Ю. В. Янилкин, Ю. А. Бондаренко, Е. А. Гончаров, А. Р. Гужова,
В Ю. Колобянин, В. Н. Софронов, В. П. Стаценко
ТЕСТЫ ДЛЯ ГИДРОКОДОВ,
МОДЕЛИРУЮЩИХ УДАРНОВОЛНОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СРЕДАХ
ББК 22.253.3
УДК 533
Т36
Янилкин Ю. В., Бондаренко Ю. А., Гончаров Е. А., Гужова А. Р.,
Колобянин В. Ю., Софронов В. Н , Стаценко В. П.
Т 36 Тесты для гидрокодов, моделирующих ударноволновые течения в много-
компонентных средах: Учебное пособие: в 2 т. / [Ю. В. Янилкин и др.]. - Саров:
ФГУП дРФЯЦ-ВНИИЭФ», 2017.
ISBN 978-5-9515-0351-0
Т. 1: Газодинамика. - Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2017, 169 с., ил.
ISBN 978-5-9515-0352-7
Книга представляет собой сборник задач для тестирования гидрокодов,
предназначенных для моделирования широкого класса ударноволновых те-
чений многокомпонентной среды. Рассматриваются следующие области
физики: газодинамика, упругопластика, разрушение материалов, детонация
и горение взрывчатых веществ, теплопроводность, турбулентное перемеши-
вание и магнитная гидродинамика. Для большинства задач приводятся при-
меры их моделирования по коду ЭГИДА, в приложении дается краткое опи-
сание разностных схем кода.
Сборник предназначен для научных работников, занимающихся разра-
боткой разностных схем, гидрокэдов и их тестированием, а также модели-
рованием различных задач по известным кодам. Кроме того, он может быть
полезен при обучении студентов и аспирантов соответствующих специаль-
ностей.
ББК 22.253.3
УДК 533
ISBN 978-5-9515-0352-7 (Т. 1)
ISBN 978-5-9515-0351-0
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2017
СОДЕРЖАНИЕ
Список основных обозначений и сокращений........................... 6
Введение........................................................... 7
Глава 1. О тестовых задачах и их точных (эталонных) решениях ..... 11
1.1.	Что такое тестовая задача................................. 11
1.2.	Сравнение численных решений с эталонным решением.......... 14
1.3.	Вычисление норм погрешностей численных решений............ 15
1.4.	Анализ численной сходимости решений при измельчении сетки .... 20
1.5.	Особенности исследования точности в 1D расчетах .......... 23
1.6.	Особенности исследования точности в многомерных расчетах.. 24
1.7.	Особенности исследования точности в расчетах
многокомпонентных сред......................................... 26
1.8.	Дополнительные возможности исследования точности расчетов. 27
Глава 2. Газодинамические тестовые задачи......................... 29
2.1.	Задачи с лагранжевыми контактными границами ............... 29
2.1.1.	Развитие тейлоровской неустойчивости на линейной стадии
(задача Тейлора) .......................................... 29
2.1.2.	Нелинейное развитие возмущений при ускорении тонкой
оболочки постоянным давлением (задача Отта)................ 31
2.1.3.	Обжагие эллипсоида равномерным давлением
(задача Шульца)............................................ 33
2.1-4-	Сжатие газовой полости сходящейся оболочкой
(задача Сапаева).	  34
2.2.	Решение уравнения адвекции................................. 37
2.2.1.	Движение прямоугольного скачка уплотнения............ 37
2.2.2.	Движение вращающейся крестообразной фигуры........... 38
2.2.3.	Вращение круглого тела............................... 39
2.2.4.	Вращение серпообразного тела ........................ 40
2.3.	Задачи для тестирования искусственной вязкости............. 41
2.3.1.	Сферически-цилиндричес кое безударное сжатие вещества .... 41
2.3.2.	Цилиндрическая и сферическая задачи Ноха............. 42
2.3.3.	Сжатие газа сходящейся сферической оболочкой......... 43
2.4.	Ударноволновые задачи...................................... 44
2.4.1.	Распространение стационарной ударной волны........... 44
2.4.2.	Задача Седова (точечный взрыв) ...................... 45
2.4.3.	Движение плоской ' D ударной волны в шаре со сферической
сеткой...................................................... 48
2.4.4.	Задача Зальцмана..................................... 49
4
2.5.	Задачи со смесями веществ.................................. 53
2.5.1.	Распространение сильной ударной волны по смеси двух газов . . 53
2.5.2.	Распространение ударной волны по слоистой структуре
двух газов.................................................. 55
2.5.3.	Распространение ударной волны по среде, состоящей
из I етерогенных структур................................... 56
2.6.	Задачи с вакуумом.......................................... 58
2.6.1.	Разлет вещества в вакуум............................. 58
2.6.2.	Задача Шемарулина.................................... 58
2.6.3.	Разлет газа в вакуум с косой стенки.................. 61
2.6.4.	Адиабатический разлет в вакуум осесимметричного газового
эллипсоида ................................................. 63
2.7.	Задачи с несколькими особенностями......................... 64
2.7.1.	Распад разрыва на границе разноплодных веществ....... 64
2.7.2.	Задача Сода.......................................... 66
2.7.3.	Модифицированная	задача Сода ........................ 70
2.7.4.	Задача с двумя ударными волнами ..................... 74
2.7.5.	Прохождение ударной волны через границу вода - воздух .... 78
2.7.6.	Прохождение УВ через контактную границу двух веществ
(из легкого в тяжелое)...................................... 81
2.7.7.	Прохождение УВ через контактную границу двух веществ
(из тяжелого в легкое)...................................... 83
2.7.8.	Задача Blast Waves................................... 85
2.7.9.	Задача о тройной точке............................... 87
2.7.10.	Прохождение ударной волны через пузырь гелия ....... 88
2.8.	Аппроксимационная вязкость и галилеевская инвариантность... 89
2.8.1.	Первая задача Стокса................................. 89
2.9.	Граничные условия ......................................... 90
2.9.1.	Задание давления на лагранжевой границе в смешанных
ячейках .................................................... 91
2.9.2.	Неотражающее граничное условие ...................... 91
2.10.	Примеры моделирования газодинамических задач.............. 93
2.10.1.	Движение прямоугольного скачка уплотнения........... 93
2.10.2.	Движение крестообразной фигуры...................... 94
2.10.3.	Сферически-цилиндрическое безударное сжатие вещества ... 95
2.10.4.	Цилиндрическая задача Поха.......................... 96
2.10.5.	Сжатие газа сходящейся сферической оболочкой........ 98
2.10.6.	Точечный взрыв (задача Седова)...................... 99
2.10.7.	Задача Зальцмана................................... 102
2.10.8.	Прохождение сильной УВ по смеси двух газов......... 103
2.10.9.	Прохождение УВ по среде, состоящей из слоистой структуры . 106
2.10.10.	Прохождение УВ по среде, состоящей из гетерогенных
структур................................................... 108
5
2.10.11.	Задача Шемарулина............................. 109
2.10.12.	Распад разрыва на границе двух разноплотных	веществ	.	..	ИЗ
2.10.13.	Задача Сода........................................... 113
2.10.14.	Модифицированная задача Сода ............................. 119
2.10.15.	Задача с двумя ударными волнами............... 124
2.10.16.	Прохождение ударной вслны через границу вода - воздух.	.	.	130
2.10.17	Прохождение УВ через контактною границу двух веществ
(из легкого в тяжелое) ............................................ 135
2.10.18.	Прохождение УВ через контактную границу двух веществ
(из тяжелого в легкое)..................................... 141
2.10.19.	Задача Blast Waves........................................ 147
2.10.20.	Задача о тройной точке ................................... 148
2.10.21.	Прохождение ударной волны через пузырь гелия.............. 150
2.10.22.	Первая задача Стокса...................................... 151
2.10.23.	Задание давления с использованием фиктивного
компонента «вакуум» ............................................... 154
2.10.24.	Неотражающее граничное условие ........................... 155
Приложения. Некоторые сведения о разностных методах
решения уравнений газодинамики кода ЭГИД 4................................159
П. 1. Лагранжев этап 2D газодинамики..................................... 159
П. 1.1. Разностная схема для однокомпонентного случая................ 160
П. 1.2. Разностная схема для многокомпонентного случая............... 161
П. 1.3. Методы замыкания уравнений газовой динамики.................. 162
П.1.4. Замыкание уравнений в смешанных ячейках с вакуумом........ 163
П. 1.5. Искусственная вязкость....................................... 164
П.2. Эйлеров этап 2D газодинамики........................................ 164
Список литературы ....................................................... 166
Список основных обозначений и сокращений
УВ	- ударная волна.
кг	- контактная граница.
УРС	- уравнение состояния.
ID, 2D, 3D	- одномерный, двумерный, грехмерный.
Р, Р4	- плотность среды в целом и компонента.
Л/Ч е = SIE, et	- давление среды в целом и компонента. -удельная внутренняя энергия (specific internal energy) среды в целом и компонента.
и(их, Uy, и:)	- скорость.
х, у, z t	- координаты. - время.
т	-	шаг по времени. -	индекс вещества (компонента).
С, Q h	-	массовая концентрация (доля) компонента. -	объемная концентрация (доля) компонента. -	скорость звука среды в целом и компонента. -	характерный линейный размер ячейки.
Введение
В настоящее время создается большое количество гидрокодов (далее - ко-
дов), предназначенных для моделирования течений, связанных с разнообразны-
ми физическими процессами. Это - газодинамика, упругопластика, детонация и
горение взрывчатых веществ, теплопроводность, турбулентное перемешивание,
магнитная гидродинамика и др.
При создании любого кода требуется провести его тестирование, что вклю-
чает в себя верификацию алгоритмов и методов решения, заложенных в код, и
валидацию физико-математических моделей, реализованных данными методами.
Верификация подразумевает проверку методов и алгоритмов, лежащих в ос-
нове кода и решающих определенные уравнения. Она включает в себя несколько
этапов. Первичная верификация кода проводится для того, чтобы убедиться в
корректности программной реализации алгоритмов, например, при их распарал-
леливании. Данный этап верификации является внутренним и, как правило, вы-
полняется разработчиками кодов. Второй этап веоификации является основным
и включает в себя определение погрешности (точности) численного решения
этих уравнений, он позволяет получить количественную оценку численной со-
ставляющей общей ошибки в расчетах. Поэтому этот этап верификации подра-
зумевает сравнение с точными, асимтотическими и приближенными аналитиче-
скими решениями, а также с результатами расчетов по другим кодам, точность
которых не подвергается сомнению. Наконец, третий этап верификации необхо-
дим для выяснения классов задач, в которых данный код позволяет проводить
расчет безавостно (без аварийных остановов) и гарантированно получать резуль-
тат. Верификация кодов проводится в указанной последовательности этапов.
Отметим, что в настоящей книге первый этап верификации не рассматривается.
Валидация физико-математических моделей, заложенных в код, подразуме-
вает проверку этих моделей с точки зрения их соответствия исследуемым физи-
ческим явлениям и течениям. Поэтому валидация, как правило, предполагает
сравнение с экспериментальными данными. Чтобы отделить погрешности алго-
ритмов от погрешности моделей, валидацию последних можно проводить только
по верифицированным кодам, отсюда вытекает предпочтительный порядок те-
стирования - от верификации к валидации.
В общем случае указанное разделение задач довольно условно, одна и та же
задача может быть использована как в качестве валидационной, так и в качестве
верификационной, в зависимости от целей тестирования. Например, при локаль-
ных изменениях в коде, не связанных с разработкой новых разностных схем,
возникает необходимость проверки работоспособности кода на ранее смодели-
рованных по данному коду задачах С этой целью проводится моделирование
этих задач по новой версии кода и сравнение новых результатов с ранее полу-
8
ченными данными. В этом случае любая решаемая задача будет выступать в ка-
честве верификационной. Поэтому в данном издании мы не будем делать разли-
чий между валидационными и верификационными задачами и назовем их общим
термином «тестовые задачи». А какие задачи, с какой целью использовать - каж-
дый исследователь решает по своему усмотрению1.
В настоящее время существует множество тестовых задач, применяемых для
указанных целей. Они опубликованы в различных журналах, трудах конферен-
ций и монографиях. Выбор тех или иных задач для тестирования определяется
как пристрастиями авторов кодов, так и (доступностью) трудностями поиска за-
дач в большом количестве работ. В силу этого в разных работах используются
разные тесты, что затрудняет проведение сравнительной оценки точности реали-
зованных методов по отношению к другим аналогичным методам. Данная про-
блема усугубляется при необходимости тестирования методов решения, реализо-
ванных в кодах, предназначенных для моделирования широкого спектра задач из
разных областей механики сплошной среды. Очень часто эти задачи включают в
себя несколько перечисленных физических процессов, протекающих одновре-
менно.
Найти в литературе такие задачи можно, но это требует определенных уси-
лий. Данная работа - это попытка создания некоего справочника по тестовым
задачам из разных областей механики многокомпонентной сплошной среды. При
подборе задач мы руководствовались несколькими критериями. Во-первых, те-
сты должны быть простыми. Во-вторых, они должны позволять протестировать
программы как по частям, так и в совокупности. В-третьих, они должны вклю-
чать возможность их моделирования по различным методикам, опирающимся на
различные подходы при разработке разностных схем, такие как лагранжев, эйле-
ров, лагранжево-эйлеров и др. В-четвертых, тесты (по возможности) должны
иметь аналитическое решение, которое может быть и приближенным решением
задачи, полученным с помощью каких-либо упрощений постановки. В-пятых, в
тех случаях, когда такого решения нет, в качестве эталонного могут выступать
решения, полученные в расчетах на сходимость на предельно большом количе-
стве ячеек или же экспериментальные данные. В-шестых, большинство выбран-
ных тестов прошли проверку временем и являются общепринятыми. И, наконец,
подбор тестов осуществлялся исходя из задач, которые авторам приходится ре-
шать, будучи сотрудниками ВНИИЭФ.
В работе представлены задачи из следующих разделов физики: газодинами-
ка, упругопластика и разрушение материалов, детонация и горение ВВ, тепло-
проводность, турбулентное перемешивание и магнитная гидродинамика. Из этой
обширной области физики авторы ограничились задачами, включающими в себя
ударноволновые течения многокомпонентной среды, хотя в качестве предельно-
го случая приводятся и безударные задачи. При этом задачи, связанные с по-
1 Довольно часто в отечественной литературе все тестовые задачи называют веоифи-
кационными, хотя зто и идет вразрез с мировой практикой.
9
гранслоями, в сборнике не рассматриваются в силу присущих им специфических
особенностей. Тем не менее, предлагаемый набор задач (даже в этой ограничен-
ной области физики) не претендует на полноту и завершенность, но авторы
надеются, что он найдет применение в практике тестирования соответствующих
кодов.
Отметим, что первые опыты создания справочника по тестам из близких к
тематике книги областей физики уже имеются (см. работы [1—4])2. В статье [1]
приводятся 1D и 2D газодинамические тесты, которые предназначены для расче-
тов задач с лагранжевыми подвижными внешними границами и в целом непри-
годны для моделирования на неподвижных сетках. В статье [2] представлены
тесты для методик численного решения 2D задач теплопроводности на сетках,
когда контактные границы совпадают с линиями сетки В работе [3 ] представле-
ны лишь тесты для детонационных волн. В работе [4] - более широкий набор 1D.
2D, 3D тестов для газодинамики, упругопластики и теплопроводности. Отметим
также книгу [5], содержащую 1D и 2D задачи, использованные для тестирования
различных методик кода ЭГИДА. Тем не менее, наборы тестов из указанных ра-
бот представляются все же недостаточными с точки зрения рассматриваемых в
данной книге классов задач, к тому же не все эти работы находятся в свободном
доступе.
В настоящей работе приводятся в основном 1 D и 2D задачи. Мы полагаем,
что основные особенности методик можно выявить на задачах указанной раз-
мерности, трехмерные задачи не добавляют принципиально новых особенностей
по сравнению с двумерными, однако значительно усложняют само моделирова-
ние. При проведении расчетов 1D и 2D задач, в которых принципиально важна
трехмерность процесса, например, при прямом численном моделировании тур-
булентности, мы в основном используем расчеты в 3D приближении. Кроме того,
некотопые процессы, имеющие свои особенности в 3D случае, рассматриваются
и в таком приближении, в частности МГД течения.
Дтя каждого теста дается полная постановка задачи: геометрия, начальные
параметры величин, уравнения состояния (УРС) и другие замыкающие соотно-
шения, граничные условия и время, до которого задача рассматривается, а также
контрольные моменты времени, на которые необходимо проводить сравнение
эталонных и численных решений. Для эталонного решения дается ссылка на ра-
боту, в которой данное решение получено или дается само решение, если такой
работы нет. Для ряда тестовых задач приводятся примеры их моделирования, в
основном по коду ЭГИДА [5], предназначенном для расчетов широкого спектра
задач в произвольно лагранжево-эйлеровой постановке, в том числе на непо-
движных сетках. Выбор данного кода в качестве основного полигона для тести-
рования обусловлен тем, что он создан во ВНИИЭФ и в его разработке автооы
2 Необходимо отметить закже тесты, предлагаемые в разных руководствах по ком-
мерческим кодам, таким как STAR-CD, ANS1S и др., которые имеют узконаправленные
области применения.
10
принимали непосредственное участие. При проведении тестирования мы не ста-
вили обязательной целью полномасштабное исследование точности кода во всех
задачах, зачастую ограничившись демонстрацией возможностей проведения рас-
четов в той или иной постановке с приведением усеченных данных по точности.
При этом многие обработки результатов расчетов не являются стандартными, а
характерны лишь для конкретных задач.
В сборнике, если не указано специально, используются безразмерные вели-
чины. Аналитические решения в тестах даются с указанной в конкретном гесте
точностью, большая точность для построения сравнительных рисунков и таблиц
не требуется.
Сборник предназначен для научных сотрудников, занимающихся разработ-
кой разностных схем, кодов и их тестированием, а также моделированием раз-
личных задач по известным кодам. Кроме того, он может быть полезен при обу-
чении студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Предлагаемое издание будет состоять из двух томов. Первый том посвящен
теоретическим вопросам верификации кодов и газодинамическим тестовым за-
дачам с примерами их моделирования. В приложении приводятся краткие сведе-
ния о газодинамической методике кода ЭГИДА. Второй том будет содержать
тестовые задачи для сопутствующих процессов, таких как упругопластика, дето-
нация и горение ВВ, теплопроводность, турбулентное перемешивание и МГД
течения с примерами их моделирования. В приложении к этому тому приводятся
краткие сведения о применяемых для моделирования указанных физических
процессов конечно-разностных схемах кода ЭГИДА.
Между авторами работа над сборником распределилась следующим обра-
зом: Ю. В. Янилкин - введение, главы 1-6, приложение; Ю. А. Бондаренко - гла-
ва 1; Е. А. Гончаров - главы 2, 3, 5; А. Р. Гужова - глава 5; В. Ю. Колобянин -
главы 2, 3; В. Н. Софронов - глава 7; В. П. Стаценко - глава 6. Общую редакцию
сборника осуществил Ю. В. Янилкин.
Авторы выражают благодарность своим коллегам: М. Ю. Егужовой,
С. С. Львовой, О. Г. Синьковой, А. Л. Стадник, О. О. Топоровой, В. Е. Шема-
рулину, В. А. Шмелеву, оказавшим большую помощь при постановке и проведе-
нии расчетов; Г. П. Симонову за предложенную им задачу 3.1.5; Д. Ю. Дьянову и
К. В. Цибереву за предложенную ими задачу 4.1.2; А. И. Голубеву за ценные за-
мечания по тексту главы 1, а также сотрудникам ЛАНЛ (Д. Камму и
М. Шашкову) и СИЛ (А. Робинсону) за предоставление постановок нескольких
задач и консультации при проведении ряда расчетов, которые были выполнены
по контрактам с указанными лабораториями США.
Глава 1
О тестовых задачах и их точных (эталонных) решениях
В этой главе рассматриваются вопросы о том, что же такое тестовая задача и
всякая ли тестовая задача необходима для полномасштабного тестирования кон-
кретного гидрокода. На первый взгляд ответ на эти вопросы очевиден - чем
больше тестов, тем лучше. Однако в реальности количество тестов должно быть
ограничено исходя из необходимой достаточности. Имеется несколько моментов,
учет которых при выборе тестов может серьезно сэкономить трудозатраты на
тестирование. Ниже изложены рекомендации, которые делают процесс выбора
тестовых задач и само тестирование менее затратным, а результаты тестирования
становя гея более понятными и полезными для дальнейшего улучшения числен-
ных методов.
1.1.	Что такое тестовая задача
Тестовая задача или просто тест - это, прежде всего, задача, имеющая эта-
лонное решение (эталон), которое можно использовать для проверки качества
соответствующих численных методов, реализованных в том или ином коде, то
есть для их верификации. Решение задачи может быть точным решением иссле-
дуемой системы дифференциальных уравнений или численным решением, точ-
ность которого не подвергается сомнению.
Однако всех этих задач недостаточно для полноценного тестирования кода.
После его верификации необходима также валидация заложенных в него физико-
математических моделей, то есть проверка этих моделей с точки зрения их адек-
ватности исследуемым физическим явлениям и течениям. Это может быть сдела-
но, прежде всего, сравнением численных результатов с надежными эксперимен-
тальными данными3. Как уже отмечено во введении, мы не делаем различия
между этими двумя типами задач, называя их одним общим термином «тесты».
Ниже под точными решениями (в том числе асимптотическими или прибли-
женными) понимаются решения, описываемые либо конечными соотношениями,
либо обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые почти всегда
можно решить численно с любой наперед заданной точностью. Что касается чис-
3 Экспериментальные данные в принципе могут быть использованы и для верифика-
ции кода после того, как выяснена адекватность моделей, заложенных в код, при описа-
нии соответствующих физических процессов, имеющих место в данных экспериментах.
В то же время следует учитывать, что зачастую неизвестна точность экспериментальных
данных, и поэтому их трудно использовать для проверки точности разностных методов
моделирования. Поэтому экспериментальные данные обычно используются не для вери-
фикации кодов, а для их валидации.
12
ленных решений, то под ними понимаются результаты расчетов на предельно
мелкой сетке, когда надежно установлена сходимость численных решений при
измельчении сетки4. В этой книге все данные, с которыми сравниваются резуль-
таты расчетов, будут называться эталонным решением.
Любую задачу, имеющую эталонное решение (особенно точное), можно ис-
пользовать в качестве тестовой задачи. Однако для основных разделов механики
сплошной среды имеется множество задач разной степени сложности. Для тести-
рования конкретных методик нецелесообразно использование всей совокупности
таких задач в качестве тестовых. Чтобы из них выбрать небольшой, но достаточ-
ный для практического тестирования набор задач, необходимо определить как
классы задач, так и цели тестирования, что позволяет выбор тестовых задач
сделать более определенным и уменьшить их количество.
Даже ограничившись одним физическим процессом, например, газовой ди-
намикой для случая течений идеальных сжимаемых газов, можно выделить са-
мые разные классы задач. Например, система тестовых задач, описанная в рабо-
тах [1], [2], ориентирована на класс задач газодинамики с лагранжевыми по-
движными внешними границами.
Также важными при выборе тестовых задач представляются определение и
конкретизация целей тестирования. Оставим в стороне сугубо внутренние для
программистов цели, такие как правильность написания программ при их созда-
нии (без уверенности в этом заниматься вопросами точности численных методов
не имеет смысла) или эффективность распараллеливания вычислений на много-
процессорных компьютерах.
Цели тестирования желательно формулировать более конкретно, чем просто
«выяснение точности численного метода», что подразумевает, прежде всего,
конкретизацию вопросов и проблем, связанных с разработкой тех или иных ал-
горитмов, составляющих содержание численного метода. Например, в процессе
разработки системы тестов [1], [2] для 2D лагранжевых методик расчета газовой
динамики интерес представляли следующие проблемы, а также точность числен-
ных методов при моделировании соответствующих задач:
1)	сдвиговых течений;
2)	ударных волн, распространяющихся под разными углами к линиям сетки;
3)	струйных движений оболочек;
4)	одномерных газодинамических течений на двумерных сетках.
4 Здесь необходимо иметь в виду, что не всегда можно получить сходящийся резуль-
тат в принятом в вычислительной математике смысле, например, для задач турбулентно-
го перемешивания. Дело в том, что данный процесс является стохастическим, сильно
зависящим от начальных данных и эволюции самого физического процесса с течением
времени, поэтому результат какого-либо одного расчета не может выступать в качестве
эталонного решения. В этом случае в качестве условного эталона приходится привлекать
экспериментальные данные, которые также имеют какой-то статистический разброс, или
приближенные решения для автомодельных режимов течений.
13
Формулировка подобных вопросов, касающихся особенностей интересую-
щих проблем, упрощает выбор тестовых задач и ограничивает их количество.
При этом их количество еще уменьшится, если удастся найти такие задачи, с по-
мощью которых можно исследовать сразу несколько проблем.
Еще один важный критерий для выбора тестовых задач связан с практикой
проведения оасчетов по данному коду: они должны обладать свойствами наибо-
лее типичных решаемых по коду задач.
В силу вышесказанного описание (постановка) тестовой задачи сводится к
пяти основным пунктам.
1.	Указание цели тестирования кода на этой тестовой задаче. Понятно, что
при несоответствии целей возможностям данного кода задачу не следует исполь-
зовать для тестирования этого кода. Например, тесты с лагранжевыми границами
нет смысла использовать для эйлеровых методов. Поэтому для любого теста
должны быть указаны основные особенности кодов, для которых данная задача
может использоваться.
2.	Должно быть указано эталонное решение задачи или способ его получе-
ния.
3.	Необходимо дать полную формулировку физической постановки задачи,
то есть указать моделируемые физические процессы, геометрию, параметры ве-
ществ, краевые условия и др.
4.	Необходимо указать математическую постановку расчетов данной задачи.
Это, прежде всего, формально-математическая постановка начально-краевой за-
дачи. Так как в численном расчете обычно моделируется некоторый физический
процесс в ограниченной области на ограниченном интервале времени, надо, ис-
ходя из известного эталонного решения, сформулировать начальные условия,
задать ограниченную область и на ее внешних границах задать соответствующие
краевые условия.
Расчеты любой задачи проводятся на конкретных счетных сетках. В зависи-
мости от целей тестирования для некоторых тестовых задач при необходимости
надо указать тип счетной сетки и (или) диапазон ее параметров (форма и размеры
ячеек, число ячеек сетки). В большинстве случаев представляет интерес проведе-
ние расчетов на нескольких сетках для выяснения зависимости погрешности от
размеров и формы ячеек сетки. Учет особенностей конкретного численного метода
позвочяет указать дополнительные детали математической постановки расчетов.
Еще на этапе математической постановки желательно указать конечный мо-
мент времени, до которого надо моделировать исследуемый процесс и (или) кон-
трольные моменты времени для сравнения с эталонными решениями и др.
5.	Определение критериев и способов проверки качества численного моде-
лирования. На этом этапе надо определить набор величин или функций, числен-
ные значения которых следует сравнивать с эталонным решением для количе-
ственного определения погрешностей. В идеале для тестирования можно опреде-
лить нормы погрешностей всех физически значимых функций на контрольные
моменты времени. Но это требует больших трудозатрат и далеко не всегда
14
оправдано целями тестирования. Как правило, смысл тестовой задачи и конкрет-
ные цели тестирования позволяют существенно уменьшить итоговую информа-
цию о погрешностях. Например, в задачах сферического сжатия газа оболочкой
интерес представляет, прежде всего, значение максимальной средней плотности
газа. По сравнению с этой величиной нормы погрешностей лрофилей плотности,
давления и скорости на контрольный момент времени могут быть второстепен-
ными, и потому заниматься их вычислением и анализом нецелесообразно. В то
же время для задачи Blast Waves исследование точности проводится лишь для
профиля плотности, не затрагивая другие величины.
Таким образом, постановка тестовой задачи должна включать в себя следу-
ющие основные пункты.
1)	описание конкретных целей тестирования с указанием основных особен-
ностей кодов;
2)	физическую постановку задачи, куда входят моделируемые физические
процессы, геометрия, параметры веществ, краевые условия и др.;
3)	описание эталонного решения или его особенностей;
4)	математическую постановку расчетов, куда входит описание начальных
данных, граничных условий, счетных сеток и (или) диапазона сеточных парамет-
ров, контрольные моменты времени для определения нормы погрешности и др.;
5)	список величин или функций, которые надо сравнивать с эталонным ре-
шением, а также алгоритмы вычисления погрешности или нормы погрешности.
В последующем описании тестовых задач мы будем по возможности при-
держиваться указанных пунктов.
1.2. Сравнение численных решений с эталонным решением
Чтобы выполнить анализ любого кода с точки зрения точности моделирова-
ния тех или иных задач, необходимо уметь оценивать ошибки (погрешности)
численного решения.
Оценки могут быть качественные и количественные. Первые представляют
собой качественный анализ моделируемых течений с точки зрения описания тех
или иных явлений, имеющих место в рассматриваемой задаче. Такими явлениями
могут быть, например, движение контактной границы (КГ) между веществами,
распространение ударной, детонационной и других волн, наличие турбулентного
перемешивания и др. Качественный анализ кода необходим, прежде всего, для
оценки его функционатьных возможностей и понимания того, что данный код
в принципе позволяет моделировать подобные течения с приемлемой точностью5.
5 Для некоторых процессов качественный анализ - это единственно возможный.
В частности, процесс турбулентного перемешивания является стохастическим, в силу
этого он сильно зависит от начальных данных задачи, используемой сетки и особенно-
стей численного метода. В данном случае в качестве эталонного решения выступают
аналитические решения модельных уравнений или экспериментальные данные, сравне-
ние с которыми носит качественный характер.
15
Только после того, как проведен качественный анализ течения, можно зани-
маться получением количественных характеристик кода по точности. Для коли-
чественного измерения погрешности надо сравнить численное решение с извест-
ным эталонным решением, доведя это сравнение до вычисления меры (нормы)
погрешности. Сама процедура сравнения численного решения с эталонным
и оценка точности численных методов на основе таких сравнений составляет
суть верификации кода. Таким образом, при верификации производится провер-
ка методов и алгоритмов, лежащих в основе кода и решающих определенные
уравнения, во-первых, чтобы убедиться в корректности их программной реали-
зации, во-вторых, для определения погрешности (точности) численного решения
этих уравнений.
При верификации кода наряду с оценкой погрешности на конкретных сетках
важную роль играет сходимость численного решения к некоторому предельному
решению при измельчении счетной сетки. Поэтому в тестовых задачах, которые
проводятся на нескольких сетках, первым делом следует выяснить, имеется ли
сходимость вообще. Для сходимости требуется, чтобы пси измельчении сетки
погрешности (нормы погрешностей) уменьшались.
Если сходимость имеется, то интерес (не только теоретический, но и практи-
ческий) представляет порядок сходимости численного решения и его сравнение
с теоретическим порядком аппроксимации численного метода.
Рассмотрим ситуацию, когда нормы погрешности не уменьшаются или ведут
себя немонотонно при измельчении сетки. Возможно, что в этом случае исполь-
зуемые в расчетах сетки еще недостаточно подробные, чтобы корректно описы-
вать рассматриваемый процесс. Поэтому надо провести расчеты на более мелкой
сетке. Если и после проведения дополнительных расчетов на более мелкой сетке
нормы погрешностей не уменьшаются, то это свидетельствует о том, что данный
численный метод обладает дефектами, которые не дают возможности получить
правильное решение рассматриваемой тестовой задачи. В этом случае надо вы-
делить класс задач, для решения которых данный численный метод непригоден.
1.3. Вычисление норм погрешностей численных решений
Рассмотрим способы вычисления норм погрешностей, когда с эталонным
решением надо сравнить численное решение, определенное на разностной сетке.
Например, на контрольный момент времени надо сравнить точные распределе-
ния по пространству плотности и скорости с соответствующими сеточными
функциями, полученными в расчетах.
Количественный способ измерения погрешности - это найти разницу между
численным и эталонным решениями. Наряду с локальным значением погрешно-
сти в какой-нибудь одной точке и пространственным распределением этой по-
грешности, чаще интерес представляет некоторая интегральная (по всей счетной
области) норма погрешнос ги. На практике обычно используются интегральные
нормы типа L\, Li и Loo (норма типа «максимум модуля» (аналог нормы про-
странства С непрерывных функций)).
16
Рассмотрим вопросы получения разных норм, ограничившись одномерным
случаем, а затем дадим их обобщение на многомерный случай.
Пусть численное решение некоторой величины f определено на контрольный
момент времени в точках сетки с координатами |ху+1/2|, где ; ,+1/2 =	+ xy+i)
суть центры ячеек, тогда размеры ячеек сетки равны Лу+1/2 = ху+1 - Xj . Пусть
) //+1/2 ( есть расчетное значение величины в ячейке сетки на контрольный мо-
мент времени, и f - /э(х) есть некое эталонное значение величины на тот же
момент времени
Погрешность некоторой величины f представляет собой разность между чис-
ленным ее значением в центре ячейки и эталонным решением в этой же точке
Л//+1/2 = /у+1/2 ~fj+H2 •	(1-3-1)
Если вели чина f задана на единицу объема (например, плотность), то указан-
ные выше три типа норм могут быть определены следующими формулами:
Е|Д/у+1/2ргу+1/2
I*
(1.3.2)
(1.3.3)
(1-3.4)
где л/+1/2 - характерный размер ячейки j + 1/2 (в 1D случае просто размер ячей-
ки).
Если рассматриваемая величина отнесена к массе (например, удельная энер-
гия на единицу массы), то формулы (1.3.2)-(1.3.4) нормируются на массу и при-
нимают следующий вид:
(1-3.5)
(1.3.6)
17
(1.3.7)
Наряду с интегральными погрешностями (или абсолютными интегральными
погрешностями) могут быть использованы относительные интегральные по-
грешности, которые для величин, определенных в ячейках, для L\ нормы вычис-
ляются по следующим формулам (ниже формула (1.3.8) используется для вели-
чины, определенной на единицу объема, а формула (1.3.9) - для величины, опре-
деленной на единицу массы):
9+1/2
ре/ __j______________
1 V f3 h
2-, J j+V2nj+l/2
(1.3.8)
ire/ _ j
Z //+1/2 P /+l/2^j+l/2
(1.3.9)
Для Li нормы формулы (1.3.3) и (1.3.6) изменяются аналогично.
Отметим важный момент, связанный с определением интегральной погреш-
ности При ее определении можно применять два подхода. В первом из них она
определяется по всей счетной области, то есть по всем ее ячейкам, в том числе и
не охваченным каким-либо движением или изменением данной величины, в ко-
торых погрешность равна нулю в силу отсутствия каких-либо вычислений. Такой
подход используется, например, в работе [6]. Второй подход основан на опреде-
лении погрешности только по ячейкам, участвующим в счете, то есть по ячей-
кам, в которых имеются движение или изменения рассматриваемых величин. За-
метим, первый подход занижает как абсолютную, так и относительную инте-
гральные погрешности6.
Необходимо еще определить способы получения эталонного решения в рас-
четах на конкретных сетках. Здесь применяются два основных способа.
В первом способе (далее - точечный способ) в этом качестве берут эталон-
ное решение в точке, совпадающей с центром соответствующей ячейки, го есть
//+1/2 =/Э(х;+1/2)-
Данный способ вполне корректен в расчетах без разрывов (без ударных волн,
контактных и слабых разрывов). Но при наличии в задаче разрывов использова-
ние точного решения в центре ячейки в качестве эталонного может вносить до-
полнительную погрешность. Например, когда фронт ударной волны точного ре-
шения находится в ячейке Xj <х< ху+1, координата фронта может быть как
° В настоящей работе, если не оговорено специально, используется первый подход.
18
меньше, так и больше центра ячейки х7+]/2, и соответственно /э(х7+1/2) в зави-
симости от этого сильно меняется.
В общем случае более корректен второй способ (далее - ячеечный способ),
основанный на локальных (в рамках ячейки) законах сохранения (он предложен
в работе [7]). В большинстве разностных схем сеточные величины имеют смысл
не величин, определенных в центре ячейки, а средних по ячейке. Например,
плотность ячейки есть осредненная на объем ячейки плотность
|	Х7+1
Ру+1/2 ~-------- f р(х)Л.
J + 1 XJ Xj
Поэтому для сравнения с численным решением надо из точного (эталонного)
решения вычислить среднее значение плотности по ячейке
Ру+1/2 =-------- f'pW,	(1.3.10)
Xj+l XJ Xj
и именно его использовать для сравнения с численным решением и для вычисле-
ния норм погрешностей по формулам (1.3.1)-(1.3.4).
Для других газодинамических величин (вместо плотности) сеточные эталон-
ные значения надо определять, исходя из соответствующего закона сохранения.
Это корректно и для других величин, используемых при моделировании сопут-
ствующих процессов.
Скорости соответствует закон сохранения количества движения, и тогда
скорость узла сетки (если она определена в узле) для эталонного решения надо
вычислять по формуле
ху+1/2
j иэ(х)р (x)dx
J рэ(х)Л
xj-\!2
По аналогии эталонные значения удельной внутренней энергии в ячейках надо
вычислять по формуле
*7+1
J еэ(х)рэ(х)б/х
^+1/2=^—---------------	(1.3.12)
j рэ (х)с?х
XJ
В этом подходе не столь однозначно определение давления ячейки, так как
оно вычисляется из уравнения состояния р = Р(р, е) по средней плотности ячейки
и по средней удельной внутренней энергии ячейки. Но практика показывает, что
19
для вычисления эталонного давления в ячейке можно рассматривать давление
как величину, отнесенную к единице объема, и потому можно использовать
формулу
1	Л7+1
/>+1/2 =---- J p\x)dx.	(1.3.13)
*7+1 XJ Xj
Базовый закон сохранения надо использовать и при определении интегралы
ной нормы погрешности. Приведем соответствующие формулы для плотности,
скорости, удельной внутренней энергии и давления (в этих формулах введем до-
полнительно нормировку на объем и массу области)
Z|P/+l/2 “Pj+1/2|(xj+1	)
IM,=J—=7---------------T--;
J
М,=^7------------------;
ZjPj [xj+\/2 ~xj-l/2 )
£|/>/+ш _/>;+1/2|(х;
im,=-—Vi-----v
ДЩ,I -Xj)
J
В многомерном случае вместо длины ячейки hJ+i/2 = xJ+i ~ xj наД° исполь-
зовать площадь или объем ячейки (для узловой скорости площадь или объем те-
ла, отнесенного к узлу сетки), и суммирование осуществлять по всему много-
мерному набору ячеек (или узлов сетки).
В случае разрывных решений тестовых задач при вычислении норм погреш-
ностей численных решений рекомендуется ограничиться только сеточными нор-
мами типа L). Дело в том, что при вычислении норм погрешностей в норме типа
«максимум модуля» величина погрешности в ячейке, содержащей разрыв в ре-
шении, обычно бывает порядка единицы, то есть формальной сходимости в та-
кой норме может и не быть (см. примеры соответствующих вычислений в рабо-
те [7]). Практика показывает, что для газодинамических задач с разрывами не-
редко ||А/||2 » const д/ЦД/ЦЛ^Ис , то есть нормы погрешности типа Li также могуз
оказаться неинформативными.
20
Обобщение на многомерный случай приведенных выше формул для значе-
ний эталонных решений в ячейках и для норм погрешностей очевидно. Доста-
точно заменить интегрирование по отрезку на интегрирование по объему ячейки.
Рассмотрим еще вопрос об эталонном решении, полученном расчетом на по-
дробной сетке. Во-первых, отметим, что в этом случае корректней использовать
расчет именно по исследуемой методике, так как не исключено, что разные ме-
тодики могут сходиться к разным решениям, при этом нет гарантии, что это ре-
шение является «точным» для рассматриваемой задачи. В дальнейшем подобную
сходимость будем называть «внутренней» для конкретной методики, чтобы от-
личить ее от сходимости к известному решению. Во-вгорых, в этом случае для
получения значений эталонного решения на грубой сетке надо использовать се-
точные величины, пересчитанные с подробной сетки на более грубую с выпол-
нением интегральных законов сохранения. Это требует дополнительных усилий
по разработке соответствующих программ, которые довольно трудоемки в мно-
гомерном случае7. Поэтому при численных исследованиях при определении эта-
лонного решения часто пользуются первым из указанных выше способов (точеч-
ным), формально без обеспечения законов сохранения
1.4. Анализ численной сходимости решений
при измельчении сетки
Кроме определения погоешности как таковой, для численных методов важ
ное значение имеет анализ асимптотической сходимости (или просто сходимо-
сти) численного решения при уменьшении размеров ячеек счетной сетки.
В большинстве нелинейных задач математически доказать сходимость численно-
го решения к точному решению не представляется возможным, особенно в мно-
гомерных задачах. Вопросы получения математических результатов по сходимо-
сти разностных схем в данной работе не рассматриваются. Вместо этого ниже
рассматривается поведение норм погрешностей численных решений в зависимо-
сти от используемой разностной сетки, для этого случая логично было бы ис-
пользовать термины «численная сходимость» и «порядок численной сходимо-
сти». Однако для краткости далее мы будем использовать термины «сходимость»
и «порядок сходимости», имея в виду именно «численную сходимость» и «поря-
док численной сходимости».
Теоретической основой вычисления порядков сходимости является асимпто-
тическое разложение погрешности численного решения в виде
Д/(х) = /(х)-/ехас£(х) = 4(х)Лст +4+1(х)Лст+1 +...,
где h есть характерный размер ячеек равномерной сетки, и о= 1, 2,... есть цело-
численный порядок аппроксимации разностной схемы. Такое разложение по-
7 В то же время отметим, что в реальности написание соответствующих программ
может и не потребоваться, так как многие современные гидрокоды имеют в своем соста-
ве соответствующее программное обеспечение.
21
грешности справедливо в случае гладких решений и равномерной сетки как
в линейном случае, так и в нелинейном случаях8.
Но для негладких (с разрывами) решений нелинейных задач подобное
асимптотическое разложение погрешности или не имеет место, или его обосно-
вание затруднено. Расчеты некоторых тестовых газодинамических задач с удар-
ными волнами и контактными разрывами показывают, что главный член по-
грешности может иметь вид Л/ = Aaha + О(/гст) с дробным показателем о < 1.
Примером появления дробного показателя в зависимости меры погрешности
от размера сетки для негладких решений является линейное уравнение переноса
— + с— = 0, с = const
dt дх
с разрывным начальным условием
ГО, х<0;
[1, х > 0.
Пусть линейная разностная схема имеет порядок аппроксимации J> 1. Для
нее рассматривается первое дифференциальное приближение [8]. Для дифферен-
циального приближения решение задачи Коши с разрывными начальными дан-
ными приводит к размазыванию начального скачка. Ширина размазанного скач-
ка в таком решении ведет себя как AY(0~ /1/(‘/+1)/г‘//(‘/+1). Отсюда следует, что
норма типа Ц погрешности пропорциональна hJ^J+^ . Поэтому порядок сходи-
мости на таком решении равен о = J/(J + 1), то есть будет дробным и всегда
меньше единицы9. Подробности можно найти в работе [10].
Таким образом, в общем случае, когда эталонное решение не является глад-
ким, можно лишь предполагать (как аксиому), что норма погрешности численно-
го решения имеет представление
|д/(Л,)|® Ah°+O(h°).	(1.4.1)
8 Такое разложение погрешности также не применимо для неустойчивых (турбу-
лентных) течений, являющихся некорректными задачами Коши по начальным данным,
так как в этих задачах малое изменение начальных данных может привести к большим
изменениям в решении, то есть нет непрерывной зависимости решения от начальных
данных. Вопросы сходимости для турбулентных течений рассматриваются более по-
дробно во второй части книги в разделе, посвященном исследованию таких течений.
9 Как показано в работе [9] для разностных схем первого порядка аппроксимации
7=1, порядок сходимости ст = 7/(7 +1) = 1/2 реализуется только асимптотически на
очень мелких сетках, которые не имеют практического значения. На относительно гру-
бых сетках для разностных схем с 7= 1 и 7 = 2 тестовые расчеты на сходимость дают по-
рядок сходимости еще меньше ст « 7/3 .
22
Чисто формально можно предположить, что следующий член асимптотиче-
ской зависимости нормы погрешности от размера ячеек сетки также имеет сте-
пенной вид
|a/(M,|«41/?CT1 +A2h°1 2 +O(h°2), 0<О]<<72,	(1.4.2)
\
но ничего определенного нельзя сказать о связи показателей 02 и от. Можно при-
вести лишь некоторые соображения в пользу того, что 02 = min{l; 2oi}. Поэтому
на практике второй член асимптотического разложения в (1.4.2) вообще не учи-
тывается, и для оценок порядка сходимости используется представление (1.4.1).
Для вычисления порядков сходимости при наличии эталонного решения до-
статочно знать нормы погрешности на двух близких сетках с числом ячеек N}
и У2- Полагаем, что характерный размер ячеек сетки равен hk = const/^Nk , где
d= 1 или d= 2, или d=3 - размерность задачи (полное число точек сетки М есть
число точек сетки в одном направлении, возведенное в степень, равную размер-
ности расчета). Тогда, отбрасывая в (1.4.1) остаточный член, порядок сходимости
получаем равным
o(/) = o(/;M>#2) =

(1.4.3)
h
Здесь можно использовать любую норму погрешности, но, как отмечено выше,
на практике при обработке результатов расчетов с разрывами величин обычно
представительны только нормы типа Li. Порядки сходимости вычисляются по
двум соседним значениям количества ячеек М и #2.
При наличии расчетов на трех сетках М «Лг из формулы (1.4.3) полу-
чается соотношение
д/-(Л'2)
Лу(Л,з)

о(ВД)
1 h} h2
In —+ In —
h2
из которого при N3/N2 = тУг/М) вытекает соотношение
о (М Д) = [ф	+ фЗД)]/2 .	(1.4.4)
Последние формулы говорят о том. что отдельно вычислять порядки сходи-
мости о(М, Nk) для расчетов с сильно различающимися сетками к>3 не имеет
смысла, гак как никакой дополнительной информации это не дает.
Из формул (1.4.1) и (1.4.3) получаем также
23
^|д/(ЛГ)|/ла.	(1.4.5)
Выражения (1.4.3) и (1.4.5) служат основой при исследовании численных ме-
тодов на сходимость при их верификации. Они позволяют оценить порядок схо-
димости численных решений при измельчении счетной сетки.
Если два расчета на разных сетках дают слишком малый порядок сходимо-
сти (относительно порядка аппроксимации) или даже отрицательный, то это сви-
детельствует о том, что сетка слишком грубая и в расчетах не ухватываются ос-
новные (существенные) особенности течения или же сходимости нет. И в том,
и в другом случае для исследования сходимости необходимо использовать более
мелкие сетки. Если и это не помогает, значит, данная задача должна быть исклю-
чена из тестовых для данной методики и подобные задачи по ней лучше вообще
не считать. Результат надежен, если на нескольких сетках получаются близкие
положительные порядки сходимости.
Таким образом, любой численный метод можно исследовать с точки зрения
величины погрешности на конкретных сетках и порядка сходимости численного
решения при измельчении сетки. При сравнении численных методов между со-
бой с точки зрения точности получаемых решений важно понимать, что при оди-
наковой погрешности на конкретной (грубой) сетке выгодней иметь метод
с большим порядком сходимости. Это справедливо даже в случае, если на грубой
сетке метод с меньшим порядком сходимости дает более точное решение, гак как
найдется сетка, начиная с которой и величина погрешности у такого метода бу-
дет менпше. Однако практика показывает, что величина погрешности обычно
хорошо коррелирует с порядком сходимости на самых грубых сетках, поэтому
выбор метода при прочих равных условиях фактически предопределяется поряд-
ком его сходимости.
1.5.	Особенности исследования точности в 1D расчетах
Одномерные расчеты дают наиболее богатые возможности по исследованию
точности разностных схем. Для газовой динамики могут быть использованы сле-
дующие способы оценок точности (ниже даны примеры их использования).
1.	Графики профилей плотности, удельной внутренней энергии, давления
и скорости в зависимости от координат на один момент времени в сравнении
с точным решением, на которых также нанесены профили погрешностей (чтобы
уменьшить количество графиков, они приводятся лишь для расчета на самой гру-
бой сетке).
2.	Графики зависимостей р(х), е(х), р(х) в сравнении с точным решением,
а также для разных методов счета на одном рисунке (для визуального сравнения
разных методов между собой).
3.	Графики зависимости погрешности в норме L\ от размеров ячейки й.
4.	Таблицы с интегральными абсолютными и относительными погрешностя-
ми в норме L\ для всех расчетов и величины, характеризующие порядок сходи-
мости расчетов.
24
1.6.	Особенности исследования точности в многомерных расчетах
Для двумерных и трехмерных кодов одномерные расчеты являются необхо-
димыми, однако далеко недостаточными для выявления точности моделирования
именно многомерных течений. Поэтому кроме исследований на одномерных
расчетах необходимы исследования точности кодов и на многомерных расче-
тах. Такие расчеты сравнительно с одномерными имеют свои особенности
и параметры, для которых также возможна (а иногда и необходима) оценка точ-
ности.
Могут быть использованы следующие способы оценок точности (ниже даны
примеры их использования).
1.	Положение счетной сетки при использовании лагранжевой или лагранже-
во-эйлеровой постановок расчетов.
2.	Двумерные и трехмерные картины течения на контрольные моменты вре-
мени, это могут быть растровые картины различных величин, изолинии или изо-
поверхности, поле скоростей и др.
3.	Графики профилей плотности, удельной внутренней энергии, давления
и скорости в зависимости от координат на один момент времени вдоль какого-
нибудь направления в сравнении с точным решением, на которых также нанесе-
ны профили погрешностей (чтобы уменьшить количество графиков, они приво-
дятся лишь для расчета на самой i рубой сетке).
4.	Графики профилей плотности, удельной внутренней энергии, давления
и скорости в зависимости от координат на один момент времени вдоль какого-
нибудь направления для разных методов счета на одном рисунке (для визуально-
го сравнения разных методов между собой).
5.	Графики зависимости погрешности в норме 1д от размеров ячейки h.
6.	Таблицы с интегральными абсолютными и относительными погрешно-
стями в норме £i для всех расчетов и величины, характеризующие порядок схо-
димости расчетов.
7.	Исследования точности сохранения той или иной симметрии течения
(плоской, цилиндрической и сферической) на неоднородных сетках. Рассмотрим,
как это может быть сделано на одномерной сферически симметричной задаче
в 2D расчетах на квадратных сетках. Пусть имеются результаты расчета на квад-
ратной сетке (z, к) (с размером ячейки Л). Построим сферическую сетку (п, т)
с числом разбиений по радиусу N(hR ~ И) и по углу М так, чтобы наибольший
размер ячейки в угловом направлении был порядка h. Интерполируем данные
для некоторой величины/, определенной на единицу объема, с сетки (z, к) на сет-
ку («, т) с выполнением законов сохранения. Получим распределение для вели-
чины f на новой сетке fn,m(R, <р)
(’-6.1)
i,k / i,k
где Г, к - части объема ячеек сетки (z, к), пересекающихся с ячейкой (и, т).
25
Можно найти среднее значение величины в строке п
fn=Hfn,mvn,m 1^т.
п,т	/ п,т
Тогда локальная погрешность сферичности будет
Jn,m J п,т Jn •
Интегральная абсолютная погрешность в норме L\ определяется формулой
п,т
У v
i—t п,т
\ п	Л п,т
8.	Отметим дополнительные возможности для 2D задач, имеющих цилин-
дрическую симметрию течения. Такие задачи могут быть смоделированы в двух
постановках. Первая постановка - разрез задачи вдоль оси симметрии в осесим-
метричной геометрии (рис. 1.6.1,а), вторая постановка включает разрез задачи
поперек оси симметрии в плоской геометрии (рис. 1.6.1,6).
(1.6.2)
б
Рис. 1.6.1. Две постановки цилиндрических задач: а - осесимметричная, б - плоская
Первая постановка дает возможность исследования задачи в одномерном
приближении на подвижной и неподвижной сетках, образованных прямыми, па-
раллельными координатным осям. Вторая постановка позволяет исследовать за-
дачу как на сферических сетках, так и на прямоугольных. При этом на прямо-
угольных (квадратных) сетках возможно исследование сферической погрешно-
сти (как в иункте 7), кроме того можно исследовать и влияние внешних границ
(граничных условий в виде жестких стенок), появляющихся при вырезании из
круга его четвертинки или половинки, их можно сравнивать с расчетом, вклю-
чающим весь круг, в котором вообще не будет внешних границ.
26
1.7. Особенности исследования точности в расчетах
многокомпонентных сред
Имеют свои особенности расчеты многокомпонентных сред. В этом случае
в любой ячейке может содержаться один, два и более компонентов.
Для двухкомпонентного расчета интегральная абсолютная погрешность
в норме L\ для величин, определенных в ячейках на единицу объема (например,
плотности компонентов), вычисляется по следующей формуле:
d-7.1)
h^= p^A,
P^ - объемная доля компонента в ячейках.
Интегральная относительная погрешность для величин, определенных в
ячейках, вычисляется по следующей формуле:
S|A//+l/2|^/+l/2

U^4172
(1-7.2)
где /риге - значение величины в расчете с чистыми ячейками.
Для других норм формулы раздела 1.3 преобразуются аналогичным образом.
Дополнительно к вышеуказанным формулам могут быть построены графики
зависимостей газодинамических параметров веществ в смешанных ячейках от
времени для расчетов на грубых сетках (как обладающих наибольшей представи-
тельностью и наглядностью), а также значения величин, соответствующие инди-
видуальным компонентам в смешанных ячейках.
Отметим специфический вопрос, связанный с определением погрешности
при наличии смешанных ячеек. Здесь возможны два подхода. Первый подход ис-
пользуется в работе [6], в котором погрешность получается как разница между
точным решением и численным решением по всем ячейкам счетной области. Од-
нако мы хотели бы отметить, что данная погрешность содержит в себе как по-
грешность, связанную с наличием смешанных ячеек, так и погрешность, связан-
ную с самой разностной схемой. Последняя погрешность присутствует и в расче-
тах с чистыми ячейками, при этом она разная для разных методик. Для
суммарной погрешности это вполне корректно, однако при желании определить
погрешность, связанную именно с наличием смешанных ячеек, такой подход не-
пригоден. В этом случае более корректным представляется второй подход, за-
ключающийся в определении разницы между результатами расчетов со смешан-
ными ячейками и расчетами с чистыми ячейками по каждой конкретной методи-
.27
ке. Конечно, второй подход возможен лишь при условии, что расчет с чистыми
ячейками по данной методике может быть выполнен, что не всегда удается.
1.8. Дополнительные возможности исследования
точности расчетов
Иногда в задаче известно не пространственное распределение сеточных ве-
личин на определенные моменты времени, а значение определенной интеграль-
ной или осредненной величины от времени. Чаще всего это средняя плотность
какого-либо вещества или полная энергия. В этом случае можно вычислять как
погрешность расчета относительно этой величины, так и порядок сходимости.
Теоретической основой вычисления порядков сходимости, как и выше, явля-
ется асимптотическое разложение погрешности численного счета в виде
А/(0 - ДО - f™* (0 = Во (/)тст + Ва+1 (От-1 +...,	(1.8.1)
где т есть величина шага по времени, и о = 1, 2,... есть целочисленный порядок
аппроксимации разностной схемы. Здесь предполагается, что точное значение
искомой величины /exact известно. В разностных схемах обычно величина т ли-
нейно зависит от размера ячейки, поэтому эту величину можно также заменить
выражением
А/(0 - Ш ~ fexac\t) = A^h* + 4+1 (/)Ла+1 +...	(1.8.2)
Но исследование сходимости и определение порядка сходимости можно выпол-
нить даже в случае, когда точное значение /exact неизвестно. Для этого разрабо-
тан следующий метод, называемый процессом Эйткена [11].
Предположим, что порядок сходимости о существует, но неизвестен. Возь-
мем сетки с постоянным отношением размеров ячеек, равным 2, то есть сетки N,
2N, AN, 8N и т. д. Таким образом, имеем hi = h, h2 = hq, Лз = 2hq, ht= 3hq и т. д.
Обозначим приближенное значение величины f через fk, где к = 1, 2, 3, 4 для ука-
занных выше сеток и ограничимся главным членом погрешности в (1.8.2). Тогда
можно написать
/exact = fk+Ah°, к = 1, 2, 3, 4...	(1.8.3)
Выберем три первые сетки. Предполагая А = const, получаем систему трех урав-
нений для определения неизвестных /exact; А, о. Введя вспомогательные пере-
менные В = Ah°, Q = qn , преобразуем эту систему к следующему виду:
f™*-fx=B, f™cl-f2=BQ, f™*-f3=BQ2.	(1.8.4)
Перемножая крайние уравнения (1.8.4) и приравнивая квадрату среднего уравне-
ния, получим
-/з) =(/'“'-Л)2-
откуда получим выражение для fexact:
28
exact
(f-flY
(Vi-f-hY
Попарно вычитая уравнения (1.8.4) друг из друга, получим
(А-лМО-е), (/3-/2)=5e(i-e)
(1.8.5)
ИЛИ
е = ?«=Й2Л1
(л-z)
Следовательно эффективный порядок сходимости равен
In <7
(1.8.6)
Полученное методом Эйткена значение величины /exact не обязательно бу-
дет точным значением, однако в любом случае оно уточняет численные резуль-
таты, полученные на трех сетках.
Если выражение под логарифмом в числителе формулы (1.8.6) отрицательно,
то это свидетельствует об отсутствии сходимости, или же, скорее всего, что вы-
бранные сетки слишком грубые и в расчетах не ухватываются основные особен-
ности течения. В этом случае для исследования сходимости необходимо исполь-
зовать более мелкие сетки.
Глава 2
Газодинамические тестовые задачи
Вводная часть
При описании тестов и их численных решений в сборнике, если не оговорено
специально, используется безразмерная система единиц.
В задачах используются три уравнения состояния.
1.	Уравнение состояния идеального газа в форме
р = (у-1)ре.	(2.1)
В таких случаях в постановке задачи и расчетов указываются начальные значения
плотности ро и удельной внутренней энергии ео, а также показатель адиабаты у.
2.	«Изотермическое» уравнение состояния в виде
^ = со(р-Ро)-	(2-2)
В этом случае в постановке задачи и расчетов указываются начальные значения
плотности и скорости звука.
3.	Уравнение состояния в форме Ми - Грюнайзена:
^=^(р)+(у-1)<е-^)р;
Р
р
П
И
-1
(2-3)
<Ро 7
р
ех = } Рх(.Р)^Т-
Ро Р
При постановке задачи задаются следующие параметры: со - скорость звука, п -
безразмерный параметр, у - показатель адиабаты, ро - кристаллическая плотность.
2.1.	Задачи с лагранжевыми контактными границами
В этом разделе приводятся однокомпонентные задачи или задачи с контакт-
ными границами, являющимися лагранжевыми линиями сетки.
2.1.1.	Развитие тейлоровской неустойчивости
на линейной стадии (задача Тейлора)
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения точности
моделирования гравитационной неустойчивости малого синусоидального воз-
мущения КГ двух сред на линейной стадии.
30
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранжевой
и лагранжево-эйлеровой постановках с сохранением КГ между вешествами ла-
гранжевой линией сетки. Однако возможно использование и эйлеровых постано-
вок с выделением КГ методами типа VOF (метода концентраций, описанного
в Приложении).
Постановка задачи. Данная 2D задача сформулирована в работе [12], ниже
приводится ее конкретная постановка из работы [2]. Задана плоская система
(рис. 2.1.1) состоящая из слоев тяжелой и легкой несжимаемых жидкостей, раз-
деленных границей, имеющей синусоидальную форму (AD = )J2, АВ = X). Всей
системе сообщается постоянное ускорение g = 100 , направленное от легкого ве-
щества к тяжелому.
Рис. 2.1.1. Начальная геометрия задачи Тейлора
Форма границы между веществами задана уравнением у0* (х) = у0 +
+a0cos«x, где п = 2к/Х, Х= 1,256 - длина волны возмущения; ао = 0,04 -
начальная амплитуда. Вещества имеют УРС идеального газа (2.1). Несжимае-
мость жидкостей обеспечивается приближенно заданием больших значений
начальных энергий е01 = е02 = е0 = 1000. В начальный момент времени задано
распределение плотности р(у), при котором система с невозмущенной границей
раздела (при а0 = 0) находится в равновесии (при наличии ускорения g)
р(у) = •	р01ехр	g
		_(У1 -1>о
	р02ехр	g
		.(Уэ-Оео
значения Poi =1 и р02 =10.
Граничные условия: все границы - жесткие стенки.
31
Контрольные моменты времени t = 0,01; 0,02; 0,03; 0,04.
Значения показателей адиабаты у, связаны соотношением, вытекающим из
условия равенства давлений на невозмущенной границе раздела
(У1 “ 1)р01е0 = (у2 ~ 1)Ро2еО •
Отсюда (при у2 = 1,4) Yi = 5.
Особенности течения. Контактная граница в данном течении является не-
устойчивой, что приводит к ее деформации и росту амплитуды возмущения.
В данной задаче интересует лишь линейная стадия, характеризующаяся малой
деформацией КГ, то есть до значений амплитуды возмущения а < 0,1Х.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	счетная сетка на контрольные моменты времени;
•	зависимость амплитуды возмущения от времени в сравнении с аналитиче-
ским решением.
Эталонное решение. Задача имеет точное решение в линейном приближении
в предположении малости амплитуды возмущения КГ по сравнению с длиной
волны [12]
a(/) = y(0,^)-y(A./2,z); a(/)«X.
Если ввести переменные и ц по формулам
/ 8 Рог -Р7Г
V 2^ Рог + Poi
т| = arcch(a(/)/a0),
то зависимость амплитуды возмущения границы от времени примет вид:
т| -	.
Для заданных значений параметров задачи £ = 5,707z, r| = arcch(a(Z)/0,04).
Дополнительная информация. Численное моделирование задачи проводи-
лось по многим кодам.
2.1.2. Нелинейное развитие возмущений при ускорении
тонкой оболочки постоянным давлением (задача Отта)
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения точности
моделирования гравитационной неустойчивости малого синусоидального воз-
мущения КГ двух сред на нелинейной стадии, направлена на оценку роли корот-
коволновых возмущений, создаваемых погрешностями численной методики,
и проверку безавостности кода.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранжевой
и лагранжево-эйлеровой постановках с сохранением КГ между веществами ла-
32
гранжевой линией сетки. Но возможно использование и эйлеровых постановок
с выделением КГ методами типа VOF (метода концентраций).
Постановка задачи. Данная 2D задача сформулирована в работе [13], ниже
приводится ее конкретная постановка из работы [2]. Начальная геометрия: пря-
моугольная плоская пластина 0 < х < Лх; 0 < у < Я; dx«H. УРС - «изотерми-
ческий газ» (2.2) с р0= 1; с0 = 1. Границы (у = Я)и(у = 0)- жесткие стенки; на
лагранжевой границе (х = 0) задано постоянное давление p = Pvp- const = 1; на
границе (х = Лх) Др = 0 .
Пластина в среднем должна двигаться равноускоренно вправо с ускорением
Лр
g= —>
Л/и
Лх
где \т = J pdx - линейная масса,
о
Чтобы не возникали УВ. отклоняющие решение от асимптотического реше-
ния (см. ниже), начальная плотность задается формулой
р(х, у, 0) = роехр Г g (Лх - x)/cj |,
с2 (	р \
Лх = ^1п ] + _ПГ. .
S у	Росо У
Вместо этой формулы в расчетах можно использовать точное решение разност-
ных уравнений, обеспечивающее во всех точках сетки ускорение g с обязатель-
ным сохранением линейной массы Л/л. Толщина пластины Лх может при этом
незначительно изменяться.
Вместо возмущения формы границы для удобства подготовки расчетов
начальное возмущение можно задавать в виде возмущения поля скорости
/ ГА Я fl
их(х,у,О) = -5о 1-— cos — ,
к Н J \ Н. J
и>,(х,у,0) = -50 sin
Множитель (1-гос/Я) в выражении для их введен для того, чтобы в начале
движений не было сжатий.
Для расчетов рекомендуются следующие значения параметров: g = 1;
Д/« = 1; Я = 20; 5о=О,О4; Ах = In 2-0,69; Гкон =12,206.
Контрольные моменты времени ( = 13, 15, 17,20. Дополнительно можно вы-
яснить конечное время расчетов t > /тах без прерывания счета.
33
Особенности течения. Пластина в данном случае является неустойчивой, что
приводит к ее деформации и росту амплитуды возмущения. В задаче интересует
нелинейная стадия роста возмущения.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	счетная сетка на контрольные моменты времени;
•	зависимости координат левого края пластины от времени в сравнении
с аналитическим решением.
Эталонное решение. В задаче движение левого края пластины при Лх « Н
должно определяться асимптотическим решением [13], имеющим для описанных
начальных условий следующий вид:
2	~
х(^, t) =	- ~I== cos(A^)sh (tjgk),
y(^,t) = ^--^==s\n(k^)sh^iy[gk^, 0<^<Я, к = тфН,
где L, - лагранжева координата (y(^,z) Е . Это решение определено однозначно
только при 0 < t < /кон, где
.	1 J1 [s |1± g
^кон--/=Т1п	+ J 1 + тгг •
Vg* V к У 50fc J
Поэтому результаты расчетов при t > ^кон характеризуют коды только с точки
зрения возможности проведения расчетов без прерывания счета.
Дополнительная информация. Численное моделирование задачи проводи-
лось по многим кодам.
2.1.3.	Обжатие эллипсоида равномерным давлением
(задача Шульца)
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения исследова-
ния возможностей кода в поддержании в приемлемом состоянии счетной сетки
при ее больших реформациях.
Тестируемые коды. Данная задача может быть использована для моделиро-
вания в лагранжевой постановке с использованием или без использования спосо-
бов регуляризации сетки, таких как алгоритмы сглаживания профилей скорости
или локальные перестройки сетки.
Постановка задачи. Данная 2D осесимметричная задача предложена в рабо-
те [14] и ставится следующим образом: внешняя граница начальной геометрии
задачи представляет собой сфероид (эллипсоид в плоскости X0Y) с полуосями,
равными 1 и 1,516. Уравнение границы области в плоскости АНУ
34
Начальные данные: р = ро=2ОО, е = ео=О, w = wo=O. УРС - идеальный газ
с у = 4/3. Граничные условия:
при0</<5,
[5 при/>5.
Контрольные моменты времени t = 8, 16, 24, 32.
Особенности течения. Под действием внешнего давления происходит мно-
гократное сжатие и расширение области, которая при этом сплющивается в том
или ином направлении. Течение на границе области является неустойчивым, что
приводит к большим ее деформациям. Поэтому задача при моделировании по
лагранжевым методикам представляет трудности вследствие искажений счетной
сетки. В данной задаче, прежде всего, интересует, до какого момента времени
удается провести расчет без глобальных исправлений сетки.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	счетная сетка на контрольные моменты времени;
•	зависимость средней плотности от времени;
•	полная энергия, кинетическая энергия и внутренняя энергия как функция
времени;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Эталонное решение. Задача не имеет аналитического решения или числен-
ного решения, вызывающего доверие с точки зрения точности. Поэтому в каче-
стве эталонного решения используются результаты расчета по исследуемому ко-
ду на большом количестве ячеек.
Дополнительная информация. Численное мо цедирование задачи проводи-
лось по многим кодам.
2.1.4.	Сжатие газовой полости сходящейся оболочкой
(задача Сараева)
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения движения
внешней границы оболочки, которое определяется качеством описания схожде-
ния сферической УВ к центру симметрии и отражения ее от центра, а также точ-
ности описания параметров сжатия газовой полости.
Тестируемые коды. Данная задача может быть использована для моделиро-
вания в лагранжевой или лагранжево-эйлеровой постановках, однако с лагран-
жевой внешней границей. Также возможно использование и эйлеровых постано-
вок с выделением КГ методами типа VOF (метода концентраций, описанного
в приложении).
Постановка задачи. Эту 1D сферически симметричную задачу предложил
В. А. Сараев в 1984 г. в опубликованной во ВИИИЭФ работе В первой области
О <r<R® =5,0; r = ^Jx2 + у2 + z2 , начальные параметры газа: р = рр=1,О;
е = в\ = 0. Во второй наружной области R® <r < R® = 5,5; начальные параметры
35
газа: р = р® = 20,0; е = е? = 0. В обеих областях в начальный момент газ покоит-
ся иг - 0. УРС в обеих областях идеальный газ (2.1) с у = 1,31. На внешней ла-
гранжевой границе г - R2(t) задается постоянное давление p(t) - Р = 1,0.
Конечный момент времени расчетов /кон =15,0.
Особенности течения. Ударная волна проходи т оболочку и сжимает газ. По-
сле фокусировки УВ в центре и отражения ее от центра она несколько раз отра-
жается от внутренней границы оболочки и от центра. В результате средняя плот-
ность газа достигает своего максимума в момент времени ?газа ® 13,09, а средняя
ПЛОТНОСТЬ оболочки - В момент времени Оболочки -14,2.
Выдаваемые величины. В расчетах необходимо получить следующие вели-
чины:
Ргаза > ^газа “ максимум по времени средней плотности газа и момент време-
ни, в который она достигается;
егаза “средняя внутренняя энергия газа на момент ;
А^газа - средняя кинетическая энергия газа на момент ;
2?газа - наружный радиус газовой полости газа на момент ;
Роболочки’ Лолочки- максимум по времени средней плотности оболочки
и момент времени, в который она достигается;
^оболочки - средняя внутренняя энергия газа на момент /^“очки;
•^оболочки _ средняя кинетическая энергия газа на момент /^10ЧКИ;
^оболочки - наружный радиус оболочки на момент Г^Л0ЧКИ.
Дополнительно можно исследовать сохранение сферической симметрии
оболочки.
При проведении 2D расчетов на неодномерных сетках (со смещением цен-
тра, неравномерной по угловым переменным регулярной сетке или на нерегу-
лярных сетках и др.) погрешности контрольных величин можно сравнивать
с аналогичными погрешностями одномерных расчетов с тем же числом ячеек
в радиальном направлении. Например, для максимальной средней плотности газа
можно дополнительно выдавать величину
м pZ(2D)-pZ(1D)
} р™(Ю)-р™ (эталон)’
а для оценки отклонения формы газовой полости от сферической выдавать вели-
чину
522^(20) =
m <{|^na(2D)-^na|}
rjmin
^таза
36
где к- номер точки сетки наружной границы газовой полости, - усреднен-
ное по всей наружной границе значение минимального радиуса газа.
Эталонное решение. Задача не имеет точного решения. Эталонное решение
задачи получено Ю. А. Бондаренко расчетами на сходимость по 1D методике [9]
(частное сообщение). Эталонные профили средней плотности газа и оболочки
в зависимости от времени приведены на рис. 2.1.2 и 2.1.3, а на рис. 2.1.4 приводит-
ся профиль давления на момент максимального сжатия газа. Эталонные парамет-
ры сжатия газа и оболочки, а также относительные погрешности, полученные
сравнением экстраполированных на бесконечно мелкую сетку результатов рас-
четов в указанных сериях расчетов по двум методикам, приведены в табл. 2.1.1.
Рис. 2.1.2. Средняя плотность газа
Время
Рис. 2.1.3. Средняя плотность оболочки
37
Рис. 2.1.4. Профили давления на момент максимального сжатия газа
Таблица 2.1.1
Экстраполированные на бесконечно мелкую сетку параметры
максимального сжатия, полученные в расчетах на сходимость
Величина	Экстраполированное значение	Относительная погрешность
Л-аза	13,09423018	2-Ю-7
/?газа	0,3649421544	3 - ю-6
ргаза	2571,804202	1 • 10’5
£газа	0,651108007	3-10-8
/Стаза	0,0008147915328	2 10-4
^оболочки	14,20281188	2-10-6
/^оболочки	0,6720445797	110^
Роболочки	3780,569023	8 -10^
^оболочки	0,0969641118	1  ю-5
-/^оболочки	0,01985530904	110^
2.2.	Решение уравнения адвекции
В этом разделе собраны задачи конвективного переноса без газодинамики, то
есть движения при заданной скорости при постоянном давлении.
2.2.1.	Движение прямоугольного скачка уплотнения
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения аппрокси-
мации конвективных членов уравнений газовой динамики при наличии в задаче
разрыва какой-либо величины, движущегося с постоянной скоростью.
38
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в эйлеровой
постановке на неподвижной сетке.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача ставится следующим образом.
Исходная геометрия системы х е [0; 100] заполнена газом с постоянным давлени-
ем р = 0, в плотности задан скачок уплотнения: р = 1, если х е [0; 10],х е [30;>00]
и р = 10, если хе[10;30] (рис. 2.2.1). Скачок уплотнения движется с постоянной
скоростью их = 1 слева направо.
Контрольный момент времени t = 50.
Рис. 2.2.1. Положение скачка уплотнения на t = 0 (слева) и t = 50 (справа)
Особенности течения. За время расчета скачок уплотнения продвигается
с постоянной скоростью слева направо, не изменяя свою форму.
Выдаваемые величины. В расчетах необходимо выда гь следующие данные:
•	профиль плотности от координаты на момент времени t = 50;
•	интегральную погрешность плотности и порядок сходимости численного
решения на t = 50.
Эталонное решение. 'Эталонное решение получается сдвигом начального
профиля плотности слева направо на расстояние D = tux (рис. 2.2.1).
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.1.
2.2.2.	Движение вращающейся крестообразной фигуры
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения аппрокси-
мации движения КГ между двумя компонентами при поступательном движении
с одновременным вращением.
Тестируемые кооы. Данная задача может быть смоделирована в эйлеровой
постановке на неподвижной сетке.
Постановка задачи. Эта 2D плоская задача ставится следующим образом.
Исходная геометрия системы - квадрат со стороной S= 50, заполненный газом
или вакуумом, в котором содержится другой газ, имеющий форму креста
39
(рис. 2.2.2,а). Центр креста имеет координаты х = 12,5; у = 12,5; ширина креста
S = 5. Начальная плотность газа р = const, давление р = 0. В области задается по-
ле скоростей:
их = 1 + со( у +1 -12,5),
иу = 1 — <x>(jt-ь t-12,5),
где со = л/25.
В квадратную расчетную область 1x1, заполненную вакуумом, помещается
тело радиуса г = 0,15 с центром в точке (0,5; 0,75). Начальная плотность тела
р = const, давление р = 0.
Контрольные моменты времени Г = 6,25; 12,5; 18,75; 25. Время окончания
расчета t = 25.
Особенности течения. За время расчета крест продвигается с постоянной
скоростью (их= 1, иу= 1) из одного угла квадрата по диагонали до противопо-
ложного угла и при этом поворачивается с угловой скоростью со = я/25 на 180° по
часовой стрелке. В результате такого движения тело не меняет свою форму.
Рис. 2.2.2. Счетная сетка и положение креста
на t = 0 (слева) и t = 25 (справа)
Выдаваемые величины. В расчетах необходимо выдать следующие данные:
•	положение тела в виде растровых картин объемных концентраций или
плотности на контрольные моменты времени;
•	интегральную погрешность положения тела по объемной концентрации те-
ла и порядок сходимости численного решения на t = 25.
Эталонное решение. Эталонное решение - положение тела на контрольные
моменты времени (на t = 25 см. рис. 2;2.2,'б).
Дополнительная информация. -Результаты моделирования задачи по коду
Э11 [ДА приводятся в разделе 2.10.2.
: 2.2.3 Вращение круглого тела
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения аппрокси-
мации движения КГ между двумя компонентами при вращательном движении.
40
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в эйлеровой
постановке на неподвижной сетке.
Постановка задачи. Эта 2D плоская задача предложена в работе [15] и ста-
вится следующим образом. В квадратную расчетную область 1,0x1,0, заполнен-
ную вакуумом, помещается круглое тело радиусом г = 0,15 с центром в точке
(0,5; 0,75). Начальная плотность тела р = const, давление р = 0. В области задает-
ся постоянное завихренное поле скоростей’
щ = 2(у-0,5), «^=-20-0,5).
На внешних границах области задается периодическое граничное условие.
Контрольное время t = л.
Особенности течения. Заданное таким образом вихревое поле будет вызы-
вать вращение круглого тела вокруг центра области и за время t = л тело вернет-
ся в исходное положение. В результате такого движения тело не меняет свою
форму.
Выдаваемые величины. В расчетах необходимо выдать следующие данные:
•	положение тела в виде растровых картин объемных концентраций или
плотности;
•	интегральную погрешность положения тела по объемной концентрации те-
ла и порядок сходимости численного решения.
Эталонное решение. Эталонное решение - положение тела на контрольный
момент времени, которое совпадает с начальным положением.
Дополнительная информация. Численное моделирование задачи проводи-
лось по многим кодам.
2.2.4. Вращение серпообразного тела
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения аппрокси-
мации движения КГ между двумя компонентами при вращательном движении с
большими деформациями границы.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в эйлеровой
постановке на неподвижной сетке.
Постановка задачи. Эта 2D плоская задача предложена в работе [15] и ста-
вится следующим образом. В квадратную расчетную область 1x1, заполненную
вакуумом, помещается тело радиусом г = 0,15 с центром в точке (0,5; 0,75).
Начальная плотность тела р = const, давление р = 0. В области задается поле ско-
ростей с помощью потоковой функции
1	э \	|
'Г =—sin2 (тгх)sin ’ (n:y)cos2 — ,
п	\ Т )
при различных значениях Т= 1,2, 4, 8.
Компоненты скорости задаются следующим образом:
ST	ST
х ду у дх
41
На внешних границах области задается периодическое граничное условие.
Конт рольное время t = 772, Т.
Особенности течения. Заданное таким образом поле скоростей вызывает
сильные деформации тела в круге. На момент времени I = Т/2 круг испытывает
самые сильные деформации и представляет собой спиоаль. В период времени
772 < t < Т за счет множителя cos(nz/r) происходит обратное течение и образо-
вавшаяся спираль раскручивается снова в окружность.
Выдаваемые величины. В расчетах необходимо выдать следующие данные:
•	положение тел? в виде растровых картин объемных концентраций или
плотности;
•	интегральную погрешность положения тела по объемной концентрации те-
ла и порядок сходимости численного решения.
Эталонное решение. Эталонное решение - положение тела на контрольные
моменты времени.
Дополнительная информация. Численное моделирование задачи проводи-
лось по многим кодам.
2.3.	Задачи для тестирования искусственной вязкости
В этом разделе собраны задачи, чувствительные к типу искусственной вязко-
сти. которая вводится в разностные схемы для моделирования ударноволновых
течений.
2.3.1.	Сферически-цилиндрическое безударное сжатие вещества
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания безударного (адиабатического) сжатия вещества.
Тестируемые коды. Данная 2D задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. На рис. 2.3.1 представлена начальная геометрия задачи,
состоящая из сопряженных цилиндра и сферы (ОХ- ось симметрии). Счетная
область заполнена веществом с ро = 1, ео = 0; УРС - идеальный газ с у = 5/3.
Вдоль радиусов цилиндра и сферы задается радиальная скорость, иг = г и направ-
ленная к оси и центру, как показано на рис. 2.3.1. Начальная сетка (100x40) пока-
зана на рис. 2.3.1, в процессе счета внешняя граница остается лагранжевой лини-
ей, а внутри области сетка строится равномерно по расстоянию. На внешних гра-
ницах ГО, Г1, Г2 задается условие жесткой стенки, на ГЗ Р = 0.
Контрольное время t = 0,9.
42
Рис. 2.3.1. Сферически-цилиндрическое безударное сжатие вещества; счетная сетка
Особенности течения. В данной задаче происходит безударное однородное
сжатие вещества области без накачки внутренней энергии.
Выдаваемые величины. В расчетах необходимо выдать следующие данные:
•	положение области на контрольный момент времени;
•	интегральную погрешность внутренней энергии и порядок сходимости
численного решения.
Эталонное решение. Эталонное решение - нулевое значение энергии.
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.3.
2.3.2.	Цилиндрическая и сферическая задачи Ноха
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений при схождении к оси симметрии (цилиндриче-
ская задача) и центру симметрии (сферическая задача) в 2D расчетах и преобра-
зования кинетической энергии во внутреннюю.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта задача описана в работе [16] и ставится следующим
образом. В цилиндрической и сферической областях с радиусом Rq = 50 содер-
жится однородное вещество с р0 = 1, е0 = 0, Uq = -1, УРС - идеальный газ (2.1)
с у = 5/3 . На внешней границе также задана радиальная скорость U0(t) = -1.
Контрольный момент времени для обеих задач t = 0,2.
Особенности течения. Задача представляет большую трудность при числен-
ном моделировании вследствие ее сильной чувствительности к искусственной
вязкости.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
43
•	профиль плотности и давления в зависимости от радиуса на t = 0,2;
•	полная энергия как функция от времени.
Эталонное решение. Эталонное решение задачи получено решением уравне-
ний Эйлера в работе [16]. Соответствующие решения на момент времени t = 0,2
приводится на рис. 2.3.2.
Дополнительная информация. Численное моделирование задачи проводи-
лось по многим кодам. Результаты моделирования цилиндрической задачи по
коду ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.4.
Рис. 2.3.2. Графическая иллюстрация точного решения задачи Ноха на
t = 0,2: а - цилиндрическая задача; б - сферическая задача
2.3.3.	Сжатие газа сходящейся сферической оболочкой
Цель тестирования Данная задача представляет собой хороший тест с точки
зрения моделирования сферического схождения к центру в 2D и 3D постановках,
включающих в себя как ударноволновое, так и безударное сжатие и преобразо-
вания кинетической энергии во внутреннюю.
Рис. 2.3.3. Геометрия задачи о
сферическом схождении обо-
лочки
Тестируемые коды. Данная задача может
быть смоделирована в лагранжевой, лагранже-
во-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Данная 1D сферически
симметричная задача предложена в работе [17].
Начальная геометрия задачи показана на
рис. 2.3.3 (ОХ - ось симметрии, Я1 = 1,
R2 = 0,8).
В области 1 - р0 = 0,01: е0=0; Uq=Q;
УРС - идеальный газ (2.1) с у = 5/3 . В области
2 - ро = 10; е0=0; £/оя = -1; УРС - Ми-Грю-
найзена (2.3) с параметрами: ро=1О, со = 4,
и = 5, у = 2. На границе R = 1 задано давление
р = 0.
44
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	значения плотности во всех ячейках в эйлеровых расчетах на несфериче-
ских сетках для проверки сохранения сферической симметрии;
•	средняя плотность газа от времени;
•	полная энергия как функция от времени;
•	значение максимальной плотности газа и время достижения этого значения.
Эталонное решение. Эталонное решение задачи для максимальной плотно-
сти получено Ю. А. Бондаренко в расчетах на сходимость по 1D методике [9],
максимальная плотность равна ~25.
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.5.
2.4.	Ударноволновые задачи
2.4.1.	Распространение стационарной уоарной волны
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания распространения стационарной сильной УВ и сохранения плоской сим-
метрии течения.
Тестируемые коды. Данная задача может быть использована для моделиро-
вания в лагранжевой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Это 1D плоская задача. В области (0<х< 1,0;
0<у<0,1) содержится идеальный газ (р0 = 1, ео=О, wo=O, у = 3). Слева от
внешней границы распространяется стационарная сильная УВ (массовая ско-
рость за фронтом волны 2,0), ь случае использования эйлеровых переменных на
левой границе задается втекающий поток с параметрами за фронтом волны
(рув=2,0; еув=2,0; Мув=2,0).
Контрольный момент времени t = 0,2.
Особенности течения. В задаче происходит распространение с постоянной
скоростью стационарной УВ.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координаты на t = 0,2;
•	определение порядка сходимости основных величин к эталонному реше-
нию на / = 0,2.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений газодина-
мики в форме Эйлера. За фронтом УВ, распространяющейся с постоянной скоро-
стью 0 = 4,0, реализуется стационарное состояние с параметрами рув=2,0;
Сув =2,0; wyB =2,0.
45
2.4.2.	Задача Седова (точечный взрыв)
Цель тестирования. Данная задача представляет собой хороший тест с точки
зрения моделирования распространения сферически расходящейся от центра УВ
в 2D и 3 D постановках и преобразования внутренней энергии в кинетическую.
Тестир) емые коды. Данная задача может быть использована для моделиро-
вания в лагранжевой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Это 1D сферически симметричная задача предложена и
аналитически решена в работе [18]. Предлагаемая конкоетная постановка взята
из работы [1]. В 2D случае в осесимметричной области (0 <х < 15,0; 0 <у < 15,0)
содержится идеальный газ (р0 =1, е0= 0, и0 = 0, у = 1,4) с УРС (2.1). В сфериче-
ской области с г = 0,1 в начальный момент времени (/ = 0) задается энерговыде-
ление е = е0 =107.
Граничные условия - жесткие стенки.
Контрольный момент времени t = 3.
Особенности течения. В задаче происходит распространение с постоянной
скоростью сферически расходящейся сильной УВ и идет интенсивная перекачка
заданной в начальный момент времени внутренней энергии в кинетическую. Рас-
сматривается стадия процесса, при которой численный расчет выходит на авто-
модельный режим. В этом случае УВ значительно (по сравнению с размером зо-
ны энерговыделения) удалена от центра взрыва.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скопости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат на t = 3;
•	определение порядка сходимости основных величин к эталонному реше-
нию на t = 3;
•	дисбаланс полной энергии.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное в работе [ 18] как точное решение сферически симмет-
ричных одномерных уравнений газодинамики в форме Эйлера.
На фронте сильной УВ достигаются максимальные значения плотности
Р = (у + 1)/(у — 1), а закон распространения УВ со временем определяется фор-
мулой
где а = 1,033 для поставленной задачи (у =1,4), £ = 41888 - полная энергия
взрыва. На t = 3 радиус УВ составляет В = 13,47.
Точное решение во всей области взрыва можно получить лишь численно.
На рис. 2.4.1 приводятся профили плотности и давления из точного решения на
t = 3, а в табл. 2.4.1 приводятся значения этих величин в 200 точках, равномерно
расположенных по оси х.
46
Рис. 2.4.1. Точные профили величин: а - плотность, б - давление
Таблица 2.4.1
Точные значения плотности и давления в 200 узлах
№	Р	р	№	Р	Р	№	Р	Р	№	Р	Р
1	0,0000	0,9819	51	0,0001	0,9819	101	0,0250	0,9854	151	0,6146	1,1592
2	0,0000	0,9819	52	0,0002	0,9819	102	0,0269	0,9857	152	0,6542	1,1723
3	0,0000	0,9819	53	0,0002	0,9819	103	0,0290	0,9861	153	0,6966	1,1865
4	0,0000	0,9819	54	0,0002	0,9819	104	0,0312	0,9865	154	0,7422	1,2016
5	0,0000	0,9819	55	0,0003	0,9819	105	0,0335	0,9869	155	0,7913	1,2180
6	0,0000	0,9819	56	0,0003	0,9819	106	0,0360	0,9874	156	0,8442	1,2356
7	0,0000	0,9819	57	0,0003	0,9820	107	0,0387	0,9879	157	0,9012	1,2546
8	0,0000	0,9819	58	0,0004	0,9820	108	0,0415	0,9884	158	0,9629	1,2752
9	0,0000	0,9819	59	0,0004	0,9820	109	0,0445	0,9890	159	1,0298	1,2974
10	0,0000	0,9819	60	0,0005	0,9820	110	0,0477	0,9897	160	1,1023	1,3214
И	0,0000	0,9819	61	0,0006	0,9820	111	0,0511	0,9904	161	1,1812	1,3474
12	0,0000	0,9819	62	0,0006	0,9820	112	0,0547	0,9911	162	1,2671	1,3756
47
Окончание табл. 2.4.1
№	Р	р	№	Р	Р	№	Р	Р	№	Р	р
13	0,0000	0,9819	63	0,0007	0,9820	ИЗ	0,0585	0,9919	163	1,3610	1,4062
14	0,0000	0,9819	64	0,0008	0,9820	114	0,0625	0,9928	164	1,4637	1,4394
15	0,0000	0,9819	65	0,0009	0,9820	115	0,0668	0,9938	165	1,5765	1,4756
16	0,0000	0,9819	66	0,0010	0,9820	116	0,0714	0,9948	166	1,7005	1,5151
17	0,0000	0,9819	67	0,0011	0,9820	117	0,0763	0,9959	167	1,8374	1,5582
18	0,0000	0,9819	68	0,0013	0,9820	118	0,0814	0,9971	168	1,9889	1,6053
19	0,0000	0,9819	69	0,0014	0,9820	119	0,0868	0,9984	169	2,1571	1,6570
20	0,0000	0,9819	70	0,0016	0,9820	120	0,0926	0,9997	170	2,3445	1,7137
21	0,0000	0,9819	71	0,0018	0,9821	121	0,0987	1,0012	171	2,5538	1,7760
22	0,0000	0,9819	72	0,0020	0,9821	122	0,1052	1,0028	172	2,7887	1,8448
23	0,0000	0,9819	73	0,0022	0,9821	123	0,1121	1,0045	173	3,0531	1,9207
24	0,0000	0,9819	74	0,0024	0,9821	124	0,1193	1,0064	174	3,3520	2,0049
25	0,0000	0,9819	75	0,0027	0,9821	125	0,1270	1,0083	175	3,6915	2,0984
26	0,0000	0,9819	76	0,0030	0,9822	126	0,1352	1,0105	176	4,0787	2,2026
27	0,0000	0,9819	77	0,0033	0,9822	127	0,1438	1,0128	177	4,5226	2,3190
28	0,0000	0,9819	78	0,0036	0.9822	128	0,1529	1,0152	178	5,0340	2,4495
29	0,0000	0,9819	79	0,0039	0,9823	129	0,1626	1,0178	179	5,6265	2,5964
30	0,0000	0,9819	80	0,0043	0,9823	130	0,1728	1,0206	180	1,0000	0,0000
31	0,0000	0,9819	81	0,0048	0,9824	131	0,1837	1,0237	181	1,0000	0,0000
32	0,0000	0,9819	82	0,0052	0,9824	132	0,1952	1,0269	182	1,0000	0,0000
33	0,0000	0,9819	83	0,0057	0,9825	133	0,2073	1,0304	183	1,0000	0,0000
34	0,0000	0,9819	84	0,0063	0,9825	134	0,2202	1,0341	184	1,0000	0,0000
35	0,0000	0.9819	85	0,0068	0,9826	135	0,2339	1,0381	185	1,0000	0,0000
36	0,0000	0,9819	86	0,0075	0,9827	136	0,2483	1,0423	186	1,0000	0,0000
37	0,0000	0,9819	87	0,0081	0,9828	137	0,2637	1,0469	187	1,0000	0,0000
38	0,0000	0,9819	88	0,0089	0,9829	138	0,2800	1,0518	188	1,0000	0,0000
39	0,0000	0,9819	89	0,0097	0,9830	139	0,2972	1,0571	189	1,0000	0,0000
40	0,0000	0,9819	90	0,0105	0,9831	140	0,3156	1,0627	190	1,0000	0,0000
41	0,0000	0,9819	91	0,0114	0,9832	141	0,3350	1,0688	191	1,0000	0,0000
42	0,0000	0,9819	92	0,0124	0,9833	142	0,3557	1,0752	192	1,0000	0,0000
43	0,0000	0,9819	93	0,0134	0,9835	143	0,3777	1,0822	193	1,0000	0,0000
44	0,0000	0,9819	94	0,0146	0,9837	144	0,4011	1,0896	194	1,0000	0,0000
45	0,0001	0,9819	95	0,0158	0,9838	145	0,4260	1,0976	195	1,0000	0,0000
46	0,0001	0,9819	96	0,0171	0,9840	146	0,4525	1,1061	196	1,0000	0,0000
47	0,0001	0,9819	97	0,0184	0,9843	147	0,4808	1,1153	197	1,0000	0,0000
48	0,0001	0,9819	98	0,0199	0,9845	148	0,5110	1,1251	198	1,0000	0,0000
49	0,0001	0,9819	99	0,0215	0,9848	149	0,5432	1,1357	199	1,0000	0,0000
50	0,0001	0,9819	100	0,0232	0,9850	150	0,5777	1,1470	200	1,0000	0,0000
48
Дополнительная информация. Численное моделирование задачи проводи-
лось по многим кодам. Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА при-
водятся в разделе 2.10.6.
2.4.3.	Движение плоской 1D ударной волны в шаре
со сферической сеткой
Цель тестирования. Оценка влияния сетки, не согласованной с движением,
на точность расчета; оценка точности аппроксимации конвективных слагаемых
в эйлеровых и лагранжево-эйлеровых методиках.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках на сферических сетках.
Постановка задачи. Эта 2D плоская задача описана в работе [1]. Начальная
геометрия - шар радиусом r0 = 1 с центром в начале координат. Внешняя грани-
ца лагранжева, на ней задано давление
о
Prp(x,t) =
при
при
t - х > Dt;
t-x<Df,
Д =2ро£>2/(у + 1) = О,75,
которое моделирует движение плоской стационарной УВ в однородном веществе
вдоль оси симметрии влево со скоростью D = 1. На t = 0 УВ находится в точке
с координатой х = 1.
Контрольные моменты времени t = 0,5; 1,0; 1,3333; 1,5; 2,0.
Выдаваемые величины Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	изолинии плотности, давления, удельной внутренней энергии компонентов
для разных значений, например: рх = 2; р2=3; р}=0,25; р2=0,5; е}=3/32:
е2 =6/32;
•	изолинии искусственной вязкости;
•	эффективные положения фронта УВ, получаемые разрешением относи-
тельно хф формул (2.4.1), в левые части которых подставлены расчетные значе-
ния соответствующих интегральных характеристик, которые вычисляются по
следующим формулам:
Рср =4/(1 + 0,75У(/)); Др = -0,25тг[4-У(/)];
Якин =Зл[4-Д/)]/32;	£вн =Зл[4-5(/)]/32;
Яполн=3л[4-5(0]/16 :	У(/) = (хф + 1)2(г-хфГ
Для контроля за интегральным перетеканием массы в направлении, перпен-
дикулярном оси симметрии, полезно выдавать момент инерции
А/ин = S yikmik ’ где mik ~ масса ячейки с номером (/, Аг);
i-k
49
yik - расстояние точки от оси симметрии.
В точном решении Л/Ин сохраняет постоянное значение, равное 7г2/4.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное из соотношений Ренкина - Гюгонио.
Параметры газа за УВ:
(у + 1)	2	7
Р1=7—ар°“4’	а =7—=0,75;
(у-!)	(у + 1)
2D	n 2D2	9
их1 =------= -0,75; wvl=0; е, =------------ =—
уП	71	1 (у + 1)2 32
Форма границы на время 0 < t < 2 описывается уравнениями
х2+у2=1;	-1<х<Хф;
(2.4.1)
где хф = 1 - Dt.
2.4.4.	Задача Зальцмана
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений на неоднородных сетках и является тестом преж-
де всего для искусственной вязкости разностной схемы при использовании дву-
мерной сетки.
Тестируемые коды. Данная задача может бы гь смоделирована в двух поста-
новках: в ла! ранжевой и лагранжево-эйлеровой.
Постановка заоачи. Это 1D плоская задача, ее постановка описана в работе
[19]. В задаче У В с двумя отражениями от границ движется по сетке, в которой
одно семейство линий сетки направлено вдоль направления движения волны,
а второе семейство линий «закошено», то есть направлено под углом <90°
к направлению движения. Кроме того, вдоль направления движения волны сетка
неравномерная, с переменным характером неравномерности.
Геомегрия задачи: 0 <x<Lx = 1,0; 0 <у < Ly = 0,025. Граничные условия: на
левой лагранжевой границе задана скорость «гран = 1,0, остальные границы -
жесткие стенки. В области имеется одно вещество с параметрами: и = 0, ро = 1,
р = 0. УРС: р = (у - 1 )р<?, у = 5/3.
Контрольные моменты времени: t = 0,7 и t = 0,925. На время t = 0,7 УВ еще
не доходит до правой границы. На время t = 0,925 УВ уже отразится от левой
границы и движется направо.
В данной задаче начальная сетка фактически входит в ее постановку. На
рис. 2.4.2 представлена форма начальной сетки для расчета.
50
T:ON:O
0.1 |ццп
0,075- :±03Е
0,05-
0,025-ЕЕ Ей;
О-^ЕЕ
0
0,2	0,4	0,6	0,8
Рис. 2.4.2. Форма начальной сетки для задачи Зальцмана
1
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	значения плотности и давления во всех ячейках счетной сетки;
•	дисбаланс полной энергии на контрольные моменты времени;
•	определение нормы погрешности (в данной задаче затруднительно опреде-
ление порядка сходимости численного решения из-за использования специфиче-
ской сетки).
Особенности течения. В задаче происходит распространение от левой гра-
ницы с постоянной скоростью плоской УВ, которая в момент времени h отража-
ется от неподвижной правой границы и распространяется налево, а в момент
времени Ц отражается от левой движущейся границы.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений Эйлера на
контрольные моменты времени.
На время t = 0,7 первая УВ еще не доходит до правой границы и точное ре-
шение описывается формулами, справедливыми также для всех 0 < / < Ц
„	, ^гран > -^левое (0 —	-Афронта Ю’
w(Z = 0,7;x) = <
-Афронта W <— V
И(/ = 0,7;х) = 0;
	Р1.
р(7 = 0,7;х) = <	Ро>
e(t = 0,7;х) = <	ьГ С 1	V
p(J = 0,7;х) = -	'’I,
-^леьое '	' фронта W’
Афронта 0) < X < 1,
-^левое (О — х '^’фронта (О»
Афронта (0 < — h
-клевое (0 — х < Афронта
Афронта (О < — 1 •
На интервале времени /i < t < /2 точное решение описывается формулами:
и(7,х) =
^гран’
о,
^левое (0 — -Афронта (0>
Афронта W < — 1,
51
р(/,х)=^	Р1>	-Девое W — х < Афронта (О’
	Р2’	Афронта (0 < х —
	д,	Дпевое (0 — х < «Ьронта (^)’
	Д,	Афронта (0 < х —
P(t,x)^'		-^левое (0 — х < Афронта (^)>
	Д’	1 фронта (0 < X < 1.
На время t = 0,925 УВ уже отразилась от левой границы и еще не отразилась
от правой границы. Точное решение описывается формулами, справедливыми
также для всех t2<t <h
w(/ = 0,925;x) =
Дран’
о,
р(/ = 0,925; х) =
Рз>
e(Z = 0,925;x) = <
р2>
\Е3,
е2,
Длевое (О — < Афронта (0>
Афронта (О * х —
Девое (О — х < • Афронта (0>
5 фронта (0 < х — Ь
^левое (О — х -Афронта (0>
-Афронта (О * х —
p(t = 0.925; х) =
Длевое(О — х < Афронта (О’
Афронта (О * х — 1 •
В этих формулах
-^левое (О Дран^
Д£
0 </</];
Афронта (О ‘ 1	^1)’
Z1 < t < t2;

у +1	4
Д =^------UnaH = - = 1,33333...;
1	2	1 рДл	’
£>2 ЧУ-^гран =1 = 0,66666...;
Зу-1
Д=^-^ан=2;
52
А = — = 0,75;
Л
D{ + D2
l2
-------г = 0,9;
ДКан + ^2)
МА-^гранМА+^З
А^Кан+^2)
Y + l	.
Pi =—гРо = 4;
Y-l
p2=^po=,O;
(Y-l)
r(T + l)(3r-l)
Р3’ 3(7-l)3 Р"
S14(M2=°.S;
^=^(М2='-2;
£з=2^(^-)2=2.1-
Р1=^РоК.к)2 =1.33333..,;
^(3gfc])poKm^8;
^(2т-,)(зт 1)(тп)ро(^^28
2(у-1)
На рис. 2.4.3 приведены профили плотности и давления на t = 0,7 и t = 0,925.
53
Координата A"
30
Рис. 2.4.3. Профили точного решения для плотности и давления:
t = 0,1 (сверху) и t = 0,925 (внизу)
-----Z = 0,925
25-
20
15-
10-
5
0-
0,925	0,945	0,965	0,985
Координата X
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.7.
2.5.	Задачи со смесями веществ
2.5.1.	Распространение сильной ударной волны по смеси
двух газов
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений в однородно перемешанных смесях двух газов с
сильно различающимися сжимаемостями. Дополнительная цель - тестирование
методов замыкания уравнений газодинамики в смешанных ячейках.
Тестируемые коды. Задача может быть смоделирована в лагранжевой, ла-
гранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача описана в работе [20] и ставится
следующим образом. В области 0 < х < 1 содержится смесь двух идеальных газов
с УРС (2.1) со следующими параметрами:
Г(3; 1; 0; 0; 0; 0,5)
(у,р,е, р,иЛ5) = <
1(1,2; 1; 0; 0; 0; 0,5).
Внешние границы области - жесткие стенки.
54
Контрольные моменты времени t = 1 и t = 5.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профиль скорости и среднего давления в зависимости от координаты на
контрольные моменты времени;
•	профили плотности и давления компонентов в зависимости от координаты
на t = 5;
•	временные зависимости плотности, давления и внутренней энергии компо-
нентов в определенных точках;
•	средняя скорость распространения У В на t = 5;
•	стационарная скорость распространения У В на t = 5;
•	полная энергия как функция от времени.
Эталонное решение. Задача не имеет точного эталонного решения. В каче-
стве условного эталона используется аналитическое решение задачи, полученное
как точное решение одномерных уравнений газодинамики в форме Эйлера [21]
при некоторых предположениях.
Предполагается, что на фронте УВ (с массовой скоростью иув = 2) достига-
ются максимальные сжатия для каждого газа в отдельности, то есть рдВ =2 для
первого газа и рув = 11 для второго, что корректно в предположении отсутствия
адиабатического обмена энергиями между газами. Тогда по известным для силь-
ной УВ соотношениям можно получить величину плотности и давления за фрон-
том У В и скорость ее распространения:
ув = РоРо+Р?Р1
"РоРо/ро'+РУр’/рГ
Здесь р° - средняя
плотность невозмущенной смеси;

— средняя адиабатическая постоянная. После подста-
новки численных значений получаем: руЕ = 3,385; D = 2,836; руъ-5,672;
ё'у® = 2,0095. Значения энергии для компонентов получаются по соответствую-
щим УРС.
Дополнительная информация. Для обоснования этого аналитического реше-
ния было проведено прямое численное моделирование задачи: в работе [22] -
1D моделирование в предположении слоистой структуры двух жидкостей
(см. также раздел 2.5.2), а в работе [23] - в ID, 2D и 3D постановках, из которых
3D постановка является наиболее приближенной к рассматриваемому случаю.
Расчеты показали, что именно такая постановка дает значения скорости фронта
УВ, наиболее близкие к аналитическому решению.
Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА приводятся в разделе
2.10.8.
55
2.5.2.	Распространение ударной волны по слоистой структуре двух газов
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений в смеси двух газов с сильно различающимися
сжимаемостями. Смесь описывается в виде 1D периодической структуры. Кроме
того, задача может быть использована для тестирования осредненных моделей
среды.
Тестируемые коды. Задача может быть смоделирована в лагранжевой, ла-
гранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача описана в работе [22] и ставится
следующим образом. Компоненты смеси представлены в виде чередующихся
300 слоев одинаковой толщины L\ = Lz = 0,05, расположенных вдоль движения
УВ. Вещества слоев - идеальные газы с УРС (2.1) со следующими параметрами:
,	.	f(3; 1; 0; 0; 0)
(у,р,е, р,и)-<
v	7 [(1,2; 1; 0; 0; 0).
На левой лагранжевой границе поддерживается постоянное во времени дав-
ление р = 8, остальные внешние границы области - жесткие стенки.
Контрольный момент времени t = 5.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили скорости и среднего давления в зависимости от координаты на
/=5;
•	профили давления и плотности компонентов в зависимости от координаты
на t= 5;
•	средняя и стационарная скорости распространения У В на t = 5.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется численное решение
задачи, полученное в работе [22] расчетами на сходимость по разным методикам
(в том числе по СИАД) в лагранжевых переменных.
На рис. 2.5.1 приводится эталонное решение в виде профилей давления и
скорости на контрольные моменты времени. В расчетах СИАД за фронтом УВ
получена стационарная структура с крупномасштабными осцилляциями. Причем
длина волны осцилляций составляет ~3,6 периода, а амплитуда осцилляций
~25 % от амплитуды основной УВ. Как отмечено в [22], такая структура форми-
руется многократными отражениями УВ и волн разрежения от границ между
двумя газами. На рис. 2.5.2 приводятся графики зависимости скорости УВ от
счетной сетки в расчетах на сходимость на t= 1. Видно, что скорость распро-
странения УВ сходится к значению ~2,924.
56
t 1  1 ’ ‘ !	1 ’ I “T” "Г' " 'Г 	—1	1- - -4- -Д	Т	г 		._.J	L. 1	
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
X
р ЧН1П>ЧПП!!ПНГ||гнПЦГ!р1|^^
8
7
6
|б
о 4
t:
S з
го
42
10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0
Рис. 2.5.1. Профили давления и скорости в 1D расчете СИАД: а - / = 1; б -1 = 5
h
Рис. 2.5.2. Зависимость скорости УВ от размеров сетки в 1D расчетах СИАД на t - 1
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.9.
2.5.3.	Распространение ударной волны по среде,
состоящей из гетерогенных структур
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений в однородно перемешанных смесях трех веществ
с сильно различающимися УРС. Дополнительная цель - тестирование методов
замыкания уравнений газодинамики в смешанных ячейках.
57
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 2D плоская задача описана в работе [24] и ставится
следующим образом. Плоская 1D ударная волна проходит по гетерогенной среде,
состоящей из плотно упакованных стальных цилиндров (7?i = 3,5; 7?2=5,5), за-
полненных жидкостью; в промежутках между цилиндрами находится вакуум
(рис. 2.5.3). УВ формируется постоянным давлением, приложенным к границе
счетной области. УРСы жидкости и стали брались в форме Ми-Грюнайзена
(2.3) со следующими параметрами:
•	сталь: ро = 7,8: п = 5; у = 2,666; со = 5,1;
•	жидкость: ро= 1,3; п = 7; у = 1,4; со= 1,5.
Рис. 2.5.3. Геометрия двумерного расчета
В области находится смесь жидкости (Ро =0,37; е0 =0) и стали (pj =0,63;
Cj = 0) с начальной плотностью pj = 6,65 (кристаллическая плотность
Р1кр = 8,75 ). На левой границе задано постоянное давление р = 50.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, давления и внутренней энергии для среды в целом и
для компонентов в зависимости от координаты;
•	X(t) диаграмма ударной волны;
•	полная энергия как функция от времени.
Эталонное решение. Задача не имеет аналитического решения, поэтому в ка-
честве эталонного можно использовать результаты прямого численного модели-
рования задачи в 2D постановке, которое может быть выполнено по любой мето-
дике. В разделе 2.10.10 приводится X{t) диаграмма УВ, полученная по коду
ЭГИДА
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.10. Более полные данные результатов расчетов
задачи можно найти в работе [24].
58
2.6.	Задачи с вакуумом
2.6.1.	Разлет вещества в вакуум
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания истечения вещества в вакуум.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в трех поста-
новках: лагранжевой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой.
Постановка задачи. Это ID плоская изэнтропическая задача, ее постановка
описана в работе [25]. Геометрия задачи -5 <х< 1. Начальные данные на / = 0:
плоский слой -5 < х < 1 заполнен покоящимся идеальным газом
г/(х,0) = 0, р(х,0) = 1, р(х.0) = 1, у-3 ис УРС (2.1). В эйлеровой постановке
вне этого слоя в области 1 <х<3 содержится вакуум. Граничные условия: на
всех границах ставится условие непротекания, на правой границе (в лагранжевой
постановке) р = 0.
Контрольное время определяется как время выхода на стационарное значе-
ние скорости разлета.
Особенности течения. В задаче с t = 0 начинается разлет в вакуум, скорость
разлета достигает стационарного значения (своего максимума) через некоторое
время.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, давления и скорости в зависимости от координаты х;
•	определение максимальной скорости разлета вещества в вакуум.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи для скорости разлета, полученное как точное решение одномерных
уравнений газодинамики в адиабатическом приближении в работе [25]. Данное
решение имеет вид
и
итах , •
у-1
2.6.2.	ЗадачаШемарулина
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания изэнтропического истечения вещества в вакуум. Дополнительно можно
протестировать сохранение симметрии течений, степень сохранения энтропии
в изэнтропических течениях, качество описания течений в окрестностях слабых
и сильных разрывов.
Тестируемые коды. Данная задача может быть использована для моделиро-
вания в трех постановках: лагранжевой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой.
Постановка заоачи. Это 1D плоская изэнтропическая задача, ее постановка
описана в работе [26]. Начальные данные на t = 0: плоский слой -1 < х < 1 запол-
нен покоящимся газом со специально заданным распределением плотности
59
w(x,O) = 0, p(x,0) = 1 -x2 ис УРС р = р3/3. Вне этого слоя содержится вакуум.
Граничные условия: на левой и правой границах задано условие вытекания.
Особенности течения. Одна из особенностей течения состоит в том, что
границы газовой области остаются неподвижными до некоторого момента вре-
мени / = /’ = 0,5, после которого начинается разлет в вакуум. Течения остаются
гладкими всюду до момента / = /’. При t > /’ градиенты плотности и скорости
терпят разрыв первого рода на звуковых линиях. Между звуковыми линиями
расположена область дозвукового течения, между звуковыми линиями и линия-
ми вакуума - области сверхзвукового течения. Звуковые точки течений непо-
движны.
Контрольные моменты времени: t = 0,25; / = 0,5; t = 1,0; / = 2,0; / = 2,75. На
время t = 0,25; t - 0,5 (/</*) граница слоя еще неподвижна и внутри слоя все пе-
ременные гладкие. На другие три момента времени (/ > /’) начинается движение
границы и появляются негладкие профили плотности.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, давления и энтропийной функции в зависимости от
координаты х во всех ячейках счетной сетки;
•	определение нормы погрешности и порядка сходимости численного реше-
ния для плотности, давления и энтропийной функции.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений Эйлера
В. Е. Шемарулиным [26]. Ниже приведено аналитическое решение для плотно-
сти, давления и скорости:
для 0<х<1 и />0:
р(х,/) = -^(Л + 5-2),
w
p(x,t) = р(х,/) / 3,
w(x,/) =-^-(Л-В + 2xw),
для 1 <х< — + t и / > 0,5:
4/
2
р(х,/)= —А,
w
p(x,t) = p(x,t) / 3,
2
u(x,f) =—y(xw-l),
\v
где: A = a/1~2xw +w2, В = >J\ + 2xw + w2 , w = 2/.
60
X(f) диаграммы разлета границ имеют следующий вид: до момента времени
t = 0,5 границы области остаются неподвижными (х = ±1), при t > 0,5 правая
граница области разлетается по кривой х = 1/(4/) +/, а левая симметрично.
X(t) диаграммы границ показаны на рис. 2.6.1, а на рис. 2.6.2 и 2.6.3 - профили
плотности на контрольные моменты времени.
X
Рис. 2.6.1. X(t) диаграммы границ области
/ = 0	-----/=0,25--------/ = 0,5
Рис. 2.6.2. Профили плотности на время до начала разлета области
61
Рис. 2.6.3. Профили плотности на время после начала разлета области
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.11. Более полные данные можно найти в ра-
боте [26].
2.6.3.	Разлет газа в вакуум с косой стенки
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения точности
моделирования движения КГ среды с вакуумом.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Данная 2D задача предложена в работе [27]. Однород-
ный покоящийся идеальный газ (р = 1; е = 1; у = 1,4) занимает плоскую область,
ограниченную прямой y = xtga (tga = 1,2247449) и положительной частью оси
Оу (треугольник ОАВ на рис. 2.6.4,а).
Рис. 2.6.4. Постановка задачи: а - начальная геометрия; б - картина течения
62
В начальный момент времени стенка Оу мгновение убирается и начинается
истечение газа в вакуум. Граничные условия: условие непротекания на жесткой
стенке ВС (рис. 2.6.4,б) и равенство нулю давления на границе с вакуумом.
Контрольные моменты времени: t = 1,0; 3,0.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	положение границы с вакуумом;
•	изображение лагранжевых линий, определенных при t = 0 равенствами:
х = 0,001; х = 0,01; х = 0.1; х = 0,5;
•	временные зависимости компонент скорости их, иу, плотности и давления в
точках этих линий.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи [26]. В этой работе показано, что поставленная задача имеет точ-
ное решение в случае, когда показатель адиабаты у и тангенс угла наклона
жесткой стенки связаны соотношением
tg2a =
1 + Y
З-у
(2.6.1)
Картина движения для этого случая изображена на рис. 2.6.4,б, где кривая DAC -
граница газа с вакуумом; BE — слабый разрыв, отделяющий движущийся газ от
области покоя; АВ — слабый разрыв, отделяющий область 1 одномерного течения
(центрированная волна Римана) от области 2 (треугольник АВС), в которой тече-
ние является существенно двумерным. В случае выполнения условия (2.6.1) ли-
нии AD, AC, АВ, BE - прямые линии, причем прямая АС перпендикулярна жест-
кой стенке ВС при любых значениях времени t.
Параметры течения определяются по формулам:
У>У\,
Мх
ctg2a ] -Г(1 + ^tg2a - Xjy tgal - с0
У<УС
0,
ctg2a ] -	tga + У2У ] ~ со^а
У-У1,
У<УР,
где
, _ У"1, у _ Y + 1.
2	2
X, ( с0 ч "1
Л =tl Jc + ^-Z^ga ;
2 к
со - скорость звука в покоящемся газе;
/ xI/Xi
С
Р = Ро —
Ио J
„2
Р =
_ с2 .
2уХ, ’
соРо с
У 1со,
63
с = с0 + Xj	+ uyXgcL J - скорость звука.
Координаты частицы, находившейся при / = 0 в точке с координатами
х0,у0, для момента времени t вычисляются по формулам:
0<t <^;
б <t<t2;

|^(аХ2т-1)1,
Л1
x(t) = <
Уо>
0<Г</ ;
2 ’
y(.t)-‘ соа
где
-А
с0
спа г 7
I,
(	V’2
; t2=tY ^O-ctga)
При выборе расчетной области следует исходить из картины движения, изоб-
раженной на рис. 2.6.4,б, и иметь в виду, что точки Л, В и С имеют координаты:
/ 2с t ।
Л-----2-,0 ; 5(cor,coMga);
I Y-1 )
f	х
2c0t	2c0t tga
(y-l)(l + tg2a) (y -1)(1 + tg2a)
2.6.4.	Адиабатический разлет в вакуум осесимметричного
газового эллипсоида
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения точности
моделирования движения КГ среды с вакуумом в 2D осесимметричной задаче.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Данная 2D задача предложена в работе [28], ниже дана
ее конкретная постановка из работы [2]. Покоящийся идеальный газ (у = 1,4) за-
нимает осесимметричную область (облако) в форме эллипсоида в плоскости XOY
с полуосями ax0 = 1; ау0 =2; х > 0; у > 0. Начальные значения внутренней
энергии и плотности вычисляются по формулам:
,1-л2.
е° Х-1 ’
2
2
— + 2Г-
ах0 ау0
Внешней границе облака соответствует значение ц = 1.
64
Граничные условия: на внешней границе задано нулевое давление; на оси
и плоскости симметрии - условие симметрии.
Контрольный момент времени t = 30.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	значения компонент скорости их,иу для точек границы, лежащих на осях
координат, S(f) - ax(t)/ay(t);
•	погоешности указанных выше величин по отношению к эталонным значе-
ниям ихх, иух, Sx;
•	величину отклонения энтропии от начального значения.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи [28]. Картина движения в задаче следующая: из состояния покоя
начинается разлет облака. В процессе разлета соотношение полуосей эллипсоида
ах и а у изменяется: меньшая полуось становится большей и наоборот. На
большие времена течение выходит на стационарный режим разлета с постоян-
ными значениями скоростей границ облака ихх, и „ в точках, находящихся на
осях координат, и постоянным отношением полуосей Sx - ахса/ауоо. Для рас-
сматриваемых значений у =1,4 и So =ах0/а.у0 = 0,5: wxoo=4,11; иуао-3,0',
SOO=1,37.
Дополнительная информация. Данная задача моделировалась по многим
кодам.
2.7.	Задачи с несколькими особенностями
2.7.1.	Распад разрыва на границе разноплотных веществ
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания распада разрыва с одной УВ, волны разрежения на границе веществ
с сильно различающимися УРС и разлета в вакуум одного из веществ. Дополни-
тельная цель - тестирование методов замыкания уравнений газодинамики в сме-
шанных ячейках.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача описана в работе [1] и ставится
следующим образом. В области -8,0 < х < 3 содержатся два вещества со следую-
щими параметрами:
.	. [(2,5; 6,0; 30,0; 0,0), if -8,0<х<0,0,
(р,е, р,г/) = /
v	7 [(12,0; 0,0; 0,0; 0,0),	if	0,0<х<3.
В области 1 находится идеальный газ с у = 3. В области 2 содержится веще-
ство с УРС в форме Ми - Грюнайзена (2/3) с параметрами: р= 12, с = 2, н = 3,
у= 1,5.
11а границах х = то =-8 и х = xi = 3 задается нулевое граничное давление.
65
Контрольный момент времени t = 0,5.
Особенности течения. В задаче в начальный момент времени происходит
распад разрыва на границе двух слоев однородных покоящихся веществ с раз-
личными УРС, и разлет в вакуум одного из слоев.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	плотности, давления и внутренние энергии компонентов в смешанной
ячейке;
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат на t = 0,2;
•	временные зависимости плотности, скорости, давления и внутренней энер-
гии в определенных точках;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений газодина-
мики в форме Эйлера [1]. На рис. 2.7.1 изображен профиль скорости для произ-
Рис. 2.7.1. Профиль скорости после распада разрыва
Для таких значений t координаты точек х2,х3...х7 вычисляются по формулам
х2 = x0+wmaxZ;
х3 = х0 + с01/;
х4 = -с01/;
х5 =~(с01 -0,5(у + 1)ых)г;
х6 = uxt;
Х1 = >
где итах = -2с01/(у -1) - скорость разлета газа в вакуум; Д- значения мас-
совой скорости и скорости УВ, распространяющейся вправо от точки х = 0 .
66
Распределения газодинамических величин по координате х определяются
соотношениями:	2 (	X - Ха А
• при х2 < х < х3:	U~	JC01	t	Р у + 1\	t	J Р=р LiziKH Л	01	9	„ <	2	с01у 2 С у-1Шг-1 p = poi 1	'	; V 2 с01J
• при х3 < х < х4:	м = 0;	/? = Р01; p = Poi; 2 f х^
• при х4 < х < х5:	м=—7 coi + 7 ’ у +1 у	t J
а значения давления и плотности вычисляются по формулам, соответствующим
интервал) х2 < х < х3;
• при х5 < х < х6:	и = ир, р = Рр, р = рр
• при х6 < х < х7:	и = ир, р = Рр, р = р2.
Значения Р{, р|5 р2, U\, Ц находятся из решения соответствующей задачи
о распаде разрыва и на / = 0,5 имеют значения: pi = 2,227; щ = 4,76168;
А = Л = 21,2085; р2 = 15,85; е2 = 0,2153; щ = ад = 0,655.
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.12.
2.7.2.	Задача Сода
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений с распадами разрыва на контактных границах
газов с одинаковыми показателями адиабаты. Дополнительная цель - тестирова-
ние методов замыкания уравнений газодинамики в смешанных ячейках.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача описана в работе [29] и ставится
следующим образом. В области 0 <х < 1 содержится идеальный газ, в начальный
момент времени разделенный на две подобласти со следующими начальными
данными:
,	. Г(1,4; 1;	2,5; 1; 0), if 0<х<0,5,
(у,в,е,р,и) = <
v	7 [(1,4; 0,125; 2; 0,1; 0), if 0,5<х<1.
УРС веществ р = (у - 1 )ре.
Внешние границы области - жесткие стенки.
Контрольный момент времени i = 0,2.
67
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат на t = 0,2;
•	временные зависимости плотности, скорости, давления и внутренней энер-
гии в определенных точках;
•	полная энергия, кинетическая энергия и внутренняя энергия как функция
от времени;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Особенности течения. В задаче происходит распад разрыва и по газу 0
напоаво движется УВ, а налево по газу 1 - волна разрежения. При этом КГ меж-
ду газами движется направо. Возникающее движение содержит пять областей,
как показано на рис. 2.7.2:
14	3	2	0
|--------1----------1--------1---------1----------1
0	Xrwi Xrw\ Xi	Ash'	1
Рис. 2.7.2. Области течения на t > 0
•	область 0 (Xsw<x< 1) - газ 0 с начальными параметрами (ро, ро, во, ио);
Xsw- положение фронта У В;
•	область 2 (Xi<x <Xsw) - газ 0, поджатый УВ, с параметрами рз, рг, ег, иг;
X; - положение КГ;
•	область 3 (Xrwi <х<Xi) - газ 1, по которому прошла волна разрежения,
с параметрами рз, рз, ез, из; Хццз - положение заднего фронта волны разрежения;
при этом рз =рг и из = иг,
•	область 4 (Xrw2 < х < Xrw\) - газ 1, охваченный волной разрежения, с пара-
метрами /?4, р2, £4, ил,; Xrw2 — положение переднего фронта волны разрежения;
•	область 1 (0 <х <Xrw2) - газ 1 с начальными параметрами (pi, pi, ei, щ).
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений газодина-
мики в форме Эйлера [29] Значения рз и из (рз и из) находятся численным решени-
ем системы уравнений (2.7.1)
Рг = Pi [' - (У - 0 w2 /(2П )]2т/(т-1)
^2..	2(^2 ~Го)2	’
2 Ро[(т-1)Го+(У + 1)Г2]
где q = у/ур\/Р[ - скорость звука в области 1.
Остальные параметры:
68
(y -1 )Po + (y + 1 )^2
P2 P°(y + 1)y’o+(y-1)y’2 ’
Рз=Р1(/’г/А )1/Y’
t J
. ,n2/fr-')
p4(x,z) = p1 1-
2 q J
_n„
1—-
eM
pM
(y-I)p(v)
А^=^(/ = О) + Л/,
^i-^(/ = 0)-[Ci-(Y + 1)M2/2]/,
RW2 ~ Xj(t -0)-С^,
XI=XI(t = O) + u2t,
где D - (/?2 _ Po )/(M2Po) ~ скорость распространения УВ.
Эталонное решение на t = 0,2 имеет вид, показанный на рис. 2.7.3,
а в табл. 2.7.1 и 2.7.2 представлены характерные для данной задачи величины на
t = 0,2. В табл. 2.7.3 приведены газодинамические величины в узлах сетки из
100 ячеек.
Рис. 2.7.3. Эталонное решение для задачи 2.7.2 на момент времени t = 0,2
(профили плотности, энергии, давления и массовой скорости) (см. также с. 69)
69
Рис. 2.7.3. Окончание
Таблица 2.7.1
Координаты границ областей движения
и характерные скорости на t = 0,2
Xsw	XR щ	XR №2	X/	D	С1	W2
0,850431	0,485945	0,263357	0,685491	1,75216	1,18322	0,927453
Таблица 2.7.2
Газодинамические величины на t = 0,2
		u	P	P	e
Xsw	х > Xsw	0	0,1	0,125	2
	x<Xsw	0,927453	0,303130	0,265574	2,85354
X/	x>Xi	0,927453	0,303130	0,265574	2,85354
	x<Xi	0,927453	0,303130	0,426319	1,77760
Хлт		0,927453	0,303130	0,426319	1,77760
Xrwi		0	1	1	2,5
Таблица 2.7.3
Газодинамические величины в эталонном решении в зависимости
от координаты в задаче 2.7.2 на / = 0,2 (п - номер точки)
n	X	u	P	P	e
1	0,005	0	1	1	2,5
—	—	—	—	—	—
26	0,255	0	1	1	2,5
28	0,275	0,048513	0,943991	0,959666	2,459167
29	0,285	0,090180	0,898055	0,926072	2,424365
30	0,295	0,131847	0,854048	0,893427	2,389811
31	0,305	0,173513	0,811903	0,861708	2,355505
32	0,315	0,215’80	0,771553	0,830897	2,321447
70
Окончание табл. 2.7.3
п	X	и	р	р	е
33	0,325	0,256847	0,732934	0,800973	2,287637
34	0,335	0,298513	0,695984	0,771918	2,254075
35	0,345	0,340180	0,660643	0,743712	2,220761
36	0,355	0,381847	0,626851	0,716337	2,187695
37	0,365	0,423513	0,594551	0,689773	2,154878
38	0,375	0,465180	0,563689	0,664004	2,122308
39	0,385	0,506847	0,534210	0,639011	2,089986
40	0,395	0,548513	0,506062	0,614776	2,057912
41	0,405	0,590180	0,479196	0,591282	2,026086
42	0,415	0,631847	0,453561	0,568512	1,994509
43	0,425	0,673513	0,429111	0,546449	1,963179
44	0,435	0,715180	0,405799	0,525076	1,932097
45	0,445	0,756847	0,383582	0,504377	1,901263
46	0,455	0,798513	0,362415	0,484337	1,870678
47	0,465	0,840180	0,342258	0,464438	1,840340
48	0,475	0,881847	0,323069	0,446166	1,810250
49	0,485	0,923513	0,304810	0,428005	1,780409
50	0,495	0,927453	0,303130	0,426319	1,777600
—	—	—	—	—	—
69	0,685	0,927453	0,303130	0,426319	1,777600
70	0,695	0,927453	0,303130	0,265574	2,853541
—	___	___	—	—	—
85	0,845	0,927453	0,303130	0,265574	2,853541
86	0,855	0	0,1	0,125	2
___	—	—	—	—	—
100	0,995	0	0,1	0,125	2
Дополнительная информация Моделирование данной задачи проводилось
по многим кодам. Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА приводятся
в разделе 2.10.13
2.7.3. Модифицированная задача Сода
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений с распадами разрыва на контактных границах
газов с разными показателями адиабаты. В отличие от первой задачи Сода, в этой
задаче действительно имеются два разных вещества.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
71
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача предложена [30], описана в рабо-
те [30] и ставится следующим образом. В области 0 <х < 1 имеются два идеаль-
ных газа со следующими начальными данными:
.	ч	[(2,0; 1;	2; 2; 0),	if	0<х<0,5,
(у,р,е,р,и) = <
v	'	[(1,4; 0,125;	2; 0,1; 0),	if	0,5<х<1.
УРС веществ р = (у - 1)ре. Внешние границы области - жесткие стенки.
Контрольный момент времени t = 0,2.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат;
•	временные зависимости плотности, скорости, давления и внутренней энер-
гии в определенных точках;
•	полная энергия, кинетическая энергия и внутренняя энергия как функция
от времени;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Особенности течения. Задача отличается от задачи Сода тем, что в этой за-
даче в области 0 < х < 1 содержатся два покоящихся идеальных газа с разными
значениями у. В результате распада разрыва направо движется УВ, а налево -
волна разрежения. При этом КГ между газами движется направо. Положение об-
ластей различных течений такое же, как в задаче Сода (рис. 2.7.2).
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений Эйлера
[31]. Значения рз и из {рз и из) находятся численным решением системы уравне-
ний (2.7.2):
^/(n-i)
Рз=Р\ 1-
2q
w2 ________2(/?2 -Pq)2
2 Po[(Yo-1)A)+(Yo +
(2.7.2)
где q = л/у i Z’l /Р1 _ скорость звука в области 1.
(Yq -1)^о +(Yq + 1)а>
2	° (Yo +1)го +(Yo-!)Л
P3=Pi(Ai/a)V7I>
72
р4 (%,/) = pi 1-
(Yi -1) »4(л,/)?/(Т1~1)
2 ci >
Xsw=XI{t = O) + Dt,
xrw\ =xi (/ = 0)_[ci “(Yi + Om2/2]z >
A RW2 - ! (t - 0) - C\t,
XI=XI(t = 0) + u2t
Эталонное решение на t = 0,2 имеет вид, показанный на рис. 2.7.4,
а в табл. 2.7.4 и 2.7.5 представлены характерные для данной задачи величины.
В табл. 2.7.6 приведены газодинамические величины в узлах сетки из 100 ячеек.
Рис. 2.7.4. Эталонное решение для задачи 2.7.3 на момент времени t = 0,2
(профили плотности, энергии, давления и массовой скорости)
73
Таблица 2.7.4
Координаты границ областей движения и характерные скорости
на t = 0,2
Xsw	Xrw}	XRIV2	Xl	D	С1	М2
0,914304	0,482713	0,10	0,755142	2,071518	2,0	1,275710
Таблица 2.7.5
Газодинамические величины на t = 0,2
		u	P	P	e
Xaw	x>Xsw	0	0,1	0,125	2
	x<X$w	1,27571	0,430332	0,325380	3,30638
Xi	x>Xi	1,27571	0,430332	0,325380	3,30638
	x<Xi	1,27571	0,430332	0,463860	0,927720
Xrw\		1,27571	0,430332	0,463860	0,927720
Xrwi		0	2	1	2
Таблица 2 7.6
Газодинамические величины в эталонном решении в зависимости от координаты
в задаче 2.7.3 на t = 0,2 (и - номер точки)
n	X	и	P	P	e
1	0,005	0	2	1	2
—	—	—	—	—	—
10	0,095	0	2	1	2
11	0,105	0,016667	1,966874	0,991684	1,983368
12	0,115	0,05	1.001859	0,975156	1,950313
13	Г 0,125	0,083333	1,838470	0,958767	1,917535
14	0,135	0,116667	1,776678	0,942517	1,885035
15	0,145	0,15	1,716457	0,926406	1,852813
16	0,155	0,183333	1,657780	0,910434	1,820868
17	0,165	0,216667	1,600621	0,894601	1,789201
18	0,175	0,25	1,544952	0,878906	1,757813
19	0,185	0,283333	1,490749	0,863351	1,726701
20	0,195	0,316667	1,437984	0,847934	1,695868
21	0,205	0,35	1,386633	0,832656	1,665313
22	0,215	0,383333	1,336669	0,817517	1,635035
23	0,225	0,416667	1,288068	0,802517	1,605035
24	0,235	0,45	1,240805	0,787656	1,575313
25	0,245	0,483333	1,194854	0,772934	1,545868
26	0,255	0,516667	1,150192	0,758351	1,516701
27	0,265	0,55	1,106793	0,743906	1,487813
28	0,275	0,583333	1,064634	0,729601	1,459201
29	0,285	0,616667	1,023692	0,715434	1,430868
74
Окончание табл. 2.7.6
п	X	и	р	р	е
30	0,295	0,65	0,983941	0,701406	1,402813
31	0,305	0,683333	0,945360	0,687517	1,375035
32	0,315	0,716667	0,907925	0,673767	1,347535
33	0,325	0,75	0,871613	0,660156	1,320313
34	0,335	0,783333	0,836400	0,646684	1,293368
35	0,345	0,816667	0,802266	0,633351	1,266701
36	0,355	0,85	0,769188	0,620156	1,240313
37	0,365	0,883333	0,737143	0,607101	1,214201
38	0,375	0,916667	0,706109	0,594184	1,188368
39	0,385	0,95	0,676066	0,581406	1,162813
40	0,395	0,983333	0,646993	0,568767	1,137535
41	0,405	1,016667	0,618867	0,556267	1,112535
42	0,415	1,05	0,591668	0,543906	1,087813
43	0,425	1,083333	0,565376	0,531684	1,063368
44	0,435	1,116667	0,539970	0,519601	1,039201
45	0,445	1,15	0,515430	0,507656	1,015313
46	0,455	1,183333	0,491736	0,495851	0,991701
47	0,465	1,216667	0,468868	0,484184	0,968368
48	0,475	1,25	0,446808	0,472656	0,945312
49	0,485	1,275710	0,430332	0,463860	0,927720
—	—	—	—	—	—
76	0,755	1,275710	0,430332	0,463860	0,927720
77	0,765	1,275710	0,430332	0,325380	3,306384
—	___	—	—	—	—
91	0,905	1,275710	0,430332	0,325380	3,306384
92	0,915	0	0,1	0,125	2
—	—	—	—	—	—
100	0,995	0	0,1	0,125	2
Дополнительная информация. Моделирование данной задачи проводилось
по многим кодам. Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА приводятся
в разделе 2.10.14.
2.7.4. Задача с двумя ударными волнами
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделирова-
ния ударноволновых течений с распадами разрыва на КГ.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача описана в работе [32] и ставится
следующим образом. В области -0,37 <х < 1 имеются два идеальных газа, по од-
ному из которых (-0,37 <х < 0,1) распространяется стационарная ударная волна.
Начальные данные задачи:
75
(1,35; 2,76; 4,60; 4,45; 1,48), if
(y,p,e,p,u^ - < (1,35; 1,0; 2,86; 1,0; 0,0),
(5,0; 1,9; 0,132; 1,0; 0,0),
-0,37 <x< 0,1,
0,1 <*<0,5,
0,5<*<l.
УРС веществ p = (у - l)pe. Левая граница области движется направо с посто-
янной скоростью и = 1,48 (в лагранжевой постановке это скорость границы;
в эйлеровой постановке на левой границе задается поток имнульса, массы и
энергии в соответствии с данными параметрами УВ). Правая граница - жесткая
стенка.
Контрольный момент времени t = 0,25.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат;
•	временные зависимости плотности, скорости, давления и внутренней энер-
гии в определенных точках;
•	полная энергия, кинетическая энергия и внутренняя энергия как функция
от времени;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Особенности течения. Заданная в начальный момент времени УВ достигает
КГ. В результате распада разрыва образуются две У В, распространяющиеся
направо и налево от КГ. При этом КГ между газами движется направо. Возника-
ющее движение содержит четыре области, как показано на рис. 2.7.5:
1	3	2	0
।---------------1---------1---------1---------1|
0	Xswi Xi X$wr	1
Рис. 2.7.5. Геометрия задачи на t = 0,25
•	область 0 (Xswr <*<!) -газ 0с параметрами (ро, ро, ео, ио); Xswr - положе-
ние фронта УВ;
•	область 2 (Х/<х<Xgaf) - газ 0, поджатый УВ, с параметрами рг, р2, ег, uz;
Х[ - положение КГ;
•	область 3 (Xswi < х < Xi) - газ 1 за фронтом УВ, отраженной от КГ и идущей
налево, с параметрами рз, рз, ез, из; Xswi - положение фронта УВ; при этом
рз =Р2 и из = U2',
•	область 1 (0 <х <Xswi) - газ 1, охваченный начальной УВ, с параметрами
(рн, рн, еп, wn).
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений Эйлера
[32]. Получение эталонного решения распадается на два этапа. Вначале находит-
ся время /1, за которое начальная УВ достигнет КГ. Давление за фронтом /?и
76
и скорость распространения Д t начальной УВ в области 1 определяются из си-
стемы уравнений (2.7.3):
А1 =РюА1ин
' D = ItYi+^ii+CYi-VPio •	<2-7-3)
V 2Рю
А1 = 2,32072; pi i = 4,43466; Р1 j = р10 -Y1-1)/?11 + (Y1 ~1)Ло = 2,76040.
1O(Yi-l)Ai+(Yi+l)Ao
Тогда A = X'0~XSW0 =0Д72361,
А1
где Хю и Луил - начальные координаты КГ и фронта УВ соответственно.
В задаче г/2 = из, рг - рз, значения иг, из, рг, рз определяются из системы
уравнений (2.7.4):
'и2 _	^(Рг-Ро)
2 PofCYo-'M+CYo + Oft]
I---------------------•	(2-7.4)
и =и -	2^з~А1)
3 И V Рн [<71 -1)А1 + (Yi + 1)/’з]
Другие параметры течения:
(Yq-1)/’o+(Yo+1)a
Р2 P°(Yo+1)7’o+(Yo-1)/’2 ’
(Yo ~1)ai +(Yq +1)/’з
3	11(Yo+1)ai+(Yo-1)7’3 ’
Xswr ~ Xj (j = 0) + Dr (t - tx).
Xsivi = XI(t = 0) + (Dl -пп)(/-^),
2Q = Xj (f = 0) + u^t-ty),
где Dr и Di - скорости распространения УВ, двигающихся направо и налево со-
ответственно.
Эталонное решение на t = 0,25 имеет вид, показанный на рис. 2.7.6,
а в табл. 2.7.7 и 2.7.8 представлены характерные для данной задачи величины.
77
8т
6
4-
2
О -
О 0,2	0,4	0,6	0,8	1
2i----------------------------------------
1,6
1,2
0,8-
0,4-
o-l-------.-------<--------,--------------
О 0,2	0,4	0,6	0,8	1
X
Рис. 2.7.6. Эталонное решение для задачи 2.7.4 на t = 0,25 (профили плотности, энергии,
давления и массовой скорости)
Таблица 2.7.7
Координаты границ областей движения и характерные скорости на t = 0,25
Xsm	Xsm	Xj	Dr	Di	UJ = 113
0,774071	0,472660	0,572063	3,53004	1,83214	0,928187
Таблица 2.7.8
Газодинамические величины на t = 0,25
		u	P	P	e
Xswr	x > Xswr	0	1	1,9	0,131579
	X < XsWr	0,928187	7,22542	2,57781	0,700734
Xj	x>Xj	0,928187	7,22542	2,57781	0,700734
	x<Xj	0,928187	7,22542	3,95012	5,22619
Xsm	x > Xsm	0,928187	7,22542	3,95012	5,22619
	x < Xsm	1,48	4,43466	2,76040	4,59008
78
Дополнительная информация. Моделирование данной задачи проводилось
по многим кодам. Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА приводятся
в разделе 2.10.15.
2.7.5.	Прохождение у данной волны через границу вода - воздух
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений с распадами разрыва на контактных границах
при больших соотношениях плотностей веществ и разных УРС.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача рассмотрена в работах [33]
и [34]. Начальные данные этой задачи следующие:
(у,рда,р,е,^,и) =
(4,4; 6-Ю8; 103; 1,07-106; 109; 0),
(1,4; 0;	50; 5-Ю4;	106; 0),
if
if
0<х<0,7,
0,7 < х <1.
УРС воздуха - идеальный газ (2.1), УРС воды
Г = (7-1)ре-УРоо>
для которого квадрат скорости звука вычисляется по формуле:
2	, aJ (р + Ао) /
с =у(у-1) е-----= у--------'-/р.
I Р ) Р /
Контрольный момент времени t = 2,2 • 10-4.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат;
•	временные зависимости плотности, скорости, давления и внутренней энер-
гии в определенных точках;
•	полная энергия, кинетическая энергия и внутренняя энергия как функция
от времени;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Особенности течения. Данная задача по постановке и течению на t > 0 каче-
ственно совпадает с модифицированной задачей Сода. В результате распада раз-
рыва направо движется УВ, а налеьс волна разрежения. При этом КГ между по-
добластями движется направо. Положение областей различных течений такое же,
как в задаче Сода, и соответствует изображенному на рис. 2.7.2.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений Эйлера
[35]. Эталонное решение на t = 2,2-ПГ4 имеет вид, показанный на рис. 2.7.7, а в
табл. 2.7.9 и 2.7.10 приведены характерные параметры течения на / = 2,210^.
В табл. 2.7.11 приведены газодинамические величины в узлах сетки из 100 ячеек.
79
Рис. l.'l.'l. Эталонное решение для задачи о прохождении ударной волны через границу
вода-воздух на момен'г времени t = 2,32558-10-4 (профили плотности, энергии, давления
и массовой скорости)
Таблица 2.7.9
Координаты границ областей движения и характерные скорости на t = 2,2-10-4
X$W	Xrwi	Xrwi	Xi	D	Cl	«2
0,836981	0,402222	0,116274	0,805907	622,642	2653,30	481,393
Таблица 2.7 10
Газодинамические величины на t = 2,2-10^
		u	P£xl0+6)	P	e
Xsw	X >Xsw	0	1,00	50	50000
	x <Xsw	481,393	15,9868	220,407	181333
Xi	x>Xf	481,393	15,9868	220,407	181333
	x<Xi	481,393	15,9868	804.979	970426
Xrwi		481,393	15,9868	804,979	970426
Xrw2		0	1000	1000	1070588
80
Таблица 2.7.11
Газодинамические величины в эталонном решении в зависимости
от координаты в задаче 2.7.5 на t = 2,2• 10-4 (п - номер точки)
п	X	и	р	р(х1О’8)	е
1	0,005	0	1000	10,0	1070588
—	—	—	—	—	—
12	0,115	0	1000	10,0	1070588
13	0,125	14,6902	994,453	9,61313	1065118
14	0,135	31,5252	988,069	9,17691	1059015
15	0,145	48,3602	981,656	8,74824	1053090
16	0,155	65,1952	975,213	8,32708	1047345
17	0,165	82,0302	968,741	7,91339	1041783
18	0,175	98,8653	962,238	7,5071 1	1036405
19	0,185	115,700	955,704	7,10820	1031214
20	0,195	132,535	949,139	6,71659	1026212
21	0,205	149,370	942,542	6,33225	1021401
22	0,215	166,205	935,912	5,95513	1016785
23	0,225	183,040	929,249	5,58516	1012365
24	0,235	199,875	922,553	5,22231	1008146
25	0,245	216,710	915,823	4,86651	1004128
26	0,255	233,545	909,057	4,51773	1000316
27	0,265	250,380	902,257	4,17589	996713
28	0,275	267,215	895,420	3,84097	993322
29	0,285	284,050	888,546	3,51289	990146
30	0,295	300,885	881,636	3,19162	987190
31	0,305	317,720	874,687	2,87709	984457
32	0,315	334,555	867,699	2,56926	981950
33	0,325	351,391	860,671	2,26806	979675
34	0,335	368,226	853,603	1,97345	977636
35	0,345	385,061	846,494	1,68538	975837
36	0,355	401,896	839,343	1,40378	974284
37	0,365	418,731	832,149	1,12860	972981
38	0,375	435,566	824,911	0,859791	971934
39	0,385	452,401	817,628	0,597294	971148
40	0,395	469,236	810,300	0,341055	970630
41	0,405	481,393	804,979	0,159868	970426
—	—	—	—	—	—
81	0,805	481,393	804,979	0,159868	970426
82	0,815	481,393	220,407	0,159868	181333
—	—	—	—	—	—
84	0,835	481,393	220,407	0,159868	181333
85	0,845	0	50	0,0100	50000
—	—	—	—	—	—
100	0,995	0	50	0,0100	50000
81
Дополнительная информация. Моделирование данной задачи проводилось
по многим кодам. Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА приводятся
в разделе 2.10.16.
2.7.6.	Прохождение УВ через контактную границу двух веществ
(из легкого в тяжелое)
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений при прохождении У В из легкого вещества в тя-
желое вещество при больших соотношениях плотностей веществ с различающи-
мися УРС.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача содержит два вещества, началь-
ная геометрия системы (-1,4 <х< 1). В области 1 (-1,4 <т<0,4) находится иде-
альный газ с параметрами =0,125; ef =0; У] = 2; и = 0. В области 2
(0,4<т<1) содержится вещество с параметрами Р2=7,82; е?=0; и = 0. УРС
первого вещества - идеальный газ. УРС второго вещества задается в форме
Ми - Грюнайзена (2.3) с параметрами:
со=4,9; л = 3; у = 4,54777; р^=7,82.
На левой границе области задается граничное условие и = 2,309.
Контрольный момент времени t = 0,606323.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат;
•	временные зависимости плотности, скорости, давления и внутренней энер-
гии в определенных точках;
•	полная энергия, кинетическая энергия и внутренняя энергия как функция
от времени;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Особенности течения. Данная задача по постановке (кроме УРС в веще-
стве 2) и течению на t > 0 качественно совпадает с задачей 2.7.4. На первом этапе
образующаяся в веществе 1 УВ достигает КГ на t = t\ =0,519706. После этого
в результате распада разрыва образуются две УВ, движущиеся направо и налево.
При этом КГ между подобластями движется направо. Возникающее движение
содержит четыре области (рис. 2.7.2).
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений Эйлера
(получено Е. А. Гончаровым). Эталонное решение на контрольный момент вре-
мени / = 0,606323 имеет вид, показанный на рис. 2.7.8, а в табл. 2.7.12 и 2.7.13
приведены характерные параметры течения на t = 0,606323.
82
Рис. 2.7.8. Эталонное решение для задачи 2.7.6 на t = 0,606323
(профили плотности, энергии, давления и массовой скорости)
Таблица 2.7.12
Координаты границ областей движения и характерные скорости на t = 0,606323
XsWr	Xsm	Xi	Dr	Di	U2 = из
0,834933	0,212298	0,410314	5,02130	4,47602	0,119070
Таблица 2.7.13
Газодинамические величины на t = 0,606323
		и	P	P	e
Xswr	x > Xsm-	0	0	7,82	0
	x < Xsm	0,119070	4,67546	8,00994	0,00708880
Xi	x>Xi	0,119070	4,67546	8,00994	0,00708880
	X < X/	0,119070	4,67546	0,734227	6,36787
Xsm	x > Xsm	0,119070	4,67546	0,734227	6,36787
	x < Xsm	2,309	0,999653	0,375	2,66574
Дополнительная информаг!ия. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.17.
83
2.7.7.	Прохождение УВ через контактную гранииу двух веществ
(из тяжелого в легкое)
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений при прохождении УВ из тяжелого вещества в
легкое при больших соотношениях плотностей веществ с различающимися УРС.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача содержит два вещества, начальная
геометрия системы (-0,11 <х< 1). В области 1 (0,7 <х< 1) находится идеальный
газ с параметрами =0,125; е}3 = 0; У] = 2. В области 2 (-0,11 <х<0,7) содер-
жится вещество с параметрами рэ = 7,82; е% = 0 и уравнением состояния в форме
Ми - Грюнайзена (2.3) с параметрами: с° = 4,9; н = 3; у = 4,54777; р0=7,82.
На левой границе области задается граничное условие и = 0,473.
Контрольный момент времени t = 0,232558.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат;
•	временные зависимости плотности, скорости, давления и внутренней энер-
гии в определенных точках;
•	полная энергия, кинетическая энергия и внутренняя энергия как функция
от времени;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Особенности течения. Данная задача по постановке (кроме УРС в веще-
стве 1) и течению на t > 0 качественно совпадает с задачей 2.7.2. На первом этапе
образующаяся в веществе 1 УВ достигает КГ на t = t\ =0,149714. После этого
в результате распада разрыва направо движется УВ, а налево - волна разреже-
ния. При этом КГ между подобластями движется направо. Возникающее течение
содержит 5 областей (рис. 2.7.3).
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное Е. А. Гончаровым как точное решение одномерных
уравнений Эйлера.
Процедура получения характерных величин в данной задаче на контрольный
момент времени аналогична процедуре, примененной в задаче 2.7.2. Отметим
только, что из-за того, что вещество 1 не является идеальным газом, при получе-
нии профиля термодинамических величин в волне разрежения, которая идет по
веществу 1, использовались свойства простой волны (адиабатическая волна раз-
режения является простой волной). А именно: и = |(с/р)dp и x/t-u + c.
В табл. 2.7.14 и 2.7.15 приведены характерные параметры течения на
t = 0,2325583. В табл. 2.7.16 приведены газодинамические величины в узлах сет-
ки из 100 ячеек.
84
Таблица 2.7.14
Координаты границ областей движения и характерные скорости на t = 0,232558
Xsw	Xrw\	Xrw2	Xi	D	Cl	W2
0,817222	0,371401	0,293350	0,778148	1,41496	5,38159	0,943305
Таблица 2.7.15
Газодинамические величины на t= 0,232558
		u	P	P	e
Xsw	X	0	0	0,125	0
	x <Xsw	0,943305	0,166842	0,375	0,444912
Xi	x>Xj	0,943305	0,166842	0,375	0.444912
	x<Xi	0,943305	0,166842	7,82018	0,005860
Xrwi		0,943305	0,166842	7,82018	0,005860
XRW2		0,473	20,0121	8,56916	0,111865
Таблица 2.7.16
Газодинамические величины в эталонном решении в зависимости
от координаты на t = 0,232558 (п - номер точки)
n	X	u	p	p	e
1	0,005	0,473	20,0121	8,56916	0,111865
—	—	—	—	___	___
29	0,285	0,473	20,0121	8,56916	0,111865
30	0,295	0,482942	19,5544	8,55333	0,107592
31	0,305	0,543192	16,8172	8,45739	0,083486
32	0,315	0,603444	14,1414	8,36145	0,062498
33	0,325	0,663697	11,5264	8,26549	0,044694
34	0,335	0,723953	8,97139	8,16953	0,030144
35	0,345	0,784210	6,47573	8,07357	0,018921
36	0,355	0,844468	4,03873	7,97760	0,011101
37	0,365	0,904729	1,65968	7,88162	0,006 767
38	0,375	0,943305	0,166842	7,82018	0,0058605
—	—	—	—	—	—
78	0,775	0,943305	0,166842	7,82018	0,0058605
79	0,785	0,943305	0,166842	0,375	0,444912
—	—	—	—	—	—
82	0,815	0,943305	0,166842	0,375	0,444912
83	0,825	0	0	0,125	0
—	—	—	—	—	—
100	0,995	0	0	0,125	0
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.18.
85
2.7.8.	Задача Blast Waves
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания ударноволновых течений с многократными распадами разрыва на контакт-
ных границах.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках
Постановка задачи. Эта 1D плоская задача предложена в работе [7] и ста-
вится следующим образом. В области 0<х< 1 имеются три идеальных газа
в неравновесном (по давлению) состоянии. Начальные данные задачи:
	(1,4; 1,0; 2500; 1000; 0),	if	0<х<0,1,
(y,p,e,/?,w) = •	(1,4; 1,0; 0,025; 0,01; 0),	if	0,1 < x < 0,9
	(1,4; 1,0; 250;	100; 0),	if	0,9<x<l.
УРС веществ р = (у - 1 )ре.
На границах области задаются условия жесткой стенки.
Контрольный момент времени t = 0,038.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	профили плотности в зависимости от координат;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Эталонное решение. Точное решение задачи неизвестно, поэтому в качестве
эталонного можно использовать решение задачи на мелкой сетке. В работе [9]
представлено решение задачи на 20000 ячейках в лагранжевой постановке, про-
филь плотности из этого решения представлен на рис. 2.7.9, в табл. 2.7.17 приво-
дятся значения плотности из этого решения, пересчитанные на равномерную сет-
ку из 400 ячеек (Л = 0,0025).
X
Рис. 2.7.9. Профиль плотности в задаче Blast Waves из эталонного решения
86
Таблица 2.7.17
Значения плотности в задаче 2.7.8 на сетке из 400 ячеек
(последовательность ячеек - по столбцам)
1	0,145394	0,154775	0,165273	0,176396	0,183342	2,12143	3,26773	0,308731	351
2	0,145381	0,154980	0.165489	0,176626	0,183451	2,13467	3,30074	0,308731	352
3	0,145549	0,155185	0,165705	0,176856	0,183559	2,14795	3,33351	0,308731	353
4	0,146008	0,155390	0,165922	0,177086	0,183668	2,16131	3,36639	0,308731	354
5	0,146179	0,155595	0,166138	0,177316	0,183777	2,17473	3,39918	0,308731	355
6	0,146349	0,155800	0,166355	0,177547	0,183886	2,18820	3,65029	0,308731	356
7	0,146519	0,156006	0,166573	0,177778	0,183995	2,20175	6,34599	0,308731	357
8	0,146690	0,156212	0,166790	0,178010	0,184105	2,21534	6,37240	0,308731	358
9	0,146860	0,1564 18	0,167007	0,178242	0,184214	2,81763	6,39738	0,308731	359
10	0,147031	0,156624	0,167226	0,178474	0,184324	5,29068	6,42059	0,308731	360
11	0,147203	0,156831	0,167444	0,178706	0,184434	5,26705	6,44208	0.308731	361
12	0,147375	0,157037	0,167662	0,178938	0,184544	5,21551	6,46273	0,308731	362
13	0,147547	0,157244	0,167881	0,179175	0,184654	5,16273	6,41599	0,308731	363
14	0,147719	0,157452	0,168100	0,179416	0,184764	5,11033	6,30872	0,308731	364
15	0,147892	0,157659	0,168320	0,179537	0184875	5,05832	6.19632	0,308731	365
16	0,148065	0,157866	0,168539	0,179638	0,184985	5,00667	6,07944	0,308731	366
17	0,148238	0,158074	0,168759	0,179742	0,185096	4,95542	5,95686	0,308731	367
18	0,148412	0,158282	0,168979	0,179845	0,185207	4,90507	5,80169	0,308731	368
19	0,148586	0,158490	0,169199	0,179949	0,185318	4,82335	5,63360	0,308731	369
20	0,148760	0,158699	0,169420	0,180053	0,185429	4,71007	2,07582	0,308731	370
21	0,148935	0,158907	0,169640	0,180157	0,185541	4,59870	0,862517	0,308731	371
22	0,149109	0,159116	0,169862	0,180261	0,185652	4,48970	0 860121	0,308731	372
23	0,149285	0,159325	0,170083	0,180365	0,185764	4,39041	0,857575	0,308731	373
24	0,149459	0,159534	0.170305	0,180470	0,185876	4,35723	0,854869	0,308731	374
25	0,149636	0,159744	0,170527	0,180574	0,185988	4,33783	0,852008	0,308731	375
26	0,149811	0,159954	0,170749	0,180679	0,186100	4,31569	0,849477	0,308731	376
27	0,149988	0,160164	0,170972	0,180783	0,186212	4,29241	0,849296	0,308731	377
28	0,150162	0,160374	0,171194	0,180888	0,186325	4,26514	0,849469	0 308731	378
29	0,150329	0,160584	0,171418	0,180993	0,186437	4,23416	0,849611	0,308731	379
30	0,150522	0,160795	0,171641	0,181099	0,186550	4,19960	0,849725	0.308731	380
31	0,150724	0.161006	0,171865	0,181204	0,186663	4,16160	0,849809	0,308731	381
32	0,150924	0,161217	0,172088	0,181310	0,186776	4,12030	0,849863	0,308731	382
ГП гП	0,151126	0,161428	0,172313	0,181415	0,186890	4,07585	0,849899	0,308731	383
34	0,151326	0 161640	0,172537	0,181521	0,187004	4,02841	0,849916	0,308731	384
35	0,151528	0,161851	0,172761	0,181627	0,187119	3,97832	0,852476	0,308731	385
36	0,151729	0,162063	0,172987	0,181733	0,187237	3,92519	0,859704	0,308731	386
37	0,151931	0,162276	0,173212	0,181839	0,187365	3,86975	0,864847	0,308731	387
87
Окончание табл. 2.7.17
38	0,152133	0,162488	0,173437	0,181946	0,964205	3,81197	0,870031	0,308731	388
39	0,152335	0,162701	0,173664	0,182052	1,96750	3,75204	0,875261	0,308731	389
40	0,152538	0,162914	0,173890	0,182159	1,97991	3,69007	0,880536	0,308731	390
41	0,152740	0,163127	0,174116	0,182266	1,99246	3,62423	0,885859	0,308731	391
42	0,152942	0,163341	0,174343	0,182373	2,00508	3,55627	0,891231	0,308731	392
43	0,153146	0,163554	0,174570	0,182480	2,01777	3,48686	0,897752	0,308731	393
44	0,153349	0,163768	0,174797	0,182587	2,03051	3,41616	0.904904	0,308731	394
45	0,153552	0,163983	0,175024	0,182695	2,04331	3,34561	0,911972	0,308731	395
46	0,153756	0,164197	0,175253	0,182802	2,05618	3,27060	0,918776	0,308731	396
47	0.153959	0,164412	0,175481	0,182910	2.06911	3,22556	0,455205	0,308731	397
48	0,154163	0,164627	0,175709	0,183018	2,08209	3,18489	0,308731	0,308731	398
49	0,154367	0,164842	0,175938	0,183126	2,09515	3,19322	0,308731	0,308731	399
50	0,154571	0,165058	0,176167	0,183234	2,10826	3,23377	0,308731	0,308731	400
Дополнительная информация. Моделирование данной задачи проводилось
по многим кодам. Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА приводятся
в разделе 2.10.19.
2 7.9. Задача о тройной точке
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания неустойчивых вихревых течений.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранжево-
эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Эта 2D плоская задача предложена в работе [36] и ста-
вится следующим образом. Рассматривается прямоугольная область с размерами
0 < х < 7, 0 < у < 3 . Вся область разбита на три подобласти, в каждой из которых
находится идеальный газ со следующими параметрами (рис. 2.7.10):
•	область 0 (0 < х < 1, 0 < у < 3) р0 = 1; е0=2; р[)=\', у0=1,5;
•	область 1 (1<х<7, 0<у <1,5) р1 = 1;е{ = 0,25; р< = 0,1;у1 = 1,4;
•	область 2 (1 <х < 7, 1,5<_р<3) р2 =0,125; е2 = 1,6; /?2=0,1; у2 =1,5.
0 0,5 1 1,5 2 2.5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
Рис. 2.7.10. Постановка задачи о тройной точке
88
На начальный момент все вещества находятся в состоянии покоя. На грани-
цах области заданы граничные условия - жесткие стенки.
Контрольный момент времени t = 5,0.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	поле пространственного распределения веществ;
•	определение порядка сходимости средней плотности к эталонному реше-
нию.
Особенности течения. В данной задаче после распадов разрыва происходит
сложное двумерное вихревое движение.
Эталонное решение. Задача не имеет ни точного, ни численного решения,
которое можно было бы принять за эталонное, поэтому в качестве эталонного
можно использовать численное решение задачи по данному коду на мелкой сетке.
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.20.
2.7.10. Прохождение ударной волны через пузырь гелия
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания течений с большими деформациями.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранжево-
эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Постановка задачи и способы обработки результатов
взяты из работы [36]. Рассматривается прямоугольная область с размерами
0<х<0,65; -0,089 < у < 0,089. Область заполнена воздухом. В воздух помещен
пузырь гелия с центром в точке (хс;ус.) = (0,32;0) и радиусом 3?-0,025
(рис. 2.7.11).
О 0,05 0,1	0,15 0.2 0,25 0.0 0,05	0,4 0.45 0,5 0,55 0.0
Рис. 2.7.11 Постановка задачи о прохождении УВ через пузырь гелия
Начальные параметры газов в равновесном состоянии покоя:
•	воздух: р0 = 1; ео=2,54О5; рп=105; у0=1’41
•	гелий: р! =0,182; ех = 8,47918 105; fl=105; 71 =1,648.
Газы описываются УРС идеального газа.
На всех границах области, кроме правой, заданы граничные условия - жест-
кие стенки. На правой границе задано условие втекания вещества с параметрами
89
р1р =1,3764; eip = 2-85135  105; и^ = -124,82414 (параметры для расчетов на
неподвижной счетной сетке), что равнозначно заданию скорости на границе
=-124,82414 (для расчетов в лагранжевых переменных). Справа налево идет
УВ, скорость движения волны D = -456,482.
Контрольный момент времени t = 1,342-1 (Г3.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	поле пространственного распределения веществ;
•	порядок сходимости средней плотности гелия к эталонному решению.
Особенности течения. В данной задаче после прохождения УВ через гелий
происходит сложное двумерное движение с большими деформациями КГ.
Эталонное решение. Задача не имеет ни точного, ни численного решения,
которое можно было бы принять за эталонное, поэтому в качестве эталонного
можно использовать численное решение задгчи по тестируемому коду на мелкой
сетке.
Дополнительная информация. Моделирование данной задачи проводилось
по многим кодам. Результаты моделирования задачи по коду ЭГИДА приводятся
в разделе 2.10.21.
2.8.	Аппроксимационная вязкость и галилеевская инвариантность
2.8.1.	Первая задача Стокса
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения исследова-
ния аппроксимационной вязкости разностной схемы и сохранения плоской сим-
метрии течения.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранжево-
эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Рассматривается 2D задача о размазывании тангенци-
ального скачка скорости от времени двух плоскопараллельных потоков (первая
задача Стокса (см. [37]) несжимаемой вязкой жидкости. Геометрия системы
плоская и имеет вид, нарисованный на рис. 2.8.1 (АВ = 1, АМ= 3, MD = 3). Пара-
метры веществ: pi = рг = 1; 71 = 72 = 5/3; Р\ = Р1 = 0,6; их- 0; иу = ±w, w = 0,5; ди-
намический коэффициент вязкости т| = 0,005.
Рис. 2.8.1. Начальная геометрия задачи Стокса в 2D постановке
90
На границах ВС и AD задается условие периодичности, остальные две гра-
ницы - жесткие стенки.
Контрольный момент времени t = 20.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	поле пространственного распределения скорости;
•	порядок сходимости профиля тангенциальной компоненты скорости к эта-
лонному решению.
Особенности течения В данной задаче при наличии в расчетах молекуляр-
ной вязкости и (или) аппроксимационной вязкости разностной схемы происходит
размазывание скачка скорости. В случае невязкого газа или при нулевой аппрок-
симационной вязкости размазывания скорости не происходит. Поэтому задача
может быть использована для оценок аппроксимационной вязкости схемы.
Эталонное решение. Для задачи имеется аналитическое решение для зави-
симости зоны размазывания скачка скорости от времени, которая выражается
формулой Шлихтинга [37]
Д»8ТтД.	(2.8.1)
На рис. 2.8.2 приводится аналитическое решение для вязкости т| = 0,005.
Рис. 2.8.2. Аналитическая зависимость ширины зоны А от времени
для коэффициента вязкости q = 0,005
Примечание. В работе [37] используется коэффициент кинематической вяз-
кости, однако в данной задаче тотность равна единице.
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.22, более полные данные по результатам мо-
делирования - в работе [38].
2.9.	Граничные условия
Большинство реализованных в кодах граничных условий аппроксимируются
естественным образом и не нуждаются в специальном тестировании. Ниже при-
91
водятся задачи для тестирования лишь двух условий, которые требуют разработ-
ки специальных алгоритмов при реализации.
2.9.1.	Заоание давления на лагранжевой границе в смешанных ячейках
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения задания
давления на лагранжевой границе в эйлеровых расчетах. Дополнительная цель -
тестирование методов замыкания уравнений газодинамики в смешанных ячейках
с веществом с заданным давлением.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранже-
вой, лагранжево-эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Рассматривается 1D задача о прохождении по веществу
УВ, задаваемой постоянным давлении на лагранжевой границе. Граница движет-
ся по сетке, на которой она не совпадает с линией сетки. В области 0<х<5,
0<у<0,3 находится фиктивное вещество, в котором задаются параметры за
фронтом У В с pQ = 2 . В области 5 < х < 50, 0 <у < 0,3 задается вещество 1 - иде-
альный газ с параметрами р( = 1, рх = 0, е1 = 0, у = 3, иХх = 0 . Расчет проводится на
неподвижной или произвольно движущейся сетке.
Контрольный момент времени t = 20.
Особенности течения. В задаче по веществу 1 распространяется УВ.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	плотности, давления и внутренние энергии компонентов в смешанной
ячейке с фиктивным веществом;
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений газодина-
мики в форме Эйлера. Точные значения величин за фронтом УВ, распространя-
ющейся со скоростью D = 4: pj = 2, рх = 8, ех = 2, »1г = 2.
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.23.
2.9.2.	Неотражающее граничное условие
Цель тестирования. Задача представляет интерес с точки зрения моделиро-
вания выхода акустической волны на внешнюю границу области интегрирова-
ния.
Тестируемые коды. Данная задача может быть смоделирована в лагранжево-
эйлеровой и эйлеровой постановках.
Постановка задачи. Рассматривается 1D задача о прохождении плоской си-
нусоидальной акустической волны при ее выходе на границу расчетной области.
Формулировка задачи приведена в работе [39]. В 1D задаче направление распро-
92
странения волны совпадает с одним семейством линий ортогональной сетки,
а в 2D задаче акустическая волна движется под углом к сетке.
Геометрия задачи - плоская прямоугольная область 0<x<Lx, 0<y<Ly.
Сетка: равномерная прямоугольная, число ячеек равно Nx х Ny. Уравнение состо-
яния: р = (у - 1 )ре, у = const.
Начальные условия задачи:
L/Ocoscp
и(х,у)=—---------В;
,	. Un sin ср
v(x,y) = 2 В-
 p(Xz> = Ро[1 + р°с5° £ У;
у-1
е(х,у) = е0 1 + Р°с^° в У ;
Ч 2Р0 J
р(х,у)^Р(> + РоС^0 В;
если 0 < А < X,
и -v = Q, р = р0, е = е0, р = Р$ в противном случае.
Здесь А = (Х/со5ф-х)созф + ^£>,-j^sincp; В -1 -cos(2n Л/Х).
Угол ф определяет направление движения волны, X - длина волны. Полага-
ем, Lx-Ly = 1; Nx = Ny=\ 00. Используются следующие длины волны: X = 0,2 и
X = 0,1. Величина С7о определяет амплитуду массовой скорости в звуковой волне.
Используются следующие варианты: L7o = 0,01со и О,О5со, где со - скорость звука.
Начальные параметры газа: у = 1,4; е0 = 1; р0 = 1; Ро - 0,4; с0 = у/0,56.
После выхода возмущения из области по теории должны получиться следу-
ющие результаты: и(х, у) = v(x,у) = 0; р(х,у) = 1. е(х. у) = 1.
Особенности течения. В задаче по области распространяется слабая звуко-
вая волна, выходит на границу области и проходит через нее без искажения те-
чения в области.
Выдаваемые величины. Представляющие интерес величины включают в себя
следующие данные:
•	плотности, давления и внутренние энергии;
•	профили плотности, скорости, давления и внутренней энергии в зависимо-
сти от координат;
•	определение порядка сходимости к эталонному решению.
Эталонное решение. В качестве эталонного используется аналитическое ре-
шение задачи, полученное как точное решение одномерных уравнений газолина-
93
мики в форме Эйлера. Точные значения величин за фронтом УВ, распространя-
ющейся со скоростью D = 4: Р| = 2, рх = 8, ех = 2, щх - 2.
Дополнительная информация. Результаты моделирования задачи по коду
ЭГИДА приводятся в разделе 2.10.24. Более полные расчетные данные содержат-
ся в работе [39].
2.10.	Примеры моделирования газодинамических задач
Отметим некоторые особенности приведенных ниже численных исследова-
ний по коду ЭГИДА. Во-первых, при определении эталонного решения, если не
оговорено специально, мы по умолчанию будем пользоваться более простым то-
чечным способом (см. в разделе 1.3). Во-вторых, в разных задачах применяются,
как правило, различные способы исследований точности, являющиеся наиболее
представительными для конкретной задачи. В-третьих, некоторые задачи не мо-
делировались по коду ЭГИДА из-за их специфических особенностей, например,
требования сохранения какой-либо границы лагранжевой линией, что затрудни-
тельно для этого кода.
2.10.1.	Движение прямоугольного скачка уплотнения
Постановка расчетов. Постановка задачи дана в разделе 2.2.1. Приведенные
ниже результаты получены в эйлеровых расчетах на равномерной сетке с числом
ячеек 100, 200, 400, что соответствует размерам ячеек h = 1; 0,5; 0,25.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.1 представлены профили плотности на
момент времени t= 50. В табл. 2.10.1 представлены значения относительной по-
грешности плотности в норме L\ для 3-х сеток и порядок сходимости.
Рис. 2.10.1. Профили плотности для трех сеток на t = 50
94
Таблица 2.10.1
Значения относительной погрешности плотности для трех сеток
и порядок сходимости о на момент времени t = 50
h = 1	Л = 0,5	h = 0,25	
Погрешность плотности в норме L\			О
0,079	0,045	0,026	0,8
2.10.2.	Движение крестообразной фигуры
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.2.2. Проведе-
но два расчета: один расчет на грубой сетке, показанной на рис. 2.10.2, второй -
с использованием подробной сетки в 4 раза меньшим линейным размером ячейки.
На рис. 2.10.3 представлены растровые картины на моменты времени, соот-
ветствующие повороту креста на 45, 90, 135, 180° для обоих расчетов.
Рис. 2.10.2. Счетная сетка на начальный момент времени
в	г
Рис. 2.10.3. Положение крестообразной фш уры на моменты времени, соответствующие
повороту на углы: а - 45°; б - 90°; в - 135°; г - 180° (на каждом рисунке слева - расчет
на основной сетке, справа - расчет на подробной сетке)
95
2.10.3.	Сферически-цилиндрическое безударное сжатие вещества
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.3.1. Расчет
задачи проводился на лагранжево-эйлеровой счетной сетке. Начальная сетка по-
казана на рис. 2.3.1, в процессе счета внешняя граница оставалась лагранжевой
линией, а внутри области сетка строилась равномерно по расстоянию. Результа-
ты расчета в виде профиля внутренней энергии в сечении у = 0 (по ячейкам, при-
мыкающим к оси симметрии) приведены на рис. 2.10.4. Видно, что нарушение
безударности сжатия происходит лишь в некоторой окрестности оси симметрии.
В табл. 2.10.2 приводится величина погрешности полной энергии (в этой задаче
она совпадает с самой энергией) в системе, а на рис. 2.10.5 приводится график
сходимости для величины внутренней энергии в зависимости от сетки.
Рис. 2.10.4. Сферически-цилиндрическое безударное сжатие вещества; t = 0,9;
профиль энергии вдоль линии у = 0 (на отрезке (0 < х < 1) е = 0)
Таблица 2.10.2
Погрешности и порядок сходимости
44x24	84x44	164x84	А	ст
0,024	0,0018	0,00011	0,024	3,88
Рис. 2.10.5. Зависимость погрешности внутренней энергии от сетки
96
2.10.4.	Цилиндрическая задача Ноха
Постановка этой 2D задачи дана в разделе 2.3.2. В цилиндрической области
с радиусом цилиндра R() = 50 содержится однородное вещество с р0 = 1, е0 =
Uq = -1 , УРС - идеальный газ (2.1) с у = 5/3 . На верхней границе задана ради-
альная скорость Л70 (Г) = — 1, на оси Ох - жесткая стенка. В данной работе задача
смоделирована в двух постановках: на подвижной сферической сетке и на непо-
движной квадратной сетке.
Подвижная сферическая сетка. В первой постановке внешняя граница обла-
сти являлась лагранжевой линией, а внутри области сетка с троилась равномерно
по расстоянию. На рис. 2.10.6 показаны результаты расчетов на сферической сет-
ке - 200 ячеек по радиусу (по углу 2° на ячейку). Результаты расчетов задачи
Ноха на сходимость представлены на рис. 2.10.7.
Рис. 2.10.6. Цилиндрическая задача Ноха на подвижной сферической сетке (200 ячеек,
профили величин на t = 5; / = 15; t = 30): а - плотности; б - давления
97
Рис. 2.10.7. Цилиндрическая задача Ноха на подвижной сферической сетке,
расчеты на сходимость, г = 30: а - профили плотности; б - профили давления
Неподвижная квадратная сетка. Геометрия задачи представляет собой
прямоугольник -55 <х <55, 0 <у <55, вне цилиндрической области задавался
вакуум с р = 0. Число ячеек в расчетах 220 х 110, 440x220. Результаты представ-
лены на рис. 2.10.8.
98
б
Рис. 2.10.8. Цилиндрическая задача Ноха на неподвижной прямоугольной счетной сетке;
t = 30: а - профили плотности; б - профили давления
2.10.5.	Сжатие газа сходящейся сферической оболочкой
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.3.3. Расчеты
данной задачи по коду ЭГИДА проводились в нескольких постановках [37]. Ни-
же приводятся результаты расчетов в эйлеровых переменных на неподвижной
квадратной сетке /Vo х М) (А’о = 120), 2Л’о х 2Лф и 4Л’о х 4/Vo.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.9 приводятся плотности во всех ячейках
сетки в зависимости от радиуса для расчета No на / = 0,35. Они дают наглядное
представление о хорошем сохранении сферической симметрии течения. На
рис. 2.10.10 приводится график зависимости максимальной средней плотности
газа от размеров ячейки. Отметим, максимальная плотность сходится несколько
к другому значению, нежели в эталонном решении, это следствие использования
неподвижных квадратных сеток.
99
Рис. 2.10.9. Плотности газа во всех ячейках в зависимости от радиуса
в расчете No, t = 0,35
No/N
Рис. 2.10.10. График зависимости максимальной средней плотности газа от сетки
2.10.6.	Точечный взрыв (задача Седова)
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.4.2. Расчеты
данной задачи по коду ЭГИДА проводились в эйлеровых переменных на непо-
движных квадратных сетках с числом ячеек А (А = 0,2), 2N (h = 0,1), 4N (h = 0,05).
Результаты расчетов. На рис. 2.10.11 приводятся плотности во всех ячей-
ках сетки в зависимости от радиуса для расчета А на / = 0,35. Они дают нагляд-
ное представление о сохранении сферической симметрии в расчете. На
рис. 2.10.12 приводятся графики зависимостей плотности и давления10 от радиуса
вдоль прямой х=у на момент времени t = 3. В табл. 2.10.3 приводятся величина
относительной погрешности и порядка сходимости для плотности и давления в
норме L\, а в табл. 2.10.4 приводятся величина «сферической» погрешности
(см. формулу 1.6.2) и порядка сходимости для плотности и давления в норме L\.
10 На этих рисунках аналитические решения не достигают максимальных значений
по причине того, что точные значения построены по значениям величин, приходящихся
на центр ячейки в расчете.
100
На рис. 2.10.13 приводятся зависимости норм относительной погрешности для
плотности и давления, а на рис. 2.10.14 - нормы «сферической» погрешности для
тех же величин
Рис. 2.10.11. Плотности всех ячеек в зависимости от радиуса на t = 3
------h = 0,05-------h = 0,1------h = 0,2 exact
6
Рис. 2.10.12. Распределение величин вдоль прямой х =у на t = 3:
а - плотность; б - давление
101
Таблица 2.10.3
Относительная погрешность в норме L\ плотности и давления
Т1	150	300	600	А	О
р	0,3827	0,12548	0,05513	3,456	1,398
р	0,3179	0,0971	0,03864	3,513	1,520
Таблица 2.10.4
Относительная «сферическая» погрешность
в норме L\ для плотности и давления
£1	150	300	600	А	0
Р	0,030	0,027	0,014	0,078	0,542
Р	0,017	0,014	0,007	0,057	0,683
Рис. 2.10.13. Зависимости норм относительных погрешностей
от размера сетки
Рис. 2.10.14. Зависимости норм относительных «сферических»
погрешностей от размера сетки
102
2.10.7.	Задача Зальцмана
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.4.4. Расчеты
задачи проводились на подвижной лагранжево-эйлеровой счетной сетке. Сетка
строилась следующим образом. В верхнем столбце области ячейки располага-
лись равномерно. В самом нижнем столбце (у = 0) использовался знаменатель
<7 = 0,992, то есть слева ячейки крупнее, а справа - мельче. В промежуточных
столбцах для построения сетки использовалось разбиение «прямолинейно через
точки разбиения границ». Такая счетная сетка поддерживается на протяжении
всего счета. Все расчеты проводились в осесимметричной постановке.
На рис. 2.10.15-2.10.18 приведены плотности и давления по всем ячейкам
области от координаты х на t = 0,7 и t = 0,925 соответственно.
Рис. 2.10.16. Давления для всех ячеек на t = 0,7
103
Рис. 2.10.17. Плотности для всех ячеек на t = 0,925
Рис. 2.10.18. Давления для всех ячеек t = 0,925
Интегральные результаты расчетов задачи представлены в табл. 2.10.5 в виде
относительной 1^ нормы погрешности плотности и дисбаланса полной энергии.
Таблица 2.10.5
Погрешности и дисбаланс полной энергии в расчете
Время	Относительная норма погрешности 8р^	Цисбаланс полной энергии, %
0,7	0,0395	0,24
0,925	0,0388	0,24
2.10.8.	Прохождение сильной УВ по смеси двух газов
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.5.1. Расчеты
задачи проведены по коду ЭГИДА в двухкомпонентном приближении в лагран-
жевых переменных с использованием смешанных ячеек, содержащих оба компо-
нента в пропорции Р = 0,5. В расчетах используются два компонента с указанны-
ми параметрами. Используемая сетка в начальный момент времени равномерная,
расчеты проведены на сетках 300, 600 ячеек.
104
Результаты расчетов. Эта задача отличается от предыдущих. Во-первых,
полным отсутствием чистых ячеек, что не позволяет иметь для нее расчет с чи-
стыми ячейками. Во-вторых, для нее могут быть получены лишь некоторые из
описанных выше зависимостей, которые и приводятся ниже. В частности, для этой
задачи практически не имеют смысла расчеты на сходимость, так как устано-
вившееся решение в смешанных ячейках не зависит от размеров ячейки. На
рис. 2.10.19 и 2.10.20 приводятся профили р(т), е(х), р(х), и(х) для обоих газов на
t = 2 в сравнении с точным решением, на которых также нанесены профили по-
грешностей. Графики приводятся для расчета на грубой сетке. На рис. 2 10.21
приводятся зависимости погрешности в норме L\ от h для р(.т), е(х), р(х) для сле-
ды в целом и скорости. Зависимости р(/) в смешанной ячейке с координатами
х = 0,2 для обоих компонентов приводятся на рис. 2.10.22.
В табл. 2.10.6 и 2.10.7 приводятся нормы абсолютной и относительной погреш-
ностей основных величин, а также точное и расчетное значения величин в смешан-
ной ячейке с координатами х = 0,2 на начальный момент времени.
Таблица 2.10.6
Абсолютная L\ норма
погрешности на t = 2
ц	300	600
pj	0,146	0,114
pj-	0,148	0,114
Р_1	0,0589	0,0535
Р_2	0,424	0,361
е_1	0,0630	0,0549
е_2	0,0910	0,0761
и	0,0341	0,0267
Таблица 2.10.7
Аналитическое решение и расчетные
значения величин в смешанной ячейке
на лучшей сетке на t = 2
	Точное решение	Расчет
PJ	5,672000	5,63981
PJ-	5,672000	5,6398
Р_1	2,000000	2,047031
Р_2	11,000000	10,75378
е_1	1,418000	1,377558
е_2	2,578182	2,62224
Рис. 2.10.19. Расчетные результаты для компонента 1 для 300 ячеек на г = 2 (погрешность
(пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная линия) решениями отмерена
по правой ординате) (см. также с. 105)
105
Рис. 2.10.19. Окончание
Рис. 2.10.20. Расчетные результаты для компонента 2 для 300 ячеек на t = 2 (погрешность
(пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная линия) решениями отмерена
по правой ординате)
106
1 r—
0,(01
0,1
e
ш
0,01
о Press ure_1
* Pressure,?
—в—Density ,1
 - Density ,2
—e—SIE_1
SIE-2
0,001
h
Рис. 2.10.21. Графики абсолютной L\ нормы разницы между расчетным и точным
решениями на t = 2 (усредненные данные по этим кривым приведены в табл. 2.10.6)
300 ячеек
600 ячеек
Рис. 2.10.22. Временные зависимости значений величин в смешанной ячейке с х = 0,2
(сплошные линии - компонент 1, жирные линии - компонент 2, точные значения обоз-
начены символом •)
2.10.9.	Прохождение УВ по среде, состоящей из слоистой структуры
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.5.2. Расчеты
проведены в эйлеровой постановке на сетках N, 2N, 4N, где У означает количе-
ство ячеек с линейным размером h = 0,002. Однако для понимания реальной точ-
107
ности эйлеровых расчетов дополнительно были проведены несколько расчетов в
лагранжевых переменных на равномерно расставленной начальной сетке. В эй-
леровых переменных на левой границе задавалось условие втекания второго газа
с параметрами за фронтом УВ (р = 2, р = 8, и = 2).
Результаты расчетов. На рис. 2.10.23 приводятся результаты эйлерова рас-
чета 2N в виде профилей давления и скорости на два момента времени.
В табл. 2.10.8 приведены скорости фронта УВ на разные моменты времени. Вид-
но, что установление квазистационарного режима происходит в течение некото-
рого времени и подобная картина имеет место во всех расчетах.
Отметим, что 1D расчеты слоистой структуры (как в лагранжевых, так
и в эйлеровых переменных) показали близкие к работе [22] результаты. В расче-
тах ЭГИДА за фронтом УВ также получена стационарная структура с крупно-
масштабными осцилляциями. Причем длина волны осцилляций во всех расчетах
близка к полученной в [22] и составляет -3,6 периода, а амплитуда осцилляций
~25 % от амплитуды основной УВ.
Рис. 2.10.23. Профили давления и скорости в 1D эйлеровом расчете 2N:
a-t= 1; 6-f = 5
108
Рассмотрим теперь вопрос о скорости распространения УВ в 1D расчетах. На
рис. 2.10.24 приводятся графики зависимости скорости УВ в расчетах на сходи-
мость для расчетов по коду ЭГИДА, там же приведен график зависимости, полу-
ченный в расчетах по программе СИАД в работе [22].
Рис. 2.10.24. Зависимости скорости распространения УВ в 1D расчетах
от счетной сетки
Видно, что в лагранжевых расчетах ЭГИДА на сходимость получается близ-
кая скорость распространения УВ (-2,926), что и в работе [22] (-2,924). В эйле-
ровых расчетах скорость распространения волны сходится к значению -2,902,
что, хотя и отличается от лагранжевых расчетов, однако незначительно (-0,8 %).
Это отличие происходит вследствие погрешностей аппроксимации уравнения
адвекции (как в чистых, так и в смешанных ячейках).
Более полные данные по результатам моделирования задачи приводятся
в работе [23].
2.10.10.	Прохождение УВ по среде, состоящей
из гетерогенных структур
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.5.3. В рабо-
те [24] приводятся результаты расчетов этой задачи в нескольких постановках,
в том числе и результаты прямого 2D моделирования. Задача также может быть
смоделирована в одномерном приближении заменой набора цилиндров, жидко-
сти и вакуума смесью, содержащей усредненные по пространству объемные кон-
центрации указанных компонентов.
В данном сборнике приводятся результаты расчетов, проведенных в лагран •
жевой постановке следующей одномерной задачи. Задавалась прямоугольная
область 0 < х < 220 с равномерной счетной сеткой из 440 ячеек. В области нахо-
дится смесь жидкости (Ро =0,37; е0 =0) и пористой стали (Pt =0,63; е1 =0)
109
с начальной плотностью р, = 6,65. На левой границе задано постоянное давление
/> = 50.
На рис. 2.10.25 приводятся профили среднего давления и давления компо-
нентов, полученные в расчете. Видно, что вблизи фронта УВ давления компо-
нентов отличаются от среднего давления, однако достаточно быстро они выходят
на среднее давление, равное заданному на границе.
На рис. 2.10.26 изображена X(f) диаграмма движения фронта УВ, которая
сравнивается с результатами прямого 2D моделирования из работы [24]. Из
представленных на рисунке данных следует, что скорость распространения УВ
хорошо согласуется с результатами прямого 2D моделирования.
Более полные результаты моделирования задачи приводятся в работе [24].
2.10.11.	Задача Шемарулина
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.6.2. Чис-
ленное моделирование проводилось в эйлеровых переменных на квадратных не-
подвижных сетках. В расчетах в поперечном направлении (OY) бралось 3 ячейки,
но
а в направлении ОХ в области [-3 < х < 3] бралось N = 1200, 2N и 4N ячеек с раз-
мерами ячеек (h = 0,005; 0,0025; 0,00125). Граничные условия: вытекания на
вертикальных границах и жесткие стенки на горизонтальных. Распределение
плотности задавалось по формуле р,=1-т;2, где координата центра
z-й ячейки.
Результаты расчетов. Для оценки точности численных расчетов использо-
валась процедура отображения эталонного решения на соответствующую счет-
ную сетку. Результаты расчетов представлены на рис. 2.10.27-2.10.30. X(t) диа-
граммы границ области приведены на рис. 2.10.27. Профили плотностей на вре-
мена, предшествующие времени начала разлета области, изображены на
рис. 2.10.28, на времена после начала разлета - на рис. 2.10.29. Для большей
наглядности на рисунках приведены лишь результаты, полученные в расчетах на
самой грубой сетке (с Л = 0,005). Помимо этого на рис. 2.10.30 представлены
профили плотностей с локальными погрешностями для каждой счетной сетки на
t = 1. Сводные данные об интегральной погрешности плотности, давления и эн-
тропийной функции (Р/р3) газа на t = 1 даны в табл. 2.10.8 и на рис. 2.10.31.
___________________%_______________________
----Аналитика	----сетка N(h = 0,005)
Рис. 2.10.27. X(f) диаграммы границ области (расчетные данные сливаются
с аналитическим решением)
Ill
Рис. 2.10.28. Профили плотности на времена до начала разлета области
(расчетные данные сливаются с аналитическим решением)
----- t= 1	----Г = 2	-----/ = 2,75
Рис. 2.10.29. Профили плотности на времена после начала разлета области
(расчетные данные сливаются с аналитическим решением)
112
Рис. 2.10.30. Эталонный профиль плотности и локальные
погрешности на t = 1
Таблица 2.10.8
Нормы относительных интегральных погрешностей и порядок
сходимости для плотности, давления и энтропийной функции газа на t = 1
	Погрешность (Л9	Погрешность (2Л9	Погрешность (4/V)	А	О
р	0,0024	0,0009	0,0006	0,0024	1,00
р/р3	0,010025	0,006823	0,004396	0,01	0,59
р	9,82 Ю-6	3,09-10-6	1,65 10-6	9,82 10-6	1,29
Рис. 2.10.31. Зависимости относительной интегральной погрешности плотности,
давления и энтропийной функции (р/р3) газа на t = 1 от размеров счетной сетки
113
2.10.12.	Распад разрыва на границе двух разноплотных веществ
Постановка задачи приведена в разделе 2.7.1. Расчеты задачи проведены
в эйлеровых переменных на неподвижной счетной сетке с h = 0,05. В табл. 2 10.9
приводятся значения плотности веществ в окрестности смешанной ячейки (с но-
мером 80) в сравнении с точным решением и с расчетом с чистыми ячейками.
Таблица 2.10.9
Значения плотностей компонентов в окрестности смешанной ячейки
Номер вещества	Номер ячейки	Расчет со смешан- ными ячейками	Расчет с чистыми ячейками	Точное решение
0	78	2,23	2,23	2,23
0	79	2,23	2,23	2,23
0	80	2,22 (-0,45 %)	0	2,23
1		15,67 (-1,14%)	15,73	15,85
1	81	15,78	15,73	15,85
1	82	15,81	15,80	15,85
1	83	15,82	15,81	15,85
Примечание: в процентах указаны отклонения от точного решения.
2.10.13.	Задача Сода
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.2. Расчеты
задачи проведены в многокомпонентном приближении в лагранжевых перемен-
ных с использованием чистых ячеек и смешанных ячеек, содержащих оба ком-
понента в объемной пропорции 0,5. В расчетах используются два компонента
с указанными параметрами и пространственными размерами, в первой подобласти
газ описывается как компонент 1, во второй подобласти - как компонент 2. Ис-
пользуемая сетка в начальный момент времени равномерная, расчеты проведены
на сетках с 100, 200, 400 и 800 ячеек.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.32 и 2.10.33 приводятся профили р(х),
е(х), р(х\ и(х) на t = 0,2 для расчетов на самой грубой сетке в сравнении с точным
решением, на которых также нанесены профили погрешностей. Для визуального
сравнения на рис. 2.10.34 приводятся р(х), е(х), р(х) в сравнении с точным реше-
нием. На рис. 2.10.35 приводятся зависимости погрешности в норме Ц от h. За-
висимости р(/), e(t), p(t) в смешанной ячейке для обоих компонентов для всех
расчетов приводятся на рис. 2.10.36. Для визуального сравнения расчетов с чи-
стыми и смешанными ячейками эти зависимости приводятся на рис. 2.10.37
В табл. 2.10.10-2.10.12 приводятся нормы абсолютной и относительной по-
грешности основных величин, а также точное и расчетное значения основных
величин в смешанных ячейках.
114
Таблица 2.10.10
Абсолютная L\ норма разницы между точным решением
и расчетными данными на t - 0,2
ц	100	200	400	800	А	0
р-10"3	6,43	3,33	1,75	9,08	0,49	0,94
р-10"3	5,78	3,03	1,60	0,846	0,41	0,92
е -102	1,50	0,795	0,419	0,220	1,06	0,92
юф"2	1,40	0,725	0,376	0,197	1,08	0,94
Чистые ячейки
Li	100	200	400	800	А	0
р-10"3	6,65	3,42	1,81	0,959	0,48	0,93
р-10"3	6,17	3,24	1,73	0,917	0,42	0,92
е-10"2	1,55	0,820	0,436	0,234	1,01	0,91
и-10"2	1,40	0,718	0,368	0,190	1,18	0,96
Смешанная ячейка
Таблица 2.10.11
Точное решение и расчетные значения величин вблизи КГ
(в чистых ячейках и в смешанной ячейке) на лучшей сетке на t = 0,2
	Точное решение	Чистые ячейки	Смешанная ячейка
Х12	0,685491	0,685560	0,685590
PJ	0,303130	0,303130	0,303130
PJ-	0,303130	0,303130	0,303130
Р_1	0,426319	0,422970	0,390630
Р_2	0,265574	0,256650	0,247670
е_1	1,777600	1.791640	1,940020
е_2	2,853541	2,952690	3,059820
Примечание: хц - положение КГ, вычисленное с помощью объемных концентра-
ций.
Таблица 2.10.12
Относительная L\ норма разницы между расчетами с чистыми
и смешанными ячейками на / = 0,2
	100	200	400	800	А	0
р-10"4	2,22	0,882	0,658	0,515	0,004	0,67
р-10 4	3,86	2,11	1,21	0,713	0,02	0,81
е-10"4	4,40	2,52	1,74	1,38	0,01	0,56
и  10"5	0,352	7,06	7.23	7,67	0	-1,34
115
Рис. 2.10.32. Расчетные результаты (сплошная линия) с чистыми ячейками для 100 ячеек
на t = 0,2. Погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная линия1)
решениями отмерена по правой ординате (значения величин для индивидуальных
компонентов на КГ обозначены символом •)
Рис. 2.10.33. Расчетные результаты (сплошная линия) со смешанными ячейками для
100 ячеек на I = 0,2. Погрешность (пунктипная линия) между расчетным и точным (жирная
линия) решениями отмерена по правой ординате (значения величин для индивидуальных
компонентов в смешанной ячейке на КГ обозначены символом •) (см. также с. 116)
116
Рис. 2.10.33. Окончание
Density	Density
Чистые ячейки
Смешанная ячейка
Рис. 2.10.34. Результаты на t = 0,2 (сплошные линии - расчет для 100 ячеек, жирная ли-
ния - точное решение, значения величин для индивидуальных компонентов на КГ обоз-
начены символом •)
117
Рис. 2.10.35. Графики абсолютной Ц нормы разницы между расчетным и точным реше-
ниями на t = 0,2 (слева - чистые ячейки, справа - смешанные; усредненные данные
200 ячеек
Рис. 2.10.36. Временные зависимости значений величин в смешанных ячейках для расче-
тов с 100, 200, 400, 800 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирная линия - ком-
понент 2; точные значения на КГ обозначены символом •) (см. также с. 118)
118
Рис. 2.10.36. Окончание
Рис. 2.10.37. Временные зависимости значений величин вблизи КГ для расчетов с чисты-
ми и смешанными 100 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирная линия - ком-
понент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
119
2.10.14.	Модифицированная задача Сода
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.3 Расчеты
задачи проведены по коду ЭГИДА в многокомпонентном приближении в ла-
гранжевых переменных с использованием чистых ячеек и смешанных ячеек, со-
держащих оба компонента в пропорции 0,5. В расчетах используются два компо-
нента с указанными параметрами и пространственными размерами, в первой
подобласти газ описывается как компонент 1, во второй подобласти - как компо-
нент 2. Используемая сетка в начальный момент времени равномерная, расчеты
проведены на сетках с 100, 200, 400 и 800 ячеек.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.38 и 2.10.39 приводятся профили р(л),
е(х), р(х), и(х) на t = 0,2 для расчетов на самой грубой сетке в сравнении с точным
решением, на которых также нанесены профили погрешностей. Для визуального
сравнения на рис. 2.10.40 приводятся р(х), е(х), р(х) в сравнении с точным реше-
нием. На рис. 2.10.41 приводятся зависимости псгрешности в норме L\ от h За-
висимости р(7), e(f), p(t) в смешанной ячейке для обоих компонентов для всех
расчетов приводятся на рис. 2.10.42. Для визуального сравнения расчетов с чи-
стыми и смешанными ячейками эти зависимости приводятся на рис. 2.10.43.
В табл. 2.10.13-2.10.15 приводятся нормы абсолютной и относительной по-
грешности основных величин, а также точное и расчетное значения основных
величин в смешанных ячейках.
Таблица 2.10.13
Абсолютная L\ норма разницы между точным решением
и расчетными данными на t - 0,2
11	100	200	400	800	А	О
р • 10'2	1,22	0,637	0,333	0,173	0,92	0,94
р  10“3	5,56	2,97	1,55	0,802	0,41	0,93
е-10’2	2,01	1,И	0,558	0,276	1,71	0,96
и 10Л	1,82	1,01	0,502	0,244	1,66	0,97
Чистые ячейки
Ц	100	200	400	800	А	О
р10~2	1,37	0,684	0,358	0,194	1,02	0,94
р • 10~3	7,14	3,53	1,84	1,02	0,52	0,94
е-10~2	2,43	1,12	0,57	0,332	1,90	0,96
ulO-2	1,80	0,912	0,486	0,246	1,45	0,95
Смешанная ячейка
120
Таблица 2.10 14
Точное решение и расчетные значения величин вблизи КГ
(в чистых ячейках и в смешанной ячейке) на лучшей сетке на t = 0,2
	Точное решение	Чистые ячейки	Смешанная ячейки
Х|2	0,755142	0,755196	0,755368
Р 1	0,430332	0,430354	0,430355
Р 2	0,430332	0,430355	0,430355
Р 1	0,463860	0,461863	0,381589
Р 2	0,325380	0,298465	0,283270
е 1	0,927720	0,931779	1,127799
е_2	3,306380	3,604730	3,798106
Примечание: хп - положение КГ, вычисленное с помощью объемных концентра-
ций.
Таблица 2.10.15
Относительная Ц норма разницы между расчетами с чистыми
и смешанными ячейками на t = 0,2
11	100	200	400	800	А	О
/?10~3	1,50	0,468	0,253	0,21	0,09	0,94
р  10“3	1,58	0,566	0,295	0,215	0,11	0,96
е-10-3	4,18	0,0779	0,112	0,556	0,04	0,82
и-10^*	2,16	9,83	1,65	0,187	0,27	1.32
Рис. 2.10.38. Расчетные результаты (сплошная линия) с чистыми ячейками для 100 ячеек
на t = 0,2 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная линия)
решениями отмерена по ппавой ординате; значения величин для индивидуальных компо-
нентов на КГ обозначены символом •) (см. также с. 121)
121
Рис. 2.10.39. Расчетные результаты (сплошная линия) со смешанными ячейками для
100 ячеек на t = 0,2 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная
линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индивидуальных
компонентов в смешанной ячейке на КГ обозначены символом •)
122
Рис. 2.10.40. Результаты на t = 0,2 (сплошные линии - расчет для 100 ячеек, жирная ли-
ния - точное решение; значения величин для индивидуальных компонентов на КГ обоз-
начены символом •)
Рис. 2.10.41. Графики абсолютной Lt нормы разницы между расчетным и точным реше-
ниями на t = 0,2 (слева - чистые ячейки, справа - смешанные ячейки; усредненные
данные по этим кривым приведены в табл. 2.10.13)
123
100 ячеек
0
0,2
0,1
t
0,1
t
200 ячеек
з
2
1
0,8
2-0,6
Vi
<§0,4
0,2
О
800 ячеек
Рис. 2.10.42. Временные зависимости значений величин в смешанных ячейках для расче-
тов с 100, 200, 400, 800 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирная линия - ком-
понент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
124
Рис. 2.10.43. Временные зависимости значений величин вблизи КГ для расчетов с чисты-
ми и смешанными 100 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирная линия - ком-
понент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
2.10.15.	Задача с двумя ударными волнами
Постановка расчетов. Постановка задачи приводится в разделе 2.7.4. Расче-
ты задачи проведены по коду ЭГИДА в многокомпонентном приближении в ла-
гранжевых переменных с использованием только чистых ячеек и смешанных
ячеек, содержащих оба компонента в пропорции 0,5. В расчетах используются
два компонента с указанными параметрами и пространственными размерами,
в первой подобласти газ описывается как компонент 1, во второй подобласти -
как компонент 2. Используемая сетка в начальный момент времени равномерная,
расчеты проведены на сетках с 274, 548, 1096, 2192 ячейками.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.44 и 2.10.45 приводятся профили р(х),
е(х), р(х), и(х) на t = 0,2 для расчетов на самой грубой сетке в сравнении с точным
решением, на которых также нанесены профили погрешностей. Для визуального
сравнения на рис. 2.10.46 приводятся р(х), е(х), р(х) в сравнении с точным реше-
нием. На рис. 2.10.47 приводятся зависимости погрешности в норме Zi от h. За-
висимости р(/), e(t), p(f) в смешанной ячейке для обоих компонентов для всех
расчетов приводятся на рис. 2.10.48. Для визуального сравнения расчетов с чи-
стыми и смешанными ячейками эти зависимости приводятся на рис. 2.10.49.
В табл. 2.10.16-2.10.18 приводятся нормы абсолютной и относительной по-
грешности основных величин, а также точное и расчетное значения основных
величин в смешанных ячейках.
125
Таблица 2.10.16
Абсолютная L\ норма разницы между точным решением
и расчетными данными на t = 0,25
11	274	548	1096	2192	А	О
p\Q~2	4,71	2,38	0,939	0,455	21,10	1,15
р-10’2	1,30	0,679	0,339	0,191	1,76	0,93
е-10’2	1,03	0,536	0,256	0,131	2,04	1,00
м-10’3	7,53	3,78	1,70	8,37	2,17	1,07
Чистые ячейки
1л	274	548	1096	2192	А	О
р-10’2	6,35	2,74	1,35	0,550	29,67	1,16
р-10’2	1,50	0,714	0,381	0 198	2,46	0,97
е-10’2	1,19	0,568	0,295	0,141	2,58	1,02
п-10’2	1,42	0,640	0,316	0,138	5,10	1,11
Смешанная ячейка
Таблица 2.10.17
Точное решение и расчетные значения величин вблизи КГ
(в чистых ячейках и в смешанной ячейке) на лучшей сетке на t = 0,25
	Точное решение	Чистые ячейки	Смешанная ячейка
Х12	0,572447	0,572399	0,572733
PJ	7,249809	7,249772	7,249771
Pj-	7,249809	7,249772	7,249771
Р_1	3,958086	3,814209	3,836374
Р_2	2,578565	2,674996	2,515220
е_1	5,233272	5,430650	5,399273
е_2	0,702892	0,677550	0,720590
Приложение: хп - положение КГ, вычисленное с помощью объемных концентра-
ций.
Таблица 2.10.18
Относительная L\ норма разницы между расчетами с чистыми
и смешанными ячейками на t = 0,25
£1	274	548	1096	2192	А	О
р-10’2	1,64	0,358	0,411	0,0095	8,40	1,21
р-10’3	2,03	0,356	0,411	0,0066	3,94	1,46
е-10’3	1,60	0,318	0,389	0 0092	0,77	1,21
w-10’3	6,69	2,62	1,47	0,545	3,20	1,17
126
Рис. 2.10.44. Расчетные результаты (сплошная линия) с чистыми ячейками для 274 ячеек
на t = 0,25 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная линия)
решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индивидуальных компо-
нентов на КГ обозначены символом •)
Рис. 2.10.45. Расчетные результаты (сплошная линия) со смешанными ячейками для
274 ячеек на t = 0,25 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жир-
ная линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индивидуаль-
ных компонентов в смешанной ячейке на КГ обозначены символом •) (см. также с. 127)
127
Рис. 2.10.45. Окончание
Рис. 2.10.46. Результаты на t = 0,25 (сплошные линии - расчет для 274 ячеек, жирная ли-
ния - точное решение; значения величин для индивидуальных компонентов на КГ
обозначены символом •)
128
Рис. 2.10.47. Графики абсолютной Z-i нормы разницы между расчетным и точным
решениями на t = 0,25 (слева - чистые ячейки, справа - смешанные ячейки; усредненные
данные по этим кривым приведены в табл. 2.10.16)
548 ячеек
Рис. 2.10.48. Временные зависимости значений величин в смешанных ячейках для расче-
тов с 274, 548, 1096, 2192 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирные линии -
компонент 2; точные значения на КГ обозначены символом •) (см. также с. 129)
129
Рис. 2.10.48. Окончание
Рис. 2.10.49. Временные зависимости значений величин вблизи КГ для расчетов с чисты-
ми и смешанными 274 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирные линии - ком-
понент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
130
2.10.16.	Прохождение ударной волны через гранииу вода — воздух
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.5. Расчеты
задачи проведены по коду ЭГИДА в многокомпонентном приближении в ла-
гранжевых переменных с использованием чистых ячеек и смешанных ячеек, со-
держащих оба компонента в пропорции [3 - 0,5. В расчетах используются два
компонента с указанными параметрами и пространственными размерами, в пер-
вой подобласти газ описывается как компонент 1, во второй подобласти - как
компонент 2. Используемая сетка в начальный момент времен равномерная, рас-
четы проведены на сетках с 250, 500, 1000 ячеек.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.50 и 2.10.51 приводятся профили р(х),
е(х), р(х), и(х) на t = 2,2 • 1 О’4 для расчетов на самой грубой сетке в сравнении с
точным решением, на которых также нанесены профили погрешностей. Для ви-
зуального сравнения на рис. 2.10.52 приводятся р(х), е(х), р(х) в сравнении с точ-
ным решением. На рис. 2.10.53 приводятся зависимости погрешности в норме L\
от h. Зависимости р(/), е(7), p(t) в смешанной ячейке для обоих компонентов для
всех расчетов приводятся на рис. 2.10.54. Для визуального сравнения оасчетов с
чистыми и смешанными ячейками эти зависимости приводятся на рис. 2.10.55.
В табл. 2.10.19-2.10.21 приводятся нормы абсолютной и относительной по-
грешности основных величин, а также точное и расчетное значения основных
величин в смешанных ячейках.
Таблица 2.10.19
Абсолютная L\ норма разницы между точным решением
и расчетными данными на t = 2,2 -10^*
1л	250	500	1000	А	а
р-10+б	4,87	2,73	1,51	513	0,84
p-10+I	0,166	0,0946	0,0504	19,2	0,86
е-10+3	1,25	0,725	0,390	130	0,84
«10+1	0,382	0,211	0,108	60,0	0,91
Чистые ячейки
Z1	250	500	1000	А	а
р-10+6	5,76	3,22	1,77	626	0,85
р-10+1	0,254	0,145	0,0804	24,9	0,83
е-10+3	2,05	1,17	0,648	204	0,83
ю10Л1	0,422	0,238	0,133	42,7	0,84
Смешанная ячейка
131
Таблица 2.10.20
Точное решение и расчетные значения величин вблизи КГ (в чистых
ячейках и в смешанной ячейке) на лучшей сетке на t = 2,2  I О’4
	Точное решение	Чистые ячейки	Смешанная ячейка
Х12	0,8059	0,80605	0,80603
р_1 -10+7	1,5986	1,5991	1,5990
р_2  10+7	1,5986	1,5991	1,5989
р_1 10+2	8,0497	7.9931	7,3954
р_2-10+2	2,2040	1,5349	1,1041
е_1 • 10+5	9,7042	9,7730	10,562
е_2-10+5	1,8133	2,6045	3,6202
Примечание: ты - положение КГ, вычисленное с помощью объемных концентра-
ций.
Таблица 2.10.21
Относительная Ц норма разницы между расчетами
с чистыми и смешанными ячейками на t = 2,2-10-4
Д1	250	500	1000	А	О
р • 10+5	8,83	4,92	2,61	1150	0,88
р-101	8,82	5,00	3,00	641	0,78
е-10+2	8,06	4,44	2,58	741	0,82
и-Ю'1	3,98	2,66	2,47	25,3	0,34
Рис. 2.10.50. Расчетные результаты (сплошная линия) с чистыми ячейками для 250 ячеек
на t = 2,2 • 10-4 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная
линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индивидуальных
компонентов на КГ обозначены символом •) (см. также с. 132)
132
Рис. 2.10.50. Окончание
Рис. 2.10.51. Расчетные результаты (сплошная линия) со смешанными ячейками для
250 ячеек на t = 2,2 • 10-4 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным
(жирная линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индиви-
дуальных компонентов в смешанной ячейке на КГ обозначены символом •)
133
Рис. 2.10.52. Результаты на t = 2,2 • 10 4 (сплошные линии - расчет для 250 ячеек, жирные
линии - точное решение; значения величин для индивидуальных компонентов на КГ
обозначены символом •)
Рис. 2.10.53. Графики абсолютной L\ нормы разницы между расчетным и точным реше-
ниями на t = 2,2 • 10-4 (слева - чистые ячейки, справа - смешанные ячейки; усредненные
данные по этим кривым приведены в табл. 2.10.19)
134
1000 ячеек
О 7,51СГ5	1,5-Ю-4
SIE	1	SIE	К	SIE
Рис. 2.10.54. Временные зависимости значений величин в смешанных ячейках для расче-
тов с 250, 500, 1000 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирные линии - компо-
нент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
135
Смешанная ячейка
Рис. 2.10.55. Временные зависимости значений величин вблизи КГ для расчетов с чисты-
ми и смешанными 250 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирные линии - ком-
понент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
2.10.17.	Прохождение 37? через контактную границу двух веществ
(из легкого в тяжелое)
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.6. Расчеты
задачи проведены по коду ЭГИДА в многокомпонентном приближении в лагран-
жевых переменных с использованием чистых ячеек и смешанных ячеек, содержа-
щих оба компонента в пропорции Р = 0,5. В расчетах используются два компонен-
та с указанными параметрами и пространственными размерами, в первой подобла-
сти газ описывается как компонент 1, во второй подобласти — как компонент 2.
Используемая сетка в начальный момент времен равномерная, расчеты проведены
на сетках 240, 480, 960, 1920 ячеек.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.56 и 2.10.57 приводятся профили р(х),
е(х), р(х), и(х) на t = 0,606323 для расчетов на самой грубой сетке в сравнении
с точным решением, на которых также нанесены профили погрешностей. Для
визуального сравнения на рис. 2.10.58 приводятся р(х), е(х), р(х) в сравнении
сточным решением. На рис. 2.10.59 приводятся зависимости погрешности
в норме Zi от h. Зависимости р(/), е(/), p(t) в смешанной ячейке для обоих компо-
нентов для всех расчетов приводятся на рис. 2.10.60. Для визуального сравнения
136
расчетов с чистыми и смешанными ячейками эти зависимости приводятся на
рис. 2.10.61.
В табл. 2.10.22—2.10.24 приводятся нормы абсолютной и относительной по-
грешности основных величин, а также точное и расчетное значения основных
величин в смешанных ячейках.
Таблица 2.10.22
Абсолютная L\ норма разницы между точным решением
и расчетными данными на t = 0,606323
21	240	480	960	1920	А	а
р-10'2	И,2	7,34	4,68	2,94	2,19	0,64
р-10 3	6,27	3,92	2,37	1,45	0,16	0,71
е-10 3	16,4	9,06	4,22	2,43	1,23	0,94
и-103	7,77	4,72	2,34	1,43	0,37	0,83
Чистые ячейки
21	240	480	960	1920	А	О
р-10'2	12,0	7,59	4,93	3,00	2,55	0,66
р-10'3	9,46	5,39	3,24	1,83	0,35	0,79
е-10'3	36,1	17,3	9,85	4,60	3,15	0,97
w-10'3	8,59	4,27	2,87	1,37	0,43	0,85
Смешанная ячейка
Таблица 240.23
Точное решение и расчетные значения величин вблизи КГ
(в чистых ячейках и в смешанной ячейке) на лучшей сетке
на/=0,606323
	Точное решение	Чистые ячейки	Смешанная ячейка
X12	0,410314	0,410315	0,410284
Р_1	4,675465	4,675466	4,675466
Р_2	4,675465	4,675466	4,675466
Р_1	0,734227	0,591747	0.946156
Р_2	8,009939	8,008842	7,758460
е_1	6,367874	7,901119	4,941539
е_2	0,007089	0,008410	0,311442
Примечание: xi2 - положение КГ, вычисленное с помощью объемных концентра-
ций.
137
Таблица 2.10.24
Относительная L\ норма разницы между расчетами с чистыми
и смешанными ячейками на t = 0,606323
£i	240	480	960	1920	А	О
р-10-3	8,28	2,43	2,51	0,601	1,39	1,13
р • IO”3	3,19	1,47	0,873	0,374	0,32	1,00
е • IO-3	19,7	8,25	5,63	2,17	2,01	1,01
и-10-4	8,19	4,51	5,27	0,681	0,13	1,05
Рис. 2.10.56. Расчетные результаты (сплошная линия) с чистыми ячейками для 240 ячеек
на t = 0,606323 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная
линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индивидуальных
компонентов на КГ обозначены символом •)
138
Рис 2.10.57. Расчетные результаты (сплошная линия) со смешанными ячейками для
240 ячеек на t = 0,606323 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным
(жирная линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индиви-
дуальных компонентов в смешанной ячейке на КГ обозначены символом •)
139
Рис. 2.10.58. Результаты на t = 0,606323 (сплошные линии - расчет для 240 ячеек, жирная
линия - точное решение; значения величин для индивидуальных компонентов на КГ
обозначены символом •)
Рис. 2.10.59. Графики абсолютной Ц нормы разницы между расчетным и точным реше-
ниями на t = 0,606323 (слева - чистые ячейки, справа - смешанные ячейки; усредненные
данные по этим кривым приведены в табл. 2.10.22)
140
t
1920 ячеек
Рис. 2.10.60. Временные зависимости значений величин в смешанных ячейках для расче-
тов с 240, 480, 960, 1920 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирная линия -
компонент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
141
Рис. 2.10.61. Временные зависимости значений величин вблизи КГ для расчетов с чисты-
ми и смешанными 240 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирные линии -
компонент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
2.10.18.	Прохождение УВ через контактную границу двух веществ
(из тяжелого в легкое)
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.7. Расчеты
задачи проведены в многокомпонентном приближении в лагранжевых перемен-
ных с использованием чистых и смешанных ячеек, содержащих оба компонента
в пропорции Р = 0,5. В расчетах используются два компонента с указанными па-
раметрами и пространственными размерами, в первой подобласти газ описывает-
ся как компонент 1, во второй подобласти - как компонент 2. Используемая сет-
ка в начальный момент времен равномерная, расчеты проведены на сетках 111,
222, 444, 888 ячеек.
Результаты расчетов. На рис. 2.10.62 и 2.10.63 приводятся профили р(х),
е(х), р(х), и(х) на t = 0,232558 для расчетов на самой грубой сетке в сравнении
с точным решением, на которых также нанесены профили погрешностей. Для
визуального сравнения на рис. 2.10.64 приводятся р(х), е(х), р(х) в сравнении
сточным решением. На рис. 2.10.65 приводятся зависимости погрешности
в норме L\ от h. Зависимости р(/), e(t), p(t) в смешанной ячейке для обоих компо-
нентов для всех расчетов приводятся на рис. 2.10.66. Для визуального сравнения
расчетов с чистыми и смешанными ячейками эти зависимости приводятся на
рис. 2.10.67.
142
В табл. 2.10.25-2.10.27 приводятся нормы абсолютной и относительной по-
грешности основных величин, а также точное и расчетное значения основных
величин в смешанных ячейках.
Таблица 2.10.25
Абсолютная L\ норма разницы между точным решением
и расчетными данными на t = 0,2325581
Ci	111	222	444	888	А	а
р-10’1	6,16	3,98	2,38	1,40	17,14	0,72
р  10’3	25,9	16,4	9,703	5,90	0,71	0,72
е-10’3	7,45	4,90	3,31	2,04	0,13	0,62
w-10’3	19,1	Н,2	6,43	3,82	0,68	0,78
Чистые ячейки
£1	111	222	444	888	А	О
р-10’1	6,58	4,14	2,45	1,44	19,73	0,73
р-10’3	27,5	17,1	9,86	7,59	0,50	0,64
е-10’3	7,58	5,29	3,07	1,97	0,17	0,66
и-10’3	21,0	13,9	7,20	4,37	0,77	0,77
Смешанная ячейка
Таблица 2.10.26
Точное решение и расчетные значения величин вблизи КГ
(в чистых ячейках и в смешанной ячейке) на лучшей сетке
на t = 0,2325581
	Точное решение	Чистые ячейки	Смешанная ячейка
Х12	0,778148	0,778011	0,777865
PJ	0,166842	0,166680	0,167450
pj-	0,166842	0,166689	0,169110
Р_1	7,820177	7,826771	7,826700
Р_2	0,375000	0,481383	0,094330
е_1	0,005860	0,000208	0,000340
е_2	0,444912	0,346272	1,792690
Примечание: .пг- положение КГ, вычисленное с помощью объемных концентра-
ций.
143
Таблица 2.10.27
Относительная L\ норма разницы между расчетами с чистыми
и смешанными ячейками на t = 0,2325581
£1	111	222	444	888	А	О
р-102	4,18	1,54	0,721	0,386	7,27	1,14
р-10'3	1,64	0,723	0,159	1,69	0,002	0,20
е-10"*	1,32	3,87	2,43	0,746	0,001	0,32
w-10'3	1,84	2,68	0,768	0,545	0,06	0,71
Рис. 2.10.62. Расчетные результаты (сплошная линия) с чистыми ячейками для 111 ячеек
на Г = 0,2325581 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным (жирная
линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индивидуальных
компонентов на КГ обозначены символом •)
144
Рис. 2.10.63. Расчетные результаты (сплошная линия) со смешанными ячейками для
111 ячеек на t = 0,2325581 (погрешность (пунктирная линия) между расчетным и точным
(жирная линия) решениями отмерена по правой ординате; значения величин для индиви-
дуальных компонентов в смешанной ячейке на КГ обозначены символом •)
145
Рис. 2.10.64. Результаты на t= 0,2325581 (сплошные линии - расчет для 111 ячеек, жир-
ная линия - точное решение; значения величин для индивидуальных компонентов на КГ
обозначены символом •)
Рис. 2.10.65. Графики абсолютной L\ нормы разницы между расчетным и точным реше-
ниями на t = 0,2325581 (слева - чистые ячейки, справа - смешанные ячейки; усредненные
данные по этим кривым приведены в табл. 2.10.25)
146
t	t	t
t	t	t
222 ячейки
t	t	t
888 ячеек
Рис. 2.10.66. Временные зависимости значений величин в смешанных ячейках для расче-
тов с 111, 222, 444, 888 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирные линии -
компонент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
147
t	t	t
Смешанная ячейка
Рис. 2.10.67. Временные зависимости значений величин вблизи КГ для расчетов с чисты-
ми и смешанными 111 ячейками (сплошные линии - компонент 1, жирные линии -
компонент 2; точные значения на КГ обозначены символом •)
2.10.19.	Задача Blast Waves
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.8. Приве-
денные ниже данные получены в эйлеровых расчетах на равномерной сетке
с числом ячеек N= 100, 200, 400, 1000.
Результаты расчетов. Для оценки точности результатов используются про-
фили плотности на контрольный момент времени t = 0,038. На рис. 2.10.68 пред-
ставлен профиль плотности на t = 0,038 из расчета 2N. В табл. 2.10.28 приводятся
нормы погрешности плотности, а в табл. 2.10.29 - величина порядка сходимости
на разных интервалах сетки.
Таблица 2.10.28
L\ нормы погрешности плотности на t= 0,038
N = 100	#=200	#=400	#= 1000
0,134	0,086	0,045	0,0204
148
Таблица 2.10.29
Порядок сходимости на t = 0,038
Интервал 100-200	Интервал 200—400	Интервал 400-1000	
Порядок сходимости о			^среднее
0,629	0,953	0,849	0,81
7
6
5
Б 4
О
X
о
£ 3
2
1
0:
0.55	0,6	0,65	0,7	0,75	0,8	0,85	0,9
X
Рис. 2.10.68. Профиль плотности на t = 0,038, расчет на сетке 2N
2.10.20.	Задача о тройной точке
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.9. Расчеты
проведены на практически квадратных неподвижных сетках с количеством ячеек
в расчете N, 2N, 4N и 8N. Размер ячейки в расчете N составлял
h = 30/32 = 0,09375. Расчет 82V использовался в качестве эталонного решения.
На рис. 2.10.69 приводятся картины концентраций одного вещества на не-
сколько моментов времени из расчета N, а на рис. 2.10.70 представлены резуль-
таты расчетов на всех сетках на контрольный момент времени. Интегральные
погрешности средней плотности в норме Zi для расчетов на сгущающихся сетках
на t = 5 приводятся в табл. 2.10.30 (эталонное решение - расчет 8?/). Относитель-
ная интегральная L\ погрешность между расчетами и эталонным решением пред-
ставлена в виде графика на рис. 2.10.71, который демонстрирует линейную схо-
димость.
Таблица 2.10.30
Погрешности средней плотности в норме Z, для расчетов
на сгущающихся сетках на t = 5 (эталонное решение - расчет 8/V)
N	2N	4W	А	О
0,087618	0,058711	0,046092	0,251284	0,4633642
149
Рис. 2.10.69. Растровые картины объемных долей на t = 1; 3; 4,5; 5 для расчета N
Рис. 2.10.70. Растровые картины объемных долей на t = 5,0 в расчетах N, 2N, 4N, 8 Л'
Рис. 2.10.71. Относительная L\ погрешность между расчетами
и эталонным решением по табл. 2.10.30
150
2.10.21.	Прохождение ударной волны через пузырь гелия
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.7.10. Расче-
ты проведены на квадратных неподвижных сетках с количеством ячеек в расчете
N, 2N, 4N и 8N. Размер ячейки в расчете .У =260 ячеек составлял
Л = 0,65/260 = 0,0025. Расчет 8?/использовался в качестве эталонного решения.
На рис. 2.10.72 приведены растровые картины средней плотности на четыре
момента времени 1 = 0,7; 0,9; 1,0; 1,342-Ю-3 для расчета на сетке 2N. На
рис. 2.10.73 на конечный момент времени = 1342,153  10 6 для всех расчетов
приведены растровые картины объемных долей. На рис. 2.10.74 приводятся гра-
фики зависимости погрешности средней плотности от размеров ячейки в норме
L\, а в табл. 2.10.31 - погрешности плотности в норме L\. Оценки погрешности
проводятся по сравнению с данными, полученными в расчете 8М
Рис. 2.10.72. Растровые картины средней плотности для расчета 2N-.
а-1 = 0,7- 10 3; б-1=0,9 - 10“’; в - 1= 1,0 • 10“3; г - 1 = 1,342 10 3
Рис. 2.10.73. Растровые картины объемной доли воздуха на 1 = 1,342-10
151
Таблица 2.10.31
Погрешности плотности в норме Li для расчетов на сгущающихся сетках
на контрольный момент времени (эталонное решение - расчет 8jV)
Рис. 2.10.74. Относительная интегральная Li погрешность
между расчетами и эталонным решением по табл. 2.10.31
2.10.22.	Первая задача Стокса
Схемная вязкость методики ЭГИДА. Как указано выше, данная задача мо-
жет быть использована для выяснения аппроксимационной вязкости разностной
схемы. Для кода ЭГИДА в случае квазистационарных течений основные оста-
точные члены при аппроксимации уравнения движения для газодинамики имеют
следующий вид [38]:
<yik = Ahpuk^-u,->alk = Ahp<u>-^-ul,	(2.10.1)
d*k	dxk
где <u> - характерная скорость потока, которая является вектором (это обстоя-
тельство отличает аппроксимационную вязкость от физической). Эти члены
имеют первый порядок малости по пространственным переменным.
Если при аппроксимации уравнения движения применяется донорный метод
(что происходит в ячейках с большими отношениями значений потоков масс че-
рез две противолежащие стороны ячеек, то есть на УВ или в окрестности кон-
тактных границ), то А = 1/2, в остальных случаях 4 = 1/4 (см. [38]).
Формула (2.10.1) аналогична выражению для компонент тензора вязких
напряжений, входящих в уравнения Навье - Стокса. При этом роль коэффициен-
та физической вязкости здесь играет коэффициент аппроксимационной вязкости
152
Псхем =Ahp<u>,	(2.10.2)
зависящий от локальной скорости потока и размера счетной ячейки.
Постсновка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.8.1. При
численном решении рассматриваемой задачи геометрия системы плоская и имеет
вид, изображенный на рис. 2.10.75 (АВ = 1, АМ=3, MD = 3). На границах ВС
hAD - условие периодичности. Параметры веществ: pi = рг = 1; yi=y2 = 5/3;
Pl = Pi = 0,6; их = 0; иу = ±w, w = 0,5; ц = 0,005. В расчетах использовалась квад-
ратная счетная сетка с h = 0,01; 0,02; 0,04.
Рис. 2.10.75. Начальная геометрия для первой задачи Стокса в 2D постановке
Расчеты проведены как с указанной физической вязкостью, так и с нулевой
вязкостью. Данная задача является стационарной, поэтому для оценки схемной
вязкости можно использовать формулу (2.10.1). Легко проверить, что в этой за-
даче при заданных скоростях теоретически схемная вязкость в расчетах равна
нулю.
Результаты расчетов. В расчете с ц = 0 роста зоны размазывания скачка
скорости не происходило, то есть полученное решение соответствует аналитиче-
скому решению для невязкой жидкости. В расчетах с т| = 0,005 происходило раз-
мазывание скачка скорости. Ниже ширина зоны размазывания определена по уз-
лам счетной сетки, в которых скорости отличались от скорости основного потока
на 1 %. На рис. 2.10.76 приводятся расчетные зависимости ширины зоны Д от
времени при выбранном способе, там же приведена аналитическая зависимость
A ® 8x/q7 при т| = 0,005. Видно, что расчетные зависимости ширины зоны хоро-
шо согласуются с аналитической зависимостью для всех расчетов с разными
размерами ячеек.
153
Рис. 2.10.76. Зависимости ширины зоны Д от времени в расчетах
с нулевой схемной вязкостью (все кривые совпадают)
Если решать задачу Стокса для невязкого газа с помощью численных мето-
дов, имеющих схемную вязкость, то в расчетах также должен происходить рост
зоны размазывания скачка скорости из-за наличия схемной вязкости. Сопостав-
ляя результаты численного решения с аналитическими решениями, можно оце-
нить, какой физической вязкости соответствует полученное численное решение.
Геометрия системы и постановка расчета представлены выше, в данном рас-
чете физическая вязкость равнялась нулю, однако, в отличие от вышеприведен-
ного расчета, счетная область двигалась как целое вдоль оси Ох со скоростью
их = 1. В этом случае оценка схемной вязкости по формулам (2.10.1 и 2.10.2) при
их = 1 дает vc = 0,0025 (размер счетной ячейки h = 0,01). В отличие от расчета
с их = 0 (см. выше) в данном расчете происходило размазывание скачка скорости
даже при нулевой физической вязкости.
Зависимость ширины зоны размазывания скорости выражается формулой
(2.8.1). Из нее следует
В соответствии с этой формулой коэффициент вязкости, присутствующий
в расчете, должен выражаться формулой
В табл. 2.10.32 приводятся т|с, определенные на разные моменты времени.
154
Таблица 2.10.32
Коэффициент расчетной вязкости на разные моменты времени
t	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
Ос	0,0035	0,0035	0,0036	0,0037	0,0035	0,0035
Из табл. 2.10.32 видно, что с течением времени т|с практически не меняется
и рост ширины зоны размазывания скорости происходит согласно формуле
(2.10.3) с г| =т|с ~ 0,0035. На рис. 2.10.77 приводится расчетная зависимость ши-
рины зоны Д от времени (кривая 1), там же приведена аналитическая зависи-
мость (2.10.3) при т] = 0.0035 (кривая теория).
Рис. 2.10.77. Зависимость ширины зоны Д от времени
Расчетная зависимость ширины зоны от времени хорошо согласуется с ана-
литической зависимостью, что говорит о близости полученного численного ре-
шения к аналитическому решению для вязкой жидкости с ц = 0,0035.
2.10.23 Задание давления с использованием
фиктивного компонента авакуум»
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.9.1. Рас-
сматривается одномерная задача о прохождении по веществу ударной волны,
заданной при помощи давления в вакууме. В области 0 <х < 5; 0 <у < 0,3 нахо-
дится вещество 0 - вакуум с параметрами р0 =0,001; /?0=2; е0=0; и0х=0.
В области 5 <х < 50; 0 <у < 0,3 задается вещество 1 - идеальный газ с парамет-
рами pj =1; р1 = 0; ег - 0; у = 3; uJx = 0. Границы области - жесткие стенки. Рас-
чет проводился на неподвижной сетке, количество ячеек по строкам - 3, по
столбцам - 500, размер ячеек hx =hy=Q,\.
155
На рис. 2.10.78 приводятся профили плотности и давления от координаты на
контрольный момент времени t = 20. На всех графиках нанесено и точное реше-
ние. Видно хорошее согласие расчетных данных с аналитическим решением.
б
Рис. 2.10.78. Профили плотности (а) и давления (б) от координаты на t = 20
2.10.24. Неотражающее граничное условие
Постановка расчетов. Постановка задачи приведена в разделе 2.9.2. Расчеты
проведены в 1D и 2D постановках. В 1D задаче направление распространения
волны совпадает с одним семейством линий ортогональной сетки, а в 2D задаче
акустическая волна движется под углом к сетке.
Геометрия задачи - плоская прямоугольная область 0<x<Lx, 0<y<Ly.
Сетка: равномерная прямоугольная, число ячеек равно Nx х Ny. Начальные дан-
156
ные задачи приведены в разделе 2.9.2. В расчетах используются следующие дли-
ны волны возмущения X = 0,2 и X = 0,1. Величина Uo определяет амплитуду мас-
совой скорости в звуковой волне. Используются следующие варианты Uo= 0,01 со
и О,О5со, где с0 = >]0,56.
Для расчетов были выбраны два значения угла между плоской волной и
осью ОУ (вертикальная ось) - 0 и 45°. На левой и нижней границах счетной обла-
сти задавалось граничное условие «жесткая стенка». На верхней и правой - НГУ
(неотражающее граничное условие). В 2D тестах начальное возмущение задава-
лось, начиная с середины счетной области для того, чтобы избежать несиммет-
ричного влияния на компоненты скорости граничных условий на левой и нижней
границах.
Рассмотрим вопрос о точности неотражающего граничного условия (НГУ).
С точки зрения практики очевидно, что бессмысленно добиваться большей точ-
ности НГУ, чем точность газодинамической разностной схемы.
В качестве количественной меры точности НГУ удобно брать значение коэф-
фициента отражения возмущений от искусственной границы, за который в рабо-
те [39J берется отношение среднеквадратичной (евклидовой) нормы решения, по-
лученного после отражения, к аналогичной норме выходящей из расчетной обла-
сти волны, падающей на искусственную границу. С физической точки зрения
естественно сравнивать кинетические энергии выходящей и отраженной волн. По-
этому коэффициентом отражения можно называть квадратный корень из отноше-
ния кинетических энергий отраженной и выходящей волн. Тогда порядком точно-
сти НГУ целесообразно называть величину а в оценке к = О(Х-а), где к - опреде-
ленный выше коэффициент отражения. Для практики достаточно, чтобы а = 1.
Результаты 1D и 2D тестовых расчетов представлены в табл. 2.10.33. На
рис. 2.10.79 изображена форма возмущения из 2D расчета в процессе его движе-
ния по счетной области. Из этого рисунка видно, что распространение возмуще-
ния происходит практически без искажения его контура.
Таблица 2.10.33
Результаты 1D и 2D тестов в эйлеровой постановке
	ID, 1 = 1,4	2D, ?=0,6
Pmin	0,99995	0,99953
Ртах	1,00005	1,00014
£min	0,99998	0,99981
£тах	1,00002	1,00006
м	ГО	0,9999
£впутр	1 0	0,9999
£кин	1,82-1О-10	2,4-10’10
£полн	ГО	0,9909
Iwl 1 1тах	6,26-10’5	1,32 -ИГ4
157
_0 0055
lo.oos
|otra«
! 0004
0.0035
0.003
0 0025
0 002
0.0015
0 001
0 0005
О
-0 0005
-oom
Рис. 2.10.79. Профиль горизонтальной компоненты скорости в 2D тесте
в эйлеровой постановке на / = 0,2
Проведены тестовые расчеты с вариацией длины волны и амплитуды скоро-
сти возмущения. В качестве номинальных используются 1D и 2D расчеты в эй-
леровой постановке. В них на t = 0 заданы: А = 0,01 со, X = 0,2 (двадцать счетных
ячеек на X в одномерной постановке). В сравнительных расчетах задавались
X = 0,1 и А = 0,05 со.
В табл. 2.10.34 и 2.10.35 приводятся результаты, полученные в этих расчетах
с шагом времени т = 0,001, который приблизительно в 50 раз меньше шага, выра-
ботанного по критерию Куранта.
Таблица 2.10.34
Результаты 1D тестов с вариацией X и А (Г = 1,4)
	Pmin	Ртах	£min	<?тах	м	£вн	^КНП	£полн	11/1 । imax
А =0,2; Л = 0,01 со	0,99995	1,00005	0,99998	1,00002	1,0	1,0	1,82-1(Г10	1,0	6,26-10 5
X = 0,1; А = 0,01 со	0,99983	1,00025	0,99993	1,00010	1,0	1,0	6,2-10’9	1,0	2,54-10 4
о С гч © o' © II II	0,99940	1,00035	0,99977	1,00015	0,9999	0,9999	1,25-10 8	0,9999	1,7-102
158
Таблица 2.10.35
Результаты 2D тестов с вариацией X и A (t = 1,4)
	Pmin	Ртах	^min	£тах	М	£вн	Екии	Еполн	ы 1 imax
X = 0,2; А = О,О1со	0,99953	1,00014	0,99981	1,00006	0,9999	0,9999	2,4-10’10	0,9999	1,32-10"*
е 4-? О' О' О' II II	0,999э6	1,00059	0,99984	1,00024	0,9999	0,9999	2,03-10 9	0,9999	7,6-10"*
Х = 0,2; А = О,О5со	0,99849	1,00111	0,99941	1,00045	0,9999	0,9999	6,4-1О8	0,9999	7,4- ИГ2
Из приведенных в табл. 2.10.34 и 2.10.35 данных следует, что имеет место
сильная зависимость величины остаточной скорости от длины волны X и началь-
ной амплитуды скорости Л.
Была выполнена вариация X и А в 2D расчетах с автоматическим выбором
временного шага по критерию Куранта. В табл. 2.10.36 приведены результаты
этих расчетов.
Таблица 2.10.36
Результаты 2D тестов с вариацией X и А (т - по критерию Куранта)
	Pmin	Ртах	^min	£тах	м	Евп	ЕкИЦ	Еполн	Ш 1 >тах
Х = 0,2; А = О,О1со	0,99986	1,00005	0,99992	1,00005	0,9999	0,9999	1,46-10 10	0,9999	8,29-10~5
II и о о о Г7 S	0,99992	1,00011	0,99992	1,00009	0,9999	0,9999	9,15-10 11	0,9999	9,61-Ю’5
Х = 0,2; А = 0,05 со	0,99796	1,00358	0,99940	1,00142	0,9998	0,9998	5,48-10-8	0,9998	7,4-10’2
Из сравнения данных табл. 2.10.35 и 2.10.36 следует, что в расчетах с авто-
матическим выбором шага по времени практически исчезает зависимость от X.
Кроме того, видно, что степень влияния величины амплитуды скорости возму-
щения на коэффициент отражения практически не зависит от величины шага по
времени.
Приложения
Некоторые сведения о разностных методах решения уравнений
газодинамики кода ЭГИДА
Ниже для удобства читателей даются краткие сведения о разностных мето-
дах решения уравнений газодинамики кода ЭГИДА. Отметим, что при аппрок-
симации уравнений газодинамики используется ALE подход. В соответствии
с этим подходом аппроксимация уравнений производится в два этапа. На первом
этапе решаются уравнения газодинамики в лагранжевых пеоеменных, а на вто-
ром производится аппроксимация конвективных членов уравнений. Полное опи-
сание методов можно найти в книге [5].
П.1. Лагранжев этап 2D газодинамики
Исходная система уравнений лагранжевой газодинамики для многокомпо-
нентной среды в 2D случае может быть записана следующим образом:
<7и	1 — =—Vp, dt р -A = -p£Vu£,	(П.1.1) (П.1.2)
^ = p£(Vu£-Vu),	(П.1.3)
о'е?	л — = Vu£, dt	pjj dr	(П.1.4)
— = u, dt	(П.1.5)
p^P^,e^.	(П.1.6)
- скорость, p - плотность,	p - давление, e -
Здесь обозначено: н(щ, иу)
удельная внутренняя энергия, р - объемная доля (концентрация) вещества
(р£=Г£/г), г(х,у) - радиус-вектор. Индекс £ означает номер вещества (компо-
нента), отметим также, что в выражении для дивергенции скорости он относится
не к скорости, а к дивергенции скорости в целом. Жирным шрифтом здесь и да-
лее обозначается вектор. Отметим, что система уравнений (П.1.1)-(П.1.6) не за-
мкнута, для ее замыкания привлекаются дополнительные замыкающие соотно-
шения (см. ниже).
В разностных схемах кода ЭГИДА скорость определена в узлах счетной сет-
ки, а остальные величины - в центрах ячеек. При программной реализации
в уравнениях (П.1.1) и (П.1.4) вместо давления используется сумма давления и
160
искусственной (счетной) вязкости p^g =р + q и р^ -»	= р^ + q^ соответ-
ственно для среды в целом и для компонентов.
Далее нижний индекс означает дискретизацию по пространству и номер
компонента в случае нескольких компонентов, верхний индекс применяется для
дискретизации по времени. Ячеечные величины обозначаются полуцелым индек-
сом (например, i + 1/2, у + 1/2), узловые - целым (z,y). Отметим, что массы ячеек
в лагранжевой газодинамике в процессе счета не меняются, поэтому они пишут-
ся без временного индекса.
П.1.1. Разностная схема для однокомпонентного случая
Пусть нам известны все основные величины на момент времени ? и необхо-
димо определить их значения на момент времени z”4"1 = f + т, где т - временной
шаг. Выпишем разностную схему методики ЭГИДА для случая однокомпонент-
ной среды.
Первый полушаг (определение предвычисленного давления)
«£/ =rM+TUi,7’	(11.1.5)
т/я+1/2	__л+1/2	п+1/2 „и+1/2\	/гд 1
Э+1/2,7+1/2 - ¥ (Г1+1,2+1’ Г'Э+1 ’ Г<+1,2 ’ ri,j р
А"+1/2,у+1/2 =-Р(рГ+1/2,7+1/2> ei+l/2, j+l/2)’	(П.1.10)
т/и+1/2	т/п
„	_ Э+1/2,у+1/2 ~ Э+1/2,у+1/2	ш , .
V u/+l/2,J+l/2 -	’	Ц1.1.11J
Х ¥+1/2,>+1/2
у
Л+1/2 J+1/2 = Л"+1/2,7+1/2 “ X Р/+1/2,7+1/2 (с+1/2,7+1/2 )	u7+1/2, j+l/2 • (П. 1.12)
В уравнении (П. 1.12) % = 0,6; с - скорость звука.
Полный шаг
м (4-1/2,7-1/2 +4+1/2,7-1/2) _ ^-1/2Р/-1/. +^+1/2Рн1/2
и”?-и”	=«+1/2 \ J^gid ,	(П.1.14)
_	/=„+1/2 А	(П.1.15)
	(П.1.16)
„+1	„ . ,, П+1 ri,j =ri,J+XUi.J’	(П.1.17)
т/П+1	_Т/(-П+1	п+1	п+1	„Л+1) ^/+1/2,7+1/2 ~¥ (ri+1.7+l> г/,7+1’ Г/+1,7’ ri,j	(П.1.18)
161
ьл"+1	_ vn
„+1	_ П+1/2,7+1/2	yi+\l2J+\l2
Vu/+1/2,7+1/2 - ——>
т Ч+1/2,y+1/2
_n+l	1/	/ TZn+l
Ph-1/2,7+1/2 -Jvli+l/2,7+1/2 ' ^<+1/2,7+1/2’
n+1/2
n+1	_ n	Si+l/2,j+}/2 „ и+1/2
e/+l/2,7+1/2 “ e/+l/2,7+1/2	„	v u<+l/2,7+1/2•
P+1/2,7+1/2
(П.1.19)
(П.1.20)
(П.1.21)
В уравнениях (П.1.15) и (П.1.21) g”+1/2 = pn+xl2 + qn. Формулы для вычисле-
ния q приводятся в разделе П.1.4. Двойное надчецкивание сверху означает раз-
ностный аналог соответствующего оператора (мы не приводим полные формулы,
они общеизвестны).
П.1.2. Разностная схема для многокомпонентного случая
Далее рассмотрим случай многокомпонентной среды (в некоторых случаях
для двух компонентов). Мы запишем обобщения уравнений (П. 1.8)—(П. 1.21) для
случая нескольких компонентов, при этом там, где это не вызывает разночтений,
без пространственных и временных индексов (чтобы не загромождать уравне-
ния).
На первом полушаге изменения коснутся лишь уравнений (П.1.10) и
(П.1.12), которые примут следующий вид'
(П.1.22)
^+1/2-^-XP^(c()2tVu”.	(П.1.23)
Уравнения (П.1.22)-(П.1.23) отличаются от уравнений (П.1.10), (П.1.12)
только тем, что в них во всех величинах появился индекс компонента. Что каса-
ется величин Vu^, то они определяются исходя из принятых дополнительных
предположений относительно термодинамического состояния смеси в смешан-
ной ячейке (см. раздел П. 1.3).
Аналогично перепишем уравнения (П. 1.13)-(П. 1.21), дополнив их необхо-
димыми для многокомпонентного случая величинами.
Выражение (П.1.13) примет следующий вид:
Е (^,z-l/2,7-1/2 + ^Е,,/+1/2,7+/2 )
Л/,,; = ----------у------------>	(П-1.24)
где	M^=p^V.	(П.1.25)
Давление и искусственная вязкость для ячейки в целом задаются формулами
р"+1/2 =Е^ДГ1/2’	(П.1.26)
162
?"=ЕЧД^>	(П.1.27)
где коэффициент Т определяется принятой моделью замыкания (см. ниже).
^”+1 =	+ t^”+1Vu£+1 ,	(П.1.28)
р"+1=Л/^/^"+1,	(П.1.29)
P"+1=^/F"+1,	(П.1.30)
т +inVuE+VuE+1
= е"gf1/2	\	•	(П.1.31)
2
В уравнении (П.1.31) g£+1/2 = р£+1/2 +	• Способ определения искусствен-
ной вязкости компонентов дан в разделе П.1.5.
Таким образом, в уравнениях (П 1.23)—(П. 1.31) остались не определенными
величины дивергенций скорости компонентов Vu^ и величины Для их вы-
числения необходимы те или иные замыкающие соотношения, являющиеся след-
ствием различных предположений относительно термодинамического состояния
компонентов в смешанных ячейках.
Запишем выражение для в вице
= р^Х^,	(П.1.32)
в котором величина Х^ определяется принятой моделью распределения полной
дивергенции скорости смешанной ячейки по компонентам из соотношения
Vu^=X^Vu.	(П1.33)
П.1.3. Методы замыкания уравнений газовой динамики
В коде ЭГИЦА реализовано несколько метоцов замыкания, позволяющих
определить величины Х^, то есть распределение полной дивергенции скорости
смешанной ячейки по компонентам. Полное описание их дано в книге [5]. Отме-
тим, что все методы замыкания применимы к задачам любой размерности (’D,
2D, 3D). В приведенных ниже задачах применялось только одно, а именно осно-
ванное на предположении о равенстве скоростей компонентов после прохожде-
ния слабого возмущения.
Данный метод (в формулировке о равенстве скоростей компонентов) пред-
ложен в работе [40]. Предположение о равенстве приращений скоростей компо-
нентов является следствием того, что система уравнений газовой динамики ре-
шается в односкоростном приближении. Так как в любой момент времени скоро-
сти компонентов в смешанной ячейке равны, то, естественно, и изменения
скоростей компонентов за счетный шаг по времени будут одинаковы. Можно
163
рассматривать изменения физических величин в задаче за счетный шаг, как про-
исходящих вследствие распространения некоторых возмущений. Если предпо-
ложить, что эти возмущения являются плоскими бегущими волнами, для кото-
рых в акустическом приближении имеется соотношение
8р/р = 8м/с,	(П.1 34)
то для дивергенции скорости компонентов можно написать выражение
8р? 8щ
Viv «—^-=—Л
р^т qt
(П.1.35)
Учитывая, что приргшения скоростей компонентов (8u^j в смешанной
ячейке равны, получаем, что дивергенции компонентов обратно пропорциональ-
ны скоростям звука компонентов.
Система алгебраических уравнений (П.1.35), (П.1.33) замкнута и ее решение
может быть записано в виде (П. 1.33), где неизвестными величинами являются
коэффициенты Л.^, определяемые формулами:
= у
к ск
(П.1.36)
Л
где с -
В соответствии с выражением (П.1.26) среднее давление в смешанной ячейке
вычисляется по формуле

(П.1.37)
11ри наличии разницы давлений в веществах, когда есть КГ в гетерогенной
смеси в смешанной ячейке, должен происходить процесс релаксации давлений.
Для учета этого процесса в работе [41] предложен алгоритм выравнивания дав-
лений компонентов. Из за конечности объемов, занимаемых веществами в сме-
шанной ячейке, выравнивание средних давлений компонентов происходит не
мгновенно, а осуществляется за несколько счетных шагов в соответствии со ско-
ростью звука в ячейке.
П.1.4. Замыкание уравнений в смешанных ячейках с вакуумом
В коде ЭГИДА имеется специальный компонент, позволяющий описывать
течения со слоями, в которых возможно задание давления, в частном случае та-
кие слои могут представлять вакуум, давление которого равно нулю. Для случая
закуума разработан специальный алгоритм.
Для лагранжевой газодинамики выделяются два случая. Vu > О и Vu < 0.
Случай Vu > 0. В этом случае предполагается, что
Vu^ = Vu.
164
Случай Vu < 0. В этом случае предполагается, что уменьшение объема ячей-
ки происходит лишь за счет уменьшения объема вакуума, а объемы других ком-
понентов будут меняться лишь после закрытия вакуума.
II.J.5. Искусственная вязкость
Искусственная вязкость для среды в целом. В общем виде используемая в
методике ЭГИДА вязкость для среды в целом определяется в ячейках и состоит
из комбинации квадратичной вязкости типа Неймана - Рихтмайера и линейной
вязкости
qn = C1P"(/!"Vu")2+ Cop"c/z"Vu", если Vu" <0
s	'	>	Ц1. J.JoJ
?"=0	Vu">0,
Б формуле (П.1.38) Ci = 1 и Со = 0,2 - постоянные коэффициенты, с - скорость
звука. Кроме того, в выражение (П.1.38) входят характерный размер h и дивер-
генция скорости Vu" ячейки. Определение дивергенции скорости дано выше, а
h- характерный размер ячейки, определяемый в направлении распространения
ударной волны. При однородном безударном схождении системы к центру сфе-
ры, к оси цилиндра и жесткой стенке из дивергенции скорости соответствующая
безударная часть вычитается [42].
Искусственная вязкость компонентов в смешанных ячейках. В работе [43]
исследованы шесть способов задания вязкости компонентов, которые зависят от
плотности, скорости звука и дивергенции скорости компонентов. В данном сбор-
нике расчеты проведены с вязкостью компонентов, определенной в предположе-
нии, что она пропорциональна плотности компонентов (в такой форме она ис-
пользуется во многих работах)

(П.1.39)
П.2. Эйлеров этап 2D газодинамики
На этом этапе производится решение уравнений адвекции. Для этого вначале
перестраивается счетная сетка, полученная на лагранжевом этапе, затем опреде-
ляются потоки объемов, масс и энергий компонентов среды из одной ячейки в
другую. Используется одно важное предположение о том, что потоки могут быть
только из ячейки в ячейку, имеющей общую сторону с первой, то есть потоки в
соседнюю ячейку по диагонали не допускаются.
Сам эйлеров этап вычисления новых плотностей и энергий компонентов раз-
бит на два подэтапа (метод расщепления по направлениям). Сначала пересчиты-
ваются величины за счет потоков только через две противоположные стороны
ячеек. При этом потоки через две другие стороны полагаются равными нулю.
В качестве начальных данных на этом подэтапе используются значения величин
после лагранжева этапа вычислений.
165
Затем производится пересчет величин за счет потоков через две другие сто-
роны ячеек. При этом в качестве входных данных для этого подэтапа использу-
ются значения величин, полученные на первом шаге эйлерова этапа. Для обеспе-
чения равноправности сторон эти два подэтапа на каждом шаге по времени ме-
няются местами.
Алгоритмы вычисления потоков зависят от типа донорной ячейки. Потоки
массы и энергии из чистой ячейки (содержащей только один компонент) опреде-
ляются с использованием кусочно-параболического метода (PPM). Потоки из
смешанной ячейки определяются по методу концентраций (VOF).
Аппроксимация потоков количества движения производится согласованно с
потоками общей массы из ячеек.
Общий порядок аппроксимации уравнений газодинамики: первый - по впе-
мени и третий - по пространству для гладких решений вне контактных границ.
Список литературы
1.	Бондаренко Ю. А., Воронин Б. Л., Делов В. И и др. Описание системы те-
стов для двумерных газодинамических методик и программ. Ч. 1. Требования к
тестам. Тесты 1-7 // Вопросы атомной науки и техники Сер. Математическое
моделирование физических процессов. 1991. Вып. 2. С. 3-9.
2.	Бондаренко Ю. А.. Воронин Б. Л., Делов В. И. и цр. Описание системы те-
стов для двумерных газодинамических методик и программ. Ч. 2. Тесты 8-15 //
Вопросы атомной науки и техники Сер. Математическое моделирование физи-
ческих процессов. 1991. Вып. 2. С. 10-14.
3.	Сучков В. А.. Шнитко А. С., Жилина Р. А., Исламова Л. Р. Газодинамиче-
ское моделирование движения детонационных волн. Препринт №210. Сне-
жинск: РФЯЦ-ВНИИ1Ф, 2004.
4.	Kamm J. R., Brock J. S., Brandon S. T., et al. Enhanced Verification Test Su.
for Physics Simulation Codes. Los Alavos National Laboratory preprint LA-14379,
2008. P. 1-98.
5.	Янилкин Ю. В. и др. Код ЭГИДА-20 для моделирования двумерных задач:
Учебное пособие в 2-х томах. Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭсЬ>>, 2008.
6.	Kamm J. R. and Shashkov М . J. A Pressure Relaxation Closure Model for One-
Dimensional, Two-Material Lagrangian Hydrodynamics Based on the Riemann Prob-
lem. Los Alamos National Laboratory report LA-UR-09-00659, 2009.
7.	Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid
flow with strong shocks//J. of Comp. Phys, 1984. V. 54. No l.P. 115-173.
8.	Шокин Ю. И., Яненко H. H. Метод дифференциального приближения.
Применение к газовой динамике Новосибирск: Наука, 1985.
9.	Бондаренко Ю. А. Порядок аппроксимации, порядок численной сходимо-
сти и экономичность счета многомерной газовой динамики в переменных Эйлера
на примере расчетов задачи Blast Waves И Вопросы атомной науки и техники.
Сер Математическое моделирование физических процессов. 2004. Вып. 4.
С. 51-61.
10.	Иванов М. Я., Корецкий В. В., Курочкина Н. Я. Исследование свойств
разностных схем сквозного счета повышенного порядка аппроксимации // Чис-
ленные методы механики сплошной среды. 1980. Т. 11, № 4. С. 88-103.
11.	Калиткин Н. Н. Численные методы М.: Наука, 1978.
12.	Taylor G. I. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction
on perpendicular to theii planes // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1950. Vol. 201
No 1065. P. 192-196.
13.	Ott E. Non-linear evolution of the Rayleigh-Taylor instabilityof a thin layer //
Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 29. No 21. P. 1429.
167
14.	Ш}льц У. Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические урав-
нения в пеоеменных Лагранжа // Вычислительные методы в гидродинамике.
1964. С. 9-54.
15.	Rider W. J., Korhe D. В. Reconstruction Volume Tracking H J. Comp. Phys.
1998. Vol. 141. P. 112-152.
16.	Noh W. F. Errors for calculations of strong shocks using an artificial viscosity
and an artificial heat flux // Journal of Computational Physics. 1987. Vol. 72. No 1
P. 78-120.
17.	Янилкин Ю. В., Топорова О. О. Двумерная скалярная искусственная вяз-
кость методики ЭГАК в сферических системах // Вопросы атомной науки и тех-
ники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2010. Вып. 3.
С. 46-54.
18.	Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.
19.	Campbell J. and Shashkov М. A tensor artificial viscosity usmg a mimetic fi-
nite difference algorithm //J. Comp. Phys. 2001. Vol. 172. P. 739-765.
20.	Бондаренко Ю. А., Янилкин Ю В. Расчет термодинамических параметров
смешанных ячеек в газовой динамике // Вопросы атомной науки и техники.
Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2000. Вып. 4. С. 12-25.
21.	Гончаров Е. А., Колобянин В. Ю. Янилкин Ю. В. Метод замыкания
уравнений лагранжевой газодинамики в смешанных ячейках, основанный на ра-
венстве скоростей компонентов // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мате-
матическое моделирование физических процессов. 2006. Вып. 4. С. 100-105.
22.	Бондаренко Ю. А., Софронов В. Н. Прямое одномерное газодинамиче-
ское моделирование распространения волн в периодических двухслойных средах
и волновое уравнение с дисперсией // Труды XV международной консЬеренции
«Супервычисления и математическое моделирование». Саров: ФГУП «РФЯЦ-
ВНИИЭФ», 2015. С. 137-147.
23.	Янилкин Ю. В., Королева Л. Г. Прямое численное моделирование задачи
о распространении ударной волны по гетерогенной смеси двух газов // Вопросы
атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических про-
цессов. 2017. Вып. 1. С. 3-16.
24.	Жарова Г. В., Янилкин Ю. В. Комплекс программ ЭГАК. Алгоритм вы-
равнивания давлений веществ в смешанных ячейках // Вопросы атомной науки и
техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1993.
Вып. 3. С. 77-81.
25.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
26.	Шемарулин В. Е., Львова С. С.. Янилкин Ю. В. Об одном режиме разлета в
вакуум плоского слоя идеального газа // Вопросы атомной науки и техники.
Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2015. Вып. 3. С. 46-63.
27.	Сучков В. А. Истечение в вакуум на косой стенке // Прикладная матема-
тика и механика. 1963. Вып. 4. С. 739 -740.
28.	Немчинов И. В. Разлет трехосного газового эллипсоида в регулярном ре-
жиме // Прикладная математика и механика. 1965. Вып. 1. С. 134-142.
168
29.	Sod G. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlin-
ear Hyperbolic Conservation Laws // J. Comp. Phys. 1978. Vol. 27. P. 1-31.
30.	Barlow A. A new Lagrangian scheme for multimaterial cells, in Proceedings of
European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering,
ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference, Swansea, Wales, U.K. 2001.
P. 235-294.
31.	Shashkov M. J. Close models for multimaterial cells in arbitrary Lagrangian-
Eulerian hydrocodes // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2007. Vol. 56. P. 1497-1504.
32.	Banks J. W., Schwendeman D. W., Kapila A. K. and Henshaw W. D. A high-
resolution Godunov method for compressible multi-material flow on overlapping
grids // J. Comp. Phys. 2007. Vol. 223. P. 262-297.
33.	Saurel R., Abgrall R. A Multiphase Godunov Method for Compressible Mul-
tifluid and Multiphase Flows // J. Comp. Phys. 1999. Vol. 150. P. 425-467.
34.	Abgrall R., Saurel R. Discrete equations for physical and numerical compress-
ible multiphase mixtures // J. Comp. Phys. 2003. Vol. 186. P. 361-396.
35.	Plohr B. Shockless acceleration of thin plates modeled by a traded random
choice method, AIAA J. 1988. Vol. 26. P. 470-478.
36.	Shashkov M., Loubere R., Maire P., Breil J., Galera S. ReALE: A Reconnec-
tion-based Arbitrary-Lagrangian-Eulerian Method, LA-UR 09-07844, 2009.
37.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.
38.	Янилкин Ю. В., Топорова О. О., Стадник А. Л., Корзакова Л. Е. Об ап-
проксимационной вязкости разностных схем и расчеты течений вязкой жидко-
сти // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование
физических процессов. 2016. Вып. 3. С. 3-17.
39.	Бондаренко Ю. А., Гончаров Е. А., Колобянин В. Ю., Янилкин Ю. В. Не-
отражающее граничное условие для слабых возмущений в методике ЭТАК // Во-
просы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физиче-
ских процессов. 2007. Вып. 3-4. С. 64-73.
40.	Гончаров Е. А., Янилкин Ю. В. Новый метод расчета термодинамического
состояния веществ в смешанных ячейках // Вопросы атомной науки и техники
Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2004. Вып. 3. С. 16-30.
41.	Гончаров Е. А., Колобянин В. Ю., Янилкин Ю. В. Метод замыкания
уравнений лагранжевой газодинамики в смешанных ячейках, основанный на ра-
венстве скоростей компонентов // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мате-
матическое моделирование физических процессов. 2006. Вып. 4. С. 100-105.
42.	Янилкин Ю. В., Топорова О. О., Колобянин В. Ю., Фирсова Г С. Об од-
ной форме искусственной вязкости // Вопросы атомной науки и техники. Сер.
Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып. 3. С. 45-57.
43.	Гончаров Е. А., Колобянин В. Ю., Янилкин Ю. В. Об определении искус-
ственной вязкости для компонентов смешанных ячеек // Вопросы атомной науки
и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2010.
Вып. 2. С. 15-29.
Научное издание
Янилкин Юрий Васильевич
Бондаренко Юрий Александрович
Гончаров Евгений Алексеевич
Гужова Асия Ринатовна
Колобянин Вадим Юрьевич
Софронов Василий Николаевич
Стаценко Вячеслав Павлович
Тесты для гидрокодов, моделирующих
ударноволновые течения в многокомпонентных средах
В двух томах
Том 1
Г азодинамика
Редактор Н. П. Гомонова
Компьютерная подготовка оригинала-макета
М. С. Мещерякова
Подписано в печать 20.04.2017 Формат 70x100/16
Усл. печ. л. ~13,7
Тираж 300 экз.
Уч. изд. л. ~12,4
Зак. тип. 52-2016
Отпечатано в ИПЦ ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ»
607188, г. Саров Нижегородской обл.