Текст
СОВРЕМЕННАЯ
МАТЕМАТИКА
Дж. Гукенхеймер
Ф. Холмс
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
И БИФУРКАЦИИ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А. В. Болсинов И. С. Мамаев
А. В. Борисов И. А. Тайманов
В. В. Козлов Д. В. Трещев
Вышли в свет:
п. и. Голод, А. У. Кчимык. Математические основы теории симметрии
М. Громов. Гиперболические группы
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны
Дж.Д.Мур. Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И.Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике
К. Кассел, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов
Ж. П. Рамис. Расходягциеся ряды и асимптотические теории
О. В. Богопольский. Введение в теорию групп
А.Д.Морозов. Введение в теорию фракталов
Д. Рюэль. Термодинамический формализм
В. В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические
системы и бифуркации векторных полей
Готовятся к печати:
С. п. Новиков. Топология
Я. Лесин. Теория размерности
А. С. Холево. Статистическая структура квантовой теории
Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Методы
качественной теории в нелинейной динамике
А. И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования
изотропных многообразий
Р. де ля Яве. Руководство по КАМ-теории
John Guckenheimer
Philip Holmes
Nonlinear Oscillations,
Dynamical Systems,
and Bifurcations
of Vector Fields
With 206 Illustrations
^щ| Springer
Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс
нелинейные колебания,
динамические системы
и бифуркации
векторных полей
Перевод с английского д. ф.-м. н А. П. Иванова
под общей редакцией д. ф.-м. н. А. Д. Морозова
Москва 4 Ижевск
2002
УДК 531.322
Интернет-магазин
• физика
http:// shop.rcd.ru
• математика
• биология
• техника
Гукенхеймер Дж., Холмс Ф.
Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных
полей. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002,
560 стр.
В этой книге рассматривается применение техники динамических систем и
теорий бифуркаций к исследованию нелинейных колебаний. Используя работы
Пуанкаре, авторы подробно останавливаются на геометрических и топологических
свойствах решений дифференциальных уравнений и точечных отображений. Этот труд
снабжен многочисленными экспериментами, позволяющими глубже понять
аналитическую природу дифференциальных уравнений.
Для студентов, аспирантов, научных сотрудников и преподавателей.
ISBN 5-93972-200-8
(с) Институт компьютерных исследований, 2002
http://rcd.ru
Посвящается
Г. ДУФФИНГУ, Е. И. ЛОРЕНЦУ И Б. ВАН ДЕР ПОЛЮ,
пионерам хаотической страны
Природа — некий храм, где от живых колонн
Обрывки смутных фраз исходят временами.
Как в чаще символов мы бродим в этом храме,
И взглядом родственным глядит на смертных он.
Подобно голосам на дальнем расстоянье,
Когда их стройный хор един, как тень и свет,
Перекликаются звук, запах, форма, цвет,
Глубокий, темный смысл обретшие в слиянье.
Есть запах чистоты. Он зелен, точно сад.
Как плоть ребенка свеж, как зов свирели нежен.
Другие — царственны, в них роскошь и разврат,
Для них границы нет, их зыбкий мир безбрежен —
Так мускус и бензой, так нард и фимиам
Восторг ума и чувств дают изведать нам.
Шарль Бодлер [пер. В. Левина)
«Цветы зла», 1857 г
Предисловие
Вводные замечания
Проблемы динамики восхищали физиков (и человечество вообще) на
протяжении тысячелетий. Среди таких проблем достойны упоминания
задачи небесной механики, в особенности касающиеся изучения движения тел в
Солнечной системе. Попытки Ньютона понять и смоделировать их
наблюдаемое движение привели к обоснованию законов Кеплера и к развитию
дифференциального и интегрального исчисления. Отсюда началось
изучение дифференциальных уравнений в качестве моделей задач динамики.
Несмотря на восхитительную элегантность и простоту таких
уравнений, решение конкретных проблем оказалось весьма трудным и
потребовало усилий многих величайших механиков и математиков восемнадцатого
и девятнадцатого столетий. В то время как для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений была развита относительно полная теория,
нелинейные системы оставались в значительной степени недоступными,
если не считать успешного приложения методов теории возмущений к
слабонелинейным задачам. И вновь наиболее знаменитые и впечатляющие
приложения нашлись в небесной механике.
Анализ оставался излюбленным средством для изучения динамических
проблем до тех пор, пока в работах Пуанкаре конца девятнадцатого
столетия не было показано, что методы теории возмущений могут в некоторых
случаях приводить к неверным результатам вследствие расходимости
используемых в расчетах рядов. Затем Пуанкаре присоединил к анализу
геометрию и развил качественные методы исследования дифференциальных
уравнений.
Современные методы качественного анализа дифференциальных
уравнений берут свое начало в этих работах (Poincare [1880, 1890, 1899]), а
также работах Биркгофа [1927], Ляпунова [1949] и других ученых русской
школы: Андронова с соавторами [1937, 1966, 1971, 1973] и Арнольда [1973,
1978, 1982]. В последние 20 лет исследования развивались взрывообразно.
Значительным стимулом для этого послужила постановка Смейлом в
своей классической статье [1967] нескольких выдающихся проблем. Однако
до середины 1970-х годов новые методы являлись прерогативой «чистых»
математиков, хотя было намечено множество потенциальных приложений.
Здесь примечательна работа Рюэлля и Такенса [1971], указавших на
важность «странных аттракторов» при изучении турбулентности.
8 Предисловие
За последние несколько лет с появлением приложений в механике
механизмов, а также механике твердого тела и жидкости, в сообгцествах
инженеров и ученых-прикладников широко распространился интерес к
странным аттракторам, хаосу и теории динамических систем. Мы писали эту
книгу, в первую очередь, для членов этих сообществ, обычно не
обладающих необходимой математической базой для непосредственного обращения
к научной литературе. Мы рассматриваем эту книгу прежде всего как
«руководство» в стремительно развивающейся области знаний. Поэтому мы
выбрали для обсуждения только те результаты, которые мы посчитали
имеющими приложение к физическим проблемам, и опустили, в основном,
доказательства тех теорем, которые, по нашему мнению, не служат
иллюстрацией для этого прикладного аспекта. Мы не старались во всех случаях
привести наиболее точные или лучшие результаты, предпочитая обеспечить
читателей той базой, которая позволит им непосредственно обращаться к
научной литературе.
Книга не является исчерпывающим трактатом по динамическим
системам. Хотя она может вызвать раздражение у некоторых специалистов
в данной области, мы надеемся, что она сориентирует их в направлении
важных приложений, в то же время ориентируя ведущих инженеров и
физиков в направлении захватывающих и полезных «абстрактных»
результатов. Создавая книгу для смешанной аудитории, мы старались при
изложении результатов достичь баланса между математической педантичностью и
удобочитаемостью для тех, кто не искушен в формальной математике. Это
наиболее заметно, по-видимому, в способе нашего определения терминов.
В то время как главные новые понятия определяются в традиционной
математической манере, т. е. в виде отдельного абзаца, отмеченного словом
Определение, мы определяли многие более известные термины, выделяя
их курсивом при появлении в тексте. Так, мы дали формальное определение
структурной устойчивости на стр. 63, но определили асимптотическую
устойчивость (неподвижной точки) в тексте стр. 21. Для удобства читателя
указатель содержит ссылки на термины обеих групп.
Мы используем геометрический подход к теории динамических систем.
Достаточно беглого взгляда на книгу, чтобы убедиться, что она обильно
усеяна иллюстрациями — их около 200! Мы повсюду подчеркиваем
геометрические и топологические свойства решений дифференциальных
уравнений и итеративных отображений. Однако, поскольку мы также хотим
передать важную аналитическую подоплеку этих иллюстраций, мы
считаем существенной частью книги многочисленные упражнения, многие из
которых требуют нетривиальных алгебраических выкладок и даже работы
на компьютере. В частности, прямое наблюдение за графическим дисплеем
при построении численных решений систем дифференциальных
уравнений, представленных в главе 2, позволяет приобрести неоценимый опыт
Предисловие
для развития интуитивного понимания их свойств. Для попутной помощи
читателю мы попытались указать, какие из упражнений являются просто
рутинными приложениями теории, а какие требуют более существенных
усилий. Однако мы предупреждаем читателя, что ближе к концу книги, и
особенно в главе 7, некоторые из наших упражнений резонно рассматривать
как материал для диссертаций.
Мы решили сконцентрироваться на приложениях в области
нелинейных колебаний по трем причинам:
A) В этой области существует много важных и интересных задач.
B) Данная тема достаточно проработана, и имеется много трудов,
посвященных классическим методам анализа относящихся к ней проблем,
включая хорошие книги Stoker [1950], Minorsky [1962], Hale [1962], Хая-
ши [1964], Nayfeh и Моок [1979]. Геометрический анализ двумерных систем
(свободные колебания) хорошо представлен также в книгах Lefschetz [1957]
и Андронова с соавторами [1966, 1971, 1973].
C) Наиболее абстрактные математические примеры, известные в
теории динамических систем, находят «естественное» представление в задачах
нелинейных колебаний.
В этом контексте данную книгу следует рассматривать как попытку
расширения результатов работы Андронова и др. [1966] на системы с
размерностью на единицу большей. Эта цель не столь скромна, как может
показаться: как мы увидим, кажущееся невинным добавление (малой)
периодической силы f{t) = f{t+T) к нелинейному осциллятору с единственной
степенью свободы
X + д{х,х) = О,
порождающее систему третьего порядка
х+д{х,х) = f{t),
или
х = у,
у= -д{х,у) + f{e),
в = 1,
может привести к бесконечному несчетному множеству новых явлений, в
дополнение к неподвижным точкам и предельным циклам, знакомым из
теории нелинейных колебаний на плоскости.
Несколько упрощенное наблюдение, содержащее, тем не менее, долю
истины, состоит в том, что чистый математик стремится получить
какое-либо приятное (или неприятное) свойство, а затем построить некоторую
динамическую систему, решения которой обладают этим свойством. Напротив,
традиционная роль прикладного математика или инженера состоит в
исследовании данной системы (или, возможно, построенной им модели) и
10 Предисловие
отыскании свойств, которыми она обладает. Мы, главным образом,
принимаем вторую точку зрения, однако наше изложение может иногда казаться
шизофреничным, так как мы применяем идеи первой из групп к задачам
второй группы. Более того, мы твердо убеждены, что невозможно
определить свойства конкретных систем без знания всех возможностей, которые
зачастую могут быть выявлены лишь в рамках общей абстрактной теории.
Практика и теория должны развиваться рука об руку.
Содержание этой книги
Данная книга касается приложения методов теории динамических
систем и теории бифуркаций к изучению нелинейных колебаний.
Математические модели, которые мы рассматриваем, представляют собой (достаточно
малочисленные) множества обыкновенных дифференциальных уравнений
и отображений. Многие результаты, обсуждающиеся в данной книге,
могут быть перенесены на эволюционные системы бесконечной размерности,
возникающие из дифференциальных уравнений в частных производных.
Однако, большинство идей наиболее легко усвоить в конечномерном
контексте, поэтому мы будем его придерживаться. Почти все описанные нами
методы можно также обобщить на динамические системы на
дифференцируемых многообразиях, однако мы вновь ограничиваем изложение
системами с евклидовым фазовым пространством, чтобы не перегружать читателя
техническими деталями. Тем не менее, в конце последней главы мы
добавили несколько замечаний о дифференциальных уравнениях с частными
производными.
В главе 1 мы приводим обзор основных результатов теории
динамических систем, относящихся как к обыкновенным дифференциальным
уравнениям (потокам), так и к дискретным отображениям. (Мы концентрируемся
на диффеоморфизмах — гладких обратимых отображениях.) Мы
обсуждаем связь между диффеоморфизмами и потоками, получаемую при помощи
отображений Пуанкаре, и заканчиваем обзором относительно законченной
теории дифференциальных уравнений на двумерной плоскости. Наше
обсуждение движется достаточно быстро и местами весьма поверхностно.
Однако основная часть данного материала была очень подробно
рассмотрена в книгах Хирша и Смейла [1974], Irwin [1980], Палиса и ди Мелу
[1982], а с точки зрения колебаний — в книгах Андронова с
соавторами [1966, 1971, 1973], и мы отсылаем читателя к этим текстам за
дальнейшими деталями. Здесь ситуация достаточно прямолинейна, и решения
обычно ведут себя хорошо.
Во второй главе представлены четыре примера нелинейных колебаний:
знаменитые осцилляторы Ван дер Поля [1927] и Дуффинга [1918], уравне-
Предисловие 11
ния Лоренца [1963] и задача о подпрыгиваюгцем мяче. Мы показываем,
что решения этих задач могут быть заметно хаотичными и что,
по-видимому, они обладают странными аттракторами: притягивающими множествами,
не являющимися периодическими или квазипериодическими. В этой главе
изложение не систематизировано, скорее, это предварительный набросок
теории, развиваемой в остальной части книги. Мы рекомендуем читателю
либо бегло пролистать эту главу для получения общего впечатления о
теории, систематически излагаемой в дальнейших главах, либо прочесть ее
с микрокомпьютером в руках, сопровождая обсуждение модельных задач
расчетами.
Затем мы отойдем от хаоса этих примеров, чтобы собраться с силами.
Глава 3 содержит обсуждение методов теории локальных бифуркаций для
потоков и отображений, включая центральные многообразия и нормальные
формы. Другие, менее геометрические и более аналитические изложения
локальных бифуркаций можно найти в новых книгах Иосса и Джозефа
[1981], а также Chow и Hale [1982]'.
В главе 4 мы излагаем аналитические методы усреднения и теории
возмущений для изучения нелинейных осцилляторов с периодическим
возбуждением и показываем, что они могут порождать удивительные
глобальные результаты^. Мы заканчиваем эту главу кратким обсуждением хаоса
и неинтегрируемости в гамильтоновых системах и теории Колмогорова-
Арнольда-Мозера. Более полные введения в эту область можно найти в
книгах Арнольда [1978], Лихтенберга и Либермана [1983] или, с большим
математическим уклоном, Абрахама и Марсдена [1978]^.
В главе 5 мы возвращаемся к хаосу, или, скорее, к тщательному
анализу геометрически определенных двумерных отображений со сложными
инвариантными множествами. Подробно обсуждается знаменитая подкова
Смейла, описываются и иллюстрируются методы символьной динамики.
Включен раздел об одномерных (необратимых) отображениях, и мы
возвращаемся к специфическим примерам второй главы, дополняя их и
иллюстрируя аналитические методы. Глава заканчивается кратким обсуждением
показателей Ляпунова и инвариантных мер для странных аттракторов.
В шестой главе обсуждаются глобальные гомоклинные и гетероклин-
ные бифуркации и бифуркации одномерных отображений. Полученные
результаты вновь иллюстрируются примерами из главы 2. В конце концов,
в нашей дискуссии о глобальных бифуркациях двумерных отображений и
сложных гиперболических множествах мы непосредственно выходим на
один из современных рубежей данной области. Мы доказываем, что, в
'См. также ШильниковЛ., ШильниковА., Тураев, Л.Чуа [1]. — Прим. ред.
^См. Морозов А. [2, 3]. —Прим. ред.
^Отметим книту КозловаВ. [4]. — Прим. ред.
12 Предисловие
то время как одномерная теория относительно полна (см. Collet, Eckmann
[1980]), поведение двумерных диффеоморфизмов оказывается значительно
более сложным и не до конца понятым по сей день. Поэтому мы не можем
завершить наш анализ осцилляторов Ван дер Поля и Дуффинга, однако мы
способны ясно разобраться во многих чертах их поведения и точно указать,
что сегодня препятствует дальнейшему анализу.
В заключительной главе мы показываем, как обсужденные выше
глобальные бифуркации вновь возникают в вырожденных локальных
бифуркациях, и мы приводим в конце егце несколько моделей физических проблем,
в которых проявляются эти разнообразные и прекрасные свойства.
Па протяжении всей книги мы постоянно возврагцаемся к примерам,
пытаясь проиллюстрировать даже наиболее абстрактные результаты. В
приложении предложена литература для дальнейшего чтения. Не претендуя
на полноту приведенной библиографии, мы попытались, однако, включить
ссылки на большое количество статей, монографий, записей лекций и книг,
оказавшихся полезными для нас и наших коллег Мы сознаем, что наши
пристрастия могли предопределить эклектичность такого выбора.
Мы приводим словарь наиболее важных терминов для удобства
читателей, не имеюгцих опыта в формальной математике.
Наконец, мы особенно хотели бы выразить свою признательность Bill
Langford, Clark Robinson и David Rod, внимательно прочитавшим книгу,
за советы и мягкую критику, позволившие сделать много исправлений и
усовершенствований.
Nessen MacGiola Mhuris, Xuehai Li, Lloyd Sakazata, Rakesh, Kumarswamy
Hebbale и Pat Hollis, студенты ТАМ 776 в Корнелльском университете,
выстрадали подготовку этой рукописи и указали на многие опечатки почти
столь же быстро, как они были сделаны. Edgar Knobloch, Steve Shaw и
David Whitley та1сже прочли и прокомментировали рукопись. Замечания
этих и многих других людей помогли нам улучшить эту книгу, и каждому
из соавторов остается лишь перекладывать ответственность за оставшиеся
ошибки и недочеты на плечи другого.
Barbara Boetcher изготовила иллюстрации по нашим грубым эскизам,
а Dolores Pendell заслужила больше благодарности, чем мы смогли ей
выразить, за ее терпеливое печатание и перепечатывание наших почти
неразборчивых рукописей.
Наконец, мы благодарим наших жен и детей за их понимание и
терпение в течение подготовки данного прибавления в наших семьях.
Джон Гукенхеймер Филип Холмс
Сайта Круз, весна 1983 г. Итака, весна 1983 г
Предисловие 13
Предисловие ко второму изданию
Переиздание данной книги спустя два с половиной года после ее
опубликования предоставило нам благоприятную возможность исправить
много мелких типографских ошибок, а также несколько ошибок по сугцеству.
В частности, исправлены ошибки в разделе 6.5, посвяш;енном изучению
возвратного отображения Шильникова, и мы произвели довольно обширную
переработку разделов 7.4 и 7.5 в свете недавних работ Сагг, Chow, Cushman,
Hale, Sanders, Zholondek и других о числе предельных циклов и
бифуркациях на этих деформациях. В первом случае главный результат остался
неизменным, но во втором случае некоторые наши интуитивные догадки
(так же как некорректные вычисления, при помощи которых мы их
обосновали), оказались неверными. Мы нашли некоторое утешение в том, что
наши наивные утверждения стимулировали работу по их опровержению.
Хотя прогресс в некоторых областях приложений динамических систем
оказался быстрым и значительные новые продвижения были достигнуты со
времени первого издания, мы не увидели необходимости в большой
переработке книги на этом этапе, хотя мы кратко отметили некоторые из новых
результатов, непосредственно касающихся тем, обсуждаемых в книге. Эти
комментарии появились в конце книги, сразу после приложения. Полная
переработка будет, возможно, уместна через 5 или 10 лет. (Того, кто захочет
заняться этим, просим связаться с нами!) По тем же соображениям мы не
пытались обновить библиографию, хотя и добавили около 75 ссылок,
включая вышеупомянутые. Ссылки, которые в первом издании имелись в форме
препринтов, были уточнены в случае, когда журнал публикации был
известен. В тех случаях, когда дата журнальной публикации не совпадает с датой
препринта, журнальная дата приведена в конце ссылки. Заметим, что
полезный библиографический обзор, составленный Shiraiwa [1981], был недавно
модернизирован (Shiraiwa [1985]); он содержит 4400 наименований.
В процессе доработки нам помогли советы и исправления многих
читателей, включая Мартина Голубицки, Kevin Hockett, Fuhua Ling, Wei-Min
Liu, Clark Robinson, Jan Sanders, Steven Shaw, Ed Zehnder и Zhaoxuan Zhu.
Профессор Ling из Шанхайского Jiao Tong университета, с помощью
своих студентов, и профессор Zhu из Пекинского университета подготовили
перевод этой книги на китайский язык.
Джон Гукенхеймер,
Филип Холмс
Итака, осень 1985 г
14 Предисловие
Предисловие к пятому изданию
При первом появлении в 1983 году данная книга была (почти)
уникальна. Спустя тринадцать лет появились десятки книг разного уровня,
закрывающих брешь между математической теорией динамических систем
и «практическими» вычислительными инструментами, необходимыми для
решения научно-технических задач. В связи с этим нас несколько раз
просили переделать эту книгу, однако, хотя теперь мы могли бы изложить
по-другому одни темы и добавить другие, нам кажется, что здесь мало что
нуждается в сокращении или существенном изменении. В
действительности, наличие множества более новых книг, некоторые из которых мы
отмечаем в послесловии, делает переработку менее актуальной. Большинство
подробностей, отсутствующих здесь, можно теперь найти в той или иной из
этих книг. Включение их в нашу книгу сделало бы ее более объемной,
более громоздкой и более дорогостоящей. Мы считаем, что выбранные нами
первоначально темы продолжают составлять хорошую основу, на которой
можно выстроить более подробное изучение предпосылок, технических
деталей или приложений.
При подготовке данного издания, так же как третьего и четвертого, мы
продолжали исправлять ошибки и недосмотры. Мы особенно благодарны
Ralf Wittenberg, Jinqiao Duan и Mark Johnson, обнаружившим многие из них.
Джон Гукенхеймер Филип Холмс
Итака, осень 1996 г. Принстон, осень 1996 г.
Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Введение: дифференциальные уравнения и динамические
системы 18
1.0. Существование и единственность решений 18
1.1. Линейная система х = Ах 26
1.2. Потоки и инвариантные подпространства 29
1.3. Нелинейная система а; =/(ж) 31
1.4. Линейные и нелинейные отображения 36
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре и вынужденные
колебания 44
1.6. Асимптотическое поведение 56
1.7. Отношения эквивалентности и структурная устойчивость . . 62
1.8. Двумерные потоки 68
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков 89
Глава 2. Введение в хаос: четыре примера 95
2.1. Уравнение Ван дер Поля 96
2.2. Уравнение Дуффинга 113
2.3. Уравнения Лоренца 125
2.4. Динамика подскакивающего мяча 137
2.5. Заключение. Мораль басни 153
Глава 3. Локальные бифуркации 154
3.1. Бифуркационные проблемы 155
3.2. Центральные многообразия 161
3.3. Нормальные формы 179
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один ... 187
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
коразмерности единица 201
Глава 4. Усреднение и возмущения с геометрической точки зрения212
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре 213
4.2. Примеры усреднения 218
4.3. Усреднение и локальные бифуркации 226
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика:
предостерегающие замечания 228
4.5. Метод Мельникова: возмущения плоских гомоклинических
орбит 232
16 Оглавление
4.6. Метод Мельникова: возмущения гамильтоновых систем и
субгармонических орбит 244
4.7. Устойчивость субгармонических орбит 257
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и
сохраняющие площадь отображения плоскости 266
Глава 5. Гиперболические множества, символическая динамика и
странные аттракторы 284
5.0. Введение 284
5.1. Подкова Смейла: пример гиперболического предельного
множества 288
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность 294
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика 309
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости 319
5.5. Структурно устойчивые аттракторы 324
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов . 334
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца 340
5.8. Статистические свойства: размерность, энтропия и
показатели Ляпунова 348
Глава 6. Глобальные бифуркации 360
6.1. Седловые соединения 361
6.2. Числа вращений 367
6.3. Бифуркации одномерных отображений 379
6.4. Бифуркации Лоренца 386
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках: пример
Шильникова 395
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит 403
6.7. Дикие гиперболические множества 410
6.8. Ренормализация и универсальность 424
Глава 7. Локальные бифуркации потоков коразмерности два . . 436
7.1. Вырождение в членах высшего порядка 437
7.2. Замечание о /с-струях и определенности 444
7.3. Двойное нулевое собственное значение 449
7.4. Чисто мнимая пара и простое нулевое собственное значение . 464
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений в отсутствие
резонанса 487
7.6. Приложения к многомерным системам 503
Приложение. Предложения для дальнейшего чтения 513
Послесловие, добавленное при втором издании 516
Послесловие, добавленное при пятом издании 520
Оглавление 17
Глоссарий 522
Литература 527
Предметный указатель 554
Глава 1
Введение: дифференциальные
уравнения и динамические системы
в этой вводной главе мы сделаем обзор некоторых основных аспектов
теории обыкновенных дифференциальных уравнений с позиции
глобального геометрического подхода, развиваемого в данной книге. Напомнив
основные теоремы существования и единственности, мы рассмотрим линейную
однородную систему с постоянными коэффициентами, а затем перейдем к
нелинейным и зависящим от времени системам, а также к таким понятиям,
как отображение Пуанкаре и структурная устойчивость. Затем мы
приведем некоторые наиболее известные результаты, касающиеся двумерных
автономных систем, и закончим формулировкой и наброском доказательства
теоремы Пейксото, важного результата, суммирующего большую часть
наших знаний о двумерных потоках.
В первых двух разделах мы даем краткий обзор основ теории и
рассматриваем линейные системы х = Ах. Мы полагаем, что читатель в
достаточной мере знаком с этим материалом, а также с фундаментальными
понятиями анализа, используемыми при его обосновании. В большинстве
стандартных курсов по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений рассматриваются эти вопросы, и материал, охватываемый этими
разделами, подробно изложен, например, в книгах Hirsh, Smale [1974] и
Арнольда [1971]. Мы особенно рекомендуем первую из них как одно их немногих
элементарных введений в геометрическую теорию обыкновенных
дифференциальных уравнений. Так или иначе, большинство книг по
дифференциальным уравнениям содержат свои версии главных результатов.
1.0. Существование и единственность решений
Для целей данной книги обычно достаточно рассматривать
дифференциальное уравнение как систему
f'=i = /(r.), A.0.1)
где X = x{t) (z R" — векторнозначная функция независимой переменной
(обычно времени), f: U ^ R" — гладкая функция, определенная на неко-
1.0. Существование и ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ 19
тором подмножестве U С К". Мы будем говорить, что векторное поле f
порождает поток ф1: U ^ М", где (/>t(a;) = ф{х,Ь) — гладкая функция,
определенная для всех х из U ж значений t из некоторого интервала / =
= (а, Ь) С Ш, причем ф удовлетворяет A) в том смысле, что
f^{ф{x,t)) 1^^=/{ф{х,т)) A.0.2)
для всех X £ и и т £ I. Заметим, что (в своей области определения)
функция ф1 обладает групповыми свойствами A) фо = id,' (И) ф1+в = Фг°фв-
Системы вида A.0.1), в которых векторное поле не содержит времени явно,
называются автономными.
Часто нам дано начальное условие
x{0)=xoeU; A.0.3)
в этом случае мы ищем решение, для которого
ф{хо,0) = хо. A.0.4)
(Мы будем также иногда обозначать это решение как x{xo,t) или
просто x{t).)
В этом случае ф{хо, ■): I ^ R" задает фазовую кривую,
траекторию или орбиту дифференциального уравнения A.0.1) с базой в точке Xq}
Поскольку векторное поле автономной системы A.0.1) инвариантно
относительно сдвигов времени, решение с базой в моменты to 7^ О всегда можно
переместить в момент t = 0.
В классических учебниках по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, например, Коддингтон и Левинсон [1955], акцентируется
внимание на отдельных фазовых кривых и их свойствах. Здесь мы будем в
большей степени интересоваться семействами таких кривых и,
следовательно, глобальным поведением потока ф1: U ^г R", определенного для
(всех) точек х £ U; см. рис. 1.0.1. В частности, важное значение будет
иметь понятие гладких инвариантных многообразий, состоящих из
фазовых кривых, обсуждавшееся в книгах Хартмана [1964] и Hale [1969]. Мы
обратимся к нему в следующем разделе в контексте линейных систем.
Как правило, нам не нужно будет более общее представление о
динамической системе как о потоке на дифференцируемом многообразии М,
порождаемом векторным полем, рассматриваемом как отображение
/: М ^ТМ,
' Здесь id — тождественный оператор. — Прим. пер.
^С начальным условием в точке хо- — Прим. ред. перев.
20
Глава 1
Рис. 1.0.1. Кривая решения и поток, (а) Кривая решения (At(a;o); (b) поток (At
где ТМ — касательное расслоение многообразия М. Поэтому нам не
потребуется много сведений из дифференциальной топологии. Интересующимся
можно рекомендовать книгу Chillingworth [1976], содержащую хорощее
введение в эту теорию; смотри также Арнольд [1971]. Почти во всех случаях,
когда мы явно имеем дело с фазовыми пространствами,
представляющими собой многообразия, мы будем иметь глобальную систему координат
(единственную карту), что позволит нам по существу работать в
накрывающем пространстве, т. е. в R" по некоторому подходящему модулю, как в
случаях тора и цилиндра 5^ X R = Ж^/Ъ. Появление таких
систем типично для векторного поля /, периодичного по (некоторым)
своим аргументам. Мы впервые встретимся с такими системами в разделах 1.4
и 1.5.
При обсуждении таких подмногообразий рещений, как устойчивое,
неустойчивое и центральное многообразие, мы будем работать с копиями
вещественных евклидовых пространств, локально определяемых как
графики.
Сформулируем теперь без доказательства основную теорему
локального существования и единственности рещений (сравни с Коддингтон, Ле-
винсон [1955],Hirsch, Smale [1974]):
Теорема 1.0.1. Пусть U С М" — некоторое открытое
подмножество евклидова пространства {или дифференциального многообразия М),
f: и ^ R" — непрерывно дифференцируемое {класса С^) отображение
и xq € и. Тогда существуют некоторая константа с > О и
единственное решение ф{хо, •): {—с, с) -^ и, удовлетворяющее дифференциальному
уравнению х = f{x) с начальным условием х{0) = xq.
На самом деле, функция / должна быть лишь (локально) липшицевой,
т.е. |/(у) — f{x)\ ^ К\х — у\ для некоторого К < оо, где К называется
константой Липшица для /. Следовательно, мы можем иметь дело с
кусочно-линейными функциями типа тех, которые появляются в задачах с
1.0. Существование и единственность решений
21
трением и переменным направлением скольжения, а также в задаче о часах
(см. Андронов и др. [1966], стр. 186).
Интуитивно ясно, что любое решение может покинуть U через
достаточно большое время. Поэтому мы говорим, что данная теорема лишь
локальна. Мы легко можем построить векторные поля f: U ^ М" такие, что
x{t) покидает любое' подмножество U С R" за конечное время, например,
уравнение
1
A.0.5)
имеет общее решение x{t) = tg{t + c). Таким образом, хотя существует
много уравнений на некомпактных фазовых пространствах (таких как R"), для
которых решение существует во времени глобально, мы не можем
утверждать этого в конкретных случаях без дальнейшего исследования.
Неподвижные точки, называемые также положениями равновесия,
составляют важный класс решений дифференциального уравнения.
Неподвижные точки определяются как нули векторного поля f{x): f{x) = 0.
Неподвижная точка называется устойчивой, если всякое решение с близкой
базой остается близким к ж во все время, т. е. для любой окрестности V
точки ж из [/ существует окрестность Vi <ZV такая, что любое решение x{xq , t)
с xq €V определено и лежит в V при всех i > 0. Если, кроме того, Vi
можно выбрать так, что x{t) -^ ж при t ^ оо, то ж называют асимптотически
устойчивой. Смотрите рис. 1.0.2.
а)
Ь)
Рис. 1.0.2. (а) Устойчивость; (Ь) асимптотическая устойчивость.
Упражнение 1.0.1. Покажите, что неподвижные точки обеих систем
{а) X = у,у = —ж;
(S)x = y,y = -х-у
Ограниченное. — Прим. пер.
22 Глава 1
устойчивы. Какая из них асимптотически устойчива? (Обычный уровень
сложности.)
Тип устойчивости, показанный на рис. 1.0.2(a) иногда называют
нейтральным, он типичен для таких неподвижных точек, как центры.
Асимптотически устойчивые неподвижные точки называют стоками. Неподвижная
точка называется неустойчивой, если она не является устойчивой;
примерами таких равновесий являются седловые точки и источники. Устойчивость
неподвижных точек подробно обсуждается в Hirsch, Smale [1974, глава 9].
Определенные выше понятия устойчивости локальны по своей
природе: они связаны лишь с поведением решений вблизи неподвижной точки х.
Даже если такие решения остаются во все время ограниченными, другие
решения могут глобально не существовать.
Упражнение 1.0.2. Найдите неподвижные точки для уравнения х = —ж + ж^ и
выясните их устойчивость. Покажите, что это уравнение допускает, наряду с
решениями, существующими при любом времени, таьсже решения, которые становятся
неограниченными за конечное время. (Данное уравнение допускает прямолинейное
решение, однако эта интерпретация поведения решений может оказаться для вас
повой.)
Часто для того чтобы показать ограниченность x{t) для всех t и всех
(ограниченных) начальных значений х{0), достаточно использовать метод
функций Ляпунова, связанный с построением некоторой величины типа
энергии, убывающей для достаточно больших значений \х\. Ввиду такой
полезности данного метода мы кратко опишем его для полноты
изложения. Больше подробностей можно найти в Hirsch, Smale [1974, §9.3] или
в LaSalle, Lefschetz [1961].' Данный метод предполагает отыскание
некоторой положительно определенной функции V: U ^ R", называемой
функцией Ляпунова, которая убывает вдоль фазовых кривых дифференциального
уравнения:
Теорема 1.0.2 (Hirsch, Smale [1974], стр. 192). Пусть х — неподвиэю-
ная точка уравнения A.0.1), V: W ^ R" — дифференцируемая функция,
определенная в некоторой окрестности W ^U точки х, такая, что:
(i) V{x) =0и У{х) >Одляхфх;
(п) V{x) ^ О е проколотой окрестности W — {ж}.
Тогда неподвижная точка х устойчива. Более того, если
(iii) V{x) < О eW — {ж}, то х асимптотически устойчива.
Здесь п п
7 = 1 •' 7=1 ■'
См. также Руш, Абетс, Лалуа. — Прим. пер.
1.0. Существование и ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ 23
представляет собой производную от V вдоль фазовых кривых
уравнения A.0.1).
В случае, если можно выбрать W{= U) = R" в соответствии с
условием (iii), X называют глобально асимптотически устойчивой, при этом
можно сделать вывод, что все рещения остаются ограниченными и в
действительности приближаются к ж при i ^ оо. Таким образом, устойчивость
равновесий и ограниченность решений можно проверить, не решая
фактически дифференциальное уравнение. Однако не существует общих методов
отыскания подходящих функций Ляпунова, хотя в задачах механики
зачастую хорошим кандидатом является энергия.
Пример. Рассмотрим движение частицы массы ш, прикрепленной к
пружине жесткости к{х + х^), к > О, где х — перемещение.
Дифференциальное уравнение, описывающее движение системы,
таково:
тх + к{х + х^) = О, A.0.6)
или, полагая х = у,
X = у,
Соответствующая общая энергия системы имеет вид
Е{х,у)='^+к[^ + ^). A.0.8)
Можно заметить, что Е{х, у) является функцией Ляпунова для A.0.7), так
как _Б@,0) = О в (единственном) положении равновесия {х,у) = @,0)
и Е{х, у) > О для (х, у) ф (О, 0). Кроме того, мы имеем
Ё = туу + к{х + х^)х = -ку{х + х^) + к{х + х^)у = 0; A.0.9)
поэтому {х, у) = (О, 0) (нейтрально) устойчиво. Если добавить к системе
вязкое трение а > О, то уравнение движение примет вид
х^у,
У = -ш^а^ + а^ ) -аУ'
Тогда для той же самой функции Ляпунова получаем
Ё=-агпл/, A.0.11)
24
Глава 1
что представляет собой величину, отрицательную для всех {х,у) ^ @,0),
исключая ось х. Поэтому мы слегка изменим функцию Ляпунова, полагая
V{x,y)
ту
2 +Чт+т
+ pixy +
ах
2
A.0.12)
так что
V = гпуу + к{х + х^)х + l3{xy + ху + ахх) =
= {ту + 13хI— — {х + а;^) — ау\ + к{х + а;^)у + /Зу^ + ajjxy =
= -р^{х^+х^)-{ат-13)у'^. A.0.13)
Если выбрать /3 достаточно малым, У останется положительно
определенной, а V будет строго отрицательна для всех [х, у) ^ @,0). Таким образом,
(О, 0) глобально асимптотически устойчиво при а > 0.
Дифференцируя V вдоль фазовых кривых, мы пытаемся проверить,
что все решения пересекают линии уровня функции V «снаружи внутрь».
Эскиз линий уровня функции Е и модифицированной функции V для
данного примера показывает, что у функции V они слегка наклонены, так что
векторное поле нигде их не касается, тогда как даже в присутствие трения
векторное поле касается линий Е = const на оси у = О (рис. 1.0.3).
Г^
V\ \
Е= const
;)'^
.J
X
1/= const
Рис. 1.0.3. Линии уровня функций Ляпунова _Е и У и векторное ноле
уравнений A.0.10).
Упражнение 1.0.3. Используя функцию Ляпунова V = ^(ж^ + ау'^ + az'^),
получите условия на а, р а fi, достаточные для асимптотической устойчивости
1.0. Существование и единственность решений
25
начала (х, у, z) = (О, 0,0) в уравнениях Лоренца
х = а{у — х); у = рх — у — xz; z = —l3z + xy; а,/3 > 0.
Являются ли ваши условия также необходимыми?
Для задач с несколькими положениями равновесия можно искать
локальные функции Ляпунова или попытаться найти некоторую компактную
гиперповерхность S С R" такую, что векторное поле во всех точках S
направлено внутрь нее. Если такая поверхность существует, то любое
решение, начинающееся внутри или на S, никогда не сможет покинуть
внутренности S и поэтому остается все время ограниченным. Мы используем
этот подход позднее в этой книге в нескольких примерах.
Локальная теорема существования (теорема 1) превращается в
глобальную во всех случаях, когда мы имеем дело с компактными
многообразиями М вместо открытых пространств типа М":
Теорема 1.0.3 (Chillingworth [1976], стр. 187-188). Фазовые
кривые дифференциального уравнения х = f{x), х G М, где М компактно
и f G С^, определены для всех t ЕШ.
Так, потоки на сферах и торах определены глобально, поскольку не
существует пути, по которому решение могло бы покинуть такое
многообразие.
Локальную теорему можно дополнить утверждением о «хорошем»
характере зависимости решений от начальных условий (см. Coddington,
Levinson [1955], Hirsch, Smale [1974]):
Теорема 1.0.4. Пусть множество U С R" открыто, а
функция f: и ^ М" обладает липшицевой константой К. Пусть y{t), z{t) —
решения уравнения х = f{x) на замкнутом интервале [to,ti]. Тогда для
всех t е [to, ti]
|y(t)-z(i)K|y(to)-z(to)|e^(*-*«).
Заметим, что такая непрерывная
зависимость не исключает экспоненциально
быстрого разбегания решений, типичного для
хаотических потоков, с которыми нам
предстоит встретиться в последующих главах,
см. рис. 1.0.4.
Упражнение 1.0.4. Какие из следующих
систем порождают глобально определенные потоки?
(а) i = ж, ж е R;
Рис. 1.0.4. Экспоненциальное
разбегание соседних решений
вблизи седловой точки.
26 Глава 1
(б) X
(в) X
(г) X
= х\
= 2 +
= cos^
ж G R;
cos ж, ж е
'ж, ж е
А'^
(д) ж = —ж^, Ж G R;
(е) ж = Ах, X е R", где А — постоянная матрица размерности п х п.
(Вы можете проинтегрировать все эти уравнения непосредственно, но для
последнего из них потребуются сведения из линейной алгебры, приведенные в следующем
разделе.)
Упражнение 1.0.5. Покажите, что уравнение ж = ж^'^ не обладает свойством
единственности решения для всех начальных точек ж@). При каких условиях
решения единственны? (Этот пример — старинный любимец классических книг по
дифференциальным уравнениям.)
1.1. Линейная система х = Ах
Сделаем сначала обзор некоторых свойств линейной системы
d^'^±^x = Ax, жеК", A.1.1)
at
где А — матрица размерности п х п с постоянными коэффициентами.
Больше информации и вспомогательного материала можно найти в стандартном
вводном курсе по дифференциальным уравнениям, например, Braun [1978];
для более подробного знакомства с алгебраическим аспектом с позиций
теории динамических систем рекомендуется Hirsch, Smale [1974] или Арнольд
[1971].
Под решением A.1.1) подразумевается векторнозначная функция
x{xo,t), зависящая от времени t и начального условия
а;@)=а;о; A.1.2)
т.е. x{xo,t) — решение задачи Кощи A.1.1)-A.1.2). В терминах потока ф
мы имеем x{xo,t) = ф1{хо). Теорема 1.0.4 гарантирует, что решение x{xo,t)
линейной системы определено для всех t е М и жо G R". Заметим, что такое
глобальное сугцествование во времени обычно, как мы уже видели, не имеет
места в нелинейных системах. Однако такая проблема для системы A.1.1)
не стоит: ее решение дается формулой
x{xQ,t) = e^^XQ, A-1.3)
где е*"^ — матрица п х п. Мы увидим в подходящий момент, как удобнее
i А
всего вычислять е , но сначала заметим, что эта матрица определяется при
1.1. Линейная система х = Ах 27
помощи сходящегося ряда
+2
е*-^
[/ + а + |уА2 + ... + ^А" + ...] A.1.4)
Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что формула A.1.3) с
учетом A.1.4) действительно задает решение задачи A.1.1)-A.1.2).
Общее решение системы A.1.1) можно получить как линейную
комбинацию п линейно независимых решений {x^{t), ..., x"{t)}:
x{t) = ^CjX^{t), A.1.5)
i=i
где n неизвестных констант Cj определяются начальными условиями.
Если матрица А имеет п линейно независимых собственных векторов v^,
j = 1, ..., п,то мы можем принять за базис пространства решений вектор-
позначные функции
x^t) = e^^*v^, A.1.6)
где Xj — собственное значение, соответствующее v^. Для простых
комплексных собственных значений Xj, Xj = aj ± iPj мы можем принять
х^ = e"'^(v^ cos l3t-v'^ sin l3t),
A17)
2.J+1 = e"'\v^ sin fjt + v^ cosPt)
в качестве соответствующей пары (вещественных) линейно независимых
решений. При наличии кратных собственных значений и числе собственных
векторов менее п можно построить присоединенные векторы, как описано,
например, в Braun [1978] (Гантмахер, пер.). В результате мы вновь
получим множество из п линейно независимых решений. Обозначим матрицу
фундаментальных решений, столбцами которой являются эти п решений,
как
X{t) = [x\t),...,x^{t)]. A.1.8)
Столбцы x^{t), j — 1, ..., п матрицы X{t) образуют базис в пространстве
решений уравнения A.1.1). Нетрудно показать, что
е*^ = X(t)X-i@). A.1.9)
Доказательство этого факта мы вновь оставляем читателю в качестве
упражнения.
28
Глава 1
Упражнение 1.1.1. Вычислите е для
А
Затем решите уравнение х = Ах с начальными условиями
Г2
0
Ll
1 31
2 0
0 Oj
жо = I 1
5-
-3
Что вы скажете о двух последних решениях? Внимательно изучите геометрию этих
решений и собственных подпространств.
Уравнение A.1.1) также можно решить, предварительно отыскав
обратимое преобразование Г, которое диагонализирует матрицу А или, по
крайней мере, приводит ее к жордановой нормальной форме (в случае кратных
собственных значений). Уравнение A.1.1) примет вид
y = Jy, A.1.10)
где J = Т~^АТ ж X = Ту. Уравнение A.1.10) просто для работы, однако,
поскольку столбцы матрицы Т являются собственными (или
присоединенными) векторами для А, общий объем вычислений будет таким же, как в
предыдущем методе. Экспоненту е*"^ можно вычислить как
gtA^ygtJy-l A.1.11)
(см. Hirsch, Smale [1974], стр. 84-87), где для жордановых матриц второго
порядка экспоненты таковы:
А
А
А
Ai 0
0 А2
а —/3
/3 а
"А о'
1 А
!
„tA
oAit
О
pA2t
..tA
„tA
„At
COS pt — sin pt
sin pt COS Ct
1 O'
t 1
CI.1.12)
Заметим также, что всякий собственный вектор v^, отвечающий
вещественному собственному значению Xj матрицы А, является для матрицы е^
собственным вектором с собственным значением е^>. Кроме того, если
span{Re(w-'), Im(w-')} — собственное пространство, отвечающее
комплексно сопряженной паре Xj, Xj, то оно также является собственным
пространством, отвечающим е'^', е'^'.'
Для матрицы е . — Прим. перев.
1.2. Потоки И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 29
1.2. Потоки и инвариантные подпространства
Матрицу е*"^ можно рассматривать как отображение из R" в R": для
любой точки хо G R" x{xo,t) = e^^XQ представляет собой точку, в которой
будет находиться решение с базой в xq через время t. Следовательно,
оператор е*"^ содержит глобальную информацию о множестве всех решений
уравнения A.1.1), так как формула A.1.3) справедлива для всех точек xq G М".
Как и в обгцем случае, описанном в разделе 1.0, мы будем говорить, что
е*"^ определяет поток на М" и что этот поток (или «фазовый поток»)
порождается векторным полем Ах, определенном на М": е*"^ является нашим
первым конкретным примером потока фt.
Поток е*^: R" -^ R" можно понимать как множество всех решений
уравнения A.1.1). В этом множестве некоторые решения играют особую
роль: те, которые лежат на линейных подпространствах, натянутых на
собственные векторы. Эти подпространства инвариантны относительно е*"^, в
частности, если v^ — (вещественный) собственный вектор А, и,
следовательно, е*"^, то решение с базой CjV^ G R" остается в spanv-' все время.
В самом деле,
xicv^,t)=cv^e^^K A.2.1)
Аналогично, (двумерное) подпространство, натянутое на
span{Re(w-'),Im(w-')}, где v^ — комплексный собственный вектор,
инвариантно относительно е*"^. Короче говоря, собственные пространства А
являются инвариантными подпространствами для потока. В свете этого
обсуждения стоит вернуться к упражнению 1.1.1.
Мы будем разделять подпространства, натянутые на собственные
векторы, на три класса:
устойчивое подпространство, Е^ = span{w"^, ..., и"'},
неустойчивое подпространство, Е"^ = spanJM^, ..., и""},
центральное подпространство, Е'^ = span{w"^, ..., го""},
где v^, ..., v"" — собственные (и присоединенные) векторы, отвечаю-
гцие собственным значениям с отрицательными вещественными частями,
и^, ..., и"" — собственные (и присоединенные) векторы, отвечающие
собственным значениям с положительными вещественными частями, а векторы
w^, ..., w"" отвечают собственным значениям с нулевыми вещественными
частями. Очевидно, Пз+Пс + Пи = п. Данные названия отражают то
обстоятельство, что решения, лежащие на Е", характеризуются
экспоненциальным затуханием (монотонным или осцилляционным), решения, лежащие
на -Б", экспоненциально растут, а решения из Е^ не обладают
экспоненциальным ростом или затуханием. В отсутствие кратных собственных значе-
30
Глава 1
НИИ решения последнего типа или осциллируют с постоянной амплитудой
(если А, А = ±г/3), или остаются постоянными (если А = 0). Схематический
чертеж приведен на рис. 1.2.1 для двух конкретных примеров.
Рис. 1.2.1. Инвариантные подпространства: (а) три подпространства;
(Ь)
(с)
= span(l,
А'-
-4), Е" = spa
А =
п(]
1
0
0 1
0 -4
Ц 0), Е
1 -1
-1
0
и
0-
0
2
= 0);
(Е' = span{(l, О, 0), A, 1, 0)}, Е" = 0, Е" = (О, О, 1)).
При наличии кратных собственных значений с различными
алгебраическими и геометрическими кратностями решения на Е" могут возрастать,
как демонстрирует следующее упражнение.
Упражнение I.2.I. Найдите общие решения линейной системы х = Ах,
X G .
, где
(а) А =
О О
О о
F) А
0 о
1 о
За дополнительной информацией о потоке е*"^, а также за полной
классификацией двух- и трехмерных систем отсылаем читателя к книгам Hirsch,
Smale [1974] или Арнольд [1971].
1.3. Нелинейная система х = f{x) 31
1.3. Нелинейная система х = f(x)
Мы должны начать с признания, что для большинства нелинейных
систем почти ничего нельзя сделать сверх общих утверждений. В оставшейся
части этой книги мы встретимся с некоторыми прелестями и ужасами
таких систем, но читатель должен помнить, что в этом тексте мы развиваем
лищь одно направление атаки и что любой другой инструмент в
мастерской прикладной математики, включая численное интегрирование, методы
возмущений и асимптотический анализ, может и должен использоваться в
отнощении некоторой конкретной задачи.
Напомним, что из основной теоремы о существовании и
единственности рещения обыкновенного дифференциального уравнения, приведенной в
разделе 1.0, следует, что для гладких функций^ f{x) решение задачи Кощи
x = f{x); ГС G R", а;@) = жо A.3.1)
определено, по крайней мере, в некоторой окрестности t G (—с, с) точки t =
= 0. Таким образом, локальный поток ф^: R" -^ М" определяется формулой
Фг{хо) = x{t,xo) по аналогии с линейным случаем, хотя, конечно, мы не
можем дать общей формулы типа е*"^.
Хорощей стартовой точкой для изучения нелинейной системы х =
= f{x) является отыскание нулей функции / или неподвижных точек
уравнения A.3.1). Мы будем также называть их нулями, положениями
равновесия или стационарными решениями. Даже эта задача может оказаться очень
сложной, хотя в больщинстве нащих примеров это не так. Затем допустим,
что мы имеем неподвижную точку ж, так что /(ж) = О, и хотим
охарактеризовать поведение решений вблизи ж. Для этого мы линеаризуем A.3.1) в
точке ж, то есть переходим к изучению линейной системы
i = Df{x)i, ее»", A-3.2)
где Df = [dfi/dxj] — матрица Якоби, составленная из частных
производных первого порядка функции / = {f\{xi, ..., а;„), f2{xi, ..., а;„), ...
fn{xi, ..., а;„))"^ (Т обозначает транспонирование), Ж = Ж+ е, 1^1 <С 1. Так
как A.3.2) является линейной системой вида A.1.1), мы можем легко
исследовать ее. В частности, линеаризованное отображение потока Вф1{х)£,,
порождаемое A.3.1) в неподвижной точке ж, получается из A.3.2) путем
интегрирования:
Оф^{х)^ = е*^^(^)е. A.3.3)
'в этой книге под гладкостью мы обычно понимаем С°°, если не оговорено противное.
Заметим, что мы не всегда стремимся к достижению оптимальной гладкости в наших резуль-
32 Глава 1
Важный вопрос состоит в том, что мы можем сказать о решениях
уравнения A.3.1), исходя из нашего знания уравнения A.3.2)? Ответом являются
два фундаментальных результата из теории динамических систем,
приводимых ниже: резюмируя их, можно сказать, что локальное поведение (для
малых 1^1) допускает перенос в определенных «хороших» случаях.
Теорема 1.3.1 (Хартман-Гробман). Если Df{x) не имеет нулевых
или чисто мнимых собственных значений, то существует гомеоморфизм h,
определенный в некоторой окрестности U точки ж в R", локально
переводящий орбиты нелинейного потока фг уравнения A.3.1) в орбиты
линейного потока е^^^^^'^ уравнения A.3.2). Этот гомеоморфизм сохраняет
направление орбит и может быть выбран так, чтобы сохранить
параметризацию при помощи времени.
Более деликатная ситуация, в которой нелинейные и линейные потоки
связаны диффеоморфизмами (теорема Штернберга), требует определенных
условий отсутствия резонансов между собственными значениями Df{x).
Мы не будем обсуждать ее здесь (смотри дискуссию о нормальных формах
в главе 3).
Если Df{x) не имеет собственных значений с нулевой вещественной
частью, то X называется гиперболической или невырожденной
неподвижной точкой и асимптотическое поведение решений вблизи нее (и,
следовательно, тип устойчивости) определяется при линеаризации. Если какое-то
собственное значение имеет нулевую вещественную часть, то вопрос об
устойчивости нельзя решить по линейному приближению, как показывает
следующий пример:
X + ех'^х + X = 0. A-3.4)
Переписывая его в виде системы (где xi = х, х^ = х),
xi\ _ / О 1 \ (xi
±2) - V-1 0; \х2)-^^\х1х2)^ ^^-^-^^
найдем собственные значения А, А = ±i. Однако если е ^ О, то
неподвижная точка (a;i,a;2) = @,0) не является центром как в линейной
системе, а негиперболическим или слабо притягивающим спиральным стоком'
при е > О и отталкивающим источником^ при е < 0.
Упражнение 1.3.1. Проверьте, что неподвижная точка (a;i,a;2) = @,0)
является для уравнения A.3.5), где е > О, глобально асимптотически устойчивой.
(Используйте метод функций Ляпунова, ср. уравнение A.0.10).)
' Устойчивым фокусом. — Прим. перев.
^Неустойчивым фокусом. — Прим. перев.
1.3. Нелинейная система х = f{x) 33
Прежде чем сформулировать следующий результат, дадим пару
определений. Определим локальное устойчивое и неустойчивое многообразия в
точке X, W{^^{x) и Wioc(^) '^^^•
Wi^^ix) = {ж е С/ I (/>t(a;) -^ х при t ^ оо и (/>t(a;) G U для всех t > 0},
^ioc(^) = {ж G f/ I (/>t(a;) ^ ж при t -^ —oo и (/>t(a;) G [/ для всех t ^ 0},
A.3.6)
где и С R" — некоторая окрестность неподвижной точки х.
Инвариантные многообразия Wf^^ и Wjqj, являются нелинейными аналогами плоских
устойчивого и неустойчивого собственных пространств Е^, Е"^ линейной
проблемы A.3.2). Следующий результат говорит о том, что W(^^ и Wj"^ в
действительности касаются Е^, _Б" в точке ж.
Теорема 1.3.2 (об устойчивом многообразии для неподвижной
точки). Допустим, что уравнение х = f{x) имеет гиперболическую
неподвижную точку Не. Тогда существуют локальные устойчивое и
неустойчивое многообразия W{^^, W{^^, имеющие те ж:е размерности Пд, гг„, что
и собственные пространства Е^, Е^ линеаризованной системы A.3.2), и
касающиеся Е^, Е"^ в точке х. Wf^^, W^^ имеют ту ж;е гладкость, что и
функция /.
Доказательства этих двух теорем можно найти, например, в Hartman
[1964] и Сагг [1981] или, в более современном изложении, в Nitecki [1971],
Shub [1978] или Irwin [1980]. Hirsh и др. [1977] содержит более общий
результат. Два этих результата могут быть проиллюстрированы на рис. 1.3.1.
а)
Рис. 1.3.1. Линеаризация и инвариантные нодпространства: (а) теорема Хартмана;
(Ь) локально устойчивое и неустойчивое многообразия.
Заметим, что мы еще ничего не сказали о центральном многообразии,
касательном к Е^ в точке х, и, по существу, ограничились гиперболически-
34 Глава 1
ми случаями, в которых Е'^ не существует. Мы рассмотрим
негиперболические случаи ниже, когда мы будем иметь дело с теорией бифуркаций в
главе 3.
Локальные инвариантные многообразия W{^^, W^^ допускают
глобальные аналогии W, ГГ", получаемые путем отображения точек из Wf^^ вдоль
фазового потока назад во времени и точек из W^^ вперед во времени:
\¥%х)=иф^{]¥и'^)).
*"° A.3.7)
Существование и единственность решений уравнения A.3.1)
гарантируют, что два устойчивых (или неустойчивых) многообразия
различных неподвижных точек х^, х не могут пересечься, кроме того, Wlx)
(или W'^{x)) не имеет самопересечений. Тем не менее, пересечения
устойчивого и неустойчивого многообразий разных неподвижных точек или
одной и той же неподвижной точки могут иметь место и, в действительности,
являются источником многих сложностей, обнаруженных в поведении
динамических систем. Глобальные устойчивое и неустойчивое многообразия
не обязаны быть подмногообразиями, погруженными в М", так как они
могут извиваться некоторым сложным образом, приближаясь к себе
произвольно близко. Мы приведем пример отображения, обладающего такой
структурой, в следующем разделе.
Для иллюстрации идей данного раздела рассмотрим простую систему
на плоскости:
^"^' , 2 A-3-8)
у = -у + х ,
имеющую единственную неподвижную точку в начале координат. Для
линеаризованной системы мы имеем следующие инвариантные
подпространства:
Е" = {{х,у) еШ^ \х = 0},
Е" = {{х,у) gR^ I у = 0}.
2 , ., A-3-9)
В данном случае мы можем проинтегрировать нелинейную систему точ
но. Вместо того чтобы получить рещение в форме {x{t), y{t)), перепи
щем A.3.8) как (линейную) систему первого порядка посредством исклю
чения времени:
^ _ -у
dx
X +х. A.3.10)
1.3. Нелинейная система х = f{x)
35
Это уравнение можно проинтегрировать непосредственно и получить
семейство фазовых кривых
у(ж) = ^ + |, A.3.11)
где константа с определяется начальными условиями. Из теоремы 1.3.1 и
формулы A.3.9) следует, что W^^{0,0) можно представить как график у =
= h{x), причем /i@) = /i'@) = О, так как Wjqj, касается Е"^ в точке @,0).
Следовательно, в A.3.10) с = О, и мы имеем
W
40,0) = [{x,y)eR^\y=f].
A.3.12)
Наконец, заметим, что если х{0) = О, то i = О, откуда x{t) = О, и мы видим,
что VF®@,0) = -Б*. Заметим, что в данном примере мы нашли глобальные
многообразия, см. рис. 1.3.2.
Е-
а)
Ь)
Рис. 1.3.2. Устойчивое и неустойчивое многообразия для уравнения A.3.8): (а)
линейная система; (Ь) нелинейная система.
Упражнение 1.3.2. Найдите и классифицируйте неподвижные точки
следующих систем при помощи линеаризации вблизи неподвижных точек (т. е.
найдите собственные значения и собственные векторы и изобразите локальные потоки).
Вначале перепищите уравнения второго порядка в виде систем уравнений первого
порядка:
ж + еж — ж + ж^ =0;
0;
0;
--х + у;
О
(а)
(Ь)
(с)
(d)
(е)
ж -
- sm ж :
i2
Ж + еж + sin ж =
X = —ж +Х^, у ■
X -\- е{х^ — 1)х + ж
36 Глава I
(при наличии параметра е рассмотрите случаи е < О, е = О и е > 0). Сможете
ли вы вычислить (или угадать) глобальную структуру устойчивых и неустойчивых
многообразий в каждом из этих случаев? (Этот последний вопрос очень сложен,
если вы не знакомы с приемами, описанными ниже в этой главе.)
Как хорошо известно, нелинейные системы обладают предельными
множествами, отличными от неподвижных точек; например, часто
встречаются замкнутые, или периодические, орбиты. Для периодической орбиты
существует Г, О < Г < оо, такое, что х{Т) = x{t + Т) для всех t. Мы
рассмотрим устойчивость таких орбит в разделе 1.5, а здесь заметим, что
они так же, как и неподвижные точки имеют устойчивые и неустойчивые
многообразия.
Обозначим через 7 замкнутую орбиту, через U — некоторую ее
окрестность, тогда определим
ЩасЬ) = {х eU \ \ф1{х) - 7| ^ о при t ^ 00 И ф1{х) е и при t ^ 0},
W^iocG) = {х eU \ |</>((а;) - 7I ^ О при t -^ -оо и фt{x) е U при t ^ 0}.
Примеры приведены в следующем разделе.
1.4. Линейные и нелинейные отображения
Мы увидели, как линейная система A.1.1) порождает отображение
потока е*"^ : R" -^ R", когда е*"^ — матрица п х п. Для фиксированного t = т
положим е'^^ = В, тогда матрица В постоянна и разностное уравнение
Хп+1 = Вхп или X ^ Вх A-4.1)
представляет собой дискретную динамическую систему, полученную из
потока A.1.1). Точно так же нелинейная система и ее поток ф1 порождают
нелинейное отображение
Хп+1 = G{xn) или X ^ С(а;), A-4.2)
где G = фг — нелинейная векторнозначная функция. Если поток ф^ гладкий
(скажем, г раз непрерывно дифференцируемый), то С — гладкое
отображение, имеющее гладкое обратное, т. е. диффеоморфизм. Это один из
примеров того, как непрерывный поток порождает дискретное отображение; более
важный пример, отображение Пуанкаре, будет рассмотрен в разделе 1.5.
Диффеоморфизмы или дискретные динамические системы можно
также изучать сами по себе, и мы можем также рассматривать с большей
общностью необратимые отображения, такие как
X h^ X — х^. A.4.3)
1.4. Линейные и нелинейные отображения 37
Упражнение 1.4.1. Покажите, что отображение (ж, у) ^ {у, Ьх ^ dy — у^)
является диффеоморфизмом для 6 т^ О, и вычислите обратное отображение. (Это
отображение было предложено как аппроксимация отображения Пуанкаре для
уравнения Дуффинга, см. ниже раздел 2.2 и Holmes [1979а].)
Орбита линейного отображения х н^ Вх представляет собой
последовательность точек {xi}°Z_^, определенную формулой Xi+i = Вх{. Любая
начальная точка порождает единственную орбиту при условии, что В не
имеет нулевых собственных значений.
Мы определим устойчивое, неустойчивое и центральное
подпространства по аналогии с линейными векторными полями:
Е" = spanjrts собственных (присоединенных) векторов с собственными
значениями, по модулю меньшими единицы},
Е"^ = span{rt„ собственных (присоединенных) векторов с собственными
значениями, по модулю большими единицы},
Е^ = 8рап{пс собственных (присоединенных) векторов с собственными
значениями, по модулю равными единице}.
Орбиты на Е'^ и _Б" характеризуются соответственно сжатием и
расширением. В отсутствие кратных собственных значений сжатие и
растяжение ограничены геометрическими прогрессиями: сугцествуют
постоянные с > О, а < 1 такие, что для п ^ О
|а;„| ^ са"|а;о|, еслижое^*,
\х-п\ ^са"|а;о|, если жо G i?".
Если имеются кратные собственные значения, тогда, как и в случае
потоков, сжатие (или растяжение) не обязательно будет экспоненциальным, что
иллюстрируется следуюгцим упражнением. Тем не менее,
экспоненциальная оценка по-прежнему может быть построена, если |Aj| < 1 для всех
собственных значений.
Упражнение 1.4.2. Вычислите орбиты для отображений
1/я
0
1
1/2
'X
и
X ^
1 П
1 1
и изобразите их схематически на плоскости. Покажите, что точка (О, 0)
асимптотически устойчива в первом случае и неустойчива во втором случае, хотя |Л| = 1
(ср. с упражнением 1.2.1).
Несмотря на проблемы, обусловленные кратностью, при отсутствии
у матрицы В собственных значений, по модулю равных единице, знание
собственных значений достаточно для вывода об устойчивости. В этом
случае (О, 0) называют гиперболической неподвижной точкой. Вообще, если
ж — неподвижная точка для G (G{x) = ж) и DG{x) не имеет собственных
1.4. Линейные и нелинейные отображения
39
,wXx)
Рис. 1.4.1. Инвариантные многообразия и орбиты для отображения G:
такой орбиты определяется линеаризованным отображением DG^ipo), или,
равносильно, DG^{pj) для любого j. В силу цепного правила, мы имеем
DG>'{po) = DG{G''-Hpo)) . ..DG{G{po)) ■ DG{po).
Как и для потоков, поведение линейного отображения A.4.1)
определяется собственными значениями и собственными векторами матрицы В.
Поскольку в учебниках по дифференциальным уравнениям и нелинейным
колебаниям редко обсуждаются отображения, мы включили здесь
некоторые подробности. Для одномерного отображения, когда В = Ъ есть скаляр,
а орбита точки {pj}'^^ задается просто геометрической прогрессией pj =
= VpQ, существует четыре «общих» случая и три «необычных»,
перечисленных ниже в таблице 1.4.1. Ниже в этой книге мы сформулируем точно,
что имеется в виду под этими терминами.
Вообще говоря, тип устойчивости неподвижной точки х = О
определяется абсолютной величиной собственных значений матрицы В. Если для
всех собственных значений | Aj | < 1, мы имеем сток, если |Aj | > 1 для
некоторых собственных значений и |Aj| < 1 — для других, то седловую точку, а
если I Aj I > 1 для всех собственных значений, то источник. Если для
некоторых собственных значений |Aj | = 1, то в направлениях v^, соответствующих
этим собственным значениям, норма сохраняется (если только эти значения
не являются кратными, с нетривиальными жордановыми блоками).
1.4. Линейные и нелинейные отображения
39
,wXx)
Рис. 1.4.1. Инвариантные многообразия и орбиты для отображения G:
такой орбиты определяется линеаризованным отображением DG^ipo), или,
равносильно, DG^{pj) для любого j. В силу цепного правила, мы имеем
DG>'{po) = DG{G''-Hpo)) . ..DG{G{po)) ■ DG{po).
Как и для потоков, поведение линейного отображения A.4.1)
определяется собственными значениями и собственными векторами матрицы В.
Поскольку в учебниках по дифференциальным уравнениям и нелинейным
колебаниям редко обсуждаются отображения, мы включили здесь
некоторые подробности. Для одномерного отображения, когда В = Ъ есть скаляр,
а орбита точки {pj}'^^ задается просто геометрической прогрессией pj =
= VpQ, существует четыре «общих» случая и три «необычных»,
перечисленных ниже в таблице 1.4.1. Ниже в этой книге мы сформулируем точно,
что имеется в виду под этими терминами.
Вообще говоря, тип устойчивости неподвижной точки х = О
определяется абсолютной величиной собственных значений матрицы В. Если для
всех собственных значений | Aj | < 1, мы имеем сток, если |Aj | > 1 для
некоторых собственных значений и |Aj| < 1 — для других, то седловую точку, а
если I Aj I > 1 для всех собственных значений, то источник. Если для
некоторых собственных значений |Aj | = 1, то в направлениях v^, соответствующих
этим собственным значениям, норма сохраняется (если только эти значения
не являются кратными, с нетривиальными жордановыми блоками).
40
Случай
Глава 1
Таблица 1.4.1. Поведение линейного отображения х -
Описание Эскиз
-> Ъх.
1. & < — 1 Источник с переменой ориентации ' ^^ q ^^ ^^^
2. & G ( —1, 0) Сток с переменой ориентации ~* р^ q Рч Яо
3. & е (О, 1) Сток, сохраняющий ориентацию * q р,^ р^ 'р^
4. & > 1 Источник, сохраняющий ориентацию * 0~Ро ?i рТ"
. , -, Ориентация меняется, все точки пери- _ . .
5-Ь = -1 J^2 Pi О Ро=Р2
, , „ Все точки переходят в О при первой —» • •
6.Ь-0 , г \ 0=D i>l Pa
итерации (пеооратимое) i^i' ■' ^
-,,_-. Ориентация сохраняется, все точки •—
_^ неподвижные ^__
Ро=Рр V/
Упражнение 1.4.3. Разработайте схематическую классификацию, подобную
таблице 1.4.1, для двумерного отображения х ^ Вх:
\b21 022
В основу классификации положите собствеиные значения матрицы В. (Подсказка:
за помощью можно обратиться к Hsu [1977] или Bernoussou [1977].)
Если четное число собственных значений имеют отрицательные
вещественные части, то отображение х н^ Вх сохраняет ориентацию, а при
наличии нечетного числа собственных значений с отрицательной вегцествен-
ной частью оно изменяет ориентацию. Несколько двумерных примеров
приведено на рис. 1.4.2 (частичный ответ к упражнению 1.4.3).
Для того чтобы почувствовать богатство и сложность возможного
поведения нелинейных отображений, читатель может поэкспериментировать
со следуюгцими двумя примерами. Решения удобно строить на
программируемом карманном калькуляторе или миникомпьютере:
Упражнение 1.4.4. Сколько иеподвижных и периодических точек вы сможете
иайти для следующего одномерного отображения и двумерного диффеоморфизма?
Обсудите их устойчивость. Параметр р изменяйте в указанных границах. Можете
ли вы найти «бифуркационные» значений параметра, при которых возникают новые
пернодические точки?
(а) X н^ рх{1 — х); р G [0,4],
(Ь)(ж,г/)н^(г/,-|ж + мг/-г/3);ме [2,4].
(Данная задача намного сложнее, чем кажется. Например, в случае (а) при 3,7 < р ^4.
Мы ждем, что вы лишь найдете в каждом из случаев по несколько короткопериоди-
ческих движений.)
1.4. Линейные и нелинейные отображения
41
Im
'it
■Re
U=i
a)
Xj
D'C
4
11
A'B
/
D С
4
I
I I
X,
3
С
B'A'
b)
CD'
D С
A В
С
/1
""^■1
D С '^'
A' В'
с)
D'C
A В
Рис. 1.4.2. Сохраняющие ориентацию (а), (b) и меняющие ориентацию (с) линейные
отображения
О Л:
Положения собственных значений относительно единичной окружности на
комплексной плоскости показаны над изображениями структур орбит. В каждом из
случаев ориентированный треугольник ABCD отображается в Л'В'С'D'.
В качестве заключительного примера двумерного отображения с
довольно сложной динамикой рассмотрим простое линейное отображение
1 1\ (х
, (ж, у) G Т^ = RVZ^
A.4.5)
где фазовым пространством является двумерный тор. На плоскости
(накрывающее пространство) мы имеем просто седловую точку с собствен-
1,2 ^ Л A±V5)^^
ными векторами v
. C ± У5)
чениям Ai 2 = к
отвечающими собственным зна-
Так как отображение линейно, то И^*@) = Е"^,
A + У5)
W^{0) = £'", поэтому span< A, 1 > представляет собой
неустойчивое многообразие, а span< A, ] > — устойчивое многообразие.
Однако нашим фазовым нространством является тор Т^, полученный ну-
42
Глава 1
тем отождествления точек, координаты которых отличаются на целые
числа. Отображение корректно определено на Т^, поскольку оно сохраняет
периодическую решетку. Любая точка единичного квадрата [0,1) х [0,1),
отображаемая в другой квадрат, перемещается назад в исходный
квадрат; например, если {х,у) = (—1,4,+1,2), мы устанавливаем (ж, у) =
= @,6; 0,2) (см. рис. 1.4.3). Таким образом, неустойчивое многообразие
«выходит из квадрата» в точке '
A + У5)
1 и возникает вновь, с тем
же угловым коэффициентом, в точке
ке 1,
(У5-1)
A + У5) ■
О ), затем выходит в точ-
и т. д. Поскольку угловые коэффициенты W^ и W^ ирра-
A±У5)
, эти многообразия плотны на единичном квадрате
циональны
(или плотно обматывают тор). Таким образом, каждое из многообразий
приближается само к себе произвольно близко, поэтому оно не является
вложенным подмногообразием Т^.
/@,0)^
A,0)
а)
Ь)
Рис. 1.4.3. Линейное отображение на торе (гиперболический торический
автоморфизм): (а) на покрывающем пространстве R^; (b) на Т^.
Упражнение 1.4.5. Покажите, что отображение A.4.5) имеет счетное
множество периодических точек и что множество таких точек плотно в Т . (Сначала
покажите, что точка ж периодична тогда и только тогда, когда обе компоненты ж —
рациональные числа с одинаковыми знаменателями.)
Упражнение 1.4.6. Опишите множество Л = И'''*@) П 1У^'@), лежащее в
пересечении иивариаитпых многообразий линейного отображения на торе. Какой
1.4. Линейные И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 43
вывод, по вашему мнению, можно сделать отсюда о структуре «типичной» орбиты?
(Подсказка: см. Chillingworth [1976], стр. 235-237.)
Arnold, Avez [1968, стр. 5-7] предложили изящную иллюстрацию
отображения на торе. Дополнительную информацию об инвариантных
множествах таких отображений можно также найти в главе 5.
е W\p)n.W\p)
Рис. 1.4.4. Гомоклинические орбиты.
Этот пример может показаться довольно искусственным, но, как мы
увидим, многие интересные с физической точки зрения системы обладают
подобными свойствами. В следующих главах мы увидим, что
отображение Пуанкаре, ассоциированное с уравнением Дуффинга с периодическим
возбуждением и отрицательной линейной жесткостью
X-\-ах — X + X = C cos cot, A.4.6)
являющееся нелинейным диффеоморфизмом на плоскости, обладает
гиперболической седловой точкой р, у которой устойчивое и неустойчивое
многообразия пересекаются трансверсально, в некотором смысле похоже
на рассмотренное выше отображение тора (ср. рис. 1.4.4). Довольно легко
увидеть, что если существует одна точка q G W^(р) П W (р), отличная от р,
то должно существовать бесконечное множество таких гомоклинических
точек: действительно, G"{q) -^ р при п -^ ±00, и эта сходимость для малых
значений \q — р\ описывается линейной системой. Более того, если
отображение сохраняет ориентацию (как наши отображения Пуанкаре), то между
двумя гомоклиническими точками q, G{q) должна располагаться хотя бы
одна дальнейшая точка из W^{p) П Wip) (обозначенная q на рис. 1.4.4).
Орбита {G"{q)} точки q называется гомоклинической орбитой, она
играет важную роль в глобальной динамике отображения. В частности, весьма
извилистый характер глобальных многообразий Ж"(р) и W^{p) в
окрестности точки р обуславливает чувствительную зависимость орбиты {G"(a;o)}
от начального условия xq, поэтому наличие гомоклинических орбит ведет
к появлению сумасбродного поведения. Это лежит в основе хаотического
44 Глава 1
поведения, продемонстрированного на примерах в главе 2 и
являющегося предметом большей части глав 5 и 6. Если устойчивое и неустойчивое
многообразия W''{pi), W'^{p2) двух различных неподвижных точек
пересекаются, получающаяся в результате орбита называется гетероклинной.
Упражнение 1.4.7. Покажите, что устойчивое многообразие седловой точки
двумерного отображения не имеет самопересечений.
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре
и вынужденные колебания
В классических учебниках по дифференциальным уравнениям
устойчивость замкнутых орбит или периодических решений дифференциальных
уравнений обсуждается в терминах мультипликаторов Флоке. Мы хотим
представить здесь более геометрическую, хотя и эквивалентную по
существу интерпретацию: отображение Пуанкаре. Ввиду большой важности
этого понятия мы уделяем значительное место рассмотрению известных
примеров из теории вынужденных колебаний.
Пусть 7 ^ периодическая орбита некоторого потока ф в М",
порождаемого нелинейным векторным полем f{x). Возьмем сначала локальное
сечение Е С R" размерности гг — 1. Гиперповерхность Е не обязательно
плоская, но она должна быть выбрана так, чтобы поток в каждой точке был
ей трансверсален. Это достигается, если f{x) ■ п{х) ^ О для всех а; G Е, где
п{х) — единичная нормаль к Е в точке х. Обозначим (единственную) точку,
где 7 пересекает Е, как р и возьмем некоторую окрестность [/СЕ точки р.
(Если 7 имеет несколько пересечений с Е, со1фатим Е так, чтобы
осталось только одно пересечение.) Тогда первый возврат, или отображение
Пуанкаре, Р: U ^ Ti определяется для некоторой точки q (z U как
P{q)=фr{q), A.5.1)
где т = т(д) — время, требующееся для того, чтобы орбита фtiq) с базой в
точке q впервые вернулась на Е. Заметим, что обычно величина т зависит
от q ж не обязана равняться Т = Т{р), периоду орбиты 7. Тем не менее,
т ^ Т при q ^ р.
Ясно, что р является неподвижной точкой отображения Р, и нетрудно
видеть, что устойчивость этой точки соответствует устойчивости 7 для
потока фt. В частности, если р — гиперболическая точка, и линеаризованное
отображение DP{p) имеет Пз собственных значений с модулями,
меньшими единицы, и гг„ — с модулями, большими единицы (гг^ + п„ = гг — 1),
то для отображения dimW^{p) = Пд, diraW"{p) = Пи- Поскольку орбиты
отображения Р, лежащие на W^ и W", образованы пересечениями орбит
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
45
(фазовых кривых) потока фt с Е, размерности Ж®G) и Ж"G)
превышают на единицу соответствующие размерности для отображения. Это проще
всего уяснить из рис. 1.5.1.
часть W" (/)
часть W^/)
а)
Ь)
Рис. 1.5.1. Отображение Пуанкаре: (а) поперечное сечение и отображение; (Ь)
замкнутая орбита.
В качестве примера рассмотрим плоскую систему
X = X — у — х{х'^ + у^),
у = X + у - у{х'^ + у'^)
и возьмем в качестве нашего сечения
Е = {{х,у) gR^ \х>0,у = 0}.
Преобразуя A.5.2) к полярным координатам г = д/гс^ + у^,
получим
г = гA — г ),
в = 1,
а сечение примет вид
S = {(г, 6») е М+ X S-i I г > О, 6» = 0}.
Глобальный поток несложно получить, решая A.5.3):
1/2
<^t(ro, 0о)= ((l+(^-l)e-'*) ,1 + во).
A.5.2)
V
arctg-,
A.5.3)
46 Глава 1
Время движения т для каждой точки q G Y] равно просто т = 27г, поэтому
отображение Пуанкаре дается формулой
P(ro)=fl+f4,-l)e-4-r'^'. A.5.4)
Очевидно, Р имеет неподвижную точку го = 1, соответствующую
круговой замкнутой орбите единичного радиуса для A.5.3). Здесь Р —
одномерное отображение, а его линейная часть дается формулой
DPA) = 4^
dro
Го = 1
Таким образом, неподвижная точка р = 1 устойчива и 7 — притягивающая
замкнутая орбита.
Заметим, что мы могли бы вычислить DP{1) немного проще,
рассматривая поток висгорного поля A.5.3), линеаризованного вблизи замкнутой
орбиты г = 1. Поскольку -^{i" — 1"^) = 1 — Зг^, имеем линейную систему
i = -2S.,
. A.5.6)
0 = 1,
с потоком
Dфt{Ь,Oo) = {e-^'Co,t + вo). A.5.7)
Следовательно, DP{1) = е~^*^^'^' = е~^'^, как и выше.
Для демонстрации общей взаимосвязи между отображениями
Пуанкаре и линеаризованными потоками мы должны напомнить некоторые
результаты теории Флоке (Хартман [1964], § 1V.6,1X.10). Пусть x{t) = x{t + Т) —
решение с базой х{0) = р G Е, лежащее на замкнутой орбите 7. Линеаризуя
дифференциальное уравнение вблизи 7, получаем систему
i = Dfmm, A.5.8)
где Df{x{t)) — Т-периодическая матрица размерности п х п. Можно
показать, что любая матрица фундаментальных решений такой Т-периодической
системы нредставима в виде
X(t) = Z(t)e*^; Z{t) = Z{t + T), A.5.9)
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре ... 47
где X, Z ж R — некоторые матрицы размерности пхп} В частности, можно
выбрать Х{0) = Z{0) = I, так что
Х{Т) = Z{T)e™ = Z@)e™ = е™. A.5.10)
Отсюда следует, что поведение решений в окрестности 7 определяется
собственными значениями постоянной матрицы е^^. Эти собственные
значения Ai, ..., Л„ называются характеристическими мультипликаторами
(Флоке) или корнями, а собственные значения /xi, ..., /х„ матрицы R
являются характеристическими показателями замкнутой орбиты 7-
Мультипликатор, соответствуюгций возмугцениям вдоль 7, всегда равен единице;
будем обозначать его Л„. Если ни один из модулей остальных гг — 1
мультипликаторов не равен единице, они определяют устойчивость 7-
При подходящем выборе базиса последний столбец матрицы е^^ равен
(О, . ■., О, 1)"^, и матрицу DP{p) линеаризованного отображения Пуанкаре
размерности (гг — 1) х (гг — 1) можно получить, просто удаляя из е'^^
последние строку и столбец. Тогда первые гг — 1 мультипликаторов Ai, ..., A„_i
являются собственными значениями отображения Пуанкаре.
Хотя матрица R в A.5.9) не определяется решением уравнения A.5.8)
однозначно (Хартман [1970], стр. 79), собственные значения матрицы е^^
однозначно определены (е'^^ можно заменить любой подобной
матрицей С~^е^^С). Однако для вычисления этих собственных значений нам
все-таки нужно некоторое выражение для е^^, которое можно получить
лишь путем построения некоторого множества п линейно независимых
решений, формирующих матрицу X{t). Исключая особые случаи, подобные
вышеприведенному примеру, эта задача обычно сложна и требует
привлечения методов теории возмущений или использования специальных функций.
Упражнение 1.5.1. Повторите вышеприведенный анализ для трехмерных
систем, получаемых путем добавления к A.5.3) сначала уравнения z = fiz, затем —
уравнения z = fj, — z'^: рассмотрите случаи /1<0, /1 = 0и/1>0. Для каждого из
случаев изобразите устойчивое и неустойчивое многообразия периодических орбит
(это довольно просто).
Упражнение 1.5.2. Найдите замкнутые орбиты для следующей системы для
различных значений fj,i и fj,2'- г = r{fj,i -^ 1Л2Г^ — г'^),в = 1 —г^. Обсудите их
устойчивость в терминах отображений Пуанкаре. (Здесь анализ прост, так как уравнения
для г ив разделяются, в общем случае этот нетривиальный пример вновь появится
в главе 7.)
Мы видели, как векторное поле f{x) на R" порождает отображение
потока ф1 на R" и, в окрестности замкнутой орбиты, (локальное)
отображение Пуанкаре Р на некоторой трансверсальной гиперповерхности S. Другой
R — постоянная матрица, см. Хартман [1970], стр. 79. — Прим. ред. перев.
48 Глава 1
важный способ получения отображения из потока используется для
неавтономных, вынужденных нериодических колебаний. Рассмотрим систему
x = f{x,t); (ж, t)eR"xM, A.5.11)
где функция f{-,t) = f{-,t + T) периодична по t с периодом Т.
Систему A.5.11) можно неренисать как автономную за счет увеличения
размерности на единицу, добавляя время в качестве явной неременной состояния:
X = fix, в),
. , A.5.12)
в = 1; {х, 6») G R" X S\
Фазовым пространством является многообразие R'* х 5*^, где 1фуговая
компонента 5*^ = R (mod Т) отражает периодичность векторного поля / по в.
Для этой задачи мы можем определить глобальное сечение
E = {{x,e)GR"xS^\e = eo}, A.5.13)
так как все решения пересекают S трансверсально ввиду равенства в =
= 1 в A.5.12). Отображение Пуанкаре Р: S ^ S, если оно определено
глобально, задается формулой
Р(а;о)=7г-<^т(а;о, ^о), A-5.14)
где (^t: R" х 5*-^ ^ М" х 5*^ — поток системы A.5.12), а тг обозначает
проекцию на первый аргумент. Заметим, что здесь время движения Т
одинаково для всех точек а; G S. Другими словами, Р{хо) = х{хо, Т + во), где
х{хо, t) — решение A.5.12) с базой в точке х{хо, во) = хо-
Отображение Пуанкаре можно также получить как дискретную
динамическую систему, порождаемую потоком ф{х, i) зависягцего от
времени векторного поля A.5.11). Так как / имеет период Т, мы получаем
этом смысле отображение Р(а;о) = фт{хо)
представляет собой другой пример дискретной динамической системы типа
той, которая была рассмотрена в начале раздела 1.4.
Система
A.5.15)
с решением
ФtЫ,Oo)=[[^-t) ,i + (
и отображением Пуанкаре
на поверхности Ti = {(х, в) | ^ = 0} показывает, что Р может быть не
определено глобально. Здесь траектории потока ф1 с базами хо > l/{2ir)
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
49
Ро=Р'^(р.
Ь)
Рис. 1.5.2. Отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний: (а) периодическая
орбита с периодом Т и неподвижная точка р = P(t); (b) субгармоника периода 2Т.
стремятся к бесконечности за время t ^ 27г. Однако Р: [/ ^ Е обычно
определено для некоторого подмножества [/ С Е.
Мы иллюстрируем отображение Пуанкаре для вынужденных
колебаний фигурой 1.5.2. Как и в предыдугцем случае, легко увидеть, что
неподвижная точка р отображения Р соответствует некоторой периодической
орбите периода Т для потока. Вдобавок, периодическая точка периода к > 1
(Р'^{р) = р, но Р^{р) ф р для 1 ^ J ^ /с — 1) соответствует
субгармонике периода кТ. Здесь Р^ означает отображение Р, повторенное к раз,
т. е. Р^(ро) = Р{Р{ро)), и т. д. Разумеется, это применимо и к автономному
случаю, обсуждавшемуся ранее. Такие периодические точки всегда входят
в группы из к штук: ро, ..., pk — 1 такие, что P{pi) = Pi+i, О ^ г ^ к — 2
иро =P{pk-i).
Упражнение 1.5.3. Допустим, Т — наименьший период для всех компопепт /.
(a) Покажите, что периодическая орбита системы A.5.12) может иметь лишь
период кТ с целым к}
(b) Покажите, что если п = 1, то периодические орбиты могут иметь лишь
период Т.
(c) Покажите, что отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний
сохраняет ориентацию.
(Подсказка: воспользуйтесь едипствеппостью решений в R" у. S .)
Поскольку определение отображения Пуанкаре основывается на
знании потока дифференциального уравнения, это отображения нельзя
вычислить, не обладая общим решением этого уравнения. Однако, как мы
увидим в главе 4, при помощи методов теории возмущений и усреднения
'Данное утверждение очевидно, так как переменная 9 измеряется по модулю Т. В
применении лишь к первому из уравнений системы, оно, вообще говоря, неверно. — Прим. пер.
50 ГЛАВА 1
В определенных случаях можно строить отображение приближенно, и
ценная информация может быть, таким образом, получена при параллельном
использовании обычных методов с геометрическим подходом теории
динамических систем.
Теперь рассмотрим два примера из теории колебаний.
Линейные вынужденные колебания
Начнем с задачи, для которой можно найти общее решение и вычислить
отображение Пуанкаре в явной форме. Рассмотрим систему
X + 2I3Z + X = -fCosLoU 0</3<1, A.5.16)
О 1
-1 -2/3
хЛ О
X2j \ycosujUJ ' A.5.17)
1.
Здесь внешняя сила имеет период Т = ^-к juj. Так как система линейна, ее
решение легко находится обычными методами (см. Braun [1978]):
a;(t) = е '^ (ci coswdt + С2 sinwdi) + ^coswt + Bsinwt, A.5.18)
где iud = \/l — /3^ — собственная частота затухающих колебаний, а
коэффициенты частного решения А, В даются формулами
A-^'O р _ 2/3(^7
"■• ,2\2 , ид2, ,21' \п , ,2\2 , л д2, ,21 ' A.5.1У)
Константы ci, С2 определяются из начальных: условий. Полагая х
хг = xiQ ж X = Х2 = X2Q при t = о, имеем
а;@) = жю = ci + А, 1 / ci = ^ю - А,
а;@) = Х20 = -/3ci + L0dC2 + coBJ \с2 = (жго + ^{хю - А) - coB)/LOd
A.5.20)
Таким образом, поскольку <^t(a;io,a;2o,0) задается формулой A.5.18) и
X2{t) = Xl{t) = е"*^*!—/3(ci COSLOdt + С2 SmLOdt) +
+ Wd(—ci sin u!dt + C2 cos (jJdt)} — (jj{A sin uit — В cos cot),
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
51
мы можем вычислить отображение Пуанкаре явно как тг • ф2-к/ш{х1о, жго, 0).
В случае резонанса со = и)^ = \/l — /3^ получаем
P{xw,X2o) = {ixio-A)e-^^^^^ + A, {х2о - ojB)e-^^^^^+ujB). A.5.21)
Как и ожидалось, отображение имеет притягивающую неподвижную точку
(a;i,a;2) = {А,и}В) или ci = С2 = 0. Отображение, конечно, линейно, и,
поскольку матрица
dPi
дхт
дР2
дхю
дPl^
Зжго
дР2
Зжго.
g-27r,3/a
О
о
g-27r,3/w
A.5.22)
диагональна с равными собственными значениями, орбиты Р
приближаются радиально к точке {А,1оВ), см. рис. 1.5.3.
й)—
Рис. 1.5.3. Отображение Пуанкаре для уравнения линейного осциллятора.
Упражнение 1.5.4. Вычислите отображение Пуанкаре для линейного
осциллятора в случае, когда о; ф -^1 — /3^ = LOd- Что произойдет, если /3 = О и о; = 1?
Упражнение 1.5.5. Рассмотрите вынужденные колебания осциллятора Дуф-
финга «с отрицательной жесткостью» х + ах
+ а;'^ = /3cosf, а > О, /3 ^ 0.
Покажите, что: (а) решения во все время остаются ограниченными {фг определен
глобально); (Ь) для 1 ^ а 3> /3 > О существует ровно три периодических орбиты
периода 27Г, седло и два аттрактора. Обсудите структуру устойчивого и неустойчивого
многообразий этих периодических орбит, рассматривая структуру соответствующих
многообразий для неподвижных точек отображения Пуанкаре. (Это очень трудно.
Для ответа на (а) вы должны найти замкнутую кривую, в точках которой все
решения направлены внутрь. Для решения (Ь) вы можете «возмутить» очень простой для
анализа случай /3 = 0.)
52 Глава 1
Мы будем заниматься задачей Дуффинга более подробно в главе 2.
В качестве второго примера возьмем нелинейную систему, которую мы
линеаризуем вблизи двух равновесий.
Маятник с периодическим возмущением
Уравнение движения маятника на периодически колеблющемся
основании можно записать в виде нелинейного уравнения Матье:
(^+(aV/3cost) sin(^ = 0; /3 > О, A.5.23а)
или
ф = V,
Ь = -{а^ +13совв)вшф,) {ф,у,е)е3^хШ.хЗ^{=Ш.хТ^). A.5.236)
в = 1.
Заметим, что положения равновесия [ф^ v) = @,0) и (тг, 0) системы в
отсутствие возбуждения (/3 = 0) сохраняются при /3 ^ 0.^ Таким образом, для
всех /3 мы имеем периодические орбиты @,0; в{1)), (тг, 0; в{1)), где в{1) =
= i + to- Линеаризуя висгорное поле вблизи этих орбит, получим линейные
уравнения Матье
ф = ь, Ф=У,
v = -{а^ +(Зсо8в)ф, и v= {а^ +13cosв)ф, A.5.24а, 6)
в = 1. 9=1.
соответственно, причем мы сохранили те же обозначения для
переменных {ф, v), что и в исходной нелинейной задаче.
Исследуем теперь устойчивость этих периодических орбит. При /3 т^ О
уравнения A.5.24) относятся к задачам теории Флоке. Если /3 = 0, мы имеем
простой маятник, и решения вблизи ф = О и ф = тг получаются как общие
рещения линейных осцилляторов ф ± а'^ф = О соответственно:
A=cU ''''.''\]+4(''''''\] A.5.25а)
V ^\—asmQi/ ''Х а cos at ^ '
^)=^Па>]+^Ч-ав--)- A-5-25^)
При /3 7^ О указанные точки не являются состояниями равновесия. — Прим. ред.
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
53
Полагая (<^@), w@)) = {фо, vq), найдем с? = фо, с^ = vo/a и
^ _ фо + Ур/а ^ _ фо -Ур/а
Интегрируя эти решения за период возмущения Т = 27г, получим
линеаризованные отображения Пуанкаре
DPo{0,0)
фо cos{2'ira) + ^ 8тB7га)
у—афо 81пB7га) + Уо cos{2ira)^
A.5.26а)
DPoiTT,0)
/>о + ^)е2™ + (<^о
Уо_\„-2жа
а )^
^ \{афо + «о)е2™ - {афо - Уо)е-'^^",
Таким образом, линеаризованные операторы таковы:
DPo{Q,Q) =
со8B7га) — 81пB7га)
-а8тB7га) со8B7га)
A.5.266)
A.5.27а)
1?РоGГ,0)
сЬB7га) i shB7ra)
авЪ.{2тта) сЬB7га)
Собственные значения этих матриц равны
Л? 2 = cosB7ra) ± i sinB7ra) = е^*^™
A.5.276)
A.5.28а)
\1.2 = сЬB7га) ± shB7ra) = е
±27га
A.5.286)
Мы приходим к выводу, что орбита @. 0,9{t)) нейтрально устойчива, с
собственными значениями на единичной окружности, а орбита (тг, 0,6'(t)) —
седлового типа с одним собственным значением внутри и с одним вне
единичной окружности. Заметим, однако, что если а = гг/2; гг = О, 1, 2, . . .,
оба собственных значения нейтрально устойчивой орбиты равны 1 или —1.'
Мы вернемся к этому ниже.
В зависимости от четности п. — Прим. перее.
54
Глава 1
Теперь обратимся к более интересному случаю /3^0. Как хорошо
известно, общее решение системы A.5.24) можно записать как
(Фт
r\ln=C,x\t)+C2x\t),
A.5.29)
где x^{t) и x'^{t) — два линейно независимых решения. Таким образом,
X{t) = [х^ (t), х'^(t)] — матрица фундаментальных решений.
Линеаризованное отображение Пуанкаре можно получить как
DPp = Х{2п)Х-\0),
так как, используя A.5.29), мы имеем
teV^'^')
)^^-(o)(tgO-
A.5.30)
A.5.31)
Теперь перед нами стоит задача вычисления некоторой пары линейно
независимых решений, которая решалась во многих классических
учебниках при помощи специальных функций (функций Матье), получаемых
из решений в виде рядов, или методами возмущений (см. Nayfey, Моок
[1979]). Вместо того чтобы повторять этот анализ, мы выведем одно
интересное свойство собственных значений матрицы DPi^ и используем его
для исследования устойчивости решений для малых /3^0. Выберем такую
пару независимых решений x^{t), x'^{t), чтобы
х\0) =
Тогда мы имеем
а;2@)
DPp = ХB7г)
и Х@)
■<^1B7г) ф^{2'к)
г;1B7г) г;2B7г)
х-\о).
A.5.32)
где X{t) = Оф1 — линеаризованный поток. Мы утверждаем, что
определитель матрицы DPfj (вронскиан решений х^, х"^) равен для нашей системы
единице. Для доказательства рассмотрим определитель линеаризованного
потока Оф1:
ф\^
>v,
Д = АеЬ{Оф1)
— =фу +ф
= ф^[±{а^ +(Зсо8г)ф'^] -ф'^[±{а'^ +(Зсо8Ь)ф^] = 0.
ф\'
фЧ'
фЧ^
</)V
A.5.33)
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре ... 55
Таким образом, Д сохраняет свое значение. Полагая t = О и учитывая, что
«<»)=(:;!о°0=(;)- -<«)-Ш=©'
получим Д = 1. Следовательно, также det DPp = det Вф2ж = 1 и
(линеаризованное) отображение Пуанкаре сохраняет площадь. Собственные
значения матрицы A.5.32) равны
Ai,2 = а ± Va2 - 1, а=^{ф\2тт)+у^{2тт)), A.5.34)
и мы получаем
AiAa = 1. A.5.35)
Таким образом, в случае /3 у^ О, как и в случае /3 = 0, собственные
значения либо комплексно сопряжены и имеют ненулевые мнимые части, либо
вещественны и взаимно обратны, либо 1фатны и равны +1 или —1.
Допустим теперь, что /3 возрастает от нуля, тогда собственные
значения DPf} изменяются непрерывно, стартуя с собственных значений
матрицы DPq, и мы получаем следующий результат.
Предложение 1.5.1. Периодическая орбита @,0,6'(t)) нейтрально
устойчива для достаточно малых значений C ф Q при условии, что
афп/2, п G Z. Периодическая орбита (тг, 0,6'(i)) имеет седловой тип
для достаточно малых C фО и всех а ф 0.
Доказательство. Второе утверждение легко доказать, так как
если а < О, то собственные значения матрицы DPoGr,0) равны 6-27^° > 1,
g27ra < 1^ а С изменением /3 собственные значения матрицы DP^зG'", 0)
изменяются непрерывно. Следовательно, мы можем выбрать такое /Зо > О,
что для всех О < /3 < /Зо матрица DPp{'K,Gi) имеет собственные
значения 1/А^ < 1 < А^. Доказательство первого утверждения проводится
подобным образом, но мы должны исключить 1фитические значения а =
= 0, -, 1, ^, .. ., так как для них собственные значения матрицы ОРо{тг, 0)
равны ±1 и друг другу, и мы не можем знать, как они расщепляются при
возрастании /3 от нуля. Разумеется, эти 1фитические значения совпадают с
условиями резонанса, известными из учебников о линейном
параметрическом возбуждении (см. Nayfeh, Моок [1979]). ■
1 Я
Заметим, что когда а = -, ^, ... и Ai^2 = —1, собственные значения
могут при C ф О расщепиться и принять вид — А^ < —1 < —1/А^, А^ > 0.
Как мы увидим в третьей главе, для такой бифуркации отображения
Пуанкаре типично возникновение орбиты удвоенного периода. Здесь, к примеру,
56 Глава 1
неустойчивость, обусловленная второй субгармоникой (Т = 47г), возникает
при /3 > О и а = -.
Параметрический резонанс в гамильтоновых системах с
периодическим возбуждением подробно рассмотрен Арнольдом [1974, § 25]. Он также
действовал в терминах отображений Пуанкаре.
Упражнение 1.5.6. Рассмотрим систему
ф = V,
V =—{а + 13со81)ф — "/V,
где параметр демпфирования 7 > О фиксирован. Используя аргументацию,
аналогичную приведенной выше, покажите, что решение (ф, v) = (О, 0) асимптотически
устойчиво для всех а и достаточно малых /3. (Подсказка: сначала покажите, что в
данном случае det DP^ = е"^'^''.)
1.6. Асимптотическое поведение
Прежде чем заняться конкретными примерами потоков и отображений,
требуется знакомство с некоторыми дополнительными техническими
приемами. В этом разделе мы определим различные предельные множества,
отображающие асимптотическое поведение определенных классов
решений, а в следующем разделе обсудим отношения эквивалентности. Хотя
наши определения довольно общи, мы концентрируемся в большинстве
примеров на двумерных потоках и отображениях. В разделе 8 будет дан
более полный обзор двумерных потоков.
Сначала определим инвариантное множество S для потока ф1 или
отображения G как такое подмножество R", для которого
ф1{х) е S {тш G{x) е S) для ГС е 5* для всех i е R. A.6.1)
Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки или
периодической орбиты представляют примеры инвариантных множеств. Однако
более важными для изучения долговременного поведения являются,
по-видимому, неблуэюдающие мноэюества. Как мы уже видели, неподвижные
точки и замкнутые орбиты важны для изучения динамических систем, так как
они отображают стационарное или повторяющееся поведение.
Обобщением этих множеств является неблуждающее множество Q. Точка р
называется неблуждающей для потока фг (соответственно, для отображения G),
если для любой окрестности U точки р найдется сколь угодно большое
число t (соответственно, п > G) такое, что ф1{и) nU ф 0
(соответственно, G"{U) пи ф 0). Г2 является множеством всех таких точек р. Таким
образом, неблуждающая точка лежит на или вблизи орбит, возвращающихся в
1.6. Асимптотическое ПОВЕДЕНИЕ 57
свою заданную окрестность. Неподвижные точки и периодические орбиты
являются, очевидно, неблуждающими множествами. Для гармонического
осциллятора с вязким трением
X + ах + X = О A.6.2)
начало координат {х, х) = (О, 0) — единственная неблуждающая точка, тогда
как для осциллятора в отсутствие трения
х + х = 0 A.6.3)
все точки ГС G R будут неблуждающими, так как фазовая плоскость {х, х)
заполнена непрерывным семейством периодических орбит.
Упражнение 1.6.1. Найдите неблуждающие множества для следующих
потоков и отображений:
(a) X + £{х^ — 1)х + ж = О (уравнение Ван дер Поля, е > 0).
(b) в = fi — sin 9, в е S^ (возьмите д < 1, д = 1 и д > 1).
(cNi + sm6l= ^,в eS\
(d)x^ {11,)х,хеТ' (см. §1.4).
(Задание (d) сложное: попытайтесь найти плотную орбиту; вспомните, что точки с
рациональными координатами периодичны. Ср. с упражнениями 1.4.5-1.4.6.)
Не все инвариантные множества состоят из блуждающих точек.
Например, линейное отображение
1 1
О 1/2
ГС е R^ A.6.4)
имеет инвариантные (собственные) подпространства, натянутые на векторы
^" = B,-1)^,
^' = A,0)^,
однако все точки р ^ Е'"' (исключая начало) блуждающие. В свою очередь,
точки q G Е'^ неблуждающие, так как все они неподвижны.
Так как множество блуждающих точек открыто, Г2 замкнуто, и оно
должно включать в себя замыкания множеств неподвижных точек и
периодических орбит. В частности, важную роль в дальнейшем будут играть
притягивающие множества и аттракторы. Однако, прежде чем определить
aTTpaicrop, мы должны познакомиться еще с двумя понятиями.
Точка р называется ю-пределъной точкой для х, если существуют такие
точки ф1^{х), ф12{х), ... на орбите с базой в х, что <^ti(a;) -^ р ж ti ^ оо.
58
Глава 1
Точка q называется а-предельной точкой для х, если существует такая
последовательность, для которой <^t, (ж) -^ qviti ^ —оо. Для отображений G
числа ti в этих определениях целые, а- (соответственно, и!-) предельные
множества а{х), и{х) определяются как множества а- и а;-предельных
точек для X (см. рис. 1.6.1).
а-предельное множество для точек
из кольца
<»-предельное множество для точек
из D\{q)
Рис. 1.6.1. Примеры Q и О! предельных множеств. D — открытый круг, ограниченный
внешней периодической орбитой.
Замкнутое инвариантное множество А С R" называется
притягивающим множеством, если существует некоторая окрестность U этого
множества такая, что фг {х) G U для t ^ Q и ф1{х) ^ А при t ^ оо для всех а; G С/.'
Множество и ф1{и) называется областью притяж:ения множества А (оно,
конечно, является устойчивым многообразием А} Притягивающее
множество с течением времени захватывает все траектории, стартующие в его
области притяжения. Отталкивающее множ:ество определяется
аналогично, с заменой t на —t. Области притяжения несвязных притягивающих
множеств необходимо не пересекаются и разделяются устойчивыми
многообразиями непритягивающих множеств (см. рис. 1.6.2).
Во многик задачах мы в состоянии найти «область захвата», замкнутое
связное множество D С М" такое, что ф1{0) с D для всех t > 0. Для этого
достаточно показать, что висгорное поле во всех точках границы D
направлено вовнутрь. В этом случае мы можем определить соответствующее
'в пятой главе мы несколько ослабим это определение.
^Здесь термин «многообразие» употреблен неточно: данное множество может иметь очень
сложную структуру, см. ниже главу 5. — Прим. перев.
1.6. Асимптотическое ПОВЕДЕНИЕ
59
_, сепаратриса {=W(q))
Рис. 1.6.2. Притягивающие области: замкнутой орбиты 7 УУ^У'уЛ и неподвижной
точки р I^nXSM-
притягивающее множество как
А
[\Фг{Щ-
t>o
Замкнутое множество А является притягиваюгцим множеством для
отображения G, если оно обладает некоторой о1фестностью U такой, что
G"{U) -^ А при гг ^ 00. Как и в случае потоков, если D — область захвата
(G{U) С U), то соответствуюгцее притягиваюгцее множество таково:
А= О G"{D).
Во второй главе мы используем это понятие при исследовании некоторых
проблем.
Упражнение 1.6.2. Покажите, что поток системы
X = riix — х(х + и 1 — жи , о
2 2 2 (^.J/)GR
y = fJ.2y-y{x +у )-уХ ,
обладает для всех конечных значений /ii, /12 областью захвата. Найдите
неподвижные точки и обсудите их устойчивость. Покажите, что для j-ii = j-i2 > О линия х = у
разделяет две различные области притяжения. (Подсказка: возьмите в качестве D
замкнутый круг х'^ +у^ ^ с для больших с.)
Упражнение 1.6.3. Покажите, что существует трехмерный эллипсоид Е
вида рх^ + ау^ + a{z — 2р)^ ^ с < оо такой, что при подходящем выборе
констант а, [3, р все решения уравнений Лоренца
о-(г/-а;), y = px-y-xz,
-f3z + ху
60 Глава 1
входят в Е зя конечное время, а затем остаются в Е (см. Sparrow [1982],
приложение С).
Упражнение 1.6.4. Рассмотрим систему
• — _ 3
"" ' {х,у)еш\
у = -у,
Найдите неблуждающее множество И, а также а- и ш-предельные точки для
типичных точек а; G R^. Покажите, что отрезок [—1,1] оси х является притягивающим
множеством, хотя большинство его точек блуждающие. Где, по вашему мнению,
заканчивается большинство орбит?
Последняя задача должна послужить мотивацией для разработки
определения аттрактора как притягивающего множества,
содержащего плотную орбиту. Аналогично определяется репеллер. Таким образом,
в упражнении 1.6.4 имеется два различных аттрактора: точки (±1,0). Как
мы увидим в пятой главе, очень трудно показать в примерах
существование плотной орбиты, и на самом деле многие построенные численно
«странные аттракторы» могут быть не истинными аттракторами, а только
притягивающими множествами, так как они могут содержать устойчивые
периодические орбиты. Мы впервые встретим такие примеры во второй
главе.
Пример Рюэлля [1981] показывает, что даже для одномерных
потоков притягивающие множества могут быть очень сложными. Рассмотрим
систему
x = -x^sin[^\ A.6.5)
имеющую счетное множество неподвижных точек х = Q, ±1/п, п =
= 1, 2, ... Отрезок [—1,1] является притягивающим множеством, которое
содержит отталкивающие неподвижные точки ±1/2п, п = 1, 2, . .. и
притягивающие неподвижные точки ±1/Bп — 1), п = 1, 2, ..., что можно
проверить, рассматривая линеаризованное векторное поле
{—Ах sinf—|+7га; cosf—)) =^7COS7rn. A.6.6)
V \^) \^JJ x=±l/n п^
Однако неподвижная точка а; = О не является ни репеллером, ни
аттрактором. Conley [1978] дал определение «квазиаттрактора», охватывающее
примеры этого типа'.
'Термин «квазиаттрактор» был использован В. А. Афраймовичем и Л. П. Шильниковым при
изучении с нерегулярными аттракторами [5, 21]. — Прим. ред. перев.
1.6. Асимптотическое ПОВЕДЕНИЕ
61
Упражнение 1.6.5. Опишите множество неподвижных точек отображения
In
\x\J'
X е
-1,1]
Рис. 1.6.3. Плоский
фазовый портрет для
усредненного уравнения ван
дер Поля.
£ I I а
]-■■ X ^ \х\ (
ДЛЯ а<0, а = Оаа>0.
Следующий пример может помочь
проиллюстрировать некоторые понятия данного раздела.
При анализе уравнения Ван дер Поля со слабым
возбуждением, который будет намечен в первом
разделе второй главы, возникает фазовый портрет,
показанный на рис. 1.6.3. Ясно, что замкнутая
кривая 7 и {р}, включающая неподвижную
точку р, представляет собой притягивающее
множество, однако точка р не является ни аттрактором,
ни репеллером, так как она одновременно
играет роль а- и а;-предельной точки для всех
точек ГС G 7- В действительности 7 заполнена
блуждающими точками, и неподвижные точки ряд являются единственными
компонентами неблуждающего множества. Ввиду существования в
притягивающем множестве 7 U {р} замкнутой орбиты она действительно
является аттрактором, однако ясно, что в отсутствие возмущений все решения,
за исключением имеющего базу в q, стремятся к р слева при -^ +(Х). Этот
пример, среди прочих, должен служить предупреждением, что наше
определение аттрактора не очень подходит для физических приложений, поэтому
мы модифицрфуем его в пятой главе в свете примеров, возникающих из
физических задач.
Этот пример также демонстрирует необходимость включения
требования фt{x) G и для всех t ^ О, X Е и, так как существуют орбиты,
стартующие справа от р и покидающие окрестность точки р лрш1ь временно,
возвращаясь в нее окончательно при t -^ сю. Читатель должен сравнить это
требование с нашими определениями локального устойчивого и
неустойчивого многообразий из раздела 1.3.
Упражнение 1.6.6. Покажите, что окружность г — 1 является притягивающим
множеством для потока, порождаемого векторным полем
г — г — г , 9 — 1 — cos 29.
Какое из положений равновесия является аттрактором и какое — репеллером?
Опишите а- и ш-предельные множества для типичных точек внутри и вне
окружности г = 1 в верхней и нижней полуплоскостях.
Упражнение 1.6.7. Постройте пример двумерного потока с аттрактором, не
содержащим неподвижных точек или замкнутых орбит. (Подсказка: рассмотрите
линейное преобразование тора Т^
72
заданное векторным полем
62 Глава 1
Заметим, что мы не указывали, что аттрактор должен быть устойчивым
по отношению к малым возмущениям векторного поля или отображения.
Хотя это требование включено во многие предшествующие определения,
в ряде примеров, рассматриваемых в этой книге, таких структурно
устойчивых аттракторов почти наверняка не существует. Тем не менее, понятие
структурной устойчивости играет важную роль в теории динамических
систем, и именно к нему мы сейчас обратимся.
1.7. Отношения эквивалентности и структурная
устойчивость
Понятие «робастной» или «грубой» системы касается сохранения
качественных свойств при наличии малых возмущений или изменений ее
правых частей — впервые встретилось в работе Андронова и Понтрягина [ 193 7].
Очень хорошо эти понятия изложены для случая векторных полей на
плоскости в учебнике по нелинейным колебаниям Андронова и др. [1966]. В
пятой главе мы подвергнем сомнению бытующее мнение о том, что грубость,
или структурная устойчивость, является существенным свойством моделей
физических систем, однако, так как это понятие сыграло столь
значительную роль в развитии теории динамических систем, мы кратко обсудим его
здесь. Сначала обсудим понятие возмущения отображений и векторных
полей.
Пусть дано некоторое отображение F G C^(R"'), мы хотим установить,
что следует понимать под его возмущением G. Интуитивно, G должно быть
«близким» к F, однако при создании пригодного для работы определения
возникают спорные технические вопросы. Мы отсылаем читателя к работе
Hirsch [1976], содержащей подробное обсуждение функциональных
пространств и их топологий. Поскольку в данной книге функциональные
пространства не используются, мы дадим следующее определение, достаточное
для обсуждения структурной устойчивости.
Определение 1.7.1. Пусть F G С"'(М"), г, fc G Z+, fc < г и е > 0.
Назовем G возмущением класса С^ и величины £ > О, если существует
такое компактное множество К С М", что -F = G на множестве Д" — К и
для всех таких («i, .. ., г„), для которых «i + ... + г„ = г ^ fc выполнено
неравенство \{д^/дх^-^ ... дх\{'){Е — G)\ < е.
Отметим, что в этом определении функции F и G могут быть как
векторными полями, так и отображениями.
Теперь, когда мы можем говорить о «близости» отображений или
векторных полей, рассмотрим вопросы топологической эквивалентности
и структурной устойчивости.
1.7. Отношения ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ и СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 63
Определение 1.7.2. Два отображения F, G класса С^ называются
С'^-эквивалентными или С'^-сопряженными {к ^ г), если существует такой
С'^-диффеоморфизм h, что h о F = G о h. С°-эквивалептпость называется
также топологической эквивалентностью.
Из этого определения следует, что h переводит орбиту {F"'{x)} в
орбиту {G"'{x)}. Понятие орбитной эквивалентности нужно нам и для случая
векторных полей.
Определение 1.7.3. Два векторных поля /, д класса С^ называются
С'^-эквивалентными [к ^ г), если существует С'^-диффеоморфизм h,
переводящий орбиты ф1 (х) поля / в орбиты Ф1{х) поля д и сохраняющий их
ориентации, но не обязательно сохраняющий параметризацию по времени.
Если h сохраняет параметризацию по времени, то это влечет
сопряженность.
Из определения эквивалентности следует, что для любых х и ti
найдется такое *2, что
Нф1{х)) = ф1{Ь{х)). A.7.1)
Одной из причин несохранения в общем случае параметризации
является то, что периоды замкнутых орбит двух потоков могут различаться.
Теперь мы подошли к главному определению.
Определение 1.7.4. F е C"'(R") (соответственно, векторное
поле / класса С^) называется структурно устойчивым, если существует
такое е > О, что любое возмущение F (соответственно, /) класса С^ и
величины е топологически эквивалентно F (соответственно, /).
На первый взгляд, использование С°-эквивалентности может
показаться слишком грубым, и возникает искушение заменить ее на
С'^-эквивалентность, где к > 0. Однако такое требование было бы излишне жестким,
так как из него следует, что для неподвижных точек р и q = h{p)
эквивалентных отображений fug собственные значения линеаризованных
систем ^ = Df{p)^ и fj = Dg{q)rj должны быть пропорциональны друг другу
(мы докажем это утверждение в дополнении к данному разделу). Например,
линейные системы
'х\ _ \l О
у i - О 1
У ) A-7.2а)
1 О
О 1 +
у ) A-7.26)
не будут С'^-эквивалентными пи для каких ет^Ои/с^Х.В этом
примере отсутствие дифференциальной эквивалентности очевидно, поскольку
64
Глава 1
в первом случае фазовые кривые задаются графиками вида у = Cix, а во
втором — вида у = С2\х\^~^'^. Любая такая пара кривых с
постоянными Ci, С2 ^ О недиффеоморфна в начале координат.
Заметим, что гомеоморфная эквивалентность не делает различий
между узлами, вырожденными узлами и фокусами: например, двумерные
линейные векторные поля с матрицами
-3 -1
1 -3
порождают потоки, С°-эквивалентные потоку узла с матрицей
-1
О
A.7.3)
Ясно, однако, что с точки зрения С°-эквивалентности стоки, седла и
источники различаются.
В качестве следуютцей иллюстрации структурной устойчивости
потоков и отображений рассмотрим двумерное линейное дифференциальное
уравнение
и отображение
JT-IC, X t
X ^ Вх^ X е
A.7.4)
A.7.5)
Допустим в первом случае, что А не имеет собственных значений с нулевой
вещественной частью, а во втором случае — что В не имеет собственных
значений, по модулю равных единице. Мы утверждаем, что при выполнении
этих условий обе системы структурно устойчивы.
Рассмотрим малое возмутцение системы A.7.4):
X = Ах + ef{x)
A.7.6)
где функция / имеет компактный носитель. Так как А обратимо, то, по
теореме о неявной функции, уравнение
Ах + sf{x) = О
A.7.7)
для достаточно малых значений е имеет единственное решение х = 0{е)
вблизи точки X = 0. Кроме того, так как собственные значения матрицы
линеаризованной системы
i=[A + eDf{x)]i
1.7. Отношения ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ и СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 65
непрерывно зависят от е, они не могут пересечь мнимую ось, если
величина е остается малой по сравнению с вещественными частями
собственных значений матрицы А. Таким образом, возмущенная система A.7.7)
имеет единственную неподвижную точку с собственными
пространствами и инвариантными многообразиями, имеющими те же размерности, что
и невозмущенная система и локально £-близкими по положению и
градиенту к невозмущенным многообразиям. Такие же наблюдения применимы
к дискретной системе A.7.5) и соответствующему малому возмущению
х^ Вх + ед{х). A.7.8)
В обоих случаях задача состоит в отыскании гомеоморфизма,
переводящего орбиты линейной системы в орбиты возмущенной нелинейной
системы. В частности, для дискретной системы мы должны доказать, что
существует такой гомеоморфизм h, что следующая диаграмма
коммутативна:
таJ В ^2
М2 ^^±^ r2
Для потока следует заменить В на 6*^'^, а В+ед — на поток фt, порождаемый
векторным полем A.7.7) (в данном случае они сопряжены).
Дальнейшее доказательство, по существу, совпадает с доказательством
теоремы Хартмана (см. Pugh [1969] или Hartman [1964, глава 2]).
Очевидно, векторное поле (или отображение), имеющее
негиперболическую неподвижную точку, не может быть структурно устойчивым, так
как малое возмущение может привести к исчезновению такой точки
(если матрица линеаризованной системы необратима ввиду наличия нулевого
собственного значения) или к превращению ее в гиперболический сток,
седло или источник (если эта матрица имеет чисто мнимые собственные
значения). Подобные рассуждения применимы и к периодическим орбитам,
поэтому мы вправе сформулировать такое важное требование к
структурно устойчивым потокам или отображениям: все неподвижные точки и
замкнутые орбиты долж:ны быть гиперболическими. Однако, как мы увидим
ниже. Одного этого условия недостаточно, чтобы гарантировать
структурную устойчивость, так как в игру могут вступить более тонкие, глобальные
эффекты.
Структурно устойчивые системы достаточно «приятны» в том смысле,
что для такой системы любая достаточно близкая к ней система
обладает теми же качественными свойствами. Однако, как мы увидим,
поведение структурно устойчивых систем для потоков размерности три и более
66 Глава 1
или для диффеоморфизмов размерности два и более может быть предельно
сложным. Будет также выяснено, что структурная устойчивость не является
даже типичным свойством в том смысле, что мы можем найти
структурно неустойчивую (и сложную) систему, которая остается неустойчивой при
малых возмущениях, при этом непрерывно изменяя свой класс
топологической эквивалентности. Мы встретим первые примеры таких систем в
главе 2.
Мы не определили и не обсудили здесь понятие типичных свойств,
так как для этого требуется оперировать терминологией функциональных
пространств. Заинтересованные читатели смогут познакомиться с этим
вопросом в Chillingworth [1976] или Hirsch, Smale [1974].
В завершение этого раздела мы хотим подчеркнуть, что определение
структурной устойчивости зависит от класса систем, с которым мы имеем
дело. В нашем основном определении мы считали допустимыми все С^, е
возмущения векторных полей класса С" в R". Если мы ограничиваемся
некоторым подмножеством, скажем, гамильтоновыми векторными полями
класса С^ в М , то ситуация меняется. Так, линейная система
х = у
у = —ш'^'х, ш ^ о
A-7.9)
обладает эллиптической точкой (центр) {х,у) = @,0), окруженной
непрерывным семейством негиперболических замкнутых орбит и является
устойчивой по отношению к возмущениям из данного подмножества. Напротив,
система
X = у,
. '' A.7.10)
у = 0
обладает прямой вырожденных неподвижных точек (ось х) и не является
структурно устойчивой, так как мы можем найти такое гамильтоново
возмущение, которое приводит к образованию изолированной неподвижной
точки эллиптического либо седлового (гиперболического) типа вблизи
начала. Очевидно, обе этих системы структурно неустойчивы по отношению
к произвольным возмущениям класса С^. В данной книге мы основное
внимание уделяем диссипативным системам, обсуждая особые свойства га-
мильтоновых систем лишь в разделе 4.8.
Упражнение 1.7.1. Покажите, что векторные поля х — —х, х — —4х
их — —X топологически эквивалентны. Какие из них структурно устойчивы?
Выпишите явные формулы для гомеоморфизмов, устанавливающих соответствия
между орбитами.
1.7. Отношения ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ и СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 67
Упражнение 1.7.2. Какие из следующих систем структурно устойчивы во
множестве всех систем размерности один (или два)?
(а) X = х;
(с) X = sin ж;
(е) x + 2i + x^0;
(д) X + X + х^ = 0;
(г) е = 1,^=2; {в,ф)
{к)в ^2-5тв,ф^1
ег";
{0,Ф)
е г^;
(Ь) X = X ;
(d) X = sin ж;
{f)x + x^+x^O;
(h) X + {х — 1)х + а; = 0;
Ц)е = 1,ф = щ {в,ф)ет^;
{1)в^1 -2зшв,ф^ 1; {в,ф) еГ^
(Критерии для определения структурной устойчивости потоков размерности один и
два обсуждаются в двух следующих разделах.)
Приложение к разделу 1.7: о С'^-эквивалентности
Здесь мы покажем, что для двух С'^-эквивалентных систем (к ^ 1),
линеаризованных в соответствуюш;их неподвижных точках, собственные
значения пропорциональны.
Пусть поля X и Y С'^-орбитно эквиваленты, тогда суш;ествует
диффеоморфизм h: М" -^ М" класса С'^, «переводяш;ий» систему х = Х{х) в
систему у = Y{y), т.е. у = h{x) и
Dh{x)X{x) =T{h{x))Y{h{x)), A.7.11)
где т: М" ^ R — положительная скалярная функция, обеснечиваюгцая
согласование параметризации по времени.
Допустим теперь, что х = р — неподвижная точка для потока X, тогда
у = q = /i(p)— неподвижная точка для F. ДифференцируяA.7.11),получим
D'^h{x)X{x) + Dh{x)DX{x) =
= DT{h{x))Dh{x)Y{h{x)) + T{h{x))DY{h{x))Dh{x)
(если к = 1, выражение слева следует заменить пределом отношения). Так
как Х{р) = Y{q) = О, отсюда получаем:
Dh{p)DX{p) = T{q)DY{q)Dh{p), A.7.12)
или
DX{p) = T{q)Dh{p)-^DY{q)Dh{p). A.7.13)
Следовательно, матрицы DX{p) и DY{q) подобны, с точностью до
масштабирующего коэффициента t(q). Следовательно, отношения собственных
значений сохраняются. (Если изменение параметризации не допускается,
то матрицы DX{p) и DY[q) подобны в обычном смысле.)
68 ГЛАВА I
1.8. Двумерные потоки
в данном разделе дается обзор некоторой части теории двумерных
потоков. Теорема о жордановой кривой, а также тот факт, что фазовые кривые
одномерны, существенно ограничивают диапазон возможных типов
решений на плоскости. Поэтому плоские системы довольно хорошо изучены.
Тем не менее, читатель должен понимать, что здесь представлены только
избранные из многочисленных результатов. Андронов с соавторами [1966,
1971, 1973] посвятили данному вопросу намного более тысячи страниц,
дальнейшие подробности можно найти в Lefschetz [1957]. Многочисленные
примеры двумерных систем, встречающихся в инженерных и физических
задачах, приведены в Андронов и др. [1966], а также в книгах Minorsky
[1962], Хаяси [1964] и Nayfeh, Моок [1979]. Здесь рассмотрены
некоторые специальные типы систем и приведен ряд классических, а также менее
известных примеров, которые подготовят нас к последующему материалу.
Системы на двумерных многообразиях, отличных от R , более сложны
и могут обладать удивительно тонкой динамикой. Поэтому впредь в данной
главе мы будем иметь дело лишь с плоскими системами, ограничиваясь
несколькими заключительными примерами систем на цилиндрах и торах.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
^"^J^'^J' {x,y)eUCR^, A.8.1)
где f,g — (достаточно гладкие) функции, описывающие некоторую
физическую модель. При исследовании системы A.8.1) обычно сначала находят
неподвижные точки, в которых ,f{x,y) = д{х,у) = 0. Линеаризуя A.8.1) в
одной из таких точек (ж, у), получим
[х,у) ■7г-[х,у)
дх ду
дх^ 'У> ду
^'x,y) -7^-{х,у)
или i = Df{xm- A-8.2)
Если собственные значения матрицы Df(x, у) имеют непулевые
вещественные части, то решение линейной системы A.8.2) S,{t) = е*^.'^(^'*^'^@)
не только определяет локальное асимптотическое поведение, по и
описывает, в соответствии с теоремой Хартмапа и теоремой об устойчивом
многообразии, локальную топологическую структуру фазового портрета. Как
показывает следующий пример, требование отсутствия нулевых
собственных значений существенно.
1.8. Двумерные потоки 69
Упражнение 1.8.1. Изобразите фазовый портрет следующих нелинейных
осцилляторов и соответствующих им линеаризованных систем. (Вам может
понадобится прочесть нижеследующий обзор методов анализа двумерных систем.)
(а) X + е\х\х + X — Q] е < О, е = О, е > 0;
{Ъ)х + х + ех^ = Q; е < О, е = О, е > 0.
После нахождения неподвижных точек и исследования их
устойчивости (возможно, используя в случае пегиперболических точек локальные
функции Ляпунова), мы захотим проверить существование у системы A.8.1)
периодических орбит. При этом полезны следующие два результата.
Теорема 1.8.1 (Пуанкаре-Бендиксона). Всякое непустое
компактное U1- или а-предельное множество плоского потока, не содержащее непо-
движмых точек, является замкнутой орбитой.
Доказательство этого утверждения можно найти в Hirsch, Smale [1974,
стр. 248] или в Андропов и др. [1966, стр. 361].
Данный результат поможет установить существование замкнутых
орбит, в частности, в следующем упражнении.
Упражнение 1.8.2. При помощи теоремы Пуанкаре-Бендиксона докажите,
что осциллятор Ван дер Поля х ^ г{х —l)i + a; = 0 имеет хотя бы одну
замкнутую орбиту. (Сначала постройте «гнездо» из двух кривых Ci, С2 так, чтобы поток
пересекал С\ снаружи, а Сг — изнутри.)
Доказательство единственности в данном примере значительно
сложнее, за исключением случая е <С 1 (см. например, Hirsch, Smale, глава [1974,
глава 10]). Однако если векторное поле таково, что С\ и Ci ограничивают
некоторое узкое кольцо R, то можно доказать единственность, установив
df , да г, т. I
знакопостоянство величины — \- —- в и. Мы приведем пример такого
ох ду
типа в первом разделе второй главы.
Следующий результат в определенных случаях позволяет установить
отсутствие замкнутых орбит.
Теорема 1.8.2 (критерий Бендиксона). Если в некоторой односвязной
области D аЖ выраж;ение -^ + j— не равно нулю тож;дественно и не
изменяет знака, то уравнение A.8.1) не имеет замкнутых орбит, целиком
лежащих в D.
Доказательство. Данный результат является простым следствием
теоремы Грина, так как па любой фазовой кривой уравнения A.8.1) выполня-
70 ГЛАВА 1
ется -г- = ^, откуда следует, что для любой замкнутой орбиты 7
{f{x,y)dy-g{x,y)dx) =0.
7
Вследствие теоремы Грина
S
о f Oq
где S — внутренность 7- Однако если -—h т^ > О (или < 0) на D, то
ах ау
мы не сможем найти такую область S С D, чтобы A.8.3) выполнялось.
Следовательно, замкнутых орбит, целиком лежащих в D, не существует.
Упражнение 1.8.3. Найдите условия, достаточные для отсутствия замкнутых
[т у системь:
необходимыми?
орбит у системы х + ах + рх + = 0. Являются ли эти условия также
В Андронов и др. [1966, стр. 305] приведен критерий Дюлака,
обобщение критерия Бендиксона.
Мы уже встречали примеры других предельных множеств двумерных
потоков, в дополнение к неподвижным точкам и замкнутым орбитам, в
разделе 1.6. В действительности, все возможные неблуждающие множества
для потоков на плоскости принадлежат к одному из следующих трех классов
(Андронов и др. [1966], § V1.2):
(i) неподвижные точки;
(ii) замкнутые орбиты;
(iii) совокупности неподвижных точек и соединяющих их траекторий'.
Вышеупомянутые траектории называются гетероклинными орбитами,
если они соединяют разные точки, и гомоклинными орбитами, если они
соединяют некоторую точку саму с собой^. Замкнутые пути, образованные
гетероклинными орбитами, называются гомоклинными циклами. Заметим,
что неподвижные точки, входящие в такие циклы, должны быть седловыми
(если они гиперболичны), так как источники и стоки всегда имеют в
своей окрестности блуждающие точки. Некоторые примеры таких предельных
'т. е. траекторий, асимптотически приближающихся к этим точкам при t -^ ±оо. — Прим.
перев.
^В русскоязычной литературе обычно используют для двумерных систем термин
«сепаратриса». — Прим. ред. перев.
1.8. Двумерные потоки
71
>®
а)
Ь)
с)
d)
Рис. 1.8.1. Некоторые предельные множества для потоков на плоскости: (а) гомокли-
ническая орбита или седловая петля; (Ь) двойные седловые петли; (с) гомоклиниче-
ские циклы, образованные гетероклиническими орбитами; (d) ленты периодических
орбит.
множеств показаны на рис. 1.8.1. Позднее в этой книге мы познакомимся с
конкретными системами, обладающими такой динамикой.
Упражнение 1.8.4. Все примеры плоских потоков на рис. 1.8.1 структурно
неустойчивы. Почему? (Подсказка: в случаях (а)-(с) попытайтесь добавить малое
возмущение вблизи гомоклинных циклов.)
Для потоков на неплоских двумерных многообразиях, таких как тор,
могут существовать предельные множества, не являющиеся ни замкнутыми
орбитами, ни предельными точками или гомоклинными циклами. В
частности, иррациональный линейный поток, порождаемый векторным полем
1,
7Г,
еТ^
A.8.4)
имеет всюду плотную орбиту, так что любая точка на Т^ — неблуждающая.
Несмотря на кажущуюся искусственность этого примера, впоследствии мы
увидим, что он возникает естественным образом при изучении связанных
осцилляторов.
72 Глава 1
Таким образом, глобальная структура фазовых кривых для двумерных
потоков обычно гораздо богаче по сравнению с одномерными системами,
в которых периодических орбит нет, а неподвижные точки упорядочены и
соединяются со своими непосредственными соседями и только с ними.
Существование таких гетероклинных соединений в системах более высокой
размерности зависит от соотношения размерностей устойчивых и
неустойчивых многообразий соседних неподвижных точек; в любом случае
отыскать такие соединения, как правило, очень трудно, если только система не
обладает особой симметрией или другими свойствами. Наш первый
главный пример иллюстрирует этот момент, а также знакомит с двумя важными
специальными типами систем: гамильтоновы и градиентные потоки. В
системах каждого из этих типов глобальная структура потока определяется
линиями уровня некоторой вегцественнозначной функции.
Рассмотрим пример системы
X = —Qx — \у + ху,
у = \х-Су+ ^{х'^ -у
A.8.5)
возникаюгций при исследовании методом усреднения (см. четвертую
главу) колебаний, вызванных ветром (Holmes [1979b]). Здесь О ^ С ^ 1 ~
коэффициент затухания, а А (|А| <С 1) — параметр расстройки. При С = О
система A.8.5) становится гамгшьтоновой (Голдстейн, [1980]):
для которой функция Гамильтона (энергия)
Н{Х,У) = -|(Х2 + у2) + 1 (^у2 _ ^^ A8 7)
является отображением Н:Ж -^ Ж. Критические точки Н соответствуют
неподвижным точкам потока гамильтоновых уравнений A.8.6). Более того,
поскольку
dt дх ду дх ду ду дх ^ '
линии уровня Н{х,у) = const являются фазовыми кривыми для A.8.6).
Таким образом, в нашем примере нетрудно изобразить фазовый портрет —
см. рис. 1.8.2. Такую систему называют интегррфуемой, так как решения,
1.8. Двумерные ПОТОКИ
Рис. 1.8.2. Фазовый портрет уравнения A.8.5); С = О, Л > 0.
или интегральные кривые, лежат на поверхностях уровня некоторой гладкой
функции.
Заметим, что три седловые точкирз = (—2А,0) ир2,1 = (А, ±V^A)
связаны между собой'. Соединительные кривые Tij = W'^{pi) П W"{pj)
служат примерами седловых соединений или гетероклинных орбит (если такая
кривая соедршяет седловую точку саму с собой, ее называют гомоклинной
орбитой). Здесь эти орбиты возникают как результат наличия интеграла
Гамильтона, но седловые соединения могут иметь место и в негамильто-
новых системах. Читателю предлагается проверить, что если (^ > О, то все
три соедипения разрушаются и неустойчивые многообразия W"{pi) будут
иметь компоненты, приближаюп1;иеся к неподвижной точке в начале
координат при t -^ (X). Данная точка является, таким образом, стоком, имеюп1;им
собствеппые зпачепия —(^±iA. Отдавая себе отчет в том, что каждая из
кривых Tij является пересечепием двух одномерных кривых VF"(pi) и W^{pj)
на плоскости, мы вправе ожидать, что опи существуют лишь при некоторых
особых обстоятельствах н что их можно разрушить произвольно малыми
возмущениями. Следовательно, такие соедииепия структурно неустойчивы
в пространстве всех векторных полей на R . Мы вернемся к этому вопросу
' Образуют контур, составленный из седел и их сепаратрис. — Прим. ред. перев.
74 Глава 1
позднее, при доказательстве теоремы Пейксото. Заметим, что из наличия
пересечения W^lpi) и W^{pj) следует, что на самом деле эти кривые
имеют совпадающие участки: они не могут просто пересечься, как показано па
рис. 1.8.3(b), так как в этом случае решение с базой в точке пересечения q
имело бы два возможных пути эволюции вопреки едипственности решения.
Ь)
Рис. 1.8.3. Гетероклинические точки q е W^{pi) nW''{p2) для потоков в R^: (а)
допустимые; (Ь) недопустимые.
После линеаризации плоской гамильтоновой системы в неподвижной
точке оказывается, что tr Df = О, вследствие чего все неподвижные точки
будут или седлами, или центрами, а существование источников и стоков
невозможно. Это отражает более общий факт, известный как теорема Лиу-
вилля, что гамильтоповы потоки сохраняют объем (в двумерном случае —
площадь). Дальнейшую информацию об этом и других результатах,
применимых к многомерным гамильтоповым системам, можно найти в
классических учебниках механики Голдстейпа [1980] или Арнольда [1974].
Упражнение 1.8.5. Покажите, что дифференциальное уравнение вида х —
= f{y)^ У = 9(,х) всегда обладает первым интегралом F(y) + G{x), линии уровня
которого являются фазовыми кривыми. Используйте этот результат для изучения
структуры глобального решения системы х — —у + j/ , у — х — х .
Особый класс нелинейных систем, с которыми мы будем иметь дело в
этой книге, описывается уравнением
x + f{x)=0 A.8.9)
или векторным полем на плоскости х, у = х:
X = у.
. ff ^ A.8.10)
y = -f{x).
1.8. Двумерные ПОТОКИ 75
Такая гамильтонова система всегда имеет первый интеграл (по крайней
мере, с формальной точки зрения):
Н{х,у) = У- + J fix) dx"^ У- + V{x), A.8.11)
где функцию V{x) иногда называют потенциальной энергией, так как в
механических приложениях она часто имеет такой смысл (см. Андронов и
др. [1966], Marion [1970]).
Всякая неподвижная точка системы A.8.10) лежит на оси х и
соответствует некоторой критической точке функции V{x). Таким образом,
вещественная функция Т/^: М ^ М эффективно определяет локальную форму
векторного поля и потока вблизи каждой неподвижной точки. Андронов
и др. [1966, глава 2], Nayfeh, Моок [1979] и другие провели исчерпыва-
Ю1ЦИЙ учет всех возможных случаев. Например, если критическая точка
функции V невырождена (по второй производной), то неподвижная точка
является либо гиперболическим седлом, либо центром. Если же главный
член в разложении V по формуле Тейлора имеет третий или более высокий
порядок, то неподвижная точка вырождена. Отметим, что особая структура
рассматриваемой системы позволяет также получить информацию о
глобальной структуре фазовых кривых, которые просто задаются уравнениями
Н{х^ у) = с = const, или
y = ±^2{c-V{x)), A.8.12)
и являются, таким образом, симметричными относительно оси х. Главный
вывод отсюда таков: если на одном уровне энергии, соответствуюгцем двум
максимумам функции V{x), имеются две седловых точки, они обязательно
соединены гетероклинной орбитой'.
Упражнение 1.8.6. Найдите и классифицируйте неподвижные точки
следующих гамильтоновых систем и сделайте эскиз их фазовых портретов:
(a) X + X — х^ — 0;
(b) х + х^ + х^ ^0;
(c) X + sin X = 0;
(d) X+ smx = I3,f3e @,2).
Уравнение A.8.5) представляет пример другого специального типа
систем. Если А = О, оно описывает градиентное векторное поле
f, У = -%: П-,у) = |(х^+У^) + |(^-х^у), A.8.13)
Сепаратрисой. — Прим. ред. перев.
76 Глава 1
со стоком @,0) (для С > 0) и седлами (О, —2Q и (±V^C, Q. Общую
дискуссию о таких полях можно найти в Hirsch, Smale [1974, стр. 199]. Заметим,
что потенциальную функцию V :Ж ^ R можно рассматривать как
функцию Ляпунова. Двигаясь но этому пути, можно показать, что минимумам
(соответственно максимумам) функции V отвечают стоки (соответственно
источники) п-мерных систем:
x = -gYa.AV{x), A.8.14)
с потенциальной функцией V: М" -^ R. Действительно, любая
критическая точка V, в которой grad V = Q, должна быть неподвижной точкой
системы A.8.14), причем седловые точки для V являются, очевидно, сед-
ловыми и для A.8.14). Далее, пусть V~^{h) — (гипер-) поверхность уровня
функции V. Тогда, поскольку для любой точки х е V~^{h), в которой
gradT^(a;) ^ О, вектор —grad V{x) нормален к поверхности уровня в
точке X, фазовые кривые уравнения A.8.14) перпендикулярны поверхностям
уровня и пересекают их «сверху вниз», в направлении убывания V.
Упражнение 1.8.7. Покажите, что неблуждающее множество любого
градиентного векторного ноля на R^ содержит только неподвижные точки, а
периодические и гомоклинические орбиты невозможны. (Подсказка: используйте V{x) как
функции «типа Ляпунова» и модифицируйте обычные аргументы для получения
глобальных результатов.)
Упражнение 1.8.8. Сделайте эскиз фазовых портретов уравнения A.8.5)
для С = О и С > О, где Л < О, = О, > 0. Какие из случаев структурно
устойчивы во множестве всех двумерных векторных полей?
Особые свойства градиентных векторных полей позволили Palis, Smale
[1970] получить важный обгций результат для таких систем в гг-мерном
случае.
Теорема 1.8.3. Градиентные векторные поля, для которых все
неподвижные точки гиперболичны и все пересечения устойчивых и
неустойчивых многообразий трансверсалъны, структурно устойчивы.
Для рассмотрения этого результата перенесемся на некоторое время в
гг-мерное пространство (гг > 2). Проверка гиперболичности не составляет
трудности, но условия трансверсального пересечения требуют некоторого
обсуждения. Как мы увидим в наброске доказательства теоремы Пейксо-
то, сепаратрисы, идугцие из седла в седло, типа Г12 = W'^{pi) П VF*(p2)
(см. рис. 1.8.1), могут быть устранены (разрушены) малыми возмугцения-
ми и потому структурно неустойчивы. Предположим, однако, что имеется
трехмерная система с парой седловых точек pi, р-2, причем dim VF"(pi) =
= dim W^{p2) = 2. В этом случае многообразия VF''(pi) и W^{p2)
могут пересекаться трансверсалъно по некоторой орбите 7> так что в
любой точке 9 G 7 линейная оболочка касательных пространств TqW'^{pi)
1.8. Двумерные потоки
77
и TqW^{p2) совпадает с М (рис. 1.8.4). Если такая трансверсальная ге-
тероклинная орбита существует, то можно показать, что ее нельзя
разрушить произвольно малыми возмущениями, так что она структурно
устойчива. Однако трансверсальные гомоклинные орбиты не могут существовать,
так как dim \У^{р) + dim VF*(p) ^ n, а необходимым условием трансвер-
сального пересечения является неравенство dim VF"(p) + dim W^{p) > n
(рис. 1.8.5I.
W\p,
Рис. 1.8.4. Трансверсальная гетероклиническая орбита в ]
Рис. 1.8.5. Нетрансверсальная гомоклиническая орбита в ]
В двумерном случае сепаратрисы не могут трансверсально
пересекаться, так как седловые точки имеют одномерные устойчивое и неустойчивое
многообразия, и соединительная кривая 7 = W^{pi) П W'^{p2)
необходимо представляет собой некоторый открытый интервал, на котором VF"(pi)
и W^ {Р2) совпадают. Следовательно, линейная оболочка к касательным
пространствам в любой точке 9^7 одномерна (рис. 1.8.3(a)).
По этому поводу см., например, [6]. — Прим. ред.
78 ГЛАВА 1
Возвращаясь к плоским потокам, вспомним один важный результат,
относящийся к замкнутым орбитам и неподвижным точкам. Он включает
в себя индекс Пуанкаре особой точки. Начнем с общего понятия индекса.
Пусть дано плоское векторное поле. Нарисуем простую замкнутую
кривую С, не содержащую положений равновесия, и рассмотрим ориентацию
данного векторного поля в некоторой точке р = {х, у) е С. При обходе
точки р кривой С против часовой стрелки вектор {f{x,y), д{х,у)) будет
непрерывно вращаться, и при возвращении в исходную позицию он должен
повернуться на угол 2тгк, где к — некоторое целое число. (Угол также
измеряется против часовой стрелки.) Число к называется индексом замкнутой
кривой С. Можно показать, что индекс не зависит от формы С в том
смысле, что он определяется исключительно характером неподвижных точек,
лежащих внутри С.
Если С окружает единственную изолированную неподвижную точку х,
то индекс этой кривой называется индексом точки х. Читатель может
проверить справедливость следующих утверждений либо из непосредственного
рассмотрения векторных полей (см. рис. 1.8.6), либо вычисляя
криволинейный интеграл
k=-J 4arctg ^J = ^J 4arctg j^^) =-J -J^^^'
с с с
A.8.15)
как это сделано в Андронов и др. [1966, § V.8].
Предложение 1.8.4.
(i) Индекс источника, стока или центра простых состояний равновесия
равен единице.
(ii) Индекс гиперболической седловой точки равен — 1.
(iii) Индекс замкнутой орбиты равен +1.
(iv) Индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен 0.
(v) Индекс замкнутой кривой равен сумме индексов неподвижных точек,
лежащих внутри нее.
Сформулируем непосредственное следствие данного утверждения.
Следствие 1.8.5. Внутри любой замкнутой орбиты 7 содерж:ится
хотя бы одна неподвижмая точка. Если все такие точки гиперболичны, то
число их необходимо нечетно Bп + 1), включая п седел и п+ 1 источников
и стоков.
Легко построить вырожденные неподвижные точки, индексы которых
отличны от ±1. Например, для системы
^"^ ' A.8.16)
у = -у,
1.8. Двумерные потоки
79
а)
с)
Ь)
d)
Рис. 1.8.6. Индексы неподвижных точек и замкнутых кривых: (а) источники и
стоки; (Ь) гиперболическая седловая точка; (с) замкнутые орбиты; (d) С не содержит
неподвижных точек.
80
Глава 1
начало координат является вырожденной точкой типа седло -узел с нулевым
индексом, а для системы
2 2
X = X — У ,
У = 2а;у
оно является вырожденной точкой индекса два (см. рис. 1.8.7).
A.8.17)
Рис. 1.8.7. Индексы некоторых негиперболических положений равновесия: (а) сед-
ловая точка; (Ь) векторное поле системы A.8.17).
Следующее упражнение указывает на происхождение последней
системы, а также на метод ее анализа.
Упражнение 1.8.9. Полагая z = х + гу, покажите, что векторные поля на
комплексной плоскости, определяемые формулами
имеют единственную неподвижную точку z = О ((х, у) = (О, 0)) с индексами к
к —к соответственно. (Здесь 'z обозначает комплексное сопряжение.) (Подсказка: в
формулах X = Re(^ ),у = 1т(г ) положите z = re* .) Изобразите векторные поля
вблизи таких неподвижных точек с индексами 3 и —3.
Следующий простой, но полезный прием приближенного построения
глобального фазового портрета известен как метод изоклин. Исключая
явную зависимость от времени из уравнений A.8.1), получим систему первого
порядка вида
^ = #Ц- A.8.18)
dx fix,у)
Временно пренебрегая возможной неопределенностью системы A.8.18) на
кривой f{x, у) = О, построим кривые у = h{x) или х = h{y), на которых
1.8. ДвумЕРНьге потоки
угловой коэффициент векторного поля постоянен:
задаются уравнением (возможно, неявным)
д{х,у) =cf{x,y)
dy_
dx
с. Такие кривые
A.8.19)
и называются изоклинами.
Если построить достаточно плотное множество изоклин, то можно
изобразить решение системы A.8.1) с нужной точностью. Данный метод
иллюстрируется примером:
У
ху,
-у + х^.
A.8.20)
Сначала найдем две неподвижные точки @,0) и A,1) и убедимся, что
линеаризованные системы имеют матрицы
i?/@,0)
О о
о -1
и Bf{\,\)
1 -1
2 -1
A.8.21)
с собственными значениями О, — 1 и ±г соответственно. Следовательно, обе
неподвижные точки негиперболичны и теорема Хартмана неприменима.
Далее заметим, что если а;@) = О, то а; = О, так что ось у является
инвариантной прямой, в точках которой поток описывается уравнением у = —у;
в действительности, она представляет собой глобальное инвариантное
многообразие для точки @,0). Данное векторное поле также вертикально в
точках прямой у = х.
Продолжим отыскание изоклин, на которых —^ = с G (—оо, сх)), решая
dx
уравнение
{—у + X ) = с{х — ху)
у
A - С)х'^ def
1 ~
СХ
hn
A.8.22)
Некоторые из этих кривых и соответствуюгцие им направления векторного
поля изображены на рис. 1.8.8(a). В дополнение к вычерчиванию изоклин,
иногда полезно также изобразить векторное поле на особых линиях, таких
как прямая у = 1.
Изображенные на рис. 1.8.8(a) векторы дают, при учете
инвариантности оси у, обгцее представление о структуре фазовых кривых, а более
подробную информацию о локальной структуре вблизи вырожденных особых
82
Глава 1
с=0,25 с=0
с=0
с=0,75
с=2
с=2
^ / . / / / 1С = 1
6)
Рис. 1.8.8. Изоклины и частичный фазовый портрет для уравнения A.8.20): (а)
изоклины; (Ь) фазовый портрет, полученный с помощью числовых расчетов (метод
Рунге-Кутга, размер шага 0.02).
точек дают методы центрального инвариантного многообразия, которые
будут описаны в третьей главе. Приложения этих методов, представленные
там в качестве упражнений и примеров, показывают, что точка (О, 0) яв-
1.8. Двумерные потоки 83
ляется cj-предельной для всех рещений, начинающихся вблизи нее в левой
полуплоскости (х ^ 0), и а-предельной точкой для близких кривых из
правой полуплоскости, а критерий устойчивости Хопфа (раздел 3.4)
показывает, что точка A,1) представляет собой (слабо устойчивый) спиральный
сток (негрубый фокус). Завершение глобального анализа предоставляется
читателю:
Упражнение 1.8.10. Докажите, что @,0) — а)-предельная точка для всех
точек {{х,у) G R I а; ^ 0}. Покажите, что если не существует замкнутых
орбит, окружающих точку A,1), то она является о'-нредельной для всех точек
{{х,у) G R^ I а; > 0}. Опишите некоторые возможные структуры, обладающие
замкнутыми орбитами в правой полуплоскости. Можете ли вы проверить, что на
самом деле замкнутых орбит не существует (см. рис. 1.8.8(b))? (Предупреждение:
при численном интегрировании с недостаточно малым шагом по времени могут
появиться ложные периодические орбиты.)
Как показывает данный пример, использование метода изоклин
довольно утомительно и часто приводит к неполным результатам. Сегодня
ему обычно предпочитают численное интегрирование системы. Однако в
некоторых случаях понятия изоклин и инвариантных прямых могут
использоваться для получения точной информации. К примеру, для однородной
системы третьего порядка
X = ах^ + ЬхгР',
у = сх y + dy ,
которую мы встретим в седьмой главе как нормальную форму некоторого
вырожденного векторного поля, окажется возможным показать
существование определенных инвариантных прямых на фазовом портрете. Ясно, что
к их числу относятся координатные оси, так как х = О для всех t,
если а;@) = О, и аналогично у = О, если у@) = 0. На этих прямых векторные
поля имеют простую форму: соответственно у = dy^ и х = ах^. Мы
утверждаем, что при подходящем выборе значений а, Ъ, с, d могут существовать
и другие инвариантные прямые, проходящие через начало координат. Пусть
они задаются формулой у = ах. Тогда, разделив одно из уравнений A.8.23)
на другое, мы получим
dy_ ^ у{сх^ + dy"^)
dx х{ах'^ + Ъу'^)'
A.8.24)
В силу инвариантности прямой у = ах, имеем также -^ = а, так что
векторное поле касается прямой у = ах в каждой ее точке. Таким образом.
84 Глава 1
из A.8.24) получаем уравнение
или
имеющее два корня
a^{d — b) = a — c,
A.8.25)
(а-с)
при условии, что числа а — с и d— 6 имеют одинаковый знак. Читателю
рекомендуется убедиться, что на такой прямой поток определяется одномерной
системой
'ad — Ъс\ 3
d-b
A.8.27)
Упражнение 1.8.11. Изобразите несколько фазовых портретов для
системы A.8.23) для различного выбора коэффициентов (а, 6, с, d). (Если вы почувствуете
неуверенность, обратитесь к разделу 7.5.)
Упражнение 1.8.12. Используйте метод изоклин для определения
местонахождения предельного цикла осциллятора Ван дер Поля
Закончим данный раздел несколькими примерами систем с
неплоскими фазовыми пространствами. Первый из них — неизбежный маятник,
записанный в безразмерных переменных:
6i + sin6l = 0. A.8.28)
Это классический пример системы с неплоским фазовым пространством.
Конфигурационная переменная в G [—тг, тг) представляет собой угол,
поэтому, определяя скорость в = v, получим в качестве фазового пространства
цилиндр. Уравнения примут вид
^"^' @,1/) G 5^ X R. A.8.29)
г> = — &т.в,
Такая форма представления удобна для устранения недоразумений,
связанных с существованием бесконечного множества различных положений
1.8. Двумерные потоки
85
равновесия в = ±тг, п = 1, 2, . . ., несмотря на физическое наличие лишь
двух равновесий при в = О и при в = тт = —тт. Фазовый портрет
системы A.8.29) легко построить, зная первый интеграл Н: S^ х R ^ М:
Н{в,1у)
+ (l-cos6').
A.8.30)
(Единичная постоянная здесь не обязательна, она естественно возникает
из физической постановки, в которой потенциальная энергия У{в) имеет
вид тд1{1 — COS0) для маятника массы т и длины I, где в измеряется
от вертикали, направленной вниз, так что V^@) = 0.) Конечно, фазовый
портрет периодичен по 6* с периодом 2ir (рис. 1.8.9).
Рис. 1.8.9. Фазовый портрет для простого маятника.
Цилиндрическое фазовое пространство получается при
отождествлении прямых в = —'1г{АА') ив = +тг{ВВ'). Хорошая иллюстрация
приведена в Андронов и др. [1966, стр. 98]. Важно осознать, что такие орбиты, как
отмеченные на рис. 1.8.9, в действительности являются замкнутыми
орбитами, окружающими цилиндр: такие орбиты соответствуют вращательным,
а не колебательным движениям маятника. Эти два типа движений разделены
орбитой, гомоклинической к седловой точке.
Упражнение 1.8.13. Изобразите фазовый портрет маятника с демпфером в +
+ 2ав + sin 0 = 0, 0^а<С1,а также маятника, к которому приложен постоянный
момент C > 0: [3 + sinS = [3. Рассмотрите случаи [3 < 1 и C > 1. Обсудите также
маятник с трением и моментом в + 2ав + sin в = [3. Обе системы без трения
обладают гомоклинными и периодическими орбитами; могут ли и системы с трением
иметь какие-либо из этих орбит? (Это весьма трудная задача. Вы можете посмотреть
раздел 4.6.)
86 Глава 1
Помимо приложений в классической механике, система в + 2ав +
+ sin в = C предоставляет дискретную (унимодальную) аппроксимацию
уравнения Синус-Гордона, играющего важную роль в физике как модель
волновых функций для сверхпроводящих соединений Джозефсона (см. Levi
и др. [1978]). Мы вернемся к этому примеру в разделе 4.6.
Второй канонический пример системы, определенной на двумерном
многообразии — поток на торе Т^ = S^ х S^:
в = /(в,ф);
{в, ф) е Т^; /, g - 27г-периодичны по в, ф. A.8.31)
Ф = д{0,ФУ,
Важным частным случаем является линейная система:
в = а,
A.8.32)
ф = Ь.
Как хорошо известно, если отношение j- является рациональным числом,
то на Т^ существует непрерывное семейство периодических орбит, а если
иррациональным, то орбиты непериодичны и плотны. Так как
иррациональные и рациональные числа плотны в М, каждый из этих двух топологически
различных типов может быть аппроксимирован с любой точностью
системой другого типа, поэтому уравнение A.8.32) структурно неустойчиво при
всех значениях а, Ь.
Линейный поток A.8.32) имеет более важное значение, чем может
показаться из-за его специального вида: любой (нелинейный) ноток на Т^,
не имеющий положений равновесия или замкнутых орбит, с
необходимостью порождается векторным полем, С°-эквивалентным некоторой
системе A.8.32), где отношение j- иррационально. Мы вернемся к этому вопросу
в разделе 6.2.
Покажем, что потоки на двумерных торах также имеют место в
линейных недемпфированных системах с двумя степенями свободы. Рассмотрим
систему
х + ш1х = 0, у + Ш2У = 0, A.8.33)
где уравнения записаны в канонических (нормальных) координатах, что
позволяет разделить моды. Система обладает двумя независимыми первыми
интегралами:
H,{x,x) = ^ + '^=h, Щ{у,у) = У- + ^ = к2, A.8.34)
1.8. Двумерные потоки 87
каждый из которых сохраняет постоянное значение в процессе эволюции
четырехмерного вектора рещений x{t), x{t), y{t), y{t) во времени. Эти две
интегральных связи принуждают фазовые кривые располагаться на
некотором двумерном торе, являющемся произведением двух эллипсов, лежащих
в пространствах {х, х) и {у, у) и определяемых этими связями. Чтобы
убедиться в этом, перейдем к переменным «действие-угол» (Голдстейн [1980],
Арнольд [1974]):
2/1
^Ш
smfi, а; = у/^iwi cosfi,
A.8.35)
у = \j VJ^ 811102, У = V'2/2W2COS02-
В результате получим систему
h =0, /2 = О,
^1 = Wl, О2 ^ 0J2,
A.8.36)
рещение которой при начальных условиях [1^, I2, 9^, 62) имеет вид
Ii(t)=I?, hit) = It
ei{t)=0Jit + e\, в2{Ь) = 0J2t + el
Таким образом, четырехмерное фазовое пространство заполнено
двумерными торами I = 1^, I2 = I2, каждый из которых несет рациональный
или иррациональный поток в зависимости от соотношения —!-. Вообще,
интегрируемые гамильтоновы системы с п степенями свободы
порождают потоки на п-мерных торах (см., например, Арнольд [1974], Голдстейн
[1980]). Фундаментальная статья Колмогорова [1957] послужила основой
КАМ-теории (см. разд. 4.8 и 6.2).
Упражнение 1.8.14. Рассмотрим гамильтонову систему на R* с гамильтониа-
Д.2 у2 ^2 ^3 у'2 уЗ
ном Н{х, х,у,у) = ~7Г + ~^ + ~^~'г~7г-'г-^ 7г- Покажитб, что существуют два
независимых интеграла, и опишите структуру орбит системы. (Здесь представлен
особый случай системы «анти-Хенона-Хейлеса», см. Нёпоп, Heiles [1964], Aizava,
Saito [1972].)
Потоки на двумерных торах (более обще, на гг-мерных торах)
возникают также при изучении связанных неконсервативных осцилляторов,
Глава 1
имеющих предельные циклы. Рассмотрим, например, два идентичных
осциллятора Ван дер Поля при наличии слабого линейного взаимодействия /3
и малой расстройки S:
X + е{х — 1)х + X = C{у — ж),
У + е(у^ - 1)у + У = 13{х -у)-5у
2 ... ^, . . 0==; |(^|, |/3| <С£<С1. A.8.38)
Известно, что при (^ = /3 = О каждый из осцилляторов Ван дер Поля
обладает притягивающим предельным циклом, описываемым (приближенно)
соотношением
x{t) = 2 cos(t + el), x{t) = -2 sm{t + в^
y{t) = 2 cos(t + 0°), y{t) = -2 sm{t + 0°
A.8.39)
где 01, 02 — произвольные (фазовые) постоянные, определяемые из
начальных условий (см. разд. 2.1). Произведение S^ х S^ двух окружностей
радиуса два в плоскостях [х, х) и {у, у) является двумерным тором Т^ С М .
Однако, в отличие от двухпараметрического семейства торов в
вышеприведенном гамильтоновом примере, данный тор является аттрактором;
действительно, близлежащие орбиты приближаются к нему экспоненциально,
и, как мы увидим ниже, он сохраняется при возмущениях. Таким образом,
малые возмущения, такие как добавление слабой взаимосвязи (/3, 5 <С е),
не могут разрушить тор в целом, как притягивающее множество.
Однако поскольку данное векторное поле на торе можно записать в
виде
^1 = -1, ^2 = -1, {01,02) (zT^, A.8.40)
то оп песет линейный (рациональный) поток, который структурно
неустойчив. Таким образом, хотя тор в целом сохраняется, структура его орбит для
связанных осцилляторов радикально изменяется. Rand, Holmes [1980]
изучили систему A.8.38) и ее обобщение и показали, что если |/3| > \5/2\ > О,
то существуют ровно две гиперболических периодических орбиты на
торах: аттрактор и репеллер. Такая ситуация называется фазовым замком
типа 1 : 1, или посадкой в поезд. Фазовый замок изучался во многих работах,
см., например, Nayfeh, Моок [1979] и имеющиеся там ссылки.
При обычно используемых схемах теории возмущений пренебрегают
членами старщих порядков @(е^)), однако, поскольку поток с двумя
гиперболическими орбитами структурно устойчив (теорема Пейксото из
следующего раздела), результат для полной системы качественно верен, так как
добавление отбрасываемых членов приводит к малому возмущению.
Однако в случае \S/2\ > \C\ приближенный анализ предсказывает, что поток на
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
торе не будет содержать аттракторов или репеллеров: либо все орбиты
периодичны, либо существует плотная орбита на Т^. Такая структурно
неустойчивая ситуация не позволяет сделать (прямой) вывод об истинном потоке
на Т^. В действительности можно ожидать существование некоторой очень
сложной последовательности бифуркаций сразу после разрущения фазового
замка. Мы будем обсуждать такую ситуацию в разделе 6.2.
Упражнение 1.8.15. Постройте структурно устойчивую систему на Г^ с двумя
замкнутыми орбитами.
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
Располагая различными примерами двумерных потоков, мы готовы
теперь сформулировать и наметить доказательство теоремы Пейксото,
представляющей собой кульминацию многих предществующих работ, в
частности, Пуанкаре [1899] и Андронова, Понтрягина [1937]. Обозначим Ж^{М'^)
множество всех векторных полей класса С^ на двумерных многообразиях.
Теорема 1.9.1 (Peixoto [1962]). Векторное поле класса С^ на
компактном двумерном многообразии Ь'Р структурно устойчиво тогда и только
тогда, когда
A) число неподвижных точек и замкнутых орбит конечно и все они
гиперболичны;
B) не существует орбит, соединяющих седловые точки;
C) неблуждающее множество состоит лишь из неподвижных точек
и периодических орбит.
Кроме того, если А'Р ориентировано, то множество структурно
устойчивых векторных полей плотно в ^^(М^).
Можно оперировать векторными полями на плоскости при условии,
что существует компакт D С М такой, что на границе D поток направлен
внутрь (или наружу). В противном случае легко построить системы,
имеющие счетное множество неподвижных точек или замкнутых орбит. Заметим
также, что для плоского фазового пространства условие C) автоматически
следует из A) и B), так как не существует других предельных множеств,
помимо неподвижных точек, замкнутых орбит и гомоклинных циклов, а
последние исключены условием B).
Из теоремы Пейксото следует, что типичное двумерное векторное поле
будет содержать только стоки, седла, источники, а также притягивающие
и отталкивающие замкнутые орбиты в качестве инвариантных множеств,
см. рис. 1.9.1(a). Структурная устойчивость является для двумерных систем
на ориентированных многообразиях типичным свойством. Многие
составные части теоремы Пейксото были доказаны Андроновым с соавторами
90
Глава 1
~\ Г
а)
TfJJ/)
Рис. 1.9.1. (а) Некоторые структурно устойчивые неблуждающие множества в
(Ь) Некоторые структурно неустойчивые неблуждающие множества в R^.
(см. Андронов и др. [1966]) в течение нескольких десятилетий, начиная
с 1935 года. Мы наметим доказательство утверждения о структурной
устойчивости.
Первое условие (гиперболичность неподвижных точек и
периодических орбит) следует из рассмотрения линеаризованного потока или
подходящих отображений Пуанкаре. Можно показать, что множества таких
линейных потоков и отображений имеют плотные подмножества
гиперболических потоков, соответственно, отображений (см. Hirsch, Smale [1974],
глава 7). Таким образом, если некоторый нелинейный поток содержит,
к примеру, негиперболическую неподвижную точку, то достаточно малого
возмущения, чтобы превратить ее в гиперболическую; кроме того,
гиперболическая неподвижная точка остается гиперболичной для всех достаточно
малых возмущений.
Второе условие можно доказать следующим образом. Допустим, что
две седловые точки pi, р2 потока векторного поля
*1 = /i(a;i,a;2),
±2 = /2B:1, жг)
соединены кривой Г = W^(j)\) П W^(jJ) (см. рис. 1.9.2). Возмутим
векторное поле (/i(a;i,a;2),/2B:1, жг)), добавляя к нему поле {еф\{х\,Х2),
вф2{х1,Х2)), имеющее компактный носитель — некоторую (малую)
область и, охватывающую кривую Г, как показано на рисунке. Легко выбрать
такое возмущение, что все орбиты, входящие в U, будут «повернуты вверх»
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
91
Рис. 1.9.2. Седловое соединение.
Ь)
Рис. 1.9.3. (а) Нарушенное соединение; (Ь) {еф1, еф2).
(или вниз), и г разрушится (рис. 1.9.3). Если же эти два многообразия не
пересекаются, то достаточно малые возмущения не могут привести к их
пересечению.
Третье условие необходимо для исключения структурно неустойчивых
неблуждающих множеств, таких как тор Т^ с иррациональным потоком,
который возникает в линейном потоке
9,ф) еТ\
A.9.1)
для иррационального отношения а/Ь (данный пример обсужден выше
в разд. 1.8). Разумеется, в случае рационального потока на Т^ этот тор
заполнен непрерывным семейством негиперболических замкнутых орбит.
Доказательство утверждения, касающегося плотности структурно
устойчивых потоков на ориентированных многообразиях более трудно
и включает в себя лемму о замыкании (Pugh [1967 a,b]). Это доказательство
можно найти, например, в Палис, Ди Мелу [1986].
Упражнение 1.9.1. Изобразите фазовые портреты семейства х = ц-
-ху,
1
1 и покажите, что при yu = О существует седловое соединение. Что
У = У
произойдет при д > О и при yu < О? (См. Guckenheimer [1973] и раздел 6.1.)
92
Глава 1
с)
Рис. 1.9.4. (а) ii<Q;{h) ц = 0; (с) yu > 0.
Хотя теорема Пейксото гарантирует, что в типичных семействах
плоских систем структурно устойчивые системы составляют множество полной
меры, нельзя исключить и существования в некоторой окрестности
бесконечного множества неустойчивых (бифуркационных) систем. Следующий
пример был предложен Ж. Палисом в связи с модулями седловых
соединений, не обсуждающимися в данной книге. Рассмотрим однопараметриче-
ское семейство а; = /^^(а;), а; G М , с фазовыми портретами, показанными
на рис. 1.9.4(а)-(с) для //<0, // = 0и//>0. Для // < О существуют две
периодические замкнутые орбиты, а для ц = О они соединяются в
единственную «полуустойчивую» орбиту, являющуюся о;-предельным
множеством для близлежащих внутренних точек и а-предельным множеством
для близких точек вне границы. Для ц > О замкнутых орбит не существует.
В узком кольце, содержащем данные орбиты, перестройка фазового нортре-
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
93
та наблюдается как локальная бифуркация замкнутых орбит типа «седло-
узел», однако глобально решающую роль здесь играет поведение
устойчивого и неустойчивого многообразий седловых точек гид. Для ji < О
а-предельным множеством для точек, лежащих на левой ветви Wf (г)
многообразия W''{r), является отталкивающая замкнутая орбита 72, а w-npe-
дельным множеством для точек обеих ветвей многообразия W" (q) служит
притягивающая замкнутая орбита 71 • При fi = О эти две орбиты сливаются
в орбиту 7о> являющуюся а;-предельным множеством для точек из W"{q)
и а-предельным множеством для точек из Wf{r). Чтобы увидеть, что
происходит с Wf{r) и W"{q) при ц > О, построим локальное сечение S,
изображенное на рис. 1.9.4(b). В случае ц = О кривая 70 пересекает S
в точке ро, и каждое из множеств Wf{r) П Е, Wi^{q) П Е и W^{q) П Е
представляет собой счетную последовательность точек, накапливающихся
к Ро, первая из них — сверху, остальные две — снизу, см. рис. 1.9.5(a), (Ь).
Положим Wf (г) П Е
{гО-1, wnq)n^ = te^i, и^,"(д)пЕ = {^а?
?2 -
?1
ТР2
Р\
-Ч-2
а)
42-
'Ро
■?2
Ь)
?з = ■
?2-
с)
Рис. 1.9.5. Поперечное сечение: (а) д < 0; (Ь) д = 0; (с) ji > 0.
Мы имеем отображение Пуанкаре, определенное в некоторой
окрестности t/ С Е, причем по построению P^'^lri) = r^+i, P{qi) = qi+i, Piq'i) =
= q'i-\.i- Ясно, что при p > {) все орбиты пересекают выщеупомянутую
кольцевую область и покидают ее сверху с ростом времени, а снизу —
в противоположном направлении через некоторое конечное число итераций
(данное число неограниченно растет при рь -^ +0). Таким образом, для
любого е > О и // G [0,е] существуют счетные множества точек tj, qj, 5',
где j > N, на Е. Следовательно, в интервале ц G [О, е] имеет место счетное
число бифуркаций гетероклинных седловых соединений, и бифуркационное
множество представляет собой последовательность точек jii, накапливаю-
94 Глава 1
щуюся сверху к нулю. Тем не менее, поскольку структурно неустойчивые
системы существуют при изолированных значениях fii, мы все-таки имеем
открытое плотное множество структурно устойчивых систем в окрестности
системы X = fo{x).
Принимая во внимание теорему Пейксото, Смейл предложил изучать
системы на компактных «-многообразиях, удовлетворяющих условиям A)
и C) теоремы 1.9.1 с подходящей модификацией условия B) в свете
теоремы 1.8.3. Такие системы называют теперь системами Морса-Смейла.
Определение. Система Морса-Смейла определяется следующими
свойствами:
A) число неподвижных точек и периодических орбит конечно и все
они гиперболичны;
B) все устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются транс-
версально;
C) неблуждающее множество состоит только из неподвижных точек
и периодических орбит.
В понятие трансверсального пересечения мы включаем и пустое
множество, так как очевидно, что если два многообразия не пересекаются
(т. е. удалены друг от друга), то никакое малое возмущение не приведет
к их пересечению.
Затем были выдвинуты следующие гипотезы:
Система структурно устойчива тогда и только тогда, когда она является
системой Морса-Смейла;
Системы Морса-Смейла плотны в или в ЗС^{М);
Структурно устойчивые системы плотны в Diff (Л'/) или в ЗС^{М).
Здесь 1)Ш^{М) (соответственно ЗС^^М)) обозначает множество всех
С-диффеоморфизмов (соответственно векторных полей) на
конечномерном многообразии М. В дальнейшем мы изучим примеры систем,
показывающие, что все три эти гипотезы ложны. Спасти удается лишь часть
первой гипотезы: системы Морса-Смейла действительно являются структурно
устойчивыми (обратное неверно). Одним из основных шагов в
опровержении первых двух гипотез явилось построение Смейлом подковообразного
отображения: двумерного диффеоморфизма, обладающего сложным
инвариантным множеством и встречающегося в некоторых задачах теории
вынужденных колебаний. Перед тем как познакомиться с этим
отображением в пятой главе, мы рассмотрим некоторые примеры трехмерных систем,
включая осцилляторы с одной степенью свободы и периодическим
возбуждением, обладающие очень сложной структурой решений. Эти системы
предоставляют дополнительные контрпримеры к вышеприведенным
гипотезам и потому представляют исторический и практический интерес.
Глава 2
Введение в хаос: четыре примера
в данной главе мы познакомимся с четырьмя нелинейными системами,
которые обладают замечательными свойствами и которые до сих пор
остаются неверно понятыми. Мы выбрали две колебательных системы с одной
степенью свободы и периодическим возбуждением, трехмерное автономное
дифференциальное уравнение и двумерное отображение. Осцилляторы Ван
дер Поля (van der Pol [1927]) и Дуффинга (Duffing [1918]) первоначально
возникли как модели в теории электрических цепей и механике твердого
тела соответственно, а уравнения Лоренца (Lorenz [1963]) представляют
собой усечение уравнений в частных производных, описывающих конвекцию
в жидкости. Наконец, наше отображение моделирует простую систему с
повторяюгцимися ударами (Holmes [1982]), а также, в слегка измененной
форме, резонансные проблемы в атомной физике (Чириков [1979], Green
[1980]). В действительности, консервативная, сохраняющая площадь
версия этого отображения интенсивно изучалась как канонический пример
перехода к стохастичности и хаосу в гамильтоновых системах. Диапазон
приложений описанных здесь моделей должен навести на мысль о
важности нелинейных систем.
Предложенные вначале как модели физических процессов, все четыре
системы затем щироко исследовались и обрели самостоятельную
математическую жизнь. Таким образом, в наших коротких обзорах этих проблем
мы сможем наметить значительную часть последующего материала
книги, включая теорию бифуркаций векторных полей и отображений, методы
возмущений и усреднения. Мы будем приводить многие результаты без
надлежащих пояснений или доказательств, но затем заполнять пробелы,
возвращаясь к этим четырем примерам по мере последовательного
развития используемого аналитического аппарата. Поэтому читателю не следует
ожидать полного усвоения материала данной главы при первом чтении, но
следует вернуться к нему при появлении этих примеров в последующих
главах.
Хотя анализ всех примеров выполнен в похожем стиле, конкретные
методы значительно различаются. При изучении этих задач оказались
полезными почти все приемы прикладной математики, и данная глава отражает
это. В частности, в каждом из случаев мы проиллюстрировали типичное
поведение систем при помощи численного интегрирования и итераций. Хо-
96 Глава 2
тя компьютер редко позволяет доказывать теоремы, в нелинейной динамике
он зачастую подсказывает результат, который следует попытаться доказать,
в связи с чем численное моделирование является неоценимым средством.
Мы настоятельно рекомендуем читателю провести самостоятельную
работу по интегрированию данных и аналогичных систем. Даже относительно
низкая точность, достижимая на микрокомпьютере с видеоэкраном,
позволяет проиллюстрировать многие интересные особенности этих нелинейных
динамических систем.
2.1. Уравнение Ван дер Поля
Уравнение Ван дер Поля является примером осциллятора с
нелинейным трением, в котором энергия рассеивается при больших амплитудах и
генерируется при малых амплитудах. Для таких систем типично наличие
предельных циклов; они колеблются вблизи состояний, в которых приток и
диссипация энергии сбалансированы, что имеет место во многих
физических проблемах.
Первоначально Ван дер Поль (van der Pol [1927]) использовал это
уравнение как модель электрической цени с ламповым триодом, сопротивление
которой зависит от силы тока: отрицательное сопротивление при малом
токе становится положительным по мере его роста (статья Ван дер
Поля перепечатана в Bellman, Kalaba [1964]). Дальнейшую информацию о
нелинейных осцилляторах как моделях электрических цепей можно
найти в Хаяши [1964]. Осциллятор с одной степенью свободы и предельным
циклом, аналогичный системе Ван дер Поля без внешней нагрузки,
встречается также в моделях колебаний зданий под действием ветра при
распространении вихрей (Novak, Davenport [1970], Parkinson [1974], Hartlan,
Currie [1970]), в общей проблеме аэроупругого флаттера (Dowell [1975,
1980], Holmes [1977], Holmes, Marsden [1978]), при изучении устойчивости
транспортных средств с резиновыми шинами или с гусеницами (Cooperrider
[1980], Beaman, Hedrick [1980], Taylor [1980]), a также в некоторых моделях
химических реакций (см. Uppal et al. [1974])'.
Основную систему можно записать в виде
X + аф{х)х + X = f3p{t), B.1.1)
где функция ф{х) четна, отрицательна при |а;| < 1 и положительна
при \х\ > 1,^ функция p{t) имеет период Т, а а, /3 — неотрицательные
' Исследованию уравнения Ван дер Поля посвящено большое число работ в отечественной
литературе. (См., например, Андропов [1959], из современных — Морозов [1, 2].) — npiui. ред.
^Для справедливости результатов, указанных ниже, па функпию ф{х) необходимо пало-
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля 97
параметры. Для дальнейшего удобно переписать B.1.1) как автономную
систему
X = у — аФ{х),
у = -х + 13р{в), {х,у,в)еМ.'^ xS^, B.1.2)
0 = 1,
X
где Ф(а;) = J ф{^) d£^ — нечетная функция, равная нулю при х = О и х =
о
= ±а для некоторого а > 0. Многие из упомянутых здесь результатов
справедливы в общем случае, но для простоты мы сначала допустим, что
ф, Ф и р имеют вид:
ф{х)=х'^-1; Ф{х) = }гх^ - х; p{t)=cosLut. B.1.3)
о
Для задач с интенсивным возбуждением мы будем использовать кусочно-
линейные функции.
Отсутствие возбуждения, /3 = 0
Двумерная система, получаемая из B.1.2) при /3 = 0, весьма проста.
Сначала предположим, что а <С 1 — малый параметр, так что система B.1.2)
является возмущением линейного осциллятора
X = у, у = —X, B.1.4)
фазовая плоскость которого заполнена круговыми периодическими
орбитами периода 27г. Используя обычные методы теории возмущений или
усреднения, можно показать, что ровно одна из этих орбит сохраняется при
возмущениях. Применяя обратимое преобразование
и\ _ I cost —smt\ fx
vj ~ I — sint —cost) \y
мы преобразуем B.1.2) к виду
й = —acost[{ucost — vsmt)^/3 — {ucost — vsint)]
V = asmt[{ucost — vsint)^ /3 — {ucost — vsint)].
B.1.5)
B.1.6)
жить дополнительные ограничения при \х\ —» оо. В частности, если нужно получить
единственную устойчивую периодическую орбиту, мы потребуем, чтобы эта функция оставалась
при \х\ —» оо строго положительной (см. Stoker [1950]).
98 Глава 2
Заметим, что это преобразование сохраняет ориентацию. Данное свойство
не имеет особого значения, помимо традиций исследований нелинейных
колебаний.
Затем мы усредняем правые части в B.1.6) с целью аппроксимировать
функции и, V, которые медленно меняются вследствие малости
производных й м V. Интегрируя их по времени на промежутке [О, 27г] при
постоянных u,v, получим
1 - (и2 + v^)/A
й = аи ■ .
B.1.7)
1 - (и2 + г-2)/4
V = av ■ .
Теория усреднения, описанная в разделе 4.1, показывает, что данная система
точна в первом приближении и имеет погрешность 0{а^). Следовательно,
в полярных координатах мы имеем
Пренебрегая членами 0{а^), можно утверждать наличие у этой системы
притягиваюгцей окружности г = 2, состоягцей из неподвижных точек, что
отражает существование однопараметрического семейства почти
синусоидальных решений
X = r{t) cos{t + ip{t)) B.1.9)
с медленно меняюгцейся амплитудой r{t) = 2 + О(а^) и фазой (p(t) = (р^ +
+ 0@^), где постоянная ср'^ определяется начальными условиями.
Если а не мало, процедура усреднения не срабатывает и необходимо
использовать другие методы. Этот случай обсуждается, например, в Hirsch,
Smale [1974, глава 10]. Однако другой предельный случай при больших а
снова можно определить методами теории возмущений, хотя последние на
сей раз сингулярны. Полагая у = у/а и сохраняя прежние обозначения для
переменных, получим из B.1.2)
а\у
v = --
х^
='f{x,y). B.1.10)
Так как а ^ 1 ^ 1/а, имеем \х\ ^ \у\ вне некоторой окрестности
кривой '€, заданной уравнением у = ж^/З — ж. Поэтому семейство Ж
горизонтальных прямых у = const аппроксимирует поток B.1.10) вне '€ с
точностью, улучшаюгцейся при а —^ сх). Вблизи ^, и особенно в случае
\у — {х^/3 — х)\ = 0{1/а^), две компоненты решения сравнимы по
величине, и, следовательно, в этом пограничном слое интегральные кривые
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля
99
пограничный слои
0A/а)
Рис. 2.1.1. Разрывные колебания.
резко заворачивают и идут вдоль '^ до тех нор, пока они не достигнут
критической точки '^ с координатами а; = ±1,у = =р-, где они должны
покинуть *)^ и идти вдоль Ж до другой точки *)^ (см. рис. 2.1.1). Переходя
от этих идей к точным формулировкам, можно найти такую кольцевую
область R, на границе которой векторное поле направлено внутрь и которая,
вследствие теоремы Пуанкаре-Бендиксона, должна содержать замкнутую
орбиту, поскольку при а ^ О она не содержит положений равновесия. Для
доказательства единственности этой орбиты покажем, что поскольку
решения проводят большую часть времени вблизи устойчивой ветви '£, на
которой след Df = —а{х^ — 1) < О, то любая орбита внутри кольца R должна
быть асимптотически устойчивой; поэтому может существовать только
одна такая орбита. Дальнейшую информацию и обзор можно найти в Stoker
[1950, 1980].
Вынужденные колебания
Сейчас мы совершим первую важную экскурсию в мир трехмерных
динамических систем. Для начала положим, что а, /3 <С 1, и воспользуемся
преобразованием, аналогичным B.1.5). Поскольку теперь нас интересуют
(почти) периодические движения, мы применяем 27г/а;-периодическое
преобразование
^ )(,,); B.1.11)
•У J \—sincji
в результате B.1.2) примет вид
й = —аФ{х) cosLut
LU
■ COS LOt I
X sin LOt -
V = -аФ(
Я
-p{t) sin ivt,
/5.
(x) sin LUt — ( — j X COS tot — JjP{t) COS LUt
100 Глава 2
Таким образом, если Ф(а;) = ж^/З — а; и p{t) = coscji, то мы получаем
fx^\ , , /1 -u}'^\ ■ ^ 0 ■ и.
и = —а\—— х\ cosLot + I ——— IXsmloi — — smloxcoscji,
^ -^ ^ ^ ^ B.1.12)
V = a\ —: X\ sm Cjt + -; X COS LOt — — COS Cjt,
3 ) \ ^ J ^
где a; = Mcoscjt — wsincjt. Будем считать, что мы находимся вблизи
резонанса, так что величины |cj^ — 1|, а и /3 малы. В результате усреднения
системы B.1.12) (см. разделы 4.1^.2) получаем
и = —\и — av — —(и + V )
^ +0{а^), B.1.13)
где сг = A — cj^)/acj — величина порядка 0A). Заметим, что если cj = 1
и /3 = О, то B.1.13) переходит в B.1.7). Промасштабируем и, v с
множителем 2 и заменим i ^ B/a)t, тогда B.1.13) можно переписать в виде
й = и — av — и{и^ + w^),
V = аи + V — v{u^ + w^) — 7,
2 , 2, B-1-14)
где 7 = /3/2аа; и опущены члены О(а^).
В главе 4 мы увидим, что отображение вдоль потока усредненных
уравнений B.1.13) за время 27r/cj служит аппроксимацией отображений
Пуанкаре B.1.12) и, следовательно, B.1.1). Следовательно, фазовый
портрет системы B.1.13) или B.1.14) представляет интерес. В частности,
гиперболические неподвижные точки и гиперболические замкнутые орбиты
системы B.1.14) отвечают периодическим орбитам и, соответственно,
инвариантным торам, несугцим множество условно-периодических решений
системы B.1.1)-B.1.2). В инженерной литературе решения первого типа
называют резонансными замком вида A : 1), или затянутыми, а
второго типа — дрейфующими'^, хотя, как мы увидим в последующих главах,
такие решения зачастую включаются в резонансные более высокого
порядка {р : q).
Перейдем к описанию различных фазовых портретов системы B.1.14)
в зависимости от параметров а, 7- Это описание базируется на
работах van der Pol [1927], Cartwright [1948], Giles [1954] и Holmes, Rand
'B отечественной литературе такие термины обычно не используются. В первом случае
говорят о захвате в резонансе вида A : 1), во втором — о двухчастотном режиме. — Прим. ред.
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля
101
а)
Ь)
Рис. 2.1.2. Бифуркационные множества для усредненного уравнения Ван дер
Поля B.1.14), из работы Холмса и Ранда [1978]: (а) общая картина; (Ь) область Q
(увеличенная и деформированная).
[1978]. Удобно вначале нарисовать бифуркационное множество в
пространстве а, 7, т. е. множество точек, для которых поток системы B.1.14)
структурно неустойчив: см. рис. 2.1.2. Соответствующие фазовые портреты
показаны на рис. 2.1.3 (подробные описания бифуркаций приведены ниже,
в главе 3). В этой двупараметрической системе структурная
неустойчивость имеет место в нескольких различных случаях, перечисленных ниже.
Во-первых, заметим, что в областях 1 и 111 существует единственная
неподвижная точка (сток в I и источник в III), в области II имеется два стока
и седло, а в области IV (= IVa U IVb) — сток, седло и источник.
Вначале перечислим бифуркации, которые можно обнаружить при
обычном линейном анализе:
(i) На кривых DA и АС, обозначенных Bg, система имеет одну
гиперболическую и одну негиперболическую неподвижную точку: имеет место
бифуркация седло-узел. Такая бифуркация описывает слияние и
последующее исчезновение двух положений равновесия при переходе из области
II или IV в области I или III. На DO мы имеем сток и седло-узел с
нулевым и положительным собственными значениями; на О А и АВ — сток
102
Глава 2
Пересечение открытого отрезка ОА
^ - ^ - ^
Область I (сток) На В^^ (сток и
седло-узел)
Пересечение открытого отрезка 0D
Область II
B стока.седло)
W\A^^
Область I (сток) На В5С (сток и
сед.ло-узел)
Пересечение открытого отрезка АВ
Область VI (сток,
источник, седло)
(эХ
Область II На В5С (сток и
B стока, седло) седло-узел)
Пересечение открытого отрезка BE
Область I (сток)
C^
Область I (сток) На Bf^ (центр) Область III (источник
и предельный цикл)
Пересечение открытого отрезка ОВ
Область II
B стока, седло)
На Bji (сток Область VI (сток, седло,
седло, центр) источник, предельный цикл)
В точке О (сток и
особая точка
коразмерности 2)
На В.,,. (источник. На СВ вблизи точки В
сток, седловое (источник, предельный
соединение) цикл, седло-узел)
В точке А На CS (источник В точке S (источник и
(вырожденный узел) и седло-узел на соединение посредством
предельном цикле) седло-узел)
В точке В В точке С(источник и
(центр и седло-узел) окружность из вырожденных
особых точек)
Рис. 2.1.3. Фазовые портреты уравнения B.1.14).
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля 103
и седло-узел с нулевым и отрицательным собственными значениям;
наконец, на ВС — источник и седло-узел с нулевым и отрицательным
собственными значениями.
(ii) На ОЕ сток (или один из стоков) становится негиперболическим:
он имеет пару чисто мнимых ненулевых собственных значений — имеет
место бифуркация Хопфа. В этой бифуркации из положения равновесия
появляется окружающий его предельный цикл. В данном случае предельный
цикл устойчив.
Бифуркации седло-узла и Хопфа будут рассмотрены в главе 3.
Кроме того, наблюдаются более вырожденные бифуркации:
(iii) В точке А: {а, 7) = (I/n/S, д/8/27) имеется единственная
негиперболическая неподвижная точка с нулевым и отрицательным
собственными значениями.
(iv) В точке О: [а, 7) = A/2,1/2) имеется сток и вырожденная
неподвижная точка с двойным нулевым собственным значением.
(v) В точке С: {а, 7) = @,0) имеется источник и окружность
вырожденных седло-узлов, как в усредненной системе B.1.7).
Соответствующие фазовые портреты изображены в верхних пяти рядах
на рис. 2.1.3. Бифуркации двойного вырождения (iii) и (iv)
рассматриваются в главе 7. Случай (v) «бесконечно вырожден», так как здесь имеется
континуум неподвижных точек.
Cartwright [1948] заметила, что фазовые портреты в области IV
вблизи ОВ и вблизи OD топологически неэквивалентны: первый имеет
предельный цикл (рожденный в бифуркации Хопфа), а второй — нет. Она
предположила, что должны существовать дополнительные точки бифуркаций,
в которых предельные циклы исчезают, и область IV нужно поделить на
две подобласти IVa и IVb. Gillies [1954] частично обосновал эту гипотезу,
используя численные решения. Holmes, Rand [1978] показали, что гипотеза
верна по существу и что:
(vi) Существует третья бифуркационная кривая OS{Bsc), касательная
к Bs и к Вн в точке О, на которой существует гомоклиническая орбита
к седловой точке. При приближении к Bsc сверху (IVa) период замкнутой
орбиты неограниченно растет и она сливается с седловым соединением,
которое разрушается при входе в область IVb. Другие, более вырожденные
ситуации имеют место в точках В и S, а на CS вышеупомянутая
бифуркация «седло-узел» происходит на некоторой замкнутой орбите. Эти случаи
изображены в трех нижних строках рисунка 2.1.3. Все эти бифуркации
типичны для двупараметрических семейств и будут изучены ниже. Заметим,
что седло вое соединение на Bsc и седло-узел на замкнутой орбите на SC
представляют собой «экзотические» предельные множества для двумерных
потоков и представлены в первой главе.
104 ГЛАВА 2
Обращаясь к рисункам 2.1.2, 2.1.3, мы видим, что область затянутых
колебаний в пространстве параметров ограничена кривыми {СВ) U {BE),
так как выше этих кривых существует хотя бы один сток для B.1.14) и,
следовательно, полная система B.1.2) имеет периодическую орбиту
периода 27r/cj. В областях IVa и III система B.1.14) обладает устойчивым
гиперболическим предельным циклом и, следовательно, полная система B.1.2)
имеет притягивающий тор с квазипериодическим решением на нем. В
областях II и IVa сосуществуют два притягивающих решения (в первой —
два стока, во второй — сток и предельный цикл), поэтому в области IVa
возможны и резонансное, и квазипериодическое колебания.
В главе 4 мы увидим, что бифуркации седло-узел и Хопфа,
имеющие место в усредненном уравнении B.1.14), соответствуют аналогичным
бифуркациям для отображения Пуанкаре в полной системе, а глобальные
бифуркации, происходящие на OS и CS, сигнализируют о наличии более
сложных явлений для отображения. Аналогичные явления, включающие
трансверсальную гомоклиническую орбиту, происходят в уравнении Ван
дер Поля с сильным возбуждением, которое обсуждается ниже, а также в
других примерах данной главы.
Перейдем теперь к осциллятору с сильным возбуждением, считая в
уравнениях B.1.1), B.1.2) а,/3 ^ 1. При изучении этих уравнений, в
связи с моделями радарного оборудования, Cartwright и Littlewood [1945]
заметили, что для некоторых диапазонов изменения параметров можно
получить два различных устойчивых квазипериодических движения
периодов Bfc ± l)B7r/cj), где к — большое число'. Впоследствии Levinson [1949]
и Levi [1978, 1981] исследовали упрощенную кусочно-линейную модель,
что позволило получить больше информации. Мы приведем некоторые из
этих результатов, основываясь на геометрической интерепретации Levi.
Заметим, что Гукенхеймер [1980а] также разработал некоторую
геометрическую модель, описывающую поведение систем с сильным возбуждением
для различньгх диапазонов изменения параметров.
Как и ранее, нромасштабируем B.1.2), полагая у = у/а и сохраняя
прежнее обозначение для у. Получим сингулярно возмущенную проблему
± = а(у-Ф(х)), ij =l(-x + f3p{t)). B.1.15)
Далее для простоты будем считать, что
2 + ж, X < -1,
Ф(а;) = ^ —X, М < 1>
— 2 + х, X > 1
'в действительности, это уже было экспериментально обнаружено Ван дер Полем и Ван
дер Марком [1927]. Более современный анализ затянутых колебаний содержится в Flaherty,
Hoppensteadt [1978].
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля
105
у=Ф{х)
PAR)
Рис. 2.1.4. Область захвата для уравнений Ван дер Поля B.1.15)-B.1.16).
p{t) =
1,
1,
t е
t е
пТ,{п + 1]Т
2
Т, (п
1)Т
B.16)
— кусочно-линейные функции.
При достаточно большом фиксированном значении а снова удается
отыскать кольцевую «область захвата» R С R такую, что (периодическое
по времени) векторное поле B.1.15) всегда направлено внутрь R. Если взять
сечение Т, = {{x,y,t) \ t = 0}, то отображение Пуанкаре для B.1.15) Рр
отображает R в себя: см. рис. 2.1.4. Поскольку Pf}{R) С R, мы можем
определить притягивающее множество Ар так:
^^ = П ^/з"(^)- B-1-17)
Для больших значений а степень сжатия в области R столь велика,
что при численных расчетах область Ар кажется замкнутой кривой.
Однако, как показали Cartwright, Littlewood и Levinson, из сосуществования двух
таких аттракторов с разными периодами следует, что Ар должна быть более
сложным множеством. Для полного уяснения этого требуется знание чисел
вращения, которые будут приведены в разделе 6.2. Здесь же мы по
большей части даем неформальное описание притягивающего множества Ар,
основанное на работе Levi.
106
Глава 2
/ у=Ф{х)
т
1/2
1 /
^^^^ X
h: h
ft 1 ft
Рис. 2.1.5. Отображения Пуанкаре, построенные Леви (см. Леви [1981]): (а)
кольцо А^ и области i?,+, R~; (b) редуцированное отображение кольца Fp и его
одномерная аццроксимация fp: S^ -^ S^; символом о отмечены устойчивые неподвижные
точки, символом X — неустойчивые неподвижные точки.
После разумного числа (допустим, п = 50) итераций множество А^ =
п
= П Pg{R) будет представлять собой тонкое кольцо, стороны которого
/с=0
лежат вблизи кривой у = Ф(а;), см. рис. 2.1.5. Точки медленно дрейфуют
вниз с правой стороны и вверх с левой стороны от А^ и быстро
перескакивают через низ (или верх) А^; таким образом, все точки циркулируют
по часовой стрелке, как и в невозмущенной проблеме (см. рис. 2.1.1). По
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля 107
существу, боковое движение является медленным из-за малого члена —х/а
в B.1.15) в сочетании с имеющими нулевое среднее и амплитуду 0A)
колебаниями вследствие члена (ip{t)/a. Так как на каждом цикле точки проходят
вдоль вертикали расстояние
т т т
y{T)-y{Q) = l[jpp{t)dt- jx{t)dt\ =-\jx{t)dt=oO^),
0 0 0
B.1.18)
мы можем выбрать параллелограмм Д+ С А^, показанный на рис. 2.1.5,
верхняя граница которого отображается при отображении рр в нижнюю
границу. Более того, вследствие быстрого сжатия каждая из точек R время
от времени возвращается в Д+ при повторных итерациях отображения Рр,
см. рис. 2.1.5(a).
Точки вблизи нижней части R^ дрейфуют вниз и перескакивают левую
ветвь графика у = Ф(ж) до тех пор, пока в момент t = Г/2 они не начнут
движение вверх, поэтому остальные точки из Д+ не смогут перескочить
до момента t > Т. Таким образом, как показал Леви, параллелограмм Д+
растягивается, складывается и изгибается таким образом, что полоски а-Ь,
Ь-с, c-d расположатся по прошествии времени 2Т так, как показано на
рис. 2.1.5(a), т.е. на левой ветви графика у = Ф{х). Затем образ каждой
точки р G i?+ дрейфует вверх без существенного дальнейшего смещения
до тех пор, пока он не достигнет симметрично расположенного
параллелограмма R^ в момент кТ ± Г/2, зависящий от расположения точки р в i?+.
Здесь к = б{1/а) — большое целое число. Затем вновь происходит скачок
и процесс растяжения, после чего образ дрейфует вниз вдоль левой ветви,
попадая в Д+ после 2/г± 1 итераций отображения Пуанкаре. Таким образом,
возвратное отображение Д+ в себя представляет собой композицию двух
отображений, каждое из которых описывает простой скачок, свертывание и
последующий дрейф и которые идентичны вследствие симметрии задачи:
Ф(а;) = —Ф{—х), {p{t + Г/2) = —p{t). Следовательно, достаточно изучить
отображение за время одного прыжка к ± -, F^: Д"*" н^ R~, схематично
показанное на рис. 2.1.5(b).
Для того чтобы сделать отображение непрерывным, отождествим
верхний и нижний углы, получая таким образом (малое) кольцо. При этом мы
теряем информацию о том, возвращается ли точка через 2к+1 или 2/г — 1
итераций, помня при этом, что точки вблизи верхнего края движутся дольше.
Леви показал, что если отображение имеет две устойчивые неподвижные
точки, то одна из них соответствует орбите периода 2к + 1, другая — орбите
периода 2к—1, что объясняет вышеприведенное наблюдение. Однако можно
получить дополнительные свойства: заметим, в частности, что, вследствие
свертывания Ар, не может быть простой замкнутой кривой.
108 Глава 2
Так как а >> 1, при каждом применении отображения Пуанкаре
сжатие является очень сильным (точки приближаются к аттрактору со
скоростью е~" *), поэтому представляется разумным заменить
«редуцированное» отображение кольца Fp: Д+ н^ R^ на необратимое
отображение /^з: S^ 1-^ S^, определенное на некоторой окружности (этот процесс
более подробно будет рассмотрен в главе 5). Как показал Леви, почти все
свойства -F'^з и, следовательно, P^з могут быть выявлены из анализа
одномерного отображения. Одно из таких отображений схематично изображено
на рис. 2.1.5(b). Длина интервала {61,62) увеличивается, в то время как
остальная часть окружности сжимается, причем ее ориентация
изменяется. Это необратимое отображение имеет четыре неподвижные точки: две
устойчивые (|/д| < 1) и две неустойчивые (|/д| > 1). При изменении /3
отображение ff} в основном смещается вдоль вертикали, и эти
неподвижные точки могут исчезать парами в бифуркациях седло-узел, которые мы
не будем здесь рассматривать. Начиная с этого момента, опустим индекс /3
и будем писать просто /.
Вместо того чтобы попытаться детально исследовать данное
отображение аналитически, мы будем изучать его численно. Вначале покажем, что
/ имеет бесконечно много неустойчивых неподвижных точек в интерва-
C1J, [С1, ^ '
1з, тогда из рис. 2.1.5(b) видно, что
ле [61,02]. Обозначим интервалы [0,611], [6i, ^J, [21^2], [6*2,1] как Iq, h, I2,
fih) Э h,
fih)DhUl2Uh,
f{l2)DloUhUl2,
f{h) Э h.
B.1.19)
Основываясь на этих соотношениях, мы можем выписать матрицу перехода
B.1.20)
А = [a,j\
'0 10 0'
0 111
1110
0 0 10
где aij = 1, если f{Ii) D Ц. Из формул B.1.19)-B.1.20) можно найти
такие орбиты, которые движутся из li в Ij: для них aij = 1. Заметим, что
данное равенство не необходимо: например, ago = ^зз = О, однако в
множествах /о и 7з существуют (устойчивые) неподвижные точки. Следовательно,
поскольку aij = 1 для г, j = 1, 2, то существуют орбиты, посещающие /i
и /2 в любом предписанном порядке. Мы будем представлять такую
орбиту {а;/е}^д бесконечной последовательностью из единиц и двоек {ak}'^Q
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля 109
такой, что
at. = 1. если f (хп) G Ь.
B.1.21)
dk
2, если f{xo) е /а.
Такое представление орбит отображений или дифференциальных
уравнений в виде символьной последовательности называют символической
динамикой. Мы рассмотрим его подробно в главе 5, где будет показано, что
при некоторых условиях существует гомеоморфизм между отображением /
и оператором сдвига
{<j{ak})j =%+1,
определенный на пространстве символьных последовательностей формулой
сг{ао, «1, «2, ■ ■ ■ } = {«1, «2, аз, . . . }.
Данный факт позволяет свести анализ динамики отображения / к
рассмотрению всевозможных допустимых последовательностей. В обсуждаемом
случае путем расширения / на интервал 7i U 7| можно установить, что
каждая бесконечная последовательность {а/с}^о соответствует
единственной орбите {xfcl^g отображения /, и обратно.
Поскольку каждой периодической символьной последовательности
соответствует ровно одна периодическая орбита отображения /, несложно
пронумеровать эти орбиты. Начало этой нумерации представлено в
таблице 2.1.1. Чтобы увидеть, что любая такая орбита, скажем, периода к,
г) 1-
неустойчива, рассмотрим производную -^{f (р)) к-й степени отображе-
ния / в произвольной точке р этой орбиты. Повторно применяя теорему о
производной сложной функции, имеем
^(Г(Р)) = ПМ(/'(Р))' B.1.22)
i=o
df
и, поскольку -кт; > ^ для в е [в^, 62], это произведение необходимо больше
Ои
единицы. Следовательно, данная орбита является репеллером.
Конечно, многие точки из 7i U /г = [^i, ^2] в конечном итоге
отображаются вовне этого интервала в Iq или в 7з- Хотя они могут впоследствии
вновь войти в 7i и /2, большинство таких точек сходятся в итоге к одной
из устойчивых неподвижных точек в Iq или в 7з- В действительности,
инвариантное множество Л точек, остающихся в 7i U /2, имеет нулевую меру,
хотя оно и содержит счетное множество периодических орбит и несчетное
множество непериодических орбит, отвечающих непериодическим
последовательностям {ak}'kLo- Даже несмотря на то, что большинство орбит не
no
Глава 2
Таблица 2.1.1. Нестабильные периодические орбиты для /в [Oi, 82] = /i U /2.
Период Число орбит Символьная последовательность
1
2
3
4
5
2
1
2
3
6
111111...; 22222...
121212...
112112112...; 122122122...
11121112...; 11221122...; 12221222...
11112...; 11122...;11222...;
12222...; 12121...;21212...
стремятся асимптотически к Л, данное множество, тем не менее, оказывает
заметное влияние на наблюдаемую динамику отображения /, как
демонстрируют приводимые ниже численные расчеты.
Для простоты выберем кусочно-линейное отображение
Г B-^)
fi^) = {
, X G
Юж —4, X е
10а; — 5, X G
{3-х)
п
18
[41
1
L2'
18"
4lJ
1
' 2J
23
41J
23
41'
B.1.23)
определенное на интервале / = [0,1] (mod 1) (см. рис. 2.1.6). Читатель
может без труда проверить, что это отображение непрерывно и имеет стоки в
я X = ^. Недифференци-
точках X
и источники в точках х
18 23
руемость данного отображения в точках поворота х = -^, 7i ^^ важна для
наших целей в этом примере.
На рисунке 2.1.7 показаны некоторые типичные орбиты f'^{xi) для
точек Xi е /. -Ясно, что орбита, стартующая достаточно близко к любому
стоку, просто сходится к нему (рис. 2.1.7(а,Ь)). Однако орбиты, начинаю-
[18 231
-jj, -jT ИЛИ попадающие в нее, ведут себя
менее правильно, и, в то время как почти все такие орбиты сходятся к тому
или иному стоку, наличие в 7i U /г неустойчивого инвариантного
множества проявляет себя в чувствительной зависимости от начальных условий.
На рис. 2.1.7(с)-(е) показаны орбиты, начинающиеся близко друг к другу и
сходящиеся к разным стокам после переходного процесса вблизи
неустойчивой орбиты периода 4.
2.1. Уравнение Bah ДЕР Поля
III
О 1/2 1
Рис. 2.1.6. Кусочно-линейное отображение Ван дер Поля / уравнения B.1.23).
Рисунок 2.1.8 иллюстрирует роль неустойчивой орбиты периода два
(орбита {О, 0,5, О, 0,5.. .}) в этом аспекте. На рис. 2.1.8(b) начальные
условия взяты на устойчивом многообразии этой орбиты, а на рис. 2.1.8(а, с) —
очень близко к этому многообразию. Вследствие B.1.23) эти орбиты имеют
следующий вид:
(а) О,5555444444 -^ О,555444444 -^ О,55444444 -^ О,5444444 -^
-^ О, 444444 -^ 0,44444 -^ 0,4444 -^ О, 444 ^ 0,44 ^ 0,4 =
F) О, 5555444445 -^ О, 555444445 -^ О, 55444445 -^ О, 5444445 -^
-^ 0,444445 -^ 0,44445 -^ 0,4445 -^ 0,445 ^ 0,45 ^ О, 5 ^
^0,5^0^0,5...
3
(с) 0,5555444446-
0,444446
0,46^0,6
Заметим, что хотя компьютер может обнаружить орбиту .,
0,5, О, ..., последняя неустойчива, так как
5 •■■
0^
0,5, О,
ifm =1/@,5) •/'(
10-
> 1.
На представленных выше орбитах проявляется одно важное свойство:
орбита последовательно «забывает» подробности своего начального поло-
112
Глава 2
х.
0
а)
2
5
1
/ 25
.
с)
3
5 -К,-
_1
X,
0
6)
•
3
5
1
/ 25
•
•
d)
50 О
50
О
50
Рис. 2.1.7. Орбиты отображения / уравнения B.1.23): (а) хо = 0,29; (Ь) хо = 0,70;
(с) хо = 0,445 + 10""; (d) 0,445 + 3 • 10""; (е) 0,445 + 6 • 10"".
жения — число значащих цифр быстро уменьшается. Любая конечнораз-
рядная вычислительная машина, например, использовавшийся в этих
вычислениях компьютер Hewlett-Packard HP 85, способна сохранять данные
лишь с конечной точностью, скажем, N значащих цифр. Две орбиты с
начальными условиями, различающимися в (N + 1)-й значащей цифре, будут
поэтому неразличимы при расчетах, хотя в действительности они могут
вести себя совершенно по-разному: рассмотрите орбиты, подобные
вышеприведенным, чьи начальные условия оканчиваются соответственно на 4
и 6, стоящими на {N + 1)-й десятичной позиции. Мы вернемся к этому
свойству позднее, при обсуждении символической динамики и
автоморфизма сдвига на символьных последовательностях в главе 5.
2.2. Уравнение Дуффинга
ИЗ
а)
Ь)
50 О
50
50
Рис. 2.1.8. Орбиты отображения / уравнения B.1.23): (а) хо
(Ь) Хо = 0,5555444445; (с) хо = 0,5555444446.
0,5555444444;
В качестве резюме отметим, что при беглом рассмотрении системы Ван
дер Поля мы увидели, как относительно простой фазовый портрет
автономной системы на плоскости порождает более сложную картину отображения
Пуанкаре, ассоциированного с системой с периодической внешней
нагрузкой. Хотя в случае слабой нагрузки можно перейти к эквивалентной системе
на плоскости путем усреднения, пригодность такого анализа ограничена.
В системах с сильным возбуждением приближенный подход также
позволяет эффективно понизить размерность задачи, однако получаемое при
этом одномерное отображение окружности необратимо и проявляет
примечательно сложную динамику. Эти наблюдения характерны и для следующих
примеров.
2.2. Уравнение Дуффинга
Дуффинг [1918] ввел в рассмотрение нелинейный осциллятор с
кубическим по координате членом для описания эффекта жесткости пружины,
наблюдаемого во многих механических задачах. С тех пор эта система ста-
114
Глава 2
синусоидальная
возбуждающая
сила
электрический сигнал
датчик деформаций
магниты
S I жесткий корпус
Рис. 2.2.1. Магнитоупругая балка.
ла, наряду с уравнением Ван дер Поля, одним из наиболее популярных
примеров в книгах и статьях, посвященных нелинейным колебаниям. В
данном разделе обсуждается одна из модификаций традиционного уравнения
Дуффинга, в которой линейная жесткость отрицательна^. Такое уравнение
описывает динамику прогиба балки или пластины при учете лишь одной
моды колебаний. В частности, Moon и Holmes [1979, 1980] показали, что
уравнение Дуффинга вида
X ^- 5х — X ^- Х^ =7 COS LOt
B.2.1)
представляет собой простейшую из возможных модель вынужденных
колебаний консоли в неоднородном поле двух постоянных магнитов. На
рис. 2.2.1 изображена схема экспериментального аппарата,
использовавшегося Moon, Holmes. Тонкая стальная балка зажата в жестком корпусе, на
котором также закреплены магниты. Притяжение последних преодолевает
упругие силы, которые сами по себе удерживали бы балку в прямолиней-
'По поводу исследования уравнения Дуффинга см., например, [2, 3], а также ссылки в этих
книгах. Отметим, что первое, наиболее полное, исследование существенно нелинейного
уравнения Дуффинга с периодическим по времени возмущением было проведено в работах [7, 8]. —
Прим. ред.
2.2. Уравнение ДУФФИНГА 115
ном состоянии. В результате, в отсутствие внешнего возбуждения,
свободный конец балки располагается вблизи одного из магнитов. Имеется также
неустойчивое центральное положение равновесия, в котором магнитные
силы исчезают: наличие такого «потенциального барьера»,
разделяющего две области притяжения, несложно обнаружить, осторожно перемещая
свободный конец балки. Простейшей моделью такого потенциала служит
симметричное одномерное ноле
V{x) = ^ - у, B.2.2)
хотя наличие симметрии и не является определяющим свойством. Здесь
единственная координата х характеризует положение балки, ее можно
положить равной смещению ее конца. Сила, действующая на балку,
порождается градиентом V, и, таким образом, в соответствии со вторым законом
Ньютона мы получаем такую простую модель балки:
ж = —grady, B.2.3)
или
х-х + х^ =Q. B.2.4)
Диссипация, обусловленная трением и сопротивлением окружающего
воздуха, описывается линейным по скорости членом, что приводит к
уравнению
х + 5х-х + х^ =Q. B.2.5)
Уравнение B.2.5) несложно для анализа, как мы увидим, оно служит
разумной моделью движения балки в стационарном жестком корпусе.
(Читатель при желании вправе добавить подходящие коэффициенты для
получения подходящих, с физической точки зрения, частот.) Разумеется,
уравнение B.2.5) описывает лишь одну моду колебаний, однако если балка
достаточно длинная и тонкая, а магниты достаточно мощные, то наблюдаемые
колебания действительно в основном соответствуют первой моде (см. Moon,
Holmes [1979]).
Начнем теперь трясти аппарат при помощи электромагнитного
виброгенератора по синусоидальному закону, как показано на рисунке. Такие
колебания учитываются за счет добавления силы в уравнение движения, в
результате получаем уравнение B.2.1). В действительности. Moon и Holmes
вывели B.2.1) как галеркинское приближение для системы достаточно
общих уравнений в частньгх производных, описывающих упругую балку в
неоднородном магнитном поле. Нредставленный здесь подход призван
сделать модель более правдоподобной.
116
Глава 2
Время
F)
Ш'шштж'
Время
Рис. 2.2.2. Колебания балки и решение уравнения B.2.1).
Электромеханический датчик деформаций, расположенный вблизи
основания балки, измеряет ее кривизну как функцию времени. Поскольку
движение в основном описывается первой модой, это обеспечивает
эффективное измерение смещения конечной точки x{t). При малой амплитуде
внешней силы 7 мы наблюдаем периодические движения вблизи одного
из магнитов, однако при постепенном возрастании величины 7 наступает
момент, когда балка «внезапно» начинает прогибаться взад и вперед по нере-
гегулярному, хаотичному на вид закону. Этот процесс не является
переходным: при фиксированных значениях амплитуды 7 и частоты возбуждения со
хаотическое движение наблюдалось в течение нескольких часов, т. е. на 10^
периодах внешней силы. Фрагмент соответствуюгцей осциллограммы
представлен на рис. 2.2.2 наряду с типичным решением уравнения B.2.1).
Очевидно качественное соответствие обоих графиков, хотя читатель
может задуматься, почему пики на записи экспериментов выглядят более
«заостренными», нежели на графике решения уравнения B.2.1). (Эта
острота пиков не является следствием используемой техники измерений, но
свидетельствует о присутствии старших мод колебаний.) Следовательно, мы
вправе испытывать определенное доверие к обсуждаемой простой модели.
Сначала рассмотрим задачу в отсутствие внешних сил: 7 = 0. Введем
дополнительный параметр /3 для описания соотношения магнитной и
упругой сил. Возрастанию /3 отвечает рост магнитных сил. Система описывается
уравнением первого порядка
X + Sx — f3x + х^ =0
или двумя уравнениями второго порядка
V = fju — и^ — Sv.
B.2.6)
Как несложно проверить, при /3 < О (слабые магниты) имеется
единственное положение равновесия в начале координат, а в случае /3 > О имеется
2.2. Уравнение Дуффинга
117
три положения равновесия в точках а; = О, ±v73- Если (^ > О, то эти
равновесия являются, соответственно, стоком (при /3 < 0) или двумя стоками и
седлом (при /3 > 0). В терминах бифуркационного анализа, используемых
в главах 3 и 7, система B.2.6) испытывает при прохождении /3 через ноль
бифуркацию типа «вилка».
а)
Ь)
Рис. 2.2.3. Уравнение Дуффинга без внешней силы: (а) 5 = 0; (Ь) 5 > 0.
Для получения глобальной информации о фазовом портрете заметим,
что при 6 = 0 система имеет гамильтонову форму с гамильтонианом
H{u,v)
2
fi
и
4
B.2.7)
Поскольку решения лежат на линиях уровня Н, мы можем немедленно
изобразить фазовые портреты для случая (^ = О — см. рисунок 2.2.3(a).
Добавление члена —5v во второе уравнение приводит к смещению
векторного поля вовнутрь на всех замкнутых линиях уровня (кроме точек, где
w = 0), и мы получаем качественное поведение, изображенное на
рисунке 2.2.3(b). В частности, можно найти такую замкнутую односвязную
область £) С R , во всех точках границы которой векторное поле направлено
вовнутрь. Свойство глобальной устойчивости сохраняется даже при
ненулевом возбуждении, если векторное поле не зависит от времени (см. Holmes
[1979а], Holmes, Whitley [1983а]). Перейдем к рассмотрению этого случая.
118 Глава 2
Считая 7 7^ О и полагая /3 = 1, вернемся к уравнению B.2.1), которое
можно неренисать в виде автономной системы
й = V,
v = u-u^ -Sv + -fcosLoe, {u,v,e) eR^ X S^, B.2.8)
0 = 1,
где S^ = R/T представляет собой окружность длины Т = 27г/а;.
Выберем сечение Е = {(м, w,0) | 0 = 0} и рассмотрим отображение
Пуанкаре Р: Е ^ Е (отмеченное выше свойство устойчивости и следующая из
него ограниченность всех решений гарантируют, что Р определено
глобально). Очевидно, что Р зависит от параметров 7, S, со, но в дальнейшем мы
будем считать S и со фиксированными положительными величинами, а 7
неременной и записывать Р = Р^.
Очевидно, что Pq является в точности отображением вдоль потока за
время 2тг/со для системы в отсутствие возбуждения B.2.6), фазовые кривые
которой инвариантны относительно Pq. В частности, сепаратрисы седло-
вой точки @,0) для этого потока являются инвариантными
многообразиями для соответствующей седловой точки Pq. Выясним, что происходит
с Ру и, следовательно, с потоком, при возрастании 7 от нуля. Сначала мы
опишем результаты численного решения и построенные на их основе
отображения Пуанкаре. Представленные результаты принадлежат Ueda [1981а]
(ср. [1981b]); дальнейшие результаты можно найти в Holmes [1979а].
Для малых значений 7 Два стока системы B.2.6) в точках (и, v) =
= (±1,0) переходят в малые @G)) притягивающие орбиты периода 27r/cj
(период единица для Ру), а седловая точка переходит в орбиту седлового
типа. Таким образом, Р^ продолжает иметь три гиперболических
неподвижных точки. При возрастании 7 амплитуды орбит, в частности, устойчивых,
непрерывно возрастают до тех пор, пока при некотором значении,
зависящем от (^ и CJ, произойдет бифуркация. Линеаризуя B.2.6) в точках (±1,0),
получим, что невозмущенная натуральная частота при 6 = 0 равна v2- По
мере удаления от этих точек, периоды окружающих их орбит возрастают и
стремятся к бесконечности по мере приближения к двойному гомоклиниче-
скому соединению (рисунок 2.2.3(a)). Следовательно, осциллятор в
окрестности точек (±1,0) ведет себя подобно мягкой пружине (Nayfeh, Моок
[1979]), и если ш < лД, то имеет место скачок в резонанс, в результате
которого малая орбита периода 1 переходит в относительно большую орбиту
того же периода (Holmes [1979а]). Если со > л/2, и в частности со и 2л/2,
может возникнуть резонанс периода 2, в результате чего неподвижная
точка отображения Р^ становится неустойчивой и испытывает бифуркацию
удвоения периода, в результате которой рождается устойчивая орбита пе-
2.2. Уравнение Дуффинга
119
риода Atv/uj (Holmes, Holmes [1981]). Такие скачки и соответствующие им
бифуркации удвоения периода и «седло-узел» можно изучать при помощи
методов усреднения, представленных в главе 4.
_а)
-
^
^
V
V
^ ■
1 и
ъ)
стоки Рду
V
у
^^ -
и
-
Рис. 2.2.4. Орбиты уравнения Дуффинга 6 = 0,25, о; = 1,0, 7 = 0,30: (а) две
устойчивые (о) и одна седлового типа (х) периодические орбиты, показывающих
неподвижные точки Р.,; (Ь) «странный аттрактор». Отметим, что устойчивые
периодические орбиты о близки к границе устойчивости. Различные численные методы
могут привести к неустойчивым орбитам.
На рисунке 2.2.4(a) изображена пара относительно больших орбит
периода единица (cj = 1 < а/2) в проекции на плоскость и, v, дополняющие
соответствующие неподвижные точки отображения Р^. Если 7 продолжает
увеличиваться, могут произойти повторные бифуркации, в результате чего
такие периодические точки и соответствующие им периодические
орбиты для потока последовательно удваивают свои периоды. Эти бифуркации
накапливаются в некоторой точке, в которой происходит переход от
периодического движения к визуально хаотическому, непериодическому
движению, подобному представленному на рисунке 2.2.2. Такие каскады
бифуркаций удвоения периода являлись предметом обширных исследований, в
результате которых был обнаружен ряд интересных универсальных свойств
(Feigenbaym [1978, 1980], CoUer, Eckmann [1980]). Мы обсудим некоторые
из этих работ в главах 5 и 6.
На рисунках 2.2.4(b) и 2.2.5(a) показаны типичные орбиты
единственной точки для отображения Пуанкаре в этом хаотическом режиме.
Заметим, что эти наблюдаемые численно «странные аттракторы» существуют
120
Глава 2
а)
V
( 1т ^
о
Рис. 2.2.5. Орбиты уравнения Дуффинга ui = 1,0, 7 = 0,30: (а)
сосуществование «странного аттрактора» и большой устойчивой орбиты периода 1, 5 = 0,15;
(Ь) устойчивая орбита периода 3,6 = 0,22; самопересечение связано с проекцией
на плоскость и, v.
для относительно широких областей значений параметров и могут
сосуществовать с простыми периодическими движениями. Кроме того, в узких
поясах внутри области «странного аттрактора» наблюдаются
субгармонические движения (см. рисунок 2.2.5(b) и Holmes [1979а, рисунок 7(e)], где
приведен пример орбиты периода 5). При существенно больших
значениях 7 вновь появляются периодические движения с большей амплитудой:
рисунок 2.2.5(a).
Прежде чем предложить частичную интерпретацию и объяснение
данных наблюдений, заметим, что нерегулярная зависимость от времени,
показанная на рисунке 2.2.2, проявляет себя при взгляде на сечение Пуанкаре
как значительная структура (рисунки 2.2.4(b) и 2.2.5(a)) и что здесь
наблюдается отсутствие какой-либо периодичности, по крайней мере, на тех
интервалах времени, на которых производились наблюдения, как в
экспериментах с балкой. На рисунке 2.2.6 показаны спектры мощности для двух
таких движений, которые демонстрируют широкое частотное наполнение
преобразования Фурье u{lo) функции u{t). Отметим наличие пиков на
частоте возмущения и некоторых субгармониках.
Главный ключ в понимании этих результатов лежит в анализе
инвариантных многообразий седловой точки Р^ вблизи начала координат.
Обозначим эту точку р, а ее устойчивое и неустойчивое многообразия — W'^{p),
W^Ip). Как мы уже отмечали, W"{p) и Т^"(р) при 7 = 0 являются просто
седловыми сепаратрисами, подобными изображенным на рисунке 2.2.3(b)
2.2. Уравнение Дуффинга
121
I частота возбуждения, ю
частота
Рис. 2.2.6. Спектры мощности для уравнения Дуффинга lo = 1,19, E
= 0,46 , 7 = 0,57 (из работы Холмса [1979а]).
0,06, 7 =
(см. рисунок 2.2.7(a)). Отображение Пуанкаре Pq имеет три
гиперболические неподвижные точки, и многообразия не пересекаются. Отсюда мы
можем немедленно заключить, что для малых 7 отображение Р-у
топологически эквивалентно Pq, так как последнее структурно устойчиво. Это
подтверждается и численными расчетами (рисунок 2.2.7(b)). При
возрастании 7, однако, многообразия сначала касаются друг друга, а затем
пересекаются трансверсально: см. рисунок 2.2.7(c),(d) (а также рисунок 4.5.3(b),
где изображен квадратичный контакт). Части графиков W^iji) и W^{j)\
показанные на рисунке 2.2.1, получены при помощи итераций нескольких
точек, лежащих на коротком отрезке W^(j>) (или W^(j>)) вблизи точки р, под
действием Р^^ (или Р^). Такая глобальная бифуркация происходит в
дополнение к (и независимо от) обсужденным выше локальным бифуркациям
удвоения периода или скачка («седло-узла») для неподвижных точек.
В главе 4 мы увидим, как определить местоположение таких
глобальных гомоклинических бифуркаций для систем типа B.2.8) в случае, когда 7
и Ь малы, а система близка к интегрируемой гамильтоновой. В то же время,
мы сможем найти субгармонические движения, рождающиеся при
бифуркации из непрерывных семейств периодических орбит (рисунок 2.2.3(a)).
Коль скоро многообразия пересекаются, мы имеем трансверсальные
гомоклинические орбиты, и, как мы увидим в главе 5, из их наличия
следует существование сложного неблуждающего канторова множества,
включающего бесконечно много неустойчивых периодических орбит произвольно
длинного периода, а также ограниченные непериодические движения (см.
также ниже раздел 2.4.4). Кроме того, как показано в работах Newhouse
[1979, 1980], для определенных значений параметров, близких к тем, при
2 -2
3
>
5
Рис. 2.2.7. Отображения Пуанкаре для уравнения Дуффинга B.2.8), 5 = 0,25, и = 1,0. (а) 7 = 0; (Ь) 7 =
= 0,10; (с) 7 = 0,20; (d) 7 = 0,30. Типичные орбиты показаны на (а), а притягивающее множество
отмечено жирной линией.
2.2. Уравнение Дуффинга 123
которых имеют место гомоклинические касания, существуют бесконечные
множества устойчивых периодических орбит (называемых стоками Ньюха-
уза). Мы обсудим их в главе 6. Все эти сложные движения вносят вклад
в структуру притягивающего множества, к обсуждению которой мы теперь
переходим.
Как уже упоминалось, можно найти такой диск _D С S, что PJ^{D) С D
для гг > О, и мы можем вновь определить замкнутое притягивающее
множество как
А^ = П P^{D).
Сравнивая построенные численно странные аттракторы с неустойчивым
многообразием седло вой точки W^{p), можно высказать гипотезу, что
данное множество А^ равно замыканию этого многообразия: см. рисунок 2.2.8.
Очевидно, А^ имеет нулевую площадь: поток системы B.2.8) равномерно
сокращает объем, поскольку дивергенция векторного поля равна
^(«) + ^(и - «3 _ 5v + -icosioe) + ^A) = -(^ < О, B.2.9)
ои OV ов
и, следовательно, det \DPj\ = е^-^^^/^^' < 1.
Для малых 7 нашу гипотезу можно доказать, заметив, что все
орбиты {Р"(г/)} для у G D приближаются к одному из стоков, за исключением
таких точек х G W^{p), которые приближаются к р. Следовательно, А^
содержит стоки и седло. Чтобы показать, что все точки из А^ лежат в
замыкании W^{p), рассмотрим произвольную кривую С, соединяющую некоторые
точки X G VF*(p) и у G D (рисунок 2.2.7(a)). При гг ^ сю конечные точки
кривой Р^{С) приближаются к седлу и стоку, причем к стоку
приближаются и остальные точки С, за исключением произвольно близких к Р^{х).
Таким образом, Р'^{С) приближается к некоторой компоненте W^{p), что
и утверждалось.
При наличии гомоклинических пересечений ситуация более сложна.
Даже если наша гипотеза верна, множество А-/ может содержать строго
притягивающие подмножества, такие как стоки Ньюхауза. Что интересно,
в данном примере, в отличие от осциллятора Ван дер Поля, в некотором
диапазоне значений параметров отсутствуют короткопериодические
стоки. Мы предполагаем, что для каждого целого N < оо существует открытое
множество значений параметров 7, <^, t^, для которых Р^ не имеет
притягивающих периодических орбит периода меньше, чем N. Такие аттракторы
нельзя эффективно наблюдать даже для не слишком больших значений N,
поскольку характерная ширина их областей притяжения настолько мала
(в некоторых случаях она имеет порядок е~^, Greenspan, Holmes [1982]),
что превалирующими становятся физические и численные шумы. Ввиду
Рис. 2.2.8. Инвариантные многообразия и притягивающие множества для уравнения Дуффинга B.2.8),
CJ = 1,0. (а) 5 = 0,25, 7 = 0,40; (Ь) 5 = 0,20, 7 = 0,30.
2.3. Уравнения Лоренца 125
этого асимптотическое поведение траекторий из А^ выглядит очень
сложным. На некоторых режимах, по-видимому, имеются траектории, плотные
на А-у. Главный теоретический вопрос состоит в том, является ли «странный
аттрактор» для уравнения Дуффинга артефактом, обусловленным шумами,
и присутствует ли он в идеальной детерминистской системе'. В главах 5
и 6 мы обсудим в общем контексте вопрос о существовании странных
аттракторов.
В разделе 2.4 мы обсудим нелинейное отображение, которое проявляет
многие черты, присущие отображению Пуанкаре для уравнения Дуффинга,
и для которого проще изобразить структуру инвариантного множества.
2.3. Уравнения Лоренца
В [1963] Lorenz, метеоролог, обрабатывающий полученные ранее
Salzmann [1962] результаты, представил анализ системы из трех
связанных квадратичных обыкновенных дифференциальных уравнений,
описывающих три моды (одна по скорости и две по температуре) уравнений
Обербека-Буссинеска для конвекции жидкости в двумерном слое,
подогреваемом снизу. Более подробно постановка задачи изложена в цитированных
выше статьях. Упомянутые уравнения имеют вид
X = а{у — х),
у = рх — у — XZ, (ж, у, z) е R^, а, р, Р > О, B.3.1)
i = —Cz + ху.
Они содержат три параметра: а (число Прандтля), р (число Рэлея) и /3
(отношение сторон). Данное тримодальное усечение точно отражает основные
конвективные свойства жидкости для чисел Рэлея р, близких к единице.
В частности, если р = 1, то решение уравнений в частных производных,
описывающее чистую проводимость жидкости, имеющей нулевую скорость
и линейный градиент температуры, теряет устойчивость и переходит в
решение, содержащее стационарные проводящие ролики или ячейки.
Уравнения Лоренца представляют собой минимальное усечение уравнений
жидкости со свободными от напряжений граничными условиями, охватывающее
существенные черты этой бифуркации. В главе 3 данный пример
представлен более подробно в качестве иллюстрации вычислений, использующих
теорему о центральном многообразии.
Анализ Лоренца [1963] касался поведения данного уравнения вдали от
области параметров р « 1, а в работах Curry [1978] и Francheschini [1982]
'Следуя Афраймовичу и Шильникову множество А^ называют «квазиаттрактором». —
Прим. ред.
126
Глава 2
показано, что для больших р семи- и четырнадцатимодальные усечения
проявляют существенно различное поведение. (См. та1сже Markus [1981], где
содержится более общая информация о модальных усечениях в проблемах
жидкости.) Таким образом, при возрастании числа Рэлея усиливается роль
высших мод, и предсказания, сделанные на основе тримодального
усечения, становятся сомнительными с физической точки зрения, в
противоположность к задаче о балке, в которой унимодальное усечение улавливает
существенные черты физического поведения в широком диапазоне изменения
параметров. Тем не менее, в последнее время уравнения Лоренца вызвали
большой интерес у математиков и физиков. В данном разделе мы опишем
некоторые существенные черты потока для системы Лоренца. Дальнейшую
ршформацию можно найти в статьях Guckenheimer [1976], Guckenheimer,
Williams [1979], Williams [1977], Rand [1978] и в книге Sparrow [1982].
Как и в системе Дуффинга, мы зафиксируем два параметра, сг и /3, и
будем изменять р. (Значения, использованные Лоренцом и большинством
других исследователей, равны сг = 10, /3 = 8/3, но аналогичное
поведение имеет место и при других числах.) Лоренц показал [1963], что можно
найти такую замкнутую одно связную область D СШ^, содержащую начало
координат, что векторное поле на ее границе направлено вовнутрь. Таким
образом, D содержит притягивающее множество А = [] ф1{В). Кроме
того, любой такой аттрактор имеет нулевой объем, так как, аналогично
уравнению Дуффинга, след матрицы Якоби (дивергенция векторного поля)
дх
д
{а{у-х)) + —{рх-у
■-) + |(-
-pz + xy) = -{a+l+p) B.3.2)
отрицателен. На самом деле, при р < 1 начало координат представляет
собой гиперболический сток и является единственным аттрактором.
Если р = 1, то одно из собственных значений матрицы линеаризованной
системы
B.3.3)
—а
P-Z
У
а
-1
X
0 1
— X
-(^\
=
'—а
Р
V 0
а
-1
0
0
0
-/3
равно нулю, а два других, Л = —/3 иЛ = —A + сг), отрицательны. При р > 1
имеются две нетривиальных неподвижных точки
(х, у, z) = (±V/3(p-l), ±V/3(p-l), р - 1),
B.3.4)
являющихся стоками для/э е A, сг(сг+/3+3)/(сг—/3—1)). В точкер = 1
происходит бифуркация типа «вилка», аналогичная точке /3 = 0 для уравнения
2.3. Уравнения Лоренца
127
Дуффинга при отсутствии возбуждения B.2.6), и для всех р > 1 начало
является седловой точкой с одномерным неустойчивым многообразием. При
значении р = ph = сг(сг + /3+3)/(сг —/3—1) происходит бифуркация Хопфа в
нетривиальных неподвижных точках, так как собственные значения равны
Л = -(ст + /3 + 1) и Л = ±iy/2a{a + 1)/{а -C-1).
(Следуя Лоренцу, мы полагаем а > 1 + /3, так что мнимые корни
возможны.) При р > ph нетривиальные неподвижные точки являются седлами с
двумерными неустойчивыми многообразиями. Таким образом, при р > рн
все три неподвижных точки неустойчивы, однако притягиваюгцее
множество А = Pi Ф1{0) по-прежнему существует, хотя теперь А содержит более
сложные ограниченные рещения. Мы вернемся к ним чуть позже.
Можно подумать, что бифуркация Хопфа, происходящая при переходе
значения р через ph, приводит к появлению устойчивых периодических
орбит, но при последующем анализе Марсдена и МакКракена [1976, глава 4]
(см. также ниже в главе 3) было показано, что эта бифуркация
субкритическая, т. е. неустойчивые периодические орбиты стягиваются к стокам при
стремлении р снизу к ph, а при р > ph вблизи этих неподвижных точек
замкнутых орбит не существует. Па физическом языке, стационарные
проводящие ролики, изображаемые симметричной парой нетривиальных реще-
ний, становятся неустойчивыми и заменяются некоторым другим
движением с больщой амплитудой. Опищем это движение, опираясь на
оригинальную численную работу Лоренца с последующим геометрическим анализом
Guckenheimer, Williams.
yvHv-^^^V^oV
Рис. 2.3.1. Численное решение y{t) уравнения Лоренца B.3.1), а
[3 = 8/3.
10,
28,
Лоренц полагал сг = 10, /3 = 8/3, при этом ph « 24, 74. Затем он
зафиксировал р = 28 и проинтегрировал численно систему B.3.1) при
начальном условии, близком к седловой точке в начале координат. Типичная
зависимость такого рещения y(t) от времени на интервале t G (О, 30) ре-
128 Глава 2
продуцирована из статьи Лоренца на рисунке 2.3.1. Аналогичные кривые
наблюдаются для x{t) и z{t), хотя последняя не изменяет знака. Отметим
рост амплитуды колебаний до некоторого кажущегося порога, после чего
происходит смена знака и дальнейший рост колебаний.
Лоренц обнаружил, что решения быстро приближаются, а затем
движутся по некоторой разветвленной поверхности S, построенной на
рисунке 2.3.2 на основе трехмерных численных решений, полученных Lanford
[1977]. Границей S является часть неустойчивого многообразия W^{p) сед-
ловой точки р = @,0,0). На рисунке 2.3.2 показаны первые 50 петель на
одной «стороне», поверхность заштрихована, и указаны ее ветви.
Оставшиеся седла q± = {±\/C{p — 1), i\/f3{p — 1), р — 1) лежат в двух отверстиях
на поверхности S.
Для пояснения структуры данной разветвленной поверхности
построим ее схематично на рисунке 2.3.3, следуя Williams [1977]. При этом мы
заменяем истинный обратимый трехмерный поток на полупоток на S, в
котором решения определяются только для растущего времени, поскольку
под действием потока с обратным временем все решения рано или поздно
попадут на интервал разветвления [—а,а], после чего необходимо
выбирать, по какой из ветвей следовать далее. Таким образом, единственность
решения задачи Коши кажется нарушенной. Лоренц использовал данный
факт как довод, указывающий на наличие у данного притягивающего
множества А, называемого теперь аттрактором Лоренца, бесконечного
множества листов, причем решения не пересекают эти листы, а просто
переходят с одного листа на другой по мере циркуляции вдоль кажущейся ветви.
В действительности, данная разветвленная поверхность является
артефактом, обусловленным быстрым сжатием и вычислительными ошибками.
Мы обсудим топологическую структуру аттрактора А и его связь с
разветвленной поверхностью S в главах 5 и 6, здесь же мы представим
частичный анализ хаотического потока па А при помощи одномерного
отображения, по аналогии с примером Ван дер Поля. Вначале укажем, как
можно установить связь между истинным трехмерным потоком и полупотоком
HaS.
Как уже упоминалось, численные расчеты показывают, что все
решения рано или поздно попадают в сколь угодно малую окрестность S,
после чего они будут многократно проходить вблизи интервала
ветвления [—а, а\ е S. Более точно, все решения рано или поздно пересекут транс-
версально некоторое двумерное сечение Е в окрестности [—а,а]. Таким
образом, на Е можно определить двумерное обратимое отображение
Пуанкаре, как в Guckenheimer [1976]. (Удобное сечение можно получить,
вырезая полоску из плоскости Z = р — 1 (рисунок 2.3.2) таким образом, что
Р(Е) С Е, и, следовательно, пересечение А с плоскостью z = р — 1 лежит
в Е.) Проектируя орбиты отображения Р в направлении, тансверсальном
2.3. Уравнения Лоренца
129
Рис. 2.3.2. Численное решение уравнения Лоренца, а = 10, [3 = 8/3, р = 28.
Начальные условия выбраны произвольно близко к седлу в р@, О, 0), поэтому
решение аппроксимирует W^{p), определяя границу кажущейся поверхности S. По
работе Ланфорда [1977]. См. описание Е и т.д. в тексте.
к S, получим эквивалентное одномерное отображение первого возврата
130
Глава 2
Рис. 2.3.3. Разветвленное многообразие аттрактора Лоренца, по работам Лоренца
[1963] и Вильямса [1977]: (а) конструкция; (Ь) полупоток на S.
Рис. 2.3.4. Отображение Лоренца.
где I = [—а, а] обозначает интервал ветвления поверхности S. Здесь /
является отображением Пуанкаре для полупотока. Заметим, что время возврата
для разных решений не совпадает, оно стремится к бесконечности по мере
приближения к средней точке интервала /. Образ последней не определен,
так как стартующее в этой точке решение попадает в седловую точку р и,
следовательно, никогда не возврагцается на S. Пз симметрии потока следует.
2.3. Уравнения Лоренца 131
что / является нечетной функцией, график которой, с качественной точки
зрения, аналогичен представленному на рисунке 2.3.4. Заметим, что угловой
коэффициент /' во всех точках больше единицы и отображение не имеет в I
неподвижных точек. Растягивающий характер отображения (/' > 1)
описывает наблюдаемое численно нарастание колебаний, а разрыв в точке г/ = О
отвечает переменам знака. Мы полагаем, что /(—0) = —/(+0) = а, f{a) =
= —f(—a) > О и что lim /'@) = схэ, хотя последнее соотношение в явном
виде использоваться не будет. Кроме того, для упрощения последующего
анализа допустим, что р{—а) < f{a) и Р{а) > f{—a).
Как уже отмечалось, двумерное отображение Пуанкаре Р,
определенное на подходящем сечении Е, обратимо, так как оно возникает из
глобально определенного потока. Однако в процессе проектирования, аналогично
примеру Ван дер Поля, обратимость теряется, и спроектированное
отображение / уже не будет взаимно однозначным.
Подчеркнем, что геометрическая модель аттрактора Лоренца как
одномерного отображения не охватывает, очевидно, всех деталей
действительного потока па А. Боле того, расчеты, необходимые для подтверждения
существования расслоения, трансверсального листам аттрактора А и
характеризующегося равномерным сжатием, не проводились. Такое сжимающее
расслоение подразумевалось при реализации вышеупомянутого процесса
проектирования. В последующих главах мы рассмотрим некоторые
проблемы, связанные с проверкой, что геометрически построенные
аттракторы, подобные данному, действительно существуют в конкретных потоках.
В оставшейся части данного раздела, однако, мы будем изучать одномерное
отображение / само по себе. Далее мы будем называть это отображение ло-
ренцевым, хотя оно и отличается от одномерного отображения, полученного
в Lorenz [1963].
Сначала заметим, что если / имеет периодическую орбиту периода к,
то эта орбита неустойчива, так как производная в произвольной ее точке р,
вычисленная по правилу дифференцирования сложной функции, имеет вид
fe-i
ifip))' = П f'U'{p)). B.3.5)
i=o
и данное произведение, очевидно, больше единицы, поскольку /' > 1 во
всех точках /. Несложно построить орбиты периодов два и три; полагая
h = [-а, 0] и /2 = [О, а], будем иметь /(/i) = [/(-а), а] D /г и /(/г) =
= [—а,/(a)] D 7i, откуда /^(/^) = Ii U I2 = I для i = 1,2. Аналогично,
f^{Ii) = I для всех к ^ 2. Таким образом, f^{Ii) ^ Ii, и f^ имеет, по
крайней мере, две неподвижных точки для любого к. Отсюда немедленно
следует, что / имеет орбиты, период которых равен любому простому числу.
Однако, хотя f^ имеет неподвижную точку для любого к, ее наименьший
132 Глава 2
период может быть равен некоторому делителю к. В действительности,
структура множества периодических орбит зависит тонким образом от
точного вида отображения /, и мы не будем рассматривать ее далее. Вместо
этого, исследуем чувствительность данного отображения к выбору
начальных условий, что в данном случае сделать легче, нежели в примере Ван дер
Поля из раздела 2.1.
Как мы покажем в разделе 5.7, если во всех точках /' > л/2, то любой
подынтервал J С I под действием / в конце концов расширится, так что для
некоторого п множество f^iJ) содержит / (Williams [1976, 1979]). Таким
образом, все точки / неблуждающие. На самом деле, если /' > 1, то любые
две различные точки ж, у G / имеют для некоторого п образы /"(ж), f^{y)
по разные стороны от нуля (если только один из таких образов не попадет
точно в нуль, после чего орбита обрывается). Коль скоро точки разделяются
таким образом, их орбиты далее нельзя считать близкими, так как они ведут
себя, по сугцеству, независимо. Такое расгцепление орбит управляется,
очевидно, положениями прообразов нуля /^'^(О). Поскольку отображение /^^
двузначно, по крайней мере, на части 7, то число прообразов f~^{0) растет
как 2^ до тех пор, пока точки не покинут I. На самом деле, из
отмеченного выше расширения следует, что множество всех прообразов |J f~^{G),
лежащих в 7, несмотря на нулевую меру, плотно в 7. Следуя Ruelle [1979],
мы назовем локальное растяжение и последующее «независимое»
поведение орбит, стартующих сколь угодно близко друг к другу, чувствительной
зависимостью от начальных условий.
Как было показано в разделе 2.1, хотя отображение Ван дер Поля и
обладает сложным хаотическим множеством, содержащим бесконечное число
периодических орбит, оно проявляет относительно простое
асимптотическое поведение в том смысле, что почти все орбиты сходятся к одной из
двух устойчивых неподвижных точек. В терминах раздела 1.6
притягивающее множество содержит два простых аттрактора, и, несмотря на наличие
сложного рекуррентного поведения, почти все его точки блуждающие.
Напротив, для отображения Лоренца не существует таких устойчивых стоков
или периодических орбит, и почти все орбиты продолжают непредсказуемо
двигаться взад и вперед, за исключением (неустойчивых) периодических
орбит, асимптотических к ним орбит и орбит, попадающих в нуль и
обрывающихся. Такие исключительные орбиты образуют в 7 множество нулевой
меры.
Как и в разделе 2.1, мы проиллюстрируем типичное поведение
отображений, подобных 2.3.4, при помощи численного примера. Возьмем
отображение
, , Г+1-/ЗЬГ; хе [-1,0),
+ /3|а;|"; же @,1],
2.3. Уравнения Лоренца
133
-1 X 1
Рис. 2.3.5. Отображение уравнения B.3.6). /3 = 1,95 (а = 0,514).
100
Рис. 2.3.6. Орбиты отображения уравнения B.3.6): (а) [3 = 1,95, жо = 10 ®; (Ь) /3 =
= 1,95, хо = 0,9999 • 10"^; (с) /3 = 1,95, хо = 1,0001 ■ 10"^; (d) f3 = 1,95000001,
хо = 10"*.
определенное на / = [—1,1] с обрывом орбиты в точке а; = 0. Если
выбрать а < 1, /3 е A,2) и а/3 > 1, то производная /' = а/3|а;|"~^ всюду
больше единицы. Заметим, что f'{x) -^ сю при а; ^ 0. Для расчетов
возьмем а = 1/C + 0,001, так что производная вблизи конечных точек очень
близка к единице, что отражает медленное нарастание колебаний вблизи
спиральных седел д^, показанное на рисунке 2.3.2. Данное отображение
показано на рисунке 2.3.5.
Рисунок 2.3.6 иллюстрирует чувствительную зависимость от
начальных условий и от значения параметра /3. В каждом из случаев показано
100 итераций. Для рисунков 2.3.6(а)-(с) мы взяли /3 = 1,95 и начальные
значения xq, равные 10~*, 10~* — 10~^^ и 10~* + 10~^^ соответственно.
^* В каждом случае
-8 10-8
Для 2.3.6(d) положено /3 = 1,95
10
-8
И Хо
-8
= 10-
орбиты радикально расходятся уже через 25 итераций.
134
Глава 2
Рис. 2,3.7. Первые 400 итераций орбиты /. [3 = 1,99, хо = 10
На рисз^ке 2.3.7 показаны первые 400 итераций орбиты
отображения / со значениями /3 = 1,99, хо = 10^^^. Такая орбита соответствует
решению уравнений Лоренца с начальными условиями вблизи седловой
точки р = @,0,0), и ее следует сравнить с орбитой Лоренца, численно
построенной на рисунке 2.3.1. Напомним, что каждая точка на рисунке 2.3.7
соответствует одному циклу колебаний для дифференциального уравнения.
Здесь дискретные точки соединяются прямыми линиями; несколько первых
точек на рисунке 2.3.7 показаны.
Мы закончим численное моделирование демонстрацией структуры
множества прообразов нуля. Для простоты заменим / кусочно-линейным
отображением
-+1-(Зх- хе[-1,0),
-1 + (Зх: же @,1]. ^^ ^
Два первых прообраза нуля описываются формулой
±1+(Зх = 0,
откуда
X = ±
Для вторых прообразов имеем уравнение
±1+(Зх=±
B.3.8)
откуда
B.3.9)
2.3. Уравнения Лоренца
135
е)
25
25
Рис. 2.3.8. Орбиты / зфавнения B.3.7), [3 = 2, начинающиеся в одном из
прообразов 0. (а)-(е) к = 12, орбита заканчивается в a;i2 = 0; (f) fc = 15 (жо = 1/2^®).
Корректное завершение при xib = О не происходит ввиду ошибок вычислений.
Вообще, прообразами порядка к являются 2^ точек, описываемых формулой
B.3.10)
На рисунке 2.3.8 показаны некоторые орбиты, начинающиеся в этих
прообразах. Эти орбиты должны обрываться в нуле после к итераций, однако
ограниченная точность компьютера (Hewlett-Packard ИР 85) позволяет
получить такой результат лишь до /с = 12 или 13.
В данном кусочно-линейном примере непосредственно видно, что
прообразы B.3.10) плотны на интервале [—1,1]. Такая плотность устойчивого
многообразия нуля приводит к интересному выводу, подсказкой для
которого является чувствительная зависимость от параметра /3,
проиллюстрированная рисунками 2.3.6(a),(d). Не только орбиты данного отображения
Лоренца ведут себя хаотически, но и однопараметрическое семейство
таких отображений также проявляет необычную степень неустойчивости. На
самом деле, ни одно из отображений, общий вид которых показан на
рисунке 2.3.4, не может соответствовать некоторому структурно устойчивому
дифференциальному уравнению.
Для иллюстрации данного утверждения обсудим роль точек ±а:
образов /(±0) на рисунке 2.3.4. В исходном уравнении они отвечают точкам
136
Глава 2
(вблизи S), в которых орбиты, проходящие сколь угодно близко к седловой
точке р = (О, О, 0), пересекают затем сечение Е; эти точки являются
первыми пересечениями неустойчивого многообразия точки р с этим сечением.
Назовем эти точки Ь+ и 6— (рис. 2.3.2), а затем рассмотрим
прообразы нуля под действием /, которые, как было отмечено, плотны в I. Так
Рис. 2.3.9. (а) Система Лоренца с седловым соединением; (Ь) возмущенное
соединение.
2.4. Динамика подскакивающего мяча 137
как эти прообразы изображают точки, лежащие на орбитах данного
потока, асимптотических к седловой точке р, то для двумерного отображения
Пуанкаре они могут соответствовать плотному множеству кривых,
пересекающих Е трансверсально к S. (В процессе проектирования каждая из
этих кривых переходит в некоторую точку на S.) Если Ь+ и 6— лежат на
двух таких кривых, то неустойчивое многообразие точки р лежит на ее
устойчивом многообразии и мы имеем, следовательно, гомоклиническую
орбиту. (Существование двух таких орбит следует из симметрии потока.)
Так как dim W^{p) + dim W'^{p) = 1 + 2 = 3, то мы имеем нетрансвер-
сальное, структурно неустойчивое пересечение, которое может быть
разрушено малыми возмущениями, см. рисунок 2.3.9. Однако из плотности
точек устойчивого многообразия W"{p) на множестве Е следует, что
если такого соединения не существует, то его можно восстановить за счет
другого произвольно малого возмущения. Следовательно, и системы с сед-
ловым соединением, и системы без него составляют плотные множества,
и ни одна из систем не является структурно устойчивой. Мы вернемся к
более подробному рассмотрению данного вопроса в разделе 5.7;
технические детали, касающиеся устойчивости аттракторов Лоренца, можно найти
в Guckenheimer, Williams [1979] и Robinson [1981а].
Мы заканчиваем этот раздел замечанием, что, хотя описанные здесь
качественные свойства аттрактора Лоренца кажутся сохраняющимися в
широком диапазоне параметров {р, а, C), с ростом р при фиксированных а
и /3 притягивающие движения вновь становятся относительно простыми.
Robins [1979] показала, что в пределе при р ^ оо система становится
интегрируемой, и, используя точное решение для этого случая, смогла
продемонстрировать существование пары притягивающих периодических
орбит для достаточно больших р. При убывании р (в диапазоне 100-200, для
сг = 10, /3 = 8/3) происходят последовательные бифуркации удвоения
периода, в результате чего сложность потока прогрессирует вплоть до появления
странного аттрактора. Более подробно этот вопрос освещен в монографии
Sparrow [1982] и цитируемой там литературе.
Мы рассмотрим роль последовательных бифуркаций удвоения периода
в создании хаотических потоков в главе 6, где обсуждаются также
некоторые бифуркации уравнений Лоренца, происходящие при возрастании р в
интервале {1, ph).
2.4. Динамика подскакивающего мяча
В качестве последнего примера возьмем отображение, представляющее
собой модель повторных соударений шара с массивным столом,
колеблющимся по синусоидальному закону. Мы используем обычное соотношение
138 Глава 2
для описания удара (см. Meriam [1975]):
Vitj) - Witj) = -a{U{tj - W{tj)), B.4.1)
где и, V hW представляют собой абсолютные скорости падающего и
отскакивающего мяча и стола соответственно, О < а ^ 1 — коэффициент
восстановления, t = tj — момент j-то удара. Допустим также, что
расстояние, которое пролетает мяч в промежутке между ударами под действием
силы тяжести, намного больше амплитуды перемещений стола. Тогда
промежуток времени между соударениями можно оценить так:
2V(ti)
b+i-tj = ^^, B.4.2)
а скорость падения при {j + 1)-м ударе равна
C/(i,+i) = -V{t,). B.4.3)
Используя формулы B.4.1)-B.4.3), получим рекуррентное
соотношение, связывающее состояние системы при {j + 1)-м ударе и ее состояние
при j-M ударе посредством нелинейного отображения. Считая закон
движения стола синусоидальным {—{З sin tot), представим это отображение в
виде
/ = /«.: '^^■^^ ='^^^ +'^^ ^^ , B.4.4)
Uj+i = avj - 7cos@j + Vj),
где ф =ujt,v = 2ujV/g и 7 = 2a;^(l + a)f3/g.
Здесь 7 играет роль амплитуды силы, а — роль диссипации. Более
подробно механические и математические аспекты данной проблемы
обсуждены в Byrne [1981] и Holmes [1982а].
Задача о подскакивающем мяче предоставляет пример физической
системы, анализ которой приводит к дискретной динамической системе
напрямую, а не посредством отображений Пуанкаре для дифференциальных
уравнений, как в предыдущих примерах. Однако, хотя в данном случае мы
имеем простое аналитическое выражение для отображения, что
существенно облегчает численные расчеты ввиду явного вида итераций, анализ этого
отображения оказывается столь же сложным, как и в предыдущих случаях.
Несложно проверить, что формулы B.4.4) определяют гладкое
обратимое отображение или диффеоморфизм, причем обратное отображение
задается формулами
0J-1 = Ф] - аЬcos0J + Uj),
Г': ^ B.4.5)
'^J-i = aGcos0j +1У/).
2.4. Динамика подскакивающего мяча 139
Далее, определитель матрицы Якоби
Df =
1 1
7 sin@j +iyj) а + 7 зт{ф^ + Vj)
B.4.6)
постоянен (равен а), поэтому для а < 1 это отображение равномерно
сжимает площадь, а в случае абсолютно упругого удара а = 1 оно сохраняет
площадь. Последний (гамильтонов) случай широко изучался, по большей
части физиками, в связи с некоторыми проблемами физики частиц: см.,
например. Чириков [1979], Greene [1980], Лихтенберг и Либерман [1982].
В этих работах выбрана несколько иная координатная система, а
диффеоморфизм называется «стандартным отображением». Кроме того, Пустыль-
ников [1978] рассмотрел описанную выше проблему, построил точное
отображение для случая общего периодического возбз^ждения и показал, что оно,
так же как и приближенное отображение B.4.4), допускает открытое
множество начальных условий (^о^г^о) таких, что г/„ ^ сю при п ^ оо для
подходящих конечных значений 7 и а = 1. Наряду с этими
неограниченными движениями, найдены также множества ограниченных периодических
движений, а компьютерные расчеты дают основание считать, что имеются
также ограниченные непериодические решения. В данном разделе мы
сначала обсудим некоторые из многочисленных семейств периодических орбит
для отображения /, а затем продемонстрируем существование некоторого
сложного множества, подковы Смейла (Smale [1963, 1967]), которое будет
подробно изучено в главе 5. Как и в первых трех разделах данной главы,
мы закончим рассмотрением некоторых численных результатов,
иллюстрирующих типичное поведение данного отображения.
Заметим сначала, что если а < 1, то, в отличие от гамильтонова случая,
рассмотренного Пустыльниковым, все орбиты остаются ограниченными. Пз
формул B.4.4) мы получаем
Wj+i\ = \ctt^j — 7Cos((i)j + Uj)\ ^ a\b'j\ +7, B.4.7)
так что из неравенства \vj\ > ^/{I — а) следует, что \b'j+i\ < \vj\. Поэтому
все орбиты входят в полосу, ограниченную прямыми Vj = ±7/A — а), а
затем остаются в ней. Мы имеем здесь пример области захвата для
дискретной динамической системы.
Важным является второе наблюдение. Уравнение B.4.4) инвариантно
относительно замены координат ф ^ ф + 2mv, п = ±1, ±2, . .., что
свидетельствует о возможности выбора в качестве фазового пространства
цилиндра S^ X R, получаемого при взятии ф по модулю 27г. При переходе к
обсуждаемой механической задаче следует помнить, что время полета ф]+1 — ф]
определено лишь по модулю 27г (см. Holmes [1982а]).
140 ГЛАВА 2
Область захвата является компактным подмножеством цилиндра:
D= \{ф,р) I v\ <£+j3^} C^i хМ,
и, подобно предыдущему примеру, мы имеем притягивающее множество
(Мы включили величину е для того, чтобы превратить D в замкнутое
множество.)
При поиске неподвижных точек /, т.е. таких точек {ф,р), для
которых /{ф,!/) = {ф,р), ввиду периодичности, получаем следующие пары
точек:
— _ / /2п7г(а —1)\ \
@„, Vn) = ( arccosi 1, 27ГП 1, n = О, ±1, ±2, . .., ±N,
B.4.8)
где N — наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
2iV7r(l - а) < 7- B.4.9)
Устойчивость этих неподвижных точек определяется линеаризованным
отображением Df вида B.4.6). Как было показано в главе 1, если оба
собственных значения лежат внутри единичного круга на комплексной
плоскости (|Ai| < 1), мы имеем сток, если одно из них лежит вне, а другое
внутри круга (|Ai| < 1 < IA2I), имеем седло, а если оба лежат вне круга,
то источник. Заметим, что поскольку Ai ■ Аг = det(£'/) = а, то при а < 1
получаются только стоки и седла, а при а = 1 — центры и седла.
Из формулы B.4.6) находим такие выражения для собственных
значений:
Ai,2 = |{A+а+7Г-)±^A + а + тО^ - 4а}, г = sin@„+I7„). B.4.10)
Подставив значения @„, Vn) из B.4.8), определим, что те неподвижные
точки, для которых ф^ < -к (sin@„ + Vn) > 0), являются седловыми. Те
точки, для которых фп > TV (sm{фn+Vn) < 0), являются стоками (центрами)
при условии
2тг{1 - а) < 7 < 2у^п^тг^{1 - а)^ + A + а)^ B.4.11)
2.4. Динамика подскакивающего мяча 141
и седловыми точками при условии
7 > 2.Уп^т:^{1 - а)^ + {1 + а)^. B.4.12)
Заметим, что седла в случае 0„ < тг являются седлами первого рода:
соответствующие линейные отображения имеют положительные
собственные значения 0<Ai<l<A2,aB случае 0„ > тг — седлами второго рода
с отрицательными собственными значениями Ai < —1 < Аг < 0.
Орбиты, приближающиеся к седлам второго рода и удаляющиеся от них, имеют
осциллирующий характер; такие неподвижные точки называют также
отражающими гиперболическими (см. Bemoussou [1977]).
Значения
7„ = 2гг7гA - а), 7^ = 2^п^т^'^{1 - af + {I + а)"^ B.4.13)
являются бифуркационными, первое из них соответствует рождению пары
неподвижных точек при бифуркации «седло-узел», второе — смене
устойчивости и бифуркации удвоения периода. Такие локальные бифуркации
отображений изучаются в главе 3. При помощи представленных там
методов или путем непосредственных вычислений можно показать, что для
значений 7 > 7п вблизи точки {ф^ > тг, F„) существует периодическая
орбита периода 2. Пока 7 остается близким к 7^, эта орбита устойчива, а затем
она испытывает повторную бифуркацию удвоения периода, в результате
чего рождается орбита периода 4. Этот процесс продолжается и сходится к
некоторой точке 7^, в которой существуют орбиты периодов 2*^ для всех к.
Как мы отмечали в разделе 2.2, такие счетные последовательности
бифуркаций удвоения периода вначале изучались для одномерных отображений,
для которых удалось достигнуть полной ясности (см. Feigenbaum [1978],
Collet, Eckmarm [1980] и раздел 6.8 ниже).
На рис. 2.4.1 изображена бифуркационная диаграмма для первых
шести (включая п = 0) этих семейств неподвижных точек. Показаны также
устойчивые движения периода 2 и примерный вид физических движений
подскакивающего шара, отвечающих некоторым из этих орбит.
Вместо того чтобы продолжать обсуждение орбит с
последовательно увеличивающимися периодами, построение которых быстро становится
практически невозможным, мы приведем одно соображение, моментально
показывающее существование бесконечного семейства таких орбит, а также
семейств ограниченных непериодических движений. Перед этим заметим,
что эксперименты, упомянутые в работе Wood, Byrne [1981],
свидетельствуют, что устойчивые периодические движения мяча наблюдаются для низких
скоростей стола G мало), а при возрастании 7 возрастает и нерегулярность
движений, и они становятся по виду хаотичными. В оставшейся части
142
Глава 2
-^
стабильный периода 1
нестабильный периода 1
стабильный периода 2
Период 2,п=1
Рис. 2.4.1. Движения периода 1 и периода 2, а
при бифуркациях переворачивания при 7 =
(Ь) физические движения.
= 0,9. Движения периода 2 возникают
'у'п'. (а) бифуркационная диаграмма;
данного раздела, а также в главе 5 мы покажем, что отображение B.4.4)
действительно обладает такими движениями в силу существования
подковы Смейла (Smale [1963, 1967]), т.е. сложного инвариантного множества,
содержащего бесконечные семейства вышеупомянутых периодических и
непериодических орбит.
Так как множество, которое мы ищем, имеет глобальную природу,
рассмотрим глобальное действие отображения / на некоторую замкнутую об-
2.4. Динамика подскакивающего мяча
143
Рис. 2.4.2. Создание иодков при увеличении 7, для случая сохранения площади, а =
= 1. Точки А, В, С, D отображаются в точки А', В', С, D': (а) -у = Зтг; (Ь) 7 = бтг.
ласть Q С 5*^ X R. Для простоты возьмем случай сохранения площади а =
= 1, имея в виду справедливость полученных результатов для значений а,
достаточно близких к единице. Определим Q как параллелограмм ABCD,
ограниченный прямыми ф + v = О (АВ), ф + и = 2тг (CD), ф = О (AD)
жф = 2тг (ВС). Заметим, что Q расслаивается семейством прямых ф+и = к,
fc G [О, 27г] и что образами этих прямых при отображении / являются
вертикальные отрезки ф = к, и е [/с — 27Г — 7 cos к, к — ^ cos к]. Наконец, образами
144 Глава 2
границ ф = О ж ф = 2тг являются кривые v = ф — ^ cos ф, и = ф — 2тг —
— 7 cos ф. Так как а = 1 и мы берем ф по модулю 27Г, четырехугольник Q
можно сдвигать вдоль вертикали на величину, кратную 27г. На рис. 2.4.2
область Q ограничена прямыми ф + и = 0, ф + и = 27г, ф = О ж ф = 27г,
здесь изображены ее образы при отображении / для значений 7 = Зтг и 7 =
= бтг. Если а 7^ 1, то образы, очевидно, изменятся ввиду наличия члена аи
в уравнении B.4.4): см. рис. 2.4.3.
Если мы возьмем 7 достаточно большим, образ f{Q) пересечет Q по
двум раздельным «вертикальным» полоскам Vi, V2, заштрихованным на
рис. 2.4.2(b) и 2.4.3(c). Для этого достаточно выбрать в случае сохранения
площади 7 > 47Г. Для читателя не составит большого труда убедиться в
том, что прообразы этих полосок f^^{Vi) представляют собой пару
раздельных «горизонтальных» полосок Hi, Н2, соединяющих вертикальные
стороны AD и ВС четьфехугольника Q, как показано на рис. 2.4.2.
Таким образом, схематично мы имеем качественное поведение, изображенное
на рис. 2.4.4: отображение / растягивает четырехугольник Q в
вертикальном направлении, сжимает его в горизонтальном направлении, изгибает и
смещает, в результате чего пересечение имеет указанный вид. Это
отображение носит название подковы Смейла, смысл которого самоочевиден.
В последующих главах мы покажем, что подкова возникает в связи с транс-
версальными пересечениями многообразий в уравнениях Дуффинга и Ван
дер Поля. В действительности, присутствие подковы по существу
является для большинства авторов синонимом термина «хаотическая динамика».
Правильное представление о подкове существенно для понимания сложной
динамики.
Мы подробно изучим подкову и ее обобщения в главе 5. Здесь мы
просто отметим, что если взять еще одну итерацию отображения /, то
образ f{Vi) каждой из вертикальных полосок сам по себе является
подковообразной областью, пересекающейся с исходным четырехугольником Q
по двум более тонким вертикальными полоскам. Таким образом, множество
л^ = Q п /(g) п f{Q)
состоит из четырех отдельных вертикальных полосок. Аналогично, если
взять обратные итерации, то мы получим множество
состоящее из четырех отдельных горизонтальных полосок. Вообще,
множества
/с=0 /с=0
2.4. Динамика подскакивающего мяча
145
Юл-
Юят
Рис. 2.4.3. Создание подковы а = О, 5, п = 3: (а) 7 = 0; (Ь) 7 = Зтг = 7п; (с) 7
= бтг > 7^
146
Глава 2
D С
1
i
liQ)
1
i
A В
A В
С D
Рис. 2.4.4. Подкова.
состоят из 2" вертикальных (или горизонтальных) полосок каждое. При
равномерном выборе коэффициентов растяжения и сжатия, как будет
показано в главе 5, предельные множества
оо оо
к = П /'(Q)' лг = п /"'(Q)
к=0
к=0
СОСТОЯТ из несчетного набора линий каждое. В действительности, эти
множества являются произведениями некоторого канторова множества и
интервала.
Далее, множество
К = К'^Г\К'^
П /'(Q)
в точности равно множеству тех точек р (z Q, которые остаются в Q при
всех прямых и обратных итерациях отображения /. Следовательно, это
наибольшее инвариантное множество, содержащееся в Q (заметим, что мы не
оговаривали явно, что происходит с теми точками, которые стартуют вне Q
или покидают Q: хотя такие точки могут вернуться в Q, мы не
включаем их в Л). Таким образом, Л является произведением двух канторовых
множеств (горизонтальные и вертикальные линии, из которых состоят Л^
и Л^^, пересекаются трансверсально) и потому само является канторовым
множеством, т. е. совершенным, вполне несвязным замкнутым множеством
2.4. Динамика подскакивающего мяча 147
(см. Hocking, Young [1961, с. 106] или Willard [1970], где содержится
дискуссия о канторовых множествах, а также нижеследующие главы 5 и 6).
В главе 5 при помощи методов символьной динамики будет
показано, что Л содержит вышеупомянутые бесконечные семейства
периодических орбит, а также получены различные условия, выполнение
которых гарантирует существование и устойчивость таких множеств для
конкретных отображений. В применении к B.4.4), эти условия выполняются
при а = 1, 7 > бтг. При уменьшении а может потребоваться увеличение 7
(см. рис. 2.4.2-2.4.3). Соответствующие вычисления будут приведены в
главе 5, поэтому здесь они не рассматриваются. Можно доказать следующее
Зггверждение (Holmes [1982а]).
Предложение 2.4.1. Инвариантное множество Л содержит:
(a) счетное множ;ество периодических орбит всевозмож;ных периодов;
(b) несчетное множ:ество непериодических движ:ений;
(c) некоторую плотную орбиту; далее,
(d) все периодические орбиты принадлеж:ат к седловому типу и плотны
в А.
Кроме того, суж:ение f на А структурно устойчиво.
Множество Л имеет предельно сложную структуру и содержит
несчетное множество непериодических или хаотических орбит, при этом оно не
является аттрактором. Тем не менее, оно может оказывать драматическое
влияние на поведение типичной орбиты, проходящей вблизи этого
множества, поскольку устойчивое многообразие И^*(Л), или множество
орбит {/"(д)}, асимптотических к Л при п —^ оо, ведет себя как несчетное
множество сепаратрис седел. (В действительности, локально это
устойчивое многообразие совпадает с Л^^: произведением интервала и
некоторого канторова множества.) Поэтому следует ожидать, что орбиты,
проходящие вблизи Л, показывают сверхчувствительную зависимость от начальных
условий и демонстрируют переходный период хаоса, предшествующий
затягиванию на некоторую устойчивую периодическую орбиту, подобно
уравнению Дуффинга для определенных диапазонов параметров. Напомним, что
такие притягивающие орбиты могут сосуществовать с подковой, так как мы
рассмотрели лишь действие / на специально выбранную область D в
пространстве состояний.
Как и при изучении уравнения Дуффинга, рассмотрим теперь
поведение отображения /„^-у при возрастании силы 7 и фиксированном а < 1.
В частности, зафиксируем область Q, ограниченную прямыми ф = О, ф =
= 27Г, ф + и = 2п7г, ф + и = {2п + 2Oг и выбранную так, что fa,o{Q)
целиком лежит ниже Q (см. рис. 2.4.3(a)). При возрастании 7 центр
образа области Q поднимается до тех пор, пока образ горизонтальной
прямой АС {v = 2тг), описываемый соотношением и = 2тга — j cos ф, лишь
148 Глава 2
касается АС в точке {ф, и) = (тг, 2mv), см. рис. 2.4.3(b). Это происходит
при ^ = ^„ = 2тг{1 — а) и означает, очевидно, бифуркацию «седло-узел»
для пары неподвижных точек, лежащих на прямой и = 2mv (см. B.4.13)).
Мы уже знаем, что этот сток испытывает бифуркацию перехода к стоку
периода два при 7 = 7' = 2-у/гг^7г^A — а)^ + A + аУ. Мы приходим к
выводу о существовании некоторой бесконечной последовательности
дальнейших бифуркаций в промежутке между 7^ и критическим значением 7п>
при котором возникает подкова (рис. 2.4.3(c)), так как для 7 ^ 7п ^ Q ''У"
ществует счетное множество периодических орбит сколь угодно большого
периода.
Работы Newhause [1974, 1979, 1980], а также Гаврилова и Шильникова
[1972, 1973] показывают, что в процессе рождения подковы Gи < 7 < 7п)'
пока образ fa,-y{Q) еще не пересекает Q по двум раздельным полоскам,
в результате бифуркаций «седло-узел» рождается бесконечное число
семейств устойчивых периодических орбит, которые затем последовательно
удваивают свои периоды в одноименной бифуркации при возрастании 7-
Таким образом, можно найти устойчивые орбиты периода, большего
любого наперед заданного числа. Такие орбиты практически неотличимы от
ограниченных непериодических движений, составляющих подкову, но,
благодаря устойчивости, они наблюдаемы. Newhouse предположил [1979], что
такие орбиты могут образовывать гипотетический «странный аттрактор»,
наблюдавшийся Нёпоп [1976] и многими другими при численных итерациях
двумерных отображений. Эти вопросы будут обсуждаться более подробно
в главе 6.
В заключение вновь приведем результаты численного моделирования,
выявившие существование некоторых сложных орбит отображения fa,-y
На рис. 2.4.5 показана последовательность орбит для фиксированного
значения а = 0,8 и нескольких значений j. Устойчивый сток (а) переходит в
орбиту периода 2 (Ь), а на фрагментах (с) и (d) видны последующие
более сложные орбиты. В каждом из случаев начальные условия выбирались
вблизи и = 2тт. Заметим, что для малых значений 7 ((а), (Ь)) орбита
остается вблизи семейства гг = 1, а для больших значений она покидает эту
группу и блуждает в некоторой ограниченной области фазового цилиндра,
вплоть до выхода на некоторую устойчивую периодическую орбиту (с),
или блуждает без видимой стабилизации (d). В случае (с) потребовалось
500 итераций, прежде чем выяснилось асимптотическое поведение, в
случае (d) были вычислены 5000 итераций. (Заметим, что орбиты в случаях (с)
и (d) не соответствуют физическим движениям мяча, так как скорость
отскока V становится отрицательной. В этом проявляется недостаток данной
простой модели, вытекающий из предположения B.4.2).)
Рис. 2.4.6 иллюстрирует необходимое (но не достаточное) условие
такого блуждания. Здесь показаны части границы области притяжения стока
1
b)
;г
'ч.
." о
-
и, ,
■.*
ол
0
Ьл
с)
а
1
к
_| 1
А
я-
0
)л
d)
г0Ц
—1
, -' ^.'_.
Z^-'^^^'
■:^^Efe
i
:
mm
1 L-:
2я- 0
Рис. 2.4.5. Орбиты fa,-у, ct — 0,8. Символом © обозначены начальные условия, А— асимптотический предел орбиты.
Движение периода 2 при п — 1 возникает для j ^ 3,813022. (а) 7 = 3; (Ь) 7 = 4; (с) 7 = 5; (d) 7 = Ю: никакого
периодического предела не появилось после 5 000 итераций.
3
>
5
Рис. 2.4.6. Устойчивое и неустойчивое многообразия седловой точки при га = 1. Сток при га = 1 обозначен через А,
а — 0,8. (а) 7 = 2; (Ь) 7 = 3; (с) 7 ~ 3,28: первое касание, (d) 3,5: трансверсальные гомоклинические орбиты.
2.4. Динамика ПОДСКАКИВАЮЩЕГО МЯЧА 151
периода 1 из семейства п = 1, образованные устойчивыми
многообразиями соответствуюгцей седловой точки. Конечные отрезки этих
многообразий легко вычислить путем итераций короткого интервала,
направленного в соответствии с устойчивым собственным вектором линеаризованного
отображения B.4.6), содержащим седловую точку, при помощи обратного
отображения B.4.5). Подобным образом можно найти неустойчивое
многообразие, применяя к неустойчивому собственному вектору итерации B.4.4).
При наличии трансверсального пересечения устойчивого и неустойчивого
многообразий, как на рис. 2.4.6(d), очень сложно предсказать
асимптотическое поведение орбиты без знания начальных условий с чрезвычайной
точностью, так как любые две орбиты, начинающиеся по разные стороны
устойчивого многообразия, в конце концов расходятся с экспоненциальной
скоростью. Принудительное закручивание этого многообразия приводит к
усложнению границ областей притяжения, которые включают бесконечно
много длинных тонких языков, лежащих вблизи других притягивающих
орбит. Мы вновь сталкиваемся с чувствительной зависимостью от начальных
условий, несмотря на то, что простые аттракторы (периодические орбиты)
притягивают в конце концов почти все решения.
Тем не менее, в обсуждаемой задаче, как и в примерах Дуффинга и
Лоренца, по-видимому, существуют большие множества значений параметров,
для которых орбиты никогда не сходятся к периодическим аттракторам. На
рис. 2.4.7(a) показана такая орбита, которая не проявляет никакого
видимого асимптотического поведения после 60 000 итераций. Заметим, однако,
что эта орбита демонстрирует замечательную глобальную структуру: она
выглядит как множество кривых, как и в примере Дуффинга (рис. 2.2.8).
Увеличение фрагментов фазового пространства наводит на мысль, что, как
и в работе Нёпоп [1976], это множество неограничено (рис. 2.4.7(b)), а
является локально произведением некоторой гладкой кривой и канторова
множества. Это в точности совпадает со структурой замыкания
неустойчивых многообразий подковы. (Локально, это просто множество Л^ С Q.)
На рис. 2.4.7(c) показана часть неустойчивого многообразия седловой
точки {ф, и) = Gг/2,0). Из сравнения с рис. 2.4.7(a) ясно, что орбита по виду
стремится к данному многообразию или лежит на нем. Действительно, если
взять в данном случае (а = 0,5, 7 = Ю) ограниченное множество D =
= {ф, V \v\ < 87г}, то из уравнения B.4.7) можно установить, что fa,-i{D)
содержится в Z), и притягивающее множество А можно определить как
пересечение всех прямых образов D:
оо
A=\Jfl,{D), B.4.14)
и = 0
как и в примере Дуффинга. Вновь А оказывается замыканием всех
устойчивых многообразий, см. рис. 2.4.7(c).
152
Глава 2
бл"
V о
"Г-;; 1
" стабильная
j^f^"""^'*^ периода 2
-■■■ |jSt2s,-v N_ орбита
~' ^
1 .'■,*'
-Я" I
Л-/4
■/,fv ■■
.■/..;g I
ЗЛ-/4
Рис. 2.4.7. «Странный аттрактор», (a) 60 000 итераций точки вблизи Gг/2, 0); (Ь)
увеличение части рисунка (а); (с) неустойчивое многообразие точки Gг/2, 0).
2.5. Заключение. Мораль БАСНИ 153
Заметим, что данное притягивающее множество сосуществует с
устойчивой орбитой периода 2 из семейства п = 3, проходящей вблизи
неподвижной точки @,F) = (агссо8(б7г(а — l)/7)i бтг) (см. рис. 2.4.7(a)). Область
притяжения этого движения извивается в промежутках между
компонентами первого притягивающего множества. Такое поведение в основных чертах
аналогично осциллятору Дуффинга, имеющему два различных аттрактора
для одинаковых значений параметров (рис. 2.2.5(a)).
Эти наблюдения и сопутствующий краткий анализ (более подробное
рассмотрение предстоит в следующих главах) показывают, что в данной
физической проблеме мы можем ожидать появление продолжительных
ограниченных хаотических движений шара, допускающих математическую
аналогию в области и > 0. Такие движения действительно наблюдались
экспериментально, как было отмечено Wood, Byrne [1981].
2.5. Заключение. Мораль басни
Представленные в данной главе фрагменты анализа и численных
расчетов четырех моделей физических систем наводят на мысль о наличии
некоторых свойств, из которых наиболее поразительным является возможность
наличия ошеломляюще сложных решений у «простых» дифференциальных
уравнений размерности три и более. Более того, поскольку такие системы,
описывающие вынужденные колебания или автономную эволюцию, играют
существенную роль в моделировании нелинейных процессов, важно понять
типичные структуры их решений. В данной книге мы придерживаемся
точки зрения, что такое понимание лучше всего достигается с геометрической
или топологической точек зрения. Куча компьютерных расчетов без
попытки какого-либо объяснения или анализа не слишком полезна.
В последующих главах развивается несколько аналитических методов,
позволяющих более полно понять бифуркации, хаотические движения и
странные аттракторы, подобные представленным в данной главе. В
некоторых случаях эти «новые» методы, по сути дела, представляют собой так
называемые методы теории возмущений, интерпретируемые
геометрически, но большая часть рассмотрений, включая понятия гиперболичности и
методы символической динамики, по-видимому, менее знакома читателю.
Мы будем постоянно возвращаться к этим четырем примерам для
иллюстрации новых аналитических методов по мере их представления, заполняя
по ходу дела бреши в представленном выше беглом анализе.
Глава 3
Локальные бифуркации
в данной главе изучаются локальные бифуркации векторных полей
и отображений. Как мы увидели, интересные, с физической точки зрения,
системы обычно включают некоторые параметры, появляющиеся при
составлении систем уравнений. Когда эти параметры изменяются, при
определенных их значениях могут произойти изменения в качественной
структуре решений. Такие изменения называют бифуркациями, а соответствую-
1цие значения параметров — бифуркационными значениями. В данной главе,
а также главах 6 и 7, развивается с возможной полнотой систематическая
теория, позволяющая провести анализ типичных встречающихся бифуркаций.
Пристальное внимание уделяется примерам, представленным во второй
главе, которые используются для иллюстрации представляемой теории.
Имеются очевидные пределы, ограничивающие систематическое
развитие теории бифуркаций. В областях параметров, состоящих из
структурно неустойчивых систем, подобные встречавшимся в системе
Лоренца, детальные изменения в классе топологической эквивалентности
потоков могут быть чрезвычайно сложными. Многие важные аспекты этой
ситуации остаются непонятными и требуют достаточно полной теории
структурной устойчивости для систем второго порядка. Поэтому в
данной главе мы сфокусируемся на простейших бифуркациях
изолированных положений равновесия и периодических орбит — части теории,
отличающейся относительной полнотой. Поскольку анализ таких
бифуркаций обычно связан с изучением векторного поля вблизи вырожденного
(бифурцирующего) положения равновесия или замкнутой орбиты, а
бифуркационные решения также ищутся вблизи этих предельных множеств,
то эти бифуркации называют локальными. Глобальные бифуркации, в
особенности те из них, которые характеризуются отсутствием
трансверсальности между устойчивым и неустойчивым многообразиями
периодических орбит и равновесий, будут обсуждаться в главе 6. В главе 7
рассматриваются задачи, в которых бифуркации являются вырожденными,
если только не рассматривать их в контексте систем с двумя и более
параметрами. Оказывается, что даже изучение локальных
двухпараметрических бифуркаций требует понимания глобальных бифуркаций, так
как последние естественным образом возникают в двухпараметрических
семействах.
3.1. Бифуркационные ПРОБЛЕМЫ 155
Вначале мы рассмотрим несколько простых примеров бифуркаций
неподвижных точек одномерных и двумерных потоков, затем перейдем
к развитию общей теории бифуркаций неподвижных точек гг-мерных
потоков. Главными компонентами такой теории являются теоремы о
центральном многообразии и нормальной форме. В заключение главы мы обратимся
к локальным бифуркациям отображений и разовьем для них аналогичную
теорию.
3.1. Бифуркационные проблемы
Термин «бифуркация» был впервые применен Пуанкаре для
описания «расщепления» равновесных решений в семействе дифференциальных
уравнений. Если ^ ^ ^^^^^. ,eR\^eR'' C.1.1)
— система дифференциальных уравнений, зависящая от /с-мерного
параметра /i, то равновесные решения этой системы совпадают с корнями
уравнения /ц{х) = 0. Как следует из теоремы о неявной функции, при
изменении /i эти положения равновесия описываются гладкими функциями /i вне
тех точек, в которых матрица Якоби, составленная из производных от ffj,{x)
по X, Dxffj,, имеет нулевое собственное значение^. График каждой из этих
функций представляет собой некоторую ветвь положений равновесия
системы C.1.1). В положении равновесия {хо, fJ-o), в котором D^ffi имеет
нулевое собственное значение, могут сходиться несколько ветвей равновесий,
такая точка (a;o,/io) называется точкой бифуркации.
В качестве примера рассмотрим уравнение C.1.1), где f^{x) = цх —
— х^. Здесь Dxfn = ц — Зх^, и единственной точкой бифуркации является
(a;,/i) = @,0). Легко проверить, что единственная неподвижная точка х =
= О, существующая при /i < О, устойчива, а при ц > О она становится
неустойчивой, в то время как вновь рождающиеся неподвижные точки х =
= ±Y^ устойчивы. Мы получаем качественную картину, изображенную
на рис. 3.1.1, где ветви равновесия показаны в пространстве (ж,/i). Этот
рисунок является примером бифуркационной диаграммы.
Упражнение 3.1.1. Исследуйте бифуркации положений равновесия для
системы X = ffiix), где /л близко к нулю, в случаях
(a) f^i{x) = ц-х'^;
(b) /^(ж) = fix - х^;
(c) /^(ж) = fi'^x - х^;
(d) /^(ж) = fi'^x + x^;
(e) ffi{x) = ц^ах + 2цх^ — х^, для различных а.
'Мы иногда будем обозначать матрицу Dxffi как -D/^ или просто как Df, подобно главам 1
и 2, если это не приведет к искажению смысла.
156
Глава 3
точка бифуркации
;^ветви равновесия
Рис. 3.1.1. Бифуркационная диаграмма для f^{x) = fix
стоки.
источники;
В каждом из случаев найдите нетривиальные неподвижные точки и
исследуйте их устойчивость. Постройте также бифуркационные диаграммы. Некоторые
из этих бифуркаций являются более вырожденными, чем другие: малые
возмущения /^ могут изменить топологическую структуру соответствующих
бифуркационных диаграмм. Попробуйте выявить такие бифуркации и изобразить какие-либо
возмущенные диаграммы.
Бифуркации положений равновесия обычно приводят к изменениям
топологического типа потока, но существует и много других типов
изменений топологических классов потоков. Мы включаем все такие изменения в
понятие бифуркации.
Определение 3.1.1. Значение цо, для которого поток уравнения C.1.1)
структурно неустойчив, называется бифуркационным значением
параметра /i.
Это определение не вполне удовлетворительно, поскольку оно
предполагает изучение тонкой структуры потоков, для которой не существует
полного описания. Следовательно, попытки построить систематическую
теорию бифуркаций приводят к очень сложным техническим вопросам, не
все из которых связаны с приложениями этой теории. Чтобы избежать этих
трудностей, часто ослабляют данное выше определение и изучают только
некоторые из качественных свойств систем дифференциальных уравнений.
Мы не станем, однако, ограничиваться «статической» проблемой, в которой
изучаются лишь бифуркации положений равновесия (см. Sattinger [1973]).
Другая особенность данного определения состоит в том, что точка
бифуркации не обязательно отвечает изменению класса топологической
эквивалентности потока. Например, система х = —{р?х + х^) имеет точку
бифуркации /i = О, однако все потоки этого семейства имеют глобально
притягивающее положение равновесия а; = 0. Однако произвольные возму-
3.1. Бифуркационные ПРОБЛЕМЫ 157
щения (деформации) действительно приводят к топологичесьси различным
потокам (см. упражнение 3.1.1).
Изобразим бифуркационное множество для данной системы C.1.1).
Оно состоит из таких множеств точек в пространстве /i, для которых
структурная устойчивость нарушается по одному из конкретных сценариев,
которые мы попытаемся классифицировать в той степени, в какой сможем.
Зачастую также удобно нарисовать бифуркационные диаграммы:
множества точек в пространстве {х,р), составляющие инвариантные множества
системы C.1.1) (или части этих множеств). Такие инвариантные множества
не обязательно являются просто неподвижными точками, как на рис. 3.1.1;
например, периодические орбиты часто изображают, используя некоторую
меру (|а;|) их амплитуды.
Упражнение 3.1.2. Исследуйте устойчивость неподвижной точки (х,у) =
= (О, 0) для системы
X = jiix — у — Ц2х{х + у ) — х{х + у ) ,
у = Х + ту - Ц2У{Х^ + У^) - У{Х^ + y^f
и найдите какие-либо семейства периодических орбит, испытывающих
бифуркацию (ср. упражнение 1.5.2). Нарисуйте бифуркационную диаграмму (график на
пространстве {fii,fi2)), отображая на ней неподвижные точки и периодические
орбиты.
Особый интерес представляет существование распознаваемых типов
бифуркаций, встречающихся раз за разом во многих задачах. В идеале нам
хотелось бы иметь классификацию бифуркаций, предоставляющую
конкретный список возможностей для каждого примера, исходя лишь из общих
соображений, таких как число параметров в задаче, размерность фазового
пространства, а также имеющиеся симметрии или другие особые системы
(например, уравнение Дуффинга с возбуждением и система Лоренца
обладают свойством сжатия фазового объема, что исключает для этих систем
многие типы поведения). Такая классификация частично разработана, и мы
приведем довольно подробный обзор в данной главе, а также главах 6 и 7.
Схемы классификации основаны на понятиях, взятых из теории
трансверсальности в дифференциальной топологии. Из теоремы
трансверсальности следует, что если два многообразия (поверхности) размерностей к
и / лежат в гг-мерном пространстве, то в общем случае их пересечение
будет многообразием размерности {к + I — п). Если к + I < п, то
вообще не следует ожидать пересечения. Например, двумерные поверхности
в трехмерном пространстве обычно пересекаются по кривым, а две кривых
в трехмерном пространстве обычно не пересекаются. Смысл выражения
обычно дается в терминах топологии функционального пространства
вложений /-мерных многообразий в гг-мерное пространство. Заметим лишь, что
158 Глава 3
нетрансверсальные пересечения могут быть превращены в трансверсальные
путем малых шевелений, а трансверсальные пересечения сохраняют свою
топологию при возмущениях. Общее положение или трансверсалъное
пересечение многообразий в п-мерном пространстве характеризуется тем, что
линейная оболочка касательных пространств к пересекающимся
многообразиям совпадает со всем пространством. Формулу размерностей можно
также переписать в терминах коразмерностей. Коразмерность ^-мерного
подмногообразия гг-мерного пространства равна {п — /). Тогда для общего
пересечения двух подмногообразий Ei, Е2 выполнено равенство {п — I) -\-
+ {п — к) = 2п — {I + к) = п — {I + к — п). Следовательно, для трансвер-
сального пересечения коразмерность пересечения Si П S2 является суммой
коразмерностей Ei и Е2.
В качестве примера рассмотрим две кривые на плоскости, одна из
которых совпадает с осью х, а вторая является графиком некоторой функции /.
Эти две кривые пересекаются трансверсально в точке х, если f{x) = О
(условие пересечения) и f'{x) ф О (трансверсальность). Можно сказать,
что трансверсальное пересечение данных кривых является простым
нулем. Если / имеет лишь простые нули, то и малые возмущения функции /
имеют то же количество нулей, что и /. В семействе /^^ простые нули
изменяются как гладкие функции р (это утверждение следует из теоремы
о неявной функции). Непростые нули не обладают этим свойством.
Например, семейство f^iix) = /i + ж^ имеет непростой нуль в точке (ж, /i) = @,0).
Для /i > О функции /^i вовсе не имеют нулей. Заметим, однако, что если
считать fy^{x) = F{x, /i) функцией двух переменных, то ее график пересекает
координатную плоскость {х, р) трансверсально по кривой р + х? =0. Таким
образом, хотя точка бифуркации [х, р) = @,0) соответствует неустойчивой
системе, бифуркационная диаграмма, соответствующая семейству систем,
устойчива к малым возмущениям. Отметим, что loss, Joseph [1981]
проводят строгое различие между такими «точками поворота» или бифуркациями
типа «складка» и бифуркациями разветвления, подобными показанной на
рис. 3.1.1.
Упражнение 3.1.3. Проверьте утверждения, содержащиеся в
вышеприведенном абзаце.
Упражнение 3.1.4. Покажите, что график /^(а;) = F(x, /i) = х^ — x/i
пересекает плоскость (ж, ju) не везде трансверсально. Во что, по вашему мнению, можно
преобразовать диаграмму бифуркации «вилка», представленную на рис. 3.1.1,
малым возмущением? (Попробуйте добавить к /^(ж) члены г/ и г/ж .)
Трансверсальность используется в теории бифуркаций следующим
образом. Мы собираемся изучить бифуркации, встречающиеся в общих к-па-
раметрических семействах C.1.1) (возможно, в классе векторных полей
с симметриями или другими особыми условиями). Попытаемся сделать это.
3.1. Бифуркационные ПРОБЛЕМЫ 159
сформулировав некоторый набор условий трансверсальности (неравенств),
которым удовлетворяет большинство семейств при бифуркационном
значении /iQ. При этом значении будут нарушены некоторые из условий
структурной устойчивости, что и определяет тип происходящей бифуркации.
Проиллюстрируем это примером.
Рассмотрим двухпараметрическую систему вида C.1.1) с
бифуркационным значением цо, при котором /^^ имеет негиперболическое положение
равновесия р. Мы можем изучить линейную часть /^^ в точке р, а также
характер изменений векторного поля /^ для /i, близких к /iQ. Используя
трансверсальность, мы ожидаем, что множество положений равновесия
системы C.1.1) в пространстве {х, /i) образует некоторую гладкую двумерную
поверхность Ж.
Упражнение 3.1.5. Проверьте данное утверждение.
При изучении линейной части функции /^ в положении равновесия
из Ж мы можем сформулировать условие трансверсальности,
гарантирующее, к примеру, что ни одно из линейных отображений для /^^ не обладает
нулевым собственным значением кратности больше двух, а при наличии
нулевого собственного значения кратности два ему отвечает блок („ „) в
жордановой нормальной форме. Для составления этого условия
трансверсальности определим отображение поверхности Ж в пространство
квадратных матриц, ставящее в соответствие точке (ж, jjl) & Ж производную
Якоби Dxfn в этой точке. В пространстве квадратных матриц существуют
подмногообразия, соответствующие различным комбинациям собственных
значений на мнимой оси. Так как поверхность Ж двумерна, ее образ при
данном отображении пересекается, вообще говоря, лишь с
подмногообразиями пространства матриц коразмерности не более двух. Множество матриц
с жордановой формой, включающей ровно один блок вида ( q q ), образует
такое многообразие коразмерности два.
Упражнение 3.1.6. В пространстве матриц 2x2 найдите явную форму
множеств матриц, имеющих:
A) простое нулевое собственное значение;
B) пару чисто мнимых собственных значений;
C) жорданову форму (Ц);
D) жорданову форму (Ц)-
Покажите, что каждое из этих множеств является подмногообразием в R"*, и
найдите его коразмерность. (Намек: используйте теорему о неявной функции.)
Если написать достаточно длинный список свойств трансверсальности,
то имеется некоторая надежда, что семейства вида C.1.1) с бифуркацией
некоторого данного типа все будут иметь качественно одинаковую
динамику вблизи бифуркации. Наилучшее определение «качественно одинаковой
160
Глава 3
динамики» неясно. Существуют несколько альтернативных вариантов, и мы
хотим выбрать из них тот, который был бы достаточно строгим и в то же
время охватывал относящиеся к делу примеры. Данная дихотомия не имеет
удовлетворительного решения, и попытки определить, какие из примеров
удовлетворяют тому или иному альтернативному определению, связаны со
многими спорными техническими вопросами. Вместо того чтобы иметь
дело с конкретным определением, опишем для каждого
рассматриваемого примера те динамические черты, которые с очевидностью сохраняются
при возмущениях. Список подходящих примеров одномерных и двумерных
семейств, которые следует изучить, представляется довольно полным (за
исключением тех ситуаций, в которых имеется большая группа симметрии).
Таким образом, описанные выше методы позволяют составить такой
список «нормальных форм» коразмерности один и два для матриц Яко-
би Dxfn, вычисленных в точке бифуркации {xq^jiq):
Коразмерность один
(i) Простое нулевое собственное значение:
i^./м
О О
О А
(ii) Простая пара чисто мнимых собственных значений:
О
D,
О -UJ
UJ О
Q ^ А
Коразмерность два
(iii) Двойной нуль, недиагонализуемый:
D^
О 1
О О
■ О
(iv) Простой нуль + чисто мнимая пара:
D^f^
0
U1
0
—UJ
0
0
0
0]
0
0
0
А_
3.2. Центральные многообразия
161
(v) Две различных чисто мнимых пары:
D^U =
"О
О
о
-ил О
О о
о о
О
0 1
п
-UJ2
0
A
А_
Во всех случаях А — матрица подходягцей размерности ((гг—1) х (гг—1),
(гг — 2) X (гг — 2) и т. д.), все собственные значения которой имеют ненулевые
вещественные части.
При обсуждении отдельных бифуркаций мы будем использовать
понятия коразмерности и деформации. Коразмерностью бифуркации
является наименьшая размерность пространства параметров, которое содержит
данную бифуркацию в устойчивой форме. Деформация — это некоторое
семейство, содержагцее данную бифуркацию в устойчивой форме. Мы
проиллюстрируем эти определения и разовьем их далее в разделе 3.4 при
обсуждении бифуркаций систем, имеющих в положении равновесия простое
собственное значение.
Перед тем как обсудить локальные бифуркации коразмерности один,
рассмотрим два общих метода, позволяющих вводить системы координат,
в которых вычисления облегчаются. Применение этих методов позволяет
свести задачу к нескольким определенным системам дифференциальных
уравнений, поведение которых определяет качественные черты каждого из
тршов бифуркаций. Еще раз подчеркнем, что эти методы по своей природе
локальны и могут применяться лишь к бифуркациям положений равновесия
и периодических орбит.
3.2. Центральные многообразия
в этом разделе мы начинаем развивать методы, необходимые для
анализа бифуркационных проблем. Мы обсудим и сформулируем теорему о
центральном многообразии, предоставляющую возможность
систематического понижения размерности пространства состояний, которое следует
рассматривать при анализе бифуркаций данного типа. Мы используем систему
Лоренца и ее бифуркацию при /з = 1 в качестве примера,
иллюстрирующего роль центральных многообразий при расчете бифуркаций. Рассмотрению
подлежат две аналогичных ситуации: положение равновесия векторного
поля и неподвижная точка диффеоморфизма. Второй из случаев часто
возникает при изучении отображения Пуанкаре для некоторой периодической
орбиты или потока.
162 Глава 3
Допустим, что мы имеем некоторую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений х = f{x), причем /@) = 0. Если линейная часть /
в начале координат не имеет чисто мнимых собственных значений, то, по
теореме Хартмана (теорема 1.3.1), число собственных значений с
положительными и отрицательными действительными частями определяет
топологическую эквивалентность потоков вблизи нудя. При наличии собственных
значений с нулевыми вещественными частями, поток вблизи начала
координат может быть чрезвычайно сложным. Мы уже встретились с некоторыми
примерами, ниже следуют другие.
Упражнение 3.2.1. Определите топологические свойства потоков для
следующих систем вблизи начала координат:
(a) X = х^;
(b) X = у — х{х^ + у'^), у = —х — у{х^ + у'^). (Подсказка: перейдите к полярным
координатам.)
(c) X = х^ — Зху^, у = —Зх^у + у^. (Подсказка: см. уравнение A.8.23) и
упражнения 1.8.9, 1.8.11.)
(d) X = ху + х^, у — —у — х^у.
Заметим, что в последнем примере (d) одно из собственных значений
равно —1, следовательно, существует одномерное устойчивое многообразие
(в данном случае, ось ординат). В данной задаче прямое вычисление
показывает, что ось абсцисс является вторым инвариантным множеством,
касательным к (в действительности, совпадающим с) центральному
собственному пространству Е'^. Это один из примеров центрального многообразия:
инвариантного многообразия, касательного к центральному
собственному пространству. Локальное динамическое поведение, «трансверсальное»
к центральному многообразию, относительно просто, так как оно
управляется экспоненциально сжимающими (и растягивающими) потоками на
локально устойчивом (и неустойчивом) многообразиях. Заметим, что мы не
можем определить центральное многообразие в терминах асимптотического
поведения решения на нем (ср. уравнение A.3.5)), так как, как
показывает упражнение 3.2.1, решения на центральном многообразии могут быть
расширяющими или сжимающими.
Вообще говоря, метод центрального многообразия позволяет
изолировать сложное асимптотическое поведение за счет определения
инвариантного многообразия, касательного к подпространству, натянутому на
(обобщенное) собственное пространство, соответствующее чисто мнимым
собственным значениям. Здесь, однако, имеются технические трудности, не
присутствующие в теореме об устойчивом многообразии. Они включают
неединственность и потерю гладкости инвариантного центрального
многообразия. Прежде чем сформулировать главный результат,
проиллюстрируем эти соображения парой примеров.
3.2. Центральные многообразия
163
Рис. 3.2.1. Фазовый портрет уравнения C.2.1), показывающий некоторые
центральные многообразия (жирные линии).
Наш первый пример принадлежит Kelley [1967]. Рассмотрим систему
C.2.1)
У = -У•
Peшeния этой системы имеют вид a;(i) = xo/{l — txo),y{t) = уое
'.Исключая t, получим фазовую кривую, являющуюся графиком функции у{х) =
= (г/ое^^/^°)е^/^. При а; < О все эти фазовые кривые приближаются к
началу «плоским образом», т. е. все их производные обращаются в нуль
при а; = 0. При а; > О единственной фазовой кривой, приближающейся к
началу (при t -^ оо), является ось абсцисс. Таким образом, центральное
многообразие, касательное к направлению собственного вектора,
отвечающего нулевому собственному значению (ось абсцисс), далеко не
единственно. Мы можем построить С°° центральное многообразие, соединяя вместе
любую фазовую кривую в левой полуплоскости с правой половиной оси
абсцисс, см. рисунок 3.2.1. Заметим, однако, что единственным
аналитическим центральным многообразием является сама ось абсцисс.
Для объяснения отсутствия у центрального многообразия гладкости
сделаем сначала простое наблюдение, касающееся траекторий,
приближающихся к некоторому узлу. Рассмотрим линейную систему
y = by,
где 6 > а > 0. Разделив одно из этих уравнений на другое, получим
C.2.2)
dx
ЬУ
а X
C.2.3)
164 Глава 3
Как легко видеть, решения уравнения C.2.3) имеют вид у{х) = С\х\^'''^°'К
Графики функций у{х) являются фазовыми кривыми для системы C.2.2).
Если мы продолжим одну из этих кривых вплоть до начала координат, то
она не будет бесконечно дифференцируемой в случае, когда число Ь/а не
является целым и С ^ 0. Если г < Ь/а < г + 1, то продолженная кривая
принадлежит к С", но не к С^^. Даже если число Ь/а целое, кривая,
образованная объединением начала координат и двух фазовых кривых справа и
слева от него, будет в обгцем случае лишь Ь/а — 1 раз дифференцируемой.
Приведем теперь пример, показывающий, что можно вынудить
центральное многообразие содержать кривые, полученные путем стыковки в
узле, подобные только что описанным. Рассмотрим систему
3
Х Lbih th ,
У = У, C.2.4)
/i = О,
в которой «параметр» ц играет роль (тривиальной) зависимой переменной.
Нетрудно проверить, что для данной системы, линеаризованной в
начале координат, ось у является неустойчивым подпространством, а
плоскость {х, fi) — центральным подпространством. Множество положений
равновесия этой системы состоит из оси ji и параболы ji = х"^ в координатной
плоскости {х,1л), см. рисунок 3.2.2. Поскольку /i = О, плоскости ji = const
инвариантны относительно потока C.2.4). В плоскости ц = const ^ О все
положения равновесия гиперболичны. Те из них, которые лежат на оси ji
при // < О и на параболе, являются седлами, а те, которые лежат на
положительной части оси 1л, — неустойчивыми узлами. Мы хотим построить
центральное многообразие в начале координат. При // < О поток
системы C.2.4), с топологической точки зрения, представляет собой однопара-
метрическое семейство седел, и единственный возможный выбор
центрального многообразия — это точки координатной плоскости {х, ц).
Если ц > О, неустойчивые многообразия седел, лежащих на
параболе (каждое из них является вертикальной прямой х = ±у70, образуют
некоторое инвариантное многообразие М, разбивающее М на две
инвариантных области. Центральное многообразие должно пересечь М, причем
это пересечение должно содержать параболу равновесий. Отсюда следует,
что центральное многообразие при ji > О должно состоять из положений
равновесия системы C.2.4), а также устойчивых сепаратрис седел,
лежащих на параболе. Для системы C.2.4) все положения равновесия лежат на
координатной плоскости {х, ц) и центральное многообразие представляет
собой плоскость {х, ц). Однако если мы заменим второе уравнение системы
на у = у + а;^, то по-прежнему можно утверждать (без доказательства), что
центральное многообразие должно состоять из положений равновесия и их
седловых сепаратрис. Однако, последние теперь уже не будут стыковаться
3.2. Центральные многообразия
165
Рис. 3.2.2. Инвариантные многообразия для уравнения C.2.4).
друг с другом бесконечно дифференцируемым образом вдоль кривой узлов
на положительной половине оси ji. Степень гладкости убывает по мере
удаления от начала, так как система C.2.4), линеаризованная в точке (О, О, цо),
имеет собственные значения 1 и //о в плоскости ц = hq. Следовательно,
мы ожидаем, что степень гладкости ограничена величиной l/fio- Если нас
интересуют только С"-инвариантные многообразия, где г < сю, то поиск
увенчается успехом, если мы ограничимся достаточно малой окрестностью
начала координат (в данном примере диаметра не более 1/г)}
Данные примеры подводят нас к следующем утверждению.
Теорема 3.2.1 (о центральном многообразии для потоков). Пусть
/ — векторное поле в R" класса С", исчезающее в начале координат (/@) =
0), положим А = D/@). Разобьем спектр А на три части: as, (Тс, сг„,
где
< О, если Л е (Ts,
Re А •ч =0, если А е ас,
> О, если А G аи-
'Данный факт можно доказать, решая линейное уравнение первого порядка dy/dx =
= у/{р.х — х^) + х^/{р — х^), которое (при подходяших граничных условиях)
определяет центральное многообразие на каждом «срезе» ц = const. Пользуясь формулой вариации
постоянных, получим
у{х)
,l/2f
(с/
„3-1/р
dx]
^ц-х"' \ J (|U-a;2)i-i/2M /
откуда, после разложения решения в ряд при чалых х и {л, нетрудно установить
вышеупомянутое отсутствие гладкости. Дальнейшие подробности и другие примеры можно найти в
Sijbrand [1981], van Strien [1979] и Carr [1981].
166
Глава 3
Рис. 3.2.3. Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия.
Обозначим {обобщенные) собственные пространства для ds, (Тс и (Т„
как Е^, Е'^ и -К" соответственно. Тогда существуют устойчивое и
неустойчивое многообразия W^ и W класса С", касающиеся £'" и Е"
в начале координат, а также центральное многообразие W^ класса С^^^,
касающееся Е^ в начале координат {если / класса С°°, то можно найти
центральное многообразие класса С" для любого конечного г).
Многообразия W^, W и W^ инвариантны относительно потока /. Устойчивое
и неустойчивое многообразия единственны, а центральное лтогообразие
мож:ет быть неединственным.
Данная ситуация иллюстрируется рисунком 3.2.3. Заметим, что мы не
можем определить направление потока на W^ без дополнительной
информации о членах старших порядков в разложении функции / вблизи нудя.
Более полную информацию о существовании, единственности и
гладкости центральных многообразий, а также доказательства теоремы 3.2.1 и
последующих результатов можно найти в Marsden, McCracken [1976], Can-
[1981] и Sijbrand [1981]. Следует также отметить статью Kelley [1967] как
первое опубликованное полное доказательство теоремы 3.2.1.^
Может показаться, что более простой альтернативой теореме о
центральном многообразии является проектирование данной системы на
линейное подпространство, натянутое на Е'^. Таким образом, если записать
векторное поле f как f = fu + f.s + fc, где /„ e E^, Д G E"* и /^ G E",
' Сведение изучения бифуркаций исходного векторного ноля к изучению бифуркаций
векторного ноля меньшей размерности на «центральном многообразии» см. в [9, 10]. —Прим.
ред.
3.2. Центральные многообразия
167
то можно надеяться, что вблизи положения равновесия сужение /с на Е'^
правильно описывает качественную динамику на центральных
направлениях. Однако система Лоренца показывает, что это не всегда имеет место,
и служит, таким образом, поучительным примером важности вычисления
центральных многообразий в бифуркационных проблемах.
Напомним, что система Лоренца B.3.1), введенная в главе 2, имеет вид
X = а{у — х),
у = рх — у — XZ,
Z = —Cz + ху.
C.2.5)
Данная система является приближением Галеркина для системы
дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих двумерную
конвекцию типа описанной в разделе 2.1. (Мы рассмотрим проекцию и
процедуру усечения Галеркина ниже, в разделе 7.6.) Мы изучим бифуркацию
системы C.2.5), происходящую при {x,y,z) = @,0,0) и р = 1. Матрица
Якоби в нуле такова:
/-СГ а О \
{ р -1 О C.2.6)
\о О -/зУ
Если р = 1, то эта матрица имеет собственные значения О, —а — 1 и —/3
с собственными векторами A,1, 0), (а, —1,0) и @,0,1). Принимая эти
собственные векторы за базис новой системы координат, положим
/
Это преобразование приводит C.2.5) к виду
1 + 0-
1
1 + 0-
0
1 + 0- "
0 l)
f»
Ь
C.2.7)
u = ^x+^y=^{y-x) + jf^[{x-y)-xz]
= (и + (jv)w,
1 + СГ
* = гт^* - iT^y = iT^(y - ^) - гт^[(^ - у) - ^^]
= -A + cr)v + {и + (jv)w,
W = Z = —j3z + ху = —j3w + (и + (Tv){u — v),
C.2.8)
168
Глава 3
О О
О -A + а)
О О
+
:;— (и + <JV)W,
1 + (Т
\ (и + (Tv){u — v) )
C.2.9)
так что линейная часть имеет теперь стандартную (диагональную)
форму. В координатах (m,w,w) центральное многообразие является некоторой
кривой, касательной к оси и. Заметим, что проектируя данную систему на
ось и, полагая w = w = О в уравнении для й, получим й = 0. Однако ось и
неинвариантна, поскольку уравнение для w содержит член м^. Тем не
менее, если мы сделаем еще одно (нелинейное) преобразование координат по
формуле W
Y/3, то получим
~ • 2мй а( и
-У {а — \)uv — (jv^ +
2а
/3A +а)
и(и + ijv)w,
или
= —/Зго + {а — l)uv — av^ +
^^.(. + H(- + f). C.2.10)
В системе координат (и, w, w) имеем
и =
-^(. + H(^+f).
C.2.11)
Проекция данного уравнения на ось и в новых координатах приводит к
уравнению й = (—сг//3A+сг))м^. Заметим также, что в уравнениях для vnw
отсутствуют члены вида м^, поэтому ось и инвариантна в преобразованной
системе «во втором порядке».
Дальнейшие попытки отыскания центрального многообразия могут
быть основаны на дополнительных преобразованиях координат, целью
которых является превращение оси и в инвариантное относительно данного
потока множество. Это можно сделать итеративно при помощи замен
неременных V и W, добавляющих к этим координатам мономы относительно и
подобно тому, как из w было получено го. Такие дополнительные
замены координат не изменят коэффициент (—сг//3A + а)) при и^ в уравнении
для й, но повлияют на члены старшей степени вида и™, ш ^ 4. Как мы
увидим в последующих разделах, уравнение й = (—сг//3A + сг))м^, наряду
с эффектом изменения р вблизи единицы, позволяет сделать качественные
3.2. Центральные многообразия 169
выводы о бифуркации в системе Лоренца (и исходной жидкостной системе).
Очевидно, что важно включить в этот анализ вычисление первых членов
разложения центрального многообразия в ряд Тейлора. Если этого не
сделать, получится ошибочная картина поведения в точке бифуркации.
При изучении примера Лоренца мы действительно сделали попытку
аппроксимировать (одномерное) уравнение, описывающее ноток на
центральном многообразии. Представим теперь систематический метод построения
таких аппроксимаций.
Как следует из теоремы о центральном многообразии, в окрестности
точки бифуркации исследуемая система топологически эквивалентна
системе ^ _
х = f{x),
У = -У, ix,y,'S)eW''xW' xW, C.2.12)
z = z.
Теперь мы возьмемся за решение задачи вычисления «редуцированного»
векторного поля /. Для простоты, а также ввиду наибольшей важности в
физических проблемах, мы ограничимся случаем, когда неустойчивое
многообразие пусто (общий случай обсуждается в конце данного раздела), а
линейная часть системы, испытывающей бифуркацию, имеет блочно-диа-
гональную форму:
x = Bx + f{x,y) ( ) R«x^™ р_2.13)
у = Су + д{х,у) ^ '^'
где В и С — квадратные матрицы порядков пит, собственные
значения которых имеют нулевые и отрицательные вещественные части
соответственно, а функции fug обращаются в начале координат в нуль вместе со
своими частными производными первого порядка.
Поскольку центральное многообразие касается Е'^ (пространство у =
= 0), мы можем представить его (локально) в виде графика
W'' = {{x,y)\y = h{x)}; h{0) = Dh{0) = О, C.2.14)
где функция h: и ^ R™ определена в некоторой окрестности U С М"
начала координат, см. рисунок 3.2А. Рассмотрим теперь проекцию векторного
поля при у = h{x) на Е^:
x = Bx + f{x,h{x)). C.2.15)
Поскольку h{x) касается подпространства у = О, решение
уравнения C.2.15) дает хорошую аппроксимацию для потока х = f{x), суженного
на W". Действительно, справедлив такой результат.
170
Глава 3
Рис. 3.2.4. Центральное многообразие и спроектированное векторное ноле.
Теорема 3.2.2 (Henry [1981], Carr [1981]). Если точка х = О в
системе C.2.15) локально асимптотически устойчива {соответственно,
неустойчива), то и начало координат в системе C.2.13) локально
асимптотически устойчиво {неустойчиво).
Данный результат следует также из теории глобальной линеаризации
(Pugh, Shub [1970]).
Покажем теперь, как можно вычислить, или, по крайней мере,
аппроксимировать функцию h{x). Подставляя равенство у = h{x) во второе
уравнение C.2.13) и используя теорему о дифференцрфовании сложной
функции, получим
ij = Dh{x)x = Dh{x)[Bx + f{x, h{x))] = Ch{x) + g{x, h{x)),
или
jY{h{x)) = Dh{x)[Bx + f{x,h{x))] - Ch{x) - g{x,h{x)) =0, C.2.16)
с граничными условиями
/i@) = Dh{0) = 0.
Данное уравнение в частных производных относительно h в большинстве
случаев не может быть, разумеется, решено точно (это означало бы, что
найдено регпение исходного уравнения), однако его решение можно ап-
гфоксимировать с любой точностью рядом Тейлора в точке а; = 0:
3.2. Центральные многообразия
171
Теорема 3.2.3 (Henry [1981], Carr [1981]). Если можно найти
такую функцию ф{х), для которой ф{0) = Оф{0) = О м ■УУ{ф{х)) = 0{\х\р)
при |а;| ^ О для некоторого р > 1, то
h{x) = ф{х) + 0{\х\Р) при \х\ -^ 0.
Таким образом, мы можем аппроксимировать h{x) с любой желаемой
точностью, отыскивая решения уравнения C.2.16) в виде рядов. Однако, как
мы увидим ниже, в упражнении 3.2.2, такие разложения в ряд Тейлора не
всегда существуют, так как многообразие W^ может не быть аналитичным
в начале координат.
Для иллюстрации применения теоремы 3.2.3 рассмотрим систему
-V + аи + f3uv,
C.2.17)
где параметры аир определяются впоследствии. Имеется единственная
неподвижная точка в начале координат, а собственные значения
линеаризованной системы равны О и —1. Используя для преобразования координат
матрицу, столбцами которой являются собственные векторы:
т = т-
1 1
О -1
C.2.18)
мы можем привести C.2.17) к стандартной форме
Го
0
0 "
-1
(Л^
W +
1
0
1"
-1
о
а{х + yf - C{x + у)у) '
или
X = а{х + у)^ — C{ху + у^),
У = -у - а{х + yf + C{xy + у^).
C.2.19а)
C.2.196)
Поскольку оба подпространства Е*^ и Е" одномерны, h является
действительнозначной функцией, и уравнение C.2.16) примет вид
Л{Н{х)) = h'{x)[a{x + h{x)f - C{xh{x) + h'^{x))] +
+ h{x) + a{x + h{x)f - C{xh{x) + К^{х)) = 0,
/i@) = /i'@) = 0.
C.2.20)
172 ГЛАВА 3
Положим h{x) = ах^ + Ъх^ + ..., где неизвестные коэффициенты а, Ъ, ...
определяются после подстановки в C.2.20). В итоге получаем
h{x) = -ах^ + аDа - i5)x^ + 0{х^), C.2.21)
следовательно, искомую аппроксимацию можно записать в виде
X = а{х + h{x)Y — l3{xh{x) + h (х)) =
= а{х^ + (/3 - '2а)х^ + {^о? - 7аР + l3'^)x^) + 0{х^), C.2.22)
или, если а ^ О,
х = ах^ + [аф - 2а)х^) + 0{х'^). C.2.23)
Заметим, что в данном случае во втором порядке такой же результат
получается при помощи аппроксимации касательным пространством
h = 0 + O{x^), C.2.24)
так как члены второго порядка определяют при а ^ О качественное
поведение вблизи начала координат.
В следующем примере
X = ху, C.2.25а)
у = -у-ах'^, C.2.256)
и касательная аппроксимация не позволяет определить устойчивость вблизи
нудя, поскольку если у = h{x) = О, то и а; = О, как в примере Лоренца.
В данной задаче h определяется из уравнения
h'{x)[xh{x)] + h{x) - ах^ = О, C.2.26)
откуда, полагая h = ах'^ + Ъх^ + ..., получим
h = ax^ + 0{х'^). C.2.27)
Таким образом, редуцированная система имеет вид
х = ах^ + 0{х^). C.2.28)
Локальные фазовые портреты для этих двух примеров (вблизи начала
координат) показаны на рисунке 3.2.5.
3.2. Центральные многообразия
173
W"
Рис. 3.2.5. Центральные многообразия для двух приемов: (а) уравнение C.2.19),
Q > 0; (Ь) уравнение C.2.25), а < 0.
Упражнение 3.2.2. Найдите семейство центральных многообразий для систе-
получив точное решение уравнения dy/dx — у/х — —1/х методом вариации
постоянных:
у{х) = е ^''^'^
С-
оо
2-^71 • га! ж""
Проверьте, что попытки аппроксимировать это бесконечно дифференпируемое, но
не аналитическое многообразие при помощи степенных рядов не приводят к успеху.
В чем дело?
Упражнение 3.2.3. Проверьте, что начало координат для системы
уравнений A.8.20)
• — ^ _
у ^ -у + х^
имеет тип локальной устойчивости, изображенный на рисунке 1.8.8(b).
Упражнение 3.2.4. Аппроксимируйте уравнение х = Вх + f{x,h{x)) для
системы, редуцированной вблизи начала координат на W^, в следующих случаях:
(Ь) X = —у + XZ,
I \ ■ 2 2
(а) X = ах — у ,
У
-у + х +ху-
у = x + yz,
Z = -Z- (х +у ) + Z .
174
Глава 3
В случае (а) сначала положите а =/= О, а. затем а = 0. В обоих случаях
разложите h в степенный ряд до степени, достаточной для определения устойчивости
редуцированной системы.
Упражнение 3.2.5. Начав с уравнения C.2.9) и записав центральное
многообразие в виде {v,w) = {hi{u), /12A4)), аппроксимируйте методом степенных рядов
центральное многообразие для уравнений Лоренца (где р = 1) до третьего порядка.
Тем самым проверьте специальные вычисления, приводящие к C.2.11), и покажите,
что редуцированная система имеет вид й = —a/l3{l + а)и^ + O(u^).
Отметим теперь несложное обобщение метода центрального
многообразия, полезное при исследовании параметризованных семейств систем.
Допустим, что в уравнении C.2.13) матрицы В, С и функции /, д зависят
от некоторого fc-мерного вектора параметров ji, и запишем расширенную
систему так:
X = В^х + f^{x,y),
У = С^у + дц{х,у) {х,у)е
/i = 0
ц е
C.2.29)
(см., например, уравнение C.2.24)). В точке {х,у,1л) = @,0,0)
система C.2.29) имеет {п + /г)-мерное центральное многообразие, касательное
к пространству {x,ii), которое можно аппроксимировать степенными
рядами (но X и fi) для графика h: R" х R'^ ^ М™ точно так же, как ранее.
Свойства инвариантности центрального многообразия гарантируют, что
любые малые решения, бифурцирующие из точки @,0,0), должны лежать
на некотором центральном многообразии, поэтому мы можем проследить
за локальной эволюцией бифурцирующих семейств решений при помощи
этого расширенного семейства центральных многообразий.
В качестве примера рассмотрим квадратичное уранение Дуффинга
и
l3u — и^
5v,
C.2.30)
при 5 > О и параметре /3, изменяющемся вблизи нуля. При /3 = 0
линеаризованная в точке {u,v) = @,0) система имеет собственные значения О
и —5, и при помощи преобразования
1
1/5-
-1/5
уравнения C.2.30) можно записать как расширенную систему
О О
О -5
+
/3
1 1
-1 -1
-{x + yf
{x + yf
C.2.31)
(/3 = 0),
3.2. Центральные многообразия 175
или
3 1
X = '-{х + у)- -{x + yf,
/3 = 0, C.2.32)
у = -5у- -^{х + у) + ~{x + yf.
Будем искать центральное многообразие в виде
у = h{x, /3) = ах^ + ЬхC + с/З^ + 0C), C.2.33)
где 0C) обозначает члены порядков х^, ж^/З, ж/З^ и /3^. Уравнение C.2.16)
в данном случае выглядит так:
(dh dh\ ({C/5){x + h)- {1/5){х + hf
\дх' dp) \ 0
с
Подставляя C.2.33) в C.2.34), получим
+ 6h+'^ix + h)-hx + hf =0. C.2.34)
{2ах + bf3,...) Г(^/^)(^ +^- ■•) + •• Л + ^(д^2 ^ ^^^ ^ ^^2^^
+ ^{х + ах^ + ЬхР + с0^) --{х + .. .J = 0C).
Приравнивая коэффициенты при степенях х^, х/З и /3^, найдем
а = -—, о = —-, с = О,
^2 ' ^2'
откуда
i /„2
6'
У=7^(ж'-/3ж)+0C). C.2.35)
Следовательно, редуцированная система, определяющая устойчивость,
имеет вид
x=^(x+j^ix''- /Зж)) - i(i + .. .J + 0C) (/3 = 0),
176
Глава 3
1
х^ + 0C) ф = 0).
C.2.36)
Отсюда для достаточно малых /3 (|/3| < 5^) мы получаем бифуркационную
диаграмму, построенную на рисунке 3.2.6, правильность которой можно
проверить путем непосредственных вычислений. Расширенное семейство
центральных многообразий для этого примера изображено на рисунке 3.2.7.
Рис. 3.2.6. Бифуркационная диаграмма для уравнения C.2.30).
У
Рис. 3.2.7. Семейство центральных многообразий для уравнения C.2.30).
Упражнение 3.2.6. Вычислите приближенно центральное многообразие
(г", w) = {hi{u, р), h2{u, р)) для уравнений Лоренца C.2.5) в случае, когда р близко
к единице. (Воспользуйтесь тем же преобразованием C.2.7), считая р переменным
параметром в матрице C.2.6).)
Упражнение 3.2.7. Проверьте, что для уравнения Дуффинга B.2.6) для
малых |/3| и фиксированном E > О аппроксимация центрального многообразия при
помощи касательного пространства как графика на Е'^ х (/3-пространство)
порождает качественно верную бифуркационную диаграмму.
3.2. Центральные многообразия 177
В заключение данного раздела заметим, что существует теорема о
центральном многообразии для диффеоморфизмов в неподвижной точке,
соответствующая теореме, которую мы сформулировали для потоков в
положении равновесия. В неподвижной точке р диффеоморфизма G существуют
инвариантные многообразия, соответствующие обобщенным собственным
пространствам DG{p) для собственных значений, лежащих внутри, на и
вне единичной окружности. Смотри формулировку этой теоремы в Marsden,
McCracken [1976].
Для аппроксимации центральных многообразий можно пользоваться,
но-существу, тем же способом, что и для потоков. Полагая, что наша
дискретная система имеет вид
Хп+1= Вхп + Р{хп,Уп), C 2 37)
Уп+1 =Суп+С{Хп,Уп),
где все собственные значения матриц В п С лежат на и внутри единичной
окружности соответственно, будем вновь искать центральное многообразие
в виде графика у = h{x). Подстановка этой формулы в C.2.37) дает
Уп+1 = h{xn+i) = h{Bxn + F{xn, h{xn))) = Ch{xn) + G{xn, h{xn)),
J/'{h{x)) = h{Bx + F{x, h{x))) - Ch{x) - G(x, h{x)) = 0, C.2.38)
и мы вновь можем воспользоваться методом аппроксимации при помощи
степенных рядов.
В качестве примера рассмотрим отображение
^п+1 — ^п ~г ХлУл^
Уп+1 = Хуп-х1, 0<А<1
2 . , X , , C.2.39)
Полагая у = h{x) = ах^ + Ьх^ + 0{х^) и подставляя в C.2.38), имеем
а{х + х{ах^ + .. .)Y + Ъ{х + х[ах^ + .. .)f - \[ах^ + Ъх^) + х^ = 0{х'^),
или
ах^ + Ьх^ — Хах^ — ХЬх^ + х^ = 0{х ).
Отсюда
а = —Ц-, 6 = 0. C.2.40)
Л — 1
178 Глава 3
Таким образом, центральное многообразие описывается формулой
У=д^ + 0(^'), C.2.41)
а редуцированная система имеет вид
Xn+i=Xn + Y^- C.2.42)
Поскольку Л — 1 < О, то нулевое решение уравнения C.2.42) и,
следовательно, системы C.2.39) локально асимптотически устойчиво.
Упражнение 3.2.8. Вычислите редуцированные системы на центральных
многообразиях до третьего порядка для следующих отображений и опишите их
бифуркации.
(a) {х,у) ^ {х + ху-у^, i^y + x^);
(b) (ж, у)^ {х + х^ + аху, 2 J/ - ж^);
1 "^
(c) {х,у) ^ {у, --Х + 2?/ - У^)-
Выше мы предполагали, что в точке бифуркации неустойчивое
многообразие пусто. Если это не так, мы должны иметь дело с системой вида
х = Вх + f{x,ys,yu),
Vs = С,у + д,{х,у,,уи), {x,ys,yu) G R" х R"' x R"", C.2.43)
y„ = C'uZ + ди{х,уя,Уи),
где, как и прежде, собственные значения матрицы В имеют нулевые
вещественные части, а вещественные части собственных значений матриц Cs
и Си соответственно отрицательны и положительны. Вновь будем искать
центральное многообразие в виде графика яа U С Е'^ г^ R": {уз,Уи) =
= {hs{x), hu{x)). Затем, записывая векторы (у1) как у п {gl) как д, а
матрицу [ Q (J ) как С, мы можем действовать точно так же, как прежде.
Аналогично можно поступать с отображениями: как и в случае потоков,
можно добавлять параметры и составлять расширенные системы.
Упражнение 3.2.9. Найдите центральные многообразия с точностью до
второго порядка и редуцированные системы до третьего порядка для следующих систем:
(a) X = х^у + аг^, у = —у + ж^ + zy, z = z — у + ху;
(b) (ж,у,z) ^ {-X + yz, у ^ -^у + х'^, Z ^ 2z-xy).
3.3. Нормальные формы 179
3.3. Нормальные формы
в данном разделе мы продолжим знакомиться с техническими
методами, составляющими фундамент для изучения качественных свойств потоков
вблизи бифуркации. Мы полагаем, что теорема о центральном
многообразии уже была применена к рассматриваемой системе, и потому
ограничиваемся анализом потока на самом этом многообразии, т. е. приближенного
уравнения C.2.15). Мы попытаемся найти дополнительное
преобразование координат, упрощающее аналитическое выражение для векторного поля
на центральном многообразии. Полученные «упрощенные» векторные
поля называют нормальными формами. Анализ динамики нормальных форм
позволяет получить качественную картину потоков для каждого из типов
бифуркаций.
Идея введения последовательных преобразований координат для
упрощения аналитического выражения общей задачи является весьма
плодотворной. На ней основывается теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ),
изучающая квазипериодические движения (см. разд. 4.8 и 6.2). Кроме
того, эта идея используется в методах усреднения, которые будут описаны
в главе 4 (в действительности, нормальные формы можно строить путем
усреднения, см. Chow, Mallet-Pare [1977]). Мы также будем иногда
предполагать при анализе потоков вблизи гиперболического равновесия, что
система была линеаризована путем некоторого преобразования координат.
Для бифуркаций коразмерности два, обсуждаемых в главе 7, и бифуркации
Хопфа, обсуждаемой в разделе 4 данной главы, нормальные формы делают
прозрачными определенные свойства симметрии этих бифуркаций.
Использование этой симметрии существенно облегчает исследование динамики.
Перейдем к более подробному описанию проблемы вычисления
нормальных форм. Начнем с системы дифференциальных уравнений
i = /(x), C.3.1)
имеющей положение равновесия в нуле. (В уравнении C.3.1) опущена
явная зависимость от параметра ц.) Мы хотим найти такое преобразование
координат X = h{y), где /i@) = О, что система C.3.1) станет «настолько
простой, насколько возможно». В координатах у имеем
Dhiy)y = fihiy)),
или
y = {Dh{y))-'f{h{y)). C.3.2)
Лучшее, чего можно ожидать от системы C.3.2), — это ее линейность.
Формально (т. е. в терминах степенных рядов) можно попытаться
итеративно построить последовательность преобразований координат hi, /12, . . .,
180 Глава 3
уничтожающих члены возрастающих степеней в рядах Тейлора для правой
части формулы C.3.2) в начале координат. Процедура отыскания
нормальной формы систематизирует эти вычисления, однако она не всегда приводит
к описанному наиболее строгому результату. В общем случае «наибольщая
возможная простота» означает удаление всех несущественных членов (до
определенной степени) из рядов Тейлора. Если эта процедура применяется
к равновесию гиперболического типа, она позволяет получить
формальную часть теоремы Хартмана о линеаризации, что сейчас и будет показано.
После этого отступления, мы вернемся к негиперболическим равновесиям,
испытывающим бифуркацию.
Допустим на время, что Df@) имеет различные (возможно,
комплексные) собственные значения Ai, ..., Л„ и что проделано предварительное
линейное преобразование координат, диагонализующее Df{0). Тогда
система C.3.1) в координатной форме выглядит так:
XI = Ai^i + gi{xi, .. .,а;„)
Х2 = Лгжг + g2{xi, .. .,а;„)
Xji -^П^П I !^П\^1 5 • • • ! ^П)
ИЛИ X = Ах + д{х), C.3.3)
где в разложениях функций gi в начале координат отсутствуют члены
ниже второго порядка. Мы хотим найти преобразование коордршат h в виде
суммы тождественного и членов старщих порядков, в результате которого в
уравнении C.3.2) исчезнут нелинейные члены до порядка, более высокого,
нежели для д. Пусть к — наименьщий порядок отличной от нуля
производной некоторой функции gi, тогда будем искать h в виде
х = Н{у)=у + Р{у), C.3.4)
где Р — пол1шом степени к такой, что наименьщая степень нелинейных
членов в преобразованном уравнении C.3.2) равняется (fc+1). Теперь C.3.2)
имеет вид
y = {I + DP{y))-^f{y + P{y)). C.3.5)
Разложим данное выражение по степеням у, сохраняя только члены
не ниже порядка к. Обозначая члены порядка к для gi как ^f и полагая
Р{у) = (-Pi(у), ■■■, Рп{у)), получим
" дР
Ш = hVi + \iPiiy)+9iiy) - 22 -^^зУз- C.3.6)
3.3. Нормальные формы 181
При выводе этой формулы использовано соотношение G + DP)^^ =
= I — DP, справедливое с точностью до членов порядка к и старше. (При
вычислении C.3.5) с точностью до членов порядка {к + 1) нам нужно взять
в G + DP)^^ лишь члены порядка к, поскольку / имеет первый порядок.)
Следовательно, мы ищем Р из уравнения
яр
Мы видим, что оператор, стоящий в левой части уравнения C.3.7),
линеен по отношению к коэффициентам многочлена Р. Кроме того, если Р{
др.
представляет собой моном у"^ ... у"", то -K-^^jVj = (^j^jPi и левая часть
этого уравнения принимает вид (Л^ — ^ aj\j)Pi. Следовательно, эти моно-
3
мы являются собственными висторами данного оператора с собственными
значениями Л^—^ %^j- Мы приходим к выводу: можно найти многочлен Р,
3
удовлетворяющий C.3.7), при условии, что ни одна из сумм \ — X^ctjAj
3
не обращается в нуль для целых неотрицательных чисел ai, . .., а„, сумма
которых равна к. Если ни одно из уравнений Л^ — '^o-j^j = О не может
3
быть удовлетворено ни для каких целых неотрицательных чисел aj,
сумма которых больше или равна двум, то рассматриваемое уравнение можно
линеаризовать с точностью до любого алгебраического порядка.
Вопрос о существовании линеаризующего преобразования класса С°°
или аналитичного — более сложен но сравнению с рассмотренной выше
формальной задачей. Пуанкаре удалось построить аналитическое
преобразование в случае, если вещественные части всех собственных значений
имеют одинаковый знак (при этом начало является источником либо
стоком). Если начало — седловая точка и имеются собственные значения обоих
знаков, то в задаче имеются малые знаменатели. Проблема аналитической
линеаризации оказывается связанной с выполнением арифметических дио-
фантовых условий для собственных значений. Она была решена Зигелем
[1952], а проблему С°°-линеаризации позже решил Sternberg [1958]. Тем
не менее, вышеприведенные рассуждения помогают понять, почему
теорема Хартмана гарантирует лишь возможность лршеаризации при помощи
гомеоморфизма.
Упражнение 3.3.1. Покажите, что система
х = х + о{\х\,\у\),
У = -У + о{\х\, \у\)
182 Глава 3
не может быть линеаризована при помощи гладкого преобразования координат.
В частности, нельзя устранить член вида х^у в первом уравнении и член вида ху^
во втором уравнении.
В теории бифуркаций особый интерес представляют положения
равновесия, в которых собственные значения имеют нулевые вещественные
части. В таких случаях проблема линеаризации не может быть решена
вследствие наличия (нелинейных) резонансных членов в функции /, которые не
могут быть устранены путем замены переменных. Теорема о нормальной
форме устанавливает, насколько далеко можно продвинуться при помощи
процедуры, описанной выше для решения проблемы линеаризации
гиперболического равновесия. Ключевые наблюдения, лежащие в основе расчетов,
таковы: A) разрешимость проблемы зависит лишь от линейной части
векторного поля; B) решение можно свести к совокупности линейных систем
уравнений. В результате решения получаем ряды Тейлора для векторного
поля, содержащие только существенные резонансные члены.
Пусть L = Df{0)x обозначает лршейную часть функции C.3.1) в
точке X = О, тогда L индуцирует отображение ad L на линейном
пространстве Hk висторных полей, коэффициентами которых являются однородные
многочлены степени к. Отображение ad L определяется так:
ad L{Y) = [Y, L] = DLY - DYL, C.3.8)
где [•, •] обозначает производную Ли (Abraham, Marsden [1978], Choquet-Bm-
hat и др. [1977]). В координатной форме имеем
п ^ . ^ .
[Y,LY = Y(^Y' -^ьЛ. C.3.9)
f^^\dyj dyj J
Основной результат таков.
Теорема 3.3.1. Пусть х = f{x) — система дифференциальных
уравнений класса С", /@) = О, Df{0)x = L. Возьмем дополнение Gk к ad L{Hk)
в Hk так, что Нк = ad L{Hk) + Gk- Тогда существует аналитическая
замена координат в окрестности начала, преобразующая данную систему
к виду у = д{у) = д<^^\у) + д<^^\у) + ... + д^^-^у) + Rr, где L = д<^^\у)
и ,9^ eG'' для2^к^г, aRr= o(|j/|'').
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Мы дадим конструктивное доказательство, которое
может быть использовано для вычисления нормальных форм на примерах.
Предлагаемая процедура следует шаблону, использовавшемуся при
обсуждении проблемы линеаризации. Воспользуемся индукцией и
предположим, что система х = f{x) преобразована таким образом, что члены
степени меньше s лежат в дополнительных подпространствах С,, 2 ^ г ^ s.
3.3. Нормальные формы
183
Затем возьмем преобразование координат вида х = h{y) = у + Р{у), где
Р — некоторый однородный полином степени s, коэффициенты которого
подлежат определению. Замена приводит к уравнению
G + DP{y))y = р'>{у) + р'>{у) + ... + р^>{у) + Df{0)P{y) + о{\уП.
C.3.10)
Члены степени меньше s при этом преобразовании остаются неизменными,
а новые члены степени s таковы:
C.3.11)
/(^)(у) + DLP{y) - DP{y)L = /(^)(у) + ad L{P){y),
где L{y) = f^'^\y). Ясно, что при подходящем выборе Р сумма
/(^)B/) + adL(P)B/)
будет лежать в Gg, что и требуется.
При данных вычислениях мы на каждом шаге пренебрегали членами
старшего порядка о(|у|*). Это можно делать, если, как в данном случае, мы
хотим получить нормальную форму векторного поля с определенной
линейной частью L и нелинейной частью общего вида. Однако читатель должен
понимать, что последовательные преобразования приводят на каждом шаге
к появлению дополнительных членов старших порядков, которые (вплоть
до некоторого порядка) необходимо учитывать, если требуется вычислить
определенные коэффициенты данной нормальной формы. Например, при
изучении бифуркации Хопфа в разделе 3.4 мы увидим, что квадратичные
члены можно полностью удалить из нормальной формы, тем не менее, они
вносят существенный вклад в коэффициенты при двух неудалимых
кубических членах.
Проиллюстрируем теперь процедуру нормализации на примере
плоской системы, имеющей положение равновесия с собственными
значениями ±г. В подходящей линейной системе координат преобразование DL
задается матрицей (. ^ ), и мы имеем L = (~/). Вычислим действие
оператора ad L па i?2 для мопомиальных висторных полей следующим
образом. Для каждого базисного вистора Yi из Н2 имеем
ad L{Yi) = DLY, - DY,L
Таким образом, к примеру.
0 -1
1 О
Y?
dYl dYl
дх ду
дх ду
ad L
2ху\
ad L
ху
—ху
-у
X
C.3.12)
C.3.13)
Глава 3
В дальнейщем будем обозначать компоненты У^, У^ векторного по-
я я
ля у при помощи операторов частного дифференцирования j^, j^ так,
что, к примеру, 2ху
дх
х^4г- обозначает векторное поле ' ^^
ду
Выбирая X , ху, у в качестве базиса для каждой из компонент
получим такую таблицу для Н2'.
д_ д_
дх' ду'
ху
дх
ду
2худ^+х^^^
--'i + '-yl
(^^-U+-4
-^у£ + ^у'-^Ч
-^-yfx+y%
y^i-'-yfy
Таким образом, в базисе <
^2_д_ rrniJL ii'iA. ^2_д_ _д_ „,2_9_
дх' Удх' У дх' ду' Уду' У ду.
оператор ad L имеет следующую матрицу (здесь компоненты образов
ad L(Yj) находятся в столбцах, соответствующих Yj в верхнем ряду над
матрицей):
„2 д
J.2 д
дх
д
ху
дх
У
X
ху
у
2 д
дх
2 д
ду
JL
ду
2 д
ду
дх
1
дх ^Удх У дх
ду ду
ду
1
О
Данная матрица невырождена (ее определитель равен —9), поэтому
все квадратичные члены векторного поля с линейной частью —у-0- + х-^
можно удалить преобразованием координат.
Что касается кубических членов, то аналогичные вычисления приводят
к такой таблице:
3.3. Нормальные формы
185
А.
дх
JL
ду
А.
дх
д_
ду
х^
ху^
--у'1 + Ь/-^-'уI
о
X у
{2ху^-х^)£ + х^у-^
-х^у£ + Bху^-х^)^
у'
Следовательно, матрица оператора ad L па Щ такова:
^3 д ^2,, д
х^^
дх
"^"yfx
ху
2 д
дх
„з_д_
ду
2 3
^у^
^y'i
y'i
дх
О
3
О
О
1
О
О
О
х-у
О
2
О
О
1
О
о
дх
1
ху
2 д „,з д ГГ.З д
дх
У
О
-2
О
1
О
О
1
о
дх
О
О
-3
О
О
О
О
1
ду
-1
О
О
О
О
3
О
о
о
-1
о
о
-1
о
2
о
"o'iy »t
О
о
-1
о
о
-2
О
1
о
о
о
-1
о
о
-3
о
Можно проверить, что векторы C,0,1,0,0,1,0,3) и @,1,0,3,-3,0,-1,0)
являются левыми собственными векторами данной матрицы, отвечающими
нулевому собственному значению. Следовательно, ad L{Hs) имеет
дополнение размерности не менее двух. Дальнейшие несложные расчеты
показывают, что столбцы 1, 2, 3, 4, 5 и 8 линейно независимы, так что ad L{H^)
имеет размерность шесть. В качестве базиса в дополнении G'^ можно взять
векторные поля {х^ + у'^){х{д/дх) + у{д/ду)) и {х^ + у'^){—у{д/дх) +
+х{д/ду)). В терминах систем дифференциальных уравнений мы показали,
что теорема о нормальной форме предоставляет преобразование координат,
переводящее систему
X = —у + о(\х\, \у\),
л ч C.3.14)
у = а; + о(|а;|,|у|)
186 Глава 3
к виду
й = —V + (аи — bv)(u^ + v^) + . . .,
2 2 C.3.15)
ij = и+ [av + bu){u +v ) + . ..,
где a,b — подходящие константы, a многоточия обозначают члены более
высокого порядка. Этот результат играет важную роль в анализе бифуркации
Хопфа, приведенном в разделе 4 данной главы.
В общем случае, обозначая матрицу ad L от Н4 как М4, получим,
что ad L{H4) является пространством столбцов этой матрицы (при
подходящем обозначении векторных полей). Таким образом, если Мц
имеет нулевые собственные значения, то, как следует из известных
результатов линейной алгебры, в качестве пространства Gk, дополнительного
к ad L, можно взять линейную оболочку левых собственных векторов
матрицы Мк с нулевым собственным значением: Gk = span{ej}. (Каждый
из векторов Cj автоматически ортогонален каждому столбцу Л'/4.) Однако
такой выбор Gk далеко не единственен и не обязательно самый удобный.
В частности, в выщеприведенном примере вместо выбора векторных
полей {Зх^ + у'^)х-^ + (а;2 + Зу'^)у^ и (а;^ + Зу^)^А _ (За;^ + у^)х-^,
соответствующих упомянутым левым собственным векторам, лучще взять
Сз = span{(l, 0,1,0,0,1,0,1), (О,-1,0,-1,1, 0,1,0)},что приводит к
нормальной форме C.3.15). Читатель может проверить, что последние два
вектора в совокупности с щестью столбцами Ms составляют базис в Hs- Более
того, как мы увидим в разделе 3.4, они имеют особенно простое
представление в полярных координатах.
Заметим также, что если линейная часть L исходного векторного поля
симметрична относительно некоторой компа1Сгной группы преобразований
(т. е. L эквивариаптпо), то Gk также можно выбрать инвариантным
относительно той же группы. Этот факт будет играть важную роль при нащем
обсуждении кратных бифуркаций в главе 7. Мы уже видели на примере с
чисто мнимыми собственными значениями, что нормальная форма C.3.15),
усеченная до кубических членов, инвариантна относительно произвольных
вращений точно так же, как и линейное поле L = {^у). Дальнейшие
вычисления нормальной формы показывают, что эта инвариантность сохраняется
во всех алгебраических порядках.
Упражнение 3.3.2. Показать, что система
х = у + о{\х\,\у\),
У = о{\х\,\у\)
может быть преобразована к форме
и = V ^ аи 2 2
. , о +о(|и| ,\v\ )
3.4. Бифуркации ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ КОРАЗМЕРНОСТИ ОДИН 187
или к форме
+ o{\uf,\vf)
■ buv
Найдите какой-либо базис в Сз и приведите нормальную форму вплоть до третьего
порядка.
В завершение данного раздела мы обсудим роль параметров в
вычислении нормальной формы. Как при вычислении центральных многообразий
параметризованных систем, мы вновь применяем прием расширения
системы X = f{x, ц) в большую систему
* = ^("'^^' C.3.16)
/i = 0.
в данной системе можно вычислить нормальную форму с
дополнительным требованием, чтобы все преобразования координат Н{х, ц) имели
вид Н{х,ц) = {h{x,n), ц). Такие преобразования необходимо оставляют
уравнение р. = О неизменным и приводят систему х = f{x, ц) к
нормальной форме с учетом зависимости от ц. На практике эти расчеты производят
так, как показано выше, но коэффициенты считают степенными рядами по
параметру /л.
Теорема о нормальной форме, приведенная в данном разделе, далеко
не является последним словом в вопросе о возможности преобразования
одного векторного поля в другое посредством некоторого гладкого
преобразования координат. Наряду с вышеупомянутой теоремой Siegel, Sternberg
о линеаризации, Takens [1973а] получил соответствуюгцие результаты для
векторных полей с простым нулевым собственным значением или парой
простых чисто мнимых собственных значений. Для положений равновесия
с более вырожденными лршейными частями, по-видимому, мало что
известно.
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности
один
В этом разделе мы опишем простейшие бифуркации положений
равновесия. Их можно представить при помощи следующих четырех
дифференциальных уравнений, зависящих от единственного параметра fi:
X = fi — х^ седло-узел, C.4.1)
X = fix — х'^ транскритическая, C.4.2)
X = fix — х^ вилка, C.4.3)
li
Глава 3
эифуркация Хопфа^)
C.4.4)
( X = -у + X{ld - (Ж^ + у^))
[у = x + y{fi-{x^ +у^))
Бифуркационные диаграммы для этих четырех уравнений изображены
на рис. 3.4.1-3.4.4. Оказывается, что каждое из уравнений C.4.1)-C.4.4)
естественным образом в том или ином контексте качественно определяет
типичные бифуркации положения равновесия. Нашей задачей является
подробное описание того, как и при каких условиях можно свести изучение
общего уравнения C.3.1) к одному из этих частных примеров.
Рис. 3.4.1. Бифуркация седловой точки.
X
Рис. 3.4,2. Транскритическая бифуркация.
Седло-узел
Рассмотрим систему уравнений
X :
fti{x),
C.4.5)
где X е R", /И е М, а /^ — гладкая функция. Предположим, что при ц = тщ,
X = хо система C.4.5) обладает положением равновесия, в котором одно
'Эта бифуркация впервые изучена в более общем случае двумерных систем
А.А.Андроновым и Е. А, Леонтович, см, [Андронов, Леонтович, Гордон].
3.4. Бифуркации ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ КОРАЗМЕРНОСТИ ОДИН И
Рис. 3.4.3. Бифуркация типа «вилка» (сверхкритическая).
У
Рис. 3.4.4. Бифуркация Хоифа (сверхкритическая).
из собственных значений (линеаризованной системы) равно нулю. Обычно
это нулевое собственное значение простое, так что теорема о центральном
многообразии позволяет свести изучение бифуркации этого типа к случаю,
когда вектор х одномерен. Более точно, используя идеи раздела 3.2, мы
можем найти некоторое двумерное центральное многообразие Е С R" х Ш,
проходящее через точку (жо, /^о) такое, что
A) Касательное пространство к Е в точке (а;о,/^о) является линейной
оболочкой собственного нуль-вектора для В/цд{хо) и некоторого вектора,
параллельного оси ц.
B) Для любого конечного г многообразие Е будет класса С^ в
достаточно малой окрестности точки {xq, цо).
C) Векторное поле C.4.5) касается Е.
D) Существует такая окрестность U точки (жо, fio) в R" х R, что все
траистории, целиком содержащиеся в [/, в любой момент времени лежат и
в Е.
(Замечание: теорема о центральном многообразии позволяет
сформулировать более строгие свойства, нежели D), которые описывают
качественную структуру траекторий, остающихся вблизи точки (жо, /^о) в прямом или
обратном времени, см. Сагг [1981].)
190 Глава 3
Сужая систему C.4.5) на Е, получим однопараметрическое семейство
уравнений, описывающих одномерные 1фивые Е^ на Е, получаемые при
фиксированном ц (см. рис. 3.2.7). Это однопараметрическое семейство
представляет собой нашу редукцию обсуждаемой бифуркационной
проблемы.
Сформулируем теперь условия трансверсальности для системы C.4.5),
где п = 1, при которых возникает бифуркация седло-узел. Мы имеем всегда
'^"-(жо) = О, но потребуем в качестве условия трансверсальности, чтобы
dx
{xq) Ф 0. Как следует из теоремы о неявной функции, положения рав-
rf/мо
Дополнительное условие трансверсальности ^° {xq) ф О гарантирует.
9/i
новесия системы C.4.5) образуют кривую, касающуюся прямой ц = цо.
что кривая равновесий имеет квадратичное касание с прямой р = pQ vi
локально лежит по одну сторону от этой прямой. Данная информация уже
достаточна для вывода, что локальный фазовый портрет данной системы
топологически эквивалентен портрету системы х = ±{р — ро) ± (а; — хо)'^.
Однако мы можем также сформулировать эти условия трансверсальности
для гг-мерной системы, не прибегая к редукции на центральное
многообразие. Следующая теорема дает необходимые условия (см. Sotomayor [1973]).
Теорема 3.4.1. Пусть х = fn{x) — система дифференциальных
уравнений в R", зависящая от единственного параметра р. При р = ро
существует полож;ение равновесия р, для которого удовлетворяются
следующие гипотезы:
(SN1) D^fna (р) имеет простое нулевое собственное значение с правым
собственным вектором v и левым собственным вектором w, а такж:е к
собственных значений с отрицательными вещественными частями и (п —
— к—1) собственное значение с полож:ительными вещественными частями
{с учетом кратности).
(SN2)«;(^(p,Mo))^0.
V djjL
(тЪ)ги{Ои^„{р){у,у))фО.
Тогда существует гладкая кривая равновесий в R" х R, проходящая
через точку {р, ро), касающаяся гиперплоскости R" х {ро]. В зависимости
от знаков выраж;ений (SN2) и (SN3) вблизи этой точки не существует
полож:ений равновесия, если р < ро (р > ро) и два полож:ения равновесия
для каж:дого из значений р > ро (р < ро). Эти два полож:ения
равновесия системы х = /ц{х) вблизи точки [р, ро) имеют гиперболический тип и
имеют устойчивые многообразия размерностей кик-\-1 соответственно.
Множ:ество уравнений х = /^(ж), удовлетворяющих условиям (SN1)-(SN3),
3.4. Бифуркации ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ КОРАЗМЕРНОСТИ ОДИН 191
открыто и плотно в пространстве однопараметрических семейств
векторных полей класса С°°, имеющих в {р, цо) положение равновесия с
нулевым собственным значением.
Эта формальная (и грандиозная) теорема всего лишь выражает тот
фа1сг, что «типичная» бифуркация седло-узел качественно подобна
бифуркации в семействе уравнений х = ц — х^ ъ направлении собственного
вектора с нулевым собственным значением и с гиперболическим поведением
в дополнительных измерениях. Гипотезы (SN2) и (SN3) представляют
собой условия трансверсальности, обуславливаюгцие невырожденность
поведения по отношению к параметру и преобладающее влияние квадратичных
нелинейных членов.
Упражнение 3.4.1. Рассмотрите усредненные уравнения Ван дер Поля
(уравнения B.1.14))
й = и — ov — и{и +w ),
i] = аи -\- V — v{u -\- V ) — 7-
Найдите точки бифуркации седло-узел в пространстве (а, 7). Где нарушаются
условия (SN1) и (SN3)? (Решение включает утомительные расчеты, так как необходимо
решение кубического уравнения для нахождения особых точек.)
Результаты, получаемые из теоремы 3.4.1, ограничены по двум
соображениям. С одной стороны, возможно извлечение количественной
информации о потоках вблизи бифуркации. Например, можно использовать
систему X = р. — х^ для получения оценок скорости сходимости к различным
положениям равновесия. Для уточнения этих оценок можно использовать
члены высщих порядков в формуле Тейлора. Этот acneicr теории
дифференциальных уравнений не будет далее обсуждаться, поскольку мы
фокусируемся на геометрических, а не аналитических вопросах. В этой связи,
напомним читателю, что мы зачастую не прилагаем усилий для
формулировки наиболее сильных или общих теорем в каждой ситуации, а скорее
стараемся проиллюстрировать явление и методы его анализа простейшими
способами.
Второе ограничение теоремы 3.4.1 связано с возможностью глобальных
изменений фазового портрета, ассоциированных с бифуркацией седло-узел.
Рассмотрим, к примеру, потоки, изображенные на рис. 3.4.5, которые мы уже
встречали в примере Ван дер Поля из раздела 2.1 (см. рис. 2.1.3). Здесь
имеет место бифуркация «седло-узел» в двумерной системе со слиянием стока
и седла. После бифуркации появляется новая периодическая орбита, так как
неустойчивая сепаратриса седло-узла лежит на устойчивом многообразии
бифурцирующего положения равновесия. Это пример явления глобальной
бифуркации, которое не может быть сведено к изучению окрестности
положения равновесия или неподвижной точки отображения. Мы вернемся к
проблеме глобальной бифуркации в главе 6.
192
Глава 3
Рис. 3.4.5. Седловая точка, возникающая на замкнутой кривой, приводит к
глобальной бифуркации.
Транскритическая и вилообразная бифуркации
Важность бифуркации седло-узел обусловлена тем, что все
бифуркации однопараметрических семейств для положений равновесия с
нулевым собственным значением можно привести к этому типу путем малого
возмущения. Поэтому можно ожидать, что встречающиеся в
приложениях бифуркации с нулевым собственным значением являются седло-узлами.
В противном случае следует ожидать наличия каких-либо особенностей и
ограничений в формулировке задачи, препятствующих возникновению
седло-узла. Одним из примеров, показывающих несовместимость постановки
задачи с бифуркацией седло-узел, является транскритическая бифуркация.
В классической теории бифуркаций часто предполагается
существование тривиального рещения, с которым должна произойти бифуркация.
В частности, считают, что в C.4.5) при всех ц выполнено условие /^@) =
= О, т. е. а; = О является положением равновесия для всех значений
параметра. Поскольку семейства седло-узла допускают значения параметра, при
которых в окрестности точки бифуркации нет положений равновесия, то
такая ситуация качественно иная. Для формулировки подходящих условий
трансверсальности посмотрим на однопараметрические семейства, для
которых при всех ц выполнено равенство /^@) = 0: для них гипотеза (SN2)
теоремы 3.4.1 не может быть выполнена. Если заменить ее требованием
w{{d'^f/дцdx){v)) 7^ О в точке (Oj/Uq), то фазовые портреты семейства
вблизи бифуркации будут эквивалентны портретам на рис. 3.4.2, и мы
имеем транскритическую бифуркацию, или смену устойчивости.
Вторая постановка задачи, в которой невозможна бифуркация
седло-узел, присуща системам с симметрией. Многие физические системы
формулируются таким образом, что уравнения, определяющие систему,
обладают симметрией того или иного рода. К примеру, уравнение Дуффинга
инвариантно преобразованию (ж, у) -^ {—х, ~у)> ^ уравнение Лоренца
симметрично при замене {х, у, z) -^ {—х, —у, z). В одномерном случае диффе-
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один 193
ренциальное уравнение C.4.5) симметрично или эквивариантно по
отношению к симметрии X ^f —X, если /ц{—х) = —f^{x). Таким образом, для
эквивариантных векторных полей /^(ж) является нечетной функцией от х.
В частности, все такие уравнения имеют равновесие в нуле. В таких
системах не может произойти и транскритическая бифуркация, так как нечетная
функция не может удовлетворять условию д'^f^jdx^ ф О, необходимому
для такой бифуркации (см. SN3). Если это условие заменить гипотезой
д^fn/dx^ Ф О, то получим бифуркацию типа «вилка». В точке бифуркации
изменяется устойчивость тривиального решения, и с одной стороны от нее
в пространстве параметра появляется пара (вследствие симметрии) новых
положений равновесия, как на рис. 3.4.3. Мы оставляем читателю
формулировки результатов, аналогичных теореме 3.4.1, для транскритической
бифуркации и «вилки» (см. Sotomayor [1973]).
Заметим, что направление бифуркации и устойчивость ветвей в этих
примерах определяется знаком д'^f^jdx^ или д^f^/dx^. Во втором случае
если д'^/ц/дх^ < О, то ветви существуют «выше» бифуркационного
значения и мы имеем суперкритическую вилку, а при противоположном знаке
данного неравенства — субкритическую.
Упражнение 3.4.2. Вычислите нормальную форму для уравнений Лоренца
в начале координат при р = 1 до членов третьей степени. Заметьте, что здесь
имеет место бифуркация типа «вилка», даже несмотря на то, что в этих уравнениях
содержатся только квадратичные члены (см. упражнение 3.2.5).
Упражнение 3.4.3. Исследуйте бифуркацию «вилка», имеющую место в
вариационном уравнении Ван дер Поля при (а,7) = (g/v3, -\/8/27).
Бифуркация Хопфа'
Допустим теперь, что при значении параметра ц = цо система C.4.5)
имеет положение равновесия р{цо), в котором Df^g имеет пару простых
чисто мнимых собственных значений ±icj, cj > О, а все остальные
собственные значения имеют ненулевую вещественную часть. Теорема о
неявной функции гарантирует (так как матрица Df^^ обратима) существование
для каждого значения ц вблизи цо положения равновесия р{ц), близкого
кр(мо) и зависящего от р гладким образом. Тем не менее, при пересечении
собственными значениями матрицы Df{p{p)) мнимой оси при р = ро
происходит изменение размерностей устойчивого и неустойчивого
многообразий для р{р). Это качественное изменение в локальном потоке вблизи р{р)
должно быть отмечено некоторыми другими локальными изменениями
фазового портрета, не касающимися неподвижных точек.
'Правильнее называть данное явление бифуркацией Пуанкаре - Андронова - Хопфа (См.
сноску на стр. 188). — Прим. перев.
194 Глава 3
Ключом к проблеме типичной бифуркации положения равновесия с
чисто мнимыми собственными значениями может служить изучение линейной
системы, включающей изменение указанного типа. Например, рассмотрим
систему
X = jix — coy,
C.4.6)
у = сйх + fiy,
рещения которой имеют вид
(хт ^ ^,г fcosut -sincuA fxo\ ^3.4.7)
\y{t)j \^sincjt coscjt j \yQJ ^ '
Если /u < 0, TO рещение «навивается» на начало координат, а при ц > О
оно «свивается» с начала. Если /и = О, то все решения периодичны.
Даже в однопараметрическом семействе уравнений наличие целого семейства
периодических орбит при некотором значении параметра является весьма
необычным, однако в общем случае возникает некоторая поверхность,
заполненная периодическими орбитами.
Теорема о нормальной форме говорит нам о том, чем типичная задача
отличается от системы C.4.6). Посредством гладких замен координат
разложение по формуле Тейлора до третьей степени в общем случае может
быть приведено к следующей форме (см. уравнение C.3.15)):
X = {dfj, + а{х'^ + у'^))х — {сй + Cfj, + b{x'^ + у'^))у,
у = {со + cji + b{x^ + у'^))х + {d^i + а{х^ + у'^))у,
которая в полярных координатах выражается соотпощениями
г = {dfi + ar'^)r,
в = {ш + cid + br'^).
C.4.8)
C.4.9)
Поскольку в уравнениях C.4.9) выражение для г не содержит в, то мы
видим, что существуют периодические орбиты системы C.4.8),
представляющие собой окружности г = const, получаемые из ненулевых рещений
уравнения г = О в C.4.9). Если а ^ О и d ^ О, то эти рещения лежат
на параболе ц = —ar^/d. Отсюда следует, что поверхность периодических
орбит имеет квадратичное касание со своей касательной плоскостью /и = О
в R X М. Содержанием теоремы о бифуркации Хопфа является
независимость качественных свойств системы C.4.8) вблизи начала от добавления к
пей членов более высокого порядка:
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один 195
Теорема 3.4.2 (Hopf [1942]). Допустим, что система х = /ц{х),
X е R", /И е М имеет положение равновесия (а;о,/^о) со следующими
свойствами:
(Ш) Dxfuo (хо) имеет пару простых чисто мнимых собственных
значений и не имеет других собственных значений с нулевой вещественной
частью.
Тогда существует гладкая кривая равновесий {х{ц, ц), где х{цо) =
= xq. Собственные значения \{ц), A(/j) матрицы D^f^a {^il^))> являющиеся
мнимыми при ц = Но, зависят от Ц гладким образом.
Если, кроме того,
(Н2)
-^(ReA(/i))| =d^0,
то существует единственное трехмерное центральное многообразие,
проходящее через точку {xq^q) е М" хЖ, и гладкая система переменных
{сохраняющая плоскости ц = const), в которой разложение Тейлора до
третьей степени на центральном многообразии дается формулой C.4.8).
Если а ^ О, то существует поверхность периодических решений на
центральном многообразии, имеющая квадратичное касание с собственным
пространством для значений \{цо), А(цо) и совпадающая во втором
порядке с параболоидом /л = —{a/d){x^ + у ). В случае а <0 эти периодические
решения являются устойчивыми предельными циклами, а в случае а > О
периодические решения являются репеллерами.
Эту теорему можно доказать, непосредственно применяя приведенные
выше теоремы о нейтральном многообразии и о нормальной форме.
Упражнение 3.4.4. Найдите бифуркации Хопфа для вариационного уравнения
Ван дер Поля B.1.14).
Упражнение 3.4.5. В уравнении Дуффинга
X + IJ.X -\- {х — X ) = О
бифуркация с чисто мнимыми собственными значениями происходит ири /х = О,
если в системе отрицательная диссипация сменяется положительной. Однако она
является вырожденной. Почему? Вычислите нормальную форму до членов третьей
степени. Какие модификации можно сделать, чтобы превратить бифуркацию в
«типичную», т.е. удовлетворяющую гипотезам (HI), (Н2)?
В системах большой размерности, вычисление нормальной
формы C.4.8) и 1субического коэффициента а, определяющего устойчивость,
может быть основательным мероприятием.
196
Глава 3
В двумерной системе вида
О
fix,у)
9{х,у)
C.4.10)
где /@) = 5@) = О и Df{0) = Dg{0) = О, вычисление нормальной формы,
кратко описанное в приложении к данному разделу, приводит к такому
результату:
16
I ^ [Jxxx ~г Jxyy ~г Qxxy ~г 9ууу\~У~
+ Yo^jlfxyifxx ^ fyy) ~ dxyidxx + Зуу — } 'хх9хх + fyy9yy]- C.4.11)
Здесь fxy = {d'^f/dxdy){0,0) и т.д.' Применяя эту формулу в системах
размерности больше двух, читатель должен помнить, что квадратичные
члены играют роль в вычислении центрального многообразия и могут влиять
на величину а. Нельзя найти а путем простой проекции системы
уравнений на собственное пространство ztito, необходимо аппроксимировать
центральное многообразие, по крайней мере, до квадратичных членов (см.
упражнения 3.2.4(b) и 3.4.8 ниже). Как пример использования этого
алгоритма и важности квадратичных членов при определении определяющего
кубического члена нелинейной нормальной формы, вернемся к задаче из
раздела 1.8 (уравнение A.8.20)). Замена координат {х,у) = (^ + 1,?7 + 1)
приводит эту систему к виду
е
C.4.12)
Собственные значения равны ±i, и посредством следующего
преобразования
О 1
-1 1
1 -1
1 О
C.4.13)
мы получаем систему в «стандартной форме»:
й = —V + UV — V ,
V = и + UV.
C.4.14)
'Chow и Mallet-Pare [1977] предложили альтернативную, но эквивалентную формулу,
полученную при помощи метода усреднения.
откуда
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один 197
Очевидно, что все произвольные третьего порядка тождественно равны
пулю, и мы имеем
Juu ^ и, Juy = i, Juy = —Z, fl Л 1 '^\
«=]^[1(-2)] = -|<0, C.4.16)
так что неподвижная точка A,1) является (слабо) устойчивым стоком, как
и утверждалось в разделе 1.8.
Упражнение 3.4.6. Определите тип устойчивости для вырожденной
неподвижной точки (ж, у) = @,0) для системы
х = -у + ау^ + (Зх^у,
у = х - -1у'^ + 5ху - у^.
Каким образом зависит устойчивость от коэффициентов а, /3, 7, 51
Упражнение 3.4.7. Покажите, что система х + цх + г/ж + х^х + ж^ = О
испытывает бифуркацию Хопфа на прямых B\{jjl = Q \ v > 0] н В2{ц = v \ ц, v < О}.
Покажите, что первая из них суперкритическая и происходит в неподвижной
точке @,0), а вторая — субкритическая и происходит одновременно в неподвижных
точках (х, х) = (±а/—г/, 0). Попытайтесь изобразить фазовые портреты этой
системы для различных значений параметров (/х, г/) е R . Какой вид имеет вырожденная
особенность в начале координат, если (/х, v) = (О, 0)? (Глобальные аспекты данной
проблемы сложны и требуют использования методов, описанных в главах 4 и 7,
Смотри, в частности, раздел 7.3.)
Упражнение 3.4.8 (предназначено для вычислений). Для значений а =
о
= 10, /3 = 77 ненулевые положения равновесия уравнения Лоренца испытывают
бифуркацию Хопфа при 24 < р < 25. Вычислите для этого примера кубический
коэффициент, определяющий устойчивость. (См. обсуждение этой задачи в Марсден
и МакКракен [1976], имея в виду наличие ошибок в их расчетах.)
В заключение раздела заметим, что Allwright [1977] и Mees [1981]
получили критерии бифуркации Хопфа при помощи методов гармонического
баланса и функций Ляпунова.
Приложение к разделу 3.4: вывод формулы устойчивости
C.4.11)
Если приведенная (приближенная) система имеет пару чисто мнимых
собственных значений Л, Л = ztito, то ее удобно представить как единствен-
198 Глава 3
HOC комплексное уравнение
z = \z + h{z,z), C.4.17)
где
z = X + iy, \ = icj.
Нормальная форма C.4.8) при ц = О принимает вид
W = \w + CiUpW + C2W^w'^ + . . . +
+ CkW^+^w'' + 0{\w\^''+'^)'^= \w + h{w,w)^ C.4.18)
где комплексные коэффициенты имеют вид
Cj =aj +ibj, C.4.19)
a черта обозначает комплексное сопряжение.
Упражнение 3.4.9. Проверьте вышеприведенное утверждение.
Так как в полярных координатах мы имеем
г = air^ + а2Г^
и + bir^ + 62И +
C.4.20)
то первые ненулевые коэффициенты aj, bj определяют устойчивость (и
локальный рост амплитуды) периодической орбиты и зависящее от амплитуды
изменение ее периода.
До сих пор мы просто переписали нашу систему в комплексной форме.
Теперь, следуя Hassard, Wan [1978], мы покажем, как эта форма позволяет
относительно просто рассчитать определяющий коэффициент ai = Re (ci).
Эти вычисления значительно проще, чем приведенные в Марсден, МакКра-
кен [1976]. Для преобразования C.4.17) к виду C.4.18) используем
преобразование, близкое к тождественному:
z = w + tp{w,tp), ф = 0{\и^). C.4.21)
Подставляя C.4.21) в C.4.17), получим при учете C.4.18)
= h{w + ф,гБ + ф) — h{w,W){l + ф^) — Н{ги,гБ)фш, C.4.22)
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один 199
где нижние индексы обозначают частные производные. Теперь представим
ф в виде степенного ряда (здесь ф^к = дф^'^'^/dw^dw'^):
ф{т,гБ)= Y1 ^'.^^ + 0(кП. C.4.23)
Далее, используя тот факт, что нормальная форма имеет вид h{w, w) =
= ciw'^w + 0{\w\'^), и подставляя C.4.23) в C.4.22), получим
2 —2
>^Фww^ + XфwwWW + BА - \)фшп1^ =
2 —2
= h^^^+ h^^wW+h^w^ + 0{\wf). C.4.24)
Приравнивая коэффициенты, найдем главные члены преобразования:
Vww - -^- - ц-^ ^«'^ - -Y~ ^ ~To~' ^^ ^ (-2Л - A) ^ ~3^'
C.4.25)
Теперь мы можем сделать разложение на один порядок выше и
вычислить коэффициенты при члене нормальной формы uPw. Читатель может
проверить, что коэффициент при этом члене в левой части формулы C.2.2)
тождественно равен нулю, поэтому для правой части имеем
ИЛИ, вследствие C.4.25),
ci = -^[hyjyjhww - 2\hyjjs\^ - gl/iwtuPj + ^^www- C.4.26)
Следовательно, мы имеем
zai — z К,е (Cij — Aijyjy^, ^j[^ww^ww ' ^ww^wwJ' C.4.2/)
где верхние индексы R, I обозначают действительную и мнимую части
соответственно. Аналогичное выражение может быть получено для bi. При
таком подходе мы пепосредствеппо видим, как изменяются члены третьего
порядка при пашем преобразовании ф = id +ф, посредством которого мы
200 Глава 3
удалили члены второго порядка. В статье Hassard, Wan [1978] вычислен
второй коэффициент сг (пятого порядка), и система погружается в задачу
более высокой размерности, так что появляются также дополнительные
члены, связанные с аппроксимацией центрального многообразия.
Подчеркнем, что эти вычисления можно выполнить в исходной системе
в вегцественных переменных, но в таком виде они будут значительно более
громоздкими. Однако, поскольку обычно мы работаем с вегцественными
системами, удобно выразить ai в терминах вещественных функций /, д
в уравнении C.4.8). Разлагая /, g в ряды Тейлора и беря вещественную
и мнимую части от комплекснозначной функции h (и ее рядов), получим
такие выражения для нужных членов в формуле C.4.27):
"г«г«г« ~ ЪУ/ххх + Jxyy + 9хху + 9ууу)^
'^ww — л [Jxx Jyy + ^ffccj/J
4
hiru = lidxx - 9yy - 2Uy), C.4.28)
^ww = '^{Jxx + Jyy)^
'^ww ~ ~Л9хх + 9yy)-
Упражнение 3.4.10. Проверьте формулы C.4.28) и найдите выражения для
коэффициентов j/i^wl^, |/iww|^ и к^^тщ через производные от f и д, что позволит
вам вычислить коэффициент bi = Im (ci).
Формулу устойчивости C.4.11) можно вывести теперь, подставляя
выражения C.4.28) в C.4.27):
iDGi = [Jxxx ~г Jxyy 'Т 9хху ~г 9ууу)^
+ ]^[Jxy\Jxx + Jyy) 9ху\9хх + 9уу) Jxx9xx + Jyy9yy\' C.4.2У)
Заметим в заключение, что нормальная форма параметризованной
бифуркации Хопфа изящно выражается в комплексных переменных:
W = \w+ ciw'^w + 0{\w\^), C.4.30)
где Л = /i + iuj; см. Арнольд [1972].
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит 201
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
коразмерности единица
В данном разделе мы рассмотрим простейшие бифуркации
периодических орбит. Применяемый метод исследования состоит в переходе к
отображениям Пуанкаре с последующей попыткой повторить результаты
предыдущего раздела к полученным дискретным динамических систем. Реализация
этого подхода обычно связана с дополнительными трудностями и
тонкостями. Причина кроется в необходимости предварительного интегрирования
уравнений движения в окрестности рассматриваемой периодрмеской
орбиты для построения отображения Пуанкаре. Ввиду этого представленные
ниже результаты используются, как правило, для одной из нижеследующих
целей:
A) сравнение с численными расчетами;
B) дискретные динамические системы, определяемые
непосредственно отображениями;
C) возмущения систем, которые могут быть проинтегрированы в явном
виде (см. главу 4).
Ввиду отмеченных вычислительных трудностей мы сфокусируем
изложение бифуркаций периодических орбит на геометрических аспектах.
Имеется три случая негиперболичности неподвижной точки р
дискретного отображения /: R" -^ М": Df{p) может иметь собственное
значение +1, собственное значение —1 или пару комплексных собственных
значений Л, Л, где |Л| = 1. (Будем далее называть собственные значения
матрицы Df[p) собственными значениями неподвижной точки р.)
Теория бифуркаций неподвижных точек с собственным значением 1 вполне
аналогична теории бифуркаций положений равновесия с нулевым
собственным значением. Типичное однопараметрическое семейство имеет
двумерное центральное многообразие (включая ось параметра), на котором оно
топологически эквивалентно семейству типа седло-узел, определяемому
отображением „
fij,{x) = х + р-х . C.5.1)
Те же соображения, что и в разделе 4, касающиеся ограничений и
симметрии, приводят к изменениям типичного портрета, соответствующим либо
транскритической бифуркации, либо вилке. Не приводя подробного анализа
примеров, предлагаем читателю произвести расчеты в следующих задачах.
Упражнение 3.5.1. Покажите, что отображение х ^ fi — х^ испытывает
бифуркацию типа «седло-узел» в точке {x,fj,) = (^tj,—т)- С какой стороны от
бифуркационного значения лежат неподвижные точки?
Упражнение 3.5.2. Покажите, что отображение х -^ цх{1 — х) испытывает в
точке (х, jj,) = @,1) трапскритическую бифуркацию.
202 ГЛАВА 3
Упражнение 3.5.3. Покажите, что отображение (ж,у) -^ [у, —-^х + j-iy — у )
испытывает бифуркацию типа «вилка» в точке (ж, у, ji) = (О, О, -). Является ли она
суб- или суперкритической?
Бифуркации с собственным значением —1 не имеют аналогов для
положений равновесия, а теория комплексных собственных значений тоньше,
чем теория бифуркации Хопфа для потоков.
Собственное значение —1 ассоциируется с бифуркацией удвоения
периода, или субгармонической бифуркацией. Пользуясь редукцией на
центральное многообразие, мы ограничимся рассмотрением одномерных
отображений /^i, где /i — некоторый скалярный параметр. Если О является
неподвижной точкой отображения /^^^: R ^ R с собственным значением —1,
то разложение этого отображения по формуле Тейлора до третьей степени
имеет вид
/а*о(з;) =-ж+ «2^;^ Ч-азж^ + Дз(а;), К^{х) = о(\х^\). C.5.2)
Теорема о неявной функции гарантирует существование некоторой
гладкой кривой (a;(/i),/i), состоящей из неподвижных точек на плоскости и
проходящей через (О, /io), поэтому мы должны искать изменения в
динамическом поведении, помимо изменения устойчивости, иначе. Составляя
квадрат отображения /^^^, получим
= х-{2а1 + 2аз)х^+Нз- C.5.3)
Поскольку отображение f'^^ имеет собственное значение +1, его
неподвижные точки не обязаны изменяться гладким образом, и мы можем ожидать
существование у f'^ неподвижных точек вблизи (О, /io), не являющихся
неподвижными точками ffj^. Такие точки являются, очевидно, периодическими
орбитами периода 2. Псследуя разложение Тейлора для /!^ц(ж), мы видим,
что коэффициент при квадратичном члене равен нулю, поэтому
бифуркационное поведение напоминает «вилку» с тем основным отличием, что новые
орбиты не являются неподвижными точками, а имеют период 2. Описанные
выше идеи приводят к следующему результату, завершение доказательства
которого мы оставляем читателю.
Теорема 3.5.1. Пусть /^^: R ^ R — однопараметрическое семейство
отображ:ений, причем /^^ имеет неподвижмую точку xq с собственным
значением —1. Допустим, что в точке (a;o,/io) выполнены следующие уело-
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит 203
вия:
/5/52/ g2j QJQ2J
\ др дх^ дхдр' др дх^
' дхдр
Тогда через точку (a;o,/io) проходит гладкая кривая, состоящая из непо-
движ;ных точек отображ;ения f^, устойчивость которых меняется в
этой точке. Кроме того, существует гладкая кривая 7, проходящая
через (жо,/хо), такая, что 7 — {(a;o,/io)} представляет собой объединение
гиперболических орбит периода 2. Кривая 7 имеет квадратичное касание
с прямой Ш. X {/io} в точке {xq, цо).
Здесь величина (F1) представляет собой производную но ц от /' вдоль
1фивой неподвижных точек. Первое условие играет роль условий
невырожденности SN2 и Н2 в теоремах 3.4.1 и 3.4.2. В условии (F2) знак
величины а определяет устойчивость и направление бифуркации орбит периода 2.
Если а > О, орбиты устойчивы, а если а < О — то неустойчивы. Заметим,
что для определения величины а необходим кубический член —^.
На рисунке 3.5.1 показана бифуркационная диаграмма для семейства
Мх) =-{1 + fi)x + х\ C.5.4)
В качестве примера рассмотрим одномерное квадратичное
отображение из упражнения 3.5.1
fu,: X ^ ц-х"^. C.5.5)
Верхняя ветвь равновесия задается формулой (при ц > —-)
х = -- + J-+H. C.5.6)
Линеаризация вдоль этой ветви приводит к соотношению
_^ = _2х = 1 - ./т^, C.5.7)
откуда ^ = — 1 при ц = -. Следовательно, (жо, /io) = {7^, 4) является
кандидатом на точку бифуркации удвоения периода. В данном примере легко
проверить, что условия F1 и F2 теоремы 3.5.1 выполнены, и бифуркация
действительно имеет место.
204
Глава 3
а)
У
/
^v^
^^
•ц>0
f,M)
орбита периода 2
Рис. 3.5.1. Бифуркация переворачивания для уравнения C.5.4): (а) графики /^(ж)
(Ь) графики /^(ж); (с) бифуркационная диаграмма.
Для определения устойчивости орбит периода два в данном примере
заметим, что вторая и третья производные функции / в точке (жо, /io) равны
„ 2(^0,^*0) =-2,
ох
дх^
О,
C.5.8)
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит 205
следовательно, величина а в (F2) положительна и бифуркация
суперкритическая.
Упражнение 3.5.4. Покажите, что в обоих примерах из упражнений 3.5.2
и 3.5.3 при jj, = 3 происходят бифуркации удвоения периода. Являются они
субкритическими или суперкритическими?
Упражнение 3.5.5. Покажите, что отображение х -^ —A + fj,)x — х^ + fjx^
может испытывать как суб-, так и суперкритическую бифуркапию удвоения периода
в зависимости от величины /3.
Мы сделаем заключительное замечание, касающееся связи между
отображением возврата Р с собственным значением —1 в неподвижной точке р
и непрерывным потоком вблизи соответствующей периодической орбиты.
Траектории Р переходят с одной стороны р на другую в направлении
собственного вектора, соответствующего собственному значению —1 (см.
раздел 1.4, таблицу 1). Это означает, что двумерное центральное многообразие
для этой периодической орбиты закручивается вокруг периодической
орбиты, подобно тому, как лист Me6iryca закручивается вокруг своей
центральной линии. Отображение Р, склеивающее два конца листа друг с другом,
обращает ориентацию вблизи р. Ввиду невозможности погрузить лист
Мебиуса в ориентируемое двумерное многообразие (подобное плоскости) в
двумерной системе не может произойти бифуркации удвоения периода (см.
упражнение 1.5.3(b)). Однако, как мы увидим позднее, такая бифуркация
может происходить, и происходит в действительности, в потоках
размерности три или более'.
Упражнение 3.5.6. Постройте геометрическую модель потока в R^,
испытывающего бифуркацию удвоения периода. Изобразите инвариантные многообразия
периодических орбит вблизи бифуркации. Должны ли устойчивое и неустойчивое
многообразия для периодических орбит закручиваться в точке бифуркации,
подобно листу Мебиуса? Что вы можете сказать об инвариантных многообразиях для
периодических орбит с большими периодами?
Перейдем теперь к бифуркациям периодических орбит, имеющих
комплексные собственные значения Л, Л, где |Л| = 1. Аналогия с теорией
бифуркации Хопфа подсказывает, что вблизи бифуркации будут существовать
орбиты, окружающие неподвижную точку. Индивидуальная орбита
дискретного отображения не может заполнить окружность целиком, поэтому
структура бифуркации более сложна, чем это можно вывести на
основании поиска новых периодических орбит. Действительно, некоторые потоки
'Невозможность бифуркации обсуждаемого типа в двумерных потоках проще объяснить
тем, что собственные значения \ = е\ ^ — корень характеристического уравнения, в этом
случае положительны. — Прим. перев.
206 ГЛАВА 3
вблизи бифуркации не имеют новых периодических орбит вблизи
обсуждаемой, но имеют вместо этого квазипериодические орбиты. Для отыскания
последних требуется более тонкий анализ. Прежде чем провести такой
анализ, отметим другую трудность, с которой приходится сталкиваться.
Пусть дано такое преобразование /: R^ -^ R , для которого
начало является неподвижной точкой, а Df{0) является матрицей поворота на
угол 27Г0:
/cos 21гв — sin 21гв\ ,, ,
I^sin27r6l cos27r6'J- ''^■^■^>
Мы хотим произвести вычисления нормальной формы, упрощающие члены
старших порядков в ряде Тейлора для / посредством нелинейных
преобразований координат. Как и в случае потоков, вычисления проще проводить
в комплексной области (см. добавление к разделу 3.4.). Если считать х,у
комплексными числами, то собственные векторы Df{0) равны ( _^ ) и ( .),
они отвечают собственным значениям e'^'^'^^ и е"^'^*^ и координатам z и z
соответственно. Допустим, что мы хотим изменить члены разложения
степени к при помощи вещественного преобразования вида
h{z,l) = id+члены степени к.
Поскольку координата 1 образа h комплексно сопряжена с координатой z
образа h, достаточно вычислить координату z образа сопряженного
отображения hfh^^. Если разложение Тейлора образа / по координате z до
степени к имеет вид
f{z,z) = e^^^'z + /2 + /з + ... + i?fc, C.5.10)
а координата z функции h{z,^) равна
h{z,z) = z + Pk{z,z), C.5.11)
то координата z тейлоровского разложения сопряженного
отображения hfh^^ описывается формулой
e^"''^ + /2 + ... + Д + PfcCe^^'^z, e-2"''l) - e^^'^PfcCz,!). C.5.12)
Таким образом, мы можем удалить из Д члены, представимые в виде
Pfc(e2"''z, e-2"''z) - e2"''Pfc(z,z). C.5.13)
Если обозначить выражение C.5.13) как a.dDf{Pk{z,^)), то ad-D/
определяет отображение на пространстве векторнозначных однородных
полиномов, которое является линейным и диагонализуемым с собственными
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит 207
функциями [^^, ) и ( ,_t_, ) в координатах (г,!). Заметим, что
C.5.14)
adi?/( ,^^Л=(е^"(''-*)''-е-2^
Z Z ' \ Z Z
Л^к-1
Нулевые собственные значения у ad Df имеют место, если {21 — к)в = ±в
(mod 1). Число в иррационально, если к нечетно, al = {к± 1)/2. При этом
нулевые собственные векторы имеют вид (zz)' ( г, 1 и (zz)' I - I. В веще-
ственных координатах таким векторам отвечают отображения вида (а;^ +
+ у'^Уд{х, у), где д — линейное отображение с матрицей I , ].
Следовательно, если в иррационально, то нормальные формы для / аналогичны
нормальным формам, вычисленным для бифуркации Хопфа для потоков.
Однако если в рационально, то имеются дополнительные резонансные
члены, появляющиеся из других решений уравнения {21 — к)в = ±в (mod 1).
Знаменатель числа в определяет наименьшую степень, в которой могут
появится эти члены.
Мы уже встречались со случаями 6 = 0 («седло-узел») и в = -
(удвоение периода). Кроме того, при ^ = ±it или в = ±- в нормальную форму
войдут члены степени два и три соответственно. Если в = ±-, то эти члены
Л..^2М ^ п_^1
имеют комплексную форму z I ^^ 1 и z I , 1, а в случае ^ = ±т они имеют
о /1\ ^^ofO
вид 2: I 1^ ] и z I , ]. Это означает, что бифуркационные структуры,
ассоциированные с неподвижными точками, являюгцимися корнями третьей
и четвертой степени из единицы, являются особыми. Анализ этих случаев
был проведен Arnold [1977] и Takens [1974b]. Если предположить, что Л
не является корнем третьей или четвертой степени из единицы, то
возможно провести обгций анализ бифуркации Хопфа для периодических орбит
(вторичной бифуркации Хопфа), и справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.5.2. Пусть /^ : К -^ М. — некоторое однопараметриче-
ское семейство отображ:ений, имеющее гладкое семейство неподвижмых
точек х{ц), в которых собственные значения \{ц), \{ц) комплексно сопря-
208 Глава 3
жены. Предположим, что
(SHI) |A(/io)| = l, но X^ino)^ I для,] = 1,2,3,А.
(SH2) J^(|A(Mo)|)=d^O.
Тогда существует такая гладкая замена координат h, что выраж:ение
для hffj_h~^ в полярных координатах имеет вид
hf^h-\r, в) = (гA + d{p - ро) + аг^), в + с + Ьг^) +
+ члены высших порядков. C.5.15)
{Заметьте: в силу условий (SH1), (SH2), числа с = |arg(A)| и d отличны от
нуля.) Пусть, кроме того,
(SH3) а ^ 0.
Тогда существует двумерная поверхность S (не обязательно бесконечно
дифференцируемая) в Ж х R, имеющая квадратичное касание с
плоскостью R X {/io} и инвариантная относительно /. Если Е П (R х {/i})
состоит более чем из одной точки, то это множ:ество является простой
замкнутой кривой.
Как и в случае потоков, знаки коэффициентов а и 6 определяют
направление бифуркации и устойчивость рождающихся периодических орбит; с и 6
дают асимптотическую информацию о числах вращения, как сказано ниже.
В книге Marsden, McCracken [1976] содержится, в изложении Lanford,
доказательство данной теоремы, принадлежащее Ruell и использующее
метод графических преобразований. Теорема утверждает, что (за исключением
сильнорезонансных случаев Л^ = 1 и Л^ = 1) на фазовом портрете
отображения ffj^ возникает нечто, похожее на предельные циклы из теоремы
Хопфа. Это «нечто» представляет собой простые замкнутые кривые,
ограничивающие области притяжения или отталкивания некоторой
неподвижной точки. Однако теорема 3.5.2 не позволяет определить дршамику на Е.
Во всех своих деталях, последняя проблема весьма сложна, она включает
введение чисел вращения и рассмотрение тонкой проблемы малых
знаменателей. Данные вопросы обсуждаются в разделе 6.2. Здесь мы лишь укажем,
что если в C.5.15) 6 ^ О, то можно доказать, что на Е имеется сложно
устроенная комбинация периодических и квазипериодических орбит. Для
изучения такого поведения необходимо исследование глобальных
бифуркаций диффеоморфизмов на окружности.
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
209
Формула устойчивости, дающая выражение коэффициента а в
нормальной форме C.5.15), может быть получена, по существу, тем же способом,
как и в случае потоков (см. раздел 3.4). Подробности можно найти в loss,
Joseph [1981] или Wan [1978]. Полагая, что испытывающая бифуркацию
система (суженная на центральное многообразие) имеет вид
cos(c) — sin(c)
sin(c) cos(c)
9{x,y)l '
C.5.16)
с собственными значениями Л, Л
-2
е^**^, получим
-Re
A-2Л)Л
1-Л
Спб
20 -2 1^111 ^ 1^02|
Ке(Ле:
21
где
520
q[\Jxx Jyy ~г ^9ху) ~г lyQxx 9уу '^Jxyjli
Си = -liifxx + fyy) + i{9xx + 9уу)]
;о2
о [\}хх }уу ^9ху) + ^\9хх 9уу + ^}ху)\)
S21 ^о [\Jxxx \ Jxyy 1 Яхху \ Яууу) ^ '^\9ххх \ Яхуу Jxxy /yyy/J*
C.5.17)
в заключение, как обычно, приведем пример. Рассмотрим
логистическое уравнение с запаздыванием (Maynard-Smith [1971], Pounder, Rogers
[1980], Aronson et al. [1980, 1982]):
-F).: ix,y) -^ (y, /iy(l -a;)).
C.5.IS
Данное отображение имеет неподвижные точки (ж, у) = (О, 0) и {х, у) =
= ((/i—l)//i, (/i—l)//i,). Можно проверить, что при/i > 1 точка @,0) будет
седловой'. Матрица отображения, линеаризованного в другой, ненулевой,
неподвижной точке, имеет вид
df(
/i — 1 /i — 1
О 1
l-/i 1
C.5.19)
'Данное отображение необратимо на прямой у = О, а одно из собственных значений
в точке (О, 0) равно нулю. Однако такая необратимость не влияет на наше исследование
бифуркации Хопфа, поскольку последняя имеет место вне прямой у = 0.
210
Глава 3
а собственные значения равны
Ai,2 = i(l±v/5^4;^).
C.5.20)
При /^ > т эти собственные значения будут комплексно сопряженными и
могут быть записаны в следующей форме:
ЛД = (^i - 1N^*'=, где tg с = v/4/i - 5. C.5.21)
Несложно проверить, что гипотезы (SH1) и (SH2) теоремы 3.5.2 выполнены
при /i = 2, так как при этом Л, Л = e'^'^^l'^^ являются корнями шестой степени
из единицы, а
Для вычисления а из уравнения C.5.17) и, тем самым, проверки (SH3)
положим в C.5.18) /i = 2 и сделаем замены координат
(ж, у) = (^- 2' У~ 2)
-l/v/З 2/у^"
1 О
О 1 ■
V^/2 1/2
C.5.22)
переводящие, испытывающее бифуркацию, положение равновесия в начало
координат и приводящие линейную часть к нормальной форме. В новых
переменных отображение C.5.18) примет вид
1/2 -V^/2
V^/2 1/2
2?и; + Ъ?
О
C.5.23)
а собственные значения равны Л, Л = 1/2 ± г(л/3/2). Нелинейные члены
квадратичны, и мы имеем
-4,
C.5.24)
C.5.25)
JUU
Quu
Отсюда получаем
6о = |[4 + 4г]
ео2 = |[4-4г]
и, /«г;
— '^7 Quv
= 1 + 1
2^2'
1 i
2 2'
— ^! /г)г) —
= 0, Зто = 0
Ы = \[-^ + Щ
Ы = 0,
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит 211
и подстановка в формулу для а дает
а = ^^'^ < 0. C.5.26)
Поскольку (d/d/i)(|A(/i)|)^i=2 = d = 1 > О, мы получаем из C.5.15), что
бифуркация суперкритическая и, следовательно, существует
притягивающая инвариантная замкнутая кривая, окружающая точку {х, у) = A/2, 1/2)
для /i > 2, если величина |/i — 2| достаточно мала.
Упражнение 3.5.7. Покажите, что двухпараметрическое семейство
отображений
{Х,у) -^ {у, fJ-iy + fJ.2 -Х^)
может испытывать бифуркации «седло-узел», удвоения периода и Хопфа.
Постройте бифуркационные множества в пространстве (/ii, /12), на которых происходят эти
бифуркации, и определите типы устойчивости. Могут ли иметь место двойные
собственные значения? Что, по вашему мнению, может произойти вблизи таких точек
или вблизи точек, где линеаризованное отображение имеет комплексные
собственные значения, являющиеся корнями третьей или четвертой степеней из единицы?
(Данный пример взят из Whitley [1982].)
Глава 4
Усреднение и возмущения
с геометрической точки зрения
в данной главе описаны некоторые классические методы анализа,
которые применимы, в частности, к проблемам нелинейных колебаний.
Возможно, эти методы знакомы читателю, изучавшему нелинейную механику и
теорию возмущений. Однако применяемый геометрический подход и акцент
на получение аппроксимаций для отображений Пуанкаре, по-видимому,
менее известны.
Вначале излагается метод осреднения, открытый Крыловым и
Боголюбовым [1934] и полезный, в частности, для анализа слабо нелинейных
проблем или малых возмущений линейного осциллятора. Оказывается, что
при подходящих условиях данный подход позволяет найти глобальные
свойства, выполняющиеся на неограниченных интервалах времени. Обычно в
методах теории возмущений за исходную точку принимают некоторую
интегрируемую систему, решения которой полностью известны, а затем изучают
ее малые возмущения. Поскольку невозмущенное и возмущенное
векторные поля близки, можно также ожидать близость решений, однако, как мы
увидим, обычно это не так ввиду структурной неустойчивости
невозмущенной системы. Мы видели, что произвольно малые возмущения таких систем
могут вызвать радикальные качественные изменения в структуре решений.
Однако эти изменения обычно сопряжены с предельным, асимптотическим
поведением, а на конечных интервалах времени невозмущенное и
возмущенное решения остаются близкими. Более того, в данной главе будет показано,
что указанные результаты о поведении на конечном интервале времени в
совокупности с идеями теории динамических систем позволяют прийти к
выводам об асимптотическом поведении решений возмущенной системы и
структуре ее неблуждающего множества.
Усреднение применимо к системам вида
X = ef{x, t), а; G R", е < 1, D.0.1)
где / имеет по t период Т. В системе такого типа периодическое
возбуждение контрастирует с «медленной» средней эволюцией решений ввиду
малости правой части. В первых четырех разделах будет показано, как слабо
4.1. Усреднение и ОТОБРАЖЕНИЯ Пуанкаре 213
нелинейный осциллятор вида
х + сй'^х = ef{x,x,t) D.0.2)
можно привести к стандартной форме D.0.1) и применить к нему
осреднение. При этом мы, по-существу, имеем дело с малыми возмущениями
линейного осциллятора х + иР'х = О, представляющего собой
интегрируемую гамильтонову систему.
Затем описывается метод Мельникова [1963] исследования
возмущений общей интегрируемой гамильтоновой системы. Здесь за исходную
принимается сильно нелинейная система
X = f{x), X е R^", D.0.3)
а затем к ней добавляются слабые диссипация и возбуждение:
х = f{x)+sg{x,t). D.0.4)
Хотя в первую очередь нас интересуют двумерные системы с
периодическим возбуждением, результаты метода усреднения приводятся в
наиболее общем гг-мерном случае, так как это не приводит к усложнению
формулировок. При изложении метода Мельникова мы ограничиваемся
двумерным случаем, хотя здесь допустимы некоторые гг-мерпые и даже
бесконечномерные обобщения, обсуждаемые в конце главы. Приведены также
элементы теории отображений, сохраняющих площадь, которые возникают
при построении отображений Пуанкаре для периодических по времени га-
мильтоновых систем с одной степенью свободы и независящих от времени
систем с двумя степенями свободы.
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре
Существует много вариантов теоремы об усреднении. В основе
нашего изложения лежат работы Hale [1969, глава 5, теорема 3.2] и Sanders,
Verhulst [1982], в которых содержится весьма полное обсуждение с позиций
асимптотики. Рассмотрим систему вида
x = ef{x,t,s); ж е t/CR", Os;£< 1, D.1.1)
где функция /: R" х М х R^ класса С^,г > 2, ограничена на ограниченных
множествах и имеет по t период Т > 0. Обычно мы считаем множество U
ограниченным. Соответствующая автономная усредненная система
определяется как
т
y = e^lfiy,t,0)df^'e7{y). D.1.2)
о
В этом случае справедлива следующая
214 Глава 4
Теорема 4.1.1 (теорема об усреднении'). Существует замена
переменных X = у + sw{y, t, е) класса С", приводящая D.1.1) к виду
y = eJ{y)+e^My,t,s), D.1.3)
где /i имеет по t период Т. Кроме того,
(i) если x{t) и y{t) —решения систем D.1.1) и D.1.2) с базой в
точках xq, уо соответственно {при t = 0) м |жо — уо| = 0{е), то \x{t) — y{t)\ =
= 0{s) на интевале времени t ^ 1/е.
(ii) если Ро — гиперболическая неподвижная точка для D.1.2), то
существует такое £о > О, что для всех О < £ < ео система D.1.1) обладает
единственной гиперболической периодической орбитой 7е(^) = Ро + 0{е)
того ,9/се типа устойчивости, что и ро?
(iii) Если x^{t) G W*Ge) — решение системы D.1.1), леж;ащее на
устойчивом многообразии гиперболической периодической орбиты 7e(i) =
= Ро + 0{е), а y''{t) G W{po) —решение системы D.1.2), леж;ащее на
устойчивом многообразии гиперболической неподвиж:ной точки ро, причем
\х'{0) - у*@I = 0{е), то \x'{t) - y'{t)\ = 0{е) для всех t > 0.
Аналогичный результат имеет место для решений, лежащих на неустойчивых
многообразиях на интервале t G (—оо, 0].
Замечание. Выводы (ii) и (iii) можно обобщить на более сложные
гиперболические множества. В частности, Hale [1969] показал, что если
D.1.2) имеет гиперболическую замкнутую орбиту Г, то D.1.1) имеет
гиперболический инвариантный тор. Возможно также обобщение на почти
периодические функции / (Hale [1969]). Из вывода (iii) следует, что
теорему осреднения можно использовать для аппроксимации устойчивого и
неустойчивого многообразий и вообще для изучения глобальной структуры
отображения Пуанкаре для системы D.1.1), как будет продемонстрировано
на примерах.
Доказательство. Мы наметим доказательства первых двух
утверждений, используя стандартные результаты из теории дифференциальных
уравнений. Что касается третьего утверждения, здесь удобнее воспользоваться
идеями отображений Пуанкаре и инвариантных многообразий. Сначала
найдем в явной форме замену переменных. Разложим функцию / на сумму
средней и осциллирующей частей:
f{x,t,e)=7{x)+f{x,t,e). D.1.4)
'Это вариант первой теоремы Боголюбова [11], см. также Крылов, Боголюбов [1957]. —
Прим. ред.
^7е может быть тривиальной периодической орбитой: 7е@ = Ро, см. пример 1 в
разделе 4.2.
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре
215
Положим
x = y + ewiy,t,e), D.1.5)
не выбирая пока функцию w. Дифференцируя D.1.5) при учете D.1.1)
и D.1.4), имеем
[/ + sDyw]y = х-е^= £/(у + sw) + ej{y + sw,t,s)-s^,
y = s[I + sDyw] ^ f{y + sw) + f{y + sw, t, s) -
dw
at
D.1.6)
Раскладывая D.1.6) no степеням s и выбирая в качестве w первообразную
от/
^^=/(y,i,0), D.1.7)
dt
получаем
— г — df
у = sf{y) + s^ [Dyfiy, t, 0)w{y, t, 0) - Dyw{y, t, 0)/(y) + -ф {у, t, 0)
+ OisY=£7{y)+£'My,t,s), D.1.8)
что и требовалось.
Для доказательства утверждения (i) используем один из вариантов
леммы Гронуолла:
Лемма 4.1.2 (Coddington, Levinson [1955], с. 37). Если функции u,v и
с неотрицательны на отрезке [О, t], причем c{t) дифференцируема и
выполнено неравенство
v{t) ^ c{t) + / u{s)v{s)ds,
о
t t t
v{t) ^ c@) exp / u{s) ds + / c'{s) exp / и{т) dr ds.
0 0 s
mo
t
Для доказательства этой леммы надо положить R{t) = J u{s)v{s) ds и
о
показать, что R' — uR ^ ис. Сформулированный результат получается
путем интегрирования данного дифференциального неравенства и некоторых
преобразований, включаюгцих интегрирование по частям.
216 Глава 4
Рассмотрим теперь уравнения D.1.2) и D.1.3). Интегрируя их и вычитая
одно из другого, имеем
t t
ys{t)-y{t)=yeO-yo+£ 'f{ye{s))-J{y{s)) cls + s"^ fl{ys{s) , S, s) cls,
0 0
где j/e(t) — решение уравнения D.1.3) с базой в у^о- Обозначим у^ — у =
= С,, L — константу Липшица для f и С — максимальное значение /i, тогда
данное равенство примет вид
t
\Ф)\ ^ \Cm+£L [ \C{s)\ds + £^Ct. D.1.9)
о
Применяя лемму Гронуолла, где c(t) = |С@)| + e^Ct и u{s) = еЬ, получим
t
|C(t)| s; |С@)|е"-^*+£2С [ е'^^*-''> ds ^ [|С@)| + ^]е^-^'. D.1.10)
о
Таким образом, если jj/go — Уо| = 0(e), приходим к выводу, что |j/£(i) —
— y{t)\ = 0{е) для t е [О, 1/еЦ. Наконец, ввиду соотношения D.1.5),
имеем
\x{t) -ys{t)\ =ew{y^,t,e) = 0(e),
откуда, вследствие неравенства треугольника
\xit) - yit)\ ^ \x{t) - y,{t)\ + \y,{t) - y{t)l
получаем желаемый результат.
Для доказательства (ii) рассмотрим отображения Пуанкаре Ро,Р^,
ассоциированные с системами D.1.2) и D.1.3). Перепишем эти системы в
виде
у = е7(у); в = 1, D.1.11)
y = sJ{y)+s^My,e,sy, в = 1, D.1.12)
где {у, в) G R" X S^, а S^ = R/T — окружность длины Т, и определим
глобальное сечение Т, = {{у,в) \ в = 0}. Отображения Пуанкаре' Pq : U ^ Т,,
Ps-.U^'Ti для D.1.11), D.1.12) (здесь t/ С S — некоторое открытое
множество) определим обычным образом: как отображения первого возврата
'Индекс «О» в обозначении Ро свидетельствует о том, что отбрасывается член 0{г^), а не
о том, что в D.1.11) е = 0. Такие обозначения Ро для отображения с точностью 0(e) и Ре
для полного отображения будут использоваться в данном и трех следующих разделах.
4.1. Усреднение и ОТОБРАЖЕНИЯ Пуанкаре 217
или отображения за время Т. Заметим, что Р^ и Pq отличаются на
величину порядка £^, поскольку Т фиксировано и не зависит от е. Если ро —
гиперболическая неподвижная точка для D.1.2), то она является
гиперболической неодвижной точкой и для DPo{po), так как DPo{po) = ехр sTDf{p).
Следовательно, отображение TDf{po) = lim{l/s)[expsTDf{p) — id] обра-
e—>0
тимо. Посколысу отображения Р^ и Pq отличаются на величину порядка е^,
получаем, что и lim(l/£)[-DPe(po) — id] = TDf{po). Из теоремы о неявной
функции следует, что нули отображения {l/s)[DPs{po) — id] = TDf{po)
образуют некоторую гладкую кривую (psjS) в пространстве R" х Ш. Здесь
Pg — неподвижные точки Р^, а собственные значения матрицы ПР^{р^)
отличаются от собственных значений DPq[pq) на величину порядка е^,
так как р^ = ро + 0{е) и ВР^{ре) = ехр[еТ{В/{р^) + e'^Dfi{ps))] =
= exp[sTDf (ро)] + О(е^). Таким образом, система D.1.12) имеет
периодическую орбиту 7£, отдаленную от ро на величину порядка е, а в силу
замены D.1.5), уравнение D.1.1) обладает аналогичной орбитой.
Заметим, что все, что требуется для существования периодической
орбиты у D.1.1), — это отсутствие собственных значений, равных единице,
в спектре матрицы DPq(j)q). Однако типы устойчивости точки Pq и
орбиты 7е могут не совпадать, если хотя бы одно собственное значение DPq(pq)
лежит на единичной окружности.
Для доказательства (iii) заметим, что D.1.2) имеет гиперболическую
седловую точку Ро и рассмотрим решения y{t) G W''{po) и
соответствующие решения j/£(t) G И^* полной системы D.1.3). Случаи, в которых Ро
является источником или стоком и W'^ заменяется на W", рассматриваются
аналогично. Доказательство разделяется на две части: внешняя область, в
которой усредненное векторное поле ef{y) велико по сравнению с оставшимся
членом £^/i(y, t), и внутренняя область, в которой «возмущения» e^/i и е/
имеют одинаковый порядок. Более подробное изложение можно найти в
Sanders, Verhulst [1982]. Зафиксируем (^-окрестность Us точки ро таким
образом, что вне этой окрестности имеем |/(у)| ^ \fi{y,t,e)\. Как и выше,
стандартные оценки Гронуолла показывают, что \уе — Уо\ = 0{е) вне Ug
на временах порядка 1/£. С другой стороны, внутри Ug (локальная)
теорема об устойчивом многообразии гарантирует, что устойчивое
многообразие WiocGe) является е-близким в классе С" к Wf^^{po) х [О, Г]. Кроме
того, на многообразиях W{^^{-js) и W{^^{po) решения стягиваются к 7е и кро
соответственно, при этом сжатие определяется экспоненциальным членом
вида е^'*'*. Используя этот факт, мы можем доказать, что если у^ и уо при
входе в Ug отличаются на величину 0(e), то они сохранят близость 0(е) во
все последующее время, см. рисунок 4.1.1. Собирая вместе эти две оценки
и используя преобразование D.1.5), получим требуемый результат. ■
218 Глава 4
Уо
l^s
Ps-
w
/ Ух"
=Г.П2
4po.L.-
.— —
lro5
_
Рис. 4.1.1. Правильность усреднения на полубесконечных временных интервалах.
Заметим, что Sanders [1980] и Murdock, Robinson [1980] (ср. Robinson
[1981b]) привели доказательства части (iii) даппо11 теоремы. При
доказательстве это11 части мы пользуемся гладко?! зависимостью (локальных)
инвариантных многообразий от параметров. Таким образом, утверждение (iii)
является также прямым следствием из теоремы о «глобальных»
инвариантных многообразиях (см. Hirsch et al. [1977], теорема 4.1).
4.2. Примеры усреднения
Пример 1. Рассмотрим скалярную систему
± = £a;sin^t. D.2.1)
Здесь /(ж, t, е) = /(ж) + /(ж, i, е) = а;/2 — (а;/2) cos 2t, и мы имеем
или
w = -|sin2i. D.2.2)
Заметим, что независящий от времени член, который может входить в
первообразную, обычно полагается равным пулю. По формуле D.1.8),
преобразованная система такова:
^ = 4+.^[(i4cos2t)(-|sin2.)-(-lsin2t)(|)]+0(e3),
или
y = e|+e'j^sin4i + 0(e3). D.2.3)
4.2. Примеры усреднения 219
Здесь автономное усредненное уравнение имеет простой вид:
у = £|. D.2.4)
Нетрудно найти точное решение уравнения D.2.1) с начальным
условием а;@) = xq:
x{t)=xoe<W2^-'inm/4)^ D.2.5)
Сравнивая эту функцию с решением усредненного уравнения D.2.4)
y{t) = Уoe"*/^ D.2.6)
мы видим, что
x{t) - y{t) = е"*/2 [la-g _ y^i _ g^.^ sinBt)/4 + 0(e2)], D.2.7)
что соответствует выводу (i) теоремы. Здесь гиперболический
источник у = О системы D.2.4) соответствует тривиальной гиперболической
периодической орбите а; = О системы D.2.1), а полагая в D.2.5)-D.2.7)
t -^ —00, мы получим a;(t), y{t) -^ О, откуда \x{t) — y{t)\ ^ О в
соответствии с утверждениями (ii) и (iii).
Упражнение 4.2.1. Исследуйте систему х = —ежcost методом усреднения.
Имеет ли она гиперболическое предельное множество? Сравните точное и
усредненное решения.
Упражнение 4.2.2. Повторите анализ методом усреднения для системы х =
= е(—ж + cos^ t). В частности, проверьте справедливость утверждений (ii) и (iii)
теоремы.
Упражнение 4.2.3. Исследуйте нелинейные системы
X = е{х — X ) sin t
и
X = е{х sin t — X /2)
методом усреднения. Что вы можете сказать об их решениях?
Пример 2. (Слабо нелинейные вынужденные колебания.) Многие
слабо нелинейные колебательные системы описываются уравнением второго
порядка вида
х + с0ох = cf{x,x,t), D.2.8)
где функция / имеет период Т по t. В частности, если /
синусоидальна с частотой LU ~ кшо, то мы имеем систему, близкую к резонансу
порядка к. В такой ситуации для отыскания почти периодического решения
220
Глава 4
с частотой и)/к удобно воспользоваться обратимым преобразованием Ван
дер Поля, приводящим D.2.8) к виду D.1.1), допускающему последующее
усреднение. Положим
= А
А-
А =
cos
— sin
tot
к
к
LOt
-^sin(^
. к \ к
-^cos
к
-к
к
к
к
sm
cos
D.2.9)
тогда D.2.8) примет вид
'to
2 etoi
X + e
fix,x,t)]sin[f),
etoi
D.2.10)
fc2
X + sf{x,x,t)
где X, X можно записать как функции от u,v ж t при помощи D.2.9). Ее
ли cli^ — /c^clIq = 0(e), то система D.2.10) имеет надлежащую форму дл)
усреднения.
В качестве конкретного примера возьмем стандартное уравнение Дуф
финга, включенное в большинство учебников по нелинейным колебаниям:
X + loqX = £ [7 COS ut — 6х — ах^],
D.2.11)
где clIq — cli^ = eft, т. е. мы находимся вблизи резонанса первого порядка.
Полагая в D.2.9) к = 1, получим преобразованную систему
СО ^
- [О, {и COS Lot — V sin Lot) — Lj5{u sin tot + V COS LOt) +
+ a{u COS iot — vsimot)^ — 7CoscL't] sincbit,
-\fl{ucosLot — vsmLot) — Lj5{usmLot + v сов ijjt)-\-
+ a{ucosLot — vsmtoi)^ — 7CoscL't] coswi.
Усредняя D.2.12) no промежутку одного периода Т = I-k jlo, получим
£_
LO 1
D.2.12)
и =
2u
£
2uj
-uj5u-nv-^{u^ + v'^)v
def
£h{u,v),
flu —LoSv +—j-{u'^+ v'^)u — j =е/2(и, w),
D.2.13)
4.2. Примеры УСРЕДНЕНИЯ 221
или, в полярных координатах г = уи? + г^, ф = arctg(w/M)
-[—uiSr — ^в'тф],
2ш
Qr + ^r^ -^со&ф
D.2.14)
К точно такому же результату приводят методы теории возмущений, если
их применить к членам 0(e) (см. Nayfeh, Моок [1979], разд. 4.1.1).
Вспомнив преобразование
X = u{t) cosuit — v{t) sincLit = r{t) cos{u!t + ф{t)),
мы видим, что медленно меняющиеся амплитуда г и фаза ф решения
системы D.2.11) задаются в первом порядке как решения системы D.2.14).
Поэтому важно найти равновесные решения или неподвижные точки
системы D.2.14), которые, в силу теоремы об усреднении и
преобразования D.2.9), соответствуют стационарным, почти синусоидальным решениям
исходного уравнения. Зафиксировав а, S ж ^ ж построив для
неподвижных точек {г,ф) системы D.2.14) графики зависимости координат от Q
или от cli/clIq, мы получим частотную характеристику, известную
инженерам: см. рисунок 4.2.1. Мы рассмотрим явление «скачкообразной»
бифуркации ниже. Более подробно уравнение Дуффинга рассмотрено в Nayfeh,
Моок [1979], а соответствующая бифуркация — в Holmes, Rand [1976]'.
Типы устойчивости для ветвей стационарных решений, показанные на
рисунке 4.2.1, получены путем рассмотрения собственных значений
линеаризованных усредненных уравнений, и мы приглашаем читателя сделать
проверку.
На рисунке 4.2.2 показаны фазовые портреты систем D.2.13)-D.2.14),
построенные путем численного интегрирования для таких значений
параметров, при которых сосуществуют три гиперболических неподвижных
точки. На рис. 4.2.3(a) изображены устойчивое и неустойчивое многообразия
седловой точки, преобразованные при помощи обращающего ориентацию
преобразования D.2.9) (к = 1), примененного при t = 0: х = и, х =
= —u!v. По теореме 4.1.1, эти многообразия должны аппроксимировать
устойчивое и неустойчивое многообразия отображения Пуанкаре полной
системы D.2.11), изображенные на рисунке 4.2.3(b) и также построенные
численно. Заметим, что приближение достаточно хорошее, однако оно
ухудшается с ростом разности между и! ж и!о (т. е. с ростом Q). Дальнейшие
примеры содержатся в Fiala [1976].
См. также Морозов [1973, 1976].
222
Глава 4
Стабильное решение
Седловое решение
0
Л-/2
Ь
-ж
1
1
/
2 3
1 1
(У/(У о
Рис. 4.2.1. Амплитудно-частотная характеристика для уравнения Дуффинга: еа
= 0,05, е5 = 0,2, e-f = 2,5.
Упражнение 4.2.4. Выполните усреднение для «оригинального» уравнения
Ван дер Поля
х + -{х
1)ж + ж = Q7 COS ijjt,
где 1 — cj^ = асг — 0{а) <С 1. Покажите, что усредненные уравнения принимают
вид B.1.13), где /3 = Q7. Проверьте столько утверждений, сделанных в разделе 2.1,
сколько сможете.
Упражнение 4.2.5. Рассмотрите уравнение D.2.1) для £7=7 = 0A)
и cj ~ ScJo и воспользуйтесь методом усреднения для изучения субгармоник
третьего порядка. В этом случае преобразование D.2.9) следует заменить на такое
преобразование
'^иХ _ . f х-\- Вcos(a;t — (А) \
\х — шВ8ш{ш1 — ф)) ^
4.2. Примеры усреднения
223
Рис. 4.2.2. Фазовые портреты уравнения D.2.13): еа = 0,05, е5 — 0,2, cjo = 1,
£7 = 2,5. (а) ш = 1,5; (Ь) и = 1,65.
224
Глава 4
Рис. 4.2.3. Отображение Пуанкаре для уравнения Дуффинга по сравнению с
отображением потока усредненного уравнения в момент времени Г: га = 0,05, ей = 0,2,
cjo = 1, £7 = 2,5, cj = 1,5; (а) инвариантные многообразия седловой точки для
усредненного уравнения D.2.13); (Ь) инвариантные многообразия седловой точки
для отображения Пуанкаре.
4.2. Примеры усреднения 225
где
/ (ujt\ 3 . (uJtW
I cos ^т- — — sm ' — 1 '
A
3 J <^ V 3
D.2.15)
Обратите внимание на необходимость включения некоторой компоненты в частоту
возбуждения cj, а его амплитуда В и фаза ф определяются (в первом порядке)
из решения уравнения D.2.11) для первой гармоники. Полагая х = В cos{ujt —
— ф) + 0(e) и подставляя в D.2.11), получим В ~ 7/('^о ~ "^г), ф ~ 0. (Это
похоже на решение для линейного осциллятора: почему?) Остальное предлагаем
Сделать самостоятельно, при необходимости обратившись за помощью к Hale [1969,
стр. 202-204]. Другой пример приведен в Holmes, Holmes [1981].
Упражнение 4.2.6. Повторите упражнение 4.2.5 для £7 = 0(е), как ранее.
Можно ли найти в усредненном уравнении субгармоники первого порядка?
Заметьте, что преобразование D.2.15) переводит решение вида
x{t) =Mcos ( ^ j -wsin ( ^ j - Bcosiujt-ф) D.2.16)
в (м, v). Таким образом, решение с почти синусоидальной фундаментальной
компонентой с частотой и! и субгармонической компонентой с частотой и;/3
под действием этого преобразования переходит в почти постоянную, что
в главном повторяет поведение почти синусоидального (одночастотного)
решения под действием преобразования D.2.9). В каждом случае это
преобразование выбирается не только из соображений достичь нужной для
усреднения формы, но также и в свете ожидаемой нами формы решений.
Данный серьезный недостаток: необходимость с самого начала знать, что
ищешь, — присущ большинству методов теории возмущений.
Читателю следует взять на заметку, что субгармоника периода кТ,
соответствующая циклу периода к для отображения Пуанкаре, отвечает
множеству к неподвижных точек для усредненного уравнения. Усреднение
проводится по наименьшему общему периоду кТ, таким образом, отображение
потока за время кТ для усредненной системы аппроксимирует истинное
отображение за время кТ для исходной системы; отображение Пуанкаре
возводится в степень к.
В заключение заметим, что в некоторых случаях требуется проводить
усреднение второго или даже более высокого порядка, если усреднение
первого порядка не приводит к окончательным результатам. В этом случае
вычисляется среднее значение члена второго порядка:
т
7г{г) = ^1 h{z,t,0)dt.
о
226 Глава 4
и, после второго преобразования у = z + e^w{z,t,e), составляется
усредненное уравнение _ _
i = £/(z) + £2/lW+0H-
Дальнейшие подробности и примеры можно найти в Sanders, Verhulst
[1982], и Holmes, Holmes [1981], один из примеров приведен ниже в
разделе 4.7. Кроме того. Chow, Hale [1982] показали, как удобно проводить
усреднение высших порядков, используя метод рядов Ли, подчеркнув тем
самым фундаментальную связь между усреднением и нормальными
формами. Дополнительные подробности и примеры содержатся в Cushman и др.
[1980, 1982, 1983], Churchill et al. [1982], и Deprit [1982]'.
4.3. Усреднение и локальные бифуркации
Допустим, что имеется однопараметрическое семейство систем,
аналогичных D.1.1):
x = eff,{x,t,e); ^leR, D.3.1)
а также соответствующее семейство усредненных систем
У = е1^{у), D.3.2)
причем при изменении /i D.3.2) испытывает бифуркацию. Поставим вопрос:
испытывает ли такую же бифуркацию семейство D.3.1)? Для простых
бифуркаций коразмерности единица ответ положителен (с некоторыми
ограничениями?).
Теорема 4.3.1. Если при ц = цо семейство D.3.2) испытывает
бифуркации типа «седло -узел» или Хопфа, то для значений р, близких к ро,
и достаточно малых е отображение Пуанкаре для D.3.1) испытывает
бифуркацию того же типа.
Доказательство. Зафиксируем малое значение е > 0. Вновь
воспользуемся е-близостью отображений Пуанкаре, соответствуюгцих
системам D.3.2) и D.3.1). В случае «седло-узла» бифуркационные уравнения
выглядят так (см. доказательство теоремы 4.1.1):
|(id-Po'')B/) = 0, \{U-Pl^){x)=^. D.3.3a,6)
По сделанному предположению, усредненная система имеет пару
неподвижных точек y+, у_, которые сливаются при р = р.^,
перемещаясь в пространстве (у, р) по гладкой (локально параболической) дуге
(рис. 4.3.1). Существует локальная замена координат в окрестности
точки (у±(/^о),/^о) G к" X М, приводящая эти две ветви к виду у±{р) =
= (±cv7*o^,0) е М X М""^ = М". Поскольку Р^ и Р^ отличаются
4.3. Усреднение И ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 227
Рис. 4.3.1. Бифуркация типа «седло-узел».
на величину порядка е^, то в той же системе координат отображение Р^
имеет две ветви положений равновесия ж±(/х) = (±Ciy/io — /i + 0(e), 0(e),
а поскольку матрицы DP^{x±{^)) и ПР^{у±{ц)) также близки, то
устойчивость по линейному приближению для обеих систем одинакова.
В случае бифуркации Хопфа заметим, что поскольку Pq обладает
(локально единственной) кривой равновесий y(/i), причем спектр ПР^{у{ц))
не содержит единицу, отображение Р^ также обладает 1фивой
равновесий х{ц) = y(/i) + 0(e). Кроме того, спектры операторов ОР^{у{ц))
и £)P|'(a;(/i)) также близки, поэтому пара собственных значений последней
необходимо пересекает единичную окружность вблизи /i = /io- Остается
проверить условия отсутствия резонансов (SH1 в теореме 3.5.2).
(Очевидно, что тип устойчивости в бифуркациях (SH2, SH3) сохраняется при
малых возмущениях.) Допустим, что интересующие нас собственные значения
матрицы Df {у{цо)) равны ±iu!. Тогда собственные значения
отображения £)Pg'°(y(/io)) равны е^*'^'^^, а собственные значения возмущенного
линеаризованного отображения DP^^^ {x{iie)) в его близлежащей точке
бифуркации имеют вид е*(^^'^^+'-'('^ )). Следовательно, условие нерезонансности
^гтешТ ф -^ ддд j^^j _ 1^ 2, 3, 4 удовлстворястся ДЛЯ достаточно малых е
и фиксированном Т. ■
Данный результат можно применить к примерам Дуффинга и Ван дер
Поля из предыдущего раздела. В частности, отсюда следует, что бифуркации
типа «седло-узел», имеющие место в точках «скачкообразного резонанса»
(рис. 4.2.1) для усредненного уравнения Дуффинга, соответствуют
бифуркациям типа «седло-узел» для периодических орбит полной системы. Кроме
того, бифуркация Хопфа, в результате которой рождается притягивающая
инвариантная окружность, имеет место для отображения Пуанкаре,
соответствующего уравнению Ван дер Поля (см. раздел 2.1).
Можно сделать и обобщения на многопараметрические системы, а
также на случай более сложных бифуркаций. Например, в пространстве Г2, 7
'См. также Боголюбов, Митропольский [II]. —Прим. ред.
228 ГЛАВА 4
существует точка, в которой система Дуффинга из раздела 4.2 имеет
вырожденную неподвижную точ1су, которая расщепляется на одну, две или три
точки — как в возмущенной бифуркации типа «вилка». В этой точке две
ветви (частотно-амплитудной функции), изображенной на рис. 4.2.1,
сливаются в точке, где касательная вертикальна. Отсюда следует, что в некоторой
близлежащей точке полная система имеет бифуркацию, в которой
сливаются три периодические орбиты. Тем не менее, метод усреднения непригоден
для корректного описания всех таких бифуркаций коразмерности два,
прежде всего, из-за тонких глобальных эффектов, связанных с гомоклинными
орбитами. Эти эффекты обсуждаются в следующем разделе.
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная
динамика: предостерегающие замечания
Как было показано, теорема об усреднении предоставляет метод
аппроксимации истинного отображения Пуанкаре Р^, в основе которого лежит
замена гг-мерного отображения Рф на гг-мерное векторное поле /. Ввиду
этого следует быть осторожным в трактовке результатов. По теореме 4.1.1,
выводы о локальном поведении при такой замене допускают перенос;
например, неподвижные точки / соответствуют периодическим орбитам
системы D.1.1) и, следовательно, неподвижным (или периодическим) точкам
отображения Р^. Однако глобальная динамика не допускает такого
прямого переноса, поскольку типичные свойства гг-мерных векторных полей
и гг-мерных отображений совершенно различны. Таким образом,
обнаружение тех или иных глобальных свойств у / не обязательно свидетельствует о
наличии таких же свойств у Р^. Тем не менее, при определенных условиях
глобальные свойства переносятся:
Теорема 4.4.1. Если отображение Пуанкаре Pq вдоль фазового потока
системы D.1.2) за время Т, суж:енное на ограниченную область D С М",
обладает предельным множ:еством, состоящим лишь из гиперболических
неподвиж:ных точек, причем все пересечения устойчивых и неустойчивых
многообразий трансверсальны, то соответствующее отображ;ение
Пуанкаре Pg I „ для D.1.1) топологически эквивалентно Ра | „ для достаточно
малых значений е > 0.
Доказательство. Данный результат является, по существу, следствием
из основной теоремы об усреднении 4.1.1, вытекающим непосредственно
из утверждений (ii) и (iii). В терминах динамических систем этот результат
следует из структурной устойчивости потока D.1.2) при е > 0. Однако
наивные аргументы здесь не работают, поскольку если положить в D.1.3)
£ ^ О, то невозмущенная система ж = О будет полностью вырожденной.
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика 229
С другой стороны, если промасштабировать время т = st ж рассмотреть
уравнение
y' = 7(y)+£/i(y, f.e), D.4.1)
где у' = dy/dr, мы получим возмущение переменного периода еТ. Тем
не менее, это не сказывается на оценках Гронуолла, использованных при
доказательстве теоремы 4.1.1, и мы можем получить требуемые результаты
так же, как при доказательстве этой теоремы. ■
Возвращаясь к примеру уравнения Дуффинга из раздела 4.2, мы можем
использовать критерий Бендиксона для проверки того, что фазовый портрет
системы D.2.13) не содержит замкнутых петель, т.е. замкнутых орбит и
гомоклинных петель. Мы можем убедиться, что
tTDf=y^+'^ = -S<0 D.4.2)
для всех (и, w) е М . Следовательно, условия теоремы 4.4.1 выполнены,
и Pg топологически эквивалентно Pq для достаточно малых е при условии,
что не находится в точке бифуркации «седло-узел». Отсылаем читателя
назад, к рисунку 4.2.3.
Упражнение 4.4.1. Проверьте, что системы из упражнений 4.2.2^.2.3 также
удовлетворяют условиям теоремы 4.4.1.
Многие усредненные системы обладают, наряду с неподвижными
точками, периодическими орбитами. Например, мы уже видели, что
усредненные уравнения Ван дер Поля B.1.14) испытывают бифуркацию Хопфа и
что появляющаяся при этом периодическая орбита затем исчезает, влипая
в сепаратрисы седла. Такая ситуация более деликатна, однако при
определенных условиях периодическая орбита усредненной системы переходит в
инвариантный тор полной системы.
Теорема 4.4.2. Если D.1.2) имеет гиперболическую периодическую
орбиту 7о, wo поток расширенной системы D.1.12) имеет гиперболический
инвариантный тор Т^ вблизи 7о х S^- Это равносильно тому, что
отображение Пуанкаре Р^ для D.1.1) имеет инвариантную замкнутую кривую 7е
вблизи 70-
Доказательство этой теоремы содержится в Hale [1969]. Нормальная
гиперболичность инвариантного множества 70 х «^^ гарантирует его
сохранение при малых ненулевых значениях е (см. Hirsch и др. [1977]). Заметим,
однако, что, в то время как гладкие инвариантные замкнутые 1фивые
существуют и для Pq, и для Pg, динамика РА в общем случае весьма сложна
вследствие резонансных эффектов. Чтобы понять это, изменим масштаб
времени в системе D.4.1), полагая т = st, тогда возмущения будут иметь
230 Глава 4
период еТ. Если при е = О система D.4.1) имеет орбиту периода т, то
при е ^ О резонансное соотношение
г = Щ^^ т,пеЪ, D.4.3)
выполняется счетное число раз. Таким образом, из общей теории
отображений о1фужности в себя следует, что гладкая замкнутая кривая ^е содержит
множество периодических точек, чьи периоды та ~ 1/е зависят от £ и
которые возникают и исчезают в счетной последовательности бифуркаций
при е ^ 0. Анализ таких резонансных движений связан с аккуратным
учетом малых знаменателей. Отложим дальнейшее обсуждение до главы 6.
Другая и потенциально более серьезная проблема возникает при
интерпретации усредненных уравнений. Если исходная система D.1.1)
имеет гамильтонову форму с энергией eH{u,v,t,e), то преобразование D.1.5)
можно выбрать каноническим (Goldstein [1980]), так что преобразованная
система D.1.3) также будет гамильтоновой. В частности, усредненная
система D.1.2), очевидно, тоже гамильтонова. Если ж е М , так что D.1.2)
является двумерной автономной системой, то ее фазовые кривые
представляют собой линии уровня усредненной функции Гамильтона
т
Я(м, v) = }= 1 Н{и, V, t, 0) dt. D.4.4)
о
Если усредненная система имеет компактную линию уровня, содержагцую
седловую точку, то эта линия необходимо является нетрансверсальным
пересечением (фактически, совпадением) устойчивого и неустойчивого
многообразий невозмугценного отображения Пуанкаре, и мы не можем
ожидать ее сохранения после восстановления зависягцего от времени
слагаемого е^/ь
Рассмотрим еще раз уравнение Дуффинга из раздела 4.2 в качестве
примера и положим 6 = 0. Тогда исходная система будет гамильтоновой,
причем непосредственно из D.2.13) видно, что усредненный гамильтониан
таков:
£Я(и,«) = -^[0(м2 + г>2) + ^(и2+г>2J-27и]. D.4.5)
Соответствующий фазовый портрет показан на рисунке 4.4.1.
Заметим, что в дополнение к двойной гомоклинической петле здесь имеется
три семейства периодических орбит. Поскольку эти линии уровня являются
инвариантными 1фивыми для (невозмущенного) отображения Пуанкаре Pq,
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика 231
Рис. 4.4.1. Фазовый портрет для усредненного уравнения Дуффинга: га
£7 = 2,5, 5 = О, cj = 1,5, cjo = 1.
0,05,
построенного для усредненной системы, в типичном случае следует
ожидать разрушения гомоклинических петель, приводящего к трансверсальным
пересечениям возмущенных устойчивого и неустойчивого многообразий.
Кроме того, резонансные замкнутые кривые разрушаются некоторым
сложным образом. Ни одна из замкнутых орбит не является гиперболической,
и мы должны обратиться к теории Колмогорова-Арнольда-Мозера для
доказательства того, что «некоторые иррациональные» орбиты,
достаточно близкие к эллиптическим центрам, сохраняются по действием Р^ при
малых е. Мы вернемся к общим вопросам возмущений интегрируемых га-
мильтоновых систем в разделе 4.8 после обсуждения метода Мельникова.
Даже если исходная система негамильтонова, в усредненной системе
могут возникнуть гомоклинические бифуркации. Например, как
отмечалось в разделе 2.1, такая бифуркация имеет место в усредненной системе
Ван дер Ноля со слабыми возбуждением и демпфированием: получается
последовательность фазовых портретов, изображенных на рисунке 4.4.2.
Общая теория, намеченная выше, показывает, что для достаточно малых
(в зависимости от других параметров) значений е фазовые погреты (а), (с)
сохраняются для полной системы, поскольку отображения вдоль фазового
потока за время Т в этих случаях будут структурно устойчивыми. Однако,
232
Глава 4
(а)
(b)
ic)
Рис. 4.4.2. Гомоклиническая бифуркация для усредненного автономного уравнения
Ван дер Поля (сравните с рис. 2.L3).
(а)
(Ь)
Рис. 4.4.3. Общее возмущение вырожденной гомоклинической бифуркации для
отображения Р^.
если значения параметров приближаются к гомоклинической бифуркации
(рис. 4.4.2(b)), диапазон значений е, для которых выполняются
утверждения теоремы 4.4.2, сужается. Разумеется, в точке бифуркации мы не можем
ожидать, что устойчивое и неустойчивое многообразия возмущенного
отображения Pg совпадут, как на рисунке 4.4.2(b), и в типичном случае
вблизи точки бифуркации невозмущенной системы возникают трансверсальные
пересечения с (типично) квадратичными касаниями многообразий в
дискретных точках, имеющими место на границах области (см. рис. 4.4.3).
Большая часть этой книги, включая остаток данной главы и главы 5
и 6, связаны с обнаружением и анализом трансверсальных гомоклиниче-
ских точек для двумерных отображений, приводящих к ним бифуркациям
и возникающей при этом сложной динамике.
4.5. Метод Мельникова: возмущения плоских
гомоклинических орбит
В этом и следующем разделах излагается метод, позволяющий изучать
отображения Пуанкаре для периодических по времени систем вида
X = f{x) + sg{x, t): х
D.5.1)
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит 233
где д имеет (фиксированный) период Г по t. Эквивалентная надстроенная
система выглядит так:
{X = fix) + ед(х,в)
^ = 1,
Здесь f{x) — гамильтоново векторное поле, определенное на плоскости R^
или некотором ее подмножестве, ед{х^ t) — малое возмущение, не
обязательно гамильтоново. Многие физические проблемы, такие как задача о
прогнутой балке из раздела 2.2, можно представить в виде D.5.1), но мы должны
признать, что главная причина изучения систем такого типа состоит в том,
что они составляют один из немногих случаев, когда удается аналитически
получить глобальную информацию о кон1фетных системах. Заметим также,
что после масштабирующей замены времени t —^ et усредненная система
для уравнения D.1.3) также относится к обсуждаемому типу, однако, как
будет показано в разделе 4.7, непосредственное применение анализа
Мельникова к усредненным системам сопряжено с трудностями, так как при этом
период функции д будет 0A/е) (см. уравнение D.4.1)). Различные
обобщения этого метода, представленные в разделе 4.8, позволяют применять его
к более широкому классу систем.
Основные идеи обсуждаемого метода принадлежат Мельникову [1963].
В более поздней работе Chow et al. [1980] получили аналогичные
результаты другим способом, а Holmes, Marsden [1981, 1982a,b, 1983а] применили
метод к некоторым бесконечномерным потокам, связанным с уравнениями
в частных производных, а также к многомерным автономным гамильто-
новым системам'. Основная идея состоит в использовании глобально
вычисляемых решений невозмущенной интегрируемой системы при расчете
возмущенных решений. Для ее реализации необходимо убедиться, что
расчеты возмущений справедливы равномерно на произвольно больших или
полубесконечных интервалах времени.
Вначале уточним сделанные допущения. Мы рассматриваем систему
вида D.5.1), где вектор-функции
h{x)\ „_ (gi{x,t)
достаточно гладкие (класса С^, г ^ 2) и ограниченные на ограниченных
множествах, а д имеет по t период Т. Мы полагаем для простоты, что
невозмущенная система гамильтонова, т. е. /i = дН/dv, /2 = —дН/ди.
'Впервые метод Мельникова для уравнений тина Дуффинга был применен
Морозовым [8]. — Прим. ред.
234
Глава 4
(Негамильтонов случай рассмотрен Мельниковым [1963] и Holmes [1980b],
см. упражнение 4.5.1.) В общем случае, мы ограничимся рассмотрением
ограниченной области _D С М фазового пространства. Наши особые
допущения о невозмущенном потоке таковы:
А1 Нри е = О система D.5.1) обладает орбитой q^{t), гомоклинической к
гиперболической седловой точке ро-
А2 Положим Г° = {G°(i) | i £ М} П {ро}- Внутренность Г°
заполнена непрерывным семейством периодических орбит q°^{t), а G (—1,0).
Полагая d{x, Г°) = inf \х — q\, имеем lim sup d{q°^{t), Г°) = 0.
ger"
ct^O
tei
A3 Пусть ha = H{q"{t)), a T„ — период орбиты q"{t). Тогда Т„ —
дифференцируемая функция от hcf, причем внутри Г° имеем dTa/dha > 0.
Заметим, что из А2 и A3 следует, что Та монотонно стремится к бес-
конености при а ^ 0. Ситуация иллюстрируется рисунком 4.5.1.
Рис. 4.5.1. Невозмущенная система.
Многие из последующих результатов справедливы при меньших
ограничениях. В частности, в данном разделе нам потребуется лишь А1. Мы
будем намечать основные идеи доказательств, но опускать некоторые
детали. Последние можно найти в Greenspan [1981].
Как в разделе 4.1, определим отображение Пуанкаре Р*": S*" -^ 1]*°,
где S*" = {{x,t) \ t = to е [0,Т]} С М^ X 5^ - глобальное сечение
в момент to для надстроенного автономного потока D.5.1). Заметим, что
в дальнейшем нам потребуется изменить «момент сечения» to-
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит 235
Из предположения А1 сразу следует, что невозмущенное
отображение Пуанкаре Рд" имеет гиперболическую седловую точку ро, а замкнутая
кривая Г° = W"{po) П W{po) заполнена нетрансверсальными гомокли-
ническими точками для Pq° (здесь нулевой нижний индекс означает, что
в D.5.1) положено е = 0). Мы ожидаем, что эта сильно вырожденная
структура разрушается под действием возмущений sg{x,t), в результате, быть
может, рождаются трансверсальные гомоклинические орбиты или не
возникает никаких гомоклинических точек. Целью данного раздела является
развитие метода, позволяющего определить, что происходит в конкретных
случаях. В частности, этот метод позволит нам доказать существование
трансверсальных гомоклинических точек и гомоклинических бифуркаций
для важных физических примеров, а затем, используя результаты главы 5,
доказать наличие подков и хаотических движений. Он является одним из
немногих аналитических методов, пригодных для обнаружения и изучения
хаотических движений.
Начнем с двух основных результатов, касающихся возмущений.
Лемма 4.5.1. При сделанных выше предположениях, для
достаточно малых £ система D.5.1) имеет единственную гиперболическую орбиту
7е (t) = Ро + 0(e). Соответственно, отображение Пуанкаре Р^° имеет
единственную гиперболическую седловую точку p*^^ = ро + 0{е).
Доказательство. Данный результат непосредственно следует из
теоремы о неявной функции: из сделанных предположений следует, что спектр
отображения ВР^°{ро) не содержит единицы, следовательно,
отображение id —£>Рд°(ро) обратимо, и существует гладкая кривая неподвижных
точек {р1° , е) в пространстве (ж, е), проходящая через {ро, 0). ■
Лемма 4.5.2. Локальные устойчивое и неустойчивое многообразия
^1осGе)' ^1осGе) '^^"'-^ возмущенной периодической орбиты С^-близки к
соответствующим многообразиям невозмущенной периодической
орбиты Ро X S^. Кроме того, орбиты q^{t,to), q^{t,to), леж:ащие на W{^^{'^e),
^1осGе) " имеющие базу на E*^^ допускают следующие равномерные
оценки в указанных интервалах:
ql{t, to) =q'^{t- to) + eq{{t, to) + 0{£^), t e [to, сю);
q^{t, to) = q°{t- to) + eq'iit, to) + 0{e^), t e [-00, to).
D.5.2)
Доказательство. Существование возмущенных многообразий следует
из теории инвариантных многообразий (см. Nitecki [1971], Hartman [1973]
или Hirsch et al. [1977]). Как при доказательстве теоремы об усреднении,
236 Глава 4
зафиксируем 1/-окрестность (О ^ е <С i^ <С 1) ^7,^ точки ро, внутри
которой локальные возмущенные многообразия и их касательные пространства
е-близки к соответствующим многообразиям и пространствам
невозмущенного потока (или отображения). Стандартная оценка Гронуолла показывает,
что возмущенные орбиты, начинающиеся в пределах 0(e) от точки q'^{0),
остаются в пределах 0(e) от q^{t—to) в течение конечного времени, поэтому
имеется возможность пройти вдоль любой такой орбиты из произвольной
точки, лежащей на Г° вблизи q'^{0) вне [7^, до границы области [7^,
пересекаемой в некоторый момент t = ti. Внутри {7^ поведение орбиты q^,
лежащей на W^{'~fe), подчиняется экспоненциальному сжатию,
определяемому линейной системой. Кроме того, как следует из теории возмущений
инвариантных многообразий,
\ql{tiM)-q\h-ta)\=0{e),
поскольку возмущенное многообразие С^-близко к невозмущенному. Далее
непосредственные оценки показывают, что
\ql{tM)-q\t-to)\=0{e)
для всех t G (ti, сю). Обращая время, можно получить аналогичный
результат для q^{y,to) (см. рисунок 4.1.1). ■
Sanders [1980,1982] первым разработал детали построения асимптотик
для решений на возмущенных многообразиях.
Из данной леммы следует, что решения, лежащие на устойчивом
многообразии, для t ^ О равномерно аппроксимируются решениями qf первого
вариационного уравнения:
qtit,to)=Df{q''{t-toMit,to)+g{q''it-to),t). D.5.3)
Аналогичное выражение справедливо для qi{t,to) при t ^ to. Таким
образом, мы можем использовать регулярную теорию приближенных решений
на устойчивом и неустойчивом многообразиях возмущенной системы.
Отметим присутствие в явном виде начального момента to, обусловленное
неинвариантностью решений возмущенной системы относительно
произвольных сдвигов времени (система D.5.1) неавтономна при е ^ 0).
Определим теперь разделение многообразий W^ (р*°), W (р*°) на
сечении Ti^" в точке <z°@) как
d{to)=q''Ata)-ql{to), D.5.4)
где (З';^(to) = q"{to,to),ql{to) = q^^{to, to) —единственные точки на W^{pi"),
W^{pI"), «ближайшие» к pl° и лежащие на нормали
/^(Q°@)) = (-/2(Q°@)),/i(g°@)))^
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит 237
w'Xpl")
q°{0)+£q'l{t„)
tiq'm
f{q"m
Рис. 4.5.2. Возмущенные многообразия и функция расстояния.
к Г° в точке q^{Q). Как следует из С^-близости этих многообразий к Г°
и леммы 4.5.2,
Фо) = е ^j^-^^ + 0{е ). D.5.5)
Здесь внешнее произведение определяется как а А b = «162 — «2^1,
и / Л (qi — qf) представляет собой проекцию q^ — qf на /"'-, см.
рисунок 4.5.2. Наконец, определим функцию Мельникова
оо
Mito) = I f{q\t - to)) Л g(g°(t - to),t) dt. D.5.6)
Теорема 4.5.3. Если функция Af (to) имеет простые нули и не зависит
от £, то W^(j)*^) и Ж*(р*") пересекаются трансверсально. Если
значения M{to) отделены от нуля, то Ж"(р*°) П Ж*(р*°) = 0.
Замечание. Важность данного результата обусловлена возможностью
проверки существования трансверсальных гомоклинических орбит для
конкретных дифференциальных уравнений. Как будет показано в главе 5, из
присутствия таких орбит, в силу теоремы Смейла-Биркгофа, следует, что
некоторая итерация Pj" отображения Пуанкаре имеет инвариантное
гиперболическое множество — подкову Смейла. Как было отмечено в разделе 2.4,
подкова содержит счетное множество (неустойчивых) периодических
орбит, несчетное множество ограниченных непериодических орбит и
плотную орбиту. Чувствительность к выбору начальных условий, которую она
придает потоку для данного дифференциального уравнения, представляет
большой практический интерес.
238 ГЛАВА 4
Доказательство. Рассмотрим зависящую от времени функцию
расстояния
A(t,io) = f{q\t-to))A{qnt,to)-qt{t,to))''=A"{t,to)-A%t,to) D.5.7)
и заметим, что, в силу D.5.5), d{to) = еД(^о,^о)/|/(9°@)| + 0(е^)-
Вычислим производную
|A«(i, to) = Dfiq^'it - to))g°(i - to) A q{{t, to) + f{q\t - to)) Л Qj(t, to).
Отсюда при учете соотношения ср = f{q^) и формулы D.5.3) получаем
А« = Df{q^)f{q^) Л ql + f{q^) Л {Df{q^)ql + g{q\ t)) =
= trl?/(gO)A«+/(gO)Ag(g°,t). D.5.8)
Так как поток / имеет гамильтопову форму, tvDf = О, и иптегрирова-
пие D.5.8) в пределах от to до сю дает
A^(oo,to)-A^(to,to)= f{q\t-ta))Ag{q\t-to),t)dt. D.5.9)
to
Однако Д* (сю, to) = lim /(B'°(t-to)) AGf(t,to), а lim G°(t - to) = Po, по-
этому lim fiq^it — to)) = 0, причем ij'Kt, to) ограничено в силу леммы 4.5.2.
Таким образом, Д*(сх), to) = О, и D.5.9) дает нам выражение для A*(to, to).
Аналогичные вычисления дают
to
А"(to, to) = i f{q\t-U))Ag{q\t-ta),t)dt. D.5.10)
Складывая D.5.9) и D.5.10), приходим при учете D.5.5) к соотношению
фо)= "^У°^ +0{е^). D.5.11)
Поскольку |/(9°@))| = 0A), величина Af(to) может служить
удобной мерой разделения многообразий в точке G°@) на сечении S*".
Напомним, что вектор /^(|7°@)) и его базовая точка q^{Q) зафиксированы на
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит 239
сечении E*^^ и что при изменении момента t° сечение E*^^ заметает
пространство М X S^. Следовательно, если M{t^) колеблется около нудя с
максимумом и минимумом, не зависящими от е, то, согласно D.5.4)-D.5.5),
q"{to) и q^lto) обязаны сменить их ориентации относительно /"""((/"^(О))
при изменении to. Мы требуем, чтобы Af не зависело от е, для того чтобы
иметь возможность выбрать е достаточно малым так, чтобы ошибка О(е^)
в D.5.11) подавлялась членом eAI/\f{q'^)\. (В разделе 4.7 мы увидим, что в
некоторых случаях М может зависеть от е, и это приводит к значительным
трудностям.)
Отсюда следует, что существует момент to = т такой, что B'|(т) =
= Qe (т), и мы имеем гомоклиническую точку g £ W"{pl)nW'^{pl). Однако
все отображения Пуанкаре Р*" эквивалентны, поэтому W" (р*") и W^ (р*")
должны пересекаться при всех to £ [О^^]- Кроме того, если нули
простые {dM/dto ^ 0), то отсюда следует, что пересечения трансверсальны.
Напротив, если нулей не существует вовсе, то q'^{to) и q^{to) сохраняют
постоянную ориентацию, следовательно, многообразия не пересекаются.
Замечание. 1. Отметим, что Af (to), как это и должно быть, имеет
период Г по to, так как отображения Р|" и Р|о+^ идентичны, откуда d{to) =
= d{to+T). При вычислении M{to) мы остаемся в неподвижной точке q^{Q)
на движущемся сечении Е*" и следим за колебаниями возмущенных
многообразий при изменении to. Greenspan [1981] в своем анализе фиксировал
сечение и перемещал базовую точку <7°@) вдоль невозмущенной петли Г°.
Эти два подхода эквивалентны, поскольку возмущенные решения
мажорируются одно параметрическим семейством невозмущенных орбит q^{t — to),
лежащих на Го, для которых сдвиги по времени (to) и вдоль Го
неразличимы.
2. Если возмущения генерируются (зависящей от времени) функцией
Гамильтона G{u, v): gi = dG/dv, g2 = —dG/du, то мы имеем
oo
Af(to)= /{Я(g°(t-to)),G(g°(t-to),t)}б!t, D.5.12)
где {Н, G} обозначает скобки Пуассона (Golgstein [1980]):
|Я,С| = ^^-^^. D.5.13)
ди dv dv ди
Эта формула покажется естественной, если вспомнить, что первая вариация
невозмущенного гамильтониана Н может быть получена путем
интегрирования уравнения эволюции
H = {H,G} D.5.14)
вдоль невозмущенной орбиты q'^{t — to); см. Арнольд [1964].
240 ГЛАВА 4
3. Если функция д = д{х) не зависит от времени явно, то по теореме
Грина мы имеем
оо
f{q4t - to)) Л giq^t - to),t) dt = J (/152 - /251) dt =
— 00
00
E2(и°, «0)и° - 51 (иО, «°)i'0) dt =
g2{u,v)du — gi{u,v)dv = / ti Dg{x)dx. D.5.15)
Г0 int r»
Таким образом, формула, полученная Андроновым и др. [1971], является
частным (плоским) случаем более общей функции Мельникова,
описывающей «расщепление» возмущенных сепаратрис седла (см. также раздел 6.1)^.
4. Наконец, заметим, что замена переменных t -^ t + to приводит
интеграл Мельникова D.5.6) к виду
оо
M{h)= f fiq4t))Ag{q°it),t + to)dt, D.5.16)
которая зачастую более удобна для расчетов.
Упражнение 4.5.1. Допустим, что гипотеза А1 выполнена, но уравнение х =
= f{x) негамильтоново, так что trZ?/ 7^ 0. Найдите функцию Мельникова для
этого случая.
Обратимся теперь к случаю, когда возмущение д = g{x,t; р) зависит
от параметров /i G R . Для простоты возьмем к = 1.
Теорема 4.5.4. Рассмотрим параметризованное семейство х = f{x) +
+ sg{x,t; р), /i G М, для которого выполнены гипотезы А1-АЗ.
Допустим, что функция Мельникова М{Ьо,ц) имеет (квадратичный)
корень: М{т,ръ) = {дМ/дго){т,рь) = О, но {д^М/д11){т,ръ) Ф О
и {дМ/др){т^ръ) ф 0. Тогда рв = Р^ъ + 0{е) — бифуркационное
значение, для которого в данном семействе систем имеют место квадратичные
гомоклинические касания.
Доказательство. При сделанных предположениях и в силу D.5.5),
имеем такое разложение по формуле Тейлора в точке (io, jj) = (т, Ць)'-
d{to, ц) = е{а{ц - цъ) + /3(io - т)^} + 0{е\ц - цъ\^) + О(е^), D.5.17)
'По этому поводу см. Морозов [12, 2, 3]. — Прим. ред.
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит 241
где а, /3 — некоторые конечные константы. Для достаточно малых е
функция d{to, /i) имеет квадратичный нуль по отношению к to для некоторого /ib
вблизи ць, следовательно, W'^{pl) и W''{pl) имеют квадратичное касание
вблизи точки q'^{0) на Е'^. ■
Данный результат важен, поскольку он позволяет проверять в
конкретных примерах одну из гипотез теоремы Newhouse [1979] о «диких»
гиперболических множествах (см. главу 6).
В качестве примера применим результаты данного раздела к уравнению
Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью и слабым
синусоидальным возбуждением и демпфированием, введенному в главе 2. Записывая
это уравнение в виде D.5.1), получим
и = V,
V = и — и"^ + sijCOSiVt — 6v)
3 . / , с- ч D.5.18)
где амплитуда силы j, частота со и коэффициент демпфирования 6
представляют собой изменяемые параметры, а е — малый (масштабирующий)
параметр. При е = О системы имеет центры {u,v) = (±1,0) и
гиперболическую седловую точку в начале координат @,0). Линия уровня
Hiu,v) = f-f + y^=0 D.5.19)
состоит из двух гомоклинических орбит, Г']_, Г''^, и точкиро = (О? 0)-
Невозмущенные гомоклинические орбиты с базами q^{0) = (±л/2. 0)
описываются соотношениями
qlit) = (V2sech(t)), -^2 sech (t) tanh (t)),
d{t) = -qlit). ^'-'-''^
Вычислим функцию Мельникова для q'^ (расчеты для q'^ идентичны).
Используя формулу D.5.16), имеем
M{to)= / v° {t)[j cos to {t +to)-Sv°{t)]dt
-a/27 / sech{t)tanh{t) cosuj{t +to) dt-2 / 6sech"^(t) tanh^[t) dt.
D.5.21)
242 Глава 4
Оценка данных интегралов (первого — по методу вычетов) приводит к
формулам
M{to; -f,6,Lo) = -у + V2-f7TLOsech(^] sinwto. D.5.22)
Положим
n, , 4coshGrt<;/2)
Д0(а;) = )_ ' '. D.5.23)
3v27rcj
Как следует из теоремы 4.5.3, если ^/5 > Я^{ш), то W^lpe) и W^iPe)
для достаточно малых е пересекаются, а в случае 'у/б < R (uj)
пересечение этих многообразий пусто. Далее, поскольку при 'j/S = R'^{ui)
функция M{to; ^,5,io) имеет квадратичные нули, значит, по теореме 4.5.4 для
каждого фиксрфованного uj в плоскости G, 5) имеется бифуркационная
кривая, которая касается прямой 7 = R^{'^M в начале координат и на которой
имеют место квадратичные гомоклинические касания (для
непосредственного применения теоремы 4.5.4 мы можем, например, зафикифовать ш м 5
и изменять 7)- Некоторые отображения Пуанкаре для уравнения D.5.17)
показаны на рисунке 4.5.3. Они были построены численно Ueda [1981а].
Невозмущенная двойная гомоклиническая петля Г^ U {О, 0} U Г^^
изображена для сравнения на рисунке 4.5.3а. Заметим, что (первое) касание
обнаружено при значении £7 = 0jl9, тогда как теоретическое значение,
полученное из D.5.23), равно 0,188! Мы продолжим изучение данного примера
в следующем разделе.
Упражнение 4.5.2. Используя метод Мельникова, постройте бифуркационные
кривые, вблизи которых имеют место квадратичные гомоклинические касания в
задаче о плоском маятнике, возбуждаемом комбинацией постоянного и
осциллирующего вращающих моментов (уравнение «синус Гордона» в отсутствие
демпфирования):
e = v,
V = — sin6-|- е(а -|-7cost).
Упражнение 4.5.3. Покажите, что гамильтонова система с зависящим от
времени Гамильтонианом
имеет грансверсальные гомоклинические орбиты для всех малых е ^ 0.
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит
243
Рис. 4.5.3. Отображения Пуанкаре для уравнения Дуффинга, показывающие
устойчивое и неустойчивое многообразия седловой точки вблизи (О, 0), ш = 1,0, е6 =
= 0,25; (а) ej = 0,11; (b) ej = 0,19; (с) e-f = 0,30.
244 Глава 4
4.6. Метод Мельникова: возмущения гамильтоновых
систем и субгармонических орбит
Будем считать, что система D.5.1) удовлетворяет гипотезам А1-АЗ из
раздела 4.5, и рассмотрим семейство периодических орбит q"{t), лежащих
внутри г''. Мы хотим узнать, сохранятся ли какие-либо из них под
действием возмущений £д{х, i). Вновь начнем с леммы о возмущениях:
Лемма 4.6.1. Пусть q"{t — to) - периодическая орбита
невозмущенной системы периода Т„ с базой на S*". Тогда существует возмущенная
орбита q"{t,to), не обязательно периодическая, которая допускает
представление вида
qf{t, to) =q"it- to) + sqUt, to) + O(e') D.6.1)
равномерно no t ^ [to, to + T^] для достаточно малых e и всех а е ( — 1,0).
Доказательство. Доказательство существенно опрфается на
выводы о геометрической структуре возмущенных устойчивого и
неустойчивого многообразий, полученные в лемме 4.5.2. Мы вновь зафиксируем
окрестность U^, неподвижной точки ро и возьмем кривую начальных
условий (/"@) С ТР, не лежащую в U,^, для которой lira (/"@) = q^{0). Любая
орбита q"{t — to), начинающаяся на такой кривой, за конечное время
достигает границы Ui, при возрастании или убывании t, поэтому мы имеем
\q'^{tM)-q"{t-to)\ = 0{e)
для значений из некоторого интервала t € {to — ii,to + ^2)- Внутри U^,
невозмущенные и возмущенные орбиты могут находиться сколь угодно
долго, так как при а ^ О они проходят сколь угодно близко к седловой
точке Ро (или к 7е)- Однако для фиксированного е = ео мы можем найти
некоторое множество орбит, лежащих достаточно близко к устойчивому
и неустойчивому многообразиям, которые остаются на расстоянии 0(e) от
этих многообразий до тех пор, пока они не попадут в окрестность Uce
точки ро, содержащую 7£, причем се ^v (см. рисунок 4.6.1). Отсюда следует
возможность равномерного расширения оценок на интервал t £ (to — ts, to +
+ t4), где ts +t4 — время, в течение которого невозмущенная орбита q" идет
от границы Uce ДО границы f/jy и обратно. Остается проверить, что (/"(t, to)
и (/"(t — to) остаются 0(e)-близкими в течение сколь угодно долгого
нахождения внутри Uce- Это следует из наличия сдвига у потока вблизи ро,
обеспечиваемого условиями А2 и A3 из раздела 4.5. Необходимо проверить,
что q" покинет Uce «в нужное время», а поскольку орбиты, близкие к 7е,
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 245
Рис. 4.6.1. Орбиты bU^ и Ua
остаются в этой окрестности сколь угодно долго, а орбиты, близкие к
границе Uce, покидают ее сколь угодно скоро, то для любого данного
(невозмущенного) промежутка времени найдется хотя бы одна орбита с этим
временем прохождения через окрестность. Отсюда следует, что начальное
условие qf{to) £ S*" можно выбрать на расстоянии 0(e) от точек q"{0)
и q'^{0) так, что орбита q"{to) останется в пределах 0(e) от q"{t — to)
(и q"{t — to)) до тех пор, пока она не достигнет Uce- Затем она «передает
свои полномочия» орбите q"(t — to) до тех пор, пока она вновь не попадет в
£-окрестность q"@). В течение всего времени она остается в пределах 0(e)
от q"(t — to). Таким способом можно рассмотреть орбиты с
невозмущенным периодом Та, большим некоторого значения Т^^ = T„(eo), зависящего
от £0- Для орбит с более короткими периодами е-близость обеспечивается
стандартной оценкой Гронуолла. Затем мы получаем требуемый результат
для любых Т„ и е = eg. Но поскольку функции /, д класса С^, то решения
гладко зависят от е, и этот результат справедлив для всех О < е < £о. ■
Теперь определим субгармоническую функцию Мельникова. Пусть
q"(t — to) — периодическая орбита периода Т„ = тТ/п, где тип
взаимно просты, а Т — период возмущений. Положим
тТ
M"'/"(to) = / f(q"(t)) Л g(q"(t), t + to) dt.
D.6.2)
246 Глава 4
Теорема 4.6.2. Если Af "/"(to) имеет простые корни, не зависит от е
и dTa/dha ф О, то для О < £ < е{п) система D.5.1) имеет
субгармоническую орбиту периода тТ. Если п = 1, то этот вывод справедлив
равномерно по О < е < еA).
Доказательство. Вычисления, аналогичные проделанным выше при
доказательстве теоремы 4.5.3, показывают, что
f{q"m л {q^ito + тТ, to) - q?{to,to) =
to+тТ
= £ J f{q"{t-to))Ag{q"{t-to),t)dt + 0{s^) =
to
тТ
= , f f^q»^t))A^}Щ^dt + 0{e^).
0
Таким образом, если Л/™'"(to) имеет корень, то существует возмущенная
орбита q"{t, to), выходящая из (/"(to) и возвращающаяся на S*" в
точке (/"(to + тТ), для которой вектор (/"(to + Т) — (/"(to) С S*"
параллелен /((/"@)) с точностью 0(e). Положим для значений /3, близких к а,
тТ
M'^{to) = f /((/'') Л g{q^, t + to)dt. Очевидно, что Af^ является гладкой
о
функцией /3. По предположению A3, для Р < а имеем Тр < Та, а для C > а
будет Tjj > Та. Отсюда следует, что можно найти такие возмущенные
орбиты ql^\ q^\ I3i <а < j3-2, что векторы gf'(to + тТ) - gf'-(to) С S*" gfi
параллельны f{q^^'{0)) с точностью до 0(e), но имеют противоположные
ориентации. Таким образом, существует кривая начальных условий,
соединяющая q^'^ [to) с (/f ^ (to), отображаемая после т итераций отображения Р*"
назад на сечение S*", как показано на рисунке 4.6.2. Мы установили, что
отображение (Pj")™, усеченное до членов порядка е, имеет неподвижную
точку вблизи (/"@).
Далее, предвосхищая материал разделов 4.7^.8, введем локальные
координаты {Н,ф) вблизи (/"@), для которых ф постоянна вдоль кривых,
нормальных к невозмущенным орбитам, а h постоянна на каждой
невозмущенной орбите q^^{t). В этих координатах невозмущенное отображение
выглядит так:
W) \ф1-\со{к) + ф
где Lo{0) = О, а Lu{h) < О но предположению A3. Тогда возмущенное отоб-
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 247
q?ito+mT)
fwm
7(?"(о))
Рис. 4.6.2. Существование неподвижной точки «с точностью 0(е)» (т.е. для
отображения, усеченного до членов порядка е).
ражение имеет вид
to^m I 1^
П + еР{П,ф)
+ 0И.
D.6.3)
Покажем теперь, что функция Мельникова позволяет определить
дГ
Для этого заметим, что переменная to для функции Af'"/"(to) играет точно
такую же роль, как ф. Так как Af"/" измеряет 0(e) вариацию компоненты
орбиты, параллельной / ± {q"{0)), мы имеем
QM-m/n
dF_ ^ 1
дф \f{q"{o))\ dto •
Следовательно, если имеет простой корень, то dF/дф ^ О
вблизи д«@).
Мы уже установили, что {Р^°)™ имеет неподвижную точку в
0(е)-окрестности. Чтобы проверить, что это же имеет место для
отображения, к которому добавлены члены старшей степени О(е^), нужно лишь
показать, что
det|id-(I?P*°)'"| ^0.
Далее, вследствие D.6.3) имеем
OF
det I id-(I?P,*«)™| = s^'ih)^ + 0{e^).
248 ГЛАВА 4
Так как ui'{h) < О по предположению A3, а простота корня функции Af "/"
гарантирует, что дР/дф ф О, то матрица [id — (DP|")™] обратима. Тогда по
теореме о неявной функции {Р*")™ имеет неподвижную точку вблизи q"{0),
следовательно, существует субгармоника порядка гп/п. Неравномерность в
случае п > 1 возникает потому, что лемма 4.6.1 применима лишь к орбитам
продолжительности Т„ = тТ, совершающим один проход через Uu{p), а
«ультрасубгармоники» периода тТ/п проходят через Uu{p) п раз. ■
Замечание. Заметим, что если не имеет нулей, то все решения
движутся либо внутрь, либо наружу от невозмущенной орбиты, и
возмущенное отображение не имеет неподвижных точек.
Устойчивость субгармоник, получаемых по теореме 4.6.2, изучается в
следующем разделе.
Иммется также результат о бифуркации, аналогичный теореме 4.5.4:
Теорема 4.6.3. Рассмотрим параметризованное семейство х = f{x) +
+ sg{x, t; /i), /i е М м допустим, что гипотезы А1-АЗ выполнены.
Допустим, что A'/™/"'(io, р) имеет квадратичный нуль: Af"/" = дМ™/^/дЬ^ =
= 0; d'^M'^/'^/dtl ф О, дМ"'/''/дц ф О при fi = ць- Тогда существует
бифуркационное значение Рт/п = 1^-ь + 0(e), при котором имеются седло-
узлы периодических орбит.
Данная теорема доказывается аналогично теореме 4.5.4 при помощи
идей, использованных при доказательстве теоремы 4.6.2.
Следующий результат аналогичен полученному Chow et al. [1980]. Из
него следует, что гомоклиническая бифуркация является пределом счетной
последовательности субгармонических бифуркаций типа «седло-узел».
Теорема 4.6.4. Положим M™'/^{to) = Af™(io), тогда
lim A'/™(io) = M(io). D.6.4)
m—^oo
Доказательство. Мы должны показать, что интеграл
тТ/2
M"'{to)= J f{q"{t-to))Ag{q"{t-to),t)dt D.6.5)
-тТ/2
сходится к
оо
M{to)= f f{q°l{t-to))Ag{q°{t-to),t)dt D.6.6)
4.6. Возмущения гамильтоновьгх систем и субгармонических орбит 249
при гп ^ оо и а{гп) -^ 0. (Заметим, что из периодичности M™{to)
следует, что мы можем изменить пределы интегрирования с О ^ тТ
на -тТ/2^тТ/2.) Полагая Г° = {q"{t) \ t G [0,Т„)} и Г" =
= {q'^{t) I t G М} и {ро}, выберем окрестность U,^{p) таким образом, чтобы
длины всех дуг Г'' П U,^{p), Г" П U,^{p) были меньше v. Возьмем т таким,
чтобы обе точки q^{T) и q^{—T) лежали внутри f/^. Тогда для достаточно
близких к нулю значений а точки (/"(ir) также будут лежать в f/^. Мы
имеем
т т
Af (to) - M^{t^) = [ I f{q^) A g{q\ t) dt - f f{q") A g{q", t) dt] +
+ I f{q')/\g{q',t)dt + Jf{q')Ag{q^t)dt-
T
тТ/2
f{q")Ag{q",t)dt- I f{q")Ag{q",t)dt. D.6.7)
-mT/2 T
Из гладкости функций /иди непрерывной зависимости решений от
начальных условий следует, что для данного и > О найдется такое «о < О, что для
всех а е [ао, 0) первый заключенный в [квадратные скобки] член в D.6.7)
будет меньше, чем г/. Очевидно, что гп ^ оо при а ^ 0. Второе
слагаемое можно представить как разность двух интегралов вдоль дуг Г'' и 7"-
Подставляя выражения для элементов длины дуги: ds = ^/vP"^ + «"^ dt =
= \f{q°)\dtHSiT°H ds = \f{q'^)\ dt на Г", преобразуем второе слагаемое к
виду
g«(r) g"(r)
дО(-т) q"(-T)
Из наших предположений относительно функции д следует, что
sup \g{q", t)\ = К < оо, поэтому второе слагаемое ограничено ве-
qeU^{p);teK
личиной 2X1^. Следовательно, для а е [ао, 0)
\M{to)-M"'{to)\<{2K+l),,,
поэтому \M{to) — M'"(to)| -^ О при а -^ О, что и требовалось. ■
250 ГЛАВА 4
Для иллюстрации применения субгармонического анализа вернемся к
уравнению Дуффинга D.5.18). При £ = О внутри каждой из гомоклини-
ческих петель Г||_ имеется однопараметрическое семейство периодических
орбит вида
qiit) = ( ,^ dn( * , к],
sn I —;^=^=, k] cnl —;^=^^, к
2-P Vv'2^^fc2 J Vy2^rfc2
qt{t) = -\{t), D.6.9)
где sn, cnndn — эллиптические функции Якоби, к — модуль эллиптических
интегралов. При/с -^ 1 имеем gji -^ q^U{0,0}, а при к ^ 0 — q'^ -^ (±1,0).
Мы выбрали начальные условия при t = to такими:
4@)= ±./-^,0 . D.6.10)
Заметим, что значение гамильтониана D.5.19) можно выразить
внутри Г^ (или Г^) через эллиптический модуль к:
fcx _ /с^ — 1 def
B - ef
Hiq')= .. T.'/=fofc- D-6.11)
Кроме того, период этих орбит задается формулой
Tfc = 2К{к)л/2-к'^, D.6.12)
где К{к) — полный эллиптический интеграл первого рода. Величина Т^
монотонно возрастает вместе с к, причем lira Tfc = л/27г, lira Tfc = сх),
dTk dTk/dk ^
dh-, = mj^k"" ^'-'-''^
и
lim ^ = cx). D.6.14)
Таким образом, допущения A2 и A3 из раздела 4.5 выполнены наряду с А1.
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 251
Вычислим теперь субгармоническую функцию Мельникова для
резонансных периодических орбит'. Мы рассмотрим лишь те из них, которые
лежат внутри Г^: q'^{t — to). В силу D.6.12), условие резонансности таково:
2К{к)^2-к^ = Щ^. D.6.15)
При любом выборе то, п, для которых 2ттт/и>п > \[2'к, уравнение D.6.15)
имеет единственное решение к = к{гп,п), следовательно, имеется
единственная резонансная орбита q^'^i^''^), При вычислении интеграла
тТ
Л'/™/"(^о; l,5,io)= /t-'=(™'")(t)[7cosu;(t + io)-<5w'=('"'")(t)]di, D.6.16)
о
используем разложение в ряд Фурье для D.6.9) и замечание 3 после
теоремы 4.5.3. В итоге получим
Л'/™/"(*о; l,5,uj) =-5,h{m, n)+-fJ2{m,n, и) sin uto, D.6.17)
где
Ji{m,n) =
[B - k^{m, n)JE{k{m, n)) - 4к''^{т, n)K{k{m, n))]
B-/fc2(TO,n)K/2
0, n^l;
J-2{m,n,uj) = < тттК' {k{m,l))
TTcjsech -— —, n = 1.
K{k{m,l))
Здесь E{k) — полный эллиптический интеграл второго рода, а /с' —
дополнительный эллиптический модуль к' = 1 — к"^. Определяя
R-{^) - #^, D.6.18)
J2(to, 1,u;)
можно на основе теорем 4.6.2 и 4.6.3 сделать вывод, что если 7/5 > R"^{uj),
то существует пара субгармоник порядка то- (периода 2ттт/и),
возникающих на бифуркационной кривой, касающейся прямой 7 = R™{u!M в
точке 7 = 5 = 0. В данном примере не появляется ультрасубгармоник, по
крайней мере, при вычислениях с точностью 0(e).
Стандартные вычисления позволяют проверить, что
lim M'^/^to; j,5,Lj) = M{to; -f,5,Lj), D.6.19)
'Cm. также Морозов [1995].
252 Глава 4
причем предельное значение приближается снизу, а скорость сходимости
чрезвычайно высока. На рисунке 4.6.3 показаны некоторые из
бифуркационных кривых R™{u!).
Аналогичные расчеты можно выполнить для орбит, лежащих
вне Г1 и {@,0)} и Г1, и получить некоторую последовательность
бифуркационных кривых, касательные к которым 7 = Ji{rn,lM/J2{rn,l,u!) =
= R™{u!M накапливаются к полученной выше линии 7 = R™'{u!M.
Дальнейшая информация содержится в Greenspan [1981], Greenspan, Holmes [1982]'.
Упражнение 4.6.1. Повторите проведенный выше субгармонический анализ
для вынужденных демпфированных колебаний плоского маятника
e = v,
V = — sin(? + eGcost — bv).
Заметьте, что при е = О существует два семейства периодических орбит: одно с
энергией
Н(в,у) = ^ + A-0036») <2
(колебания), другое — с энергией Н[в, v) > 2 (вращения). Смотри также
нижеследующий пример.
В качестве второго и последнего в данном разделе примера рассмотрим
плоский маятник со слабым постоянным крутящим моментом а и
демпфированием 5:
^ = "' . . D.6.20)
i) = —sine + е{а — 5v); а, 5 > 0.
Такая система возникает при моделировании синхронных электромоторов,
одноточечных соединений Джозефсона в суперпроводимости и во многих
других приложениях. Невозмущенная система имеет знакомый фазовый
портрет (рисунок 4.6.4) с парой гомоклинических орбит
{e±{t), 4(t)) = (±2arctg(sh(t)), ±2sech t). D.6.21)
Мы хотим определить значения а, 5, для которых одна из этих орбит (или
обе) сохраняется. Для верхней орбиты мы получаем независящую от
времени функцию Мельникова, зависящую от двух параметров а, 5:
М+{а,5)= / «° (t) [а - 5v\ {t)] dt.
См. также Морозов [1995].
4.6. Возмущения гамилбтоновбтх систем и субгармонических орбит 253
^3 ^4 ^5^^0
Д'°(ю)
Рис. 4.6.3. Бифуркационные кривые для гомоклинических орбит и субгармоники
уравнения Дуффинга: (а) Л'"(ш) (субгармонические орбиты внутри Гц ); (Ь)
наклоны Л'"(ш), ш = 1. Отметим быструю сходимость Л'"(ш) и Л'"(ш) к Л°(ш).
254
Глава 4
{e\v')
Рис. 4.6.4. Невозмущенный плоский маятник.
Используя равенство v = dO/dt, получаем
7Г ОО
Af+(а, 5)=а j de-A5 / sech^ t dt = 2'ка - 85.
D.6.22)
Для нижней орбиты первый из интегралов в D.6.22) имеет пределы от тг
до —тг, и мы имеем
М- (а, 5) = -2'ка - 85. D.6.23)
Здесь функция Мельникова не зависит от времени (как и должно быть,
так как система D.6.20) автономна). Поэтому теорему 4.5.4 следует
модифицировать подходящим образом. В данном случае можно, например,
зафиксировать 5 > О, тогда функция Л/+(а, 5) имеет простой нуль при а =
= 4E/тг. Аргументация, аналогичная использованной при доказательстве
теоремы 4.5.4, позволяет сделать вывод, что верхняя гомоклиническая орбита
сохраняется при гомоклинической бифуркации, она лежит на единственной
1фивой, касающейся линии
а = -5
D.6.24)
при E = О, в то время как при а, 5 > О нижняя орбита всегда разрушается.
Более того, поскольку Af + > О при а > D/тг)E и Af + < О при а < D/тг)E,
из D.5.5) и D.5.11) можно сделать вывод, что верхняя ветвь W''{tv, 0) лежит
ниже (соответственно, выше) верхней ветви VF'"(—тг, 0) в этих двух случаях
(см. рисунок 4.6.5). Заметим, что для всех а, 5 > О будет М~ < О, и
нижняя ветвь устойчивого многообразия T/F*(—тг, 0) всегда лежит ниже нижней
ветви VF"(Tr, 0) (рисунок 4.6.5).
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 255
w4p)r\w\p)
притягивающая
замкнутая орбита
wXp)
Рис. 4.6.5. Фазовые портреты для маятника со слабым постоянным крутящим
моментом а и демпфированием 5: (а) а < 4й/7г; (Ь) а ~ 4д'/7г; (с) а > 4й/7г.
Выясним теперь, имеются ли в возмущенной системе какие-либо
другие неблуждающие или инвариантные кривые. Вначале отметим, что такие
множества не могут сохраняться при w < О, так как в нижней половине
фазовой плоскости вектор возмущений ( _^ , ) направлен вверх, поэтому
все фазовые кривые дрейфуют кверху. Кроме того, при а т^ О не могут
сохраняться орбиты, окружающие начало координат (см. ниже
упражнение 4.6.2). Замкнутые орбиты, лежащие выше верхнего соединения и
окружающие фазовый цилиндр, могут сохраняться. Несложно показать, что для
достаточно больших значений а существует, по крайней мере, одна такая
замкнутая орбита, причем она является аттрактором. Для этого надо
построить две кривых, окружающих цилиндр и ограничивающих на нем полосу В,
лежащую выше верхнего седлового соединения, такую, что векторное
поле направлено внутрь В. Поскольку область В не содержит неподвижных
точек, она должна содержать, по крайней мере, одну притягивающую
замкнутую орбиту, подобную орбите Г на рисунке 4.6.5с, где точки а и а'
отождествляются (см. Levi et al. [1978]).
Для доказательства единственности этой замкнутой орбиты, по
крайней мере, для малых а, 5, рассмотрим возмущение эллиптической
интегральной кривой, заданной формулой
{v\t)f
+ (l-cos6''*(t))=/i,
D.6.25)
256 Глава 4
где h > 2, выбирая положительную (верхнюю) ветвь. Заметим, что эта
кривая переходит при h = 2 в гомоклиническую орбиту. Из уравнения D.6.25)
получаем
^ = ^h-2{l-cose'') = V2h(l-j-sm'^(^'\'\ . D.6.26)
Период данной невозмущенной замкнутой кривой равен удвоенному
времени, за которое решение проходит между точками в = О и в = тг:
2hT{h) = 2 ' '^^'^
^ {l-{2/h)sm^{e^/2)Y'^
Полагая в^ = 2ф, получим
T{h) = ^ / ^^ , , = -^К(М, D.6.27)
о
где К{т) — полный эллиптический интеграл первого рода. Заметим, что
T{h) -^ оо при h ^ 2 и T{h) -^ О при h ^ оо, поскольку К{0) = тт/2.
Хотя мы можем выразить невозмущенное решение через
эллиптические функции:
mhM .Ли,л fn.^...^„f.^fV2h^ [2\\ ./7^^^fV2h^ [2
'{t), v^it)) = ( 2arcsin( sn{ ^t, Jj\ lV2hdn{^t, ,,
D.6.28)
мы не будем использовать эту явную форму. Субгармоническая функция
Мельникова задается равенством
Tih)
M{a,5,h)= I v^'{i)[a-5v^{i)]dt, D.6.29)
о
откуда при учете равенств v = dd/dt и D.6.26) получаем
М{а, 5,h)=a de-5 v^{t) dO =
— ■К —7Г
= 27га-2E /A/27I('l-|sin2('|j') de = 2'Ka-
0
7г/2
- A^/2h5 [ U-T sin^ ф) <1,ф = 27га - AV2h5EU'j-\, D.6.30)
4.7. Устойчивость СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ 257
где Е{т) — полный эллиптический интеграл второго рода. При h = 2 имеем
£'A) = 1, и уравнение D.6.30) сводится к D.6.22); функция £'(-y/2//i)
монотонно возрастает и стремится к тг/2 при h -^ сю. Можно заключить, что
для достаточно малых е и произвольном выборе а, 5 в области а > А5/тг
существует ровно одно значение h = h', для которого М{а, 5, h') = О, причем
М{а, 5,h) < О (соответственно, > 0) при h > Ы (соответственно, h < h').
Отсюда следует существование единственной притягивающей замкнутой
орбиты, окружающей фазовый цилиндр, для каждого 5 G @,7га/4) (см.
рисунок 4.6.5). Заметим, что h' возрастает вместе с а/5}
Упражнение 4.6.2. Покажите, что ни одна из замкнутых орбит,
окружающих центр на рисунке 4.6.4, не сохраняется при рассматриваемых возмущениях,
если а ^ 0. (Подсказка: воспользуйтесь критерием Бендиксона, но будьте
внимательны.)
Упражнение 4.6.3. При помощи метода Мельникова изучите бифуркации
субгармоник и гомоклинических орбит для маятника с параметрическим возбуждением
и демпфированием:
9 + eS9+ {l + e-fcosujt)sin9 = 0.
Упражнение 4.6.4. Рассмотрите систему
х = у,
у = X — X -^ ау -\- (Зх у,
где а,р — малые положительные числа. Покажите, что существуют пары [а,р),
для которых сохраняются гомоклинические орбиты, имеющие место при а ^ р =
= О, причем это бифуркационное множество приближенно описывается
уравнением а = 4/3/5. Покажите, что для значений а, близких, но меньших, нежели 4/3/5,
существуют две замкнутые орбиты, окружающие три неподвижных точки, а для
значений а G D/3/5, /3) имеется три замкнутые орбиты, две из которых окружают
но одному узлу, а третья окружает все три неподвижных точки. (Подсказка: см. Сагг
[1981], Takens [1974b], Holmes, Rand [1980], Greenspan, Holmes [1983] или Knobloch,
Proctor [1981]^)
4.7. Устойчивость субгармонических орбит
В данном разделе мы познакомимся с другим подходом к
исследованию субгармонических движений, который позволяет получить выводы
об устойчивости наряду с некоторыми результатами более глобального
характера^. Вновь предполагаются выполненными предположения, сделанные
' Уравнение М{а, S,h) = О называется порождающим уравнением Пуанкаре - Понтрягина.
^См. также Морозов [1995], [1995а] [Щ. - Прим. ред.
^По этому поводу см. Морозов, Шильников [14], а также Морозов [1995], [1998]. — При.и.
ред.
258 ГЛАВА 4
в разделе 4.5. Вначале сделаем симплектическое преобразование к
переменным «действие-угол» (Goldstein [1980]) внутри гомоклинической петли Г°
(Мельников [1963]):
I = I{u,v), e = e{u,v), D.7.1а)
допускающее обращение
и = и{1, в), V = V{I, в). D.7.16)
Новые координаты /, в можно назвать «нелинейными полярными
координатами», выбранными таким образом, что для невозмущенной гамильтоновой
системы на плоскости выражение I{t) остается вдоль решений
постоянным, а 6'(t)(mod27r) является линейной функцией. Преобразование такого
типа можно сделать в любой области, содержащей эллиптический центр и
заполненной непрерывным семейством периодических орбит. В
обсуждаемом случае данное преобразование вырождается на гомоклинической
орбите Г . Общие сведения о переменных «действие-угол» и формулах для
перехода к ним можно найти в Goldstein [1980] или Арнольд [1978]. Мы
отмечаем важное обстоятельство, что в результате такого преобразования
невозмущенный гамильтониан H{u,v) принимает вид
Н{и{1, в), V{I, в)) = Н{1), {АЛ2)
т. е. Н не зависит от в. Эффективность такого преобразования
проиллюстрирована ниже для некоторого примера на рисунке 4.7.1.
В результате преобразования уравнение D.5.1) принимает вид
в = П(/) +£A^5, + М,а) fe'nU) +£G(/,9,t).
где принята во внимание независимость Н{1) от 6* и сделано обозначение
0(/) = дН/д! для угловой частоты замкнутой орбиты, соответствующей
значению действия / и энергии Н{1).
Аналогично разделу 4.6, выберем резонансную орбиту периода тТ/п,
соответствующую значению действия /™'", и исследуем возмущеннное
движение в ее окрестности при помощи преобразования
h =
тТ
в = П{1"''")г + ф=^1 + ф, D.7.4)
=^0™'"* + ,^.
4.7. Устойчивость СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ 259
Здесь Ниф описывают отклонения от решений д«(™'") (t) периода тТ/п,
заполняющих резонансный тор надстроенной невозмущенной системы.
Подставляя D.7.4) в D.7.3) и используя разложение по степеням е, получим
главные члены вида
. ^ ^ ' ^' ^ +0(е), D.7.5)
ф = yir!'(/'"'")/i
где О' = 90/9/. Сделанное предположение дТ/dh ф О гарантирует,
что Vt' ^ 0.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
¥■ D.7.6)
Используя явное выражение D.7.3) для функции F, из формул D.7.6)
получаем
F=^{fi92-f2gi). D.7.7)
Если функции F ж П' ограничены, то к системе D.7.5) можно
применить теорему об усреднении, в результате чего устраняется явная
зависимость от времени в членах 0{е). С точностью до этих членов, система
примет вид
тТ
^=^^ j fil"it))^9{q4t),t+J^) dt,
о
ф = V^O'(/'"'")/i,
dl
ди
dl дН
дН ди
1 дН
Г2 ди
1 f
31
dv
или
V^ ъ.тш/nf Ф
2ттп V
.0™'™;' D.7.8)
ф = V^O'C/™'")/!,
где q" — резонансная орбита периода гпТ/п. Заметим, что система D.7.8)
имеет гамильтонову форму, а (не зависящий от времени) гамильтониан
задается формулой
нih,Ф) = V-s{^fм-/-{J^)dф-nv-'nf}■
D.7.9)
260 ГЛАВА 4
Непосредственный анализ показывает, что система D.7.8) имеет
неподвижные точки при /i = О и таких значениях ф, для которых Л/™/" =
= О, причем они являются седлами в случае (9/9<^)(Л'/'"/") < О и
центрами в случае (9/9<^)(Af'"/") > О, так как по сделанным предположениям
дТ/д! > О, откуда О' < 0.^ Далее, из теоремы об усреднении следует,
что полная система имеет орбиты седлового типа вблизи седловых точек
системы D.7.8) и периодические орбиты вблизи таких центров, чей тип
устойчивости не определяется данным 0(i/e) приближением. Отсюда мы
получаем результат, аналогичный теореме 4.6.2. Заметим, однако, что если
(как в примере Дуффинга) \П'\ -^ оо при то ^ сю для фиксированного п,
то область значений е, для которой усреднение правомерно, неравномерна
и стягивается при возрастании т.
Мы не будем рассматривать здесь подробности вычислений
членов 0{е) в общем случае. Соответствуюгцие примеры можно найти в
Морозов [1973], Greenspan [1981] и Greenspan, Holmes [1982, 1983]^. Для
таких вычислений типично использование специальных функций, причем они
выглядят еще более громоздко по сравнению с примером Дуффинга из
раздела 4.6. Один простой пример приведен ниже. Тем не менее, используя
соображения, содержащиеся в работе Chow et al. [1980], мы можем
определить устойчивость орбит из второго («центроподобного») множества, по
1файней мере, для достаточно малых значений е.
Предложение 4.7.1. Если Ьл Dg < О {соответственно, > 0), то
периодические орбиты системы D.7.5), если они существуют, являются
либо седлами, либо стоками {соответственно, седлами или источниками),
а отображение Пуанкаре Ре не может иметь инвариантных замкнутых
кривых.
Доказательство. Так как невозмущенная система гамильтонова,
отображение Пуанкаре Pq сохраняет площадь и det |-DPo| = 1- Допустим, что
возмущение является суммой гамильтоновой и диссипативной
составляющих так, что tr Dg < О (как в примере Дуффинга D.5.18)). Тогда, поскольку
возмущенный трехмерный поток сжимает объем в е*'' ^^^ раз, возмущенное
отображение сжимет площади (det \DPe\ < 1 во всех точках). Поэтому все
периодические точки Р^ являются либо стоками, либо седлами, ибо
произведение их собственных значений Ai • Аг = det \DPe\ < 1. Кроме того, не
существует простых инвариантных замкнутых кривых, так как их
внутренность должна уменьшаться по площади под действием Р^. Очевидно, что
аналогичный результат справедлив в случае det |-DPe| > 1, в котором мы
будем иметь седла и источники, как и утверждалось. ■
'Возможен и обратный случай, когда П' > 0.
^См. также Морозов, Шильников [1983], Морозов [1995, 1998]. — Прим. ред.
4.7. Устойчивость СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ 261
Заметим, что если при прохождении через бифуркационную кривую,
подобную изображенной на рисунке 4.6.3, рождаются, скажем, седла и
стоки, то последние могут затем испытывать бифуркацию удвоения периода,
превращаясь в пару седло + сток периода 2. Это имеет место, по крайней
мере, для достаточно больших то, в примере Дуффинга (см. Greenspan, Holmes
[1982]), но для доказательства необходимо привлекать методы, отличные от
описанного выше метода усреднения. Мы вернемся к этому вопросу в
главе 6.
Приведем теперь пример из Greenspan, Holmes [1983], в котором
преобразование перехода к переменным «действие-угол» тригонометрическое
и вычисления прямолинейны. Этот пример также демонстрирует
использование усреднения и в первом, и во втором порядке, см. разделы 4.1-4.2.
Рассмотрим систему
й = v(\ — (и^ + v^)) + е\5и — и(и^ + v^) + 7Mcosil,
у / J' D.7.10)
V = -мA - (м^ + v^)) + e[5v - v{u'^ + w^)].
Применим преобразование к переменным «действие-угол» для линейного
осциллятора
M = v27sin6', w = v27cos6',
u^ + v^ D.7.11)
1= , 6' = arctg(w/M),
тогда D.7.10) примет вид
/ = s[25I - 4/2 + 27/ sin^ в cos t],
^ = A -21) +e [7 sin 6» cos 6» cost],
D.7.12)
a соответствующий невозмущенный гамильтониан теперь равен Н = I—P.
Период Т{1) невозмущенной орбиты равен
^(^) = Y^r ^"^-^-^^^
а невозмущенный фазовый портрет изображен на рисунке 4.7.1. Мы изучим
возмущения резонансной орбиты периода Атт, соответствующей значению
действия / = /^'^ = -. Следуя D.7.4), сделаем замену
D.7.14)
262
Глава 4
окружность неподвижных точек
2л-
Рис. 4.7.1. Невозмущенная фазовая плоскость в координатах (и, г") и (/, 9).
в результате которой после некоторых тригонометрических разложений
получим
^гл 1 7/ sin2F . cos2F,_ ,
/i = л/ё[| - I + ^(^cost+ ^-^sin2t 2-^(l + cos2t)
cos 2ф
+ e|E-2 + 7('cosi+ ^"^ '^sin2t- ^°^ "^(l + cos2t)]j fe + 4£^/^/t
(^ = -л/ё2/1 + e 7 (cos 2(^sin 2i + sin 2(^A + cos 2i)) .
Для усреднения членов 0(л/ё) в D.7.15) выполним преобразование
— ^7 /"/ sin 2F . cos 2F , ,
h = h + л/ё^ / ( cos i Н ^ sm 2t ^ cos 2t\dt =
-Г \/£l ( sin 2F cos 2F \
= /i+ ^^4-^ sint —^cos2t —^sin2t ,
4 V 4 4 У
D.7.15)
D.7.16)
(cp. уравнения D.1.5)-D.1.7)). В результате, при учете D.1.8),
формулы D.7.15) примут вид
/1 = л/ё|"|-| - ^cos2(^j +£[E-2+ 7(cost+ ^^" '^sin2t-
cos2(^
/ ч\ 7 / cos 2F sin 2F
(l + cos2t)j - ^f—---^cos2t ---^sin2t
h + 0(еЗ/2)
4.7. Устойчивость СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ 263
-^/ё2h + е [^ (cos 2^sin 2t + sin 2ф{1 + cos 2i))-
2r«in/-^H^.n«9.-^^^«in9.^Knr.3/2
D.7.17)
[sint ^cos2t ^sin2t))| +0[e'^'^).
Если теперь ограничиться членами порядка 0{^), то автономная
усредненная система будет гамильтоновой, поэтому, учитывая
соображения, приведенные выше и в разделе 4.4, можно сделать лишь отдельные
выводы. Поэтому мы продолжим усреднение членов 0(e), неявно
используя вторую замену
G^,^) ^G^,1) +0(e).
Опуская двойную черту, получим с точностью до членов 0(е)
h = л/^(| - I - J cos 2<^) + е [2<5 - 2 - I cos 2<^] h,
ф = -^2h + eJsm2ф.
D.7.18)
Анализ уравнений D.7.18) мы оставляем читателю, некоторые результаты
представлены на рис. 4.7.2.
Упражнение 4.7.1. Покажите, что если |7| > 2(й — ^), то уравнение D.7.18)
имеет четыре неподвижных точки, две из которых являются седлами. Определите
тип устойчивости для остальных двух; зависит ли он от значения 6? Что можно
сказать о глобальной структуре решений системы D.7.18) и о бифуркациях,
происходящих при изменении 5, 7? Убедитесь в правильности рисунка 4.7.2. Какие
следствия можно вывести из данных результатов в применении к отображению
Пуанкаре для исходной системы D.7.10)? (Подсказка: некоторое разумное
масштабирование приводит D.7.17) почти к уравнениям плоского маятника, как во втором
примере раздела 4.6, однако упражнение все равно остается сложным.)
Упражнение 4.7.2. Вычислите непосредственно функпию Мельникова из
уравнения D.7.10) и сравните ее с главным членом уравнения D.7.18).
В заключение отметим характерную проблему, препятствующую
прямому применению метода Мельникова в сочетании с усреднением или
нормализацией. На эту трудность впервые указал Sanders [1980] после
незамеченной у Holmes [1980b]'. Допустим, что мы имеем усредненную
систему D.1.3), которая «гамильтонова в первом порядке», т.е. система у =
= е/(у) гамильтонова, но «возмущение» е^fi{y,t,e) может быть или не
См. также Мельников [1963].
264
Глава 4
(а)
Рис. 4.7.2. Анализ уравнений D.7.18): (а) бифуркационное множество; (Ь)
структурно устойчивые фазовые портреты для 7, S в областях 1-6.
быть гамильтоновым. Для простоты положим у е R . Изменяя масштаб
времени t ^ |, имеем
У = /(y) + e/i(y. ?. еЬ Уе
D.7.19)
4.7. Устойчивость СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ
265
та
£7
си^ L
JF)
? 7-Л
С
Рис. 4.7.2 (продолжение), (с) Структурно неустойчивые фазовые портреты для 7, &
на бифуркационных кривых.
Допустим далее, что при е = О система D.7.19) имеет гомоклиническую
орбиту cp(t), как в примере Дуффинга без диссипации из раздела 4.4.
Вычислим интеграл Мельникова:
М{4.е
f{q''{t))Afiiq'{t),*-^,e)dt.
D.7.20)
Он имеет такой же вид, как и раньше, но теперь М зависит от е. Более того,
266 Глава 4
относительно быстрые колебания (периода еГ) зависящего явно от времени
члена /i приводят в обгцем случае к появлению, в результате
интегрирования, экспонециально малой величины:
max Aff^,e) -е-'^/^ D.7.21)
*ое[о,т]
(см. Sanders [1980, 1982]). Поэтому теорема 4.5.3 неприменима, по
крайней мере, без тгцательного изучения ошибок при аппроксимации истинной
функции расстояния d{to) функцией Мельникова M{to) в D.5.5). Желание
немедленно применить теорию Мельникова к усредненным гамильтоновым
системам в примерах Дуффинга или Ван дер Поля, к сожалению,
невыполнимо. Однако независящие от времени члены в f\, содержащие быстрые
колебания, обеспечивают постоянный вклад О^е'') в функцию
Мельникова, если не выполнено соотношение tr Dfi = О (см. уравнение D.5.15)).
Таким образом, мы можем сделать вывод, что (не зависящая от времени)
диссипация произвольно малого алгебраического порядка достаточна для
разрушения гомоклинического соединения между периодическими
орбитами в пределе при е ^ О (см. Sanders [1980]). Дальнейшая информация
имеется в Нейштадт [1984] и Holmes et al. [1986].
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы
и сохраняющие площадь отображения плоскости
Большая часть данной книги посвящена диссипативным динамическим
системам и структуре неблуждающих и притягивающих множеств в таких
системах. Однако, как мы уже видели в данной главе, часто полезно
рассматривать такие системы как возмущения гамильтоновых систем, так как
существование интеграла энергии и других констант движения в таких системах
позволяет получить глобальную информацию о структуре их решений. До
сих пор мы в основном ограничивались обсуждением гамильтоновых
систем с единственной степенью свободы, но, поскольку системы с двумя и
более степенями свободы играют весьма важную роль в теории
динамических систем и в классической механике (см. Пуанкаре [1899], Биркгоф
[1927], Мозер [1973]) и поскольку многие идеи непосредственно относятся
и к многомерным диссипативным системам, мы сделаем в этом
заключительном разделе экскурс в теорию. Общие результаты представляют интерес
сами по себе, а недавнее развитие метода Мельникова упрощает
исследование конкретных систем, что представляется подходящим объектом для
гамильтоновой интерлюдии. Кроме того, значительная часть современной
физической литературы по «хаосу» посвящена проблемам в
гамильтоновых системах, и данная книга частично следует этой традиции. Основы
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы ... 267
общей теории и дальнейшие ссылки содержатся в книгах Лихтенберга и
Либермана [1982], а также Чирикова [1979]. Более полную информацию
о гамильтоновой механике можно найти в Goldstein [1980] или Арнольд
[1978].
Хотя последующие идеи допускают обобщение на многомерные
системы, мы будем рассматривать систему с двумя степенями свободы и
гамильтонианом H{qi,pi,q2,p2); соответствующие уравнения движения
(уравнения Гамильтона) таковы:
дН . дН
41 = J,—, 42 — J,—,
Opi Ор2
D.8.1)
. дн . _ дн
oqi dq2
Здесь qi представляют собой обобщенные координаты, pi — сопряженные
им импульсы. Как и в случае одной степени свободы, несложно проверить,
что полная производная по времени от Н равна нулю:
г=1
следовательно, величина Н на решениях постоянна. Более важное следствие
формулы D.8.2) состоит в том, что любое трехмерное многообразие
H{qi,pi,q2,p2) = h = const D.8.3)
инвариантно относительно потока D.8.1), так что для данной полной
энергии h этот поток, по-существу, трехмерен. Это позволяет нам пострить
двумерное (локальное) сечение и соответствующее отображение
Пуанкаре в конкретных случаях и изучать динамику системы D.8.1) в терминах
двумерных отображений.
Для пояснения этих идей возьмем специальный класс систем, полагая,
что две переменные, скажем, q2 и р2 можно выразить через переменные
«действие-угол», т. е., аналогично разделу 4.7, существует обратимая,
каноническая (симплектическая) замена координат (Goldstein [1980]) (возможно,
определенная лишь локально):
I = I{q2,P2), q2 = Q2{e,I),
e = e{q2,P2), P2 = P2{0,I), "^ - ■ '
где функции Q2 и Рг имеют по в период 27г, в результате которой
гамильтониан H{qi,pi, q2,P2) примет вид
HiquPi, Q2{I,e), P2{I,e)f^H{q,p,e,I) = h. D.8.5)
268 Глава 4
(Здесь и далее опущены индексы у переменных qi,pi.) Уравнения,
порождаемые гамильтонианом D.8.5), выглядят так:
4 =
р =
_ дН_
др '
дН
dq '
в =
i =
дН
дГ
дН
дв
D.8.6)
Допустим теперь, что в некоторой области фазового пространства
дН/д! ^ О, так что уравнение D.8.5) в этой области позволяет
определить / как функцию от q,p,9 и h:
I = L{q,p,e;h). D.8.7)
Исключив явную зависимость от / на многообразии Н = h, мы затем
исключаем переменную, сопряженную к Н, т. е. t. Поскольку
производная в = дН/д! строго положительна (или отрицательна), функция e{t)
монотонно возрастает (или убывает). Следовательно, эту функцию можно
обратить для исключения явной зависимости от времени. Обозначим q' =
= dq/de,p' = dp/de, тогда
. дН/др , ■ дН/dq
Дифференцирование формулы D.8.5) при учете D.8.7) приводит к таким
соотношениям:
дН_^<ЖдЬ=0 <Ж + <ЖдЬ=о D 8 9)
dq dl dq ' dp dl dp '
откуда, в совокупности с D.8.8), имеем
q' = --^{q,p,e; h),
{q,p,e)eDxS\ D.8.10)
p' = ^^{q,p,e;h),
Мы назовем 27г-периодическое двумерное семейство систем D.8.10)
редуцированными гамильтоновыми системами. Такая система
существует на каждом энергетическом многообразии Н = h и в каждой
области D X S^ фазового пространства, в которой выполнено наше
предположение dH/dl 7^ 0. Использованная здесь идея редукции обсуждалась
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы ... 269
Биркгофом [1927] и наверняка была известна Пуанкаре [1890-1899]; см.
также Уиттекер [1959, гл. 12].
Возьмем теперь сечение
S^« ={l^q^p^O) eDxS^ \в = вое [0,27г]; h = h°} D.8.11)
и рассмотрим отображение Пуанкаре P^Ji: U -^ '^^Р, индуцированное ре-
шениями системы D.8.10), на некотором подмножестве U С S.q. В итоге
мы свели наш четырехмерный поток к некоторому семейству двумерных
отображений. Заметим, что во многих численных исследованиях
двумерных гамильтоповых систем строилось немного иное отображение Пуанкаре
(см. Непоп, Heiles [1964], Lichtenberg, Lieberman [1982]). Оставаясь в
«старой» системе координат {qi,pi,q2,P2), зафикисируем, к примеру, дг = О и
построим отображение пространства {qi,pi) в себя, рассчитывая численно
значения qi{t), pi{t) до того момента, когда q2{t) = О ж p2{t) = 0. Как и
выше, получаемое при этом отображение обычно не имеет глобального
характера, так как плоскость qi (t), pi (t) не обязательно всюду трансверсальна
к векторному полю, однако отображения двух описанных типов
эквивалентны.
В качестве примера возьмем линейную систему с двумя степенями
свободы, рассмотренную в разделе 1.8:
H{qi,pi,q2,p2) = ^ + ^ . D.8.12)
Переходя к переменным «действие-угол» по формулам q2 = ^{2I/ui2) sin в,
Р2 = ^/BJ/uj2) COS в и опуская индексы у переменных qi,pi, получаем
H{p,q,I,e) = ^ ^^^^ +L02l = h. D.8.13)
Очевидно, что неравенство дН/д! = u!2 > О всегда выполнено, поэтому
соотношение D.8.13) можно обратить при условии h > 0:
I=[h-l±^y,\ D.8.14)
Таким образом, редуцированные системы D.8.10) примут вид:
1
D.8.15)
(t
V
= ^^'
ш1
= -и^1^
{q,p) GDhCR''
270 ГЛАВА 4
где
Dh = {{q,p) е R^ I О < / + Lolq^ < 2h}.
Поскольку Н не зависит явно от в, редуцированная система в данном
случае автономна, и несложно построить отображение Пуанкаре. Возьмем
сечение Е°, тогда решение системы D.8.15) с базой q'^, р^ имеет вид
M6) = -g,°sin(g^)+/cos(g^
Таким образом, мы получаем линейное отображение Пуанкаре
D.8.16)
Р
о q
cosB7rO) -!- sinB7rO)
-OsinB7rO) cosB7rO)
D.8.17)
где О = lji/lj2- Следовательно, единственная неподвижная точка {q,p) =
= @,0) является эллиптическим центром, окруженным некоторым
семейством замкнутых 1фивых, заполненных периодическими точками, если О
рационально, или плотными орбитами, если О иррационально. Эти кривые
представляют собой, очевидно, линии пересечения с ТР семейства
двумерных торов, описанного для этого примера в разделе 1.8, а неподвижная
точка ((^jP) = @,0) соответствует одной из «нормальных мод» данной
системы двух осцилляторов.
Упражнение 4.8.1. Рассмотрите «нелинейный гармонический» осциллятор с
[льтонианом Н = - {р\ + q\
систему можно записать в виде
гамильтонианом Н = tt(Pi + 9i)^ + 7^(Р2 + 92)- Покажите, что редуцированную
i?i =Pi\/pl + Qb
pi =-<liyPi+<li,
откуда сделайте вывод, что отображение Пуанкаре имеет два плотных множества
замкнутых кривых, одно из которых заполнено периодическими орбитами, другое —
плотными орбитами.
Упражнение 4.8.2. Проведите редукцию модели «маятник-осциллятор» с
гамильтонианом
гг, ч Pi , ^, \ , Р2 +^lql
H{qi,pi,q2,p2) = " + A -cosgi) Н ^
4.8. Гамильтоновьт системы с двумя степенями свободы ... 271
и обсудите соответствующее отображение Пуанкаре. (Мы вернемся к этому примеру
позже в данном разделе.)
Примеры, которые мы обсуждали до сих пор, являются вполне
интегрируемыми в том смысле, что имеется две независимые функции (одна из
которых Н), остающиеся инвариантными относительно потока,
определяемого уравнениями Гамильтона. Для первого из примеров в качестве второй
функции можно взять действие для второго из осцилляторов
1={р1+ ^lql)l2^2.
при этом решения лежат на двумерных торах, представляющих собой
пересечения поверхностей
H = h^, 1 = 1^. D.8.18)
Аналогично можно рассмотреть примеры из упражнений 4.8.1^.8.2.
Однако, как понимали Пуанкаре и Биркгоф, очень немногие системы с двумя
степенями свободы обладают двумя независимыми интегралами, и
классическая теория Гамильтона-Якоби, связанная с отысканием таких
интегралов, в большинстве случаев не срабатывает. Более того, попытки нри-
ближенного вычисления второго интеграла методами усреднения или
теории возмущений, а также путем вычисления нормальной формы в таких
случаях не приводят к успеху. Мы отсылаем читателя к книге Lichtenberg,
Liebennan [1982], где обсуждаются эти методы, ограничиваясь здесь
демонстрацией того, как метод Мельникова в сочетании с редукцией может быть
использован для доказательства несуществования второго (аналитического)
интеграла движения в конкретных примерах. При обсуждении этого метода
мы Сделаем также ряд общих наблюдений о свойствах двумерного
отображения Пуанкаре Р, S редуцированной системы. В дальнейшем мы будем
опускать индексы ЬР,ва и писать Р^" = Ре или Pq, где индексы
свидетельствуют о наличии или отсутствии возмущения еН^ в нижеследующем
уравнении D.8.20).
Вначале заметим, что Р - сохраняющий плошадь диффеоморфизм, так
как
DP = е^'^^/, Df
dqdp др^
dq^ dqdp
D.8.19)
и след матрицы D f тождественно равен нулю. (Сохранение объема, в силу
теоремы Лиувилля, проявляется здесь в сохранении площади при
отображении Р.)
272 ГЛАВА 4
Предположим далее, что наш гамильтониан является (малым)
возмущением Н^ некоторого интегрируемого гамильтониана Н^. Возьмем для
простоты систему вида
НЦд,р,в,1) = F{q,p) + G{I)+sH\q,p,e,I), D.8.20)
где функция Н^ имеет по в период 27Г, а невозмугценная система
H^{q,p, в, I) = F{q,p) + G{I) непосредственно распадается на две
независимые системы с интегралами F и G (или, что равносильно, Н^ и /). Как
и ранее, сделаем предположение о невырожденности
flG)'i^^(=^)^0, D.8.21)
конкретнее, Г2 > О при 7 > 0. Отсюда следует, что для малых е уравнение
Н^ = F + G + еН^ = h разрешимо относительно I, как и ранее.
Однако наличие здесь малого параметра е позволяет нам вычислить обратную
функцию L в уравнении D.8.7) явно в виде рядов по степеням е. Мы имеем
I = 1Цд,р, в; К) = L\q,p; h) + eL\q,p, в: h) + Oie'),
L^^G-4n-Fiq,p)),
^,^ HHq,p,e,L%q,p;h))
n{L^{q,p; h))
Упражнение 4.8.3. Проверьте соотношения D.8.22).
В силу D.8.22), редуцированная гамильтонова система принимает вид
'^' = "^('^'^' ^^ '^^^'Р'^' ^) + ^("')'
D.8.23)
Р' = ^^'^'^' ^^ + ^^^'^'^' ^' ^) + ^^''^-
Поскольку Н^ является 27г-периодической функцией в, такова же и L^, так
что система D.8.23) относится именно к тому типу, который изучался в
предыдущем разделе при помощи метода Мельникова.
В частности, допустим (как выше), что некоторая (компактная) область
фазовой плоскости для системы F{q,p) заполнена периодическими
орбитами, периоды которых монотонно изменяются при изменении энергии F.
Каждая такая орбита является множеством уровня для F: F(q,p) = h",
следовательно, если общая энергия h больше, чем /i", невозмущенная (е = 0)
4.8. Гамильтоновьт системы с двумя степенями свободы.
273
автономная система D.8.23) имеет соответствующую замкнутую орбиту,
описываемую формулой
L°{p,q,h) = G-\h-h'') = l".
D.8.24)
Кроме того, период этой орбиты Т" монотонно изменяется при
изменении /".
\{z)//^
рщ^ f г
\vM^
■—^ v^-^z
\^Л^\
-■^^^г \ \
Рис. 4.8.1. Невозмущенное отображение Пуанкаре Ро для D.8.23).
Далее, отображение Пуанкаре Pq, ассоциированное с D.8.23) при £ = О,
является просто отображением вдоль потока за время 27Г. Следовательно,
оно обладает непрерывным семейством инвариантных замкнутых кривых,
заполненных т-периодическими точками в случае, когда Г" = 2'кт/п,
т,п G Z, или плотными орбитами, если отношение Г"/27г
иррационально, см. рисунок 4.8.1 (ср. упражнение 4.8.1). Положим для простоты, что
Г" возрастает при возрастании 1°^, так что среднее значение угла, на
который поворачиваются точки под действием Pq, убывает по мере удаления
ршвариантных кривых от начала, как показано на рисунке 4.8.1.
Переходя от (р, q) к некоторым неременным «действие-угол» J, ф,
приведем невозмугценную систему к виду
J = 0,
ф = К{1),
где Л( J) = 27г/Г", и отображение Пуанкаре запишется так:
(J,(^)A(J, ^ + 2^A(J)).
D.8.25)
D.8.26)
274 Глава 4
По предположению, величина Л убывает с ростом J, поэтому Pq является
закручивающим отображением. Возмущение eL^ изменит его следующим
образом:
(J, ф)^{J + sf{J, ф, £), ф + 2^Л( J) + eg{J, ф, е)), D.8.27)
где fug — ограниченные 27г-периодические по ф функции, причем Р^
по-прежнему сохраняет площадь.
Прежде чем представить метод определения свойств
преобразования Ре, приведем некоторые результаты, касающиеся возмущений
сохраняющих площадь отображений, подобных Pq. Более полная информация
содержится в Arnold, Avez [1968, особенно § 19-21, 34], Moser [1973],
Арнольд [1978]. Наиболее важным результатом является знаменитая теорема
Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ), утверждающая, что для
достаточно малых е «больгпинство» замкнутых кривых J = const, инвариантных
для Pq, сохраняется и для Р^. Различные варианты этой теоремы были
получены Колмогоровым [1954], Moser [1962], Арнольдом [1963а,Ь] и Russman
[1970], а затем обобщены для систем с п степенями свободы, для которых
отображения Пуанкаре Bп — 2)-мерны (см. Arnold, Avez [1968], Арнольд
[1978])'. Вместо того чтобы приводить ее наиболее общую формулировку,
мы ограничимся контекстом обсуждаемого двумерного примера:
Теорема 4.8.1 (КАМ). Если A'(J) 7^ О и величина е достаточно мала,
то возмущенное отображ:ение Pg обладает множеством инвариантных
замкнутых кривых, имеющем положительную меру Лебега ц{е) и близким
к исходному множеству J = J". Более того, n{s)/n{J) -^ 1 при е ^ 0.
Сохраняющиеся инвариантные замкнутые кривые заполнены плотными
иррациональными орбитами.
Из этого результата следует, что в исходной гамильтоновой
системе D.8.20) при малых е ^ О сохраняется некоторое измеримое множество
торов, несущих иррациональные потоки.
В терминах исходного невозмущенного гамильтониана
H\q,p,I) = F{q,p) + G{I) = F{J) + G{I)
условие невырожденности Л'( J) ф О выглядит так:
G"{I){F"{J)f + F"{J){G'{I)f ф О D.8.28)
для всех /, J таких, что G{T) + P(J) = h (см. Арнольд [1978]).
'Авторы не вполне точно излагают историю вопроса: на самом деле, упомянутая
основополагающая работа А. Н. Колмогорова посвящена сохранению инвариантных торов в
многомерных гамильтоновых системах, близких к вполне интегрируемым. Представленная здесь
теорема 4.8.1 принадлежит Арнольду и Мозеру — Прим. перев.
4.8. Гамильтоновьт системы с двумя степенями свободы ... 275
Упражнение 4.8.4. Проверьте, что из условия D.8.28) следует, что Л'( J) ф 0.
Покажите, что если в невозмущенном гамильтониане Н"{1, J) неременные не
разделяются, то условие невырожденности имеет вид
det
ffO ггО ггО
ffO ггО ггО
Я? Н° о
/ 0. D.8.29)
Заметим, что условия D.8.28)-D.8.29) выражают изоэнергетическую
невырожденность, они гарантируют, что отношение частот на невозмущенных инвариантных
торах изменяется при переходе с одного тора на другой на каждом фиксированном
уровне энергии (Арнольд [1978]).
Упражнение 4.8.5. Покажите, что отображение Пуанкаре для редуцированной
системы из упражнения 4.8.1 можно представить в форме D.8.26), где A(J) = \f2J.
Покажите также, что исходная система удовлетворяет условию D.8.28). (Подсказка:
положите §2 = \/218ш6, рг = v2Iсозв, qi = \/2J8тф, pi = \/21со8ф.)
Общая картина (построенная, в основном, численно) такова:
«достаточно иррациональные» замкнутые кривые сохраняются при малых е для
произвольных возмущений, однако с ростом е они исчезают одна за
другой до тех пор, пока не останется ни одной замкнутой кривой, близкой к
невозмущенной (хотя могут появиться другие замкнутые кривые). Для
уточнения понятия «достаточно иррациональные» приведем более конкретный
результат, принадлежащий Мозеру:
Теорема 4.8.2 (теорема Мозера [1973, § 2]). Рассмотрим малое
сохраняющее площадь возмущение Р^ некоторого сохраняющего площадь
двумерного отображения Pq. Допустим, что функция Л( J) класса С^, г ^ 5,
причем |Л'( J)| ^ и > О в некотором кольце R = {(J, ф) \ а ^ J ^Ь}. Тогда
существует такое число 5, зависящее от е и Л( J), что если возмущение Ре
удовлетворяет неравенству
sup {\\ef\\r+\\eg\\r}<y5 D.8.30)
г
{здесь ||е/||г обозначает норму в С^, т.е. J^ \D f{J,ф,e)\), то Р^ обла-
к=0
дает в R инвариантной кривой Г^ вида
J = J° + U{^), ф = ф + У{г1,), D.8.31)
где функции U и V класса С^ и 211-периодичны, причем
||C/||i + ||F||i<£ D.8.32)
276 Глава 4
и а < J^ < b. Кроме того, индуцированное на этой кривой
отображение Ре\т^ задается формулой
ф^ф + 27гА, D.8.33)
где иррациональное число А удовлетворяет бесконечному множеству
соотношений
А-^|>7т" D.8.34)
для некоторых 7, о: > О м всех натуральных т, п. Каж:дому выбору А в
диапазоне Л( J) и удовлетворяющему условиям D.8.34) отвечает некоторая
такая инвариантная кривая.
Для обоих данных результатов центральным является условие, что Р^
сохраняет площадь, так как если это отображение уменьшает или
увеличивает площади, инвариантные кривые могут не существовать^. Мы вернемся
к вопросу о числах вращения при обсуждении отображений окружности
в разделе 6.2.
Сохранение множества инвариантных замкнутых кривых имеет
важное следствие в вопросе об устойчивости движения исходной системы на
каждом многообразии Н = h, так как из его существования следует, что
некоторые из исходных двумерных ршвариантных торов J = const
сохраняются и выступают в роли ограничителей на трехмерных энергетических
многообразиях, через которые не могут перейти решения. Возмущенные
решения либо располагаются на этих торах, либо попадают в ловушку между
парой таких торов и, следовательно, не могут уйти в фазовом
пространстве сколь угодно далеко. Заметим, что хотя в системах с п ^ Z степенями
свободы множества аналогичных п-торов также сохраняются, они уже не
могут служить ограничителями на Bп — 1)-мерных энергетических
многообразиях, поэтому решения могут просачиваться и блуждать в фазовом
пространстве. Этот процесс известен как диффузия Арнольда, более
подробно о ней можно узнать в Arnold [1964], Lieberman [1980], Lichtenberg,
Liebeman [1982], Holmes, Marsden [1982b].
Рассмотрим теперь, что происходит с «резонансными» торами —
такими, для которых условие D.8.34) не выполняется. Выберем такую
инвариантную замкнутую кривую Го отображения Pq с действием J", для которой
Л( J") = п/т (Г" = 2'кт/п). Эта кривая заполнена вырожденными
периодическими точками периода т, в каждой из которых линеаризованное
отображение имеет жорданову форму
DP^
1 О
27rA'(J) 1
D.8.35)
Как правило, не существуют. — Прим. перев.
4.8. Гамильтоновьт системы с двумя степенями свободы.
277
в результате чего движение имеет форму сдвига (рисунок 4.8.1). Чтобы
увидеть, что произойдет с этим кругом неподвижных точек, рассмотрим
поведение двух инвариантных кривых J^^, J^^ по обе стороны от J°
{J^^^ < J" < J^^^). Под действием PJ" точки на поворачиваются на
угол, больший, чем 2ж, а точки на — на угол, меньший, чем 2ж.
Зафиксировав /3i и J^'^ и взяв е достаточно малым (зависящим от т), мы получим
сохранение такого поведения для PJ". Отсюда следует, что на каждом
радиусе ф = const существует некоторая точка ,7{ф,е), которая поворачивается
отображением PJ" на угол ровно 2ж, т. е. она движется лишь в
радиальном направлении. Так как возмущение Ре гладко, эти точки ,]{ф^ е)
образуют некоторую гладкую замкнутую кривую Г^, сходящуюся к Го{ J = J"}
при е ^ О (см. доказательство теоремы 4.6.2).
гиперболическая
точка
Рис. 4.8.2. Отображение PJ", показывающее кривую Г^, ее образ Pl"'(Ts) и
неподвижные точки (по книге Арнольда и Авеца [1968]). Мы приводим рисунок по
модулю 27гт, поэтому кажется, что точки вращаются по часовой стрелке вне
резонансной окружности и против часовой стрелки внутри нее.
Далее, отображение сохраняет площади, поэтому кривые Г^ и Р^{Т^)
ограничивают одинаковые площади и, очевидно, должны пересекаться.
Каждая точка пересечения является неподвижной для возмущенного
отображения PJ". Пуанкаре [1899] доказал существование 2кт таких точек, где
к — некоторое (неизвестное) целое число: см. рисунок 4.8.2. (Ясно, что в
278 ГЛАВА 4
типичном случае пересечения Г^ и P™{Ts) трансверсальны и что общее их
число должно быть четным и не менее 2г?г.)
Типы устойчивости данных неподвижных точек можно определить из
рассмотрения поведения близлежащих точек. Вначале заметим, что
произведение собственных значений Ai, А2 возмущенного отображения,
линеаризованного в неподвижной точке, должно равняться единице, так как
det \DP^\ = 1. Таким образом, вырожденные (параболические) точки с
матрицей D.8.35) перерождаются или в гиперболические неподвижные точ-
ки (О < Ai < 1 < А2), или в эллиптические неподвижные точки (Аг = Ai,
|Ai| = 1). Предположив, что пересечения Г^ с Р™{Т^) трансверсальны,
легко увидеть из рисунка 4.8.2, что ровно половина из них является
эллиптическими центрами, а половина — гиперболическими седлами, так как
точки либо циркулируют вокруг неподвижной точки, либо «монотонно»
покидают ее окрестность (см. Arnold, Avez [1968], §20).
Упражнение 4.8.6. Докажите последнее утверждение, полагая PJ" равным
отображению за время 1 потока некоторого двумерного векторного ноля и пользуясь
теорией индексов (ср. раздел 1.8).
Инвариантные многообразия седел располагаются, очевидно, в
промежутке между соседними «иррациональными» инвариантными кривыми,
сохраняющимися для Ре, и эти инвариантные многообразия обязаны
пересекаться (в противном случае отображение не могло бы сохранять площади).
В общем случае, некоторые из этих пересечений будут трансверсальны-
ми. Таким образом, в каждом «резонансном поясе» вблизи невозмущенной
кривой J" можно ожидать существования некоторого сложного множества
инвариантных кривых, подобных тем, которые мы попытались изобразить
на рис. 4.8.3. Zehnder [1973] установил данный результат в типичном
случае. Такие области в физической литературе называют стохастическими
слоями, а иногда — гомоклиническими сплетениями. Как мы увидим в
главе 5, каждой точке трансверсального гомоклинического пересечения
соответствует очередное счетное семейство гиперболических периодических
точек, так что динамика в стохастическом слое очень сложна.
Упражнение 4.8.7. В обсуждаемом контексте рассмотрите сохраняющее
площадь отображение /: [ф,у) ^ [ф ^ v, v — "f сов(ф + v)) из раздела 2.4 для малых
значений 7- Найдите путем пепосредствепных расчетов какие-либо орбиты
периода 2 (возможно, 3) и сравните их с гиперболическими и эллиптическими орбитами,
появления которых можно ожидать при бифуркации подходящих резонансных
замкнутых кривых. (См. Green [1980], где проводится массированпая атака на эту
проблему.)
Прорезюмированные выше результаты основывались на
неконструктивных аргументах, позволяющргк сделать вывод о трансверсальности
пересечений. В противоположность этому, мы покажем в заключение данно-
4.8. Гамильтоновьт системы с двумя степенями свободы.
279
Рис. 4.8.3. Резонансные кривые в общем случае распадаются на стохастические
слои.
го раздела и главы, как можно использовать метод Мельникова для
расчета истинного поведения резонансных поясов в конкретных примерах.
Churchill [1982] одним из первых предложил такой подход. Вернемся к
уравнению D.8.23), зафиксируем полную энергию h и выберем 1°^ так,
чтобы периодическая орбита (/"(б), р°^{в) невозмущенной системы
Q = --
др '
Р
dq
D.8.36)
имела период Т" = 2ттт/п по в и, таким образом, резонанса 27г-периодиче-
скому возмущению L^. Непосредственное применение метода Мельникова
(теорема 4.6.2 и разделы 4.6-4.7) при учете того, что отображение
Пуанкаре сохраняет площадь, приводит к следующему результату (доказательство
оставляем читателю в качестве упражнения):
Теорема 4.8.3. Если субгармоническая функция Мельникова
27тт
Af'»/nE»0)= /'{iO(g"F»),p"F'); h),L'^{cf{e),p°'{e), в + в^; h)} dd
D.8.37)
не зависит от е и имеет j простых корней на промежутке 0° £ [О, 2тгт/п),
то резонансная замкнутая кривая Ь^ = /" для невозмущенного отобра-
280 ГЛАВА 4
жения Пуанкаре Pq распадается на некоторое множество из 2к = j/т
периодических орбит периода т. Кроме того, число j необходимо
является четным кратным т и ровно к периодических орбит гиперболичны и
к-эллиптичны.
Как и в формулах D.5.12)-D.5.13), {L°,L^} = {dL°/5q){dL^/dp) -
— {dL^/dp){dL^/dq) представляет собой скобку Пуассона функций L° и L^.
В конкретных примерах расчеты i° и L^ по формулам D.8.22) зачастую
слишком громоздки, и более удобно сформулировать теорему в терминах
исходного гамильтониана Н^ = F + G + еН^. Непосредственные
вычисления (с учетом D.8.22)) дают
{L^L'] = ЩlT^{F.H^}. D.8.38)
где {^,Я1} = {дР/dq){dH^/др) - {дР/др){дН^/dq). Таким образом,
используя тот факт, что на невозмущенном решении {q",p") выполняется
соотношение в = fl{L^[q",ра; h))t + 0° = fl{l")t + в^, мы можем
заменить D.8.37) на
Af'"/"Fl°) =
1 I' {P{q"{t),p^{t)),H\q"{t),p^{t),il{r)t + e^-n}dt.
D.8.39)
fl(r)
о
Упражнение 4.8.8. Проверьте справедливость формулы D.8.38) и докажите
теорему 4.8.3.
Если система Р имеет гомоклиническую орбиту {q^{t), p^{t),
соответствующую линии уровня Р = hP, то но аналогии с теоремой 4.5.3 получаем
Теорема 4.8.4. Рассмотрим гамильтонову систему с двумя
степенями свободы вида D.8.20) и допустим, что Р содержит гомоклиническую
орбиту {q^{t), p^{t), соединяющую некоторую гиперболическую седловую
точку саму с собой (т. е. F обладает гомоклиническим циклом).
Предположим, что Щ1) = G'{I) > О при I > 0. Пусть /i° = F{q'^,p'^) —
энергия гомоклинической орбиты, ah> h^ uf' = G~^{h — h^) —
константы. Пусть {F, H^}{t + 0°) обозначает скобку Пуассона функций P{q'^,p'^)
и H^{q'^,p'^,Q.{l'^)t + в'^; Z°), вычисленную при q = q'^{t) и р = p^{t).
Определим
М{в°
= I {P,H^}{t + e°)dt D.8.40)
4.8. Гамильтоновьт системы с двумя степенями свободы ... 281
и допустим, что М{в^) имеет простой нуль и не зависит от е. Тогда
для достаточно малых значений е > О гамильтонова система,
соответствующая D.8.20), имеет трансверсальные гомоклинические орбиты на
энергетической поверхности Н^ = h.
Из анализа трансверсальных гомоклинических орбит и обсуждения
подковы, предстоящих в главе 5, следует такое утверждение:
Следствие 4.8.5 (см. теорему 5.3.5). Данная система обладает
гиперболическим инвариантным множеством (см. ниже раздеч 5.2) Л на
энергетической поверхности Н = h; А обладает плотной орбитой, поэтому
система не имеет второго глобального аналитического интеграла.
(Ziglin [1982] недавно опубликовал аналогичный результат.)
Если предположения теорем 4.8.3 и 4.8.4 выполнены, то
невозмущенное и возмущенное отображения Pq и Р^ (см. D.8.26)-D.8.27)) обладают
структурами инвариантных кривых, изображенными на рисунке 4.8.4.
Рис. 4.8.4. Инвариантные кривые невозмущенного и возмущенного отображений
Пуанкаре: (а) Ро; (Ь) Р^.
В качестве примера рассмотрим систему слабо связанных маятника и
линейного осциллятора (см. Holmes, Marsden [1982а]) с гамильтонианом
Я-(р,д,х,у) = ^ + A - cosg) + у!+|^ +g(^^ D.8.41)
(см. упражнение 4.8.2). Перейдем от системы (х,у) к переменным
«действие-угол» по формулам
2/ . л т fW—f
тогда функция D.8.41) примет вид
2 / / \ 2
F{q,p) + G{I) + eH^{q,p, I, в). D.8.42)
282 ГЛАВА 4
Система F имеет пару гомоклинических орбит
(g°(t), /(*)) = (±2 arctg(sh(t)), ±2 sech у) D.8.43)
с энергией
F{q,p) = h° = 2. D.8.44)
Следовательно, мы возьмем /i > 2 и положим
i°=G-i(/i-/i°) = i(/i-2). D.8.45)
Теперь можно оценить функцию Мельникова, пользуясь формулой
где скобки Пуассона надо вычислять па орбите {q^{i), p^{t), в{1) = iot + в^,
т = п-
оо ,
М{в°) = / 2 sech(t) (-2 arctg(sh t) ± ^ ^^~ ' sin(wt + 6»°)) dt.
— ОО
D.8.47)
Здесь «плюс» относится к верхней ветви гомоклинической орбиты (р > 0), а
«минус» — к нижней (р < 0). Первый интегрант в формуле D.8.47) нечетен,
и интеграл от него равен нулю, второй интегрант можно оценить методом
вычетов; в результате получим
. _^2.У2GГ^_ ,,,, ^^^ „
М{в'') = ± "^ ^sech( ^) sin6l^ D.8.48)
Поскольку функция М{в^) имеет простые корни, условия теоремы 4.8.4
выполнены, и мы можем сделать вывод, что возмущенная (связанная)
система имеет трансверсальные гомоклинические орбиты и, следовательно,
подковы Смейла на каждом уровне энергии h > 2 для достаточно малых
(зависящих от h) значений е.
Упражнение 4.8.9. Выясните судьбу резонансных торов для
гамильтониана D.8.42), заданных значениями F{q,p) = /г"<2и/ = /° = {1/ш){к - h") > 0.
Упражнение 4.8.10. Рассмотрите возмущение гамильтониана типа Нёпоп-
Heiles
Н{х, у, X, у) = \ х'^у- —+ е{ау'^ - (Зу^),
0^е<1; Q,/3 = 0A).
4.8. Гамильтоновьт системы с двумя степенями свободы ... 283
Докажите, что эта система интегрируема при е = О и неинтегрируема при
малых е 7^ 0. (Подсказка: воспользуйтесь симплектическим преобразованием
qi = ^{х + у), q2 = ^{х-у),
v2 v2
pi = ^{х + у), р2= ^{х-у).
См. Holmes [1982b] и упражнеппе 1.8.14.)
Заметим, что теорию двумерных сохраняющих площадь отображений,
обсуждавшуюся в данном разделе, можно непосредственно применять к
гамильтоновым системам с периодическим возмущением вида
H%q,p, t) = F{q,p) + eH\q,p, t). D.8.49)
Уравнение Дуффинга, рассматривавшееся в разделах 4.5^.6, принимает
такую форму, когда коэффициент вязкого трения 5 полагается равным нулю.
Уменьшая 5 при фиксированных 7, i^ > О, мы приближаемся к гамильтоно-
ву пределу, а соответствующие бифуркации (см. рисунок 4.6.3), в результате
которых создаются счетные множества периодических и гомоклинических
орбит, следует рассматривать как ступени в создании гомоклинического
сплетения и стохастических слоев, изображенных на рисунке 4.8.3.
В заключение отметим, что теоремы 4.8.3^.8.4 имеют многомерные
аналоги, относящиеся к гамильтоновым системам с п степенями
свободы (см. Holmes, Marsden [1982a,b]), и что Graendler [1982, 1985] получил
также многомерное обобщение теории Мельникова. В действительности,
в определенных случаях теория Мельникова применима к исследованию
возмущений бесконечномерных гамильтоновых эволюционных уравнений,
возникающих из уравнений в частных производных. Holmes, Marsden [1981]
провели анализ некоторых таких ситуаций с примером из механики,
являющимся, по существу, бесконечномерным обобщением уравнения
Дуффинга, описывающего вынужденные демпфированные колебания непрерывной
балки, подверженной продольной нагрузке, рассмотренные в разделе 2.2.
Кроме того. Holmes [1981b] применил эти методы к уравнению в частных
производных типа синус Гордона
фи - Фхх + sin ф = -ефг
с зависящими от времени граничными условиями
Глава 5
Гиперболические множества,
символическая динамика и странные
аттракторы
5.0. Введение
Решения обыкновенных дифференциальных уравнений могут иметь
«блуждающую» зависимость от времени, которая представляется в
некотором смысле случайной. Мы познакомились с некоторыми такими
примерами в главе 2. Данная глава посвящена обсуждению простых, геометрически
определенных систем, в которых имеет место такое хаотическое движение.
Мы опишем как нерегулярный характер отдельных решений, так и сложные
геометрические структуры, ассоциированные с их предельным поведением.
Основной используемый метод носит название символической динамики, а
общий подход к вопросу, который мы применяем, известен как теория
динамических систем. Мы не будем систематически развивать эту теорию, а
лишь сформулируем ее главные результаты и предоставим краткий обзор
литературы. Наша стратегия при решении конкретных задач включает, как
правило, приближенные и численные методы, подобные использованным
в главе 4 и позволяющие установить существование интересной
геометрической структуры у подходящих отображений Пуанкаре с последующим
применением методов данной главы.
Мы начнем с рассмотрения действительно случайного процесса:
экспериментов с подбрасыванием (идеальной) монеты. Представим себе, что
монета подбрасывается бесконечное число раз. Мы приведем в сжатой
форме результаты, касающиеся такой последовательности. Присвоим «орлам»
значение ноль, а решкам — единицу, тогда исход эксперимента
описывается некоторой последовательностью а = WiJiZi-, где ai = 0,1. Если
интерпретировать а как двоичное разложение некоторого числа х G [0,1],
то мы можем изобразить исход бесконечной последовательности бросков
при помощи единственного числа. С формальной точки зрения, если Е —
множество всех полубесконечных последовательностей из нулей и единиц,
а / = [0,1], то мы определили отображения ф: Т, —^ I. Заметим, что
отображение ф взаимно однозначно, если не принимать во внимание последова-
5.0. Введение 285
тельности а, которые оканчиваются бесконечной подпоследовательностью,
состоящей только из нулей или только из единиц. Таким образом, для
данного числа X G 7 мы можем восстановить ф^^{х) — последовательность
бросков монеты в виде строки из нулей и единиц — из двоичной записи х.
Для определения двоичного представления числа х £ / можно
последовательно вычислять целую часть числа 2"х (mod 2) при условии, что
2"'х никогда не будет целым числом. Если мы определим f: I ^ I как
/(х) = 2х (mod 1), то п-я позиция двоичного представления х будет нулем
или единицей судя по тому, принадлежит величина /"(х) интервалу (О, ;г)
или (;^, 1). Если /"(х) = -, то X имеет два представления.
Последовательность бросков монеты, соответствующая х, является последовательностью
целых чисел в их двоичном представлении, поэтому существует явная
взаимосвязь между множеством всех последовательностей бросков монет
(пример вероятностного пространства) и точками интервала /, осуществляемая
при помощи определенного выше отображения /(х). С вероятностной
точки зрения, процесс случайного выбора начального условия (по отношению
к мере Лебега) и последующего наблюдения за тем, лежит ли каждая из
итераций /"(х) слева или справа от -, полностью эквивалентен бесконечной
последовательности бросков симметричной монеты. Мы
продемонстрировали взаимно Однозначное соответствие между реализациями некоторого
случайного процесса и орбитами детерминированной динамической
системы. Читателю рекомендуется сравнить это отображение с отображениями
возврата для систем Ван дер Поля и Лоренца, описанными во второй главе.
Мы вернемся к отображению Лоренца позднее в данной главе.
Мы хотим распространить данное простое соответствие между
отображением и случайным процессом на возможно более широкий класс
отображений. Используемый для этого метод называется символической
динамикой. Для предельных множеств, имеющих гиперболическую структуру, мы
установим связь с (топологической) цепью Маркова с конечным числом
состояний в виде, обобщающем предыдущие обсуждения. Гиперболические
предельные множества представляют собой прототип для решений
обыкновенных дифференциальных уравнений, проявляющих поведение, похожее
на случайное. Тем не менее, негиперболические предельные множества
также зачастую встречаются в важных для практики задачах: они имеют
место в рассмотренных в главе 2 примерах Дуффинга, Ван дер Поля и для
подскакивающего мяча. Желательно было бы изучить символическую
динамику таких множеств, однако это не было сделано в удовлетворительной
или систематической форме, за исключением особого случая отображений,
определенных на прямой. Для этого случая имеется развитая общая теория,
и мы отсылаем читателя к книге Collet, Eckman [1980], где описывается
286
Глава 5
современное состояние этой теории, различные аспекты которой будут
обсуждены по мере изложения в данной и следующей главах'.
Рис. 5.0.1. График д{х). Отметим подынтервалы /i = [О, ;^ — т^л/^ — 4/а] и /г =
= [| + |Vl-4/a, 1].
Мы начнем с описания символической динамики одномерного
отображения (?: М ^ М, заданного формулой д{х) = ах{1 — х), где а > 2 + \'Ъ, в
качестве прелюдии к нашему анализу подковы в следующем разделе.
Отображение д имеет неподвижную точку в нуле, и д{1) = 0. График функции д
на замкнутом единичном интервале I показан на рисунке 5.0.Г Из
требования а > 2 + i/5 следует, что существует такое число А > 1, что \д'{х)\ ^ А
при X е д~^{1) П /.
Упражнение 5.0.1. Покажите, что наибольшее возможное значение Л
равно ау1 — 4/а.
Хотя орбиты {(?*B;)}^о Д-"^ почти всех точек х £ / в конце концов
покидают / и стремятся к —сю, существует некоторое инвариантное
множество точек Л, итерации которого остаются в I. Это множество Л можно
описать при помощи символической динамики следующим образом.
Обозначим 7i и I2 две компоненты множества I П д^^{1). Мы можем
сопоставить каждому х £ Л последовательность {а,;}^д, состоящую из
единиц и двоек и определенную равенством ai = j, если g*(x) £ Ij.
Последовательность {tti} помечает итерации х в порядке их следования слева
направо. Существенное наблюдение, которое мы сделаем относительно
этого процесса, состоит в следующем: если J С I — некоторый субинтервал,
' См. также книгу: А. Н. Шарковский и др. «Динамика одномерных отображений». — Прим.
перев.
5.0. Введение 287
то множество д^^{1) состоит ровно из двух субиптервалов, один из
которых содержится в /i, а второй — в /г- Кроме того, заметим, что длина J, по
крайней мере, в А раз больше длины каждой из компонент д^^{1), так как
\д'{х)\ ^ А при X е д^^{Т) П I.
Сделанные наблюдения позволяют вывести ряд следствий:
A) Каждая символическая последовательность отвечает некоторой точке
из множества Л. Для доказательства этого достаточно показать (в силу
свойства бесконечного пересечения компактных множеств), что каждое
из множеств вида
4о,...,а„ = 1ао П 9~^{1аг П Я'^Ца^ П • • • П g'^ih,, )■■■))
является замкнутым и непустым. Это следует по индукции из
сделанного выше наблюдения, поскольку д^^1ао,...,ап пересекается с каждым
из множеств 7i и /г-
B) Разным точкам из Л соответствуют разные символические
последовательности. Это немедленно следует из того факта, что длина множества
1ао,—,а„ меньше, чем А^("+^).
C) Л является канторовым множеством. Чтобы показать это, обозначим
Лп = [JIao,---,a„, где объединение берется по всем наборам из единиц
и двоек длины (п + 1). Тогда Л„ состоит из 2"+-^ замкнутых
субиптервалов, а каждая компонента A„_i содержит ровно две компоненты Л„.
Так как длины компонент Л„ стремятся к нулю с ростом п, то
множество Л = Pi Л„ является канторовым множеством (т. е. замкнутым
множеством, не содержащим пи внутренних, ни изолированных точек).
D) Последовательность, соответствующая д{х), получается из
последовательности, соответствующей х, путем отбрасывания первого члена.
Таким образом, мы показали, что каждую точку х G Л можно
однозначно пометить при помощи некоторой полубесконечной последовательности
ф{х) = {сц{х)}°^^, элементы которой равны 1 или 2. Более того, числа cij
отражают динамику, т. е. орбитальную структуру отображения д. Таким
образом, мы свели изучение этого отображения к комбинаторной проблеме,
включающей символы {1,2}.
Упражнение 5.0.2. Покажите, что д имеет счетное множество периодических
орбит, а также асимптотически периодических орбит.
Упражнение 5.0.3. Разработайте символическую динамику для кубического
отображения х -^ f{x) = ах — х и опишите структуру его инвариантных
множеств для «больших» а. (Подсказка: найдите такое ас, что при а > ас существует
288 ГЛАВА 5
субинтервал / = [—i/l + а, i/l + а] такой, что множество / П / ^(/) имеет три
компоненты, на которых \f'{x)\ > 1.)
5.1. Подкова Смейла: пример гиперболического
предельного множества^
Определенное выше одномерное отображение д тесно связано с другим
примером, подковой Смейла, представляющей собой гиперболическое
предельное множество и явившейся главным мотивирующим примером для
развития современной теории динамических систем. Мы опишем сейчас
этот пример подробно при помощи символической динамики. Его
можно описать в терминах обратимого отображения плоскости, которое можно
трактовать как отображение Паункаре для некоторого трехмерного
автономного дифференциального уравнения или для задачи о вынужденных
колебаниях. Ниже, в разделе 5.3 мы увидим, как возникает подкова в системе
с трансверсальными гомоклиническими орбитами, как в случае уравнения
Дуффинга. В разделе 2.4 мы уже познакомились с примером, в котором
непосредственно возникают подковы.
Возьмем единичный квадрат на плоскости S = [0,1] х [0,1] и определим
отображение f:S -^ М^ таким образом, что f{S) П S состоит из двух
компонент, которые под действием / сохраняют прямоугольную форму, см.
рисунок 5.1.1. Отметим ориентацию образа: в частности, горизонтальные
границы АВ, DC отображаются в горизонтальные интервалы.
Данное отображение можно интерпретировать как растяжение S вдоль
вертикали и одновременое сжатие по горизонтали, с коэффициентами /i и А
соответственно, и последующий изгиб, при котором изгибаемая часть не
попадает в S, см. рисунок 5.1.1(b). Таким образом, сужение отображения
на 5* П /^^ (S) линейно.
Обращая изгибание и растяжение, легко заметить, что обратный образ
f~^{Sr\f{S}) = S'n/~-^(S') представляет собой две горизонтальных полосы
Hi = [0,1] X [а, а + ц~-^] и _ff2 = [0,1] х [Ь, b + ц~'^], в каждой из которых
f имеет постоянный якобиан
? ±J ' (^-l-l)
'в этом разделе авторы делают ссылки на работы, которые, как правило, мало доступны
для российского читателя. В последние годы на русском языке опубликованы книги Каток,
Хасселблат [15], Мун [16], Боуэн [17], Шустер [18], см. также Алексеев [19], Заславский [20]. —
Прим. ред.
5.1. Подкова Смейла
289
D С
D
И
изгиб
здесь
У^
А В
А В CD
b+/^i
а-
/////Я/////
У///Я./////
Рис. 5.1.1. Подкова Смейла.
где знак «плюс» соответствует Hi, а «минус» — Н2\ здесь О < А < 1/2
и /i > 2. На каждом из множеств Hi отображение / сжимает
горизонтальные отрезки с коэффициентом А и растягивает вертикальные отрезки с
коэффициентом /i.
При итерациях отображения / большинство точек либо покидают S,
либо не содержатся в образе P{S). Те точки, которые все время остаются
в S, образуют множество Л = {х|/*(х) G S, —оо < i < оо}. Это
множество Л имеет сложную топологическую структуру, к описанию которой мы
теперь и переходим. Каждая горизонтальная полоса Hi растягивается под
действием / в прямоугольник Vi = f{Hi), который пересекает как Hi, так
и Н2. Поскольку / прямолинейно на Hi, те точки, которые остаются в Hi
после применения /, приходят из более тонких горизонтальных полосок
в Hi, см. рисунок 5.1.2.
Так как H1UH2 = f^^{S nf{Sj), то эти четыре более тонких полоски
образуют множество f^'^{S П f{S) П f^{S)). Продолжая но индукции,
получим, что множество f~^{S П f{S) П ... П /"E*)) является объединением
2" горизонтальных полосок. Толщина каждой из ник равна /i^", поскольку
\df/dy\ = /i во всех точках из Hi U Н2, а все точки первых (п — 1)
итераций горизонтальных полосок остаются внутри Hi U Н2. Пересечение всех
этих горизонтальных полосок образует (при п -^ сх)) канторово множество
горизонтальных сегментов. Мы обсудим эту структуру ниже.
290
Глава 5
Я,
21 чиии/пипт/пиииитп
11 'IlllllllllllllllllllllllllllJIin
"н'1
12 читипттипттиит
uimiiiiiiiijiiiiiiiiiiiiiiiim
Рис. 5.1.2. Итерации /: Vij = f{Hi^
Рассмотрим теперь образ одной из 2" горизонтальных полосок
из f~"'{S П /E*) П ... П /"E*)) под действием /". По правилу
дифференцирования сложной функции, мы получаем для этих точек
Df
О
о
поэтому образ представляет собой прямоугольник с шириной по
горизонтали А", простирающийся но вертикали от верха квадрата до его низа.
Отображение /" взаимно однозначно, поэтому образы горизонтальных
полосок различны. Мы приходим к выводу, что S П f{S) П ... П /"E*)
представляет собой объединение 2" вертикальных полосок, каждая из которых
имеет ширину А". Пересечение этих множеств для всех п ^ О
является канторовым множеством вертикальных сегментов, состоящих из точек,
лежащих в образах всех отображений /". Для попадания в Л точка х
должна лежать как на горизонтальном, так и на вертикальном сегменте
из описанных выше наборов. Следовательно, топологически Л также
является канторовым множеством: его компонентами являются точки,
причем каждая из ник является предельной точкой для Л. На рисунке 5.1.3,
дающем представление о структуре Л, показано 16 компонент множе-
ства f-^S) П f-\S) nSn fiS) n fiS)).
До сих пор мы, по существу, повторяли неформальное описание
подковы из раздела 2.4. Мы можем, однако, получить и более полное описание,
содержащее информацию о динамике каждой точки, при помощи
конструкции, аналогичной использованной в предыдущем разделе для одномерных
отображений. В этой конструкции мы замечаем, в какую горизонтальную
полосу Hi или Н2 попадает каждая из итераций точки х £ Л и используем
эту информацию для характеристики данной точки. Каждой из точек х £ Л
будет сопоставлена некоторая бесконечная в обе стороны последователь-
5.1. Подкова Смейла
291
Рис. 5.1.3. Маленькие черные прямоугольники ширины Л и высоты /л
2
ЯВЛЯЮТСЯ компонентами р| f"{S). Четырехсимвольные последовательности
тг=-2
{о-2а-1 • ffloffli} относятся к упражнению 5.1.1.
ность, так как здесь отображение обратимо, в отличие от а; ^ 2а; (mod 1).
Для такой последовательности множество индексов состоит из всех целых
чисел Z: мы используем обозначение а = {«OiS-oo-
Теорема 5.1.1. Существует такое взаимно однозначное
соответствие ф меж:ду Л и множ:еством Е бесконечных в обе стороны
последовательностей из двух символов, что последовательность b = ф{/{х))
получается из последовательности а = ф{х) при помощи сдвига на одну
позицию: hi = Oj+i. Множ:ество S мож:но снабдить метрикой
d{a, Ь)
оо
5Л-\'
0, если йг = bi
1, если йг ф bi
E.1.2)
Отображ:ение ф является гомеоморфизмом из А в Т,, снабж:енное этой
метрикой.
Доказательство. Доказательство данной теоремы может служить
основой для понимания работы символической динамики. Пусть
символы, фигурирующие в условии, равны 1 и 2. Отображение определяется
формулой
ф{х) = {ai}l
где fix) еНа
E.1.3)
292 ГЛАВА 5
Короче говоря, х лежит в Л тогда и только тогда, когда Р{х) G ili U Н2
для всех 1, и мы сопоставляем х такую последовательность
индексов, которая сообщает, какая из частей Hi или Н2 содержит каждый
из образов Р{х). В отличие от отображения f = 2х (mod 1), такое
определение ф однозначно, поскольку множества Hi и Hq
разъединены. Данное описание ф немедленно приводит к свойству сдвига,
фигурирующему в теореме: поскольку /*+-^(а;) = P{f{x)), то ф{/{х))
получается из ф{х) при помощи сдвига индексов. Чтобы показать, что
ф взаимно однозначно и непрерывно, рассмотрим множество,
состоящее из значений х, каждое из которых обладает данным центральным
набором символов. Конкретизируя Ь-т, b-m+i, . . ■, bo, . . ., bn,
обозначим как i?F_m, b^m+i, ■ ■ ■, bo, ..., Ъп) множсство таких X, для
которых f^{x) G Нь; для —m ^ г ^ п. По индукции можно вывести,
что R{b-m, ■ ■ ■, bn) представляет собой прямоугольник высоты /i~'-"+"^-'
и щирины А™, лежащий на пересечении некоторых горизонтальной и
вертикальной полосок. Если положить т, п —^ оо, то диаметр
множеств R{b-m, ■ ■ ■, bn) стремится к нулю. Следовательно, ф и взаимно
однозначно, и непрерывно.
Остается показать, что ф сюрьективно. Данный момент является
решающим для приложений символической динамики. Воспользуемся
доводом, что при любом выборе Ь-т, ■ ■ ■ ,Ьп множество R{b-m, ■ ■ ■, bn)
непусто. Чтобы увидеть это, полезно обратиться к рисунку 5.1.2. Заметим, что
R{bo, ■ ■ ■, Ъп) представляет собой некоторую горизонтальную полоску,
переводимую отображением /""'"^ в вертикальную полоску, идущую от низа до
верха квадрата S. Следовательно, /"+^(i?Fo, • • •, bn)) пересекает каждое
из Hi, а R{bo, ■ ■., bn, bn+i) является непустой горизонтальной полоской,
простирающейся поперек S. Аналогично, мы уже упоминали, что
множество S П f{S) П ... П /'"(S') состоит из 2™ вертикальных полосок.
Каждая из них является множеством вида R{b_rm • • • j ^-i), где встречаются
все последовательности F_toj • • • 5 &-i)- Наконец, R{b_m^ • • • 5 Ъп)
непусто, поскольку каждая вертикальная полоска R{b_m, ■ ■ ■, &-i)
пересекает каждую горизонтальную полоску R{bo, ■ ■ ■, Ьп), а R{b_m^ ■ ■ ■, bn) =
= R{b-m, ■■■,b-i) = R{bo, ...,bn). ■
Упражнение 5.1.1. Проверьте правильность обозначения центральных частей
символических последовательностей для прямоугольников на рисунке 5.1.3 и
пометьте оставшиеся заштрихованные прямоугольники при помощи соответствующих
(конечных) последовательностей символов.
Соответствие ф между Л и Е дает Л символическое описание,
исключительно полезное для понимания динамики на множестве Л. Целесообразно
поименовать данный процесс «сдвига индексов». Мы назовем отображение
crises, E.1.4)
5.1. Подкова СмЕйлA 293
определенное формулой а{а) = Ъ, где bi = a^+i, отображением сдвига.
Основное утверждение теоремы можно неренисать в виде
фо{ПА) = Aоф. E.1.5)
Данное уравнение выражает топологическое сопряжение /|л и а. Записав
его в виде /|л = ф^^ о а о ф, немедленно получаем
ПА=ф-'оа^оф, E.1.6)
так что ф отображает орбиты / на Л в орбиты а на S. Такое явное описание
отображения а позволяет легко установить многие его свойства. Например,
периодическая орбита а периода п соответствует периодической
последовательности а: ui = щ+п для всех i. Зафиксировав п, мы легко найдем
последовательности со свойством щ = а^+„, число которых 2" совпадает
с числом неподвижных точек /" на Л. Множество этих точек включает в
себя периодические точки, периоды которых равны п или являются
делителями п.
Упражнение 5.1.2. Покажите, что все периодические орбиты Л принадлежат
к седловому типу. Покажите, что Л содержит счетное множество гетероклиниче-
ских и гомоклинических орбит. Покажите, что Л содержит орбиты, не являющиеся
асимптотически периодическими. Перечислите несколько первых орбит (скажем, с
периодами не более 5) и укажите их местоположение на рисунке 5.1.3.
Покажите, что Л содержит несчетное множество непериодических орбит, и опишите их
символические последовательности.
Упражнение 5.1.3. Укажите в Е точку, чьи а-орбиты плотны в Е. (Подсказка:
две точки в Е близки, если они согласуются по длинному «центральному блоку»;
найдите последовательность, содержащую все конечные наборы из единиц и двоек.)
Данное только что описание подковы является «грубым» по
отношению к малым изменениям отображения /. Попробуйте представить, что
изменится, если опустить требование прямолинейности отображения /
на Hi и Н2. Вообразим такое возмущение / отображения /, для которого
матрица Якоби непостоянна, но близка к матрице Якоби для /.
Качественных изменений при этом не произойдет: множество S П f{S) П ... П f^iS)
по-прежнему будет состоять из 2" «вертикальных» полосок (которые,
однако, уже не будут точными прямоугольниками). Аналогично, множество
/" E) П ... П 5 будет состоять из 2" «горизонтальных» полосок, не
являющихся уже точными прямоугольниками. Тем не менее, множество точек,
для которых все итерации / остаются в S, образуют множество Л,
топологически сопряженное сдвигу S. Данный результат Smale [1963, 1967]
представляет собой один из первых примеров теоремы о структурной
устойчивости.
294 ГЛАВА 5
Мы можем суммировать результаты данного раздела в следующем
утверждении:
Теорема 5.1.2. Отображение подковы f обладает инвариантным кан-
торовым множеством Л таким, что
(a) Л содерж:ит счетное множ:ество периодических орбит сколь угодно
большого периода;
(b) Л содерж:ит несчетное множ:ество ограниченных непериодических
орбит;
(c) Л содерж;ит плотную орбиту.
Кроме того, любое С"^ -близкое к / отображ:ение / обладает инвариантным
канторовым множ;еством А, причем /|д топологически эквивалентно f^.
Вопрос о нелинейных отображениях, обладающих подковами,
поднимается в следующем разделе.
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
Описанный выще пример подковы Смейла служит хорощей основой
для понимания того, как орбиты отображений и, следовательно, дифферен-
Щ1альных уравнений, могут быть хаотичными. Далее в этой главе описана
общая теория динамических систем, удовлетворяющих «аксиоме А»,
базирующейся на этом примере. Понятие структурной устойчивости делает
такое обобщение очень естественным, однако класс систем,
удовлетворяющих аксиоме А, не охватывает примеры, описанные в главе 2. Существует
много неразрещенных вопросов, касающихся деталей поведения систем в
этих примерах, поэтому к концу главы, где мы обсудим приложение к ним
развиваемой здесь теории, наще изложение будет больще опираться на
эксперименты. В частности, представляет интерес вопрос, при каких
условиях «типичная» траектория проявляет хаотические динамические свойства,
присущие подкове. Нащей целью является описание известных результатов,
наблюдений и гипотез, и мы приводим доказательства лищь тех результатов,
которые, по нащему мнению, освещают суть дела.
Вначале необходимо дать несколько топологических определений.
Подкова Л, описанная в разделе 5.1, имеет довольно сложную топологическую
структуру, однако ее нельзя далее разложить на замкнутые инвариантные
подмножества, так как существуют орбиты, плотные в Л. Мы хотим
сфокусировать внимание на подобных множествах, содержащих в себе наиболее
интересную информацию о динамике потока. Если ф является дискретным
или непрерывным потоком, то фундаментальным свойством всех
рассматриваемых множеств является их инвариантность. (Напомним, что
множество S инвариантно, если 0tE) = S для всех t — см. раздел 1.6.)
Существуют различные типы инвариантных множеств, наиболее интересные для
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность 295
нас состоят из асимптотических предельных множеств для точек. Вновь
будем считать, что 0t — непрерывный или дис1фетный поток. Напомним
определение из раздела 1.6:
Определение 5.2.1. а-пределъным множеством для точки х по
отношению к потоку ф1 называется множество предельных точек для фг{х),
t ^ — 00. uj-пределъным множеством для точки х по отношению к
потоку фг называется множество предельных точек для 0t(a;), i ^ оо. а-
и а;-пределы точки х являются асимптотически предельными множествами
{у является предельной точкой для 0t(a;) при t ^ оо, если существует такая
последовательность ti -^ оо, что фг^ (х) -^ у).
Упражнение 5.2.1. Пусть фг — поток системы
г = г{1 — г ),
0 = 1,
записанной в полярных координатах, а точка х ^ О лежит внутри единичного круга.
Покажите, что для точки х а- и ш-предельными множествами являются точка О и
единичный круг соответственно.
Упражнение 5.2.2. Покажите, что а- и ш-предельные множества для точки х
относительно потока фг инвариантньь
Мы хотим рассмотреть все о;-предельные множества системы, так как
они содержат ее асимптотическое поведение при t ^ оо, однако более
плодотворными показали себя другие способы различения предельных
множеств. Большая часть литературы по теории динамических систем
оперирует понятием неблуждающих множеств для потока, которое мы также
напомним:
Определение 5.2.2. Точка х называется неблуж:дающей для ф1, если
для любой окрестности U точки х и любого Т > О существует такое t > Т,
что ф1{и)'Г]и 7^ 0. Множество неблуждающих точек для фг обозначается Г2.
Упражнение 5.2.3. Покажите, что П является замкнутым множеством.
Упражнение 5.2.4. Покажите, что множество всех ш-предельных точек для ф
является неблуждающим.
Данное определение неблуждающего множества воплощает очень
слабое понятие возвращения. Тем не менее, существует еще более слабый тип
возвращения, называемой ценным возвращением, полезный при
обсуждении структурной устойчивости.
Онределение 5.2.3. Точка х называется цепно-возвратной
(рекуррентной), если для любого £ > О существуют такие точки ж = жд, Ж1, . .., а;„ =
= а; и моменты ti, ..., t„ ^ 1, что расстояния от ф1- [xi^i] до Xi меньще е.
Множество цепно-возвратных точек ф1 обозначается Г.
296
Глава 5
(а)
' \ "^ ^
(Ь)
Цхо)
Рис. 5.2.1. (а) Блуждающие и неблуждающие точки потока; (Ь) цепно-возвратная
точка.
Понятия неблуждающих и ценно-возвратных точек
проиллюстрированы на рисунке 5.2.1. Полезность ценно-возвратных множеств
подчеркивалась в работах Bowen [1978] и Conley [1978].
Упражнение 5.2.5. Приведите пример, когда Г ^ П. (Подсказка: постройте
поток на S^, имеющий ровно одно положение равновесия.)
Следующие определения позволяют разложить неблуждающие или
ценно-возвратные множества на части, неразложимые далее в
динамическом смысле, сделав, тем самым, достаточно расплывчатое обсуждение
аттракторов в разделе 1.6 более точным:
Определение 5.2.4. Замкнутое инвариантное множество Л
топологически транзитивно, если 0^ обладает орбитой, плотной в Л.
Упражнение 5.2.6. Покажите, что множество, состоящее из гомоклинических
орбит и седловой точки (О, 0) системы
х = у,
2
У = X — X ,
топологически транзитивно.
Следующее аналогичное определение облегчает разложение ценно-
возвратных множеств:
Определение 5.2.5. Замкнутое инвариантное множество Л
неразложимо, если для любой пары точек ж, j/ е Л и любого е > О
существуют ж = жо, xi, Ж2, ..., ж„ = у и ti, .. ., t„ ^ 1 такие, что расстояния
от ф1.{хг-1) до Xi меньше е.
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность 297
Упражнение 5.2.7. Покажите, что если два множества Q,i и 0,2 неразложимы,
а их пересечение непусто, то и их объединение неразложимо.
Из этого упражнения следует, что максимальные неразложимые
множества хорошо определены и разделены. Цепно-возвратное множество Г
допускает единственное нредставление в виде объединения попарно
непересекающихся максимальных неразложимых множеств Fj. В ограниченных
областях множества Fj будут лежать на положительных расстояниях друг от
друга. Значит, эти множества таковы, что в них возможна любая рекурсия, и
каждое из Fj неразложимо в том смысле, что малые изменения траектории,
оставляющие ее в пределах F, не могут вывести ее за пределы Fj. (Данное
определение не стандартно для литературы по динамическим системам, где
большинство авторов имеет дело с максимальными топологически
транзитивными множествами, однако мы должны сделать какой-то выбор. Для
систем с аксиомой А разумные выборы эквивалентны. Для систем более
общего вида неизвестно, какой выбор лучше. Мы решили встать на
позицию работы с максимально возможными инвариантными множествами.
Технические вопросы, подобные этому, явились проклятием для попыток
развития четкой математической теории для исследования примеров
главы 2.)
Мы хотим теперь провести качественный анализ неразложимых
инвариантных множеств. Та степень, до которой нам удастся это сделать, во
многом зависит от нашей способности охарактеризовать гомоклиническое
поведение внутри такого множества в терминах гиперболических структур.
Наши усилия можно рассматривать как попытки переноса анализа
динамики подковы на общие неразличимые множества. Обсуждение аттрактора
Лоренца в разделе 5.7 иллюстрирует дополнительные трудности, которые
могут иметь место в непрерывных системах.
Определение 5.2.6. Пусть Л — инвариантное множество для
дискретной динамической системы /: М" -^ R". Гиперболической структурой
для л называется непрерывное инвариантное разложение в прямую
сумму ТдК" = Е"^ ф £'д, обладающее таким свойством: существуют
постоянные С>0, 0<А<1 такие, что
A) если V е Е^, то \Df-"{x)v\ < CX"\v\;
B) если V е Е^, то \Df"-{x)v\ < CA"|u|.
Сделаем несколько замечаний.
(i) В данном определении ТлМ" состоит из всех касательных векторов
к R" во всех точках множества Л. Для каждого х G А Т^М" является
касательным пространством в точке х, и T^^R" = Е" ф _Б| представляет собой
разложение этого векторного пространства в прямую сумму подпространств
размерностей и и s {и + s = п).
298 Глава 5
(ii) Производная Df отображает T^R" в Тд-^.^М". Для
инвариантности определения требуется, чтобы Df{E^) = Щг^\ и Df{E") = Щг^)-
Непрерывность разложения означает, что при изменении ж е Л в _Б" и Е^
можно найти непрерывно изменяющиеся базисы. В общем случае такое
разложение нельзя выбрать гладким.
(iii) Условия гиперболичности A) и B) означают, что, с точностью до
бесконечно малых величин, векторы в Е" (соответственно, в Е")
сжимаются экспоненциально в прямом (соответственно, в обратном) времени с
экспоненцильной скоростью А равнолгерно для всех точек из К и всех
выборов векторов в инвариантных подпространствах.
Равномерная гиперболичность трудна для проверки в конкретных
примерах. Ряд вычислительных процедур, протестированных на наборе
примеров, показал бы существенный прогресс попыток превратить теорию
динамических систем в средство для строгого анализа конкретных систем.
Тем не менее, гиперболичность играет центральную роль в больщинстве
рассмотрений хаотической динамики.
Упражнение 5.2.8 (Проработанное частично). Постройте гиперболическую
структуру для кусочно-линейной подковы из раздела 5.1.
Решение. Разложение T^R" = _Е" ф _EJ в каждой точке ж е Л можно по-
оо оо
строить, ВЗЯВ подходящие части множеств Р| f"{S) и Р| f^"{S) соответствен-
НО. Каждое из этих множеств пересекает S по некоторому канторову множеству
сегментов. Следовательно, для всех х Е^ является вертикальной прямой, а _Е| —
горизонтальной прямой: см. рисунок 5.2.2. Далее, поскольку отображение линейно
на Н\ и Н2 и
Df: ^±^ О
О ±11
то оценкам, приведенным в определении 5.2.6, можно удовлетворить, взяв в
качестве Л наибольшее из чисел Л и уи^ , а С положить равным единице. Данное
разложение неизменно, так как отображение линейно на каждом участке и имеет те
же собственные векторы.
В этом примере мы рассмотрели кусочно-линейное отображение
подковы, ограниченное на Hi U Н2 С S. Идею гиперболичности можно также
применить к более общим нелинейным отображениям, и мы сейчас опишем,
как проверять гиперболичность в таких случаях. Мы основываемся на
изложении Мозера [1973], книгу которого рекомендуем читателю для более
подробного ознакомления, и концентрируемся на подкове и ее обобщениям.
Поскольку мы хотим обобщить наши методы на нелинейные
отображения, нам потребуется более широкое определение горизонтальной и
вертикальной полосок {Н{\, {Vi\ квадрата S = {(ж, у) е М | О ^ ж ^ 1,
0<2/<1}:
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
299
Mv\ 'г-
/
Рис. 5.2.2. Разложение для подковы.
Определение 5.2.7. Вертикальной кривой х = v{y) называется такая
кривая, для которой
О < "(у) < 1, \v{yi) - У{у2)\ ^ Ц\У1 - У2\ приО < J/1 < J/2 < 1 E.2.1)
для некоторого /i е @,1). Аналогично, горизонтальной кривой у = h{x)
называется такая кривая, для которой
О < h{x) < 1, \h{xi) — h{x2)\ < ц\х\—Х2\ при О < a;i < а;2 < 1. E.2.2)
Для двух данных непересекающихся вертикальных
кривых vi{y) < 1'2{у), У е [о, 1], можно определить вертикальную полоску
V = {{х,у) I хе [vi{y), V2{y)]] ye [0,1]},
E.2.3)
а для двух данных непересекающихся горизонтальных кривых hi (ж) </i2 (ж),
ж е [0,1], мы имеем горизонтальную полоску
Н = {{х,у) \хе [0,1]; уе [hi{x), h2{x)]}.
E.2.4)
Наконец, ширина горизонтальной и вертикальной полосок определяется
формулой
d{V) = max \v2{y) — vi{y)\, d{H) = max \h2{x) — hi{x)\. E.2.5)
ye[o,i] же[о,1]
Теперь легко доказать следующие утверждения:
300
Глава 5
Лемма 5.2.1. Если V^ ^ V^ ^ V^
последовательность
вложенных вертикальных [или горизонтальных) полосок, причем d{V'') -^ О
при fc ^ 00, то V'' = П ^'^ является вертикальной [или горизонтальной)
кривой.
к=1
Лемма 5.2.2. Любая вертикальная кривая v{y) и любая
горизонтальная кривая h{x) пересекаются ровно в одной точке.
Таким образом, каждой паре кривых (и, следовательно, каждой паре
вложенных последовательностей полосок) соответствует ровно одна
точка а; G 5. Теперь сформулируем гипотезы об отображении /: 5 ^ М .
Заметим, что мы можем иметь любое число горизонтальных и вертикальных
полосок (в действительности, Мозер допускает наличие счетного
множества полосок).
Ш. Пусть 5^ — множество {1, 2, ..., N} и пусть Hi, Vi —
раздельные горизонтальные и вертикальные полоски (г G 5^), причем /{Щ) = Vi
(г G У).
Н2. / равномерно сжимает вертикальные полоски, а /^^ равномерно
сжимает горизонтальные полоски, т. е. если ui, «2 — две любые
вертикальные кривые, ограничивающие некоторую вертикальную полоску ¥( С Vi,
то множество /(V/) П Vj является вертикальной полоской, причем
d{f{Vl)r}V^)^vd{Vl)d{Vj)/d{Vi)
для некоторого v G @,1) и любых i, j G S/'. Аналогично, если h\, /12 - две
любые горизонтальные кривые, ограничивающие некоторую
горизонтальную полоску Н[ С Hi, то множество f~^{H^)nHj является горизонтальной
полоской, причем
d{f-^{H'i)r\Hj) < yd{H'i)yd{Hj)/d{Hi).
Если мы имеем С^-отображение / = (Д, /2) с линейной частью Df
вида
п,,
ч)
га/1
дх
df2
_ дх
9/i1
ду
9/2
ду .
(i\ def
\V
а Ъ
с d
(^
\Г]
E.2.6)
то в качестве альтернативы для Н2 можно взять следующую гипотезу.
НЗ. Существуют множества (пучки секторов) 5" = {{£,,1]) \ \£,\ < /i|»?|},
определенные на [J Vi, ж S" = {{£,,1]) \ \ri\ < ц\£,\}, определенные
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
301
на и Щ, где ц G @,1), такие, что Df{S") С 5" и Df-^{S'') С 5^
Кроме того, если 1?/(Со,»?о) = (Ci,»?i) и Df-^{^o,Vo) = (^-b»?-i), то
|»?i| ^ (I/m)!*! и 1^-11 > (l//i)|a;io| (см. рисунок 5.2.3).
(Ь)
Рис. 5.2.3. (а) Полосы Щ, Vi\ (b) сектора S", S".
В действительности, так как мы интересуемся лишь проверкой
гиперболичности в окрестности Л, то НЗ должно выполняться лишь в iV^
«квадратах» У (Vi П ilj), а не на всех полосках. Как мы увидим, такое ослаб-
ление требования иногда бывает полезно в приложениях.
Справедливо такое утверждение.
Предложение 5.2.3.
где V = /i/(l — /i).
Из Ч] и 43 с О < /I < 1/2 следует Н2,
Для доказательства этого результата надо сначала убедиться, что, как и
в кусочно-линейном случае, прообраз для / любой горизонтальной
полоски Hi является совокупностью более тонких горизонтальных полосок Hji,
а образ любой вертикальной полоски Т4 является совокупностью более
тонких вертикальных полосок Vki- Затем проверяются оценки сжатости
d{Hji) < iyd{Hj) и d{Vki) < i^d{Vk), где 1У = /i/(l - ц).
Теорема 5.2.4. Если f является двумерным диффеоморфизмом,
удовлетворяющим HI м Н2, то / обладает инвариантным множеством Л,
топологически эквивалентным сдвигу а наТ, — множ:естве бесконечных в
обе стороны последовательностей, составленных из элементов S/'.
Иными словами, существует гомеоморфизм h: Ti ^ К такой, что /|Л =
302 ГЛАВА 5
= ho а oh ^. Кроме того, если f является С"^ -диффеоморфизмом {г ^ 1),
удовлетворяющим Ш и НЗ для ц е @,1/2), причем |det(I?/)| ^ хМ"^
2'
и I det(I?/)| ^ ^ ;r/i ^, то Л гиперболично.
Замечание. В случае сохранения площади | det(£)/)| = 1, поэтому
последнее условие выполняется для консервативных и слабо диссипативных
систем.
Доказательство (Мозер [1973]). Мы обобщим аргументы раздела 5.1.
Определим по индукции полоски Va_-^a_2 . . . а_„ = /(К_2а_з . . . а_„ ) П Т4_1
^Haaaia2...a„ = 1''^{На1а2...а„)Г]На„. (ЗаМетИМ, ЧТО МНОЖеСТВа Fjj =
= /(K)nVj nHji = f^^{Hi)C\Hj, фигурирующие в гипотезе Н2, являются
частными случаями и что Vkji = /(V,») П Т4 = Р{Уг) П f{Vj) П Т4, и т.д.)
В силу Н2, имеем с!(К_,а_,...«_,.) < vd{Va_2... а_ J < г^"-'ог(К_„) < г.""!
и dHa„ai.. .а„ ^ ^^"^{На„) ^ г^". Персходя к пределу при п ^ оо,
имеем, по лемме 5.2.1, для каждой пары последовательностей единственную
горизонтальную и вертикальную кривую:
Via) = П Va_
ia_2 ■ ■ ■ ci—71 •>
Н{а) = П ^«
тг=0
откуда, по лемме 5.2.2, существует единственная точка х = V{a) П Н{а),
соответствующая последовательности а(а;)={. .. а_„... а_2Я-1ЯоЯ1Я2- • -jeS.
Из построения следует, что последовательность а{х) описывает орбиту х
под действием /, так как
оо оо
/И = (П^«оа_,...а_„)П(П^«1«---<
п=0 п=1
соответствует сдвинутой последовательности
(т(а(а;)) = { .. . а_„ ... а_2Я-1Яо ' Я1Я2 ... Яп • • • }•
Наконец, остается показать, что соотношение х = h{a.{x)) является
гомеоморфизмом. Непрерывность h следует из факта, что если а^ = а'^
для \к\ ^ j, то обе точки х = /i(a) ж х' = /i(a') лежат в T4_i.. .а_ и
в Яао... а,. Поскольку (i(T4_i... а_,) < г^''"^ и d{Ha„... а, < г^-', то \х -
— х'\ ^ A/A — м))(г^"' + ь'^~^)- Так как компоненты i7j, Vj разделены,
то h инъективно. Мы оставляем читателю проверку непрерывности h~^ и
последнего утверждения теоремы на основе предложения 5.2.3. ■
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность 303
Замечание. Очевидно, что диффеоморфизм /, удовлетворяющий
условиям теоремы 5.2.4, можно подвергнуть С^ возмущениям без нару-
щения HI и НЗ, поэтому /|л структурно устойчиво, как и утверждалось
в разделе 5.1.
В качестве примера использования данного метода используем задачу
о подскакивающем мяче из раздела 2.4 (уравнение B.4.4))
1а,-/{Ф, и) ^ @ + и, аи - 7 со8{ф + v)). E.2.7)
Мы уже демонстрировали существование топологических подков,
полосок Hi, Vi таких, что fa,-y{Hi) = Vi, (г = 1, 2). Теперь мы покажем, что эти
подковы при некоторых дополнительных ограничениях гиперболичны.
Вначале напомним предществующий результат, а затем получим для данного
примера оценки НЗ для пучков секторов.
Лемма 5.2.5. Для а = Iw^/ ^ Атг отображение /«^^ обладает
топологической подковой, т. е. существуют «горизонтальные» и «вертикальные»
полоски Hi, Vi такие, что fa,^{Hi) = Vi, {i = 1, 2).
Здесь мы отходим от условий Мозера E.2.1)-E.2.2) в том, что
«горизонтальная» полоска считается ограниченной кривыми v = у{ф), где \v'\ < 2,
а «вертикальная» полоска ограничивается кривыми ф = ф{у), где \ф'\ < -.
Доказательство. Заметим, что при а = 1 отображение / периодично
ж по ф, ж по V с периодом 27г. Не теряя общности, выберем в качестве
основной области Q параллелограмм ABCD, ограниченный прямыми ф +
+ г> = О {АВ), ф + у = 2тг (CD), ф = 0 (AD), ф = 2тг (ВС). Заметим, что Q
расслаивается семейством прямых ф+v = /с, /с е [О, 27г], причем образы этих
прямых под действием / представляют собой вертикальные отрезки ф = к,
V е [/с — 27Г — 7 cos к, к — ^ cos к]. Наконец, образами границ 0 = О и 0 = 27г
являются кривые v = ф — ^/совф, v = ф — 2тг — '^/совф: см. рисунок 5.2.4.
Для получения двух раздельных полосок изучим образы сегментов
из Q, лежащих на прямых ф + v = к, где /с = 0,7Г и 27Г. Каждый из
образов является вертикальным отрезком, на котором ф постоянно, а v
меняется в промежутках [—27г — 7> ^7]' [^^ + 7j ^ + 7] и [—7i ^тг — 7] ''°"
ответственно. Как легко проверить, при 7 > 47г образы обоих сегментов
для значений к = О и к = 2тг лежат ниже Q, а образ сегмента для
значений к = тт лежит выще Q. Кроме того, простые расчеты показывают, что
при 7 > 47Г угловые коэффициенты кривых, ограничивающих Vi и V2 по
модулю больше, чем 2, а для кривых, ограничивающих Hi и Н2, они по
модулю меньше 2.
Замечание. 1. Более тонкие оценки показывают, что величину 7 можно
несколько уменьшить, не разрушая топологию полосок.
304
Глава 5
Рис. 5.2.4. Подкова для fa, -у из уравнения E.2.7): а = 1, 7 = бтг.
2. Так как образы A'D' и В'С отрезков AD и ВС даются формулами
V = ф — ^f cos ф nv = 0 — 27Г — 7 cos ф соответственно, несложно рассчитать
границы, между которыми должны лежать вертикальные полоски Vi viV2.
Их можно найти как подходяш;ие корни следующих уравнений.
Vi : корни уравнений ф — ^ cos ф = —ф
и 0 — 27Г — 7 cos 0 = 27Г — 0 (в промежутке (О, тг));
E.2.8)
Vi : корни уравнений 0 — 27г — 7 cos ф = 211 — ф
и 0 —7COS0 = —ф (в промежутке (тг, 27г)). E.2.9)
Легко видеть, что при возрастании 7 эти корни сходятся
соответственно к 7г/2 и 37г/2, при этом ширина Vi и V2 уменьшается. Например, решение
уравнений E.2.9) показывает, что для 7 = бтг значения координаты ф для
точек Vi и V2 лежат в интервалах A,39, 2,13) и D,48, 5,49)
соответственно. Используя обратное отображение /^^, получим для соответствуюш;их
горизонтальных полосок границы ф-\-у = 1,39, 2,13 и 4,48, 5,49 (все
координаты даны в радианах). Далее, мы имеем такое утверждение.
Лемма 5.2.6. Для а = 1 и достаточно больших 7 (бтг достаточно)
существуют пучки секторов S"{p), S''{p), базирующихся в точках
р G и {Hi П Vj), центрированных по линиям ф = const и ф + v =
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность
305
= const соответственно и имеющих угловой разворот тт/А, так что
Df{S"ip)) с S"ip) и 1?/-^E*(р)) с 5*(р). Кроме того, Df{p)
увеличивает вертикальные расстояния, по крайней мере, в 5,5 раз, а Df^^
увеличивает горизонтальные расстояния, по крайней мере, в 4,5 раза {см.
рисунок 5.2.5).
г>0
(а) "- ib)
Рис. 5.2.5. Сектора «'"(р) и S''{p): (а) «'"(р); (Ь) S''{p).
Замечание. Здесь линии ф + v называются «горизонтальными».
Доказательство. Линеаризуя отображение, имеем
Df
1 1
г 1 + г
Df
-1
1 + г -1
—г 1
E.2.10)
где г = 7sin@ + v) или, соответственно, 7sni(^. Из вышеприведенных
оценок следует, что при 7 ^ 57г мы имеем 0 + w е A,39, 2,13) U D,48, 5,49)
для р Е Hi и Н2, и в таких же границах изменяется ф для р G Т4 U V2.
Это показывает, что для точек р G |J {Hi nVj) выполнены неравенства
*,i=i,2
I 8т{ф + v)\, I sin^l > 0,716 или |7sin@ + v)\, |7sin0| > 11,24.
Мы рассмотрим здесь лишь оценку для сектора 5", так как для S""
она аналогична. Рассмотрим образ сектора 5", изображенного на
рисунке 5.2.5, под действием отображения Df. Пусть «углы» 5"
определяются точками (±0,414, 1) (tg тт/8 « 0,414). Взяв г = 11,24, мы получим
образы A,414, 16,89) и @,586, 7,587), A,414, -14,893) и @,586, -5,587).
Поскольку для точек р (z Hi Г\ Vj имеем
|7sin@ + v)\ > 11,24, а с
306 Глава 5
ростом \г\ образы данных секторов будут еще длиннее и тоньше, то нужные
оценки получены.
Расчеты «горизонтальных» секторов, ограниченных прямыми с углами
наклона —7г/8, —Зтг/В, несколько более громоздки, но вполне аналогичны.
Наконец, отметим, что при 7 > бтг имеем |7sin@ + v)\, |7sin0| > 11,24,
поэтому при всех 7 > бтг наши оценки выполнены. ■
Эти две леммы позволяют установить гипотезы HI и НЗ. При нашем
выборе секторов мы должны взять /i = tg 7г/8 ~ 0,414. Оценки для пучка
секторов показывают, что / отображает вертикальные полоски в
вертикальные полоски со сжатием, равным, по крайней мере, v = /i/(l — /i) w 0,706,
a /~^ отображает горизонтальные полоски с тем же сжатием.
Вследствие теоремы 5.2.4 данные факты в сочетании с
выполняющимся при а = 1 неравенством det(I?/) = det(I?/~^) = 1 < l/2fl^ « 2,917
приводят к такому результату:
Теорема 5.2.7. Для 7 5? бтг м а = 1 отображение E.2.7) обладает
инвариантным гиперболическим канторовым множ;еством Л. Отображ;е-
ние f, суж;енное на А, гомеоморфно сдвигу последовательностей из двух
символов.
Таким образом, мы доказали, что проблема подскакивающего мяча
обладает подковой при а = 1 и достаточно больших 7- Более того, из
структурной устойчивости Л следует, что мы можем немного уменьшить а, не
разрушая подкову. С другой стороны, зафиксировав а < 1, мы можем
повторить вышеприведенные оценки для получения нижней границы значений 7,
при которых существует подкова:
Упражнение 5.2.9. Покажите, что для достаточно больших 7 и а = -
отображение подскакивающего мяча /а,-, обладает гиперболической подковой. Оцените 7-
Упражнение 5.2.10 (см. Devaney, Nitecki [1979]). Покажите, что отображение
Хенона (ж, j/) -^ [а + ру — х'^, х) имеет гиперболическую подкову при а > E +
+ 2^5)A + |/3|O4и,3/0.
Хотя подковы и не являются аттракторами, их присутствие в
дискретных динамических системах имеет важные следствия для физически
наблюдаемых движений. (Если обсуждаемые отображения являются
отображениями Пуанкаре для потоков, то аналогичные наблюдения применимы
к решениям ассоциированных дифференциальных уравнений.) Мы уже
познакомились в главе 2 с численными результатами, свидетельствующими о
возможной чувствительной зависимости решений дифференциальных
уравнений и отображений при наличии нодков. Такую зависимость можно
понять в терминах структуры множеств Е'д и Е^ из определения 5.2.6 (см.
рисунок 5.2.2). Для (линейной) подковы каждое из этих множеств является
5.2. Инвариантные множества и гиперболичность 307
произведением интервала и канторового множества. Отсюда следует, что
если X лежит на некоторой орбите, асимптотической к какой-либо
орбите 71 G Л, то в любой окрестности х найдутся точки yj, орбиты которых
асимптотически стремятся к орбитам 7j С Л, символические орбиты
которых совершенно отличны от 71 на достаточно отдаленных позициях. Кроме
того, существуют открытые множества орбит, стартующих вблизи х и
покидающих в конце концов окрестность Л, сохраняя «параллельность»
различным членам неустойчивого многообразия _Б". Таким образом, орбиты,
стартующие близко друг от друга, могут иметь совершенно разные судьбы.
Орбиты, асимптотические к Л, образуют устойчивое
многообразие W^{K), которое может задавать очень сложные границы областей
притяжения для разных аттракторов: в этом подкова проявляет себя аналогично
хаотической седловой точке. Таким образом, при наличии подков
ожидаемы (долговременные) хаотические переходы, прежде чем орбиты
«установятся» на некотором положении равновесия или периодическом движении.
Хотя почти все орбиты (в смысле меры Лебега), проходящие вблизи Л,
рано или поздно покидают окрестность этого множества, само присутствие
последнего драматически влияет на их поведение. Теорема об
устойчивом многообразии для гиперболических множеств точно описывает, как
точки гиперболического инвариантного множества проявляют седловое
поведение, а также приводит к топологической характеристике хаотической
природы динамики внутри инвариантного множества:
Теорема 5.2.8 (Hirsch, Pugh [1970]). Пусть Л — компактное
множество, инвариантное для С^-диффеоморфизма f: М" -^ М", имеющего
гиперболическую структуру -Бд ф -Бд. Тогда существует £ > О и два
семейства многообразий W^{x), W^{x), а; G Л со следующими свойствами:
1) у е W^{x) тогда и только тогда, когда d{f'^{x)^ 1^{у)) ^ е для
всех п ^ 0.
у е W"{x) тогда и только тогда, когда d{f'^{x),f'^{y)) ^ е для
всех п ^ 0.
2) Касательными пространствами к W^{x) и W^{x) в точке х являются
Е^ и Е" соответственно.
3) Существуют такие постоянные С > О, О < А < 1, что
если у е W^{x), то d{f"'{x), f"'{y)) < СА" для всех п ^ О, и
если у е W^{x), то d{f-"-{x), f-"-{y)) < СА" для всех п 5г 0.
4) W^{x) и W"{x) являются вложенными дисками в М". Отображ:ения
множ:ества Л в функциональное пространство С^-влож:ений дисков
в М", заданные формулами х -^ W^ {х) и х ^ W" (х), непрерывны.
308
Глава 5
Точный смысл утверждения D) и доказательство теоремы об
устойчивом многообразии требуют большего обсуждения функциональных
пространств и их топологий, чем это уместно в данной книге. Один из аспектов
этого утверждения, который мы будем использовать, состоит в
непрерывной зависимости касательных пространств и диаметров множеств W^{x)
и W"{x) от X. Учитывая трансверсальность подпространств в
гиперболической структуре, получаем отсюда такое следствие:
Следствие 5.2.9. Пусть Л — компактное гиперболическое
инвариантное множество для диффеоморфизма /: R" -^ R". Тогда существуют
такие 5 > Q и е > Q, что если х,у е Ли d{x, у) < 5, то
множество W^{x) П W^{y) состоит ровно из одной точки.
Доказательство. Если х = у, то касательными пространствами
к W^{x) и W'^{x) будут _Б| и _Б". Они являются дополнительными,
поэтому W^{x) и W^{x) пересекаются трансверсально в точке х. Поэтому для
достаточно малых е множество W^{x) П W^{x) состоит из единственной
точки X. Используя непрерывность инвариантных многообразий и
компактность Л, мы можем выбрать е независящим от х, а затем найти такое 5,
чтобы выполнялось утверждение следствия. ■
Использованная идея иллюстрируется рисунком 5.2.6.
W^Xx)
w:(y)
wX'c)^W^\y)
ЧХу)
ЧЬ)
Рис. 5.2.6. Следствие 5.2.9.
Для линейной подковы из раздела 5.1 локальные устойчивые и
неустойчивые пучки и^'е*(а;) и ljW'e"(a;) содержатся во множествах Е'д и _Бд,
X X
обсуждавщихся выще (см. рисунок 5.2.2).
На протяжении данного раздела, и вообще при нащем изучении
глобальной динамики нелинейных систем, мы щироко пользовались и будем
пользоваться локальной линеаризацией. Например, при доказательстве го-
моклинической теоремы Смейла-Биркгофа в следующем разделе и анализе
гомоклинических орбит для отображений и потоков в главе 6, в то время
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика 309
как знание качественных свойств динамики необходимо, чтобы быть
уверенным в возвращаемости орбит к их начальным точкам, количественные
оценки, действительно позволяющие получать сильные результаты,
основываются на локальном анализе линейных систем. Мы закончим данный
раздел результатом, использующим эти идеи, оставляя доказательство в
качестве упражнения.
Теорема 5.2.10 (Лямбда-лемма, Palis [1969]). Пусть f —
С^-диффеоморфизм в R", имеющий гиперболическую неподвиж:ную или периодическую
точку р, обладающую устойчивым и неустойчивым многообразиями с
размерностями S и и {s + и = п), и пусть D — и-диск в VF"(p). Пусть
А — некоторый и-диск, пересекающий трансверсально W^{p) в
некоторой точке q. Тогда множ:ество [J /"(А) содерж:ит и-диск, произвольно
С^ -близкий к D.
Упражнение 5.2.11. Докажите теорему 5.2.10. (Подсказка: считайте р
неподвижной точкой, так как в случае fc-периодической точки можно заменить / на /*.
Введите локальные координаты (х,у) G R^ х R" в некоторой окрестности U точки р
таким образом, что устойчивое и неустойчивое многообразия локально задаются
формулами у = О и а; = О соответственно. Изучите историю точек из / (Д) и
касательных векторов к / (Д) в пределах окрестности U и покажите, что их поведение
мажорируется линеаризованным отображением Df[p) (см. Palis [1969], Newhouse
[1980].)
Заметим в заключение, что если существует трансверсальная гомокли-
ническая точка q G W''{p) П W"{p), то в качестве Д из теоремы 5.2.10
можно выбрать некоторый и-диск из W"{p). В этом случае из лямбда-леммы
следует, что множество W"{p) скапливается само к себе, откуда в случае
S = и = 1 (п = 2) следует появление гомоклинического сплетения, с
которым мы уже встречались (см. рисунок 5.2.7). Отметим, что для появления
такой структуры не требуется, чтобы отображение сохраняло площадь (или
объем).
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
Теорема об устойчивом многообразии (теорема 5.2.8) и ее следствие
служат основой для обеспечения гиперболических инвариантных множеств
символическим представлением, удобным для описания их динамики. На
протяжении данного раздела мы будем считать Л компактным
гиперболическим максимальным инвариантным множеством для некоторого С'-диф-
феоморфизма /: М" -^ М". Кроме того, мы фиксируем s ж 5 такими же,
как в теореме об устойчивом многообразии и ее следствии: W^ (х) и W" {у)
310 Глава 5
Рис. 5.2.7. Лямбда-лемма влечет гомоклинические сплетения.
являются вложенными дисками, и из неравенства d{x, у) < 5 следует, что
W^{x) П W"(y) состоит ровно из одной точки.
Предложение 5.3.1. Если Л неразложимо и максимально, а х,у (z А,
причем d{x, у) < 5, то Wl{x) П W^{y) е А {и W,'{x) П W^{y) е Л).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть z е W^{x) П W"(j/) и р > 0.
Выберем П1,П2>0 таким образом, что d{f^^{z), f^^{x)) < р/2
и d{f-"-^{z), f-"-^{y)) < р/2. Из факта, что f"-^{x), f-"-Hy)) G Л, а Л
неразложимо, следует, что существует /э/2-возвратная цепочка {iti, . . ., Uk]
из f'^^{x) в /~"^(у) (см. определение 5.3.2). Отсюда следует, что
{z, . .., /"'i(z), И2, • • • 5 Mfe_i, /^B;), ..., z} является /э-возвратной
цепочкой для Z, т. е. Z такая же максимальная неразложимая часть цепно-воз-
вратного множества, как х ж у. ■
Упражнение 5.3.1. Проверьте, что данное предложение выполняется для
инвариантного множества Л в случае подковы.
Данное предложение представляет собой теорему существования, из
которой следует, что асимптотические поведения точки в прямом и
обратном времени обладают, в значительной степени, статистической
независимостью. Это понятие будет использовано при определении разбиений
Маркова. Для построения разбиений Маркова удобно считать, что устойчивое
и неустойчивое многообразия устанавливают «координатную сетку» на Л,
приспособленную для описания динамики. В последующей части данного
раздела мы будем полагать, что Л неразложимо и максимально.
Определение 5.3.1. Прямоугольником для А называется такое
замкнутое подмножество R С А, что для любых х,у е Д
множество W^ {х) П W" {у) состоит из единственной точки, причем эта точка
лежит в R.
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
311
Упражнение 5.3.2. Для примера подковы с е = 1 покажите, что
прямоугольниками являются пересечения множества Л с прямоугольниками, стороны которых
горизонтальны и вертикальны.
Упражнение 5.3.3. Покажите, что если ж G Л, то существуют значения 6, е
такие, что множество R = {у \ существуют w, z такие, что у = W^{z) П W^{w),
W G Wg , z G Wg'{x)} является прямоугольником (см. рисунок 5.2.6).
Из этого упражнения следует, что R можно отождествить с декартовым
произведением W^ {х) П R и W" П R.
Упражнение 5.3.4. Покажите, что пересечение двух прямоугольников является
прямоугольником.
Q
й,
,
(,
' fix)
'
1
,
*W"(f(x),R,)
^[{w\x,R,))
'
^f{W'\x,R,))
W\f{x),R^)
X
W\x,Ri)
'^'
' W\x,Ri)
Рис. 5.3.1. Для подковы fiW^ix, Ri))
С W'ifix), R2)).
D W'4f{x),R2) и f{W'{x,Ri)) С
Заметим, что определенные здесь прямоугольники не являются
прямоугольниками в обычном смысле, они могут быть несвязными множествами
(обычно канторовыми), получаемые нересечением «обычных»
прямоугольников с частями Л. Например, в случае нодковы мы имеем два естественных
кандидата в прямоугольники Ri = Hi П А и R2 = i?2 П Л. Тем не менее,
принято изображать эти прямоугольники так, как будто они являются
прямоугольниками в обычном смысле, см. рисунок 5.3.1. Причина отказа от
использования обычных прямоугольников кроется в том, что хотя
отображение / может быть определено на таких прямоугольниках, его степени
могут не обладать хорогпим поведением вне точек множества Л. Например,
при построении подковы мы установили лишь действие / на S' и не можем
проследить орбиты точек после того, как они покинут S.
312 Глава 5
Прямоугольники для Л будут кандидатами в «состояния», которые мы
используем при символическом описании Л. Они являются аналогом (и
обобщением) множеств Hi в примере подковы. Насколько это возможно,
мы разобьем Л на прямоугольники, так что произвольную точку
множества Л можно охарактеризовать символической последовательностью,
отмечающей прямоугольники, посещаемые ее траекторией. Нет оснований
надеяться на существование взаимно однозначного соответствия между Л
и множеством всех символических последовательностей, как в случае с
подковой. Тем не менее, разбиение Маркова для Л позволяет получить хорошее
символическое описание для Л. Пусть R — некоторый прямоугольник,
положим W^{x,R) = W^{x) n -R и W^{x,R) = W^{x) П R. Внутренность
прямоугольника R, обозначаемая как int R, определяется как множество
таких точек X е R, для которых существует S > О такое, что Wg{x) П А С R
и Wg{x) П А С R. Границей R называется разность R — int R.
Определение 5.3.2. Разбиением Маркова для множества Л называется
конечный набор прямоугольников {-Ri, ..., Rm} = ^ такой, что
1) Л = и Лг;
г=1
2) int Ri n int Rj = 0 при i ^ j;
3) /(VK«(a;,^,)) D VK«(/(a;), Rj) и f{W'{x,Ri)) С VK«(/(a;), Rj) дая
всех X G int-Ri, f{x) G int-Rj. Смотри рисунок 5.3.1.
Мы имеем следующее утверждение.
Теорема 5.3.2 (Bowen [1978]). Компактные максимальные
неразложимые гиперболические инвариантные множества обладают разбиениями
Маркова.
Для построения разбиений Маркова для гиперболического
множества Л читателю следует ознакомиться с работами Bowen [1978] или Schub
[1978]. Ключевой шаг в доказательстве данной теоремы опирается на
свойство затенения псевдоорбит в Л. Будем говорить, что последовательность
X = {xiYi^^ является а-псевдоорбитой для /, если d{xi+i, fi^i)) < ct для
всех а ^ i ^ b. Точка у C-затеняет х, если d{f''{y), Xi) < j3 для а ^ г ^b.
Можно представить себе псевдоорбиту как случайным образом
возмущенную траекторию /, причем на каждой последовательной итерации можно
независимо придавать / возмущения, меньшие а, а затем проводить
следующую итерацию. Такие орбиты, по существу, аналогичны тем, которые
получаются при численных реализациях отображений на компьютере, а также
в физических экспериментах. Следующее предложение устанавливает, что
все псевдоорбиты аппроксимируются траекториями самого отображения /.
Смотри рисунок 5.3.2.
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
313
(а)
F)
f(y) / f\y) _/ [Чу]
Рис. 5.3.2. (а) а-псевдоорбита; (Ь) точка у /3-затеняет х.
Предложение 5.3.3 (леммаозатенении,Во\¥еп [1970,1978]). Пусть
Л — гиперболическое инвариантное множество. Тогда для любого /3 > О
существует а > Q такое, что любая а-псевдоорбита {xi}\^g^, лежащая
в Л, [3-затеняется некоторой точкой у G А.
Доказательство приведено в Bowen [1978] и Newhouse [1980].
Из этого предложения следует, что хотя компьютер может вычислять и
не ту орбиту, какую вы хотите, то, что он строит, является все же
аппроксимацией некоторой истинной траектории рассматриваемой системы.
Разбиения Маркова непосредственно приводят к хорошему
символическому описанию динамики гиперболических множеств Л. Символьное
пространство представляет собой множество бесконечных в обе стороны
последовательностей с конечным набором элементов (прямоугольники
разбиения), а динамика / порождается отображением сдвига на
последовательностях. Теперь опишем формально результирующий объект, подсдвиг
конечного типа.
Пусть Й? = (i?i, ..., Rjn) — разбиение Маркова для множества Л,
состоящего из замкнутых прямоугольников. Определим (ш х ш)-матри-
цу А = {Aij), полагая Aij = О для тех значений индексов, для которых
ЫНг nf^^imt Rj) = 0,
и Aij = 1 в противном случае. Определим 'Еа как множество
бесконечных в обе стороны последовательностей а = {cii}fZ-oo' '^г ^ {^i • • • > '^}'
удовлетворяющих свойству Aa;a;+i = 1 для всех i G Z. Отображение
сдвига а таких последовательностей дается формулой сг(а) = Ь, где bi = a^+i.
Очевидно, о-{^а) = ^А- Множество ^а вместе с отображением сдвига а
называется подсдвигом конечного типа с матрицей перехода А. Заметим,
что YiA является замкнутым подмножеством множества бесконечных в обе
стороны последовательностей из символов {1, ..., ш} и, следовательно.
314 Глава 5
представляет собой компактное метрическое пространство с метрикой,
взятой из Е. Символическая динамика Л, ассоциированная с Й?, описывается
следующим предложением.
Предложение 5.3.4. Для любого а £ Т,а множество р| /"■' {Ra ) со-
стоит ровно из одной точки, обозначаемой-к {а). Отображ:ение тг: Tia -^ Л
является непрерывной сюръекцией, тг о сг = / о тг, причем тг взаимно одно-
т
значно намнож:естве р| (/*( |J int-R^)) С Л.
iez j=i
Доказательство смотри в Bowen [1970].
Исключая подмножество Л, состоящее из точек, чьи траектории
пересекают границу некоторого прямоугольника, данное предложение утверждает,
что подсдвиг конечного типа дает правдивое топологическое представление
гиперболического множества Л вместе с его динамикой. Если Л нуль-мерно
(канторово множество, аналогичное инвариантному множеству подковы), то
разбиение Маркова для Л можно выбрать так, что его прямоугольники
попарно разделены. Таким образом, нуль-мерные гиперболические множества
топологически сопряжены подсдвигам конечного типа. Множества Л более
высокой размерности можно получить из подсдвигов конечного типа путем
идентификации последовательностей, подобной различению двух
действительных чисел по их десятичным представлениям (см. введение к данной
главе).
Упражнение 5.3.5. Определим /: С -^ С (комплексные числа) формулой
f{z) — z^. Покажите, что окружность S^ — {е^'^'^ | О Sj 0 < 1} инвариантна для /,
Пусть Е — пространство односторонних символических последовательностей: Е =
= {{ai}°^o \ CLi = Q или 1}, и а: Е ^ Е — отображение сдвига. Покажите, что
отображение тг: Е ^ S'^, определенное формулой 7г(а) — е^'^^ , где а — двоичное
представление 9, удовлетворяет уравнению /отг = -к о а. Докажите, что существует
такое г е S^, что множество {z^ }п^о плотно в S^.
Упражнение 5.3.6. Вернитесь к отображению Ван дер Поля из раздела 2.1 и
изучите его динамику в свете вышеприведенной дискуссии.
Фактически все анализы хаотического поведения в конкретных
динамических системах включают идентификацию гиперболических
инвариантных множеств. Зачастую неясно, не являются ли найденные множества
частью больших неразложимых инвариантных множеств. Это важный
вопрос, к которому мы еще вернемся в данной главе. В качестве приложения
символической динамики, мы докажем одну теорему Смейла
устанавливающую критерий существования гиперболических инвариантных множеств
для потоков. Конструкция, используемая при доказательстве этого резуль-
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
315
тата, типична для большинства рассуждений, обосновывающих
существование хаотических инвариантных множеств.
Теорема 5.3.5 (Гомоклиническая теорема Смейла-Биркгофа).
Пусть /: М" -^ М" — некоторый диффеоморфизм, имеющий
гиперболическую неподвижную точку р, и существует точка q ф р трансверсаль-
ного пересечения W^{p) и W^{p). Тогда / обладает гиперболическим
инвариантным множеством Л, на котором f топологически эквивалентно
некоторому подсдвигу конечного типа.
Доказательство. Идея доказательства состоит в отыскании такой
итерации отображения /, которая выглядит на графике аналогично
подкове, см. рисунок 5.3.3. Мы сделаем это, выбрав для начала малую
окрестность и точки р, свойства которой будут установлены в процессе
доказательства. Поскольку /*((/) -^ р при г -^ +оо при г ^ — оо, существуют
такие m,n > О, что q G f\U) для I ^ т и q ^ f~^{U) для к ^ п
(рисунок 5.3.4). При аккуратном выборе U мы получим разбиение Маркова
из раздельных множеств, состоящее из U,V С f~^{U) П f\U) и f^{V)
для —1<г<к. Этот процесс требует тщательного анализа траекторий,
проходящих вблизи q.
и
-Пи)
Рис. 5.3.3. Теорема 5.3.5.
Возьмем малые окрестности Ws и Wu точки q, лежащие на ее
устойчивом и неустойчивом многообразиях соответственно. Мы исследуем
итерации f^\Ws) и f'^{Wu)- Поскольку f'^{q) £ U при к ^ п,
множество f'^{Wu) П и непусто. Кроме того, /'^(VK„) пересекает W трансвер-
сально в точке f^{q), так как Wu пересекает W^ транс вер сально в
точке q. Локальный анализ, включающий Л-лемму Palis [1969] (см. Newhouse
[1980]), приводит к выводу, что /'^(W«) П U приближается к W^{p)
316
Глава 5
^1':
//
iiif
riv)
LT-u пи)
/
w„
f\v) [iv)
riv)
Ж
'5
» 9
wcr{u)nfiu)
Рис. 5.3.4. Еще один рисунок для теоремы 5.3.5.
при к ^ 00. Аналогично, f^ (Ws) П U приближается к W^{p) при I -^ оо.
Следовательно, для достаточно больших к,1 и окрестностей Wu,Ws
нужных размеров /'^(VK„) и f^^{Ws) имеют ровно одну точку пересечения,
и последняя лежит в U (см. рисунок 5.3.4). Наконец, мы выбираем в
качестве V ту компоненту множества f~^{U^ П f\U), которая содержит q.
В итоге множества U hV таковы, что U и /*(F) разделены при —l<i<k.
Сделав такой выбор, построим набор раздельных множеств {U; fiV),
—1<г< к}, образующих разбиение Маркова Й? для нуль-мерного
инвариантного множества. Матрицей перехода А для Й? является такая матрица
размера {к + 1) х {к + I):
1
0
0
1
1
0
0
0
0 .
1 .
0 .
0 .
• 0]
. 0
. 1
• 0.
в частности, образ множества U под действием / ^ пересекает это
множество по вертикальным полоскам, содержащим W^{p) и f^{Wu), и мы
получаем для отображения f^^^ сдвиг на двух символах, который
превращает это отображение в подкову.
Упражнение 5.3.7. Сравните наш вариант теоремы Смейла-Биркгофа с теми,
которые приведены в Smale [1963] и Moser [1973, с. 181-188].
В заключение данного раздела мы наметим анализ Levi
притягивающего множества для уравнения Ван дер Поля, обсужденный в разделе 2.1
5.3. Разбиения Маркова и символическая динамика
317
^^^^ш
^^
KZZK
й,
(s, ^
ш
V,
ш
^у 1/>
It/ >
R,
Щ.
V^
Дз
v^
Cjr^
&
R4
я.
Рис. 5.3.5. Отображение Ваи дер Поля кольца F: R+
в параграфе 2.1, стр. 107.
Д+. Определения Д+ см.
и проиллюстрированный рисунком 2.1.5(b). Мы отсылам читателя за
подробностями к работе Levi [1981]. Здесь мы конкретизируем рассмотрения
раздела 2.1, определяя отображение кольца геометрически следующим
образом (рисунок 5.3.5). Допустим, что кольцо D разделено на восемь
вертикальных' полосок Vi, Ri, г = 1, ..., А, показанных на рисунке, так что
четыре образа
Щ = F{Vi)
являются горизонтальными' полосками, а четыре образа Si = F{Ri) лежат
в i?i и i?4, как изображено. Мы определим притягивающее множество я/
обычным образом:
^= p|F"(L»). E.3.1)
Допустим далее, что отображение F на Vi осуществляет сжатие вдоль
вертикали и растяжение по горизонтали контролируемым образом, так что имеют
место аналоги лемм 5.2.1 и 5.2.2. Заметим, что равномерное растяжение по
горизонтали во всем кольце невозможно, в частности, в областях i?i и R4
отображение — сжимающее в обоих направлениях.
Levi [1981] доказал, что я/ содержит две притягивающие неподвижные
точки, соответствующие двум решениям периодов B/с±1)Г,
обсуждавшимся в разделе 2.1. Кроме того, он показал, что si содержит также
инвариантное гиперболическое канторово множество Л вместе с его неустойчивым
многообразием VK" (Л) и что сужение _F на Л сопряжено сдвигу на четырех
символах. Приведем кратко этот анализ.
Л является множеством точек, орбиты которых никогда не
покидают и Vi, т.е.
Л =
п
и^О-
E.3.2)
'в смысле определения 5.2.5,
318 Глава 5
Очевидно, Л содержит стандартную подкову, так как пара полосок с
индексами 2 и 4 удовлетворяет соотношению F{Vi) = Щ, где Н^ пересекает Vi
требуемым образом (вплоть до изменения «направления»). Тем не менее,
Л содержит бесконечно много других точек, так как мы можем
построить матрицу перехода А = [Aij], элемент которой Aij равен единице, если
пересечение F{Vi) с Vj непусто, и нулю в противном случае:
А
■О 1 1 !■
0 111
10 0 0
0 111
E.3.3)
При помогци матрицы А можно определить подпространство 'Еа
пространства всех бесконечных в обе стороны последовательностей из четырех
символов S такое, что Aaiai+i = 1 для всех последовательностей {щ} е Т,а
и г € Z. Тогда из предложения 5.3.4 следует, что F\ сопряжено нодсдвигу
конечного типа с матрицей перехода А, поэтому существует взаимно
однозначное соответствие между орбитами F\ и всеми последовательностями,
не содержащими «запрещенных» пар 11, 21, 32, 33, 34 или 41. Заметим,
что этот подсдвиг содержит полный сдвиг на двух символах 2 и 4, так как
пары из этих символов не запрещены.
Рассмотрим далее множество точек в D, не лежащих в W'^{A).
Очевидно,
WUA) = [f]F-^(\JV?j)nD E.3.4)
является канторовым множеством вертикальных отрезков, разделенных
прообразами
(^f]F-"([JR,))nD E.3.5)
п>0 i
четырех полосок Ri. Нетрудно также видеть, что любая точка, отображаемая
в \jRi, притягивается к одной из двух неподвижных точек, лежащих в Ri
г
И R4, так как
F{Ri), F(i?3) с Ri
и
F{R2), F{Ri) С Ra. E.3.6)
Поскольку множество W^ (Л) инвариантно, а локальные неустойчивые
многообразия W^{x) точек а; е Л с очевидностью содержатся в D, мы
имеем С1(И^"(Л)) С id} Для доказательства того, что id = С1(И^"(Л))
Здесь С1 обозначает замыкание. — Прим. перев.
5.4. Странные АТТРАКТОРЫ И ПОСТУЛАТ УСТОЙЧИВОСТИ 319
заметим, что любая точка из D лежит либо на VK*(A), либо на
устойчивом многообразии одного из двух стоков. В частности, D можно
покрыть открытыми множествами, каждое из которых содержит некоторую
часть VK®(A), так что из лямбда-леммы следует, что существуют образы
этих множеств, лежащие произвольно близко к точкам из VK"(A). Это
показывает, что id С С1(И^"(А)), T.Q. .9^ = С1(И^"(А)), что и утверждалось.
5.4. Странные аттракторы н постулат устойчивости
Доказанная выше теорема 5.3.5 предоставляет условия существования
гиперболических предельных множеств при весьма общих допущениях.
Тем не менее, она не поднимает вопроса о «странных аттракторах». Мы
уже встречались с этим нонятием несколько раз, и подошло время
обсудить его подробно. Рассмотрим для конкретности уравнение Дуффинга для
исследования в плане существования странных аттракторов.
При численном интегрировании уравнения Дуффинга с периодическим
возбуждением обнаруживаются траектории, которые, очевидно, кажутся не
являющимися асимптотически периодическими. Более того, аналитические
методы главы 4 позволяют нам доказать существование в данной системе
трансверсальных гомоклинических точек и вывести отсюда наличие
гиперболических инвариантных множеств. Однако мы не знаем, стремится ли
расчетная траектория к найденному аналитически гиперболическому
инвариантному множеству. Действительно, гиперболическое инвариантное
множество, обнаруженное по теореме Смейла, не является притягивающим, и
множество точек, асимптотических к нему, имеет для С^-отображений
нулевую меру (уравнение Дуффинга аналитично). Таким образом, результаты
согласуются, но из них не следует, что типичная траектория будет
асимптотически хаотичной. В действительности, в некоторых случаях наблюдаются
переходные периоды хаоса, сменяющиеся асимптотически периодическими
движениями. Существование притягивающих инвариантных множеств все
еще остается неопределенным.
Рис. 5.4.1. Притягивающая гомоклиническая петля.
320 Глава 5
Пытаясь сложить связную картину данной ситуации, мы попадаем в
область, в которой теория остается в неудовлетворительном состоянии.
Существуют парадоксальные случаи, в которых различные теоремы,
по-видимому, приводят к противоположным выводам. Первый парадокс включает
определение аттрактора. Наиболее наивное представление об аттракторе
для потока ф1 как о замкнутом неразложимом инвариантном множестве Л,
обладающем свойством: Л обладает окрестностью U такой, что ф1{х) е U
для t ^ О и ф1{х) ^ А для всех х ^ U, рассматривалось в разделе 1.6.
Однако использование такого определения сопряжено с трудностями. Для
плоских векторных полей седловая петля, для которой седловая
величина отрицательна, кажется притягивающей изнутри петли, но не снаружи.
Этот пример не является структурно устойчивым, но не похоже также, что
в таких системах, как уравнение Дуффинга, всегда возникают структурно
устойчивые странные аттракторы. Не очевидно даже, что уравнения
Дуффинга с возбуждением имеют инвариантные множества, больгиие, чем
периодическая орбита, и притягивающие целую окрестность. Следовательно,
мы должны принять более слабое определение.
Определение 5.4.1. Аттрактором называется неразложимое
замкнутое инвариантное множество Л, обладающее свойством: для данного £ > О
в е-окрестности Л существует такое множество U с положительной мерой
Лебега, что для любого х ^ U а;-предельное множество точки х содержится
в Л, а положительная полутраектория точки х содержится в U. Мы будем
называть аттрактор странным, если он содержит некоторую трансверсаль-
ную гомоклршическую орбиту'.
Одна из причин принятия такого определения состоит в том, что
численные результаты, полученные при исследовании динамических систем,
по-видимому, совместимы с результатом идеального эксперимента, в
котором точка выбирается случайно по отношению к мере Лебега (Bennetin et al.
[1978, 1979]). Поэтому нагие определение аттрактора должно служить
хорошей идеализацией утверждения, что имеется положительная вероятность
того, что расчетная траектория будет стремиться к Л^.
Требование неразложимости может быть проиллюстрировано
следующим примером (см. упражнение 1.6.4). Рассмотрим отображение ф1 за
время 1 вдоль потока, генерируемого системой
гу гу гу'-'
у = -у,
'Афраймович и Шильников [21] ввели понятие «квазиаттрактора», подчеркивая тем самым
его возможное отличие от «странного аттрактора», — Прим. ред.
^Современное исследование данного определения аттракторов с позиций физических
примеров проведено Ruelle [1981], который использовал идею цепного возвращения.
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости
321
Рис. 5.4.2. Притягивающее множество не обязано быть аттрактором.
фазовый портрет которой изображен на рисунке 5.4.2. Имеется два стока
в точках {х,у) = (±1,0) и седло в начале координат. Ясно, что при
подходящем выборе множество U, содержащее эти точки, отображается под
оо
действием (^1 в себя, и предельным множеством р| (^"(t/) является замкну-
п=0
тый интервал [—1,1]. Если опустить требование неразложимости, то [—1,1]
является аттрактором, но почти все точки из U являются асимптотически-
оо
ми К одному из стоков в точках (±1,0). Поэтому множество р| <^"(t/) не
и=0
представляет особого интереса. Однако в некоторых проблемах, подобных
оо
примеру Дуффинга, хотя множество р| ф'^{и) содержит периодические
п=0
СТОКИ и потому разложимо, области притяжения этих стоков столь узки
и извилисты, что малые (вычислительные или физические) возмущения
препятствуют выходу типичной орбиты на асимптотически периодический
оо
режим, хотя они остаются произвольно близкими к р| ф'^{и). Здесь отказ
п=0
ОТ требования неразложимости может быть разумным.
Допустим, что мы нашли аттрактор в некоторой динамической системе
при определенном значении параметра. Затем мы хотим узнать, сохранится
ли он для близких значений и существуют ли (аналогичные) аттракторы
для «большршства» значений параметров. Имеются альтернативные точки
зрения на то, какие типы множеств должны считаться важными, а какие —
нренебрежимыми при оценке «типичности» поведения. Здесь мы примем ту
322 Глава 5
из них, в которой явлениями, реализующимися на множествах
положительной меры Лебега, нельзя пренебрегать. Такая позиция отчасти конфликтна
точке зрения о необходимости рассматривать лишь типичные множества:
счетные пересечения открытых плотных множеств. Противоречие состоит в
существовании типичных множеств, дополнения к которым имеют
положительную меру. В качестве иллюстрации опишем одно из таких множеств,
имеющее отношение к анализу одномерных отображений (см. ниже
раздел 5.6).
Выберем числа Q < а < 1иО</3< 1. Мы построим канторово
множество С по индукции, определяя множества Со D Ci D Сг D ... и
оо
полагая С = (^ Ci, где Ci является объединением 2* замкнутых интервалов
г=0
равной длины. Если длина каждого из таких интервалов равна ^i, то для
получения Cj+i из Ci требуется удалить из каждого интервала /,
принадлежащего Ci, открытый интервал J длины о:/3*7 с центром в середине I.
Тогда/—J состоит из двух интервалов длины Gг/2)A —а/З*). Обозначим 1^
общую длину всех интервалов из Ci: li = 2*7b тогда li+i = /j(l — а/З*).
г-1
Отсюда следует, что U = Iq П A ~ о^/З"'), тогда мера множества С равна li =
3=0
оо оо оо
= 1о ПA-а:/3^')-Поскольку Е [1-A-^/3^')] = Е ^/3^' =а/A-/3) < оо,
j=0 j=0 j=0
оо
ТО величина Г1 A ~ а/З-') положительна. Таким образом, С имеет поло-
j=o
жительную меру, несмотря на то, что его дополнение является открытым
плотным множеством на прямой.
Существуют однопараметрические семейства одномерных
отображений, в которых странные аттракторы присутствуют для множеств значений
параметра, во многом похожих на С. Это явление более полно описано
в главе 6. Основываясь на предпосылке, что одномерные отображения
служат хорошей идеализацией для уменьшающих площадь диффеоморфизмов
плоскости, можно предположить существование множеств значений
параметров с положительной мерой для систем Дуффинга, Ван дер Поля и
«подскакивающий мяч», для которых эти системы обладают странными
аттракторами. Отметим, что это лишь предположение, причем оно проти-
воноставляется теоремам Ньюхауса, сформулированным в главе 6. Ответ
на это предположение является, возможно, весьма значительной
теоретической проблемой в наших теперешних попытках применить теорию
динамических систем к этим примерам. С практической точки зрения,
можно возразить, что этот вопрос не так важен, так как наличие шума в
реальных системах и вычислительных ошибок при расчетах на компьютере
делает долгопериодические орбиты с извилистыми областями притяжения
5.4. Странные аттракторы и постулат устойчивости 323
неразличимыми от странных аттракторов. Однако этот вопрос
высвечивает неполноту нашего понимания даже динамики геометрических моделей
наших систем.
При обсуждении «распространенности странных аттракторов» с
практической точки зрения мы должны рассмотреть вопрос о структурной
устойчивости. Напомним (см. раздел 1.7), что динамическая система
структурно устойчива, если малые возмущения класса Ci приводят к
топологически эквивалентным системам. Исторически, структурно устойчивые
странные аттракторы занимают важное место в развитии теории динамических
систем вопреки тому факту, что все известные примеры таких аттракторов
определяются геометрически, а не при помощи явных уравнений,
мотивируемых физическими моделями. В самом деле, опыт изучения векторных
полей на плоскости подсказывает, что все векторные поля обладают
структурно устойчивыми возмущениями, и поэтому обычно можно игнорировать
структурно неустойчивые системы (см. теорему Пейксото). Этот принцип
воплощается в постулате устойчивости, в котором структурно
неустойчивые системы считаются чем-то подозрительным. Этот постулат утверждает,
что, вследствие неопределенностей измерений и т.д., всякая модель
физической системы имеет ценность лишь при условии, что ее качественные
свойства не меняются под действием возмущений. В случае динамических
систем это означет, что структурная устойчивость вводится как априорное
ограничение на «хорошие» модели физических явлений.
Логика, лежащая в основе этого постулата устойчивости, достойна
осуждения. Действительно, некоторые динамические системы (такие как
уравнения Лотки-Вольтерра из биологии популяций и гармонический
осциллятор без трения) не являются хорошими моделями для тех явлений,
которые они должны описывать, так как возмущения приводят к различным
качественным свойствам. Тем не менее, предполагаемые в наших
примерах странные аттракторы структурно неустойчивы, и мы уверены, что эти
системы являются реалистичными моделями для хаотического поведения
соответствующих (детерминированных) физических систем. Однако, так
как эти системы структурно неустойчивы, детали их динамики, не
сохраняющиеся при возмущениях, могут не соответствовать проверяемым
физическим свойствам систем. Ситуация аналогична вопросу, является ли
длина некоторого стержня рациональным или иррациональным числом
(качественное свойство). Ограниченность процессов измерения не позволяет
дать осмысленный ответ.
Таким образом, постулат устойчивости можно переформулировать
таким образом, что лишь существенные с физической точки зрения
свойства динамической системы (или семейства динамических систем)
сохраняются при возмущениях системы. Определение существенных физических
свойств зависит, очевидно, от конкретной задачи. Это совершенно отлича-
324 Глава 5
ется от первоначального утверждения, что хорошими системами являются
лишь те, все качественные свойства которых сохраняются при возмущениях.
В этом обсуждении постулата устойчивости мы не фокусировались на
том, какие возмущения допустимы для данной системы. Физические
проблемы зачастую обладают симметрией или удовлетворяют связям, которые
желательно сохранить при рассматриваемых возмущениях. Например, оба
уравнения Ван дер Поля и Дуффинга сохраняются при повороте плоскости
на угол 7Г, и эта симметрия отражает свойства симметрии в физических
системах, порождающих эти уравнения. Следовательно, обсуждение
структурной устойчивости в контексте отдельных примеров требует указания
допустимых возмущений данной системы. Этот вопрос будет играть важную
роль при нашем исследовании кратных бифуркаций в главе 7.
5.5. Структурно устойчивые аттракторы^
Несмотря на то, что устойчивые гиперболические аттракторы трудно
обнаружить в физических примерах, они служат прототипом и
проводником в размышлениях о дршамике других «странных аттракторов». В данном
разделе дается обзор некоторых аспектов теории гиперболических
аттракторов и объясняется, почему не следует ожидать наличия гиперболических
странных аттракторов у преобразования Хенона плоскости, отображения
подскакивающего мяча и осциллятора Дуффинга с внешним возбуждением.
Теорию структурной устойчивости обычно излагают в терминах
диффеоморфизмов контактных многообразий. Мы будем полагать, что все системы,
с которыми мы будем работать, определены на компактном множестве D
в М" с гладкой границей и f{D) С intD. Для таких систем «компактная»
теория справедлива.
Проблема распознавания структурно устойчивых аттракторов была
решена лишь в случае принятия очень сильного определения структурной
устойчивости. Обзор данного вопроса содержится в Robbin [1972]. Если
/ — некоторый диффеоморфизм, то можно построить более общий тип
возмущений, нежели фиксированная добавка к генератору /, допуская
различные возмущения при каждом применении /. Более конкретно, мы можем
изучать зависящие от времени динамические процессы, получаемые при
выборе набора возмущений fi, i е Z для /, и формировать процесс т =
= {fi}iZ-oo-' который переводит х за время п в /„ о ... о fi{x) при п > О
и в fZn ° • • • ° fZi{x) для п < 0. Здесь т можно рассматривать как
зависящее от времени возмущение отображения /. Franks [1974] определил /
как устойчивое при зависящих от времени возмущениях, если при любом
'в отечественной литературе обычно используют термин «грубые» аттракторы. — Прим.
ред.
5.5. Структурно устойчивые аттракторы 325
выборе малых зависящих от времени возмущений т существует
гомеоморфизм h такой, что h переводит траектории отображения / в траектории
отображения т.
Преимущество этого сильного определения структурной устойчивости
состоит в том, что оно позволяет легко доказать, что устойчивый при
зависящих от времени возмущениях аттрактор имеет гиперболическую структуру.
Этот результат тесно связан с идеями затенения и псевдоорбит,
введенными в разделе 5.3. В частности, непосредственно видно, что любая
псевдоорбита некоторой динамической системы является траекторией,
подверженной зависящим от времени возмущениям. Следовательно, устойчивый
при зависящих от времени возмущениях диффеоморфизм обладает
свойством затенения. Как мы видели ранее при построении разбиений Маркова,
это равносильно введению на неразложимом инвариантном множестве Л
прямоугольных каноническик координат, ассоциированных с некоторой
гиперболической структурой. Обратная теорема об устойчивости при
зависящих от времени возмущениях гиперболического аттрактора Л следует из
предложения 5.3.3, согласно которому псевдоорбиты Л обладают свойством
затенения.
Вопрос о том, следует ли из структурной устойчивости устойчивость
при зависящих от времени возмущениях, до сих пор открыт. Однако,
предполагая, что это действительно так, мы можем в оставшейся части данного
раздела сфокусироваться на гиперболических аттракторах. Эти аттракторы
обладают разбиениями Маркова, которые предоставляют для них удобное
символическое описание и приводят к строгим выводам о топологических
аспектах ик динамики, таким как существование счетного числа долгопери-
одических орбит, а также существование плотных орбит. Гиперболическая
структура может также быть использована для лучгпего понимания
аттракторов.
Топология гиперболических инвариантных множеств явилась в
последние несколько лет предметом быстро растущего интереса, и читатель может
найти обширный обзор в работе Franks [1982]. Здесь мы ограничим наше
внимание трехмерными потоками и двумерными диффеоморфизмами, тем
самым минимизируя топологические технические детали и сохраняя
прямую связь с нашими примерами. Для дискретных систем эти аттракторы
изучались в самом начале реализации программы Смейла Williams [1967].
Его работа по теории одномерных аттракторов послужила прототипом работ
по топологии систем с аксиомой А. Она дает нам геометрическую картину
необходимых условий, которым должен удовлетворять трехмерный поток,
для того чтобы иметь гиперболический аттрактор.
Если двумерный диффеоморфизм / обладает гиперболическим
аттрактором А, то гиперболическая структура последнего включает одномерные
устойчивое и неустойчивое многообразия. Трансверсальные гомоклиниче-
326 Глава 5
ские точки существуют лишь для тех периодических орбит, для которых и
устойчивое, и неустойчивое многообразия имеют ненулевые размерности.
Кроме того, неустойчивые многообразия точек А должны целиком лежать
в А, поскольку гиперболические аттракторы обладают окрестностями,
состоящими из точек, приближающихся к аттрактору. Таким образом, для
диффеоморфизма /: R -^ Ж возможны лишь гиперболические
аттракторы с топологической размерностью' единица, являющиеся объединением
1фивых, образующих неустойчивые многообразия отдельных точек.
Упражнение 5.5.1. Пусть U — некоторая окрестность гиперболического
аттрактора Л и и W^{x) — объединение неустойчивых многообразий точек Л.
хеА
Докажите, что Л равно замыканию множества |J W^(x), как и утверждалось,
хеА
(Подсказка: сначала покажите, что это замыкание является подмножеством Л.
Затем рассмотрите поведение точек у <Е U под действием /.)
В вышеприведенном обсуждении предполагалось, что в то время как
под действием / точки вблизи от аттрактора приближаются к нему, их
орбиты локально разбегаются с экспоненциальной скоростью в направлении
расширения. Поскольку гиперболический аттрактор не может содержать
периодических орбит (иначе он не был бы неразложимым), почти все пары
орбит, асимптотических к нему, расходятся и проявляют в конце концов
статистическую независимость, с которой мы уже встречались при
рассмотрении подковы и других примеров. В данном случае, однако, почти
все орбиты никогда не проявляют асимптотически периодического
поведения, хотя они и приближаются к замыканию множества неустойчивых
многообразий. Типичная локальная структура гиперболического аттрактора
для двумерных отображений является произведением некоторой кривой и
капторова множества.
Заметим, что на торах Г^ существуют диффеоморфизмы
Аносова f: Г^ ^ Г^, определенные требованием, что весь тор является
гиперболическим аттрактором. Для их изучения Г^ считают фактор-множеством R
по целочисленной решетке. Простейшие примеры такого рода
определяются при помощи проекции диффеоморфизмов па R^, задаваемых 2 х 2-матри-
цами с целыми коэффициентами и единичным детерминантом; например,
А = A J) • Для таких «линейных» диффеоморфизмов Аносова устойчивое
и неустойчивое многообразия являются проекциями линий, параллельных
собственным векторам А. Все точки Т^ с рациональными координатами
периодичны, так как А сохраняет множество точек, координаты которых —
рациональные числа со знаменателями, делящимися на данное целое чис-
' Различные понятия размерности, такие как «емкость» и хаусдорфова размерность,
вводятся в связи с описанием странных аттракторов, см, ниже раздел 5.8.
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
327
ло к (см. раздел 1.4, рисунок 1.4.3). Любой диффеоморфизм Аносова на Г^
эквивалентен одному из этих линейных диффеоморфизмов (Franks [1970]).
Теория Williams предоставляет топологическую классификацию
одномерных гиперболических аттракторов и некоторую конструкцию,
эквивалентную следующей символической динамике аттрактора в направлении
расширения. Мы коротко опишем его идеи.
Некоторая окрестность U гиперболического аттрактора А является
объединением участков устойчивых многообразий в точках А. Для двумерного
отображения каждое устойчивое многообразие одномерно, поэтому каждая
компонента есть интервал. Если f{U) С f/, то каждая компонента
некоторого устойчивого многообразия из U отображается в некоторую другую такую
компоненту. Мы приходим к выводу, что / индуцирует корректно
определенное отображение / на фактор-пространстве В = B{U), определяемом
при помощи отождествления х,у е U ъ случае, когда у принадлежит
компоненте W^{x), содержащей х. Нестрого говоря, мы проектируем вдоль
компонент устойчивого слоения: см. рисунок 5.5.1.
Отображение f: В ^ В сохраняет информацию о виде отображения
компонент множества W{x) (lU в компоненты множества VK*(/(a;)) П U.
W слоение
часть А
f:U-
[■.В^В
Рис. 5.5.1. Устойчивое слоение U.
328 Глава 5
Pi Р2
правое
Рис. 5.5.2. Некоторые разветвленные 1-многообразия с вершинами pi. Отметим, что
ребра встречаются в вершине но касательной (см. замечание после теоремы 5.5.1).
Очевидно, что отображение / не может быть взаимно однозначным, и
фактор-пространство В = В{и) может иметь определенные патологии. Однако
оно будет одномерным, так как каждый малый сегмент неустойчивого
многообразия взаимно Однозначно проектируется в В (рисунок 5.5.1). При
подходящем выборе и (т. е. U имеет гладкую границу с квадратичными точками
касания устойчивых многообразий) и использовании замкнутых
окрестностей можно добиться того, что В будет разветвленным многообразием. Мы
не нуждаемся в использовании всех свойств разветвленных многообразий,
довольствуясь тем, что В гомеоморфно некоторому графу, образованному
соединением конечного числа точек отрезками, называемыми ребрами.
Кроме того, ребра, встречающиеся в некоторой вершине р, можно разбить на два
класса, которые мы назовем правыми и левыми ребрами для р, см. рис. 5.5.2.
Если множество А неразложимо и связно, то отображение f: В ^ В
обладает тем свойством, что каждый интервал /, содержащийся в В, в
конечном итоге отобразится на В, т. е. найдется п (зависящее от 7) такое,
что f"{I) = В. Кроме того, если окрестность U множества А выбрана
как объединение прямоугольников из разбиения Маркова, то / отображает
вершины в вершины. Последнее условие на / состоит в том, что оно
отображает ребра, лежащие по разные стороны от вершины р, в ребра, лежащие
по разные стороны от f{p).
Как доказал Williams, вышеприведенные условия достаточны для
характеристики одномерного аттрактора [Williams, 1967]:
Теорема 5.5.1. Пусть G — некоторый граф, ребра которого в
вершине р разделены на левые и правые так, что оба этих класса непусты,
и пусть д: G ^ G — отображение со свойствами:
5.5. Структурно устойчивые аттракторы 329
A) 5 отображает вершины в вершины, а ребра, лежащие по разные
стороны от вершины р, — в ребра по разные стороны от д{р).
B) д локально взаимно однозначно в точках, не совпадающих с
вершинами. Если д{р) — некоторая вершина и V — некоторая окрестность
точки р в G, то g{V) содерж:ит точки по обе стороны от д{р).
C) Если I — некоторый интервал в G, то для некоторого п
имеем G iz g'^il).
Тогда существуют двумерный диффеоморфизм f, обладающий нераз-
лож;имым аттрактором А, и окрестность U множ;ества А такие,
что G гомеоморфно B{U), а д топологически эквивалентно отображ:е-
нию /: В ^ В.
Замечание. Не любой граф можно отобразить на плоскости. Если это
можно сделать так, что каждое ребро будет гладкой кривой, причем ребра по
разные стороны от вершины встречаются в этой вершине тангенциально,
то в качестве / можно взять диффеоморфизм плоскости. Мы приведем
некоторые примеры ниже.
Доказательство теоремы Williams включает в себя обратную
предельную конструкцию, предоставляющую явную модель для А. Начав с
отображения д: G ^ G, рассмотрим множество Ag бесконечных в обе стороны
последовательностей (... Х-т . . ., жо, ..., Хт ■ ■ ■), обладающих свойством
g{xi) = Xi+i. Отображение д индуцирует отображение Ij: Ag ^г Ag,
определенное формулой g(x) = у, где yi = g{xi) = Xi+i. (Множество Ag можно
снабдить естественной топологической структурой при помощи обратного
предела последовательности ...С -^ G -^ G.) Зная Xi, можно
определить Xj при j > г, но не Xj для всех j < г, поскольку д не взаимно
однозначно. В действительности, существует целое канторово множество
точек из As, соответствующее каждому Xi. Williams [1974] доказал, что
если существует гиперболический аттрактор А для / с окрестностью U такой,
что отображение f: В ^ В топологически эквивалентно д: G ^ G,to /\а
топологически эквивалентно отображению у на Ag. Он также предложил
некоторую топологическую конструкцию /, обладающую этим свойством.
Вышеупомянутая конструкция тесно связана с символической
динамикой гиперболического аттрактора А. Если д: G -^ G — некоторое
отображение графа, переводящее вершины в вершины и взаимно однозначное
на ребрах, то мы можем пронумеровать ребра символами {1, . . . ,п} и
составить матрицу перехода А = [Aij], полагая Aij равным числу точек х,
лежащих на i-м ребре, для которых д{х) = у для каждого у из j-ro ребра.
Подсдвиг конечного типа S^ с матрицей перехода А = [A^j] — это
множество (обычных) последовательностей х = {жг}^^о '^^ свойством AxfXi+i ф О
для всех i ^ 0. Отображение сдвига а определяется так же, как и прежде,
330
Глава 5
однако оно не является взаимно однозначным. Существует символическое
отображение ф: Т^г -^ G (являющееся взаимно однозначным, исключая
прообразы траекторий вершин), для которого ф о а = f о ф, как и прежде.
Применяя описанную выше обратную предельную конструкцию к Е^ и G,
мы восстановим символическую динамику на Ag.
D
Рис. 5.5.3. Аттрактор Плыкина: (а) круг с тремя отверстиями D и устойчивое
слоение; (Ь) /(£>) С D.
Примеры гиперболических аттракторов для трехмерных отображений
известны уже довольно давно. В частности, в статье Smale [1967] можно
найти анализ соленоида, определенного на трехмерном торе; см. также
статью Ruelle, Takens [1971], посвященную турбулентности, в которой авторы
рассмотрели соленоид при помощи отображения Пуанкаре для квадруполь-
но периодического потока на четырехмерном торе. Однако простейший
пример из известных примеров плоского гиперболического аттрактора
предложен Плыкиным [1974]. Небольшая его модификация (см. Newhouse [1980])
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
331
В:
D
D
Рис. 5.5.4. Разветвленное многообразие В и граф G для аттрактора Плыкина.
приведена на рисунке 5.5.3. Возьмем компактное плоское множество D с
тремя отверстиями, как показано на рисунке. Поместим в каждое отверстие
источник и определим f: D ^ Ж геометрически так, чтобы f{D) лежало
внутри D, как показано. Аттрактор определим так: А = f] /"(D). Далее,
можно выбрать такое гладкое устойчивое слоение ^ множества D, что
если ? G J^, то и /(/) е З', как показано. Листы I е З' являются кусками
устойчивых многообразий W^{xi) точек Xi из А, что и требуется.
Разветвленное многообразие В и граф G, ассоциированные с данной проблемой,
показаны на рис. 5.5.4, а отображение д: G ^ G действует так:
9-А^В,
д: В ^ B + D
д:С^А,
д: D -^ D-C-D
C-D-B,
E.5.1)
(Заметим, что д переводит вершины в вершины.) Далее, матрица перехода
имеет вид
А В С D
(А
А
В
С
D
' 0
0
1
0
1
2
0
0
0
1
0
1
0
2
0
2
E.5.2)
где, к примеру, А44 = 2, так как каждая точка на ребре под номером 4 (D)
332
Глава 5
имеет два образа на ребре D, а А24 = 2, так как каждая точка на втором
ребре {В) имеет два образа на ребре D.
Отображение / можно выбрать так, чтобы в дополнение к
вышеприведенным топологическим свойствам Df было равномерно сжимающим на
касательных пространствах Е^_ к Wlxi) и равномерно расширяющим на
неустойчивых пространствах _К"., касательных к W^{xi), как в
определении 5.2.6. Таким образом, А — гиперболический аттрактор, а так как он
содержит подковы (непосредственно по построению), то он удовлетворяет
нашему определению странного аттрактора. Локально А является
произведением некоторой кривой и канторового множества.
Аттрактор Плыкина использовался при отображении двумерных торов,
соответствующих отображению Пуанкаре трехмерных торов, для
доказательства того, что взаимодействие трех предельных циклов может привести
к хаотическому движению (Newhouse и др. [1978], ср. Newhouse [1980]).
В^А,
С -^С+В-С.
Рис. 5.5.5. Упражнение 5.5.2.
Упражнение 5.5.2. Попытайтесь построить гиперболический аттрактор с
двумя отверстиями, исходя из графа G и отображения на рисунке 5.5.5. Что мешает это
сделать?
Топология аттрактора Плыкина уже довольно сложна, но она
предоставляет «идеальный» прототип для гиперболических аттракторов, которые
могут встретиться в уравнениях Дуффинга и Ван дер Поля. Однако вряд
ли существует слоение устойчивых многообразий в каждом из этих
случаев, которые везде будут пересекать неустойчивое многообразие транс-
5.5. Структурно устойчивые аттракторы
333
W\p)
Рис. 5.5.6. Несуществование устойчивого слоения в системы Дуффинга.
версально. Рассмотрим, к примеру, рис. 5.5.6 (ср. рис. 2.2.8) и допустим,
что аттрактором является множество Q\{W^{p)). Тогда должно
существовать устойчивое слоение (включающее W'^{p)), трансверсальное к W^{p)
во всех точках, однако, поскольку W^{p) изгибается вокруг себя без
видимых обходов нескольких отверстий аттрактора Плыкина, любая попытка
расслоить и при помощи устойчивых многообразий необходимо приведет
к появлению некоторых членов слоения, касательных к W^{p). Таким
образом, в данных примерах топологические предпосылки для существования
гиперболических аттракторов, по-видимому, не выполнены.
Исследования отображения подскакивающего мяча B.4.4) и
отображения Хенона (Нёпоп [1976]) приводят к аналогичной проблеме: в обоих
случаях можно найти притягивающее множество р| /"(!?), но нельзя най-
ти устойчивое слоение. Однако, как показал Miziurewicz [1980], кусочно-
линейный аналог отображения Хенона, предложенный Lozi [1978], имеет
гиперболический странный аттрактор. Данное отображение имеет вид
(ж, у) ^ A + у — а|ж|, Ъх).
E.5.3)
Так как инвариантные многообразия для этого отображения
кусочно-линейны, точки касания устойчивого и неустойчивого многообразий
заменяются угловыми точками. Исключая множество меры ноль, все устойчивые и
неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально, поэтому почти
всюду можно воспользоваться оценками гиперболичности.
В следующих разделах мы обсудим более подробно аргументы,
касающиеся существования негиперболических «странных» аттракторов в
системе Дуффинга и ей подобных. Напротив, раздел 5.7 посвящен уравнениям
334 Глава 5
Лоренца, где используются некоторые аспекты систем с непрерывным
временем, которые пока в данной главе не учитывались.
5.6. Одномерный признак существования странных
аттракторов
Связные гиперболические аттракторы обладают тем свойством, что
неустойчивое многообразие одной точки плотно в аттракторе. Для
уравнений Дуффинга и Ван дер Поля с возбуждением мы можем предположить,
что существуют значения параметров, для которых неустойчивое
многообразие некоторой периодической орбиты лежит на неразложимом
инвариантом множестве. Такое инвариантное множество было бы прекрасным
кандидатом в странные аттракторы, которые мы ищем. Для обсуждения
состояния дел в отношении этого предположения рассмотрим семейство
диффеоморфизмов на плоскости, определенных непосредственно, а не при
помощи решений уравнений вынужденных колебаний осциллятора, и
обладающих некоторыми свойствами проблемы подскакивающего мяча.
Непоп [1976] провел численный анализ
диффеоморфизмов Fafi: М ^ М , определенных формулой
-Р'а.ьСж, у) = (у, 1 + &а;-ау^). E.6.1)
На рисунке 5.6.1 воспроизведены построенные Хеноном участки орбиты
одной точки' (ср. с рисунками 2.4.5 и 2.4.7 для задачи о подскакивающем
мяче). В той мере, в какой точки этой траектории кажутся заполняющими
одномерную кривую, неотличимую от неустойчивого многообразия седло-
вой точки X = у = A/2а)F - 1 + ^A-6J+4а), расчеты Хенона служат
численным свидетельством существования странного аттрактора,
содержащего неустойчивые многообразия своих периодических орбит. В частности,
последовательные итерации на рисунке 5.6.1 кажутся лежащими на
множестве, локально представляющем собой произведение некоторой кривой и
канторова множества, и, как было доказано, некоторые гиперболические
аттракторы, такие как в примере Плыкина из раздела 5.5, имеют точно
такую локальную структуру (Williams [1967, 1974]). Однако, подобно
примеру Дуффинга, эти неустойчивые многообразия загибаются назад (а не
окружают отверстия, как в примере Плыкина), и потому нельзя надеяться
на существование расслоения устойчивых многообразий, трансверсального
к этим неустойчивым кривым. Поэтому аттрактор, если он действительно
существует, не явлется гиперболическим.
'Хенон пользовался иной, но эквивалентной формой (ж, у) ^ (^ + у — ах^, Ъх).
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов 335
и.40
%
0.45
^-=^v,,.._ (а)
-■ '''
0.21
0.15
0.620
0.640
Рис. 5.6.1. Орбиты отображения Хенона (ж, j/) ^ A + j/ — аж^, Ъх) для а = 1,4,
Ъ = 0,3: (а) 10 000 итераций (жо, j/o) = @,631, 0,189) (вблизи седловой точки);
(Ь) увеличенное изображение области А в (а): 10^ итераций; (с) увеличенное
изображение области В в (Ь): 10® итераций. (Из работы Нёпоп [1976].)
Существует аналог проблемы, касающейся существования аттрактора
для отображения Хенона, который был исследован строгими методами. Эта
задача касается одномерных отображений и может быть интерпретирована
как сингулярный предел отображения Хенона при 6 ^ оо. Матрица Якоби
отображения Хенона F^f, имеет детерминант —Ь. Следовательно, F^f,
сокращает площади с коэффициентом |6|. Предел 6 = 0 является сингулярным,
он соответствует отображениям, которые сужают плоскость в некоторую
кривую. Значение -Fa,о не зависит от координаты х в паре {х,у), поэтому
мы можем строить траектории -Fa,о в терминах одномерных отображений
faiy)
1
ау^.
E.6.2)
336 Глава 5
Для О ^ а ^ 2 fa отображает интервал
в себя. Теория одномерных отображений интенсивно развивалась в нослед-
ние несколько лет, и в этом контексте было установлено существование
негиперболических странных аттракторов. В данном разделе мы
представим соответствующие теоремы Jakobson [1978, 1981] и Collet, Eckmann
[1980] и поразмышляем о их связи с отображением Хенона и
вынужденными колебаниями осциллятора. По ходу этого раздела,для читателя может
оказаться полезным обратиться вперед, к разделу 6.3, в котором изучаются
параметризоваппые семейства одномерных отображений.
Работа с итерациями отображений интервала концентррфовалась на
изучении однонараметрических семейств отображений /: / -^ 1,1 =
= [0,1], имеющих единственную критическую точку. Семейство
квадратичных функций
f^{x) = i2x{l-x), 0<м<4 E.6.3)
является прототипом рассматривавшихся семейств. Сингулярное
отображение Хенона E.6.2) можно легко преобразовать в это семейство.
Оказывается, что такие семейства обладают очень богатой структурой, и после 1975
года была развита их обширная теория. Некоторые аспекты этой теории
освещают тины поведения, которого можно ожидать от негиперболического
аттрактора. Хорошим общим введением может служить монография Collet,
Eckmann [1980]. Здесь мы сфокусируемся лишь на тех вопросах, которые
относятся к проблеме странного аттрактора.
Рассмотрим ненрерывное отображение f: I —^ I единичного
интервала / = [0,1], удовлетворяющее условию /@) = /A) = О и имеющее
единственную критическую точку с, т. е. / строго возрастает на [О, с) и
строго убывает на (с, 1]. Если / удовлетворяет еще некоторым
ограничениям, в частности, если / трижды дифференцируемо, /'@) > 1 и производная
Шварца (шварциан)
Sif) = Y-l[j) E.6.4)
отрицательна на / — {с}, то можно сделать вывод, что почти все точки / (по
отношению к мере Лебега) имеют одинаковое асимптотическое новедение.
Мы будем называть такое отображение для краткости NS. Таким образом,
может существовать множество точек нулевой меры, которые можно
разложить на расширяющиеся гинерболические инвариантные множества,
однако притягивающая часть неблуждающего множества будет неразложима.
Аттрактор может быть просто периодической орбитой, но возможно также,
что это притягивающее множество содержит расширяющиеся (=
неустойчивые) периодические орбиты. В контексте одномерных отображений, такие
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов 337
орбиты играют роль трансверсальных гомоклиниических точек
диффеоморфизмов.
Для NS отображений возможно три типа асимптотического
поведения, обозначаемые как устойчивый, критический и странный аттракторы.
В устойчивом случае единственным аттрактором для / является
устойчивая периодическая орбита. По теореме Singer [1978] (см. Collet, Eckmann
[1980] и раздел 6.3), может существовать не более одной такой орбиты,
более того, траектория точки с будет асимптотической к этой устойчивой
периодической орбите.
В критическом случае аттрактор является канторовым множеством Л
(мера которого не была определена), содержащим критическую точку с.
Хотя в критическом случае имеется бесконечный аттрактор, Л не обладает
чувствительностью к начальным условиям и положительными
показателями Ляпунова', присущими странному аттрактору. Один из сценариев (но
не единственный) возникновения критического случая связан с пределом
последовательности бифуркаций удвоения периода, где дополнительно
возникает «универсальная» структура, описанная в разделе 6.8.
Случай странного аттрактора возникает, когда сам аттрактор Л
является конечным объединением замкнутых интервалов. Один простой пример
странного аттрактора для NS отображения имеется у квадратичного
отображения
/(ж) =4жA-ж). E.6.5)
Это отображение переводит / = [0,1] на себя, так что траектория точки с
описывается формулами /(с) = 1 и /"(с) = О, п ^ 2. Проводя рекурсию,
убеждаемся в существовании 2" субинтервалов в /, каждый из которых
переводится отображением /" на /. Каждый из этих субинтервалов содержит
некоторую неподвижную точку отображения /". На рисунке 5.6.2
изображена функция /^, имеющая 2^ — 1 = 7 критических точек, а также восемь
интервалов /i, ..., /g.
Можно дополнительно доказать, что эти периодические точки плотны
в / и что производная от /" в каждой из ненулевых неподвижных точек
равна ±2". Кроме того, мера с распределением dx/{'K\Jx{l — х)) инвариантна
и эргодична для отображения /. Эти утверждения являются простыми
следствиями того факта, что / топологически сопряжено кусочно-линейному
отображению
2х, же [о, h ,
fix) = { E.6.6)
2-2ж, же [i 1]
См. раздел 5.8.
338
Глава 5
h 1
Рис. 5.6.2. Приведено отображение / с восемью подынтервалами Ij и неподвиж-
ными точками. Отметим, что две из них (ж = О, ж = -) являются неподвижными
точками для /, а оставшиеся шесть образуют две орбиты периода 3 для /. Отметим,
что f^{Ij) = I для всех j.
при помощи гомеоморфизма
h{x) = — arcsiniya;
E.6.7)
(см. Ulam, von Neumann [1947], a также Ruelle [1977]). Отображение E.6.6)
оставляет инвариантной меру dx, и, применяя к ней преобразование h~^,
получим инвариантную меру для /. Таким образом, в данном примере весь
интервал / ведет себя как странный аттрактор.
Имеется простой топологический критерий, выполнение которого
гарантирует, что NS отображение имеет связный странный аттрактор Л С /.
Лежащая в его основе идея состоит в том, что для любого субинтервала в Л
должна найтись некоторая итерация, покрывающая все Л. Можно упростить
этот критерий, сведя его к проверке того, что некоторые особые интервалы
обладают итерациями, в конце концов содержащими все Л. Центральная
точка для / определяется как периодическая точка для некоторого /",
обладающая тем свойством, что /" монотонна на интервале [р, с]. Если р' ^ р —
точка, в которой f{p') = f{p), то центральная точка р называется
ограничивающей, если /"([PjP']) с [РтР']. Геометрически это означает, что график
функции /" не покидает прямоугольника, изображенного на рисунке 5.6.3.
5.6. Одномерный признак существования странных аттракторов 339
/
^
/b^"u)
Рис. 5.6.3. Центральная ограничивающая точка.
В данной ситуации итерации этого интервала, содержащего точку с, не
могут расшириться и покрыть /. Guckenheimer [1979] доказал, что некоторое
NS отображение / имеет связный странный аттрактор тогда и только тогда,
когда не существует ограничивающих центральных точек.
Вернемся теперь к рассмотрению однопараметрического семейства
NS отображений /^j: / -^ I. Если существуют такие значения (до,Д1),
для которых ffM„{c) = с и /^jj (с) = 1, то мы будем говорить, что /^j является
полным семейством (см. раздел 6.3). Обозначим Мр, Мс и Ms множества
значений параметров из интервала Af = (до,Д1), для которых возникают
периодические, критические и странные аттракторы соответственно.
Множество Мр содержит интервалы, и мы предполагаем, что оно плотно в М
для многих семейств /. Безотлагательный вопрос касается размера Mg.
Jakobson [1981] доказал теорему, включающую результат о том, что
множество Afg имеет положительную меру Лебега. Таким образом, при случайном
выборе значения параметра из М имеется положительная вероятность того,
что полученное отображение будет иметь странный аттрактор, являющийся
конечным объединением интервалов. (Аналогичный результат справедлив
для диффеоморфизмов на окружности с иррациональными числами
вращения, см. раздел 6.2.)
Доказательства Jakobson [1981] и Collet, Eckmann [1980] длинны и
запутанны. В терминах сформулированного выше критерия мы хотим изучить
множество значений параметра М^ С М, для которых отображения /^ не
имеют ограничивающих центральных точек. При проверке /" для перемен-
340 Глава 5
ного fj, следует исключить те значения д, для которых имеется
ограничивающая центральная точка периода п. Действуя по индукции, можно надеяться
на то, что с ростом п будут исключаться уменьшающиеся доли
остающихся значений параметра, так что в итоге Afg можно описать как канторово
множество с положительной мерой. (Напомним канторово множество из
раздела 5.4, смотри также ниже раздел 6.2.) Существует несколько
различных типов оценок, требующихся для правомерности такого доказательства.
Они включают три различных аспекта отображения:
1) величину ifp"ic);
2) изменение f!^{c) в зависимости от д;
3) степень отличия /" от квадратичного отображения на
субинтервале [р,р'], где р — центральная точка периода п.
Кто-то может пожелать применить эту теорию к отображению
Хенона при фиксрфованном |6| е @,1), показав тем самым существование для
этого случая странных аттракторов. Такой подход можно аргументировать
тем, что данное одномерное отображение дает хорошее приближение для
динамики отображения Хенона вдоль его неустойчивого многообразия и
что должны существовать крупные множества значений параметра а,
приводящие к странным аттракторам. К сожалению, ситуация не столь
проста, и Одномерная теория не переносится непосредственно на эту новую
ситуацию, так что существование странных аттракторов для отображения
Хенона остается открытым и трудным вопросом. В главе 6 мы увидим
некоторые качественные различия между бифуркациями одномерных
отображений и отображения Хенона. Пока этот вопрос находится на стадии решения,
лишь вера поддерживает нашу уверенность в том, что орбиты,
вычисленные Хеноном, асимптотически приближаются к некоторому аттрактору, а
не, скажем, к притягивающему множеству, содержащему устойчивые
периодические движения сколь угодно больших периодов с исчезающе малыми
областями притяжения.
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
Вопросы, обсуждавшиеся в разделе 5.5 и касающиеся касания
устойчивого и неустойчивого многообразий в аттракторе, не возникают для одного
класса аттракторов, построенного после численных исследований системы
Лоренца B.3.1). В данном разделе мы рассмотрим эти геометрические
примеры при помощи символической динамики и конструкции обратного
предела, принадлежащей Williams [1967, 1974]. Необычность этих аттракторов
состоит в том, что они содержат (седловое) положение равновесия потока.
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
341
что приводит к разрыву отображения Пуанкаре, используемого для перехода
от непрерывного к дискретному времени. Этот разрыв делает возможным
расходимость близких траекторий без их скручивания или изгибания,
присущих отображению Хенона или сложной топологии в примере Плыкипа.
Напомним наше описание системы Лоренца из раздела 2.3. Для
значений параметров сг = 10, /3 = 8/3 и /з = 28 можно численно
наблюдать аттрактор Лоренца, изображенный на рисунке 2.3.2. Мы дадим
геометрическое описание потока, основанное на анализе отображения
возврата F (нелинейного) «прямоугольника» Е, лежащего в плоскости z = р — 1
(рис. 2.3.2). Противоположные стороны этого прямоугольника проходят
через равновесные точки q~, q^, а внутри S во всех точках имеем i < О, так
что S — сечение для данного потока. Оба положения равновесия q^ и (/+
являются седловыми точками с одномерными устойчивыми
многообразиями W{q^), части которых образуют противоположные стороны сечения Е
в нашей геометрической модели. Неустойчивые собственные значения
точек q^ и (/+ мнимые. Так как i < О во всех точках внутренности Е, то все
траектории пересекают Е сверху вниз. Большая их часть обвивается затем
вокруг q~ или q~^ и возвращается на Е, причем должна существовать
граница D, разделяющая траектории, обвивающиеся вокруг этих двух точек.
Предполагается, что эта траектория лежит па устойчивом многообразии
третьего положения равновесия р, лежащего ниже Е (см. рисунок 5.7.1).
Рис. 5.7.1. Поперечное сечение Е для геометрической модели уравнений Лоренца.
342 Глава 5
Для описания геометрического аттрактора Лоренца для потока,
изображенного на рисунке 5.7.1, сделаем четыре дополнительных
предположения об этом потоке. Первое из них состоит в том, что собственные
значения Ai, А2, A3 точки р удовлетворяют условию О < —Ai < А2 < —A3, где
Ai — собственное значение вдоль оси z, которая считается инвариантной
относительно потока. Второе предположение состоит в том, что в S
существует семейство кривых ^, содержащее D и инвариантное относительно
отображения возврата F множества S. Это означает, что если 7 С >!?, то
-FG) также содержится в некотором элементе ^ при условии, что F
определено на 7 (F не определено на D). Семейство ^ является частью сильно
устойчивого слоения для потока, определенного в некоторой окрестности
аттрактора (Robinson [1981а]).
Третье наше предположение состоит в том, что все точки из
внутренности Е за вычетом D возвращаются на Е и что отображение возврата F
«достаточно» растягивающее (см. ниже свойство C)) в направлении, транс-
версальном к семейству кривых ,9'. Наконец, предполагается, что поток
симметричен по отношению к повороту на угол тг вокруг оси z.
Эти «геометрические» предположения для дифференциальных
уравнений B.3.1) не проверялись, но в принципе их можно проверить численными
методами. В этом направлении достигнут некоторый прогресс (см. Sinai, Vul
[1981], Shub [1982]).
В аналитической форме данные предположения означают, что на Е
существует такая система координат (и, v), что F обладает следующими
свойствами:
1) Кривые семейства §- задаются уравнениями и = const, а множество
D — уравнением и = 0.
2) Существуют функции fug такие, что F имеет вид -F(m, v) =
= if (и), д{и, v)) для м ^ О и F{—u, —v) = —F{u, v).
3) f'{u) > л/2 для и ^ О и f'{u) -^ оо при и ^ 0.
4) 0<7^<с<1длям^0и7^^0 при и^О.
OV OV
Образ F в этих координатах изображен на рисунке 5.7.2. Здесь Е_|_ =
= {(и, и) I м > 0} и Е_ = {{и, v) \и < 0}.
Если НС учитывать тот факт, что F не определено на D, то из
условий C) и D) следует существование гиперболической структуры. В
частности, для достаточно малых углов а а-секторы с центрами на линиях,
параллельных оси V, окружающие каждую точку, будут удовлетворять условиям
Мозера (см. раздел 5.2). Кроме того, лишь счетное объединение
вертикальных прямых на Е имеют траектории F, оканчивающиеся на D, а все
остальные траектории F остаются внутри Е. Следовательно, любое инвариантное
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
343
Рис. 5.7.2. Е± и F(E±)
множество отображения F должно иметь определенную подходящим
образом гиперболическую структуру и быть притягивающим. Точки такого
инвариантного множества можно характеризовать символическими
последовательностями по отношению к разбиению Е_, Е+ на Е. Тем не менее,
как мы увидим ниже, топология геометрического аттрактора Лоренца
значительно сложнее, чем топология подковы.
Предел функции F{u, v) при и -^ +0 или при и -^ —О не
зависит от V, поскольку dF/dv —^ 0. Обозначим lim F(u,v) = {r^,t~^)
и lim F{u,v)
и—>+o
и^-О
(г ,t ), обращая внимание на обращение «минусов»
и «плюсов» в этих формулах. В силу свойства D), вертикальная полоска V
из Е, определяемая неравенством г~ ^ м ^ г+, отображается сама в себя,
исключая множество D, где F не определено. Таким образом, траектории
всех точки из внутренности Е в конце концов входят в V', а затем остаются
там навсегда. Это легко увидеть из графика функции /, см. рисунок 5.7.3.
Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением множества V. Мы
утверждаем, что множество А = Р| _Р"A^) является аттрактором для отоб-
ражения F. Ясно, что все точки из V либо стремятся к А, либо имеют
траектории, оканчивающиеся на D, где F не определено. Рассмотрим теперь
некоторую точку х G А я прямоугольную окрестность U этой точки. Мы
докажем, что образы U плотны в А. Доказательство состоит из двух этапов.
Сначала покажем, что существует п > О такое, что одна из
компонент F^(U) занимает по горизонтали всю ширину множества V. Именно в
этом месте используется гипотеза /' > у2- Пусть 1[1) обозначает длину
интервала / и пусть / С (г_, г+) — некоторый интервал, не содержащий нуля;
рассмотрим Р{1). Поскольку О ^ /, то /(/) связно. Если О ^ f{I), то заме-
344
Глава 5
(г-r)
%^///Л
1
^ш.
уур{у)/
"/.
^^у-
•(ЛГ)
" / 7^ f "
(а)
{Ъ)
Рис. 5.7.3. Еще один рисунок для отображений Fa /: (a)F(y) С У; (Ь) график/(и).
ним / на /(/), имея в виду соотношение 1{/{Г))/1{1) > v2, и продолжим
итерации. Если О G /(/), то множество /^(/) имеет две компоненты. Хотя
бы Одна из этих компонент должна быть длиннее, чем /, так как (/^)' > 2
по свойству C) и правилу дифференцирования сложной функции. Кроме
того, поскольку О £ f{I), то компоненты /^(/) имеют границы в точках г_
и г+. Поэтому в случае О е /(/) либо О ^ РЦ), либо /^(/) содержит один
из интервалов (г_,0) или @,г+). Если (г_,0) или @,г+) лежит в f'^{I),
то /^(/) = {r^,rj^). (Заметим, что из условий /' > л/2 и f{—u) = —f{u)
следует, что /^(г_) < О и /^(г+) > 0.) Если О G /(/) и О ^ f^{I), то
заменим / па более длинную компоненту f'^{I) и продолжим рассуждения.
Поскольку наш интервал имеет конечную длину, то процесс
последовательного выбора более длинной компоненты образа интервала должен привести
на некотором шаге к равенству /" (/) = (г_, Г-|-).
Упражнение 5.7.1. Постройте на / = [—1,1] кусочно-линейное
отображение /, для которого /' < v2 и существуют подынтервалы J С [—1,1], для которых
/"(J) никогда не покрывает все / (предложено J. Sandefur).
На втором этапе нашего доказательства возьмем произвольную
точку s G Р| F^{V). Затем, для данного е > О, найдем такую точку в U,
траектория которой проходит на расстоянии, не далее е от s. Из свойств B)
и D) отображения F следует, что расстояние от F"-{x,yi) до -Р"(ж, уг)
экспоненциально уменьшается:
d{F^ix,yi),F^{x,y2))<c^\yi-y2\
E.7.1)
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца 345
Поэтому для данного е > О мы можем найти такое т, что
d{F"'{x,y,),F"'{x,y2))<s E.7.2)
для любых {x,yi), {х,у2) £ S. Так как s G Р| F^-IV), то найдется
точило
ка {u,v) G Е такая, что F™{u,v) = s. Возьмем теперь из первой части
доказательства (касающейся расширения) числа n,w и точку {х, у) G U
такие, что F"'(x,y) = {u,w). Тогда получим, что _F'"+"- находится от
точки F™{u,v) = S на расстоянии, не большем е > 0. Это доказывает, что
траектории, начинающиеся на U, образуют в А плотное множество.
Упражнение 5.7.2. Покажите, что в А имеется плотная орбита.
Мы приходим к выводу, что А — аттрактор. Все точки из V
приближаются к А с некоторой экспоненциальной скоростью (с равномерными
оценками для границ). Так же, как для подковы, те точки множества А,
траектории которых не пересекают D, можно охарактеризовать
символическими последовательностями а = {а{}°^_^ посредством разбиения V — D
на две компоненты. Горизонтальные координаты точек определяются
элементами Qi для г ^ о, а вертикальные координаты — для г < 0. Однако,
в отличие от подковы, не всем символическим последовательностям
сопоставляются точки А. Например, поскольку f^{r_) > О для некоторого к,
должно существовать некоторое целое число к такое, что что ни одна из
точек а не содержит набора из к последовательных нулей в своей
символической последовательности. Может даже случиться так, что множество
символических последовательностей, составленных для точек А, не
образует подсдвига конечного типа. Мы отложим дальнейшее рассмотрение этих
вопросов до раздела 6.4, где обсуждаются бифуркации системы Лоренца.
Для описания топологии множества А мы по-прежнему должны
рассмотреть те траектории, которые оканчиваются в £>, и особенно те, которые
начинаются в точках (г^, t^) = lim F(u, v) на границе V. Главным свой-
и^±0
ством траекторий, оканчивающихся в D, является то, что они служат
«клеем», соединяющим те точки из А, чьи символические последовательности
совпадают при г < 0. Это проще увидеть, рассмотрев вначале несколько
иное отображение G: V — D -^ V, кусочно-линейное по v. Зададим G
требованием
G{u,v) = {f{{u),K{v)),
( av — в, и > О,
huv) = \ J' ^ ' 5.7.3
[av + р, и < О,
а параметры О < а < 1/2и/3 выбираются так, что G взаимно однозначно
(см. рис. 5.7.4).
где
346
Глава 5
сA/о)-у
Г//////////////////////////////////
/////////////////////////////////////ТТ.
/////////////////////////////////////Т7
//////////////////////////////////\
G(vy
Рис. 5.7.4. Кусочно-линейное отображение G. Четыре заштрихованных полосы —
этоС^(У).
Разбивая V на множества Vo = {(м, и) | г^ ^ м < 0} и Vi =
= {(m,w) I О ^ м < r+} и используя установленные выше свойства /,
приходим к выводу, что G"A^) состоит из некоторого числа
прямоугольников (не каждый из которых обязательно занимает но ширине все
множество Vo или Vi). Кроме того, множество Г = р| G^iy) будет являться
аттрактором для У и состоять из горизонтальных сегментов.
Упражнение 5.7.3. Докажите по индукции, что всякая горизонтальная прямая,
пересекающая С"(У), пересекает С"(У) по некоторому сегменту.
Что касается разбиения множества V' на Vo и Vi, то единственными
символическими последовательностями не обладают те точки, чьи
траектории оканчиваются на D. Если (mi, v) и («2, w) имеют для G символические
последовательности а и b такие, что а^ = bi при i < п, но an j^ Ьп, то на
сегменте, соединяющем {ui,v) и {u2,v), найдется точка {из,у) такая, что
G"(it3,w) eD.
Упражнение 5.7.4. Сформулируйте и докажите свойства F, аналогичные
полученным выше для G.
Главное качественное различие между аттракторами Г для Си А для F
связано с их вертикальными «концами». Топологически, А можно получить
из Г посредством соединения вдоль вертикали всех точек, лежащих на
образе вертикального сегмента {G"'{u,v) \ и = г^}. Поэтому множество А,
грубо говоря, состоит из несчетного множества сегментов, каждый из
которых трансверсален вертикальному направлению в V. Эти сегменты из Л
связаны за концы в пучки таким способом, который диктуется траекториями
точек г^ одномерного отображения /.
5.7. Геометрический аттрактор Лоренца
347
Рис. 5.7.5. Геометрический поток Лоренца.
Наконец, желательно получить из А портрет аттрактора для
геометрического потока Лоренца. Эта процедура состоит в построении
надстроенного потока при учете наличия сингулярной точки р, принадлежащей
аттрактору. Рассмотрим тело, изображенное на рисунке 5.7.5 и ограниченное
сверху поверхностью V. Мы определим на этом теле линейный поток с
подходящими собственными значениями в точке р и линией D, содержащейся
в устойчивом многообразии точки р. Этот поток касается криволинейных
поверхностей, ограничивающих тело, а также расположенного внизу
сегмента. На передней и задней поверхностях поток направлен внутрь тела,
причем траектории исходят из вертикальных торцов. Эти исходящие
траектории заворачиваются таким образом, что F оказывается отображением
возврата на V. При таком описании потока геометрический аттрактор
Лоренца будет объединением траекторий, проходящих через А С V, а также
точки р. Локально этот аттрактор выглядит как канторова книжка:
семейство поверхностей, параметризованных при помощи некоторого канторо-
вого множества и сшитых вдоль некоторой кривой. Эта кривая {корешок
книжки) является неустойчивым многообразием для р, см. рисунок 5.7.6.
В заключение данного раздела обсудим более точно замечание о
структурной устойчивости, приведенное в конце раздела 2.3. Заметим, что
корешок геометрического аттрактора Лоренца должен сохраняться при
гомеоморфизмах. Поскольку прообразы /^"@) плотны на {г^,г^), то за счет
произвольно малых исправлений отображения / можно добиться того, что
/-траектории точек г^ обрываются в нуле. При этом внутри аттрактора
будут существовать гомоклинические траектории, и хребет W^ {р) гомеомор-
348 Глава 5
Рис. 5.7.6. Локальная струюгура геометрического аттрактора Лоренца.
фен «восьмерке». Напротив, если /-траектории точек г^ не обрываются в
нуле, то хребет некомпактен и односвязен. Таким образом, геометрический
аттрактор Лоренца не является структурно устойчивым. Имеюш;ие
компактный корешок аттракторы, так же, как и не имеющие его, плотны в некотором
открытом множестве векторных полей, определяющих эти потоки'.
Мы вернемся к уравнениям Лоренца ниже, в разделе 6.4 при
рассмотрении последовательности бифуркаций, приводящей к рождению аттрактора.
5.8. Статистические свойства: размерность, энтропия
и показатели Ляпунова
Предыдущие разделы могли создать впечатление, что полное
качественное описание динамики многих нелинейных осцилляторов
представляет собой непосилыгую задачу, решение которой лежит за пределами
наших возможностей. В данном заютючительном разделе мы встаем на
вероятностную точку зрения, которая связана с меньшими требованиями и
потому применима к задачам в весьма общей постановке. Мы позволим
себе игнорировать исключительные траектории в поисках типичных свойств,
присущих системе. Необходимость количественного различения
исключительного и типичного вынуждает нас существенно опираться на понятие
меры. Поэтому данный раздел более абстрактен, чем остальная часть
книги, и требует большей математической базы. Более того, представленный
здесь предмет — гладкая эргодическая теория — достаточно обширен, и
здесь возможно лишь краткое его представление. Эта теория быстро
развивается, и попытки применить ее к конкретным примерам типа описанных в
этой книге многообещающи. Заметим, что главы 6 и 7 можно читать неза-
См. Афраймович, Быков, Шильников [22] и Афраймович, Шильников [23]. — Прим. ред.
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова 349
висимо от данного раздела. Базовая информация об эргодической теории с
точки зрения динамических систем содержится в книге Корнфельда и др.
[1982], а также в более коротких заметках Синая [1976].
Пусть f: X ^ X — некоторое отображение метрического
пространства X. Инвариантная мера ji для / определяется как (борелевская)
мера, обладающая свойством д(/~^(А)) = ii{A) для всех (борелевских)
множеств А. Инвариантные меры являются математическими объектами,
описывающими количественные свойства динамических систем,
генерируемых отображением /. Вероятностная мера fi характеризуется
равенством ii{X) = 1.
Ниже приведено несколько примеров инвариантных вероятностных
мер:
a) Если р — периодическая точка / периода п, то мера, сопоставляющая
каждой точке орбиты р массу 1/п, является ршвариантпой
вероятностной мерой.
b) Если /: [0,1] -^ [0,1] — отображение вида f{x) = 2х mod 2а;, то мера
Лебега dx является инвариантной вероятностной мерой.
c) Если /: [0,1] -^ [0,1] определено формулой /(ж) = 4а;A — х), то
мера dx/y'x{l — х) инвариантна (см. раздел 5.6).
Упражнение 5.8.1. Покажите, что отображение типа «шатер»
Г 2а;, если ж е [0,1/2],
Да;;-|2_2а;, если ж G [1/2,1],
определенное в интервале / = [0,1], сохраняет меру Лебега.
Упражнение 5.8.2. Покажите, что если отображение /: R" -^ R" гладкое и
каждая точка образа имеет конечное число прообразов, а д = h{x)dx — некоторая
гладкая мера, то ц инвариантна тогда и только тогда, когда
f(v)=x
|det[B/(j/)]|
В частности, мера Лебега инвариантна относительно диффеоморфизма / тогда и
только тогда, когда | det (/?/)[ = 1 (сохранение объема).
Изучим теперь более подробно иодкову, чтобы проиллюстрировать
возможности исиользования инвариантных мер для описания количественных
свойств динамической системы. В целях удобства вычислений проще
использовать символическое иредставление подковы как сдвига и описывать
350 Глава 5
инвариантные меры для отображения сдвига сг: Е ^ Е, где Е —
символическое пространство бесконечных в обе стороны последовательностей из 1
и 2. Один из классов инвариантных мер на Е ассоциируется с нечестным
подбрасыванием монеты. Пусть 1 выпадает с вероятностью р, а 2 — с
вероятностью q = 1 — р. На Е можно определить инвариантную меру ji = jip,
задавая ее значения на множествах Ei = {а | ад = 1} и Ег = {а | ад = 2}
и требуя независимость (в вероятностном смысле) бросков монеты. Таким
образом, Ej соответствует тому, что результат i-vo броска равен г, положим
/i(Ei) = р, jiiTi^) = q- Из инвариантности ц следует, что /i(cr~-'(Ej)) =
= /i(Ej) для всех целых j. Здесь /i(cr~-'(Ej)) представляет собой множество
последовательностей, для которых j-й бросок имеет результат i.
Независимость сводится к утверждению, что для любой носледовательности 6 G Е
и целых к, I
j=k ^ i=k
где а и /3 — количество единиц и двоек соответственно среди {bj}\^j,.
Таким образом, вероятность совместного появления результатов различных
бросков равна произведению вероятностей результатов индивидуальных
бросков.
Меры jip сильно различаются но своим свойствам. Как следует из
центральной предельной теоремы, почти все последовательности обладают тем
свойством, что с ростом длины конечного блока относительные частоты
единиц и двоек в этом блоке стремятся к р и q соответственно.
Следовательно, меры fip взаимно сингулярны: множества полной меры для Др
имеют пулевую меру для jipi, если р' ^ р. Тем не менее, эти меры эр-
годичны: не существует такого множества Е, что и это множество, и его
донолнение имеют положительную меру и инвариантны относительно а.
Энтропии мер jip также различаются. Энтропия д интуитивно
определяется как максимум ожидаемого увеличения информации (по отношению к
некоторому разбиению) за счет задания одной дополнительной точки на
некоторой типичной траектории. Точное онределение энтронии будет
дано ниже. Используя вероятностную интерпретацию Цр как независимые
броски монеты, получим, что каждая дополнительная точка траектории
добавляет одинаковое количество информации, равное —{рЫр + qlnq).
Покажем, что все меры Цр имеют некоторое отношения к
динамике, на следующем примере кусочно-линейной модификации отображения
подковы /: 5* ^ М . В этом модифицированном отображении
коэффициент вертикального растяжения 7 иреднолагается разным для двух
компонент области f~^{S) П 5* (см. раздел 5.1), а коэффициент горизонтального
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова
351
wm/'^//4iV/Z'/
'///
//////
—1—
V/
//////
Ш
—А—
1
1
Рис. 5.8.1. Неровная подкова.
сжатия А остается тем же самым. Если эти два коэффициента растяжения
равны 71 и 72, то высоты соответствующих горизонтальных полос Н\ и Н2
равны 7]^ и 72^ (см. рис. 5.8.1). Если задать некоторую конечную
последовательность символов а-т ■ ■ ■ a-iaoai... an, то площадь прямоугольника
Ra= Г\ /"'№'^
равна A'i 72 > где к — число единиц среди ао, . .., ««. Общая
площадь этих прямоугольников равна Х"^{-у^^ + 72~^)"^^' поэтому доля
прямоугольника Ra составляет
1\и+1
7i 72
GГ'+72"')
G1 + 72)
и+1
71
71 +72
и+1-fe
72
71 +72
Таким образом, описанная выще мера с параметром р = 72/G1 +72)
присваивает этим последовательностям а массу, равную доле площади
прямоугольника Ra в общей площади |J Ri,, где объединение берется по всем
конечным последовательностям b = {&i}"=_„■
Используя разбиения Маркова, ршвариантные меры на любом
инвариантном гиперболическом множестве можно изучать в терминах мер,
инвариантных подсдвигам конечного типа. Как мы уже видели для полного
сдвига, подсдвиги конечного типа обладают большим числом
инвариантных мер, которые заметно отличаются одна от другой. Тем не менее,
существует одна особая инвариантная мера для гиперболического аттрактора А,
которая выделяется своей динамической связью с мерой Лебега. Для ее
352 Глава 5
описания обсудим вначале понятие типичного поведения траекторий,
приближающихся к А. Здесь «типичное» понимается в смысле «для почти всех
по мере Лебега начальных условий». Один из способов измерения
асимптотического поведения типичной траектории состоит в рассмотрении ее
среднего по времени.
Определение 5.8.1. Пусть дискретная динамическая система
определяется отображением /: R" ^ R", а д: R" ^ М — некоторая веществен-
нозначная функция. Среднее по времени от д на (направленной вперед)
траектории, исходящей из точки х, равно
ЛГ-1
lim 4f У^ gifix)),
i=0
если данный предел существует. Для непрерывного потока фг ■ R" -^ R"
среднее по времени от (направленной вперед) траектории равно
lim ^ д{фг{х))<И.
Справедливо следующее утверждение (см. Bowen, Ruelle [1975]).
Теорема 5.8.1 (Sinai-Ruelle-Bowen). Пусть фг'- М" -^ R" — поток
класса С^, обладающий гиперболическим аттрактором А. Тогда
существует единственная мера с носителем А и следующим свойством: если U —
такая окрестность А, что (^t(f/) С U для всех t ^ to, А = f] ф1{и),
ад — непрерывная функция, то для почти всех {по отношению к мере
Лебега) а; е [/
т
\im^^ jд{фг{х))М = jgd^i. E.8.2)
о А
Если /: R" -^ R" определяет дискретную систему, то справедлива
аналогичная теорема, где
ЛГ-1
lirn^ ^ ^ д{Пх)) = gdfi. E.8.3)
i=0 J,
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова 353
Мера, удовлетворяющая равенству E.8.2), называется асимптотической
мерой.
Мера II, фигурирующая в теореме 5.8.1, обладает свойствами,
аналогичными описанному выше примеру модифицированной подковы.
Зафиксируем малое положительное число е и некоторое марковское разбиение
аттрактора А для дискретной системы /: R" -^ R". Для множества R С А
определим У(Д) как п-мерную лебеговскую меру на |J W/(ж)). Значение
xeR
этой меры на множестве Ra, состоящем из точек с данной конечной
последовательностью символов а-т ■ ■ -a-iaoai. . .an, приблизительно
пропорционально отногцению объемов множеств Ra и А.
Объемы V{Ra) тесно связаны с понятием показателей Ляпунова
потока, определенным ниже. Относительный объем V{Ra)/V{A)
определяется как коэффициент растяжения касательных векторов вдоль
неустойчивого многообразия множества А. Грубо говоря, f^{Ra) перемещается
через элемент а„ разбиения Маркова в неустойчивом направлении.
Поэтому относительный размер V{Ra)/V{Ra„) аппроксимируется
величиной det{Df"/W") производной, вычисленной в некоторой точке из Ra-
При п ^ оо отображения -D/" на неустойчивых подпространствах
экспоненциально растут. Скорость растяжения может быть разной в различных
направлениях. Определение показателей Ляпунова формализует понятие
этих коэффициентов растяжения.
Определение 5.8.2. Пусть /: М" -^ М" — дискретная
динамическая система, х G М". Допустим, что существуют подпространства
V^ D V^ D ■. ■ D V^ касательного пространства р{х) в точке и
числа /ii ^ Д2 !^ ■•■ !^ Ми со следующими свойствами:
2) dim у/-'' =n + l-j;
3) lim A/iV) In II J{Df^)*{Df^) ■ v\\ = fij для всех v G V^^^^ - V^^^^\
где {Df^y* — матрица, транспонированная к Df".
Тогда числа /ij называют показателями Ляпунова отображения / в
точке X.
Если X =1Е — неподвижная точка, то подпространства V^ = У'-'-' не
зависят от г и представляют собой просто собственные пространства,
ассоциированные с (множествами) собственных значений!)/(ж). Показатели
Ляпунова равны логарифмам модулей этих собственных значений.
354
Глава 5
К примеру, пусть Df{x)
1J
, где Ai > А2. Возьмем у(^)
Ai О
О A2J
span{(l, 0), @,1)} = М^ и УB) = span{@,1)}. Свойства A) и B)
немедленно выполняются, и мы имеем
Ml
lim -Г7 In
Af
О
при V е
Д2 = lim — In
при V е V^'^K
Af
О
О
lim 4fln|Af
lim ^ln|Af|
:ln|Al|,
ln|A2
E.8.4)
Точно так же, как понятие устойчивого и неустойчивого многообразий
было обобщено на орбиты, отличные от неподвижных точек и
периодических циклов, это определение обобщает понятие собственных значений для
получения средних скоростей линейного сжатия и растяжения на орбите.
лA)
B)
Заметим, что подпространство Уд ' ~ '^q ' состоит из всех векторов
ИЗ ГдМ", растущих с максимально возможной скоростью, Vq Vq
состоит из всех векторов, растущих со следующей максимальной скоростью,
и т. д.
Как следует из мультипликативной эргодической теоремы Оселедеца
[1968] (см. Ruelle [1979]), показатели Ляпунова существуют в весьма
общем случае, когда / класса С^, а Df непрерывна по Хельдеру с некоторым
показателем 9. Для любой инвариантной относительно / меры ц почти
все (по отношению к ц) точки имеют показатели Ляпунова. Ruelle [1979]
доказал замечательный результат о существовании гладких инвариантных
устойчивых подмногообразий в М", касательных к подпространствам,
фигурирующим в определении отрицательных показателей Ляпунова 5.8.2.
Эти теоремы Оселедеца и Рюэлля (см. также Песин [1977]) вселяют
уверенность, что статистические подходы к изучению общих динамических
систем применимы к более широким классам систем, нежели описываемые
в данной книге системы, которые можно исследовать геометрическими
методами. Алгоритмы вычисления показателей Ляпунова, инвариантных мер
и энтропии особенно интенсивно применялись физиками. Существует
также надежда, что геометрическую и статистическую точки зрения можно во
многом соединить. Интересные начальные результаты в этом направлении
получены Katok [1980, 1981] для двумерных диффеоморфизмов.
Упражнение 5.8.3. С помощью микрокомпьютера или программируемого
калькулятора вычислите показатели Ляпунова для отображения х -^ ах{1 — х)
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова 355
для различных а G C,4] и для отображения Лоренца для уравнения B.3.6).
Сравните ваши результаты со значением д = In 2, полученным для отображений типа
«шатер» и для а; ^ 2а; (mod 1).
В оставшейся части данного раздела мы обсудим два типа величин,
ассоциирующихся с инвариантным множеством: энтропия и размерность.
Начнем, следуя Takens [1980], со знакомства с топологическими версиями
этих понятий, а затем рассмотрим соответствующие определения в
контексте теории меры. Пусть Л — компактное инвариантное множество для
диффеоморфизма /: М™ -^ R™. Для натурального числа п и
положительного е назовем множество 5 С Л [п, е) разделенным множеством, если
для любых двух его различных элементов х, у найдется такое О ^ i < п,
что d{P{x), Р{у)) > е.
Определение 5.8.3. Пусть s{n,e) — максимальная мощность (п,£)
разделенного подмножества Л. Определим
h{f,e)= lim sup — Ins(n,e), E.8.5)
h{f) = \\mh{f,e). E.8.6)
Тогда h{f) называется топологической энтропией f. Емкостью Л
называется число
s(l,e)
liminf^-^. E.8.7)
е^о -Ine
Емкость Л не зависит от /. Она является мерой скорости роста числа
шаров радиуса е, требующихся для покрытия Л при е ^ 0. При
фиксированном £ > О как критерии разделимости h{f) является мерой скорости
роста числа различных траекторий в Л в зависимости от длины траектории.
Понятие емкости тесно связано с понятием размерности Хаусдорфа.
Определение 5.8.4. Хаусдорфова размерность метрического
пространства X определяется как нижняя грань чисел а со следующим
свойством: для любого £ > о существуют 5 > О и покрытие 'Ш множества X,
состоящее из множеств диаметра меньше 5, такие, что J^ (diamS)" < е.
Заметим, что хаусдорфова размерность совпадает с обычной целой
размерностью для гладких многообразий и евклидовых пространств.
В качестве примера рассмотрим канторово множество, получаемое
после отбрасывания средних третьих. Так как конструкция данного множества
равномерна, то мы можем покрыть его системой из 2" отрезков, каждый
из которых имеет длину ((l — ~^)/'^) = 3~"; здесь величина 3~" играет
356 Глава 5
роль S. Для вычисления хаусдорфовой размерности рассмотрим финальное
неравенство в ее определении, которое в данном случае имеет вид
2"C-")" < £. E.8.8)
Полагая п -^ сх), мы приходим к определению наименьшего из таких чисел,
что lim B^"") -^ О, или, в эквивалентной форме, пAп 2 —а In 3) -^ —сх).
Отсюда имеем
в качестве верхней оценки для хаусдорфовой границы канторова
множества. В действительности, данная оценка является точной, но мы не будем
доказывать это.
Упражнение 5.8.4. Покажите, что емкость данного канторова множества
также равна In 2/ In 3. Найдите емкость и хаусдорфову размерность для
канторова множества, получаемого после отбрасывания средних частей относительной
длины /3 G @,1), а также для канторова множества, образованного удалением на
п-м шаге из каждого отрезка его части, имеющей относительную длину /37",
где 7i /3 G (О, 1) (см. разд. 5.4).
Эти топологические определения страдают тем недостатком, что
типичная траектория не обязательно приближается к аттрактору Л таким
образом, что существуют соответствующие пределы. Возможны также
определения в терминах теории меры, модифицирующие определения 5.8.3 и 5.8.4.
Однако эти «стандартные» определения более громоздки но форме, и
переход от данных Здесь определений к стандартным нетривиален (см. Brin,
Katok [1981], Young [1982]).
Определение 5.8.5. Пусть д — инвариантная эргодическая
вероятностная мера для отображения /: R" -^ М" с компактным носителем. Положим
V{x,s,n) = {у е R" I d{fix), Г (у)) < £, О < г < п}.
Тогда для почти всех х по отнощению к ji величина
limliminf{--ln/i(T/(.T,e,r?,))} = hJf)
не зависит от х. Она называется ii-энтропией f. Хаусдорфова
размерность II (обозначаемая как HD (д)) равна нижней грани хаусдорфовых
размерностей подмножеств Y С R", для которых /и(У) = 1.
В заключение заметим, что существуют видимые связи между
понятиями: показатели Ляпунова, энтропия и хаусдорфова размерность.
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова 357
Теорема 5.8.2 (Young [1982]). Пусть f:M^M-
С'^-диффеоморфизм на некоторой компактной поверхности М, р — эргодическая боре-
левская вероятностная мера с показателями Ляпунова Ai ^ Аг. Тогда
HD [р] = h^{f){l/\2 — 1/Ai), если только правая часть этого равенства
не представляет собой неопределенности вида О/О.
Многомерные аналоги этой теоремы пока не доказаны. Примечательны
здесь гипотезы Yorke (Frederickson и др. [1982]) о размерности аттракторов.
Закончим примером, аналогичным предложенному Kaplan, Yorke
[1979а] и иллюстрирующему формулу, фигурирующую в теореме 5.8.2. Этот
пример относится к геометрической модели Лоренца, обсуждавшейся выще.
Рассмотрим отображение
F{x,y) = {f{x),g{x,y)), E.8.10)
где
•'^^^ \2а;-1, же @,1],
9{х,у)={ Q<p<-,
определенное на множестве S = 5]+ U 5]_. Здесь
5]_ = {(ж,у)|же(-1,0), уе(-1,1)},
Е+ = {(ж,у)|же@,1), уе(-1,1)}.
E.8.11)
Это отображение иллюстрируется рисунком 5.8.2. Заметим, что
существуют неустойчивые (седловые) точки при (ж,у) = (±1, Т^)- Хотя S
не отображается в свою внутренность, можно определить притягивающее
множество
А= p|Ffe(S),
как в предыдущих примерах, если заметить, что точки на границах х = ±1
асимптотически приближаются к двум седлам, а точки, попадающие на
ось X = {), исключаются из дальнейшего рассмотрения. Как и в разделе 5.7,
мы можем доказать, что А содержит плотную орбиту и, по построению,
является произведением канторова множества и горизонтального
интервала [-1,1].
358
Глава 5
(-1,1/2)
A,-1/2)
Рис. 5.8.2. Кусочно-линейное отображение лоренцева типа.
На каждой стадии построения канторова множества удалим из
каждого вертикального интервала его A — 2д)-ю часть (с двух «концов» и
посередине). Таким образом, на п-м шаге множество |J _F"(E) состо-
их из 2" «горизонтальных» прямоугольников, каждый из которых
имеет длину 2 и высоту 2д". Таким образом, мы можем покрыть аттрактор
iV и 2" • 2/B • /i") = B//^)" квадратами диаметра 2 • д". Используя
определение хаусдорфовой размерности 5.8.4, мы приходим, следовательно, к
вычислению нижней грани таких чисел а, для которых
lim
п—»сю
{2^,^y
о,
lim [2" • д"("-1) . 2«] = О
Это означает, что
lim [п In 2 + п{а — 1) In д + ск In 2] = —оо.
1п2
1-
1п
М
E.8.12)
причем в этом случае данная величина совпадает с емкостью. Заметим, что
она равна 1 + d, где d — хаусдорфова размерность канторовских множеств,
получаемых отбрасыванием средней части относительной длины A — 2д)
(см. упражнение 5.8.4).
В данном примере производная
DF
2 О
О fj,
E.8.13)
5.8. Размерность, энтропия и показатели Ляпунова 359
постоянна, откуда получаем для показателей Ляпунова
значения In 2 > О > In д, а для коэффициента сокращения площади при
каждом применении отображения — значение det{DF) = 2д < 1. Поскольку
коэффициент расширения в направлении оси X постоянен, в качестве
подмножеств V{x, S, п) можно выбрать диски (или квадраты) диаметра £/2",
V(/) = limliminf|-^ln(e- 2-")| =
= lim lim inf 1^1п2-;^lnel =1п2. E.8.14)
Из теоремы 5.8.2 следует
'■^' ^^2 ЬдУ V 1п21пA/д) J 1пд' ^ '
что соответствует E.8.12).
Глава 6
Глобальные бифуркации
в главе 3 мы имели дело со свойствами локальных бифуркаций для
положений равновесия и периодических орбит. Развитая там теория опирается
на преобразования координат, приводящие системы общего вида к
нормальной форме, в результате чего информацию о динамике можно получить из
разложения Тейлора векторного поля в особой точке.
В данной главе мы рассмотрим такие динамические свойства, которые
нельзя вывести из локальной информации. Скорее, описываемая здесь
ситуация включает глобальные аспекты потоков. Простейщие из них связаны
с наличием гомоклинических орбит у плоских векторных нолей. Мы уже
встречали несколько примеров таких гомоклинических, а также гетерокли-
нических орбит. Эти орбиты служили исходным пунктом для применения
методов теории возмущений с целью обнаружения трансверсальных
гомоклинических точек уравнения Дуффинга с возбуждением (глава 4), а в
главе 5 мы привели примеры богатства динамического поведения,
проявляющегося при возмущении таких точек.
В первом разделе мы вновь рассматриваем плоские гомоклинические
и гетероклинические орбиты и развиваем теорию бифуркаций,
описывающую типичные сценарии их разрушения под действием малых возмущений
и появления при этом новых инвариантных множеств. Затем мы обсудим
диффеоморфизмы окружности, которые уже встречались нам в связи с
потоками на торах, и опишем некоторые свойства чисел вращения в
параметризованных семействах таких отображений. В третьем разделе мы разовьем
дискуссию о необратимых отображениях интервала, начатую в разделе 5.6,
и опишем бифуркации таких отображений. Раздел 6.4 вновь касается
уравнений Лоренца, и мы используем однопараметрическое семейство
одномерных отображений, аналогичных представленным в разделе 2.3 для описания
глобальных бифуркаций, в которых могут возникнуть аттракторы лоренцова
типа.
Затем в разделе 6.5 мы вернемся к гомоклиническим орбитам и опишем
динамику вблизи орбиты, гомоклинической к неподвижной точке, в
некотором классе трехмерных потоков. В последних двух разделах мы имеем
дело с рождением у двумерных диффеоморфизмов трансверсальных
гомоклинических орбит. Мы уже видели при обсуждении моделей Ван дер
Поля, Дуффинга и подскакивающего мяча, что типично возникновению та-
6.1. СЕДЛОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ 361
ких орбит предшествует касание устойчивого и неустойчивого
многообразий некоторой неподвижной или периодической точки. В этих разделах мы
опишем некоторые аспекты бесконечных последовательностей бифуркаций,
приводящие к рождению подков при замене касательного пересечения на
трансверсальные гомоклинические точки.
В последнем разделе мы вернемся к одномерным отображениям для
ознакомления с применением методов ренормализации к обнаружению и
анализу универсального характера масштабирования степеней
отображений. Эти идеи первоначально применялись в задачах физики сплошной
среды, использование их в обсуждаемом контексте было предложено Фей-
генбаумом [1978]. С тех пор возникла заметная «индустрия
масштабирования», в частности, в сообществе физиков.
6.1. Седловые соединения
Простейшие глобальные бифуркации возникают в плоских векторных
полях при наличии траекторий, соединяющих две седловые точки или
образующих петлю, содержащую единственную седловую точку. Рассмотрим
систему
X = п + х'^ — ху,
У = У -X - 1
(см. упражнение 1.9.1). Если д = О, эта система имеет два положения
равновесия (О, ±1), а собственные значения в каждом из них имеют
противоположные знаки. Кроме того, ось у инвариантна, так как из а; = О
следует i = 0. Таким образом, интервал (—1,1) оси у является
траекторией, соединяющей две седловые точки @,±1). Эта ситуация структурно
неустойчива, и мы хотим описать, что произойдет при возмущении
параметра II. Несложные вычисления показывают, что седловые точкт сместятся в
положения (±/i, ±1) + Odi"^). В точках интервала (—1,1) оси у поток будет
иметь ненулевую горизонтальную составляющую i = д, и мы приходим
к выводу, что траектория, соединяющая при д = О две седловые точки,
переходит в две седловых сепаратрисы, ни одна из которых не пересекает
оси у. Фазовые портреты этого потока иллюстрируются рисунком 6.1.1.
Упражнение 6.1.1. Проверьте вышеупомянутые вычисления при помощи
метода Мельникова. (Так как невозмущенная система негамильтонова, следует вначале
сделать упражнение 4.5.1.)
Между портретами при д < О и при д > О существует качественное
различие. Если д < О, сепаратриса верхнего положения равновесия pi
лежит слева от сепаратрисы точки р^, и траектории с ростом времени могут
362
Глава 6
Р2
(а)
Рис. 6.1.1. Потоки уравнения F.1.1): (а) fi < 0; [Ь) (л = 0; (с) д > 0.
переходить от значений х = +сх) к х = —сх). Если д > О, сепаратриса
точки pi лежит справа от сепаратрисы точки р2, и траектории с ростом времени
могут переходить от значений а; = — сх) к а; = +сх). Ясно, что предельное
поведение некоторых орбит изменяется.
Пересечение сепаратрис седел можно ассоциировать с другими
изменениями качественных свойств потока. Простейшая ситуация возникает для
плоских потоков, где существование седловых нетель ассоциируется с
появлением и исчезновением периодических орбит.
Рассмотрим следующий пример:
х = у,
у = X — х^ + ду.
Если д = О, система бездивергентна и обладает первым интегралом
F.1.2)
Н{х,у)
У
X
2
X
3 ■
F.1.3)
Начало координат является седловой точкой, для которой две
сепаратрисы совпадают и образуют петлю 7- Внутренность 7 заполнена семейством
замкнутых орбит, см. рисунок 6.1.2.
Упражнение 6.1.2. Проверьте вышеприведенные фазовые портреты при д т^ 0.
(Подсказка: вычислите дивергенцию; воспользуйтесь методом Мельникова.)
6.1. СЕДЛОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
363
(а)
Рис. 6.1.2. Фазовые портреты для уравнения F.1.2): (а) /л < 0; (Ъ) /л = 0; (с) д > 0.
Данная ситуация структурно неустойчива, так как наиболее
вырожденные периодические орбиты, которые можно ожидать встретить в однопара-
метрическом семействе, — это изолированные седло-узлы. Тем не менее,
данный пример показывает, что седловые петли ассоциируются с
периодическими орбитами.
Из вырожденности уравнений F.1.2) (дивергенция равна нулю')
следует, что для седловой точки седловая величина равна пулю. (На самом
деле, в данном случае система гамильтонова.) Если мы модифицируем этот
пример к виду
X = V,
2 F.1.4)
у = X — X + iiy + аху,
где а 7^ О, то при д = О уже не получим седловой петли. При а > О седловая
петля имеет место при д < О, причем седловая точка имеет отрицательную
седловую величину.
Упражнение 6.1.3. Проверьте это утверждение и при помощи метода
Мельникова найдите линию, проходящую через начало координат на плоскости (р,а),
касающуюся множества гомоклинической бифуркации для уравнения F.1.4).
(Подсказка: положите /л = eji, а = еа, где е близко к нулю.)
Следующая теорема^ предоставляет нам характеристику
периодических орбит, которые можно найти вблизи таких невырожденных
бифуркаций коразмерности один.
Теорема 6.1.1.
X = f{x, /i); X G R^,
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
д G М, для которой выполнены следующие условия:
'При 11 = 0. —Прим. ред. перев.
^См. Анронов, Леонтович, Гордон, Майер [1967], — Прим. ред. перев.
364 Глава 6
1) При д = До существует гиперболическая седловая точка ро и гомо-
клиническая орбита {седловая петля) 70 С VF"(po) U W^{pq). Пусть
Q ¥^ Ро ~ некоторая точка, лежащая на 7о-
2) Пусть М — одномерное сечение, трансверсальное /с 70 в точке q.
Пусть I = [fj,Q—£, 1_1о+е]—некоторый интервал в пространстве
параметров. Обозначим Pfj_ = p{fJ,) кривую седловых точек, существующих
при различных значениях ji, где p{jiq) = pq. Пусть и{р), s{p) — гладкие
кривые вЖ^хЖ, содержащиеся в [МхI^VJW"^{рf_i) и в {МхI)\JW''{рf_i)
соответственно. Допустим, что {d/dp){u{p) — s{p)) ф О при р = jiq.
3) При ji = jiQ имеем tr [_D/(po)] < О {соответственно, > 0). Тогда
существует семейство Г устойчивых {соответственно, неустойчивых)
периодических орбит в пространстве {х, ji) системы х = f{x, ji),
замыкание которого содерж:ит 7о х {Мо}- Периоды этих орбит неогра-
ничены при ji -^ jiQ. Существует близкое к нулю значение е {возмож:но,
отрицательное) такое, что если fj, леж:ит в интервале меж:ду fiQ
и 1_1о + е, то система х = f{x, ц) имеет ровно одну периодическую
орбиту из семейства Г {см. рис. 6.1.3).
Доказательство. Доказательство этой теоремы формулируется в
терминах отображения возврата р^ для сечения М. Мы рассмотрим лишь
устойчивый случай, так как в неустойчивом случае доказательство такое
же.
Так как М трансверсально вектору /(жо, До) в точке q = П70,
ограничивая внимание достаточно малой окрестностью точки {q,iio), мы можем
допустить, что в ней f{x, ji) везде трансверсально к М. Петля 7о = 7oU{po}
имеет угловую точ1су ро, касательные в которой указывают направления
устойчивого и неустойчивого собственных векторов в ро. Некоторые из
орбит, близкие к 7о, могут покидать ее окрестность при t -^ ±сх), как
показано на рисунке 6.1.3(c). Чтобы исключить такие орбиты, мы определим
отображение возврата Pfj,„ лишь на той части М, которая лежит внутри 7о-
Орбиты, начинающиеся вблизи 70 с этой стороны, проходят мимо ро и
остаются близкими к 70 (см. рис. 6.1.3).
Если II = До, то поскольку траектории внутри 70 проходят мимо ро,
они строго притягиваются к 70• Введем в окрестности точки ро
координаты {х, у) таким образом, чтобы локальные устойчивое и неустойчивое
многообразия были осями координат. Допустим, что собственные значения
матрицы Df{po) равны —а и /3, где а > /3 > 0. Выберем S так, чтобы
1 > S > C/а. Тогда для достаточно малых (ж, у) будем иметь \dy/dx\ =
= \y{l3 + . ■ .)/х{—а + ■. ■)! < S\y/x\. Это означает, что траектории нашего
потока вблизи начала менее крутые, чем 6\у/х\. Из оценок Гронуолла (см.
6.1. СЕДЛОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
365
/^>/'о
И=Ио
И<Ио
Рис. 6.1.3. Бифуркация седлового соединения (показан случай положительного
следа): (а) М и кривые u{ii), s{fi); (b) /j, < до; (с) д — До; (d) д > до.
лемму 4.1.2) следует, что для достаточно малых значений е > О решение
с начальными условиями (е,уо) достигает горизонтальной прямой у = е в
точке (а;1,е),где \xi\ < \уо\^ {sy~'^ ■ Поскольку 5 < 1, то |a;i|/|yo| -^ +0
при уо -^ +0, что и требовалось доказать, см. рисунок 6.1.4.
Из этих рассуждений следует, что производная от Р^^^ стремится к
нулю при X ^ q в М. Следовательно, все отображения возврата Р^^ имеют
в малой окрестности точки W''{pfj,) П Af коэффициент растяжения, мень-
П1ИЙ единицы. Заметим также, что график функции Р^^^ приближается к
биссектрисе первого квадранта по мере приближения к точке Q = 7о Г1 М,
поскольку 7о ^ гомоклиническая орбита. Теперь из гипотезы B) следует,
что при изменении д граничные точки графика Р^ пересекают биссектрису
с ненулевой скоростью. (Напомним, что отображение Р^^ определено
только для точек на М, лежащих «внутри» W'^{Pfj,) П М, см. рисунок 6.1.5.)
Мы приходим к выводу, что графики функций Р^^ выглядят качественно
аналогично представленным на рисунке 6.1.5, с точностью до отражения
относительно оси ji. Эта диаграмма содержит напоминание о
доказательстве теоремы. В частности, поскольку коэффициенты растяжения
отображений P(j меньгие единицы, то каждое векторное поле имеет не более одной
периодической орбиты вблизи 70 > а существующие периодические орбиты
366
Глава 6
y=s
у
' (Xj,£-)
V d Y наклон
^^v
^Г ""*—
X--
--
= E
-is
X
Рис. 6.1.4. Поток вблизи сжимающей седловой точки.
Рис. 6.1.5. Отображение Пуанкаре Р^ и связанные с ним векторные поля. Область Р^
в Л/ X {д} выделена жирной линией, (а) /i < цо', (Ь) /i = /lo', (с) ц > Цо', (d)
отображение.
устойчивы. Кроме того, для значений д по одну сторону от до
периодические орбиты необходимо существуют. ■
В следующей главе мы встретимся с петлями, образованными
несколькими седловыми сепаратрисами. Теорему 6.1.1 можно обобщить для раз-
6.2. Числа вращений 367
решения таких ситуаций, тогда устойчивость периодических орбит будет
определяться величиной 1п( YI уг )' ^де — Aj < О < д» — собственные
значения г-го седла в петле; см. Reyn [1979].
Упражнение 6.1.4. Проведите указанное выше обобщение теоремы 6.1.1.
Упражнение 6.1.5. Покажите, что если 1 -\-"f < /3 — 1,то следующая система
имеет петлю (гомоклинный цикл), содержащий три седловые точки:
К'-'+ЧШ)"')-
Сможете ли вы определить из формулы для следа, является ли данная петля а- или
ш-пределы1ым множеством для близлежащих точек (см. разделы 7.4—7.5)?
(Подсказка: сначала покажите, что окружность х'^ + у^ — 1 инвариантна для данного
потока.)
Грубо говоря, теорема 6.1.1 описывает бифуркацию периодической
орбиты «бесконечного периода». Она не устанавливает другие глобальные
свойства, которые могут ассоциироваться с бифуркациями, включающими
гомоклинические орбиты некоторой неподвижной точки. Это в
особенности касается случаев размерности более двух. Один из примеров возможных
усложнений, ассоциирующихся с такими бифуркациями, имеется в системе
Лоренца. Там в случае, когда начало координат имеет пару гомоклинических
орбит, имеется целое множество траекторий, сечения которых сопряжены
сдвигу на двух символах. Подробности этой ситуации описаны в разделе 6.4.
Мы также отсылаем читателя к разделу 6.5, где обсуждается работа Шиль-
никова по другой гомоклинической бифуркации в трехмерной системе.
6.2. Числа вращений
Следующее явление глобальной бифуркации, которое мы обсудим,
связано с диффеоморфизмами окружности. При анализе слабо нелинейного
осциллятора Ван дер Поля, а также бифуркации Хопфа для
периодических орбит, мы встречались с диффеоморфизмами на плоскости, которые
отображают некоторую (гладкую) замкнутую кривую в себя. До сих пор
мы откладывали полную дискуссию о динамике, имеющей место на такой
инвариантной кривой, но теперь пришло время рассмотреть этот предмет
более подробно. Обозначим окружность S^ и рассмотрим
диффеоморфизмы f:S'^^> S^. Мы будем считать S-^ множеством {е^'^*^ | в е R}, где
координата 9 определена по модулю 1.
368 Глава 6
Исходным пунктом для теории (сохраняющих ориентацию)
диффеоморфизмов на S^ является существование сохраняющегося
циклического порядка на S^. Если f: S^ -^ S^ — некоторый сохраняющий
ориентацию диффеоморфизм и X < у < Z в циклическом порядке, то
f{x) < f{y) < f{z). Это свойство сохранения порядка значительно
ограничивает динамику — так что любое / имеет почти ту же самую динамику,
что некоторое жесткое вращение Ra, определенное формулой R^ = в + а.
Мы будем изучать топологические свойства диффеоморфизмов окружности
таким способом, чтобы прояснить связь данной теории с теорией
необратимых одномерных отображений.
Пусть f: S^ ^ S^ — некоторый сохраняющий ориентацию
диффеоморфизм, выберем на ^i некоторую ориентацию. Возьмем произвольную
точку X G S^ и разобьем S^ на две дуги Iq = [х, f{x)) и 7i = \f{x), х). Для
каждой точки у ^ S^ определим число
Pyif) = lim I (мощность {/Чу) I о < i < п, и f{y) е /о})- F.2.1)
и—юо "•
Интуитивно, py{f) есть асимптотическая доля тех точек на траектории,
исходящей из у, которые лежат в Iq.
Установим теперь некоторые важные свойства py{f).
Предложение 6.2.1. Число py{f) существует и не зависит от у.
Доказательство. Обозначим N{y,k) мощность множества {/*(у)
О ^ i < п и /*(у) € Iq}- Заметим, что py{f) = lim {l/n)N{y,n). Сначала
сделаем два наблюдения относительно функции Л^:
A) N{y,k + l)=N{y,k)+N{f'^{y),l); F.2.2)
B) для любых у, Z е 5^ и fc е Z \N{y,k)-N{z,k)\i^l. F.2.3)
Первое наблюдение непосредственно следует из определения. Второе
наблюдение опирается на анализ точек разрыва функции N{y, к). Поскольку
X и f{x) образуют границы дуг Iq и /i, точки разрыва функции N{y,k)
должны иметь вид f~^{x) для fc > г ^ — 1. Однако если у < z iiy,z близки
к f^^ix), причем у < f^^{x) < Z, то мы имеем /*(у) < х < f^{z) < f{x)
и f^ {у) < f{x) < /*+^(z). Таким образом, единственно возможными
точками разрыва являются f~'^~^^[x) и f{x). Если f~^{x) ф х, то
точки f^^^^{x) и f{x) делят окружность на две дуги, на каждой из которых
величина N{y, к) есть константа, отличная от единицы.
Исходя из этих наблюдений, получаем неравенство
\N{y, пк + 1)- {nN{y, к) + N{y, 0I < п. F.2.4)
6.2. Числа вращений 369
Полагая N -^ сх), получим, что py{f) существует, причем
Ру{Л-1^{у,к)\^^. F.2.5)
Теперь из F.2.3) немедленно следует, что величрша py{,f) не зависит от у,
поэтому мы будем писать />(/) = py{f). Число />(/) есть число вращения
отображения /. ■
Упражнение 6.2.1. Покажите, что р(/) не зависит также от выбора х,
если р(/) 7^ О или 1. Что произойдет, если / имеет неподвижную точку?
Замечание. Стандартное определение величины p{f) включает
изучение подъемов / с 5^ на М (см. Coddington, Levinson [1955], глава 16 или
Hale [1969] стр. 64-76).
В качестве примера рассмотрим жесткое вращение Ra{0) = 6* + а. Мы
Зггверждаем, что p{Ra) = <^- Для рациональных а это моментально следует
из определения F.2.1). Для иррационального а воспользуемся следующим
предложением:
Предложение 6.2.2. Пусть ,f,g — сохраняющие ориентацию
гомеоморфизмы на S^. Если е > О м />(/) ф О или 1, то существует 5 > О такое,
что из неравенства sup |/ — 5I < ^ следует, что \p{f) — р{д)\ < £■
Доказательство. Воспользуемся неравенством F.2.5). Для
данного е > О выберем к таким образом, что 1/fc < е/2, а также у G S^ такое,
что у ^ f{x) или f^'^^^{x). Тогда существует 6 > О такое, что Ng{y, к) =
= Nf{y, к) для всех таких д, для которых sup \f — д\ < £, что и
утверждалось. ■
Предложение 6.2.3. Пусть ft — семейство сохраняющих ориентацию
гомеоморфизмов на S^ таких, что:
A) из to < ti следует, что ft„ < fti',
B) ни один из ft не имеет неподвижных точек.
Тогда из to < ti следует, что p{fto) ^ pifti)-
Доказательство. Каждое из ft есть гомеоморфизм, и из to < ii
следует, что ft,-, < ft^. Рассмотрим точку разрыва функции Nf_^{y,k)
в зависимости от t. Она имеет место для значения t, при котором
fl{y) = X для некоторого / < к. Мы имеем fl^{y) < х < fl^{y) и
^ft B/1 О < ^ft B/1 о при to < t < ti и малых ti — to- Заметим, что из
неравенства Д,(у) <х < fl^{y) следует, что /(+^(у) < ft„{x) < /t+Чу):
откуда при / < к имеем Nf^ (у, I + 1) = Nf^ (у, I + 1). Следовательно, I =
= к и каждая из функций {l/k){Nf^{x, к)) не убывает по t. Таким образом,
предел p{ft) также не убывает. ■
370 Глава 6
Упражнение 6.2.2. Докажите, что р(/") = np{f) (mod 1).
Предложение 6.2.4. p{f) рационально тогда и только тогда, когда f
имеет периодическую орбиту.
Доказательство. Если / имеет периодическую орбиту периода п,
содержащую у, то N{y,nk) = kN{y,n), следовательно, число вращения
/>(/) = lim N{y,n)/n рационально. Обратно, если />(/) = т/п рацио-
п^сю
нально, то p{f") = О (или 1), и для доказательства предложения надо
показать, что /" имеет неподвижную точку. Мы утверждаем, что если р{д) =
= О, то {йЧу)} монотонна, т.е. либо у < д{у) < д'^{у) < ... < у, либо
У > 9{у) > 5^(у) > • ■ • > У- Если бы это было пе так, то существовало бы
число к, для которого
у < д{у) < д\у) <...< д''-^{у) <у< д''{у)
либо
у > 9{у) > /(у) > • • • > /^Чу) > у > /(у)-
В первом случае р{д) > 1/к, во втором — р{д) < 1 — 1/fc; в обоих случаях
имеется противоречие. Если последовательность {(?Чу)} монотонна, то опа,
очевидно, сходится, а ее предел будет неподвижной точкой для д. ■
Для иллюстрации приложения этих идей к примерам, обсуждавшимся
выше, рассмотрим поток па двумерном торе, задаваемый системой
^i = l-7sin27r(^i-^2), ^^^^^
(o.z.oj
02 =u; + 7sin27rF'i -6*2),
где 9i,92 ^ Si = [0,1] mod 1, u; — фиксированное число в интервале [0,1],
а 7 ^ О ~ переменный параметр. Такие системы возникают при
изучении линейно связанных осцилляторов с предельными циклами; см. Cohen,
Neu [1979], Neu [1979], Rand, Holmes [1980], Cohen et al. [1982], a также
раздел 1.8.
Пусть E С Т^ = 5^ X 5^ - сечение
S = {(^1,^2) 1^1=0}. F.2.7)
Рассмотрим отображение Пуанкаре Р-^: Е ^ Е, индуцированное потоком
для F.2.6). Pj есть диффеоморфизм окружности.
Упражнение 6.2.3. Рассмотрим скалярное уравнение относительно ф —
— 01 — 92'.
ф = {1 — и)) — 2^ sin 2тгф,
6.2. Числа ВРАЩЕНИЙ 371
получаемое путем вычитания двух уравнений системы F.2.6). Покажите, что это
уравнение можно решить точно, и используйте решение, чтобы показать, что
для 27 > A — (jj) отображение Пуанкаре Р~/ имеет две гиперболических
неподвижных точки. Затем покажите, что число вращения р{^) = 1 для 27 ^ A — ш).
Опищите бифуркапию, имеющую место при 2^ = {1 — ш).
Допустим теперь, что 27 < A — ^), при этом решение
дифференциальных уравнений F.2.6) с базой 9i = 0,02 = О имеет вид
Oi{t) = ^ + l (A +oj)t+l arctg ?i(t)),
^2(t) = I + I (A +u;)t-^ arctg u{t)
Uit) = -^—B7+ CTtg(CT7rt + C)),
i — iV
F.2.8)
где
— Ш
a = V(l-a;J-472,
a с определяется из формулы atgc = —B7 + A — ix;) tgGr^)), так что
M@) = -tgH).
Упражнение 6.2.4. Проверьте справедливость уравнений F.2.8).
Точное решение F.2.8) позволяет нам записать отображение Пуанкаре
так:
Р-у{в) = I + |(A + cj)t - I arctg u(t)) , F.2.9)
где т — время, необходимое для изменения коордршаты Oi от нуля до
единицы:
1 = f + |(A + си)т + ^ arctgu(T)) . F.2.10)
Упражнение 6.2.5. Покажите, что Р-у не является жестким вращением, даже
в случае 27 < |1 — а;|. Можете ли вы найти сечение, для которого отображение
Пуанкаре будет при 27 < |1 — <^| жестким вращением? (Подсказка: уравнения F.2.6)
инвариантны сдвигу вдоль 9i = 02 + const.)
Теперь вычислим для случая 27 < A — со) число врагцения p{Pj) =
= р{^). Из уравнений F.2.9), F.2.10) (и результата упражнения 6.2.1) имеем
p{Pi)=p{7)= lim п = 1™ п Ч' F-2.11)
372
Глава 6
где т„
корень уравнения
+ ^({1 +a;)T„ + -arctgM(T„)j.
F.2.12)
Пусть п ^ 00, тогда т„ можно вычислить, взяв средний наклон
осциллирующей функции arctgM(T„). Величина arctgM(T) изменяется на тг за
такое время т'^, за которое и(т) изменяется от —сх) до +сх), что
соответствует изменению (сгтгт + с) от —7г/2 до 7г/2. Таким образом, т'^ = 1/сг.
Мы получаем, что средний наклон функции arctgM(T„) есть 7г/A/сг) = сгтг,
так что для больших п (и, следовательно, больших т„) из F.2.12) находим
т„ = пB/A + ix; + сг)). Подставляя это значение в F.2.11), получаем
/эG) =
1
1
F.2.13)
где а было определено в F.2.8). График числа вращения показан на
рисунке 6.2.1. Заметим, что хотя он непрерывен в точке 7 = A — "-')/2, он
недифференцируем в этой точке, причем р'{^) -^ сх) при 7 ^ A — ^)/2 — 0.
Таким образом, захват фазы типа 1 : 1 теряется при переходе значения 7
через точку A — ix;)/2 в сторону уменьшения. Затем число вращения быстро
проходит бесконечно много рациональных и иррациональных значений и
стремится к со при 7^0.
Рис. 6.2.1. Число вращения для Р-у.
Свойства, содержащиеся в предложениях 6.2.1-6.2.4, суммируют
топологические свойства гомеоморфизмов окружности. В некотором смысле,
жесткое вращение предоставляет модель для асимптотического поведения
любой траектории. Если p{f) рационально, то все траектории
отображения / асимптотически периодичны, а если /э(/) Рфрационально, то имеются
траектории с тем же самым порядком, что и траектории отображения R^,
6.2. Числа вращений 373
где а = p{f). Однако мы хотели бы пойти далее этих общих свойств
гомеоморфизмов и получить информацию, связанную с гладкостью
отображения /. Сначала сфокусируем внимание на свойствах диффеоморфизма с
иррациональным числом вращения.
Пусть / — диффеоморфизм, для которого число p{f) = а
иррационально, и пусть ж е 5i. Как было показано выше, функция h, определенная на
траектории точки х равенством h{f"{x)) = па (mod 1), сохраняет
порядок точек на окружности. Кроме того, множество {па (mod 1)} плотно на
окружности, так как а рфрационально. Следовательно, h допускает
единственное продолжение до неубывающей функции на окружности. В явной
форме мы имеем
h{y) = lim fr (мощность {/с \ О ^ к < п и f^{x) е [ж, у)}). F.2.14)
Упражнение 6.2.6. При помощи данного определения проверьте, что
если у = /"(ж), то hijj) = па (mod 1). Для этого покажите, что h{f(y)) =
= h{y) + а (mod 1).
Мы хотим теперь узнать, является ли определенное выше
отображение h гомеоморфизмом, так как в этом случае оно осуществляет
топологическое сопряжение / с жестким вращением До,. Ответ на
данный вопрос определяется тем, будут ли /-траектории точек плотны в S^.
Так как пха ^ пга (mod 1) для пх ^ пг, то h{f'^^{x) ф h{f'^^{x)) для
всех щ ф П2. Если каждая пара точек из S\ разделяется точками
траектории для X, то h есть гомеоморфизм.
Если Л, — не гомеоморфизм, то будет существовать значение х, для
которого h~^{x) представляет собой некоторую замкнутую дугу /. Если
это так, то h постоянно на /""{!) и принимает разные значения на /""^{1)
и /"^A) при rii ф пч- Следовательно, все дуги f^ij) разъединены.
Поскольку окружность S^ имеет конечную длину, то интервалы /"(/) должны
быть исчезающе малыми при больших \п\. Отсюда следует, что для
больших п производная отображения /" в некоторых точках очень велика, а
производная отображения /^" в некоторых точках очень мала. При этом
вариация функции 1п(/")' не будет ограничена равномерно по п.
Denjoy [1932] заметил, что колебания величршы 1п(/"')' не могут
расти неограниченно на такой дуге, как /, если функция имеет
ограниченную вариацию. Данный аргумент прост, но фундаментален. Если ж, у е /
и J = (ж, у), то, как мы знаем, дуги /*( J) разъединены. Представляя (/")'
в виде произведения по правилу дифференцирования сложной функции,
получим
тг-1
1п(Г)'(у) - 1п(Г)'(а;) = ^Aп/'(Г(у)) - 1п/'(Г(^)))- F-2.15)
г=0
374 Глава 6
Правая часть этого уравнения меньше полной вариации функции In /', так
как дуги /'(J) разъединены. (Если / дважды дифференцируема, то мы
получаем
fiv)
1п{ГПу) - 1п(Г)'(я;) = Y^ J ^^d^^J ^^ dt) F.2.16)
Эта оценка «нелинейного искривления» функции /" тесно связана с
оценками, возникающими при выводе статистических свойств асимптотических
мер на гиперболических аттра1Сгорах. Здесь она ведет к следующей теореме.
Теорема 6.2.5 (Denjoy [1932]). Пусть f — некоторый диффеоморфизм
на S^ такой, что число вращения p{f) = а иррационально, а In/' имеет
ограниченную вариацию. Тогда f и Ra топологически сопряжены.
Доказательство. Определим Яа{0) = в + а. Выберем большое
число п, для которого \па (mod 1)| < \ка (mod 1)| для к < п. Если К (более
короткая) дуга от О до па, то мы утверждаем, что i?^ (К) П i?^ (К) = 0
для О ^ к, I < п и к ^ I. (В противном случае существовали бы такие х, у,
что \х — у\ < \па (mod 1)\ и \х — у\ = \{к — 1)а (mod 1)|, что
противоречит выбору п.) Теперь рассмотрим / и предположим, что существует такой
интервал J, все образы которого отделены друг от друга. Так как порядок
точек на орбите отображения / такой же, как порядок для Ra, существует
дуга а, содержащая J и f"{J) и обладающая тем свойством, что все
дуги /*(/), О ^ г < п отделены друг от друга. Мы приходим к выводу, что
если у, z е /, то
тг-1
1п(Г)'(г) - 1п(Г)'(у) = ^Aп/'(Г(г)) - ln/'(f (у))) ^ Var(ln/').
г=0
F.2.17)
Пользуясь F.2.17), мы можем найти число Af > О, не зависящее от п,
такое, что
1 (/")'(У)
^ < (Я1)"'' ^'-'-''^
для всех у, Z Е I. Отсюда, обозначая длину интервала К как 1{К), получаем
оценку
1 l{J)/l{f-4J)) ,, ,, ,,,,.л
6.2. Числа вращений 375
так как из теоремы о среднем значении следует, что существуют
точки у е /-"(J) и Z е J такие, что (/")'(?/) = l{J)/l{f-'^{J)) и (/")'(z) =
= Kr{J))/KJ)- Как мы уже видели, l{f-"-{J)) ■ l{r{J)) ^ О при n ^ сх)
(так как образы интервала J разделены), что противоречит данному
неравенству. Следовательно, определенное выше отображение h взаимно
однозначно и осуществляет топологическое сопряжение / и К^. ■
Данная теорема является лишь началом обппфного и глубокого
математического сюжета. Функция h из теоремы Denjoy, осуществляющая
сопряжение / и R^, почти единственна. Если /ji и /j2 — две таких функции,
то hih2 осуществляет сопряжение До, в себя. Любое само сопряжение h
отображения Ra удовлетворяет уравнению h{x) + па = h{x + па) (mod 1)
для всех целых п. Поскольку точки {па (mod 1)} образуют плотное
множество, мы приходим к выводу, что /г@) + у = h{y) (mod 1) для всех у
и фиксированного х = 0. Таким образом, h есть поворот, и пара
сопряжений / и Ra удовлетворяет соотношению hi{h2 (х)) = х + Р для некоторой
постоянной р. Следовательно, имеет смысл обсудить гладкость сопряжения,
связывающего некоторый диффеоморфизм / с иррациональным числом
вращения а и жесткое вращение Ra.
Имеется две основных теоремы, касающиеся данной проблемы
гладкости. Первая из них включает возмущения жесткого вращения. Мы хотим
решить уравнение h{f{x)) = h{x) + а для данных Л, и / и а = /э(/).
Если / = Ra + /, а /г = id +h, где /, h малы, то данное уравнение
можно линеаризовать, полагая h{f{x)) ci f[x) = h{Ra{x)). Линеаризованное
уравнение имеет вид
h{x + а)- Цх) = -J{x). F.2.20)
Раскладывая /i и / в ряды Фурье
/(ж) = Е«'»^'™"' M^) = E^'»^'"'""' F.2.21)
получим
h{x + а) - h{x) = Y, 6™(e2"'"" - 1N2"™^ = Y^ а^е^"'"^ F.2.22)
Таким образом, линеаризованное уравнение можно решить формально,
приравнивая члены рядов Фурье для /(ж) и h{x + а) — h{x):
Ьт = ^.-^ F.2.23)
376 Глава 6
(если ао = 0). Здесь имеется серьезное препятствие к сходимости,
называемое проблемой малых знаменателей. Знаменатели е^'^""" — 1 невозможно
отделить от нуля, поэтому сходимость рядов Фурье для h проблематична.
Заведомо необходимо наложить на а арифметические диофантовы
условия, предоставляющие оценки для возможной малости величин е^'^*™" — 1.
Наиболее строгие неравенства, которые удовлетворяются для почти всех а,
имеют вид
le^"™"-!] > —f—, m=l,2, ..., F.2.24)
где постоянные с, е > О зависят от а. Числа а, удовлетворяющие
неравенству F.2.24) для некоторых с, £ > О, называются плохо аппроксимируемыми
рациональными числами. Заметим, что если целое число п (зависящее от т)
выбрано так, что \ат — п\ мало, то
|^27ггта _ц^ j^,^ _ ^|^ F.2.25)
так как 1 = е^^™ и \{d/dx){e^^'^'')\ > 1. Таким образом, F.2.24) можно
заменить на условие
Л.
т
> ———- для всех тип > 0. F.2.26)
„B+Е)
При выполнении этих условий можно показать сходимость рядов Фурье.
Кроме того, множество чисел вращения а, для которых F.2.26)
выполнено, имеет единичную меру Лебега. Подробности можно найти в работах
Арнольда [1965] и Неппап [1977].7
Для чисел вращения, являющихся в указанном смысле достаточно щ>-
рациональными, желательно получить решение проблемы сопряжения,
используя полученное выше решение линеаризованной проблемы. Для этого
требуется «жесткая» теорема о неявной функции (Hamilton [1982]).
Методы решения данной проблемы были развиты в работах Арнольда [1963b,
1965] и Мозера [1962], а затем Riissman [1970]. Эта КАМ-теория включает
в высшей степени тонкий анализ, который мы здесь не приводим.
Окончательный результат этого анализа состоит в том, что можно найти такое
гладкое преобразование h, которое переводит отображение с рфрациональ-
ным числом вращения а, удовлетворяющим F.2.26), и достаточно близкое
к жесткому вращению, в это жесткое вращение.
Для иллюстрации рассмотрим двухпараметрическое семейство вида
Fs,,: X ^ х + Р + 6 + f{x,e), F.2.27)
где /имеет по ж период 1, а |/(ж,е)| < К\е\; см. Арнольд [1965]. Очевидно,
при £ = О мы получаем жесткое вращение с числом вращения а = р + 6, и
6.2. Числа вращений 377
если ц + S рационально, имеются циклы из периодических точек. В
типичной ситуации в пространстве (е, 6) существуют открытые множества
(малые «клинья»), для которых /3(F<5, е) рационально и постоянно, а F^, е имеет
гиперболические периодические точки. Однако, как показал Арнольд,
если /i + 5 удовлетворяет E.2.26), то существует кривая 6{s), 6{0) = S такая,
что для достаточно малых е отображение F§t^\^ топологически
эквивалентно жесткому вращению R^+s- Следовательно, каждый малый резонансный
клин в пространстве (е, 5) отделен от соседних клиньев некоторой кривой,
состоящей из отображений с иррациональным числом вращения ц..
Упражнение 6.2.7 (Арнольд [1965]). Рассмотрите семейство
/fi,e : ж ^ ж +/1 + ecosB7ra;), е ^ 0.
Покажите, что резонансный клин с числом р(/^,о;) = 1 ограничен кривыми д =
= ±|е|. Найдите вторую, а затем третью степень данного отображения, полагая
/1 = - + О(е^) и /1 = - + О(е^) соответственно, и покажите, что резонансные
клинья, для которых p{ffj,^e) = 1/2 и 1/3, ограничены кривыми
fi= -±е ^ + 0(е )
и
1 , 2 VStT 3 УТТГ^ 4ч
^ " 3 ~6~ ~6~ ^ ^
соответственно. (Графики границ этих резонансных клиньев были построены
Арнольдом [1965].)
Последовательно применяя теорию возмущений к семейству,
рассмотренному в данном упражнении, можно показать, что резонансный клин,
содержащий системы с периодическими орбитами периода т, имеет щири-
ну 0(е'"). Таким образом, фиксируя малое в > О и удаляя
последовательно значения ц в каждом клине порядка т, мы получим на каждом щаге в
остатке некоторый набор интервалов, соответствующих отображениям,
имеющим либо иррациональные числа вращения, либо периодические орбиты
периода > т. Проводя этот процесс в предельном случае т ^ оо,
получим канторово множество значений параметра, соответствующих системам
с иррациональными числами вращения. Так как удаляемое множество на
каждом шаге убывает как те™ и гтее™ -^ О при т -^ сх), то можно ожидать,
что итоговое канторово множество отображений с иррациональными
числами p{Fs^e) будет иметь положительную меру Лебега (см. конструкцию
в разделе 5.4). То, что это действительно так, было доказано Арнольдом
[1965] и в более общем виде Heman [1977].
Теперь мы наметим способ обобщения этого частного примера,
включающий второй главный результат о гладкости сопряжений. Этот результат
378 Глава 6
принадлежит Herman [1976, 1977], который значительно продвинул работы
Арнольда и Мозера, сняв требование о том, что рассматриваемые
диффеоморфизмы необходимо должны быть близкими к жесткому вращению.
Результаты о гладкости имеют чисто технический характер, однако они
играют существенную роль в тонких аспектах динамики однопараметри-
ческих систем диффеоморфизмов на окружности. Если f\: S^ ^ S^ —
некоторое однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, то
функция /э(А) = /э(/л) может много сказать об изменениях динамики. В целях
наглядности сузим рассмотрение на возрастающие семейства в том
смысле, что из Ai < А2 следует, что f\^{x) < fx^ix) для всех ж е 5"^. Herman
установил ряд свойств функции /э(А), перечисленных ниже.
1) /э(А) является неубывающей функцией.
2) Если /э(Ао) = п/т рационально и f™^{x) < х для некоторого х € S^,
то существует Ai > Aq, с p{Xi) = /о(Ао).
3) Мера Лебега множества тех А, для которых р{Х) иррационально,
положительна при условии, что функция /э(А) непостоянна.
Первое из этих свойств следует из топологических аргументов,
подобных представленным выше в данном разделе. Второе свойство следует из
фа1сга, что /™ должно иметь неподвижную точку р такую, что для близких
к р значений х будет /™ (ж) < х, причем график функции /™ (ж) < х лежит
выше графика fy^^{x) < х при А > Aq и потому пересекает биссектрису
вблизи точки р для малых А — Aq, образуя неподвижную точку для /"*.
Доказательство третьего свойства требует привлечения всей силы
аналитических результатов Herman. Наличие свойств B), C) приводит к ситуации,
аналогичной описанной в разделе 5.6 для теоремы Jakobson. Для типичного
семейства некоторое открытое плотное множество значений параметра
порождает рациональные числа вращения, однако дополнительное множ:е-
ство, для которого числа вращения иррациональны, имеет полож:ительную
меру.
Данная теория допускает непосредственное приложение к бифуркации
Хопфа для отображений и периодических орбит. Она позволяет описать
динамику, которую можно ожидать в этой проблеме, на инвариантных
замкнутых кривых. Эту теорию можно также применить к уравнению Ван
дер Ноля со слабым возбуждением из раздела 2.1.
Напомним вывод из раздела 3.5 о том, что нормальная форма
двумерного отображения, испытывающего бифуркацию Хопфа, дается с точностью
до членов третьего порядка следующей формулой:
(г, е) -^ (гA + dill - но) + аг^), в + с + Ьг^), F.2.28)
6.3. Бифуркации одномерных отображений 379
где а,Ь,с и d — некоторые постоянные, а. ц — бифуркационный параметр.
Для данного усеченного отображения мы получаем замкнутую
инвариантную кривую вида
|(/io-/i), F.2.29)
существующую для значений /i слева или справа от /io в зависимости от
знаков and. На кривой F.2.29) формула F.2.28) описывает жесткое
вращение (инвариантной) окружности
в ^ в + а{ц),
hd F.2.30)
Мы заключаем, что в главной части для ненулевых b,dm а число вращения
линейно зависит от ц.
Однако, поскольку в F.2.28) были опущены члены старгиих порядков,
жесткое вращение F.2.30) является лишь главной частью однопараметри-
ческого семейства диффеоморфизмов на окружности, и из описанной выше
теории следует, что существуют такие возмущения семейства F.2.28), для
которых число вращения будет постоянным и рациональным на открытых
множествах значений параметра. Это приводит к явлению затягивания.
В случае потоков периодические точки соответствуют периодическим
орбитам на торах с запертой фазой. Для открытого множества значений
параметра устойчивые и неустойчивые периодические орбиты чередуются, а на
концах этих параметрических интервалов имеют место бифуркации седло -
узел. Длина этих интервалов быстро убывает с ростом периода орбит.
Напротив, работа Неппап показывает, что значения параметра, разделяющие
такие интервалы структурной устойчивости и порождающие Рфрациональ-
ные потоки, образуют множество положительной меры. Таким образом,
теория Арнольда и Неппап предоставляет удовлетворительное объяснение
эфемерной природы затягивания долгопериодических орбит и изобилию
орбит, кажущихся чисто квазипериодическими.
6.3. Бифуркации одномерных отображений
Мы уже обсуждали одномерные отображения в разделе 5.6 в связи
с проблемой существования странных аттракторов. Теперь мы приведем
некоторые подробности теории перемешивания для отображений с одной
критической точкой и ее следствий в теории бифуркаций. Как и в других
разделах данной главы, мы попытаемся представить сущность
используемых идей, избегая по большей части подробностей. Гораздо более полный
обзор обсуждаемой здесь теории может быть найден в монографии Collet,
Eckmann [1980] и цитрфуемой в ней литературе.
380 Глава 6
На протяжении данного раздела мы будем считать, что f: I ^ I —
некоторое отображение единичного интервала в себя, имеющее
отрицательный шварциан (производную Шварца), т. е. / трижды
дифференцируемо и
f'{x) 2 V f{x) J
для всех тех х, где f'{x) ф 0. Это техническое предположение мотивировано
следующей теоремой Singer [1978] (см. Misiurewicz [1981], Collet, Eckmann
[1980]):
Теорема 6.3.1. Пусть f: I ^ I — отображение класса с
отрицательным шварцианом. Если 7 — некоторая устойчивая периодическая
орбита, то существует критическая точка f {т. е. точка, в которой f =
= 0) или граничная точка I, траектория которой стремится к 7-
Упражнение 6.3.1. Докажите теорему 6.3.1. (Подсказка: сначала покажите, что
если S{f) < О, S(g) < О, то и S{f о g) < О, так что свойство NS удовлетворяется
для степеней /" отображения /. Воспользуйтесь этим фактом для доказательства
отсутствия положительных минимумов у |(/")'|, откуда следует, что произвольная
окрестность любой устойчивой периодической точки необходимо содержит
некоторый прообраз критической точки или граничной точки /.)
Далее будем считать, что /@) = /A) = О и что / имеет единственную
критическую точку с внутри /. Если О является устойчивой неподвижной
точкой, то допустим, что /"(с) -^ О при п ^ 00. При этих предположениях
отображение / имеет не более одной устойчивой периодической орбиты.
В разделе 5.6 мы обсудили типы асимптотического поведения, которое
может иметь большинство точек в случае, когда / не имеет устойчивых
периодических орбит. Здесь мы изучим, в каком порядке появляются устойчивые
периодические орбиты у однопараметрических семейств отображений,
удовлетворяющих вышеприведенным гипотезам.
Пусть f'n'. I -^ I — однопараметрическое семейство отображений,
/i е [/iOiA*i]' удовлетворяющее вышеприведенным гипотезам, а также
следующим свойствам:
A)^0 (с) = с;
B)^,(с) = 1.
(В общем случае допускается зависимость критической точки с = c{fi)
от fi.) Мы назовем такое семейство полным семейством. Прототипом таких
семейств является квадратичное логистическое уравнение
ff,{x)=^ix{l-x)■, ^iG[2,4]. F.3.2)
По-видимому, имеется в виду образ, — Прим. перев.
6.3. Бифуркации ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 381
Здесь с тождественно равно 1/2. В полной системе должно быть большое
число бифуркаций периодических орбит. Действительно, /ц„ имеет в
качестве периодических орбит лишь две неподвижных точки, а /" имеет, по
крайней мере, 2" неподвижных точек для всех п > 0. Таким образом, при
возрастании ц на интервале [fiQ, fii] часто возникают новые периодические
орбиты. Порядок, в котором они появляются, жестко ди1сгуется
одномерностью отображения. Перейдем к описанию данного явления.
Алгоритм появления периодических орбит в полной системе можно
описать, используя символическую динамику. Структура и терминология,
введенные для этой ситуации Milnor, Thurston [1977], называют
исчислением перемешивания, или теорией перемешивания. Она описывает большую
часть структуры отдельного отображения и определяет большую часть
бифуркационной структуры семейства. Мы начнем с нескольких
необходимых определений. Наше символическое описание отображения / всегда
будет выражаться в терминах разбиения интервала / на два субинтервала
/о = [О, с), /i = (с, 1] и точку С = {с}. Интервалы /о и /i являются
коленями /. Если ж G /, то п-м адресом Ап{х), п > О является /о, С или /i,
если /"(ж) е Iq, /"(ж) = с или /"(ж) е /i. Маршрутом А(ж) точки ж
называется последовательность {А„(ж)} ее последовательных адресов. Маршрут
точки /(с) будем называть перемешивающей последовательностью для /.
(Ранее перемешивающей последовательностью называли маршрут точки с.)
Определим знаки е(/о), £{С) и e(/i) как +1, О и —1 соответственно и
зададим инвариантную координату в{а) = {^п(а)}„^о формулой
е„(а)
П '^("«)
г=0
для любой символьной последовательности а. Будем писать 9{х) =
= 0(А(ж)) для же/.
Инвариантные координаты можно упорядочить при помощи
отношения —Ii < —С < —Iq < о < Iq < с < Ii, связывающего знаковые
символы, входящие в определение в{х), с последующим применением
лексикографического упорядочения к последовательностям. Это означает,
что в{х) < в {у), если существует такое п, что ^Дж) = ^Ду) для i < п
и вп{х) = вп{у). Такое упорядочение инвариантных координат отражает
упорядочение точек на прямой.
Предложение 6.3.2 (Milnor, Thurston [1977]). Если х < у,
то в{х) < в{у).
Доказательство. Пусть ж < у и в{х) ф 9{у). Пусть п — наименьшее
целое число, для которого ^„(ж) ф Оп{у). Тогда функция f монотонна на
интервале J = [ж, у] для i ^ п, так как с не лежит в /* (J) при г < п. Заметим
382 Глава 6
затем, что /" убывает или возрастает на J, если знак вп{х) равен —1 или +1.
В обоих случаях, как легко проверить, вп{х) < вп{у)- ■
Данное предложение о монотонности инвариантной координаты
позволяет проводить подробные символические вьгаисления. Так как /(с)
есть максимальное значение некоторого отображения /, то в{/{с))
больше, чем инвариантная координата от /(ж) для любой другой точки х.
При помогци некоторого критерия, основанного на этом наблюдении,
можно получить теорему сугцествования траекторий с данным маршрутом.
Заметим, что А(/(а;)) = а{А{х)), где а — отображение сдвига на
последовательностях. Следовательно, любая точка же/ удовлетворяет
критерию в{а"{А{х))) ^ 0{f{c)) для всех п > 0.
Итак, мы имеем следующее утверждение.
Теорема 6.3.3. Если а — некоторая символическая
последовательность такая, что в (а"'(а)) ^ 0(/(с)) для всех п ^ О, то существует
такая точка х, для которой а = А(ж).
Перемешивающая последовательность для / по существу определяет
все символические последовательности, которые могут быть маршрутами
для /. Подробности можно найти в работе Guckenheimer [1979].
Данная теорема позволяет непосредственно определить структуру
бифуркационного множества, которое мы ищем. Мы можем определить для
символических последовательностей отношение порядка, пользуясь
критерием данной теоремы. Для двух данных символических
последовательностей а и b мы будем говорить, что а -< Ь, если существует такое целое
число т ^ О, что в{а"{а)) < в{а"{а)) для всех п ^ 0. Мы можем
сделать вывод, что из наличия такой точки х, для которой А (ж) = b для
некоторого отображения /, следует существование такого у, для
которого А (у) = а. Изменения во множестве маршрутов происходят только при
изменениях в перемешивающих последовательностях, а множество всех
возможных перемешивающих последовательностей упорядочено
отношением -<. Для дифференцируемых отображений (при этом /'(с) = 0) в любом
полном семействе реализуются все возможные перемешивающие
инвариантны. Следовательно, между значениями параметра fiQ и /ii существуют
бифуркации, представляющие собой переходы ко всем перемешивающим
последовательностям из промежутка между такими последовательностями
для /^Q и /^j. В частности, имеем такой результат.
Теорема 6.3.4. На множестве всех периодических
последовательностей из символов Iq и Ii существует отношение порядка со следующими
свойствами:
1) Две последовательности а и b эквивалентны тогда и только тогда,
когда а"" {а) = b для некоторого п.
6.3. Бифуркации одномерных отображений 383
2) Если ffj_ (/i G [/^Oj/^i]) — некоторое однопараметрическое семейство
отображений такое, что если /^„ и /^^ обладают периодическими
перемешивающими последовательностями, причем перемешивающая
последовательность для /^^ меньше, чем перемешивающая
последовательность для /^j, то в семействе /^ существует множество
бифуркаций, соответствующих возникновению каж:дой из периодических
орбит в промежутке меж:ду перемешивающими
последовательностями f^„ и f^,.
Упражнение 6.3.2 (Шарковский [1964], Li, York [1975], Stefan [1977]). Пусть
/ — некоторое непрерывное отображение единичного интервала / такое, что образы
под действием / двух замкнутых интервалов L = [а,Ь], В. = [c,d], где 6 ^ с,
обладают свойствами L U R Q f{R) и Д С f{L). Положим далее, что либо b < с,
либо / F) ^ R. Покажите, что / имеет периодические точки периода п для всех п.
Затем докажите, что если некоторое отображение д имеет точку периода 3, то она
имеет и точки любых периодов. (Подсказка: рассмотрите орбиты {/ (х)} такие,
что fix) ей, 0^fc^ra-2, Г'^х) еЬи Р{х) = х е R.)
Вместо того чтобы углубиться в подробности анализа, изложенные в
Guckenheimer [1977, 1979] или в Collet, Eckmann [1980], мы
проиллюстрируем символические вычисления при помощи перемешивающих
последовательностей, опрфающиеся на теорему Шарковского (см. Stefan [1977])
для класса рассматриваемых отображений. Эти вычисления включают в
себя отыскание для каждого периода наименьшей периодической орбиты
в смысле введенного выше отношения порядка. Они являются хорошим
упражнением в использовании символической динамики. Шы будем
рассматривать только маршруты, не содержащие С, так как в противном случае
периодическая орбита данного периода не будет минимальной.
Вначале заметим, что постоянный маршрут а, для которого а„ = Iq
для всех п, представляет лишь точки, асимптотические к некоторой
неподвижной точке @) в Iq. Таким образом, все орбиты с периодами, большими
единицы, содержат в своем маршруте символ /i. Следовательно, маршрут с
наибольшей инвариантной координатой для некоторой точки такой орбиты
начинается с Д. Следующее наблюдение заключается в том, что
последовательность, начинающаяся с hlo, больше той, которая начинается с hh.
Аналогично, последовательность, начинающаяся с IiIqIq, больше той,
которая начинается с /i/q/i.
Лемма 6.3.5. Рассмотрим последовательности а и Ь, для которых
ао = Ьо = Ii, ai = bi = Iq, qj = bj = Ii для 2 ^ j < I, щ = Iq, bi = Ii.
Если I четно, mo в{Ъ) < в{а). Если I нечетно, то в{Ъ) > в{а).
Доказательство представляет собой простое упражнение, связанное с
проверкой данного выше определения лексикографического упорядочения.
384 Глава 6
Лемма 6.3.6. Пусть а, b — такие маршруты, для которых а„ = /i
для четных п, bo = h и Ьт = 1о для некоторого четного т. Пусть г —
наименьшее из таких т, предположим, что существует такое четное
число j < i, для которого bj = Iq- Тогда существует такое целое число к,
что в{а\а.)) < в{а''{Ъ)) для всех I > 0.
Доказательство. Выберем четное число к так, что 6^+1 = /о и
(если к < г — 2) bj = Ii для к + 1 < j < i. Тогда у
последовательности сг'^(а) = с будет ci = Ci-k = Iq, и cj = /i для 1 < j < г — /с и j = 0.
Рассмотрим теперь сг'(а) = d для любого I ^ 0. Если I нечетно, то di =
= Ii, откуда e{d) < в{с). Если же I четно, то dj = Ii для всех четных j.
Если di = /i, то e{d) < в{с). Если dj = Iq, возьмем т равным
наименьшему целому числу, большему единице, для которого dm = Iq- Теперь
сравним в{с) и e{d). Если m<i — к, то j = m есть наименьшее целое
число, для которого Cj ф dj. Мы имеем Ст = h, dm = Iq, и каждая
последовательность имеет четное число символов /i до позиции с номером т.
Следовательно, 0(d) < в{с). Если т>г — к, то j = i — к —
наименьшее целое число, для которого Cj ^ dj. Мы получаем, что Ci^k = Iq,
di^k = h, ^ число символов /i в каждой последовательности до
позиции (i — к) четно. Следовательно, 0(d) < в{с). Так как числа т и {г — к)
имеют разную четность, то доказательство завершается. Мы определили,
что 0(сг'(а)) < 0(сг'^(Ь)) для всех 1^0. ■
Лемма 6.3.7. Наибольшая точка в наименьшей периодической
орбите четного периода п имеет маршрут а, для которого ai = Iq
при г = 1 (mod п) и щ = Ii в противном случае.
Доказательство. Если существует число к, для которого а^ =
= /i и afc+i = afc+2 = -^^0, то инвариантная координата у
последовательности сг'^(а) больше, чем для любой последовательности, в которой
значения Iq встречаются изолированно. Следовательно, последовательность а
в данной лемме обладает тем свойством, что из равенства а^ = Iq
следует, что йк-г = ttk+i = h- Заметим далее, что в этой последовательности
существует блок символов длины п, каждый из которых, кроме первого и
последнего, равен /i. В силу леммы 6.3.5, чем длиннее такие блоки, тем
короче маршрут. Маршрут, определенный в данной лемме, имеет блок
такого типа длины не более п + 1 для периодической последовательности
длины п. ■
Следствие 6.3.8. Если число п > 1 четно, то существует
периодическая орбита периода п + 2, которая меньше любой периодической орбиты
периода п.
6.3. Бифуркации одномерных отображений
385
Рис. 6.3.1. График /^. Отметим инвариантный подынтервал J.
Пользуясь леммой 6.3.6, можно построить периодические орбиты
любого четного периода, меньгаие, чем все периодические орбиты нечетного
периода. Эти орбиты обладают тем свойством, что любой член с четным
индексом в их маршруте равен /i. Заметим, что график /^ для отображения /,
для которого инвариант перемешивания имеет такой вид, выглядит
аналогично изображенному на рисунке 6.3.1. Существует подынтервал J
отрезка [0,1], содержащий точку с, который отображается внутрь себя. Маршрут
некоторой точки из J для отображения /^ может быть рассмотрен подобно
тому, как выше мы рассмотрели маршрут для /, но с переменой ролей
символов /о и /i (так как данное отображение действует «сверху вниз»). Таким
образом, последовательности а, для которых щ = Ii для четных i и ai = Iq
для г = 1 (mod 4), меньше, чем последовательности Ь, для которых bi = h
для четных inbi = Ii для некоторого г = 1 (mod 4). Отсюда следует такое
утверждение.
Лемма 6.3.9. Если к, I нечетны и т > п, то существуют
периодические последовательности периода к ■ 2™, которые меньше любой
периодической последовательности периода I ■ 2".
Доказательство предлагается в качестве упражнения (используйте
вышеприведенное обсуждение).
Лемма 6.3.10. Если числа к, I четны и 1 < к < I, то существуют
периодические последовательности периода I ■ 2", которые меньше любой
периодической последовательности периода к ■ 2".
Доказательство предлагается в качестве упражнения.
Закончим обсуждение периодических орбит следующей теоремой
Шарковского, справедливой в самом общем контексте.
386 Глава 6
Теорема 6.3.11 (Шарковский [1964], Stefan [1977], Block и др. [1979]).
Упорядочим множество натуральных чисел следующим образом:
1 <] 2 о 4 о ... <] г''<] 2'=+! о ...
... о 2'=+! • {21 + 1) о 2^+^ -{21-!)<...< 2'=+^ • 5 о 2^+^ • 3 <]...
... <] 2^= • B/ + 1) о 2^= • B/ - 1) <]... <] 2^= • 5 о 2^= • 3 о ...
...4 2B1 + !)< 2B1 -1)<...<2-5<2-3<...
...< [21 + 1) < B1-1) <...<5<3.
Если f — некоторое непрерывное отображ:ение интервала в себя, имеющее
периодическую точку периода р и q <\р, то f имеет периодическую точку
периода q.
В частности, в этом результате содержится утверждение о том, что
«период 3 означает хаос» (Li, Yorke [1975]).
Отметим, что первая последовательность периодов в упорядочивании
Шарковского содержит степени двойки в возрастающем порядке. Это
соответствует последовательности бифуркаций удвоения периода в некотором
однопараметрическом семействе при изменении параметра от значений, при
которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значениям, при которых
существует бесконечное множество периодических орбит. Эти каскады
бифуркаций удвоений периода обладают богатой структурой, что было
впервые отмечено Feigenbaum [1978]. Существуют свойства, ассоциированные
с этими каскадами, которые универсальны в том смысле, что не зависят от
выбора конкретного отображения из широкого класса (см. Collet, Eckmann
[1980], Collet и др. [1980]); мы обсудим их в разделе 6.8. Кроме того,
переход к «хаосу» через бифуркации удвоение периода является, по-видимому,
общим свойством систем, приближающихся к гомоклиническому касанию
устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической
орбиты. Он наблюдался при численном исследовании уравнения Дуффинга с
возбуждением (Huberman, Crutchfleld [1979], Ueda [1981]). Кроме того,
такой переход наблюдался в экспериментах по динамике жидкости (Libchaber,
Maurer [1982]), что свидетельствует о важности теории бифуркаций для
понимания перехода к турбулентности в гидродинамике (см. GoUub, Benson
[1980]).
6.4. Бифуркации Лоренца
Мы можем использовать теорию одномерных отображений, кратко
изложенную в разделе 6.3, для геометрического описания бифуркаций,
приводящих к aTTpaicTopy Лоренца. Данный процесс весьма тонок и включает
6.4. Бифуркации Лоренца 387
симметрию системы, а также два гомоклинических перехода разных типов.
Основные свойства данной последовательности бифуркаций были
обнаружены в работе Kaplan, Yorke [1979b], характеристика самих геометрических
аттракторов Лоренца прршадлежит Guckenheimer, Williams [1979] (см.
раздел 5.7)'.
Напомним сведения о положениях равновесия уравнений
Лоренца B.3.1), описанных в разделе 2.3. Для /э ^ 1 система Лоренца имеет в
начале координат глобально устойчивое положение равновесия. При р =
= 1 происходит бифуркация типа «вилка», в результате чего одно из
собственных значений в начале координат становится положительным, при
этом рождаются два других устойчивых равновесия. Эти равновесия
теряют устойчивость в результате субкритической бифуркации Хопфа, когда с
ними сливаются неустойчивые периодические орбиты. Такая бифуркация
происходит при р = 470/19 и 24,74 (в случае сг = 10, /3 = 8/3). В
диапазоне значений параметра между этими бифуркациями положений
равновесия 1 < р < 24,74 происходит ряд разительных глобальных изменений
в динамике системы Лоренца. Эти изменения можно описать в терминах
одномерных отображений, но строгое сведение к ним системы B.3.1) пока
не выполнено. Как и в разделе 5.7, мы введем некоторое семейство
геометрически определенных моделей, связь которых с истинным поведением
системы Лоренца остается неподтвержденной, тем не менее, их поведение,
видимо, согласуется с результатами численного анализа системы Лоренца.
Ненулевые положения равновесия 5^ = (±-у//3(/з—1), ±\//3(/з—1),/э —1)
системы Лоренца при р > 1 лежат на прямой, образованной пересечением
плоскостей z = p — liix = y. Мы можем изучать последующие
бифуркации данной системы в интересующем нас диапазоне значений параметра
при помощи сечения Е (см. разделы 2.3. и 5.7) в плоскости z = р — 1 и
отображение Пуанкаре F для него. Можно также ввести в рассмотрение
сильно устойчивое слоение (Robinson [1981а]), состоящее из кривых,
образованных точками, которые асимптотически сближаются друг с другом
с экспоненциальной скоростью в процессе эволюции потока, как описано
в разделе 5.7. Данный поток индуцирует на этом семействе кривых
полупоток, изображенный на рисунке 2.3.3. Отображение возврата для этого
полупотока является разрывным на интервале /. В данном разделе мы будем
работать преимущественно с этим одномерным отображением, хотя при
обсуждении некоторых вопросов будут полезны ссылки на сечение S и его
отображение возврата F.
Выделим из системы Лоренца некоторое семейство одномерных
отображений, соответствующее отображению возврата для сильно устойчивого
слоения в диапазоне значений параметра приблизительно 10 < р < 30
См. также Афраймович, Быков, Шильников [1977].
388
Глава 6
W"{p)
Рис. 6.4.1. Система Лоренца при р ^ 10, /3 = -: (а) поток; (Ь) отображение fp.
(при этом мы сохраняем значения а = 10 и /3 = 8/3 фиксированными).
В начале этого диапазона поток остается простым: его неблуждающее
множество состоит лишь из трех положений равновесия. Ненулевые
равновесия q^ устойчивы, но каждое из них имеет пару комплексных
собственных значений. Этот поток изображен на рисунке 6.4.1(a), а
соответствующее отображение возврата fp для сильно устойчивого слоения показано
на рисунке 6.4.1(b). При возрастании р происходит бифуркация, в которой
неустойчивое многообразие точки р превращается в пару гомоклинических
траекторий. Численно точка бифуркации определяется как р = pi ~ 13,296,
см. рисунок 6.4.2.
W'\p)
Рис. 6.4.2. Система Лоренца при р = pt ~ 13,926: (а) поток; (Ь) отображение fp
6.4. Бифуркации Лоренца
389
г Mr'
q'
(b)
Рис. 6.4.3. Система Лоренца при р> pt: (а) поток; (Ь) отображение /р
Напомним, что угловой коэффициент касательной к графику
функции /р бесконечно велик при приближении к точке разрыва, так как
неустойчивое собственное значение в точке р больше, чем абсолютная величина
одного из устойчивых собственных значений. Этот факт приводит к
существованию гиперболического инвариантного множества, топологически
эквивалентного надстроенной подкове и возникающего сразу после гомо-
клинической бифуркации, показанной на рисунке 6.4.2. В терминах
отображения возврата /р это инвариантное множество создается следующим
образом. Потоки, возникающие после гомоклинической бифуркации,
таковы, что каждая ветвь неустойчивого многообразия точки р пересекает
противоположную сторону устойчивого многообразия этой точки при
первом спуске: см. рисунок 6.4.3. Ввиду этого график функции /р пересекает
биссектрису в паре неподвижных точек г~, г+. Эти неподвижные точки
отображения соответствуют неустойчивым периодическим орбитам потока
в общих чертах подобно тому, как периодические орбиты возникают при
бифуркации петли седла на плоскости, описанной в разделе 6.1.
Теперь сосредоточим внимание на графике /р в интервале [г^, г+]. Эта
часть графика показана с увеличением на рис. 6.4.4. В интервале [г~,г"'"]
производная велика, следовательно, каждая ветвь графика проходит по
вертикали вдоль всего квадрата, противоположные вершины которого лежат на
биссектрисе над точками г^ и г+. Обозначим за d точку разрыва для /р,
тогда оба интервала [г~, d) и {d, г+] переходят под действием /р на [г~, г"*"]
с производной, большей единицы. Используя [г~, d) и {d, г"*"] как разбиение
Маркова для [г~,г~^], мы установим существование некоторого
гиперболического инвариантного множества Л, символическая динамика которого
описывается при помощи одностороннего (полного) сдвига на двух
символах. Аналогичная конструкция для отображения возврата F на сечении Е
390
Глава 6
Рис. 6.4.4. Увеличенное отображение /р в [г , г
ш
WJ,
mi
ж
г^
3
Рис. 6.4.5. Сдвиг для отображения Лоренца -F.
позволяет построить подкову как инвариантное множество для F. На
рисунке 6.4.5 показаны две полоски Vi на сечении S и их образы Н^ под
действием /. Заметим, что F имеет сдвиг на двух символах с матрицей
перехода
[1 1"
1 1
F.4.1)
Упражнение 6.4.1. Убедитесь в корректности вышеприведенного
утверждения. Используйте методы раздела 5.2 (см. раздел 5.7).
Упражнение 6.4.2. Постройте разбиение Маркова с четырьмя элементами и
покажите, что найденное выше инвариантное множество, соответствующее сдвигу
на двух символах, можно описать как подсдвпг на четырех символах с матрицей
перехода
■1 1 О О'
0 0 11
0 0 11
.110 0.
Отсюда сделайте вывод, что _F^" имеет 4" неподвижных точек (/^ имеет полный
сдвиг на четырех символах). (Подсказка: см. конструкцию Levi, описанную в конце
раздела 5.3, или Kaplan, Yorke [1979b].)
А =
F.4.2)
6.4. Бифуркации Лоренца
391
1 -у{г^
Рис. 6.4.6. Еще одна бифуркация для /р: Л становится аттрактором.
Из формулы F.4.1) мы можем вывести, что отображение F" имеет
2" неподвижных точек. Из расширения по горизонтали и сжатия по
вертикали следует, что все они имеют седловой тип. Больше подробностей можно
найти в работе Kaplan, Yorke [1979b].
Kaplan и Yorke назвали данный параметрический режим предтурбу-
лентным. В то время как почти все траектории в конце концов стремятся
к q^ или к 5+, имеются длительные переходы, динамика которых изучалась
при помощи статистических методов в Piangiani, Yorke [1979]. Это
гиперболическое инвариантное множество разделяет области фазового
пространства, причудливо закручивающиеся вокруг q^ и 5+ до тех пор, пока они
не достигают малой окрестности одной из этих точек и «успокаиваются».
Заметим, однако, что мера канторова множества Л равна нулю, поэтому
почти все орбиты, начинающиеся на отрезке [г~ ,г~^], в конце концов сходят
с него и приближаются к q~ или q'^.
Бифуркация, превращающая инвариантное множество Л претурбулент-
ного потока Лоренца в аттрактор, весьма тонка. С ростом р неподвижные
точки г^ и г+ отображения /р сдвигаются к q^ и 5+, а значения fp{d)
движутся к 5^ и 5+ медленнее. При некотором значении параметра р = ра
получим fp^{d^) = г+ и fp^{d'^) = г^. Численные расчеты приводят к
значению ра = 24,06 (Kaplan, Yorke [1979b].) График / для этого значения
параметра иллюстрируется рисунком 6.4.6.
Интервал (г^, г+) отображается под действием /р^^ внутрь себя, и
точки этого интервала уже не могут приближаться к устойчивым неподвижным
точкам q^ и 5+. Инвариантное множество потока Л становится теперь
аттрактором (хотя его область притяжения не является окрестностью Л, так
как точки вблизи периодических орбит, соответствующих г^, могут
стремиться к q^). Топология множества Л изменяется от надстройки канторова
множества до объекта, содержащего двумерные поверхности, как в
разделе 5.7. Мы имеем здесь рождение (геометрического) аттрактора Лоренца,
392 Глава 6
имеющее место при таком значении параметра, для которого имеются гете-
роклинические траектории, идущие из положения равновесия р к
периодическим орбитам, соответствующим г^.
Для значений р после прохождения через только что описанную ге-
тероклиническую бифуркацию мы получаем геометрические аттракторы
Лоренца типа описанных в разделе 5.7. Эти аттракторы впервые
появляются до того, как точки q^ теряют устойчивость. Периодические орбиты,
соответствующие г^, не являются частью аттрактора, они составляют
изолированную часть неблуждающего множества. Устойчивые многообразия
этих периодических орбит отделяют траектории, приближающиеся к q^ от
траекторий, приближающихся к аттрактору Л. При дальнейшем росте р
периодические орбиты, соответствующие г , сталкиваются в точках q^ при
субкритической бифуркации Хопфа, происходящей при р = рк ^ 24.74
и обсуждавщейся в начале данного раздела, а также в разделе 2.3. Таким
образом, эта бифуркация Хопфа практически несовместима с динамикой
самого аттрактора. Она лишь отмечает окончание такого диапазона значений
параметра, в котором в системе существуют сложные аттракторы.
Последний вопрос, который мы обсудим, касается структурной
устойчивости аттракторов Лоренца. Как мы отметили в разделе 5.7, эти
аттракторы не являются, строго говоря, структурно устойчивыми. Тем не менее,
можно воссоздать некоторый геометрический аттрактор Лоренца,
воспользовавшись отображением возврата / на его строго устойчивом слоении.
Как мы видели в предыдущих разделах, имеются строгие ограничения на
классы топологической эквивалентности и бифуркации одномерных
отображений. Используя эти одномерные методы, можно классифицировать
различные возможные классы топологической эквивалентности аттракторов
Лоренца. Мы наметим процедуру классификации классов топологической
эквивалентности, отсылая читателя за дальнейшими подробностями,
касающимися восстановления аттракторов для потока по /р, к разделу 5.7, а
также работам Guckenheimer, Williams [1979] и Robinson [1981а]. Ниже мы
опускаем явное упоминание параметра р.
На рисунке 2.3.4 иллюстрируется тот тип одномерных отображений,
бифуркации которого мы хотим изучить. При подходящей нормализации
они представляют собой отображения /: [—1,1] -^ [—1,1] со следующими
свойствами:
(a) / имеет единственную точку разрыва в нуле и lira f{x) = ^1;
(b) f'{x) > 1 для всех X ^ 0;
(c) f{-x) = -fix). F.4.3)
Методы, использованные в разделе 6.3 для изучения бифуркаций
одномерных отображений, можно использовать для классификации отобра-
6.4. Бифуркации Лоренца 393
жений, удовлетворяющих F.4.3). Интервал [—1,1] разобьем на части Iq =
= [—1,0) и /i = @,1] и изучим для этого разбиения динамику отображения.
Теорема 6.4.1. Кчасс топологической эквивалентности
отображения /: [—1,1] -^ [—1,1], удовлетворяющего F.4.3), определяется
символической последовательностью для точки (—1).
Доказательство. Символическую последовательность а+ для
точки +1 можно получить из символической последовательности а^ для
точки —1 посредством обмена нулей и единиц в этой последовательности, так
как /"(+1) = —/"(—1) для всех п. Если Ь^ — пределы символических
последовательностей, получаемых из х при х -^ ±0, то, как следует из F.4.3),
сг(Ь+) = а^ и сг(Ь^) = а+. (Здесь а — отображение сдвига на
последовательностях.) Условимся считать, что обе последовательности Ь^
ассоциируются с нулем и /@) представляет собой две точки ±1. Используя эти факты,
мы можем охарактеризовать символические последовательности,
действительно имеющие место для точек из [—1,1]. Мы будем использовать для их
сравнения отнощение лексикографического порядка на символах. Главным
гпагом в доказательстве служит следующая лемма.
Лемма 6.4.2. Пусть с = {с^}^д — некоторая последовательность из
нулей и единиц. Существование точки х G [—1,1] с символьной
последовательностью {ci] равносильно тому, что из равенства с„ = О следует,
что сг"'(с) ^ аГ, а из равенства €„ = 1 следует, что сг"'(с) ^ а+.
Доказательство. Пусть с — символическая последовательность для х.
Покажем справедливость неравенств для символических
последовательностей. Допустим, что /"(ж) G /о, так что с„ = 0. Тогда из
неравенства X > с следует, что f{x) > f{c). Если сг"'(с) ^ а^ и к — наименьшее
целое число, для которого Сп+к ^ Qfe, то / возрастает на каждом
интервале [/*(—1), /"^*(а;)) для i < к. Таким образом, с необходимостью Сп+к = 1
и flfe = 0. Неравенство для символических последовательностей с с„ = 1
доказывается аналогично.
Допустим теперь, что с — некоторая символическая
последовательность, удовлетворяющая выщеприведенным неравенствам. Мы докажем,
что Pi /~"'{1с„) Ф 0- Из свойства конечного пересечения следует, что
тг>0
N
ДЛЯ этого достаточно проверить, что Р| /^"(-^с,,) т^ 0 для всех 7V ^ 0.
и=0
Очевидно, что множество 1^^ непусто. Докажем теперь, что если пересече-
ния Pi /^"(/cJ непусты для всех последовательностей с, удовлетворяю-
тг=0
N
щих данным неравенствам, то пересечения Р /^"(/с,,) непусты. Рассмот-
тг=0
394 Глава 6
рим некоторую последовательность с, для которой cq = 0. Тогда множе-
N-1
ство Pi /^"(-^c.+i) непусто, так как сг(с) удовлетворяет нашим неравен-
п=0
ствам, если с им удовлетворяет. Мы утверждаем, что множество
^тг=0 ^ и=0
пересекается с [—1,0). Это свойство нарушено, если множест-
N-1
ВО Pi /^"(/c^^i) лежит в интервале [—1,/(—1)], состоящем из таких
п=0
точек X, для которых f^^{x) состоит из единственной точки в интерва-
N-1
ле [0,1]. Если Р / "(-^Cn+i) С [—1,/(—1)), то символические последо-
п=0
вательности для этих точек строго меньше, чем символическая
последовательность (т(а~) точки /(—1). (Так как отображение / расширяющее,
то разные точки имеют разные символические последовательности.) Так
как Со = О = ао, мы приходим к выводу, что с < а, что противоречит гипо-
N-1
тетическому неравенству ДЛЯ С. Таким образом, множество Р f~"{Ic,^^:^)
п=0
N
имеет ТОЧКИ В [/^^(—1), 1], откуда Р /^"(/с,,) непусто.
п=0
В процессе доказательства этой леммы мы заметили, что из
свойства F.4.3(b)) следует, что разные точки имеют разные символические
последовательности. Следовательно, исключая небольшое усложнение,
заключающееся в наличии у точек, траектории которых включают О, двух
ассоциированных символических последовательностей^, соответствие
между символическими последовательностями и точками взаимно однозначно и
сохраняет порядок. Если /ид — два отображения, удовлетворяющие F.4.3)
и имеющие одинаковые символические последовательности для точки (—1),
то мы можем при помощи леммы определить сохраняющее порядок
отображение ф из f в д, отождествляющее точки с одинаковыми символическими
последовательностями. Мы оставляем читателю проверку того, что ф
является топологической эквивалентностью, что и завершает доказательство
теоремы. ■
Упражнение 6.4.3. Символические последовательности для точки ( — 1) для
отображения, удовлетворяющего F.4.3), не отличаются разнообразием. Покажите,
'Если /"(±1) = О для некоторого п, то мы по-прежнему ассоциируем с нулем ровно две
символические последовательности, являющиеся пределами символических
последовательностей, соответствующих х =/= О при х ^ 0.
6.5. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ТРЕХМЕРНЫХ ПОТОКАХ 395
ЧТО если / удовлетворяет F.4.3), а производная /' больше, чем \/2, то
существует а G (\/2, 2] такое, что / топологически эквивалентно кусочно-линейному
отображению д: [—1,1], определяемому формулой
Г 1 + ах, ж ^ О,
о(х) = <
^ ' \-1 + ах, х^О.
Анализ ситуации в случае, когда производная /' заключена в пределах от 1 до \/2,
проведен в работе Glendinning [1990].
В заключение данного раздела заметим, что свойства симметрии
системы Лоренца играют важную роль в описанных нами бифуркациях.
Имеется проект определения модификации этих бифуркаций при возмущениях
системы Лоренца, разрушающих вращательную симметрию относительно
оси Z. Некоторые замечания, касающиеся этой проблемы, содержатся в
Guckenheimer [1980b].
6.5. Гомоклинические орбиты в трехмерных потоках:
пример Шильникова
в данном разделе мы рассмотрим трехмерный поток, в котором
имеется гомоклиническая траектория к некоторой седловой точке с
комплексными собственными значениями. Шильников [1965] показал', что если
вещественное собственное значение больше, чем модуль вещественной части
комплексных собственных значений, то отображения возврата в
окрестности гомоклинической орбиты содержат подковы. Описание
последовательности бифуркаций Лоренца в разделе 6.4 показало, что гомоклиническая
орбита может быть ассоциирована с появлением (надстроенной) подковы по
одну сторону от бифуркации в пространстве параметров. Отличие примера
Шильникова состоит в том, что подковы существуют в полной окрестности
значения параметра, для которого имеет место гомоклиническая орбита.
Кроме того, бифуркация Лоренца требует симметрии системы, которая в
примере Шильникова не предполагается. Здесь мы опишем лишь один из
случаев, рассмотренный Шильниковым. В диссертации Tresser [1982]
содержится более полная информация о системах шильниковского типа.
Рассмотрим поток ф1 в Ш , имеющий в начале координат положение
равновесия, для которого одно из собственных значений вещественно и
положительно, а два других со,и комплексно сопряжены и имеют
отрицательные действительные части (случай, когда Л < О, а Re(a;) > О
рассматривается аналогично). Теорема об устойчивом многообразии позволяет
ввести координаты таким образом, что локальное неустойчивое многообразие
лежит на оси z, а локальное устойчивое многообразие лежит на
плоскости {х,у). Положим далее, что траектория 7 С W'^{0), восходящая вверх
См. также Шильников [1970]. — Прим. ред. перев.
396
Глава 6
Рис. 6.5.1. Гомоклиническая орбита к спиральному седлу.
вблизи нудя, является гомоклинической орбитой, которая при t ^ оо
попадает на координатную плоскость {х, у) и наматывается по спирали на
начало координат (см. рисунок 6.5.1).
В данном разделе мы изучим отображение возврата для орбит вблизи 7
и докажем следующую теорему:
Теорема 6.5.1 (Шильников [1965]). Если |Re а;| < Л, то поток фг
допускает такое возмущение ф'р которое обладает гомоклинической
орбитой 7' вблизи 7, а отображение возврата для 7' вблизи ф[ имеет счетное
множ:ество подков.
Доказательство. Доказательство данной теоремы требует
тщательного анализа потока для траекторий, проходящих вблизи начала. Для
упрощения этого анализа введем начальное возмущение потока фt, линеаризующее
его векторное поле в некоторой окрестности U начала координат. Далее в
процессе доказательства будем полагать, что свойством линейности
обладает исходное висгорное поле. В этом случае рещение системы уравнений
-Р
а
О
а
-г/3,
описывающей поток вблизи начала координат, дается формулой
(<)
^е"\х{0) cos l3t ■
'\x{0)smpt-
,At
-y@)sin/3t)^
-y@)cos/3t)
F.5.1)
F.5.2)
.@)
6.5. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ТРЕХМЕРНЫХ ПОТОКАХ
397
Рис. 6.5.2. Сечения Ео и Ei.
По мере удаления траекторий от начала «радиальная» координата г
= ^х^ + у^ уменьшается, а |2;| увеличивается.
Определим две поверхности Ео и Ei формулами
Ео = {(a;,y,z) I ж^ + у^ = Го, О < z < zi},
El = {(a;,y,z) |ж2 + у2 <r^, z = zi > 0}.
F.5.3)
Мы считаем, что Ео и Ei лежат в той окрестности U, в которой
рассматриваемый поток линеен. Траектории переходят с Ео на Ei в соответствии с
формулами F.5.2). Мы хотим вычислить отображение i/': Ео ^ Ei,
ставящее в соответствие каждой точке а е Ео первое пересечение стартующей в
этой точке траектории с поверхностью Ei (см. рисунок 6.5.2).
Формулу для i\) можно получить, разрешая уравнение z\
„At
z@)
относительно времени перехода t и подставляя полученный результат t =
= Л^^ ln(zi/z@)) в F.5.2). Мы получаем
фг{х,у,г) = {^{^—j {xcos-f-ysin-f), {^—j (a;sin7 + ycos7), zij ,
F.5.4)
где 7 = /ЗА ^\n{zi/z). Полагая x = rocos^, у = rosin^, мы сможем
выразить затем ф: Т,о -^ Ei как двумерный диффеоморфизм, в области
определения которого заданы координаты в = arctg(y/a;) и z, а в области
значений — координаты {х, у):
фiв,z) = Ы'''' ■ '" ' ^ ^''^"^' • '" ' ^^'^'
cos{e + ^), го[^) sinF' + 7)
def
= {фг{в,г),ф2{в,г)). F.5.5)
398
Глава 6
Заметим, что ?/; отображает вертикальный сегмент в = const,
лежащий на поверхности Eg, в логарифмическую спираль, 01фужающую ось z
и лежащую в Ei. Чтобы убедиться в том, что данный сегмент при
отображении растягивается, необходимо вычислить матрицу Якоби для ф. Мы
имеем из F.5.5)
Щ{в,г) =
Данную матрицу можно представить в виде произведения двух матриц
д-ф1
дв
дф2
дв
дф1
dz
дф2
dz
D^{e,z) = ra
Zl
а/А
COS 7 — 81П7
sin 7 COS 7
— Q cos 6 + /3 sin в
cost
\z
a sin в — C cos в
\z
(такая декомпозиция пригодится позднее). Отсюда находим, что
F.5.6)
det(i:>V)
2 2а/А
ar^z^
Л
-A+2а/А)
F.5.7)
Отсюда видно, что для достаточно малых z отображение -ф сжимает
(соответственно, расщиряет) площади при 2а < —Л (соответственно,
при 2а > —А), что согласуется с тем фа1сгом, что дивергенция
рассматриваемого BeicropHoro поля в седловой точке равна 2а + А. Однако
поскольку —1 < а/А < О, то даже в случае, когда ф сжимает площади,
вертикальные отрезки {в = const, z G (О, zq)} на поверхности Eq отображаются в
логарифмические спирали с радиусами roizi/z)"^^, поэтому коэффициент
растяжения их длины неограничен при z ^ 0. ■
Упражнение 6.5.1. Убедитесь в справедливости уравнени!! F.5.6) и F.5.7).
Теперь обозначим через р точку пересечения И^"@) с Eq и
примем 5 = @,0, zi) = И^'"@) П El (см. рисунок 6.5.2). Поток от q к р
вдоль W^ @) невырожден, поэтому существует диффеоморфизм ф из
некоторой окрестности точки q в Ei в некоторую о1фестность точки р на
поверхности Ео = {{х, у, z)
У
< zq}, определяемый по
первому пересечению соответствующей траектории с Eq. Отображение возврата
для Eg вблизи р можно представить как композицию ф о ф, определенную
для тех точек г, для которых ф{ф{г)) е Eq (см. рисунок 6.5.3). За счет
вращения системы координат во1фуг оси z можно добиться того, что точка р
6.5. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ТРЕХМЕРНЫХ ПОТОКАХ
399
Рис. 6.5.3. Отображение возврата ф.
viv)
Рис. 6.5.4. Уж фоф{\г).
лежит на оси х {в = 0.) Возьмем малую область V в Sg, определенную по
формуле
V = {(г, e,z)\r = Го, \e\<5,Q<z< е}, F.5.8)
где е выбирается так, чтобы ф{У) содержалось в области определения ф,
а 5 будет определено позднее (рисунок 6.5.3). Образ отображения ф о ф{У)
иллюстрируется рисунком 6.5.4.
Каждый вертикальный отрезок, лежащий в V, отображается в
некоторую спираль, окружающую точку q ъ Tii, г. ф диффеоморфно отображает
400
Глава 6
эту спираль в Eq, причем ф{q) = р. Если выбрать число S достаточно
большим по сравнению с е, то каждая спираль в области ф о ф(¥) много1фатно
пересекает V по вертикали до тех пор, пока не будет достигнут участок
спирали, не проходящий через верхнюю границу области V.
Мы хотим найти подмножества V, в которых ф о ф{У) имеет
подкову. Заметим, что из F.5.5) следует, что при изменении z вдоль
вертикального сегмента J = {z',z") С V, где {l3/X){ln{zi/z') - \n{zi/z")) = 27г
или z"/z' = ехрB7гЛ//3), величина ф{J) проходит один полный оборот
логарифмической спирали. Расстояние от ф{J) до q является величиной
порядка {zi/z)"/^,z е J. Кроме того, -^ (X) при z ^ 0.
Зафиксируем E > О в определении V и выберем {z', z") со следующими
свойствами:
(i) z"/z' = ехрB7гЛ//3);
(и) z', z" достаточно малы, так что (zi/z)"' < S для всех z е (z', z");
(iii) если \в\ < S, то образы ф о ф{го, в, z') ж ф о ф{го,в, z") не лежат в Sq.
F.5.9)
Определим W = {(го, e,z) е V \ z е {z', z")} и заметим, что, в силу F.5.9),
образ ф о ф{]¥) выглядит как подкова (см. рисунок 6.5.5).
фo,f/(WУ
Рис. 6.5.5. ф о ф\-^ имеет подкову: штриховкой отмечены W Пфо ^{W).
Чтобы продемонстрировать, что ]¥Пфоф[Ц^) содержит подкову, нужно
показать, что В{ф о ф) удовлетворяет секториальным гипотезам HI и НЗ
теоремы 5.2.4. Первая из них проверяется непосредственно. Кроме того,
поскольку ф является диффеоморфизмом на Si, то из F.5.6) мы имеем
D{фoф){ra,в,z)=ra(^Y'^ А
cos 7 — 81П7
sin 7 cos 7
-sin(
COS0
— Q COS 6 + /3 sin в
— Q sin в — p COS в
\z
F.5.10)
6.5. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ В ТРЕХМЕРНЫХ ПОТОКАХ
401
где А = Вф{гр{го,в, z)). Мы можем переписать правую часть F.5.10) в виде
Z О
О 1
где
а матрица
В = roZi"^^A
cos 7
sin 7
— 81П7
cos 7
С
■ sin(
COS0
— а cos 9 -\- C sin в
Л
— а sin в — C cos в
Л
F.5.11)
невырождена и близка к постоянной в каждой из компонент
множества W Г\ф o^iW), так как \в\ < S. Кроме того, так как для точек
из W П ф о ф{]¥) образы под действием ф имеют в Si аргументы,
различающиеся примерно на тг, то значения матрицы В на двух компонентах
множества ]¥Пфоф[Ц^) различаются множителем, приблизительно равным
-/:
-1 О
О -1
Если Z мало, то z ("Z-'^+i) велико, а z "'^ мало. Заметим, что
произведение
/i
bii bi2
&21 &22
Си Ci2
С21 С22
0 о"
0 1
-м
о biiCi2 + bl2C22
О 621C12 + &22С22
F.5.12)
имеет собственные значения О и /iF2ici2 + &22С22) с соответствующими
собственными векторами A,0) и FiiCi2 + 612С22, &21С12 + &22С22)-
Поскольку /i = z~^"^^~^ \ то при Z ^ о второе собственное значение
бесконечно велико, так как для выбранных полосок z', z" ^ О, а если отношение
|(&iici2 + bi2C22)/{b2ici2 + &22С22)| остастся ограниченным, то данные
собственные векторы лежат в отделенных конусах. Кроме того, собственные
векторы и собственные значения матриц F.5.10) и F.5.12) близки друг
другу ввиду гладкости их зависимости от элементов матрицы. Если
величина F21С12 + &22С22) не отделена от нуля для точек из V П ф о ф{У)
при z ^ О, мы должны добавить к потоку фt некоторое возмущение для
достижения этого свойства. Для этого сгодится возмущение, обладающее
эффисгом закручивания траисгорий вокруг 7, так что возмущенное
отображение возврата является произведением (слева) с жестким вращением; см.
рисунок 6.5.6.
402
Глава 6
Рис. 6.5.6. Малое возмущение фь-
Теперь секториальную структуру для F.5.11) можно получить из
предельных свойств данного произведения при z', z" -^ 0. (Наличие таких
свойств следует из того, что 0 ^ О, а 7 (mod тг) стремится к значению,
определяющему в Si линию, переводимую отображением Оф(д) в
горизонтальную прямую на плоскости, касательной к Sg в точке р.) Любые
малые секторы вблизи этих предельных значений удовлетворяют (НЗ), если z'
и z" достаточно малы. Выбирая последовательность прямоугольников W
в V, высоты которых убывают в геометрической прогрессии, мы получим
последовательность подков для возмущенного потока, который
по-прежнему имеет гомоклиническую орбиту в положении равновесия в начале
координат.
Следствие 6.5.2 (Шильников [1965]). Пусть X — векторное поле
класса С" в R , имеющее полож:ениеравновесия р, для которого:
(i) собственные значения в точке рравны а ± i/3. Л, где \а\ < |Л| м /3 ^ 0;
(ii) точка р имеет гомоклиническую орбиту.
Тогда существует такое возмущение Y для X, которое обладает
инвариантными множ:ествами, содерж:ащилт трансверсальные гомоклинические
орбиты.
Упражнение 6.5.2. Изучите бифуркационное поведение, ассоциирующееся с
гомоклинической траекторией к ноложению равновесия с собственными
значениями а ± г/3. Л, где О < Л < —а и /3 т^ 0. (Подсказка: см. Но1шез [1980с] или Treser
[1982].)
6.6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ 403
Ameodo и др. [1981, 1982] привели примеры трехмерных систем, для
которых условия этих теорем допускают проверку. Потоки, обладающие
такими гомоклиническими траекториями, были обнаружены также при
анализе фазового портрета уравнений нервного аксона (см. Evans и др. [1982],
Feroe [1982], Hastings [1982]). Другие примеры использования этих идей
можно найти в работах Шильникова [1967, 1970] и Holmes [1980с].
6.6. Гомоклинические бифуркации периодических орбит
Дискретная разновидность бифуркации седловой петли, обсужденной
в разделе 6.1, значительно более сложна, чем в непрерывном случае.
Если устойчивое и неустойчивое многообразия седловой неподвижной
точки диффеоморфизма /: К. -^ R^ пересекаются трансверсально, то, как
было доказано в главе 5, / имеет бесконечное множество периодических
орбит. Поэтому бифуркации должны происходить в процессе
деформирования некоторого диффеоморфизма с конечным числом периодических орбит,
приводящем к появлению трансверсальных гомоклинических орбит. Такой
процесс впервые был обнаружен для уравнения Ван дер Поля с сильно
нелинейным возбуждением в работе Cartwright, Littlewood [1945], см. раздел 2.1.
Мы также встречали некоторые из этих бифуркаций в теории Мельникова
(см. раздел 4.6). В данном разделе мы изучим некоторые бифуркации
периодических орбит, ассоциирующиеся с периодической орбитой, имеющей
касающиеся устойчивое и неустойчивое многообразия. Описанные
результаты получены Гавриловым и Шильниковым [1972,1973], а также Newhouse
[1979, 1980]. Мы не будем стремиться к общности, а рассмотрим лищь
простейший пример, демонстрирующий интересующие нас явления.
Пусть /д — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов в М. ,
обладающих неподвижной точкой в начале координат с собственными
значениями р, Л, удовлетворяющими неравенствам р{ц) < 1 < A(/i) < р^^{ц).
Такая седловая точка, для которой \рц\ < 1, называется диссипативной.
Допустим, что W^{Q) П ^"@) = 0 при /i > О, а при ц = О существует
точка ро, в которой W{0) П И^'"@) имеют квадратичное касание для /о. Это
означает, что кривизны W^{0) и W"{0) различны. При малых ц < О
многообразия W'^{0) и И^"@) должны иметь две точки трансверсального
пересечения вблизи PQ. Далее допустим, что при /i = О участки кривых W^{0)
и W'^{0) между точками О и ро ограничивают область, имеющую в начале
координат выпуклый угол и содержащую внутри себя точки из И^"@) (см.
рисунок 6.6.1). Ясно, что существует и много других возможных случаев
касания (см. Гаврилов, Шильников [1973]).
Первый из представленных здесь результатов Гаврилова и Шильникова
показывает, что существуют последовательности бифуркаций седло-узел,
накапливающихся к точке ц = О сверху и снизу.
404
Глава 6
W"{0)
wXo)
ju>0
ju=0
ju<0
Рис. 6.6.1. Гомоклиническая бифуркация для плоского диффеоморфизма.
Мы используем для анализа данной ситуации подход, аналогичный
применявшемуся при описании теоремы Смейла [1963, 1967] о
существовании подков. Здесь мы опишем инвариантные множества, изменяющиеся
вместе с /i, при этом их периодические точки возникают, исчезают или
меняют тип устойчивости. Бифуркации этих периодических орбит необходимо
являются седло-узлами или удвоениями периода, так как отображение /^
вблизи О сжимает площади, что подавляет растяжение под действием /^ в
других точках рассматриваемых нами множеств и позволяет построить
одномерные центральные многообразия, соответствующие переходу простых
собственных значений производной Df^ через +1 или —1. В начале
построения этих инвариантных множеств мы используем теорему об устойчивом
многообразии для выбора таких координат, в которых локальное
устойчивое многообразие точки О является отрезком оси х, а локальное
неустойчивое многообразие — отрезком оси у. Это можно сделать одновременно для
всех /i, так как локальные устойчивое и неустойчивое многообразия точки О
непрерывно зависят от /i. Допустим также, что W^{Q) и И^"@) являются
«плоскими» в некоторой окрестности V начала координат.
Сначала рассмотрим систему при /i = 0. Пусть ро = (О, уо) — точка
касания И^*@) и И^'"@), лежащая в окрестности V и заданная в
выбранных нами координатах. Пусть U (ZV — малая прямоугольная окрестность
точки ро- Мы хотим проследить последовательные итерации множества U
вплоть до их последующего пересечения с этим же множеством, а затем
исследовать гиперболичность этого пересечения. Напомним, что по
сделанному предположению устойчивое и неустойчивое многообразия
пересекаются определенным образом, как изображено на рисунке 6.6.1. Очевидно,
что существует такое целое число к, что f^^ipo) лежит на локальном
устойчивом многообразии точки 0. Кроме того, кривая И^"@) касается оси х в
точке f^ipo), а по сделанному предположению в окрестности данной точки
она представляет собой график функции с положительной второй
производной, см. рисунок 6.6.2.
6.6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ
405
1Г @)
Рис. 6.6.2. Окрестности V,Uh ^{11).
Затем рассмотрим итерацию точки ро и кривой ^^"@), следующую
за /о{ро)- Для упрощения наших оценок и концентрации на существенных
свойствах этой итерации мы изучим конкретный пример, оставляя
обобщение доказательств в качестве упражнения. В частности, мы считаем /о
линейным в выбранной координатной окрестности, так что
Мх,у) = Dfo{x,y) = {рх,Ху) F.6.1)
для всех (х, у) из этой окрестности. Допустим далее, что в выбранной нами
окрестности U точки ро отображение /д является квадратичным вида
fo{x, у-уо) = {хо - /3(у - уо), JX + 5{у - yof). F.6.2)
Здесь Ро = (О, Уо), /о (ро) = (а;о, 0), а /3,7 и E — положительные постоянные
(E/3^^ представляет собой кривизну W^{o) в точке /о (ро) в нашей
координатной системе). Это нелинейное отображение переводит вертикальные
отрезки а; = с из окрестности U в параболы у = ^с + [5/0^){х — xqY
вблизи /'^(ро) G WiQ).
Для всех гг > О отображение f^ является квадратичным при условии,
что /д^*(ж, у) лежит при i ^пъ нашей координатной окрестности V:
f^Hx, у) = {р"{хо - /3(у - уо)), Х"Ьх + 6{у - yof)). F.6.3)
406
Глава 6
Ро=@,г/о)'
Уо ^
-И-
И
\1
1
.А
-/о"''E„)
/о (Ро)
Рис. 6.6.3. Квадратичное касание влечет существование подковы.
Мы хотим показать, что для больших п существует прямоугольник,
содержащий ро на своей границе, для которого fQ~^ имеет подкову.
Выберем е > О, р < V < Х~^ и п такими, чтобы прямоугольник Sn ширины г/",
левой стороной которого является отрезок (уо — £, Уо + s) оси у, лежит в V
так же, как и его образ f^{Sn)- Мы покажем, что /д " имеет в Sn подковы
для достаточно больших п.
Заметим сначала, что абсциссы всех точек из f^^ {Sn) меньше
величины р"(а;о + /Зе), которая меньше г/" при больших п. Затем заметим,
что ордината точки f^'^ {х,у) равна \^{'ух + 5{у — уо)^), что близко к уо
при |у —уо| ~ (уоА^^/с^)-^/^, так как Х"-^х < X^^v^ -^ О при гг ^ оо.
Таким образом, образ f^ {Sn) пересекает Sn по двум вертикальным
полоскам, чьи прообразы близки к горизонтальным полоскам в окрестности
значений у, удовлетворяющих равенству \у — уо| = (уоА^^/с^)^/^, см.
рисунок 6.6.3. Производная от у"+'= на V равна
^/о
п-\-к
о -/Зр"
7Л" 2а"(у-уо)
F.6.4)
Если |у — уо| = (уоА "/E)"^/^, а п велико, то Df^^'' аппроксимируется
вырожденной матрицей
О О ■
7Л" 2(уоEЛ"I/2
F.6.5)
6.6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ 407
имеющей собственные векторы A, -7A"/V2vyo^) и @,1). Хотя
вертикальная компонента первого из этих векторов велика, она имеет
меньший порядок роста, нежели величина А"'^р^", равная модулю углового
коэффициента образа любого вектора, первоначально близкого к
вертикали. Нетрудно проверить, что существует константа сив каждой точке
множества /д (Sn) П Sn существует конус, ограниченный векторами с
угловыми коэффициентами ±сЛ"'^р~", который отображается в себя под
действием Df^^ (см. анализ в разделе 5.2). Векторы этого сектора
растягиваются в число раз, ограниченное снизу, поэтому в нем содержатся
расгпиряющиеся векторы некоторой гиперболической структуры.
Следовательно, для данного примера доказана следующая теорема.
Теорема 6.6.1. Пусть /о: R -^ Ж — диффеоморфизм, имеющий
неподвижную точку р, в которой собственные значения р и X
матрицы Df{p) удовлетворяют неравенствам р < 1 < \ < р~^. Допустим,
что W'^{p) и W''{p) имеют точку ро тангенциального пересечения и что
область D, ограниченная кусками многообразий W'"{p) и W^{p),
лежащими меж:ду р и ро, отображ:ается под действием /о в себя. Если V -
некоторая окрестность точки р, то существует целое число М такое, что для
всех т ^ М отображ:ение /"* имеет в V инвариантное множ:ество Л^,
топологически сопряж:енное со сдвигом из двух символов {т. е. с подковой).
Замечание. Структурная устойчивость множества Л^ гарантирует
возможность малого возмущения данного отображения (например,
добавления членов старщего порядка или малых нелинейностей в V) без
разрушения Лда.
Заметим также, что из этого анализа следует существование
счетного множества подков Л^ для всех т = п + к ^ М. В статьях Гаврилова
и Шильникова [1972, 1973] рассмотрены другие случаи касания как для
сохраняющих ориентацию, так и для обращающих ее диффеоморфизмов.
В некоторых из этих ситуаций подковы в окрестности точки ро не
существует до тех пор, пока возмущение не приводит к появлению трансверсальных
гомоклинических точек.
Установив, что вблизи гомоклинической бифуркации уже может
иметься сложная динамика, перейдем к изучению того, что произойдет при
возмущении гомоклинического касания в однопараметрическом семействе. Мы
продолжим обсуждение в терминах вышеприведенного квадратичного
примера, включив его в некоторое однопараметрическое семейство
отображений /д. Зафиксируем некоторую окрестность начала координат и
предположим, что /д — это линейное отображение, определяемое для всех ц
формулой fij{x,y) = {рх, \у), где, как и прежде, р < 1 < X < р~^. Допустим,
что существует целое число к > О и точка ро = @,уо), вблизи которой
408 Глава 6
отображение /^ задается формулой
/м(а;,у) = Ы - Р{у - уо), n + -fx + 6{y- yof). F.6.6)
в этом случае отображение /^^^'^ примет вид
Q+\x, у) = {р^{хо - /3(у - уо)), А"(м + JX + 5{у - y^f)). F.6.7)
При изменении /i мы получим последовательность бифуркаций,
показанную на рисунке 6.6.1. Если /i > О, точки справа от оси у вблизи ро имеют
минимум вертикальной координаты, равный /i. Следовательно, добавление
п итераций переводят все эти точки выше ро, если п > ln(yo/M)/lii А. Эта
ситуация отличается от описанной выше при ц = 0. Следовательно, при
возрастании /i от нуля многие из подков, которые мы обнаружили при /i = О,
исчезают. В действительности, можно решить в явной форме наши
модельные уравнения для бифуркаций типа «седло-узел» орбит периода (п + к) и
даже для последовательных бифуркаций удвоения периода, происходящих
при убывании /i до нуля (см. Гаврилов, Шильников [1973]).
Упражнение 6.6.1. Покажите, что бесконечная последовательность fin+k
бифуркаций «седло-узел» для периодических орбит с последовательно
возрастающими периодами п + к сходится справа к пулю в случае семейства /^^" , заданного
формулой F.6.7). Покажите, что стоки, рождающиеся в этих бифуркациях,
испытывают последовательные бифуркации удвоения периода в точках второй
последовательности /1^_|_^;, также сходящейся к нулю справа.
Качественная картина происходящего при ц > О аналогична
ситуации для отображения Хенона или для подходящей итерации отображения
возврата для строго нелинейного уравнения Ван дер Поля или Дуффин-
га. Параболические сечения многообразия W'^{0), начиная с точки {хо,ц),
нарастают с экспоненциальной скоростью А". Таким образом, при
возрастании /i образы f"~^''{Sn) поднимаются вдоль Sn, что приводит кразрушению
всей подковы Л"'+'^ для f"^''{Sn), см. рисунок 6.6.4.
Все вопросы, касающиеся наличия странных аттракторов и
обсужденные в разделе 5.6, возникают при анализе возмущений диффеоморфизма,
имеющего гомоклиническое касание. Заметим также, что производная
отображения f!^'^'' имеет определитель, стремящийся к нулю с
экспоненциальной по п скоростью, ввиду чего данные бифуркации при ц -^ +0 можно
лучше аппроксимировать при помощи бифуркаций одномерных
отображений (см., однако, комментарии в конце раздела 6.7).
Чтобы понять, что происходит при стремлении ц к нулю снизу,
заметим, что из неравенства ц < О следует, что /^ имеет трансверсальную
гомоклиническую точку вблизи /„(ро)- Следовательно, существует такая
6.6. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТ
409
Рис. 6.6.4. Разрушение подковы Л''+" для -F^+".
степень /' отображения /^, которая обладает подковой в малой
окрестности отрезка многообразия W^{0) между точками О и /^(ро)- В частности,
/' имеет орбиты, для которых символические последовательности из этой
подковы периодичны и имеют блоки длины т + п вида 10 ... 01... О для
произвольных ш, п, где 1 и О — символы, соответствующие некоторому
разбиению Маркова, как в разделах 5.1-5.2. Мы докажем, что /д не имеет таких
периодических орбит, следовательно, бифуркации типа «седло-узел» для
периодических орбит происходят между значениями /i = OH/i = /ii<0.
Поскольку отображение /^ линейно в выбранной координатной
окрестности V, точка (ж, у), стартующая вблизи от fjiipo) и остающаяся на
некотором уровне ниже уо ровно для г итераций, должна удовлетворять
неравенствам Л^''+^уо ^ у < Х^^уо. Тогда точка fj^{x,y) имеет абсциссу,
приблизительно равную xqp^ . Отсюда следует существование нижней границы
для ординат точек /^+''(а;,у), которая пропорциональна р^. Значит, если п
велико по сравнению с т, то отображение /д не имеет периодических
орбит, начинающихся вблизи от /д (ро), остающихся близких к нулю в течение
ш итераций, затем вновь перескакивающих в окрестность f^ipo),
остающихся близкими к нулю в течение п итераций и затем возвращающихся в
исходную точку.
Отсюда следует, что существует некоторая последовательность
бифуркаций периодических орбит, сходящаяся к нулю слева. В терминологии
Гаврилова и Шильникова [1973], мы доказали, что рассматриваемый здесь
тип гомоклинического касания недоступен с обеих сторон. (Гаврилов и
Шильников [1973] в явной форме представили бифуркации седло-узел
410 ГЛАВА 6
ДЛЯ семейства отображений вида /^+™ о Z^^", где /^^* выражается
формулой F.6.7).) Бифуркация гомоклинического касания сама оказывается
вложенной в бесконечное множество бифуркаций, и ее нельзя
рассматривать как начальный шаг к рождению странного аттрактора из структурно
устойчивого диффеоморфизма Морса-Смейла. Тем не менее, кто-то может
захотеть иметь возможность, начав с простого диффеоморфизма (скажем,
имеющего единственную глобально устойчивую неподвижную точку),
проследить за последовательностью бифуркаций, приводящих к усложнению
динамики и в конечном итоге к хаосу. Такой процесс был бы аналогичен
многочисленным экспериментам, в которых был обнаружен переход к
хаосу. Описанная выще теория свидетельствует о том, что гомоклиническое
касание рассмотренного нами типа не является разумным кандидатом в
бифуркации, сопутствующие этому переходу. Однако такие бифуркации
наверняка встречаются внутри хаотических режимов, и мы уже видели важную
роль, которую играют трансверсальные гомоклинические точки. Поэтому
мы продолжим рассматривать последствия гомоклинических касаний более
подробно в следующем разделе.
6.7. Дикие гиперболические множества
Newhouse доказал [1974, 1979, 1980], что в дополнение к бифуркациям,
описанным Гавриловым и Шильниковым, существует гораздо более тонкое
и сложное динамическое поведение, ассоциированное с гомоклиническим
касанием. В данном разделе мы опишем сущность этих теорем Newhouse и
укажем, как они позволяют отбросить сомнения в существовании странных
аттракторов у отображений плоскости, близких к отображениям с
гомоклиническим касанием. Доказательства имеют технический характер, здесь
они только намечены. Тем не менее, важным следствием этих результатов
являются примеры диффеоморфизмов, имеющих бесконечные множества
устойчивых периодических орбит с большими периодами. Более того,
такие диффеоморфизмы являются остатком от вычитания открытых множеств
С^-диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизмам с гомоклиническим
касанием. Поэтому можно ожидать их появления в типичных семействах
(таких как рассмотренное в предыдущем разделе).
Покажем сначала, что определенные типы касания обладают
устойчивостью. Пусть Л — нуль-мерное гиперболическое инвариантное множество
на плоскости. Устойчивое и неустойчивое многообразия WiX) и И^'"(Л)
локально являются произведениями некоторого канторова множества и
интервала (вспомните пример подковы из раздела 5.1). Нас интересуют
условия, гарантирующие существование точки касания между двумя сегментами
этих множеств (см. рисунок 6.7.1). Заметим, что отсюда следует существо-
6.7. Дикие гиперболические множества
411
Канторово множество горизонтальных
касательных W (Л)
W"{A)
Рис. 6.7.1. Касание устойчивых и неустойчивых многообразий гиперболического
множества.
вание некоторой гетероклинической орбиты, содержащей точки, лежащие
вне Л, и соединяющей две орбиты {/"(а;)}, {/"(у)} (не обязательно
периодические) из Л, но не обязательно гомоклинической орбитой.
Если считать Ж" (Л) некоторым канторовым множеством, состоящим
из горизонтальных прямых, то вопрос состоит в том, имеет ли некоторая
кривая в Ж*(Л) точку горизонтального касания, содержащуюся в Ж"(Л).
С наивной точки зрения может показаться, что если это так, то при
небольшом вертикальном смещении множества Ж* (Л) канторово множество, на
котором Ж*(Л) имеет горизонтальное касание, отойдет от Ж"(Л), как это
происходит в случае, когда Л является одной точкой или периодической
орбитой, как в предыдущем разделе. Однако, как обнаружил Newhouse, для
гиперболических множеств общего вида это не всегда возможно по
причинам, которые мы сейчас объясним, отойдя от динамической терминологии.
Пусть Fi и Гг — два канторовых множества, содержащихся в
единичном интервале. Будем искать условия их пересечения. Одно из таких
условий состоит в том, что Fi и Гг — канторовы множества с
перекрывающимися носителями и положительной мерой Лебега (см. раздел 5.4), а сумма их
мер больше единицы. Тогда /х(Г1 П F2) = /i(Fi) + /х(Г2) — /х(Г1 U F2) > О,
откуда (Fi П F2) ^ 0. Однако канторовы множества, появляющиеся в
гиперболических множествах, имеют нулевую меру Лебега, поэтому данное
условие здесь неприменимо. Например, в кусочно-линейной подкове
канторовы множества определяются лишь при помощи конструкции «среднего
а», в которой из середины замкнутых интервалов последовательно
удаляются открытые интервалы относительной длины а. Канторовы множества,
412 Глава 6
определяемые таким образом, имеют нулевую меру Лебега, но ненулевую
хаусдорфову размерность (см. раздел 5.8). Если эта размерность обладает
разумными свойствами, то она должна удовлетворять (при подходящих
допущениях) неравенству dim(ri П Г2) ^ dim(ri) + dim(r2) — 1. Newhouse
ввел родственное понятие толщины канторова множества, естественным
образом приводящее к нужной нам гипотезе.
оо
Представим канторово множество Г С R формулой М — Г = |J Ui,
i=-2
где U-2 и U-i — неограниченные компоненты множества М — Г, а
остальные Ui представляют собой непересекающиеся открытые интервалы.
Интервалы Ui являются щелями в Г, а множества Cj = R — |J Ui (j ^ 0)
образуют определяющую последовательность для Г. Компоненты
множеств Cj являются замкнутыми интервалами, которые мы называем
мостами. (Интервал Со = R — {Ui U U2) содержит данное канторово
множество.) Каждое из множеств Uj является подмножеством некоторого
моста Bj из Cj, делящим Bj на два моста Sj (левый) и В^ (правый), лежащие
в Cj+i. Обозначая длину интервала J как 1{J), определим величину
r({Q}) = inf 777ГТ'77?7Т • F.7.1)
r>o\l{Uj)' Щ)
Толщина т(Г) равна
т(Г) = sup{T({Ca), F.7.2)
где {C'i} — определяющая последовательность для Г.
К примеру, если Г — канторово множество, определяемое конструкцией
среднего а на /, тогда для любой определяющей последовательности {Ci},
которая удаляет на i-u шаге некоторое множество Uj возможно большей
длины, имеем
liB^) Щ) n-a\l{Bj) 1
■ а
Щ) Щ) V 2 Jal{B,) 2а
(см. рисунок 6.7.2). Таким образом, т(Г) = A — а)/2а.
F.7.3)
Предложение 6.7.1 (Newhouse [1970]). Пусть Fi м Г2 — два канто-
ровых множества в R таких, что t{Ti)t{T2) > 1, Г1 не содержится в
некоторой щели в Т^, а Т^ не содерж:ится в некоторой щели в Fi.
Тогда Fi П F2 ^ 0.
6.7. Дикие гиперболические множества 413
^/(sp ^/(s,)_
В. Е ^ 3- Е
в' и, В.
I
al{B)
Рис. 6.7.2. Толщина канторова множества.
Доказательство. Выберем определяющие последовательности {Ci}
из Fi и {Di] из Г2 таким образом, чтобы T{{Ci{) • T{{Di{) > 1.
Если множества Со и Dq отделены, то Fi содержится в некоторой
неограниченной щели в Гг и наоборот. Таким образом. Со П Dq ф 0.
Докажем по индукции, что C'i Г] Di ф 0. Поскольку эти множества компактны
и Ci П -Di D Ci+i n Di+i, то из свойства конечного пересечения следует,
что Ti П Га 7^ 0.
W в' и, в" в'
3 Е 3—-С 3 Е 3 •• •[ 3
^ ^; М Ет^ ^ Ь-Н
в
(а) (Ь)
Рис. 6.7.3. (а) В^ С Vi С S^; (b) В^ и В^ перекрываются.
Допустим, что Ci П Di ф 0. Пусть В^ ж В^ — такие мосты в С^ и Di,
что В^Г\В'^ ф 0. Положим В^ -Ui = В^ Г\ Ci+i иВ'^ -Vi = В'^П Di+i
(множества Ui или Vi могут быть пустыми). Мы утверждаем, что [В^ —
— Ui) П {В^ — Vi) ф 0. Необходимо рассмотреть два случая: в первом из
них В^ С В"^ или наоборот, во втором — оба множества В^ — (В^ П S^)
и В^ — [В-^ П S^) непусты (см. рисунок 6.7.3).
Если В^ С В^ и {В^ - Ui) П (Б2 - Vi) ф 0, то В^ С Vi.
Одна из щелей W в Ci, граничащая с В^ (скажем, слева)
удовлетворяет неравенству l{B^)/l{W) ^ T{{Ci}), а левая компонента B^^
множества В'^ — Vi удовлетворяет неравенству l{B'^^)/l{Vi) > t({Dj}).
Следовательно, 1 < l{B^)/l{Vi) ■ {l{B'^^)/l{W)) < l{B'^^)/l{W) или 1{W) < 1{В'^^).
Отсюда следует, что (Б^ — Vi) П {Ci — В^) ф 0, так что i'i+i П Ci+i ^ 0.
Тем самым рассмотрение случая В^ С В^ завершено. Если оба
множества В^ — (В^ П S^) и В^ — [В-^ П S^) непусты и В^ содержит точки слева
от В^, то правый конец В^ лежит в В , а левый конец В^ лежит в В^.
Обозначим В^^ правую компоненту В^ —Ui и B'^^ — левую компоненту S^ — Vi.
414 Глава 6
Тогда из неравенств l{B'^'')/l{Ui) > t{{C^}) и l{B'^^)/l{Vi) > т({А})
следует, что {l{B^'^)/l{Vi) ■ l{B'^^)/l{Ui)) > 1. Поэтому одновременное
выполнение включений В^*" С Vi и В^^ С Ui невозможно. Мы приходим к выводу,
что (В-^ — Ui) П (В^ — Vi) ^ 0, и предложение доказано. ■
На основе этого предложения Newhouse пришел к выводу о
существовании гиперболических инвариантных множеств Л в R , устойчивое
и неустойчивое многообразия которых имеют касания, неразрушающиеся
при малых возмущениях. Мы приведем 1фатко его рассуждения.
Множествам W^{K) и Ж" (Л) соответствуют толщины т*(Л) и т'"(Л).
Величина т'"(Л) определяется следующим образом. Выберем у G Л и
кривую 7; трансверсальную к Ж"(у), для которой 7@) = У-
Определим т'"(у, 7j^) = inf{supT(r)}, где Г — некоторое канторово множество
е>0
В образе 7 L_ ^ ПЖ'"(Л,/). Newhouse [1979] доказал, что т"{у,'у,А) не
зависит от у и 7, ввиду чего эту величину можно обозначить т"(Л).
Кроме того, он доказал, что т"(Л) положительна и непрерывно изменяется при
возмущениях класса С^ диффеоморфизма, определяющего Л. Аналогичные
определения и результаты остаются в силе для т®(Л). Следовательно, если
некоторый диффеоморфизм / в М имеет гиперболическое инвариантное
множество Л, для которого т*(Л)т"(А) > 1, и если W'^{A) имеет точку
тангенциального пересечения с Ж"(Л), то существует е > О такое, что
все возмущения класса С^ и величины е имеют вблизи Л гиперболические
инвариантные множества с тангенциальными пересечениями. Это
наблюдение легло в основу ранних работ Newhouse [1970, 1974] и его диссертации.
Такие множества Л называют дикими гиперболическими множествами.
Второе наблюдение Newhouse состоит в том, что диффеоморфизм /,
имеющий гомоклиническое касание для седловои точки р, можно возмутить
таким образом, что он будет иметь гиперболическое инвариантное
множество Л, для которого т®(Л)т'"(А) > 1 и имеется касание между Ж* (Л)
и Ж"(Л). Рассматриваемое здесь гомоклиническое касание
иллюстрируется рисунком 6.7.4, где показано «последнее» касание перед рождением
«полной» подковы, содержащей точку р.
Здесь / — диффеоморфизм, имеющий седловую точку р с
собственными значениями /з, А, где р < 1 < \ < р^^, как в предыдущем разделе.
Заметим, что, ввиду наличия точки q трансверсального пересечения
между W'"{p) и W^{p) вблизи орбиты точки q, описываемой теоремой Смейла
[1963], существует гиперболическое инвариантное множество Ai. Кроме
того, это инвариантное множество имеет «неустойчивую» толщину t'"(Ai),
близкую к постоянной при возмущениях /.
Мы хотим создать за счет возмущения / вблизи гомоклинической
траектории новое гиперболическое инвариантное множество Аг с большой
6.7. Дикие гиперболические множества
415
С
W"(p)
,
р
1
и
г'л
^
щ
N
ц
vV
1
я
W\p)
Рис. 6.7.4. Гомоклинические касания приводят к диким гиперболическим
множествам.
«устойчивой» толщиной т®(Л2) так, чтобы t'"(Ai)t*(A2) > 1. Для
этого рассмотрим образ малого прямоугольника R с основанием на W^{p),
середина которого совпадает с точкой t гомоклинического касания. Для
больших п образ f"{R) будет лежать вблизи W"{p), сильно растягиваясь
вдоль W'^{p) и подходя близко к t, см. рисунок 6.7.5.
часть / (R)
w'Xp)
ПЮ
Рис. 6.7.5. Создание множества с большой устойчивой толщиной.
Мы хотим изучить множества /" (i?„) при возрастании п, где Д„ С R —
некоторый прямоугольник, состоящий из таких точек, образы которых лежат
вблизи W'^{p) П R. Прямоугольник Д„ по горизонтали занимает все
множество R и имеет высоту по вертикали (толщину), пропорциональную Л~".
Ширина множества f"{Rn) в направлении нормали к W"{p), а также рас-
416
Глава 6
стояние от него до W'^{p) пропорциональны /з". Таким образом, отношение
ширины /""(Rn) к высоте i?„ стремится к нулю.
Newhouse [1979] получил точные оценки, показывающие, что для
квадратичного касания можно выбрать такое число п и прямоугольник R„ С R,
что f~"{Rn П f"{Rn)) = Н^ и Н'^ является парой горизонтальных
полосок, сумма высот которых (по нормали к W'^{p)) почти равна
высоте Яп- Поэтому /" имеет инвариантное множество Л2 С Д„ с большой
устойчивой толщиной. Для того чтобы показать, что Лг гиперболично,
необходимо выполнить секторные оценки типа тех, которые обсуждались
в разделе 5.2, причем здесь они весьма тонки, так как «вертикальные»
полоски Яп П /"{Яп) = Vn UVn имеют границы, которые почти
касаются W"{p) и, следовательно, горизонтальных границ Д„, см. рисунок 6.7.6.
(См. Robinson [1982], где содержится другой вывод данного результата, а
также дополнительная информация.)
(а)
w/////////////M///m///////////,--
ib)
Рис. 6.7.6. Создание инвариантного множества с большой неустойчивой толщиной:
(а) Д„ П Г(Д„); (Ь) /-"(i?,„) П Д„.
Здесь мы приведем альтернативную конструкцию инвариантного
множества с большой устойчивой толщиной, основанную на том факте, что для
больших п отображение /" близко к одномерному. Если ввести вблизи t
масштаб А^" вертикальной координаты, то /"{Яп) стремится к
предельному отображению h, имеющему ранг 1 и график, подобный изображенному
на рисунке 6.7.7.
Можно считать, что отображение h имеет бесконечно сильное сжатие
вдоль своих линий уровня; оно будет гиперболичным, если в каждой точке
существует направление расширения, для которого выполняются
стандартные гиперболические оценки. В этом смысле отображение h
негиперболично, но существуют малые возмущения (поднимающие или опускающие
график), которые делают его гиперболичным при условии выполнения под-
ходящик гипотез (в частности, если h имеет отрицательную производную
Шварца). Устойчивую толщину предельных множеств для этих
возмущений h можно сделать сколь угодно большой, как будет показано в дополне-
6.7. Дикие гиперболические множества
417
(рХТ^О ^-
Рис. 6.7.7. Сингулярное отображение h.
НИИ к данному разделу. Следовательно, взяв п достаточно большим,
можно найти такое возмугцение /, что f"(Rn) имеет гиперболическое
множество Л2 С Rn с большой устойчивой толщиной. Мы можем также сделать
так, что W^{A2) будет иметь точку касания с W'^{Ai).
Главным шагом к отысканию диффеоморфизма с бесконечным числом
стоков является построение Лг для возмущения со следующими
свойствами:
A) T«(Ai)-T^(A2)>l.
B) Оба множества ^^(Лг) П W"{A)i и ^"(Лг) П Ж*(ЛI имеют точки
трансверсального пересечения, не содержащиеся в Ai U Л2.
C) W^{A2) и Ж"(ЛJ имеют точку касания.
Мы уже продемонстрировали свойство A) (напомним, что t"(Ai)
непрерывно зависит от возмущений /). Свойство B) является следствием
того факта, что кривые в ^"(Лг) и W"{A2) лежат в окрестности t вблизи
к W'^{p) и W"{p) соответственно. Поскольку р G Ai, а Л2 лежит на той
же стороне от W^{p), что и Ai, то мы получаем требуемое пересечение
(рисунок 6.7.8).
Следующим шагом в данной конструкции является обобщение
теоремы Смейла-Биркгофа [1963, 1967], см. раздел 5.3. Используя трансвер-
сальные пересечения B), мы найдем гиперболическое инвариантное
множество Аз D Ai и А2, для которого т'"(Аз) ■ т*(Аз) > 1. Значит,
последующие возмущения / будут иметь гиперболические инвариантные множества
вблизи Аз, для которых гомоклинические касания сохраняются.
Обращаясь к рисунку 6.7.8, мы можем рассмотреть вопрос о рождении
касаний между W'^{A2) и Ж"(А2) под действием некоторого возмущения,
«сдерживающего» образ f"{R). Таким способом мы получим дикое
гиперболическое множество.
4П
Глава 6
часть / (R)
WXA,)r\W"(A,)
Рис. 6.7.8. Инвариантные множества Ai и Лг и пересечение их многообразий.
В предыдущем разделе мы доказали, что если /о имеет
гиперболическую неподвижную точку р с собственными значениями р < 1 < X < р~^
и точку ро касания W"{p) и W'^{p), то существуют возмущения /о,
имеющие притягивающие периодические орбиты, лежащие вблизи орбиты
точки pq. Последовательно комбинируя эту конструкцию с описанной выще
конструкцией дикик гиперболическик множеств, можно получить
диффеоморфизмы со счетным числом притягивающик периодическик орбит.
Подытожим выщеприведенные рассуждения: начав с /о, перейдем при
помощи возмущения к близкому отображению f\, обладающему диким
гиперболическим множеством. Как показал Newhouse [1980], /i можно
возмутить до отображения /2, имеющего касания устойчивого и неустойчивого
многообразий для единственной периодической орбиты. В его
доказательстве использовалась плотность периодических орбит в Лз, позволяющая
найти орбиту, содержащую две точки, лежащие вблизи точек
тангенциального пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий. Затем он
перещел от f\ к возмущенному отображению /2, для которого устойчивое
и неустойчивое многообразия для периодической орбиты имеют
тангенциальное пересечение. Далее он перешел от /2 к возмущению /з, имеющему
устойчивую периодическую орбиту, опираясь при этом на аргументы,
приведенные в предыдущем разделе. При возмущении /i до /з дикое гипербо-
6.7. Дикие гиперболические множества 419
лическое множество Лз не разрушается. Поэтому существует такое е > О,
что (С^, е)-возмугцения отображения /з имеют как устойчивую
периодическую орбиту, так и дикое гиперболическое множество. Повторяя эту
процедуру для е ^ О, получим диффеоморфизмы, имеющие бесконечно много
притягивающих периодических орбит. Более подробно данный вопрос
изложен в работах Newhouse [1979, 1980]. Конечный результат таков:
Теорема 6.7.2. Пусть р — гиперболическая седловая точка
С"^-диффеоморфизма / в М^, для которой det{Df (р)) < 1. Допустим, что W^{p)
и WIp) касаются в некоторой точке ро. Тогда в сколь угодно малой
С^-окрестности f существует диффеоморфизм /, имеющий дикое
гиперболическое множество вблизи орбиты точки ро и бесконечно много
устойчивых периодических орбит.
Пз этих теорем следует, что можно ожидать от семейства двумерных
диффеоморфизмов /,^, имеющего гомоклиническое касание между
устойчивым и неустойчивым многообразиями диссипативной седловой точки (или
периодической орбиты) для некоторого значения параметра ц = цо,
наличия бесконечного множества периодических стоков для близких значений
параметра. Действительно, конечные множества периодических стоков
сохраняются на интервалах значений параметра. Однако, так же как и в
случаях отображений интервалов и диффеоморфизмов окружности, наряду с
сохранением систем, имеющих стоки, на открытых множествах значений
параметра могут существовать также относительно большие (измеримые)
множества систем, не имеющих устойчивых периодических орбит, но
обладающих вместо этого странными аттракторами. Наличие значений
параметра, при которых стоков не существует, пока не установлено. Мы знаем
несколько примеров систем, для которых можно доказать существование
касаний, таких как уравнение Дуффинга, исследованное при помощи
теории Мельникова в разделах 4.5^.6. В этих примерах конструкция Newhouse
позволяет установить наличие стоков очень большого периода, но их
области притяжения необходимо очень малы. Возможно, это служит причиной
необнаружения таких стоков в экспериментах, и даже высокоточные
численные расчеты позволяют найти лишь некоторые из них. Гипотеза Newhouse
[1979] о том, что аттрактор Хенона является просто долгопериодическим
стоком, остается открытой.
В заключение данного раздела упомянем о связи результатов
одномерного анализа из раздела 6.3 с изучением гомоклинических бифуркаций.
В этом и предшествующем разделах мы видели, как вблизи точки гомокли-
нического касания ро для семейства диффеоморфизмов /^, обладающего
диссипативной седловой точкой р, некоторая высокая степень
отображения /"^'^ может быть аппроксимирована одномерным отображением,
являющимся сингулярным пределом семейства диффеоморфизмов вида F.6.7)
420
Глава 6
(или аналогичного). Заметим, что для такого семейства при п ^ оо
определитель
det{Dp+>') - /37(/зА)" ^ О, F.7.4)
так как рХ < 1. Поэтому для больших п целесообразно рассматривать
семейства отображений вида
Fe,i,{x,y) = (-У, ех + д^,{у)),
F.7.5)
где gfi{y) — некоторое семейство квадратичных отображений типа
рассмотренных в разделе 6.3. По сути дела, F^^^ является промасштабированным
вариантом отображения F.6.7), для которого начало координат перенесено
в точку {р"хо,уо), а е играет роль определителя р^{рХ)". Таким образом,
при е ^ О уравнение F.7.5) моделирует поведение последовательно
возрастающих степеней /"^'^ отображения /^.
Можно показать, что некоторые, но не все свойства одномерного
семейства д сохраняются при малых |£| для диффеоморфизмов F^^^ (см.
Guckenheimer [1977] и van Strien [1981]). В частности, сходящиеся
последовательности бифуркаций удвоений периода для (?^ имеют место также
для F^^fj^, где /i выбирается достаточно малым для каждого
фиксированного |е| < 1 (см. Collet и др. [1981]). (В упражнении 6.6.1 мы просили читателя
построить в явной форме выражение для первой такой бифуркации
удвоения периода для Z""'''^.)
Имеются также другие примечательные значения параметра ц{1), для
которых орбита критической точки {5'"|п(с)} натыкается на некоторую
неустойчивую периодическую точку периода I для одномерного
отображения. Как известно, в таких случаях (?"};) (суженное на некоторый конечный
набор подынтервалов) сопряжено с некоторым кусочно-линейным
отображением (Guckenheimer [1979]). Например, как мы видели в разделе 5.6, для
семейства отображений
5м: y^lJ-yC^-y)
при р = 4 будет д1{1/2
отображением
О, при этом на отрезке [0,1]
F.7.6)
оно сопряжено с
2х,
при X е
/W
2х,
при X е -, 1
F.7.7)
(см. Ulam, von Neumann [1947] и раздел 5.6).
Можно показать, что для р, близких к таким значениям р{1), и
малых |£| отображение F^^^ имеет точку гомоклинического касания для
некоторой седловой точки периода I. Следовательно, F^^^ имеет дикое
гиперболическое множество (van Strien [1981], Holmes, Whitley [1983b]). Отсюда
6.7. Дикие ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 421
следует существование сильно сжимающих диффеоморфизмов,
произвольно близких к квадратичным отображениям и имеющих бесконечно много
устойчивых периодических орбит, тогда как теорема Singer (теорема 6.3.1)
показывает, что данное квадратичное отображение имеет не более одной
устойчивой периодической орбиты.
В действительности, для сингулярного множества Fo.^t не может
существовать аналога дикого гиперболического множества, так как, несмотря на
возможность построения гиперболических множеств больщой (конечной)
устойчивой толщины, неустойчивая толщина всех множеств необходимо
равна нулю. Поэтому произведение устойчивой и неустойчивой толщин
всегда равно пулю, и аналога сохраняющегося касания не существует.
Благодаря этому, поведение данного диффеоморфизма разительно отличается
от поведения одномерного отображения, хотя последовательность
бифуркаций удвоения периода и седло-узлов, происходящих для (?^ в соответствии
с теорией перемещивания, снабжает нас руководством к пониманию
динамики сильно сжимающих диффеоморфизмов, что полезно при изучении
гомоклинических бифуркаций.
Добавление к разделу 6.7: леммы о толщине для
одномерных диффеоморфизмов
Лемма 6.7.3. Пусть h^: [0,1] ^ R — некоторое одномерное
семейство отображений с отрицательной производной Шварца и следующими
свойствами:
1) h^{Q) = /i^(l) = О м /i^@) >1для всех ^i;
2) hfj_ имеет единственную невырожденную критическую точку с, причем
h^{c) ^ 1, где равенство достигается при /х = 0. Тогда толщина
неблуж:дающих множ:еств для h^ неограничена при /х ^ 0.
Доказательство. Для ц > О неблуждающее множество Л^
отображения /i^ гиперболично и топологически эквивалентно одностороннему
сдвигу из двух символов (Guckenheimer [1979]). Мы будем изучать толщину Л„
при помощи такого вспомогательного разрывного отображения (?^ для
каждого hfj,, которое все еще имеет своим инвариантным множеством Л^. Для
того чтобы определить эти отображения (?^, введем дополнительные
обозначения. Опуская индекс /х, обозначим q неподвижную точку отображения h
из интервала @,1) и р е 7 — другую точку, для которой h{p) = q. Запишем
I = KiU LU К2, где Ki и К2 — компоненты /i~"^[0,1], а i = h~-^{l, сю).
422
Глава 6
Г-" -"-i-r-
I ! ! i jc
1 I I X'
1 I I y\ I
I 1 I /I I I
I 1 j X I'll
1 I ■/ -III
1 Y- . > i [
X\ \ ! ' ( (
111 11A
-ПТ jr-i-i"
1 1 j j ' ' '
\ I 1 ■ ■ M ("^
\ ( i! !m I
I t II If / (
' ' ' u_l
график h
компоненты g
p Kf L K^q
Рис. 6.7.9. Отображение h. Две компоненты h ^{I) П [p, q] выделены жирными
линиями.
Для точек, лежащих в h^^{I) П [p,q], определим д{х) = //-"(а;), где п
выбирается как наименьшее натуральное число, для которого h"{x) € [p,q].
Отображение д называется отображением, индуцированным h. Оно имеет
счетное множество разрывов в точках х, для которых /i" [х) = pvih^ [х) < р
для 1 < к < п. Ш
Мы утверждаем, что искажение отображения д равномерно
ограничено.
Определение 6.7.1. Пусть д — некоторое гладкое одномерное
отображение, строго монотонное на каждой компоненте непрерывности.
Искажение отображения д определяется как svrp{g'{у)/д'{х)), где верхняя грань
берется по таким парам {х,у), для которых д непрерывно в
промежутке [х,у\.
у
Заметим, что \п{д'{у)/д'{х)) = ^{g"{xi)/g'{S,))dS,. Если g{z) = hP'{z)
X
на некотором интервале J = [ж, у], то
In
д'{у)
д'{х)
Y,i\uh'{h\y))-\uh'ih\x))) = Y, / -^de.
Мы получим равномерную границу для последней величины, не зависящую
от /i и гг. Решающий момент в такой оценке связан с определением длины
промежутка J в зависимости от п. Если п велико, то большинство
итераций h^{J) для к < п лежит вблизи нуля, что следует из определения д.
6.7. Дикие гиперболические множества 423
Обозначим А > 1 такое число, для которого h'{0) > А. Тогда существует
такая постоянная с, что \{h'^)'{h{x))\ > сХ^ для Q < к < п — 1. Если бы /х
оставалось отделенным от нуля, этого было бы достаточно для получения
тг-1
оценки на общую длину |J h^{J), и наша оценка была бы завершена, по-
fe=0
скольку величина /i'(^) не приближалась бы к нулю. Однако если /х = О,
то /i'(^) ^ О и требуются более тонкие оценки длины. Допустим, что /х = О,
у
X < у < с, h"{x) = q и h"{y) = p. Нам нужно оценить /(/i"(C)/^'@) "^С-
X
с точностью до ограничивающих коэффициентов, уравнения для
определения J таковы: Л," (ж) = q = X^{c—x)'^,h"{y) = р = А"(с—у)^. Мы приходим
квыводу, что А" пропорционально (с —а;)~^ и {с — у)~'^ и что {у — х){2с —
— {х + у)) пропорционально А~" или {с—у)'^. Так как 2с —(а; + у) > 2(с—у),
мы приходим к выводу, что величина (у — х)/{с — у) ограничена, а
граница не зависит от п, и что длина J является величиной 0(/i'(^)), ^ G J.
n-l h>'[y)
Следовательно, величина ^ / /i"(^)//i'(^) d^ равномерно ограничена, а
k=Oh>'{x)
граница не зависит от /с и гг.
Теперь применим к отображению д аргументы Newhouse [1979] о
толщине. Даже если /х = О, отображение д гиперболично в своей области
определения. Оценка искажения, подобная полученной выше, может быть
применена к итерациям д. Это позволяет прийти к выводу о существовании
множителя D > О, независящего от п, такого, что для некоторой
компоненты отображения д^"{1) выполнено соотношение l{g^'^{Ki))/l{g^'^{L)) >
> Dl{Ki)/l{L). Так как l{Ki)/l{L) -^ сх) при /х ^ О, то толщина
инвариантного множества Г^ отображения д^ бесконечно велика при ц —^ 0.
Инвариантное множество Л^ отображения h^ состоит из объединения Г^
и /1~^(Гд). Поскольку h~^ является (двузначной) функцией, производная
которой отделена от нуля, то т(Л^) -^ сх) при /х ^ 0. Это доказывает
лемму. ■
Лемма 6.7.4. Пусть h: 1^1 — отображение с отрицательной
производной Шварца, для которого h{0) = h{l), и имеющее единственную
невырожденную критическую точку с, для которой h{c) = 1, h'{0) > 1.
Тогда h имеет гиперболические инвариантные множ:ества Л„, толщина
которых т(Л„) -^ СХ) при п ^ сх.
Доказательство. Используем ту же конструкцию, что и в лемме 6.7.3.
В качестве Л„ возьмем подсдвиг конечного типа, содержащий все
последовательности за исключением таких, которые содержат блок из п
последовательных нулей. Индуцированное отображение д гиперболично, а Л„ по по-
424 Глава 6
строению являются инвариантными множествами для отображения д,
ограниченного на дополнении к некоторой фундаментальной системе 01фестно-
стей точки с.
6.8. Ренормализация и универсальность
В данном разделе мы познакомимся с методом ренормализации,
который применялся для вывода определенных универсальных свойств,
ассоциирующихся с глобальными бифуркациями, обнаруженными в некоторых
системах при переходе к хаосу. Мотивация к этому методу возникает при
использовании ренормализации для изучения проблем критических
явлений в физике сплошной среды (Wilson [1971a,b]). Один из поразительных
аспектов этой теории состоит в том, что она позволяет получить числа,
которые можно считать количественными предсказаниями, касающимися
перехода к хаосу в физических системах. Некоторые из этих предсказаний
были подтверждены с удивительной точностью в таких физических
экспериментах, как конвекция Рэлея-Бенара (Libchaber, Mauer [1982]).
Замечательным явилось то обстоятельство, что теоретический анализ бифуркаций
удвоения периода, описанный в данном разделе, привел к этим совершенно
неожиданным предсказаниям, материализовавшимся затем в экспериментах
с системами, имеющими бесконечное число степеней свободы.
Мы опишем три проблемы, связанные с методами нормализации,
анализ которых можно выполнить в терминах одномерных отображений. Мы
представим их не в исторической последовательности, а в порядке
возрастающей математической сложности. Первый пример, предложенный Pomeau,
Mannevil [1980], касается определенной «перемежаемости», обнаруженной
в динамике одномерных отображений. Во втором примере речь идет о
последовательностях бифуркаций удвоения периода, открытых Фейгенбаумом
[1978] и уже описанных кратко в разделе 6.3. Последний пример связан с
разрушением квазипериодичности в семействе отображений окружности с
фиксированным числом вращения. Этот пример изучался несколькими
различными группами, из которых следует отметить Feigenbaum et al. [1982]
и Rand et al. [1982]. Мотивом к нему послужило изучение разрушения
КАМ-торов в гамильтоновой системе с параметрами (см. раздел 4.8). Эти
три обсуждаемые здесь проблемы далеко не исчерпывают списка задач,
решаемых при помощи методов ренормализации. Мы выбрали их потому, что
они кажутся наиболее естественными в контексте нелинейных колебаний.
Философия, лежащая в основе идеи ренормализации, состоит в
существовании в теории динамических систем явлений, повторяющихся в
различных масштабах. Систематически подбирая масштабы таким
образом, чтобы наблюдаемое явление оставалось постоянным, можно получить
интересные системы, демонстрирующие как раз самоподобие, об изучении
6.8. Ренормализация и универсальность 425
которого идет речь. В некоторых случаях это самоподобие имеет довольно
простой вид, ассоциирующийся с некоторой непрерывной системой,
поток которой переходит от одной изучаемой структуры к другой, а в других
случаях происхождение самоподобия до сих пор сохраняет ауру
математической мистерии. Строгие аргументы, касающиеся последовательностей
удвоения периода, требуют высокоточной арифметики, но они не приводят
к той очевидной неизбежности данного явления, которая должна следовать
из удовлетворительного математического доказательства (Lanford [1982]).
Представленные здесь наброски трех примеров далеко не полны, но они
должны предоставить читателю отправную точку для ознакомления с
цитируемой в данном разделе литературой.
1. Перемежаемость
Рассмотрим одномерное отображение /: I ^ I с отрицательной
производной Шварца и единственной критической точкой с. Если отображение /"
имеет неподвижную точку р, то орбита точки с стремится к р. Кроме
того, если {f")"{p) ф О, то орбита точки р устойчива с одной стороны и
неустойчива с другой. Далее, отображение / можно вложить в некоторое
однопараметрическое семейство /^^, для которого /о = / и которое
испытывает при /i = О бифуркацию «седло-узел» вдоль орбиты точки р. Теперь
изменим /i так, чтобы получить некоторое отображение д = /^^, не
имеющее периодических орбит вблизи орбиты точки р. Идея Pomeau, Manneville
[1980] состоит в том, что орбита д проведет очень длительное время, следуя
приблизительно вдоль периодической траектории точки р для /.
Продолжительность этих эпизодов почти периодического поведения можно соотнести
с /ii. Pomeau, Manneville назвали эти эпизоды почти периодического
поведения перемежаемыми, так как они представляют регулярное поведение,
имеющее место для различных периодов времени, разделенных (возможно)
хаотическими участками орбиты.
Для более подробного изучения масщтабного поведения рассмотрим
нормальную форму для бифуркации «седло-узел» для некоторого
дискретного отображения: /^(а;) = /х + а; — а;^. Нас интересует изучение
динамики /^ вблизи О для малых по абсолютной величине /х < О, см. рисунок 6.8.1.
Орбита, начинающаяся при а; > О, будет вынуждена провести много
итераций вблизи точки а; = О, прежде чем она перейдет в область, где а; < О
и величина /(а;) — х уже не является малой. Мы хотим установить, что
число итераций, проведенных вблизи а; = О, асимптотически
пропорционально |/i|^^/^ при /i ^ 0. В данной проблеме это можно сделать двумя
способами, и мы опищем оба.
Первый метод связан с заменой дискретного уравнения /^(а;) = /х +
+ а; — а;^ на непрерывный вариант данной задачи, т. е. дифференциальное
426
Глава 6
Рис. 6.8.1. Вблизи седловой точки.
уравнение
х = 11-х^. F.8.1)
Возьмем /i < О так, что F.8.1) не имеет состояний равновесия, и решим
уравнение F.8.1) при начальном условии а;@) = xq.B итоге получим
arctg
хо
— arctg
c{t)
■ t^—fi.
F.8.2)
Отсюда следует, что продолжительность времени, проводимого траекторией
в области [—1,1], дается формулой
откуда при /i
2 arctg
О получаем
1
t ~ 7г/^
t\
-/i.
-/i,
F.8.3)
Упражнение 6.8.1. Используйте результаты вышеириведеииого анализа
непрерывной системы X = 1л — X для оценки времени, проводимого траекториями
дискретной системы X —^ fi^ (х) = 1л-\-х — х^ вблизи начала координат для малых /х < 0.
Второй метод анализа траекторий отображения f^{x) = ц+х — х'^,
проходящих вблизи начала координат, знакомит нас с идеей ренормализации.
Рассмотрим квадрат отображения /^^:
fij.ofij.{x)=^i+{iJ, + x-x)-{^i + x-x) =
= B - n)ii + A - 2ц)х - B - 2ц)х^ + 2х^
F.8.4)
6.8. Ренормализация и универсальность 427
Если для прохождения траектории отображения /^^ вблизи О требуется
N{n) итераций, то приблизительно iV(/i)/2 итераций потребуется для этого
траектории отображения /^. Сохраняя лишь доминирующие члены низшего
порядка, имеем
fl{x)pa2n + x-2x^. F.8.5)
Теперь перемасштабируем а; и /i так, чтобы привести коэффициенты в
соответствие с предыдущей нормальной формой. Для этого положим X = 2х
и Л/ = 4/i. В итоге получим уравнение
ffMW = 2[/lx/4(f)] ^М + Х-Х\ F.8.6)
Это приводит к рекурсивному соотношению iV(/i)/2 и М{Ац),
приводящему к оценке iVD~") ~ 2" или N(n) г^ /х~^'^, что согласуется с нашим
предшествующим анализом.
Анализ такого типа можно продолжить, отыскивая точное решение
функционального уравнения
f^ix) = Raf6^{R„-ix), F.8.7)
где Ra — оператор умножения на а, дающий изменение масштаба для х,
ассоциированного с «удвоенным» оператором @/ = f^, а 5 есть изменение
масштаба для параметра /х.
Упражнение 6.8.2. Покажите, что решения для непрерывной нормальной
формы X = fi + х'^ действительно приводят к точным решениям уравнения F.8.7)
вида fii{x) = fi^'^ tg{fi^''^t + aictg{fi^^'^x)). (Заметьте, что для удобства мы
изменили в уравнении F.8.1) знак при х^.)
Существует также метод «половины пути» для точного решения
упражнения 6.8.2. Если fi = О, уравнение F.8.7) имеет решения, которые задаются
дробно-линейным отображением д{х) = х/{1 +ах). Чтобы это увидеть,
достаточно просто вычислить
Ах) = jf^ = i.Bx). F.8.8)
Теперь добавим к этому критическому / возмущение вида ц+д{х). Замечая,
что д'{0) = 1, получим
М + 5(М + 9{х)) « /i(l + g'igix))) + дЧх) « |D/х + д{2х)), F.8.9)
где д{х) мало. Вновь мы приходим к выводу, что число итераций, требуемое
для прохождения около нуля, имеет порядок (—/х)~^/^.
428 ГЛАВА 6
Возвращаясь к проблеме перемежаемости для одномерного
отображения f^: I ^г I вблизи бифуркации «седло-узел», происходящей при /х = О,
отметим, что, как мы увидели, продолжительность промежутка времени,
требуемого для прохождения «горлышка бутылки» на рисунке 6.8.1,
является величиной порядка |/i| ^^/^. Поскольку данное отображение не взаимно
однозначно, возможно попадание траектории сразу в середину
«бутылочного горлышка» без прохождения всего пути от начала. Когда это
происходит, продолжительность времени, проводимого в «бутылочном горлышке»,
Зменьщается. Результатом этого эффекта является существенное различие в
продолжительностях интервалов времени, проводимых траекторией внутри
«бутылочного горла» при последовательных визитах. Это различие можно
моделировать при помощи предположений о распределении точек,
попадающих в «бутылочное горло». Однако инвариантные меры для одномерных
отображений могут быть очень сложными, так что простые модели могут
неадекватно их аппроксимировать. Это усложняет полный анализ
распределения интервалов времени, на которых система является приблизительно
периодической.
2. Последовательности удвоения периода
Первое (и пока наиболее поразительное) приложение методов ренор-
мализации связано с последовательностями бифуркаций удвоения
периода, посредством которых одномерные отображения становятся
хаотичными. Мы опишем геометрию, ассоциированную с критическим
отображением, разделяющим хаотические и нехаотические отображения в некотором
семействе, а затем приведем анализ Фейгенбаума [1978], из которого
следует универсальность поведения при этом переходе. В данном разделе мы
считаем / = [0,1] С R.
Некоторое отображение f: I ^ I, имеющее единственную
критическую точку с и лежащее между хаотическим и нехаотическим
отображениями, обладает особенной перемешивающей последовательностью,
отражающей следующее свойство: точки /*(с) и /*~'"^ (с) лежат по одну сторону
от с, если только г = 2^^, /с G Z; в противном случае эти точки лежат по
разные стороны от с. Если отображение / имеет отрицательный шварциан,
то его неблуждающее множество состоит из одной неустойчивой
периодической орбиты периода 2^^ для каждого к, а также канторова множества Л,
изображенного на рисунке 6.8.2, где числа г отмечают точки /*(с).
Канторово множество Л содержится в объединении 2"
интервалов [/*(с), /*+^ (с)], 1 ^ г ^ 2". Пересечение этих множеств для всех гг ^ О
есть Л. На каждом шаге этой конструкции интервалы [/*(с), /*~'"^ (с)],
1 ^ г ^ 2" перераспределяются среди друг друга, и для траекторий,
стартующих вблизи друг к другу и к Л, значительного разбегания не будет.
6.8. Ренормализация и универсальность
429
10 14
с 16 12 4
3 1115 7
5 13 9 1
Рис. 6.8.2. Восемь подынтервалов при построении канторова множества Л;
конечными точками являются первые 16 итераций: {/'(c)}i£i.
Перемешивающая последовательность а для отображения / обладает
таким примечательным свойством: если положить bi = a2i, то
последовательность b будет дополнительной для а, получаемой из а изменением каждого
символа (такая последовательность называется последовательностью
Морса).
f
f
Рис. 6.8.3. Критическое отображение / и его квадрат / .
Дальнейгпую информацию можно почерпнуть из рисунка 6.8.3, где
показаны критическое отображение / и его квадрат /^. Если точки р и р' ^ р
удовлетворяют условию f{p') = f{p) = р, то из сделанного наблюдения
о перемешивающей последовательности для / следует, что /^|[р',р]
топологически эквивалентно /|/. Поэтому имеет смысл выяснить, не связаны
ли /^ и / линейным масштабированием. Одно из фундаментальных
наблюдений Фейгенбаума состоит в существовании единственного четного
вещественного аналитического отображения д: R ^ R и вещественного
числа а и —2,5, для которых д{0) = 1, д"{0) < О и ад^{а^-^-х) = д{х).
Отображение д можно определить приближенно при помощи численных
методов, представляя его в виде полинома высокой степени с пеопределен-
ными коэффициентами.
430
Глава 6
W'Xg)
Рис. 6.8.4. Структура вблизи универсального отображения д в пространстве
функций.
Вышеупомянутое отображение д является неподвижной точкой/leHop-
мализующего оператора удваивания 3', определяемого соотношением
^и){х) = Oif{a ^х)\ X е [р',р]
F.8.10)
на пространстве четных функций /, для которых /@) = 1 и а =
= (/^@))^"^ = 1//A). Фейгенбаум численно исследовал оператор 3 и
пришел к выводу, что д является изолированной неподвижной точкой, а
линейная часть @^ этого оператора в точке д в пространстве четных
функций h, для которых /i@) = 1, имеет единственное неустойчивое
собственное значение S « 4,67. Этот анализ приводит в фазовом пространстве к
следующей картине (см. рис. 6.8.4).
Существует поверхность S (коразмерности один), состоящая из
функций с той же перемешивающей последовательностью, что и д. Некоторая
окрестность д в Т, лежит в устойчивом многообразии точки д для
оператора удваивания 3. Примерно параллельно к Е проходят поверхности Е„,
представляющие такие отображения, для которых критическая точка
периодична с периодом 2". Оператор удваивания 3 отображает E„+i в Е„.
Расстояние от Е„ до S стремится к нулю как S~"': с?(Е„, S)/(i(S„+i, 'Е) ^ S
при п ^ оо. Для некоторого однопараметрического семейства /^^,
проходящего через Е трансверсально и достаточно близко к д, мы можем применить
некоторый ренормализованный оператор удваивания 3 для семейств,
устанавливающий значение параметра ц:
^(/м) = /5-1
F.8.11)
6.8. Ренормализация и универсальность
431
Оператор & на семействах будет иметь устойчивую неподвижную точку,
олицетворяющую универсальное поведение предела последовательности
бифуркаций удвоения периода в семействе отображений, имеющих
невырожденную критическую точку. Отношение 6 расстояний между
последовательными бифуркациями не зависит от выбора семейства, оно было
измерено экспериментально для нескольких физических систем. Для конкретных
семейств /^^ имеем
3-^
lim
A*n+i — Ми
п—^оо ^j\
МГ7
F.8.12)
где /i„ — такое значение параметра, при котором орбита периода 2"
испытывает бифуркацию удвоения периода, порождая орбиту периода 2"+^.
Упражнение 6.8.3. Найдите численно последовательность бифуркаций
удвоения периода для вынужденных колебаний осциллятора Дуффинга х + ах — f3x +
+ ж^ = 7 cos cut для значений /3 = 1 и /3 = 0. Вычислите для этого примера число S.
(Подсказка: см. Фейгенбаум [1980].)
X
(.2л
ч _ ,
Рис. 6.8.5. /2", ц е В„.
с хаотической стороны от Е имеется другая последовательность
поверхностей Вп, представляющих слияние групп: если / е В„, то
существует окрестность точки с, для которой /^ имеет график, подобный
изображенному на рисунке 6.8.5, где некоторый инвариантный
субинтервал J С I отображается таким образом, что /^ (J) покрывает J ровно
дважды. В функциональном пространстве поверхность Вп можно
охарактеризовать как множество отображений, топологическая энтропия которых
равна 2~п2. Оператор удваивания отображает Bn+i в В„, поэтому
поверхности Вп также накапливаются к S со скоростью S~", но «сверху»,
в соответствии с рисунком 6.8.4.
432 Глава 6
В последующей работе Фейгенбаум [1979] заметил, что спектр
мощности, ассоциирующийся с последовательностями бифуркаций удвоения
периода, имеет специфическую структуру (см. Nauenberg, Rudnick [1981]).
Как слияние групп, так и спектральные свойства могут быть определены
из экспериментальных данных. Оператор удваивания 5^ можно применять
также к диссипативным многомерным отображениям без изменения его
неподвижной точки д или того факта, что его линейная часть имеет
единственное неустойчивое собственное значение.
Строгий анализ удваивающих операторов 5^ и 5^ значительно сложнее,
нежели анализ перемежаемости, ассоциированной с бифуркациями «седло-
узел». Lanford [1982] и Campanino, Epstein [1981] привели доказательства
существования функции д — неподвижной точки для 5^. Lanford также
выяснил, что существует единственное неустойчивое собственное значение.
Оба доказательства тесно связаны с численными расчетами и требуют
аккуратных арифметических оценок. На самом деле, доказательство Lanford
является «компьютерным доказательством» в том, что при помощи
интервальной арифметики и численного анализа он получил оценки,
подтверждающие численные расчеты Фейгенбаума. Однако в более ранней работе
Collet et al. [1980] смогли установить аналитически существование д, а
также спектральные свойства 'Э)§'{д) для отображений вида х ^ ji — \х\'^^'^,
где е мало.
3. Разрушение квазипериодичности
Третий рассматриваемый нами пример применения методов ренорма-
лизации связан с переходом в дискретной системе от квазипериодического
поведения к хаотическому. Чтобы выяснить природу данного явления, мы
обсудим его вначале на примере осциллятора Ван дер Поля с внешним
возбуждением. Для определенных диапазонов параметров отображение
Пуанкаре первого возврата для слабо нелинейного уравнений Ван дер Поля
имеет семейство инвариантных замкнутых кривых, чьи числа вращений
изменяются при изменении частоты возбуждения (см. раздел 2.1). Анализ
Cartwright, Littlewood [1945] показывает, что такие кривые уже не
существуют, когда нелинейность достаточно сильна и данное уравнение
описывает релаксационные колебания (см. Levi [1981] и раздел 2.1). Если взять
в качестве двух параметров величину нелинейного члена и частоту
возбуждения, то очевидно существование в плоскости параметров некоторой
кривой 7, соответствующей отображениям возврата, имеющим замкнутую
инвариантную кривую, на которой каждое из них имеет фиксированное
иррациональное число вращения. Мы хотим изучить отображения для
значений параметров в граничной точке этой кривой: точке, в которой замкнутая
кривая «разрушается».
6.8. Ренормализация и универсальность 433
Данное отображение F: Ж -^ Ж можно изучать при помощи
подхода, аналогрмного применяемому в КАМ-теории. Наша цель состоит в
отыскании для гладкой инвариантной кривой Л отображения F (если
таковая существует) некоторого преобразования координат, приводящего F\a
к жесткому повороту окружности. В рассматриваемом здесь критическом
случае, как следует из теории КАМ, подходящей гладкой замены координат
не может существовать. Однако возможно, что некоторая непрерывная, но
недифференцрфуемая замена координат переводит Fa во вращение.
Можно поставить более простую задачу, сохраняющую существенные
трудности данной. Допустим, что f: S^ -^ S^ — некоторое гладкое взаимно
однозначное отображение окружности на себя, имеющее точку перегиба р,
т.е. f'{p) = f"{p) = О ^ f"'{p)- Если число вращения для /
иррационально, то существует ли непрерывная замена координат на 5*^, переводящая /
в некоторое вращение? Этот вопрос в общем случае далек от разрешения,
однако методы ренормализации применялись к изучению частных случаев
чисел вращения.
Допустим, что f: S^ -^ S^ имеет точку перегиба р и топологически
эквивалентно вращению на угол а. Это означает, что существует
гомеоморфизм h такой, что Л, о/(ж) = h{x) +а (см. раздел 6.2). Поскольку f'{p) = О,
то либо h, либо h^^ должны иметь сингулярности, и эти сингулярности
будут присутствовать вдоль траектории точки р. Если число вращения а
обладает специальными свойствами, то резонно заняться поиском
какого-либо самоподобия в структуре h. Основанные на численных расчетах
исследования такого рода привели к открытию в этих ситуациях
универсальных свойств, однако их структура не оказалась столь же жесткой, как в
описанной выше ситуации последовательностей бифуркаций удвоения
периода.
В частности, в качестве примера рассмотрим двухпараметрическое
семейство отображений
в ^ иМ^)=в + [3 + 18т2'1гв; /3,7^0. F.8.13)
При 7 < 1 это отображение является диффеоморфизмом окружности, а
при 7 > 1 оно необратимо. Критический случай возникает при 7 = 1-
Второй параметр /3 позволяет подобрать число вращения. Напомним, что это
отображение использовалось Арнольдом [1965] в качестве примера
жесткого (рфрационального) вращения (см. раздел 6.2). Здесь, однако, 7 не
считается малой величиной. Заметим также, что Glass, Perez [1982] изучали
данное отображение для 7 > 1-
Наиболее интенсивно изучался случай, когда число вращения, равное
а = (v5 — 1)/2 fa 0,618034..., ввиду того, что оно является простейшим
434 Глава 6
разложением в цепную дробь для иррациональных чисел:
V5-1 1
1
1 +
1 + 1-
Далее мы будем обозначать это число вращения как си. Данная ценная дробь
связана с арифметическими соотношениями, приводящими к свойствам
масштабирования. В частности, заметим, что {—со) является собственным
значением матрицы
T=(;j) F.8.14)
с собственным вектором (—cj, 1)-^. Заметим также, что матрица Г" такова:
^Фп+1 Фг
л. А J ' F.8.15)
фп Фп-\!
где ф1 — г-е число Фибоначчи (пронумерованное так, что фо = О, 0i = 1).
Отсюда получаем тождество
ф„-1-фпШ = {-шГ, F.8.16)
поскольку (—w)" есть собственное значение Г" с собственным
вектором (—w, 1)"^.
Обозначая R^ вращение окружности на угол со, будем иметь
{П^)^''{в)-в = фг,ш (modi),
откуда, в силу F.8.16) и неравенства |w| < 1 получим
\{R^)'t'■^{в)-в\=Lo''. F.8.17)
Мы приходим к выводу, что фп-е степени отображения R^ образуют
последовательность отображений, которая сходится к тождественному
отображению со скоростью геометрической прогрессии. Кроме того, так как
для чисел Фибоначчии фп+i = фп + Фп-i, то {Ru;)'^" можно генерировать
в виде последовательных композиций вида
(Д^)'^'.+1 = {R^)Ф'^ О iR^)^"-\ F.8.18)
6.8. Ренормализация и универсальность
435
Эти наблюдения относительно числа со служат основой для попыток
отыскания свойств масштабирования для отображения /.
При поиске свойств масштабирования для / существует одна
трудность, возникающая из-за ограниченности длины окружности. Должен
существовать какой-то максимальный масштаб длины на окружности, для
которого можно применить доказательство, позволяющее перевести поиск
неподвижной точки ренормализующего оператора с о1фужности на прямую.
ц удовлетворяющей равенству е
27гг/(е)
Расширим / до функции /: R
= /(е^'^*^). Тогда уравнение F.8.16) приводит к рассмотрению
отображения f'^'^ — {Rш)'^'^^^, масштабируемого в геометрической прогрессии.
Начав с и = V = f я некоторого числа а, можно изучить ренормализующие
операторы, определяемые как
и{в)
au(av(a "^в))
<в)
F.8.19)
или
и{в)
и{в)
F.8.20)
соответствующие переходу от (/'*''", f'^"^'^) к {f'^"+'^, f'^'^) с
масштабирующим коэффициентом а. Численные расчеты приводят к существованию
некоторой функции д такой, что [ д ] является неподвижной точкой для
обоих операторов i%i и Ййг при а и —1,29 (см. Feigenbaum et al [1982]; Shenker
[1982]). Кроме того, линеаризация каждого из операторов Йй^ в его
неподвижной точке имеет одно неустойчивое собственное значение,
соответствующее свойству масштабрфования, присущему такому е„, что /{в) + е„
имеет периодическую орбиту, содержащую точку перегиба для / и
имеющую число вращения фп-г/фп- Масштабирующее отношение S оказалось
равным приблизительно 2,83. В терминах конкретного отображения F.8.12)
имеем
1™ 7, Б > F.8.21)
5-
где (in — значение параметра, для которого /^зд G = 1) имеет число
вращения фп-^/фп- Существует также кривая, описывающая универсальную
структуру при малых масштабах для негладкой инвариантной кривой
плоского отображения с числом вращения cj.
Глава 7
Локальные бифуркации потоков
коразмерности два
в данной главе обсуждаются бифуркации положений равновесия,
имеющих 1фатное вырождение. Вначале приводятся аналоги бифуркаций
седло-узел и Хопфа с той же самой линейной частью и дополнительным
вырождением в нелинейных членах разложения в степенной ряд,
проявляющимся в нормальной форме. Соответствующая теория полна, по крайней
мере, для нескольких первых случаев и по существу получается из
деформаций вырожденных особенностей функций, так как в каждом таком случае
мы можем осуществить редукцию к одномерному потоку.
Затем рассматриваются случаи, в которых линейная часть векторного
поля имеет двойное вырождение. Как мы видели в разделе 3.1, существуют
три основных случая, в которых редуцированная система на центральном
многообразии имеет размерности соответственно два, три и четыре, а
линейная часть имеет вид
О 1
О О
0
CJ
0
—CJ
0
0
0]
0
oj
;
'О -cji о О ■
wi О О О
О О О -CJ2
О О wa О
G.0.1)
Классификация и деформация для первого (нильпотентного) типа были
даны одновременно (и независимо) Takens [1974а, Ь] и Богдановым (см.
Арнольд [1972]). Остальные случаи были рассмотрены лишь недавно, и
полученные результаты неполны. Мы наметим пути получения дополнительной
информации, при этом выяснится, что задача получения структурно
устойчивой деформации в некоторых случаях выглядит недостижимой.
В заключение данной главы и книги приводятся некоторые физические
проблемы, в которых имеют место бифуркации коразмерности два
обсуждаемых типов.
Существуют и другие типы бифуркаций коразмерности два, не
относящиеся к положениям равновесия, но они не рассматриваются в данной
книге. В действительности, теория таких бифуркаций фрагментарна и ожидает
дальнейшего развития. Одна из областей недавнего существенного
прогресса включает теории, посвященные разрушению квазипериодических движе-
7.1. Вырождение В ЧЛЕНАХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА. 437
ПИЙ и инвариантных торов (Aronson и др. [1982], Feigenbaum и др. [1982],
Rand и др. [1982], Mather [1982]). Другие работы, относящиеся к данному
вопросу, включают анализ бифуркаций Хопфа для периодических орбит при
наличии сильных резонансов (Арнольд [1977]) и кратных бифуркаций
периодических орбит (Jost, Zehnder [1972]). Одна из причин особой важности
изучения 1фатных бифуркаций положений равновесия состоит в том, что
они предоставляют доступ к аналитическому описанию сложной
динамики систем больгиой размерности или даже дифференциальных уравнений в
частных производных. Примеры обсуждаются в разделе 7.6.
Другой вопрос, не обсуждаемый подробно в данной книге, —
бифуркации при наличии симметрии. Будут приведены некоторые примеры
векторных полей, инвариантных относительно различных групп симметрии,
однако попытка систематического изложения не делается.
Заинтересованному читателю советуем обратиться к статьям и книге Golubitsky, Schaffer
[1972а, b, 1983], содержащим обширное изложение данной теории.
7.1. Вырождение в членах высшего порядка.
Рассмотрим деформацию бифуркаций седло-узел и Хопфа с
дополнительным вырождением простейшего возможного типа в членах старшего
порядка. Таким образом, линейные части в точке бифуркации по-прежнему
равны Ах = О и А(у) = ( ~^J^) соответственно, но главные коэффициенты
в нелинейной нормальной форме равны нулю.
В случае седло-узел укороченная система принимает вид
X = а^х^, G.1.1)
так как по сделанному предположению а^ = /'@) = 0. Поразмышляв,
можно прийти к выводу о существовании малых возмущений функции а^х^, при
которых система будет иметь одну или три гиперболических неподвижных
точки вблизи ж = О, а также определенных «необычных» возмущений, при
которых она будет иметь две неподвижных точки, одна из которых
негиперболична. Невозможно получить более трех неподвижных точек вблизи
нуля'. Все перечисленные возможности можно учесть путем добавления
членов более низких порядков /ii + fj^^x, поэтому деформация описывается
уравнением
X = fii + IJ,2X + азх^. G.1.2)
Динамика данного одномерного векторного поля определяется, с
точностью до топологической эквивалентности, его неподвижными точками и
При условии, что аз = 0. — Прим. перев.
438 Глава 7
типами их устойчивости. Вообще говоря, теория особенностей
предоставляет средства для систематического изучения нулей (семейств)
отображений /: R" -^ R™, примером которых может служить правая часть
уравнения G.1.2). Арнольд [1972, 1981] изложил результаты такого рода. Как мы
увидим ниже, многомерный случай пока содержит некоторые проблемы, а
одномерный случай полностью изучен.
Рассмотрим полином
Ра{х) = ж" + a„_ia;"-i + а„_2а;"-' + ... + «о- G.1.3)
Полагая xq = —йп-г/п, получим эквивалентное выражение
Pt,{x) = {х- хо)" + iin-2{x - жо)"-^ + ... + /io; G.1.4)
т. е. благодаря сдвигу вдоль оси х пропал член степени (п — 1). Мы будем
относиться к коэффициентам /io, • • • ,/^«-2 как к параметрам, характери-
зуюгцим возмущение полинома ж". С точностью до (малых) сдвигов вдоль
оси X, все полиномы степени п с малыми коэффициентами содержатся
среди Рц. Если считать Рц{х) функцией на пространстве М х М"^ (т. е. (ж, ji)),
то ее градиент в начале координат отличен от нуля. Следовательно, по
теореме о неявной функции, множество Z = {{x,ii) \ Р^{х) = 0} является
подмногообразием R х М"^ вблизи нуля. Очевидно, что это свойство
сохраняется при возмущении семейства Рц{х).
Мы можем сказать больше о семействе Рц{х) и его нулях.
Многочлен Pfj,{x), рассматриваемый как функция от х, имеет вырожденный нуль
в точке {хо,11о), если {d/dx){P^{x)) = 0. Это эквивалентно утверждению,
что вдоль некоторого направления подмногообразие Z касается
плоскости ж = жо в R X М"~ . Из теории особенностей следует, что при
возмущении семейства полиномов Р^{х) (в классе С°°) можно найти такие гладкие
замены координат в R х R"^ и R (пространство образов), которые
возвращают возмущенное семейство к его первоначальной форме. В частности,
структура множества значений /i, для которых Рц{х) имеет вырожденный
нуль, не изменяется (см. Golubitsky, Guillemin [1973]). Это служит
обоснованием утверждения, что G.1.2) является деформацией для G.1.1).
Для семейства одномерных векторных полей
х = Р^{х) G.1.5)
бифуркационным множеством является совокупность таких значений /i, для
которых Рц{х) имеет вырожденный нуль. Найдем это множество для
семейства G.1.2). Дифференцрфуя /ii + /^2Ж + а^х^ по ж, получим /i2 + Заз^^.
7.1. Вырождение в членах высшего порядка.
439
Приравнивая оба этих выражения к нулю, получим после исключения х
такое бифуркационное множество:
4мГ
27азМ1
0.
G.1.6)
На рис. 7.1.1 показано бифуркационное множество G.1.6) для G.1.2) и
соответствуюгцие фазовые портреты для аз < 0. Аналогичную картину
(с обращением времени) можно получить для случая аз > 0. Заметим,
что В состоит из двух открытых кривых коразмерности единица, на
которых происходит бифуркация седло-узел (коразмерности один), и
точки (/ii, /i2) = (о, 0) коразмерности два, в которой мы имеем двукратно
вырожденную особенность коразмерности два азж^. Форма бифуркационного
множества G.1.6) предопределяет название, иногда употребляемое для этой
деформации: сборка.
Рис. 7.1.1. Бифуркационное множество и фазовые портреты для уравнения G.1.2);
аз <0.
На протяжении данной главы будет использоваться подход к
изображению двупараметрических бифуркационных множеств и соответствующих
фазовых портретов в виде единой фигуры, подобной представленной на
рис. 7.1.1.
Упражнение 7.1.1. Покажите, что универсальная деформация G.1.2)
представляет собой семейство градиентных векторных полей с потенциальной функцией
"^М1.М2(а;) = -[jJ.ix + 112^^ +'^3^j.
440 ГЛАВА 7
Исследуйте поведение критических точек функции V^i,p2 и сопоставьте его
бифуркационному множеству на рис. 7.1.1.
Упражнение 7.1.2. Найдите бифуркационное множество и соответствующие
фазовые портреты для семейства векторных полей х = fii + Ц2Х + цзх^ + 043;^.
Покажите, что это бифуркационное множество в R^ содержит сборки и складки.
(Подсказка: сравните данную задачу с катастрофой «ласточкина хвоста», открытой
Thorn [1975], см. Poston, Stewart [1978].)
Читатели, знакомые с теорией катастроф Тома, могут задаться сейчас
вопросом: существует ли связь между теориями катастроф для деформации
потенциальной функции и для соответствующего векторного поля.
Ситуация прямолинейна в одномерном случае, так как при этом все векторные
поля градиентны, однако следующий пример эллиптической омбилики
показывает, что в случае размерности два и более взаимосвязь, вообще говоря,
не проста. Эллиптическая омбилика появляется из универсальной развертки
функции
У^ = Ш--'У)- G-1.7)
Соответствующее градиентное векторное поле таково:
X = ху,
. Ь 2 2, G-1.8)
У= 2^^ -у )■
Арнольд показал [1972], что существуют такие возмущения эллиптической
омбилической потенциальной функции, которые обладают замкнутыми
орбитами (см. уравнения A.8.5)-A.8.7)). Эти замкнутые орбиты не
охватываются обсуждением эллиптической омбилики в рамках теории катастроф,
так как все рассматриваемые в ней векторные поля градиентны (см.
уравнение A.8.13), а также нижеследующее упражнение 7.1.3).
Упражнение 7.1.3. Изобразите фазовые портреты градиентных векторных
полей в R , имеющих потенциальные функции, получающиеся из универсальной
деформации эллиптической омбилики:
3
Покажите, что в этом случае даже градиентные возмущения могут демонстрировать
бифуркации гетероклинных орбит, которые нельзя вывести прямо из потенциальной
функции. (См. Poston, Stewart [1978, главы 11, 12], а также раздел 6.1 данной книги.)
УПРАЖПЕПИЕ 7.1.4. Покажите наличие пиков в бифуркационных множествах
следующих систем:
7.1. Вырождение В ЧЛЕНАХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА. 441
(a) усредненное уравнение Ван дер Поля B.1.14) в пространстве (сг, 7);
(b) усредненное уравнение Дуффинга с положительной линейной жесткостью
D.2.13)-D.2.14) в пространстве @,7) с положительной константой а.
(Каждая из этих бифуркаций включает до трех неподвижных точек усредненных
уравнений и, следовательно, до трех периодических орбит полной системы.)
Усредненные уравнения Ван дер Поля и Дуффинга из последнего
упражнения не являются градиентными системами, но, так как в 01фест-
ности сборки мы можем осуществить редукцию к семейству систем с
одномерными центральными многообразиями, данные бифуркации эффисгив-
но определяются при помощи эквивалентных градиентных полей. Данное
утверждение неверно вблизи вырожденной точки (о",7) = ( oi о )
уравнения Ван дер Поля. Деформация вблизи этой точки рассматривается ниже в
разделе 7.3.
Проиллюстррфуем примером другой аспект разверток. Вырожденное
векторное поле (А = (^ = 0) в полярных координатах имеет вид
2
Г = — sin W,
^ G.1.9)
^ = I cos 36»,
и, очевидно, инвариантно относительно поворотов на угол 27г/3, по
аналогии с частным случаем развертки уравнения A.8.5):
2
Г = —Cj + — sin 3^,
^ G.1.10)
^ = Л+ I cos 36».
Развертки, как правило, не сохраняют эту симметрию (как демонстррфует
упражнение 7.1.3, существуют возмущения с двумя положениями
равновесия). Однако физические системы часто обладают симметрией, которой с
необходимостью должны обладать и их математические модели. В данном
примере инвариантность отображения Пуанкаре по отношения к
поворотам на угол 27г/3 ассоциируется с некоторой субгармоникой порядка три,
порождающей эту симметрию, см. раздел 4.2.
Классическим примером роли симметрии в проблеме бифуркации
является прогиб колонны под действием силы тяжести, впервые изученный
Эйлером [1744]. Ограничиваясь единственной модой, получим уравнение
второго порядка
ж + аж + 7г^Gг^-Г1)ж + /3ж^ =0; а,/3 > О G.1.11)
442
Глава 7
Рис. 7.1.2. Задача о симметричном прогибе колонны.
для безразмерного перемещения (ж) и скорости (ж) этой моды.
Нетрудно построить соответствующую бифуркационную диаграмму. Если осевая
нагрузка Fi меньше, чем тг^, то имеется единственное глобально
устойчивое положение равновесия. Если же Fi превышает (первую) изгибиую
нагрузку 7г^, то имеются две дополнительных симметричных неподвижных
точки X = ±7гл/Г1 — 7г^//3; см. рис. 7.1.2. Если теперь приложить к колонне
некоторую боковую нагрузку Fq, то неподвижные точки будут лежать на
множестве корней уравнения
/3a;3+7r2Gr2-ri)a;-Fo=0,
G.1.12)
которое является сборкой, изображенной на рис. 7.1.1. При этом симметрия
бифуркационной диаграммы, представленной на рис. 7.1.2, разрушается,
и при следовании вдоль однонараметрического семейства в направлении
возрастания параметра Fi мы обнаружим лишь седло-узел коразмерности
единица (см. рис. 7.1.3). Таким образом, вопрос о допустимости
возмущений, разрушающих симметрию нормальной формы в точке бифуркации,
необходимо рассматривать при решении бифуркационных проблем.
В случае бифуркации Хопфа нормальная форма C.4.8)-C.4.9)
проявляет симметрию в полярных координатах:
io + bir^ + b^r'^+Oir^).
G.1.13)
Заметим, что эти уравнения инвариантны симметрии (г, в) -^ (—г, в). Здесь
нормализация проведена до пятого порядка, причем коэффициент третьего
порядка (а) заменен на произвольный параметр ji-2- Это оправдано в
случаях, когда знак коэффициента при г^ может меняться. Затем можно изучить
7.1. Вырождение в членах высшего порядка.
443
Рис. 7.1.3. Несимметричная задача.
обобщенную бифуркацию Хопфа с радиальной частью
г = аъг^ +0{г^),
G.1.14)
изменяя независимо коэффициенты /ii, ji2 в системе G.1.13). Далее, для
значений |г| <С 1 главная часть азимутальной компоненты системы G.1.13)
равна io (^ 6ir^ + Ь-2Г^), поэтому поведение векторного поля вполне
определяется радиальной компонентой. Как нетрудно проверить, для ji ^ О
линия /ii = О будет бифуркационным множеством, соответствующим
стандартной бифуркации Хопфа, субкритической при /i2 > О и
суперкритической при JJL2 < 0. Вторым бифуркационным множеством является половина
параболы
/i2 =4a2Mi;
«2
<0,
G.1.15)
на которой сливаются и исчезают две замкнутых орбиты, одна из
которых — аттрактор, а другая — репеллер. Это бифуркационное множество и
соответствующие фазовые портреты показаны на рис. 7.1.4. Более
подробная информация содержится в Takens [1973b], Арнольд [1972] и Golubitsky,
Langford [1981].
Упражнение 7.1.5. Вычислите бифуркационное множество для обобщенной
бифуркации Хопфа седьмого порядка
r = r(yui+yU2r + цзг ±г ), в = ш + 0{г )
и опишите соответствующие фазовые портреты.
444
Глава 7
Рис. 7.1.4. Обобщенная бифуркация Хопфа, случай аъ < 0.
Упражнение 7.1.6. Вычислите бифуркационные множества и диаграммы для
следующих обобщенных бифуркаций Хонфа с «вырожденными» параметрами д^
(см. Golubitsky, Langford [1981]):
(а) г = (yui +yU2)r ± г^
(Ъ) f = {fll + fllfl2 + fl3)r ± Г^
(В исследовании Golubitsky, Langford подчеркнута роль «характерного
бифуркационного параметра»: один из параметров (^i) отделяется, а остальные
рассматриваются как деформация или параметры возмущения, см. Golubitsky, Schaeffer
[1979а, b].)
7.2. Замечание о fc-струях и определенности
Исследуя висторное поле /(ж), линейная часть которого в некоторой
неподвижной точке ж гиперболична, мы можем воспользоваться для
определения локального фазового портрета теоремой Хартмана. В таком случае
7.2. Замечание о fc-струях и определенности 445
будем говорить, что 1-струя Df{x)-x определяет систему локально. Однако
если точка ж негиперболична, то теорема Хартмана неприменима и следует
учитывать члены высших порядков. Мы уже видели в главе 3, как можно
уменьшить число таких членов при помощи нормализации ряда Тейлора.
Зададимся вопросом о том, сколько членов этого ряда нужно взять для
локального определения векторного поля с точностью до гомеоморфизма.
До сих пор мы неявно предполагали, что ненулевые члены наинизшей
степени в ряде Тейлора определяют локальный фазовый портрет и,
следовательно, тип устойчивости. Для бифуркаций Хопфа и ее обобщения, седло-
узла и бифуркации типа сборки, обсужденных в главе 3 и разделе 7.1, этот
фа1сг нетрудно проверить, так как нормальные формы показывают, что
локальное поведение определяется одномерными системами
x = Y^ajX^ +0{х^+^), G.2.1)
или, соответственно,
:^а^г2^+1+0(г2'=+3). G.2.2)
В этих случаях ясно, что для достаточно малых значений \х\ или г можно
без ущерба пренебречь членами высших порядков.
Однако в случаях, когда размерность центрального многообразия более
единицы, ситуация становится более тонкой, и каждый случай необходимо
изучать индивидуально. Takens [1974] выполнил требуемые расчеты в трех
случаях, указанных в G.0.1) (в третьем случае он предполагал, что
выполнены определенные нерезонансные соотношения между частотами cji и cj2,
описанные в разделе 7.5). Мы опишем его анализ случая двойного нулевого
корня
"о 1
О О
Df{x) =
=^А. G.2.3)
Сначала вычислим нормальную форму. Несложные вычисления
показывают, что образ i?2 оператора ad А = [•, А], описанного в теореме о
нормальной форме (теорема 3.3.1), является линейной оболочкой следующих
шести векторов:
2а;уА (уЛ fO\ f х^ \ (ху
О j' I О J' loJ' \-2ху^ 1-у2
G.2.4)
446 Глава 7
(см. упражнение 3.3.1). Эти векторы являются скобками Ли для линейной
части (о ) и соответствуюгцих шести стандартных базисных висгоров в Н2'.
2 I . 1 ^„ ) М „2 W • G-2.5)
Квадратичные члены вида ( г, ) ' ( ^п ) ' ( ^ 1 и ( _2 ) можно
немедленно удалить, поэтому дополнительным подпространством к i?2 в Н^ является
либо
span
либо
тш-
Следовательно, 2-струю нормальной формы удобно записать как
X = у + а^х^,
У = Ъ^х^
или как
Х = У,
у = а^х"^ + Ъ-2ху.
Упражнение 7.2.1. Покажите, что
Яз = 8рап{Вз} + spanj (^^ j, {^^^j | или spanjBg} + spanj (^_^з], (^2 j |,
и, более обще,
Ял = span{Sfc} + span|(^^ j, (^_^fcj| или span{Sfc} + span| (^_^fcj, (^_^fc_i j |.
G.2.8)
G.2.9)
Приведем кратко доказательство Takens [1974а], что 2-струя G.2.8)
определяет локальный топологический тип любого векторного поля
X = у -\- azx^ + 0{\х,у\^),
' ^' ' G.2.10)
У = Ъ2Х^ + 0{\x,yf)
при условии, что 62 7^ 0. (Аналогичный вывод с необходимостью
справедлив и для G.2.9), так как данные два векторных поля топологически
эквивалентны.) Главным инструментом анализа является метод раздувания.
Вводятся такие сингулярные замены координат, которые расширяют
вырожденные неподвижные точки до окружностей, содержащих конечное число
неподвижных точек. Если эти точки будут гиперболичными после первого
7.2. Замечание о fc-струях и определенности
447
раздувания, то локальный поток вблизи этой окружности и,
следовательно, вблизи исходной неподвижной точки устойчив по отношению к членам
более высокого порядка. Например, для уравнения G.2.10) требуется три
раздувания и некоторый дополнительный прием, прежде чем
преобразованное векторное поле станет устойчивым.
Мы опишем здесь подробно первое раздувание и кратко — остальные
для иллюстрации данного метода. Перейдем к полярным координатам,
полагая X = г cos в, у = г sin в, тогда система G.2.10) запишется так:
г = г cos ^(sin0 + аг cos в) + br cos в5тв + 0{г),
в = brcos^e - (sin^ 61 + ar sin61 cos61) + Oir"^),
G.2.11)
где опугцены индексы, т. е. «2 = а, &2 = Ь. Теперь раздуем особую
точку г = О до окружности, считая (г, в) координатами на поверхности
цилиндра, см. рис. 7.2.1. При взгляде сверху вниз верхняя половина цилиндра
является исходным фазовым пространством М за вычетом начала
координат (г > 0), а окружность г = О соответствует началу (нижняя половина
цилиндра не соответствует никаким точкам на исходной плоскости (ж, у).
Рис. 7.2.1. Сингулярное раздувание Такенса.
Уравнение G.2.11) имеет на окружности г = О положения
равновесия в = 0,тт, причем оба они вырождены и имеют одинаковые линейные
части. Полагая 0 « О, г ~ О, разложим G.2.11) в ряд Тейлора:
гв + аг"^ +0{\г,в\^),
Ьг-в^ - агв + 0{г^) + 0(|г, ef).
G.2.12)
Аналогичное разложение получается вблизи точки (г, в) = (О, тг).
Поскольку векторное поле G.2.12) пока егце вырождено, необходимо очередное
раздувание, но прежде можно применить к нему теорему о нормальной форме.
448 ГЛАВА 7
позволяющей удалить некоторые члены второго порядка и получить
г=гв + 0(\г,в\^),
G 2 13)
e = br-e^ + 0{\r,ef).
После следующих двух раздуваний (г, в) -^ {р, ф) по формулам в =
= р cos ф, г = р sin ф и {р, ф) -^ [г], ф) по формулам ф = г] cos ф, р = г] sin ф
получим такое векторное поле (энергичный читатель может проверить вы-
кладки^):
Г] = T]'^{—bcos^ ф + 2cos^ фзтф — sin^ ф + Ьсоафвхп^ ф + ...),
ф = T]{bcos'^ фзтф — Зсоафв!!!^ ф + bcos^ фзтф +...).
Фазовый портрет системы G.2.14) не изменится (кроме, возможно,
значения Г1 = 0) при делении векторного поля на rj, так как этот множитель
присутствует в обеих компонентах. Поэтому можно рассмотреть новое
векторное поле
Г] = rii—bсоя^ ф +■■■),
. , G.2.15)
ф = {Ь cos ф sin ф + ...),
имеющее шесть гиперболических неподвижных точек "ц = Q, ф = Q, 7г/2,
7Г, 37г/2 и ф = arctgB6/3), arctgB6/3) + тг. Следовательно, поток G.2.15)
устойчив но отношению к малым возмущениям (высших порядков),
поэтому поток G.2.14) также устойчив. Мы теперь проводим трое1фатное «сду-
тие» (г/, ф) -^ {р, ф) -^ (г, в) -^ {х, у) и приходим к выводу, что поток G.2.8)
вблизи вырожденной неподвижной точки {х,у) = @,0) действительно
устойчив по отношению к добавлению (малых) членов старшего
порядка при условии, что 6^0. Заметим, что значение а несущественно, так как
оно пропадает в процессе преобразований. Тем не менее, этот коэффициент
играет важную роль при определении развертки, как мы увидим в
следующем разделе. Вообще говоря, достаточные условия определенности
вырожденного векторного поля могут быть недостаточными для определенности
деформации. На рис. 7.2.2 процесс раздувания показан геометрически.
Аналогичный анализ можно выполнить для других вырожденных син-
гулярностей коразмерности два, представленных в разделах 7.4-7.5, см.
Takens [1974а]. Для трех- и четырехмерных случаев необходимо проверить,
что определенные инвариантные конусы в усеченных симметричных
системах нормально гиперболичны и, следовательно, сохраняются при
добавлении членов старшего порядка. Мы не приводим здесь этот более сложный
анализ.
' Энергичный переводчик обнаружил, что во втором из этих уравнений степень при cos ф
вторая, а не третья. — Прим. ред.
7.3. Двойное нулевое собственное значение
449
Рис. 7.2.2. Раздувание уравнения G.2.10).
7.3. Двойное нулевое собственное значение
Обратимся теперь к изучению вырожденнных 2- и 3-струй, ассоци-
го 1"
ированных с линейной частью IqqI и к построению их универсальных
деформаций. Как мы видели в предыдущем разделе, /с-струю нормальной
450 ГЛАВА 7
формы для этой задачи удобно записать в одной из следующих двух форм:
к
X = у + 2^ O.j^''
к
' ' +0{\х,у\'^+^) G.3.1)
или
y = Yl ^i^'
У
V-, ,• , i-i . +0{\х,у\'^1- (V.3.2)
у = 2_JfljX^ + Ь^х^ у)
Takens [1974а] пользовался первой из этих форм, а Богданов [1975] и
Арнольд [1972] — второй. В разделе 7.2 мы привели результаты Takens, здесь,
напротив, будет использован подход Богданова. Заметим, что данную
проблему исследовали также Kopell, Howard [1975]'.
Вначале предположим, что коэффициенты квадратичной формы «2 ■, &2
не равны нулю, а члены третьей и высшей степеней отсутствуют. Таким
образом, задача сводится к деформации вырожденного векторного поля (по
аналогии с разделом 7.2, индексы опущены):
ж = и,
у = ах + Ьху.
Как мы увидим, знаки обоих коэффициентов а и b существенны для
топологической классификации, причем оба коэффициента должны быть
отличными от нуля для того, чтобы деформация была полностью определена.
(Применив к данной нормальной форме методы, описанные в разделе 7.2,
можно обнаружить, что для определенности данного вырожденного
векторного поля достаточно требования а ^ 0.)
Универсальная деформация системы G.3.3) должна содержать
некоторое семейство висгорных полей, локальные потоки которых включают в
себя все возможные малые возмущения вырожденного потока G.3.3). В
отличие от благоприятной ситуации в теории особенностей (см. Golubitsky,
Schaeffer [1983]), здесь не существует общего рецепта построения
такого семейства. Каждый случай необходимо рассматривать индивидуально.
В данном случае, ввиду наличия нулевого собственного значения у
положения равновесия, необходимо учесть возможности исчезновения этого
См. также Морозов, Федоров [24]. — Прим. ред.
7.3. Двойное НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 451
равновесия и расщепления его на, по меньщей мере, два структурно
устойчивых равновесия. Кроме того, возмущенная система может иметь и другие
неблуждающие множества, такие как периодические орбиты. Следующее
двупараметрическое семейство представляет собой универсальную
деформацию для G.3.3):
х = у,
у = /лх + 1Л2У + аж^ + Ьху
G.3.4)
Заметим, что семейство G.3.4) отличается от предложенного Богдановым
[1975], однако оно позволяет обнаружить те же топологические типы
фазовых портретов, которые были получены им, а также Takens [1974b].
Зафиксируем для простоты анализа а и 6. Ясно, что при помощи
подходящего масштабирования переменных и замены {х,у) -^ {—х,—у) общий
случай а,Ь у^ О можно свести к одному из двух следующих: а = 1,6 =
= ±1. Поэтому мы рассмотрим случай а = 6 = 1 и оставим второй случай
в качестве упражнения.
Нетрудно найти бифуркационные кривые, на которых система G.3.4)
испытывает бифуркации «седло-узел» и Хопфа. Сначала найдем, что
неподвижные точки задаются формулой
, def
{х, у) = (±v/=7^, 0) = (ж±, 0) G.3.5)
и существуют лишь при fii ^ 0. Линеаризация в окрестности этих точек
приводит к выражению
Df{x±,0)
О 1
±2,/-//! IJ.2 ± л/-//1
G.3.6)
Следовательно, точка (ж+, 0) устойчива при jii < О и любых ii2, а (ж_, 0)
является источником при {ц2 > л/~М11 A*i < 0} и стоком при {ц2 < \/—Ц1,
/лх < 0}. Таким образом, бифуркация Хопфа происходит на кривой /12 =
= \/—\1\, а бифуркация седло-узел — на кривой [ix = О, //2 т^ О-
Упражнение 7.3.1. Проверьте вышеприведенные утверждения.
Для изучения устойчивости бифуркации Хопфа сделаем две замены
переменных, первая из которых переводит начало координат в точку (а;_, 0),
а вторая приводит векторное поле к стандартной форме. Полагая ж = х—Х-,
у = у, получим
О 1
2х- О
l) + U/+^^'- ^'-'-'^
452 ГЛАВА 7
Затем используем линейное преобразование
fj=T (Л , G.3.8)
где
^_ Г О 1
[v'^ST О
составлена из вещественной и мнимой частей собственных векторов,
отвечающих собственным значениям А = ±г^—2х^. В итоге получим систему,
линейная часть которой записана в стандартной форме:
и\ fuv + ^ уЛ
о -^/^2x1
^Г^ЪП О
Используем теперь алгоритм исследования устойчивости C.4.11). В
данном случае в этой формуле отличны от нуля лишь слагаемые /„^ = 1,
fvv = 2/1/—2а;_, поэтому ведущий коэффициент в нормальной форме
бифуркации Хопфа таков:
^ 1--^ = -^ = —^>0. G.3.10)
16^/^2x1 ^^2x1 16ж_ 16v'=Mi
Следовательно, бифуркация субкритическая, и мы имеем семейство
неустойчивых периодических орбит, окружающих сток для значений
параметра [11, меньших ^—[1\ (но близких к этой величине). Итог этих
рассмотрений представлен на рис. 7.3.1, где частично показаны бифуркационные
множества и соответствующие фазовые портреты. Рекомендуем читателю
проверить, что векторные поля, в особенности вырожденные седло-узлы
{рь\ = 0) выглядят так, как изображено на этой фигуре.
Упражнение 7.3.2. Покажите, что в областях /ii > О и дг < —V—Mi, fJ.i < О
не существует периодических орбит и что фазовые портреты на рис. 7.3.1
правильны. В частности, используйте теорию центрального многообразия, чтобы показать,
что вблизи оси Д1 = О, Д2 7^ О действительно имеют место представленные на
рисунке соединения сток-седло и источник-седло.
Упражнение 7.3.3. Введите в уравнение G.3.4) в явном виде коэффициент b
и покажите, что для значений & < О имеет место суперкритическая бифуркация
Хопфа.
Заметим теперь, что фазовые портреты в области III вблизи
линий /Lti = О, /Lt2 < О и //2 = v'~Mi не гомеоморфны, так как второй
обладает предельным циклом, а первый — нет. Следовательно, в этой области
должны существовать дополнительные бифуркационные точки.
Поскольку седло и сток не изменяют в области III своего топологического типа,
должна иметь место глобальная бифуркация, возможно, петля сепаратрисы
7.3. Двойное нулевое собственное значение
453
И\=-И:
Рис. 7.3.1. Деформация уравнения G.3.3), частичное бифуркационное множество и
фазовые портреты уравнения G.3.4).
седла (см. раздел 6.1), в которой предельный цикл исчезает, а устойчивое и
неустойчивое многообразия седловой точки «пересекаются». Для изучения
такой бифуркации применим масштабирующее преобразование, несколько
отличающееся от описанного выще процесса раздувания (см. Takens [1974b]
и Carr [1981]). Положим
X
и, у
e^V2,
и введем новое время t
вид'
-'V, /Lti=£'i^i, //2 = £^2, е^О G.3.11)
et, так что система G.3.4) (при а = Ъ = 1) примет
VI + ev2V + euv + и
G.3.12)
'Именно система такого вида исследовалась в работе Морозова, Федорова [1983]. В книгах
Морозова [1995, 1998] рассмотрена более общая задача об оценке числа предельных циклов
в квазигамильтоновых двумерных системах; в частности, рассмотрен случай «кубического
гамильтониана», см. также Петров [25]. — Прим. ред.
454
Глава 7
Исследование деформации сводится к анализу т/)ехпараметрической
системы G.3.12), в которой vi, V2 = 0{1), а е мало. На первый взгляд, сделанное
преобразование лишь добавляет в систему еще один параметр, тем самым
усложняя ее. Заметим, однако, что нас интересует лишь случай z/i < О
{jii < 0), так как при z/i > О неподвижных точек нет. Кроме того, что более
существенно, полагая е ^ О при фиксированном vi ф О, можно
превратить G.3.12) в интегрируемую гамильтонову систему
и = V,
V = Vi + V?
G.3.13)
с гамильтонианом
H{u,v)
у
2
VlU ■
и
3
G.3.14)
Пользуясь нашим вырожденным преобразованием G.3.11), увидим, что
из е = О следует jii = ii2 = О и наша вырожденная неподвижная
точка была «раздута» в некоторую гамильтонову систему. Более того, это
преобразование удерживает неподвижные точки на конечном расстоянии
друг от друга при приближении параметра к точке вырожденной
бифуркации 111= 112= 0.
% = (-
Рис. 7.3.2. Фазовый портрет системы G.3.13), v-i
Теперь становится явной мотивация к перемасштабированию: мы
можем возмутить глобальные фазовые кривые системы G.3.13) и тем самым
выяснить поведение системы G.3.4) для iii,ii2, близких к нулю. Мы
можем сказать, что гамильтоново векторное поле G.3.13) при
фиксированном vi (мы берем vi = —1, что соответствует fii ^ 0) содержит «в
эмбрионе» любое поведение деформации. В частности, отметим на рисунке 7.3.2
7.3. Двойное нулевое собственное значение 455
замкнутые орбиты и петлю сепаратрисы, соответствующую линии
уровня Я(и, и) = 2/3.
Отыскание седловых петель сводится теперь к поиску значений 1У2,
е ^ О, для которых достигается седловое соединение. Такую задачу можно
решить при помощи метода Мельникова (разделы 4.5^.6). Решение, лежа-
ш;ее на Го с базой в точке Щ = (—2, 0), дается формулой
{uoit),vo{t))^ М -Ssech^f^y 3A/2sech2(^Jth(^Jj. G.3.15)
В данном случае функция Мельникова M{to) не зависит от времени, так
f О ^
как возмущение является постоянным векторным нолем е , и
мы имеем
Af A/2) = / Vo{t){iy2Vo{t)+Uo{t)vo{t))dt
72
V2 I ISsech'* TthVdT+ / A - 3sechVI8sech'*thVdT
G.3.16)
где T = t/^/2. Бифуркационная ситуация, когда петля сепаратрисы
сохраняется, дается формулой М = О, или, для малых е:
оо
/ A —Ssech т) sech rth т dr
— оо
^ оо
J sech т th т dr
Замечая, что sech т = 1 — th т и что
sech rth т dr
к+1 k+V
— оо
найдем, что
V2 = |. G.3.17)
456 Глава 7
Наконец, вспомнив, что i^i = —1 и используя G.3.11) (pi = —е**, //2 = £^1^2),
получим приближенную бифуркационную кривую
/^1 = -§/^2, /^2^0. G.3.18)
Истинная бифуркационная кривая касается данной полупараболы в
точке Иг = 112 = 0. Сравнивая это с уравнением бифуркационного множества
для бифуркации Хонфа В}^:
/Л = -ц1, Ц2 > о, G.3.19)
мы действительно убеждаемся в наличии второй бифуркационной
кривой Bgc, лежащей слева от кривой G.3.19) и касающейся ее (а также
прямой /ii = 0) в точке (/Lti, /^2) = @,0). Фазовый портрет на Bgc имеет седло-
вую петлю. Знак функции Мельникова М при /ii больше (соответственно,
меньше) — D9/25)//2 показывает относительное расположение устойчивого
и неустойчивого многообразий (сепаратрис седла). Заключительное
наблюдение состоит в том, что след «седловой величины» (см раздел 6.1) на
кривой G.3.18) положителен:
tri?/(v/=7^,0) = /i2 + \/^m = y/i2>0, G.3.20)
вследствие чего гомоклиничекая орбита является а-предельным
множеством для близлежащих точек. Это иллюстрируется рисунком 7.3.3.
Остается проверить, что в области ШЬ система имеет единственный
отталкивающий предельный цикл для каждой пары значений
параметров (//1,//2)- Пусть 7 = (^«(t), Va{t)) обозначает одну из замкнутых орбит
внутри Го для значения функции Гамильтона H{ua, Va) = а и с
периодом Та, тогда, согласно теории Мельникова, достаточно проверить, что
M"{v2) = / Vc,{t)[v2Va{t) + M„(i)i;„(t)] dt= [v2V + uv] du G.3.21)
0 7"
обращается в нуль ровно для одного значения параметра г^2(е, а) при любом
выборе е и а. Это можно сделать либо путем непосредственного
вычисления интегралов при помощи эллиптических функций, либо при помощи
'Рассматриваемая здесь функция называется порождающей функцией Пуанкаре - Понтря-
гина, см. Андронов и др. [1967].
7.3. Двойное нулевое собственное значение
457
Рис. 7.3.3. Глобальная бифуркация седлового соединения.
рассуждений, аналогичных приведенным в работе Сагг [1981]. Мы не будем
здесь вдаваться в подробности, оставляя вычисления в качестве упражне-
УПРАЖНЕНИЕ 7.3.4. Преобразуйте G.3.16) в криволинейный интеграл вдоль
гомоклинической орбиты и вычислите его. Оцените величину G.3.21) при помощи
2a + 2uiu+ тЖ
Полезной
эллиптических функций (замените в G.3.14) v
может оказаться статья Byrd, Friedman [1971].
Упражнение 7.3.5. Постройте бифуркационное множество и фазовый портрет
для развертки G.3.4) при а = 1, 6 = —1. Отсюда сделайте вывод, что выбор а =
= 6 = 1 по существу охватывает все случаи, с точностью до обращения времени.
Какой вывод можно сделать при 6 = 0?
Заметим, что бифуркационное множество на рисунке 7.3.3 состоит из
кривых коразмерности один, встречающихся в точке jii = ii2 = 0,в которой
векторное поле имеет сингулярность коразмерности два. На каждой из этих
кривых имеет место одна из бифуркаций коразмерности один: седло-узел
О, 1Л2 7^ о, бифуркация Хопфа при /л^ = —ц'2, //2 > О и седловое
'49^ ,,2
.25.
при /ii
соединение или гомоклиническая бифуркация при цх
11%, Ц2 > 0.
'Этот момент является самым сложным в исследовании G.13.12), см. Богданов [1975],
Петров [1988], Морозов [1995, 1998].
458 ГЛАВА 7
Последний случай является примером глобальной бифуркации, с которыми
мы встречались ранее в разделе 6.1. Однако при изучении данной
деформации мы увидели, как наличие такой глобальной бифуркации может быть
обнаружено при помощи локального анализа. Подобная ситуация не раз еще
встретится в данной главе.
Мы не касаемся здесь проблемы доказательства того, что
система G.3.4) является универсальной деформацией для G.3.3). По существу,
мы даже не дали четкого определения универсальной деформации, так как
здесь имеются некоторые технические вопросы, требующие доработки и
выходящие за рамки нашего рассмотрения (см. Newhouse и др. [1976]).
Читатель, интересующийся подробностями данного частного примера, может
ознакомиться с работами Арнольда [1972] и Богданова [1975].
Упражнение 7.3.6. Покажите, что только что описанная бифуркация
коразмерности два имеет место для усредненного уравнения Ван дер Поля B.1.14) в
точке (сг,7) = ( Qi о ) (см. раздел 2.1 и Holmes, Rand [1978]).
В той же статье Takens [1974b] изучались также деформации,
сохраняющие определенные вращательные симметрии. Важный для изучения
нелинейных колебаний случай связан с «кубической» симметрией или с
симметрией относительно поворота на угол тт. Здесь вырожденное поле
содержит кубические члены в качестве младших, а деформация задается
двупараметрическим семейством
X = у,
G.3.22)
у = щх + Ц2У + а^х^ + бзж^У-
Допуская обращение и линейное масштабирование времени, мы можем
без потери общности положить 6з = ~1> однако необходимо рассмотреть
два случая аз = ±1. Сначала возьмем аз = 1, тогда локальный анализ
позволяет построить (частичное) бифуркационное множество и фазовые
портреты, изображенные на рисунке 7.3.4. В начале координат мы имеем
вырожденную седловую точку, и, строго говоря, мы должны прежде
изучения деформации проверить, пользуясь методами раздела 7.2.2, что 3-струя
У
тов к работам Takens [1974a,b].
Упражнение 7.3.7. Проверьте правршьность рисунка 7.3.4.
В данном случае мы подозреваем наличие глобальной бифуркации во
второй координатной четверти. Для проверки проведем масштабирование,
полагая
X = ей, у = s'^v, III = £^1^1, 1Л2 = £^1^2, t -^ st, G.3.23)
3 2 I определена. Мы отсылаем читателя за подробностями расче-
7.3. Двойное нулевое собственное значение
459
/'2
$^<К
i^
Рис. 7.3.4. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты
уравнения G.3.22): аз = +1, &з = -1.
в итоге получим
и
V
ViU ■
■ ev2V ■
su^v.
G.3.24)
Полагая vi = —1 (так что цх ^ 0), будем иметь G.3.24) в гамильтоновой
форме с гамильтонианом
H{u,v)
и
2
и
4
G.3.25)
при е = 0. Фазовый портрет данной гамильтоновой системы имеет
пару симметричных гетероклинических орбит, соединяющих седловые
точки (и, и) = (±1,0) и лежащие на линии уровня H{u,v) = 1/4, и анализ,
аналогичный приведенному выше, позволяет построить бифуркационное
множество, изображенное на рисунке 7.3.5.
Случай аз = — 1 несколько более сложен, так как здесь глобальные
бифуркации более многообразны: они включают, наряду с седловыми со-
460
Глава 7
/'2
|Л^ = -|Л^/Ъ+0(|л'^^)
Рис. 7.3.5. Завершение построения рис. 7.3.4.
Рис. 7.3.6. Фазовый портрет G.3.26), е = 0.
единениями, слияния замкнутых орбит. Проведя масштабирование по
формулам G.2.23) и полагая vi = +1 (для того чтобы получить нетривиальные
неподвижные точки (ж, у) = (±у71Т, 0) или (м,«) = (±1,0)), получим
систему
й = V,
3 2 G-3.26)
V = и + ev2V — и — ей v.
При е = О результирующая система интегрируема, она имеет гамильтониан
H{u,v)
V^ V? I М**
G.3.27)
и фазовый портрет, изображенный на рисунке 7.3.6 (такую картину мы уже
7.3. Двойное нулевое собственное значение 461
встречали ранее!). При возмущении (двойной) гомоклинической орбиты Го,
заданной формулой
iuo{t),vo{t)) = (±-v/2secht, т^2 sechttht), G.3.28)
седловое соединение (двойное) будет иметь место, как несложно проверить,
для
^2 = |, G.3.29)
или, в терминах исходных параметров деформации, на некоторой кривой,
касающейся прямой
//2 = ^ G.3.30)
в точке (ni, Ц2) = @,0). Эти вычисления, дополненные стандартными
расчетами линейного приближения и бифуркации Хопфа, позволяют построить
часть бифуркационного множества и фазовые портреты, представленные на
рисунке 7.3.7.
Упражнение 7.3.8. Проверьте правильность рисунка 7.3.7 (см.
упражнение 4.6.4).
Для заверщения нащего анализа заметим прежде всего, что для /i2 < О
не существует замкнутых орбит, так как в этом случае след матрицы Яко-
би Df равен ii2 — х^ < Q, и можно применить критерий Бендиксона. Это
означает, что замкнутая орбита, окружающая все три неподвижных
точки, должна каким-то образом разрушиться на некоторой бифуркационной
кривой, лежащей в первом квадранте ниже прямой //2 = 4/ii/5 (гомокли-
ническая бифуркация), но выше оси //2 = 0. Для изучения этого явления
рассмотрим преобразованную гамильтонову систему
3 G-3-31)
V = и — и
и ее возмущение G.3.26) более тщательно. В дополнение к исследованию
возмущений гомоклинической орбиты Гд мы должны рассмотреть также
возмущения замкнутых линий уровня функции Hq, лежащих внутри и
вне Го. Для этого требуются громоздкие расчеты при помощи
эллиптических функций, результаты которых изложены (частично) в работах Takens
[1974b] и Holmes, Rand [1980], а затем были повторены и дополнены Сап-
[1981] и Knobloch, Proctor [1981]^.
См., также Арнольд [1977] и Морозов, Федоров [26]. — Прим. ред.
462
Глава 7
Рис. 7.3.7. Частичное бифуркационное множество для уравнения G.3.22), аз = &з =
= — 1 и связанные с ним фазовые портреты.
Возьмем одну из этих линий уровня 7" = Нд^{а) и обозначим
решение {ua{t), Va{t)), получим, аналогично G.3.21), функцию Мельникова'
M"{V2) = / Va{t)[v2Va{t) — U^{t)Va{t)] dt = V2 V du — I U V du,
0 7" 7°
G.3.32)
где для преобразования определенного интеграла в контурный (по
замкнутой орбите 7") использовалось равенство v = du/dt. Для оценки
выражения G.3.32) выразим v как некоторую функцию от м и а из
равенства G.3.25). Для сохранения данной замкнутой орбиты под действием
Это функция Понтрягина!
7.3. Двойное нулевое собственное значение
463
R(a)
GZD
Рис. 7.3.8. График В.{а) с соответствующими сохраняющимися линиями уровня,
возмущений требуется, чтобы Af" = О, или
/ u^v du
V2
def
J V du
R{a).
G.3.33)
Используя некоторые свойства этих интегралов, Carr [1981] доказал,
что R{a) имеет вид, показанный на рисунке 7.3.8: эта функция имеет
единственный минимум с и 0,752 при некотором конечном значении а > О,
а затем монотонно и неограниченно растет с ростом а. Таким образом,
для V2 £ (IjCw) сохраняется только одна замкнутая орбита вблизи
некоторой линии уровня с параметром а > О, а для v-2 £ D/5, 1) сохраняется
три орбиты: две для значений а £ (—1/4,0) и одна для а > 0. При v^ =
= 4/5 мы имеем уже описанное гомоклиническое седловое соединение,
сосуществующее с лежащей вне его замкнутой орбитой, а при V2 £ (с, 4/5)
имеем две замкнутых орбиты, репеллер внутри аттрактора, причем обе
они окружают все три неподвижных точки. Эти орбиты сливаются и
исчезают при прохождении 1^2 через значение с. Теперь мы можем
достроить деформацию на рисунке 7.3.7 — см. рисунок 7.3.9, добавляя
бифуркационную кривую Вро, на которой сливаются периодические
орбиты.
Этим заверщается наще исследование разверток векторных полей с
вырожденной линейной частью [д д]. В разделе 7.6 будет показано, что
эта симметричная нормальная форма встречается в интересных проблемах
механики твердого тела и гидродинамики.
464
Глава 7
Рис. 7.3.9. Завершение построения на рис. 7.3.7.
7.4. Чисто мнимая пара и простое нулевое собственное
значение
в этом и следующем разделах проводится частичное исследование двух
оставшихся бифуркаций коразмерности два. Полученные результаты
сравнительно неполны ввиду наличия у деформаций гомоклинических орбит.
В каждом из случаев векторные поля имеют чисто мнимые собственные
значения. Нормальные формы этих векторных полей симметричны
(инвариантны) по отношению к вращениям вокруг направлений, соответствующих
мнимым собственным значениям. Если такой симметрией обладают и
исходные векторные ноля, то гомоклинические и гетероклинические орбиты,
которые могут встретиться, необходимо вырождены, и фазовые портреты
можно описать полностью. Однако, если полные векторные поля
несимметричны, гомоклинические явления можно описать лишь в терминах трех- и
четырехмерных потоков соответственно. Следовательно, в общем случае
можно ожидать встретить все сложности, присущие примерам Шильнико-
ва и Newhouse из разделов 6.5-6.7. Полному анализу данных локальных
проблем должно, очевидно, предшествовать более ясное понимание этих
глобальных явлений.
Заметим, что частичные результаты в обсуждаемых проблемах были
получены в работах Keener [1976, 1981], Langford [1979] и loss, Langford
[1980] при помощи методов теории возмущений и редукции Ляпунова-
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 465
Шмидта. Эти результаты существенно ограничены анализом некоторого
плоского векторного поля и мало что говорят о наличии глобальной
хаотической динамики, которая может возникнуть в конкретных случаях. Здесь
мы вновь получим эти результаты при помощи теории нормальных форм, а
затем продолжим рассматривать следствия для полных трех- и
четырехмерных потоков, существенно используя результаты по глобальным
бифуркациям из главы 6. Holmes [1980d] и Guckenheimer [1981] являются более
ранними работами о данных глобальных явлениях в обсуждаемом контексте'.
Используя методы раздела 3.3, читатель может проверить, что
нормальную форму вырожденной /с-струи с линейной частью
0
U1
0
—и)
0
0
0]
0
0
/х
[у
\z
G.4.1)
удобно записать в цилиндрических координатах:
г = airz + а2Г^ + a^rz^ + 0(|г, zj**),
Z = bir'^ + b2Z^ + bsr^z + biz^ + 0(|r, zf), G.4.2)
в = uj + 0{\r,z\^).
Как и в случае простой бифуркации Хопфа, обсужденной в разделе 3.4, эта
/с-струя не содержит членов, зависящих от в, для сколь угодно большого к,
так как нормальную форму можно выбрать инвариантной по отношению к
вращениям вокруг оси z. Таким образом, радиальную компоненту в
уравнениях G.4.2) можно отделить, и мы имеем дело, по крайней мере
вначале, с вырожденным двумерным векторным полем с особой симметрией,
выражаемой четностью первой и нечетностью второй его компоненты по
отношению к г. Тем не менее, нам придется в конце концов восстановить
члены, не обладающие вращательной симметрией и находящиеся «в
хвосте» тейлоровского разложения, при возврате к полной трехмерной задаче.
Упражнение 7.4.1. Вычислите нормальную форму для систем с линейной
частью G.4.1) вплоть до членов третьего порядка и убедитесь, что в полярных
координатах она действительно имеет вид G.4.2).
Теперь перейдем к классификации и развертке данной вырожденной
сингулярности. Обрывая разложение на членах 0(|г, zp) и опуская
уравнение для в, получим плоскую систему
г = airz,
Z = 6ir^ + 62-^^.
Как показал Takens [1974а], эта система определяется вторым порядком при
условии, что «1, 6i, ^2 7^ О и 62 — oi 7^ О (если 62 — oi < О, то требуется
'См. более раннюю работу Гаврилова [27]. — Прим. ред.
2 , . 2 G-4.3)
466 Глава 7
лишь ai ^ 0). В этом случае можно удалить два коэффициента при помощи
масштабирования и, быть может, обращения времени. Положим г = аг,
1 = (iz, тогда уравнения примут вид
d - \ Tz
—г = a\ai—T
at I ар
Задавая /3 = — 62, а = —■\/|6i62 и сохраняя прежние обозначения для
переменных, получим из G.4.4)
г = arz,
z = br^ - z^; b = ±1,
2 2. , ,, G-4.5)
где число а = —ai/62 может быть как положительным, так и
отрицательным, но не равным нулю.
Takens [1974а] привел список пяти различных топологических типов
для этой нормальной формы. В действительности их шесть, как показано
на рисунке 7.4.1, но можно заметить, что типы Па, lib (Ь = +1, а < 0) и IVa,
IVb (b = —1, а < 0) можно объединить попарно, так как их деформации,
как мы увидим, по существу идентичны^.
Ключевой идеей в построении этой классификации является
определение для данного векторного поля инвариантных прямых z = кг. Подставляя
угловой коэффициент к в уравнение G.4.5), получим для него такое
условие:
dz ^ j^ ^ br^^Q^ ^ Ь^-к^
dr ar{kr) ак
к = ±^/^. G.4.6)
Заметим, что ось z (г = 0) всегда инвариантна, а другие инвариантные
прямые Z = кг существуют, если Ь/{а + 1) > 0. Направление потока на
таких инвариантных прямых (и вблизи от них) легко определить по знаку
скалярного произведения векторного поля G.4.5) и радиального векторного
поля (г, z):
S = (azr, br^ — z'^) ■ (г, z)\ , = azr^ia + b — k'^) = -zr^il + a + b).
\ ^ ^ \ ^ n z = kr ^ ' Q Л- ]_ ^ '
G.4.7)
Детали см. в Гаврилов [1978]. — Прим. ред. перев.
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 467
I: 6=+1,а>0.
Па: 6=+1,ае(-1,0). ПЬ: 6 = + 1,а<-1.
Ш: Ь=-1,а>0.
IV: 6=-1,ае(-1,0). IV: 6=-1, а<-1.
Рис. 7.4.1. Фазовые портреты в полуплоскости (г, z), (г ^ 0) для нормальной
формы G.4.5).
Если S > О, то ноток направлен радиально наружу, а если s < О — то внутрь.
Для завершения представленной на рисунке 7.4.1 классификации можно
использовать другие стандартные двумерные методы (см. раздел 1.8). Мы
оставляем подробности читателю.
Упражнение 7.4.2. Проверьте правильность топологической классификации
на рисунке 7.4.1. (Подсказка: при проверке правильности замкнутых фазовых
кривых на рис. Па, ПЬ используйте симметрию векторного поля по отношению
к отражению относительно оси г или рассмотрите приведенные ниже
интегралы G.4.18), G.4.19).)
468
Глава 7
Пытаясь построить универсальную деформацию для нормальной
формы G.4.2), вначале добавим двухпараметрическую линейную часть
'jJLlX'
Игу , G.4.8)
которая описывает все возможные устойчивые возмущения неподвижных
точек, включая их устранение. В терминах приведенной плоской
системы G.4.5) имеем
г = nir + arz,
Z = 112+ br^ — Z^.
Несложно найти неподвижные точки системы G.4.9):
(г, z) = (о, ±^^) при //2 > О
и
(^.-) = (уЭ
2 /^2, --^
(г, z)
I Ц2
1^1
а
при fil ^ a'^fi2, Ъ = +1;
при 1л1 < а^1Л2, Ь = —1.
G.4.9)
G.4.10)
Заметим, что линеаризованная система имеет матрицу
III + az ar
2br -2z
G.4.11)
Теперь приведем некоторые подробности анализа случаев I и Па-ПЬ,
оставляя вывод оставшихся результатов, приведенных ниже, читателю.
В случае I положим b = +1, а = 0. Матрица G.4.11) в неподвижных
точках (г, z) = (О, ±^//i2^) будет диагональной вида
fii + а-^/Щ О
О Т2у7^
G.4.12)
и, как легко видеть, при /^2 > О эти точки имеют следующий тип:
(г, г)
@,+у7^) (О,"
/^2j
А*1 > 0.^/^2 седло исток
<1\/Т^2 > А*1 > —o-^/JJ^2 седло седло
—a^/JIa > 1^1 сток седло
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 469
Можно проверить, что при пересечении прямой //2 = О для //i ^ О
в одномерном центральном многообразии, представляющем собой
прямую г = О, происходят бифуркации «седло-узел». Аналогично, при
пересечении линии 1Л2 = ц\/о? в процессе убывания //2 при цх ^ О
происходят симметричные бифуркации типа «вилка» в неподвижных
точках (г, z) = (о, +-^/^2") (а«1 < 0) и (г, z) = (о, -^/fli) (/ii > 0) (нас
интересуют лишь равновесия, для которых г > 0). Чтобы показать это,
зафиксируем /лх ^ О и положим ^/Щ = |/ii|/a — е. Заметим, что
возрастание е соответствует трансверсальному пересечению кривой //2 = ц\/о?,
причем 112 убывает. Рассмотрим случай //i > О и соответствующую
бифуркацию в точке (г, г) = (О, —^//i^). Сначала при помощи замены z =
= ~\Пн + С перенесем вырожденную неподвижную точку в начало
координат, тогда G.4.9) примет вид
г = ear + arC,
или для надстроенной системы
г = ear + arC^^
ё = 0,
G.4.13)
G.4.14)
Теперь применим методы центрального многообразия, изложенные в
главе 3. Заметим, что аппроксимация касательным пространством Л, = О к
центральному многообразию С, = h{r, е) не несет информации об
устойчивости, поэтому мы положим С, = аг + (Зге + 7£^, что позволит определить
для малых е ведущие коэффициенты
2 (^) (аг^ + pre + -,е^) +г^ = 0{г'),
а = --^''^' -6<0; /3 = 7 = 0, G.4.15)
Подставляя ( = —Sr'^ в первое из уравнений G.4.13), получим
редуцированную систему
г = ear — абг^ + ..., G.4.16)
470
Глава 7
показывающую, что суперкритическая бифуркация «вилка» происходит
при прохождении е через нуль в положительном направлении. Так
как I/ill/а > О, в этом случае центральное многообразие отталкивает
близлежащие решения, и мы получаем портреты, показанные на рисунке 7.4.2.
/j^</j^/a^ {е>0)
)л^=)л\/а (^=0) //2>/"iVa^ (£<0)
Рис. 7.4.2. Бифуркация «вилка» при /Х2 = nl/o?, /ii > 0.
Заметим, наконец, что матрица G.4.11) в неподвижной точке (г, г)
{л/Щ]а?^-]р2, —/J-i/a) при 6 = +1 такова:
О
vJ4
:Vl4
а?Ц2
2/л
а?Ц2
G.4.17)
Следовательно, эта точка является седлом для всех ji^ < 1л\/а?. Кроме того,
из факта, что точка является седлом и имеет индекс Пуанкаре —1, следует
отсутствие в данном случае периодических орбит векторного поля, так как
любая такая орбита должна содержать неподвижные точки с суммарным
индексом +1 (см. раздел 1.8). Ясно, что периодическая орбита не может
пересекать инвариантную ось z, а других неподвижных точек для г т^ О не
существует, поэтому периодических орбит нет.
Теперь мы в состоянии привести для плоского векторного поля в
случае I полную деформацию. На рисунке 7.4.3 показано бифуркационное
множество на плоскости (fii,fi2) и соответствующие фазовые портреты.
Упражнение 7.4.3. Выполните дополнительные расчеты, которые считаете
необходимыми, чтобы убедиться в правильности фазовых портретов, показанных
на рисунке 7.4.3.
Перейдем теперь к случаям Па, ПЬ, где b = +1, а < 0.
Вычисления, аналогичные приведенным выще, показывают, что неподвижные
точки (г, z) = (О, ±i//i2^) имеют при Ц2 > О указанный ниже характер.
Кроме того, бифуркации типов «седло-узел» и «вилка» происходят на
кривых Ц2 = 1л\/а? и //2 = О подобно предыдущему случаю.
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 471
Рис. 7.4.3. Деформация для случая 1, b — +1, о > 0. Бифуркационное множество и
фазовые портреты. Отметим, что на кривой Д2 ~ Mi/o^ фазовый портрет является
гомеоморфным портрету над Д2 ~ ni/a,^, но седло снизу вырождено, если Д1 > О,
а седло сверху вырождено, если цг < О (сравните с рис. 7.4.2).
{r,z)
@,+л/М^) @,-л/М^)
Д1 > -а^Д2
'Ц2
седло
сток
сток
исток
исток
седло
Упражнение 7.4.4. Исследуйте бифуркации, происходящие при дг = lA/o^>
^j ^ О и Д2 = О, Д1 ^ О для этого случая. В частности, покажите, что если Д2
проходит через значение i^^/a^ для jii > Q (соответственно, jii < 0), то верхнее
(соответственно, нижнее) седло испытывает бифуркацию «вилка».
472 ГЛАВА 7
Однако поведение в данном случае третьей неподвижной точки (г, z) =
= (\/A*i/a^ — А*2, —Ml/a) существенно отличается от предыдущего. Здесь
матрица линеаризованной системы G.4.17) имеет собственные значения
Ai,2 = ^±W^ + ^(M!-a'M2), G.4.18)
поэтому точка будет стоком при Д1 > О и истоком при дх < О
(если 112 < /iiB + 1/а)/2а^, то собственные значения комплексно
сопряжены). При трансверсальном переходе через прямую /ii = О для Д2 < О
в этой точке происходит, как можно проверить, бифуркация Хопфа.
Однако при вычислении коэффициента устойчивости методами раздела 3.4
оказывается, что аз = О, что свидетельствует о необходимости включения в
нормальную форму, по крайней мере, членов третьего порядка для
определения динамики системы при этой бифуркации. Действительно, для jii — О
система
г = arz,
2 2 G-4.19)
Z = fj,2+r - Z
вполне интегрируема, поскольку функция
F(r, z) = 1r'/^ [д2 + Y^ - z'] G.4.20)
постоянна вдоль решений.
Упражнение 7.4.5. Проверьте вышеприведенное утверждение, а также
равенство нулю коэффициента устойчивости в бифуркации Хопфа для G.4.19).
Собирая полученную выше информацию, мы можем изобразить
бифуркационное множество и фазовые портреты для случаев Па, ПЬ
(рисунок 7.4.4). Заметим, что частичные деформации, полученные на этом этапе,
не отличаются от подслучаев а G [—1, 0) и а < —1.
Теперь приведем без вывода бифуркационные множества и фазовые
портреты для двух оставшихся случаев III и IVa, b для b = —1. Отметим,
что случай IVa, b вполне прост и результаты сопоставимы со случаем I, в
котором неподвижная точка (г, z) = (^//^2 — fJ-'i/a^, —Mi/a) не испытывает
вторичной бифуркации Хопфа, а остается седлом во всей области своего
существования Д2 > /if/a^. Однако при а > О эта точка испытывает
бифуркацию Хопфа, устойчивость которой вновь не определяется 2-струей.
В этом случае также имеется первый интеграл
G{r,z) = h-y''(f,2-j4T-^')- G-4.21)
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 473
И2=М\/0-'^
[Q /.,=//,42+
Va)/2fl^
Рис. 7.4.4. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты для
случая Иа-ИЬ; b — +1, о < 0. Фазовые портреты на кривой Д2 ~ 1л\/а?, jUi т^ 1
топологически эквивалентны портретам над двумя ветвями этой кривой (сравните
с рис. 7.4.3).
Читатель может проверить, что clG/dt = {dG/dr)r + {dG/dz)z = О на
решениях системы
г = arz,
2 2
Z = 112 — Г — Z .
G.4.22)
Это позволяет прийти к выводу о существовании в случае III однопарамет-
рического семейства периодических орбит, оканчивающихся гомоклиниче-
ским циклом, соединяющим седловые точки (г, z) = (О, i^/ju^) для jii = О,
474
Глава 7
Рис. 7.4.5. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты для случая
Ш; b — —1, о > 0. Фазовые портреты на кривой fj.2 ~ Alo^ топологически
эквивалентны портретам под двумя ветвями этой кривой.
Д2 > 0. Бифуркационные множества и фазовые портреты приведены на
рисунках 7.4.5 и 7.4.6.
Упражнение 7.4.6. Проделайте вычисления устойчивости и бифуркаций,
необходимые для проверки правильности фигур на рисунках 7.4.5 и 7.4.6.
Мы назвали фигуры 7.4.4 и 7.4.5 частичными бифуркационными
множествами и фазовыми портретами, так как квадратичных членов,
включенных в 2-струю G.4.9), недостаточно в этих случаях для определения типа
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 475
/B=/'1Уа^
Рис. 7.4.6. Бифуркационное множество и фазовые портреты для случая IVa-IVb; b —
= —1, о < 0. Фазовые портреты на кривой Д2 ~ Mi/o^ топологически эквивалентны
портретам под двумя ветвями этой кривой.
бифуркации Хопфа. Мы вскоре вернемся к этому вопросу, рассмотрев
сначала следствия из полученных в случаях I и IVa, b разверток для полного
векторного поля G.4.1)-G.4.2), с которого мы начали.
Заметим, что в то время как неподвижные точки на оси z (г = 0)
соответствуют неподвижным точкам полной системы, неподвижные
точки {ro,zo) для Го > о соответствуют периодическим орбитам. Это можно
уяснить из рассмотрения двумерного сечения Пуанкаре
Т^ = {{г, в, z) \ в = 0; г > О г, \z\ достаточно малы}
476
Глава 7
и
Гг^
w'ir)
Потоки
сечения Пуанкаре
w4r)
W\r)
ы
(а)
t
(b)
Рис. 7.4.7. Два трехмерных фазовых потока, соответствующих деформациям
плоского векторного поля: (а) случай 1, Д1 > О, Д2 € (О, 1л\/а?); (Ь) случай IVa-IVb,
2/2
для трехмерного потока развернутой системы
г = Д1 + arz + 0C),
„2
= CJ
Z
М2 + Ьг"^
Z
Z
G.4.23)
+ 0C),
в предположении, что плоская система G.4.9) имеет гиперболическую
неподвижную точку {ro,zo), Го > О, где го, l^ol <С 1. Очевидно, что
окружность 7 = {{i",(),z) \ г = Го, Z = zq, в G [0,27г)} является
гиперболической замкнутой орбитой для 5*^-симметричной усеченной системы, так
как величина в = о; + 0(г^, z^) положительна для малых г, \z\. Более
того, поскольку такое предельное множество гиперболично, оно сохраняется
при малых возмущениях, таких как добавление членов старших порядков
и членов, не обладающих S'^-симметрией, точно так же, как
сохраняются гиперболические неподвижные точки на оси z (хотя они могут сойти с
этой оси при несимметричных возмущениях). На рисунке 7.4.7 изображены
'Здесь 0C) означает члены, степени не ниже 3. — Прим. ред. перев.
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 477
W"(r)
2/2
W'ip)
2/9
111
Рис. 7.4.8. Бифуркация Хопфа для трехмерного потока, случай I (сравните с
рис. 7.4.2).
трехмерные фазовые портреты и соответствующие отображения Пуанкаре
для двух структурно устойчивых деформаций.
Мы можем также сделать вывод, что «невырожденные» бифуркации
коразмерности один, имеющие место в случаях I и IVa, Ь, естественным
образом переходят в «невырожденные» бифуркации коразмерности один
для полного трехмерного потока, в общих чертах подобно тому, как
результаты усреднения вынужденных колебаний переходят на отображение
Пуанкаре (см. разделы 4.1-4.3). В частности, бифуркации «седло-узел»,
происходящие при Д2 = О, остаются «седло-узлами», однако
симметричная бифуркация «вилка» на кривой дг = Mi/a^ соответствует бифуркации
Хопфа для трехмерного потока (см. рисунок 7.4.8).
Таким образом, в случаях I и IVa, b наложение бифуркаций Хопфа и
«седло-узел» в дважды вырожденной неподвижной точке с собственными
значениями [±iuj, 0) не приводит к неожиданностям: мы просто получаем
до двух неподвижных точек и одной замкнутой орбиты, как в ршдивидуаль-
ных бифуркациях коразмерности один. Теперь деформация в данных
случаях по существу завершена, и мы не будем рассматривать их в дальнейшем.
Два других случая Па, b и III значительно тоньше, так как в них
плоское векторное поле может обладать замкнутыми орбитами. Прежде чем
рассмотреть следствия из присутствия таких орбит для трехмерного потока,
изучим эффект от добавления членов старшего (третьего) порядка в плоской
системе и покажем, как они в типичной ситуации определяют тип
бифуркации Хопфа, а также число замкнутых орбит, которые могут появиться.
Начнем с возврата отброшенных кубических членов в систему G.4.9):
-Z + [сг^ + drz^),
/iir + arz
Д2 + Ъг"^ - z^ + {er^z + fz-^).
G.4.24)
478 ГЛАВА 7
Поскольку Л1шейная часть системы G.4.24) равна нулю при Цг = Ц2 =
= О, то теорема 3.3.1 о нормальной форме не содержит информации о том,
как устранить из G.4.24) нелинейные члены старшего порядка при
помощи замен координат. Тем не менее, упоминаемые в этой теореме замены
переменных, отличающиеся от тождественных членами старших порядков,
а также репараметризация векторного поля могут использоваться для
изменения в G.4.24) коэффициентов в кубических членах. Мы проделаем это
наиболее общим образом, учитывая симметрию системы G.4.24)
следующим образом. Вначале введем новые координаты
S = гA +gz),
W = z + hr'^+iz'^, G.4.25)
T = {l+jz)-h
и подставим их в систему G.4.24):
ds
dT
dw
dr
= fiis + asw + {c + bg — ah)s^ + {d — g — ai + aj)sw +
G.4.26)
= Д2 + bs^ - w^ + (e - 2bg + 2(a + l)h + 2Ы + bj)s^w+
+ (/ - i)w^ + Rw{s, W, Д1, Д2)-
Отброшенные члены имеют порядок не ниже четвертого по s, w, за
исключением нескольких членов третьего порядка, делящихся на jii.
Игнорируя эти члены старшего порядка, выберем коэффициенты д, h,
г, j так, чтобы максимально упростить уравнения G.4.26). «Новые»
коэффициенты при кубических членах, получаемые в результате замены координат,
линейно выражаются через д, h, г, j при помощи матрицы
b
-1
-26
0
—а
0
2а+ 2
0
0
—а
26
0
0 ■
а
6
-1
М= I о, 0.1 о оГ Г ; G-4.27)
т. е. если вектор v имеет координаты (д, h, i, j), то вектор Mv имеет
компоненты {(Ъд — ah), . .., —j), добавленные соответственно к членам s^, suP',
s^wvLW уравнений G.4.26). Данная матрица имеет ранг три, а ее ядро
порождается вектором (а, 6, —1, 0). Следовательно, мы можем выбрать {д, h, г, j)
таким образом, что система G.4.26) будет иметь единственный
ненулевой коэффициент. Поэтому далее в данном разделе мы будем считать, что
в G.4.24) с = d = е = 0,и рассматривать кубическое возмущение (О, fz^).
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 479
Дальнейший анализ аналогичен случаю двойного нулевого
собственного значения из раздела 7.3, где при помощи «раздувания» было показано,
что вырожденное положение равновесия {r,z) = @,0), имеюгцее место
при 111 = 112 = О, содержит «в зародыше» гомоклинические орбиты. Для
этого мы выберем масштабированные переменные таким образом, чтобы
периодические орбиты G.4.19) (а также G.4.22)) сохраняли свой размер
при 111, 112 -^ О вдоль лучей. Положим
г = ей, Z = ev, Д1 = e'^ui, ii^ = e^V2 G.4.28)
и сделаем замену независимой переменной t -^ et, при этом система G.4.24)
примет вид
й = auv + eviu,
2 2 ч G.4.29)
V = V2 + bu — V + efv .
При е = О мы получаем вырожденную 2-струю в точке бифуркации /ii =
= /i2 = О, и, подобно разделу 7.3, мы должны рассмотреть малые
возмущения интегрируемой системы
й = auv,
2 G-4.30)
V = 1^2 + bu — V
с интегралом (при а ^ —1)
Fiu,v) = ^u^/^[u2 + ^^u^-v^] G.4.31)
(см. уравнения G.4.20)-G.4.21)). Однако здесь система негамильтонова
(если только а 7^ 2), а наличие дробных степеней в интеграле G.4.31)
свидетельствует о сложности использования аналитических вычислений. Мы
лишь наметим программу действий.
Напомним, что интересующие нас случаи, в которых имеются
непрерывные семейства периодических орбит, таковы:
(Па-ПЬ:) Ь = +1, а < О, гУ2 = ^ = -К О
(III:) Ь= -1, а > О, гУ2 = +1 > 0.
(Заметим, что, как и в разделе 7.3, мы можем без потери общности
положить 1^2 = ±1, так как изменения исходного параметра Д2 можно достичь за
480 ГЛАВА 7
счет изменения е.) В первом случае мы имеем семейство неограниченных
периодических орбит, окружающих центр {u,v) = A,0), а во втором
случае — семейство периодических орбит, окружающих центр {u,v) = A,0)
и приближающихся к гомоклинической петле F{u, v) = О, соединяющей
седловые точки {u,v) = (О, ±1).
Для исследования системы G.4.29) удобнее умножить ее на
коэффициент м'^/'''^^, получая в результате
й = au"v + euiu",
G 4 32)
V = -Ъи"-^ + bu"+^ - м"-1«2 + efu"-^v^ '^= к{х) + el{x, д),
где а = 2/а. Поскольку при и > О система G.4.32) является просто рас-
щиренной версией векторного поля G.4.29), то фазовые кривые этих двух
систем топологически эквивалентны. Кроме того, при е = О система G.4.32)
уже гамильтонова, где роль гамильтоновой функции энергии играет
функция G.4.31). Таким образом, если мы сможем показать, что для О < е <С 1
и подходящего выбора линейных и кубических коэффициентов
возмущения (г^1,/) сохраняются изолированные замкнутые кривые уровня, то тем
самым будет доказано, что в исходной системе G.4.29) для
соответствующих значений Д1, Д2 и т.д. имеют место изолированные периодические
орбиты. Кроме того, если эти замкнутые кривые появляются и исчезают
при изменении параметров устойчивым образом, то такое поведение
сохраняется и при других (меньших) возмущениях плоского вегагорного поля,
таких как включение членов старших порядков. Однако, как мы увидим,
это поведение не целиком переносится на трехмерный поток.
Применяя к данной проблеме теорию Мельникова' из разделов 4.5-4.6,
а также теорему Грина, мы придем к выводу, что данная кривая уровня Г
функции F будет сохраняться для значений параметра, близких к дп, если
только интеграл
/ tiDl{x,ij.)dx G.4.33)
intr
имеет простой нуль по отношению к д при д = до- В данном случае
дивергенция равна
tr DI = aviu"-^ + 3/м"-1«^ = {avi + 3/«^)м"-^ а = 2/а. G.4.34)
(Мы автоматически имеем ti Dk = О, так как к гамильтонова.)
Следовательно, мы должны искать в допустимом диапазоне такие значения К, для
Точнее говоря, теорию Пуанкаре - Понтрягина. — Прим. ред. перев.
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 481
которых F^^{K) является замкнутой кривой Тк и
а [[ \иг + ^v^]u^^''-Uudv = 0. G.4.35)
int Гк
В общем случае эти интегралы можно рассчитать численно, а в частном
случае К = О, рассмотренном в работе Keener [1981] и соответствуюгцем
гомоклинической нетле в случае III, они сводятся к гамма-функциям. Тем
не менее, Zholondek [1984] провел оценку данных интегралов для обгцего
случая и доказал, что корни уравнения G.4.35) определяют щ как
некоторую монотонную функцию от К, если / ^ 0. Следовательно, сугцеству-
ет диапазон значений параметра, в котором G.4.24) имеет единственный
предельный цикл. Здесь мы приведем лишь простейшие расчеты, чтобы
выяснить местоположение гомоклинических орбит и бифуркаций Хонфа
при а = 2 (а = 1), так как в этом случае вычисления по алгоритмам
Мельникова приводят к эллиптическим интегралам, а граничные значения К,
соответствуюгцие гомоклиническим орбитам и бифуркациям Хопфа,
определяются из элементарных интегралов.
Уравнение G.4.35) принимает вид (после сокрагцения на а)
{vi + 3fv^) du dv = О, G.4.36)
int Га.
И кривые на уровне К задаются формулой
u(l-y^-v^^=K; G.4.37)
см. рисунок 7.4.9.
Кривая на уровне К = О содержит гомоюпшическую петлю с двумя
седловыми точками. Интегрирование формулы G.4.36) при К = О приводит
к следуюгцим интегралам:
Уз Уз
иг Ul-^du + f f[l-^y^\u. G.4.38)
о о
Вычисление этих интегралов приводит к такому результату:
л/Зтг,
16
-DгУ1+3/) = 0. G.4.39)
482
Глава 7
(ОД)
@,-1)
'К=%
.(V3,0)
Рис. 7.4.9. Невозмущенные линии уровня G.4.34) (случай Ш, а — 2).
Это уравнение определяет расположение гомоклинических петель (с
точностью до величины порядка е), откуда в переменных, использовавшихся до
масштабирования, получим для кривой гомоклинической бифуркации
Ml
3//U2
■0{е)
G.4.40)
(Напомним, что в случае III, в котором существует гомоклиническая орбита,
мы имеем г^2 = +1, Ь = —1.)
Нри определении устойчивости гомоклинической петли заметим, что
два седла расположены в точках (m,v) = (О, ±1 + ef /2) + 0{е^). Сумма
логарифмов собственных значений в этих точках равна
е{щ+Ъ!) + 0{е^)=е{^-1)+0{е^),
G.4.41)
где надо, в силу G.4.39), подставить vi = —3//4 (см. упражнение 6.1.4).
Таким образом, гомоклиническая орбита устойчива, если / < О, и
неустойчива, если / > 0.
Упражнение 7.4.7. Вычислите интегралы G.4.36) для К G (О, 2/3) как
полные эллиптические интегралы. Покажите, что они определяют vi как монотонную
функпию от К (полезной может оказаться статья Byrd, Friedman [1971]).
Упражнение 7.4.8. Продифференцируйте G.4.36) по К, получите dvi/dK
и покажите, что эта функция не имеет нулей. (Подсказка: поскольку интегралы
от полных дифференциалов равны нулю, данные интегралы можно упростить, см.
Sanders, Cushman [1984а, b].)
Далее рассмотрим влияние на бифуркацию Хопфа кубических членов.
Нри наличии единственного кубического члена в G.4.29) бифуркация
Хопфа по-прежнему происходит на оси vi = 0. Устойчивость этой бифуркации
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 483
легко определить, вычислив, что дивергенция правой части этого
уравнения равна "iefz^ (напомним, что в этом анализе а = 2). Следовательно,
точка бифуркации Хопфа является слабым аттрактором при / < О и слабым
репеллером при / > 0.
Из результатов этих расчетов и упражнений 7.4.7-8 следует, что
если /< О (соответственно, / > 0), то существует единственный
притягивающий (соответственно, отталкивающий) предельный цикл для
системы G.4.29) для каждой пары значений параметров jii, ji2 из сектора,
ограниченного линиями /ii = О и /ii = —3//i2/4 + 0{е), см. рисунок 7.4.10.
Хопф:/B Гомоклиника:/^2=-4/(i/3/
Рис. 7.4.10. Завершение построения бифуркапионной диаграммы для случая III
при / < 0.
Упражнение 7.4.9. Пусть X — плоское векторное поле вида f -\- д, где / —
гамильтонова часть. Допустим, что (а) / имеет в нуле равновесие с чисто мнимыми
собственными значениями, (Ь) д@) = О и (с) дивергенция д имеет в начале
координат невырожденный максимум, равный нулю. Покажите, что коэффициент Хопфа в
нормальной форме для X в точке О отрицателен.
Прежде чем продолжить рассмотрение следствий для трехмерного
потока, заметим, что, так как семейство периодических орбит в случае Па, b
становится при if ^ О неограниченным, вычисления возмущений,
подобные приведенным выше, не дают полной информации. Например, в то время
как бифуркацию Хопфа можно «стабилизировать» за счет добавления
членов более высокого порядка, так что малые замкнутые орбиты,
появляющиеся вблизи этой бифуркации при изменении Д1, Д2, будут притягивающими
484 ГЛАВА 7
или отталкивающими, эти орбиты могут затем неограниченно расти и,
следовательно, покидать любую фиксированную (малую) окрестность начала
координат. Мы не можем предсказать судьбу таких орбит из расчета
возмущений, которые справедливы лишь локально.
Упражнение 7.4.10. Исследуйте бифуркации в случае Иа, Ь, где а — —2.
(В этом случае интеграл принимает вид F{u, v) = A/и)A + и^ + v'^)-)
В заключение данного раздела рассмотрим, к каким последствиям для
трехмерного потока приводят найденные выше периодические орбиты и
гомоклинические петли. Заметим, что если плоская система имеет
гиперболическую (притягивающую или отталкивающую) замкнутую орбиту, то
соответствующий трехмерный поток имеет гиперболический ршвариантный
тор с тем же типом устойчивости. Это следует из того факта, что
отображение Пуанкаре для усеченной 5*^-симметричной системы имеет гладкую
гиперболическую инвариантную кривую, сохраняющуюся при малых
возмущениях. Данный анализ требует некоторой тонкости, поскольку
гиперболичность данной инвариантной кривой определяется величиной малых
параметров /ii, Д2, т.е. относительно слаба. Тем не менее, возмущения от
членов старших порядков все-таки меньше (loss, Langford [1980]).
Заметим, что итоговый двухпериодический поток на торе имеет одну
«быструю» частоту (и ш), соответствующую быстрой переменной в, и одну
медленную частоту (и ^/Ъщ^, см. G.4.18)), соответствующую вторичной
бифуркации Хопфа для плоской системы. Следовательно, можно ожидать
увидеть быстрые колебания с медленной модуляцией. Отметим, что если
имеет место случай, показанный на рисунке 7.4.10, то следует ожидать
замедления роста медленных модуляций «после» бифуркации, так как
период вторичных колебаний в данной гомоклинической бифуркации
неограниченно возрастает. Некоторые экспериментальные измерения конвекции в
ртути, помещенной в магнитное поле (существенно двухнараметрическая
проблема), выполненные в Libchaber et al. [1983], показывают в точности
такое поведение. Более того, при возрастании периода медленных
модуляций Libchaber наблюдал рождение хаотических колебаний, чего следует
ожидать, как мы теперь покажем, при возмущении гомоклинической петли.
Рассмотрим 5*^-симметричный трехмерный поток, соответствующий
гомоклинической бифуркации, см. рисунок 7.4.11 (а, Ь). Гомоклиническая
петля переходит в инвариантную сферу, заполненную гетероклинически-
ми орбитами, соединяющими два седла, дополненную отрезком оси z,
лежащим между ними. Такое совпадение двух двумерных многообразий в
трехмерном пространстве является, очевидно, исключительным, и можно
ожидать их расщепления, приводящего к трансверсальному пересечению,
как показано на рисунке 7.4.11(c). Для доказательства того, что такое
расщепление и последующая сложная динамика с подковами действительно
7.4. Чисто МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 485
^^ .
(а)
(с)
(d)
Рис. 7.4.11. Гомоклинические петли приводят к существованию подков: (а) плоская
петля; (Ь) инвариантная сфера для S^-инвариантного потока; (с) трансверсальные
гетероклинические орбиты (расщепление на сфере в разрезе); (d) аналог
конструкции Шильникова.
Глава 7
имеют место, покажем, что если скалярное векторное поле испытывает го-
моклиническую бифуркацию, то должны существовать значения
параметров, для которых трехмерный поток, не обладающий S'^-симметрией, имеет
гомоклиническую орбиту к спиральному седлу аналогично примеру Шиль-
никова из раздела 6.5. Детали оставляем читателю в качестве следующего
упражнения.
Упражнение 7.4.11. Рассмотрите типичную гомоклиническую бифуркацию,
изображенную на рис. 7.4.10, и покажите, что для возмущений полного
трехмерного потока, не обладающих S -симметрией, выполнены условия теоремы Шильнико-
ва. Сформулируйте в явном виде нужные предположения о невырожденности (см.
Guckenheimer, Holmes [1981]).
Мы можем ожидать сохранения гладкого инвариантного тора при
сходе с кривой, на которой происходит гомоклиническая бифуркация, причем
динамика на этом торе по мере уменьшения числа вращения и
приближения к гомоклинической бифуркации характеризуется сложным
чередованием интервалов, на которых поток периодичен или квазипериодичен.
Однако прежде возникновения подков и хаоса, ассоциирующихся с
гомоклинической бифуркацией, такие торы теряют гладкость и разрушаются.
Именно вопрос взаимодействия данных торов с близлежащими
периодическими движениями и их «взрыва» остается пока невыясненным, некоторые
конкретные примеры рассмотрены в работах Aronson и др. [1982], Rand и
др. [1982], Feigenbaum и др. [1982] и Greenspan, Holmes [1983]. В плоской
системе дополнительные сложности возникают при наличии бифуркаций
периодических орбит тина «седло-узел». Этот случай систематически
изучен в Chenciner [1982].
Заметим, что из факта существования трансверсальных гомоклиниче-
ских орбит и подков для значений параметров вблизи кривых,
соответствующих гомоклиническим бифуркациям в плоской системе, и их отсутствия
вдали от таких кривых следует необходимость возникновения гомоклиниче-
ских касаний при изменении параметров. В свою очередь, отсюда следует
наличие явлений, обсужденных в разделах 6.6-6.7 — диких
гиперболических множеств и стоков Newhouse. Ввиду этого возможность построения
полной устойчивой деформации общей трехмерной задачи в виде
некоторого двухнараметрического семейства сомнительна.
Подведем итог: мы обнаружили, что взаимодействие бифуркаций
«седло-узел» и Хопфа, рассматриваемое в рамках сужения трехмерного потока
на некоторое центральное многообразие, может приводить к неожиданно
сложным вторичным бифуркациям, включающим двоякопериодические
потоки, трансверсальные гомоклинические орбиты и подковы. Такие
глобальные явления естественным образом возникают при изучении локальных
бифуркаций коразмерности два и обнаруживаются при тщательном анализе
плоского векторного поля.
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений ... 487
Некоторые очевидные модификации этого примера связаны с
существованием для всех значений параметров «тривиальной» неподвижной
точки z = 0. Тогда седло -узел превращается в транскритическую бифуркацию,
а 2-струя принимает вид
г = Uir + arz,
2 2 G-4.42)
Z = I12Z ±r — Z .
Другая возможность возникает при наличии ^2-симметрии в направлении
оси z: седло-узел превращается в бифуркацию типа «вилка», а к-струя
начинается с однородных членов третьего порядка. По существу, такой случай
сводится к проблеме, рассматриваемой в следующем разделе, и мы обсудим
его позднее (см. loss, Langford [1980]). Первый из случаев был рассмотрен
в работе Langford [1979] без включения кубических членов, при этом было
показано существование инвариантных торов без определения их
количества или устойчивости. Мы предлагаем этот случай читателю в качестве
заключительного упражнения.
Упражнение 7.4.12. Изучите деформацию
г = /лг + arz,
,2 2
Z = fl2Z ±r — Z
{e = cj + 0{2))
и классифицируйте возможные случаи, добавляя при необходимости члены
старшего порядка.
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений
в отсутствие резонанса^
В данном разделе мы рассмотрим четырехмерный поток, обладающий
положением равновесия с двумя парами чисто мнимых собственных
значений. Будем предполагать, что отсутствуют резонансы до четвертого порядка
включительно (т. е. mtui + nuj2 ф О при |ш| + \п\ ^ 4, так что нормальная
форма 3-струи имеет вид (Takens [1974а])
г\ = l^iri + aiiri + ai2rirl + 0{\г\^),
Г2 = Ц-2Г2 + а21г\г2 + а22Г2 + 0{\г\^),
G.5.1)
ei=a;i + 0(|rp),
e2=^2 + 0{\rf),
См. Гаврилов [28]. — Прим. ред. перев.
Глава 7
где 111, 1^2 — параметры деформации. Как и ранее, мы можем много узнать
о динамике этой системы из рассмотрения плоского векторного поля,
получаемого путем игнорирования азимутальных компонент.
Вначале выполним масштабирование для уменьшения числа
коэффициентов. Полагая f i = ri yjonj, Г2 = Г2 д/|а22|, опуская черту сверху и при
необходимости масштабируя время, получим систему
h =ri(^i +rl +brl)
г 2 = 'Г2(М2 + Crl +drl),
„ „ d = ±l, G.5.2)
где b = ai2/\a22\, с = a2i/|aii|- Как показал Takens [1974a], 3-струя
для G.5.1) при Д1 = Д2 = О является определяюгцей (по отношению к воз-
мугцениям старших порядков, обладающим подходягцей симметрией) при
условии, что aij ^ О и aiia22 — Я120'21 т^ О, откуда следует, что в G.5.2)
d—bc^O. Далее мы будем полагать эти условия выполненными. Takens
обнаружил девять топологически различных классов эквивалентности,
некоторые из которых показаны на рис. 7.5.1 и в таблице 7.5.1.
Таблица 7.5.1. Девять вырожденных неподвижных точек
Тип 1: Две инвариантные прямые: A — с) (d — 6) < 0.
la: d = +1, любые подходящие значения Ь, с (Takens la. Id)
lb: d^-1, c> 0 > 6, -1 - bc> 0 (Takens lb)
Ic: d = — 1, все остальные значения b, с (Takens Ic)
Тип 2: Три инвариантные прямые: A — c){d — b) > 0.
2а: d — +1, A — Ьс)/A — 6) > О, все подходящие значения Ь, с (Takens 1Га,1ГA)
2Ь: d = +1, A — &с)/A — &) < О, все подходящие значения Ь, с (Takens П'е)
2с: d = -1, (-1 - Ьс)/(-1 - 6) > О, 6 < -1, с < 1 (Takens И'Ь)
2d: d = -1, (-1 - &с)/(-1 - Ь) < О, & < -1, О 1 (Takens П'с)
2е: d = -1, (-1 - Ьс)/{-1 - 6) < О, & > -1, с < 1 (Takens П'Ь)
2f: d = -1, (-1 - Ьс)/(-1 -b)>0, Ь > -1, с < 1 (Takens П'с)
Заметим, в частности, что инвариантные прямые, проходящие через
начало координат Г2 = л/{1 — c)/{d — b)ri, существуют при условии A —
— c)/{d — 6) > О, но, в отличие от Takens, мы не делаем различия между
фазовыми портретами, эквивалентными при обращении времени.
Например, случаи 1а и Id здесь объединены в 1а. В свою очередь, Takens допускал
перестановку ri и г2, в отличие от нашего подхода, при котором
зафиксирован коэффициент при rf, равный единице. На рисунке 7.5.1 показан лишь
положительный квадрант на плоскости (г1,Г2), так как фазовые портреты
симметричны относительно обеих осей. Рисунок 7.5.1 следует
рассматривать в совокупности с таблицей 7.5.1, в которой для удобства приведена
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
489
Рис. 7.5.1. Девять фазовых портретов для вырожденного векторного поля. Отметим,
что 2с и 2е, 2d и 2f соответственно топологически эквивалентны, если мы разрешаем
обращение времени и отражение относительно диагональной инвариантной прямой.
также классификация Takens (в опубликованном варианте статьи Takens
некоторые рисунки неверно пронумерованы).
Упражнение 7.5.1. Проверьте правильность фазовых портретов на рис. 7.5.1,
в частности, направлений потока на инвариантных прямых и в секторах между
ними. Покажите, что при d = ±1 и &, с, d — Ьс ^ О не существует топологических
типов, отличных от представленных (см. раздел 1.8, уравнение A.8.23) и
упражнение 1.8.11).
Приведенная выше классификация вырожденных неподвижных точек
не вполне удобна при изучении деформаций. При этом мы имеем двенадцать
различных случаев, перечисленных в таблице 7.5.2 (отметим, что в более
ранних работах, в которых изучались такие развертки (Holmes [1980d], loss,
Langford [1980]), применялась другая схема нумерации).
490
Случай
la
lb
Глава 7
Таблица 7.5.2. Двенадцать деформаций.
II III IVa IVb V Via VIb Vila Vllb VIII
d +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
b ++ + --- + + + ---
с ++- + -- + -- + + -
d-bc + - (+) (+)+-(-)+- + - (-)
Данная классификация основана на анализе вторичных бифуркаций
типа «вилка» из нетривиальных положений равновесия плоского векторного
поля. Заметим, что точка (п, гг) = @,0) всегда является положением
равновесия, кроме того, в положительном квадранте могут иметь место до трех
следуюгцих положений равновесия:
(Г1,Г2) = (VS^I, 0) прИД1<0,
(Г1,Г2) = (О, ^-^2/d) ПрИД2Й<0,
G.5.3)
где А = d — Ьсм d = ±1.
Упражнение 7.5.2. Покажите, что бифуркация типа «вилка» из точки @,0)
происходит на прямых jii = О и Д2 = О, из точки (л/—Д1, 0) — на прямой Д2 ~ cjii,
а из точки (О, —^—ji-ild — на прямой \i2 = dfii/b. Исследуйте типы устойчивости
этих бифуркаций.
Аналогично предыдущему разделу, поведение системы остается
сравнительно простым до тех пор, пока в ней не происходят бифуркации Хопфа
из неподвижной точки (fi,f2) = (\/&Д2 — dfj,i)/A, -y^(c/ii — /^2)/^)- Для
обнаружения таких бифуркаций линеаризуем уравнения движения в
окрестности этой неподвижной точки. В итоге получим матрицу
G.5.4)
G.5.5)
/Ui +3rf + brl 2Ьг1Г2
2cfif2 Д2 + crl + 3df2
^1еющей след, равный
2
■j[fj,id{c- l) + ^2(&-d)],
определитель, равный
-^[F^2-C?Ml)(cMl -M2)].
G.5.6)
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений ... 491
Учитывая условия G.5.3) существования данной неподвижной точки,
получим, что бифуркации Хопфа могут иметь место лишь на прямой
>'^ = b-d ' ^^-^-^^
где
A = d-bc>0. G.5.8)
Отсюда сразу следует, что в случаях lb, IVb, V, VIb , Vllb и VIII
бифуркация Хопфа невозможна. Нетрудно также показать, что такая бифуркация
невозможна в случаях 1а, II, III и IVa, так как для ее осуществления
необходимо, чтобы угловой коэффициент прямой G.5.7) d{l — с)/{Ь — d) лежал в
промежутке между угловыми коэффициентами прямых, соответствующих
«вилкам»:
М2 = c/ii, /i2 = —г- G.5.9)
в подходящем секторе плоскости (/ii, /12). Как показывают несложные
расчеты, в каждом из вышеупомянутых четырех случаев данное требование
противоречит условию А> Q.
Мы рассмотрим далее некоторые из этих деформаций, оставляя
вычислительные подробности и остальные случаи читателю. Поскольку
расчеты, необходимые для проверки этих бифуркационных множеств и фазовых
портретов относительно просты, но утомительны, мы просто
представляем результаты на рисунках 7.5.2-7.5.4. Как обычно, мы не делаем различия
между узлами и фокусами. В конце приведены случаи Via и Vila, в которых
бифуркация Хопфа может иметь место. Как и в предыдущем разделе, мы
приведем в заключение краткое обсуждение следствий из этих результатов
для развертки четырехмерного потока G.5.1), а также для трехмерного
потока в Z2-симметричной проблеме пары чисто мнимых и простого нулевого
корня
г = ахг^ + а2гг'^,
e = cj + 0(|r,zp), G.5.10)
Z = Ъгг Z + b2Z^,
Зттомянутой в конце предыдущего раздела.
Упражнение 7.5.3. При помощи методов, изложенных в главах 1 и 3, убедитесь
в правильности бифуркационных множеств и фазовых портретов, представленных
на рисунках 7.5.2-7.5.4.
Заметим, что хотя фазовые портреты некоторых из этих деформаций
сводятся при /ii, /i2 ^ О к одному и тому же вырожденному случаю, полные
492
Глава 7
И-2=И\/Ь
Случай lb
Рис. 7.5.2. Деформации для случаев 1а и lb (сравните с вырожденными
случаями 1а, 2а).
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
493
/'2=С/^1
Цч=Ц\/Ь
tz'-t^\'
Случай IVa
И2=И\/Ь
Случай IVb
Рис. 7.5.3. Деформации для случаев IVa и IVb (сравните с вырожденными
случаями 1а, 2а и 2Ь соответственно).
494
Глава 7
/'2=-/'i
Иг=сЦ\
Случай Vila
1
,
%
Л^
1
\\
Ьу
^ц,=сц^
л
5>
V,
;V
h
1
[ V
ъ
//'2=-/'l/^
~:>-
/ ' »
tix
'
V
^ »
Случай Vllb
Рис. 7.5.4. Деформации для случаев VIb и Vllb (сравните с вырожденным
случаем 1с).
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
495
системы существенно различны, так как имеют в соответственных секторах
бифуркационных множеств разное число особых точек или точки с разным
типом устойчивости. Однако, поскольку инвариантные лучи для
вырожденных особенностей типа 2 не сохраняются, наши деформации не различают,
к примеру, вырожденные типы 1 а и 2а.
Упражнение 7.5.4. Определите бифуркационные множества и фазовые
портреты для деформаций в случаях II, III, V и VIII.
/^2=/(i(c-l)/6+l
^•2=-l^\/b
Рис. 7.5.5. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты для
деформации в случае Via.
Рассмотрим теперь случай Via, в котором может произойти бифуркация
Хопфа. Некоторые бифуркационные множества и фазовые портреты для
этого случая представлены на рис. 7.5.5. Как и в предыдущем разделе, на
линии бифуркации Хопфа G.5.7) система
гг = п(М1 +г1 + Ъг^),
Г2 =Г2\ Ml
6 + 1
2 2
+ СГ-^ — Г 2
G.5.11)
496
Глава 7
интегрируема, а функция
где а = 2A - с}/А, /3 = 2A + Ь)/А, а 7 =
..Р/
irl).
G.5.12)
1 + &)/A
с), постоянна вдоль
def
решений. В случае Via имеем Ь > Q > с, А = —1 — Ьс> Q, fn = — /i < О,
поэтому линии уровня этой функции имеют вид, показанный на рис. 7.5.6.
@,V^(l-c)/(l+6))
(V-a/A+6). V-a/A+6))
@,0)
(V:i7,0)
Рис. 7.5.6. Линии уровня F[ri, Г2) для случая Via F > О >
с).
Упражнение 7.5.5. Проверьте, что функция G.5.12) постоянна на решениях
системы G.5.11), и убедитесь в правильности рисунка 7.5.6.
Для «стабилизации» вырожденной бифуркации Хопфа и определения
топологического типа этой деформации вновь необходимо добавление
членов старгиих порядков. В данном случае такую роль играют однородные
члены пятого порядка:
ri{ert + frlr^+grl), Г2(/гг^ + jr^rl + fcr|). G.5.13)
За счет выбора системы координат можно добиться того, чтобы все шесть
коэффициентов е, .. . ,к в G.5.13), кроме одного, обратились в нуль. Как
и в случае одного нулевого и пары чисто мнимых собственных значений,
рассмотренном в разделе 7.4, мы выясним влияние замен переменных вида
si = ri{l + Ir-i + тг2),
S2 = Г2A +nrl + ОГ2),
т = {I + prl + qrl)-^t
G.5.14)
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
497
на члены пятого порядка. Как и прежде, данные формулы имеют наиболее
общий вид среди замен третьей степени, сохраняющих соответствующую
симметрию. В итоге получаем
dsi
dr
ds2
dr
= sl + bsisj + (e +p)sl + (/ + 2Ы + Bc - 2)m - 2bn + bp + q)sls2 +
+ {g + 2dm - 2bo + bq)siS2 + 0E),
= csf S2 + ds2 + (/i — 2cl + 2n + cp)sfs2 +
+ {j - 2cm + {2b - 2d)n + 2co + dp + cq)slsl + {k + dq)sl + 0E).
G.5.15)
Члены пятого порядка вновь преобразуются по линейному закону с
матрицей
0 0 О О 1 01
2& 2с-2 -2Ь О & 1
О 2d О -26 О b
-2с О 2 О с О
О -2с 26-2d 2с d с
0 0 О О О d.
G.5.16)
Эта матрица имеет ранг, равный пяти, а ее ядро является линейной
оболочкой вектора A, 6, с, d, 0,0). В соответствии с этим мы можем
предположить, что в G.5.13) все коэффициенты, кроме одного, равны нулю.
Возьмем e = / = g = /i = j=On изучим влияние возмущения (О, fcr|) на
3-струю G.5.2).
Добавляя данный член пятой степени в исходное уравнение G.5.2),
где d = — 1, и воспользовавшись преобразованием
Г1=л/еи, r2=\/ev, /ii = eui, 112 = £J^i
c-1
e^U2 G.5.17)
с одновременным масштабированием времени t -^ et, получим
й = u{vi + и^ + bv^),
V = vivA -—-) + си — V j + sv{u2 + kv ).
G.5.18)
Мы вновь сталкиваемся с изучением малых возмущений
интегрируемой системы. Умножая уравнения G.5.18) на интегрирующий
множитель u"~^v^^~^, получим «эквивалентную» возмущенную гамильтонову си-
498
Глава 7
стему
u = u'^v'^-^{ui+u^ +bv^),
,а — 1
уз
Vl
1
Можно проверить, что функция
+ си^ — «^ + e{v2 + kv'^)
G.5.19)
F{u,v) = j-u"vf^
1 — С
G.5.20)
является гамильтонианом для системы G.5.19) при е = О, если
А= -1-Ьс,
2A-с) ^ 2A + 6)
А
А
как и прежде. При изучении случая Via можно без ограничения общности
считать, что ui = —1.
Вновь воспользуемся теорией Мельникова^ из разделов 4.5-4.6 для
анализа зависимости периодических орбит от параметра U2 и коэффициента К.
Обозначая замкнутую линию уровня F(u,v) = К как Г к, вычислим нули
функции
/Зг^2 + (/3 + 4)kv'^]u"-4^-^ du dv
G.5.21)
intPii
ДЛЯ нахождения значении 1^2, при которых имеют место периодические
орбиты. Если функция G.5.21) имеет простой нуль (как функция от К), то
г^2
(/3 + 4)fc // u"-'^v^+^dudv
intTK
13 If u"-^vf^-'^dudv
\iATk
G.5.22)
является таким значением параметра, для которого вблизи Г^ имеется
периодическое решение. Как и в разделе 7.4, данные интегралы в общем
случае можно лишь оценить численно, но, согласно сообщению van Gils
et al. [1985], Zholondek доказал, что формула G.5.22) определяет V2 как
монотонную функцию от К при к ^ 0.
В случае, когда в G.5.2) 6 = 3, с = —3, имеем а = /3 = 1 и
система G.5.2) гамильтонова при Ц2 = —/ii- Мы проведем для этого частного
Речь идет о теории Пуанкаре - Понтрягина. — Прим. ред. перев.
7.5. Две пары чисто мнимых собствеппых значений .
случая расчеты значении параметров, при которых имеется гомоклиниче-
ская петля. Гамильтониан имеет вид
F{u,v)=uv{-l + u^+ v'^) G.5.23)
(в данном случае ui = —1). Гомоклиническая петля лежит на линии
уровня F = О и представляет собой границу четвертой части круга и^ + «^ = 1.
Таким образом, мы находим
1
[1У2 + 5kv^] du dv = [{1У2л/1-и^ + fc(l - и')^/^) du=^ + ^.
int Го О
Отсюда получаем условие
G.5.24)
- 5/сGг/32) 5А-
7Г/4 о
Применяя преобразование G.5.17), где Ц2 = —evi + е^г^г а г^1 = —1, е =
= fJ-i/vi = —/ii, получим приближенное выражение для бифуркационной
кривой, соответствуюгцей гомоклинической петле, в виде
М2 = -Ml - -g-/i?. G.5.26)
На рисунке 7.5.7 показана бифуркационная диаграмма в случае fc < 0.
Читатель может проверить тип устойчивости бифуркации Хопфа и
гомоклинической бифуркации по аналогии с разделом 7.4.
Упражнение 7.5.6. Оцените интегралы G.5.24), заменяя Го на Тц
для К G (— ^, О 1 при помощи эллиптических интегралов для последнего случая
(в центре {u,v) ={-, - ), F{u,v) = — о )• Затем постройте па плоскости {iii, fi2)
бифуркационные кривые для периодических орбит.
Упражнение 7.5.7. Проведите для данного примера расчеты, необходимые для
определения типа устойчивости бифуркации Хопфа по аналогии с разделом 7.4. Тем
самым определите частный критерий для суб- и суперкритических бифуркаций в
терминах коэффициента формы пятой степени G.5.13) (при е = ... = j = 0).
Оставшийся случай Vila даже более сложен, чем только что
рассмотренный, так как в действительности он содержит в зависимости от
коэффициентов Ь, с три различных подслучая. Они определяют, лежит ли
линия, соответствуюгцая бифуркации Хопфа, в первом, третьем или четвертом
500
Глава 7
/^2 = -3/i, /^2
Гомоклиника: ур.G.5.26)
Хопф: /^, = -/(
Ц2=-И\/'^
Рис. 7.5.7. Завершение построения деформации случая Via F = —с = 3) при fc < О,
показывающее существование семейства притягивающих замкнутых орбит.
квадранте. Эти три случая показаны на рисунке 7.5.8 и соответствуют
разверткам в вырожденных случаях 2е, lb и 2с соответственно. Во всех этих
случаях функция G.5.12) инвариантна на решениях, если
/i2=/ii(|^) G.5.27)
(т. е. на прямой, соответствующей бифуркации Хопфа). Заметим, однако,
что в этих случаях, по крайней мере, один из индексов а, C отрицателен,
ввиду чего данный интеграл сингулярен в точке (г1,Г2) = @,0). Из этого
факта следует выпучивание линий уровня, согласующееся с наличием в
начале координат истока или стока.
Мы не будем обсуждать уточнение этих бифуркационных множеств и
фазовых портретов при помощи добавления членов пятого порядка.
Заметим лишь, что, аналогично разделу 7.4, замкнутые орбиты, появляющиеся в
бифуркации Хопфа, могут стать неограниченными, ввиду чего нельзя
ожидать от локального анализа исчерпывающей информации.
Выше мы лищь наметили метод исследования, необходимого для за-
верщения классификации этих двумерных деформаций. Полное
исследование общих эффектов, обусловленных членами пятого порядка, было бы
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
501
/'2=-/'lA
(b)
(с)
Рис. 7.5.8. Три подслучая для случая Vila (сравните с вырожденными случаями 2е,
lb и 2с соответственно): (а) b > —1, с > 1; (b) 6 > —1, с < 1 или b < —1, с > 1;
(с) 6 < -1, с < 1.
502 ГЛАВА 7
ценным достижением, но мы должны признать, что мы сами уклоняемся
от решения этой задачи. Возможно, что подробные исследования должны
дополнительно стимулироваться обнаружением частных случаев в
физических приложениях. Одно их таких приложений (Di Prima et al. [1982, 1983])
будет упоминаться в следующем разделе.
В заключение обсудим выводы, которые можно сделать на основе
полученных результатов о полном четырехмерном потоке системы G.5.1). Здесь
имеются два вращения di и cj^, которые следует восстановить для
завершения анализа. Как легко видеть, имеется следующее соответствие:
Плоская система Четырехмерный поток
Неподвижная точка (Г1,Г2) = @,0) тривиальная неподвижная точка;
(Г1, Гг) = (^1, 0) периодическая орбита периода ~ 27r/a)i;
(Г1,Г2) = @,Г2) периодическая орбита периода ~ 27г/аJ;
{г1,Г2) = (г1,Г2) инвариантный 2-тор с периодами ~ 2-кJlox,
к, 2-к/ш2;
Периодическая орбита инвариантный 3-тор с периодами ~ 27r/a)i,
^ 2ж/и02] и 0{1/1Лг).
Последний (долгий) период на 3-торе ассоциируется, естественно, с
бифуркацией Хопфа в плоской системе. И вновь здесь можно ожидать наличия
тонких резонансных явлений, и четырехмерный аналог гетероклинических
орбит, подобных изображенным на рисунке 7.5.7, будет включать трансвер-
сальные пересечения трех- и двумерных инвариантных многообразий для
пары замкнутых орбит. Таким образом, как и в разделе 7.4, мы надеемся
найти узкий «клин» вокруг линии бифуркации Хопфа, в котором имеется
хаотическая динамика, включающая трансверсальные гомоклинические
орбиты и подковы. Кроме того, известно, что малые возмущения трехпериоди-
ческих потоков на трехмерных торах могут привести к рождению странных
аттракторов (см. Newhouse et al. [1978] и раздел 5.5), поэтому можно
ожидать, что этот случай даже сложнее рассмотренного в разделе 7.4. Мы почти
ничего не знаем о том, какие бифуркации присущи таким 3-торам или
фазовым потокам на них или как эти торы могут терять дифференцируемость
и разрушаться.
В конце этого незаконченного рассказа заметим, что построенные нами
выше плоские деформации можно применять к случаю одного нулевого и
пары чисто мнимых корней с Z2-симметрией, для которого вырожденная
3-струя имеет вид G.5.10). Holmes [1980с1] и loss, Langford [1980]
рассмотрели некоторые аспекты этой задачи, и мы оставляем подробное установление
соответствия читателю. Приведем также список нормальных форм в
некоторых сильно резонансных случаях, в которых частоты uji и cj2 связаны
целочисленными соотношениями с небольшими коэффициентами. Анализ
этих случаев пока далеко не закончен, хотя некоторые частные подслучаи
7.6. Приложения к многомерным системам 503
были частично исследованы, в частности, в работах Steen, Davis [1982],
Bajaj, Sethna [1982]:
Сильный резонанс cj2 = ^i:
*! = -Ш +X2,
Ш =Xi +У2,
Х2 = -J/2 - {birj + Ъ2Г1)У2 + {hrl + Ъаг1)х2 - {cirj + C2r|)j/1 +
+ (С.3Г1 + С4г|)ж1 + с.5[(ж1 - у1)х2 + 2a;ij/ij/2] +
+ Ce[2xiyiX2 -У2{х\ -yl)] +Cj[xi{xl -yl) +2у1Х2У2] +
+ С8[2Х1Х2У2 - yi{xl - yl)],
У2=Х2 + {birf + &2Г|)Ж2 + {bsrl + &4r|)j/2 + {cirf + С2г|)ж1 +
+ {сзг1 + саг1)у1 + cs[2xiyiX2 - [xf - 2/1J/2]-
- Ce[x2{xl - yl) + 2Х1У1У2] + Сг[2х1Х2У2 - yiixj - J/|)]-
-С8[х1{х1-у2)+2у1Х2У2]- G.5.28)
Здесь слагаемые вида Cj [... ] являются добавочными резонансными
членами, а г| = а;^ + у^. В терминах комплексных переменных Zi = Xi + iy,
имеем
ii = izi + Z2, G.5.29)
Z2 = iz2 + aizfzi + a2Z^Z2 + a3ZiZ2Zi + aiZiZ2Z2 + «s-^l^i + aQZ2Z2.
Сильный резонанс cj2 = 2cJi = 2cj:
Xi = -LOyi + a{xiX2 + У1У2) + Ъ{Х2У1 - Х1У2),
j/i = а;ж1 + а{х1у2 - Ж2У1) + b{xiX2 + У1У2),
X2 = -2uiyi + c{x\ - yl) - 2d{xiyi),
У2 = 2i^x\ + 2с{ххУ\) - d{x\ - y\).
G.5.30)
7.6. Приложения к многомерным системам
В этом заключительном разделе мы кратко обсудим некоторые
приложения теории, развитой в данной главе, к проблемам, включающим
уравнения в частных производных и бесконечное число степеней свободы. При
работе с такими многомерными системами часто бывает затруднительно
применить методы, изложенные в данной книге, так как они обычно
требуют ясного геометрического представления о расположении траекторий
в фазовом пространстве. Однако необходимость непосредственного
интегрирования уравнений во многих случаях можно обойти в малых областях
значений параметров вблизи кратной бифуркации. «Решение» таких задач
504 ГЛАВА 7
включает значительное количество обычных алгебраических расчетов, но
весь анализ динамики проводится в пространствах низкой размерности.
Более подробное обсуждение каждого из рассматриваемых примеров можно
найти в цитируемой литературе, здесь же представлены лишь основные
моменты исследования.
Желательно представить системы с бесконечным числом степеней
свободы как гладкие потоки на бесконечномерных функциональных
пространствах. Необходимость использования функционального анализа для
строгой формальной реализации этой идеи значительно усложняет наше
исследование. Эту сложность в значительной степени удается преодолеть,
применяя подходящий вариант теоремы о центральном многообразии
(теорема 3.2.1), дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в книгах
Marsden, McCracken [1976], Holmes, Marsden [1978], Henry [1981] и Carr
[1981]. В рассматриваемых нами примерах теорема о центральном
многообразии (Marsden-McCracken) предполагается применимой, и формальные
вычисления ведутся на ее основе.
Мы хотим отыскать для данной системы точки, в которых имеют
место кратные бифуркации. Особый интерес представляют такие положения
равновесия, для которых весь спектр лежит в левой полуплоскости, за
исключением нескольких собственных значений на мнимой оси. Именно такая
ситуация возникает при потере устойчивости положения равновесия, и мы
надеемся отыскать новые асимптотические состояния со сложной
динамикой, определяемой нормальной формой. Определение таких точек кратных
бифуркаций зачастую является трудноразрешимой проблемой, которую
редко удается решить полностью в реальных задачах. Однако в типовых задачах
некоторые дополнительные аспекты, например симметрия, часто позволяют
упростить вычисления.
Мы рассмотрим два примера, служагцих иллюстрацией данного обгцего
подхода.
Пример I. Первым из описываемых примеров является термосолевая
конвекция в слое жидкости. Горизонтальный слой несжимаемой жидкости
глубины d имеет фиксированную температуру и концентрацию соли на
верхней и нижней границах. И температура, и концентрация соли влияют на
плавучесть жидкости, и мы полагаем эту зависимость линейной. Динамика
описывается следуюгцей системой уравнений:
vt + V • Vv = i Vp + g(aT - /35) + i^V^v, div v = 0,
G.6.1)
^+vVT-«;^=fcV2T, ^+vVS-w^ = ksV^S,
at a at a
где V — скорость жидкости, w — вертикальная компонента скорости, Т —
отклонение температуры от линейной функции, S — отклонение концентра-
7.6. Приложения к многомерным системам 505
Щ1И соли от линейной функции, ДТ — разность температур поперек слоя
жидкости, р — плотность, р — давление, g — гравитационный вектор, к —
термодиффузия, kg — солевая диффузия, v — кинематическая вязкость, а —
зависимость плавучести от температуры, /3 — зависимость плавучести от
концентрации соли.
Подробности вывода этих уравнений можно найти в работе Huppert,
Moor [1976]. Общие сведения о конвекции и потоках, возбуждаемых
плавучестью, можно найти в Turner [1973]. Приведенный ниже анализ был
стимулирован изучением работ Knobloch, Proctor [1981], DaCosta et al. [1981],
Knobloch, Weiss [1981], в которых для изучения усеченных моделей
использовались амплитудные разложения, что по существу совпадает с
применяемыми нами нормальными формами. Siegmann, Rubenfeld [1975] вывели
такие же уравнения для модели термосолевой конвекции в петле. Затем
Guckenheimer, Knobloch [1983] использовали методы центрального
многообразия в аналогичной, с математической точки зрения, задаче о конвекции
во вращающемся слое и непосредственно сравнили полученные результаты
с амплитудными разложениями. Кроме того, Сагг, Muncaster [1982]
рассмотрели задачу в петле с позиции теории центральных многообразий.
Будем изучать движения, для которых у-компонента скорости равна
тождественно нулю. Введем для скорости функцию течения %p и исключим
из G.6.1) слагаемое, содержащее давление, взяв ротор от первого уравнения.
После масщтабирования система G.6.1) примет такой вид:
Tt + ^,-J(^,T) = V'T, G.6.2)
St + ф^- J(^, S) = TV'S,
где J{f,g) = fx9z - fz9x, o" = i^/k, т = kg/k, a Rt = gaATd^/ku, Rs =
= gP/S.Sd^/kv — числа Рэлея.
Для облегчения вычисления спектра линеаризованной в окрестности
тривиального решения ф = Т = S = Q системы G.6.2) возьмем граничные
условия %p = tpzz = Т = S = О при Z = О ж Z = 1. Отметим, что эти
условия не соответствуют большинству экспериментов. Однако они имеют
то преимущество, что собственные функции линеаризованной системы для
решения в виде чистой проводимости имеют простую форму:
Сфоз'т7ткх\
То cos тгкх ]
So cos тткх/
506 ГЛАВА 7
где (р, Г1, к) удовлетворяют уравнениям
+ атк^+т:^ак^{К8-тКт)=0 G.6.3)
к' = тг^{п' + к%
Собственные значения с максимальной вещественной частью
соответствуют значениям ге^ = -, п = 1. Это может быть простой нуль, пара
чисто мнимых собственных значений или нулевое собственное значение
кратности два. Последний случай реализуется, если
{а + т + ат)к^ - 7т^ат^к-^{Ят - Rs) = О,
а „ „ G.6.4)
Упражнение 7.6.1. Проверьте правильность формул G.6.3) и G.6.4).
В отсутствие горизонтальных граничных условий система G.6.2) имеет
непрерывный спектр (величина к в G.6.3) может изменяться непрерывно) и
теорема Marsden, McCracken [1976] о центральном многообразии
неприменима. Если наложить либо периодическое граничное условие с периодом L,
либо условие ф = Тх = Sx = О при ж = О и при х = L, то собственные
функции линеаризованной системы будут иметь тот же вид, но к будет
ограничено дискретными значениями. За исключением тех дискретных
значений величины L, для которых два из допустимых значений к = m/L
приводят к решениям уравнения G.6.3) с одинаковой максимальной вещественной
частью, наиболее вырожденной бифуркацией, которая может иметь место
в устойчивом тривиальном положении равновесия, является пара нулевых
корней. Мы обсудим вычисление нормальной формы (нелинейных членов)
после знакомства со вторым примером.
Пример П. Происхождение второго примера связано с изучением
движения упругой панели под действием осевой нагрузки и потока жидкости,
направленного вдоль ее панели. Более полное описание системы, а также
подробности функционально-аналитических методов, необходимых для
доказательства существования, единственности и гладкости решений в
бесконечномерном фазовом пространстве, можно найти в работах Holmes [1977,
1981а] и Holmes, Marsden [1978].
Па рисунке 7.6.1 приведен эскиз физической системы. Сверхзвуковое
течение жидкости проходит поверх тонкой пластины, закрепленной на
ребрах z = 0n2; = ln свободной при у = О ж у = I. Кроме того, пластина
7.6. Приложения к многомерным системам
507
2=0
2=1
Рис. 7.6.1. Движение упругой панели под действием осевой нагрузки и потока
жидкости.
подвержена действию продольной механической нагрузки Г • /. Скорость
жидкости выражается через динамическое давление р. Пользуясь
безразмерными величинами и считая, что панель при изгибе образует
цилиндрическую поверхность (так что смещение ^(z, у, t) = w{z, t) не зависит от у),
получим следующее нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, по
существу являющееся одномерным вариантом уравнений Кармана для
тонкой пластины:
wtt + awtzzzz + \/p5wt + <T-K, I w^{S,)dS,-(J / w^{S,)w^t{S.)dS,\wzz+
■Wz
pWz
0. G.6.5)
Здесь w = w{z,t) — трансверсальное перемещение панели, а,сг > О —
параметры линейного вязкоупругого трения, соответствующего панели, S
характеризует трение жидкости, а к > О является мерой нелинейных осевых
(мембранных) восстанавливающих сил, возникающих в панели вследствие
трансверсального смещения. Все эти величины мы считаем в данной задаче
постоянными, допуская, однако, изменение двух параметров Г и р
(механическая нагрузка и скорость течения). Поэтому, следуя общим соображениям,
изложенным в главе 3, мы ожидаем обнаружить в данной задаче
бифуркации коразмерностей один и два. Добавим к уравнениям G.6.5) граничные
условия, соответствующие случаю простой (шарнирной) опоры:
w{0,t)
W,
,{0,t)=w{l,t)=Wzz{l,t)=0.
G.6.6)
Явное решение линеаризованных уравнений G.6.5) с условиями G.6.6)
не представляется возможным, в отличие от термосолевой задачи. Одна-
508
Глава 7
ко мы можем использовать метод Галеркина для аппроксимации
линейной задачи при помощи некоторой последовательности конечномерных
задач. В методе Галеркина система G.6.5)-G.6.6) рассматривается как поток,
определенный на некотором гильбертовом пространстве Н. Выберем в Н
ортонормированный базис {фj}, составим разложение
G.6.7)
и подставим его в G.6.5). При этом формально получим бесконечную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
/i(«i.
, ,ai,
G.6.8)
При усечении этой системы, получаемом при обнулении всех мод uj
при j > п ж отбрасывании всех уравнений для dj при j > п, получим
конечномерную систему, спектр которой можно исследовать численно.
В задаче о панельном флаттере положим Н = L^{Q, 1) и ф^ = sinj'ttz.
Усечение для п = 2 имеет вид
Й1 + (атг** + ^/p5)ai + 7Г^GГ^ — r)ai — (8р/3)а2 + /i(ai>ai>a2>a2) =0,
Й2 + A6а7г"' + ^/р5)а2 + (8p/3)ai +Ait'^{A-k'^ — Г)а2 + /2(ai, ai, ^2, а2) =0,
G.6.9)
где
/i
-[к{а1 + Аа^) + a{aiai + 4a2a2)]ai,
G.6.10)
/2 = 2'к'^[к{а\ + 4:0,1) + cr{aiai + 4а2а2)]а2.
Переписывая G.6.9) в виде системы уравнений первого порядка, получим
систему
x = A^x + f{x); хеЛ'^,цеШ.^, G.6.11)
где
А„
X = {ai,a2, ai, «2)^, f{x) = (О, О, -Д, -/2)^,
0 0 1 О
0 0 0 1
7г2(Г-7г2) 8/3/3 -{a^т'^ + ^S) О
-8/3/3 47г2(Г-47г2) О -(Хбатг-*-
a/i = (r,p)^
G.6.12)
двумерный параметр.
«0 =
ai --
«2 =
«3 =
= 47г4(Г -
= -^^[(г
= [атт^ +
-7Г^)(Г-47Г'
-7г^)A6а7г'*
^S){16a7T^
= 17аИ + 2^6.
-) + eV/s,
+ ^pS)+4{r-
+ у^(^)-7г2EГ
47г^)(а7г**
-170,
7.6. Приложения к многомерным системам 509
Мы рассмотрим бифуркации тривиального положения
равновесия w{z,t) = о или X = 0. Устойчивость этой неподвижной точки
определяется собственными значениями матрицы А, являюгцимися корнями
уравнения четвертой степени
А + азХ + а2Х +aiX + ao=0,
где
^' '^ G.6.13)
Поскольку начало координат всегда является неподвижной точкой
для G.6.11), а нелинейные члены в G.6.10) имеют третий порядок,
естественно ожидать в точке ж = О при наличии простого нулевого
собственного значения бифуркацию типа «вилка». Очевидно, что А^ имеет простое
нулевое собственное значение, если ао = О, а а^ ^ О (j = 1, 2, 3), т. е. для
p=|7rV(r-7r2)D7r2-r). G.6.14)
Такие бифуркации могут произойти только для Г G [7Г^,47Г^].
Кроме того, «вторичные» бифуркации могут произойти из
нетривиальных неподвижных точек, рождаюгцихся из равновесия ж = 0. Оказывается,
что они являются складками.
Упражнение 7.6.2. При помощи непосредственных вычислений найдите
множество положений равновесия системы G.6.11) и проверьте, что бифуркация типа
«вилка» происходит на кривой G.6.14). Покажите, что бифуркации типа
«складка» имеют место на множестве {(Г,/?) | /> = Этт /8, Г > бтг /2}. Покажите, что
точка (Г, р) = E7г^/2, 97г^/8) соответствует некоторой бифуркации с простым
нулевым собственным значением и вырождением старшего порядка. Исследуйте эту
бифуркацию.
Двойное нулевое собственное значение имеет место для значений а =
= 0,005 ж S = 0,1 в точке
МО = (Го, Ро) ~ B,23^^ 1,11И) G.6.15)
(при этом в G.6.13) ао = ai = 0), и это наиболее вырожденная из
возможных бифуркаций. Имеется надежда, что при усечениях системы G.6.8)
510 ГЛАВА 7
более высокого порядка будут обнаружены точки кратных бифуркаций, схо-
дягциеся к некоторому пределу. Однако расчеты собственных значений в
системах высокой размерности, так же как и доказательство сходимости,
очень сложны (см. Holmes, Marsden [1978]).
После нахождения для наших примеров точек кратных бифуркаций
встает вопрос о построении соответствуюгцих этим бифуркациям
нормальных форм. Для этого требуется вычисление центральных многообразий и
нормальных форм на этих многообразиях до достаточно высокого
порядка, так чтобы можно было воспользоваться результатами нредыдугцих
разделов. Такие расчеты могут быть громоздкими и требовать значительных
усилий, однако имеется перспектива их алгоритмизации и автоматизации.
Поскольку в обоих наших примерах имеется двойное нулевое собственное
значение, то можно использовать результаты раздела 7.3.
Упражнение 7.6.3. Покажите, что обеим обсуждаемым задачам (о
термосолевой конвекции и о панельном флаттере) ирисуищ Жг-симметрия.
Симметрия обеих задач обуславливает отсутствие в нормальных
формах квадратичных членов вида G.3.3). Вместо этого они содержат
кубические члены вида G.3.22), поэтому необходимо проводить разложение по
формуле Тейлора, по крайней мере, до третьего порядка.
Для системы с двумя модами G.6.11) непосредственные (но
громоздкие) вычисления показывают, что кубические коэффициенты нормальной
формы G.3.22) равны приблизительно
аз « -0,303fc7г^ 6з « -0,043/с7г^ G.6.16)
Эти вычисления несколько упрощаются тем, что оказывается достаточной
аппроксимация центрального многообразия касательным пространством.
Основная часть расчетов связана с приведением линейной части
системы G.6.11) к подходягцей блочно-диагональной форме C.2.13).
Подробности можно найти в статье Holmes [1981а], в которой, однако, имеются
некоторые вычислительные ошибки.
Мы приходим к выводу, что бифуркационные диаграммы на
плоскости (Г, р) вблизи точки iiQ имеют вид, представленный на рисунках 7.3.7
и 7.3.9. Предположив, что такая точка кратной бифуркации имеет место и
для полной системы G.6.5), Holmes, Marsden [1978] доказали, что
вынужденные колебания панели будут хаотическими (см. раздел 4.5).
Вычисления нормальной формы в термосолевой задаче в точке кратной
бифуркации можно выполнить полностью, однако такая возможность
определяется специфическими свойствами описывающих ее уравнений. В
частности, поскольку нелинейные члены уравнений G.6.2) имеют второй
порядок, а произведение двух тригонометрических функций можно
преобразовать в сумму, то лишь конечное число мод определяет нормальную форму
7.6. Приложения к многомерным системам 511
на центральном многообразии. В этом примере для вычисления ьсубических
членов в нормальной форме требуется учет пяти мод. Такой расчет в
другой форме бьш проведен в работе Knobloch, Proctor [1981]. Ниже приведены
разложения для ф,Т, S:
ф = a{t) sinGrQ:a;) sin ttz,
Т = b{t) cos{irax) sin ITz + c{t) sin27r2;, G.6.17)
S = dif) со8Gго;.т) sin Tiz + eif) sin 2tiz,
причем обобщенное собственное пространство для нулевого собственного
значения лежит в трехмерной линейной оболочке мод а,Ь и d. Подставляя
данное разложение в G.6.2) с последующей проекцией на подпространство,
натянутое на пять мод, представленных в G.6.17), получим систему
а = -ак^а - аЩКтЪ + a^R.d,
к^ к^
о
о = —тгаа — ко т^ас,
с=-4Л+^а6, G.6.18)
2
d = —тгаа — тк d^ ^(^с,
с = -Ап\е + ^ad.
Бифуркационное множество для данного примера на плоскости {Rs,Rt)
вблизи кратной бифуркации показано на рисунках 7.3.4-5.
Упражнение 7.6.4. Вычислите нормальную форму системы G.6.18) для
значений {Rs, Rt), удовлетворяющих G.6.4). (Подсказка: хотя нулевое собственное
пространство лежит в координатном пространстве {а,Ь,с), проекция функций G.6.17)
на это подпространство линейна. Для расчета кубических членов нормальной формы
необходимо определить центральное многообразие до членов второго порядка, что
приводит к результату с ~ ааЬ/8, е ~ (а/8т)ас?. При подстановке этих выражений
в уравнения для мод (а, Ь, с) вычисления намного упрощаются.)
Упражнение 7.6.5. Покажите, что включение дополнительных мод при
вычислении нормальной формы для термосолевой задачи не повлияет на уравнения
для кубической нормальной формы.
Описанные выше две задачи, по-видимому, являются типичными
приложениями теории бифуркаций коразмерности два, представленной в
предыдущих разделах. Заслуживают упоминания и два следующих примера.
512 ГЛАВА 7
Одномерная система «реактор-диффузор» (см. Auchmuty, Nicolis [1975,
1976])
Xt = DiX^^ + X'^Y - (B + 1)X + A,
, ^ ^ G.6.19)
Yt = D2Y^^ - X^Y + BX,
с граничными условиями X{0) = ХGг) = Аи Y{0) = Y{Tr) = В допускает
кратные бифуркации нескольких типов из устойчивого тривиального
решения. Особого упоминания здесь заслуживает кратная бифуркация с одним
нулевым и парой чисто мнимых собственных значений. Деформации этой
бифуркации можно построить, решив следуюгцую задачу.
Упражнение 7.6.6. Покажите, что существует область значений параметров,
в которой имеются инвариантные двумерные торы. Хотя мы не можем установить,
что эти торы переходят в трансверсалъные гомоклинические траектории, данный
пример представляет систему уравнений в частных производных, для которой
можно показать существование хаотических рещений с нерегулярным
пространственным поведением. Подробности, касающиеся этого примера, можно найти в работе
Guckenheimer [1981].
Второй пример возникает в классической задаче о динамической
устойчивости течения Couette жидкости между вращающимися цилиндрами.
DiPrima et al. [1982, 1983] рассмотрели случай, в котором цилиндры
могут вращаться в противоположных направлениях и в качестве параметров
выступают две скорости их вращения. На плоскости параметров
существуют такие точки, в которых две моды одновременно теряют устойчивость,
причем одной из таких точек отвечает простое нулевое и пара чисто мнимых
собственных значений. Однако в данном случае присущая физическому
эксперименту Хг-симметрия обуславливает нормальную форму вида G.5.10).
Один из двух рассмотренных случаев описывается деформацией вида Vila
(рис. 7.5.8(a)), поэтому в этой задаче также можно ожидать наличия
двумерных торов и хаотических решений. DiPrima et al. вычислили даже члены
пятого порядка, необходимые для завершения определения плоского
векторного поля в данном случае, хотя эти расчеты пока не завершены.
Общий метод использования теории кратных бифуркаций для поиска
хаотических решений уравнений в частных производных кажется
продуктивным. Экстраполяция решений с малой амплитудой, найденных вблизи
кратных бифуркаций, приводит к вопросу о том, каковы должны быть «пути
к хаосу» в конкретных системах и как они могут меняться при изменении
второстепенных параметров. Однако к настоящему времени хаос,
обнаруженный вблизи бифуркаций коразмерности два, был мягким и, как правило,
охватывал лишь несколько пространственных мод. Дальнейшая разработка
данной идеи должна опираться на теорию бифуркаций более высокой
коразмерности, ожидающую энергичного читателя, который напишет новую
главу по этому вопросу. Желаем удачи!
Приложение
Предложения для дальнейшего чтения
Мы очень тщательно подошли к выбору тем, освещаемых в этой книге.
Поэтому это приложение было добавлено в качестве дорожного знака с
указателями в направлении близких областей исследований, которые могут
заинтересовать многих читателей. В библиографии перечислены лишь те
работы, на которые есть ссылки в тексте. Обширные библиографии для
динамических систем и теории катастроф были составлены Ширайвой (Shiraiwa)
[1981] и Зиманом (Zeeman) [1981].
Наша трактовка теории динамических систем сформулирована в
стиле «школы Смейла», которая восходит к работе Смейла и его студентов
во время 1960-х. Обзорная статья Смейла [1967] содержит ясное
изложение программы развития этой обрасти исследований. Работа Смейла [1980]
является обновленной версией этой важной статьи. В контексте этих
исследований рассматривались несколько т1шов проблем. При грубом разделении
мы получаем три категории состоящие из:
• вопросов структурной устойчивости;
• топологических свойств систем с аксиомой А (системы Аносова); и
• задач, связанных с бифуркацией.
Для дальнейшего изучения этих вопросов читатель может изучить
существующие курсы лекций, учебники, обзорные статьи и публикации
докладов научных конференций. Серия докладов, сделанных на крупнейших
конференциях, позволяет увидеть превосходную картину эволюции этого
направления:
Беркли 1968 — Черн и Смейл [1970]
Варвик 1969 — Чиллингворт [1971]
Байя 1971 -Пейксото [1973]
Варвик 1974 - Маннинг [1975]
Рио де Жанейро 1976 — Палис и де Кармо [1977]
Нортвестерн 1979 — Нитеки и Робинсон [1980]
Варвик 1980 - Ранд и Янг [1981]
Рио де Жанейро 1981 — в печати
514 Приложение. Предложения для дальнейшего чтения
В дополнение к обзору Смейла см. также Роббин [1972], Боуен [1978] и
Франке [1982]. См. также курсы лекций и учебники для этой области
исследований: Нитеки [1971], Боуен [1975], Шуб [1978], Ирвин [1980], Ньюхаус
[1980], Кушниренко и др. [1981] и Палис и де Мело [1981].
Существует несколько близких точек зрения на динамические
системы, развивавшихся параллельно внутри школы Смейла. Работы Хейла и
его сотрудников были основаны на инвариантных многообразиях и при
бифуркационном анализе использовались альтернативные методы. В работе
Чоу и Хейл [1982] представлено систематическое изложение этих
исследований с обсуждением бифуркаций коразмерности два. Саттингер [1973],
Иоосс [1979] и Иоосс и Джозеф [1981] рассматривали теорию бифуркаций
с близкой точки зрения, и эти подходы являются более аналитическими,
чем геометрический подход представленный в этой книге. Арнольд [1982]
и Корнфилд и др. [1982] являются примерами обширного вклада советских
математиков в теорию динамических систем, и некоторые из этих работ
предшествовали работам школы Смейла.
Книга Корнфилд и др. [1982] представляет вероятностный подход к
изучению д1шамических систем, восходящий к работам Колмогорова.
Работа Синая, Руэля и Боуэна по статистической механике систем Аносова
является одним их примеров этой точки зрения. Важные недавние
исследования Песина [1977], Руэля [1979] и Катока [1980] с использованием
методов, основанных на эргодической теории, включают теоремы о
существовании инвариантных многообразий для общих систем.
Традиционное изучение динамических систем связано с гамильтоновы-
ми системами. Книги Арнольда [1978] и Абрахама и Марсдена [1978]
содержат современное математическое изложение этой теории. Монографии
Арнольда и Авеца [1968] и Мозера [1973] и книга Лихтенберга и Либермана
[1982] уделяют большее внимание проблемам хаотического движения в Га-
мильтоновых системах. Также отметим, что важная книга Биркгофа [1927]
недавно была переиздана.
Заимствование с 1975 года из статистической физики методов ренор-
мализации и масштабирования привнесло новую перспективу в изучение
динамических систем и теорию бифуркаций. Это направление
исследований быстро развивается и пока еще не пришло к единому изложению.
Отметим несколько важных работ: Феигенбаум [1978], Коллег и др. [1980],
Камнанино и Энстейн [1981], Ланфорд [1982], Феигенбаум и др. [1982] и
Ранд и др. [1982].
Многие бифуркационные задачи возникают в контексте теории
дифференциальных уравнений в частных производных и физических систем
с бесконечным числом степеней свободы. В этой ситуации при попытке
применить результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных
уравнений, сложности функционального анализа выходят на передний план.
Приложение. Предложения для дальнейшего чтения 515
Введение в эти вопросы см. в работе Марсдена и Маккракена [1976], и
более поздний обзор см. в Марсден [1981]. Большая часть этих исследований
в области дифференциальных уравнений в частных производных связана с
изучением положений равновесия и их устойчивости, в то время как
другие динамические свойства остаются за кадром. Голубитский и Шеффер
проводят исследования в рамках новой программой изучения этих задач
с использованием методов теории сингулярностей. Их книга Голубицкий
и Шеффер [1985] служит введением в эту область исследований. В
Томпсон и Хант [1973] исследуются проблемы упругой потери устойчивости с
инженерной точки зрения, в то время как в Антман [1984] приводится
элегантное математическое изложение как классических так и современных
задач теории балок и пластин. Тесно связана с этой работой о бифуркации
положений равновесия теория катастроф Тома (Том [1975], Зиман [1977],
Постои и Стюарт [1978]).
В этой книге мы решили проиллюстрировать применение методов
теории динамических систем к конкретным задачам нелинейных колебаний.
Значительная часть исследований в этой области рассматривается в
инженерно-технической литературе, хотя, за исключением работ Андронова и
соавторов [1966, 1971, 1973], эти исследования проводились
изолированно от математических исследований, описанных выше. Учебник Нейфеха
и Моока [1979] содержит обширный список современных работ в области
нелинейных колебаний с инженерной точки зрения, но с сильным уклоном
в сторону методов теории возмугцений. Сборник статей под редакцией Леф-
шетца [1950, 1952, 1956, 1958, 1960] представляет математическую точку
зрения на ранние работы в области нелинейных колебаний.
Существует разнотипная и разрозненная литература о анализе
методами теории динамических систем конкретных задач в инженерном деле и
прикладных науках. С улучшением методов автоматического сбора данных
и осведомленности о периодических явлениях количество такой
литературы о приложениях быстро возрастает. Эта книга была написана была
написана в надежде удовлетворить нужды таких пользователей, но мы
уделили мало места самим приложениям. Труды конференции в Сайта Барбаре
(Джорна [1978]), Асиломаре (Холмс [1980а]), Нью-Йоркской академии
наук (Гурел и Рёсслер [1979]), Хеллемане ([1980]) и Лос Аламосе (Кампбелл
и Росе [1983]) содержат примеры приложений разного рода. Мы
надеемся, что наша книга вдохновит читателей на поиски и исследования других
приложений.
Послесловие, добавленное при втором
издании
На наше пожелание, выраженное в конце приложения к первому
изданию, последовала бурная ответная реакция, возможно даже чересчур
бурная. За последние три года появились буквально сотни статей, в которых
для изучения дифференциальных уравнений и итерационных отображений,
возникающих в практически каждой области исследований, использовались
методы (или но крайней мере язык) теории динамических систем. Были
опубликованы несколько книг и монографий. Появились полезные и
достойные упоминания сборники статей под редакциями Цвитановича [1984]
и Хао [1984], которые содержат статьи, важные с точки зрения физиков, с
сильным уклоном в сторону ренормализации, методов масштабирования и
явлений «универсальности». В Шустер [1984] также представлено введение
в некоторые из перечисленных вопросов с физической точки зрения. В
отличие от перечисленных работ Девани [1985] содержит самодостаточное
и строгое изложение теории итерационных отображений, начршающееся с
несколько более элементарного уровня по сравнению с данной книгой.
В аналогичном выдержаны книга Голубицкого и Шаффера [1985] и
грядущий выпуск второго тома (Голубицкий и Стюарт [1987]), в которых
содержится полное изложение теории бифуркаций с точек зрения теории сингу-
лярностей и теории групп, хотя основное внимание уделяется исследованию
положений равновесия и устойчивого периодического поведения систем.
В последние годы по тематике динамических систем состоялись
несколько национальных и международных конференций. Отметим
сборники докладов трех таких конференций (Лес Хоучес 1981, Лос Аламос
1982 и Ситджес 1982) под редакциями Кэмпбела и Роуза [1983], Хеллема-
на и др. [1983] и Гарридо [1983]. Далее мы отметим важные открытия и
продвижения в вопросах, рассматривавшихся в главах 3-7.
Глава 3
Поскольку теория локальных, единичной коразмерности бифуркаций
векторных полей и отображений была изложена в относительно
завершенном виде уже в первом издании, то с тех пор к этой области исследований
добавились всего лишь несколько результатов. Однако в задаче вычисления
аппроксимаций рядами Тейлора центральных многообразий и нормальных
Послесловие, добавленное при втором издании 517
форм было получено одно интересное и потенциально многообещающее
продвижение. Были созданы пакеты программ, использующие языки
символьных преобразований, такие как MACSYMA и SMP. Эти программы
позволяют производить вычисления, которые совершенно невозможно
выполнить вручную. Введение в применения MACSYMA в общем контексте
прикладной математики с уклоном в теорию возмущений см. в Ранд [1984].
Глава 4
После первого издания этой книги метод Мельникова
использовался для изучения гомоклинических бифуркаций в нескольких системах на
плоскости и пространствах более высоких размерностей. См., например,
Робинсон [1983, 1985], Садам и Састри [1985], Конелл и Вошбурн [1982],
Сандерс и Кушман [1984а], Койллер [1984] и Холмс [1986].
Также появились несколько интересных технических продвижений:
Шектер [1985а,Ь] исследовал вырожденную ситуацию гомоклинических
орбит к точке бифуркации типа седло (см. рисунки 2.1.3 (в т. S), и 3.4.5 сверху)
как в чисто плоской ситуации так и при наличии периодической
вынуждающей силы, а Груендлер [1985] и Виггинс и Холмс [1985а,Ь,с] обобщили
методы Мельникова на негамильтоновы системы с фазовыми
пространствами размерностей ^ 3. Робинсон [1985] содержит изящное изложение,
показывающее, как связаны между собой различные функции Мельникова,
возникающие в различных ситуациях.
Глава 5
С момента первоначальной публикации этой статьи основные
исследования связаны с задачей вычисления размерностей. Появились, вероятно,
более 100 работ, в которых с использованием различных алгоритмов
вычислялись емкость, «информационная размерность», «корреляционная
размерность» и т. д. К сожалению в этой области существуют всего лишь несколько
строгих математических результатов. Поэтому мы полагаем, что подробное
изложение текущих исследований в этой области на текущем этапе
преждевременно. Тем не менее мы приведем очень краткое описание основных
методов.
Определение размерности для аттрактора, которое наиболее удобно
при численных вычислениях, это поточечная размерность меры /i (Фармер
и др. [1983]). Задана мера /i (предположительно инвариантная мера
аттрактора Л) и точка X, рассмотрим функцию Т4(г) = ц{Вх{г)) где Вх{г) —
шар радиуса г с центром в х. Если существует независящий от х
предел lim (log Vx{r)/ log г) для почти всех х по мере /i, тогда этот общий нре-
дел равен поточечной размерности р. Легко построить алгоритмы, вычис-
518 Послесловие, добавленное при втором издании
ляющие численные оценки поточечной размерности асимптотической меры
(см. стр. 353). Предполагается, что точки в наблюдаемой или вычисленной
траектории системы распределены таким образом, чтобы описываться
инвариантной вероятностной мерой /i. Выбирая точку х на траектории,
получаем значение Т4(г) как оценку пропорции точек на траектории, которые
лежат в пределах расстояния г от х. Вычисляя расстояния между х и всеми
другими точками на траектории, а затем сортируя множество расстояний,
можно легко вычислить эту оценку значения Vx{r). Если в
логарифмической шкале график этой функции достаточно близок к линейному виду, то
его наклон является оценкой поточечной размерности ц.
Различные сложности, связанные с вышеописанной процедурой,
обсуждаются в Гугенхеимер [1984,1986]. Более надежная статистика получается
при выборе нескольких «точек отсчета» х в вышеописанном вычислении
и последующем усреднении. Несколько отличающееся определение,
введенное Грассбергером и Прокаччиа [1983], часто используется при
изучении экспериментальных и численных данных. Дана «типичная» конечная
траектория, определим N{r) как пропорцию пар точек траектории,
расстояние между которыми меньше г. Тогда lim(log-/Vj;(r)/logr) определя-
ет корреляционная размерность аттрактора содержащего траекторию. Это
определение использует всю информацию, содержащуюся в межточечных
расстояниях, но его сложнее использовать в теоретических построениях,
поскольку расстояния не являются статистически независимыми друг от
друга.
Публикуется все большее число примеров анализа экспериментальных
данных, использующих эти методы. (Впервые такие примеры были
опубликованы в Гугенхеимер и Бузайна [1983] и Брандстатер и др. [1983].) Во
многих из этих исследований метод вложения, предложенный Руэлем и
проверенный Таксисом [1981], используется для создания картины
аттрактора в фазовом пространстве с помощью единичной серии наблюдений.
Идея заключается во введении времени задержки т и использовании
наблюдений x{t), x{t + т),...,x{t + {п — 1)т) в виде гг-мерного вектора,
соответствующего времени t. Такенс [1981] и Манэ [1981] доказали, что для
обычных систем, времен задержки т и наблюдаемых величин (измеряемой
функции), если п больше удвоенной размерности аттрактора, то
представление аттрактора в R" является гомеоморфизмом.
Глава 6
Элегантные и глубокие работы Дуади [1982/3], Дуади и Хуббарда
[1982], Салливана [1984] и других по итерационным отображениям в
комплексной плоскости прояснили различные вопросы теории бифуркаций ве-
Послесловие, добавленное при втором издании 519
щественных аналитических одномерных отображений (см. параграфы 6.3
и 6.4). Девани [1985] содержит превосходное введение в теорию таких
дискретных систем, включающее как одно- и двумерные вещественные
отображения, так и итерационные функции одной комплексной переменной. См.
также Бланчард [1984].
Недавно появились несколько работ об орбитах с рациональными и
иррациональными числами вращения для отображений окружности и
кольца. В частности, открытие канторовых множеств, инвариантных по «Обри-
Мазеру», для сохраняющих площадь отображений кольца вновь оживило
интерес к ранним работам Биркгофа [1932а,Ь] и других (см. Эрман [1983]).
См. Обри [1983], Обри и ле Дерон [1983], Ченсинер [1983,1984], Мазер
[1983а,Ь, 1984], Каток [1982,1983] и Персиваль [1980]. Эти множества
обладают следующим свойством: находящиеся в них орбиты обладают теми
же свойствами упорядоченности, что и орбиты жестких вращений
окружности Rcf: S-^ ^ S-^ (см. параграф 6.2). Способ сосуществования таких
«хорошо упорядоченных» орбит с «плохо упорядоченными» орбитами как
в сохраняющих площадь, так и в диссипативных двумерных
отображениях изучался в нескольких работах, например Холл [1983], Бойланд и Холл
[1985], Касдагли [1985], ле Кальвез [1985] и Хоккет и Холмс [1986].
Значительное количество работ также было посвящено необратимым или
«сверхкритическим» отображениям окружности, например Ито [1981], Бернхардт
[1982], Бойланд [1983] и Ньюхаус и др. [1983]. В замечательной серии
статей Ченсинер [1982а,Ь,с, 1983а, 1985а,Ь] исследовал вырожденные
(коразмерности два) бифуркации Хопфа для двумерных диффеоморфизмов и
обнаружил структуры упорядоченных и неупорядоченных орбит
аналогичные тем, которые были обнаружены для сохраняющих площадь
отображений. (Эта бифуркация является аналогом для отображений бифуркации
Хопфа коразмерности два для векторных полей, обсуждавшейся в
параграфе 7.1).
Третья область исследований, в которой промышленность разработала
нечто подобное функциям Мельникова, это бифуркации «типа Шильникова»
для систем с симметриями и без них. См. книгу Спарроу [1982] о
уравнениях Лоренца, Трессера [1983, 1984а,Ь], Глендиннинга [1985], Глендиннинга
и Трессера [1985] и Глендиннинга и Спарроу [1983, 1985]. В частности,
обращаем внимание на бифуркации «склеивания», изучавшиеся Коулетом
и др. [1983] и Гамбаудо и др. [1984, 1985], и появление
последовательностей Фаррея в их описании. Также мы специально обращаем ваше
внимание на современные работы российских ученых по Лоренцовым и
подобным системам, см. Афраимович и др. [1983] и ссылки в ней, а также
пример, относящийся к продолжению гомоклинических бифуркаций в
Белых [1985].
520 Послесловие, добавленное при пятом издании
Глава 7
В дополнение к работе по бифуркациям коразмерности два с чисто
мнимыми собственными значениями, которую мы включили в переработанную
версию параграфов 7.4 и 7.5, отметим, что были выполнены
многочисленные исследования многократных бифуркаций и деформированных
вырожденных сингулярностей, особенно связанных с частными случаями
положения равновесия и периодическими решениями. Как показывает анализ
в параграфах 7.4 и 7.5, исследование деформаций вырожденных сингуляр-
ностей в векторных полях размерности J^ 3 затруднено из-за проблемами,
связанных с «глобальными» гомоклиническими явлениями. Однако, в
анализе, игнорирующем эти проблемы, можно продвинуться довольно далеко.
В трудах Летней исследовательской конференции Американского
математического общества 1985 года, посвященной многопараметрической теории
бифуркаций, содержится хороший обзор современных работ по этой теме.
Послесловие, добавленное при пятом издании
Практически невозможно перечислить даже наиболее выдающиеся
открытия, полученные в теории динамических систем за последние десять
лет. Упомянутые выше сотни работ превратились в десятки тысяч, также
появилось более пятидесяти учебников, монографий, трудов конференций,
курсов лекций и сборников «классических» статей. Исследование хаоса
стало популярным явлением и, возможно, эта популярность уже прошла,
но методы теории динамических систем по-прежнему проникают
практически во все области прикладных исследований. Здесь мы отметим лишь
несколько недавно вышедших книг, в которых содержатся подробные
математические выкладки, пропущенные в этой книге, содержится описания
альтернативных или продолженных исследований и приложений или
предлагаются новые области для приложений.
Подробное изложение математических основ, в том числе
доказательства основных результатов, опущенные в нашей книге можно найти в
книге Михаэля Шуба «Глобальная устойчивость динамических систем»
(издательство Шприпгер, 1987 — дополненный перевод книги Шуб [1978]), в
«Эргодической теории и дифференцируемой динамике» Рикардо Манэ, в
«Динамических системах» Кларка Робинсона (CRC Press, 1995) и во
«Введении в современную теорию динамических систем» Бориса Хассельблатта
и Анатолия Катока (Cambridge University Press, 1995). Следует отметить
добавление к литературе по одномерным отображениям книги Велингтона
де Мело и Себастьяна вап Стрина «Одномерная динамика» (издательство
Шприпгер, 1993). Более подробный и современный анализ локальных и
Послесловие, добавленное при пятом издании 521
глобальных бифуркаций содержится в «Элементах прикладной теории
бифуркаций» Юрия Кузнецова (издательство Шнрингер, 1995), более ранняя
книга Стивена Виггинса «Глобальные бифуркации и хаос» (издательство
Шнрингер, 1988) также содержит множество подробностей о гомоклини-
ческих бифуркациях в потоках размерностей п ^ 3. Многотомная серия
«Динамические системы» Российской энциклопедии математических наук
(издательство Шнрингер, 1988, главный редактор Р. В. Гамкрелидзе)
является прекрасным обгцим обзором и содержит множество ссылок на близкие
области исследований и на литературу, которая, возможно, менее известна
на Западе.
«Методы возмугцений, теория бифуркаций и компьютерная алгебра»
Рихарда Ранда и Дитера Армбрустера (издательство Шнрингер, 1987)
служит дополнением к раннему изданию (Ранд [1984]) при описании
символических вычислений центрального многообразия, нормальной формы и
других коэффициентов бифуркации и устойчивости.
Поскольку работа Руэля и Такенса [1971] о турбулентности имела такое
сильное влияние на развитие прикладной теории динамических систем, мы
не можем не упомянуть недавнюю попытку, с которой связан один из нас,
приблизить эту область к «традиционным» исследованиям
турбулентности. «Турбулентность, когерентные системы и симметрия» Холмса, Джона
Л. Лимли и Гэла Беркуза (Cambridge University Press, 1996) описывает как
для некоторых открытых потоков имеющих заданные свойства можно
построить модели низких размерностей. Приложения к замкнутым системам
жидкостей также в силе. «Задача Куэтта-Тейлора» Паскаля Госса и Жерар-
да Иоосса (издательство Шнрингер, 1994) содержит хороший пример.
Среди появившихся недавно вводных текстов отметим отметим
«Нелинейную динамику и хаос» Стивена Строгаца (Аддисон Весли, 1994) и
«Устойчивость, неустойчивость и хаос» Пола Глендиннинга (Cambridge
University Press, 1994). Классический учебник Андронова, Витта и Хайкина
[1966] был переиздан в 1987 году в виде издания Довер с мягкой обложкой.
Глоссарий
Общематематические термины
Граница: границей дА замкнутого множества А называется множество
точек из А которые не принадлежат внутренности А.
Канторово множество; совершенное множество: канторовым
множеством Г называется замкнутое множество, обладающее следующими
свойствами: A) наибольшим связным подмножеством Г является точка; B)
любая точка Г является его предельной точкой.
С'^ функция: функция принадлежит классу С'^, если она к раз
дифференцируема.
Замкнутое множ:ество: множество А замкнуто, если оно содержит все
свои предельные точки.
Замыкание: замыканием А множества А называется объединение А и
множества всех его предельных точек.
Коразмерность: коразмерность fc-мерного подмногообразия гг-мерного
многообразия равна п — к.
Компактное: множество А является компактным, если любое открытое
покрытие имеет конечное подпокрытие. (Эквивалентно, для подмножеств
евклидова пространства, множество А компактно, если замкнуто и
ограничено.)
Компактный носитель: функция /: М" -^ М имеет компактный
носитель, если множество точек х, для которых f(x) ф О, ограничено.
Связное: множество А несвязно если существуют два открытых
множества U\ и U2 такие что: A) Ui П Uj = 0 при i ф j; B) Щ П А ф 0
при i = 1, 2; и C) А С [/i и U2-
ДиффеоАюрфизм: С'^-диффеоморфизмом /: М ^> N называется
отображение /, которое является 1 — 1, отображением на, и обладает свойством,
что и / и /~^ являются к раз дифференцируемыми.
Собственный вектор; правый, левый собственный вектор;
обобщенный собственный вектор: собственным вектором (или правым собственным
вектором) V матрицы А размерности п х п называется ненулевой вектор,
удовлетворяющий Av = Xv или {А — XI)v = О для некоторого А G С;
А называется собственным значением v. Левый собственный вектор
удовлетворяет v^{А — XI) = О (Т обозначает транспонирование). Обобщенный
Глоссарий 523
(правый) собственный вектор это вектор, который удовлетворяет
полиномиальному уравнению {А — XI^v = О для некоторого 1 ^ к ^ п.
Глобальный: этот термин применяется к свойствам, которые нельзя
исследовать в произвольно малых окрестностях единственной точки.
Гомеоморфизм: Гомеоморфизмом называется С° диффеоморфизм, т. е.
непрерывное отображение /: М ^ N с непрерывным обратным.
Внутренность: Внутренностью А, int А называется наибольшее
открытое множество в А.
Нормальная форма Жордана: нормальной формой Жордана матрицы А
размерности ггхгг называется матрица В = РАР~^, Р — обратимая матрица
размерности п х п, в В ненулевые значения входят в виде диагональных
блоков
/Л 1 ОХ
VO ■ А/
Предельная точка: точка х называется предельной точкой
множества А, если любая окрестность х содержит точку множества А — х.
Локальный: свойство называется локальным если его можно
исследовать в произвольно малой окрестности заданной точки.
Многообразие: гг-мерным многообразием Af С М называется
множество, в котором каждая точка х ^ М имеет окрестность U, для которой
существует гладкое обратимое отображение (диффеоморфизм) ф: R" -^ U
(п й; N).
Мера: мерой р множества А называется счетно-аддитивная
неотрицательная функция, определенная на сг-алгебре подмножеств А.
Метрическое пространство: метрическим пространством А
называется множество с определенной на нем функцией расстояния, которая
удовлетворяет A) d{x,y) ^ О и неравенство возможно тогда и только тогда,
когда X = у; B) d{x, у) = d{y, х); и C) d{x, у) + d{y, z) '^ d{x, z)
(неравенство треугольника).
Окрестность: окрестностью точки х называется множество U, которое
содержит X в своей внутренности.
Открытое мноэюество: множество U в метрическом пространстве
называется открытым, если для каждого х Е U существует е > О такое,
что d{x, у) < £ влечет у G U.
Вероятностная мера: мера /i на А называется вероятностной мерой,
если /i(A) = 1.
Подмногообразие: подмногообразием М многообразия N называется
подмножество N, которое является многообразием.
524 Глоссарий
Касательное расслоение: касательным расслоением ТМ гг-мерного
многообразия М называется 2гг-мерное многообразие, несвязное
объединение касательных пространств М. Если U С М — открытое множество
и ф: М" -^ и параметризация U, тогда Ф: R" х R" ^ ТиМ определяемое
как Ф{х, v) = {ф{х),Оф{х) ■ v) является параметризацией ТиМ.
Трансверсальное пересечение: Два подмногообразия N, Р
многообразия М пересекаются трансверсально в х если T^N и Т^Р растягиваются
на Т^М.
Часто используемые обозначения
а = {ai}^_oo или а = {а^}^о ~ символьные последовательности.
ad {L) — сопряженное действие линейного векторного поля L.
Qk ^ QOO _ j^ ^QQ-j p^g дифференцируемый.
С" (Л'/, N) — г раз дифференцируемое отображение из М в N.
С, С" — комплексные числа, комплексное гг-мерное пространство.
Df{p) — (полная) производная /, вычисленная в точке р.
„ , , 9/ 9V
Dxl, 1х, тг^ ТГЪ частные производные.
ох ох оц
det \А\ или det(A) — определитель матрицы А размерности п х п.
DifF''(Af) — г раз дифференцируемые диффеоморфизмы AI.
Е^, Е", Е'^ — устойчивое, неустойчивое, центральное подпространства
линеаризованной системы.
е*"^ — экспонента матрицы А.
/, д, F, G — отображения или правые части дифференциальных
уравнений.
/ д — ограниченная на множество Л.
/ — усредненное по времени значение зависящей от времени
функции /.
^ — сильно устойчивое слоение.
7 — кривая.
Г — цепное рекуррентное множество, канторово множество.
Н, Е — функции Гамильтона.
h — гомеоморфизм, энтропия (параграф 5.8).
HD{p) — хаусдорфова размерность меры р.
А — собственное значение.
Л — неразложимое ршвариантное множество.
L — линейное векторное поле.
Л/(to) — функция Мельникова.
р. — параметры, мера (параграф 5.8).
Глоссарий 525
I — евклидова норма.
Hs, Пи, Пс — размерности устойчивого, неустойчивого и центрального
многообразий.
Р{Ре, Pf_i) — (параметризованное) отображение Пуанкаре.
фг{х), ф{х, t) — поток.
R — прямоугольник для разбиения Маркова.
р(/) — число вращения для /.
R, М" — вещественные числа, гг-мерное вещественное пространство.
S{f) — производная Шварца от /.
а — отображение сдвига.
Е — обозначение пространства последовательностей; поперечное
сечение периодических орбит.
Т" — гг-мерный тор.
ТлК" — объединение касательных пространств для точек из Л.
т(Г) — толщина кантор о ва множества Г.
9, ф — угловые переменные.
V{x) — потенциальная функция градиента.
VF«, W", W\ W'l, W^, W^, W{^^, VFi^^, VFi^^ - глобальные и локальные
1швариантные подпространства (подмногообразия) системы.
/7'У'
X, производная по времени от х.
iX'^{M) — С""-векторные поля на М.
Г2 — неблуждающее множество.
Л-произведение на М : (wi, V2) Л (wi, W2) = V1W2 — V2W1.
[/, д] — скобка Ли (векторных полей).
{/j 5} ~ скобка Пуассона (функций).
П — пересечение.
и — объединение.
С — содержится в.
е — элемент множества.
V — для всех.
Аналитические выражения часто рассматриваемых
систем
Уравнения Лоренца
х = а{у-х),
y = px-y-xz,
Z = —jdz + ху.
Уравнение Дуффинга: х + 5х + х^ = ^cosiot.
526 Глоссарий
Уравнение Ван дер Поля: х + aix? — Х)х + х = [3 cosuit.
Отображение упругого niapa
Ф] + 1 = Фз +'"h
Vj+i = avj — 7cos@j + Vj),
или
Р{ф, v) = [ф + V, av — ^со8{ф + v)).
Отображение Хенона: F{x, у) = {у, 1 + bx — ау"^).
Квадратичное отображение: /(у) = а — у"^ или f{y) = ау{1 — у).
Литература
[1] Abraham, R. Н., and Marsden, J.E. [1978]. Foundations of Mechanics.
Benjamin/Cummings: Reading, MA.
[2] Abraham, R. H., and Robbin, J. [1967]. Transversal Mappings and Flows.
Benjamin: Reading. MA.
[3] Afraimovich, V. S., Bykov, V. V., and Silnikov, L. R [1983]. On structurally unstable
attracting limit sets of Lorenz attractor type. Trans. Moscow. Math. Soc., 44 B),
153-216.
[4] Aizawa, Y., and Saito, N. [1972]. On the stability of isolating integrals, 1. J. Phys.
Soc. Jap., 32, 1636-1640.
[5] Allwright, D.J. [1977]. Harmonic balance and the Hopf bifurcation. Math. Proc.
Camb. Phil. Soc, 82, 453^67.
[6] Andronov, A. A., Leontovich, E. A., Gordon, 1.1., and Maier, A. G. [1971]. Theory
of Bifurcations of Dynamic Systems on a Plane. Israel Program of Scientific
Translations, Jerusalem.
[7] Andronov, A. A., Leontovich, E. A., Gordon, 1.1., and Maier, A. G. [1973]. Theory
of Dynamic Systems on a Plane. Israel Program of Scientific Translations,
Jerusalem.
[8] Andronov, A. A., and Pontryagin, L. [1937]. Systemes Grossiers. Dokl. Akad. Nauk,
SSSR, 14, 247-251.
[9] Andronov, A. A., Vitt, E.A., and Khaiken, S.E. [1966]. Theory of Oscillators.
Pergamon Press: Oxford.
[10] Antman, S. S. [1984]. Nonlinear Problems of Elasticity (Forthcoming book).
[11] Ameodo, A., CouUet, P., and Tresser, C. [1981]. Possible new strange attractors
with spiral structure. Comm. Math. Phys., 79, 573-579.
[12] Arneodo, A., CouUet, P., and Tresser, С [1982]. Oscillations with chaotic behavior,
an illustration of a theorem by Silnikov. J. Stat. Phys., 27, 171-182.
[13] Arnold, V.I. [1963a]. Proof of A. N. Kolmogorov's theorem on the preservation of
quasiperiodic motions under small perturbations of the Hamiltonian. Russ. Math.
Sum., 18 E), 9-36.
[14] Arnold, V. I. [1963b]. Small divisor problems in classical and celestial mechanics.
Russ. Math. SUIT., 18 F), 85-192.
[15] Arnold, V.I. [1964]. Instability of dynamical systems with several degrees of
freedom. Sov. Math. Dokl, 5, 581-585.
528 Литература
[16] Arnold, V.I. [1965]. Small denominators, 1: Mappings of the circumference onto
itself AMS Transl. Ser. 2, 46, 213-284.
[17] Arnold, V. 1. [1972]. Lectures on bifurcations in versal families. Russ. Math. Surv.,
27, 54-123.
[18] Arnold, V. 1. [1973]. Ordinary Differential Equations, M.I.T. Press: Cambridge,
MA. (Russian original, Moscow, 1971.)
[19] Arnold, V. 1. [1977]. Loss of stability of self oscillations close to resonances and
versal deformations of equivariant vector fields. Funct. Anal. AppL, 11 B), 1-10.
[20] Arnold, V.I. [1978]. Mathematical Methods of Classical Mechanics.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin. (Russian original, Moscow, 1974).
[21] Arnold, V.I. [1981]. Singularity Theory: Selected Papers. London Mathematical
Society Lecture Notes, Vol. 53. Cambridge University Press: Cambridge.
[22] Arnold, V.I. [1982]. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential
Equations. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin. (Russian original,
Moscow, 1977.)
[23] Arnold, V. 1., and Avez, A. [1968]. Ergodic Problems of Classical Mechanics. W.
A. Benjamin: New York.
[24] Aronson, D. G., Chory, M. A., Hall, G. R., and McGeehee, R. P [1980]. A discrete
dynamical system with subtly wild behavior. In New Approaches to Nonlinear
Problems in Dynamics, P. Holmes (ed.), pp. 339-359. S.I.A.M. Publications:
Philadelphia.
[25] Aronson, D. G., Chory, M. A., Hall, G. R., and McGeehee, R. P [ 1982]. Bifurcations
from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer
assisted study. Comm. Math. Phvs., 83, 303-354.
[26] Aubrey, S. [1983]. The twist map, the extended Frenkel-Kontorova model, and
the Devil's staircase. Physica, 7D, 240-258.
[27] Aubrey, S., and LeDaeron, P. [1983]. The discrete Frenkel - Kontorova model and
its extensions. Physica, 8D, 381^22.
[28] Auchmuty, J. F. G., and Nicolis, G. [1975]. Bifurcation analysis of nonlinear
reaction diffusion equations, I. Bull. Math. Biol., 37, 323-365.
[29] Auchmuty, J. F. G., and Nicolis, G. [1976]. Bifurcation analysis of nonlinear
reaction diffusion equations. III. Bull. Math. Biol., 38, 325-349.
[30] Bajaj, A. K., and Sethna, P. R. [1982]. Bifurcations in three dimensional motions of
articulated tubes, 1 and II. Trans. ASME J. Appl. Mech. 49, 606-611 and 612-618.
[31] Bajaj, A. K., Sethna, PR., and Lundgren, T. S. [1980]. Hopf bifurcation phenomena
in tubes carrying a fluid. SIAM J. Appl. Math., 39 B), 213-230.
[32] Beaman, J. J., and Hedrick, J.K. [1980]. Freight car harmonic response: a
simplified nonlinear method. In Nonlinear System Analysis and Synthesis, Vol.
Литература 529
2, R. V.Rammath, J.K.Hedrick and H.M.Paynter (eds.), pp. 177-195. A.S.M.E.
Publications: New York.
[33] Bellman, R., and Kalaba, R. (eds.) [1964]. Selected Papers on Mathematical Trends
in Control Theory. Dover: New York.
[34] Belykh, V.N. [1985]. Bifurcation of separatrices of a saddle point of the Lorenz
system. Diff. Eq., 20 A0), 1184-1191.
[35] Bennetin, G., Casartelli, M., Galani, L., Giorgilli, A., and Strelcyn, J.M. [1978].
On the reliability of numerical study ofstochasticity, I: Existence of time averages.
II. Nuovo Cimento, 44B A), 183-195.
[36] Bennetin, G., Casartelli, M., Galgani, L., Giorgilli, A., and Strelcyn, J.M. [1979].
On the reliability of numerical studies of stochastically, II: Identification of time
averages. II. Nuovo Cimento, SOB, 211-232.
[37] Bernhardt, C. [1982]. Rotation intervals for a class of endomorphisms of the circle.
Proc. Lend. Math. Soc, 45, 258-280.
[38] Bemoussou, J. [1977]. Point Mapping Stability. Pergamon: Oxford.
[39] Birkhoff, G.D. [1927]. Dynamical Systems. A.M.S. Publications: Providence.
[40] Birkhoff, G.D. [1932a]. Sur Texistence de regions d'instabilite en dynamique.
Ann. Inst. H. Poincare, 2, 369-386.
[41] Birkhoff, G.D. [1932b]. Sur quelques courbes fermees remarquables. Bull. Soc.
Math. France, 60, 1-26.
[42] Blanchard, P. [1984]. Complex analytic dynamics in the Riemann sphere. Bull.
Amer. Math. Soc, 11, 85-141.
[43] Block, L., Guckenheimer, J. Misiurewicz, M., and Young, L.-S. [1979]. Periodic
points of one-dimensional maps. Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 819,
18-34, Springer-Verlag: New York. Heidelberg, Berlin.
[44] Bogdanov, R. I. [1975]. Versal deformations of a singular point on the plane in the
case of zero eigenvalues. Functional Analysis and Its Applications, 9 B), 144-145.
[45] Bowen, R. [1970]. Markov partitions for Axiom A diffeomorphisms. Amer. J. Math.,
92, 725-747.
[46] Bowen, R. [1978]. On Axiom A Diffeomorphisms. CBMS Regional Conference
Series in Mathematics, Vol. 35. A.M.S. Publications: Providence.
[47] Bowen, R., and Ruelle, D. [1975]. The ergodic theory of Axiom A flows. Invent.
Math., 79, 181-202.
[48] Boyland, P. L. [1983]. Bifurcations of circle maps, Arnold tongues, bistability, and
rotation intervals. Boston University (preprint).
[49] Boyland, P. L., and Hall, G. R. [1985]. Invariant circles and the order structure of
periodic orbits in monotone twist maps. Boston University (preprint).
530 Литература
[50] Brandstater, А., Swift, J., Swinney, H., Wolf, A., Farmer, J., Jen, E., and Crutchfield,
J. [1983]. Low-dimensional chaos in a system with Avrogadro 's number of degrees
of freedom. Phys. Rev. Lett., 51, 1442, 445.
[51] Braun, M. [1978]. Differential Equations and Their Applications. Springer-Verlag:
New York, Heidelberg, Berlin.
[52] Brin, M., and Katok, A. B. [1983]. On Local Entropy. Springer Lecture Notes in
Mathematics, Vol. 1007, 30-38. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[53] Byrd, P. В., and Friedman, M. D. [1971]. Handbook of Elliptic Integrals for
Scientists and Engineers. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[54] Campinino, M., and Epstein, H. [1981]. On the existence of Feigenbaum's fixed
point. Comm. Math. Phys., 79 B), 261-302.
[55] Campbell, D.K. and Rose, H.A. (eds.) [1983]. Order in Chaos. Proceedings of
a conference held at Los Alamos National Lab., North-Holland: Amsterdam, and
Physica, 7D.
[56] Can, J. [1981]. Applications of Center Manifold Theory. Springer-Verlag: New
York, Heidelberg, Berlin.
[57] Carr, J., and Muncaster, R. [1982]. The application of centre manifolds to amplitude
expansions, I: Ordinary differential equations. J. Diff Eqns., 50, 260-279 [1983].
[58] Cartwright. M. L. [1948]. Forced oscillations in nearly sinusoidal systems. J. Inst.
Elec. Eng., 95, 88-94.
[59] Cartwright, M. L., and Littlewood, J. E. [1945]. On nonlinear differential equations
of the second order, 1: The equation у -\- fc(l — y'^)y + у = b\kcos{\t + a), к
large. J. Lond. Math. Soc, 20, 180-189.
[60] Casdagli, M. [1985]. Periodic orbits for dissipative twist maps. University of
Warwick (preprint).
[61] Chenciner. A. [1982]. Bifurcations de diffeomorphismes de R^ au voisinage d'un
point fixe elliptique. In Chaotic behavior of deterministic systems, pp. 273-348.
North Holland: Amsterdam [1983].
[62] Chenciner. A. [1982a]. Sur un enonce dissipatif du theoreme geometrique de
Poincare-Birkhoff C.R. Acad. Sci. Paris 1, 294, 243-245.
[63] Chenciner, A. [1982b]. Points homoclines au voisinage d'un bifurcation de Hopf
degeneree de diffeomorphismes de R^. C.R. Acad. Sci. Paris I, 294, 269-272.
[64] Chenciner, A. [1982c]. Pointsperiodiques de longuesperiodes au voisinage d'une
bifurcation de Hopf degeneree de diffeomorphismes de R?. C.R. Acad. Sci. Paris
I, 294, 661-663.
[65] Chenciner, A. [1983a]. Orbites periodiques et ensembles de Cantor invariantes
dAubry - Mather au voisinage d'une bifurcation de Hopf degeneree de
diffeomorphismes de R^. C.R. Acad. Sci. Paris I, 297, 465-467.
Литература 531
[66] Chenciner, А. [1983b]. Bifurcations de diffeomorphismes de R^ au voisinage d'un
point fixe elliptique. In Les Houches Smumer School Proceedings. R. Helleman
and G. looss (eds.) North Holland: Amsterdam.
[67] Chenciner, A. [1985a]. Bifurcations de points fixes elliptiques, I: Courbes
invariantes. Publ. Math. IHES, 61, 67-147.
[68] Chenciner, A. [1985b]. Bifurcations de points fixes elliptiques. II: Orbites
periodiques et ensembles de Cantor invariantes. Invent. Math., 80, 81-106.
[69] Chern, S.S., and Smale, S. (eds.) [1970]. Global Analysis. A.M.S. Proceedings of
Symposium on Pure Mathematics. Vol. 14. University of California Press: Berkeley.
[70] Chillingworth, D.R.J, (ed.) [1971]. Symposium on Differential Equations and
Dynamical Systems, University of Warwick, 1968-9. Springer Lecture Notes in
Mathematics, Vol. 206. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[71] Chillingworth, D. R. J. [1976]. Differentiable Topology with a View to Applications.
Pitman: London.
[72] Chirikov, B.V. [1979]. A universal instability of many dimensional ocillator
systems. Phys. Rep., 52, 263-379.
[73] Choquet-Bruhat, Y., Dewitt-Morette, C, and Dillard-Bleick, M. [1977]. Analysis,
Manifolds and Physics. North Holland: Amsterdam.
[74] Chow, S.N., and Hale, IK. [1982]. Methods of Bifurcation Theory.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[75] Chow, S.N., Hale, J.K., and Mallet-Paret, J. [1980]. An example of bifurcation to
homoclinic orbits. J. Diff Eqns., 37, 351-373.
[76] Chow, S.N., and Mallet-Paret, J. [1977]. Integral averaging and bifurcation. J.
Diff Eqns., 26, 112-159.
[77] Churchill, R. C. [1982]. On proving the non-integrability of a Hamiltonian system.
In Lhe Riemarm Problem, Complete Integrability and Arithmetic Applications.
Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 925, 103-122. Springer Verlag: New
York, Heidelberg, Berlin.
[78] Churchill, R. C, Kummer, M., and Rod, D. L. [1982]. On averaging, reduction and
symmetry in Hamiltonian systems. J. Diff Eqns., 49, 359^14 [1983].
[79] Coddington, E.A., and Levinson, N. [1955]. Theory of Ordinary Differential
Equations. McGraw-Hill: New York.
[80] Cohen, A. H., Holmes, P. J., and Rand, R. H. [1982]. The nature of the coupling
between segmental oscillators of the lamprey spinal generator for locomotion: a
mathematical model. J. Math. Biol., 13, 345-369.
[81] Cohen, D. S., and Neu, J. C. [1979]. Interacting oscillatory chemical reactors.
In Bifurcation Theory and Applications in Scientific Disciplines, O. Gurel and
O. S.Rossler (eds.), pp. 332-337. N.Y. Acad. Sci.: New York.
532 Литература
[82] Collet, P., and Eckmann, J.-P. [1980]. Iterated Maps on the Interval as Dynamical
Systems. Progress on Physics, Vol. I. Birkhauser-Boston: Boston.
[83] Collet, P., Eckmann, J.-P, and Koch, H. [1981]. Period doubling bifurcations for
families of maps on Л". J. Stat. Phys., 25 A), 1-14.
[84] Collet, P., Eckmann, J.-P, and Lanford, O. E. [1980]. Universal properties of maps
on an interval. Comm. Math. Phys., 76, 211-254.
[85] Conley, С [1978]. Isolated Invariant Sets and the Morse Index. CBMS Regional
Conferences in Mathematics, Vol. 38. A.M.S. Publications: Providence.
[86] Cooperrider, N. K. [1980]. Nonlinear behavior in rail vehicle dynamics. In New
Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics, P.J.Holmes (ed.), pp. 173-194.
S.I.A.M. Publications: Philadelphia.
[87] Cornfeld, LP., Fomin, S.V, and Sinai, Ya. G. [1982]. Ergodic Theory.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[88] Coullet, P., Gambaudo, J. M., and Tresser, С [1984]. Une nouvelle bifurcation de
codimension 2 : le collage de cycles. C.R. Acad. Sci. Paris I, 299, 253-256.
[89] Curry, J. [1978]. A generalized Lorenz system. Comm. Math. Phys., 60, 193-204.
[90] Cushman, R., and Deprit, A. [1980]. Normal forms and representation theory.
Preprint No. 180. Department of Mathematics, Rijksuniversiteit Utrecht.
[91] Cushman, R., Deprit, A., and Mosak, R. [1983]. Normal forms and representation
theory, (in preparation.)
[92] Cushman, R., and Rod, D. L. [1982]. Reduction of the semisimple 1 : 1 resonance.
Physica, 6D, 105-112.
[93] Cushman, R., and Sanders, J. A. [1983]. A codimension two bifurcation with a
third order Picard-Fuchs equation. Rapport No. 249, Subfaculteit Wiskunde en
Informatica, Vrije Universiteit, Amsterdam.
[94] Cvitanovic, P. (ed.) [1984]. Universality in Chaos. Adam Hilger: Bristol.
[95] DaCosta, L.N., Knobloch, E., and Weiss, N.O. [1981]. Oscillations in
double-diffusive convection. J. Fluid Mech., 109, 25-43.
[96] Denjoy, A. [1932]. Sur les courbes definies par les equations differentielles a la
surface du tore. J. Math., 17 (IV), 333-375.
[97] Deprit, A. [1982]. Methodes nouvelles de simplification en mecanique celeste
(preprint).
[98] Devaney, R. L. [1985]. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.
Benjamin/Cummings: Menio Park, CA.
[99] Devaney, R., and Nitecki. Z. [1979]. Shift automorphisms in the Henon mapping.
Comm. Math. Phys., 67, 137-148.
[100] DiPrima, R. C, Eagles, P.M., and Sijbrand, J. [1982]. Interaction of axisymmetric
and nonaxisymmetric disturbances in the flow between concentric counterrotating
Литература 533
cylinders: bifurcations near multiple eigenvalues. Proceedings of NATCAM, Ninth
U.S. Congress on Applied Mechanics. Ithaca, June 21-25, 1982 (abstract).
[101] DiPrima, R. C, Eagles, P.M., and Sijbrand, J. [1983]. Interaction of axisymmetric
and nonaxisymmetric disturbances in the flow between concentric counterrotating
cylinders, (in preparation).
[102] Douady, A. [1982/3]. Systemes dynamiques holomorphes. Seminaire Bourbaki 35
annee, 599.
[103] Douady, A., and Hubbard, J. H. [1982]. Iteration du polynomes quadratiques
complexes. C.R. Acad. Sci. Paris I, 294, 123-126.
[104] Dowell, E. H. [1966]. Nonlinear oscillations of a fluttering plate. AIAAJ., 4,
1267-1275.
[105] Dowell, E. H. [1975]. Aeroelaslicity of Plates and Shells. Noordhoff International
Publishing: Leyden.
[106] Dowell, E. H. [1980]. Nonlinear aeroelasticity. In New Approaches to Nonlinear
Problems in Dynamics, P.J.Holmes (ed.), pp. 147-172b. S.l.A.M. Publications:
Philadelphia.
[107] Dowell, E. H. [1982]. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion
of a deterministic autonomous system. J. Sound Vib., 85, 333-344.
[108] Duffing, G. [1918]. Erzwungene Schwingungen bei Veranderlicher Eigenfrequenz.
F. Vieweg u. Sohn: Braunschweig.
[109] Euler, L. [1744]. Additamentum 1 de Curvis Elasticis, Methodus Inveniendi Lineas
Curvas Maximi Minimivi Proprietate Gandentes. In [1960] Opera Ommia I, Vol.
24, pp. 231-297. Fiissli: Zurich.
[110] Evans, J. W., Fenichel, N., and Feroe, J. A. [1982]. Double impulse solutions in
nerve axon equations. SIAM J. Appl. Math., 42 B), 219-234.
[Ill] Farmer, J. D., Ott, E., and Yorke, J. A. [1983]. The dimension of chaotic attractors.
Physica, 7D, 153-180.
[112] Feigenbaum, M.J. [1978]. Quantitative universality for a class of nonlinear
transformations. J. Stat. Phys., 19, 25-52.
[113] Feigenbaum, M.J. [1979]. The onset spectrum of turbulence, Phys. Lett., 74A,
375-378.
[114] Feigenbaum, M.J. [1980]. Universal behavior in nonlinear systems. Los Alamos
Sci., 1, 4-27.
[115] Feigenbaum, M.J., Kadanoff, L.P., and Shenlcer, S.J. [1982]. Quasiperiodicity in
dissipative systems: a renormalization group. Physica, 5D, 370-386.
[116] Feroe, J. A. [1982]. Existence and stability of multiple impulse solutions of a nerve
equation. SIAM J. Appl. Math., 42 B), 235-246.
534 Литература
[117] Fiala, V. [1976]. Solution of Nonlinear Vibration Systems by Means of Analogue
Computers. Monograph 19, National Research Institute for Machine Design,
Bechovice, Prague.
[118] Flaherty, J. E., and Hoppensteadt, F. С [1978]. Frequency entrainment of a forced
van der Pol oscillator. Stud. Appl. Math., 18, 5-15.
[119] Franceschini, V. [1982]. Bifurcations of tori and phase locking in a dissipative
system of differential equations. Physica, 6D, 285-304 [1983].
[120] Franks, J. M. [1970]. Anosov diffeomorphisms. In Global Analysis, S. S. Chem and
S. Smale (eds.). University of California Press: Berkeley.
[121] Franks, J. M. [1974]. Time dependent stable diffeomorphisms. Invent. Math., 24,
163-172.
[122] Franks, J. M. [1982]. Homology and Dynamical Systems. CBMS Regional
Conference Series in Mathematics, Vol. 49, A.M.S. Publications: Providence.
[123] Fredrickson, P., Kaplan, J. L., Yorke, E. D., and Yorke, J. A. [1982]. The Liapunov
dimension of strange attractors. University of Maryland, College Park, MD
(preprint).
[124] Gambaudo, J.M., Glendinning, P., and Tresser, С [1984]. Collage de cycles et
suites de Farey. C.R. Acad. Sci. Paris I, 299, 711-714.
[125] Gambaudo, J.M., Glendinning, P., and Tresser, С [1985]. The gluing bifurcation,
I: symbolic dynamics of the closed curves. Universite de Nice (preprint).
[126] Garrido, L. (ed.) [1983]. Proceedings, Sitges 1982, Springer-Verlag: Berlin,
Heidelberg, New York.
[127] Gavrilov, N. K., and Silnikov, L. P. [1972]. On three-dimensional dynamical systems
close to systems with a structurally unstable homoclinic curve, I. Math. USSR Sb.,
88 D), 467^85.
[128] Gavrilov, N. K., and Silnikov, L. P. [1973]. On three-dimensional dynamical systems
close to systems with a structurally unstable homoclinic curve, II. Math. USSR Sb.,
90 A), 139-156.
[129] Gillies, A. W. [1954]. On the transformation of singularities and limit cycles of the
variational equations of van der Pol. Quart. J. Mech. Appl. Math., 7, 152-167.
[130] Gilmore, R. [1981]. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. Wiley: New
York.
[131] Glass, L. and Perez, R. [1982]. The fine structure of phase locking. Phys. Rev.
Lett, 48, 1772-1775.
[132] Glendinning, P. [1984]. Bifurcations near homoclinic orbits and symmetry. Phys.
Lett. A, 103 D), 163-166.
[133] Glendinning, P. [1990]. Topological conjugation of Lorenz maps by
^-transformations. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc, 107 B), 401-413.
Литература 535
[134] Glendinning, P., and Sparrow, C. [1986]. T-points: a codimension two heteroclinic
bifurcation. J. Stat. Phys., 43 C-4), 479^88.
[135] Glendinning, P., and Tresser, С [1985]. Heteroclinic loops leading to hyperchaos.
J. Phys., Lett., Paris, 46 (8), 347-352.
[136] Goldstein, H. [1980]. Classical Mechanics, 2nd ed. Addison-Wesley, Reading.
[137] GoUub, J. P., and Benson, S.V. [1980]. Many routes to turbulent convection. J.
Fluid Mech., 100, 449^70.
[138] Golubitsky, M., and Guillemin, V. [1973]. Stable Mappings and Their Singularities.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[139] Golubitsky, M., and Langford, W. F. [1981]. Classification and unfoldings of
degenerate Hopf bifurcations. J. Diff. Eqns., 41, 375^15.
[140] Golubitsky, M., and D. Schaeffer, D. [1979a]. A theory for imperfect bifurcation
via singularity theory. Comm. Pure Appl. Math., 32, 21-98.
[141] Golubitsky, M., and Schaeffer, D. [1979b]. Imperfect bifurcation in the presence of
symmetry. Comm. Math. Phys., 67, 205-232.
[142] Golubitsky, M., and Schaeffer, D. [1985]. Singularities and Groups in Bifurcation
Theory, 1. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[143] Golubitsky, M., and Stewart, 1. [1987]. Singularities and Groups in Bifurcation
Theory, 11 (forthcoming book).
[144] Grassberger, P., and Procaccia, I. [1983]. Characterization of strange attractors.
Phys. Rev. Lett., 50, 346-349.
[145] Greene, J.M. [1980]. Method for determining a stochastic transition. J. Math.
Phys., 20F), 1183-1201.
[146] Greenspan, B. D. [1981]. Bifurcations in periodically forced oscillations:
subharmonics and homoclinic orbits. Ph.D. thesis, Center for Applied Mathematics,
Cornell University.
[147] Greenspan, B.D., and Holmes, P.J. [1982]. Homoclinic orbits, subharmonics and
global bifurcations in forced oscillations. In Nonlinear Dynamics and Turbulence,
G. Barenblatt, G. looss, and D. D. Joseph (eds.), Pitman: London.
[148] Greenspan, B.D., and Holmes. P.J. [1983]. Repeated resonance and homoclinic
bifurcations in a periodically forced family of oscillators, SIAM J. Math. Anal. 15,
69-97 [1984].
[149] Gruendler, J. [1982]. A generalization of the method of Melnikov to arbitrary
dimension. Ph.D. thesis. University of North Carolina, Chapel Hill.
[150] Gruendler, J. [1985]. The existence of homoclinic orbits and the method of Melnikov
for systems in R". SIAM J. Math. Anal., 16, 907-931.
[151] Guckenheimer, J. [1973]. Bifurcation and catastrophe. In Dynamical Systems,
M. M. Peixoto (ed.). Academic Press: New York.
536 Литература
152] Guckenheimer, J. [1976]. A strange strange attractor. In The Hopf Bifurcation
and its Applications, J.E.Marsden and M. McCracken (eds.), pp. 368-381.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
153] Guckenheimer, J. [1977]. On the bifurcation of maps of the interval. Invent. Math.,
39, 165-178.
154] Guckenheimer, J. [1979]. Sensitive dependence on initial conditions for
one-dimensional maps. Comm. Math. Phys., 70, 133-160.
155] Guckenheimer, J. [1980a]. Symbolic dynamics and relaxation oscillations. Physica,
ID, 227-235.
156] Guckenheimer, J. [1980b]. Bifurcations of dynamical systems. In Dynamical
Systems, CIME Lectures, Bressanone, Italy, June 1978, pp. 115-231. Progress
in Mathematics, No. 8. Birkhauser-Boston: Boston.
157] Guckenheimer, J. [1981]. On a codimension two bifurcation. In Dynamical Systems
and Turbulence, D.A.Rand and L.S.Young (eds.), pp. 99-142. Springer Lecture
Notes in Mathematics, Vol. 898. Springer-Verlag: New York, Heidelberg. Berlin.
158] Guckenheimer, J. [1984]. Dimension estimates for attractors. Contemp. Math., 28,
357-367.
159] Guckenheimer. J. [1986]. Strange attractors in fluids: another view. Ann. Rev.
Fluid Mech. 18, 15-31.
160] Guckenheimer, J., and Buzyna, G. [1983]. Dimension measurements for geostrophic
turbulence. Phys. Rev. Lett, 51, 1438-1441.
161] Guckenheimer, J., and Knobloch, E. [1983]. Nonlinear convection in a rotating
layer: amplitude expansions and center manifolds. Geophys. and Astrophys. Fluid
Dyn., 23, 247-272.
162] Guckenheimer, J., and Williams, R. F. [1979]. Structural stability of Lorenz
attractors. Publ. Math. IHES, 50, 59-72.
163] Gumowski, I., and Mira, C. [1980]. Recurrences and Discrete Dynamical Systems.
Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 809. Springer-Verlag: New York,
Heidelberg, Berlin.
164] Gurel, O., and Rossler, O. E. (eds.) [1979]. Bifurcation Theory and Applications
in Scientific Disciplines. Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 316.
New York Academy of Sciences: New York.
165] Hale, J. K. [1963]. Oscillations in Nonlinear Systems. McGraw-Hill: New York.
166] Hale, J.K. [1969]. Ordinary Differential Equations. Wiley: New York.
167] Hall, G.R. [1983]. A topological version of a theorem of Mather on twist maps.
MRC Technical Report, University of Wisconsin, Madison, WI.
[168] Hamilton, R. S. [1982]. The inverse function theorem of Nash and Moser. Bull.
Amer. Math. Soc, 7 A), 65-222.
Литература 537
[169] Нао, B.-L. (ed.) [1984]. Chaos. World Scientific: Singapore.
[170] Hartlan, R. Т., and Currie, I.G. [1970]. Lift oscillator model of a vortex-induced
vibration. Proc. ASCE, EMS, 577-591.
[171] Hartman, R [1964]. Ordinary Differential Equations. Wiley: New York.
[172] Hassard, B.D., Kazarinoff, N.D., and Wan, Y.-H. [1980]. Theory and Applications
of the Hopf Bifurcation. Cambridge University Press; Cambridge.
[173] Hassard, B. D., and Wan. Y.-H. [1978]. Bifurcation formulae derived from center
manifold theory. J. Math. Anal. Appl., 63 A), 297-312.
[174] Hastings, S.P. [1982]. Single and multiple pulse waves for the Fitzhugh -Nagumo
equations. SIAM J. Appl. Math., 42 B), 247-260.
[175] Hayashi, C. [1964]. Nonlinear Oscillations in Physical Systems. McGraw-Hill;
New York.
[176] Helleman, R. H. G. (ed.) [1980]. Nonlinear Dynamics. Annals of the New York
Academy of Sciences. Vol. 357. New York Academy of Sciences; New York.
[177] Helleman, R. H. G., looss, G., and Stora (eds.) [1983]. Chaotic Behavior of
Deterministic Systems. Proceedings of the Cours a I'Ecole des Houches, July 1981.
North Holland; Amsterdam.
[178] Henon, M. [1976]. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Comm.
Math. Phys., 50, 69-77.
[179] Henon, M., and Heiles, С [1964]. The applicability of the third integral of motion:
some numerical experiments. Astron. J., 69, 73.
[180] Henry, D. [1981]. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Springer
Lectures Notes in Mathematics, Vol. 840. Springer-Verlag: New York, Heidelberg,
Berlin.
[181] Herman, M. R. [1976]. Sur la conjugaison Different table des Diffeomorphismes du
Cercle a des Rotations. Thesis, Universite de Paris, Orsay and Publ. Math. IHES
49.
[182] Herman, M. R. [1977]. Mesure de Lesbesque et Nombre de Rotation. In Geometry
and Topology, J.Palis and M. de Carmo (eds.), pp. 271-293. Lecture Notes in
Mathematics, Vol. 597. Springer-Verlag; New York, Heidelberg, Berlin.
[183] Herman, M. R. [1983]. Sur les Courbes Invariantes par les diffeomorphismes de
I'Anneau, I, Asterisque, 103-104.
[184] Hirsch, M. W [1976]. Differential Topology. Springer-Verlag; New York,
Heidelberg, Berlin.
[185] Hirsch, M. W., and Pugh, C. C. [1970]. Stable manifolds and hyperbolic sets. Proc.
Symp. Pure. Math., 14, 133-163.
[186] Hirsch, M.W., Pugh, С C, and Shub, M. [1977]. Invariant Manifolds. Springer
Lectures Notes in Mathematics, Vol. 583. Springer-Verlag; New York, Heidelberg,
Berlin.
538 Литература
[187] Hirsch, М. W., and Smale, S. [1974]. Differential Equations, Dynamical Systems
and Linear Algebra. Academic Press: New York.
[188] Hockett, K., and Holmes, P. J. [1986]. Josephson's Junction, annulus maps, Birkhoff
attractors, horseshoes and rotation sets. Ergodic Theory Dyn. Syst. (in press).
[189] Hocking, J. G., and Young, G. S. [1961]. Topology. Addison-Wesley: Reading, MA.
[190] Holmes, C, and Holmes, P.J. [1981]. Second order averaging and bifurcations to
subharmonics in Buffing's equation. J. Sound Vih., 78, 161-174.
[191] Holmes, P.J. [1977]. Bifurcations to divergence and flutter in flow-induced
oscillations: a finite-dimensional analysis. J. Sound Vib., 53 D), 471-503.
[192] Holmes, P.J. [1979a]. A nonlinear oscillator with a strange attractor. Phil. Trans.
Roy. Soc. A, 292, 419^48.
[193] Holmes, P. J. [1979b]. Domains of stability in a wind induced oscillation problem.
Trans. ASME. J. Appl. Mech., 46, 672-676.
[194] Holmes, P.J. (ed.) [1980a]. New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics.
S.l.A.M. Publications: Philadelphia.
[195] Holmes, P. J. [1980b]. Averaging and chaotic motions in forced oscillations. SIAM
J. Appl. Math., 38, 65-80; Errata and addenda. SIAM J. Appl. Math., 40, 167-168.
[196] Holmes, P.J. [1980c]. A strange family of three-dimensional vector fields near a
degenerate singularity. J. Diff. Eqns., 37, 382^04.
[197] Holmes, P. J. [1980d]. Unfolding a degenerate nonlinear oscillator: a codimension
two bifurcation. In Nonlinear Dynamics, R. H. G. Helleman (ed.), pp. 473^88.
New York Academy of Sciences: New York.
[198] Holmes, P.J. [1981a]. Center manifolds, normal forms and bifurcations of vector
fields with application to coupling between periodic and steady motions. Physica,
20, 449^81.
[199] Holmes, P.J. [1981b]. Space- and time-periodic perturbations of the sine-Gordon
equation. In Dynamical Systems and Turbulence, D.A.Rand and L.-S.Young
(eds.), pp. 164-191. Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 898.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[200] Holmes, P.J. [1982a]. The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally
vibrating table. J. Sound Vib., 84, 173-189.
[201] Holmes, P. J. [1982b]. Proof of nonintegrability for the Henon-Heiles Hamiltonian
near an exceptional integrable case. Physica, 5D, 335-347.
[202] Holmes, P.J. [1986]. Chaotic motions in a weakly nonlinear model for surface
waves. J. Fluid Mech. (in press).
[203] Holmes, P. J., and Marsden, J. E. [1978]. Bifurcations to divergence and flutter
in flow-induced oscillations: an infinite-dimensional analysis. Automatica, 14 D),
367-384.
Литература 539
[204] Holmes, P.J., and Marsden, J.E. [1981]. A partial differential equation with
infinitely many periodic orbits: chaotic oscillations of a forced beam. Arch. Ration.
Mech. Anal. 76, 135-166.
[205] Holmes, P.J., and Marsden, J.E. [1982a]. Horseshoes in perturbations of
Hamiltonians with two degrees of freedom. Comm. Math. Phys., 82, 523-544.
[206] Holmes, P. J., and Marsden, J. E. [1982b]. Melnikov's method and Arnold diffusion
for perturbations of integrable Hamiltonian systems. J. Math. Phys., 23 D),
669-675.
[207] Holmes, P. J., and Marsden, J.E. [1983a]. Horseshoes and Arnold diffusion for
Hamiltonian systems on Lie groups. Indiana Univ. Math. J. 32, 273-310.
[208] Holmes, P. J., Marsden, J.E., and Scheurle, J. [1986]. On averaging and
exponentially small Melnikov functions (in preparation).
[209] Holmes, P.J., and Rand, D.A. [1976]. The bifurcations of Buffings' equation: an
application of catastrophe theory. J. Sound Vib., 44 B), 237-253.
[210] Holmes, P. J., and Rand, D.A. [1978]. Bifurcations of the forced van der Pol
oscillator. Quart. Appl. Math., 35, 495-509.
[211] Holmes, P. J., and Rand, D.A. [1980]. Phase portraits and bifurcations of the
non-linear oscillator x -\- {a -\- 'yx'^)x + (Зх + 5x^ = 0. Int. J. Nonlinear Mech.,
15, 449^58.
[212] Holmes, P. J., and Whitley, D. С [1983a]. On the attracting set for Buffing's
equation, I: Analytical methods for small force and damping. In Partial Differential
Equations and Dynamical Systems, W. E. Fitzgibbon III (ed.), pp. 211-240. Pitman:
London [1984].
[213] Holmes, P. J., and Whitley, D. C. [1983b]. On the attracting set for Buffing's
equation, II: A geometrical model for moderate force and damping. Physica, 7D,
111-123.
[214] Hopf, E. [1942]. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren
Losung eines differential-systems. Ber. Math.-Phys. Kl. Sacks Acad. Wiss. Leipzig,
94, 1-22 and Ber. Verb. Sacks. Acad. Wiss. Leipzig Math.-Nat. Kl, 95 A), 3-22.
(A translation of this paper, and comments on it appear as Section 5 of Marsden-
McCracken [1976].)
[215] Hsu, C. S. [1977]. On nonlinear parametric excitation problems. Adv. Appl. Mech.,
17, 245-301.
[216] Huberman, В., and Crutchfield, J. P. [1979]. Chaotic states of anharmonic systems
in periodic fields. Phys. Res. Lett., 43 B3), 1743-1747.
[217] Huppert, H. E., and Moore, D. R. [1976]. Nonlinear double-diffusive convection. J.
Fluid. Mech., 78, 821-854.
[218] looss, G. [1979]. Bifurcation of Maps and Applications. Mathematical Studies, Vol.
36. North Holland: Amsterdam.
540 Литература
[219] looss, G., and Joseph, D. D. [1981]. Elementary Stability and Bifurcation Theory.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[220] looss, G., and Langford, W. F. [1980]. Conjectures on the routes to turbulence via
bifurcation. In Nonlinear Dynamics, R. H. G. Helleman (ed.), pp. 489-505. New
York Academy of Sciences: New York.
[221] Irwin, M. C. [1980]. Smooth Dynamical Systems. Academic Press: New York.
[222] Ito, R. [1981]. Rotation sets are closed. Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 89, 107-111.
[223] Jakobson, M. V. [1978]. Topological and metric properties of one-dimensional
endomorphisms. Sov. Math. Dokl, 19, 1452-1456.
[224] Jakobson, M. V. [1981]. Absolutely continuous invariant measures for
one-parameter families of one-dimensional maps. Comm. Math. Phys., 81, 39-88.
[225] Jorna, S. (ed.) [1978]. Topics in Nonlinear Mechanics: A Tribute to Sir Edward
Bullard. A.I.P. Conference Proceedings, Vol. 46, А.1.Р.: New York.
[226] Jost, R., and Zehnder, E. [1972]. A generalization of the Hopf bifurcation theorem.
Helv. Phys. Acta, 45, 258-276.
[227] Kaplan, J. L., and Yorke, J. A. [1979a]. Chaotic behavior of multidimensional
difference equations. In Functional Differential Equations and Approximation of
Fixed Points, H. O. Peitgen and H. O. Walther (eds.), pp. 228-237. Springer Lecture
Notes in Mathematics, Vol. 730, Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[228] Kaplan J. L., and Yorke, J. A. [1979b]. Preturbulence, a regime observed in a fluid
flow model ofLorenz. Comm. Math. Phys., 67, 93-108.
[229] Katok, A. B. [1980]. Lyapunov exponents, entropy and periodic points for
diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 51, 137-173.
[230] Katok, A. B. [1981]. Dynamical Systems with a hyperbolic structure. In Three
Papers on Dynamical Systems, A. G. Kusnirenlco, A. B. Katok, and V. M. Alekseev
(eds.), pp. 43-95. A.M.S.: Providence.
[231] Katok, A. B. [1982]. Some remarks on Birkhoff and Mather twist map theorems.
Ergodic Theory Dyn. Syst, 2, 185-194.
[232] Katok, A. B. [1983]. Periodic and quasi-periodic orbits for twist maps. In
Proceedings, Sitges 1982, L. Garrido (ed.). Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg,
New York.
[233] Keener, J. P. [1976]. Secondary bifurcation in nonlinear diffusion reaction
equations. Stud. Appl. Math., 55, 187-211.
[234] Keener, J. P. [1981]. Infinite period bifurcation and global bifurcation branches.
SIAM J. Appl. Matli., 41 A), 127-144.
[235] Kelley, A. [1967]. The stable, center stable, center, center unstable and unstable
manifolds. J. Diff Eqns., 3, 546-570.
Литература 541
[236] Knobloch, е., and Proctor, М. R. E. [1981]. Nonlinear periodic convection in
double-diffusive systems. J. Fluid Mech., 108, 291-316.
[237] Knobloch, E., and Weiss, N. O. [1981]. Bifurcations in a model of double-diffusive
convection. Phys. Lett., 85A C), 127-130.
[238] Koiller, J. [1984]. A mechanical system with a «wild» horseshoe. J. Math. Phys.,
25 E), 1599-1604.
[239] Kolmogorov, A.N. [1954]. On conservation of conditionally periodic motions
under small perturbations of the Hamiltonian. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 98,
527-530.
[240] Kolmogorov, A.N. [1957]. General theory of dynamical systems and classical
mechanics. Proceedings of the 1954 International Congress of Mathematics, pp.
315-333. North Holland: Amsterdam. (Translated as an Appendix in Abraham and
Marsden [1978]).
[241] Kopell, N., and Howard, L.N. [1975]. Bifurcations and trajectories connecting
critical points. Adv. Math., 18 C), 306-358.
[242] Kopell, N., and Washburn, R. B. [1982]. Chaotic motions in the two degrees of
freedom swing equations. IEEE Trans. Circuits Syst., CAS 29, 738-746.
[243] Krylov, N. M., and Bogoliubov, N. N. [1934]. New Methods of Nonlinear Mechanics
in their Application to the Investigation of the Operation of Electronic Generators,
I. United Scientific and Technical Press: Moscow. (Also see Krylov and Bogoliubov
[1947].)
[244] Krylov, N.M., and Bogoliubov, N.N. [1947]. Introduction to Nonlinear Mechanics.
Princeton University Press: Princeton. (Russian original, Moscow, 1937.)
[245] Kusnirenko, A. G., Katok, A. В., and Alekseev, V.M. [1981]. Three Papers on
Dynamical Systems. A.M.S. Translations Series 2, Vol. 116. A.M.S. Publications:
Providence.
[246] Lanford. O. E. [1977]. Computer pictures of the Lorenz attractor. Appendix to
Williams [1977].
[247] Lanford, O. E. [1982]. A computer assisted proof of the Feigenbaum conjecture.
Bull. Amer. Math. Soc, 6 C), 427-434.
[248] Langford, W. F. [1979]. Periodic and steady mode interactions lead to tori. SIAM
J. Appl. Math., 37 A), 22^8.
[249] LaSalle, J. P., and Lefschetz, S. [1961]. Stability by Liapunov's Direct Method with
Applications. Academic Press: New York.
[250] LeCalvez, P. [1985]. Existence d'orbites quasi-periodiques dans les attracteurs de
Birkhoff. University of Paris, Orsay (preprint).
[251] Lefschetz, S. (ed.) [1950]. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations,
I. Annals of Mathematical Studies, Vol. 20. Princeton University Press: Princeton.
542 Литература
[252] Lefschetz, S. (ed.) [1952]. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations,
II. Annals of Mathematical Studies, Vol. 29. Princeton University Press: Princeton.
[253] Lefschetz, S. (ed.) [1956]. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations,
III. Annals of Mathematical Studies, Vol. 36. Princeton University Press: Princeton.
[254] Lefschetz, S. [1957]. Ordinary Differential Equations: Geometric Theory.
Interscience Publishers: New York (Reissued by Dover New York, 1977.)
[255] Lefschetz, S. (ed.) [1956]. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations,
IV. Aimals of Mathematical Studies, Vol. 41, Princeton University Press: Princeton.
[256] Lefschetz, S., Cesari, L., and LaSalle, J. P. (eds.) [1960]. Contributions to the
Theory of Nonlinear Oscillations, V. Annals of Mathematical Studies, Vol. 45.
Princeton University Press: Princeton.
[257] Levi, M. [1978]. Qualitative analysis of the periodically forced relaxation
oscillations. Ph.D. thesis. New York University.
[258] Levi, M. [1981]. Qualitative analysis of the periodically forced relaxation
oscillations. Mem. AMS. 214, 1-147.
[259] Levi, M., Hoppensteadt, F., and Miranker, W. [1978]. Dynamics of the Josephson
junction. Quart. Appl. Math., 35, 167-198.
[260] Levinson, N. [1949]. A second-order differential equation with singular solutions.
Ann. Math., 50, 127-153.
[261] Li, T. Y., and Yorke, J. A. [1975]. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly,
82, 985-992.
[262] Liapunov, A.M. [1949]. Probleme General de la Stabilite an Mouvement. Annals
of Mathematical Studies, Vol. 17. Princeton University Press: Princeton.
[263] Libchaber, A., Faure, S., and Laroche, С [1983]. Two-parameter study of routes
to chaos. Physica, 7D, 73-84.
[264] Libchaber, A., and Maurer, J. [1982]. A Rayleigh -Benard experiment: helium in a
small box. In Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities. T. Riste
(ed.), pp. 259-286. Plenum Publication Corp.: New York.
[265] Lichtenberg, A. J., and Lieberman, M. A. [1982]. Regular and Stochastic Motion.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[266] Lieberman, M. A. [1980]. Arnold diffusion in Hamiltonian systems with three
degrees of freedom. In Nonlinear Dynamics, R. H. G. Helleman (ed.), pp. 119-142.
New York Academy of Sciences, New York.
[267] Lorenz, E.N. [1963]. Deterministic non-periodic flow. J. Atmos. Sci., 20, 130-141.
[268] Lorenz, E.N. [1964]. The problem of deducing the climate from the governing
equations. Tellus, 16 A), 1-11.
[269] Lozi, R. [1978]. Un attracteur etrange? du type attracteur de Henon. J. Phys.
(Paris), 39 (C5), 9-10.
Литература 543
[270] Maiie, R. [1981]. On the Dimension of the Compact Invariant Sets of Certain
Nonlinear Maps. Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 898, 230-242.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[271] Manning, A. (ed.) [1975]. Dynamical Systems, University of Warwick 1974.
Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 468. Springer-Verlag: New York,
Heidelberg, Berlin.
[272] Marcus, P. S. [1981]. Effects of truncation in modal representations of thermal
convection. J. Fluid Mech., 103, 241-256.
[273] Marion, J.B. [1970]. Classical Dynamics of Particles and Systems. Academic
Press: New York.
[274] Markus, L. [1971]. Lectures in Differentiable Dynamics. A.M.S. Publications:
Providence.
[275] Marsden, J.E. [1981]. Lectures on Geometric Methods in Mathematical Physics.
S.l.A.M. Publications: Philadelphia.
[276] Marsden, IE., and McCracken, M. [1976]. The Hopf Bifurcation and Its
Applications. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[277] Mather, J. N. [1982a]. Existence of quasi-periodic orbits for twist homeomorphisms
of the annulus. Topology, 21, 457-467.
[278] Mather, J.N. [1982b]. Non-uniqueness of solutions of Percival's Elder - Lagrange
equation. Comm. Math. Phys., 86, 465^76.
[279] Mather, J.N. [1984]. More Denjoy minimal sets for area preserving
diffeomorphisms. Princeton University (preprint).
[280] Maynard-Smith, J. [1971]. Mathematical Ideas in Biology. Cambridge University
Press: Cambridge.
[281] Mees, A. 1. [1981]. Dynamics of Feedback Systems. Wiley: New York.
[282] Melnikov, V. K. [1963]. On the stability of the center for time periodic
perturbations. Trans. Moscow Math. Soc, 12, 1-57.
[283] Meriam, J. L. [1975]. Dynamics, 2nd ed. Wiley: New York.
[284] Metropolis, N., Stein, M.L., and Stein, P.R. [1973]. On finite limit sets for
transformations on the unit interval. J. Combin. Theor., A15, 25^14.
[285] Milnor, J., and Thurston, R. [1977]. On iterated maps of the interval I and II.
Unpublished notes, Princeton University Press: Princeton.
[286] Minorsky, N. [1962]. Nonlinear Oscillations. Van Nostrand: New York.
[287] Misiurewicz, M. [1980]. The Lozi mapping has a strange attractor. In Nonlinear
Dynamics, R. H. G. Helleman (ed.), pp. 348-358. New York Academy of Sciences:
New York.
[288] Misiurewicz, M. [1981]. The structure of mapping of an interval with zero entropy.
Publ. Math. IHES, 53, 5-16.
544 Литература
[289] Moon, F. С, and Holmes, P. J. [1979]. A magnetoelastic strange attractor. J. Sound
Vib., 65 B), 285-296.
[290] Moon, F. C, and Holmes, P.J. [1980]. Addendum: a magnetoelastic strange
attractor. J. Sound Vib., 69 B), 339.
[291] Morosov, A. D. [1973]. Approach to a complete qualitative study of Duffings
equation. USSRJ. Сотр. Math, and Math. Phys., 13, 1134-1152.
[292] Moser, J. [1962]. On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus.
Nachi-. Akad. Wiss. Gottingen Math. Phys. Kl., 2, 1-20.
[293] Moser, J. [1973]. Stable and Random Motions in Dynamical Systems. Princeton
University Press: Princeton.
[294] Murdock, J., and Robinson, С [1980]. Qualitative dynamics from asymptotic
expansions: local theory. J. Diff. Eqns., 36, 425^41.
[295] Nauenberg, M. and Rudnick, J. [1981]. Universality and power spectrum at the
onset of chaos. Phys. Rev, B27, 493^98.
[296] Nayfeh, A.H., and Mook, D.T. [1979]. Nonlinear Oscillations. Wiley: New York.
[297] Neishtadt, A. 1. [1984]. The separation of motions in systems with rapidly rotating
phase. Prikl. Matem. Meldian. 48 B), 197-204.
[298] Nemytskii, V. V., and Stepanov, V. V. [1960]. Qualitative Theory of Differential
Equations. Princeton University Press: Princeton. (Russian original, Moscow,
1949.)
[299] Neu, J. С [1979]. Coupled chemical oscillators. SIAM J. Appl. Math., 37 B),
307-315.
[300] Newhouse, S.E. [1970]. Nondensity of Axiom A (a) on S^. Proc. Symp. Pure
Math., 14, 191-202.
[301] Newhouse, S. E. [1974]. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology, 13,
9-18.
[302] Newhouse, S.E. [1979]. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth
stable sets for diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 50, 101-151.
[303] Newhouse, S.E. [1980]. Lectures on dynamical systems. In Dynamical Systems,
C.l.M.E. Lectures Bressanone, Italy, June 1978, pp. 1-114. Progress in
Mathematics, No. 8, Birkhauser-Boston: Boston.
[304] Newhouse, S.E., Palis, J., and Takens, F. [1976]. Stable arcs of diffeomorphisms.
Bull. Amer. Math. Soc, 82, 491-502.
[305] Newhouse, S.E., Palis, J., and Takens, F. [1983]. Bifurcations and stability of
families of diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 57, 5-72.
[306] Newhouse, S.E., Ruelle, D., and Takens, F. [1978]. Occurrence of strange axiom
A attractors near quasiperiodic flows on T™, m > 3. Comm. Math. Phys., 64,
35-40.
Литература 545
[307] Nitecki, Z. [1971]. Differenliable Dynamics. M.I.T. Press.: Cambridge.
[308] Nitecki, Z., and Robinson, С (eds.) [1980]. Global Theory of Dynamical Systems.
Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 819. Springer-Verlag: New York,
Heidelberg, Berlin.
[309] Novak, M., and Davenport, A. G. [1970]. Aeroelastic instability of prisms in
turbulent flow. Proc. ASCE J. Eng. Mech. Div. EMI, 96, 17-39.
[310] Oseledec, V.I. [1968]. A multiplicative ergodic theorem: Liapunov characteristic
numbers for dynamical systems. Trans. Moscow Math. Soc, 19, 197-231.
[311] Palis, J. [1969]. On Morse - Smale dynamical systems. Topology, 8, 385^05.
[312] Palis, J., and de Carmo, M. (eds.) [1977]. Geometry and Topology, Rio de Janeiro,
1978. Springer Lectures Notes in Mathematics, Vol. 597, Springer-Verlag: New
York, Heidelberg, Berlin.
[313] Palis, J., and de Melo, W. [1982]. Geometric Theory of Dynamical Systems: An
Introduction. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[314] Palis, J., and Smale, S. [1970]. Structural Stability Theorems. A.M.S. Proceedings
of Symposium on Pure Mathematics, Vol. 14, 223-232. A.M.S. Publications:
Providence.
[315] Parkinson, G. V. [1974]. Mathematical models of flow induced vibrations of bluff
bodies. In Proceedings of the International Association for Hydraulics Research
Symposium on Flow-Induced Structural Vibrations, Karlsruhe, Germany, pp.
81-127.
[316] Peixoto, M. M. [1962]. Structural stability on two-dimensional manifolds.
Topology 1, 101-120.
[317] Peixoto, M. C, and Peixoto, M.M. [1959]. Structural stability in the plane with
enlarged boundary conditions. Ann. Acad. Brasil. Ciencias., 31, 135-160.
[318] Peixoto, M. M. (ed.) [1973]. Dynamical Systems. Academic Press: New York.
[319] Percival, 1. C. [1980]. Variational principles for invariant tori and cantori. In
Symposium on Nonlinear Dynamics and Beam Beam Interactions, M. Month and
J.C.Herrara (eds.), A.LP Conference Proceedings, Vol. 57, 310-320. A.LP.: New
York.
[320] Pesin, J. B. [1977]. Characteristic Lyapunov exponents and smooth ergodic theory.
Russ. Math. Surv., 32, 55-114.
[321] Piangiani, G., and Yorke, J. A. [1979]. Expanding maps on sets which are almost
invariant: decay and chaos. Trans. Amer. Math. Soc, 252, 351-366.
[322] Plykin, R. [1974]. Sources and sinks for A-diffeomorphisms. USSR Math. Sb., 23,
233-253.
[323] Poincare, H. [1880-1890]. Memoire sur les courbes definies par les equations
differentielles 1-Vl, Oeuvre 1. Gauthier-Villar: Paris.
546 Литература
[324] Poincare, Н. [1890]. Sur les equations de la dynamique et le probleme des trois
corps. Acta Math., 13, 1-270.
[325] Poincare, H. [1899]. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste, 3 Vols.
Gauthier-Villars: Paris.
[326] Pomeau, Y. and Manneville, P. [1980]. Intermittent transition to turbulence in
dissipative dynamical systems. Commun. Math. Phys., 74, 189-197.
[327] Poston, Т., and Stewart,!. [1978]. Catastrophe Theory and Its Applications. Pitman:
London.
[328] Pounder, J. R., and Rogers, T. D. [1980]. The geometry of chaos: dynamics of a
nonlinear second-order difference equation. Bull. Math. Biol., 42 D), 551-597.
[329] Pugh, С С. [1967a]. The closing lemma. Amer. J. Math., 89, 956-1009.
[330] Pugh, C. С [1967b]. An improved closing lemma and a general density theorem.
Amer. J. Math., 89, 1010-1022.
[331] Pugh, С С. [1969]. On a theorem of P. Hartman. Amer. J. Math., 91, 363-367.
[332] Pugh, C.C., and Shub, M. [1970]. Linearization of normally hyperbolic
diffeomorphisms and flows. Invent. Math., 10, 187-198.
[333] Pustylnikov, L.D. [1978]. Stable and oscillating motions in non-autonomous
dynamical systems. Trans. Moscow Math. Soc, 14, 1-101.
[334] Rand, D. A. [1978]. The topological classification ofLorenz attractors. Math. Proc.
Camb. Phil. Soc, 83, 451^60.
[335] Rand, D. A., Ostlund, S., Sethna, J., and Siggia, E. D. [1982]. A universal transition
from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems. Physica, 8D, 303-342,
[1983].
[336] Rand, D.A., and Young, L. S. (eds.) [1981]. Dynamical Systems and Turbulence.
Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 898. Springer-Verlag: New York,
Heidelberg, Berlin.
[337] Rand, R. H. [1984]. Computer Algebra in Applied Mathematics: An Introduction
to MACSYMA. Pitman: Boston, London, Melbourne.
[338] Rand, R. H., and Holmes, P. J. [1980]. Bifurcation of periodic motions in two weakly
coupled van der Pol oscillators. Int. J. Nonlinear Mech., 15, 387-399.
[339] Reyn, J.W. [1979]. A stability criterion for separatrix polygons in the phase plane.
Nieuw Arch. Voor Wiskunde, 27 C), 238-254.
[340] Robbin, J. [1972]. Topological conjugacy and structural stability for discrete
dynamical systems. Bull. Amer Math. Soc, 78, 923-952.
[341] Robbins, K. A. [1979]. Periodic solutions and bifurcation structure at high R in
the Lorenz model. SIAM J. Appl. Math., 36 C), 457-472.
[342] Robinson, C. [1981a]. Differentiability of the stable foliation of the model
Lorenz equations. In Dynamical Systems and Turbulence, D. A. Rand and
Литература 547
L.-S. Young (eds.), pp. 302-315. Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol.
898. Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[343] Robinson, C. [1981b]. Stability of periodic solutions from asymptotic expansions.
In Classical Mechanics and Dynamical Systems, R. Devaney and Z. Nitecki (eds.),
pp. 173-185. Marcel Dekker: New York, Basel.
[344] Robinson, C. [1982]. Bifurcation to infinitely many sinks. Comm. Math. Phys., 90,
433^59 [1983].
[345] Robinson, C. [1983]. Sustained resonance for a nonlinear system with slowly
varying coefficients. SIAM J. Math. Anal, 14, 847-860.
[346] Robinson, C. [1985]. Horseshoes for autonomous systems using the Melnikov
integral. Northwestern University (preprint).
[347] Ruelle, D. [1977]. Applications conservant une measure absolument continue par
rapport a dx sur [0, 1]. Comm. Math. Phys., 55, 47-52.
[348] Ruelle, D. [1979]. Sensitive dependence on initial condition and turbulent behavior
of dynamical systems. In Bifurcation Theory and Applications in Scientific
Disciplines, O. Gurel and O. E. Rossler (eds.), pp. 408-446. New York Academy
of Sciences: New York.
[349] Ruelle, D. [1981]. Small random perturbations of dynamical systems and the
definition of attractors. Comm. Math. Phys., 82, 137-151.
[350] Ruelle, D., and Takens, R [1971]. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys.,
20, 167-192; 23, 343-344.
[351] Russman, H. [1970]. Uber invariante Kurven differenzierbarer Abbildungen eines
Kreisringes. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen И Math. Phys. Kl, 67-105.
[352] Salam, RM. A., and Sastry, S. [1985]. Dynamics of the forced Josephson junction
circuit: the regions of chaos. IEEE Trans. Circuits Syst. (to appear).
[353] Saizmann, B. [1962]. Finite amplitude free convection as an initial value problem.
J. Atmos. Sci., 19, 239-341.
[354] Sanders, J. A. [1980]. A note on the validity ofMelnikov's method. Report No. 139.
Wiskundig Seminarium, Vrije Universiteit, Amsterdam.
[355] Sanders, J. A. [1982]. Melnikov's method and averaging. Celestial Mechanics, 28,
171-181.
[356] Sanders, J. A., and Chow, S.-N. [1984]. On the number of critical points of the
period. Rapport No. 262, Subfaculteit Wiskunde en informatica, Vrije Universiteit,
Amsterdam.
[357] Sanders, J. A., and Cushman, R. [1984b]. Abelian integrals and global Hopf
bifurcations. Rapport No. 265, Subfaculteit Wiskunde en informatica, Vrije
Universiteit, Amsterdam.
548 Литература
[358] Sanders, J. А., and Chow, S.-N. [1984]. On the number of critical points of the
period. Rapport No. 262, Subfaculteit Wiskimde en informatica, Vrije Universiteit,
Amsterdam.
[359] Sanders, J. A., and Verhulst, F. [1982]. The Theory of Averaging (in preparation).
[360] Sarkovskii, A.N. [1964]. Coexistence of cycles of a continuous map of a line into
itself Ukr. Math. Z., 16, 61-71.
[361] Sattinger, D. H. [1973]. Topics in Stability and Bifurcation Theory. Springer
Lectures Notes in Mathematics, Vol. 309. Springer-Verlag: New York, Heidelberg,
Berlin.
[362] Schecter, S. [1985a]. The saddle-node separatrix loop bifurcation. North Carolina
State University (preprint).
[363] Schecter, S. [1985b]. Melnikov's method at a saddle-node and the dynamics of the
forced Josephson junction. North Carolina State University (preprint).
[364] Schuster, H. G. [1984]. Deterministic Chaos, An Introduction. Physik-Verlag:
Weinheim.
[365] Seigmarm, W. L., and Rubenfeld, L.A. [1975]. A nonlinear model for
double-diffusive convection. SIAM J. Appl. Math., 29, 540-557.
[366] Shenker, S.J. [1982]. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: empirical
results. Physica, 5D, 405^11.
[367] Shiraiwa, K. [1981]. Bibliography for Dynamical Systems. Department of
Mathematics, Nagoya University.
[368] Shiraiwa, K. [1985]. Bibliography for Dynamical Systems, March 1985. Preprint
Series, No. 1. Department of Mathematics, Nagoya University.
[369] Shub, M. [1978]. Stabilite globale des systemes dynamiques. Asterisque, 56.
[370] Shub, M. [1982]. Personal communication.
[371] Siegel, C. L. [1952]. Uber die normal form analytischer Differential-Gleichungen
in der Nahe einer Gleichgewichtslosung. Nach. der Akad. Wiss. Gottingen, 21-30.
[372] Sijbrand, J. [1981]. Studies in nonlinear stability and bifurcation theory. Ph.D.
thesis, Rijksuniversiteit Utrecht.
[373] Silnikov, L.P. [1965]. A case of the existence of a denumerable set of periodic
motions. Sov. Math. Dokl, 6, 163-166.
[374] Silnikov, L.P. [1967]. The existence of a denumerable set of periodic motions in
four-dimensional space in an extended neighborhood of a saddle-focus. Sov. Math.
Dokl, 8 A), 54-58.
[375] Silnikov, L. P. [1970]. A contribution to the problem of the structure of an extended
neighborhood of a rough equilibrium state of saddle-focus type. Math. USSR Sb.,
10 A), 91-102.
Литература 549
[376] Sinai, J. G. [1976]. Introduction to Ergodic Theory. Princeton University Press:
Princeton.
[377] Sinai, J.G., and Vul, E. [1981]. HyperboUcity conditions for the Lorenz model.
Physica, 2D, 3-7.
[378] Singer, D. [1978]. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval. SIAM J.
Appl. Math., 35, 260-267.
[379] Smale, S. [1961]. On gradient dynamical systems. Ann. Math., 74, 199-206.
[380] Smale, S. [1963]. Diffeomorphisms with many periodic points. In Differential and
Combinatorial Topology, S. S. Cairns (ed.), pp. 63-80. Princeton University Press:
Princeton.
[381] Smale, S. [ 1967]. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer Math. Soc, 73,
747-817.
[382] Smale, S. [1980]. The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems,
Economic Processes and Related Topics. Springer-Verlag: New York, Heidelberg,
Berlin.
[383] Sotomayor, J. [1973]. Generic bifurcations of dynamical systems. In Dynamical
Systems, M. M. Peixoto (ed.), pp. 549-560. Academic Press: New York.
[384] Sparrow, C. [1982]. The Lorenz Equations. Springer-Verlag: New York, Heidelberg,
Berlin.
[385] Steen, P., and Davis, S.H. [1982]. Quasi-periodic bifurcation in nonlinearly
coupled oscillators near a point of strong resonance. SIAM J. Appl. Math., 42
F) 1345-1368.
[386] Stefan, P. [1977]. A theorem of Sarkovskii on the existence of periodic orbits of
continuous endomorphisms of the real line. Comm. Math. Phys., 54, 237-248.
[387] Sternberg, S. [1958]. On the structure of local homeomorphisms of Euclidean
n-space, 11. Amer. J. Math., 80, 623-631.
[388] Stoker, J.J. [1950]. Nonlinear Vibrations. Wiley: New York.
[389] Stoker, J. J. [1980]. Periodic forced vibrations of systems of relaxation oscillators.
Comm. Pure Appl. Math., 33, 215-240.
[390] Sullivan, D. [1984]. Quasi-conformal homeomorphisms and dynamics, I-III. City
College, New York (preprints).
[391] Takens, F. [1973a]. Normal forms for certain singularities of vector fields. Ann.
Inst. Fourier, 23, 163-195.
[392] Takens, F. [1973b]. Unfoldings of certain singularities of vector fields: generalized
Hopf bifurcations. J. Diff Eqns., 14, Л1Ь-А9Ъ.
[393] Takens, R [1973c]. Introduction to global analysis. Comm. Math. Inst.,
Rijksuniversiteit Utrecht, 2, 1-111.
550 Литература
[394] Takens, R [1974a]. Singularities of vector fields. Publ. Math. IHES, 43, 47-100.
[395] Takens, F. [1974b]. Forced oscillations and bifurcations. Comm. Math. Inst.,
Rijkuniversiteit Utrecht, 3, 1-59.
[396] Takens, F. [1980]. Detecting strange attractors in turbulence. In Dynamical
Systems and Turbulence, D. A. Rand and L.-S. Young (eds.), pp. 366-381. Springer
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 898, Springer-Verlag: New York, Heidelberg,
Berlin.
[397] Taylor, D.L. [1980]. Nonlinear stability and response of car-trailer combinations.
In S.A.E. Transactions 8-00152, pp. 944-957.
[398] Thirring, W. [1978]. A Course in Mathematical Physics, I: Classical Dynamics.
Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin.
[399] Thom, R. [1975]. Structural Stability and Morphogenesis. W. A. Benjamin:
Reading, MA. (Original edition, Paris, 1972.)
[400] Thompson, J. M. Т., and Hunt, G. W. [1973]. A General Theory of Elastic Stability.
Wiley: New York.
[401] Tresser, C. [1982]. On some theorems of L. P. Silnikov and some applications.
Universite de Nice: Nice, (preprint).
[402] Tresser, С [1983]. Un theoreme de Silnikov en C^ ^ C.R. Acad. Sci. Paris I, 296,
545-548.
[403] Tresser, C. [1984a]. About some theorems ofL.P. Silnikov. Arm. Inst. H.Poincare,
40, 441^61.
[404] Tresser, С [1984b]. Homoclinic orbits for flows in R^. J. Phys. Lett. Paris, 45 E),
837-841.
[405] Turner, J. S. [1973]. Buoyancy Effects in Fluids. Cambridge University Press:
Cambridge.
[406] Ueda, Y [1981a]. Personal communication.
[407] Ueda, Y [1981b]. Explosion of strange attractors exhibited by Dufiing's equation.
In Nonlinear Dynamics, R. H. G. Helleman (ed.), pp. 422^34. New York Academy
of Sciences: New York.
[408] Ulam, S.M., and von Neumann, J. [1947]. On combinations of stochastic and
deterministic processes. Bull. Amer. Math. Soc. 53, 1120.
[409] Uppal, A., Ray, W. H., and Poore, A. [1974]. On the dynamic behavior of continuous
stirred tank reactors. Chem. Eng. Sci., 29, 967-985.
[410] van der Pol, B. [1927]. Forced oscillations in a circuit with nonlinear resistance
[receptance with reactive triode). London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag., 3,
65-80. (Reprinted in Bellman and Kalaba [1964].)
[411] van der Pol, В., and van der Mark, J. [1927]. Frequency demultiplication. Nature,
120, 363-364.
Литература 551
[412] van Gils, S.A., Carr, J., and Sanders, J. A. [1985]. Nonresonant bifurcations
with symmetry. Rapport No. 287, Subfaculteit Wiskunde en Informatica, Vrije
Universiteit, Amsterdam.
[413
[414
[415
[416
[417;
[418
[419;
[420
[421
[422
[423
[424
[425
[426
[427;
[428
[429;
[430
van Strien, S.J. [1979]. Center manifolds are not C°°. Math. Z., 166, 143-145.
van Strien, S.J. [1981]. On the bifurcations creating horseshoes. In Dynamical
Systems and Turbulence, D. A. Rand and L.-S. Young (eds.), pp. 316-351. Springer
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 898. Springer-Verlag: New York, Heidelberg,
Berlin.
Wan, Y. H. [1978]. Computations of the stability condition for the Hopf bifurcation
of diffeomorphisms on R^. SIAM J. Appl. Math., 34, 167-175.
Whitley, D. C. [1982]. The bifurcations and dynamics of certain quadratic maps of
the plane. Ph.D. thesis, Southampton University, Southampton.
Whittaker, E.T. [1959]. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and
Rigid Bodies. 4th edn. Cambridge University Press: Cambridge.
Wiggins, S.W, and Holmes, P.J. [1985a]. Periodic orbits in slowly varying
oscillators. Cornell University (preprint).
Wiggins, S.W., and Holmes, P.J. [1985b]. Periodic orbits in slowly varying
oscillators with time-dependent excitation. Cornell University (preprint).
Wiggins, S.W., and Holmes, P.J. [1985c]. Homoclinic orbits in slowly varying
oscillators. Cornell University (preprint).
Willard, S. [1970]. General Topology. Addison-Wesley: Reading, MA.
Williams, R. F. [1967]. One-dimensional nonwandering sets. Topology, 6, 473^87.
Williams, R.R [1974]. Expanding attractors. Publ. Math. IHES, 43, 169-203.
Williams, R. F. [1976]. The structure ofLorenz attractors. Northwestern University
Press: Evanston, IL (preprint).
Williams, R. F. [1977]. The structure ofLorenz attractors. In Turbulence Seminar
Berkeley 7976/77, P. Bernard and T. Ratiu (eds.), pp. 94-112. Springer-Verlag: New
York, Heidelberg, Berlin.
Williams, R.F. [1979]. The structure ofLorenz attractors. Publ. Math. IHES, 50,
101-152.
Wilson, K. G. [1971a]. The renormalization group and critical phenomena 1:
Renormalization and the Kadanoff scaling picture. Phys. Rev, B4, 3174-3183.
Wilson, K. G. [1971b]. The renormalization group and critical phenomena II: Phase
space cell analysis of critical behavior. Phys. Rev, B4, 3184-3205.
Wood, L. A., and Byrne, K. P. [1981]. Analysis of a random repeated impact
process. J. Sound Vib., 82, 329-345.
Young, L.-S. [1982]. Dimension, entropy, and lyapunov exponents. Ergodic Theory
and Dynamical Systems 2, 109-124.
552 Литература
[431] Zeemaii, Е. С. [1977]. Catastrophe Theory: Selected Papers 1972-1977.
Addison-Wesley: Reading, MA.
[432] Zeeman, E. С [1981]. 1981 Bibliography on Catastrophe Theory. Mathematics
Institute, University of Warwick: Coventry.
[433] Zehnder, E. [1973]. Homoclinic points near elliptic fixed points. Comm. Pure Appl.
Math., 26, 131-182.
[434] Zholondek, K. [1984]. On the versality of a family of symmetric vector fields in the
plane. Math. USSR Sbomik, 48, 463^92.
[435] Ziglin, S. L. [1982]. Self intersection of the complex separatrices and the
nonexistence of the integrals in the Hamiltonian systems with one-and-half degrees
of freedom. J. Appl. Math. Mech. (PMM), 45 C), 411-413.
Литература, добавленная при переводе
Shilnikov L. P., Shilnikov A. L., Turaev D., Chua L. Methods of qualitative theory
in nonlinear dynamics. World Sci., Singapore, Series on Nonliear sciece, series A,
Vol. 5, 1998.
2] Морозов A. Д. Глобачьный анализ в теории нелинейных колебаний. Н. Новгород,
издательство ННГУ, 1995.
3] Morozov А. D. Quasi-conservative Systems: cycles, resonances and chaos. World
Sci., Singapore, Series on Nonliear sciece, series A, Vol. 30, 1998.
4] Козлов В. В. Си.ш.шетрии, топо.чогия и резонансы в гаиильтоновой .механике.
Изд-во УдГУ, Ижевск, 1995.
5] Afraimovich VS. The ring principle and quasi-attractors. In: Proceedings of the
Intern. Conf. on Nonlinear Oscilations. Inst. Mat. Akad. Nauk Ukr.SSR, Kiev.
6] Афраймович В. С, Гаврилов Н. К., Лукьянов В. И., Шильников Л. П. Основные
бифуркации динамических систем. Горький, изд-во ГГУ, 1985.
7] Морозов А. Д. К вопросу о полном качественном исследовании уравнения Дуф-
финга. ИСВМ и МФ, 1973, т 13, №5, с. 1134-1152.
8] Морозов А. Д. О полном качественном исследовании уравнения Дуффинга.
Дифференциальные уравнения, 1976, т. 12, №2, с. 241-255.
9] Плисе В. А. Принцип сведения в теории устойчивости двиэюения. Известия
АН СССР, серия математика, 1964, т. 28, №6.
0] Шошитайшвили А. Н. О бифуркации топологического типа особых точек
векторных полей, зависягцих от параметра. 1975, I, с. 279-300.
1] Боголюбов Н. И., Митропольский Ю. А. Асимптотический .метод в теории
нечинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.
2] Морозов А. Д. Системы, б.чизкие к нелинейным интегрируе.мы.м. Горький,
изд-во ННГУ, 1995.
Литература, добавленная при переводе 553
[13] Морозов А. Д. К задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса. ПММ,
1995, т 59, вып. 4, 590-598.
[14] Морозов А. Д., Шильников Л. П. О неконсервативных периодических системах,
б.чизких к двумерным га.ми.чьтоновы.и. ПММ, 1983, т. 47, вып. 3, с. 385-394.
[15] Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических
систем. М. Факториал, 1999.
[16] Мун Ф. Хаотические колебания. М. Мир, 1990.
[17] Боуэн Р. Методы символической динамики. Сер. «Математика: новое в
зарубежной науке». М.: Мир, 1979.
[18] Шустер Т. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.
[19] Алексеев В. М. Си.ыво.чическая динамика. Тр. XI мат. школы. Киев, Институт
математики АН УССР, 1976.
[20] Заславский Г. М. Стохастичность дина.иических систе.и. М.: Наука, 1984.
[21] Afraimovich V. S., Shilnikov L. P. On the strage attractors and quasi-attractors.
in Book: Nonlinear dynamics and 1ш-Ьи1епсе. Воз1оп-Ьопёоп-Ме1Ьш-п, 1983. pp.
1-34.
[22] Афраймович В. С, Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре
аттрактора Лоренца. АН СССР, 1977, т. 234, №2, с. 336-339.
[23] Афраймович В. С, Шильников Л. П. Об особых .мноэюествах систем Морла-
Смейча. Труды, 1983, т 28, с. 181-214.
[24] Морозов А. Д., Федоров Е. Л. К исследованию уравнений с одной степенью
свободы, б.чизких к нечинейным интегрируемы.^. Дифференциальные уравнения,
1983, т. XIX, №9, с. 1511-1516.
[25] Петров Г. С. Чебышевское свойство э.гчиптических интеграчов.
Функциональный анализ и его приложение, 1988, т. 22, вьш. 1, с. 83-84.
[26] Морозов А.Д., Федоров Е.Л. Об автоколебаниях в двумерных динамических
системах, близких к гамильтоновым. ПММ, 1979, т. 43, выи. 4, с. 602-611.
[27] Гаврилов Н. К. О некоторых бифуркациях состояний равновесия с одни.и ну-
левы.и и парой чисто .ини.мых корней. В сб. Методы качественной теории
дифференциальных уравнений. Горький, 1978, с. 33-40.
[28] Гаврилов Н. К. О бифуркациях состояния равновесия с двумя парами чисто
.мни.мых корней. В сб. Методы качественной теории дифференциачьных
уравнений. Горький, 1978, с. 17-30.
Предметный указатель
С'^-возмущение величины е 62
С'^-собственнозначность 62
С'^-сопряжение 62
а-нредельная точка, а-предельное
множество 57, 294, 295
а;-нредельная точка, а;-предельное
множество 57, 294-295
fc-струи (оборванные ряды Тейлора)
444-449
Автономная усредненная система
см. Усредненная система
Автономное (дифференциальное
уравнение, динамическая
система) 19
Адрес 380
Асимптотическая мера 352
Асимптотически устойчивая
(неподвижная точка) 21-22
Аттрактор 60, 319-320, 324-332
— Лоренца см. Уравнения Лоренца
— Плыкина 329-331
Бассейн притяжения см. Область
притяжения
Бифуркационная диаграмма 140-
141,155-157
Бифуркационное множество 100,
156
Бифуркация переворачивания
(удвоения периода) 117, 140, 146, 201-
204, 385, 428-432
— седловой точки 101, 140, 146, 186,
188-192,201
в теории Мельникова (теорема)
248, 424^28
и усреднение 225-227
— типа вилка 116, 126, 192-193, 201
— удвоения периода 117, 140, 146,
201-204, 385
— Хопфа для отображений 204-211,
377-379
для потоков 101, 126, 193-201
и усреднение 225-227
обобщенная 441-444
Векторное поле 19
Вероятностная мера 348
Вертикальная кривая (полоса) 298-
299
Ветвь равновесия 155-156
Ветвящееся многообразие 327
Гамильтонова система 71, 230-233,
244-282
Гетероклиническая орбита, точка 43,
70,71,360-361
Гиперболическая неподвижная
точка 37
Глобальная бифуркация 120, 154,
192,360-512
Глобально асимптотически
устойчивая (неподвижная точка) 23
Гомоклиническая бифуркация 239-
240,362-363,402-410
— орбита (точка) 43, 70, 72, 117, 120,
135-137, 150, 230-244, 278, 314,
361-367, 387, 395-424
— теорема Смейла-Брфкгофа 238,
314-316
Гомоклинический цикл 70
Предметный указатель
555
Гомоклиническое касание 231-232,
239-244, 402^24
- сплетение 278, 307-309
Горизонтальная кривая, полоса 298-
299
Градиентная система, градиентное
векторное ноле 75-76
Граничный слой 98
Группы симметрии и бифуркации
см. Эквивариантные векторные
поля
Двусторонне бесконечная
(символьная) последовательность 291
Деформация (точки бифуркации)
161,437^41,450
Дикие гиперболические множества
240, 410^24
— определение 414
Диофантовы условия 181, 275, 374-
375
Дискретная динамическая система
(отображение) 36-43
Диссипативная седловая точка 404
Диффеоморфизмы Аносова 40-41,
326-327
Дифференциальное уравнение 18-19
Диффузия Арнольда 275
Догма устойчивости 324
Дрейфующие колебания 100
Емкость 355
Жорданова форма 27
Зависящее от времени возмущение
325
Замкнутая орбита 35-36
Затенение 312-313
Затухающие разрывные колебания
98
Значение бифуркации (точка
бифуркации) 100, 140, 154, 156
Изоклина 80-84
Изоэнергетическая
невырожденность 274
Инвариантная координата 380
— мера, вероятностная мера 337, 348
Инвариантное многообразие см.
Инвариантное множество;
Устойчивое, неустойчивое и центральное
многообразия
— множество 56, 143-144, 294
— подпространство (собственное
пространство) 29-31
Инвариантный тор 86-88, 229-230,
273-278, 370-371
Индекс Пуанкаре 76-80
Индуцированное отображение 422
Интегрируемая (гамильтонова)
система 233, 270
Информация 349
Искажение (одномерного
отображения) 422
Источник 22
Канторова книга 346
Канторово множество 120, 145, 286,
290, 322, 331, 355-356, 411-413
Квадратичные касания см. Гомокли-
нические касания
Квазипериодические орбиты 204,
432^35
Колебания панели 506-511
Колмогорова - Арнольда - Мозера
(КАМ) теория 178, 230, 273-282,
375, 433
Коразмерность (вложенного
подмногообразия) 157
— (точки бифуркации) 161
Кривая решения 19
Критерий Бендриксона 69
Критическая точка (одномерного
отображенияK79
556
Предметный указатель
Лемма о затенении 313
Линеаризация (теорема Хартмана-
Гробмана) 31-33
Липшиц, константа Липшица 21
Локальная бифуркация 154-211
Лямбда-лемма 307
Малые знаменатели 208, 275, 374-
375, см. также КАМ-теория
Матрица переноса 107, 313, 316,
329-331,389-390
— фундаментального решения 27
Мера см. Асимптотическая мера;
Инвариантная мера;
Вероятностная мера
Метод Галеркина 115, 509
Мост (канторова множества) 412
Мультипликативная эргодическая
теорема 353
Начальные условия 19
— непрерывная зависимость от 25
Неблуждающее множество, точка
56, 295
Невырожденная (гиперболическая)
неподвижная точка 33
Независимость 349
Неинтегрируемая гамильтонова
система 280
Нейтральная устойчивость 22
Неподвижная точка 21,31
Непрерывная зависимость от
начальных условий 25
Неравенство Гронвалла 215
Неразложимое (инвариантное
множество) 296
Неустойчивое многообразие
глобальное 34, 38
локальное 33, 38
— подпространство (собственное
пространство) для отображений
37
для потоков 29-31
Нормальные режимы (режимы
колебаний) 86, 114,269
— формы (вырожденных fc-струй)
для кратных бифуркаций 441,
450, 465, 488
для отображений (бифуркация
Хопфа) 206-211
для потоков 178-186
Нуль 21, 31
Область захвата 57-59, 150
— притяжения 57, 146-150
Обобщенная бифуркация Хопфа 442
Общее положение (трансверсальное
пересечение) 157
Общие свойства (ссылка на) 65
Ограничивающая центральная точка
340
Одномерные отображения 334-340,
379-385
Определяющая последовательность
(канторова множества) 412
Орбита 19
Отношения эквивалентности 62-67
Отображение Лози 332
— (Пуанкаре) первого возвращения
45-55
— Пуанкаре 43-55
усреднение и 213-218
— сдвига (символическая динамика)
107,292,313
— Хенона 305, 332, 334-335, 340
Отображения, сохраняющие
площади 270-282
Отражение гиперболическое
(неподвижная точка) 140
Отталкивающее множество 57
Перемена устойчивости см.
Транскритическая бифуркация
Перемешивающая
последовательность 380
Предметный указатель
557
— теория (перемещивающее
исчисление) 379-385
Период три влечет хаос 383, 385
Периодическая орбита 35-36
Плохо аппроксимируемые
(иррациональные числа) 375
Подбрасывание монеты 284-285
Подкова (отображение) 141-146,
238, 288-294, 395^02
Подкова Смейла см. Подкова
Подсдвиг конечного типа 313, 329
Показатель Ляпунова (число
Ляпунова) 352-359
Полное семейство 338, 380
Полупоток 127
Поперечное сечение (сечение
Пуанкаре) 45, 48
Последовательности (каскады)
удвоения периода 428-432
Последовательность Морса 428^29
Построение обращения предела 329
Потенциальная функция 75
Поток 19
Предельное множество 35, 57, см.
также а-, и;-предельное
множество
Прерывистость 424-428
Претурбулентность 390
Притягивающее множество 57, 103,
123, 125,319-324
Промежуток (канторова множества)
412
Прямоугольник (разбиение
Маркова) 310
Псевдоорбиты 312
Путь 380
Разбегание (вырожденная
сингулярность, особенность) 446-449, 452
Разбиение Маркова 309-319, 389
Размерность Хаусдорфа 355-359,
412
Редукция гамильтоновых систем
267-269
Редуцированная гамильтонова
система 268
— система (ограниченная на
центральное многообразие) 168-178
Резонанс порядка к (вынужденные
колебания) 220, 245, 250
Резонансные члены (в нормальных
формах) 181,207
Ренормализация 424-435
Репеллер 60
Седловая точка 22
Седловое соединение, седловая
петля (гетероклинические и гомо-
клинические орбиты) 71-74, 101-
102, 117, 135-137, 233, 360-367,
387
Седловые (точки) первого (второго)
рода для отображений 140
Символьная динамика 106-109, 285-
288,290-292, 329, 392-395
— последовательность 107, 291, см.
также Символьная динамика
Система Морса-Смейла 93
Складка см. Бифуркация седловой
точки
Скручивающее отображение 273-
279
Слияние полос 430
Собственное пространство 27-31
Собственный вектор 27-31
Соленоид 329
Сохраняющее/меняющее
ориентацию (отображение) 40
Спектр мощности 119-120, 432
Стационарное рещение 31
Сток 22
Стоки Ньюхауса 120, 123, 146, 410-
424
Стохастический слой 278, 282
558
Предметный указатель
Странный аттрактор 117-123, 319-
324
Структура гиперболического
множества 285,297-309
Структурная устойчивость 62-67,
120,322-324
Субгармоника 49, 102, 244-266, 279
Субгармоническая бифуркация 248,
см. также Бифуркация
переворачивания
— функция Мельникова 245
Субкритическая и сверхкритическая
бифуркация 126, 193, 202-204
Теорема Денджоя 373-374
— единственности и существования
(для дифференциальных
уравнений) 21, 25
— о скручивании (для сохраняющих
площадь отображений) 274-275
— о центральном многообразии 165
— об устойчивом многообразии для
гиперболических множеств 306-
307
для отображений 38
для потоков 33-34
— Пейксото 88-91
— Пуанкаре-Бендикссона 69, 98
— Сарковского 385
— Сингера (одномерные
отображения) 372
— усреднения 214
— Хартмана-Гробмана
(линеаризации) для отображений 38
для потоков 33
— Шильникова (гомоклиническая)
395-402
Теория катастроф 439-440
— Мельникова (метод Мельникова)
232-282, 455^56
— сингулярностей 437^38
— Флоке и отображения Пуанкаре
46-47
Термохалинная конвекция 504-506,
509-511
Толщина (канторова множества) 412
Топологическая размерность 326
Топологическая сопряженность см.
Топологическая эквивалентность
Топологическая эквивалентность 62
Топологически транзитивное
(инвариантное множество) 296
Точка равновесия, решение
равновесия 21, 31
Траектория 19
Трансверсальное пересечение
(инвариантных многообразий) 76
Трансверсальности (теорема) 157-
161
Трансверсальные гомоклинические
орбиты 120-121, 149-150, 231-
232, 238, 278, 307-309
Транскритическая бифуркация
(перемена устойчивости) 186, 192-
193,248
Универсальная деформация 450, 457
Универсальные структуры 424-435
Упругий шар (модель динамики)
137-153
— гиперболическое инвариантное
множество 302-305
Уравнение Ван дер Поля 96-113,
316-319
— Дуффинга 43, 113-123, 220-224,
240-244, 249-252, 332
— Матьё 51-55
Уравнения Лоренца 125-137, 166-
168, 340-346, 386-395
Усреднение (метод) 97,196,212-232,
258
Усреднение по времени 350
Усредненная система 213
Предметный указатель
559
Устойчивая неподвижная точка 21-
22
Устойчивое многообразие
глобальное 34, 38
локальное 33, 38
— подпространство (собственное
пространство) для отображений
37
для потоков 29-31
— слоение 129-130, 329-332, 341,
386
Фиксация фазы 100, 377
Функция Ляпунова 22-25, 75
— Мельникова 236
для субгармоник 245
экспоненциально малое
значение 264-266
Характеристические (Флоке)
множители, показатели 47
Центр 22
Центральная точка,
ограничивающая центральная точка 338
Центральное многообразие 161-178
аппроксимация 168-178
неединственность 162-163
определение 162
потеря гладкости 162-165, 468-
469
— подпространство (собственное
пространство) для отображений
37
для потоков 29-31
Цепная рекуррентная точка,
множество 295
Частотная функция отклика
(вынужденные колебания) 221-222
Число вращения 208, 367-379
— определение 368, 432-435
Чувствительная зависимость от
начальных условий ПО, 131, 238
Шварца производная 336, 379
Эквивариантные векторные поля
185, 193
Экспоненциально малая величина
(функции Мельникова) 264-266
Энтропия (топологическая
энтропия) 349-359
Эргодическая теория 349-352
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой
или электронной почтой:
subscrlbe@rcd.ru
Внимание: дешевле и бьютрее всего книги можно приобрести через
наш Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332^8-92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34).
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37.
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 15 этаж).
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Гукенхеймер Джон
Холмс Филип
Нелинейные колебания, динамические системы
и бифуркации векторных полей
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерная верстка С. В. Высоцкий
Корректор 3. Ю. Соболева
Подписано в печать 26.09.02. Формат 60 х 84У^д.
Печать офсетная. Усл. неч. л. 32,55. Уч. изд. л. 32,67.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная Xs;!.
Тираж 1000 экз. Заказ №
АПО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.