным постоянной .Планка Ь или Й/2.
Различают основное и возбужденные состояния ядер. В ос­
новном состоянии нуклоны занимают все низшие энергетиче­
ские уровни ядра. Группы близко расположенных уровней
образуют оболочки, разделенные относительно большими энер­
гетическими промежутками. Ядра с полностью заполненными
нейтронами или протонными оболочками обладают повышен­
ной устойчивостью и большой средней энергией связи нуклонов.
Поскольку спин нейтрона может принимать лишь два значе­
ния— вдоль и против орбитального момента, всегда существу­
ют пары близко расположенных уровней с разным направле­
нием спинов нейтронов или протонов. Этим объясняется
повышение есв в ядрах с четным числом нуклонов каждого
сорта.
Для удобства отсчета при рассмотрении возбужденных ядер
примем равной нулю внутреннюю энергию основного состо­
яния, или основного уровня, ядра. Увеличение внутренней
44

ии Я Д р а при его возбуждении происходит с максимальной
поятностью дискретно в соответствии с энергетическими
уровнями возбужденного ядра. Эти уровни описывают доустимые с точки зрения квантовой механики формы движения
нуклонов в ядре, отличающиеся от основного состояния
большими моментами количества движения или возникнове­
нием различных коллективных колебаний нуклонов. Например,
перед делением ядра в нем происходят колебания относительно
друг друга двух неравных частей ядра, включающих отдельные
нуклонные оболочки.
Ядро в возбужденном состоянии характеризуется средним
временем жизни, энергией возбужденного уровня, неопределен­
ностью этой энергии — шириной уровня и рядом других
величин. Основным процессом возбуждения ядер в ядерных
реакторах является присоединение к ядру нейтрона с выделе­
нием его энергии связи. Ядро с присоединенным к нему
нейтроном называется составным. Если энергия возбуждения
совпадает с энергетическим уровнем ядра,
то 1 2составное ядро
14
образуется и живет в среднем 10 " — 1 0 " с, после чего
возбужденное ядро распадается по тому или иному каналу
ядерных реакций. При несовпадении энергий возбуждения
и уровня нейтрон проскакивает через ядро за время порядка
10
с, характерное для сильных ядерных взаимодействий.
Как отмечалось в п. 1, время жизни в возбужденном состоянии
может быть и достаточно большим в случае ядер-изомеров,
распад которых затруднен квантово-механическими запретами.
Ширина уровня Г — это энергетический интервал, в котором
вероятность процесса, ведущего к возбуждению ядра, меняется
от максимального значения в центре интервала до равного
половине максимального на краях интервала. Следовательно,
существует определенная вероятность протекания процесса
вблизи энергетического уровня ядра. Это связано с кратко­
временностью жизни ядра в возбужденном состоянии. Произ­
ведение среднего времени жизни на ширину уровня не может
быть меньше постоянной Планка. Это утверждение является
одним из фундаментальных квантовомеханических правил —
соотношений неопределенностей Гейзенберга.
При увеличении энергии возбуждения время жизни ядра
падает ввиду роста числа возможных каналов его распада
и ширина уровней растет. Одновременно снижается расстояние
между энергетическими уровнями, и этот процесс постепенно
приводит к слиянию, или перекрытию, уровней. Поскольку
график изменения вероятности процесса от энергии воз­
буждения
имеет вид резонансной кривой, энергетические
я
Уровни, Дра называют также резонансными уровнями. Область
нергий возбуждения с четкими энергетическими уровнями —
Резонансная область, с перекрытыми — область неразрешенных
ЭН

45

резонансов, т. е. уровней, которые нельзя выявить (разрешить)
из-за их перекрытий. Основное значение для цепной реакции
имеет резонансная область, в которой вероятность захвата
нейтрона ядром максимальна. При повышении энергии воз­
буждения с захватом конкурирует выброс нейтрона из ядра,
или резонансное рассеяние, в отличие от которого рассеяние
нейтрона на ядре при энергии, лежащей между резонансами,
называют потенциальным рассеянием.
Энергия возбуждения ядра при присоединении нейтрона
складывается из его кинетической энергии вне ядра и энергии
связи в ядре, за вычетом кинетической энергии, приобретаемой
ядром при взаимодействии с нейтроном. Основной вклад
в энергию возбуждения вносит энергия присоединения, изменя­
ющаяся в зависимости от вида нуклида от 2 до 20 МэВ.
Возбужденное ядро попадает в область высоколежащих уровней
с расстояниями между ними в тяжелых ядрах порядка единиц
или десятков электрон-вольт. Такой же порядок имеет кине­
тическая энергия резонансных нейтронов, испытывающих резонансное поглощение на разрешенных, т. е. неперекрывающихся,
уровнях. На наиболее низких уровнях вероятность резонансного
захвата преобладает над вероятностью резонансного рассеяния
ввиду малого превышения энергии возбуждения над энергией
связи и трудности (в связи с этим) сосредоточения энергии
возбуждения на одном нейтроне для его выброса из ядра.
Различным образом влияет на реактивность поглощение
в основной части резонанса и на его «крыльях»—спадающих
участках зависимости вероятности процесса от энергии воз­
буждения.2 3Рост
поглощения нейтронов на крыльях резонансных
8
уровней
и при повышении температуры топлива является
основным механизмом, обеспечивающим быстрое саморегули­
рование реактора и его внутреннюю безопасность. Рост связан
с уширением резонанса, т. е. увеличением его ширины Г при
алгебраическом сложении кинетических энергий нейтрона и ядра
в момент присоединения нейтрона к ядру.
Расстояния между возбужденными уровнями тяжелых ядер
значительно меньше, чем легких, что объясняется большим числом
допустимых сочетаний квантовых чисел в ядрах с большим числом
нуклонов. Так, в легких ядрах первый возбужденный уровень
отстоит примерно на 0,5—1 МэВ от основного уровня ядра, тогда
как в тяжелых—на 0,05—0,1 МэВ. Число допустимых возбужден­
ных уровней в легких ядрах меньше, и они лежат выше, чем
в тяжелых, и в ряде случаев нейтрон не может остаться в ядре из-за
отсутствия возбужденного уровня.
При присоединении нейтрона
4
к ядру 2 Не составное ядро Не не имеет достаточно
низкого
3
возбужденного уровня и происходит его распад на Н и протон.
Ширина низколежащих резонансных уровней имеет порядок
0,1 эВ. При присоединении к ядру нейтрона с кинетической
46

гией т а к 0 г о же порядка, например нейтрона, находящегося
тепловом равновесии со средой и имеющего энергию
5 А! о 5 эВ, энергия возбуждения может оказаться равной
или несколько меньшей энергии уровня, но в пределах его
ширины. В последнем случае уровень будет достигнут при
небольших, порядка долей электрон-вольта, энергиях нейтро­
нов Примеры таких низколежащих резонансов наблюдаются,
например, у поглощающего нуклида 113 Cd и у делящегося
239
Ри вероятность взаимодействия с нейтроном которых
достигает максимума при небольшом увеличении энергии
тепловых нейтронов, а затем падает. В случае сильно по­
глощающего нуклида 157 Gd возбужденный уровень лежит при
практически нулевой энергии нейтрона и повышение энергии
нейтрона приводит к быстрому спаду вероятности взаимодей­
ствия.
5. Составное ядро и пути его распада в основное состояние.
В ядерном реакторе основными являются реакции под дей­
ствием нейтронов. В большинстве случаев эти реакции проис­
ходят • с образованием составного ядра. Без образования
составного ядра нейтрон рассеивается на потенциале ядерных
сил (потенциальное рассеяние). Пути перехода составного ядра
в основное состояние зависят от энергии возбуждения, веро­
ятностей процессов и, как правило, неоднозначны.
При радиационном захвате нейтрона, обозначаемом (и, у),
энергия возбуждения тратится на испускание ядром у-квантов.
Составное ядро переходит в основное состояние путем по­
следовательного испускания у-квантов. Происходит последо­
вательный переход ядра на все более низкие энергетические
уровни вплоть до основного уровня. Возможно и испускание
более «жестких», т. е. с большей энергией, у-квантов с пропус­
ком одного или нескольких уровней и переходом сразу на
более низкий уровень. Вероятности тех или иных переходов
определяются правилами запрета на слишком большие измене­
ния квантовых чисел уровней ядра и необходимостью выпол­
нения квантовомеханических законов сохранения. При этом
сумма произведений числа у-квантов на их энергию должна
совпадать с энергией возбуждения.
Рассеяние нейтрона с образованием составного ядра может
оыть упругим и неупругим.
Упругое^ рассеяние («, п') происходит, если ядро после
вылета нейтрона остается в основном состоянии, но приоб­
ретает кинетическую энергию в результате упругого соударения
нейтроном.
К тому же результату приводит упругое потенЛЬН е
ассеяние
тич еСКаЯ
° э нРе г и я
без образования составного ядра. Кинечем и с х о н оРг
рассеянного нейтрона п' оказывается меньшей,
тгъггт
Д о нейтрона п, на величину, равную изменению
кинетической энергии ядра.
ЭН

47

Неупругое рассеяние (п9 п', у) на ядре с массовым числом
А происходит при кинетических энергиях нейтрона, больших,
чем, по крайней * мере, первый возбужденный уровень ядра.
Составное ядра А + 1 должно распадаться с испусканием
нейтрона и переходом на возбужденный уровень ядра А,
Последний высвечивается у-квантами. Минимальная кинетиче­
ская энергия рассеянного нейтрона определяется разностью
энергий возбужденного уровня ядра А + 1 (за вычетом энергии
связи нейтрона) и ближайщего к нему возбужденного уровня
ядра А. При этом суммарная энергия у-квантов максимальна.
При переходе с возбужденного уровня ядра А + 1 на первый
возбужденный уровень ядра А потеря энергии нейтрона при
неупругом рассеянии минимальна. Обычно неупругое рассеяние
происходит в диапазоне энергий нейтронов 0,1 —10 МэВ. При
этом минимальные энергии рассеянных нейтронов близки
к 0,1 МэВ.
Если кинетическая энергия нейтрона превышает энергию
связи нейтрона в ядре А, то составное ядро А + \ может
распадаться с испусканием нейтрона и образованием возбужден­
ного ядра А, которое в свою очередь испускает еще один нейтрон
и переходит в свое основное состояние. Происходит реакция
размножения
нейтронов (п, 2п). Такие реакции идут на бериллии,
238
свинце,
U. Эти зещества могут служить размножителями
нейтронов, улучшая нейтронный баланс цепной реакции. Само­
стоятельная цепная реакция на
них оказывается
невозможной.
9
8
В случае испускания нейтрона Be образуется Be, состоящий из
двух ос-частиц, практически не связанных друг с другом, на
которые он и распадается. Этот нуклид—единственное исключе­
ние из правила устойчивости легких ядер при равном числе
протонов и нейтронов, что связано с чрезвычайно большой
устойчивостью дважды магических ядер *Не (ос-частиц).
Основной реакцией в ядерном реакторе является распад
составного ядра А + 1 на два новых ядра Ах и А2 и
2—4 нейтрона. Это—реакция деления ядра («, / ) . (Здесь
/—начальная буква английского слова fission, что означает
деление.) В этой реакции энергия возбуждения ядра А + 1
расходуется на преодоление ядерных сил, связывающих обе
колеблющиеся части ядра, т. е. на преодоление барьера деления.
Заметную роль играют в ядерных реакторах реакции вылета
заряженных частиц — («, р) и (и, а). При облучении нейтронами
нуклида {A, Z) образуется составное ядро (А + 1, Z), рас­
падающееся с испусканием протона или ос-частицы и образова­
нием основного или возбужденного ядра (A, Z— 1) или (Л —3,
Z—2). При переходе на возбужденный уровень испускаются
у-кванты, а результирующие ядра обычно Р-активны.
В результате этих реакций происходит распухание конст­
рукционных материалов в активной зоне из-за накопления
48

х водорода и гелия. В водяном теплоносителе
генерируются
16
16
алиоактивные нуклиды, например N из
0 или иС из
ff й другие, требующие защиты
коммуникаций первичного
10
теплоносителя. Реакция («, а) на В приводит к образованию
за Не и значительному энерговыделению в борных поглоща­
ющих стержнях ядерных реакторов.
6. Радиоактивность. Испускание ядрами в их основном,
невозбужденном, состоянии ос-частиц (а-распад) или р-частиц
и одновременно нейтрино (р-распад) всегда происходит из
состояния с большей массой в состояние с меньшей массой.
Разница масс переходит в кинетическую энергию вылетающих
частиц и ядра-продукта. Последнее может образоваться в ос­
новном или в возбужденном состоянии с испусканием в боль­
шинстве случаев у-квантов.
Найденный экспериментально основной закон радиоактив­
ного распада утверждает, что отношение числа радиоактивных
ядер [~~dN{l)= Jf{i)—W{t+dt)\,
распадающихся за единицу
времени, к общему числу радиоактивных ядер, имеющихся
в данный момент времени, постоянно:
В

-d-^/^(t)

=K

(2.5)

где X—-постоянная радиоактивного распада, имеющая размер­
ность обратного времени и равная доле радиоактивных ядер,
распадающихся' за единицу времени. Следовательно, полное
число радиоактивных ядер, распадающихся за единицу времени,
опишется дифференциальным уравнением
d

-^l=-Xjr(t),

(2.6)

at

интегрирование которого. в пределах от нуля до момента
времени t дает явное выражение для числа ядер
Л ^ ) = ^(0)ехр(-Ц=Л^(0)ехр(-//т),
(2.7)
где т=1 /X—время снижения числа радиоактивных .ядер в «е»
раз, которое одновременно является средним временем жизни
всех радиоактивных ядер.
Проверим, является ли т действительно средним временем
^изни радиоактивных
ядер. Рассмотрим группы ядер Лi(*i),
и т
^1\V
- Д> проживших время tl9 t2, ... В общем' случае
J* (t) это группа ядер, проживших время /, причем ^принима­
ет значения от 0 до оо. Полное число ядер в этих .группах
равно площади под экспонентой (2.7):
00

4

Заказ 2739

х

49

а доля каждой группы ядер в общем числе ядер во всех
группах— JT(t)/ [ ^ ( 0 ) T ] .
Среднее время жизни всех ядер t найдем, суммируя
произведения времени жизни в каждой группе (в общем случае
это i) на долю ядер данной группы в их общем числе:
00

t=$t{jr(t)/[jr(0)x]}dt==N(0)T2/[jr(1d)T]
-—~

= T.

о

Итак, среднее время жизни равно т.
Накопление стабильных нуклидов Ж* из Jf\ согласно
(2.6) и (2.7) получим при условии Ж2(Ь) — 0 из уравнения
dJf2 ldt — X1Jr1 (/), а радиоактивных Jv2 (t) — и з уравнения
djr2/dt =
X1jri(t)-X2jr2(t):

^(iH^O^l-expf-^)]
и Jf2(t) =
X1jr1(0)(X2-X1)-1[exp(-X1t)-exp(-X2t)].
На рис. 2.3 приведены качественные зависимости концентра­
ций нуклидов от времени для случаев Х±^>Хс2 о и Х2У&>Х1.
В первом случае происходит накопление ядер JT г
скоростью,
равной скорости распада Jf ь, во втором концентрация нуклидрв
приходит в состояние равновесия при соотношении концентра­
ций, равном Х1/(Х2 — Х1). Сделаем следующее общее замечание.
Постоянная распада и среднее время жизни связаны об­
ратным соотношением: Х=1/т. Число распадов ядер можно
получить и делением числа ядер на т. Последнее равенство
имеет универсальный смысл: число любых объектов, прекраща­
ющих свое существование за единицу времени, равно общему
числу этих объектов, деленному на их среднее время жизни.
Рассмотрим некоторые варианты и особенности различных
видов радиоактивного распада.
а-Распад. При а-распаде тяжелые ядра обогащаются ней­
тронами. Поэтому время от времени цепочка ос-распадов
прерывается одним—тремя (3 "-распадами, после чего ос-рас­
пады возобновляются. Поскольку массовое число изменяется
при а-распаде на четыре единицы, существуют четыре радиоак­
тивных семейства ос, (3 "-распадов,2 3 8наиболее
долгоживущими
235
232
представителями
которых являются
U,
U,
Th (рис.2062.4),
257
Np. 208
Семейства
заканчиваются изотопами свинца
РЬ,
207
209
Pb,
Ри и Bi. Их ядра устойчивы, так как содержат
магические числа протонов (82) или нейтронов (126).
Энергия ос-частиц определяется почти полностью разностью
масс исходного (A, Z) и конечного (А —4, Z—2) ядер, так как
энергия 2отдачи ядра мала: Еа&\_М(А, Z) — M(A — 4, Z-*-2)-*— Af a ]c . Энергии Еа соответствует уровень с положительной
энергией Еа внутри потенциальной ямы ядра, причем этот
уровень меньше высоты потенциального барьера. Возможность
в

50

-

ч

jr(t)/jr(o)

jr(t)/jr(ot

2

г ; сут

s)
Рис 2.3. Распад радиоактивных ядер ЛЛП и накопле­
ние ядер Л2(2) для соот­
ношения постоянных распа­
да A,i»Mfl) и А, 2 »Я, 1 (б).
(Случай 5—состояние «веко­
вого» равновесия)

238y
^P92 u

_

Z35

/

т^%
„« Th
90

X

/

Z30

u

^
/
У
/ /

#

/'У'

/fa

/'У/

/ /,х
• / & 1 *
/
/

Z ^ 7 ~-

/
А

У/?

/

к

/
/

&—ю /

-

/

/

/Т/
j p *

„

& '

///&—р

cC-gLLc*
/
^YTJT^

Jr'//

' %ffi%
Z10 Рис. 2.4. 2 3Радиоактивные
се­
мейства 5 U , 2 3 8 U и 2 3 2 T h ,
находящиеся в вековом рав­
новесии (горизонтальные ли­
нии— (3 -распад; косые— аРЕСПад
)

cf^-Sl
'

zoo

•

•

Pb

206 pb

T l Pb Bi Po At' Rn Fr Ra Ac Th Pa. tf
i

80

i

i

i

I

85

i

i

i

i

I

^90

i

.•*!.,._._-

Ъ

^ ^ е т а т П о д барьером связана с волновыми свойствами микрочастиц. Чем больше энергия i? a , тем легче преодолевается
кулоновский барьер и происходит вылет a-частицы с малым
периодом полураспада. При уменьшении энергии уровня
а вероятность вылета резко снижается и период полураспада
увеличивается на много порядков. Реальные энергии а-частиц
ежат в интервале 4—9 МэВ, а" соответствующие периоды
10
7
лураспада
снижаются
от
времени
порядка
10
лет
до
10
~
с.
и
Р a-распаде с образованием возбужденного ядра-продукта
4*
51

энергия ос-частицы уменьшается скачком в соответствии с энерги­
ями возбужденных уровней. Дискретный энергетический спектр
ос-частиц дает информацию об энергетических уровнях ядер.
Бета-распад. Существуют следующие разновидности Р-распада:
Р~-распад с испусканием из ядра электрона и антинейтрино,
при этом нейтрон превращается в протон и атомный номер
элемента
увеличивается на 1;
+
Р -распад с испусканием ядром позитрона и нейтрино,
при этом протон превращается в нейтрон и атомный номер
уменьшается на 1;
К-захват ближайшего к ядру электрона с А'-оболочки
атома с испусканием нейтрино; в этом случае протон превраща­
ется в нейтрон и атомный номер уменьшается на 1, атом
испускает рентгеновский квант при переходе внешнего элек­
трона на /^-оболочку.
Энергетическое условие Р "-распада и /С-захвата состоит
в превышении массой исходного нуклида массы дочернего
нуклида, так как в первом случае из ядра вылетает электрод,
недостающий атому с увеличенным на 1 зарядом ядра, а во
втором — в ядре поглощается электрон, лишний
в атоме
+
с уменьшенным на 1 зарядом ядра. При р -распаде масса
материнского нуклида должна быть больше массы дочернего
плюс две массы электрона, поскольку из ядра вылетает
позитрон и один электрон становится лишним в атоме
с уменьшенным на 1 зарядом ядра.
Энергия Р-распада, определяемая разностью указанных масс
и соотношением (2.1), расходуется на сообщение кинетической
энергии трем (при Р-распаде) или двум (при /^-захвате)
продуктам распада и на возбуждение ядра, если оно проис­
ходит. Ядро испускает у-кванты, но иногда, при большой
энергии возбуждения—нуклоны
(нейтроны, протоны или осчастицы). При J3+-распаде кинетическая энергия распределяется
в основном между Р-частицей и нейтрино. Хотя энергетический
спектр Р-частиц непрерывный и лежит в интервале от энергии
Р-распада до нуля, основное число Р-частиц имеет энергии,
равные 0,2—0,3 максимальной, т. е. большая часть энергии
уносится более легкой частицей — нейтрино. Энергии Р-распада
нуклидов3 лежат в широком диапазоне
— от 19 кэВ (в случае
12
трития Н) до 16,4 МэВ (в случае N).
Гамма-излучение ядер. Энергия возбуждения ядра в боль­
шинстве случаев в течение малого интервала времени тратится
на испускание квантов электромагнитного излучения, или
фотонов. Как правило, энергии этих фотонов велики по
сравнению с атомными фотонами излучения видимого или
рентгеновского спектра, и их называют у-квантами.
При у-переходах происходит изменение суммарного меха­
нического момента количества движения всех нуклонов ядра
52

характеристик ядер. Для ряда
лидов между некоторыми уровнями изменение указанных
япактеристик велико, что затрудняет ядерный переход. Образуя ядро в метастабильном состоянии, распадающееся по
6
акону радиоактивного распада. Нуклид с ядром в изомерном
3
остоянии и тот же нуклид с ядром в основном состоянии
°азличаются ядерно-физическими свойствами и образуют изо^еоную пару. Ядра, которые в основном состоянии стабильны,
Г метастабильном состоянии распадаются чаще всего с испуска­
нием фотонов. В (З-активных ядрах с метастабильного уровня
возможен также и р-переход, причем в этом случае энергия
R-распада увеличивается на энергию возбужденного уровня,
если в результате Р-перехода ядро переходит в основное
состояние ядра-продукта. Однако, как правило, Р-распад изоме­
ров происходит с переходом на разные энергетические уровни
дочернего ядра, поскольку при переходах предпочтительно
минимальное изменение механических моментов ядер.
Переход из метастабильного состояния в основное иногда
происходит в два этапа: сначала идет ^-захват электрона,
а затем Р" -распад дочернего ядра с образованием материнского
в основном состоянии. Такой процесс сопровождается ис­
пусканием рентгеновского кванта, электрона и двух нейтрино.
Возбужденные ядра могут распадаться и без испускания
у-квантов. Энергия возбуждения ядра может передаться
атомному электрону с выбрасыванием его из атома. Такие
электроны называются конверсионными, или электронами внут­
ренней конверсии. Процесс сопровождается испусканием атом­
ных фотонов. При недостаточности энергии возбуждения ядра
конверсионные электроны могут выбрасываться с более высо­
ких, чем К, оболочек атома.
Еще одним способом потери энергии возбуждения ядра
является конверсия с образованием пары электрон—позитрон.
Для этого энергия возбуждения должна быть больше двух
электронных масс, или 1,022 МэВ в энергетическом выражении.
И
Н

и х кваНтово-механических

2.2. Реакция

деления

ядер

1. Механизм реакции деления. Он может быть описан,
например, капельной моделью ядра, согласно которой ядро
можно представить в виде капли положительно заряженной
ядерной жидкости, в которой' кулоновское отталкивание про­
тонов сдерживается силами ядерного притяжения и поверх­
ностного натяжения капли. Возбуждение тяжелых ядер, связан°е с поглощением нейтрона и выделением его энергии связи,
риводит
не только к переходам нуклонов на более высокие
е
ет
к Р*_ ические уровни ядра, но и к возникновению в ядре
еоательных деформаций от сферической формы к форме
53

£;МэВ

£
Г

ZOO

160
4/лГг^

7тС/ ^
7CU

1Г

J\ -

Л
")"ж яд Р°

}
"^рК^
а

ъ \£ ) \

(

ff03ff
I

11

<иач

Рис. 2.5. Схема высвобождения4 энер­
гии при делении ядра (без учета
энергии нейтрино):
Е6—барьер деления; £в03б — энергия воз­
буждения ядра; £"оск—энергия осколков; Е ,
Еу9 Ер—энергии нейтронов, у-квантов и $частиц; Ef — полная энергия деления;
UHi4 и ижт—начальная и конечная потен­
циальная энергия ядра

^оск

£f

100^
QCK0/1KLL -

30

I

1

60

1

11

^

л

•

/
JL

1-

1 " -е •
го
1
о —1~ _iij

r
1

f

-^^^^

.

с
1

/^KQH

I
я, см
\ю- в
0 Xр
двух грушеобразных частей, объединенных общим перешейком,
т. е. к форме гантели.
Колебания могут завершаться либо делением ядра на две
части с разрывом перешейка, либо снятием возбуждения за
счет испускания у-квантов без деления. Необходимым условием
деления является превышение энергии возбуждения ядра высоты
барьера деления, соответствующего росту потенциальной энер­
гии ядра в начальной фазе деформации из-за увеличения
поверхности капли и роста сжимающих каплю сил поверх­
ностного натяжения. При дальнейшей деформации силы ку­
лоновского отталкивания в каждой из двух частей ядра резко
ослабевают, поскольку они пропорциональны квадрату заряда
ядра. Силы поверхностного натяжения в обеих частях начинают
превалировать над силами кулоновского отталкивания, сжима­
ют обе части и рвут перешеек между ними. Ядро делится,
расстояние а между осколками увеличивается, и потенциальная
энергия кулоновского отталкивания двух частей ядра переходит
в кинетическую энергию осколков деления (рис. 2.5).
При достаточно большой энергии возбуждения процесс деления
возможен в принципе для любых ядер..Для ядер тяжелее серебра
он энергетически выгоден. Кинетическая энергия нейтрона, его.
энергия связи, энергия барьера деления определяют возможности
деления конкретных ядер. В ядерном реакторе кинетическая
энергия нейтрона ограничена
и происходят деления лишь тяжелых
2
нуклидов, начиная от QoTh. Основной вклад в процесс деления
ядер дают элементы 9 2 U и 94Ри.
Изотопы
этих элементов
с четным
234
236
238
238
240
числом нейтронов, такие как U, U, U, Pu, Pu, 242 Pu
и др., составляют группу делимых нуклидов, ядра которых делятся
под действием нейтронов с кинетической энергией, большей
некоторого порогового значения. Наиболее ценную для цепной
реакции группу делящихся нуклидов образуют нуклиды с нечетным

54

числом241нейтронов, главными из которых являются 233 U, 235 U,
239pu
Pu. Энергия связи у этих нуклидов выше барьера деления,
еление становится возможным, под действием нейтронов
Д
нулевой кинетической энергией. У делимых ядер энергия связи
нейтрона ниже барьера деления, и они делятся нейтронами
с энергией 0,5—1 МэВ. Поскольку процесс деления происходит
через составное ядро, фактически делятся нуклиды с массовым
числом на единицу
большим,
чем у исходного ядра. Так, на самом
236
235
деле делится
U, а не 235 U и т. д., но по традиции принято
говорить, что делится
U.
Согласно капельной модели деление ядра должно происхо­
дить на две равные части, однако в действительности наиболее
вероятное соотношение масс равно 2гЗ. Такое соотношение
объясняется в рамках оболбчечной модели ядра цдличием в ядрах
замкнутых устойчивых нуклонных оболочек с магическими
числами протонов или нейтронов. Несимметричность деления
связана в.основном с системами оболочек из 82 и 50 нейтронов
и 50 протонов. Повышенная стабильность сохраняется и при
небольших отклонениях чисел нуклонов от магических. При
значительных энергиях возбуждения, связанных с большими
кинетическими энергиями нейтронов, нуклонные оболочки раз- ,
рушаются и вероятность симметричного деления увеличивается.
Если в спектре теплового реактора вероятность симметричного
деления в 500 раз ниже, чем несимметричного, то в спектре
быстрого реактора—только в 10 раз.
2. Осколки и продукты деления. Осколок—это обладающее
кинетической энергией ядро элементов из середины периодической
системы с массовыми числами А — 70-^ 160, образовавшееся
в результате деления ядра. Торможение в веществе такого иона
происходит очень эффективно, и его пробеги в элементах
с большим А не превышает 4—7 мкм. Наиболее характерна
приведенная на рис. 2.6 зависимость от А произведения пробега
осколка А,оск на плотность вещества у для легкого осколка
с ^4 = 90-^100 и тяжелого с ^4 = 135-^145. Ввиду малого пробега
осколков основная часть энергии деления выделяется в ядерном
топливе. Кроме того, осколки, как правило, не могут прЪйти
через оболочку твэла и выйти в теплоноситель. На этом же
свойстве осколков (их малых пробегах) основана возможность
выравнивания распределения энерговыделения с помощью разной
Удельной загрузки-делящихся нуклидов в рядом стоящих твэлах,
Как показывают экспериментальные данные,
деление 239
одних
и
235
тех же делящихся нуклидов, например
U или
Ри,
происходит с большим чирлом вариантов по массам образу­
ющихся осколков. Число таких вариантов достигает 40,
** в результате вероятность выхода осколка с определенным
^в образует непрерывную кривую с двумя максимумами
области легких и тяжелых осколков (рис. 2.7).
55

*оск,мг/см

l

< 4

/
//
//
7

Of01
-J

10
10

у

\
X_

//
//
/' | '

-4»

10

\\

l\

'

Д

-5

10 -s

I

I

7tf

\
i
_i

Я7

/fZ7

1JO

150

Рис. 2.6. Пробеги осколков деления 2 3 5 U в элементах с массовым числом А:
1—легкий осколок с энергией 100 МэВ; 2—тяжелый осколок с энергией 69 МэВ
г е
3
(^OCK = ^OCK'V' Д ^оск—пробег осколка, см; у — плотность вещества, мг/см )
Рис. 2.7. Число ядер с данным массовым числом у (А), образующихся в среднем
при одном делении ядра делящегося нуклида:
235U;

239pu

Выход представлен в виде числа ядер с данным А9
образующихся при одном делении. В данное число входят
независимые выходы нуклидов, имеющих одно и то же ^
но разные Z. На рис. 2.7 показан, следовательно, суммарный
выход цепочки, включающей все изобары с данным Л, но
разными Z, образующиеся в результате деления ядра. Посколь­
ку при любом делении сумма образующихся ядер равна двум,
этому же числу должна быть равна сумма суммарных
(кумулятивных) выходов цепочек:
i

Другое балансное соотношение отражает сохранение числа
нуклонов:
^/+1-v/=I:Mi->
i

где Af—массовое число разделившегося ядра; 1—нейтрон,
вызвавший деление; vf—среднее число нейтронов, образу­
ющихся при делении.
Нуклиды, образующиеся при заполнении электронных обо­
лочек затормозившихся осколков деления', называются продук­
тами деления (ПД). ИхГ нейтрон-протонное отношение пример­
но такое же, как в исходном ядре (около 1,5), т. е. выше,
чем в стабильных ядрах со средним массовым числом, и это
приводит к последовательным цепочкам |3~-распадов и к рас­
ширению набора ядер — продуктов деления. ПД длительное
время находятся в активной зоне, подвергаясь воздействию
нейтронного излучения, что дополнительно увеличивает набор
ПД за счет различных нейтронных реакций, в основном
с захватом нейтронов ядрами.
56

Роль ПД в ядерном реакторе многообразна. С точки
ения цепной реакции они являются вредными поглотителями
^йтронов—ядерными шлаками, ухудшающими ' нейтронный
баланс и воспроизводящие характеристики реактора. Особенно
ильное влияние на поведение
теплового реактора оказывают
135
149
такие нуклиды, как
Хе и
Sm, затрудняющие перевод
актора н а меньшую мощность, пуск реактора вскоре после
остановки и вызывающие при определенных условиях неста­
бильность распределения нейтронов и энерговыделения.
Необходимость обеспечения в течение длительного времени
отвода тепла от остановленного реактора связана с остаточ­
ными энерговыделениями, обусловленными радиоактивным рас­
падом ПД. Задача отвода этого тепла тесно связана с безопас­
ностью ядерного реактора.
Основная опасность ядерного реактора—радиационная —
определяется высокой и долговременной активностью некоторых
ПД. По вероятности выхода из топлива ПД можно разделить на
три группы — газообразные (ксенон, криптон), летучие (иод,
цезий, бром и др.) и твердые, имеющие более высокие
температуры испарения и лучше удерживаемые топливом.
В случае гипотетической глобальной аварии с разрушением
защитных барьеров реактора и диспергированием или расплавле­
нием топлива из реактора в первую очередь уходят газообразные
и летучие ПД. Снизить выброс из АЭС газообразных (ГПД)
й летучих ПД можно выбором топлива, удерживающего ГПД,
и применением конструктивных мер, например фильтров из
активированного угля в твэлах или системах вентиляции станции.
Но и без аварии ПД доставляют много хлопот. Из-за них
в основном производится дорогостоящая и опасная химическая
переработка топлива с выделением ПД из топлива, их упаковкой,
например путём остеклрвывания, с последующим долгосрочным
захоронением. По времени спада активности и биологическому
действию ПД также делят 1 3на
группы. 140
В первые сутки после
1
выброса наиболее
опасны
I, ^*°Ва,
La и др., в течение
144
89
90
95
95
первого года — Се, 90Sr, 137
Sr, Zr, Nb и др., в течение
первых десятков лет — Sr,
Cs. Активность ряда нуклидов
остается опасной на протяжении сотен лет.
Отметим' и технологическую вредность ПД. Стабильные
ГПД, вероятность образования которых довольно велика
(табл. 2.1), вызывают распухание топлива, давление на оболочки
твэлов, их растрескивание и выход активности в теплоноситель.
Миграция летучих и других ПД из глубины топлива к поверхности
топливного сердечника приводит к дополнительному
°ррозионному воздействию на оболочку, что повышает вероят°сть образования негерметичности оболочки и выхода ПД
контур теплоносителя и в вентиляционные системы станции.
В качестве положительной роли ПД отметим два фактора —
57

Т а б л и ц а 2.1. Среднее число ядер ГПД (Хе+Кг) на одно деление
Делящийся нуклид
Вид ГПД (тип реактора)
233
-

Радиоактивные (тепловой)
Стабильные (тепловой)
Стабильные (быстрый)

и

0,256
0,245
0,266

235

и

0,255
0,237
0,237

239

Ри

0,181
0,205
0,211

выход из некоторых ПД запаздывающих нейтронов, оказыва­
ющих благоприятное воздействие на кинетику временных
процессов в реакторе, и возможность применения ряда ПД
в качестве источников излучения в медицине и технике. При
широкомасштабном развитии ядерной энергетики из ПД могут
также «добываться» различные ценные металлы и элементы,
используемые по прямому назначению после достаточного
спада их активности.
3. Нейтроны. Образующиеся в результате деления адер
свободные нейтроны характеризуются их числом на один акт
деления ядра или на акт поглощения Нейтрона ядром, энергией
и временем появления по отношению к моменту- акта даления.
Деление ядра многовариантно. Индивидуальные акты погло­
щения идентичными делящимися ядрами одинаковых по энергии
нейтронов дают разные пары осколков, разное число^ вторичных
нейтронов., имеющих различные энергии, причем основная часть
нейтронов испускается осколками сразу после момента деления
ядра—это мгновенные нейтроны^ а, меньшая часть испускается
после радиоактивного распада ПД — это запаздывающие нейтро­
ны. Примерно в 20—30% случаев поглощения нейтрона
делящееся ядро А не делится, испытывает радиационный захват
и превращается в неделящееся тепловыми нейтронами ядро А +1.
Усредняя число вторичных нейтронов по актам деления,
получаем среднее число нейтронов на акт деления ndpa,vf,
а усредняя по актам поглощения — среднее число нейтронов на
акт поглощения va. Анализ физических процессов в реакторе
удобно проводить, оперируя средними числами вторичных
нейтронов. Для расчета Кэ^ в цепной реакции и определения
способности делящегося нуклида к воспроизводству основное
значение имеет va (рис. 2.8), зависящее от вида делящегося
нуклида и энергии нейтрона. Видно, что наибольшую способность
233
к воспроизводству в области
тепловых
нейтронов
имеет
U,
239
а в области быстрых — Ри, причем последнее va максимально.
Зависимость va от энергии можно разделить на три
характерных участка: от 0 до 1 эВ в области тепловых
нейтронов va почти постоянны
с некоторым
провалом в области
2
3
ОД—0,5 эВ; от 1. до 10 —10 эВ в области резонансных
58

—————
__—_—
*

4,0

•

5,5

3

3

/L-—.
ZZ^

г

3

1,5

1-л.*

ж^?!У
Z Щ
z

1,0

ЗУ

3

3\

~1<2
/z

г Л 1 ^

Z

\
•

0,5

о

nZ
10'
10ni

1

10

10z ю-

10*

10s 106ЕЛгэЪ

Рис. 2.8. Зависимость от энергии нейтронов числа вторичных нейтронов при
поглощении в делящемся нуклиде одного нейтрона:
;_233U;

2—235U;

3—

239

Pu

нейтронов va испытывают резкие провалы и подъемы,'связан­
ные с резонансными максимумами в вероятностях погл@щениях
нейтрона ядром с делением или без деления; в области
быстрых нейтронов значения va растут.
Значения v / и va для тепловых нейтрон©» приведены
в табл. 2.2.
С п е к т р . Энергетический спектр нейтронов деления по­
казывает их относительное число при энергии Е. В отдельных
актах деления энергия рождающихся нейтронов может при­
нимать различные значения в интервале примерно от 100 эВ
до 10 МэВ, образуя непрерывный спектр нейтронов деления
со средней энергией Е=2 МэВ (рис. 2.9), имеющий максимум
при 0,6 МэВ и описываемый, например, выражением
S(E) = 0J34y/Eexp(-0J5E),

<2.8)

дающим вероятность рождения нейтрона с энергией £, измеря­
емой в мегаэлектрон-вольтах. Доля нейтронов в энергетическом
интервале АЕ около энергии Е определяется произведением
S(E)AE. Вид спектра деления почти не зависит от энергии
нейтронов, вызывающих деление. Спектр (2.8) нормирован на
а б л и ц а 2.2 Значения v для основных делящихся нуклидов
Вид v

233TJ

Уа

2,484
2,283

235и

•

2,424
• 2,671

239

241

2,882
2 Л 06

2,938
2,155

Ри

Ри

59

Рис. 2.9. Спектральные характеристи­
ки нейтронов деления:
1—энергетический спектр нейтронов деле­
ния S(E)\ 2—суммарное число нейтронов
деления с энергиями Е, меньшими произ­
вольной энергии Ек, Р(Е<ЕК); 3—доля
нейтронов спектра деления, попадающих
в энергетический интервал AEj, %}{Е)

J

1,0
0,9
0,8

2

OP0,6

V

V'

0,*

V ]\_3

o?
0,2
0,1 0

'^—-"*-"
—Ч

10

-3

10

I , ~r*4 i
-2

-1

10
10
£;£к,МэВ

i и
.

i
О

10

i тч:
1

10

сю

I, т.е. J S(E)dE= I. Практически равна I доля нейтронов
.о
в интервале 0,1 —10 МэВ.
В реакторных расчетах представляет интерес доля нейтронов
спектра деления, попадающих в тот или иной энергетический
интервал AEj между энергиями Е{ и Е\. Эту долю, обознача­
емую %/, можно рассчитать или определить из приведенного
на рис. 2.9 графика суммарного числа нейтронов спектра
деления с энергиями, меньшими произвольной энергии Ек
(МэВ):
Р(Е<ЕК)=$

S(E)dE=crf(0,S65^/EK)-09976^/EKQxp(-0J5EK),

erf(x) = -— exp( — t2)dt

(см. табл. [25]), x = 0,S65y/EK.

к J

Там же горизонтальными линиями, длина которых равна
ширине интервала, приведена гистограмма (ступенчатая фун­
кция)
Х]{Е)

=

Р{Е<Е{)-Р(Е<Е{).

Видно, что число нейтронов с энергиями, меньшими 10 МэВ,
Р(Е < 10 МэВ)= 1, что подтверждает нормировку спектра деле­
ния на 1. Логарифмический масштаб растягивает энергетические
интервалы в области малых энергий, поэтому распределение
%j(E), являющихся разностями интегралов по энергии, падает
с уменьшением энергии значительно быстрее, чем S(E),
и расчетный спектр %j простирается от энергии около 0,1 МэВ
60

примерно до 8—10 МэВ. Вблизи 0,1 МэВ функция %j(E)
совпадает с Р(Е<ЕК).
З а п а з д ы в а ю щ и е н е й т р о н ы. Более 99% нейтронов,
тносящихся к данному акту деления, испускается возбужден­
ными осколками деления сразу же, как только ядро раз­
делилось, это — мгновенные нейтроны. Их время жизни изменя­
ется в широких пределах — примерно от 10~3 до 10" 8 с
зависимости от состава размножающейv среды, но во
всех случаях оно мало по сравнению с временем движения
регулирующих стержней. Поэтому управление нейтронными
процессами и мощностью реактора при наличии одних мгновен­
ных нейтронов было бы практически невозможно ввиду малой
постоянной времени нейтронных процессов при саморегули­
ровании.
Остальные нейтроны испускаются также ПД, но после
одного-двух актов Р~-распада исходных осколков деления,
например по таким схемам:

Необходимым условием испускания запаздывающего ней­
трона является превышение энергии возбуждения ядра — испускателя запаздывающих нейтронов энергии
связи нейтрона
88
в этом ядре. Распад ядра-предшественника ( Вг и др.) должен
происходить в возбужденное состояние ядра-испускателя (88*Кг
и др.). Пониженная энергия связи нейтрона в этом ядре
объясняется т§м, что число нейтронов в нем лишь ненамного
превышает магическое число 50 или 82 нейтрона.
Среди ПД существует* 67 излучателей запаздывающих
нейтронов, объединяемых обычно в шесть групп с некоторыми
средними показателями по относительным выходам и посто­
янным распадам предшественников (табл. 2.3). Относительный
выход а{ показывает, какова доля запаздывающих нейтронов
данной группы среди всех запаздывающих нейтронов. Сумма
относительных выходов равна 1. Суммарный абсолютный выход
Л0 всех групп запаздывающих нейтронов при делении ядра
дан
в табл. 2.4. Он описывает ту часть нейтронов единичного
ак
та деления v^. (табл. 2.2), которая появляется с запаздыва­
нием. Эта часть определяет долю запаздывающих нейтронов
Р> равную отношению числа запаздывающих нейтронов на
ак
т деления к суммарному числу запаздывающих и мгновенных
Не
итронов на акт деления (см. табл. 2.4):
61

Т а б л и ц а 2.3. Относительные выходы а, и постоянные распада групп / запаз­
дывающих нейтронов
А,,, с " 1

Ъ
I

235

233JJ

1
2
3
4
5
6

0,086
0,274
0,227 .
0,317
0,073
0,023

и

0,038
0,213
0,188
0,407
0,128
0,026

p = l25;

239р и

233JJ

0,038
0,28
0,216
0,328
0,103
0,035

0,0126
0,0334
0,131
0,302
1,27
3,1

%

235(j

v / = v3an+vMrH; 2 > , * 1 ;

f

0,0127
0,0317
0,115
0,311 *
1,40
3,87

'

239

Pu

0,0129
0,0311
0,134
0,331
1,26
S,21

At = A0ati

i

AQ — v 3 a n — vf

vMrH;

a{ —
P

Абсолютный выход запаздывающих нейтронов в каждой
группе получается умножением суммарного абсолютного выхо­
да на относительный выход. Используя относительные выходы,
свернем шесть групп запаздывающих нейтронов в одну:
ln2
1/2

Г'

I-JL*
Т

зап

?

-V^i
i

Ы

Постоянные распада X предшественников ядер — испускателей запаздывающих нейтронов для одной, усредненной
группы приведены в табл. 2.4.
Периоды полураспада предшественников определяют сред­
ние времена жизни тзап запаздывающих нейтронов, которые
в одногрупповом приближении оказываются на 5—10 порядков
больше времени жизни мгновенных нейтронов /. В результате
вклад запаздывающих нейтронов в среднее время жизни всех
нейтронов
Т а б л и ц а 2.4. Характеристики запаздывающих нейтронов
Нуклид
233тт

235

и

239ри
241

Pu

232Th
238JJ

^ 0 ~

У

зап

0,00664
0,01654.
0,00624
0,0156
"0,0547
0,0451

Р=Ро

К с"1

•М/2»

0,00268
0,00685
.0,00218
0,00552
0,0228
0,0167

0,0559
0,0784
0,0732 .
0,1005
0,0994
0,1302

12,388
8,838
9,462
6,897
6,971
5,322

* Без учета ценности запаздывающих нейтронов.
62

С

х, с

Рт, с

17,876
12,753
13,653
9,953
10,058
7,680

0,0479
0,0784
0,0298
0,0549
0,2413
0,1283

пказывается основным (см. табл! 2.4).
Основной вклад в среднее время жизни дает вторая группа
апаздывающих нейтронов. Среди делящихся нуклидов вклад
3
паздывающих
нейтронов в 241
общее время
жизни максимален
За
235
233
случае
U, затем идут
Ри и
U. Прямое деление
В
тьевых нуклидов в реакторах на быстрых нейтронах может
яать заметный вклад в число и характеристики запаздывающих
нейтронов.
Энергетический спектр рождающихся запаздывающих ней­
тронов значительно мягче спектра мгновенных нейтронов
и простирается от ОД до 1,6 МэВ, причем основная часть
нейтронов имеет энергии от 0,2 до 0,7 МэВ со средней
энергией 0,5 МэВ (вместо 2 МэВ в случае мгновенных ней­
тронов).
Дополнительный источник запаздывающих нейтронов появ­
ляется в реакторах с тяжеловодным или бериллиевым замед­
лителем в связи с фотонейтронными реакциями на. дейтерии
и бериллии
?H + y->i/! + lH; 2Ве + у->£л + 2$Не
под действием у-квантов, излучаемых ПД. В процессе Р~распадов ПД некоторые ядра образуются в возбужденном
состоянии и испускают у-кванты с энергиями выше пороговых
энергий (у, и)-реакций на дейтерии (2,226 МэВ) и на бериллии
(1,666 МэВ). В данном случае ПД сами не испускают запаз­
дывающие нейтроны, но инициируют их вылет за счет
испускания у-квантов через определенное время после акта
деления, устанавливая тем самым связь между актом деления
и вылетом нейтрона. Если принять,
что.
все у-кванты без ослабления сразу же
2
9
попадают в D или Ве, то добавка к доле запаздывающих
нейтронов2 3и5 вклад в среднее время жизни всех нейтронов
в случае
U составят:'
для дейтерия PD = 0,00101; ( P T ) D = 1,449 с,
для бериллия р Ве -0,000152; (|Зт)Ве= 1,816 с,
т
- е. среднее время жизни увеличивается почти в 20 раз, хотя
Доля запаздывающих нейтронов возрастает только на 15%.
^то связано с большими периодами полураспада предшест­
венников испускателей у-квантов. Реально существующее осла­
бление у-квантов в топливе и конструкционных материалах
несколько снижает эти показатели.
4. Энергия деления ядер. Представляют интерес энергия
Деления,
место, где она выделяется, и время, в. течение
От
орого происходит выделение энергии.
63

Энергию деления наиболее точно можно определить, пользу­
ясь значениями экспериментально измеренных масс нуклидов
или энергий связи ядер [3]. Полную энергию, выделяющуюся
при делении ядра (А + 1, Z), образовавшегося при поглощении
нейтрона ядром (A, Z), определим как разность массы
исходного ядра и суммы масс стабильных продуктов деления,
стоящих в конце изобарных цепочек Р~-распадов осколков
деления с учетом кумулятивных, т. е. полных, выходов за­
цепочек с массовыми числами А{\

ЕГ» = [М{А + 1, г ) - £ Л М , И > г)-угтп-кргпе_]с2

+

i

+ есв + £« ин .
(2.10)
Здесь учтены энергия н связи исходного нейтрона есв, его
кинетическая энергия Е™ и полное число Р~-распадов к^.
Формулы типа (2.Ш) позволяют точно определить полную
энергию, выделяющуюся в реакции деления ядер, которая может
использоваться для контроля суммы энергий отдельных компо­
нентов энергии деления при их экспериментальном определении,
а также для определения энергии р~-распада ПД в остановлен­
ном реакторе в разные моменты времени в виде разности
соответствующих Ef. Для этого в формулу (2.10) должны быть
подставлены массы нуклидов5> стоящих в начале изобарных цепочек Р~-распада ПД, или же учтен нуклидный состав ПД
в произвольный момент времени после остановки реактора.
В процессе Р~-распада массы нуклидов постепенно убывают,
переходя в массы и энергии р-частиц, нейтрино и у-квантов.
Другой подход к определению энергии деления связан
с экспериментальным определением ее отдельных компонентов:
кинетической энергии осколков Еоск, которую они имеют
в момент делейия; кинетической энергии нейтронов спектра
деления Еп, вылетающих из осколков в момент деления ядра;
энергии мгновенного
у-излучения, испускаемого возбужденными
ГН
осколками
Е™an ; запаздывающего у-излучения, обусловленного
au
ПД, Ey + AEy ; энергии ^-частиц, испускаемых
ПД, Ер + АЕ^;
3 П
энергии запаздывающих нейтронов Е * ; энергии нейтрино £у,
вылетающих при р-распаде ПД.
Часть энергии Р-распада АЕ=AEyan + АЕ^0,2 МэВ, связан­
ная с долгоживущими ПД, не успевает выделиться в реакторе
за время пребывания топлива в активной зоне, равное
1—3 годам, и не должна учитываться в энергии деления ТЩ
же, как и энергия нейтрино (£^ = 9-^-11 МэВ для различных
нуклидов), ввиду высокой проникающей способности нейтрино
и отсутствия поглощения энергии нейтрино материалами
ядерного реактора. Энергия запаздывающих нейтронов Efn&<
«0,009 МэВ мала и учитывается в Еп.
64

2.5. Энергия присоединения нейтронов к нуклидам, МэВ
Нуклид
гт-захв
LJ

уО

н
2,22

D

юв

С

О

Сталь

Zr

6,26

7,55

4,95

3,38

8,37

8,07

238тт

239ри

5,69

6,53

235|j

Нуклид
сзахв

' 236JJ

ПД
8,1

6,54

5,46

240

Ри

5,24

241

Pu

6,31

135

Хе

7,31
242pu

5,24

Для реакторных расчетов представляет интерес только та часть
энергии деления, которая снимается основным потоком теплоноси­
теля и дает вклад в полезную мощность установки. Поэтому
к энергии деления необходимо отнести энергию, выделяющуюся
при захвате нейтронов деления, за исключением одного,
поглощаемого делящимся нуклидом. Энергия связи нейтрона
в различных нуклидах активной зоны приведена в табл. 2.5. Для
типичных составов активных зон энергетических реакторов средняя
энергия присоединения нейтрона и равная ей энергия захватного
у-излучения Б™™ близка к 6 МэВ. Ее нужно умножить на v^— 1
нейтрон, так как энергия связи нейтрона в делящемся ядре уже
учтена в перечисленных выше компонентах энергии деления.
Существенная коррекция энергии деления связана с утечкой
нейтронного и у-излучения в защиту и другие места, охлажда­
емые вспомогательным теплоносителем с низким температур­
ным потенциалом, тепло которого сбрасывается без исполь­
зования. Обозначив долю энергии остающихся в реакторе
нейтронов Рп9 а у-квантов Р , запишем формулы для энергии
деления без учета и с учетом этой величины:
17 захв
17 з а х в / . .
1 \.
Е<} = Еоск + Еп+Еу™ + Е™ + Е1 +Yзахв
Е
ьу -ьу0
(Vf-i),
Ef = EOCK + PnEn + Py[E^ + E™» + E™] + Er
Компоненты энергии деления E°f приведены в табл. 2.6.
Вероятности Рп и Ру с некоторым запасом приняты равными
0,75, т. е. утечка нейтронов и у-излучения составляет 25%.
В реакторных расчетах следует использовать именно это (Ef)
значение энергии деления либо уточнять его для конкретной
активной зоны с учетом вероятностей поглощения нейтронов
Деления в различных нуклидах и вероятностей утечек излучений.
В табл. 2.6 даны также значения Е< в джоулях
13
U МэВ=1
Дж) и масса ядер Mf9 полное
деление
5 б02-10"
ЯДе
кото
1О
1°Мг) Р
Р ° й дает энерговыработку 8,64-10 Дж, или
МВт-сут. Эта масса равна числу разделившихся ядер,
Деленному на число ядер в 1г NA/Ar:
Mf=TWTAJ(EfNA)=lA35-W-2Ar/Ef,
5

Заказ 2739

65

Т а б л и ц а 2.6. Энергия деления Е /

и е е составляющие, МэВ

Делящиеся[ нуклиды
Состав­
ляющие

^оск

Еп

гмгн
гзап

4

гзахв

^/

1

КГ 1 1 Дж

М„ г

233

и

168,9
4,9
6,6
5,9
5,1
9,7
201,1
194,3
3,11

235

и

169,8
4,8
7,0
6,2
6,4
9,1
203,3
196,5
3,15

239ри

176,1
6,0
7,3
5,6
5,3
11,5
211,8
204,2
3,27

Делимые нуклиды
241 р и

175,4
6,0
7,2
7,0
6,5
11,8
213,9
205,9
3,3

232Th

161,8
4,7
6,7
7,3
8,1
10,9
199,5
192,1
3,08

238TJ

170,3
5,5
6,8
7,5
8,2
11,1
209,4
201,7
3,23

240pu

176,0
6,2
5,7
6,4
5,7
11,5
211,5
204,1
3,27

242

Pu

176,8
4,6
6,2
6,8
6,6

п,з

212,3
205,1
3,29
-

1,075

1,062

1,049

1,048

1,025

1,057

1,053

1,055

6
где Т= 8,64-1(Г с = 1 сут; W-- 1 МВт=10 Вт; Аг—молярная
масса, г/моль; NA = 6,022 • 10^ моль
М е с т о в ы д е л е н и я э н е р г и и д е л е н и я различно
для различных частиц, несущих энергию деления. Энергия
осколков деления (примерно 86% полной энергии Ef) вы­
деляется в ядерном топливе или на внутренней поверхности
оболочек твэлов, так как торможение заряженных ядер
в среде очень эффективно и пробеги осколков не превышают
нескольких микрометров (см. рис. 2.6). Еще 2,5—3% энергии
Ef, связанной с Р-частицами, также выделяется полностью
в топливе в силу сравнительно малых пробегов электронов
в веществе.
Остающиеся
11 —13%
полной
энергии
деления
Ej приходятся на излучения с высокой проникающей способ­
ностью— нейтроны и у-кванты. Эта энергия выделяется во
всех материалах активной зоны, отражателя и биологической
защиты, включая различные конструкционные элементы, такие,
например, как опорные, прижимные или дистанционирующие
плиты ТВС. Нейтроны выделяют свою энергию (2,5—3% от
Ef) в основном в легких веществах (Н 2 0, С, Be, BeO, D 2 0),
в которых они замедляются. Частично они выделяют энергию
и в топливе. у-Кванты отдают энергию в соответствии
с массовыми коэффициентами ослабления ц, которые мак­
симальны в наиболее плотных и тяжелых веществах — в
топливе, стальных конструкциях или оболочках твэлов, в сталь^ ных или свинцовых элементах защиты. В этих же элементах
происходит основной захват избыточных нейтронов и об­
разование захватного у-излучения.
Большое значение имеет ослабление энергии нейтронного
и у-излучения в корпусе реактора, приводящее к неравномерным

66

делениям и термическим напряжениям. Обычно между
энерговыд ^ g ^ корпусом реактора размещается железоводная
активно
ослабляющая как нейтронное, так и уnyCaj
зашита
д 01Ю лнительно эта защита снижает радиационные
излучен - ^ корпуса и позволяет также осуществлять более
поврежд вЫВО д реактора на мощность ввиду меньших терЙ 2 к и х напряжений в корпусе.
Воемя в ы д е л е н и я э н е р г и и д е л е н и я я д е р [5]
ично для разных компонентов энергии деления. С достаточа
Р
~ ТОЧностью можно принять равным нулю время торможения
Н
сколков деления, время замедления быстрых.нейтронов и врё°я
ослабления энергии у-квантов и Р-частиц, уже появившихся
М
активной зоне. Момент появления в активной зоне Р-частиц
и запаздывающих у-квантов определяется скоростью радиоак­
тивного распада ПД. Число этих распадов в единицу времени
зависит от вида ядра ПД и от их концентрации, т. е. числа ядер
в единичном объеме топлива. При пуске реактора концентрация
радиоактивных ПД растет от нуля до некоторого равновесного.
значения. После остановки концентрация радиоактивных ПД
падает. (Рост концентрации некоторых ПД после остановки
реактора с достижением максимума и последующим падением
не влияет на общий характер процесса.)
Поэтому
выделение двух компонентов энергии деления
п
Е™ и Е$, составляющих от 5,5 до 7% энергии деления
различных нуклидов, происходит с запозданием при пуске
реактора и долго продолжается после его остановки. Последнее
энерговыделение называется остаточным и^ играет большую
роль при эксплуатации реактора, так как требует обеспечения
съема тепловыделения с твэлов и конструкционных элементов
реактора в течение длительного времени. Доля мощности,
выделяющейся в твэлах, превышающая при работе реактора
90%, снижается в случае остаточного энерговыделения пример­
но до 60—70% из-за отсутствия энерговыделения от осколков
деления.
Заметим, что если остановку реактора отсчитывать от
момента сброса стержней аварийной защиты, то мощность
реактора в первые секунды определяется делением ядер на
мгновенных и запаздывающих нейтронах, причем вначале этот
роцесс доминирует над остаточным энерговыделением, а затем
в 1, еЧение неск °льких минут может давать заметный вклад
суммарное энерговыделение.
Для анализа зависимости мощности энерговыделения из
пд
"" о т в Р е м е н и П Р И пуске или <« остановке о реактора
восп ^ п д еМСЯ
п осте
акта
Р
йшей аппроксимацией для единичного
Деления типа предложенной в 1946 г. Веем и Вигнером:
5*

^п^)

= (а-1)(Е^ + ЕЬ)Га = 2,52Г^\

0.11)
67

Рис. 2.10. К расчету энерговыделения от
ПД:
а—при пуске реактора; б—после останов­
ки реактора

Sf=W0/£,,AEJl/c
A

W0dt/£/{
I

dt
t'=T-t
- ^ • ^

а

sf = w0/EffPtenJc

)

dt
t=T-t+T
5)

где и>пд—мощность
энерговыделения, МэВ/(делс);
t—время,
ап
235
с; £i=l,2; £* + £ р =12,6МэВ/дел для
U; f ^ l c .
Пуск р е а к т о р а . Пусть в момент времени t = 0 реактор
вышел на мощность W0 (МэВ/с) и работает на этой мощности
в течение некоторого времени Т (с). За каждый элемент
времени dt на интервале t = 0+T происходит dtW0/Ef делений
(Ef здесь измеряется в мегаэлектрон-вольтах) и образуется
dtiv0/Ef пар ядер — продуктов деления, мощность энерговы­
деления которых и>пД {t) = dtW0wYijX (t)/Ef, МэВ/с, спадает во
времени. Поэтому в момент времени Т эта мощность мала,
если dt находится вблизи * = 0, и велика, если dt—вблизи Т.
Найдем суммарную мощность энерговыделения ПД в мо­
мент Г, интегрируя и>пД(*) в пределах от 0 до Г, с учетом,
что для каждого t спад мощности продуктов деления проис­
ходит за время Т— t (рис. 2.10):
Мпд(Т)=

-±wm(T-t)dt

17 зап i J7

=

(T—t)-adt.

'f

о

Введем новую переменную t'—T—t. Тогда dt——dt\ t' — T
при t — Q и f' = 0 при t=T. Учтем также, что формула (2.11)

ботает с t = 1 с. Тогда доля мощности, обусловленная П Д ,
в момент времени Т будет равна

^пд(Г)/Ж 0 = - е п д (0)(«-1) J {t)~adt =
= - е п д ( 0 ) ( а - 1 } ^ ^ | ^ = 8 п д (0)(1

-0,2

Видно
4to
при
бесконечном
времени
работы
235
^ ( Г = о о ) 239
/ ^ о = в П д ( 0 ) = ( ^ ^ + £ р ) / £ / = 0,064 для
<U
или
5
Q053 для
Ри (см. табл. 2.6). При кампании Г=10 с=1,16
сут
достигается 90%
относительной мощности ПД: 0,058 для
2 5
239
* U и 0,048 для Ри. Дальнейший8 рост происходит медленно
и достигает 97,5% е п д (0) при Г= 10 с=2 31160
сут, т. е. примерно
5
6% полной мощности реактора для
U.
О с т а н о в к а р е а к т о р а . Подсчитаем мощность остаточ­
ного энерговыделения через время т после остановки реактора
в момент времени Т (см. рис. 2.10). Перед остановкой реактор
работал на постоянной мощности W0 (МэВ/с), т. е. с посто­
янным числом делений W0/Ef (дел/с).
На интервале времени t = 0-±-T за каждый единичный
интервал dt нарабатывается порция ПД dtW0/Ef, каждая пара
ПД из которой выделяет энергию в первом приближении
в соответствии с законом Вея и Вигнера (2.11). Цорции,
наработанные при t вблизи нуля, дают ьяалый вклад в эне­
рговыделение в момент времени t = Г+ х, тогда как наработан­
ные. в конце кампании при временах t&T—большой. Сум­
марное энерговыделение определяется интегралом по кампании
реактора Т и временем после остановки т. При этом
отмеченные порции расхолаживаются в течение времени
t'= Т— t + т. Заменяя переменные, получаем dt'— —dt, f—хЛ-Т
при t = 0, t'=x при t=T и
т
wm(t) = $w(T-t + T)W0/Efdt =
о
т
= ^оепд(О) {а-1) J (T-t+x)'"dt;
(2.12)
W

(т, Т)_Е™ + Е^{

пд
W0

Ef

О

1

\т0'2

1
(т+Г)0'2;'

г

Де время измеряется в секундах.
Для времен стоянки т, много меньших времени работы
Реактора
Г, вторым членом в (2.12) можно пренебречь
и
получить
( T ) _ £ - n + £f
ГЩУ^^У
,-„

w

.

т < < г

иди

г+т>>т>

(2.13)
69

11
в

чс^~
т?1*

,

s

-3^&
J ^v

5
3

*з ч

VV

\

г

Pv

5 V *^L>

г

2s

-

^3

V^

л
0,8

И5

^N
\V

«• 0,3

V5 Ф°°

Г

4^

•

_

0,1
0,8

\

* •

4X\

\V\
\ \

\ ; Д

0,05

V

7=5 года

0,03

-^

<v4

w Vг

_

"'"'w0

102

10*

106

108

*С,с

Рис. 2Л1. Остаточные энерговыделения при бесконечном облучении в зависимо­
сти от времени
после остановки реактора т:
/_235 U ; 2—239Pu; 3—233U; 4—расчет по формуле (2.К2)

Сравнивая (2.12) и (2.13), можно утверждать, что остаточное
энерговыделение в момент времени т после остановки реактора,
проработавшего в течение времени Г, равно разности двух
значений энерговыделения, взятых на кривой остаточных*
энерговыделений для случая бесконечно долгого облучения,
для времени после остановки т и суммарного времени работы
и стоянки Т+т. w(T, T) = W(T) — W(T+T).
При этом расчет
остаточных энерговыделений от ПД для случая бесконечно
долгого облучения может быть сделан по более точным чем
формула Вея и Вигнера, аппроксимациям, например показан­
ным на рис. 2.11 [1].
В ы в о д ы . 1. При пуске реактора на номинальную мощность
несколько меньшая, чем в табл. 2.6, энергия деления может
70

быть скомпенсирована большим числом делений за единицу
времени.
2. После остановки реактора происходит длительное выделе­
ние энергии из ПД, которое требует обеспечения в реакторе
системы отвода тепла, обусловленного остаточным энерговы­
делением. Формула (2.12) занижает wnn при т < 1 сут и завыша­
ет при т>1сут при Г=оо.

2.3. Сечения взаимодействия
нейтронов
с ядрами и скорости ядерных процессов
1. Нейтронное поле в активной зоне ядерного реактора—это
совокупность большого числа свободных нейтронов, постоянно
находящихся в среде активной зоны при работе ядерного
реактора на мощности. Если мощность реактора постоянная,
то основные, усредненные характеристики нейтронного поля
также можно считать постоянными. Ими являются плотность
нейтронов л, плотность потока нейтронов Ф, ток нейтронов
j и их утечка р.
При постоянстве пространственных и временных харак­
теристик нейтронного поля в целом каждый индивидуальный
нейтрон чрезвычайно подвижен и живет короткий промежуток
времени. В реакторе происходит быстрая смена поколений
нейтронов. На смену нейтронам, исчезающим за счет поглоще­
ния ядрами или утечки из активной зоны, появляются новые
свободные нейтроны, в основном за счет реакции деления
ядер делящихся и делимых нуклидов. Отдельный нейтрон
в данный момент времени находится в конкретной точке
активной зоны и имеет определенный вектор скорости, т. е.
определенные энергию и направление движения. Однако если
рассматривать нейтронное поле в целом, то можно найти,
что, например, в ограниченном однородном реакторе проис­
ходит постоянное направленное смещение нейтронов от центра
к периферии и за пределы активной зоны, т. е. ток нейтронов.
При этом место нейтронов, уходящих из центра, занимают
новые свободные нейтроны, рождающиеся в реакции деления.
Рожденные быстрые нейтроны замедляются при соударениях
с ядрами, проходя расстояние по прямой, равное длине
замедления. Нейтроны, замедлившиеся до энергий теплового
движения атомов среды, диффундируют до поглощения, про­
ходя расстояние по прямой, равное длине диффузии. В среде,
содержащей мало ядер замедлителя и много ядер делящегося
топлива, нейтроны поглощаются при замедлении, проходя
меньшее расстояние от точки рождения до точки поглощения,
которое для всех составов делящейся среды равно длине
миграции нейтронов.
71

Опишем качественно характеристики нейтронного поля
в простейшем варианте теории, так называемом диффузионном
приближении, когда всем нейтронам приписываются. некоторая
средняя скалярная скорость и энергия, а направления движения
отдельных нейтронов не учитываются. (Точный учет недиф­
фузионных эффектов приводит к теории переноса нейтронов,
дли кинетической теории?)
Плотность нейтронов п равна числу нейтронов в дан­
ный момент времени в единичном объеме в данной точке
3
пространства.
Она
измеряется
в
единицах
нейтр./см
,
или см" 3 , и зависит от коорданаты точки в активной зо­
не или в отражателе. Временную зависимость пока не
учитываем, считая, что мощность реактора и состав актив­
ной зоны постоянны. Плотность нейтронов снижается от
центра реактора к периферии, так как нет подпитки наружных
слоев активной зоны нейтронами деления из внешнего про­
странства, тогда какгуход нейтронов во внешнее пространство
происходит.
Плотностью потока нейтронов Ф называется произведение
плотности нейтронов п 2на их скорость2 v (см/с),
она измеряется
1
в единицах нейтр./(см • с), или см " • с ~ . Целесообразность
введения такого понятия станет ясна позже.
Ток и утечка нейтронов характеризуют смещение нейтронов
вдоль одной из координат реактора. Ток нейтронов измеряется
2
в тех же
единицах,
что
и
плотность
потока,—
нейтр./(см
• с),
-2
-1
или с м
с . Для выяснения его физического смысла
рас­
2
смотрим неподвижную площадку площадью 1 см , которая
является частью плоскости, разделяющей неограниченную раз­
множающую среду на два полупространства. Односторонние
токи нейтронов равны числам нейтронов, пересекающих 2 под
всеми углами за 1 с неподвижную площадку в 1 см из
одного полупространства в другое. Если некоторое выбранное
направление цроходит перпендикулярно неподвижной площадке
через ее центр, то ток нейтронов вдоль этого направления
равен разности односторонних токов в положительном и от­
рицательном направлениях выбранной -оси координат. Ток
показывает результирующее число, или перетечку нейтронов
через единичную площадку, и направление этой перетечки.
Однако в одномерных задачах ток является псевдовекторной
величиной, так как он показывает лишь общее направление
диффузии — вдоль или против оси, тогда как направления
движения отдельных нейтронов, пересекающих площадку, лежат
в телесном угле в пределах +90° от координатного направ­
ления.
Необходимое условие возникновения тока нейтронов—непо­
стоянство плотности потока нейтронов вдоль координатного
направления.
72

рис. 2.12. Соотношения межд# плот­
ностями потока, тока и ут§чки нейтро­
нов в однородном реакторе (а) и в ре­
акторе с поглотителем в центре (б):
j -область, где в элемент объема приходит
больше нейтронов, чем уходит (перетечка
нейтронов); Я—утечка в сторону центра;
/// утечка в сторону периферии активной
зоны

*.*,/>

Понятие тока, как и его
компонентов — односторонних
токов, широко используется
в физике реакторов, например
при расчете утечки нейтронов
из единичного объема. Утечка
описывает число нейтронов,
уходящих в единицу времени
из единичного объема или
входящих в него, и измеряется
3
• с),
или
в 3 нейтр./(см
1
см" -с" , т. е. равна разности
токов на единичном пути.
j 11
Рассмотрим
единичный
объем в виде куба с осью
координат, вдоль которой сни­
жается плотность потока ней­
тронов Ф(х). Тогда ток j(x)
направлен вдоль оси, он вхо­
дит в объем через левую грань
и выходит через правую, при­
чем, поскольку производная
от плотности потока вблизи
правой грани больше, чем вблизи левой, из объема уходит
нейтронов больше, чем в него входит, и утечка положительна
(рис. 2.12, а). Из объема Vx утечка больше, чем из V2, так
как разность плотностей в тока на его гранях Aji=j\2 —ju
больше, чем Aj2=j22—J2i
объеме V2. Из объема V3 утечка
близка к нулю, хотя ток на его гранях максимален, но
практически одинаков: Уз2~/з1 и Д/ 3 «0.
Если в центральной части активной зоны распределен
поглотитель (рис. 2.12,6), то вблизи центра утечка отрицатель­
на, т. е. нейтроны входят в объем Vl9 так как входной ток
Л2 больше выходного j l t ; ток отрицателен—направлен в от­
рицательном направлении оси координат. В объеме V2, хотя
ток тоже отрицателен, утечка положительна и направлена
к центру, так как входной ток j 2 2 меньше, чем выходной
7*21. В V3 утечка направлена наружу.
2. Нейтроны и их взаимодействие с отдельными ядрами.
73

Микроскопические сечения. Выразим в виде равенств взаимную
связь таких характеристик нейтрона, как его энергия Е (эВ),
скорость v (м/с), температура Т (К), длина волны % (см):
E=mv2/(2k1) = 0,523-W-8'V 2 .

v = y/2Ek1lm = 1,383 • 104 • JE
T=E/к=1,16-10* E;

У

(2.14)

%=W0hk1/mv = 6,3'W-6/v,
5
где кг = 1,602 • 10" 19 Дж/эВ;
£
=
8,617-10"
эВ/К — постоянная
16
Больцмана; й = 6,582-10"
эВ -с—деленная на 2я постоянная
27
Планка; m=l,675-Ю" кг—масса нейтрона.
В ядерном реакторе диапазон
энергий6 нейтронов охватывает
-2
область в основном от 2 - Ю до 2 1 0 э В7 , но есть
нейтроны
7
и вне этой области — с энергией от 10~ до 10 эВ.
При комнатной 3 температуре (Г= 293,6 К) £=0,0253 эВ,
а скорость t; = 2,2-10 м/с. Именно при этих значениях энергии
и скорости приводятся результаты измерения характеристик
взаимодействия медленных нейтронов с ядрами. Энергии
быстрых нейтронов превышают энергии тепловых на восемь
порядков, а 4скорости — на четыре порядка. Последние до­
стигают 2 • 10 км/с, что, однако, значительно меньше скорости
света и не требует ввода релятивистских поправок.
Энергия нейтрона может быть выражена и через тем­
пературу. Так, энергии 1 эВ соответствует
температура 11 600 К,
6
а термоядерным температурам 100 10 К соответствует энергия
всего лишь 8,6 кэВ.
Нейтрон, как и любой микрообъект, проявляет волновые
и корпускулярные свойства. Длина волны де Бройля нейтрона
характеризует размер области9 взаимодействия нейтрона с веще­
ством и13изменяется от ~ 10 ~ см в области тепловых нейтронов
до 10" см в области быстрых нейтронов, т. е. на порядок
меньше межатомных расстояний для тепловых нейтронов
и порядка размера нуклонов и ядер для быстрых.
В холодных ловушках исследовательских реакторов, запол­
ненных жидким водородом, можно 7получить ультрахолодные
нейтроны с энергиями порядка 10" эВ и менее, с длинами
волн порядка 100 межатомных расстояний и скоростью
примерно 4 м/с.
Область энергий нейтронов принято делить на отдельные
участки. Более высокой по сравнению с ультрахолодными
нейтронами
энергией
обладают
холодные
нейтроны
3
(2?,<10~" эВ), получаемые в ловушках с 3жидким азотом при
Т=90 К. Тепловые нейтроны с Е—(10~ н-2?гр) эВ находятся
в тепловом равновесии с атомами среды активной зоны. Для
74

разных замедлителей и температур граница этой группы
Ег изменяется примерно от ОД до 1 эВ. Ее принято определять
местом пересечения кривых, описывающих энергетические спек­
тры тепловых и замедляющихся нейтронов. При делении
нейтронов на две группы 'быстрыми считают все нейтроны
с энергиями выше тепловых; нижнюю границу по энергии
последних считают при этом равной нулю.
При описании физических процессов, происходящих с замед­
ляющимися быстрыми нейтронами, удобно говорить о надтепловых (или эпитепловых) нейтронах с энергиями между
энергиями тепловых и резонансных нейтронов. Область энергий
резонансных нейтронов примем условно от 5 до 2•10 3 эВ
в соответствии с областью резонансных
максимумов в веро­
238
ятности поглощения нейтронов
U, который является ос­
новным резонансным поглотителем в тепловых реакторах.
Выше 2 кэВ идут быстрые нейтроны. Все нейтроны между
быстрыми и тепловыми называют также промежуточными.'
Взаимодействие нейтрона с отдельным ядром описывается
микроскопическими сечениями о, представляющими собой эф­
фективную площадь поперечного сечения ядра, попав в которую,
налетающий нейтрон вызывает ту или иную ядерную реакцию.
При анализе взаимодействия нейтрона с ядром его принято
считать точечной частицей. Волновые свойства нейтрона учи­
тываются в микроскопическом сечении. Микроскопические
сечения зависят от относительной энергии нейтрона и ядра
и квантовомеханических свойств последнего. Они измеряются
эксрериментально или оцениваются теоретически,
и их значения
24
2
выражают обычно числами порядка 10" см . Поскольку
значения сечений взаимодействия в большинстве случаев не
совпадают с истинной площадью поперечного сечения ядра,
их называют эффективными поперечными сечениями.
Единица измерения
микроскопического сечения — сантиметр
2
в квадрате (см
).2 (В ядерной физике принята 2 единица барн
4
(б): 1 6=10
см .) Поэтому отношение а/1 см представляет
собой вероятность для нейтрона попасть в ядро и вызвать
ядерную реакцию2 при равновероятном облучении нейтронами
площади в 1 см . Вероятность будет
равна 1, если число
2
ядер в плоскости мишени равно 1 см /ст, 2 сумма эффективных
микроскопических сечений составит 1 см , причем они пол­
ностью закроют всю площадь мишени.
Различные виды сечений (см. § 2.1, п. 5) обозначаются
индексами, из которых основными являются следующие:
t (total)—полное, a (absorption)—поглощения, с (capture) — за­
хвата, s (scattering)—рассеяния; е (elastic)—упругого рассеяния,
in (inelastic)—неупругого рассеяния.
Во многих случаях полное сечение включает сечения
поглощения и рассеяния: ст, = ста + ст5; поглощение нейтрона
75

приводит к делению ядра или радиационному захва¥у:
G
a = Of + oc; рассеяние может быть упругим и неупругим:
a = CJ
s e + am- К полному сечению могут быть добавлены сечения
таких прямых реакций, как реакция нейтрон — протон, аП(Р,
нейтрон — а-частица, стп>а, реакции умножения нейтронов, а п 2 п ,
ап,зп и др. Кроме указанных реакций существует ряд явлений,
описываемых более сложными комбинациями сечений,— утечка,
замедление, увод, которые будут рассмотрены ниже.
Ядерные реакции, учитываемые в полном сечении, проис­
ходят с вероятностью, равной отношению парциального сече­
ния к полному: Gklot, где к—вид сечения взаимодействия
(£=/, с, in и т. д.).
В качестве дополнительных индексов2 3 5в сечениях
могут
238
быть
указаны вид нуклида (индекс 5 — U; 8 — U, 9 —
239
Pu; Н — водород, С — углерод и т. д.), номер энергетической
группы или участок энергий нейтронов, на котором усредня­
ются сечения (т—тепловое; б — быстрое), усреднение обознача­
ется чертой сверху. Экспериментальные значения сечений
приводятся, как правило, при определенной, фиксированной,
энергии, например 0,0253 эВ, что соответствует
комнатной
т
температуре 20,4° eС, или 293,6 К. Так, а а5, ст/9 (293,6 К) = ст/9
(0,0253 эВ), ст£, af означают
среднее для тепловых239нейтронов
235
сечение поглощения в
U, сечение деления
Ри при
стандартной температуре 293,6 К (или энергии 0,0253 эВ),
сечение рассеяния углерода и сечение радиационного захвата
железа. Последние сечения относятся к элементам, т„ е. ус­
реднены по всем изотопам.
Рассмотрим кратко основные особенности зависимостей
микроскопических сечений ядер для различных процессов от
энергии налетающего на ядро нейтрона.
Сечение поглощения нейтронов делящимися ядрами состоит
из суммы сечения деления и сечения радиационного захвата,
причем имеют значение не только абсолютные значения
компонентов, но и их соотношение:
«

" Ga = Gf+ac

= Of(l+OL)9

QL=GC/Gf9

Gf/Ga=l/(l+Vi).

Желательно, чтобы доля сечения деления в сечении поглощения
GfJGa была как можно ближе "к 1. При этом сэкономленные
в цепной реакции нейтроны могут быть использованы для
воспроизводства делящихся нуклидов из сырьевых.
В области тепловых нейтронов доля Gf в a a составляет
0,7—0,85. В области быстрых нейтронов она повышается до
0,9—0,95 за счет различного характера изменения Gf и а с от
энергии нейтронов. В области быстрых нейтронов микросечение
деления примерно постоянно, тогда как GC снижается. Это
приводит к падению а и росту Gf/Ga (рис. 2.13).
76

Рис. 2.13. Зависимость отношения сечений
захвата и деления от энергии нейтронов
для 239 Ри(а 9 = а с9 ^/а /9 )

&вГ&са1&
C9/°f9

Сечения поглощения неделящихся ядер совпадают с их сече­
ниями радиационного захвата:
оа = стс, если а/ 0.
В зависимости микроскопи­
ческого сечения радиационного за­
хвата от энергии нейтронов для
Ч Б 0,1
Z
многих тяжелых и средних по
Ел, МэВ
массе ядер можно выделить три
характерные области, имеющие
различные закономерности изменения ос(Е):
для тепловых и надтепловых нейтронов ас уменьшается
по закону l/v, т. е. обратно пропорционально скорости ней­
трона, или у/Е, ЧТО можно объяснить зависимостью длины
волны нейтрона (2.14) от скорости или энергии;
для резонансных нейтронов ос испытывает резкие подъемы
и спады в соответствии с энергетическими уровнями ядер,
при этом вероятность захвата нейтронов максимальна, если
энергия возбуждения совпадает с энергетическим уровнем,
и минимальна в промежутке между уровнями;
для быстрых нейтронов зависимость ас (Е) теряет резонанс­
ный характер, так как при приближении к этой области
резонансы сливаются и их амплитуда постепенно уменьшается;
ос(Е) падает более круто, чем в области перед резонансами
(по закону 1/2?) ввиду .роста вероятности других реакций под
действием быстрых нейтронов
(неупругого рассеяния oin,
и
умножения нейтронов спЛп
ДР-)В целом при переходе от тепловых к быстрым нейтронам
микросечения захвата уменьшаются примерно на два порядка
при подходе к энергиям нейтронов около 4 МэВ. Однако для
некоторых нуклидов при дальнейшем увеличении энергии
наблюдается рост а с при одновременном снижении сечения
упругого рассеяния. Различные отклонения от перечисленных
закономерностей наблюдаются и в других областях. Так, для
тепловых
и надтепловых
нейтронов а с таких нуклидов, как
239
135
149
Pu,
Хе,
Sm и др., значительно отклоняются от закона
l/v. Микросечение захвата может в некоторых случаях расти
с энергией нейтрона, затем падать, описывая максимум
в тепловой области.
Для легких ядер, например
для основного поглощающего
Л
нуклида ядерных реакторов В , расстояния между уровнями
ядра при захвате нейтрона имеют порядок 1 МэВ, и закон
77

l/v простирается для таких ядер вплоть до области
быстрых
1Х
нейтронов.
Заметим,
что
ввиду
распада
ядра
В
на Не
7
и Li реакция захвата является реакцией (л, а).
Энергетическая зависимость микроскопических сечений деленим резко различается для изотопов урана и плутония
с нечетным или четным числом нейтронов.
Микросечения
235
деления
основных делящихся нуклидов
U, 233 U, 239 Pu,
241
Pu, имеющих нечетное число нейтронов, зависят от энергии
примерно так же, как и сечения захвата:
падают примерно на два порядка в интервале от энергий
тепловых нейтронов до 5—6 МэВ в области быстрых ней­
тронов, затем начинают немного увеличиваться;
падают примерно по закону «\/v» в области тепловых
нейтронов для изотопов урана, но значительно отклоняются
от этого закона для изотопов плутония;
имеют резонансные делительные уровни в резонансной
области.
В случае делимых ^нуклидов 238 U, 240 Pu, 242 Pu с четным
числом нейтронов микросечения деления равны нулю или
незначительны вплоть до энергий 0,5—1 МэВ, а затем, после
достижения
пороговой энергии,
растут примерно до 1 б в случае
238
240
U и до 2 б в случае
Ри.
Энергетическая зависимость микросечений рассеяния сущест­
венно различается для сечений упругого ае и неупрутого
ain рассеяния. Упругое рассеяние без возбуждения ядра скла­
дывается из двух компонентов — постоянного по энергии
потенциального рассеяния, т. е. рассеяния за счет потенциала
ядерных сил притяжения, и резко изменяющегося в зависимости
от энергии резонансного рассеяния с захватом нейтрона ядром
и последующим его испусканием без возбуждения ядра. Для
ряда легких ядер (дейтерия, углерода и др.) резонансное
рассеяние практически отсутствует и ае постоянны до энергий
10—20 кэВ, а затем плавно падают, уменьшаясь в 2—5 раз^
при энергиях порядка 1 МэВ.
В натрии нейтроны испытывают резонансное рассеяние
в области от 1 —2 кэВ до 1 —2 МэВ, после чего ае начинает
плавно уменьшаться. Примерно такой же характер имеет
ае для основных конструкционных материалов реакторов.
Резонансное рассеяние на ядрах изотопов урана и плутония
происходит в области энергий 10 эВч-(0,1-^0,5) МэВ, после
чего сечения упругого рассеяния снижаются. Итак, в области
тепловых и надтепловых нейтронов сечения упругого рассеяния
постоянны, в области резонансных нейтронов испытывают
большие подъемы и спады, за резонансной областью постепен­
но снижаются. Существенным для практики отклонением от
приведенной общей зависимости является спад сечения рас­
сеяния водорода, связанного в молекуле воды, в области
78

/

тепловыхэ нейтронов от 60 до 20 б при энергиях нейтронов
0 01 — 1 ^ (далее сечение постоянно), что объясняется влиянием
химических связей водорода в молекуле воды.
Микроеечение неупругого рассеяния ain имеет пороговый
характер. Оно отличается от нуля для энергий нейтронов,
больших некоторой пороговой, равной для
конструкционных
238
элементов
Fe, Сг, А1 1—2 МэВ, для
U 0,05—0,1 МэВ,
239
а для
Ри 5—10 2кэВ.
В большинстве случаев а1Л растет от
38
0 до 1—2 б, а у
U—до 3—4 б.
Такой же пороговый характер имеют микроскопические
сечения образования заряженных частиц под действием
быстрых
2
нейтронов—протонов,
дейтонов (ядер дейтерия Н), тритонов
3
(ядер тития Н), а-частиц (ядер гелия fHe)—и реакций
умножения1 нейтронов <зпЛп, оп,зп. Исключением является
а„,а для 5В, имеющее максимальное значение в области
тепловых нейтронов и спадающее далее по закону l/v.
Указанные реакции протекают почти на всех нуклидах, вхо­
дящих
в состав ядерных реакторов,— на Zr, Fe, Na, А1, О,
238
U, делящихся нуклидах и т. п. Они влияют не только на
физику нейтронных процессов, но и на активацию теплоноси­
теля, распухание сталей и т. п.
3. Макроскопические сечения и средние свободные пробеги
нейтронов. Макроскопическое сечение k-то процесса (к = с, f9 а,
s, е, in, t и10 т. д.)6 взаимодействия нейтрона с /-м нуклидом
(/=5, 8, 9, В, Fe, *Н и др.) определяется произведением
соответствующего микроскопического
сечения Gki на ядерную
3
концентрацию нуклида Jf{ в 1 см рассматриваемого вещества:
£fci = oki Jfu
[Е ] = см 2 • ядер/см3 = см ~*, ^
^ri = ^rwZi, [yf] = ядер/см3 = см" 3 ,
У
(2.15)
JiNA
^ о

=

где Ei=Vi/V—объемная
доля /-го элемента, занимающего
объем
Vi в объеме
V рассматриваемого
вещества;
^to — ядерная концентрация чистого
/-го элемента
в объеме
3
23
Уи где он имеет плотность у,, г/см ; NA = 6,022* 10 ядер/моль;
Ан—молярная масса /-го элемента, г/моль, А{—массовое
число нуклида; Ат(—избыток массы (см. рис. 2.1).
Макроскопическое сечение рассматриваемого вещества, на­
пример
ядерного топлива, материала покрытий, теплоносителя
и
т. п., определяется как сумма макроскопических сечений
отдельных нуклидов, входящих в его состав:
Zfc = X2 f c b k = a, f9 с, s и т.д.
i

79

Если элемент имеет постоянный изотопный состав, то для
образования макросечения вещества можно использовать мак­
росечения элементов, например бора, железа и т. п.:
у вещ _ V1 у» эл.

'

I

i

i

i

i

где х-—относительное содержание ядер /-го изотопа в элементе
/, или обогащение, элемента /-м изотопом; аы — среднее мик­
роскопическое сечение элемента
для £-го процесса; Jf\* — число
3
ядер всех изотопов в 1 см /-го элемента.
Если известно массовое содержание gx компонентов стали
или сплава и средняя плотность сплава у, то ядерные
концентрации элементов, входящих в сплав, рассчитываются
по формуле
« " 1 =—

?

Arl—\,XiAri-

Если средняя плотность сплава не известна, то ее можно
оценить без учета эффектов кристаллической связи по формуле
Y = lYit>i, *1 = # т - ,

(2Л6)

i

где
vt—объемное
содержание3
компонентов
сплава;
ji — плотность компонентов, г/см .
Рассмотрим физический смысл макроскопического сечения.
Пусть полное сечение равно сумме сечений поглощения
и рассеяния:
E i ^ + Z . ^ + ^ + Z. + Zfc.
Тогда вероятность того или иного процесса при взаимодействии
нейтрона с веществом определится отношением парциальных
сечений к полным, что используется, например, в методе
статистических испытаний (Монте-Карло) при розыгрыше ис­
тории нейтрона. Так, S a /S r — вероятность поглощения нейтрона
при взаимодействии с ядром, 2 Г /Е а — вероятность деления
ядра при поглощении им нейтрона и т. д.
Если умножить макросечение на путь, проходимый нейтро­
ном в веществе, то получится безразмерная величина, изменя­
ющаяся от 0 до 1 и далее, которой на интервале 0—1
80

можно придать смысл средней для многих нейтронов вероят­
ности взаимодействия с веществом:
L(x) = yLx, O ^ E x ^ l ,
O^X^XQ,
1*1 \XQ ) — 1 ,

1

==

•
2JXQ , XQ

( 2 Л 7 )

1 / 2 J = A/.

==

Как будет подтверждено ниже, мы получили правильную
формулу для среднего пробега нейтрона в веществе до тогр
или иного взаимодействия с ядрами. Средний пробег обратно
пропорционален макроскопическому сечению соответству«51церзг
процесса:
'
^
A* = l/Z e , A*=l/Z„ ^ = 1 / Е / ? . . . и т . д . ^ '
(2.18)
Согласно (2.17) макросечение можно интерпретировать как
среднюю вероятность взаимодействия, дриходящуюся на еди­
ницу пути:
Z=v£rfc)/*,
(2.19)
a L(x) = x/X,—как безразмерный путь при его нормировке на
средний свободный пробег нейтрона до какого-либо взаимодей­
ствия.
3
Для иллюстрации соотношений (2.18) рассмотрим
1
см
вещества, состоящего из одного нуклида, например 2 * 5 U, в виде
правильного кубика, в который влетает нейтрон по направле­
нию, перпендикулярному одной из граней (рис. 2.14). В реактор­
ных расчетах часто применяется операция перемещения ядер
в пространстве от их действительных положений, например
распределение («размазывание») ядер по зонам ячейки реактора.
Применим операцию смещения ядер к рассматриваемой модели.
Выделим в кубике несколько плоскостей, перпендикулярных
направлению движения нейтрона и находящихся на равных
" ,\

ФЬ

х.

Среда
4

V

"W ^

dn '
n(x+dx)

> •

Ф)

^> •

i

Плоскости г
абсолютного
озаимодеистбия
Рис. 2.14. Модель вещества
6 Заказ 2739

X
• ^

i

•

3

4

5

dx

^—

1 ,,

i

о
^

i

xfCM

Рис. 2.15. Пробеги нейтронов в веще­
стве
81

расстояниях друг от друга, и сместим все ядра
в эти плоскости,
2
причем число плоскостей площадью 1 см численно равно
макроскопическому сечению. Микроскопическое сечение—это
площадь, попав в которую, точечный нейтрон обязательно
провзаимодействует, т. е. это площадь «абсолютного взаимо­
действия». Макроскопическое сечение—это суммарная площадь
взаимодействия всех ядер, имеющихся
в 1 смг. Умножая малую
24
2
величину,
например
а#-=100-10"
см
, на большое число ядер
3
3
в 1см «УГ = 0,05 1 0 см" , получаем 2 уже макроскопическую
величину, равную в данном
случае 5 см площади абсолютного
3
взаимодействия в 1см вещества, т.е. Еу = 5см 2 /см 3 . Эта
площадь представляет собой пять квадратных «лепестков»
толщиной в один атом, расположенных на равных расстояниях,
перпендикулярно
направлению движения нейтрона и имеющих
2
площадь 1 см каждый. Пробег любого нейтрона равен
среднему свободному пробегу до реакции деления А,/=1/Еу,
так как расстояние между плоскостями равно 1 см, деленному
на число плоскостей, т. е. на Еу.
Получим выражение для среднего свободного пробега
для реального вещества с равномерно распределенными по
объему атомами. Ввиду высокой проникающей способности
нейтронов их пробеги могут лежать в интервале 0 — оо.
Рассмотрим полупространство, занятое однородным веще­
ством, на которое нормально к поверхности падают нейтроны
(рис. 2.15).
Экспериментально известен экспоненциальный закон осла­
бления числа нейтронов с расстоянием при проникновении
их в глубь вещества. Его можно получить, считая, что уход
нейтронов из нормально падающего пучка при прохождении
слоя dx пропорционален числу нейтронов перед этим слоем,
плотности ядер в слое, их микроскопическому сечению (на­
пример, полному) и толщине слоя dx, т. е. dn(x)= — n(x)oNdx.
Интегрируя это равенство, получаем
dn(x) _
j

п х

()

Еdx, п(х) = п(0) ехр (— Ел;).

(2.20)

j

о
о
В законе экспоненциального спада содержится утверждение
о том, что все нейтроны, имеющиеся в любой точке х, прошли
этот путь без соударения, так как если бы они испытали
столкновение, то их бы уже не было в этой точке и плотность
нейтронов была бы ниже. Поэтому вероятность пройти путь
х без столкновения
р (х) = п(х)/п (0)=^ехр ( - Е * ) .
82

(2.21)

Средний пробег нейтрона без столкновения можно найти,
усредняя произвольные пробеги без соударения х с весовым
множителем
00

К(х)=р(х)

00

J р(х) dx, J
' о
о

K(x)dx=l9

оо

х— J xK(x)dx = 1/Е, х, = А,,= 1/Е,.
о
Подобное- рассмотрение можно повторить для любого
парциального сечения, подтверждая полученную ранее связь
между макросечением и средним свободным пробегом: макроскопическое сечение равно I, деленной на средний свободный
пробег до данного типа взаимодействия нейтрона с ядром,
Из закона (2.20) получим также следующие следствия:
вероятность для нейтрона пройти путь х, не столкнувшись,
а затем испытать столкновение на отрезке dx равна

M * ) = - ^ = exP(-s*)(E^)>
[ср. с (2.21) и (2.17)];
плотность этой вероятности получим, отнеся ее к длине
отрезка dx:
dn(x)

Ро(х)=—^Ы0)

00

= Е е х р ( - Е х ) , J р0 {х) dx=l,

/?0(0) = Е;

макроскопическое сечение равно вероятности столкновения
на единичном пути [см. (2.19)] или значению
л(0)

dx

п(х)_

= 2,

т. е. логарифмической производной от обратного относитель­
ного значения плотности нейтронов в любой пространственной
точке;
при прохождении пучком нейтронов пути, равного среднему
свободному пробегу, плотность нейтронов уменьшается
в «е» раз.
4. Плотность потока нейтронов и скорость ядерных взаимо­
действий. В работающем реакторе в элементарном объеме
вблизи произвольной точки с координатой г в любой фик­
сированный момент времени присутствуют нейтроны различных
энергий и различных
направлений полета. Рассмотрим единич­
3
ный объем 1 см в гомогенизированной размножающей среде
ограниченного
реактора. Число нейтронов в* данный момент
в
ремени в данном объеме—это плотность нейтронов п (1/см3).
6

*

83

Однако в реакторных расчетах удобнее
рассматривать плот­
-2
-1
ность потока нейтронов <3> = nv ( с м - а ) , так как произведение
плотности потока на макроскопическое сечение любого процесса
взаимодействия 3нейтронов с ядрами дает число актов этого
процесса в 1 см за интервал времени 1 с:
i? r = OS f — число актов деления ядер в
1

3

1

—

3

—

1

-

3

1 см* за 1 с, см ° с ,
У
7?С = ФЕС—число актов радиационного
захвата
нейтронов ядрами в
3
1 см за 1 с

(2.22)

и т. д.
Число событий в единичном объеме за единицу времени
называют также плотностью процесса (плотность делений,
плотность поглощений или рассеяний и т. п.), или скоростью
ядерных взаимодействий, или числом процессов.
Поясним справедливость равенства типа (2.22) на примерах
моделей вещества и прохождения через него нейтронов,
рассмотренных в п. 3. При равномерном движении скорость
можно рассматривать как путь, проходимый нейтроном за
1 с, а плотность потока—как суммарный путь,3 проходимый
за 1 с всеми нейтронами, имевшимися в 1 см . Умножение
Ф на Е равносильно делению Ф на X. Следовательно,
Полный путь всех
нейтронов

R=-^

z

Средний путь одного
нейтрона до взаимо' действия с ядром

= Число взаимодействий в 1 см 3 за 1 с.
^

Такой же результат получим для модели вещества, показан­
ной на рис. 2.14. Суммарный путь нейтронов из 1 см 3 за 1 с
(Ф) равен числу отрезков длиной 1 см, или числу пересечений
единичного кубика вещества перпендикулярно его грани. При
каждом пересечении нейтрон проходит через £ плоскостей
«абсолютного взаимодействия», и поэтому полное число вза­
имодействий равно ФЕ.
В общем случае плотность нейтронов и плотность их
потока зависят от координаты единичного объема в активной
зоне, угла Q, под которым нейтроны летят из данной точки,
от энергии нейтронов Е и времени t:
п = п(г, £1, Е, t), Ф(г, Л, Е, t) = nv(r, П, Е9 t\
т. е. и п и Ф в теории переноса нейтронов являются векторными
величинами. Ниже будет использовано простейшее диффузион­
ное приближение теории переноса. Искусственная замена в нем
84

сечения рассеяния
Es так называемым транспортным сечением
г
£ r = £s(l— До)? Де До—средний косинус угла рассеяния ней­
тронов на ядрах, позволяет считать рассеяние сферически
симметричным и исключить угловую зависимость, т. е. рас­
сматривать диффузию нейтронов:
ф(г> Е, t)= J nv(r9 П, Е9 t)d£l = nv(r9 Е, t), [Ф(г, Е, / ) ] 0

нейтр>

см2 •с• эВ

Интегрирование по углу делает плотность потока нейтронов
скалярной и положительной величиной в любой системе
координат:
Ф(г, Е, t) = nv(r, Е, t)^0.

(2.23)

Изменение плотности потока нейтронов во времени проис­
ходит при изменении условий критичности реактора, т. е. при
отклонении эффективного коэффициента размножения нейтро­
нов КЭф от 1, а также в критическом состоянии—при выгорании
ядерного топлива. При рассмотрении критического реактора
с постоянным составом зависимость от времени отсутствует и
Ф = Ф(г, Е)=по(г, Е), [ф(г, £ ) ] = - 5 * Е | _ .
Зависимость плотности потока от энергии в реакторных*
расчетах обычно определяют в виде кусочно-постоянной фун­
кции с помощью метода групп нейтронов. Плотность ней­
тронов и плотность их потока определяются всеми нейтронами
с энергиями в пределах энергетических границ группы с но­
мером j:E1J9
Е2у Поэтому в пределах группы плотность
потока одна и та же и энергетическая зависимость отсутствует:
*?>
ФДг)= Ф{г,Е)<Ш, [ Ф ( г ) ] - ^ .

(2.24)

J
Е

и

Макроскопические сечения" взаимодействия усредняются в пре­
делах энергетической-группы с весом энергетического спектра
Ф(г, Е), зависящим от энергии, так, чтобы в дальнейшем
получать правильное число реакций нейтронов с ядрами.
Условием этого является выполнение равенства
Е

2,

Ф,(г)ЕЛ,(£)== (ф(г9Е)Ък(Е)(1Е9

k=f9c9e9...

(2.25)

Е

и

85

Отсюда получаем формулу для усреднения макроскопичес­
ких сечений к-х процессов в среде активной зоны:
E

2J

} Ф(г, E)l. (E)dE

E2J

kS

Ек,.(£) = ^ -

=~ L
~'v/

*'

Ф(г, E)dE

0(r9E)J:kU(E)dE.
i

(2.26)

j

Eи

*u

В силу аддитивности макроскопических сечений формула (2.26)
справедлива для отдельных i'-х элементов и для их микро­
скопических сечений, поскольку ядерную концентрацию можно
вынести из-под знака интеграла:
_

_

1

Ф (r, £ ) ak0. (£) dE, • Z w (£) = X JTt akij. (2.27)

2.4. Диффузия

и замедление

нейтроное

1. Общее представление. Рождающиеся при делении ядер
быстрые нейтроны диффундируют в среде активной зоны,
теряя кинетическую энергию при упругих и неупругих соударе­
ниях с ядрами и смещаясь от места рождения до точки
поглощения нейтрона ядром. В быстрых реакторах относитель­
ная вероятность поглощения нейтрона велика, поглощение
происходит в процессе замедления и энергетический спектр
нейтронов Ф(Е) обращается практически в нуль при энергиях
около 1 кэВ.
В тепловых реакторах энергетические области замедления
нейтронов и их поглощения с делением ядер в основном
разделены. Быстрые нейтроны проходят большую часть об­
ласти замедления почти без поглощения, испытывая в основном
поглощения
при замедлении на низколежащих резонансных
238
уровнях
U. Если в быстрых реакторах основной вклад
в замедление дает неупругое рассеяние на средних и тяжелых
ядрах конструкционных элементов и топлива, то в тепловых
реакторах основную роль играет упругое замедление на легких
ядрах водорода, графита или других замедляющих веществ,
специально размещенных в активной зоне реактора. Замедление
нейтронов прекращается при снижении их энергии до сотых
и десятых долей электрон-вольта, т. е. до области кинетических
энергий ядер среды.
Время диффузии тепловых нейтронов в среде во много
раз превышает время их замедления (в основном из-за меньшей
86

dV

dr

nose
rsln(cLB)*rdB

Рис. 2.16. Схема рассеяния нейтро­
нов
Рис. 2.17. К объяснению тока ней­
тронов через площадку AS

Сфера радиусом

г

скорости нейтронов) и составляет основную часть полного
времени жизни нейтрона в тепловом реакторе. Поскольку
рассеяние быстрых и тепловых нейтронов на ядрах среды
анизотропно и после рассеяния нейтрон летит в основном
вперед по ходу своего движения, в процессах замедления
и диффузии нейтрон смещается от точки своего рождения
или точки, где он стал тепловым, на некоторое среднее
расстояние.
2. Транспортное сечение. При упругом рассеянии в лабо­
раторной системе координат (л.с.к.) нейтроны в среднем
отклоняются на некоторый угол ф, не равный я/2; рассеяние
происходит неравномерно по углу и является анизотропным.
Введем модель движения нейтронов, которая сделает рассеяние
в л.с.к. изотропным. В этой модели макроскопическое сечение
рассеяния S s заменяется транспортным:
Е,г = Х 5 (1-ц),

(2.28)

где jI = cos(p — средний косинус угла рассеяния нейтрона в л.с.к.
Рассмотрим схему перемещений нейтрона при рассеянии,
в которой реальное анизотропное ^рассеяние становится изо­
тропным (рис. 2.16). В среднем при каждом рассеянии в точках
7, 2, 3 и т. д. нейтрон проходит путь, равный среднему
свободному пробегу до рассеяния XS9 затем отклоняется в ту
или иную сторону (с равной вероятностью) на средний угол
Ф, которому соответствует средний косинус cos ср.
Сместим рассеивающее ядро из точки 2 в точку 2\
отстоящую от точки 2 на A,scoscp. Первоначальная длина
свободного пробега Xs увеличится до Xs = Xs + Xscos(p. Тогда
рассеиваемый нейтрон, для того чтобы попасть из точки 2'
в точку 5, должен будет отклониться на угол ф'=тс/~2. Прямой
угол свидетельствует об изотропии рассеяния в среднем, так
87

как все углы в случае изотропного рассеяния равновероятны
и средний угол равен среднему арифметическому крайних
углов рассеяния (р = 0 (отсутствие рассеяния) и ф = л; (рассеяние
назад). Данная процедура является первым шагом к замене
Xs на Xtr. Учет следующего рассеяния в точке 3 на угол
Ф от линии 2—3 и последовательное проектирование Xs на
направления 2—3 и 1—2 увеличит Xs дополнительно на
A,s(cos9)2 и т. д.
В результате схема условных смещений нейтрона при та^ом
представлении рассеяния получается в виде последовательных
перемещений из точек реального рассеяния 7, 2, 5, ... на отрезок
Кг = XS+XS cos ф + Xs (cos ф) 2 + Xs (cos ф) 3 +... = Xs/(l — cosq>),
Xtr = 1/Z,r, Sfr = Es(1 - ^ ) ,
(2.29)
причем условное движение нейтрона между точками со штри­
хами типа 2" и 3' происходит каждый раз под углом тс/2
к направлению предыдущего смещения 1—2". Транспортное
сечение рассеяния совпадает при этом с (2.28).
Несмотря на некоторую условность модель дает правильные
результаты при ее использовании, и транспортное сечение
широко и повсеместно применяется в реакторной теории.
3. Ток нейтрона представляет собой направленное смещение
части нейтронного поля в целом из областей с большей
плотностью потока в области с более низкой плотностью
потока нейтронов Ф(г). Это смещение направлено против
градиента плотности потока нейтронов и пропорционально
коэффициенту диффузии среды D. Причиной смещения является
более высокая плотность процессов рассеяния <DES в местах
с большей плотностью потока нейтронов Ф. При использовании
транспортного сечения Sfr можно считать, что рассеиваемые
нейтроны летят изотропно по пространству, но поскольку
рассеяние из элементов объема с большей плотностью потока
нейтронов происходит с большей интенсивностью, в однород­
ной среде возникает смещение (ток) нейтронов. Ток возникает
в однородных ограниченных средах из-за утечки нейтронов
через наружную поверхность активной зоны или в достаточно
протяженных, но неоднородных средах из-за неравномерного
поглощения нейтронов, т. е. во всех случаях, когда плотность
потока изменяется по пространству.
Результирующий ток описывается законом Фика
7=-Z>VO,
(2.30)
где D = Xtr/3. Согласно закону Фика через расположенную
в среде произвольную неподвижную площадку в 1 см 2 проходит
результирующий (разностный) ток нейтронов j в сторону
полупространства с меньшей плотностью потока нейтронов.
88

Ток обусловлен испусканием нейтронов из всех точек каждого
полупространства. Берется разность чисел пересечения ней­
тронами единичной площадки из каждого полупространства
п о отдельности. Знак тока нейтрона в случае одномерных
задач указывает направление вдоль ( + ) или против, ( —)
координатной оси. Так же, как и плотность потока нейтронов
ф(г) (2.24), плотность тока нейтронов j является величиной
интегральной
по энергии и измеряется в единицах
2
нейтр./(см • с), или см " * • с" *.
Во многих случаях (см. ниже, п. 10) представляют интерес
парциальные составляющие тока нейтронов через площадку
(рис. 2.17): j - — из верхнего полупространства в нижнее, т.е.
против направления оси z, иу+—из нижнего полупространства
в верхнее. Для определения вида функций у_ и j+ примем
следующее ограничение, характерное для диффузионного при­
ближения теории переноса нейтронов: в среде отсутствуют
области, резко различающиеся по своим диффузионным свой­
ствам (сильные поглотители нейтронов или пустоты, т. е.
поток нейтронов меняется не слишком резко).
Рассмотрим общий случай произвольной, но слабой зави­
симости плотности потока от координаты z. Разложим фун­
кцию, описывающую пространственное изменение плотности
потока Ф(^), в ряд Тейлора вблизи произвольной точки z0,
расположенной, например, в центре площадки Д5, и в силу
предполагаемого слабого изменения плотности потока огра­
ничимся первыми двумя членами разложения:
.

Ф( г ) = Ф ( 7 0 ) + г ( ^ ) +...

(2.31)

Для удобства интегрирования поместим площадку A S
в начало координат нормально к оси z. Ввиду симметрии
по азимутальному углу (р по отношению к площадке A S
рассмотрим в верхнем полупространстве элементарный объем
кольцевой формы
dV=2n(r sin 0) dr(г sin dQ)«2 к г 2 sin 0dQ dr
(с учетом, чтс! при малых углах sind0«d0). Число актов
изотропного рассеяния нейтронов в элементе объема dV за
1 с получим, используя транспортное макросечение среды,
в виде
Ф(2)Ъ^У=Ф(20)Т,^У+гсоьв(—)

ZtrdV,

(2.32)

так как z = rcos0.
Опишем из произвольной точки а объема dV сферу
радиусом г, проходящую через центр площадки
AS,
89

и спроектируем площадку AS на плоскость, перпендикулярную
радиусу г. Тогда доля нейтронов, вылетающих из точки
а и проходящих через площадку AS, будет равна (при
малых AS) отношению площади этой проекции к полной
поверхности сферы:
5 = AScos0/(47cr2).
(2.33)
Число нейтронов, проходящих через AS за 1 с при их
генерации в объеме dV, определится произведением общего
числа генерируемых нейтронов (2.32) на долю (2.33) и на
вероятность нейтрону из объема dV дойти до площадки AS
без взаимодействия со средой (2.21):
dn = Ф (z) ^dV^?-

exp ( - E r r),

где в экспоненте стоит полное сечение Et = E,r + Ea, так как
выбывание нейтронов из пучка при пролете от точки а до
площадки AS происходит за счет суммарного процесса рас­
сеяния и поглощения нейтронов.
Полное число нейтронов, пролетающих в единицу времени
из верхнего полупространства через AS, получим интегрирова­
нием dn по всему объему верхнего полупространства Ух:
я/2

dn

п

AS\Ъ„

(.

оо

<l>(z)exp( —Etr)dr.

sin0cos0d0
r=0

e=o

Плотность одностороннего
тока нейтронов через единичную
2
площадку в 1 см запишем в виде двух членов в соответствии
с разложением (2.31):
где
/ а)-

J

ф

я/2
Г

Ы^ sin 0 cos 0^0 e x p ( - V ) ^ = ^ « ^ ;
2
nil

Л2)

*tr

dz

5V ЫФ

cos 2 0sin0d0
J
0

rexp(-^r)dr = 6Zf
- ^ V dz
-

1 (d<b
6ЕД^7 z

(здесь учтено, что при Еа<^ЕГг S f «S fr ). Следовательно,
3

90

4

6EtWz

(2.34)

Аналогичные выкладки, проведенные для * нижнего полу­
пространства с интегрированием по 0 в пределах от п до
Зя/2, дают одностороннюю плотность тока в положительном
направлении оси z:
Зп/2 оо

J*

Г fA = ! W - l H .
AS J J

4

(2.35)

6z\dz)Zo

8=nr=0

Результирующая разностная плотность тока вдоль оси z

где коэффициент диффузии Z)=l/[3(E rr + Efl)] = l/3E r , что болееправильно, чем Z>=l/3E fr , в средах, где имеет смысл учитывать
макросечение поглощения нейтронов.
Закон Фика, записанный для одномерных задач в форме
(2.36), утверждает, что ток нейтронов вдоль координатного
направления равен производной от функции^ описывающей рас­
пределение плотности потока, в представляющей интерес точке,
умноженной на коэффициент диффузии и взятой с обратным
знаком. Так же интерпретируются и односторонние токи.
Сумма односторонних токов, или полное число пересечений
неподвижной единичной площадки нейтронами, идущими со
всех направлений, у _ +/+ =Ф/2, т. е. плотность потока превыша­
ет эту величину вдвое. Если в выражении (2.33) убрать cosG,
т. е. рассматривать пересечение нейтронами не неподвижной
площадки А 5, а пробной сферы с площадью поперечного
сечения A S, то сумма таких односторонних токов окажется
равной плотности потока. Отсюда вытекает представление
о плотности потока как о полном числе пересечений за 1 с
нейтронами со всех направлений поверхности
единичной сферы
2
с площадью поперечного сечения 1 см .
Понятие тока нейтронов используется в условиях на границе
двух сред, где должно выполняться условие сшивки (равенства)
токов из одной среды в другую, на внешней поверхности
реактора, где отсутствует обратный то^ в реактор, а также
при расчете утечки нейтронов из единичного объема активной
зоны.
4. Утечка нейтронов равна 3 числу нейтронов, уходящих (или
входящих) за 1 с из 1 см размножающей или не раз­
множающей нейтроны среды. Если рассматривать единичный
объем как некоторый замкнутый объем, через наружную
поверхность которого нейтроны проникают внутрь или выходят
из него, то разность этих чисел может оказаться положитель­
ной, т. е. происходит приток (перетечка) нейтронов в какуюлибо поглощающую область с их последующим поглощением,
91

или отрицательной, т. е. имеется утечка (уход) нейтронов,
рождаемых при делении ядер, с последующим их поглощением
вне данного объема или же общей утечкой из 3 реактора.
' Утечку (перетечку) всегда
приводят к объему 1 см ; единица
3
-1
измерения утечки см" с .
Рассмотрим общий трехмерный случай для реактора любой
геометрической формы. Пусть произвольный объем V имеет2
поверхность площадью S. Перетечка нейтронов через 1 см
этой поверхности описывается током нейтронов (2.30) в этом
месте, а суммарная перетечка по всей поверхности—суммой
токов, или интегралом по поверхности. Используя теорему
Гаусса—Остроградского о равенстве интеграла по поверхности
от градиента функции объемному интегралу от дивергенции
градиента функции, т. е. от оператора Лапласа (лапласиана)
функции, получаем утечку из единичного объема
Р=

j(s)ds=--

D

D
V

D
V

VQ)ds=---

divVO dv =

(2.37)

A<&dv=-DA<&.

Здесь принято, что коэффициент диффузии и лапласиан
функции постоянны или усреднены по рассматриваемому
объему. Для одномерных случаев оператор Лапласа равен
полным производным по соответствующим координатам (счи­
тается также, что среда активной зоны однородна и произ­
водные по углу исчезают):
• >

A v =——одномерная пластина;
dx

dr2,

Д?ил = —гН
2,

dr

(2.38)

г dr

бесконечный по высоте цилиндр.
г dr

**

Получим выражение для одномерной утечки в плоской
геометрии (см. рис. 2.12). Найдем утечку из элементарного
объема dvx с учетом тока нейтронов j(x) вдоль оси х. Пусть
,dvx имеет прямоугольцую
форму с* торцевой поверхностью
2
площадки 1 см и толщиной 3dx, т. е. dvx — dx. Утечка нейтронов
из единичного объема 1 см определится разностью выходя­
щего из dvx тока j(x+dx)
и входящего в него тока j(x),
отнесенной к объему dvx:
{x)J(x+dx)-j(x)=^(x)=

dv,
92

dx

_Ddjm=
dx'

-DAMx),

(2.39)

что является частным случаем общего выражения (2.37).
В данном случае происходит именно утечка (уход) нейтронов
из объема dvx, так как выходящий ток больше входящего.
На рис. 2.12 показаны и противоположные перетечки (приходы)
нейтронов в рассматриваемый объем. В дальнейшем тексте
под утечкой нейтронов будут подразумеваться оба этих частных
случая.
5. Упругое столкновение замедляющегося нейтрона с ядром
происходит без возбуждения ядра и без испускания у-квантов.
Часть кинетической энергии нейтрона передается ядру в силу
законов сохранения импульса и энергии. Эта часть уменьшается
с увеличением массы рассеивающего ядра и обращается в нуль
для бесконечной массы.
Для легких ядер сброс энергии нейтрона может быть очень
большим (вплоть до полной потери всей энергии при рассеянии
назад на водороде), и его удобнее рассчитывать в логариф­
мическом масштабе.
Введем обратную логарифмическую энергию, или летаргию,
которая вычисляется как натуральный логарифм от отношения
некоторой достаточно большой энергии Е0 к текущей энергии Е:
и = 1п(Е0/Е).
(2.40)
Логично в качестве энергии Е0 взять максимальную энергию
нейтронов в реакторе, например 10 МэВ. Однако в ряде
случаев удобнее принять Е0 равной средней энергии рожда­
ющихся нейтронов, т. е. средней энергии спектра деления S(E)
(2.7): Е0 = 2 МэВ. При этой энергии летаргия нейтрона равна
нулю, при больших энергиях она отрицательна. Энергия
теплового нейтрона, равная, например, 0,02 эВ, отличается от
Е0 на восемь порядков.
В то же время летаргия такого
8
нейтрона равна In 10 = 18,42, т. е. летаргия нейтрона в процессе
замедления растет и летаргии различных нейтронов различа­
ются лишь в несколько раз, а не на несколько порядков.
Использование летаргии в ряде случаев предпочтительнее, чем
энергии. Так, соударения нейтронов произвольной энергии
Ех с ядрами, имеющими одно и то же массовое число А,
приводят к сбросу энергии нейтронов до Е2 такому, что
средний по многим соударениям прирост летаргии нейтрона
при одном столкновении постоянен и зависит только от
массового числа А. Расчет среднего приращения летаргии
нейтрона при одйом столкновении (традиционное название —
средний логарифмический декремент энергии)
£ = Ди = м 2 _ и 1 = -ln(E2/E1)= -ln(t?2/t??)
(2.41)
является одной из основных задач при рассмотрении упругого
столкновения нейтрона с ядром (здесь vx и v2—скорости
нейтрона до и после соударения).
93

Другая задача—расчет угла отклонения нейтрона от пер­
воначального направления при упругом соударении. Основной
интерес представляет средний по многим столкновениям ко­
синус этого угла (р в лабораторной системе координат (л.с.к),
coscp (2.29).
Примем массу нейтрона т и = 1 а. е. м., что близко к точному
значению тп—1,0087 а.е.м., а массу ядра тя — А а.е.м. (реальные
массы ядер тя = А±0,1 а. е. м), при этом точность результатов
будет вполне приемлемой. Рассмотрим рассеяние нейтрона на
ядре А в л. с. к. Скоростью ядра до соударения пренебрежем
по сравнению со скоростью замедляющегося нейтрона и будем
считать его покоящимся: ия = 0. Нейтрон со скоростью v± на­
летает на ядро и рассеивается на некоторый угол (р в л. с. к.,
имея скорость v2<v±. Ядро приобретает кинетическую энергию,
теряемую нейтроном, и смещается в направлении, определя­
емом законом сохранения импульса.
Рассмотрим акт рассеяния по отношению и центру инерции
двух тел—нейтрона и ядра. В системе центра инерции (с. ц. и.)
рассмотрим закон сохранения импульса, согласно которому
суммарная масса тел системы А + 1, умноженная на скорость
центра инерции иц.и, равна сумме импульсов тел, т. е. в нашем
случае mnv^ Отсюда скорость ц. и. ^.H = ^ I / ( ^ + 1)* Д Л Я Т О Г О
чтобы сделать ц. и. неподвижным, вычтем эту скорость из
скорости нейтрона до соударения, скорости ядра (равной
нулю)
и скорости ц.и. Получим v'1 = v1A/(A + l)9 vK= — Vi/(A + l),
=
^4.H 0- При этом условии нейтрон и ядро в момент рассеяния
попадают в неподвижный ц. и. и сами становятся неподвиж­
ными. Допустим, что происходит резонансное рассеяние с за­
хватом нейтрона ядром. Ясно, что вылет нейтрона из непо­
движного составного ядра массой А + 1 равновероятен в любом
направлении и средний угол рассеяния по отношению к пер­
воначальному направлению движения нейтрона будет в с. ц. и.
б = тс/2, a cos 0 = 1 . В силу закона сохранения импульса нейтрон
и ядро разлетаются в с.ц.и. в противоположные стороны
с теми же скоростями, что и перед столкновением.
Для обратного перехода от с. ц. и. к лабораторной системе
координат разложим скорость v\ нейтрона, рассеянного в с.ц.и.
под углом 0, на компрненты t^sinG и ViCosO и прибавим
к v 1 cos 9, направленной вдоль первоначального направления
движения нейтрона, вычтенную ранее скорость центра инерции
иц#и (рис. 2.18). Результирующая скорость нейтрона получается
при векторном сложении скоростей, и ее модуль в квадрате

cosG-f

,4 + 1
94

А+\

п

Ядро
Ъ°-*</(**1)

а

)

1)

Рис. 2.18. Схемы упругого рассеяния в системах координат центра инерции (а)
и лабораторной (б)

Отсюда получаем отношение энергий нейтрона после сто­
лкновения и перед ним
Е2

v\

* и

^f2 + 2^cos6+l

w

(Z42)

•

позволяющее рассчитать £ (2.41). В случае скользящего сто­
лкновения 0 = 0 и Е2 = Е1. При лобовом столкновении 0 = п
и потеря энергии максимальна:
ос =
мин

А-\
А+ \

1-<х =
макс

4А

И+1)

Ei—E2
:
макс

(2.43)

Потеря энергии при лобовом столкновении растет при
снижении А и достигает максимума у протия.(легкого водорода
JH), при столкновении с ядром которого (протоном с А = 1)
нейтрон теряет всю энергию и останавливается, а н = 0, i?2=0,
(ДВД)2™=1Пусть ни ядре с массовым числом А последовательно
рассеиваются п нейтронов, летящих по одному и тому же
направлению. Ввиду изотропности рассеяния в с. ц. и. в ин­
тервале углов 0-^-(0 + ^/0) на поверхность сферы радиусом
г попадает (рис. 2.19) доля нейтронов, равная
dn

27trsin0rsin*/6

sin6<f6

п

4кг2

2

Среднее по всем углам 0 в пределах от 0 до к приращение
летаргии нейтрона £ (2.41) получим с учетом этой Доли
и потери энергии (2.42):
(—lnx)

$ =

J
о

sin6t/e

1
1-а

_

Inxdx—l-)

А-\
а1па_1
U - 1 )\
In
,
1
+
1-а
2А
А+ \

(2.44)
95

<?г*=*Я>
rsin cL6
л sin 9

d$=(znrsine)*
r$w&e*Z7cr2su\BdB

Рис. 2.19. Рассеяние в системе центра инерции

где х=Е2/Е1; а определяется соотношением (2.43).
Среднее приращение летаргии нейтрона при одном соударении
с ядром быстро падает с ростом массового числа А рассеивающего
ядра (рис. 2.20),' т. е. в качестве замедлителей наиболее пригодны
легкие ядра. При одном столкновении с ядром водорода нейтрон
увеличивает летаргию в среднем на 1 и его энергия

E2 = E1exp(-ty
падает в «е» раз. В среднем при одном столкновении нейтрон
передает ядру энергию
(2.45)
АЕ= Ег - Е 2 = Ег [1 - е х р ( - Щ
1
8
6
Ч

г
10~1

8
6

ч
1

\

1(Гг
8

"~

О 40 8€ 110 160 200 Z40 180 А
Рис. 2.20. Зависимость среднего увеличения летаргии нейтрона при соударении
с ядром от его массового числа А
96

т. е. передаваемая энергия зависит от энергии нейтрона, тогда
как в шкале летаргии она постоянна.
Рассчитаем средний косинус угла столкновения нейтрона
с ядром в л. с. к., используя соотношение (см. рис. 2.18)
tficosB + i^.H
coscp

v2

1 + ^4 cos 6
y/A2 +

2AcosQ+\

Усредним coscp, используя те же соображения, что и при
усреднении —\n(E2/Ei):
-1

fl = COS(p=

coscp

sinGf/G

(Ax+\)dx

-} 2y/A

2

+ 2Ax+l

_ 2
3A

(2.46)

a
°
где x = cos v.
При увеличении А рассеяние в л. с. к. становится все более
изотропным. Так, при соударении нейтрона с ядром водорода
(А = \) наблюдается существенная анизотропия рассеяния
(Д = 0,667 и ф = 48°), тогда как уже для графита с А = 12
рассеяние почти изотропно (Д = 0,056, ф = 86,5°).
6. Энергетический спектр замедляющихся нейтронов пред­
ставляет собой зависимость от энергии нейтронов плотности
их потока, приходящейся на единичный интервал энергии
(обычно на 1 эВ),. либо соответствующую зависимость от
летаргии нейтрона.
Рассмотрим замедление нейтронов в неограниченной, непоглощающей среде, в которую попадают моноэнергетические
быстрые нейтроны от источника нейтронов с энергией
Е0 (рис. 2.2J). Источником является реакция деления со средней
энергией Е0 = 2 МэВ. Замедление происходит на интервале
энергий от Е0 до граничной энергии тепловой группы Егр. Такой
случай близок к замедлению в слабопоглощающей среде
активной, зоны
теплового реактора. Поглощение на резонанс­
238
ных уровнях U, существенное для низкообогащенного топли­
ва тепловых реакторов, будет рассмотрено отдельно, в разделе
о константах двухгрупповых уравнений (см. § 4.5, п. 4).
Пусть нейтроны с некоторой произвольной энергией Е± теря­
ют часть энергии при столкновении с ядрами. Минимальной

Рис. 2.21. Схема потери энергии нейтроном при его упругом
замедлении
7 Заказ 2739

97

энергией при упругом соударении будет £ , 2 ИН==а ^1 (2.43). Для
определения вида энергетического спектра составим, баланс
нейтронов в энергетическом интервале А Е2 около энергии Е2ИН.
Ввиду малости этого интервала примем, что любое рассеяние
выводит
нейтрон за его пределы. Полное число актов рассеяния
3
в 1 см за 1 с в интервале энергий АЕ2 составит Ф{Е2ИН)АЕ2Л8.
Приход нейтронов в интервал АЕ2 возможен за счет
рассеяния
нейтронов из любой точки интервала энергий
ИН
Е2 — Е1. Возьмем произвольную энергию Е в пределах этого
интервала. Предположение об изотропности рассеяния в с, ц. и.
приводит к равной вероятности рассеяния нейтрона из ин­
тервала dE около энергии Е в любую точку по энергии
интервала аЕ—Е. Поэтому доля рассеянных нейтронов, по­
падающих в интервал АЕЪ для которого составляется. баланс,
равна отношению ширины этого интервала АЕ2 к полной
ширине интервала возможных сбросов энергии Е—OLE. Ум­
ножая эту долю на число рассеиваемых в интервале
dE
н
н
нейтронов l,s<!)(E)dE и интегрируя в пределах Е2* — Е2* /(х,
получаем полцое число нейтронов, попадающих в энергетичес­
кий интервал АЕ2 в результате рассеяния из вышележащей
области энергий. Тогда баланс нейтронов с энергиями в пре­
делах интервала АЕ2 выразится в виде
гмин /а

Д£,

Е 5 ф(£мин)Д£ 2 =
J

Е—О.Е

£МИ»

Z,<b{E)dE, где
а

= Ev

С1 МИН

Сокращая АЕ2, получаем
'/а

Ф(£Г Н )£ 5 = 1 - а

Ф(*)£.|.
мин

(2.47)

w-

Условию баланса нейтронов (2.47) в предположении о посто­
янстве макросечения рассеяния для надтепловых нейтронов
удовлетворяет функция плотности столкновений на единичном
интервале энергии, равная константе, деленной на текущую
энергию:
Ф(Е)Ъа = с/Е,
(2.48)
где с—константа. Действительно, как левая, так ин
и правая
часть уравнения (2.47) оказываются равными с/Е2 .
Из соотношения (2.48) видно, что энергетический спектр
замедляющихся нейтронов
Ф(Е) = с/(ЕЛг)
(2.49)
обратно пропорционален энергии нейтронов.
98

Константа с может быть выражена через так называемую
плотность
замедления нейтронов q(E), равную числу нейтронов
3
в 1 см , энергия которых за 1 с становится ниже произвольной
энергии Е. Пусть Е=Е2ИН. Вероятность нейтрону, рассеянному
в dE, замедлиться ниже Е™** равна отношению энергетических
интервалов f"™ — ^Е и Е—&Е. Интегрируя в пределах
интервала,
в котором может находиться энергия Е (от Е™*™ до
ин
£'^ /а), получим плотность замедления в точке 2? J™-'
£*ин/ос
/

л

ч

И

д(ЕГ )=

ГМИН

Ф(£)£/
j
гмин
2

2

— JT

~ </£.

(2.50)

Е—ссЕ

Подставив в (2.50) выражение (2.48), найдем плотность
замедления в произвольной точке по энергии Е™** в явном виде:
E™B/OL

J

Е(Е—OLE)

\

1— ос/

гмин

Поскольку
данный вывод сделан для произвольных энергий
ин
Ei и £^ , из (2.51) можно заключить, что при отсутствии
поглощения плотность замедления постоянна для любой энергии:
q(E) = c£,= const. Подставляя константу c = q(E)/^ в (2.49),
получаем спектр замедляющихся нейтронов в явном виде:
v ; ^

Е

>

\ /

^ ^

(2.52)

Е

Выразим спектр замедляющихся нейтронов в зависимости
от летаргии нейтрона с помощью балансного соотношения
<S>{E)\dE\ = <b(u)\du\.
Поскольку \du\ = dE/E и Е=Е0ехр( — £),
Ф(и) = Ф(Е)Е=^

'

(2.53)

И

ф(Е) = <i(E)QMu)
Таким образом, при отсутствии поглощения плотность
потока замедляющихся нейтронов (2.53), приходящаяся на
единицу летаргии, постоянна в зависимости от летаргии
нейтрона. Спектр замедляющихся нейтронов (2.52). называется
спектром Ферми.
7*

--

.

99

В рассмотренном приближении плотность замедления пострянна, и ее легко связать как со скоростью генерации быстрых
нейтронов, так и со скоростью поглощения тепловых:
w
а. з

J

У

(2.54)

-У

где #нач— начальная плотность замедления, равная в первом3
приближении числу быстрых нейтронов, образующихся в 1 см
за 1 с при делении ядер тепловыми нейтронами, с учетом
коэффициента размножения на быстрых нейтронах (ц); qK0H —
конечная плотность замедления в месте перехода спектра
Ферми в спектр Максвелла, меньшая #нач в (р8 раз, где
(р8 — вероятность
избежать
резонансного
поглощения;
К'ъ—коэффициент размножения для бесконечной среды (см.
§ 2.5, п. 4).
Подставляя в (2.52) выражения для плотности замедления
(2.54), можно оценить спектр замедляющихся нейтронов в аб­
солютных единицах.
7. Диффузия замедляющихся нейтронов происходит в огра­
ниченной непоглощающей среде из-за наличия утечки нейтронов
(2.37) и характеризуется средним расстоянием, которое про­
ходит нейтрон в процессе замедления от средней энергии
нейтронов, рождающихся при делении ядер, Ер = 2 МэВ до*
граничной энергии тепловой группы Егр. Основные результаты
могут быть получены при рассмотрении пространственного
распространения нейтронов в замедляющей среде, например
графите, в случае испускания быстрых моноэнергетических
нейтронов точечным внешним, т. е. не связанным с реакцией
деления, источником нейтронов.
С течением времени рожденный быстрый нейтрон удаляется
от точки рождения и плотность нейтронов (2.52) является
функцией расстояния и времени:

n(r, O-T^iTiИзменение плотности в единицу времени равно утечке
нейтронов с обратным знаком, так как утечка описывает
число уходящих из 1 см 3 нейтронов, а нас интересует число
остающихся нейтронов:
^ ^ £ > Д Ф ( г , t).
100

(2.55)

Уравнение (2.55) получено в предположении, что в процессе
замедления нейтроны не поглощаются ядрами и не вызывают
деления ядер (в тепловых реакторах эти процессы происходят
в основном под действием тепловых нейтронов). Заменим
в (2.55) плотность нейтронов и плотность их потока плот­
ностью замедления нейтронов, умножив правую и левую части
на v(E)^HsE И разделив на vD:

или
^

= Л*(г, х),

~dx

(2.56)

где dx — dtvD — — \sD, так как путь vdt равен числу столкновений
— за время dt, умноженному на средний пробег до рассеяния;
%

•

-

считаем также, что летаргия нейтрона за dt увеличивается на du.
Входящий в (2.56) параметр
Е

т(£)=_

и

(Ч^
&s

£

Е

=

t

[Ш.<Ш= [D{u)vdt
§2. (и)
О

О

Р

называется возрастом нейтронов, хотя он имеет размерность
длины в квадрате, и характеризует квадрат расстояния, про­
ходимого нейтроном в процессе замедления от энергии рож­
дения Ер до текущей энергии Е. Соответственно уравнение
(2.56) называется уравнением возраста и описывает простран­
ственное распределение нейтронов, имеющих определенное
значение возраста т(Е).
Опуская процедуру решения уравнения (2.56) методом
разделения пространственных и энергетических переменных,
запишем решение для случая точечного источника интенсив­
ностью So (нейтр./с)
(2.57)
описывающее пространственное распределение плотности за­
медления для различных фиксированных -значений ъ(Е) или
энергии нейтронов. На радиусе г — 2у/х плотность замедления
спадает в «е» раз. В начале процесса замедления i(E) мал,
пик распределения около источника велик и скорость спада
большая. По мере замедления для больших т(Е) максимум
распределения снижается, а полуширина пика растет, т. е.
101

нейтроны по мере замедления постепенно отходят от источника
на некоторое среднее расстояние, которое можно связать
с возрастом нейтронов. ,
При фиксировании значения возраста в произвольном
сферическом слое толщиной dr происходит q(r, x)4nr2dr актов
замедления нейтронов ниже энергии Е. Интегрируя это число
по всему пространству, получаем полное число нейтронов,
энергия которых за 1 с проходит через значение Е:
00

J Я (г, x)4nr2dr = S0.
(2.58)
о
Полученное равенство суммарной плотности замедления ин­
тенсивности источника справедливо для модели непрерывного
замедления, когда потеря энергии (2.45) в индивидуальном
акте рассеяния мала.
Используя (2.57), (2.58), усредним квадрат расстояния по
прямой, проходимого нейтроном при замедлении до энергии
Е, с весовым^ множителем полной плотности замедления на
том или ином расстоянии от источника:
00
i

1

r2q(r, x)Anr2dr = 6x.

So

о

Таким образом, возраст нейтронов т(Е) равен; 1/6 среднего
квадрата расстояния, проходимого нейтроном в процессе
снижения его энергии от энергии источника до Е.
Основной интерес в теории реакторов представляет полный
возраст нейтронов, замедляющихся от средней энергии спектра
деления Ер = 2 ЫэВ до граничной энергии тепловое группы
£ г р = (0,3-Л)эВ:
Е

*ю=

гр

Л

"гр

D(E) dE

еад

Е

г D u

() M
.J А ,
du*\^)u
ip

№(«)

V№s6.

(2.59)

^Р

где Z>6—коэффициент диффузии быстрых нейтронов.
Зная средний путьг-который проходит нейтрон в процессе
замедления от средней энергии спектра деления 2?р = 2-10 б эВ
до граничной энергии тепловой группы Егр, и его среднюю
скорость на этом пути, можно определить среднее время
замедления нейтрона tr Для прохождения интервала летаргии
du——dE\E нейтрон должен испытать dw\\. столкновений,
преодолевая между столкновениями средний путь \ . Деля
суммарной путь нейтрона на его скорость и интегрируя
полученное выражение, запишем среднее время, замедления
102

'

*

•

нейтрона через граничную летаргию игр'
г , граничную энергию
Е'гр
го или граничную скорость нейтрона v гр*
гр

К=

Xsdu

0,511-10

ty(u)

&

1,022-10 - 9

—9

eu/2du =

s6

(е°-5«ч-1)

1,022 10

Ws6

Е

гр

гр
-6

0,723 • 10

XsdE
Ър(Е)Е

',=

SZ.s6

dE
ЕЪЦ

42S6

1,446 10 - 6

1,446 10 - 6

лДгр

гр

(2.60)

_^ s6 V^гр

гр

XsdE
' з = -

е0,5«гр;

1

flfo

№4б

Ws6

гр

1
^

£
S

6%

где [^3] = c; [£гр
> 1 = CM/C. Пусть £E S =1 см x, E=l
эВ,
гр ] = эВ; [ I гр
гр
ь
6
иг =1п(2 • 10
)-1п£.ГгР = 14,508;
i; r p =l 5=383-10 v /|r7 =
ь
= 1,383 • 10 см/с. Тогда во всех формулах /з 1>446-10 с.
По окончании замедления быстрые нейтроны становятся
тепловыми, т. е. находящимися в тепловом равновесии со
средой активной зоны.
8. Диффузия тепловых нейтронов в активной зоне реактора
определяется их утечкой и различиями макросечений и ко­
эффициентов диффузии в различных зонах реактора.
В ячейке, т. е. идентичном структурном элементе, дз набора
которых состоит активная зона или ее отдельная часть,
неравномерность распределения тепловых нейтронов обуслов­
лена их рождением в основном в замедлителе между ТВС
и поглощением в топливе, и конструкционных материалах ТВС.
Как в реакторе, так и в ячейке дифференциальное уравнение,
описывающее диффузию тепловых нейтронов, учитывает их
утечку из единичного объема ( —/)ТАФТ), поглощение в этом
объеме (ЕЛТФТ) и рождение тепловых нейтронов в результате
замедления5 быстрых (sT). Все члены измеряются в единицах
нейтр./(см • с) и в стационарном случае, когда dn/dt = 0,
образуют дифференциальное уравнение баланса скоростей ре­
акций, в которых участвуют тепловые и быстрые нейтроны:
-£>ТДФТ + £ЛТФТ = *Т,
(2.61)
где ^т—скорость образования тепловых нейтронов в результате
замедления быстрых; Ейт? Ss6—средние сечения, а Фт, Фб —
103

полные плотности потоков в группах тепловых и быстрых
нейтронов:
/ S s (Е) Фб (Е) dE= Е8бФб, Фб = / Фб {Е) dE;

E

z

X

Г

•

{ъа{Е)Фг(Е)ЛЕ=-ЕагФг,

(2 62)

-

ФТ=?ФГ(Е)ЛЕ.

О

о

Скорость образования
sT дает число тепловых нейтронов,
3
появляющихся в 1 см за 1 с, и определяется как частное от
деления полного числа рассеяний нейтронов в быстрой группе
Es6<D6 на число столкновений
#столж = ИГр/£>

(2.63)

необходимых для замедления одного нейтрона от летаргии
рождения ир = 0 до граничной летаргии тепловой группы игр,
а макросечение замедления определяется как множитель при
плотности потока бйстрых нейтронов:
S

.

T~U
•"столк

V~jl~~ 3 б '

3

**гр/*"э

к

~^Г~*
г

}

гр

В расчетах распределения тепловых нейтронов по ячейке
Фт(х) распределение быстрых нейтронов принимается не за­
висящим от координаты, т. е. постоянным в объеме ячейки,
что связано с малыми размерами ячейки и большими свобод­
ными пробегами быстрых нейтронов. При этих предположениях
правая часть уравнения (2.61) постоянна и его частичное
решение является константой: Ф? = с. Подставив константу
в (2.61), найдем частное решение:
®f=sJXar = (&s6Xar) Фб/игр.
" (2.65)
Перепишем однородную часть уравнения (2.61)> в виде
АФ т (г)—^Ф т (г) = 0, i f T 2 = ^ , / > T = - T - J

г„

(2.66)

где JSf?—квадрат длины диффузии теплового нейтрона (см.
ниже).
Решения уравнения (2.66) получим с учетом вида одномер­
ных операторов Лапласа (2.36) в ячейках различной геомет­
рической формы:
,

t

TV

ф

v
/сф

sh(r/if T ) ,
о

r/j^

ch(r/ifT
l

r /

^

>

Нол = "о sh (x/JS?т) + а± ch (x/3f т );
Фт Ицил = ^о1о (г/^ т ) + в 1 Ко(г/^ т ),
т

104

Г

(2-67)

где I0(r/J£?T) и Kaj[r/JSfT)—модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода нулевого пдрядка. Общее решение
получим суммированием (2.67) и (2.65):
Л

ф

/ v

sh(r/J^T)
+a

(0вф=«о -^f i

ch(r/ifT) .

/ t v

л ч

-7^+(5z,A T );

(2.68)

Ф (*U = *o sh(x/J2f T )+ ei ch(x/J2fT)+$ZfeX„;
Ф{г)цшл^а010(г/^т)

+ а1К0{г/^т) + ^8бХат.

Ввиду постоянства по объему ячейки распределения Фб(х)
общее решение (2.68) разделено на константу Фб/мгр, при этом
обозначение постоянных коэффициентов а0 и at в суперпозициях
решений оставим тем же.
Для выяснения физического смысла входящего в уравнение
(2.66) параметра $£\ рассмотрим неограниченную рассеива­
ющую среду без распределенных источников тепловых ней­
тронов, но с точечным источником тепловых нейтронов
интенсивностью s0, помещенным в начало координат. Диффузия
нейтронов в такой среде, кроме точки г = 0, описывается
уравнением (2.66). Используя известную связь гиперболических
и экспоненциальных функций, перепишем решение (2.67) в виде
Ф Т ( Г ) =ДО

°р(-"**)+ Д1 ^ £ г ) :

где J§?T внесено в постоянные коэффициенты в силу однород­
ности среды. Учет ограниченности потока нейтронов требует
положить a1 — Q и оставить только первый член решения.
Постоянный коэффициент а0 найдем, приравняв интенсивность
источника и число нейтронов, поглощаемых в единицу времени
во всей бесконечной среде:
ехр( r\Se,)

*о =

4nr2dr

= ao4nIdog>2

=

aQ.4nD

о

Отсюда а0 = S0/(4nD)9 и распределение в среде Плотности
потока тепловых нейтронов от точечного источника будет
описываться функцией

*(г)=£кеМ~Г1*т)=*оО(г),
4nD

где функция G(r) дает плотность потока нейтронов в точке
г при испускании 1 нейтрона в 1 с в точке г = 0 и называется
диффузионной функцией влияния или функцией Грина точечного
источника.
105

Усредним квадрат расстояния, проходимого нейтроном от
источника до точки поглощения, с учетом относительного
числа поглощений в сферическом слое объемом 4nr2dr:
оо

2

^ехр(-г/^ т )

s

4яг 2 «/г = 6 ^ ? ,

4nDrr

So
О

т. е. квадрат длины диффузии тепловых нейтронов равен 1/6
среднего квадрата перемещения нейтрона по прямому направ­
лению в процессе его диффузии от точечного источника
в рассеивающей и поглощающей средах.
В бесконечной поглощающей среде время диффузии теп­
ловых нейтронов определяется средней длиной их свободного
пробега до поглощения Д а =1/Е а и средней скоростью vn (2.82),
определяемой, например, по' известной температуре нейтрон­
ного газа Тиг (2.71):
*,» = Klv*> t;n= 1 , 4 4 9 ' 1 0 4 V ^ , fob см/с.
(2.69)
Полное время жизни нейтрона равно сумме времен замед­
ления (2.60) и диффузии (2.69). В ограниченной дэ.еде это
время снижается из-за исчезновения части нейтронов при их
утечке за пределы активной зоны.
9. Энергетический спектр тепловых нейтронов. При условии
слабого поглощения нейтронов в процессе замедления и их
теплового равновесия с ядрами среды активной зоны в послед­
ней "устанавливается распределение тепловых нейтронов по
энергиям, называемое спектром Максвелла. На рис. 2.22 при­
веден спектр Максвелла для плотности потока нейтронов,
записанный в относительном виде:
М(Е') dE' = ®T^dE=Е'
ф

М(Е'),

о

ехр(-Е')
.

dE\ Ф0 = ] <bT(E)dE/

(2.70)

0

отн.ед.

Ofi

о.ъ
02
1

0,1
Т 1

о 1 г з + s бЕ/ктцт
Рис. 2.22. Спектр Максвелла
106

где Е' = Е/кТнг—произвольная
энер­
гия нейтрона, отнесенная к наиболее
вероятной энергии, для которой рас­
пределение достигает максимума; к—
постоянная Больцмана; Тнг—темпе­
ратура нейтронного газа, совпада­
ющая с температурой среды при от­
сутствии поглощения нейтронов. Пло­
тность потока нейтронов измеряется
в нейтр./(см2 • с • эВ), и MCE') ^ предс т а в л я е т Собой ДОЛЮ т е п л о в ы х

ней-

тронов, энергия которых лежит в интервале dE'. Спектр
нормирован на единицу в интервале энергий £ ' = 0ч-оо, т.е.
ОО

\M{E')dE'^\.
о

•

-

х

Относительное число нейтронов в интервале dE в рас­
пределении (2.70) пропорционально их энергии и статистической
вероятности ехр( — Е/кТ) для любого тела, являющегося малой.
частью большой замкнутой системы, находиться в состоянии
с энергией Е.
Термин «нейтронный газ» введен в реакторной физике
в связи со сходством явлений переноса частиц в газах и в полях
свободных нМтронов, описываемых практически одним и тем
же газокинетическим" уравнением Больцмана. Температура
нейтронного газа превышает температуру среды активной
зоны, поскольку часть нейтронов поглощается в процессе
снижения их энергии. Тнг выше в топливе и снижается при
переходе от топлива к замедлителю. Задача о распределении
температуры нейтронного газа по объему ячейки или реактора
решается методами теории термализации нейтронов. В ряде
случаев можно ограничиться оценкой средней по объему Тнг
на основании полуэмпирических соотношений типа
TH.r = T0(l+c^\
(2.71)
где с =1,4-г-1,8 (для урано-водных сред с =1,4); 2>а(Т0)—мак"
роскоцическое сечение поглощения гомогенизированной среды
активной зоны, находящейся при средней температуре Г 0 ;

Е.(Г„) = 1.(293,6К) ^ ,

Г 0 =ХГ Ш !|- 5Г.,-1№,.

^S s6£ и £E s6 — замедляющие способности отдельных веществ
с тецпературами T0i и полная замедляющая способность
среды, которые могут быть взяты при энергии примерно
1 эВ, так как-для многих легких и средних по массе элементов
сечения рассеяния выше этой энергии постоянны на значитель­
ном интервале энергий. Усреднение температур производится
с весом замедляющей способности, что подчеркивает роль
температуры веществ, наиболее эффективно замедляющих ней­
троны.
Спектр Максвелла
М(Е') = Е' e x p ( - £ ' ) = / ( £ ' )
является функцией безразмерной энергии Е' = Е/кТяг. Наиболее
вероятную энергию, соответствующую максимуму спектра,
найдем из очевидного условия
dM(E')

ехр(-£')(1-£') = 0.
107

Отсюда E'=l
оо

и Ет — кТпт, Средняя энергия
Ч

оо

Ёт= J ЕМ{Ё) йЕ=кТя%т J ехр(-£')E' 2 dE' = 2kT^r.
о
о
Заметим, что средняя энергия в спектре Максвелла, записан­
ном для плотности нейтронов,

K(E,)dE, = r^^=^-^F

exp(-E')dE\

оо

N0=$n(E)dE
(2.72)
о
меньше и составляет 1,5 кТн г , так как максимум спектра
плотности сдвинут в сторону меньших энергий ввиду отсут­
ствия множителя v{E)~yfE. Наиболее вероятная энергия равна
в этом случае 0,5 кТЯшГ9 так как
^ © = 0 , 5 / v / F - v / F = 0 , £ ' = 0,5:
v

dE

v

В нейтронно-физических расчетах используются усредненные
по спектру Максвелла для плотности потока микроскопические
сечения поглощения нуклидов для тепловых нейтронов. Ввиду
быстрого падения спектра Максвелла с энергией усреднение
проведем в пределах не от 0 до Етр9 а от 0 до оо:
00

<iei=$oei{E)M(E)dE.-

(2.73)

О

Для многих нуклидов зависимость микроскопических сечений
от энергии следует закону l/v:
Gai(E) =

Gai(Eo)^-

Усредняя Gai(E) с помощью (2.73), получаем
6ai = aai(E0)^E0/kTa_r

JFexp(-E')dE'

=

• О

оо

/•

3/2

=оАЕо)

Е

М И

' кТ..
° '\кТ . ;
г
я г

• =М*о) ^

ХР

' ~2kT~'dV

/ ^ = aet.(0,0253 эВ) ^
кТ
Л1

108

'
ф.

2

н.г

=

/ ^ ,

2 V Т
V

н. г

(2.74)

где oai (0,0253 эВ) = а аг (293,6 К) представляют собой значения
микроскопических сечений поглощения i-x нуклидов при ком­
натной температуре 293,6 К, которой соответствует наиболее
вероятная энергия кТ=0,0253 235
эВ. 239
Для некоторых нуклидов ( U,
Pu, 113 Cd, 135 Хе и др.)
зависимости микроскопических сечений поглощения или деле­
ния от энергии отклоняются от закона l/v. В этом случае
средние значения микроскопических сечений определяются пу­
тем численного интегрирования (2.72). Однако часто их бывает
удобно представить в виде (2.74), т. е. как бы условно
зависящими от энергии по (2.73), а отклонения от закона
l/v учесть с помощью заранее рассчитанных ^-факторов
Весткотта:
00

\aai{E)M(E)dE
<*«i(Eo)

2 \/ кТи,г

oai = aai{293,6 К) £

f^lgai(T^).
V

(2.75)

н. г

Значения микроскопических сечений при Г= 293,6 К и g-факторов имеются в таблицах (см. табл. 3.5, 7.2). На рис. 2.23
приведены g-факторы микроскопических сечений деления и по­
глощения для делящихся нуклидов в зависимости от Тнг.
Спектр замедляющихся нейтронов переходит в спектр
тепловых нейтронов при граничной энергии Егр, являющейся
энергией сшивки, т. е. энергией, при которой пересекаются
спектры Максвелла (2.70) и Ферми (2.52). Граничная энергия
используется при более точном усреднении микроскопических
сечений в тепловой группе
aai (Е) М{Е>) dE' = Gai

<*«* =

(E0)l-S-^x

кТн.т

о

x(erf./i-

/-./г^Ч

(2.76)

или при вычислении возраста нейтронов (2.61) до граничной
летаргии игр = In (Ер/Егр) = 14,5 — In Егр.
Для определения Етр запишем при этой энергии спектр
Максвелла в виде
тр/ —

и

ктН.

Г

109

4,4
*,Z

н

-

-

-

-

-

)

-

3,6

n.
У(19 )

-

*>*

-

3,2.

-

-

.

'

-.

'3f9
4a3

-

3
«si

-

-

2,8

ОС

Ja

2,6

-

с

S 3

fs

1,6
1;4

-

<jaj*

iff

-

r}1ле

b f5

/9f9

•

чч-

II

-

-

^ i,z 9i'5
z
~9(Li
1,8

/

-

-

-

1,1
1,08
1,06

1,0* rt
W *
1,0

=э

0.98

3

0,96 &
0,94

^

0,91 £>
0,9
0;88
0,86
0,84
0,81

*

_jj

л,

I
i _±_ i
0,8
0,2 0,4 0}6 0,8 1,0 1,1 1,4 1,6 1,8ТЦХ,10'К
I

i

1

Рис. 2.23. Зависимость ^-факторов микроскопических сечений деления и погло­
щения делящихся нуклидов от температуры нейтронного газа

В спектре Ферми при Е—Етр
v

Г

Р/

(2.78)

£V

F

4>^$б*

^гр

учтем равенство плотности замедления, т. е. числа нейтронов,
энергии которых становятся ниже Егр, полному числу ней­
тронов, поглощаемых в группе тепловых нейтронов:
оо

?

оо

( 2 У * J E fl (£) ФТ(Е) dE=2ar

J ФТ{Е) «*Е=£„Ф 0 .

О

(2.79)

о

Приравнивая (2.77) и (2.78) с учетом (2.79), получаем
Егр

dE

£атф0

dE

(2.80)
кТ„ „ / кТ
&*б
ЕГР
кТ„
Обозначив хгр==Егр/кТнт, перепишем (2.80) в виде
2 a T /££ s 6 = x r 2 p exp(-x r p ).
(2.81)
Последнее уравнение позволяет определить Етр подбором со
стороны более высоких хгр (рис. 2.24) вплоть до равенства
правой и левой частей.
Ф,

ПО

ехр

'гр

рис. 2.24. К определению энергии сшивки спектров Максвелла и Ферми Егр "

£

т/$

Ls
г

1
Условием формирования спектра 05
1
Максвелла является непревышение ко­
1
мплексом^ £ ат /££ 5б максимального
1
значения правой части (2.8\\ равного ол
0,54. При этом х >2£ г р ^2&Г н г ==£ т ,
03
а Г Н . Г -Г 0 ^0,76Г 0 .
\
Используя полученные выше фор­
мулы, можно определить некоторые OZ
•
' '
характеристики основных реакторных
замедляющих материалов, приведен­ 0.1
ных в табл. 2.7 и 2.8 (ввиду упроще­
1
ния расчетных формул данные неско­
1
лько отличаются от эксперименталь­
1 2 3 *f 5 6 х,
Р
ных результатов).
В табл. 2.7 скорость нейтрона усреднялась по спектру
Максвелла для плотности нейтронов (2.72):

сю
^-*н.г

vT=$v(E)K(E')dE=
п

о

т.

оо

п

о

т.

(2.82)

= 144,9 у/гГг,
где

£klH,T

j£'exp(-£')J£' =

СЮ

$E'exp(-E')dE'

= l.

Такое усреднение означает, что произведение средней скорости
на полную плотность тепловых нейтронов равно интегралу
от плотности - потока нейтронов, зависящей от энергии:
00

00

vTN0^\v{E)n{E)dE,
т.е. ФТ=$Ф(Е)ЛЕ.
о
о
Диалогично, усреднение микроскопических сечений по спек­
тру Максвелла для плотности потока нейтронов (2.74) означает
в конечном счете, что произведение усредненного макроско­
пического сечения среды ^на полную плотность потока тепловых
нейтронов равно интегралу по энергии от плотности соответ­
ствующей реакции, зависящей от энергии:
00

ЪкФ0=$1,к(Е)Ф(Е)с1Е,
О

S t = I Z u , Itki = okiJTi,

Ar=fl,/,c,...(2.83)

i

В то же время энергия, как и скорость, является харак­
теристикой индивидуального нейтрона, и более правильно
усреднять их по спектру Максвелла для плотности нейтронов:
ill

Т а б л и ц а 2.7. Характеристики замедлителей и отражателей
Вещество
i

3

_3

5,

(1-й

КГ'см" 1

г/см

г/моль

1
1,1
1,1

18,02
20,03
20,03

3,35
3,31
3,31

0,948
0,57
0,57

0,676
0,884
0,884

220

1,85
3
1,6

9,01
25,01
12

12,36
7,28
8,03

0,209
0,173
0,158

0,926
0,939
0,944

12,4

—

К,
м/с

, н2о

D20
D20 +
+ 1%Н 2 0
Be
BeO
С
Вещество

22

10 см

2*ai\-* H.rj»

^а(-*н.г),

i

10"4 с м - 1

M

н2о

193
0,292
2,21

D20
D20+
+ 1%Н 2 0
Be
BeO
С

Kx
Л

зам

= K&*i

70

342

6438

45,2

905

2511
2483
2485

9,17
15,5
35,3

142
186
216

2497
2493
2491

0,518

СМ

0,2

0,163
0,845
0,838

57,9

0,155
0,12
0,061

0,547
0,614
0,933

21
29
54

0,33

1,35
0,188

2,5
7,3
3,2

*диф — \V%ai)

>

Fl

- Ь ц КГ

см

см

*

16,4
0,175 .
1,25

2,72 '

160

4

3

* МГН

Т1
л

н.г'

к

300,3
293,7
294,1
296,9

8
5,8

296

4,88

295,6

* диф " 1 * 3 ,

i

u
M

10"3 С

*•* rp»

эВ

НГ 3 с

КГ 3 с

0,2066
137,71
18,19

0,217
0,352
0,291

0,0023
0,013
0,0134

0,209
137,72
18,2

16,04
15,55
15,74

0,237
0,245
0,252

0,0192
0,0244
0,0472

3,684
6,25
14,25

15,95
15,92
15,88

rp

~
10,9
6,44
2,83
t

3,665
6,226
14,204

Т а б л и ц а 2.8. Характеристики замедлителей, отражателей и данные по активной
$оне для оценки эффективной добавки отражателя 5эф
У'

Вещество /

10 ^зам>
" 2 СМ"1

н2о

8,42
1,21

и
= - гр
^

N1

Dl6, см

5,

2,531
1,461
1,472
0,878
0,792
1,347

16,9
27,3
27,6
76,3
92
100,5

М,, см

т„ см'

30,06
120,8
115,8
90,3
105
350,8

D20
D20+1%H20
Be
BeO
С

1,27
0,972
0,754
0,384

Вещество

Альбедо

/

Pf

Н1э, м

М а з , см

(tflo-1)100

Н2(Х
D20
D20-H%H20
Be
BeO
С

0,518
0,955
0,917
0,880
0,907
0,919

2
3
3
2
2
4

5,61
54,9
22,2
11,9
14,2
26,1

0,777
33,1
5,43
3,48
4,95
4,2

6,12
160,4
58,9
23
30,8
57,2

Активная зона [ 2Г=Ю2в1.(ГН]г )]
8эф,** с м

6,12
98,7
52,8
22,1
28,6
53,7

* Расчет по (2.85).
** Расчет по (3.125).

mnv

Ег =

£к* н.г

К

™»V2

ехр

2кТп

\JmnV2'

кТ„

о
00

=

2^/^_\

^\2кТя.г;

2

J

v*ex.p(-av)

*Ч

dv = -kTnн гг = 1,293 - 1 0 - 4 r H r ;
/

2

о

М

= эВ,

'

(2.84)

00

где

v*exp(-av2)dv=:—*—5/2
8a

J
2ЛГ.

В табл. 2.7 приведены коэффициент замедления Хзам, равный
отношению замедляющей способности к макроскопическому
сечению поглощения, и время жизни мгновенных нейтронов
^мгн> определяемое в основном временем их диффузии. Возраст
нейтронов т описывается отношением коэффициента диффузии
для быстрых нейтронов D6 и макроскопического сечения
замедления E3 = ^E s6 /w rp . Эффективная добавка 8 эф бесконечного
8 Заказ 2739

ИЗ

торцевого отражателя оценена для бесконечного по радиусу
критического реактора из того же замедляющего вещества
с экстраполированными высотами # э = // а 3 + 28эф, приведен­
ными в табл. 2.8. Эффективная добавка эквивалентна отража­
телю и может быть связана с альбедо—коэффициентом
отражения нейтронов Р [см. ниже (2.101)]:
эф /

\

и

(2.85)
эф /

10. Граничные условия, связанные с законом Фика. Плотность
тока нейтронов (2.36) и его односторонние компоненты j _
(2.34) и j + (2.35) использовались ранее для вычисления утечки
нейтронов из единичного объема р (2.37) и формулировки
дифференциальных уравнений диффузии нейтронов—уравнения
возраста (2.56) и уравнения баланса скоростей реакций для
тепловых нейтронов (2.61). Односторонние токи могут быть
использованы также для определения различных граничных
условий.
Г р а н и ч н о е условие для р е а к т о р а без о т р а ж а ­
т е л я . Рассмотрим внешнюю поверхность активной зоны
реактора без отражателя (рис. 2.25). Эквивалентный по пло­
щади ячеек 5ЯЧ, или «физический», радиус активной зоны
определяется числом ТВС птвс и их шагом размещения
в поперечном сечении активной зоны а т в с :
^8.3

Ятвс /
=<

тв

=

71

— = 0,525атвс yJnTBC—треугольная сетка;

V

*
%вс / - ^ = 0,5642атвс у/птвс—квадратная
-

(2.86)
сетка.

к

Если активная зона граничит с вакуумом (на практике—с
воздухом) или с абсолютно поглощающим, т. е. «черным»,
телом (к нему близок слой кадмия или бора), то обратный
ток нейтронов из воздуха в среду активной зоны отсутствует,
так как в воздухе нейтроны практически не рассеиваются (а
в черном теле практически все поглощаются), и можно записать

)=o,
7J _ (i?a3
v а з /

^Л+±^1
4

6Lt

dr

= 0.
r=R„a
v

з

Отсюда получаем условие на внешней границе активной
зоны
с1Ф(г)
dr
114

r=Ra3

~-Ф(*а'з),
d3

'

(2.87)

ф м

Ф(о)

JL^IJ-0

ч.
\ \

Ф(*а. з)

\
\
1
—>

*э

рис. 2.25. К определению граничного
условия реактора без отражателя

Рис. 2.26. К определению эффективной
добавки отражателя
ИЛИ

1 </Ф(г)_</1пФ(г)
Ф(г) dr

dr

R„

d„

(2.88)

где
(2.89)
(Y, = 0,667)
^ = У Л
— длина линейной экстраполяции плотности потока нейтронов
в диффузионном приближении, т. е. то расстояние от границы,
на котором плотность потока как бы обращается в нуль
в случае ее линейной экстраполяции из граничной точки
активной зоны.
Диффузионное приближение несправедливо вблизи границы
с вакуумом или черным телом, и длина экстраполяции (2.89)
неточна. В приближениях теории переноса нейтронов она
несколько уточняется:
<k = lK Y = 0,71, Y = 4 A С2-90)
Смысл коэффициента у в (2.89) и (2.90) состоит в том, что
он равен безразмерной длине экстраполяции, выраженной
в единицах среднего свободного пробега нейтронов до полного
взаимодействия \ . В слабопоглощающих средах, к которым
применима теория диффузии, Xt примерно равно Xtr—среднему
свободному транспортному .пробегу.
Как видно из рис. 2.25, граничное условие (2.88) можно
записать в более простой форме:
Ф(Л э )*0,
(2.91)
8*

115

где R3 = Ra3-i-d3. Согласно (2.91) плотность потока нейтронов
обращается в нуль на внешней экстраполированной границе
активной зоны,
Граничное условие в реакторе с отражателем
совпадает на внешней поверхности отражателя с условиями
(2.88) или (2.91). Во многих случаях для упрощения расчетов
реактор с отражателем заменяется реактором без отражателя
с размером активной зоны, увеличенным на размер эффек­
тивной добавки отражателя 8эф (рис. 2.26). Значение эффектив­
ной добавки отвечает двум условиям: одинаковым значениям
эффективного коэффициента размножения нейтронов в этих
двух реакторах и обращению в нуль плотности потока
нейтронов в реакторе без отражателя на его экстраполирован­
ном радиусе (толщине пластины и т. п.):
Ф(Яэ) = 0, Яэ = Ла.3 + 8эф.
(2.92)
Согласно второму условию эффективная добавка включает
длину линейной экстраполяции.
Условие (2.92) можно записать по аналогии с (2.88) в виде
ЙИПФ(Г)

dr

r = Rа

= -1/8,*.

(2.93)

з

Эффективная добавка превышает длину линейной экстра­
поляции в некоторое количество (а) раз [см. ниже, (2.102)]:
5эф = а</э.
(2.94)
Г р а н и ч н ы е у с л о в и я на г р а н и ц е д в у х с р е д
/ и /+1 удобно выразить в виде равенства разности и суммы
плотностей односторонних токов в граничной точке rk:

Г [7+ (rk)~J- Ы]« = [ Л {rk)-j- Ы1<+1>

при r = rk<
I [U (rfc)+7_ {rk)l = [j+ {rh)+j. (r4)]/ + 1 .
Подставляя сюда выражения (2.39) и (2.35), получаем
условия сшивки (равенства) плотностей токов и потоков
нейтронов на границе сред с разными свойствами:
j(rk)i=J(rk)i+i> т - е - DiO\(rk) = Dl+1Oi

+ 1(rk)9']

>

(2.95)

Ток нейтронов не изменяется, так как граница представляет
собой условную математическую поверхность, не содержащую
источников или стоков нейтронов. Плотность потока нейтронов
в отличие от энерговыделения также не может претерпевать
скачок на границе ввиду высокой проникающей способности
нейтронного излучения. Равенство токов означает, что если
116

Отражатель
Активная
зона

RCL.3

а)
'
S)
рис. 2.27. Условия сшивки потоков и токов нейтронов на границе двух сред

коэффициенты диффузии Dt и Dl + l в средах различны, то
производная от плотности тока терпит разрыв (рис. 2.27, а).
При переходе нейтронов в среду с меньшим коэффициентом
диффузии происходит всплеск (более крутой подъем) плотности
потока нейтронов (рис. 2.27,6). Такая среда обладает большим
диффузионным сопротивлением.
Г р а н и ч н о е у с л о в и е на п о в е р х н о с т и п о г л о ­
щ а ю щ е г о с т е р ж н я . Диффузионная теория не дает точных
результатов в случае резкого изменения плотности потока
нейтронов вблизи границы с сильно поглощающей средой,
например с регулирующим стержнем. Тем не менее ею можно
пользоваться и в этом случае, введя эффективное граничное
условие, совпадающее по форме с условием (2.88),
dln<b(r)/dr\r=rc=l/d3,

(2.96)

где гст — радиус поглощающей части цилиндрического стержня;
d3 = уХ £Р—длина линейной экстраполяции плотности потока
нейтронов из среды в стержень, определяемая в более точных,
чем диффузионное, приближениях теории. Результаты таких
расчетов можно аппроксимировать следующей формулой для
безразмерного коэффициента у:
А

3[l-exp(-tfCTL;T)]

О RSfW

Уаз

0,16exp(-0,35</ CT Z; T )-,l +^ l,375tf
Г , CT:..,>(2-97)
Ef;

где dCT—диаметр поглощающего стержня с макроскопическим
сечением поглощения Е ас т 1. Е а.з
tr
транспортное сечение рассе­
яния в окружающей стержень среде активной зоны.
Знак в эффективном граничном условии (2.96) отличается
от знака (2.88) из-за выбранного расположения стержня по
отношению к среде (рис. 2.28) и использования в силу этого
равенства j+=0, а не у_=0. Из А ABC можно понять
геометрический смысл (2.96): tga = Ф'(rcт) = Ф(r cт )/d э .
117

ФА

ф I
Ваггуцм
Ыо
J2

Среда

#ъ)

**J+ = o

-*•

3

^

t/f

s)

Рис. 2.28. К определению граничного усло­
вия на поверхности поглощающего стержня:
а—вакуум справа; б—вакуум слева; в — поглоти­
тель слева

ушГ

V

ф к Погло­
щаю­
щий
5л о и

0,5^

1,0
0-

•

Ofi
Ofi
04

Рис. 2.29. Безразмерная длина экстраполяции
плотности потока нейтронов у в зависимо-.
сти от параметра x = dcJ^ca l{\+dCTYfa) при
разных
значениях
параметра

02
О

Ofi. Oft 06

Ofi 1fi X

j^cxlr/O+rfcx!?; 3 )

Коэффициент уT в общем случае зависит от безразмерных
параметров dCTI<l —«черноты» стержня и я?ст£?;3 (рис. 2.29).
Проверим формулу (2.97) для крайних, известных в теории
случаев. При плоской границе с вакуумом dCT = Da3-+co
и у = 4/3 — 0,856/1,375
= 0,7108. Для нитевидного абсолютно
T
черного тела EJ; ->oo, dCT конечен, но близок к нулю, и у = 4/3.
Для непоглощающего блока, например тонкого цилиндричес­
кого отверстия,
заполненного воздухом, в центре активной
т
зоны ££ = 0, у=оо и условие (2.96) сводится к
d<t>{r)
= 0,
dr r=rc

(2.98)

т. е. к нулевой производной от плотности потока для повер­
хности отверстия. Внутри отверстия плотность потока тогда
постоянна. Если торцы отверстия не Закрыты отражателем,
то при увеличении диаметра отверстия осевая утечка нейтронов
приведет к постепенному росту спада потока нейтронов от
среды активной зоны к центру полости. В конечном счете
при dCT-+oo получим у = 0,71. На этом примере видно, что
утечка нейтронов эквивалентна их поглощению.
Г р а н и ч н о е у с л о в и е на в н е ш н е й б о к о в о й п о ­
в е р х н о с т и я ч е й к и состоит в равенстве нулю плотности
118

тока нейтронов между соседними ячейками

Лл«)=о,

d<&(r)

dr

r=R,

(2.99)

= 0,

где радиус ячейки соответствует радиусу круга с площадью,
равной площади ячейки:
г

f

3/2

%вс / —
= 0,525 а т в с — треугольная сетка;
71
Л«мт —

"яч

= <

(2.100)

=

%вс —7= 0,5642атвс — квадратная сетка.
ч.

Условие (2.99) справедливо для идентичных ячеек в бес­
конечно протяженной среде, но с некоторой неточностью
часто применяется и для конечных сред.
А л ь б е д н о е г р а н и ч н о е у с л о в и е . Коэффициент от­
ражения нейтронов отражателем — альбедо может быть опре­
делен как отношение
обратного тока тепловых нейтронов из
p
отражателя j°- к3 току быстрых нейтронов из активной зоны
в отражатель у+ :
Ф(г)

Р

;°-

тр

уа.з

J+

Z)TrfO(r)
2

dr

Ф(г) Dbd<b{r)
2 dr

1+2Z)T

dlnФ(r)

dr
dln<b(r)
1-2A
dr

r= R

(2.101)

r= R

Быстрые нейтроны вылетают из активной зоны, замедля­
ются в отражателе и возвращаются в активную зону в ос­
новном тепловыми. Этому процессу соответствуют коэффици­
енты диффузии [в (2.101)—для быстрых нейтронов в активной
зоне и для тепловых в отражателе].
Из (2.101) получим граничное условие (2.93):
d\n<b(r)

i —Э

dr = 2D^ (2.102)
dl>(DJD6 + P)
о< 3 '
т.е. условие (2.94) выполняется, если oc = (Z>T/Z>6 + P)/(l —13).
Зная 8эф, можно подставить (2.93) в (2.101) и найти альбедо
(2.85).
dr

r = R,

2.5. Цепная реакция деления ядер
и критические параметры
реактора
1. Цепная реакция. Осндвные свойства цепной реакции
можно рассмотреть на примере среднего нейтрона, т. е. ней­
трона, обладающего средними характеристиками: соверша­
ющего средние пробеги в веществе, имеющего среднее время
жизни, дающего при поглощении в делящемся нуклиде среднее
119

число новых нейтронов на один акт поглощения vfl, которые
рождаются со средней энергией спектра деления Ер = 2 МэВ.
Некоторый средний нейтрон играет роль продолжателя
стационарной цепной реакции. Поглощаясь в делящемся нук­
лиде, он воспроизводит себя, так как из числа рожденных
нейтронов именно один и ровно один, пролетев некоторое
среднее расстояние, вновь поглотится в делящемся нуклиде,
вследствие чего родится снова один такой же нейтрон.
Ни самом деле в цепной реакции участвуют несколько средних
нейтронов с постоянно повторяющимися идентичными историями,
одинаковыми для каждого сорта этих средних нейтронов. Один
сорт таких нейтронов мы уже рассмотрели—это нейтроны,
постоянно поглощаемые делящимися нуклидами. Их число dx
в критическом состоянии реактора при К^=\ равно одному.
Рассмотрим еще два сорта средних нейтронов: нейтроны,
поглощаемые любыми нуклидами активной зоны, кроме де­
лящихся, и нейтроны, уходящие безвозвратно из активной
зоны, т. е. испытывающие утечку. Пусть числа нейтронов этих
сортов, рождающихся при поглощении одного нейтрона де­
лящимся нуклидом, равны d2 и d3. Поскольку любой нейтрон,
родившийся в активной зоне, может только поглотиться в ее
пределах или испытать утечку,
.d1+d2 + d3 = va.
Числа поглощаемых или испытывающих утечку нейтронов
определяются произведениями va на вероятности соответству­
ющих процессов, которые в однозонном реакторе выражаются
в виде отношения парциального макроскопического сечения
к полному макроскопическому сечению поглощения и утечки:
d^v.-^-;

^«5

.

1 _

ж

,

£ут

d3 = va-f-,

£/2 =

I*.

v e -rf 1 -rf 3 = v e - ^ T - ,

(2.103)

где Xa = E a5 + £ ^ ™ — полное макроскопическое сечение среды
i

активной зоны, равное сумме макроскопических
сечений по­
и
глощения в делящемся нуклиде Е а5 суммарного макросечения
остальных нуклидов; L ут — макроскопическое сечение утечки
[см. ниже, например (3.66)].
Число нейтронов, которые имеются в зоне стационарной
цепной реакции в данный момент времени, сохраняется и в по­
следующие моменты. Если в зону стационарной реакции
добавить извне порцию нейтронов, то она также будет
сохраняться во времени. В определенных пределах цепная
реакция не зависит от числа нейтронов, так как условия ее
протекания одинаковы для каждого нейтрона.
В произвольном реакторе Кэф ф 1 и совпадает с выражением
120

для dx в (2.103), если определить Кэф в виде (1.2) или в виде
отношения чисел идентичных нейтронов
в последовательных
y
нейтронных циклах: d1=vaI*a5/(La + LyT) в последующем и dt = l
в предыдущем. Учитывая эти соображения, получаем
/°5^5

Кээфф = -^1±^=

=К„Р,

(2.104)

~ Е а + Еут~Еа(1+^т/^)~Л°°

т. е. КЭф равен коэффициенту размножения нейтронов в бес­
конечной среде К^, умноженному на вероятность нейтрону
избежать утечки из активной зоны:
1

lH-L y T /2^ a

£<J

2, а + 2,уТ

V

__..

£<J5

o o ~ V a 5 1<
а

Остаться в активной зоне означает поглотиться в ней,
поскольку Р равно отношению макросечения поглощения
к сумме ма^росечений возможных процессов — поглощения
и утечки.
Пусть один нейтрон поглощается в размножающей среде.
Тогда в делящемся нуклиде поглотителя 2 a 5 / 2 a нейтронов
и родится К^ нейтронов. Следовательно, К^ — это среднее
число нейтронов, рождающихся при поглощении одного нейтрона
в размножающей среде, без учета утечки. Соответственно
Хэф — среднее число нейтронов, рождающихся при исчезновении
одного нейтрона в зоне цепной реакции за счет его поглощения
или утечки.
Кроме v a5 , К^, КЭф можно использовать, например,
Ли

ZaV

^V [>*5*5 + <*я8 ( l - * 5 ) ]

— среднее число нейтронов, рождающихся при поглощении
одного нейтрона в обогащенном уране; х5—доля ядер 2 3 5 U
в уране. В основе всех этих чисел лежит vf— среднее число
нейтронов, возникающих при делении ядра нейтроном фик­
сированной энергии. Очевидно, что числа вторичных нейтронов,
возникающих в размножающей среде и нормированных на
то или иное событие, можно выразить и через vf:
v„5 = v / 5 ^ ; *

в

= ^ ;

*ЭФ = ^

.

(2Л05)

Средние числа нейтронов на акт деления v, или на акт
поглощения в делящемся нуклиде va нейтрона фиксированной
энергии являются фундаментальными константами в реактор­
ной нейтронной физике и не изменяются ни при каких внешних
условиях. Единственное, что определяет их значение,— это вид
делящегося нуклида и энергия нейтрона. Число va зависит
121

от энергии сложным образом (см. рис. 2.8) с общим ростом
в области высоких энергий, тогда как vf линейно растет
с энергией нейтрона:
для ядер А;
V / = [V/T + (0,13 + 0,006(А-235))Е п ]±(0,01-0,02)
v / 5 = v} 5 + 0,114J?n для 2 3 5 U,
где А — массовое число делящегося ядра; Еп — энергия ней­
трона, МэВ; v /T — число вторичных нейтронов при делении
ядра тепловыми нейтронами (см. табл. 2.2).
В целом при определенном составе реактора всем нейтро­
нам, вызывающим деление ядер, можно поставить в соответ­
ствие конкретную среднюю энергию и считать, что числа
вторичных нейтронов с учетом усреднения энергии постоянны
в реакторе фиксированного состава.
2. Нейтронный цикл. Стационарная цепная реакция, если
ее рассматривать в среднем, состоит из повторяющихся
идентичных нейтронных циклов. Число нейтронов в любой
точке цикла остается постоянным в стационарном состоянии
и поддерживается за счет смены поколений нейтронов. В раз­
личных приближениях теории реакторов события нейтронного
цикла рассматриваются с большей или меньшей подробностью.
М о д е л ь о д н о г р у п п о в о г о ц и к л а . Нейтроны рожда­
ются с некоторой средней энергией, меньшей средней энергии
спектра деления и зависящей от состава реактора, не замед­
ляются, диффундируют, смещаясь на некоторое расстояние,
и поглощаются или испытывают утечку из активной зоны.
Пробеги нейтронов в одногрупповом цикле определяются
с помощью эффективного коэффициента диффузии, учитыва­
ющего диффузию быстрых и тепловых нейтронов с помощью
соотношений
^ + - ^ = ^ ; D§ = DT+^D6

(тепловой реактор). (2.106)

В тепловом реакторе коэффициент диффузии (2.106) позволя­
ет учесть длину миграции нейтрона М=у/т + ££\ = у/0(^/Иат.
Д в у х г р у п п о в а я м о д е л ь н е й т р о н н о г о цикла.
Для слабообогащенного однозонного реактора на тепловых ней­
тронах ее можно представить в следующей традиционной форме.
Рассмотрим «пакет» из N0 —100 нейтронов, рожденных при
средней энергии спектра деления Ец 3—
2 МэВ. Быстрые нейтроны
8
вызывают надпороговое деление
U, и их число вырастает
до N0[i=l05, если ц=1,05, где р,—коэффициент размножения
на быстрых нейтронах. Нейтроны замедляются без поглощения,
но с утечкой, и их число снижается до 7^0^^6 = 86,5, если
Рб = 0,823, где Рб — вероятность избежать утечки для быстрых
нейтронов. Замедлившись до энергии из области резонансного
122

поглощения в 2 3 8 U, часть нейтронов поглощается на резонансах, а часть замедляется ниже резонансов, и число нейтронов
снижается до N0\iP6(p8 = 7l,2, если ф 8 = 0,823,
где (р—вероят­
238
ность избежать резонансного захвата на
U. Замедлившись
до энергии теплового равновесия со средой, нейтроны диф­
фундируют и испытывают утечку, их число снижается до
Л^0Ц^бФ8^т = 58,6, если /%-0,823, где РТ— вероятность избе­
жать утечки из активной 2 3зоны
для тепловых нейтронов. Из
5
оставшихся нейтронов в
U поглощается N0\iP0(psPTQa5 =
= 48,3 нейтрона, если
6а5 = 0,823, где 6 а5 — вероятность поглоще­
235
ния нейтронов
в
U. В результате поглощения делящимся
235
нуклидом
U в среднем возникает v a5 = 2,071 нейтрона на
одно • поглощение, и число нейтронов возрастает до
No[iP6(psPTva5Qa5 = l00, что подтверждает стационарность цеп­
ной реакции в данном численном примере. Число нейтронов,
взятых в одной и той же точке событий нейтронного цикла
(в данном случае—это число только что рожденных быстрых
нейтронов), в стационарном нейтронном цикле постоянно.
Отсюда имеем
или
1=Уа5^а5^8РбРт

= Ко0РбРТ

= Кэф,

К^ = Va5 Q а5 Цф 8 . (2.107)

Получили формулу четырех сомножителей для К^.
Формулу (2.107) для К^ можно использовать и в одногрупповом цикле для теплового реактора, что упрощает подготовку
сечений.
М н о г о г р у п п о в а я м о д е л ь н е й т р о н н о г о цикла.
В отличие от модели двухгруппового цикла, в которой пред­
полагается, что деление ядер идет в основном под действием
тепловых нейтронов, в многогрупповой модели полагается, что
нейтроны рождаются в результате деления ядер нейтронами
любых энергий во всем энергетическом диапазоне. Рождевные
нейтроны попадают в различные энергетические группы j в соот­
ветствии с распределением по этим группам спектра деления
с долями %j (2.8). Интенсивность источника нейтронов в верхней
по энергии группе этим и ограничивается, тогда как в последу­
ющих группах она увеличивается за счет процессов упругого
и неупругого рассеяния. Убыль нейтронов из группы определяется
поглощением, замедлением и утечкой.
3. Нестационарная цепная реакция. Стационарная цепная
реакция была рассмотрена в п. 1 на модели, согласно кото­
рой один нейтрон поглощался одним делящимся яд­
ром. В соответствии с парциальными микроскопическими се­
чениями часть поглощенного нейтрона, равная af/aa =
= 1/(1+ос), делила такую же часть ядра с образованием
123

vfGf/Ga = va нейтронов, а часть ас/'оа = а/(\ -fa) испытывала
радиационный захват в такой же части ядра.
В нестационарном случае удобнее рассматривать модель
цепной реакции, согласно которой в каждом нейтронном цикле
в a a / a y = l - f a делящихся ядрах поглощается такое же число
нейтронов. Один нейтрон вызывает деление одного ядра
с образованием vf нейтронов, а ac/<jy = a нейтронов поглоща­
ются в такой
же части делящегося ядра без деления, с об­
236
разованием
U. Из родившихся vf нейтронов один поглоща­
ется с делением, vfac/aa
поглощается в делящемся нуклиде
без деления, а vf — vfac/oa — 1 =va— 1 нейтронов испытывают
утечку или поглощаются в неделящихся нуклидах. Таким
образом, по числам избыточных нейтронов, коэффициентам
размножения и другим параметрам данная модель полностью
адекватна модели цепной реакции, рассмотренной в п. 1 для
стационарного случая. Но в отличие от нее здесь необходимо
более подробно рассмотреть средний нейтрон, вызывающий
деление.
Обозначим число нейтронов, вызывающих деление,
аг и разобьем эти нейтроны на два вида: мгновенные
ац и запаздывающие а12. Если ах — \, то
*11=М1-РЭФ)=1-РЭФ*0,993;

где Рэф = Ро/—эффективная доля запаздывающих нейтронов;
/—ценность запаздывающих нейтронов по отношению к мгно­
венным.
Вскоре после пуска в реакторе устанавливается равновесная
концентрация ядер — предшественников испускателей запазды­
вающих нейтронов «уКпредш. Образуется стационарный источник
запаздывающих нейтронов интенсивностью
^з.н

=

(

* ) ^/3 ; пр = ^

предш^прэ
3

[53°н] = нейтр./(см -с),
(2.108)
где ^ пр , упр — постоянная распада и кумулятивный выход
ядер-предшественников.
В стационарном состоянии. в среднем можно считать, что
каждый нейтронный цикл начинается с деления ядра, которое
вызывают 0,993 мгновенных нейтронов, образовавшихся в пре­
дыдущем нейтронном цикле, и 0,007 запаздывающих нейтронов,
образовавшихся за 13 с перед этим и проживших это время
в составе ядра-предшественника, но испущенных как раз
ву данный момент. В целом ядра-предшественники испускают
/Рэф запаздывающих нейтронов, из которых в рассматрива­
емой модели цепной реакции в инициировании деления уча­
ствует Рэф нейтронов, а остальные поглощаются без деления
124

или испытывают утечку так же, как и мгновенные. Для
стационарной цепной реакции, следовательно, не имеет значе­
ния, что в данном усредненном акте деления участвуют
нейтроны, родившиеся примерно за миллион нейтронных
циклов перед этим.
Рассмотрим качественно нестационарную цепную реакцию
при изменении Кэф на 8^ э ф ,
т.е. с К®ф=1 до
К1ф=\+ЬКЭф=\+дк.
В первую очередь на такое изменение
реагируют мгновенные нейтроны. Отключим мысленно источ­
ник запаздывающих нейтронов. Тогда перед скачком 5 к
реактор был подкритичен с Л^эф=1 — р эф и подкритичностью,
определяемой как
Акп=1-Кэф,
(2.109)
равной АА:щ0 = Рэф- После скачка, если он положительный
и меньше (Зэф, подкритичность снизилась до Л&П)1 = р эф — §&.
В подкритическом реакторе с ^ э ф < 1 числа нейтронов
в последующих поколениях, убывают в Кэф раз. Если в под­
критическом реакторе есть источник нейтронов интенсивностью
s, то в процессе размножения количество испускаемых ней­
тронов будет расти согласно убывающей геометрической
прогрессии
s = sK3$-\-sK3$-\-sK3$-\- ...=
= £/(1 — K^) = s/Akn = skyMH,
&

=_!_ = _ _ 1 _
(2.110)
у
}
Акп 1-к*
где кумн—коэффициент умножения нейтронов источника в под­
критическом реакторе.
В критическом реакторе существует источник нейтронов
деления интенсивностью
умн

s

_^тУ/
*
Е/

9

г ^ -I нейтр.
*- *"*
с

so

=

_^f_ г ^ 0 1 н е й т Р Ка#3'
см 3 с'

в который основной вклад дают мгновенные нейтроны.
Переходный процесс на мгновенных нейтронах при внесении
скачка реактивности 5к можно условно оценить как изменение
коэффициента умножения подкритического на мгновенных
нейтронах
реактора в двух состояниях—с подкритичностью
и
—
Рэф Рэф $£- Тогда сразу же после скачка реактивности 8к
плотность потока нейтронов и мощность реактора быстро (с
постоянной времени порядка времени жизни мгновенных
нейтронов) изменятся, причем
Ф,

W1

к1

^0

гг

^умн

т

125

Г

_ 1 ^ ? 5^>0;
Рэф 5

= <

~ *

p

i*

(2.111)
5^<o.

РЭФ + ISA:

При скачках 8&<Р эф быстрый рост интенсивности цепной
реакции до уровня (2.111) сменяется дальнейшим сравнительно
медленным ростом, связанным с запаздывающими нейтронами.
Само по себе нарастание интенсивности цепной реакции понятно,
так как при положительном скачке реактивности 5 к реактор
становится надкритическим и в каждом последующем нейтронном
цикле рождается больше нейтронов, чем в предьщущем. Поскольку
число делений растет, должно расти и число запаздывающих
нейтронов (2.108), поступающих в нейтронный цикл для
обеспечения каждого деления. Этот прирост может происходить
только за счет увеличения концентрации ядер-предшественников
и их радиоактивного распада. Число распадов определяется двумя
факторами — числом ядер и постоянной распада.
Постоянная
распада предшественников Хпр, равная 0,0784 1/с
235
для
U (см. табл. 2.4), определяет среднее время их жизни
около 13 с и малую скорость экспоненциального нарастания
мощности на запаздывающих нейтронах. Однако кроме посто­
янной распада важно и число ядер-предшественников [см.
(2.6)—закон радиоактивного распада]. Это число определяется
произведением плотности делений Ф(t)ltf на выход ядерпредшественников на одно деление упр (см. рис. 2.7). Плотность
делений пропорциональна плотности потока нейтронов, пер­
воначальный скачок которой (2.111) в свою очередь обратно
пропорционален разности |3Эф — 5Л:. Следовательно, при увеличе­
нии скачка реактивности 5 А: концентрация ядер-предшествен­
ников нарастает во времени быстрее, скорость генерации
запаздывающих нейтронов растет и экспоненциальный разгон
на запаздывающих нейтронах происходит быстрее.
4. Критические параметры реактора. Значение А^эф реактора
зависит только от размеров, состава и температуры среды
активной зоны и отражателя. Эффективный коэффициент
размножения равен числу идентичных по месту в цикле
нейтронов, родившихся в (л+1)-м цикле и приходящихся на
один нейтрон, родившийся (или исчезнувший) в n-м цикле.
Тогда избыточный коэффициент размножения
5Кэф = Кэф-1
(2.112)
равен разности чисел нейтронов, родившихся в (л+1)-м и в л-м
цикле, нормированной на один нейтрон, родившийся в п-м
цикле, а реактивность
р = {Кэф-1)/Кэф=\-\/Кэф
= 5Кэф/Кэф
(2.113)
126

равна разности чисел нейтронов, родившихся в (я+1)-м и в п-м
циклах, нормированной на один нейтрон (л+1)-го цикла.
Указанные характеристики, включая К^, и подкритичность
ДА:П имеют следующие интервалы возможных значений (в
скобках приведены суженные интервалы, более часто встреча­
ющиеся на практике):
0^Кэф^уа

(0,9<# э ф <1,5);

0^8Кэф^а-1

(0<5* э ф <0,5);

-oo<p^l-l/ve
0<K„^va

(-0,1<р<0,25);

(0,5<#«,< 1,8);

0^ДА; П ^1 (0^ДА;П<0,1).
Реальный диапазон изменения К^ шире, чем Кэф, поскольку
Кос, относится к отдельным зонам реактора, тогда как Кэф— к
реактору в целом.
Существует понятие избыточной реактивности, или запаса
реактивности реактора, равных максимальной реактивности,
которая может быть высвобождена в данном состоянии
активной зоны при предельном конструктивном перемещении
органов регулирования в направлении увеличения реактивности.
Определение избыточной реактивности проводится расчет­
ным путем и сводится к расчету реактора без органов
регулирования или с органами регулирования в их крайних
выведенных положениях. При этом динамический процесс
роста мощности с различными тепловыми последствиями не
учитывается, так как ррактор расчетным путем поддерживается
в условно-критическом состоянии.
Наиболее удобный прием перевода реактора в услов­
но-критическое состояние — расчетное изменение числа вторич­
ных нейтронов на акт деления ядра vf в Кэф раз. Поскольку
Кэф (2.105) по своему физическому смыслу пропорционален
v / 9 деление vf на Кэф всегда делает реактор условнокритическим:

v/->v> = v / / ^ , * э ф ^ ; ф = 1 , J^O.

(2.114)

Таким способом Кэф вносится в уравнения баланса чисел
процессов в член, описывающий плотность рождения ней­
тронов.
При расчетах некритического реактора число Кэф становится
критическим параметром реактора, переводящим его в условнокритическое состояние за счет изменения числа vf в А^эф раз.
Некоторые расчеты при проектировании реактора и его
эксплуатации делаются для критического состояния с ^ э ф = 1.
127

Этому же соответствуют реакторные эксперименты на критиче­
ских сборках или при пуске реактора. В этих расчетах
и экспериментах находятся реальные критические параметры
реактора: критическое число ТВС, т. е. критический радиус
реактора, критическая масса делящегося нуклида, критическое
положение органа регулирования и др.
Последний критический параметр можно признать основ­
ным, так как практически в любом состоянии полностью
загруженного топливом реактора всегда имеется избыточная
реактивность, которая должна быть скомпенсирована органом
регулирования до Кэ$ = 1.
Глава 3
ОДНОГРУППОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТЕОРИИ
КРИТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

3.7. Общая схема
реактора

физических

расчетов

1. Спектр нейтронов в реакторе и групповые теории. При3
работе энергетического реактора на тепловых нейтронах в 1 см
гомогенизированной
среды активной зоны находится в среднем
2-Ю 8 —2* 109 нейтронов,
а плотность
потока нейтронов со­
13
14
2
ставляет 5-Ю —5-Ю нейтр./ (см • с).3 Энергии нейтронов
лежат в интервале примерно от 10 ~ эВ до 10 МэВ. Рас­
пределение по энергии, т. е. зависимость от энергии числа
нейтронов с данной энергией, или плотности их потока
называется энергетическим спектром нейтронов в реакторе,
или просто спектром.
На формирование спектра нейтронов влияют следующие
факторы: различие энергий нейтронов, рождающихся при
делении ядер, замедление нейтронов в результате упругого
и неупругого рассеяния на ядрах, поглощение и утечка
нейтронов в процессе замедления и диффузии, ядерные реакции
умножения нейтронов и др.
В зависимости от соотношения количеств замедлителя
и топлива спектр нейтронов в активной зоне может быть
более жестким, т. е. содержать большую долю быстрых
нейтронов (например, спектр нейтронов в быстром реакторе,
в котором много топлива, а замедлитель практически отсут­
ствует), или более мягким (например, спектр теплового ре­
актора, где мала концентрация топлива и много замедлителя).
Средним между ними является спектр промежуточного реак­
тора с высокой концентрацией топлива и умеренным количе­
ством замедлителя.
128

Для упрощения теории, позволяющей рассчитывать Кэф,
распределение энерговыделения и спектр нейтронов, применя­
ется метод групп.
В пределах границ групп по летаргии усредняются мик­
роскопические сечения взаимодействия нейтронов с ядрами
и коэффициенты диффузии. Основной принцип усреднения по
энергии состоит в том, чтобы получить правильные средние
значения скоростей реакций, т. е. плотностей тех или иных
процессов (2.22), (2.25). При усреднении коэффициентов диф­
фузии должна быть правильно описана утечка нейтронов
(2.37). Поскольку оператор Лапласа (2.38) действует только
на пространственные переменные, в случае разделения
про­
х
странственных и энергетических переменных: Ф(г, Ё) = ¥{г)Ф(Ё)
коэффициент диффузии усредняется по плотности потока
нейтронов:
А ф ; = J D{E)<b{E)dE, Dj= j П(ЩФ(Щ(1Е/-1

Ф(Щ(Ш9 (3.1)

где EjB9 EJH — верхняя и нижняя границы группы у*. Приближен­
но коэффициент диффузии для смеси элементов может быть
подсчитан как

Е-

= \(\1ааЩЩ<Ш\
Ejn

\ Е-

\Ф{Ё)с1Е,

(3.2)

EJn

где ot = otr-\-Ga — полное микроскопическое сечение, близкое
к транспортному сечению в слабопоглощающих средах.
Усреднение микроскопических сечений радиационного за­
хвата, а также обратных полных или транспортных микро­
скопических сечений l/otr наиболее правильно проводить по
спектру реактора, но так как спектр является искомой
величиной, усреднение вначале осуществляется по какому-либо
известному спектру—спектру деления (2.7) для быстрых ней­
тронов, спектру Ферми (2.52) для замедляющихся нейтронов
и спектру Максвелла (2.70) для тепловых либо по спектру,
типичному для реакторов данного класса.
Полученные при усреднении макроскопические сечения и ко­
эффициенты диффузии среды ЯЁЛЯЮТСЯ реакторными констан­
тами, так как они постоянны в пределах группы, т. е.
одинаковы для всех нейтронов, входящих в группу. Используя
групповые константы и математический аппарат групповых
теорий, можно получить спектр нейтронов реактора в виде
9 Заказ 2739

*

129

Ф,отн.ед,
80

. if

30

60
40

го

Теплобыв
нейтроны

20

/5

\

4

ю

TTtTTTTtrmf
Я7

\

ТГп

^

т
"1-

-Г

Tim
10 15 ZOu

Z0 и

5)

1
4
О

\1
5

V

10 а

Рис. 3.1. Спектр плотности потока нейтронов в тепловом (а), промежуточном
(б) и быстром (в) реакторах [кривая — спектр деления S(E)]

ступенчатой функции—гистограммы, отражающей постоянные
в пределах группы плотности потоков нейтронов. Одновремен­
но определяется Кэф реактора и *¥ (г).
На рис. 3.1 приведены спектры нейтронов для теплового,
промежуточного и быстрого реакторов. В тепловом реакторе
рождающиеся нейтроны почти без потерь замедляются до
тепловых энергий и их спектр имеет характерный всплеск,
обусловленный равновесием между процессами поглощения
тепловых нейтронов и их образования из замедляющихся.
В быстром и промежуточном реакторах вероятность по­
глощения нейтронов в процессе замедления относительно
велика и плотность их потока становится близкой к нулю
в середине или в конце процесса замедления. Из рис. 3.1
видно также, что в тепловом реакторе существуют большие
потоки быстрых и замедляющихся нейтронов.
Наиболее точное представление о действующем спектре
нейтронов в реакторе, т. е. о спектре нейтронов, вызывающих
деления ядер, дает энергетическая зависимость плотности
делений, или спектр числа делений (рис. 3.2). В тепловом
реакторе деления происходят практически только в тепловой
отн.ед.
0,4
0,3
0,1
0,1

о

15 20 а

0,06

0,04

i

0,01

1Ш

йW,
2

м>

^^22^

!а
10

Е

15 ZOu
S)

Рис. 3.2. Спектр плотности делений в тепловом (а), промежуточном (б)
и быстром (в) реакторах
130

группе, что связано с ростом примерно в 100 раз микроскопичес­
ких сечений деления при переходе быстрых нейтронов в область
тепловых. Поэтому с использованием только спектра Максвелла
можно достаточно правильно описать процессы поглощения
тепловых нейтронов и деления ядер. Спектр делений для
промежуточного реактора также заметно отличается от спектра
плотности потока, тогда как для быстрого реактора они
практически совпадают из-за слабого изменения микроскопичес­
кого сечения деления в области энергий быстрых нейтронов.
Простейший энергетический спектр может быть получен
в двухгрупповом приближении; пространственные задачи более
подробно рассматриваются диже, в одногрупповом приближе­
нии, а подробный расчет спектра — в многогрупповом при­
ближении теории критических параметров реактора.
2. Гомогенизация активной зоны. Расчет спектра, простран­
ственного распределения плотности потока нейтронов и
энерговыделения проводится, как правило, для гомогенизиро­
ванной активной зоны.
Таким образом, расчету реактора предшествует стадия его
гомогенизации, сводящаяся в тепловых реакторах к расчету
ячейки реактора. Ячейкой называется такой элемент объема
активной зоны или зоны воспроизводства, повторяя который,
можно собрать всю активную зону или зону воспроизводства
при идентичной структуре этих элементов. Ячейка, относящаяся
к ТВС, представляет собой прямую призму с правильным
шестигранным или квадратным поперечным сечением. По
высоте ячейка может включать всю ТВС и торцевые отража­
тели. Расчет такой ячейки—трехмерный, минимум—двумер­
ный при скруглении границ и требует много машинного
времени и сложных расчетных методов и программ. В простей­
шем случае из такой ячейки может быть выделен слой
высотой 1 см, который при скруглении внутренних и наружных
границ рассматривается в одномерном приближении в ради­
альном направлении. Распределение по высоте считается посто­
янным, что эквивалентно предположению о бесконечной высоте
ТВС или о слабом изменении распределения плотности потока
нейтронов по высоте. Скругление наружных границ ячейки
исключает составление активной зоны из ячеек и является
лишь расчетной моделью (см. п. 8 § 2.4).
В реакторе на тепловых нейтронах ТВС окружены
замедлителем, в котором быстрые нейтроны замедляются
до тепловой энергии. Тепловые нейтроны поглощаются
преимущественно в ТВС (в топливе и в конструкционных
материалах). Плотность потока тепловых нейтронов ма­
ксимальна в замедлителе между соседними ТВС и уменьшается
по направлению к центру ТВС, достигая там минимума
(рис. 3.3, б). Распределение плотности потока нейтронов
9*

131

Рис. 3.3. Распределение плотности потока тепловых нейтронов в гомогенизиро­
ванной (а) и в гетерогенной (г) активных зонах и в ячейках, относящихся к ТВС
(б) и к твэлу (в)

получается в результате расчета ячейки реактора. Распределение
плотности потока нейтронов по реактору спадает от
центра к периферии вследствие утечки нейтронов из реактора
(рис. 3.3,^). На него накладываются распределения по ячейкам
и микроячейкам (см. рис. 3.3, б, в). ОбщеЬ распределение
(см. рис. 3.3, г) получается сложным и может быть рассчитано
лишь специальными «геторогенными» методами.
Для упрощения вычислений используют метод эквивалент­
ной ячейки Вигнера—Зейца. Выделение эквивалентной ячейки
основано на двух основных положениях.
1. Считается возможным выполнить расчет распределения
плотности потока нейтронов по ячейке отдельно от расчета
по реактору. Это равносильно тому, что реактор принимается
неограниченно протяженным, так как распределение потока
нейтронов по бесконечно большому реактору постоянно ввиду
отсутствия утечки нейтронов (рис. 3.4).
2. Из первого положения вытекает физическая симметрия
ячейки и равенство нулю производной от плотности потока
нейтронов в центре и на границе ячейки (2.99).
Реальная граница ячейки имеет квадратную или шестигран­
ную форму в случае расстановки ТВС по квадратной или
треугольной сетке (рис. 3.5). В одномерном расчете реальная
граница заменяется окружностью (2.100), что не вносит сущест­
венных погрешностей, но позволяет упростить вычисления.
Общий принцип пространственной гомогенизации ячейки
состоит в обеспечении равенства числа ядерных реакций
132

Рис. 3.4. Схема выделения ячейки ре­
актора [Ф'(0) = Ф'(Дяч) = 0]

Ячейка

Рис. 3.5. Схемы ячеек, относящихся
к ТВС, расположенных по квадратной
(а) и треугольной (б) сеткам:
1—ячейка; 2—ТВС

1

ШШШ
ЩЩшz
Ш2№%

ТТЛ

ШАШШ
<—>

ТВС

в гетерогенной ячейке и в гомогенизированной среде активной
зоны:
i—a*—треугольная
решетка ТВС;
Ф - , £ . К „ = £ < М а д ^ , K „ = S „ - l см, S^=<
Отвс—квадратная
решетка,
ч.

(3.3)

где Ф7, Zkj-, Vj—средняя по объему плотность потока ней­
тронов, макроскопическое сечение k-го процесса и объем j-й
зоны ячейки; Ф яч , Е к , Уяч—средние по объему ячейки
плотность потока, макроскопическое сечение и объем ячейки
на 1 см высоты.
Отсюда получают средние по объему макроскопические
сечения поглощения нейтронов Е а и деления ядер Е / ? ис­
пользуемые в одногрупповом уравнении баланса нейтронов
для гомогенизированной среды реактора:
Ф V
г
^яч

Z,=l

яч

Ф V
г
^ яч

(3.4)
яч

Средние плотности потоков тепловых нейтронов в зонах
находят усреднением по объему зон:
T

jaap

Ф Г

r rdr

Л ) = J ^A ) \

J rdr,

(3.5)
133

г

Д е Овн> Онар—внутренняя и наружная границы зон.
Рассмотрение конкретных ячеек реактора базируется на
функциях (2.68) и будет проведено в п. 2 § 3.5.
В реакторах на быстрых нейтронах в большинстве случаев
распределение нейтронов по ячейке равномерное ввиду больших
длин свободных пробегов нейтронов и гомогенизация осущест­
вляется путем распределения ядер по объему ячейки с учетом
объемных долей отдельных элементов и веществ.
3. Обратный переход к гетерогенному реактору. Основной
задачей расчета гомогенизированного реактора является опре­
деление значения Кэф и распределений по объему плотностей
потоков нейтронов и энерговыделения. Полученное распределе­
ние энерговыделения относится к гомогенной среде, тогда как
в теплофизических расчетах необходимо знать удельные энер­
говыделения в реальных конструкционных элементах, твэлах,
замедлителе и т. п. Эти энерговыделения оказались распре­
деленными по объему ячеек активной зоны. Их надо вос­
становить для конкретных элементов.
Общее распределение энерговыделения вдоль координатной
оси практически одинаково в гомогенном и гетерогенном
реакторах. % гетерогенном случае это распределение относится
к ТВС и окружающим их материалам — ячейкам, относящимся
к ТВС, расположенным на различных расстояниях от центра
активной зоны. Высотное распределение относится к слоям
ячеек ТВС, расположенным на различных расстояниях от
верхнего или нижнего края активной зоны.
В пределах ячейки ТВС распределение энерговыделения
неоднородно. Полная мощность ячеек ТВС с высотой, равной
высоте активной зоны, зависит от радиуса их размещения
по отношению к центру активной зоны:
<2*ч{г) = 0,ЯчЧ{г)1ч{г\ 0яч=—T-kl9 пяч = птвс,

(3.6)

где q(r)/q(r)—радиальное распределение мощности ячеек, нор­
мированное на среднее значение по радиусу; WT — тепловая
мощность реактора; пяч — число ячеек, равное числу ТВС птвс;
кх« 0,95 -г- 0,98—коэффициент, учитывающий утечку нейтрон­
ного и у-излучения из активной зоны. Оценим к1 по приближен­
ной формуле
ATI = — т г

Е
Е0СК + Ер + Еп\+В2о2Мг7г
2 + у\ !
' "ly
2цуКа. ' '

(3,?)

где Цу = Х| 1 1^7^яч — средний по объему линейный коэффициент
i

ослабления у-квантов; SAm3, К аз —площадь
боковой поверх­
2
ности и объем активной зоны; В — геометрический параметр
134

(см. п. 1 § 3.3); Е°, Еоск, 2sp, Еп, Еу — энергия деления и ее
компоненты—энергии осколков, Р-частиц, нейтронов и всех
у-квантов (см. табл. 2.6).
При распределении энергии по объему ячейки учтем сле­
дующее: практически вся энергия осколков деления и Р-частиц
выделяется в ядерном топливе, выделение кинетической энергии
нейтронов пропорционально замедляющим способностям ^E si
компонентов ячейки, энергия у-квантов распределяется в первом
приближении пропорционально массам компонентов ячейки М{.
Среднюю мощность всех твэлов в каждой ТВС выразим
в виде
QzTs{r) = Q»4{r){ki + k3).
(3.8)
Коэффициенты к2 и къ учитывают доли мощности, выделя­
ющейся в топливе:
Мтоа

-+Е$ + Еп ( ^1^ т о п )

(3.9)

и в оболочках твэлов:
К ? = ^

.

(3.10)

Остальная мощность выделяется в теплоносителе:
Ст(г) = е«(г) js(*т

!г+Е»

^

Х

(З.Н)

в кожухе ТВС:
2кож {г) = бяч(г) -^ (ЕУ ^+Еп

&

Ы

(3.12)

и в замедлителе:
б . ( г ) - е „ ( г ) ^ (ЕУ ^р+Еп & ^ \
(3.13)
Ej \
Мяч
£,2,V„J
В каждой ТВС максимальная мощность одного твэла
6ЯГ=—ei™(r)*nic,
KC

(314)

п

где KTBC = q(r)™ /q(r)TB — коэффициент неравномерности энер­
говыделения по твэлам ТВС; птв—число твэлов в ТВС.
Поверхностная мощность, или тепловой поток через повер­
хность, в наиболее «горячем» сечении твэла с максимальным
энерговыделением
Ятш{г, z)MaKC==-^-Q^ckz-±-,
Ha3

(3.15)

ndTS
135

где dTB—наружный диаметр оболочки твэла; kz — q(z)MaKC/q(z)—
коэффициент неравномерности энерговыделения по высоте.
Выше использовались следующие обозначения:
Ws^^siVt;
УЯЧ = ^У(; МЯЧ = ^М>; М( = у(Уь
i

i

i

—средняя замедляющая способность ячейки, объем ячейки
и масса ячейки, причем объемы и массы могут быть взяты
на 1 см высоты.
Отношения составляющих к общей энергии деления Е{\Щ
дают доли мощности, обусловленные каждым видом энергии.
С нейтронами связано 2,4% мощности, выделяющейся в ос­
новном в замедлителе и теплоносителе, тогда как с укзантами — примерно 11%, причем большая часть выделяется
в топливе. Всего в топливе выделяется до 90% энергии
деления, т. е. мощности реактора. Поэтому одномерные рас­
пределения плотности энерговыделения по радиусу гомогени­
зированного реактора могут в первом приближении трак­
товаться как распределения мощности ТВС. При этом общая
мощность всех ТВС должна быть принята равной 90—95%
номинальной мощности реактора, так как около 5% уходит
в отражатель или боковую зону воспроизводства, а 3—5%
выделяется в активной зоне вне ТВС.

3.2. Одногрупповое
нейтронов

уравнение

баланса

1. Особенности одногруппового приближения. В случае одногруппового приближения в одну группу в общем случае
объединяют все нейтроны с различными энергиями, находящи­
еся в единичном объеме активной зоны.
Усредненные одногрупповые микроскопические сечения вза­
имодействия в реакторе на быстрых нейтронах определяются
для отдельных нуклидов или элементов путем свертки име­
ющихся в библиотеках микроконстант многогрупповых сечений
к-х взаимодействий в у-х группах aktj по спектру реактора,
предварительно рассчитанному в многогрупповом прибли­
жении:

(3.16)

^ = Е ^ Ф , / Е Ф Л

где индекс к относится к процессам поглощения (&->я)
и деления (k-+f).
Коэффициенты диффузии усредняются непосредственно в со­
ответствии с (3.1), (3.2) по формуле
i

D

=lW>
i

136

•

i

i

( l / o - H Z O / o ^ / Z * * ' (3-17)
l

j - 1

Ij-1

где J/\ — ядерные концентрации i-x элементов; atij — полные
микроскопические сечения i-x элементов в у'-х группах по
энергии.
В одногрупповом приближении все замедляющиеся ней­
троны, не испытавшие утечки, поглощаются. Поэтому
ф £ 3 = Ф£ а , и возраст нейтронов T = Z> 6 /E 3 может быть рас­
считан по формуле T = D/E a .
Источник нейтронов в одногрупповом приближении опре­
деляется только реакцией деления ядер, так как замедление
нейтронов происходит внутри группы и не дает вклада
в источник. Сечение образования нейтронов vfaf усредняется
в быстром реакторе аналогично (3.16). Заметим, что при
усреднении микроскопических сечений радиационного захвата
по формуле (3.16) резонансное поглощение целесообразно
учитывать отдельно, а в (3.16) оставлять гладкие части сечений.
Одногрупповое приближение для теплового реактора целесо­
образно построить на несколько иных принципах ввиду
существенного различия процессов, происходящих в реакторах
на быстрых и тепловых нейтронах. Из рис. 3.2 видно, что
основная часть делений ядер происходит в тепловом реакторе
в нижней, тепловой группе. Поэтому сечения поглощения,
деления и vf целесообразно усреднять не по всему энергетиче­
скому спектру нейтронов, а лишь по спектру Максвелла,
характерному для тепловых нейтронов. Иногда полезно уточ­
нять тепловые сечения, используя эффективные сечения (п. 1
§ 4.2) поглощения с учетом резонансных интегралов
различных
2
элементов (Zr,2 3Fe
и т. п.), за исключением ^ и . Резонансное
8
поглощение в
U следует при данном подходе учесть в виде
множителя (р8 в К^ (см. п. 2 § 2.5). Так же, путем домножения
числа нейтронов на акт деления vf на |i, учитывают и2 раз­
множение быстрых нейтронов при надпороговом делении ^ 8 U.
Существенное влияние на цепную реакцию оказывают пробеги
быстрых нейтронов в процесе
замедления. Поэтому эффектив­
1/2
ную длину диффузии (2)/2 а )
в одногрупповом приближении
для теплового реактора следует заменить в соответствии
с (2.106) длиной миграции нейтронов.
Таким образом, в одногрупповом приближении для теп­
лового реактора допустимо и полезно использовать параметры
двухгруппового нейтронного цикла, входящие в К^. Общая
структура одногруппового уравнения при этом не изменяется.
Неточность одногруппового приближения при расчете те­
плового реактора проявляется в неверном описании про­
странственного распределения нейтронов, например, вблизи
областей, состоящих из чистого замедлителя, без топлива
(отражатель, центральная ловушка нейтронов и т. п.). Не­
точность связана с описанием источника нейтронов. Считается,
что источники нейтронов находятся там, где нейтроны
137

Рис. 3.6. Распределение плотности потока
тепловых нейтронов в реакторе с отража­
телем при одно- (1) и двухгрупповом (2)
приближениях

поглощаются с последующим де­
лением, т. е. в областях, со­
держащих топливо. В действи­
тельности в области с топливом
находятся в основном источники
быстрых нейтронов, а источники
тепловых сосредоточены в за­
медлителе. Согласно одногруп0
20
6Dr z
^
> " повому формализму источники
нейтронов в отражателе отсутствуют и в распределении
нейтронов нет характерного всплеска плотности потока те­
пловых нейтронов вблизи отражателя (рис. 3.6). Однако в бы­
стрых реакторах, а также в тепловых реакторах с сильнопоглощающим, например железоводным, отражателем
распределение плотности потока тепловых нейтронов рас­
считывается с достаточной точностью. Совершенно точным
оно получается для реакторов без отражателя с однородной
активной зоной и любым спектром нейтронов.
Основное преимущество одногрупповой теории — простора
вычислений, существенная не только для ручных, но и для
машинных расчетов.
2. Вывод одногруппового уравнения. Уравнения реактора,
в том числе одногрупповые, выводят из условия баланса
нейтронов в единичном объеме среды в стационарном или
в квазистационарном (в случае условной критичности) состо­
янии реактора. Условие баланса состоит в равенстве скорости
генерации, или плотности рождения нейтронов, и скорости
их убыли вследствие поглощения и утечки.
Число актов
3
деления (поглощения), происходящих в 1 см за 1с. в соот­
ветствии
с
(2.22)
составляет
ФЕдФЕя),
где
v и %а — макроскопические сечения деления и поглощения
нейтронов в гомогенизированной среде активной зоны. Если
среднее число нейтронов, приходящихся на одно деление
v
ядра топлива, то скорость генерации нейтронов будет равна
ФЕ/V/. В общем случае реактора с произвольным размером
и составом скорость генерации не совпадает со скоростью
поглощения и утечки и условие стационарности (равенство
dn/dt = 0) не выполняется. Перевод реактора при нейтроннофизических расчетах в квазистационарное состояние достигается
делением vf на Я:эф (2.114). Поэтому источники нейтронов
описываются
в
одногрупповой
теории
выражением
ФЕ/У//КЭф—скоростью генерации нейтронов, необходимой для
обеспечения условного баланса нейтронов в реакторе с Кэ$ф\.
138

Скорость утечки нейтронов из единичного объема активной
зоны равна —£ДФ (2.37).
Резюмируя сказанное выше, запишем" условие баланса
скоростей генерации и убыли нейтронов в единичном объеме
реактора в одной из следующих форм:
5ДФ + Ф 1 ; / у / - Ф Е а = 0, если Кэф=1;
£ДФ + Ф Е / у / - Ф Е а = Л2/Л, если Кэф^\;

Ф = Ф(г);

(3.18)

Ф = Ф(г, t); (3.19)

5АФ + Ф Е / у / / ^ э ф - Ф Е й = 0, если ^ э ф # 1 ; Ф = Ф(г), (3.20)
где Ф(г)—функция координат; Ф(г, t)—функция координат
и времени.
Дифференциальное уравнение (3.20) справедливо в более
общем случае, чем уравнение (3.18), и в отличие от (3.19)
соответствует условию стационарности. Это — основная форма
одногруппового стационарного уравнения реактора, которая
будет рассматриваться ниже. Физический смысл одногрупповых
уравнений (3.18) и (3.20) заключается в том, что их решение
совместно с дополнительными условиями позволяет найти
эффективный коэффициент размножения нейтронов и простран­
ственное распределение плотности потока нейтронов по объему
реактора. Уравнение (3.19) позволяет найти временную зави­
симость плотности нейтронов при отклонениях Кэф от единицы.
Перепишем уравнение (3.20) в виде
ДФ(г) + х2Ф(г) = 0,

(3.21)

где
2_^в /

v

f^f

и ^ = Г £ р ^ _ 1 ].

(3.22)

Комплекс (3.22) различен для реакторов одного состава, но
произвольного размера ввиду разного значения Кэ$ этих
реакторов. В критическом реакторе с Кэ$=1 комплекс (3.22)
становится равным материальному параметру, зависящему
только от состава активной зоны:

где М2 — квадрат длины миграции; К(^ = УГ&Г—коэффициент
размножения нейтронов в бесконечной среде в одногрупповом
приближении; &f — коэффициент использования нейтронов, рав­
ный вероятности их поглощения с делением; Еа и D усреднены
по спектру нейтронов реактора в соответствии с (3.16), (3.17).
Комплекс х 2 в виде (3.22) больше подходит для быстрых
реакторов, в которых усредненное макроскопическое сечение
деления включает в том числе и деление пороговых делимых
139

нуклидов ( 2 3 8 U и др.), а макроскопическое сечение поглощения
учитывает таким же образом поглощение во всех нуклидах,
включая их резонансные уровни. Однако, как указывалось
в п. 1 § 3.2,238даже для быстрых реакторов резонансное
поглощение на
U имеет смысл учитывать в виде вероятности
избежать резонансного поглощения (р8. Тем более это имеет
смысл делать в тепловом реакторе, вводя также коэффициент
(1, учитывающий деление
U быстрыми нейтронами. В резуль­
тате К^ заменяется на KaD = vf®f<p8\i (2.107). С учетом (3.23)
и замены К^ на К^ перепишем (3.22) в виде
2

к2=

Кдг,!
да/

Кфэ$—\

а;2

.

(3.24)

Заметим, что для неразмножающих областей х 2 = —1/М 2 .
Плотность потока нейтронов, входящая в (3.21), является
функцией координат в соответствии с геометрической формой
реактора и видом оператора Лапласа. Так, для сферы
Ф = Ф(г), А+=±+-,р

(3-25)

для цилиндра
Ф = Ф(г,г), А ц = ^ + 1 | + £ = Д г + А 2 ;

(3.26)

для пластины
Ф = Ф(х, у, z), AUJl = d2/dx2 + d2/dy2 + d2/dz2 = Ax + Ay + Az.
(3.27)
Лапласиан в сферической геометрии одномерен, так как
в рассматриваемых ниже реакторах состав среды предполага­
ется изменяющимся только в радиальном направлении и посто­
янным в пределах любого сферического слоя. Цилиндрический
реактор предполагается однородным в азимутальном направ­
лении утла. Ниже будут рассмотрены также частные случаи
реакторов в форме полубесконечных цилиндров и пластин,
в которых плотность потока нейтронов изменяется лишь по
одному направлению:
для цилиндрического реактора бесконечной высоты
Ф = Ф(г), А ц - Д г - £ + 1 £

.

(3.28)

для цилиндрического реактора с бесконечным радиусом
<D = <D(z), An-+Az = d2/dz2;
(3.29)
для пластины, бесконечной по осям у, z,
Ф = Ф(х), Anjl^Ax = d2/dx2.
(3.30)
140

Очевидно, что основные результаты по распределению плот­
ности потока нейтронов для двух последних случаев должны
совпадать по своей форме.
Одногрупповое уравнение (3.21) однородно, так как плот­
ность потока входит в оба его члена. Это означает, что
решение уравнения, умноженное на произвольную постоянную
А, также является его решением. Постоянная А позволяет
провести нормировку плотности потока на мощность реактора.
Условие нормировки устанавливает равенство тепловой мощ­
ности реактора WT произведению средней по объему активной
зоны плотности потока нейтронов на макроскопическое
сечение
3
деления (это дает число делений в 1 см в 1 с), на объем
активной зоны (полное число делений в17реакторе за 1 с) и на
энергию одного деления £^ = 3,15 • 10~ МДж (табл. 2.6):
Фт = АЩъ,Ул.лЕ/9

A=WTl$fV^Mr)Ef\

(3.31)

где [И/т] = МВт; [Ка#3] = см 3 . Заметим, что в соотношениях
типа (3.31) всегда должна выполняться корреляция между
единицами измерения мощности и энергии деления: Вт — Дж,
кВт — кДж и т. д.
Нормировка на мощность переводит значения плотности
потока Ф(г) из расчетно-математических в реальные физикотехнические.
Амплитуда расчетных значений определяется, например,
тем, что косинус нуля равен 1, и т. п. Расчетная кривая
распределения плотности потока вдоль координатного направ­
ления может быть использована в теплофизических расчетах
и без нормировки на мощность в относительном виде,
например с нормировкой ее на среднее значение по объему
активной зоны. При этом само среднее значение обращается
в 1, а максимальное значение становится равным коэффициенту
неравномерности энерговыделения.
Перевод плотности потока из расчетных в абсолютные
единицы нужен в расчетах прохождения излучения из активной
зоны через защиту и для получения абсолютного значения
удельного энерговыделения в активной зоне:
q(r) = AO(r)i:fEf.

(3.32)

Единицы энерговыделения — Вт/см3, или кВт/дм3, т. е. кВт/л,
либо МВт/м . Все эти значения выражаются одним и тем
же числом.
В условиях (3.31) и (3.32) константа А безразмерна и всегда
является единым числом для всей активной зоны. В то
же время решения уравнений (3.18), (3.20) содержат обычно
суперпозицию двух функций со своими весовыми коэффи­
циентами а0 и #!. Эти коэффициенты позволяют получить
141

правильную форму распределения плотности потока или
энерговыделения по объему активной зоны и при нормировке
на мощность должны умножаться на А. В случае однозонных
реакторов из решений всегда остается только одна функция
и роль нормировочного коэффициента может выполнять
а0 или ах.
3. Решения одногруппового уравнения (3.21) для различных

геометрических форм реактора. 2Решения уравнения (3.21) зависят
в первую очередь от знака х , определяемого
соотношением
2
величин, входящих в (3.24). Пусть х > 0 , тогда Ко0>Кэф, что
выполняется для всех ограниченных однозонных реакторов,
а также, по крайней
мере, для одной из зон многозонного
2
реактора. При х = 0 К^ — Кэ^ что может быть осуществлено,
например, в однозонном реакторе бесконечно большого разме­
ра, в котором
плотность потока нейтронов постоянна по
2
объему. При х < 0 Каг><Кэ$. Подобное соотношение коэффициен­
тов размножения среды и реактора может быть лишь в одной
из областей многозонной активной зоны, например в зоне
с повышенным содержанием поглотителя нейтронов или с пони­
женным содержанием топлива, а также в отражателе, где К~ = 0.
Функции, являющиеся решением уравнений в случае х <0,
используются также при рассмотрении ячеек активной зоны.
П л о с к а я г е о м е т р и я . 1.2 х 2 > 0 . Используя (3.30), перепи­
шем (3.21) в 2виде Ф"(х) + х Ф(х) = 0. 2 Разделив оба члена
уравнения
на х и внеся постоянную х под знак дифферен­
2
циала dx , получим Ф"(хх) + Ф(хх) = 0. Обозначим хх = £, тогда
Ф"($) + Ф($) = 0.
(3.33)
Решение дифференциального уравнения (3.33) можно искать
в виде бесконечного степенного ряда:
Ф{$ = а0 + а^ + а2¥ + а3¥ + аЛ4 + а5¥ + ...
(3.34)
Найдем вторую производную:
Ф"($ = 2а2 + 6а3^+12а4¥ + 20а5$3 + ...
(3.35)
Подставив ряды (3.34) и (3.35) в уравнение (3.33), превратим
его в тождество, приравняв нулю коэффициенты при различных
степенях £:
при \°1 а0 + 2а2 = 0, откуда а2= —а0/2;
при 2, а1 + 6а3 = 0, откуда аъ= — tfi/6;
при \2 я 2 -Ы2а 4 = 0, откуда aA = a0j2A\
при £ 3 а3 + 20а5 = 0, откуда а5 = а1 —120, и т. д.
Введя найденные коэффициенты в (3.34), запишем
Ф(^) = а о ( 1 - ^ 2 / 2 + ^ / 2 4 - . . . ) + а 1 ( ^ - ^ / 6 - Ь ^ 5 / 1 2 0 - . . . ) =
= a0cos^-\-a1 sin^,
где полученные ряды есть cos£ и sini; соответственно (рис. 3.7).
142

V
1 \z
I

\

= sii1«
\

'

Vhf/i »

/

t

7

*

y<=ch$

^ *

^ ^

y2=cos^ \
y 2 =sh^
•
1

%

*)
' 5)
Рис. 3.7. Функции в прямоугольной системе координат от действительного (а)
и мнимого (б) аргументов

Возвращаясь к прежним обозначениям, имеем
(3.36)
Ф (х) = а0 cos (хх) + я 1 sin (хх).
Свойства этих функций хорошо известны:
sinfc7c = 0, к = 0, 1, 2,...; cos(fc7r + 7i/2) = 0, & = 0, 1, 2, ...;
cos(0)=l; sin'(xx) = xcos(xx); Jsin(xx)rfx= — cos(xx)/x;
cos' (xx) = — x sin (xx); J cos (xx)rfx= sin (xx) /x.
2. x 2 < 0 . Перепишем уравнение (3.21) в виде
(3.37)
ДФ-Р 2 Ф = 0,
где

Р 2 =-х

2_

м

1

А:,
А:эф

>0,

(3.38)

или в плоской геометрии
Ф"(х)-р 2 Ф(х) = 0.
(3.39)
Решая уравнение (3.37) аналогично (3.33), получаем
ф ( х ) = а0 ch (рJC) + ах sh (рх),
(3.40)
где гиперболические косинус и синус (см. рис. 3.7) выражаются
в виде рядов

Напомним свойства гиперболических функций:
ch(0)=l; sh(0) = 0; sh'(px) = Pch(Px); fsh(Px) = ch(Px)/P;
ch'(Px) = Psh(Px); fch(Px)rfx = sh(Px)/p.
Гиперболический косинус—четная функция, синус—нечет­
ная, обе функции выражаются через экспоненциальные функции:
ch$ = 0,5[exp($)+exp(-$)], sh $ = 0,5 [ехр($)-ехр ( - $ ) ] .
143

Рис. 3.8. Цилиндрические функции от действительного (а) и мнимого (б)
аргументов

Решение (3.37) можно записать также в виде
Ф(х) = а0ехр($х) + а1ехр(-$х).
(3.41)
Ц и л и н д р и ч е с к а я г е о м е т р и я . 1. х 2 > 0 . Заменяя пе­
ременную г на ^ = хг и подставляя степенной ряд (3.34), его
первую (деленную на £) и вторую производные в уравнение
Бесселя
Ф"($)+|Ф'($) + Ф ® = 0,

(3.42)

находим одно из его решений — функцию Бесселя первого
рода нулевого порядка:
J0(^)=l-^/22 + ^/(22-42)-^/(22-42-62)+...
Второе решение — функция Бесселя второго рода Y 0 (^).
Общее решение уравнения (3.42) является суперпозицией этих
функций:

Ф ^ М о М +^ У о М .

(3.43)

Функции Бесселя первого и второго рода—периодические
с затухающей' амплитудой (рис. 3.8). Основные свойства этих
функций:
J 0 (0)=1; Y 0 (0)=-oo;
J 0 (2,405) = 0; Y 4 (0)=-oo;
144

J 0 (>tr)= —xJi(xr); Y 0 (xr) = — xY^xr);
Jo(xr)rJr=^i^;
У

'

fYo(xr)r«fr=^H

X

X

J

2. x 2 < 0 . По аналогии с плоской геометрией вместо урав­
нения (3.21) решается уравнение (3.37). Заменяя переменную
г на £ = Рг и подставляя степенной ряд (3.34) в уравнение
ф'4-ф'-ф(5) = 0,
(3.44)
найдем одно из его решений—модифицированную
функцию
2
4
Бесселя первого рода 1 0 (^)=1+^ /4 + ^ /64 + ... В качестве
второго решения обычно берут модифицированную функцию
Бесселя второго рода К 0 (£), показанную на рис. 3.8. Общее
решение имеет вид
Ф(г) = а 0 Ц И + * 1 К о ( И Свойства функций Io(^) и К0(%) следующие:
1 0 (0)=1; К 0 (0)=оо;
I 0 (Pr) = pi 1 (Pr); K 0 ( P r ) = - P K 1 ( P r ) ;
I 0(Vr)rdr=r-bM;

(3.45)

гМРг)
Р

[ко(рг)гЛ-

Функции J 0 , Ji, Y 0 , Y1? I 0 , 1 Ь K 0 , Kx табулированы
и приводятся в справочниках или аппроксимируются много­
членами [15].
С ф е р и ч е с к а я г е о м е т р и я . 1. х 2 > 0 . Используя лап­
ласиан (3.25) в уравнении (3.21) и заменяя переменную г на
£ = хг, получаем уравнение

ф'0;)+^%)+ф&=о.

(3.46) .

Решение может быть найдено с помощью степенных рядов
и имеет вид
sin£ ,

- Ч 5 /6! + .. .) = а

0

cos£

^

Возвращаясь к переменной г, записываем
sin(xr) ,

1
Ф(г) = Яо —— + а 1

хг

cos
у (кг)
1

— ,

(3.47)

хг

Полученные функции — осциллирующие, с затухающей амп­
литудой (рис. 3.9). Их основные свойства следующие:
sin£,
5= 0

Ю Заказ 2739

= 1;

cos£,

оо;
£=0

145

и
I
I
v - Sin*f

y

\

5

'
•

2
1

^ 7

3

9 S

\

y2=
i

i

$

Рис. 3.9. Сферические функции от действительного аргумента
Рис. 3.10. Сферические функции от мнимого аргумента
sin(xr) Y _ f l

sin(xr)

cos(xr)

xr

cos(xr)\ _

xr

r2dr= — X
r

COs(xr) w22

xr

sin(xr)-f

r dr —X

cos(xr)
xr

xr

xr
sin(xr)

1

(xr)
cos(xr) sin
xr

sin(xr)

cos(xr)
xr

2. x 2 < 0 . В сферической геометрии имеем уравнение
ф^)_^|)_ф(^

=

0, ^ р г .

(3.48)

По аналогии с цилиндрической геометрией получим

Подстановкой можно убедиться, что другим решением данного
уравнения будет —-. Полным решением является суперпозиция
ch£

Ф0;) =

sh(pr) ,

п

ch(pr)

(3.49)

UQ —
-г CI i
ао^+«1
\ ' "'* \
""" 0r
"'* P'
Решения (рис. ЗЛО) имеют следующие свойства:

sh£
sh(Pr)\_ 1

"р7

ch(pr)

1;
sh(pr)
~р7~

ch£

= оо;
5= 0

ch(pr)V_l
Pi­

ch(Pr)
146

sh (рг)-

sh(ftr)
~P^

ch(Pr)
pr

J

Pr

P2

л(И-^ •

Полученные общие математические решения (3.36), (3.40),
(3.43), (3.45), (3.47), (3.49) могут быть применены к конкретным
реакторам совместно с дополнительными условиями; рассматри­
ваемыми ниже. Свойства решений, в частности производные
функций, необходимы в дополнительных условиях, а интегралы—
при определении средних значений плотностей потоков нейтронов.
Заметим, что термин «мнимый аргумент» на рис. 3.7, 3.8,
3.10 связан с возможностью оставить знак плюс в уравнениях
типа (3.37), а минус отнести к аргументу, который становится
равным
4. Дополнительные условия. Чтобы применить полученные
решения уравнения (3.21) к реакторам, сформулируем ряд
дополнительных условий, детализирующих и уточняющих фи­
зическую задачу об определении критических параметров
реактора (см. также § 2.4, п. 10).
Условие неотрицательности плотности пото­
ка н е й т р о н о в . В любой точке активной зоны поток
нейтронов не должен быть отрицательным:
Ф(г>0,
Ra3—эквивалентный

(3.50)
по площади радиус ак­

где 0^r^Ra3,
тивной зоны.
Это условие вытекает из физического смысла скалярной
плотности потока нейтронов Ф = ш; (2.24). Плотность потока
нейтронов может быть представлена (см. п. 4 § 2.3) 3 как
суммарный путь, проходимый всеми нейтронами в 1 см за
1 с, либо как количество нейтронов, пересекающих за 1 с
сферу с площадью диаметрального сечения 1 см 2 . Очевидно,
что по своей физической сути ни путь, ни число нейтронов
не могут быть отрицательными.
Условие ограниченности плотности потока
н е й т р о н о в . В любой точке активной зоны
Ф(г)<оо(0^г^Л а . 3 ),
(3.51)
так как плотность нейтронов п и ц скорость v конечны.
У с л о в и е с и м м е т р и и . Производная функции, описы­
вающей распределение плотности потока нейтронов, взятая
в центре симметрии реактора,
</Ф(г)/</г|г=о = 0.

(3.52)

В реакторе, состав активной зоны которого однороден по
всему объему или меняется симметрично по отношению
Ю*

.

147

к центру, плотность потока нейтронов спадает от центра
реактора к периферии одинаковым образом во всех направ­
лениях. Очевидно, что для соблюдения этого форма активной
зоны, форма и состав отражателя должны быть также
симметричны по отношение к центру симметрии при г = 0.
Г р а н и ч н о е у с л о в и е . В реакторе без отражателя плот­
ность потока нейтронов обращается в нуль на внешней
экстраполированной границе активной зоны R3 — i?a#3 + d3, где
d3 — длина линейной экстраполяции (см. рис. 2.25). В реакторе
с отражателем плотность потока обращается в нуль на
внешней экстраполированной границе отражателя. В ряде
случаев для упрощения расчета отражатель заменяют эффек­
тивной добавкой 5 эф (см. рис. 2.26): Тогда эффективный радиус
(высота и т. п.) активной зоны получается добавлением
эффективной добавки к реальному радиусу: 7?э = Ла.3 + 8Эф.
В обоих случаях экстраполированного размера
Ф(Д э )«0,
(3.53)
где Кэ обозначает экстраполированную границу среды, гра­
ничащей с вакуумом (воздухом), или эффективную границу
активной зоны с отражателем, замененным эффективной до­
бавкой.
Условие сшивки плотностей потоков нейтро­
н о в . На границе областей 1 и 2 активной зоны (рис. 2.27),
имеющих различный состав '(одна из них может быть от­
ражателем), при г = гх
Ф1(г1) = Ф2{г1).
(3.54)
Условие (3.54) свидетельствует об отсутствии разрыва в распре­
делении плотности потока нейтронов Ф (г) на границе зон -ввиду
высокой проникающей способности нейтронного излучения.
Условие сшивки плотностей токов нейтронов.
При прохождении через поверхность, разделяющую среды
1 и 2 с разными свойствами (рис. 2.27) в пределах активной
зоны, плотность тока нейтронов / не изменяет своего значения.
Учитывая, что / = — /)УФ, имеем при r = rt
D1V<&1{r)\r=r=D2V<!>2{r)\r=ri.

(3.55)

Для одномерных задач градиент может быть заменен
производной

^ФИОиг^ФИОиг,-

(3.56)

Физический смысл условий (3.55) и (3.56) состоит в том,
что на границе между зонами отсутствуют источники или
148

стоки нейтронов, т. е. в них отражается закон сохранения числа
нейтронов при прохождении через поверхность раздела. В то же
время излом кривой плотности потока нейтронов справа
и слева от границы (разрыв производных на рис. ^.27) может
иметь место при различии коэффициентов диффузии в областях.
Э ф ф е к т и в н о е г р а н и ч н о е у с л о в и е . В ряде случаев
условия (3.54) и (3.55) заменяются одним условием, состоящим
в том, что на границе. гх между средами 1 и 2 задается
(например, со стороны среды 2) значение логарифмической
производной плотности потока нейтронов (см. рис. 2.28):
*/1пФ2(г)
dr

j,
Г = ГХ

(3-57)

"э

где d3—длина линейной экстраполяции плотности потока
нейтронов из среды 2 в среду 1.
Дополнительные условия позволяют выбрать из числа
возможных решений уравнения (3.21) те, которые отвечают
физическому смыслу поставленной задачи применительно к кон­
кретному рассматриваемому реактору.

3.3. Применение одногрупповой теории
к расчету реакторов различной формы
1. Сферический реактор. Применим результаты, полученные
при решении одногруппового уравнения, к конкретным реак­
торам, активная зона которых однородна. Вначале рассмотрим
одномерные реакторы, т. е. реакторы, в которьус плотность
потока нейтронов изменяется только по одной координате.
Единственным реально существующим одномерным реактором
является сферический (рис. 3.11). Метод рассмотрения одномерных
реакторов стандартен для любых геометрических форм.
1. Вначале записывают решение уравнения реактора, в рас­
сматриваемом случае — выражение (3.47).
2. Проверяют соблюдение дополнительного условия огра­
ниченности плотности потока нейтронов (3.51) во всем ин­
тервале изменения аргумента. В данном случае отбрасываем
второе решение, т.е. принимаем ах = 0, так как
Получаем
- / ч

sin(xr)
А

1

Ф{г) = а0— — ,
4

'

Л

^

cosxr
= ос.
хг г = 0

^п

0^ЩЯэ.

хг

3. Из условия (3.53) на внешней экстраполированной границе
реактора при г = Кэ следует
sin(xi?3)

Л

г»

л

а0—*—^ = 0, или sinxi? 3 = 0,
149

^
^ to
'
<i

«Qi

08

\

'

'-^

&,отн.ед
^ ^ S w

^Фч
N

"НЮ

$bv
1^
N*

^4

г

w

•fc^
\.

I

Ж
I
ч

го зо

ьо #э

9

i

о

г, см

v\

^ 02

4^
Ъ

О 10 20 30 40
ф2|отн.ед.

ъ'^ \ \

<& ' , •

ю

I

,,

Рис. З.И. Распределение плотности
потока нейтронов в однозонном
реакторе:
1—пластина; 2—цилиндр; 3—сфера

Рис. 3.12. Собственные функции
и собственные числа сферического
реактора

-0,2-

**Л

так как х/?эт*0. Получаем х/? э = И7с(и=1, 2, 3, ...). Значения х 2 ,
удовлетворяюпще этому условию, являются собственными числами
задачи, а соответствующие функции — собственными функциями.
Первые три собственные функции показаны на рис. 3.12.
4. Условие неотрицательности плотности потока нейтронов
(3.50) приводит к необходимости оставить из имеющегося
набора функций первую, или основную, гармонику
, / ч

sin(nr/R3)
У

соответствующую наименьшему собственному числу х 2 ин и по­
ложительную на всем интервале изменения радиуса 0 ^ г ^ Л э .
Следовательно, применив к общему решению уравнения
реактора все относящиеся к данному случаю дополнительные
физические условия, получим равенство
ХЛЭ = 7Г, или Х 2 = (7Г/Л Э ) 2 .

(3.58)

Условие (3.58) позволяет найти численные значения тех
или иных параметров, при которых реактор становится реально
или условно критическим. Поэтому подобные условия называ­
ются условиями критичности, или критическими условиями,
Критическое условие (3.58) может быть записано в другой
форме, если использовать понятие геометрического параметра.
% случае сферы геометрический параметр
В2сфЩп/Яэ)2.
(3.59)
150

Геометрический параметр по своему физическому смыслу равен
наименьшему собственному числу данной физической задачи,
описываемой уравнением (3.21) и дополнительными условиями
(см. рис. 3.12). С учетом (3.59) перепишем условие (3.58) в виде
2

ч

2
х = Ь ссф«
ф.

(3.60)

Равенство (3.60) означает, что комплекс х22 (3.24) равен
геометрическому параметру реактора. Если критичность до­
стигнута, то х 2 становится равным материальному параметру
(3.23) и.
т. е. материальный параметр реактора (3.23) равен критичес­
кому геометрическому параметру. Очевидно, что в произволь­
ном реакторе материальный параметр отнюдь не равен
геометрическому. Они становятся равными лишь в однозонном
критическом реакторе.
Подставляя в (3.60) вместо параметра х 2 его истинное
значение, например в форме (3.24), получаем критическое
условие для сферического реактора в одногрупповом приближе­
нии в виде
KJK+-\

г

или

1_ / £ . _ 1 = * _ в

'

(3.61)

Критические условия могут быть удовлетворены тремя
основными способами:
1) варьированием размера активной зоны /?а>3 до достиже­
ния реального критического состояния (Кэф=1) или состояния
с произвольным (заданным) значением КЭф = К% (условнокритического состояния):
Л;рз = тсМ/ ч /А: 00 -1-8 Э ф при Кэф=1;
Rl^^nM/y/KJK^-l-b*

при Кэф = К%. Г

Для получения конечного радиуса сферы масса топлива
в активной зоне должна превосходить некоторое минимальное
значение, определяемое равенством К^ = 1 в первом и К^ = К®ф
во втором случае;
2) подбором критического состава реактора (критической
массы делящегося нуклида, клотности топлива и т. п.) при
постоянном размере. Считая, что при изменении загрузки
изменяется, главным образом, К^ получаем
К«*=1+М2В2СФЕЕКР

= КТ = КН;
ку™**=к%\\+м2в2сф] при

1

кэф=к%.]
151

(/э=0
J
\ 1
s

2

•6*

-

K™"=0

*2>1
•его

*

MQKC

<V

/

\

\

\\\<?fz;
Ф(г)

—

0

\

^J

A
I

e*

z

\

\ \

i

i

i

i

10

20

SO

bO

z;r9cn

Л
R3
И

э'2

Рис. 3.13. Зависимость критического радиуса от К^ активной зоны
Рис. 3.14. Нормировка распределения плотности потока нейтронов на среднее
значение:
/—сфера; 2—цилиндр; 3—пластина

Критическое значение Кк£ равно комплексу l+M2B2,
значение
которого определяется длиной миграции и размерами реактора.
Поэтому существуют специальные названия этой величины:
К размерное (Кр) или К геометрическое (Кг). Данное значение
К^ необходимо для достижения критичности и может быть
также названо К необходимое (Ки). Так, при выгорании
топлива К^ в однозонном реакторе может снижаться только
до К**, ниже этого значения реактор становится подкритическим.
Ввиду того что Кп в тепловом реакторе принципиально
не может превысить v a 5 = 2,08 (делящийся нуклид 2 3 5 U), из
(3.62) и (3.63) вытекает существование минимального размера
реактора, в котором может быть достигнута критичность
путем улучшения состава активной зоны при Кэф^\\

ЯГ">пМ/

у/ча5-1-5эфъЗМ-5эф.

(3.64)

Оценка (3.64) важна при переработке отработавшего топлива
для определения безопасных размеров сосудов и трубопроводов
(рис. 3.13);
3) варьированием числа v a 5 (или К^). Этот путь при
физических расчетах реакторов наиболее универсален, так как
152

позволяет найти значение Кэф в многозонном реакторе произ­
вольных размера и состава. В однозонных реакторах в одногрупповом приближении критические условия настолько
просты, что позволяют выразить искомое Кэф в явном виде.
Для сферы
К

эф=л , / J / p \2-

С учетом В2 перепишем (3.65) в виде
Кэф = К(Ю/(1+В2М2)9

(3.65)
Л

У

или

(з.бб)

^ э ф = у / 2 / ц ф 8 / ( Е а + /)5 2 ).
Комплекс DB2 представляет собой сечение утечки, с м - 1 .
Величина Кэф приобретает физический смысл отношения ско­
рости генерации нейтронов к скорости их поглощения и утечки
[см. (2.104)].
Полученные выражения для Кэф универсальны для всех
однозонных реакторов в одногрупповом приближении, раз­
личны лишь выражения для геометрических параметров. Вторая
формула выражает специфику расчета К^ для тепловых
реакторов. В соответствии с физическим смыслом Кэф (2.104)
выделим из (3.66) вероятность нейтрону избежать утечки из
активной зоны
Р=1/(1+Я2М2) = 1а/(Еа+ДЯ2)
(3.67)
и вероятность испытать утечку
\-P = B2M2l(\+B2M2)
= DB2l(La+DB2).
(3.68)
Возвращаясь к распределению плотности потока нейтронов
по радиусу критического сферического реактора, с учетом
(3.58) получаем

• W - - . ^ -

•

от

Отметим, что распределение (3.69) определено с точностью
до постоянного множителя а0 ввиду однородности исходного
дифференциального уравнения (3.21). Форма распределения
в первом приближении не зависит от мощности * реактора
и идентична для всех сферических реакторов, имеющих равные
экстраполированные размеры активной зоны. Это справедливо
в том случае, если повышение мощности не приводит к неод­
нородному изменению свойств активной зоны из-за ее нерав­
номерного нагрева.
153

Распределение (3.69) может быть использовано в виде
относительного распределения, например, по отношению к пло­
тности потока нейтронов
в центре активной зоны: Ф(г)сф/Ф(0),
см
ис
где Ф(0) = я о ( - Р - 3.11), либо по отношению к средней
по_объему активной зоны плотности потока нейтронов (рис.
3.14):
Ф(г) = Ф ( г ) с ф / Ф ^ ,
где
ф

оф(г) = -9-^

= а0— - s i n a - c o s a , a = - ^ . (3.70)

о

При усреднении по объему объем последующих шаровых
слоев пропорционален кубу радиуса, поэтому среднее значение
плотности потока на рис. 3.14 близко к значению в периферий­
ных слоях.
Нормировка на среднюю плотность потока более полезна,
так как позволяет в точке с максимальной плотностью
получить коэффициент неравномерности плотности потока
нейтронов по радиусу сферы, равный по определению от­
ношению максимального потока нейтронов к среднему:
*г = Ф(г)ЗГ7Ф(г)в* "
где Ф(г)£ф — максимальная плотность потока нейтронов, рав­
ная >а0.
В случае однозонной сферы Ф (г) ™£KC = Ф (0) и величина
кг равна значению относительной плотности потока нейтронов
в центре активной зоны при нормировке на Ф(г)сф.
Плотность потока нейтронов при необходимости легко
перевести в абсолютные единицы путем нормировки на
мощность реактора WT9 для чего приравняем среднюю аб­
солютную плотность потока нейтронов
кс

W)=WT/(Va.3ZfEf)
(3.71)
к средней расчетной плотности (3.70). Отсюда получим нор­
мировочную константу
^т

2

sin a

— COS

•)}

a
а0 =
—-or
Константа a0 позволяет также получить распределение
удельной мощности по радиусу реактора (3.22) в виде

q(r) =

154

a0?,fEf-^->.

Рис. 3.15. Схемы ограниченных цилиндрических реакторов с однородной (а)
и неоднородными по радиусу {б) и высоте (в) активными зонами:
1—4—номера зон; 5—распределение плотности потока нейтронов по радиусу; 6—
распределение по высоте

2. Цилиндрический реактор. В цилиндрическом реакторе
с однородной активной зоной (рис. 3.15, а) плотность потока
нейтронов из-за влияния утечки нейтронов изменяется по
двум направлениям: по радиусу г и высоте z, т. е. является
функцией двух координат Ф (г, z), а оператор Лапласа
АЦ = АГ + Аг, где Д , = £ + ~

и А2=^,

(3.72)

может быть представлен в виде суммы двух частей, дейст­
вующих на функции с радиальной или осевой зависимостью.
Задача о нахождении Кэ^ и распределении плотности потока
нейтронов по объему подобных реакторов может быть решена
методом разделения пространственных переменных. Согласно
этому методу функцию, описывающую общее распределение,
ищут в виде произведения функций от каждой из переменных:
Ф(г, z) = 0 ( r ) 0 ( z ) .
(3.73)
Произведение функций имеет следующий смысл. На каждом
радиусе распределение по высоте имеет одну и ту же форму,
но разные абсолютные значения, определяемые амплитудой
радиального поля в данной точке. Аналогично на каждой
высоте форма радиального распределения идентична, а амйлитуда определяется распределением плотности потока по
высоте.
Метод разделения переменных справедлив также для4 ре­
акторов, состоящих из нескольких зон с разными свойствами,
расположенных вдоль одной из координат (рис. 3.15, б, в), и не
справедлив для реакторов, свойства которых изменяются по
двум (или трем) направлениям. Двумерность первого типа
определяется в основном утечкой нейтронов через наружную
155

поверхность активной зоны вследствие ограниченности раз­
меров реактора и может быть рассмотрена с помощью метода
разделения переменных.
Если реактор имеет области с различными свойствами
и по радиусу, и по высоте активной зоны, то метод разделения
переменных неприменим, так как распределение по радиусу
в каждой высотной зоне и распределение по высоте в каждой
радиальной зоне различны. Такие существенно двумерные
задачи решаются численными методами с помощью ЭВМ.
Рассмотрим одногрупповое уравнение (3.21) с учетом (3.72)
и (3.73). Подставляя в одногрупповое дифференциальное урав­
нение рассматриваемого реактора
AzO(r, z) + ArO(r, z) + x20>(r, z) = 0
функцию Ф(г, z) = <I>(r)0(z), получаем
A z O(z)/O(z) + A r O(r)/O(r) + x 2 = 0.

(3.74)

В конкретном2 реакторе, имеющем определенное значение
Кэф, комплекс х постоянен. Поэтому постоянным должно
быть и значение каждого из первых двух членов (3.74),
поскольку они являются функциями различных независимых
переменных. Ниже показано, что эти константы равны осевой
и радиальной компонентам геометрического параметра цилин­
дрического реактора, взятым с обратным знаком. Найдем
первую константу на частном примере цилиндрического ре­
актора с бесконечным радиусом, в котором плотность ней­
тронного потока вдоль, радиуса постоянна из-за отсутствия
утечки и второй член в (3.74) обращается в нуль.
Высотная задача для цилиндрического реак­
т о р а . Перепишем уравнение (3.74) для данного случая:
A z O(z) + x 2 O(z) = 0.
Его решением является (3.36):
Ф (z) = а0 cosxz+а ± sinxz.
Если начало координат выбрано в центре реактора по
высоте, то условие симметрии плотности потока нейтронов
O'(z)| z=0 = 0 (3.52) приводит к исключению функции sinxz из
(3.36) и
O(z) = fl0cos(xz), 0 < z < # 3 / 2 .

(3.75)

Последовательно применяя граничное условие (3.53) Ф(# э /2) = 0
и условие неотрицательности (3.50), получаем критическое
условие
хЯ э = я или х 2 = £ 2 , х = л / # э ,
156

(3.76)

_//

з/4

Т>^

о'

1*(г)/Ф(0)
5)

Рис. 3.16. Распределение плотности потока нейтронов по высоте реактора:
а—начало координат в центре активной зоны; б—на нижней экстраполированной границе

где Вг^(к/Нэ)2 — осевая компонента геометрического парамет­
ра цилиндра. Используя критическое условие (3.76), имеем:
A z O(z) + 2?z2O(z) = 0, Az<D(z)/<D(z)=-2??;
(3.77)
nz \
.,
Яэ/'

Ф (z) = а0 cos (Bzz) = а0 cos

Л

Я
^ 2

0 < z < —э или
(3.78)

^Z < —.

2

2

В случае начала координат на нижней экстраполированной
границе реактора граничное условие Ф(0) = 0 приводит к за­
висимости
0(z) = a 1 sinxz, O^z < Я Э .
Из граничного условия на верхней границе Ф(# э ) = 0 и условия
неотрицательности (3.50) следует хЯ э = тс с теми же следствиями
(3.77), что и в случае начала координат в центре реактора
(рис. 3.16).
Высотное распределение для этого случая с учетом критичес­
кого условия (3.76) имеет вид
0(z) = a 1 sin(7cz/^).
(3.79)
Запишем средние по высоте значения высотных распределе­
ний для случаев начала координат в центре (3.78) и на
нижней границе (3.79):
Я. ,/2

а0

Ф(г) =

J
-".з/2

nz dz
cos —
Я.

" . ,/2

J dz
-Нл ,/2

Я.з/2

а0

nz dz
J cos —

я.

Я.з/2

ао

siny

(3.80)

J dz
о

157

a,

я.

f

sin — dz

ф г

=a

( )=—%.+«,

i^r>

dz

$

•

У

y=jjf

5.

Поскольку одинаковы сами распределения, одинаковы и их
средние значения, и коэффициенты неравномерности по высоте:
Ф ^
Ф(г)

=

^

=

_

__^2

siny

Г

-=/(**•).
я

1

\Ha.J

(3.81)

У

Высотные распределения могут быть нормированы
на
MaKC
максимальное значение в центре активной зоны O(z)
= O(0) =
— а0 или ах (см. рис. 3.11) или на среднее значение (см.
рис. 3.14). В плоской геометрии приращение объема пропор­
ционально приращению координаты, среднее значение ближе
к центру активной зоны, чем в сфере и цилиндре, и коэффициент
неравномерности по координатному направлению меньше.
Высотные распределения, нормированные на среднее значе­
ние, удобно использовать, введя в качестве координаты
рассматриваемой точки ТВС или твэла ее расстояние от
нижней границы активной зоны h в том случае, если теплоноси­
тель входит снизу (рис. 3.16):
Л/1\

Г cos—[h—— | —начало координат в центре;

Ш = кя\ *Л Ч
ф 7

\ъщ

( )
С sin—(5 эф + Л) —начало координат снизу.
Используя (3.82), запишем линейную мощность твэла на
расстоянии h от нижней границы активной зоны в виде
, Я^) = дьФ(к)/Щ,

(3.83)

где qL= WT/(Ha Зптв)—средняя по высоте линейная мощность,
кВт/м.
Радиальная задача для цилиндрического реактора, ограничен­
ного по высоте. Подставляя полученное в высотной задаче
соотношение (3.77) в дифференциальное уравнение (3.74) баланса
нейтронов в ограниченном цилиндрическом реакторе, получаем
АгФ(г) + (к2-В*)Ф(г) = 0.
(3.84)
Физический смысл разности в (3.84) следующий: комплекс х 2
(3.22) или (3.24) описывает размножающие свойства среды
активной зоны. Вычитание из него осевой компоненты геомет­
рического параметра В\ учитывает ухудшение размножающих
свойств из-за осевой утечки нейтронов, отрицательно влияющей
на цепную реакцию.
158

Решением уравнения (3.84) с учетом ограниченности реак­
тора в начале координат Ф(0)^оо является функция
Ф(г) = а0]0(*гг),
(3.85)
где а 2 = х 2 — В2, так как функция Y 0 (a r r) из (3.43) обращается
в —оо в центре реактора (см. рис. 3.8).
Граничное условие Ф (R3) = О дает набор собственных, значе­
ний и собственных функций задачи:
floJo(ari?3) = 0, oirR3 = 2,405; 5,52; 8,65, ...
а г 2 1 =(2,405//? э ) 2 ; ar22 = (5,52/i?J 2 ...

Условию положительности плотности потока нейтронов
Ф2 (г) ^ О соответствуют
наименьшее собственное число
2
а ! = (2,405//?э) и основная, всюду положительная собственная
функция Фг (г). Из критического условия
а 2 = (2,405/Дэ)2, или х 2 - Я 2 = ( ^

J , или х 2 = 5 2 ,

(3.86)

2
2
2
где
В
=
В
-\-В
—полный геометрический параметр цилиндра;
2
2
5 = (2,405/i?3) —его радиальная компонента, найдем Кэф в ре­
акторе произвольного размера и состава:
K^^Kn/(l+BiM2)9
(3.87)
который по форме совпадает с (3.66) для сферы.
В критическом реакторе при Кэф = 1 можно найти следующие
критические параметры:
DKP

p

2,405 М

радиус i?; 3 = У/К„-{1+В
- ^ = , 2КМ2)
высоту Я ; р 3 = — = = * м
коэффициент размножения

R

-5эф;
-25эф;

У (3.88)

КК£=\+В2М2\

ядерную концентрацию / К 5 Р - у / аv/ 5 ф 8 ц -ма а 5 ( 1 + ^ 2 М
' 2)' ^
2
Последняя формула получена
при
условии,
что
М
реактора
235
не зависит от концентрации
U и поэтому не дает правиль­
ного предельного перехода к реактору из сплошного 2 3 5 U,
когда 2fl = Efl5.
С учетом критического условия (3.86) распределение (3.85)
запишем в относительном виде при нормировке на его
максимальное значение (см. рис. 3.11)

^P- = h ( ^
макс

Ф(г)

° \ R

9

(3.89)
J \

V

'
159

или на среднее значение (см. рис. 3.14)
Ш =- ? - - 1

0

Ф(г) '2*1(Р) ° V

( ^ \
*э У

Р = 2,405Л аз /Л э ,

Р

аз/

(3.90)

Э

где максимальное значение Ф(г) макс = Ф(0) = я о . 4
Специфика одномерного рассмотрения двумерных задач
такова, что распределения (3.89) и (3.90) описывают радиальные
распределения средних значений плотности потока по высоте,
или, другими словами, интегралов от плотности потока по
высоте (высотных интегралов), или относительные распределе­
ния мощностей ТВС (правильнее — мощностей ячеек ТВС, см.
п. 3 § 3.2).
Так, мощность ТВС, расположенной на радиусе г т в с ,
етвсКвс) = бтвсФКвс)/Ф(0'
С3-91)
где GTBC = ^ / T/ W TBC—средняя мощность ТВС, МВт.
Распределение плотности потока нейтронов и энерговыделе­
ния по объему ограниченного цилиндрического реактора удобно
записать в виде [см. (3.82)]
Ф(г, А) = Ф(г)Ф (А)/ФЙ = а01о ( ^ )

Щ

(3.92)

q(r, Н) = Х/Е/Ф(г9 h).
Перевод плотности потока и энерговыделения в абсолютные
единицы осуществляется нормировкой на мощность реактора
(3.31)
WT = q(r9h)V^=W)*fEfK.»
Ф(М = Ф ( 4
(393)
Из условия нормировки на мощность находится нор­
мировочная константа а0 с учетом среднего значения плотности
потока
*->

ФИ=

{2А05Л
Э У

° г

= *о ™ .

(3.94)

1 rdr
о

Коэффициент неравномерности мощности ТВС
_ ?(г) макс _ Ф(г)макс _

'

W)

W)

р

_

2,405

*МР)"~Л , M j (

_ f(
2 405

>

)

5эф
R

* з

(3.95)
Коэффициент неравномерности плотности потока нейтронов
по объему цилиндрического реактора с однородной активной
160

fl5=tta.3+2^>

Рис. 3.17. Реактор в форме параллелепипеда

зоной совпадает с объемным коэффициентом неравномерности
энерговыделения и равен [см. (3.92), (3.81), (3.95)]
• _q(r,h)™
ACV
q(r,h)

с

_

а010(0)Ф(0)/Ф(2)
,
m
« 0 (2J 1 (p)/p)O(/i)/O(z)

PY
r

2J1(p)smy

z

*

(3.96)

С учетом условия нормировки на мощность получим для
однозонного цилиндрического реактора с гомогенной активной
зоной распределение плотности потока нейтронов по объему
активной зоны в абсолютных единицах в виде
а6с
Ф(г,А) абс Ф а.зкK ТJ о

2,405r \ Ф(Л)

r

ф

*э / Ф(г)

W.

абс
а.з

^а,М/

(3.97)

а распределение удельного энерговыделения в виде
2,405г \

тс
тс

/ ,

#

я
(3.98)
h
cos я]
удельная мощность активной зоны,

tffc А)абс = ? г М о ( - ^ д -

где qv—WTIVti^—средняя
кВт/л.
3. Реактор в форме параллелепипеда. Рассмотрим однород­
ную активную зону в форме параллелепипеда с экстра­
полированными размерами аэ, Ьэ, сэ и с началом координат
в центре по объему (рис. 3.17).
Одногрупповое уравнение (3.21) баланса нейтронов в единич­
ном объеме активной зоны будем решать методом разделения
переменных с учетом вида оператора (3.27) и записи рас­
пределения плотности потока в виде произведения трех функций
по отдельным координатным направлениям: Ф(х,у,г) =
= 0 ( x ) 0 ( j ) 0 ( z ) . Получим

^М + Ьт
Ф(х)

Ф(у)

+

^ 1

+

^ = 0.

(3.99)

O(z)

Для решения (3.99) рассмотрим вначале две вспомогатель­
ные задачи: полубесконечный реактор, ограниченный только
И Заказ 2739

161

по оси z, и полубесконечный реактор, ограниченный по оси
у. При этом учтем результаты высотной задачи для полу­
бесконечного цилиндра, которые полностью пригодны для
данных случаев, так как там также была рассмотрена полу­
бесконечная пластина.
Учтем (3.77):
AzO(z)
ф(2)

в

--''•• ''•-($> *-ш=- " ''>-{$• °-

100)

Запишем распределение по оси z в виде (3.82):

*S*L-A-cos-(*-^Y 6г = ^ , 0<Л<*.,.
'Z

(3.101)

"Э

Если ТВС в объеме параллелепипеда стоят вертикально
и известна мощность ТВС, то распределение (3.101) показывает,
как изменяется мощность по высоте ТВС в точках, отстоящих
от нижней границы активной зоны на расстоянии h [см.
также (3.83)].
Распределение по оси у также запишем с нормировкой на
среднее значение (3.80) с учетом функции (3.78):
^

= - ^ c o s ^ , 5,= 2 Ц

-cjl<y<cjl.

(3.102)

Распределение (3.102) имеет следующий смысл: как уже
отмечалось выше, одномерное распределение в многомерном
реакторе вдоль некоторой оси является средним значением
для распределения в плоскости, перпендикулярной этой оси.
Например, распределение вдоль оси х является средним для
мощностей ТВС, расположенных в слое «а» (см. рис. 3.17),
перпендикулярном оси х и параллельном оси у. Таким образом,
домножение распределения по оси—х на (3.102) позволяет
получить истинную мощность ТВС как на самой оси х, так
и в слое, перпендикулярном оси х в данной точке.
Подставляя в (3.99) результаты (3.100), рассмотрим задачу
по оси х:
АхФ(х) + (к2-В1-В22)Ф(х)
= 0.
(3.103)
Решением этого уравнения будут функции (3.36):
O(x) = a 0 cosa ;c x+a 1 sina ;c x,
(3.104)
где VLI = K2 — B2 — BI. Условие симметрии распределения в точке
х = 0 (3.52) приводит к а1 = 0 и O(x) = a 0 cosa ;c x. Нулевое
граничное условие на внешней экстраполированной границе
Ф(я э /2) = 0 дает набор собственных значений и собственных
функций задачи:
162

I

"э 1

л

лэ

я
8

Зя

*";

a 0 c o s ( a , ^ 1 = 0, « « у ^ У

(3.105)

>

Ф1(х) = я0со$—, O 2 (x) = (20COS

Зтсл:

яэ

а

э

Условию положительности плотности потока нейтронов
(3.50) удовлетворяет всюду положительная первая собственная
функция, которой соответствует наименьшее собственное число
^ = ( я / я э ) 2 , (к/аэ)2^В2.
(3.106)
Итак, получили критическое условие для щюского огра­
ниченного реактора, которое можно записать в виде
ос2 = Я 2 , или х 2 - Я 2 - Я 2 = Я 2 , или х 2 ^ ^ , (3.107)
где В2л = (п/аэ)2+(к/Ьэ)2+(к/сэ)2—геометрический 2 параметр ре­
актора в форме параллелепипеда. Заменяя х , перепишем
критическое условие и найдем из него Кэф и другие критические
параметры:
^оо/^эф-"1

2

м

и 2

° пл ?

л

эф

1+BLM29

критический размер по оси х
пМ

акр
и

критическую высоту

JK„-[\+(B2+BI)M2-\

а.з

*эф»

•

Ькр
а.з

(3.108)

пМ

JK„-[1+(B2X+B2)M2]

'Эф 5

критическое значение
Э

Критическое число ТВС п%с может быть найдено из
очевидных соотношений, описывающих эквивалентные по пло­
щади размеры поперечного сечения активной зоны:
акр с

и

а.з1'а.з

"ТВС°яч>

«а Р з/^а.з = « 1 / « 2 ?

(3.109)

где Sm—площадь ячейки ТВС (3.3); nt—число рядов ТВС
по оси х; п2—число рядов ТВС по оси у.
Запишем общее распределение плотности потока нейтронов
по реактору в виде
И*

163

Ф(х, у, h) = a0 cos g 5 ' C 0 S M C ' ) 8*cos(*»/*»-M
sin by

sin 5Z

(ЗЛШ)

В центре активной зоны
ф(0) = аокук2,
(ЗЛИ)
где ку—коэффициент неравномерности по оси у:
ку = ду/sin ду,
kz—коэффициент неравномерности по высоте активной зоны:
kz = 5z/sin5z.
Условие нормировки на мощность запишем в виде
1¥т = Ф{х, у, zjXfEfV^XfEfV^ix),
(3.112)
так как при усреднении плотности потока по осям у и z два
последних множителя в (3.110) обращаются в 1. Из (3.112)
найдем нормировочную константу а0 с учетом среднего
значения плотности потока нейтронов по оси х:
а

Ф(х)=

/2

а /2

| а0 cos — dx\

| dx
о

=a0^=?;
Ох

"~" з.бс 7
Ф

*"^л. з

^

*

(з.пз)

Кх

j

х

sin 5Х

2аэ

С учетом нормировки на мощность максимальное значение
плотности потока нейтронов достигается в центре:
Ф(0)абс = Ф!бзСА:к,
где kv — kxkykz — объемный коэффициент неравномерности.
Распределение энерговыделения
q(x, у, z) = Q>(x, у, z)T,fEf =
2
= Ф?*ку cos g
cos g
cos *(*-»"/
) £/£/.
С
С
ь?
э

э

э

Распределение мощности ТВС
2твс(*твс, Лвс) = ётБсМ,со8^=£со8 5 ^ ,

(3.114)

«э

где 2твс = ^т/%вс—средняя мощность ТВС; хтвс,
ординаты центров ТВС.
164

утвс — ко­

4. Реактор в форме куба—частный случай реактора в форме
параллелепипеда. Его геометрический параметр
Якуб = 3(тс/яэ)2.

(3.115)

Аналогично можно получить любую другую формулу, напри­
мер распределение мощности ТВС
<2твс(*твс, Утвс) = йтвск2х c o s ^ c o s ^ .
аэ

(3.116)

аэ

Для всех рассмотренных выше однозонных реакторов
одногрупповое уравнение (3.21) с учетом критических условий
может быть записано в виде
ДФ + Я 2 Ф = 0, Д Ф = - Я 2 Ф , Д Ф / Ф = - Я 2 ,

(3.117)

что справедливо для однозонных реакторов в любом приближе­
нии групповых теорий. Соотношение (3.117) упрощает процесс
получения критических условий и определения Кэф в двухгрупповом и многогрупповом приближениях.

ЗА. Двухзонные

реакторы

1. Цилиндрический реактор с торцевым отражателем. Несмот­
ря на неточное описание распределения плотности потока
тепловых нейтронов вблизи отражателя одногрупповая «теория
позволяет оценить влияние отражателя на Кэф реактора.
Рассмотрим высотную задачу для ограниченного цилинд­
рического реактора с торцевыми отражателями. Ввиду сим­
метрии задачи рассмотрим половину реактора по высоте
с одним отражателем (рис. 3.18), поставив начало координат
на границе между активной зоной (область 1) и отражателем
(область 2).
Для упрощения расчетов отражатель заменяют эффективной
добавкой 8эф к размеру активной зоны. Реактор без отражателя,
но с увеличенным на 8эф размером активной зоны должен
иметь такой же Кэф, как и реактор с отражателем. В данном
случае высота активной зоны увеличена на 25 эф , так как
удалены два отражателя (рис. 3.18, б). Поскольку составы
активных зон рассматриваемых реакторов идентичны и их
Кэф одинаковы
согласно определению
эффективной добавки,
2
2
2
2
комплексы х (3.24) и ос = х — 2? также одинаковы. Рас­
смотрим вначале реактор без отражателя с /7 э = /7а.з + 28эф.
В уравнении баланса нейтронов (3.74) утечку по радиусу
учтем заменой АгФ1(г)/Ф1(г)= —В?. Уравнение баланса ней­
тронов
Д г Ф 1 (2)+а?Ф 1 (2) = 0
165

2.

Zi ,

"отр

\'

*э
1>

А3 *тр,

f

if

г
0

,i

/i

*Эф
ii

\ . *W

1

4

Н» л
"а.3

0

z

*»'

н,

я

f
<^Э(р

Z

v

"ii

L _ _ - _ _

—-^

«I

а;

Рис. 3.18. К расчету эффективной добавки:
а—реактор с отражателем; б—реактор с эффективной добавкой; 1—активная зона;
2—отражатель

имеет решение Фх (z)=a0 cos (XxZ+ai sin a x z; которое в однозонном реакторе с началом координат в центре активной зоны
по высоте с учетом условия симметрии (3.52) сводится
к Фх (z) = a0 cos atz.
Эффективная добавка, по определению, включает длину
линейной экстраполяции. Из граничного условия на верхней
экстраполированной границе Ф (Нэ/ 2) = 0 получим набор собствен­
ных чисел и собственных функций задачи (3.105), из которых
условию положительности плотности потока (3.50) удовлетворяет
наименьшее собственное число, равное осевой компоненте
геометрического параметра. Это равенство является критическим
условием задачи, которое можно записать в следующих формулах:
Я.,

#э ж

,

с»

тс

-у^+Мэ,^-;

&1#а.з

Я

— oti53d).

(3.118)

Если ^Эф реактора с отражателем известен, а следовательно.
известно
<хщ

1
М1 \]

к,ool (\-BfMl),

(3.119)

£эф

то эффективная добавка может быть определена по формуле

8'эф

-4и

166

я

а.з

(3.120)

Наряду с эффективной добавкой существует также термин
экономия отражателя, под которым подразумевается величина
5#а.з> равная уменьшению размера активной зоны без от­
ражателя, если ее окружить отражателем. Экономия меньше
эффективной добавки на длину линейной экстраполяции:
Р е а к т о р с о т р а ж а т е л е м . Для активной зоны реактора
с отражателем (рис. 3.18, а) используем условие симметрии,
т. е. равенство нулю производной плотности потока при
z= — Я а#3 /2. Выражая константу ах через а0, получаем
Фх (z) = a0 [ c o s a ^ — t g ( a 1 ^ a 3 / 2 ) s i n a 1 z ] .
В отражателе К^ — 0, и уравнение баланса нейтронов
A z O 2 (z)-ai0> 2 (z) = 0, а22 = 1/М22 + В?
имеет решение
Ф2 (z) = a1 ch a 2 z + #2 sh a 2 z Граничное условие на экстраполированной границе отража­
теля Ф2(#ОТр) = 0 позволяет выразить константу а2 через
ах и записать
Ф2 (z) = ax [ch a 2 z-cth(a 2 # O T p ) sh a 2 z ] .
Из условий сшивки (3.54) и (3.56) плотности потока
и плотности тока нейтронов на границе активной зоны
и отражателя при z = 0 получим систему из двух однородных
алгебраических уравнений для определения неизвестных посто­
янных а0 и ах:
а0 = аг;
(3.121)
а0В1а1 tg (а1НЛЗ/2) = а1В2<х2 cth a 2 i/ (
Условием совместного решения системы является равенство
нулю определителя из коэффициентов при неизвестных
1
-1
D1a1 tg (ахЯа.з/2) Z>2a2 cth (а 2 # о т р )
Раскрывая определитель, получаем критическое условие
D1CL1 tg (a1HaJ2) = D2a2 cth (ос2#отр).
(3.122)
Подбором ax в левой части можно добиться выполнения
критического условия, поскольку правая часть постоянна. При
этом должно быть выполнено условие положительности плот­
ности потока по объему реактора, т. е. должно быть найдено
наименьшее собственное число а\ (3.119), и может быть
определена эффективная добавка по формуле (3.120).
167

Подобранное а\ подставляется также в систему (3.121)
для определения неизвестных а0 и al9 причем система однород­
ных уравнений переопределена и одно из неизвестных может
быть положено равным произвольному числу. В данном случае
00 = 0!. Поэтому оба коэффициента могут быть положены
равными, например, 1. Запишем выражения для плотностей
потока нейтронов в зонах с учетом нормировочной константы
А (3.31):
Фх (z) = A [cos OL\Z—tg(ai#a.3/2)sin

otizj;

Q>2{z) = A [ch oc 2 z-cth (oc2#OTp) sh oc2z].
Константу А определим из условия нормировки на мощность:
\¥Т = ФХ
J

<М*)=

(z^fEfV^
<M*)<fe

а з'

Я а . 3 /2

А = Фабс
а. з

tgjc'

X

=А

tgx

а*1^а.з

2

Коэффициент неравномерности плотности потока и энер­
говыделения в активной зоне к2 = Фх (z)" a K C ^i (z) найдем
с учетом того, что
Ф1^)м™ = Ф1(-На.3/2) = A/cos х;

к -—
sin JC

В критическом условии для реактора с отражателем (3.122)
учтем соотношение (3.118) для а 1 Я а з / 2 и получим формулу
для эффективной добавки:
8 3 A=-:arctg
ос?

D20L2

отр

(3.123)

Формулы (3.120) и (3.123) дают идентичные результаты,
но в случае критических реакторов с отражателем (3.123)
позволяет вычислить добавку без расчета реактора с отража­
телем:
8

1

34>=-oarctg
Oti

D20L2

thoc 2 # (отр

oc?=-i- jK„-(\+BiM\).

(3.124)

Для физически бесконечного отражателя thoc2/7OTp=l
8 эф - a r c t g - — I .
168

При равных коэффициентах диффузии в активной зоне
и в отражателе, когда активная зона состоит из того же
вещества, что и отражатель, но с небольшой концентрацией
топлива,
8^ = larctgf^Y а 2 = ^ у Т + М р ? .
<Ч

\а 2 /

(3.125)

М2^

Расчеты 8 эф по этой формуле для разных замедлителей
приведены в табл. 2.7. По этим добавкам определено альбедо
отражателей (2.85).
При увеличении толщины отражателя рост эффективной
добавки замедляется. Толщина, после которой добавка не
растет, определяет размер физически бесконечного отражателя.
Нейргроны, рассеянные в периферийном слое такого отражателя,
не возвращаются в активную зону. В случае обычной воды
физически бесконечный отражатель равен 10—15 см.
В физически больших реакторах, размеры которых* во
много раз превышают длину миграции нейтронов, коэффициент
размножения нейтронов в среде активной зоны К^ близок
к 1 и формула (3.124) для эффективной добавки может быть
упрощена:

Оэф

—
-^отр

Л^ОТрШ—

,

lVlOTp

yj Т О Т р - г \ о £ т/отр*

\D.\.A\j)

•*** отр

В подобном виде формула допускает расчет эффективной
добавки не только для торцевого, но и для бокового
отражателя. Лучшие результаты получаются при использовании
коэффициентов диффузии для тепловых нейтронов.
Для тонких отражателей, в которых Я о т р ^сМ о т р ,
О эф ^ ^ а . з " отр / L)

ОТр.

Отсюда следует, что удаление топлива из тонкого наружного
слоя реактора без отражателя не приведет ки заметному
изменению его реактивности, так как 1)а.з~^отр
8 э ф »Я о т р .
В ряде случаев эффективную добавку определяют по
аппроксимационным экспериментальным формулам. Например,
для водяного отражателя в водо-водяном реакторе
8 эф = — ( 4 , 3
7н 2 о V

1,72
Ьн

>°<

где £ н2о , Ун о — объемная доля и плотность воды в активной
зоне. Для железоводного отражателя эффективная добавка
больше, чем водяного, примерно на 1 см, так как железо
возвращает часть нейтронов за счет неупругого рассеяния.
Но при этом между первым слоем железа и активной зоной
169

2-

1

1
1

1I

<.7

Ь

1

i
н

Y

г

э

ъ

)'

/

^

6

^

ф

S)
Рис. 3.19. К расчету эффективности центрального стержня, погруженного
полностью (а) или частично (б):
1—стержень; 2—активная зона; 3—топливная часть стержня; 4—Ф20") со стержнем;
5—Ф2(г) с полостью; б—функция sin2(nz/H3); 7—площадь под кривой в зоне стержня

должно быть 3—4 см воды, чтобы не поглощались тепловые
нейтроны, идущие из отражателя в зону.
2. Цилиндрический реактор с регулирующим стержнем
(рис. 3.19). Рассмотрим способ расчета эффективности регулиру­
ющего стержня с произвольным содержанием поглотителя при
его вводе на всю экстраполированную высоту активной зоны
Нэ в центр цилиндрического гомогенизированного однозонного
реактора (рис. 3.19, а). Будем считать, что к стержню 1 подсое­
динена снизу топливная часть 3 с составом активной зоны,
которая замещает стержень при его выведении из реактора.
Подобные комбинировандые стержни используются в практике
реакторостроения, так как имеют повышенную эффективность.
Эффективность, или компенсирующая способность (иногда
говорят «физический вес»), стержня определяется как разность
реактивностей реактора без стержня и со стержнем:
АРст = Р о - Р с т

л э ф — Лэф

Д#ц

v-0 fCT
л
эфлэф

r^O fCT
ЛэфЛэф

(3.127)

Эффективность выражается обычно в процентах, например
Дрст = 0,02 = 2 % Д # / # .
Решением уравнения (3.84), описывающего баланс нейтронов
в активной зоне, будет [см. (3.43)]
®2W = fl0Jo(a2r) + fliY0(a2r), a22=E>t22-B2,
(3.128)
или с учетом граничного условия Ф 2{^э)~ О
Ф2W = «o[Jo(a2' , )-Jo(a2Лэ)Yo(a 2 r)/Yo(a 2 JR э )] = aoi Г lo(a2 4
(3.129)
170

Диффузионная теория применима к решению задачи о сильнопоглощающем стержне только при использовании эффек­
тивных граничных условий (2.96) на поверхности стержня,
в которых берется значение безразмерной длины экстраполяции
у (2.97), изображаемой в виде универсальной функции, зави­ T
сящей от2 безразмерных
параметров — «черноты» стержня dCTI*Z
см
ис
и dcjlitr ( - Р - 2.27). При этом распределение плотности
потока нейтронов внутри стержня можно не рассчитывать.
В граничном условии (2.125) утверждается, что
Ф Ь Н ф Ы / ^ э , или ^ э = Ф(г 1 )/Ф'(г 1 ) = У ^ % *.?;»= 1/Z?;\
(3.130)
Подставляя в (3.100) функцию (3.129) и ее производную
в точке rl9 получаем критическое условие для определения
значения
Kl^k*:
d3__ h(x)-[3o(x/k)/Y0(x/k)]Y0(x)
П xiJ^-lJoixIkyYoixIkftY^x)}-

, , v
U
' h

•
2

U

,==rL
"*,*

(3.131)
где

=

«> w2J-f-^+B>MVoo 2

Значение K^ определяется путем варьирования числа
X вплоть до удовлетворения равенства (3.131) с учетом условия
положительности плотности потока,
т. е. нахождения мини­
мального собственного числа (а 2 ) м и н или (Х*)макс.
Эффективный коэффициент размножения реактора с выве­
денным стержнем и введенной топливной частью равен (3.87).
Если используется стержень без топливной части- и при
выводе стержня в реакторе образуется воздушная полость,
то граничное условие на поверхности полости сводится к ну­
левой производной от плотности потока (кривая 5 на рис.
3.19, а), так как в достаточно тонкой и длинной полости (при
малой утечке) плотность потока нейтронов постоянная:
Ji(a2ri)/Y 1 (a 2 r 1 )=J 0 (a' 2 J?,)/Y 0 (a 2 J?,).
(3.132)
Значение Кэ$ в реакторе с полостью находится подбором
А, до удовлетворения (3.132) с учетом (3.50). Ввиду практической
однозонности реактора вместо А, в (3.131) и (3.132) может
подбираться а 2 , а Кэ$ определяться по формуле
"СТ

оо 2

* аэ ф=~1, .+г [В?+(а!)*]мГ
„ , ГЛ^.„-

(3-133)

При определении К%\ с помощью критического условия
(3.131) удобно пользоваться графиком функции
Fx(x9k)
(рис. 3.20). При таком подборе левая часть (3.131) постоянна
и из графика может быть сразу найдено значение x = a * r l 5
(a|)* = (x/ri) 2 , а А^эф определено по (3.133).
171

Рис. 3.20. График функции Fx{x, к)
(3.131) (даны первые отрицательные
ветви
для
различных
значений
k = r1/R3)

Нецентральный
стержень.
При смещении от центра эф­
фективность стержня падает
пропорционально произведе­
нию скорости поглощения ней­
тронов (т. е. пропорционально
плотности потока нейтронов)
-9
на ценность поглощаемых ней­
тронов для цепной реакции.
Функция ценности по своему
физическому смыслу равна числу делений ядер, производимых
одним начальным нейтроном, с учетом его потомства, впуска­
емым извне в данную точку реактора, и совпадает в однозонном реакторе с функцией распределения плотности потока
нейтронов, так как нейтроны имеют меньщую вероятность
произвести деление на периферии реактора из-за повышения
вероятности вылета за пределы активной зоны (см. также § 6.2).
В результате эффективность стержня при смещении от центра
падает пропорционально квадрату плотности потока нейтронов:
Др ст (г) = Дрст(0) Jo

2,405 г

(3.134)

И н т е р ф е р е н ц и я с т е р ж н е й . Рассмотрим полностью
погруженные неподвижный центральный стержень и второй
такой же стержень, смещаемый от центрального стержня
к периферии. Интерференция, т. е. взаимное влияние стержней
на эффективность друг друга, приводит к постепенному росту
эффективности второго стержня в начальной фазе его смещения
от центрального, что связано с первоначальным ростом плотности
потока нейтронов. В некоторых точках эффективность второго
стержня может быть выше его эффективности в тех же точках,
но при отсутствии центрального стержня — положительная
интерференция. Вблизи центрального стержня эффективность,
наоборот, ниже — отрицательная интерференция.
Определим коэффициент интерференции как отношение
квадратов плотности потока нейтронов в данной точке при
наличии центрального стержня и при его отсутствии. Функции
плотности потока пронормируем при этом на их средние
значения:.
без центрального стержня — (3.90),
с центральным стержнем — (3.129) с a 2 = af, пронормирован­
ное на среднее значение
172

i ? nsJ 1 (a!r)-^-(afiJ,)Y 1 (a!r).
* О

Коэффициент интерференции
jr

( г Ь

[Ji(p)/p] a [«?w»-r;)] a

[Ф 2 И/Ф2[Г)] С 2 ОСТ _

ИН

Ф

[ФИ/ (0]безсх

х

[^..»^llH^»)-''l^ll(a!»'l)]

^ю(сх|г)
J0 (2,405 г/Л,)

у
2

(3.135)

Н е п о л н о е п о г р у ж е н и е с т е р ж н я . Зависимость эф­
фективности погруженной части стержня от глубины погруже­
ния называется интегральной характеристикой, или просто
характеристикой стержня. Ее можно получить расчетным путем,
рассматривая трехмерный реактор с неполностью погруженным
стержнем и с эффективным граничным условием. Для однозонного, однородного реактора получим формулу интегральной
характеристики, считая, что стержень не возмущает высотного
распределения (3.79) и эффективность каждого участка стержня
пропорциональна квадрату O(z) так же, как в (3.134). При
этом полная эффективность погруженной части стержня равна
площади под кривой и отношение эффективностей при непо­
лном и полном погружении выразится формулой (рис. 3.19,6)
я,
я,
Ар(Л) _
Ар(Яз)

sinz — dz =

sur — dzl
j

H3-h

—sin—.

(3.136)

0

Интегральная характеристика (3.13 6) учитывает влияние
стержня на реактивность уже при подходе к зоне, в отражателе
на расстоянии эффективной добавки вверх и вниз от активной
зоны (рис. 3.21,а).
В эксперименте интегральную характеристику получают
интегрированием опытной дифференциальной характеристики,
т. е. зависимости от глубины погружения эффективности не­
большого, например высотой I мм (а в пределе — бесконечно
малого), нижнего участка стержня. Такое определение имеет
смысл производной интегральной характеристики в точке, до
которой погружается стержень. Для однозонного реактора,
дифференцируя (3.136), получим дифференциальную характе­
ристику в виде (рис. 3.20,6)
4М^)] = ^Р^ФЛ_С0£2ГСЛ

dh

dh dh\

H9J

9

Ф = Ар(Яз)

(з 137)

dh

У • J

Нэ

173

Рис. 3.21. Характеристики стержня:
интегральная (а) и дифференциальная
(б)

Рис. 3.22. Расчетная схема двухзонного по радиусу реактора:
1—активная зона 1; 2—активная зона 2

Среднее значение дифференциальной эффективости dp/dh
равно эффективности полностью погруженного стержня, делен­
ной на экстраполированную высоту. Максимальная эффектив­
ность достигается в центре реактора по высоте и вдвое
превышает среднюю:
макс

dp
н
dh л = 3

.dp
dh'

=2—, так как cos я

-1.

(3.138)

2

Реальные интегральные и дифференциальные характеристики
органов регулирования (ОР) могут заметно отличаться от
приведенных, по крайней мере, по трем причинам: из-за
искажения высотного распределения при погружении ОР в ак­
тивную зону; при наличии высотного профилирования, т. е.
выравнивания высотного распределения энерговыделения, а так­
же из-за неравномерного выгорания топлива.
3. Цилиндрический реактор с двумя зонами по радиусу
(рис. 3.22). Расмотрим аналитический метод расчета АГэф и рас­
пределения плотности потока нейтронов для реактора, в ко­
тором свойства двух зон по радиусу различаются. Например,
в центральной зоне могут быть размещены выгорающие
174

поглотители нейтронов (см. п. 3 § 9.5) и плотность потока
нейтронов спадает как к центру (из-за поглощения), так
и к периферии (из-за утечки нейтронов).
Ввиду симметрии расчетная схема подобных реакторов
обычно изображается в виде 1/4 части, заштрихованной на
рис. 3.22.
Дифференциальные уравнения баланса нейтронов (3.21)
записываются в двухзонных реакторах для каждой из зон
в отдельности и с учетом соотношения (3.77) после разделения
переменных имеют вид:
в зоне 1 A r O 1 (r)+(x?-J?f)O 1 (r) = 0;
в зоне 2 АгФ2(г)+(х1-В2)Ф2(г)

(3.139)

= 0.

Начнем рассмотрение с наиболее часто встречающегося
при выравнивании радиального распределения энерговыделения
случая, когда в зоне Г комплекс2 х? меньше осевой компоненты
геометрического параметра В , а в зоне 2 соотношение
обратное, т. е.
af = J ^ - x f > 0 , или Л:эф>

к

^i—sXi;
(3.140)

OL2 = K2 — Bz>0,

ИЛИ Кэь<-

Коо2

,

л
=, Ко .

С учетом введенных обозначений перепишем уравнения (3.139):
ArOiH-afOifrHO;

(3.141)

А г Ф 2 (г)+а1Ф 2 (г) = 0.

Решениями уравнений (3.141) для каждой из зон реактора
являются суперпозиции функций Бесселя (3.45) и (3.43):
Ф2И = а1Ма2г) + ^ о ( а 2 г ) ,

(3.142)

rx^r^R3.

Используя условие ограниченности плотности потока нейтронов
при г = 0 и граничное условие (3.53) при r = R3, получаем
Ф1(г) = а01о(ос1г);
Ф2{г) = а

'•<«">-£№•<«">

>

(3.143)

Применяя условия сшивки потоков (3.54) и токов (3.56)
нейтронов на границе зон, приходим к двум однородным
алгебраическим уравнениям:
175

Яо1о(а1г0 + а

-'^^Ш^*^

=0;

a0DlaL1I1(aL1rl) + a1D2U2 J

'

<

^

>

-

^

Y

^

"

У (3.144)
= 0,

>

условием совместного и отличного от нуля решения которых
является равенство нулю определителя из коэффициентов при
неизвестных а0 и a x :

M«l'l)

-''M

+ ^jj^YoiW!)
= 0. (3.145)

D1OL1I1(ai1r1)

Z>2a

'•(«.'O-^v.K'O

С точки зрения физики равенствб (3.145)—это условие
критичности двухзонного цилиндрического реактора в одногрупповом приближении. Раскрывая определитель, получаем
D2/D1I0(«1r1)_

1

Jo(a2ri)

-^K^)Yo(a2ri)_

Jl(0t2ri)

"Y^^)

= *i(a2ri>

l( 2 0

(3.146)

rJR3)9

где
ttl=

IВ

Ml

; a2

^ 0 0 2 / ^ - 1

Я;

(3.147)

Коэффициент размножения реактора АГэф находится путем
варьирования числа X в (3.147) вплоть до выполнения условия
(3.146) при одновременном соблюдении условия неотрицатель­
ности (3.50). Согласно (3.140) Х1^КЭф^Х2.
Имея в виду
условие (3.50), т. е. необходимость найти основную (всюду
положительную) гармонику плотности потока нейтронов, поиск
КЭф следует начинать с наибольшего возможного числа Х = Х2При этом а! и а 2 (3.147) будут минимальны, аргументы
функции Бесселя также минимальны, что обеспечит поиск
корня равенства (3.146) на первой гармонике функций. Помочь
подбору может график функции F1 (рис. 3.23), где приведены
первые отрицательные ветви функции Fx для различных Гх/Лэ.
После определения АГэф и выполнения при этом условия
(3.146) можно вернуться к однородной системе (3.144). Для
ее решения одно из неизвестных принимают равным произ176

Рис. 3.23. График первых отрицательных
ветвей функции Fx (х, к ) (3.146) (х=а 2 г х,
х/к=и2Кэ)

вольному
значению,
например
#0 = 1.
Второе
неизвестное
а± находят из любого уравнения
(3.144).
В том случае, если в процессе
удовлетворения (3.146) искомое
К\ф
окажется
меньше
Х1,
Xi становится больше Bl, что тре­
бует изменения расчетных формул.
Для данного случая

~J
-*
-5
-$
_7
_8
"
'

a? = x ? - ^ > 0 , или K*<K„1l(\+BlM\)
a i = x i - J ? ^ > 0 , или

= 'k1\

(3.148)

Л: ЭФ <А, 2 .

Различие между (3.140) и (3.148) проявляется в первой
зоне, где решение (3.45) заменяется на (3.43):
или с учетом ограниченности при г = 0
^ i ( 0 = a oJo(air).
Вместо системы (3.144) получается система

(3.149)

а030((х1г1) + а1
«io[-D,«i,J,(oi,r i )]+a 1 B 2 (iJj 1 (oi 3 r 1 )-^te!MY 1 (<i 2 i- 1 )l-0,
(3.150)
а вместо (3.146)—критическое условие
D2/D,

J0(a1r1)_ 1

Jo(a2',i)'
J l ( 0 t 2 r i )

Jo(a2^ 3 )
Y (a ''i)
Уо(а 2 Л э ) 0 2

(3.151)

~Y^^)Yl(a2ri)

где
^oolA— 1
«i

=

M

2

jr>2.

Д.;

a

^oo2 А " 1
Mi

Б;

После определения ЛГэф (либо других критических парамет­
ров) и коэффициентов а0 и ах можно построить распределение
плотности потока нейтронов Ф2(г) (3.143) и Ф±(г) (3.149),
найти их средние значения Ф±(г) и Ф2{г) и коэффициенты
12 Заказ 2739

177

неравномерности плотности потока нейтронов по радиусу
активной зоны:
г
^i{r)rdr

«M'b-V\rdr

2fl 0 Ii(a*>*i)

при к? — В*<0;

<*>bi

<

2a0Ji(a?r1)
affi

(3.152)
при x? — ^ z > 0 ,

v^

д.
J Q>2(r)rdr

<М')=^

2^!

*t{xl,-rl)

Ra.,h (<*tR*.,)-riJi

(afri)

\ rdr
(3.153)
А;г=Ф(г)макс/Ф(г); Ф(г) = Ф 1 (г)г?/Д£ 3 +
+Ф2(г)(Лг.,-г5)//г. 2 .,.
(3.154)
Максимальное
значение плотности потока нейтронов
макс
Ф(г)
определяется из графика функции Ф(г) или из условия
ф'(г) = 0 в точке, где достигается максимум функций Ф(г).
В распределениях плотности потоков нейтронов используются
значения ое* и а*, соответствующие значению Х* — Кэф, най­
денному при удовлетворении критических условий (3.146),
(3.151). Перевести плотность потока из расчетных в абсолютные
единицы можно с помощью условия нормировки на мощность
типа (3.31), введя нормировочную константу А:
д(Г)=А[Ф1(г)Хпг21/1Ц3
+
+
<b2{r)bf2{\-r\IRl3)\Ef,
(3.155)
WT = q{r)Va,3.
(3.156)
Радиальные распределения удельных энерговыделений
в.зонах
*i(') = ® i ( r M £ / i * / ; д2{г) = АФ2(г)1,/2Е/
описывают их средние значения по высоте реактора. Радиальное
распределение мощностей ТВС (точнее, ячеек ТВС:—п. 3 § 3.1)
повторяет распределения энерговыделения в зонах, нормирован­
ные на среднее значение по радиусу активной зоны:
бтвсHi = 6твсЯ± (0/?И> <h(r) = A ФЛГ) S / i E / i
бтвс ir)z = бтвс Чг {г)1ф\ Я2 {г) = ЛФ2 (г) Z / 2 Ef,
где б т в с = ^т/%вс? %вс—число ТВС.
178

Т а б л и ц а 3.1. Исходные данные для одногрушювого расчета реактора
Номер
зоны j

1
2

^00 j

Mj, см2

0,7
1,5

70
60

Dj9 см

0, см

Нэр см

В\ь см2

25
45

91
91

0,0012
0,0012

0,4
- 0,5

*' l+B2zMJ
0,645
1,4

Плотность потока нейтронов переводится в абсолютные
единицы также домножением на нормировочную константу
А, при этом константы а0 и ах служат лишь для обеспечения
условий сшивки потоков и токов нейтронов. Распределение
по радиусу плотностей потоков
« М О а б с ^ Ф ! (Г)',' Ф 2 ( 0 а б с = ^ Ф 2 И

описывает их средние значения по высоте реактора. Для
получения высотных распределений следует воспользоваться
выражениями типа (3.82) и (3.97).
4. Пример одногрушювого расчета реактора. Решим следу­
ющую задачу: определить ЛГэф и найти распределение плотности
потока нейтронов в двухзонном по радиусу ограниченном
цилиндрическом реакторе (см. рис. 3.22) с исходными данными,
приведенными в табл. 3.1, и экстраполированным радиусом
Лэ = 50см.
1. Подбор ЛГэф до выполнения условия (3.146) удобнее всего
проводить в табличной форме (см. табл. 3.2) вплоть до
достижения равенства левой и правой частей условия (3.146),
в котором

0,0179.
При первых пробных расчетах (варианты 1—4 в табл. 3.2)
выявлен интервал, в котором лежит искомое значение К^
(варианты 3—4) и обнаружено слабое изменение левой части
при варьировании А,. Использование в данном случае для
подбора X условия (3.146), а не (3.151) определяется тем, что
искомое /£эф лежит в пределах между Х1 и Х2 (см. табл. 3.1).
2. Полагая а0 = 1, определяем а1 из условия сшивки
плотностей потока нейтронов:
а
12*

Io(a*i' , i)

1о(а*2Г1)-¥о(а*2г1)1о(а*2Лэ)/Уо(а*2Лэ)

= -1,32.
179

Таблица 3.2. Подбор X, до выполнения критического условия (3.146)
Номер
варианта

X

1
2
3
4
5
6
7
8

ttj, СМ *

«I'I

2,12
2,0
1,86
1,66
1,819
1,782
1,837
1,845

0,085
0,08
0,0742
0,0664
0,0728
0,0713
0,0735
0,0738

1,2
1,1
1,0
0,9
0,98
0,96
0,99
0,995

1,4
1,435
1,485
1,575
1,502
1,52
1,494
1,492

Левая
часть (3.146)

а2, см *

а2гх

-0,824
-0,896
-1,0
-1,204
-1,032
-1,066
-1,016
-1,012

0,0538
0,0694
0,0843
0,0995
0,0878
0,0905
0,086
0,0852

1,34
1,74
2,1
2,48
2,19
2,26
2,15
2,125

3. Расчет распределения плотности потока нейтронов в зонах
проводим по формулам (3.143):
ф1(г) = 10(0,0138г), 0 < г < 2 5 с м ;
ф Т ( г ) = _ 1,32 [Jo (0,0852г) - 3,29Y0 (0,0852г)] , 25 см < г ^ 50 см.
Результаты приведены в табл. 3.3. Из табл. 3.3 видна
хорошая сшивка пло.тностеи потоков нейтронов на границе
зон (рис. 3.24).
Т а б л и ц а 3.3. Результаты расчета распределения плотности потока нейтронов
по радиусу двухзонного реактора
г, см

0,0738г

*iW

г, см

0,0852г

J0(0,0852r)

Y0(0,0852r)

* 2 «

0
5
10
15
20
25

0
0,37
0,74
1,1
1,47
1,845

1
1,035
1,142
1,326
1,618
2,05

25
30
35
40
45
50

2,125
2,55
2,98
3,4
3,83
4,26

0,153
-0,073
-0,253
-0,364
-0,403
-0,36

0,519
0,29
0,383
0,23
0,052
—0,115

2,05
2,22
2
1,48
0,757
0

,

4. Средние плотности потоков в зонах рассчитываются по
формулам (3.152) и (3.153), а коэффициент неравномерности —
по формуле (3.154):
ф 1 (г)=1,49; Ф2(г) = 1,7; Ф(г)= 1,647; Ф(г) макс = 2,22; А:г=1,35.
Ф

^^^^^^ **:

fk(r)\

Щ(г)^/

Зона Z

Зона 1

О

180 i

25

Рис. 3.24. Радиальное распределение
45 УОг9сгл плотности потока нейтронов

~~*"-

J 0 ( a 2 r l)

JiK'i)

YoKM

a2R3

Yi(a 2 ri)

ЧГ («2Д.).
x

0

0,599
0,375
0,167
-0,038
0,116
0,0773
0,138
0,153

0,53
0,58
0,568
0,502
0,557
0,547
0,563
0,566

0,308
0,463
0,518

a,5

0,521
0,52
0,52
0,519

-0,52
-0,26
-0,052
0,137
-0,0037
0,032
-0,025
-0,038

2,68
3,48
4,2
4,96
4,38
4,52
4,3
4,25

-0,288
-1,915
4
0,633
2,2
1,57
2,77
3,29

Правая
часть (3.146)

1,34
8,7
-1,168
-0,342
-0,82
-0,658
-0,96
-1,056

Нормировочная константа А, определяемая из (3.156),
безразмерна и устанавливает правильную амплитуду плотности
потока нейтронов или энерговыделения.
Заметим, что процесс подбора Х* = Кэф, приведенный
в табл. 3.2, значительно упрощается при использовании графика
функции Fl9 данного на рис. 3.23, так как правая часть
равенства (3.146) находится сразу же по значению а,2г±.
Поскольку на рис. 3.23 даны наинизшие по аргументу ветви
функции, Fl9 исключаются ошибки, связанные .с высшими
знакопеременными гармониками.

3.5. Коэффициенты
уравнения

одногруппового

1. Гомогенная среда. Одногрупповое уравнение (3.20)
в форме (3.21) применялось выше к различным однородным
средам: к активной зоне в целом или к ее частям, к отражателю
и другим областям. Основными коэффициентами одногруп­
пового уравнения являются коэффициент диффузии D, мак­
роскопические сечения Е а и Е / ? число вторичных нейтронов
vf. Коэффициенты диффузии входят также в условия сшивки
токов на границе сред. В уравнении (3.21) перечисленные
параметры записаны в2 виде функционалов: Ko0 = vf®r<f>8ii;
Lf=DT/Xa; T = Z> 6 /E 3 ; M = L* + x. Из перечисленных коэффици­
ентов ф8, |i, т характеризуют нейтроны быстрой группы и их
целесообразно рассмотреть в числе коэффициентов уравнений
двухгруппового приближения.
Макроскопические сечения , Z /? Ea, Е,г, входящие в (3.20),
являются константами в силу двух обстоятельств—усреднения
нейтронных сечений по энергии и гомогенизации активной
зоны или ее Частей по пространству. Операция пространст­
венной гомогенизации максимально упрощена в гомогенных
реакторах и в тех областях гетерогенного реактора, которые
181

состоят из одного вещества. Макроскопические сечения А>го
рода в этих областях вычисляются в виде суммы произведений
одногрупповых микросечений г-х нуклидов ckti на их ядерные
концентрации Jfx (черта означает усреднение сечений по
энергии). Ядерные концентрации^.^ вычисляются по формуле
(2.15) для реально гомогенных активных сред: расплавов солей
урана и тория, урановой плазмы, графита, пропитанного
ураном, растворов солей урана в воде и для сред, содержащих
одно вещество—воду, сталь и т. п.
Физическая гомогенность гетерогенных реакторов проявля­
ется в том случае, если можно пренебречь различием плотности
потока нейтронов в различных элементах, входящих в мик­
роструктуру активной зоны. Это выполняется, например,
в гетерогенном реакторе на быстрых нейтронах, где пробеги
нейтронов велики ввиду малых значений микроскопических
сечений. Физическая гомогенность в реакторах на тепловых
нейтронах проявляется при слабой гетерогенности активной
зоны, составленной из равномерно распределенных в замед­
лителе тонких или слабопоглощающих, «серых», твэлов (слои
замедлителя при этом—также тонкие) либо из твэлов, топливо
которых содержит замедлитель—графит, гидрид циркония
и т. п.
Во всех случаях физической гомогенности ядерные концен­
трации Jf{ i-x элементов во всей ячейке или Jf{^ в ее j-й
области вычисляются с учетом объемных долей этих элементов

где Jf™—ядерная концентрация чистого элемента, объем
которого на единицу (1 см) высоты, равный численно площади,
составляет KJ-BO всей ячейке или VUj в j-й области ячейки.
В соответствии с (3.157) макроскопическое сечение, напри­
мер, поглощения в ячейке Еа или в ее j-и области Zaj- равно
Ё« = 1 ^ Л ^ ;

(3.158)

i

Zaj^l'bi^iJ.

(3.159)

i

Здесь предполагалось, что в пределах всей ячейки усред­
ненное по энергии микроскопическое сечение иго элемента
постоянно. Сечения поглощения и деления в тепловом реакторе
существенно зависят от температуры нейтронного газа (см.
п. 9 § 2.4). В первом приближении температура нейтронного
газа_(2.71) может быть принята постоянной для всей ячейки,
и aai оказывается также постоянными. Заметим, что формула
182

Ф}атн.ед

'fS
— 1 <

1Z5

—•J

100

5
1—1

j ,

H

15

3

SO

"

Z5

'

hL

*JBS

Z5B ij>*
1)

о

^K"~~hf*s'J

чЪ M
=5 V

2
1

.

6

О
6f96

s$sM.

a

699ff

\£5

2,5В 1{*Ч О и

в)

Рис. 3.25. Этапы получения одногрупповых констант:
а—многогрупповой спектр нейтронов; б—выделение групповых констант и усреднение
многогрупповых сечении по спектру

(3.159) допускает, в принципе, уточнение oai для каждой из
зон ячейки.
Получение средних по энергии одногруппоб&х микроско­
пических сечений в быстром реакторе проводится в несколько
этапов. В общем случае микроскопические сечения Gy, а а ,
atr и vf усредняются (рис. 3.25, б) по известному или пред­
варительно рассчитанному (рис. 3.25, а) многогрупповому спек­
тру нейтронов Ф, (/—номер энергетической группы). Усред­
нение проводится с помощью соотношения (3.16).
Усреднение по энергии микроскопических сечений поглоще­
ния и деления в тепловом реакторе проводится по формулам
(2.74) и (2.76). Сечения при £0 = 0,0253 эВ, т.е. при 20° С
(293,6 К), приводятся в табл. 3.4. Факторы g (Г н г ), учитыва­
ющие отклонение сечений поглощения от закона l/v9 приведены
в табл. 3.5 и на рис. 2.23.
2. Гетерогенная среда. Активная зона гетерогенного ядерного
реактора составляется из ТВС, располагаемых в поперечном
сечении активной зоны по правильной квадратной или тре­
угольной сетке. Общие принципы выделения ячеек около ТВС
и усреднения макросечений рассмотрены п. 8 § 2.4 и в п. 2.3
§3.1. Там же выведено дифференциальное уравнение (2.61),
описывающее диффузию тепловых нейтронов в ячейке, и по­
лучены общие решения этого уравнения для различных геомет­
рических форм ячейки (2.68).
Дополнительные условия, накладываемые на решения урав­
нения диффузии тепловых нейтронов, близки к условиям,
рассмотренным в п. 4. § 3.2 применительно к одногрупповому
уравнению реактора/
Условие неотрицательности плотности потока нейтронов
(3.50) должно быть выполнено в силу его физического смысла.
Условие ограниченности (3.51) приводит и в случае ячейки
183

со

00

CQ
о

Осо
t~~
ооГч -ч#\ _<
_ _ С_ 3 г- Гч so
#ч

—* ©22
со

ч

а
о
о
ч
К

£
м

О
<s
Q

со ^
со о
so »o
О "-• CO

»-ч О
Гч

Гч

Гч

#\

О
X

?о от ' -

z i *-ч ©
Т • ^ ©
со оо '
»о
^соО
чо-^^ ю
со о

Г - СО T f
ON СО SO 1Л> I—"
ON О SO ir> T f

ooo

со

T f f N i-< oo »r>

CQ

CN
ON
ON ^ " о

оо
Гч ^Гчо «
Гч л (
Гч Ч Гч
н О О > Л н

» 0 г—ч O N

4 © © < N 2 ©
O N O ^ ©
^

г-н

О

*-ч

com
О

CN
ON

9
Он

о
м

f-H T f

W>

SOO'-*'-*
#\

Гч

Гч

Гч ^ ^

CN

U

Г\

1

со
г»
со

CN

СО

3
Он

£$ 5 оо CN , _ 2S

<
*>
м

O N O ©
f^ONO
^н
^м
г

CN

o o o <N ^f
ооГч o,=J
^Гч г -Гч
Гч
^н о • ^ - о

ONO
«—I
оv
о o o, —©
' o
CN
ON

>A

c3

«г>

0 0 ON
Г»
ON О 0 0 о <*">
Гч
Гч
Гч ^ ^
Гч
О OCN
^ О

00

со
Г-

1/">

D

Tf^
Г- О Г -

г*
о

N

1—i

00

Гч

^оооо»о

1 1 8© 1 1

8

а

гоо

~<N

Г.
00Гч O C
N Гч O O N

1>

-*
^f
so оо со
о
ооГч о Г> ^ *S соГч TfГч
Г - О М ^ О

О#ч

'""'
,_
СО ON
GQ

со

D

ю
fl
«S

ГVO^f
^" О
Гч

so
CN

2

Tf Tf so оо
г-Гч оГ. о Гчю Гчс чГч

1—* О

О

СО

о

. 1 - 4

Гч

гч

со

оо
o ^Оч
t 0r0 t '-н
ino
'—i
SO » 0

_*
<

О I"""*
SO T f Г Г** О CN СО 1 - *
Гч

Гч

Гч

Гч

гч

(NOO^o

со
f»

D
<*>
м

Г-

^f
о
со О
*0 ^
«\
Гч
Г.
оо
о оо
*л> CN о«\
^н
t ^ CN ^
Ю

л

Ю

~.

N

**

ts (S

ев

•И

(S

Tl-

~

rsi

N

1

1
'

|
'

|2oo22
^Ц

г.

•"* . 2 - 2

N

•Ч

Гч

#ч,

SO О О

*\

Гч

SOO

N

S
-tf

ю

CN
Ю
т * T f СО T f с о

л
«ч
- ' м м

* «0

* 3gб

S
a.

^ о о
TJ-

^

и

^

N

• '

о

* .S ••*»\
**

•»»"

Т а б л и ц а 3.5. Факторы ga (Г нг ), учитывающие отклонение сечений поглощения
от закона IIv при усреднении по спектру Максвелла (2.75)
-

Tt l г, К
Нук­
лид
235

-

300

0,973
1,06
135
Хе 1,2
149
Sm 1,65
Gd
0,884
113
Cd 1,3
U

239р и

400

500

0,957
1,22
1,227
1,97
0,8
1,7

0,945
1,43
1,23
2,17
0,74
2,08

700

* 0,935
2
1,225
2,29
0,62
2,68

900

поо

1300

1500

0,934
2,7
1,14
2,22
0,55
3,0

0,932
3,3
0,995
2,035
0,5
3,05

0,929
3,76
0,967
1,93
0,45
3,05

0,972
4,06
0,834
1,69
0,4
2,95
.г.

к необходимости отбрасывания в центральной зоне функций,
обращающихся в бесконечность в начале координат. Условие
симметрии (3.52) в центре ячейки, состоящей из однородных
зон, выполняется во всех случаях. Граничное условие (2.99)
в ячейке отличается от условия на внешней границе реактора,
так как в этом случае вместо равенства нулю плотности
потока нейтронов на экстраполированной границе реактора
требуется равенство нулю плотности тока нейтронов на
эквивалентной границе ячейки (см. рис. 3.4).
Условия сшивки потоков и токов нейтронов на границах
зон ячейки аналогичны соответствующим условиям в реакторе
(3.54) и (3.56). Это относится и к эффективному условию (3.57).
Рассмотрим несколько наиболее характерных ячеек ядерных
реакторов.
3. Двухзонная ячейка с источниками в обеих зонах
(см. рис. 3.3, б). Рассматриваемая ячейка представляет собой
ТВС, окруженную замедлителем. Первая зона (/"= 1) получается
путем гомогенизации твэлов, теплоносителя-замедлителя и ко­
жуха. Вторая зона (/=2)—замедлитель.
Гомогенизация первой зоны по объему без учета рас­
пределения плотности потока нейтронов в микроячейке явля­
ется расчетной моделью, принятой в данном пункте. Bt случае
проектных расчетов в данной ячейке необходимо выделить
по крайней мере три зоны: внутреннюю ч^сть ТВС, кожух
и внешний замедлитель. Средние макроскопические сечения
поглощения и деления в первой зоне ячейки определяются
при точном расчете путем рассмотрения микроячейки, состо­
ящей из трех зон—топлива, оболочки твэла и теплоносителя,
и будут при этом равны
,

fc

= 1

яч

яч

яч

яч

где к—индекс зон микроячейки; Vk, Фк — объемы и средние
плотности потоков нейтронов в зонах микроячейки; Уяч^
185

ФяЧ — объем и средняя плотность потока нейтронов для всей
микроячейки. Примем для упрощения, что ФЛ/ФяЧ=1 (расчет
двухзонной микроячейки — см. п. 4). Рассмотрим цилиндриче­
скую геометрию как наиболее распространенную. Средние
плотности потоков в зонах
fl

/Pi

'

Ляч

l Ляч

Ox(r)±= J <!}1(r)rdr/ J rdr; Ф2(г) = J Q>2(r)rdr/ J rdr.
о

Tl

(3.161)

Г1

Коэффициент неравномерности плотности потока нейтронов

^«ФУ^ИАМ^ФхЫ/Ф^

(3.162)

совпадает с коэффициентом неравномерности энерговыделения
в ТВС ~&твс- Коэффициент использования тепловых нейтронов
может быть записан в виде

в^ЪгМФ^г)
Lj=l

= 2/ i

V2 Ф2(г)

^al+^2 V

(3.163)

> Oi(r)

Запишем решения уравнения диффузии тепловых нейтроцов
(2.61) в зонах ячейки с учетом (2.68) в виде

Ф2(г) = а21о(Р2г) + а3Ко(Р2г) + (№.М2, Р 2 ^ 1/^x2Применяя в первой зоне условие ограниченности при г = 0,
отбрасываем функцию K 0 (Pir) и получаем
Ф1(г)=аоЧр1г) + (№Ъ)1Из граничного условия на внешней границе
Ф2(0г-я = 0 следует й3 = л 2 1 1 (Р 2 Л)/К 1# (р 2 /г). Тогда

(3.164)
ячейки

Ф2(г) = А 2 [ 1 о ( Р 2 г ) + К о ( Р 2 г ) 1 1 ( Р 2 Л ) / К 1 ( Р 2 Л ) ] +

+ (№Л)2.

(3.165)

Для определения коэффициентов а0 и а2 используются
условия сшивки плотностей потоков и токов нейтронов на
границе между первой и второй зонами при г — гх:
Ф1Ы = Ф2Ы;
или
186

^l®iWln=^2®2( r )lr.

"\

«o^iPiIi(P 1 '' 1 ) = a 2J D 2 p 2 ri 1 (p 2 r 1 )

>

(3.166)

При решении системы (3.166) определяем коэффициенты
а0 и а2. Подставив функции Oi(r),0 2 (r) в (3.161), получим
O1(r) = 2a 0 Ii(Pir 1 )/(p 1 r 1 )+(^ s X e ) 1 ;
Ф2(г) =

(MjMlW

>

(3.167)

Ii (Ра Д)

К Х (М) МРапЛ+^ЛЬСреднее значение плотности потока нейтронов по ячейке
получается усреднением Ф*(г) и Ф2(г) по объему зон:

W)=^{r)(r1/R)2+^?)[\-(r1/R)2l
4. Двухзонная ячейка с источником тепловых нейтронов
только во второй зоне. Такая ячейка получается из ТВС
с газовым или жидкометаллическим теплоносителем, окружен­
ной замедлителем, или из отдельного твэла в замедлителе.
В обоих случаях (^SsXfl)1«(^ZsX,fl)2. Поэтому можно принять
(^LsXa)1/ (^LsXa)2^0. Разделив плотности Ф±(г) (3.164) и Ф2(г)
(3.165) на константу (££sA,a)2 и сохранив обозначения плот­
ностей потоков и коэффициентов а0 и а2 прежними, получим
для цилиндрической геометрии
Ф1(г) = Я о Ц М > 0 < г < г х ;
(3.168)
Ф2(г) = А2[1о(р2г) + 1|(Р 2 Л)Ко(Р 2 г)/К 1 (р 2 Л)] + 1,
r^r^R.
Для этого случая ячейки принято вычислять отношение
средней плотности потока нейтронов во.второй зоне к средней
плотности потока в первой зоне Ф2/Фх. Отношение средней
плотности потока в замедлителе к средней плотности потока
в топливе называют коэффициентом проигрыша и обозначают
буквой *F. Название отражает факт дополнительного увеличе­
ния в гетерогенной ячейке поглощения нейтронов из-за большей
187

плотности потока
нейтронов в замедлителе по сравнению
/
с топливом (Ч >1). Использование коэффициента проигрыша
приводит к следующему выражению для 0^:
Однако для данной ячейки удобнее записать коэффициент
использования в виде вероятности нейтрону поглотиться в пер­
вой зоне ячейки &а1 с образованием val вторичных нейтронов:

Bal^alv1/{j:alv1+4^a2v2)9
или

1/вв1 = 1+тав2к2/(5:в1к1).

(3.169)

При этом
vfll = v / E / 1 / E f l b
где Е /Х /Е а1 —отношение сечения деления к сечению поглощения
в первой зоне ячейки; vf—число вторичных нейтронов на
акт деления.
Выразим а0 и а2 в явном виде из условий сшивки
плотностей потоков и токов нейтронов при г = г±:
floIo(Piri) =
fl0^lPlIt№ir1)

fl2[lo(P2ri)+^^K^p2??1)]+l;
=

fl2/)2P2[ll(P2ri)-^^K1(P2r1)

Получим
-1

/>lBl

а2 = A-p2

1

.MPl'l)

Я2Р2 +1_

MPi^i)

£>iPi vl/o"1-1
£>2p2 *i_

<I'IL I I(PI'-I)

где
МР2Д)
2 Д)

t o = Io(p2''i) + К,(р

MP^);

^MP^-^M^).

(3.170)

Подстановка а0 и а 2 в выражения для средних плотностей
потоков нейтронов в зонах дает
_

Л

Ф1(г) = а0
Ф 2 (г)=1-а 2
188

21,0,14) _
Pi г,

2*,

Р2г,К2/К,

Piri/lp(Pir,)

2 \ 1 , (Р, г,)
= 1-2 />1 Pi

И, 1
Я2Р2 V2 р 2 г,

Д , р , »о

-1

£>2р2 х|/,
Io(Piri)
MPl'l)

Д1Р1 Фо"
#2р2 * 1 _

Коэффициент проигрыша
2
2

2

Ii(|Vi)

^

2

Zfl2

F2 2fl2'

V

'

'

2

где V1/V2 = r 1/(R -r 1);
p 1 = l/J2fTl; p2 = l/JS?T2. Подставляя
¥ в (3.169), получаем для двухзонной цилиндрической ячейки
1 _

Г!

К 2 £ а 2 I 0 (ri/J? T i) _

^

К2 \|/0

П 172)

Выразим через Ч* отношения средних плотностей потоков
нейтронов, входящие в усредненные макроскопические сечения
среды (3.4):
**W_
Ф(Г)

*iW
Ф^^/К^Ч-Ф^К,/^

Ф(г)

VilV^ + VVzlVj

_

*
^/^яч + ^ / ^ я ч
яч

При расчете ТВС, состоящей из отдельных твэлов с незамедляющим теплоносителем, коэффициент неравномерности Энер­
говыделения по сечению ТВС определяется очевидным для
данной ячейки соотношением
ф
g =1/j5f
к _ 1 Ы „ M i io(Piri)
5. Двухзонная ячейка с эффективными граничными условиями.
В данном пункте также рассматривается ячейка с источником
тепловых нейтронов только во второй зоне. Разница с пре­
дыдущим случаем состоит в том, что с помощью эффективных
граничных условий можно рассматривать сильнопоглощающие
области, для которых диффузионное приближение предыдущего
случая может дать заметную погрешность. При больших
значениях «черноты» поглощающего блока djLa требуется
более высокое приближение к точному решению, которое
может быть заменено эффективным граничным условием.
Сильнопоглощающая зона 1 (/=1) может представлять собой
«черный» компенсирующий стержень, содержащий поглоща­
ющий материал (бор, кадмий и т. п.), либо более «серый»
стержень с выгорающим поглотителем. Зона 2 (/=2) является
гомогенизированной средой активной зоны. Ввиду того что
топливо расположено в зоне 2, коэффициент использования
тепловых нейтронов должен быть записан в форме вероятности
для нейтрона поглотиться во 2 зоне ячейки &а2 с генерацией
va2 вторичных нейтронов:
. ®а2 = Т,а2У2Ф2/ t ZajV&j; va2 = vfT,f2/Xa2.

(3.173)
189

Введем коэффициент экранирования поглотителя
£= Ф^)/Ф^).
(3.174)
С учетом (3.174) коэффициент использования нейтронов можно
записать в форме
(ЗЛ75)

s- = i+s?4r-

Выделим коэффициент внутренней экранировки блока (внут­
ренний блок-эффект)
= Ф^г)/Ф2{г1)
(3.176)
и коэффициент внешней экранировки (внешний блок-эффект)
81

£ 2 = Ф2(г1)/Ф2(г).
Очевидно, что g=g±g2. Для определения коэффициента аъ
входящего в Ф2(г) (3.168), используем эффективное граничное
условие (2.96) при г = гх:

*2WUr.=<Mri)/(Ya£>),
где Xff — средняя длина пробега нейтрона до транспортного
рассеяния в зоне 2. Получим с учетом (3.170)
Тогда
и
о
2

R

/ \

f ,f

-

|

о
2д0

*»W-gbtJ*'( ) *- -,,„(^-.) T f ,

г

1

Коэффициент внешней экранировки
-1

(3.177)

gi

Коэффициент внутренней экранировки можно найти, пред­
положив, что все нейтроны, попавшие в блок, поглощаются
в нем. Число нейтронов, вхдящих в блок через его поверхность
£ = 2 я г 1 - 1 с м (на единицу высоты), вычислим как

jJds=-D2^02(r)\r=rids=-D^2(r)\r^r2nr1.
S

(3.178)

S

Знак минус в (3.178) означает, что ток направлен против
положительного направления координатной оси, т. е. в стер­
жень. Единица измерения в выражении (3.178)—нейтр./с —
показывает, что это — число нейтронов, входящих в объем
190

стержня единичной высоты за 1 с. Таким образом, при
составлении баланса нейтронов знак минус может быть опущен.
Если средняя плотность потока нейтронов в блоке Фх(г), то
количество нейтронов, поглощаемых в объеме блока
К=яг1*1 см (на единицу высоты),
|Ф 1 (г)Е а1 ^К=Ф 1 (г)2; а1 яг?.
(3.179)
v
/
Заменив Ф 2(г)г=Г1 на Ф2(г1)/(уМг2)) и приравняв (3.178) и (3.179):
\(2)

В2^2пг1

= Ф1(г)Ъа1пг1

D2

получим
4/3
g

t

- .

t

M

(3.180)

rf1 = 2r 1 .

-

Подставка в (3.180) коэффициента у (см. рис. 2.27) позволяет
получить универсальную зависимость gx от черноты блока
d^al
для различных рассеивающих свойств среды
d^/
(рис. 3.26).
Полный коэффициент экранировки
g

glgl

у

2

2Ьт2Т,а2Ч>1

(3.181)

V-уЪal

Подставив (3.181) в (3.175), получим
1
0

al

=

. ny^a2(R2-ri)
1+
2r,

л

R2-r\4>0
2ri<SfT2 4*i

-1

(3.182)

-1

Отсутствие в (3.182) макроскопического сечения поглощения
в первой зоне Еа1—кажущееся, так как оно определяет
значение безразмерной длины экстраполяции плотности потока
нейтронов в стержень у. Рассмотренная ячейка может быть
частью области, в которой размещена правильная решетка
поглощающих стержней. Среднее макроскопическое сечение
У1Р
О!

•

o,s

05

Рис. 3.26. Зависимость коэффициента вну­
тренней экранировки от черноты блока
при
различных
значениях

оз
1

°,

1

а
I9l

поглощения в этой зоне реактора выразим через полный
коэффициент экранировки стержня g следующим образом:

za=^h

+ za2p-h

= hii£±biXi,

(3.183)

где ФЯч=Ф1-р-+Ф2-^-* яч

* яч

6. Многозонная ячейка. Рассмотрим А>зонную ячейку в ци­
линдрической геометрии. Решения уравнения диффузии теп­
ловых нейтронов для всех зон у, кроме первой и последней,
имеют идентичный вид:
ФАг) = а2]-310(Ьг)+а2]-2К0(Ьг)+(&,Хв);,

р ,= l/£?Tj.

Условие ограниченности плотности потока нейтронов в пер­
вой зоне и граничное условие на внешней границе ячейки
R дают решения
®i(r) = aiIo(Pir)+US.X, l i ) 1 ;
®k{r) = a2k-3

р Л к

мм-|ч * ) °(м

+ U2.M*-

Условия сшивки плотностей потоков и токов нейтронов
на границах между зонами приводят к 2 к—2 алгебраическим
неоднородным уравнениям для определения 2 к—2 неизвестных
коэффициентов. Такая система может быть решена, например,
методом исключения Гаусса.
7. Пример расчета двухзонной ячейки. П о с л е д о в а т е л ь ­

ность расчета:

1) определяем объемы на единицу высоты (площади) i-x
элементов в j-x зонах ячейки Vij9 объемы i-x элементов
в ячейке Р ^ Х ^ и и соответствующие ядерные концентрации
Jfxi и JTt (3.157);
2) рассчитываем сечение поглощения ячейки при темпера­
туре среды Т0 и замедляющую способность при Е= 1 эВ (см.
п. 9 § 2.4):
Sa(r0)=Z^Ia^(293,6K)v/293,6/r0;

^ |

1 э В

= 1 ^ а si\

1эВ?

3) определяем среднюю по ячейке температуру нейтронного
газа по (2.71);
4) находим макроскопическое сечение поглощения, транс­
портное макроскопическое сечение и замедляющую способность
среды в у-х зонах ячейки по формулам типа (3.158), в которых
192

микроскопические сечения (2.74) усреднены по спектру Макс­
велла;
5) вычисляем соответственно коэффициенты диффузии, дли­
ны диффузии и интенсивности источников в у-х зонах ячейки:

6) находим аргументы функций Бесселя, входящих в условия
сшивки: т^\5£тЪ г1/^т2^ ЩУ?чг\ и сами функции Бесселя от
этих аргументов;
7) из условий сшивок (3.166) находим коэффициенты а0, въ
8) рассчитываем распределения плотностей потоков ней­
тронов по всем зонам ячейки и определяем максимальное
значение плотности потока нейтронов в топливе;
9) определяем средние значения плотностей потоков теп­
ловых нейтронов в зонах ячейки;
10) рассчитываем коэффициент использования тепловых ней­
тронов, число нейтронов на акт захвата в делящемся нуклиде,
средние макроскопические сечения и квадрат длины диффузии
тепловых нейтронов в ячейке;
11) находим коэффициент неравномерности энерговыделения
по тощшву.
Пусть активная зона состоит из ТВС, расставленных по
треугольной сетке с шагом 180 мм. Каждая ТВС содержит
по 91 твэлу и имеет цилиндрический циркониевый кожух
наружным диаметром 155 и толщиной стенки 2,5 мм. Внутри
циркониевой оболочки твэла с наружным диаметром 13
и толщиной 0,75 мм
размещен (без зазора)
диоксид урана
3
235
плотностью 9,5 г/см и обогащением 3%
U. Внутриканальное и межканальное
пространство заполнено водой плотностью
3
0,7 г/см при температуре 280° С. Такой ТВС поставим в соот­
ветствие расчетную модель—двухзонную ячейку (зона 1—ТВС,
зона 2—вода).
Я ч е й к а , о т н о с я щ а я с я к Т В С . В табл. 3.6 и 3.7
приведены объемы на единицу высоты, объемные доли и ядер­
ные концентрации веществ и элементов в ячейке и в ее зонах.
Т а б л и ц а 3.6. Объемы V и объемные доли € в ячейке
Вещество /

ТОПЛИВО

Вода
Цирконий

13 Заказ 2739

Зона 1

Ячейка

Зона 2

ViU см3

s*i

94,2
56,5
37,8

0,5
0,3
0,2

Vi2, см3

£|2

Vu см3

£,•

92,5

1

94,2
149
37,8

0,336
0,53
0,134

-

193

Т а б л и ц а 3.7. Ядерные концентрации в ячейке
Вещество i
(элемент)
Топливо ( U 0 2 )
V
235jJ
'
238

Л{, 1022 ядер/см3

3

Yi, г/см

в веществе

в зоне 1

9,5

2,41

0,7
6,44

2,34
4,25

1,2
0,036
1,164
2,4
0,7
0,85

и

Кислород
Вода
Цирконий

в зоне 2

/

в ячейке
0,81
0,0243
0,7857
1,62
1,24
0,57

2,34

Расчет температуры нейтронного газа проведен с исполь­
зованием ядерных концентраций элементов в ячейке (см.
табл. 3.7) и микроскопических сечений из табл. 3.4; получено
Е а (Г о ) = 0 Л 9 7 с м - \ с;Е5|1эВ = 0,516см-\ Г н . г = 770 К.
Микроскопические сечения элементов с учетом усреднения
по спектру и Тнт равны:r а а 5 = 350б; а / 5 = 298б; а а 8 = 1,485б;
а а = 0,363 б; a fr = 34 6; a j = 0,126 б. Макроскопические сечения,
коэффициенты диффузии DT, длины диффузии JSfT и £ЕД в
зон ячейки приведены в табл. 3.8.
Определив радиусы зон ячейки Г! = 7,75см и R = 9,45 см
и аргументы функций Бесселя, из таблиц [15] находим функции
Бесселя (табл. 3.9).
Запишем условия сшивки плотностей потоков и токов
нейтронов (3.166) при г = г1:
7,96a0 + 2,04 = a 2 (l,326 + 2,37-0,366)+113;
0,684-3,59 -6J3a0 = a2 -0,424 -1,1 (0,637-2,37 -0,51).
Полученная система из двух алгебраических уравнений с двумя
неизвестными имеет следующее решение: а0 = 0,772, а2=— 47,6.
Распределения плотностей потоков нейтронов по радиусу
в зонах имеют вид (3.164), (3.165) (табл. 3.10):
Ф 1 (г) = 0,77210(0,462г) + 2,04; 0^г^7,75 см;
Ф 2 (г)=-47,6[1о(0,142г) + 2,37Ко(0,142г)] + 113;
7,75^ г ^9,45 см.
Т а б л и ц а 3.8. Макроскопические сечения и другие константы ячейки,
относящиеся к ТВС
Зона j
1
2

194

I,aj,

CM *

0,147
0,0085

2,fj, см
0,0107
0

l

2 trji

с м

0,487
0,785

&s,

CM" 1

0,3
0,96

j? rj,

CM

2,16
7,05

Dj, см

(&.K)j

0,684
0,424

2,04
113

Т а б л и ц а 3.9. Значения функций Бесселя для расчета ячейки ТВС
Аргумент X
ri/LTl

R/Lj2

Значение X

\о(Х)

IiW

Ко(*)

К,(Х)

3,59
1,1
1,34

7,96
1,326

6,73
0,637
0,832

0,366

0,51
0,351

Ii

К,

2,37

Т а б л и ц а 3.10. Расчет распределения плотности потока нейтронов по радиусу
ячейки ТВС
г, см

0

Г

4
6
7,75
7,75
8
8,5
9,45

0,462г

1о(0,462г)

Ф,(г)

0,142г

1о(0,142г)

К0(0,142г)

Ф2(г)

0
0,92
1,85
2,77
3,59

1
1,224
2,057
4,06
7,96

2,81
2,98
3,63
5,17
8,4

—
—
—
—
—

—
—
—
—
—

—
—
—
-^—

—
—
—
—
—

—
—
—
—

—
—
—
—

—
—
—
—

1,1
1,14
1,28
1,34

1,326
1,352
1,454
1,502

0,366
0,346
0,286
0,264

8,4
9,6
11,6
12

_ Средние значения плотностей потоков находим по (3.167):
Ф1(г) = 4,9; Ф 2 (г)=11; Ф(г) = 6,9; ¥ = 2,25. Коэффициент ис­
пользования тепловых нейтронов в виде (3.169)
'

0,147 188,5 у

Число нейтронов v a l , приходящихся на акт поглощения
нейтрона в зоне 1 (2.105), с учетом ЪгХ =0,107 см" 1 равно
2,47 0,107/0,147= 1,8; одногрупповой коэффициент размножения
нейтронов ^ = 1 , 8 - 0 , 9 3 8 = 1,69.
Средние по ячейке сечения поглощения
и транспортного
1
рассеяния (3.4) равны Е а = 0,0744 см" ; E tr = 0,641 см" 1 . Коэф­
фициент диффузии D = 0,52 см,2 квадрат длины диффузии ней­
тронов в ячейке <£* = ! съл . Коэффициент неравномерности
плотности потока нейтронов (энерговыделения) по ТВС
kr = 8,2/4,9 = 1,68.
Я ч е й к а , о т н о с я щ а я с я к т в э л у . Рассчитаем рассмот­
ренную выше ячейку ТВС с помощью более простой (но
и более грубой в данном случае) расчетной модели, в которой
все твэлы (91) расставлены равномерно по площади ячейки
ТВС и выделена микроячейка около одного твэла. Примем
в качестве первой зоны твэл и 1/91 часть циркониевого
кожуха ТВС (г ! = 0,68 см), вторая зона—1/91 часть всей
площади воды в ТВС (R = 0,99 см). Поскольку средний состав
13*

195

Т а б л и ц а 3.11. Константы ячейки твэла
Зона i

2 e j , см

1
2

' 0,206
0,0085

1

S r r j, см

0,357
0,785

<£), см 2

JSfj, см

г}, см

4,51
50

2,12
7,05

0,68
0,99

n#j

Vj, см 3

0,321
0,14

1,45
1,63

Т а б л и ц а 3.12. Функции Бесселя для расчета ячейки твэла
Аргумент X

ri/LTl
r
llLT2
я/ьт2

Значе­
ние X

0,321
0,096
0,14

М*)

h(x)

Корт)

М*)

1,026
1,002

0,163
0,048
0,0705

2,462

10,22

К,(ЛГ)

Ко(АГ)

6,3
0,0102

ячейки не изменился, сохраняются вычисленные ранее значения
Гн.г и микроскопических сечений элементов. Макроскопические
сечения и другие константы ячейки запишем в табл. 3.11.
Необходимые для расчета &ai функции Бесселя приведем
в табл. 3.12. Значения \|/о и \|/i (3.170) равны 1,0274 и —0,0557
соответственно. С использованием данных табл. 3.11 и 3.12
значение &ai определяется непосредственно по формуле (3.172)
без расчета детального распределения потока нейтронов по
ячейке. Полученное &ai =0,955 несколько выше 0 a i в ячейке,
относящейся к ТВС (0JP C = 0,938), ввиду значительно
меньшего
/ТВС
коэффициента
проигрыша (3.171), равного Ч
= 2,25 в ячейке
ТВ
ТВС и *Р =1,3 в ячейке твэла. Число вторичных нейтронов,
приходящихся
на
нейтрон, поглощенный в зоне 1, найдем с учетом
B
-1
E} i = 0,153 с м ; Vai = 2,47-0,153/0,206= 1,84. В соответствии
с одногрупповой моделью коэффициент размножения нейтронов
в ячейке твэла ATS= 1,84 • 0,955= 1,76, что на 0,07 выше Кт^с= 1,69.
Из полученных результатов сделаем следующие выводы:
группировка твэлов в сборку заметно увеличивает коэф­
фициент проигрыша и снижает вероятность поглощения ней­
тронов в топливе;
наиболее корректный расчет ячейки ТВС должен включать
предварительный расчет ячейки твэла и использование получен­
ных значений средних потоков нейтронов при гомогенизации
среды в зонах ячейки ТВС, содержащих твэлы [см. (3.160)].

3.6. Нестационарный
реактор
в одногрупповом
приближении
1. Вывод нестационарного одногруппового уравнения с учетом
запаздывающих нейтронов. Нестационарное одногрупповое ура­
внение (3.19) описывает пространственно-временное поведение
196

плотности нейтронов в реакторе, или их кинетику, в пред­
положении, что все нейтроны — мгновенные. Будем считать,
что изменение плотности потока нейтронов во времени не
влечет за собой изменения формы его пространственного
распределения, т. е. примем точечную модель реактора. Перепи­
шем (3.19) с учетом справедливого в этом случае разделения
пространственных и временных переменных Ф(г, /) = Ф(г)Ф(/)
в виде
^^=Ф(^АФ(г)+Ф(/)Ф(г)(у/1:/-Еа).
Зависимость от пространственных координат исключим
с по­
2
мощью соотношения (3.117), заменив АФ(г) на — В Ф(г):
\Ш

= -DB><!>(t) + (VfZf-Za)0(t).

(3.184)

Поскольку в переходных процессах важную роль играют
запаздывающие нейтроны, уравнение (3.184) перепишем с уче­
том скорости генерации запаздывающих нейтронов, появля­
ющихся в результате р~-распада предшественников излучателей
запаздывающих нейтронов (см. п. 2 § 2.2). Предшественниками
излучателей и излучателями запаздывающих
нейтронов
называ­
88
88
ются только те нуклиды, например Вг и *Кг, которые
образуют цепочку, заканчивающуюся
испусканием запаздыва­
87
ющего нейтрона и образованием Кг (2.9). На долю этой
цепочки приходится лишь 6% общего числа событий,
а 94%
88
событий идет со сбросом энергии возбуждения 88Кг за счет
испускания у-квантов с последующим р"-распадом Кг. Таким
образом, плотность генерации ядер-предшественников совпада­
ет с плотностью рождения запаздывающих нейтронов при
делении ядер. Поскольку среднее время жизни запаздывающих
нейтронов
определяется постоянной распада предшественников
т
( з.н= 1Апр)? будем эту постоянную обозначать как постоян­
ную распада группы запаздывающих нейтронов: А,пр = Х3.н.
Слово «распад» при этом означает распад ядер-предшествен­
ников и появление запаздывающих нейтронов в свободном
виде, т. е. распад связанного состояния запаздывающих ней­
тронов.
Рассмотрим одну группу запаздывающих нейтронов, кото­
рой припишем среднюю по всем реальным группам постоянную
распада Х3.н. Ядра-предшественники с суммарной концентрацией
C(t) в результате р~-распада переходят в ядра-излучатели
запаздывающих нейтронов. Интенсивность образования ядеризлучателей составляет Х ЗН С(/) и совпадает со скоростью
высвобождения запаздывающих нейтронов ввиду практически
мгновенного распада ядер-излучателей.
197

После рождения запаздывающие нейтроны, близкие по
времени жизни к мгновенным, могут быть объединены с ними
в одном уравнении. Однако ввиду несколько большей ценности
запаздывающих нейтронов, связанной с меньшей энергией
рождения, меньшими пробегами и утечкой, их долю р необ­
ходимо увеличить до
Рэф=/Р.

Для реакторов небольших размеров с заметной утечкой
нейтронов коэффициент / приблизительно равен соотношению
вероятностей избежать утечки из реактора (3.67) для запаз­
дывающих и мгновенных нейтронов
/«(l+B 2 M 2 M r B )/(l+B 2 ML),
(3.185)
где М мгн , М3.н—длины миграции для мгновенных и запаз­
дывающих нейтронов.
В во до-водяном реакторе основной
2
вклад в М
вносит возраст нейтронов т. Соотношение
возрастов для мгновенных и запаздывающих нейтронов запи­
шем в виде
~МГН/ ~З.Н

™Тр1 \ ~ г р

**З.Н/5

где итр—граничная летаргия тепловой группы; м3.н—летаргия,
соответствующая средней энергии рождения
запаздывающих
6
нейтронов. Пусть -Егр = 0,4 эВ, £ р = 2 • 10 эВ, £3.н = 5 • 105 эВ,
тогда2 иГр=15,4,
и_зн=1,4 и т угн /т ЗЛ1 =1,1. Для реактрра
3
с 2 2? = 3,5-10
см
,
JS?2 = 5CM 2 И ТМГН = 60СМ 2 .получим
М ГН = 65 см2, т3.н = 54,5 см , М 2 Н = 59,5 см^ 2и /=1,04. Принятое
в данной оценке совпадение Егр и L для мгновенных
и запаздывающих нейтронов является очевидным, так как
они одинаково взаимодействуют со средой при энергии Е^ЕЗН.
Перепишем уравнение для мгновенных нейтронов с учетом
уменьшения их числа при одном делении v^ на VyfLj, и с учетом
скорости появления запаздывающих нейтронов кълС{г)[ пре­
вращающихся в момент рождения в мгновенные:
Ф ( г ) Е / у / ( 1 - р э ф ) - Ф ( / ) 1 : ( 1 - / ) г 2 Ф ( г ) + Х з . н С ( 0 = ^ ^ . (3.186)
Запишем уравнение для концентрации ядер-предшествен­
ников с учетом того, что их число на один акт деления
ядер равно
числу запаздывающих нейтронов на одно деление
так как в
V/Рэф?
се запаздывающие нейтроны в момент деления
ядра находятся в составе нуклонов ядер-предшественников:
^С(/)/^ = ФЕ/у/рэф~1,нС(/).
(3.187)
Введем в систему уравнений (3.186), (3.187) следующие
величины:
198

реактивность р = (Кэф - 1 ) / Кэф;
одногрупповой (без поправок) эффективный коэффициент
размножения J ^ = v / E / /(E e +Z>-B );
время 2 жизни
мгновенных нейтронов
для конечной среды
2
1
[=lQ/(l-\-B M ),
где l0 = (vl,a)~ —время
жизни мгновенных
нейтронов без учета утечки.
Получим

mjpzMb,n{t)+KMt)-,
У

d

(3.188)

mjb*&n(t)-K.c{t).

Введем понятия генерации Г ~ V/Zf
и исчезновения
2
И~E0+Z>5
нейтронов. Тогда КЭф = Г/И, а реактивность
равна отношению избыточной генерации к генерации:
р = (Г-Я)/Г.
Время жизни мгновенных нейтронов
7

А)
2

__
2

\+В М

h^a

1

_
2

2

Za + DB

_^1исч

v(La + DB )

v

равно времени их исчезновения при
среднем свободном пробеге
2 1
до исчезновения Хисч = (^а + ВВ )~ .
Отношение времени жизни мгновенных нейтронов к Кэф
1 1И
>ъ Г

1о*а

/о

Г

*оо

к

1
v\f"Lf

Кг

vvf

равно времени генерации одного нейтрона, так как Xf/v —
среднее время между делениями ядер с генерацией v / ней­
тронов.
Вводя Л в (3.188), получаем
^Pzp*n
с; ^=%/2-ХзнС.
(3.189)
+ X
dt

Л

з н

dt

Л

з н

v

у

При Кэф = 1 время исчезновения / совпадает со временем
генерации одного нейтрона Л, при Кэф>1 время генерации
нейтрона меньше времени жизни, а в подкритическом реакторе
время генерации превышает время жизни. Форма уравнений
кинетики с временем генерации будет использована ниже при
рассмотрении экспериментальных методов физики реакторов
(гл. 10). В данном пункте рассмотрим только уравнения (3.188).
В стационарном состоянии реактора
n'{t) = 0, С'(0 = 0, р = 0, Кэф=1
и отношение равновесной концентрации ядер-предшественников.
С0 к равновесной плотности нейтронов п0
С0/«0 = Рэф/(^з.н).
199

Пусть / = 1 0 " 3 с,. Х 3 .н-°Д> 8 с~\ Рэф = 0,007, тогда С 0 /л 0 «87,
т. е. на каждый мгновенный нейтрон приходится 87 ядерпредшественников запаздывающих нейтронов.
Рассмотрим управление реактором при его переводе с одного
уровня мощности на другой. Для этой цели достаточны
небольшие изменения реактивности в пределах р = 0,001ч-0,003.
С учетом равенства АГэф« 1 перепишем уравнения кинетики в виде
dn(t)
dt

p-ft эф
/

и(')+*з.нС(0;

(3.190)

>

d

-^J-fn{t)-K»C{t)J

/

>

При р ^ Р э ф « ( О 0 только с учетом вклада запаздывающих
нейтронов характерные времена переходных процессов велики
и управление реактором осуществляется легко (практически
достаточно р<0,5р эф ).
2. Решения нестационарного уравнения реактора. Решения
системы (3.190) для небольших скачков реактивности р<Р э ф
имеют вид [3,24]
л

»(<)_ ftэф
"(0)

Р,ф-Р

ехр
У

"(О,
"(0)

Рэф
Рэф + 1р

(3.191)

Р<0,

ехр

где
Рэф-Р
уст

р^

_Рэф+1Р
уст
1рКн

эф

'з.н

(3.192)

установившиеся, а
I

т — •*• пер

Q

Т'
•>

л

/

=
пер

Рэф-Р

0

.I.

Рэф+lpl

—переходные периоды разгона реактора, т. е. времена измене­
ния соответствующих членов решения (3.191) в «е» раз для
р > 0 и р<0.
Второй член описывает переходный процесс на мгновенных
нейтронах и быстро затухает. Скорость затухания определяет
скорость нарастания при р > 0 суммарной плотности потока,
которая достаточно быстро, практически скачком, увеличивается
в
Рэф/(Рэф~~"Р) Р а з и з а т е м растет по экспоненциальному закону
ftэф
n(t)/n(0)
ехр
f>lc
200

U~P

уст

r>(t)/r>(a)

—1

5)

Рис. 3.27. Изменение плотности нейтронов при положительном р = (Зэф/2 (а)
и отрицательном р= — рэф/2 (б) скачках реактивности:
j—первый член уравнения (3.191); 2—второй член; 3—общее решение

т. е. с установившимся периодом разгона реактора. Первона­
чальный скачок может быть объяснен изменением подкритичности реактора на мгновенных нейтронах и равен отношению
соответствующих коэффициентов умножения реактора (2.111).
При скачке реактивности р = РЭф/2 мощность быстро вы­
растает в 2 раза, а затем увеличивается 2 3в5 «е» раз каждые
12,8 с, так как 1/А,3.н = т3.н=12,8 с в случае
U (см. табл. 2.4).
При отрицательном скачке реактивности (в случае перевода
реактора на меньшую мощность) вначале также происходит
быстрое, почти аз скачкообразное,
уменьшение мощности
в
а
Рэф/(Рэф + 71 Pi) Р > затем спад мощности с установившимся
периодом 7 уст = (рЭф + | р | ) / ( | р | ^ з н ) . При том же отрицательном
скачке р= — Рэф/2 мощность быстро уменьшается в 1,5 раза,
т. е. меньше, чем при положительном скачке, а затем спадает
в «е» раз за 18 с, т. е. за время в 1,5 раза большее, чем
при положительном скачке. Поведение каждого члена и общего
решения (3.191) можно, проследить на рис. 3.27.
При малых скачках реактивности ( р ^ Р э ф ) установившийся
период
т

~

Рэф

Р^з.н

Т

з . н Рэф

'

Р

Р

*з.н/(р/Рэф)'

Он пропорционален среднему времени жизни всех нейтронов
/ = / ( 1 — Рэф) +

Т

з . н Р э ф ^ Т з . н Рэф'

235
равному
примерно
0,08
с
в
случае
U и 0,03 с в случае
39
Ри (см. табл. 2.4), и обратно пропорционален скачку ре­
активности, стремясь к оо при р -»0.
Измерение установившегося периода (3.192) позволяет найти
значение реактивности, вводимой при перемещении тех или
иных органов компенсации реактивности реактора:

201

/

&Ф—
1+Г
'

X
уст

P*Ts., ^ _ _ i

=

т

з.н

+Г

з.н '

т
уст

(3.193)

+Г
з н '

уст

Выражения типа (3.193) являются простейшей формой уравнений
«обратных часов». Название отражает тот факт, что период
входит в знаменатель формулы и при малых скачках реак­
тивности может быть порядка часов. «Обратный час» иногда
принимают в качестве единицы реактивности, причем чем
больше обратных часов, тем меньше реактивность.
Определение реактивности по (3.193) требует также экс­
периментального или расчетного определения ценности запаз­
дывающих нейтронов (3.185), т. е. (Зэф. Если Рэф не известна,
то в эксперименте фактически измеряется относительная ре­
активность, выраженная в единицах Рэф:
Т

Рэф

Т

з.н

з.н"+• -'уст

(3.194)
* "+• ^3.н -*)уст

Единица реактивности, равная Рэф, широко применяется
для описания эффектов реактивности, скорости ее ввода,
эффективности органов регулирования реактивности и т. п.
Удобство этой единицы связано с тем, что она отражает
фундаментальное явление физики реактора, а именно тот
факт, что при реактивности, равной (3Эф, реактор достигает
критичности на мгновенных нейтронах. Нормировка реактив­
ности на Рэф показывает сте'пень приближения реактора к этой
опасной точке. Привлекательность этой единицы не снижается
даже тем обстоятельством, что Рэф в каждом реакторе свои
и могут различаться в 1,5—2 раза при использовании раз­
личных делящихся нуклидов и во много раз, например при
выносе запаздывающих нейтронов из активной зоны в реак­
торах с циркулирующим топливом. В американской и зарубеж­
ной литературе единица реактивности, равная Рэф, называется
долларом, а ее 1/100 часть—центом и обозначается 4 (cent).
Широко используются также долевые единицы реактивности,
более четко, чем Рэф, описывающие абсолютное значение
реактивности. Из них отметим проценты реактивности
(1% = 0,01), тысячные доли (1 тысячная 5= 0,001), стотысячные
доли (т. е. реактивность, равная 10 ~ ). После написания
значения реактивности в долевых единицах может добавляться
обозначение реактивности — АК/Кэф, или просто АК/К, на­
пример 0,1% АК/К означает, что реактивность р = 0,001. В за­
рубежной
литературе употребляется
1 мК = 0,001 и 1 мкК =
6
5
= Ю~ АК/К, l p c m = l % мК=10~ АК/К. ЕСЛИ ИЗ текста ясно,
что речь идет о реактивности, обозначение АК/К может быть
опущено, так как никакой количественной информации это
обозначение не несет.
202

При скачках реактивности, равных или больших Рэф, реактор
переходит в состояние критичности или надкритичности на
мгновенных нейтронах, в котором запаздывающие нейтроны
практически могут уже не учитываться и процесс цепной
реакции развивается с постоянной времени
порядка
времени
3
5
жизни мгновенных
нейтронов
/=10~ ч-10~ с в тепловых
6
8
реакторах и/=10~ -ь-10~ св реакторах на быстрых нейтронах.
При больших скачках реактивности (р>(Зэф) в уравнениях
(3.188) остается лишь часть, описывающая мгновенные ней­
троны,
dn

(р-рэф)л:Эф

dt

l

n(t),

которая имеет решение
л(г)=и(0)ехр(;/Г мгн ),
Т

1
(Р-Рэф)^эф

Период разгона реактора на мгновенных нейтронах Гмгн
определяется в основном временем жизни мгновенных ней­
тронов /. При очень больших скачках реактивности (р»(З эф )
он обратно пропорционален избыточному коэффициенту раз­
множения 5Кэф (2.112):
Тмгк*1/5Кэф,
5* э ф = * э ф - 1 .
(3.195)
График зависимости реактивности от периода (рис. 3.28)
имеет два характерных участка: при р<Р э ф (принято Рэф = Р0>
табл. 2.4) установившийся период изменяется в соответствии
с (3.192), при малых р он растет обратно пропорционально
реактивности и стремится к оо, т. е. реактор становится
стационарным при р -* 0. При р вблизи |Зэф период реактора

ia5icT* io~3 io~z ю'1 1 io

ioz ioJr

т,

с

Рис. 3.28. Связь между введенной реактивностью и установившимся периодом
реактора для 2 3 5 U fl30=0,00685):
1 — область управления реактором; A3—сброс аварийной защиты
203

почти скачком уменьшается на несколько порядков в зави­
симости от времени жизни мгновенных нейтронов / и зави­
симость р (Густ) становится параметрической (параметр /).
Область разрешенных Густ при работе энергетических ре­
акторов включает значения, большие 15—20 с. При достижении
этих значений срабатывает предупредительная сигнализация,
а при достижении Г у с т =10с реактор автоматически останав­
ливается A3.
При аварийном импульсном разгоне и разогреве реактора
максимальная достижимая мощность может быть оценена из
следующих соображений. При апериодическом импульсном
разгоне на мгновенных нейтронах полуширина импульса близка
к ЗГМГН, т.е.
^1/2-ЗГМГН«З//5А:ЭФ.

Принимая импульс прямоугольным с шириной х 1/2 , получаем, что
интегральная мощность, выделившаяся в импульсе, пропорциона­
льна энергии Q, затраченной на разогрев топлива до температуры
прекращения разгона Т± = Т0 + AT и еще на А Г на спаде импульса:
^Г"%/2 = е;
Q=2cpyronVTOBAT,
где ср, утоп, VTon — теплоемкость, плотность и объем топлива.
Прирост температуры топлива в процессе разгона реактора
AT определяется в случае саморегулирования, т. е. при не­
срабатывании A3, отношением введенной реактивности к сре­
днему по . интервалу нагрева_1 температурному коэффициенту
реактивности топлива a Ton (J^ ):
АГ=р/а т о п , aTOn = dp/dT
Температурный коэффициент топлива обычно отрицательный,
и разогрев топлива в процессе разгона приводит к снижению
положительной реактивности примерно до нуля в точке
максимума импульса по мощности и к дальнейшему вводу
отрицательной реактивности на спадающей части импульса.
Во время спада мощности и плотности потока нейтронов
разогрев топлива продолжается и его температура повышается
примерно так же, как и в процессе первоначального разогрева,
т. е. на А Г. В результате максимальная температура топлива
Т?0Т*Т0 + 2АТ.
Времена разгона реактора на мгновенных нейтронах обычно
столь малы, что перенос тепла от твэлов к теплоносителю
теплопроводностью и другими механизмами запаздывает и в про­
цессе разгона происходит только нагрев топлива, превышающий
примерно вдвое равновесный, т. е. медленный, нагрев топлива.
Обычные, без разгонов на мгновенных нейтронах, изменения
мощности в переходных и аварийных режимах ведут к измене­
ниям температур, плотности и объемов топлива, теплоносителя
204

и замедлителя, что в свою очередь влияет на реактивность
и мощность за счет соответствующих коэффициентов реактивно­
сти (см. § 7.2). Из-за их влияния рост мощности при разгоне
замедляется, а при снижении надкритичности до уровня
критичности на мгновенных нейтронах (р^Р э ф ) сменяется спадом
мощности ввиду нарушения баланса между числом делений
(мощностью) и числом запаздывающих нейтронов (см. п. 3 § 2.5).
3. Подкритический реактор. В подкритическом реакторе
мощность обусловлена умножением нейтронов источника, а не
размножением нейтронов реакции деления, как в критическом
или надкритическое случае. Умножение обратно пропорци­
онально подкритичности ААГП =1 — Кэ{. (2.109) и описывается
коэффициентом умножения Кумн=1/АКп (2.10).
При пуске реактора из заглушённого состояния мощность
реактора должна увеличиться на 8—9 порядков, причем 3—4
порядка реактор проходит в подкрическом состоянии с ЛГэф<1,
затем достигает Кэф = 1 и слегка надкритического состояния
с ^ э ф « 1,001-И,002. В подкритическом состоянии период уве­
личения мощности реактора поддерживается за счет непрерыв­
ного вывода регулирующего стержня, а в надкритическом—за
счет некоторой коррекции примерно постоянного положения
стержня, соответствующего некоторой надкритичности и задан­
ному периоду разгона.
В подкритическом реакторе при прекращении ввода реак­
тивности мощность стабилизируется, так как при ^ э ф < 1
цепочки делений, вызываемые каждым нейтроном, затухают.
Процесс последовательных делений описывается убывающей
геометрической прогрессией с постоянной суммой (2.10).
В подкритическом реакторе различают внешние и внутренние
источники нейтронов. Внешние источники специально вводятся
в активную зону в виде контейнеров или ампул,
содержащих смесь
238
ос-активного вещества 7с бериллием,
например Ри—Ве-источник
210
интенсивностью
5-Ю 1/с,
Ро — Ве-источник интенсивностью
8
5 10 1/с и Г 1/2 = 138сут, Ra —Ве-источники и др. В 124 Sb —
Ве-источниках используется реакция
(у, п) на бериллии, причем
124
ввиду малого периода полураспада Sb, равного 60 сут, источник
должен регулярно облучаться нейтронами. Наиболее интенсивны­
ми являются источники, в которых используется спонтанное
деление 252Cf, интенсивностью до 109 —10 10 1/с с Г 1/2 = 2,55 года.
Внутренние источники нейтронов связаны со спонтанным
делением ядер топлива и нарабатываемых в нем при работе
реактора нуклидов (табл. 3.13). Другой внутренний источник —
реакция у-квантов продуктов деления с бериллием, специально
помещаемым в активную зону в виде стержней, или с дей­
терием, входящим в состав
водяного4 теплоносителя. 3Сечения
е
взаимодействия равны <т®п = 5,5 • 10~ б; а ? и = 2,4*10"" б; энер­
гия у-квантов Яу = 4ч-5 МэВ (см. п. 3 § 2.2).
205

Т а б л и ц а 3.13, Источники спонтанного деления [1,6]
Параметр
235

qcni дел./(г-с)
v cn , нейтр./дел

Параметр
qcn, дел./(г-с)
v cn , нейтр./дел

и

1,6-НГ 4
2,4*
242

Ри

800
2,14

236

238

и

Ь8 10" 3
2,14
241

--

Нуклид

-^

и

710"3
2,0
242

Ат

Cm

8,4 106
2,51

0,48
2,3*

239

Ри

0,01
2,3*
244

Cm

4,2-10 6
2,68

240

Ри

410
2,15
252

c f

6,2-10 11
3,76

* Значение о]эиентировочнск

Внешние источники от космического излучения [интенсив­
ностью 65 нейтр/(м 2 -с)] или от близко расположенных
реакторов практически не оказывают воздействия из-за наличия
защитных материалов вокруг реактора.
С учетом источника внешних нейтронов Sx интенсивностью
S0, распределенного по объему активной зоны, и внутренцего
источника S2, обусловленного спонтанным делением и реакцией
(У, п)\

E?cn«^r«vcni
"а.з

уравнение баланса мгновенных и запаздывающих нейтронов
в подкритическом реакторе запишем в виде

*P=v,Zf1f{t)-Zm<»(t)-DB><b{t)+S-[Ka'ba-pa
dt

/V~A

1

+DB2j]<!>{t)+S=^-n{t)+S=

АК„

-^n{t)+S,

+
(3.196)

где I—среднее время жизни мгновенных и запаздывающих
нейтронов; АКп—подкритичность реактора; Мх — масса нук­
лида в активной зоне.
Решение уравнения (3.196) при скачкообразном изменении
подкритичности от AATnl до АКп2 имеет вид
я(0=11(0)ехр(-А«п2///)+-^[1-ехр(--ААп2//7)],
АЛ:, п2

(3.197)

где п(0) = п0(АКПx) = Sl/АКПt — плотность нейтронов при на­
чальной подкритичности AKnl; Sl/AKn2 =
n0(AKn2)—установив­
шаяся плотность нейтронов при подкритичности АКп2. Из
решения видно, что плотность нейтронов и плотность их
206

77,W*CM-J
AJ?Ap

0002

t0(0f15)

t0(OfiZ)

Рис. 3.29. Переход
AKn2(Sl=\03CM-3)

подкритичности

АКп1=0,01

на

подкритичность

Рис. 3.30. Поддержание мощности в реакторе с источником:
1 —область разрешенных значений мощности; J,—ввод стержня АР; j

вывод АР

потока стремятся в подкритическом реакторе к постоянным
значениям:
Поскольку первый член в (3.197) спадает во времени, им
можно пренебречь и время достижения, например, 99% рав­
новесной плотности нейтронов найти из условия
«(^о)/"о = 0,99=1-[ехр(-АЛ п 2 ^ 0 //)]С,
С
'о =

ы

С=\

п0(АКп2)'

4,6/
с-+1&Ки2

235

где /=т 3 н Р эф «0,08 с в случае
U (см. табл. 2.4)
По мере приближения к критическому состоянию время
t0 растет, например, с 2 с при подкритичности 0,15 до 34 с
при Д^ п2 = 0,01. Это качественно видно на рис. 3.29, где
приведены кривые изменения плотности нейтронов при пере­
ходах с подкритичности Кп1 на различные меньшие подкритич­
ности. При переходе в критическое состояние источник должен
быть удален. В противном случае плотность нейтронов линейно
растет, так как каждый нейтрон, запускаемый в критическую
систему извне, воспроизводится и сохраняется во времени при
смене поколений нейтронов. Поскольку внутренние источники
нейтронов удалить нельзя, они остаются, и постоянная мощ­
ность критического реактора с источником поддерживается
органами регулирования путем перевода реактора в подкритическое состояние с некоторым снижением мощности и воз­
вращением в критическое состояние (рис. 3.30).
Рассмотрим пуск реактора за счет последовательных измене­
ний подкритичности. Между вводами реактивности делается
207

1/А , отн ед.

в
б

г
о
О 10

30

SO

70

SO

110 t,c

*^^
\
J
>ИР /v
твс

твс

Рис. 3.31. Изменение плотности нейтронов при пуске реактора с подкритичности
Л* п 1 =0,07 [л(0)]:
1 — подкритичность 0,05; 2—0,02; 5—0,01; 4—надкритичность; 5—Кэф=\ с источником;
6—Кэф=\, источник удален
Рис. 3.32. Пуск реактора с набором критического числа ТВС:
j—загрузка от периферии к центру; 2—линейное изменение подкритичности; 3—загрузка
ТВС от центра; 4—линейная экстраполяция кривой обратного счета

достаточная выдержка (рис. 3.31). Такой способ применяется
при пуске критических сборок новых реакторов или при
наборе критической массы при физическом пуске реактора. При
переходе от подкритического к надкритическому состоянию
закон 1— ехр( — at) для плотности нейтронов переходит
в exp(bt).
Для контроля точки перехода в критическое состояние можно
использовать кривую «обратного счета» (рис. 3.32). Счет детекто­
ра потока нейтронов пропорционален плотности потока, которая
при подходе к критическому состоянию в реакторе с источником
неограниченно увеличивается. Следовательно, точка обращения
в нуль кривой обратного счета указывает критическое состояние
реактора. При приближении к критичности плотность потока
нейтронов растет по закону 1/А-Кд и линейная экстраполяция
кривой обратного счета может содержать недостаточную
информацию о моменте наступления критичности.
Более информативна кривая, которая показывает, как
изменяется отношение установившегося значения плотности
потока нейтронов после снижения подкритичности на 5 к
к значению плотности потока перед этим моментом (рис. 3.33).
Если это отношение равно двум, то при следующем снижении
подкритичности на то же значение Ьк реактор станет критич­
ным, а если отношение больше двух, то надкритичным. Пусть
при подкритичности AJ^nl=AJ^n2 + 5A: плотность потока рав­
нялась
Ф19
а
после
снижения
подкритичности
до
АКп2 = АКп1~8к она выросла до Ф2. Тогда

208

A

z/A,

Бкщш-ьк

лк П2

6k=0O1

Рис. 3.33. Отношение счета детектора в последующий и в предыдущий моменты
при изменении, подкритичности на одинаковые 5 А::
; _ 5 А : = 0,02; 2—5Л: = 0,01

Отсюда видно, что при Ф2/Фх = 2 АКп2 = Ьк и при дальнейшем
снижении подкритичности на Ьк реактор станет критичным,
т.е. АКи3 = АКи2 — Ьк = 0. Значение подкритичности АК^3 при
произвольном отношении Ф2/Фх найдем из соотношения
ААп3 = АА п 2 -6Л=[(2-Ф 2 /Ф 1 )/(Ф 2 /Ф 1 -1)]6*.
При Ф2/Фх = 2 АЛ:п3 = 0, а при Ф 2 /Ф х >2 подкритичность
становится отрицательной и превращается в надкритичность,
или избыточный коэффициент размножения (3.195):
5^эф — ^эф"~1

АК пЗ

Ф2/Ф1-2

Фз/Ф^

8*.

При выводе действующего реактора из подкритического
состояния в критическое подкритичность обычно изменяется
непрерывно с поддержанием заданного периода Т увеличения
подкритической плотности нейтронов в «е» раз:

n{t) = n{0)exp{t/T),
n{t)

ST

л

1-**(/)'

r=n(0g;

dn(t)_

ST

dt

[1-**(/)]

T=[l-K3,(t)]/d^

dK^(t)_

= AKn/

ST
AK

dK^(t)t
dt

dK^(t)
dt

При подходе к критическому состоянию плотность нейтронов
тем выше, чем меньше скорость ввода реактивности. Скорость
изменения плотности нейтронов при постоянной скорости
изменения Кэф обратно пропорциональна квадрату подкри­
тичности. Период подкритического реактора снижается при
14 Заказ 2739

209

уменьшении подкритичности и при увеличении скорости из­
менения подкритического Кэф. Эти положения описывают
основные закономерности изменения во времени плотности
потока нейтронов. Запаздывающие нейтроны не успевают
нарабатываться, и это приводит к снижению периода реактора
и плотности нейтронов при подходе к критическому состоянию
с большой скоростью ввода реактивности.
При пуске глубокого подкритического реактора уровень
плотности нейтронов может оказаться недостаточным для
регистрации. Участок от начала пуска до минимального
контролируемого уровня (МКУ) плотности потока нейтронов
проходится при этом «вслепую». Такой пуск называют также
программным, так как он проводится по заранее разработанной
программе, описывающей перемещения пускового стержня
и паузы между ними. Перемещения — вводы реактивности —
постепенно снижаются, а паузы растут. После выхода на
МКУ производится автоматический пуск с контролем периода
реактора. После выхода в слегка надкритическое состояние
пусковой стержень практически останавливается и мощность
реактора растет по экспоненциальному закону до заданного
уровня—обычно примерно до 1% номинального значения.
После этого начинается разогрев реактора и подготовка
к выходу на энергетический уровень мощности.

Глава 4
ДВУХГРУППОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТЕОРИИ
КРИТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

4.7. Вывод двухгрупповых уравнений
и их решение в однозонном
реакторе
1» Двухгрупповая модель нейтронно-физических процессов
в реакторе на тепловых нейтронах кратко рассматривалась
в п. 2 § 2.5.
Двухгрупповое приближение, как и одногрупповое, может
быть применено к реактору с произвольным спектром, но
чаще используется в расчетах реакторов на тепловых нейтронах.
Шагом вперед по сравнению с одногрупповым приближением
является существенное увеличение точности расчета распределе­
ния плотности потока тепловых нейтронов и энерговыделения
вблизи отражателя или областей, содержащих замедлитель,
ввиду более правильного описания источников тепловых и бы­
стрых нейтронов (см/ рис. 2.26).
210 '

Группа Z

и ЧИ

'
16

<*> 18

О ЗЮ -8

•
1¥

•12

Группа 1

J

L

10

8

9-10 - 5

Z10 - 5

i

a, 0 urZ

4

5-Ю'3

Z E,

-4

E,№

a)
Группа
теллобых

нейтроноб

Группа быстрых нейтронов

г~~1
l~,J-l—I

U

0,01

Егр

19,1 агру*'

1%5

10

10й

W

агр V

£

а

W

=2Ю6эВ
Е,эЪ

\
0,7 О

S)
Рис. 4.1. Энергетические границы двухгрупповой м о д е л и при п р о и з в о л ь н о м (а)
и т е п л о в о м (б) спектрах

Рассмотрим две двухгрупповые модели: одну—для реактора
с произвольным спектром, другую—для реактора.на тепловых
нейтронах. В обеих моделях нейтроны делятся на две группы:
группу быстрых и группу более медленных (или тепловых)
нейтронов (рис. 4.1).
В двухгрупповом приближении плотность потока нейтронов
зависит от координат и от энергии нейтронов, причем
энергетическую зависимость можно выразить в виде постоян­
ных множителей, равных полным потокам нейтронов в группах,
например в группе быстрых и в группе тепловых нейтронов:
'Е,
гр

Ф т = J <b{E)dE,

Е,

Ф б = J <b6(E)dE.

О

Е

гр

Во многих случаях может быть использован метод раз­
деления пространственных и энергетических переменных
Фт(г) = Ф(г)Фт, Фб(г) = Ф(г)Фб.
(4.1)
Для однозонного однородного реактора функция Ф(г), опи­
сывающая пространственное распределение нейтронов, прак­
тически одинакова в обеих группах, если пренебречь неболь­
шими различиями в длинах экстраполяции нейтронов на
внешней границе реактора. Ниже будет показано, что в общем
виде эту функцию можно принять одинаковой и для многозон­
ного реактора (см. § 4.3).
14*

'

211

Числовые множители Фт и Фб описывают энергетический
спектр. Отношение этих чисел постоянно по объему однозонного реактора и равно отношению групповых потоков ней­
тронов.
2. Двухгрупповая модель для реактора с произвольным
спектром нейтронов. Будем считать, что деление ядер с появ­
лением вторичных нейтронов происходит в обеих энергетичес­
ких группах. Рожденные нейтроны попадают в каждую из
энергетических групп, так как предполагается, что энергетичес­
кая граница между группами Е± достаточно высока и спектр
деления S(E) (см. рис. 2.9) распространяется ниже этой гра­
ницы. Доля нейтронов деления, попадающих в группу быстрых
нейтронов, составит
00

Xl=S

S(E)dE,
E

i
00

так как спектр S(E) нормирован таким образом, что § S(E)x
. ,
о
х dE=l.
Соответствующая доля в группе медленных нейтронов
X2 = (l—Xi)- Пусть
Q — полное число нейтронов деления, рож­
3
дающихся в 1 см за 1 с. Если Ф^.—плотность потока нейтронов
в у-й группе, то
4 2

е - 1 «№,v„,

( - >

где 2,fj—усредненное по пространству и энергии макроско­
пическое сечение деления в у-й группе.
Групповые интенсивности источников нейтронов, связанных
с делением ядер, запишем с учетом (2.8) и (4.2) в виде
Sfi=XjQ(4-3)
В группе быстрых нейтронов имеется единственный источник
интенсивностью Sfl9 тогда как в группе медленных нейтронов
имеются дополнительные источники. Это нертроны, появля­
ющиеся в-результате замедления быстрых нейтронов вследствие
упругого и неупругого рассеяния их на ядрах среды. Чтобы
описать упругое замедление нейтронов, введем условную
верхнюю границу группы быстрых нейтронов Е6 (летаргия
йб), равную средней энергии нейтронов, появляющихся в группе
быстрых в результате деления ядер:
00

Е6= J ES(E)dE/
E

i

00

J S(E)dE.

(4.4)

E

i

Вводя Еб, мы упрощаем реальную картину и при анализе
упругого замедления считаем, что все нейтроны деления
212

появляются в группе 1 с энергией Еб и далее претерпевают
упругое замедление до энергии Е± (летаргии и Д По аналогии
с (2.64) введем сечение упругого замедления
2

3i = £ i £ e i / ( « i - w 6 ) ,

(4.5)

которое обусловливает в группе 3медленных нейтронов (у = 2)
генерацию §з2 нейтронов в 1 см в 1 с:
5,2=Ф12:З1.

.

-

(4.6)

Образование медленных нейтронов в результате неупругого
рассеяния быстрых определяется2 сечением неупругого рассеяния
из группы 1 в группу 2 lifiT :
§Ы2=Ф^}Г2.
(4.7)
Убыль нейтронов в группах связана с процессами утечки
из единичного объема—Д/АФ, (2.37), суммарного (с делением
и без него) поглощения нейтронов в обеих группах Ф^а]
и полного (упругого 2и неупругого) замедления быстрых
нейтронов Фх (£ з1 + £-,р ). В результате сечение увода ней­
тронов из группы 1 является суммой парциальных сечений
убыли нейтронов:
XyBl=Ifll+Z3l + S r .
(4.8)
Групповые коэффициенты диффузии нейтронов запишем
с использованием полного сечения взаимодействия нейтронов
с веществом, которое в группе 1 включает также Zjp 2 (об
усреднении SfJ. см. § 3.2):
'
D

1 = TE«> ^J^aj+^ф

^ = Z.;+2ta;.

(4.9)

Суммируя плотности генерации и убыли нейтронов, получаем
систему двухгрупповых уравнений для реактора с произволь­
ным спектром в виде
-/) 1 АФ 1 (г) + ^ 1 Ф 1 ( г ) = х 1 б';
-2) 2 АФ 2 (г) + 1:(12Ф2(г) = х 2 е + Ф1('-)(2з1 + 2 Г 2 ) , У (4.10)

Ф,.(г)=Ф(г)Ф,.,е'=еФИ.

J

Предположение о точном соответствии параметров реактора
критическому состоянию не обязательно для определения
эффективного коэффициента размножения. Для этой цели
может быть использован метод прогонки, или итерации ис­
точников. Общее число нейтронов, рожденных в некотором
первом цикле, принимается равным
произвольному числу,
3
например единице: Qt = l нейтр./(см -с). С данным Qx должны
быть определены значения групповых плотностей потоков
213

в первой итерации Ф^1). По известным Ф^ находят новое
число нейтронов Q2, рождающихся в следующем, втором
цикле в соответствии с (4.2). Отношение чисел однотипных
нейтронов в последовательных нейтронных циклах по определе­
нию (2.104) равно Кэф:
—=**.

(4.П)

Вид групповых плотностей потоков в первой итерации
может быть легко определен 2 для однозонного реактора
с геометрическим параметром В . Подставляя в (4.10) соот­
ношение (3.117), получаем групповые плотности потоков в виде
Ф<11> = Х 1 / ( ^ 1 5 2 + Е ув1 );
\
где учтен АФ](г) = — В2Ф](г) = —B2ФjФ(r) (3.117), а множитель
Ф(г) сократился.
Используя (4.11) и (4.12), получаем двухгрупповое выраже­
ние для КЭф однозонного реактора с произвольным спектром:

Плотности потоков нейтронов (4.12) представляют собой
простейший (двухгрупповой) энергетический спектр в однозонном реакторе.
3. Двухгрупповая модель для теплового реактора. Внесем
в систему (4.10) ряд упрощений, которые в той или иной
степени справедливы для реактора на тепловых нейтронах:
X i - 1 ; Х2 = 0; 2 / 1 = 0 ; Z a l = 0 ; Е?Г 2 = 0; Еб = Ер.
(4.14)
Получим
-Р 1 АФ 1 (г)+2, 1 Ф 1 (г) = С; е = Ф 2 ( г ) Е / 2 у / 2 ; 1
.
К )
-1) 2 АФ 2 (г)+Е в 2 Ф 2 (г) = 2:з1Ф1(г).
i
Полагая АФ7-(г)= —B2ФjФ(r) и Qt = 1 нейтр./(см3 • с), имеем
для однозонного реактора
Ф21) = 2 з1 Ф< 1 1 »/(/) 2 5 2 + Х в 2 ) }

*ЛЬ)

И
К

—

^f2Vf2—

^/2 V /2^al

/Л

ЛП\

Рассмотрим справедливость упрощений (4.14). В тепловом
реакторе Егр = 0,2-г-0,5 эВ и равенства Xi ~ Ь Хг = 0, Е£р 2 = 0
214

и Еб = Ер выполняются бесспорно. Равенства Е / 1 = 0 и £ а 1 = 0 не
столь достоверны в основном из-за явлений надпорогового
деления и резонансного поглощения нейтронов в 238 U. Возможный
способ устранения этой неточности — введение сомножителей |х> 1
и ф8 < 1 [см. (2.107)] к числу вторичных нейтронов на акт деления
v / 2 : множитель ц представляет собой коэффициент размножения
на быстрых нейтронах, ф8 — вероятность избежать резонансного
поглощения нейтрона в процессе замедления. Следовательно,
й = Ф2Ъа2Кп
.
(4.18)
И

K^ = KJ[{\+B^2){\+B2x)l

(4.19)

где
J?2 = D2/Ea2; Л:оо = у / 2 ^ ф 8 0 / ; 0 / = Z / 2 / Z a 2 ; x = D1/X3l. (4.20)
Перепишем систему (4.15), заменив индексы 1, 2 индексами
быстрых «б» и тепловых «т» нейтронов. Дополнительно
приведем интенсивность источника нейтронов (4.18) к квази­
стационарному виду, разделив К^ на Кэф [см. (2.114)]. Получим

ДФв(г)-1фв(г)=-Фт(г)-^££;
т

zz

JUQ

лэф

У

(4.21)

1ф тт(г)=-Ф
АФт(г)--^Ф
(г)=-Фб(г)
б (г)1^
т>

J

где г — произвольная координата. Заметим, что запись коэф­
фициентов уравнений (4.21) в виде макроскопических сечений
и коэффициентов диффузии также возможна и не вносит
каких-либо усложнений в рассматриваемый ниже метод их
решения. В быстром реакторе такая запись обычно более
предпочтительна [см. (4.10)].
Распределение энерговыделения по радиусу однозонного
цилиндрического реактора Ф(г), как будет показано ниже,
описывается функцией Бесселя первого рода нулевого порядка
с множителями энергетического спектра. Нормируя спектр на
Фт, получаем
<3>T(r) = a0J0 XV~-=—
Ь ®6(r) = a0\J0 XV
/

э

где a0 = KrOj(r) — максимальное значение плотности потока,
достигаемой в центре активной зоны. Среднее значение плот­
ности потока в абсолютных единицах определяется из условия
нормировки на мощность типа (3.31). Специфика нормировки,
связанная с двухгрупповым приближением, рассмотрена в сле­
дующем параграфе. ,
215

Спектральный множитель Фб/Фт выразим в явном виде,
подставив в (4.21)
ДФ 6 (г)=-2? 2 Ф б (г)=-Я 2 Ф(г)Ф б ; \
АФт(г)=-В2Фт(г)=-В2Ф(г)Фт,
J
^' }
что справедливо для однозонного реактора.
Из уравнений для быстрых и тепловых нейтронов получим
соответственно
Ф6

B2

+ ^2=hl(l+B2^2);
1 А>
х DT

Фг

1

s.'

DTKa

Фб
2

Фт

(4.23)

Я +1/т

2„т
Z3

Ксо

(4.24)

Кэф(\+В2т)

Правые части (4.23) и (4.24) должны быть равны. Отсюда
1+52J2?2=

^-=~>

Кэф(\+В2тУ

что дает формулу (4.19) для Кэ$ однозонного реактора
в двухгрупповом приближении.
Двухгрупповой энергетический спектр, нормированный на
Фт, удобнее получить из (4.23), подставив явное значение для
макроскопического сечения замедления £ зб (2.64):
2 ат

Ф; = ФТ/ФТ=1, Ф^ = Фб/Фт = - ^ и г р ( 1 + 1 ? 2 ^ 2 ) ,

(4.25)

где £E s6 — замедляющая способность гомогенизированной сре­
ды активной зоны для быстрых нейтронов; Е ат — макроско­
пическое сечение2 поглощения тепловых нейтронов в среде
активной зоны; В — полный геометрический параметр однозон­
ного реактора; игр—энергетический интервал группы быстрых
нейтронов,
выраженный в единицах летаргии (рис. 4.1, б);
2
J5? —квадрат длины диффузии тепловых нейтронов.
Основное влияние на соотношение плотностей потоков
быстрых и тепловых нейтронов оказывает множитель
8sL e T /^Z i e ,
(4.26)
имеющий название параметр жесткости нейтронного спектра.

4.2. Применения

двухгруппового

спектра

1. Эффективное сечение. Получим эффективное микроско­
пическое сечение А>го процесса, усредненное по обеим группам:
ЕР

\*k{E)v{E)dE
а

эФ* = — к
Г

/Z7W7T

J q>(E)dE
о
216

Ф т а£ + Фбд£
1
/ - т , Фб ~ — Ф^ -т +—Ф ^б — = t .Ф^ /^ 1 Gk+^-Ok
1+

б/ФД

Фт

Ь (4.27)

£

rP

EP

где Ф т = J (p(E)dE; Фб= J <p(E)dE; a£, af—средние микроЕГР

скопические сечения А>го процесса в тепловой и быстрой
группах.
Однако удобнее применять эффективное сечение в тепловой
группе а эф, которое может быть найдено из соотношения
аэФФт = сГэф(Фт + Фб) в виде
Л-1-ФЛгт
*Т,Фб-б
^эфк = 1 1 + — I Оэфк = Ок + — ок =

= a I + ^ / f c ( l + ^ 2 J 5 f 2 ) ^ a f c T + ^ / f e = aI + 5 / b

(4.28)

"гр

где Ik = ок игр = J ак (и) du—эффективный резонансный интеграл
о
для А>го процесса; EaT, ^S^—макроскопическое сечение по­
глощения и замедляющая способность среды.
В (4.28) пренебрегли множителем \+В25£2, что2 хорошо
выполняется в уран-водных реакторах, в которых 2 5£ <^х, или
в больших энергетических реакторах, рде В*££ <^\.
2. Доля делений в группе* Оценим относительное число
делений в надтепловой области, т. е. степень жесткости
спектра нейтронов. Пусть среднее2 3 5микроскопическое сечение
деления быстрыми нейтронами
U а | 5 = 50б, а сечение
деления тепловыми нейтронами
а } 5 =1 500 о. Кроме того, если
1
принять £ а т = 0,03 см" , 4zf = 0,7 см" , и гр =18, то Фб/Фт«0,77.
Тогда доля надтепловых делений в реакторе составит
Фб_
.6

ф

*

л б

в > -Я/^ - Ф
- о%+Ф
- f * l * о}
б

г

5

- Ф^ _
б б

а

б

/5

=0,075,

(4.29)

— а>5 + о-}5

где 8Т—доля делении тепловыми нейтронами.
Следовательно, в данном примере 7,5% делений происходят
в надтепловой области и спектр нейтронов реактора довольно
мягкий. Заметим, что другой характеристикой спектра может
служить медианная энергия, т. е. энергия, выше и ниже которой
происходит 50% делений:
•Ем

со

2 J ф (Е) Е, (Е) dE= J ф (Е) I , (Е) dE.
о
о
Понятие медианной энергии применяется в основном к быст­
рым и промежуточным реакторам. В тепловых же реакторах
помимо оценки (4.29) о спектре судят также по числу ядер
замедлителя, приходящихся на одно ядро делящегося нуклида.
217

Например, при 200—500 ядрах водорода на ядро 2 3 5 U
устанавливается чисто тепловой спектр, при 50—100 — надтепловой, при 20 и меньше — промежуточный. Естественно,
что эти цифры основаны на расчетных оценках спектра
и экспериментальных данных.
3. Двухгрупповые плотности Потоков. Используем двухгрупповой спектр для определения плотностей потоков в абсолют­
ных единицах. Средний по объему активной зоны поток
тепловых нейтронов
"т

ФЛг)^-^^-VMEf^

,

(4.30)

VMEfZ%

где 8Т—доля делений (доля мощности) тепловыми нейтронами:
Ё /т Ф т +Ё /б Ф б Ё / т + (Фб/Фт)Ё/б £ / t '

S}*—эффективное тепловое макроскопическое сечение деления:

"гр

_

Jf— J Еу (м) dw = Е / б игр—резонансный интеграл макроскопичесo
_
_
кого сечения деления; Е / т , Е /б —средние макроскопические
сечения в группах тепловых и быстрых нейтронов:
Е

\\f(E)M(E)dE

2/т = ^

= 2,(294 10
\ M(E)dE
о
00

i*f(E)<b(E)dE
F

гр

v

•
й

~/б

•

J q>6(E)dE
Егр

Средняя по объему
быстрых нейтронов

активной

Фб(г)а^ с =

TV

_

зоны плотность

=Фт(Оабс^,

потока
(4.31)

где 1—ет—доля делений (доля мощности) быстрыми нейтро­
нами:
1 _ 8 = ?**1*
т

218

®тЩ%'

4. Потоки нейтронов с энергией выше заданной. Плотность
потока быстрых нейтронов с энергией, большей Е09 или
летаргией, мецыпей и0, найдем в абсолютных единицах с уче­
том пропорциональности плотности потока быстрых нейтронов
интервалу летаргии от летаргии рождающихся нейтронов ир = 0
до, например, летаргии и0 — Ъ при £"0 = 0,1 МэВ:
Фб,абс

zflT

Е>Е 0 = Фт(Оабс ^~

U0(l

+ B2J?2).

(4.32)

В соотношении (4.32) утверждается, что из группы быстрых
нейтронов можно выделить отдельные подгруппы, причем их
вклад в общую сумму быстрых нейтронов пропорционален
интервалу летаргии, занимаемому этой подгруппой. Такой
подход более-менее справедлив в реакторах на тепловых
нейтронах, где основную роль играет упругое замедление
нейтронов и неупругим рассеянием можно пренебречь. Для
учета неупругого рассеяния можно воспользоваться двухгрупповыми потоками (4.12), выбрав энергетическую границу между
группами равной именно той энергии Е0, выше которой
необходимо рассчитать плотность потока быстрых нейтронов.
Для перевода расчетной плотности потока в абсолютные
единицы, т. е. в реальный масштаб величин, ее необходимо
домножить на нормировочную константу А9 определяемую
из условия нормировки на тепловую мощность реактора:
АЕг(Ф™Ъп+Ф™Ъ12) Ка.3= WT; ФишЛе = АФ™
(4.33)
где Ф^—см. (4.12).
Полученные при этом значения плотности потока являются
средними по объему активной зоны.
5. Смещения атомов. Число смещений из узловых точек
кристаллической решетки материала, которое испытывает каж­
дый атом при облучении нейтронами за время пребывания
в реакторе, обозначается «сна» (смещений на атом, англ. dpa)
и служит характеристикой для выбора материалов с учетом
условий их облучения в нейтронном поле. Числу смещений
можно поставить в соответствие флюенс (интегральный поток
нейтронов)

F6 = J O e ( 0 * = ^ ( 0 r ,

(4.34)

о
где Ф б (0—средняя во времени плотность потока быстрых
нейтронов в месте размещения рассматриваемых объектов;
Т— время нахождения этих объектов в нейтронном поле. К числу
объектов можно отнести все элементы активной зоны—топливо,
оболочки твэлов, кожух ТВС, опорные плиты, регулирующие
стержни, внутризонцые датчики энерговыделений и т. п.
219

Хотя смещения атомов происходят под действием нейтронов
с энергиями, большими 0,5—1 кэВ, для сравнения реакторов
принято оценивать флюенс и соответствующее число смещений
под действием нейтронов с энергией больше 100 кэВ (иногда
400 кэВ или 1 МэВ). Флюенс быстрых нейтронов с энергией,
превышающей Е0, можно оценить, подставив плотность потока
(4.32), рассчитанную для середины интервала 0—Г, в (4.34).
Число смещений, вызываемых одним быстрым нейтроном
с энергией Е0 в результате одного акта рассеяния, составит
в среднем
N'CM = AE/ECM9 A £ = £ 0 - £ i = £ o [ l - e x p ( - 4 ) ] *
«Я 0 £ при £ « 1 ,
так как средняя логарифмическая потеря энергии
i

£ = lntE0AEi),

(4.35)

£ , i=£ , 0 exp(-^),

где Е±—энергия нейтрона после соударения; £ с м ^20ч-30 эВ—
энергия, затрачиваемая на одно смещение ядра. Цепочку
смещений производят первоначальные ядра, с которыми стал­
киваются нейтроны.
Число смещений на один атом стали оболочек твэлов
с ядерной концентрацией J/~CT за кампанию топлива в быстром
реакторе Та
NCM = F0NfCMXtl/^CT =
E0ptlAE/ECM^F0G'tlE0^CT/ECM9(^^)
где о si—микроскопическое сечение рассеяния быстрых ней­
тронов на стали; F0 = Ta<b6(E>E0).
6. Скрытая энергия. Если смещенные атомы при отжиге
или нагреве материала возвратятся из междоузлий кристал­
лической решетки на основное место, то выделится скрытая
потенциальная энергия, аккумулированная материалом при его
облучении и равная для одного ядра графита Е'скр&0,4ч-0,5 эВ.
Скрытую энергию в графите при 30° С ъ числе смещений
на один атом, большем 31, можно оценить произведением
Jf (числа атомов в 1 см или в 1 г) на Е'скр. При числе
смещений на атом, меньшем 1, скрытая энергия уменьшается
в NCM раз:
Ескр = МсмЖЕ'скр.

(4.37)

Выделение скрытой энергии повышает температуру матери­
ала, так как происходит достаточно быстро. Известен случай
возгорания графитовой кладки реактора в Уиндскейле при
выделении Ескр. Максимальное накопление скрытой энергии
в графите происходит при низкой температуре (около 30° С),
а наиболее интенсивное выделение — при температуре около
220

200° С. В процессе облучения накопление скрытой энергии
происходит с насыщением и достигает в графите 2—2,5 кДж/г
при 30° С и 40 Дж/г при 750° С. Для
графита2 насыщение
21
достигается при флюенсах (3 -=- 5) • 10 нейтр./см .

4.3. Аналитический метод решения
двухгрупповых уравнений для многозонных
реакторов
Плотности потоков нейтронов, входящие в уравнения (4.10),
(4.15) и (4.21), являются функциями пространственных коор­
динат и энергии. Энергетическая зависимость проявляется
в самом факте разделения нейтронов на две группы. Плотность
потока быстрых нейтронЪв в (4.21) включает в себя нейтроны
всех энергий выше Егр, плотность потока тепловых нейтронов —
суммарную плотность потока всех нейтронов с энергией ниже
Егр. В однозонном реакторе отношение плотностей потоков
(4.25) постоянно в каждой точке объема реактора и в случае
реактора на тепловых нейтронах: ч
Фт

}

£з.б

S£2 Вь

Факт постоянства энергетического спектра свидетельствует
о разделении пространственных и энергетических переменных
в однозонном реакторе.
В многозонном реакторе, например в реакторе с отража­
телем, отношение плотностей потоков быстрых и тепловых
нейтронов меняется по объему реактора. Пространственноэнергетическое распределение нейтронов в указанном смысле
рассматривается ниже с помощью аналитического решения
уравнений (4.21).
Часть решения, описывающая спектр нейтронов, может быть
получена подстановкой в систему (4.21) Фб(г) = Ф(г)Фб
и Фт(г) = Ф(г)Фт, или Фт(г) = Ф(г) и Фб(г) = Ф(г) Фб/Фт:
-\

Ф(г)

х)

б

т

^2£>6*эф:

У

(4.38)

Ф(г) <е2} т
т£ т '
J
Данная процедура позволяет свести (4.38) к характеристиче­
скому уравнению, в котором комплекс АФ (г)/Ф (г) имеет смысл
константы. Обозначим ее Л и определим ниже в явном виде.
Используя такую запись, найдем отношение плотностей по­
токов быстрых и тепловых нейтронов из первого и второго
уравнений системы, (4.38):
221

1 ОгК„
1
2:
У \DeK*(A-l/T)'

Фб
фт

ф

6

(4.39)

хЧк Л.

_

Фт

(4.40)

Приравнивая правые части (4.39) и (4.40), получаем харак­
теристическое уравнение

л2

л

-(^0 -^(ё-')

=а

(4лг)

Уравнение (4.41) представляет собой квадратное алгебраическое
уравнение относительно неизвестной Л и имеет решение
(4.42)

где Л х >0; Л 2 <0. Введем обозначение |Л 2 |=—Л 2 >0. Комплекс
|Л 2 | имеет смысл двухгруппового материального параметра
в случае Кэф=1.
Полученные константы А1 и Л 2 могут быть использованы
в равенствах (4.39) или (4.40); при этом будут получаться
два значения отношения плотности потоков быстрых и теп­
ловых нейтронов (идентичные при использовании любого из
равенств). Подставим (4.42), например, в (4.40). Тогда
Ф, = Г ( 1 / ^ 2 - Л 1 ) х / ) т / / ) б ^ 5 1 < 0 , )
фт \(1/X2 + \A2\)%DT/D6 = s2>0.l

-.
*• '

Коэффициенты s± и s2, которые принято называть коэффици­
ентами связи быстрых и тепловых нейтронов, в общем случае
реактора с произвольным числом зон рассматривают совместно
в виде множителей, входящих в компоненты решений двухгрупповых уравнений, описывающих распределения плотностей
потоков быстрых нейтронов по пространству.
Часть решения системы (4.21), описывающую распределение
плотности потоков нейтронов по пространству, получим,
определив плотность потока быстрых нейтронов из второго
уравнения (4.21):

Фб(г)=-т£

АФт(г)-^Фт(г)

и подставив его в первое:
1

1 \

л^ , ч

1

/ к,

Д2ф т (гНг+^)АФт(г)~(^-1)Ф,(г)
= 0. (4.44)
•-эф
222

Если провести подстановку Фт(г), найденного из первого
уравнения системы (4.21), в уравнение для тепловых нейтронов,
то полученное уравнение по своей форме совпадет с (4.44),
в котором Фт(г) заменено на Фб(г). Поэтому пространственное
решение может быть найдено, например, для группы тепловых
нейтронов, решение же для группы быстрых нейтронов получит­
ся с помощью коэффициентов связи.
Перепишем уравнение (4.44) в операторном виде:
^00

72

J2

/

2

TJS? \ К.эф

л

Фт(г) = 0

(4.45)

или, разлагая на множители, в виде
[(Д-Л^Д-Л^ФЛг^О,
(4.46)
где Ль Л 2 определены соотношением (4.42), так как оператор
уравнения (4.45) совпадает по форме с (4.41). Уравнение (4.46)
распадается
на
два уравнения, дающие его частные решения—
1}
2)
Ф< (г) и Ф^ (г):
ЛФ' 1 )(г)-Л 1 Ф< 1 )(г) = 0;
1
2,
2)
2)
2)
ЛФ<. (г)-'Л2Ф<. (г) = 0, или ЛФ^ (г) + |Л2|Ф^ (г) = 0.] К ' }
Общее решение является суммой частных решений:
Фт(г) = Ф^ ) (г)+Ф^ 2) (г).
(4.48)
Общее пространственное решение для быстрых нейтронов
получим домножением частных решений на соответствующие
коэффициенты связи, зависящие от Лх для Ф ^ г ) и от
|Л 2 |—для Ф<2)(г):
Фб(г) = 51Ф11)(г) + 52Ф^2)(г).
(4.49)
»

Решения (4.48) и (4.49) совместно с дополнительными
условиями (см. п. 4 § 3.2) описывают пространственно-энер­
гетическое распределение плотностей потоков нейтронов в рам­
ках двухгрупповой модели. Развитый метод аналитического
решения является универсальным и может быть применен
к реактору с произвольным числом зон и произвольным
спектром.
В быстром реакторе исходные уравнения (4.21) целесооб­
разнее записать в более общем виде, используя (4.10):
АФ 1 (г)-6 1 1 Ф 1 (г)=-6 1 2 Ф 2 (г); ЛФ 2 (г)-6 2 1Ф2(г)=-б22Ф100,
где ^ i K l / ^ i X S y B i - X i V / i X ^ i ^ ) ; b12 =
XiVf2^f2/(D1K^);
Ь21=(1/П£(Ха2-х2у/2Ъ/2/(Кэф);
b22 = (l/D2)(x1vflXfl/K3t
+
Дальнейший ход решения идентичен приведенному выше.
Например, (4.39), (4.40) и (4.41) имеют вид
•

223

Ф1

bl2

Ф1

Л—b2 1

Ф2

Л-^ц'

Ф2

b22

A2-A(b21 + b11)-(b12b22-bilb21)
= 0;
уравнение (4.44) также приводится к идентичному виду в обоих
случаях подстановок групповых потоков из одного уравнения
в другое:
А2Ф2(г)-(Ь21+Ь11)АФ2(г)-(Ь12Ь22-Ь11Ь21)Ф2(г)
= 0 и т.д.
Для определенности ниже используется форма записи урав­
нений (4.21) и их решений для теплового реактора. При
необходимости вид коэффициентов уравцений (4.21) может
быть уточнен для реактора с более жестким спектром.

4.4. Применение
к конкретным

двухгрупповой
реакторам

теории

1. Однозонный цилиндрический реактор. Используем метод
разделения пространственных переменных
Фт (r,z) = Фт (г) Фт (z), Ацил = Ar + Az.
(4,50)
Учитывая, что A z O(z)/0(z)= — В2 (так же, как и в одногрупповой теории, см. п. 2 § 3.3), получаем после подстановки
(4.50) в (4.47)
АгФ[1)(г)-(А1 + В22)Ф^(г) = 0; \

АМ2)(г)Н\А2\-В22)Ф?Нг) = 0. J

(

™1)

Обозначим а2 = А1 + В2>0 и a2 = \A2\ — Bl>0.
Решениями уравнений (4.51) являются суперпозиции функций
Бесселя:
Ф{Т1)(г) = а010(а1г) + а1К0(а1г);
1
Ф(т2)(г) = а2]0(а2г) + а3У0(а2г), 0^r^R3. J
Общее решение в соответствии с (4.48) есть
ф т ( г ) = фа>( г ) + ф^)( г ).

( 4 .53)

Используемый аналитический метод требует, чтобы допол­
нительное условие ограниченности плотности потока нейтронов
и граничное условие на внешней экстраполированной границе
применялись к каждому решению (4.52) по отдельности,
поскольку они получены из отдельных 'дифференциальных
уравнений. Условия же сшивки плотности потоков и токов
(в многозонном реакторе) и условие положительности плот­
ности потока нейтронов накладываются на общее решение
(4.53).
224

Чтобы==выполнить условие ограниченности при г=0, полага­
ем й 1 =й 3 0- Из граничного условия, примененного к Ф£Х)(г),
следует а0 — 0, так как 1 0 (а 1 г)^0 при любых значениях
аргумента. Итак,.
Фт(г) = Ф[2)(г) = а2]0(а2г),
и из граничного условия Фт(1?э) = 0 совместно с условием
неотрицательности получаем критическое условие для данного
реактора
Jo(a 2 i? 3 ) = 0, ос2Дэ = 2,405, а 2 = ^ = Я г .

(4.54)

Перепишем критическое условие (4.54) в виде
| Л 2 | - Я 2 = (2,405/ЛЭ)2, или |Л 2 | = Я 2 .
(4.55)
Подставляя |Л 2 | из (4.42) в (4.55), получаем критическое
условие для однозонного ограниченного цилиндрического ре­
актора в двухгрупповом приближении в явном виде:
(4.56)
Отсюда может быть найден любой критический параметр,
в частности эффективный коэффициент размножения реактора,
равный (4.19), что свидетельствует о справедливости со­
отношения (3.117) для однозонного реактора, рассматриваемого
не только в одногрупповом, но и в двухгрупповом при­
ближении.
Учитывая, что ос2 = Д. (4.54), получаем распределение плот­
ностей потоков тепловых и быстрых нейтронов по реактору:
Ф т (0 = Мо(2,405г/Л э );

Фб(г) = 52Фт(г) = а252]0(Вгг).

Коэффициент связи согласно формуле (4.43)
^2 = ( i + г| A 2z| > ) x ^ = ( l + 5 2 j 5 f 2 ) ^ т2
<е ' 7 A,
DsSe
(l+B2&2)^urp.

(4.57)

В достаточно большом реакторе 1?2J£?2«:1 и
что совпадает с отношением
"гр

Ф б = f ф(и)Л = (Ф 0 2 вт /52,)и Г р
о
15 Заказ 2739

225

ф

Of
05-

Активная
зона (i/z)

Рис. 4.2. Радиальное распределение плотно­
стей потоков тепловых и быстрых нейтронов
в двухзонном реакторе (Ькр—критическая
полуширина активной зоны)

Отража тель

[см. формулу (2.53) и (2.79)] к
00

04

Ф т =|ф т (£)</£=Ф 0
.
о
03
[см. формулу (2.70)].
02
2. Плоский реактор с боковым
отражателем (рис. 4.2). Рассмотрим
01
реактор в виде ограниченной пла­
стины с отражателем, например,
О
-30 -20
-10
20ХуСМ
из бериллия, расположенным в на­
правлении оси х, и с экстраполированными размерами по
другим осям. Начало координат выберем на границе активной
зоны и отражателя.
В отражателе такого реактора имеется всплеск плотности
потока тепловых нейтронов, обусловленный интенсивным за­
медлением в нем быстрых нейтронов. В отражателе (индекс
«о») не содержится топлива и К°оо = 0. При этом значения
комплексов (4.42) и коэффициентов связи (4.43) становятся
равными

1М

1

0

Х*0

лъ4(4
+ Л±
Л&1
W~2\T

; A^l/To,

A02 = l/i?022. ;
~\

\&0
s2<

J D6t0 \££0
1

A°2)x^

J D6o

>

= 0.

^б, о

1. Активная зона (без индекса). Подставляя в уравнения
(4.47) оператор Лапласа (3.27), а также Ф(х, у, z) =
= Q}(x)Q>(y)<!)(z) и учитывая ограниченность реактора по осям
у и z, с помощью замены АуФ(у)/Ф(у) = — В* и A z O(z)/0(z) =
= - Я~12 получаем
АхФ<1>(х)-а?Ф<1)(х) = 0; а^А^В^
+ В2;
(4.58)
2
2
2
2
2
ДхФ< >(х) + а Ф< >(х) = 0;
а 2=\А2\-В у-В1
При2 дальнейшем
решении учитываем, что а2>0, так как
2
\А2\>В + В . Применяя к решениям типа (3.40) и (3.36)
уравнений (4.58) условие симметрии (3.52) в центре реактора,
при х=—Ь имеем
226

Ф(т1)(х) = а0 sh(atx)—cth(a 1 6)ch(a 1 x) ;
Ф<2) (*) = <*! sin(a 2 x)—ctg(a 2 ^)cosa 2 x ;
Фт(х) = Ф[1)(х)+Ф^(х);
Фб(х) = зМ1){х)+з2Ф(т2)(х);
-b^x^O.

>

(4.59)

2. Отражатель (индекс «о»). Используя граничные условия
(3.53) при х = а для каждого из решений типа (3.40) уравнений
А*Ф&(*)-а!Ф£Н(*) = 0,

a2^-+B2y+B2z;
to

1

2.
А,Ф<?Ц*)-а2Ф»>(х) = 0, a i
Bi + Bi;
получаем
Ф£1(х)=а2[!!.Ъ(а.3х)-1Ъ(<х3а)сЪ(а,3х)];

Ф^о(*)^=Яз [sh(a 4 jc)~th(a 4 a)ch(a 4 x)];
У

Фт,о(х) = Ф<!»(х) + Ф ^ ( х ) ;
Фб,о(л) = ^1оФт)1о(^);

*Ю

DT.OI

Ч

D б, О

<£\

(4-60)

1

После определения вида функций, описывающих распределе­
ние плотностей потоков тепловых и быстрых нейтронов по
объему реактора, дальнейшее решение задачи проводится по
единому плану:
1) записываются условия сшивки плотностей потоков (3.54)
и токов (3.55) нейтронов на границе между зонами;
2) условие совместного ненулевого решения получен­
ной системы однородных алгебраических уравнений—равенст­
во нулю определителя из коэффициентов при неизвестных—
является критическим условием реактора и удовлетворя­
ется путем подбора того или иного критического пара­
метра: размера или состава активной зоны или, в' общем
случае, Кэф;
3) найденный критический параметр подставляется в ис­
ходную систему. Одно из неизвестных приравнивается произ­
вольному числу, и система из п однородных алгебраических
уравнений переводится в систему из («—1) неоднородных
уравнений;
4) находятся остальные неизвестные неоднородной систе­
мы уравнений. Оставшееся от исходной системы уравнение
может служить для проверки правильности найденных неиз­
вестных;
15*

227

Т а б л и ц а 4.1. Исходные данные для двухгруппового расчета реактора
Зона
реактора j
Активная
зона
Отражатель
(бериллий)

Размер,

D

J

2
CM Z

CM 2

50

5

86

440

CM

»

*j>
CM

^00 j

CM

2

1

2

1,1

0,0012

0,54

0,81

0

0,0012

CM

Опреде­
ляется
30

5) рассчитываются распределения плотностей потоков те­
пловых и быстрых нейтронов по объему реактора и определя­
ются коэффициенты неравномерности плотности потока ней­
тронов (энерговыделения);
6) рассчитываются другие величины, представляющие ин­
терес (эффективные добавки, характеристики энергетического
спектра).
4. Пример двухгруппового расчета. Численный расчет
двухзонного реактора в двухгрупповом приближении проведем
на примере рассмотренного в предыдущем пункте плоского
реактора с отражателем. Таким же образом решается осевая
задача в цилиндрическом реакторе с торцевым отражателем.
Задача. Найти критический размер активной зоны Ькр плос­
кого реактора с отражателем, если заданы толщина а от­
ражателя вдоль оси х и Значения двухгрупповых констант
активной зоны и отражателя (табл. 4.1). Пусть а включает
длину экстраполяции d3 = 0,7lXtr и заданы компоненты геомет­
рического параметра по осям у и z: By и В\.
Решение проведем в следующей последовательности.
1. Запишем условия сшивки плотностей потоков и токов
тепловых и быстрых нейтронов (4.59) и (4.60) на границе
между активной зоной и отражателем при х = 0 в общем виде:
Фт(0) = Фт,о(0);

я т ф;ии=о=я,оФ;о(*)и=о;

>

Фб(0) = Фб,о(0);

^бФб(х)и=о=^б,оФб,оИи=о
и в конкретном виде:

-\

а0 cth (<*! b) — а1 ctg (cc2b) + a2 th (a 3 a) + a3 th (a 4 a) = 0;
У (4.61)
a0DTa1 + a1DTa2-a2DT,o<x3-a3DT>o<X4.==0;
a 0 ^iCth(a 1 6) — a1s2ctg(<x2b) + a2sloth(a3a)
228

a0D6s1a1 + a1D6s2a2-a2D6,osloa3

= 0;

= 0;

2. Составим определитель из коэффициентов при неизвест­
ных я 0 , 0i, а2, аъ и приравняем его нулю:
cth(ai&)

— ctg(oc26)

th(oc3a)

th(oc4a)

5iCth(a!6) — s2oXg<x2b s l o th(a 3 a) 0
Д^о^
/V2<*2
-D6tOslo0L3 0

= 0. (4.62)

Раскроем определитель (4.62):
cth(a1b)[0L3QL2s1th(aA,a)(DTtOD6S2-D6tODTslo)^
+ a4a252Z>T,oi)6th(a30)(5io-5i)] + ctg(a26)x
x[a 3 ai5 2 th(a 4 0)(5ii) T>o i) 6 -5i o Z) 6 , o Z) T ) +
+ a 4 a 1 s 1 Z> T , 0 i) 6 th(a3a)(s l0 -s 2 )] +
+ cth(a1b)ctg(a2b)a3a4sl0DTf0D6>0(s1-s2)
+
+ ax OL2S1ODTD6 th (a 4 a) th (a 3 a) (s2 — Si) = 0.
(4.63)
Получено критическое условие для плоского реактора с от­
ражателем в двухгрупповом приближении. В предельном случае
отражателя с нулевой толщиной а = 0 условие (4.63) переходит
в критическое условие для реактора без отражателя с экс­
траполированным размером 26 по оси х:
ctg(a 2 6) = 0; a2b = n/2; а2(к/2Ь)2 = В2х; \
( М)
Л 2 |=2? 2 ; B2^B2X + B2y+B2z.
J
*
Условие (4.64) совпадает с условием2 (4.55) для однозонного
цилиндрического реактора (значения В , естественно, разные),
что подтверждает правильность критического условия (4.63).
3. Найдем коэффициенты, входящие в (4.63), считая, что
Л^ф=1 (при этом Ь = Ькр):
Л 1§2 =(0,11±0,1118) см" 2 ; Л!=0,2218 см" 2 ;
Л 2 | =0,0018 см" 2 ; Л 1о =1/т о = 0,0162 с м - 2 ;
Л 2 о = 1 / ^ 2 = 0,00227 см" 2 ;

^=^/0,2218 +0,0012 = 0,47 см" 1 ;

а 2 = ^/0,0018-0,0012 = 0,0245 см" 1 ; a 3 = N/0,0162 + 0,0012 =
= 0,132 см" 1 ; а 4 = ,/0,00227 + 0,0012 = 0,059 см" 1 ;
^=(1/5-0,2218) -50-1/2=-0,55; s2= (1/5 + 0,0018)х
х 50-1/2 = 5,05; 51о = ( — - 1 ) — =-0,537; /) т =1 см;
'
' ' 1о ^440 у 0,81
D6 = 2 см; Z>TO = 0,54 см; D6jO = 0,81 см;
а 3 я = 0,132-30 = 3,96;
229

th(oc 3 a)=l; a 4 a=l,77; th(a 4 a) =0,942;
(l) = a 3 a 2 5 1 th(a 4 «) = —0,00167 см" 2 ;
(2) = DTi0D6s2-D6i0DTsl0
= 5,SS5 см2; (1)-(2)=-0,0098;
(3) = a 4 a 2 s 2 Z> Tj0 Z) 6 th(a 3 a) =0,0079; (4) = J 1 O - J ! =0,013;
(3) • (4) = 0,0001; (1) • (2) + (3) • (4) = - 0,0097;
(5) = a 3 a 1 5 2 th(a 4 «) =0,294 с м - 2 ;
(6) = SlDTt0D6-sl0D6i0DT=
-0,163 см2; (5) -(6)= -0,048;
(7) = a4a1s1Z)T,0Z)6th(a3tf) = -0,0164;
(8) = * l 0 - 5 2 = - 5 , 5 8 7 ; (7) • (8) = 0,092;
(5) -(6) + (7) -(8) = 0,044; a3a4sl0DTt0D6t0(Sl-s2)
=0,0102;
a
i OL2S1ODTD6 th (a 4 a) th (a 3 a) • (s2 — ^i) = — 0,065.
4. Подставив численные коэффициенты в (4.63), получим
-0,0097 cth(ai6 Kp ) + 0,044 ctg(a26Kp) +0,0i02cth(a 1 6 Kp ) x
xctg(a 2 6 Kp ) -0,065 = 0.
(4.65)
Критический размер активной зоны Ькр может быть найден
из критического условия (4.65) путем подбора. Однако если
предположить, что искомый размер Ькр > 11 см, то ах Ькр > 5
и cth(a16Kp) « 1 . Полагая в (4.65) cth^oLib^) = 1, получаем
ctg(a26Kp) = l,37; ос26кр = 0,63; 6кр = 25,7 см, т.е. 6 кр >11 см,
что подтверждает допустимость сделанного предположения.
5. Подставим найденное значение критического размера
активной зоны Ькр в систему (4.61) и найдем соответствующие
значения коэффициентов при неизвестных а0, al9 а2, аъ (табл.
4.2).
Т а б л и ц а 4.2. Коэффициенты системы (4.61) при /> = />кр = 25,7 см, а = 30 см
Но­
мер
урав­
нения
1

2

Коэффициент

Значение
коэффи­
циента

Но­
мер
урав­
нения

cth(aAp)
-ctg(a26 )
th(a 3 fl)
th(a 4 tf)

1
-1,37
1
0,942
0,47
0,0245
-0,0715
-0,0317

3

Z>Ta2
-^т,0а3
-£т,0а4
230

Коэффициент

sicth(ailbKp)
-s2ctg(a2b„p)
s l 0 th(a 3 tf)

4
D6S20L2

-£) 6 , 0 5 l o a 3

Значение
коэффи­
циента
-0,55
-6,9
-0,537
-0,518
0,123
0,057

6. Полагая я 2 = 1, найдем а0 = 0,073; «х = —0,0833; аъ — 0,073
из трех последних уравнений системы (4.61):
0,47я о + 0,0245я х - 0,0311аъ = 0,715;
— 0,55#о — 6,9#! = 0,537;
-0,518fl0 + 0,123fl1 = -0,057.

>

J

Сшивка плотностей потоков получается удовлетворительной,
а характер их изменения — разумным (см. рис. 4.2). Плотности
потоков рассчитаем по формулам (4.59) и (4.60) с использова­
нием найденных численных коэффициентов в активной зоне:
Фт(*) =0,073 [sh(0,47*) -ch(0,47*)] -0,838 [sin (0,0245*) -1,37 cos (0,0245*)];
ф б ( х ) = -0,04 [sh (0,47*) -ch(0,47*)] -0,424 [sin (0,0245*) -1,37 cos (0,0245*) ],
где (— 2bKp = — 51,4 см) ^ * ^ 0 и в отражателе"
Фт,о(*) = sh(0,132*) -ch(0,132*) -1,23 [sh (0,059*) - 0,942 ch (0,059*)];
фб o ( x ) = -0,537 [sh(0,132*) -ch(0,132*)],
где 0 < * ^ я = 30 см.
Результаты расчета приведены в табл. 4.3 и 4.4.
7. Средние значения плотностей потоков тепловых и быст­
рых нейтронов получим, усреднив (4.67) и (4.69) по объему
активной зоны:

Фт(*)= J <bT(x)dx/ J <& = ± ( ^ - ^ ) = 0,139;
_Ь

кр

~КР

"кр _ и

"кр
•Ф

Коэффициенты неравномерности плотностей потоков теп­
ловых и быстрых нейтронов по активной зоне равны
Лхт = ф^ акс (*)/ф т (*) =1,35, &хб = Фбмакс(*)/Фб(*) =1,065. Большое
значение кхт объясняется слишком оольшим подъемом плот­
ности потока тепловых нейтронов вблизи бериллиевого от­
ражателя. Снизить кхт можно было бы за счет уменьшения
толщины отражателя, но при этом увеличивается критический
размер bKp.
8. В реакторе с отражателем энергетический спектр ней­
тронов, выраженный в виде отношения Ф б (*)/Ф т (*), является
231

e ie

Ю Ю Ю «Л> Ю »Л> Г O O O O O t - O N
*ч

#\

Гч

#\

Гч

*ч

Ш 1Л >л »n »n ^t гч

e

e е-'

Г - CN Г - ЧО - « T t
О *-< О ОО ЧО CN П"
Г - Г - Г - ЧО ЧО ЧО ЧО
Г*

Г*

*Ч

Г*

Г*

Гч

«Ч-

О О О О О О О
4>

4
H
О

e

о

о
«о

••*

1-ч О
Г*

e

Г*

Гч

Г\

»Ч

со О О О

CN

О

.

«Ч

О

f - 0 0 VO UO 0 0 CN
СО Г - "3" Г*- СО CN
( П М - н О О О
Гч

*\

Гч

1Гч

«\

Гч

О О О О О О О

0 0 ЧО CN 0 0

г- г- г- чо чо чо «п
*\

о
«о

UO
CN
ЧО O N T f ON
*-*
СО f - "«Г CN CN СО

Г*

Гч

Г*

г»

Г*

a.

о
н

О О О О О О О

е

ЧО UO СО ЧО ON Г**—i СО СО CN »—i О
#Ч

Гч

#V

Гч

Г*

Г»

— ^

О О О О О О О

QQ

e

О О О О О О О
г*

г*

О О

1 1
H

e

О
S

8.
£

ЧО r-i г-1 0 0

Ё

1—1 1—< *—* f - Ч »-Н »—1 1—1

X

О

<—• О

^t ^t ^t со со со оо
#\

Г*

Л

#ч

*ч

*Ч

Г*

л о

е

. О >л О »п О О
чо чо О О чо »—•
^-^ ОО ЧО T f CN »—«
rt

Гч

Гч

О О О О О О О

Гч

#ч

#4

Гч

Гч

Гч

Гч

#ч

Гч

*ч

Гч

о

О "-< О ЧО 1-н T t «л>
"it " * "it CO CO CN *—i
Гч

Гч

CN О СО СО О
О
^ t ОО CN 0 0 i-ч CN
О ^ " * Г- С О О
С\

e

Гч

-« О о о о о о

Гч

О О О О О О О

3
QQ

О

s

"3" CNCN
CN
^ t «—i ОО CO f - ON
f - O O 0 0 ON ON ON
'

CO

О
О

*><
с»

•ч

"Й

е.

л

rv

о
H

r*

О О О О О О О

s

-* ^CN
f - 0 0 f - 4© T t CN
ЧО «Ti <«t CO CN *-<
Г*

IT

г*

Г*

#s

Г*

Г*

о

Г*

О О О О О О О

1 i 1 1 1 11

#ч

Г*

r*

r*

r\

О

2
8

В

r*

c> О

I

е

о Г"-

Гч

1
1

1
1

1
1

1
I

^ ^

a.
н

CN

»
ев

1 1 1 1 1 ^о
If
Сч

г*

г*

г*

Гч

8

2
о

^ 1

Гч

Гч

Гч

«\

Г\

*ч

Гч

Гч

Гч

Гч

ON

О "* чо г- г-

_

ев

О

Г - Г - ^О ON ЧО CN
Гч
»Ч
Г\
#\
*ч
Гч
О ^-" СО ЧО СО чо
г-н CN

ON
ЧО CN 0 0 ^ t ^и ЧО
ЧО СО ON ЧО СО ON

»—< t * - "3" *—' t - - CO

8

Гч

" * «-« ON f - "3" CN

r*

г-1 CN СО Г*- СО ЧО
»—« CN

г*

| М
.
1 l O f—1

r*

ЧО
( N '—« ON ' З ' »—'
CN О ЧО О Г - CN

О О
8

r*

»-н *-н »—1

^ о о о о о о
1 1 1 1 11
_

o о о о о о о
г*

*s

О

<n(N^OO

f - CO

8н

r*

О

гСи

tf\

О О О О О О О

Tf
CN
ON CN *-< Г*- ОО *Г>
CN ЧО^ O ^ ^ O ^ 00^
О О «—* •—" CN CN

ON ON ON ОО OO t^CN «Л 0 0 *—< ^ t t^-

*-ч О

i 1 1 1 1 11

е

•S

>s

»Л> wo
f - *r> CN
CO *-н ON ЧО "3" CN
f - ЧО "3" CO CN *-H
8

5

<*

8

О

Гч

О

О

Гч

Гч

Гч

Гч

Гч

«—| »-н CN СО СО

1 11
я
ч

е л с л о
CO CN CN »—• r-1 ir>

1 1 1 1 I 1

О

Ю

H

2

о

о u-^o «о о > л о
*—| •-* CN CN СО

рис. 4.3. Пространственное
двухгруппового спектра

распределение

ф^/фт

функцией координат (см. табл. 4.3,
—
\
4.4, рис. 4.3). В активной зоне
вдали от отражателя спектр посто­
янен. Смягчение спектра становится
j -- Активная \ Отражазона
\ тель
заметным лишь вблизи границы
с отражателем. В самом отража­
теле плотность потока быстрых
нейтронов быстро спадает в резуль­
1 тате их интенсивного замедления,
1
,1
1^*что приводит к существенному смя­
ю х.см
-зо -го -ю
гчению спектра. Сравним средний
по активной зоне энергетический спектр нейтронов Фб(х)/Фт(л:) = 4,8
со спектром реактора без отражателя (4.57) с теми же
размерами активной зоны и с геометрическим параметром
5 2 = 0,0012 + (я/26 кр ) 2 = 0,00495 с м - 2 . Получим
^2 = (Фб/Фт)безоТр = ( 1 / ^ 2 + ^ 2 ) т ^ = 5,1.
Заметно ужесточение среднего по объему активной зоны
спектра в реакторе без отражателя.
9. Зная критический размер активной зоны 2&кр = 51,4 см,
определяем эффективную добавку отражателя 5 эф , используя
критическое условие (4.64) для реактора без отражателя:
*2 = У | Л 2 | - - ( Я 2 + Я 2 ) = п/{2Ькр + 25эф).
Двухгрупповая добавка, определенная из (4.66),
Я(2гр)

°эф

К

(4.66)

6ко = 38,3 см

2ос<

сравнима с одногрупповой эффективной добавкой (3.126), при
вычислении которой берется отношение коэффициентов диф­
фузии для активной зоны и отражателя Da3/DOTp для тепловых
нейтронов:
th

а

= 36,5 см.

(4.67)

^/То + с^О

Рассчитаем с помощью критического условия (4.65) зави­
симость эффективной добавки от экстраполированной толщины
отражателя а. Полученные результаты сравниваются в табл.
4.5 с одногрупповой эффективной добавкой (4.67). Зависимость
эффективной добавки от толщины отражателя свидетельствует
о стремлении добавки к конечному пределу.
233

Т а б л и ц а 4.5. Двухгрунновой расчет эффективной добавки
а, см

th(a3fl)

th(a4a)

th(a26)

a2b

5
10
15
20
25
30

0,578
0,867
0,963
0,99
0,997
1,0

0,287
0,53
0,709
0,27
0,901
0,942

3,37
1,73
1,135
0,878
0,774
0,73

1,282
1,047
0,848
0,72
0,659
0,63

Ькр,

см

52,5
42,6
4,5
29,4
26,8
25,7

«2.CM

5$, см

11,5
21,4
29,5
34,6
37,2
38,3

9,2
17,5
24,4
29,9
33,9
36,5

Отражатель, дающий эффективную добавку, близкую к на­
сыщению, может быть назван бесконечным, так как дальнейшее
увеличение его размеров до любого значения не окажет
влияния на отражение нейтронов в активную зону.

4.5. Коэффициенты
уравнений

двухгрупповых

1. Общие замечания. Коэффициенты Xi, Xi, £ ув1 , %1гГ2 и ДРУгие, входящие в двухгрупповые уравнения (4.10) для реактора
с произвольным спектром, близки по своему смыслу к ко­
эффициентам многогрупповых уравнений и будут рассмотрены
в гл. 5.
В двухгрупповые уравнения (4.21), записанные для реактора
на тепловых нейтронах,
входят следующие постоянные коэф­
2
фициенты: т, i ? , DT9 А Ь Kao2 = Vf®f4>%\*~ Величины, описы­
вающие тепловую группу: i ? , Z)T, Vr, 0 / 9 могут быть
рассчитаны по формулам (3.157)—(3.183), полученным в одногрупповом приближении для теплового реактора.
2. Коэффициент
размножения на быстрых нейтронах. Сечение
25s
деления
U имеет пороговый характер (рис. 4.4). В среднем
нейтроны рождаются с энергией Ер = 2 МэВ, большей, чем
пороговая энергия реакции деления 2 3 8 и Епор& 1 МэВ. В процес­
се замедления от Ер до Епор первоначальное число нейтронов
увеличивается в ц раз. Следовательно, ц можно определить
как отношение числа быстрых нейтронов, замедлившихся до
энергий ниже пороговой \Е<Еиор), к числу первоначально
родившихся быстрых нейтронов с Е>Е„
ор.
23
Рассмотрим стержень, содержащий *{J и расположенный
в замедлителе (рис. 4.5). Пусть р — вероятность рожденному
нейтрону вылететь без столкновения за пределы блока. Счита­
ем, что нейтрон, попавший в замедлитель, выбывает
из
238
дальнейшего процесса размножения нейтронов на
U, так
как пренебрегаем пролетом нейтрона с энергией Е>Епор через
замедлитель в другой блок или возвращением в исходный блок.
234

48

,0

°>5

I /^~^>^

^ ^

"^

03
г
0,2

V
0

\-KtdV\

/

0,4

-

/V \

X

»

1

•1
1

I

I

i

г з

i

УраноВый 5лон

* £,МэВ

Рис. 4.4. Сечение деления

238

U

Рис. 4.5. Схема уранового блока
при расчете р,

Вероятность нейтрону вылететь из элемента объемом dv
без столкновений через элемент поверхности dS равна от­
ношению площади dS (с учетом угла, под которым dS видна
из dV) к площади поверхности сферы, описанной из dV
радиусом р, умноженному на вероятность дойти от dV до
dS без соударений:
Pi

dS cos О
exp(-Z T p).
4яр2

Считая генерацию нейтронов (распределение источников) по
объему блока постоянной, получаем
/? =

dS

ехр(-Е,р)

cos О
dV
4яр 2

(4.68)

dV.

Функция (4.68) табулирована для различных геометрических
форм блока и приведена в табл. 4.6 в виде вероятности
нейтрону испытать взаимодействие в блоке Р0 — I — р в зави­
симости от безразмерных значений полутолщины пластины
или радиусов цилиндра и сферы a/Xt = r/Xt. Размеры блоков
Т а б л и ц а 4.6. Вероятность Р0 для нейтрона испытать первое столкновение
внутри топливного блока
а/А*;
г/К
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9

Пластина Цилиндр
0,26
0,48
0,61
0,69
0,75

0,12
0,7
0,41
0,5
0,57

Сфера

а/К\
г/К

0,08
0,19
0,29
0,37
0,45

1,1
1,3
1,5
1,7
1,9

Пластина Цилиндр
0,78
0,815
0,835
0,85
0,87

0,68
0,66
0,7
0,73
0,755

Сфера
0,5
0,55
0,59
0,625
0,65

235

нормированы на средний пробег до столкновения A, f =l/E f ,
Ef = £ Л^а^. В случае блока из
Zt==^r8(3t8',

238

U

О"г8

z2 3 8e
блоке: а / 8 — среднее
где Jf8— ядерная 2 3концентрация
^ U в блоке;
8
сечение деления
U быстрыми нейтронами ( а / 8 = 0,29б);
а с8 — сечение
захвата
без
деления
(а с8 = 0,04 б);
Gtr8 = Ge8—транспортное
сечение
упругого
рассеяния
(а е 8 = 1,5б); Gin8 — сечение неупругого рассеяния (а1л8 = 2,47
б);
238
а г8 — полное сечение взаимодействия быстрых нейтронов с
U
(а г8 = 4,3 238
б). Учтем, что число вторичных нейтронов при
делении и быстрыми нейтронами v / 8 = 2,55. Считаем, что
при неупругом рассеянии и при вылете за пределы блока
энергия нейтрона становится меньше пороговой.
Тогда
существуют следующие вероятности для нейтрона:
(J
(y
Po c8/ t8 — поглотиться в блоке; PoGin8/Gt8— неупруго рассе­
яться в блоке; (1— Р0)=р — вылететь из блока 1и не участвовать
в дальнешем процессе размножения; Л> о ,, 8 / а, 8 — остаться
238
в блоке и иметь возможность вызвать деление
U в следу­
238
ющих циклах; PoGfS/GtS— вызвать деление
U с образова­
нием v / 8 новых быстрых нейтронов.
В табл. 4.7 с учетом этих вероятностей отражен процесс
размножения одного быстрого нейтрона с энергией, большей
пороговой.
В
табл. 4.7
введены
обозначения:
Р= 1 — Po-\-PoOin8/GtS — вероятность нейтрону сбросить энергию
ниже пороговой и 0L = Po(Ge8/Gt8 + vf8Gf8/Gt8)— отношение чис­
ла нейтронов в (п+1)-м и п-ы нейтронных циклах.
Коэффициент размножения на быстрых нейтронах получим,
просуммировав число нейтронов с Е<Епор и отнеся это число
к одному первоначальному нейтрону:

ц = (1+а + а 2 + ... + а")Р = Р/(1-а) =
1 .•_/?o(a/8V/8-gc8-g/8)_ i ,

ot8-P0(aes

+ af8vf8)

'

0,0952Р о

(4.69)

1-0,521P 0

Т а б л и ц а 4.7. Число нейтронов
с энергией £ пор , большей или меньшей
пороговой энергии деления 3e U
Номер нейтронного цикла

236

Число нейтронов с Е>Епор Число нейтронов с Е<Епор

Р

0
1
2

1
а
а2

аВ
а2^

п

а"

а"Р

Формула (4.69) получена без учета перекрестных эффектов,
т. е. вероятности нейтрону, вылетевшему из блока, пройти
замедлитель без соударений и попасть в топливо другого
твэла с энергией выше пороговой. Перекрестные эффекты
существенны для тесно расположенных решеток твэлов в водоводяных реакторах. В этих реакторах коэффициент размноже­
ния на быстрых нейтронах правильнее считать, например, по
формуле, аппроксимирующей опытные данные,
ц = (1,34+Рц бл )/(1+Р),
(4.70)
где
/> = (0,154ун 2 о^н 2 о)/(^и-Ю- 24 К бл ); ц бл = 1 + 0 , 2 7 4 . ^ - 1(Г 24 ;
цбл—коэффициент размножения на быстрых нейтронах для
уранового блока диаметром d6jl (по урану) с ядерной концен­
трацией урана JVU ДЛЯ случая, когда блок окружен бесконечным
замедлителем; Убл, VHi0 — объем на 1 см высоты блока
и относящейся к нему воды; уН2о — плотность воды. При
размещении цилиндрических блоков диаметром d (с учетом
покрытия)
по треугольной
сетке с шагом а КН2о = 0,866а —
2
2
-0,785</ , Гбл = 0,785д?б л.
3. Вероятность
избежать
резонансного
захвата
ф8
представляет
собой
отношение
числа 2 3 8 нейтронов
nt с энергией ниже резонансной области энергий
U к числу
нейтронов п0 с энергией выше этой области (рис. 4.6).
Чтобы замедлиться
на интервал летаргии du в области
238
резонансов
U, один нейтрон должен испытать du\\ (2.67)
столкновений с ядрами среды. Считаем, что при соударении
нейтрон может либо рассеяться на ядрах среды (Es6—сечение
рассеяния быстрых нейтронов), либо поглотиться в 2 3 8 U.
Вероятность поглощения при соударении будет тогда равна
£ a8 /(E a8 + Ls6), а число поглощений для п нейтронов составит
/(Е л8 + Е5б). Следовате­
льно, при замедлении через
интервал летаргии du убыль
нейтронов составит
dn= —п

du

J

a8

£ £ a8 -f-£ s6

<Гаш,ю*5-

(4.71)

Интегрируя (4.71) от летар­
гии рождения Мр = 0 (или от r?i г
Рис. 4.6. К определению вероятности
нейтрону избежать резонансного поглощения на уровнях ядра 2 3 8 U (при­
ведены а а 8 ( £ ) > 0 , 1 • 1(Г 2 1 см 2 )

dn

п,

А

А

Q 1о 20 30 40 50 SO 70 вОЭОЕэЪ
-^
237

начального числа нейтронов п0) до летаргии игр (до числа
нейтронов пх), получаем
гр

ЪпЯ<1и

d In п = —

§(1.8 + 2.6)"
о

"о

Тогда
гр

Ъпяди

«1
ф 8 =—=ехр

= ехр

§(2a8 + £ s 6 )

«о

^Гя/,
8*8
^

(4.72)

s6

гр

где /8Е=

oaSdu

эффективный резонансный интеграл

l+OTa8/(ls6/^8)

238

U, зависящий от макроскопического сечения рассеяния
быстрых нейтронов E s6 , приходящегося на
одно ядро 2 3 8 U,
23S
т. е. пропорциональный разбавлению ядер \J ядрами замед­
лителя, так как 2,s6/Jfs~Jf3/Jfs.
При увеличении разбавления
(т. е. при уменьшении взаимной экранировки ядер 2 3 8 U)
резонансный
стреми
резонансный интеграл
интеграл растет
растет и
и стремится
в предельном случае
к истинному резонансному интегралу 2 3 8 U :
гр

^8= J &а8 (u)du&2$0 б.
В гомогенной смеси 2 3 b U и замедлителя эффективный
резонансный интеграл может быть выражен эмпирической
формулой:
/8 м 1 = 3,9

0,415

'жб

Жя'Ю

24

В случае среды, состоящей из цилиндрических
топлива, расположенных в замедлителе,
к б л ^ б 8 л -ю- 2 4 / б 8 л
ф8 = ехр

(4.73)

блоков
(4.74)

л
где Кбл, V3 — объемы 2блока
и
замедлителя
в
ячейке;
«Ж|
—
38
ядерная концентрация
и в блоке.
Эффективный резонансный интеграл для блока (10~ 24 см2)
может быть рассчитан по полуэмпирическим формулам, в ко­
торых первое слагаемое учитывает объемное поглощение
нейтронов в блоке (второе—поверхностное):
2,95 + 25,8 y/Ss/Ms (металлический уран);
г^бл
(4.75)
* 8 —
4,45 + 26,6 y/S8/M8 (диоксид урана),

238

где S$— площадь поверхности блока, см 2 ; М 8 — масса 2 3 8 U
в блоке, г.
Для цилиндрического блока радиусом гбл, содер­
238
жащего
и со средней плотностью по блоку у 8 ,
58/Af8 = 2/(r6jIy8). Более общей, чем (4.75), является формула
Гуревича — Померанчука, пригодная для блоков произвольной
формы и состава. Запишем эту формулу в виде
# = 4,9+

2 Щ =3 ;
yZyFFTo ^

7=4F<бл
^бл

Я г = 0,77 + 0,0135 л /7\ ; ,

(4.76)

где Пт— температурная поправка; /—средняя хорда, харак­
теризующая пробеги нейтронов в блоке; Кбл, S6jI — объем
и площадь поверхности блока; Ги—температура уранового
блока, К. В цилиндрическом блоке l=d6jl и (4.76) переходит
в формулу типа (4.75):
/*• = 4,9+ 20,7 ^S8/M8nT.

(4.77)

Температурная поправка
учитывает доплеровское уширение
238
резонансных уровней
U при нагреве блока в результате
работы реактора на мощности и может быть учтена во
вторых (поверхностных) членах формул (4.75) так же, как
и в (4.77).
4. Возраст нейтронов т равен квадрату длины замедления
нейтронов и характеризует квадрат того расстояния, которое
проходят нейтроны в процессе уменьшения их энергии от
средней энергии спектра деления Ер = 2 МэВ до Егр (увеличение
летаргии от 0 до игр). Согласно (2.83) и (4.20)
т = А>/£з = А>Игр/(^б),

(4.78)

где игр = In [Ер I Етр); D6 = (1 / Srr )б / 3. Замедляющая способность
среды ££s6 и обратные макроскопические сечения транспортного
рассеяния для группы быстрых нейтронов усредняются по
объему гомогенной среды с вычислением ядерных концентраций
по формуле (3.157) и использованием табличных микроско­
пических сечений (табл. 4.8).
Для уран-водных решеток возраст нейтронов может быть
также вычислен по аппроксимационной формуле
T _30exp{-12,5(n-l)[l+(l/F u )(0,6F C T +0,8F F e +0,2(F A ,+

K Be )+0,37F Zr )]}

Тн,оЕн,о [Ун,оЕн2о+0%18 (1 - ЕН,О )]

(4.79)
239

Т а б л и ц а 4.8. Ядерные данные и нейтронные сечения

Эле­
мент
i

О
Не

н2о

D20
Be
Al
С
Zr
Сталь
135
Хе
149
Sm
Шла­
ки
232Th
233ij

235

u

238тт
239pu
240pu
241pu
242pu
236TJ

234

u

ioB
ioB

Плотность
Y», г/см3

0,00143
17,8 -lO" 5
0,997
1,1
1,84
2,7
1,6
6,44
7,9
0,00585
7,75

Моляр­
ная
масса
А*, г

Ядерная
концент­
рация
Ли
1а 24 см" 3

15,995
4,003
18,011
20,023
9,012
26,982
12,0
. 91,22

5,38-Ю" 5
2,68-Ю - 5
0,0334
0,0301
0,123
0,0603
0,0803
0,0425
0,085
2,6 10" 5
0,0313

134,9
148,92

Сечения в тепловой области, 10 24i см2,
(Г0 = 293,6 К)
т

т

т

v*

<*fi

0 2,0-Ю-4
0 0,007
0 0,661
0 0,00114
0 0,01
0 0,241
0 0,0037
0 0,185
0 2,8
0 2,65 • 106
0 4,2 • 104
0
50

2,0-Ю-4 4
0,007
0,66
0,661
57,6
0,00114 10,8
0,01
6,5
0,241
1,4
0,0037
4,5
0,185
8
12,3
2 8
'
2,65
• 10*6 4,3
4,2 • 104
15
50

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

11,5
18,3
18,46
18,7
19,53

232,04
233,04
235,04
238,05
239,05

0,0299
0,0473
0,0473
0,0473
0,0492

0
525
584
0
742

7,56
53
ПО
2,71
286

7,56
578
694
2,71
1028

12,5
8,3
8,3
8,3
9,6

0
2,484
2,424
0
2,882

19,61
19,69
19,78
18,54
18,38
1,8
1,98

240,05
241,06
242,06
236,05
234,04
10,01
11,01

0,0492
0,0492
0,0492
0,0473
0,0473
0,1083
0,1083

0,1
1025
0,2
0
0,65
0
0

285
375
30
7
105
3813
0

286,1
1400
30,2
7
105,6
3813
0.

9,6
9,6
9,6
8,3
8,3
3,8
3,8

0
2,938
0
0
0
0
0

-

•

* Резонансный интеграл деления Ifi.
** a? r i =l/(l/a, r i ) 6 .
*** Значения малы или несущественны для расчета.

где
|i—коэффициент размножения на быстрых нейтронах (4.70);
8 0=:=
н2
Ущо1Уяч\ У\ — объемы на 1 см высоты (площади) элемен­
тов в ячейке.
5. Ядерные Данные и нейтронные сечения для двухгрупповых
расчетов приведены
в табл. 4.8. В тепловой области при
2
расчете © и if
микроскопические сечения деления of,
радиационного захвата ос и поглощения Ga = <yf + Gc должны
быть усреднены по спектру Максвелла по формулам типа
(2.74) с учетом температуры нейтронного газа Г н г (2.71)
и g-факторов отклонения сечений от закона l/v (рис. 2.23).
Расчет вероятности избежать резонансного поглощения в 2 3 8 U
ф8 следует проводить в гомогенных средах по формуле (4.72), а для
гетерогенных блоков в замедлителе—по формулам (4.75)—(4.77).
240

Сечения в области быстрых нейтронов, 10
для расчета <р8

для расчета т

&аГ

h

&i

aft
3,6

0,46

0

0,43

__***

—

—

—

40,4
5,3
1,25
0,1
0,75
0,14
0,37

0
0
0
0,18
0
3
2,5

18,1
5,3
0,95
,0,24
0,65
0,14
0,37

9,5
8,1
4,3
3,2
3,7
6,1
10,3

—

—

0,08
0,11
0,05
0,06
0,07

10
14,7
7,8
7,7
10

0,04
0,04
0,03
0,03
0,03

4,5
3,7
4
4
3,6

—

0,11
0,11
0,09
0,07
0,08
'0,27
0,08
0,08
0,08
0,08
—
—

220
140
. 100
271*
287
1500
(327*)
11450
557*
1275
350
700
1100
—

—
—

—
—

см2,

для расчета ц

°бЛ

0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0

6
v V
c»

0,13
1,85
1,25
0,58
1,97

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2,43
2,78
2,79
2,86
3,27

1,62
1,4
1,23
0,9
1,52

3,24
3,41
3,3
2,83
2,77

—
—

—
—

а6-

а6-

0,003 1,9
—
—
—
—

—
—
—
—

0,002 2,05
0
2
0,004 2,95
~—•
0
—

oli

oi

0

1,9

—
—
—
—

—
—
—
—

0,65
0
1,35

2,7
2
4,3

-~

_

—

—

—

0,04
0,03
0,04
0,02
0,03

4,5
4,5
4,5
4,5
4,65

3,03
1,32
1,91
2,6
1,25

7,7
7,7
7,7
7,7
7,9

0,04
0,02
0,03
0,05
0,04

4,45
4,65
4,55
4,5
4,5

1,59
1,83
2,0
2,25
1,64

7,7
7,9
7,8
7,7
7,7

—
—

—
—

—
—

— "
—

Резонансное поглощение на стали, цирконии и других
элементах может быть учтено либо с помощью эффективных
тепловых сечений (4.28), либо по формуле (4.72) с использова­
нием соответствующих резонансных интегралов из табл. 4,8
вместо / 8 .
Константы, приведенные в табл. 4.8 для расчета возраста
по формуле (4.78), дают правильные значения возраста для
отдельных^элементов и позволяют оценить возраст для смесей.
Расчет коэффициента размножения на быстрых нейтронах
может быть сделан
по данным 232
табл. 4.8 и формуле (4.69)
238
не только для
U, но и для
Th. Могут быть учтены
и другие нуклиды путем усреднения микроскопических сечений
по числу ядер.
16 Заказ 2739

241

Глава 5
МНОГОГРУППОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТЕОРИИ
КРИТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

5.1. Физические процессы
в многогрупповой
модели
Основные положения многогрупповой модели состоят в сле­
дующем.
1. Нейтроны делятся на группы j по энергии. Границы
групп и их количество выбирают произвольно, исходя из
более правильного описания процессов, происходящих с ней­
тронами. Наибольшее распространение имеет 26-групповая
теория, основанная на существующей системе констант. Име­
ются также различные другие системы многогрупповых кон­
стант (26 + 2 группы до £ и <15МэВ и др.).
2. Нейтроны рождаются в результате реакций деления ядер,
происходящих во всех энергетических группах. Суммарная
плотность рождения нейтронов Q = Y,vfj^fj®j'

Нейтроны, об-

j

разующиеся при делении, попадают в несколько верхних групп
в соответствии с долей спектра деления %j9 приходящейся
на
3
у'-ю группу ^см. рис. 2.9). В каждой группе в 1 см в 1 с
появляется Sfj — XjQ нейтронов.
3. Дополнительные нейтроны в группах j>\ появляются
в результате упругого и неупругого рассеяния нейтронов.
Упругое рассеяние, как правило, переводит в у-ю группу
нейтроны из предыдущей (j— 1)-й группы. Исключением яв­
ляются такие замедлители, как водород и дейтерий, способные
за одно соударение сбросить энергию нейтрона на несколько
групповых энергетических интервалов. Генерация нейтронов
за счет упругого замедления (а 3 ) и упругого рассеяния (а е )
Г Ф ^ Е Г 1 (кроме ХН и 2 Н);
Sej=
| Z Фк^кеЧ (ДЛЯ ХН И 2 Н).
(5Л)
Образование нейтронов в у'-й группе (у > 1) в результате
неупругого рассеяния из предыдущих групп k<j определяется
сечениями неупругого рассеяния:
Sinj= X *fcZSr'.

(5.2)

k<j

4. Убыль нейтронов из группы обусловлена их утечкой из
единичного объема — -D/АФ,- и уводом из группы вследствие
поглощения Ф^2^-, упругого замедления Ф^3] и неупругого
242

рассеяния Ф,-£ Е ^ ' . Суммарное сечение увода нейтронов из
«верхних» групп
(5.3)

В группах с энергией нейтронов ниже пороговой для неупругого
рассеяния SyBJ = S aj -+Z 3 j.

5.2. Вывод многогрупповых

уравнений

Составим систему уравнений на основе 26-групповой мо­
дели: 1-я группа—наиболее быстрые нейтроны; 26-я группа—
тепловые нейтроны. В соответствии с имеющейся библиотекой
26-групповых констант считаем, что нейтроны спектра деления
появляются в 11 верхних группах, а неупругое рассеяние
происходит из верхних в группы не ниже 11-й. С учетом
сделанных предположений уравнения баланса нейтронов имеют
следующий вид:
*\
-/>1АФ1 + 2 ув1 Ф 1 = Х1е;
- Д 2 Д Ф 2 + 1 у в 2 Ф 2 = Х 2 е+Ф1
fri+ZJr2);

-Д 1 1 ДФ 1 1 +£ у в 1 1 Ф 1 1 =Х11е + Фю2з1о +
ю
>

(5.4)

Л=1

-2) 1 2 АФ 1 2 + 2;ув12Ф12 = Ф 11 Хз 11 ;
-2) 25 АФ 2 5+Е ув2 5Ф25 = Ф242з24;
~2)тАФт + ХатФт = Ф252;з25.
Так как плотности потоков нейтронов в последующих группах
выражаются через предыдущие, то Q входит в качестве общего
множителя в правую часть уравнений, и к системе (5.4) может
быть применен метод итераций источника.

5.3. Решение системы многогрупповых
уравнений для однозонного
реактора
Решение системы (5.4) наиболее- просто осуществляется
помощью соотношения (3.117), справедливость которого
подтверждена в двухгрупповой теории совпадением КЭф из

с

16*

243

(4.56) и (4.19). Соотношение (3.117) может быть использовано
в однозонном реакторе. Форма
реактора произвольна, а геомет­
рический параметр равен В2. Уравнения, входящие в систему
(5.4),— неоднородные, и (3.117) является решением однородной
части этих уравений. 2Заменяя в соответствии с (3.117) оператор
Лапласа
на 3— В
и полагая
в первой итерации
Qi = l нейтр./(см • с), находим плотности потока нейтронов
в первой итерации Ф ^ :
л
1

ф(1 )=

Xl

DiBl + Zj.i'

(1)_Х2+Ф ( 1 1) (£з.+£.1Г 2 ).
Ф2
D2B\+Zy.2
'
10

ХП+Ф^ЗЮ+Е*! 1 ^ Iink - + 1 1
fc=l

Ф<«

^11^11+^ув1

(5.5)

>

>U)
« ^ 1 1 % 11

^12

ф

^12^12+^ув12

д)=

Ф';р,2А

.

•^25-^25 +2-ув25

Ф (2,61 2=Ф< 1 '= $ <"> z '"
т

/>тЯт2 + 2 „ '

J

Полученные плотности потоков Ф(Р используем для под­
счета полного числа нейтронов деления, дающих начало
второму нейтронному циклу (?2 = ХФ*1) 2-/jv/j9

И

Д Л Я определе­

ния #эф=б2/£?1 = (?2.
Распределение групповых плотностей потоков нейтронов
1}
Ф*. по энергии образует энергетический спектр однозонного
реактора, постоянный по объему* активной зоны. Пространст­
венное распределение плотности потока нейтронов в однозон­
ном реакторе зависит от его геометрической формы и определя­
ется условиями неотрицательности плотности потока нейтронов
и нулевым граничным условием на внешней экстраполирован­
ной границе R3j — ^a.3 + ^3j- Энергетический спектр входит
в качестве множителя в пространственную часть. Так, в од­
нозонном цилиндрическом реакторе пространственно-энергети­
ческое распределение нейтронов по радиусу активной зоны
имеет вид
244

Ф1(г) = ЛФ(11)1о(2,405г//?э1); -\
Ф2(г) = АФ(21)30(2,405г/Яэ2);
>

(5.6)

Фт (г) = АФ[1)]0 (2,405г/Дэ.т). J
Константа А введена в (5.6) для перевода плотностей
потоков нейтронов в абсолютные единицы путем нормировки
на удельную мощность реактора WTjV^3:
26

X

(5.7)

<bl(r)?.f}Ef=W,IV„.

7=1

Учитывая, что
R

R.

а.з

rdr —
о
= 2ЛФ<1>11(ос;)/а;,

J
о

получаем
Л=

жт
26

2Каз£/ I Ф^ЛЫ/ос,-

2,405

а,

1+^/Л.

(5.8)

7=1

где я?э</—длины экстраполяции плотностей потока нейтронов
в j-x группах (или эффективные добавки 5эф^).
Система (5.4) сложна для аналитического решения в мно­
гозонном реакторе. Численные методы решения многогруп­
повой задачи применительно к многозонному реактору ре­
ализуются в программах для быстродействующих ЭВМ. Упро­
щенная схема работы подобного алгоритма следующая:
задается произвольное распределение источников нейтронов
по радиусу реактора, например Qx (r)~J0 (ar);
в каждой точке по радиусу рассчитывается Q2 (г) и определя­
ется K^{r) = Q2(r)/Q1{r);
корректируется первоначальное распределение заменой Q\\r)
на

'Qi\r)\

процесс повторяется до получения K3$[r) = const;
распределение нейтронов в каждой группе описывается при.
этом своей функцией, так как диффузионные свойства среды
различны для нейтронов разных энергетических групп; в процес­
се итераций выполняются условия сшивок плотностей потоков
и токов на границах зон и граничное условие на внешней
границе (см. § 6.1).
245

5Ж Частные случаи
модели

многогрупповой

1. Четырехгрупповая модель. При наличии малогрупповых
констант система групповых уравнений баланса записывается
по аналогии с (5.4). Например, для четырехгрупповой модели
-^lAOi+ZyBiOi^xiC;
2)2АФ2 + Е ув2 Ф 2 = Х2е + Ф1(231 + 2 ; ^ 2 ) ;
-А>ЛФз + 2 ув3 Ф 3 = Хзе +
+Ф 2 (2; з2 + Е Г 3 ) + Ф 1 2 ^ 3 ;

У

(5.9)

Система (5.9) решается для однозонного реактора таким
же образом, как и (5.4); в итоге получаются нормированные
групповые плотности потоков (5.6). Четырехгрупповая модель
широко используется при расчете уран-водных реакторов,
а также при определении пространственных распределений
в быстрых реакторах. В случае быстрых реакторов группа
тепловых нейтронов не выделяется и последнее уравнение
системы (5.9) записывается в виде
- Д 4 Л Ф 4 + 2:а4Ф4 = Фз2:зз.
При этом предполагается, что верхняя граница данной группы
по энергии лежит ниже области энергий неупруго рассеянных
нейтронов.
2. Многогрупповая модель для реактора на тепловых ней­
тронах. Будем считать, что нейтроны рождаются в результате
реакции деления под действием нейтронов тепловой группы.
Все нейтроны деления попадают только в первую группу
быстрых нейтронов. Число групп j достаточно велико. Груп­
повые интервалы летаргии одинаковы: Aw1=Aw2 = ... = Awi = At/.
Из группы в группу происходит лишь упругое замедление
(из предыдущей в последующую). Квадрат пути, проходимого
нейтронами при замедлении, в каждой группе одинаков
и
пропорционален
групповому
возрасту
нейтронов:
т 1 =т 2 = ... = т;=/)7/2з;-.« Поглощение в процессе замедления
отсутствует. Перечисленные условия применимы, например,
для тепловых реакторов с бериллиевым и графитовым замед­
лителями, в которых сечением неупругого рассеяния можно
пренебречь по сравнению с упругим замедлением. Система
из j уравнений имеет вид
246

- Dt АФ1 + E 3 ! Фх =~ФтЪатКх /К*;
-П2АФ2 + 1,з2Ф2 = Т,з1Ф1;
(5.10)

У
0]-1АФ]-1+'Ези-1)Ф)-1=Ф^2^и-2);
-£>тАФт + Е ат Ф т = Ф_,_1Ез0_1).

Она сбалансирована введением А^эф в член, описывающий
появление быстрых нейтронов вследствие деления ядер теп­
ловыми 2 нейтронами. Полагая для однозонного реактора
А Ф = - Л Ф (3.117), получаем
К,э ф

Фт£„т* 0

(5.11)

(I+J'T,)*!!,.'

Ф 1 Е з 1 =(1+Л 2 т 2 )Ф 2 Е з 2 ;

Л

(5.12)

>

®j-2Zs(i-2)=(i+/rVi)*i-iS,(j-i);
Ф 7 -12 за -1) = (1+5 2 ^ т 2 )Ф т Х а т .
Подставим (5.12) в (5.11) и используем преобразование
(1+В2т1){\+В2т2)...{1+В2т]-1)

= 1\+В

У-1

ехр(Я 2 т),
J-»00

(5.13)
в котором т = т 1 -ЬT 2 +

... + TJ-_1.

Тогда

Кх>е\р(-В2х)
К.эф ( i + i \ ) ( i + s 2 4 . . ( i + i V i ) ( i + * ^ , 2 ) 4 » i - . o i+в2^2
•
(5.14)
Многогрупповая модель и ее предельный переход к воз­
растному приближению при Дм->0 дают более точные значения
Кэф по сравнению с двухгрупповой теорией, сформулированной
для реактора на тепловых нейтронах (4.19), так как последняя
содержит в КЭф лишь2 два первых члена, т.е. 1/(1 +В2т),
в разложении ехр( — В х) в ряд.

5.5. Коэффициенты
уравнений

многогрупповых

В основе многогрупповых расчетов лежит использование
той или иной системы констант. Отечественные системы
основываются на 26-групповой универсальной системе микро247

скопических сечений элементов, которая может быть применена
для расчета реакторов с любым спектром. Системы с меньшим
количеством групп получаются путем свертки 26-групповой
системы. В 26-групповой системе приводятся следующие
данные:
энергетические границы групп, начиная с энергии
£'=10,5МэВ, и групповые интервалы летаргии Дм,-;
доли нейтронов спектра деления х,- в 11 верхних группах
(см., например, табл. 5.2 и рис. 2.9);
число вторичных нейтронов, образующихся при делении
ядра нейтронами данной группы v^-;
сечение упругого замедления в результате упругого рассе­
яния нейтронов Glj = ^Gej/Auy9
сечения деления и радиационного захвата Ofj,yocj;
полное сечение взаимодействия нейтронов atj — oaj+oej-\- oinj;
сечение упругого рассеяния Gej;
групповое сечение неупругого рассеяния из группы j в ниж­
ние группы
GJ-*1

а- = У
WJ

in

La
l=

'

j+l

где / н —номер нижней группы, в которую происходит неупругое
рассеяние, значение /н зависит от вида элемента;
матрица неупругого рассеяния, представляющая собой пар­
циальные
сечения неупругого рассеяния из группы j в группы
1
/ afc"* , г д е У + 1 ^ / ^ / н (табл. 5.1). Матрица неупругого рассеяния
используется двояким образом: в качестве составной части
сечения увода нейтронов используется суммарное для данной
группы Hinj, умноженное на Ф;-, а в групповые источники
нейтронов в группе j=l вводят сумму парциальных сечений
неупругих переходов из верхних групп в данную, каждое из
Т а б л и ц а 5.1. Матрица сечений неупругого рассеяния о{„~*1
Значение /

cLin

j

2
1
2
3
/н1!

248

3

к

4

а1-'.

^ т
Gin

<*inl

tit

а?Г4

Ginl
in

/

in

a

fo(/H-l)

которых умножено на соответствующую групповую плотность
потока нейтронов

матрицы упругого рассеяния для водорода и дейтерия,
схожие по своему построению и использованию с матрицами
неупругого рассеяния.
Микроскопические сечения Аг-го процесса {к —in, с, / и т. д.)
в быстрых группах вычисляются для физически гомогенной
среды путем умножения групповых микроскопических сечений
aki на гомогенизированные по ячейке ядерные концентрации
/-х элементов Zfc = Е аы Jfb где Jf{ вычисляются по формуле
(3.157).

5.6. Пример

многогруппового

расчета

235
1.
Сфера
из
U. Определим критическую массу сферы
235
из
U с помощью 26-групповой системы констант.
В табл. 5.2 приведены многогрупповые сечения 235 U,
ум­
22
ноженные на его ядерную концентрацию Jf ъ = 4,79 • 10 с м - 3 .
Ввиду жесткости спектра данного реактора сечения выписаны
лишь для 12 верхних групп. Дальнейшим расчетом будет
показано, что нейтронный поток в нижних группах (у'^13)
пренебрежимо мал.
Результаты расчета спектра нейтронов и Кэф приведены
на рис. 5.1 и в табл. 5.3. Расчеты проведены по формулам
(5.5) и (4.11) для различных радиусов сферического реактора,
для которого
DjB] = Djn2/{Ra.3 + d3J)\ </Э7. = 0,71/Х„.;
DJ^J^J)'1.
При вычислении Dj использовалось oe^Gtr, так 235
как в силу
(2.70) coscp^l ввиду большого массового числа
U.
Из графика зависимости Кэф от радиуса сферы (рис. 5.2)
находим критический радиус 7?кр = 8,2см. Критическая масса
235

U составляет GKp = y5 • 10" 3 ^7ti? 3 p = 43,2 кг (у5 = 18,7 г/см3).

Полученная критическая масса близка к действительной, так
как экспериментальная
критическая
масса сферы, содержащей
35
238
помимо * U 6,1% по объекту
U, составляет 48,8 кг 235 U.
2. Свертка сечений. При расчете урановой сферы рассмат­
ривался простейший однозонный реактор. Многогрупповые
расчеты многозонных реакторов проводятся численными ме­
тодами и достаточно времяемки, даже если использовать
ЭВМ. Особенно эти расчеты усложняются в трехмерных
реакторах при необходимости учитывать изменение изотопного
249

Таблица
Груп­
па j

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12

V

5.2. Многогрупповые макроскопические сечения

/S/5>

см *

0,285
0,168
0,168
0,161
0,151
0,145
0,168
0,198
0,246
0,308
0,341
0,510

см

0,0848
0,0565
0,0618
0,0642
0,0656
0,067
0,0795
0,1006
0,1293
0,1748
0,2347
0,3114

см" 1

0,302
0,364
0,369
0,335
0,316
0,354
0,440
0,536
0,6
0,67
0,7^5
0,91

см-1

0,135
0,15
0,203
0,15
0,133
0,1265
0,13
0,133
0,143
0,183
0,24
0,318

U
Zip1, 10 3 см 1, для следующих /

X,

^ув5>

-1

235

см '

0,00565
0,00645

0,016
0,088
0,184
0,270
0,222
0,141
0,061
0,024
0,010
0,003
0,001
0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1,58
0

2,4
5,8
0

12
16,7
17,7
0

20,6
25,8
25,4
24,0
0

26,8
24,4
25,8
27,3
32,8
0

16,7
12,4
14,4
19,2
17,7
33,4
0

6,7
5,2
5,8
7,6
9,6
10,5
22,5
0

1,9
1,9
1,9
2,9
3,8
3,8
0,48
2,4
0

0,48
0,48
0,48
1
1
1
0
3,8
9,9
0

0
0
0
0
0
0
0

— »

1
1
6,08

11

П р и м е ч а н и я : 1. Сечение увода oyBJ = ofj+ oCJ + o3j+

£

a

i=j+i

.

iT'-

2. В первых 10 группах сечения упругого замедления oJ3~*J+1 просуммированы с сечениями неупругого рассеяния a £ r J + 1 и с сечениями
J-^J
leynpyroro рассеяния в ту же группу oi„
ii
3. Полное сечение взаимодействия в группе <3tJ = <3aj+<3ej+ £ а£*1 использовано для определения D} в табл. 5.3.
I=J+I

4. Сечение замедления 2 3 j = ^2ej/AMj.
5. Матрица неупругого рассеяния перестроена таким образом, чтобы сечения неупругих переходов из верхних групп в данную
располагались в одном вертикальном столбце.

?

7

8

9

Рис. 5.2. Зависимость К^ сферы
из 2 3 5 U от ее радиуса:
многогрупповой расчет; —
— одногрупповой расчет
Номер группы
235

Рис. 5.1. Энергетический спектр в сфере из
и 6 см (—) [w = l n ( 1 0 , 5 x l 0 6 / £ ) ]

U радиусом 9 см (-

состава топлива в процессе выгорания. В подобных случаях
можно добиться существенной экономии времени при переходе
к многомерным одногрупповым расчетам.
Свертка сечений в меньшее число групп, например в одну,
проводится по спектру плотности потока нейтронов.
Для случая сферы радиусом 9 см получим средние сечения
деления и поглощения, средний квадрат длины миграции
и средний геометрический параметр по формулам (3.16):
У/ = Х У Л Ф , / Х Ф , =
2

2,5586; £ / = S £ / j * j / Z * j = 0 , 0 6 4 2 см" 1 ;

* = £ 2 а А 7 1 Ф; = 0,0719 см" 1 ; М 2 =£(/>/Е а ),.ф,./£ Ф,=
J

J

J

J

2

= 13,4 см ;
В2 = % Я, 2 Ф,/Х Ф,.=0,0823 см" 2 ; ^ 00 = v / 2 / / 2 a = 2,285.
j

j

С использованием полученных макроскопических сечений
найдем в одногрупповом приближении значение КЭф для сферы
радиусом 9 см:
К

_
эф

2

У/^/
2

2

2а{\+В М )

>285

1 floe
2

1 + 13,4Б

что на 2% выше многогруппового расчета (см. табл. 5.3).
Однако на меньших радиусах одногрупповой расчет в такой
же степени занижает Кэ$ (рис. 5.2) и критический радиус
урановой сферы оказывается одинаковым в многогрупповом
и одногрупповом расчетах.
251

^

Т а б л и ц а 5.3. Расчет энергетического спектра и Кэф быстрого реактора
n2Dp

ГрупГ¥Я

I

lid. J

скл

WV1

^а.з

I *а.з =

R*|.з = 7 см

= 6 CM

9 CM

VJV1

10" 2
см-1

НГ 2
см-1

Фр 10" 2
нейтр.
см 2 -с

VfXfOj,

DjB],

10" 2

10" 2
см-1

CM" 3 X

xc"

1

КГ 2
CM"1

Ф„ Ю - 2
нейтр.
см 2 -с

Ф;, 10 " 2
нейтр.
КГ 2
2
см -с
см"3х
xc-1

DjBJ,
10~2
CM~3X

xc

-1

10"2

10" 2
см-1

см-1

1

2,35

10,92

15,7

29,2

5,48

1,56

12,55

26,05

7,74

2,206

8,52

22,02

7,27

2,072

2

1,95

9,07

14,4

29,4

30,23

5,078

11,32

26,32

33,48

5,625

7,56

22,56

39,05

6,562

3

1,925

8,95

14,25

34,6

53,6

9,038

11,23

31,53

59,03

9,917

7,5

27,8

67,06

4

2,22

9,85

14,6

29,6

96,36

15,51

10,51

25,52

112,4

18,1

7,8

22,8

126,9

20,43

5

2,25

10,42

15,25

28,6

• 93,77

14,16

12,2

25,5

107,5

16,24

8,3

21,6

130,1

19,65

6

2,00

9,33

14,6

27,2

81,02

11,75

11,5

24,15

96,25

13,96

7,7

20,35

121,4

17,61

7

1,61

7,5

12,95

26,0

54,48

9,15

10,05

23,05

64,06

10,76

6,7

19,7

83,55

14,04

8

1,325

6,16

11,5

24,8

28,8

5,7

8,95

22,25

32,76

6,486

5,8

19,1

43,89

8,69

9

1,185

5,5

10,7

25,0

11,34

2,79

8,28

22,58

14,72

3,621

5,34

19,64

18,5

4,551

10

1,06

4,93

9,86

28,2

2,78

0,856

7,6

25,9

3,607

1,111

4,88

23,18

4,67

1,438

11

0,93

4,32

9,0

33,0

0,43

0,147

6,92

30,92

0,548

0,187

4,42

28,42

0,671

0,239

12

0,78

3,63

7,9

39,7

0,006

0,003

6,05

37,85

0,008

0,004

3,82

35,62

0,011

0,006

,7574

^эф =
j

-^эф

= 0,8822

кэ ф =

1,0653

11,27

Глава 6
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ
РЕАКТОРНЫХ ЗАДАЧ

РЕШЕНИЯ

6.1. Численное решение одномерных
многозонных задач в многогрупповом
приближении
1. Недостатки аналитических методов. Выше (гл. 3—5)
были рассмотрены аналитические методы решения уравнений
баланса нейтронных процессов в приближениях одной, двух
и многих групп нейтронов. Характерная особенность этих
методов — резкое повышение сложности вычислений при уве­
личении числа групп и числа зон реактора с различными
свойствами. Снижения сложности расчетов можно добиться
при использовании численных методов.
2. Конечно-разностный метод [33]. Дадим общее описание
метода на примере одномерной задачи. Предполагается, что
реактор ограничен и однороден и утечку нейтронов по другим
направлениям можно учесть с помощью соотношений типа (3.117).
Вдоль координатного направления выделяется произвольное
число расчетных узлов, причем свойства рассматриваемой
среды могут быть различными в каждом из узлов, в каждой
из групп нейтронов.
Уравнения баланса скоростей нейтронных процессов записы­
ваются для каждого узла расчетной сетки с использованием
разностей функций в соседних узлах, деленных на разность
координат при замене градиентов функций. При этом образуется
связь между функциями в соседних точках, что дает возмож­
ность найти значение функции в следующем расчетном узле,
если известно ее значение в предыдущем. Всегда учитываются
дополнительные условия симметрии распределения плотностей
потоков в центре реактора (3.52) и нулевое граничное условие на
внешней экстраполированной границе реактора (3.53).
Для описания членов источников нейтронов в диффузионных
уравнениях типа (5.4) или (5.9) необходимо задать некоторое
начальное произвольное распределение плотностей потоков
в расчетных узлах. Затем, исходя из групповых плотностей
потоков в центре реактора, с помощью некоторых выводимых
ниже соотношений определяют плотности потоков во всех
остальных узлах. Полученное распределение ближе к дейст­
вительному, чем первоначальное, и используется для коррекции
источников нейтронов в каждом расчетном узле. Итерационная
процедура повторяется до тех пор, пока распределения в по­
следующих итерациях не окажутся достаточно близкими.
253

-гл 0 Pi vz

v3

v*

I)

Иц.ъЦн "nR.
<

**

•ф'=ф

Рис. 6.1. Расчетная сетка по радиусу для решения одномерной задачи
с обращением потока в нуль на длине экстраполяции (а) и на эффективной
добавке (б)

Обычно сравниваются интегралы от этих распределений
в форме, пригодной для расчета Кэ$. Если разность Кэ$ в по­
следующих итерациях окажется меньше некоторого задаваемого
числа, то итерационная процедура прекращается.
3. Радиальная задача для многозонного цилиндрического
реактора в многогрупповом приближении может быть решена
методом кенечных разностей.
Поместим начало координат в центр цилиндрического
реактора и разобьем радиус, идущий из центра до внешней
границы последней зоны, на п интервалов, причем ширина
интервалов может быть произвольной (рис. 6.1). Расположим
расчетные узлы в центре интервалов, нумеруя узлы правее
центра от 1 до и. Внутри границ интервалов макроскопические
сечения считаем постоянными. Для реализации дополнительных
условий введем левее начала координат нулевой интервал
с шириной, равной ширине первого, а правее последнего
интервала—(и+1)-й интервал с шириной, равной длине экс­
траполяции плотности потока нейтронов в группах <^ = 0 , 7 1 ^ ,
где j—номер энергетической группы нейтронов. Тогда
Ф? = ф | ,
254

ф;? + 1 =0.

(6.1)

Между узлами предполагается линейная аппроксимация
плотности потока нейтронов. Текущие номера расчетных узлов
обозначим буквой к. По высоте можно рассмотреть слой
высотой 1 см, так как применение метода разделения простран­
ственных переменных (3.74) позволяет заменить — AzQ>j(z)/4>j(z)
на Blj и условно считать реактор бесконечным по высоте.
Тогда элементы объема и поверхности кольцевого слоя около
точки к будут равны
vl=n(rZ+1/2-rZ-.1/2)==Kvk,vk&2rkArk;
s

=

k-l,k

^nrk-ll2=KSk~l,k^

>

S

k-l,k~2rk-i/2',

(6.2)

s

k,k + l =2Krk+l/2 — Ksk,k+l> sk,k+ 1 ~ ^-rk+ 1/2j

Запишем диффузионное уравнение баланса нейтронных про­
цессов вблизи узла. к в виде (5.4):
>

(6.3)

Vfc
Yfc
_l_Yfr
^4-+j —
^in,l-+j~T-^'e,l-+j-

Ек

y k _j_Vfr _1_У*
yBJ — ^aj-T-^3J-r^4nJ9

Для того чтобы связать значения плотностей потоков
в соседних узлах между собой, проинтегрируем уравнение
(6.3) по объему кольцевого слоя около узла к и учтем при
этом теорему Гаусса — Остроградского (2.37):
»1с, * + 1

DkVQ>kjds=-[Dkyk+1sKk

D)/±<b)dv=-

+ 1x

»*,*-!

фк-фк-1
X
Г

l,k

k-l,k

Г

к+1

r\k-

к

2/fc-! /2

Ф}-Ф?
r

k

Ф
r

k +1

r

k

fc-1

Л+1

X

(6.4)

s

D'jk,k+l

r

r

k-l

2rk+l/2

X

k+l

Ф

L+WBli+JbWv^Sfa.

r

(6.5)

k

При интегрировании по объему кольцевого слоя около
расчетного узла учитывалось, что в пределах слоя макроскопи­
ческие сечения среды постоянны. Усреднение коэффициентов
диффузии в соседних слоях производится по объему этих слоев:
nk-l,k-DJ
j
-

ifc-i

Ч-i+^P*.
,
'

nktk

J

ik+l

+ l_DjVk + *>J. Ч + i .
,
'

/>)= 1/(32*,).

(6.6)
255

Конечно-разностное уравнение (6.5) заменяет дифференци­
альное уравнение (6.3) и может быть записано в более
компактной форме, если сгруппировать коэффициенты при Ф*
Т)к— 1,к 2гк- 1/2

U

J

Ф7

Гиfc-1

2гк +

X
Г

к +1

1/2
Г

_1

+

тлк-1,к

2r

fc-i/2

.

тук,к+1

X

п-п_к-1

+{D)B2zj+Zky&])vk

ф)

D k,k+l

X

к

X

2rfc+i/2
*+l

ФГ1=^Ч
fr.k+1

_

ofc

(6.7)

и ввести обозначения
ак

Dk-l,k

2г»- 1 / д
Гъ — Гь_
fc-1

PJsaJ + a r ' + ^ i ^ i k + ^ o * .

(6.8)
(6.9)

Тогда получим
(6.10)
Конечно-разностные уравнения в форме (6.10) записываются
для всех G энергетических групп для всех внутренних точек
рассматриваемой среды, кроме начальной и конечной, для
которых используются дополнительные условия (6.1). При
к=\ Фу=Ф|, и первый член в (6.7) и первое слагаемое
второго члена (кроме того, и г 1 _ 1/2 = 0) взаимно уничтожаются
и уравнение (6.7) для первой точки принимает вид (aj=0)

Р)Ф)-а?Ф? = £ К pj = af + Ol (0jl& + 2:J.,).

(6.11)

Для крайней правой точки к = п, отстоящей на 1/2 интервала
от границы среды с воздухом (вакуумом или абсолютно
черным телом), запишем уравнение (6.10) с учетом обращения
плотности
потока нейтронов в нуль в точке & = л + 1 , т.е.
+1
Ф? = 0 :
л-1
(6.12)
а?Ф, + Р?Ф;;=5>11,
где в р" входит величина
a

л+ 1

2R

D1J 0,5Ar„ + 0,7U,/

(6.13)

причем R = rH + 1/2 = rn + 095Arn.
Заметим, что если задача решается только для многозонной
активной зоны, то граничное условие лучше сформулировать
по-другому (см. рис. 6.1,6). Радиус активной зоны увеличива­
ется на эффективную добавку отражателя 8эф, и рассматрива­
ется экстраполированный радиус R3 — Ra 3 + 8эф, на котором
групповые плотности потоков нейтронов обращаются в нуль.
256

Поскольку эффективная добавка во много раз превышает
длину экстраполяции [см. (2.102) и табл. 2.8], ее можно
с некоторым приближением принять постоянной для всех
энергетических групп. Для обращения
плотности потока в нуль
+1
в точке R3 примем, что Ф" = —Ф". Тогда
-aW-t
+ Wj-SlVb,
(6.14)
2Лз

где р5-аЗ + 2а5 + 1 + « ; 1 | ( ^ " ^ + 2 ^ ) ;
<'=D) Дг.
Система многогрупповых конечно-разностных уравнений
(6.10), (6.11) и (6.12) [или (6.14)] может быть записана
в матричной форме:
АФ = С,
(6.15)
где А—квадратная матрица с числом строк или столбцов,
равным nG, а Ф и С — векторы с числами элементов,
равными nG:
Ф=

А=

Фиь Ф1 Ф1,
Р1 -а?
0
0
0
0
Р? *(-*?) ° о о
0
о
о
0 (-а?) р? о
о
0
0
0 Pi - а !
D
о
0
0 -«1 pi (-«!)
0
0
0
0
i
0
6 (-aj)
0
0
0

0
0

0

0

0
/"

с=<

о

Ф&_1,Ф&};

о
о

0
о

0
0

Р5 (-а} +1 ) о
i
:
:
1
0 (-аГ ) РсГ1

0

0

si»!
Sf»2

0

-aG

a

G

P"G

^4

S|r 2

>

(6.16)

Skjvk
Sttr,G
4.

f„-l

Sbvn

^

Число элементов в каждой строке матрицы А равно трем,
кроме первой и последней строк с к=\ и п в каждой
17 Заказ 2739

257

энергетической группе j , в которых по два элемента. Конечноразностные уравнения образуются как суммы произведений
элементов строк матрицы А на компоненты вектора Ф, равные
соответствующим элементам вектора источников С. Матрица
А дана в сокращенной записи. Указанные в скобках элементы
относятся к полной матрице А (6.16).
Решение системы многогрупповых конечно-разностных урав­
нений можно представить как обращение матрицы А:
Ф=А1С.
(6.17)
Получить решение можно методом последовательных ите­
раций с корректировкой компоненты интенсивности источника
S) (6.3), связанной с реакцией деления ядер во всех энер­
гетических группах и во всем рассматриваемом объеме:

Q=i
k=l

zM/»<">to-

(6-18)

j=l

Итерации начинаются с задания значений потоков Ф) во
всех пространственных точках для всех энергетических групп
для вычисления источников
(6.3) и (6.18), например их можно
в
принять равными X/
группах j и постоянными во всех
пространственных точках. Плотность потока в первой точке
первой группы определим из (6.11):

(Ф))у = (£,Ч + а?Ф?)/Р1, ;=1, v=l;
во второй точке — из (6.10):
(Ф?)» = (5?»2 + а?Ф} + а?Ф?)/Р!, v = l и т.д.,
где v — номер итерации. В последней пространственной точке
с учетом (6.12)
(Фи1Х = (5?г;и + аи1ФГ1)/РИ1.
Расчет потоков в группе целесообразно повторить несколько
раз, двигаясь от периферии к центру и обратно, до тех пор,
пока потоки перестанут изменяться в пределах заданной
точности. Аналогично определяются плотности потоков в про­
странственных точках второй и последующих групп.
По полученным значениям пространственно-энергетического
распределения плотностей потоков пересчитываются интенсив­
ности источников (6.3) и (6.18) и проводится вторая итерация.
Значение КЭф определяется как отношение выражений (6Л8)
в двух последующих итерациях:

^=G V /G V 7 1 .

(6.19)

Процедура определения Кэ$ прерывается при достижении
заданной точности е:
- Kl^Kl^<e.
(6.20)
При достижении сходимости интенсивность источника (6.18)
258

в каждой итерации будет ^изменяться в Кэф раз. Этого можно
избежать, если записать S) из (6.3) в сбалансированном виде:

SJ-F- х> £ M/Jw+'i; 1 *и*1
Л

эф

J==1

(6.21)

Z==1

Значения отношений интегральных источников (6.18) в последу­
ющих итерациях будут при этом стремиться к 1, и расчет
КЭф закончится при выполнении условия
КЫК%г-1<е.
(6.22)
Обычно Кэ$ сходится раньше, чем устанавливается простран­
ственное распределение плотностей потоков. Для достижения
последнего процесс итераций продолжается и контролируется
по значениям отношений функционалов

**= I М./);Ф,Ч

(6.23)

в последующих итерациях в каждой пространственной точке.
Это отношение для всех пространственных точек должно
прийти к одному и тому же числу с заданной точностью
[ ( ? f c ) 7 ( ^ ) v " 1 - 1 ] < £ 5 *=1,2,...,л.
4. Высотная задача для цилиндрического реактора сводится
к набору плоских слоев толщинами Azk и решается так же,
как и радиальная, с некоторой коррекцией расчетных формул.
Так, вместо В^ используются В^ элементы поверхности
и объема (6.2) заменяются на
vk = Azk, Sk-Uk=l.
(6.2а)
Вместо (6.7) получаем
D

>

Z

ф*-1 + ( - ^

+-^

\zk~Zk-l

k-\

z

k+l~zk

+DkjB?jAzk+

+ Z * B i A z , ) o ) - - ^ 0 ) + 1 = S)Az t .
z

/

k+l~

(6.7a)

z

k

Изменяются также следующие формулы:
OLkj^Dkj-x-k/(zk-zk_1);

^ = d.kj + akj + 1 + DkjB^Azk + i:kyajAzk,
-а.)Ф)-1 + ^Ф)-а)+1Фк+1
= §)Агк;
р ] Ф ) - а ? Ф ? = 5 ) Д г 1 , р) = а? +
+ Az1(DJBf1 + -L1yBJ);
- o c J O ^ + P'O^SJAz,,;
„+i=
17*

D)—

(6.8а)

(6.9а)
(6.10а)
(6.11a)
(6.12а)
(6.13а)
259

Все остальные формулы и порядок итерационного процесса
остаются прежними.
5. Виды итераций. Итерационный процесс решения конечноразностных уравнений может быть разделен на внешние
и внутренние итерации. Выше, в пп. 3, 4 был описан процесс,
в котором проводились внешние итерации с коррекцией потоков
Ф), входящих в первый член (6.21) и описывающих рас­
пределение источников нейтронов за счет реакции деления.
На каждой внешней итерации могут оказаться полезными
внутренние итерации, в которых источник нейтронов деления
остается постоянным, а корректируются потоки Ф*, входящие
во второй член (6.21). Внутренние итерации особенно необ­
ходимы при решении многомерных задач для установления
правильных перетечек нейтронов между зонами, что ускоряет
общую сходимость.
При решении двумерных задач, алгоритмы которых запи­
саны в виде программ для ЭВМ, используются более сложные
вычислительные схемы, обеспечивающие ускорение сходимости.
На каждой внешней итерации рассматривается разность по­
следующего и предыдущего значений первого члена интенсив­
ности источников деления в (6.21), которая может быть
названа невязкой. -В зависимости от характера задачи невязка
умножается на корректировочный коэффициент, лежащий в ин­
тервале 1—2 или 0—1, и прибавляется к значению источника
деления на предыдущей итерации (в зависимости от выбора
интервала процесс называется верхней или нижней релаксацией).
Исправленная интенсивность источника S*j используется для
определения распределений плотностей потоков в следующей
внешней итерации.

6.2. Функция ценности
нейтронов
и сопряженные уравнения [20]
1. Ценность нейтронов для цепной реакции можно просле­
дить, например, по численности потомства, создаваемого
одним нейтроном, находящимся в данный момент времени
в какой-либо точке активной зоны или отражателя критического
реактора. В . критическом реакторе общее число нейтронов
сохраняется во времени. Поэтому в среднем по объему
активной зоны потомством одного нейтрона также является
один нейтрон, и усредненная по объему ценность может быть
принята равной 1. Такой нейтрон находится где-то примерно
посредине между центром активной зоны и ее периферией.
В то же время потомство нейтрона, зафиксированного в центре
реактора, заметно, например, вдвое, превышает 1, а на
периферии снижается до нуля на экстраполированной границе
260

из-за роста вероятности утечки вплоть до 1 при смещении
нейтрона от центра до поверхности, на которой плотность
потока обращается в нуль. Соответственно ценность нейтронов
в зависимости от координаты будет лежать в интервале,
например, от 2 до 0. Для конкретных применений важны
относительные цифры спада ценности нейтронов от центра
к периферии.
Большее потомство центральных нейтронов приводит к колоколообразной форме распределения плотности потока ней­
тронов, но не сопровождается ростом интенсивности цепной
реакции в центре активной зоны в зависимости от времени
из-за большой скорости диффузии нейтронов от центра
к периферии и за пределы реактора. В результате такой
диффузии число нейтронов в каждой точке стационарного
реактора сохраняется постоянным во времени. Смещение
нейтронов происходит в сторону меньшей плотности потока.
На экстраполированной поверхности ток нейтронов в от­
рицательном направлении координатной оси равен нулю [см.
(2.36) и рис. 2.25].
Многие свойства ценности противоположны перечисленным
свойствам плотности потока нейтронов. На экстраполирован­
ной границе равен нулю ток ценности в положительном
направлении оси — из реактора в окружающее пространство,
так как ценность вылетающих нейтронов равна нулю. В соот­
ветствии с этим парциальный ток ценности в положительном
направлении координатной оси всегда меньше тока ценности
в отрицательном направлении и результирующий ток ценности
направлен 6 сторону большей ценности, т. е. к центру активной
зоны.
2. Свойства ценности. Поместим в произвольную точку
критического реактора, работающего на стационарном уровне
мощности, порцию нейтронов с некоторой средней энергией
и с изотропным распределением по углу вылета из данной
точки. Впуск нейтронов не влияет на «статическую» ре­
активность реактора, которая определяется только составом
и размерами и в стационарном реакторе равна нулю. Впу­
щенные нейтроны размножатся и быстро распространятся
по всему объему реактора. Через короткое время tycT мощность
реактора увеличится на AW, а распределение нейтронов
примет форму основной гармоники с несколько увеличенной
амплитудой. Прирост мощности AW является в этом случае
мерой ценности нейтронов в данной точке. Ввиду отно­
сительности ценности ее нормировка на один нейтрон не
обязательна. Распределение ценности по объему можно по­
лучить, если возвращать каждый раз мощность к исходному
значению и впускать в каждую исследуемую точку активной
зоны и отражателя идентичную по своим энергетическим,
261

угловым и крличественным характеристикам порцию ней­
тронов.
Итак, между впуском нейтрона и проявлением его ценности
в повышении мощности реактора лежит некоторая последо­
вательность нейтронов, являющихся потомством исходного.
Основным свойством ценности является следующая аксиома
(постулат): в критическом реакторе в любой момент времени
ценность потомства с любым числом частиц равна ценности
исходного нейтрона.
В некритическом реакторе ценность зависит от времени
при впуске идентичной порции нейтронов в одну и ту же
точку реактора, но в разные моменты времени. Ценность
измеряется в этом случае числом нейтронов потомства и не
стремится к одному числу, как в критическом реакторе.
Нейтроны, впущенные ранее, имеют большее потомство и боль­
шую ценность, если реактор разгоняется. В этом случае
ценность нейтронов падает со временем, тогда как число
частиц в системе растет. Если производная от числа частиц
положительная, то производная от ценности при разгоне
отрицательная.
При спаде мощности производная от числа нейтронов
отрицательная, а от ценности положительная, так как в данный
момент времени потомство впущенной порции нейтронов
больше для более поздних впусков и ценность идентичных.
порций нейтронов, впускаемых в одну и ту же точку, растет
со временем.
Основная аксиома критического реактора о сохранении
ценности впущенного в данную точку нейтрона в его потомстве,
уходящем в другие точки активной зоны и в конце концов
«размазывающемся» по всему объему реактора, объясняется
так: ценность впущенного нейтрона определяется по конечной
фазе некоторого переходного процесса, после установления
нового стационарного распределения нейтронов по объемуреактора, поэтому во всех промежуточных точках этого
процесса она должна сохраняться.
Из постулата о сохранении ценности вытекают следующие
существенные свойства ценности:
уменьшение числа нейтронов потомства вследствие их
поглощения ведет к повышению ценности каждого из оставших­
ся нейтронов;
увеличение числа нейтронов потомства при делении ядер
или при реакциях умножения нейтронов ведет к снижению
ценности одного нейтрона потомства.
Исходный нейтрон, сместившийся из точки, где он был
впущен в активную зону, причисляется к собственному потом­
ству. В потомство данного нейтрона, имеющего некоторую
энергию при впуске в активную зону, входят все рождающиеся
262

или замедляющиеся нейтроны. Это обстоятельство должно
учитываться при составлении дифференциальных уравнений,
описывающих распределение ценности по пространственной
координате.
В стационарном реакторе при впуске в одну и ту же
пространственную точку наибольшую ценность имеют самые
медленные, например тепловые, нейтроны, так как для них
минимальна вероятность утечки и максимальна вероятность
произвести деление ядер ввиду роста микроскопических сечений
деления при уменьшении энергии нейтронов. Ценность быстрых
нейтронов меньше из-за больших пробегов и утечки и меньших
микроскопических сечений деления. Однако если энергия быст­
рых нейтронов превысит порог деления сырьевых (делимых)
нуклидов, их ценность повышается.
3. Одногрупповая ценность. В диффузионной модели рас­
сматривается локальный баланс вероятностей процессов, вли­
яющих на изменение ценности в фиксированном элементе
объема реактора.
В одногрупповом приближении можно считать, что все
нейтроны имеют одну и ту же энергию, соответствующую
усредненным по энергии микроскопическим сечениям деления,
поглощения, средним коэффициентам диффузии и числам
нейтронов на акт деления. Энергии нейтронов соответствует
их скорость. Таким образом, всем нейтронам, находящимся
или возникающим в данной точке, может быть поставлена
в соответствие одна и та же ценность, обозначаемая так же,
как плотность нейтронов, буквой п, но со знаком плюс (п+).
Рассмотрим баланс ценности нейтронов в малом объеме
около точки г с учетом малых смещений нейтронов за время
8/. Вероятность процесса может быть определена как отношение
пути дх, проходимого нейтроном за время 8/, к среднему
свободному пробегу до того или иного взаимодействия (2.18)
или как отношение времени 8/ к среднему времени жизни
нейтрона по отношению к процессу к:
Wk=^ = 5xZk = vSf£k,

Wk=^=^-

= 8tvJ:k.

(6.24)

В соответствии с аксиомой сохранения ценности первона­
чальная ценность, за вычетом ценности, обусловленной при­
ходом частиц в данный объем, равна ценности потомства,
остающегося после поглощения части нейтронов, плюс ценность
потомства, возникшего в результате деления.
Ценность каждого
+
нейтрона потомства равна при этом п (г, Л-8/)- В пересчете
на один исходный нейтрон получим
и + (г, t)-dtvDAn+(r,
* + 8*) = (1-8л;Е а )л + (г, t +
+ 8t) + 8tvl,fvfn+(r9 t + St).
(6.25)
263

Деля (6.25) на 8/ и переходя к пределу, имеем
lim

St—о

n+(r, t+bt)-n+(r,
5/

t)_dn+(r,

t)_

dt

= -vDAn+(r, t) + vl,an + (r, t)-vl,fvfn+
(r, t).
(6.26)
Сравнивая (6.26) с соответствующим уравнением (3.19) для
плотности потока нейтронов, видим, что они отличаются
знаком каждого члени, т. е. в нестационарном реакторе нараста­
ние плотности потока сопровождается уменьшением ценности,
а в стационарном состоянии эти уравнения совпадают.
Для плотности нейтронов положительная производная растет,
если растет скорость рождения нейтронов, уменьшаются их утечка
и поглощение. Положительная производная от ценности растет,
если увеличиваются вероятности утечки и поглощения и падает
вероятность рождения нейтронов. Данные особенности ценности
объясняются постулатом о сохранении ценности нейтрона или
порции нейтронов, впущенных в определенную точку реактора.
4. Двухгрупповая ценность. По аналогии с выводом одногруппового уравнения ценности (6.26) запишем двухгрупповые
уравнения ценности для простейшей двухгрупповой модели
(4.15) в реакторе на тепловых нейтронах. При этом изменим
знаки всех членов на противоположные, обозначим ценности
быстрых и тепловых нейтронов п£ и п* и учтем, что ценность
и число нейтронов потомства входят в баланс ценности
исходных нейтронов в элементарном объеме вблизи данной
точки реактора. Так, в баланс ценности тепловых нейтронов
входит ценность рождаемых ими быстрых, амв баланс ценности
быстрых — ценность тепловых с соответствующими вероят­
ностями процессов образования частиц:
dt

[VQDQ А -

—~- = vTI,fTvfTn£

i;6E3] п% + t;6L3лт+ 5
Г

+

(6-27)

+ [vTDTA-vTI,aT~] лт ,
J

где t;6S3—плотность вероятности, т. е. вероятность за единицу
времени, замедления быстрых нейтронов; t;TSaT — плотность
вероятности поглощения тепловых нейтронов; VjDjA— плот­
ности вероятностей утечки.
Основное отличие уравнений (4.15) от (6.27) состоит в том,
что в первых нейтроны собираются в одно уравнение по
признаку их энергии—уравнения баланса скоростей реакции
составляются для быстрых и для тепловых нейтронов, тогда
как ценности суммируются по «семейному» признаку — цен­
ность исходного нейтрона той или иной энергии суммируется
с ценностью его потомства независимо от энергии, какую
264

имеют нейтроны потомства, но с учетом изменения их ценности.
5. Сопряженные уравнения. Перепишем двухгрупповые уравне­
ния (4.15) в операторном виде типа (6.16) Мл = 0, где п = (п6, л т },
vfT
м= v!>6DL 6A-v6I,3 vvTDT;fTA-v
(6.28)
6 3
T T
TY<a,
Введем сопряженные плотности быстрых и тепловых ней­
тронов л* = {л£, л*}, которые являются решением сопряженных
уравнений М*л* = 0, где сопряженная матрица М* получается
из прямой матрицы М (6.28) заменой столбцов на строки:
VQDQA-V6I:3

V6T,3

(6.29)
vT2,fTvfT
vTDTA — t;TSaT
Раскрывая произведение сопряженной матрицы на вектор
сопряженных плотностей, получаем двухгрупповые сопряжен­
ные уравнения в виде
[А>Л-Е 3 ] i>6/iJ + L,/i* = 0;
j
T,fTvfTvTn$ + [DTA — S aT ] vTn* = 0. J
Видно, что двухгрупповые сопряженные уравнения по своей
форме совпадают с двухгрупповыми уравнениями ценности
(6.27), записанными для стационарного случая, с левыми
частями, равными нулю. Отсюда вытекает физический смысл
сопряженных плотностей нейтронов как функций ценности
быстрых и тепловых нейтронов.
Одногрупповое стационарное уравнение (3.19)
DA(nv) — yZanv + T,fvfnv = 0, т. е. МФ = 0,
совпадает с одногрупповым сопряженным уравнением ввиду
одноэлементное™ матрицы М, т. е. является самосопряженным,
и в то же время совпадает со стационарным одногрупповым
уравнением ценности (6.26), что подтверждает физический
смысл сопряженных плотностей нейтронов как функций цен­
ности в стационарном состоянии реактора. Пространственное
распределение ценности в одногрупповом приближении со­
впадает с пространственным распределением плотности потока
нейтронов.
Полезность сопряженных уравнений и функций связана
с возможностью упрощения формул и повышения точности
результатов при оценке влияния изменений локальных или
общих свойств активной зоны, т. е. «возмущений» свойств, на Кэф
реактора. Основным математическим соотношением, позволя­
ющим проводить такие упрощения, является тождество Лагранжа о равенстве скалярных произведений прямых уравнений на
сопряженную функцию и сопряженных уравнений на прямую:
(Мл, л*) = (л, М*л*).
(6.31)
М* =

265

Подставляя в (6.31) выражения (6.28) и (6.30) и дважды
беря разности между получающимися уравнениями для со­
кращения идентичных членов, приходим к выражению
/) б (Ф б Дл*-л*ДФ б ) + /)т(ФтДи? - л * ЛФт) = 0,
(6.32)
которое является следствием тождества Лагранжа и может
быть испдльзовано в дальнейшем.
Процедура умножения плотности потока на сопряженную
функцию, т. е. на функцию ценности, имеет и физический
смысл, поскольку позволяет учесть не только влияние на Кэ±
потерь или появлений нейтронов в результате возмущении
свойств или размеров реактора, но и ценность этих нейтронов
для цепной реакции.

6.3. Теория малых

возмущений

1. Условия применения теории малых возмущений сводятся
к тому, чтобы возмущения параметров, производимые по
всей активной зоне, были много меньше самих параметров
или чтобы более значительные, но локальные изменения
параметров не приводили к существенной локальной дефор­
мации распределения плотности потока нейтронов. Эти условия
позволяют отбрасывать члены формул, квадратичные отно­
сительно возмущений, а также заменять возмущенное поле
невозмущенным при сохранении возмущенного оператора.
Задачи о расчете малых возмущений возникают, например,
при определении коэффициентов реактивности активной зоны
в среднем, если локальные коэффициенты реактивности изменя­
ются от точки к точке. При этом они усредняются с квадратом
плотности потока или с произведением плотности потока на
функцию ценности. Примерами других задач могут быть
внесение в некоторую часть реактора поглотителя или топлива
и оценка эффекта реактивности.
Коэффициенты реактивности можно определять как производ­
ные по кривым изменения реактивности от температуры
отдельных компонентов среды активной зоны или от их плотности.
Такие расчеты требуют больших вычислительных затрат, если
проводятся для ряда точек по изменяемому параметру, или могут
оказаться неточными в силу статистической или какой-либо другой
неточности метода при расчете двух близких точек по температуре
или плотности. В таких случаях имеет смыл обратиться к теории
возмущений и оценить возможность ее использования для
определения искомых функционалов.
2. Двухгрупповая теория возмущений позволяет учесть раз­
личия в пространственном распределении функций плотности
потока нейтронов и их ценности, что повышает точность
результатов по сравнению с одногрупповой теорией.
266

Двухгрупповые уравнения для плотности потока нейтронов
(6.28) и для ценности (6.30) записаны для2 простоты в пред­
положении, что (р8 = 1, ц.= 1, £ аб = 0, ££Г* = 0. Перепишем их
формально для плотности потока нейтронов и плотности
ценности в критическом реакторе:

ф, х

,+

ф 0;

^ ; ;! М" г 1
Е3Фб + 2) т ДФ т -Е ат Ф т = 0,

с*-»)

J

'
(6.34)

Е / т V /T H £ + Z)T А л * — EflT л * = 0.
Реактор может быть многозонным с нулевыми граничными
условиями для всех плотностей потоков на экстраполированной
границе. Коэффициенты диффузии в зонах приняты постоян­
ными.
Рассмотрим общий случай, когда все коэффициенты, вхо­
дящие в уравнения (6.33), претерпели малое возмущение,
охватывающее целиком объем зоны или всех зон реактора.
Реактивность реактора при этом отклоняется от нуля, и плот­
ность потока становится зависящей от координат и времени.
При небольших возмущениях переменные разделяются, и через
небольшое время плотность потока нейтронов (3.191) изменя­
ется экспоненциально с установившимся периодом (3.192):
Ф(г, *) = Ф(г)Ф(*), Ф(0~ехр(*/Г урт );
1 </Ф(г, / ) _ 1
Ф(г)Ф(().
v
dt
vT4уст

(6.35)

Тогда уравнения (6.33) для возмущенных плотностей потока
запишутся в виде
Щ+ЬВ6)АФ'6{Г)-(ЪЛ+Ь1:Л)Ф'6(Г)+
1
+ £ / Т У / Т + 8 ( Е / Т У / Т ) ) Ф ; ( Г ) = - — Ф;(Г);
v6T.уст

(2,+82,)Ф^(г)+(/) т +б/) т )ДФ;(г)-(£ й т

+ 5£вт)Ф;(/-)

v Т

>

(6.36)

Ф;(Г).

"т * уст

Чтобы получить соотношение между 1/Туст и возмущениями
параметров, умножим уравнения (6.34) на — Ф б . и - Ф Т )
а уравнения (6.36) — на п6 и п\ соответственно и все четыре
уравнения сложим. С учетом равенства (6.32) получим равен­
ство, связывающее отклонения макроскопических сечений или
коэффициентов диффузии от их основных значений со значе­
нием установившегося периода реактора:
267

+8(2/ТУ/ТКФ;+5Е,М;Ф^+

+«;8/) T Ao;-8s a «;o;=
Л- уст \

"б

{-^

.

(6.37)

Чтобы найти Г уст , выражение (6.37) надо проинтегрировать
по объему реактора, а члены с отклонениями—по объему
тех зон, где эти отклонения есть. Значение, разностного эффекта
реактивности определяется из двух расчетов—без возмущений
и с одним или несколькими возмущениями сразу. Значения
установившихся периодов пересчитываются в реактивность по
формулам обратных часов, например по (3.193), а при
нормировке реактивности на эффективную долю запаздыва­
ющих нейтронов — по (3.194). Указанные расчеты могут про­
водиться с заменой возмущенных функций Ф^ и Ф^. их
невозмущенными значениями Фб и Ф т , что позволяет сущест­
венно облегчить вычисления и справедливо при условии
малости возмущений.
Из (6.37) получим связь между установившимся периодом
и значениями возмущений:
|(5£) б «бАФб+51) т я;АФ т + 55:зФ б («;-«б) + 5(2: / т у / т )« б Ф т -55: а т л;Ф т )^
I

Густ

__у

f (ИбФб/^б + И т Ф т / ^ т ) ^

(6.38)
Пределы интегрирования в (6.38) определяются геометрией
рассматриваемой задачи и в числителе охватывают объемы
зон, в которых есть возмущение, а в знаменателе — объемы
всех зон реактора.
Предположение о критичности исходного реактора, от­
раженное в уравнениях (6.34) и (6.33), не является обязатель­
ным. Запишем эти уравнения для условно-критической задачи,
разделив источник быстрых нейтронов на К®$:
~\

- I,fTvfnQ + DTAn*T-I,aTn*T = 0;
Г

Д б Д Ф б - £ , Ф б + - 1 - Z / T v / T O T = 0;
Л

( 6 - 39 )

эф

Е3Фб + / ) т Л Ф т - Е а т Ф т = 0.
J

Возмущенное уравнение (6.36) также перепишем для условнокритической задачи:
268

л

(О6+5О6)АФ'6-(Х3+ЬХ3)Ф'6+
+ J ^ P / T V / T + 8 ( Z / T V / T ) ] O ; = 0;

>

(6.40)

(23+8£,)Ф^+(ДТ+6/>Т)ДФ;-

- ( Е а т + 8ЕЙТ)Ф; = 0.
J

Умножая (6.39) на Ф'6 и Ф^, а (6.40)—на — п\ и — п\
и складывая все четыре уравнения с учетом (6.32), получаем
1
Л-,*эф

1
v

К эф
-**•

£/ТУ/ТФ;«;+

+5Я6И;ДФ^+51>ТИ;ДФ;+

+8г,Ф^(и;-и;)-8гвФтл;+
. 1

к Гэф8 ( 2 / Т У / Т ) Ф ; <

(6.41)

= 0.

Интегрируя (6.41) по объему реактора, получаем разность
реактивностей между возмущенным и невозмущенным реак­
тором в виде
|(5£) 6 й5АФб+5.0 т «;АФ т +61зФб(";-^)-82 ( ,Ф 1 /г;+5(Е / т у / т )Ф 1 п;//:^ф)*

8р =

ЦНД

(6.42)
где эффект реактивности от возмущения
8р = р 1 - р 0

Л,*—
1
эф

Л

эф
А

^эф

эф

К. эф — К эф
Л-эф

-^эф

кэф

Л

эф

Л

(6.43)

эф

а ценность нейтронов деления во всем реакторе
ЦНД=|2/ТУ/ТФТЛ;Л-

(6.44)

определяется полным числом рожденных быстрых нейтронов
с учетом их ценности. Возмущения макроскопических сечений
взвешиваются с учетом плотностей потоков и ценностей п* =п*т
и п£ =п*6. При записи (6.42), так же как и (6.40), возмущенные
потоки заменяются невозмущенными, поскольку рассматрива­
ются малые возмущения.
269

В соответствии с (6.42) эффект реактивности от возмущения
макроскопического сечения рождения нейтронов должен быть
уменьшен в К1ф&К°ф раз.
3. Одногрупповая теория возмущений широко используется
ввиду ее большей простоты по сравнению с двухгрупповой.
Для условно-критического реактора уравнение (6.26), опи­
сывающее пространственное распределение ценности, может
быть записано как пространственное распределение плотности
потока ценности
1)АФ + (г)-2: а Ф + ( г ) + - ^ Е / у / Ф + (г) = 0,
Л

(6.45)

эф

формально совпадающее с уравнением (3.20) баланса скоростей
нейтронных процессов и распределения плотности потока
нейтронов
/)АФ(г)-2: в Ф(г)+ 1 1-3; / у / Ф(г) = 0.

(6.46)

Л- эф

Внесем в уравнение (6.46) малые возмущения в макроскопичес­
кие сечения и коэффициент диффузии. Тогда K®$ изменится
до АГэф, а функция плотности потока будет описывать воз­
мущенное распределение:
(2> + 6/))ДФ'(г)-(2 в + 82в)'Ф'(г) +
1

^

[v / 2 / +8(v / Z / )]O'(r) = 0.

(6.47)

эф

Умножим (6.45) на — Ф'(г), а (6.47)—на Ф + (г), сложим их
и проинтегрируем по объему реактора от его центра до
экстраполированной границы, на которой все функции об­
ращаются в нуль. Получим
Л ,эф
л

Л-*»-эф

V
/» Г"

+
8Z - I +-i-8(2: / v / ) Ф'Ф </г+
^эф

+ |8/)Ф + ДФ'</г+|/)(Ф + ДФ'-Ф'ДФ + )</г.
V

ь

(6.48)

V

Для упрощения (6.48) используем формулы Грина:
УФ + УФ'</г+ \Ф +АФ'dr = Ф + — ds\ .
V

270

V

S

(6.49)

(ф + д ф ' _ ф ' Д ф + у г = Г / ф + ^ + ф ' ^)ds,
V

(6.50)

s

где S—площадь поверхности, ограничивающей экстраполиро­
ванный объем
V, на которой функции обращаются в нуль;
+
дФ'/дп и дФ /дп—производные по нормали к этой поверхно­
сти. Поскольку правые части (6.49) и (6.50) равны нулю, имеем
|(Ф + ДФ'-Ф'ДФ + Ц = 0;
v
+
| Ф ДФ'</г=-|УФ + УФ'</г, Ф + (г) = Ф(г), Ф'(г)«Ф(г).
V

(6.51)
(6.52)

V

Согласно (6.51) последний член в (6.48) обращается в нуль,
а в предыдущем члене оператор Лапласа от функции заменяется
согласно (6.52) квадратом градиента
от плотности потока
+
нейтронов, если принять Ф = Ф' = Ф. Таким образом, воз­
мущение коэффициента диффузии взвешивается с квадратом
градиента потока. Изменение реактивности при внесении воз­
мущений имеет вид
f[-bZe^i:fvf)IKlA*2(r)dr-fbD[V<b(r)Ydr
8
v
Р=^
2 / X j

,

(6.53)

V

где г и dr—обобщенные координата и элемент объема,
а сопряженная и возмущенная функции заменены невозмущен­
ными, 5р—см. (6.43). Поскольку К$ф заранее не известно,
возмущение макроскопических сечений деления или образования
нейтронов дает 5р, которое надо уменьшить в K^&K°$ раз.
4. Статистический вес некоторого объема К0, расположен­
ного внутри объема реактора V, определяется в одногрупповом
приближении отношением интегралов по этим объемам от
квадрата плотности потока нейтронов:
в 2== J <b2(r)drl\<b2(r)dr.

(6.54)

vn

Если в объеме V0 макроскопическое сечение поглощения
изменено на 5ЕЛ, то согласно (6.53) эффект реактивности
определяется отношением —dHa/vfHf, умноженным на ста­
тический вес объема:
Sp^-bZJVfZf).
(6.55)
Статистический вес для коэффициента диффузии определя­
ется квадратом градиента плотности потока:
e D = J [УФ(г)]2</г/|Ф2(г)</г.
V0

(6.56)

V

271

Более точным приближением для статистических весов является
использование функции ценности
вместо одной из
функций
+
2
+
плотности потока
нейтронов:
Ф
(г)Ф(г)
вместо
Ф(г)
и
УФ
УФ
2
вместо [УФ(г)] .
В двухгрупповой теории возмущений статистические веса
более разнообразны, что видно из формулы (6.42). Заметим,
что статистические веса для коэффициентов диффузии в этой
формуле можно с помощью (6.52) выразить через произведение
градиентов соответствующих функций со знаком минус.
Использование статистических весов (6.54), т. е. «взвешива­
ние по квадрату потока», широко используется в расчетах,
например при усреднении эффектов или коэффициентов реак­
тивности, если они не одинаковы в различных точках реактора.

272

Часть 2
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ РАБОТЕ
РЕАКТОРА
Глава 7
ФИЗИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ В НАЧАЛЕ К А М П А Н И И
РЕАКТОРА

7.7. Физические процессы при пуске
и в начальный период работы
реактора
В подкритическом реакторе система регулирования находит­
ся в состоянии, обеспечивающем минимальную реактивность.
Реактор выводится на мощность в несколько этапов. С по­
мощью органов регулирования реактивности реактор перево­
дится из подкритического состояния в критическое (АГэф=1).
Реактору сообщается небольшая надкритичность, и происходит
эксцоненциальный рост мощности до уровня 1—2% полной
номинальной мощности реактора. На этом уровне произ­
водится разогрев реактора до рабочих параметров теплоноси­
теля со скоростью, ограничиваемой допустимыми термичес­
кими напряжениями в элементах реактора. В процессе разогрева
органы регулирования поддерживают мощность или скорость
разогрева на определенном уровне. Производится пуск цир­
куляционных насосов и вводится в действие система отвода
тепла. После этого мощность реактора можно повышать до
любого уровня, лежащего в интервале 2—100% номинальной
мощности. Перераспределяются температуры теплоносителя
при сохранении его средней температуры: температура на
входе снижается, температура на выходе из активной зоны
растет (рис. 7.1). В кипящих реакторах в теплоносителе

о

юо w, % о

юо w, %

Рис. 7.1. Изменение температуры активной зоны при выходе на мощность:
а—при постоянной Г; б—при постоянной Твх
18 Заказ 2739
273

генерируется пар. Повышение мощности и потока тепла, идущего
из твэлов в теплоноситель, обусловливает дополнительное по
отношению к теплоносителю увеличение температуры твэлов.
В процессе разогрева и вывода реактора на мощность его
реактивность изменяется вследствие температурного и мощностного эффектов реактивности. В кипящих реакторах проис­
ходит дополнительное изменение реактивности, связанное со
снижением средней плотности воды при увеличении содержания
пара (температура теплоносителя постоянна и равна тем­
пературе насыщения).
В начальный период работы энергетического теплового
реактора на мощности наблюдается более быстрое падение
избыточной реактивности по сравнению с последующим темпом
ее уменьшения при выгорании топлива. За время порядка 20—50 ч
избыточная реактивность падает на 2—3%, затем скорость ее
снижения несколько ослабевает и в течение последующих
10—20 сут реактивность уменьшается еще примерно на 1%.
После остановки реактора наблюдается уменьшение избы­
точной реактивности, а затем ее рост. Минимум реактивности
достигается через 5—10 ч после остановки реактора. При
последующем росте в неработающем реакторе избыточная
реактивность превосходит то значение, которое было в момент
остановки реактора. Эти изменения связаны с накоплением
в 149активной зоне сильнопоглощающих нуклидов — 135 Хе
и Sm. Эти нуклиды выделяются из всех остальных продуктов
деления в отдельную группу. Связанные с ним явления
рассматриваются при изучении отравления реактора ксеноном
и самарием. Поскольку времена накопления равновесных
концентраций ксенона и самария невелики по сравнению
с временем пребывания топлива в активной зоне энергетичес- *
кого реактора, эффекты отравления и их расчет могут быть
отнесены к началу кампании реактора.
Температурные эффекты рассчитываются с помощью пря­
мых методов вычисления Кэф реактора определенного размера
и состава. Оценочные расчеты эффектов отравления могут
быть несколько упрощенй ввиду влияния ксенона и самария
лишь на макроскопическое сечение поглощения, в основном
на вероятность поглощения
нейтронов в делящихся нуклидах
235
0 / 5 (делящийся нуклид U). Разность реактивностей однозонного гомогенизированного реактора в отравленном, например
ксеноном (индекс Хе), и неотравленном (индекс 0) состояниях
ЛрХе = Р х е - Р 0 = '/5
- ^ Л^ ф,

(7-1)

э

где
л

_#эф1-1.

кэф1
274

гО _ л 0
*"Хе_/£\Хе л.
K%
= ®°J f5A;л. K^
= ®fJ 5A;7
' ~*
" ' ~*
"

A—

v

А=-/5<PsH
2'
\+В2М

/5

Еа5+Х^ш

^e5+^cXe + X^<

формулы (7.1) записаны в приближении гомогенизированной
среды и при необходимости могут49 быть уточнены. При расчете
эффектов отравления реактора * Sm или другими нуклидами
/ в (7.1) используются макроскопические сечения соответству­
ющих поглощающих нуклидов:
£,*
cSmт 0?
/5
w

ApSm=PSm-P0 =

Др, = р , - р 0 =

•ч
.

£ / 5 Кэ$

Г

(7-1а)

£«.1 © / 5
2-/5 ^ э ф

J

Эффекты отравления оцениваются в (7.1) по средней по
объему плотности потока нейтронов. В ряде случаев необ­
ходимо учитывать неравномерность отравления по объему
активной зоны.

7.2. Температурные и мощностные
эффекты и коэффициенты
реактивности
1. Температурные эффекты. При разогреве всех материалов
активной зоны и отражателя избыточная реактивность, или
запас реактивности, изменяется ввиду изменения температуры
и плотности материалов и размеров активной зоны. При
этом изменяются температура нейтронного газа, макроскопи­
ческие сечения, распределения нейтронов по ячейке, длины
диффузии и миграции нейтронов, т. е. изменяются вероятности
рождения, поглощения и утечки нейтронов.
Иногда при разогреве изменяется взаимное расположение
активной зоны и органов регулирования, которые входят
в активную зону или выходят из нее, вызывая эффект
реактивности при отсутствии активного перемещения органов
регулирования.
Температурным эффектом реактивности называется раз­
ность избыточных реактивностей в горячем и холодном
состояниях активной зоны при работе на близкой к нулю
мощности (1—2% номинальной) или совсем без мощности —
при разогреве внешним теплом.
Изотермический температурный эффект (т. эф.) соответ­
ствует случаю, когда температуры всех компонентов активной
зоны равны друг другу и изменяются одновременно на
одну и ту же величину. Текущий и полный изотермические
18*

275

I

i

20

100

'M •

ZOO

i К""

1

0,001

300 T7°C

20

I

I

100

200

a)

LJ

300 T,°C

5)

Рис. 7.2. Температурное изменение реактивности:
7, 2 - Д Р т э ф > 0 ; 3—Дртэф = 0; 4, 5—Арт ^<0; 6-ApLe

температурные эффекты получим соответственно при нагреве
от начальной «холодной» температуры Г нач до произвольной
температуры Т или до средней по объему температуры
теплоносителя в рабочем состоянии реактора:
Ар(7) = р(7)-р(Г н а ч ); Арт.эФ = р(Г р а б )-р(Г н а ч ).
(7.2)
Начальная температура обычно прийимается равной 20° С
в тепловых реакторах и около 200° С в быстрых реакторах
с натриевым теплоносителем, в которых натрий всегда поддер­
живается в жидком состоянии. Средняя рабочая (номинальная)
температура теплоносителя обычно берется как полусумма
температур теплоносителя на входе и на выходе из активной
зоны: ^ ^ = 0,5 (Гвх + Гвых) = Г ном .
Зависимости возможных изменений реактивности и текущих
температурных эффектов от средней по объему температуры
среды приведены на рис. 7.2, а и б. Подъемы реактивности
при разогреве характерны для уран-водных систем с избыточ­
ным с точки зрения замедления нейтронов количеством воды,
спады реактивности—для оптимальных в холодном состоянии
или недозамедленных активных зон. В первом случае текущий
температурный эффект может иметь при некоторой тем­
пературе положительный выбег реактивности, т. е. максимум,
который необходимо учитывать при выборе эффективности
органов регулирования;
Лрвыб=Рмакс(7^р(7Тном)

П

РИ

А

Рт.эф>0.

(7.3)

Для определенности выбег реактивности отсчитывается от
холодного состояния, если А р т э ф < 0 , и от рабочей точки по
температуре, если А р т э ф > 0 . При этом максимальная реак­
тивность, возникающая в процессе расхолаживания реактора,
равна температурному эффекту плюс выбег реактивности:
Р м а к с = = Д Р т . э ф + АРвыб-

276

;

Рис. 7.3. Зависимость реактивности (а) и парового эффекта (б) от содержания
пара (газа) в теплоносителе (кривые 1—3 соответствуют разным составам
активных зон)

В реакторах с жидким теплоносителем или замедлителем
температурные эффекты (7.2) не являются чисто температурны­
ми, т. е. зависящими непосредственно от температуры среды.
Значительный (а в ряде случаев и основной) вклад вносит в них
изменение плотности теплоносителя-замедлителя, связанное
с изменением температуры. Плотностной эффект становится
основной причиной изменения реактивности в том случае, если
температура теплоносителя равна температуре насыщения
Ts и остается постоянной, а плотность изменяется, например, за
счет парообразования. В последнем случае плотностной эффект
называют паровым и определяют как разность реактивностей
в реакторе с паросодержанием ф и в реакторе с q> = 0 (рис. 7.3):
Др ф = р ( ф ) - р ( ф = 0).

(7.4)

Паровой эффект рассматривается в кипящих реакторах
и относится скорее к мощностным эффектам, тогда как
плотностной как компонента температурного — в водо-водяных
реакторах под давлением и в кипящих при их разогреве.
Плотностной эффект равен разности реактивностей теплоноси­
теля с произвольной плотностью у и с максимальной плот­
ностью в холодном состоянии:
Ару = р(у)-р(Ухол).
(7.5)
При одинаковой температуре кривые плотностных эффектов
(рис. 7.4) могут совпадать с кривыми паровых эффектов, но
в зеркальном отражении по отношению друг к другу, поскольку
изменение плотности по оси абсцисс происходит в проти­
воположных направлениях.
При анализе аварийных ситуаций представляют интерес
предельные значения плотностных или паровых эффектов —
эффекты полной потери теплоносителя (обезвоживания — в
реакторах с водяным теплоносителем), или пустотные эффекты:
Арпус = р(у = 0)-р(уо).
(7.6)
277

/

Д^пуст

°r5

/ pав
u. 1 Д
,niul
, о, , г / с м ;
а.)

-.
°/

Рис. 7.4. Зависимость реактивности (а) и плотностного эффекта реактивности (б)
от плотности теплоносителя

Пустотные эффекты рассматриваются в тех состояниях по
плотности теплоносителя, для которых анализируется безопас­
ность реактора. Наибольшую часть времени реактор
находится
или в
в основном рабочем состоянии при Уо = УРаб
холодном
состоянии при Уо = Ухол- Пустотные эффекты определяются
для этих или промежуточных состояний.
Эффекты потери теплоносителя существенны в тепловых
перезамедленных реакторах и в быстрых реакторах с натриевым
теплоносителем. В газоохлаждаемых реакторах потеря тепло­
носителя не вызывает существенных изменений реактивности.
Для них важнее аварийный эффект залива активной зоны
водой во всем диапазоне изменения ее плотности при тече
или прорыве парогенератора:
А Рзалив = Р (У н 2 о) ~ Р (У н2о = 0).

(7.7)

Вернемся к суммарному температурному эффекту (7.2).
Полезно выделить в нем три компоненты, связанные*с пар­
циальными нагревами теплоносителя, топлива и замедлителя:
Ар т = р(Г т е п л )-р(П е а Г);
АрТ0П = р(Г Т 0 П )-р(Г™); У

(7.8)

Др 3 = р(Г 3 )-р(71 а ч ).
Такой подход связан с разными временными постоянными
этих частных эффектов, что важно при анализе динамики
реактора в аварийных ситуациях. Наиболее быстро проявляется
температурный эффект топлива, так как в нем происходит
основная часть энерговыделения и температура топлива изменя­
ется наиболее быстро при изменениях мощности реактора.
Наибольшую временную постоянную имеет твердый замедли­
тель. Постоянная времени теплоносителя мала в кипящих
реакторах, где эффект схлопывания пара или вскипания воды
278

может быть достаточно быстрым. В остальных случаях тепло
передается теплоносителю путем теплообмена с твэлами, и это
происходит сравнительно медленно.
2. Мощностные эффекты реактивности ставятся в соответ­
ствие изменению тепловой мощности реактора от нуля до
номинального значения:
А Р м = р ( ^ н о м ) - р ( Ж = 0 ) ; ApM(W) = p(W)-p{W=0),
(7.9)
где ApM(Wr)—текущий мощностной эффект в реакторе, ра­
ботающем ла различных уровнях мощности W.
При выходе на мощность возникает поток тепла из твэлов
в теплоноситель, приводящий к перепаду между средними
температурами топлива и теплоносителя примерно от 50 до
500 К в зависимости от вида топлива, диаметра и мощности
твэла. Основное влияние этого перепада температуры на
реактивность
связано с доплеровским уширением резонансных
238
уровней
и (см. п. 4 § 4.5), увеличением резонансного
поглощения нейтронов и падением реактивности. В быстрых
реакторах с доплеровским эффектом суммируется такой же
отрицательный по знаку и близкий по величине эффект от
осевого удлинения твэлов. Несмотря на увеличение высоты
активной зоны реактивность при этом падает из-за снижения
плотности топлива и увеличения длины миграции нейтронов.
Текущий доплеровский эффект внешне совпадает с температур­
ным эффектом топлива (7.8) с той разницей, что начальная
температура топлива Г™" равна Граб—средней рабочей тем­
пературе среды перед выходом реактора на мощность и растет
от оболочки к центру твэла при работе на мощности:
Ар д (Г) = р(Г Т0П )-р(Г раб ).
(7.10)
К мощностным эффектам относится и эффект реактивности
от дополнительного нагрева твердого замедлителя, который
может быть положительным, но с большой постоянной
времени. Поэтому обычно его не суммируют с быстрыми
мощностными эффектами, совпадающими в большинстве ре­
акторов с доплеровскими эффектами. В кипящих реакторах
к доплеровскому прибавляется паровой эффект:
Др« р = Др д + Др пар ,
(7.11)
а в быстрых—эффект удлинения твэлов:
Др* р = Др д + Др у . тв .
(7.11а)
Если в тепловых реакторах топливо содержит замедлитель
(например, гидрид циркония) и доля замедления на нем
заметна, то появляется дополнительный мощностной эффект,
связанный с повышением температуры нейтронного газа при
279

термализации на горячем замедлителе, что ведет к снижению
реактивности и усиливает отрицательный мощностной эффект.
Заметим, что паровой эффект изменяется не только при
изменении мощности, но и при изменении давления. Повышение
давления при срабатывании запорного клапана перед турбиной
и отказе регулятора давления приводит к повышению
Ts и схлопыванию пузырьков пара с подъемом реактивности,
. если паровой эффект отрицателен.
Зависимость реактивности от давления теплоносителя на­
зывается барометрическим эффектом
Ар{р) = р{р)-р{р0)
(7.12)
и может проявляться для газовых теплоносителей (хотя в них
эти эффекты малы) и для любых жидких теплоносителей,
содержащих пузырьки пара или газа в нормальных или
аварийных ситуациях.
Кроме отмеченных вывод реактора на мощность может
приводить к ряду других, как правило, не столь существенных, но
тем не менее заметных эффектов реактивности. При сохранении
перепада температуры на активной зоне может изменяться
средняя температура теплоносителя с одновременным изменени­
ем входной и выходной температур. По объему реактора может
появиться распределение температур теплоносителя и твердого
замедлителя и т. д. В ряде случаев, например при быстром
выходе на полную мощность из холодного состояния, трудно
рассчитать или измерить отдельные компоненты и рассматривает­
ся полный (температурный и мощностной т + м) эффект:
Ар?П = р(^ Н0М , у ™ , ^ Н 0 М ) - р ( Г н а ч , ухол, W=0). (7.13)
Такой подход может применяться в импульсных, газофазных
или многоходовых кипящих реакторах с ядерным перегревом,
в которых плотность теплоносителя в разных частях изменяется
от плотности холодной воды до плотности перегретого пара.
В таких случаях полный эффект (7.13) удобнее считать
зависящим только от мощности с соответствующими зави­
симостями от мощности температур и плотностей различных
элементов реактора.
3, Коэффициенты реактивности. Итак, температурные, мощностные и другие эффекты реактивности представляют собой
изменения реактивности при сравнительно больших диапазонах
изменения аргументов — обычно от начального до конечного
(рабочего) состояния. Эти изменения реактивности имеют
порядок процентов, или сотых долей, реактивности (Ар«
«0,01 ч-0,05). Эффекты реактивности в промежуточных точках
определяются из зависимостей текущих изменений реактивности
при непрерывном изменении аргументов. Эти зависимости,
как правило, нелинейны.
280

Производная изменения реактивности по тому или иному
изменяемому параметру в определенной точке кривой называ­
ется коэффициентом реактивности. Наибольшую роль играют
коэффициенты реактивности в рабочих точках, т. е. при
номинальных значениях параметров. Ими можно пользоваться
при анализе динамики реактора в случае небольших отклонений
параметров реактора от номинала в нормальных и аварийных
ситуациях. При больших отклонениях коэффициенты реактив­
ности уточняются в соответствии с ходом кривых изменения
реактивности. Средний во всем диапазоне коэффициент реак­
тивности /-го эффекта
й^^М

(7.14)
Axi

может заметно отличаться по значению и даже по знаку от
коэффициента реактивности в рабочей точке. Поэтому если
известны бсь то их желательно использовать только для
определения полного эффекта реактивности Ар^х^б^Ах,-, но
не для расчетов поведения реактора в раббчей точке.
Температурный коэффициент реактивности равен производ­
ной к кривой изменения реактивности по температуре при
изотермическом нагреве всей среды:
aT(T0) = dp(T)/dT

(7.15)
Т0

где [а т ] = К - 1 . Коэффициент (7.15) является полным и содер­
жит ряд компонентов oii9 например по температурам теплоноси­
теля, топлива и замедлителя (7.8):
п
^ТеПЛ

_dp(Trmx)
ij,

_dp(Tron)
9

^ТОП

,гр

_dp(T3y
5

^З

ij,

•

В рабочей точке температурные коэффициенты с малыми
постоянными времени должны быть отрицательными для
обеспечения саморегулируемости реактора. Случайное повыше­
ние реактивности ведет к повышению мощности, нагреву
активной зоны и к компенсации реактивности за счет от­
рицательного температурного коэффициента. При постоянном
теплоотводе от реактора его мощность может поддерживаться
практически постоянной за счет саморегулирования, без пе­
ремещения регулирующих стержней.
С другой стороны, слишком большое значение отрицатель­
ного температурного эффекта (и коэффициента) повышает
загрузку делящегося материала и, кроме того, создает опас­
ность быстрого подъема реактивности при случайном забросе
в активную зону холодного теплоносителя. Оптимален нулевой
281

10'YD

Рис. 7.5. Температурные коэффициен­
ты реактивности для перезамедленных
(/), оптимальных по замедлителю
(2—4) и незамедленных (5) систем
(см. рис. 7.2)

полный температурный эф­
фект при небольшом, около
1—2%АК/К, выбеге реактив­
ности и отрицательном тем­
пературном
коэффициенте
в рабочей точке (см. кривые
3—4 на рис. 7.2). Температур­
ные коэффициенты, качествен­
но соответствующие кривым
на рис. 7.2, приведены на рис. 7.5. Положительность тем­
пературных коэффициентов во всем диапазоне температур
недопустима (рис. 7.5, кривая 1). Положительность ост на
некоторых участках кривых 2—4 требует определенной осто­
рожности при пуске и разогреве реактора, но в целом эти
кривые близки к оптимальным. Кривые 5 на рис. 7.2 и 7.5
соответствуют случаю, когда слишком большая отрицатель­
ность эффектов и коэффициентов нежелательна.
Мощностной коэффициент реактивности равен производной
от реактивности по мощности и показывает изменение реак­
тивности при изменении мощности на 1% или на 1 МВт:
aw = dp(W)/dW, [ а ^ ] = 1/% или 1/МВт.
(7.16)
Полный мощностной коэффициент (7.16) может включать
несколько составляющих (7.11), из которых основной является
(7.10),2 3 8описывающая доплеровское уширение резонансных уров­
ней
U:
^ = dp(TTonjl)/dT или a% = aldTTonn/dW.
(7.17)
В расчетах кинетики реактора в переходных режимах часто
учитывается именно доплеровский температурный коэффициент
топлива, хотя его можно ^ыра: 1ть и в зависимости от
изменения мощности, если известно изменение температуры
на 1 МВт или 1% мощности. Доплеровский 5коэффициент
равен примерно нескольким единицам на 10 ~ на градус
и обеспечивает наиболее быструю самозащиту реактора при
аварийных разгонах без сброса стержней A3..
Доплеровский коэффициент уменьшается в зависимости от
температуры пропорционально 1/Г, так как процесс уширения
резонансов с ростом температуры постепенно замедляется.
Поэтому желательнее работать при более низкой температуре
топлива. Такое топливо к тому же легче расхолодить после
остановки реактора. В тепловых реакторах ужестчение нейтрон282

ного спектра ведет к росту осд из-за увеличения плотности
потока нейтронов в области резонансов. В быстрых реакторах
ужестчение спектра приводит к противоположному эффекту,
так как максимум спектра лежит выше резонансной
области
238
и нейтроны как бы «уходят» от резонансов
U. Удобно
использовать доплеровскую постоянную T(dp/dT)&0,05ч-ОД при
полном разогреве топлива практически во всех быстрых
реакторах.
По аналогии с ост и VLW запишем паровой (7.4), плотностной
(7.5) и барометрический (7.12) коэффициенты реактивности:
аф = й?р(ф)/й?ф, [а ф ] = 1/% пара;
*y = dp(y)/dy9

•\

[ау]=-^-з;

a>p = dp(p)/dp,

[а р ] = 1/МПа,

У

(7.18)

J

где ф — среднее по объему теплоносителя паросодержание (или
паросодержание на выходе из активной зоны); у— плотность
жидкого теплоносителя; р—давление теплоносителя.
Реактивность в рабочей точке по паросодержанию желатель­
но иметь максимальной, а осф — близким к нулю или слегка
отрицательным. Тогда рост мощности (или падение давления),
а также сброс мощности (или рост давления) будут приводить
к падению реактивности и самогашению реактора. Эти же
соображения относятся к барометрическому коэффициенту.
Плотностной коэффициент в рабочей точке водо-водяных
реакторов должен быть положительным в чистом теплоноси­
теле и настолько большим, чтобы добавление борной кислоты
для компенсации реактивности на выгорание топлива не
сделало его отрицательным. Однако он не должен быть
и слишком большим, так как это может проявиться нежелатель­
ным образом в конце интервала между перегрузками в со­
стоянии без борной кислоты. Добавление в контур теплоноси­
теля борной кислоты вызывает эффект реактивности и может
быть охарактеризовано борным коэффициентом реактивности^
показывающим изменение реактивности при внесении 1 г 10В
на 1 кг Н 2 0:

«в=^, Ы =
ay

L

^

г

1и

' „..

(7.19)

В/кг Н 2 0

Коэффициенты реактивности показывают темп, или ско­
рость, изменения реактивности при бесконечно малом измене­
нии того или иного параметра (аргумента). Поскольку произ­
водная равна тангенсу угла наклона касательной к кривой
изменения реактивности в какой-либо точке по аргументу,
значения коэффициентов реактивности могут быть отнесены
283

к любому интервалу изменения аргумента, например к 1%
пара или к 100% пара. При использовании коэффициента
реактивности для получения эффекта изменения реактивности
его нужно умножить на реальное изменение аргумента
вблизи
рассматриваемой точки, например на 0,01 г/см 3 . Тогда эффект
реактивности будет в 100 раз
меньше коэффициента реактив­
3
ности, отнесенного к 1 г/см плотности воды. Если значение
осф дается в Р эф , то оно обычно относится к полному
паросо держанию.
Отметим двойственное влияние знака и значения коэф­
фициентов реактивности на безопасность реактора. Большие
отрицательные мощностные коэффициенты хорошо ограничи­
вают положительное отклонение мощности реактора по какимлибо случайным причинам. В то же время при сбросах
мощности эти коэффициенты дают рост положительной ре­
активности, который может оказаться опасным. Поэтому
оптимальными могут оказаться более умеренные значения %w.
Такое поведение реактивности должно постоянно учитываться
при проектировании реактора и выборе структуры активной
зоны, обеспечивающей те или иные значения температурных,
плотностных или мощностных эффектов и коэффициентов.
4. Причины температурных и мощностных эффектов в те­
пловых реакторах связаны с изменением температуры нейтрон­
ного газа и других характеристик энергетического спектра —
спектральными эффектами, а также с изменением простран­
ственных распределений тепловых нейтронов около блоков
или кластеров из топлива (твэлы, ТВС) или поглотителя
(выгорающие поглотители, органы регулирования) — эффекта­
ми блокировки. Во всех реакторах существенны плотностные
эффекты, приводящие, в частности, к изменениям длин
пробегов нейтронов и их утечки; геометрические эффекты,
связанные с изменением геометрических размеров активной
зоны или взаимного расположения активной зоны и поглоща­
ющих элементов органов регулирования; доплеровскце эффекты
увеличения резонансного поглощения нейтронов без деления
или с делением ядер.
Реактивность р = (А^эф— \)/Кэф, где эффективный коэффици­
ент
размножения
для
однозонного
реактора
2 2
КЭф = К00/(1+В М )
является функцией сомножителей, входя­
щих в АГ00 = уа526а5ф8|д., 2составляющих квадрата длины миграции
нейтронов М = т + J§?2 , геометрического
параметра цилинд­
2
2
рического реактора В = (2,405/Яэ) + (п/Нэ) , размеров актив­
ной зоны Л э = /?а.з + 5 эф , Нэ = Нй.3 + 25 эф и эффективной добавки
отражателя 5 эф .
Составляющие реактивности при изменении температуры
и мощности по-разному влияют на реактивность. Вклад
отдельных компонентов будем считать положительным, если
284

он снижает отрицательный температурный или мощностной
эффект, и отрицательным, если отрицательные эффекты растут.
Температурные изменения реактивности связаны с измене­
нием длин пробегов нейтронов JS?, yfx и изменением вероят­
ности поглощения нейтронов в делящемся нуклиде, например
@а5 (§3.5) в случае уранового топлива. Увеличение эффек­
тивной добавки отражателя 5 эф дает положительный вклад
в реактивность реактора, так как снижает утечку нейтронов.
В реакторах с жидким замедлителем — водой, тяжелой
водой, органикой — увеличение транспортных длин пробега
тепловых и быстрых нейтронов XJr, Х% и длины замедления
быстрых нейтронов A,5 = A K / £ Z J обусловлено в основном зна­
чительным снижением плотности и ядерной концентрации
замедлителя при разогреве. В случае водородсодержащего
замедлителя заметно снижается и микроскопическое сечение
рассеяния: по закону l/v от 35—40 до 20 б при энергии
нейтронов около 1 эВ. Соответственно увеличиваются j£f,
т и вероятность утечки нейтронов из реактора (1— Р):
LT = XaXJr/3; т = А,3А,,Г/3;

\-Р=В2М2/(\+В2М2);

М2 = т + &2.

В водо-водяных реакторах основную
роль играет увеличение
2
т от 40—50 до 70—80 см , так как J S ? 2 « : T . Естественно,
что влияние утечки нейтронов на температурные эффекты
снижается при увеличении размеров активной зоны.
В реакторах с твердым замедлителем (графитом, бериллием)
увеличение 5£2 происходит в основном из-за роста Ха вслед­
ствие повышения энергии нейтронов, находящихся в тепловом
равновесии с замедлителем, и уменьшения макроскопического
сечения поглощения Efl. Возраст нейтронов остается практичес­
ки постоянным. Так, в высокотемпературных графитовых
реакторах при разогреве от комнатной до рабочей температуры
~ 800° С 5£т увеличивается ориентировочно от 300 до 500 см2,
тогда как возраст
нейтронов почти постоянен—снижается от
2
900 до 840 см за счет роста Е от 0,2 до 0,5 эВ.
В реакторах на быстрых нейтронах увеличение утечки
нейтронов при разогреве вызывается снижением плотности
теплоносителя (натрия) и температурными расширениями:
увеличением шага ТВС из-за расширения опорных или дисганционирующих плит, увеличением длины твэлов, т. е. высоты
активной зоны при осевом расширении блочков топлива.
Отцосительное по отношению к топливу уменьшение по­
глощения нейтронов в замедлителе, теплоносителе и конст­
рукционных материалах гетерогенного теплового реактора дает
положительный вклад в температурный эффект—повышает
избыточную реактивность в горячем состоянии вследствие
285

уменьшения эффекта блокировки как в ячейке ТВС (Ф3/Фтвс)>
так и в ячейке твэла Фтеп/Фтв. Снижение эффектов блокировки
связано с увеличением прозрачности среды для нейтронов
из-за увеличения энергии нейтронов и падения макроскопичес­
ких сечений поглощения. Увеличение ®fl5, обусловленное
снижением эффекта блокировки, является основной причиной
возможного роста реактивности при разогреве реактора. Рост
реактивности характерен для систем с избыточным количеством
замедлителя. В этих системах могут наблюдаться положитель­
ные температурные коэффициенты по воде или пару (ап
"тепл
или а ф ), вызывающие нестабильность реактора.
При нагревании уменьшается ср8, что связано со снижением
замедляющей способности среды ££ s в реакторах с жидким
замедлителем и с увеличением резонансного интеграла 2 3 8 U
/о
вследствие доплеровского уширения резонансных уровней
2 8
° U при нагреве топлива. Этот эффект может быть оценен
с помощью температурной 2поправки
77т в / 8 (4.76). Благодаря
38
доплеровскому эффекту на
U мощностной коэффициент OLW
отрицателен практически во всех реакторах, что ведет к по­
вышению устойчивости и регулируемости реактора при его
работе на мощности. Однако доплеровское уширение резонансов ядер делящихся нуклидов ведет к противоположному
эффекту, что может сказаться заметным
в высокообогащенных
238
системах с малым содержанием
U.
В зависимости от типа реактора эффекты, связанные
с ужестчением спектра нейтронов при разогреве (спектральные
эффекты), по-разному влияют на реактивность реактора. Числа
вторичных нейтронов на один поглощенный нейтрон в деля­
щемся нуклиде (vfl5, va9) увеличиваются при росте энергии
нейтронов в быстрых реакторах и снижаются в надтепловой
области в тепловых реакторах из-за соответствующего
измене­
235
ния
соотношения сечений деления и захвата ядер
U или
239
Ри (ст / 5 /а а 5 , af9/aa9).
В быстром реакторе из-за ужестчения
спектра дополнительно увеличивается v / 9 2 3и8 уменьшается
поглощение нейтронов в области резонансов
U. Последний
эффект конкурирует с доплеровским уширением резонансных
уровней. В тепловом реакторе с водяным теплоносителем
увеличивается коэффициент размножения на быстрых нейтронах
|д. вследствие снижения плотности теплоносителя и увеличения
роли перекрестных эффектов (см. п. 3 § 4.5).
На температурные эффекты оказывает воздействие принятая
система регулирования реактивности. Вывод из реактора
компенсирующих групп или стержней увеличивает эффективный
объем, в котором протекает цепная
реакция, и затормаживает
2
ввиду снижения эффективного В падение реактивности из-за
изменения свойств активной зоны. Этому способствует и умень­
шение блокировки стержней компенсирующих групп, увели286

рис. 7.6. Энергетический ход
полных микроскопических сече­
ний, нормированных на их зна­
чение при ^0
= 0,0253 эВ:
235
\—
эрбий;
2—
U; 3—кадмий; 4 —
135
Хе; 5—гадолиний 6 [он(Е0) равно
170, 700, 2600, 3-Ю и 4,5 • 104 б
соответственно ]

9

*n(Eo)
N

1

\ |z \
чивающее в ряде случаев
их эффективность в го­ - 1
рячем состоянии на 10—
20%. Уменьшение блоки­ "Z
•
•
5s О *
ровки самоэкранирован­
L.^i
ных выгорающих погло­ - 3 0,01
Е„,ЭВ
0,1
тителей приводит к уве­
личению отрицательного температурного эффекта. В случае
гадолиниевых поглотителей это обстоятельство несколько смяг­
чается более крутым, чем по закону 1/v, спадом микроскопичес­
кого сечения поглощения нейтронов гадолинием и относитель­
ным (по отношению к топливу) снижением скорости захватов
нейтронов в гадолинии (рис. 7.6).
Выбор делящегося нуклида влияет на температурный эффект
в тепловом реакторе
ввиду
различной
энергетической зависи­
235
233
239
мости af/aa для
U,
U и
Ри. В высокотемпературных
реакторах температурные
эффекты
максимальны для ^ 3 5 U
233
и минимальны для
U.
Рассмотрение температурных эффектов позволяет наметить
ряд способов влияния на их знак и значение. Увеличение
шага ТВС, т. е. количества замедлителя в активной зоне,
снижает падение реактивности при разогреве и может привести
к росту реактивности—положительному температурному эф­
фекту (кривые 7, 2 на рис. 7.2). Одновременно уменьшается
до определенного предела критическая масса топлива, растут
габаритные размеры активной зоны, увеличивается коэффици­
ент неравномерности энерговыделения по ТВС. При достаточно
большом атвс температурные коэффициенты в рабочей точке
могут изменить знак на положительный (кривая 1 на рис. 7.2).
Увеличение обогащения урана снижает отрицательный вклад
Ф8 в температурный
эффект из-за уменьшения ядерной кон­
238
центрации
U в активной зоне.
Выбор делящегося нуклида влияет на температурный эффект
в силу различных энергетических зависимостей микроскопичес­
ких сечений захвата и деления в различных нуклидах.
Увеличение размера реактора ведет к снижению утечки
нейтронов и к сдвигу температурного эффекта в сторону
более положительных значений. *
В реакторах с высокой утечкой нейтронов выбор
более эффективного отражателя, например бериллиевого
287

или графитового, по сравнению с железоводным увеличивает
роль эффективной добавки и уменьшает отрицательный
температурный эффект.
Имеет значение й* выбор способа регулирования реактив­
ности. Жидкостное регулирование борной кислотой ведет
к уменьшению температурного падения реактивности при
разогреве по мере увеличения начального содержания поглоти­
теля в воде. Приближение к активной зоне отражателя снижает
отрицательный температурный эффект.
5. Расчет температурных эффектов. Температурные эффекты
определяются путем прямого расчета Кэф реактора. В тепловых
реакторах расчету Кэф предшествует расчет ячеек различных зон
реактора с учетом термализации нейтронов. Групповые макро­
скопические сечения (для 2—4 групп нейтронов), полученные при
расчете ячеек, используются для определения Кэф многозонного
реактора. Температурные изменения реактивности рассчитывают­
ся с учетом вида и положения органа регулирования и изменения
изотопного состава при работе реактора на мощности.
В быстром реакторе расчет Кэф проводится с использова­
нием ядерных концентраций гомогенизированных элементов
в каждой из зон реактора. Температурные эффекты в быстрых
реакторах обычно невелики и составляют А р = — (0,01 -~ 0,02)
по сравнению с А р = — (0,02 -f- 0,04) в тепловых водо-водяных
и особенно в тепловых высокотемпературных реакторах, где
Ар»-(0,03-=-0,08).
Парциальные температурные эффекты определяются пря­
мым расчетом с соответствующим изменением свойств реак­
тора. При определении доплеровского эффекта должны при­
меняться достаточно точные методы расчета (р8 с отдельным
учетом температуры топлива.
Полные температурные коэффициенты реактивности определя­
ются дифференцированием кривой температурного изменения
реактивности, полученной расчетным или экспериментальным
путем. В ряде случаев удобно оценить частные температурные
коэффициенты в приближении однозонного реактора. Они могут
быть получены в аналитическом виде дифференцированием
реактивности как сложной
функции температуры, например
2
дифференцированием по if с последующим дифференцированием
if ^ по температуре нейтронного газа Тнг и температуре среды Т0:
dp = Jp_ dSe2 дТнг
. 20Л
дТ0

dSe2 дТнг дТ0'

У• >

где
-

B2(J?2
А

+ T)

'

оо

Jg?2 = [3S.(293K) > /^/4 > /293/r H . r 2, r ]- 1 ;
288

1а(293К)У293/Г0

тH . r = тО

J

дТн. г

2

ар

я2

dse2

к0

= [ЗУ^У^^(293К)У293Е,]- 1 ;
5 7^ = j

1,42.(293^^293

Температурный коэффициент (7.20) является парциальным
температурным коэффициентом, связанным с JS?2, и имеет
порядок OCT(JS?2)~ 10" 5 К - 1 . Полный температурный коэффици­
ент на порядок выше ( а т ^ 1 0 ~ 4 К - 1 ) , так как он равен сумме
парциальных коэффициентов, связанных с зависимостями
т(£ г р ), Я 2 (5 э ф ), Кл(&а5)9
ц(уНао)> ФвСи» Ун2о)- Проще может
быть определен доплеровский коэффициент осд, так как тем­
пература топлива, равная температуре урана Г и ? влияет
в основном на ср8 (4.74):
dp
др дК^ д<р8
OLn
д =
dTv дКп аф8 drv
где
Ф8 = ехр I 1В = А + ВПТ;

С
учетом
постоянных
1/2
D = 0,0135 К "
получим

бл

nT =

8

C+DjYl3\

2? = 2,08 > /й? бл ./К! л 10

«д-iE. — -!_£= К ? 1 0 " " w i .

24

,

см 2 .
(7 . 21)

Пусть * э 4 = 1; Кбл = 0,2К3; ^ б 8 л • 10" 2 4 = 0,02 с м " 3 ; ^ = 2 см;
5
1
^ Z ; = 1 , 3 C M " ^ ; Г и = 700К, тогда осд = - 0 , 8 • 10~ К " .
Доплеровские коэффициенты а д примерно на порядок ниже
температурных ост. Однако вклады тех и других в реактивность
близки, так как изменения температуры топлива в переходных
режимах обычно приблизительно на порядок выше изменений
температуры теплоносителя.
19 Заказ 2739
289

7.3. Отравление
реактора
сильнопоглощающими
продуктами деления 135 Хе и

149

Sm

1. Эффекты реактивности при отравлении реактора. Выделим
пять основных эффектов реактивности, связанных с отравле­
нием реактора ксеноном и самарием:
1) равновесное, или стационарное, отравление ксеноном

С 7 - 22 )

APL=P(^L)-PO>

где ^Гхе—равновесная ядерная концентрация ксенона; р(Л^хе)?
Ро—реактивности реактора fc ксеноном и без ксенона соот­
ветственно;
2) равновесное отравление самарием
Aps0m = p ( ^ s ° m ) - p 0 ;

(7.23)

3) максимальное избыточное сверх равновесного отравление
ксеноном после остановки реактора-г-йодная яма реактивности
АрГс = р(^^кс)-р(^хе),
(7.24)
где ^хТс—максимальная
концентрация ксенона, накаплива­
ющегося в реакторе после его полной остановки с номинальной
мощности;
4) максимальное избыточное отравление самарием после
остановки—прометиевый провал реактивности
Ap^ KC = p K s M r ) - p ( ^ s ° m ) ;
(7.25)
5) спады или подъемы реактивности после переходов ре­
актора с большего на меньший или с меньшего на больший
уровень мощности.
Рассмотрим физические процессы, ведущие к накоплению
в реакторе сильнопоглощающих ПД—ксенона и самария—и
к возникновению перечисленных эффектов реактивности. Из
ПД, непосредственно образующихся при делении, можно
выделить три первичных, имеющих отношение к отравлению;
135Те?

135Хе

и

Г49Ш.

235 U + „ _ у^ ^Тс+уХе

135

Хс+уш

149

Nd + £

Ух

iX,

X

где уТе, уХе, yNd и ух — выходы — числа ядер теллура, ксенона,
неодима
и других §Х ядер-продуктов на одно деление ядра
235
U.
Теллур и неодим дают начало следующим цепочкам
радиоактивных превращений:
290

(И» / ) , 135т»
. _>
*? 1 С
Уте = ° > 0 5 6
"

235тт

——
Г

Р"
1 /2 = 2

135т
М И Н•

Р;
1 /2 = 6 > 7

<5 ч
=
31 — Т

Ч

КЛ
Jxe = 0,003
„, Р „ ,
^Cs
Г 1/2 = 9,2 ч "

iJXe

J
2

i|U

£ _ ,ъ
> ^Ва;
Г 1/2 = 2-10 лет

(7.26)

( ?

^ / I > ^Nd —-^__,149pm
P"
, 149Sm>
Ui
j N d = 0,014 ""
Г 1/2 = 1,7ч
Г 1/2 = 47ч
(7.27)

Конечные продукты цепочек —барий и самарий—стабиль­
ны. Ксенон радиоактивен и переходит в цезий, который
практически стабилен, не поглощает нейтроны и поэтому
может не учитываться при135анализе процессов отравления. Из
всех известных нуклидов
Хе обладает максимальным
сече­
6
нием поглощения
тепловых нейтронов: a* Xe ~3 • 10 б. Сечение
149
поглощения
Sm также достаточно велико: a J S m « 5 • 104 б.
Остальные нуклиды—теллур, иод, неодим и прометий — пре­
небрежимо слабо поглощают тепловые нейтроны. Из них
теллур и неодим не имеют существенного значения для
дальнейшего анализа, поскольку их периоды полураспада
значительно меньше периодов полураспада последующих нук­
лидов—иода и прометия. Упростим реальную картину, приняв,
что при делении непосредственно возникают не теллур и не­
одим, а иод и прометий с выходами, равными выходам
теллура и неодима: уг=уТе9 yPm=yNd. Тогда вместо цепочек
(7.26) и (7.27) запишем
у 7

235

92 U
Л

/'> гЦ1 „ г гп > ^ Х е „, "
> ,...;
Г 1/2 = 6,7ч
6,7ч
= 0,056
Г 1/2 = 9,2ч

М)

(7.28)

I

Ух* = 0,003

Урт = 0.014
19*

Г 1/2 = 47ч
291

Т а б л и ц а 7.1. Характеристики нуклидов цепочек (7.28) и (7.29)
ядро

Нуклид

У,

X, с"1

аа1.(293К), б

2,87-Ю - 5
2,11 Ю - 5
3,85-КГ 6

0
2,75 • 106
0
5,92 104

Ч

^1/2»

дел.
135j

0,056
0,003
0,014
0

135
Хе
149
149

Рт
Sm

6,7
9,2
47,0

Некоторые данные, относящиеся к изобарам цепочек (7.28)
и (7.29), приведены в табл. 7.1. Для тепловых нейтронов
зависимости от Тнт микроскопического сечения поглощения,
усредненного по спектру Максвелла с учетом поправки на
отклонение сечений от закона l/v ga(THr), рассчитанные по
(2.76), и сами поправки ga(TH г ) даны в табл. 7.2.
Т а б л и ц а 7.2. Сечения поглощения ксенона и самария
Нуклид

135
149

Температура нейтронного газа Тн г>

Величина

Хе

О;

Юбб

Sm

ав,

НГб

£«(^н.г)

К

300

400

500

700

900

1100

1300

1500

2,75
1,2
5,92
1,65

2,52
1,227
6,12
1,97

2,28
1,23
6,00
2,17

1,84
1,225
5,26
2,29

1,5
1,14
4,45
2,22

1,22
0,995
3,74
2,04

1,02
0,967
3,10
1,93

0,86
0,834
2,62
1,69

2. Равновесное отравление ксеноном и самарием при пуске
реактора. При составлении дифференциальных уравнений, опи­
сывающих баланс ядер ксенона и самария в единичном объеме
активной зоны, учтем скорости образования и исчезновения
этих ядер в результате реакций деления, поглощения и радиоак­
тивного распада в соответствии с цепочками (7.28) и (7.29).
Скорость3 образования осколков деления равна числу деле­
ний в 1 см за 1с, умноженному на выход осколка yt:
Скорость образования = ФЪту{,
(7.30)
где Ф—средняя по объему активной зоны плотность потока
тепловых нейтронов.
Число делений в единичном объеме гомогенизированной
активной зоны
<bbf=WxwfIV^,
(7.31)
w
где
WT — тепловая
мощность
реактора,
кВт;
/ 3=
13
= l/Ef = 3,2-10
дел./кДж; Va 3 — объем активной зоны, см ;
r
lif = Gf5(THr)J 5—макроскопическое
сечение деления в гомо­
генизированной активной зоне; Jf ъ—ядерная концентрация
292

235

U, распределенная по объему активной зоны. Зависимостью
Jf5 от времени в процессе наработки стационарных концен­
траций ксенона и самария пренебрегаем.
Исчезновение ядер ксенона или самария происходит
в резуль­
е
тате поглощения ими нейтронов со скоростью ФЕ* или ФЕ^ т :
Скорость убыли = Ф с з ^ Л Л ( ^
(7.32)
где индекс i относится к ксенону или самарию. Усредненные
по
спектрув Максвелла сечения149поглощения
тепловых нейтронов
135
т
Хе а* (Г н . г ) = аХе или
Sm а^ (Г н . г ) = 135
а § т приведены
в табл. 7.2. При поглощении нейтронов в 36 Хе и 149Sm
образуются
слабопоглощающие нуклиды * Хе (а а = 0,15 б)
i50
и
Sm(a a «100 б), несущественные для дальнейшего анализа.
Скорость убыли ядер I и Р т в результате радиоактивного
распада равна
Скорость убыли = dJf{(t)/dt= —X.Jf{(О)exp(— X.t) =

=-5^(0-

^

(7.33)

Поскольку в результате P~-распада ядра иода и прометия
превращаются в ядра ксенона и самария, скорость образования
Хе и Sm равна скорости распада I и Р т , но с противоположным
знаком:
Скорость образования = Xi^'i(t)9*
,
(7.34)
где Х~1п2/Т1/2j
приведены в табл. 7.1.
Равновесное отравление реактора ксеноном можно опре­
делить, используя скорости образования ядер (7.30), (7.34)
и их исчезновения (7.32), (7.33). Дифференциальные уравнения
баланса ядер
иода и ксенона в единичном объеме активной
3
зоны (1 см ) имеют вид
dJri(t)/dt=ylQ>i:f-Xljri(t);
(7.35)

По истечении некоторого времени после начала работы
реактора ядерные концентрации иода и ксенона приближаются
достаточно близко к равновесным, или стационарным, значе­
ниям, при которых
djVl(t)/dt = 0 и dJTXt(t)/dt = 0.
(7.37)
С учетом (7.37) определим из (7.35) равновесную концентрацию
иода:
Ж 1 °= Л ФЕ / /А. 1 .
(7.38)
Подставив ее в (7.36), получим
^х.=(^.+л)Ф£//(Ьх.+<"><*х.)>

<7-39)
293

^ I / V M

Рис. 7.7. Зависимость равновес­
ной концентрации от плотности
потока нейтронов (уГ? норми­
рованы на lif)

-*

"хе

Фг нейтр/(см* с)

ч./

Рис. 7.8. Накопление
при пуске реактора

ксенона

где ФЕу определяется по формуле (7.31).
Равновесная концентрация иода (рис. 7.7) прямо пропорци­
ональна плотности потока нейтронон в реакторе и особенно
велика в исследовательских реакторах. После остановки ре­
актора иод переходит в ксенон, вызывая значительное избыточ­
ное отравление реактора (йодную яму).
Равновесная концентрация ксенона при увеличении плот­
ности потока нейтронов в реакторе стремится к предельному
значению
( ^ Х е ) м а к с = ( Л + ^ Х е ) 2 : / / а Хе>

тогда
(7.40)
(2^е)макс = 0,059Е / .
Пусть &js/KL==0,6. Тогда согласно (7.1) (Др Хе ) макс ^ 0,036.
выполняется
при Фа Хе > ШХе
Равенство (7.40) хорошо
13
2
нейтр./(см -с).
И <£>l(R X e /a X e «8 10
Решение уравнений (7.35) и (7.36) для случая пуска реактора
с начальными условиями tyTI(0) = 0, Л^Хе(0) = 0 имеет вид

^х.(0 =-^'*{1-ехР[-(^х.+фстх.)']}- ( ^ Ф а ^ - П ^ ^ ^ ^ - ^ ^ - ^ +Ф^)/]}-

(7-41)

Концентрация ксенона в работающем реакторе увеличива­
ется постепенно от нуля до равновесной и при t-+ оо
,Ж*Хе(оо)->еЖ*хе- Второй член в (7.41) замедляет процесс
накопления ксенона, описываемый первым членом, так как
в. реакторе должна предварительно накопиться равновесная
концентрация иода (рис. 7.8).
294

Оценим время достижения концентрации ксенона, равной
90%
равновесной,
при плотности6
потока
нейтронов
13
2
Ф = 5 • 10 нейтр./(см -с) и аХе = 2* 10 б.-Пренебрегая вторым
членом в формуле (7.41), получаем
_1п0Л_

Достижение концентрации, равной 99% равновесной, потребует
вдвое большего времени, т. е. примерно 0,5 сут.
Равновесное отравление реактора самарием вычисляется по
аналогии с ксеноном. Дифференциальные уравнения,
описы­
3
вающие баланс ядер прометия и самария в 1 см активной
зоны, имеют вид
d^rm{t)/dt=yPmOXf-XPm^Pm{t);
(7.42)
^^8ш(0/^ = ^Рт^Рт(0-ф^т^8т(0О7'43)
Равновесные концентрации прометия и самария достигаются
в пределе (при t -*> оо), когда левые части (7.42) и (7.43)
равны нулю. Тогда
^Рт=^РтФ2//51Рт;

(7.44)

^sm=J ; Pm2 / /a S m , Sg m =j;p m S / .
(7.45)
Равновесная концентрация прометия пропорциональна плот­
ности потока нейтронов с теми же последствиями по отрав­
лению самарием после остановки реактора, что и в случае
иода. Равновесная концентрация самария не зависит от плот­
ности потока нейтронов и определяется макроскопическим
сечением деления в активной зоне.
Решение уравнений (7.42) и (7.43) для случая пуска неработавшего реактора, в котором еЖ*Рт(0) = 0 и еЖ*8т(0) = 0, дает
временную зависимость накопления самария от нуля до
равновесного значения
^ S m ( 0 = ^s°m[l-exp'(-OaSmf)]-

Ж т

°'

[ехр(-Хр т <)-

-exp(-a>G S m f)].
(7.46)
Смысл членов в (7.46) аналогичен смыслу членов в (7.41).
Оценим время tx достижения13 90% равновесной
концентрации
2
самария 4 при
Ф = 5 • 10 нейтр./(см • с),
считая,
что
aSm = 6-10 6. Пренебрегая вторым членом в (7.46), получаем
_Ь0Л

=21() ч==8 9

(?

46а)

Время достижения 99% jV$m равно примерно 18 сут.
Оценим по формуле (7.1) вклад равновесного отравления
реактора ксеноном и самарием в реактивность, если ®f5=J),S5;
295

К% = 1; ф = 5-10 13 нейтр./(см 2 с);
(7.1), (7.39) и (7.45)

- ° '

0 5 9

аХе = 1,8-106 б.

Согласно

/ ( T ^ F T ^ + I ) = 0,0478;

А р ^ = - ^ | | ^ = - 0 , 0 4 1 = -4,1%;
^=j

P m

= 0,014; A p O m = - ^ | | £ = - 0 , 0 1 2 = - l , 2 % .

В ряде случаев время работы реактора невелико и равновес­
ные концентрации ксенона и самария не достигаются. В этих
случаях отравление рассчитывается по формулам (7.41) и (7.46)
одновременно с расчетом выгорания топлива и накопления
других ПД.
3. Отравление при полной остановке реактора. Дифференци­
альные уравнения, описывающие отравление реактора ксеноном
после остановки, могут быть получены из (7.35) и (7.36),
если учесть, что в остановленном реакторе Ф = 0:
dJTl(t)/dt=-Xljri(t);
(7.47)
^^Xe(0/^ = ^^l(0-^Xe^Xe(0С7'48)
Предположим, что перед остановкой ядерные концентрации
ксенона и иода были равны равновесным (рис. 7.9):
Тогда уравнение (7.47) описывает радиоактивный распад иода,
превращающегося в ксенон:
jr^tj^jrfexpi-^t).
(7.49)
Подставив (7.49) в (7.48), получим
dJ^Xe(t) + XXeJrXe(t)dt = Xljr°exp(-'klt)dt.
(7.50)
Умножим правую и левую части равенства (7.50) на ехр(^Хе*)Тогда
^[^Хе(0 е Х Р(^Хе0] = ^ 1 ^ 1 ° е Х Р [ ( ^ Х е - ^ ) О ^ О7'51)
После интегрирования (7.51) в пределах от 0 до t с учетом
начального условия ^xe(0) = ^ x e получим
^Хе(0 = ^ ^ е Х Р ( - ^ Х е О + Г : ^ [ е Х Р ( ~ ? 1 Х е О ~
1 —Л

-exp(-V)]296

Хе / Л 1

О 7 - 52 )

<«Г)
Хе

t(sr™')
хе

/

Рис. 7.9. Изменение концентрации ксенона со временем после остановки
реактора
Рис. 7.10. Йодная яма реактивости после остановки реактора

Поскольку Х1 >^Хе> второй член в (7.52) положителен и описы­
вает рост концентрации ксенона после остановки реактора,
обусловленный большей скоростью распада иода по сравнению
со скоростью распада ксенона. После достижения максимума
концентрация ксенона спадает в пределе до нуля (рис. 7.9).
Зависимость реактивности от времени после остановки реактора
имеет противоположный характер—спад с последующим подъ­
емом (рис. 7.10). Форма кривой поведения реактивности после
остановки реактора, связанная с более высокой, чем у ксенона,
скоростью распада иода и напоминающая яму, обусловила
общепринятое название йодная яма реактивности для явления
отравления реактора после остановки.
Время достижения полной глубины йодной ямы t(J^xTc)
определяется из условия
djr^(t)

=0

dt
v

Хе

'

и составляет

/(/Г и

In

У

' ^Xe / 1 • (ЛI-^Xe)^Xe\T

Подставляя (7.53) в (7.52), получаем
~]_А_
макс
^ 0
"Хе
1 + (Ух*+У\)(К-К*)

(7.53)

^ОСе

Ж

=

Г

А.| — А.}

X,

Л^Хе +

(7.54)

Ф^Хе)

Использовав численные значения констант (см. табл. 7.1),
упростим (7.53) и (7.54):
t(^xlKC)=

-36,4In (0,734+

где tiJ^xf)—время,
А г макс
• " Хе

2^—

(7.55)

10;

ч;
2

8,3-10 ФЕ /

1

0,81
+
2,П+Фа Х е 10

3,76
СМ"

(7.56)
297

Рис. 7.11. Зависимость концентрации
прометия и самария от времени после
остановки реактора

JV l i
/

i

При оценке эффектов ре­
активности следует учитывать,
что ядерная концентрация ксе­
нона в момент максимального
отравления (7.56) включает
равновесную
концентрацию
JT хе. Следовательно,
эффект
я
отравления Арх'е (собственно
йодная яма) соответствует
ядерной концентрации

Pm

/

-4

^

•

Sm

i iO

к
£ CUT

9

« " Хе —ЛГ

Хе

(7.57)

«" Хе-

Отравление самарием после остановки реактора проанали­
зируем с помсэщью уравнений (7.42) и (7.43), записанных для
случая равенства плотности потока нейтронов нулю в нера­
ботающем реакторе:
(7.58)
^pm(0/^=-Vm^Pm(0;
(7.59)
d^Sm(t)/dt
= X'Pm-"Pm(0С учетом начальных условий ^ P m ( 0 ) = ^ m и ^ S m ( 0 ) = ^ s ° m
(рис. 7.11) получим

^ P » ( 0 = ^ ? » « P ( - W ) ; ^ Sm (0=
= ^ £ п + ^8»[1-ехр(-АРЯ1(/)]. .
(7.60)
Самарий стабилен, поэтому его максимальная концентрация
после остановки реактора достигается в пределе при t -* оо
и равна суммарной концентрации самария и прометия перед
остановкой реактора:
«" Sm

" Sm + ^

Pm-

Избыточное отравление самарием—прометиевый провал
реактивности—определяется разностью концентраций самария
^Sm(0~^Sm = ^m[l-:eXp(-^p

m

0],

(7.61)

равной в пределе, при *->оо,
^?т П Р = ^ZKC ~ ^L = ^1m (7.62)
Оценим параметры избыточного отравления ксеноном и са­
марием 13 для
следующих
исходных
данных:
2
6
Ф = 5 10 нейтр./(см
с);
0
?
а
5 = ©,85; К%=1;
Хс = 1,8 • 10 б;
aSm = 5,3 10 4 6. В соответствии с (7.1), (7.44), (7.55), (7.56),
(7.57) и (7.62) получим
t (Л^хГ ) = 36,41п0,787 = 8,7 ч;
298

у макс А О

д р м|кс = _ ± | ^ ^ £
£,-

К^

=

_ 8 з о • 5 • 1013 • 1,8 • 1(Г 18 • 1,3029 • 0,85 =

= -0,0827=-8,27%;
Ар£.= - 4 , 1 % ; Ар и . я = -(8,27-4,1)= -4,17%;
2?™пр
2/

^"?mCTSnl
Sf

0,014-5 1 0 1 3 - 5 , 3 - Ю - 2 0
=
3,85 10 - 6

Л.„,Ф<*зт
Х.Рт

A pg„np = - =£- ^
Lf

0,00964;

= - 0,0082 = - 0,82%.

Лэф

Для данного примера йодная, яма близка к стационарному
отравлению и наступает примерно через 9 ч после остановки
реактора. В этот момент избыточное
отравление
прометием
6
3
(7.61) составит [1-ехр(-3,85 • 10 -8,7-3,6- 10 )] = 0,113 мак­
симального прометиевого провала, равного —0,8%,
т. е.
я
— 0,09%. Это значение мало по сравнению с Арх'е и может
не учитываться. Время достижения 90% полного прометиевого
провала не зависит от плотности потока нейтронов и со­
ставляет — 1п0,1 Д Р т « 8 сут, что должно учитываться при пуске
реактора после длительной остановки.
4. Отравление при изменениях мощности. Пусть реактор,
проработавший достаточно долго на мощности Wt (средняя
плотность потока нейтронов Ф х ), переводится в момент
времени f = 0 на мощность W2 (плотность потока нейтронов
Ф 2 ). Из решения уравнений (7.35)
и (7.36)
с учетом начальных
/
0
условий ^ X e(0) = ^xe(<M> ^ *1(0) = ^ 1 ( Ф 1 ) получим
^ х е ( 0 = ^хе(Ф1)ехр[-(51 Х е + Ф 2 а Х е ) 0 + ^ х е ( Ф 2 } { 1 ~

-ехр[-(^+ахА),]}+£^Ш{ехр(_Х|()_
-ехр[-(^Хе+Ф2аХе)г]}.
(7.63)
Здесь Л ^ Д Ф з ) и ^\(Ф2)—равновесные
концентрации ксенона
и иода, накапливаемых при плотности потока нейтронов Ф 2 .
Первый член в формуле (7.63) описывает распад и выгорание
имевшегося ранее ксенона с концентрацией Л^хе(Ф1)> второй—
накопление ксенона с равновесной концентрацией </ГХе(Ф2).
Третий член отражает роль иода в переходном процессе
и может быть либо положительным, если Ф 2 < Ф 1 ? либо
отрицательным, если Ф 2 >Ф А (рис. 7.12).
При переходе с большего уровня мощности на меньший
(ct>t > Ф 2 ) концентрация ксенона растет и реактор попадает
в частичную йодную яму вследствие нарушения баланса ядер:
убыль ксенона в результате поглощения нейтронов умень­
шилась при этом скачком, тогда как образование ксенона
вследствие распада иода продолжается в первые моменты
299

A

Sm

<P,<#z
t

A
Jf.
Sm
JT.
Sm

Рис. 7.12. Изменение концентрации
ксенона со временем при изменении
мощности с W1 до W2

Ф<>Ф2

Рис. 7.13. Изменение концентрации са­
мария со временем при изменении
мощности с Wi до W2

времени с прежней (высокой) скоростью, соответствующей
большой концентрации иода
^^{Ф^.
Время достижения максимума концентрации ксенона tx
получим, приравнивая нулю производную от решения (7.63):

h=

2,78 • 10- 4
*,-ХЙ

In

X,

А

(7.64)

\ * Й ^+^Хе(Ф2)-^"х.(Ф1)

где время tx измеряется в часах;
А=у1Ъ/5(Ф1-Ф2)/(Х£-Х1);
V& = XXe + oх:еФ2Эффект реактивности, определяемый разностью между кон­
центрациями ксенона в максимуме и исходной, называется
частичной йодной ямой. Этот эффект не должен превышать
имеющийся в реакторе оперативный запас реактивности Ар опер ,
что определяет минимальный уровень мощности, на который
допустим перевод реактора с более высоких значений мощности.
В случае повышения мощности реактора (Ф Х <Ф 2 ) резко
увеличивается убыль ксенона из-за более высокой скорости
поглощения нейтронов в потоке плотности Ф2, тогда как
образование ксенона из иода идет вначале с небольшой скоростью,
соответствующей низкой начальной концентрации иода ^гх{Ф1).
Убыль концентрации ксенона в переходном процессе при подъеме
мощности вызывает подъем реактивности с последующим
снижением до уровня, меньшего первоначального при накоплении
ксенона с новой (большей) равновесной концентрацией.
Отравление самарием при изменении4 мощности реактора
описывается решением уравнений (7.42) и (7.43) для начальных
условий ^Рт(0) = Ж^т и Л^тф) = Л1т\

^ S m ( 0 = ^s° m +
300

^т(ф1)-^Мф2)
Фг^тАрт-!

[exp(-Ji Pm f)

-exp(-<D 2 a S m f).
(7.65)
Из (7.65) видно, что после окончания переходного процесса
концентрация самария возвращается к прежнему, не зависящему
от плотности потока нейтронов значению (рис. 7.13). При
переходе на больший уровень мощкости наблюдаются по тем
же причинам, что и в случае ксенона, спад в зависимости
концентрации самария от времени и подъем реактивности.
При снижении мощности—результат противоположный и про­
исходит частичный прометиевый провал реактивности.
Время (в сутках) достижения. экстремума переходного
процесса определяется формулой

'«^-'Ь^^Ш^-.

(7.66)

Процессы отравления и переходные режимы рассматривались
выше с использованием средней по .объему активной зоны
плотности потока нейтронов Ф (7.31). Так как плотность потока
нейтронов (3.89) неодинакова в различных точках активной зоны,
концентрации ксенона и самария также непостоянны (кроме
равновесной концентрации самария) и максимальны в области
максимума плотности потока нейтронов. Во многих случаях
плотность потока нейтронов максимальна в центре активной зоны,
т. е. в области с максимальной ценностью нейтронов. Повышенное
поглощение наиболее ценных нейтронов ведет к увеличению
отрицательных эффектов реактивности, рассчитанных по среднему
потоку нейтронов. Это увеличение может достигать 30—40%
в зависимости от плотности потока нейтронов и его распределения
по объему реактора.
При 2плотности потока тепловых нейтронов,
14
большей 10 нейтр./(см -с), во всех точках активной зоны
отсутствует неравномерность стационарного отравления ксеноном
(7.39), однако влияние неравномерности плотности потока
нейтронов на йодную яму остается значительным. Оценить этот
эффект можно с помощью усреднения с квадратом плотности
потока нейтронов, максимальной
после остановки реактора
КС
концентрации ксенона Л^хе > зависящей от Ф(г):
jr%™= ]*J/-^™(r)<b2(r)rdr\
*f<b2(r)rdr,
о
/ о
п

(7.67)

/2,405Л

где ©(r) = _ L * J

;

p=

W

Эффект увеличения
йодной ямы будет равен отношению
КС
концентрации Л^хе > полученной
численным интегрированием
c
выражения (7.67), к J^xT (7.56), рассчитанной по средней
плотности потока нейтронов, и может достигать 30—50%.
301

Самарий

Рис. 7.14. Асимптотические случаи от­
равления реактора ксеноном и сама­
рием:
}, 2, i,,
4—ядерные концентрации 13*1,
149
1^5
Хе, 135Рт, 149 Sm; 5, 6—эффекты отрав:
Хе и 149
ления
*,
мошн ;
9-Др° , Ap ° ; 10, "Sm;
- Д р 7-Ар
; Ар

ж

*е

•Ъ. (о)
хе
JCM)
Л°(Ф)
хе

е

2-й
1-й
3-й

sm

ия

п пр

член
член
член

Рис. 7.15. Пуск реактора с начальной
концентрацией ксенона ЛгхеФ)>-Лгхе

5. Неасимптотические случаи отравления. Рассмотренные
выше случаи отравления реактора Хе и Sm при пуске
неотравленного реактора, переводе с однога уровня мощности
на другой и полной остановке относятся к асимптотике, т. е.
к началу следующего процесса после полного завершения
предыдущего (рис. 7.14). При пуске концентрации ксенойа
и самария растут и достигают насыщения, при подъемах
мощности в первые моменты времени они всегда падают,
а при сбросах мощности растут.
Реальная работа реактора может быть неасимптотической —
пуск производится вскоре после остановки, снижение мощ­
ности— вскоре после предыдущего подъема и т. д. В этих
случаях характер изменения концентраций моясет быть про302

тивоположным. Например, после сброса мощности со 100 на
30% начинается интенсивный^ рост концентрации ксенона—
реактор попадает в частичную йодную яму. Если вскоре,
например через 0,5—1ч, поднять мощность с 30^ до 50%,
то вместо спада концентрации ксенона некоторое время будет
продолжаться ее подъем, связанный с предыдущим сбросом
мощности. В конечном счете установится равновесная концен­
трация ксенона, соответствующая 50%-ной мощности реактора.
Решения для неасимптотических случаев - можно получить
с использованием правильных начальных значений концент­
раций ксенона и иода. Решение (7.63) перепишем для случаев
пуска или перевода на и другую : мощность с учетом начальных
концентраций Л ^ ( 0 )
^i(0)
^хе(^) = ^ х е ( 0 ) е х р ( - Г х ^ ) + ^ ^ ( Ф 2 ) [ 1 - е х р ( - Х э х ^ ) ] +
+

Ц

>

^

(7.68)

где А,х£ = ^хе + a xe^2—эффективная постоянная13 распада, учи­
тывающая радиационный распад и выгорание ^Хе в потоке
нейтронов плотностью Ф2.
Знак третьего члена определяется числителем коэффициента
перед выражением в скобках и положителен, если
начальная
г
концентрация иода больше равновесной. При ^Л хЛ^)>^гх^{(^2)
происходит постепенный спад концентрации ксенона (рис. 7.15),
причем третий член, так же как и на рис. 7.8, описывает
замедление процесса установления равновесной концентрации.
Аналогичное решение запишем для случаев пуска или
перевода на другую мощность реактора с неасимптотическими
значениями начальных концентраций самария Л^т(0) и П Р°"
метия Л^ Рт (0):
^sm (t) = ^ S m (0) exp ( - Ф2 aSm t)+JfL

[1 - exp ( - Ф2 aSm t)] +

+ "Pm[^m(0)"fP°m(O2)][exp(-Vm0-exp(-O2aSm0].

(7.69)

Пуск реактора после длительной стоянки всегда связан
со снижением концентрации самария из состояния прометиевого
провала до равновесной концентрации (имеется в виду
работа на одинаковых уровнях мощности перед остановкой
иг после пуска). Знак третьего члена определяется разностью
^ РтФ) — ^рт(Ф2)
и так же, как и в случае Хе, может
быть положительным при последовательных переводах мо­
щности, например, со 100 на 30% и с 30 на 50%
через короткий интервал времени. В этом случае после
подъема мощности концентрация самария может продолжать
расти, вместо того чтобы падать, как это должно было
303

10"Z 3 5 1013Z3 5 10П 2 3 5 1015

10игз

5 10"z з 5 10"г з 5 10'
Ф;нейтр/(см*с)
Ф;неатр/см£'С)
135
Рис. 7.16.
Зависимость
равновесного
отравления
реактора
Хе
1
О?
Л
1Л47
Др Х е =—f 0,059 И
(а) и времени достижения йодной ямы (б)
13
эф
К^
V Ф1-10" ,
f 0 =-36,61n [0,735 + 0,279/(1+0,872-Ф-1(Г 13 )] от плотности потока нейтронов

бы происходить в асимптотических случаях с большими
интервалами времени между последовательными переводами
реактора с одного уровня мощности на другой.
6. Расчеты эффектов отравления. В приближении однозонного реактора эффекты реактивности (7.1) определяются от­
ношением
макроскопических
сечений поглощения нейтронов
135
1 9
в
Хе или ^ Sm к макроскопическому сечению деления
Z Xe (')/ s /> £ Sm (0/2/>

bf=Y.*fi^i>

(7.70)

умноженному на отношение коэффициента использования ней­
тронной 0 / к АГэф в реакторе без этих поглощающих нуклидов,
которое можно выразить через другие параметры реактора:
0? 5 /* э °ф = (1+1? 2 М 2 )/(ср 8 цу /5 ).
Запишем приведенные выше формулы в виде (7.70), удобном
для расчетов эффектов реактивности. При подстановке чис­
ленных значений констант учтем, что 6 во многих случаях
Гн.г близка к 700 К и а Хе =1,84-10 б, aSm = 5,26-104 б
(табл. 7.2). Для оценки неасимптотических случаев приведем
решения уравнений для иода и прометия. При расчетах по
этим формулам
следует подставлять
плотность потока
2
13
в нейтр./(см -с), деленную на 10 , время — в часах.
Пуск чистого реактора (Ф = 0-^Ф1) (рис. 7.16, а):
^ 1 (^) = ^ 1 0 (Ф 1 )[1-ехр(-~?1 1 ^)] = 1 , 9 5 5 ^ -10 16 х
х[1-ехр(-0,103г)];

У=^!±^{1-ехр[-^е(Ф1)?]Ь304

(7.71)

-»

х

х{ехр(-Я,г)-ехр[-ЛЙ(Ф1)/]}-г^5-х
х{1-ехр[-(0,076+0,0662Ф 1 )г]}- 1 _^ / ф х
х {exp ( - 0,1031) - exp [ - (0,076+0,0662Ф l) t\ };
^'р т (?) = ^'рт(Ф 1 )[1-ехр(-Х Рт ?)] = 3,64Е/Ф1-1016х
x[l-exp(-0,0139f)];
^^=^рт[1-ехр(-Ф 1 ст 8 т г)1
х[еХр(-ХртО

_ е Х

0,014
1-7,32/Ф!

Р(

_ Ф

108тО]

= 0

'

0 1 4

[1-

е Х

£=

x

Р(-0'

0 0 1 8 9 Ф

1?)]

[exp ( - 0,0139?) - exp ( - 0,00189ФХ f)].

Перевод реактора с Ф1 на Ф2:
•^- 1 (?)=^Гр(Ф 1 )ехр(->. 1 г)+^ 1 0 (Ф 2 )[1-ехр(-Х 1 /)] =
= 1,95-10162/[Ф2+(Ф1-Ф2)ехр(-0,103?)];
(7.72)

+, * (Ф ! /Фг " 1) , {ехр ( - X. г) - ехр Г - А£ (Ф.) Л } =
=

0>059

expK [L- (0,076+0,0662Ф
+
22); Л
v
J

1 + 1,147/Ф!

°'°59

1 + 1,147/Ф2

x {1 -exp [-(0,076+0,0662Ф2) t]}+^££]

x
x

x {exp (-0,103?)-exp [-(0,076+0,0662Ф2)/]};
^'рт(?) = ^ ? т ( Ф 2 ) + [ ^ ' ? т ( Ф 1 ) - ^ " ? т ( Ф 2 ) ] е Х р ( - Х р т Г ) =

= 3,64- 1016Е/[Ф2+(Ф1-Ф2)ехр(.-0,0139г)];
^=Ур т +7 т 1 Ф 1 / / ^" 1 ) [ехр(-Хр т 0-ехр(-Ф 2 а 5 т /)]= ".
= О,О14+О'О;4(Ф;/2^"1)[ехр(-О,О139/)-ехр(-О,ОО1890].
Полная остановка реактора (Ф2-»Ф = 0) (рис. 7.16,6, 7.17,
7.18):
^•1(г) = Ж?(Ф2)ехр(-Х,г)=1,95-10162/Ф2ехр(-0,103>);
(7.73)
g^=
2,
20 Заказ 2739

» +J *Х Хе /Ф 2 СТх е +1

exp(-7iXef)+?
HV

.' ^

;

*

х

'

(>-1-ХХе)/Ф2СТХе
305

Ал
4

пр

/ и . я /*/>Уе
%
х/

25

*10

*5 -

3=' /

го
10 --

15

*100

С

/

/

V

10
5 --

5
0

ттГГГ i I rrtTil

10*"**"10«

it—1r f i

— !__!._ _1_1_ТГГ1, 1111

i 11 I 1 11.1.1—i i 1 1 • • a J —

*
2

'•"}0«"""1В«

10

Ф2,нвйтр./фм 'с)

is

*•

*

е

в

„

1 1 1 1 111

2
г

* 5 *_, 5
10

0 , нейтр./(см - с J

Рис. 7.17. Отношение потери реактивности в йодной яме к равновесному
отравлению ксеноном в зависимости
ОТ Ф 2 = Ф а .з

х [ехр (-ХХе t)-ехр (-А,/)] = 1

Рис. 7.18. Прометиевый провал реактивности в зависимости от плотности
потока
реакторе
нейтронов
в
Д р й = 0,191-НГ 1 3 ф|£
К
0,059

+

^

ехр (-0,076/) + 0,136Ф2 х

х [ехр ( - 0,076/) - ехр ( - ОД 03/)];

^ = 0Д59Ф 2 Л+—Vl +
Ар
L

2

\

Е макс
Хе

Ф2 Д

0?384

У Л 6 - 1 (рис.-7.17);

1+0,872Ф 2 ;

= 0,0153Ф2(1 +

0,384

^

h

3,76

1+0,872Ф2

^ / 'р т (0 = ^/'рт(Ф2)ехр(-Хрп1') = 3 ' 6 4 - 1 о 1 б £ / ф 2ехр(-О,О139^;

=>0,014 + 0,00191Ф 2 [1-ехр(-0,0139/)].
Оценим эффекты отравления после остановки (7.73), приняв
вероятность поглощения теплового нейтрона с делением
0 / 5 = 0,7;
АГэф =1,1.
Для
плотностей
потока
13
2
(10-ь-ЮО)-10 нейтр/(см с) получим, что максимальная йод­
ная яма Ари я = (19,6-^-99)%АК/К, полный прометиевый провал
Арп.пр = (2,1-13)%А^/^.
Несмотря на очень значительное переотравление в йодной
яме реактор может быть запущен после радиоактивно^
распада ксенона до уровня, когда эффект отравления сравняется
с запасом избыточной реактивности. В случае самария
нехватка оперативного запаса приводит к невозможности
306

запуска реактора—к его «самариевой смерти». Выходом
может быть только перегрузка топлива с последующим
выжиганием самария путем догрузки отдельных переотра­
вленных самарием ТВС.
Заметим, что графики эффектов реактивности на рис. 7.14
построены с учетом отрицательных мощностных эффектов
при практически мгновенных изменениях мощности.

7.4. Ксеноновая
реактора

неустойчивость
/

1. Причины ксеноновой неустойчивости. В больших энер­
гетических реакторах на тепловых нейтронах, в которых
геометрические размеры намного больше длины миграции
нейтронов, возможно возникновение
пространственных и вре­
135
менныхч колебаний концентрации Хе—ксеноновых волн, В ка­
ждый момент времени при этом вдоль координатной оси по
радиусу, азимуту или высоте имеется волнообразное рас­
пределение концентрации ксенона, в то же время в каждой
пространственной точке концентрация ксенона колеблется во
времени.
Физической причиной неустойчивости является наличие
положительной обратной связи по реактивности при случайном
изменении плотности потока нейтронов и мощности в локаль­
ной области реактора вследствие перегрузки ТВС, извлечения
поглощающего стержня, охлаждения теплоносителя и т. п.
Из-за характера изменения концентрации ксенона во времени
(см. рис. 7.12) изменение мощности вначале усиливается в ту
же сторону, но затем при развитии ксенонового процесса
реактивность и мощность начинают изменяться в проти­
воположном направлении, что ведет к возникновению процесса,
противоположного начальному, т. е. колебаний.^ Локальные
колебания мощности при сохранении ее общего уровня в ре­
акторе на стационарном значении могут привести, если их
не регулировать стержнями, к пережогу твэлов, выбросу
активности и остановке реактора. Подобные явления связаны
с плохой нейтронной связью отдельных областей в активной
зоне большого размера (много большего длины миграции
М) и с образованием областей локальной критичности, или
«местных реакторов».
Возникновение и развитие неустойчивости во многом за­
висит от знака и значения температурных и мощностных
коэффициентов реактивности. Для устойчивой работы они
должны быть отрицательными и достаточно большими.
2. Уравнения реактора в отклонениях. Основная, всюду
положительная гармоника плотности потока (см. рис. 3.12)
20*

307

изменяется во всех точках реактора при внесении положитель­
ной или отрицательной реактивности одинаково и легко
управляется регулирующими стержнями. Возникновение более
высоких, чем основная, радиально-азимутальных и высотных
гармоник связано со свойством реактора самокомпенсировать
положительную реактивность при большей утечке нейтронов
на более высоких гармониках, что обусловлено большими
собственными числами и более крутым спадом плотности
потока нейтронов на периферии реактора.
Выше неоднократно отмечалось требование положитель­
ности плотности потока нейтронов [см. (3.50)], что вытекает
из его физического смысла. При рассмотрении гармоник
это требование в целом остается, так как рассматриваются
относительно малые отклонения плотности потока в ту
и другую сторону от основного распределения, т. е. в сумме N
с основным распределением плотность потока всегда остается
положительной.
Удобно рассматривать высшие гармоники в виде отклоне­
ний в положительную и отрицательную сторону от основной
гармоники и записывать плотность потока нейтронов, концен­
трации иода и ксенона и другие величины в виде суммы
основной гармоники и малых отклонений:
^1(г;/) = Ж,0(г) + л,(г,/);
^ Х е М = ^Хе(г) + Л

Х

е М ;

(7.74)

>

Ф(г, *) = Ф0(г) + <р(г, t).
При подстановке этих выражений в уравнения баланса
ядер иода и ксенона пренебрежем произведениями двух малых
величин и линеаризуем уравнения:
dn\(r, t)

:<у1Е/ф(г, г)-\щ(г9

dt
dnXe(r,
dt

t)_

t);

yXeZf(p(r, tj + X&ifa t)

>

(7.75)

- [ Ф 0 ( г ) а Х с + ^ Х е ] Л х е ( г , * ) - ф ( Г » *) а Х е ^ Х е (г).

Линеаризуем также одногрупповое уравнение баланса ней­
тронов в однозонном реакторе, введя в него
:о 2 линейну]
линейную
2
зависимость ос от концентрации
ксенона oc (r, t) = ai2

-P^xe(r, t) =

(K*'-l)/M -B*:

Щг, t)+a2(r, 1)Ф(г, * ) Ц ^ ? М
D

0Со =

308

к\
м

Bz\

dt

^а = ^ а + ^ Х е -

После линеаризации получим
Дср(г, /) + а2 Ф (г,

/)-РЖ$.(Г)Ф(Г,

/)-Рп х .(г, 0 $ o ( r ) = ^ ^ ^ .
(7.76)

При выводе (7.76) учтено, что
АФо{г) + *1Фо{г)-№°Хе(г)Фо{г) = 0
для стационарного состояния реактора.
При анадизе ксеноновых колебаний постоянные времени
имеют порядок 5—10 ч и можно не учитывать запаздывающие
нейтроны.
3. Решение уравнения реактора в отклонениях с учетом
уравнений для иода и ксенона позволяет найти пространст­
венные гармоники в радиальном и азимутальном направлениях:
фп,т(г, ф) = ф 0 1 0 (а^)со8(а^ф), а™ = гаа£, а? = иаг°,
а также в осевом направлении:
<pk(z) = <p0cos(a°kz).
В ряде случаев одновременно возбуждается и основная
гармоника, но изменение во времени основной гармоники,
приводящее к изменению мощности реактора, легко подавля­
ется регулирующими стержнями. При возбуждении высших
гармоник, т. е. отклонений от стационарного распределения
плотности потока нейтронов, общая мощность реактора в сре­
днем по объему может сохраняться, но будут наблюдаться
перераспределения мощности в радиальном, азимутальном или
высотном направлении.
Наиболее часто появляются следующие гармоники пт
(рис. 7.19): первая азимутальная 01, вторая азимутальная 02,
первая радиальная 10, первая радиально-азимутальная 11, третья
азимутальная 03. На рис. 7.19 приведены пространственные
изменения плотности потока нейтронов или мощности в соответ­
ствующих гармониках в радиальном направлении. Азимуталь­
ные гармоники могут быть также изображены и в зависимости
от азимутальной координаты ф на постоянном радиусе, вдоль
концентрической окружности вокруг центра активной зоны.
4. Условие устойчивости к ксеноновым колебаниям. Устойчи­
вость определяется затуханием малых отклонений во времени,
неустойчивость—их расхождением. Для анализа устойчивости
можно не решать систему уравнений (7.75), (7.76), а проанализи­
ровать свойства корней характеристического уравнения этой
системы. Если корни имеют отрицательные действительные
части, то система устойчива. В противном случае возмущения
экспоненциально нарастают или имеют характер расходящихся
колебаний с экспоненциальным нарастанием амплитуды.
309

00

01

B

oz

4

Рис. 7.19. Гармоники плотности потока нейтронов

С учетом указанных свойств корней формулируется кри­
терий устойчивости реактора к возбуждению в нем высших
гармоник с п>0 или т>0 в виде следующего неравенства [1]:

4

2

,+

<» >та>(§Ы( ^Г-.'.-

<7Л,)

где А (а2)—разность квадратов последующих и «нулевого»
(т. е. соответствующего основной гармонике) корней функции
Бесселя нулевого порядка J0(an0r/R3) для радиальных гармоник
и косинуса—для азимутальных; М—длина миграции, см;
А —экстраполированный размер, см; ЛГ° =2,42Е°/Ё°; Е°,
Ед—макроскопические сечения деления и поглощения в ак­
тивной зоне без 135
ксенона; Ехе—макроскопическое сечение
захвата нейтронов
Хе при равновесном отравлении.
Для радиальных гармоник АЭ = ЯЭ и
A(a2) =
310

ato-al0,

Z 3 4-56 10
Ф0у HeumpJ(cM2*c)
Рис. 7.20. График правой части критерия ксеноновой устойчивости (7.77)

где #оо = 2,405; #п0 = 5,52; 8,65 и т.д., я = 1 , 2 ...
Для азимутальных гармоник Аэ = 1)э, для осевых АЭ = НЭ и

АИ

#0т

Яоо = я 2 ( т 2 + 2т), т = 1 , 2, 3 ...,

где а 00 = К а0т = (т + 1)к.
Область устойчивости расположена выше графика правой
части критерия (7.77), приведенного на рис. 7.20 в зависимости
от средней по объему реактора плотности потока нейтронов
Ф0. При построении графика учтено, что
у0
Хе

I,

У\+У Хе
l+W(O 0 <TXe)'

Изменение знака правой части критерия на отрицательный
а
определяет
значение
плотности
потока
Ф
*
=
Ухе
^хе
\У\
хе =
11
2
= 6-10 нейтр.Дсм с), ниже которого реактор всегда устойчив
к ксеноновым колебаниям независимо от состава или размеров
активной зоны.
Ниже границы устойчивости реактор неустойчив по от­
ношению к низшим гармоникам с w, т > 0 , что приводит
к возникновению пространственных и временных колебаний
с периодом порядка 1 / ^ Ю ч . Эти колебания обнаруживаются
локальными датчиками плотности потока нейтронов, раз­
мещенными в различных точках объема активной зоны,
и подавляются локальными регулирующими элементами. При
достаточном числе таких регуляторов в реакторе может
поддерживаться необходимое распределение плотности потока
нейтронов и энерговыделения даже при наличии ксеноновой
неустойчивости.
Для каждого Ф0 левая часть (7.77) представляет собой
набор дискретных чисел, расположенных выше (реактор устой­
чив) или ниже (неустойчив) графика правой части.
311

Глава 8
ВЫГОРАНИЕ И ВОСПРОИЗВОДСТВО
ПРИ РАБОТЕ РЕАКТОРА

£.7. Роль изменений
топлива в ядерном

нуклидного
реакторе

ТОПЛИВА

состава

1. Влияние изменений нуклидного состава на топливный цикл
в ядерной энергетике обусловлено неполным выгоранием
делящихся нуклидов за время пребывания ядерного топлива
в реакторе, накоплением ПД и новых делящихся нуклидов
из сырьевых.
Длительное (сотни лет) функционирование ядерной энер­
гетики связано с необходимостью практически полного сжига­
ния всех делящихся и сырьевых нуклидов,- имеющихся на
Земле. Для этого топливо должно многократно проходить
через реактор и предприятия топливного цикла.
Перевозки топлива между этими предприятиями затрудня­
ются накоплением спонтаннЬ делящихся нуклидов и ПД,
а химическая переработка и изготовление нового2 3 2топлива —
накоплением высокоактивных изотопов плутония,
и и про­
дуктов его распада.
Регенерированный
уран содержит кроме делящегося 235 U
i36
пассивный
U, требующий повышения начального обогаще­
ния топлива, использующего U per .
Важной задачей является длительное хранение радиоактив­
ных ПД и актиноидов, от которых топливо очищается при
переработке.
Сложными вопросами эксплуатации реакторов являются
выбор открытого (без переработки топлива) или замкнутого
топливного цикла, оптимизация перегрузок топлива и восп­
роизводства новых делящихся нуклидов из сырьевых.
Постоянное присутствие в активных зонах энергетических
реакторов больших масс радиоактивных ПД (порядка тонн)
и топливных нуклидов (порядка 10—100 т) вызывает необ­
ходимость сложных мероприятий по предотвращению ядерных
аварий с выбросом радиоактивности в окружающую среду.
С существованием конечной вероятности таких аварий связана
основная опасность ядерной энергетики.
2. Влияние на реактивность. При работе реактора на
мощности избыточная реактивность обычно падает вследствие
уменьшения количества
делящегося нуклида при выгорании
235
топлива (например,
U) и накопления шлаков—поглоща­
ющих нейтроны ПД. Падение избыточной реактивности проис­
ходит из-за уменьшения вероятности поглощения нейтронов
в топливе и уменьшения средней по активной зоне ценности
312

топлива в результате более интенсивного его выгорания
в центральных областях активной зоны, в которых плотность
потока нейтронов, как правило, максимальна.
Отдельно рассматриваются ПД, вызывающие отравле­
ние реактора (гл. 7). Остальные шлаки в тепловом реакто­
ре могут быть в первом приближении объединены в одну груп­
пу с постоянным во времени средним сечением поглощения при
293 К а а « 4 0 б на два осколка, т. е. на одно деление. Резонанс­
ное поглощение в ПД учитывается в тепловом реакторе
с помощью
эффективного сечения (4.28), в котором / осж «210 б
235
(для
U).
В системах238с низкообогащенньхм ураном (х$239= 1-^-5%)
об­
241
разование из
U новых делящихся нуклидов ( Ри и
Ри)
позволяет продлить кампанию реактора с Тр0 до Тр1 или
уменьшить начальную избыточную реактивность, необходимую
для выработки кампании, с Pi(0) до р2(0) (рис. 8.1, а).
Предельным случаем является нулевая начальная реактив­
ность с последующим ее ростом в ' результате интенсив­
ного накопления вторичных делящихся нуклидов (воспроиз­
водства). Рост избыточной реактивности при выгорании
возможен лишь в больших быстрых реакторах с коэффициен­
том воспроизводства топлива в активной зоне KB А > 1,1.
В этих реакторах отмеченные выше потери реактивности
перекрываются положительным вкладом в реактивность нового
ядерного топлива, накапливающегося в активной зоне
(рис. 8.1, а).
В высокообогащенных системах (транспортных реакторах
или реакторах ACT небольшой мощности) для снижения
начальной избыточной реактивности применяются выгорающие
поглотители (см. § 9.5.3). При использовании самоэкрани­
рованных выгорающих поглотителей (СВП) избыточная ре­
активность в горячем отравленном реакторе почти не из­
меняется в течение кампании Тр2, обнаруживая лишь небольшие
положительные или отрицательные выбеги (см. рис. 8.1,6).

Рис. 8.1. Изменение избыточной реактивности в процессе выгорания
топлива:
239
1, 2—загрузка
MjiO)
;
3—
М
(0)
<Л/
(0)
;
7,
3—с
учетом
накопления
Ри;
2—без
l
5
2
5
1
учета 239Ри; 4—быстрый реактор с КВА>1 и ^=10—15%

313

Потери реактивности в этом случае компенсируются вы­
горанием сильнопоглощающих ядер бора или гадолиния.
Реакторы с падающей избыточной реактивностью требуют
периодических частичных или полных перегрузок топлива.
Возможны и непрерывные перегрузки. В реакторах с непрерыв­
ными перегрузками избыточная реактивность ввиду постоянной
догрузки свежего топлива в среднем близка к нулю. В быстрых
реакторах с практически постоянной или растущей в начальной
стадии выгорания избыточной реактивностью активная зона
в случае стабильных и выровненных распределений энерго­
выделения может перегружаться целиком после достижения
технологического предела стойкости твэлов при проектной
глубине выгорания топлива.
Высокое воспроизводство топлива в быстрых реакторах
позволяет предельно снизить потребность в естественном уране
и добиться малых времен удвоения (Т2) количества делящихся
нуклидов в системе этих реакторов.
В энергетических реакторах на тепловых нейтронах накоп­
ление изотопов плутония становится существенным, если
используется
низкообогащенный уран с обогащением изотопом
235
U х5 = 1ч-10%: 1% — в тяжеловодных и около 10% — в
высокотемпературных реакторах. Их превосходят по воспро­
изводству реакторы на быстрых нейтронах с обогащением
тяжелых атомов плутонием 10—15%.
3. Обобщенное уравнение выгорания и изменения нуклидного
состава должно отражать все ядерные реакции и процессы,
приводящие к заметным изменениям ядерных концентраций
топливных нуклидов.
-Существуют две причины изменения нуклидного состава
топлива—ядерные реакции под действием нейтронов и дру­
гих частиц или излучений и процессы радиоактивного рас­
пада. Первая причина — основная при расчете выгорания
делящихся и сырьевых нуклидов. Под выгоранием подразумева­
ется прекращение существования данного нуклида в результате
любой ядерной реакции в нейтронном поле, в основном при
радиационном захвате и делении. Чтобы выделить процесс
деления, дающий основную энергию при «горении» ядерного
топлива, могут использоваться термины «сжигание», «выжига­
ние» и т. п.
Вторая причина изменения нуклидного состава более важ­
на при нахождении ядерного топлива вне реактора во время его
обращения в топливном цикле, а также при расчете накопления
в топливе небольших примесей высокоактивных нуклидов.
В самом общем виде для ядра (A, Z) уравнение баланса
числа ядер в единичном объеме включает все реакции, ведущие
к появлению этих ядер,— каналы их наработки *ь каналы
исчезновения ядер:
314

A-*

z-z

z-1

Z+1

Рис. 8.2. Схемы реакций образования (а) и распадов (б) нуклида (A, Z)

*^±£L

+ %{oyinjV)z,A+1

+

-Ф(суаЖ)г,А-Ф(ап,2п^)2,А^
,

b$-Jfz-l,A

+ ^V+ <^ Z+l,A + K<^ Z + 2, A + 4 + . . .

Отметим эти превращения
на схемах расположения ядер
ис
в Z, ^4-координатах .(Р - 8.2). Поскольку значения сечений
и постоянных радиоактивного распада могут различаться на
много, порядков, в зависимости от цели расчета нужно
исключать реакции, дающие малый вклад по сравнению
с основными.
Решение подобных уравнений, как правило, значительно
упрощенных, позволяет найти зависимость концентраций топ­
ливных нуклидов и ПД от времени и рассчитать основные
реакторные функционалы.
4. Основные реакции в ядерном топливе. Основным топли­
вом современных энергетических реакторов на тепловых ней­
тронах является диоксид урана, содержащий
низкообогащенный
235
238
уран с делящимся нуклидом
U
и
сырьевым
U. При
i38
239
работе реактора из
U в топливе получается
Ри, что
обеспечивает некоторое воспроизводство делящегося материала.
Перспективное топливо
тепловых реакторов содержит сплав
233
делящегося нуклида
U, имеющего наилучшие ядерно-физи­
ческие характеристики
в спектре тепловых нейтронов, с сы­
232
рьевым нуклидом233 Th. В нейтронном потоке из тория
воспроизводится
U.
Топливо быстрых реакторов в форме оксида, карбида,
нитрида или металла должно содержать плутоний в сплаве
315

с обедненным или природным
ураном.
Делящиеся нуклиды —
238
240
239Ри и 24i Pu? сырьевые — U и
Ри.
В^ основных топливных
циклах реакторов используются
239
233
реакции наработки
Ри и
U из сырьевых нуклидов:
У2

ас = 2,7 б

23 мин

эо

ч

(8.2).
У"

ас = 7,6б

23,5 мин

z/

> 4 СУТ

Нейтроны для этих реакций поставляются s основном
делящимися нуклидами, которые в 70—90% случаев поглоще­
ния нейтронов делятся, а в остальных случаях испытывают
радиационный захват без деления. Поэтому возможности
воспроизводства топлива связываются с избыточным числом
вторичных нейтронов на акт поглощения в делящемся нуклиде
va — 1, а избыточного воспроизводства—с va — 2.
При делении тепловыми нейтронами образуются ПД и ак­
тиноиды:
У^0С

А
239

PuC>V

%П+£,5% 9 5 М0 + £,74% 99 ТС + 6,75°/о 133 CS + ...,-j> a 5 = 2,077

Ъ+3П+ПД,1ад= 2,106
.Л.

*f « п + П Д »*о« =2,/55

^^

Включение плутония в реакции (8.3) связано с его наработ­
кой и выгоранием в спектре теплового реактора, а также
с необходимостью его использования в качестве делящегося
нуклида в режиме самообеспечения ядерной энергетики, топ­
ливом.
При делении быстрыми нейтронами изменяются сечения
реакций и вероятности процессов деления ядер:
316

\

>

241

(ел)

^V * f 8 П + ПД , Т) а 8 = О, J*
9ЧЯ

238

VS

*™

и С® v
4 » ^ 233 ц

^ э 23.9 Np Л" 239 Ра
25 А/^//
"г5£ч

^^V^sn+5,25%95M04-ff,2°/o99TC + ^7°A 1Zf1 Pr +
0-7В

\*r

/

,-vU=2,20 fft5)

4>V1

^>J^

U — ^ •• •

Реакции (8.4) приведены для сечений, усредненных по
спектру быстрого реактора средней мощности с натриевым
теплоносителем, тогда как (8.5)—для спектра нейтронов
деления.
5. Спонтанно делящиеся нуклиды—изотопы кюрия, калифор­
ния и др.—учитываются при проектировании нейтронной за­
щиты транспортных контейнеров для перевозки отработавших
ТВС быстрых реакторов от АЭС до завода по химической
переработке топлива.
Интенсивность
спонтанного242деления
со­
7
7
12
244
ставляет
2-Ю ; 1,1 10 ; 2,3 • 10 нейтр./(г-с) для
Сш,
Сш
252
и
Cf соответственно.
Схемы каналов наработки этих нуклидов23 8приведены на
рис. 8.3 и 8.4 (отмечен также высокоактивный . Ри). Основной
канал накопления изотопов кюрия—это реакции радиацион­
ного
захвата нейтронов изотопами плутония и Р~-распады
241
252
Ри и 2243
Ри.
Исходным
нуклидом
для
накопления
Cf
44
является
Ст, испытывающий ряд последовательных ради­
ационных захватов с Р~-переходами в берклий и калифорний.
В оксидном топливе происходит также генерация нейтронов4
в реакции
(ос, и)6 на кислороде238с интенсивностью
3,3 • 10 ;
3
241
242
6,95 10 ; 9,66 -10 нейтр./(г-с) в
Pu,
Am,238 С т соответ­
ственно. Основным источником является
Ри ввиду его
относительно более высокого содержания в топливе. Все эти
нуклиды испытывают и спонтанное деление.
317

Рис. 8.4.

Схема

образования
97 Вк

252Cf
2*4

10МИН

96 Cf

99

ES

(n,Y) '

томатизации этих опе­
раций.
Активность и мощ­ 2*5 6=гобоь
ность регенерированного
1*5б
OS
урана, содержащего 232 U,
растет в течение^ несколь­ гчв
ких десятков лет и при­
f)23 6(l = '72l6)
мерно через 80 лет сни­
жается до начального 2*7
значения (см. рис. 8.6).
В отделенном от ура­
на плутонии
также накап­
232
ливается 236 и за счет гча
ос-распада
Ри, что су­
щественно повышает ак­
тивность плутония с тече­ гч9
нием времени после окон­
чания химической пере­
работки топлива. Даже
при использовании этого г so
плутония в сочетании со
слабоактивным природ­
ным ураном необходимо 251
достаточно быстро изго­
бс=2&50Ъ
товить топливо и твэлы
у CC^VCyT
df'3Zb
до накопления в плуто­ 25Z
нии
заметных количеств
232
U.
"
При выгорании
топ­ 253
232
19Z\jT
лива в реакторе
и на­
капливается в результате
реакций и превращений,
приведенных
на рис.
8.5.238Исходными
нуклидами
для
накопления
2 2
235
234
236
230
232
231
*
U
являются
U,
U,
U,
U,
Th,
Th,
Ра,
237
Np, т. е. природные изотопы урана и примеси к урановому
топливу, а 236
также торий.
Из рис. 8.5 видно, что высокоактивные
23,8
ы
Ри и
и ^ тРи накапливаются
изотопы —ги
накапливаются в основном при
облучении изотопов урана. 208
активность
Содержание в топливе
Т1, определяющее
232
топлива вне реактора, связанную с
U, найдем из
выражения [1 ]

н

^208 С 2 08 = ^232 (О) F\ (0 +

+ C 236 (0)F 2 (r),

(8.7)
319

Рис. 8.3. Схема образования
спонтанно
делящихся нуклидов
242
Cm и 244 Сш (и. п.—изомер­
ный переход)

6. Высокоактивные
232
236
нуклиды
U,
Ри,
238
Ри создают целый ряд
проблем в ядерной энер­
гетике. Отработавшее то­
пливо после радиохими­
ческого отделения ПД
и трансплутониевых ак­
тиноидов состоит из ре­
генерированного
урана
и плутония, которые мо­
гут быть разделены хими­
ческим путем. Плутоний
и регенерированный уран
по отдельности или вме­
сте направляются на по­
вторное изготовление то­
плива и твэлов. Ввиду
малых периодов полурас­
пада и высокой а-активности предельные допу­
стимые 232 концентрации
(ПДК)
U, 236 Pu, 238 Ри
и продуктов их распада
в воздухе рабочих поме­
щений на 7—8 порядков
ниже, чем природных
В цепочке распада содержатся ос-активный
изотопов 2урана.
(
% 1 , создающий основную фотонную активность
228Th и
энергией у-квантов 2,62 МэВ, что затрудняет операции
С
изготовления твэлов, требует дополнительной защиты и ав232

U

ос
228
ос 224 Ra <* _
ТЬ
1,91года "~3,6сут
72,6 года
5,32 МэВ

220

5,4-2 МэВ

Rn ос

""55с

216
г.. Л
РО U ^ 212 Р
О
' "0,15с
'~10,6Ч

5,68 МэВ

6,28 МэВ Е#=0,ЗЧ-МэВ

(Ъ.б)

^%5>212,

ЕЛ=2,25МэВ
318

Еи = 11,7МэВ

93NP

»*PU

Рис. 8.5. Схема образования
высокоактивных
нуклидов
232тт

236pu

238р„

Рис. 8.6. Функции 208
для рас­
чета накопления
Та (а)
и удельное энерговыделение
в образце, содержащем
при
Г=0 только 232 U (пунктир
—
2 2
энерговыделение
от
* \]
и от 228 Th с продуктами его
распада) (б)
Z5,5MMH

W10*-4

Zf35СЦТ

W,BT/r

4

W

//
J Т

я

_

гъг

1

го г.год

—-

Th

2

ю

"*"

Z2.B

1

I
20

и
I

V0

т

5Z7

1

80 *,год

где Q—содержание f-ro нуклида, кг/т; функции
F{ показаны
7
на рис. 8.6.7 В реакторах ВВЭР С232(0)=1542-10" кг/т; С236(0) =
= 8,52*10 кг/т (глубина выгорания 36 МВт • сут/кг), в реак320

юре БН-1600 С 232 = 3-10" 7 кг/т; С 236 = 14,6-10" 7 кг/т (глубина
выгорания в активной зоне 80 МВт • сут/кг).

8.2. Расчет изменений
состава топлива

нуклидного

1. Дифференциальные уравнения выгорания рассмотрим вна­
чале для низкообогащенного топлива с учетом накопления
изотопов плутония:
2

2

iiU + «-+ 2 ifU(15%) + nA(85%);

^ Р и + «-^ 2 ^Ри(28%) + ПД(72%);

У (8.8)

2

ЦРи + п-+2ЦРи;

2

£}Ри + и^ 2 ^Ри(26%) + ПД(74%).
Поглощение нейтронов, ведущее к накоплению нуклидов
с А > 242, по влиянию на реактивность
энергетического реактора
242
не существенно, так как
Ри 24
— сравнительно
слабопоглоща2
ющий нуклид с aj 4 2 = 30* 10~ см .
Дифференциальные уравнения, описывающие скорость из­
менения концентраций нуклидов во времени, составим в одногрупповом приближении для теплового реактора. В быстрых
реакторах аналогичные уравнения могут быть составлены для
каждой из групп нейтронов либо должны использоваться
усредненные по всем группам сечения взаимодействия. Рас­
смотрим возможности упрощения уравнений для теплового
реактора.
Основная причина уменьшения концентрации ядер А>го
нуклида Jfk—суммарное поглощение нейтронов с делением
Gf и без деления ас:
Скорость убыли = — Ф (/) <JakJ^k (t),
(8.9)
где oak = Gfv + Gck; Ф(/)—зависящая от времени из-за зависи­
мости £/(У) средняя по активной зоне плотность потока
тепловых нейтронов:
ф( / ) = _ 5 ^

(810)

где Zf(t) = of5jr5(t)
+ of9jr9(t) + Oj41jr41(t),
JT5{t\
JT9{t\
^ 4 i (0 — гомогенизированные
по объему
активной зоны ядер­
2 5
239
241
ные концентрации ^ U,
Pu и
Pu соответственно.
Сечения деления и радиационного захвата, используемые
в расчетах выгорания, усредняются по спектру Максвелла
21 Заказ 2739

321

Т а б л и ц а 8.1. Сечения деления и радиационного захвата делящихся нуклидов,
усредненные по спектру Максвелла, б
Вид
Нуклид

233TJ

235

и

239ри

Т

а

/

°с
<jf

Ос
<Jf

°с

К

•* н.г>

сечения

N

300

400

500

600

800

1000

1200

1500

443
57
505
92
688
272

380
52
427
77
668
283

337
48
376
68
686
309

306
45
340
60
740
345

262
43
292
52
860
430

233
41
260
47
987
493

212
39
237
43

191
37
212
38

1090

1085

510

560

с учетом поправок на отклонение сечении от зависимости
l/v £а(Гн<г)-факторов. Данные по сечениям приведены
в табл. 8.1,
из которой
видно, что характер изменения сечений
233
235
изотопов
U,
tj в зависимости от температуры нейтрон­
ного газа одинаков, тогда как в случае плутония велико не
только ас, но и2 3 6а = а с / а / .
Накопление
U при расчетах выгорания низкообогащенного топлива можно в первом приближении не учитывать
ввиду малости его239 сечения поглощения (aj 6 = 7 б). Так как
время накопления 2 3 9Ри (кампания
реактора) намного
больше
239
239
времени перехода
U в2 3 8 Np и далее в
Ри, считаем,
что захват нейтронов
в
и приводит
к непосредственному
239
239
образованию
Ри. Пренебрежение
U и 239 Np допустимо
в ряде случаев также и ввиду незначительности сечений
поглощения этих нуклидов (а^ 9 и = 22 б; aJ, Np = 35 6) и воз­
можности в силу этого не рассматривать дальнейшие цепочки
захватов и радиоактивных превращений. Не будем также
учитывать выгорание 238 U, поскольку его относительное из­
менение из-за поглощения тепловых и резонансных нейтронов
обычно невелико. Поскольку выгорание рассматривается в одногрупповом приближении
для теплового реактора, резонансное
238
поглощение в
U учтем косвенно, путем умножения
числа нейтронов, достигающих области резонансов 238 U,
OEyV^jj, на вероятность резонансного239 поглощения 1— ср8.
Тогда скорость образования
ядер
Ри в резонансной
3
области равна Ф(/)И?8 , где
S c T = [ 2 / 5 ( 0 v / 5 + 2: / 9 (/)v / 9 + S / 4 1 ( 0 v / 4 i ] ^ ( l - 9 8 ) . (8.11)
В (8.11) 2 учтено
размножение быстрых нейтронов за счет
8
деления ^ и в надпороговой области (коэффициент ц).
Скорость возникновения ядер в реакциях (8.8) описывается
произведением плотности потока нейтронов на сечение ради­
ационного захвата ас:
Скорость образования = Ф^)оск<Л^ь
(8.12)
322

где A: = 239 Pu, 241 Pu и др.
С учетом (8.9) — (8.12) запишем систему дифференциальных
уравнений, описывающих выгорание топлива в соответствии
с ядерными реакциями (8.8):

1)^=-ф(0^5^5(0;
2 ) ^ М = - ф ( / ) а в 9 Ж 9 ( / ) + Ф ( / ) [ 1 ; 8 + 1:?Г(/)];
3) ^^1=

-Ф(0^40^40(0 +

Ф

У (8.13)

(0^9^9(0;

4) ^ ^ = - Ф ( 0 а а 4 1 е Ж 4 1 ( / ) + Ф ( / ) а с 4 О ^ 4 о ( 0 ;
dJT^^W^

5)

'

dt

f

va3

1/Е

'

f

В системе (8.13) принято, что накопление шлаков пропор­
ционально числу делений в единичном Объеме реактора
<S>\t)2,f(t) (8.10) и образующиеся ПД не выгорают. В дейст­
вительности происходит радиоактивный распад ПД, возникают
новые нуклиды при захвате нейтронов и т. п. Однако сечение
поглощения, среднее по всем шлакам, остается приблизительно
постоянным. Прирост числа пар осколков (^Гшл) за единичный
интервал времени также не зависит от времени ввиду посто­
янства мощности реактора.
Уравнения системы (8.13) взаимосвязаны через плотность
потока нейтронов Ф(г) и ядерные концентрации нуклидов,
отражающие процессы последовательного поглощения нейтро­
нов. Аналитическое решение системы (8.13) возможно, но
довольно громоздко. Достаточную для оценочных расчетов
точность может дать приближенное решение.
Приближенный метод решения системы (8.13) основан на
расчете выгорания шагами и состоит в следующем:
а) кампания реактора (Гп) разбивается на п равных времен­
ных интервалов (рис. 8.7):
A t=Tp/n

=

ti+i-tii

б) в пределах интервала плотность потока
считается постоянной и равной
Ф а
его значению на нижней границе:

нейтронов

Ф ( ; ь f i + 1 ) = 0(f, i);

в) в каждом из уравнений
системы (8.13) считаем, что от
времени зависит лишь ядерная

\

'

'

^-*f^*

Ф(0)

Рис. 8.7. Схема временных интервалов
при расчете выгорания
21*

У\

—=T4^J i i
1

L

1
1*1

1

1

*

r

?
323

концентрация юго нуклида, к которому относится уравнение;
концентрации остальных нуклидов постоянны и равны их
значениям на нижней границе интервала:
ЛМ'ь ti+1) = jrk(ti)9
где к—индексы всех элементов, кроме основных (стоящих
в левой части уравнений);
г) для удобства интегрирование уравнений осуществляется
в пределах от нижней до верхней границы временного интервала
и ядерные концентрации элементов на верхней границе интерва­
ла выражаются через их значения на нижней границе;
д) плотность потока нейтронов на верхней границе ин­
тервала 0(*;+i) пересчитывается с учетом полученных ядерных
концентраций делящихся нуклидов:
Ф(/ |+1 ) =

,

,

W^tiy

(

a / 5 ^ 5 ( ^ + i ) + cy /9 ^ 9 (r l4 . 1 ) + cy / 4i^4i(^+i)

С помощью данного метода, основанного на кусочнопостоянном представлении временных функций, запишем для
*'-го интервала решения уравнений системы (8.13), внеся в них
предварительно необходимые упрощения.
У р а н - 2 3 5. Решая уравнение 1 системы (8.13), получаем

J d(\n^5{t))=-<b(t^a5 l]Xdt9
откуда
^5{и+1)

= ^5{и)ехр[-Ф{и)оа5А1].

(8.15)

П л у т о н и й - 2 3 9 . Перепишем уравнение 2) системы (8.13)
в виде
^ ^ 9 ( / ) + Ф ( ^ ) а а 9 ^ 9 ( 0 Л = Ф(^)р с т 8 + ЕГ83(^)]Л. (8.16)
Умножив уравнение (8.16) на интегрирующий множитель
ехр [Ф (tt) <ja 91 ], получим
^9(^1) = ^

9

(фх

Р

[-Ф(^
хаа9А/]}.

, (8.17)

Структура решений типа (8.17) имеет ясный физический смысл:
первый
член описывает выгорание начального количества
23
^Ри, второй — накопление за время At части равновесной
концентрации плутония

^ W = p c T 8 + S c p I 3 (^)]/a a9 .
324

Рис. 8.8. Накопление различных имлидов в процессе выгорания топлива

Равновесная
концентрация
Р3
Jf% и Е | относятся к нижней
границе интервала, поскольку
£у; и плотность потока ней­
тронов считаем постоянными
на интервале At и равными
их значениям на нижней гра­
нице.
П л у т о н и й - 2 4 0. Урав­
нение 3) системы (8.13) решаем
аналогично
уравнению для
239
Ри. Получим

Б

^40{ti + l) = ^ 4 0 ( ф х р [ - Ф (tt) X

х

aa40At]

<jc9jf9(tt)

F, 10

8

10

г
не игр./см

12 1¥

X

а а 40

х{1-ехр[-Ф(*,)а в 4 0 А/]}.

(8.18)

П л у т о н и й - 2 4 1 . Так же решаем уравнение 4) системы
(8.13):
^ 4 i ( f i + i ) = -^4i(fi)exp[-0(f J .)a e 4 1 Af] +

+

(8.19)

ст 4о(г )
°"а41

^

' {1-ехр[-Ф(г,-)аа41АГ]}.

Ш л а к и . Из уравнения 5) системы (8.13) следует
v

(8.20)

Естественно, что точность данного метода зависит от
длительности временного интервала, т. е. от числа расчетных
точек. Удовлетворительными являются А г = 20+- 40 сут в ре­
акторах с кампанией Г р » 300 -^500 сут. Примерное соотношение
нуклидов плутония и урана при выгорании топлива
приведено
239
на рис. 8.8. Видно, что в результате выгорания
Pu, 241 Ри
концентрация
шлаков становится равной
числу начальных
ядер
235
22
2
U при флюенсе
нейтронов ~ 10 нейтр./см .
238
2. Выгорание
U определяет спад концентрации 239 Ри на
рис. 8.8.239Найдем момент достижения максимальной концент­
рации238 Ри 239из аналитических решений уравнений баланса
ядер
U и Ри без учета промежуточных нуклидов, считая,
что установились их равновесные концентрации:
^Np^Np(0^ X 'U9^U9(0 %Oa c8^8(0325

Тогда
d

-^iH = -<t><ya8^s(t);
У

^ ^
где

* Ф а , 8 Л (1)-Фаа9Ж9

ста£ = CT^f = сг^т Ч—— U — эффективные

(8.21)

(t),
сечения;

/ ; -*- резо-

нансные интегралы элементов.
При постоянной плотности потока нейтронов решения
уравнений (8.21) имеют вид
^ 8 ( / ) = ^8(0)ехр(-Фаа8г);

1

^9(/)=^^1£)[ехр(-Фаа80-ехр(-Фал90]. J

^

Флюенс, или интегральный поток нейтронов
Ф/0? при
239
котором достигается максимум концентрации
Ри, может
быть найден из условия
^ ' 9 ( Ф / 0 ) = 0 = - Ф а а 8 е х р ( - а а 8 Ф / 0 ) + Фа а 9 ехр(-а л 9 Ф/о)
и равен для теплового реактора при а а 8 = 20б и а а 9 = 1000б
ф/о=1п(аа8/аа9)^4>1()21

нейтр/см

2

=
г
а
При Ф=10 1 4 нейтр./(см2 -с) получим
/
1>З
°Д
0
239
Максимальная
концентрация
Ри, отнесенная к начальной
238
концентрации - U,

^ _
^8(0)

=

^11^1)
СУа8

(8.23)

\<Уа9/

и для указанных значений сечений составляет 0,0185, или 1,85%.
3. Нептуниевый эффект реактивности существен239в быстрых
реакторах и связан с переходом нептуния в
Ри после
остановки реактора, что приводит к повышению реактивности
и должно учитываться при проектировании системы компен­
сации реактивности.
Определим равновесную концентрацию нептуния,
приравняв
239
нулю левые части уравнений баланса ядер
U и "^Np:

d

326

^ ^ l =XmjroV9(t)-XNpjr°Np{t)=0,

t=tl.

Получим
^Р(^)=

Ф < Т

^

8 ( М

= ^£1£^ехр(-Фаа8г1),

(8.24)

где ti—время pa6oibi реактора до остановки.
Положительный эффект реактивности связан с постепенным
распадом нептуния, пропорциональным ехр( — A,Np/):
^ p u ( 0 = -^Np(^i)[l-exp(-A. N p r)]
и переходом нептуния в 239 Ри. Значение * этого эффекта
определяется из расчета АГэф до и после перехода нептуния
в плутоний.
4. Выгорание высокообогащенного топлива. Рассмотрим част­
ный случай уравнений выгорания и их решений, когда
плотность потока нейтронов определяется зависящим от време­
ни макроскопическим
сечением деления только одного нуклида,
235
например
U, т.е. Е / 5 ( / ) .
В небольших тепловых реакторах с высокообогащенным
топливом в первом приближении можно пренебречь накопле­
нием изотопов238 плутония, поскольку вероятность поглощения
нейтронов в
U мала в связи с его
сравнительно малым
235
количеством, большим поглощением в U и констр>кционных
материалах и высокой утечкой нейтронов. Плотность потока
нейтронов
в этом случае зависит лишь от сечения деления
235
U, и уравнения выгорания решаются аналитически без
аппроксимации
Ф(/) кусочно-постоянной функцией. Решая урав­
235
нение для
и — первое из системы (8.13)—с учетом

Ф ( 0 = И ^ [ К м а / 5 Ж 5 ( 0 ] >235

получаем формулу для расчета выгорания

U:

jrs(t) = jr5{0)-Z«yp-t.

(8.25)

Ограничение при использовании решения (8.25) связано с паде­
нием начальной реактивности р(0) до р ( Г р ) ^ 0 в рабочем
состоянии реактора. Обычно этому соответствует глубина
выгорания 30—40%, т.е. JT5 {TP)/JT5 (0) = 0,7^0,6 и
1-^5(г)/^5(0)

(0) =

=7,9-105l-^^(°)G5(0),

(8 26)

*

где
Тр—кампания реактора, сут; G5(0)—начальная загрузка
235
U, кг;
WT — тепловая мощность, кВт. Пусть (7 5 (0)=100 кг,
5
И^ т =10 кВт, ^ 5 ( / ) / ^ 5 ( 0 ) = 0,7, тогда Г р = 240сут.
327

Накопление шлаков описывается формулой
^m*(t)=WTwftlVM9
(8.27)
полученной в предположении, что ,/Г шл (0) = 0.
Далее рассмотрим выгорание поглотителей. Предположим,
что гомогенные поглотители (индекс «п») с ядерной концен­
трацией Jf"п выгорают в том же потоке нейтронов, что
и топливо. Тогда
^ ^

= -Ф('Кп^„(0-

(8-28)

В этом случае плотность потока нейтронов
ф(,)=

">/

=

__!

,

(8.29)

где J^5(t) подставлено в виде (8.25). Используя (8.29) в (8.28)
и интегрируя, получаем
t
I*

dt

Sd(lnjrn(t))=-oan
о

j

1/Ф(0)-а а 5 г'

(8.30)

о

откуда
^ п ( 0 = ^п(0)[1-Ф(0)ав5/]"-'"-.
Для кадмия cr an /a a 5 = 31 и выгорание 99% начального количест­
ва
кадмия
|_^Кл(0^п(0)=0 ? 01]
происходит
при
6
Ф(0)а а5 г = 0,06, что
дает r = 2,4-10
с —28 сут в потоке плот­
13
2
ностью Ф = 5 • 10
нейтр./(см • с) при a a 5 = 500 б.
236
Накопление
U в высокообогащенном топливе описыва­
ется уравнением
^^>

=Ф{и)ое5Л-5(и)-Фоа6Л-6к)

(8.31)

и имеет решение
Л г б('£+0 = Л'"б('!)ехр[-Ф(*,)а ( , 6 Д*] +
+

М!£){1_ехр[_ф(Г;)аа6дг]}.

(8 .32)

аб

Ввиду малого сечения поглощения тепловых нейтронов
(Од
6 = 5,2 б) при резонансном интеграле / 6 = 365 б концентрация
3<5
^ U достигает нескольких процентов 235
концентрации 2 3 8 и
и заметно влияет на критическую загрузку U при повторном
использовании регенерированного урана в замкнутом топлив­
ном цикле.
328

5. Характеристики степени выгорания. Большинство харак­
теристик выгорания топлива описывают на самом деле выжига­
ние, т. е. деление его ядер, и накопление ПД. Эти показатели
важнее с технологической точки зрения, так как накопление
в топливе ПД приводит к таким физико-химическим явлениям,
как распухание топлива, повышение давления внутри оболочек
твэлов из-за выхода газовых ПД под оболочку, химическое
взаимодействие ПД с оболочкой. Радиационный захват ней­
тронов не вызывает этих явлений.
Строго говоря, тепловая мощность реактора не равна
мощности, выделяющейся в топливе (п. 3 § 3.1). Однако
поскольку принято характеризовать степень выгорания числом
актов деления ядер в топливе за некоторое время или массой
ПД, то энергетическим эквивалентом числу делений является
интегральная во времени полная энергия, выделившаяся в ре­
акторе за то же время.
Топливо в начальном состоянии реактора можно охарак­
теризовать следующими величинами:
Р топ , Р т а , Pf — массой топлива, тяжелых атомов или
делящихся нуклидов, кг;
NTon9 NT.a, Nf — полным числом всех ядер в топливе,
числом всех тяжелых атомов или
числом всех делящихся ядер;
3
Ктоп—объемом топлива, см ;
xf — обогащением тяжелых атомов делящимися нуклидами,
При работе реактора на номинальной тепловой мощности
WT в течение произвольного времени t или на частичных
мощностях (pW в течение времени г/ср в топливе происходит
энерговыработка, которую можно описать с использованием:
WTt—интегральной тепловой энергии, МВтсут;
л / 9 nfc — полного числа актов деления, равного числу
разделившихся ядер nf, или числа актов делений и захватов
нейтронов в делящемся нуклиде, равного числу выгоревших
делящихся ядер nfc;
Р п д — массой продуктов деления, кг.
Удельные характеристики выгорания получаются делением
показателей энерговыработки на объем или массу топлива.
Наиболее употребительными характеристиками выгорания яв­
ляются следующие:
энергосъем с единичной массы топлива или с единичной
массы тяжелых атомов (удельная глубина выгорания),
МВтсут/кг:
ВТ= rVTt/ гТОП=ВГЛАТЛ/

BT.,= WTt/PTM;

АТОП',

(о.33)

(8.34)
329

накопление ПД в единичном объеме топлива, г/см 3 , или
в единичной массе тяжелых атомов, кг/т т. а:
Дг1Д = ^ П д 1 0 " 3 / ^ т о п = Я п Д ^ Т ? / К т о п = Д Т .а^ П Д У ;° П "' Т а

(8.35)

топ

или
^ПД = -Рпд10

WTtgnjxj^т.а=£пд^т.а>

JPT.ZL—

г

Д е £пд~1>06г ПД при выработке 1МВт-сут (табл. 2.6);
число актов деления ядер на один исходный делящийся
атом — fifa (fissions per initial fissile atom):
fifa = nf/Nf(0)=WTtw1/Nf(0)=l,l'W-3BTJxf,

(8.36)

где w i = 2,76 • 1021 делений на 1 МВт • сут;
число актов деления ядер на один исходный тяжелый
атом — fima (fissions per initial metal atom):
fima = « / /^ T . a (0)= »FT/w1/JVT.a(0)= 1,1 • 1<Г32?Т.В;

(8.37)

глубина выгорания—доля сгоревших (разделившихся) тяже­
лых атомов, %:
^га(О)

АГт.(0)

V

™

'

где JVI-a = 2,53-10 24 ат/кг (Л т ..«238);
относительная глубина выгорания начального делящегося
нуклида (в высокообогащенных тепловых реакторах), %:
отн

Nf(0)

Nf(0)

Nf(0)

а}5

xf

т,аЧ

al

/Х

'

V

'

где
t не должно превышать Тр из (8.26); aj5> ст}5—сечения
235
U для тепловых нейтронов.
' Любая из характеристик выгорания может быть пересчитана
в другую, если учесть следующие соотношения:
масса топлива
* топ

" т о п У топ?

где Утоп — плотность топлива, кг/см3;
масса тяжелых атомов
•*т.а

г

-* топь т.а?

Д е £т.а — массовая доля тяжелых атомов в топливе, например
для диоксида урана gv = АиМио2~ 237/270 ^0,88;
ззо

масса делящегося нуклида
число ядер топлива
PTonW3NA^gk/Ak,
к
23
где 7УЛ = 6,022-10 —число Авогадро; gk, Ак—массовая
и массовое число к—х компонентов топлива;
число ядер тяжелых атомов
NT.a = PT.J03NA/AT.„
где Л т а — среднее массовое число тяжелых атомов;
число делящихся ядер
NTon =

доля

Nf = PfW3NA/Af
= NTutLxf.
Выразим, например, fifa через энергосъем с единичной
массы тяжелых атомов:
fifa = ^ T . a w 1 ^ / / ( j c / ^ 1 0 3 ) .
Пусть Ят<а=100 МВт сут/кг; Х/^0,1; А, = 2359 тогда fifa =1,08.
Большая, чем единица, величина fifa объясняется деле­
нием в процессе работы реактора не только начальных
делящихся ядер и ряда пороговых нуклидов, но и новых
делящихся ядер, образующихся вследствие воспроизводства
топлива.
Допустимое удельное выгорание топлива определяется тех­
нологической стойкостью твэлов и составляет
100—
150 МВт • сут/кг U в быстрых реакторах и в высокотемператур­
ных реакторах с микротвэлами в многослойных покрытиях;
в реакторах РБМК и ВВЭР удельная глубина выгорания
примерно 20—40, МВт • сут/кг U. Предельное
объемное накоп­
3
ление ПД в реакторах близко1 к 1 г/см . Fifa может достигать
1 —1,5; fima меньше fifa в xj раз (xf<l). Соответствующая
предельным значениям глубина выгорания тяжелых атомов
2?= 10-И5%. Среднее относительное выгорание в высокообогащенных системах с низким воспроизводством
достигает
235
30—50% начального количества
U.
Приведенные выше характеристики степени выгорания ядер­
ного топлива — средние по объему активной зоны. Максималь­
ное выгорание в наиболее напряженной точке превышает
среднее в kv раз (kv— коэффициент неравномерности энер­
говыделения по объему активной зоны). Среднее выгорание
в объеме отдельных твэлов больше среднего по объему
активной зоны в кг раз, где кг^—коэффициент неравномерности
по радиусу.
331 '

8.3. Перегрузки и режимы
ядерного
реактора

работы

1. Выгорание природного урана. В предыдущем параграфе
рассматривалось выгорание топлива непосредственно в реак­
торе. В современных отечественных тепловых реакторах РБМК
и ВВЭР оно достигает 20—40 МВт • сут на 1235
кг урана,
обогащенного соответственно примерно до 2—4%
U. Это
эквивалентно 21—42 кг ПД на 1 т обогащенного урана или
делению 2,1—4,2% атомов в обогащенном уране.
Однако для ядерной энергетики в целом представляет
интерес глубина выгорания, отнесенная ко всей массе исполь­
зованного
природного урана. Согласно (1.3) при содержании
235
U в обедненном (отвальном) уране х°™ = 0,Ъ% и ^5 P = 0,714%
масса природного урана превышает массу обогащенного соот­
ветственно в 4,2 и в 9 раз. Тогда выгорание, отнесенное
к природному урану, составит 0,51 и 0,47%, т. е. примерно
0,5% атомов добываемого природного урана делятся и выделя­
ют энергию. Эта щифра относится к открытому топливному
циклу с однократным прохождением топлива через реактор.
Но даже в замкнутом топливном цикле при современных
коэффициентах конверсии КК = 0,5-^0,6
она может быть по­
1
вышена всего лишь в (1—КК)" = 2-^-2,5 раза.
Повышение глубины выгорания природного урана — важная
задача ядерной энергетики, и она достигается как выбором
и развитием новых перспективных типов реакторов (высокотем­
пературных с высоким коэффициентом конверсии или на
быстрых нейтронах), так и тщательной оптимизацией режимов
работы и способов перегрузок топлива в реакторе. Если
первая мера позволяет кардинально повысить глубину выгора­
ния природного урана и в случае быстрых реакторов ее
можно довести практически до полного (60—80%) сжигания
природного или отвального урана, то оптимизация перегрузок
позволяет лишь достичь указанного значения выгорания 0,5%
или слегка его увеличить до 0,6—0,7%. Но и такое увеличение
желательно и необходимо.
2. Полные перегрузки активной зоны целиком производятся,
как правило, только в установках специального назначения,
например в ACT или в транспортных энергетических реакторах.
Определенные эксплуатационные удобства, обусловленные дли­
тельным интервалом работы без перегрузок, обеспечиваются
увеличением начальной загрузки делящихся нуклидов и связаны
с необходимостью создавать средства компенсации значитель­
ной избыточной реактивности. Достаточно высокой глубины
выгорания в тепловых реакторах с умеренным воспроизвод­
ством топлива (КК^0,5) можно добиться в случае однократных
332

перегрузок только увеличением начального обогащения тяже­
лого металла основными делящимися нуклидами, что влечет
за собой повышение топливной составляющей себестоимости
вырабатываемой энергии.
3. Частичные перегрузки осуществляются в водо-водяных
и быстрых реакторах АЭС. Трехкратные перегрузки ТВС,
производимые равномерно по всей площади активной зоны,
наиболее удобны при их размещении по треугольной сетке.
В этом случае в каждой из трех соседних ТВС глубина
выгорания топлива равна 1/3, 2/3, 1 номинальной в конце
этапа работы реактора между перегрузками и 0, 1/3, 2/3
в начале этапа, после проведения перегрузки. Энерговыделения
в соседних ТВС при этом различаются довольно значительно.
Возможны и другие способы перегрузок реактора без
перестановки или с перестановками остающихся ТВС — выгруз­
ка рядов ТВС с заменой их свежими, выгрузка с периферии
при загрузке в центре и перестановке топлива от центра
к периферии, и наоборот. Основные цели, преследуемые при
оптимизации перегрузок, состоят в получении предельной
глубины выгорания топлива в выгружаемых ТВС, достижении
минимальных коэффициентов неравномерности энерговыделе­
ния и максимально допустимой, а в ряде случаев — обязательно
номинальной мощности, в повышении KB или КК, а также
в снижении топливной составляющей себестоимости электро­
энергии, тепла и т. п.
Частичные перегрузки без перестановки или с перестановкой
ТВС проводятся также в боковой зоне воспроизводства
быстрого реактора в целях более быстрого накопления плуто­
ния и снижения времени его «замораживания» в реакторе,
т. е. в целях снижения Т2 (см. § 8.5).
4. Под непрерывной перегрузкой подразумевается обычно
предельный случай частичной перегрузки с высокой кратностью.
В ВТГР или в канальных реакторах шаровые твэлы или ТВС
перегружаются без остановки реактора. При непрерывных
перегрузках достигаются максимальные коэффициенты восп­
роизводства ядерного топлива, так как отсутствуют непроиз­
водительные потери нейтронов в органах регулирования,
подавляющих начальную реактивность реактора при полных
или частичных перегрузках. Однако и в быстрых реакторах
при использовании в режиме частичных перегрузок не поглоща­
ющих, а топливных компенсаторов реактивности потери ней­
тронов снижаются до приемлемого уровня, хотя и в этом
случае некоторые потери имеют место вследствие поглощения
нейтронов в направляющих кожухах регулирующих ТВС и из-за
снижения объемной доли топлива.
5. Первая кампания, переходный и установившийся режимы.
С частичными и непрерывными перегрузками связана
333

необходимость анализа и оптимизации первой кампании
и переходного этапа от первой кампании к режиму
установившихся перегрузок. Поясним возникающие здесь
задачи на примерах быстрого и высокотемпературного
теплового реакторов. В качестве исходной предпосылки
примем для обоих реакторов требование об использовании
в первой кампании и переходном режиме твэлов подпитки
установившегося режима. Это условие не обязательно,
однако оно облегчает задачу разработки, проверки и заводского
изготовления топлива.
Рассмотрим в качестве примера небольшой быстрый реактор
с гелиевым охлаждением, тепловой мощностью 800 МВт (элек­
трическая мощность 300 МВт) и трехкратными перегрузками
топлива. Поскольку установившийся режим является основным
(в нем АЭС работает 90% полного срока службы), целесооб­
разно выбрать полную эффективность регуляторов, компен­
сирующих избыточную реактивность на выгорание, равной
запасу реактивности в начале этапа работы после перегрузки
в установившемся режиме. Эта реактивность создается 1/3
свежих ТВС, 1/3 ТВС, выгоревших примерно на 1/3 полной
глубины выгорания, и 1/3 ТВС с глубиной выгорания 2/3
полной и составляет в данном реакторе 3—4%.
Запас реактивности возрастает до 10—12%, если загрузить
весь реактор свежими ТВС в начале первой кампании.
Возникает проблема компенсации избыточной реактивности
с помощью временных средств. Одним из довольно широко
распространенных решений в подобных ситуациях является
использование дополнительных поглотителей, роль которых
в данном случае могут играть ТВС боковой зоны воспроиз­
водства с сырьевым (воспроизводящим) материалом. Установка
некоторого количества ТВС БЗВ в активную зону позволяет
скомпенсировать избыточную реактивность сверх той, которая
компенсируется штатными органами СУЗ за счет двух эф­
фектов— удаления высокообогащенных ТВС 238
активной зоны
и установки поглощающего материала, т. е.
U.
Следовательно, первая кампания разделяется на два или
большее число этапов, на каждом из которых происходит
снижение избыточной реактивности, компенсируемой системой
СУЗ до нуля, и выгружается некоторое количество допол­
нительных поглотителей в конце этапа для восстановления
реактивности до уровня, который подавляется основными
компенсаторами. Одновременно с выгрузкой дополнительных
поглотителей в активную зону загружаются свежие ТВС.
К концу первой кампании активная зона будет состоять из
ТВС с различной глубиной выгорания, в основном — из сильно
выгоревших ТВС. Последующий переходный режим состоит
в заменах 1/3 ТВС (наиболее выгоревших) свежими и в по334

степенном достижении равновесного состояния, т. е. достиже­
нии режима установившихся частичных перегрузок с неизмен­
ным средним составом топлива в активной зоне в начале
и в конце этапов перегрузок.
Трудности, связанные с таким способом перехода в уста­
новившийся режим, определяются теплосъемом как в начале
кампании, когда число ТВС с высоким уровнем энерговыделе­
ния уменьшено заменой их дополнительными поглотителями,
так и в течение первого и последующих этапов первой
кампании в связи со значительным ростом энерговыделения
в дополнительных поглотителях из-за накопления в них
плутония. Один из возможных способов смягчения последнего
эффекта — установка специальных дополнительных поглотите­
лей, отличающихся от 2ранее
описанных небольшим (примерно
5
2—3%) обогащением * U. Данная мера ведет к некоторому
увеличению числа дополнительных поглотителей.
Заметим, что облегчающим обстоятельством при проведе­
нии переходного режима в реакторах АЭС является возмож­
ность работы на пониженной мощности, так как электроэнергия
поступает в общую энергосистему и работа реактора на
неполной мощности не ведет к серьезным затруднениям, кроме
нежелательного для реакторов с расширенным воспроизвод­
ством топлива увеличения Т2. Иное положение характерно
для высокотемпературного реактора, работающего в блоке
с металлургическим предприятием или же с химическим
заводом по производству аммиака для удобрений. В этом
случае реактор должен, начиная с первой кампании, работать
на полной мощности с номинальной выходной температурой
теплоносителя. Допустим, что шаровые твэлы пропускаются
через каналы в графитовой кладке и реактор должен работать
в режиме непрерывных перегрузок с однократным прохожде­
нием твэлов через активную зону [12].
Полная загрузка активной зоны твэлами, используемыми
для догрузки в установившемся режиме непрерывных пере­
грузок, приводит к возникновению большой избыточной ре­
активности (примерно 30%), для компенсации которой в ре­
акторе не предусматривается органов СУЗ, так как основным
режимом является режим непрерывных перегрузок без избыточ­
ной реактивности. Для компенсации этой реактивности также
могут быть применены дополнительные поглотители, выпол­
ненные в виде шаровых графитовых элементов с поглотителем
(бором), загружаемые вместо твэлов в некоторую часть каналов
в графитовой кладке. В течение первой кампании реактивность
высвобождается в результате непрерывного вывода допол­
нительных поглотителей из активной зоны. Основная часть
твэлов, расположенных примерно в 98% каналов, в этом
режиме не перегружается и неподвижна.
335

Переходный режим начинается после полного вывода до­
полнительных поглотителей и начала догрузки твэлов по всей
площади поперечного сечения активной зоны. Основной тру­
дностью как первой кампании, так и переходного режима
является обеспечение номинального теплосъема (полной мощ­
ности) при номинальных параметрах теплоносителя. Кроме
того, достаточно высокой должна быть глубина выгорания
твэлов, выгружаемых из реактора на всем протяжении переход­
ного режима, и особенно в его начале.
Некоторые дополнительные вопросы, связанные с перегруз­
ками, рассматриваются ниже в разделах о физике конкретных
энергетических реакторов.

8.4. Коэффициенты
воспроизводства
и конверсии топлива
1. Воспроизводство — это процесс накопления в реакторе
тех же делящихся нуклидов, которые выгорают при выработке
мощности.
Коэффициент воспроизводства KB реактора равен отноше­
нию числа новых делящихся атомов, появляющихся за единицу
времени (1с) во всем объеме реактора, к числу выгорающих
за то же время и в том же объеме делящихся атомов.
Допустимо
принимать, что радиационный
захват нейтрона
238
39
в
U сразу же дает атом * Ри, хотя реально время двух
Р~-распадов составляет несколько дней, так как это время
дает просто некоторый сдвиг в наработке и практически все
акты захватов в сырьевом материале приведут к появлению
делящихся атомов.
В быстрых реакторах происходит
воспроизводство выгора­
39
241
ющих в них нуклидов ^ Ри и
Ри 2зЛз
при радиационном
захвате нейтронов в сырьевых нуклидах
и и 240 Ри. Вос­
производство осуществляется кдк в активной зоне (а. з.), так
и в зонах воспроизводства — боковой (БЗВ) и в верхней
и нижней торцевых (ТЗВ). Выгорание делящихся нуклидов
происходит во всех зонах, но в основном в активной.
Обозначим А число реакций поглощения нейтронов за 1 с
в объеме зоны или реактора, С—число реакций радиационного
захвата, например

Л = 1 ^ 1 ф д 2£; с 8 = IУк^Ф]кх&,
к

j=l

к

j

где к относится к активной зоне, БЗВ, ТЗВ; j—энергетическая
группа нейтронов.
Используя эти обозначения, запишем коэффициент восп­
роизводства топлива в виде
КВ= (C 8 + C 4 0 ) / ( ^ 9 + ^ 4 i ) .
336

(8.40)

Пели. KB >1. ю в рсакюре происходит расширенное вос­
производство (или бридинг) ядерною топлива. На каждый
выгорающий делящийся атом образуется KB новых делящихся
а юмов. Из них один надо оставить на замену выгоревшего,
a KB—1 можно использовать в качестве топлива в других
реакторах.
Избыточный коэффициент воспроизводства
КВ-\ = (С8 + С40-А9-А41)/{А9
+ А41)
(8.41)
отражает реально происходящие в реакторе процессы одновре­
менного накопления и выгорания атомов 239 Ри и 2 4 1 Ри. Таким
образом, KB характеризует процесс образования в топливе
новых делящихся ядер, a KB—1—процесс накопления в топли­
ве избыточных делящихся ядер за вычетом выгорающих.
Коэффициент воспроизводства (8.40) равен числу образую­
щихся в реакторе новых делящихся ядер, приходящихся на одно
делящееся ядро, исчезающее в результате деления или радиаци­
онного захвата. Использование (8.40) или (8.41) для расчета
массы образующихся за 1 с или массы избыточных делящихся
ядер затруднен тем, что для этого нужно знать массу
делящегося материала, исчезающего в реакторе за 1 с. Послед­
няя равна массе разделившегося материала, которую легко
определиib по мощности реактора, умноженной на усредненное
по т>бъему и энергии отношение микроскопических сечений
поглощения и деления <а а /а^>. Определение этого функциона­
ла вызывает некоторые практические неудобства ввиду сложно­
сти такого усреднения, особенно с учетом наличия в реакторе
различных делящихся и делимых нуклидов. Преодолеть эту
трудность можно с помощью другой нормировки KB — не на
один исчезающий делящийся нуклид, а на одно деление.
2. Нормировка на одно деление. Тем же термином, что
и (8.41), но с обозначением ИКВ, называют отношение
скорости избыточной нарабо!ки делящегося плутония (что
равно числителю KB 1) к скорое in деления ядер во всем
объеме реактора с учетом всех делящихся и делимых нуклидов:
HKB = ^ ± - r - r l ' i . - : ' i L ; / • > £ > , £ Ф , , 1 * . F=^Fh
1
г д с

/=235.23<,.238у.

к
239.240.241.242pu>

}~-\

(8.42)

i

Избыточная масса н а р а б а ш в а е м о т за 1 с плутония равна
ИКВ, умноженному на масс> разделгзшихся за 1 с ядер
Атг Последняя равна числу разделившихся ядер, г. е. \\\ Ег,
деленному на число ядер в 1 KI топлива:
\п,

f

" \ 1 _ = 1.214-10 «И\. [Л/н,_|- кг с. .7 = Х/7,,1,*239,
(8.43)
337

1де rfi = Fi/F—относительное
число239делений на ядрах /-го
17
нуклида; £ , = 3,27 • 1(Г МДж/дел. Ри, [И^т] = МВт.
ИКВ равен числу новых избыточных делящихся ядер,
образующихся на одно разделившееся в реакторе ядро, причем
не имеет значения вид разделившегося ядра. Здесь воспроиз­
водство означает воспроизводство объекта, который оказался
способным разделиться, т. е. включает также и конверсию
делимых ядер в делящиеся.
Расчет ИКВ базируется на многогрупповом расчете мно­
гозонного реактора и по сложности аналогичен расчету КВ.
В одномерном одногрупповом приближении для определения
ИКВ или KB достаточно сделать два одномерных расчета
двухзонного реактора — активной зоны с БЗВ и активной зоны
с ТЗВ, из которых находятся плотности потоков нейтронов
в зонах, скорости процессов в зонах и мощности зон (см.
ниже, п. 3, § 12.3).
3. Коэффициент наработки избыточного эквивалентного плуто­
ния (бридинг гэйн). Вновь образующиеся делящиеся ядра
обладают различной физической эффективностью, так как
имеют различные сечения деления и поглощения нейтронов
и различные числа нейтронов на акт деления. Эффективность
ядер для процесса
деления
можно расположить на шкале
239
238
эффективностей
Ри и
U, приняв их соответственно за
1 и 0, с помощью следующей записи коэффициента физической
эффективности:
ю 1 =(х ; -х 8 )/(х 9 -х 8 ),

(8.44)

где Xi={vfafy — <aa>z-; со8 = 0; со9 = 1; < > означают усреднение
по спектру реактора, использующего нарабатываемый плутоний.
Проще рассмотреть использование плутония в том же
наработчике, который его производит, так как данные, необ­
ходимые для расчета со,, уже имеются при физическом расчете
наработчика. Если плутоний предназначается для использова­
ния в тепловых реакторах, то cot определяются для спектра
этого реактора и могут
заметно измениться, особенно для
240
делимых нуклидов — Ри и др.
Относительную физическую эффективность изотопов плуто­
ния учтем в тсоэффициенте воспроизводства BG, который
называют коэффициентом наработки избыточного эквивалент­
ного плутония (от англ. breeding gain):
ftC

_

Ю

9 ( ^ 8 — ^ 9 ) + С0 40 ( С 9 - А до) + (0 4 1 ( Q o - Л. 41 ) + 0) 4 2 (С*41 ~ ^ 42 )

/о

дг\

BG описывает воспроизводство делящихся ядер, приведенное
к
Ри. Умножение числа делений в реакторе, которое
определяется мощностью и временем работы, на этот коэф239

338

фициент дает число атомов эквивалентного плутония, нара­
ботанного за это время.
При этом наработанные изотопы
239
плутония приводятся к Ри и можно говорить о наработке
эквивалентного плутония
i>PuOKB) = BGAm / , [Р] = кгРиэкв/с,

(8.46)

где Amy —(8.43).
Итак, BG равен числу ядер эквивалентного избыточного
плутония, возникающих в реакторе на один акт деления
произвольного усредненного ядра.
4. Коэффициент конверсии. В тепловых реакторах, работа­
ющих на
обогащенном
уране, происходит превращение (кон­
235
239
версия)
U в Ри и вместо KB используется коэффициент
конверсии
КК = С 8 /Л 5 ; С 8 = £К к Ф к ЕД; Л 5 = £К к Ф к 2* 5 ,
(8.47)
к
к
где Vk — объемы областей в пределах активной зоны.
Если реакюр состоит из одной однородной активной
зоны, то
K

K

J a A ^ 3

=

^ ^ ( l - l \

JC5=

Л5

, (8.48)

где х5 — обогащение 2 3 5 и при загрузке всей активной зоны
свежим топливом. Если принять эффективное
микроскопическое
238
сечение захвата нейтронов в
U а с8 =106, а а5 = 500 б,
v5 = 4%(0,04), то КК = 0,48. При выгорании х5 снижается, что
ведет к росту КК, но одновременно растет вероятность
поглощения нейтронов в ПД.
Это приводит к снижению
23
вероятности поглощения в ®U и падению КК.
Значение коэффициента конверсии определяет годовую под­
питку реактора делящимися нуклидами, кг/год:
АМ / = < а о 5 / а / 5 > А т / ф Г ( 1 - К К ) = 0,361(1-КК)^ эл /л,(8.49)
где <аа5/<7/5>~1Д8; Anif — см. (8.43); ф = 0,8 — коэффициент
нагрузки АЭС, равный отношению средней мощности за год
к номинальной мощности; Г=3,15 107— число секунд в году;
W3Jl— электрическая мощность, МВт; г| — КПД преобразования
тепловой энергии в электрическую.
При г| = 33,4% (0,334), что б.шисо к КПД современных
АЭС с тепловыми легководными реакторами, годовая подпитка
делящимся материалом определяется при КК = 0 значением
электрической мощности и равна 1,08 т делящихся нуклидов
при электрической мощности 1000 МВт (1 ГВт). При КК = 0,5
подпитка составляет 0,54 г//год, а при КК = 0,9—108 кг//год
(/•= 235 U, 239 Ри и, т. п.).
22*

339

Из приведенной оценки видна желательность повышения
КК теплового реактора, и работы в этом направлении
проводятся во всех странах, развивающих ядерную энергетику.
При повышении КК падает годовая подпитка обогащенным
ураном
AMvo6 = AMf/x5
и годовая подпитка природным ураном
AMVnp = {AMf/x5)(x5-xr)/(x¥-xV*).

(8.50)

При КК = 0 или в открытом топливном цикле годовая
подпитка природным ураном слабо зависит от обогащения
урана и немного превышает 200 т/год, или 6000 т за 30-летний
срок эксплуатации АЭС мощностью 1 ГВт (эл.). Учет и повыше­
ние КК резко снижают эти цифры.

5.5. Топливные
топливо

циклы и время

удвоения

1. Топливные циклы. Топливным циклом называется цик­
лический процесс облучения ядерного топлива нейтронами
в реакторе, его выгрузки и химической переработки, изготов­
ления новых твэлов и повторения облучения их в реакторе.
Топливный цикл включает также операции выдержки облучен­
ного топлива для снижения активности перед химической
переработкой, хранение топлива и твэлов на складах, транспор­
тировку, а также добычу сырьевых материалов
и, если это
235
необходимо, обогащение \рана изотопом
U. Топливный
цикл, включающий все перечисленные операции, является
замкнутым и предназначен обеспечить наиболее полное ис­
пользование природного
урана
и тория путем превращения
238
232
сырьевых нуклидов — и и
Th — в делящиеся нуклиды
2з4р и

и

233^

[см

ф2)ь

рис. 8.3, 8.5].

Нейтроны, необходимые для образования 2 9lU и ^oTh,
можно получить
при использовании
в качестве делящихся
233
235
239
нуклидов
U,
U и
Ри.
Возможные комбинации топлива и сырьевого материала
приведены в табл. 8.2. Топливные циклы 1—3 называются
плутониевыми — по получаемому нуклиду, а циклы 4—6 — ториевыми — по сырьевому материалу. Наиболее простыми по
химической переработке являются циклы 2 и 6, когда в ре­
акторах сгорает и воспроизводится один и тот же делящийся
нуклид. Циклы 3 и 5 более сложны, чем остальные, так как
становятся замкнутыми только при их одновременном осущест­
влении. Цикл 1 можно рассматривать как начальный этан
цикла 2, а именно как этап накопления избыточного плутония.
340

Т а б л и ц а 8.2. Топливные циклы
Номер
цикла
1
2
3
4
5
6

Делящийся
нуклид
235

и

239ри

233
235и

и

239ри
233JJ

Сырьевой
материал
238у

238

и

238тт
232Th
232Th
232Th

Новый деля­
щийся нуклид

Реактор

239ри
239ри

Конвертер
Быстрый
реактор-раз­
множитель
Конвертер
"

239ри
233TJ
233TJ

233и

»
»

Тепловой
реактор-раз­
множитель

Этот цикл требует разделительных мощностей по обогащению
урана и наиболее распространен в современных реакторах,
хотя в большинстве случаев в настоящее время не замкнут
и облученное топливо остается
непереработанным. Цикл 4 ну­
233
жен для начальной наработки
U и не может рассматриваться
как перспективный, так как требует внешней подпитки 2 3 5 U,
запасы 2которого
в земной коре на два порядка меньше
38
запасов
U и тория. Следовательно, начав с239циклов 12 или
4, после накопления достаточного количества
Ри или 3 3 и
можно перейти к циклу 2 или 6.
Однако основным следует признать цикл 2, так как только
в этом цикле KB может быть значительно большим единицы
и Т2 — достаточно малым. Основной недостаток этого цикла —
необходимость иметь в обращении значительные количества
плутония (сотни тонн в развитой до высокого уровня мощ­
ностей ядерной энергетике). С плутонием связана потенци­
альная возможность распространения ядерного оружия. В связи
с этим перспективным считается смешанный уран-плутониевый
цикл, в котором некоторое сравнительно небольшое число
быстрых реакторов вырабатывает топливо для самих себя
и тепловых реакторов и производит, например, плутоний
в активной зоне и в ТЗВ в соответствии с циклом 2 и 2 3 3 U
в БЗВ по циклу 5. Один такой быстрый реактор может
снабжать топливом несколько тепловых реакторов, работа­
ющих в топливном цикле 3, и лишь один тепловой реактор,
работающий на плутониевом топливе (цикл 2). Топливный
цикл 3 в тепловых реакторах более безопасен с точки зрения
нераспространения
ядерного оружия, чем циклы 2 или 6, так
233
как
и не может быть химически
отделен от тяжелых
233
238
атомов, состоящих из смеси
U и
U, для
разделения
239
которой требуется диффузионное производство.
Ри из цикла
1 тепловых реакторов поступает в быстрые реакторы.
Во всех циклах сырьевой материал 2 3 8 U или^ 32 ТЬ поступает
извне, так что в конечном счете энергия производится за
счет сжигания природного урана или тория.
341

При делении исходною топлива появляются нЫпроны.
Первостепенное значение для процесса воспроизводства (или
конверсии) играет количество нейтронов, возникающих в- сре­
днем на один акт поглощения нейтрона в делящемся нуклиде.
Число va зависит от вида ядра и энергии нейтронов (табл.
8.3) (рис. 2.8).
Как показывают расчеты, KB может стать большим 1,
если v a —1>1,1. Наибольшее va имеет 239 Ри в спектре быстрых
нейтронов. Кроме того, в быстром реакторе значительный
вклад
в увеличение
числа нейтронов дает надпороговое деление
238
240
U или
Ри. В результате в быстром реакторе вырабатыва­
ется дополнительно до 20% энергии и нейтронов, тогда как
в тепловом реакторе этот процесс дает только ~ 2 % энергии
(нейтронов) в среднем на один рожденный быстрый нейтрон.
В результате KB в быстром реакторе может достигнуть
1,4—1,8 и выше. Для тепловых
реакторов оптимальным
233
делящимся нуклидом является
U, обеспечивающий получе­
ние KB вплоть до 1,05—1,1.
2. Время удвоения Т2 — это время, за которое в реакторе
нарабатывается масса избыточных делящихся нуклидов, равная
полной массе делящихся нуклидов в замкнутом топливном
цикле одного реактора.
Быстрый реактор-наработчик выдает избыточное топливо
на склад (после химической переработки с отделением плутония
и изготовления твэлов и ТВС) для накопления начальной
загрузки нового такого же реактора. Новый реактор заполняет
своим отработавшим топливом предприятия и устройства
топливного цикла — хранилища для выдержки топлива с целью
снижения его радиоактивности и тепловыделения, склады,
заводы по химической переработке топлива и изготовлению
нового топлива и твэлов. Только после заполнения всех
объектов топливного цикла новый реактор сможет самосто­
ятельно подпитывать топливом себя и выдавать избыточноетопливо следующему реактору.
Время удвоения топлива равно одновременно времени
удвоения числа реакторов и времени удвоения их мощности.
Т а б л и ц а 8.3. Число нейтронов на акт поглощения \а и деления \f в тепловом
и быстром реакторах
Делящийся
нуклид

Тепловой реактор
v

235
233и
239

342

и

Ри

/

2,42
2,48
2,88

'

v

*

2,07
2,28
2,11

Быстрый реактор
v

/

2,51
2,55
2,97

v

«

2,09
2,35
2,55

(При этом предполагается, чю по мере накопления избыточ­
ною плутония из него сразу же изготавливаются ТВС для
загрузки в следующий реактор. Строительство АЭС осущест­
вляется также заблаговременно.)
Замкнутые топливные циклы характеризую 1ся двумя времен­
ными интервалами—кампанией топлива Га, т. е. временем
пребывания топлива в активной зоне в пересчете на полную
мощность реактора, и временем пребывания топлива во
внешней части топливного цикла, которое называют временем
переработки топлива ТП. Время Тп — календарное и включает
в себя время выдержки облученного топлива в хранилищах,
время перевозки, химической^ -переработки с отделением ПД
и плутония, время изготЪвления топлива, твэлов и ТВС,
хранения их на складах.
Время Га — эффективное, т. е. приведенное к работе на
100%-ной номинальной мощности WT:
Га = -^

.

Для перевода его в календарное время разделим
коэффициент нагрузки АЭС
i \

i

Га на

i

где WT — средняя за календарное время мощность реактора.
Время пребывания топлива (кампания топлива) в активной
зоне Га определяется из расчетов выгорания топлива при
работе на полной мощности с учетом частичных перегрузок
топлива в установившемся режиме работы реактора.
Оценить Га можно из балансного соотношения, связыва­
ющего наработку ПД при работе на мощности с их массой,
определяемой известной (общепринятой для быстрых реак­
торов) глубиной выгорания В. С учетом технологических
ограниченийв настоящее время считается, что средняя глубина
выгорания В не должна превышать 10%, т. е. деления 10%
тяжелых атомов (в перспективе рассматриваются глубины
выгорания до 15% и выше). Если масса тяжелых атомов
и доля мощности в активной зоне равны М*\\ и s a 3 , то
т

_м*1В/ж=музв/ж_

в/юр

,8

5J.

где /г 0 =1,05-10- 3 кг ПД/(МВтсут) (см. табл. 2.6);
Ям* = 0>8
-f-1 МВт/кг/— энергонапряженность делящихся нукли­
3
дов; х}' = 0,1-^0,2 кг//кг т. а.— обогащение тяжелых атомов
делящимися нуклидами; J?/100 = 0,08-^0,12 кг ПД/кг т. а.—
средняя глубина выгорания.
343

11} , физическом расчете подбирается доля перегружаемого
топлива, обеспечивающая работу в ючение кампании реактора
Та на интервале времени между перегрузками. В спроек­
тированной активной зоне перегрузка обычно равна 1/2 или
1/3 части всех ТВС, а кампания топлива Га соответственно
в 2 или 3 раза больше кампании реактора Гр, т. е. времени,
в течение которого исчерпывается избыточная реактивность
в рабочем состоянии реактора.
Для того чтобы вновь пускаемый реактор начал исполь­
зовать собственное топливо, отдавая избыток его другим
реакторам, в него надо 3поместить в виде начальной загрузки
делящихся нуклидов ц My и в виде топлива 3подпитки такую
массу топлива (М} ), которая больше My в число раз,
равное отношению суммарного календарного времени внешнего
Тп и внутреннего Га/ф циклов к времени внутреннего цикла:
М}' ц = М а г ' зГп+Га/(р = Маг-3(1+фГп/Га).

(8.52)

Г а /ф

Пусть, например, Гп = 2Га. Загрузим в реактор топливо
массой Му, через Та (при однократных перегрузках) это
топливо 3 перейдет во внешний цикл, а в реактор загрузим
еще М}' «чужого» топлива. Через 2Га операция повторится,
при этом первая порция топлива, выгруженного во внешний
цикл, будет в нем находиться только 1Га; через ЗГа первая
порция топлива пробудет во внешнем цикле 2Га и частично
будет возвращена в данный реактор, а частично направлена
в другие.
Таким образом, в реактор должно быть загружено
3
ЗМ}' «чужого» топлива, и только четвертая загрузка может
быть осуществлена собственным топливом [для простоты
предполагалось, что з ф = 1 и осуществляются
однократные
з
перегрузки, тогда Му (Тл + 2Т^)/Тл = ЗМу ].
Для упрощенной оценки Т2 считаем, что одновременно
с выгрузкой во внешний цикл части ТВС активной зоны
и объединенной с ними конструктивно части ТЗВ во внешний
цикл выгружается такая же часть ТВС боковой зоны восп­
роизводства. Режим перегрузок — установившийся.
Время удвоения найдем из условия равенства избыточной
наработки делящихся нуклидов работающим реактором за
время Т2 и массы делящихся нуклидов
в топливном цикле
ц
вновь запускаемого реактора М} :
й^тФГ2(ИКВ-8)А:1 = М}-3(1+фГп/Га).
Здесь учтены примерно 2% потери делящихся нуклидов при
химической переработке топлива; 8 = 0,02; к х =0,383 кг
ПД/(МВттод). Отсюда получаем приближенную формулу для
времени удвоения топлива при работе одного реактора:
т
2

344

_ М} 3 (1+фГ п /Г а ) _
1+фГ п /Г а
ИХИКВ-е)*! ^^(ИКВ-б)*!'

^ '

'

г к\ 7% время удвоения, гол: ИКВ см. (8.42)
I с ш loii.iiiBOM снабжакмея идешичные но энергетическому
спек I ру реакторы, то вместо избыточного коэффициента вос||роишодс1ва ИКВ (8.42) лучше использовать коэффициент
наработки241(8.45), учитывающий большую
ценность для цепной
239
реакции
Ри по сравнению с
Ри и меньшую ценность
40
Ри. При замене ИКВ на BG формула (8.53) не изменяется.
Время удвоения (8.53) относится к случаю работы одного
реактора. При работе системы из п реакторов время удвоения
вновь запускаемого реактора снижается в фактор ускорения
Ф{=п, тогда как Т2 каждого работающего реактора остается
прежним (фактор Ф0=1). Усредним
фактор выигрыша в Т2 по
т Ц
массе делящихся материалов М / в топливном цикле всех
реакторов, считая, что в топливном цикле вновь пускаемого
реактора вт псреднем за время его пуска содержится масса
тплива М / /2:
Ф_Ф0М}ип + Ф1(0,5М}и)'\_М}ип
+ п(0,5М}и)_
1,5«
ц
Ц
и
и
М} л + 0,5М}
М} п + 0,5М}
« + 0,5 л->ос '

Более точный расчет, учитывающий экспоненциальный рост числа
реакторов, дает Ф= 1/1п2= 1,44. Системное время удвоения, т. е.
среднее по большому числу реакторов системы время удвоения,
71 ист = 1п2-Г 2 .
Снизить время удвоения можно за счет повышения KB
или ИКВ, увеличения энергонапряженности делящихся нуклидов
qM , снижения времени внешнего топливного цикла Тп и по­
вышения коэффициента нагрузки АЭС с быстрым реактором.
Обычно предполагается, что такие АЭС будут работать
в базисном режиме маневрирования мощностью.

Глава 9
ВЫБОР И ОПТИМИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ
ПАРАМЕТРОВ АКТИВНОЙ ЗОНЫ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РЕАКТОРА

Я 7. Задачи, решаемые при начальном
проектировании активной зоны
1. Выбор твэла и подтверждение его работоспособности
лежат в основе , начальной стадии проектирования реактора.
«Без тепловыделяющего элемента нет реактора»,— такое
высказывание известно каждому проектировщику реактора.
345

Сущссчвус! или MOVKCI бы ib создано бесконечное MHOVKCCIBO
разнообразных твэлов -по форме, размерам, материалам
оболочек видам топлива и т. д. Во всех случаях твэл
должен обеспечивать возможность генерации и отвода тепла,
сохранение прочностных характеристик и герметичности для
образующихся в топливе ПД в течение заданной кампании
топлива, обеспечивающей необходимую глубину его выгорания.
С точки зрения нейтронной физики имеют значение ис­
кривления твэлов, тепловое расширение топлива и сцепление
его с оболочкой, а также интенсивность поглощения нейтронов
нуклидами, входящими в состав топливной матрицы и оболоч­
ки, обогащение тяжелых атомов делящимися нуклидами.
неравномерность распределения топлива по длине твэла, до­
пуски на массы материалов, диаметр твэла в связи с простран­
ственной блокировкой потока нейтронов.
Характеристики твэла и вопрос о его приемлемости изуча­
ются при физических, теплогидравлических расчетах и в оценках
экономической эффективности реактора.
Задачей нейтронно-физических расчетов является оценка
приемлемости использования тех или иных материалов для
покрытий твэлов и топливной матрицы, определение влияния
вида топлива на основные показатели реактора и ядерного
топливного цикла, определение оптимального обогащения де­
лящимися нуклидами, накопления ПД и расчет внутренних
энерговыделений в топливе и покрытиях с учетом радиальных
и высотных коэффициентов неравномерности.
2. Выбор ТВС связан с решением вопросов о выборе шага
твэлов и их дистанционирования, числа твэлов и их высоты,
т. е. габаритных размеров и массы ТВС, о необходимости
иметь кожух ТВС и, если он есть, о его толщине и материале,
о концевых деталях ТВС и внутренних вытеснителях теплоноси­
теля для выравнивания его скоростей, о необходимости
размещения внутри ТВС датчиков системы контроля рас­
пределения энерговыделения- и, возможно, выгорающих по­
глотителей (ВП).
В нейтронно-физических проработках необходимо опреде­
лить влияние перечисленных конструктивных элементов на
К^ активной зоны при том или ином шаге размещения ТВС,
найти диаметр, число и место размещения ВП, вид и кон­
центрацию поглощающего изотопа. В кипящих реакторах
следует определить число трубок с водой, заменяющих часть
твэлов с целью высотного профилирования энерговыделения,
при кластерном регулировании — число и место расположения
поглощающих стержней, входящих в ТВС вместо некоторого
числа твэлов. Выбор шага ТВС влияет на эффекты и коэф­
фициенты реактивности, т. е. на безопасность реактора.
В быстрых реакторах шаг должен быть достаточен для
346

обеспечения свободного места при радиационном распухании
кожуха ТВС при максимальном проектйом выгорании и обес­
печения выгрузки отдельных ТВС.
3. Выбор компоновки активной зоны включает такие кар­
динальные вопросы, как обеспечение теплосъема и безопасности
реактора, компенсация реактивности, профилирование энерго­
выделения, обеспечение энерговыработки и кампании реактора
и топлива, выбор режимов работы реактора с учетом воз­
можных частичных перегрузок, оптимизация воспроизводства
делящихся нуклидов и эффектов реактивности.
Важная задача нейтронно-физических расчетов — минимиза­
ция коэффициентов неравномерности энерговыделения на про­
тяжении всей кампании реактора с учетом перемещения органов
регулирования реактивности.
Имеет значение выбор формы и размеров активной зоны,
в быстрых реакторах — определение толщин и состава зон
воспроизводства, а также способы внесения воспроизводящего
материала в активную зону, определение интервалов перегрузок
всех элементов реактора, находящихся в области высоких
нейтронных потоков.

9.2. Основные
характеристики
активной зоны
1. Габаритные размеры и структура активной зоны. Проек­
тирование ЯЭУ осуществляют исходя из заданной полезной
мощности установки WycT. Знание КПД г| позволяет рассчитать
тепловую мощность реактора WT=WycT/r\. Структура и раз­
меры активной зоны реактора выбираются при совместном
рассмотрении ряда физических, теплотехнических и конструк­
тивных задач.
Для надежного съема тепла в активной зоне необходимо
создать тепловыделяющую поверхность FT9 обеспечивающую
отвод тепла в наиболее «горячей точке» при работе на
мощности WT. Горячей точкой названа часть наружной повер­
хности оболочек твэлов, на которой плотность теплового
потока qF максимальна, но не превышает критического значения
*/Гкрит*

При достижении критических тепловых нагрузок в реакторах
с двухфазным водяным или натриевым теплоносителем может
произойти кризис теплосЬема, проявляющийся в перегреве
и расплавлении твэла в результате образования паровой
пленки на его поверхности. В случае натрия тепловые
нагрузки могут ограничиваться и температурами оболочки
или топлива в центре твэла ввиду возможного их расплавления
или снижения прочностных характеристик оболочек ниже
347

допустимых. В высокотемпературных реакторах с газовым
охлаждением (однофазным теплоносителем) перегрев топлива
ведет к увеличению выхода газообразных ПД из микротвэлов,
к смещению топливного керна микротвэла по отношению
к покрытиям и к другим нежелательным последствиям. Ми­
нимальная плотность теплового потока, при которой достигается
любое из перечисленных явлений, является критической.
Максимальная допустимая плотность теплового потока
может быть принята в первом приближении равной критичес­
кому значению, но при этом должна учитываться возможность
максимальных отклонений конструктивных и технологических
показателей активной зоны от их номинальных значений
в худшую сторону. Совокупность этих отклонений характеризу­
ется коэффициентом перегрева кП, или механическим коэф­
фициентом. Кроме того, максимальная плотность теплового
потока qFMSLKC превышает среднюю по активной зоне плотность
1еплового потока q в kvxkTBC
раз:
^мак^^К^ТВС^п^^Гкрит?

(9.1)

где k v — коэффициент неравномерности энерговыделения (плот­
ности теплового потока) по объему гомогенизированной ак­
тивной зоны; кТВС — коэффициент неравномерности энерговы­
деления по поперечному сечению ТВС.
Площадь поверхности теплосъема, которую необходимо
создать в активной зоне, определяется заданной тепловой
мощностью реактора и средними тепловыми нагрузками по­
верхности твэлов, определяемыми из (9.1):
Fr=WT/q.
(9.2)
Тепловыделяющая поверхность представляет собой наруж­
ную поверхность покрытий твэлов на длине их активной
части # а 3. Диаметр твэла dTB в реакторе на тепловых нейтронах
желательно выбирать максимально допустимым по теплоотводу (например, по температуре в центре твэла), так как
увеличение диаметра при постоянной FT ведет к сокращению
числа твэлов итв, снижению объемной доли покрытий и удешев­
лению установки. При этом учитывают также возможности
промышленности по номенклатуре выпускаемых труб, габариты
активной зоны (в судовых реакторах и ВВЭР) и необходимость
повышения энергонапряженности и объемной доли топлива
(в реакторах на быстрых нейтронах). Общее число твэлов
в реакторе
«TB = FT/(tfa.3tfTB),
(9.3)
где IJTB = ndTB — периметр поперечного сечения оболочки твэла.
Количество твэлов в ТВС л „выбирается из конструктивных
(по габаритному размеру и массе ТВС) и теплогидравлических
348

(с учетом необходимого Атвс и возможности гидравлического
профилирования) соображений. Число ТВС в активной зоне
njBc = riJn™C.
(9.4)
Существенным моментом является определение шага раз­
мещения ТВС в активной зоне путем выбора компромиссного
решения между различными и зачастую противоречивыми
требованиями. В реакторах АЭС шаг ТВС атвс должен быть
оптимальным по соображениям безопасности и размножающим
свойствам активной зоны. В транспортных реакторах шаг
ТВС устанавливается минимальным при использовании в ка­
честве замедлителя обычной воды, так как размеры активной
зоны ограничиваются массогабаритными показателями реак­
тора и установки. В быстрых реакторах атвс должен быть
минимален для увеличения объемной доли топлива и определя­
ется возможностью выгрузки ТВС с учетом распухания кожуха
при больших флюенсах быстрых нейтронов.
Эквивалентный диаметр активной зоны Da3 (2.86) связан
с ее высотой коэффициентом уплощения, выбираемым с учетом
физики реактора — оптимальности его формы, теплогидравлики — по допустимым перепадам давления теплоносителя на
активной зоне в быстрых реакторах или из соображений
конструкционного характера — по габаритным размерам кор­
пуса реактора:
А,з=Р#а.з.

(9.5)

С учетом соотношений (9.1)—(9.5) высота цилиндрической
активной зоны
Н

™~А4

q
V

d

„твсо2 >

Ч крит и тв"тв

V-b)

К

где А = .у/2 у/З/к2 = 0,706 для треугольной сетки размещения
ТВС и А = */4/к2 = 0,74 для квадратной.
Для определения габаритных размеров активной зоны
в соответствии с (9.5) и (9.6) необходимо задать коэффициенты
неравномерности энерговыделения и перегрева. В началь­
ных расчетах можно ориентироваться, например, на kvkTBC^
^2,0 — 2,5 и kn?z 1,1-J-1,2. Эти значения уточняют при последу­
ющих расчетах. Уплощение активной зоны, как правило,
0,7^р^2-нЗ, хотя в быстрых реакторах могут быть и большие
значения.
Критическая плотность теплового потока определяется ря­
дом факторов: видом и параметрами (давлением, температурой,
скоростью) теплоносителя, свойствами и формой тепловыде­
ляющей поверхности, свойствами топливной матрицы и др.
349

Плотность критического теплового ноiока различна в реак­
торах разного типа.
2. Мощностные характеристики реактора. Выбранная актив­
ная зона имеет определенные удельные мощностные харак­
теристики, которые могут быть описаны одним или несколь­
кими показателями:
средней линейной мощностью твэла qL — отношением те­
пловой мощности реактора WT к суммарной длине активных
частей всех твэлов Ь = Назптъ;
средней поверхностной мощностью твэла (средней плот­
ностью теплового потока, т. е. тепловой нагрузкой поверхности
твэлов) qF— отношением WT к полной площади тепловыде­
ляющей . поверхности FT — Я а Зитв/7ТВ;
средней объемной мощностью топлива qv —отношением
Wx к объему топлива VTon = H^nTbSron,
STOn = -d*on, где dTOn —
диаметр топливного сердечника в твэле;
удельной мощностью топлива qG — отношением WT к массе
топлива Стоп = Я аз « тв 5 топ у топ , где утоп — плотность топлива, г/см3;
средней объемной мощностью ТВС q —отношением
^тве
УГ

Wy к объему твэлов и теплоносителя всех ТВС F T B C = - D T B C X
х# а з /2 Т во г Д е ^тве — внутренний диаметр кожуха ТВС;
средней объемной мощностью активной зоны q —отношением WT к объему активной зоны Уа.3 = -0%3Наз.
Перечисленные мощностные характеристики реактора с ци­
линдрическими твэлами приведены в табл. 9.1. В габл. 9.2
приведены некоторые данные реакторов на тепловых нейтронах
РБМК-1000 и ВВЭР-1000. Цифры в обозначениях реакторов
означают электрическую мощность ЯЭУ.
Ориентировочные данные, приведенные в табл. 9.2, служат
лишь для качественного сравнения реакторов разного типа.
В реакторе РБМК основное замедление проектировщики стре­
мились реализовать в графите, замедляющая способность
которого ^Z s в 22 раза ниже, чем холодной воды, что привело
к большим габаритным ра ;мерам активной зоны и в 25 раз
меньшей удельной мощности активной зоны. В то же время
охлаждение кипящей водой менее эффективно, чем водой под
давлением, и тепловыделяющая поверхность в РБМК почти
вдвое выше, чем в ВВЭР. В таком же соотношении находятся
поверхностные мощности твэлов. Линейные мощное!и твэлов
более близки, но это связано с большими диаметром и перимет­
ром твэла РБМК, что свидетельствует о несовершенстве этой
характеристики удельной мощности. При ее уи-oi реолении
необходимо иметь в виду и значение диаметра 1вэла.
350

И* lаб-i. 9.2 видно, сколь велика длина труб покрытий
твэлов — порядка 200 км/ГВт (эл.), что является определенным
недостатком ЯЭУ по сравнению с обычными энергоустанов­
ками, так как периодически требуется изготовлять большое
число высокоточных "тонкостенных труб. Это обстоятельство
стимулирует разработку альтернативных гомогенных ядерных
реакторов, не имеющих твэлов, например жидкосолевого или
жидкометаллического типа.
Характеристики удельной мощности различного типа легко
связать между собой простыми формулами. Удельная мощ­
ность активной зоны выражается через линейную мощность
твэла соотношением
Т а б л и ц а 9.1. Характеристики удельной мощности реактора
Обоз­
наче­
ние

Характеристика А

Линейная мощность
твэла
Поверхностная МОЩHOCI и твэла
Объемная мощность
топлива
Удельная мощность
топлива
Объемная мощность
ТВС
Объемная мощность
активной зоны

Единица измерения А

Формула

Ai

И^т/№,"„)

1L

WT/Fron-

IF

а=—

*1

9*

Вт/см

кВт/м

0,1

Вт/см ~

МВт/м 2

0,01

А

2.

Яотоп

»V^on

Вт/см 3 топлива

к Вт/л

1G

WJGron

Вт/г топлива

МВт/кг

WJVTBC

Вт/см 3 ТВС

кВт/л

4VTBC

1
0,001
1

Вт/см 3 актив­ МВт/м 3
•
ной зоны

иук а ,

tfvai

•

1

* В этом столбце приведены наиболее часто употребляемые единицы измерения.

Т а б л и ц а 9.2. Показатели удельной мощности активных зон энер|сiических
реакторов
Реактор

МВт

" а 3'
М

rt

TBC

ТВС

«тв,

' * ТВ

Ю4

dTB, мм

"топ,

м

IUIH

м

1 СМ
1

РБМК-1000
ВВЭР-1000
Реакiор
РБМК-1000
ВВЭР-1000

3200
3000

7,0
3,5

£)твс,

мм

80
238*

1693
151

3,04
4,79

18
317
"тон

"тв

0,86
0,845

13,6
9,1
Д»„ м
11,6
3,12

11,7
7,6

8,8
8,8
(It,,

мм

250**
241
351

Ilporfo iтешиРеактор

'ли

РБМК-1000
ВВЭР-1000

РБМК-1000
ВВЭР-1000

201
71,5

740
27

Р

ifi, В г/см

1,65
0.89

150
172

Реактор

f\,

6\011. i

MJ

с/,,

M2

L, км

I'm... М Я

213
174

22,9
~8Л

9150
5000

BI/CM2

l

l\ ,оп*

Вт'см 3

140
370

35
60

nuio i (> '

</<;,

<Л П К '

В Г/Г

15,9
42

Вт, см 3

Bi с м '

54
142

4,33
111

* Под ключ.
** Квадратная сетка.

9v.,

W,

И',
V,,

"а,

— 4h \П тв
ТИС
\
с
т
в
е
(»,»/" ' Г ) 5
яч
c

/*J яч

)^

(9.7)

где я™ 0 число твэлов в ТВС; S™ — площадь ячейки ТВС.
Поверхностную мощность твэла выразим через объемную
мощность активной зоны:
4F =

-

t\

Г ВС

w

Hdl{nlBin^)S1ГВ(
^

На1п„П1а

где ПТВ—периметр

ГВС

И ^ Г ,(Я,„/;,'Г)

ГВС"

Ч\\

I ВС
//,н'/:;

(9.8)

твэла.

9.3. Выбор и оптимизация
загрузки
топлива

начальной

1. Выбор массы загружаемого топлива. Начальная загрузка
С 5 (0) может быть связана с удельной мощностью реакюра,
например с энергонапряженностью топлива c/(h или с линейной
мощностью твэла qL (см. табл. 9.1):
G5(0) = gvx5H\U/(i

(9.9)

или
G 5 (0) - - ± к- (I;OII у1011 # ь . д-5,

(9.10)

где gv
отношение массы урана к массе тплива, например
в диоксиде урана <:u = AX'/Avo^0S&
(А массовое число).
Масса делящихся нуклидов/за! ружейных в р е а к т р , должна
обеспечивать такой уровень избыточной р е а к т в н о с ш в \о.юд3S2

ном, неотравленном Хе и Sm состоянии реактора в начале
его кампании при / = 0
РхоРл,неотр(0) = А р т . э ф + А Р м + А р Х е + Д р 8 т +

+ А р выг (0) + А р опер +А ри.я,

(9.11)

который позволяет осуществить разогрев и выход-На номиналь­
ный уровень мощности, отравление и работу на мощности
в течение кампании реактора Тр с y4ef ом оперативного запаса
для выхода из частичных (или из полной) йодных ям и для
управления, при необходимости, нестабильными полями энер­
говыделения.
Выбор начальной загрузки быстрого реактора по известной
мощности активной зоны аналогичен рассмотренному. Загрузка
обедненного урана в зоны воспроизводства определяется вы­
бором их толщины с учетом физических соображений о мак­
симуме коэффициента воспроизводства (нужна большая тол­
щина) и экономических: чем тоньше, тем дешевле.
'Снижение шага твэлов внутри ТВС в быстром реакторе
улучшает его физику—уменьшает критическую массу и по­
вышает коэффициент воспроизводства KB, но ухудшает теп­
лофизику реактора, снижает удельную мощность, что ведет
к росту Т2.
Рассмотренная выше загрузка тяжелых атомов—рабочая^
она заметно выше критической загрузки, при которой АГэф=1.
Для изучения физики реактора рассмотрим пути оптими­
зации, т. е. снижения, критической массы.
2. Оптимальный состав реактора. Вначале важен общий
выбор состава активной зоны теплового реактора, а затем —
выбор оптимального шага твэлов и ТВС. Замедлители —
тяжелая вода, графит, легкая вода—расположены в порядке
увеличения критической массы, если ее набирать оптимально
расположенными твэлами одинакового состава, что объясняется
ростом микроскопического сечения поглощения ядра замедли­
теля при переходе от дейтерия к водороду. По той же
причине в тепловых реакторах АЭС в качестве материала
покрытий твэлов, канальных труб и кожухов ТВС используется
цирконий, а не сталь.
В быстрых реакторах относительная роль микроскопических
сечений поглощения конструкционных материалов ниже, и в ка­
честве материала покрытий твэлов и чехлов~ТВС используется
более технологичная и радиационно стойкая сталь.
Оптимизация загрузки топлива в гетерогенных тепловых
реакторах состоит в выборе оптимального шага ТВС (или
шага твэлов в ТВС). Физическим критерием оптимальности
в небольших реакторах 'является максимум материального
параметра среды, тогда как в реакторах большого размера—
23 Заказ 2739

353

2
u5

1
а

твс;

Z
- А-

'

*l'*l

-2

2

Ъ

1
1
а твс ,отн.ед.

0ТН е

Ю

а)

Рис. 9.1. Зависимость К<х> и его сомножителей (а) и материального параметра (б)
от шага TBC

максимум К^. При использовании одногруппового подхода
материальный параметр теплового реактора (3.23) может быть
записан в виде •
x ^ J ^ - i y ^ + T), ^0О = у / © / ф 8 ц .

(9.12)

ч

Размножающие свойства среды иногда оптимизируют на конец
кампании, когда масса топлива близка к критической.
Увеличение шага ТВС ведет к снижению &f вследствие
роста поглощения в замедлителе, к увеличению ср8 ввиду
лучшего замедления быстрых нейтронов, к росту 5£\ из-за
уменьшения среднего макроскопического сечения поглощения
в ячейке и к ^падению х вследствие увеличения объемной
доли замедлителя; (i и vf изменяются при этом слабо (рис. 9.1).
В области малых шагов ТВС в случае низкообогащенного
топлива ^тепловых реакторов происходит снижение материаль­
ного параметра и К^. Основной причиной является падение

Ф8 = ехр(-Г8уГ8/8/^2Г), даз = 1№,К,/К„
i

из-за уменьшения средней замедляющей способности среды
при снижении объемной доли замедлителя. В ту же
сторону
1
влияет увеличение возраста нейтрбнов х = (32 3 2 Гг )~ при паде­
нии .макроскопических сечений замедления и рассеяния в среде
активной зоны.
Рост коэффициента использования тепловых нейтронов
®a5=V5Za5/( К 5 2 в 5 + Д F.Zi + ^=22K.констр
Ф,

Ф

у констр
^а

из-за снижения^ относительной плотности потока нейтронов
в замедлителе Ф3/ФТоп и. скорости поглощения нейтронов в нем
сказывается менее сильно, чем падение ср8, так как © а 5 ->1,
354

a cps -* 0. При этом падающая величина изменяется относитель­
но более резко, чем растущая 2 и стремящаяся к насыщению.
Квадрат длины диффузии j£? = Z)T/EaT при снижении шага
уменьшается, что ведет к росту материального параметра.
Поэтому в высокообогащенных системах, где коэффициент
ф8 близок к 1 и его роль незначительна, материальный
параметр и К^ достигают максимума в области малых шагов
ТВС (см. рис. 9.4). При достижении оптимума материальный
параметр иди К^ максимальны. Снижение Кэ$ в этом состоянии
до необходимого значения путем выбора параметров топлива
обеспечивает минимальную критическую массу реактора.
В быстрых реакторах при росте шага твэлов энергетический
спектр нейтронов смягчается и на критическую массу более
сильно, чем в тепловых реакторах, влияет снижение числа
нейтронов va, возникающих в среднем при поглощении одного
нейтрона делящимся нуклидом (см.
рис. 2.8). В спектре быст­
239
рого реактора
va максимально для Ри, в спектре теплового —
33
для * U. Поэтому выбор делящегося нуклида также влияет
на оптимизацию критической массы.
При уменьшении шага твэлов и ТВС в быстром реакторе
растет \а9 и уменьшается относительное поглощение в теп­
лоносителе, что- ведет к снижению критической массы.
3. Оптимизация формы. Все реакторы с различным спектром
нейтронов могут иметь оптимальную форму. Если принять
постоянными состав и объем активной зоны в реакторах
различной формы, то наименьшей утечка нейтронов будет
в сферическом реакторе, имеющем минимальное отношение
площади поверхности к объему и максимальной Кэф при
фиксированном объеме и составе реактора. Однако сферическая
форма неудобна, и большинство реакторов выполняется в виде
цилиндров с постоянной высотой всех ТВС. Оптимальная
форма цилиндрического реактора определяется- физическим^,
теплогидравлическими и конструктивными соображениями.
Найдем оптимальное по снижению утечки нейтронов соот­
ношение экстраполированных диаметра и высоты D3/H3 однозонного цилиндрического реактора, размеры которого уве­
личены на длину линейной экстраполяции плотности потока
нейтронов или на 8эф.
При одинаковом составе и одинаковых материальных
параметрах геометрические параметры сферы и цилиндра
должны
быть равны, если Кэ$ = 1 в обоих случаях. Обозначим
2
их В :
D2

D2

D2

Запишем
объем сферического реактора Ксф и компоненты
2
В и В* полного геометрического параметра цилиндрического2
реактора в , виде функции геометрического параметра В
23*

'

355

Рис. 9.2. Зависимость отношения крити­
ческих объемов реакторов от соотноше­
ния экстраполированных размеров:
1—цилиндрический реактор;
2—реактор
в форме параллелепипеда
2.

ВЦВ2:

и отношения

4тсА Л

Art

Усф = -кЯ* =

З(я/Д э ) 3
В2

2

Bl = B -B
1

BBJB,
(\+В2/В2У<29

*

в,

к А

Вг

4,81 # э

где —=

l+B2JB2r

I
z

ъв3 '
М9.13)

2'

j

.

Выразим с учетом (9.13) объем цилиндрического реактора
через объем сферического:
7С2-4,812

V„ =п-DlH^

=

An4 4,81 3 -3

AB2BZ

= ксф

ЪВЪ

0,673

1+

n3\6DJH:

3/2

7СА

4,81# э
3/2

1+0,427

(9.14)

Я,

Зависимость отношения Уц/Усф от D3/H3 (рис. 9.2) имеет
минимум, равный 1,142 при Вэ/Нэ= 1,083. Следовательно,
оптимальным по форме является цилиндрический реактор
с диаметром, превышающим высоту примерно на 10%. Масса
топлива в таком реакторе примерно на 15% больше, чем
в реакторе того же состава сферической формы.
Оптимальное > соотношение размеров цилиндрического ре­
актора можно получить сразу, приравняв нулю дифференциалы
2
2
от геометрического
параметра
цилиндра
В
=
(к/Н
+
э)
2
2
+ (4,81/D3) и от его объема
Vn^(n/4)D Йэ:
dVn = -D^H^dD^+-D2dH,
э

dB2 =

2п2

Н:

^

-

'

э

= 0=>dH3 =

4

^ ^
Dl

2#.
А

dD9;

= 0^=^=1,0826.
Нэ

п^2

Аналогичным образом можно использовать равенство гео­
метрического параметра критического реактора в форме куба
со стороной аэ и сферы:
356

Л

2 .
- ° Сф5

D 2

D

•° Куб

^куб = 3^5 = 3( 4я'

Пф=

3^с3Ф

>

4я'
З^/Зя/*,)

4п
3

9^/3

(9 Л 5)

аэ3 = 0,806Ккуб.

Видно, что Ккуб=1,24Ксф, т.е. объем и критическая масса
реактора в форме куба на 24% выше подобных показателей
в сферическом реакторе того же состава.
В случае реактора в форме параллелепипеда, имеющего
квадратное сечение со стороной аэ и высоту Ьэ, его критический
объем связан с критическим объемом сферического реактора
соотношением
V
= гVсф
г
пр

'

0,675
Яэ/^э

3/2

0,675

_

1,5^2
71

(9.16)

переходящим при аэ = Ьэ в равенство (9.15) для кубического
реактора.
4. Оптимизация объема. Особенностью ядерных реакторов
является зависимость критической массы Мкр от критического
объема VKp. Рассмотрим ряд сфер с различным
объемом,
235
состоящих из замедлителя
и топлива в виде U. Увеличением
235
концентрации
U,v гомогенно распределенного по объему
замедлителя, доведем сферы до критического состояния, в ко­
тором
v a 5 0 f l 5 P = l , Р=1/(4+2? 2 М 2 ).
В больших реакторах В2М2<^:1 и вероятность 2 3избежать
утечки JP«1. Вероятность поглощения нейтронов в 5 U 0а5>
обеспечивающая
критичность, а вместе с ней и ядерная
235
концентрация
U Jf ъ практически постоянны.
Критическая
T
масса в больших реакторах при If > F™ растет вследствие
увеличения их объема (рис. 9.3). При переходе от средних
к малым объемам
реакторов геометрический параметр быстро
2
растет (~l/i? ), Р падает, приводя к необходимости соответ­
ствующего повышения ®а5. Ввиду насыщения зависимости
©а5=/(У^5) критическая ядерная концентрация Jf^
растет
быстрее, чемР уменьшается объем сферы, и критическая масса
^ К р ^ ^ к р ^ 5 увеличивается. Таким образом, существует ми­
нимальная критическая масса в области средних критических
объемов.
При низких обогащениях (кривая 1 на рис. 9.3) существует
минимальный критический объем, в котором критическая масса
выше минимальной. Ему соответствует точка с максимальными
357

материальным и геометрическим параметрами реактора. Для
всех объемов, больших минимального, например
Vu существу­
так как
ют две критические массы Mt и М29
существуют
два одинаковых значения материального параметра (или К^)
правее и левее максимума в зависимости от шага ТВС
(рис. 9.4) или от концентрации урана в гомогенном случае.
Для больших обогащений, близких к 100% 2 3 5 U (кривая
3 на рис. 9.3), минимальным критическим объемом является
объем сферы из чистого металла без замедлителя, равный
1 л или 18,7 кг металла при бесконечном водяном отражателе.
Небольшой рост критической массы при первоначальном
добавлении .воды в металлическую сферу связан *с ростом
утечки при еще слабой роли воды как замедлителя в спектре
быстрых нейтронов. Вплоть до соотношения масс воды
и металла примерно 2:1 критическая масса остается прак­
тически постоянной, а затем начинает резко уменьшаться
из-за начала эффективного замедления нейтронов на воде.
При средних обогащениях урана (кривая 2 на рис. 9.3)
ход зависимости критической массы от критического объема —
промежуточный между рассмотренными случаями. Особенно
интересные свойства критических систем обнаруживаются в об­
ласти малых объемов. В одном и том же объеме V2 могут
быть осуществлены три различные критические массы: ти
т2 и т3. На интервале между mt й т2 и несколько дальше
ход кривой напоминает случай низкообогащенного топлива,
но затем начинают сказываться законы нейтронно-физических
процессов, характерные для быстрого реактора, материальный
параметр начинает вновь расти, а критический объем умень­
шаться. Следовательно, на интервале между т2 и тъ существует
максимальный
критический
объем.
Массы
между
т± и т2 обеспечивают надкритичность реактора, а между
т2 и тъ—подкритичность, так как критические объемы
соответственно ниже или выше V2.
5. Оптимальное распределение топлива по объему реактора.
Минимальную, критическую массу, полученную при однород­
ном распределении топлива по объему реактора, можно
дополнительно снизить, если часть топлива перенести к центру.
Минимальная критическая масса в однозонном сферическом
реакторе на тепловых нейтронах достигается, если концент­
рация топлива вдоль координатной оси изменяется пропор­
ционально собственной функции задачи:
y5(r)~sm(nr/R3)/(nr/R3).

••

"(9.17)

При этом плотность потока тепловых нейтронов постоянна
по координате в пределах активной зоны. Причиной снижения
критической массы является лучшее использование топлива /
358

м.
мин

м.мин
J

ммин
10

\

4

опт
Рис. 9.3. Зависимость критической
массы от критического объема для
гомогенной смеси металлического
урана с водой при бесконечном
водяном отражателе:

У

МПЙ

а.з

1

опт

**м>
-2
см

1—х5 = 10%; 2—х5 = 40%; 3—х5 = 95%

Рис. 9.4. Зависимость материально­
го параметра от шага TBC в систе­
мах с высоким и низким обогаще­
нием 235 U

опт
а твс

a

wCM

в местах, где его ценность максимальна из-за минимальной
вероятности утечки рождающихся при делении ядер нейтронов,
т. е. вблизи центра активной зоны.
_ .
Такого же эффекта можно добиться в цилиндрическом
реакторе при распределении загрузки топлива в отдельных
твэлах
пропорционально
значениям
функции
Бесселя
J 0 (2,405г/Лэ) в точках размещения твэлов.
Утверждение типа (9.17) известно как теорема Герцеля,
согласно которой для получения минимальной критической
массы в тепловом реакторе необходимо добиться зоны плато
в центральной части реактора для плотности потока тепловых
нейтронов, для функции ценности (см. § 6.2) и для статистичес­
кого веса топлива (6.54).
359

9.4. Выравнивание
энерговыделения
в реакторе и ячейке
*

1. Задачи выравнивания. Выравнивание, или профилирова­
ние, энерговыделения позволяет снизить коэффициент нерав­
номерности по объему активной зоны kv и по сечениюonТВС
&твс> поднять допустимую мощность реактора W*
при
фиксированной площади поверхности теплосъема FT:
Wr = FT qFKp*T/(kv kTBCkn)
(9.18)
или снизить
минимальную площадь поверхности тепловыделе­
m
ния F™ и удешевить реактор путем снижения количества
твэлов при фиксированной тепловой мощности WT\
FrH = kvkTBCkn WT/qF^
(9.19)
В формулах (9.18), (9.19) коэффициент перегрева кп учиты>вает различные отклонения параметров от номинальных значе­
ний и включает коэффициент запаса до кризиса теплосъема.
Задачей выравнивания является минимизация приведенных
и иных коэффициентов неравномерности энерговыделения, но
при условии, что это не снизит каких-либо других, представ­
ляющих больший интерес, характеристик реактора. Так, про­
филирование топливом приводит к повышению загрузки д е ­
лящегося материала и к неэкономному расходованию нейтро­
нов. К тем же результатам приводит перегрузка отработавшего
топлива на периферии реактора. В таких случах требуется
комплексная оптимизация реактора.
2. Коэффициенты неравномерности. При расчете неравномер­
ности энерговыделения используют:
радиальный коэффициент неравномерности мощностей ТВС
г

Q(r)M

/Q(r)

—в одномерном случае;

QrBc(r)MaKC/QTBC(r), QTBC(r) = J Q(r,z)dz-B

K=i

(9.20)

0

двумерном случае;
коэффициент неравномерности энерговыделения по высоте
реактора, который в одномерном случае равен отношению
среднего энерговыделения по поперечному сечению активной
зоны на разных высотах к среднему значению этой величины
по высоте (наибольший интерес представляет, максимальное
значение этого коэффициента),
V»

kz = Q(zr™/Q(z);
(9.21)
коэффициент неравномерности по радиусу ТВС (рис. 9.5,а)
KTBc = Q(r№bc/Q(r)TBC;
360

(9.22)

1/Z активной.
зоны

WiuVb"

R

TBEVO

тес а.з
Ъ)
Рис. 9.5. Распределение энерговыделения по радиусу ТВС (а) и по радиусу
активной зоны и БЗВ быстрого реактора (6):
1 — плотность потока нейтронов; 2—энерговыделение; 3—бООтвс

"коэффициент азимутальной неравномерности в ТВС 'те­
плового реактора, который учитывает наличие в ТВС по­
глощающих или других инородных элементов, кроме твэлов,
и может быть рассчитан как отношение мощности твэла
с максимальным энерговыделением к средней мощности
твэла в сечении ТВС,

^=е(лФ)тв акс /е(^Ф)

(9.23)
коэффициент перекоса реакторного макрополя по сечению
ТВС, стоящей вблизи зоны воспроизводства в быстром ре­
акторе (рис. 9.5,6) или вблизи КГ в тепловом,
ТВ?

(k™*)w = Q(R4Bc-r0)imK),
(k^)TP=Q?r/QTJ„
(9.24)
где i?TBC—радиус размещения центра ТВС в активной зоне;
г0 — расстояние от центра ТВС до ближайшего кKCцентру
активной зоны периферийного твэла в ТВС; Q?£ —мак­
симальная мощность твэла в ТВС;
перегрузочный коэффициент, равный отношению мощности
свежей загруженной ТВС к средней мощности всех ТВС,
включая свежую, расположенных на данном радиусе активной
зоны (или вблизи от него, вплотную к свежей ТВС),
* £ с Г Р = Q № Ф)твс / Q 08, Ф)твс
(9.25)
Иногда под коэффициентом неравномерности понимают
отношение энерговыделения в данной точке к среднему,
например

кг(г) = <2(г)/Ш).

(9.26)

t

Такого типа коэффициенты неравномерности можно назвать
текущими. Их максимальные значения совпадают с перечис­
ленными выше коэффициентами, а минимальные kr(r)<l9 если
Q{r)<QiF).
361

Рис. 9.6. Распределение плотности потока
тепловых нейтронов по радиусу твэла:
1 — оболочка; 2—топливо

В формулах (9.20)—(9.26) пред­
полагалось, что берутся отношения
мощностей (энерговыделений за
единицу времени) в единичном объ­
еме гомогенизированной активной
зоны или в объеме какого-либо
гетерогенного элемента
Q = j:f<bEf.
(9.27)
Однако наибольший интерес представляет отношение (9.27)
к площади поверхности покрытий твэлов, т . е . поток тепла
через единичную площадь поверхности твэла qF, так как
именно эта величина определяет перепады температур в твэле
и вблизи него: qF = Q/ETB.
Коэффициент неравномерности тепловой нагрузки поверх­
ности твэла (поверхностной мощности твэла) по объему
активной зоны равен отношению максимальной плотности
теплового потока через ,поверхности твэла к плотности,
усредненной по объему активной зоны. Для цилиндрического
реактора
'
kv^qTKC{r,z)I^A^Yy
(9.28)
В цилиндрическом реакторе с разделяющимися перемен­
ными (см. § 3.3, п. 2) kv можно записать в виде двух
сомножителей—коэффициентов неравномерности по радиусу
кг и по высоте реактора kz:
kv = krkz; kr=qTKC{r)1qAr)\
kz = qTKC(z)/q(r)- '(9.29)
3. Тепловой поток. Найдем связь тепловой нагрузки поверхности_твэла со средней плотностью потока нейтронов в топ­
ливе Фтоп (рис. 9.6) «и макроскопическим сечением деления
в топливе Е} оп . В 1 см 3 топлива происходит ФТоп(0 £™п делений
за
1с 1Х и
выделяется
мощность
Е/ФТОП(г)1/}ОП
(Ef = 3,2-10"оп Дж— энергия, высвобождающаяся при одном
делении; Е} — среднее по, энергии нейтронов и объему топлива
сечение деления). Полная мощность в объеме твэла, отнесенная
к площади его поверхности Ртв = Нйг3кс1тв, равна поверхностной
мощности, или плотности теплового потока:
> F = ^ T O n ( r ) Z } o n K- n /F TB ,

(9.30)

где К™п = # а . 3 -d? o n — объем топлива в твэле. Как плотность
потока нейтроноц, так и qF, входящие в (9.30), зависят от
362

места расположения "*твэла в активной зоне (координаты г)
и, вообще говоря, высотной координаты z [если считать, что
в (9.30) рассматривается не весь твэл, а его часть единичной
высоты]. При расчетах объемного распределения плотности
потоков нейтронов активная зона реактора обычно гомоге­
низируется (см. § 3.1), при этом полный объем топлива
Ктоп условно увеличивается до объема активной зоны
Ка>3,
оп
ядерная концентрация делящегося нуклида JT$ (и Е} ) снижа­
ется в отношении Утои/Ул.3. Плотности средних потоков
нейтронов в топливе или в активной зоне в результате
гомогенизации не изменяются:
ф

=

w
^т

ф =

w
Zi

• ф

=ф

(9 31)

так как
В гомогенизированной активной зоне с макроскопическим
сечением деления ЕДг, z) объемное распределение поверхност­
ной мощности твэлов
. qP(r, г) = Ф(г, z)Z / (r, z) Ктоп(г, z)Ef/Fn(r,

z),

(9.32)

где FTB(r9 z) — площадь наружной поверхности оболочек твэлов,
отнесенная к единичному объему активной зоны в точке
с координатами (г, z).
Если активная зона компонуется из идентичных цо геомет­
рическим размерам твэлов, то множители VTOn(r, z)/FTB(r, z)
при вычислении коэффициентов неравномерности (9.29) со­
кращаются. Следовательно, при вычислении коэффициентов
неравномерности вместо qF(r, Z) можно использовать произ­
ведение Ef Ф (г, z) Е/ (г, z) ~ Q (г, z). В ряде случаев Е/ (г, z Упостоянно по объему активной зойы, и вместо вычисления
к % (коэффициента неравномерности энерговыделения) можно
рассматривать объемную неравномерность плотности потока
нейтронов к у'.

- k«,~k%~kf = k?k?;
к? = ФМЛКС(г)/Ф(г); к? = Фъл™(г)/Ф(г).
Указанный подход справедлив в одногрупповом и иногда
в двухгрупповом приближении (если принято Е /б =;0). В мно­
гогрупповом приближении
- qF (г, z ) - £ф, : (г, z ) 1 л (г, z ) KTB(r, z) Ef/FTB (г, z )5
363

где j—номер энергетической группы. В этом случае S ^ не
сокращаются в kv, даже если они постоянны по объему
активной зоны.
Оценим к у в однозонных реакторах различной геомет­
рической формЫ| в которых отражатель заменен эффективной
добавкой 5эф. Плотность потока нейтронов и энерговыделение
максимальны в центре однородных реакторов.
Коэффициент неравномерности по объему сферы совпадает
с к„ и с учетом (3.69)
cos а

а

К

1+5эф/Да

В цилиндрическом реакторе £j> = /tr/t2, а распределение
плотности потока нейтронов описывается выражениями (3.82)
и (3.98). Тогда
fCf —

р

Р

2Ji(P)'

К=

2,405
1 +§эф/Диз

я/2
*

sin у

1+25 эф /# а .з

В реакторе в форме куба со стороной а и эффективным
размером аэ = а + 25эф объемный коэффициент неравномерности
3
/С у — *^х *^у ^z — *^ X ) и с учетом (3.114)
smo

5^

п12

1+25 э ф /я

Результаты расчетов коэффициентов неравномерности пред­
ставлены в табл. 9.3 и на рис. 9.7.
-Графики на рис. 9.7 универсальны для реакторов любого
размера и * состава. При равных значениях отношений
5эф и размеров наиболее низкие kv имеет сферический реактор.
Улучшение отражения нейтронов
/с
и увеличение эффективной добавки,
у 1
определяемой по формуле (3.124),
J5
,
,2
снижает kv ввиду уменьшения утеч­
,J
ки нейтронов.
kv
JO
t
4. Причины неравномерности
и способы выравнивания энерговы­
25 деления. Утечка нейтронов через
t
наружную поверхность активной
20
зоны является первой причиной, вы­
t
^
7
^
>2
зывающей неравномерность энерго­
15
выделения в реакторе. Отражатель
^ * Z
_
7
снижает утечку и, как правило,
10

' о

I

oi

I

I

oz

03

7

7

W«('W")
364

Рис. 9.7. Коэффициенты неравномерности
в реакторах различной формы:
7 — куб; 2—цилиндр;

3—сфера

Т а б л и ц а 9.3. Коэффициенты неравномерности энерговыделения в однозонных
реакторах с отражателем
S

эф/Я а з'

Сфера

Цилиндр

Куб

25,ЭАф/я;
' »
25зф/Яа?ч

0
0,1
0,2
0,3 •
0,4

а

/V -у

Р

К

V

kz

/С у

5

К

3,14
2,85
2,62
2,42
2,24

3,29
2,56
2,19
1,9
1,72

2,405
-2,18
2,0
1,85
1,72

2,31
1,95
1,73
1,59
1,48

1,57
1,43
1,31
1,21
1,12

1,57
Ь45
1,35
1,29
1,25

3,62
2,82
2,34
2,05
1,84

1,57
1,43
1,31
1,21
1,12

1,57
1,45
1,35
1,29
1,25

Ь-куб
/V у-

3,86
3,05
2,45 •
2,14
1,94

выравнивает энерговыделение в том случае, если на расстояниях
примерно (1 -=- 2) J*?T от границы активной зоны теплового
реактора отсутствуют поглощающие материалы. Выравнивание
только отражателем за счет выбора материала или увеличения
его толщины ограничивается в тепловом реакторе условием
равенства удельных энерговыделений в центре и на границе
активной зоны (рис. 9.8).
Профилирование поглотителем ( 10 В, 2 3 8 U и др.) — один из
основных способов выравнивания энерговыделения, осуществ­
ляемого. в высокотемпературном реакторе различным объем­
ным содержанием в шаровых твэлах 23 ^U, в начальных
загрузках реакторов АЭС—дополнительными поглотителями,
в водо-водяных транспортных реакторах—с помощью самоэкранирбванных выгорающих поглотителей (СВП). (п. 9.5.3).
Выгорающие поглотители влияют на выравнивание энер­
говыделения как непосредственно — благодаря их неоднород­
ному размещению по объему активной зоны, так и косвенно —
путем снижения. избыточной реактивности в начале кампании
реактора и уменьшения в результате этого глубины погружения
поглощающих стержней.
1„Л
2

I

ЧР

дт/см

Рис. 9.8. Оптимальное распределение энерговыделения в реакторе с отража­
телем [qF(0) = qF(R&.3)]
Рис. 9.9. Радиальное профилирование поглотителем
365

Рис. 9.10. Высотное профилирование поглотителем
Рис. 9.11. Временной ход реактивности в реакторе с СВП

Содержание поглотителя должно быть больше в тех
областях активной зоны, в которых плотность потока ней­
тронов перед профилированием была выше, т. е. обычно
в центре активной зоны. Рассмотрим особенности профилирова­
ния поглотителем на примере использования СВП. Последние
представляют собой стержни с поглотителем, размещаемые
в свободных местах ТВС или вместо некоторых твэлов. При
профилировании определяются концентрация поглотителя
в СВП, число СВП в ТВС или диаметр СВП. Простейшим
случаем является создание двух зон по радиусу реактора
с различной ядерной концентрацией
поглотителя в стержнях
r
r
СВП ,УГП1 и JVu2, причем J ni>J u2
(рис. 9.9). Повышенное
- поглощение нейтронов в центральной части реактора эквива­
лентно их убыли за счет утечки на периферии, что приводит
к выравниванию радиального распределения плотности потока
тепловых нейтронов.
Высотное выравнивание может осуществляться с помощью
уменьшения высоты СВП и создания областей без поглотителя
в верхней и нижней частях активной зоны (рис. 9.10). При
использовании выгорающих поглотителей реактивность близка
к нулю в течение всей кампании (рис. 9.11); органы компенсации
реактивности вводятся на меньшую, чем в том же реакторе,
но без СВП, глубину и меньше искажают распределение
энерговыделения по высоте реактора.
Введение подвижных поглощающих элементов в верхнюю
часть однородной активной зоны является второй причиной
неравномерности энерговыделения. Профилирование выгора­
ющим поглотителем может "быть статическим, т. е. не учи­
тывающим движения органов регулирования, и динамическим
с применением укороченных сверху СВП. В результате плот­
ность потока нейтронов в верхней части активной зоны
поднимается и коэффициент неравномерности kz увеличивается.
Погружение сверху в активную зону органа регулирования
приводит к снижению к2 и в целом—к более оптимальному
профилированию.
366

_

Нестабильность распределения энерговыделения в процессе
работы реактора также приводит к необходимости использова­
ния динамического профилирования. В быстрых реакторах
нестабильность связана с увеличенной скоростью накопления
плутония в центральной зоне малого обогащения, создаваемой
для выравнивания энерговыделения. Следовательно, в начале
кампании энерговыделение в центральной зоне необходимо
снизить ниже оптимального уровня, чтобы вначале в процессе
выгорания k р улучшался и лишь позднее начал бы ухудшаться,
обеспечивая в целом по кампании лучшие показатели, энерго­
съема.
В ряде случаев подвижные поглотители могут * быть ис­
пользованы для профилирования энерговыделения. В рабочем
состоянии судового реактора или технологического высокотем­
пературного реактора должна иметься избыточная реактив­
ность, обеспечивающая выход из йодной ямы. Подавление
этой реактивности с помощью рабочего органа компенсации,
полностью погруженного в центральную часть активной зоны,
не вызывает искажений, энерговыделения по высоте и оказывает
дополнительное профилирующее воздействие на радиальное
распределение энерговыделения. Заметим, однако, что данный
вопрос сложнее, чем это представляется на первый взгляд,
так как удаление органа компенсаций при выходе из йодной
ямы в конце кампании может привести к значительным
искажениям энерговыделения из-за недовыгорания топлива
в области размещения компенсирующих элементов ввиду
низкой плотности потока тепловых нейтронов в этом месте
при работе реактора.
В реакторах, имеющих большое число компенсирующих
стержней с отдельными приводными механизмами, вырав­
нивание радиального распределения достигается путем оп­
тимизации очередности погружения или удаления стержней из
активной зоны. Стержни опускаются каждый в отдельности
на полную высоту активной зоны в места с повышенным
энерговыделением и удаляются из областей с низким энер­
говыделением, например из периферийных областей активной
зоны.
В кипящих водо-водяных реакторах плотность теплоноси­
теля по высоте заметно изменяется по мере его нагревания
и образования пара при прохождении через активную зону,
что является третьей причиной неравномерности энерговыделе­
ния. Вследствие снижения плотности воды ухудшаются раз­
множающие свойства среды и уменьшается энерговыделение
в верхней части активной зоны. В этих реакторах подвижные
органы компенсации могут оказать положительное влияние
и на высотное распределение энерговыделения, если их вводить
в активную зону снизу. Дополнительное профилирование
367

достигается с помощью твэлов с неравномерным по высоте
размещением, поглотителя (Gd) в топливе и заменой части
твэлов трубками с водой. Вода способствует росту энерго­
выделения в области пара, а поглотитель снижает его в области
подогрева воды в2 3нижней
части активной зоны.
8
Использование
и в качестве поглотителя также оказывает
профилирующее действие в ряде реакторов, обеспечивая од­
новременно полезное, т. е. с воспроизводством, поглощение
нейтронов. В высокотемпературных реакторах этого можно
достичь,
изменяя состав топлива в твэлах—содержание
в них
238
235
U при приблизительно одинаковом содержании
U. Ша­
238
ровые твэлы с более высоким содержанием
и располагают
в центральной .части реактора.
В быстрых реакторах значительное воздействие на ради­
альное распределение энерговыделения оказывают топливные
регуляторы, размещаемые в реакторах небольшой
мощности
238
в их центральной части и2 3 8содержащие
и в качестве
поглотителя. Конструктивно
U размещен в экранной части
топливного регулятора и вводится в активную зону в начале
работы после частичной перегрузки.
В больших быстрых реакторах с небольшой утечкой
нейтронов коэффициент воспроизводства в активной зоне
(КВА) может достигать 1 и даже несколько превышать ее.
В этом случае топливо, сгорающее в активной зоне, восп­
роизводится и реактивность почти не изменяется в процессе
выгорания топлива (см. рис. 8.1). Постоянство состава активной
зоны по делящимся нуклидам обеспечивает хорошую стабиль­
ность распределения энерговыделения.
Стабильность распределения энерговыделения обеспечива­
ется также в режиме установившихся непрерывных перегрузок
топлива, например в высокотемпературных реакторах с ша­
ровыми твэлами. Стабильность распределения облегчает гид­
равлическое профилирование, так как при нестабильных рас­
пределениях гидравлическое профилирование осуществляется
по огибающей распределений энерговыделения, что ведет
к увеличению мощности на прокачку теплоносителя и к его
недогреву.
Рассмотрим профилирование энерговыделения топливом. Со­
держание делящегося нуклида в твэлах в периферийной части
реактора должно быть более высоким, чем в центральной
(рис. 9.12). Этого можно достичь в быстрых реакторах раз­
личным обогащением тяжелых атомов плутонием {профилирова­
ние обогащением), а также различным диаметром твэлов или
разной плотностью топлива при постоянном обогащении
{профилирование составом). Скачок энерговыделения или плот­
ности .теплового потока на границе зон( профилирования
(зоны
2)
в
1 и 2) равен отношению обогащений х 9 /*9
первом случае
368

D макс __
I"
-

и

- «макс
~%F2

г

i

1
О

z„<zlz
Г,

z\

а

^

R3

г

ТВС1

<Дтвсг

\

I

\— »
Г
»Э

г

1

-ч

Рис. 9.12. Профилирование обогащением топлива

~~

Рис. 9.13. Профилирование замедлителем

и отношению диаметров d^/d™ во втором, так как объемная
мощность пропорциональна квадрату диаметра, а поверх­
ность—диаметру твэла. Положительное воздействие на вырав­
нивание оказывает не только скачок энерговыделения, обус­
ловленный различием макроскопических сечений деления, но
и увеличение на периферии активной зоны плотности рождений
быстрых нейтронов, пропорциональной Е/ в активной зоне.
Повышенная плотность, топлива в периферийных твэлах
одинакового диаметра повышает KB и стабилизирует ради­
альное распределение энерговыделения в быстрых реакторах
во времени при постоянном обогащении и профилировании
составом.
В реакторах на тепловых нейтронах при профилировании
обогащением урана может происходить увеличение нерав­
номерности радиального распределения плотности потока те­
пловых нейтронов вследствие более высокого Е а на периферии
реактора». Однако результирующий эффект профилирования—в
целом положительный.
Заметим, что профилирование топливом в ряде случаев,
например в транспортных реакторах, целесообразно вводить
в дополнение к профилированию поглотителем. Комбинация
этих (и других) приемов выравнивания энерговыделения в од­
ной активной зоне позволяет скорее достичь общего поло­
жительного эффекта, нежели использование различных способов
по отдельности.
Недостатком, связанным с профилированием топливом,
является повышение критической массы ввиду снижения цен­
ности топлива при его перенесении на периферию активной
зоны.
В реакторах на тепловых нейтронах возможно профи­
лирование замедлителем — плотностью замедлителя или шагом
ТВС. Шаг ТВС или плотность замедлителя увеличивается
от центра к периферии монотонно либо скачкообразно
24 Заказ 2739

369

(рис. 9.13). Выравнивание обусловлено увеличенным сечением
поглощения в единице объема гомогенизированной центральной
зоны, что ведет к снижению плотности потока нейтронов.
В этом способе профилирования выравнивание #р(г, z) (9.30)
обусловлено выравниванием плотности потока нейтронов, так
как все твэлы в реакторе идентичны и E//F TB (9.32) постоянно
для каждого из них.
К недостаткам этого способа профилирования нужно от­
нести меньшую в среднем по активной зоне удельную площадь
тепловыделяющей поверхности, а также нестабильность рас­
пределения энерговыделения, связанную с более жестким
спектром, большим значением 1—фв и более интенсивным
накоплением плутония при выгорании топлива в центральной
зоне, что ведет к увеличению E/i/X/2.
В исследовательских реакторах с центральной замедляющей
полостью (ловушкой быстрых нейтронов) ухудшение распре­
деления энерговыделения обусловлено всплеском плотности
потока тепловых нейтронов в полости и в прилегающих к ней
частях активной зоны (рис. 9.14). Внесение в активную зону
ловушки увеличивает плотность потока нейтронов на ее
внутренней границе и одновременно радиальный коэффициент
неравномерности практически в одинаковое число раз, так
как площадь центральных областей цилиндрической активной
зоны невелика и средний по объему поток нейтронов прак­
тически не изменяется. Противоположный по влиянию на
кг случай—всплеск около отражателя. Снижение энерговыделе­
ния вблизи полости или отражателя можно осуществить
размещением слоя поглотителя тепловых нейтронов между
замедлителем и активной зоной либо снижением концентрации
делящихся нуклидов в твэлах, примыкающих к полости (зона
1 на рис. 9.14) или к отражателю. Ухудшение качества
отражателя* также можно считать способом профилирования.
Помимо коэффициентов объемной неравномерности гомогени­
зированной активной зоны при тепловом расчете реактора
необходимо учитывать коэффициент неравномерности по ТВС
(топливному каналу) &твс, обусловленный стоком тепловых
нейтронов из области их рождения в замедлителе в область, где
©ни преимущественно поглощаются,— в топливо и теплоноситель.
Выравнивание энерговыделения в ТВС осуществляется теми
же способами, что и выравнивание энерговыделения в реакторе:
топливом
(основной способ) — путем увеличения количества
235
U в центральных твэлах ТВС, поглотителем — путем его
размещения в кожухе канала или вблизи него, замедлителем —
путем создания в центре канала полости с замедлителем за
счет удаления центральных твэлов (рис. 9.15).
Уменьшение шага ТВС — хороший способ снижения ктвс,
так как эта мера влияет на основную причину, вызывающую
370

Рис. 9.14. Коррекция поля энерговыде­
ления вблизи замедляющей полости

Ф;

Замедлитель
«^
Активная
(*Ф1 <

зона
hz)

Рис. 9.15. Распределение энерговыде­
ления в непрофилированной ТВС (а)
и при профилировании замедлителем
(б), поглотителем (в) и топливом (г):
Т—зона с топливом; 3—замедлитель; П—
зона поглощения

макс!

Ш1№
я* (г)

r r

iz

R

r

r

f

r

z

"*

П r

г)

неравномерность энерговыделения, т. е. на количество замед­
лителя, находящегося между ТВС и являющегося источником
тепловых нейтронов, стекающих в ТВС.
5. Расчеты профилирования осуществляются путем вариант­
ных расчетов многозонных и многомерных реакторов в раз­
личных групповых приближениях. В тепловых реакторах пред­
варительно рассчитываются константы активной зоны для
различных ячеек ТВС, из которых она состоит.
В расчетах учитывается выгорание топлива и движение
органов регулирования реактивности. Минимизироваться долж­
ны максимальные коэффициенты неравномерности, реализу­
ющиеся в один из моментов времени на протяжении всей
кампании реактора с учетом перегрузок топлива.
Выравнивание по радиусу активной зоны топливом или
поглотителем можно оценить с помощью одногруппового
одномерного расчета двухзонного по радиусу реактора (см.
§ 3.4, п. 3). При необходимости предварительно делается расчет
двухзонной или многозонной ячейки (см. § 3.5).
Рассмотрим расчет трехзонной цилиндрической ячейки при
радиальном профилировании топливом, поглотителем или.
замедлителем. Состав зон ячейки приведен в табл. 9.4.
Запишем решения уравнений диффузии тепловых нейтронов
для зон ячейки с учетом условия ограниченности плотности
потока нейтронов в центральной зоне при г = 0 и граничного
условия Ф'3(Ляч) = 0 на внешней границе ячейки при г = Ляч:
24*

3

^

/

Т а б л и ц а 9.4. Состав зон трехзонной ячейки
Способ
выравнивания

Первая зона (0 — Гх)

Топливом

Твэлы
тель +
Кожух
титель
Твэлы
тель +

Твэлы + теплоно­
ситель
Твэлы + теплоноси­
тель
Замедлитель

Поглотителем
Замедлителем

<bi(r) =

(г 2 —Я*ч)

+ теплоноси­ Замедлитель
кожух ТВС
• »
ТВС + погло­
+ теплоноси­
кожух ТВС

»

aol0(r/Xrl)+(&.K)u

<b2(r) = a1l0(r/J?r2)+a2K0(rJJ?r2)
Ф 3 (г) = а 3

Третья зона

Вторая зона (гА — г2)

+ (?,ZsKh;
+ Й2Да)3.

Ь-1

Константы а0 — аъ найдем из условий сшивки плотностей
потоков и токов нейтронов на границах между зонами:
при г — Гх

Ф1(р1г1)=Ф2(р2г1),

ДхФПР^Ь^ФЖг!);

при г=г 2
Ф2(Р2Г 2 ) = Фз(РзГ 2 ),

^2Ф:2(Р2^2) = ^ЗФЗ(РЗ^2),

где P,-=l/J£?Ti; Xl^D,^
Z>,= l/3E,ri;
X^=l/SaJ.
Система из четырех неоднородных алгебраических уравнений
решается, например, методом исключения Гаусса. Определив
константы, найдем коэффициенты неравномерности энерговы­
деления при профилировании:
топливом
ктвс

= ^Щ19

Л
qU2(r) = qi(r) 4+?2(г)
I 1 -Л4 Ь
Г2

01.2 0")

Я\(г)=— \qi(r)rdr,

q2(r)=-—-

\q2(r)rdr,

\

Г2

#Дг)~ФДг)Е л ;

0

поглотителем
ф /у \ макс

2

*ТВС
w = —— -> * i ( r ) = - | Ф 1 (r)r<fr, ?1(г)~Ф х (г);
Фх(г)

372

г

1

О

замедлителем
Г

2

ф

/учмакс

Агтвс= 1 — - ,
Ф2(г)

2

Ф2(г)=-2—5 |Ф2(г)г</г,
ri-rf
г

? 2 (О^Ф2(г).

1

Профилирование проводится до достижения минимума ктвс.
Оптимальное профилирование характеризуется равенством эне­
рговыделений в точках гх и г2 при профилировании топливом
и замедлителем и практическим постоянством энерговыделения
в первой зоне при профилировании поглотителем. В последнем
случае вблизи оптимума производная от плотности потока
нейтронов в точке гх меняет знак с положительного на
отрицательный.

Л 5. Регулирование
9.5.1. Задачи и способы
реактивности

реактивности
регулирования

1. Регулирование реактивности—это подавление или высво­
бождение реактивности с помощью каких-либо внешних по
отношению к активной зоне устройств с целью компенсации
(достижения равновесия) изменений реактивности, происходя­
щих в активной зоне из-за внутренних ядерно-физических
процессов, являющихся следствием различных технических
действий (разогрева, работы на мощности и т. д.).
Перечислим основные режимы, в которых возникает необ­
ходимость регулирования реактивности:
подавление избыточной реактивности и создание подкритичности в остановленном реакторе;
обеспечение выхода в критическое состояние и подъема
мощности до греющего уровня;
высвобождение или подавление реактивности при разогреве
до рабочей температуры теплоносителя и при выходе на
номинальную мощность;
высвобождение или подавление реактивности при работе
на мощности и выгорании топлива и выгорающих поглоти­
телей;
ручное или автоматическое регулирование для поддержания
заданного уровня мощности или обеспечения перевода реактора
на другой уровень мощности;
быстрое глушение реактора с целью его остановки при
аварийной защите;
поддержание критичности при перегрузках топлива на ходу;
в тепловых реакторах—высвобождение135 реактивности
при стационарном отравлении реактора
Хе и 149Sm,
373

высвобождение или подавление реактивности при нестационарном
отравлении после изменения мощности или при пуске
в состоянии йодной ямы реактивности после остановки;
подавление реактивности с целью остановки реактора.
Конец кампании реактора определяется моментом, когда
реактивность обращается в нуль или снижается до необ­
ходимого оперативного запаса в горячем, равновесно отрав­
ленном состоянии реактора при положении органов регулирова­
ния, обеспечивающем максимальную реактивность.
2. При выборе способа регулирования реактивности учитыва­
ются следующие требования к органам регулирования:
эффективность системы компенсации должна быть достаточ­
ной для надежного гашения цепной реакции в любой момент
кампании реактора с учетом возможности выхода из строя
наиболее эффективного органа регулирования;
искажения распределений энерговыделенця при работе си­
стемы регулирования должны быть по возможности минималь­
ными;
выбранный способ регулирования не должен приводить
к существенному увеличению размеров реактора;
паразитная эффективность в положении органа регулирова­
ния, когда реактивность максимальна (она проявляется как
рост реактивности при полном удалении органа регулирования),
должна быть минимальной;
органы регулирования должны быть достаточно быстро­
действующими, если это необходимо.
3. Способы и методы регулирования реактивности основаны
на изменении вероятностей различных событий, происходящих
- с нейтронами, и включают:
воздействие на вероятность утечки нейтронов из активной
зоны путем изменения длины миграции нейтронов, размера
активной зоны, вероятности отражения нейтронов отражателем;
воздействие на вероятность поглощения нейтронов деля­
щимися ядрами путем изменения числа поглощающих ядер,
находящихся в зоне цепной реакции;
воздействие на вероятность рождения нейтронов путем
изменения числа делящихся ядер в активной
зоне.
2
2
Эти вероятности влияют на К^, М , В , а следовательно,
\на КЭф и реактивность реактора.
4. Целью регулирования реактивности является поддержание
реактивности в любых рабочих режимах реакторов вблизи
нуля с отклонениями, не превышающими примерно 1/2235
эф­
фективной доли запаздывающих нейтронов, т. е. в случае
U
р = 0 + 0,003 А К/К. При сообщении реактору реактивности, пре­
вышающей эффективную долю запаздывающих нейтронов р эф ,
происходит неуправляемый разгон реактора на мгновенных
нейтронах с трудно предсказуемыми и в большинстве случаев
374

нежелательными последствиями. При отклонениях реактивности
в сторону ниже нуля реактор «глохнет», <г. е. останавливается.
В заглушённом состоянии в реакторе должна быть обес­
печена подкритичность не ниже, чем примерно 0,05, или не
ниже 0,01 в состоянии перед пуском со взведенными стержнями
аварийной защиты.
Наиболее широко используется способ регулирования с из­
менением вероятности поглощения нейтронов.
Заметим, однако, что приведенное разграничение вероят­
ностей во многом условно и отмечает как бы основную
причину изменений реактивности, которые обычно сопровож­
даются изменением и других вероятностей событий в судьбе
нейтрона. Так, например, введение в центр небольшого ре­
актора поглощающего стержня изменяет форму основной
гармоники потока нейтронов и повышает утечку нейтронов.
Причем соотношение компонент поглощения и утечки в сум­
марном вкладе в реактивность может быть даже равным.
9.5.2. Регулирование реактивности
подвижными
поглотителями

твердыми

1. Поглощающие материалы отдельных регулирующих
стержней (элементов другой формы) или механически объ­
единенных групп стержней—компенсирующих групп (КГ) —
должны содержать элементы с большим средним по всем
изотопам, входящим в элемент, сечением поглощения для
тепловых нейтронов сгат и большим резонансным интегралом
/. В тепловых реакторах основную роль играет сгат, в быст­
рых—резонансный интеграл и сечение поглощения быстрых
нейтронов.
Для целей регулирования реактивности наиболее пригодны
следующие химические элементы (в скобках дается 2отношение
теплового сечения к резонансному интегралу в 10 7 4 см 2 , или
барнах): бор (сг ат //= 754/280), кадмий (2537/0), самарий
(5828/1790), европий (4406/4080), гадолиний (46 600/67), индий
(194/3700), родий (149/575), диспрозий (936/0), гафний (101/2800),
придай (440/2000), ртуть (374/73), тантал (21/1110), серебро
(65/841).
За приведенные цифры ответственна лишь часть изотопов,
входящих в состав элемента. Поэтому поглощающие показа­
тели материала можно повысить его изотопным обогащением.
Практически эта мера10 применяется по отношению
к бору,
Х1
содержащему 19,8% В с а ат = 3813 б ( В с содержанием
80,2% не поглощает).
Поглощающая способность материала может быть значи­
тельно увеличена при комбинации поглотителей с большим
тепловым сечением и поглотителей с высоким резонансным
375
10

интегралом. Общую эффективность стержня можно повысить,
применив оболочку стержня из поглощающего материала.
В практически используемых устройствах наиболее упот­
ребителен бор в виде карбида бора, бористой стали, смеси
бора с графитом и т. п. Бор сравнительно хорошо поглощает
и тепловые, и быстрые нейтроны, так как сечение поглощения
падает с энергией нейтронов не слишком быстро—по закону
l/v. Применяются также оксиды самария и европия, гадолиний,
сплав индий—кадмий—серебро и др.
Достоинства естественного бора—его доступность, низкая
стоимость, сохранение поглощающей способности при исполь­
зовании в быстрых реакторах. Недостатки (бора—поглощение
исходным ядром ^ В лишь одного нейтрона и заметное
снижение из-за этого эффективности при длительной работе
в нейтронном потоке высокой плотности, образование при
поглощении нейтронов ос-частиц с энергией 2,8 МэВ, вызыва­
ющих нагревание стержня и его распухание в результате
накопления атомов гелия.
Недостатков, присущих бору, лишены (л, у)-поглотители,
например европий—широко применяемый, но более дефицит­
ный и дорогостоящий по сравнению с бором материал.
2. Требования к поглотителю. Технологические требования
сводятся к малому распуханию поглощающей матрицы, т. е.
отсутствию реакций (п, ос) и (л, р) образования газообразных
гелия и водорода; температуростоикости и жаропрочности
поглотителя и покрытия стержня, особенно при отводе тепла
лучеиспусканием в гильзах или каналах без теплоносителя;
технологичности, отсутствию взаимодействия между поглоти­
телем и оболочкой, доступности, низкой стоимости, иногда—
конструкционной прочности (гафний).
Нейтронно-физические требования: максимальная поглоща­
ющая способность материала, достигаемая иногда в тепловых
реакторах' за счет подбора смеси тепловых и резонансных
поглотителей (гафний—самарий и др.); стойкость к выгоранию
и потере компенсирующей способности за счет поглощения
одним ядром поглотителя более одного нейтрона (европий,
самарий); минимальное внутреннее энерговыделение—лучше
(л, у)*, поглотители малого диаметра и с низким удельным
весом для меньшего самопоглощения энергии у-квантов; в вы­
горающих поглотителях — наличие только нуклидов с высоким
микроскопическим сечением, переходящих при поглощении
нейтрона в непоглощающий изотоп; нежелательность
накоп­
10
7
ления
в
стержне
трития
—
бор
плох
из-за
реакций
В(л,
a)
Li
7
3
и 1л(л, п\ а) Н.
3. Связь эффективности стержня с его параметрами покажем
на примере экспериментальных зависимостей, полученных на
критической сборке из твэлов с длиной активной части 1,2 м,
376

алюминиевым покрытием диаметром3 11,4x0,7 мм и порошком
диоксида
урана плотностью 3,5 г/см с 7%-ным обогащением
235
U*. Твэлы размещались с шагами 13—19 мм по треугольной
сетке в воде комнатной температуры при бесконечном от­
ражателе (табл. 9.5). Образцы поглотителей в стальных кон­
тейнерах диаметром 11,2x0,4 мм размещались в центре сборки
в сухих стальных шестигранных вытеснителях с размером под
ключ А и толщиной стенки 0,4 мм. Ядерные концентрации
поглотителя в образцах приведены в табл. 9.6.
Влияние гильз на эффективность стержня определялось на
примере сухих вытеснителей с экранами из СБ-0—СБ-4
(составы 10—13 в табл. 9.6) в виде втулок диаметром
Т а б л и ц а 9.5. Критические параметры сборок
Шаг твэлов, мм

твэлов

А,
мм

13
15
17
19

820
517
352
277

33,8
39,0
44,2
49,4

Икр

^Н1^5

68
143
228
324

$эф>

^кр>

Доля воды,

см

см

%

22,57
20,68
17,06
19,18

30,26
47,62
59,22
67,35

9,98
7,91
7,2
- 6,85

Т а б л и ц а 9.6. Ядерные концентрации поглощающих материалов
Материал
поглотителя

Номер
образца

>

1
2
3
4
5
6
7
•

8
9
10

Sm 2 0 3
Gd 2 0 3
НЮ2
CdO
НЮ2
Sm 2 0 3
НЮ2
Gd 2 0 3
НЮ2
CdO
ioB
X1

B
B4C
Ag
In
Cd

Ядерная
концентрация,
1021 см"3

Номер
образца

Материал
поглотителя

Ядерная
концентрация,
1021 см - 3

4,814
5,132
14,11
30,66
7,854
3,065
6,687
3,436
- 7,493
13,68
47,25
11,82
19,39
43,26
8,387
3,511

11

СБ-0: Сг
Ni
Fe
СБ-1: В ест .
Сг
Ni
Fe
СБ-2: В ест
Сг
Ni
Fe
СБ-4: В ест
Сг
Ni
Fe

18,05
27,22
39,66
3,622
18,81
27,29
36,66
8,283
17,88
26,4
33,44
16,27
16,52
25,42
32,57

12

13

14
-

,

* Измерения проводились в 1959 г. под руководством Г. А. Столярова
при участии И. X. Ганева, Р. В. Гребенникова, А. Н. Камышана, В. П. Ковтуненко, Л. В. Комиссарова, Ю. А. Кравченко, В. И. Хализева.
377

о

/г

СО *Л

И
о

^
>
&
ф

*

и
••л

^

10
Z0
30
4М7 , 50dtff*c
Рис. 9.16. Зависимость относительной эффективности стержней из карбида бора
от «черноты» стержня (df=var):
А, 0> 0> _Р—шаги сборки 13, 15, 17 и 19 мм соответственно

17x1,5 мм,
надетых
на
стальную
трубу
диаметром
13,7x0,22 мм. Для определения влияния воды вблизи поглоти­
теля на его эффективность для случаев с экраном и без него
в шестигранный вытеснитель вставлялась алюминиевая труба
диаметром 23 х 1 мм, заполненная водой.
В реакторе на тепловых нейтронах эффективность стержня
линейно растет с диаметром стержня (рис. 9.16) из-за сильной
пространственной блокировки и спада плотности потока те­
пловых нейтронов практически до нуля в тонком поверхност­
ном слое стержня. Тепловые нейтроны поглощаются поверх­
ностью стержня. Блокировка быстрых нейтронов менее зна­
чительна, и они поглощаются в объеме стержня. Поэтому
в реакторах на быстрых нейтронах эффективность стержня
пропорциональна скорее его объему, чем площади поверхности.
В тепловом реакторе роль объемного поглощения менее
значительна, так как доля делений на надтепловых нейтронах
не превышает 20—30%.
В зависимости от концентрации поглотителя (бора) эф­
фективность стержня насыщается до 50% при его черноте
rfEc = 2 и до 80% при <iEc=10 (рис. 9.17). Насыщение связано
с ростом поверхностного поглощения. В случае бора насыщение
происходит не слишком резко^ из-за значительного поглощения
надтепловых нейтронов. Для малых dHc кривые эффективностей
образцов из бористой стали, нормированных на эффективность
стержней из В4С, в жестком спектре идут ниже, так как
карбид бора в этом спектре более интенсивно поглощает
нейтроны, чем бористая сталь. Очевидно, что далее все кривые
должны пересекаться, что уже наблюдается для шагов 17
и 19 мм.
Эффективность стержня растет при смягчении спектра
нейтронов в реактрре (рис. 9.18). При наличии поглощающих
378

1,0
0,8
„ «• '

"

»

*о,в
ш
о 0,4

0,1

б

10dol£ff

Рис. 9.17. Зависимость относительной эффективности бористой
«черноты» стержней:
А, 0> О» П—шаги сборки 13, 15, 17 и 19 мм соответственно

стали

от

экранов смягчение «наружного» спектра, идущего из активной
зоны, менее сильно сказывается на росте эффективности, так
как значительная часть «мягких» нейтронов поглощается
в экране. Вода до некоторого момента повышает эффектив­
ность стержня, так как дает дополнительное замедление.
Однако при смягчении спектра сборок она начинает играть

15
17Ь,*м 19
без экрана

17t,MM 19 1Ъ
Экран из Сб~0

17Ь,мм19
Экран аз С6~1

Рис. 9.18. Зависимость абсолютной эффективности стержней из различных
поглощающих материалов от шага сборки:
1 — 10В; 2—В4С; 3—Ag—In—Cd; 4—CdO; 5—НЮ2; О—воздушный зазор; ф—водяной
зазор
379

50

100 0

50

100 0

50

100

Рис. 9.19. Зависимость эффективности оксидов редкоземельных элементов от
массового содержания компонентов С в смеси для сборок с шагами 13 мм (а)
и 15 мм (б):
О — без экрана; Л—в экране СБ-0; • — в экране СБ-1

роль поглотителя и снижает эффективность стержня. При
наличии экрана из СБ-1, содержащего 1% бористой стали,
вода снаружи этого экрана замедляет нейтроны, они поглоща­
ются в экране и эффективность стержня в воде становится
заметно ниже, чем без нее.
Эффективность достигает максимума и затем уменьшается
при изменении массового содержания одного из поглотителей
от 0 до 100% в двухкомпонентных смесях поглотителей
тепловых и резонансных нейтронов (рис. 9.19 и 9.20). Оп­
тимальное содержание поглотителя тепловых нейтронов во
всех случаях.несколько превышает 50%. При учернении экрана
оптимальное содержание поглотителя тепловых нейтронов
380

В^С 6 экране из С Б-О
•10 \ ' \
5

100
С$тгЪъ->/о

0

50

100 О

50
100
Z<LQ)%

C

Рис. 9.20. Зависимость эффективности оксидов редкоземельных элементов от
массового содержания компонентов в смеси для сборок с шагами 17 мм (а)
и 19 м м (б):
О—без экрана; Л—в экране из СБ-0; D—в экране из СБ-1

снижается, что связано с ужестчением спектра и повышением
роли поглотителя резонансных нейтронов. Видно, что при
ужестчении спектра лучше сохраняет свою эффективность
стержень из карбида бора, чем из любых других комбинаций
поглотителей тепловых и резонансных нейтронов.
Направляющая труба (гильза), в которой перемещается
стержень, снижает его эффективность по закону ехр(— kArl,**)
(рис. 9.21). Значения коэффициента к приведены в табл. 9.7.
Направляющую трубу желательно делать из материала, слабо
поглощающего нейтроны.
381

1,0

1

1

CdO

лд-ln-Cd

4A°

0,5

3|

LU­

1,0

F
^

^S ¥

1

I

«4

^

\

IU

Sm203

Hf0 2

L

^ ^1
^

-

•—.

LU.

t

1,0
Gd^

\

0,5

,0

B

•

4

¥^

0,z

0,? o,6

o,8 1,0

0,1 0,4 0,6 ,0,8 1,0
4PZC9K

Рис. 9.21. Экранировка стержней из различных поглощающих материалов
трубами из бористой стали:
Л, О, 0> О—шаги сборки 13, 15, 17, 19 мм при воздушном зазоре; А, ©, ф,
В—соответствующие шаги сборки при водяном зазоре

4. Связь эффективности стержня с его положением. Отдель­
ные поглощающие стержни применяются д системах аварийной
защиты, автоматического регулирования и реже—компенсации
реактивности (КР). В быстрых реакторах в системе КР
используются топливные компенсаторы. Определение эффек­
тивности центрального стержня Ар(0) рассмотрено в § 3.4.
В теории возмущений показывается, что эффективность стержня
пропорциональна плотности потока нейтронов и их ценности.
В случае однозонного цилиндрического реактора обе функции
совпадают и компенсирующая способность эксцентрического
стержня падает как квадрат функции Бесселя первого рода
нулевого порядка (3.134).
Эффективность одиночного стержня при его погружении
в активную зону на глубину h описывается формулой теории
возмущений (3.136). Для одиночного стержня эта зависимость
симметрична относительно центра активной зоны по высоте.
Медленное изменение эффективности стержня на начальном
382

Т а б л и ц а 9.7. Коэффициент к для расчета ослабления эффективности стержня,
обусловленного направляющей трубой
Жесткий спектр

Материал стержня

Карбид бора, обогащен­
ный бор
A g - I n - C d , НЮ 2 , 1
Sm 2 0 3
Оксид кадмия

j

Мягкий спектр

Воздушный
зазор

Водяной
зазор

Воздушный
зазор

Водяной
зазор

1,2

1,5

2 .

2,5

1,73

2,29

2,5

3,4

3

3,4

3

4

и конечном участках его погружения объясняется низким
значением как плотности потока нейтронов, так и их ценности
на краях активной зоны из-за влияния утечки нейтронов (см.
рис. 3.21).
Интегральная зависимость может быть получена интег­
рированием дифференциальной эффективности (3.137) или с по­
мощью расчетов КЭф реактора со стержнями, погруженными
на различную глубину.
При определении допустимой скорости перемещения стерж­
ней следует ориентироваться на максимальное зачение dp/dh
(в центре активной зоны по высоте), которое вдвое превышает
среднее значение (dp/dh)MaKC&2Ap/H3 = 2(dp/dh).
Суммарная эффективность полностью погруженных стерж­
ней может расти при их сближении по азимуту при одном
и том же расстоянии от центра — положительная интерферен­
ция, а затем падать при их полном сближении — отрицательная
интерференция, что может быть использовано для регулирова­
ния реактивности.
5. Группы поглощающих стержней применяются для ком­
пенсации больших и медленных изменений реактивности в ре­
акторе. Для уменьшения числа приводных механизмов погло­
щающие стержни объединяют, присоединяя их к общей плите,
перемещаемой приводом с помощью одной тяги. При погруже­
нии в активную зону стержни могут входить в вытеснители,
установленные в центре топливного канала вместо нескольких
центральных твэлов, или в межканальное пространство. Расчет
эффективности группы компенсирующих стержней, или ком­
пенсирующей группы (КГ), сводится к гомогенизации отдель­
ного стержня с учетом внутреннего и внешнего блок-эффектов
[см. формулу (3.181)] с последующим расчетом многозонного
реактора в том или ином групповом приближении.
Несимметричность
интегральной
характеристики
КГ
(рис. 9.22, кривая 1) связана с вытеснением потока нейтронов
383

Af\\ \

1

Активная
зона

Th

r
/
/

/

A

/

\
\
\
\
\
H^

Ah

Рис. 9.22. Интегральная (/) и диф­
ференциальная (2) характеристики
компенсирующей группы
Рис. 9.23. Изменение нейтронных
распределений в процессе погруже­
ния компенсирующей группы на
глубину А/*кг

ФЫ

в область под группу при ее перемещении сверху вниз
(рис. 9.23). По мере дальнейшего погружения КГ начинает
входить в область максимума плотности потока нейтронов, что
ведет к быстрому росту кривой. Дифференциальная характери­
стика КГ (рис. 9.22, кривая 2), так же как и интегральная,
несимметрична с максимальным значением dp/dh в нижней
части активной зоны, существенно превышающим среднее
значение. При полном погружении группы активная зона
становится однородной по высоте и распределение плотности
потока нейтронов Ф(^) приобретает прежний (как и без КГ)
косинусоидальный характер. В конце погружения коэффициент
неравномерности по'высоте kz может достичь минимума ввиду
умеренного всплеска плотности потока тепловых нейтронов
в достаточно узкой «чистор» (без поглотителя) зоне под
группой. Переход от сильнодеформированного к косинусоидальному распределению проявляется в том, что дифференци­
альная характеристика достигает максимума и в дальнейшем
снижается практически до нуля.
6. Расчет эффективности не полностью погруженной компен­
сирующей группы. Рассмотрим КГ, составленную из идентичных
поглощающих стержней, причем на каждую ТВС приходится,^
например, один стержень, входящий в вытеснитель в центре
ТВС или в межкассетное пространство. Все стержни объединены
в единую конструкцию и при перемещении погружаются
в активную зону на одинаковую глубину. Поглотитель стержня
КГ гомогенизирован по ячейке ТВС с учетом внутреннего
и внешнего блок-эффекта (см. § 3.5, п. 5).
В одногрупповом одномерном приближении определим
зависимость эффективности стержней КГ и высотных рас­
пределений потока нейтронов и энерговыделения от глубины
их погружения. Для этого рассмотрим двухзонный по высоте
384

Рис. 9.24. К расчету эффективности не полно­
стью погруженной компенсирующей группы

реактор с экстраполированными раз­
мерами активной зоны Я = Я а 3Н-28эф,
7?э = / ? а з + 5 эф и с началом координат
на границе между зонами по высоте
(рис. 9.24).
Запишем уравнения баланса ней­
тронов для каждой из зон по высоте,
применив метод разделения перемен­
ных и учтя радиальную утечку заме­
ной (3.117):
АгФ(г)/Ф(г)=-В2,
Получим

Z

A

X
'аз
К oof

М.

г
-О

и

2
Коог

м

2

Д 2 = (2,405/Дэ)2.

-faj-Лч)
-(*-*)

A 2 O 1 (z)-a?O 1 (z) = 0;
AzO2(z) + a!<I>(z) = 0, Az = d2/dz\
где введены обозначения
а 2 = Я 2 - х ? , т.е.
а22 = к22-В2,

K^I{\+BiM\)^K^\
К^21{\+В2М2)^К^.

Критическое условие реактора
tgM)
Dla1

1ё[а2(Я-^)3__0
D2&2

(9.33)

где

...JLjQ+B'm)-!*;
(l+B?M22).
Подбор X до удовлетворения критического условия начина­
ют с его 2 наибольшего
значения,2 не превышающего
2
2
К% = Коо2/(\+В М ),
где Я Ц т г / # э ) + (2,405/Лэ)2, НЭ = Н.
При подборе X нужно удовлетворить условию положительности
плотности потока нейтронов и найти основную, всюду по­
ложительную гармонику O(z)^0. Ей соответствует собственное
число задачи X = X* — K3$: Найденное X* — максимальное из
значений, удовлетворяющих критическому условию. При этом
а2* и аI* минимальны.
25 Заказ 2739

385

Найденные при определении Кэ$ значения а\ и а \ ис­
пользуются в условиях сшивки
а0( — tha1h) + a1 [ — tga 2 (#— Л)] = 0, a0(D1oi1)-\-a1( — Z>2a2) = 0
для нахождения одного из коэффициентов, например я 1? при
произвольном значении а0, так как система однородных
алгебраических уравнений предопределена и одно из неизвест­
ных может бытьи л иположено
равным
произвольному числу.
а
если П И
Положим а0 = 1 (
о~ — 1?
Р + 1 плотность потока
везде отрицательна). Тогда a1 = D1a1/D2u*2.
Распределение энерговыделения по высоте запишем с учетом
найденных распределений плотности потока нейтронов и введем
общую для обеих зон нормировочную константу А:
9i (z) ~ [ s h ( a i z ) ~~ tb ( a l ^) c b ( a l z )] 2-/i EfA'9
^2(^) = «1[8т(а2^) + 1§[а 2 (Я-Л)]со8(а 2 ^)]2/2£'/^.
Константу А определим из условия нормировки на мощ­
ность
где средние значения функций распределения энерговыделений
в зонах реактора
а з

q1(z) = r -

/*а.з ^

^ 1 (z)rfz=-^Y^[ch(aiA a . 3 )-l-th(aiA)sh(aiA a . 3 ))];

-"а.з

''а.з
—( ^ а з - А а з )

г

= - ^ | ^ Ц j l - c o s [аНЯ а .з-/ г а .з)] +
+ 1§а 2 (Я-Л)8т[а 2 (Я а . 3 -Л а .з)][.
Коэффициент неравномерности распределения энерговыделе­
ния по высоте
9

ыт

, _д{г)

-73_—73 Л . 3 ^—ГчЛ Л а. з
, 9(z) = 9 l ( z ) - f аi +
92(z) 1

Максимальное значение энерговыделения #(z)MaKC можно
определить графически по кривой q{z) или с учетом условия
q2{z)' = 0. Для перевода плотностей потоков в абсолютные
386

величины Ф±,(г) и Ф2(^) должны быть также домножены. на
нормировочную константу А.
Зависимость эффективности стержней компенсирующей груп­
пы от глубины погружения в активную зону
Аркг(Л)=Ркг(Л = 0)-р к г (А) 5
где А = /*а.з + 8эф — глубина погружения КГ 2 с учетом эффектив­
ной добавки отражателя; ркГ(Л==0)=1 — {l+B M2)fKao2'9 Ркг(^)=
= 1 — 1 / Кэь (h), КЭф {И) = X * (Л), удовлетворяющей критическому
условию (9.33).
7. Самоэкранирующиеся элементы. К разряду твердых, пе­
ремещающихся поглотителей можно отнести и самоэкраниру­
ющиеся элементы. Сближение вплоть до соприкосновения
поверхностей двух «черных» (с cTLa^>\) поглощающих элемен­
тов (труб, шайб, пластин), находящихся в активной зоне,
приводит к уменьшению их поглощающей поверхности и росту
реактивности. Аналогичную физическую природу имеет и яв­
ление интерференции стержней, т. е. зависимости суммарной
эффективности идентичных стержней от расстояния между
ними.
Рассмотрим две тонкостенные трубы из поглощающего
материала, разрезанные пополам вдоль осевой линии, причем
наружный диаметр одной трубы равен внутреннему диаметру
другой. Поворот одной из половин до совмещения с другой
приводит к уменьшению эффективности регулятора из-за
уменьшения площади поглощающей поверхности и эффекта
самоэкранирования поглотителя (рис. 9.25, а). Привод полови­
нок труб можно осуществить биметаллической спиралью таким
образом, чтобы при местном нагреве активной зоны из-за роста
мощности в области локальной критичности трубы раздвига­
лись, уменьшая реактивность и мощность. Такой способ
регулирования может быть использован, например, для компен­
сации эффектов ксеноновой неустойчивости реактора.'
На рис. 9.25, б показаны поглощающие шайбы, вмонтиро­
ванные в трубу из непоглощающего материала, часть которых
может вертикально перемещаться с помощью тяги.. Сближение
шайб снижает эффективность регулятора и повышает реак­
тивность. В обоих случаях высотное распределение энерговы­
деления не искажается. Недостаток самоэкранирующихся эле­
ментов— остаточная паразитная эффективность в том случае,
если они не извлекаются из активной зоны.
8. Дополнительные поглотители отличаются от стержней
отсутствием исполнительных механизмов, они загружаются
и удаляются из активной зоны вручную, т. е. недостаточно
оперативно. Они могут использоваться для компенсации ре­
активности первой загрузки, осуществляемой твэлами подпитки
установившегося режима перегрузок.
25 *

387

zzzz -mm

zzzz Yzm

mn

SHZL

7Ж

7Z22L

T777

а.з

Yzm

isat

""A

>4

WZL YSti.

ZZZL E Z Z

3ZU

о.)

5)
Рис. 9.25. Регулирование самоэкранирующимися элементами — трубами (а)
и шайбами (б):
1—положение с максимальной эффективностью регулятора; 2—положение с максималь­
ной реактивностью активной зоны; 3—поглощающие трубы; 4 — поглощающие шайбы;
5—непоглощающий чехол

В реакторах на быстрых нейтронах дополнительными
поглотителями можно считать топливные сборки из отвального
урана, помещаемые в активную зону для повышения коэф­
фициента воспроизводства.

9.5.3. Выгорающие

поглотители

1. Основные критерии выбора и применения выгорающих
поглотителей (ВП). Регулирование реактивности осуществляется
с помощью твердых неподвижных поглотителей, выгружаемых
из активной зоны вместе с топливом. Выгорающие поглотители
предназначаются для компенсации реактивности, необходимой
для обеспечения выгорания топлива в активной зоне. Основная
идея их использования—переход сильнопоглощающего нуклида
при захвате нейтрона в непоглощающий. Для обеспечения
достаточно полного выгорания микроскопическое сечение по­
глощения выгорающего нуклида должно быть намного больше
сечения 2 3 5 U (табл. 9.8). Считая, что выгорание происходит
по экспоненциальному закону ,/Г(/) = ,уГ 0 ехр( — Ф5 а /), опреде­
лим отношение времени снижения концентрации поглотителя
до 1% начальной Г п (0,01) к времени выгорания 50% 2 3 5 U
Г 5 (0,5) при одной и той же плотности потока нейтронов Ф:
Гп(0,01)^1п0,01 a a5
r5(a;5)
in0,5 a ; '
где a a 5 и <J*—сечения
поглотителя (табл. 9.8).
388

поглощения

235

U

и

выгорающего

Т а б л и ц а 9.8. Данные по выгорающим поглотителям
^ест

Элемент Массовое Содержа­
число ние в ес­
тественной
смеси, %
Бор
Кадмий
Гадоли­
ний
Уран

10
ИЗ

19,8
12,3

155
157
235

14,7
15,7
0,72

8а изотопа а а изо­
топа А +
А, б
+ 1, б

см-1

103
117,7

3813
2,1-10 4

0,05
0,14

7-Ю 4
1,6-105 *
683

0
4
7

1421
32,7

а"
а

°а5

5,6
31
106
234
1

7.(0,01)
75(0,5)

1,2
0,21
0,063
0,028
6,65

Поглотители, выгорающие в нейтронном потоке прибли­
зительно такой же плотности, что и в топливе, Ф П «Ф Т ,
принято называть гомогенными, или неэкранированными. Воз­
можными местами размещения гомогенных ВП являются
материал топлива, кожух ТВС (бористая сталь) или тонкие
«серые» (JE fl <cl) стержни с поглотителем, размещаемые вблизи
кожуха. Гомогенные поглотители (особенно гадолиний и кад­
мий) выгорают очень быстро, что приводит к большому
выбегу реактивности, который приходится компенсировать
стержневым регулированием (рис. 9.26). Выбег реактивности
представляет собой разность максимальной реактивности, вы­
свобождающейся в процессе выгорания топлива и поглотителя,
и начальной реактивности, которая может быть снижена
примерно до нуля в горячем отравленном состоянии за счет
добавки в активную зону ВП.
Начальная концентрация гомогенного поглотителя невелика
(из-за высокого а£), выгорание его заканчивается довольно
быстро, и кривая изменения реактивности совпадает в даль­
нейшем с кривой выгорания без поглотителя. Для однозонного
гомогенизированного реактора начальная концентрация гомо­
генного поглотителя, снижающая Кэ$ до 1,
Jf 5,(0)

^ ^

5

( 0 )

/

Уо5ф8Ц
2 2

о^/аа5\\+В М

I*.

(9.34)

'а5

Рис. 9.26. Выбег реактивности при ис­
пользовании гомогенных выгорающих
поглотителей
389

где М2 — 5£х+т;
i—индекс конструкционных и других материа­
235
лов^ (кроме
U и поглотителя), включая ксенон и самарий.
При подборе экранированных ВП должно быть выполнено
условие равенства общего числа ядер поглотителя в начале
кампании Л^п(0)^а.з числу избыточных нейтронов иизб, об­
разующихся в реакторе за кампанию Г р :

где
п изб

wr SK^(t)dt = ^
E

SK^t),

(9.35)

fJ

$КЭф = ^эф — 1 = (^оо —Кт)/Кт; ЬКЭф(t)« —|—;
К^ определяется без учета ВП;
КГ=1+В2М2.
Равенство (9.35) вытекает из физического смысла 8А^эф,
представляющего собой число избыточных нейтронов в по­
следующем нейтронном цикле, приходящееся на 1 нейтрон
предыдущего цикла. Число нейтронных циклов принято равным
числу WTTP/Ef делений за время 7 \ .
С помощью одних гомогенных ВП невозможно поглотить
значительную часть избыточных нейтронов и обеспечить ров­
ный (без больших выбегов) ход реактивности по кампании,
поэтому применяют другие виды ВП.
В самоэкранированных выгорающих поглотителях (СВП)
используется явление блок-эффекта, т. е. уменьшение плотности
потока нейтронов вследствие экранировки внутренних слоев
стержня (или блока другой формы) наружными. Средняя
плотность потока нейтронов в стержне СВП в начале кампании
намного меньше средней плотности потока в топливе Фп^Фтоп
(рис. а9.27). Скорость выгорания поглотителя, пропорциональная
Фп(*) «> вначале мала из-за низкой средней плотности потока
нейтронов, а затем увеличивается по мере выгорания и раз­
блокировки СВП. Отношение средних плотностей потоков
нейтронов в поглотителе и топливе (полный блок-эффект
£=Ф п /Ф топ ) стремится в конце кампании к единице (рис. 9.28),
обеспечивая достаточно полное выгорание поглотителя.
При большой экранировке поглотителя в начале кампании
может наблюдаться отрицательный выбег реактивности, пе­
реходящий затем в положительный (рис. 9.29). Начальная
экранировка подбирается в этом случае таким образом, чтобы
начальная реактивность р(0) была равна реактивности в мак390

Ф (о)

Рис. 9.27. Распределение плотности потока нейтронов в ячейке с центральным
СВП
Рис. 9.28. Изменение полного блок-эффекта в СВП в течение кампании реактора

симуме положительного выбега, а реактивность в момент
отрицательного выбега была больше нуля.
При применении черных ВП с высоким микроскопическим
сечением (гадолиния, кадмия) может потребоваться повышение
начальной реактивности (рис. 9.30), чтобы скомпенсировать
большой отрицательный выбег. Использование в этом случае
гомогенных поглотителей позволяет снизить начальную реактив­
ность и получить в каждом из двух выбегов меньшую
избыточную реактивность, чем р(0) без гомогенного поглотителя.
Сравнивая коэффициенты использования тепловых нейтро­
нов в реакторе с гомогенным (индекс «г») и экранированным
(индекс «э») поглотителями из одинакового материала
0

в

^о5

Г

.

^а5

Э

J>l I

о pis

Без гвп} с свп

I
у

OfiZ

ГЧ

у?*4

*J>z\

-

/l
О

С Г ВП и с СВП

\
Г

Р

l

Рис. 9.29. Отрицательный выбег реактивности в случае экранированных СВП
Рис. 9.30. Стабилизация реактивности экранированными и гомогенными выго­
рающими поглотителями
391

получаем
^l{0) = ^Tu(0)/g,
(9.36)
где <Ж*П(0), ^^(О)—распределенные по объему ячейки или
активной зоны ядерные концентрации гомогенного (9.34) и эк­
ранированного поглотителей, снижающие Кэ$ горячего отрав­
ленного реактора до единицы.
Подбирая коэффициент экранировки g (3.181) путем ва­
рьирования характеристик ВП, таких как диаметр стержня,
число стержней СВП и концентрация поглотителя, можно
добиться равенства полного числа ядер ипоглотителя, раз­
мещенных в активной зоне, Л^п (0)^.3
полного числа
избыточных нейтронов я изб (9.35). Заметим, что (9.36) является
трансцендентным уравнением, так как J^l(0) входит косвенно
и в правую часть [в g и ££ \ в ^ „ ( 0 ) , см. (9.34)].
2. Выгорание гомогенных выгорающих поглотителей (ГВП).
Уравнение выгорания ГВП (8.28) имеет решение
^ г в п ( 0 = ^гвп(0)[1-Ф а .з(0)а а 5 /]^ Г В П /^.
Полное выгорание ГВП происходит достаточно быстро
(см. табл. 9.8), реактивность выходит на значение без ГВП,
и основная цель применения ВП — облегчение компенсации
реактивности—не достигается. Поэтому ГВП применяют
в комбинации с СВП. Лишь в редких случаях очень малой
кампании реактора ГВП применяются самостоятельно.
3. Выгорание СВП должно рассчитываться с учетом разницы
плотностей потоков нейтронов в поглотителе и топливе.
Точный расчет состоит в разбиении стержневого СВП на ряд
радиальных зон примерно одинаковой и не очень большой
«черноты» и в нахождении распределения плотности потока
тепловых нейтронов по многозонной ячейке в более высоком,
чем диффузионное, приближении.
Оценочные расчеты выгорания можно сделать в одном из
крайних приближений—по среднему потоку в стержне (модель
«просветления») и по потоку на поверхности стержня (модель
«обгорания»).
Модель «просветления» применяется для «серых» СВП (бор),
когда средний пробег нейтрона до захвата в стержневом СВП
сравним с диаметром стержня. Выгорание рассчитывается по
среднему потоку тепловых нейтронов в стержне с учетом
внутреннего и внешнего блок-эффекта (см. § 3.5, п. 5). Коэффици­
ент внутренней экранировки gt определяется с учетом эффектив­
ных граничных условий из соотношения баланса падающих на
стержень нейтронов и поглощающихся в нем (3.180).
Коэффициент внешней экранировки g2 определяется как
отношение плотности потока на поверхности поглотителя
к средней плотности потока в области топлива (3.177).
392

Уравнение выгорания СВП

решается шагами с пересчетом gt и g2 на каждом шаге
At = ti+1 — ti и имеет решение
^свп(^ + 1) = ^ с в п Ы е х р [ - Ф а . 3 ( ^ 1 ^ 2 ( ^ ) ^ а В П А / ] .
Влияние СВП на Кэ$ учитывается через коэффициент
использования тепловых нейтронов (3.175), записываемый в ви­
де вероятности нейтрону поглотиться в зоне топлива—во
второй зоне. На начальных этапах выгорания g2 = ®fa'i)/®2(r)
существенно ближе к единице, чем ^ , и в первом приближении
может не учитываться.
Модель «обгорания» применяется в случае «черных» СВП
(гадолиний), в которых пробег нейтронов до захвата много
меньше диаметра стержня и выгорание происходит с поверхно­
сти, в слое, равном 3—5 длинам свободного пробега А, а =1/£".
На внутренней поверхности слоя плотность потока тепловых
нейтронов близка к нулю, и средний поток в слое выражается
через поток в топливе и внешний блок-эффект в виде
СЛ

~

2

2 '

2

EfVa.3Xf5(ty

Уравнение выгорания
dJrCBiv(t)ldt= - Ф С л а Р п ^ с в п ( 0
решается шагами
^•свп(^ + 1) = ^свп(^)ехр(-Ф с л а в с в п Аг);

^H%ii=0,l-0,2

до снижения концентрации поглотителя в слое в 5—10 раз
по сравнению с начальным значением. После этого рассмат­
ривается следующий слой.
Коэффициент внешней экранировки g2 в процессе выгорания
пересчитывается с учетом уменьшения радиуса стержня. Ко­
эффициент использования тепловых нейтронов записывается
в этом случае в виде
7^=l+gi(ri + i)g2(r < + 1 )^ 1 ^ 1 { r < + 1 t

' = 0, At, 2At ... .

Если ВП расположены во всех ячейках активной зоны
и на всю ее высоту, то Кэф рассчитывается по формулам
для однозонного реактора. В уран-водных системах при этом
допустимо не учитывать
влияния ВП на длину диффузии,
2
так как ££\<^М .
393

zA
аз

'эф

t

"Л

А

Зона 1

I

Kooi
t

о

•аз
Зона Z

JN

Л

Csj

*?

КaoZ
-h.

M

\!

Рис. 9.31. К расчету реактора с укороченными СВП
Рис. 9.32. Изменение kz при погружении стержней компенсирующей группы на
глубину к.
1—симметричное укорочение СВП; 2—несимметричное

Если для высотного профилирования энерговыделения ис­
пользуются СВП, укороченные по высоте, то необходимо
рассматривать двух- или трехзонныи по высоте реактор
с зонами без ВП на краях активной зоны.
< 4. Расчет реактора с симметрично укороченными по высоте

СВП. Для снижения коэффициента неравномерности энерго­
выделения по высоте применяют укороченные сверху и снизу
СВП. Рассмотрим половину реактора по высоте при оди­
наковом укорочении СВП сверху и снизу (рис. 9.31).
В зоне 1 (без СВП) а 2 = х 2 - Я 2 > 0 , в зоне 2 (с СВП)
&2 = В? — К2>0. Решениями уравнений баланса нейтронов в зо­
нах будут суперпозиции действительных и гиперболических
функций
Ф! (z) = а0 sin (a i z) + а2 cos (a t z);
0 2 (z) = a 1 sh(a 2 z)-f-^3ch(a2z).
Критическое условие для определения Кэф
tg(o?i/*i) , c t h ( a 2 / i 2 ) _ Q
#iai
Z) 2 a 2 _

где
(l+5 r 2 Mf);
оо2
1+Я г 2 М1 к

394

Подбор X с учетом условия положительности потока нейтронов
до удовлетворения критического условия дает Х* = КЭф, а! = а*1?
а2 = а*2. Подставляя а\ и а*2 в уравнения сшивки потоков
и токов и полагая а0 = 1 (или я 0 = — 1 для изменения знака
функции), находим
a1=D1ai*1/D2ai*2.

Распределение энерговыделения в зонах запишем с учетом
нормировочной константы А в виде
q1(z) — AliflEf[sm(a\z)
q2(z) = AIlf2Ef

— tg(a\h1)cos(oi\zJ];

- ^ [sh(a2z) + cth(a2/22)ch(a*2z)].
02&2

Константа А определяется из условия нормировки на мощность
WT = q{z)(hr+h2)2nRl3.
(9.37)
Коэффициент неравномерности энерговыделения по высоте
kz =

q(zy™lq{z),

где

Z =

+

Z

^ ) ^^^ ^( )^k

; q2

^=

_AZnEsD1u\

Ф2{г)Л\z

h2D2(oL*2)

2

'

Ф1(г)Л-^[1-сов(а*1АГ)— tg (а*х hi )sin (a*! h\3)].
Оптимальное «статическое» профилирование состоит в до­
стижении равенства максимальных значений энерговыделения
в зонах 7 и 2 (рис. 9.32, кривая 7). Расчет несимметричного
укорочения требует рассмотрения трехзонного реактора
(рис. 9.32, кривая 2).
5. Последовательность расчета активной зоны с ВП. Рас­
смотрим схематично основные моменты, связанные с выго­
рающими поглотителями в небольшом, например судовом,
реакторе при его физическом расчете:
235
начальцая загрузка
U примерно в 2,5—3 раза превышает
235
массу выгорающего
U, равную при однократных перегрузках
395

1,25 • 10~ 3 WTTP, кг, где Тр—кампания реактора, сут; WT —
мощность, МВт;
рассчитывается начальное значение Кэф в горячем равновес­
но отравленном ксеноном и самарием состоянии; по формуле
(9.35) оценивается полное число избыточных нейтронов за
кампанию, которому примерно должно быть равно число
поглощающих и выгорающих при этом ядер ВП; эти ядра
размещаются в стержнях ВП, число которых обычно не
превышает 1—6 на одну ТВС, а диаметр, высота и плотность
поглотителя подбираются;
рассчитывается выгорание топлива и ВП в ячейке, от­
носящейся к СВП, площадь которой равна площади ячейки,
относящейся к ТВС, деленной на число СВП в ТВС; определя­
ются коэффициенты экранировки gx и g2, коэффициент ис­
пользования тепловых нейтронов &а2 и К^; находится зави­
симость Кэф от времени в приближении однозонного реактора,
если СВП не укорочены и размещены во всех ТВС;
находятся глубины погружения компенсирующей группы,
охватывающей всю площадь активной зоны, в различные
моменты кампании, распределение энерговыделения по высоте
и коэффициенты неравномерности;
в приближении двухзонного по высоте реактора оценивается
оптимальное симметричное укорочение СВП с целью высотного
профилирования и снижения kz\ эффект реактивности, связан­
ный с укорочением, скажется в основном на начальной точке
и начальном ходе изменения Кэф по кампании;
из сравнения кривых изменения кэф по кампании с учетом
ВП и без них можно судить о правильности подбора ВП, об их
недовыгорании или слишком раннем выгорании; в последних
случаях число ядер ВП уточняется и расчет повторяется;
делается расчет эффектов реактивности в различных со­
стояниях реактора и определяется эффективность органов
компенсации реактивнрсти; на эти качества реактора ВП также
оказывают влияние.
9.5А. Жидкостное
реактивности

и газовое

регулирование

1. Жидкостное регулирование реактивности применяется для
различных целей в энергетических и транспортных реакторах.
Регулирование осуществляется изменением концентрации бор­
ной кислоты (Н 3 В0 3 ) или других легкорастворимых соединений
бора, гадолиния, кадмия в общем тракте теплоносителя или
в тракте жидкого замедлителя, например D 2 0 в тяжеловодных
реакторах.
Основное назначение системы жидкостного регулирования —
компенсация избыточной реактивности на выгорание топлива.
396

Начальная реактивность горячего отравленного реактора подав­
ляется введением борной кислоты в контур теплоносителя. По
мере выгорания топлива и падения реактивности борная
кислота выводится путем пропускания части теплоносителя
через специальные ионообменные фильтры. Отсутствие высот­
ных искажений энерговыделения дает данному способу название
мягкого регулирования. Начальная реактивность, которую мож­
но скомпенсировать данным способом, определяется таким
составом активной зоны, когда полный температурный коэф­
фициент реактивности становится положительным, а реактор —
неустойчивым. Положительный вклад жидкостного регулирова­
ния в температурный эффект связан с тем, что при разогреве
и расширении воды часть поглотителя уходит вместе с водой
из активной зоны и реактивность увеличивается. Некоторые
вопросы, связанные со вводом и выводом борной кислоты,
рассмотрены ниже (см. § 11.3, п. 3).
Другое назначение жидких поглотителей—компенсация мед­
ленных изменений реактивности при изменениях отравления
реактора ксеноном и самарием. При этом снижается запас
реактивности, компенсируемый поглощающими стержнями, что
исключает быстрое аварийное высвобождение этой реактив­
ности и повышает безопасность реактора. Для этих же целей
предусмотрены резервные системы глушения реактора заливом
жидкого поглотителя в активную зону при выходе из строя
основных систем компенсации реактивности.
Жидкостное регулирование связано с большим комплексом
технологических вопросов—растворимостью, взаимодействием
поглощающего раствора с материалами, системами вывода
и подпитки и т. п. В принципе может применяться жидкостное
регулирование в отдельном контуре, но при этом всегда
встает вопрос о герметичности такого контура.
2. Газовое регулирование может применяться в отдельном
контуре, представляющем собой систему труб, проходящих
через
активную
зону.
В2 качестве поглотителя используются
3
3не
21
Не (а = 5,4-10~3 см ), а также газообразные соединения
бора. Содержание.
Не в естественной смеси изотопов невелико
5
(1,3 10~ ), что затрудняет практическое использование такой
системы. Регулирование осуществляется путем изменения дав­
ления газа в контуре. Большое быстродействие позволяет
использовать газовое регулирование в системах аварийной
защиты или при управлении газофазными реакторами, в ко­
торых возможны быстрые возмущения реактивности. Необ­
ходимо предусматривать возможность аварийного роста ре­
активности в случае утечки газа из-за возникновения негер­
метичности.
Газовое регулирование может рассматриваться как дуб­
лирующая система аварийной защиты реактора путем быстрого
397

наддува 3 Не в герметизированную графитовую кладку каналь­
ного реактора или в общий гелиевый контур высокотем­
пературного реактора. В последнем случае рассматривается
также возможность вдува и осаждения на твэлах летучих
соединений гадолиния для глушения реактора при выходе из
строя основных компенсирующих систем.
9.5.5. Регулирование реактивности
на утечку нейтронов

влиянием

1. Регулирование изменением размеров активной зоны или
отражателя влияет на экстраполированные размеры, геомет­
рический параметр и вероятность утечки нейтронов из реактора.
Энергетический спектр нейтронов при этом практически не
изменяется.
При неизменном спектре нейтронов возможно регулирова­
ние отводом отражателя, разведением половин активной зоны
и поворотными цилиндрами в отражателе.
Отвод отражателя и его частей от активной зоны увеличивает
утечку нейтронов и снижает реактивность, так как экстраполиро­
ванные размеры активной зоны уменьшаются при замене
эффективной добавки 8 эф (3.120) на длину линейной экстраполя­
ции d3 = QJlXtr. Этот способ применяется в небольших по
размеру быстрых или тепловых реакторах с твердотопливной
активной зоной, в которой размещено урановое (плутониевое)
металлическое или урангрдридциркониевое топливо. В реакторе
с жидким теплоносителем (водой) такой способ также возможен,
если используется хороший отражатель (бериллий), который
заменяется в процессе его отвода худшим отражателем (водой).
Разделение активной зоны на две части по высоте и удаление
одной половины от другой (рис. 9.33) приводит к увели­
чению осевой составляющей геометрического
параметра в
2
4 [(Яа. з + 28эф) / (Яа. з + 25эф + 2d3) ] раз, росту утечки нейтронов
и падению реактивности. В быстрых и чисто тепловых
реакторах- такая система регулирования ведет к уменьшению
реактивности с начального момента движения половин. В водоводяном реакторе с довольно жестким спектром нейтронов
в начале движения половин может наблюдаться небольшой
рост реактивности с резким повышением плотности потока
нейтронов в зазоре и вблизи краев половин. При раз движении
половин на расстояние 30—40 см взаимодействие между ними
прекращается, и они становятся отдельными реакторами с умень­
шенной реактивностью у каждого.
В газофазных или ракетных реакторах с высокими тем­
пературами в активной зоне регулирование реактивности может
осуществляться располагаемыми в отражателе поворотными
цилиндрами, часть наружной поверхности которых облицована
398

I ^

i, эгр

1/1акти8*

f-

ной зоны '

*

A

a

Активная

н.

if

w

*э
^

~э

"i
i/Z актиВнои зоны
J'
Л

эф

(fMm)

л?/

аз

зона

J

Положение 1

ажатель
^эф

Рис. 9.33. Раздвижение половин активной зоны
Рис. 9.34. Поворотные регулирующие цилиндры в отражателе

поглотителем (рис. 9.34). При вращении поворотных цилиндров
вокруг их оси поглотитель может быть подведен к активной
зоне, что препятствует возврату тепловых нейтронов в ак­
тивную зону из-за локальных областей повышенного захвата
нейтронов в отражателе. Перехват нейтронов особенно эф­
фективен в газофазных реакторах с внешним замедлителемотражателем. Диаметр цилиндров должен быть достаточным
для снижения остаточной эффективности в отведенном положе­
нии до приемлемого уровня. Функции поглощающих цилиндров
в принципе могут быть выполнены и с помощью стержневых
регуляторов или системы газового регулирования в отдельном
контуре в отражателе.
2. Регулирование реактивности изменением спектра нейтро­

нов—сдвигом спектра. Влияние на утечку с изменением спектра
нейтронов при постоянном размере актцвной зоны можно
осуществить в реакторе со смесью обычной и тяжелой воды
в качестве замедлителя (регулирование сдвигом спектра). Шаг
каналов выбирается оптимальным для легководного замедли­
теля. Для подавления начальной реактивности легкая вода
(йозраст
нейтронов
т н 0 —28 см*)
заменяется
тяжелой
т
==
2
( н о 125 см ). Увеличение длины пробега замедляющихся
нейтронов приводит к увеличению их утечки и падению
реактивности. Дополнительное снижение реактивности обус­
ловлено ужестчением спектра и ведет к увеличению резонанс­
ного захвата и некоторому падению v a5 , связанному с увеличе­
нием ое = а с / а / .
Таких же, как при сдвиге спектра, явлений можно добиться
и другими способами, например изменением температуры
жидкого замедлителя, производимым независимо от теплоноси­
теля; заменой части жидкого замедлителя газом или воздухом
путем продувки системы труб с замедлителем и т. п.
399

а)
*
5)
8)
Рис. 9.35. Регулирование реактивности изменением размера активной зоны
и спектра нейтронов:
исходное состояние с максимальной реактивностью; 1 — поворотное устройство;
2—поверхность гиперболоида вращения; 3—тяга привода; 4—неподвижные плиты

Перечисленные способы регулирования реактивности имеют
и определенные недостатки. Так, довольно трудно обеспечить
контроль содержания тяжелой воды в легкой и их разделение.
Для изменения температуры жидкого замедлителя должен
быть предусмотрен отдельный контур с нагревателями и те­
плообменниками. Ввод пузырей пара или газа чреват воз­
можностью их схлопывания и повышения реактивности.
Более приемлемым способом изменения спектра нейтронов
является вытеснение замедлителя стержнями из непоглощающего
и незамедляющего материала, например из алюминия. Вследст­
вие этого повышается также утечка нейтронов в небольших
реакторах и ухудшаются размножающие свойства среды актив­
ной зоны со снижением реактивности. Преимуществом ввода
подобных стержней по сравнению с поглощающими является
ужестчение спектра нейтронов в тепловом
реакторе с повышени­
238
ем резонансного поглощения в
U и накоплением плутония.
Возможность повышения коэффициента конверсии делает этот
способ привлекательным для водо-водяных реакторов.
3. Регулирование одновременным изменением спектра нейтро­
нов и размеров активной зоны очень эффективно по воздействию
на реактивность, но ввиду конструктивных сложностей остается
в области экзотических, не применяемых практически решений.
Примерами таких решений могут быть сдвижка каналов по
радиусу (рис. 935, а), закрутка каналов вокруг вертикальной
оси активной зоны (рис. 9.35, б), сдвижка каналов или твэлов
по высоте (рис. 9.35, в).
Сближение каналов по радиусу и закрутка активной зоны
иллюстрируют возможности влияния на утечку нейтронов
с одновременным изменением спектра нейтронов и размеров
400

активной зоны. Синхронное по всей активной зоне уменьшение
шага топливных каналов приводит к следующим явлениям:
изменению радиуса активной зоны, т. е. увеличению ради­
альной составляющей геометрического параметра и утечки;
изменению длины миграции нейтронов, что также увеличи­
вает утечку в ту же сторону при оптимальном начальном
шаге каналов;
изменению спектра нейтронов в активной зоне, так как
изменяется отношение числа ядер замедлителя, приходящихся
на одно ядро делящегося нуклида.
Данный способ требует довольно сложного механизма для
перемещения каналов.
Вращение верхней опорной плиты при неподвижной нижней
вокруг вертикальной оси активной зоны, набранной из от­
дельных твэлов, приводит к уменьшению среднего шага твэлов
и превращению наружной поверхности активной зоны из
цилиндрической в поверхность гиперболоида вращения. Реак­
тивность изменяется по тем же причинам, что и в предыдущем
случае (рис. 9.35).
Сдвижку по высоте (рис. 9.35, в) проиллюстрируем на
примере активной зоны, .состоящей из отдельных стержневых
твэлов, разделенных по высоте на две равные части и раз­
мещенных по правильной квадратной или треугольной сетке.
Если в верхней и нижней частях активной зоны удалить по
половине твэлов за счет разрежения их решетки и увеличения
при этом их шага, то верхнюю половину можно будет
вдвигать в нижнюю при условии ее предварительного смещения
в горизонтальной плоскости на 1/2 шага твэлов. При сдвижке
реактивность падает из-за уменьшения высоты активной зоны,
роста длины миграции нейтронов и их утечки и вследствие
эффектов ужестчения спектра. В процессе сдвижки неравномер­
ность высотного распределения поверхностных нагрузок твэлов
снижается ввиду эффектов профилирования замедлителем.
Одновременно в центральной части повышается объемная
мощность активной зоны, что приводит к большей скорости
подогрева в этой части активной зоны теплоносителя. Недо­
статком способа регулирования сдвижкой по высоте является
помимо конструктивной сложности снижение эффективности
этого способа при переходе от сдвижки твэлов к сдвижке ТВС.
9.5.6. Регулирование реактивности
влиянием
на вероятность рождения
нейтронов

1. Перемещение ТВС в вертикальном направлении с по­
мощью приводных механизмов — один из примеров третьей
возможности воздействия,на реактивность, а именно влиянием
на вероятность поглощения нейтрона с делением, т. е. на
26 Заказ 2739

401

источники нейтронов в цепной реакции (выше рассматривалось
влияние на «стоки» — исчезновение нейтронов при их поглоще­
нии или утечке).
Удаление ТВС из активной зоны снижает общую вероят­
ность поглощения нейтрона с делением, а следовательно,
средние К^ и реактивность. Определенные сложности связаны
при этом с необходимостью обеспечения теплоотвода и посто­
янства температуры теплоносителя на выходе в процессе
перемещения ТВС и изменения ее мощности при выходе из
нейтронного поля. В реакторах с обычной водой в качестве
теплоносителя на месте удаленной ТВС образуется водяная
«ловушка» нейтронов, дающая локальный всплеск тепловых
нейтронов вследствие замедления быстрых и подъем энерго­
выделения в твэлах, окружающих водяную полость. Локальные
коэффициенты неравномерности требуют снижения мощности
реактора или создания запаса тепловыделяющей поверхности,
которая уменьшается также и из-за вывода ТВС.
Для уменьшения этого явления к нижней части' ТВС
присоединяют слабозамедляющий вытеснитель воды — алюми­
ний, графит и т. п. Вытеснитель увеличивает высотные размеры
реактора и здания. Поэтому иногда вместо вытеснителя к ТВС
присоединяют поглощающий нейтроны материал, что сущест­
венно повышает эффективность регулятора и позволяет снизить
число органов регулирования и исполнительных механизмов.
Введение в активную зону теплового реактора поглотителя
снижает поток нейтронов и энерговыделение в примыкающих
к нему твэлах. Уменьшить этот эффект можно созданием
водяной прослойки нужной толщины между поглотителем
и твэлами путем выбора диаметра поглотителя.
В быстрых реакторах к перемещаемым TBQ присоединены
торцевые зоны воспроизводства, содержащие 3 8 U. 2 3 8 и
выполняет при этом две функции — помогает
ТВС компен­
239
сировать реактивность и воспроизводит
Ри.
При регулировании движением ТВС желательны их вывод
вниз и ввод поглотителя сверху. Тогда в аварийной ситуации
с обесточиванием исполнительного механизма действие гра­
витации будет приводить к снижению реактивности.
2. Подпитка топливом обычно рассматривается как средство
повышения реактивности при непрерывных или частичных
перегрузках топлива. Введенная реактивность позволяет про­
длить кампанию реактора и компенсируется любыми спосо­
бами.
В некоторых альтернативных реакторных системах (жидкосолевых, растворных, газофазных реакторах) возможны не­
прерывный отвод и подвод топлива, отвод продуктов деления
и нарабатываемого плутония. Для этого реактор оборудуется
байпасными линиями и специальными системами переработки
402

топлива. В этих случаях возможно более широкое воздействие
топлива на реактивность, в том числе в сторону ее снижения.
Иллюстрацией широты возможных подходов к регулирова­
нию
топливом является использование в тепловых реакторах
240
Ри в качестве выгорающего поглотителя. При поглощении
в нем нейтрона исчезает
ядро поглотителя и образуется ядро
241
делящегося нуклида — Ри—с очень хорошими ядерно-фи­
зическими свойствами. И то и другое приводит к повышению
реактивности. Такой способ регулирования применим и в 2быст­
рых: реакторах, но с меньшей эффективностью, так как 4 0 Ри
является в них неплохим делимым нуклидом.

Глава 10
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕЙТРОННО-ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
РЕАКТОРА

10.1. Измерение запаса
реактивности
и эффективности органов регулирования
1. Запас реактивности—основной нейтронно-физический по­
казатель, обеспечивающий возможность работы в; течение
заданной кампании реактора при однократных перегрузках
или достижении необходимой глубины выгорания—кампании
топлива при частичных перегрузках. Он определяется расчет­
ным путем при проектировании реактора и проверяется
экспериментально на критических сборках или при физическом
пуске реактора. Своевременное получение опытных данных во
многих случаях позволяет откорректировать запас реактивности
и добиться соответствия показателей установки заданным.
В начале кампании делаются экспериментальные оценки
запаса реактивности, включающие набор ряда критических
масс с критическими положениями органов регулирования,
которые уже сами по себе представляют большой интерес
для совершенствования расчетных методов
и расчетного уточ­
макс
нения избыточной реактивности р .
2. Метод асимптотического периода «является одним из
основных при определении запаса реактивности. С помощью
различных средств запас реактивности снижают от его ис­
тинного значения до нуля. Орган регулирования (ОР) постепен­
но выводится из реактора, занимая ряд критических положений.
В каждом из них реактору сообщается небольшая надкритичность Ар при подъеме ОР на АА«1 мм и по значению
26*

403

асимптотического периода Густ в соответствии с формулой
обратных часов (3.193) определяется отношение введенной
реактивности к эффективной доле запаздывающих нейтронов
Ар/РЭф, а в соответствии с (3.194)—дифференциальная эффек­
тивность OP d(p/$3$)/dh. Запас реактивности равен интегралу
от кривой дифференциальной эффективности ОР в пределах
от нижнего критического подожения OP /ZQP ДО его полного
вывода за верхний экстраполированный размер активной зоны
(h измеряется от верха активной зоны):
о
.макс

L_=

4plMdh,

(ЮЛ)

v
Рэф J dh
'
Для окончательного определения р макс требуется эксперимен­
тальным или расчетным путем найти р эф .
Существуют следующие способы создания критических по­
ложений ОР: разгрузка активной зоны с периферии за счет
удаления части ТВС, отравление жидкого замедлителя добав­
лением к нему борной кислоты или другого поглощающего
раствора, слив жидкого замедлителя, погружение в активную
зону другого ОР (перекомпенсация).
3. Метод долива-разгрузки для определения запаса реактив­
ности применяется в реакторах с жидким замедлителем
и сводится к постепенному повышению критического уровня
замедлителя Нкр в реакторе без ОР, начиная от полного по
диаметру размера активной зоны при Н°р до некоторого
меньшего диаметра при разгрузке ТВС, соответствующего ее
полному по высоте заливу замедлителем с Н\Р = НЭ. При
каждом критическом уровне замедлителя реактору сообщается
небольшая надкритичность за счет повышения уровня и по
значению асимптртического периода определяются d(p/$3$)/dH
и запас реактивности
я.

Р м а к 7Рэ Ф =

^(Р/Рэф)^я
dH
Нкр

С привлечением одногруппового диффузионного приближе­
ния метод долива-разгрузки позволяет получить дополнительно
такие параметры размножающей среды, как отношение К^/М2,
и торцевую эффективную добавку 5 эф . Часть активной зоны,
не залитая замедлителем, имеет столь низкий К^, что ее
влияние в первом приближении можно не учитывать и ввести
эффективную добавку, равную добавке нижнего' торцевого
отражателя или отличающуюся от нее. Тогда р экстраполирован­
ная критическая высота активной зоны Н1 — Нлз-\-кЪэ^ где
Д*.з — высота активной зоны, залитой жидким замедлителем;
404

к = 1,5^-2,5 (к = 2, если добавка сухой зоны равна добавке
нижнего отражателя).
В однозонном цилиндрическом реакторе реактивность
, /2,405
1+Я к 2 р М 2 В 2 , я х +
р=1
кр =
^оо
^ \H?J
v дэ
Производная от реактивности по уровню замедлителя
2

Х 2

dp dp дВ2 (
dH дВ2 дН

М2\(
2п2
\
2п2М2
(10.2)
(Н1*3+кьэф)4 ( я . р + ^ з ф ) 3 ^ '
Кс
Если по измеренным значениям dp/dH построить зависимодти
(10.2) и

как функции критической высоты залитой части активной
зоны #а? 3 (Р ис - Ю.1), то наклон прямой t g a = c позволит
определить К^/М2:
2

Као/М

-1/3"

2 3

= 2к с ,

с = -^—

а отрезок, отсекаемый прямой при ее экстраполяции к Н1^3 = 0
от оси ординат,— эффективную добавку, например при к = 2:
Кг

2с

2

Н«Р=02К

М

^ у

3

(10.3)

dH ЯкР==0у
dp
П у с т ь с = 0,1 с м
, а
Тогда
dH #" ,=0
1
А=К/1,3К сим " KJM2 =
1/5 эф = 0,142 с м - 1 и 5 эф = 7 см. Если 0,36
^
= 0,02 с м " 2 , то М 2 = 65"см 2 .
4. Измерение эффективно­
сти поглощающих
стержней
dp/dH/дк/к)/мм
и их градуировочных харак­
мм
теристик удобно проводить
методом
перекомпенсации.
Стержень полностью погружа­
ют в активную зону; критич­
ность достигается за счет вы­
вода из зоны других стержней.
Если стержень «легкий», т. е.
2/3

р

Рис. 10.1. К определению 5 э ф и Коо/М2:
О—экспериментальные точки;
экс­
траполяция экспериментальной кривой; а—
значение (ф/</Я)~ 1/3 при #* р 3 = 0

200

/

к

) \мин

JODHW.IH

а.з'

:;

405

р с т <Р э ф /2, то его полную эффективность находят выводом
стержня из зоны и измерением асимптотического периода.
В любом случае эффективность стержня можно определить
интегрированием его дифференциальной эффективности, полу• чаемой при выводе стержня на 1 мм из его критических
положений на разных высотах, достигаемых перемещением
других стержней. Одновременно получаются градуировочные
характеристики—кривые дифференциальной и интегральной
эффективности стержня.
Измерения эффективности отдельных пар стержней могут
быть проведены в надкритическом или подкритическом со­
стоянии. В первом случае стержни должны находиться целиком
в нижнем положении, а во втором — целиком в верхнем, при
обеспечении критичности остальными стержнями. Измерения
при этом проводятся методом асимптотического периода (см.
п. 2), или методом сброса стержня.
В методе сброса стержня измеряется асимптотический
период в подкритическом состоянии по скорости спада плот­
ности потока нейтронов. В отличие от надкритического случая
ограничением по времени измерения является спад потока до
уровня фона, обусловленного источником. Поэтому сброс
желательно делать быстро и из надкритического состояния
с установившимся периодом разгона. Возможен и поэтапный
сброс. Метод сброса позволяет в принципе сразу измерить
эффективность «тяжелого» стержня.
К методу сброса близок метод коэффициента умножения.
Его последовательность такова. В слегка подкритическую
активную зону помещают источник нейтронов и измеряют
скорости счета детектора в состояниях с вынутым и погружен­
ным стержнем. Исходная подкритичность должна создаваться
калиброванным стержнем. При этом по известным К®$ и от­
ношению скоростей счета детектора S0/SCT определяют измене­
ние реактивности при погружении стержня [5^(1 — Кэ$)-1]:
So

л

1-^(1-*э°ф)

эф
jfO
л

л

эф

fCT •
л

эф эф

Пусть # ° ф = 0,99,

S0/SCT = 2. Тогда Др ст = 1,031%.

10.2. Методы

измерения

реактивности

1. Метод обратного умножения применяется для измерения
или контроля отрицательной реактивности (подкритичности)
в процессе набора критической массы, при перегрузках топлива
или определении эффективности стержня методом сброса. Он
основан на предположении об обратной пропорциональности
406

реактивности подкритического реактора с источником нейтро­
нов и скорости счета детектора. Хотя такое соотношение
строго выполняется только в реакторах, для которых справед­
лива модель точечной кинетики, метод применяется более
широко в силу его простоты и наглядности с введением при
необходимости различных поправок.
Рассмотрим набор критической массы, начинаемый от
центра цилиндрического однородного реактора. В одногрупповом приближении реактивность
р=1-1/Кэф=1-{1+В2М2)/Ко0=а-Ь{1/112),
где a=l-(l+B2zM2)/K^

(10.4)

Z> = (2,405M) 2 /К„; В2 = {к/Нэ)2.

Реактивность—левая часть (10.4) — обратно пропорциональ­
на скорости счета детектора (с поправками на изменение его
эффективности в процессе достройки активной зоны), а правая
часть прямо пропорциональна обратному значению квадрата
радиуса или обратному значению числа загружаемых ТВС
(площади зоны или массе топлива):
p~l/S^ e T ; р~1/Д^~1/л ТВ с>
где S^eT—скорость счета детектора (детектором являются
счетчики нейтронов, ионизационные камеры или другие подоб­
ные приборы с пересчетной аппаратурой).
Линейная экстраполяция (10.4) дает критическое число ТВС
(рис. 10.2, я), однако из-за неточности метода такая экстра­
поляция опасна. При наборе критической массы лучше строить
зависимость обратного счета детектора от числа ТВС
(рис. 10.2, б). Экстраполяция гиперболической зависимости все­
гда занижает критическую массу.

Рис. 10.2. Зависимость набора критической массы от центра активной зоны
с контролем обратной скорости счета детектора от обратного числа ТВС (а)
и от числа ТВС (б)
407

2. Метод выключаемого источника позволяет определить
реактивность подкритического реактора из соотношения
|р|/Рэф = 5 0 / 5 1 - 1 ,

х

(10.5)

где S0 и 5*!—скорости счета детектора в реакторе с источником
и в первый момент времени без него. Отключение источника
достигается быстрым механическим перемещением экрана, не
пропускающего ос-частицы, в пространстве между а-активным
нуклидом и бериллиевым радиатором источника. Этот способ
лучше, чем выстреливание источника из активной зоны, так
как в этом случае не возмущаются распределения нейтронов,
их ценности и реактивность.
Формула (10.5) описывает также подкритичность и вес
стержня при его быстром сбросе из критического состояния,
поскольку при этом «выключается» источник нейтронов деле­
ния. Из решения (3.191) в случае отрицательного скачка
реактивности формула (10.5) получается сразу для момента
времени, когда второй член решения, связанный с мгновенными
нейтронами, затухает, а экспонента в первом члене еще равна
единице.
3. Осцилляторный метод измерения реактивности использу­
ется в тех случаях, когда требуется высокая чувствительность
к изменениям реактивности (порядка 10~ 5 —10~6 АК/КЭф),
например при измерении доплеровского коэффициента
реак­
22 8
тивности при нагреве небольшого образца из * U. С помощью
пневмопочты осуществляется периодическое вбрасывание об­
разца в активную зону и выбрасывание из нее. Периодический
(для простоты—гармонический) процесс осуществляется около
критического состояния. Амплитуда осцилляции реактивности
8р/рэф измеряется по амплитуде относительных колебаний
мощности Ьп/п0, пропорциональных скорости счета детектора
нейтронов.
Зависимость от частоты со модуля, или амплитуды колеба­
ний, определяет амплитудную характеристику, а от угла
сдвига по фазе — фазовую характеристику передаточной фун­
кции w = — / —. Эти характеристики зависят только от частоты
«О /

Рэф

и в критическом реакторе могут быть рассчитаны заранее,
так как определяются временем жизни мгновенных нейтронов
/ = Л при АГэф=1 и постоянными распада Хь а также от­
носительными долями групп запаздывающих нейтронов а{.
При определении эффекта реактивности используется амп­
литудная характеристика, т. е. |w|. Угол сдвига по фазе важен
при анализе системы управления реактором, так как харак408

теризует сдвиг во времени между изменением реактивности
и «откликом» системы по мощности.
4. Импульсный метод измерения реактивности применяется
в подкритических реакторах и сводится к измерению постоян­
ной спада плотности мгновенных нейтронов после запуска
в активную зону порции нейтронов от импульсного генератора.
При анализе спада плотности мгновенных нейтронов запаз­
дывающими нейтронами можно пренебречь, и решением урав­
нения точечной кинетики
dt

w

Л

будет n(t) = n0exp( — at), где постоянная спада
л

л \р эф

По измеренной величине а и расчетным значениям
Рэф и А = 1/КЭф можно найти относительную реактивность
подкритического реактора

f =1 ~irРэф

( 10 - 6 )

Рэф

Чтобы обойтись без расчетных параметров, дополнительно
измеряют а в критическом реакторе и находят а 0 = Вэф/Л0.
Если считать, что рэф и Л не зависят от Кэф, то рэф/Л = Рэф/Л0 и
р/Рэф=1-а/а 0 или |р/р э ф | = а / а 0 - 1 .

(10.7)

Формула (10.7) чаще всего используется в экспериментах,
хотя она и не очень точна. Неточность связана с зависимостью
Л от КЭф; и с различиями конфигурации активных зон и значений
Л и рэ ф в критическом и в измеряемом подкритическом
реакторах. Лучше пользоваться расчетно-экспериментальной
формулой (10.6), если есть возможность получить расчетные
данные. Можно* несколько повысить точность (10.7), если
выразить (10.6) не через А = 1/Кэф, ?а через /, более слабо
зависящее от степени подкритичности:
_1-ос//рэф_
1-<х/а 0
Л/А
Р/Рэф
:
-,
~.—
;—.
1-а/
1-рэфа/а0

При этом предполагается, что ос0 = Рэф//0~Рэф/Д а Рэф известно
из расчета.
Рассмотренный дифференциальный импульсный метод приме­
няется для измерения подкритичности (метод Симмонса —
Кинга, или ос-метод) в водо-водяных реакторах при АГЭф>0,6,
если используется Fe — Н 2 0-отражатель, и при КЭф>097э9 если
бериллиевый, причем лучше использовать расчетные отношения
409

Рис. 10.3. Поведение во времени
количества нейтронов в подкритическом реакторе на быстрых
нейтронах (/=2 • 10 " 6 с) при
возбуждении нейтронным им-'
пульсом
длительностью
6
А/ имп = 5 - 1 ( Г с :
1 — область нейтронного импульса;
2—переходная область, в которой
высшие гармоники
затухают в тече­
ние (2^7)-10" 6 с; 3—область асим­
птотического
экспоненциального
спада потока мгновенных
нейтронов
с 1/а=(2-^30)-1(Г5с; 4—область,
в которой поток нейтронов поддер­
живается источниками запаздываю­
щих нейтронов [27]

Л/Л 0 и рЭф/Рэф> если они отличны от 1, вводя их в формулу
J
(10.7):
Р/Рэф = Рэф/Р? ф -(а/а 0 )Л/Л 0 .

Это выражение получено делением равенства (10.6), записанного
как р = р э ф - а Л , на равные величины р°ф = а 0 Л 0 с учетом
предполагаемого равенства РЭф = Р?ф.
Интегральный импульсный метод Шёртранда позволяет
определить подкритичность путем ввода в реактор серии
нейтронных импульсов с частотой v0 и измерением соотноше­
ния интегралов от части импульса, обусловленной мгновенными
нейтронами, SMrn и части, связанной с запаздывающими
нейтронами, S3.H (рис. 10.3):
Р/Рэф = 5 мгн /5 3 . Н ,
(10.8)
где 5МГН и 53.н—площади под кривыми, описывающими
скорости счета мгновенных и запаздывающих нейтронов.
Длительность импульса должна быть много меньше обратного
значения постоянной
спада
мгновенных нейтронов: Д/ имп <:
4
5
< c l / a « (3 10 ~ 2 1 0 ) с . Частота импульсов должна быть
достаточно малой для полного спада мгновенных нейтронов
(v 0 «:a) и достаточно большой для отсутствия заметного
спада запаздывающих нейтронов и установления их постоянной
концентрации ( v 0 » ^ M a K C , где Xt — постоянные распада запаз­
дывающих нейтронов).
Если устанавливается равновесная концентрация запаздыва­
ющих нейтронов, то
р/РэФ = 5мгн/(ГЛГдет),
(Ю.9)
где NaeT—скорость счета детектора при регистрации запаз­
дывающих нейтронов, отсч./с; r = l / v 0 , с.
При снижении подкритичности относительная реактивность
р/РЭф, определяемая по (10.9), уменьшается из-за роста фона
410

запаздывающих нейтронов при примерно постоянном интеграле
от мгновенных нейтронов, связанных с импульсным источником,
так как их размножение и установление равновесной концентрации
требуют значительного времени. В критическом состоянии
интеграл от мгновенных нейтронов становится близким к нулю по
сравнению с интегралом от запаздывающих нейтронов. В интерва­
ле надкритичностей до Рэф мгновенные нейтроны начинают все
более интенсивно размножаться-в соответствии с подкритичностью
на мгновенных нейтронах и интеграл от мгновенных нейтронов
приближается к интегралу от запаздывающих, т. е. р/(3Эф->1.
5. Доля запаздывающих нейтронов (Зэф измеряется (с целью
пересчета реактивности в абсолютные единицы, а также для
расчета переходных процессов) методом замещения топлива
эквивалентным поглотителем и замедлителем. При замене
должны сохраняться абсолютные значения макроскопических
сечений поглощения и рассеяния топлива и их энергетические
зависимости за счет подбора комбинации нуклидов с подхо­
дящими сечениями взаимодействия с тепловыми и быстрыми
нейтронами. Отсутствует лишь сечение деления, что дает
отрицательный реактивностный эффект при замещении топлива
в небольшом объеме bV{. Одним из.изложенных выше методов
измеряется вносимая при замещении топлива в критическом
состоянии реактивность, нормированная на Рэф, р* = р/РЭфПоскольку объем замещенного топлива bV{ небольшой, эффект
реактивности запишем с помощью формулы малых возмущений

Pi = M=~—

>

(10-Ю)

+

J J Фн д(r) vf (E) X,(E, г) Ф (r, E) drdE
V& з E

где Фн.д—усредненная по углам и спектру ценность нейтронов
деления. Интегрирование производится по энергетическому
спектру ф(г, Е) И ПО объему активной зоны К аз . С помощью
переставляемой разборной ТВС, в которой замещаемый объем
топлива может перемещаться по высоте, процедура (10.10)
повторяется для охвата всего объема активной зоны или ее
симметричной части. Суммируя все результаты, получаем
отношение интегралов в правой части (10.10) равным 1 и
Р Э Ф = - 1 / 1 Р 1 ; 15к,= ка.3.
i

.

i

В зонах с 2 3 5 U суммарный эффект реактивности при замещении
топлива
эквивалентным поглотителем близок к 140 Рэф, в зонах
239
с
Ри — к 400 РЭф. Отношение объемов Ка#3/6К должно вдвое
превышать эти цифры, если стремиться к измерению эффектов
реактивности р<(3Эф/2.
411

V

V

10.3. Измерение
пространственноэнергетических распределений
потоков
нейтронов и распределений
энерговыделения
1. Энергетический спектр нейтронов, измеренный в каждой
пространственной точке, дает пространственно-энергетическое
распределение плотностей потоков нейтронов.
В реакторной спектрометрии чаще всего используются
методы, основанные на регистрации протонов отдачи. В качест­
ве датчиков используются пропорциональные счетчики диамет­
ром 1—4 см, длиной 10—15 см, заполненные водородом или
метаном с давлением (0,01 — 1) МПа, либо жидкие органические
сцинтилляторы диаметром и высотой 4 см в блоке с фотоум­
ножителями. Набором счетчиков с разными наполнениями
и давлениями измеряются спектры нейтронов в диапазоне от
1 кэВ до 1,5—2 МэВ.
При упругом рассеянии нейтронов на водореде образуются
протоны отдачи, энергия которых
Ер = Епсо$2§
однозначно связана с энергией нейтрона Еп и углом 9 между
направлениями движения нейтрона и протона. При коллимированном пучке нейтронов их энергетический спектр легко
найти, измеряя энергии протонов при фиксированных углах
9. Поскольку в активной зоне нет коллимированных пучков,
в практике реакторной спектрометрии нашел широкое примене­
ние интегральный метод протонов отдачи, в котором угол
рассеяния не фиксируется, а измеряется лишь энергия рассе­
янного протона.
2. Пространственное распределение нейтронов с энергиями
в некотором интервале АЕ определяется чаще всего активационными методами путем облучения нейтронами тонких фольг
из тех или иных материалов с последующей регистрацией
Р-излучения. Используя фольги из материалов, активирующихся
в основном тепловыми, резонансными или быстрыми нейтро­
нами, можно получить пространственные распределения для
отдельных энергий или энергетических интервалов спектра
нейтронов.
Наведенная активность связана со спектром нейтронов
<р(Е) и сечением активации детектора Еакт(2?) выражением
00

A=f(t)lv(E)-Lm{E)dE,
о
412

где f(t) — функция, учитывающая времена облучения, выдержки
и счета.
Пространственное распределение плотности потока тепло­
вых нейтронов Фт(г, z) измеряется на критических сборках
или при физическом пуске реактора-по активации медных
фолы, наклеенных на кожухи ТВС или на покрытия твэлов.
Накопление активности при облучении за время Г и ее распад
при выдержке т перед измерением учитываются расчетным
образом с помощью известных соотношений радиоактивного
накопления и распада
АСи{Т, т) = Л { 1 - е х р [ - ( ^ С и + Ф а ^ ) Г ] е х р ( - ^ С и т ) } ,
где А0 = ФЕ£uДси—равновесная концентрация активируемого
нуклида 63 Си [*бз = 69,1%; afK3T = 4,56;- Г 1/2 ( 64 Си)=149 мин].
Второй изотоп 65 Cu [х65 = 30,9%; afK5T = 2,36; Г 1/2 ( 66 Си) =
= 5,1 мин] несколько усложняет эксперимент, так как требует
некоторой выдержки
индикатора для спада короткоживущей
6б
активности Си. Медный индикатор имеет сечение активации,
изменяющееся по закону l/v. Поэтому он активируется и надтепловыми нейтронами. Для отсечения тепловых нейтронов
используется тонкий (толщиной примерно 0,5—1мм) слой
Cd. Активность фольги, облученной в кадмиевом экране,
ACd есть активность меди под действием надтепловых ней­
тронов. Ее можно вычесть из полной активности АСи, чтобы
получить компоненту активности меди под действием тепловых
нейтронов.
Определенную характеристику спектра дает кадмиевое отношение, которое можно записать как отношение активностей
без кадмия и в кадмии /-го элемента:
111С6 = А(/А1С6~1+ФТ/Ф6.
При смягчении спектра кадмиевое отношение растет.
„ В качестве активационных детекторов тепловых нейтронов
используются также проволоки или фольги из Au, Со, Dy,
Mn, Lu.
В качестве резонансных индикаторов, применяемых для
определения пространственного распределения промежуточных
нейтронов разных энергий (или спектра в данной точке),
используются нуклиды, имеющие один основной резонанс,
превалирующий над всеми остальными (табл. 10.1).
Т а б л и ц а 10.1. Энергия резонанса активационных детекторов
Нуклид
-^рез»

Эй

115

1п

1,46

197

Au

4,9

186W

18,8

139

La

73,5

114

Cd

120

59

Co

130

55

Mn

335

98

Mo

467

63

Cu

580

23

Na

2850
413

Для этих -нуклидов активность /-го детектора, обусловленная
основным резонансом при Epe3th
^-рез, i + * i / ^

Ape3,i = BiO0i

J
^•рез, i

<p(E)

dE=BiG0i<(p(EPe3,i)>rh

* i/^

где a0i—микроскопическое сечение активации в максимуме
резонанса; Г;—ширина резонанса, эВ; <(р (ЕрезА)>—среднее
значение плотности потока нейтронов в области резонанса;
В{—постоянный коэффициент, определяемый системой регист­
рации активности. Выделение активности основного резонанса
из общей достигается методом резонансной самоэкранировки.
Идея метода состоит в вычитании из активности неэкранированного детектора активности детектора в экране из того
же материала, что и сам детектор, т. е. в вычитании активности
неосновных резонансов.
Для измерения пространственных, распределений или спектра
в области быстрых нейтронов используются пороговые детек­
торы с реакциями (п, J), (п, р), (п, а), (п, я'), (п, 2п), сечения
которых можно положить равными нулю ниже некоторой
эффективной энергии Еэ$ и постоянной величине Е эф при
Е>ЕЭф. Активность таких детекторов
00

Л= Я1ЭФ1Ф(£)^;

00

1Э Ф =

Е

!£{Е)<р(Щ<1Е/ iq>(E)dE,
Е

эф

00

Е
пор

эф

где В—постоянный коэффициент регистрации, находимый
калибровкой в известном потоке; Еиор—энергия порога ре­
акции.
В качестве175детекторов
в 65
области быстрых нейтронов
54
56
используются
Lu, 232
Fe, Fe,
Zn и др., а также делимые
238
236
237
нуклиды
U,
U,
Th,
Np (табл. 10.2).
Поскольку пороговые детекторы регистрируют все нейтроны
с энергиями выше пороговой, спектр нейтронов получим
в виде гистограммы, беря разности показаний детекторов
с последовательно возрастающими эффективными пороговыми
энергиями:
ф / (£) = [ ^ _ 1 ( £ Э ф , 1 . _ 1 ) - ^ ( £ , Э ф , / ) ] / ( £ Э ф ^ - £ , э ф , , _ ! ) ,
00

Ft(E^t)s

J 4>{E)dE=Ai/{BiYd34,,i).

(10.11)

эф, I

Рассмотренный метод пороговых детекторов не требует их
обязательной активации, так как в некоторых из них исполь­
зуются реакции с испусканием заряженных частиц, регистриру­
емых непосредственно в момент облучения с помощью камер
или счетчиков частиц.
414

Т а б л и ц а 10.2. Пороговые детекторы быстрых нейтронов
Нуклид

237

Np

103

Rh

232

Th

(п, п') (л, t)

238 тт

115

1п

К Я (п, п')

31р

27

А1

24

Mg

27

А1

(п,р) (л,/>) (л,/>) (п, а)

65

Си

63

Си

Реакция

(«. У)

Еэф, МэВ

0,87

0,9

1,4

1,55

1,65

3,0

5,3

8

8,15

11,7

13,2

1200

1500

850

606

350

140

80

200

120

1000

800

(я, 2И)(И,

2я)

3. Распределение энерговыделения. 3.1. К а м е р ы д е л е ­
н и я представляют собой газонаполненный или вакуумный
сосуд с электродами, на которые нанесен слой оксида делящего­
ся нуклида. Осколки ядер, делящихся при нахождении камеры
в активной зоне работающего реактора, ионизуют газ и при­
водят к импульсам тока в камерах с малой постоянной
времени (импульсные камеры) или к некоторому среднему
току в камерах с большой постоянной времени (токовые
ионизационные камеры деления).
Последовательно перемещая малогабаритные камеры деле­
ния (МКД) диаметром несколько миллиметров в разные точки
активной зоны, можно измерить пространственное распределе­
ние плотности делений, т. е. интеграла по всему интервалу
энергий реакторных нейтронов от произведения зависящих от
энергии плотности потока нейтронов и макроскопического
сечения деления в чувствительном слое камеры.- Если делящийся
нуклид в МКД и ядерном топливе одинако'в и его концентрация
во всех твэлах одна и та же, то по показаниям МКД можно
получить относительное распределение энерговыделения по
активной зоне. В противном случае относительное распределе­
ние плотности делений домножается на зависимость от ко* ординат ядерной концентрации делящегося нуклида в топливе.
Полученные распределения характеризуют не только долю
мощности, связанную с осколками деления, но и полную
мощность, так как формы энергораспределений от Р-частиц,
у-квантов и нейтронов близки к распределению плотности
делений, а доля этих форм деления невелика.
Гамма-фон камер деления связан с импульсами или током
от электронов, обусловленных комптоновским рассеянием уквантов, и легко отсекается ввиду меньшей амплитуды им­
пульса или за счет использования компенсационного объема
без делящегося материала в токовых камерах. В вакуумных
камерах деления (ВКД) у-кванты не регистрируются вообще,
так как ток электронов вторичной эмиссии, обусловленный
взаимодействием осколков с веществом электрода и регист­
рируемый камерой, в сотни раз превышает ток эмиссии от
взаимодействия у-квантов с веществом электрода.
415

Импульсные камеры используются в крититических сборках
и при работе реактора на малых14 уровнях мощности,
токовые —
в потоках плотностью до 10 нейтр./(см2 с), предел обус­
ловлен ростом скорости рекомбинации ионов, ВКД — в более
высоких потоках. Выгорание чувствительного слоя камер
компенсируется вбспроизводством делящегося
нуклида за счет
238
добавления сырьевого материала—чаще
U.
3.2. Т в е р д о т е л ь н ы е т р е к о в ы е д е т е к т о р ы пред­
ставляют собой прозрачный органический или неорганический
диэлектрик или лавсановую пленку, в которых осколки боль­
шой ионизирующей способности создают очень короткие зоны
повреждения — треки. Число треков на единицу площади можно
подсчитать с помощью оптического микроскопа или другими
методами после технологической операции травления детектора
и выявления треков. Пленка, помещенная между топливными
таблетками, даст распределение плотности делений в попереч­
ном сечении твэла. Выдерживая некоторое время крупинку
или таблетку топлива с пленками в разных точках активной
зоны, можно получить объемное распределение плотности
делений или мощности реактора.
3.3. И з м е р е н и е у - а к т и в н о с т и П Д вдоль длины
твэла после кратковременной работы на мощности 1 —10 Вт
в критической сборке позволяет получить высотное распределе­
ние энерговыделения, если протянуть твэл через свинцовый
блок, в центральной части которого сделано окно для счетной
установки. Повторяя процедуру для твэлов, расположенных
на разных радиусах, можно найти относительное объемное
распределение энерговыделения.
Распределение энерговыделения, усредненное по большому
интервалу времени, получают, измеряя распределение остаточ­
ной активности извлеченных из реактора твэлов. Эта актив­
ность обусловлена в основном долгоживущими ПД.
При использовании в качестве у-детектора полупровод­
никового спектрометра с высокой разрешающей способностью
можно измерять не суммарную активность
образца, а актив­
137
ность отдельного ПД, например
Cs, по у-линии с энергией
661 кэВ. Зная абсолютный выход 137 Cs при делении и эф­
фективность спектрометра, можно определить абсолютное
число делений в образце и абсолютное энерговыделение.
3.4. Э м и с с и о н н ы е д е т е к т о р ы н е й т р о н о в , на­
зываемые также датчиками прямой зарядки (ДПЗ), разработаны
для контроля распределения энерговыделения в активных зонах
энергетических реакторов. ДПЗ представляет собой тонкий
коаксиальный кабель диаметром несколько миллиметров, со­
держащий два электрода и изолятор между ними. Ядра
вещества центрального электрода в виде тонкой проволоки
должны хорошо поглощать нейтроны, испытывать после акта
416

захвата р~-распад с испусканием электрона, который проходит
через слой изоляции и попадает на внешний электрод —
металлическую трубку, не поглощающую нейтроны. Материал
изоляции также не должен поглощать нейтроны. Поскольку
электроны р~-распада имеют энергии до 1 —1,5 МэВ, на
электроды не должно подаваться собирающее напряжение
и ДПЗ, находящийся в нейтронном поле, становится источ­
ником тока, не зависящего от внешней нагрузки.
В отличие от ионизационных камер и пропорциональных
счетчиков, имеющих внутреннее усиление порядка 166—107,
в ДПЗ нет каскадной ионизации газа, что снижает их
чувствительность, и они должны работать в нейтр©нных полях
высокой интенсивности. Кажущийся недостаток становится
достоинством ДПЗ, работающих на энергетических уровнях
мощности непосредственно в активных зонах реакторов.
Недостаток ДПЗ связан с запаздыванием тока относительно
изменений потока нейтронов, что обусловлено конечным време­
нем распада радиоактивных ядер. Выбор эмиттера с достаточно
большой постоянной распада ядер, образующихся при захвате
нейтронов, и использование в электрической цепи ДПЗ ком­
пенсирующего аналогового устройства с передаточной функ­
цией, обратной передаточной функции самого ДПЗ, позволяют
сократить время задержки сигнала ДПЗ и уменьшить его
эффективную постоянную времени примерно до 1 с, что
позвляет регистрировать изменения плотности потока нейтро­
нов до десятков процентов в 1 с.
Чувствительность ДПЗ с эмиттерами из 103 Rh или 107 Ag при
их длине в 1 м измеряется в амперах на метр, отнесенных к еди­19
ничной плотности потока нейтронов, и составляет
(0,4-4-1,3) • 10
~
19
2
для тепловых нейтронов и (1,8-г-3,3)-10~ (А/м)/[нейтр./(см -с)]
для надтепловых. Применяются также эмиттеры из гафния
и ванадия, основанные на мгновенном выбивании комптоновских электронов захватными у-квантами, что делает их
безынерционными.

10А. Измерение
эффектов
и коэффициентов
реактивности
1. Температурный эффект реактивности в изотермическом
приближении может быть измерен при равномерном разогреве
активной зоны реактора или критической сборки циркулиру­
ющим по контуру теплоносителем, нагреваемым от внешнего
источника тепла при нулевом уровне мощности реактора.
Температурный эффект от начальной температуры Т0 до текущей
Т равен интегралу от зависимости дифференциальной эффектив­
ности органа компенсации реактивности от температуры.
27 Заказ 2739

417

Если компенсирующим органом (КО) являются поглоща­
ющие стержни или ТВС, перемещаемые механически, то
в зависимости от температуры измеряются (др/дИ)ко, а в слу­
чае жидкого поглотителя — (др/дС), где С—концентрация
поглотителя в растворе. Тогда
т
т

A

T

*'»m-\$j

или I —dT.
дС

Т

о

Температурный коэффициент реактивности (ТКР) определя­
ется как тангенс угла наклона касательной, проведенной
к экспериментальной кривой текущих температурных эффектов
в точке Т, т. е. является производной к этой кривой по
температуре: aiT(T0) = dp/dT\T.
Существует способ прямого измерения температурного
коэффициента в условиях неизменного состава активной зоны
и положения органов регулирования [17]. В критическом
состоянии на мощности W0 реактору сообщается положитель­
ная реактивность р 0 , такая, чтобы мощность в процессе
разогрева со скоростью AT/At (°С/ч) не превысила некоторой,
заранее определенной 4 мощности, превышающей начальное
значение в А раз. Если известен расчетный температурный
коэффициент в единицах РЭф/°С, то в приближении точечной
кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов и с ис­
пользованием решения для скачка реактивности (3.191) можно
вывести выражение для искомой реактивности р 0 [17]:
AT
At

Ро = р/Рэф^2РЭф(1пЛ) о с1 , —

где Х3. н—средняя постоянная
распада предшественников запаз­
г
дывающих нейтронов, ч " .
Предполагается, что ТКР отрицателен и при достижении
мощности AW0 реактивность обращается в нуль и начинает
снижаться, а мощность падать. Изменения реактивности фик­
сируются реактиметром. Деля их на изменение температуры,
получают средний ТКР на небольшом интервале температур,
т. е. практически ТКР в средней по температуре точке.
2. Мощностной эффект реактивности может быть измерен
статическим или динамическим методом. В первом случае
при неизменном положении органов регулирования фиксиру­
ются установившиеся значения мощности W2 и Wt и темпера­
туры теплоносителя Т2 и 7\ после ввода в реактор небольшой
реактивности р 0 (ввод осуществляется стержнем, который
после этого не перемещается) и перед ним. Введенная реак­
тивность определяется по градуировочной характеристике
418

стержня и компенсируется мощностным и температурным
эффектами
р 0 + Ар м + ос т (Г 2 -Г 1 ) = 0; ApM = aM{W2-W1),
(10.12)
где OLT = dp/dT— температурный коэффициент реактивности
(ТКР); осм = dpjdW— мощностной коэффициент реактивности
(МКР).
При известном ТКР из (10.12) определяются мощностной
эффект и МКР:
Арм = а т ( Р 1 - Г 2 ) - р 0 ; осм = [ а т ( Г 1 - Г 2 ) - р о ] / ( Ж 2 - Ж 1 ) . (10.13)
В соотношениях (10.12) и (10.13) может быть учтен ряд
дополнительных эффектов, связанных с изменением мощности
и изученных заранее, если они проявляются, таких как
барометрический эффект, нестационарное отравление ксеноном
в тепловых реакторах, гидродинамический эффект в быстрых
реакторах и др.
В динамическом методе после ввода р 0 измеряется зави­
симость от времени реактивности р ( 0 , мощности W(t)
и температуры T(t).
При достаточно быстром и большом изменении мощности
в разогретом -реакторе от нуля до номинального значения
полный мощностной эффект может быть оценен по изменению
положения поглощающих стержней на основании их градуировочных характеристик. Фиксируя положения стержней по
времени, получим быструю и медленную составляющие мощностного эффекта, если последняя имеет место. При этом
должны быть корректно учтены эффекты нестационарного
отравления и другие попутные эффекты, описываемые иными
коэффициентами реактивности.
3. Барометрический эффект реактивности при повышении
давления в корпусе водо-водяного реактора связан с повыше­
нием плотности воды и ядер поглотителя при жидкостном
регулировании, причем одновременно изменяется температура
и проявляется температурный эффект. В этом случае приходит­
ся производить измерения давления, реактивности и тем­
пературы и для определения барометрического эффекта и баро­
метрического коэффициента реактивности использовать условие
баланса реактивности и известные значения ТКР (ост):
Др = Дрбар + а т ДГ; Дрбар = Др-ос,ДГ; осбар = Дрбар/ДР.
В кипящих реакторах к этому условию добавляется член,
учитывающий изменение температуры насыщения и объемного
процента пара в активной зоне, и для нахождения баромет­
рического эффекта должно быть измерено изменение паросодер­
жания при известном паровом коэффициенте реактивности оеф:
Др б а р = Д р - а т Д Г - а ф Д ф .
27*

419

В реакторах с газовым теплоносителем относительное
изменение плотности теплоносителя происходит наиболее силь­
но и может сопровождаться изменением температуры, маски­
рующим барометрический эффект.
В быстрых реакторах с натриевым теплоносителем баро­
метрический эффект при повышении давления связан с насыще­
нием натрия аргоном из газовой подушки реактора. Если
изменение давления происходит на фоне изменения тем­
пературы натрия, то барометрический эффект определяется
разностью общего изменения реактивности и температурного
- эффекта.
4. Гидродинамический эффект реактивности обусловлен из­
менением скорости движения теплоносителя и заметен в быст­
рых реакторах. При повышении скорости ТВС стремятся
раздвинуться, объем активной зоны увеличивается и реактив­
ность снижается. Одновременно повышается перепад давления
на активной зоне, пузырьки газа в натрии сжимаются и прояв­
ляется барометрический эффект, положительный в реакторах
с урановым топливом и отрицательный при плутониевом
топливе. Эффект реактивности, наблюдаемый при изменении
числа оборотов натриевых циркуляционных насосов первого
контура, является, таким образом, суммой гидродинамического
и барометрического эффектов.
При включении насосов на малом уровне мощности
происходит заметный нагрев натрия из-за выделения энергии
при вращении лопастей насоса. Отделить температурный
эффект от гидродинамического можно путем быстрого включе­
ния насоса и выделения температурного эффекта за счет его
запаздывания.
5. Эффекты отравления и выгорания измеряются на останов­
ленном или работающем реакторе. 13?Характер изменения ре­
активности при росте концентрации
Хе в йодной яме после
быстрого перевода реактора с номинального уровня мощности
на минимально контролируемый уррвень (МКУ) определяется
поддержанием реактора в критическом состоянии путем по­
следовательных скачкообразных перемещений стержней в сто­
рону их вывода из реактора и измерением соответствующей
вводимой реактивности с помощью реактиметра. При исполь­
зовании градуировочных характеристик перемещение стержней
может быть и непрерывным. При проведении измерений все
остальные параметры реактора должны быть стабилизированы.
Изменение реактивности при выгорании определяется при
длительной работе реактора на стационарном уровне мощности
со стабильными технологическими параметрами путем учета
реактивности, вводимой при извлечении поглощающих стерж­
ней или борной кислоты, с учетом градуировочных харак­
теристик этих систем.
420

10.5. Методы определения
выгорания и параметров
воспроизводства

глубины

1. Определение скоростей реакций деления или радиацион­
ного захвата нейтронов в тяжелых нуклидах или отношений
этих скоростей проводится, в частности, для эксперименталь­
ного обоснования вопросов, связанных с выгоранием и вос­
производством топлива. Выгорание топлива определяется ско­
ростью реакций поглощения нейтронов делящимися нуклидами.
Обратная величина этой скорости, умноженная на скорость
радиационного захвата нейтронов сырьевыми нуклидами, равна
скорости воспроизводства топлива, т. е. числу новых делящихся
ядер, приходящихся на одно исчезнувшее первоначальное
делящееся ядро. Отношения сечений радиационного захвата
в сырьевом нуклиде к сечению деления делящегося нуклида,
например а = а с 8 / а / 5 и др., можно использовать в расчетах
избыточного коэффициента воспроизводства KB—1 (8.41), а т©
же
отношение
для делящегося
нуклида,
например
235
а = а с 5 /а / 5 5 —при определении массы
выгоревшего
U по
ЫГ
известной массе разделившегося М5 = М / 5 ( 1 + а ) .
Скорости деления измеряются камерами деления или тве­
рдотельными трековыми детекторами. Отношение сечений
деления получают с помощью двойных камер деления с общим
собирающим электродом и двумя электрически изолирован­
ными внешними электродами, на которые
нанесены
слои
239
235
различных делящихся веществ, например
Ри и
U. На­
блюдаемые в каждой половине камеры скорости регистрации
импульсов связаны с интегральными по спектру нейтронов
скоростями делений <фа / (£')> соотношением
R = ((pof(E)}jre,
(10.14)
где JT—количество ядер делящегося нуклида в половине
камеры; 8—эффективность регистрации осколков деления.
Поскольку обе половины камеры находятся в месте реактора
с одинаковым спектром нейтронов, отношение средних по
энергии сечений деления можно принять равным отношению
скоростей делений:
q/i_<g>q/i(£)>_/
< Ф^л (E)>

°л

Rt \ If

y^iSi)

Ъ

/ \ ^jZj

Так могут быть измерены отношения сечений
Gf9/Gf5

ЛИбО

238

U

И

235

U

GfS/Gf5

239

Ри и

235

U

И Др.

Измерение отношения сечения
радиационного
захвата
235
239
в
U к сечению деления
и или Ри производится
двумя способами. При относительных измерениях фольги
238

421

из природного урана облучаются в тепловой колонне, а фоль­
ги из обогащенного урана — в реакторе или критической ксбор­
ванты
ке. Для регистрации
актов
деления
используют
у
"
продукта
деления 143 Се с энергией
293 кэВ, близкой к энер­
квантов П
239
гии у
РР Р~-распаде 238
Np (278 кэВ), образующе­
гося после захвата и знейтронов
в
U, что создает удобства
л чения
при регистрации у У
- Площади под пиками от тех
и других у-квантов следует выбирать одинаковыми, при этом
оптимальны условия
для измерения отношения скоростей
квантов
регистрации у ~
Ry c/Ryк,fЗаписывая четыре условия
вант
регистрации 2типа
(10.14) для у2 3 5 о в , связанных с захватом
38
нейтронов в U и с делением
U в тепловом и исследуемом
спектрах и учитывая обогащения урана в образцах и выходы
церия при делении нуклидов, путем исключения из этих
уравнений неизвестных можно определить отношение ст с 8 /а / 5
в виде некоторой функции, записанной через известные парамет­
ры [17].
Абсолютный метод измерения отношений сечений
ас8/а/9
основан239 на использовании абсолютной камеры деления со
слоем
Ри и облучении фольги из природного урана. Для
абсолютной
камеры деления известны число ядер размещенного
239
в ней Pu Jf9 и эффективность регистрации осколков деления
8 /9 т. е. отпадает необходимость градуировки таких камер
в потоке тепловых нейтронов. Камера деления и урановая
фольга размещаются * в критической сборке одновременно.
Средняя скорость регистрации импульсов от камеры деления
во время облучения запишется как
Лу,/ = ф ^ / 9 ^ 9 е / П / ь П л =

1+Е(ал^/а/9^9)

(10.15)

Поскольку небольшая
расчетная поправка Ylfi на деление
239
ядер-примесей к
Ри для абсолютной камеры известна, из
(10.15) по измеренной скорости счета Ryf находят
Фа^Д^/^е/П^.

(10.16)

Абсолютную скорость захватов в образце 2 3 8 U с известным
количеством
ядер Jf% выразим через наведенную активность
239
ядер
Np:
<DacVT8 = ,4Np (/)//(/),

(10.17)

где / ( / ) учитывает образование и распад ядер 2 3 9 Np. Наведен­
ная активность связана с измеряемой скоростью регистрации
у-квантов с энергией 278 кэВ соотношением
,Ry,c = ANp(t)eyAQk,
422

(10.18)

где 8Y — эффективность
регистрации с учетом числа у-квантов
239
на один распад
Np; AQ — геометрическая эффективность
регистрации у-квантов; к—коэффициент, учитывающий само­
поглощение у-квантов , в образце.
Неизвестные
eYAQ определяются по калиброванному ис­
243
точнику
из
А т , ое-распад которого приводит2 4к3 образованию
239
Np, находящегося239в вековом равновесии с
А т . Поэтому
скорость 2распадов
Np равна калиброванной скорости ос43
распадов
А т . Параметры источника Ry/A0 — eyAQ.
Искомое отношение сечений равно отношению Фа с8 из
(10.17) с учетом (10.18) к равенству (10.16):
стс8 _ Ry,eA0

Л9 Б/Пу

^~R° y kf{t)^\~RZ''
2. Методы определения глубины выгорания тяжелых ато­
мов основаны на изменении за кампанию топлива числа
тяжелых ядер, количества накопленных в топливе ПД. Воз­
можно определение глубины выгорания по выработанной
энергии.
В гравихимическом методе определяются масса тяжелых
атомов в твэле до облучения (в принципе, она равна массе
тяжелых атомов и ПД в твэле после облучения) и масса
тяжелых атомов, выделяемых химическим путем из твэла
после облучения. Разность масс дает массу разделившихся
ядер, а ее отношение к начальной массе—глубину выгоранияв процентах.
В масс-спектрометрическом методе в облученном топливе
измеряют концентрацию какого-либо одного осколка с извест­
ным выходом ук, достаточно долгоживущего и с малым
сечением поглощения, и концентрации тяжелых атомов Л^(0)
в необлученном образце топлива. Тогда глубина выгорания
*=^1Й/[ЛЕ^(0)].
i

Концентрации осколков могут быть определены и методами
квантов
у-спектрометрии,
когда
по
известным
спектрам
у
таких ПД, как 134 Cs, 137 Cs, 106 Ru, 143 Се, 140 La, с помощью
полупроводниковых детекторов с известной эффективностью
регистрации и анализаторов импульсов определяются абсолют­
ные концентрации нуклидов и их отношения, которые могут
быть связаны с глубиной выгорания топлива.
3. Измерение параметров воспроизводства в энергетических
реакторах проводится в среднем за некоторый период работы
реактора путем сравнения конечной и начальной масс делящих­
ся нуклидов во всем реакторе или в образцах топлива,
размещенных в разных зонах и точках реактора.
Избыточную наработку делящегося материала г, вы­
раженную, например, в единицах кг Ри//[ГВт-год], при
423

коэффициенте нагрузки АЭС ср = 0,8 свяжем со средним
за кампанию реактора значением ИКВ (8.42) коэффициентом
Лт..7*дФ
k3NAEfr\

= 3 1 9 1

r\

г

к

u

,
J

кгПД
ГВтгод

Тогда
319

И К В А ^ И К В — = г,

(10.19)

л

7

9
где Г=3,15
10
с—число
секунд
в
году;
к
2 = № Вт/ГВт;
£ 3 = 103г/кг; г|—тепловой
КПД установки; Ef — энергия деле­
239
241
ния, Дж; Риу. = Ри + Ри.
Измеряя гравихимическим методом массы делящихся нук­
лидов в свежем топливе и идущем на химическую переработку,
определяем
r_Mf(Tp)-Mf(Q)

r[WT<pTp

и из (10.19)—среднее за Гр значение ИКВ.
Существует много методов измерения параметров воспро­
изводства на критических сборках. Идеи этих методов поясним
на двух примерах. По смыслу коэффициентов воспроизводства,
таких как ИКВ (8.42) и других, они равны различным
комбинациям плотностей процессов радиационного захвата
или деления ядер. Скоростис п радиационного
захвата определя­
ект ам
ются по характерным у Р
возбужденных
ядер или
л и н и и и 239
продуктов (3~-распада, например
по у
Np при
23
измерении скорости захвата в ®U. Скорости деления измеря­
ются камерами деления с соответствующими пересчетами на
концентрации ядер и эффекты пространственной блокировки
потока, если они 2есть.
В простейшем случае реактора,
38
239
содержащего только
U и Ри, скорости процессов R можно
нормировать на их значения в центре активной зоны. Тогда
измерение KB (8.40), равного
jQ^_Cs_(aeSlaf9)o{jrsIJr9)0^[ReS(r)IReS(0)]dr
А9
j[Rf9(r)/Rf9(0)]U+oi9(r)]dr

'

ПО 20)
У • >

сведется к измерению относительных по отношению к центру
активной зоны скоростей реакций захвата
и нделения, отношения
в
микроскопических сечений (ст с8 /а /9 )о
°Д °й точке активной
зоны и а 9 = а с9 /ст / 9, зависящего от координат. В (10.20)
г соответствует обобщенной координате, включающей и ин­
тегрирование по высоте.
При аналегичном измерении ИКВ, равного
И К В — ^ 8 ~ / 4 9 — (vcs/Gf9)0(^*1-^9)0
_^
F8 + F9
(ст/8/СУ/9)0(Л8/Ж9)О

424

J[Rc8(r)lRcS(0)]dr-i[Rf9(r)lRf9(0m\+^(r)]dr
$[Rf8(r)/Rf8(0)]dr+$[Rf9(r)IRf9(0)]clr

'

K

' >

потребуется
дополнительное измерение относительной скорости
238
деления
и и отношения ( а / 8 / а / 9 ) в центре активной зоны.
Поскольку скорость А;-го процесса на /-м нуклиде
Rk (г) = Ф (г) Jf{ (г ) aki (г), значение плотности потока в центре
Ф(0) в (10.21) сокращается.
Основная трудность рассмотренного способа измерения KB
или ИКВ состоит в сложности измерения аOC
9 = G C 9 / G / 9 , так
к т и в н о с т и 240
как а с 9 должно измеряться по а- или у239
~
Ри,
образующегося при захвате нейтрона в
Ри, а удельная
активность этих процессов чрезвычайно низка по сравнению
с у-активностью
Np. Кроме того,240требуется большая чистота
исходного Ри по отношению к
Ри. Поэтому проще ис­
пользовать косвенный метод определения ос9. Суть этого
метода заключается в измерениях эффекта реактивности от
образца делящегося материала, для которого определяется
ое9, скорости делений в этом образце, а также эффекта
реактивности и скорости захватов в образце-поглотителе,
сечение захвата которого должно быть хорошо известно.
В качестве
таког© поглотителя в быстрых реакторах применя­
6
ется Li, для котерего малы побочные эффекты рассеяния
или изменения градиента плотности потока нейтронов в ре­
акторе. Значение а 9 получается с использованием перечисленных
измерений и с привлечением аппарата функции ценности
нейтронов [17].

425

Часть 3
ВОПРОСЫ ЭКСПЛУАТАЦИИ
И ОСОБЕННОСТИ Ф И З И К И
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
Глава 11
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРОЕКТИРОВАНИЕМ
И ЭКСПЛУАТАЦИЕЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
РЕАКТОРОВ

11.1. Баланс реактивности
безопасность

и ядерная

1. Баланс реактивности сводится к проверке двух условий:
во-первых, превышает ли избыточная реактивность в исходном
состоянии реактора сумму различных отрицательных эффектов
реактивности при его работе в течение заданной кампании
с учетом, если это необходимо, полных остановок и последу­
ющих пусков в момент йодной ямы, и, во-вторых, превышает
ли компенсирующая способность органов регулирования при
взведенных стержнях A3 максимальную избыточную реактив­
ность плюс необходимую подкритичность, которая должна
быть не менее, чем, например, Арподкр = 0,01 (—1% АК/К).
Рассмотрим требования к балансу реактивности теплового
реактора.
Готовый к эксплуатации реактор должен иметь в холодном
KC
пусковом
состоянии
избыточную
реактивность
p
=
(K™£
—l)/
кс
/Аг£ф , предусматриваемую для обеспечения возможности его
разогрева, компенсации равновесного отравления и работы на
мощности в течение необходимого времени. Кроме этого,
должен быть оперативный
запас реактивности на управление
или
если
реактором АрОПеР >
это необходимо, запас реактивности
на выход из йодной ямы Дри.я (см. гл. 7), т. е. для запуска
реактора в конце кампании при максимальном отравлении
остановленного реактора ксеноном. Оперативный запас предназ­
начается для обеспечения возможности ручного или автомати­
ческого управления реактором при переводе его с одного уровня
мощности на другой и для управления полями энерговыделения.
Холодным неотравленным состоянием (х, неот) будем
считать состояние холодного (Г=20° С), не отравленного
ксеноном и самарием реактора, заполненного теплоносителем
426

при номинальном давлении, и с органами регулирования,
находящимися в положении, обеспечивающем максимальную
реактивность. В процессе разогрева реактора и в начальный
период работы на номинальной мощности избыточная реак­
тивность рх,неот(0)> имевшаяся в холодном, неотравленном
состоянии, в момент времени / = 0 снижается на Арт.Эф—полный
температурный эффект реактивности, на Арм — мощностной
эффект, а также на Ар£е и Ар!?т—эффекты равновесного
отравления реактора ксеноном и самарием.
При работе на мощности избыточная реактивность горячего
(при Граб) равновесно отравленного в начале кампании (/ = 0)
теплового реактора
РгРоТ(0) = р х ,„ео Т (0)-Ар т . эф (0)-Ар м -Ар^(0)-Ар^ т (0)
снижается на величину начального запаса реактивности на
выгорание топлива Арвыг(0), включая эффект шлакования,
и становится равной Аропер в конце кампании реактора Г р . При
наличии в реакторе запаса реактивности на выход из йодной ямы
реактивность снижается до Аропер в конце кампании в горячем
СОСТОЯНИЙ с максимальным отравлением реактора ксеноном.
Следовательно, баланс реактивности сводится к равенству
р1Рнеох (0) = Арт. эф (0) + Арм + Ар L (0) + Aps°m (0) +
+ Арвыг(0) + АРопер + Ар и . я (Г р ),
(11.1)
в котором эффекты реактивности предполагаются отрицатель­
ными и берутся по модулю.
В быстром реакторе эффекты отравления ксеноном и са­
марием пренебрежимо малы и
РхоРл(0) = Арт.эф(0) + Арм + Арвыг(0) + Аропер.
(11.2)
В больших быстрых реакторах (б. БР) с высоким коэффици­
ентом воспроизводства топлива в активной зоне реактивность
в процессе работы реактора может расти, запас реактивности
на выгорание при этом не требуемся и
РхолР(0) = Арт.эф(0) + Арм + Аропер.
(11.3)
Условия балансов реактивности в тепловых или быстрых
реакторах (11.1) — (11.3) обобщают результаты проведенных
физических расчетов.
Одна из основных задач физических расчетов — определение
характеристик органов регулирования реактивности. Органы
регулирования обеспечивают выполнение следующих функций
при подавлении р:
компенсации, т. е. подавления до р = 0, всей избыточной
реактивности рх неот (0) холодного неотравленного реактора при
/ = 0 (11.1);
427

создания необходимой (не менее — 0,01) подкритичности
ДРподкр без органов аварийной защиты;
компенсации температурного выбега реактивности, т. е.
разности максимальной в процессе разогрева (при температуре
Г*) и начальной (если Ар т э ф <0) реактивности Ар1£$ \Т*у9
компенсации выбега реактивности при выгорании Арвыб(/*);
обеспечения ввода необходимой отрицательной реактив­
ности для аварийной защиты реактора Ар АЗ?
обеспечение ввода реактивности ±Ар АР для ручного или
автоматического изменения мощности реактора специальным
органом АР.
Все эти функции обеспечиваются отдельными группами
органов регулирования: компенсирующими органами (КО),
органами аварийной защиты (A3) и автоматического регули­
рования (АР). Компенсирующие органы компенсируют рх,неот(0)
и обеспечивают также создание подкритичности Арподкр, органы
A3 должны п©давлять реактивность, большую некоторого
выбранного значения Ар АЗ, органы АР — реактивность
АрАр^Ар£р.
Общая компенсирующая способность, или эффективность,
системы компенсации, т. е. разность реактивностей реактора
в двух
крайних
положениях
органов
регулирования
(введены — p l 5 выведены — р 2 ) Ар к о = Р2 — Pi, определится из
условия баланса реактивностей и компенсирующих способ­
ностей органов регулирования. Так, эффективность компен­
сирующих органов в тепловом реакторе
Ар^^Ар п о д к р + Арт.эф(0) + Ар^ыэбф(Г*) +
+ Ар^(0) + Ар8°т(@) + Арвыг(0) + Аропер + Ари.я.

(11.4)

Если в процессе разогрева от 20° С до Граб реактивность
непрерывно падает, то ApJ;2f (!Г*) = 0. В больших быстрых
реакторах с растущей во времени р(/) максимальная реак­
тивность достигается в середине кампании в момент времени
t* = T0 или в конце кампании при t* = Tp и превышает
реактивность горячего реактора в начале кампании на Арвыб(г*).
Тогда в пренебрежении эффектами отравления
Ар ^ ^ Арподкр + Арт. эф + Арм + Арвыг (0) +
+ Ар выб (г*)+Др опер ,

(11.5)

где Арвыг(0) может быть небольшим или равным нулю для
упомянутых реакторов. В быстром реакторе с падающей при
работе на мощности реактивностью выражение (11.5) сохраня­
ется, но эффекты реактивности относятся в этом случае
к началу кампании и Арвыб(/*) = 0.
428

Общая компенсирующая способность всех органов регули­
рования (ОР)
Дрор=Лрко + ЛрАз + АрАр,

(11.6)

где
ЛрАЗ^ЛРАЗ; АРАР^АРАР.

Заметим, что при использовании выгорающих поглотителей
состояние с максимальной реактивностью может достигаться
в момент t* выбега реактивности, равного Арвыб(/*), при
выгорании топлива и поглотителя, т. е. при максимальном
значении p(t) в горячем равновесно отравленном состоянии,
p?*™(t*). В этом случае
Ар^^р г , о т (0) + Арвыб(/*) + Арт.эф + Ар1ыэ|,+
+ Apli + Apxe + ApL + A p « w ,

(И.7)

где
АРвыб(t*) = р*а0ктс(/*) - Рг,от(0),
а
рг,от(0) = Ар™ (0) +
+ Ари#я + Аропер. Условие (11.7) выполняется легче, чем условия
(11.4) — (11.6), так как при использовании выгорающихлтоглотителей АрВыг(0) существенно меньше, чем Арвыг(0) в тепловых
реакторах без выгорающих поглотителей (рис. 11.1).
2. Связь баланса реактивности с правилами ядерной безопас­
ности. Условия (11.4) — (П.7) являются достаточными в том
случае, если предположить отсутствие поломок (отказов)
органов регулирования и дополнительных аварийных эффектов
реактивности Аравар (7.6), (7.7) и др. В действительности такая
возможность всегда должна иметься в виду, и при подведении
баланса реальные компенсирующие способности Ар0р должны
быть снижены в каждой группе на эффективность одного
органа, который потенциально может выйти из строя. Тогда
Ар ко, Ар АЗ, АрАР будут представлять собой эффективности
соответствующих реальных групп органов регулирования без
одного, наиболее эффективного органа в каждой группе.
Эффективность компенсирующих органов должна быть до­
полнительно увеличена на Аравар. При физическом расчете
вычисляют эффективность всех органов регулирования и опре­
деляют наиболее эффективные
органы в каждой группе с эфa
фективностями Api K o, Ар^дз? Ар^др- Тогда окончательные
правила безопасности, которым должны удовлетворять эф­
фективности органов регулирования, имеют вид
429

^опер

^подкр

з

Рис. 11.1. К вычислению баланса реактивностей:
а—разогрев реактора; б—выход на мощность; в — отрав­
ление; г — выгорание; 1—ТР с частичными перегрузками
с добавлением топлива; 2—ТР с выгорающими поглоти­
телями (
Р?"б=0); 3—БР с КВА=1,1-1,2; 3'—БР
с КВА = 1,5—1,6 с изъятием топлива при перегрузках;
Рг,бм — реактивность горячего реактора без мощности

> Ь^Г~ТЛ^ А / * Ы 5 ^
*Аь,г(0)-

т'

ti0*4

Дрк < 0 Р ) = Л р К О - Л р 1 , а к О ^ Л р а в а р + ЛРподкр +
+ р1Рнеот (0) + A p L f + Арвыб

it*},

Ар'к<§р> = Ар Wo ~ Ар Гко > Аравар +
+ Ар„Одкр + РхоРл(0) + Арвыб(**);
Аркз = Ар А з-АрП с з^Ар^ 3 ;
Ар; Р = Ар А Р -АрПр^Ар^р,

У

(П.8)

где Ар АР служит для сообщения реактору отрицательной
реактивности при регулировании, а Ар АЗ равна сумме расчетной
эффективности A3, достаточной для преодоления аварийных
ситуаций, и эффективности, достаточной для компенсации быстрых
положительных изменений реактивности в момент сброса A3
и вплоть до входа в активную зону органов КО. К быстрым
эффектам относятся мощностной; включая паровой, эффект от
снижения температуры теплоносителя от средней до входной и т. п.
Аварийными эффектами реактивности могут быть: эффект
залива водой из парогенераторов активных зон газоохлаждаемых реакторов, пустотный эффект реактивности при вскипании
и выбросе из активной зоны теплоносителя (если он поло­
жительный)— воды в тепловых или натрия в быстрых реак­
торах, эффект от схлопывания пара и др.
Помимо отмеченных перечислим некоторые другие правила
ядерной безопасности, которые необходимо учитывать в ста­
тических физических расчетах реакторов:
должны быть предусмотрены две системы воздействия на
реактивность, основанные на различных физических принципах,
причем каждая из систем должна быть способна удерживать
реактор подкритическим в горячем состоянии, а одна из них
полностью компенсировать все эффекты реактивности в холод­
ном состоянии;
минимальная подкритичность после взвода всех органов
A3 перед пуском реактора из полностью заглушённого подкритического состояния должна быть не менее 0,01;
СУЗ должна справляться с незапланированным извлечением
одного, наиболее эффективного органа, например при его
самоходе вверх;
скорость ввода реактивности при работе органов СУЗ не
должна превышать 0,07(Зэф/с, т.е. ввода 1(Зэф за 15с;
при непрерывном перемещении ОР не должно вводиться
более 0,3рэф;
быстрый мощностной коэффициент реактивности должен
быть отрицательным, желательно иметь отрицательным и пол­
ный мощностной коэффициент, учитывающий инерционные
компоненты (нагрев графита и т. п.);
431

перемещение компонентов активной зоны при работе ре­
актора не должно приводить к росту реактивности;
при разрушении или расплавлении активной зоны не должны
образовываться вторичные критические массы; ,
включение системы аварийного охлаждения не должно
выводить реактор из подкритического состояния;
при удержании реактора подкритическим в горячем или
холодном состоянии с помощью одной из систем воздействия
на реактивность должна быть исключена возможность об­
разования локальных критических масс;
в любой момент кампании долж:ны быть известны мак­
симальный запас реактивности активной зоны, подавляемый
исполнительными органами СУЗ, эффективность исполнитель­
ных органов АР, РР (ручного регулирования), КО и A3,
а также эффективность поглотителя системы жидкостного
регулирования реактивности;
минимальная подкритичность при перегрузках топлива
с расцепленными и погруженными в активную зону органами
СУЗ должна быть не менее 0,02 ( - 2 % АК/К);
при проведении ремонта или замены оборудования, вли­
яющего на реактивность (ядерно-опасных ремонтных работ),
подкритичность активной зоны должна быть не менее 0,02;
при перевозках или хранении свежего или отработавшего
топлива подкритичность хранилищ или перегрузочных контей­
неров должна быть не менее 0,05.
Системами с разными физическими принципами воздействия
на реактивность могут быть системы газового или жидкостного
регулирования, слива замедлителя или теплоносителя, система
с гравитационным падением органа регулирования в сравнении
с приводным механическим регулированием. Требования правил
ядерной безопасности наличия двух систем или отсутствия
вторичных критических масс при расплавлении топлива на­
иболее трудно выполнимы.
В правилах ядерной безопасности атомных электростанций
(ПБЯ-04—74) и во многих иных нормативных документах
имеются кроме перечисленных и другие требования к СУЗ
и различным системам и устройствам АЭС по обеспечению
безопасности, которая понимается как непревышение в любых
аварийных ситуациях установленных пределов по повреждению
оболочек твэлов и выходу активности и непревышение установ­
ленных предельных уровней по облучению персонала АЭС
и населения.
В послечернобыльский период значительное внимание при
обеспечении безопасности уделяется вопросам самогашения
цепной реакции за счет отрицательных коэффициентов и эф­
фектов реактивности при повышениях мощности (внутренне
присущая активной зоне безопасность, обусловленная законами
432

природы), за счет пассивных, т. е. срабатывающих самосто­
ятельно, средств A3 и пассивных средств отвода тепла
остаточных энерговыделений с использованием естественной
конвекции, воздушных теплообменников, запасных объемов
теплоносителя и т. п.

11.2. Эксплуатационные
и измерения

расчеты

1. Восстановление распределения энерговыделения в каждой
ТВС на основе дискретных показаний внутризонных датчиков,
на которые нормируются расчетные распределения,— важная
задача эксплуатационных расчетов в канальных реакторах
РБМК. Основная причина нестабильности распределений — па­
ровые и ксеноновые колебания мощности, возникающие в боль­
ших по сравнению с длиной миграции нейтронов реакторах,
отдельные области которых имеют слабую нейтронную связь
друг с другом.
В центральных трубках 130 ТВС (из общего числа 1693),
распределенных равномерно по поперечному сечению активной
зоны, размещены кабели р-эмиссионных датчиков с серебряным
(гафниевым) эмиттером. В 12 каналах размещены Р-эмиссионные датчики, контролирующие высотное распределение. По­
казания каждого датчика могут быть представлены в от­
носительном виде путем нормировки на значение тока, ус­
редненное по всем датчикам. Поскольку ток датчика обус­
ловлен Р-распадом ядер, образующихся в эмиттере при захвате
нейтронов, соответствующая нормировка — на среднее значе­
ние—должна быть сделана для расчетного радиально-азимутального распределения плотности потока нейтронов, например
тепловых нейтронов, если эмиттер захватывает в основном
тепловые нейтроны. Адекватность расчетной модели проверя­
ется сравнением относительных значений плотностей потока
с относительными показаниями детекторов в местах их
размещения. При удовлетворительном совпадении этих значе­
ний энерговыделения во всех ТВС определяются доумножением
плотности потока нейтронов на макроскопические сечения
деления с нормировкой на мощность реактора, В макроско­
пических сечениях деления учитывается глубина выгорания
топлива и замена выгоревших ТВС свежими при перегрузках.
Система контроля распределения энерговыделения определя­
ет запасы до кризиса тегглосъема в отдельных ТВС с учетом
высотных распределений и выдает сигналы на перемещение
локальных автоматических регуляторов (ЛАР) для коррекции
распределений в наиболее напряженных ТВС. При необ­
ходимости оператор в дополнение к системе ЛАР использует
28 Заказ 2739

433

перемещение ручных регуляторов (РР) или ввод в нижнюю
часть реактора укороченных стержневых поглотителей (УСП),
которые сдвигают распределение нейтронов в верхнюю часть
реактора.
2, Расчеты перегрузок первоначально проводятся ъ процессе
проектирования реактора. Существует несколько причин для
повторения или проведения заново этих расчетов при эксп­
луатации. В таких реакторах, как канальный реактор РБМК,
трудно заранее предусмотреть все многообразие вариантов
возможных перегрузок, включая выгрузку дополнительных
поглотителей. Кроме того, все реакторы АЭС работают
в режиме частичных или квазинепрерывных перегрузок, причем
работа активных зон должна проходить непрерывно (за
вычетом кратковременных остановок на профилактический
осмотр и ремонт) в течение всего срока службы АЭС, т. е.
30—50 лет.
За столь долгий срок становится неизбежной модернизация
и усовершенствование нейтронно-физических особенностей ак­
тивных зон, влияющих на экономику и безопасность реактора.
Эти усовершенствования могут быть связаны с видом топлива,
обогащением урана, конструкцией ТВС, материалами ТВС,
диаметром твэла, изменением поглощающих материалов или
способа компенсации реактивности и т. п., причем новшества
целесообразно вводить постепенно путем частичных перегрузок
топлива. Фактически при этом нужно проводить полномасш­
табные физические расчеты с подтверждением балансов реак­
тивности и выпуском необходимой документации. Отличие от
проектных расчетов состоит в неточном знании состава уже
проработавшей некоторое время части активной зоны и тру­
дности учета неравномерности выгорания топлива по объему
активной зоны.
Существуют две возможности решения этой проблемы:
во-первых, экспериментальное изучение распределений топлива
и ПД в отработавших ТВС, во-вторых, проведение детальных
расчетов выгорания топлива, начиная от первой загрузки,
с учетом перегрузок и движения органов регулирования.
Результаты расчетов изменения реактивности при выгорании,
движения органов регулирования, интервалов между перегруз­
ками сравниваются с реальными данными эксплуатации, и дела­
ется вывод об адекватности расчетного метода или о необ­
ходимости его совершенствования.
В реакторах с ксеноновой нестабильностью подобные
расчеты затруднены практической невозможностью учета всего
многообразия перемещений органов регулирования при работе
реактора. Тем не менее, в любом случае расчеты перегрузок
должны быть проведены, и они проводятся при тех или иных
упрощающих предположениях. Гарантией от достижения кри434

зиса теплосъема и пережога ТВС вследствие расчетных ошибок
является экспериментальная система контроля распределения
энерговыделения. Выше отмечалось, что для интерполяции
энерговыделений между точками детектирования используются
расчетные энергораспределения. Если точность распределений
вызывает сомнение, то в принципе при достаточном количестве
датчиков интерполяция и экстраполяция их показаний могут
осуществляться с помощью различных пробных функций,
отвечающих разумным физическим предположениям.
3. Физический и энергетический пуски реактора требуют
проведения ряда специальных нейтронно-физических расчетов
по определению критических чисел ТВС, дополнительных
поглотителей, критических положений органов регулирования
или уровней замедлителя и других показателей в соответствии
с намеченными программами экспериментов при пусках. Целью
этих расчетов, проводимых, как правило, заблаговременно,
является обоснование ядерной безопасности намечаемых экс­
периментов и сообщение экспериментаторам информации, необ­
ходимой для выбора методики экспериментов.
Нейтронно-физические эксперименты при пуске реактора
служат для проверки данных проектных расчетов по критичес­
ким массам или запасам реактивности, распределениям энер­
говыделений, эффективности органов СУЗ. В программе
экспериментов и ранее, при проектировании реактора, пре­
дусматриваются меры по возможной корректировке параметров
реактора в случае возникновения такой необходимости. В ре­
акторах с дополнительными или выгорающими поглотителями
требуемая реактивность достигается изменением числа ТВС
с поглотителями; в реакторах с начальной загрузкой из ТВС
или твэлов с разным обогащением—изменением их числа
в нужную сторону. Если изменения распределений энерговы­
деления при этих операциях окажутся недопустимыми, то
в первый период работы мощность реактора может быть
ограничена.
Более сложно решается проблема недостатка эффективности
органов регулирования, если это обнаружится при физическом
пуске. Один из путей—снижение запаса реактивности, и кам­
пании реактора либо увеличение числа стержней и испол­
нительных механизмов, что, как правило, трудно осуществимо
или вообще невозможно.
Причиной расхождений проектных нейтронно-физических
параметров реактора и определенных при физическом пуске
может быть несовершенство методов расчета, и данные
физического пуска используются для совершенствования рас­
четных методов. Вторая основная причина возможных рас­
хождений связана с неточностями изготовления топливных
и других элементов активной зоны в пределах технологических
28 *

435

допусков. В процессе проектирования реактора принят про­
водить анализ влияния допусков на реактивность путем их
сложения в лучшую или в худшую с точки зрения запаса
реактивности сторону.
В соответствии с полученными разбросами реактивности
предусматриваются возможные меры для ее коррекции. Ана­
логичный анализ проводится для определения компенсирующей
способности стержней.
Особенностью физического пуска реактора является большое
количество ТВС, поскольку собирается- вся активная зона.
При этом наиболее достоверно могут быть выявлены эффекты
подъемов энерговыделения в наиболее горячих точках — вблизи
полостей с замедлителем (например, вблизи зазора между
верхней и нижней ТВС в реакторах РБМК или в соседних
ТВС при выгрузке ТВС на мощности и заполнении канала
водой) или в ТВС с более высоким обогащением при
двухзонном профилировании топливом в реакторах ВВЭР или
БН и при перегрузке в РБМК.
Энергетический пуск позволяет проверить основные эффекты
реактивности — температурный при разогреве реактора и мощностной при выводе его на мощность. Измеряется коэффициент
утяжеления стержней, т. е. относительного повышения их
эффективности при переходе от холодного состояния к горя­
чему, ввиду снижения макроскопического сечения поглощения
в активной зоне. Сечение стержня также снижается, но из-за
большой концентрации поглотителя его чернота остается
высокой и эффективность стержня в тепловых реакторах
растет. При выходе на мощность может
быть оценен эффект
135
стационарного отравления реактора
Хе, паровой эффект
в реакторах с кипящим теплоносителем.
Особая задача физического и энергетического пусков — про­
верка аварийных эффектов реактивности при потере теплоноси­
теля (в реакторах БН или РБМК) или, наоборот, попадании
воды или водородсодержащих веществ в реактор с газовым
теплоносителем или на быстрых нейтронах. К этим задачам
примыкают проверки эффективности дополнительных систем
регулирования, основанных на иных принципах, например
систем слива или отравления жидкого замедлителя (тяжелой
воды), ссыпки шаровых твэлов ВТГР и т. п.
При энергетическом пуске проверяются также баромет­
рические эффекты реактивности, работоспособность системы
контроля распределения энерговыделения, динамические харак­
теристики эффектов реактивности, в частности время появления
температурного эффекта твердого замедлителя при изменениях
мощности. Эти показатели оказывают большое влияние на
динамическую устойчивость реактора, включая ксеноновую
нестабильность.
436

4. Эксплуатационные измерения нейтронно-физических ха­
рактеристик реактора и сопутствующие им расчеты включают
определение относительного изменения эффективности органов
регулирования, изучение физики реактора в переходном режиме,
изменений эффектов реактивности при выгорании топлива
и накоплении плутония, оценки остающихся запасов ре­
активности и кампании реактора в случае однократных
перегрузок и др.
В тепловых реакторах эффективность органов регулирования
(ОР) во многих случаях растет по мере увеличения энерго­
выработки ввиду снижения макроскопического сечения поглоще­
ния в активной зоне Ха из-за уменьшения на порядок
микроскопического сечения поглощения при , делении ядра
делящегося нуклида, выгорания поглотителей и вывода борной
кислоты из общего контура теплоносителя. Выгорание самого
стержня происходит сравнительно медленно.
В случае работы реактора в стационарном режиме уста­
новившихся непрерывных перегрузок эффективность стержня
может оставаться* постоянной вследствие неизменности состава
активной зоны или падать из-за выгорания стержня при его
длительной эксплуатации. В больших быстрых реакторах
с высоким внутренним коэффициентом воспроизводства ак­
тивной зоны (КВА) эффективность ОР может падать со
временем при росте в активной зоне массы делящихся нуклидов
и снижении вероятности поглощения нейтронов в стержне.
Изменение компенсирующей способности ОР влияет на
состояние ядерной безопасности реактора и должно учитывать­
ся при оценках баланса реактивности в процессе эксплуатации
реактора. Дифференциальная эффективность стержня, измеря­
емая при эксплуатации на высоте z 0 , например, методом
асимптотического периода на малом уровне мощности, от­
несенная к этой же величине для более раннего момента
времени при таком же расположении стержней в активной
зоне, определит коэффициент утяжеления или облегчения
стержня: к=

р

' ' z°4
dH

р

J

' ' *° . Этот же коэффициент даст изменеdH

ние общей эффективности стержня, когда общая форма диф­
ференциальной характеристики стержня остается при выгорании
неизменной. Такие случаи реализуются при равномерном
выгорании топлива, что бывает не так часто. Поэтому
изменение общей эффективности стержня желательно оценивать
по двум-трем дифференциальным эффективностям, измеренным
на разных высотах.
Аналогичная процедура позволяет оценить имеющийся
в горячем,' равновесно отравленном состоянии реактора
запас реактивности по положениям ОР, их градуировочным
437

характеристикам и проверенным на части хода диффе­
ренциальным эффективностям. За вычетом оперативного запаса
ЛРопер? необходимого для выхода до частичных йодных
ям при маневрировании мощностью, эта реактивность позволит
найти остающийся ресурс работы реактора (для случаев
без борной кислоты и ВП). Для этого ее нужно разделить
на скорость падения реактивности при выгорании, которая
должна быть заранее измерена, например по изменению
положения какого-либо стержня за короткий промежуток
времени. В реакторе с борной кислотой необходимо до­
полнительно определить дифференциальную эффективность
единичной концентрации борной кислоты и получить до­
полнительный запас реактивности, разделив на нее общую
концентрацию борной кислоты в растворе.
Эффекты реактивности при отравлении реактора определя­
ются отношением макроскопических сечений поглощения ксе­
нона или самария к сечению деления Еу и могут расти или
уменьшаться в процессе выгорания. Оценку величины этих
эффектов, особенно от ксенона, сравнительно легко сделать,
анализируя изменения положения органов регулирования после
изменения мощности реактора, проработавшего 1—2 сут на
постоянном уровне мощности, с учетом градуировочных харак­
теристик стержней и эффектов ..выгорания.
Температурные эффекты зависят от многих факторов.
Снижение концентрации топлива смягчает спектр, и абсолютное
значение отрицательного температурного эффекта может умень­
шиться. Однако уменьшение эффекта от разблокировки ТВС
при разогреве вследствие выгорания топлива действует в про­
тивоположную сторону. За характером изменений температур­
ного эффекта при эксплуатации можно следить по изменениям
измеряемых температурных коэффициентов. Последние измеря­
ются забрасыванием в активную зону реактора, работающего
на малом уровне мощности, некоторого количества холодного
теплоносителя и фиксирования одновременных изменений тем­
пературы активной зоны и изменений реактивности по положе­
нию органов регулирования.
Физика активной зоны может довольно резко изменяться
при переходе от первой начальной загрузки к режиму уста­
новившихся перегрузок. Особенно значительные изменения
ожидаются в высокотемпературных реакторах с шаровыми
твэлами. Переходные режимы таких реакторов должны тща­
тельно изучаться в отношении эффективности систем компен­
сации реактивности, так как в случае начальной загрузки
твэлами подпитки установишегося режима объем активной
зоны в процессе выгорания растет и эффективность регуляторов
падает. Переходный режим в реакторах РБМК приводит
к снижению в активной зоне числа дополнительных поглоти438

телей и появлению положительного пустотного эффекта ре­
активности при аварийном удалении теплоносителя. Процесс
перехода отрицательного пустотного эффекта в положительный
может оцениваться при эксплуатации экспериментально-рас­
четным путем на основании измерений паровых коэффициентов
и эффектов реактивности, характеризующих начальную стадию
обезвоживания, сравнения их с расчетом и дальнейшего
расчетного определения полного обезвоживания.
Определенную помощь оператору реактора оказывают рас­
четные номограммы положительных и отрицательных эффектов
реактивности и времени их достижения при скачкообразных
переходах с мощности на мощность как в сторону снижения
мощности (частичные йодные ямы), так и в сторону ее
повышения. Ксеноновые процессы и другие эффекты реактивно­
сти могут быть запрограммированы в зависимости от изменений
мощности реактора с выдачей на дисплей оператора экстраполи­
рованных на некоторое время вперед данных по изменению
положения стержней и оперативного запаса реактивности для
облегчения заблаговременного принятия необходимых решений.

71.3. Влияние нейтронной
физики
реактора на процессы
маневрирования
мощностью
1. Необходимость маневрирования мощностью энергоблока
АЭС связана с возрастающей долей последних в общем
энергобалансе страны в условиях существующей неравномер­
ности суточных, недельных и сезонных графиков энергопот­
ребления, а также с аварийными режимами энергосетей.
Маневрирование мощностью — один из наиболее важных мо­
ментов эксплуатации судовых и энерготехнологических реак­
торов, для которых требования по маневрированию предельно
жесткие, а именно: требуется обеспечить возможность выхода
из полной йодной ямы в течение всей кампании реактора
(для тех и других реакторов), а также достаточно быстрые
снижения или повышения мощности в интервале между
мощностью собственных нужд и номинальной (для судовых).
В судовых реакторах эти качества очевидны и просто повторя­
ют требования, предъявляемые к установкам на органическом
топливе. Остановка энерготехнологических, например высоко­
температурных (ВТГР), реакторов может быть вызвана тре­
бованиями технологической цепочки и отсутствие возможности
запуска реактора из-за его переотравливания после остановки
может привести к экономическим потерям.
Необходимость быстрой остановки АЭС при аварийном
отключении энергопотребителей энергосистемы менее вероятна,
439

чем в случае энерготехнологического производства, ввиду
большой общей мощности энергосети и возможности ее
регулирования * одновременным воздействием на несколько
энергоисточников. Те же соображения можно отнести к необ­
ходимости быстрого пуска одной АЭС. Поэтому в реакторах
АЭС предусматривается не запас реактивности на выход из
полной йодной ямы, а лишь больший или меньший оператив­
ный запас на выход из частичных йодных ям при снижениях
мощности до некоторого уровня. При этом появляется не­
который интервал времени от t1 после остановки реактора
до t2, в течение которого блок АЭС не может быть запущен
после полной остановки реактора (Ар опер <Ар ия ).
2. Связь нейтронной физики с маневрированием проявляется
не только в балансе реактивности в ксеноновых процессах,
но и в любых изменениях реактивности, происходящих самосто­
ятельно или производимых специально с учетом скорости
ввода реактивности и деформации распределения энерговыделе­
ния при перемещении ОР. Существенное значение для графика
сезонных нагрузок имеют продолжительность кампании реак­
тора, работающего в режиме частичных перегрузок, и связан­
ные с этим способы продления кампании в случае необ­
ходимости.
В энергетических реакторах на тепловых нейтронах средняя
по объему активной зоны плотность13потока нейтронов
находит­
14
ся в интервале примерно от 5-10 до 5 • 10 нейтр./(см2 -с).
В этом диапазоне потоков быстрое и значительное снижение
мощности
реактора приводит к нарушению баланса ядер
135
Хе, к росту их концентрации до максимального значения
с последующим падением ниже начального уровня. Изменения
реактивности при попадании реактора в частичную йодную
яму должны корректироваться КО, причем скорость ввода
ими положительной реактивности должна 135
быть равна скорости
падения реактивности при накоплении
Хе. В противном
случае баланс реактивности нарушится в сторону ксенона
и мощность реактора начнет самопроизвольно снижаться.
Наиболее критичной точкой является момент времени tt после
остановки, когда скорость нарастания концентрации ксенона
достигает максимума. .При изменениях средней плотности
потока (мощности) с Фх до Ф2 в любую сторону время
t1 определяется из условия
ti=-

dt

г-^ = 0:
\2А

г In

где Х$е = ХХе + Ф2еХе; А = y{Lf (a>! - Ф 2 )/(^хфе - ^i). В критической
точке при времени tt скорость изменения реактивности ме440
*

ханически перемещаемым KQ должна удовлетворять первому
условию маневрирования:
ct /хе

\ ah / к о

где vKO — скорость КО, мм/с; (dp/dh)KO\t —дифференциальная
эффективность КО в момент времени tx в процессе его
перемещения. При регулировании реактивности концентрацией
борной кислоты в теплоносителе первого контура критической
является скорость вывода бора в момент времени tx

где С в — концентрация бора в теплоносителе, г В/кг Н 2 0 .
Вторым условием возможности выхода на новый уровень
мощности и работы на нем при переводе реактора с мощности
Wx на меньшую W2 является следующее соотношение между
оперативным запасом реактивности и глубиной частичной
йодной ямы:
Ар
опер

(11.10)

В условие (11.10) входит частичный мощностной эффект
реактивности, который в большинстве случаев облегчает ком­
пенсацию ксеноновых процессов в силу положительности
мощностных эффектов при сбросах мощности. В него в при­
нципе должны входить и все другие эффекты реактивности,
которые проявляются при изменениях мощности: температур­
ные (при изменении входной или средней температуры теп­
лоносителя), барометрический и т. п.
Условие (11.10) относится к установившемуся топливному
режиму в реакторах с непрерывными перегрузками топлива.
В реакторах с частичными перегрузками условие (11.10)
относится только ко времени конца работы на интервале
между перегрузками топлива,же когда запас реактивности на
выгорание топлива, Арвыг(0) У исчерпан. Для таких реакторов
перепишем (11.10) в виде
ЛРопер + А р м ^ ^ ^ ^ Арвыг (t)>

А р и . я | Ж 1_Wr2.

(П.11)

Несмотря на постепенное падение Арвыг(/) на интервале
времени t = 0-±Tp условие (11.11) обеспечивает значительное
преимущество в суточном и недельном маневрировании мощ­
ностью по сравнению с (11.10). Обычно оперативный запас
рассчитан на снижение мощности примерно на 30% в интервале
100 — 70% ее номинального значения, Ар опер » 0,5-f-2% АК/К.
Добавление Арвыг(/) позволяет на значительной части кампании
реактора Тр сделать возможной полную остановку блока АЭС
441

с пуском в любое время после оскшовки, т. е. обеспечить
выход из полной йодной ямы.
В то же время частичные перегрузки топлива требуют
полной остановки реактора. Обычно перегрузку приурочивают
к минимуму сезонной нагрузки энергосистемы, но даже
и в этом случае полная длительная остановка энергоблока
часто нежелательна. Поэтому реакторы с непрерывными пе­
регрузками на ходу более предпочтительны.
Если по каким-либо причинам остановку энергоблока на
перегрузку топлива необходимо отсрочить, а запас реактив­
ности Арвыг уже выработан, то в случае отрицательных
мощностных и температурных эффектов кампанию реактора
можно продлить путем постепенного снижения мощности
реактора и температуры теплоносителя или жидкого замед­
лителя. Ограничением на снижение температуры теплоносителя
является режим работы турбины, включая рост влажности
пара на последних ступенях турбины, что повышает скорость
коррозии лопаток. Некоторого снижения температуры топлива
можно достичь и при постоянной мощности, изменяя воднохимические режимы теплоносителя, приводящие к размытию
твердых отложений в виде пленок на поверхности твэлов.
Исчезновение перепада температуры на пленке снижает тем­
пературу топлива и ведет 2к3 8 подъему реактивности за счет
доплеровского эффекта на
U.
Третье условие возможности маневрирования мощностью —
непревышение допустимых значений коэффициентов неравно­
мерности энерговыделения в процессе перемещения КО с целью
высвобождения или подавления реактивности:
kv(hK0)^kr,
(П.12)
где допустимый коэффициент
неравномерности энерговыделе­
оп
ния по объему ку включает необходимый запас до кризиса
теплосъема с учетом технологических отклонений (механических
коэффициентов) в наиболее горячей точке.
Особенно тщательно условие (11.12) следует проверять при
повышениях мощности вплоть до номинального значения.
Начальная стадия ксенонового процесса приводит к высвобож­
дению реактивности, превышающей ее установившееся значе­
ние, т. е. к более глубокому погружению поглощающих
стержней и к большим коэффициентам неравномерности в тече­
ние переходного процесса. Однако и при снижениях мощности
ввод в активную зону топливных регуляторов с менее выгоре­
вшим, чем в активной зоне, топливом может привести
к пережогу твэлов.
Перечисленные особенности нейтронно-физических процес­
сов и условия маневрирования должны учитываться при
эксплуатации реактора в переменных режимах.
442

3. Режимы маневрирования мощностью лучше рассматривать
применительно к тепловым реакторам, так как быстрые
реакторы скорее всего будут работать в базисном режиме
на номинальной мощности для повышения скорости наработки
избыточных делящихся материалов.
Глубина маневрирования в реакторах РБМК не превышает
10—15% номинальной мощности. Снижение мощности РБМК
при постоянном расходе воды приводит к уменьшению объема
пара в активной зоне и отрицательному эффекту реактивности,
затрудняющему маневрирование. Поэтому снижение мощности
сопровождается уменьшением расхода с сохранением объемного
паросодержания. При небольших снижениях мощности переот­
равление ксеноном невелико и частично компенсируется мощностным эффектом при снижении температуры топлива.
Сравнительно более легко маневрирование мощностью
осуществляется в водо-водяных реакторах, в частности в ВВЭР440, работающих с жидкостным и кассетным регулированием.
Некоторые особенности переменных режимов удобно рассмот­
реть на примере этих реакторов [10].
Наиболее сложно осуществляется режим быстрого и глу­
бокого снижения мощности при суточном регулировании.
В отработку ксеноновых потерь реактивности должна быть
включена система борного регулирования с быстродействием,
достаточным для выполнения условия (11.9). Скорость вывода
поглотителя при подпитке первого контуру чистой водой
и «продувке» (выводе) поглощающего раствора определяется
из уравнения баланса общей массы борной кислоты в объеме
первого контура (рис. 11.2)
У

У^Г=(Сяу)поап-С{1){ду)прод,

(11.13)

где С (f), Сподп — концентрации борной кислоты в воде первого
контура и в подпиточной воде, г/кг Н 2 0 ; qnojin, #П3рОД — объем­
ные расходы подпиточной и продувочной воды, м /ч; У, УпРоД5
Уподп — плотности воды
первого контура, продувочной и под­
3
питочной воды, кг/м ; t — время, ч; 3V—объем первого контура
без учета компенсатора объема, м .
При подпитке чистой водой Сподп = 0, поэтому первый член
в (11.13) исчезает и
С ( 0 = С(0)ехр[-(^у) п о д п /Ку]л

,

Рис. 11.2. Схема подпитки реактора
борной кислотой

(11.14)

. 7Р

—"—3
'
Пербыи контур
443

Изменение концентрации борной кислоты по отношению
к начальному значению
С ( 0 ) - С ( 0 = С(0){1-ехр[-(^у) п о д п /Ку]?}.

(11.15)

Относительная скорость изменения концентрации борной
кислоты

Р=

1 dC(t) _{ЧУ\
Vy
C(t) dt

определяется массовым расходом продувочной воды
равным ему по условиям материального баланса

или

прод

(11.16)
[учтено в (11.14),

массовым расходом подпиточной воды
(11.15)].
С учетом условия (11.16) зависимость концентрации борной
кислоты в воде первого контура для случая подпитки кон­
центрированным поглощающим раствором имеет вид
С(^) = С ( 0 ) е х р ( - ^ ) + Сподп i_ e x p M^W . (11.17)
Vy

При подпитке чистого теплоносителя С(0) = 0 и
С {t) = Сподп [ 1 - ехр ( - {qy)nom t/ Vy)~].
Изменение концентрации борной кислоты (11.15) и до­
пустимый уровень сброса мощности в первом топливном
цикле ВВЭР-440 приведены на рис. 11.3. Из (11.14) получим
время вывода 90% борной кислоты, т. е. когда С(7 0 )/С(0) = 0,1:
^0 = 2,ЗКу/(^у)подп = 2,3/р.

(11.18)

При р = 0,05-^0,2 ч" 1 время вывода 90% бора составляет 46
или 11,53 ч. Из рис. 11.3
видно, что 3повышение расхода
подпитки
-1
-1
с 12 м /ч (Р = 0,05 ч ) до 40 м /ч (Р = 0,2ч ) существенно
улучшает маневренные возможности реактора на протяжении
большей части кампании. Ограничения при малых Р связаны
с тем, что скорость высвобождения реактивности за счет
вывода бора из теплоносителя первого' контура отстает от
скорости падения реактивности при росте концентрации ксе­
нона. По мере приближения к концу кампании реактора
(концу топливного цикла) исходная для регулирования кон­
центрация бора в воде С(0) снижается и при одной и той
же относительной скорости вывода Р абсолютная скорость
вывода покютителя (11.15) снижается. Кроме того, к концу
кампании вступает в силу ограничение (11.11) из-за уменьшения
АрвьЛО444

c(o)--"Sr/кг

.fe

5
/ '

=

0/4-'^^

4 -.4J

3 -

-^ 2 _
-

Ofi54-^^~

>
/
I

2

1 __L-

J

4

i

i

5 ff

i

*,"

0

^

^2 ^ J Oft Of 0,6 07 OB t/Tp
S)

Рис. П.З. Изменение концентрации борной кис­
лоты (а) и нижний допустимый предел мощ­
ности (б) при переводе на него с номинальной
мощности при:
пуске реактора через I ч после остановки;
г пуске в любое время после остановки [18]
Рис. 11.4. Зависимость коэффициента неравно­
мерности по высоте (7) и по перекосу макрополя по ТВС (2) [см. формулу (9.24)] от
глубины погружения управляющей группы
стержней для ближайших к ним ТВС

Режим снижения мощности более
опасен для энергосистемы, чем для
реактора, так как он в большинстве
50 100 150 %?CM
случаев может привести только к пре­
кращению работы блока АЭС на время распада ядер 135 Хе.
Для собственно реактора при суточном или недельном регу­
лировании более существен быстрый подъем мощности с не­
которого уровня Wx до номинального значения, так как при
этом могут нарушиться условие (11.12), произойти пережог
оболочек твэлов, выход радиоактивности с загрязнением обо­
рудования контура и длительная остановка для замены выше­
дших из строя ТВС. Эти процессы весьма вероятны при
использовании для подавления реактивности не системы бор­
ного регулирования, а управляющей группы СУЗ, содержащей
комбинированные регуляторы из топливной части высотой
2,5 м и присоединенной к ней сверху поглощающей части
такой же высоты. Положение управляющей группы (УГ) по
высоте отсчитывается от низа активной зоны до границы
между топливной и поглощающей частями регулятора и со­
ставляет в первом топливном цикле Я у г = 1 7 5 с м , что обес­
печивает оперативный запас Дропер = 0,7°/о.
Компенсация реактивности после перехода с меньшей на
большую мощность с помощью УГ приводит к снижению
445

# у г , входу в активную зону поглощающей части регулятора
и значительному повышению коэффициента неравномерности
энерговыделения по высоте kz, что может ограничить диапазон
регулирования с помощью УГ, потребовать более медленного,
чем ввод УГ, ввода борной кислоты и уменьшить маневренные
возможности реактора. Заметим, что повышение kz при
Я у г = 200 -г- 250 см связано с входом в активную зону невыгоре­
вших частей ТВС (рис. 11.4).
По мере перехода к стационарному режиму перегрузок
происходит выравнивание высотного распределения энерговыде­
ления из-за выгорания топлива в местах с максимальным
потоком тепловых нейтронов. Допустимое положение У Г
снижается с 175 до 100 см, что позволяет повысить оперативный
запас реактивности, компенсируемый УГ, до 197%АК/Ки сущест­
венно улучшить маневренные характеристики установки.
Определенная тактика эксплуатации реактора связана и с се­
зонным графиком нагрузки энергосистемы. Остановка блока
на перегрузку и профилактический ремонт должна коррелиро­
вать с сезонным снижением потребности в энергии, что
должно быть, в частности, предусмотрено заранее -при фор­
мировании предыдущей топливной загрузки. Однако точно
связать конец кампании реактора с графиком энергопотреб­
ления практически невозможно. Основной причиной отклонения
от намеченного графика является просьба потребителя про­
длить работу блока АЭС на некоторое время. При исчерпании
реактивности, компенсируемой борной кислотой, эта просьба
может быть удовлетворена следующими путями:
1) работой «на стержнях», т. е. с использованием оператив­
ного запаса реактивности, компенсируемого топливно-поглощающими органами УГ; при этом возможности маневрирова­
ния со снижениями мощности постепенно сводятся к нулю;
2) работой на мощностном эффекте реактивности за счет
снижения мощности до 50—70% номинального уровня; данное
снижение проводится медленно, без образования частичных
йодных ям реактивности;
3) работой на температурном эффекте реактивности путем
понижения средней температуры теплоносителя и замедлителя
до уровня, допустимого с точки зрения работы турбины;
4) выбором специального водно-химического режима, сни­
мающего пленки отложений на поверхности оболочек твэлов.
Если необходимость продления кампании становится оче­
видной заранее, то может быть использован специальный
режим эксплуатации с повышением оперативного запаса на
поглощающей части регуляторов при снижении концентрации
борной кислоты. В этом режиме поле в центральной части
активной зоны снижается вводом поглотителей и более ин­
тенсивно выжигаются периферийные ТВС активной зоны.
446

В конце кампании поглотители выводятся и в центральную
часть активной зоны входят слабо выгоревшие топливные
части УГ. Выгорание этих ТВС более эффективно продлевает
кампанию, так как потери нейтронов на утечку при интенсивной
цепной реакции в центральной части активной зоны невелики.
Для более полного выгорания регулирующих ТВС они должны
быть введены в активную зону сразу на полную высоту
с компенсацией возникающей реактивности борной кислотой.
При этом снижаются суточные маневренные характеристики
реактора и может появиться необходимость ограничения его
мощности из-за роста радиального коэффициента неравномер­
ности энерговыделения.
Серьезным вопросом, связанным с продлением кампании
реактора при сезонном регулировании, является формирование
следующей топливной загрузки, в которой остается 2/3 ТВС
предыдущей. Повышенное выгорание топлива в этих ТВС по
сравнению с нормальным выгоранием без продления кампании
приводит к необходимости загрузки свежих ТВС с повышенным
обогащением урана, что в свою очередь создает определенные
трудности с радиальным энергораспределением из-за подъема
мощности на периферии в месте установки свежих ТВС.
С маневрированием мощности связан также ряд техноло­
гических проблем, таких, например, как обеспечение объемов
водообмена в связи с борным регулированием или влиянием
термокачек на стойкость оболочек твэлов. Большие объемы
борированной воды при операциях продувки или подпитки
могут быть снижены использованием ионообменных фильтров,
поглощение бора в которых заметно меняется при изменении
температуры анионита.
Термокачки при быстрых изменениях мощности повышают
вероятность разгерметизации твэлов и ухудшения радиационной
обстановки внутри блока АЭС. Необходимость быстрого вывода
борной кислоты требует повышения требований по ядерной
безопасности установки. Видно, что маневрирование мощностью
АЭС — сложная комплексная задача, требующая тщательного
регламентирования. С физикой ядерного реактора в этой
проблеме может быть связан, например, такой дополнительный
вопрос, как возможность уменьшения глубины частичных йодных
ям путем выбора специального режима снижения мощности,
чередующегося с кратковременными
повышениями с целью
135
сжигания образующегося
Хе. Идея такой оптимизации
переходного процесса состоит в том, что за время повышения
мощности сгорание ядер ксенона превысит их потенциальное
накопление за счет генерации новых ядер иода при делении.135Это
выполняется, если макроскопическое сечение поглощения в Хе
превышает Е^ в активной зоне, умноженное на выход ядер иода
и ксенона на одно деление: 1*аХе>1*г(у1+уХе) = 0,0591*/.
447

Глава 12
ОСОБЕННОСТИ ФИЗИКИ
РЕАКТОРОВ
,

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

72.7. Особенности физики
энергетических реакторов

водо-водяных
[6, 21]

1. Структура активной зоны реакторов ВВЭР. Корпусные
двухконтурные реакторы с легкой водой в качестве замедлителя
и теплоносителя — ВВЭР (за рубежом PWR) — получили на­
ибольшее распространение в мире ввиду: высокой замедляющей
способности воды, что позволяет снизить соотношение объемов
воды и топлива до 1—3 и иметь небольшие размеры реактора;
хороших теплофизических свойств воды, позволяющих получать
сравнительно высокие удельные (примерно 100 кВт/л) и общие
мощности установки; хорошей радиационной стойкости воды,
практическому отсутствию отложений на поверхностях твэлрв;
доступности, низкой стоимости и хорошей отработанности
технологии использования воды как теплоносителя.
Легкой воде как теплоносителю присущи также и недостат­
ки, например высокое макроскопическое сечение поглощения
тепловых
нейтронов,
равное
в холодном
состоянии
4
-1
4
-1
Еа = 221 • 10~
с м1 (по сравнению с 3 - 1 0 ~ с м
у графита
4
и 0,33 • 10~ см" у тяжелой воды); радиолиз с образованием
гремучей смеси Н 2 и 0 2 при нормальной работе и пароциркониевая реакция в аварийной обстановке; низкая температура
кипения, требующая высоких (12,5—16 МПа) давлений и про­
чных корпусов для нагрева теплоносителя до уровня 290—
320° С.
В качестве топлива в реакторах ВВЭР в настоящее время
применяется слабо поглощающий тепловые нейтроны и радиационностойкий диоксид обогащенного урана; конструкционный
материал оболочек твэлов и кожухов ТВС—слабо поглоща­
ющий тепловые нейтроны цирконий, макроскопическое сечение
поглощения которого с учетом
примесей гафния и присадок
4
_1
ниобия близко к 100 10~ см . С учетом 235
поглощения в воде
обогащение урана достигает х 5 = 3 — 4,4% U.
Существуют две модификации реакторов ВВЭР тепловыми
мощностями 1375 и 3200 МВт. Электрическая мощность блока
АЭС с реактором ВВЭР-440 (брутто/нетто) составляет соответ­
ственно 440/413 МВт, с реактором ВВЭР-1000—1000/953 МВт.
Рассмотрим кратко устройство активных зон этих реакторов.
Активная зона реактора ВВЭР-440 имеет объем 16,3 м 3 ,
диаметр 2,88, высоту 2,5 м и среднюю удельную мощность
84,5 кВт/л. В активной зоне по треугольной сетке с шагом
147 мм размещено 276 неподвижных ТВС и 73 подвижных,
448

имеющих топливную и поглощающую' части и перемещаемых
в осевом направлении исполнительными механизмами с целью
автоматического регулирования и компенсации реактивности
(кассеты АРК). В кожухе ТВС с размером под ключ
144x2,1 мм по треугольной сетке с шагом 12,2 мм рас­
положены 126 твэлов с наружным диаметром 9,1 и толщиной
стенки 0,65 мм и одна центральная трубка для датчика
контроля распределения
энерговыделения. Диоксидное топливо
3
плотностью 10,4 г/см используется в виде втулок с наружным
" диаметром 7,53235
и центральным отверстием 2,3 мм при обогаще­
нии 2,4—3,6% U. Загрузка обогащенного урана—41,5 т.
Поглощающая часть кассет АРК высотой 2,5 м представляет
собой шестигранную трубу из бористой стали с 2%-ным
массовым содержанием природного бора (СБ-2) размером под
ключ 137x6мм и с наружной облицовкой из стали толщиной
2 мм. При регулировании топливная часть АРК уходит из
активной зоны вниз, поглотитель входит в зону сверху, при
этом в случае обесточивания привода и перемещения АРК
под действием силы тяжести происходит снижение реактив­
ности, что отвечает требованиям безопасности. Все регуляторы
разбиты на 11 периферийных групп по 6 АРК, размещенных
в каждой группе на одинаковом расстоянии от центра, и одну
- центральную группу из 7 АРК. Применение наряду с АРК
жидкостного регулирования раствором борной кислоты в об­
щем контуре теплоносителя для компенсации реактивности
на выгорание топлива приводит к постепенному выводу,
начиная с периферии, всех групп АРК, кроме центральной,
по мере разогрева и отравления реактора. В рабочем состоянии
равновесно отравленного реактора, работающего на мощности,
центральная управляющая группа АРК находится постоянно
в среднем положении и компенсирует оперативный запас
реактивности, обеспечивающий совместно с борным регули­
рованием возможность снижения мощности при маневрирова­
нии« ею в переменных режимах. При повышениях мощности
поглотитель АРК погружается в зону для
компенсации ре­
135
активности при начальном выгорании
Хе в переходном
процессе. Эффективность поглощающей части АРК повышается
за счет «ловушечного» эффекта при замедлении быстрых
нейтронов во внутренней полости стержня и их захвата на
внутренней поверхности трубы из СБ-2.
Умеренная объемнад доля воды, равная 0,5, и отношение
объемов воды и топлива 1,8 обеспечивают
надтепловой спектр
235
с соотношением ядер водорода и
U, равным 111 в холодном
состоянии и 84 в горячем, при среднем обогащении х 5 = 2,6%.
Приведем основные данные по активной зоне первого
реактора ВВЭР-1000, введенного в эксплуатацию на V блоке
Нововоронежской АЭС:
29 Заказ 2739
s

449

диаметр а.з./высота 312/355 см, объем а.з. 27,1 м 3 , удельная
мощность 118 кВт/л, число ТВС —151, шаг ТВС по треугольной
сетке — 241 мм;
размер под ключ шестигранного циркониевого кожуха
. ТВС/толщина 238/1,5 мм, перфорация кожуха — 25%, число
твэлов — 317, число циркониевых трубок для пучка (кластера)
регулирующих стержней—12, для датчика замера энерговы­
деления— 1, диаметр/толщина этих трубок 12,6x0,85 мм, цен­
тральная несущая трубка из Zr диаметром 10,3x0,65 мм; шаг
твэлов по треугольной сетке — 12,75 мм;
диаметр/толщина
циркониевой
оболочки
твэлов
9,1 х0,65 3мм, топливная втулка-из диоксида урана плотностью
10,4 г/см имеет наружный/внутренний
диаметр 7,53x2,3 мм,
235
обогащение урана—от 2 до 4,4% U;
диаметр/толщина стальных оболочек регулирующих стерж­
ней 8,2x0,6 мм, диаметр сердечника стержня из Еи 2 О э в алю­
миниевом сплаве 7 мм, в таких же оболочках размещаются
самоэкранированные выгорающие поглотители (СВП) из сплава
бор — цирконий с массовым содержанием бора 1%;
масса топлива — 75,5 т, масса
U — 66 т, площадь тепловы­
2
деляющей поверхности 5000 м , средняя поверхностная мощ­
ность 640 кВт/м\ средняя линейная мощность твэла 18,8 кВт/м,
обогащение топлива подпитки при двукратных перегрузках —
3,3%, при трехкратных—4,4%, число пучков регулирующих
стержней—109;
состав начальной нагрузки: 54 ТВС с обогащением 2%,
54 ТВС с профилированием двумя обогащениями 3/2,4%, 30
ТВС с обогащением 4,4% и с 12 СВП, 13 ТВС с 12 СВП
и профилированием обогащением 4,4/3,6%;
объемная доля воды — 0,46, соотношение объемов воды
и топлива—1,71, отношение ядер водорода к ядрам 2 3 5 U
NH/N5 = 121 в холодном состоянии и 86 — в горячем при
среднем обогащении 3%.
Оптимальное соотношение топлива и замедлителя — воды —
достигается в ВВЭР в основном выбором шага твэлов
в пределах ТВС или вида топлива, например силицидного
(U3Si) с большей плотностью урана. В настоящее время
используется диоксид обогащенного урана, так как силицидное
топливо требует технологической доработки. Ввиду высокого
диффузионного сопротивления воды даже небольшие слои
воды между ТВС значительно повышают коэффициент нерав­
номерности энерговыделения по ТВС. Поэтому объем воды
между кожухами ТВС уменьшается выбором минимально
допустимого шага между ТВС, переносом регулирующих
элементов из пространства между ТВС в ТВС и как предельная
мера—исключением кожуха ТВС вообще. Бескожуховые зоны
приняты в последних сериях отечественных ВВЭР. При этом
450

шаг ТВС снижается до 236 мм при размере ТВС под ключ
(по твэлам) 234 мм; число ТВС повышается до 163, число
регуляторов равно 61 при 18 стержнях в пучке, высота
активной зоны 3,7 м, диаметр 3,16 м, масса U 70 т.
В области больших отношений объемов воды и топлива
(3—4) гидравлика активной зоны хороша, особенно с точки
зрения естественной циркуляции теплоносителя в аварийных
режимах, однако мал температурный эффект, что можно
расценить, как неблагоприятное обстоятельство, так как до­
бавление борной кислоты сделает его положительным, и мала
критическая масса (вернее, где-то в области этих объемов
критическая- масса имеет минимум). В современных ВВЭР это
отношение немного меньше 2. При этом повышается удельная
мощность, снижаются габаритные размеры реактора, увели­
чиваются коэффициент размножения на быстрых нейтронах
[х и резонансный захват в конструкционных и топливных
материалах» Переход на отношение VH20/VTon=l повысит
коэффициент конверсии топлива
за счет увеличения резонанс­
238
ного захвата нейтронов в
U.
2. Перегрузки топлива и эффекты реактивности рассмотрим
на примере реакторов ВВЭР-1000. ,В начальный период экс­
плуатации применяются двукратные перегрузки с обогащением
топлива подпитки 3,3% и глубиной выгорания 33 МВт-сут/т U.
Трехкратные перегрузки с эффективным интервалом работы
между перегрузками 240—300 сут осуществляются загрузкой
50 ТВС с обогащением 4,4% в 1,5 периферийных ряда
активной зоны. В установившемся режиме перегрузок в начале
интервала работы топливо, выгоревшее на 1/3 и 2/3 полной
глубины выгорания 40 МВт • сут/кг U, распределено равномерно
по центральной части активной зоны. В конце интервала
работы топливо, достигшее полной глубины выгорания (3/3),
выгружается, а на его место устанавливаются ТВС из пери­
ферийной части активной зоны, которые стоят затем на этих
местах две кампании реактора Гр^
Запас реактивности в горячем отравленном состоянии при
работе на 100%-ной мощности равен 8—'10% АК/К для
обеспечения работы в течение годичной кампании реактора.
Запас тратится на компенсацию потерь реактивности при
выгорании и зашлаковывании топлива (6—8% АК/К) и при
попадании в частичные йодные ямы в результате переходных
процессов со снижением мощности в рабочем состоянии
в конце интервала работы (1,5—2% АК/К).
В холодном неотравленном состоянии без мощности запас
реактивности повышается на величину следующих эффектов:
1) мощностного, обусловленного снижением мощности го
100% до нуля, равного 1,3% АК/К в начале интервала работы
и 1,8% АК/К в конце;
29*

*

451

2) температурного, связанного с охлаждением воды и топ­
лива до 20° С и равногог в сумме, с учетом роста плотности
воды, 4—5% АК/К;
3) разотравления от 135 Хе, равного 2,5% АК/К, причем
этот эффект проявляется асимптотически через 2 сут, так как
в первые 8—10 ч после остановки реактор попадает в йодную
яму и реактивность снижается на 4—5% АК/К с последующим
подъемом.
При первом пуске реактора реактивность
выше еще на *
149
0,7% АК/К ввиду отсутствия отравления
Sm, а в начале
интервала между перегрузками—на 0,2% из-за отсутствия
самария в свежих загружаемых ТВС.
В результате максимальная избыточная реактивность в хо­
лодном неотравленном состоянии без борной кислоты состав­
ляет в ВВЭР-1000 35,3 рэф, в ВВЭР-440 —29 рэф. Удаление
из реактора воды снижает реактивность соответственно на
26,7 и 24,6 рэф, т. е. реактор без воды и без стержней остается
надкритичным.
В рабочей точке температурные коэффициенты реактивности
составляют для реакторов4 ВВЭР-1000 и.4 ВВЭР-440 соответст­
венно по5 воде —410~
и —1,3 10~ 1/°С, по г топливу
-5
- 2 , 5 10" и - 3 , 2 - Ю 1/°С. В рабочей точке реактора
ВВЭР4
1000 мощностной коэффициент равен —3 \\4
10" 1/%, плот-1
ностной коэффициент воды +0,04 (г/см ) .
Определенным резервом улучшения топливных характери­
стик ВВЭР является переход с трехкратных на шестикратные
перегрузки с интервалом между ними 0,5 года. При этом
обогащение топлива подпитки снижается до 4%, а глубина
выгорания повышается до 41 МВтсут/кг U либо при со­
хранении обогащения 4,4%—до 45,6 МВт • сут/кг U. Однако
одновременно несколько ухудшаются маневренные характери­
стики реактора из-за снижения реактивности в начале интервала
между перегрузками.
3. Средства компенсации реактивности включают механичес­
кое и жидкостное регулирование и выгорающие поглотители.
Механическое регулирование в реакторе ВВЭР-440 осущест­
вляется 73 двухсекционными органами, выполняющими со­
вмещенные функции автоматического регулирования, компен­
сации и аварийной защиты,—кассетами АРК. По сигналам
A3 АРК сбрасываются вниз из любого промежуточного
положения.
Двухсекционность этих органов увеличивает общий размер
реактора по высоте. Большой размер поглощающего элемента
приводит к заметным спадам энерговыделения в соседних
ТВС при нахождении поглощающей части АРК в активной
зоне. Поэтому в рабочем состоянии за счет использования
жидкостного регулирования все АРК, за исключением цент452

ральной управляющей группы (УГ), выводятся из активной
зоны. ТВС У Г большую часть времени находятся частично
под активной зоной и не выгорают. В результате к концу
топливного цикла (кампании реактора на интервале между
перегрузками) максимум дифференциальной характеристики
АРК УГ соответствует положению границы поглощающей
и топливной частей АРК выше нижнего края активной зоны
на 200 см 2и дифференциальная эффективность
возрастает до
-2
2,5—3-Ю" Рэф/см по сравнению с 1,5-Ю РЭф/см в начале
интервала. Некоторым недостатком АРК является неравномер­
ность выгорания их топливной части.
В реакторах ВВЭР-1000 обратимые, сравнительно быстрые
изменения реактивности, связанные с разогревом или рас­
холаживанием, выходом на мощность
или- ее сбросом, от­
135
149
равлением или разотравлением
Хе и Sm, компенсируются
механически перемещаемыми пучками тонких поглощающих
стержней — кластерами, входящими равномерно по площади
одной ТВС в гильзы, размещаемые вместо 12 (или 18) твэлов.
В последнее время при отработке этих эффектов все чаще
используют борную кислоту, создающую определенную инер­
ционность в отношении быстрого аварийного вывода поглоти­
теля из активной зоны при неисправностях СУЗ, что снижает
вероятность ядерного разгона реактора.
В реакторе ВВЭР-1000 V блока НВАЭС предусмотрено
109 кластеров, объединенных с помощью управляющих схем
в 12 групп, в пределах которых стержни перемещаются
последовательно небольшими шагами. В группы объединяются
девять стержней, расположенных на одинаковом расстоянии
от центра активной зоны. При пуске реактора группы выводят­
ся, начиная с периферии активной зоны. Каждая последующая
начинает движение после выхода предыдущей в верхнее
положение. В рабочем состоянии реактивность на выгорание
компенсируется борной кислотой, и в активной зоне остается
одна управляющая группа из 10 кластеров, погруженная на
половину высоты активной зоны. Она компенсирует оператив­
ный запас Ар опер = 1,5%, который тратится на выход из
частичных йодных ям при снижении мощности.
Эффективность поглощающих кластеров составляет 15%
АК/К в холодном состоянии и 21% АК/К в горячем и не­
достаточна для подавления максимальной избыточности ре­
активности и создания подкритичности. Поэтому при полных
остановках и расхолаживаниях реактора для компенсации
реактивности должна использоваться борная кислота. Добав­
ление в теплоноситель первого контура 1—2 г H 3 BQ 3 на 1 кг
воды снижает эффективность кластеров на 1—2% АК/К.
Жидкостное регулирование во ВВЭР осуществляется борной
кислотой, добавляемой в общий контур теплоносителя
453

в количестве 1,4—1,8 г/кг воды в начале интервала работы
после перегрузки топлива для компенсации медленных и не­
обратимых потерь реактивности при выгорании топлива путём
постепенного вывода Н 3 ВО э . Борная кислота добавляется
в контур закачкой концентрированного раствора и выводится
путем постепейного разбавления чистой водой—«продувкой»
или с помощью ионообменных фильтров (см. рис. 11.2).
Коэффициент реактивности по содержанию бора в воде
первого контура составляет в холодном состоянии—10% АК/К
при добавлении 1 г бора на 1 кг воды. Применение борной
кислоты снижает требования по общей эффективности поглоща­
ющих стержней и числу исполнительных механизмов, что
экономически выгодно.
При добавлении борной кислоты отрицательные темпера­
турные коэффициенты реактивности уменьшаются и при не­
которой концентрации становятся положительными. Предель­
ная разрешенная концентрация борной кислоты определяется
минимальным по значению и допустимым по условиям работы
реактора отрицательным общим коэффициентом реактивности,
включающим коэффициент по борной кислоте. Поэтому способ­
ность реактора к саморегулированию, следует оценивать на
начало интервала работы меэвду перегрузками, когда концен­
трация кислоты максимальна. По мере вывода борной кислоты
растет отрицательный температурный эффект реактора, что
затрудняет компенсацию реактивности холодного реактора
механическими органами регулирования. Достаточность ком­
пенсации должна проверяться на конец интервала между
перегрузками.
При расчете выгорания топлива следует учитывать и вы- ,
горание ^°В в борной кислоте. Уравнение выгорания запишем
с учетом вывода борной кислоты со средней скоростью
^ ю (0)/Гр, -ядер/с:
^^=-Фа:з^0^^10(^^1о(0)/Гр.
Решение (12.1) имеет вид

п-<-г

1
А

1—ехр

(12.1)

*
At
р/ _

(12.2)

где JT1Q{t)9 JV*10(0) — текущая и в начале интервала работы
ядерные концентрации 1б В в. теплоносителе, с м - 3 ; t, Тр —
текущее время и длительность интервала работы между
перегрузками, с; Га 3, Тк—. времена прохождения теплоносителя
через активную зону и через весь контур, отношение которых
равно отношению объемов теплоносителя в активной зоне
454
\

и во всем контуре, включая активную зону; Фа#3—средняя
по объему активной
зоны плотность потока тепловых ней­
2
-1
тронов, с м ~ - с ; а ] ° = 3813 б при £„ = 0,0253 эВ.
Решение (12.2) справедливо до времен t, меньших
, .

- W in \
•
A
\\-]/AJ'
так как при- t = t* концентрация 10 В обращается в нуль.
При остановке - реактора со 100%-ной мощности и необ-.
ходимости его пуска через 5—10ч, т.е. в момент попадания
в полную йодную яму, часть борной кислоты должна быть
выведена, так как оперативный запас реактивности равен
1—2% АК/К, а йодная яма— 4—5% АК/К. Эффективность
жидкостного регулирования снижается к концу интервала
между перегрузками из-за вывода борной кислоты в связи
с выгоранием топлива. При расхолаживании в конце интервала
работы и в процессе перегрузки борная кислота должна быть,
наоборот, добавлена в теплоноситель для компенсации мак­
симальной реактивности совместно с механическими органами
регулирования.
Выгорающие поглотители используются 'в ВВЭР в виде
гомогенных (ГВП) при их добавлении в материал кожуха
ТВС ВВЭР-440 и экранированных (СВП) при добавлении бора
в циркониевые стерженьки, устанавливаемые в ТВС вместо
некоторого числа твэлов во ВВЭР-1000. ГВП служат для
снижения неравномерности энерговыделения по радиусу ТВС,
а СВП располагаются в ТВС, загружаемых на периферию
активной зоны, и служат для снижения подъема энерговыделе­
ния на краю активной зоны из-за влияния отражателя
и наличия свежих ТВС с максимальным содержанием 2 3 5 U.
При перестановке ТВС в центр СВП удаляются. Одновременно
ВП оказывают некоторое влияние на реактивность и характер
ее изменения при выгорании топлива.
4. Распределение энерговыделения по радиусу в реакторах
ВВЭР выравнивается при профилировании топливом за счет
загрузки свежих ТВС на периферию активной зоны. В ВВЭР1000 V блока НВАЭС коэффициент неравномерности радиаль­
ного распределения мощностей ТВС £,= 1,3, а по объему
реактора & к =1,5. Коэффициент неравномерности по сечению
ТВС снижают до kjBQ=l,16 размещением в периферийном
ряду ц в шести угловых твэлах предыдущего ряда топлива
с обогащением 3,6% при 4,4% в остальных твэлах, а также
применением ГВП в кожухе ТВС. Стальные элементы конст­
рукции отражателя («граненый пояс») и наличие СВП в пе­
риферийных ТВС снижают всплеск энерговыделения вблизи
отражателя.
f c

455

/

Высотные искажения энерговыделения, связанные с ксеноновой нестабильностью, исправляют дополнительной группой
управления, состоящей из поглощающих кластеров половинной
высоты. При этом положение группы должно совпадать
с местом подъема энерговыделения.
Значительные искажения высотного распределения связаны
в ВВЭР-440 с перемещением УГ при подъемах мощности
и компенсации реактивности вводом поглощающей части АРК
(см. рис. 11.4).
5. Вопросы безопасности и пути оптимизации ВВЭР связаны
между собой во многих случаях обратной зависимостью. Так,
основной путь оптимизации топливного цикла в ВВЭР связыва­
ется с разработкой тесных решеток ВВЭР с соотношением
объемов воды и топлива 1:1. * Снижение доли воды позволит
поднять коэффициент конверсии до значений КК = 0,7-^0,9,
что приведет к повышенной наработке плутония и малой
подпитке реактора делящимися нуклидами в замкнутом топ­
ливном цикле. Заметно снизится при этом и потребление
природного урана. Одновременное повышение гидравлического
сопротивления активной зоны потребует внимательного рас­
смотрения вопросов пассивного теплоотвода с применением
естественной циркуляции теплоносителя в активной зоне в раз­
личных аварийных режимах.
Экономия нейтронов и их использование для наработки
плутония достигается и при перемене направления движения
топлива в актищюй зоне. Загрузка свежих ТВС в центральную
часть реактора и перестановка частично выгоревших ТВС на
периферию повысит КК, но ухудшит теплотехническую надеж­
ность реактора из-за резкого возрастания радиального коэф­
фициента неравномерности мощностей ТВС, что потребует
решения вопросов о допустимых уровнях мощности' и повреж­
дений твэлов при нормальной работе реактора.
Повышение КК может быть достигнуто и некоторыми
другими путями, которые выглядят более приемлемыми с точки
зрения вопросов безопасности и теплотехнической надежности,
а именно:
1) заменой борного регулирования регулированием за счет
сдвига спектра с помощью ввода в активную зону вместо
поглощающих стержней вытеснителей воды из малопоглощающего и слабозамедляющего материала, например из алюми­
ния; число пучков таких стержней должно быть увеличено
с 61, например, до 121 при 18 или большем числе стерженьков
в одном2 3 кластере;
вытеснение воды повышает резонансный
8
захват в
U и КК при сохранении гидравлики активной зоны;
2) применением активных зон с островками запальных, т. е.
высокообогащенных, ТВС, окруженных сборками с обедненным
ураном в виде метала или силицида, при этом повышается КК;
456

\

\ 3) применением ториевого топливного цикла с оптимальным
для тепловых реакторов
по ядерно-физическим хдрактеристикам
233
делящимся нуклидом
U ? что позволяет повысить va—число
нейтронов на акт поглощения и поднять КК; дополнительного
положительного эффекта можно также добиться применением
зон воспроизводства.
Все перечисленные и другие возможные меры повышения
технико-экономических показателей ВВЭР (так же, как и ре­
акторов другого типа) должны внедряться с учетом обеспечения
безопасной работы реактора. Например, повышение энергонап­
ряженности затрудняет расхолаживание реактора после оста­
новки, повышение глубины выгорания увеличивает массу ПД
в активной зоне и потенциальный выброс активности и т. п.
Результирующее решение должно отражать разумный комп­
ромисс между всеми обстоятельствами.

12.2. Особенности физики уранграфитовых канальных реакторов [24, 45]
1. Состав активной зоны. В реакторе большой мощности
с кипящим легководным теплоносителем, графитовым замед­
лителем и канальной структурой активной зоны (РБМК)
используется одноконтурная тепловая схема с производством
в. активной зоне пара на линии насыщения, отделением его
от воды в барабанных сепараторах и многократной прину­
дительной циркуляцией воды. Реактор внедрен в двух моди­
фикациях: тепловой мощностью 3200 и 4800 МВт. Соответ­
ствующие электрические мощности (брутто/нетто) блока АЭС
с реактором РБМК-1000 составляют 1000/950 МВт и с реак­
тором РБМК-1500 1500/1450 МВт. Реактор РБМК-1500 прак­
тически совпадает по размерам и структуре активной зоны
с последней серийной модификацией реактора РБМК-1000,
которая отличается от первых реакторов РБМК заменой 32
топливных каналов каналами СУЗ с поглощающими стерж­
нями.
Активная зона скомпонована из маЛопоглощающих матери­
алов— циркония, графита, диоксидного топлива и относительно
небольшого объема
воды с низкой средней плотностью, равной
3
0,52 и 0,43 г/см в РБМК-1000 и РБМК-1500 соответственно.
Это привело к заметно меньшему обогащению топлива
подпитки, равному х5 = 2 или 2,4% в РБМК, по сравнению
с 3,6—4,4,% в водо-водяных реакторах ВВЭР. В результате
появилась принципиальная возможность использовать уран из
отработавшего топлива ВВЭР с содержанием делящихся нук­
лидов около 2% в качестве топлива реакторов РБМК, которые
становятся дожигателями этого топлива.
' 457

В хорошо замедляющей графитовой системе вода оказывает
основное влияние на паразитное поглощение нейтронов, а ее
вклад в замедление мало заметен, хотя замедляющая способность
холодной воды и превосходит замедляющую способность
графита в 22 раза (см. табл. 2.7). Это обстоятельство оказывает
существенное влияние на работу реактора в нормальных условиях
и его поведение при аварийных ситуациях со вскипанием или
выбрасыванием воды из активной зоны. Некоторый избыток
графита, связанный с конструктивными особенностями, привел
к перезамедленности системы и положительным паровым
коэффициентам реактивности в режиме установившихся перегру­
зок, что затрудняет управление реактором и способствует
возникновению паровой и ксеноновой неустойчиврстей.
Возникновение ксеноновой неустойчивости облегчается ма­
лым отношением длины миграции, равной в рабочем состоянии
реактора примерно 19 см, к размерам активной зоны (12,3 м
по диаметру и около 7 м по высоте), а также положительным
мощностным коэффициентом, обусловленным нагревом гра­
фита при повышении мощности. Основную роль при нагреве
графита играет снижение его макроскопического сечения по­
глощения, ведущее к росту К^. Происходящее при этом
увеличение длины диффузии сказывается меньше из-за больших
размеров реактора. Также незначительно сказывается рост Тн г
нейтронов, термализующихся на графите.
Рассмотрим .кратко устройство активной зоны реактора
РБМК-1000*. Реактор набирается из стоящих вплотную 2334
графитовых колонн высотой 8 м с квадратным поперечным
сечением 25x25 см и центральным отверстием 114 мм, закры­
тым в боковом отражателе графитовыми пробками. Активная'
зона содержит 1890 ячеек (колонн), боковой отражатель—444.
Боковые поверхности активной зоны и отражателя близки
к цилиндрическим, что дает среднюю толщину бокового
отражателя 65 см при толщине торцевых отражателей 50 см
(сверху и снизу). В отверстия блоков вставляются топливные
каналы из сплава Zr + 2,5%Nb диаметром 88x4 мм и каналы
СУЗ диаметром 88 х 3 мм, причем зазор между каналом
и. блоком занят разрезными графитовыми втулками, одна из
которых плотно контактирует с графитовым блоком, а другая
(через одну)—с каналом, Тепловыделение от графитового
замедлителя передается в каналы через боковые и прилегающие
друг к другу
торцевые поверхности втулок. Плотность графита
3
1,65 г/см .
* Ввиду значительных изменений некоторых элементов активной зоны
и порядка ее эксплуатации после аварии на ЧАЭС приводимые цифры
иллюстрируют лишь основные особенности конструкции и нейтронной физики —
реактора и не могут использоваться в качестве справочного материала.
458

Первая загрузка активных зон производилась топливом
подпитки с обогащением х 5 = 2%. (Заметим, что в последнее
время на действующих реакторах РБМК-1000 осуществлен
переход на обогащение 2,4%.) Поскольку в установившемся
режиме перегрузок реактор работает- в, среднем по активной
зоне примерно на половинном обогащении, такой способ
формирования начальной загрузки приводил к необходимости
компенсации значительной начальной реактивности (порядка
16—20% АК/К в рабочем состоянии) с цомощью допол­
нительных поглотителей (ДП).
При первой загрузке активная зона содержит 1425 топлив­
ных каналов (ТК) и 236 каналов с ДП, а в установившемся
режиме—1581 и 80 соответственно. Указанное минимальное
число ДП,^ остающихся в активной зоне, обусловлено мероп­
риятиями по повышению безопасности реакторов РБМК после
аварии на Чернобыльской АЭС. В принципе реактор сконст­
руирован и работал ранее с числом ТК, равным 1661.
Остальные ячейки активной зоны занимают 211 каналов со
стержнями СУЗ и 12,каналов с датчиками контроля высотного
энергораспределения. В нескольких первых блоках РБМК-1000
число каналов СУЗ с поглощающими стержнями равно 179
при 1693 ТК. В реакторе РБМК-1500 имеется 211 ТК СУЗ
и 1661 топливный канал.
В каждом ТК размещены 36 (2x18) твэлов в оболочке
из сплава Z r + l % N b наружным диаметром 13,6 и толщиной
стенки 0,9 мм и одна трубка диаметром 15 х 1,25 мм с несущим
стержнем 12 мм из сплава Zr + 2,5%Nb. В 310 ТК центральные
стержни заменены трубками диаметром 12x2,75 мм с заглуш­
ками снизу и сухой полостью под датчики контроля радиаль­
ного энергораспределения (ДКЭР) (130 шт.), датчики локальных
автоматических регуляторов (ЛАР) и локальной аварийной
Защиты (ЛАЗ)—48 детекторов (132 трубки свободны). Чувст­
вительный элемент ДКЭР представляет собой нить из Ag
диаметром 0,65 мм в изоляции из MgO диаметром 0,8 мм.
Осуществляемая замена Ag на НГО2 сделает Р-эмиссионные
датчики практически безынерционными.
Топливные таблетки из U 0 2 диаметром 11,5 мм и высотой
15 мм имеют торцевые сферические
лунки и ^аски, минималь­
3
ная плотность топлива 10,4 г/см . При высоте активной части
твэла 3,45 м средняя масса топлива составляет 3,6 кг (в
РБМК-1500 высота топлива в твэле 3,4 м).
По высоте кассета активной зоны состоит из двух ТВС
с центральным водо-цирконйевым зазором 2 3высотой
62 мм.
5
На 30 мм выше и ниже зазора обогащение- U снижено до
1,6% для снятия пика энерговыделения, связанного с подъемом
плотности потока тепловых нейтронов в воде и графите
зазора. Каждая ТВС имеет 10 дистанционирующих - решеток
459

An

Ап

X

X

^

*Рис. 12.1. Ячейка периодичности РБМК:
перечеркнутый квадрат—стержень СУЗ; чистый квадрат—топливный канал; ДП—допол­
нительный поглотитель
Рис. 12.2. К
перегрузках

расчету

кампании

топлива

при

непрерывных

и

частичных

из нержавеющей стали. Верхняя ТВС в РБМК-1500 содержит
18 интенсификаторов теплосъема в виде дистанционирующих
решеток с неполным набором ячеек. В одном ТК размещено
114 кг U (112,4 кг U в РБМК-1500). Соответственно в РБМК1000/1500 масса урана в активной зоне составляет
Mv= 189,4/186,73 т, масса топлива М топ =215/212 т, объем
Ул з = 829/817 м , площадь тепловыделяющей поверхности
FT = 8814/8686 м , средняя удельная мощность qv = 3,9/5,9 кВт/л,
средняя линейная нагрузка твэла qL= 15,5/23,6 кВт/м, средняя
энергонапряженность делящихся нуклидов при их содержании
в уране 1,2% qGf= 1,41/2,14 МВт/кг.
2. Перегрузки топлива. В реакторах РБМК моглц бы быть
приняты 14-кратные, т. е. почти непрерывные, перегрузки
топлива в режиме установившихся перегрузок. Это связано
с выбором ячейки периодичности в структуре активной зоны
из 14 топливных каналов и двух каналов со стержнями СУЗ,
образующих в сечении квадратную область из 16 графитовых
блоков с поперечным размером 1 х 1 м (другие названия —
макроячейка или полиячейка) (рис. 12.1).
Глубина выгорания при обогащении 2% составляет в сре­
днем 20—21 МВтсут/кг тяжелых атомов*. В режиме уста­
новившихся перегрузок в каждой из 118 макроячеек активной
зоны в начале интервала работы могли бы быть размещены
ТВС с 14 различными глубинами выгорания топлива — от
нулевой в свежей, только что загруженной ТВС, до глубины
выгорания, меньшей полной (равной 1) на 1/14 часть. К концу
интервала работы глубина выгорания увеличивается в каждой
ТВС макроячейки на 1/14 часть и одна ТВС из каждой
* После мероприятий по повышению безопасности Вт а = 1 5 М В т с у т / к г
при х5 = 2% в РБМК-1500 и Я т . а = 22 М В т с у т / к г при х 5 = 2,4% в РБМК-1000.
460

макроячейки выгружается (для простоты здесь рассматривается
возможный режим перегрузок до мероприятий по повышению
безопасности РБМК).
В общем случае при «-кратных перегрузках средняя глубина
выгорания во всех ТВС, входящих в макроячейку, составляет по
отношению к полной: в начале интервала работы—(п—1)/2п часть,
в конце интервала — (п+1)/2п часть и в среднем на интервале
работы—1/2 часть, т.е. 50% полной глубины выгорания.
Конец интервала работы определяется моментом времени,
когда избыточная реактивность обращается в нуль в рабочем
состоянии реактора с погруженными в активную зону стержнями,
компенсирующими оперативный запас реактивности на управле­
ние полями. Если бы все ТВС облучались одинаковым потоком
нейтронов, то при перегрузке можно было бы удалять 1 /п их часть
(118 ТВС в РБМК) с полной глубиной выгорания и устанавливать
118 свежих ТВС в соответствии с числом макроячеек.
Интервал времени между перегрузками, или кампания
реактора, находится тогда из соотношений
Л т а = Ж г Г й / М и , Та = пТр>
По известной в РБМК-1000 тепловой мощности Жг = 3,2ГВт,
средней глубине выгорания 20,5 ГВт-сут/т U при обогащении
догружаемого топлива х 5 = 2%, массе урана в активной зоне
М и = 189,4 т, кратности перегрузок л = 14 получаем: кампания
топлива
Та = 1213 сут = 3,3 года
и
кампания
реактора
Гр = 86,7 сут или 3,6 мес при коэффициенте нагрузки АЭС ср = 0,8.
Реально в РБМК плотность потока нейтронов в ТВС
различна и перегрузка происходит практически непрерывно по
1—2 ТВС в сутки с помощью разгрузочно-загрузочной маши­
ны, работающей «на ходу», без снижения мощности реактора.
В реакторах РБМК зависимость К^ (/) близка к линейной
(рис. 12.2):

В этом случае при непрерывных перегрузках с п -> оо кампания
топлива TaoD в 2 раза превышает кампанию при однократной
перегрузке с л = 1 , когда К^ активной зоны, загруженной
вначале целиком свежими ТВС, снижается
в среднем по
K
2 2
реактору до критического значения R £=l+B M b
а Кэф — от
начального значенияк до 1 (оперативныйер запас может быть
учтен добавкой к К * некоторого АК°* ).
В промежуточных случаях при 1 < п < оо кампания топлива
при «-кратных перегрузках связана с кампанией при непрерыв­
ных перегрузках Таоо соотношением
l + 1/it"

461

Приведем вывод этой формулы:
1

2 1^

К^ — К^ —

)+...+Коа{Тап)

п

-ксо(д)--тап^-+-+...+-)-ксо{0)
кх(й)-к**=[к„(о)-к**]^{^>,

——г——т ап ,
та„=таов"

В случае отклонения K^t) от линейного закона кампания
топлива при непрерывных перегрузках Таоо определяется из
условияер равенства интегралов под кривой К^^) — {К*£ +
+ АК°* ) и над этой кривой, взятых левее и правее момента
времени tl9 когда эта разность обращается в нуль:

J [K„(t)-(K"» + AKTp)]dt==
о

= f [{K^ + AKT^-K^tftdt.

(12.3)

Условие (12.3) эквивалентно тому, что для любого момента
времени в установившемся режиме непрерывных, перегрузок
среднее по всем ячейкам значение Кп равно сумме КкЛ + К™ер.
- При % повышении обогащения догружаемого в активную
зону урана, т. е. топлива подпитки, кривая K^t) поднимается
вверх, что позволяет продлить ее до более глубоких выгораний,
сохраняя КЭф — 1. Однако использование более обогащенного
урана увеличивает потребление природного урана. Глубину
выгорания более правильно вычислять по отношению не к обо­
гащенному, а к природному урану, масса которого превышает
массу обогащенного в соответствии с отношением (1.3):
М

пр_

*5-*отв _ 1 3 Л >
*Ч . л

*

о т в

-=0,1%
/\ ~>п/

_ 9 о /
ДЛЯ Ле — Z / 0 ,

м« *пР-*отв [4Д, хотв = 0,3%
где х5 — содержание ядер 2 3 5 и в 235
обогащенном уране, %;
хотв = 0,1 ч-0,3% — содержание ядер
U в обедненном,
или
235
отвальном, уране; х лрир = 0,714% ^-содержание ядер U в при­
родном уране.
При х5 = 2% глубина выгорания обогащенного урана со­
ставляет в РБМК 2?об = 2,05%, а природного
M _J0,66%, хотв = 0,1%;
А. =В,о б o6
«*
м п р {0,5%, хотв = 0,3%.
Повышение обогащения увеличивает глубину выгорания
и затраты природного урана на начальную загрузку, что
по-разному влияет на экономические показатели. Снижение
462

хотв. повышает 5 п р и р , но требует больших затрат на работы
по разделению изотопов. Учет этих факторов позволил выявить
оптимальное обогащение, в реакторах РБМК в интервале
2—2,4%. Определенное влияние на этот выбор оказывают
и вопросы безопасности реактора, поскольку повыЩение обо­
гащения несколько снижает положительные коэффициенты
реактивности. Одновременно повышается перегрузочный ко­
эффициент (9.25). По нейтронно-физическим показателям цеп­
ной реакции РБМК может успешно работать и при обогаще­
ниях lj8—2%, например в режиме дожигания топлива ВВЭР.
3. Распределение энерговыделения. Ввиду близости среднего
К^ в макроячейке, а следовательно, и во зсей
активной зоне,
к
состоящей из идентичных макроячеек, к К * в центральной
части активной зоны, содержащей до 70% всех. ТВС, образуется
область «плато», т. е. область почти постоянных по радиусу
плотности потока нейтронов и энерговыделения при усреднении
характеристик по всем ячейкам ТВС. Постоянство определяется
малостью коэффициента аг = л/К00 — (1-\-В^М2)>0 в аргументе
функции Бесселя*"J0 (осгг) ~ Q (г).
В периферийной части активной заны шириной 1,5 м
энерговыделение спадает до значения 0,6 по отношению
примерно к 1 в центральной части, имеющей радиус 4,5 м.
В целом по радиусу для усредненной по составу активной
зоны РБМК-1000 коэффициент неравномерности невелик и со­
ставляет А;, = 1,1. Для получения максимальной мощности
канала kr необходимо умножить на перегрузочный коэффициент
&пер=1,21, равный отношению мощности в. свежей ТВС к сре­
дней мощности ТВС в макроячейке. Общий коэффициент
неравномерности мощности каналов fcrfc =1,33, максимальная
мощность каналов достигает 2,7 МВт при средней мощности
около 2 МВт.
Средний по всем ТВС коэффициент неравномерности эне­
рговыделения по высоте активной зоны невелик и равен
A:z=l,3, что связано с увеличейной скоростью выгорания
топлива в верхних частях активной зоны, в областях с повышен­
ным из-за столбов воды в каналах СУЗ потоком тепловых
нейтронов. В результате максимум энерговыделения в однород­
ной зоне достигается в областях, отстоящих от низа активной
зоны на 2—3 м, в силу недовыгорания топлива и большего
содержания делящихся нуклидов в этих зонах.
Холостой разрыв в центре активной зоны по высоте
в РБМК-1500 вызывает локальный всплеск энерговыделения
с &2ЛОК=1,15 при профилировании топливом вблизи' зазора;
в РБМК-1000 без профилирования этот коэффициент
равен 1,3. С учетом локального всплеска A:z = l,7. Коэффициент
неравцомерности по сечению ТВС £ твс =.1,06. Общий
463

коэффициент неравномерности энерговыделения, определяющий
горячую точку, kv = 2,4. С учетом этого коэффициента
линейная нагрузка твэла возрастает до #£ акс = 37 кВт/м
в реакторе РБМК-1000*.
4. Эффекты и коэффициенты реактивности. Оперативный
запас реактивности реакторов РБМК-1000 и РБМК-1500 уве­
личен в последнее время до 2,2—2,5% АК/К и предназначен
в основном для управления распределением энерговыделения
и для снижения потенциальной опасности реактора при мак­
симальных авариях с обезвоживанием активной зоны. Воз­
можно также небольшое, в пределах 10—15%, маневрирование
мощностью реактора. Оперативный запас компенсируется по­
стоянно находящимися в активной зоне поглощающими стер­
жнями, число которых в пересчете на полное погружение
равно в среднем 45—48 (не менее 30). Кроме того, в активной
зоне постоянно находится не менее 80 ДП.
В силу перезамедленности активных зон РБМ1£ из-за
избыточной массы графита водяной кипящий теплоноситель
с точки зрения цепной реакции играет во многих случаях
роль поглотителя нейтронов и его удаление из активной зоны
РБМК-1000, находящейся 3в рабочем состоянии по средней
плотности воды (0,52 г/см ), приводит к повышению реак­
тивности на 1,3% АК/К при обогащении топлива 2% и на
0,3% АК/К при обогащении 2,4%. В случае обезвоживания
из холодного состояния положительные эффекты реактивности
возрастают соответственно до 2,5 и 1,3% АК/К**. Допол­
нительный положительный эффект реактивности связан с обез­
воживанием контура СУЗ для ситуации, когда все стержни,
кроме 30—45 постоянно погруженных, выведены из активной
зоны. Поскольку в контуре СУЗ циркулирует холодная вода,
его обезвоживание дает дополнительный положительный эф­
фект 2,5% АК/К.
Положительные эффекты и коэффициенты реактивности
проявляются и при частичном выводе воды из активной зоны
за счет снижения ее плотности^ при разогреве или образовании
пара. Так, в РБМК-1000
температурный коэффициент воды
5
равен плюс 5 10~ (АК/К)/°С, полный эффект реактивности
при появлении пара Др пар = 0,5%, паровой коэффициент ре* Приведенные значения коэффициентов неравномерности ориентировочны
и зависят от многих обстоятельств, поэтому теплогидравлические расчеты
РБМК выполняются по двух- или трехмерным матрицам распределений
энерговыделения по объему активной зоны.
** По расчетам на основе программы WI^IS-D эффекты обезвоживания
из состояния со средним выгоранием, 45 стержнями и 80
ДП ниже
3
и составляют3 для обогащений 2/2,4%+ 0,36/0,06%
(от
0,52
г/см
)
и
0,56/0,1%
(от 0,78 г/см ). Обезвоживание от 1 г/см3 дает 0,8% ' А К/К при д:5 = 2%
(эксперимент дает 1 —1,25% АК/К и слабо зависит от обогащения).
464

активности оспар = 5- Ю~5 1/% пара (имеется в виду относитель­
ное содержание пара, когда полное паросодержание принято
за 100%). Положительность паровых коэффициентов реактив­
ности— основная причина короткопериодной неустойчивости
распределения энерговыделения в РБМК, связанной с поло­
жительной обратной связью между мощностью и паросодержанием.
Положительным является также температурный коэффици­
ент, обусловленный
разогревом графитового замедлителя,
5
а с = 5,7 10~ 1/°С. Вклад этого коэффициента в общий мощностной коэффициент незначителен из-за большой постоянной
времени, связанной с разогревом графита при повышенной
мощности. Основной вклад в быстрый мощностной коэф­
фициент вносит доплеровский эффект реактивности при по­
вышении
мощности
и температуры
топлива
5
атоп=-1,110- 1/°С.
В реакторе РБМК-1500 максимальная йодная яма достига­
ется через 9 ч . после остановки и равна Др и я =—5,7%.
Стационарное отравление ксеноном составляет Ар| е =—3,2%,
самарием Др£ т =— 0,9%. Прометиевый провал при остановке
со 100%-ной мощности равен —0,6% АК/К.
Хотя реакторы РБМК и неустойчивы в отношении ксеноновых колебаний мощности, компенсация этой нестабиль­
ности не затрудняет эксплуатацию реактора благодаря ее
большой постоянной времени и развитой системе локального
автоматического регулирования и защиты. Это замечание
можно отнести и к колебаниям мощности из-за положительной
обратной связи по температуре графита. Паровая неустой­
чивость приводит к появлению осевых и радиально-азимутальных гармоник нейтронного распределения, которые коррек­
тируются системой ЛАР.
Максимальная избыточная реактивность реализуется
в РБМК-1000 и РБМК-1500 в холодном неотравленном
состоянии, без воды в контуре многократной принудительной
циркуляции (КМПЦ) и составляет 4,3 и 4,8% АК/К соответ­
ственно при эффективной доле запаздывающих нейтронов
Рзф = 0,0051.
Приведенные цифры относятся к установившемуся режиму
перегрузок топлива, в котором реактор находится большую
часть своего срока службы. При этом в активной зоне
находятся 80 ДП и не менее 30 стержней. В начальном
состоянии реактора число ДП выше (около 236 ДП) и эффекты
обезвоживания КМПЦ, а также коэффициенты реактивности
по пару и температуре воды становятся отрицательными. Это
явление объясняется ростом поглощающей способности ДП
при уменьшении массы воды из-за изменений относительной
формы распределения плотности потока тепловых нейтронов
30 Заказ 2739

465

по ячейке периодичности — относительного" снижения макрополя в области топлива и повышения в области поглотителей —
ДП и погруженных стержней СУЗ. Относительное падение
нейтронного поля в топливе связано со снижением плотности
замедления нейтронов в воде внутри ТВС. Кроме того,
в начальном состоянии спектр нейтронов жестче (х5 = 2% по
сравнению с 1,35% в установившемся режиме) и степень
перезамедленности системы снижается.
В установившемся состоянии в топливе присутствует около
0,2% делящегося плутония, который дает вклад в положитель­
ность эффектов реактивности при обезвоживании активной
зоны. Удаление воды ужестчает нейтронный спектр и повыша­
ет поглощение нейтронов на резонансном уровне 239 Ри,
расположенном при 0,3 эВ, что совместно с удалением воды
приводит к росту коэффициента использования тепловых
нейтронов. Одновременно падает вероятность избежать резо­
нансного поглощения, но вклад 0 а оказывается выше и ре­
активность растет.
Заметим, что в активной зоне без ДП и без поглощающих
стержней абсолютные значения положительных эффектов и ко­
эффициентов реактивности растут. Паровой коэффициент в ра­4
бочей точке РБМК-1000 и РБМК-1500 растет до 2,3 и 1,7 • 10~
(АК/К)/%
пара соответственно, температурный эффект при
разогреве от 20° С до Ts возрастает с 0,1 и 0,25% до 1,8
и 1,6% АК/К, эффект обезвоживания3 КМПЦ повышается
в состоянии с плотностью воды 0,8 г/см примерно до 2,5—3%
АК/К
Причина этих изменений — уменьшение в активной
зоне числа поглощающих элементов, снижающих положитель­
ные эффекты реактивности при удалении воды в соответствии
с отмеченными выше процессами.
5. Компенсация реактивности осуществляется в активных
зонах РБМК ДП и регулирующими стержнями из поглоща­
ющих материалов.
В каждой макроячейке начальной загрузки вместо двух
топливных кассет располагается по два ДП в виде втулок
из бористой стали с наружным диаметром 59 и толщиной
стенки 3 мм. Втулки надеты на стальную несущую трубу
диаметром 53x4,5 мм, внутренняя полость которой залита
водой. Для профилирования высотного энергораспределения
можно изменять содержание бора в верхней и нижней частях
ДП. Распределение «тяжелых» (из 2%-ной бористой стали)
и «легких» (из стали без бора) втулок определяется формой
нейтронного поля и задачами профилирования.
Эффективность ДП, определяемая как сумма эффектов
удаления ТВС и размещения вместо нее поглотителя, со­
ставляет в среднем по всем
ДП в горячем отравленном
-5
состоянии примерно 70-10 АК/К в начальной загрузке и
466

60-10" 5 АК/К в установившемся режиме с 80 ДП. Более
высокая эффективность ДП в начальном состоянии связана
с эффектами положительной интерференции из-за выравнивания
распределения тепловых нейтронов при размещении двух ДП
в макроячейке.
Каждый регулирующий стержень размещен в отдельном
канале и охлаждается по наружной и внутренней поверхностям
водой контура СУЗ при средней температуре 50° С. Погло­
щающая часть представляет
собой втулку из карбида бора
3
плотностью 1,65 г/см , заключенную в трубы из алюминиевого
сплава диаметрами 70 х 2 и 50 х 2 мм. Стержни набираются
из поглощающих звеньев высотой 968 мм, разделенных непоглощающими шарнирами по 65 мм. Высота секции стержня
1,03 м.
В реакторе РБМК-1000 имеются. 24 стержня A3, 12 авто­
матических регуляторов, 12 локальных автоматических регу­
ляторов, 131 ручной регулятор (РР) и 32.укороченных стержней
поглотителей (УСП) — всего 211 стержней.
Стержни АР, ЛАР, РР содержат шесть секций высотой
1.03 м и укороченную секцию высотой 0,6 м. В верхнем
положении нижняя граница поглотителя совпадает с верхним
торцом активной зоны. В активной зоне под поглотителем
расположены столб воды с телескопической тягой высотой
2.4 м, графитовый вытеснитель высотой 4,56 м. При вводе
в активную зону стержни погружаются на 6,55 м.
Стержни A3 содержат по шесть секций высотой 1,03 м
и в верхнем положении погружены в активную зону на 0,7 м,
что повышает безопасность реактора при сбросе A3. После
взвода A3 под поглотителем расположены столб воды с те­
лескопической тягой высотой 1,2 м и графитовый вытеснитель
4,56 м, последние 50 см до низа активной зоны заняты столбом
воды. При сбросе A3 поглотитель перемещается на 5,85 м,
не доходя до низа активной зоны на 41 см, как и стержни
PP. Вытеснитель представляет собой трубу из алюминиевого
сплава диаметром 74x2,5 мм, заполненную графитом, с пе­
ременной3 по высоте пористостью и средней плотностью
0,74 г/см .
Стержни УСП состоят из трех поглощающих секций
с вытеснителем над ними и вводятся в активную зону снизу
на ход 3,6 м.
Телескопические тяги служат для смещения вытеснителя
вниз по отношению к поглотителю во взведенных стержнях,
с тем чтобы уменьшить высоту нижнего столба воды. При
этом улучшается форма дифференциальной характеристики
стержня. До аварии на Чернобыльской АЭС все телескопичес­
кие тяги были высотой 1,2 м и при выводе поглощающей
части стержня до верхней границы активной зоны вытеснитель
30*

467

располагался в середине активной зоны с равными столбами
воды с высотой 1 м сверху и снизу. При вводе стержня в зону на­
чинает входить поглотитель, верхний столб воды смещается вна­
чале в сторону центра, причем оба процесса вносят отри­
цательную реактивность, а нижний столб воды заменяется
графитовым вытеснителем, внося положительную реактивность.
Соотношение между значениями этих компонентов реактивности
зависит от абсолютного значения плотности потока нейтронов
в высотных зонах, где происходит изменение свойств активной
зоны.
Вклад зон в общую реактивность пропорционален ста­
тистическому весу зоны (6.54) и К^ каждой зоны. Если
рассмотреть ввод стержней из крайнего верхнего положения,
то до аварии на Чернобыльской АЭС в начальном состоянии
поле имело максимум на расстоянии 4—5 м от низа активной
зоны, особенно если реактор работал на малом уровне мощности
и распределение пара по высоте было более-менее постоянно.
В начальной фазе ввода стержня распределение быстро де­
формировалось со смещением максимума вниз, что уменьшало
роль отрицательных эффектов и повышало вклад положительного
эффекта реактивности при замене столба воды вытеснителем.
Если при этом реактивность дополнительно поддерживается
за счет роста паросодержания посредством каких-либо внешних
воздействий, например снижением расхода теплоносителя, то
мощность реактора вначале не падает и общий эффект от
ввода стержня может на некотором участке хода оказаться
нулевым или даже слегка положительным.
Именно это явление, обнаруженное при проектировании
и эксплуатации реактора, послужило причиной для разработки
телескопических тяг, позволивших уменьшить высоту нижнего
столба воды, и для удаления вытеснителей в автоматических
регуляторах, а также для введения в технологический регламент
запрета на полный вывод из активной зоны стержней регу­
лирования. Их число в пересчете на полное погружение не
должно было снижаться ниже 30 при нормальной эксплуатации*
в противном случае реактор должен был быть остановлен.
(Выполнить вытеснитель с высотой, равной высоте активной
зоны, не оказалось возможным из-за принятой общей ком­
поновки реактора в здании блока.) Указанные стержни ис­
пользовались для управления распределением энерговыделения
и для исключения задержек с вводом отрицательной реак­
тивности при остановке реактора.
Эффективность стержней РР зависит от состояния реактора
и от наличия воды в 5 контурах МПЦ и СУЗ и лежит
в интервале (50 + 20)-10" АК/К. В холодном неотравленном
состоянии с водой в КМПЦ она равна 32 • 10 ~5 и 52 • 10 ~5 АК/К
в зависимости от наличия или отсутствия воды в контуре
468

Т а б л и ц а 12.1. Подкритичность при обезвоживаниях и сбросе стержней
в реакторе РБМК-1000
Состояние

Вода в КоСУЗ

Р, %

Разогретое с водой в КМПЦ

Есть
Нет
Есть
Нет
Есть
Нет
Есть
Нет

4,8
7,3
3,2
5,7
5,1
7,6
4,5
7

Холодное с водой в КМПЦ
Разогретое без воды в КМПЦ
Холодное без воды в КМПЦ
>

РСУЗ'

5,9
8,5
4,3
6,9
7,5
10,1
7,1
9,6

0//

°

Рпод«р>

°/о

1,1
1,2
1,1
1,2
2,4
2,5
2,6
2,6

СУЗ, а без воды5 в КМПЦ 5 соответствующие цифры повыша­
ются до 53-Ю" и 72-10 ~ АК/К В горячем неотравленном
состоянии с 5 водой в КМПЦ
эффективность РР увеличивается
5
до 44 • 10 " и 63 • 10 " АК/К. Удаление - воды из КМПЦ
повышает эффективность стержня вследствие изменения (роста)
нейтронного макрополя в макроячейке в области стержня.
Удаление воды из КоСУЗ исключает ее вклад как поглотителя
тепловых нейтронов.
Таким образом, положительные эффекты реактивности,
связанные с обезвоживанием реактора, сопровождаются в на­
стоящее время одновременным ростом компенсирующей спо­
собности стержней. Поэтому при их вводе в нормальных
условиях и в аварийных ситуациях с обезвоживанием баланс
реактивности соблюдается, реактор оказывается достаточно
подкритичным (табл. 12.1).
Эффективность стержней УСП составляет 0,25 эффектив­
ности РР, а стержней A3 — 0,9. Сброс 23 (без одного) стержней
A3 в горячем состоянии без Хе создает подкритичность 0,92%,
которая сохраняется с учетом сопутствующих эффектов ре­
активности: мощностного, равного +0,45%, из-за снижения
температуры топлива на 400° С, плотностного, равного —0,7%,
из-за исчезновения пара и температурного эффекта графита,
равного —1,1%, при снижении его температуры на 190° С.
При дальнейшем расхолаживании до 70° С реактивность от
суммы всех эффектов дополнительно снижается на 1,1%, т. е.
при взводе A3 для пуска реактора подкритичность превышает
1% и правила ядерной безопасности выполняются. При
отсутствии воды в КМПЦ подкритичность повышается более
чем на 1% (см. табл. 12.1).
6. Нейтронно-физнческне процессы при аварии на Чернобыльс­
кой АЭС* связаны с общим ходом нештатного эксперимента
* Данный материал не претендует на полноту и достоверность как
общего хода, так и деталей аварии на ЧАЭС и основан на некоторых
сведениях, опубликованных к моменту написания книги [22].
469

по питанию главных циркуляционных насосов (ГЦН) остаточ­
ным током выбега турбогенератора при его остановке. По­
скольку в процессе опыта насосы могли останавливаться,
персоналом блока было принято решение о создании запаса
по циркуляции — работе на всех ГЦН (по четыре в каждой
половине реактора) и о создании запаса по мощности — работе
на уровне примерно 5% номинальной мощности, т. е. 20кратном превышении уровня циркуляции над уровнем мощ­
ности. С точки зрения специалиста по тепловым электростан­
циям такие условия работы гарантировали бы полную теп­
лотехническую надежность установки. Однако на АЭС необ­
ходимо было предусмотреть вероятность ядерного разгона,
особенно в силу положительности паровых коэффициентов
реактивности и характера изменений реактивности на началь­
ном участке погружения стержней из верхнего положения.
Незадолго до аварии мощность реактора была снижена
со 100 до 50%, а затем, непосредственно перед опытом,
практически до нуля с быстрым выходом на уровень 5%
номинальной мощности при полной (и даже превышающей
полную) циркуляции, так как при нормальной работе два
ГЦН находятся в горячем резерве. Сброс мощности привел
к интенсивному накоплению 135 Хе из-за попадания в йодную
яму, падению реактивности и необходимости вывода стержней
для ее поддержания. При этом операторы блока пренебрегли
запретами технологического регламента на минимальное до­
пустимое число стержней в активной зоне (не менее 30
стержней) и к моменту начала эксперимента в зоне осталось
около пяти стержней, т. е. практически все регулирующие
стержни вышли в верхнее положение.
За время установления уровня мощности и подготовки
к эксперименту продолжалась полная циркуляция с допол­
нительным выделением в контур тепла, обусловленного ме­
ханической энергией от вращения лопаток ГЦН, что привело
к подъему температуры всей воды в КМПЦ до линии
насыщения при малом процентном содержании пара в активной
зоне. При этом средняя плотность 3воды в активной зоне
повысилась с 0,52 примерно до 0,7 г/см , что заметно повысило
возможный подъем реактивности в случае обезвоживания
КМПЦ. Из-за относительного роста содержания пара и сниже­
ния плотности воды на всасе ГЦН их работа стала неустой­
чивой, были слышны шум и кавитационные удары. Несмотря
на все эти обстоятельства персонал блока приступил к про­
ведению эксперимента вместо немедленной остановки реак­
тора.
Питание четырех ГЦН от выбега турбогенератора привело
к снижению расхода воды из-за уменьшения оборотов и оста­
новок ГЦН и к интенсификации в этой - связи процессов
470

парообразования в активной зоне. ^В данной ситуации оператор
нажал на кнопку аварийной защиты АЗ-5 и все стержни СУЗ,
кроме УСП, начали вводиться в реактор практически из
крайнего верхнего положения со скоростью 0,4 м/с. Согласно
разным оценкам, проводившимся до и после аварии, в началь­
ной фазе продвижения стержней из-за эффектов, вызванных
вытеснением графитовым вытеснителем нижнего столба воды
при одновременной деформации максимума высотного энер­
гораспределения вниз, отрицательная реактивность в течение
4—5 с при погружении стержней на 1,5—2 м не вводилась,
а по некоторым оценкам был даже возможен ввод положитель­
ной реактивности около 0,1—0,5 Рэф. Одновременно с вводом
стержней продолжался рост паросодержания в активной зоне
с вводом положительной реактивности порядка 0,5—1 р эф ,
причем оба эффекта реактивности в сумме превысили рэф.
В результате произошел первый разгон реактора на мгновенных
нейтронах с выделением примерно 600 Дж/г топлива, что
ниже порога разрушения топлива при 1300 Дж/г. Первый
всплеск мощности привел к нагреву топлива примерно на
800° С и самоограничился за счет доплеровского эффекта
и движения стержней несмотря на дополнительный ввод около
2 рэф при вскипании теплоносителя в верхней части активной
зоны.
Вскипание теплоносителя привело к импульсу давления
и закрытию обратных клапанов в напорных трубопроводах
ГЦН, т. е. к снижению расхода и росту паросодержания
в нижней половине активной зоны. В результате произошел
второй, и на этот раз катастрофический, разгон реактора
с суммарным за два разгона выделением в топливе 2100 Дж/г
и диспергированием 40% расплавившегося топлива в тепло­
носитель. Почти одновременно, за 1—2 с, произошли такие
события, как повышение давления до 35—40 МПа и гидрав­
лический удар с массовым разрушением труб топливных
каналов, а также пароциркониевая реакция при повышении
температуры оболочек твэлов и канальных труб до 1100—
1800° С (пороговая температура реакции—1011° С с выделением
при нормальных условиях 491 л Н 2 и 654 МДж энергии на
1 кг прореагировавшего пара и Zr). Разгон усугубился поло­
жительным эффектом обезвоживания топливных каналов и ка­
налов СУЗ с вводом 3—5 Рэф положительной реактивности.
Прорыв пара в межканальное пространство привел к подъему
в вертикальное положение верхней конструкционной плиты,
прекращению опускания стержней в активную зону и попада­
нию кислорода в графитовую кладку. При окислении 3,5%
массы ZrNb канальных труб и 9% массы оболочек твэлов
в активной зоне образовалось 140—200 кг Н 2 и произошел
первый кислородно-водородный химический взрыв. Еще перед
471

этим тепло от разогретых до 1800° С канальных труб че­
рез разрезные втулки, нагретые до 1400° С, перешло к гра­
фиту, нагрев его до температуры загорания 1000° С с по­
вышением ее до 1200—1300° С при последующем горении.
Примерно 1/3 выделившегося Н 2 проникла в пространство
между защитой и помещением разгрузочно-загрузочной ма­
шины, где смешалась с воздухом и взорвалась от случайной
искры или достижения критического состава смеси (второй
химический взрыв).
Все эти процессы произошли за короткое время—порядка
5—10 с. Операторы на пульте управления увидели прекращение
ввода стержней в среднем положении и услышали два удара,
а случайные внешние наблюдатели увидели две вспышки
пламени над блоком и летящие куски раскаленного графита,
вызвавшие пожар кровли. Блок был разрушен с выбросом
до 3% топлива и большой активности газообразных и летучих
ПД во внешнюю среду.
Авария произошла в результате блокировки персоналом
ряда технологических сигналов A3 установки, отключения
системы аварийного охлаждения реактора и нарушения тре­
бований регламента о минимальном оперативном запасе
реактивности. Во внештатных обстоятельствах проявились
и некоторые недостатки реактора, связанные с избытком
графита в активной зоне, конструкцией вытеснителей стержней
и быстродействием сброса A3.
Представляют интерес технические, нейтронно-физические
и конструктивные мероприятия, принятые на действующих
реакторах РБМК для исключения возможности подобных
аварий в будущем. Вопрос о задержке ввода отрицательной
реактивности при вводе стержней из верхнего положения
исключен конструктивными мерами, а именно увеличением
длины телескопической тяги вытеснителя стержня с 1,2* до
2,4 м. При этом нижний столб воды отсутствует и при вводе
стержня из верхнего положения реактивность сразу же снижа­
ется в результате замены верхнего столба воды поглотителем,
а верхней части вытеснителя — водой в соответствующих
высотных зонах реактора.
Имевшийся ранее большой эффект реактивности при обез­
воживании КМПЦ снижен до приемлемого значения, равного
примерно 0,5 рэф при х 5 = 2,4%, введением ограничения на
минимальное число ДП (80) и минимальное число стержней
СУЗ, равное 30 в пересчете на их полное погружение в активную
зону. Введена техническая система, контролирующая оператив­
ный запас, т. е. число стержней в активной зоне, и останав­
ливающая реактор при уменьшении числа стержней ниже 30.
Введение ограничений ухудшило топливные характеристики
реактора примерно на 20% (при 2%-ном обогащении топлива
472

подпитки глубина выгорания снизилась примерно с 20 до
15МВтхсут/кг тяжелых атомов).
7. Эффективная доля запаздывающих нейтронов падает при­
мерно от 0,7 до 0,5% при переходе от начального состояния
к установившемуся режиму, что связано с накоплением в топ­
ливе плутония, изотопы которого имеют
низкую долю 241
запаз­
239
дывающих нейтронов—0,0021 у
Ри и 0,0053 у
Ри.
Усреднение Р производится по числу нейтронов, рождающихся
при делении каждого из делящихся нуклидов:
P= IPI(V/2/)(/I(V/2;/<),
i

1 = 5,9,41.

i

8. Коэффициент конверсии и наработка плутония могут быть
оценены для начального состояния по формуле (8.48):
КК^

Е

с 8 _ ( 1 - х 5 ) а с э | _ 0 , 9 8 ( 2 ? 7 + 0 ? 025-280)_ 0

~Ifl5

х5аа5

0,02-698

^
'

'

52*6

где Е ат /£Е 5б — показатель жесткости спектра, используемый при
вычислении эффективных сечений. Зная КК, получаем удельную
наработку плутония, нормированную на 1 ГВттод:
М

^д™УттГ<а.а/а
У
EjW^JTl

/ а

>

470ф
Лт

кг"»Ри
ГВттод

где £ / = 3,15 10- 2 0 ГДж/дел 2 3 5 U; Г=3,156-10 7 с —число се­
кунд в году; (Ga5/Gf5y&l,l% — отношение
микроскопических
235
сечений поглощения и деления для
U, усредненное по
24
спектру
тепловых
нейтронов;
^
9
=
2,52
•
10
—число ядер в 1 кг
239
Ри; (р = 0,8 — коэффициент нагрузки АЭС; т]т = 0,297 — теп­
ловой КПД нетто установки с РБМК-1000.
При выработке 1 ГВт
• год необходимо использовать сле­
235
дующую массу ядер
U:
т

н о р м = ^ Ф ^ а 5 / а / 5 > = = 4 6 0 ^ ^ 1 2 4 0 кг»'Ц
W3aEfjr°5
ГВттод
Лт

Следовательно, в замкнутом топливном цикле его удельная
годовая подпитка делящимся материалом составит примерно
380 кг на 1 ГВт • год. Однако химическая переработка топлива
РБМК нецелесообразна, так как около 70% делящегося Ри
сгорает непосредственно в реакторе и содержание делящихся
нуклидов в выгружаемом топливе такое235же, как в природном
уране, а именно порядка 0,7% (0,4% U и 0,3%Ри). При
этом
подпитка топливного цикла возрастает до 600—650 кг
235
и/ГВтгод.
473

12.3.
Реакторы-размножители
на быстрых нейтронах [7, 13, 19]
1. Назначение реакторов на быстрых нейтронах (БР). Ос­
новное назначение БР.— обеспечение
расширенного воспроиз­
238
водства делящегося плутония из
и с целью сжигания всего
или значительной части природного урана, а также имеющихся
запасов обедненного урана. Этим решается задача самообес­
печения ядерной энергетики делящимся топливом.
Другая задача БР — выработка тепловой энергии, преоб­
разуемой в электрическую с высоким КПД нетто—до 37—
39%.
БР необходимы ввиду ограниченности ресурсов природного
урана и плохого его использования в современных тепловых
реакторах, в которых в открытом топливном цикле сжигается
только 0,5—1% природного урана. Быстрые реакторы раз­
множают делящееся топливо и позволяют использовать его
для начальных загрузок и подпитки тепловых реакторов.
В результате может быть сожжено до 50—70% природного
урана, что обеспечит энергетические потребности человечества
на многие сотни лет.
2. Особенности нейтронной физики БР. Максимальное число
вторичных нейтронов va, приходящихся' на один нейтрон,
поглощенный
делящимся нуклидом, наблюдается для изотопов
239
241
Ри и
Ри в области максимальных энергий реакторных
нейтронов (см. рис. 2.8). Этим объясняется необходимость
создания быстрых реакторов, работающих на плутониевом
топливе.
В спектре БР число избыточных нейтронов, отнесенное
к одному, поглощенному делящимся нуклидом, 2дополнительно
растет за счет деления пороговых нуклидов — 3 8 и и 240 Ри,
доля делений которых доходит в различных БР до 20—30%.
Это увеличивает va на 0,6—1 нейтрон, соответственно
растет
238
коэффициент воспроизводства.
Прямое деление
и без про­
239
межуточного образования
Ри сокращает процесс исполь­
зования природного урана и является дополнительным пре­
имуществом быстрых реакторов.
В области энергий быстрых нейтронов микроскопические
сечения захвата и деления снижаются на два порядка и более
по сравнению с сечениями в спектре теплового реактора
(рис. 12.3), что приводит к следующим особенностям БР по
сравнению с тепловым реактором:
растут пробеги нейтронов от точки рождения до точки
поглощения и утечка нейтронов из активной зоны; чтобы не
терять нейтроны, необходимо окружить активную зону зонами
воспроизводства — боковой (БЗВ) и торцевыми (ТЗВ); в зонах
474

Рис. 12.3. Микроскопические сечения
деления нуклидов в области энергии
быстрых нейтронов Еп

^ £*>
$

\ гт
\
\
Ри
Л гзэ _ \

воспроизводства размещается
з
металлический
обедненный
£
уран, в котором накапливается
Ри у'гъ*Л/
Ри при радиационном
захвате
i 238
нейтронов
U;
Q
!
/ в
3
5I
чтобы поглощение нейтром*
*
i0
ia
п
Р ,я
Zjy
нов
Pu в активной зоне
конкурировало с утечкой нейтронов
и Кэф был достаточно
239
большим, плотность ядер
Ри должна быть велика; это
требует большой общей и удельной загрузки делящихся
нуклидов в БР, равной 1 —1,5 кг делящегося Ри на
1 МВт(тепл.); обогащение тяжелых атомов делящимся Ри
составляет в больших БР 10—15%, а в средних по мощности
БР—до 20—25%;
на два порядка меньшие, чем в тепловых реакторах,
микроскопические сечения деления (рис. 12.3) при примерно
такой же 239
энергонапряженности делящихся нуклидов [(0,7—
1) МВт/кг Ри] приводят к большим на два
порядка плот­
16
ностям потоков нейтронов [порядка 10
нейтр./(см 2 -с)]
и к быстрому накоплению
предельных
флюенсов быстрых
23
2
нейтронов [порядка 10 нейтр./(см -с)] и как следствие — к
распуханию и радиационному охрупчиванию стали покрытий
твэлов и кожухов ТВС, подвижных КО;
вследствие значительно большего,
чем 149в топливе, падения
135
сечений захвата нейтронов в
Хе и в
Sm при переходе
от спектра ТР к спектру БР в последнем отсутствуют эффекты
отравления ксеноном и самарием, а также нет колебаний
распределений энерговыделения, связанных с ксеноновой не­
стабильностью .
Отсутствие замедлителей—графита или воды—и плотная
расстановка твэлов и ТВС приводят к большим удельным
мощностям в активной зоне БР (0,3—0,6 МВт/л), вследствие
чего желательно использовать для теплоотвода достаточно
эффективный теплоноситель, например натрий, который срав­
нительно слабо замедляет нейтроны и имеет хорошие теплофизические свойства и совместимость с топливом и конст­
рукционными материалами. В действующих БР с натриевым
теплоносителем найдены и отработаны средства для предот­
вращения взаимодействий натрия с кислородом воздуха или
с водой паросилового контура либо для снижения последствий
такого взаимодействия. Возможно и применение свинцового
теплоносителя.
Степень безопасности больших БР при максимальных
авариях снижается отсутствием гасящего эффекта теплоносителя
475

ввиду положительности натриевого пустотного эффекта реактив­
ности при вскипании или выбрасывании натрия из центральной
области активной зоны, так как при этом уменьшается
паразитное поглощение в натрии, ужестчается спектр и растет va,
а утечка нейтронов растет незначительно. В то же время
в нормальных режимах эксплуатации БР достаточно стабилен,
не имеет пространственных колебаний мощности и обладает
свойством саморегулируемости за счет отрицательного доплеровского эффекта реактивности, составляющего основную часть
мощностного коэффициента реактивности.
Попадание водородсодержащих веществ в активную зону
БР, например масла из системы смазки подшипников ГЦН,
может привести к заметному смягчению спектра и положитель­
ному эффекту реактивности из-за значительного роста Gf9 при
небольшом падении va9.
Температурные эффекты в БР отрицательны и невелики
[—(1ч-2)°/о АК/К] и связаны со снижением гомогенизированной
плотности топлива и ростом утечки нейтронов при радиальном
расширении опорных плит ТВС и осевом увеличении высоты
столба топливных таблеток при их нагревании.
В случае оптимизации основного функционала быстрых
реакторов — времени удвоения топлива — необходимо снижать
непроизводительное поглощение нейтронов в конструкционных
материалах и теплоносителе, а также в органах СУЗ, ком­
пенсирующих реактивность на выгорание и постоянно нахо­
дящихся в активной зоне, уменьшать утечку нейтронов за
пределы зон воспроизводства, ужестчать в разумных пределах
энергетический спектр нейтронов и повышать энергонапряжен­
ность делящихся нуклидов.
Повышение глубины выгорания тяжелых атомов до 10—
15% увеличивает кампанию топлива в активной зоне
Та и снижает время удвоения Т2, если время переработки
Тп остается постоянным. Одновременно снижается топливная
составляющая себестоимости электроэнергии. Экономика требу­
ет также разумного уменьшения толщины зон воспроизводства
и ограничения нормы накопления в них плутония, с тем
чтобы не «замораживать» накопленный плутоний и быстрее
отправлять его в переработку и на использование.
В больших БР, например с уровнем мощности 4000 МВт
(тепл.), утечка нейтронов из активной зоны мала и избыточный
коэффициент воспроизводства активной зоны (ИКВА) может
достигать 0,05—0,1 и выше, т. е. сгоревшее ядро плутония
заменяется новым, образуются два осколка и 0,05—0,1 ядра
избыточного
Ри. Поскольку физическая эффективность ядра
239
Ри положительна и примерно в 20 раз выше отрицательной
физической эффективности двух осколков, КЭф при выгорании
топлива может расти. Этот уровень ИКВ является границей,
476

выше которой Кэф при выгорании топлива растет, а ниже —
падает.
Повышения показателей воспроизводства (KB, ИКВ и др.)
можно добиться кроме перечисленных выше мер использова­
нием более плотных видов топлива — переходом от смешанного
диоксидного топлива (эффективная плотность с учетом пори­
стости, необходимой
для достижения глубины выгорания 10%,
3
равна 8,25 г/см3 ) к монокарбидному или нитридному (плот­
ность И г/см ) и к металлическому (плотность 14 г/см 3 )
и применением ряда физических идей—гетерогенных активных
зон (см. ниже), «физически малых» активных зон и т. п.
Проектирование и эксплуатация БР должны вестись с учетом
их физических особенностей.
3. Реактор с боковой зоной воспроизводства. Рассмотрим
расчет реактора БР с гомогенизированными составами актив­
ной зоны и боковой зоны воспроизводства. Для определения
АГЭф и средних по объему зон плотностей потоков нейтронов
используем одногрупповое приближение с микроскопическими
сечениями, усредненными по спектру БР с натриевым тепло­
носителем типа БН-600 (табл. 12.2).
Т а б л и ц а 12.2. Одногрупцовые
спектру реактора БН-350, б
Вид
сечения

<V/CTy>
<<*/>
<<*с>

а>*
<5tr

Вид
сечения

<<*с>

микроскопические

Зона

а.з.
ЗВ
а.з.
ЗВ
а.з.
ЗВ
а.з.
ЗВ
а.з.
ЗВ

Топливные нуклиды
238тт

239ри

240ри

0,116
0,0452
0,0411
0,0161
0,297
0,421
0
0
8,4
12,3

5,104
6,442
1,738
2,22
0,264
1,048
1
1
ИЛ
12,1

0,97
0,492
0,324
0,166
0,71
1,362
0,0476
-0,181
10,1
15

Зона

а.з.
ЗВ
а.з.
ЗВ

сечения, усредненные по

241 р

пд

и

8,72
12,75
2,92
4,292
0,445
0,798
1,6778
2,258
9,5
10,5

—
—
—
—

1,455
1,015
-0,3709
-0,1747
16,5
16,1

Конструкционные материалы
О

Na

Fe

С

Ni

Mo

0,00115
0,0005
3,5
3,6

0,00175
0,00276
5,3
4,3

0,0062
0,00857
3
5,3

0,00865
0,01187
4
4,4

0,0224
0,0201
И
14

0,141
0,274
7,5
7,5

* «>I = (*I-* 8 )/(*9-* 8 ); xt =

vfafi-aei.
477

»тзв

Нижняя ТЗВ
*)

в)

Рис. 12.4. К расчетам радиальной задачи (я), нормировки на мощность (б),
высотной задачи (в) в реакторе с зонами воспроизводства

Реактор БН-600 тепловой мощностью 1470 МВт и элект­
рической мощностью блока АЭС (брутто/нетто) 600/550 МВт
имеет активную зону высотой 0,75 и диаметром 2,06 м,
содержащую 371 ТВС, которые размещены по треугольной
решетке с шагом 98 мм, 380 сборок боковой зоны воспро­
изводства и торцевые зоны воспроизводства (ТЗВ) высотой
0,4 м. В ТВС активной зоны содержится по 127 твэлов
наружным диаметром 6,9 мм, размещенных по треугольной
решетке с шагом 8 мм, в ТВС БЗВ—по 37 твэлов диаметром
14,2 мм, содержащих диоксид обедненного урана. Стальные
шестигранные кожухи ТВС имеют размер под ключ 96
и толщину стенки 2 мм.
В стальной оболочке твэла толщиной 0,4 мм заключены
топливные таблетки из смеси диоксидов урана (обедненного)
и Ри. Масса топлива_8,5 т, урана и Ри в активной зоне — 7,5 т,
глубина выгорания JSTa = 65 МВтсут/кг тяжелых атомов. Тем­
пературы натрия на входе/выходе равны 377/550° С, тем478

пература оболочки 710° С; максимальная температура топлива
2500° С. В активной зоне размещено 27 стержней из В4С.
Средняя удельная мощность равна 550 кВт/л при коэффициенте
неравномерности по объему А:к=1,53. Средняя в активной
зоне линейная мощность твэла 36 кВт/м5 максимальная удель­
ная мощность в БЗВ 43 кВт/л. Соотношение объемных долей
топлива, натрия и стали в активной зоне равно 0,45:0,33:0,22.
Задавшись некоторым значением осевой эффективной до­
бавки к высоте активной зоны за счет ТЗВ, например
8

тзв
эф

= Юн-15 см, запишем уравнения баланса нейтронов в зонах

с учетом осевой утечки нейтронов (рис. 12.4, а):
A r Oi(r) + afO 1 (r) = 0, 0<г<Д.. 3 ,

Д г Ф 2 (г)-а|Ф 2 (г) = 0, Л а .з<г<Л Э) си1 = В^-%1>0;
Я.^—

—
Кэф

Di

?

Di

к, 2 =

•
Кэф

D2

D2

Общее решение уравнений
<3>1(r) = a0J0(a1r) + a2Y0(cL1r);
Ф2 (г) = ах 10 (ос2 г) + а3 К 0 (ос2 г)
дополним условиями ограниченности плотности потока ней­
тронов в центре Ф^О^оо и граничным на внешней экстра­
полированной границе Ф2(/?э) = 0. Учтя, что при этом а2 = 0,
и выразив а3 через а19 получим
Ф1(г) = а0]0(а1г), Ф^(г) = й 1 ^ 0 (а 2 г),
где
^ 0 (а 2 г) = 1 0 (а 2 г)--^-(а 2 Л э )К 0 (а 2 г).
Из условий сшивки потоков и токов нейтронов на границе
между активной зоной и зоной воспроизводства
<*>1 ( Д а . з ) = Ф 2 ( Д а . з ) , Л {**,)=Л

(*..э)

получим систему уравнений для определения а0 и а±:
a0J0(a1Ra.3) + a1 [-F 0 (a 2 jR a . 3 )] = 0;
a0D1CL1J1(a1Ra.3) + a1D2a2F1(a2Ra.3) = 0;
^1 (oc2i?a.3) = Ii (а 2 Л а .з)+^-(а 2 Л э ) К х (а2Ла>3).
479

о

1

2
i

-Ofi
-0,6

'*:

3

х--• « « " и

/*э = 0,95

l

Рис. 12.5. К нахождению Кэф из кри­
тического условия (12.11) для БР
с БЗВ

Система однородных алге­
браических уравнений допуска­
-12 _
0,65
ет решение в случае равенства
>
-1,6
" 0,8 "
нулю определителя из коэф­
-20
фициентов при неизвестных.
t
-2 ft
Этого можно достичь подбо­
•^V
ром значения Кэф — Х и в ре­
-2,8
зультате найти Аэф = А,* реак­
-V
тора (при необходимости мо­
-V
жно найти критический раз­
-40
мер, положив КЭф— 1, или
1 FQ fx.y)
размер, при котором Кэф ра­
вен некоторому заданному
значению).
В раскрытом виде определитель является критическим
условием реактора, из которого можно найти любые критичес­
кие параметры:
0,9

yi*»

_д 2 /д 1 1 0 (а 1 ^,) =
<*1 Да.з JX ( а ^ а . з )

1

^ Ц

>

*= « * ,

y = kx, k

X Fx (X, y)

R,
Ra3

,

Значение K^ = X входит в аргументы функций, в коэф­
фициенты

^-D.BVjJD^

а:

D2B2z+i:a2-vJ^\ID,.

Подбор X до удовлетворения критического условия проводится
с учетом требования положительности плотности потока
нейтронов Ф(г)^0, т. е. надо найти основную, всюду поло­
жительную гармонику, которой соответствует максимальное
собственное число — Кэф. Для облегчения подбора на рис. 12.5
показаны первые отрицательные ветви функции, описывающей
правую часть критического условия (12.4).
Определив Кэф, найдем коэффициент ах из условия сшивки,
положив а0=\ или а0= — 1, если все распределение от­
рицательно:
а

1 = Jo ( а 1 Д * . з ) / ^ 0 ( а 2 ^а.з)>

где а*! и а 2 соответствуют А,* = А,макс = ^ э ф .
Распределения плотности потока нейтронов и энерговыделе­
ния запишем с учетом нормировочной константы А:
Ф1(г) = ^ 0 ( а ' 1 г ) , q^EfZf&ir);
,
<b2(r) = AaiF0{a?2r), q2{r) = EfZf2<l>2{r).
480

Средние по объемам зон значения плотностей потоков
и энерговыделений—удельных мощностей—равны
2А

2а1А

Ф2 (')= . (RT

R-,

{^BSBFt {<X*2Rw)-K,F, (tt'2 Д..,)},

0 ^ 2 ^ БЗВ"^a.3j

?2(0

= £

' / Z / 2 ( I ) 2 W = ^B3B.

Константу Л найдем из условия нормировки на мощность
^т = 4а.з(^а.з+ VmBq2(r)/q1(r)+ КТзв?тзв/?а.з)?
(12.5)
где ^Тзв—среднее по объему энерговыделение в ТЗВ, значитель­
но более близкое к qB3B, чем к qa3, ввиду использования
в качестве топлива БЗВ и ТЗВ отвального урана. Отношение
^тзв/^а.з определяется из решения осевой задачи (см. ниже).
Доли мощности в каждой зоне определятся из соотношения
8j .=

Wj/WT = qjVj/[qii,3(V^ + К Б З В ^ Б З Б / ^ . З + ^тзв4тзв/4а.з]), (12.6)
Ка.3 = Яа.37гЛа23;

где

^взв = (Яа.3 + 2hT3B)n(Rl3B

-

Щл);

J/T3B =

2hT3BnRl3 (рис. 12.4,6).
Коэффициенты неравномерности энерговыделения находят
отдельно для каждой зоны ввиду большой разницы удельных
энерговыделений в активной зоне и БЗВ, а также из-за
возможности физического и гидравлического профилирования
отдельно в каждой
из зон:
к , м = Чу (0)/qi (г), к ГБЗВ = q2 (Ra.3)/q2 (г).
Запишем коэффициент избыточного воспроизводства ИКВ
(8.42) через отношение средних плотностей потоков нейтронов
в зонах воспроизводства к Ф аз :
*7Ф...

где

F

'

'

К

С = Ка.3(Хс8 + Ес40)а.з + КБЗВ(2с8 + £ с4о)БЗвФвЗв/Фа.з

+ ^Т3в(^с8 + ^с4о)тЗвФтЗв/Фа. з ;

}

+

Л = F a . 3 ( S a 9 + 2«4l)a.3 + ^Б3в(2а9 +

+ 2 а 4 1) Б ЗвФБЗв/Фа.з+ ^ Т З в ( ^ 9 + 3 4 1 ) т З в Ф Т З в / Ф а . з ;

+ КБзвХ^вФБзв/Фа.з+^тзв5:}звФтзв/Фа.з; Ц^
^ — ^^{°/р

'

F= K a . 3 Z}' 3 +

^ \о[л

(к = с, а);

J—зона; i — элемент; к—реакция.

i

ИКВ позволяет определить число избыточных делящихся
ядер или их массу, наработанные в БР за время Т на
, мощности JVT:
31 Заказ 2739

;

481

#9+41=-^ГсрИКВ; М

9 + 4 1

* ^ ^ = 385Ж Т Г Ф ИКВ, •

г д е ^ и « 3 , 2 7 - 1 ( Г 2 0 Г Д ж ; [Т] = год; 7 ^ = 6,022-1023; [Жт] = ГВт;
ф = 0,7-н0,8—коэффициент нагрузки АЭС.
4. Реактор с ТЗВ. Рассмотрим реактор с равными по
толщине и составу ТЗВ (рис. 12.4, в). Ввиду симметрии учтем
только верхнюю ТЗВ и половину активной зоны по высоте
с началом координат на границе между ТЗВ и активной зоной.
Используя ^эфВ> найденное при расчете реактора с БЗВ,
найдем эффективную добавку к размеру активной зоны за
счет БЗВ из условия
£-БЗВ __

v

/^/i

.

2,405 Уд!
_2,405
-^^IKU'-^
+D ^ ) - * " — - * -

ЯБЗВ_
8 Ф

*

_

п - ~
(12 8)

-

где Bl равно значению, использованному5 при расчете реактора
с БЗВ. Отсюда получим В? = (2,405/Лэ) , Лэ = Ла.з + 8эфВ> необ­
ходимые при рассмотрении высотной одномерной задачи.
Критическое условие получим, приравняв нулю определи­
тель из коэффициентов при неизвестных а0 и ах в условиях
сшивки:
ctg(a!#a.3/2)
DjOCi

tha2/*3
D2OL2

где

Удовлетворив критическое условие подбором X с учетом
требования положительности плотности потока в зонах,В найдем
Х = Х* = К™. Данный Кэф должен совпадать с К*ф , так как
рассматривается один и тот же реактор. Причиной расхождения
может быть неточность 8™, принятой в радиальной задаче.
В этом случае радиальная задача пересчитывается с учетом
новой:
8™=JL_^.

(12.9)

Итерационный процесс продолжается до совпадения К™
и К™ с заданной точностью.
С учетом соответствующих найденному i£™ значений ос*ь
ос2 запишем плотности потоков и энерговыделений в зонах,
482

предварительно
определив из условий сшивки
я0=1
и a1=D1a.\/D2a.2:
ф
1 {z)=A [sina* 1 z-ctg(a^ a . 3 /2) coso^z], qx (z) = £ ' / S / 1 0 1 (z);
Ф2(г)=А {(D1a\/D2a,2) [sha* 2 z-tha 2 A 3 cha* 2 z]},
q2{z) = EfZf2<b2{z).
Средние по объему зон плотности потоков и энерговыделений
2А
•"я.ч
а.з

J

Qtl-"a.3

"а.з/2
^ТЗВ

••w-i= *>n*sm

X

тзв

х [cha*2AT3B-l-tha*2A3sha*2AT3B], ? 2 ( Z ) = £ '/ :E /2 < 1 ) 2(4
Нормировочная константа Л определяется из условия (12.5)
после подстановки в него ^тзв/*7а.з = <72(2)/#1(2)- Отношения
Ф2(г)/Ф1(г) и q2(z)/<li{z) могут бытЬ использованы в (12.7)
для определения ИКВ реактора и доли его мощности (12.6),
выделяющейся в ТЗВ, так как qa.3 = qi(z) = q1(r).
Коэффициенты неравномерности энерговыделения в зонах
^а.з_^(-Яа.з/2)
/V z
= =
2

^ТЗВ^ЫО)
,

JV

—

z

.

Ы*)

чЛ )

5. Выравнивание энерговыделения в быстрых реакторах осу­
ществляется за счет создания зон малого (ЗМО) и большого
(ЗБО) обогащения в центре и на периферии активной зоны
(профилирование обогащением) либо повышения плотности
топлива в периферийной зоне—профилирования составом.
Расчет двухзонного по радиусу реактора с БЗВ й ТЗВ,
замененными эффективными добавками (12.8) и (12.9), про­
водится по методике, изложенной в п. 3 § 3.4, с учетом
того, что

a?MO =
а зБо =

y/iBlD^VfZfJX-Z.JID^
1^ц

X D2

lhl+в

\D2

6. Топливные характеристики быстрого реактора включают
в себя избыточную наработку плутония и его удельную
загрузку в топливный цикл, потребление природного урана
и выдачу тяжелых атомов в химическую переработку.
31*

483

Скорость избыточной наработки делящегося плутония при­
нято нормировать на электрическую мощность установки,
выдаваемую потребителю, W3Jl = r[WT (л нетто = 0,36-^-0,39):
AWPU(3KB.) .
—
9

м
М нPUо р(ЭКВ.)

WrV\

Г ткж н о р м
"1
\_1У1 PU (ЭКВ.) J

К Г г и (ЭКВ.)
™
•

L

ГВтгод

-1

Массу эквивалентного плутония Р экв понимают как 240
массу
увеличенную
путем
приведения массы изотопов
Ри,
42
239
Ри, * Ри к массе Ри с учетом коэффициентов физической
эффективности оо£ в том реакторе, в котором этот Ри
предполагается ирпользовать (обычно рассматривается актив­
ная зона того БР, в которой Ри нарабатывается,-см., например,
239
Ри,
241

ю, в табл. 12.2 для активной зоны): P3KB = ^]Pfa)I(^(9/^£) [см.
(8.46)].
Наработку за календарный год Am подсчитаем с учетом
коэффициента нагрузки АЭС ф и коэффициента наработки
избыточного эквивалентного плутония (8.45):
BG

^ 8 —A-g-\-QH/iQ\Cg — Л 4 о ; + <Й41 ( w o

-

^ 4 1 )

F

= BGA + BGB + BGT,
(12.10)
где BGA, BGB, BGT—компоненты BG в активной зоне,
БЗВ, ТЗВ;
17— Т/

у а . з , т/

уВЗВ^БЗвИ ,

J

J

у ТЗВ

Л/

J

Ф м (г)

Ф

ТЗвИ.

Ф..,(*)

BGA=^5Za.3; B G B = - ^ 5 S B 3 B ; B G T = - ^ 5 S T 3 B ;
Г

Г

Г

Ollj = [ S c 8 — E a 9 + C040 (S c 9 — E a 40 ) + C041 (S c 4 0 — Ha41)J,

===,
Фа»

7 = а.з, БЗВ, T3B.
При подсчете Дт Ри(экв0 учитывается реальная энерговыработ­
ка WTTq>, тогда как нормировка производится на потенци­
альную энерговыработку без учета ср:
^тРи(экв.)

о _103^

_^тГФВО.
^

,г0

? • " Ри — -:

J^^Tg,,

^ядер,
~Z,J

А9 (экв.)

Ш

,

кг

Дв^)-ВО%3''?,-10Т«385ф **830BG;
T[bfJV
м

Ри

Г|

BG«0,5; М?2?э кв.)»415 кг Ри(экв.)/[ГВттод]
при ф«0,8; г|«0,37.
484

Время удвоения массы делящихся нуклидов, загружаемых
в топливный цикл вновь пускаемого реактора вплоть до
момента поступления в его активную зону собственного
топлива, рассмотрено в п. 2 § 8.5. Поскольку четные изотопы
плутония, а также некоторые другие тяжелые нуклиды в спектре
быстрого реактора являются хорошим топливом, выразим
загрузку плутония в активную зону, топливный цикл, а также
избыточную наработку и Т2 через массу эквивалентного
плутония и коэффициент избыточной наработки BG (8.45)
или (12.10):
i

где М{—масса

/-го изотопа Ри (/=9, 40, 41, 42);
Б \жа.з

3

Mlv%KB.) = Mbu
м т-ц

т

—^»окв.)

(3KB.)(l

+ (?TJTa); 7 > - р ^ ;

ф-о,8; Г п « 1-3 года,

(12.11)
(12.12)

где В&0,1 кг ПД/кг т. а., fc0«381 кг ПД/(ГВтгод) ИЛИ 1,044 г
ПД/(МВт • сут), 8 аз —доля мощности, выделяемой в активной
зоне (12.6); 8 «0,02 учитывает потери топлива при химической
переработке в замкнутом топливном цикле; М%\\ — масса
изотопов урана и плутония, т. е. тяжелых атомов (ядер)
в активной зоне, определяемая из физического расчета.
Формула (12.12) определяет время удвоения отдельного
реактора. В системе реакторов за время Т2 масса топлива
увеличивается в «е» раз по закону
M(t) = M0Qxp(t/T2).
Тогда системное время удвоения Т2ИСТ = Т2 In 2 = 0,693 Г 2 .
Удельная загрузка эквивалентного плутония в топливный
цикл получается нормировкой (12.11) на электрическую мощ­
ность, выраженную в мегаваттах:
(^Ри Ц (экв.))норм

=

^РиЦ(экв.)/ ^ э л •

Эта величина имеет порядок 2—5 кг экв. Ри/МВт.
Подпитка топливного цикла обедненным ураном поясняется
схемой на рис. 12.6. На завод по изготовлению твэлов и ТВС
из переработанного на химическом предприятии топлива
поступают плутоний и регенерированный, т. е. очищенный от
продуктов деления, уран. Туда же подается обедненный
(отвальный) уран из предприятия по разделению изотопов
или природный. уран из горнодобывающих предприятий. За­
метим, что топливный
цикл быстрого
реактора может под238
235
питываться чистым
U и добавки
и порядка 0,1—0,4%
485

От pa Soma виг и e
ТВС

актаУпаковка
отходов

Хранение
отходов

Ра

Реактор
Избыточное
топливо в
БРил и в ТР

Потери Pu(£) и
но и до в
Химическая
пер ера Зотка
ПА
U,per

Свежие
ТВС

Склад

V,

per

1у Г
Изготовле­
ние твэлов
и ТВС

V,

оведн

Разделение
изото­
пов

V]

&ОБОГ б

ДоЕыча

риды
ТР

Рис. 12.6. Схема топливного цикла быстрого реактора

в отвальном уране или 0,714% в природном не являются
обязательными, хотя они и оказывают некоторое положитель­
ное влияние на работу реактора.
Обедненный уран идет на восстановление потерь 2 3 8239
и на
выгорание, включая его прямое деление и превращение в Ри,
а также на разбавление избыточного плутония, идущего для
начальной загрузки или подпитки другого реактора, до нужной
степени обогащения топлива. В данный реактор может быть
возвращен регенерированный уран с учетом восстановления
потерь.
Масса подпитки топливного цикла обедненным ураном
(кг), нормированная на 1 ГВтгод,
М

норм=_1_§М
*Лбедн

w^
U/

J

( l - y + BG + ^ +

+ BG ( l - * P u ) = ^385(l + BG/xPu),
•*Pu

л

где 5Mf= WTq>T/(EfjVpu) = 3$5q>WT — масса разделившихся ядер
при работе на тепловой мощности WT—в течение 1 года
при коэффициенте нагрузки ф. Эта масса восстанавливается
для данного реактора при захвате нейтронов в 2 3 8 U; 8My.BG —
избыточная масса Pu, идущего в другие реакторы, нарабатыва­
емая также из 2 3 8 U; £8 = £ : £ } 8 К Д 7 Е 2 } ^ Ф , = 0,2-0,3—дол^
238
238
делении на ~"U,
т. е. 5 м Д 8 — масса разделившегося Z:J8
U,
а (1— £8) SMy—масса разделившегося Pu; хРи—доля (обогаще­
ние) плутония в избыточном топливе.
Если в течение некоторого периода времени регенерирован­
ный уран будет храниться и не возвращаться в топливный
цикл, то он должен быть замещен обедненным
ураном. Эта
238
дополнительная масса равна годовой выдаче
U в химичес­
кую переработку (см. ниже).

486

При возврате 2 3 8 и масса подпитки топливного цикла
обедненным ураном равна 3,3 т/(ГВттод), если ср = 0,8; г| = 0,37;
BG = 0,45; xPu = 0,15, тогда как в открытом цикле-чгеплового
реактора
подпитка
природным
ураном
составляет
330 т/(ГВт • год) при обогащении
х 5 = 3% [при г| = 0,3 и ср = 0,8
235
сгорает примерно 1 т
и/(ГВттод)].
Подпитка природным ураном БР равна нулю, если есть
обедненный уран. В противном случае она примерно совпадает
с подпиткой обедненным ураном.
Масса тяжелых атомов, поступающих на химическую
переработку, рассчитывается по отдельности для каждой зоны
реактора.
Масса тяжелых атомов из БЗВ равна годовой наработке
в БЗВ массы эквивалентного Ри,
деленной на норму накопления
зв
плутония в БЗВ, равную х* «0,01н- 0,02:
(АМ™*\

_0+ВОБ)ф_

(1+ВОБ) Ф

Видно, что эта величина равна примерно 50 т/[ГВттод].
Масса тяжелых атомов из активной зоны определяется
аналогично:
(АМаз)

_0,385(1+ВОЛ)ф

Л*/

3

где х}' — обогащение тяжелых атомов плутонием в активной
зоне в момент выгрузки.
Масса тяжелых атомов из ТЗВ
/Ал/тзвх
\ШУ* т. а )норм

_0,385(1+ВОТ)ф
v.vT3B

'

где х}зв—среднее по объему ТЗВ содержание эквивалентного
Ри в тЗВ в момент выгрузки, которая происходит одновременно
с выгрузкой ТВС активной зоны, простоявших кампанию Та лет.
Выдачу из ТЗВ можно найти по-другому, а именно:
разделить известную массу тяжелых атомов в ТЗВ на кален­
дарную кампанию активной зоны Га/(р:
АМ™ = М ™ Ф / Г а .
Сравнив этот результат с предыдущим, можно оценить х} з в :
x} 3B = 0,385^ T r fl (l + BGT)/M™.
Такой же прием можно применить к активной зоне, т. е.
получить массу тяжелых атомов, поступающих в химическую
переработку, разделив известную из конструктивных сооб­
ражений (число ТВС, плотность топлива и др.) массу тяжелых
атомов в активной зоне на календарную кампанию Га/ср:
ЛМта;а = М?;аф/Га.
487

Рис. 12.7. Схема трехкратных перегру­
зок

Сравнив оба результата, по­
лучим, что в момент выгрузки
0,385J^ T r fl (l+BGA)
а. з
х/
ма-3
ху±

т. а

Применяя
этот
прием
к БЗВ, найдем кампанию топлива в БЗВ, разделив «конструк­
тивную» массу тяжелых атомов в БЗВ на их годовую выдачу
в химическую переработку из БЗВ в ненормированном виде:
1V£

1 М
й —
БЗВ

БЗВ
т. а

AM™

БЗВ VbB3B
M°™x
f

0,385^T(p(l + BGB)'

где [М т . а ] = т; [Ж т ] = ГВт; [ГБЗВ] = год. '
7. Перегрузки топлива в БР. Частичные двух- или трехкрат­
ные перегрузки топлива служат для повышения глубины
выгорания тяжелых атомов в активной зоне. Облегчается
также компенсация реактивности в БР среднего уровня мощ­
ности, в которых реактивность заметно падает при выгорании.
Время пребывания топлива в активной зоне Та равно
произведению кампании реактора Тр на кратность перегрузок
(рис. 12.7).
Из активной зоны ТВС выгружаются при достижении
максимально допустимой по технологическим соображениям
кампании, из БЗВ — при достижении нормы накопления плуто­
ния. Например, при двукратных перегрузках заменяется 1/2 часть
ТВС активной зоны, но меньшая доля ТВС БЗВ ввиду большей
длительности кампании топлива в БЗВ. Одновременно выгружа­
ется 1/2 часть ТВС ТЗВ и некоторая часть подвижных
компенсирующих ТВС и регулирующих стержней ввиду их
радиационных повреждений или выгорания поглотителя.
Выгрузка ТВС активной зоны может производиться рав­
номерно по площади, когда рядом соседствуют при трехкрат­
ных перегрузках свежие ТВС, ТВС с выгоранием 1/3 и 2/3
номинального в начале интервала между перегрузками. Другой
порядок — выгрузка ТВС в первую очередь из тех рядов или
мест, где плотность потока выше, затем из рядов с меньшей
плотностью потока. В рядах с большей плотностью потока
кратность перегрузок выше. Цель оптимизации режима пере­
грузок— получение примерно одинаковых топливных харак­
теристик выгружаемых ТВС, а также возможно более равномер­
ного выгорания или накопления Ри по объему ТВС. Последнее
может достигаться за счет перестановок, поворотов в азиму­
тальном направлении или даже переворотов ТВС в вертикаль­
ном направлении. Другой, более часто применяемый подход —
выравнивание распределений энерговыделения либо изготовле488

1

О

[t/jj} SO [2/J]<fOO
Доля металлического
топлива t %
Рис. 12.8. Оптимизация окисно-металлических гетерогенных зон быстрых реак­
торов (1 — зона оптимума)
Рис. 12.9. Размещение металла в ВТГ с целью профилирования энерговыделения

ние ТВС с меньшим размером под ключ для снижения
перекоса макрополя в поперечном сечении ТВС.
8. «Гетерогенные» активные зоны БР. Применение гетероген­
ных активных зон дает возможность поднять коэффициент
воспроизводства (KB) с 1,2—1,3 до 1,5—1,6, что позволяет
решить проблему самообеспечения ядерной энергетики деля­
щимися материалами.
«Гетерогенная» активная зона содержит твэлы со смешан­
ным оксидным топливом (диоксид обедненного урана в смеси
с диоксидом плутония) и твэлы с металлическим отвальным
ураном, тогда как «гомогенная»—только твэлы первого типа.
Внесение в активную зону металлического отвального урана
ведет к рос;ту KB, но одновременно увеличивается критическая
загрузка из-за повышения поглощения нейтронов в 2 3 8 и
(повышать загрузку делящегося материала лучше за счет
увеличения размера активной зоны, а не обогащения оксидных
твэлов,
чтобы не уменьшать вероятность захвата нейтронов
238
в
U). Эти факторы влияют на время удвоения топлива
Т2 (12.24) противоположным образом (рис. 12.8). Поэтому
минимум Т2 достигается при доле твэлов с металлическим
топливом от 1/3 до 2/3.
Виды гетерогенности—кассетная (КГ) в виде отдельных
ТВС, островков ТВС или кольцевых зон с металлическим
ураном; внутрикассетная (ВКГ) с твэлами из металлического
урана и твэлами из смеси диоксидов в каждой ТВС; внутритвэльная (ВТГ), или аксиальная с металлом и смесью диок­
сидов в виде отдельных зон по высоте в твэлах активной зоны.
В кассетной зоне проще химическая переработка топлива,
так как виды топлива — металл, оксид, требующие разных
489

технологий,— разделены. Недостаток — значительное повыше­
ние мощностей ТВС с металлическим отвальным ураном
в процессе накопления в них плутония, что приводит к захолаживанию натрия на выходе из этих ТВС в начале
интервала работы.
В случае ВКГ мощность ТВС практически постоянна во
времени, так как энерговыделение в твэлах с металлическим
отвальным ураном растет по мере накопления в них плутония,
а энерговыделение в оксидных твэлах падает из-за выгора­
ния Ри.
Возможны два варианта внутритвэльной гетерогенности:
размещение металла на входе в активную зону в области
холодного теплоносителя, а оксида — в верхней части активной
зоны, либо размещение металлического отвального урана
в средней части активной зоны по высоте для профилирования
аксиального и радиального энергораспределения (рис. 12.9).
Высотное профилирование основано на меньшем макро­
скопическом сечении деления в зоне металлического топлива
и на размещении этой зоны в области максимума аксиального
поля «гомогенной» зоны. Радиальное профилирование связано
с созданием трех зон по радиусу—центральной, в которой
высота металла максимальна, средней — с меньшей высотой
металлического топлива и периферийной — без металла. В ре­
зультате усредненная по высоте мощность ТВС растет от
центра к периферии, что компенсирует спад мощности из-за
влияния утечки нейтронов.
Общая проблема, характерная для всех гетерогенных зон,—
распухание металлического урана из-за перестроек кристал­
лической решетки при разогревах до 800—900° С и глубине
выгорания до 4—5%. Одно из возможных решений этой
проблемы—применение прочных стальных оболочек твэлов,
удерживающих распухание урана, однако их радиационное
охрупчивание сильно затрудняет выбор подходящих материалов
оболочек. Другие пути связаны со смягчением условий работы
твэлов и легированием топлива.
9. Состояние разработок и перспективы БР отражают их роль
как единственного в настоящее время источника долговременно­
го снабжения топливом широкомасштабной ядерной энергети­
ки. У нас в стране эксплуатируется опытно-промышленный
реактор БН-600 с натриевым теплоносителем, на котором
отработаны основные технологические решения для реакторов
такого типа. Основные усилия предпринимаются в области
развития технологии короткого (по времени) внешнего топлив­
ного цикла, а также по снижению капитальных вложений в АЭС
с этими реакторами и по повышению их безопасности.
Нейтронно-физическая безопасность осложняется положи­
тельностью натриевого пустотного эффекта в больших БР
490

с незначительной утечкой нейтронов и возможностью возник­
новения в спектре БР вторичных критических масс при
расплавлениях топлива. С учетом высоких теплофизических
свойств натрия в проектах БР обосновывается невозможность
вскипания натрия и плавления более чем 1 ТВС и окружающего
ее ряда ТВС. При этом требования по безопасности выпол­
няются.
В ближайшие годы предполагается внедрить БР промыш­
ленного уровня мощности (БН-800) электрической мощностью
блока 800 МВт, что позволит отработать оборудование для
более крупных блоков БН-1600. Однако существуют и аль­
тернативные предложения по созданию БР с натриевым
теплоносителем и металлическим топливом меньшей мощности
модульного типа. Преимущество таких реакторов — отрица­
тельный пустотный эффект и возможность пассивного отвода
тепла остаточных энерговыделений через боковую поверхность
корпуса реактора.
Начало серийного строительноства АЭС с БР определяется
масштабами и сроками развития ядерной энергетики с ТР
с учетом возможностей по повышению коэффициентов кон­
версии этих реакторов, а также имеющимися запасами в земной
коре урана и тория. Большие запасы этих элементов имеются
и в воде мирового океана, но стоимость их извлечения выше.
Одновременно должны быть доработаны технологические про­
блемы БР, в частности гетерогенных активных зон и внешнего
топливного цикла.
Повышение коэффициентов конверсии ТР до уровня
КК = 0,8-1-0,9 с внедрением замкнутого топливного цикла по­
зволит существенно снизить потребности в природном уране
на подпитку этих реакторов и отсрочить момент, когда
серийный ввод БР станет необходимым. За это время будут
совершенствоваться технология БР с натриевым теплоноси­
телем, их экономика и безопасность, будут также рассмат­
риваться и альтернативные возможности по созданию БР со
свинцовым теплоносителем.
Некоторые данные по быстрым реакторам, включая фран­
цузскую АЭС «Суперфеникс», приведены в табл. 12.3.
Из рассмотрения данных табл. 12.3 видна большая уплощенность активной зоны БР, что необходимо для снижения
перепада давления на ней при прокачке натрия. Не указанные
в таблице толщины БЗВ и ТЗВ близки к 0,2—0,3 м. Сборники
ГПД присоединены к твэлам вне активной зоны и имеют
длину 30—40 см. Перепад температур теплоносителя на
активной зоне составляет 150—200° С. Объемные удельные
мощности отечественных реакторов примерно вдвое выше,
чем «Суперфеникса», что позволяет ускорить наработку топ­
лива, но создает большие трудности при расхолаживании.
491

Таблица

АЭС
«Суперфе­
никс»
БАЭС
Проект

12.3. Данные-по быстрым реакторам (23]

кпд

Мощность
(тепл./эл.),
ГВт

нетто,

FBR

3/1,242

39,2

1/3,66

31,5

364/271

8,5/0,57

БН-1*
БН-2*

1,47/0,6
4,2/1,6

37,4
35,7

0,75/2,06
1/3,35

7,5
25

371/127
384/331

6,9/0,4
6,6/0,4

Реак­
тор

Нл 3

D 'М

%

AJ

9L

3

Шаг TBC
Реак­ Шаг твэла
тор
(треуг.)

FBR
БН-1
БН-2

179/9,8
98/8
160/7,89

Т IT
л

вх/ * вых'

°С
395/545
377/550
354/550

4v>
кВт/л

Ку

275
550
470

1,72
1,53
1,5

*Ри»

%

13,8/17,6
18
26,8/31

Эффекты реактивности, АК/К, %

Реак­
тор

FBR
БН-1
БН-2

темпера­
турный

-0,1 4
-1,5
-0,2 5

М т а ,т

4,4
6,5
8

320
150
150

Число
стерж­
ней
СУЗ

173
21+3
96/2
27
153/4,5
36

Коэффициенты реактивности,
1<Г5 АК/К

Рэф>%

темпе­
ратур­
ный,
1/°С

-0,85 - 2 ,9
-0,76 - 6 ,7
-0,94 - 2 ,97

0,356
0,36
0,374

-0,3
-0,2
-1,9

+ 1,8
0
+2

^тв/Зобол, ММ

'*тв

Интер­
вал пе­ Кожух
В, % регру­
ТВС
А/Ъ,
зок,
мм
сут

опера­
мощ- выго­ тив­ пусност- рания ный готный
ной
запас
X
X
Х6

Лтвс
твс

доплеров- мощностной,
ский,
1/°С
1/%
-1,4
-2
-1,7

—8,5

7,6
0,222

вы­
гора­
ние,
1/сут
-9,1
-45
-20

* Название условное (некоторые данные совпадают с БН-600 и БН-1600).

Видно, что пустотный натриевый эффект положителен
в больших БР и близок к 2% АК/К, тогда как в реакторе
БН-600 с меньшими размерами активной зоны он равен нулю.
Это обстоятельство свидетельствует о большей в этом аспекте
безопасности малых БР.

492

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галанин А. Д. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых
нейтронах. 2-е изд. М.: Энергоатомиздат, 1990.
2. Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. — 2-е изд. .М.:
Энергоатомиздат, 1985.
3. Кравцов В. А. Массы атомов и энергии связи ядер.— 2-е изд. М.:
Атомиздат, 1974.
4. Владимиров В. И. Практические задачи по эксплуатации ядерных
реакторов.— 4-е изд. М.: Энергоатомиздат, 1986.
5. Тепловыделение в ядерном реакторе/Е. С. Глушков, В. Е. Демин,
Н. Н. Пономарев-Степной, А. А. Хрулев. М.: Энергоатомиздат, 1985.
6. Эксплуатационные режимы водо-водяных энергетических ядерных реакторов/Ф. Я. Овчинников, Л. И. Голубев, В. Д. Добрынин.— 3-е изд. М.: Атом­
издат, 1988.
7. Усынин Г. Б., Кусмарцев Е. В. Реакторы на быстрых нейтронах. М.:
Энергоатомиздат, 1985.
8. Основы теории и методы расчета ядерных энергетических реакторов:
Учеб. пособие для вузов/Г. Г. Бартоломей, Г. А. Бать, В. Д. Байбаков,
М. С. Алтухов; Под ред. Г. А. Батя.— 2-е изд. М.: Энергоатомиздат, 1989.
9. Матвеев Л. В., Центер Э. М. Уран-232 и его влияние на радиационную
обстановку в ядерном топливном цикле. М.: Энергоатомиздат, 1985.
10. Игнатенко Е. И., Пыткин Ю. Н. Маневренность атомных энергоблоков
с реакторами типа ВВЭР. М.: Энергоатомиздат, 1985 (Б-ка эксплуатационника
АЭС, вып. 6).
11. Хитчкок А. Устойчивость ядерных реакторов: Пер. с англ. М.:
Госатомиздат, 1963.
12. Групповые константы для расчета ядерных реакторов/Л. П. Абагян,
Л. О. Базазянц, И. И. Бондаренко, М. Н. Николаев.— 2-е изд. М.: Атомиздат,
1981.
13. Джадд Г. А. Реакторы-размножители на быстрых нейтронах: Пер.
с англ. М.: Энергоатомиздат, 1984.
14. Доллежаль Н. А., Емельянов И. Я. Канальный ядерный энергетический
реактор. М.: Атомиздат, 1980.
15. Сегал Б. И., Семендяев К. А. Пятизначные математические таблицы.
М.: Физмагтиз, 1959. Дьяконов В. П. Справочник по расчетам на микрокаль­
куляторах.—2-е изд., испр. М.: Наука, 1986.
16. Кесслер Г. Ядерная энергетика: Пер. с англ./Под ред. Ю. И. Митяева.
М.: Энергоатомиздат, 1986.
17. Казанский Ю. А., Матусевич Е. С. Экспериментальные методы физики
реакторов: Учеб. пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1984.
18. Критические параметры делящихся материалов и ядерная безопас­
ность/Л. В. Диев, Б. Г. Рязанов, А. П. Мурашов и др. Справочник. М.: Эне­
ргоатомиздат, 1984.
19. Уолтер А., Рейнольде А. Реакторы-размножители на быстрых нейтронах:
Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1986.
493

20. Льюинс Дж. Ценность. Сопряженная функция: Пер. с ддгл. М.:
Атомиз дат, 1972.
21. Аборина И. Н. Физические исследования реакторов ВВЭР. М.: Атомиздат, 1978.
22. Информация об аварии на Чернобыльской АЭС и ее последствиях,
подготовленная для МАГАТЭ//Атомная энергия. 1986. Т. 61. Вып. 5.
С. 301—320; Nuclear Eng. and Design. 1988. V. 106, N 2. P. 179—189.
Повышение безопасности АЭС с РБМК//Атомная энергия. 1987. Т. 62. Вып. 4.
С. 219—226; Nuclear Safety. 1987. V. 28, N 4. P. 448—454.
23. World Nuclear Industry Handbook. 1987//Suppl. Nucl. Engng. Intenat. 1988.
24. Научно-технические основы управления ядерными реакторами: Учеб.
пособие для вузов/И. Я. Емельянов, А. И. Ефанов, Л. В. Константинов; Под
общ. ред. акад. Н. А. Доллежаля. М.: Энергоатомиздат, 1981.
25. Егоров Ю. А. Основы радиационной безопасности атомных электро­
станций: Учеб. пособие для вузов/Под общ. ред. акад. Н. А. Доллежаля.
М.: Энергоиздат, 1982.
26. Конструирование
ядерных
реакторов:
Учеб.
пособие
для
вузов/И. Я. Емельянов, В. И. Михан, В. И. Солонин и др.; Под общ. ред.
Н. А. Доллежаля. М.: Энергоиздат, 1982.
27. Ядерные
энергетические
установки:
Учеб.
пособие
для
вузов/Б. Г. Ганчев, Л. Л. Калишевский, О. С. Демешев и др.; Под общ. ред.
акад. Н. А. Доллежаля.— 2-е изд. М.: Энергоатомиздат, 1990.

494

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ко второму изданию
Предисловие автора ко второму изданию
Список сокращений

3
5
7

Часть 1. Физические расчеты реактора с фиксированными
размерами и составом активной зоны
Глава 1. Ядерный реактор и нейтронно-физические особенности проис­
ходящих в нем процессов
1.1. Качественное описание нейтронно-физических процессов
1.2. Роль нейтронно-физических расчетов при проектировании ядер­
ных реакторов
1.3. Физические особенности ядерного реактора в сравнении с энерго­
источниками на органическом топливе
Глава 2. Сведения из ядерной и нейтронной физики
2.1. Структура и свойства ядер
2.2. Реакция, деления ядер
2.3. Сечения взаимодействия нейтронов с ядрами и скорости ядерных
процессов
2.4. Диффузия и замедление нейтронов
2.5. Цепная реакция деления ядер и критические параметры реактора
Глава 3. Одногрупповое приближение теории критических параметров
3.1. Обшая схема физических расчетов реактора
3.2. Одногрупповое уравнение баланса нейтронов
3.3. Применение одногрупповой теории к расчету реакторов различ­
ной формы
3.4. Двухзонные реакторы
3.5. Коэффициенты одногруппового уравнения
3.6. Нестационарный реактор в одногрупповом приближении
Глава 4. Двухгрупповое приближение теории критических параметров
4.1. Вывод двухгрупповых уравнений и их решение в »однозонном
реакторе
4.2. Применения двухгруппового спектра
4.3. Аналитический метод решения двухгрупповых уравнений для
многозонных реакторов
'.
4.4. Применение двухгрупповой теории к конкретным реакторам
4.5. Коэффициенты двухгрупповых уравнений
Глава 5. Многогрупповое приближение теории критических параметров
5.1. Физические процессы в многогрупповой модели
5.2. Вывод многогрупповых уравнений
5.3. Решение системы многогрупповых уравнений для однозонного
реактора
5.4. Частные случаи многогрупповой модели
5.5. Коэффициенты многогрупповых уравнений
5.6. Пример многогруппового расчета
Глава 6. Некоторые методы решения реакторных задач
6.1. Численное решение одномерных многозонных задач в много­
групповом приближении
6.2. Функция ценности нейтронов и сопряженные уравнения
6.3. Теория малых возмущений

9
9
19
30
36
36
53
71
86
119
128
128
136
149
165
181
196
210
210
216
221
224
234
242
242
243
243
246
247
249
253
253
260
266
495

Часть 2. Физические процессы при работе
реактора
Глава 7. Физические расчеты в начале кампании реактора
273
7.1. Физические процессы при пуске и в начальный период работы
реактора
273
7.2. Температурные и мощностные эффекты и коэффициенты реак­
тивности
275
7.3. Отравление
реактора сильнопоглощающими продуктами деления
135
Хе и 14*Sm
290
7.4. Ксеноновая неустойчивость реактора
!
307
Глава 8. Выгорание и воспроизводство топлива при работе реактора
312
8.1. Роль изменений нуклидного состава топлива в ядерном реакторе 312
8.2. Расчет изменений нуклидного состава топлива
321
8.3. Перегрузки и режимы работы ядерного реактора
332
8.4. Коэффициенты воспроизводства и конверсии топлива
336
8.5. Топливные циклы и время удвоения топлива
340
Глава 9. Выбор и оптимизация основных параметров активной зоны при
проектировании реактора
345
9.1. Задачи, решаемые при начальном проектировании активной зоны 345
9.2. Основные характеристики активной зоны
'.
347
9.3. Выбор и оптимизация начальной загрузки топлива
352
9.4. Выравнивание энерговыделения в реакторе и ячейке
360
9.5. Регулирование реактивности
373
9.5.1. Задачи и способы регулирования реактивности
373
9.5.2. Регулирование реактивности твердыми подвижными по­
глотителями
375
9.5.3. Выгорающие поглотители
388
9.5.4. Жидкостное и газовое регулирование реактивности
396
9.5.5. Регулирование реактивности влиянием на утечку нейтро­
нов
398
9.5.6. Регулирование реактивости влиянием на вероятность рож­
дения нейтронов
401
Глава 10. Экспериментальные методы определения нейтронно-физических
характеристик реактора
403
10.1. Измерение запаса реактивности и эффективности органов регу­
лирования
403
t
10.2. Методы измерения реактивности
406
10.3. Измерение пространственно-энергетических распределений по­
токов нейтронов и распределений энерговыделения
412
10.4. Измерение эффектов и коэффициентов реактивности
417
10.5. Методы определения глубины выгорания и параметров воспро­
изводства
421

Часть 3. Вопросы эксплуатации и дсобенности физики
энергетических реакторов различных типов
Глава 11. Связь между проектированием и эксплуатацией энергетических
реакторов
426
11.1. Баланс реактивности и ядерная безопасность
426
11.2. Эксплуатационные расчеты и измерения
433
11.3. Влияние нейтронной физики реактора на процессы манев­
рирования мощностью
439
Глава 12. Особенности физики энергетических реакторов
448
12.1. Особенности физики водо-водяных энергетических реакторов .... 448
12.2. Особенности физики уран-графитовых канальных реакторов .... 457
12.3. Реакторы-размножители на быстрых нейтронах
474
Список литературы
493
496